Текст
                    Н.Г.ТАКТАРОВ
СПРАВОЧНИК
ЫСШЕИ ингг
МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВУЗОВ


Н. г. Тактаров СПРАВОЧНИК ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ для СТУДЕНТОВ ВУЗОВ Издание стереотипное Ш88 МОСКВА
Тактаров Николай Григорьевич Справочник по высшей математике для студентов вузов. Изд. стереотип. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2019. — 880 с. Настоящий справочник содержит все главные разделы высшей матема­ тики — от математического анализа и алгебры до математической логики и дифференциальной геометрии, включая аналитическую геометрию, теорию функций комплексной переменной, теорию дифференциальных уравнений, вариационное исчисление, векторный и тензорный анализ, теорию вероятно­ стей, математическую статистику, теорию множеств и численные методы. Наряду с теоретическим материалом в справочник включено более 500 при­ меров с подробными решениями. Способ изложения материала в сочетании с объемом содержащейся информации дает отличную возможность примене­ ния справочника в современных учебных программах и в то же время ставит данную книгу в один ряд с лучшими классическими справочниками по вы с­ шей математике. Доступное изложение материала позволяет использовать справочник и для самостоятельного изучения математики. Издание предназначено в основном для студентов, аспирантов и препо­ давателей университетов, институтов и высших инженерно-технических заведений. Оно будет, несомненно, полезно всем, кто изучает высшую мате­ матику. РЬдательство «Книжный дом “ЛИБРОКОМ” ». 117335, Москва, На химовс кий пр-т, 56. Фор мат 70x100/32. Печ. л. 27,5. Зак. No 5959. Отпечатано в О АО И П К «Уль яновс кий Дом печати». 432980, Уль ян овс к, ул. Гончарова, д. 14. I8ВN 978-5 -397-06653-2 ©Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2008, 2018 24970 Ю 245855 9 785397 066532 НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА Ш188 Е-та11; иК55@иК55.ги Каталог изданий в Интернете: 1пйр:/АЛ^55 .ги Тел/факс (многоканальный): +7 (499) 724 25 45
Оглавление Глово1.ДЕЙаВИТЕЛЬНЫЕЧИСЛА.АЛГЕБРА ...............................................17 1.1. Действительные ч и с л а ........................................................................... 17 1.1.1. Свойства действительных чисел ................................................... 17 1.1.2. Непрерывность множества всех действительных чисел.............. 18 1.1.3. Абсолютная величи на .................................................................... 19 1.1.4. Некоторые часто встречающиеся постоянные............................. 19 1.1.5. Геометрическое изображение чисел и числовых множеств .... 20 1.1.6 . Грани числовых м н ож еств ................................................................ 22 1.2. Некоторые сведения из элементарной алгебры. Логарифмы. Арифметическая и геометрическая прогрессии........................................ 23 1.2.1. Степени и корни ............................................................................... 23 1.2.2 . Некоторые часто используемые ф ор мул ы ....................................... 23 1.2.3. Некоторые средние з н а че н и я ........................................................... 24 1.2.4 . Некоторые н ер авен ства..................................................................... 25 1.2.5. Некоторые конечные сум м ы ..............................................................25 1.2.6. Пропорции .........................................................................................26 1.2.7. Деление полинома на по ли н ом ........................................................ 26 1.2.8. Алгебраические ур авн ен и я................................................................ 27 1.2.9. Л о гар иф м ы ........................................................................................ 30 1.2.10. Арифметическая прогрессия..............................................................31 1.2 .11. Геометрическая прогрессия................................................................ 32 1.3. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений.........................32 1.3.1. Матрицы и определители...................................................................32 1.3.2. Действия над м атр иц ам и .................................................................. 37 1.3.3. Ранг матрицы ...................................................................................... 40 Матрицы со специальными свойствами симметрии.................... 42 Системы линейных ур а вн ен ий .......................................................42
Глава 2. СИ аЕМЫ КООРДИНАТ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА . ТЕНЗОРЫ.ВЕКТОРНЫЕПРОСТРАНСТВА........................................48 2.1 . Прямоугольные системы координат...........................................................48 2.1.1. Прямоугольная система координат на плоскости.......................... 48 2.1.2. Прямоугольная система координат в пространстве ..................... 49 2.2 . Криволинейные системы координат...........................................................50 2.2 .1. Полярная система координат.......................................................... 50 2.2 .2. Криволинейные системы координат в пространстве.....................51 2.3 . Векторная алгебра...................................................................................... 54 2.3.1. Основные п о н я ти я ........................................................................... 54 2.3.2. Умножение векторов на число и их сложение...............................55 2.3.3 . Скалярное произведение векторов...................................................60 2.3 .4. Векторное пр оизведен ие..................................................................63 2.3.5 . Смешанное произведение ............................................................... 65 2.4 . Замена системы координат....................................................................... 66 2.4.1. Параллельный перенос системы координат ..................................66 2.4.2. Поворот системы координат.............................................................67 2.5 . Тензоры....................................................................................................... 68 2.5.1 . Основные п о н я т и я ........................................................................... 68 2.5.2 . Тензорная алгебр а..............................................................................71 2.5.3. Свойства симметричных тензоров второго ранга..........................72 2.6 . Векторные пространства............................................................................ 74 2.6 .1. Понятие векторного пространства...................................................74 2.6.2. Линейная зависимость век тор о в.....................................................75 2.6 .3. Базис пространства. Координаты вектора...................................... 77 2.6 .4. Евклидовы векторные пространства ..............................................79 2.7 . Гильбертово пространство ....................................................................... 81 2.8 . Преобразование координат вектора при изменении б ази са ......................84 2.9 . Линейные преобразования (линейные операторы)....................................85 2.10 . Собственные значения и собственные векторым а тр иц ............................88 2.11 . Квадратичные ф орм ы.................................................................................93 2.11.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду .... 93 2.11 .2. Классиф икация квадратичных ф ор м .............................................. 2.11 .3. Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов..............................................................................
Глаю3.АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ .......................................................97 3.1 . Аналитическая геометрия на п л оскости ..................................................97 3.1.1. Метод к оординат...............................................................................97 3.1.2. Основные ф ор мулы............................................................................ 98 3.1.3. Преобразование декартовых ко ординат..........................................99 3.1.4. Прямая л и н и я .................................................................................. 101 3.1.5. Взаимное расположение пр ям ы х.....................................................104 3.1.6. Линии второго порядка (конические сечения) ........................... 106 3.2 . Аналитическая геометрия в пространстве.............................................. 120 3.2.1. Уравнение поверхности и л и н и и ................................................... 120 3.2.2. Основные формулы в декартовых координатах............................122 3.2.3. П л о с ко с ть ..........................................................................................124 3.2.4. Прямая л и н и я .................................................................................. 126 3.2.5. Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей ...............128 3.2 .6. Поверхности второго порядка..........................................................131 Гло»а 4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГОАНАЛИЗА .142 4.1 . Действительная функция одной действительной переменной................ 142 4.1.1. Понятие функц и и ............................................................................. 142 4.1.2. Способы задания функций .............................................................. 143 4.1.3. Свойства функций. Функции со специальными свойствами . . . 144 4.2 . Числовые последовательности............................................................... 147 4.2.1. Предел числовой последовательности ...........................................147 4.2.2 . Признаки существования предела.................................................. 149 4.2.3. Основные свойства сходящихся последовательностей..................149 4.2 .4 . Число е .............................................................................................. 149 4.2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности......................................................................... 150 4.2.6 . Неопределенности ...........................................................................150 4.2 .7 . Предельная точка последовательности...........................................151 4.3 . Предел функци и ..................................................................................... 152 4.3 .1. Определение предела........................................................................ 152 4.3.2 . Критерий Кош и существования конечного пределафункции . . 153 4.3 .3 . Односторонние пределы .................................................................153 4.3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.................... 154 4.3.5 . Действия над пределами ................................................................ 155 4.4 . Асимптотические соотношения между функциями .................... 156 4-5. Непрерывность функций......................................................................... 158
4.6 . Точки разрыва функции и их классификация.......................................... 160 4.7 . Свойства функций, непрерывных на о тр езке.......................................... 162 Глава 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДН ОЙ П ЕРЕМ ЕН Н О Й .................................................................... 164 5.1 . Производная и ее геометрический с м ы с л ................................................164 5.1.1. Определение прои зводной ............................................................. 164 5.1 .2. Геометрический смысл пр о и звод н ой ............................................ 165 5.1 .3. Левая и правая производная...........................................................166 5.1.4. О сновные правила дифференцирования....................................... 166 5.1.5. Производные основных элементарных функций.........................167 5.1.6. Бесконечная производная ..............................................................168 5.1 .7. Дифференцирование неявных ф ункц ий .......................................169 5.2 . Дифференциал функц и и .......................................................................... 169 5.3 . Производная обратной функции.............................................................. 170 5.4 . Дифференцирование функций, заданных параметрически ...................171 5.5 . Производные и дифференциалы высших п орядков............................... 172 5.5 .1. Производные высших п ор яд к о в....................................................172 5.5 .2. Формула Л ейбниц а.......................................................................... 173 5.5.3. Дифференциалы высших п ор яд ко в...............................................173 5.5.4. Инвариантность формы первого дифференциала.........................174 5.6. Экстремум. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Кош и.........................174 5.6.1. Э кстр емум ......................................................................................... 174 5.6.2. Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функци и)........................................................175 5.6 .3. Теорема Р о л л я ................................................................................. 176 5.6 .4. Теорема Л аф а н ж а ............................................................................ 176 5.6 .5. Теорема К о ш и ................................................................................. 176 5.6.6. Некоторые следствия из теоремы Л а гр а н ж а ................................ 177 5.6 .7. Производная четной (нечетной) функции ...................................177 5.7 . Формула Тейлора. Вычисление пр еделов.............................................. 177 5.8 . Раскрытие неопределенностей. Правило Л оп и тал я............................... 180 5.8.1. Раскры ти е неопределенности вида 0/0.........................................180 5.8 .2. Раскрытие неопределенности вида о о/о о .................................... 181 5.8.3. Неопределенности вида О■оо, оо —оо, 0°, 1*,оо '^ ..................... 182 5.9 . Возрастание и убывание функции. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба ....................................................................................... 183 5.9.1. Достаточный признак возрастания и убыванияфункции .... 183
5.9.2. Выпуклость и вогаутость кр и вой .................................................. 183 5.9.3. Точки перегиба................................................................................184 5.10. Нахождение максимумов и минимумов функций .................................185 5.10.1. Необходимые условия локального экстремума (максимума и минимума) ф ункц и и .............................................. 185 5.10.2. Достаточные условия строгого локального экстремума.............186 5.10.3. Нахождение абсолютного э к стр е му м а ........................................ 187 5.11. Асимптоты графика функции.................................................................188 5.12. Построение графика функции .............................................................. 190 Глава 6. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУН КЦ И И ...................................193 6.1 . Показательная (экспоненциальная) функция........................................ 193 6.2 . Логарифмическая ф ункц и я................................................................... 193 6.3 . Пшерболические функци и...................................................................... 194 6.3 .1. Гиперболический с и н у с ................................................................. 194 6.3 .2. Гиперболический косинус ............................................................ 194 6.3 .3. Гиперболический тан ген с............................................................... 195 6.3.4. Гиперболический к о та н ген с.......................................................... 196 6.3.5. Обратные гиперболические функции (ареафункции)................196 6.3.6. Некоторые соотношения между гиперболическими функциями ......................................................................................197 6.4. Степенная ф ункц и я................................................................................ 197 6.5 . Тригонометрические функции.................................................................202 6.5.1. Определения тригонометрических ф ункц ий .............................. 202 6.5 .2. Свойства тригонометрических функц ий ......................................203 6.5.3. Значения тригонометрических функций при некоторых значениях ар гум ен та ...................................................................... 206 6.5 .4. Формулы приведения ................................................................... 207 6.5.5. Соотношения между тригонометрическими функциями одного ар гум ен та ........................................................................... 207 6.5.6. Тригонометрические функции половинного аргумента и кратных ар гум ен то в.................................................................... 208 6.5.7. Тригонометрические функции суммы и разности двух ар гум ен то в..............................................................................209 6.5.8. Суммы, разности и произведения тригонометрических ф ункц ий .......................................................................................... 209 6.5.9. Степени тригонометрических функций ......................................210 6.5 .10 . Обратные тригонометрические функции ................................... 210 6.5 .11 . Тригонометрические ур авнения.................................................... 213
Глово 7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ О ДН ОЙ П ЕРЕМ ЕН Н О Й ....................................................................214 7.1 . Первообразная и неопределенный интеграл............................................ 214 7.1.1. Первообразная функция ................................................................ 214 7.1.2. Неопределенный и н теф а л ..............................................................215 7.1 .3. Основные свойства неопределенного интеграла........................... 216 7.1 .4. Таблица основных неопределенных и нтегралов........................... 216 7.1 .5. О сновные методы интефирования ...............................................218 7.1.6. Интефирование рациональных функций.....................................222 7.1.7. Интефирование некоторых иррациональных выражений . . . .226 7.1.8. Интефирование тригонометрических, показательных и гиперболических функций..........................................................229 7.2 . Определенный и н тегр ал ..........................................................................234 7.2.1. Свойства и геометрический смысл определенного интефала . . 234 7.2.2. Определенный интефал какфункция верхнего и (или) нижнего предела интеф ирования....................................239 7.2 .3. Формула Н ью тона—Л ей бниц а ...................................................... 240 7.2.4. Замена переменной и интефирование по частям в определенном и н теф а л е.............................................................241 7.3 . Несобственные интегралы........................................................................243 7.3 .1. Несобственные интеф алы первого р ода ........................................243 7.3 .2. Несобственные интеф алы второго р од а ........................................248 7.3.3. Сведение несобственных интефалов второго рода к интефалам первого р од а............................................................ 251 7.3 .4 . Некоторые несобственные интеф алы .........................................251 7.4 . Геометрические приложения определенного интеграла..........................252 7.4 .1. Вычисление площадей плоских ф и гур .......................................... 252 7.4 .2. Вычисление длин дуг плоских кр и вы х .......................................... 255 7.4 .3. Вычисление объем ов........................................................................ 256 7.4.4. Вычисление площади поверхности вращ ения..............................257 Глово8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.....................................259 8.1 . Основные понятия. Предел функции. Н епрерывность........................... 259 8.1 .1. О сновные п о н я т и я .......................................................................... 259 8.1 .2. Предел функции нескольких переменных..................................... 262 8.1.3. Непрерывные функции нескольких переменных.........................263 8.2 . Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных . . . 265 8.2 .1. Частные прои зводн ы е..................................................................... 265 8.2 .2. Дифференциал ф ункц и и ................................................................ 267 8.2 .3. Правило дифференцирования сложной функции.........................268
8.2 .4. Дифференцирование неявной ф ункц и и ....................................... 269 8.2.5. Производная по направлению. Градиент........................................270 8.2.6. Инвариантность формы первого дифференциала.........................272 8.2.7. Дифференциалы высших п ор яд ко в.............................................. 273 8.2.8. Формула Тейлора для функций нескольких переменных............ 275 8.2 .9. Теория неявных функций ................................................................277 8.2 .10 . Отображения. Зависимость ф ункц ий ............................................ 280 8.2.11. Замена переменных в дифференциальных выражениях...............283 8.2 .12 . Экстремум функции нескольких переменных..............................287 8.3 . Двойные интегралы и их свойства...........................................................293 8.3.1. Определение двойного интеф ала ................................................. 293 8.3.2. Геометрические приложения двойного интеграла......................... 294 8.3 .3. Свойства двойных и нтеф ал ов.........................................................295 8.3.4. Вычисление двойных интефалов ..................................................296 8.3 .5. Замена переменных в двойных и н теф ал ах ...................................300 8.4. Тройные интегралы и их свой ства...........................................................301 8.4.1. Определение тройного интефала ................................................. 301 8.4.2. Многократный интефал ................................................................ 302 8.4 .3. Вычисление тройных и н теф ал ов.................................................... 303 8.4.4. Замена переменных в тройных интеф алах.................................. 305 8.5. Криволинейные интегралы....................................................................... 306 8.5.1. Криволинейные интефалы первого р од а ..................................... 306 8.5.2. Криволинейные интефалы второго р о д а ..................................... 309 8.5.3. Связь криволинейных интефалов первого и второго рода . . . .313 8.6 . Поверхностные интегралы....................................................................... 314 8.6.1. Двухсторонние и односторонние поверхности............................. 314 8.6 .2 . Площадь повер хности............................................. 314 8.6.3. Поверхностные интеф алы первого рода........................................316 8.6.4. Существование и вычисление поверхностных интефалов первого рода ...................................................................................317 8.6.5. Поверхностные интефалы второго р ода....................................... 318 8.6.6. Существование и вычисление поверхностных интефалов второго рода..................................................................................... 320 8.6.7. Связь поверхностных интефалов первого и второго рода .... 322 8.6.8. Геометрические приложения поверхностных интефалов............ 324 *.7 . Формула Остроградского ....................................................................... 324 8.7 .1. Односвязные и неодносвязные о б л а с ти ....................................... 324 8.7 .2. Формула О стр оф ал ского................................................................ 326 *-8 . Формулы Стокса и Гр и н а ....................................................................... 327
8.8.1. Формула С то к с а ............................................................................ 327 8.8.2. Формула Грина...............................................................................328 8.9 . Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования . . 330 8.9.1. Плоский путь интеф ирования ....................................................330 8.9.2. Пространственный путь и нтеф иро ван ия...................................333 8.10 . И нтефалы, зависящие от параметра....................................................334 8.10.1. Собственные интефалы, зависящие от параметра....................334 8.10.2. Несобственные интефалы, зависящие от параметра.................336 8.10.3. Применения несобственных интефалов, зависящих от параметра, к вычислению несобственных интефалов...........339 8.11 . Кратные несобственные интегр ал ы ...................................................... 342 8.11.1. Двойные несобственные интефалы от неофаниченных функций ....................................................... 342 8.11.2. Тройные несобственные интефалы от неоф аниченных функций ....................................................... 344 8.11.3. Двойные несобственные интефалы по неофаниченной об л а сти .......................................................... 344 8.12 . Кратные интегралы, зависянше от параметров ...................................346 8.12.1. Собственные кратные интефалы, зависящие от параметров . .346 8.12.2. Несобственные кратные интефалы, зависящие от параметров . . 346 8.12 .3. Н ью тонов потенциал..................................................................... 347 Главо 9. Р Я Д Ы ................................................................................................349 9.1 . Числовые ряды и их с вой с тв а ..............................................................349 9.1 .1. Общие понятия ............................................................................ 349 9.1 .2. Свойства сходящихся р яд о в .........................................................351 9.2 . Признаки сходимости знакопостоянных рядов..................................... 352 9.2 .1. Признаки сравнения неотрицательных р яд о в........................... 352 9.2 .2. Признаки Даламбера и К о щ и ...................................................... 353 9.3 . Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды .... 356 9.3.1. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов . . . 356 9.3 .2. Абсолютно и условно сходящиеся р яд ы .....................................357 9.4 . Бесконечные произведения...................................................................360 9.5 . Функциональные последовательности и р яд ы .....................................364 9.5.1. Функциональные последовательности....................................... 364 9.5 .2. Функциональные ряды ................................................................ 365 9.6 . Степенные р яд ы .................................................................................... 369 9.6.1. Общие понятия .............................................................................369 9.6 .2. Свойства степенных р яд о в........................................................... 371
9.7 . Ряд Тейлора. Разложение функций в степенные р яд ы .......................... 376 9.7 .1 . Ряд Тей лора...................................................................................... 376 9.7.2. Разложение некоторых элементарных функций в степенные р яд ы ........................................................................... 377 9.8 . Ряды и интегралы Фурье ......................................................................381 9.8 .1. Ряды Ф ур ье ......................................................................................381 9.8 .2. Интегралы Ф ур ь е ............................................................................ 389 Главо 10. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.............................395 10.1. Комплексные чи с л а ............................................................................... 395 10.1.1. Определение комплексных чисел и действия с н и м и ................ 395 10.1.2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного ч и с л а ...................................... 397 10.1.3. Возведение комплексных чисел в степень и извлечение к о р н я .........................................................................401 10.1.4. Множества точек на комплексной плоскости.............................403 10.1.5. Предел последовательности точек комплексной плоскости , , ,404 10.2. Функции комплексной переменной...................................................... 405 10.2.1, П онятие функци и............................................................................405 10.2.2, Предел функции. Н епр ер ы вн о сть.................................................406 10.3. Аналитические функци и........................................................................407 10.3.1, Производная функции. Условия Коши—Римана........................407 10.3.2 . Аналитические ф ункц и и ............................................................... 409 10.4. Интегрирование функций комплексной переменной ............................411 10.4.1, Определение интеграла и его свой ства ......................................... 411 10.4 .2, И нтеф альные теоремы и ф ор мул ы .............................................. 413 10.5. Представление аналитических функцийрядам и.................................... 417 10.5.1, Функциональные ряды. Степенные р яды....................................417 10.5 .2, Ряды Тейлора ................................................................................... 419 10.5 .3, Ряд Лорана ......................................................................................421 10.5 .4, Особые т о ч к и ................................................................................... 423 10.5.5, Нули и особые точки в бесконечности......................................... 425 10.6. Вычеты и контурные интегралы............................................................427 10.6 .1. О сновные п о н я т и я ......................................................................... 427 10.6 .2. Применение вычетов к вычислению определенных и н теф ал ов....................................................................................... 431 10.7. Аналитическое продолжение................................................................ 433 10.7 .1, П онятие аналитического продолжения......................................... 433 10.7.2, Аналитическое продолжение при помоши степенных рядов , , . 434 10.7.3, Многозначные аналитические функции.......................................435
10.7.4. Аналитическое продолжение действительной аналитической функции ...............................................................435 10.8. Римановы поверхности. Точки ветвл ен и я............................................. 436 10.8.1 . Общие понятия ............................................................................. 436 10.8.2 . Условие однолистности функции ............................................... 436 10.8.3. Римановы поверхности. Точки ветвл ен и я................................... 437 10.8.4 . Логарифмические точки ве твл ен и я.............................................439 10.8.5 . Заклю чительные з а м е ча н и я......................................................... 440 10.9. Конформное отображ ение......................................................................441 10.9.1. Понятие и свойства конформного отображения ....................... 441 10.9.2 . Примеры конформных отобр аж ен ий...........................................445 10.10. Некоторые элементарные функци и....................................................... 447 10.10.1. Обшая степенная функц и я............................................................ 447 10.10.2 . Тригонометрические и гиперболические функци и .................... 448 10.10.3. Показательная и логарифмическая функци и .............................. 449 Глово 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ........................................451 11.1. Обыкновенные дифференциальные уравн ения..................................... 451 11.1.1. Основные понятия. Достаточные условия существования и единственности реш ен ия............................................................ 451 11.1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка...................... 459 11.1.3. Дифференциальные уравнения высших порядков....................490 11.1.4. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков . . .495 11.1.5. Линейные системы дифференциальных уравнений ..................519 11.1.6 . Теория устойчи во сти ......................................................................527 11.1.7 . Операционный метод решения дифференциальных уравнений ........................................................................................531 11.2. Дифференциальные уравнения с частными производными.................. 536 11.2.1 . О сновные понятия и определения............................................... 536 11.2 .2. Уравнения с частными производными первого порядка.......... 539 11.2.3. Уравнения с частными производными второго порядка.......... 551 11.2.4. Методы решения уравнений гиперболического ти п а ............... 562 11.2.5 . Уравнения эллиптического ти п а .................................................. 586 11.2.6 . Решение уравнений параболического т и п а .................................596 Глава 12. ВАРИАЦ И О Н Н О Е И С Ч И С Л ЕН И Е............................................... 604 12.1 . Общие свед ен и я.................................................................................... 604 12.2 . Вариация функционала от функции одной независимой переменной ..607 12.3 . Необходимое условие экстремума функционала. Уравнение Эйлера . . 608 12.4 . Достаточные условия слабого экстремума............................................ 611
12.5. Задача со свободными к о нц ам и ............................................................ 613 12.6. Функционалы от нескольких функций одной независимой переменной...............................................................................................614 12.7. Функционалы, зависящие от производных высших порядков............. 615 12.8. Функционалы от функций нескольких независимых переменных . . . .615 12.9. Условные экстремумы. Метод множителей Л а гр ан ж а..........................617 12.10. Изопернметрнческие задачи....................................................................618 12.11. Прямые методы решения вариационных задач...................................... 621 Глава 13. ВЕКТОРН ЫЙ А Н А Л И З ................................................................. 624 13.1. Векторные функции одного скалярного ар гум ен та...............................624 13.1.1. Векторная функция и ее пр ед ел ................................................... 624 13.1.2 . Дифф еренцирование.......................................................................625 13.2. Скалярные и векторные п о л я ................................................................. 627 13.2.1 . Скалярное п о л е .............................................................................. 627 13.2.2 . Векторное поле .............................................................................. 628 13.3. Производная скалярного поля по направлению. Градиент..................... 629 13.4. Криволинейные интегралы. Потенциальное п о л е ................................. 631 13.4.1. Криволинейные интегралы ............................................................. 631 13.4.2. Потенциальное п о л е ....................................................................... 633 13.5. Поверхностные и объемные интегралы ................................................ 634 13.5.1 . Поверхностные ин тегр ал ы ............................................................. 634 13.5.2. Объемные интеф ал ы .......................................................................636 13.6. Дивергенция и ротор векторного поля. Производная по направлению................................................................. 636 13.6.1. Дивергенция ...................................................................................636 13.6.2. Р о т о р ................................................................................................637 13.6.3. Производная по направлению ......................................................639 13.7. Основные формулы векторного ан али за ................................................ 640 13.8. Интегральные формулы .........................................................................643 13.8.1. Формула О строградского................................................................643 13.8.2. Следствия из формулы О строгр ад ского....................................... 643 13.8.3. Формула С т о к с а .............................................................................. 644 13.9. Нахождение векторного поля по ротору и градиенту............................ 645 13.10. Цилиндрические и сферические координаты.........................................646 13.11. Некоторые сведения из тензорного анализа .........................................648
Глава Ы . ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯГЕОМЕТРИЯ............................................652 14.1. Кривые на плоскости ............................................................................. 652 14.1.1. Способы задания кривых на плоскости. Длина дуги кривой . . .652 14.1.2. Касательная и нормаль к плоской кривой .................................653 14.1.3. Особые точки кр и в о й ................................................................... 655 14.1.4. А си м п тоты ....................................................................................... 657 14.1.5. Кривизна плоской кр и вой ............................................................ 658 14.1.6. Касание плоских кр и вы х ...............................................................661 14.1.7. Дискриминантная кривая и огибающая семейства кривых ...6 62 14.1.8. Эволю та и эво л ьвен та ................................................................... 664 14.1.9. Изогональные тр а ектор и и ............................................................ 665 14.2. Кривые в пространстве...........................................................................667 14.2.1. Способы задания кривых. Длина дуги кривой............................667 14.2.2. Основные элементы пространственной кривой.........................668 14.2.3. Формулы Серре— Френе .............................................................. 671 14.3. Поверхности............................................................................................ 671 14.3.1. Общие свед ен и я............................................................................. 671 14.3.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.......................673 14.3.3. Первая квадратичная форма поверхности. Элемент длины дуги и элемент площ ад и....................................676 14.3.4. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна кривой на п овер хн ости ................................................ 677 14.3.5. Главные кривизны, гауссова кривизна и средняя кривизна поверхности.................................................................... 679 14.3.6. Классификация точек поверхности............................................. 680 14.3.7. Специальные кривые и направления на поверхности................681 14.3.8. Связь средней кривизны с вариацией площади поверхности . .682 14.3.9. Некоторые специальные п о вер хн о сти .........................................683 14.4. Формулы Гаусса, ВейнгартенанГаусса—Б о н н е......................................683 Глава 15. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА...........................................686 15.1. Теория вероятностей .............................................................................686 15.1.1. И спытания и с об ы ти я....................................................................686 15.1.2. Классическое определение веро ятн ости ...................................... 687 15.1.3. Статистическое определение вероятности................................... 690 15.1.4. Геометрическое определение вер оятности....................................691 15.1.5. Алгебра собы тий ............................................................................. 691 15.1.6. Правила сложения и умножения вероятностей..........................694 15.1.7. Формула полной вероятности. Формулы Бай еса.......................697
15.1.8. Повторение и сп ы та н ий ................................................................. 698 15.1.9. Случайные величины. Дискретные случайные величины . . . .700 15.1.10. Непрерывные случайные вел и чи н ы ..............................................705 15.1.11. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной вел и чи н ы ...................................................................... 712 15.1.12. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной вел и ч и н ы ...................................................................... 715 15.1.13. Многомерные случайные вели чин ы ............................................. 717 15.1.14. Закон больших чисел ................................................................... 722 15.2. Математическая статистика ................................................................ 725 15.2.1. Выборочный м етод ........................................................................ 725 15.2.2. Полигон и ги стограм ма................................................................. 727 15.2.3. Эмпирическая функция распределения ......................................728 15.2.4. Точечная оценка параметров генеральной совокупности.......... 730 15.2.5. Интервальная оценка параметров генеральной совокупности . .738 15.2.6. Оценка неизвестной вероятности по относительной частоте . . .741 15.2.7. Анализ корреляции и регрессии по результатам выборок.... 742 15.2.8. Проверка статистических ги п о тез ................................................747 15.2.9. Таблицы ..........................................................................................765 Глава 16. ЧИСЛЕННЫ Е М Е Т О Д Ы .................................................................778 16.1. Приближенные числа и действия с н и м и ..............................................778 16.2. Решение систем линейных уравнений ...................................................781 16.2.1. Метод Га у с с а .................................................................................. 781 16.2.2. Метод Гаусса—Ж ордана................................................................. 783 16.3. Решение нелинейных уравнений.............................................................784 16.3.1. Графическое решение уравнен ий .................................................. 784 16.3.2. Метод половинного делен ия.................................. 784 16.3.3. Метод хорд .....................................................................................785 16.3.4. Метод касательных (метод Н ью тона)...........................................786 16.3.5. Комбинированный метод хорд и касательных............................787 16.3.6. Метод итераций (метод последовательных приближений) . . . .787 16.4. Вычисление значений функций...............................................................788 16.4.1. Приближенные ф ор мулы ...............................................................788 16.4.2. Вычисление значений полинома по схеме Горнера.....................788 16.4.3. Вычисление значений аналитической функции......................... 790 16.5. Интерполяция функций........................................................................... 795 16.5.1. Постановка задачи и нтер п оляц и и................................................795 16.5.2. Интерполяционный полином Лаф анжа......................................795 16.5.3. Линейная интерполяция .............................................................. 797
16.5.4. Интерполяционный полином Лагранжа с равноотстоящ ими узла ми ............................................................ 798 16.5.5. Интерполяционные полиномы Н ью тон а................................... 799 16.5.6. Численное дифф еренцирование.................................................. 802 16.6 . Приближение (аппроксимация) функций ..............................................806 16.6.1. Постановка задачи аппроксимации функций............................806 16.6.2. Равномерное приближение функц ий ...........................................808 16.6.3. Метод наименьших квадратов....................................................... 810 16.6.4. С п л ай н ы ......................................................................................... 811 16.7. Приближенное вычисление интегралов...................................................815 16.7.1. Вычисление интегралов при помощир яд о в ................................815 16.7.2. Квадратурные ф ор мул ы .................................................................816 16.7.3. Метод Монте-К ар ло ......................................................................821 16.8. Численное решение дифференциальных уравнений...............................824 16.8.1. Метод Эйлера ................................................................................824 16.8.2. Методы Рунге— К у тт а ................................................................... 826 16.8.3. Метод Адамса ................................................................................827 16.8.4. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных ур а вн ен ий .....................................................828 Глово 17. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ М Н О Ж Е а В ................................................................. 832 17.1. Алгебра логики (алгебра вы с казы ван ий)................................................ 832 17.1.1. Общие свед ен и я............................................................................. 832 17.1.2. Логические операции ...................................................................832 17.1.3. Формулы и функции алгебры высказываний..............................835 17.1.4. Логика пр ед и ка то в........................................................................837 17.1.5. Метод математической и ндукц и и ............................................... 839 17.2. Основы теории м н о ж е ств...................................................................... 840 17.2.1, Основные п о н я т и я ........................................................................840 17.2.2. Операции над м н ож ествам и......................................................... 841 17.2.3. Мощность множеств..................... 843 17.2.4, Отображение м н о ж е ств................................................................ 844 И М ЕН НО Й У К А ЗА Т ЕЛ Ь...................................................................................846 ПРЕДМЕТНЫЙ УКА ЗАТЕЛ Ь ........................................................................... 848 О СНО ВН Ы Е О Б О ЗН А Ч Е Н И Я .........................................................................876
Глава 1 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. АЛГЕБРА 1.1 . Действительные числа 1.1 .1 . Свойства действительных чисел 1.1.1 .1. Рациональные и иррац иональные число Наттральными называются числа 1,2 ,3 ,... . Числа ... , -3,-2,-1,0,1,2,3,... носят название целых чисел. Все действительные (или вещественные) числа подразделяются на рацио­ нальные и иррациональные числа. Рациональным называется число, которое можно представить в виде дроби р|^, где р,д — целые числа {д / 0), а также в виде конечной или бесконечной десятичной периодической дроби. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются ирра­ циональными. Иррациональное число может быть представлено только в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Натуральные и целые числа относятся к рациональными. Пример 1. Числа - = 0,75 ” уу = 0,636363... являются рациональными. Числа \/3 = 1,732050... и 1Г = 3,141592... — иррацион ал ьные. 1.1.1 .2 . Свойс тва с ло жения и умно жения действительных чисел Для любых действительных чисел а и Ь определены единственным образом числа а + Ь и аЬ, называемые суммой и произведением этих чисел соответ­ ственно. Сложение и умножение действительных чисел обладают следующими свойствами (а, Ь,с — любые действительные числа). 1) а+Ь=Ь+а,аЬ =Ьа(коммутативность). 2) а +{Ь+с) =(а+Ь)+ с, а(Ьс) ={аЬ)с(ассоциативность).
3) а{Ь + с) = аЬ + ас (дистрибутивность). 4) Существует единственное число О(нуль) такое, что а + О=а. 5) Для любого числа а существует число Ь такое, что о + Ь=О{Ь= -а). 6) Существует единственное число 1(единица) такое, что 1■а=а. 7) Для любого числа а / Осуществует число Ьтакое, что аЬ=\(Ь=1/а). 1.1 .1 .3 . Сравнение действительных чисел Для любыхдвухдействительных чисел а, Ь справедливо одно из трех соотно­ шений:а=Ь,а>Ь,а<Ь. При этом для любых действительных чисел а, Ь, с: 1)иза<ЬчЬ<с следуета<с\ 2)иза<6следуета+с<Ь+с; 3)еслиа<ЬнО О,тоас<Ьс. Еслиа<6,топишуттакжеЬ>а.Еслиа<Ъилиа—Ь,топишут а ^ Ь. Число а >О называется положительным, о < О — отрицательным. 1.1 .2 . Непрерывность множества всех действительных чисел Пусть множество всех рациональных чисел разбито на два таких непустых подмножества А и В (классы), что каждое рациональное число принадлежит только одному классу и из принадлежности чисел а и Ь классам А и В соот­ ветственно следует, что а < Ь. Тогда такое разбиение (называемое сечением) определяет: 1) Рациональное число, если класс А имеет наибольшее число или же класс В имеет наименьшее число. 2) Иррациональное число, если класс А не имеет наибольшего числа, а класс В наименьшего числа (свойство непрерывности множества всех действительных чисел). Множество всех рациональных чисел не обладает свойством непрерывности. Пример 2. Если класс А состоит из рациональных чисел а < \/3, а класс В — из рациональных чисел Ь > \/3, то класс А не имеет наиболь шего чис ла, в класс В — н а и ­ меньше го. Для иррационального числа \/3 = 1,732050... можно взять б ес коне чную последовательность рационал ьных чисел 1,7 < 1,73 < 1,732 < . . . < \/3, не пре вы­ ша ющи х чис ла \/з, ана логично строитс я последовательность рациональных чисел 1.8 > 1,74 > 1,733 > ... > \/з, превышающих число -Уз.
Из вышеприведенных свойствдействительных чисел следуют все осталь­ ные их свойства. Далее, для краткости, действительные (вещественные) числа обычно будем называть просто числами, если не оговорено противное. 1.1 .3 . Абсолютная величина Абсолютная величина |а| числа а определяется следующим образом: если а^О, если а<0. Свойства абсолютной величины: = |а|, -|а|^а< а |а| 1)N>0,|-а 2) |а6| = |а||6|. из|а|=Оследуета=0. 3) |1а|-|6||^|а + 6К|а| +|Ь|. 4) ||а|-|6||^|а-&|^И + |6|. 5)Из|а|<А,|6|^В следует|а+Ь|<Л+В и|оЬ|<АВ. 1.1 .4 . Некоторые часто встречающиеся постоянные V I = 1,414214 = : 0,707107 , 7Г = 3,141593 = 1 : 0,318310, ■УЗ= 1,732051 = : 0,577350, у/^ = 1,772454 = 1 : 0,564190, -/Ш = 3,162278 = : 0,316228 , = 2,506628 = 1 : 0,398942, 1,25992! = : 0,793701 , ^ = 1,570796 , 6 = 2,718282 = : 0,367879 , у = 1,047198, = 7,389056 = : 0,135335 , 1ёя- = 0,497150, у ^ = 1,648721 = : 0,606531 , 1пя- = 1 ,144730 , 1п10= 2,302585 = : 0,434294, е” = 23,140693 = 1 : 0,043214 . 18е = 0,434294, 180° : 7Г = 57°,295780, 1п 2 = 0,693147, 7Г : 180 = 0,017453, 1пЗ = 1,098612, = 9,869604 = 1 : 0,101321, Постоянная Эйлера С = 0,577216.
п п! 1:п! 18п! 0 1 1 0,000000 1 1 1 0,000000 2 2 0,5 0,301030 3 6 0,166667 0,778151 4 24 0,041667 1,380021 5 120 0,008333 2,079182 6 720 0,001389 2,857333 7 5 040 0,000198 3,702431 8 40 320 0,000025 4,605520 9 362 880 0,000003 5,559763 0,5 0,25 0,125 16 0,0625 32 0,03125 64 0,015625 128 0,007813 256 0,003906 512 0,001953 10 1024 0,000971 2 048 0,000488 12 4096 0,000244 13 1192 0,000122 14 16 384 0,000061 1.1 .5 . Геометрическое изображение чисел и числовых множеств 1.1 .5 .1 . Числовая ось Пусть на некоторой прямой (рис. 1.1) заданы две различные точки О (начало отсчета) и Е (единичная точка). Длина отрезка ОЕ, называемого единичным (или масштабным) отрезком, принимается за единицу измерения длин всех отрезков на этой прямой. Направление на этой прямой от точки О к Е назы­ вается положительным направлением и обозначается стрелкой, а направление
ОЕ АМ В -2-10123 X Рис. 1.1 от к О — отрицательным. Прямая, с заданным на ней положительным направлением, называется осью . Ось с заданным началом отсчета длин и еди­ ничным отрезком называется числовой прямой (числовой осью, или осью координат). Обозначение: ось Ох. Пусть Аж В ~ две точки на оси Ох, Направленным называется отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек А к В считается его началом, а какая — концом. Направленный отрезок, для которого А — начало , В — конец, обозначается АВ (или А В). Направление от начала отрезка к концупринимается за направление отрезка. Отрезок ВА направлен от точки В к А.Величиной АВ направленного отрезка АВ на оси координатназывается число, равное его длине \АВ\ (измеренной масштабным отрезком), взятой со знаком плюс (или минус), если направление АВ и оси Ох совпадают (или противоположны). Величины отрезков АВ и ВА отличаются только знаками:АВ= -ВА .ЕслиточкиАнВ совпадают,тоАВ—0.Нарис.1.1 имеем: ОА = \ОА\, ОС = -\0С\. Если направление от точки А к В положительное, то говорят, что точка В расположена правее точки А, а точка А — левее точки В. Каждому числу соответствует единственная точка на числовой оси. Поло­ жительное (отрицательное) число а (с) изображается точкой А (С), лежащей правее (левее) точки О, причем длина отрезка ОА (ОС) равна а (|с|) (рис. 1.1). И наоборот, каждой точке М оси Ох соответствует некоторое чис­ ло X (называемое координатой точки М ), равное длине отрезка ОМ, взятой с надлежащим знаком. Точкам О и Е соответствуют числа О и 1 соответ­ ственно. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множествами всех действительных чисел и всех точек на числовой оси. По этой причине часто не делается различий между понятиями «точка» и «число». Числовая ось обладает свойством непрерывности. 1.1.5.2 . Н еко торые числовые множества Пусть а и Ь (а < Ь) — некоторые числа. Тогда множество всех чисел (точек) X, для которых: 1) а <X<Ь, называется ограниченныминтерваломиобозначается(а;6); 2)а ^I <&, — отрезком[а;6]; 3) а < I < (), а < X < 6, называютсяконечнымиполуинтервалами (о;6| и [а; Ь) соответственно;
4) а < X < +оо; -оо < х ^ а, — бесконечными полуинтервалами |а; +оо) и (- 00;аI соответственно; 5)а<X<+оо;-оо<х<а, — бесконечными интервалами (а; +оо) и (-оо;а) соответственно. Все вышеперечисленные числовые множества называются также проме­ жутками. При этом [а; 6| называютзамкнутым промежутком, (а; 6) — открытым промежутком; а, 6 — концы промежутка, (Ь~а) —длина промежутка. Числовые промежутки изображаются в виде геометрических промежутков на числовой оси Ох (рис. 1.1). Множество всех действительных чисел, а также вся чис ­ ловая ось обозначаются одним из следующих способов: -оо < х < +оо или (-оо; -Ьоо). 1.1 .6 . Грани числовых множеств Числовое множество X называется ограниченным сверху (снизу), если суще­ ствуетчислоС такое,что х ^ С {х ^ С)длявсеххизX.Число С называется верхней (нижней) границей множества X. Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется ограниченным. Пусть X — офаниченное снизу числовое множество. Число т = 1пГХ называется нижней гранью множества X , если каждое число х из X удовле­ творяет неравенству I ^ т и для каждого е > Осуществует х' из X такое, что X < т + е. Аналогично, число М = кирХ называется верхней гранью множества X, если каждое I из X удовлетворяет неравенству х ^ М и для любогог>Осуществуетх'изX такое,чтох >М -е. Если множество X не ограничено снизу (сверху), то полагают, что 1пСX = -00 (яирХ= -Ьоо). Верхняя (нижняя) грань является наименьшим (наибольшим) числом, ограничивающим множество сверху (снизу). При этом 1п1' X и 5ирХ могут либо принадлежать, либо не принадлежать множеству X. Если 1пГX (зирХ) принадлежит X, то он называется минимальным (максимальным) элементом X. Обозначение: щ1п Х (тахХ). Любое непустое ограниченное сверху (снизу) множество имеет и притом только одну верхнюю (нижнюю) грань. Пример 3. Для множества X = (а; Ь| точка а ямяется нижней гранью о = {пГX, а 6 — верхней Ь = 5цр X. Причем нижняя грань о не принадлежит X , а верхняя фань Ь—принадлежит,т.е.зирX = тахX ^ Ь. Примечание. Если о — некоторая точка (действительное число) на оси Ох, д — любое положительное число, то интервал { а - 6, а + 6 ), сод ержащий т очку о, называе тся (открытой) 1$-окрестностью (или просто окрестностью) точки а. При этом а —6 < х < а+5или — а| < <5. Е с ли то чка о совпадает с символом ос, то ее окрестность: 1*1 > 1/д.
1.2 . Некоторые сведения из элементарной алгебры. Логарифмы. Арифметическая и геометрическая прогрессии 1.2 .1 . Степени и корни Если п — натуральное число, то а " является произведением п сомножителей, равных а. При а / О по определению а” = 1. Нулевая степень числа нуль не имеет смысла. Если а > О и п — натуральное, то арифметическим корнем п-й степени из о называется единственное положительное число, п -я степень которого равна о. Обозначение: ?/а или а'^". Если а < О, то корень определяется лишь при нечетном п. Для о = Оимеем ^ = 0. Если рассматриваются оба значения (положительное и отрицательное) корня четной степени из а > О, то говорят об алгебраическом корне. Пусть а ^ О, т и п — натуральные числа. Тогда по определению: аTM/"=( =7^= а^"‘=— (а 0). аTM Для любых рациональных и иррациональных чисел р, д справедливы равенства = о''"''’, {а’’У =а'"', {аЬУ = а’' а?=о''”’ (а>О,Ь>0). 1.2 .2 . Некоторые часто используемые формулы Если а, Ь — некоторые числа, то: (а±Ь)^ = а^±2аЬ +Ь^, (а±ЬУ=а^±ЪаЧ+ЪаЬ^±Ь\ (а+6)" = а"+С^аГ-'Ь+ +...+СГ'ай"^'+*" (п = 1,2,3,...), ..... где га! — факториал целого числа п ^ О, определяемый формулами га!=1-2-3-...-(п-1)-п (п>0), 0!=1, и представляющий собой произведение всех натуральных чисел от I до п. Формула для (а + Ь)" называется биномом Ньютона.
Для любых чисел о, Ь, с выполняются следующиеформулы (а+Ь+с)^ = а}+Ь^+с^+2аЬ+2ас+2Ьс, а.^-Ь^ = {а- Ь){а+6), а^-Ь^ = {а-Ь)(а^ +аЬ+Ь^), а^+Ь^ = (а+Ь){а^ -аЬ+Ь^), а"-6" = (о - Ь^а"-' +а’‘~^Ь+...+ + й"^') (п — любое натуральное число), о" - Ь" = (а+Ь)(а"-' - а"-^Ь + ... + аЬ'‘-^ - Ь^-') (п — четное натуральное число), а"+б" = (а+Ь)(о"“' (п — нечетное натуральное число). Значения биномиальных коэффициентов \т я 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 I 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 10 1 104512021025221012045 10 1 1.2 .3 . Некоторые средние значения 1) Среднее арифметическое п величин а,, . . . , а„ - (в| +02+■■■+а„). п
2) Среднее геометрическое п величин !Уа,а2...а„. 3) Среднее квадратичное п величин +а1+...+а1). 4) Среднее гармоническое п величин /11 1\ п: - - . \а1 02 ап/ 1.2 .4 . Некоторые неравенства 1)|01+02+...+а„| <|а1|+|02|+...+|о„|,где0|,«2, ,а„ — любые действительные или комплексные числа. 2) 1/1 1 I\ __________ 1, 1 I 1-------------------- )^у'Д1а2•••Лп^“(^1+й2-I-... +Оп)^ п\а1 й2 а„/ п ^\ /+ а^+...+«2), где все действительные аьЯг, ... ,а „ положительны; равенства выпол­ няютсятолькопри0|=02 = ... = а„. 3) Неравенство Кош и—Буняковского: 10161+... +о„6„| ^ +...+о^'у/б)+...+6^, где все действительные о,, Ь^ произвольны. Равенство выполняется толь­ копри01:6|= ... =а„:Ь„. 4) НеравенствоЧебышева:если01^02 ^ ... ^ о„ и(>1^6: ^ ... ^ 6„ или О] ^02^ ... ^ о„и61^Ь2^ ... ^ Ь„(всеа,,Ь, — положительны),то (01 -|- . . . -Ь Оп)(6| -I- . . . -Ь 6„)^ 71(0161+ •••-|-о„6„), равенствовыполняетсялишьпри01= ... = о„и6|= ... = 6„. 1.2 .5 . Некоторые конечные суммы п(п+1) 1+2+3+...+п= ' ’ 2 )= 2-Ь4+6-|-.. . "Ь 2п —п(т1-1-1), I-Н3-|-5-Ь... -Ь{2п—1)=
1^+2^+3^+ ...+ = у(2п^+Зп+1), 6 1^+2^+3^+ ...+ = — (п^+2п+I). 4 1.2 .6 . Пропорции Если-= - , то ай=сЬи о а та+пЬ тс+пЛ ра+дЬ рс+дй’ гдет, п,р,д —любыечисла.Вчастности, а±Ь с±<1 а-Ь с —(I Ь д, ' а+Ь с+й' 1.2 .7 . Деление полинома но полином Деление нолинома на полином, аналогичное делению целых чисел, рас­ смотрим на конкретных примерах. Полиномы (делимое, делитель и проме­ жуточные результаты) должны быть расположены по убывающим степеням переменной х, при этом старшая степеньделителя недолжна превышать стар­ шей степени делимого. Степень последнего остатка меньше степени делителя. Пример 4. Разделим полином 6х^ -I-П - Зж -I-I (делимое) на полином Зж^ - 2х+ \ (делитель). Решение. 6х^+11*^ -31+1 гх‘ -2х+\ 6х^ - 4х^ - 1-2х 2х+5 15х" -5х +1 ~ 15х^ - 10ж+5 51-4 Здесь 2х + 5 — частное от деления, 5х —4 — оста ток от деления. Следовательно можно записать: 6ж’ -Н1 - Зх-I -I , , 5г-4 = 2х+5+- Зх^-2х+\ Зх^-2х+]' Пояснение. Делим 6®’ на Зх^, результат 2х — первое слагаемое частного. Умножим делитель на 2х и результат вычте м из делимого, получи м первый остаток. Де лим 15х^ на Зж^, найдем второе слагаемое частного, равное 5. У мно жим д елитель на 5 и вычтем из первого о статка, п олучи м второй (и последний) остаток, сте пе нь которого меньше степени делителя.
Пример 5. Разделим полином ж’ - а ’ на полином х —а. Решение. X-а х^- х^+ах+ ах^ - а’ — а^х =х+ах+а. 1.2 .8 . Алгебраические уравнения 1.2.8.1 . Уравнения. Системы урав нений Пусть /(х) и г(х) — два выражения, содержащие одну переменную х. Решить уравнение /(х) = ^ (х) с одной неизвестной х означает найти все его решения (корни), т. е. такие значения х , при подстановке которых в уравнение вместо X, значения /(х) и д{х) равны. Говорят, что такие значения х удовлетворяют данному уравнению. Например,уравнение 2х-4 = Оимеет один корень х = 2. Нулем функции у = /(х) называется точка Хо, являющаяся корнем уравнения /(х) = О, т.е. /(хо) = 0. Число Хо называ­ ется т-кратным нулем (корнем) полинома Р(х), если Хо — т -кратный корень урав­ нения Р{х) = 0,т.е. Р{х) =(х-Хо)TM^(х), где ^{x) — полином и ^(хо) ф 0. Ну­ лям функции соответствуют точки пересе­ чения или точки касания фафика функ­ ции с осью абсцисс. Например, функция 2/=х^-6х^-Ь9х=х(х-3)^имеетод­ нократный (простой) нуль в точке Х| = О Рис. 1.2 и двукратный нуль в точке Хг = 3(рис. 1.2). Пусть X — множество допускаемых значений, которые может принимать неизвестная х. В зависимости от множества X уравнение можег не иметь решений в X (тогда оно называется неразрешимым в множестве X ), ли ­ бо иметь конечное или бесконечное множество рещений (разрешимое в X уравнение). Например, уравнение я? = 1 неразрешимо в множестве рацио­
нальных чисел, а в множестве действительных чисел имеет два решения \/2 и - '/2. Уравнение = -1 неразрешимо в множестве действительных чисел, но разрешимо в множестве комплексных чисел. Уравнение 81пI = О имеет бесконечное множество решений для действительных х. Если решениями уравнения являются все числа из множества X , то оно называется тожде­ ством в множестве X. Например, уравнение = х является тождеством в множестве неотрицательных действительных чисел (х ^ 0), но не является тождеством в множестве всех действительных чисел. Чтобы подчеркнуть тождественность какого-либоравенства, вместо знака «=» иногда применяютзнак «=» (например: (х-1)(х+1) н х^-1).Выражение 0 = 6 означает также, что а по определению равно Ъ. Уравнение /(х) = О, в котором /(х) — полином от переменной х, называется алгебраическим уравнением. Все остальные уравнения являются неалгебраическими, в том числе и иррашюнальные уравнения, содержашие неизвестную х под знаком корня. Неалгебраические уравнения, в которых неизвестная х содержится под знаком трансцендентных функций называются трансцендентными уравнениями. К ним относятся тригонометрические, показа ­ тельные и логарифмические уравнения. В общем случаеуравнение может содержать п неизвестных х,, Хг,..., х „: /(х,,Х2,...,Х„)=,?(х,,Х2,...,Х„). Здесь каждая неизвестная x^ имеет свое множество допускаемых зна­ чений X^ (г — 1 ,2 , ...,п). Решением (корнем) уравнения называется такая конечная последовательность чисел (т. е. набор п чисел, расположенных в определенном порядке) (яьяг,... ,а„) из соответствующих множеств до­ пускаемых значений, при подстановке которых в уравнение вместо неизвест­ ных Х(, Х2, ... , х„, левая часть уравнения равна правой. Решить уравнение — значит найти множество всех его решений. Например, уравнение х^+ у^ = \ имеет бесконечное множество решений: (0; 1), (1;0), (\/2/2; \/2/2), . . . для действительных х ну. Системой уравнений с неизвестными Х ь Х2, ..., х „ называется совокуп­ ность уравнений, для которых требуется найти конечную последовательность п чисел (01,02,.. ., а„), одновременно удовлетворяющих каждому из этих уравнений. Такие последовательности чисел называю тся решениями системы уравнений. Например, система двух уравнений с тремя неизвестными Х-у +!^=Ъ, Х+у-2=\ имеет бесконечное множество решений: (2;-1;0), (2; 0; I), ... . Решить си­ стему уравнений — значит найти множество всех ее решений. Если удается последовательно исключить неизвестные из уравнений системы, например, выражая какую-либо неизвестную в одном из уравнений через другие неизвестные и подставляя ее в остальные уравнения, то решение системы сводится к решению одного уравнения с одним неизвестным.
1.2 .8 .2 . Решение ал гебраических уравнений Линейное уравнение (уравнение первой степени) ох = Ь (а / 0) имеет един­ ственное решение х = Ь/а. Квадратное уравнение (уравнение второй степени) ах^ +Ьх+ с = О(а ^ 0) имеет два корня в множестве комплексных чисел: -Ь±\/Ь^- 4ас Х\л= ------; ------- • 2о Если коэффициенты а.Ь ,с — любые комплексные числа, то у/Ь^ - 4ас — одно из двух значений квадратного корня. При этом К] + гг = -Ь/а, Х|Хг = с/а (теорема Виета). В случае действительных а,Ь ,с корни х,, Хг либо действительные раз­ личные, если дискриминант О = - 4ос > 0; либо действительные равные, если 0 = 0; либо комплексно сопряженные, если О <0. Делением на а квадратное уравнение приводится к виду 2 Ь с X+рх+д—О,р=~, «=-. а а Тогда Квадратный полином в левой части квадратного уравнения может быть представлен в вице произведения (разложение на множители) ах^+Ьх+с=а(х-х|)(х-Хг), х^+рх+д=(х-х])(х-хг). Теорема Виета для кубического уравнения х^ + гх^ + зх +1= 0: Х|-ЬХ24-Хз= -г, Х|Х2 Х1Хз-ЬХ2Х3 =Я, 11X2X3 = -< (хь Х2, хз — корни уравнения). Биквадратноеуравнение ах'^+Ьх^+с = О при помощи замены неизвестной х^ = I приводится к квадратному уравнению а1^+ Ы + с = 0. Если — корни квадратного уравнения, то 4 корня биквадратного уравнения находятся из равенств х^ = <], х^ = <2- Обншй вид алгебраического уравнения с одной неизвестной х : Р„(х)г а„х"+а„_,х"“'+ ...+Оо=О {а„фО). Здесь коэффициенты (г = О, 1,..., п) — действительные или ком­ плексные числа, п — степень полинома Р„{х), Оо — свободный член.
ЕслиРп{х)={х~х|)TMр„_т(х)(I^ т ^ п), гдеР„- т(х) — полином степени {п - т ) ч Рп-т{х\) фО, то Х| называется корнем уравнения порядка (или кратности) т . Если Х| не является корнем (т. е. Р „(Х|) / 0), то Рп(х) = (х - x\)^{x) + где ^{x) — некоторый полином (теорема Безу). Каждое алгебраическое уравнение Рп{х) = Остепени п с действительны­ ми или комплексными коэффициентами имеет ровно п корней, если корень кратности т принять за т корней. Если уравнение с действительными коэф­ фициентами (действительное уравнение) Рп{х) = О имеет комплексные корни, то все они встречаются комплексно сопряженными парами а + иа-г/З, т. е. число комплексных корней четное. Поэтому действительное уравнение нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень. Разложение полиномов на множители. Если корни действительного или комплексного полинома Рп(х) равны Х|, •••, х* и имеют кратности гп\,... ,гпк (ш) + ... + т/с = п), то полином можно представить в виде произведения Р„(х)=а „(х-х ,Г‘■■■(х~х,Г. Каждая пара множителей (х - х])(х - Хг), соответствующая паре ком­ плексно сопряженных корней Х| = а + г^, Х2= а - г/9, объединяется в один действительный квадратный множитель (х-аУ+ +рх+д (р= -2а, д= + /3^). 1.2 .9 . Логарифмы Логарифмом действительного числа Л > О по действительному основанию а (а > О, а ф I) называется показатель степени х, в которую надо возвести а, чтобы получить число А, т.е. А = а^. Обозначение: х = 1о8„Л . Например, 1о828 =1оё22^= 3,1о8з(1/9)=1о8з3“^ = - 2,1ов2I=10&2°=0. При заданном основании каждому действительному числу Л > О соот­ ветствует единственный логарифм. Действие нахождения логарифма какого- либо выражения называется его логарифмированием. Свойства логарифмов: 1)а'°®”^ = Л; 2)1о8„а=1; 3)1о8„а” = р; 4)1о8„I =0; 5) 1о8„(^5)=1о8„а +1о8„В; 6) 1°8а ^ = 1о8„а -1о8„В; 1) 1о8„Л ''= р1о8„Л; 8)1о8„VI = - 1о8„А\ п 9) 108ьл = (1о8аА)■(108ьа)= ; 1о8„ о
Логарифмы по основанию а = 10 называются десятичными логарифмами и обозначаются 18^4. В частности 1в10" = п . Целая часть десятичного лога­ рифма называется характеристикой, а дробная часть — мантиссой. Например, 18137 = 1§(10^-1,37) = 2+1е1,37 = 2,13672, характеристика равна 2, а мантис ­ са равна 0,13672. Поскольку 1§(10"В) = п + 1§В (п — целое), то десятичные логарифмы чисел, отличающихся множителем 10" , им ею т разные характе­ ристики, но одинаковые мантиссы. Поэтому в логарифмических таблицах приводятся лишь мантиссы целых чисел. Для нахождения числа по его деся­ тичному логарифму применяются таблицы антилогарифмов. Если х = 1%А, то число А называется антилогарифмом числа х. Натуральные логарифмы. Основанием натуральных логарифмов (обозна­ чение: 1п^4) служит трансцендентное число е, равное :=ИтЛ-|- -') = 2,718281828.... п-*оо \ п/ Для перехода отдесятичных логарифмов к натуральным и наоборот при­ меняются формулы: 1п4= — = (1п 10) 1§4 и (2,302585) 1§А, \&е \&Л= ^ = (1ё е) 1п А й: (0,434294) 1пА. 1п 10 1.2 .10. Арифметическая прогрессия Арифметической прогрессией называется конечная последовательность чи ­ сел, в которой каждый последующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением к нему одного и того же числа й, называемого разностью прогрессии: 0|, Я|+й, а\+2с1, й|-I-(п - 1)й . Общий член профессии равен: а/ь=О]4-(А:- 1)й (А=I,2,... ,п). Профессия называется возрастающей (убывающей) если й > О(й < 0). Приме­ ром арифметической профессии является конечная последовательность нату­ ральныхчисел I, 2,..., п {Л= 1).Свойство профессии: а*, = {ак-1 +01,^1)/2. Сумма всех п членов профессии равна й'п=а,+02-Н... -I-а„ = ^ а*= ^ [2а, -Ьа{п- 1)].
1.2 .11 . Геометрическая прогрессия Геометрической прогрессией называется конечная последовательность чисел, в которой каждый последующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на одно и то же число д ^ О, называемого знаменателем прогрессии: а^^ , а,? . Общий член прогрессии равен а,д ац=а,9* ' {к=^ 1,2, ,п). Например, 1, 1 •2, 1 •2^,..., 1 •2 "“ ' (д = 2). Прогрессия называется возрастающей (убывающей), если д > I (О < д < I). При 5 < О прогрессия знакочередующаяся. Свойство прогрессии: а* = у^о^Гр’Ок+Т- Сумма всех п членов прогрессии равна (при д / 1): „ А 9"- 1 1-9 " = = 1.3 . Матрицы и определители. Системы линейных уравнений 1.3 .1 . Матрицы и определители 1.3 .1 .1 . Основные понятия Матрицей размера т х п (или т х п-матрнцей) называется прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества (обычно из дей­ ствительных или комплексных чисел), имеющая т строк и п столбцов: А= 0|1 0|2 ... а\п «21 <»22 ••• а.2п _а.т1 О-т! О'гпп. Элемент матрицы Оц расположен в г-й строке (первый индекс) и ^'-м столбце(второй индекс), где г= 1,2,..., т; ^ = 1,2,..., п. Применяются и другие способы записи матриц: 'а„ . ап . ■■ ащ \От1 ■ ^тпп/ От! ■ ^тп
а также ||0(;||; ||о,^||т,п; [о.;]; [а1;|т,п ; (а.;)- Матрицы обозначаются больши­ ми латинскими буквами: А,В ,С , Матрица, у которой т = п , называется квадратной матрицей порядка п. Матрица размера 1х п, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой (или вектор-строкой), а матрица размера п X 1 — матрицей-столбцом (или вектор-столбцом). Далее матрицу-строку бу­ дем записывать в виде: (0|, аг,. . . , а„), а матрицу-столбец одним из способов: = {о,,02,... ,а„} =(0|,02,...,о„)^ Любое число можно рассматривать как 1х I -матрицу, состоящую из од­ ного элемента. В квадратной матрице порядка п элементы ац {г = 1,2,...,п) назы­ ваю тся диагональными и расположены на главной диагонали матрицы. Сумма всех диагональных элементов называется следом матрицы. Обозначение: ТгЛ =5рЛ=Оц+022+...+о„„. Квадратная матрица, у которой все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю А= Он О О 022 ОО называется диагональной. Если в диагональной матрице порядка п каждый элемент ац = 1, то матрица называется единичной и обозначается Е или I (а также Е„ или 1„): Г1О...О' Е=О1 ... О ОО Вводя символ Кронекера ‘-С: если если *■/ 3, единичную матрицу можно записать ввиде Е = (<!{;). Матрица любого разме­ ра, в которой все элементы равны нулю, называется нулевой и обозначается (0) или просто 0.
Матрица А размера п х т , получающаяся из матрицы А размера т х п заменой строк соответствующими столбцами, называется транспонированной к матрице А : '0|, а,2 ..■• Й1п Т ’оц 021 • Отп1 321 022 •• «гп - «12 й22 .. ®т2 .^т1 0^2 ®тп_ а\п (12п Отп. или А^ = (а^)^ = {ар). Приэтом(^4^)^ = А. Пример 6 . При транспонировании вектор-строка переходит в вектор-столбец и на­ оборот: (01,02, ... , 0„)^ = ■«Г 'а,' 02 , 02 Лп. .“ п- =(0|,02,...,0„). 1.3 .1 .2 . Определитель квадратной матрицы Каждой квадратной матрице порядка п с действительными или комплексными числовыми элементами А = (а^^) можно поставить в соответствие единствен­ ное число О , называемое определителем (или детерминантом) матрицы А или просто определителем п-го порядка. Определитель матрицы А = (а^^) обозначается одним из следующих четырех символов: 'ац а,2 . а|„ апаи• а1п В=де1А=(1е1 а21 022 ■ а2„ = 021 022 ■•• 02п Оп\ а„2 . Опп. а„1 а„2 . Опп и определяется следующим образом. Определитель первого порядка для матрицы (а ц), состоящей из одного элемента (числа), равен самому этому числу, т. е. йе! (оц) = ап . Определитель второго порядка по определению равен ац в|2 021 022 т. е. находится как произведение элементов на главной диагонали минус произведение двух остальных элементов. Определитель третьего порядка определяется равенством аи «12 0,3 = аца22 - а|2а2ь О=а21 022 023 аз1 а.12 азз = «И а22 а2з - а12 а21 а2з + 013 а21 022 аз2 азз «31 азз аз1 аз2
Определитель порядка п - 1, получающийся из матрицы А = (щ^) порядка п вычеркиванием г-й строки и ^'-го сто лбца, на пересечении которых находится элемент а ^ , называется минором элемента вц. Например, для матрицы третьего порядка (п = 3) «22 «23 , М|2 = «21 023 , М|3 = 021 022 аз2 озз Оз| озз 031 «32 являются минорами элементов Оц, 0|2, « 13, . . . соответственно. Алгебраическим дополнением А^^ элемента а^^ называется число, равное Определитель второго порядка можно записать теперь в виде ап а,2 021 «22 = «п-^п + а|2Л|2, = (-1)'+'Ми = 022, Ап = (-1)'+'М,2 = -а2,. Для определителя третьего порядка аналогично записываем В =аиАи +012^12+013^13, = (-!)''' = М || = 022033 - 023032, 4,2 =(-1)'+'М ,2 = - М|2, Л|з= ( -1)'+’М|з= М|з. Пусть нам известно правило вычисления определителя произвольной квадратной матрицы порядка п - 1. Тогда, по определению для произвольной квадратной матрицы А = {а^^) порядка п определитель равен: О = де1Л = Оп^4|| +012^12 + ... + а[„А\„. При этом говорят, что определитель разложен по первой строке. Ан алоги ч­ ным образом определитель может быть разложен по любой строке и любому столбцу, например, по второй строке и третьему столбцу соответственно с1е1А = 021^21 +022^122+ •••+ 0,1„А2п = 0|зЛ|з + О23Л23+ ...+ а„)А„^. Вычисление определителя порядка п, таким образом, сводится к вычис­ лению определителей порядка п - 1, каждый из которых выражается через определители порядка п - 2 и т.д ., до тех пор, пока вычисления не сведутся к нахождению определителей второго порядка. П р и м е р 7. В ычи с л и ть определительтретьего порядка 3 1-2 0=5-3 2 . 4-2 -3
Решение. Разложим определитель по первой строке: В = ОцЛп + а|2-А|2 + а^зЛ^з, где “п=3,0|2=1,0|з=-2; -3 2 -2 -3 Следовательно, X) = 3 •13+ I •23+ (-2) •2 = 58. = 13, Л,2=(-|)'+^ = 2. 52 4-3 = 23, 5-3 4-2 Свойства определителей. 1) Определитель транспонированной матрицы равен определителю и с­ ходной матрицы А , т. е. определитель не изменяется при замене строк столбцами. 2) При перестановке любых двух строк (двух столбцов) изменяется только зна к определителя, при неизменной его абсолютной величине. 3) Определитель равен нулю, если соответствующие (т. е. имеющи е оди­ наковые порядковые номера) элементы двух строк или двух столбцов пропорциональны, в частности , равны. 4) Множитель, общий для всех элементов любой строки (или столбца), можно вывести за знак определителя. Если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на некоторое число, то определитель умно­ жится на это число. 5) Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столб­ ца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умно­ женные на любое число. 6) Определитель треугольной матрицы (т. е. такой, все элементы которой, расположенные ниже, либо выше главной диагонали, равны нулю) равен произведению элементов главной диагонали «11 012 ■■■ а,„ 0 022 •.. 02„ = 011022 ■.■•Опп 00...а„„ П П к=1 *=1 где — символ Кронекера, В = с1е1(а^^), — алгебраические нения. допол-
1.3 .2 . Действия над матрицами 1.3 .2 .1 . Равенство матриц Две матрицы А = (о^^) и В = (6,^) называются равными (запись: А = В ), если они имеют одинаковый размер т х п и все элементы, стоящие на одинаковых местах, равны между собой, т. е. (»=1,2,..., т;У=1,2,..., п). 1.3.2 .2. Сумма матриц Суммой А + В двух матриц А = (а^^) и В = (Ь,^) одинакового размера т х п называется матрица С = (с^^) такого же размера с элементами + Ь^^, С=А+В= ’“ 11+Ьп <*2| + ^21 в|2+Й12 022 + Ь22 <*1п + Ь1п <12п + &2п .От1 + ^т1 ^тп2 + ^тп2 ••• ^тп + &тп. Аналогично определяется разность матриц С=Л -5 =О,^- 1.3 .2 .3 . Умножение матрицы на число Произведением матрицы А = на число а (или произведением числа а на матрицу А) называется матрица А а (или аА ), все элементы которой получаются из элементов матрицы А умножением на это число, т. е. Аа=аА=(аоц)= ааи ао2| аО|2 а 022 аа,„ аа2п 1аа„1 аат2 ••• ащ Вышеперечисленные действия обладают следующими свойствами: 1)А+В=В+А\ 2)а(А+В)=аА+аВ\ 3)А+(В+С)=(А+В)+С-, 4)(а+р)А=аА+РА\ 5) а(рА) =(а^)А, гдеА,В ,С — матрицы одинакового размера, а , Р — любые числа. 1.3.2 .4. Противоположная матрица Матрица - А = (-1)>4 = ( - о ^ ) называется противоположной для матрицы А = (оу) любого размера. Сумма А +(-Л) = Л - 4 = (0) равна нулевой матрице.
Пример 8. Для числа а = 2 и матриц В= О-I -2 5 А+В = ’З 5Г , -А= -1 -5 ~2 , 2-А =Л-2 = '2 104 209 I-2 -4 -2 48 1.3 .2 .5 . Умножение матриц ПустьА=(а;*)иВ =(а^^) —двематрицыразмерат хпипхзсоответ­ ственно (т. е. число столбцов п матрицы А равно числу строк матрицы В ), тогда для этих матриц определено произведение С = А В , где С = (с^^) — матрица размера т х я с элементами П Сц= ^ <^^кЬк^ = 0(1 Ь|^ + 0 ,262; + ••■+ а,пЬп] 1;=1 (1=1,2,...,т;7=I,2,..., Таким образом, чтобы найти элемент с,^, стоящий в 1-й строке и столбце матрицы С = А В , надо элементы 1-й строки первой матрицы (т. е. А) умножить на соответствующие элементы ] - т столбца второй матрицы (т. е. В ) и сложить полученные произведения (т. е. «умножают строки на столбцы»). Отметим, что произведение двух ненулевых матриц А (0) и В 5^ (0) может оказаться равным нулевой матрице. Например, 00'0о' "о0' 1010 .0 0. Всвязисэтим,изравенстваАВ =АС,т.е.А{В-С)=(0)приАф(0), вообщеговорянеследует,чтоВ -С =(0),илиВ =С. Пример 9. АВ= I2-3 10 1 1 2 0 - 1. -1 - 6 5' .2 31. —1 ^ 04 -1 133 Свойства умножения матриц. 1) А(ВС) =(АВ)С; 2)(А+В)С=АС+ВС; 3)С(А+В)=СА+СВ; 4) а(АВ) =(аА)В =А(аВ), гдеА,В ,С — матрицы, а — число .
76 44 Произведения АВ и ВА матриц А и В определены одновременно, в частности, для квадратных матриц одного порядка. Умножение матриц не­ коммутативно, т. е. произведение двух матриц зависит, вообще говоря, от по ­ рядка сомножителей (АВ / ВА). Пример 10. ЗдесьАВф ВА. Для произвольных (не квадратных) матриц А, В может оказаться даже, что произведение АВ имеет смысл, а произведение В А — не имеет. Матрицы А, В , для которых АВ = В А, называются перестановочными (коммутативными). Так, например, единичная матрица Е„ перестановочна с любой квадратной матрицей порядка п: АЕ„=Е„А =А. Если А и В — квадратные матрицы одного порядка, то с1е1 (АВ) = 6е1 (ВА) = (с1е(А) ■(де1 В). Справедливы следующие равенства для транспонированных матриц (А+В)^=А^+В^, (ЛВ)^ = В'^А'^. Для квадратной матрицы А справедливо ае1 А'^ = с1е1 А. 1.3.2 .6. Обратная матрица (квадратная матрица называется невырожденной (вырожденной), если ее опре­ делитель не равен (равен) нулю. Обратной матрицей (обозначение: А ) по отношению к невырожденной квадратной матрице А называется такая матрица, которая при умножении на А как слева, так и справа, дает единичную матрицу Для каждой невырожденной квадратной матрицы существует единствен­ ная обратная матрица. Вырожденная квадратная матрица обратной не имеет. Справедливы равенства . 1 {А~'у'=А,(АВ)^=В'А- {А-У ={А^Г де! >4' Нахождение обратной матрицы для невырожденной матрицы А прово­ дится в следующей последовательности.
1) Находим определитель I ) = с1еЫ / О, 2) Для всех элементов матрицы А находим алгебраические дополнения . 3) Составляем матрицу из алгебраических дополнений А = а затем транспонированную матрицу А^ = которая получится из А путем перестановки местами строк и столбцов с одинаковыми номерами: А= А\] . А\п , А^= Л]1 . Ап] .^п\ ^п п. .А\п ■^пп. 4) Разделив все элементы матрицы А на величину определителя В , полу­ чим обратную матрицу ' ^^11 -^«1 1 п А-'=-Р ' О ■4]п ■'^пп 1О О\ Пример 11. Для матрицы в примере 7 найти обратную матрицу. Решение. I) 0=й^1А^58. 2) = 13,Ап=23,^413—2,^421-=7, .122= -', А-а =10, =• Азз = -14. 3) Запишем матрицы А и А^: ■13 23 2" '13 Г-4 1= 7-1 10 Г=23 - 11 -16 . -4 -16 - 14] . 2 10 -14. 4) Обратная матрица равна ■|3 7 4■ 58 58 58 23 1 16 А 58 58 58 2 10 14 .58 1.3 .3 . Ранг матрицы Если в произвольной матрице А = (а,^) размера т х п выбрать любые к строк и к столбцов, где к < т 1п ( т , п ), то элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов образуют матрицу размера к х к. Определитель этой матрицы называется минором к-то порядка матрицы А.
Р а н г о м матрицы А называется наивысший из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы. Таким образом, матрица А имеет ранг г, если: 1) г"ществует хотя бы один минор порядка г, не равный нулю; 2) все миноры порядка г + 1 и выше равны нулю. Ранг матрицы, состоящей из одних нулей, по определению равен нулю. Д е ф е к т о м матрицы называется разность межцу наименьшим из чисел т , п и рангом матрицы г. Пример 12. Найти ранг матрицы А = 3-1 21 14-22 -2 5-4 1 Решение. В матрице содержится не равный нулю минор порядка 2 |: а все миноры порядка 3 равны нулю. Следовательно, ранг г = 2, а дефект равен 3-2 =1. > Рангматрицы не изменяется при следующих элементарных преобразова- 1) при перестановке любых двух строк, 2) при умножении любой строки на число, не равное нулю, 3) при сложении любой строки с другой строкой, умноженной на некоторое число; а также при транспонировании матрицы. Аналогичные свойства справедливы и для столбцов. На этих свойствах ранга матрицы основан удобный на практике способ нахождения ранга, используюший метод Гаусса (см. 16.2). П р и м е р 13. Найти ранг матрицы из примера 12. Решение. Производя элементарные преобразования матрицы А в примере 12 по методу Гаусса, запишем последовательность преобразованных матриц 1 -2 Последняя матрица содержит ненулевые миноры второго порядка, все миноры третьего порядка равны нулю, так как третья строка состоит из нулевых элементов. Следовательно, ранг исходной матрицы А равен 2. > I 1 21- 1 1_ 1 ~3 33 1 1 2.1 •1 2 Г ~3 33 4-2 2 0 13 8 5 =!• 13 8 5 5-41 3 33 0 3 33 0 13 8 5 .0 0 0 0. 3 33^
'1 4 -5‘ ■1 3-2 ■01-3' 2-3 8= 3-3 6 -1- -1 02 .1 4 -1. .-2 6 - 1. 3-2 0, 1.3 .4 . Матрицы со специальными свойствами симметрии Квадратная матрица А = (а^^) с действительными или комплексными эле­ ментами называется: 1) симметричной, если = А,т.е.если = о^^; 2) антисимметричной (кососимметричной), если А ^ = - А , т. е. если = -о^^; 3) ортогональной, если А=АА^ = Е,т.е.еслиА^ =А~^. Любую квадратную матрицу А можно единственными способом пред­ ставить (разложить) как сумму симметричной и антисимметричной матриц: А=^-{А+А^)+'-{А-А'^). Пример 14. Разложим матрицу А на симметричную (первое слагаемое справа) и ан­ тисимметричную (второе слагаемое): А= Квадратная матрица А = (а,у) с комплексными элементами называется: 1) эрмитовой, если А^ = А , т.е. если а^^ = а,^, где А = (о,у) — матрица, комплексно сопряженная к А , полученная из А заменой ее элементов на комплексно сопряженные; 2) косоэрмитовой (аитиэрмитовой), если А^ — - А , т. е. если а^, = -а^^; 3)унитарной,если ^А =АА^ =Е,т.е.еслиА^^А '. Любая комплексная квадратная матрица А может быть единственным способом представлена (разложена) в виде суммы эрмитовой и антиэрмитовой I матрицА=Н\+гН2,гдеН\= -{А+А)—эрмитоваматрица,а = 1 ^ - (А - А ) — антиэрмитова. 1.3 .5 . Системы линейных уравнений 1.3 .5 .1 . Основные понятия Система т уравнений с п неизвестными Х), Хг, ■■■,х „ ОцХ]-I-а,2X2-Ь . ..+0|„х„ =6,, 021X1Ч-«22X2+... -Ь 02„Х„ =&2, От1Х| -ЬОтп2Х2-Н . . . + ОтпХп —
^ аг^X^ = Ьг ;=‘ (г=1,2,..., т), где о,; — коэффициенты, Ь^ ~ свободные члены, называется системой линейных уравнений. Если все = О, то система называется однородной, в противном случа е — неоднородной. Матрицы 'аи а,2 ■.. а|„‘ 'аи 012 ■• 0]„ б,' л= 021 022 •.. 02„ , {А,В)= Ол022■•02„Ьг .От! От2 ■• о,„„. Ога! От2 ^тп Ьт. называются матрицей системы и расширенной матрицей системы соответственно. Решением системы линейных уравнений называется конечная последова­ тельность п чисел, т. с. набор п чисел (сь Сг,. . . , с „) , расположенных в опре­ деленном порядке, принадлежащих множеству допускаемых значений и удо­ влетворяющих одновременно каждому из уравнений системы при подстановке этих чисел вместо соответствующих неизвестных. Решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений. Система линейных уравнений мо­ жет иметь либо одно решение, состоящее из набора п чисел, либо бесконечное множество решений, либо ни одного решения. Система, не имеющая ни од­ ного решения, называется несовместной, в противном случае — совместной. Две системы уравнений (или два уравнения) называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одинаковые множества решений. 1-3 .5 .2 . Решение систем линейных уравнений Вводя обозначения X= систему уравнений ( 1.1) можно записать в виде матричного уравнения ЛХ=В. (1.2) где А — матрица системы (1.1). Рассмотрим сначала решение системы ( 1.1) в случае т = п , когда число неизвестных совпадает с числом уравнений. 1. Метод обратной матрицы. При т = п матрица А системы (1.1) — ■квадратная. Пусть О = йе1А фО. Умножая матричное уравнение (1.2) слева 'хх' 'ь>- Х2 Ьг , в= Хп. Ь,п.
на обратную матрицу А , получим {А-^'А)Х=А~'в. Отсюдаследует(таккакЛ~'Л =Е ,ЕХ = X ) , что единственное решение системы имеет вид X=А 'в. или '11' Х2 1 Хп. “ V >412 Л2\ А22 ^п2 11п 'ь,' Ь2 102 " Ъ Ь„. .о„. (1.3) где {*= 1.2,..., п).Такимобразом, X]——(АцЬ1+А2]Ь2 П р и м е р 1 5. Методом обратной матрицы р еши ть си стему уравнений 31| +Х2- 2Ху= 6, 51|-3X2+21з= -4, 4X1-2X2 -Зхз= -2. Решение. И спол ьзуя выра же ние обратной матрицы Л , найденное в примере 11, получим ’* 1‘ 1 Х2^58 Х2. '13 7 -4" ■6" 1 '58' '1‘ 23 -1 -16 -4 1 174=3 . 2 10 -14 .-2 . 0. 0. Искомоерешение:х, = 1,12 =3,хз =Оили(I;3;0). > 2. Формулы Крамера. И з матричного равенства (1.3) следуют формулы Крамера, дающие решение системы линейных уравнений: Ог аи 0,2 ... а,„ Оп ... Ь, ... 0|„ В= «21 022 ... 02„ , о,= 021 ... б2 ... 02„ “п1 Чп2■ Лпп 0п1 •.. ь„ . Опп Здесь определитель Д {« = 1, 2 , . . . , п ) получается из определителя О путем замены в нем «-го столбца на столбец свободных членов системы ( 1.1).
Пример 16. Решить по формулам Крамера систему в примере 15. Решение. о= 02= 1 -3 -2 6 -4 -2 О, -2 = 58, В,= 6 -4 -2 = 174, О,= Ь/] *,=- =!, = *з=д=0. > Однородная система линейных уравнений (все 6, = 0) всегда имеет нулевое(тривиальное)решение:Х\=0,Хг=0, ..., Хп=0.Еслиприт =п определитель В = Ле1 А / О, то однородная система имеет единственное решение, являющееся нулевым. Для того чтобы однородная система линейных уравнений при т = п имела также решение, отличающееся от нулевого, необходимо и достаточно выполнение условия I ) = де1>1 = 0. 3. Метод П1усса решения системы состоит в последовательном исклю­ чении неизвестных из уравнений этой системы. Алгоритм метода приведен в 16.2.В общемслучае тф п. П р и м е р 17. Методом Гаусса р е шить си стему уравнений из примера 15. Решение. И с пол ьзуя алгоритм метода Гаусса, получи м последовательность р асширен­ ных матриц (знаком * о тмечен ы ведущие элементы): 1 2 1 -3 -2 I = 58, 5-3 -4 4-2 -2 В =0, 1-2 -3 2 -2 -3 (-7)' I -14 О --- -- -10 Г11 21 Г 1 21 3 3 ‘^1 01-^3 = > ■ 0•-? 3 . «« ©■° . 00 10. Переходя в обратном направле нии от последней расширенной матрицы к исход- 8 I 2 ной.будемиметь:Хз=О,12 =3+-Жз=Ъ,Х\=2—-Х;+-Хз=1. >
4. В общем случае число неизвестных п не равно числу уравнений си­ стемыта,такчтоп<т,п>т илип =т. Если ранг Г| матрицы А системы (1,1) и ранг Г2 расширенной матрицы {А, В ) не равны друг другу (Г| / Гг), то эта система несовместна (не имеет решения). Теорема Кронекера—Капелли. Система уравнений (1.1) совместна ( т е . имеет решение) тогда и только тогда, когда матрица системы А и расширенная матрица {А, В ) имеют одинаковые ранги (г, = гз = г). При этом, если г = п , то решение единственно. В частности, однородная система имеет только нулевое решение. В общем случае, если г < п , то решение не единственно, при этом однородная система имеет ненулевые решения. П ри мер 18. Решить систему уравнений г,+2X2=I, Решение. Ранги матриц 12 24 2x1+4X2=3. А= (А.В)= равны соответственно г, = I , Гг = 2. Поскольку Г] ^ Г г , система несовместна,т. е. не име­ ет решения. Действительно, умножая первое уравнение системы на 2 и вычитая из второго, приходим к противоречию: «0=1», показывающему несовместность системы. о Пр и мер 19. Решить систему уравнений Решение. Ранги матриц 2=3, X, -Х2=2, X]-1 -2X2=■ '1 Г ■| 13 1-1 , (А,В) = I -1 2 .1 2 .1 24 А= соответственно равны г , = 2, Г г = 3. Система несовместна, так как г , ф Тг. > Пример 20. Решить систему уравнений 2Х|+ Х2+3*3+ х, = 10, ЗХ]—2x2+ Хз—4x4=“5, X, - 3X2 -2хз-5*4= -!5. Решение. Используя алгоритм метода Гаусса (см. 16.2.1), получим последовательность расширенных матриц (знаком + отмечены ведущие элементы): -20
оI 11 40 ' Уу 000 0 о Здесь ранги матриц А и (А, В ) равны г, = Гг = 2, т. е. система совместна. Так как г < п (2 < 4), то решение не единственно. В последней рас шире нной матрице третья строка нуле вая и может б ыть отбр ошена. В результате получим систе му двух уравнений 13 1 11 40 *1+ =5, Х2+Х,+ —14=—, 2 2 которую перепише м в виде 1 *1 2 3 1 40 11 -12=5- -I)--Х4,Х2=— - X] уХ,. Вводя обозначения Жз = р ь Х4 = Р 2 , гдер|,рг — произвольные действительные числа (параметры), получи м: 40 11 15 2 *2=у - Р|- уР2> XI=—-р,+-р2. Следовательно, множе ство решений системы имеет вид: /15 2 40 11 \ Iу-Р|+^Р2,у-Р|-уР2,РьР2I= ^(|,^,0,0)+р,,-.,-1 .1,0)+Р2(В.-Д,0,1). Множество р»ешений соотве тствующей однородной системы А Х — (0) имеет вид р,(-1,-1,1,0)+Р;(^у-у,о,1^ О Пример 21. Решить систему уравнений 2Х|+12 =I, 1|—Х2=2, XI —2X2=3. Решение. Применяя алгоритм Гаусса, получим I 1 2' 1I 1 -1 2 I -2 3 (-0 ' О( О п 2 -1 О 2 3 2 5 5 '2 2. Ранги А и (А, В ) равны между собой Г| = Г2 = 2 и равны числу неизвестных, 1I следовательно, система имеет единственное решение: Х 2 = —1 , Х| = - — =1или
Глава 2 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. ТЕНЗОРЫ. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 2.1 . Прямоугольные системы координат 2.1 .1 . Прямоугольная система координат на плоскости Координатами точки называются числа, определяющие ее положение на линии, на поверхности, или в пространстве. Две взаимно перпендикулярные оси координат Ох и Оу, пересекающи­ еся в точке О (начало координат) и имеющие одинаковые длины масштабных отрезков О Еу и О Е 2, образуют декартову прямоугольную (и ли просто декарто­ ву) систему координат на плоскости, проходящей через две эти оси (рис. 2 . 1). Длина отрезка ОЕ^ (или О Е 2) берется за единицу измерения длин всех отрезков на плоскости. Положительные направления осей Ох н Оу, т. е. на ­ правления от точки О к точкам В] и Е 2 соответственно, выбираются таким образом, что поворот отрезка ОЕ\ на 90° до совмещения с отрезком О Е 2 ви­ ден происходящим против часовой стрелки (правая система координат). Если этот поворот происходит по часовой стрелке, то система координат называ­ ется левой. Далее везде рассматриваются только правые си стемы координат. Декартова система координат, а также плоскость в которой лежат оси коорди­ нат, обозначается Оху. Оси Ох и Оу называются осью абсцисс и осью ординат соответственно. Оси координат делят плоскость на четыре части, которые на­ зывают четвертями или квадрантами и нумеруют римскими цифрами I, II , III , IV (рис. 2.1), Прямые, проходящие через какую-либо точку М на плоскости параллельно осям Оу и Ох, пересекают ось Ох в точке М ,, а ось Оу — в точке М 2, соответственно. Величина ОМ [ = х направленного отрезка О М , , т.е . его длина \ОМ\\, взятая со знаком плюс (или минус), если направления ОМ\ и оси Ох совпадают (или противоположны), называется абсциссой точ­ ки М . Аналогично определяется величина О М 2 = у , называемая ординатой точки М . Величины х VI у называются координатами точки М (рис. 2.1). Начало координат О имеет координаты ж -= О, !/ = 0. Если точка М имеет
координаты X и то пишут: М (х ,у). Координаты точки, выражаемые кон­ кретными числами, например, М (2; 1), будем отделять друг от друга точкой с запятой. Первой в скобках указывают абсциссу, а второй — ординату. Таким, образом, координаты точки образуют упорядоченную пару чисел (х , у), т. е. набор двух чисел, в котором указано, какое число считается первым, а какое — вторым. В заданной декар.овой системе координат каждой точке М на плос­ кости соответствует единственная упорядоченная пара чисел (х , у), являю ­ щихся ее координатами, и обрат- М(х, у) но, любой уп орядоченной паре чисел (х, у) соответствует един­ ственная точка М {х ,у) на плос­ кости. То есть между всеми точ­ ками плоскости и упорядоченны­ ми парами чисел устанавливает­ ся взаимно однозначное соответ­ ствие. Начало координат О име­ ет координаты (0; 0), точка — координаты (1; 0), точка Е 2 — координаты (0; 1). В общем случае применяют­ ся также прямолинейные систе­ мы координат, в которых угол между осями координат не равен 90°, а масш табные отрезки 0Е\ и О Е 2 имеют разную длину. Такие системы координат называются общими декартовыми или аффинными системами коор­ динат. Если при этом длины 0Е\ и О Е 2 одинаковые, то система координат называется косоугольной. Рис. 2.1 2.1 .2 . Прямоугольная система координат в пространстве Декартова прямоугольная (ил и просто декартова) система координат О х уг в пространстве (рис. 2 .2) определяется заданием трех взаимно перпендику­ лярных осей координат: Ох (ось абсщ1сс), Оу (ось ординат), Ог (ось аппликат), пересекающихся в точке О (начало координат) и имеющих масштабные от­ резки О Е ^, О Е 2, ОЕ^ одинаковой длины. Длина этих отрезков принимается за единицу измерения длин всех остальных отрезков. Направления осей ко­ ординат от точки О к точкам Е^ (г = 1 ,2 ,3 ) называются положительными направлениями осей, а противоположные направления — отрицательными. Плоскости Оуг, О гх , О ху, проходящие через пары осей координат, на ­ зываются координатными плоскостями. Проведем через какую-либо точку М пространства три плоскости, параллельные трем координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями Ох, Оу, О г обозначим М ], М2,М} (рис.2.2). Величины ОМ, = х, ОМ2=у, ОМ^ = г направленных
отрезков О М \, О М 2, О М } называются координатами точки М. Координаты X, у , г называются соответственно абсциссой, ординатой, аппликатой точки М . Начало координат О имеет координаты х = О, у = О, г = 0. Если точка М имеет координатых,у ,2 ,то пишут; М{х, у,г). В частности точки Е\,Е2,Е} имеют координаты ( 1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1) соответственно (координаты, выраженные в числах, отделяются друг от друга точкой с запятой). При задании системы координат между точками пространства и упорядо­ ченными тройками чисел (х, у , г ) (т. е. такими наборами трех чисел, в которых указано, какое из них считается первым, вторым, третьим) устанавливается взаимно однозначное соответствие: каждой точке М пространства со­ ответствует тройка чисел, а каждой тройке чисел — единственная точка в пространстве. Декартова система координат в пространстве называет­ ся правой, если поворот отрезка ОЕ^ на угол 90° до совмещения с отрез­ ком ОЕ2 виден из точки Е} про­ исходящим против часовой стрелки. В противном случае система коор­ динат называется левой. Далее везде используется только правая система координат. Три координатные плос­ кости делят пространство на 8 ок­ тантов, нумеруемых римскими циф­ рамиот IдоVIII. В общем случае в пространстве применяются также общие декартовы (аффинные) и косоугольные системы координат (см. 2 . 1. 1). 2.2 . Криволинейные системы координат 2.2 .1 . Полярная система координат Полярная система координат на плоскости (рис. 2.3) состоит из заданной точки О (полюса) и лучей, выходящих из точки О , один из которых О Е называется полярной осью (длина О Е принимается за единицу измерения длин). Если задана полярная система координат, то с каждой точкой М плоскости можно связать два числа р и (р — полярные координаты точки, где р — длина отрезка ОМ . называемая полярным радиусом, а ^ — угол ЕО М , называемый полярным углом, который считается положительным при отсчете от полярной оси О Е против часовой стрелки и отрицательным в противном случае. Если точка М имеет полярные координаты р (первая координата) и 1р (вторая координата), то пишут М {р,(р). Полярные координаты могут
принимать значения из промежутков: О^р<+00,О^ ^<2ж,ноиногда рассматривают отрицательные поляр­ ные углы, а также углы, превышаю­ щие2тг,ПриусловииО^^<2!г каждой точке М плоскости (исключая полюс О, для которого р = О, а угол <р неопределен, т. е. принимает любые значения) соответствует единственная пара чисел (р, и обратно, каждой паречисел(р,>р),О^у <2тг,р>О, соответствует единственная точка. Координатными линиями в поляр­ ной системе координат (т. е. такими линиями, вдоль которых изменяется только лишь одна координата, а дру­ гая — постоянна) являются концентрические окружности р = соп51 с центром в точке О и лучи у = соп51, выходящие из точки О. На пересечении двух координатных линий (при заданных р к <р) к находится точка М {р , у>). Если ось Ох декартовой системы координат Оху совпадает (включая масштабные отрезки) с полярной осью О Е , а начало координат О совпадает с полюсом (рис. 2.3), то декартовы (х, у) и полярные (р, >р) координаты точки М связаны соотношениями х=рсо&1р, у =рйп1р, р = -\/х^+у^, 18^=— (х^0). X ЗдесьI =ОМ),у =ОМ2■ Единичные базисные векторы ёр и направлены по касательным к со­ ответствующим координатным линиям в сторону возрастания координаты и изменяются от точки к точке. 2.2 .2 . Криволинейные системы координат в пространстве 2.2 .2 .1 . Цилиндрическая система координат Цилиндрическая система координат (рис. 2.4) определяет положение то чки М в пространстве посредством трех координат (масштаб измерения длины пред­ полагается заданным): р ,1р ,2 . Здесь первая координата р — длина отрезка о м ' , где М ' — основание перпендикуляра, опущенного из точки М на плос­ костьОху(О^р<-1 - о о); вторая координата <р — угол между положительной полуосью Ох и отрезком ОМ ', ^ считается положительным при отсчете от полуоси Ох против часовой стрелки, если смотреть со стороны положи­ тельного направления оси О г (О ^ у < 2тг); третья координата г = М 'М совпадает с аппликатой г = О М " точки М в декартовой системе координат, совмещенной с цилиндрической системой (рис. 2.4) (промежуток изменения:
Рис. 2 .4 - с » < г < +оо). Если точка М имеет цилиндрические координаты р,<р,2 , то пишут: М (р, (р, г). Цилиндрические координаты точки М (р, г) связаны с ее декартовыми координатами (ж, у , г) соотношениями х = рсо8у, з/=р5т^ , г=2\ р = \/х^ +у^, =- (51Пм= - ), г=г. ®\ Р/ Здесь х=ОМ\ — абсцисса, у =0М2 — ординататочки М' (или М). Предполагается, что в обеих системах координат использованы равные еди­ ницы масштаба. Координатными поверхностями в цилиндрической системе координат (т. е. такими поверхностями, вдоль которых одна из координат постоянна, а две другие изменяются) являются; круговые цилиндры р = сопз1, полуплоскости (р = СОП51, плоскости 2 = С0П 51 . На пересечении трех координатных поверх­ ностей (при заданных р, р, г ) находится точка М {р, г). Линии пересечения каждых двух координатных поверхностей называются координатными линия­ ми. Здесь — это две прямые и окружность, проходящие через точку М. Попарно ортогональные единичные базисные векторы ёр, =к,об­ разующие правую тройку, направлены по касательным к соответствующим координатным линиям в сторону возрастания координаты и изменяются при переходе от точки к точке (рис. 2.4).
2.2 .2 .2 . Сфери чес кая систь.ла координат Сферическая система координат (рис. 2.5) определяет положение точки М в пространстве посредством трех координат: р, в, <р (масштаб измерения дли­ н ы предполагается заданным). Здесь первая координата р — длина отрезка О М (О < /9 < +оо); вторая координата в — угол между положительной полу­ осью Ог и отрезком ОМ , положительное направление отсчета в от полуоси Ох показано стрелкой на рис. 2 .5 (0 ^ й ^ 7г ) ;у — угол между положительной полуосью Ох и отрезком ОМ ' {М ' — основание перпендикуляра, опущен­ ного из точки М на плоскость Оху), положительное направление отсчета от полуоси Ох показано стрелкой на рис. 2.5 (О ^ у7 < 2тг). Если точка М имеет сферические координаты р, в, то пишут: М{р, в, (р). Если декартова система координат совмещена со сферической системой так, что в обеих системах равные единицы масштаба (рис. 2.5), то для любой точки М ее сфе­ рические координаты связаны с декартовыми координатами соотношениями: х=рсо8^8тй, у =р5т1р5юв, 2 =рсо&в; Р=\/х^~+У^~+~^, СО&в=- , Щ!р=- (81Пу= 5,I■ Р X \ ^х^ +у^/ ЗдесьX =0М[ — абсцисса, у =ОМ’2 — ординататочки М' (или М), 2 = ом" — аппликата точки М. Координатные поверхности: сферы р= соп81 с центром в точке О, кру­ говые конусы в= С0П51, полуплоскости ^ = СОП81.Напересечении этих трех
поверхностей (при заданных р, в, <р) находится точка М (р , в, 1р). Координат­ ные линии: две окружности и луч, проходящие через точку М и являющ иеся линиями пересечения каждых из двух координатных поверхностей. Попарно ортогональные единичные базисные векторы е«, обра­ зующие правую тройку, направлены по касательным к соответствующим координатным линиям в сторону роста координаты вдоль линии (рис. 2.5). 2.3 . Векторная алгебра 2.3 .1 . Основные понятия Величины, каждое значение которых может быть выражено только одним числом (обычно действительным), называются скалярными величинами или скалярами (например: длина, угол, площадь, объем, время, масса , температура и т.д.). Величины, определяемые заданием некоторого числа и направлением в пространстве, называются векторными величинами или векторами (например: скорость, ускорение, сила и т.д .) . Вектором называется направленный отрезок прямой в пространстве, т. е. такой отрезок, для которого указано, какая из двух его граничных точек считается первой (начало вектора), а какая — второй (конец вектора). Вектор, начало которого — точка А , а конец — точка В , обозначается А В или А В , а также а или а (рис. 2.6). Направление от начала вектора к концу считается п р а в л е н и е м вектора и обозначается на рисунке стрелкой. Начало А вектора А В называется также его точкой приложения. Длиной (и ли модулем) вектора называется длина отрезка А В . Обозначения модуля: \АВ\, |а| или а. Векторы подразделяются на связанные, скользящие и свободные, в зави ­ симости от того, для описания каких физических величин они используются. Связанным называется вектор, начало которого (точка приложения) фиксиро­ вано. Например, вектор скорости движущейся точки. Скользящим называется вектор, который можно, не изменяя его длины и направления, переносить
вдоль одной и той же прямой (рис. 2.7). Каждый скользящий вектор а можно рассматривать также как бесконечное множество направленных от­ резков, лежащих на одной прямой, имеющих равную длину и одинаковое направление. Каждый вектор из это­ го множества равен а. Скользящим вектором является, например, сила, приложенная к абсолютно твердому телу. Свободным называется вектор, который можно переносить в про- Рис. 2 .7 странстве параллельно самому себе, не изменяя его длины и направления. Точка приложения свободного вектора не определена (может быть любой). Каждый свободный вектор а можно рассматривать как бесконечное множество направленных отрезков, имеющих равную длину, одинаковое направление, параллельных друг другу и прило­ женных к разным точкам пространства. Каждый вектор из этого множества равен вектору а (рис. 2.6). Свободным является, например, вектор скорости поступательно движущегося абсолютно твердого тела. Далее везде рассматри­ ваются только свободные векторы (если не оговорено противное). Вектор б, начало и конец которого совпадают, называется нулевым, его модуль равен О, а направление неопределенное (любое). Вектор В А назы­ вается противоположным вектору А В. Вектор, противоположный вектору а, обозначается - а . Вектор, длина которого равна I, называется единичным вектором или ортом. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллель­ ных прямых, называются коллинеарными и могут иметь либо одинаковые, либо противоположные направления. Свободные векторы о и 6 называются равными (о = Ь), если они коллинеарны, имеют равные модули и одинаковые направления. Векторы не являются равными, если не выполняется хотя бы одно из этих трех условий. Векторы, лежащие в одной плоскости или в па­ раллельных плоскостях, называются компланарными. В векторной алгебре рассматриваются следующие действия над векторами: умножение на число, сложение, вычитание, умножение векторов. 2.3 .2 . Умножение векторов на число и их сложение 1. Произведением вектора а на число А называется вектор с = Ао, колли- неарный вектору а, имеющий длину |с| = |А| •|о| и направление, совпадающее с направлением а при А > О, либо противоположное направлению а при Л < О (рис. 2.8). 2. Сумма двух векторов а н Ь определяется следующим образом. При помощи параллельного переноса приведем векторы а и Ь (если они неколли- неарны) к общему началу, т. е. приложим их к одной точке А (рис. 2.9). Вектор с, приложенный к точке А и совпадающий с диагональю параллелофамма.
Рис. 2 .9 построенного на векторах а и Ь как на сторонах, называется суммой векто­ ров а к Ь (правило параллелограмма). Запись:с=а+Ь. Второе определение суммы векторов. Приложим вектор а к точке А, а к концу вектора а приложим вектор 5 (рис. 2.10). Тогда вектор с, идущий из точки А (на­ чало вектора о) в конец вектора 6, будет суммой с = а + Ь (правило треугольника). 3. Разность а - Ь находится как сумма а + (-6) (рис, 2.11). Разность а - Ь может быть найдена также как вектор, идущий из конца вектора Ь в конец вектора а (рис. 2.12). Несколько векторов а],Ог, . . . , а „ , вобщем случае не компланарных, можно сложить по пра­ вилу многоугольника: к концу вектора а, прило­ жим вектор 02, к концу которого приложим вектор О] и т. д. до а „ . Тогда сумма векторов Ь=О]-Ь02 -Ь .. .+а„ определяетсякаквекторЬ, Рис. 2 .11
замыкающий ломаную и идущий из начала первого вектора (т. е. а , ) в конец последнего вектора (т. е. а „ ) (рис. 2.13). Если складываемые векторы не ком­ планарны, то ломаная не лежит в одной плоскости. 4 . Свойства действий сложения векторов и умножения их на число: 1)о+Ь=6+а; 2)о+(6+с)=(о+Ь)+с; 3) Х(ца) = (А/1)о; 4)(А+1л)а=Аа+/»а; 5)А(а+6)=Аа+А6; 6)(-1)0= -а; 7)0-0 =0; 8)0+6=0. Для любых векторов о и 6 выполняются неравенства: ||а|-|6||^|о± Ь|<|о| + |Ь|. 5. Разложение вектора по базису. Линейной комбинацией векторов о,, 02, . . . , о „ с действительными коэф­ фициентами Ль Аг,. . . , А„ называется вектор 6=А1О1+А2О2+...+АпОп- Векторы О], 02, . ■■, о „ называются линейно независимыми, если равенство А101+А2О2+...+АцОп=О выполняетсятолькодляА]=А2= ... = А„ = 0. В противном случае векторы называются линейно зависимыми. Если два вектора Оь 02 неколлинеарны, то они линейно независимы. Если три вектора 01, 02 ,03 некомпланарны, то они линейно независимы. Всякий вектор о, лежащий на плоскости, содержащей векторы 01, 02 , может быть разложен в виде линейной комбинации о = С 1О1 + С 2О2, где коэффициенты С |,С 2 называются координатами (компонентами) вектора о относительно векторов 01,02 (рис. 2.14). Аналогично, любой вектор о в пространстве может быть записан в виде (т.е . разложен по векторам Оь 02, Оз) о=С|01+С2Л2+С*зОз. Это разложение по векторам Оь 02, 03 иногда записывается в виде о = (СьС2,Сз). Совокупность трех линейно независимых векторов 01, 02 ,03 (а в случае плоскости — двух векторов 0 |, 02), взятых в определенном порядке, образует базис. Если о = (аь аг, аз), В = (/3|,/02,/83), то о+Ь = (а\+Р],02+02, «з+А),
Рис. 2 .14 Ха = (Аа], Аа2,Ааз). Если базисные векторы 0|, 02,03 приложены к одной точке О и поворот от вектора 0 | к вектору ог на кратчайший угол виден из конца вектора Оз происходящим против часовой стрелки, то говорят, что эти векторы образуют правую тройку векторов (или правую систему), впротивном случае—левую тройку (илисистему). 6. Декартовы прямоугольные координаты вектора. Есливпространствеза­ дана (правая) прямоугольная декартова система координат Охуг , то в качестве базисных векторов можно взять три единичных попарно перпендикулярных
друг другу вектора (орта) г ,] , к осей координат 0 х , 0 у ,0 г соответственно (рис. 2.15). Тогда а=Ох»+Оу]+а^к, где числа а х ,а у ,а ^ называются декартовыми (прямоугольными) координатами (или компонентами) вектора а. Базис, состоящий из взаимно перпенди­ кулярных ортов г ,] , к , называется ортонормированным. Сложение векторов а = (ах,ау, о^), Ь = (Ь^, Ьу. Ь^) проводится по правилу: а+6=(Оз:+ а„+&„,«г+6г)=(Лх+Ьх)*+{а,у+Ьу)]+(а^+Ь^)*; умножение вектора на число: Аа = (Аа^, ЛОу, Аа^). Если векторы а и Ь равны, то их координаты соответственно равны: Оу=Ьу, Вектор г = О М , идущий от фиксированной точки, обычно от начала координат О , к заданной точке М (х , у , г ) пространства, называется радиус- вектором точки М (рис. 2.16). Разложение радиус-вектора г = О М в базисе 1,] ,к имеет вид г=XI+У]+2к. Здесь х , у ,2 — декартовы координаты точки М . Обозначая через а , /3,7 углы между радиус-вектором г и векторами г ,] , к (рис. 2.16), можно записать х = г-сова, г/= гсо5/ 2=г■С057, где г = |г| = \/х^ + у^+ 2^ — длина вектора г. Величины со5а, со&0, СО87 называются направляющими косинусами радиус-вектора г. Любой свободный
вектор а может быть перенесен параллельно самому себе и приложен к лю­ бой точке пространства, тогда как радиус-вектор по определению приложен к фиксированной точке. _____ Выражения координат вектора а = А 1А 2 (рис. 2.17) через координаты ра- диус-векторов его начала Г| = ОА[ и конца Гг = О А2 находятся по формулам (а = Г2 -Г|): а^ = Х2~Х1, Оу=у2-у2, а ,= 22-2и где а = (ах,Оу,аг), г, = (х,, «/ь2,), Тг = (хг, 2/2,22). Длина |а| вектора а = {а^,ау, а^) находится по формуле И= Расстояние й между точками ^11(11, 2/], 2|) и А 2(х2, У2, ■^2) равно а=\а\=^(Х2- Хг)2+{У2-У\У+(22 - 2,)2. 2.3 .3 . Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов а и Ь называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла ц> между ними: |а||6|со8^. Обозначения: аЬ, а Ь, (а ,Ь). Обозначая через ё = а/|о| (т. е. а = ё\а\) единичный вектор, коллинеар- ный вектору а, можно записать а Ь=\а\ё•6=|а|ПруЬ. Чи сло Прр Ь = ё -Ь = |Ь|со8 (р называется (алгебраической) проекцией вектора Ь= А В на направление ё вектора а. С вектором ё можно связать ось Оа, положительное направление которой определяется нанравляюншм вектором (или ортом) ё, лежащим на оси (рис. 2 .18). Опустим из точек А и В перпенди-
куляры АА) иВВ1наосьОа. Тогда проекция вектора Ь=АВ на осьОа будет равна длине вектора А 1В 1 на оси О а , взятой со знаком плюс (или ми­ нус), если направление А 1В 1 совпадает (или противоположно) с положи­ тельным направлением оси Оа. Вектор А] В ) называется при этом составляю­ щей вектора А В по оси Оа. Проекция вектора Ь на ось О а иногда обозначает­ ся =ё-6 .ПустьЬ=Ь\+Ь2+...+Ь„, тогда 6о= Ь]о + 620 + •••+ *по >т. е. проек­ ция суммы векторов на некоторую ось равна сумме проекций этих векторов на ту же ось. Справедливы равенства 0.x=Пр(о=га, ау=Пр^а =]а, Ог=Пр^а -ка. Рис. 2.19 где ах,ау, а^ — декартовы координаты вектора о. В частности, АВ=А[В]+А2В2=вх*"Ь где .41^1 и ^42^2 — состааляющие вектора а = АВ по осям Ох и Оу соответственно (рис. 2.19). Свойства скалярного произведения. 1)аЬ=Ьа; 2) (Аа)6 = А(а6); 3)а(Ь+с)=а6+ас; 4) аЬ = О, только если а и 6 перпендикулярны или хотя бы один из векторов нулевой; 5)оо=о^= |ар. Из этих свойств, в частности , следует, что линейные комбинации векто­ ров перемножаются по тем же правилам, что и обычные полиномы в алгебре. Пример 1. (2о+ЗЬ){а- 26)=(2а+36)о+{2а+Щ{-2Ь)=2о^+ЗЬа+ +(2а)(~2Ь)+(Щ(-2Ь)=2а^+ЗаЬ-4аЬ-бР =23‘ - аЬ-бР. Для базисных векторов г ,] , к справедливы равенства: и=Л =кк=1, =}к=кг=0. Пример 2. ({- ;)(> +к)=г]+гк-Ц -]к=-
Выражение скалярного произведения черезкоординаты векторов. Если а=о^г+ + а^к = {ах, Оу, а^), Ь=Ьхг+Ьу}+Ь^к ={Ьх,Ьу,6г), то аЬ=О161+ОуЬу+а,Ь,. Еслиа=01+02+...+а„,то “х=“II+«21+•■■+От, “ !/= “ >!/+“2],+ •••+ а„;,, “г=“и+“2г+•••+Опг- Угол ^ между векторами а = {ах,ау,аг), Ь = (Ьх,Ьу,Ьг) можно найти по формуле аЬ ОхЬх + ЛуЬу + С05^ —' — ' ........ 1«1|Ь| ^а1+а1+а\^Ц +Щ,+Ы Косинусы углов а, ^3,7 , образуемых вектором Су, а^) с векторами базиса к, называются направляющими косинусами вектора а: Лх а С05а= — , С08^5=— , С057= — , а а а гдеа=|а| + а1. Свойство направляющих косинусов: со8^а +со8^/3+ со5^7=1. В частности, для радиус-вектора (рис. 2 .16): X „ У -г С05а = С08р = С087= -, г 2 г гдег=|г|=\/х^+у^+ Условием перпендикулярности векторов а и 6 является аЬ=йхЬх+ауЬу+Огбг=0. Пример 3. Даны три точки >1(1; 1), В(3;3), С(3; 1) на плоскости. Найти угол 1р=^ВАС. Решение,а=АВ =гв-гл=(хв-Ха, ул) = (2; 2), где хл, Хв', Ул,Ув ~ координаты точек А и В . Аналогично, Ь = АС = гс —Га = (2;0). Отсюда и находим аЬ 2-2+2-О у/2
2.3 .4 . Векторное произведение 1. Векторное произведение двух векторов а \\ Ъ (обозначения: а х Ь или [а, 6]) называется такой вектор с = а х Ь, который определяется тремя условиями: 1) его модуль равен |с| = |а| •|6|81п ^ , где (р — угол между векторами а и 6, не превосходящий тг (рис. 2 .20). 2) вектор с перпендикулярен плоскости, в которой лежат а и Ь. 3) вектор с направлен так, что поворот от а к 6 на угол ^ виден из конца вектора с совершающимся против часовой стрелки, т. е. упорядоченный набор векторов а, Ь, с образует правую тройку Модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов а = А В и 6 = А В равен площади параллелограмма А В С В , построенного на этих векторах как на сторонах (рис. 2 .20). Свойства векторного произведения. 1)аXЬ= -Ь Xа; 2) (\а)хЬ =Х{ахЬ); 3)аXа=0; 4)аX(6+с)= аX6+аXс; 5)а{аXЬ)=0; 6)Ь(аX6)=0; 7) 0 x 6 = 0, толькоесли а и Ь коллинеарны, или хотя бы один из векторов нулевой.
Справедливо равенство: (оXЬ)2= - (а■Ь)^ (он|о1,Ь=|Ь|). Линейные комбинации векторов перемножаются как обычные полино­ мы, но с учетом порядка сомножителей, так как при изменении этого порядка знак векторного произведения изменяется на противоположный. Пример 4. (2а+36)х(а- 26)=(2о+36)хо+(2а+36)х(-26)= = 2вха+36хо-4ох6-66х6= -Зах6-4ах6= -7ах6. Для базисных векторов г , ] , к справедливы равенства: гх1=]х] =кхк =0, гх]=к, ]хк=I, кхг=]. Пример 5. {г-])х(^ +к) =гх]+1 хк-]Х]-^хк =к-] +1. Выражение векторного произведения через координаты векторов. Если а = 0x1+Оу]+а^к = (а^, ау,а^), В= +Ьу]+ = {Ьх, Ьу, Ьг), с=с^г+Су]+с,к =(Сх,Су,с,), с=аXЬ= г] к 0>х 0>у (^2 ах аг Ьх Ь, +к Ьх Ьу ЬхЬуь^ = {ауЬ^ - а^Ьу)1 + (а^Ьх- ахЬ^)] + [ахЬу - ауЬх)к, т.е. Сх=йуЬх —а^Ьу,Су=а^Ьх- ОхЬ^, = ахЬу - ауЬх- Условие коллинеарности векторов о и Ь: Ьх Ьу Ьг' Пример 6 . Най ти площадь треугольника, построенного на векторах а = (1; 1; 1), 6 = (I; 1; -1), приложенных к одной точке. Решение,с =ох6;с, = 1•(-1)-М = -2,с, = 1■1-1•(-1)=2, = 1•1-1•1 =0; с = (-2;2;0); |с| = ^ 4 + 4 + с] = 2'Л..Площадь треугольника равнаполовине площади параллелофамма, т. е. \/1 (рис. 2.20). [> 2. Двойным векторным произведением векторов а, 6, с называется вектор 3=аX{ЬXс),
который может быть найден либо непосредственно, . ри помощи выполнения двух векторных умножений подряд (сначала внутри скобок), либо по формуле ах {Ьхс)=Ь{а-с)-с(а■Ь), где в круглых скобках — скалярные произведения. 2.3 .5 . Смешанное произведение Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов о = (01,05,02), Ь =(б1,6;,,Ьг), с = (с^,су,с,}, взятых в указанном порядке, называется число (скаляр), равное скалярному произведению вектора а на векторное произведение векторов б и с , т. е. о•(ЬXс). Обозначения смешанного произведения: (а ,Ь ,с ) или обе, (аЬс). Свойства смешанного произведения. 1) а-(Ьхс)=(а,Ь,с)=(6,с,а)=(с,о,Ь)= -(Ь,о,с) = -(с,6,о)= -{а,с,Ь)\ 2) (о, 6, с) = О только если а, 6, с компланарны, или хотя бы один из век­ торов нулевой; 3) (о, Ь, с) > О, если тройка векторов правая, (а, 6, с) < 0, если тройка левая. Смешанное произведение некомпланарных векторов о, Ь, с равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс Я ^ппав/^иыы1г г
(или минус), если тройка векторов а ,Ь , с правая (или левая) (рис. 2,21). В частности, (», ^, к) = \. Смешанное произведение может быть выражено через координаты век­ торов в виде определителя (а,Ь,с)= ОхОуаг ЬгЬуЬг СхСус. =П. Условие компланарности трех векторов а, Ь, с записывается в виде равен­ ства нулю (0 = 0) определителя, выражающего смешанное произведение этих векторов. 2.4 . Замена системы координат 2.4 .1 . Параллельный перенос системы координат Пусть даны две декартовы системы координат с одинаковыми единицами мас­ штаба: первая (старая) — О ху г и вторая (новая) — О 'х 'у 'г , соответственные оси которых Ох и О'х ', Оу и О'у', Ог и О'г параллельны (рис. 2.22). Ра­ диус-векторы точки М в первой и второй системах координат, обозначаемые
ОМ=г иО'М =г', связаныравенством г=г'+00', из к01орогоследуют соотношения между координатами точки М в обеих системах координат: X-X+Хо(х-X - Хо), У=У {у^У-Уо), г=2+го {г=2-го), где ОСУ = (хо, Уо, 2о) — радиус-вектор точки О' в системе Охуг; х,у ,2 к х , у, г ' — координаты точки М в первой и второй системах координат. Для ба­ зисных векторов справедливы равенства: г = г к=к'.Вэтихбазисах любой вектор а имеет разложения а = (а^, Яу, а^), а = (а^, а'у, а^). При этом = Ох, о,у=Оу, = а^. 2.4 .2 . Поворот системы координат Пусть даны две декартовы системы координат: первая (старая) — ОХ|ХгХз и вторая (новая) — ОХ|Х2Хз (здесь для координат введены обозначения х = Х |, у = Х2, г = Хз) с ортонормированными базисами ё],ё2,ё^ и ё\,ё2,ё -1 и совпадающими в точке О началами координат (рис. 2.23). Предполагается, что положение векторов второго базиса по отношению к первому базису задано. Обозначая координаты одной и той же точки М в первой и второй системах координат 1|,Х2,Хз и х'|,х2,х з , запишем радиус-вектор г = О М этой точки в виде г=Х|ё|+Х2С2+хзёз, г =х\ё!+х'гёг+х\ё1. Приравнивая оба эти выражения, т. е. ^ х'ё/= х ; И умножая скалярно обе части этого равенства последовательно на ё\, ё'2, ё\ с учетом ортонормированности базисов, получим формулы преобразования координат точки при переходе от старой системы координат к новой Х|=ацХ1-1-012X2-1-«13X3, х'г = 021X1 -1 - О22Х2-ЬагзХз, (2.1) х'з = аз|Х1+ «32X2 -ЬаззХз, или 3 ;=|
Векторы обоих базисов связаны равенством 3 ё/= 5 ^а.^ё^ (*= 1,2,3). (2.2) Из девяти коэффициентов только три можно задавать произвольно, так как они связаны между собой шестью соотношениями 3 3 = > (»=1.2,3); =0(*/7; ^= I.2,3), ;=1 1=1 выражающими ортонормированность базиса, т. е. ё;-ё; = бц, где 6^^ — си мв ол Кронекера: ^ ГО при г=], и при г/; (1,7 =1,2,3). Вектор о может быть разложен как в первом, так и во втором базисе а=а]ё|+агёг+а^ё^ = а'|ё|'+а'2ё{+а'^ёз, 3 гдеа[=^ а^^а^. При этом {а\)^ + (аг)^ + (а'з)^ = 01+02 + 03. ]=\ 2.5 . Тензоры 2.5 .1 . Основные понятия Декартову систему координат 0х\х^хз в пространстве обозначим через К , а через К — систему 0 x 1123^3, в которую переходит система К при повороте ее вокруг некоторой оси, проходящей через точку О (рис. 2.23). Скаляр, т. е. величина, значение которой выражается только одним чис­ лом (см. 2 .3.1), по определению не изменяется при повороте системы коор­ динат (является инвариантным). Обобщением понятия скаляра является вектор (свободный), т. е. величи ­ на, определяемая заданием упорядоченной тройки чисел (компонент). Любой вектор по определению инвариантен относительно изменения системы коор­ динат, т. е. О]?! + 0262 + Озёз = о'|ё|' + 026 2, а'зёз (за исключением базисных векторов ё], ёг, ёз, которые поворачиваются вместе с осями координат). Из инвариантности вектора следует, что его компоненты
при переходе от ск гемы К к системе К ' преобразуются по формуле, анало ­ гичной (2.1): 3 ^XI [а,^]> 0). (2.3) ;=1 Обобщением понятия вектора является тензор. Тензором второго ранга называется инвариантная величина, определяемая совокупностью девяти действительных чисел Т^^ {г , ] = 1, 2, 3), преобразую­ щихся при переходе от системы К к К ' по формуле 33 =Х;Е {1,^= 1,2, 3). (2.4) к=\ га=1 Числа называются компонентами тензора. Тензор обозначается одним из следующих способов: 'ТпТпГ,з‘ Т=(Тц)= Т 2, Тгг Тгг ТЗ, Гз2 Тзз. или просто . Рангом (и ли порядком) тензора называется число индексов его компонент. В общем случае тензор ранга г имеет 3"^ компонент Ту , (всего г индексов).
Любой скаляр является тензором нулевого ранга. Любой вектор (кроме базис­ ных) представляет собой тензор первого ранга. Коэффициенты перехода от системы К к к ' не образуют тензора, так как их индексы относятся к осям разных систем. Пример 7. Если а = (а|,а2,аз) и Ь = (Ь],Ь2,Ьу) — векторы, то набор из девяти произведений = о.Ьу (г,] = 1,2,3) является тензором Т = (аф,) , так как его компоненты преобразуются по формуле (2.4). Пример 8. Тензор (см. символ Кронекера в 1.3 .1 .1) («.;) = IОо о Iо ооI в любой системе координат К ' имеет вид йу = и называется единичным тензором. Запись тензора в инвариантном виде. Для записитензора винвариантном виде (аналогичном записи вектора а = а|ё] + агёг + озёз) вводится понятие диады (или аффинора). Диадой (или аффинором) называетсядиадное произведение любыхдвух векторов, в том числе и базисных ё^,ё^, которое по определению задается записью одного векторазадругимвопределенном порвщке, напримерё]ё2или ёгё] (следует отличать от скалярного произведения), при этом ё]ё2 / ёге, . Инвариантная запись тензораТ имеетвид: 3 ^=Е >•>=1 При этом в системах К п К ' соответственно: 3 3 ^ ^ ё„,. Здесьё;ё; иё^ёт —диады(г,],к ,т = \,2,3). Например, тензор {а^Ь^) представляет собой диаду (аффинор) аЬ, которую можно записать в виде комбинации диад ё;ё^: аЬ = (а|ё| + Огёг + азё}){Ь\ё\ + 62^2 + бзёз) = — ё]ё\(1\Ь\ + ё1ё2а|б2 + ё]ёуа\Ь^ + 626102^1 + ё2ё202б2 + + ёгёзОгбз + ёзё|аз6| + ёзё20з&2 + €3630363. Симметричные иантисимметричныетензоры.Тензор , удовлетворяющий условию = Тр, называется симметричным. Если = -Т^{, то говорят.
что тензор антисимметричный.Любой тензорЩ можнопредставить в виде суммы симметричного 8^^ и антисимметричного тензора: Т^^= 8ц+Ац, гдеЗц=“(Гу+Тц),Ац= ~ ^я)- 2.5 .2 . Тензорная алгебра Суммой тензоров одинакового ранга и называют тензор Су вида Су=Ау+В^^. Любой тензор можно представить как сумму нескольких тензоров оди­ накового ранга. Произведением тензора Ау на скаляр АназываетсятензорВу скомпо­ нентами В у = А4у-. Произведением тензоров (в общемслучаеразличногоранга) ^4уи В^т называется тензор С^ит с компонентами Произведение тензоров зависит, вообще говоря, от порядка сомножите­ лей. Ранг произведения тензоров равен сумме рангов сомножителей. Свертывание тензора Аф по индексам ^ и *; проводится следующим образом. Индексы ] м к полагаются равными друг другу, а затем по ним проводится суммирование. Получающ ийся в результате свертывания тензор называется сверткой тензора А^^|, поиндексам] н к. Вданномслучае свертка является вектором (тензором ранга I ) 3 В результате одного свертывания ранг тензора уменьшается на два. Свертыва­ ние можно применять к тензорам любого ранга большего либо равного двум. Сверткой тензора второго ранга Т^^ является скаляр, называемый с л е д о м тензора: (Гу) = Гц -ЬТ22+Ззз и инвариантный относительно преобразования координат. Например, следом тензора 0( 6; (где щ , — компоненты векторов о и Ь) является скалярное произведение а Ь = 0 |6] + а^Ьг + «363. Свертка тензора Г у с вектором является некоторым вектором Ц : 3 Ь^= '^Тгуа^. >=1
Следовательно, тензор можно рассматривать как оператор, преобразую­ щий вектор а в вектор Ь. Правило частного. Пусть даны равенства 3 3 3 ^Т^а,=Ь, = = Вцс, 1=1 ;=1 ;=1 где 6, оь Ь{, Ац, — известные тензоры. 3 Тогда Т^, Т^^ также являются тензорами. В частности, если ^ ^(>^0 — скаляр, то Щ — тензор. Перестановка индексов. Если компоненты тензора выражаются че­ рез компоненты тензора по формуле то говорят, что В*;, получен из перестановкой индексов г н к. В общем случае тензоры А и В отли чаются друг от друга. Тензор называется симметричным (и ли антисиммет­ ричным) по какой-либо совокупности индексов, если при перестановке любых двух индексов из этой совокупности его компоненты не меняют (или меняют) знак на противоположный. 2.5 .3 . Свойства симметричных тензоров второго ранга Пусть — симметричный тензор, т.е. Т^^ = Г ,, {{ ,] = 1,2,3). Издевяти его компонент независимы только шесть, так как Г 12 = Г 21, Г 13 = 7з|, Тгг = Т32. С этим тензором можно связать поверхность, определяемую уравнением 3 = Т[]х] +Т22х 1+Т}}х1+ 2Т\2Х[Х2+ 2Т\)Х\Х} + 2Т2}Х2Х} = 1. (2.5) Выражение в левой части (2.5) называется квадратичной формой от пе­ ременных 11, ^ 2, 13 . Уравнение (2.5) определяет поверхность второго поряд­ ка, называемую тензорной поверхностью, центр которой находится в начале координат: эллипсоид, гиперболоид, цилиндрическую поверхность или две параллельные плоскости. В частности, если Тц > О, Т22 > О, Г 33 > О, то по ­ верхность является эллипсоидом. Если вектор преобразуется в вектор 3 ;=1 то вектор а ^, для которого 3 >=|
(А — число), называется собственным вектором тензора Т^. Следовательно, в результате преобразования собственный вектор а переходит в коллинеарный ему вектор Аа. Здесь число А называется собственным значением тензора, соответствующим данному собственному вектору о. Уравнение 3 для нахождения собственных векторов можно записать в виде 3 3 ^ =А^ ;=1 ;=1 — символ Кронекера), или 3 ^No;-А,5„)а^=0. (2.6) ;=| Однородное уравнение (2.6) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю с1е1 (Т^^ - = О,т.е. Т{1-А Г|2 Т|3 ^21 Тц-А Тгз Тц Т}2 Тц-А =0. (2.7) Собственные значения А; (г = 1 ,2 ,3) находятся как корни характе­ ристического уравнения (2.7), имеющего третью степень относительно А. Все собственные значения симметричного тензора являются действительными числами (положительными, отрицательными или равными нулю). Собствен­ ные векторы а, и О;, соответствующие различным собственным значениям А( ^ А^, ортогональны друг другу, т. е. их скалярное произведение равно нулю: а.О; = 0. Если все собственные значения разные и А] > 0 , Аг > О, Аз > О, то тензорная поверхность — трехосный эллипсоид. При этом существуют три взаимно перпендикулярных собственных вектора, направленных вдоль полу­ осей эллипсоида. Взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр Хх = О, Х2 = О, ®з = О тензорной поверхности, направления которых совпадают с направле­ ниями собственных векторов, называются главными осями тензора, а значения А], Аг, Аз называются главными значениями тензора. Если в качестве осей ко­ ординат повернутой системы К ' выбрать главные оси, то тензор Т^^ в системе
•^1 —Г|'|,Аг = Т'22,Аз = Т33. к ' примет вид ГА,ОО' ОАзО .0 О Аз^ Уравнение тензорной поверхности в системе К ' им ет вид -'1( 1 ’])^ + А2(хг)^ + Аз(х'з)^ = 1. Если при этом только два из трех положительных собственных значений одинаковые, то получим эллипсоид вращения. Вполне определено только одно главное направление, а два других, перпендикулярных к нему, можно выбрать произвольно (при условии их взаимной перпендикулярности). Если А| = Аг = Аз > О, то эллипсоид переходит в сферу. Направления всех трех главных осей становятся при этом неопределенными, т. е. можно выбрать любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр сферы. 2.6 . Векторные пространства 2.6 .1 . Понятие векторного пространства Векторное (линейное) п-мерное пространство является обобщением пон яти я множества всех свободных векторов обычного трехмерного геометрического пространства. Вектором I п-мерного действительного векторного пространства (и ли п-мерным вектором) называется упорядоченная система п действительных чисел: х = {хх,хг,... ,х „). Числа Х|,Х2, . . . , Х „ называются координатами вектора х. Пример 9. Векторами в смысле данного определения являются: 1) строки и столбцы матрицы размера т х п, соответственно п- и т -мерными векторами; 2) свободные векторы на плоскости и в пространстве представляют собой соответ­ ственно двумерные и трехмерные векторы; 3) каждое решение системы линейных уравнений с п неизвестными является п-мерным вектором. Двавектора х = (хь 12, . . . , х „) иу = (у|,!/2-•••. Уп) считаютсяравными тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты одинаковы, т. е. Х| = 2/1, Х2 = 3/2, ... , х„ = у„. Всякое векторное равенство равносильно п скалярным равенствам. Вектор О = (0; 0 ; . . . ; 0) (всего п нулей) называется нулевым вектором. Суммой векторов х = (Х|,Х2, . .. , * „) и у —(2/ь2/2. •••, !/п) называется вектор 2 =X +у=(21,22,... ,2„) =(Х1-|-«/1,Х2 -Ь«/2,••., Х„ -|-2/п),Т.е. 2^= X^+У^(«■=1,2,...,п).
Свойства сложения векторов. 1)х+у=у+х\ 2)(х+у)+г=х+{у+х)-, 3)I+О=х; (2.8) 4) длялюбого вектора х существует противоположный ему вектору = -х такой,чтог+у=0. Произведением вектора х на действительное число а называется вектор у={уиУ2,■■■,Уи)=ах ={ах,,ах2,... ,ах„),т.е.у^= ах{ (г=1,2,...,п). Свойства умножения вектора на число. 1)11=г; 2)Ох=0; 3)(-1)х= -х; Л)а(х+у)=ах+ау\ 5) а(/3х) = {а/})х; 6)(а+ /3)х =ах+/Зх. Любое множество ге-мерных векторов, в котором определены операции сложения векторов и умножения их на действительное число, не выходящие за пределы этого множества и обладающие свойствами (2.8) и (2.9), на ­ зывается векторным (линейным) пространством. В частности, множество всех п-мерных векторов образует п-мерное векторное пространство, обозначаемое через Х„. Число п координат вектора называется р а з м е р н о с т ь ю векторного пространства. Пример 10. 1) Множество всех векторов на плоскости является двумерным векторным про­ странством. Если векторы а = (а^, а^) , Ь = (Ь^, Ь),) лежат в данной плоскости, то векторы 0 -1-6 = (аг + Ьг,ау + Ьу), а а = (ао^, а а , ) также лежат в этой плоскости. 2) Множество всех векторов в трехмерном пространстве образует векторное про­ странство. Если координаты векторов, а также числа , на которые умножаются век­ торы,являютсякомплексными,тоговорятокомплексном векторном простран­ стве. П р и м е ч а н и е . Векторным пространством, в общем случае, называется множество эле­ ментов любой природы, в котором определены операции сложения элементов и умно­ жения их на число, действительное или комплексное, удовлетворяющие условиям (2.8) и (2.9). Рассмотренное выше п-мерное действительное векторное пространство является лишь одним из частных случаев векторного пространства общего вида. Дру­ гой частный случай — векторное пространство С [а ; 6], элементами которого являются функции / (г ) , непрерывные на некотором отрезке |о; Ь|. Действительно, сумма любых двух непрерывных функций непрерывна, а также непрерывна функция, умноженная на любое число. Введенные операции, не выходящие за пределы множества С|о; Ь|, удовлетворяют условиям (2.8), (2.9). 2.6 .2 . Линейная зависимость векторов Векторы Х ],Х 2,- - - ,Х т с комплексными координатами, принадлежащие п-мерному векторному пространству, называются линейно зависимыми, если
существуют действительные или комплексные числа С], С г , . . . , Сщ, не все равные нулю и такие, что С[Х1+С2Х2+■■■+СтХт =0. (2.10) Если равенство (2.10) возможно только при С\ = С 2 — ... = Сщ=О, то векторы Х {,Х 2, ,Х т называются линейно независимыми. Выражение в левой части (2.10) называется линейной комбинацией векторов х ] , . . . , Хш с коэффициентами С], ■■■, С т •Если несколько векторов линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных, например, если С т / О, то из (2.10) следует С\_ Сг_ Ст-1 _ Хт— ~ „ Хт-]. П р и м е р 1 1 . Для трехмерного векторного пространства линейная зависимость двух векторов означает, что они коллинеарны. Если два вектора неколлинеарны, то они линейно независимы. Линейная зависимость трех векторов означает их компланар­ ность. Если три вектора некомпланарны, то они линейно независимы. Выражая векторы Х|, . . . , х„, через их координаты: x^ = {Х|,, X2^, ■■■,x„^}, равенство (2.10) можно записать в виде =0 или в виде системы п уравнений относительно коэффициентов {]=1,2, ...,т) С|Х||+С2Х12+...+СтХ[т=О, С|Х21+ С2Х22+...+СтХ2т =0, (2 11) С|Х„, + С2Х„2 + ... + =0. Если система (2.11) имеет (или не имеет) ненулевые решения, то векторы Хц' 'хп' ^1т 121 Х22 Х2т +...+Ст -^п1. .^п2. .^п т. XI, . . , Х т линейно зависимы (или независимы). Рассмотрим матрицу размера п х т X= Хп Х21 Х,2 Х22 Х[т Х2т No1 Х„2 (2.12) Пусть ранг этой матрицы равен г (см. 1.3.3). Система (2.11) с т неизвест­ ными С 1,С 2, ■■■,С т (предполагается, что т ^ п ) имеет ненулевое решение
тогда и тсхлько тогда, когда г < т (см. 1.3.5). Следовательно, векторы 1|,®2 . ... , Х т линейно зависимы, если г < т , и линейно независимы, если т = ^т. Та­ ким образом, ранг г матрицы X равен наибольшему числу линейно независи­ мых векторов, содержащихся в данной их совокупности. Если Х|, Х2, . . . , 1г — линейно независимые векторы из данной их совокупности, то всякий другой вектор из совокупности может быть записан в виде линейной комбинации этих г векторов. Если т > п, то ранг матрицы X очевидно не превышает п. П р и м е р 12 . Исследовать на линейную зависимость совокупность векторов I, = {3;-1;2;1}, *; = {1;4;-2;2}, = {-2; 5;-4; I}. Решение. Ра нг матрицы X= равен г = 2 (см. пример 13 в 1.3.3). Следовательно, данные три вектора линейно за­ висимы. Эт о видно также из равенства Жг ~ ~ =0. 2.6 .3 . Базис пространства. Координаты вектора Наибольшее число линейно независимых векторов п-мерного векторного пространства равно размерности п этого пространства. Всякая совокуп­ ность п линейно независимых векторов пространства Ь „ называется базисом этого пространства. Система п линейно независимых единичных векторов (ортов) ё| =(1;0;...;0), ё2= (0;1;...;0). ■3 1-2‘ -1 45 2-2 -4 . 12I. ё„ = (0;0;...;1) называется каноническим базисом пространства ■ Еслиа],а2,...,а„ — какой-либо базис пространства Ь „ , то любой вектор а этого пространства может быть представлен и притом единственным образом, в виде линейной комбинации векторов этого базиса а=С\й\"ЬСгСг-Ь... -Ь СпИп, (2*13) где числа С^ (г = \, 2 , . . . , п ) называются координатами вектора а в данном базисе. Есл и неоговорено противное, то координатылюбоговектора х = (Х|,XI,..., 1„) впространстве задаются в каноническом базисе: X=Ххё^+Х2ё2+■.■+х„ё„. (2.14) П р и ме р 13. В двумерном пространстве 1/2 разложение вектора а в базисе а ,, 02 имеет вида=€10,+С2О2.
Подпространство. Разм ернос ть Пусть имеется к (к ^ п ) линейно независимых векторов в пространстве Ь „ : Х ь *2, •••, Х)ь- (2-15) Тогда множество всех векторов, полученных по формуле X=С1Х1+С2Х2+... + (2.16) где С |, С 2, . . . , С* — любые числа, называется линейным подпространством пространства Ь „ . Говорят также, что векторы Х |, . . . , Х * образуют подпро­ странство Ьк. Некоторое множество Ь'„ векторов, принадлежащих Ь „ , тогда и только тогда является линейным подпространством пространства Ь „, когда для любых векторов х и у, принадлежащих векторых+уиах(а — любое действительное число) также принадлежит Ь'„, в частности , вектор О принадлежит Ь'„. Подпространство само является векторным пространством, базис которого состоит из к векторов (2.15). Наибольщее число к линейно-неза - висимых векторов, принадлежащих подпространству Ь*, называется размер­ ностью этого подпространства. При этом к ^ п . Следовательно, в п-мерном прюстранстве имеются, в частности , следующие подпросфанства: Хо — нулевой размерности, состоящее из одного нулевого вектора 0; X , — одного измерения (т. е. его размерность равна I); Ьг — двух измерений и т.д. до — самого пространства п измерений. Пример 14. Пусть — трехмерное векторное пр остранство, образованное всеми векторами, выходящими из некоторой точки О (рис. 2.24), с ка ким -либо базисом О], 0 2 , Оз. Тогда одномерные подпространства образуются совокуп нос тями всех ве кто­ ров, лежащих на любой прямой, проходящей через то чку О , нап ример, на прямой, определяемой вектором О ], т е . совокуп ностью векторов С 1 О1 . С каждой прямой.
проходящей через точку О, связано одномерное подпространство. Двумерные под­ пространства ^2 образуются совокупностями всех векторов, лежащих на любой плос­ кости, проходящей через точку О , например, на плоскости, проходящей через векторы 01, 02, т. е. совокупностью векторов С ]й 1 + С 2О2. С каждой плоскостью, проходящей через точку О, связано двумерное подпространство. 2.6 .4 . Евклидовы векторные пространства Действительное га-мерное векторное пространство, в котором каждым двум векторам ставится в соответствие действительное число (скалярное произве­ дение этих векторов), н азывается п -мерным евклидовым пространством Е „ . Скалярным произведениемдвухвекторовх =(хь ..., х„) = (у\, ■■■,Уп) называется число (х, у) , равное (X ,У ) = X ^У^+X2У2 + ■■■+ХпУп- (2.17) Свойства скалярного произведения. 1)(х,у)={у,х), (ах,у)=а(х,у)\ 2)(х-Ьг/,2)=(х,г) +(г/,г); (2.18) 3){х,х)>О длявсех х^О, (х,х)=О для х=0. Пример 15. Е вкл ид овым простра нс твом явл яетс я: 1) Множество всех векторов на плоскост и в обычно м геометр иче ском пространстве. Скалярное произведение векторов а = {а^,йу) и Ь~{Ъ^,Ъу) равно {а,Ь)^ахЬг + ауЬу. 2) Множество всех векторов в трехмерном геометрическом пространстве с об ычн ым с ка ляр н ым произведением (см. 2.3.3). Модульвектора. Модулем (длиной, нормой)векторах называетсянеотри­ цательное действительное число 1г|=+^(х,х)=Ух^+ ^[ч”Г+^ . Обозначения модуля: |х| или ||^|. Единичным вектором (ортом) называется вектор, модуль которого равен I . Вектор х/|х| является единичным для любого вектора х ^ О, Свойства модуля вектора следуют из свойств скалярного произведения: 1)|х|^0; 2)|х|=О толькопри х=0; 3) |Ах| = |А| •|х|; 4) |х-Ь «71 ^ |х|-Ь |г/| для всех векторов и действительных чисел А. Для любых векторов х к у справедливо неравенство |(х, у)| ^ |х| ■|у1. Углом между ненулевыми векторами х и у называется действительное число (р (о ^ ^ ^ гг), определяемое равенством (х,у) |г|-1г7|-
Ортогональность. Два вектора х и у пространства Е „ называются орто­ гональными (перпендикулярными), если (х, у ) = 0. Угол 1р между ненулевыми ортогональными векторами равен тт/2. Нулевой вектор ортогонален любому вектору пространства. Совокупность векторов г , , Х 2, . . . , Хщ называется ор­ тогональной системой, если она не содержит нулевого вектора и любы е два ее вектора ортогональны друг другу, т. е. {x^,x^) = О ^). Если, кроме попарной ортогональности, все векторы х, единичные, т.е . то система векторов называется ортонормированной. Свойства ортогональных систем. 1. Векторы ортогональной системы линейно независимы. 2. В п-мерном пространстве Е „ ортогональная система содержит не более п векторов. Базис Ё|,г 2, . . . , Ё п пространства Е „ , образованный ортонормирован­ ной системой, называется ортонормированным базисом Простей­ ший ортонормированный базис пространства Е „ состоит из ортов ё\ = (I;0;...;0),Ё2=(0;1;...;0), ..., ё„ = (0;0;...; I).Очевидночтоё^ё^ = Если I = (х ь Х2, . . . , х „) , где Х( —координаты вектора в ортонормирован- номбазисеё],ёг,..., ё„,тох, = (х, ё(). Любой базис 0|, « 2, . . . , о „ евклидова пространства может быть преобра­ зован в некоторый ортонормированный базис ё|,Ё2, . . . , ё „ методом ортого- нализации Шмидта. Рассмотрим этот метод на примере произвольного базиса О], 02, аз в трехмерном пространстве. Сначала построим ортогональную си­ стему векторов Ь), Ь2, Ьз по формулам: г - г - (02, 6]) г _ (Оз,Ь|)- (03, 62);: 0|= а\. от = й-у ------=— =— 0|, От.= 0,- к г =— 0\--------=----=— 02, (ЬьЬ|) (Ььб,) ( 62, 62) а затем ортонормированный базис - — ^ Здесь скалярное произведение находится по формуле (2.17). Пример 16. Базис а| = (2;—1;1), Оз = (-1;2; 1), аз = (1;2;4) трехмерного про­ странства преобразуем в ортон ормированный методом ортогонализации Шмидта .
Координаты векторов зап исыва ются в базисе г, ] , к . Получи м: 6,=о , = (2;-1;1); (к,.6|)=6, (а2,Ь,) = -3; б2={-1;2;1) + ^(2;-1;1)= (^0;^;^); (Ьг,Ь2) = \, (03,6,) =4, (а,,Ь:)=9; |6,|=\/ ^) =А |Ь2|=;^, 1»з1=;^; . _ /2 11\ . _ _ / \/3 73\ Примечание. Евклидовым пространством в обшем случае называется действительное вееторное пространство, состоящее из элементов любой природы (см. примечание в 2.6.1), в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее условиям (2.18). Рассмотренное выше п-мерное евклидово пространство со скалярным произве­ дением (2.17) является частным случаем евклидова пространства общего вида. Другим частным случаем является пространство С\а\Ь] функций, непрерывных на отрезке [а;&](называемоепространством непрерывных функций) соскалярным произведением любых двух элементов, т. е. непрерывных функций /(ж) и ^ (х), определяемым соот­ ношением ь {/,$) =I }Шх)ах. (2.20) Условия (2.18) при этом выполняются. Норма ||/|[ вектора (элемента) /(ж) евклидова пространства С[а\ 6] определяется равенством Ц/|| = у ^(/. / ). В одном и том же векторном пространстве скалярное произведение и норму можно определить раз­ личными способами. Например, в пространстве С\а\ Ь\ можно ввести также норму 11/11 = тах \}(х)\. 1«л| 2 .7 . Гильбертово пространство Гкльбертовым пространством Н (действительным или комплексным) называет­ ся произвольное бесконечномерное векторное пространство (действительное Или комплексное), в котором: 1) определено скалярное произведение {х,у) любыхдвух элементов х иу, принадлежащих Н, являющееся в обшем случае комплексным числом, удовлетворяющим условиям: 1а) (х, у) = (у,х ) , где черта означает комплексное сопряжение (при этом (х, х ) — действительное число);
16) (х+у,г) =(х,г)+(у,г)- (2.21) 1в) (Ах, у) = А(х, у), \ — любое комплексное число; 1г) (1,1) > 0; [х,х) = О тогда и только тогда, когда 1 = 0; число ||хЦ= у/(х,х) называется нормой элемента х; 2) для любой последовательности элементов х„ (п = 1, 2 , . . . ) пространства, удовлетворяющей условию Цх^ - х„|| -> О (при т , п -> оо), существует элемент х, принадлежащий Я , такой, что ||х„ - х|| О при п оо (свойство п о л н о т ы пространства). При этом говорят, что последователь­ ностьэлементов х„ сходится кэлементу х. Бесконечномерность пространства Н означает, что для любого натураль­ ного п найдется п линейно независимых элементов. Дваэлементахну называютсяортогональными, если (х,у)=0.После­ довательность элементов Х 1 , Х 2 , . . . называется ортонормированной системой {х „ } , если все эти элементы попарно ортогональны и имеют норму, рав­ ную единице. Примером ортонормированной системы в пространстве всех функций, разлагающихся в ряд Фурье в интервале ( - т г ; тг), является т р и г о н о ­ метрическаясистема {^„(<)}, « = 1,2,...: I С05I 81ПI С05 п1 51П п1 ..., 2.22 У/Ъ^ у/т! у/тт у/тГ у/п Р я д о м Ф у р ь е элемента ^ по ортонормированной системе { х „ } называется ряд вида 00 где г„ = («,х„) (га=1,2,...). П=1 Ортонормированная система { х „ } называется п о л н о й , если кроме нулево­ го элемента не существует никакого другого элемента данного пространства, который был бы ортогонален всем элементам х„ системы { х „ } . В частно­ сти, тригонометрическая система (2.22) является полной ортонормированной системой. Полная ортонормированная система { х „ } в гильбертовом про­ странствеН называется ортонормированным базисом этого пространства. Для любого элемента ^ пространства Я справедливо единственное разложение в ряд Фурье в ортонормированном базисе { х „ } : 00 В= ^8пХп, (2.23) п=1 00 где = (г,х„) (п = 1,2,...); причемЦ^|| = гае числовой ряд п=1 В Правой части последнего равенства сходится.
00 00 Если/= /„х„И5 ТО скалярное произведение п=1 п=1 00 (/,г) = Е п=1 Гильбертово про с транс тво ^2 Элементами этого пространства являются бесконечные числовые после- 00 довательности х = (Х],Х2, . . . ) такие, что ряды ^ |1„р сходятся (здесь п=1 х„ — действительные или комплексные числа). Сумма любых двух элементов X=(Х|,Х2,...),у =(у\,у1,...) ипроизведениеэлементахналюбоечисло А определяются соотношениями Х+у=(Х\ +2/1, Х2+ г/2, ■■•). = (АХ1, АХ2, •••). Скалярное произведение элементов х и 2/ из /2 по определению равно 00 {^,у)= '^Х„У„, п=1 где черта означает комплексное сопряжение. Норма элемента х равна 1|а:||=\/{х,х)=у/х]+х]+.... Скалярное произведение удовлетворяет неравенству |(х ,2/)|^||х||-|Ы|. Пространство /2 полно (свойство 2 полноты выполняется). В качестве ортонормированного базиса в пространстве можно взять бесконечную систему единичных попарно ортогональных векторов е\ = (1;0 ;...) , С2 = (0;1;0;...), ез = (0;0;1;0;...), ... . Для любого вектора х из справедливо единственное разложение по базису {е „} , имеющее вид X= Х\е\+Х2в2+Хзвз+ ... . Гильбертово про с транс тво всех функций, разлагающ ихс я в тригонометрический ряд Фурье в интервале ( —7Г < I < 1г) Скалярное произведение любых двух элементов /(<) и ^{1) этого пространства равно = ! /(<)«(<)
В качестве базиса можно взять тригонометрическую систему (2.22). Раз- 00 ложение функции /{I) в этом базисе /(I) = ^ /п^п(0 является тригоно- п=1 метрическим рядом Фурье этой функции, причем . ...... . 2.8 . Преобразование координат вектора при изменении базиса 1. Пустьёьёг,..., ё„иё\,ё{,..., ё„’ — двабазисаводномитомже п-мерном действительном или комплексном векторном пространстве Ь „ . Векторы первого (старого) базиса ё, разложим во втором (новом) базисе ё/ (2.24) Любой вектор X пространства может быть разложен в каждом из этих базисов: X=^ Х;ё^=^ Х'ё/. ;=1 ;=1 Подставляя (2.24) в (2.25), получим (2.25) х'=^ 8^^x^ (1=1,2,..., п). >=1 (2.26) Здесь 5 = (5;^) — матрица перехода от первого базиса ко второму, причем йл(5у)#О, Запишем (2.26) в матричном виде Г1л X, 'Х1‘ X'=5Х, х'= 1 Хп. , X= Хп. (2.27)
П р и м е ч а н и е . В п-мерном комплексном векторном пространстве с базисными орта­ ми ё| = (1;0;... ;0), ёг = (0; 1;...; 0), , ё„ = (0;0;...; I) скалярное произведение любыхдвухвекторовх= (х,,Х2, ..., х„),у ={у1,у2, ..., у„)скомплекснымикоор­ динатами определяется равенством (Х,у)=Х^у\+Х2У2-I-. .. Ч-х„у'„, где знак ♦ означает комплексное сопряжение. Скалярное произведение удовлетворяет свойствам (2.21). Длина (норма) вектора х определяется равенством ||х|| = л/|х,Р -Цх2|2-Ь.. .-Цх„|^. Ненулевые векторы х к у называются ортогональными, если ( х , у ) = 0. Базисные векторы ё^ (« = I , 2 , . . . , п ) ортонормированы, т. е. попарно ортогональны и имеют единичную длину 2. Еслиобабазисаё^и ё/ (1= 1,2, ...,п) ортонормированы(т.е. (б1, ё]) = д^^ и (ё/ё/) = (5у где — символ Кронекера), то из (2.24) следует ! в;). И з (2.24) и условия ортонормированности обоих базисов следует 1=1 т. е. 8 ^ 8 = Е . Следовательно, матрица перехода 3 ортогональна. Свойства матрицы перехода. 1)5^=5“'; П П *=1 к=1 3) Е4 =Е5*^ = 1,(ае15)^= 1,ае15=±1. *=1 *=) Матрицы 3^ и 5” ' также ортогональны. 2.9 . Линейные преобразования (линейные операторы) Пусть Х\,Х2, ■■■, х „ и 3/1, 2/2, •••■2/п — две упорядоченные системы перемен­ ных, рассматриваемые как координаты двух векторов х » у в одном и том же Действительном или комплексном векторном пространстве Ь „ с базисом
в), €2, ■■■, е „ , связанных соотношениями г/1 = ,х„), У2 = /2(Х1,Х 2,...,Х„), (2.29) Рп = /г.(Х|,Х2,... ,Х„), где / ь /г, •••, /п — заданные однозначные функции. П Правило (2.29), по которому каждому вектору х — из сопо- 1=1 п ставляется однозначно определенный вектор у = з/,ё, из Ь „ , называется 1=1 преобразованием пространства Ь „ . Здесь все векторы, включая базисные, предполагаются записанными в виде матриц-столбцов (см. 1.3.1): ё, = {1;0;...;0}, ё„ = {0;0;..., 1}. Преобразование (2.29) называется линейным, если 2/1=0||Х| +а|2Х2+ ... + а|„х„, г/2= 021Х]+ «22X2+ ...+ а2„Х„, Уп= а„|Х|+о„2Х2+... +а„„х„, где коэффициенты а^^ — действительные или комплексные числа. Линейное преобразование (2,30) векторного пространства Ь „ называется также линей­ ным оператором в Ь „ . Преобразование (2.30) можно записать в матричном видеу=Ахили г/1 'ап а,2 ■ а\п = “21 «22 ■ 02„ .г/п. .ощ «п2 Х| Хп] (2.31) Здесь квадратная матрицы А --(а^^), состоящая из коэффициентов линейного преобразования, называется матрицей линейного оператора (линейного преобра­ зования) или просто линейным оператором А в пространстве Ь „ . Координатами вектора являются элементы ^-го столбца матрицы (оператора) А, т.е . ^1; , 02>» •••1 . Если (1е( .4 ^ О, то оператор А называется невырожденным, в противном случае — вырожденным. Оператор А невырожден тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен размерности пространства Ь „ . Если с1е( А О, то существует обратное (по отнощению к у = А х) преобразование х = А 'у. Если с)е1 = О, то соотношение у " А х преобразует п-мерное пространство Ь „ в его подпространство мень[цего числа измерений.
(2,32) Свойства линейного оператора Л . А(х+у)=Ах+Ау, А(ах)=аАх, гдеX,у — любые векторы из 1/„, а — любое число. Пример 17. В двумерном координатном пространстве (н а плоскости О х . Ж г) задан оператор ^ _ С08^ - 81П у) [51П ^ соку? Этот оператор преобразует векторы ё| = {1; 0 } и ёг = {0; 1} в векторы е/ С08у? - 81П (р 'Г _ - 51П (р 81П1р С08 0 81П (р С08 То есть векторы ё| и ёз п олучаются поворотом векторов ё| и ёг соответственно на угол У" против часовой стрелки. А налогично, вектор у = А х получается из вектора I на плоскости поворотом его на угол ^ без изме не ния длины. Пример 18. В пространстве оператор Е ^ , пр едставляемый ед ини чной матрицей (см. 1.3) осуществляет тождественное преобразование, оста вляюще е все векторы в Ь „ без изменения. Примечание. Л ин ей н ое отобр ажение векторного пространства в векторное про­ странство Ь т представляется ана логично при помощи матрицы размера т х п . Действия над линейными преобразованиями (линейными операторами) А и В в пространстве : {А+В)х = Ах+Вх, {аА)х = а{Ах), {ВА)х = В(Ах), (2.33) где X — любой вектор, записанный в виде матрицы-столбца, а — любое число. Операторы А + В , а А , А В — также линейные. Представляющие их матрицы получаются из матриц А В при помощи соответствующих действий над этими матрицами. Например, если у = Ах, г = Ву, то г = В{Ах) =(ВА)х. Представление линейного оператора в различных базисах. П усть дано не­ которое линейное преобразование (оператор) у = А х в пространстве представляемое матрицей А в базисе ё^, С2, . . . , ё „ и преобразующее век­ тор X в вектор у (оба вектора записаны в виде матриц-столбцов). Введем в этом же пространстве второй базис ё/, ё{ , . . . , ё„'. Тогда согласно (2.28) име­ ем X = 5 'х ', у = 8 ~ 'у '■Следовательно, преобразование у = Ах во втором базисе принимает вид у' = (5^45"')х' = А 'х '. Оператор А имеет во втором базисевидА' = 5Л5"'.ОбозначаяV =3~', запишемА' = У~‘АУ.Матрица В называется подобной матрице А , если существует невырожденная матрица такая, что В = У ~ 'А У . Подобие матриц — свойство взаимное. В частности, в действительном трехмерном пространстве, откладывая векторы от начала координат, можно считать числа Х |,Х2,Х з координатами
вектора { Х 1,Х 2,Х ^} или координатами его конца, т. е. точки . При переходе от первого базиса ко второму (см. 2.4.2) имеем 3 х;=^ = а^^). ;=| или х ' = З х , где 8 — матрица перехода от первого базиса ко второму. Пусть дано преобразование у = А х (йе! ^4 / 0) вектора х в у в первом базисе ёи ё2,ё}. Выясним вид этого преобразования во втором базисе ё/, ё/, ёз'. Имеем: х = 3 ~'х ', у = 3 ~'у', где все векторы записываются как матрицы- столбцы.Тогдавовторомбазисеу' = А'х', гдеА' = ЗАЗ~'. 2.10. Собственные значения и собственные векторы матриц в результате линейного преобразования вида у = А х в комплексном п-мер- ном пространстве вектор х преобразуется в вектор у. Собственным вектором квадратной матрицы (и ли оператора) А с действи­ тельными или комплексными элементами, определяющей линейное преоб­ разование, называется ненулевой вектор х такой, что Ах=Ах, (2.34) где А — некоторое чи сло, называемое собственным значением матрицы (или оператора) А , соответствующим собственному вектору х. При этом исходный вектор X (записанный в виде матрицы-столбца) переходит в кол- линеарный ему векторАх. Если х — собственный векторматрицы А , то вектор Сх , где С —любое число, также будетсобственнымвектором для А. Уравнение (2.34) можно записать в виде А х = \Е х , где Е — единичная матрица (Ех = х), или в виде (А-ХЕ)х =0. (2.35) Здесь матрица А - Х Е называется характеристической матрицей. Матри чное уравнение (2.35) представляет собой систему однородных линейных урав­ нений относительно координат собственного вектора х = {х\,х г , . . . , х „) , которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определи- тель равен нулю, т.е. (1е1(^4 -ХЕ) =0, или Он-А а,2 «1п йе!(А-ХЕ)= «21 022-А • 02п а„] 0„2 «пп“А
Уравнение Р я(А) = О, где Рп(А) — характеристический полином п-й степени, получающийся в результате раскрытия определителя в (2.36), на ­ зывается характеристическим уравнением матрицы А . Корн и этого уравнения (действительные или комплексные) являются собственными значениями мат­ рицы А . Совокупность всех собственных значений матрицы А называется ее спектром. Если А = А; — какое -либо собственное значение матрицы А , т.е . Рп (К) = О, то подставив А; в матричное уравнение (2.35), получим систему уравнений для нахождения собственных векторов матрицы А , соответствую­ щих собственному значению А(: (ап -А,)Ж|+ацХ2+...+а,„х„ =0, 021*1+(«22-\)Х2-I- ... - I-02„Х„ = О, а„|Х, -I-а„2Х2 -Ь . . . -Ь(а„„ - X^)x„ = 0. (2.37) Определитель однородной системы (2.37) с1е1(^4 - Х { Е ) = О, следова­ тельно, система имеет ненулевые решения, дающие собственные векторы, соответствующие значению А;. Если матрица А - \ {Е имеет ранг г (г < п), то существуют т = п - т линейно независимых собственных векторов I* ''* , х^'^\ ..., соответствующих собственному значению А,. Причем любая линейная комбинация этих векторов также будет собственным вектором, соответствующим значению А,. Число линейно независимых собственных векторов, соответствующих одному и то­ му же корню характеристического уравнения, не превышает кратности этого корня. Если кратность корня равна I, то этому собственному значению соот­ ветствует единственный (с точностью до коэффициента пропорциональности) собственный вектор. П р и м е р 19. Для нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы А= составим характеристическое уравнение 2-А 3 23 14 1 4-А = А^- 6А+5=О, корни которого (т.е. собственные значения матрицы) равны А| = 1, Аг = 5. Коор­ динаты собственных векторов I * '* , соответствующих значению А| = 1, найдем из системы уравнений ■II -I - 3*2=О, '1 3 X,' =0или
Ранг матрицы А-Х ^Е равен I. Взяв, например, 1| = 3 ,12 = - 1, запишем собственный вектор в виде Собственным будет также всякий вектор С)Х ^'\ где С\ — любое число ф 0. Аналогично для Лг = 5 составляем систему уравнений (^4 - Х ^ Е ) ! = О или Г-Зг, +3^2 =О, \ 1|-12=0. Положив, например, Х\ = 1, гг = получим = {I; I}. Собственным будет и любой вектор (Сгф0) Пример 20. Матрица А= 11 имеет характеристическое уравнение - 2А+2=О,корникоторогоА|=I - I, А2 = I + Этим собственным значениям соответствуют собственные векторы: г*'* = С|{1, - »}, 1 *^* = С2{1,г}, где С|, Сг — любые, не равные нулю числа. Пример 21. Матрица А= имеет характеристическое уравнение А^(А - 3) = О, корни которого А| = А2 = О, Аз = 3. Для двукратного корня А| = О имеем матричное уравнение (^4 —\ \Е )х = 0. Соответствующая система состоит из трех одинаковых уравнений г , + Ж2 + = 0. Ранг матрицы А равен I , т е. существуют два линейно независимых собственных вектора, соответствующих значению А] = 0. В качестве этих двух векторов возьмем, например, I*"* = {1;-1;0}, = { - 1 ; 0 ;1 }. Ненулевые линейные комбинации этих собственных векторов также являются собственными векто­ рами, лежащими на плоскости, проходящей через векторы выходящими из начала координат Для Аз = 3 имеем матричное уравнение {А - А ,В )* = 0. Ранг матрицы А —Х ^Е равен 2. Из трех уравнений соответствующей системы одно яв/1яется следствием двух других, поэтому офаничимся двумя уравнениями; —2X2= ~х^, 1|+12 = 213. Полагая 13 = 1, получим г, = I , *2 = ■■Следовательно, ж*’* = {1; I; 1}. Собственным будет также любой вектор Сз®*’ ^ {Су Ф 0). Свой ст ва собс твенных значений и со бс твенных век торо в матриц (опер аторо в) 1)ЕслиАьА2,...,А„ — собственные значения квадратной матрицы А порядка п , то с1е1^4=А|А2...А„, 5р^4=А1+А2+... +А„, где 5ру4 — след (т.е . сумма диагональных элементов) матрицы А.
Для следа матрицы А используется также обозначение Тг А. Таким об­ разом, для квадратной матрицы А порядка п имеем 8р^4=ТгЛ=Он+ ...+й„„. 2) Если А — собственное значение матрицы А , то матрица В=СоА'’ +С,А'+ ...+С,пЛ"‘ (А'‘=Е,А'=А) имеет собственное значение СоА"+С|А'+ ...+С„АTM. Если де1Л ^ О, то собственное значение матрицы А^"‘ = (А~^)’^ , где т — натуральное число, равно А” TM. 3) Каждая (квадратная) матрица А является корнем своего характеристиче­ ского многочлена Р „(А), т.е . Р „(А ) = О (теорема Гамильтона—Кэли). 4) Собственные векторы, соответствующие различным собственным значе­ ниям матрицы, линейно независимы. 5) Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены и одинаковые собственные значения (с учетом их кратности). 6) Свойство вектора быть собственным для какого-либо линейного опера­ тора не зависит от выбора базиса. 7) Пусть действительная симметричная матрица (оператор) А в п-мерном пространстве имеет п линейно независимых собственных векторов. То­ гда в ортонормированном базисе, ортами которого являются единичные собственные векторы ё|, ё г , . . . , ё „ , матрица (оператор) А примет диа­ гональный вид А,О ... О ^,^0 А:...О ОО...А„ т. е. все элементы , не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Здесь А| — собственные значения, соответствующие собственным векторам. Всякую симметричную квадратную матрицу (оператор) А в п-мерном про­ странстве, характеристический многочлен которой имеет п корней, можно при­ вести к диагональному виду посредством преобразования подобия А! = У ^ ^А У , где V — некоторая невырожденная матрица. Свойства действительных симметричных матриц 1) Все собственные значения действительной симметричной матрицы дей­ ствительны. Примечание. Действительными являются также все собственные значения лю­ бой эрмитовой матрицы, т е. такой, что а^^ = Оу,.
2) Собственные векторы действительной симметричной матрицы, соответ­ ствующие различным собственным значениям, являются взаимно орто­ гональными. Из собственных векторов может быть построен ортогональ­ ный базис. 3) Всякая действительная симметричная матрица преобразованием подобия может быть приведена к диагональному виду. 4) Число линейно независимых собственных векторов, соответствующих каждому собственному значению, равно его кратности. 5) Для действительной симметричной матрицы А всегда можно найти такую ортогональную матрицу V, что матрица А ' = У ~ 'А У = А\ будет диагонального вида. Пример 22. Привести к диагональному виду симметричную матрицу А= -I 1I 1-I 1 I 1-1 Решение. Собственные значения матрицы: А| = I , Аг = Аз = - 2. Собственные векторы: = {I;I;1}, = {-1; 1;0}, 1). Положим а найдем из условия ортогональности векторов и = {-С|—Сг;СьСз}, т.е. 2С\+С2=0. ПримемС\= -1, тогдаС; = 2. Находим: х'^> = -I-={ - 1 ;- 1 ;2 }. Собственные векторы х*‘>, х*^>, попарно ортогональны. Нормируя эти векторы, получим ортонормирюванный базис 1!1 75’75’7! Столбцы ортогональной матрицы V, осушествляюшей преобразование подобия, со­ стоят из координат векторов ё|, ёг, ёу, т. е. V= Следовательно, матрица А переходит в диагональную матрицу Уз VI 1 1 1 7! 72 1 0 2 71.
2.11 . Квадратичные формы ПустьX=(хь12,..., х„), = {х|,Х2, •••,х„} — соответственно вектор- строка и вектор-столбец, А = {а^^) — действительная симметричная = а^,) матрица порядка п. Квадратичной формой от п переменных Х |,Х 2,...,Хп называется выражение П (р(х,,х2,...,хп) = ^ а^^x^x^ (2.38) ИЛИ (р{хиХ2,...,Хп) = хАх'^. Матрица А называется здесь матрицей квадратичной формы. В частности, при п = 3 квадратичная форма имеет вид 1р(хих2,X ,) = апх\ +022X2+ “ззх? 2012X1X2-I-говХ.Хз + 2023X2X3, где — некоторые числа. Если в квадратичной форме (2.38) перейти при помощи линейного преобразования х = В х ' , где В — невырожденная матрица, к переменным X = {Х],Х2, ■■■, х „ } , то квадратичная форма примет вид п Е!/I ацХ1Х, 1,;=1 где матрица >4' = (о^^) связана с матрицей А = {а{^) соотношением А ' = В ^А В . Если преобразование ортогонально, т.е . В ^ = В ~ ' , тогда будем иметь равен­ ствоА'= В~'АВ. Пример 23. ^Р(X^,X2) = (11, 12) Здесь0|2 =021. Дц «12 ^21 022. .^2. = а их\ + а22х\ + 2апххх2- 2.1 1 .1 . Приведение квадратичной формы к каноническому виду Каждая действительная квадратичная форма (2.38) при помощи линейного преобразования х = Уу от переменных х = {хь... ,х „} к переменным У = {у\, ■■■,Уп}, где V — некоторая ортогональная матрица, может быть приведена к каноническому виду (нормальному виду, или сумме квадратов): ^(2/1, ■■■,Уп) = ^12/1 + \2У2 -ь •■•-ь КУп< (2.39) где А1,А2,...,А„ — собственные значения матрицы А (число слагаемых в (2.39), соответствующих кратному собственному значению, равно его крат­ ности). Столбцы матрицы V состоят из координат ортонормированной си­ стемы базисных векторов матрицы А (см. пример 22).
2.11 .2 . Классификация квадратичных форм Действительная квадратичная форма П 'Р= называется: 1)положительноопределенной,2)отрицательноопределенной,3)не­ отрицательной,4)неположительной, если для каждой совокупностидействи­ тельных чисел X], Х2, . . . , х „ , не равных нулю одновременно, выполняются соответственно неравенства: 1) у> 0 , 2) ^ < О, 3) <р^0, 4) <р^0. Неотри­ цательные и неположительные формы называются также знакопостоянными (квазизнакоопределенными).Всеостальныеквадратичныеформыявляютсяне­ определенными (илизнакопеременными)(приэтом можетиметьпопеременно либо положительный, либо отрицательный знак в зависимости от выбора со­ вокупности чисел x^, не все из которых одновременно равны нулю), либо равными тождественно нулю. В случае знакопостоянных (квазизнакоопреде- ленных)форм для всех значений x^ (г = 1 ,..., п) выполняется /р^ Оили ^ < О, и имеется такая совокупность x^, одновременно не равных нулю, для которой 1р = 0. Действительная квадратичная форма (не равная тождественно нулю) является: 1) положительно определенной, 2) отрицательно определенной, 3) неотрицательной, 4) неположительной, 5) неопределенной в зависимости от величины собственных значений матрицы А = (Оу), которые соответ­ ственно:1)всеположительны,т.е.А;> О(I= 1 ,.. . , п);2)всеотрицательны, т.е.А,<0{г=1,...,п);3)средиА;естьравныенулю,авсеостальные положительны, 4) среди А^ есть равные нулю, а все остальные отрицательны, 5) среди есть как положительные, так и отрицательные и тогда ^ в (2.38) в зависимости от значений х, или /р в (2.39) в зависимости от может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Для положительной определенности действительной квадратичной фор­ мы необходимо и достаточно, чтобы каждый из следующих определителей был положительным В,=а. С,= «11 «21 0|2 «22 а„ «21 012 022 «1» 02п <1111 »п2 Для отрицательной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно выполнение неравенств: Х)| < О, 1>2 > О, <О,1)4>О, ... (критерий Сильвестра). Пример 24. Привести к каноническому виду квадратичную форму = - I? - х\-х\ +2X1*2 -I-2X113+ 212X3-
Решение. Матриц а А этой квадратичной формы имеет вид, приведенный в примере 22. Собственные значения матрицы: А| = I , Аг = Аз = -2 . При помощи преобразования переменных х = Уу, где х = {Х|,Х2,*з). У = {У\,У2,Уъ], а матрица V найдена в решении пр имера 2 2 , данная квадратичная форма приводится к ка нон иче скому виду »’ = У?-2У2 -2!/.? . 1> 2.П .З . Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов Пусть имеются две действительные формы П П *.;=1 1.; =| причем — положительно определенная. Требуется найти линейное пре­ образование (не обязательно ортогональное), приводящее обе квадратичные формы одновременно к сумме квадратов. Вначале, при помощи линейного преобразования х = Уу, гае V — некоторая ортогональная матрица, приве­ дем форму у?| к каноническому виду п У’! =X] 1=1 при ЭТОМ форма (р2примет вид п 1.3 =\ Вводя новые переменные 2, = У^у/Щ, получим У»!=^ 2?, ^ 1=1 1.1=1 Произведем затем ортогональное преобразование г = С г' от перемен­ ных г = {2|.......г „} к переменным г' = {г[,..., г'„}, приводящееформу(р2 к каноническому виду. При этом <р] останется суммой квадратов. Оконча­ тельно получим = V2= ^А .{2;')^ 1=1 1=1 Здесь Л, (* = 1,2, . . . , п ) — некоторые числа, для нахождения которых со­ ставим квадратичную форму п Ф=^2“ ^ (Ьгу - Хагу)ХгХ^, *.;=1
где А — параметр. В результате перехода к переменным г,' форма Ф примет Определитель, составленный из коэффициентов формы Ф в переменных равен ае1 |Ь.^ - Ао^^), а в переменных : ае([(А^ - А)Ло]=(А, - А)(Аа-А)...(А„ - А). Обозначая через О невырожденную матрицу результирующего пре­ образования X = Ог' от переменных х = {гь... , 1 „} к переменным г' = {2[ , ,2„} (это преобразование в общем случае неортогонально), най­ дем, что в переменных 2^форма Ф будет иметь матрицу С' = СО,гдеС— матрица формы Ф в переменных x^, символ Т означает транспонирование. Имеем: ае! С' = с1е1{Г)''СО) =((1е1Л^)(де« С)(ае1 О) = (ае1С)(с1е1 ^)^ гдеде!О/ ОинесодержитА. Отсюда следует, что полиномы , равные йе! С ' и де1С , имеют одинаковые корни А=А^{{ =\,... ,п), которые находятся изуравнения 6|1 —А0|] Ь\„ — Ао|„ Ьц-А02| . Ь2„- А02„ =0. (2.40) К] - Ао„| . ^пп ~ АОпп Таким образом, задача одновременного приведения двух квадратичных форм к сумме квадратов сводится к нахождению корней уравнения (2.40).
Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Аналитическая геометрия — раздел математики, изучающий простейшие геометрические образы (прямые, плоскости , линии и поверхности второго порядка) алгебраическими средствами с применением метода координат, согласно которому положение каждой точки геометрического образа опре­ деляется заданием чисел, называемых координатами точки (см. 2 .1). Далее везде применяются правые декартовы (прямоугольные) системы координат, если не оговорено противное. 3.1 . Аналитическая геометрия на плоскости 3.1 .1 . Метод координат Сущность метода координат заключается в следующем. Пусть на плоскости задана прямоугольная (декартова) система координат Оху (см. 2.1.1) и не­ которая линия Ь (рис. 3.1). Уравнением линии Ь относительно системы Оху называется такое соотношение Р{х, у) = О (не являющееся тождеством), связывающее переменные I и у. которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки М{х,у), лежащей на и не удовлетворяют координа­ ты точек, не лежащих на Ь. Говорят при этом, что уравнение Р(х,у) = О залает (или определяет) соответству­ ющую линию Ь. Линию можно рас- смагривать как множество всех таких точек на плоскости, координаты ко­ торых удовлетворяют данному уравне­ нию. Метод координат позволяет изу­ чать геометрические свойства линий алгебраическими средствами. Напри­ мер, задача нахождения точек пере­ сечения двух линий, заданных двумя
уравнениями, сводится к решению системе этих двух уравнений. В полярной системе координат уравнение линии имеет вид Р{р, (р) = 0. Пример 1. Точка М (3; 4) лежит на линии, определяемой уравнением + -25 = О, а точка Р(1; 1) не лежит на ней. Линии с уравнениями - 25=Ои2г-у =О пересекаются в двух точках: М |(\^ ; 2'/5) и - 2\/5). В аналитической геометрии на плоскости рассматриваются обычно ли­ нии, уравнения которых являются алгебраическими уравнениями первой и второй степеней: Ах+Ву+С=а, Ах^+2Вху+Су^+20х+2Еу+Р=0, называемые алгебраическими линиями первого и второго порядка соответ­ ственно. Линиями первого порядка являются только прямые линии. К линиям второго порядка относятся; окружность, эллипс, гипербола, парабола, пары прямых. Другие, более сложные линии изучаются в алгебраической геометрии и дифференциальной геометрии. 3.1 .2 . Основные формулы 3.1 .2 .1 . Расстояние й между двумя точками М\{хиУ\) и М г(х2,У2У. (1= + {у1-у\У. 3.1 .2 .2 . Деление отрезка в данном отношении Даны точки Мх{хиУ\) и М 2(х2,У2)- Координаты точки М {х ,у). лежащей на прямой М 1М2 и делящей направленный отрезок М|Мг в отношении тП]/т2=А,т.е . (Л^-1) ММ2 ГП2 находятся по формулам т 2Х,+т,Х2 Х\+ХХ2 Ш2У^ + ГП1У2 У\+ХУ2 р щ\+т2 1+А ’ гп\+Ш2 1+А ЕслиА>О—точкаМ лежитвнутриотрезкаМ1М2,аеслиА<О (А / -1) — точка М лежит вне М|Мг. Координаты середины отрезка М1М 2 (А= I): х\+х2 г/1 + г/2 У= ^- ПриА=ОточкаМ совпадаетсМ|.ЕслиА->±оо,тоточкаМ М2.
3.1.2.3. Пусть даны точки М^{Х],у1), Мг(х2,у{), М з(жз,уз), То­ гда угол а между направленными отрезками М |М г и М 3М 4 находится по формуле (12 -Х^){х^ - X,)+(г/2 -У\){УА-Уз) \/(*2 - Х|)^ + (У2- !/1)V(®4 - Хз)2+(2/4- 2/з)2 3.1.2.4 . Площадь треугольника с вершинами М]{х],у\), М 2{х2,У2), М}{х},у}) находится по формуле 11I XIХ2Хз г/1 г/2 г/3 = [х|(г/2 - г/з) + Х2{у1 - 2/|) + хз(г/1 - г/2)] • Здесьберется знак минус, если значение определителя отрицательно, и плюс — в противном случае, так как 5 > 0. 3.1 .3 . Преобразование декартовых координат Уравнение какой-либо линии имеет разный вид в различных декартовых си­ стемах координат. Зная уравнение линии в одной (старой) системе координат Оху, можно найти ее уравнение в другой (новой) системе О'ху, если извест­ ны формулы преобразования координат точки при переходе от одной системы к другой. На плоскости общие формулы преобразования (см. 2.4)упрощаются и принимают следующий вид. 1) При параллельном переносе осей координат (рис. 3 .2) Х= 1 '-ЬХо, х'=1-1о, , или , (3.2) г/= ?/+2/0, У =У ~Уо. где1о,Уо—координатыточкиО'встаройсистемеОху;х=ОМ ,,у =ОМ2, X=0'М[,у =О'М2. 2) При повороте осей координат вокруг начала координат О на угол а, который считается положительным при повороте против часовой стрелки и отрицательным в противном случае (рис. 3 .3) X=х'С08а-у 51Па. у=X51Па+2/С08а, или X =XС05а +2/51Па, у = —X 51Па +«/С08а, гдеI =0М\,у —ОМ2,X =0М(,у =ОМ2—координатыточкиМ вста­ рой и новой системах координат.
Уч м; м м; о' М, Рис. 3 .2 При одновременном параллельном переносе и повороте осей координат формулы преобразования имеют вид: X=Хо+Xсоза-у5Ша, у=Уо+X&1па+у'соза, X=(х-хо)соза+(у-уо)31па, у'= - {х- То)81Па + {у-Уо)соза.
Вышеприведенные формулы преобразования координат не изменяют расстояния между двумя точками, величину угла между двумя векторами и площадь треугольника. 3.1 .4 . Прямая линия 3.1.4.1. Общее (полное) уравнение прямой линии (алгебраической линии первого порядка) является алгебраическим уравнением первой степени отно­ сительно декартовых координат х к у Ах+Вр+С=О, (3.5) где постоянные А иВ неравны нулю одновременно. При 4 = 0(или В =0) прямая параллельна оси Ох (или Оу). Если С = О, то прямая проходит через начало координат. 3.1 .4 .2 . Уравнение прямой с угло вым коэффициентом Если В фО,то уравнение (3.5) можно записать в виде (3.6) где к = а называется угловым коэффициентом прямой; а — угол между данной прямой и положительным направлением оси Ох (угол а считается по­ ложительным при отсчете против часовой стрелки, и отрицательным — в про­ тивном случае) (рис. 3 .4); Ь = ОМ — ордината точки М (0,6) пересечения прямой с осью Оу. Если 6 = О, то прямая проходит через начало координат.
3.1 .4 .3 . Уравнение прямой в отрезках Уравнение прямой в отрезках получается из уравнения (3.5) делением обеих его частей на (-С): (3.7) Прямая пересекает оси Ох и Оу в точках М 1(о, 0) и Мг(0, 6) соответ­ ственно (рис. 3.5) и отсекает на осях отрезки с величинами а и 6, которые могут иметь любые знаки. Если прямая параллельна какой-либо оси, то один из соответствующих отрезков не существует (обращается в бесконечность). Пример 2. Пусть 2х -3у +6= 0 — общее уравнение прямой. Тогда уравнение с угло­ вым коэффициентом: у = - х + 2. Уравнение в отрезках: (-3)^2 -3,Ь=2). У м, // Ла 111 - 1 М, -1 0X Рис. 3 .5 Рис. 3 .6 Для построения прямой отложим отрезки с величинами ОМ| — —3, ОМ т = 2 на осях Ох и Оу и проведем через точки М |(-3 ;0) и М2(0; 2) прямую (рис. 3.6). Угловой коэффициент к = 1^а = 2/3. 3.1 .4 .4 . Уравнение прямой, проходящей через данную точку Мо(жо.2/о) и имеющей заданный угловой коэффициент (заданное направление) к (рис. 3 .4) имеет вид У-У0=к(х- Хо). (3.8) Уравнение (3.8) является также уравнением пучка прямых, проходящих через точку Мо(хо, уо) в различных направлениях (при разных значениях к).
3.1 .4.5 . Уравнение прямой, проходящей чер ез две зад анные точки М,(х,,У1) и М2(Х2,У2У- 1^ =^ = (3.9) У2- »1 Х2-Х, \ Х2-Х1/ 3.1 .4 .6 . Нормаль ное (или нор миро ванно е) уравнение прямой: Xсоз(р+у&\п -р =о. (3.10) где р ^ О — длина перпендикуляра ОК, опущенного из начала координат на данную прямую (рис. 3 .7), >р — угол между положительным направле­ нием оси Ох и направлением перпендикуляра ОК. Угол ^ (О ^ ^ ^ 2тг) отсчитывается против часовой стрелки (в положительном направлении). Нор­ мальное уравнение прямой (3.10) может быть получено из общего уравнения Ах +Ву +С = 0, умножением его на нормирующий множитель 1 где знак ц всегда противоположен знаку С. Если С = О, то знак /4 берется произвольно. 3.1 .4 .7 . Расстояние Л от точки М](х\, 2/1) до прямой с уравнением Ах+Ву+С=О (илихсо5(р+у$т1р-р =0)равно(рис.3 .7); (1= ^/ЖТв^ = |Х|С05^-Ьг/,81П^-р|.
Пример 3. Пусть даны прямая Зх + 4у - 5 = О и точка М(-4; 3). Тогда нормальное 3 4 уравнение прямой -х + -у — 1 = О {/х = 1/5). Расстояние от точки М до прямой: |3-( -4)+ 4-3 -51 ^ </9+ 16 3.1 .4 .8 . Взаимно е рас по лож ение прямой и точек Пусть дана прямая Р{х,у) = Ах+ Ву +С = 0 и две точки М\(х\,у\), Л^2(®2>2/2)- Тогда точки М^,Мг лежат по разные стороны от этой прямой, если числа Р(х^, «/О и Р(х2,уг) имеют противоположные знаки. Точки лежат по одну сторону от прямой, если эти числа имеют одинаковые знаки. 3.1 .4 .9 . Три точки М |(ж 1, г/|), М 2 (х2 ,У2), М^(х^,у^) находятся на одной прямой в том и только в том случае, когда 111 I,Х2X, У\У2Уъ = 0. 3.1 .5 . Взаимное расположение прямых 3.1 .5 .1, Координаты точки М о (хо , Уо) пересечения двух прямых и задаваемых уравнениями А1Х+В,У +С1=0 и А2Х+В2У+С2=0 у=к\Х+Ьх и у=к2Х+Ь2, находятся по формулам Хо= В, с, С, Л, В2 С2 ь,-Ь2 Сг А2 А261 - кфг А,В, — , , , Уо- к2 -кх А,В, к2-к, А2 В2 А2 В2 (3.11) (3.12) т. е. являются решением системы двух уравнений этих прямых. 3.1 .5 .2 . Угол й |2 между двумя перес екающ имися прямыми и Ьг(взя­ тыми в данном порядке), задаваемыми уравнениями (3.11) и (3.12), отсчиты ­ ваемый против часовой стрелки при повороте прямой Ь\ вокруг точки Мо их пересечения до первого совмещения с прямой Хг (рис. 3 .8), находится
по одной из формул: 18 0:12 = С05а12 = 51Па12 = А1В2-А2В1 кг-ку А,А2+В1В2 1+к,к2’ А\А2+В1В2 -^2+Щ ^ I+к?-у/1+ А\В2—А2В\ 1+ к]к2 ^А]+В]^А\+В\ (3,13) Углы а|, «2 и а,2(О^ 0|2<л-) связаны соотношением «12 = аг ~ а\- Поменяв местами к, и кг в формулах (3.13), получим тангенс (косинус, синус)угла021= 7Г - 012 - Примечание. Если хотя бы одна из прямых Ь 1,Ь 2 параллельна оси Оу, угол а |2 может быть найден при помощи простых геометрических построений. Пример4.Даныдве прямые(X,) у=Ъх-2, (^г) У= -2х+3(рис.3.9).ТочкаМа (I; 1) пересечения этих прямых находится из решения системы уравнений прямых. По одной из формул (3.13) находим
3.1 .5 .3 . Прямые(3.11)или(3.12)параллельны, если / Л, В,\ А1А2-В ,В2=0 |^или = к^=кг. 3.1 .5 .4 . Прямые(3.11)или(3.12)перпендикулярны, если А,А2+В]В2=0 или к]к2= - 1. 3.1 .5 .5 . Уравнениепрямой, проходящей через точкуМо(хо,Уо) и параллель­ нойпрямойу=кх+ЬилиАх+Ву+С=0: у-Уо =к(х-Хо) или А(х-Хо)+В{у-Уо)=0. (3.14) 3.1 .5 .6 . Уравнение прямой, проходящей через точку Мо(хо,уо) и перпенди­ кулярнойкпрямойу=кх+ЬилиАх+Ву+С=0: У -Уа = -\(х~Хо) или А{у-уо)~В(х-ха)=0. (3.15) К 3.1 .5 .7 . Рассто яние между параллель ными прямыми Ах+Ву+ =0,Ах+Ву+С2=О(С|Ф-Сг): С,-С2 6.= \/А^Тв2 3.1 .5 .8 .ТрипрямыеЛ,х+В1у+С^ = О(г—1,2,3)пересекаютсяводной точке, либо параллельны, если А,В,С, А2В2С2 А}ВзСз =0. 3.1 .6 . Линии второго порядка (конические сечения) 3.1 .6 .1 . Основные понятия 1. Линией второго порядка (л.в.п .) называется множество точекМ(х,у) плоскости, декартовы координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени относительно х и у с действительными коэффи­ циентами: ацх^ -Ь2апху+аг2У^+ 2а^^х+2а2з.у+О33=О (3.16) (а||Х+аиУ+ав)х+(а2]Х+О228/+02з)у+(«31®+аз2У+азз) =О, где а^^ = [г,] =1,2,3).
Уравнение(3.16),называемоеобщимуравнениемл.в.п ., можно записать также в матричном виде: -2аг^+Озз=О, (3.17) А= Три величины Оц 0|2 021 «22 о=(а,з,а2з), г =(х,у), г' = {х, у} — матрица-столбец. 5 = 011+ 022, ^= Он 021 0,2 022 Оц 012 013 , А=021022023 031 032 Озз (3.18) называются инвариантами уравнения (3.16) или (3.17), так как они не изме­ няются при параллельном переносе и повороте осей координат (3.2)-(3.4). Л. в. п. на плоскости называют также коническими сечениями, так как они могут быть получены в сечении прямого кругового конуса соответствующей плоскостью. Например, если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса, то в сечении получается окружность или точка. 2. Центры, диаметры и главные оси л. в. п. Точка С называется центром симметрии какой-либо геометрической фигуры (или просто ее центром), если каждой точке А данной фигуры соответствует такая точка А! этой же фигуры, что отрезок АА! проходит через точку С и делится этой точкой пополам. Прямая линия называется осью симметрии какой-либо геометрической фигуры, если каждой точке В данной фигуры соответствует такая точка В! этой же фигуры, что отрезок ВВ ' пересекает эту ось, перпендикулярен к ней и делится в точке пересечения с ней пополам. Центральными называются л. в.п ., и м еющие единственный центр.Л . в. п ., не имеющие центра или имеющие множество центров, называются нецен­ тральными. Л . в. п ., для которых инвариант / О, являются центральными; еслиX)=О,тол.в.п. — нецентральная. Координаты центра С(го,уо) цен­ тральной л. в. п. находятся из системы уравнений ОцХо + 012У0+ 0|з = О, <>2|Хо -Ь О223/0 -I- 023 = о, т. е. 1о= - 0|3 012 Оц 013 023 022 021 022 Он 012 Уо— Оц 012 021 022 021 022 (3.19) Хордой л. в. п . называется отрезок прямой, соединяющий любые две точ­ ки линии. Середины параллельных хордлюбой л. в. п . лежат на одной прямой, называемой диаметром л. в. п ., со пряженным данному направлению хорд. Все
диаметры центральной л. в . п . пересекаются в ее центре. Для нецентральной л. в . п . все диаметры параллельны либо совпадают. Два диаметра центральной л. в. п ., ка ждый из которых делит пополам хорды, параллельные другому диа­ метру, называются взаимносопряженными.Диаметр л. в. п ., п ерпендикулярный к сопряженному ему направлению хорд, называется главной осью л. в. п ., я в ­ ляющейся осью симметрии л. в. п . Каждая центральная л. в. п . имеет либо две взаимно перпендикулярные главные оси, либо бесконечное множество различных главных осей в случае окружности. Нецентральная л. в. п . имеет одну главную ось. Точки пересечения л. в. п . с ее главными осями называются вершинамил.в.п. Направления главных осей и нормальных к ним направлений совпадают с направлениями собственных векторов симметричной матрицы А в (3.17); собственные значения Аь Аг — всегда действительны и находятся из харак­ теристического уравнения оц-А а|2 021 <»22- А = 0, или А^-5'А-Ы>=0, (3.20) где5=А]-ЬА2,о = А 1А2. Условие А] > О всегда может быть достигнуто умножением уравнения (3.16) на (-1). Направления главных осей л. в. п . и сопряженных им хорд называются главными направлениями л. в. п . Только у окружности главные направления неопределенны, т. е. могут быть любыми, но перпендикулярными. Парабола имеет единственную главную ось и два главных направления. 3.1 .6 .2 . Приведение уравнени я линии второго порядка к кано ничес ко му виду Существует декартова система координат, в которой общее уравнение л. в . п . (3.16) приводится к одному из девяти простейших (канонических) видов. 1. Для нахождения этой системы координат можно воспользоваться не­ посредственно преобразованиями координат (см. 3 .1 .3). Повернем сначала оси координат на угол а, где . л 1$2а = -------- ; Он-022 при нахождении угла а могут быть полезными формулы 1 /1+С082а /1- со82а со82а= --- со5а = ±л/--------- , 5та =±л/----------. V 2 ’ V 2 Затем применим формулы преобразования (3.3), тогда уравнение (3.16) примет вид
т.е. исключается слагаемое с ^ •у'. Если 012 = О, то поворот осей не нужен. Если 0|1 = 022, то 182а обращается в бесконечность, т.е. 2а = ±п/2 или а = ±тг/4. 2. Если в (3.21) о'|| / О, а'22 ^ О, то применяя преобразование “и <»22 где х", у" — новые координаты, получим уравнение а'\1{х')^ + а'22(у"У = -о!}}. (3.22) Если а'з'з ^ О, то из (3.22) следует: К] «2 где кг = — г - Если обе величины к[, кг положительны, то «II «22 получим уравнение линии, называемой эллипсом (частным случаем которого при к[ = кг является окружность). Если к\ < О, *2 < О, то получается уравнение мнимого эллипса, не имеющего действительных точек. Если одна из к\ и кг положительна, а другая — отрицательна, то получается уравнение гиперболы. Если в (3.22) а"} = О, то получим уравнение а\,{х")^+а'гг{у'')^ = 0. При этом, если а'|^, а'гг разного знака, то получим пару пересекающихся прямых. Если ац ,а 22 одинакового знака, то получим пару мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке (0; 0). 3. Пусть один из коэффициентов Оц, а '22 в (3.21) равен нулю (например, “ 22 = 0)- Тогда (3.21) примет вид а\,(х')' + 2а',зг'+ 2а'г,у'+ а'33 =0. (3.24) Если о'2з Ф о, то из (3.24) получим уравнение параболы: г/'=-^(х')^-фх'-^ . (3.25) 2<»23 “23 2“ 23 Если а'23 = О, то из (3.24) получим уравнение а\х(х')^ + 2а\^х + а'33 = О, представляющее либо пару параллельных прямых (при 6 = (а'|з)^ - о 'ца'33 > 0), либо пару мнимых параллельных прямых (при 6 < 0), либо пару слившихся прямых (при <5= 0). Аналогично рассматривается случай о'ц = О, О22ф 0. Всего, таким обра­ зом, получается девять канонических видов уравнений л. в. п . Записывая (3.25) в виде
где а, Ь, с легко получаются из (3.25); находя вершину параболы по формулам Ь , 4ас-Ь^ Хо= -^Г’ ’ 2а 4а перенося начало координат в точку (хо, р'о) и применяя преобразование координат х' = х"+х'а, у =у"+у'о, можно записать уравнение (3.26) в виде у" = а(х")^ или в каноническом виде {х")^ = ±2ру", где р = 1/(2|о|); знак выбирается в зависимости от знака а. Если а'п = О, а '22 ф О, то уравнение параболы имеет канонический вид (уУ = ±2рх". 4. Для нахождения системы координат, в которой общее уравнение л. в. п. (3.16) приводится к каноническому виду, можно найти сначала собственные векторы матрицы А в (3.17), соответствующие собственным значениям А1,А2, а затем выбрать новые оси координат в направлении этих векторов. В случае центральной л. в . п . начало новой системы координат следует взять в центре С(хо, Уо) и применить преобразование координат (3.4), в котором а — угол между положительным направлением оси Ох и одним из двух главных направлений л. в. п. 5. Если инвариант Д = О, то л. в. п . распадается на две различные или совпадающие прямые. Если Д / О, то л. в. п . нераспадающаяся. К нерас- падающимся л. в. п . относятся: эллипс и окружность, гипербола, парабола, мнимый эллипс, не имеющий ни одной действительной точки. 3.1 .6.3. Окружность Окружность — замкнутая л.в.п., все точки которой одинаково удалены от фиксированной точки, называемой центром окружности. Общее уравнение окружности (х-Хо)^+(у-г/о)' = (3.27) где Л — радиус окружности, С(хо,«/о) — ее центр (рис. 3.10). Отрезок АВ, соединяющий любые две точки А и В окружности, называется хордой (рис. 3.10). Хорда, проходящая через центр, называется диаметром и имеет наибольшую длину. Диаметр, проходящий через середину хорды, перпенди­ кулярен к ней. Окружность радиуса Н с центром в начале координат О (рис.3.11)имеетуравнение канонического вида хЧ = Я^. Уравнению Ах^ + Ау^+Вх +Су +0 = 0 соответствует окружность, если выполнено условие
Ее центр С(хо, ро) и радиус Д находятся по формулам хо= 2А’ 2А’ ^ 4А^ Уравнение окружности с центром С(а:о, Уо) и радиусом Я в параметриче­ ской форме: X=Хо+Нсо&<р, у =уо+Н51ПV?, (3.28) где х,у декартовы координаты ее произвольной точки М (х, у), (р— угол между положительным направлением оси Ох и подвижным радиусом СМ (рис. 3 .10). Длинаокружности: Ь = 2тгК\площадь круга: 3 = тгД^ где гг= 3,14159... . Уравнение касательной к окружности х^ + в точке М\{х\,у\) имеет вид ХхХ + у\у = . 3.1 .6 .4 . Эллипс Эллипсом называется множество точек М{х, у) на плоскости (рис. 3 .12), сум­ ма расстояний Г] = МР\ и гг = М Р2которыхдодвух фиксированных точек Р](-с ,0) и ^’2(с, 0), называемых фокусами эллипса, остается постоянной: Г]+Г2=2а(а>с).ТочкиА,В,С,В — вершины эллипса, точка О — его центр; АВ = 2а, СО = 2Ь (а ^ Ь) — соответственно большая и малая оси, которые делятся точкой О пополам. Оси координат Ох и Оу являются глав­ ными осями эллипса. Эллипс — замкнутая центральнаял.в.п ., симм етричная относительно главных осей Ох к Оу. Каноническое уравнение эллипса в системе координат, начало которой совпадает с центром эллипса, а оси координат совмещены с осями эллипса В^+С^- ЛАВ
где - (?(а>Ъ)\а, Ь —большая и малая полуоси; Р\Р2=2с — фокусное расстояние. Если о = Ь, то с = О и фокусы совпадают. Уравнение (3.29) переходит при этом вуравнение окружности . Величина с / е=-=\\--г<1 а \ а} называется эксцентриситетом эллипса и характеризует его вытянутость (у окруж­ ностие=0).Еслио<6,тофокусынаходятсянаосиОуис=\/Ь^- а^, е = с/Ь. При помощи поворота осей координат на 90° можно привести этот случай к предьщущему (а> Ь). Уравнение эллипса в параметрическом виде х = осо5<, у = Ь&\п1, где I — параметр. В полярной системе координат, полюс которой находится в фокусе Рг, а полярная ось направлена по оси Ох (рис. 3.12), уравнение эллипса имеет вид Р ( Р=1+еС08 где р — фокальный параметр, равный половине хорды, проходящей через фокус параллельно малой оси СО.
Двепрямые В\ \\Ог суравнениями х = - а/е и х = а/е, параллельные малой оси СВ, называются директрисами эллипса (рис. 3 .12). Для любой точки М эллипса справедливо Л \~ <1г~ где (1| и (42 — расстояния от М до директрис В\ и Х>2(рис. 3.12). Отрезок прямой, соединяющий любыедве точки эллипса, называется хор­ дой. Хорды, проходящие через центр, называются диаметрами. Множество сере­ дин хорд, параллельных какому-либо диаметру, само лежит на другом диамефе. Оба эти диаметра и В В' называются взаимно сопряженными (рис. 3.13). Притчание 1. В аналитической геометрии диаметром л. в. п. иногда называют также всю бесконечную прямую, проходящую через концы диаметра, понимаемого как отрезок. Радиус кривизны Н эллипса (3.29) в точке Мо(хо, уо) равен V аЬ ' Уравнение касательной к эллипсу (3.29) в точке Мо(хо, Уо)'- УУо 62 п 212 , 2^0 ххо Площадь эллипса 8 = тгаЬ.
Примечание 2. Если уравнение эллипса (инвариант > 0) задано в общем виде (3.16), то полуоси а и & могут б ыт ь найдены по формулам: 1Д “ Аз-О Л|А^ .2 _ IА_ А Л,О Х]\2 ’ где А] ^ Аг > О, а координаты центра — по формулам (3.19). Зн аче н ия А 1 А2 находятся из уравнен ия (3.20). 3.1 .6 .5 . Гипербола Гиперболой называется множество точек М(х,у) на плоскости (рис. 3.14), разность (по абсолютной величине) расстояний Г| = М Р1, Г2 = М Е2которых до двух фиксированных точек ^’|(-с , 0) и ^2(с, 0), называемых фокусами гиперболы, остается постоянной, т. е. |г| -Гг! = 2а < 2с. Гипербола состоит из двухбесконечных ветвей: правой (х > 0) илевой (1 < 0).Для правой ветви Г|-Г2=2а,длялевойГ|-Гг= -2а.ТочкиАиВ —вершиныгиперболы, О — центр гиперболы, делящий фокусное расстояние Р\Р2 = 2с пополам. Отрезок АВ длиной 2а называется действительной (или фокальной) осью, а отрезок СП длиной 2Ь — мнимой осью. Оси координат Ох (на которой лежат фокусы) и Оу являются главными осями гиперболы (осями симметрии). Каноническое уравнение гиперболы в декартовой системе координат, на ­ чало которой совпадает с центром, а на оси Ох находятся фокусы гиперболы, имеет вид х^ где а и 6 — действительная и мнимая полуоси, - а^.
Величина _______ е=-=\/>+"2>* а у называется эксцентриситетом гиперболы. Уравнение гиперболы в полярной системе координат, полюс которой совмещен с фокусом Г2, а полярная ось имеет положительное направление оси Ох (рис. 3.14) р= . 1т еС05 где р = Ь^/а — фокальный параметр, равный половине длины хорды, прохо­ дящей через фокус параллельной мнимой оси СО, верхние знаки в числителе и знаменателе относятся к правой ветви (х > 0), нижние знаки — к левой (I<0). Уравнение гиперболы в параметрической форме I=осЬ<, у =Ь^Ы, где I — параметр. Ь Ь Две прямые (рис. 3.14) с уравнениями у = -х пу= — х, к которым а а неограниченно приближаются ветви гиперболы при х -» ±оо, называются асимптотами гиперболы. Прямые 0| и02 (рис. 3.14) с уравнениями х = - а/еи х = а/е, параллельные мнимойоси СВ, называются директрисами. Если(1\, — рас­ стояния от любой точки гиперболы М (х , у) до соответствующих директрис, Г| Г2 (1\ <12 При 0 = 6 гипербола называется равнобочной (равносторонней) и имеет уравнение . Ее асимптоты перпендикулярны друг другу. Если в этом случае взять в качестве осей координат асимптоты, то уравнение равнобочной гиперболы примет вид ху = а^/2. Ее ветви расположены в 1-й и 3-й четвертях (рис. 3 .15). Радиус кривизны гиперболы (3.30) в точке М о(хо, Уо) равен . 3/2 Д= „2,2(4 + = ЦТ- V 6'* / аЬ Уравнение касательной к гиперболе (3.30) в точке М |(х 1, !/|): Х,х у,У _ Гипербола с каноническим уравнением --2+^ =^ (3.31) а? 0^
называется сопряженной с гиперболой (3.30). Ее фокусы лежат на оси Оу. Обе эти взаимно сопряженные гиперболы, имеющие общиеасимптоты, изображены на рис. 3.16, из них (3.31) — штриховой линией. Действительная ось каждой из взаимно сопряженных гипербол является мнимой осью другой, и наоборот. Середины параллельных хорд гиперболы лежат на одной прямой, про­ ходящей через центр и называемой диаметром. Отрезки диаметров делятся в центре пополам. Через середины хорд, параллельных какому-либо диаметру
Рис. 3.17 АА!, проходит другой диаметр ВВ' (рис. 3 .17). Оба эти диаметра называются взаимно сопряженными. Диаметры данной гиперболы являются одновременно диаметрами сопряженной с ней гиперболы. Примечание. Если уравнение гиперболы (инвариант В < 0) зааано в общем виде (3.16), то полуоси а и 6 в уравнении (3.30) могут быть найдены по формулам: 2 IД Д “ “ Х,В ~ А|А2’ А; О А.АГ где А| > О, Аг < 0. Значения А|,А2 находятся из уравнения (3.20), а координаты центра — по формулам (3.19). 3.1.6.6. Парабола Параболой называется множество точек М(х,у) плоскости (рис. 3.18), рас­ стояние г = М Р которых до фиксированной точки Р{р/2,0), называемой фокусом, равно расстоянию Л —М К до фиксированной прямой В с урав­ нением X= -р/2, называемойдиректрисой,т.е. т =Л =х+р/2, гдер — фокальный параметр, равный расстоянию РА от фокуса до директрисы или половине длины хорды, проходящей через фокус параллельно директрисе. Прямая АР, проходящая через фокус Р и перпендикулярная директрисе, называется главной осью параболы, точка пересечения О которой с параболой называется вершиной параболы. Вершина делит пополам расстояние АР = р МК от фокуса до директрисы. Эксцентриситет параболы е = МР = 1. Парабо­ ла — нецентральная л. в. п ., и меющая одну бесконечную ветвь, симметричную Относительно главной оси.
Каноническое уравнение параболы вдекартовой системе координат Огу, начало которой совпадает с вершиной О, а ось Ох направлена по главной оси от вершины к фокусу, имеет вид !/' = 2рх. (3.32) Направления осей Ох и Оу (рис. 3 .18) называются главными направлени­ ями, из них только Ох является осью симметрии, т.е. главной осью. Уравнение параболы в полярной системе координат, полюс которой сов­ мещен с фокусом, а полярная ось направлена вдоль оси Ох (рис. 3.18) Р=г=- ^ . 1- С05 1р Е^ и главной осью параболы является ось Оу, фокусом — точка Р{0,р/2), а директрисой —прямая у = -р/2, то каноническоеуравнение параболы (рис. 3 .19) имеет вид г' = 2ру. (3.33) Уравнения парабол, симметричных параболам (3.32) и (3.33) относитель­ но осей Оу и Ох, имеют соответственно вид:
Соответствующим поворотом осей координат уравнения (3.33) и (3.34) при- вод5га;я к виду (3.32). Середины параллельных хорд параболы лежат на одной, параллельной главной оси параболы (рис. 3 .20) и называемой диаметром. Диаметр, соответ ­ ствующий хордам, параллельным директрисе, является главной осью. Уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу (рис. 3.21) у=ах^+Ьх+с. Ее фокальный параметр р = 1/(2|а|). При а > О парабола обращена верщи- ной вниз (рис.3.21), при о <О — вверх. Координаты вершины Мо(хо,уо)
параболы: Ь Аас - = 2^0= — ;----• 1а 4а Координаты X] и Хг точек пересечения параболы с осью Ох находятся из условия у = а. Точка пересечения параболы с осью Оу находится из усло­ вияX=0. Уравнения параболы с осью, параллельной оси Ох X=ау^+Ьу+с. Радиус кривизны параболы (3.32) в точке М (х , у): (р+ 2х)^/2 Д= Причем Я = р в вершине параболы (0; 0). Касательная к параболе (3.32) в точке М 1(х1, }>г) имеет уравнение УУ\=р(ж + Х|). Касательная ТТ' и нормаль ЛГЛГ' к параболе в точке М являются биссек­ трисами углов между фокальным радиус-вектором РМ точки М параболы и диаметром КМ , проходящим через точку М (рис. 3.18). Примечоние. Если уравнение параболы (инвариант 13 = 0) задано в обшем виде (3.16) и при этом А| > О, Аг > О, то соответствующим выбором новой системы координат , 1/Д уравнение параболы можно привести к виду х = 2ру. где р = А— Л1V А| 2 1/д инвариант(3.18).АприА|=О,Аг>О—квидуу =2рх,р = --г~- Значения АгV Аг АьАг находятся из уравнения (3.20). Условия А] > О (или Аг > о) можно достичь умножением уравнения (3.16) на (-1). 3.2 . Аналитическая геометрия в пространстве 3.2 .1 . Уравнение поверхности и линии Пусть в пространстве задана декартова (прямоугольная) система координат Охуг и некоторая поверхность Е . Уравнением поверхности Е в заданной системе координат называется такое соотношение Р{х,у ,г) = О, связываю ­ щее переменные х,у , 2 , которому удовлетворяют координаты каждой точки М{х,у ,г), лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на Е. Говорят при этом, что уравнение задает (или определяет) соответствующую поверхность. Метод координат позволяет
изучать геометрические свойства поверхности путем изучения уравнения этой поверхности средствами алгебры. Поверхность можно рассматривать как мно­ жество всех таких точек пространства, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Пример 5. Точка (2; 2; I) лежит на поверхности с уравнением - 9=О (сфера с центром в начале координат, радиус которой равен 3), точка (2;-1;3) не лежит на ней. Пример 6. Уравнение = О задает только одну точку (0; 0; 0). Тогда как уравнение + I = О не задает никакого геометрического объекта, так как не имеет действительных решений. Линию Ь в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей Е, и Ег. Уравнением линии Ь называется система двух уравнений Р\(х,у ,х) = О и Рг(х,у ,х) = О, определяющих поверхности Е] и Ег. Координаты каждой точки, лежащей на линии Ь, удовлетворяют одно­ временно обоим этим уравнениям. Пример 7. Система уравнений двух плоскостей Х:, и х+2у+г=3, X-у+г=\ определяет прямую Ь , являю щуюся линией пересечения этих плоскостей. Линии и поверхности в пространстве можно задавать также параметри­ чески при помощи вспомогательных переменных — параметров. Непрерывной кривой Ь в пространстве называется множество точек М{х,у ,г) = М (г), координаты которых заданы как непрерывные одно­ значные функции от одного действительного параметра I, принимающего значения на некотором конечном или бесконечном промежутке -ос < <1 < <^<2<+оо: X=х{1), у =у{1), г =2(1) или г = г((), гдег(х,у,г) —радиус-векторточки М(х,у,г) на кривой Ь. Непрерывная кривая называется простой кривой (или кривой Жордана), если разным значениям параметра I соответствуют разные точки этой кри­ вой (т. е. кривая не имеет точек самопересечения и самоналегания). Если начальная точка (при <= <|) и конечная точка (при I = <2) простой кривой совпадают, то она называется замкнутой простой кривой. Незамкнутая (либо замкнутая) простая кривая может быть получена непрерывной деформацией отрезка прямой (либо всей окружности). Простая кривая называется гладкой, если функции х{1),у{1),г{1) (<| < < < <2) имеют непрерывные производ­ ные, одновременно не обращающиеся в нуль, т. е. |1\<)1 + |2/'(01 + \^'(^)\ > О в промежутке (<|,<2). В каждой внутренней точке (т. е. <I<<2)такая кривая имеет единственную касательную, непрерывно изменяющую свое на­ правление. Точки кривой, в которых |1'(<)|+ |у’(*)1 + к'(01 = О' называются
ее особыми точками. В особой точке кривая не имеет касательной. Простая кусочно глаокая кривая (незамкнутая или замкнутая) состоит из конечного числа отрезков (дуг) гладких кривых. Непрерывной поверхностью Е называется множество точек М{х, у,г) =М(г), координаты которых заданы как однозначные непрерывные функции от двух действительных параметров и, V: х=х(«,«), у =у(и,ь), г = г(и,у) или г = г(и, ю), где (и, и) — переменная точка некоторой области П на плос­ кости ОиV\ г{х,у ,г) — радиус-вектор точки М(х,у ,г) на поверхности Е. Непрерывная связная (см. 8 .7.1) поверхность, не имеющая самопересечений и самоналеганий, называется простой поверхностью. Кусок простой неза­ мкнутой поверхности (например, полусферы) может быть получен путем непрерывных деформаций (растяжений, сжатий, изгибаний) единого куска плоскости, возможно , имеющего отверстия. Простая поверхность, ограничен­ ная кусочно гладкой замкнутой кривой, называется гладкой, если в каждой ее внутренней точке М{г{и,г)) частные производные функций х{и,ю), у(и,ю). г(и, V) по и, V непрерывны, т. е. существует единственная, изменяющаяся непрерывно касательная плоскость. Простая поверхность (незамкнутая или замкнутая) называется кусочно гладкой, если она состоит из конечного числа гладких поверхностей. В аналитической геометрии в пространстве рассматриваются поверх­ ности, уравнениями которых являются алгебраические уравнения первой и второй степеней; Ах+Ву+Сг+В=О, Ах^+Ву^+Сг^+20ху+2Еуг+2Рхг+2Сх+2Ну+2Мг+N=0, называемые алгебраическими поверхностями первого и второго порядка со­ ответственно. Поверхностями первого порядка являются только плоскости. К поверхностям второго порядка относятся: цилиндрические поверхности, сфера, эллипсоид, гиперболоиды, коническая поверхность, параболоиды, па­ ры плоскостей. Основной способ изучения и классификации поверхностей второго порядка заключается в таком выборе декартовой системы координат, в которой уравнение данной поверхности имеет наиболее простой стандарт­ ный(иликанонический)вид. 3.2 .2 . Основные формулы в декартовых координатах 3.2 .2 ,1 . Расстояние (1между двумя точками М|(1|.)/|,г ,) и Мг(х2,уг. 2:2) в пространстве ____________________________________ = \/{Х2- Х))^ -Ь{У2- У^у+ {22- г,)2.
3.2 .2 .2 . Координаты х,у,2 и радиус-вектор Гм точки М (х,у ,г), лежащей на прямой М 1М 2 и делящей направленный отрезок в отношении ГП].Ш2=А,т.е. М]М :ММ2=т\ :Ш2=X .\(А/ -I), находятся по формулам: ГП2Х] +т[Х2 Х1+ХХ2 У= Гм= т\ +Ш2 1+А’ ГП2У1+т,у2_ у,+Ху2 гп1+т2 1+А ’ га 22| + ТП122 + Х22 Ш|+ГО2 1+А ’ т 2Г\+т.1Г2 г, +Аг2 т[+Ш2 1+А гдеГ|—0М\,Т2=ОМ2—радиус-векторы точекМ| иМ2.Если А<О (А -1К то точка М лежит вне отрезка М\М2.Для середины М(х,у ,г) отрезка М 1М 2 имеем Хх -1-Х2 У\ +Уг Гм= Г| +Г2 3^.2.3. Направляющие косинусы вектора (1= М1М2 = Г2 - Г|, где г, = ОЛГ|,Т2=ОМ2\ Х2-Х^ |Г2-Г|Г У1-У1 1^2-пГ 22-2, С087 = — к2-г,Г \Г2-Г|I=у/(г, -х ,У+{У2-У\У+(22-г,)2, со5^а + со5^/3Ч-со8^7 =1 , где |г2- Г]I = (<— расстояние между точками М[ и Л/2. 3.2 .2 .4 . Проекции вектора И= М1М2на оси Ох, Оу, Ог соответственно равны: = Х2~Х[=(^С08О, йу=У2-У\=<1С08/3, йя= ^2-2|=ЙС087, ■ 3.2 .2 .5 . Объем V треугольной пирамиды (тетраэдра) с вершинами в точ- Р\,Рг, Рз. Ра, равен абсолютной величине выражения Х\ У\ 211 Х2У2221 13у■^2ъ1
где (%= 1,2, 3 ,4) в определителе — координаты вершин. Равенство V = Оявляется необходимым и достаточным условием расположения четырех точек в одной плоскости. Объем параллелепипеда, построенного на векторах а,6,с, приложенных к одной точке, равен абсолютной величине смешанного произведения (см. 2.3.5) этих трех векторов. 3.2 .3 . Плоскость 3.2 .3.1. Общее (полное) уравнение плоскости (алгебраической поверхно­ сти первого порядка) является алгебраическим уравнением первой степени относительно декартовых (прямоугольных) координат х, у, г Ах+Ву+С2+0==а, (3.35) где постоянные А, В , С неравны нулю одновременно. Если вуравнении (3.35) хотя бы один коэффициент равен нулю, уравнение называется неполны м . Если О = О, то плоскость проходит через начало координат. ПриА = О(или В = О, или С =0)плоскость параллельна соответственно оси Ох(или Оу,или Ог). ЕслиА=В =0(илиА=С =0,илиВ =С =0),топлоскостьпараллельна соответственно плоскости Оху {0x2, или Оуг). 3.2.3.2.Уравнениеплоскостив векторной форме: т +0=0, (3.36) где г = (х,у ,х) — радиус-вектор переменной точки плоскости М{х,у ,г), N = (А. В , С) — вектор перпендикулярный кданной плоскости и называемый нормальным вектором (рис.3.22).Направляющие косинусы вектораN А ^ В С С08а=—=====, С05/? . . ==, С087=^=====, х/А^ТВ ^ТС ^ ^А^+В^+С^ ^А^+В^+С^ С05^а +со8^/9+со5^7=1- N Вектор п = -т- ■■ . называется единичным вектором нормали к плос- Vл В С/ кости (|п| = 1). 3.2 .3 .3 . Нормаль ное уравнен ие плоскости: ТХС080т уС05/3^1=гС057-р =О, (3.37) |0| гдер= , , . > О — длина перпендикуляра ОМ, опущенного из V>1+В -Ь начала координат на данную плоскость (рис. 3.22); верхние знаки (-) в(3.37) берутся при I) >0; анижние знаки (+), если В <0; при 0 =0берутся либо только верхние, либо только нижние знаки.
Рис. 3.22 Пример 8. Записать в нормальном виде уравнение плоскости х + 2у - 2г + 6 = 0. Решение. Найдем величину 1 •УЖ+ЖТс^ ^ ^\2+2^+(-2У Здесь О = 6 >О, поэтому берем верхний знак, и /» = - 1/3. Умножив обе части данного уравнения на 11 = - 1/3, получим нормальное уравнение плоскости 1 2 2 -5® - 3</+Зг-2 =0. > 3.2 .3 .4 . Уравнение плоскости в отрезках: ^+1+^=1. (3.38) а Ьс гдеа= -VIА,Ь= - О/В, с = - О/С — величины отрезков,отсекаемых плоскостью на осях Ох, Оу, Ог в точках Л,(о,0 ,0),^ 2(0,6 ,0),^з(0,0,с) (рис. 3 .22). 3.2.3 .5. Параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку Мо(ха, уа, го): I=Хо+а^и+ЬхЮ, у =Уо+о.уи+ЬуЬ, г = + а^и + бг»»;
или г=Го+иа+ю6, где Го = ОМо, а и 6 — два вектора, лежащие на данной плоскости. 3.2 .3 .6 . Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору М {А ,В ,С ) и проходящей через точку Мо(хо, Уо, 2о) = А(х-хо)+В{у-уо)+С(г-2о)=О (3.39) или в векторном виде ^{т-Го)=О (ТУг+I)=О,гдеО= -]Уго), выражающем ортогональность векторов N и г - Го, тае г — радиус-вектор произвольной (переменной) точки М(х, у, г) = М (г) на плоскости. Урав­ нение (3.39) является также уравнением плоскости, проходящей через точку Мо{хо, Уо, и параллельной плоскости Ах +Ву +Си +В =0. 3.2 .3 .7 . Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М^(x^, у1,г,) = М^{т^) (г = 1,2, 3), не лежащие на одной прямой: Х-Х| у-Ух 2-г, XI -Хх У2-У\ 22-21 =0 1з-Х| - г/1 2з-2| или в векторном виде (г- Г|,Г2-ГьГз -Г|)=о, представляющем собой равенство нулю смещанного произведения (см. 2.3.5) трех векторов, лежащих в данной плоскости. 3.2 .4 . Прямая линия 3.2 .4.1. Общее уравнение прямой линии в пространстве может быть пред­ ставлено системой уравнений двух плоскостей Л\Х-ЬВ\у+С12 -Ь/?]—О, А2Х-I-В2У+С22 -Ы>2 = О, на пересечении которых эта прямая находится. При этом предполагается, что коэффициенты А], В], С] не пропорциональны коэффициентам А2,В 2,С2, соответственно. 3.2 .4 .2 . Уравнение прямой в векторном виде гЯ|4/>|=О, гЛ^2-ь^2 =О, где Я| г (Л|,В1,С|), N2 = (А2,В2,С2), г = (г,г/,2).
3.2 .4 .3 . Уравнение прямой, про ходящ ей чере з две точки М,(1ьУ1,г ,) =М ,(Г|)и М2(Х2,У2,^2)=М2(Г2): X-X] у-у\ 2-г . Х2-XI У2- VI ^2-г, иливвекторномвиде(г-Г])х(г2-п)=0. 3.2 .4 .4 . Уравнение прямой, проходящей чер ез данную фи кс ир ованную точку Мо(хо, Уо, в данном направлении, задаваемом направляющим вектором прямой а = {а^:, 0^ ,02): Х-Хо у-уо 2-^0 Ох ау или в векторно-параметрическом виде г=Го+а(. (каноническое уравнение) (3.41) гдеI—параметр,г =ОМ,Го=ОМо(рис.3.23). Уравнение прямой в параметрическом виде: Х=Х0+0^1, у =уо+Оу1, 2 =го+а^1. Уравнение (3.41) связано с уравнениями (3.40): (3.42) или а = К\ X N 2. Уравнение (3.41) можно записать также в векторном виде (г-Го)Xа=0. В, с, С, А1 «1= В2С2■ ау= Сз А2 , 0.г = А2 В2
3.2 .5 . Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей 3.2 .5 .1 . Угол а между двумя прямыми с уравнениями вида (3.41) и на­ правляющими векторами а\ = {а\х,а1у,а\^) и Ог = (021, аг^, «2г) находятся по формуле _ Д|Д2 _ 011021 + а\уа2р + Прямые с направляющими векторами й| и 02 параллельны при условии 0|X02=о,т.е. «11 а\у аи 021 “ 2!/ 02г Условие перпендикулярности прямых 0,02 = О, т. е. “ и<*2ж+ Ч\уЧ2у+а1г02г= О- 3.2 .5 .2 . Угол Р между двумя плоскостямиЛ1Х+В\у+С|г+X)] =0, А2Х+В2У+С22+О2=Онаходится поформуле ЛГ1ЛГ2 ^4|>42+В1В2+С1С2 С05р= = ^а]+в]+с]^а\+в1+с1 ткМ,= (А,,В ,,С ^),Ы2={А2,В2,С2). Две плоскости параллельны при условии ЛГ, х ЛГ2 = О, т. е. А| В| С\ А2В2С2 Две плоскости перпендикулярны при условии ЛГ|Л^2 = О, т .е . А1А2+В1В2+С1С2=0. 3.2 .5 .3 . Угол7междупрямой{3.41)иплоскостьюАх+Ву+Сг+В =О находится по формуле |ЛГо| \Аах + Вау + Сог| 51П7 = |ЛГ|.|о| \/А^+В^+С^^а1+а1+а1 Здесь угол 7 = 90° - 71, где 7] — угол между векторами N и а', М={А,В ,С). _ Прямая и плоскость параллельны, если N 5 = О, т. е.
Прямая и плоскость перпендикулярны, если ЛГ х а = О, т. е. (1х ^2 3.2 .5.4. Пусть две непараллельные плоскости А\Х+В,у +С]2+Д, = О и А2Х + В2У+ Сгг + 1)2 = О определяют некоторую прямую. Уравнение мно­ жества всех плоскостей, проходящих через эту прямую (называемого пучком плоскостей), им еет вид т|(у1|Х+В^у+С,г+1)|)+т2(Л2Х+Вгу+С22+02)=О, где гп\,тг — любые числа, не равные нулю одновременно. 3.2.5.5 . Расстояние Л от точки М\{х\,у\, г\) до плоскости Ах + Ву + Сг+О=0равно \Ах\+Ву1+Сг\+В\ 3.2.5.6 . Расстояние Л от точки М^(х\,у\, г\) = М 1(Г|) до прямой г = г^ + Ш, равно |аX(г, - Го)| — й—■ гдеа=(а^,о„,а,),Г|-Го=(1|-Хо,У\-Уо,21-го). 3.2.5.7. Кратчайшее расстояние й между двумя прямыми г = г, + 0 |< иг=г2+аг<: а) если прямые не параллельны, то |(Г2-Г1 ,а|,а2)| |а, X 02| где под знаком абсолютной величины в числителе стоит смешанное про­ изведение векторов, б) если прямые параллельны, то |(Г2-п)Xа|| |а1| 3.2.5.8 . Рассто яние й между параллель ными плоскостями А х + Ву + С г + О>=0иАх+Ву+Сг+П2=0(О, ^ ^г): 1^1 - ^2| ^/Ж+ЖТС^'
3.2.5 .9. Координаты точки пересечения трех плоскостей наход ятся и з ре­ шения системы уравнений этих плоскостей. Три плоскости могут не иметь ни одной общей точки, могут иметь бесконечное множество точек пересече­ ния (если они проходят через одну прямую), либо иметь только одну общую точку. 3.2.5.10. Взаимное расположение плоскости Р{х ,у ,2) = Ах + Ву +Сг: + 0 =0идвух точекМ|(х,, 2/ьг,) и М2(хг,у2,22). Если точки лежат поразные стороны от плоскости, то знаки чисел «]) и Р(х2,уг, ^2) противопо­ ложны, если по одну сторону — то одинаковы. 3.2 .5 .1 1. Ко ординаты точки пересечения прямой, заданной в виде (3.40) сплоскостью находятся посредством решения системы трехуравнений, из ко ­ торых одно определяет плоскость адвадругих — прямую. Если прямая задана в параметрическом виде (3.42), то значение <, параметра для точки пересече­ ния М] прямой с плоскостью Ах+Ву+Сг +О =Онаходится подстановкой . в ыражений для х, у, г из уравнений (3.42) в уравнение плоскости. Коорди­ наты Х\,у\, г\ точки М{ находятся затем из трех уравнений прямой линии. 3.2 .5 .12 . Уравнение плоскости, проходящей через данную точку Ма(хо, уо, го) и перпендикулярной к прямой г = Г\+а1 с направляющим вектором а, имеет вида{г-Го)=О,т.е. ах(х-хо)+ау{у-Уо)+аг(г-го)=0. 3.2.5.13. Уравнение прямой, проходящей через точку Мо(хо, 2/о, го) и пер­ пендикулярной к плоскости Ах +Ву +Сг +О =0: Г=Го+Ш, гдеГо=ОМо,N =(А,В,С),I —параметр. 3.2 .5 .14 . Уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую г = Г| -Ь а< и заданную точку Мо{хо,уо,2о), выражается в виде равенства нулю смешанного произведения трех векторов (г-Го,п - Го,а)=0. 3.2 .5 .15 . Уравнение плоскости, параллельной двум заданным неколлинеар- ным векторам а\ и З2и проходящей через точку Мо(хо, уо, го) = Мо{го). (г-Го,а,,аз)=0. Аналогично находится уравнение плоскости, проходящей через одну из двух заданных (непараллельных) прямых и параллельной второй прямой.
3.2 .5 .16 . Уравнение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости Ах+Ву+Сг+О=Оипроходящейчереззаданную прямую г=й +а1: (г-г1,а ,^) =0, где ТУ=(Л,В,С). 3.2 .5 .17 . Уравнение перпендикуляра, опущенного из заданной точки Мо(хо, Уо, на заданную прямую г = Г) + й , определяется системой урав­ нений двух плоскостей; а(г-Го)=О и (г-Го,Г1-го,о)=0. 3.2 .5 .1 8 . Уравнение прямой, перпендикулярной одновременно к двум задан­ нымпрямымг=Г|+ и г = Г2 -I-02<, определяется системой уравнений двух плоскостей; (г-Гьоьо)=О и (г-Г2,02,а)=О, гдеа=й|X02. 3.2 .5 .19 .Условие, при котором две прямые г = Г|-ЬО!^ и г = г2-I-а]( пересекаются либо находятся в одной плоскости; (Г2-п . а],а2)=0. 3.2 .6 . Поверхности второго порядка 3.2 .6 .1. О сно вны е понятия 1. Поверхностью второго порядка (п. в. п .) называется множество точек М(х, у, г) в пространстве, координаты которых вдекартовой (прямоугольной) системе координат Охуг удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени относительно х,у ,г с действительными коэффициентами; + ацу^ -Ь Оззг^+ 2апху +2а^■^xг 2о2зуг -I- 4-2а^^x+ 2ацу -н 20342 -I-044 = О (3.44) или (ац1-I-апу +а,зг -Ь0 ,4)1-Ь(0211+ а-^гу+«232+024)3/+ - Н (оз|1 +032!/ -I- оззг - I-0з4)г -Ь(041Х -На^у + 043^ -И044) = О, гдеа^^= а^^(I,; =1,2,3,4). Уравнение (3.44) может и не представлять никакого действительного геометрического образа, если оно не имеет действительных решений. В этом случае говорят, что уравнение представляет мнимую п. в. п . Уравнение (3.44) в матричном виде
А= ац 012 «13 «21 0,22 023 .031 «32 “ 33. Четыре величины г=(х,у,г), = {х,у,г}, а =(ои,024,«34). 5=Оц+022+“33,Т= “11 “21 “11 “12 “13 О=йлА= “21 “22 “23 “31 “32 “33 022 <123 “32 “33 Оц ац “31 “33 д= “П “12 “13 “14 “21 «22 “23 “24 “31 “32 “33 “34 “41 “42 “43 “44 (3.46) являются инвариантами уравнения (3.44) или (3.45) относительно параллель­ ного переноса и поворота осей координат (см. 2.4.1 и 2.4 .2). Основныесвойства п.в.п . (3.44)могутбыть изучены при помощи харак­ теристической квадратичной формы Ф{х. у, г) = ац1^+ а22У^+ “ зз^^ -Ь 2012x3/+ 20,3x2 -Ь202зуг, всегда действительные собственные числа которой А|,Л2,Аз находятся из ее характеристического уравнения х^-зх^ +тх-о = о, (3.47) Оц-А 012 “13 “21 “22“А 023 =О, или “31 “32 “33-А где 5 —А1 -НА2 -НАз, Т =■А1А2+А2А3-1 - А1А3,О =А1А2А3. 2. Наряду с центром симметрии и осью симметрии (см. 3.1.6.1) п.в.п. может иметь также плоскость симметрии. Плоскость называется плоскостью симметрии какой-либо геометрической фигуры, если каждой точке А этой фигуры соответствует такая точка А' этой же фигуры, что отрезок АА! пер­ пендикулярен к этой плоскости иделится пополам в точке пересечения с ней. Середины параллельных хорд любой п. в. п . лежат в одной плоскости, называемойдиаметра.1ьной плоскостью. Прямая, по которой пересекаютсядве диаметральные плоскости, называется диаметром. В случае центральной по­ верхности(Офй), вседиаметры п.в.п.пересекаются водной-единственной точке, называемой ее центром. Для нецентральной поверхности, не имеюшей центра, либо имеюшей множество центров (0 = 0), все ее диаметры парал­ лельны или лежат в одной плоскости. В системе координат Охуг, начало которой совпадает с центром поверхности, каждой точке п. в. п. г = (х, у. соответствует точка поверх>1ости г' = ( -1 , - у , - г). Координаты центра
С(хо, уо, -го) центральной п. в. п . находятся как решение системы уравнений ац®о + ЧпУо + <»13.г:о+ Ои =О, <*21®0 + 0223/0 + <123^0 + 024 =О, (3.48) аз1го + аз2Уо+ Оз}2о+ 034 =0. Переходякновымкоординатамх' = х —Хо,У =у -Уа,г' = г -2о, уравнение центральной п. в. п . можно записать в виде а,,(х'У +а22(у'У + азз(г'У + 2ах2х'у +2о,зх'г'+2а2зу г!+ ^ = О- (3-49) Диаметральная плоскость, перпендикулярная соответствующим ей хор­ дам, называетсяглавной плоскостью п.в.п.и является ееплоскостью симмет­ рии. Только у цилиндров плоскости симметрии, перпендикулярные к обра­ зующим, не являются главными плоскостями . Диаметр, являющийся линией пересечениядвух главных плоскостей, называется главной осью п.в.п ., кото­ рая является также осью симметрии. П. в. п. (центральная или нецентральная), для которой Д О, называется невырожденной. В противном случае(Д =0) — вырожденной. К вырожден­ ным поверхностям относятся конусы, цилиндры, пары плоскостей. Если уравнение вырожденной п. в. п . распадается на два уравнения первого поряд­ ка с действительными или комплексными коэффициентами, определяющими две действительные или мнимые плоскости, то говорят, что поверхность рас­ падающаяся. Каждая невырожденная п.в.п . имеет хотя бы одну главную ось. Всякая центральная п. в. п . имеет не менее трех взаимно перпендикулярных главных осей. 3. Направления собственных векторов матрицы А в (3.45), соответствую­ щихеесобственным значениямиА,,А2,Аз,называютглавными направлениями характеристической квадратичной формы Ф{х,у ,г) с матрицей А. Направ­ ляющие косинусы со5а, со5^ , С057 главных направлений, являющихся на­ правлениями собственных векторов матрицы Л, находятся из системы трех уравнений (ац - А)со8а +0|2совр+013С057=О, 021С050 -1 - (022- Х)сО&Р +023С057 =О, (3.50) 0з1С05а -Ь032ео5уЗ-Ь(033—А)со57 = 0, где А — собственное значение матрицы А. В случае, когда все три корня А],А2,Аз уравнения (3.47) не равны нулю, система (3.50) определяет для каждого из этих корней направляющие косинусы главной оси. В случае простого(однократного) корня А = О,ему соответствует единственная главная ось, направляющие косинусы которой находятся из (3.50). Если А = О — двукратный корень, то п. в. п . будет параболическим цилиндром, либо парой параллельных плоскостей. Например, параболический цилиндр имеет одну главную плоскость и не имеет главных осей.
3.2 .6 .2 . Приведение уравнени я поверхнос ти второго порядка к кано ничес ко му виду Существует декартова (прямоугольная) система координат, в которой общее уравнениеп.в.п ., в зависимости от значенийегокоэффициентов,приводится к одному из семнадцати простейших стандартных (или канонических) видов, определяющих соответствующие п. в, п. 1.Вслучаецентральнойп.в.п.(В/0;А]^О,А2^О,Аз5^0)вновой системе координат К', полученной из старой параллельным переносом осей (начало системы К ' помещено в центр С(хо, Уо, ^о) поверхности), уравнение п. в. п . (3.44) примет вид (3.49), т. е. исчезают слагаемые первой степени. Переходя затем к декартовой системе координат К", начало которой сов­ мещено с центром С(хо, уо, ^о) поверхности, а оси координат Сх", Су", Сг" совпадают по направлению с ортонормированными собственными векторами ё|,Ё2,ёз матрицы А в (3.45), уравнение (3.49) можно записать в виде А,(^'У+ЫуУ +Аз(/у+1 =0, (3.51) т. е. исчезают произведения координат. Такое преобразование называется нре- образованием к главным осям. Приэтом всегда можно полагать А] >0. Это достигается, например, умножением уравнения (3.44) на (-1). Если какое-либо собственное значение А| = Аг 7^ Аз, т. е. имеет крат­ ность 2,то любое направление, перпендикулярное к единственному направле­ нию, соответствующему значению Аз Ф О, является главным направлением, соответствующим значению А| = А2. В этом случае имеется бесконечное множество троек линейно независимых векторов. При необходимости одну из этих троек векторов следует ортогонализировать (см. 2.5 .3) и нормиро­ вать для получения ортонормированных собственных векторов 61,62,63. Если А] = Аг = Аз, то каждое направление является главным. В качестве ёь ёг, ёз при этом можно взять любые три попарно ортогональных единичных вектора. Нахождение главных направлений п. в. п . сводится к нахождению ненулевых направляющих косинусов, удовлетворяющих системе (3.50) при некотором т значении А, равном нулю или нет. Для нахождения матрицы перехода $ = У от системы координат К ' к К " (см. 2.4 и 2.9) следует воспользоваться мето­ дом, приведенном в 2.10 (см решение примера 22). В зависимости от значения коэффициентов и их знаков, уравнение (3.51) содержит в себе следующие частные случаи: 1) действительные эллипсоиды, 2) мнимые эллипсоиды, 3) однополостные гиперболоиды, 4) двухполостные гиперболоиды, 5) действительные конусы, 6) мнимые конусы. 2. Если п. в. п . нецентральная (0 = 0), то хотя бы одно из трех собствен­ ных значений равно нулю (А| / О, А25^ О, А3 = 0). Приведение уравнения (3.44) к каноническому виду проводится при этом сначала переходом к си­ стеме координат к', полученной поворотом системы Охуг вокруг старого
начала координат О (см. 2.4 .2) так, что новые оси Ох', Оу\ Ог! становятся параллельными ортонормированным собственным векторам ё|,ё2,ёз матри­ цы Л. В результатеуравнение (3.44) примет вид АДх’)^ + + 20|4х’ + 2(^2^у' + 2о.'м^' + =0. (3-52) Если а'и ^ О (т.е. А ^ 0), то преобразование координат х = х" + х'о, у =у"+уо,г = г " + 2о (где х'о, у'о, 4 находятся из трехуравнений: А|Хо+0|4 = о , А2Уо+ ®24 = •^1(®о)^+'^2(9о)^+ 2о']4Хо+ 2<1249о+ 2в ’з42^+ а44 = 0) переводит уравнение (3.52) к виду А,(*")ЧА2(»")'+2а'з42" = 0. (3.53) Уравнение (3.53) содержит частные случаи: 1) параболоиды эллиптиче­ ские, 2) параболоиды гиперболические. ПриэтомД>О,еслиА)иАг—разныхзнаков,иД<О,еслиА1иАг— одного знака. Если в'з4= О(т.е . Д = 0), то уравнение (3.52) имеет вид А,(х')^ -I-Аг(уУ + 2а',4х' -Н 2а'24у + 044= 0. (3.54) Применяя к(3.54) преобразование х' = х" + х'ц, у' = у" +у'о, г' = 2" (где х'о, у'онаходятся из двух уравнений: А|а:о + О14= О, А2Р0+ “ м = 0) приведем (3.54) к виду А.(х")ЧА2(/)Ча:к =0, (3.55) где «44 = А|(жо)^ + + 2а24Уо + ^44- Здесь возможны случаи: I) а'44 = О, 2) а'44Ф 0. Уравнению (3.55) соответствуют поверхности: 1) цилиндры эллиптиче­ ские, 2) цилиндры гиперболические, 3) цилиндры эллиптические мнимые, 4) пары пересекающихся действительных плоскостей, 5) пары пересекаюших- ся мнимых плоскостей. Если А| = Аз = О, Аг ф О,то , направив ось Оу новой системы координат по направлению собственного вектора, соответствующего значению Аг ф О, получим уравнение поверхности в виде *^2(у )^ 2014! "Ь 2(124У 4-2йз42 +Л44= 0. (3-56) Уравнение (3.56) при а'14 = а '34 = О содержит частные случаи: 1) пары действительных параллельных плоскостей, 2) пары мнимых параллельных плоскостей, 3) пары совпадающих действительных плоскостей. Если а'з4 / О, то применяя преобразование координат х' = х" со&а - г"5ша, у = у", г' = х“51па-Ьг"со8а,гдес18а= приведем (3.56) “34 к виду Л2(у"У + 2024!/" + 2Ьх" + 044 = О, (3.57)
где Ь = а ',4со8а + а'з48 та . Уравнение (3.57) является уравнением пара­ болического цилиндра, образующие которого перпендикулярны плоскости 2 =0 . Всего, таким образом, имеется семнадцать классов поверхностей вто­ рого порядка. 3.2 .6 .3 . Класс иф икация поверхно стей второго порядка 1. Нераспадающиеся поверхности; Невырожденные (Д ^ 0): «2 ^2 1)~+^+^ = эллипсоид(Д<О,03 >О,Т >0), уг .2 2)—7+77+^ — - 1— мнимый эллипсоид (А >О, >О,Г >0), 0^ & л. ^ 3)—гЛ—7 -- т = 1 ~ однополостный гиперболоид (Д > О, ^Ои \г сг (или) г ^ 0), х2 4) —гН— -г - =-1 — двухполостный гиперболоид (А < О, Р 5 ^О \г (т и(или)Т^0), 5) ---1 ----= 22(р>О,д>0)—эллиптическийпараболоид(А<0 , = 0), Р Я 2/2 6) ------- =22 (р> о, д>0) — гиперболический параболоид(А >О, 0 =0). Вырожденные (А = 0): у^ 7)—г+тт= * —эллиптическийцилиндр(^ = О,Г >0), (г х^ у^ 8) —гН— - =-1 — мнимый эллиптический цилиндр (1> = О, Г > 0), (Г х^ 9) —г 7 = 1 — гиперболический цилиндр (X) = О, Т < 0), (Г 10) у^ = 2рх — параболический цилиндр {В = 0,Т = 0), Х^ «2 ^2 11) —7+-Г 7=0 —конус(ОФо,08 ^Ои(или)Т^0), \г сг у^ 12)“+^+^ —0 — мнимый конус (действительная точка) (03 >О, Т >0). 2. Распадающиеся вырожденные поверхности (А = О, Р = 0); Цр- у^ 13) = О — пара пересекающихся плоскостей,
д2 „2 14) — 1 - ^ = 0 — пара мнимых пересекающихся плоскостей (действительная г прямая), 15) — пара параллельных плоскостей, 16) = -а^ — пара мнимых параллельных плоскостей, 17) = О — пара совпадающих действительных плоскостей. 3.2.6.4 . Невыро жденные поверхно сти, ко нус и цилиндры 1. Эллипсоид — центральная замкнутая п. в. п . (рис. 3.24) с уравнением канонического вида , где а,Ь ,с — полуоси эллипсоида. Если а, 6,с — различные, то эллипсоид называется трехосным. При а = Ь> с имеем сжатый эллипсоидвращения (сфе- х^ ронд), полученный при вращении эллипса ^ + ^ = ■.лежащего в плоскости у = О, вокруг оси Ог. Если а = Ь < с, то эллипсоид вращения вытянутый. Приа—Ь =симеемсферух^+у^+ радиуса а. Сечение эллипсоида любой плоскостью является эллипсом (в частности, окружностью). Объем 4 4, эллипсоида равен -тгаЬс, объем сферы -тта .
2. Однополостный гиперболоид — незамкнутая центральная п. в. п. (рис. 3.25) с уравнением канонического вида: ^2 ..2 ,2 „2 где а ,Ь ,с — полуоси. 3. Двухполостный гиперболоид — незамкнутая центральная п. в. п . (рис. 3.26) с уравнением канонического вида: где о,6,с — полуоси. Для обоих гиперболоидов любая плоскость, проходящая через ось Ог или параллельная оси Ог, пересекает их по гиперболам. Для однополостного гиперболоида эти линии пересечения могут быть также прямыми. Сечения обоих гиперболоидов плоскостями, параллельными плоскости Оху, являют­ ся эллипсами. Если а = 6, то имеем гиперболоиды вращения. Через любую точку однополостного гиперболоида проходят две прямые, полностью лежа ­ щие на его поверхности и называемые прямолинейными образующими. Такие поверхности называются линейчатыми.
4. Конус (коническая поверхность) — незамкнутая центральная п. в. п . (рис. 3 .27) с каноническим уравнением; и с вершиной (центром) в начале координат. Осью симметрии конуса явля­ ется ось Ог. Сечения конуса плоскостями, параллельными плоскости Охр. являются эллипсами. При а = Ь имеем круглый (или прямой круговой) конус. Конус (3.58) является асимптотическим конусом для обоих гиперболоидов (однополостного и двухполостного), точки которых при удалении в беско­ нечность приближаются к этому конусу 5. Эллиптический параболоид — нецентральная незамкнутая п. в. п. (рис. 3 .28) с каноническим уравнением: Плоские сечения, параллельные плоскости Оху, — эллипсы. Плоские се­ чения, параллельные оси О г, — параболы. При р = ц имеем параболоид вращения, получаемый вращением параболы = 2рг, лежащей в плоскости г/=О,вокругосиОг. X Рис. 3 .28 6. Гйперболическнй параболоид — незамкнутая нецентральная п. в . п . (рис. 3 .29) с каноническим уравнением:
Сечения, параллельные плоскостям 0x2 и Оуг, — п араболы. Сечения плоскостями, параллельными плоскости Оху, — гиперболы (при 2 0) или две пересекающиеся прямые (при г = 0). Гиперболический параболоид — линейчатая поверхность: через каждую его точку проходятдве прямые, цели­ ком принадлежащие его поверхности. 7. Цилиндры (цилинарические поверхности) — нецентральные незамкну­ тые п. в . п ., форма которых определяется плоской кривой, называемой на­ правляющей. Прямые линии (называемые образующими), перпендикулярные плоскости, содержащей направляющую, и проходящие через точки направля­ ющей, образуют множество точек, из которых состоит цилиндрическая поверхность. а) Каноническое уравнение эллиптического цилиндра (рис. 3 .30) имеет вид: Направляющая — эллипс в плоскости Оху (г = 0). Образующие параллельны оси О г. При а = Ь получается прямой круговой Щ1ЛИНДР х^ + у^ = . б) Каноническое уравнение гиперболического цилиндра (рис. 3 .31) имеет вид: а? '•
Направляющая — гипербола в плоскости Оху (г = 0). в) Каноническое уравнение параболического цилиндра (рис. 3 .32) имеет вид: = 2рх. Направляющая — парабола в плоскости Оху (г = 0).
Глава 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 4 .1 . Действительная функция одной действительной переменной 4.1 .1 . Понятие функции Пусть дано множество X = {г} всех действительных числовых значений, которые может принимать переменная величина х. Тогда, если каждому зна­ чению переменной х из заданного множества X по определенному правилу ставится в соответствие действительное число у, то говорят, что на множестве X задана действительная функция у = /(х) (или у = у{х)) от одной действи­ тельной переменной х. Здесь величина х называется независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией, поскольку она зависит от величины х. Символ / обозначает функциональную зависимость, т. е. правило, по которому каждому значению х ставится в соответствие значе­ ние у.Для обозначения аргумента, функции и функциональной зависимости могут использоваться и другие символы. Множество X всех возможных зна­ чений аргумента х называется областью определения (областью задания, или областью существования) функции. Множество У = {»/} всех значений вели­ чины у называется областью изменения (или множеством значений) функции. Символами X иу обозначаются и сами переменные величины, и их отдельные частные значения. В простейших случаях множества X и V являются неко­ торыми офаниченными или бесконечными промежутками на числовой оси (см. 1.1.5.2). Если каждому значению аргумента х соответствует только одно значение функции у, то функция называется однозначной, если несколько (возможно, даже бесконечное множество) значений у, то — многозначной. Любая заданная функция предполагается однозначной, если не оговорено противное.
4.1 . Действительная функция однойдействительной переменной 143 Пример 1. 1) Функция у = х^ определена на промежутке X = (-оо; +оо), область изменения: У = (0;+оо); т.е. -оо <х<+ооиО^у<+оо. 2)Дляфункцииу=\/1- соответственно: X = [-1; 1], У = [0; +оо). 3) Функция у = , задана в интервале X = ( -2 ; 2), на концах интервала, т. е. \/4-х^ в точках * = ±2, функция не определена (стремится к бесконечности), область изменения: У = [0,5;+оо). 4.1 .2 . Способы задания функций Табличный способ задания функции представляет собой таблицу, в которой перечислены значения аргумента (обычно, только некоторые) и соответству- юшие им значения функции. Примерами являются таблицы логарифмов, тригонометрических функций и т.д . Пример 2. Функция у =/(х) =х^ мо­ жет быть задана при помощи таблицы некоторых ее значений: X -3 -2 -1 0 у=т 94 1 0 X 1 2 3 У=/(*) 1 49 Графический способ задания функции у = /(х) состоит в по­ строении на плоскости с декарто­ вой системой координат Оху мно­ жества точек с координатами (I, у) =(х,/(х)), называемого графиком функции У=Пх). Абсциссами этих точек являются значения аргумента х, а ордина­ тами — соответствующие значения функции /(х). Пример 3. На рис. 4.1 приведен график функции у = х^. Аналитический способ заключается в задании функции при помощи одной или нескольких формул, в которых указаны (перечислены) математические
-1 Рис. 4 .2 действия над величиной х для нахо­ ждения у. В качестве области опреде­ ления при этом берутся все те зна­ чения I , при которых выполнимы действия, указанные в этих формулах. В частности, все функции в примере 1 заданы аналитически. Пример 4. Функция сигнум: 1 - 1-1 при г>о, Опри1=0, -1приI<О, заданная ан али тичес ки, имеет область оп­ ределения X = ( —0 0 ; 4-оо), область изме­ нения: К = {-1; 0; I}; ее график приведен на рис. 4.2. Используются также и другие способы задания функций, например, при помощи словесного описания: функция Дирихле равна 1, если х — рацио­ нальное число, и равна О, если х — иррациональное число. Для функции Дирихле: X = (-оо;-|-оо), V = {0; 1}. Часто применяется задание функций при помощи предельного перехода, например, в виде суммы сходящегося ряда: X, ^ " 27+--- • Если при аналитическом способе задания функция представлена в виде у —/(х), то говорят, что она задана явно (например, у = х ^). Если пере­ менные х н у связаны соотнощением Р(х,у) = О, то говорят, что функция у = /(х) задана неявно (например, х^ +у^ = 4). При параметрическом пред­ ставлении функции соответствующие другдругу значения х ну выражаются в виде двух функций от вспомогательной переменной I, называемой па­ раметром: X = ^р(^), у = ф(1) [О ^ ^ Т\. Например, параметрическое представление неявно заданной функции х^+ у^ = Л можно записать в виде: X = 2со84,3/= 251П<(О^ < 2тг).Исключая из этихдвухфункций параметр (, получим исходную связь между хну. Примечание. Неявная функция +у^=Чдвузначна:у=±\/4- и распадается надвеоднозначныефункции: у= л/4- 1 ^, у = -\/4- 4.1 .3 . Свойства функций. Функции со специальными свойствами Если на одном и том же множестве X заданы две функциональные зависи­ мости / и то можно определить сумму } +§. разность / произведение
/^, частное //^, как такие новые функциональные зависимости, частные значения которых находятся соответственно по формулам пх)+Ф), т-Ф)./(хых), ^ ь(^)^о| для каждого X из X Если на некотором множестве X определена функция /(х), то , задавая произвольные числа а ^ О, 6/0, с /0 , из функции /(х) можно получить следующие функции: I) /{х) + Ь, 2) с/(х), 3) }(х - а ), 4) /(сх), а также их комбинации. Функции 1) и 2) определены на том же множестве X, что и /(х). Графикфункции 1) получается из графика /(х) параллельным сдвигом последнего вдоль оси Оу на величину Ьвверх (Ь > 0) или вниз (Ь< 0). График функции 2) получается из фафика /(х) умножением всех ординат фафика /(х) на величину с (с учетом ее знака) при тех же значениях абсцисс, т. е. путем равномерного растяжения графика /(х) вдоль оси Оу ъ с раз. График функции 3) получается из фафика /(х) параллельным сдвигом вдоль оси Ох на величину а вправо (а > 0), или влево (а < 0). График функции 4) получается из фафика /(х) посредством деления всех абсцисс на величину с (с учетом знака) при тех же значениях ординат, т. е. путем равномерного сжатия фафика /(х) вдоль оси Ох в с раз. Функция /(х), определенная на некотором промежутке X, называется периодической, если существует число Т >Отакое, что /(х +Т) = /(х) для любого X из X и X + Т, принадлежащего X. При этом наимень­ шее число Т >Оназывается периодом функции /(х). Например, функция С08ПХ (п — натуральное) является периодической с периодом Т = 2тг/п, ( 2тг\ так как со5га1х + — I = со5пх при любом х из области определения X=(-00;+оо). Функция /(х), определенная на множестве X, симметричном относи­ тельно начала координат, называется четной [нечетной], если /(-х) = /(х) [/(- х ) = - /(х)]. График четной функции симметричен относительно оси Оу, а фафик нечетной функции симметричен относительно начала коорди­ нат(см.3.1.6.1).Например,функцииу=х^, у = собх — четные,ау=х^, I/ = 81ПХ — нечетные . Большинство функций не относятся ни к четным, ни к нечетным. Любая функция /(х), определенная на множестве, симмет­ ричном относительно начала координат, может быть представлена в виде суммы четной и нечетной функций: /(х)= ^[/(х)+/(-х)]+^[/(X)- /(-X)]. функция у =/(х) называется возрастающей [убывающей] на множестве X, если для любых Х|,хг из X, удовлетворяющихусловию х\ <Х2, выполня­ ется строгое неравенство /(х,)</(х2) [/(х|)>/(хз)[. Если же /(х|)</(х2)
[/(^О > /(хг)], то функция называется неубывающей [невозрастаюшей] на множестве X или монотонной. Возрастающие и убывающие функции назы­ ваются строго монотонными. Например,функцияу =2х возрастает на всей числовой оси. Функция называется возрастающей в некоторой точке, если она является возрастающей в некоторой достаточно малой окрестности этой точки. Функция /(х) называется ограниченной, (неограниченной)намножестве X, если множество V всех ее значений у = /(х) (где х принадлежит X) является ограниченным (неограниченным) множеством (см, 1.1.6). Например, функция 2; = 2х не ограничена на всей числовой оси, но офаничена на любом отрезке |о; 6], Сложной функцией называетсяфункция отфункции. Пустьу =/(и) — функция от и, где и = §{х) — функция от х, тогда у является сложной функцией от независимого аргумента х, те . у = Р(х) = /[я(х)| —функция, область определения которой состоит изтех значений х,для которых значения и = г(х) входят в область определения функции /(и). При этом величину и называют промежуточным аргументом. Возможны также сложныефункции сдвумя,тремяит.д.промежуточными аргументами. Пример 5. 1) у = и’ , и = 81па:; сложная функция у = яп ’ I имеет область определения X=(-00;+оо). 2)у=1пи,« = в = 51П2:, где и,V — промежуточны е аргументы; областью определения сл ожн ой функци и у = 1п (8|п^ х) является вся числовая ось, за ис ­ ключением точек х„ = гиг (п — целое число), в которых 8шх„ = 0. Пусть функция у = /(х) задана на множестве X, а У — множество ее значений. Обратной функцией для функции у =/(х) называется такаяфунк­ ция X =ё(у), которая определена на множестве V и ставит в соответствие каждому у изУ такое х из X,для которого /(х) = у. Чтобы найти функцию, обратную для у = /(х), необходимо рещить уравнение /(х) = у относитель­ но неизвестной х, т. е. выразить х через у. Две функции у = /(х) и х = ^(у) называют также взаимно обратными, так как каждая из них является обратной для другой. Пример6.Обратнымидляфункций:1)у=х’,2)у=е', 3)у=2*-I-1являются соотве тс тве нно: 1) х = 2)х=1пу,3)х= -(у-I). Функция X = я(у), обратная для у = /(х), может быть многозначной. Например,для функции у = обратная функция х = ±у/у является двузнач­ ной. Для однозначности х = ^(у) необходимо и достаточно, чтобы разным значениям аргумента Х| / Хг соответствовали разные значения функции 3/1Ф У2, т. е. каждому значению у соответствовало бы только одно значение X
такое, что у = /(х).Для однозначности х = ^(у) достаточно, чтобы у = /(х) являлась строго монотонной. При этом, поскольку у = /(х) однозначна, она устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами X к У. Если обратная функция ^(у) однозначна, то выполняются тождества: = 9(Пх)) = х длявсехгизX ивсехуизV. Далее всегаа подразумевается, что обратная функция однозначна, если не оговорено противное. Пример 7. Функция у = строго монотонна на промежутках 1) О ^ ж < +оо и 2) -00 < * < 0. В первом случае однозначная обратная для у = функция х = у/у, а во втором случае х = - \/у. Графики взаимно обратныхфункций у= /(г) и I = %{у), очевидно, совпа­ дают. Если аргумент обратной функции обозначить, как это принято, через х, то она запишется в виде у = ^ (х). В таких обозначениях графики взаимно обратных функцийу—}(х) ку = ^х) симмет­ ричны друг другу относительно прямой У = X . В качестве примера, на рис. 4.3 приведены графики взаимно обратных функцийу=х^иу=у/хприI >0. Все функции подразделяются на эле­ ментарные, и неэлементарные. К основ­ ным элементарным функциям относят­ ся:степеннаяфункцияу = х“ (о — лю ­ боедействительное числ о), показательная функция у = о ', логарифмическая функция у = 1оё<,х, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, гиперболические функции, обратные гиперболические функции. Элементарными называю т также функ­ ции, полученные из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий (сложения, вычитания , умножения, деления) и со­ ставления сложных функций с конечным числом промежуточных аргументов. Рис. 4.3 4.2 . Числовые последовательности ^'2.1 . Предел числовой последовательности Числовой последовательностью ( и л и п р о с т о последовательностью) н а з ы в а ю т действительную функцию, определенную на множестве натуральных чисел:
/(п) = а„ (п = 1,2, . . . ) . Последовательность записывается в виде {«п}, или {0|,02, а„,...},илиО],02,..., а„ Числа а„ называются элемента­ ми (или членами) последовательности. Например, последовательность {1/п} состоит из элементов 1, 1/2, 1/3,... . Последовательность {а „ } называется ограниченной сверху (снизу), если существует действительное число М (т) такое, что х „ ^ М (х„ ^ т ) для всех п. Последовательность, ограниченная и сверху, и снизу, называется просто ограниченной: т ^ х„ ^ М для всех п. Для ограниченной последовательности |а„| ^ К , где К — наибольшее из чи­ сел |т|, \М\. Говорят, что последовательность {а „} имеет своим пределом число о (сходится к о, или стремится к а), если для любого числа е > О существует натуральное число N (г) такое, что для всех п> N выполняется неравенство |о„ - а\ < е, т. е. при возрастании номера п элемент а„ неограниченно приближается к а. В этом случае пишут: ИтХп=а, или Итх„ = а,или х„ ->а. П-*СС Примечание. Неравенство |а„ - а| <Е равносильно двум неравенствам а - е < а „< а + е. Последовательность, имеющая (не имеющая) предел, называется сходя­ щейся (расходящейся). Предел постоянной величины равен самой этой вели­ чине. Если последовательность {а „} имеет предел, то он единственный. Любая сходящаяся последовательность ограничена. Ограниченность по­ следовательности — необходимое, но не достаточное условие сходимости. Пример 8. 1) Для офаниченной последовательности {1/п} имеем П т {1/п} = 0. Действитель- П-ЮО Н О , если зададим чис ло е > О, то из неравенства 1-0 П =-<е (1) п следует п > 1/е. Ес л и выбрать чис ло N > 1/5, то для всех п > N неравенство (1) будет выпол ня ться . Гп-П 12 2) Огран иченн ая последовательность < -----^ = О, имеет предел (п; 23 п-1 Ит ----- = 1. п-юо П 3) Неограниченная последовательность {п} = 1 ,2 ,3 , . . . явл яе тс я расходящейся (не имеющей предела). 4) Ограниченная последовательность {(- 1 )"} = - I , 1, —1, 1 , . . . расходится. 5) Офаниченная последовательность < -----? = - 1 , - , — ,... стремитсяк0. Iп^ 23
Последовательность{а„} называетсянеубывающей(невозрастающей), ес­ ли о„ ^ 0„+1 (о„ ^ о„+1)длявсехп. В случае строгого неравенства а„ < а„+] (о„ > о„+1) последовательность называется возрастающей (убывающей). Не- ^ывающие и невозрастаюшие последовательности называются монотонными последовательностями. Возрастающие и убывающие последовательности на­ зываютстрого монотонными. 4.2 .2 . Признаки существования предела 1) Монотонная и ограниченная (с обеих сторон) последовательность имеет предел. 2) Если для элементов трех последовательностей {агп},{з/п}>{•^п} выполня­ ются неравенствау„ ^ х„4:2„ »Ит у„ =Мтг„=а,тоИтх„=а. п-*оо п-юо п-*оо 3) Критерий сходимости Коши. Для существования предела последовательно­ сти {а „} необходимо идостаточно, чтобы для любого е > Осуществовало число такое, что для всех п >N ир >Овыполнялось |хп- *п+р1<е. 4.2 .3 . Основные свойства сходящихся последовательностей Пусть для последовательностей {а„} , {Ь„} существуют пределы Ит о„ = а, П~*00 Ит Ь„ = Ь, тогда; П-+00 1)Еслиа„^Ь„,тоа^Ь. 2) Пт(аа„ ±РЬ„) = аа ±0Ь, гдеа, /3—действительные числа. П-ЮО 3) Ит(а„Ь„) =аЬ. п-юо 4)Ит^ ^ {Ь^О). п-юо Од О 5) Ит |а„1 = |о|. п-юо 6)ЕслиИта„ =а >О,тоИт = 'УЪ,. п-юо п-»-о& 4.2.4. Число е Последовательность с элементами п-юо\ П/ (п= 1,2 ,3,...) имеет предел / 1\ ^ е =2,718281828..., являющийся иррациональным числом.
4.2 .5 . Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Последовательность {а „} , для которой И т а„ = О, называется бесконечно п-»оо малой. Последовательность {о„} называетсябесконечно большой, если для лю­ бого К’ > О можно найти номер N такой, что при п ^ N все элементы последовательности |а„| > К. При этом говорят, что о„ стремится к бес­ конечности, и пишут: Ит о„ = оо или а„ -)• оо. В частности, возможны П-ЮО случаи: И т а„ = +оо или П т а„ = *-оо. Например, последовательность п-юо п-»оо а„ = ( —1)"п является бесконечно большой, так как |а„| -Ьоо при п оо. Любая бесконечно большая последовательность неограничена. Неограничен­ ная последовательность может и не быть бесконечно большой. Например, неофаниченная последовательность {1,2, 1,3 , . . . , I, п , . . . } не является бес­ конечно большой, так как не все ее элементы могут превышать любое наперед заданное число К >0. Произведение {а„Ь „} офаниченной последовательности {а „} на беско­ нечно малую последовательность {6„} является бесконечно малой последо­ вательностью, т. е. И т (а„Ь „) = 0. п-юо Если {а„} — офаниченная последовательность, а {6„} — бесконечно большая последовательность, то Пт^ =0. п-*оо 0 „ Если {а„} — бесконечно малая последовательность то Иш— =00. п-юоо„ 4.2 .6 . Неопределенности Еслиа„ -» Ои ->О,то выражение а„/Ь„ называетсянеопределенностью вида 0/0.Для а„ оо и Ь„ 00 выражение а„/Ь„ называется неопределенностью вида оо/оо. Если а„ О,Ь„ -> оо,товыражениеа„Ь„ — неопределенностьвида Ооо.Приа„ ->+00,Ь„ ->Ч-оо(илиа„ -> -оо,Ь„ -> -оо)выражениеа„ -Ьп называется неопределенностью вида оо - оо . Нахождение соответствующего предела(если он существует) называетсяраскрытием неопределенности. Пример 9. I)Еслио„= Дг,Ь„= тоПт^=Ит-=0;Ит—=Нтп=сю П п-*оо Ьп п-юо п п-кх а„ шоо (неопределенность 0/0).
2)Еслиа„=п,Ь= ,тоПт(а„6.)=1т- =О ' а-юо п-*оо п (неопределенность ос •О или оо/оо). 3)Еслиа„= \/п,Ь„=•Уп- то (\/п-у/п- 1)(-Уп+ \/п- 1) I 1|т(о„ - 6,) = 1 |т ------------- —----- , = 11т—=------. - =О п-юо в-юо - 4-у/п —I у/п + у/П—1 (неопределенность оо - оо). 4.2 .7 . Предельная точка последовательности ПустьОь02,..., о „,... — некоторая числовая последовательность. Возьмем произвольную возрастающую последовательность натуральных чисел 1^ р| < Р2< ••• и выберем из последовательности {а „} элементы с номерами Р ьРг. . . . , тогда последовательность , Ор,, . . . называется подпоследовательностью последовательности {о „} . Если последовательность {а „} сходится и имеет конечный предел а (или оо), то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет предел а (или оо). Конечное число с (или оо) называется предельной точкой (частичным пределом) последовательности { о „} , если существует такая ее подпоследова­ тельность чтоНтОр.= с. п—»00 в любой окрестности предельной точки имеется бесконечное множество элементов последовательности { о „ } . Любая офаниченная последовательность имеет хотя бы один конечный частичный предел (теорема Больцано—Вейерштрасса). Или иначе: из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу. Если этот частичный предел единственный, то он и является конечным пределом последовательности. Любая последовательность (офаниченная или нет) имеет частичные пре­ делы (конечные, или -Ьоо, или -оо). Наименьший частичный предел (конеч­ ный илибесконечный)последовательности {а „} называется нижним пределом последовательности и обозначается Ища„. Наибольший частичный предел называетсяверхним пределом последовательности: 11та„. Если последователь­ ность не Офаннчена снизу, то Птап = -о о , если не офаничена сверху, то Ито„ = +00. Равенство нижнего и верхнего пределов является необходимым и достаточным условием существования обычного предела (конечного или бесконечного)последовательности{а„},приэтомНто„ = и та„ =11та„. П~*00 Пример 10. 1) Ограничен ная последовательность
имеет две предельные то чки О и 3. Дл я подпоследовательности 1; у пре­ дел равен О, а для подпоследовательности 3; 3 ; . . . пр>едел равен 3. При этом И то „ = 0, П та „ = 3. Нижний и верхний пределы не равны, следовательно, данная последовательность расходится. 2) Последовательность {о„} = 1;-I; 1;-I;... имеетДто„ = - I, Пта„ = 1ияв­ ля етс я расходящейся. 3) Для последовательности 1113 17 I2”-I = •— •-----• ^^ 224488 ’2"’ 2" ’ имеем П тО п = 0 , 11т о „ = 1. Последовательность расходится. 4.3 . Предел функции 4.3 .1 . Определение предела Пусть функция у = /(х) определена на некотором множестве X = {х} и пусть точка х = а такая, что она либо принадлежит множеству X, либо не принадлежит, но обладает тем свойством, что в любой ее е-окрестности а-е<х<а+е содержатся точки множества X, отличные от а. Такой точкой является, например, один из концов интервала. Число А называется пределом (предельным значением) функции у = /(х) вточке X = а, еслидля всякого числа е>Онайдетсячисло(5=б(е)>О такое, что для всех х, для которых О< |х - а| < Й, выполняется неравенство |/(х)-АКе. Запись: Ит/(х)=Аили/(х) А(х а). х-*а Используется также другое определение предела. Число А называется пределом функции /(х) в точке а, если для лю­ бой сходящейся к а последовательности {х „} значений х (все х„ / й) соответствующая последовательность {/(х „)} сходится к Л, т. е. по мере приближения X к о (при этом х Ф а) справа или слева, значение /(х) неограниченно приближается к А. Если функция /(х) имеет в точке х = о некоторое предельное значение, то оно в этой точке единственно, так как последовательность {/(х „)} может иметь только один предел. Пределом постоянной величины называется сама эта величина. Пример 11. 1) Для функции у — имеем И т — 4. Здесь функци я определена при х = 2. х- *2
_I 2) Функция у = определена для всех х ^ I. Сокращая дробь на х - I , так как X 7^ 1, получим ,TM ?1^=ИтЫЫ =Ит(х+,)=2. X—1 *-*! X—1 *-*! 3) Функция у = со8(1/х ), определенная при всех х ^ О, не имеет предела при X О, так как ее значения изменяются от - I до +1, совершая бесчисленные колебания при х -> О, не стремя сь при этом ни к ка кому определенному числу. Следующие два предела называются замечательными: 1)Иш— =1; где иррациональное число е = 2,718281828,.. является, в частности, основа­ нием натуральных логарифмов. 4.3 .2 . Критерий Коши существования конечного предела функции Для того чтобы существовал конечный предел 11т/(а:), необходимо и до- х~*а статочно, чтобы для каждого е > О существовало такое д = <5(е), что 1/(®1)-/(®2)1<г,кактолькоО<|11-а|<<5иО<|Х2-а]<(5,где Х[,Х2— любые точки из области определения функции /(х). При этом /(х) не обязательно определена при х = а . 4.3 .3 . Односторонние пределы ЧислоА] называется пределом слева функции /(х) вточке а,если онаопреде­ лена на некотором полуинтервале [Ь; а) и существует предел 11т /(х „) = А\ х„-*а длялюбой сходящейся к о последовательности {!„ } значений аргумента, при условии Хп < а. Обозначения; А,= Ит /(х)=/(а-0)=Ит/(х). х^а-О Аналогично, число А2называется пределом справа функции /(х) в точке а, если она определена на некотором полуинтервале (а; с] и существует предел Ит /{х„) = А^ для любой сходящейся к а последовательности {х „} х»-*а значений аргумента, при условии х„ > а. Обозначения: А2= Ит /(х)=/(а+0)=Иш/(х). 1-,а+0 “ Т*?
Для существования обычного предела функции /(х) в точки а необхо­ димо и достаточно равенство пределов слева и справа в этой точке. При этом Ит/(х)=Ит/(х)= Ит/(х). х~*а х-*а-0 х-*а+0 Пример 12. Для функции /(х) = 58па: (см. пример 4) имеем: /(-0)=Пт/(X)= - 1, /(+0)=Ит/(*)=1. 1-*+0 Число А называется пределом функции /(х) при х —>+оо (или х -оо), если для любой бесконечно большой последовательности {х „} значений ар­ гумента, все элементы которой, начиная с некоторого номера, положительны (или отрицательны), соответствующая последовательность значений функции {/(х „)} сходится к А. Запись; Ит /(х)=А (или Ит }(х) =А). 1-»+00 Х-* -00 Например,для функции /(х) = — имеем Ит = Ит—=0. X х-»+оо X х-*~оо X 4.3 .4 . Бесконечно малые и бесконечно большие функции Если функция /(х) ->Опри х ->о , где а — некоторое число, или -Ьоо, или - 00, то она называется бесконечно малой функцией при х а (или в точке X = а). Например, функция /(х) = х^ - I является бесконечно малой при X->1(вточкех=1)их->-1(вточкех= -1). Если Ит /(х) = Л , то функция а(х) = /(х) - А является бесконечно х~*а малойприX->а(вточкех=а). Функцию /(х) называют бесконечнобольшой функцией при х о, где о—число,или -Юо,или - 00,ипишутИт/(х)=оо(или/(х)->оопри х-*а X а), если /(х) определена в некоторой окрестности точки а, за исключе­ нием, быть может, самой этой точки, и для всякого числа М > Осправедливо неравенство |/(х)| > М, как только О < |х - а| < 6(М). Абсолютное значение |/(х)| при этом неограниченно возрастает при х -> а как слева, так и справа. Если при этом в некоторой окрестности точки а выполняется /(х) > О (или /(х) <0), то пишут Ит/(х)= -1-00 (Иш/(х)= -оо). Аналогично определяются бесконечно большие функции при х —> -|-оо иX—>-оо: Ит /(х) = оо, Ит /(х) = оо, Ит /(х) =±оо. 1-»+оо а^-^-оо Х->±00
Используется также понятие бесконечно большой функции, связанное с односторонними пределами: Пт /(х) = +00, Пт /(г) =+оо, 1-»а-0 1-»а+0 11т /(х)= -00, Ит/(х)=-оо. х-*а-0 х-*а+0 Если функция /(х) — бесконечно малая при г ои/(г)/Опри г^а,тофункцияг(х)= — бесконечно большая при х -+ а. Если /(®) ${х) — бесконечно большая при х -> а , то /(х) = -7— — бесконечно 8{х) малая при I -> а . Например, /(х) = х - 1 — бесконечно малая при х 1, а функция ^(х) = ------- бесконечно большая при х -)• 1. X-1 Пример 13. О/(®)= ~ бесконечно большая функиия при ж 0. 2) /(*) = —!— — бесконечно большая, т. е. |/(г)| -» оо при х ->I .При этом X—1 /(х)-» -00приX-»Iслева(х<1),/(х)->+ооприI ->1справа(х>1). 4.3 .5 . Действия над пределами Если существуют пределы Ит/(х) = ^4 и 11тй(х) =В при х->о (или х-+±оо, илиX->о±0),то 1) длялюбых чисел о и /9 11т[а/(х) +Р^(х)\= аА + 2) 11ш/(х)г(х) = >1В; Равенства 1) и 2) применимы к любому числу функций. При вычислении пределов функций могут быть использованы следующие пределы: 11тЛЧ--) = 11т(1+ 5/)'^*'= е, х-*(х> \ X/ 1/-*0 5ШХ 1п(1+х) 11Ш ---- = 1, 11т --------- = 1, 1-.0 X 1-*0 X Пт ---^=1па. Пт =о(а>О,о/1), 1-+0 X г-»+оо X (1+х)“ -1 7Г П т -------- = а. Пт агс(§1=-. 1-*0 X 1-.+0О 2
+5ж—2 Пример14. Пт —;—; ----— = {р азложим числитель и знаменатель на множи- ^ ^ т^-2 -Х^+6Х+\в ' 3(х+2)^х+ Л тели, решая соответствующие квадратные уравнения} = П т — ^ ^= X—2 - (х +2)(х-8) {сократим дробь на 1 + 2, так как х ф -2, и положим после сокращения дроби Пример 15. П т —— - - - = {разделим числитель и знаменатель на } = 1 -Ч-00 1х-+X -I х^ 3-0+0 3 И т ------ ;--- = --- --- -- — х-»+оо 2+0 2 X _ \/5-X - +Т Пример 16. 1 1 т = ---- — ----- — = {разложим знаменатель на множители, решив х~*2 X ЗхЧ"2 квадратное уравнение, а та кже у мно жим чи слите ль и знаменател ь дроби на у/5 - х +\/хТТ} —П т - ^ ---------- . = {сократим дробь на х - 2 и при- х^2(х - 2)(х - 1)(л/5^ + мемзатемх=2,таккакх 2}=— . уЗ 51ПЗх 3(5ш3х) , 35ШУ 3 3 Пример 17. П т —-— =Пт : ={Зх=у}=Пт -----= - !=-. Х^о 5х х-»о 5(3х) 5у 5 5 3 Пример18. 11т(. + ^) = ||т(|+^)’ ={^н„} = 1|т[()+ Другие приемы вычисления пределов с использованием правилаЛопиталя и формулы Тейлора приведены в 5.7 и 5.8. 4.4 . Асимптотические соотношения между функциями Пусть а(х) и ^ {х) — две функции, определенные в некоторой окрестности точки а, за исключением , быть может, самой этой точки (точки а может быть конечной, или +0 0 , или -оо), тогда: а(1) 1) Если существует число Д > О такое, что О < ^ <Априх а• то говорят, что а(х) — функция не высшего порядка малости, чем /5(®)
при X —Уа, и пишут а{х) = 0\Р(х)\ при х —уа. Читается: а(х) равно О большое от ^(х) при х а. 2) Если существует конечный предел ITM = Афа Ф(х)фОприX аиX/а), х->а Р(х) то говорят,чтофункции а(х) иР(х) имеютодинаковый порядок малости при г -> а . Запись; а(х) = 0'\^(х)\ при х -у а. При этом заведомо а(х) =0[Р(х)\ при I ->а. 3) Если предел 11т =1Шх)ФОприI аиI а),то функции /3(1) а(х) иР(х) называются эквивалентными (или асимптотически равными) при X а. Запись: а(г)~ Р(х) при х -у а. 4) Если предел И т = О(^(х)ФОпри х а л х Ф а),ю говорят, :г-*а Р{х) что функция а(х) имеетболее высокий порядок малости, чем 0(х), при X а. Запись: а(х) = о[()(х)] при х -* а. Читается: а(х) равно о малое от/3(х)приX-Уа. Если а(х) = о\Р{х)\ при г а, то а(х) = е(х) -0{х), где е{х) Опри X->а. Приж^ 0: 51пх~г, 1п(1+х)~1, е'’-1 ~х, (8х~х, 2-2 X 1-со5Х~ — , +X-I ~ 2 п При вычислении пределов отношение двух функций можно заменять отношением эквивалентных функций. Если 11т = АфО(т >0), то а(х) называютбесконечно малой 1-.0 ХTM порядка т при х—у0. Если Пт ^ 7^О(т >0), то а(х) называютбесконечно большой 1-ЮО Х ”* порядка т прих—>+оо. Показательная функция стремится к бесконечности при х -> + о о быст­ рее любой степени хTM , т. е. Ит— = +00. 1-*+0С х"" Если Пт = Л 7^О,то а(х) называетсябесконечно большой экспо- 1-»+оо ненциального порядка при х->+оо.
Еслиа(х)~/?(х)прих-4а,то /3(1) - а(х) — ^ ^ ^ 0 прих^а, т.е. Р{х) - а(х) = о[р(х)]. Для обозначения бесконечно малой при х —^ о функции а(ж) исполь­ зуется выражение а(х) = о(1) при х —>а . Например, а(х) = = о(1) при X -> +00. Пример 19. 2 1)а;=о{х)приX-►О,таккакНт— = 0. 1-»0 X 1—008X 2) I - С05Х = о(х) при X о,так как И т ------------------ = 0. 1-»0 X \%Х /81ПХ 1 \ 3)18Х~XприX о,таккак11т-------= Ит1 ----------- I=1- х-»0 X *-»0\ X 008X/ 4)8ШX=0*(х)приX О,таккакПт = 1^0; при этом также 81Пх = 0{х) 1-»0 X приX—>0. х^ _1_2х 5)х^+2х=0(х)приX О,таккакИт = 2^0. «-♦о X 6)Зх^- X+I=О(х^)приX +0С,таккакйт ^ = 3^0 1-»+00 Х^ ^,3 2 3 Х^Н-Х^008X 7)X4-X008X ~X приX—^+00,таккак пт -------------^ ------------— I . *-»+оо X 4.5 . Непрерывность функций Функция /(х), определенная в некоторой окрестности точки х = Хо, в том числе в самой точке Хо, называется непрерывной в точке Хо (при х = Хо). если предел этой функции при х -> Хо существует и равен значению функции в точке Хо: Ит /(х) = /(хо), (4.1) Х-*Хй т. е. для любого числа е > О существует число <5 = 6(е, Хо) > О такое, что при |х - Хо| < |5 для всех х из области определения функции выполняется неравенство |/(х) - /(хо)| < е. Равенство (4.1) можно записать также в виде Ит /(х) = / ( Ит х ) , т. е. можно переходить к пределу под знаком непрерывной 1-*1о 1-»а:о функции. Вводя приращение аргумента Д х = х - Хо и приращение непрерывной функции /(х) в точке Хо, равное Д?/ = Д/ = /(х) - /(хо) (рис. 4.4), можно
Рис. 4.4 Пт Г/(хо+Дх)-/(го)]=ИтЛр=0. Д 1-»0 д»-»о (4.2) Следовательно, функция г/ = }{ х ) , определенная в некоторой окрестно­ ститочки ж= 1о, непрерывна вточке Хо,если вэтой точке приращениеДу функции, соответствующее приращению аргумента Д х, является бесконечно малым при Д х -> 0. При этом любому сколь угодно малому приращению Д х соответствует также малое приращение Д у. График непрерывной в окрестно­ сти точки Хо функции является отрезком непрерывной (сплощной) линии. Пример 20. 1) Функция у = С ( С — постоянная) непрерывна в любой точке Хо, так как при­ ращение функции Д у = /(®о -1 -Д*)-/(*о)=С -С =ОприлюбыхХоиДх. Следовательно, Мт А у = 0. Дх-*0 2) Функция у = X непрерывнавлюбой точкеХо,так как Ау =/(хо+Дх)-/(хо) = (хо-ЬАх) —Хо= Дх. Следовательно, Ит Ау = Ит Дх = 0. Дх-»0 Лх-*0 3) Функция у = непрерывна в любой точке Хо, так как Д у = (хо -I-Дх)^ - х^ = 2хоДх+(Дх)^и ИтАу=0. Дх-»0 4) Функция у — \/х непрерывна в любой точке Хо ^ О и не является непрерывной вточкеХо=0. Функция/(х) называетсянепрерывной слева (справа)(справа) вточкеХо, если в этой точке предел слева (справа) существует и равен значению /(хо): Пт /(х) =/(хо) [ Мш /(х) =/(хо)]. х~*хо~0 г—Мо+0 Если функция непрерывна в некоторой точке и слева, и справа, то она просто непрерывна в этой точке. Функция /(х) называется н е пр ер ы вн о й
на данном множестве точек (интервале, отрезке и т, п .) , если она непрерывна в каждой точке этого множества. Сумма, разность, произведение, а также отношение непрерывных функ­ ций (когда делитель не равен нулю) являются непрерывными функциями. Если функция а = и(х) непрерывна в точке Хо, а функция у = /(а) непрерывна в точке щ = и(хо), то сложная функция у = /(«(х)) = 1 '(х) непрерывна в точке а: = Хо. В частности, полином любой степени непрерывен во всех точках чис­ ловой оси. Отношение двух полиномов (т. е. дрюбно-рациональная функция) непрерывно в любой точке числовой оси, в которой знаменатель не равен нулю. 4.6 . Точки разрыва функции и их классификация Точка Хо, в которой функция не является непрерывной (иначе говоря, раз­ рывна), называется точкой разрыва функции. В такой точке Хо равенства (4.1) и (4.2) не выполняются: а) любо не сушествует /(хо), т. е. функция не опре­ делена при X = Хо; б) либо не существует предел И т /(х); в) либо обе части х-Ио формулы (4.1) имеют смысл, но не равны друг другу. 1. Устранимый разрыв. Точка Хо называется точкой устранимого разры­ ва функции /(х), если в этой точке существует конечные односторонние пределы, равные друг другу Ит /(х)= Нт /(х)=А, Х-Ио-0 Х~Ио+0 но при этом функция либо не опре­ делена в точке Хо, либо ее значе­ ние /(хо) не равно предельному зна­ чению А в этой точке. Разрыв такого типа можно устранить, если принять значение функции при х = Хо равным ее предельному значению в этой точке: /(хо) = А . На рис. 4.5 изображен гра­ фик функции, имеющей устранимый разрыв в точке х = Хо. Конец стрелки указывает на исключенную из фафика точку. 2. Разрыв первого рода (конечный разрыв). Точка Хо называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу односторонние пределы: Ит /(х)^ Ит /(х) (хе. /(хо-0)//(хо-)-0)). 1-Ио+О
На рис. 4.6 приведен график функции, непрерывной слева в точке разрыва первого рода Хо и разрывной справа, а также имеющей разрывы первого рода в точках Х\,Х2, X}. Величина |/(хо + 0) - /(хо - 0)| называется скачком функции. Пример 21. Для функции /{х} = 5 8 П х (см. пример 12) скачок в точке разрыва первого рода X = 0 равен |/(+ 0)-/(-0)| = 2. Эта функция разрывна и слева, и справа в точке X =О,аеезначенияу=ОвточкеI =Онеравнонилевому,ниправомупределу. 3. Разрыв второго рода. Точка Хо называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке не существует левого или правого предела, или не существу­ ют оба эти предела, или же хотя бы один из этих пределов бесконечен. Пример 22. Функция у = 1/г (рис. 4.7) имеет в точке х = О разрыв второго рода, так как ИтV= 1-*-0 -ос. ПтV=+00. 1-1+0 В этом случае говорят та кже, что функ ­ ция имеет бесконечный разрыв в точке 1=0. На рис. 4.8 приведен график функции, имеющей бесконечные разрывы в точках Х\,Х2, Хз- Функция /(х) называется ку­ сочно непрерывной на отрезке |а; 6|, если она имеет односторонние пре­ делы в точках а и Ь и непрерывна
Рис.4 .8 во всех точках интервала (о; Ь) за исключением конечного числа точек раз­ рыва первого рода. 4.7 . Свойства функций, непрерывных на отрезке Функции , непрерывные на отрезке |а; 6|, т. е. непрерывные в интервале (а; Ь) и непрерывные справа в точке а и слева в точке Ь, обладают следующими свойствами. I. Если функция /(х) непрерывна на конечном отрезке [а; 6], то: 1) /(х ) Офаничена на этом отрезке. 2) Существует минимум т и максимум М функции на [о; Ь| (теорема Вей- ерштрасса). 3) Если числа /(о) ^ О и /(6) О и имеют разные знаки, то в интервале (о; Ь) существует хотя бы одна точка Хо. в которой /(хо) = 0. 4) Если /(а) / /(Ь), то функция принимает все промежуточные значения между /(а) и /(6) (теорема Коши).
5) Если т и М ( т < М ) соответственно минимум и максимум /(х) на [а;Ь и С — некоторое число, такое, что т < С < М, то в интервале (а; Ь существует точка го, в которой /(хо) = С . 2. Если функция у — }( х ) непрерывна и строго возрастает (или убыва­ ет) на отрезке [а; 6] и имеет значения А = /(а), В = /(6), то на отрезке \А',В] (или \В\А\) существует однозначная непрерывная строго возрастаю­ щая (или убывающая) обратная к у = /(х) функция у = §{х) (см. 4.1.3). Пример 23. Функция у = /(х ) = непрерывна и строго возрастает на любом отрезке [а ;Ь], принадлежащем промежутку [0 ;-Ьсх)). На любом отрезке [о^ 6^] существует однозначная строго возрастающая обратная функция у — ^( х) — '/х. 3.Функция /(х) называетсяравномерно непрерывной наданном множе­ стве X = { х } (отрезке, интервале, полуинтервале и т. п .), если она определена на X и для всякого числа е > О найдется <5(е) > О, зависящее только от е, такое, что |/(Х|) - /(хг)! < г для любых х ,, Хг, принадлежащих X и удовле­ творяющих неравенству |х, - Хг! < <5- Если функция /(х) равномерно непрерывна на X, то она и просто непрерывна на X ^ л и функция /(х) определена и непрерывна на отрезке |а;Ь), то она равномернонепрерывна нанем(теорема Кантора). Пример 24. Функция /(ж) = 1/х непрерывна в интервале (0; 1), но не является рав­ номерно непрерывной в этом интервале.
Глава 5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 5.1 . Производная и ее геометрический смысл 5.1 .1 . Определение производной Пусть у = у(х) = /(х) — функция, определенная в некоторой окрестности фиксированной точки I , в том числе в самой этой точке. Дааим аргументу X приращение Д х любого знака, такое, что новое его значение Х| = х + Дх также принадлежит этой окрестности. Тогда приращение А у функции в точке X , соответствующее приращению аргумента Д х, равно Ду=Д/=/(х.) - /(х)=/(х+Дх)-/(х). Производной от функции /(х) по X в данной фиксированной точке х называется предел (если он существует) отношения приращения функции Ду к соответствующему приращению аргумента Д х, когда Д х неофаниченно стремится к нулю. Обозначения производной: I- . Вт^ =гм, (5 .) дх-ю Дх Д1-»о Д х йх Лх Производная является мерой скорости изменения величины у отно­ сительно величины X . Функция называется дифференцируемой в некоторой точке X , если в этой точке существует ее конечная производная. Функция, дифференцируемая в некоторой точке, непрерывна в этой точке. Обратное утверждение в общем случае неверно. Действие нахождения производной от функции /(х) называется дифференцированием функции по х. Если функ­ ция у = /(х) определена в интервале (а; 6) и в каждой точке этого интервала имеет производную, то эта производная также является функцией от х, опре­ деленной в интервале (а; Ь). Пример 1. Найти производную от функции у = в точке х.
Решение. Задавая приращение А х аргумента х , найдем соответствующее приращение функцииДу=(х+Лх)^ - = 2хЛх + (Д х)^ По определению производной: , Ду 2хДх + (Дх)^ у=||щ— = Ит ---- = |1т (2х+Лх)=2х. > Л1-ЮДх Д1-*о Дх 5.1 .2 . Геометрический смысл производной Пусть подвижная точка М |(Х|,/(Х|)) на фафике непрерывной в интервале (а; 6) функции у = }( х ) (рис. 5.1) неофаниченно приближается по графику к фиксированной точке М (х , /(х)) на фафике (при этом Х| или Д1->0). Тогда, в общем случае, будет изменятся угол между направленной секущей ММ \ (т. е. прямой, проходящей через точки М , М\ и направленной в сто­ рону возрастания х) и положительным направлением оси Ох. Предельное положение (направленной) секущей при неофаниченном приближении точки М\ к точке М называется (направленной) касательной М Т к ф афику функции в точке М . Производная /'(х) (если она существует) в точке х равна тангенсу угла а(х) наклона касательной к положительной полуоси Ох, называемому угловым коэффициентом к{х) касательной, т. е. к{х) = 1$а{х) = / ’{х). При этом -7г/2 < а < 5г/ 2. Уравнение касательной к кривой у = /(х) в точке Щхо,Уо)- У^Уо=/'(хо)(х - хо) (2/0=/(хо)).
5.1 .3 . Левая и правая производная Левой (или правой) производной функции /(х) в точке х называется левое (или правое) предельное значение отношения А у/А х при А х —>О, т. е. Дх<0 ' Д1>0 ' Левой (правой) производной от /(х) в точке х соответствует левая М Т _ (правая МТ^) касательная к графику у = /(х) в точке М {х ,у), имеющая угловой коэффициент /1(х) (или /!|_(х)). Если функция /(х) дифференци­ руема в точке X, то она имеет левую и правую производные и Ш = Л(х) =/'(х). Если функция /(х) имеет в точке X левую и правую производные и они равны, то /(х) имеет в точке х обыч­ ную производную: /:(х) =Д(х) =/'(х). Если левая и правая производные существуют в точке х, но не равны друг другу, то обычная производная в точке X не существует. Пример 2. Функция /(х) = |х1 имеет вточ- ке X = О правую производную /^(0) = I илевуюпроизводную/1(0)= - 1,ноне имеет в точке х = О обычной производной. Такие точки ф афи ка , в которых лева я и правая производные не р авны, называютс я угловыми. Ле вая и правая касательные к графику в угловой то чк е 0 (0; 0) обозначе ны ОТ- и ОТ+ (рис. 5.2). Об ычна я касатель ная в точке 0 (0 ; 0) не существует. 5.1 .4 . Основные правила дифференцирования Если функции а(х), 1)(х), ь)(х) имеют производные в точке х и С — посто­ янная величина (число), то: 1)С'=0. 2) (Си)' = Си. 3)(и+V-го)'— и+V-V}. 4){иV)' = иV+««'.
6) («“У = (а — любое число). 7)(1п«)'=^. 8)Правило дифференцирования сложной функции. Еслифункции у =/(и) и и = и(х) имеют производные, то - .//ч ч\- Луйи\ У^ = Пп)-и(х)=у^-щ = Здесь индексы у производных показывают, по какой переменной произ­ водится дифференцирование. 9) Логарифмическая производная. Выражен ие /'(*) /(а:) называется логарифмической нроизводной от/(х). Если /(х) = и(х)”*** (« > 0), то 1п/(х) = г)(х) 1пи(х). Отсюда следует: /'(х)=(«”)'= и' 1пи+ ' 5.1 .5 . Производные основных элементарных функций 1) (х“)' = а х “ ~' (а — любое действительное число), х = \,(х^)' = 2х, 2)(е7=е". 3)(а^ = оМпа (О<а/1). 4)(1пх)' = 1. X 5)(1х)' = —!— (х>О,О<а7^1). X1пв 6) (8:пх)'= с05х. ^) (С08Х)' = -81ПХ . 8) (18х)' = С08^ X 9) (с18х)' = - ^ . 10) (агс8шх)' = (-1<X<1). VI-х^
11) (агссо8х)' = - 12) (агс1§х)' = I (-1<к 1). 1 1+' 13) (агсс18х)' = - ' 14) (хЬх)' = сЬX. 15)(сНх)' =811х. 16) (1Ьх)' = сЬ'^ X 17)(«Ьх)'= - 1+х2- 1 X (х/0). 18)(х^)' = х^(1+1пх) (1>0). Пример 3. Найти производные сложных функций: \)у=со5х^Ус= {у=со8и,и =х^} =у[и, = -(81пи)2а:= -2181пх^; 2)у=е““*,(/^= {у=е“, и =со8х}=у'и^ = -е“51пх= -е“*'8тх; 3)у=С08(1^-3*+!),уЦ.= {у=С08И,и= х^-Зх+1}=у[и'^= -(81пи)(2х-3)= = ~(2х-3)81П(х^- Зх+I). 5.1 .6 . Бесконечная производная Если функция /(х) непрерывна в точке х и /Чх)=Ит— = +00 (или - ею), Дзг^О Д х
то говорят, что в точке х функция /(ж ) имеет бесконечную производную. При этом касательная к графику функции у = /(х) параллельна оси Оу (рис. 5.3). 5.1 .7 . Дифференцирование неявных функций Пусть дифференцируемая функция у{х) задана в неявном виде Р {х , у) = 0. Производная у '(х) может быть найдена из равенства Р{х , у(х))'^ = О, в кото ­ ром Р(х , у) рассматривается как сложная функция от х. Пример 4. Найти производную у функции у{х) , заданной неявно: Р(х,у)=х‘+2ху-у^ -2х=0. Решение. Дифференцируя по х соотношение Р (х , у) = 0, в котором у = у(х), получим 2х+2у+2ху -2уу-2 =0, откуда х-у Аналогично находятся производные высших порядков, путем многократного дифференцирования равенства Р {х , у) = О по ж. > 5.2 . Дифференциал функции 1. Пусть функция /(х) от независимой переменной х определена в не­ которой окрестности точки х. Если приращение Ду этой функции в точке X, связанное с приращением Д х , может быть представлено в виде Ду=/(х+Дх)-/(х)= ^4(х)Дх+о(Дх)•Дх, (5.2) гае А(х) не зависит от Д х, а (Дх) — бесконечно малая функция аргумента Ах [а(Дх) О при Дх 0], то главная линейная относительно Дх часть приращения Д у (при Л / 0) называется дифференциалом йу функции /(х ) в точке х: <1у= Л} = А{х)Ах. (5.3) Если Л(х) = О, то слагаемое А ■Дх перестает быть главной частью при­ ращения Д у , однако и в этом случае дифференциал определяется по формуле (5.3), при этом (1у = 0. 2. Геометрически дифференциал функции /(х) в точке х, соответству­ ющий приращению Д х , представляет собой приращение йу = С В (рис. 5.1) ординаты у касательной к фафику функции, а приращение Ду = СМ ] яв­ ляется приращением ординаты фафика функции у = /(х).
Для существования дифференциала функции }{ х ) необходимо и доста­ точно, чтобы она имела конечную производную (т. е. являлась бы дифферен­ цируемой), при этом йу = г/'Дх г /'(х)Дх. Еслиу=/(х) =I , то йу=йх =Ах, т.е.дифференциали приращение независимой переменной равны между собой. Следовательно, (1у = / ’(х) йх. На основании этого производная может быть записана в виде отношения диф­ ференциала Лу функции к дифференциалу независимой переменной х, т.е. у'=Пх)=2- 3. Для дифференцируемых функций и(х) и «(х) справедливы формулы: 1) й(и ±п) —(1и± (IV, 2) <^(ии) = и(1ь + V (1и, 3) й{си) = сйи (с — число), /и\ VЛи-и(IV, , , 4. Приращение дифференцируемой в точке х функции /(х) можно на основании (5.2) записать в виде Ау - (1у+ о(Лх). Следовательно, при достаточно малом Д х справедлива приближенная формула Луи(1у или /(х+Дх)и/(х)+/'(х)Лх, (5.4) которая широко используется в приближенных вычислениях. Относительная погрешность формулы (5.4) может быть сделана сколь угодно малой для до­ статочно малого Дх, при условии /'(х) Ф 0. В частности, согласно формуле (5.4): 1)для/(х)=5ШХприX=Оимеем51ПДхиДх; 2) если /(х) = иX=О,то га 1-ьДх; 3) для /(х) = (!-!- х)“ (а — любое действительное число) и х = О имеем (1 Дх)“ а 1-ЬаДх; 4)если/(х)=1п(1+х)их=О,то1п(1 Дх)~Дх. 5.3 . Производная обратной функции Если функция у = /(х) в интервале (о; Ь) непрерывна, строго возрастает (или убывает) и имеет конечную производную / '(х) ф О, то обратная для /(х)
(1у \(1х ) (5.5) функция X = ^ {у) также имеет производную и = или4=1 Пример 5.Для функции у = агс81П1 (-1 < I < I, - ж 12 < у < 1г/2) обратной явля­ ется г = 5ШУ (-Л-/2 < у < Я-/2). По формуле (5.5) находим „'=1=— =-^ _= ' = ‘ * х', (51пу)|, С08У у'1 -5ш’у \/1-х^ Пример6. Дляфункции у = агссо«* (-1<1<1,0<!/<тг) обратной является X = С05у, следовательно I I I I (сову); 8шу ^1 -С08^у VI- Пример 7. Для функции у = агс18 I (-00 < х < +оо) обратной является х = у (-тг/2 < у < тг/2), следовательно I 2 I ' (агсШ х), = -----— = С05 у = ------- 5 — = ------ ;■ (18у), 1+18* >+* Пример 8. Для функции у = агссг^х (-ос < х < +ос) обратной является х = с18у (О< у < т), следовательно I 1 (агссЩ х)', = - 1+ С18^ X 1+х^■ 5.4 . Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть соответствующие друг другу значения величин х и у заданы в виде диф­ ференцируемых функций от параметра I (а < I < /3), т.е . х = у= Предполагается, что для функции х = 1р(1) существует однозначная обрат­ ная функция I = а{х), поэтому у может быть явно выражена через х, т. е. У = ф\а(х)\ = }( х ) . Производная у по х находится по формуле Пример 9. Найти производную функции, заданной параметрически, х = созй, у = $\п1 (О<<<7Г, -7Г<<<0). Решение, у ' = В интервале (0;тг) функция <р{1) = С05( строго убы- ьает, а в интервале (-тг; 0) —строго возрастает. В обоих интервалах ^р(I) ^ 0 . >
5.5. Производные и дифференциалы высших порядков 5.5 .1 . Производные высших порядков Если функция /(х) определена в интервале (а;Ь), то ее производная, если она существует в интервале (а; Ь), также является некоторой функцией /'(х), определенной в этом же интервале. Если функция / '{х) имеет производную в интервале (а; 6), то эту производную называют второй производной от /(х) и обозначают у" = } "(х) = }''^\х). При этом обычную производную у называют еще первой производной. В общем случае производной порядка п (п-й производной) от }( х ) называется производная (если она существует) от производной порядка п - 1: /И(^)=[/(п-.)(^)]- функция, имеющая на некотором множестве конечную производную порядка п , называется п раз дифференцируемой на этом множестве. Функция, п раз дифференцируемая и имеющая непрерывную производ­ ную /*"*(х) на некотором множестве, называется п раз непрерывно диффе­ ренцируемой на этом множестве. Пример 10. 1) (51ПХ)' = СО$Х = 81П -Ь ;(5Шх)" = (сО$х)' = - 81ПX = 5Ш +2^^; (51Пх)'" = (-81Пх)' = - 005I =51П +3^^;...;(51Пх)*“*=81П ^Х+ . 2) (С08х)'"* = 008 ^Х . 3)(е7=е^(еТ =е^...;(е')'"' = е^ 4) у=х“ (х >О,а —любоедействительноечисло),у' = ах““ ';у" = а(а- 1)х“"^; у'" = а(а - 1)(а-2)х“'^ ...;у*"*=а(а-1)(а-2)...(а-п+1)х“~". Если а =т (т —натуральное),то(х’")'"’*= 1-2-... т = т! и(х”)*"’ = Опри п > т . Например, (х‘‘)' = 4х\ (х'*)" = (4х^)' = 12х\ (х*)'" = (12х^)' = 24х, (х ’’)*'** = (24х)' = 24, (х'')*’ * = (24)' = О, все следующие производные равны нулю. 5)(а')' =о'1по(о>0),(о')" =а'1п^о, ..., (а*)'"'=о'1п"о. Для фун кци и, заданной параметрически: х = <р(1), у = ‘Ф{г), вторая производная равна
„_^ ^^ ^ (рф-фф ^~ Лх\ф) фй1\ф) (ФУ ’ . _ М*) ;_ <^ФЮ .._ <1М () г_ Аналогично находятся производные более высоких порядков. 5.5.2. Формула Лейбница Если функции и(х), V(x) имеют производные до порядка п включительно, то 1=0 где«"»=и,«“’»= С-= — О!= 1. 1'.(п - «)! 5.5.3. Дифференциалы высших порядков Пусть в интервале (о; Ь) задана функция р = /(х) независимого аргумента х, т. е. X не является функцией какой-либо другой переменной. Дифференциал с1у = }'(х)йх, являющийся функцией от х и Лх, называют также первым дифференциалом. Если функция /'(х) дифференцируема в интервале (а; Ь) и величина Лх имеет заданное фиксированное значение, не зависящее от х в этоминтервале, то,по определению, вторым дифференциалом функции У — }( х ) в точке I называют дифференциал от первогодифференциала в точке X. Обозначение: а^у = й(лу) = й[/'(х) Лх] = ах ■ау'(х)] = /"(х)(йх)' = /"(х) йх'. Здесь4х—постоянная,т.е .й^х =й(йх)=(йх)1йх=0. Дифферен1и<алом порядка п (п-м дифференциалом)функцииу ={(х) на­ зывается дифференциал от дифференциала порядка (п - 1): А = <^(<^"“ ' у ) = / ‘"*(г:)<^х". (5.7) Здесь <г'у = <1у. =Л^х=...=0. Согласно (5.7) для производной порядка п функции у = /(х) по н е за в и ­ симой переменной х имеем 2 /* ” * = 0- (5.8) Пример 11 . С чита я х независимой переменной, найдем дифференциалы: й(х’) =(х^)'Лх= Зх^Лх\ й^(ж’) ={х^УЛх~ = 6хЛх^: Л\х') = ЬЛх^, ^(х') =Л\х^) = ... = 0.
5.5 .4 . Инвариантность формы первого дифференциала Дифференцируемую функцию у = /(х) от независимой переменной х можно записать в виде сложной функции у = /(х) = ^[а(х)|, где ^(и) и и(х) — некоторые функции, дифференцируемые в точках и и х и и = и(х). Для первого дифференциала имеем йу=у'^йх=^(и)и(х)(1х=у'^щйх=у'^(щ =Ум т. е. Лу = у'^йх н йу = у'^Ли. Следовательно, для обоих случаев, когда у рас­ сматривается как функция от независимого аргумента х , или от зависимой переменной и (промежуточного аргумента и ), форма первого дифференциала остается неизменной (инвар и ан тн о й). Отсюда, в частности, следует, что <1у , У^=Тх'У'‘=Ти Для второго дифференциала, используя формулу й(ии)=иЛу+уйи, получим: а^у = / "(х)(1х^ = й(<1у) = й\^{и) йи\ = = {Ли) й[г'(и)] + «'(«) = /(“)(<^«)^+«■'(«) гдей^и = «"(х)(йх)^ = и(х)Лх^. Таким образом, форма второго дифференциала (а также всех дифферен­ циалов высших порядков) зависит от того, рассматривается ли у как функция независимого аргумента х, или как функция от промежуточного (зависимого) аргумента и. В последнем случае добавляется, вообще говоря, не равное нулю слагаемое ^ (и) которое равно нулю только для и{х) = ах + Ь. Пример 12. Для у=/{х) =х^ имеем Лу=у'^Лх=6х^Лх, Л^у =й{йу)={"{х)Лх^ = ЗОх^Лх^ Если и(I)=x^ у=$(и)=и\ то йу-у'„Ли =Зу}Ли=Зх'2хйх=Ьх^Лх, а^и =а(аи) =2Лх\ д}у= а(ау)=й(3и'йи) =йий(Зи^)+Зи^ = Ьи<1и^+Зи^ = вх^{2х ЛхУ + Ъх*(2 Лх^) = 24ж‘*кх^ + вх* Лх^ — ЗОх"* Лх^. 5.6 . Экстремум. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши 5.6 .1 . Экстремум Говорят, что функция /(х), определенная в некоторой окрестности точки X = с, достигает в этой точке локального максимума (или минимума), если существует содержащаяся в области определения /(х) окрестность этой точки
(с - (5; с + б), во всех точках которой выполняется неравенство /(с) > /(х) (или /(с) ^ /(х)). (5.9) Если вместо неравенств (5.9) выполняются строгие неравенства /(с ) > /(х ) (или /(с) </(х)) при X ^ с, то говорят о строгом локальном максимуме (или минимуме). В противном случае — о нестрогом локальном максимуме (минимуме). Абсолютным максимумом (или минимумом) функци и на некотором мно­ жестве называется ее наибольшее (или наименьшее) значение на этом мно­ жестве. Максимум или минимум функции (локальный или абсолютный) на­ зывают экстремумом (локальным или абсолютным). Для функции у = /(х), непрерывной на отрезке |а; 6|, локальный экс­ тремум может достигаться только во внутренних точках этого отрезка, но не в концевых точках а и 6, так как /(х) не определена в полной окрестности этих точек (слева и справа от них). На рис. 5.4 в точке А достигается строгий абсолютный минимум /(х), в точке В — строгий локальный максимум, в точ ­ ке С — нестрогий локальный минимум, в точке О одновременно достигают­ ся строгие локальный и абсолютный максимумы. Можно также сказать, что в концевых точках о и 6 достигаются односторонние локальные экстремумы. 5.6 .2 . Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции) Если функция /(х) дифференцируема в интервале (а; 6) и в некоторой точке с этого интервала имеет локальный максимум или минимум, то ее производная приX=сравнанулю;/(с)=
Геометрический смысл теоремы; касательная к ф афику функции у = }( х ) в точке (с, /(с)) параллельная оси Ох. 5.6 .3 . Теорема Ролля Если функция } ( х ) непрерывна на отрезке |а; 6], имеет конечную производ­ ную во всех точках интервала (а; Ь) и /(а) = /(6), то существует хотя бы одна точка с интервала (о; Ь), в которой /'(с) = 0. Геометрический смысл теоремы:нафафикефункцииу=/(х) существует такая точка (с, /(с)), в которой касательная к ф афику параллельна оси Ох. 5.6 .4 . Теорема Лагранжа Если функция /(х) непрерывна на отрезке |а; Ь] и имеет конечную произ­ водную в интервале (о; Ъ), то в этом интервале найдется точка с такая, что справедлива формула /(6)- /(а) =/'(с)(6- а), или = / '(с), (5.10) о-а называемаяформулой конечных приращений. Геометрический смысл теоремы нафафикефункцииу =/(х) существует точка (с, /(с)) такая, что касательная к ф аф ику в этой точке параллельна хорде (секущей), проходящей через точки ( а ,/(а)) и (Ь, /(6)). Если промежуточное числосзаписатьввидес=а+в{Ь-а), гдев —некотороечисло(О<в<1), то формула (5.10) примет вил /(6)-/(а) =(Ь- а)/'(а+в(Ь- а)), (5.11) /(о-I-Дх)-/(а)=Дх/'(о+^Дх) (Дх=Ь-а). В формуле (5.10) не обязательно полагать, что 'Ь > а. 5.6 .5 . Теорема Коши Если функции /(х) и й(х) непрерывны на отрезке [а; 6], дифференцируемы в интервале (а;Ь) и §'{х) ^ О для всех х из (а; 6), то в интервале (а; 6) существует точка с такая, что выполняется формула т - /(а) /'(с) «(*)-«(«) «'(с)' (5.12) В формуле (5.12) не обязательно Ь > а. Формула (5.10) — частный случай формулы (5.12) при ^(х) = X.
5.6 .6 . Некоторые следствия из теоремы Лагранжа 1) Если функция /(а;) дифференцируема в интервале (а; Ь) и / '(х) = О всю­ ду в (о; Ь), то /(х) постоянна в (а; Ь). 2) Функция /(х), дифференцируемая в (а ;Ь), не убывает (не возрастает) в (а; Ь) тогда и только тогда, когда /'(х) ^ О(/'(х) ^ 0) всюду в (о; Ь). 3) Для того чтобы функция /(ж), дифференцируемая в (а;Ь), строго воз­ растала (строго убывала) в (а; Ь), достаточно, чтобы / '(х) > О (/'(х) < 0) всюду в (а; Ь). 5.6 .7 . Производная четной (нечетной) функции Если функция /(х) — четная (нечетная) и дифференцируема в интервале (- а ; а), то ее производная / '(х) — нечетная (четная) функция. 5.7 . Формула Тейлора. Вычисление пределов 1. Если функция /(х) в некоторой окрестности (хо - (5; Хо -Ь (5) (<5 > 0) точки Хо имеет производные порядка (п -Ь 1) (ге — любое фиксированное натуральное число), то для каждого х из этой окрестности выполняется формула Тейлора: Пх)=/(Хо)+^(х-хо)+^(х -х„)^+... (5.13) п! или /(х)=Р„{х)-ЬЛ„(х)= ^ ^^^ (х-хо)‘+й„(х), к=0 ЗдесьР„{х) —полиномТейлора,с =Хо+^(х-Хо)(О<0<1),т.е.Хо<с<х; М х ) называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа. При я = О формула Тейлора сводится к формуле конечных приращений. Для кавдой /(х) выражение Р „{ х) единственно. В частном случае, при Хо = О, из формулы (5.13) получается формула Маклорена: где
Другая запись формулы Тейлора (5.13) имеет вид: . д., - Ё <=■'» гдеДх=X -хо. 2. Если /(х) непрерывна вместе со своими производными до (п + 1)-го порядка включительно на отрезке |о; Ь], содержащем точки Хо и х, то про­ изводная в силу непрерывности, офаничена на [а; 6|: М„+1 = тах|/*"+ '’(х)| < +00. Отсюда следует оценка для остаточного члена на отрезке |о; Ь|: |г> ^_\| ^ -^п+1 |_ _ |П+1 Л/„+1 „ц_| гдеЬ=тах{Ь-Хо,Хо-а}. Из (5.16) следует, что при фиксированном п: |Л„(х)| = о(х - Хо)" при х->Хо. Если /(х) имеет производные любого порядка, оф аниченные на отрезке кЫ однимитемжечислом|/'"1 ^М(п=о,1,2,...),тоиз(5,16)следует Цт й„(х) =0 П->00 для любого фиксированного х из |о; Ь]. Пример 13. Функция /{х) = е* имеет производные любого порядка на промежутке (-00 : +ос): /***(*) = /***(0) = I ■Все производные офаничены на любом отрезке (-а ;а| (о > 0) числом е“ . Формула Маклорена: где X может б ыть по ложите льными или отрицател ьным. Оц енк а остаточного чле на на отрезке |—о; а] |Дп(з;)и (п+1)! При этом |Дп(х)1 Опри п ->оо для любого X из (-а; а).
3. Асимптотическиеоценки некоторых элементарныхфункций.Выражение, характеризующее поведение какой-либо функции /(х) при х —>Хо, называ ­ етсяасимптотической оценкой этойфункции(илиасимптотическойформулой). Из формулы Маклорена (5.14) получаются следующие асимптотические оцен­ ки, справедливые при х -> 0: 1)е^ = 1+х+^+...+^ +о(х’'), 2)1п(1-I-х)=X - ^ - I-^ - ... +(-1)"“'— -Ьо(х"), 23 п + + (5.17) п! (а — любое действительное число), 4)51пх=х- ^ +...+(-1)"-'^^^ +о(х^"), 5)со5х=1-|^+ ...-К -1)’- ^ + о(х ^"+‘). Формулы (5.17) дают представление вышеперечисленных функций при малых значениях |ж| для любого фиксированного номера п. 4. Вычисление пределов при помощи формулы Тейлора. 51ПX-X пт— --- х-»0 5ШX Пример 14. И т — - = < применяячетвертуюформулу (5.17) при п = 2 , получим х-»0 ж2 51П X I х-|^+0(х^)-х - 1 +а(х) , , з.„^ = + )I = 1,п, =__ = Здесь а(х) = ->Оприх-»0. 1^- — - I-х^о(х“ ) '“ зГ+ Пример 15. И т ’ Х' п рименяя п ятую формулу (5.17)) при п = 2, получим С051 = ' “ первая формула (5.17) при п = 2 дает е‘ = I -I-<-I н0(1^), отсюда при I = - — следует е~‘ = I—Г+"5“+ '=
= 1>т------------------т----------------- = И т х-*о ж*» г-»0 о(х^) о(х*) Здесь — --- ^О, —2--- ^^ при X ->0. ' 1 о(х^) о(х^) 12^ 1 ’Т2' 5.8 . Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя 5.8 .1 . Раскрытие неопределенности вида 0/0 Г{х) Говорят, что отношение двух функций — представляет собой при х о «(г) неопределенность вида 0/0, если 11т /(х) = И т ^ (х) = 0. Раскрыть неопреде- х-*о 1-*а /(х) ленность — значит найти предел И т —— , ес ли о н существует. “ 1 е{Х) х~*а Пусть функции /(х) и ^(х) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а {а — число, +оо или -оо ), за исключением , быть может самойточки а,атакже Пт/(х)=Итй(х) =Ои^(х)ФО,/(х) Овэтой х-*а х-*а окрестности. Тогда, если существует конечный или бесконечный предел то справедливо равенство Ит е'(х) Иш =Иш (5.18) х->а §(х) 1->а ^(х) выражающее правило Лопиталя. Аналогичное правило справедливо для одно­ сторонних пределов. Примечание . Предел в левой части (5.18) может существовать, лаже если предел в пра­ вой части не существует. Если в результате применения правила Лопиталя снова получается не­ определенность, то это правило может применяться повторно (если / ’(х), ^ (х) удовлетворяют тем же требованиям, что и /(х) и ^(х)) и т.д. много­ кратно: 1,п , Нп, Ни, Ьт —— -кт ■=Ит...,=... . х-.а ^(х) х^а ^{х) х^а^ '{х) Пример 16. ~4 (х^ - 4)' 2х1 I) Пт -т— -=11т——TM =Ит— = т^2 х^ - 8 г-»2 - 8)' х-*2 Зх- 3
Ж-8ШХ (х-81пх)' 1-С08Ж , (1-С05Ж)' 1 51ПХ 2) Иш ^— =11Ш— -г-— =1|Щ—~ — - Ит—— — =-Пт = ’ *- »0 *-*0 (х^) 1-+0 Зх^ 1^0 (Зх^У 6 а:-»0 X 1п(1 + х) .. |1п(1+х)Г 1 3) И т ------- — 1|гп ----- Ит =1. ' 1-*0 X Г-^О х' г-»0 1+ X ХС1$Х- I ХС05Х- 5ШX (х С08X ~ 51Пх)' -8 1ПX 4) Пт :--- = 11т---- — ----- = Ит — -у- .— -— —Пт х-»0 х^ х-*0 х^з'тх 1--»0 (х^81пх)' г-»0 281ПХ + ХС08Х (-81ПхУ -С08Х 1 _ 11^^ ----------- ^ — Цщ ----------- = --- . *-»0 (281ПХ + ХС08Х)' х-»0 ЗС08Х - Х5ШХ 3 л* _ л-а- рГ 4- 5) Ит—;--- —Ит------- = 2. Х-Ю 8ШХ х-*0 С08Х 5.8 .2 . Раскрытие неопределенности вида о о/с » Говорят, что отношение двух функций представляет собой при х а {а — число, +00 или -со) неопределенность вида оо/оо, если Пт /(х) = х~*а 11т^(х) = 00 (+00 или -оо). Для раскрытия этой неопределенности, т. е. для х-ю /(*) нахождения предела Ц т , и сп ол ьзуется следующее правило Лопиталя: если /(х) и ^(х) определены и дифференцируемы в некоторой окрестно­ сти точки о, за исключением , быть может, самой этой точки; И т /(х) = х-*а Цт^(х) = оо; г(х) / О, г '(х) / О в указанной окрестности; тогда, если суше- х-*а Г/'М ствует конечный или бесконечный предел И т х-»о ,то /(^) .. /'(*) /СПЧ Ит ——- =Ит— ( 5 . 1 9 ) 1-.0 ^(х) 1-.0 ^(х) Равенство (5.19) справедливо и для односторонних пределов. Формула (5.19) может применяться повторно (см. 5.8.1). Пример 17. 1п1 (1п1)' Х~' I 1) При а>о имеем: Ит ——= Ит ■=Ит —ГТ = “ ®- 1-.+00 Ж»1-.+00 (х“У 1 -+0Сах“ ~' 1 -*+00 ОХ” 2) Для вычисления следующегопредела применим формулу (5.19) г»раз: Ит— = Ит —— =...=Ит—^ = 0 (о>0). г-»+ос г-*+оо 3) Приа>Оимеем: Пт --- = Ит =---Птх°=0. х-и-о ^-и-0 -ах°' а 7-*+о
г-*+0 X' ральное число). е”/* Г 11 у" «■ 4) Мт --- — <замена — =у>=Ит—= Ит — =0(п—любоенату- “ I X ) - ■^ »-»+ос е** У-++00 е^' е"'/'' Г 1 1 у" 5)Ит—г— = <замена — = у>= Пт — = О(п—любоенатуральноечисло). 1 -*о х^" I. ^ 1 -»+оо е*' се ЗХ / 005X Г СО$ X Г - 51ПX 1^ 6) Ит -----— Ит 3(----- 1=3 Иш ----- = 3 Ит —----- — 1-*ж/2 1§Х х-*ж/2 \С053х/ [г-»т/2 С05 Зх ] —3 5Ш Зх -(-О’ч- 5.8 .3 . Неопределенности вида О•оо,00-00,О®,1 °°, оо" Неопределенности перечисленных видов сводятся к неопределенностям 0/0 и оо/оо посредством алгебраических преобразований и логарифмирования. Пример 18. Неопределенности О ■оо и оо —оо сводятся к неопределенности 0/0 или оо/оо. I)П 2)Прио>Оимеем: Ит х°\пх= Пт = О (см. пример 17). х-*+0 х~*+0 X ** Птхс1ёх- <С18Х= —!—>=Ит = Ит(I:— |=Итсоз^х= х-*0 I X^ х-*0 X 1-^0 \ С05^X/ г-*0 Приа>Оимеем: Ит х 1^+0 /1 1\ (X- 1)-1пх 3) Ит --------- ) = Ит г->1\1пх X-1/ 1-И (х-1)1пX =Ит 1-- X •— Ит 'I ,. * * 1пX+I--- X Пример 19. Дл я сведения неопределенностей вида 0^, 1°“ , сс^ к неопределенности О •0 0 применяе тс я равен ство /(х)*'** = ехр {^(х) 1п /(х)} (/(х) > 0), где ехр{у} = е". 1) ИтI*=||техр{х1пх}={ Итх1пх=О(см.пример18)}=е° = I. г-»4-0 Т-*П ^ г-к4-Л •* -»+о 2)ИтX = Ит Х-*\ X-*] Здесь ехр{у} = е** Г1 '1 Г 1 X”' '1-1 Итехр< 1пX^=<Ит 1пх=Ит— =-1^=е • I,1-X ^ г-»М-X г-»1 -1 ^ 3) Ит (1+Зх)'^"'^ Ит ехр{-*-1п(1+Зх)]•=| Ит -1п(1+3х)= г^+оо г-»+оо X ^ =Пт
5.9 . Возрастание и убывание функции. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба 5.9 .1 . Достаточный признак возрастания и убывания функции Функция называется возрастающей (или убывающей) в интервале (а; Ь), если ббльшим значениям аргумента соответствуют большие (или меньшие) значе­ ния функции. Для того чтобы дифференцируемая в интервале (а; Ь) функция возрастала (или убывала) в этом интерва­ ле, достаточно, чтобы производная /"(х) была положительной (и ли отрицатель­ ной) всюду в этом интервале. Таким об­ разом, нахождение интервалов монотон­ ности функции /(х) сводится к нахо­ ждению интервалов знакопостоянства ее производной / '(х ) . Если для функции /(х) производная /'(о)>О(или/'(а) <0)вточкех=а, то /(ж) возрастает (или убывает) в точке X=а. О Рис. 5 .5 Пример 20. Для функции у - производная у = 2х < Опри -оо < х < 0 (функция убывает); < /'> Опри О< х< -Ноо (функция возрастает). В точке I = Оданная функция не является ни возрастаюшей, ни убывающей (стационарная точка) (рис. 5.5). 5.9 .2 . Выпуклость и вогнутость кривой Кривая (фафик функции у = /(х), име­ ющей конечную производную) называет­ ся выпуклой (или вогнутой) в некотором интервале (о; 6), если эта кривая рас­ положена ниже (или выше) любой ка­ сательной к кривой в этом интервале. Выпуклый (вогнутый) фафик функции называют также выпуклым вверх (вы ­ пуклым вниз). Достаточное условие выпуклости (или вогнутости), в предположении сущ ество­ вания конечной второй производной /”(х) при а < X < Ь, фафик функции У = /(х) является выпуклым (или вогну­
тым) в интервале (а; Ь), если /"(ж) < О (или /"(х) > 0) во всех точках этого интервала. Если вторая производная функции у = /(х) непрерывна и отрицательна (или положительна) в точке го, то в некоторой окрестности этой точки график у = /(х) является выпуклым (или вогнутым). Пример 21. График функции у = }(х ) = (рис. 5.6) является выпуклым при —сх) < КО (у"=б1 <0)ивогнутымприО<I <+00 (у">0). 5.9 .3 . Точки перегиба Пусть ф аф ик непрерывной в интервале (а; Ь) функции у = }{ х ) имеет каса­ тельную (возможно, параллельную оси Оу) для любого х из (а; Ь). Если при переходе величины х через некоторое значение Хо в (а; 6) соответствующая точка М (х , /(х)) графика переходит с одной стороны касательной к фафику в точке Мо(хо, /(хо)) на другую, то говорят, что при х = Хо график имеет точку перегиба Мо. Для краткости, точку Хо также иногда называют точкой перегиба. Например, при х = О график у = х^ имеет точку перегиба 0(0; 0), при этом касательная в точке О совпадает с осью Ох . При х < О точки фафика лежат ниже касательной, а при х > О — выше. В достаточно малой (двухсторонней) окрестности точки перегиба Хо выпуклость графика у = /(х) заменяется вогнутостью (или наоборот) при переходе через Хо. Необходимое условие существования точки перегиба. Если функция /(х) имеет конечную вторую производную в точке Хо и фафик у = /(х) имеет точку перегиба Мо(хо, /(хо)), то /"(х о) = 0. Достаточные условия существования точки перегиба. Первое условие. П усть функция у = /(х), непрерывная в точке Хо, имеет непрерывную вторую производную в некоторой (двухсторонней) окрестности точки Хо. за исклю ­ чением, быть может, самой точки Хо, а ф аф ик у = /(х) имеет касательную (возможно, параллельную оси Оу) в точке Мо(хо, /(хо)). Тогда, если в этой окрестности /"(х) меняет знак при переходе через Хо, то фафик у = /(х) имеет точку перегиба Мо. Таким образом, точки перегиба ф афика у = /(х) следует искать среди таких точек, для которых либо } "(х) = О, либо /”(х) бесконечна или не существует. Пример 22. 1) График функции у = х ’ при х = 0 имеет перегиб, при этом у"(0) = О (рис. 5.6). 2) Функция у = х'^^ непрерывна в точке 1 = 0. В точке 0(0; 0) ее фафик (рис. 5.7) имеет вертикальную касательную (ось Оу). При ж = О первая и вторая произ­ водные обр ащаются в бес коне чность. В точке 0 (0 : 0 ) график имеет перегиб, так „ 2I как при переходе через х = О зна к второй производной у = изменяется
сплюсанаминус. ПриI <О(у" >0)фафик вогнутый, при I > О (у" < 0) — выпуклый. Второе условие. Пусть функция у = /(е) имеет в некоторой окрестности точ­ ки Хо производную порядка п , а в самой точке Хо — производную порядка п + 1, при этом Ахо)=/<^>Ы= ... = /'">(х„) =0; /<"+ ‘>(хо)ф0. Тогда, если п — четное число , то график у = /(х) имеет перегиб при х = Хо- Пример 23. 1)Вусловияхпримера21вточке*о=Оимеем/(0)=/"(0)=О,/"'(0)=6^0. Следовательно, Жо = О — точка перегиба. 2) Для функции у = находим = О, к‘’*(0)= 120ф0. В точке Хо фаф ик имеет перегиб. 5.10. Нахождение максимумов и минимумов функций в достаточно малой (двухсторонней) окрестности точки х = с локального максимума (или минимума) непрерывной функции /(х) значение /(с) боль­ ше (или меньше) значений /(х) для всех х / с из этой окрестности (см. 5.6.1). Функция может иметь в области определения несколько локальных макси­ мумов и минимумов, причем ее значение в некоторой точке локального минимума может оказаться больше ее значения в какой-либо точке локаль­ ного максимума. ^'10.1 . Необходимые условия локального экстремума (максимума и минимума) функции Первое условие. Если производная / '(х) функции /(х) конечна в точке * = с, в которой /(х) имеет локальный экстремум (максимум или минимум), то /'(с) = 0. Точка с, В которой /'(с) = о, называется стационарной точкой для функции /(х). Не всякая стационарная точка является точкой экстремума. Например, функция у = х^ имеет стационарную точку с = О, не являющуюся точкой экстремума.
Второе условие. Если непрерывная в точке х = с функция /(х) имеет локальный экстремум в этой точке, то либо /'(с) = О (если производная суще­ ствует), либо /'(с) не существует, либо бесконечна. Такие точки с называются критическими. На фафике функции у = /(*) (рис. 5.8) в точке максимума А с абсциссой х = С| касательная А Т горизонтальна = 0), в точке минимума В с абсциссой х = С2 касательная не существует (левая В Т и правая ВТ+ касательные не лежат на одной прямой), в точке максимума С с абсциссой X = Сз левая и правая производные обращаются в +оо и -оо соответственно, а левая С Г _ и правая СГ+ касательные противоположно направлены и лежат на одной вертикальной прямой. Точки локального экс­ тремума ищутся среди критических точек, которые проверяются затем при помощи одного из трех достаточных условий экстремума. 5.10.2 . Достаточные условия строгого локального экстремума Первое условие. Пусть: 1) функция /(х) определена и непрерывна в не­ которой двухсторонней окрестности критической точки х = с , для которой либо /'{с) = О, либо /'(с) не существует, либо бесконечна; 2) /(х) имеет конечную производную / ’(х) всюду в этой окрестности, кроме, возможно, самой точки X = с; 3) слева от точки с и справа от нее в пределах указанной окрестности / ’(х) сохраняет знак (плюс или минус). Тогда /(х) имеет в точке I = с локальный минимум (или максимум), если производная / ’(х) отрица­ тельна (или положительна) слева от точки х = с (т е. х < с) и положительна (или отрицательна) справа от х = с (т. е. х > с) в указанной окрестности. Экстремум в точке с отсутствует, если при переходе через эту точку знак /'(х) не изменяется. На рис. 5.8 при переходе (слева направо) через критическую
точку I = С| знак /'(х) изменяется с плюса на минус (максимум); при пере­ ходе через X = С2 знак /'(х) изменяется с минуса на плюс (минимум); при переходе через х = Сз знак / ’( г) изменяется с плюса на минус (максимум). Пример 24. Функция у = (рис. 5.9) непрерывна при—00 <X<+00 иимеетконечнуюпроизводнуюпри X/О,равнуюу = Прих=Олеваяиправая производные бесконечны: в_(0) = -оо, у+(0) = +оо. Производная имеет при х — О р азрыв второго рода. Посколькуу'(х)<ОприX<Оиу(х)>Оприх>О, в точке X = О данная функци я имеет минимум. Второе условие. Если функция /(х) имеет в данной стационарной точке х = с (т. е. / '(с) = 0) конечную вторую производную /” (с) / О, то в этой точке функция /(х) имеет максимум, если /"(с) < О, и минимум, если /"(с) > 0. Если же /"(с) = О, то /(х) может либо иметь экстремум, либо неиметьегоприх=с. Пример 25. 1)Дляфункцииу=х^имеем:у'(0)=О,у''(0)=2>О(минимумприх=0). 2) Для у = х^ находим: у'(0) = у "(0) = О (экстремум при х = О отсутствует). 3) Функция у = х^, для которой у(0) = у"{0) = О, имеет минимум при х = О, так как у = 4х^ изменяет знак при переходе чрез х = 0 . Третье условие. Пусть функция у = /(х ) имеет производную порядка п (п ^ 1 — целое число) в некоторой окрестности точки х = с и производную порядка п + 1 в самой точке с, причем /'(с) =/"(с) = ... = /<">(с)=0; /<"+'>(с)#0. Тогда, если п — нечетное, то /(х) имеет в точке с экстремум, а именно: 1) при /*"’'''*{с) < О — максимум, 2) при > О — минимум; если же п — четное и /*"^'*(с) О, то в точке с функция /(х) не имеет экстремума. Пример 26. Для функции у = (х — 1)^ имеем: у'(1)=у"(1)=у"'(1)=О, у'*>(1)=24>0. Следовательно, в точке х = I данная функция имеет локальный минимум. 5.10.3 . Нахождение абсолютного экстремума Наибольшее и наименьшее значения (абсолютные экстремумы) функции /(х), непрерывной на отрезке ]а; Ь], достигаются или в критической точке (в кото-
рой производная / '(х) либо равна нулю, либо не существует, либо бесконеч­ на), или в кониевых точках а и Ь отрезка [о;6|. Если С|,Сг,. . . , Сп — критиче­ ские точки в интервале (а : 6), то наибольшее и наименьшее значения функции следует искать среди множества чисел: {/(а),/(С]),/(сг),. . . , /(с „) ,/(6)}. При этом нет необходимости выяснять характер (максимум или минимум) локального экстремума в критических точках. Пример 27. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = - Зх-2 на отрезке [0; 2]. Решение. Из условия ;/' = Зх^ - 3 = О находим критические точки Х[ = - 1, Х2 = I , из которых только «2 = 1 находится в данном отрезке. Наибольшее и наименьшее значения данной функции, которые ищем среди значений у(0) = - 2, у(\) = - 4, у(2) = О, равны соответственно О и -4. 1> 5.11 . Асимптоты графика функции Говорят, что прямая х = а является вертикальной асимптотой трафика функции у = /(х), если хотя бы один из односторонних пределов И т /(х) или х-*а+0 Мт /(х) равен -Ьоо или —оо. 1-»в-0 Пример 28. График функции у = 1/х (рис. 5.10) имеет вертикальную асимптоту г = О (осьОу),таккак Мт - = -1-ос, Нт - = -оо. 1-»0+0 X г-»0-0 X
Говорят, что прямая у = кх + Ь является наклонной асимптотой графика функцииу=/(х)приX->+00(илиX-у - о о), если функцию /(х) можно представить ввиде/(х) =Лх+6+а(х), где Мт а(х) =0(или Ит а(х) =0), 1-Ц -О О 1-»-00 те. \/{х)-кх -Ь\ является бесконечно малой функцией при х ->+оо (х —>-оо). График функции неограниченно приближается к асимптоте на бесконечности, т.е. при X +00или(и)прих-> -оо. Пример 29. График функции у = } ( х ) = 1 + 1 / 1 (рис. 5.11) имеет единственную наклоннуюасимптотуу=хприх-»+ооиприх-* -оо,таккак Ит \/(х)-х\= г-*±оо Пт = |1/1|=0. 1->±00 Для того чтобы график функции у = /(х) имел при х -> +оо (х —> -ос) наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали конеч­ ные пределы Ит \}(х)-кх\ =Ь, Ит 1-*+00 (и -00) =*, х-*+оо тогда прямая у = кх + Ь является асимптотой. При Л = О прямая у = Ь на­ зывается горизонтальной асимптотой. П рим ечан и е . Кроме прямолинейных асимптот у = кх + Ь могут рассматриваться также и криволинейные асимптоты
Пример 30. 1) График функции у= 1+е~* имеет горизонтальную асимптоту у = I прих->+оо, так как 1-Ь е~^ к= Пт ------ =0, = Ит(1+е*)=1. х-*+<х X 1-»+00 2) график функции 2х^ + имеет две вертикальные асимптоты х = —1 и а; = 1, так как каждый из двух од­ носторонних пределов в точках х = -1их= 1равен-Ьоо или-о с . Имеемдалее М= (,=Иш(Ц±^-2Л = х~*±оо X 1-*±(Х \х^—I / 1. график данной функции имеет наклонную асимптоту у = 2х + 1 при х -> +ос иприX -00. 5.12. Построение графика функции Для построения графика функции у = /(х) необходимо качественное иссле­ дование поведения этой ф ункци и, в особенности в таких характерных точках, как точки разрыва, локального экстремума, перегиба, по следующей схеме: 1. Найти область определения функции, точки разрыва, промежутки не­ прерывности. 2. Выясни ть наличие четности и нечетности функции, ее периодичности. 3. Найти точки пересечения графика с осями координат, интервалы знако- постоянства функции. 4. Найти асимптоты фафика. 5. Найти первую и вторую производные, а также определить точки, в ко ­ торых эти производные равны нулю, не существуют или обращаются в бесконечность. 6. Найти точки локального экстремума, а также значения функции в этих точках, промежутки возрастания и убывания функции, исследовать по­ ведение фун кци и в концевых точках области определения. 7. Найти промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба, а также наклон касательных в этих точках. 8. Полученные результаты желательно занести в одну или несколько таб­ лиц. При необходимости следует найти значения функции в некоторых промежуточных точках. 9. Построить примерный эскиз графика функции. (1-1)’ Пример 31. Построить фафик функции у =
Решение. 1. Функция определена и непрерывна всюду на числовой прямой -со < х < +оо, за и скл юче ние м т очки ж = О, в которой знаменатель дроби обращается в нуль. Односторонние пределы в точке ж = 0: 11т ——;— = -СХ), 1-.0-0 2х^ (х-1)’ Нт ----^ — =-00. 1-.ОЧ -0 2х^ Точка X = О — то чка разрыва второго рода (бесконечный разрыв). 2. Функция не является периодической, ни четной, ни нечетной. 3. Точки пересечения фафикас осью Ох (у = 0) находятся из условия у = {(х) = 0. Здесь имеется только одна такая то чка с ж = I . Т оче к пересечения графика с осью Оу (х = 0) нет, так как при г = О функция не определена. При х > I значения у = }( х) положительны, при х < I (кроме х = 0) ~ отрицательны. 4. Прямая 1 = 0 — ед инственна я вертик альная асимптота. Оба одн осторонних предела при х = О равны -оо . Ищем н акл онн ые асимптоты: к=11т——^ =1 , 6=\\т\}(х)-кх\=Ит 1-*±00 2х’ 2 и±оо и±ос -Зх^+Зх-1 2х^ График имеет одну н акл он ную ас имптоту У = ^ * ' •±00. 5. Находим производные: У= (х- 1)^(х+2) 2x5 У= 3(х- 1) Приэтому'=0 вточкахх= -2, х = 1;у' обращается вбесконечностьвточке X = О, не прин ад лежащей области определения. Производная у " равна нулю при X = 1 и обращается в бесконечность при х = 0. 6 . Для нахождения то чек эк стр емума и промежутков монотонности составим таб­ лицу (критические точки: - 2 ; I; 0 ). Промежутокзначенийх -0 0 <х < -2 - 2<X<0 0<X<1 1<X<+00 Знак у' + - + + Поведение функции возрастает убывает возрастает возрастает Из таблицы видно, что функция имеет в точке х = - 2 локальный максимум и /(-2) = -27/8 = -3,375. В точке х = Оминимума нет, так как при х = Офунк­ ция не определена. В конц евых точка х области определения, т е . при х -> + 0 0 (х -» - о о) функция /(х) -> + 0 0 (/(х) -> -оо). Следовательно, функция не до­ стигает наибольшего и наи ме нь ше го зн аче ний в области определения. Для нахождения промежутков выпукл ости и вогнутости, а та кже точе к перегиба, составим таблицу (точки , в которых у " равно нулю, не существует или обращается в бесконечность: 0 ; 1 )
Промежуток значений х -0 0<I<0 0<I<1 1<I<+00 Знак у" - - + Поведение графика выпукл ый вып уклый вогнутый Из этой таблицы видно, что ф аф и к имеет одну то чку перегиба с координатами х ~ \ , у ~ / (\) = 0. Касательная в точке перегиба горизонтальна, так как у'(1) = 0. Вычислим значения функци и в нескольких пром ежуточных точках: X -4 -3 - 1 0,5 2 3 5 у -3,91 -3 ,56 -4 -0,125 0,125 0,44 1,28 9. Построим пр им ерный эс ки з ф аф и ка функци и (рис. 5.12). При этом точные значе ни я координат найдены только для нескольких точе к, котор ые соединяются затем плавной лин ией . й
Глава 6 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 6.1 . Показательная (экспоненциольная) функция Функция у = (а > а, а Ф \), определенная на множестве всех дей­ ствительных чисел -00 < X < +00, называется показательной (экспонен­ циальной) функцией. Функция принимает только положительные значения (О < 3/ < -Ьоо), монотонна, возрастает при а > 1 (рис. 6.1) и убывает при О< а < I (рис. 6.2), непрерывна, бесконечно раз диф^ренцируема, не имеет ни нулей, ни экстремумов. Ось Ох является асимптотой фафика, проходя­ щего чрез точку (0; 1). Показательная функция у = может быть записана также в виде у = е^'"“ = ехр{х1по}, где ехр{<} = е‘, е = 2,781828... — основание натуральных логарифмов. Графики функций у = иу=а^ взаимно симметричны относительно оси Оу. 6.2 . Логарифмическая функция •'1®гарифмическая функция у — 1 х ( а > О, а / 1, область определения: х > О, область изменения: -оо < у < +оо) является обратной для показательной ^ Справочник по
X функции X = а®. Логарифмическую функцию можно записать также в виде у=|08аX= 1п X. 1па Функция монотонна, возрастает при а > I (рис. 6.3) и убывает при О < а < I (рис. 6.4), непрерывна, бескон ечн о раз дифференцируема. Графики логарифмических функций проходят через точку (1; 0). Асимптота — ось Ор- Графикифункций у = 1о8„X и у = взаимно симметричны относительно прямойу=X. 6.3 . Гиперболические функции 6.3 .1 . Гиперболический синус Функция у = -(е^ - е^^), называемая гиперболическим синусом, определена при всех X , нечетная, монотонно возрастающая. Область изменения: -оо < у < +00. График (рис. 6.5) проходит через точку 0(0; 0), являющуюся точкой перегиба. Обозначение: у ~^ \ \х. 6.3 .2 . Гиперболический косинус Функция у = = сЬх, называемая гиперболическим косинусом. определена при всех действительных х; область изменения: 1 ^ з; < +оо;
четная, убывает при х < О, возрастает при х > О, при а: = О — минимум. График (рис. 6.6) проходит через точку (0; 1). 6.3 .3 . Гиперболический тангенс Функция V = ------- = 1(1X , называемая гиперболическим тангенсом, опре- е*+е^ делена при -оо < х < +оо; область изменения: -1 < х < 1. Функция нечетная, монотонно возрастающая. Асимптоты: у = \, у = - I . График (рис. 6.7) проходит через точку 0(0; 0), являющуюся точкой перегиба.
6.3 .4 . Гиперболический котангенс е*+е~^ Функция у = определена при всех I 0; область изменения: (-оо; -1), (1; +оо). Функция нечетная, монотонно убывает при I < О и при х > 0. Асимптоты: х = О, »/= 1,у = -1 (рис.6.8). — = с 1Ь г, называемая гиперболическим котангенсом, X_ ^-х Рис. 6.8 6.3 .5 . Обратные гиперболические функции (ареафункции) Эти функции определяют как решения уравнений (относительно перемен­ нойу)&Ьу=X,сЪу^X, 2/=X, с1ЬI/=х: 1)у=АгеНI =1п(х+%/х^+1)(-со<х<+оо). 2)у=АгсЬX=1п(х±у/х^ —1)(х^ 1).Функцияу=АгсНх—двузнач­ ная.ДляX^IиО^I/<-Ьооимеему—АгсЬх=1п(х-И\/х^ - 1);адля X^Iи-00<у^Осоответственноу=АгсНх=1п(х-\/х^ - 1). 3)г/=АПЬх= ^ 1п (|х| < 1). 2 I~X 4)у=Агс(11X=^1п (|х| > 1).
Вышеперечисленные функции называются соответственно ареасинус, ареакосинус, ареатангенс, ареакотангенс. Графики обратных гиперболических функций получаются из фафиков соответствующих гиперболических функ­ ций (рис. 6.5-6.8) зеркальным отображением относительно прямой у = х. 6.3 .6 . Некоторые соотношения между гиперболическими функциями (бЬх}' = сЬI, (сЬх)'= 5НX, (1)11)' = — (С(Н1)' = -- ' 2 , VV^I. — ,2 ’ СПX 5ПX ^ &Ъх(1х=сЪх+с, УсЬI = 5(1I+С, У^Ьx(^x = 1псЬх+ с, Ус1НXйх= 1п х|+С, сЬ^X - I =1, 5Н2х=25Нх■сЬх, сЬ2х= X+ сЬ^X, 8|1(х± 1/)=8ЬX•сЬ3/± сЬX•5Ну, сЬ(х±у)= сЬX•сКI/±5ЬX•5Ну, 1НX ± 1115» 1Ь{х±у)= 1± 1ЬX •1Ь5/’ X±у X±у зНX±5Ь2/=25Н—-— •сН—-— , X+у X-V сНX+ сЬу=2сН •сН , X+V X—V сЪх-сЪу=2вЬ 6.4 . Степенная функция 1. Пусть а — произвольное действительное число. Общая степенная функ­ ция у = х “ (х > 0) определяется равенством у=х“ =а“"*-" (а>1). При о > О(а < 0) общая степенная функция возрастает (убывает). Функ­ ция непрерывна в промежутке О < х < +оо и принимает положительные
Рис. 6 .9 Рис. 6 .10 значения. При а > О функция определена также в точке х = О и равна нулю;приа<Оонанеопределенавточкех=0.Еслиа=О,тох” =1 (х Ф 0); О® не имеет определенного смысла. На рис. 6.9, 6.10 приведены графики степенных функций для различных значений а. 2. Если га — натуральное число, то функция у = х " определена на всей числовой оси. Функция у = х “ " = 1/х" определена при всех х # 0. Функция у = х называется линейной, ее график — прямая линия (рис. 6.11).
Рис. 6 .13 У 1 1\ 1 -1 О 1 X Рис. 6 .14 График функции у = г " (п > 2) называется параболой п-го порядка. При п = 2 т (т. е. четном) фаф ик симметричен относительно оси Оу (рис. 6.12), проходит через точки (0; 0), (1; 1), ( -1; 1); ось Ох — касательная; минимум в точке (0;0). Если п = 2 т + 1 (т. е. нечетное), то начало координат яв­ ляется центром симметрии ф афика (рис. 6.13); 0(0; 0) — точка перегиба; ось Ох — касательная; фафик проходит через точки (0;0), ( -1; -1), (1; 1). 3. График функции у = 1/х" (х / 0) при п = 2 т (четном) симметричен относительно оси Оу (рис. 6.14), проходит через точки (1; 1), ( -1; 1), асимп ­ тоты — оси координат. Если п = 2т + 1 (нечетное), то центром сим­ метрии графика (рис. 6.15) является начало координат; график проходит через точки (1; 1), ( -1; -1); асимп­ тоты — оси координат; х = О — точка разрыва. 4.Функцияу = х'^" = Vx, где п = 2 т (четное), двузначна и опре­ делена при X ^ О, фафик (рис. 6.16) проходит через точки (0;0), (1; 1), (•; -1); если п = 2т-|- 1 (нечет­ ное), то ф ункция определена при ~оо < I < +оо; фафик (рис. 6.17) проходит через точки 0(0; 0) (точ­ ка перегиба), (1; 1), ( -1;-1); ось Оу — касательная в точке 0(0; 0). V 1 -1 1 г 1 1 X -1
5. Функция у = (т/п — несократимая дробь; т ,п — натуральные числа) при п — нечегноми т — четном определена в промежутке —оо<х<+оо; ось Оу — ось симметрии графика (рис. 6.18) и, при т < п, одновременно касательная в точке 0(0; 0). График проходит через точки (1; 1), ( -1; 1). Еслит —четное, п —нечетноеит >п,тофафикфункцииу= определенной при -со < х < +сю, аналогичен фаф ику у = (рис. 6.12); Оу — ось симметрии; Ох — касательная к фафику в точке 0(0; 0). Если т и п — нечетные, то фафик функции у = , определенной при любом X , центрально симметричен относительноточки0(0; 0); при т > п фафик функции аналогичен фафику у= х^(рис. 6.13); осьОх — касательная к фафику в точке 0(0; 0); при т < п фафик функции аналогичен фафику у = х'^^ (рис. 6.17); ось Оу — касательная к фафику в точке 0(0; 0).
Прип—четномит >пфункцияу= двузначна и определена при О^ X < +00. Ось Ох — касательная к графику в точке 0(0; 0) (рис. 6.19). Если п — четное и т < п , то график двузначной функции у = аналогичен графику у = (рис . 6.16). 6. Функция у = (т , п — натуральные) имеет в точке х = Оразрыв. Оси координат являются асимптотами графика. При п — четном функция определена в промежутке О< х < +оо, а при п — нечетном — для любого х^О .
Симметрия графиков относительно осей координат или начала координат зависит от четности и нечетности ти п . Все графики проходят через точку (I; 1) (рис,6.200 -е). 6.5 . Тригонометрические функции 6.5 .1 . Определения тригонометрических функций Пусть ^ — величина центрального угла АОМ , опирающегося на дугу окруж­ ности А М длиной 3 (рис. 6.21). Угол измеряется в фадусах или радианах. Радианная мера угла является безразмерной и равна отношению дуги « к ра­ диусу окружности г, т. е. = з/т. За единицу измерения углов берется радиан — центральный угол, для которого з = т. Радианная мера полного угла равна 2тг, а пря­ мого 7г / 2 . Если 1р — величина какого -либо угла в фадусах, а ^ — в радианах, то ' ^ = 0,017453 180° ^ ^ = 57,295780° • Пусть М (х , у) — точка на окружности ради­ уса г (рис. 6.21). Величина ^ угла АОМ, отсчи­ тываемого от положительного направления ОА оси Ох против часовой стрелки, считается по­ ложительной, а по часовой стрелке — отрицательной. Тригонометрические функции действительного аргумента >р определяются равенствами: 81П^=— (синус), г у 81П1Р Щ>р=-= ---- X С08^ г 1 5ес^=—= С08^=- (косинус), / ч X СО^(р ^ ^ (тангенс), с1$(р = —= ------ ---- (котангенс), у 8Ш^ (секанс), созес ш = - = ---- (косеканс). С05 1р у 5Ш1Р ЕслиГ=1,ТО51П^ = 2/,С05 = X , гдех иу —абсциссаи ординататочки М . Знаки значений тригонометрических функций зависят от к о о р д и н а т н о й четверти, в которой находятся аргумент 1р:
четверть аргумент 81П91 С05у> Ч<Р ае,!р 1 0<(()< ^ + + + + II 1<^<>г + - - - III 3 7Г<^<-)Г - - + + IV ^■к<!р<1т - + - - Аргумент тригонометрических функций — угол, измеряемый в фадусах или радианах. Далее везде, если не оговорено противное, углы измеряются в радианах, при этом аргумент считается числом, не имеющим размерности. 6.5 .2. Свойства тригонометрических функций Синус: у = /{х) = 81Пж. Область определения: -оо < х < +оо. Область из­ менения (множество значений): - |=гг/<1 . Функция нечетная; нули: I * = ктг (к = О, ±1, ± 2 , . . . ); периодическая с периодом Т = 2тг; точки экстремума: I* = тг/2 + кж\ точки перегиба: г* = ктг \ участки монотонности; возрастает при -тг/2+2кт!<X <тг/2+2ктг,убываетпри ж/2+2кж<х<Зтг/2+2кп {к = О,±1,±2,...) . График приведен нарис.6.22. Косинус: г/= / (1) = со51 (рис. 6.23). Область определения: - о о < 1 <+оо. Множество значений: -1 ^ у ^ I. Функция четная; нули: тг/2 + кж (к = О, ±1, ± 2 , . . . ); периодическая с периодом Т = 2л-; точки экстремума: I * = Ля-; у ‘ у=81ПХ тг 1 !\ 2 0 7Г 7г\^1X -1 2 ^ ---
точки перегиба: тг/2 + кж; участки монотонности: возрастает при - ж + 2кл < X <2кж,убываетпри2кж<х<ж+2ктг(здесьА:= О,±1,±2,...). Тангенс;у=}{х) = (рис.6.24). Область определения; -оо < х < + о о , X 7^7г/2+кж (Л=О,±1,±2,...).Областьизменения: -оо <у <+оо.Функ­ ция нечетная; нули I* = ктт являются также точками перегиба; периодиче­ ская: Г = Я-; участки монотонности; возрастает при -ж /2+кж < х < ж12+кл', вертикальные асимптоты; х = ж12 -Ь кж. Котангенс: у —/(х) = с1$х (рис.6 .25).Областьопределения; -оо<г< -Ноо, X ф кж . Область изменения: -оо < у < -Ьоо. Функция нечетная; нули I* = ж 12 + к ж являются также точками перегиба; периодическая; Т = ж\ убывает при кж <х <ж +кж\ вертикальныеасимптоты: х= кж {к = О,±1,±,2,.. .)• Секанс: у = /(х) = 8ес х (рис. 6.26). Область определения: -оо < х < -Ьоо, X Ф ж12 + кж. Область изменения; -оо < х < - I, I ^ х < -|-оо. Функция четная; не имеет нулей; периодическая, Т = 2тг; точки экстремума; мини­ мумы в точках 2кж, максимумы в точках ж + 2кж; участки монотонности (возрастания и убывания) отделены друг от друга соседними точками экс­ тремума (при этом X Ф ж12 кж)\ вертикальные асимптоты; х = тг/2 + кж (* = 0,±1,±2,...) .
Косеканс: 1/=/(х)=со5ес1 (рис. 6.27). Область определения; —оо<ж<+оо, X^ кп (А;=О,±1,±2,...) .Областьизменения: -оо<х^-1, 1^х< +оо. Функци я нечетная; не имеет нулей; периодическая, Г = 2тг; точки экстрему­ ма: минимумы — в точках тг/2 + 2кп, максимумы — в точках 3/2тг + 2ктт; участки монотонности (возрастания и убывания) отделены друг от друга со­ седними точками экстремума (при этом х Ф к т); вертикальные асимптоты: X=кп. 6.5 .3 . Значения тригонометрических функций при некоторых значениях аргумента Значение аргумента в радианах и фадусах будем обозначать через <р и со­ ответственно. При(р=О{(р=0°);81п0=О,СО80 = 1,1§0=О, с1§0—несуществует. При = ж/6 {(р = 30°); 81П (т/6) н 81П 30° = 1/2; со8(я-/6) = \/3/2 и 0,866025; (8(я-/6) = \/з/3 и 0,577350; с1в(5г/6) = ^/Ъ к 1,732051. При ^ = 7г/4 (у = 45 °): 8т(тг/4) = -\/2/2я» 0,707107; со5(я-/4) = У^/2и0,707107; 18( я-/4) = 1; с18(тг/4) = 1. При 1р = 1г1Ъ(1р= 60°): 81п(7г/3) = \/2/2 а 0,866025; со5(7г/3) = 1/2; 1§(7г/3) = ^3 и 1,732051; С18(тг/З)= у^/З и 0,577350.
При V? = >г/2 {<р = 90°): 51п(тг/2) = 1; со5 (тг/2) = 0; 1ё(я-/2) — не существует; с18(я-/2) = 0. Для нахождения значений редко применяемых функций аес и сояес ^ можно воспользоваться их выражениями через со8 ^ и 81п ^ (в случае деления на нуль соответствующая функция не определена). 6.5 .4 . Формулы приведения Если аргумент тригонометрической фун кци и ^ > 2я-, то для нахождения значений фун кци и надо учитыва ть ее периодичность. Формулы приведения позволяют сводить значения тригонометрических функций для значений аргумента во II, III , IV четвертях к значениям функции от аргументов в I четверти (О < г < ’г/2). 1) 81П = С08 С08 ~ = 81П 2) 81П = С08>р,С08 +^^ = - 81П(р, 3) 8Ш(тг± ^) = Т8Ш С08(?Г± ^>)= - С05 18(л-±V’) = ±18V,С1ё(я-± ^) =±С1в 4)81П^-7Г± = — С05 С08^-Л'± = ± 81П (р, (8^7Г± = Тс(8 с1807Г± = Т(8у; 5)81П(2п~<р)= - 81П С08(2тГ ~ <р)= С05<р, 18(2тг- ^) = - (8 с18(2тг- <р)= - с1й<р. 6-5.5. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента 51П^<р+С08^V = 1, (8^•С18^= I, 8ШШ С08 Ю 2 I 1%1р= ---- , С18^ = -Т , 1+18 <Р = Т~~ С08 ^ 8Ш (р €08*^ (р 1 1 1 1+с1§^= . , §ес(р= , С08СС (р =
±-/1+18^<р ±\/1+ , А ^Т~ 1 ‘= ‘8 'Р СО&1Р —±V 1-5Ш^ = = --- ±\/1+18^^’ ±\/1+с18^^ I 51ПМ ±-^^1 -С08 ^Ш 18^ = = , =— С18»’ ±^/\ -&\п^^р со&(р 1 ±\/1 - 8Ш^ (р С08<р С1ё>р= - 18^ 5Ш(^ ±-/Г^ С08'^1р Здесь знак перед каждым радикалом определяется координатной четвер­ тью, в которой находится аргумент (угол) ^р. 6.5 .6 . Тригонометрические функции половинного аргумента и кратных аргументов 1. Половинный аргумент ^/2. . (р,/1-С05^ Ш /1+С08Ш ^1р ~ ^ *~ ^ ^ 2 V'+ V 81П ^ I+С05^’ (р /1+ С05<Р 1+С05Ш 5ШЮ с18Т = ±4 2у1-С05^ 81П (р I - СО&1р' Здесь зн ак перед радикалом определяется четвертью, в которой находится аргумент (угол) 1р/2. 2. Кратные аргументы тр (п = 2; 3; 4). 2(8^’ 51П2<р= 251П1рС05(р= 1+18V ’ 2 2 2 I~18У’ С082^ = 008 V»- 81П Ш=1-251П1р= -----= --, 1+ 18 («’ 218^ 2 1-18^^ С18 - 18’ С18^(р- \ _ с18V?- 18^ 2С18V’ 2
8Ш3<Р = 381Пу?- 48Ш^у?, С083(р~ 4С05^у?- 3С08<р, 1-3(8^ 3с1ё^ >р- \ 8Ш4^ = 8С05^ ^ 81П^ - 4008<р81П^р, С08 4^ = 8 008“' ^ - 8 С08^ +\, 41ёу - 41ёV С1ё‘'V-6с1§^и+1 1е4^= ---7 ^------ 2 — > с184» = Ц ----------- - . \ <р+ \%^ 1р 4с18 ^ - 4с1§9? 6.5 .7 . Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов 81П(а±0)=8ШаС08/9±С08а81ПР, С08(а±р)=С08асо8,9=р8ша81пр, Ща±Х^Р 1ё(а±р)= с1ё(а±р)= 1=р18а 18 ’ с18ас18/3т1 с18/9±с18а ' Здесь а и /9 — два аргумента (угла). 6.5 .8 . Суммы, разности и произведения тригонометрических функций I . Суммы и разности функций. ■ а ^■01+Р а-13 8Ша+8Ш/3=281П ---- С08 — -— , • ^ ^ " +/5 8Ша—81Пр=28Ш-- С08 , а+р а-13 С08а+С08й =2С08 ----- С08 2’ ^. а+/3.а -( 008а - С08й = -28Ш-- 81П 2 2’ р008а+д81Па=г81П(о+^)=г008 - а- (»•= \/р^ + 5Ш^=-, со8^ = - ; Р я могут иметь любой знак), г г
сова + 81Па = \/25гп ^, сока - 5Ша = ■У2сое ^, 51П(а ± в) Ца±1ёР=— ^ --- сояа созр 81П(а ± Р) 018а±с1%Р=±-----— 81Па зшр 2. Произведения функций. 81Па81П/3= ^ [со8(« - /8)-С08(а + ,0)], С08асо819= ^ [со8(а -/9)+со8(а+/9)], 81Па со8/9= - [81П{а- Р)+81п{а + ;9)], , , а 1ёа + 18)в 180(8/3 = ----— — с(8 а + с18уЗ 51П(а +/3)81П(а - /9)= со8^/3- со8^а, 008(а+/9)008(а -/9)=со8^/3- 51п^а. 6.5 .9 . Степени тригонометрических функций 8Ш^у = - (I - С082(р), 008^^ = - (I+0082<р), 81П^1р= -(381ПШ- 81ПЗш), 008^И = -(3008И+008Зи), 4 4 5ш''1Р = ^(0054^-4 0082<Р+3), соз"*(р= ^(0О54|^+40082(р+3). о 8 6.5 .10. Обратные тригонометрические функции Функции, обратные к тригонометрическим функциям и называемые круговыми функциями (или аркфункциями, или обратными тригонометрическим функция­ м и ), определяются как решения уравнений 81пг/ = х , со5у = х , (§1/ = 0182/ = X при каждом заданном значении х (относительно переменной у): у=Агс81пX, у =Агосо8X, у ~ Аго1вX, у =Лгсс18X
и носят названия арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс соответствен­ но. Таким образом, здесь находится значение аргумента тригонометрической функции у по заданному ее значению х, например, 81п(Агс5т1) = х . По­ скольку тригонометрические функции периодические, обратные к ним функ­ ции бесконечнозначны. Графики бесконечнозначных обратных функций по­ лучаются из графиков соответствующих тригонометрических функций зер­ кальным отображением относительно прямой у ^ х. Однозначные ветви многозначных аркфункций (главные значения) обо­ значаются соответственно агс81п х, агссок х , агс18 х, агсс1§х (иногда использу­ ются обозначения 51п“ ' х , со8~‘ х , х, с(е~' х) и определяются следующим образом: Функция Область определения Область изменения Монотонность у= агс$1пX -1^X^1 -тг/2^у ^тг/2 возрастает у=агссозX -1^X^1 0<у^7Г убывает у = агс1бX -00<X<+00 - и11 <у <)г/2 возрастает у=агсс1ёX -00<X<-Ьоо 0 <у<ж убывает 6.31. Графики однозначных главных ветвей а ркфункций приведены на рис. 6.28-
Рис.6 .30 У У = атсс1ех В частности, агсзт0,5= —^81п—=0,5^; агссояО=^ ^со8^ > агс18 '^ = у(^®^ '^)’ 1= ^^С18^=*)• Многозначные аркфункции связаны с однозначными соотношениями; АгС81ПI =(-1)"аГС81ПX+пп, Агссо5X = ±агссо8X+2пж, Агс18X = агс18х + пт, Агсс1бX=агсс18X+пж (п =О,±1,±2,...). Некоторые соотношения междуобратными тригонометрическими функциями. агс18 X - -агссо8X = —, агсс18®“ у ’ X агс81п I = - агс5ш(-х) = агссо8 х = агс18 ________, 2 VI-х^
агссо5ж=л--агссоз(-ж) = - - агсзтх =агсс1§ . 2 V1- агс1ёX = - агс1§(-х) = - - агсс1ёх = агс5Ш . ., 2 л/1+х2 7Г X агса^х =7Г-агсс1§(-х)= - - агс1§х=агссоз-р==, 2 V1+X аГС81П(ал/1- 6^+ Ь\/1- о^) при оЬ^ О или а^+6^^1; гг-агс51п(а\/1- +Ь\Л-а^) при а>О, агс51п о + агс51п Ь = 6>О и +6^>1; -тг -агс81п(ал/1- +6\/1-а^) при о<О, а+6 6<Ои а^+Ь^>и агс1ёа + агс18Ь = агс18 тт + агс18 - п+агс1б 1- аЬ а+Ь 1- аЬ а+Ь 1- аЬ при а6<1; прио>О,аЬ>I; приа<О,аЬ>1. 6.5 .11 . Тригонометрические уравнения Общие решения тригонометрических уравнений 1) 81п х = а , 2) со5Х = а (о — любое действительное число, |а| < I); 3) 1§1 = Ь, 4) с!^! = 6 (6 — любое действительное число) имеют соответственно вид: 1)X=(-1)"агс81па+пя, 2)X=±агссо5а+2тг. 3) X=агс1ёЬ+П1г, 4) X=агсс(8Ь+пл, гдеп = О,±1,±2,... .
Глава 7 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕРЕМЕННОЙ 7.1 . Первообразная и неопределенный интеграл 7.1 .1 . Первообразная функция Функция Р{х), дифференцируемая в некотором интервале (а ,Ь), конечном или бесконечном, называется первообразной функцией (или просто первооб­ разн о й) для функции /{х) в этом интервале, если для каждого х из (а; Ь) выполняется Р'{х) —/(х) или (1Р{х) —Р '(х) Лх = }(х) <1х. Пример 1. 1) Если }(х) = то первообразная Р(х) = х’ в промежутке -ос < х < +оо, так как (х^У = Зх^ или Л(х^) = Лх. 2) Для /(х) = С08Х имеем Р{х) = 81пж в промежутке (-оо; +оо), так как (8|т)' = С05X или Й(5|Пх) = С08 * <1х. Если ^^1(x) и Р 2(х) — любые две первообразные для /(х) в интервале (а; 6), то всюду в этом интервале Р 2(х) - = С, гдеС —некоторая постоянная. Две первообразные для одной и той же функции /(х) могут различатся лишь на постоянную. Если Ф(х) ~ одна из первообразных для /(х) в (а; 6), то любая другая первообразная Р(х) для /(х) в (а,Ь) имеет вид: Р(х) = Ф(х) + С , где С — некоторая постоянная. График любой первообразной Р 2(х) = Р 1{х) + С может быть получен из графика какой-либо одной первообразной ^'|(х) посредством параллельного переноса ф аф ика у = ^^1(x) вдоль оси Оу на величину М\Мг = С (при любом значении х) вверх (если С > 0), или вниз (если С < 0) (рис. 7.1). Для любого х из (а; Ь) угловые коэффициенты касательных М\Т\ и М 2Т2 к ф афикам в точках М| и М 2 с одинаковой абсциссой х равны между собой. График любой из первообразныхР{х) называют интегральной линией функции /(х). Через каждую точку проходит одна и только одна интегральная линия.
7.1 .2 . Неопределенный интеграл Неопределенный интеграл от функции /(х) в интервале(о;Ь) — это общее выражение для всех первообразных функции /(х) в (а ;Ь), содержащихся в соотношении Г(х) = Ф(х) + С, где Ф(х) — одна из первообразных для /(х), С — любая постоянная. Обозначение неопределенного интеграла: //(х)йх. Здесьзнак ^ называетсязнаком интеграла, /(х)йх —подынтегральным выра­ жением, /(х) — подынтегральнойфункцией, х — переменной интегрирования. Таким образом, любая первообразная Р {х) для /(х) в (а; Ь) имеет вид: Р{х)=У/(х)ах=Ф(х)+ с, где Ф(х) — одна из первообразных для /(х) в (а; 6), С — любая постоянная. Приэтом /(х)йх = Р '{х)йх = йР(х) =йФ(х). Для всякой функции /(х), непрерывной в (а; Ь), существует первообраз­ ная и неопределенный интефал в (о; 6). Действие нахождения неопределенного интеграла от функции /(ж), т.е . Нахождение неизвестной функции по ее производной /(х), называется н н - '^егрированием функции /(х). Интефирование и дифференцирование — вза­ имно обратные математические операции. Правильность интефирования Проверяется дифференцированием.
Пример 2. В условиях примера 1 имеем: 1)У Зх^<1х=х^+С.Проверка: (х’+С)'=ЗI^ 2)^ С08* =51П1+С.Проверка: (51ПI +С)'=008*. Пример 3. Дляфункции /(г) = 1/х (хф 0) имеем при I > О ГЛх ,1 I— = 1па:+С, таккак (1п*+С)=-; ^ X X соответственно при х < О — = 1п(-1)+С. таккак [1п(-а:)+С]^ = —. X X Объед иняя оба эти результата, получим ^ ^ = \п\x^ + С (х^^О). 7.1 .3 . Основные свойства неопределенного интеграла ^ /(х)<1х =/( или х)йх1 =/(х). йР(х) =Р(х) +С. 3)^А}(х)Лх=А ^ }(х)Лх(АфО—любоечисло). 4) У^1/(х)±г(х)|йх = ! }{х)Лх± ! ^(х)д.х . 7.1 .4 . Таблица основных неопределенных интегралов 1)!йЛх=С. 2)! \ах=х+С. 1)й Лх= ^+С(а^ -1;еслиа<О,тох/0). 3)|х“ 4) ! ^ =\п\х\+С (х#0). 5)I е^(1х=е^+С. 6)[ ах=~+С(О<аI). ^ 1па
10 8Нжйх=сЬз:+С. сЬI <^х=5ЬI +С. 7)у 51Па;ЙХ= - С051+с. 8)у С05ХЙХ=51ПX+с. 9)[-^ = /"(1+с18’х)Й1= -С18Х+С (х/ П7Г,п = о,±1,...). у8Ш^Xу [ = /"(1+18^х)(4х=(8Х+с(х^ ^+ПЯ-, п =О,±1,...). У С05^х У 2 И) У 18ХЙХ= - 1п|со8х1+с(х/ ^+ПЯ-, п= о ,±1,...). 12)У с18ХЙ1=1п|81Пх|+С (х7^2пл-, п =О,±1,...). 13)у! 14)У< 15)УИ1ХЙХ=1псЬх+С. 16)Ус1Ьхйх=1п|5Нх|+С (х^0). 17) [ + У сЬ^х '*)[~ = -с1Ъх+С (х^О). •/ 81т' X *^) [ ~ ^ = агс51П—кС =- агссо5 -+С] (1x1<а,а> 0). ■'уа^- а а 2п\Уйх 1 X 1 X , , ' /^---5 -= - агс(8-+С= - - агсс(8-+С] (а 0), ^ +х^ о а а а [-^4^== =1п(х+\/хЦ^)+С=АгкЬ-+С|(а>0). У =1п|х+л/х^ - 0^1+С=АгсЬ^+ С|(|х| >а>0). 23) [ _ 1 /0^-1=2а а-а: о+X +С= - АпЬ-+С](|х|<а,а>0). а а 1 X +С= - Агс1Н—уС\(|х|>о>0). а а
Ф о рмул ы 1)-24) проверяются дифференцированием: производные правых частей этих формул равны соответствующим подынтегральным функциям. Примечание. Если Р{х) — первообразная для /(ж), то I/{ах+6)йх= -Р(ах+Ь)+С, а что доказывается по правилу дифференцирования сложной функции. Благодаря этому свойству таблица неопределенных интегралов может быть расширена. Производная всякой элементарной функции является также элементар­ ной функцией. В отличие отдифференцирования, результат интегрирования некоторых функций не может быть выражен в элементарных функциях, на­ пример: ^е ^ с(к{х^)(1х, ! 5т(х^)йх, /йх , , ^ ГСО&Х,, , ^ Г 81ПX у_,х(х^0),1 — ах. функции, представляемые этими интефалами, хотя и существуют, но не яв­ ляются элементарными. 7.1 .5 . Основные методы интегрирования 1. Методразложения. Если/(х) = /|(х) +Д(х) -Ь ... -Ь/„(х), то ^ }(х)ах=! /,(х)<гх+^ /з(х)йх+...+у и(х)йх. Пример 4. = +С,+ 2*'/' +С2= +2^+с (С=С,+Сг). П ри м е ча н и е . Обычно в промежуточных вычислениях не пишут произвольные посто­ янные для каждого интефала. 2. Методподстановки (методзамены переменнойинтегрирования)заключа­ ется в том, что вместо переменной интегрирования х в неопределенном ин­ теграле //(х) Лх вводится другая (вспомогательная) переменная I, связанная с х соотноше­ нием (подстановкой) I = <р(х), /р(х) ~ функция, имеющая непрерывНУ*® производную в некотором промежутке изменения х. Обычно п о д бир а е те * '
такая функция I = ‘р(х), что справедливо равенство }( х) = §\>р(х)\1р'(х), где ^\1р{х)] — сложная функция от х, причем неопределенный интефал /' «{<)М=С{1)+С находится проще, чем исходный. Тогда /(х)ах^о[ф)]+с. /■ Правильность этой формулы проверяется дифференцированием обеих ее частей с использованием правила дифференцирования сложной функции: ^С Ых)] = С'1ф)]■у'(х) и учетом равенства 0 ' ( 1) =«(<)■ В частности, для интеграла Кх) применяя подстановку I = /(х), М = { '(х) Лх, получим ^ = У у =1п|<!+С=1п|/(х)|+С (}(х)ф0). Если подынтефальная функция имеет вид /(ах + 6), то иногда интефал удается найти подстановкой I = ах + Ь. В ряде случаев может быть использована подстановка х = где ^'(0 имеет непрерывную производную в некотором промежутке изменения пере­ менной I, приводящая к следующей формуле интефирования ® правой части которой после интефирования следует вернуться к исходной ''временной интефирования I , используя функцию, обратную к I = ф(1). Пример 5. /Г I ^ 51П1хЛх — <подстановка: I = 2х; далее: Ш, — (2х)' йх = 2 <1х, Лх = ~ ■— 81П< ^ С05Й + С = {возвращаемся к исходной переменной ж, ис ­ пользуя равенство ^= 2х} = - ^ со5 2х+ С. Проверка: С05 2х+С = 81П2Х.
220 Глава 7. Интегральное исчисление функций одной переменной 2) I \/з5^</1=|<=За:-2,(й=й(31-2)=3<41,й1 = ^<й|= ^ '-^101 = 3)/ = {<= С051,(Й=(С081)'/1х= - ^\ПXЛх)= - ^ ^ =-^ Г*(й= =;ГЧС= —-Ц-+С. 4 4со5^X 4) = ^1п|21+3|+С. = 1п|«+л/«2_з| +с = 1п|х^+л/х'0-3|+С. / (1х , , —..., = •{ Выделим в подкоренном выражении полный квадрат: •^-х^-2х+\ -х^ -2х+\ = -(х^+2х- 1)= -(1^+21+ 1-2)= - (г+ 1)^+2.Подстановка; Г (И I 1+1 <=I+и=/ . = ЗГС51П —= + С = аГС81П ---^ +с. ^ у у/2^ уП ч/2 7)^ С05Х(1х= {I=&тх,<и=соях4х}=Уе '=е'+С= +С. 8)^у/а^- (1х = {х = о51п^ (а > 0), (1х —асо&1(11, - х^= - о^51п^( = - - со5^1^ = ^ а сояI•асо51(II= ^ со8^ |со5^^= -(1 соз21) = а}г а}Г а} = у /(й+— I СОя2Ы<= у<+—8|п2(+С= {81п2(=281П<С054=25|П(>< X^1 -51пЧ|= — <Н 81П(■ —8ГпЧ+С={I =аГС8|П- , 8Ш(ЗГС81П- I= 22 I а \ а^ хЧ X X! ^ „ о’ =- >= — агс81п-+ — •-\/1 т+С= — а) 2 а 2а\ 2 о 2 3. Метод интегрирования по частям. Если функции и(х) и г(х) — непре­ рывно дифференцируемы в некотором интервале, то справедлива формула ^ и{x)V'(x) йх = и{х) ■г(х) - ^ у{х)и'(х) Лх, или
Пример 6. 1) у а:е*йг= ^обозначим:и= 1 , = е* йж; отсюдаследует: =йж,»=^ = — ^ Лх= =хе‘-^ е"йх=же*-е*+С.Проверка:(а:е*-е*+С)'= же*. 2) ж1п1йж=|и=1пж,й»=жйх;й«=(1па:)'(гг= ^ , »=^ й»= ^ хЛх = . VГ Лх х^ х^ = у|=(1пх)у-уу - = у1пж--+С. 3)У^ж8тжйх=|« =ж,й»=81пжйа:;йи=йг, » = ^ — ^ 81пжЙ1= - со8ж|= = -жсо8ж + У С08ХЙ1 = -жсо8а: + 8та: + С. 4)^1пжЙ1=|и=1пх,й»=йж;йи=^ , «=^йж=ж|=(1п ^ ~ = х\пх-X+С. 5)Уж^со83жйж= ' « = 1^ йи= со83жйж;йи= (ж^)'йж = 2жйж,и=^со&Зx<^x = =^ созЗж-^й(3ж)= ^81пЗж|= ^ж^81пЗж- ^ 7,где/ = ^ жзшЗжйж. Интсфал 7 вычислим также по частям: ^ ^ а:81ПЗжйх= |и =х, (IV=З1пЗж<1х;йи=<^ж, г = ^ 51ПЗжйж= = у 8шЗж-^ й(3ж) = - ^ С053ж| = -^ЖС08 3Ж+ ^ 81пЗх+С. Окончательно находим: / 1 2 2 Ж^С08 Зж йж = -ж ^51ПЗж+-XС08Ъх- — 81ПЗЖ+ С. ■/=Уе*С08ЖЙЖ= =е“, йч=С08ЖЙж;йи=е'ЙЖ,I;= ^(1V= ^ со8жйж= =81пж^ =е‘'81пж-У8шже*йж=е*8тж-/1,где7)= ^ е’‘ ■5тxс^x. Вычислим 7| также по частям: ^^=уе*"81Пжйж=|и=е*,й»=81пжйж;йи=е*йж,»= ^ ЛV= = У8Шжйж = - С08ж|= - е'С08ж+Уе*совжйж= - е'’со8жйж+^,
где ^ ^ е* С0 8 хЛх — исходный интефал. Имеем систему двух уравнений для нахождения 7 и 7,: У=е*81ПX—7|, ^^= -е‘со8х+^, решая которую, найдем ^= 51ПI+е*С08х), 3^ = ^(е*81пх- е’ со8х). Проверка: 7' = е* со8а:, /[ = 81пI . 7.1 .6 . Интегрирование рациональных функций 1. Отношение двух действительных полиномов Р (х) и <3(г), не имеющих общих множителей: где Р(х)=Отх’" +а„.,х”'~' + ...+Оо, (?(г)=6„х"+6„_1х" '+...+6о, называетсярациональнойфункцией(дробно-рациональнойфункцией,илирацио­ нальной дробью). Если степеньР{х) меньшестепени ^(г), тодробьназывает­ сяправильной, впротивномслучае—ненравнльной.Еслидробьнеправильная, то делением Р{х) на ^{x) ее можно записать в виде д(х) ''^ ^ Я(х)’ где Ц^{х) — полином , называемый целой частью; ' ^ ^ — правильная дробь. Я(х) х*+х^-Зх , Зх Пример 7. 1^ +1 х^+1' Правильные дроби вида: Л* М*х +N/1 (г-с)‘ ’ (х^+рх +д)*' где к — натуральное число; с, р, д, А ^ , М к ,И 11 — действительные числа; квад­ ратный полином х^ + рх + д не имеет действительных корней - 4д<0), т. е. не раскладывается на действительные множители первой степени, назы ­ ваются элементарными (простейшими) рациональными дробями.
Для интефирования неправильной дроби следует; 1) представить ее в ввде суммы целой части и правильной дроби, 2) полином ^ (x) разложить на множители вида х - с и +рх+д,где - 4д<0: ^{x)=6„(х-с,)“' ... (г-Сг)“'(х^+р,х+д,/' ...(х^+р,х+ 3) правильную дробь - ' ^ разложить на сумму элементарных дробей, при Я(х) этом каждому сомножителю (х - с )" в разложении ^ ( х) на множители соответствует сумма элементарных дробей ^1-^2 I " Г, \л“Г• • •" г X-с (х-сУ (х-с)“ ’ а каждому сомножителю (х^ + рх + д)^ — сумма элементарных дробей М,х+К, ^ М2X+N2 ^ ^ Мрх+Ир х^+рх+д (х^+рх+дУ (х^+рх+д)^ При этом некоторые из коэффициентов .4^, М „ ,М а могут оказаться равны­ ми нулю. Для нахождения неизвестных коэффициентов разложения дроби на с умму элементарных дробей следует привести эти элементарные дроби к общему знаменателю ^ (х) и сравнить затем коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях обеих частей равенства. В результате получается система уравнений для нахождения этих коэффициентов. В этом и состоит метод неопределенных коэффициентов разложения рациональной дроби на элементарные. Пример 8. Разложить на сумму элементарных дробей правильную дробь Р(х) ^ X д {х) х^-х^+2х+2' Решение. Разложим ^ (x) на множители: д(х)=х^-х^-2х+2={х- 1)'(1^+2х+2), причем полином х^ + 2х + 2 не имеет действительных корней {р^ - 4д = - 4 < 0). Разложение на сумму эл ементарных дробей запи ше м в виде Р{х) _ А, А2 М|1+N1 д(х) X-I^(х- ^ х^+2х+ 2' Приводя к общему знаменателю (? (х ) дроби в правой части равенства, ск ла дывая их и приравнивая числител и в обеих час тях равенства, получим: Р(х)=Л,(х- 1)(!^+2х+2)+Аг(х‘+2х+2}+(М,х+ЛГ,)(х- 1)^
Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях, находим М,+М|=О (ж’), А1+А2-2М,+N,= 0 (х^), 2А2+ М,-2N, = I (х), ,-2А, + 2А2+Л,=0 (1°) , Решая эту систему, получим А , = 1/25, А^ = 1/5, М| = - 1/25, = -8/25. Следо­ вательно, искомое разложение имеет вид X 1 1 1+8 х*-х'^-2х+2~ 25(1-1) 5(г- 1)^ “ 25(х^+2ж+2)' Р(х) 9х^- 22х +11 91^- 2 21+11 А В С ример ' х^~6х^+\\х-6 {х-\){х—2}{х-3) х-1 ~^х—2^х-3 Аналогично примеру 8 получим 9х^ - 22г+11=хЦА+В+С)+х(-5А - АВ-ЗС)+6.1+ЗВ+2С. Имеем систему трех уравнений: 1) 9=А+В+С, 2)22=5Л+4В+ЗС, 3)11=6Л+ЗВ+2С, решая которую, найдем А = - 1 , В = - 3 , С = 13. Следовательно, исходная дробь имеет разложение Р(х) _ I ^ ^ {x) 1-1 х-2 1-3 ' Интефир ова ни е правильной рациональной дроби сводится к интефиро ванию элемен тарных дробей. 2. Интегрирование элементарных дробей. = А\п\х- с\+С. АЛх (х-с)* (А-1)(!-с)*“ ' Интегралы вида I), 2) вычисляются подстановкой I = х - с. 3) Интефал вида /; Мх+М ^ .2 .2, (Р -4д<0) +рx+^ вычи сляется посредством вьщеления полного квадрата; п2 /
р и использованием подстановки I = х-\- В результате получим +рх+д=1^+а^, 2 гдеО =д - — >0, что позволяет свести исходный интеграл к двум табличным: ГМх+М^ М ^2 , 2ЛГ-Мр /2х+р\^ / (4х= — 1п{х +рх+д)-\--- . 8ГС18 I , I+С. У х^+рх+д 2УI- ч, 4) Интефал /(х^ +рх + ?)* р подстановкой I = х + - приводится к виду /М1+Ь (1^+ а^)>= ’ 2 ^ 2ЛГ-Мр гдеа=д , Ь = -------- , ин тегрирование которого сводится к на- 4 2 хождению двух интегралов, из которых первый вычисляется подстановкой /;(<2 + а^)* 2(/к - 1)(<2 + о^: а второй — по рекуррентной (т. е. возвратной) формуле: /: <= Следовательно, вычисление интеграла ^|^ сводится к вычислению интеграла Л-| . Повторяя вычисления (к - I) раз, приходим к интегралу (II I I^ — ^ = - агс1в- +С. 1^+ а а Интеграл ^|, можно вычислить также тригонометрической подстановкой а (8а. Пример 10. О с учетом примера 8 имеем: 2) Согласно примеру 9 имеем: 9х^ - 221+11 —6х^4-11ж- 6 8 Справочник по
3. Некоторые частные случаи разложения полиномов на действительные множители. 1) = (х+а)(х^ -ах+а^) (р^ - 4д= -За^ <0). 2) = (х-о)(х^+ах+а^) (р^ - 4д= -За^ <0). 3)х^+а' = (х^+ах\П+а^)(x^ - ах\/2+а^) (р^- 4д<0). 4)х'' -о"' = (х-а)(х+а)(х^+а^). (См. также формулы в 1.2.2.) 7.1 .7 . Интегрирование некоторых иррациональных выражений Выбором соответствующей подстановки интегралы от некоторых иррацио­ нальных выражений удается свести к интефалам от рациональных функций. Далее будем обозначать через No ..) . §Ц рациональную функцию от аргументов и, V , где Р(и , г), (?(«, V) — полиномы 1ух аргументов « , 1 1. Интсфал вида отдвухаргументови,V,например:Р(и,ю)=2и^+«1;^- 3®^+и-V+1. 7=УД(х,Уах+Ь)Лх Г-Ь вычисляется подстановкой I = \/ах + Ь. При этом — ах+Ь,х= 1 “ йх = - п1" М . Получается интефал от рациональной функции: Пример II. [ Лх= [ Лх={1=\/х,х =<“, Лх=аОЛ1)= ] у/х+\ У \/х^+ I = {делим числитель дроби на знаменатель} = + -4<+8агс1вг+С, где(= 2. Интеф ал вида
вычисляется при помощи подстановки _ „/аж+6 „_ах+Ь _ (ай - Ьс)п1"~' ^ ^сх+й’ сх+с1’ ^ 01"-а’ * {а-Ы ”)^ Следовательно, , Л(а<^-Мп<" ' . ] а) (а-с*")2 При«ер12. у -^ — = ,х=- ^ ,йх=^^| = =-ЬI — --- ^Затем интефал от рациональной функини вычисляется со- ^ {I—1)(^+1) гласно 7.1.6. 3. Интеграл вида /пт. Ь\^ /атА-Ь\^ (1х, Г\ /аж + 6\" /ах-\ -Ьу У*’\сх+<г/ ’\сг+й/ ’■■■ где й — рациональная функция от своих аргументов; а, /3, .. . — рациональ­ ные числа (простые дроби), при помощи подстановки сх+а' в которой п — наименьший общий знаменатель дробей а , /3, . . . , приводится к интегралу от рациональной функции. Пример13. ^= [ ^ . Здесьа= ^,/8= . Наименьший общий знаменатель ^ у/х V^ 2 3 ^= 6.Подстановкой1^= х,йх= Л получим интефал от рациональной функции 7=б|^^ =б + + =Кб'” +1^'” +ТЗ'” +■••+ +«+'"1«- и)+с, гдеI = 4. Интеграл от дифференциального бинома 1“(а +Ьх")"Й1, гдет,п .р — рациональные числа; а / О, 6 ^ О, может быть приведен к ин­ тегралу от рациональной функции только в следующих трех случаях (теорема Чебышева):
1) Если р — целое число, то применяется подстановка х = I ' , где г — общий знаменатель дробей т и п . 2) Если ^ * — целое, то используется подстановка а + Ьх" = Г , где г — п знаменатель дроби р. 3) Если — Нр — целое, то применяется подстановка ах~" + 6 = Г , где п г — знаменатель дроби р. При п = 1 эти три случая равносильны, соответственно, следующим: 1) р — целое, 2) т — целое, 3)т +р—целое. Пример14.У=[ - 7-^ . Здесьт =1,п=-,р = ^‘ =3. ^ ^ 2 г, 2/3 Имеем второй случай и \+ \ ^ = 1^,х = <1х = <И. Счедовательно, ^=Ъ1(1^-I)' = 31(1" - 2<Ч1)(й= - 24’+3«+С, где<= х/Г+г^з. 5. Интефал вида /: Лх \/ах^+Ьх+с находится вьшелением полного квадрата из квадратного полинома: 6^- 4ас {1 Ь 9 I? с\ ( .Ьх^с =а[х +2-x+^ - ^ +-^=а(^.+ - ^ • 4а Ь Затем используется подстановка I = х + — . 2а 6. Интефалы вида УД(х,\/ах^+Ьх+с)йх{аФ0) сводятся к интефалам от рациональных функций при помощи однойиз трех следующих подстановок Эйлера: I) Еслио>О, то\/+ Ъх+с+х\/а=I,ах^+Ьх +с=(I-х\/а)^' ~~С ^^ :, V ах^+Ьх+с= 1-Х\/а = 1------- -р '/а. Подстановка Ъ+ Иу/а Ь + 21у/а применима в промежутке, где ах^ + 6х + с ^ 0. 2) Еслиа<О,с>О(ах^+Ьх+с>0),топрименяетсяподстановка ^ ^ 2^с1-Ь \/ах^+Ьх+с=х1+\/с,I = -------- . а-1^
3) Если уравнение ох^ + Ьх + с = О при любом знаке о имеет два разных корня XI, Х2 (нумерация корней несущественна), то применяется под­ становка \/ох^+Ьх+с а{х - х-Л Х|<^ - ахг 1= --------------= 4/--------- , х= X-х\ уХ-Х|’ <2- а Г Лх Пример 15. ^ = / ---- --------- Ух+^^ТхТ)____ Применяем первую подстановку у/х^ + х + ) + х = 1, + х + \=(1-х)^ = 1^-11х + х^, - 1 1^+1+\ X = ------------, Лх = 2 - ----------- ^ (И. Исходный интеграл сводится к интефалу от рацио- 1+21 (1+2*)-' нальной функции: 7.1.8 . Интегрирование тригонометрических, покозательных и гиперболических функций 1. Д ля нахождения интегралов \)! хЛх, 2)Усо5^"+ 'хйх, где п — натуральное число, применяют соответственно подстановки: 1) <= С05Х, 2)I—5ШХ . Пример 16. У^51П^ I йж = ^ X■зтхЛх = - со$^ х)%тхЛх = {I = стх, ^ =(сова:)'йх= -%тхЛх) = - ^ (\-1^)(11= -1+^ — +С= - со&'х+-соз’1+С. 2. Д ля нахождения интегралов 1) У 51п^"хйх,2)у"со&^"хЛх Подынтегральные функции вначале преобразуются при помощи применения (возможно, повторного) формул 5Ш^X = ^(1- С052х), С05^X = ^(1+С052х). Пример 17. ^!лпx^x = ^ ^ (1—со52*) Лх=^^ — 2со&2х + со$^ 2х) <1х =
С08TMX •81п"X йх /■ хотя бы одно из чисел т и п — нечетное, то применяется подстановка <= 5ШX (при т — нечетном) илиI = со8х (при п — нечетном). Пример 18. ! X■ XЛх=^ 008^а:•8Ш^I■С08гйх= х)$т^X ■со^хЛх = = {<=81П*, <и=САХХЛх}= =У(1-1^)1^й«=у-у+С=^81п’г - ^ х+С. Если оба числа т и п — четные , то применяются формулы 8Ш^X = ^(1- С052х), С08^X = ^{1+С082х), 81ПХ■С08Х=^5ш2х. Пример 19. ^ 81п’ X■С(Хх(1х=! (81ПX■С08х)^С05^XЛх=^^ 81П^2х•(1+С082х)Лх= = ^у 81П^2гйж+ ^у 81П^2х■0082хЛх= ■у(1- 0084г)ЙХ+ ^ у 81П^2хЙ(81П2х)= = 4:1 - 81П41+4:81п’2х+С. 16 64 48 4. Интегралы вида У81Птх ■С08пхйх, ^ 81птх ■81ппх Лх, ^ со8тх ■со8пх д,х вычисляются при помощи формул, приведенных в 6.5.8,2. Пример 20. У81ПЗх■0082жЙЖ= ^У[81П(Зх - 2х) + 81П(Зх+ 2х)]ЙХ= = ^ у [81ПX+51П5х]ЙХ= - ^008X- —0085Х+С. 5. Интефалы
где натуральное число п > 1, вычисляется путем ваделения множителя 18^ х или с(8^X. ПриАюр 21. /)./'2 , / ® . /" ■“ <^0®^* 18хЛх= I 18 ж•181 Чх<1х = I г 1%хс1х = ^ У С05^* ^ С08^ X = /18®ЛНвх)-I -- — Лх={5ШI = -й(со5г)}= ^ ] совX = ^ 18^I +1п|со5х\+С. 6. Интегралы, подынтегральные функции которых содержат выражения: 1)а^-x^у/-х ^\ 2) х^+а}, у/х^ +а?\3)х^-а^,Vх^ - а^, врядеслучаев удается вычислить при помощи подстановок: I) г =а ■5Ш< или х = а -со5<; а а 2)X=о•1ё<илиI =а •с18<;3)I= илих= 81П I С05 I Пример 22. 1)^ -\/а^-х^Лх={ж=осо5<(О^ <ж),Лх= -а$т1Л1}= ^ = уГ\ Г X = -а / -(I-С082^) = -------------- 8т2<+С=<<=агссоз—,81п2^= 28Ш<х У2' ' 2 4 \ а XС08^= 2со8<-VI-со8^<=2—у1 ^|=- — агссок — |- —у +С. = — >= IСО&1(И=5\п1+С= ^ = агс1в х ; 81П(агс1в х) = . ,>= со&^I ) ^ I л/ТТх^ ^ 3) \/Ь ={-=^(« = = ,8^} =/ .8^ <^*= / = .8«-*+С= — <<=агссоз—= агсш\/х^—1V= —I —агссо5— КС . I X ; X 7. Пусть Л(и, I») — рациональная функция. Тогда интефал от функции «(51П X, С05 х) сводится К интефалу от рациональной функции (рационализиру- ^ я)универсальной тригонометрической подстановкой I=1${х/2)(-тг<х<тг) +С.
в силу равенств: X X X 2^ 81ПX = 281П- С05— = 21§—С08 — = ^—р , 2X 1-1^ 2Л1 со8а;=2со8т-1= -^ — п. х=2гис1%1, ах= -— 2 1“Ь * 1"1“ ь <11. Следовательно, / «(й’т^) Пример 23. [ = |е=18^} =[(Й=4+С=18^+С. У1+С0811. 2} ^ 2 Частные с лучаи рационализации интеграла от функции Л ( а п х, С0 8 х) 1) Если Д(зтг , со5х) нечетна относительно 8шх, т, е. К{-8ШX,С08х)= -Л(8тI,С08х), то применяется подстановка I = со8 х , 2) Если Й(з1п X , С08 х) нечетна относительно со8 х , т. е. Д(81ПX, —С08 х)= -Д(8ШX,С08х), то используется подстановка ( = 8ш х. 3) Если Д(-81ПX, - С05 х)=Д(зтX,С08х), то применяется подстановка I = Щ х (или I = с18®)- Пример 24. ГЛх ГятхЛх .,1 С 1) = I ={(=0051,(Й= -81ПЖЙ*}= - /-—- = У 81Па; У 5Ш^X = -2'п \+1 _ 1 1- С08X +С= - 1п------- 2 I+С05X с. Г 8т^X Г 81П^IС05 X Г 1^Л1 Исходный интеграл рационализировался. / 81ПXС08X ^ = 51П^ ^X+СОЗ**X 81ПX=1—С05X = г ] \+1^ 2у 1+<2 ,С08X= 1+(^’ = ^ агс1еи+С= ^ агс1е(18''х)+С. -,=а^=и}=
8. Если Р{х) — полином степени п, то: 1) 2) У Р(х)м С0501<1Х= Р(х)- 51ПахЛх= -- Р"(х) Р<*\х) 51П ах Р'{х)- Р"'{х) р(^>(х) ■+ 3) I Р(г)е" а‘- а Р(х) Р'(х) , ,, +с. +с. +с. 9. Если Р (х) — полином степени п , то следующие интегралы находятся (много1фатным) интегрированием по частям: ’ ах. 1) I Р(х)е“ 2)У Р(х)8Ш(Ьх+с)йх. 3) ^ Р(х)со8{Ьх + с)йх. “*) ^ Р(х)е°^ ап (Ьх + с) Лх. 5) У Р(х)е"^ со&(Ьх + с) йх. В частности, 1) УXV"(1х= -х"е“ - - У х"-'е“ йх. х"8тЬхйх= - ^ сояЬх+^^ х" 'со&Ьхйх. /■п ^ х^зтЬ! пГ , ^ X со5Ьхйх= ---^ Ь]^ ч апЬхЛх. хе“* 51П6х(<х= 0^+62 (а81ПЬх- ЬС05Ьх)- [(а^ - 6^)8ГПЬх- 2аЬсо8Ьх].
Х^ах хе“* С08ЬхЛх= —;- - -т(оС05Ьж+Ь81ПЬх)- (а2 [(а^ - Ь^)С08Ьх + 2аЬятпЬх]. С е“^81ПЬхЛх= --- г(а81пЬх - Ьсо8Ьх). а^+Ь^ ' е“ е“^С08Ьхйх= ^ (а С086х + 6 81ПЬх). 10. Если Н (и ,у) — рациональная функция, то интефалы вида Я(5НX,сЬх)йх могут быть вычислены, если гиперболические функции выразить через пока­ зательные. Пример 25. Г (1х Г Лх Г ^ (й1 /------=2/----------г =<(=е ,X =\п1,Лх= — >= УсЬI+I Уе*+е"*+2 I} , /■ * , * 2 „ 2 „ ] 1(1+1-'+1)~ ] (1+\У~ 1+\* е'+Л 7.2 . Определенный интеграл 7.2 .1 . Свойства и геометрический смысл определенного интеграла 1. Опр еделен ие Пусть функция у = {( х ) определена и ограничена на (конечном) отрезке |а;6|, а < Ь. Разобьем |а;6| на п промежутков произвольными точками Х{ (г- О,1,..., п)так,чтоа =хо<х,<Х2<■■■<х„ = Ь(рис.7.2).Накаждом из частичных отрезков (г = О,1 ,...,п) возьмем произвольную промежуточную точку (х,_ | ^ ^ Х(), найдем значения функции /((г) и составим сумму, называемую интегральной суммой: П Л = ^/(С.)ДХ( (Дх; =Х(-Х,_ |). 1=1 Пусть при неофаниченном увеличении числа п отрезков разбиения наи­ большая из длин этих отрезков та х Дх^ стремится к нулю. Если при этом
существует конечный предел ^ интефальных сумм 7 „, то функция /(х) называется интегрируемой (по Риману) на отрезке |а; 6), а предел ^= Ит^ тах Даг<-»0 ' (7.1) называется определенным интегралом (по Риману) от функции / (г ) по отрезку (а; 6] и обозначается 6 ^ = ^ /{х)с1х. Согласно этому определению интеграла для любого числа е > О суще­ ствует число д{е) такое, что при любом разбиении отрезка [о; Ь] на частичные ‘*4>езки с длинами т а х Д х ; < (5, и независимо от выбора промежуточных ’ ^чек выполняется неравенство 5];т)Ах, - ^ 1=1 <е. В выражении определенного интефала функция /(х) называется подын- ''^Фальной функцией, х — переменной интегрирования, числа а и 6 соот­ ветственно нижним и верхним пределами интегрирования. Значени е ин тефала
зависит от пределов а и Ь, функции /(х) и не зависит от обозначения пере­ менной интефирования, например ь I Пх)ах=ут<и- Классы функций, интегрируемых (по Риману) на отрезке [а; 6|: 1) непрерывные на [о; й] функции, 2) функции, ограниченные на |о; Ь] и имеющие на [а; 6| конечное или счет­ ное множество точек разрыва, 3) офаниченные и монотонные на [о; 6] функции. Интефируемая на [а; Ь] функция интефируема и на любом отрезке, содержащемся в 1о;6]. Функция, неофаниченная на отрезке [о; 6], не инте­ фируема на этом отрезке. Офаниченность функции — необходимое условие ее интефируемости. 2. Геометричес кий смысл опред еленного интеграла Если /(г) ^ О на отрезке |а; Ь], а < 6, то определенный интефал ь /(х) ах /■ численно равен площади 3 криволинейной трапеции — плоской фигуры, офаниченной линиями: 1) ось Ох, 2) фафик у = }{х), 3) прямые х = а и X = Ь (рис. 7.2). Интефзльная сумма равна площади ступенчатой фигуры, состоящей из п прямоугольников. Площадь 1-го прямоугольника равна /(4;)Дх, . Если /(х) принимает на [а; 6] разные знаки, то плошадь криволинейной трапеции равна 5=1 \т\ах. 3. Свойс тва определенного интеграла Если нижеперечисленные интефалы существуют, то: 1)I /(х)йх=0. а Ь Ь 2) У /(х)<1х = - У /(х)йх.
ь с о 3) ^ /(х) = У /(х)(1х-\- ^ /(х) б/х (а,6, с — любые числа). а а с Ь Ь Ь 4) 1\}(х)±г(^)\йх =I /(х)(1х± ^ ф)ах. а а а Ь Ь 5)У к/(х)йх=к ^ /(х)йх (к —любоечисло), а а 6) Из условия /(х) ^ §{х) на [а; Ь\, а <Ь, следует ь ь у /(I) У?(х)йг. а а 7)Изусловият ^/(х)<М на(а;Ь),о<Ь,следует ь т(Ь- а) ^ ^ /(х)(1х<Л/(6- о). 8) 9 О ^ /(х)<1х < У |/(х)1 (0 ^ 6). 9) Если функция /(х) интегрируема на [а; 6], то при изменении ее значения в некоторой то чке с отрезка |а; 6| значение интеграла 6 )йх У /{^)< не изменяется. Фор мул ы среднего зн ач ения (теоремы о сред нем значении) О Если функция /(х) интегрируема на |а; Ь| и т ^ /(х) ^ М , то существует Число7(тп^7<М)такое,что ь а Называемое средним значением функции /(х) на отрезке [а; Ь|.
2) Если /(х) непрерывна на |а;6|, то найдется хотя бы одна точка ^ {а<^<Ь)такая,что /Пх)(1х=т{Ь-а). Здесь / = / { ( ) . Геометрический смысл формулы; сущ ествует хотя бы одна точка ( {а < ^ < Ь) такая, что площадь криволинейной трапеции аА БЪ (рис. 7.3) равна площади прямоугольника аА 'В 'Ь со сторонами Ь - а н /(^). 3) Пусть функции /(х) и ё (х) интегрируемы на |о; 6| и т ^ /(х) ^ М на (о; 6], а также ^(х) > О (или ^(х) ^ 0) на всем отрезке [а; 6]. Тогда суще­ ствуетчисло (т < <М)такое, что о о 11{х)в(х) ах = (I^ я(х) ах. в частности, если /(х) непрерывна на [о; й], то существует хотя бы одно такоечисло^(а<^<Ь),что о о ^ ЯхЫх)ах=}(0^^(х)ах. 4) Если фуикции /{х) и §{х) ограничены и интефируемы на |а;6|, а, кроме того, ^(х) — монотонна на |а; 6|, то на |а; 6| существует такое число 6 что ь ( ь ^ /(х)я{х) ах =§(а)У /(х)ах^^(ь) ^ /{х)ах.
7.2 .2. Определенный интеграл как функция верхнего и (или) нижнего предела интегрирования Если функция }(1) интегрируема на отрезке [а; 6], то для любого х (а ^ х ^ 6) функция интегрируема также на отрезке [а, х ], причем интеграл Л Ф(х)=^ (7.2) называемый интегралом с переменным верхним пределом, яаля ется непрерыв­ ной на [а; 6] функцией верхнего предела х. Здесь переменная интегрирования обозначена Ь. Геометрический смысл: функция Ф (х) численно равна пере­ менной (зависящей от х) площади фигуры а А В 'х (рис. 7,4). Приращение Ф(1 -ЬДх) - Ф(х) функции Ф(х) равно приращению площади этой фигуры. Аналогично определяется интеграл с переменным нижним пределом. Е сл и и н ­ тегрируемая на [а; Ь] функция /(<) непрерывна в точке х (а ^ х ^ 6), то в этой точке существует производная от Ф(х): Ф'(х)=Ит Лх->0 Ф(х+Дх)-Ф(х) Дх (1 йх X I (И = /(Х). Следовательно, если /(х) непрерывна на [о; 6], то для нее существует '’^рвообразная. П ри этом в качестве одной из первообразных можно взять Интеграл (7.2), т. с . неопределенный интеграл от функции / (х ), непрерывной 1“ ; &1, можно записать в виде X Р{х)=Ф(х)+С= ^ /(х)йх=У /(«)М+С (а^х^Ь). (7.3)
240 Глава 7. Интегральное исчисление функций одной переменной Часто используется также запись X ^ }(х)(1х=У/(г)<1х+С. а 7.2 .3 . Формула Ньютона—Лейбница 1-й вывод формулы Записывая любую первообразную Р (х) для функции }( х) , непрерывной на [а; 6], в виде X р(х) =I /{С)а1+С а Иполагая сначала х = а, получим )(^^+С-С; / /(«)< полагая затем х = 6, найдем ь ь т = I /{1)М+С=I /{х)ах+Р{а), а а где переменная интегрирования обозначена х. Из двух предыдущих равенств следует формула Ньютона—Лейбница О I /(х)ах=Р{Ь)-Р{а)=Р(х) (7.4) Выражение в правой части (7.4) читается: * Р {х) с двойной подстановкой от о до Ь». Пример 26. I) ^ Лх = |одна изпервообразных; Р(х) = у | =Р(х) =Р(2)-/'(-О
2) ^$тхс1х= {Р(^) = -сов х] =(-со&х) о 3)1е-Чх={Р(х}=-е-П =-е -I = - С08я-+С08о=1+1=2. о 2-й вывод формулы Разобьем отрезок [о; Ь ], на котором определена и непрерывна ф ункция / ( х ) , на частичные отрезки произвольным образом точками а=Хо<Х|<...<Хп=Ь. Пусть ^’(х) — какая -либо первообразная для /(х) , тогда, используя формулу конечных приращений (5.10), получим т-П “)=пхп)-р{хо)= = [^’(х„) - Р '(х„_,)] +[^^(x„-1)- Р(Хп-2)]+ ••. + [^^(®1)- ^’Ы]= =^ [Р(Х^) - Р-СХ;-,)] = ^ Р'ШХ. -X;-,) =^ 1=1 1=1 1=1 Переходя в правой части предыдущего равенства к пределу, когда тах Дх( О, Получим формулу (7.4). ^•2.4, Замена переменной и интегрирование по частям в о пределенном интеграле Замена переменной ^ и : 1) функция /(х) непрерывна на отрезке [а; 6], 2) функция х = й(<) определена и непрерывна вместе со своей производной ^'{1) на отрезке [а , /3], "■Деа = §(а), 6 = ^(/3), 3) сложная функция /(?(<)) определена и непрерывна "а |о, , ТОсправедливаформула о Р I }(х)йх = у /(«(<))«'(<) л .
Пример 27. 1) У у/Лх= |х =§{1)=а51п/,${1)=асо$1;О—а51Па, а =а51П при- мема^0,у9=-,т.е.0^/^- :^ асо^1(И— ^ а} со&^1(И=^ о о ’Г аV 1 \ = у У(I+со52г)й<=уН+ -5Ш2М =— . О ® е 2) ={х=г(0=е‘,^'(1)=е';1=е“,е=е'*,а =О,;3=1}= 1 г ' \ = 1М= - =-. У 2о2 О 'Ь+5=/У(х- 1)^^ ^ ^=.(О^ +I..'(О=■; приX=ОиX=2имеемсоответственноа= -1,/3=1}= I %/РТ4 = 1п(<+ л/<"+4) = 1п 1+У5 У5-Г 2. Интегриро вание по част ям Если функции и{х) и «(ж) имеют непрерывные производные на отрезке |а; Ь\, то ь ^ 6 У а(г)»'(1) = |и(х)и(1)| - ^ V{x)и(x) Их. Пример 28. >г/2 I)^ XС08Xйа:= и=I, =V — С05XЙЖ,V = ^ (IV=81Пх| = и ^/2 »/2 г = (х•81Пх) — / 8ШX</х= [х51пX+С05х\ Оу '
2)^ 1П1ЙХ=|«=1па;,й»=»' =йх,»=^Лу= = {х\пх) -! = I I 3 = (*1пж-х) =31пЗ-2 . Г ' 'Г 3) хе^<1х= {и=X, (IV=V(1х~е"" V=е^} =(хе^) - I 4х= о о = (хе^-е^)' = 1. 7.3. Несобственные интегралы Несобственные интегралы являются обобщением понятия обычного (собствен­ ного) определенного интеграла на случай бесконечного промежутка инте­ грирования и неофаниченной подынтегральной функции. Для определения интеграла при этом, кроме предельного перехода в интефальной сумме, тре­ буется еще один предельный переход. 7.3.1. Несобственные интегралы первого рода Пусть функция /(х) определена при х ^ а и (собственно) интефируема на любом конечном отрезке [а; 6). Если существует конечный предел О 1т / /(х) (1х, ++00 ^ 11т (7.5) ^ он называется сходящимся несобственным интегралом первого рода от /(х) нэ промежутке (а ;-Ьоо). Обозначение: +00 о [/(х)йх= Ит //(х)йх. у »-*+оо ^ (7.6) Если не существует конечный предел (7.5), то выражение (7.6) называется 1**сходя1Цимся несобственным интегралом первого рода. ' 'Ример 29. •^СЮ Ь >) [е~’Лх=Ит[е~'Лх= Ит(-е ') ^ Ь-»+оо ^ 6-»+оо = Пт(е°-е**)=1. о 6-»+оо Интегра! сходится, так как существует предел.
+00 Ь 2) I С0$х(1х= Нт / со$х<1х= Пт (81п6-5ш0)= 11т зшЬ. ^ Ь-*+оо ^ х-*+оо Ь-++оо 0 О Интефал расходится, так как предел не существует. +00 6 / <^x Гйх * — = 11т/—= 11т(1т) = 11т 1п6= +оо. X Ь->+IX>^ X »->+оо 1 »->+оо 1 I Интефал расходится, так как конечный предел не существует. Аналогично определяются следующие несобственные интефалы: О +00 а +(Х 1) I 1(х)йх, 2)I /{х)<1х = I Пх)Лх+ I }(х)йх -0 0 -0 0 -0 0 а в предположении, что оба несобственных интеграла в правой части равенства сходятся. Сумма этих интегралов не зависит от выбора а. Пример 30. +00 О +00 Г 2Лх ГИх Г 2Ох -00 -00 о } 2ах ( ЬЛк У 1)=У- ь, , ? . С.>>Л ^2=ит/-т = Ит агсШ — =т■ 1:-.+ооУ 12+4 6;-.+оо^ ® 2 / 2 о Ответ; ^ = +^2=1г. Формула Н ьютон а—Лейбница для сходящегося несобственного интеграла (7.6) имеет вид +00 /(г) с1х= Р{+оо) - Р(а), где Р{+оо) = 11т Р{Ь). »-*+оо к несобственным интефалам может быть применено интефирование по частям, а также замена переменной, при условии строгой м о н о т о н н о с т и функции X =«(<)■
Геометрический смысл интеграла Сходящийся несобственный интефал (7.6) представляет площадь заштрихо­ ванной бесконечной полосы под фафиком у = {( х ) (рис. 7.5). Несобственный интеграл, сво йства Если соответствующие интегралы существуют, то: +00 +00 +00 1)! [}(х)±%(х)]Лх= ^ /(х)(1х± ! ^(х)Лх. а а а +00 +00 2)у к/{х)Лх=к ^ }(х)Лх (к—любоечисло). а о Абсолютная и ус ло вная сходимость нес обственного инт еграла Говорят, что несобственный интеграл (7.6) сходится абсолютно, если сущ е­ ствует (сходится) несобственный интеграл от |/(х)|: +00 \{(х)\Лх. (7.7) / Если же интефал (7.6) сходится, но интефал (7.7) расходится, то интефал {^•6) называется условно сходящимся. Если интефал (7.6) сходится абсолютно, он сходится и условно, обратное неверно. ^^ризнаки сходимости: *) Если /(г)^0 , х(х)^0 и при а^х<-|-оо выполняется /(х)^г(*), то +00 +00 из сходимости а) У] = ^ г(х) йх следует сходимость б) ^ }{х)йх.
а из расходимости б) следует расходимость а), и вып олняется неравенство ^2^ +00 +00 2) Если |/(х)| < «(х) при X > о и у^(х) с1х сходится, то а а сходится абсолютно. 3) Если при о < а ^ X < +оо функция /(х) удовлетворяет неравенству |/(ж)| ^ с/х’’, где р ,с — постоянные {р > 1), то интеграл +СХ /(х) ах 1 сходится; если же /(х) ^ с/х**, где р ^ 1 и с > О, то этот интеграл расходится. 4) Если при р > 1 существует конечный предел Н т |/(х)|х'’ = С , то 1-»+00 +00 интеграл ^ /(х) с1х (а > 0) сходится; если же при р < 1 существует а положительный предел И т /(х)х'’ = с > О, то этот интеграл (при Х-++ 00 О > 0) расходится. +00 Несобственный интефал / — (а > 0) расходится при р ^ I и сходится ^ хР а прир>I,приэтом +00 <1х а' ’’ /хР р-\ а 5) Если ^(х) монотонно стремится к нулю при х -> +оо, а /(х) имеет огра- X +00 ниченную первообразную Ф(х) = ^ /(*) <<4, то интефал ^ {(х)в(х)^х а а сходится, в общем случае не абсолютно (т. е. условно). Пример 31. ИнтефШ! ^ —— Ах(а>0)сходитсяприр>О,таккак ^(х)= ^ ж моно тонно при X + 0 0 , а первообразная ^ со&х Ах ограничена. В час тности, при 1
р = 1 интеграл сходится условно, т ак ка к +00 +00 . +00 /■ |С05г] Г соз^X /■1+сов21 1гах Г со$2х , а а а а а Причем первый интефал справа — расходящийся, а второй — сходящийся, так как, интегрируя по частям, получим: а 2а 2а “.' ? 2а 17 $т1 81ПI где интеграл в последнем равенстве сходится п о призна ку 3). При р = 2 интеграл сходится аб солютно, т ак ка к +00 +00 глх^1 у ^ а Главное значение интеграла Если интеграл ^ /(х)<1х= ^ /{х) I /(х) йх -0 0 -0 0 расходится, н о с уществует предел о Ит [/(х)йх = А, 6-»+00 ^ -Ь ТОчисло А называют главным значением несобственного интеграла в смысле Коши и обозначают: +00 V.р. ^ /(ж)Лх=А. -0 0 +00 ь / хйх Г XАх г=Пт/ г = О, т ак к ак подынтегральн ая функц ия 1+ х^ ь-*+(х^ \ -\-х^ -00 -Ь нечетна на |-Ь , &]• При этом сам несобственный интефал +00 о +00 / хЛх Г хЛх Г хйх г=/ ; * / т---- г расходится. I+ 7 1+1^ 71+
7.3 .2 . Несобственные интегралы второго рода Пусть функция /(х) определена на промежутке (о; Ь), ограничена на любом отрезке [а; б'], “ ^ < 6(О<е<6-а), нонеофаниченавокрестно­ сти [6 - е; 6) точки Ь (т. е. Ц т |/(ж)| = оо). Такая точка Ь называется особой 1-*Ь-0 точкой (точкой разрыва) функции /(х). Если при этом /(г) (собственно) ин­ тегрируема на каждом отрезке (а;б'] , заключенном в промежутке [о;Ь), то выражение I/ Ь-е 1Ш [}{х)йх= Ит I /(х)(1х, (7.8) Ит называется несобственным интегралом второго рода от /( ж ) по промежутку [о;Ь). Несобственный интеграл (7.8) обозначается так же, как и обычный (собственный) интеграл: 6 ь-е [/(х)Лх= Цт [}(х)Лх. (7.9) ^ Е-*+о ^ а а Если существует (или не существует) конечный предел (7.8), то несоб­ ственный интефал (7.9) называется сходящимся (или расходящимся). Пример 33. , Лх I) Вычислим интсфал ^ Ц " _ ■Точка 1 = 1 — особая, так как подынте- 0 фальная функция неофаниченно возрастает при х I слева. Предел =2 о существует, следовательно, интефал сходится, и / = 2. Ит[ Ит(-2-/1-х) 1те; Гйх 2) Интефа л / --- ^ расходится, так как предел у(I—ж) о Ш(^) - '= .1 .(1-,) =+00, “ У (1-1)^ е-<+0\|-гУ „ г- . +о\е ^ Ит г-»+0 ^ Т. е. не существует конечный предел. Если особой является точка х = а < Ь, то, по определению, ь ь ь [/(х)йх= 11т [/(х)йх= 1|т [/(х)йх. ^ о'-ю+О ^ г-»+о ^
В случае, когда а и Ь — две особые точки функции /(х) , то, по опреде­ лению, гдес — любая точка в интервале (о; 6). Предполагается, что оба несобственных интефала в правой части равенства сходятся. Если единственная особая точка Хо функции /(х) лежит внутри |а; 6| (точки о и 6 — не особые), то , по определению, » 10 6 А Ь [ {(х)Лх= [ /(х)йх+ [ /(х)йх= Ит [ /(х)йх+ 11т [ }(х)Лх ^ ^ ^ I^->xо-о^ x;-^xо+о^ " о 1о О I; (х^= хо-е', Хо=хо+е"). (7.10) Предполагается, что оба несобственных интеграла в правой части (7.10) сходятся по отдельности. Определение (7.10) распространяется на случай любого конечного числа особых точек функции /(х) внутри |о; Ь], либо внутри промежутка [а; +оо). Главное значение интеграла Если интеграл (7.10) расходи тся, н о с уществует предел ь ь Пт е-*+0 ^ /(х)^^x+ I /(х)Лх =V.р.У /(х)Лх, TM он называется главным значением несобственного интеграла в смысле Коши (правая часть равенства является обозначением). 1^вометрический смысл инт еграла Сходящийся несобственный интеграл (7.8) представляет площадь заштрихо­ ванной бесконечной полосы (рис. 7.6). I пример 34. Подынтегральная функция /(г) = ^ интеграла ^ ^ (р > 0) '^Инственную особую точку 1 = 0, так как /(х) -> +оо при I О справ “ ‘ ‘"сне ни я сходимости интефала найдем предел {1 1—р +00 если р<I, если р>I.
Еслир=1,то Ит е-*+0 Гйх /— = 11ГП1п: У X е-*+0 = - 11т1пе=+оо, е-»+0 Следовательно, да нн ый интеграл сходится при р<1ирасходитсяприр^1. Пример 35. В интеграле У^ -1 подынтегральн ая функц и я имеет единствен­ н ую особую точку X = О внутри отрезка |- 1; 11 Имеем 1 О 1 Г ГЛх ГЛх = 3+3=6. -е' 1 = Пт[ Лх+Пт[ Лх = Пт Зх'^’ + Пт Зх'^’ с'-++оу е'-++0 -I -1 ^ Интеграл сходится и У = 6. 3 П р и м е р 3 6 . Н есоб стве нн ый интеграл I ---- расходится.Найдем его главное зна* ^ X—2 Г6х \Гс1х Гйх V.р. / ---- - 1|т / ------ 1 - / ---- ^ X-2 Ух—2Ух—2 2+с 2-€ = Нт(1п\х- 2|) +Пт(1п|х-2|) =1п2. Признаки сходимости интегралов вида (7.9), подынтефальные функции ко­ торых имеют единственную особую точку х = Ь\ I) Если в промежутке |о; 6) выполняются неравенства О ^ /(х) С ^(х), ь то из сходимости интефала а) У] = ^ ^(х)йх следует сходимость а Ь Ь) Зг = ^ } {х)(1х , и выполняется неравенство Уз ^ 7|. Из расхоли- а мости и нтефала б) следует расходимость интеграла а). 1
2) Если /(х) > О и ё(х) > О на [а; Ь) и существует конечный предел Ит44 х^Ь-О §(х) то интегралы а) и б) сходятся одновременно или расходятся одновремен­ но. В качестве функций ^(х) удобно применять функции §{х) = ^ (Р>0). Аналогичные признаки сходимости могут быть сформулированы и для интегралов второго рода других видов. 7.3.3. Сведение несобственных интегралов второго рода к интегралам первого рода Если функция /(х) непрерывна на промежутке |а; Ь) и Ь — особая точка 1>-е /(*), то, проводя в интеграле У /(х)а х замену переменной х ~ Ш I 1 та= -г, ---- <(^ , будем иметь Ь-а е Ь-с Мс I/(»-<■) При этом из сходимости одного из интегралов 6 |/(х)йх, I 1/(6-о) следует сходимость другого, а также равенство обоих интефалов. Интегралы второго рода (аналогично интефалам первого рода) можно *'нтегрировать по ча стям и при помощи замены переменной. ^•3.4, Некоторые несобственные интегралы 00 00 ’)Уе'“ <гх=^ (о>0). 2) У'хе '‘*(/х = ^ (а>0). О о у* (/х= ^ (а>0). 4)У ^ о о
00 5)^ (1х= ^ (а>0). о 00 6)^е сокЬхАх= (®>0)- о 0 0 ,00 /X(1х 7Г /* =— . 8) / е"^1пхй1 = - С = -0,577215665. +I 12 'у о о о при о<0. '»>/ О ОС 00 и ) ^ 51П(1^)ЙХ= У СО&(х^)Лх= -0 0 -0 0 00 ■) ,. /•8ш^ах ^ Г С08^аж . ,2)у- _ ,х =у — <^х = ос. о о 00 00 ^ Г^\ПХ^ ГС05Х /7Г 7.4 . Геометрические приложения определенного интеграла 7.4 .1 . Вычисление площадей плоских фигур I. Площ адь 8 криволинейной трапеции а А В Ь (рис. 7.7), расположенной между осью Ох и фафиком непрерывной функции у = /(х) (/(х) ^ О на отрезке а < х ^ 6), равна ь
Если /(г) < О на [о;Ь], то ь 3=~^ а Если /(х) принимает значения раз­ ных знаков на [а; 6|, то (1х. При этом отрезок [а; Ь] разбивается на промежутки знакопостоянства /(х). Фигуры более сложной формы разбивают на несколько криволинейных тра­ пеций. 2. Площадь 5 фигуры Л]^42^2Йь офаниченной фафиками у = /1(1), У=}г(х), х = а ,х = Ь (а<Ь)(рис.7.8),равна О 8 = ! \1г(х) - !^(х)\Лх. Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя пересекающи­ мися (в двух точках) графиками функций, вначале находят точки пересечения из уравнения /1(1) = /г(х), имеющего корни Х|,Х2 (Х| < Хг), которые бе- РУгся в качестве пределов интегрирования: а = Х\, Ь = Хз.
2 2 ® Пример 37, Площадь эллипса ^ ^ = 1равна5=2-/V~ Лх ~ тгак а] -а Ь у----- Здесьу=±-V . Пример 38. Найти площадь фигуры, офаниченной фафиками функций у = х\ у = (рис. 7.9). Решение. Точки пересечения фафиков: х^ = у/х, х^ = х, х{х^ - 1) = 0; Х| = О, * 2 = >. !/| = о, !/2 = ■■Искомая площадь Рис.7.1о 3. Площадь 8 сектора О А В (рис. 7.10), офаниченного дугой непрерыв­ ной кривой А В , с уравнением в полярных координатах р = р((р) {а ^Р) идвумя лучами ОА (^ = а) иОБ ((р=0),равна Р 4. Площадь фигуры, ограниченной кривой,заданной параметрически. Пусть X=‘РИ):у=Ш {О ^Т)-пара­ метрические уравн ен ия кусочно глад­ кой замкнутой кривой С , обход кото­ рой при возрастании параметра I со­ вершается против часовой стрелки, пР**
лом фигура, лежащая внутри кривой, остается слева (рис. 7.11). Тогда пло­ щадь 3 этой фигуры равна т т т 8=1 х{1)у'(1)(И= - I у{1)х(1) ^ / [*(0г/'(«) - х '{1)у(1)] М. О О О Пример 39. Площадь, офаниченная эллипсом х = асо&1, у = Ь$\п1 {0^1^ 2тг), равна 2» 2я ^~2/1 +аЬ81п’1)(И=— (й = 1гаЬ. о о См. та кже пример 37. 7.4.2 . Вычисление длин дуг плоских кривых 1. Длина I дуги гладкой кривой А В (рис. 7.12), заданной непрерывно дифференцируемой функцией у = }(х ) (а < х ^ Ь), равна О ' = ! \/^ + [у'(х)\^Лх. 2. Длина дуги кривой, заданной параметрически х = (р{1). у = 1р(1) где (р{1),ф {Ь) — непрерывно дифференцируемые функции, равна т Дифференциал (элемент) длины дуги: И=уДхЧИ^.
3. Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением р = р{1р) {а ^ (р ^ Р ), где р(<р) — непрерывно дифференцируемая функция, находится по формуле Пример 40. I) Длинадуги окружности у = у/]- 5; О(О$ I $ 1) равна: = агс81п1= -. о 2 2) В параметрической форме задано уравнение дуги окружности: х = сов1, у = 51п1 (О ^ < 1г/2). Длина дуги Ж/2. ^ ^ \/81п^Т^Гсм^ (й = ^ (11=1 '/2_ Т О~2’ 3) В полярных координатах уравнение дуги окружности: р = \ (О ^ ^ < 1г/2). Длина дуги 1/2 Г. -/2 . [= ^ с1(р=!р о 7.4 .3 . Вычисление объемов 1. Объем V тела (рис. 7.13), заключенного между плоскостями х = о и 1 = 6, для которого известна площадь 3 = ^(х) [а ^ I ^ 6| сечения его плоскостью, перпендикулярной оси Ох в точке х, находится по формуле ь У == ! 8(х)ах. 2. Объем V тела (рис. 7.13), полученного вращением вокруг оси О х кри­ волинейной трапеции а А ВЬ (лежащей в плоскости Оху)', а^х^ /(х), где /(х) — непрерывная функция, находится по формуле О =^/1/Ш
Пример 4 1 . Найти объем тела, полученного вращением эллипса вокруг оси Ох. Решение.У=ж^ (^1 - (^х - = ^жаЬ^. 7.4 .4. Вычисление площади поверхности вращения Площадь 5 поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги А В графика функции у — /(х) [о < I < 6], где /(х) — непрерывно дифферен­ цируемая функция (рис. 7.13), определяется формулой ь 5 = 27г| |/(х)|у^1 + [/'(х)Рйх, а ‘*ли, для параметрически заданной кривой х = ^ ((). У = ’Ф(^) |0^ ^ Т], т ___________ 5=2тгу +
П р и м е р 4 2 . Вычислить площадь 5 поверхности, образованной вращением дуги кри­ войу=сЬа:(О^а:^ I)вокругосиОх. Решение. I I 5=2ж^ сЬX\/Г+1ь^Лх=2ж^ сЬ^хЛх= Ч/< Г (II Н=е ,х=\г\Ь,ёх=— (е'^+2+е-"*)йх=х{1=
Глава 8 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 8.1. Основные понятия. Предел функции. Непрерывность 8.1.1. Основные понятия Пусть задано множество Е = {{ х , у )} упорядоченных пар действительных чи ­ сел. Упорядоченность означает, что указано, какое из двух чисел пары берется первым, а какое — вторым. При перестановке местами этих чисел получается, в общем случае, уже другой элемент множества Е . Если каждой паре чисел (х, у) из заданного множества Е по определен­ ному правилу ставится в соответствие действительное число 2 , то говорят, что на множестве Е задана (действительная) функ1щя г = г(х, у) (или г = /(х, у)) от двух переменных х и у. Переменные х ,у называются независимыми пе­ ременными (и ли аргументами), г — зависимой переменной (или функцией). Буква / обозначает функциональную зависимость переменных х , у , г . П о ­ скольку каждой паре чисел (х ,у ) на плоскости О ху соответствует точка М(х, у) с координатами х,у , то говорят также, что функция г = }(х,у) ^ана на множестве Е ={М} точекплоскостиОху, ипишут;2=г{М) г = /(М ). Множество Е называется областью определения (областью ^*Д*ния, или областью существования) функции. Число г, соответствующее определенной паре чисел (х , у), называется (частным) значением функции “ точке М{х,у). Множество 2 = { г} всех частных значений функции г = /(х , у) назы- множеством значений функции (или областью ее изменения). Различают “ Днозначные и многозначные функции. Любая заданная функция всегда счита­ йся однозначной, если не оговорено противное. Функция может быть задана вявномвиде:г=г(х,у),такивнеявномвиде:Р{х,у,г)=0. П>афиком функции г = /(х , у) в трехмерном пространстве О хуг назы- ^^тся множество точек М(х,у ,г) с координатами х,у ,г , где г = }(х,у) (обычно ф аф ик является некоторой поверхностью). Для построения фафика
функции г = }(х,у) вточкахМ(х, у) множества Е на плоскости Оху прово­ дятся перпендикуляры^этой плоскости, на которых откладываются числовые значения функции М М = г = 1(х,у) (рис.8.1). Формулу 2 = }(х,у) назы­ вают уравнением поверхности. Линией уровня (или изолинией) функции г = }( х , у) называется линия на плоскости Оху с уравнением /(х, у) = С , где С — некоторое число из об­ ласти изменения функции. Ли ни я уровня является проекцией на плоскость Оху кривой пересечения графика г = /(х , у) с плоскостью г = С , параллель­ ной плоскости О ху (рис. 8.2). Изменяя С , получим различные линии уровня. Пример 1. 1) г = у/1 -х ^ - у ^ . Область определения: х'^+ у^ ^ 1 — круг радиуса 1,сцеитром в начале координат. Множество значений функции: О < г < 1. Графиком функции является верхняя (г ^ 0) полусфера радиуса 1. Линии уровня — окружности = С ^ 1 на плоскости Оху. 2) Функция 2 = + у^ определена на всей плоскости Оху. Множество значений: [0; -(-с»). График: параболоид врашения. Линии уровня: окружности х^ + у^ = С ^ 0 . 3) г = 1п(а:у). Область определения: множество точек, для которых ху > 0. Мно­ жество значений: -оо < г < +оо. Ли ни и уровня: гиперболы ху = е'^. Аналогично случаю двух переменных рассматриваются множества Е , состоящие из упорядоченных систем п чисел (х ,, Х2, . . . , х „) , на которых задаютсяфункции2=/(х|,... ,х„) =/(М)отппеременныхХ1, ..., х„или Отточек М { х \ , . . . , х „ ) п-мерного координатного (векторного) пространства представляющего собой множество всевозможных упорядоченных систем п чисел (Х|,. . ,х „) или точек М с координатами 1|, .-,х„. Множество Е={М}ъЕ" котором задана функция г = / (М ), называется областью определения (задания) этой функции. Для функций более чем двух переменных наглядное представление в виде ф афика, в общем случае, невозможно . Множество точек в пространстве Е " , к оординаты которых удовлетворяют уравнению /(хь... , х „) = С , где С — число, называется поверхностью уровняфункции2=/(Х|, .... х„). Расстояние й (М ', М ") между двумя точками М'(х\,...,х’„) и М"(х'[,...,х1) Пространства Е " определяется по формуле й(М',М") = ^/{x\-х';у+(X' - х'^у+... + (х'„ - х'')2= Множество всех точек {М } в пространстве Е " , координаты Х 1 ,.. .,Х „ 1<оторыхудовлетворяют неравенству й(М, М о) ^ Л , где Л — некоторое число, Называется п-мерным шаром в точка Мо — центр шара. Если выполняется
строгое неравенство й(М, М о) < Л , то множество { М } называется открытым п-мерным шаром. Множество точек, для которых й(М, М о) = й , называется п-мерной сферой. Множествоточек, определяемое неравенствами (е= 1,2,.. ,,п), называется п-мерным параллелепипедом с центром в точке М о(1? , . . . , х},). В случае строгих неравенств |г, - х?| < й, (г = 1, 2 ,, п ) имеем открытый параллелепипед. Окрестностью (е-окрестностью) точки М о(х?, . . . , 1 °) в Е " называется любой открытый шар й(М, Мо) < е с центром Мо. Прямоугольной окрестностью точки Мо называют любой открытый па­ раллелепипед с центром Мо. Точка М множества { М } называется его внутренней точкой, если суще­ ствует такая е-окрестность точки М , все точки которой принадлежат {М }. Точка М называется граничной точкой множества {М }, если в любой ее г-окрестности имеются точки как принадлежащие множеству { М }, так и не принадлежащие ему, при этом сама М может не принадлежать {М }. Множе­ ство в В " , все точки которого внутренние, называется открытым. Множество {М } , все фаничные точки которого принадлежат ему, называется замкнутым. Непрерывной кривой в Е " называется множество точек в Е ^ , координаты Х \ , . . . , х „ которых являются непрерывными функциями параметра 1\ X, =^|(<), .... х„ = <р„{1) (а 1^/3). График такой кривой в Е " состоит из одного сплошного куска без разрывов. Множество { М } в Е " называется связным, если любые две его точки М'(х\,,х'„) и М "(х " , ,х'^) можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат {М } . В частности, связная поверхность в Б состоит из одного куска, возможно, с отверстиями. Открытое связное множество { М } называется областью. Границей обла­ сти называется множество всех ее ф аничных точек. Примеры областей: сово- купность всех внутренних точек круга или квадрата на плоскости. Множество {М }, получающееся присоединением к области {М } всех ее фаничных то­ чек, называется замкнутой областью. Область называется ограниченной, если все ее точки находятся внутри некоторого шара. В противном случае область называется неограниченной. 8.1 .2 . Предел функции нескольких переменных Пустьфункция г = }{М) определена на множестве Е ={М} в Е" и пусть Мо(х°,..., х°) — точка Е ” такая , что она либо принадлежит множеству Е , либо не принадлежит, но в любой сколь угодно малой ее е-окрестности содержатся точки множества Е , отличные от Мо.
Определение 1. ЧислоА называетсяпределом функции 2 = /{М)вточ­ ке Мо, если для любой сходящейся к точке Мо последовательности точек М ь Мг,,М„,. , принадлежащих Е и отличных от Мо, после­ довательность соответствующих значений функции /(М|),/(М г), . . . , /(М„) , ... сходится к А. Обозначение: Ит НМ)=А или Ит /(хи■■■,х„) =А. М->Мо (1=1.2 п) Определение 2. Число А называется пределом функции г = / (М ) в точке Мо (или при М —» М о), если для любого числа г > Осуществует число 6=(5(е,Мо)>Отакое,что |/(М)-А\ <е,еслитолько М принадлежит .Б и О < (1{М, Мо) < <5. Пусть область определения функции / (М ) в Е " неофаничена. Число А называется пределом /(М ) при М -> ос (обозначение: Ит /(М ) = А), если Л/-КХ для любого е > о существует число Н такое, что для всех М из области опре­ деления функции, для которых (1(0. М ) > К |0 = (0; 0 ;...; 0)|, выполняется неравенство |/(М ) - А\ < е. Действия над пределами функций нескольких переменных аналогичны таковым для функций одной переменной. П онятия бесконечно малых и бесконечно больщих функций нескольких переменных вводятся также ана­ логично. 8.1.3. Непрерывные функции нескольких переменных '•Функция г = /(М), заданная на множестве Е = {М] вЕ " , называется не- "рерывной в точке Мо, принадлежащей Е, если предел этойфункции вточке ^0 существует и равен ее значению в этой точке: Ит /(М)=/(Мо) или 11п1/(М)=/( Ип1М). М—*Мо М— ^Мо Мта Следовательно, если /(М ) непрерывна в Мо, то для любого е > О суще- “^вует (5(е, Мо) > О такое, что для всех М из Е , удовлетворяющих условию Мо) < <5, справедливо неравенство |/(М ) - /(Мо)| < е. Точки, в которых Функция не является непрерывной, называются ее то ч ка м и разры ва. Функция ЛЛ^) называетсянепрерывной вданной области, еслионанепрерывнавлюбой точке. Полным приращением Д г функции 2 =/(М) вточкеМо(при переходе точки Мо(хь...,х “) к точкеМ(х|,■■•, *п), гдеМо иМ принадлежат “ бласти определения функции) называется разность Дг=/(М)-/(Мо)=/(х?4-Дх,,..., х“ -ЬДх„) - /(х?,... ,х“),
Для непрерывности функции / (М ) в точке Мо необходимо и достаточно, чтобы ИтЛг= Ит Лг=0. Л/-*Мо Ах, -10 0=1.2 п) Равномерная непрерывность. Ф ун кци я / (М ) называется равномерно не­ прерывной в области { М } пространства В " , если для каждого е > О существует (5(е) > О, зависящее только от е, такое, что для любых точек М ' и М " из {М} выполняется неравенство 1/(М') - /(М ")| < е, как только М")<д. Частным приращениемфункции 2 = }(х ^,.. . , 1 „) в точке М(х\ 1„) , соответствующим приращению Дх( аргумента x^ (номер « задан) при фик­ сированных значениях остальных аргументов О ?^ «), называется разность = /(хь12,.... - ЬАx^,x^^^,...,г„) - - /(Х|,Х2,.. ■,x,.^,x^,x^^,и ..., х„) {<= 1,2,..., п). Предполагается, что значения функции берутся в точках, принадлежащих области ее определения. Непрерывность сложной функции. Пусть на некотором множестве В про­ странства Е'^ заданы функции х, = ^](<ь ... , (т), ■■■, х „ = ^п(<ь ..• .<т), ставящие в соответствие каждой точке множества В точку М (х \ , . . . ,Хп) множества { М } в пространстве Е " . Пусть на множестве { М } задана функ­ ция г = }{х\,,х „). Тогда функция г = Е(Ьи...,и = }Ы Ь...........<т). .... .. .... .. 1т)), определенная на множестве О пространства Е " ' , на зыва ется сложной функ- щ|ей. Сложная функция Р непрерывна в точке если функции ............ и/непрерывны в соответствующих точках. Пример 2. Пусть Х[ = е“ , Х2= е“ ” (-оо < I < -Юо); л = 1п(х,х2) (область опреде­ ления состоит из точек, для которых 11*2 > 0) Функция г = Р(1) = 1пг, Ч-1пХ2= является сложной. Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность, произведение, а также отношение непрерывных функ­ ций (когда делитель не равен нулю) являются непрерывными функциями. 2) Еслиг = /(М) непрерывна вточкеМо и/(Мо) >О(или/(Л/о) <0),то существует окрестность точки Мо такая, что для всех точек М из этой окрестности /(М) >О(или /(М) <0). 3) Если / (М ) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве { М } , то она офаничена на{М }. 4) Если }(М ) непрерывна на офаниченном замкнутом множестве {М }, то она достигает на { М } своих наибольшего и наименьшего значений.
5) Если / (М ) непрерывна на ограниченном замкнутом множестве, то она равномерно непрерывна на этом множестве. 6) Если /(М) непрерывна вобласти {М } и вточках М) и Мг этой области принимает значения а, = /(М]) и 02 = /(М 2) (о] < 02), то для каждого числа а (0| < о < 02) найдется точка М , принадлежащая {М } и такая, что /(М) = а. 8.2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 8.2.1. Частные производные 1. Пусть функция /(М ) определена в некоторой (открытой) окрестности фиксированной точки М {х\ , ,х „) пространства Е " . Частной производной функции г = /(М) =/(Ж],... ,х „) по аргументу х; в точке М называется предел (если он существует) отношения частного приращения этой функции к соответствующему приращению аргумента Аx^ , когда Д Х( стре­ мится к нулю: Дх.г /(x,,...,x^-|,x^ +Аx^,x^.^,-/(х........ ,х „) пт = кт - ---- -- ---- -- ---- -- ---- -- ---- -- ---- -- ---- -- ---- -- ---- -- ---- -- ---- -- ---- -- ---- -- ---- -- -- -- ---- ------- ----- ------- ----- ------- ----- ------- ----- ------- ----- ------- ----- ------- ----- ------- ■ Дх( Дх,- Обозначения частной производной: = ЛД^ь-- - (8.1) лц-10 Дх, оx^ ах, Примечание. Ч а ст на я производная (8.1) определена толь ко для внутренних, но не для Ф^ничных точе к области определения функции. Функция / (М ) называется дифференцируемой по x^ в точке М , если су­ ществует ее конечная частная производная (8.1) в этой точке. Согласно определению, для нахождения частной производной функции А *1, . . . , х „ ) по аргументу х, следует найти обыкновенную производную Функции одной переменной Х(: /(х?,х5,...,х?_„х„х?+„...,х“), '^читая все остальные аргументы х^ = х ° Ф г) постоянными величинами. "Пример 3. ') г=^X^+2ху+ (здесьI, =х,Х2=у),дг/дх=6х+2у(переменнаяупри ЭТОМ считается постоянной, т. е. ее производная по х равна 0), д г1ду = 2х -\-Зу (пр и этом X с читаетс я п остоянн ой).
Xда \ \ у дг х 3) г = агс1б-, — =• - " ’у’дх I+х^/у^ у х^+у^' ду х^+у^' 4) г=81п(г^- Ху), ^ = {2х- у)сО$(х^ - Ху), ^ = -ЖС05(1^ - ху). дх ду Примечание. При п > 1 из существования у функции !(М ) конечных частных про­ изводных по всем аргументам * ] , Жг. ■■■. в данной то чке М в общем случае не следует ее непрерывно сть в этой точке. 2. Геометрический смысл частной производной. Пусть г = /(х , у) — функ­ ция двух переменных. Частн ая производная /^(хо.з/о) (если она существует) равна тангенсу угла наклона к оси Ох касательной к сечению графика функ­ ции /(х , у) плоскостью у = УйЪ точке с абсциссой Хо. Производная /„(хо, уо) равна тангенсу угла между осью О у и касательной к сечению графика функ­ ции 2 = /(х, у) плоскостью I = Хо в точке с ординатой уо- 3. Частные производные высших порядков. Пусть / (М ) определена на не­ котором открытом множестве Е . Если } {М ) имеет частные производные д}/дх^ (г = 1,2, . . . , п ) во всех точках множества Е , то эти производные сами являются функциями отМ(Х|,... ,х „). Частные производные высших порядков функции х = /(Х|, . . . , х „) (если они существуют) определяются формулами а^!(м) дх] а^/(м) ~дх^Vах.) - д (д{(м)\ _ дх(дхк (М) дЧ(М) ^ /аУ(М)\^ 9х,9х^9х* дх{ \ дх^дхк ) Числот = 1,2,... произведенных дифференцирований называют по­ рядком частной производной. Производные, начи ная со второго порядка, называются смешанными, если дифференцирование проводится по аргумен­ там, из которых хотя бы два — разные, например, (гф]). Пример 4. Для функции г = е " (см. пример 3) имеем: г„ д^г. д{дг\ , , „ д(дг\ д^г , дудх~ ду\дх) ’
=—( — Л = (1х + х^у)е^' дхду^ дх\ду^ в общем случае значение смешанной производной зависит от после­ довательности вычисления промежуточных частных производных. Однако, в частности, аУ(Мо) ЭУ(Мо) дх{дхк дх1сдх{ вточке Мо, если функция г = }(М) =1{х\,... ,х „) определена вместе со своими производными дx^ ’ дхк ’ дx^дxк ’ дхкдх{ в некоторой окрестности точки Мо и, кроме того, и непрерывны в точке Мо- Это утверждение распространяется на непрерывные смешанные производные любого порядка, отличающиеся друг от друга лишь последова­ тельностью дифференцирования. 8.2.2. Дифференциал функции 1-Функция 2 = /(М) = /(Ж|, . . . , х „) называется (один раз) дифференци­ руемой в точке М(х\, .. . , х „) , содержащейся в области определения /(М) вместе с некоторой своей окрестностью, если для каждой точки М ]{х 1 -ЬДХ), , х „ + Д х „) из этой окрестности полное приращение Д г функции в точке М может бы ть представлено в виде Аг=Д/(М)=/'(М,}-/{М)=А1Ах1+А2Ах2+...+А„Ахп+о{р), (8.2) А1,А2,...,А „ — величины, не зависящие от Дхь...,Дхп; о{р) — бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с Р= ^(ДХ|)2-Ь ...+(ДХ„)2, о(/э)1 = 0. Линейная часть Й2=й/=Л|ДХ|+АгАх2+... -ЬА „Ах„ '’Риращения называется (первым) дифференциалом или полным дифференци­ алом функции /(М) в точке М, при этом Дг = -Ьо(р). Если /(М) дифференцируема в точке М ( х х „) , т е . выполняется равенство (8.2), в этой точке существуют все частные производные первого порядка и /гДЛГ) = А{ (г = I , 2 , . . . , п ) [необходимое условие дифференцируемости]. Если / (М ) имеет в некоторой точке М все непрерывные частные произ­ водные первого порядка, то она дифференцируема и имеет первый дифферен- Чиал в этой точке [достаточное условие дифференцируемости]. Ес л и ф ун кци я
(один раз) дифференцируема в некоторой точке М , то она непрерывна в этой точке, так как И т Д г = 0. Одного только существования частных производ­ ных недостаточно для дифференцируемости и даже непрерывности функции. Функция /(М ) называется дифференцируемой на множестве {М } в Е " . если она дифференцируема в каждой точке М этого множества. 2. Геометрический смысл дифференциала. П ус ть г = / ( х , р) — функция, дифференцируемая в некоторой точке М^(хо,уо< 0) на плоскости Оху. Если перейти из точки Мо в точку М',(хо + Ах, уо + Ау, 0), то аппликата (коорди­ ната г ) касательной к графику г = /(х , у) плоскости в точке Мо(хо, уо, 2:0), где 2о = }(х о,У о), получит приращение, равное дифференциалу функции /(х, у) в точке Мо(хо, уо, 0): <г/(Мо) = й/(хо, Уо) = /х(хо, Уо)^х + /'(хо, 2/о)Аг/, и станет равной 2о + (^/(Мо). При этом приращение аппликаты графика г = /(х, у) равно полному приращению А г функции /(х , у) в точке Мо, так что2, = /(М|') =/(Мо)+Аг =20+Аг. 3. Для независимых переменных Х], Х2, ■■■, х „ вводят понятие (независи­ мых) дифференциалов <1х{ и принимают Дх; = ЙХ( {г = 1,2, . . . , п ), следо­ вательно, дифференциал функции равен д/ а/ 5/ = +-+ где все частные производные берутся в точке М (Х |, . . . , х „) . Величина (</ зависитотX],..., 1„ и<^Х1,... ,Лх„. Приэтом(1{йХ{)=О,т.евеличины являются некоторыми числами, не зависящими от Х|,- - - , х „. Если 2 = дх, тоЙ2=(1х{= -— Дх, = Дх^. дх, 8.2 .3 . Правило дифференцирования сложной функции Пусть2=/(Х|,...,Хп),гдех, .,<„),I =1,2 п. Если все функ­ ции Х( = ^{(<1, . . . , 1т ) дифференцируемы в некоторой точке Ро(<?. ••••* т)’ а функция 2 = / (х ] , . . . , х „ ) дифференцируема в соответствующей точке Мо(х?,... , х°),гдеX?= .,< „),тосложнаяфункцияг= ■Лт) ® / (^ ] , . . . , у „) дифференцируема в точке Ро. при этом ее частные производные в точке Ро равны: дг дР дг9х, дг дх2 дг дх„ ^ дг дx^
Здесь производные й г/вХ; берутся в точке Мо, а производныедх,/в1{ — в точке Ро. Если функции зависят от одного аргумента то г = Р(1) — функ­ ция одного аргумента, при этом (12 _ дг Лх1 дгдг Лх„ М~ дх„м■ Пример 5.Производная сложной функции г = 1п(1|12), где 1 | =е“ ,Х2 = е "’‘ (см. пример 2), равна ^ ^ 2, -3, _ <й дх,01^дХ2(И Х,Х2 1,12^ ’ Теорема Эйлера об однородных функциях. Функция /(Х[, . . . , х „) называ­ ется однородной функцией степени а , если для каждого числа I выполняется равенство/(<Х|,. . ., 1х„) = <“/(!], . . . , х „). Если функция / — однородная, степени о и дифференцируемая, то ^ а/(х,........х„) 2^ яГ = “ /(*'........ ^»)' <=1 Пример6. Функция г = /(г,, *2) ^ х] +Х,Х2- — однородная степени 2, так как }(1Х1,1х-Л=1^НХ\,Х2).Приэтом-^^ 11 +■^^*2 =2/. 0*1 0*2 Полная производная. Пусть в функции г = /(х , у\, ■■■ ,Уз) переменные У((«= 1,2, ...,я) зависятотх. Производнаяотг похсучетомэтой мвисимости называется полной производной и равна йх~йх дх ду\йх ду, йх ^•2.4. Дифференцирование неявной функции Пусть функция у от аргумента х задана неявно в виде функционального Уравнения Р(х , у) = О, где функция Р(х , у) непрерывна вместе со своими Частными производными первого и второго порядков в некоторой области Пространства . Если существует однозначная функция у = / (х ) , определен­ ная в некотором интервале, в котором выполняется равенство Р(х , /(х)) = О и#’;(х,/(х))9^о , то производные у и у" находятся по формулам =-Ту - 2р;;,кк +1^^аШ ■■Дев частных производных следует принять у = }( х ) . В частности, для нахож- ЛЗДия у можно продифференцировать ^'(х,/(х)) =0 по х, т е. Р^+Ру/'{х)=0,
и выразить затем у' = } '( х ) . Выражение для у " находится дифференцирова­ нием по X формулы для у' с учетом того, что ^1(2:, у), Ру{х, у) — сложные функции от X. Пример 7. 1) Пусть Р{х, у) = - 4=О(-2<К 2,О<у^2),тогдау=л/4- и ' Ц (х^ + у2-4)'^ у’ где I и у в правой части связаны соотношением —4=0.Еслих=1, у=Уз,тоу'(1)= Поскольку Р", = 2х, =2у.Р’;:,=2, =О, Р'уу =2,тоимеему" = -(х^+у‘')у~^ = -4у Отсюда,приг=I,у -\/3, // 4 находим у (I) = --- ■=. 3\/3 2) Р(х.у)=ж’ - е” =О(х>О, -00<у<+оо).Здесьу=31пх.Дифференцируя З д.2 у)=ОпоX,находимЗх —е^у' =О,у' = — =—. е' X 3) Р{х.у)=агс18“ “ \/х^+у2=О(х О,у ^0).Находим: рг +» ,/ +У ' х^+у^’ ' х^+у^’ ^ X-у■ 4) /'(х,у)=X —со5у=0(-1<х<1,0<у<л^). Здесьу = агссо5х. Дифферен­ цируя Р(х, у) = Опо X, получим , 1 1 I 1-Ьу5ту=0,у=-- — •=-- 81П у ^1 -С08^у VI- 8.2 .5 . Производная по направлению. Градиент 1. Пусть функция и = /(М) = /(х|,... ,х „) определена в некоторой окрестности точки Мо(ж?,. . . , г “ ) в .Е". Проведем через Мо некоторую ось, т. е. прямую, положительное направление которой задается единичным направляющим вектором I с координатами /, = со8а^ (| = I, 2 , . . . , п). где а^ — углы между вектором I и положительными направлениями осей координат, а положение точки М на этой оси определяется величиной * направленного отрезка М дМ. Предел ^ ^ = Пт/(^1 +^<1,■■■. + Д/п) - /(Х|. ■■■,Жп) ~ (1з а-*0 3 (если он существует) называется производной по направлению I от функции и = /(М ) в точке Мо (для этой производной используется также обозначение Ли/(II).
Если / (М ) дифференцируема в точке Мо, то для нее существует произ­ водная по любому напраалению I и аи й/(м„), , а/(Мо), ^ а/(Мо) (1з дх1 дх„ ^ дx^ 2. Вектор — а- где частные производные берутся в точке М (х \называется градиен­ том функции и = /(М ) в точке М. Производная от }(М ) по направлению I равна проекции фадиента на это направление: = I ■§гаа/(М) = |§гаа/(М)| ■со8 аз где ч>— угол между векторами I и вгай /. Модуль фадиента равен Градиент функции в точке М характеризует направление и величину наибольшего роста этой функции в данной точке, т. е. производная максимальна в направлении фадиента, когда ^ = О и со8^ = 1. Если вектор 1{М ) является касательным к поверхности уровня и = /{х........ , х „ ) = С в точке М , лежащей на этой поверхности, то ^ ^ = г(М)-8гаа/(М) =0, аз т.е. фадиент перпендикулярен к поверхности уровня. Пример 8. Для функции /(г), где г = + ... + х^, имеем: ^О- .... где г = (х|........ х „) — радиус-вектор точки М{Х[,,! „)• Производная от /(г) по любому н аправлению Iравна ^ = '-/'{г)(х,1,+ ... + Если: I) /(г) = г, то вгай/(г) = г/г, 2) /(г) = 1/г, то |{га<1/(г) = -г/г\
Примечание. В трехмерном пространстве для функции и = /(*, у, г) имеем: 9/ дГ -дГ Вгаа/(х,у,.) й/ 3/ д/ ^ д{ где со8а ,с о 8^ , с о$7 — направляющие косинусы вектора I. 3. Производная функции вдоль кривой. П усть х, = (а^ ^/3)(I= 1, 2 , . . . , п ) — параметрические уравнения кривой Ь в пространстве Е " . Если функции ^р^ — н епрерывно дифференцируемые, то производная от дифферен­ цируемойфункции/(Х|,..., 1„),гдеx^ = вдоль кривой Ь определяется формулой <У (</[У|(<)........ Vп(^)\ ^ 9 } (1 хх д/ йх„ <и м дх^й1 дх„м■ Величина (1 }/ И является также производной от функции / по направлению вектора касательной к кривой Ь . Если I = з — длина дуги кривой Ь , то (^X1 (1X 2 ^Хп Ла'йв'"’ йз — направляющие косинусы единичного вектора г касательной и ЛНМ) = г(М)-8гаа/(М). аз 8.2 .6 . Инвариантность формы первого дифференциала Любую функцию 2 = /(Х],.. .,Х „) от независимых переменных Х],.--.^п (т. е., не являющихся функциями от других переменных), определенную в некоторой области { М } пространства Е " , можно различными спосо­ бами записать в виде сложной функции г = з(и ь... , где функции И; = ^;(Х|, •.., х „) определены в области {М}. Пусть функция }(М) = /(Х|,...,Х„) имеет в точке М области {М} все непрерывные частные производные первого порядка, тогда она диф^ренцируема и ее (первый) дифференциал равен дг^ дг^ ^ дг^ (1г=-— ЙХ| +-— Лхп=> --- с1Х{. дх, Зх„ " ^ дх, Пусть функции 2 = </{«1, . . . , Ищ) И = 1р](х\,,х „) имеют все не­ прерывные частные производные первого порядка в соответствующих точка5<
пространств Е ' ” и Е " , тогда, по правилу дифференцирования сложной функ­ ции, имеем Следовательно, форма первого дифференциала и н в а р и а н т н а , одинакова как для независимых, так и для зависимых переменных. Свойства дифференциала. Из инвариантности формы первого диффе­ ренциала, в частности, следует, что если и(х],...,х „) и у(х^,. .. , х „) — дифференцируемые функции, то выполняются равенства: Л{с и) = с(1и (с — постоянная), й(и ± «) = ± > /и\ V(1и-и(IV ^ й(и•V) = и<^V + V<1и, й! - 1= --------- (и# 0). Например, если г = и •«, то, рассматривая 2 как функцию двух пере­ менных и, и , имеем Лг=^ йи+^ йг=Vйи+и/IV, ди дг гдеи,и — функции от1ь...,х„. Непосредственный вывод предьщущей формулы; . д{и •у) ди дь, , , = й(и«) = > ------------- <1Х{= > V-—(^x^+У и-—(1Х{=V(1и+и(IV. ^ дx^ ^ дх, дх. Предварительное вычисление полного дифференциала функции может Рачительно упростить нахождение ее частных производных. Пример 9. Для функции г = е**' имеем, обозначая ху = и, — (е“)в(1и= е'*(1и— ® ^{ху) = е^^у(1х + е^^х(1у. Коэффициенты при йх и Ау равны частным произ- ““дным: г, = уе'", г!у = хе^'. Далее, й(4) = = у^е’”Лх+(1+ху)е"'(1у. ^едовательно, г " , = г", = (1 + ху)е^’>. ^'2.7. Дифференциалы высших порядков 1. Пусть XI,..., х „ — независимые переменные и функция г = /(М) = ^(®1, . . . , х „) имеет все непрерывные частные производные до порядка га включительно (т. е. т раз дифференцируема) в точке М ( Х [ , . ■■, х „ ) про- '^анства Е " . Дифференциал (I’г порядка з от функции 2 = /(М) опре­ деляется как (первый) дифференциал от дифференциала порядка (« - I),
т. е. (« = 2,3,...) . При этом дифференциалы йг, й'’“ 'г,(4‘г берутся при одних и тех же заданных значениях независимых дифференци­ алов <1X 1, . . . , й х „, которые рассматриваются как постоянные, не зависящие отXI, •••. (т- е. (1{^x^) = 0). Таким образом, л= - ^(Ё^ - Ё Л.) - где все производные берутся в точке М . В силу равенства смешанных произ­ водных = г".^ . второй дифференциал представляет собой квадратичную форму от величин Ах\,... , (1х„: ПП (1^г(М) = (1хгах^ (а*^ = г" ^ДМ)). 1=1 ;=1 в частности, для функции г = }(х , у) имеем: дг дг = а{Чг) = ^ +2^ 4у+0(йг,)^ Обычно пишут: (Лх)^ = Лх^, (Лу)^ = Лу^ и т.д. Аналогично вычисляется дифференциал г=(1(4^г) ит.д.Дифферен­ циал « - Г О порядка может быть записан в виде символической формулы Согласно символической формуле, для функции г = /(х , у) имеем: д^г 2, 2 йх -Ь2 <1х <1у + с1у , ^дх^ дхду ' ду^ а\={^Лх^ - г=4" +34"„ ЙХ^Лу+ <^2;Лу^ + г"' <^У' Примечание. Выражение ( <^х ~ ( 1 у может б ыть найдено по формуле бинома \ох оу/ Ньютона (о + к)’ . ^
г. Дифференциалы высших поряоков от функций зависимых аргументов. Пусть функция г = представлена в виде сложной функции г=д{п\,... ,Ит)> гае щ ,х„). Пусть функции д и имеют все непрерывные частные производные второго порядка. Имеем: =^г)=й(|:^ = Е [(<^^) ^ Таким образом, формы выражений вторюго дифференциала (8.3) и (8.4) отличаются друг от друга, т. е. второй и все последующие дифференциалы не обладают, в общем случае, инвариантностью формы. Второй и последую­ щиедифференциалы имеют инвариантную форму в частном случае линейных функций и^ : — 0^0+ о^|Х| +а^■2X2+ ... + а^„х„. Еслиг=д\щ{х),щ(х),..., «т(х)|=/(х), то йх^ ^ ^ дщдщ йх йх ^ ди^ Лх^ \ ‘-;=| »=| •/ ;=1 •> 8-2.8. Формула Тейлора для функций нескольких переменных Пусть функция .2 = /(М ) г /(Х | ___ х „) имеет непрерывные частные произ­ водные по всем своим аргументам до порядка т-1-1 включительно в некоторой ^-окрестности точки Мо(х°,. . ., х“ ), тогда для любой точки М(х х„) =М(х?-нДх,,...,х“ +Д1„) этой е-окрестности приращение Д.г = Д/(М„) =/(М)-/(Мо) Функции может быть представлено в виде формулы Тейлора с центром в точке К\ А/(Мо) =/(М)-/(Мо) = = Й/(М„) + ^ Й^/(М„) +... + ;^<^’"/(Мо) + '^4еР{^х'\ + 0Дх|,... , х“ -I-0Дх„) (О< ^ < 1) — точка в заданной е-окрестно- в выражениях дифференциалов й’/ (я = 1 ,2 ,. . ., т + 1) дифференциалы аргументов x^ равны их приращениям Дх^ = Х( - х? (« = 1,2,..., п).
Формула Тейлора может быть записана также в виде: +^ ^ + •■• . 4 ) + ДгаС*!, •••. Хг.), X/(х? +0ДХ|,...,х^ +ЙДг„) (О<0<1). Здесь К т — остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа: Х{ = х°+Дх, («■=I,2,... ,л). При т = 1формулаТейлорадля функции г = /(х1,..,, х „) принимает вид: /(хь ..., х„) =/(х?,..., х“)+^ Дх.+^^ ^ /"^.ДХ;ДХ;, 1=1 1=1 ]=] где производные/1. И берутсявточках х? и х°+0ДХ( (1,7 = 1,2,..., п) соответственно. Формула Тейлора для функции г = /(х, у) при т = 2: Цх,у)= /(хо, Уо)+ [/^(хо,Уо)Ах + /^(хо,уо)Ду] + + 2 [/*1(®о, 2/о)Ах^ + 2/";,(хо, г/о)АхДг/ + /"„(хо, г/о)Ау^] + Дг(х, у); Д2(г,!/) = ^ [/1«(®о + «Ах, г/о+ вАу)Ах^ + (8.5) + ^/хху(хо + ОАх, уо+ вЛу)Ах^Ау + + 3/:;,(ю + вАх, Уо+ 9Ау)АхАу^ + /“ „(хо + вАх, уо + ЙДг,)Дг,'] (0<6><1, Дх =х -Хо, Ау = у~уо). Если функция 2 = }( х , у ) бесконечно дифференцируема и для любой точки М (х , у) из е-окрестности точки Мо{хо,уо) выполняется условие Ит Н т(х,у) = О, то /{х,у) может быть представлена в виде степенного т-*1Х ряда (ряда Тейлора) в данной окрестности точки Мо(хо, уо)' /(х,2/) = /(х„,уо)+ Е ; ; ^ / 1TMг"*(хо,2/о)Дх’" А 2/", т+п^1 здесь/;о(х,у)=/'о(х,у)=/(х,у)'. О! =I. При Хо = Уо = О ряд Тейлора переходит в ряд Маклорена.
Пример 10. Разложим функцию /(х , у) = е* $1п у по формуле Тейлора в окрестности точки 0(0; 0) при т = 2 (до остаточного члена Я 2{ х , у) включительно). Область определения функции: |х1 < +оо, |у| < +оо. Частные производные: /' = е * 81пу , ('^-е’со$у,/"; =е‘в\пу,/", = е*со8у,/^2 = -е'5шу, =е’&ту, = е'сову, = -е'вшу, = - е *со5у. Подставляя значения первых и вторых производных приI=V=Овформулу(8.5)иучитывая,чтоАх=х-О=х,Ау=у-О=у, получим искомое разложение /(х,у)=е^%1пу=у+ху+Я2(х.у), Н2(х,у)= ^ - Зху^)51Пву +е^” (3х^у - у^)созNoу] (О<в < I). Если 1ж| и \у\ малы по сравнению с I, то е*§1П у « у + ху с точностью до членов второго порядка включительно. 8.2.9. Теория неявных функций 8.2.9 .1. Неявные функции одной переменной Пусть Р (х ,у) — функция двух переменных х н у , определенная на некото­ ром множестве О точек М {х , у) плоскости Оху. Если существует непустое множество точек М (х , у), принадлежащих О , координаты х, у которых удо­ влетворяют равенству Р {х , у) = О н при этом X — множество всех таких значений х, каждому из которых соответствует хотя бы одно значение у такое, что Р{х , у) = О, то говорят, что на множестве X определена неявно (уравнением Р(х, у) = 0) функция у = }(х), в общем случае, многозначная. Для всех X из X при этом тождественно Р(х, /(г)) = 0. Пример 11. Уравнение Р(х, у) = I V - 4 = О (|а:| $ 2) определяет н еявно двузнач- нуюфункцию у — 4 — 1 ^, которая распадается на две однозн ачные: у = соответствующие верхней (у ^ 0) и нижней (у < 0) полуокружн о­ стям. Теорема существования. Пусть функция Р ( х , у ) определена и непрерыв­ на вместе со своими частными производными первого порядка в некото­ рой окрестности точки (хо, Уо) плоскости О ху и при этом Р{хо , Уо) = О, ^ (*о , Уо) ф 0. Тогда существует некоторая окрестность |х - Хо| < <5 (<5 > 0) точки Хо. в которой определена единственная однозначная непрерывно диф­ ференцируемая функция у = /(х) такая, что уо = /(®о) и для всех х Из указанной <5-окрестности точки Хо выполняется тождественное равен­ ство Р(х ,}(х)) = 0. Если Р(х,у) (непрерывно) дифференцируема т раз, то функция /(х) также непрерывно дифференцируема т раз. Правило диффе­ ренцирования неявной функции см. в 8.2.4. П р и м е ч а н и е . При выполнении условий теоремы существования явное разрешение Уравнения Р (х , у) = О относительно у = /(х) не всегда возможно, однако в любом *^Учае производная у находится согласно 8.2.4.
8.2 .9 .2 . Неявные функции нескольких переменных Неявная функция и = /(х\,. . . , х „) переменных задается функ­ циональным уравнением Р(х\ , . . . ,Хп\и) = О, где функция Р определена на некотором множестве точек пространства Е"'^^ . Пример 12. Уравнение Р(х, у ,и) = - 1=0 (х^ +у^ < I) задает неявно двузначную функцию и = ±\/ \ , распадающуюся на две одн означные . Кроме указанных двух функц ий , уравнение Р — О задает также бесконе чно е множе ство других функц ий на множе стве ^1. Теоремасуществования. ПустьфункцияР{х\,..., х„;и) отп+ 1перемен­ ной определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производ­ ными первого порядка в некоторой окрестности О точки Мо(х° , . . . , х °; и°) пространства Б"'*'' и при этом ..., «“) =О,Р!,(х1, ... ,х°;и°)/0. Тогда найдется окрестность с1(М, М о) < 3 {й > 0) точки Мо(х“ , ... ,х1) пространства Е " такая, что в ней существует единственная однозначная дифференцируемая (имеющая все непрерывные частные производные пер­ вого порядка)функция и = /(Х|,... , х„),для которой и° = /(х?, ... ,Хп) и Р{х1,...,х„-,и(х1,...,х „)) =0тождественнодлякаждойточкиМ'(хх,... ,х„) из указанной й-окрестности. Если Р дифференцируема т раз, то функция / также т раз дифференцируема. Частные производные функции и = /(Х|, . . . , х „) , заданной неявно урав­ нением ^^(X|,. .., х „; и) = О, находятся по формулам: дР дРди „ ди Р'^^ . + = = ...... 8.2 .9 .3 . Геометрический смысл теоремы существования Пусть X — некоторая поверхность с уравнением Р(х , у , г) = О в системе координат О хуг и при этом производные Р ’^ ,Р 'у,Р1 непрерывны на по­ верхности Е. Точка М{х,у ,г) на поверхности Е называется особой, если в этой точке одновременно Р'х(М) = Ру{М) =Р[{М) = 0. В окрестности особой точки уравнение Р(х , у , г ) = О не разрешимо однозначно относитель­ но хотя бы одной из переменных х , у , г , т. е. кусок поверхности Т, вблизи особой точки не имеет однозначных проекций на координатные плоскости. Точки поверхности Е, не являющиеся особыми, называются о б ы кн о в е н н ы м и В окрестности обыкновенной точки кусок поверхности Е может быть спро­ ецирован однозначн о хотя бы на одну из координатных плоскостей. 8.2 .9 .4 . Вычисление частных производных порядка, выше первого, отфунк- ции и = }{х,у), заданной неявно уравнением Р{х,у;и) = О, проводится в следующей последовательности. Пусть, например, требуется найти произ-
дЧ ди дР /дР водную ^^ .Дифференцируяравенство ^ = Учитывая, что —функции от аргументов х ,у ,и , из которых и — функция от х, у (т.е. —сложныефункцииотх,у),получим: дРд ^^ д^и ди ду\дх) дх ду\ди дудх /дР ди) где д^Р д^Р ди д /'дР\ д^Р д^Р ^ дуди ^ ди^ ду' д /дР\ д^Р д^Р ^ ду\дх) дудх ^ дидх ду’ ду\ди) Пример 13. Для функции и = \/4 - {х^ + < 4, и > 0), заданной неявно уравнением Р (х , у; и) = - 4 = О, имеем: дх дх{ ди и’ ду ду/ди и' д^и д^ х\ д/\\ Xди ху дудх ду\ и) ^ду\и) и^ ду и’’ д^и д{ху\ (\ Зу^\ ду^дх Зу^иО Отметим, что дР/ди = 2« = О при +у^ = 4, т. е. условия теоремы существова­ ния неявкой функции не выполняются в точках окружности + у ' = 4 на плоскости 0*у. Уравнение Р{х, у;и ) = О однозначно неразрешимо относительно и в любой окрестности таки х точек. ^'2.9.5. Неявные функции, определяемые системой уравнений Совокупность т неявных функций от независимых переменных * ь • .. , х „ может быть задана при помощи системы т функциональных урав­ нений: РЛх,,.. ■,Хп,ии- ,«га)=0, Р 2{хи-- ,и„)=0, (8.6) Рт(Х\,.. . ,х „;и|,. ,Ига) = 0, Так что функции щ = ..., х„)(«=1,2,... ,т)ищутсякакрешение ^ой системы, т. е. при подстановке функций щ = в уравнения (8.6) полу­ чаются тождества.
Теорема об однозначной разрешимости сис темы уравнений (8.6) относитель­ но функций Ы т и дифференцируемости этих функций. П усть функции Р]{Х],... ,х„\и],. , Пщ) а = 1,2 ,..., т) определены в некоторой окрест­ ности О точкиМо(г?,..., 1°; и?,..., и „) пространстваЕ”^"' и непрерывны в О вместе со своими п + т частными производными первого порядка. Тогда, если Р ^{М о) — О и якобиан (функциональный определитель Якоби ) дР, дР^ йе1 Щ дх, _ д{р„...,Рг„) _ дп1 дР^ дПт дРг. дщ ди„ т. е. отличен от нуля в точке Мо, то система (8.6) определяет в некоторой окрестности О ' точки Мд(х° , . . . , х “ ) пространства Е " единственные одно­ значные (один раз) дифференцируемые функции щ = ^ р ^(x\,, х „) {г = 1, 2,..., т), для которых ^,(1?,..., х“) = «? итождественноудовлетворяются уравнения (8.6) в каждой точке окрестности О ' . Если все функции Р^ диффе­ ренцируемы в раз, то все также дифференцируемы я раз. Дифференциалы йи, и йх* связаны линейными уравнениями ^ ар ^ ар = + (^ = 1-2.........т). Частные производные дщ 1=1 ди, дщ дХк’ ’ Зхц мулам Крамера) из системы т линейных уравнений могут быть найдены (например, по фор- дхк ■Е дщ дхк ,п). (8.7) получаемых дифференцированием сложных функций ^’;(х1,...,х„;и|,...,и„) =0, гдещ= ... , х „ ) , по Хк. Определитель системы (8.7) (якобиан) не ра­ вен нулю в окрестности точки Мо. Частные производные о т щ , ... , и т Х\,...,Х„ второгои большего порядковполучаютсядифференцированием выражений дщ/дхк. 8.2 .10. Отображения. Зависимость функций 1. Отображения. Пусть в некоторой окрестности точки Р о(х °, . . . , заданы функции щ = (р^(x^,..., х „) (г = 1,2 , . . . , п). Эти функции опреД^' ляют отображение окрестности { Р } точки Ра на некоторое множество {Р>
в п-мерном пространстве переменных . Это отображение называ­ ется взаимно однозначным, если каждой точке Р из { Я } соответствует только одна точка Р ' из { Р '} и при этом каждая точка Р ' соответствует только одной точке Р . Если функции щ = ■■■,х„) (1=1,2,..., п)определе­ ны в окрестности точки Ро и имеют там непрерывные частные производные первого порядка по всем своим аргументам, а якобиан 9(хь...,х „) вточке Ро, то функции определяют взаимно однозначное отображение не­ которой окрестности { Р } точки Ро(х1, . . . , х^) на некоторую окрестность { Р '} точкиРЦи°,...,и°), гдеи?= ..., х“),Функции ... ,и „) О = 1, 2 , . . . , п ), осуществляющие обратное отображение, также дифференци­ руемы в окрестности точки /д. Взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение, осуществляемое непрерывными функциями 1р, и называет­ ся гомеоморфным. Пусть система непрерывно дифференцируемых по всем аргументам ф ун к­ цийу^= , х „) (1 = 1,2 , . . . , п) осуществляет отображение (называемое непрерывно дифференцируемым) открытого множества О точек А ( х ........ х „ ) на некоторое множество С ' точек В(у^ , . . . ,Уп)- Пусть, кроме того, система непре­ рывно дифференцируемых по всем аргументам функций г, = ■■,уг) (• = '■2 п ) осуществляет отображение открытого множества точек В { у \ , ,уп) на некоторое множество точек С (г , г „) . Тогда можно рассматривать сложное отображение (композицию, или суперпозицию отображений) некоторого опсрытого множества точек А{Х], ■■■,х „) на множество точек €(21, . . . , г „) , определяемое системой непрерывно диф^ренцируемых по всем аргументам функций (/Дх],•■•,х„),..., /„(хь..., !„)) (1=I,2,..., п). Якобианы этих непр>ерывно дифференцируемых отображений связаны между ВДбой равенствами: = (1е( = с1е1 Зх, = де1 -г» ^• -6е1 -Л=1 Оу/ 9у,. [дхз\ дг/ ду. вх. а(г,,...,г„) д(у1 • Уп) в(У1,---,Уп) д(хи-.,х „)' В частности, композиция двух взаимно обратных отображений является тонсдественным отображением с якобианом, равным 1, т.е. в(х х„) д{у у„) д{У1,...,Уп) '‘''Я Всех точек .......... из С. д{х х„)
Если отображения С—областьвЕ" 6(У.........,У„) и яко биа н непрерывно дифференцируемого / ОвС, то множество С' вЕ’‘, на котороеотоб- ражается область О, является также областью. При этом взаимная однознач­ ность между точками областей С и С ' является локальной, т. е. выполняется только в окрестности некоторой точки Ро области С и не обязательно во всей области С . Пример 14. Преобразование х = рсоВ1р, у = рзт(р, г = х цилиндрических коор­ динат точек трехмерного пространства в декартовы координаты осуществляет отобра­ жение области О пространства , состоящей из точек, координаты которых (р, ч>, г) офаничены условиями: р > О, О ^ 1р < 2ж, -оо < г < +оо, на область О', содер­ жащую все точки пространства , за исключением точек (О, О, г), лежащих на оси Ог . Функции, осуществляющие данное отображение, непрерывно дифференцируемы в О, а якобиан у, г) д{р, <р, г) дхдхдх др в(р да % ^ ^ вр д(р дг дгдадг др д(р дг С05 -р 81П^ О 8т^ рсо5^р О О О 1 =Р^0, так как р > 0. Следовательно, данное отображение является взаимно однозначным отображением указанных областей С и С ' . Однако, если координата у) произвольна, те. —00<(р<-^ - 00, то отображение является лищь локально взаимно однозначным, так как каждой точке (ж, у , г ) соответствует при этом бесконечное множество точек (р, 1р, г) с одинаковыми р и г, но отличающимися на 2жп значениями (р. 2. Зависимость функций. Функци и = }^(x\,... ,х „) (г = 1,2, ...>’*) называются зависимыми в некоторой области С пространства Е " , если суше- ствуетфункция Р{и], . . . , и „) от т аргументов такая, что для всех точек изС выполняется равенство Р{}(х^ ,... ,х „),..., }гп(х\,■■■,Хп)) =0. В против­ ном случае функции щ называются независимыми в области С . Линейи»* зависимость (независимость) функций явл яется частн ым случаем их зависи­ мости (независимости) в области С . Достаточное условие независимости функций. Пусть функци и и, = /|(*| ’ . .. , 1„)(«= I,2,..., т; п'^ т) определеныидифференцируемывокрест­ ности некоторой точки М о(х°, . . . , 1°) . Тогда, если якобиан этих функций по каким-либо т аргументам не равен нулю в Мо, то данные функниИ независимы в некоторой окрестности Мо. Примечание. При т >п функции Ц], . . . , всегда зависимы.
Пример 15. Дляфункций щ = х] + х\, иг = x^+ *2 якобианравен 9(И|, и :) д(хиХ2) 2X2 I =2(1,- хг). функции И|,и 2 независимы всюду в любой окрестности каждой точки ( г , , хг). не со ­ держащей точек прямой Х2 = Х ] , в точках которой якобиан обращается в нуль. 8.2.11. Замена переменных в дифференциальных выражениях 1. Выражения с обыкновенными производными. П усть в некотором диф­ ференциальном выражении р{х,у,у:,у:,,...) =с , где С — некоторая постоянная, у = у{х) — функция от х, требуется ввести новые переменные: функцию и = и{1) и независимую переменную I, которые связаны со старыми переменными х, у соотношениями (8.8) Предполагается, что все рассматриваемые фун кции дифференцируемы достаточное число раз. Дифференциалы функций (8.8) равны; йи где = — Л . Отсюда следует: т ,_ ^ _ Лу/М йх Лх/М дд ддЛи т ^диМ _9[+д'и-«[ д1^диМ Угх = П+Ги-< д'1+9и- К ' (8.9) лх/м +/;•«;сч 'Аналогично находятся последующие производные. В результате исходное ®Фференциальное выражение примет вид При замене одного только аргумента (при старой функции у), согласно ‘Отношению X = 1(1) (при этом у = у(х) = у(}(Ь))), имеем: (1у У^=Тх 1йу УXX = /'(О М' <1Ш <1(у'х)/<и 1
При замене одной только функции (при старом аргументе х), согласно соотношению у = д{и), где и = и{х), имеем: ау йд(и) Ли Ух= йх йи Лх' <1Ф ) Примечание. Если старые переменные х,у связаны с новыми 1,и соотношениями I = (р{х,у), и = 1р{х,у). то переход к новым переменным проводится аналогично изложенн ому в п. 2. (1у X+у П р и м е р 16. Преобра зовать дифференциальное ур авн ени е — = ---- к полярной ах х~у системе координат, т. е. перейти к новым переменным /?(у?) (функц и я) и (р (аргумент), согласно соотноше ния м х = рсо5<р, у = р5\п (р. Решение. Согл асно (8.9), получим (вводя обозна че ни я I = 1р, и = р, }(1, и) = рсоир. д{1,и) = р$\тр): Лр рС05и+51Пи■— Лу_ ^ ^ Л1р Лх йр -о51ПШ+С08Ш•— а1р Исходное дифференциальное уравнение в новых переменных после некоторых преобразований принимает вид Ар|^^р —р. ^ 2. Выражения с частными производными. Предположим, что в дифферен­ циальном выражении / дг дг \ ^у'^'^'дх'ду'дх^'дхду'ду^' ) где С — постоянная величина; х ,у — независимые переменные; г = 2{х ,у) " функция, требуется перейти к новым независимым переменным и, V и новой функции V) = « ;(« ,« ), которые связаны со старыми переменными соотноше­ ниями I=/(и,I),и;); у=з(и,»,No); 2=Л(и,г,ш). (8.Ю) Дифференциалы функций (8.10) равны 5/^ дГ дГ д1 а/ 8}(дт ^ дыЛ йх= — Ли+—(IV+—Лт= - — Ли+— (IV+ — Ли+— у ди дV ды ди дV ди>\ди дV/ ^ ^ ^9^ С9т дт\ .л Лу= — Ли+—Ль+—[ — Ли+— Лг], (о-' ди дг ды \ди дь/ дг дг дН дН дН{ду1 ди> \ Лг= — Лх+—Лу= — Ли+—ЛV+ Ли -Н ЛгI. дх ду ди дь дт \ди ду/
Подставляя выражения Лх и Лу из (8.11) в выражение Лг и приравнивая затем коэффициенты при Ли и Ль, получим систему двух уравнений дх дх ди^ дь)ди дь^дм]дг дг дг ^ду дд дт ди дтди дд дддт дV^дтдь _ дН дкдт ди^дтди’ д1г дк дт дь^дтдг’ из которой можно выразить производные дх/дх, дг/ду через дт/ди , дт/дь . Выражения производных второго порядка от г по I и у находятся при помощи дифференциалов от производных первого порядка и Аналогично вычисляются производные от г более высоких порядков. Если заменяются только независимые переменные, но не функция, т. е. * = /(и, т>), у —д{и,V), г = No, то выражения производных 4 . 4 через г'и, г', находятся из системы уравнений дг_ дг9/ бгдд дг_ дгд/ дгдд ди дхди дуди’ дь дхдV^дудг’ решая которую (например, по формулам Крамера) относительно З г/ Зх , дг/ду, получим дг дг дг дг дг дг дх ди дV ду ди (8.12) те Оу (г,) = 1;2) — функции от и,V . Вторые производные от г по х, у находятся дифференцированием первых производных по формулам (8.12), в частности: дЧ дхду д(дг\ д (дг\ д(дг\ дх\ду) '*"ди\ду/ ^'‘'^дV\ду) д/ дг дг\ д( дг дг\ = Оц^ 9021 дг дй22 дг ^ +«22 ди^ ди дг дидV / / да2] дг д^г до22 дг + дуди дь дь ^ +“22 дVЧ Если старые х , у ,г и новые и, V, ю переменные связаны соотношениями и = (р{х,у,2), V =■ф{x,у,г), и} =0{х,у ,2)
иприэтомг=г(х,у)пт=т{и,«),то д<р д<р/дг дг\ д'ф дгр д1р/дг 9г\ дт дю дв дв дв/'дг ^2\ ат= — аи+— =— <1х+—(1у+~[ — ах+—ау]. ди дV дх ду дг \дх ду) Подставляя эти выражения для Ли » Лу в й т и приравнивая коэффи­ циенты при Лх и йу, получим систему двух уравнений, из которой можно выразить дх/дх, дг/ду через дгв/ди, д•ш|дV. Чтобы выразить вторые про­ изводные, надо записать дифференциалы от первых производных и т.д. Если заменяются только независимые переменные и они связанысоот­ ношениями и — 1р(х, у), V = 1р(х, у), и; = г, то производные отфункции I по старым переменным I , I/ и по новым переменным и, V связаны соотно­ шениями дг_ дгд(р дгдф дг_ дгд<р дгдф дх дидх^дьдх' ду диду^дуду' дх^ дх\дидх) ^ удьдх) д^г / д(р'^ д^г д(рдчр д^г /д'ф ^ дг д^!р дг д^ф дь?V9х/ ^ дидудхдх^ду^\дх) ^ дидх^^ дудх^' д^г _д^г/^"^ ^ д^г д(рдчр д^г/д1р^ дг д^<р дгд^ф ду^ ди^\ду) ^ дидудуду^ду^\9у) ^ диду^^дуду^' д^г д^г д(р д<рд^г / д(р дгр д<рдф\ дхду ди^дхду^диду\дх ду^дудх) ^ ^ д^гдфдф^дгд^<р^дгд^ф ду^ дх ду ди дхду ду дхду' где г{и,у) = г(х(и,у),у{и,у)), а I = х(и,у), у - у(и,у) — соотношения , обратные к и = >р(х,у), у - ф(х, у). Примечание. Старые и новые переменные могут быть связаны также неявными вЫР^' жениями Р^(x,у . ^ ,и ,V ,V}) = 0 (% = 1, 2, 3), допускающими разрешение относительно и,г,шиотносительно х,у,г. Пример 17. Оператор Лапласа Д г = где г = г{х,у), преобразовать полярной системе координат, согласно с оотноше ния м х = рсо^<р, у = р51пу>.
Решение. Здесь преобразуются то лько не зависимые переменные, а функци я г не пре­ образуется. Имеем: Лх = со$1рс1р-р$т(р(1(р, Лу=$т<рЛр+рсов1рЛ1р, дг^ дг, дг^ дг дг дг дг дг (со8{рЛр- р^\1\(рй(р) + ^рАр + рсо&(р Л(р) = — (1р дх оу ор о<р Приравнивая коэффици ен ты при (^р и <1(р, находим дг дх дг дг дг дг - со.^+-.ш^=-; -_р„„(р+-рсоз^=-. Отсюда следует дг дх дг51П<р дг дг, дг со51р дх др д<рр'дудр^'"'^^д1рр' Используя предыдущие формулы, находим: дх\дх) ‘^‘^ ‘^друдх) р д1р\дх) 2 д^г 2 51П^со8^ д^г вт^1рд^г :р дг 2 а\п (р<м%1р дг др^ р дрд!р^ р^ д<р^^ р др^ р^ д!р' Аналогично вычисляется д^г/ду^. Оператор Лапласа в полярных координатах пр ин и ­ мает вид д^г Iдг Iд‘г ^ др^^рдр^р-д<р^ ^ ^'2.12. Экстремум функции нескольких переменных I. Определение экстремума. Пустьфункция г = /(М) 5 /(х],... ,х„) определена в некоторойокрестности точки М о(х?, . . . , г “ )пространства Е ’' . Говорят, что функция/(М) имеет в точке Мо локальныйм а кс и м у м (или ло- *Чьный минимум), если существует е-окрестность этой точки, содержащаяся ®области определения функции, такая, что для каждой точки М из этой 0|<рестности выполняется неравенство /(М)^/(Мо) (или /(М)^/(М„)) . Соответствующее значение функции /(Мо) называют при этом ее м а к с и - •«льным (или минимальным) значением. Локальные максимум и минимум ^Меют общее название локальный экстремум. В случае строгих неравенств НМ) < /(Мо) (/(М) > /(Мо)), выполняющихся для всех точек М из ука- ^Нной окрестности, не совпадающих с точкой Мо, говорят о с тр о го м э к с - ’1^*|уме, впротивном случае — онестрогом экстремуме. Вдостаточномалой
окрестности точки экстремума Мо приращение функции А г = / (М ) - }(М^) сохраняет знак; Дг ^ О в случае максимума, Д г > О в случае минимума. Абсолютным максимумом (минимумом) или абсолютным экстремумом функ­ ции, определенной и непрерывной в замкнутой офаниченной области на­ зывается ее наибольшее или наименьшее значение в этой области, которые могут достигаться либо во внутренней точке области — локальный (внутрен­ ний) экстремум, либо в граничных точках области — граничный экстремум. 2. Необходимое условие экстремума. Если определенная в некоторой окрестности точки Мо функция / (М ) имеет локальный экстремум в этой точке, то либо все ее частные производные первого порядка (если они существуют) обращаются в нуль в точке Мо: вПМо) _ д а/(Мо) _ д а/(Мо) д дх, ’ дх2 ’ ■■■’ либо эти частные производные в точке Мо не существуют, либо бесконечны. Такие точки Мо, в которых все частные производные = О не существуют или бескон ечны, н азываются точками возможного экстремума (критическими точками). Если функция г = /(М ) дифференцируема в точке Мо и имеет в Мо локальный экстремум, то ее дифференциал в этой точке равен тождественно нулю; й/(Мо) = /1,(Мо) с1х1 + ... + /^.(Мо) йх„ = О при любых <^Х|,.. •, ЛХп или 8гас1/(Мо) = 0. Из условия <^/(Мо) = О следует система равенств /х,{Мо) = ... = /х^{Мо) =0.ТочкаМо{х°,... в которой выполняется эта система равенств, называется стационарной точкой, а значение функции /(Мо) в этой точке называется ее стационарным значением. Пример 18. 1) Функция г = - у ^ (фаф и к — гиперболический параболоид) не имеет в точке (0; 0) экстремума, но при этом г^.(0; 0) = г^(0; 0) = 0. На ф афи ке имеются точки, расположенные как выше, та к и ниже горизонтальной касательной плоскости, проходящей через точку (0; 0; 0). 2)Функцияг= -х^- (гр аф ик — эл ли пти че ски й параболоид) имеет максимум в точке (0; 0) и при этом г^(0; 0) = г^(0; 0) = 0. Вс е т очки графика расположены ниже горизонтальной пл оскости, проходящей через точку (0 ;0 ;0 ). 3) Функция г = л/х^ + у'^ (г ^ 0) (график — конус) имеет минимум в точке (0; 0), в которой производные г^, г'у не существуют. График не имеет касательной плоскости, проходящей через точку (0 ;0 ;0 ). 3. Нахождение экстремумов функции. Если 2 = /(Х], . . . , х „) — дифф^' ренцируемая в некоторой области ф ункция, то для нахождения ее экстремумо® в этой области следует; I) Найти критические точки из системы уравнений /;,(х|,...,х„) =0, ..., /;„(х|,...,х„) =о.
2) Для каждой критической точки Мо(ж“ , .. •, х “ ) проверить неизменность знака приращения Аг = /(М) - /(Мо) функции /(М) для всех точек М в достаточно малой окрестности точки М о . Если при этом Л г ^ О (Лг < 0), то функция имеет в точке Мо минимум (максимум). 4.Достаточное условие строгого экстремумафункции. Пустьфункция г= /(М) = /(Ж|, . . . , х „) имеет все непрерывные производные до второго поряд­ кавключительно в некоторой окрестности точки Мо(1ь . . . , х“ ) и й/(Мо) = 0. Тогда функция / (М ) имеет в точке Мо; П 1) максимум, если <Опри 1=1 п 2) минимум, если й^/(Мо) > О при ^ \йx^\ Ф 0. 1=1 Если аргументы Х\,...,Хп функции ^{х[,... ,х „) являются независи­ мыми переменными, то второй дифференциал этой функции в точке Мо является квадратичной формой относительно <^Х], . . . , й /(Мо) = X)“V (“■>=“я = )■ Следовательно, если й ^/(М о) является положительно (отрицательно) опре­ деленной квадратичной формой, то функция г = / (М ) имеет в точке Мо -вокальный минимум (максимум). Если квадратичная форма неопределенна ®точке Мо, то / (М ) не имеет экстремума в Мо. Для исследования знака “торого дифференциала можно привести соответствующую ему квадратичную форму к диагональному виду. Можно также использовать критерий Силь­ вестра. Если первый дифференциал достаточное число раз дифференцируемой Функции обращается в точке Мо в нуль, а второй дифференциал является знакопостоянной (квазизнакоопределенной) квадратичной формой, то вопрос ° Наличии или отсутствии экстремума решается с применением дифферен­ циалов более высоких порядков. 5. Функция двух переменных. Пусть функция 2 — /(х , у) двух переменных "Чеет все непрерывные производные до второго порядка включительно по х, у 8Окрестности точки Мо(хо, г/о), а в самой точке Мо выполняется необходимое ''словие экс тремума <^/(хо, уо) = О или дНхо.Уо) ^ д/{хо, Уо) ^ ^ дх ' ду ^огда для функции г = /(х, у) имеем в точке Мо(хо, г/о):
1) Локальн1яй минимум, если а^(м„) ^ „ / д^ПМо) л = ГTM = " о= ац 012 «21 022 2„ _ 9^/{Мо) = ацЛ22—Л)2>О, где 0(2=Л21= дхду 2)Локальный максимум, еслиОц<О(или«22<0)иВ >0. 3)Отсутствие экстремума, еслиО <0. 4) Неопределенный случай (функция может иметь экстремум в точке Мц. а может и не иметь), если I) = 0. В этом случае необходимо дополни­ тельное исследование. Примечание. Числа Оц и й22 имеют одинаковый знак при условии X) >0. Пример 19. Для функции г = - Зху - 2 имеем - Зу, = 3(/^- 31, г^х = бз;, = —3, г'уу = 6у. Решая систему уравнений г'^ = Зх —Зу — О,2^= Зу^ - 31 = О, находим две критические точки: М1(0;0) и ^ 2 ( 1 ; 1). В точке М| имеем: а,, = г;'ЛО;0)=О,а,2 =4',(0;0)= -3,а;2 =^'„(О;0)=О,Р =01,022-о?;= -9<0. ВточкеМ|экстремуманетДляточкиМ2находимВ =27>О,Оц=6>О,те. функция имеет минимум. При этом /(М,) = /(I; 1) = -3 . Пример 20. Функция г = х^+ у‘ имеет критическую точку Мо(0; 0), в которой г^=0. 2 ^= 0. В этой точке функция имеет локальный минимум, так как очевидно, что Дг^О в окрестности т очки Мц. При этом О = 0 в точке Мо- Пример 21. Функция г = х^ + имеет критическую точку Мо(0;0). В этой точке экстремума нет, так как приращение Д г в окрестности точки Мо(0;0) может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от знаков Ах и Ду. При этомО=ОвточкеМо. 6. Нахождение абсолютного экстремума. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений (абсолютного экстремума) функции, определенной и дифференцируемой (имеющей непрерывные производные) в некоторой замкнутой офаниченной области в Е " , следует найти все стационарны^ точки этой функции (в которых все первые производные обращаются в нуль), вычислить значения функции в этих точках и сравнить их со зн а ч е н и я м и функции в граничных точках области. Наибольшее (наименьшее) из этих значений и будет наибольшим (наименьшим) значением функции в замкнуто" области. В частности, если область двумерная, то на ее границе данная функция зависит только от одной переменной. 7. Условный экстремум. Если требуется найти экстремумфункции, аргУ' менты которой удовлетворяют дополнительным соотношениям (уравнени!'^ связи, или ограничениям), тотакие экстремумы называютусловными. В это связи обычные экстремумы называютбезусловными.
Пример 22. Найти минимум функции 2 = /(г, у) = + 2у^ при условии д{х, у) = ^ _ у + 1 = 0 . Это означает, что экстремум функции ищется не на всей плоскости Оху,анапрямойх-у+1=0. Решение. Выражая у из уравнения связи д{х, у) = Ои подставляя в 2 = /{х, у), сведем задачу оты ск ан ия условного э кстр емума к задаче нахождения обычн ого (безусловного) экстремума функции г = Ь{х) = +4х+2.ИзусловияН'(х)=6*+4=Онаходим критическую точку хо = -2/3, в которой функция Л(г) имеет минимум (так как к"{хо) = 6 > 0).Из уравнения д(х,у) = О находим уо = 1/3. Функция г = х^+ 2у^ имеет в точке (-2/3; 1/3) условный минимум г = 2/3 при условиих - у + 1 = 0. [> В общем виде задача формулируется следующим образом. П усть требуется найтиэкстремумфункции г = /(Х], ... ,х „,у^........у^) от п+т переменных приусловии, что эти переменные удовлетворяют уравнениям связи 9|(хь...,г„,уь...,ут) =0, ......................................................................... (8.13) дп(х,,... ,х„,уи-.- ,Ут)=0. Говорят, что функция / , при наличии офаничений (8.13), имеет макси ­ мум(или минимум) в точке Мо(х1, . .. , х^,уЧ,... , у °) пространства координаты которой удовлетворяют уравнениям связи (8.13), если в существует такая окрестность точки Мц, что для всех точек М из этой окрест- чости, координаты которых удовлетворяют уравнени ям (8.13), вып олняется неравенство /(М) ^ /(Мо) (или /(М) > /(Мо)). Точка Мо называется при этом точкой локального условного экстремума. Если функции д\,.. .,д т дифференцируемы в окрестности точки Мц и якобиан , ■■■.9т) , ^ д(У1,...,У ,п) ®окрестности этой точки, то система (8.13) разрешима относительно пере- *'енных У1, . . . , У т в некоторой окрестности точки Мо, т. е. у^ = ...,Хп) 1,2 ,... , т ) , где — функции, дифференцируемые вточке Мо(х? х“ ). Подставляя функции у^ = 1р1 в функцию / , получим сложную функцию ^ = /(Х1...........Х„, ^?|(х...........х „),..., <Рш(хь ..., х„)) н й(Х|,..., Х„) Независимых друг от друга переменных Х ], . . . , х „ , безусловный экстремум '“ 'Торой можно искать согласно п. 4. Метод множителей Лагранжа для отыскания точек возможного условного ^'^стремума функции / при ограничениях (8.13) не требует исключения т пе­ рченных из т -I-п , от которых зависит эта функция, и состоит в следующем, ^ ача нахождения условного экстремума функции /(М) = /(хь ... , х „, у,, ■’ У т ) , определенной и дифференцируемой в некоторой области С простран­ ства приналичииуравненийсвязиз^(М)=рДХ],..., х„,у],... ,у,„) =0
{г=I,... ,т), тт всед^— дифференцируемывС иякобиан 9(91, ■■■,дт) ФО (в области С), сводится к задаче нахождения обычного (безусловного) экстремума фунгаши Лагранжа Ь(М)=Цхх, ... ,1 „,1/1 г/га)={(М) + А,5,(М) + ...+ \т9т(М), где А], . . . , А т — постоянные множители Лагранжа (произвольные числа). В ре­ зультате получаем систему п + 2т уравнений аь дЬ дЬ дЬ — = 0, ^ =0, 7^=0, — =0, 5x1 дхп ду] дут (8.14) 91=0 , ..., 9т=О длянахождения п+т координатХ1, ..., х „,у1, ... ,ут точекМо возможного условного экстремума (стационарных точек) и т чисел А ,, . . . , Ат- Точки локального условного экстремума функции / (М ) могут находиться среди найденных стационарных точек функции Ь (М ). Решение вопроса о том, какие из этих точек являются точками условного экстремума, может быть проведено путем выяснения знака второго дифференциала ё^ЦМо) в стацио­ нарной точке Мо функции Ь(М). Функция /(М ) имеет условный максимум (минимум) в стационарной точке Мо функции Ь {М ), если й^Ь(Мо) < ® (<г^1,(Мо) > 0), где = (йх,^ +...+ах^^^+йу,-^+...+ау^-^ 1(Мо), причем сюда следует подставить вместо дифференциалов й у и . . . , Лут их зна­ чения, выраженные через дифференциалы й х ,, . . . , <1х„ из системы уравнений ^ ЙХ|-I-...+ йх„ + йу,+ ... -Ь^ йут=о, ах, дхп ду1 дут , ддт &9т ^ , 9д\ — (1хх+...+ — йХп + йу\+■■■+^— йут=0. дx^ дх„ дух дут Отметим, что приращения функций / и Ь равны Д / = А Ь при выполнении условий Й1 = О </т=О- Пример 23. Найти точки условного экстремума функции и = /(х, у, г) = х - 2 у + ^‘ приусловиид{х,у,г) = +у^+ ~I=0. Решение. Составим функцию Лафанжа: Ь=/+Хд=х-2у+2г+Х(х^+у‘+г^~ I).
Стационарные точки находятся из си стемы ура вне ний: дЬ дь дЬ — = I +2Аа;=О, — = -2+2Аи=О, — = 2+2Лг=О, дх ду да IV - 1= О, решая которую, найдем две стационарные точки М 2(хг,У1,гг) и два соответствующих им значения множителя Лагранжа А: 1)*, = -1/3,у, = 2/3,г, = -2/3,А, =3/2; 2) 12= 1/3, = -2/3,гг=2/3,А^= -3/2. Второй дифференциал функции Лагранжа равен Лх^+X";Лу^+ + 2Ь1уахЛу+2^", <1уЛг+ 2Х", йхйг, X у где(^2 = — (1х--- <1у. Отсюда следует гг Л^Ь =2\(^ + ^ йа:Ч4А^йжйу+2А^1+ <1 у\ В точке М| функция и = /(г , у, г) имеет локальный условный минимум, так какй^ДМ,) > О, причем /(М |) = - 3. В точке Мг — локальный условный максимум, гак как Л^ЦМг) <О, причем /(М2) = 3. > 8-3. Двойны е интегралы и и х свойства 8-3.1. Определение двойного интеграла Пусть О — замкнутая офаниченная область на плоскости О ху, фаницей 'которой является кусочно гладкая замкнутая линия, а 2 = /(х, у) — неко­ торая функция, заданная и офаниченная в области О . Разобьем область О “Роизвольно на п частичных замкнутых областей О], 02 ,. ■■, Оп, не имею­ щих общих внутренних точек и офаниченных кусочно гладкими линиями (Рис.8.3). В каждой частичной области с площадью Д5, возьмем (внутри на фанице ^^) произвольную точку М^(x^, у() и составим сумму п >=| ^эзываемую интегральной суммой. Обозначим через (1^ диаметр области наибольщее расстояние между точками ее ф аницы), а наибольший из диаметров — (1 . Если существует конечный предел ^ (число), к которому стремятся ин- ^гральные суммы когда наибольший из диаметров ^ частичных областей 'Щемится к нулю (при этом п со), то этот предел называется двойным (или ®*Ухкратным) интегралом от функции /{х, у) по области О , а функция /(х, у)
при этом называется интегрируемой (по Риману) в области О . Обозначения двойного интефзла: 7=II{{х,у)Л8или ^=I I !(х ,у) ахЛу. в п Здесь / (х , у) называется подынтегральной функцией, х , у — переменными интегрирования. О — областью интегрирования, выражение (18 или (1х Лу — элементом площади. Согласно этому определению интефала, для любого числа е > О найдется числод>Отакое, что \^ - 3„\<е,еслитолько <1<8. Классы интегрируемых функций. Каждая из следующих функций я в л я е т с я интефируемой (по Риману) в офаниченной замкнутой области О : 1) Функция, непрерывная в области О. 2) Функция, определенная и офаниченная в области О и имеющая в О раз­ рывылишьнаконечномчислекусочногладкихкривых. Произвольные, но конечные изменения значений функции на таких кривых не изменяют величины интефала. 8.3 .2 . Геометрические приложения двойного интеграла Еслифункция г = /{х, у) ОинепрерывнавобластиО, тодвойной интефзл II }(х,у)аз о численно равен о бъе м у V цилиндрического тела С , офаниченного сНИЗУ областьюЬ, сверху —фафикомэтойфункции, а сбоков—цилиндрической
Рис. 8 .4 поверхностью, образованной перпендикулярами к плоскости О х у, проходя­ щими через точки границы области О (рис. 8.4). Если }(х,у) = 1 в О, то интеграл численно равен площади области В . Площадь 5 некоторого куска <г гладкой поверхности г = ^ {х ,у) (рис. 8.4), No {(х , у ) — однозначная функция, имеющая непрерывные первые про­ изводные в области В плоскости О ху, на которую проецируется кусок а , Находится по формуле о В'З.З . Свойства двойных интегралов ^ л и функции интефируемы в соответствующих областях, то справедливы Следующие соотнощения: I ) Аддитивность. }(х,у)Лх(1у= /{х,у)(1х(1у + }(х,у) ЛхЛу, о с, - 02 0 \,0 2 — две частичные области без общих внутренних точек, на которые Разбита область О некоторой кусочно гладкой кривой.
2) Линейность. Если функции / » д интефируемы в О, то С[/ + С2д также интефируема в В и ^ ^ [с^Нx,у) +С2д{x,у)](^xау = с^ }(х,у) (1хйу+сгЦ д(х,у)йхЛу, о в о где С], С2 — любые действительные числа, 3) Если функции / (I, у) и д(х, у) интефируемы в I), то их произведение интефируемо в В . 4) Если всюду в О выполняется /(х, у) ^ д{х, у), то }(х,у)ахйу^ Ц д{х,у)ЛхНу. 5) Из инт^фируемости }( х , у ) в О следует интефируемость \}(х,у)\ вI)и Г(х ,у)(1х(1у ^ Ц \}(х,у)\(1х(1у. о о 6) Если т —наименьшее, М — наибольшее значения функции /(х, у), непрерывной в области О , имеющей площадь 8 , то т5< }(х,у)йхйу^М8. 7) Теорема о среднем значении. Если функция /(х , у) непрерывна,д(х, у) интефируема в (связной) области О и д{х, у) ^ О (или д{х, у) ^0) в В , то в В сушествует по крайней мере одна точка М(хо , Уо) такая, что }(х, у)д(х, у)Лхйу=/(хо,Уй) д{х,у)Лхйу. О о в частности, если д{х,у) = 1в О, то II- /{х ,у) ах (1у = /(хо,2/о) •5', о где 8 — площадь области О . 8.3 .4 . Вычисление двойных интегралов 1. Прямоугольная область интегрирования. О , заданная неравенствами а^х^Ь, (рис. 8,5). Двойной интефал вычисляется по одной из формул:
ао а о 1)I I /{х,у)ах(1у=! У }(х,у)<1х(1у=I Лу^ 1(х,у)йх. О с а с а Ьй Ь й 2)Л /(х,у)ахс1у=У I }(х,у)ауах = I <1хI !(х,у)Лу- о ас Здесь выражения, стоящие в правых частях формул, называются повтор­ ными интегралами. П ри этом в фор- ^ муле 1) в повторном интеграле вы­ числяется сначала интефал по пере­ менной X от о до Ь (вн)тренний ин­ теграл), в предположении, что у — с постоянная, а затем вычисляется ин- гегрм по переменной у от с до й (внешний интеграл). В формуле 2) вычисления проводятся в обратной последовательности. Рис.8 .5 Пример24. Интегралотфункции/(*, у)=х^у пообласти0 :0$!^ 1 ,0$у$2 равен 21 21 Л х‘уЛхАу=! I х^уЛх<1у=^ Лу! х^уЛх= о 00 0 0 О О Второй спос об вычи сл ен ия интеграла: 12 12 л х‘у<1х(1у=11 х^уЛуЛх=^ Лх^ х^уЛу= О 00 0 0 =/(4)|>=/-’-=4 2. Криволинейные области интегрирования, а) Если область интефирова- ния определяется неравенствами: а < I < 6, /|(х) ^ ^ /2{х) (рис. 8 .6), то и (г)
где интегрирование в повторном интеграле справа проводится сначала по у (в предположении, что х постоянна), а затем — по переменной х. б) В случае области П , определенной неравенствами д\{у) К х ^ 92{у)’ с ^ у ^ (1 (рис. 8.7), имеем: л 92(х) !(х,у)<1хау =! (1у ! /(х,у)ах, П с 5,(1 ) где интефирование справа проводится сначала по х, а затем — по у.
в) Если, в случае произвольной области О (рис. 8.8), ее удается разбить на несколько частичных областей вида а) или б), не имеющих общих внут­ ренних точек, то интефал по области В равен сумме интефалов по этим "Исгичным областям. Пример 25. Вычислить интефал от функции г = х^у по об­ ласти С , заключе нн ой между кривыми у у = \/х (рис. 8.9). Рошенир Пер вый способ. Кривые пересека ются в двух точках: 0(0;0) и Л(1; 1). Следовательно, а = О, Ь = 1, / ,{х) = 1г{х) = У ж . Находим: 1 ч/г х‘уахау=^ ах ^ х^уау= О О аг2 о о Второй способ. Учитывая, что с = О, = I ,р1(у) = р2{у) = л/У’ получим: IV» х‘уахау =^ лу! х^уах=
8.3.5. Замена переменных в двойных интегралах Пусть функции I = х {«, V), у = у{и, V), имеющие непрерывные производные по « , и , устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками М (х ,у) в офаниченной замкнутой области О на плоскости Оху, фаницей которой является кусочно гладкая замкнутая кривая, и точками М'(и,V) области о ' на плоскости с прямоугольной декартовой системой координат О'иг), а якобиан ^= дх дх д(х, у) ди ду д{и, V) ду ди ду /О (вобласти о'). Тогда, если некоторая функция } ( х , у ) интефируема в области В , то спра­ ведлива следующая формула замены переменных: }{х,у)Лх11у = /{x{и,V),у{и,V))\^\с^и(^V . О О' Величина |7| называется элементом площади в криволинейн ых коорди­ натах и, V. В частности, при переходе к полярным координатам по формулам X = р со$<Ру у — р$1П(р, имеем _ д{х. у) _ 9{р, V) следовательно: }(х,у)йхЛу = /(рсо^^р ,р$^п (р)р(1 рс11р. о О' Здесь и = р , V = (р. Элемент площади в полярных координатах йЗ = р <1р4(р. Пример 26. Найти интефал от функции /{х. у) = х^+у^ по области О. являющейся четве ртью круга: х^ + у^ ^ ■ .х^0.у^0. Решение. Об ласть О ' определяется неравенствами: п/2. Следова­ тельно. {х^ + у^) ЛхЛу = (р^С05^Ч>+ <р )р <1рЛ!р= жН*
Пример 27. Об ъем цилиндрического тела, о фа ни че ин ог о с ни зу полукругом Г):(1-1)Ч»Ч 1,!/^0; а сверху — поверхностью г = х у , равен V= 2 (1х(1у = ху Ах (1у. Таким образом, ж/2 2сся>р ж/2 ж/2 У= ^^{р^со5^р'&^п(р)р(^р<^^р = ^ (1(р ^ со&*р-в\П(р(1р = 2 ^ со5^(р■5т (р<1(р = 1У 0 0 О = |<=сок^э,(И~ —51П1р<11р, =СОКО=1,12=сок ~ г 1^'^ I =-2/е^<й=-2 -[ =-. Пример 28. Най ти площадь 5 куска <т поверхности г = х у , проекцией О которого на плоскость Оху является круг ^1. Решение. 8 = ^ 1+(4)^+(4)^ ~ \/1 + Лх Лу. Переходя к по- о в ^ р н ым координатам, находим, что область В ' определяется неравенствами О ^ р < I , ® ^ у? < 2тг, следовательно 2ж 1 3= у/\-\- р- р(1р(1(р = У <1(р^ у/\+ р^Р<^Р = 1У 0 0 = {<=1+/)^<и=2рар,I, = I, «2=2}=у(2\^- I). > 8.4 . Тройные интегралы и их свойства ®-4.1. Определение тройного интеграла Пусть С — замкнутая ограниченная область трехмерного пространства с си- '^темой декартовых координат О хуг, границей которой является замкнутая 'Ч'сочно гладкая поверхность, а и = /(х , у , г) — некоторая функция, за- ■'^анная и ограниченная в области С . Разобьем область С произвольно на п
частичных замкнутых областей не имеющих общих внутренних точек и офаниченных кусочно гладкими замкнутыми поверхностями. В каж­ дой частичной области С( с объемом ДУ; возьмем (внутри или на ее границе) произвольную точку М^{x^, у^, и составим сумму П ^п = ^пx^,У^,г^)АV^, 1=1 называемую интегральной суммой. Наибольщий из диаметров <I^ областей С^ обозначим й. Если существует конечный предел ^ (см. определение двойного инте- фала), к которому стремятся интефальные суммы когда наибольший из диаметров й частичных областей стремится к нулю (при этом п оо), то этот предел называется тройным (трехкратным) интегралом от функции /(х, у, г) но области С , а функция /(х, у, г) называется при этом интегриру­ емой (по Риману) в области С . Обозначения тройного интефала: ^ = 1Л /{х,у,г)ау=III ПМ)(1У=III {(х,у,г)йхйуЛг. о а о Здесь выражение (IV = <1хЛу Лг называется элементом объема в прямоугольных (декартовых) координатах. Согласно этому определению интефала, для любого числа с > О найдется число (5>Отакое, что |7 - 7„| < е, если только (^< <5. Классы интегрируемых функций. Каждая из следующих функций является интефируемой (по Риману) в офаниченной замкнутой области С : 1) Функция, непрерывная в области С . 2) Функция, определенная и офаниченная в области С и имеющая в С разрывы лишь на конечном множестве кусочно гладких кривых и по­ верхностей. Произвольные, но конечные изменения значений функций на таких кривых и поверхностях не изменяют величины интефала. 8.4 .2 . Многократный интеграл I (или п-кратный) интег 1иченной области С в ; ^=II I /{Х\,х2,... ,х „)(1х^ах2 ... (1х„ Многократный (или п-кратный) интеграл от функции и = /(х , , . . . , х „) по за­ мкнутой офаниченной области С в п-мерном пространстве Е " : определяется аналогично трехкратному интефалу. При этом объем п-мерного прямоугольного параллелепипеда равен по определению произведению длин его ребер, выходащих из одной вершины. Элементарный объем в Е " равен (IV = (1x 1 (1x2 ■■■<1х„.
Свойства тройного (а та кж е многократного) интеграла те же, что и свойства 1)-7) двойного интеграла, приведенные в 8.3.3. Если = 1вС, то п-кратный интефал (в том числе тройной) равен объему V области С : III (1x1Лх2 ■■■(1х„ = V. 8.4.3. Вычисление тройных интегралов 1. Пусть пространственная область С , имеющая форму параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат, определяется неравенствами: в|^X^6|,«2^г/^ “ 3 ^ 2 ^ 63. Тогда нахождение тройного интефала сводится к вычисл ен ию повторного интеграла по формуле: ///■ /{х,у ,г)(1хйуд,г = с 63&26| ^2 ^1 = /{х,у ,г)ах(1у(1г = ! йг! (1у! /{х,у ,2)(1х. 0}020| Оз020| Здесь интефирование в повторном интеграле справа сначала проводится По X (при этом у, 2 считаются постоянными), а затем последовательно по переменным у н г. Последовательность интефирования может быть и другой (ср. с 8.3.4). 2. Если пространственная область С является цилиндрическим телом, ограниченным снизу и сверху поверхностями 2 = Н\(х,у), г = к2{х ,у) со­ ответственно, а с боков — цилиндрической поверхностью, сечением которой Плоскостью О ху является область О (рис. 8 .10), то справедлива формула Ы^, у) {(х ,у ,2)(1х(1у(12 = ах(1у У {(х ,у .2)(12. а о к,{х.у) Здесь интефирование справа производится сначала по 2 , в предположении, "•То X, 2/ постоянны, а затем — по области О , т. е. тройной интефал сводится двойному В частности, если О определяется неравенствами а < х ^ /'(®)СУ<Мх),то ь Мх) Ых.у) }{х,у ,г)(1х(1у<12= ^ йх ^ <1у У /(х,у,г)йг. О а /1(1) Л,(1 .у)
Рис.8 .10 П ри мечани е . Поверхность Е , ограничивающая цилиндрическое тело С , пересекается каждой прямой, параллельной оси О г , не более чем в двух точка х (рис. 8.10). Если п ря мые , пар ал лел ьные о сям координат, пересекают I) более чем в двух точках, то С следует р азб ить на та кие час ти чные области, чтобы поверхность каждой из них пересекалась с с оответс твующей прямой не более чем в двух точках. При этом интефал по С равен сумме интегра лов по ча с ти чным областям. Пример 29. Вычислим интеграл ^ от функции и = хуг по области О : х^+у' +а^ ^ X^О,у ^О, .г>0. Решение. Область О : + у^ ^ I, *^0, у ^ О или0<х^1,0<у^ Следовател ьно: 3= хугЛхЛу<12= ЛхЛу ^ хугЛг= С о а
1 8.4.4. Замена переменных в тройных интегралах ПустьфункцииX = х(и,V,и;),у =у{и,»,ш),г = г(и,V,ы),имеющиене­ прерывные частные производные первого порядка по « , » ,« ) . устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками М (х , у . г ) офаниченной замкнутой области С пространства О хуг, фаницей которой является за­ мкнутая кусочно гладкая поверхность и точками М '{и , V, ш) области С ' про­ странства 0 'иVV^, а якобиан ^ ^ д{х,у,2) д{и, V, V]) Хп Уи / у'ь, 1 44 ФО (в области с'). Тогда для каждой интефируемой в области С функции /{х . у , г ) справедлива следующаяформула замены переменных: III = /{х{и,ь ,т),у{и,г ,т), г(и,г,т))|7|(1ийис1и. с О' Здесь выражение |7| йи (IV <1ш называется элементом объема в криволинейных координатах а , и, ю. Частные случаи криволинейных координат. ') В цилиндрических координатах р ,(р,г имеем: х = рсо^(р, у = р ^т/р, д(х, у, г) 2=X(и=р,V=ю,V)=г),3 — — г = р, элемент объема равен 0 {р.<р,г) рЛрс1(рЛг. 2) В сферических координатах р,в ,(р имеем: х = р&твсо51р.у = р&тв1^\п1р, д(х, у, г) - у г=рсо$в{и=р,V=в,V)=(р), ^ = —— -—г =р$1п^,элемент о\Р> ^ объема равен 81п 9 4р (10 (1(р, Пример 30. Вычислить интефал от функции /(х ,у ,г) = г по области 6 , ограни- '*«Нной верхней полусферой + у^ + г^ ^ Я {г ^ 0) и плоскостью Оху. В сферических координатах область С переходит в С ': О^ Д, О^в^ж/2, ^ % 1р ^ 2т. следовательно. гЛхЛуЛ2 = {рсо&в)р^ % т в ЛрЛв Л1р =
2ж ж/2 Я 2т ж/2 =^ ^(19^ С05в&твёр= ~ ^ ^ О<10 = ООО 00 4 — = 51Пв, (II—СО50(16,I]= ^(0)=0,12=I ~^~ ^ I~ пК* ——. [> Пример 31. Найти объем V тела О, офаниченного поверхностями; \) 2 = х^+у^, 2}г=л/х^+у^. Решение. Уравнения поверхностей в цилиндрических координатах: I) г = р^, 2) г=р. Координаты точек пересечения этих поверхностей находим из уравнения =р. имеющего корни р, = О, ^2 = I- Следовательно, поверхности пересекаются в точке 0(0; 0) и по окружности р^ = = I , г = ! . Область С ' (соответствующая области С ) описывается неравенствами: 0 ^ / ? ^ КО^у?^ 2тг, р ^ г ^ р. Отсюда V= (1х (1у (1г = р (1р(1<р — а с 2ж \ р 2ж I =^ лр^рлг=^ - р ’)ар=^-ж. 1> 8.5 . Криволинейные интегралы Криволинейные интефалы являются обобщением обычного одномерного определенного интефала, взятого по отрезку прямой, на случай, когда инте- фирование проводится по отрезку кривой (плоской или пространственной) 8.5 .1 . Криволинейные интегралы первого рода 1. Пусть и = }(х , у, г) — функция, определенная и офаниченная на от­ резке А В кусочно глаакой пространственной (в частности, плоской) кривой С, определяемой параметрическими уравнениями х = х (1), у = у{1), г = ' (<1 ^ ^ Ьг). При этом начальной точке А и конечной точке В кривой ^ соответствуют зн ачения параметров <| и <2 соответственно. Разобьем отрех»^ А В произвольно на п частичных отрезков точками А = Мо, М , , ■■■, Л/„ = ^ (рис. 8.11). Длину частичного отрезка кривой М , _ |М, (г = 1,2 п) обо­ значим А1,. На каждом частичном отрезке М , ,М , возьмем произвольную
мчку N^(x^, У1, 2{) и составим сумму П П =Е =х; У'’ 1=1 1=1 Чмываемую интегральной суммой. Пусть Д/ — наибольшая из длин . Если существует конечный предел 3 (см. 7.2.1) интегральных сумм при ^ О (п -> оо), то этот предел называется криволинейным интегралом первого 1’<'Да от функции /(ж, у, г) по кривой А В (или С). Обозначения: 7=У/(М)(11=I /(х,у,г)Л=1 /(х,у,г)М. (8. 15) ^Ри этом кривая С может быть и замкнутой, если точки А к В совпадают. Поскольку все длины в интегральной сумме положительны, неза ­ висимо от направления прохождения кривой С при интегрировании от А В или от В к А, криволинейный интефал первого рода (8.15) не зависит направления прохождения кривой С , т е . I /{х,у,г) I /(х,2,,^)Л. АП ВА В частом случае кривая А В может быть замкнутой.
2. Свойства криволинейных интегралов первого рода. Ес л и существуют со­ ответствующие интефалы, то справедливы следующие соотношения: 1)I [аММ)+13ММ)]с11=а ^ ^ АВ АВ АВ где а,13 — любые числа. 2) ^ /{М)Ш =I /(М)Л +У }(М)(11, АВ АС СВ гдеС — любая точка кривой АВ, лежащая между А \\В. I }(М )Ш ^ ! \}{М)\СЧ- 3) АВ АВ 4) Если /(М ) непрерывна на А В , то на этой криюй найдется точка Р такая, что //(М)Ш=1-}(Р) (I - длина АВ). 3. Существование криволинейных интегралов первого рода и их вычисление. Если функция /(х, у , г) офаничена и кусочно непрерывна на кусочно гладкой кривой С , т о эта кривая может быть разбита на конечное число отрезков без общих внутренних точек, на каждом из которых функция н е пр ер ы вн а. При этом интефал по кривой С определяется как сумма интефалов по всем гладким отрезкам, составляющим эту кривую. В связи с этим о ф а н и ч и м с я здесь случаем непрерывной функции, заданной на гладкой кривой. Если гладкая кривая А В в пространстве О хуг задана параметрически х = х{Ь)< у = у(1), 2 = 2(1) (<1^4^Ьг), а функция /(М) = /(х,у ,г) непрерывна на А В , то криволинейный интефал первого рода (8.15) от / (М ) по кривой А В существует и справедлива формула, сводящая криволинейный интеграл к обычному определенному интефалу У 1(М)т =у [}{х(1),у{1),г{1)))^[х'т +[у’а)?+(г'(<)РМ- АВ (| Аналогичная формула справедлива и для кривой на плоскости Оху- Если в качестве параметра выбрать длину I дуги кривой А В , отсчитываемую некоторой фиксированной точки этой кривой в определенном (положитель­ ном) направлении (по аналогии с координатой х на оси Ох), т. е, х = х (ч’ у=у{1), г =г(1){1, ^к),то I /{М)М = 1 1 {х(1),у(1),г(1))Ш. (8-17)
Если при этом I = 1(1), то <и=^(и = \1\х'(1)?+[у'Ш+[^'Ш<И= ^ (йх)2 + (Й2/)2 + (йг)2, где знак перед корнем обычно выбирают так, чтобы было (11/й1 > 0. Еслигладкая кривая А В на плоскости Оху задана в виде у = у(х) (а ^ X < 6), т. е. в качестве параметра берется х, то ь I }(М)й1=I /(х,у)^\+[у'{х)]Ых. (8.18) АВ а Отметим, что интепзалы по параметрически заданным кривым в правых частях формул (8.16)-(8.18) изменяют знак на противоположный при переста­ новке пределов интефирования (по свойству определенных интефалов), т. е. при изменении направления интефирования, когда В становится началом, а Л — концом кривой. Пример 32. Е с ли А В — верхняя полуокруж ность радиуса Н с центром в начале координат, имеющая параметрические уравнения х = Ксо51, у = (О^ ^ тг) чприэтомА=(Д,0),В ={-Я,0),то ^ Ш= 005^I; <и= л/В?сов^1+ 81п^I Л1 =ВсИ] = лв =^д’со?’1Ш=^ ^(^+со821)(11= ^ 81П 21 «+-X - 8-5.2. Криволинейные интегралы второго рода I. Пусть А В — отрезок кусочно гладкой кривой С (А — начало, В — ко­ нецэтого отрезка), Р(х, у, г) = Р (М ) —функция, определенная и офаничен- Ная в точках М(х , у, г) на АВ . Аналогично 8.5.1 разобьем отрезок А В произ­ вольно на п частичных отрезков (рис. 8.11) точками Мо = А , М и ... , М „ = В На каждом из этих частичных отрезков возьмем произвольную точку 2/,', г,), обозначим через Ац = Х{- проекцию вектора М^-\М^ На ось О х , составим интегральную сумму п п л= Р{N^)Аx^ = ^ Р(x^, У(, г^)Аx^. 1=1 1=1 Пусть Д/ — наибольшая из длин
Если существует предел ^ (см. 7.2.1) интегральных сумм при Д/ -»0 (п -> оо), то он называется криволинейным интегралом второго рода. Обозна­ чения: ^=! Р(х,у,2)ах = ! Р(М)йх. АВ с в частности, кривая С может быть замкнутой. Аналогично,дляфункций ^{x,у,г) =Я(М) иК(х,у,г) =К(М), опре­ деленных и офаниченных на кривой А В , можно определить интегралы ^ Я{х,у,г)(1у и У Л(X,у,г)с1г. Складывая эти три криволинейных интефала от функций Р , К по од­ ной и той ж е кривой А В , получим общий криволинейный интеграл второго рода по кривой АВ: /' Р(ж,у,г)<1х+<5(х,у,г)йу+П(х,у,г) (8.19) АВ являющийся, по определению, пределом интефальных сумм вида П ^ [Р(ЛГ,)Дх. + ^(N,)Ау, + Д(ЛГ,)Д2.] , 1де Дхь Ау^, Аг^ — проекции вектора М^-\М^ на оси Ох, Оу, Ог. При изменении направления интефирования, когда точка В становится началом, а А — концом кривой, знак криволинейного интефала второго рода изменяется на противоположный при неизменном абсолютном значении; ^ Р Лх+^(1у+КЛг= - ^ Р Фх+^Лу+ЕЛг. АВ ВА В частном случае, когда кривая А В является отрезком |о;Ь| оси 01' криволинейный интефал Р(х, у)Лх АВ переходит в обычный интефал ь Г
Если кривая А В лежит в плоскости Оху, то криволинейный интеграл при­ нимает вид У Р{х,у)ах+^(x,у)йу. АВ Если при этом точки А к в совпадают, то кривая интефирования (не име­ ющая точек самопересечения) является замкнутой. Из двух возможных на­ правлений обхода такой кривой положительным называется то, при котором область, ограниченная этой кривой, остается по левую сторону от направ­ ления перемещения точки по кривой. Говорят также, что точка при этом совершает обход кривой против часовой стрелки. Криволинейный интефал по замкнутой кривой С с положительным обходом обозначается: /Р(х, у)ах -Ь(3(х, у)йу. с в частности, площадь области на плоскости О ху, офаниченной одной кусочно гладкой замкнутой кривой С , находится по (Цюрмуле 3=^^ Х(1у~у(1х. с Пример 33. Вычислить интефал "о периметру треугольника О А В с вершинами 0(0:0), А(1; 0), В(1; I). ?»шенив. ■^= ^ уЛх+х^Лу+^ уЛх+х^<1у+^ уЛх+х^йу= ОА АВ во —{наОА:у=О,с1у=0;наАВ: х=1,Лх=0:наВО:у=х.Лу=Лх}= I о = 0+I Лу+I(х +х‘)(1х= ^. > о I 2. Свойства криволинейных интегралов второго рода. Если сущ ествуют со- “Твегствуюшие и н теф ал ы, то справедливы следующие равенства: I) 1\аММ)+^ЫМ)]<1х = а ^ ММ) Лх + р ^ /г{М)ах, АВ АВ АВ гдеа,Р — любые числа.
2) ^{(М)йх = ^ {(М)йх+I {(М)йх, АВ АС СВ гдес —точка кривойАВ, лежащая междуАнВ. Криволинейный интеграл второго рода зависит от начальной и конечной точек кривой и, в общем случае, от ее формы. Случай, когда интефал не за­ висит от формы кривой, рассматривается в 8.9. 3. Существование криволинейных интегралов второго рода и их вычисле­ ние. Если гладкая кривая А В в пространстве О хуг задана параметрически X=х(«),у =у{1),г =г(1)(Ь\ 1г), афункции Р(М), ^^М).К(М), где М(х, у, г) — точка на А В, непрерывны на АВ, то существуют криволиней­ ные интефалы ^ Р(М)йх, ! ^(М)(^x , ^ Н(М)аг АВ АВ АВ И справедливы следующие формулы, сводящие криволинейные интегралы к обычным определенным интефалам 17 у Р ( М ) й х = I Р{х(1),у(1),т)х(Ь)(И, АВ 1\ (2 Iд{м)йу = I д{хЦ),у(1),2{1))у'(1)а1, У К(М)й2 = I К{х(1),у(1),г{1))г'(г)М. АВ и Складывая левые и правые части этих равенств, получим формулу, сво­ дящую общий криволинейный интсфал второго рода (8.19) к обычному опре­ деленному интсфалу по переменной I от <| до <2- Аналогичные формулы справедливы и для кривых на плоскости Оху В частности, если кривая А В задана непрерывно дифференцируемой (глаД' кой)функцией у = у{х) (а ^ х ^ Ь), а функции Р(х, у), д(х, у) непрерывны наАВ,то ь у)д,х = ^ Р{х,у(х)) Лх, АВ а Ь
Если функции Р(М ), ^ {М), Е{М ) ограничены и кусочно непрерывны на некоторой кривой, то эта кривая распадается на некоторое чи сло отрезков, на кажаом из которых данные функции непрерывны. Интеф ал по кусочно падкой кривой определяется как сумма интефалов по всем гладким отрезкам, составляющим эту кривую. Пример 34. Вычислить интефал ^ = ! хуЛх-\рЛу АВ локривой А В , являющейся четвертью окружности с уравнениями х = Кс о&1 , у = Н % т 1 (0<4<х/2),гдеА=(К;0)при1=0,В =(О,Н)приI=тг/2. »/г »/2 Решение. ^ = ^ И?(-ах?1с<к1-%т^1сс&1)(11 = - 2Н ? ^ 5шЧсо5<<й = > о о Пример 35. Вычислить интеграл ^ = ^ (у-X*)йх+хуйу лв 10отрезкупараболыу =у{х) = (О^ х < I) отточки 4(0;0) доВ(I;I). ?»шени« 8'5.3. Связь криволинейных интегралов первого и второго рода Ь:ли X = хЦ), у = у{1), г = 2(1) — параметрическое задание гладкой кривой ' где в качестве параметра берется длина I дуги кривой (см. 8.5 .1), то '’зправляюшие косинусы со5 а (М ), со8/3(М), со8 7(М ) вектора касательной ‘'Кривой А В в переменной точке М (х . у, г ), направленного в положительном Направлении кривой, равны I со8а(М) = ^ , со8,9(М) = ^ , со87(М) = ^ . I ш о1 ш В силу этого получим формулу, устанавливающую связь между интефа- Первого рода (в правой части равенства) и второго рода (слева): IАВ Р{М)йх+^(М)йу+Д(М)йг= =^ [Р(М)С05а(М)+ ^(М)С08/3(М)+Д(М)со87(М)]Л1. АВ
8.6 . Поверхн остн ые интегралы 8.6 .1 . Двухсторонние и односторонние поверхности Непрерывная без самопересечений поверхность в пространстве называется гладкой, если в каждой ее точке М (х , у , г) существует единственная касатель­ ная плоскость, положение которой в пространстве изменяется непрерывно при непрерывном перемещении то чки М по этой поверхности. Поверхность, состоящая из конечного числа гладких кусков, соединенных друг с другом без разрывов кусочно гладкими кривым и, называется кусочно гладкой. Вектпром нормали (единичным) к поверхности Е в точке Мо называется вектор п(Мо), приложенный к Мо и перпендикулярный к касательной плоскости в Мо. Возьмем на гладкой поверхности Е любую то чку Мо и будем перемещать эту точку по произвольной замкнутой линии, лежащей на Е , проходящей через Мо и не имеющей общих точек с фаницей Е . Если при возвраще­ нии Мо в первоначальное положение изменяющийся вектор п(Мо) также возвращается в первоначальное положение, то такая поверхность называется двухсторонней, если же направление нормали меняется на противоположное, то поверхность называется односторонней. Примеры двухсторонних поверх­ ностей: плоскость, цилиндрическая поверхность, сфера и т д. Примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса, для получения которого прямоугольную полосу А ВВ 'А ' (рис. 8.12 а) перекручивают на 180° и скле­ иваютсторонуАВсАв'так,чтобыточкаАсовпаласВ'.аВ —сА (рис. 8.125). Если же совмещают А с А ' , а В с В ' без перекручивания поло­ сы, то получается цилиндр (рис. 8.12 в). Различия двухсторонней (цилиндр) и одностороннел (лист Мёбиуса) поверхностей состоят в том, что фанииа цилиндра состоит из двух кривых, а листа Мёбиуса — из одной: цилиндр можно непрерывным движением кисти по замкнутой кривой (не [1срссекая его границ) окрасить только с одной из двух его сторон. то1да как лист Мёбиуса окрашивается при этом целиком, т е . имеет только одну сторону. Далее везде рассматриваются только двухсторонние поверхн(х:ти. Двусто­ ронняя поверхность Е имеет две стороны, которые в каждой точке Мо на 5 различаются противоположными направлениями нормалей к Е . Выбор опр<:' деленной стороны поверхности Е называется ее ориентацией. Ориентация ^ определяет для каждой замкнутой кривой С на Е положительное направле­ ние обхода С такое, что при обходе С в этом направлении внутренняя часть поверхности, ограниченная кривой С , остается слева от направления этого обхода, если смотреть из конца выбранного вектора нормали. Ин аче говоря, обход соверщается против часовой стрелки. 8.6 .2 . Площадь поверхности Если некоторая двухсторонняя поверхность Е , !аданная параметрически оД' позначными непрерывными функциями х = x(и,V), у = у{и ,у), г =
В' а) А’ В.А' В.В' Рис. 8 .12 где(и, г) — любая точка некоторой офаниченной замкнутой области П в плос­ кости Оиу, является гладкой, т. е. первые частные производные от х = х(и, и), У=у{и, I)), г = г(а, и) непрерывны и ^4^+ >О,где Л_9(у,2)^ д{и,у) Уи г„ У'ь 4 В= в{2,х) 5(и,и) С= д{х,у) д(и,у) площадь 5 этой поверхности определяется по одной из следующих двух Формул: \)8=Ц ^/АЧ^ВЧ^(^и(1V, 2)5= ^ VЕС - йи(IV, 1г 11 где ^ ~ {х'и)^+(у'иУ+(г'и)\ О=(х,)^+ +(4)\ Р =х'^Х„+у'^„ + . ^“ Дынтефальное выражение (13 = \/Е С —Р ^ (1и(IV называется элементом *''0Щади поверхности Е в криволинейных координатах и,V . Если гладкая оверхность задана однозначной функцией г = } ( х , у) (т. е. ^ и н у) с непрерывными первыми частными производными, то площадь X этой поверхности, офаниченного кусочно гладкой кривой, находится
по формуле где Е ' — область, являющ аяся проекцией И на Оху. Площадь кусочно гладкой поверхности равна сумме площадей составля­ ющих ее гладких кусков. Пример 36. Найти площадь куска конической поверхности г = +^>О,про­ екцией О которого на плоскость О ху явля етс я круг (х - ^ радиуса Я с центром в точке (Д, 0). Решение. В полярных координатах х = рсо$1р, у = р5\тр круг О определяется не­ равенствами: О$ $ 2Дсо8^ , —7г/2 ^ ^ < тг/2. Так как (г^)^ + (2 ^)^ = 1, находим: »/2 2 Я с05(! 1/2 5= •ЛЛхЛу= '/2I Л<р ^ рЛр=2'/2К‘ ^ со$^1рЛ1р = '' = ^2К'I {\+со52^)(^^р=V2Я'(^^р+^-^^ - >г/2 - ж/2 т/2 = 1г\/2К \ [> - 1/2 8.6 .3 . Поверхностные интегралы первого рода П усть на двухсторонней 1усочно гладкой поверхности Е (ли бо незамкнУ' той. либо замкнутой) определена ограниченная функция /(М ) = }( х ,у л ) ' где М — точка на Е . Разобьем поверхность Е кусочно гладкими кривыми (рис. 8.13) на п частичных произвольных поверхностей Е , (1 = 1 ,2 , . . . , п) без общих внутренних точек с площадями Д 5;, А — наибольший из диаметров этих частичных поверхностей. В каждой из поверхностей Е , возьмем произ­ вольную то чку М^(x^, у^,г^) и составим интегральную сумму П ^п = '^^{x^.у^,г^)АЗ^. 1=1 Если существует предел ^ (см. определение двойного интефала), к кото­ рому стремятся интегральные суммы при ^ О (п -> оо), то он называет*:*' поверхностным интегралом первого рода от фун кции / ( х . у , г ) по поверхности Е . Обозначения:
Поверхность Е может быть как замкнутой, так и незамкнутой. Если /(М) =1 на I), то интефал ^ равен площади 5 поверхности Е. Из опре­ деления поверхностного интеграла первого рода следует его независимость от выбора стороны поверхности Е (т. е. от ее ориентации). 8-6.4. Существование и вычисление поверхностных интегралов первого рода ЬУ1И на гладкой двухсторонней поверхности Е (замкнутой, либо незамкнутой), ^ и н о й параметрическими уравнениями х = х(и, в), у = у{и, п), 2 = 2{и, ю), УДоалетворяюшими условиям 8.6.2, определена функция /(х , у , г), непрерыв- Ная в точках М поверхности Е , то поверхностный интеграл первого рода / (М ) по Е существует и справедлива следующая формула, сводящая его двойному интегралу: }(М)й8= /{х(и,V),у(и,и),г{и, »)) V ЕС - Ли т. о Где П _ ограниченная замкнутая область на плоскости Оию. Для поверхности Е , заданной однозначной непрерывно дифференциру­ емой функцией г = 2(1,у) в области Е' на плоскости Оху, имеем }(М ) = / (х, г/,2(1,!/)) ^1 -Ь (4)^ + (4)^
Интефал по кусочно гладкой поверхности находится как сумма интегра­ лов по составляющим ее гладким поверхностям. Пример 37. Вычислить интеграл ■/=11(х^+у")Л8 Е по части I) поверхности конуса г = л/х^ + у^, зак люченн ой между плоскостями г=1,г=2. Решение. Область I)', являющаяся проекцией Е на плоскость Оху, офаничена окруж­ ностями + 2/^= 1и = 4. В полярных координатах х = /)С05 у = /)51пу) область О определяется неравенствами I ^ <2,О<^^ 27Г.Учитывая,что {г',У + {г'у)^ = I , получим 2 2» 2 3= л/2р’Лрё1р= у/2 ^ Лр^ <^<Р= 2у'2тг^ р'Лр= П 10 1 8.6 .5 . Поверхностные интегралы второго рода П усть на двухсторонней кусочно гладкой поверхности Е , заданной одно­ значной функцией г = г{х ,у), определена Офаниченная функция /{М) = /(1, 1/, г), где М — точка на Е . Разобьем поверхность I) на произвольные части Е; (» = 1, 2 , . . . , п), в каждой из которых возьмем произвольную точку У1, (аналогично 8.^ 3). Пусть й — наибольший из диаметров частей . С каждой точкой М^ свяжем единичную нормаль п {М 1) к поверхности 2 с направляющими косинусами со8 а(М<), со$^{М^), со8 7(М;). Пусть Е! — проекция на плоскость Оху, ^ — граница ^^,С^ — фаница Е ' (рис. 8.14). Если поверхность Е ориентирована, т. е. выбрана одна из ее сторон (одно из направлений нормали п {М ) в каждой точке М ), то тем самым выбрано и положительное направление обхода фаницы С^ поверхности Е* (см. также 8.6.1). Площадь Д5,' = А 8^со5 'у{М^) проекции Е| берется со знаком плюс (или минус), если векторы п(М ,) образуют острые (или тупые) углы с поло­ жительным направлением оси О г или, что то же самое, фаница С1 обходится в положительном (или отрицательном) направлении, когда фаница С^ обхо­ дится в положительном направлении. При этом говорят также, что выбрана верхняя (внешняя) Е"*" или нижняя (внутренняя) Е “ сторона поверхности 5^' На рис. 8.14 нормаль гё(М) соответствует верхней стороне поверхности Е . Выбрав определенную сторону Е ’*' или Е “ поверхности Е, со ставим интефальную сумму: П
Рис.8 .14 Если существует конечный предел ^ (см. определение двойного интефала), к которому стремятся интегральные суммы при О(п -> оо), то он называется поверхностным интегралом второго рода от / ( М ) повыбранной Стороне (Е “ ) поверхности Е . Обозначения: ^= 1(М)со%-){М)А8= Л }(х,у ,г)йхйу. к Е+(Е-) Если поверхность И может быть задана однозначными функциями х = х (у,г) " У = у(^ , х ), то аналогично определяются также поверхностные интегралы ■•остороне !)■'■ ( Е “ ) поверхности Е : /(М)С08а(М) }(х,у ,г)(1у(1г, г. Е+(Е-) Ц !(М)со^^(М)аз = !(х,у ,г)аг(1х. Е Е+(Е')
После выбора определенной стороны поверхности Е поверхностный интеграл второго рода можно рассматривать как поверхностный интеграл первогорода по Е от одной изфункций: /(М) сова, }(М) со8/3, /(М) СО87. Изменение ориентации поверхности, т. е. замена одной ее с тороны на другую, приводит к изменению знака поверхностного интеграла второго рода на про­ тивоположный при его неизменной абсолютной величине. Если Р(х, у,г), ^{x, у, г), Е{х, у, г) —функции,определенныенаодной поверхности Е , то рассматривают также общий поверхностный интеграл второго рода, определяемый как сумма трех поверхностных интефалов от функций Р , Я по одной и той же стороне поверхности Е , либо незамкнутой, либо замкнутой; Р(1уЛ2+дагах+Нйхйу= Р(1у(1г + д<12(1х+ НЛхЛу. 5: Е Е Е 8.6 .6 . Существование и вычисление поверхностных интегралов второго рода Есл и на гладкой двухсторонней поверхности Е (н езамкнутой, либо замкнутой), заданной параметрически функциями х = х (и ,«), у = у{и,V), г = г{и,V). удовлетворяющими условиям 8.6 .2 , определена непрерывная на Е функ­ ция /(М) = /{х ,у ,г), то поверхностные интегралы второго рода от }{М) по внешней стороне Е ^ поверхности Е существуют и справедливы формулы: }(х,у ,г)ахау =±Л /(х{и,ь),у{и,у),2{и,«))Сйийи, Е+ П /(х,у,г) =± /{x{и,V),у{и,V),г{и, V))В(Iи(^V, Е+ п /{х,у ,2)йуаг = ± I I {{x(и,V),у(и,V),г(и,V))А(1ие^V. В предьщущих формулах справа берется знак плюс, если направление обхода границы области П на плоскости Ои« совершается против ч а с о в о й стрелки, и минус — в противном случае. Выражения для А, В , С приведены в 8.6.2. Складывая три предьшущих инте фала, найдем: Л Рс1у(12+да2(1х+пахау=±Ц(АР+вд+сн)Лий». Е+ !! Если поверхность Е задана однозначной функцией г = г ( х , у). то на­ правляющие косинусы единичной нормали п (М ) к этой поверхности нахо­
дятся по формулам С05а(М)= --- —, со5(б(М) = Тл/1 +р^ + д^’ Тл/1 +р^ + 9^’ 1 92 со57(М)= ------- у = = = = . Р=-^.Я =^, ±-\/1+Р^ + 9 где верхние (нижние) знаки перед радикалами соответствуют внешней Е'*' (внутренней Е ~ ) стороне Е . В этом частном случае параметрические уравне­ нияповерхностиЕ имеютвид:х=и,у =г,г =г(и,V)и Л8=\/ЕС- ЛиЛь=\/|+р^+ Лхйу, следовательно, поверхностный интефал }{М ) по стороне Е"*" ( Е “ ) поверх­ ности Е равен: /{х,у,г)ах(1у=± }{х .у ,2(х,у))<1хЛу, Е+(5]-) 5:' где знак плюс (минус) перед двойным интефалом справа берется при выборе стороны Е'*' (Е~) , Е ' — проекция Е на плоскость Оху. П р и м е р 38. Вычислить интефал + г )йхйу по: 1) верхней стороне И' ’’ поверхности г = -Ьу^, О^2^ 2) нижней стороне ^ этой поверхности. ^шение Проекцией Т! поверхности Е на плоскость О ху является круг -\-у^ ^ К ' . •Переходя в двойном интеграле к полярным координатам х - рсо&(р, у = р$\п<р, ^^аходим: 2жН 1)Ц(х^+у^+г)ЛхЛу= {2х^ 2у^)ЛхЛу = ^I 2р’йрд.>р= Е+ V 00 2ж Я ~ ~ ’ О О 2) Л(х^-\-у^ +г)(1х 4у= - {2х^-\-2у^)АхАу = -тгК*. > пример 39. Вычислить интефал 7= хЛуйг^ уАгАх гЛхАу, Е+ .
(1—уУ где — верхняя сторона (нормали к ней образуют острые углы с осями Ох, Оу, Ог) части плоскости х у+г ~ \,отсеченная отнееплоскостями х = 0.у =0, г=0 и являющаяся треугольником с вершинами Л(1; 0; 0), В{0, 1; 0), С(0; 0; 1). Решение. Введем обозначения: 7=^,+^2+ х(1уАг + I I уйгйх + Ц гЛхЛу, 1:+ Е+ Е+ — области на координатных плоскостях, являющиеся треугольниками ОВС. ОСА . ОАВ соответственно. Находим: = Л хауАг=Л{\-у -г)4у4г =Ц Лу^г-Ц уАуЛг-Ц г<1уйг Е+ 0\ 0\ 0[ О] \ \-у I 1-у I 1-» I =^ <^У! !уЛу!Лг-!йу2 00 0 0 00 о ^2 =Л уЛ2.Лх=Л {\~2 -х)(12(1х; Е+ 02 ^3=ЛгЛхАу=Ц ц -х~у)ахс1у. 1:-* Пз Из симметричного вила подынтефальных выражений в 3 1, 3^ и областей ин- тефирования В \, 1>2, В г следует, что7| — 3 - ^ = Зу. Таким образом, /=7,4-+«/з=3^1 = 8.6 .7 . Связь поверхностных интегралов первого и второго рода Если поверхность Е (замкнутая или нет) задана параметрически х = ж (и ,»)’ у —у(и,у), г = г{и,г), то направляющие косинусы нормали п(М) к вы­ бранной стороне поверхности Е определяются по формулам ^ ^ В 008й = ±^А^+ви-с^' ±^А^+в^+с^’ с С057= — , . . ±л/ТТЖТс^ Здесь знак перед радикалом берется в зависимскти от выбора стороны по­ верхности Е ; выражения для А, В , С приведены в 8.6.2. Справедлива следующая формула, связывающая поверхностный интеграл второго рода (левая часть равенства) и первого рода (правая часть): Рйуйг+^Лгйх+КйхЛу= {Р со&а + ^ сая() + Нсо^у)ЛЗ-
где С050 , со8;3,со5 7 — направляющие косинусы нормали к стороне Е"*" по­ верхности Е (замкнутой или нет). При переходе к стороне обе части этого равенства изменяют знак. Интеграл по кусочно гладкой поверхности нахо­ дится как сумма интегралов по составляющим ее гладким кускам. Пример 40. Вы чи с л и ть интеграл ^ хЛуЛи+уЛгЛх+гйхЛу, Е+ где Е ’*' — верхняя сторона сферы + у^ + . Решение. В сфер ических координатах параметрические ур авнен ия сферы имеют вид I =Д81Пйсоя = Л81П951Пу,г:=ДС05в(и=в,V =1р),ВобластьПвплоскости Ов^ определяется нера венствами 2ж. Находим: Л= С05 й 8|П^ В =Д^С08951Пу008у), С =Д‘81П9С08 81Пв. Отсюдаследует: со8а = 81ПЙсо8^ = х/Л, со8у8=8т0зтр =у/Я, СО87 = С08Й=г/Д, при этом зна к плюс перед радикалом связа н с выбором стор оны . Отметим, что эти выражения можно найти также с учетом коллинеарности вектора вн ешней нормали к сфере и радиус-вектора точки сферы г = (х ,у ,г ). Преобразуя интефал 3 в поверх­ ностный интеграл первого рода, найдем (Й5 = Л^ 8 1 п в йв Л1р)'. }= ^ (*' +уЧг^)й5= Я\твма,р = Е О 2ж X 2ж = ! <1'Р! 81Пййй=Л^ 2Л<р=АжЯ\ > 0 0 о пример 41. Вычислить интеграл 1 — 2^ со&'уНЗ и По внешней стороне поверхности г — 4 - О^ 2 < 1(7 - острыйуголмежду ^ ь ю О г и внешней нормал ью к данной поверхности). Чтени е. Переходя к полярным координатам х = рсозу», у = р$\п(р, найдем 2жI 2ж I ^=^^2иx(Iу= {х^+уУ(1х(1у= р^(1р<1 <р= ^ Л'р ^ > Е+ 1Ч»Ч1 ““ 00
8.6 .8 . Геометрические приложения поверхностных интегралов Объем V тела, офаниченного кусочно гладкой поверхностью Е , может быть найден по одной из следующих формул: \)у= Х(1у(1г, 2)V=^^гйхЛу, 5:+ Е+ 3) уйгйх. А)V— - хйу -\^уйгйх+гйхйу, Е+ Е+ где Е'*' — вн еш н яя сторона И. В частности, объем V шара радиуса й , согласно примеру 40, равен 8.7 . Формула Остроградского 8.7 .1 . Односвязные и неодносвязные области Множество {М } точек пространства Е " (п= I, 2, 3 ,.. .) называется связным, если любыедве его точкиможно соединить непр>ерыБНОй кривой, все точки которой принадлежат этому множеству {М}. Связное множество состоит как бы изодного куска. Пример 42. 1) Множество точек на оси Ох, состоящее из двух промежутков (-1 :0) и (1:3). не является связным; 2) множество точек на плоскости (и ли в простр анстве), состояще е из точек двух непер есекаюшихс я кругов (и ли щаров), не явл яе тс я с вя зным : 3) множество точек на плоскости, находящихся между двумя концентрическими ок руж нос тями , свя зно. Область О на геометрической плоскости называется о д н о с в я з н о й , если любую замкнутую простую кривую (контур), все точки которой пр и н ад л е ж а т О. можно непрерывной дес}юрмаиией стянуть в точку, принадлежащую О- оставаясь при этом в /5 и не касаясь ее границ (такая область не имеет отверстий), в противном случае область называется м н о г о с в я з н о й . На рис. 8.15 область О — многосвязная , так как контуры С[, С'2 , охватывающие от­ верстия, нельзя стянуть в точки в приделах V . Граница плоской конечной односвязной области состоит из одной замкнутой простой кривой. Всю плос­ кость причисляют к односвязным областям. Область С в трехмерном геометрическом пространстве называется: 1) пространственно односвязной, еслилюбуюзамкнутуюпростуюповерхность.
Рис. 8.15 все точки которой принадлежат С , можно непрерывной деформацией стя­ нуть в точку, принадлежащую С . оставаясь при этом в С и не касаясь ее границ; 2) поверхностно односвязной, если любой контур, все то чки которого принадлежат С , можно непрерывной деформацией стянуть в точку, принад­ лежащую С , оставаясь в С и не касаясь ее границ. Например, щар, а также все пространство, односвязны согласно обоим определениям. Область С , Получаемая исключением из внутренности сферы точек одной или несколь­ ких трубок, упирающихся концами в сферу (рис, 8.16), является только про­ странственно односвязной; неограничен­ ная область вне С неодносвязна в обоих смыслах. Внутренность тора — тела, об­ разуемого вращением круга вокруг пря­ мой, лежащей в плоскости этого круга ч не пересекающей его, является толь ­ ко пространственно односвязной, тогда как внешность тора неодносвязна в обо­ их смыслах. Представление о форме тора Дает баранка или спасательный круг. 06 - ■часть вне бесконечного цилиндра одно- *^8язна только в первом смысле. Область, Получаемая исключением из внутренних Рис. 8 .16
точек сферы внутренних точек одной или нескольких содержащихся в ней сфер меньшего размера, является только поверхностно односвязной. В про­ странственно односвязной области отсутствуют полости, офаниченные за­ мкнутыми кусочно гладкими поверхностями. Н а всякий кусочно гладкий контур, находящийся в поверхностно односвязной области, может быть «на­ тянута» двухсторонняя кусочно гладкая поверхность, все точки которой рас­ положены в этой области. 8.7 .2. Формула Остроградского Пусть О — конечная , в общем случае многосвязная область в пространстве Оху г с кусочно гладкой границей X), состоящей из конечного числа кусочно гладких замкнутых поверхностей Е , (на зыва ем ых связными компонентами по­ верхности I;). Область С с присоединенной к ней фаницей обозначим С. Если функции Р(х,у ,г), ^ {x,у ,г), Я{х,у ,г) непрерывны в С, а все их частные производные первого порядка непрерывны в С , то справедливо ра­ венство, называемое формулой Остроградского (и ли Остроградского— Гаусса): III ^^ ^II с ^ где поверхностный интсф ал справа равен сумме интефалов по всем поверх­ ностям со8 а , сов^й, С057 — направляющие косинусы внешней (по отно- щению к О) нормали й к Е , т. е. на внутренних поверхностях нормаль направлена внутрь этих поверхностей, а на внеш них — вовне (рис. 8.16). Пусть пространственная область С — односвязна (т. е. не имеет замкну­ тых полостей). Для того чтобы поверхностный интефал //(Рсо8а + ^ С05/3+ ДС087)<13 (8.20) на любой кусочно гладкой замкнутой (без самопересечений) поверхности 5^- содержащейся в С , был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках С выполнялось равенство ^^+^+^=0 (8.21) дх ду дг Поверхностный интефал (8.20) по двум незамкнутым разным поверх­ ностям Е| и Е 2, опирающимся на один и тот же контур С, в обшеМ случае различен для Е] и Е 2, направления нормалей к которым со гл а с о ­ ваны с направлением обхода контура С . При выполнении условия (8.21) в пространственно односвязной области С интефал (8.20) не зависит от вида поверхностей, опирающихся на один и тот же контур С в С .
Пример 43. Вычислим интефал ^ Xйу +уЛгЛх+гЛхЛу внешней поверхности сфер ы =Н'. Е+ ПО внешней поверхности Решение. Имеем по формул е Острофад ского ^ (IС05а+уС05^+гС08-у)Й5= =///(ё+I +I) С с гдеV = — объем шара. [> Объем V конечной многосвязной (в частности, односвязной) области С мо­ жет быть найден по формуле V=^ XЛуЛг+уйгйх+2Лхс1у, Е где поверхностный интефал равен сумме интсфалов по внешним сторонам всех поверхностей Е ; . 8-8. Формулы Стокса и Грина 8.8.1. Формула Стокса Пусть С — кусочно гладкая кривая, офаничивающая конечную двухсторон­ нюю кусочно гладкую незамкнутую поверхность I ) в пространстве (рис. 8.17); У, г), ^ {x, у, г), Д(х, у, г) — функции, непрерывные вместе с первыми Производными по х , у , 2 в некоторой пространственной окрестности Е , тогда ‘^''Раведлива формула Стокса: аз= ^ Р ^х+^<1у+Я(12= С05а С08Р С057 д/дх д/ду д/дг р д Я т. интефал по кр и вой С равен сумме интефалов по всем замкнутым конту- С^, и з которых СОСТОИТ С ; сок а , со5/3, СО87 — направляющие косинусы
Рис.8 .17 нормали п поверхности Е ; направление обхода С^ при интефировании тако­ во, что при этом поверхность Е остается слева, если смотреть из конца вектора п (система О хуг — правая). Если поверхность Е односвязна и офаничена одним контуром С (рис. 8.17), то говорят, что поверхность Е «натянута» на контур С. Пример 44. Вычислим криволинейный интефал ^ = ^ уЛх+г(1у+XЛг с по окружности с , являющейся линией пересечения плоскости 1 + у + г = 0 и сферы х^+у^+ = В : , обход которой виден против хода часовой стрелки, если смотреть с положи те льной стороны оси Ох. Решение. Т а к ка к вектор нормали к внешней стороне данной плоскости равен = (1; 1; I). то |ЛГ| = \/з и со5а = С05^ = С057 = 1/\/з. Имеем: Отсюда следует ^ (-С05а-С05^-С057) = - ^ ЛЗ= -у/зз= Е Г гдеI)—кругсфаницейСвплоскостих+у+г=0. > 8.8.2. Формула Грина 1. Пусть О — конечная , в общем случае многосвязная область на плос­ кости О ху (рис. 8 .15) с кусочно гладкой фаницей С , состоящей из конечного
числа кусочно гладких замкнутых кривых С; (называемых связными компо­ нентами С). Область О с присоединенной к ней границей обозначим О . Если функции Р{х , у), ^ {x , у) непрерывны вместе со своими частными производ­ ными у), Я'х{х, у) в области О , то выполняется формула Грина + = ах^у, с о гдекриволинейный интеграл в левой части равен сумме интегралов по всем за­ мкнутым кривым (контурам) С(, направление обхода которых при интегриро­ вании берется положительным (т е. область О остается слева), при этом внеш ­ ний контур обходится против часовой стрелки, а внутренние — по часовой. Пример 45. Вычислим интефал ^=^ х^уЛх-ху^Лу с поокружности х^+ у^ = В^. Решение. Переходя в двойном интеграле к полярным координатам х = рс о5 (р, У = Р 5\п1р, находим 2гВ /=- (х^+у^)Лх<1у= - ^ Л1р! р'Лр= > О 0 0 Площадь конечной плоской многосвязной области О , ф ани ца С которой состоит из кусочно гладких контуров С ^, находится по формуле хЛу-уЛх, ■'Де интеграл равен сумме интегралов по всем контурам с обходом в поло- **<тельном на правлении. 2. Другой вид формулы П>ина. Пусть т = {тх. Ту) — единичный вектор 'касательной к контуру С; направление г совпадает с положительным направ­ лением обхода С , а также с положительным направлением отсчета длины его /, которую берем в качестве параметра на С, т. е. х = х{1), у = уЦ) — •■араметрические уравнения С . И пусть п = (п^, Пу) — единичная нормаль С , направленная вне области О (рис. 8.18). Вектор п совмещается с т при Повороте на угол -кII против часовой стрелки; при этом Пх = Ту, Пу = - т^, *** —ТхЛ = ~Пу (II, Лу = Туй1 = Пх (II. Заменяя в формуле Грина Р на
а ^ на Р , получим двумерный аналог формулы Остроградского с в где Пх,Пу — направляющие косинусы нормали п. ах лу Примечание. Если запись типе комплексной форме: г = т , + гт^ = ^ П=Г>1+ ,тоТ=!П = -«5,+>П1,т.е.Тг= -Пу,Т„ = П^. 8.9 . Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования 8.9 .1 . Плоский путь интегрирования Если функции Р (х , у), ^ {x , у) непрерывны вместе с частными производными Р'у, ^'x ъ односвязной области О на плоскости Оху, то следующие четыре утверждения равносильны (т.е . из одного любого следуют остальные три): 1) Выражение Р йх + ^ йу является полным дифференциалом некото­ рой однозначной функции 17{х, у) = 1/{М), определенной в О , т. е - Рйх+^<1у=(Ш,теР= д = 17у. Функция 1!(х,у) определена с точностью до произвольной постоянной С , т.е . если 17(х,у) — кое-либо частное выражение этой функции, то ее общее выражений 11\(х,у) = 17(х, у) + С , где С — произвольная постоянная.
2) Для всякой кусочно гладкой замкну- У той кривой (кон тура ) С (возможно, самопересекающейся), расположен­ ной в О , справедливо равенство РЛх+дЛу=0. В качестве С можно взять, например, контур А \ В 2 А (рис. 8.19), располо- __ женный вV. О 3) ДлялюбыхточекА иВ вО (рис.8.19) интефал Рис.8 .19 /рд.х+д<1у^и(в)-и(А) не зависит от формы кусочно гладкой незамкнутой кривой, соединяющей точки Л и В и находящейся полностью в Ь (например, кривые А1В и А 2 В), т. е. является функцией только координат точек А к В . При этом можно записать и\(х,у)= ^ РЛх+дЛу+С, где А = (хо, Уо) — фиксированная точка, В = (х, у) — переменная точка, т. е. С = П]{хо, уо). Если принять и\{А) = О, то С = 0. 4) Всюду в В тождественно выполняется равенство дх ду■ Для нахождения 11\{х,у) можно воспользоваться одной из двух следую­ щих формул; I У 1) г7|(х,г/)=! р{х,уо)ах + ^ д{х,у)(1у+ с. (8.22) У X 2) г/,(х,у) = ^ д{хо,у)(1у+ ^ р(х,у)ах + с. (в.гз) Уо Хо в формулах (8.22) и (8.23) интефирование проводится от точки А{хо, Уо) Ло точки В(х,у) по кривым АКВ и АМВ соответственно (рис. 8.20), '^''стоящим из отрезков прямых, параллельных осям координат.
Уо О В(Х, у) >1{з:о.Уо) К(х, !/„) Рис. 8 .20 Пример 46. Выражение у + х ё у явл яе тс я по лным дифференциалом некоторой функции и(х,у), так как = Р'^ = \ всюду в плоскости Оху. Если, например, Хц = 1, Уо = 2, то по формуле (8.22) находим I о С^|(г,у)=У 2ЙХ+УIйу+С=ху+С|(С^=С -2). I 2 Аналогично, по формуле (8.23): II I 1^1(х.у)=! Лу+^ г/йх+С=ху+С|(С|=С-2). Если область О многосвязна, то вышеприведенные утверждения 1)-4) эквивалентны лишь для частичных областей, содержащихся в О и не имею­ щих внутри себя отверстий. Если же контур С охватывает какое-либо одно отверстие (например, С[ или на рис. 8 .15) в многосвязной области, то интефал по такому конуру, в общем случае, не равен нулю, но имеет одно и то же значение для различных контуров, охватывающих какое-либо одно отверстие. При этом функция Щ х,у), вообще говоря, многозначна . Пример 47. Функция 1р{х. у) = Агс1в (у/х) определена всюду на плоскости ОхУ- за исключением точки (0;0). Рассмотрим функции н епрерывные и удовлетворяющие ус ловию ■> -) Я'.=р‘,= {х^ + У^у всюду, кроме точки (0;0 ). Ес ли односвя зная область О не содержит т очку (0;0). то все утвержде ния 1)-4), приведенн ые выше, э квивале нтн ы друг другу в О- ЕслИ
многосвязная область В является кругом с центром в начале координате исключенной точкой (0;0) (так как функция <р не определена в этой точке), то интефал взятый по любой замкнутой кривой С , охватывающей точку (0;0), в частности, по окружности радиуса Я с центром в точке (0;0), равен (уравнения окружности: х = Ясо&(р, у = Я 81п<р): 2ж При этх)м АВ АВ где 1р — полярный угол точки В = (В, (р)' АВ — дуга окружности; точка А = (Д. 0); постоянная С = 0. Функция — многозначна, так как при каждом полном обходе точки (0;0) значение увеличивается на 2)г. 8.9 .2. Пространственный путь интегрирования Пустьфункции Р(х, у,2), ^(х, у,г),Д(х,у,г) и все ихпервыечастные про­ изводные по X , у , 2 непрерывны в некоторой поверхностно односвязной области С в пространстве О х у2 . Тогда следующие четыре утверждения рав­ носильны (т. е. из одного любого следуют остальные три): 1) Выражение Р Лх + ^ йу + КЛ х является полным дифференциалом (Ю некоторой однозначной функции (7(х, у, г ) = С/(М), определенной в С , т.е.Р = Я=Пу,К =и',и РЛх+д<1у+КЛг= (IV. 2) Для всякой кусочно гладкой замкнутой кривой С (возможно, с самопе­ ресечениями), расположенной в С , справедливо равенство Рйх+^йу+К6,2= с 3) Для любых точек Л и В в С интеграл Рйх+д(1у+кл2 =и(в)- и{А) АВ зависит только от координат точек Л и В , но не от формы кривой А В , их соединяющей и расположенной полностью в С . При этом общее выражение 1/\(х, у , г ) функции П имеет вид [7, = ^ Р(1х^д(1у-^ -Яаг-ьС, АВ
где А = (жо, г/о, ^о) — фиксированная точка, В = (х, у, г) — переменная точка, С — произвольная постоянная. 4) ВсюдувС тождественно выполняютсяравенства дя ад „ дР дв ад ор , , ду 91“ ’ Если область С поверхностно многосвязна (рис. 8.16), то криволинейный интеграл по замкнутому контуру С , охватывающему какую-либо одну полость, в общем случае не равен нулю и не зависит от формы этого контура. Функция VI при этом многозначна. Для нахождения у, г ) можно воспользоваться, например, формулой X у г {/|(1,у,г) = ^ Р(х,уо,го)(1х +^ д{х,у ,2ц)Лу+^ Н(х,у,г)(12+С, Хц Ко го где три интеграла справа вычисляются последовательно по трем отрезкам пря­ мых, параллельных осям координат О х , Оу, О2 соответственно: 1) отточки А=(хо,уо.2о)до(х,2/0,го),2)отточки(х,уп,го)до(х,у,2о),3)отточки (х, у,2о) до точки В = (х, у, г). Точки А » В могутбыть соединены идру­ гими аналогичными ломаными. Пример48.ПустьР =уг(21+у+г), ^ = хг{х+2у+г).Д =ху{х+у+2г). Равенства (8.24) выполняются тождественно для любой точки (х, у , 2). Взяв точку А = (0; 0; 0), получим X V I и,{х.у,г)=У Ос1х+^ ОЛу+^ ху(х+у+2;:)(12+С=хуг{х+у+г)+С- 8.10. Интегралы, зависящие от параметра 8.10.1 . Собственные интегралы, зависящие от параметра Пусть функция /(х , у) определена и непрерывна в ограниченном прямо­ угольнике: а^х ^А ,Ь ^у^В, тогда интефал А Пу)=У/(х,у)йх а является функцией от у, определенной и непрерывной на отрезке Ь^ у й ^ и называемой (собственным) интегралом, зависящим от параметра у. О б л ас т ь определения функции /(х, у) может иметь и более сложный вид, например «(»/)^X5:ю(у),6^у ^В(рис.8.21).
Дифференцирование под знаком интеграла. Если /(х , у) и ее частная про­ изводная /^(х, у) непрерывны при Ь ^ В,то при Ь<у<В справедлива формула Лейбница: А Л ^ ^ /(х,у)(1х= ^ /'(х,у)ах. Если пределы интегрирования являются дифференцируемыми функция­ мии(у)иV{у)отпараметрауна<и{у)<А,а<ь{у)<АприЬ<у<В, так что и{у) ^ х ^ V{у) (рис. 8.21), то а Лу Ну) ^ Цх,у) ах = /{г{у),у)у\у)-/{и{у),у)и'{у) + ! !'у(х, у) (1х »(!/) (Ь<у< В). »(») “ (к) Интегрирование под знаком интеграла. Если функция /(х , у) непрерывна при а^х ^ А, Ь^у^В,-го В НА ли ^ Р(у)‘^у = ^ ! /(2:.у)<^х йу --У ^ /(х, у) йу йх.
Пример 49. Пусть совГ Р'(у)=I е»'^йх. ЫП1Г функции /{х .у) = и/^(х,у)=VI - непрерывны при всех -1 ^ I ^ 1И —ОС<у <+00.Находим С«|Г У(у)= -(е‘'^"»15шу+е‘'^“ '1со8у)+У ч/Г^ -е'^ ^йх. $1П{Г Полученную производнунэ Р '( у ) можно дифференцировать снова. Пример50. Функция/(х,у)= со5(х+у)приО< * < тг/2,О^ у$ т непрерывна. Отсюда Р(У)= ^ соя(ж+у)(^X=81П - 51П у. Ж Ж ^ Р{у)Лу=! 8Ш +0 -51Пу Лу= -2. Изменяя порядок интегрирования, получим такой же результат: т/2 /[/С05(х+у)Лу лх= -г. 8.10.2 . Несобственные интегралы, зависящие от параметра Равномерная сходимость. П усть несобствен ный интефал первого рода +00 А Р(у)= [ }(х,у)йх= \\т [ Дх,у)(1х (8.25) ^ .4 -*+сю ^ а а сходится при любом значении параметра у из промежутка Ь ^ у ^ Схо­ дящийся несобственный интефал (8.25) называется равномерно сходящимся по параметру у на отрезке |Ь; В\, если для любого е > О существует число А(е) > а, не зависящее от у и такое, что для любого К > А(е) и для всех У из [6; В\ выполняется неравенство +00 ^ /(х.у)
Равномерная сходимость интефала (8.25) равносильна равномерной схо­ димости любо го ряда вида ос у "=» к гдео=Оо<0|<02<...<а„<а„+1<... и Нт а„ = +оо. п-*+оо Если /(х , у) непрерывна при а < х < +оо и при изменении параметра в конечном промежутке Ь ^ у ^ В . а интефал (8.25) сходится равномерно на [Ь;В], то этот интефал является непрерывной функцией от у на |6;В], т.е. для 2/0 из [Ь;В| имеем +0С' +00 Пт У {(х,у)Лх= ^ }(х,уа) ах. Признаки равномерной сходимости. 1) Признак Вейерштрасса. Для равномерной и абсолютной сходимости инте­ фала (8.25) достаточно, чтобы существовала не зависящая от у функция +00 д{х)такая,что:а)|/(х,у)|Сд(х)приа^х<+ооиб)^ д(х)йх<+оо а (т.е. интефал сходится). +00 2) Если: а) интефал ^ Н(х) йх сходится и б) функция д(х, у) офаничена а +00 равномерно по 2/на [(>;В| и монотонна по х, то интефал ^ Ъ,(х)д(х,у) Лх а сходится равномерно по у на отрезке (6; В \. 3) Признак Днни. Пусть /(х , у) непрерывна и неотрицательна при а ^ х < +оо и для каждого у из [6; В\ сходится интефал (8.25). Тогда, если функция Р (у) непрерывна на (6; В ], то интефал (8.25) сходится равномерно по у на |6; В\. Аналогично рассматриваются несобственные интефалы второго рода, Зависящие от параметра у (Ь ^ у ^ В ), от неофаниченных по переменной х Функций }(х , у ). При помощи преобразования переменной х несобственные Интефалы второго рода, зависящие от параметра у , преобразуются к несоб­ ственным интефалам первого рода, зависящим от параметра.
Пример 51. / С05Ху , —- ах при —ос < у < + 0 0 сходится равномерно, так +00 < !— = д(х) и интефал / :г Лх сходится (см. пример 30 :2^I+ ^ \ + Х ^ |со5 ху\ 1_ как - ^ --------- 1+1 в 7.3.1). 2) Интефал Р(у) = , гдефиксированноер >О, приО^у < 1 +00 СХОДИТСЯ равномерно, так ка к интеграл ^ Л(х)(^х , где Л(ж) ^ сходится I (по признаку 5 в 7.3.1), а функция д{х,у) = е” '"*' монотонна по х и равномерно поу ограничена,таккакд{х,у)^ е**= 1приО^у<+оо. +0С 3) Интефал Р{у) = ^ х^е~^ Лх при а ^ у ^ 6 сходится равномерно, так как 1 +00 ^ х ’’е~^ = д(х) при 1 ^ а: < +сж. Интефал ^ д{х)4х сходится (по при- I знаку 4 в 7.3.1), поскольку Ит = О для любого г. г-^+оо Дифференцирование по параметру. Если: 1) функция }(х ,у) и ее частная производная }'у(х,у) непрерывны при а^ X<+00иприизмененииу вконечномпромежуткеЬ<у<В. +00 2) интефал Р{у) = ^ /(ж, у) <1х сходится при некотором у из |6; В|, а +00 3) интеграл ^ /у{х,у)с1х сходится равномерно при Ь < у < В , то спра- а ведливо правило Лейбница: +00 +00 ^'(у)=;^/ у)<1^ = ! у)Лх(Ь<у< В). а а Пример 52. 1) В условиях примера 51,2 имее м /,{х.у)= -е »•— .
Следовательно, при р > I справедливо равенство ♦-00 -Р'(!/) = - У (У^О). 2) В условиях примера 51,3 имеем 4(*. у)=ух''~'е~' $ Ьх"-' = д{х) +00 и и нте фал ^ д (х) Лх сходится. Следовательно, +00 Р'(у)=! ух'‘ 'е~^Лх (а^ <6). Интегрирование по параметру. Если: 1)функция /(I, у) непрерывна при а ^ х < +оо и при изменении г/в ко­ нечном отрезке |Ь; В |, <-00 2) интефал Р(у) = ^ }(х,у)йх сходится равномерно по у из [Ь;В], то а справедлива формула В в +00 +00 В У {^{у)<^У= ^<^У^/{х,у)<1х= ! Лх! /{I,у)ау. Ь Ь а а Ь Эта формула верна также и для бесконечного промежутка (6, В ) при Условии, что /(х , у) ^ О, внутренние интефалы непрерывны и одна из частей Равенства имеет смысл . Пример 53. Интеграл Р {у ) в условиях примера 51,2 сходится равномерно при р > О “ О^ !/<+00,следовательно, /Р{у)‘‘У=1[1 ^ ^ (-В>*>«)• ь ]ь I ^ '10.3 . Применения несобственных интегралов, зависящих от параметра, к вычислению несобственных интегралов (-00 +00 / 81П г /ч /" - X V^ йх. Интефал Р[у) ~ I ^ о о ^>(одится равномерно при О < у < +оо. Действительно, так как функция
Н{х) = (51пх)/х -> 1 при X —» О, то можно полагать ее непрерывной и при X = 0. Следовательно, интеграл +00 ^ Н(х)Лх= ^ Н(х)(1х+^ Л(х)йх — сходящийся, причем второй интефал справа сходится по признаку 5 в 7.3,1. Функция д{х, у) = е'*®' монотонна по х и равномерно по у офаничена, так как д(х, у) ^ е” = 1, поэтому интефал Р (у) сходится равномерно. +00 Интефал ^ е^^*'51пхйх сходится равномерно при О < ;/о ^ 2/ < +оо, о +00 так как |е~*‘' 81пх| < а интефал ^ е” **'” йх сходится при уо > 0. о Интефируя по частям, получим +00 р'(у) =- / I +у2' о Интефируя здесь обе части равенства по у, получим при у > 0: = = -ЗГС18У+С. Таккак Ит Р{у) = О, Ит агс18у = тг/2, находим С = ж/2.Следовательно, 1^->+00 У-++00 Р{у) = - атс1^у + 7г/2. Поскольку +00 ^’(О)=МтР{у)=[ <1х, »-*+о ^ X о то отсюда находим искомое значение несобственного интефала +00 I $ШX Ж о Подобным же образом могут быть вычислены и некоторые другие не­ собственные интефалы.
Эйлеровы интегралы. 1) Несобственный интеграл +00 Г(^)=I о (параметр х > 0), называемый гамма-функцией, сходится при х > О и расходится при х < О. Свойства: а)Г(х+1)=хГ(х); б) Г(п) =(п- 1)!(п = 1,2,...); / 1\ 1-3---(2п-1)_ , г(^«+2] = ------2------- ^ (п=1,2,...); г) Г(х)Г(1 - х) = ^---- (О<X<1); 5Ш 7ГХ д)При X > офункция Г(х) непрерывна и имеет непрерывные производные всех порядков Г*">(Х) : В частности: о (интеграл Пуассона); +00 Г{1) о 2) Несобственный интефал +00 л \\п1)' 0 +00 ■у' -00 +00 = ! е~и1=\-, Г(2) = Г(1); =^. I В(х,2/)=I о зависящий от двух параметров х и з/ и называемый бета-функцией, сходится, если одновременно х > О и у > 0. Свойства: а) В(х,г/) = В(у,х); , Г(х)Г(г/),
о г)В(х,2,^ 1)= ^ В(х,г/); „Iв,.. Формула Стирлинга п! = \/2жп “п= е“" » I (О<6>„<I) дает асимптотическое выражение для п! = 1 ■2 •3 ••■п , когда п — большое натуральное число. Произведение всех натуральных чисел от I до п называется факториалом (или п-факториалом). По определению принимается О! = I. 8.11 . Кратные несобственные интегралы Несобственные интегралы могут быть двух видов; 1) подынтсфальная функ­ ция неограничена, 2) область интегрирования неофаничена. 8.1 1 .1 . Двойные несобственные интегралы от неограниченных функций Пусть функция /(М ) = /(х. у) непрерывна всюду в конечной области О на плоскости О ху. за исключением точки Мо{хо,уо) (которая находится внутри или на фанице О ), в окрестности которой / (М ) не ограничена. Пусть Д — произвольная малая окрестность точки Мо, а П \ Л — область, получаемая исключением точек Д из О . Если при неофаниченном стягива­ нии Д к точке Мо интефал }(М ) йЗ стремится к определенному пределу. не зависящему от способа стягивания Д к Мо, то этот предел называется (сходящимся) иесобственным интегралом от / ( М ) по области О . Обозначения: Л ПМ)(18 ИЛИ //я. ,у)йхЛу. ( 8.26) о о Если этот предел не существует, то интефал называется расходящ имся. Если }( М ) может принимать значения разных знаков и существует (схо­ дится) несобственный интефал
то интеграл (8.26) называется абсолютно сходящимся. Если ин тефа л (8.27) сходится, то сходится и интефал (8.26). В отличие от обычных одномерных интефалов, для кратных интефалов понятия обычной сходимости и абсолют­ ной сходимости эквивалентны, т. е. из сходимости интефала (8.26) следует сходимость (8.27). Для сходимости несобственного интефала (8.26) от неотрицательной в О функции /(г , у) ^ О необходимо и достаточно, чтобы хотя бы для одной последовательности областей Д„ (п = 1 ,2 , . . . ) , стягивающейся к М» и таких, что Д „+1 полностью принадлежит Д „ при любом п (в частности, для последовательности круговых областей Д „, стягивающихся к Мо при п оо), была офаниченной числовая последовательность =Л ПМ)<13. о\Дп При этом гюследовательность а „ не убывает при возрастании п. Общий признаксравнения. Если /(М) >Оид{М)^ОвI) ивсюдувВ выполняется /(М ) ^ д{М), то из сходимости интефала д(М) ЛЗ следует о сходимость интефала }(М ) йЗ. п Частный признак сравнения. Ин теф ал (8.27) сходится, если в окрест- ности точки Мр функция удовлетворяет условию |/(М)| ^ А/г^, где г = у(х-жо)^+(у-Уо)^ — расстояниеотточкиМ(х,у)доМо(хо,г/о);Аир — Постоянные (р < 2). Несобственный интефал от г ’’ при р < 2 сходится в О и расходится при р > 2. Пример 54. Вычислим интефал 3 = /'/' 1п — . Ах ёу. П у/х^+у'‘ Ьшение . В окр естности начала координат 0 (0 ; 0) подынтегра льная функци я не офа- Чичена. Переходя к пол ярным координатам I = р с о и р , у = р^т<р в области <Рп<Р^I.где — радиус круговой области Д „ , получи м 12» 12» ^=Ит^^ ^1п ^рЛрЛ<р = - Пт^ ^ ^ р \пр<1рЛ<р = = —2пПт(— Л.^0 Рпо тг '2' ^Десь предел П т р1 1пр„ = О по правилу Лопиталя. л.-»о
8.1 1.2 . Тройные несобственные интегралы от неограниченных функций Если функция /(М ) = /(х, р, г) непрерывна всюду в конечной области С пространства Охуг, за исключением точки М о{хо,уо,^ ), в окрестности которой / (М ) не офаничена, то совершенно аналогично предьшушему опре­ деляется несобственный интеграл от / (М ) по С , обозначаемый /{М)(IV или }(х,у ,г)ах(1у(12. (8.28) с с Все вышеприведенные свойства двойных несобственных интефалов пе­ реносятся на тройные несобственные интефалы со следующими уточнения­ ми: I) круговые области Д „ заменяются на шаровые, 2) в частном признаке сравнения абсолютная сходимость интефала (8.28) (см. 8 .11.1) обеспечивается при р < 3. Несобственный интефал от сходится в области С при р < 3 и расходится при р ^ 3. 111 Пример 55. Вычислим интефал ^ ~ ^ ^ ^ ЛхЛуЛг ООО х^у^г' Решение. В окрестности точки 0(0; 0; 0) функция не офаничена. Получим I I I Лх /= Пт [лг[лу[ УУУ: (х 1-Р1 1 . Х’’У^2 ' (•=1,2.3)€5 Е2 С) = Нт (I -р)“ '(1-?)■'(!- г)" (1=1.2,3) = (1-р)"‘(1-?)■'(!-г)“ ' (р<I,?<I,г<1). 1> 8.1 1.3 . Двойные несобственные интегралы по неограниченной области Пусть Д произвольная конечная область, содержащаяся в бесконечной во всех направлениях области О на плоскости Оху. Если функция /(х,У> непрерывна в X), то существует интефал II НМ)аз. д Если при произвольном неофаниченном расширении Д во всех напраВ' лениях области О предыдущий интефал стремится к определенному пределу.
то этот предел называется (сходящимся) несобственным интегралом от / ( М ) по бесконечной области О. Обозначения; Л /{М)Л8 ИЛИ //я . ,у)ахау. (8.29) о о в противном случае интефал называется расходяишмся. Если сходится интефал |/(М)| то интефал (8.29)называется о абсолютно сходящимся. Для несобственных кратных интефалов понятия схо­ димости и абсолютной сходимости эквивалентны. Если /{х,у) > О в О, то в качестве Д можно взять множество точек О, содержащихся в неофаниченно расширяющемся круге с фиксированным центром. Пусть П \ А — множество точек О , лежащих вне круга Д радиуса г. Тогда, если интефал (8.29) от /(М ) ^ Осходится, то интефал от /(М) по области 0 \ А стремится к нулю при г оо. Достаточный признак сходимости. Ин теф ал (8.29) сходится, если для всех точек М из Ь , достаточно удаленных от фиксированной точки Мо, выполняется условие |/(М)| ^ А/г’’ , где г — расстояние от Мо до М , А “ р — постоянные (р > 2). Аналогично можно определить несобственный тройной интеграл от функ­ ции /(М ) по неофаниченной области С в пространстве О хуг со следующими уточнениями: 1) круговую область следует заменить щаровой, 2) в достаточ­ ном признаке сходимости следует взять р > 3. Пример 56. Вычислим интефал где X) _ все бесконечн ое пространство. ^ЗЩение. Переходя к сферическим координатам х = /)51п^со5 ^, у = ^= рсо5 ^ и взяв в качестве А шар радиуса К с центром в начале координат, получи м г2» Н ^ = ит I[[€^ 51пвЛрЛвй(р=4л-Ит /е^р^(1р~ А-юо^^^ Я-юс ^ ООО о = = <й=2рй/>)=2)Г^ е ‘VIМ = = 2ж^ > О п р и м е ч а н и е 1. Несобственные криволинейные интегралы сводятся к об ычн ым опреде- ‘^^Нным интефа ла м. примечание 2. Несобственные поверхностные интегралы сводятся к д войн ым интег- ^ам.
8.12. Кратные интегралы, зависящие от параметров 8.12.1 . Собственные кратные интегралы, зависящие от параметров ПустьX = (х,,,х„) — точка ограниченной области С пространства В", ^ У —{У\у ■■’Ут) — точка офаниченной области О в Е " ' . Соответствующие замкнутыеобласти обозначим С, О . Пусть /{хь ... , х „;у1, . ■., Ут) =}(х\у), функция, определенная по всем своим аргументам x^ (* = 1 ,2 п)и а = 1,2,... , т) вобластяхС к О соответственно. Еслидля любой точки Уа = (г/?. ■••, Ут) в О функция /(х; у) интефируема в области С , то функция р{у)=р{у,,...,ут}= = У/**//(з^ь Ут)^Хх ... (1Хп = ^ /{х\-у)(1х, с с определенная в В , называется собственным интегралом, зависящим от пара­ метров у\, . . . , Ут- В частности, области С и О могут совпадать: С = О. Если }( х \у) непрерывна по совокупности всех своих аргументов ХиУ) в соответствующей замкнутой области (п + т)-мерного пространства, то Р(у) является непрерывной функцией в О. При этом Р(у) можно интефировать по параметрам под знаком интефала, т. е . ^ Р(У\, - -,Ут)ЛУ\ -ЛУт=у ^ /{х-у)(1у, .. .■<1Уп Если, кроме того, частная производная непрерывна по совокупн ости всех аргументов Х( и у^, то Р {у) имеет в О непрерывную частную производную ту)_[д}(х-у) ■(IX\... иХп 9У] у ду^ 8.12.2 . Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметров Пусть М '(х', у', г ) и М(х, у, г) — точки некоторой офаниченной области С пространства Охуг. И пусть }{х ,у ,г!\х.у ,2) = /(М'.М) —функция, определенная и непрерывная в С при М ' ф М \л неофаниченная в окрест­ ностиМ' = М.
Несобственный интеграл Р{М)=Р{х,у,г)= }(М‘.М)ЛУ', с гдеЛУ' = Лх' Лу йг , зависящий от параметров х ,у , г , называется сходящимся равномерно по параметрам х , у , г в точке Мо{хо, уо, го), принадлежащей С , если для любого числа Е > О существует число 6(е) > О такое, что для всех точек М , расстояние г = М М о которых от точки Мо не превышает <5 и для любой шаровой окрестности Д точки Мо, радиус которой не превышает 6, выполняется неравенство ////{М', М)дУ' <е. Если интеграл Р (М ) сходится равномерно по параметрам х ,у , г в точке ^о(ха,Уо,2о} в С , то он является функцией, непрерывной в точке Мо- Достаточный признак равномерной сходимости. Пусть подынтефшьная функция }(М',М) =д{М',М)Н{М'), гдед(М',М) непрерывна в С при М' фМ, а к {М ') равномерно офаничена всюду в О. Тогда, если существуют постоянныер(0<р<3)иА>0 такие,чтодлявсехМ' иМ, принадлежащих С, выполняется неравенство \д(М', М)\ ^ А/г^ (г = М М ') , то интсфал ^ {М) сходится равномерно по параметрам в каждой точке М о(1о. Уо>^о), принадлежащей С . 8.12.3 . Ньютонов потенциал Ньютонов потенциал {/(х, у, х) тела С в точке М (х , у , г)определяется инте­ гралом (оо) О гдер(х', у',г') ^О— плотностьтелаС вточкеМ', г=У(х'-х)2+{у'- уУ+{г'-гУ " расстояние между точками М'{х ,у ', г) и М{х,у ,г). Если точка М Находится вне тела С , то (8.30) является собственным интефалом, зависящим от параметра, так как г ^ 0. Если при этом р(х ,у ,х!) непрерывна в С , то, в силу непрерывности вне С производной 31 1Зг х'-X дхг дх
функция 1/(х, у , г) дифференцируема вне и ее производная равна ди(х,у ,г) /■/■/• , , „х'-х , С Здесь подынтефальная функция также имеет непрерывную производную по X , следовательно, дЩх,у,г) = Р(х',!/', г') с 3(х'-х)2 1 ау'. Аналогично можно найти производные и ( х , у , г ) по I/ и г. Складывая вторые производные, получим дх^ дг^ ~ Если точка М находится внутри тела С , то (8,31) является несобствен­ ным интефалом, так как г = О при М ' = М (подынтефальная функция Р^ в (8,31) обращается в бесконечность). Если А = т т р(х ,у ,г), то - ^— (р=1)и ^^ (р = 2), следовательно, интефалы (8.30) и (8.31) сходятся равномерно в каждой точке Мо области С , а поэтому являются непрерывными функциями от х ,у ,г в С . При этом интефал (8.31) полу­ чается дифференцированием (8.30) по х под знаком интефала. Аналогично находятся производные (8.30) по у и 2 .
Глава 9 РЯДЫ 9.1. Числовые ряды и и х свойства 9.1.1. Общие понятия Пусть дана бесконечная числовая последовательность 0|, Ог,. . . , а „ где «и = /(п) — некоторая функция натурального аргумента п. Формальное выражение ОС 0|+02+...+о„+ ... = ^ а„ (9.1) П=1 чмывается числовым рядом или просто рядом. Отдельные числа а „ , входящие > (9.1), называются элементами или членами ряда, выражение а „ = /(п) Называется общим членом (элементом) ряда. С умма первых п членов ряда (9.1) Называется п-й частичной суммой (или отрезком) данного ряда П 5„ = о,+аг+...+а„ = ^ о^. 1=1 Частичные суммы образуют бесконечную последовательность {5 „} : 3\=а], 82 = +02- ■••• 5п=0|+02+...+о„............ Если существует конечный предел последовательности частичных сумм 5„ = 5 , то ряд (9.1) называется сходящимся, а число 3 называется суммой ^*Даряд, сумма (9.1). При этом говорят также, что данный ряд сходится к сумме В этом случае пишут 00 5'= 0|+02+...+0„+ ...= ^2 “п. П=1 Если последовательность { 5 „ } расходится, т. е. предел И т не суще- п-юо ’^ У ет или бесконечен, то ряд (9.1) называется расходящимся. Сходимость Р'Иа эквивалентна сходимости последовательности его частичных сумм.
Пример 1. 00 1)Ряд1+I+... = ^ 1 расходится, та к к а к последовательность 5] = 1, 5: = 2, п^| 5„ = п. . . . не имеет конечного предела. 2) Ряд 1-1 + 1- !+ ... = ^ ( -1)” ’ расходится, так как последовательносп. п=| 5|=1,52=О, ..., 52„-1 =1,52„ = О... неимеетпредела. 3) Рассмотрим ряд, сос та вле нн ый из чле нов б ес ко не чной геоме трической профес­ сии: ....Частичнаясумма5„этого ряда при д ф 1 равна \-д " 1 д" 8„ —1+^+...+5 — I-д I-д 1-д' Если|д|<1,тоИт5„ = ---- , т. е. ряд сходится и его сумма равна 5 - 1-д “ |_5 При д= 1 или 9 = -1 ряд расходится. Ес ли I}! > I , то ряд та кже расходится. Критерий Коши сходимости ряда. Д ля сходимости ряда (9.1) необходимо и достаточно, чтобы для любого числа е > О существовало натуральное число ЛГ(е) такое, что для всех номеров п ^ М { е) и для любого натурального т {т = 1 ,2 ,3 ,., .) выполнялось неравенство |*^п+т ^п| ■|а„+1+Яп+2+...+ап+т\<?■ 1=П+1 Отсюда, в частности , следует, что если ряд (9.1) сходится, то Нгп — Игп (5>1 5 ^—1) ——О п-»оо п-юо [необходимый (но не достаточный) признак сходимости ряда]. Таким образом, если общий член о „ ряда (9.1) не стремится к нулю при п ^ оо, то этот ряд заведомо расходится. Пример 2. 1) Ряд 1— 14-1 — 1+ ... заведомо расходится, так как его общий член о„ — ( —I) вообще не имеет пр>едела. 2) Для ряда 1Н 1--------- Ь---,называемого гармоническим, необходимое 23 п условие сходимости И т 1/п = О вып олн яет ся, однако, этот ряд расходится- Дейс твитель но, предполагая, что этот ряд сходится и имеет сумму 5 , можно записать Пт{32п-■5'п)-1»п1§2»- Мт5„ =5 -5 =О, п-юо п-юо п-»оо что противоречит неравенству ' ' 111 ^2п ~ — Г Г-+•••+ >П • - = — . п+I п+2 2п 2п2
Остатком ряда (9.1) называется ряд ОО <1п+1+0„+2+... = ^ а^, 1=П+1 получаемый из данного отбрасыванием его первых п членов. Если ряд (9.1) сходится, то можно записать 3= +д„. где 5п — частичная сумма ряда (9.1), В „ — сумма остатка этого ряда. При этом последовательность Н „ (п = 1, 2, . . . ) является бесконечно малой, т е . 1ш1Д„ = 0. я-юо 9.1.2. Свойства сходящихся рядов 1) Если некоторый ряд сходится (расходится), то любой его остаток сходится (расходится). Из сходимости (расходимости) любого остатка ряда следует сходимость (расходимость) данного ряда. 2) Отбрасывание конечного числа членов ряда (или добаапение к ряду конечного числа членов) не влияет на сходимость или расходимость этого ряда. 3)Еслиа^=са,,гдес^О—некотороечисло(вчастности,с = - 1),то 00 п ряд а* сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд а\. При 1=1 1=1 этом 8' = с8, где5 и 5' — суммыданныхрядов. 00 00 4) Если ряды а) иб) а! сходятся и имеют суммы 8 и то ряд »=1 1=1 00 в) ^ ^( а . ± «!{), полученный почленным сложением (вычитанием) этих 1=1 рядов сходится и имеет сумму 5 ± 5*. И з сходимости ряда в) в обшем случае не следует сходимость рядов а) и б ). 00 5) Если ряд а^ сходится к сумме 3, то его члены можно произвольно (=1 группировать в порядке их следования (не переставляя местами), напри­ мер, (0| + 02) + (аз + Й4+ 05) + ... . В результате получится сходящийся ряд с такой же суммой 5. *1римечание 1. Перестановка членов сходящегося ряда, члены которого имеют не- “ Динаковые знаки, может привести к и змене нию его су ммы и даже к расходимости. Если ряд. все чле н ы которого имеют одинаковые знаки, сходится, то произвольная Перестановка его чле нов не вли яе т на сходимость ряда и не и зменяе т его сумму.
Примечание 2. Раскрытие скобок в сходящемся ряде может привести к расходимосгн ряда. Например, ряд (1 - |) + (|-|) + ... = 0+ 0 + ... сходится, однако, при раскрытии скобок получается расходящийся ряд 1- I + I - I + ... (см. пример 1,2). 9.2 . Признаки сходимости знакопостоянных рядов Ряд, все члены которого неотрицательны, т. е. а „ > О (или неположительны, I т. е. а „ $ 0), называется знакопостоянным. Далее (в силу свойства 3 в 9.1.2) оф аничимся неотрицательными рядами (у которых все а„ > 0). Последо­ вательность частичных сумм такого ряда является неубывающей. Для того чтобы неотрицательный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы по­ следовательность его частичных сумм была ограниченной сверху. 9.2 .1 . Признаки сравнения неотрицательных рядов 00 00 1.Пустьа)^ а„иб)^ — Два неотрицательных ряда. Если для П=1 П=1 всех номеров п, начиная с некоторого номера N ( п ^ выполняются неравенства о„ < Ь„, то из сходимости ряда б) следует сходимость ряда а); а из расходимости а) следует расходимость б). Примечание. Справедливость признака 1 не нарушится, если неравенство о„ ^ &п за менит ь неравенством а „ < с Ь „ , где с — любое положительное число. Пример 3. 1)Приа$1рядI-И - I- 4- ... расходится, т ак ка к — ^- (п°^п)при 2“ 3“ п“ п а ^ 1 (см. пример 2.2). При а > I данный ряд сходится (см. пример 6, I). 2” 2" 2” /2\” 2) Ряд ^ з»Т|Г2 та*^ 3” ~ (3)’^ из чле нов геоме трической пр офе сс ии с д = 2/3 < I , сходится (см. пример 1.3)- 00 00 2. Пустьа) ^ а„ (а„ ^ 0), б) ^ Ь„ (Ь„ ^ 0) — два неотрицательных п=1 п=1 ряда. Тогда, если Нт =А>О, П-+00 0„ то ряды а) и б) сходятся и расходятся одновременно. В частности, если Ьп ^ 1/п“ , то при а > I ряд а) сходится; при а ^ I — расходится (см. пример 3, О-
^о ^ Пример 4 . Ряд ; сходится, так как при а = - имеем ^ п\/п+1 Ит := Ит = 1>0. п-юоПх/тт* я-*0С1\^п +1 9.2.2. Признаки Даламбера и Коши 00 1. Признак Даламбера I. Ряд а „ с положительными членами о „ > О П=1 (п = 1,2,...) сходится, если <р<1(п =1,2,...), ирасходится при ^ >1(п=1,2,...). Оп ПризнакДаламбера П. Ряд ^ о„ (о„ > Опри п = 1,2,...) сходится, если Ит = д<I, и расходится при д > I. Если д = 1, то признак 11 «не действует», ряд может быть либо сходя­ щимся ^например, ^ , л ибо расходящимся ^например, ^ . Пример 5. 1) Ряд У ' — сходится, так как П а»-!.! д= Ит =Ит П-ЮО а„ п-»оо I 1 (п+1)!'п! =Ит п-*осп+1 = 0<1. 2) Ряд — сходится, так как п« Оп+| д=Ит----= Ит П-»Х йп я-юс {п+1)! п! («+!)"+ ' ■П =ИтГ"Л = Ит(^1+-^ \п+1/ п-*оо\ п/
2. Признак Коши I. Пусть дан ряд а„ (все а„ ^ 0). Если ^ р<I П=1 (п = 1,2,...), то ряд сходится. Если же (п = 1,2,...) торяд расходится. 00 Признак Коши И. Если И т = д,торяд а„ (все а„ ^ 0) сходится П^ОО П=1 при д < 1 и расходится при д > I. При д = I признак II «не работает» (см. два примера к признаку Даламбера). Признак Коши III. Если Пт„_,оо ^ (понятие верхнего предела 00 см. в 4.2.7), то ряд а„(вкоторомвсеа„>0)приI<Iсходится,апри П=\ I > 1 расходится. При I = 1 признак П1 «не действует». Пример 6. 1) Ряд — сходится, так как Пт \/^ = Ит ------ = - <1(Ит^ - I). 2” п-*оо п~*оо 2 2 п-*х г»=1 2) Для ряда (д>0)имеемИт = Нто''*'п =п.ЕслиО^о<К П-400 П-^00 П=! то ряд сходится, п р и д ^ \ — расходится. 3. Интегральный признак Коши. Пусть функция /(х ) непрерывна, неот­ рицательна и не возрастает всюду при х ^ \. Тогда ряд 00 00 Х;а„ - /(п)=/(!)+/(2)+.,. +/(„)+... п=! п=1 сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом - 1-00 ^ }(х) Лх. (9.2) 1 В этом интефале в качестве нижнего предела может быть взято любое фикси­ рованное число ш ^ 1. Если ряд сходится, то его остаток Л „ ^ +а„+2+--• удовлетворяет неравенствам +00 +00 ^ /(х)Лх<К„< ^ /(х)ах.
Геометрический смысл интегрального признака Коши. Ес ли и нтеф ал (9.2) расходится, т. е. площадь бесконечной криволинейной трапеции, офаничен- ной линиями X = 1, у = О, у = }(х) при 1 ^1 , бесконечна, то бесконечная ступенчатая фигура, образованная из прямоугольников с высотами /(п) (п = 1, 2 , . . . ) и единичной ширины, имеет площадь, которая бесконечна, так как интефал (9.2) расходится. В случае сходимости интефала (9.2) площадь криволинейной трапеции конечна, следовательно, конечной будет и площадь /(2) + /(3) + ... вписанной ступенчатой фигуры, что означает сходимость ряда02+ОзI ..., следовательноиряда0|+а2+аз+... . Пример 7. 1) Исследовать сходимость ряда где а — любое фиксированное число. 1-0 Решение. Интефал / — равен: а) ---- У1“ 1—0: —1 ь — I приа^1,б)1пх|, = 1п6 при а = I . При а > 1 несобственный интеграл сходится, т.е. существует конеч­ ный предел +00 гйх Гах I /_ = Ит/—= г. У ь^+00Ух" а-I При а ^ 1соответствующие пределы бесконечны, т. е. интефал расходится. Сле­ довательно, при а > I ряд сходится, при а ^ 1 расходится. > 2) Исследовать сходимость ряда п (а>0). П=1 +00 Решение. Интефал / —;— равен: а) Гйх У^ +00 при 1по 7^ 1, б) 1пх|, при - 1по+I I 1па = 1.Интефал ирядсходятся при1па >I,т.е. при а >е, ирасходится при о^е. > 00 I 3) Исследовать сходимость ряда г— , где а — произвольное число. ^ п1п"п Решение. Интефал ^ ^^_ равена) +00 при 1;б) 1п 1пх|2 х^ ' (1-а)1п“''х I приа = 1.Интефалирядсходятсяпри а >1ирасходятсяприа ^ 1.
9.3 . Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды Ряд, члены которого имеют разные знаки, называют знакопеременным. Знако­ переменный ряд называется знакочередующимся, если его члены поочередно положительны и отрицательны: 00 ь,-ь2 +ь,-... +(~1Г'ь „ + ( -1)"б„+, +... = п=] где все 6„ ^ 0. Если первый член ряда отрицательный, то умножением на (-1) ряд приводят к виду (9.3). 9.3 .1 . Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов Знакочередующийся ряд (9.3) сходится, если: 1)6„^ Ь„+1 (гг=1,2,...), 2) Ит =0. п-*ос Частичную сумму сходящегося ряда (9.3) четного порядка 5гп можно записать двумя способами: 52п=(Ь|-Ьг)+(Ьз-64)+...+(б2п-| - 1>2п), Зщ=(>|-(^2-63)-(64-65)- ••• - (1>2п - 2 - *2п-|) - (>2„. Отсюда следует: 5'<й|.5 -5„ = й„ = (-1)"Ь„+,+(-1)"+'б„+2+--- (п= 1,2,...), где 5 — сумма ряда (9.3), Я „ — сумма остатка этого ряда, имеющая оценку Д„ = (-1)"0„6„+1 (О < ^ 1).Т е . Я „ имеет знак первого отбрасываемого члена (-1)"6„+| и не превыщает его по абсолютной величине. При п — четном Д „ = Ь„^1 - 6„+2+... (О<Д„ <Ь„+|).Прип—нечетномЯ„ = -Ьп+\ +Ь„+2 - ... или - Д„ =*„+]-Ь„+2+■■■(О<-Е „<6„+|). Пример 8. Знакочередующийся ряд - - - + -- ,..+(-1)"“'— +,.. = (-1 )"'' — 246 2п П=1 сходится, та к к ак 1) 2)Ит— = 0 . Найдем количество чле нов п 246 п^сь 2п данного ряда, необходимое для того, чтобы его п-я час ти чная сумма имела точность до 0,1. Имеем |Яп| ^ Ь„+\ = —--- - =0.1.Отсюданаходим:2(п+1)=10,п =4. 2(п+ 1) Следовательно. 5 4 = - ----•"7“ о ~ ^ точнос тью до 0.1, т. е. 5 0,3. 2468
9.3.2 . Абсолютно и условно сходящиеся ряды 00 00 Ряд 1) ^ 2 ®" называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд 2) ^ |а„|, В=1 п=1 составленный из абсолютных величин |о„| членов исходного ряда. И з сходи­ мости ряда 2) следует сходимость ряда I), т.е ., если какой-либо ряд сходится абсолютно, то он сходится в обычном смысле. Если ряд 2) не сходится, то ряд I) может либо сходиты:я, либо расходиться в обычном смысле. 00 Ряд называется условно (не абсолютно) сходящимся, если этот ряд П=1 сходится в обычном смысле, а ряд 2) из абсолютных величин его членов рас­ ходится. Сходящиеся ряды с неотрицательными членами, очевидно, сходятся абсолютно. Ряды, которые сходятся при любой перестановке их членов и притом к одной и той же сумме, называют иногда безусловно сходящимися. Для того чтобы ряд был абсолютно сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы он был безусловно сходящимся. Пример 9. 1) Ряд ------ = I -----1 -------- И . . . при а > 1сходится абсолютно, так как ' ^ п» 2“3“4» ряд, составленный из абсолютных величин его членов, сходится (см. пример 7,1). При О < а < I данный ряд сходится условно по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. При а = 1, согласно формуле Маклорена, для функции 1п(I-I-х)=I - -^+у - . . . -I-(-1)” '— +В„{х), где |й„(а:)| < — ^ — (О$ж^1),прих=Iнаходим п+I |п2=|-1 - н1-...-К-|)"-'-!-+Д„(1). 23 п Следовательно, |5„ —1п 21 < ---- , где — час тична я сумма ряда 1 . . п-Ь1 23 Таким образом. 5 = И т = 1п2. п-юс (-1)" 2)Ряд^ — — , где а — любое чис ло, не явля юще ес я целым отр ицательным, ^ 1 сходится ус ловно по при знаку Лейбн ица , та к ка к ряд > ------ : расходится ^ !о+л| по интефальному признаку Коши.
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. 1. Абсолютно сходяшийся ряд после любой перестановки его членов остает­ ся абсолютно сходящимся и имеющим прежнюю сумму (теорема Коши). 2. Если ряд сходится условно, то можно так переставить его члены, что по­ лучится другой ряд, сходящийся к любому наперед заданному числу 5' (-00 < 8' < Ч-оо), либо расходящийся (теорема Римана). 3. Во всяком сходящемся ряде можно без изменения порядка членов объ­ единять их в любые группы, так что ряд, сосгавленный из этих фупп, сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд. Раскрытие скобок в ряде допускается только в том случае, если в результате этого получа­ ется сходяшийся ряд. Пример 10. Ряд 1----- ^ --- -- --- --- - - - Ь.. . сходится, так как его можно записать 1-2 2-3 п(п-1-1) в виде ряда /1\П 1\ /I 1\ - ^^ I + ..., при раскрытии скобок в котором получа ется сходящийся ряд !--- 1 -.. ■, 22 3 п п-ЬI I 2 поскольку последовательность его частичных сумм 5] = 1, 5; = - , 5з = 1, 54 = - . ^5=1,5б=-, ... стремится к I . Сумм а исходного ряда та кже равна I . Арифметические действия над сходящимися рядами. 00 00 1. Если ряды «пи сходятся к суммам 5„ и 8ь соответственно, п=1 п=1 00 то ряд Х^(а„ ±Ь„)СХОДИТСЯксумме ± 5(,. п=1 00 00 2. Если ряды а) а„иб) Ь„ сходятся абсолютно к суммам иЗь п=1 п=1 соответственно, то ряд, членами которого я вляю тся все произведения вида (I=1,2,...;] =1,2,...),расположенныевлюбомпорядке, также сходится абсолютно и имеет сумму За-Зь- Если только один из двух рядов а) и б) сходится абсолютно (другой при этом может сходиться только условно), то их произведение, записанное в специальном виде (Х! ^^ +■••+ + •••= ^п=1 ^ ^п=1 ^ п=1 = а\Ь\ +{а\Ь2+^261) + ... -н(а1Ь„ + о.2Ь„-1 + ... + + ■■•^ является сходящимся (в обшем случае не абсолютно) рядом, а его сумма равна 8а' Зь-
Если оба ряда а) и б) сходятся условно, то ряд, составленный по правилу (9.4), может оказаться расходящимся. Вслучае сходимости он имеет сумму За-Зь- х° Пример11.Ряд3(х)=1+*+—+ ...Н--Г”’""' абсолютно при любом п-юо П I значении X ПО признаку Даламбера, так как И т . ч.• . п-юо [(п + I)! п! Для любых двух чисел х и у имеем по формуле (9.4); 3{х)8{у) = +^+ + ^ = 1+(I+у)+^(1+у)'+ ^(1+»)Ч...= 5(1+у). Признаки сходимости произвольных знакопеременных рядов. 00 1, Признак Абеля. Ряд а „ 6„ сходится, если выполнены два условия: П=1 00 а) ряд ^ а „ сходится, б) последовательность {Ь „} ( п - 1,2,...) монотонна п=1 Иограничена. 00 2. Признак Дирихле. Ряд ^ а „Ь „ сходится, если; а) последовательность П=1 П частичных сумм А „ = ^ о; ограничена, т. е. |Л„| < М для всех п , 6) по- 1=1 следовательность { 6„ } является невозрастаюшей и бесконечно малой, т. е. НтЬ„ =0. П->СХ) Примечание. Признак Лейбница является частным случаем признака Дирихле при а„ = (-1)""' и ^ Ьт1+ь К ->0.Приэтом|Л„|<I. 11111111 Пример 12. Исследуем сходимость ряда 1+ - + -- 7-7 - 7+-+о+л“ '-*• 234567оУ Пусть0|=I,02=I,аз=!,04=-1,аз=-1,Об=-1,а;=I,ая“!,ад=1,...; ^ 00 00 Ь, = —. Тогда исходный ряд запише тся в виде Ряд Оп имеет огран и­ ченную последовательность частичных сумм; А] = й] = I , А2 = в! й2 = 2, =3, А^=2,А, = \,А^=0.Ат=\,А^—2,Ад=3, где все <М=3.После­ довательность { Ь „ } не возрастает и стремитс я к нулю. Следовател ьно, исходный ряд сходится (не аб солютно).
Суммы некоторых рядов 11 ■+ ■+ ... = 1,21 '+^+^+^■+. _ 90 111 >+++ "■ 8 '-2+з"4+ = 1п2= , 111 2^3242 _ +. "“ 12 1.233701. 9.4 . Бесконечные произведения 1ная числовая последоЕ 00 6, •б2 •••6. •••= П 1. Пусть дана бесконечная числовая последовагельность 61,63 ..... 6, ......... Формальное выражение 00 (9.5) называется бесконечным произведением. Числа 6^ называются его членами (или элементами). Произведение первых п членов бесконечного произведения (9.5) называется его п-м частичн ым произведением П р„ = 6,6з--6„ = П<>.- 1=1 Части чные произведения образуют бесконечн ую последовательность {Яп }- Р|=6ь Р2=6|б2, Р„ = 6162 .... Если существует конечный и отличный от нуля предел Цт]~Г6^= ИтР„ =Р, (9.6) то бесконечное произведение (9.5) называют сходящимся, а число Р называют значением бесконечного произведения и пиш ут
Ес ли предел (9.6) не существует, то произведение (9.5) назы вают не- опр«аеленно расходящимся. Есл и Ь^ Ф- О для всех номеров { и предел (9.6) равен О, или +оо, или - о о , то бесконечное произведение (9.5) называется расходящимся соответственно к О, или к +оо, или к -о о. Если имеются (|( = О, то говорят, что произведение (9.5) сходится к нулю. Далее везде будем предполагать, что все Ь{ Ф 0 . Каждой числовой последовательности {Р ,} , все элементы которой отлич- р ны от нуля, соответствует бесконечное произведение с элементами Ь^ = — — при:>1иЬ|=Р),длякоторогочислаР^(1=1,2,...) являютсячастичны­ ми произведениями. Необходимое условие сходимости бесконечного произведения (9.5); р. ИтЬ{=Ит— = 1, 1-ЮО 1-ЮО таккакИтР^ = ИтР,-, = Р фО. г-юо г-*оо Следовательно, если бесконечное произведение (9.5) сходится, то его члены, по крайней мере, начиная с некоторого номера т , положительны . Поскольку добавление или удаление конечного числа членов, не равных нулю, не влияет на сходимость бесконечного произведения, то не офаничивая общности, можно считать, что все 6, (г = I, 2 , . . . ) положительны. Пример 13. 1) Исследуем сходимость беско не чного пр оизведения п[■-^ — 1=п =пГ— Г— о] Нк+1) *Д*+|/ Имеем; _/123П-1Ч/456п+2\Iп “ \2'з'4" п Дз'4'5 'п+I/“п' Бесконечное произведение сходится к зна че н ию Р=КтР„= Пт-----= -. п-*од п-»оо ЗП 3 «ЬX +2 <Х> ук 2) Бесконечное произведение 1~1 сН ( — 1 при люб ом *=| ^ ' 5е части равенства =е ь(|)сн(^)...сь(^) X сходится к значению - *=1 Дейс твитель но, умн ожая обе части равенства
на зЬ (ж/2" ) и применяя п раз формулу 2 «И(■сН <= 8Ь 24, получим 2” X 2" Отсюда следует зНX „ 5Нх "х /х\ 1|гп Р„ = ------ ПтI—:5НI—1 п-»оо X п-»оо[2" \2 / так как предел выражения в квадратных скобках равен 1. 2. Для того чтобы бесконечное произведение (9.5) с положительными членами сходилось, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд 00 1=1 Если этот ряд сходится к сумме 5, то бесконечное произведение (9.5) сходится к значению Р = . Если 6, = 1+а, (г=1,2,...) ивсеа, имеютодинитотжезнак(воз­ можно, начиная с некоторого номера), то для сходимости бесконечного про- п изведения (9.5) необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд . Условие 1=1 00 Ит = О является необходимым для сходимости ряда а, и для сходимо- 1-юо 1=1 сти произведения 00 П(1+ а.) =(1+а[)(1+а2)--(1+а,)-'-. (9.7) 1=1 В общем случае, если щ принимают как положительные, так и отрицательные 00 значения и ряд ^ а^ сходится, то бесконечное произведение (9.7) сходится 1=1 00 или расходится одновременно с рядом а]. Пример 14. 1) Бесконечное произведение 234п41 I'2'3 ^ X—' ^ в силу расходимости ряда > расходится, причем к +оо, так как П т Рп ^ “ п «-*оо п=1
2) Произведение 1 в си лу расходимости ряда )» расходится, причем к О, та к ка к П=1 ^ ' НшРп—Ит----- = ОиЬ„/Одлялюбогоп. п-юо п-юоп+1 00, 1Ч 00I 3) Бесконечное произведение П И + ~ ) сходится при а > I , так как ряд ^ — я=1 ^ ^' П=1 ” при ЭТОМ сходится. 3. Бесконечное произведение (9.5) или (9.7) называется абсолютно (соот- I ветственно. условно, не абсолютно) сходящимся в том и только в том случае, когда абсолютно (соответственно, условно), сходится ряд 00 00 ^ 1пЬ,=^ 1п(1+а,). 1=1 1=1 I ^ Бесконечное произведение ]^(1 + 01) сходится абсолютно тогда и только 1=1 00 Noгда, когда абсолютно сходится О;. (=1 Из абсолютной сходимости бесконечного произведения следует его схо­ димость в обычном смысле. В абсолютно (но не в условно) сходящемся бесконечном произведении I Чроизвольная перестановка сомножителей местами не влияет на сходимость и На значение произведения. Пример 15. Исследуем на абсо лю тную и усло вную сходимость б еск оне чное пр оизве­ дение п I+■ *‘"л ^ о„ с членами о„ = --- — , а также данное бесконечное произведение схо- П=| 00 ^ т с я абсолютно при а > 1 (см. пример 7, 1). Знакочередующийся ряд при п=1 00 00 ^ ^ < а ^ I сходится условно. Ряд с членами (см. п. 2) сходится
при 2 а > 1, т .е . а > !/2. След овательно, данное бес коне чное произведение сходится условнопри1/2<а ^ 1. 4. Некоторые формулы. При -оо < х < +оо справедливы разложения Из первого разложения при х = ж/2 следует формула Валлиса ^ Л (2пУ 2 И(2п-1)(2п+1)- 9.5 . Функциональные последовательности и ряды 9.5 .1 . Функциональные последовательности Если каждому числу п из последовательности натуральных чисел (1, 2, 3, .. . ) по определенному правилу ставится в соответствие некоторая функция /„(г) одного аргумента, определенная в интервале а' < х < Ь ', то множество занумерованных функций одного и того же аргумента {/ „( г)} или /1(1), /г(х),..., /„(х),..., определенных в (а ; Ь'), называют функциональной по­ следовательностью. Функции /п(х) называют членами (элементами) данной последовательности, а интервал (а '; Ь ') , на котором определены эти функции, н азывают областью определения последовательности. Принаечание. В общем случае рассматривают функц ии / „( х ) , опред еленные на неко­ тором множестве { *} точек I = { г , , ••• .*„} векторного пространства Е " . Придавая переменной х какое-либо числовое значение Хо из области определения (о ; 6') функциональной последовательности {/п(х)}, п о л у ч и м числовуюпоследовательность{/«(хо)}.Еслиэтачисловаяпоследовательность сходится (расходится),тоговорят,чтоданнаяфункциональнаяпоследователь­ ность сходится (расходится) в точке Хо. Множество всех точек Хо, в которы* данная функциональная последовательность сходится, называется ее областью сходимости, которая может либо совпадать с областью определения, либо яв­ ляться ее частью, либо быть пустым множеством. Далее предполагается, что область сходимости является некоторым интервалом (а ;Ь). Функция /(^)' определяемая равенством /(х) = Ит /„(х) для к а ж д о г о х из области сходи- П-ЮО мости (а ; 6) , называется предельной функцией последовательности Пусть последовательность {/„( х )} сходится в интервале (а: Ь) к предель­ ной функции /(х). Говорят, что эта последовательность сходится равномер*^ к функции /(х) в (а; Ь), если для любого г >Оможно указать число N = N(1)'
не зависящее от х и такое, что при п '^ М(е) для всех х из (о; Ь) выполняется неравенство |/{1)-/ „(х)1<е. (9.8) При этом иногда используется обозначение / „( г) =3 /(х). Если при заданном I неравенство (9.8) не может быть удовлетворено одновременно для всех х из (о; Ь) ни при каком значении N. то говорят, что последовательность сходится неравномерно к /(х) в (а:Ь). Критерий Коши. Для равномерной сходимости функциональной после­ довательности {/п (х)} в интервале (а; Ь) к некоторой предельной функции необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О существовало не зависящее от X число N = Л^(е) такое, что при N и при любом натуральном т ^ 1 выполнялось неравенство |/т+п(г)-/п(г)| <г одновременно для всех х из (о; 6). Пример 16. Исследовать последовательности на равномерную сходимость: 1) Последовательность / „( х) = при -оо < х < +оо сходится к предельной п функции /(х ) = О, причем равномерно, так как, например, для е = 0,01 имеем неравенства |81ппа:| 1 ^ ^ $-<е, п п которые выполняются при п > N = 1/е = 100 для всех значений I одновременно. 2) Последовательность функций /„(х) = $ т(х/ п) при -ос < х < +оо сходится к функции /{х ) = о неравномерно. Действительно, при любом фиксированном X имеем /п(х) О при п - > оо. Однако для е < 1 неравенство |51п(х/п)| < е не может быть выполнено одновременно для всех х ни при каком значении ЛГ, так как найдутся такие х, при которых синус принимает значения ± 1. 9-5.2. Функциональные ряды Формальное выражение 00 Х;Ш= /1(*) +/2(х)+ ...+ /„(X)+ ..., (9.9) п=1 ^Оставленное из членов функциональной последовательности {/п (х)}, назы ­ вается функциональным рядом. Сумма первых п членов ряда (9.9) называется ’^-й частичной суммой этого ряда 3„(х)= ^ Мх) (п= 1,2,...).
Интервал (а ;Ь), в котором последовательность {5 „( х )} сходится, назы­ вается областью сходимости ряда (9.9). Предельная функция П 5(1)=Ит5„(х)=ИтV ^(х)=/1(1)+{2(1)+...+/„(х)+..., П—*00 П—ЮО‘* 1=1 определенная в (а ; Ь), если она существует, называется суммой ряда (9.9), ко­ торый при этом называется сходящимся. Функция 00 Д„(х) =5(х)-5 „(х)=/„+|(1)-Ь/„+2(1)+...= ^ /„(х). определенная для сходящегося ряда (9.9), имеющего сумму 3 {х ) , называется остатком ряда. Функциональный ряд (9.9) называется равномерно сходящимся в интервале (а: Ь) к своей сумме 8{х), если последовательность его частичных сумм { ^ „ (х)} сходится к предельной функции 8{х) равномерно в (а; Ь). Критерий Коши. Д ля равномерной сходимости ряда (9.9) в интервале (а; Ь) необходимо и достаточно, чтобы для любого е > Осуществовало число N = N {1) такое, что при п > N и любом натуральном т выполнялось неравенство |5„+„(х) -5„(х)|<е одновременно для всех х из (а; Ь). Признаки равномерной сходимости 00 1. Признак Вейерщтрасса. Ряд ^ / „(х) сходится абсолютно и рав- П=1 номерно в интервале (а; 6), если существует сходящийся числовой ряд О] + 02 + ■■. + а„ + ■■■такой, что для всех х из (а; 6) выполняются не­ равенства |/п(х)| ^ а „ (п = 1 ,2 , . .. ) . При этом говорят, что функциональный ряд мажорируется числовым рядом. 00 2. Признак Абеля. Ряд ^ а „( х)Ь„(х) сходится равномерно в интервале П=1 00 (а; Ь), если: а) ряд ^ а „( х) сходится равномерно в (а; Ь); б) последователь- П=1 ность {Ьп(х)} является монотонной и офаниченной для каждого х из (о;М- 00 3. признак Дирихле. Ряд ^ а „ ( х ) 6п(а;) сходится равномерно в (а:Ь), п=\ п если: а) частичные суммы ^ ^а Д х) для всех п Офаничены в (а; 6) одним
и тем же числом; б) последовательность {&„(ж)} монотонна лля каждого х и равномерно в (о; Ь) сходится к нулю. 4. Признак Дини. Если все члены функционального ряда непрерывны и иеотрицательны на отрезке | а ;6| и сумма ряда также непрерывна на | а ;6|, то данный ряд сходится к своей сумме равномерно на [а; Ь\. Пример 17. ос I 1) Ряд ; г сходится равномерно в прюмежутке —оо < х < + о с , та к как мажо- ^ \-п^ п=\ 1 рируется сходящимся чи сл овым рядом с пол ожи те ль ными элементами а „ = — п* / II Л ^ ДЛЯвсехX I. \х^+п^ ) 2) Ряд ^ — сходитсяравномерно наотрезкеО< I < 2я-, так как частичные П+51ПX п=2 су ммы ^ ( “ 0" ЛЛЯ всех п ограниче ны (не пре вышают 1), а последовательность п=2 с элеме нтами Ь„ = -------- для каждого х мо ното нна и, в си лу неравенства П-Ь51ПI ------- ^ {п= 2,3,...), равномерно сходится к нул ю на указанном п4-$1ПX п-1 отрезке. 51ППХ 3)Ряд> приа >1 сходится равномерно в пр омежутке -оо < х < +ос , П=1 ^ 1 так как мажорируется сходящимся при а > 1 числовым рядом 2_^ ~ - Свойства функциональных рядов 1. Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных на отрезке [а; 6| Функций является непрерывной на |а; 6| функцией. Если Хо — точка на |а; Ь), То {\т 8{х) = Ит Х-*Хо Х-*Хо =Е Мт/„(х) Х^Хо ‘-п=1 п=1 т. е. к пределу можно переходить почленно. 2. Если члены /,,(х) сходяшегося к своей сумме 3(х) в интервале (а; Ь) 00 Ряда }п(х) имеют непрерывные производные {'„(х) и ряд из производных
/!,(х) сходится равномерно в (а ;Ь), то исходный ряд сходится в (а;Ь) п=1 равномерно к сумме 3 (х ), которая имеет в (а; Ь) непрерывную производную, и б13(х) а йх Лх - * п=1 т. е. ряд можно дифференцировать почленно. 00 3. Если ряд ^ / „(х) с непрерывными на отрезке |а; 6) членами /„(х) П=1 сходится к своей сумме 8(х) равномерно на [о;Ь], то ряд из интегралов отфункций/п(х)отадоX<Ь XX X ^X ^/|(х)Й1+ ^/2(1)<4х+ ... +У/„(х)йх + ... = ^ !}„(х)йх а а а а X сходится равномерно на [а; 6) к сумме ! 3(х)йх, т е . ряд можно инте- а грировать почленно. Если верхний предел интефирования а; = 6 , то ряд из интефалов становится числовым рядом. 00 оо пример18. Ряд ^ ж" = х ^ х"”‘ на отрезкеО<ж^ ^< 1сходитсяравномерно п=1 п=1 К сумме 8{х) = так как мажорируется сходящимся при О ^ ^ < I числовым 00 00 рядом ^ 5" (см. пример 1,3). Ряд из производных ^ пх"~' = 1+ 2х + +...+ п=1 я=| пх" ~' + . . . также сходится равномерно на |0; 5|, так как мажорируется сходящимся по признаку Даламбсра числовым рядом 1 + 2? + +...+пд""'+ ..., поскольку 11т[{п+\)д":пд"”'] =?<1. п-кх Следовательно, исходный функциональный ряд можно. 1) почленно дифференцировать: 2) почленно интефировать от Одо х ^
9.6. Степенные ряды 9.6.1. Общие понятия Степенным рядом называется функциональный ряд вида 00 Оо+О1(х-1о)+а2(х-Хо)^+ ...+о„(а;-1о)"+ ... = ^ о „(я:-Хо)", (9.10) п=0 гдеОо,«1,02,... — действительные числа, называемые коэффициентами ряда (9.10); Хо — число , называемое центром этого ряда. Если хо = О, то ряд (9.10) принимает вид 00 00 ао+а,х+02Х^+ ...+а„х"+ ... = ^ а„х" = оо+^ а^x^. (9.11) п=0 »=1 Заменой переменной у = х - Хо ряд (9.10) преобразуется в ряд вида (9.11) с центром Хо = 0. Всякий степенной ряд (9.11) всегда сходится в точке х = 0. Относительно сходимости ряда (9.11) в какой-либо точке х / О могут быть три следующих случая: 1) Степенной ряд расходится во всех точках, кроме х = 0. Например, ряд X+2^1^+3^1^+ ...+п"х"+ ... расходится при любом х О, так как общий член ряда не стремится кнулюприп 00. 2) Степенной ряд сходится во всех точках -оо < х < +оо. Например, ряд х^ х^ х" 1+Х+-+ - +. сходится при любом X по признаку Даламбера, так как х"+‘ 11т П->00 (п + 1)! ■п! |х| = Ит -----= О<1. п-»ооп+1 3) Степенной ряд сходится в одних точках х / О и расходится в других. Например, ряд X х^ х^ х" '+ ^ +5^+ •••+ ^ + •••’ гдеа >I, сходитсяпри|х|<1ирасходится при|х|>1,таккакпо признаку Даламбера имеем: х"+ ' Ит п-юо (п + 1)“ ■п“ (см. также пример 7,1). = Ит|х|(^)“=| п-мо \1+П/
Интервал сходимости. Областью сходимости степенного ряда (9.11) явля­ ется некоторый интервал (-Д ; Я ) (или \х\ < Л), симметричный относительно точки X — 0. Число В > О называется радиусом сходимости ряда. В интервале сходимости (-Д ; Д) ряд сходится абсолютно. Вне интервала, т. е. при |х| > Д, ряд расходится. Если ряд сходится при всех х, то пишут Д = со. В случае сходимостирядатольковточкеж=ОимеемД=0.ВточкахI = -Ли I = Л (т. е. в концах интервала сходимости) ряд может либо сходиться, либо расходиться. Радиус сходимости Л ряда (9.11) находится по формуле Кош и—Лзамара ^ Ум= К П-+00 в которой стоит (конечный или бесконечный) верхний предел И т , всегда существующий по определению (см. 4.2.7). При этом Д = оо, если X = О, и Д =О, если Ь = со. Если существует обычный предел Ит у|а^ , то он п-*оо равен верхнему пределу Ь . Радиус сходимости ряда (9.11) можно найти также при помощи признака Даламбера по формуле Д = 1/д, где д = И т |о„+1 : а„| , если этот предел П-ЮО (конечный или бесконечный) существует. Здесь Л = оо при д = О и Л = О при д = оо. Если существует конечный или бесконечный предел д, то он равен верхн ему пределу Ь . Интервал сходимости степенного ряда (9.10) симметричен относительно точки жо и имеет вид Хо-Д<ж<Хо + Л (или |х - Хо| < Л). В концах Хо - Л и хо + Л этого интервал ряд либо сходится, либо расходится. Ряд может сходиться в одном их этих концов и расходиться в другом. Радиус сходимости Д находится так же, как и для ряда (9.11). Ес л и ряд (9.11) содержит бесконечное множество нулевых членов, как например 1- х^ + х"* - х* + ... , то отнощение |а„+| : о„| не имеет предела и радиус сходимости не может быть найден по признаку Даламбера, даже если исключить нулевые члены и заново перенумеровать оставшиеся. В таких случаях обычно применяют формулу Коши —Адамара. Пример 19. 1) Ряд х"имеетрадиуссходимостиЛ=I,таккако=Пт|1:II=I.Вобеих п-*оо п=0 фаничных точках х = - ] и г = +1 интервала сходимости (-1 ; I) ряд расходится- Ряд сходится в интервале (-1 ; I). =2, 2"/ 2"\ 2"+' 2" /п^ Дляряда> —X Iо„= — Iимеемо=Пт г:— =Пт2----I — V «V „^оо(п+|)2 „2 Vп+I/ Д=-= В фаничн ой точке х = - интервала сходимости имеем сходяшийсЯ д2 2
1 1 чис ловой ряд ^ — (см. пример 7,1). В точке * = - - получим сходящийся °° (“ О" абсолютно чис ловой ряд . Сте пе нн ой ряд сходится на отрезке 11 'г2 3)Дляряда^ ^ находим?=йт п-О Ряд сходится при люб ом X . <» 4) Для ряда ^ — х" {а>0)имеем I I (п+ 1)! ■г»! = Ит— -=О,т.е.Л=оо. п-*ооп+1 Ь—Ит\/— = ||гп — = Нт—7==а п-*оо V П п-юоVП п-юоуп (таккакИтУп=1),Л=^ =- . В граничной точке I = - интервала схо- п-чоо Ь<х а /11\ 1 димости ^имеем расходящийся чи словой ряд 2_^ Вточкех—-- получим сходящийся условно по признаку Лейбница ряд ^ ^ . Сте пен ной П=1 ” ряд сходится в промежутке 00/ 5) Последовательность коэффициентов ряда I - х ^ + х* - + ■■■имеет вид 1;0; —I: 0; 1 ; . .. . Взяв подпоследовательность 1; -1; 1 ; . . . , не содержащую нулевых ко­ эффициентов, получим ^ = Ит ^\а„\ = 1. Следовательно, Я = 1/Ь = I. Если обозначить = у.тополучимряд\~у+ -у’+ ..., уженесодержащий нулевых коэффициентов, для которого имеем д = Е = ]/д = \. 9.6 .2 . Свойства степенных рядов СЮ 1. Теорема Абеля. Если степенной ряд ^ а „1 " с интервалом сходимости п=0 (-Й; К), где Я — радиус сходимости, сходится в фаничной точке х = Д , то его сумма 8{х) непрерывна в точке х = Я слева, т. е. 8{Я) = Ит ^8{х). 00 2. Если степенной ряд ^ а „х " сходится абсолютно или условно в какой- п=0 Либо точке I = г / О, то он сходится абсолютно и равномерно на всяком отрезке [а; 6], лежащем строго внутри отрезка [-|г|; |г|], т. е. точки а и 6 Не совпадают с точками |г| и -|г|. Если степенной ряд расходится при I = г , То он расходится и при всех |1 | > |г|.
3. Для любого числа г, удовлетворяющего неравенствам О < г < Д Ж ’ где К — радиус сходимости, степенной ряд ^ а „х ” сходится равномерно п=0 на отрезке [- г;г|, т.е. при |х| ^ г. Сумма этого ряда является функцией, непрерывной на [- г ; г]. 4. Сумма 5(ж) степенного ряда в интервале его сходимости { - К . К ), те . |1| < Л , является непрерывной функцией. 00 00 5. Если два ряда Оп®" и Ь„х " сходятся в одном том же интервале п=о п=0 (-Я; Я) и в каждой точке этого интервала их суммы равны, то а„ = Ь„ (п = О, 1, 2 , . . . ) (теорема единственности). 6. Степенной ряд внутри его интервала сходимости можно дифференци­ ровать почленно любое число раз, например, для первой производной имеем а$(х) а йх йх ^ а „(1-Хо)" =^па„(х-1о)"'• '•«=0 п=1 Ряд из производных имеет тот же радиус сходимости К , что и исходный ряд. 00 Если исходный ряд ^ а „х " расходится (соответственно, сходится) в каком- п=0 либо конце интервала (-Д ; Д), то в этом же конце ряд из производных рас­ ходится (соответственно, может быль либо сходящимся, либо расходящимся). Пример 20. 1) Производнаяряда\+х+х^+х^+ ...+х°+ ... = — !— , с ходящегося в интерва-че 1-X (-1;I),равна\+2х+Ъх^+ .. , +пх"~' = (см. пример 21). Ан алог ично находятся последующие производные. Исходный ряд и все его производные сходятся в интервале (-1; I) и расходятся в его концах I = -1 , I = 4-1. 2) Дифференцируя ряд I* х’ 81ПЖ=1- — -I- — - — (^е = 00), получи м х1 X* х‘ (51Пх)'=С08I=1- — -I- — - Н... (Я= ОО). 2! 4! 6! х2 х'' 3)Дляряда1п(1-х)= -X - ---- — ------... (Д = 1) производная при 1x1 < 1 234 равна !—= -1 -х-х^-х^-... . I-X
В точке X = 1 исходный ряд и его производная расходятся. При ж = —1 исходный ряд сходится по пр изн аку Лейб ница , однако ряд из пр оизводных расходится. 7. В интервале сходимости |г - 1о| < Д степенной ряд (9.10) (а также (9.11)) можно интегрировать почленно; /г ^ 1 00 8(х)йх= I ^ о „(1-а;о)'‘ <1х=С . I- п=0 - I п=0"+' Полученный в результате интегрирования ряд сходится в том же интервале, что и исходный ряд. В частности, интефируя почленно от Одо х, где |1| < Л, 00 сходящийся в промежутке (-Д; Д) ряд ^ а „х " , получим ряд из интефалов X /5(х)<гх = ^ ^ 1"+ ', п=0 о сходящийся в интервале (-Д ; Л). Если исходный ряд сходится (расходится) в каком-либо конце интервала сходимости, то в этом же конце ряд из инте­ гралов сходится (соответственно, может быть либо сходящимся, либо расхо­ дящимся). Пример21.Найдемсуммурядах+2х^+Зх^+ ...+пх"+ ... . Решение. Радиус его сходимости Д = 1, так как о = Ит ” ^ ' = 1. Запишем ряд п-*оо п ввидех(1+2х+Зх^+ ...) =X ■3(х).Интефируяряд3(х)=]+2х+Зх^+ ..., получим (см. пример 1,3) У 5(х)ах=X+х^+ +... = х(1+х+х^+...) = X х' Отсюда 5(1)=(1-*) ( 1-х)^- Следовательно, сумма исходного ряда равна — — при |х| < I. 1> 8. Действия со степенными рядами. Пусть ряды 00 00 5„(х)= - Х;апх" и $ь{х) = ^2 Ьпх’' п=0 п=0 имеют радиусы сходимости и Кь соответственно. Пусть К — наименьшее из Ка и Ль, если же они равны, то Л — их общее значение. В любой точке х общего интервала сходимости ( - Л ; Л ) справедливы равенства:
1)За(х)±5ь(х)= ^ (а„ ±Ь„)1"; п=0 00 2) За(х)■8ь(х) = Сг,х". где с„ = а„Ь„+а,Ь„-, + ...+а„Ь„. п=0 Деление рядов проводится по правилу (если 6о = 5(,(0) 4^ 0): 8а{х) Од+а]Х+й2Х^+ ... 2 а д " Ь„+Ь,х+Ь2Х^+ ... + + +...=ад, где коэффициенты Со, С|, Сз,. . . находятся из соотношения ао+а,х+огх^+ ... = (6о+611+Ь2Х^+ ...)(со+с,х+ + ...) путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х в обеих частях равенства. Затем ищ ется радиус сходимости ряда Со + С|Х + +..., так как ом может быть меньше, чем К. Подстановка ряда в ряд. Если функция у = $(х) является суммой степен­ ногоряда^(х) =Оо+а|Х+а2Х^+ ... и /{у) =6(,+Ь,у+62»/^+■. •, то сложная функция Р {х ) = /(^(х)) также является суммой некоторого степенного ряда Р{х)=Со+С1Х+сгх^+ ..., коэффициенты которого находятся подстановкой ряда у = ао + а ,х + а2Х^+ --■ в ряд /{у)=Ьо+Ь,у+Ь2У^+ ... и приведением подобных членов. Затем ищ ется радиус сходимости получен­ ного ряда. Пример 22. Даны два ряда, сходящихся в интервале (-1; I) (см. пример 1,3): I) = |-хЧх^-хЧх*-..., ' \ +х^ I 2) ——г=1-ЬгЧX*-I- -Ы*-I-... . ' I-х^ В результате действий с этими рядами, получим; а) (Сумма рядов) -— ^ - |--- ' = 2+2х'' +2х’^+... = 1+х^ " 1-х^ ^ 1-х^- б) (Разность рядов) ~^ ^ = 2х^+2х‘ -|-2х*+... = в) Умножение рядов удобно проводить путем умн оже ни я чл енов первого ряда п о­ следовательно на чле ны второго ряда и сл ожени ем «столбиком» слагаемых с оди-
9.6 . Стеленные ряды наковыми степенями х; «у 1-х^+х^- х^+X*- ... X 1+х^+XV х^+XV ... 1-хЧх"-хЧX*- ... No + х^-хЧ... Ж 8 X- ... 1+0 +г"+0+г*+...= 1+а:''+1*+.... Следовательно, :=I -1-х"+х“+ ...= • I+ 1- х^ ••- '- - ••• I_Д .4 г) Деление рядов удобно проводить по правилу деления полиномов: 1+ + х"+ х*+ *“+ ... 1- хЧ хЧ X*-... 1- +х“- хЧ X*- ... 1+2х^+2х“+2х^+.•. 2x40+2x40+... - 2х^-2х‘'+2х‘- 2х*+... 21“+ 0+2х*+... 2х‘‘-2х‘+2х*-... 2х‘+0+... 2х‘- 2х*+... 2х* + ... Следовательно, 1 1 1-х - ■1+ д) Интефируя ряд 1), получим т Ах =1+ +2*“'+2а:‘+ ... = 1 1- ' /1+*^=агс‘«"="-Т+Т-Т+- (|1|< I). Для всех рядов, получе нн ых в этом примере, Л = ! по формуле К о ш и —Адамара (см. пример 19,5). Ряд в п.д) сходится при х = -1 и х = 1 по признаку Лейб­ ница, при этом 7Г 111 агс1ё1= - = 1- -+ -- - + ....
Пример 23. Для нахождения разложений в ряд относительно х функций е“ '*, е^, 51пх^ со5(х + ж^) И Т. П . слсдует В известных разложениях функций е '. со5 1 . 51пг заменить аргумент х соответственно на х^, х +х^ ит.д. В частности, 9.7 . Ряд Тейлора. Разложение функций в степенные ряды 9.7 .1 . Ряд Тейлора Говорят, что некоторая функция /(х) может быть рааложенав интервале (жо “ Жо+Л), гдеВ ^О, в степеннойрядпо степеням х-хо, если существует степенной ряд, сходящийся к /(х) всюду внутри указанного интервала, т .е . 00 /(х)=^ а„(х-хо)" =ао+а,(х-Хо)+...+о„(х-хо)"+... . (9.12) п=0 При этом функция /(х) называется аналитической в точке Хо и имеет в этой точке конечные производные всех порядков. Функци я, аналитическая в точке Хо, аналитична и в достаточно малой окрестности этой точки. Если функция /(х) может быть разложена в интервале (хо - Я; Хо + Я ) в степенной ряд (9.12), то это разложение единственно и может быть записано в виде ряда Тейлора по степеням х - Хо: п=0 ,/!1^(. _ . „)Ч....^(х-Хо)"..... (9.13) Здесь О! = 1, /*“*(хо) = /(хо). Если Хо = 0. то ряд Тейлора принимает вид р.» , п=0 называемый рядом Маклорена. Один и тот же степенной ряд может являться рядом Тейлора для разных функций. Например, степенной ряд, у которого все коэффициенты равны
яуяю, является рядом Тейлора как для функции /(х) = О при -оо < х < +оо, ПКи для функции = пРИх/0, [О приX=О, уюторой все производные равны нулю при х = О (по правилу Лопиталя), ошако /(х) # О при X Ф 0. Такие функции, не являющиеся суммами своих рядов Тейлора, неаналитичны . Неаналитичными являются также функ- ши: 1) у которых радиус сходимости ряда Тейлора равен нулю; 2) которые неимеют конечной производной какого-либо порядка в точке Хо, например, функция \/х неаналитична в точке Хо = 0 . Если функции /(х) и ^(х) аналитичны в точке Хо, то в этой точке (1)ункции /(х) ± ?(х), /(х) -^(1), /(х)/?(х) (если ^(хо) ф 0) также анали- гачны. Сложная функция Р {х) = /(^(х)) аналитична в точке Хо, если ^(х) аналитична в Хо, а /{у) аналитична в точке уо =^{хо). Достаточные условия аналитичности функции 1. Пусть функция /(х) имеет в некотором интервале (хо-Д; Хо+Д), гае Я 5^О, все производные и при этом в указанном интервале И т й „(х) = О, где Кп{х) — остаточный член в форме Лаф анжа (см. 5 .7 ,1), тогда для функции /(*) справедливо разложение (9.13) в ряд Тейлора, т е . /(х) аналитична «точке Хо. 2. Если в интервале (хо - Д ,Хо+ й), где Д О,функция /(х) имеет все Производные, которые в этом интервале оф аничены по абсолютной величине однимитемжечислом,т.е. |/*"^(х)|<М (п= 1,2,...), тофункция/(х) ВДалитична в каждой точке этого интервала. Примечание 1. Аналогично (9.13) записывается рядТейлора для функций / (х , , ,х„) нескольких переменных Примечание 2. Если функция аналитична в каждой точке некоторой области (откры- связн ое множество), то она называется аналитической в этой области. При этом Функция и предс тавляющий ее степенной ряд должны в этой области удовлетворять 1рем ус ло виям: функци я определена, следовательно, имеет конечное значе ни е в ка ж ­ дой точке; ряд — сходящийс я; сумма ряда равна этой функции . ^■7.2. Разложение некоторых элементарных функций в степенные ряды Пример 24. Разложим функцию /(х) = ---- встепенной ряд по степеням х —1 {x^= 1 ). функция /(х) в интервале (-3 ; 3) аналитична как отношение аналитических Функци й.
Первый способ разложения. Находим последовательно: /(0=^. = /''(1)= - ^ . Ряд Тейлора имеет вид 2 2”+' ’ 2"+ «—и Для этого ряда 2П+1 2»+2 ' 2П+1 1 2’ т. е. Д = 1/д' = 2. В интервале (хо - Л; Хо+Я) =(-1; 3) находим остаточный член по формуле суммы бесконечной геометрической профессии, так как х — 1 < 2: Н„(х)=/(х)-3„{х)=:^(х-1)"+'+^(* -1)"+^+... = 2П+2 Вид но, что при любом X из интервала сходимости П т Н „{ х ) = 0. Следовательно, п-*оо получен ный ряд Тейлора сходится к функции / (х ) в промежутке (- 1 ; 3). Второй способ разложения. Используя равенства 3-I =(3 найдем разложение в ряд по формуле су ммы б ес коне чной геометрической профессии 1 I 3-х Пример 25. Разложим функцию 2П+1 \+X-2х^ в ряд Маклорена. Разлагая данную дрюбь на простейшие дроби (см. 7.1.3), получим ряд /(х) = 1 1 (1~х)(!+2х) 3[1-х 1+2х] 3 имеющий интервал сходимости {х] < 1/2. Пример 26. Разложить в ряд Маклорена функцию х^ No)=ТГ^-
Выполняя деление числи те ля на знаме на тель по правилу деления полинома на поли­ ном, получим ряд /(х)=1^+1*+1*+ж"+ ... , радиус сходимости которого К = \ (по формуле К о ш и —Адамара). I Пример 27. Разложить функцию /(х) = е* в ряд Маклорена. Находим: /(х) =/"(2:)= ... = /<"'(!)=в'; /'” •(0) 1 при X = О все производн ые равны I. Следовательно, а „ = ----- =—. Радиус п! п! сходимости ряда Д = И т =Ит = Ит(п + 1) = ос. Ряд абсолютно п^оо 0„+, п! сходится при всех х. Дл я любого интервала { —К , К ) имеем |/^” *(х)| — <е^. т.е. все производн ые огр аничены в сово куп ности числ ом е^ . Следовательно, при любом X справедливо разложение Пример 28. Пусть /(х) = хт х. Находим: /'{х)=С05Х =51П(х+0 , Г(х)= —51ПX=81П^Х+2—^ , .... /'”*(Х)=5Ш ^Х +П 0 . ПриX=Ополучим/(0)=о,/'(0)=I,/"(0)=О,/"'(0)= -I, = 0, .... Все производные при любом х огр аничены в совокупн ости : |/*"*(х)| ^ 1. Разл ожение Имеет вид Пример 29. Разложение функции /(х) = созх в ряд Маклорена можно получить ана логично примеру 28, либ о дифференцируя ряд для 51п х; X- (-1)”х^" С05х-(8тх)' = 1 ... +-^^ **.. . (|х|<оо). Пример 30. Разложение /(х) = 1п(1 + х) в ряд Маклорена можно найти, интефируя отОдох {—I < х < 1) разложение функци и ---- вряд (см . пример 1, 3): I+X /Их х” "^* 1^ = . , ( д = , ) . О пр и X = 1 этот ряд сходится по призна ку Лейбн ица , при х = -1 расходится. Следо­ вательно. полученное разложение 1п ( I -Ь х) в ряд спраЕ)едлиЕю в промежутке ( —1; 1).
Аналогично. А также 1-X 1п• I+X = 1п(1-ж)-1п(1+х)= -2 х" X" Х+У+У+... (-1<X<1), Пример 31. Разложим в ряд Маклорена функцию /(х) = (1 + х)^*. где а — действи­ тельное число. Имеем /’"^{х) = а (а - 1)(а- 2)... (а - п + 1)(1+ х)“ “ " . Следовательно, можно записать ряд сумма 5{х) которого удовлетворяет равенству а ■3(х) = (1 + г ) •З '(х). Для функции /(х) также имеем а-/{х) = (1+х)-/'(х). Отсюда [1п/}' = |1п5]', т. е. 1п/ и 1п5 имеют равные значения и равные производные при х = 0. Следовательно, /(х ) = 8{х). Таким образом, 2! п! В частности. (1*1 < 1). 1 1±х >/1±1=1± 1 = \тх+х^тх’+х‘'^... (|1|< 1), УГТ ^1±1=1± Пример 32. 1) Интефируя от Одо X ряд 1•1 I•I -3 2-4"® " ^2-4-6*“ ■■ 1-3 , 1-3-5 3 1-2-5 3-6 3-6-9 1-3 4 1-3-5 (1*1 ^ I), (1*1 < 1). (1*1 ^ 1). получим 7Г^ ='+2" +••• 2) агс18* (|хК О-
Пример 33. Разложим в ряд Маклорена интефал г ^{x)=! ах. О Интегрируя от О до а: ряд для функц ии е “ * (см. пример 23), получи м 7Н=х-1 . ^ +1 4 -... (N<00). 9.8. Ряды и интегралы Фурье 9.8.1. Ряды Фурье 1. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида: тгх — + Оо / пжх тгх \ ао тгж . т у+^ (а„005 +Ьп51П-р I=у + С05— +Ь]81П~ п=1 ^ ' 2пх . . 2пх П7Г Х ^ , ппх +02С05—------1-Й251П—--Ь . . . +0„С05 — НЬ„5Ш—------1-. . . , (9.15) или, в частном случае I = тт: у +^ ( “пС05ПХ+К51Ппх)=у +01С08I +6]51ПI+02С052Х+ п=| +&25Ш2х+...+о„С05пх+Ь„&тпх +... , (9.16) где ЧИСЛО I > Оназывается пол}Т1ериодом, а числа Оо, О], Ь|, 02,62, . . . , о „ , Ь„,... — коэффициентами этого ряда. Тригонометрический ряд можно записать также в виде 00 у +X] гдеА„ = л/о^+6^, 18 = а„/Ь„. Используя равенства е'"^ = со5пх+I51Ппх. е”'"^ = со5пх-I51Ппх. Где «^ = - 1 , ряд (9.16) можно записать в комплексной форме
гдеСо=у , с^„ = ^(а„ -г6„),с„ = ^(а„+гЬ„)(п=1,2,...).Заменивздесь X на ж хЦ , получим комплексную форму ряда (9.15): ^ (9.17') П=-00 Задача заключается в разложении некоторой периодической функции /(х) с периодом 21 или 2тг в тригонометрический ряд вида (9.15), соответ­ ственно (9.16), сходящийся к этой функции. Члены тригонометрических рядов (9.15) и (9.16) являются периодиче­ скими функциями с периодами 21 и 2тт соответственно. 2. Скалярное произведение (см. 2.7) любых двух кусочно непрерывных на отрезке а ^ х ^ Ь функций /(ж) и ^(х) определяется равенством ь и,9)=! }(х)е(х)Лх. а Везде в 9.8 под кусочно непрерывной на отрезке |а; 6| функцией пони­ мается функция, непрерывная всюду на |а;6|, за исключением , возможно, конечного числа точек разрыва первого рода таких, что в любой из этих точек X = с существует левый /(с - 0) и правый /(с + 0) конечные пределы и ^ /(с-0)+/(с-Ю) Если (/, д) = О, то функции /(х) и ^(х) называются ортогональными на |а; Ь]. Множество функций, попрано ортогональных на отрезке |а;Ь|, называется ортогональной системой функций на этом отрезке. Система функций; а) 1,008X,8ГПX,С082х,81П2х,,сов пх,8Шпх,..., входящих в триго­ нометрический ряд (9.16), является ортогональной на отрезке \-1т;ж\ в силу равенств Г. ,1 / I 81Птх ■81Ппхах = < 7Г /С08тх ■со8пхЛх= шФ0, 0,т 0; тФ0, 2тг, т =п ^ 5ттх-со8 пхЛх =0. -7Г гдет ^О,п>О—целыечисла; = 1прит=п,<5„„=Опритфп.
Система функций: 7ГХ 7Г1 2жх 2жх птгх п тгх б)1,С05— ,5Ш— ,С05—р,5Ш — С05— 5Ш —р , ... является ортогональной на отрезке |-/;/|. При этом соответствующие ин­ тегралы вычисляются в пределах от (-/) до I. Системы функций а) и б) являются ортогональными также и для любого промежутка интегрирования шиной 2-к (соответственно 21). Пусть некоторая функция /(х), определенная в интервале (-тг; тг), а за ­ тем периодически с периодом 2тг продолженная вне этого интервала на всю числовую ось, является суммой сходящегося тригонометрического ряда (9.16): 00 /(х)= — + со5 кх -ЬЬк51Пкх). к=1 Умножая обе части этого равенства последовательно на со5 пх (п = О, 1, 2 , . . . ) и на 81Птгх (п = 1 ,2 , .. . ) и интефируя затем обе части полученных равенств от до 7Г с учетом ортогональности системы функций а), получим формулы для нахождения коэффициентов Фурье а„ и Ь„ функции /(х): йп= —^ /(х)С05пхйх (п = О,1»2,...), - ■к •к Ь„ = - ^ /(х)51ппхйх (п=1,2,...). -Ж Ряд (9.16), в котором коэффициентами а „ и Ь„ являются коэффициенты '1^Урье функции /(х), называется рядом Фурье функции /(х), а процедура Раможения функции в ряд Фурье называется ее гармоническим анализом. Ко:эффициенты Фурье разложения функции /(х) в ряд вида (9.15) Находятся по формулам I а„=I /(х)С08^ йх (п=0,1,2,...), I !}(х)?.т'^йх (п=1,2,...). В формулах для нахождения коэффициентов а „ . Ь „ интефир<1вание мо- '•'ет быть проведено в любом промежутке длиной 2тг (или 21).
Комплексные коэффициенты Фурье с„ для ряда (9.17) или (9.17') нахо­ дятся по формулам л I С„ = ^ У/(Ф'"''Лх или ^У йх, -» -I здесь п=О,1,2 ,... . При этом используется равенство ах=2п6^„, /' гдедтп—1прит=п,дт„= Оприт^п. Задача гармонического анализа функции /(х) состоит, таким образом, в выяснении условий, при которых ряд Фурье этой функции является сходя­ щимся и его сумма равна /(х). 3. Теорема Дирюше. Пусть функция /(х ), определенная (т. е, имеющая конечные значения) в интервале ( - 7 г ; т г ) , удовлетворяет в этом интервале условиям Дирихле: 1) /(х) в указанном интервале либо непрерывна, либо кусочно непрерывна и имеет конечное число точек разрыва первого рода, в каждой из которых существует как левый, так и правый конечные пределы этой функции; 2) интервал ( - л - ; тг) можно разбить на конечное число интер­ валов. в каждом из которых /(х) непрерывна и монотонна. Тогда ряд Фурье функции /(х) сходится всюду в интервале (- г г ; тг), а его сумма Ит п-юо у -Ь ^ (а*совкх -ЬЬ*51Пкх) равна: а) функции /(х) в любой точке х, в которой /(х) непрерывна; б) - [/(с - 0) -Ь/(с -I-0)] в каждой точке разрыва с; в) ^[/(-тг -Ь 0)+/(тг-0)]наконцахх= -гг и х =жинтервала. Примечание. В обшем случае функция /(х) определена в интервале (-1.1)- Если функция /(х) периодически с периодом 2тг (или 2^) продолжена за пределы интервала (-тг; тг) (или (-/; /)), то утверждения теоремы Дирихле применимы при любом х, а не только внутри интервала (-тг;я') или (- ^ ;0 - При таком продолжении функции концы X = ±тг (или х = ±/) интервала яв­ ляются точками ее разрыва, если /(-яЧ-0) /(тг-0) (или /(-^-1-0) Ф /(1-0))-
4. Разложение четных и нечетных функций. Если /(х) — четная в ( - т ; тг) функция, т.е. /(-х) = /(х), то з)а„ = ^ ^ /(1)со8пхйх(п=о,1,2,...),6„ =О(п=1,2,,..). о Ряд Фурье при этом не содержит синусов. Если /(х) — нечетная в функция, те, /(-х) = - /(х), то Я- б)Оо=О,а„ =О, = —^ /(х)81ППХ(1х(п=1,2,...). о Ряд Фурье при этом не содержит косинусов. В случае интервала (-/; I) формулы а) и б) принимают вид: I а') “п=уУ/(*) ^ о ( б')0„=о,К = /(х) 51П^ ЙХ, о а соответствующие ряды Фурье приведены в п. 5. 5. Разложение в интервале (0; I). Если некоторая функция /(х ) определена в интервале (0; I), в котором она удовлетворяет условиям Дирихле (см. п . 3), то эту функцию можно разложить в указанном промежутке в ряд либо По косинусам: Оо ттх С05—— , а)/(х)=^+Е«" либо по синусам: б)}(х)='^Ь„ып'^, П—\ где коэффициенты в разложениях а) и 6) находятся соответственно по форму­ лам а ') и б') (см. п. 4). В частном случае функция /(х) может быть определена в интервале (0; тг). Оба ряда а) и б) представляют в интервале (0; I) одну и ту же функцию /(х), но в интервале {-1 ,0) они представляют разные функции. При этом ряд а) соответствует функции, полученной из /(х) четным продолжением в соседний интервал (-/; 0), а затем с периодом 21 продолженной вне интерва­ ла (-^; I) на всю числовую ось (см. пример 34,3); тогда как ряд б) соответствует Функции, полученной из /(х) нечетным продолжением /(х) в интервал (-/; 0), а затем продолженной с периодом 21 вне интервала (-/; I) на всю числовую ось
(см. пример 34,4). При этом в случае разложения а) имеем: /(-0) = /(+0) П-1+0)=/(/-0);вслучаеб):/(-0)= -/(+0),/(-<+0)= -/{I-0). Пример 34. I) Пусть функция /(ж) = * определена в интервале (-х ; тг). Продолжим ее период ическ и с периодом 2ж за пределы этого интервала на всю чис ловую ось и примем, что в точках х = (2п+ 1)тг(п = О,±1,±2,...) она принимает значение [/(-тг+0)+/(тг- 0)]= ^(-7Г+71-)=0. График по луче нн ый та ки м спос обом периодической функци и, определенной на всей числовой оси и совпадающей в интервале {- п ;п ) с функцией /(х) = х, изображен на рис. 9.1. Концы стрелок указывают на точки, исключенные из графика функции. В силу нечетности функции /{х) в (—тг; тг) все а„ — О, X81ППХ^Х = (хС05пх) пп г :/ Согласно теореме Дирихле в интервале (-тг; тг) сумма ряда Фурье равна /81ПX 81П2х 81ПЗх \ а в точках х = ±тг сумма ряда равна нулю. График суммы ряда Фурье, имеющей раз­ рывы в точках X = (2п+ 1)тг (п = О, ±1, ±2,...), изображен на рис. 9.1. 2) Разложим в ряд Фурье четную функцию /(х) = |х|, определенную при -ТГ < X < 7Г. Находим, что все =О, - /хйх=тг. о„ = - [ хсо5пх<гх= — (Х5ШПХ) [ з1ппх<<х = 2— ^ --- тгУ тга' о тгпУ ^„2 - ^„2 1' > о о в силу четности функции имеем /(-тг + 0) = /(тг - 0) = я-, следовательно, в точках X = птг сумма ряда не имеет ра зрывов и равна /(тг) = ж. Т ак им образом, на отрезке
|- 1г; тг] сумма ряда Фурье по теореме Дирихле равна 7Г 4/С05X С08Зх С055х \ 2-Н — +— +— График суммы ряда изображен на рис. 9.2 3) Пусть /(х) = х(тг —х) определена в промежутке О ^ х < л-. Продолжим ее четно в соседний интервал (-1г;0). В результате получим че тную функци ю, опреде­ ле нную в интервале (- тг; тг), для которой все Ь„ = О, 2г ао= - Iх(тг-х)ах=у, о 2?/ Ч . С05П7Г + I 2 , а„=~ I х(тг-х)созпхах= -2 ---- = — т1(-1)+Ч- тг^ п п о Сумма ряда Фурье , не и ме ющая разрывов на всей числовой оси, равна по теореме Дирихле приО^ X ^ 7Г ?-( С082х С084х С0 8бх — +^ +-1Т- + = х{тг-х). На отрезке | - х ; 0] сумма найденного ряла равна - х{т г + х ). График су ммы ряда при­ веден рис. 9.3. 4) Разложим функцию }(х) = х(ж - х), определенную при О < I < и рас­ смотренную в 3), в ряд по синусам. Продолжим ее нечетно в интервал (-1г:0). Для
по лученн ой нечетной функци и, определенной в интервале (-л-; т ) , имеем: все о „ = 0. 2Г 4 Ь„=- I х(тг - аг) 51ППХ <^x = ---- 7г^ тт-* о Сумма ряда Фурье , не имеюшая р азрывов на всей числовой оси, по теор^еме Дирихлеравна приО^ х ^ я- 8 /51ПХ 51ПЗж 5ш 5х \ +— На отрезке ( —тг;0] сумма найденного ряда равна х(тг + х ). График ряда приведен на рис. 9.4. 5) Рассмотрим функ ци ю (С| при - 7Г<I <О, — п ри1=0, С2 приО<X<п. имеющую разрыв в точке 1 = 0. Находим коэффициенты Фурье: 1 «о= - = С| +С2, ь„=- ^С| ^ С2Лх -я О О я ! с, 005ПхЛх + ^ С2С08ПХЛх -ж О О к ^ С| 51ППхЛх + ^ С251ППХ Лх =0, =(с,-Сз)
У 1 1 1 ^ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ь. 1 1 Г 1 ! 1 1 ) 1 1 1 ! 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 -2’^! - 1 .1 1. 1. 12. '-1 Г' 1 1 Рис. 9 .5 По теореме Дирихле сумма ряда Фурье равна С|+С2 2(с, - С2) 81ПX 81ПЗХ График суммы ряда изображен на рис. 9.5. С1 с, +С2 ,- 7Г<I<О, X=ОИX=±7Г, О<X<Л- . 9.8 .2 . Интегралы Фурье Если функция периодична в бесконечном интервале (-оо; +оо) или получена периодическим продолжением функции, заданной в интервале (-/; I), то она может быть разложена в ряд Фурье. Непериодическую функцию нельзя разложить в ряд Фурье. Однако, если функция /(х): 1) определена на всей оси - 00 < X < +00; 2) удовлетворяет условиям Дирихле в любом конечном интервале (см. 9 .8 .1,3); 3) абсолютно интегрируема в интервале (- оо ;+ о о), т. е. существует несобственный интеграл +<Х) у |/(х)|ах < +00, -00 то эта функция во всех своих точках непрерывности может быть представлена в виде интеграла Фурье (или разложена в интеграл Фурье): +00
+00 +00 -0 0 -0 0 В точках разрыва функции /(ж) левую часть равенства (9.18) следует за­ менитьна-[}{х+о)+!(х-Щ . Выражение (9.18) может быть получено из разложения функции, опреде­ ленной в интервале (-/; /), вряд Фурье (см. формулу (9.15) в 9.8.1) в результате предельного перехода I +оо. Если /(<) — периодическая функция от времени <, то ряд Фурье представ­ ляет ее в виде наложения (суммы) бесконечного (счетного) множества гармо­ нических колебаний со8ш„< и с частотами = птг//(п = 1,2,...). Совокупность всех частот называется спектром, в данном случае дис­ кретным (т. е. прерывистым), функции /((). Интеграл Фурье представляет непериодическую функцию /(<) в виде наложения бесконечного множества гармонических колебаний с непрерывно изменяющейся частотой ш (непрерыв­ ный спектр), которая может принимать значения либо на всей бесконечной оси Ош, либо на некотором ее отрезке. В общем случае спектр функции может иметь как дискретные, так и непрерывные части. Формула (9.18) для четной функции /(ж ), при тех же замечаниях о точках ее разрыва, принимает вид +00 +00 а) /(х) ^ ^ а{ш)со^и}Х€1х, а{ш) = ^ ^ /(у) сови}у йу, о о а для нечетной +00 +00 б) /(х) = У Ь{и>)&'тшхЛх, Ь{ш) = - ^ /{у)&тшус1у. о о Если функция /(х) определена в промежутке (0;-| -оо), удовлетворяет условиям Дирихле в любом конечном интервале, содержащемся в проме­ жутке (0;+оо), и абсолютно интефируема в (0;+оо), то она может быть представлена в указанном промежутке по нашему желанию либо в виде а) при четном продолжении, либо в виде б) при нечетном продолжении. В случае четной функции /(х), определенной в (-оо;-( -оо), а также в случае четного продолжения /(х), определенной в (0; +оо), имеем +00 +00 +00 а)/(*)=“у ^ /(г/) С0 8 (/2/ со&шхЛш = ^ С(ш) со&шх 0 0 о
р-+00 С М = у - у /(у)со&шу(1у. о Для нечетной функции /(х), определенной в (-оо;+оо), а также при нечетном продолжении /(г) (О < I < +оо) ^ +00 +00 +00 б)/(а:)=^ у* ^ /{у)втшу(1у 5\п(л}Х(1ш=у~ ^ 3(и})в\п(^хсио; +0 5 И = \/-у /{у)атшу(1у. о Здесь функции С(ш) и для случаев а) и б) называются соответствен­ но косинус-образом и синус-образом Фурье функции /(х). В случае четной /(х), согласно (9.20), имеем Р (ш ) = С(о;), где С(и>) продолжается четно при ш < О, так как 5(ш) = 0. Для нечетной /(х), согласно (9.20), нахоаим = *5(о|), где 5'(а>) продолжается нечетно при и/ < О, так как С(и/) = 0. Для произвольной /(х) имеем /(*) =\[/(*)+/(-*)] +^[/(*) -/(-ж)] =/|(Х)+/2(Х). где /|(х) и /2(1) — четная и нечетная функции соответственно. Следова­ тельно, образ Фурье для /(х) равен Р{ш) = С(ш) + гЗ{ш), где С{ш) и 8(ш) — косинус-образ и синус-образ функций /|(х) и /г(х) соответственно, продол­ женные надлежащим способом для о) < 0 . Интеграл Фурье (9.18) может быть записан в виде +00 +00 /(*)=^У ^ }(у)со&ш(у - х)ау, (9.19) О -00 сной форме 00 +00 +00 }(х)=^ <^У= ^ У <1ш\ О а также в комплексной форме +00 +00 +00 ^'(ы) = ^ уте^иу. (9.20) где интефал с бесконечными пределами по переменной ш понимается в смыс­ ле главного значения, т. е, нижний и верхний пределы интефирования стре­ мятся соответственно к (-о о) и (-Ьоо), оставаясь равными по абсолютной
величине. Форма (9.20) интеграла Фурье эквивалентна форме (9.19) в силу равенства = соаш(у - х) +1&тш{у - х), а также четности косинуса и нечетности синуса по переменной ш. Комплексная функция Р{и1) дей­ ствительного аргумента ш, получаемая из / ( г ) по второй формуле (9.20), называется образом Фурье (или спектральной плотностью) функции /(х). При этом Р{и1) непрерывна в каждой точке Ош и П т |^^(а^)| = 0. |и|-юо Если функция (1 + |х|)"/(1), где п — натуральное число, абсолютно интефируема в (-оо;+ оо), то образ Фурье Р(и1) функции /(г) дифферен­ цируем п раз по ш и производную порядка т ( т = 1, 2,..., п ) можно найти по (}юрмуле -00 т.е . дифференцированием под интефалом. Если Р(ш) и 0(и>) — образы Фурье функций /(х) и ^(х) соответственно, то образ Фурье свертки двух функций /(х) и ^(х) +00 1*8=! /(ш)г(х-ш) -0 0 равен +00 1 ^ (/* <1х = -X Если Р{ш) — образ Фурье функции /(х), а Рп{‘^) — образ Фурье про­ изводной / (х) (если она существует), то Рп(‘‘^) = { -гш )’'Р{и>) при условии, что все производные от /(х) порядка, меньше п , спремятся к нулю при |х| -у -Ьоо. Пример 35. Представим в виде интеграла Фурье функцию /(х) = с ” *** (а > 0), опре­ деленную в интервале О < I < -|-оо. 1) Если эту функцию продолжить четным образом в промежуток -оо < х < О и построить четную функц ию (е“ при I <О, 1 при I=О, е”“ при X>О, то, дважды ин тефируя по час тя м, получим че тную функци ю .— +00 С(ш)=у “/ со$шу(1у=
Интеграл Фурье для функции ^(х): +00 +00 2г 2а 2а Г со&шх 2{х)=\ -I — = —:--- — со5о;жах= — / ---гаш. V я- У \/2^(а2+ а>2) тгУ а^+ш- о о Интеграл Фурье в комплексной форме = С{ш)\. +00 +00 -00 О Исходная функция } ( х ) представляется этими интегралами Фурье в интервале О<I<+00. 2) Если функцию { ( х ) продолжить нечетным образом в промежуток -оо < х < О и построить нечетную функцию 1 — е~" при а:<О, I приX—О, е““ при X>О, то, дважды ин тефируя по ча стя м, получим не че тную функцию 3(ш) =(/- / е””" 51Пшуйу= ДС -у-уе -М И +СС 2г 2ш 2 Гш^тшх, Н(х)=\ -I —:--- — 81па>хах = - / -т---- г оы. V я- У \/2т(а^+и;2) тгУ + Интеграл Фурье для функции Л(х): +00 о Интефал Фурье в комплексной форме = %8{ш)] : +00 +0С -00 -00 П р и м е ч а н и е . Интефалы с бесконечными пределами по переменной ш понимаются в смысле главного значения. Пример 36. Для четной функции /(х ) = е~“* косинус-образ Фурье равен; СИ=1 е-“’/- Пример 37. Найти функцию если +00 у ^(ш) С05ШХ б^а^ =
Решение. Поскольку функция С(а;) = является косинус-образом для /(х) = — !— г , находим 1+ ^-оо о След овательн о, (р(о^) = е~'^ (а» ^ 0).
Глава 10 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 10.1 . Комплексные числа 10.1 .1 . Определение комплексных чисел и действия с ними Комплексные числа вводятся как обобщение понятия действительного числа, так что множество всех действительных чисел становится частью множества комплексных чисел. Комплексным числом г называется пара г = (о, Ь) действительных чисел а и Ь, взятых в определенном порядке, т. е. указывается, какое из этих чисел о и 6 является первым, а какое вторым. Первое число а и второе Ь назы­ ваются соответственно действительной (и ли вещественной) и мнимой частями комплексного числа 2 и обозначаются: а = Кег, 6 = 1тг. При 6 = 0 ком­ плексное число 2 = (а, 0) считается совпадающим с действительным числом числом а, т. с . г = а . Таким образом, множество всех действительных чисел содержится во множестве комплексных чисел. Если а = О, то комплексное число г = (О, Ь) называется чисто мнимым (или просто мнимым). Комплекс­ ные числа (0,0) = 0; (1,0) = 1; (О, I) = г называются соответственно нулем, единицей, мнимой единицей. Комплексные числа г, = (о ь6|), г2 = (а2М ) по определению равны, т.е. г, = 22, если 0| = «2 и Ь| = &2■В противном случае комплексные числа не равны. По определению суммой двух комплексных чисел 2\= (01,61), 22 = (02, 62) называется комплексное число 2|-Н22 = (0|-1 -0 2 , 61-1^62) , а их нроизведением — комплексное число 2|22 = («102 - 6162, 0162 -I-0261). Сумма и произведение комплексных чисел обладают свойствами: 1) 2|-Ь22 =22 -ь2,, 2) 2|22 = 222,, 3)(21 +22)-I-2з= 21 -Ь(22 -I-2з), 4) (2122)23 = 2|(222з), 5) (21 -1-22)23 =2|2з4-2223 .
Из определения действий сложения и умножения следует: 2+0=2, 2-0 =0, 2-1=2, м =*^=(0,1)-(0,1)=(-1,0)= -1. Ввиду отсутствия действительных чисел, обладающих свойством г^ = - 1 , число г называют мнимой единицей. В силу этого свойства мнимой единицы любое комплексное число 2 = (а, Ь) можно представить в алгебраическом виде: 2 = о+гЬ.Действительно,2 =(о,Ь)=(о,0)+(О,Ь)=(а,0)+(0,1)(6,0)=о+гЬ. Мнимое число (О,Ь) можно представить в виде О+ *Ь или гЬ. Отметим, что мнимой частью комплексного числа а + гЬ называется действительное число Ь, но не чисто мнимое число >6. Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сло­ жению, т.е., если 2, = (0|,Ь|)=0|+гЬ,, 22 =(02,Ьг)=02+И>2, то 2,-22 =(0|-02,Й|-62)=«I -02+г(Ь, - 62). Действия сложения, вычитания и умножения с комплексными числами, записанными в алгебраическом виде, проводятся по тем же правилам, что и с обычными полиномами, с учетом равенства =-1,т.е. 21 ±22 = (01 +гЬ])±(02 +«62)=(О]±Ог)+1(Ь|±62), 2,22 = (01 + гЬ,)(а2 + >62) = (0|02 - 6,62) + »{0|б2 + 02б|). Комплексное число (а, -Ь) = а - гЬ называется сопряженным с числом 2=(а,й)=а+г6иобозначается2=а-гЬ.Переходотчисла2ксопряжен­ ному 2 называется действием сопряжения. При этом: (2)=2,2,±22=2,±22, 2122=2|22, 2+2=2а, 2-2=ИЬ. 22=0.^+ ^О, Ке2= - (2-Ь2), г{\т2)=гЬ= ^{2-2). Если 2 является корнем алгебраического уравнения с действительными коэффициентами, то 2 — также корень этого уравнения. Деление на комплексное число, не равное нулю, определяется как дей­ ствие, обратноеумножению, т.е ., если 2, =а,+гЬ,,22 =а2+162 (22^0), то 2[ 01-1-161 2122 {0| -Ь «б1)(а2 - 162) 01024-6162 , 6102-0162 22 02 -I -162 2222 (02 -| - »б2)(О а - «62) о]+ «2+^ Приэтом222=2|и222=21. Произведение п (п — натуральное число) равных комплексных чисел 2 называется п -й степенью числа 2 и обозначается 2" . Например, «'^ = - 1 .Если п —натуральное, то 2"" = 1/2". Число т называется корнем п-й степени(п —
натуральное) из числа г, если и)" = г . Обозначение: ь) = ^ 2 . Для всякого г ^ 0 корень чУг имеет п различных значений (см. 10.1.3). В частности, имеет значения +1 и - I; = ±\. Действие, ставящее в соответствие каждому комплексному числу 2 ^ 0 комплексное число «с = /г, где действительное число Д > О задано, назы ­ вается инверсией. Пример1. Пустьг,= 7-4«,^2 =3+2«. Тогдаг,+22=Ю-И,2[-22 =4~6»; 13- 26» ^ _ 2-, 1_ 3-2 » _ 2_1■ 9+4 ' *’ 3+ 2» “ (3+ 2»)(3-2») “ 13 13*' 10.1 .2 . Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа Действительные числа изображаются точками на прямой (числовой оси). Поскольку комплексное число г = х + {у является упорядоченной парой дей­ ствительных чисел X и у , его можно изобразить точкой М (х , у) с абсциссой X и ординатой у на плоскости с декартовой прямоугольной системой коор­ динат О ху (рис. 10.1). Рассматриваемая в таком смысле плоскость называется комплексной плоскостью, а оси О х и Оу — действительной и мнимой осями соответственно. Точка А(1,0) изображает действительное число 1 + О» = I , а точка В(0, 1) — мнимую единицу О+ 1» = «. Комплексное число г = х + гу можно изобразить также вектором О М , началом которого является начало координат О, а концом — точка М (х ,у) (рис. 10.1). Между точками ком­ плексной плоскости М (х , у) и комплексными числами г = х + ху существует взаимно однозначное соответствие, поэтому обычно не делают различий меж­ ду точками плоскости и комплексными числами и говорят, например, «точка 2 = X + 1у». в частности, точка » совпадает с точкой В(0, I) мнимой оси
(рис. 10.1). Число г = х - гу, сопряженное числу г = х + гу, изображается точ­ кой М '{х , - у), симметричной точке М(х , у) относительно оси Ох (рис. 10.2). Сумма г| + 22 двух комплексных чисел и гг геометрически изображается вектором, полученным сложением векторов, соответствующих числам 2| и 22, по правилу параллелограмма. Разность чисел 2| - 22 изображается суммой векторов, соответствующих числам 2| и ( - 22) (рис. 10.3). Для умножения и деления комплексных чисел простые геометрические аналоги отсутствуют. Неотрицательное число \г\ = = у/х^ + у'^, равное длине вектора ОМ , изображающего число г = х + гу, называется модулем этого комплексного числа. Модуль действительного числа равен его абсолютной величине. Модуль \г\ = О тогда и только тогда, когда 2 = 0. Из равенства |-г|22 ••■2 „| = (2,22 •••2„)(2,22 ' ' '2„) = следует |г|гз г„| = |2]||22| ••• |2„|. Справедливы следующие равенства (см. рис. 10.3): 1^1+2г|<|2,|+|22|, |2|-2г|^Цг:,! - \гг\\, к=\ где2*,2[.{к=1,2 п ) — любые комплексные числа. Из равенства |2р = 22 = х^ + у^ следует
Угол <р(обычно в радианах) между положительным направлением оси Ох ивектором О М =(х,р), изображающим комплексное число г = х + гу (рис. 10.1), называется аргументом этого числа. Обозначение: ^ = Аг^г. Положение точки г = х + гу на комплексной плоскости однозначно определяется как ее декартовыми координатами х и так и полярными координатами р = |г|, ^ = А т$г, при этом (рис. 10.1): I = /9С08 у=р$Ы(р, р=\/ + у^. Модуль комплексного числа г = х + (у определяется однозначно: У |г|=л/х^+у\ а аргумент — неоднозначно, с точность до слагаемого 2ггп (п = О,± 1, . .. ) . Зна­ чение аргумента считается положительным (или отрицательным), если его отсчет от положительной полуоси Ох ведется против хода (или по ходу) часовой стрелки. Для того чтобы сделать аргумент однозначным, берут его значение аг§г = которое удовлетворяет условию -тг < =5’г и назы­ вается главным значением (рис. 10.4). Если точка г = х + гу на комплексной плоскости с переменными х и у приближается сверху (соответственно, снизу) к отрицательной (т. е. I < 0) полуоси Ох, то (ро -> + я (соответ­ ственно, -> -7г). Главное значение аргумента <ро числа г = х + гу можно найти по формуле = ягсщ(у/х)приI >0;априх<Ои2/>О(либо у < 0) имеем (ро = агс18(у/х) + п (либо = агс1ё (у/х) - тг). Величина 1ра
может быть найдена также из двух равенств: 5111^0 = у/р^ соз^о ^ где р=у/+у^и -я-<^0^Л'. Справедливоравенство ^=узо+2я-п (п = О, ±1, . .. ) , или Агёг = аг8г+ 2тгп. Для сопряженных чисел ъх%г = - а г^г. Для точки 2 = 0 аргумент не определен. Комплексные числа нельзя сравнивать между собой (т. е. нельзя сказать, какое из них больше), однако можно сравнивать их действительные и мнимые части, а также модули. Пример 2. 1)2, = -1 -1,|г,| =\/2,агвг, = -^тг; 2) 22=1+», |22|= ащ22 = 3) 2з= - I+1-УЗ,|25|=2,агв2з=^тг; 4) |1|=1,агв»= ^; 5)агв2=0; 6) аг%(-г)= 7) агв(-3) = тт. В этом примере все значения аргументов — главные. Тригонометрическая форма комплексного числаг = х+гу: 2 = |г|(с08^ + г81П1^). Используя формулу Эйлера со8 ^ ± г 81п ^ , комплексное число г можно записать в показательной форме: 2 = |2|(со5^ + г81П^) = |2|е'*’, 2=х -гу=\г\е~"‘’.
Если г,= |2||(со5^’1+ «8ш^»1)= |г,|е‘*’', 22= |г2|(с05у?2 + •51П ^2) = |22|е‘*’' , 2,22 = |21||22|[с05(^| + ^2) + » 5Ш(^71 + ^»2)] = к ] ||г2 ТО ^ [С05 (V , - <Р2)+I51П(V?!“ ^>2)]= ” '*• Умножая число 2 = х + гу на мнимую единицу г = получим 1г= -»+»1=Ие‘<*’+5>, т. е. вектор числа 2 поворачивается (при неизменной длине) вокруг начала координат на угол и 12 против часовой стрелки. 10.1 .3 . Возведение комплексных чисел в степень и извлечение корня Если г = |2|(со5 у)+« 51ПV?) = |г|е'*’ , то для любого натурального п справедлива формула Муавра г"= |2Г(со5пу>+ г81Пп<р) = 1гГе‘"»’. Этаформула вернатакжедлялюбогоцелого числа п = О,±1,±2,.... Пример 3. 1)г=2^008^+181П г’ = 2^(со8!г+151птг)=-2’ =-8; 2);г=I - = е~"'\ / =е"^" = со8(-2тг)+«5Ш(-21г)=1; 3) = е"=С05Я-+181Пя-= -1, »’= = со8^ +15|п^ 4) = е“'' = С05(-т)+«81П(-т)= со8гг= - 1. Корень п-й степени изчислаг=|г|(со8^о+*51п^о)=|2|е‘*’°, где<ро=1ч^2 — главное значение аргумента числа г, определяется как комплексное число го= п-я степень которого равна числу 2 , т е . = 2 . Если записать VI = |и;|е'*, где в — аргумент числа No, то И)" = |ю|"е’' ” = |2|е‘»’“ . Следовательно, |и;1= ’{/Щ (арифметический корень из модуля), вп = 1ро + 2ктг (А=О,±1,...), т.е.в = —(^0+2ктг).Таким образом, п „ /г^/ Фо+2кж юп+2кп\ «>*= УЙ(со8^-^-^^ Л=0,±1,±2........
Все эти значения корня имеют одинаковый модуль \/\г\, а их аргументы получаются из аргумента (ра/п последовательным прибавлением или вы чи ­ танием угла 2тг/п. При п-кратном прибавлении угла 2я-/п значения корня будут повторяться. Всего будет п различных значений щ ,Ю 1, , 1»„_ | корня из числа г О,которыеполучаютсяприА=О,I,2,... , п - 1.Значениекорня называется главным значением. Поскольку всезначенияЮо,Ы\,... , ш„-1 име­ ют равные модули, соответствующие им точки лежат в вершинах правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса \/\^\ с центром в начале координат, и имеютполярныеуглы -(^о+ЗЛтг);А=0,\, ... ,п - 1. В частности. 2Ы 2ктг V1=С05----1 -г51П- (2к+\)ж ,. (2к + 1)ж V -1 = со5----------1 -г 5 Ш -------- п п {п= 1,2,...; *:=0,1,2,...,п- I). Пример 4. Найдем значение корня No = из числа 1 ,УЗ 1ж 2ж_ Здесь1^1=I, ^0 =2тг/3.
Решение. Имеем {2ж/3)+2кп , . , (2^3)+24т ш^=со% Нглп -------------- (к = 0, 1,2, 3). Следовательно, ж . 7Г у/З I. 2ж . 2л I </3 И)0=008-+I5Ш— = — + и;,=С05— +:8Ш— = - - Н------ 1; 6 622 3 322 7ж 7тг \/3 1 5ж 5ж I </3 No2=С08—+181П— = --- Ю3=С05 — +181П— = - р ---------- — 3 6 22 3 3\/22 Эти четыре значения корня лежат в вершинах квадрата, вписанного в окружность еди­ ничного радиуса (рис. 10.5). Отметим, что точка г здесь совпадает с точкой . > 10.1 .4 . Множества точек но комплексной плоскости Бесконечно удаленной точкой (комплекснымчисломг = оо) на комплексной плоскости считается единственная точка, в которую переходит точка г = О (начало координат) в результате преобразования «; = 1/г. Чис ло ; = оо не имеет определенного аргумента. Комплексная плоскость с присоединенной к ней точкой 2= оо называется полной (илирасширенной, или замкнутой) комплексной плоскостью. Плоскостьбезточки2=ооназываютоткрытой. Окрестностью (открытой) С{д, го) точки го/ оо комплексной плоскости называется множество всех точек г, для которых |г - го| < й, где <5 > О — заданное число. Это множество является внутренностью круга радиуса б с центром в точке го с присоединением точки го. Окрестностью С{К, оо) точки г = оо называется внешностьлюбого круга радиуса Д, в частности , множество точек |г| > Д , с присоединением точки г = 00 . Случай, когда точка г = оо исключается , оговаривается особо. О б л а с т ь ю (открытой) полной комплексной плоскости называется мно­ жество О точек, обладающих следующими свойствами: 1) вместе с любой своей точкой множество X) содержит также достаточно малую окрестность этой точки (свойство открытости); 2) любые две точки, принадлежащие В , можно соединить ломаной линией, полностью состоящей из точек множества О (свойство связности), г р а н и ц е й области О называется множество точек, не принадлежащих О , но в любой окрестности которых находятся точки из О. Точки, из которых состоит граница, называются гр а н и ч н ы м и . Область О с пр^1- соединенной к нейфаницей называютзамкнутой областью иобозначаютО. Непрерывной кривой в комплексной плоскости называется множество точекг=х+гутаких,чтох =х(1),у =у(1)(-оо ^<1С<С<2С+оо),где У(^) ~ непрерывные функции действительного параметра I. Простой кривой (кривой Жордана) называется непрерывная криваябез точек самопересечения и самоналегания (т. е. разным значениям параметра I соответствуют разные точки этой кривой). Кривая Жордана, у которой началь­ ная и конечная точки совпадают, называется з а м к н у т о й . Замкнутая кусочно гладкая кривая Жордана называется также (замкнутым) к о н т у р о м .
Область открытой плоскости называют ограниченной, если все ее точки лежат внутри некоторюго круга с центром г = 0. В противном случае область называется неограниченной. Число связных замкнутых частей (контуров), из которых состоит фаница области (офаниченной или неофаниченной) в полной плоскости, называется порядком связности этой области. В зависимости от числа офаничивающих контуров области подразделяют на односвязные и многосвязные (двух-, трех­ связные ит.д .) . Пример 5. 1) Граница окрестности С ( д , го) точки го состоит из одного контура (окружности). Следовательно, С (^ , 2 о) является односвязной областью. 2) Область между двумя концентрическими окружностями является двухсвязной, так как Офаничена двумя контурами (окружностями). 3) Окрестность точки г = оо с включением этой точки — односвязна, а с исклю­ чением г = 0 0 — двухсвязна. 10.1 .5 . Предел последовательности точек комплексной плоскости Точка2о= Хо+гроназываетсяпределом последовательности{г„} = г,, ^2,..., 2„, ... точек г„ =х„ +гр„ комплексной плоскости г, если для любого числа (5 > О существует номер ЛГ((5) такой, что г „ принадлежат окрестности С(<5, го) для каждого п ^ ЛГ(б). Говорят при этом, что данная последовательность сходится к 2о, и пишут Ит = 2о. Справедливы равенства 11т х„ = го. п-кх п~юо И т « „ = уо. Сходящаяся последовательность имеет необходимо единствен- п-*оо ный предел. Последовательность, не имеющ ая конечного предела, называется р а с х о д я щ е й с я . Если 2 = оо является единственным пределом расходящейся последовательности, то пищ ут И т = со. При этом для любого числа Д > О п-юо найдется номер N (Н ) такой, что для всех п ^ ^У(й) выполняется неравен­ ство \г„\ ^ Я , т е . все точки последовательности с номерами п ^ N (3 ) оказываются вне круга |г| < К . Предел сум мы, разности, произведения, частного двух последовательно­ стей равен сумме, разности, произведению, частному (если предел делителя не равен нулю) этих последовательностей. Числовой р я д 00 с*=с, -ьС2 +с*-I-...= А=1 = (а,+г6,)+(аз+%Ъг)-н ... +(а*+ +...= = а^+аг + ■■■+ак+ ■■■+г((>| -Н&2+ •■■+(>*•+ ••■).
где с* — комплексные числа (/ оо), называется сходящимся, если сходят- 00 00 ся оба действительных ряда а*и 6* • При этом существует предел Л=1 *=} 00 5= 11т с^^, называемый суммой ряда. Необходимое условие сходимости п-»оо ряда: ИтС)ь=0. к-*оо 10.2 . Функции комплексной переменной 10.2 .1 . Понятие функции Комплексная переменная 2 представляет собой пару действительных пере­ менных X и у, расположенных в определенном порядке: г=(х,р)=х+гу. Каждому значению 2 = х+ гу комплексной переменной г соответствует точка (х, у) на комплексной плоскости Оху. Пусть О и С — множества на полных (расширенных) плоскостях комплексных переменных г и и) соответственно. Тогда, если указан закон, по которому каждой точке г = х + гу из О ставится в соответствие определенная точка (или несколько точек) V) = и(х, у) + гь{х ,у) из С?,то говорят, что IV является однозначной (или многозначной) комплексной функцией комплексной переменной г, и пишут ш = и + IV = /(г). Модуль |г| и аргумент Агв 2 переменной г = х + гу являются соответственно одно­ значной и бесконечнозначной действительной функцией от г. Множества V я С называются соответственно множеством определения функции /(г) и множеством ее изменения. Далее функции предполагаются однозначными, если не оговорено противное. Задание функции комплексной переменной т = и + гь = /(г) равносильно заданию двух функций двух дей­ ствительных переменных и = и{х,у), и = «(х, 2/), ставящих в соответствие каждой точке г = {х, у) из О на плоскости Оху (г-плоскости) точку ю = (и, и) из С на плоскости Оии (ш-плоскости). При этом и(х,у)=Ке/(2); V{x,у)= ^ т/{г) или т = ^{2)= и{х,у)+гу{х,у)=\и)\е'^. Главное значение аргумента во функции т = и+»1), удовлетворяющее условию -ж <во^Я-, равно:во=агс1в(и/и)прии>0;еслии<Оив^О(либо V <0),то 1ро=агс1в(к/и)+Я’(либо = агс18 («/«) - 5г). Величину во можно найти также из равенств: зт^о = со50о=и/г,гдег=
Пример 6. 1)Для/(г)- г ^X имееми(з:,у)^Ке/(г)= х, у(х,р)=1т/(г)=у, \/{г)\ = Приж>Оимеем во =агс1ё(у/х)(длях<Осм.выше). 2)Если/(г)=г^=(х+гу)^=х^-у^+Ц2ху),тои = - у\V=2ху, |/(л)|=х^+у^\ во=агс(8(«/и) при и >О(для и<Осм. выше). 3)Для/{г)=\/гнаходим:и+^V=\/г,г =х+гу=и^ + »(2иг/), ж = у=2иь,и =± ^(х+ 1/2 - {-X+л/х^+у^) |/(2)| = +у^ »о = агс18(и/и) = агс(8[\/*^ + I -*;],*: = х/|!/|. Функция т = /(г) задает некоторое отображение множества О во мно­ жество С . Точка т из С (или совокупность точек) называется образом точки г из I), а точка 2 — прообразом точки т. Если ш = }{г) однозначна на В и при этом каждым двум различным точкам 2 , и гг из I) всегда соответствуют разные точки И1| = }( г\) и «)2 = /(гг) из С , то такое отображение называется взаимно однозначным или однолистным. Область О , в которой однозначная функция однолистна, называется областью однолистности этой функции. При однолистном отображении прообраз г = §(т) можно рассматривать как од­ нозначную функцию от т , которая называется обратной к функции м>= /(2)- Отображение го = /(г) взаимно однозначно тогда и только тогда, когда обе функции /(г) и §{ш) однозначны. Если функция й = /(г) отображает множество О во множество С , а V) =й(®) — множество С вС ,то функция т = Н{г) = ^(/{х)!, отображающая О в С , называется сложной функцией, составленной из функций / и В частности, если функция ю = /(г) — однолистная, а функция г =^(1«) — обратная к /(г), то ^|/(г)) = г. 10.2 .2 . Предел функции. Непрерывность Пусть функция ю = и{х,у) + гь{х,у) = /(г) = /(х + гу) определена и од­ нозначна в некоторой окрестности точки го, кроме, быть может, самой этой точки. Говорят, что существует предел функции /(г) при г -> го (запись: Ит /(г) = щ ), если для любой последовательности { г „} точек из области определения функции, сходящейся к го, последовательность {« ; „} = {/(гп)} сходится к числу и)о ф 00. Запись П т /(г) = и;о равносильна следующей: 2-»2о 11ти(х,у)=щ, Иту(х,у)=«о, I —Но где = хо+гуо,щ =щ+^Vо,щ со,Ио^оо. Основные свойства пределов (предел суммы, разности, произведения, част ­ ного) сохраняются для функций комплексной переменной.
Однозначная функция /(г) называется непрерывной в точке 2о, если она определена в некоторой окрестности 2о, включающей эту точку и Ит /(г) = /(^о) ^ со. г->го Для непрерывности /(г) в 2о необходима и достаточна непрерывность функ­ ций и{х, у) и и(х, г/) в точке {хо, уо). Функция, непрерывная в каждой точке области О , называется непре­ рывной в этой области. Понятие равномерной непрерывности функции ком­ плексной переменной вводится по аналогии с действительными функциями многих переменных. _ Функция /(г) называется ограниченной в замкнутой области П , если су­ ществует такое число М > О, что |/(г)| ^ М для каждой точки г из В . Поверхность в пространстве точек (х, у. К) с уравнением к = /»(х, у) ^ О, где Ь,(х,у) = |/(г)| = %/и^ -Ь называется рельефом функции /(г) =/(х -Ьгу) = и{х,у) +гг(х,у). Некоторые простые примеры функций. Ф у н к ц и я V)=Р„(г)5Опг" -Ь ... - Ьао называется целой рациональной функцией или полиномом степени п ( п — на ­ туральное). При п = 1 полином а]г -Ьао называется линейной функцией. Если 0| = О, то линейная функция является постоянной. Функция _ Рп(г) представляющая собой отношение двух полиномов, называется дробно-раци­ ональной функцией. Ее частным случаем при п — т = I является дробно­ линейная функция 0|г+во IV = ------- . Ь1г+Ьо 10.3 . Аналитические функции 10.3 .1 . Производная функции. Условия Коши—Римана Пусть функция V! = /(г) = и{х, у) + гV(x, у) определена и однозначна в об­ ласти О на плоскости переменной г = х + гу. Пусть точки г и г + Аг принадлежат О. Разность /(г + Дг) - /(г) = А т = Аи + гАг называется приращением функции, соответствующим приращению А г / О аргумента г. Если существует конечный предел /(г -ЬД^) - /(^) , Ь т ---------------------- =/(г), дг^о Аг
не зависящий от способа стремления Д г к нулю, то этот предел называется производнойфункции V)=/(г) вточкег иобозначаетсяоднимизследующих способов: Функция /(г) называется при этом дифференцируемой в точке г. Функция, дифференцируемая в каждой точке области В, называется дифференцируемой вэтой области. Если А г принимает чисто действительные либо чисто мнимые значения Аг = Ах, Аг = гАу соответственно, то , ди ,дю ,ди ду Сравнивая оба эти выражения для производной, получим равенства дх ду ду дх называемые условиями Коши—Римана и являющиеся необходимымиуслови­ ями дифференцируемости функции /(г) в точке 2 . Если кроме выполнения (10.1) в некоторой точке г = х + гу, у функций и{х, у) и у{х, у) существуют полные дифференциалы в той же точке (для этого достаточно, чтобы их частные производные и 'х,иу,г'х , ь'у были непрерывны в указанной точке), то условия ( 10.1) являются достаточными для дифференцируемости /(г) = и + !« в точке 2 . В этом случае производную от т = /(г) можно найти по одной из формул: ,,, дидVдь ди ди ди дь дV ,„ Свойства производной и правила дифференцирования остаются теми же, что и для действительных функций. В частности, если т = /(г) и 2 = — взаимно обратные функции, однолистные в окрестностях точек г и No, то , Ат 1 1 /(г)=Ит■— = 11т————-= Дг-*о А г ль,->о (Аг/Ат) ^ (т) Приращение А т функции т = /{г) можно записать в видеДи = (1т+ а{А2), гдейи)=/'(г) — дифференциалфункции/(г), =Дг,аИт— ---= О, Дг-»о А г т. е. а (Аг) — малая вьющего порядка относительно А г при А г ->0. Пример 7. 1) Для функции /(г) = имеем и = , V = 1ху (см. пример 6,2). Усл овия Кош и—Римана ди дь ди ду дх ду ду дх
а также непрерывности первых частных производных от и(х, у) и »(х, у) выпол­ няются на всей комплексной плоскости. Имеем /'(^;) = 2х + *(2!,) = 2г. 2) Если /{г) = г = x-^у,■тои = x,V = -у . Одно изусловий Коши—Римана дх ^ду нигде не выполняется. Следовательно, данная функция нигде не имеет произ­ водной. 3) Пусть /{г) = (2г -Ь 3)^ = [${2 }]^, где ^(г) = 2г + 3. По правилу дифференциро­ вания сложной функции находим /'{г) = 2^(2)^'(г:) = 2{2г -}- 3) •2 = 8г + 12. 1 10.3 .2 . Аналитические функции I Однозначная функция /(г) называется аналитической (или регулярной, мо- I вогенной, голоморфной) в точке г , если она дифференцируема в некоторой ‘ окрестности этой точки (см. 10.3.1). Функция называется аналитической в от­ крытой области, если она аналитична в каждой точке этой области. Функция /(г) называется аналитической в бесконечности (в точке г = оо), если функция ^(г) = /(1/г) аналитична в точке 2 = 0 . По определению »/'(оо)= -(2^<%/<^2)при2=0. Однозначная функция /(2) аналитична в точке 2 = 2о (или 2 = оо) тогда и только тогда, когда она представима в виде степенного ряда 00 р 00 /(•2=) = /(■') = п=0 п=0 сходящегося в некоторой окрестности то чки 2о (и ли 2 = оо) (альтернативное определение аналитической функции). Достаточное условие аналитичности функции. Д ля аналитичности одно­ значной в области О функции /(2) = и -Ь достаточно выполнение условий Коши — Римана ( 10.1) и непрерывности частных производных щ, ь'у всюду в этой области. Обратная функция. Если функция IV = / (2) аналитична в точке 2о и / '(20) О, то / (2) имеет обратную аналитическую функцию в точке % =/(го) —функцию 2 =г(«'). Пример 8. 1) Функции /(г) = /(2) = /{х -I-«у) = е'е'", /{г) = (2г -* - 3)^ аналитичны на всей комплексной плоскости. 2) Функция / {г} = 2 нигде не является аналитичной (см. пример 7,2).
Точки, в которых функция аналитична, называются п р а в и л ь н ы м и (или регулярными) точками. Точки, вкоторыхфункция неаналитична, называются ееособыми точками. Свойства аналитических функций 1. Если функция /{г) = и + IV аналитична в открытой области О , то в каждой точке этой области существуют и являются аналитическими функциям производные любого порядка от /(г). 2. Если функция аналитична во всей открытой плоскости и офаничена, то она постоянна. Или иначе: если функция аналитична в полной (замкнутой) плоскости, то она постоянна . 3. Функция, аналитическая (следовательно, непрерывная) в замкнутой об­ ласти В , имеет максимум модуля |/(г)| на фанице этой области. 4. Значения аналитической функции /(г) в некоторой подобласти (напри­ мер, линии) области О определяют э т у функцию единственным образом всюду в О. Иначе говоря, если значения двух аналитических в области О функций /|(г) и /2(.г) совпадают в некоторой подобласти О , то /|(г) =/г(г) всюдувобластиО (теорема единственности аналитической функции). 5. Для любой аналитической функции /(г) = п + ю однозначные функции и{х, у) и и(х, у) являются сопряженными гармоническими функциями, т. е. удовлетворяющими уравнениям Лапласа Л и = О, Д » = О и условиям Коши— Римана (10.1). 6. Если УЗ = /(ю) и а = ^ (г) — обе аналитические, то сложная функция И)= также является аналитической. 7. Сумма, разность, произведение, частное двух аналитических функций (если знаменатель не обращается в нуль) являются аналитическими функциями. Нахождение аналитической функции по ее действительной части. Пустьв односвязной области О задана (однозначная) гармоническая функция и(х, у)< т. е. удовлетворяющая уравнению Лапласа дЧ дЧ - дх^+ду^ ~ ‘*- Если и{х, у) является действительной частью некоторой аналитической функ­ ции /{г) = и + ю , то ее мнимая часть у(х, у) находится по формуле (*.») , , Гди ди (Ха.Уа) где (хо, уо) — фиксированная точка в О , С — произвольное действительное число, а интефал не зависит от вида пути интефирования, соединяющего точки {х„,Уо) и {х ,у).
Пример 9. Полином Р „( г) во всей плоскости и дробно-линейная функция а/ = (01г+ Оо)/(Ь|2+ Ьо)приг^ -6 0 / 6 1 (см. 10.2.2) являются аналитическими. 10.4 . Интегрирование функций комплексной переменной 10.4 .1 . Определение интеграла и его свойства Пусть С — кривая (путь интефирования) на плоскости комплексной пере­ менной г = X + 1у с концами в точках а и 6, на которой задана функция /(х) = и(х, у) -Ь ^V(x, у). Возьмем на С произвольные фиксированные точки а=го,2],^2,..., = 6 , расположенные одна за другой, и составим сумму П Л = Е /(с*)д«ь к=\ где — произвольная промежуточная точка частичного отрезка [г*_|;г(ь] кривойС; Дг* = - 2*_|. По определению, интегралом от функции /(г) по кривой С (с начальной точкой а и конечной точкой Ь) называется ком­ плексное число равное ^= [ }(г)Лг=Иш (10.3) ^ п-*оо с если соответствующий предел существует (при условии та х|Дг*| -> 0) и не зависит от способа разбиения кривой С на частичные отрезки и от вы­ бора промежуточных точек. Интефал (10.3) всегда существует, если С — кусочно гладкая кривая, а /{г) — кусочно непрерывная и офаниченная на С функция. Если кривая С содержит точку г = оо и (или) если /(г) не офаничена на С , то интефал (10.3) можно определить как несобственный. В общем случае интефал (10.3) от функции /(г) зависит от вида кривой С , соединяющей фиксированные точки а и Ь. Отделяя в (10.3) действительную и мнимую части, получим ^ /(г) = У[и(х,у)+гг(х,1/)]Л{х+гу)= С с = ^ и(х,у)Лх-в(г,у)Лу+г^ ь{х.у)Лх+и(х,у)йу, с с где действительные интефалы берутся по той же кривой С .
Все свойства действительных интефалов переносятся на комплексные интегралы: /[кЛг)+к2ф)] I /{г)Ли+ IЛг, С с с /л.) . - / /(г) Й2, ^ /(г)<1^=! Н^) + ! /(•^) С с~ С\-\-Сг С\ С2 Здесь к ] , к 2 — любые комплексные числа; С~ — кривая, совпадающая с С, но проходимая в противоположном направлении; С| + С 2 — кривая, состоя­ щая из частей С] и С2. ЕслиМ =тах|/(2)|накривойС нЬ —длинаС,то /■ ^ М1. Пг)аг с Интеграл по замкнутой кривой С , называемой также (замкнутым) кон­ туром, обозначается ^ }{г)(1г. с При этом предполагается, что обход контура С при интегрировании проис­ ходит в положительном направлении, при котором область, ограниченная этим контуром, остается слева . Если кривая С имеет параметрическое представление 2=2(<)=х(1)+1у{1) [а^ </3,а =г(а),Ь= то интеграл (10.3) по кривой С вычисляется по формуле Р 13 0 ^ /(2) <1^ = ^ /[•г(<)]г'(0 = У *У С а а а где / 12(<)|2'(<) = ф ) + ггр(1). Пример 10. Вычислим интеграл от / {г ) = 1/г по окружности С радиуса К с центром в начале координат, обходимой в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки. Решение- Параметрическое уравнение этой окружности: г = = Д(со5 + » 81Пу?)- О^^^2тг.Имеемд.г= следовательно, с с о
Аналогично вычисляется интефал ^ ^ Лг, где п-целое число (п ^ —I): с 2» 2ж 2ж ^=«Д"+'^ а<р= »Д"+' ^ С05{п+\)1ра1р-Д "+ ‘151П(п+\)^<1р=0. 10.4 .2 . Интегральные теоремы и формулы 1. Интегральная теорема Коши. Если функция /(г) аполитична в некото­ рой односвязной области, т о для всех кусочно гладких кривых С , полностью лежащих в этой области и соединяющих две фиксированные то чки а и Ь из этой области, интеграл О Iп^)=I имеет одно и т о ж е значение, зависящее только о т положения точек а и Ь. 2. Интеграл о т аналитической функции /{г) по любому замкнутому кон­ туру, лежащему в односвязной области, равен нулю: //(г)йг = 0. 3. Если /(г) аполитична в односвязной области О , то интеграл от /(г) по кривой С , у которой начальная т о чк а а зафиксирована, явл яется аналитической в О функцией о т переменной конечной то чк и интегрирования {верхнего предела) г : г /{(г)Лг = Ф(г). При этом Ф '(г) = }( 2). Функция Ф{г) называется первообразной для }(г). Любыедвепервообразные Ф(г) и Р{г) одной и той же функции }(г) отлича­ ются другот другананекотороекомплексноечислоА, т .е . Ф(г) = Р{2)+А, г I /(г)с1г=Р{г)+А.
Отсюда, при 2 = а, следует Р(а) = - А . Полагая затем 2 = Ь, получим формулу I }(г) Л2 = Р(Ь) - Р{а), где Р ( г ) — произвольная первообразная для / ( г ) . Совокупность всех первооб­ разных Р (2) + А для /(г) называется неопределенным интегралом о т /(г). В простейших случаях неопределенные интегралы вычисляются по т е м ж е формулам, что и для соответствующих действительных функций. Пример 11. Функция г", где п — целое число, при п > О аналитична во всей комплексной плоскости, а при п < - I — в плоскости с исключенной точкой г = 0. В соответствии с примером 10 интефал от функции г " при п ^ -1 по любой кусочно гладкой кривой, не проходящей через точку г = О и соединяющей точки о и 6, равен О / г"йг = п+1 п+I 4. Интегральные формулы Коши. Пусть функция /(г) аналитична в не­ которой односвязной области О , С — замкнутый контур в О , окружающий точку го = 1о+ тогда значение функции /(го) и любой ее производной /*"*(2о) В точке го находятся по интегральным формулам Коши: ■го)з /И/. ^ I (г-го)’‘+' йг, где г ~~ переменная интефирования, обход контура С совершается в поло­ жительном направлении (при этом точка 2о всегда находится слева от направ­ ления обхода). Формулы Коши выражают значение аналитической функций и ее производных в точках некоторой области через значения этой функции на контуре, офаничиваюшем область. При этом производные могут быть найдены в результате дифференцирования по го под знаком интефала в пер­ вой формуле (10.4).
Для любых двух замкнутых контуров С\ и Сг в О , окружающих точку 2о и обходимых в одном и то же направлении, справедливо равенство: /Ж, . . /No1,, У г-го / 2-го с, С2 Если 2о — какая -либо точка расширенной комплексной плоскости, ле­ жащая вне замкнутой области, офаниченной контуром С , то интефалы в правых частях формул (10.4) обращаются в нуль. 5. Обобщение на многосвязные области. Пусть В — конечная (т - Ь 1)-связ- ная область ( т = 2 на рис. 10.6), фаница С которой состоит из т - 1 - 1 попарно не пересекающихся кусочно гладких замкнутых контуров Со, С ],,С т , где Сь Сг,. . . , Ст лежат внутри Со. Тогда, если /(г) аналитична в О и непре­ рывнавV, то I{(х) =^ /(2)Й2+^ ^ /(2)аг=о, с Со Ск где все контуры Со, С |, . . . , С ^ обходятся в положительном направлении (т. е. область В при обходе остается слева). При изменении направлений обхода контуров С ], . . . , С т на противоположные знаки соответствующих интегралов заменяются на противоположные. Пусть О — конечная т -связная область, фаница С которой состоит из замкнутых контуров Со,Сь ... , Ст-| . Если /(2) аналитична в О и не­ прерывна в И , то для любой внутренней точки 2о области О (рис. 10.6)
справедливы формулы (10.4), в которых интегрирование проводится по всем контурам Со, С | ,,С т - ь ограничивающим В и проходимым в положи­ тельном направлении (вычисленные по отдельным контурам интефалы затем складываются). Для точек го вне области О интегралы в правых частях фор­ мул (10.4) равны нулю. Пример 12. При помощи формул Кош и (10.4) вычислим интеграл ^= 2о)” Лг, с где С — окружность радиуса Я с центром в точке обходимая против часовой стрелки; п — целое число. Решение. При п = -1 находим по первой формуле (10.4): / Лг. = 2тг«/(2о) = 27г« (щесь }(г)= I). г-Ч с Дифференцируя обе части этого равенства (п - 1) раз по го, получим: Лг /(^-2о)’ =0, т. е. исходный интефал ^ равен нулю при п ф - Таким образом, 3 = 2тг{ при п = - 1 , 7 = О при п ^ -1 . Непосредственное вычисление данного интефала дает тот же результат (см. пример 10, в котором следует положить г = го + Де'*’ ). [> Пример 13. Функция /(г) = 1/г аналитична в двухсвязной областиО<|2|<Д, гдеД >О— любое число. Вычислим интефал от / {г ) по кри­ вой С , которая выходит из точки 2 = I . и, обой­ дя вокруг точки 2 = 0 один раз по окружности \г\ = 1 (С |) против часовой стрелки, идет затем из точки 2 = I в точку 2о (Сг) (рис. 10.7): /•Й2 / Й2 /•Й2 ^=7 т+УТ= с с, = 2л-*+!п2о- Здесь интеграл по С| вычислен в примере 10, а \п г — первообразная для \/г такая, что ее значение равно нулю при 2 = \, а затем изме­ няется непрерывно вдоль € 2 - При этом кривая С 2 может быть помешена в некоторую односвязную область, несодержащую точку 2 = 0. Если точку 2 = 0 обойти п раз, прежде чем попастьв точку 2 о,то ^ = 2тгг + 1п2о- Здесь интефал ^ = ^п 2 о является многозначной функцией от
10.5 . Представление аналитических функций рядами 10.5 .1 . Функциональные ряды. Степенные ряды 1. Функциональным называется ряд 00 Ш +/2(г)+...+Ш +... = ^2 членами которого являются комплексные функции / „(г) , определенные в не­ которой области В на 2 -плоскости . Множество всех точек, в которых ряд (10.5) сходится, называется областью сходимости ряда. Предел 8 {г ) частичных сумм ряда называется суммой ряда п 3{г)=Ит^ Д(г)=Ит8„{г). П-+С» ^ ' п-юо к=\ Понятие равномерной сходимости ряда (10.5) вводится по аналогии с рав­ номерной сходимостью ряда действительных функций. 2. Степенным рядом называется функциональный ряд вида 00 Оо+0|(-г —^о)+.■■+Оп(^ “ + •••= “- 2о)", ( 10.6) п=0 гдего,а„(п^О,1,2,...) — комплексные числа, г — комплексная перемен­ ная. Если 2о = О, то ряд (10.6) принимает вид (10.7) К такому же виду приводится ряд (10.6) преобразованием ^ = г - 2о- Ряд (10.6) определен на всей г-плоскости . Существуют степенные ряды, область сходимости которых состоит из единственной точки г = го (или г = 0); а также ряды, сходяшиеся во всей г-плоскости . Теорема Абеля. Есяи степенной ряд (10.6) сходится в точке г ф то э т о т ряд'. 1) либо сходится абсолютно во всей г-плоскости , 2) либо суще­ ств ует действительное число Л > О такое, что ряд сходится абсолютно длявсех г в области |г- 2о| < Я (включая го) ирасходится при |г-го| > К. Круг |г - го| < Д называется круг сходимости этого ряда, К — радиу­ сом сходимости. Ряд (10.6) может сходиться в одних точках окружности
|г - го| = Я и расходиться в других. Радиус сходимости ряда (10.6) ра- 00 вен радиусу сходимости действительного степенного ряда |а„|г". При п=() Д=оряд(10.6)сходитсятольковточке2=2о,аеслиК =оо,торяд сходится во всей 2 -плоскости . Радиус сходимости степенного ряда (10.6) может быть найден по одной из следующих двух формул: «п+1 1)л=-, 9=Пт 2)Д= -, д= Ит д п-юо д п-юс если соответствующий предел существует. Может оказаться, что действительная последовательность |а||,\/|а^ , не имеет предела (конечного или бесконечного), но из ее членов можно извлечь подпоследовательности (с возрастающими номерами членов) такие, что они имеют пределы (называемые частичными пределами), тогда Я находится по формуле Кош и—Адамара: 1 Д= -, ?=Пт 5 п-юо где И т — наибольщий из частичных пределов последовательности { ^| а „ |}. 11 I Например, последовательность 1, 2, - , 2,... , —, 2,... имеетдвачастичных 23 п предела О и 2. Наибольший частичный предел здесь равен 2. Пример 14. I) РядI+2г+Зг^+ ...+пг"~' +(п+1)г"+■..имеетрадиуссходимости К=Пт -------- = 1. П-ЮСП+ I I.<"+'>■=0. 2) Для ряда п\г"находимЛ = Пт 3)Ряд^ г"имеетД=1. п=0 1 4)Дляряда1+ находима—Ит =оо.Я= - =0. п- *п- п 5) Ряд — имеетЛ=Пт1:, ^ ^п! (п + 1)!] 6)Дляряда]~ +г^- .. . +{~\)"г‘” ~ . п о с л едовательность его коэффициентом имеет вид: I;0; -1; 0; 1;... . Верхний предел последовательности { равен д= 1(нижний предел равен0).Следовательно, Л = 1.
7)Длярядаг——+ — — .+(—1)- — имеемпоследовательность коэффи­ циентов 1;0;(-1)" - — !— . Верхний предел последовательности 35 2п+ \ 1 {^1“п1}равен д= Ит( ----------) = 1. Следовательно, Л = 1. Нижний п-»оо\ 2п + 1/ предел равен 0. В круге сходимости сумма 5(г) любого степенного ряда является анали­ тической функцией, дифференцирование и интегрирование которой прово­ дится почленным дифференцированием и интефированием этого ряда по В результате этих действий радиус сходимости исходного ряда не изменя­ ется. Если степенные ряды имеют общий круг сходимости, то внутри этого круга сумму, разность и произведение степ ен ных рядов можно представить в виде степенного ряда с таким же кругом сходимости. Деление комплексных степенных рядов производится по аналогии с делением действительных сте­ пенных рядов. 10.5 .2 . Ряды Тейлора Сумма 5(г) степенного ряда в круге его сходимости является аналитической функцией. Справедливо и обратное утверждение, называемое теоремой Тей­ лора: аналитическая в области О функция } ( г) в некоторой окрестности каждой точки «о (го ^ оо), принадлежащей О , может быть представлена единственным степенным рядом 00 }(г)= ^а„(г-гоТ, п=0 радиус сходимости К которого не меньще расстояния Л от до фаницы С области О. Комплексные числа а„ находятся по формуле с гдеС' — окружность\г-го\=Я'<Л. Ряд ( 10.8) называется рядом Тейлора (или разложением Тейлора) фун кции / ( г ) в круговой окрестности точки и имеет радиус сходимости не меньше, чем (1. Любой сте­ пенной ряд в своем круге сходимости является рядом Тейлора для его суммы.
Примечание. Если аналитическая функция определена на всей комплексной плос­ кости, за исключением , быть может, изолированных особых точек, то граница круга сходимости ее степенного ряда проходит черезближайшую к его центру особую точку этой функции. Нулем функции / (г) называется всякая точка г = такая, в которой /(го) = 0. Номер га ^ 1 младшего не равного нулю коэффициента ряда Тейлора для /(г) в окрестности го называется порядком нуля го, т. е. /(г)=а„(г-го)"*+а„+,(г- +... (а„ ^0), /(г) =(г-гоГ«(г), где §(г) аналитична в окрестности точки 2о, ^ (20) ф 0. Если т = 1, то нуль 2о называется простым. Пример 15. Показательная функция комплексной переменной г определяется как сумма сходящегося всюду ряда ='+^+^+ +й+-- Очевидно, что (е*)' = е*. е° = 1. Аналогично определяютсяфункции 8Ш 2 и со5г: {Я = 00), (К = оо). При действительных значениях г = х ряды, представляющие , 51пг , сок г (см. пример 15), совпадают с рядами для функций е’^, 5шх, со8 1 . Поскольку соответствующие действительные ряды абсолютно сходятся для любого числа X , то по теореме Абеля эти ряды абсолютно сходятся и для любого комплекс­ ного числа г. Заменив г на *г в разложении е^, получим: {ггУ (ггУ (гг)* - =1+*г+^ +^ +^ +^/ +...= ,5 г’ г’ 3! + 5! 7! .г' г'' 2! + 4! 6!
Перемножая два абсолютно сходящихся ряда для е^' и найдем = ^1+2,+ ^ ^1+22+^+ ...^ = = 1+(2,+22)+Ц ^ +... = е'^'+Ч Следовательно, (со8у + гбш у). Полагая здесь 1 = 0, у = ч>, получим формулу Эйлера е'*’ = С08у + г51П(р. Пример 16. Разложим т = /{г} = 1п(I + г) в ряд в окрестности г = 0. Эта функция аналитична и однозначна в любой односвязной области, не содержащей точку г = —I (см. пример 13). Логарифмическая функция определяется как обратная к показательной, т.е., если ш =1п2.то2 =е®=е'"^Дифференцируяг = е'"^по2 каксложнуюфунк­ цию, получим 1 = е' "^(1п2)'. Отсюда (1п г) ' = I : е'"^ - 1/г. Следовательно, /(0) = О, /(0) = [|п(1+ =1, /"(0) = , /"'(0) = ^ , ... . Таким образом. 1п(1+г)=2 -у+ у-.... Радиус сходимости ряда К — И т = I . Ряд сходится при всех |г:| < 1, Примечание . Здесь 1п(1+ г) означает главную ветвь многозначной функции Ьп (1+г), для которой /(0) = О (см. 10.9.2,6). 10.5 .3 . Ряд Лорана Влюбойточке2кольцаг<|2-2о|<Я.гдег^О,Д ^оо,междукон­ центрическими окружностями с общим центром в точке 2 = 2о (го / оо), в котором аналитична функция /(2), эта функция может быть представлена (разложена) единственным образом в виде ряда по положительным и отри­ цательным степеням (2 - 2о), равномерно сходящимся в любой замкнутой области, принадлежащей этому кольцу: /(2)= ^ а„(2-2о)"+ ^ Ь„(2-2„)-", (10.9) П=0 П=1 коэф фициенты которого находятся по формулам:
Здесь С — произвольный замкнутый контур внутри указанной кольцевой области, охватывающий точку го (например, любая окружность |г - го\ = р, где г < р < К ), обход которого совершается в положительном направлении (против часовой стрелки). Ряд в (10.9), коэффициенты которого находятся по формулам (10.10), называется радом Лорана или лорановским разложением функции /(г). Первое слагаемое в правой части (10.9) называется правильной (регулярной) частью, а второе — главной частью ряда Лорана. Объединяя оба ряда (10.9) в один, можно записать /(г) Й2 {г-гоГ+'’ с ( 10. 11) гдеп=О,±1;±2,... . +00 Еслиряд ^ а„(2-го)" сходится вкольце г < |г-.го| < К, тоего сумма П=-00 /(д;) аналитична в этом кольце, а указанный ряд является рядом Лорана для /(г). Ряд Тейлора является частным случаем ряда Лорана, в котором все а „ = О прип=-1,-2,.... Пример 17. Разложим / (г) = врядЛорана при го= 0. Ближайшей к2о= О особой точкой функции является = 1. Следовательно, г = 0. Я — I . Согласно (10.11), учитывая разложение I-г получим - /(Ё.-)Д^^Ё/А;. с р т=0 ^ т=0 р где С — окружность |г| = Л < I. Используя показательную форму комплексного числа, найдем (см. пример ю ): :-2тгг —I при п—т+2—I, 2-кг О при п-т+2ф1. Следовательно.о„ = -1прип=т -I,т.е.прип^ -1,таккакт = О, 1,2,.. а„ = Опри пфт- 1,т.е.при п<~\. Таким образом, получим искомое разложение 1 1 = I-2 -г- , 2(2-1) 2 которое можно получить также и непосредственно, используя разложение для (1 —2 )
10.5.4 . Особые точки Точка го называется изолированной особой точкой (однозначной) функции /(г), если в некоторой окрестности О < |г - го| < Я точки го эта функ­ ция аналитична всюду, кроме самой точки го. Особые точки многозначного характера рассматриваются в 10.8. В любом кольце О < г < |г - го| < Д ана­ литическая функция /(г) имеет лорановское разложение вида ( 10.11). Различают следующие три типа изолированных особых точек г = го / 00, в зависимости от вида разложения функции /(г) в ряд Лорана (10. I I ) в окрест­ ности то чки го: 1.Устранимая особая точка, еслиглавнаячастьрядаЛоранафункции/(г) вокрестноститочки2оотсутствует,т.е. а„ = Опри п= -1,-2,... и ряд Лорана обращается в ряд Тейлора. При этом: а) либо /(го) = а „ , т. е. /(г) аналитична вточке го,являющейся правильной точкой;б)либо/(го)Фаа= 00 Ит/(г)=5(го)/со,где5(г)—суммаряда/(г)= ^ о„(2 - го)", совпа- п=0 дающая с/(г) при г/ го, тогда го являетсяустранимой особой точкой, так как, приняв, что /(го) = Оо = И т /(г) , получим функцию, аналитическую гфг« И в точке го. Говорят также, что в случае б) функция /(г) доопределена в точке го по непрерывности. Если функция /(г) офаничена в достаточно малой окрестности точки го, то го — устранимая особая точка. Справедливо и обратное утверждение. 2.Полюс порядка т (га= 1,2,...). если главная частьрядаЛоранадля /(г) в окрестности точки го содержит лищ ь конечное число членов с отри­ цательными степенями гдеа_ш/0;а„=Оприп= -га - I,-т - 2,... . При га = 1 полюс назы­ вается простым. В случае полюса го существует предел П т /(г) = оо. ЕслиИт(г-го)“/(г)^А,тоА^О,Л ^сх). г->2о Если точка го является нулем кратности га функции ^(г), аналитической в некоторой области, содержащей го, т. е. ^ (г) = (г - го)"‘^ (г), где <^(г) аналитична в окрестности точки го (включая эту точку) и ^(го) ф О, то функция /(г) = ——- аналитична в некоторой окрестности О < |г - го| < <5 «(2) точки го (кроме этой точки), которая является полюсом порядка т для /(г). Учитывая разложение в ряд Тейлора аналитической в окрестности точки го
(включающей эту точку) функции Ф) ' = 6о+*1(г-го)+Ь2{г-2о)^+...; Ьо=—Ц- ^О, Ф) Фо) можно записать лорановское разложение функции /(г) в окрестности О< |г - 2о| < <5точки 2о: */Ч 1 ^ ^ , ^1 , ^т-1 г(2) {г-гоГф) {г-2оГ (г-2о)"“-' г-2о +Ьга+Ьт+\{г-2о)+Ьт+2{^~ ^о)^+ ... . Если точка г = 2о — полюс порядка т для /(г), то ^{г) = имеет в точке го нуль кратности т . 3. Существенно особая точка, если в разложенииЛоранафункции /(г) в окрестности точки го имеется бесконечное множество слагаемых с отрица­ тельными степенями (см. ряд (10.9)). В этом случае не существует ни конеч­ ного. ни бесконечного предела И т /(г). г-*го Свойства аналитическойфункции вблизи существенно особой точки: 1) Если в некоторой окрестности существенно особой точки го аналити­ ческая функция /(г) Ф О, то го является существенно особой и для функции 1//(г). 2) Теорема Сохоцкого. Если го — существенно особая точка однозначной аналитической функции, то для любого комплексного числа А (а также со) найдется последовательность точек г„ -> го такая, что Пт /(г) = А . г-*2о 3) Теорема Пикара. В любой окрестности существенно особой точки го содержится бесконечное множество точек г таких, что /(г) = А , где А — любое комплексное число (А Ф со), за исключением , быть может, одного. Пример 18. 1) Аналитическая в окрестности 2 = 0 функция (51Пг ) !г имеет устранимую особую точку 2 = 0. Действительно, используя разложение 51пг в ряд (см. пример 15), получим (при любом г фО) 51Пг _ г* ~ ~ ” 3!' 5! “ ■■■’ т. е. ряд Лорана в окрестности г = О не имеет главной части. Приняв, что (81Пг)/г = 1 при г = О, получим аналитическую и в точке г = О функцию. 1-е‘ 2) Функци я ----- имеетустранимую особую точку ^ = О, так как г 1-е' г л
3) /(■*) = имеет полюс порядка тп = 2 в точке г = го, так как функция х(г)=1//(г)=(г- имеет нуль второго порядка в точке 2 = 2ц- 4) {(г) = е'/г имеетполюс порядка 1вточке г = О, так как при г фО е- I г г~ 2! 3! ■ 5) Функция имеет существенно особую точку г = О, так как, подставив 1/г (при г ^ 0) вместо л в ряд Тейлора для е‘ (см. пример 15), получим е'1‘=\+-+ — +—+ , /(■^) = 51П(1/г) имеет существенно особую точку г = О, так как, подставив 1/г (при г ф 0) вместо г в ряд Тейлора для 8т г (см. пример 15), получим , 111 1 1 З!23 + 5!г* 7!г’ + - '" 7) Функци я I /(81П г) имеет бесконечное множество простых полюсов в точках г = птг (п = О, ± 1 ,± 2 , . . . ) действительной оси, в которых 81п г имеет нули первого порядка. 10.5 .5 . Нули и особые точки в бесконечности Если функция /(г) аналитична (т.е .не имеетособых точек) внеокружности с центром вточке г = О идостаточно большого радиусаК (исключая точку г = оо), то говорят,что бесконечно удаленная точка г = оо является изоли­ рованной особой точкой этойфункции. Дляизучения поведения функции /(г), аналитической в окрестности точкиг=00(крометочки2=оо),т.е.при|г|>Ди2/оо,полагают 2= 1/^ и рассматривают затем поведение функции е(0 —/('/О = /(^) вкомплексной ^ — плоскости вокрестности |^| < 1/й точки С= О(кроме точки ^ = 0),приэтом ||Щй(С)= Пт/(г).Функция/(г) аналитичнавточке С-»0 2-»00 г = 00 Иее окрестности, если функция 8«) = /(1/С) аналитична в точке С= Ои ееокрестности. Точка г = ооявляется нулем кратности т функции /(г), если точка ^ = О — нуль кратности т для ^(С)-ДTM разложения /(г) врядЛорана вокрестности точки г = оосначала находятразложение вряд Лоранафункции «(О = /(1/С)вокрестности О< |С|< 1/Лточки (=0: п=0 п=1 вкотором заменяютзатем Сна 1/г; 00 00 /(г)='^Ь.„г'‘+^Ь„г-". ( 10.12)
00 00 Ряды в (10.12) называются соответственно главной п=1 п=0 и правильной частями ряда Лорана (10.12) функции /(г) вокрестности |г| > й особойточки 2 =00. Если точка С = О Для функции ^ ( () = /(1/С) является: 1) устранимой особой точкой, 2) полюсом порядка т , 3) существенно особой точкой, то точка 2 = 0 0 для /(г) будет соответственно; I) устранимой особой точкой, 2) полюсом порядка т , 3) существенно особой точкой. При этом множество отличных от нуля коэффициентов при положительных степенях г в раз­ ложении (10.12): I) пусто, 2) конечно, 3) бесконечно. Все изложенное в 10.5.4 о поведении аналитической функции в окрестно­ сти конечной изолированной особой точки справедливо и для изолированной особой точки 2 = оо. Пример 19. 1) Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности точки г = ос и определим тип этой точки. Полагая ^ = 1/2 и раскладывая в ряд окрестности С = получим Заменяя здесь ( на \/г, получим искомое разложение в окрестности г = со Разложение в окрестности г = оо формально совпадает с разложением в окрестности точки г = О (см. пример 18). Однако разложение в окрестности точки 2 = 00 содержит ли шь правильную часть, тогда как разложение в окрест­ ности г = О имеет только главную часть соответствующего ряда Лорана. Точка 2 = 0 0 является устранимой особой точкой для (если принять, что =I при г = оо), поскольку ^ = О для является правильной точкой. То есть аналитична в точке г — оо. 2) ^^ля функции / {г ) ~ {г^ -Ь 4)е"^ точка г = ос является существенно особой, так как, сделав замену г = \/( ( ( ^ 0), получим *-'(9-(?*')'"'■ Следовательно, С = О является существенно особой точкой функции ^?(С)’ ^ г = 0 0 — существенно особой точкой функции /{г). 3) Для функции /{г) — 2 ^ точка г = оо является полюсом порядка т = 3. Сделав замену 2 = 1/( ( ( ^ 0), получим ^ ( ( ) = /(1/С) = 1/С^- Следовательно, я(С) имеет в точке С = О полюс порядка 3, а функция /(г) — полюс порядка 3 в точке 2=00.
4) Функция /{г) = --- при помощи замены г — \/^ {^ Ф 0) переходит в функцию = /(1/0 = Ближайшей к точке ^ = О особой точкой является С — следовательно, радиус сходимости ряда Тейлора для ^ ( 0 в окрестности С = ^ равен Я = \. Функция имеет следуюшее разложение в окрестности ( = 0: «(0 = -С-С'-С’ ---- = -С(1+С +С'+ ---), 1С1<1- Полагая ^(0) = О, находим, что устранимая особая точка ^ = О является нулем первого порядка для ^(0- Ряд для / {г ) в окрестности г — оо имеет вид Полагая /(ею) = О, достигаем того, что г = ос становится устранимой особой точкой, а также нулем первого порядка для /(г) . 5) Функции е‘ , с о зг , 51пг имеют существенно особую точку г = оо, что видно из раз­ ложений е‘^^, С05 (1/С), 81П(1/0 (при С?^0) в окрестности ( = 0 (см. пример 18). 10.6 . Вычеты и контурные интегралы 10.6 .1 . Основные понятия Если г = го / 00 — конечная изолированная особая точка (однозначной) аналитической функции /(г), то коэффициент о_| при (г - 2о)~' в разложе­ нии Лорана функции /(г) в окрестности го /{г)- Оо+а|{2-2о)+<12(2-2о)^ ... + ^2+••• г-2о [2-гаУ называется вычетом функции /(г) относительно точки го. Обозначения вы ­ чета: Кез/(го), ге8/(2о), Выч/(го), Ке5/(г), Кея 1/(г), го|. г=Го Из формулы (10.11) для коэффициентов ряда Лорана при п = -1 следует Ке5 /(го) = ^ где С — произвольный замкнутый контур, охватывающий (только одну) особую точку го, обход которого происходит против часовой стрелки, так что го остается при этом слева. Обычно в качестве С берут окружность |г-го| — г достаточно малого радиуса г. При этом величина вычета не зависит от г. Для конечной устранимой особой точки г<) вычет равен нулю: Ке5/(го) = 0 . Если изолированная особая точка го аналитической функции /(г) яв­ ляется бесконечно удаленной (го “ оо) и лорановское разложение /(г)
+00 в окрестности 2о = оо имеет вид ^ , то вычет функции /(г) относи- П— -(Х> тельно 2о = 00 равен (см. пример 10): Яез/(ос) = ^ /7= с- с с (10.13) где С~ — окружность \г\ = Я достаточно большого радиуса Д (чтобы об­ ласть \2 \ > К содержала единственную особую точку го = со), проходимая по часовой стрелке, так что окрестность точки 2о = ос остается слева, С — та же окружность, но проходимая против часовой стрелки. Из формулы (10.13), в частности , следует, что вычет относительно бесконечно удаленной устранимой особой точки может и не равняться нулю (в отличие от конечной устранимой особой точки). Например, для функции /(г) = 1/г точка 2 = оо является нулем, однако Ке8/(оо) = - 1. Теорема о вычетах. Пусть (однозначная) функция } ( г) аналитична в огра­ ниченной области О , за исключением конечного числа изолированных особых точек 2], 22, ■■■, г „. И пусть контур С охватывает все эти точки, не про­ ходит ни через одну из них и полностью принадлежит области О (рис. 10.8) вм есте со своей внутренностью. Тогда выполняется равенство'. ^ }(г) <12=2тгг^ Ке8/(г*); Ке8/(2*) = ^ /(г) <^2 , с *=| с» где С* — окружность |2- 2*| = г*, к = 1,2,...,п. П р им е ча ни е . Если Х> является п-связной офаниченной областью, то ее граница С состоит из п попарно не пересекающихся замкнугых контуров, проходимых в поло­ жительном направлении. Таким образом, вычисление интеграла по некоторому замкнутому конту­ ру С сводится к нахождению вычетов относительно конечного числа точек, находящихся внутри этого контура. Из теоремы о вычетах, в частности , следует, что если /(г) аналитична на расширенной (полной) комплексной плоскости, кроме конечного числа изолированных особых точек 2о = оо, 2|, 22,. .. , 2„ , то сумма вычетов отно­ сительно всех особых точек (включая 2о = оо) равна нулю: П
Вычисление вычета функции относительно полюса. Если точка г = го оо — полюс порядка т функции /(г), имеющей лорановское разложение а_, + 0о + 01(г-го) + ..., (2 - го)TM 2-20 то вычет относительно полюса 2о может быть найден по формуле 1 ■ При т = 1 отсюда следует а_, = Кез/(го)=Ит(2-2о)/(г) (О!=1). г-^го Если /(г) аналитична в точке 2о / оо или «о — устранимая особая точка, то КС5/(2о) =0. Вычет функции /(г) относительно точки 2 = оо находится по формуле Ке5/(2) = Ит [-2/(2)], г-*сс при условии существования предела. р(^) Если /(2) = -т— , гдефункциир{г),д(г) аналитичны вточке2 = 2о/ оо 9(2) , ир(2о)# О,ад{г) имеетнуль первогопорядкав2о,т.е.д{го) =Оид(20)фО,
Пример 20. С05г 1) Функция /{г} = , ; имеет в точках = га, гг = -го полюсы первого по- рядка. Соответствующие вычеты равны: Кез/(»а) = Ит Ке8{(-га) = 11т (г-га) (г+го) (г-га){г+га) С05 2 {г-га)(г+га) С05(ш) 2%а С05 (го) 2га 2) Функция/(2)=р(г) имеетпростыеполюсывточкахг=\иг=пп д{г) (г-1)8Ш2 (п = О, ±1, ± 2 , . . . ) , в которых д{г) имеет нули первого порядка. Учитывая ра­ венство д'(г) = 51П2 Ч-(г - )) С082, для полюсов 2| = О и 22 = 1 найдем соответ­ ственно Р (0) _ Р(1) 2 Ке5/(0) = ?'(0) = -1, Ке8/(1)= ?'(') 8Ш1' I1 3) Вычет функции /(л) = — относительно точки г = оо, являющейся простым нулем этой функции, равен Ке5/(ос) = Ит = 1. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. П усть (однозн ачная) ф ун к­ ция / (2) аналитична в односвязной области О и на ограничивающем ее замкнутом контуре С всюду, кроме конечного числа полюсов. И пусть а; — нули для /{г) кратности щ (1 = 1,2,... , га) внутри I), а — ее полюсы кратности Р] а = 1 ,2 ,з) внутри О.Тогда, если С не проходит ни через полюсы, И И через нули этой функции, то для любой функции ^ ( . г ) , аналити ­ ческой всюду в Р и на С , справедливо равенство с Отсюда при ^{г) = 1 следует 1 Г /'(2) ;=1 ]=\ 2жгТ /(^) (10.14) где N — число нулей, Р — число полюсов (с учетом их кратности) внутри О- Логарифмическим вычетом аналитической функции /(г) относительно точки 2о называется вычет функции |1п /(.г)|' = относительно го. Левая часть
(10.14) равна сумме логарифмических вычетов /(г) относительно всех нулей и полюсов /(г), содержащихся в О. Обозначая и»= и + гг) = /(г) = ге'*, где г = |/(г)|, в — какое-либо значе­ ние аргумента функции /(г) , непрерывно изменяющееся при движении точки 2 ПО контуру с в положительном направлении, будем иметь 1п/(г) = \пг + гв “ /'(г) (11п/{г) \(1г .М /(г) йг г <1г ' С учетом этого равенства и в силу замкнутости контура С формула (10.14) прим ет вид (принцип аргумента): •I 21гг7 /(г) с с где Л е в — изменение аргумента /(г) при полном однократном обходе точкой г контура С . Величина Дсй/2я- равна числу оборотов вектора и; = /(г) в No-плоскости Ои г вокруг точки V) = О при однократном обходе точкой г контура С . Если Р = О, то движущаяся точка No соверщает при этом N полных обходов вокруг точки И) = 0. 10.6 .2 . Применение вычетов к вычислению определенных интегралов Если требуется вычислить определенный интефал от действительной функ­ ции /(х) по конечному или бесконечному промежутку (а; Ь) оси Ох, то под­ бирают некоторый незамкнутый контур К , который вместе с промежутком (о; Ь) офаничивает некоторую область О , а затем к аналитическому продол­ жению (см. 10.7) /(г) функции /(ж) применяют теорему о вычетах Г Г / /(х)с1х+ / /(г) <^2 = 2тгг ^ Ке5/(г.) , (10.15) 1=1 а К где — особые точки /(г) в О . Задача сводится к вычислению интефала по контуру К. Иногда функцию / ( г ) подбирают так, что / ( х ) является ее действи­ тельной или мнимой частью, тогда интефал от /(х) находится отделением действительной или мнимой части от (10.15). Пример 21. Для вычисления несобственного интеграла - 1-00 [С05Х . -Г-— ^ (^x
рассмотрим интеграл ёг от вспомогательной функции комплексной перемен­ ной по замкнутому контуру С , состоящему из полуокруж­ ности К радиуса Л и ее диаметра, лежащего на оси Ох (рис. 10.9). Функция /(г ) аналитична на всей комплексной плоскости, кроме простых полюсов 2 , = га, Лз = - »а. Точка г = оо является нулем второго порядка для / (г ) . Предполагается, что Д > о, т е . внутри контура С находится только один полюс г| = га. Вычет / (г) относительно 21 = га равен: Ке5/{га) = Ит {а - га) Следовательно, {г~га){г+*о) 7^у*/{г)Ах= 2тггКез/{га) = е“ 2аг’ Интеграл ^ запишем в виде суммы ^ = ^}^ + где к =/•-!1 ] х^+а Лх, а — интефал от / ( г) по полуокружности К , для которого справедлива оценка 1*1 = <тах— ь- г2 |е--| к \г^+аЦ иК. где |е’'| = = |е"|е ^= |со81 +I8|пг|е ' < I (у>0).Дляточек полуокруж­ ности К , с учетом неравенства |2 | —22! ^ ]|2 1| —|22||, имеем: I I |2^+ а^| |2^ - (10)^1 ■1М '1 Следовательно, >О при Д -> оо (для любого агё2 ). В пределе Д —^ оо получим значение исходного интефала: Пт +00 1н= I тах= -е . ] х^+а^ а
10.7 . Аналитическое продолжение 10.7 .1 . Понятие аналитического продолжения Если в областях и Ог на 2 -плоскости заданы (однозначные) аналити­ ческие функции /|(г) и /2(2) соответственно, удовлетворяющие равенству /1(2) = /2(2) в обшей части (пересечении) <1 областей 0 | и Х>2 (рис. 10.10), которая, в частности , может быть отрезком кривой, то говорят, что функция /1(2) ана­ литически продолжается в область 02 - А на ­ логично, / 1(2) является аналитическим про­ должением /2(2) из области 02 в 0 \ через их общую часть Л. Согласно теореме един­ ственности (см. 10.3.2), если существует ана- Рис. 10.10 литическое продолжение, то оно единственно. Следовательно, функции / 1(2) и /2(2) можно рассматривать как элементы одной и той же функции / (2), аналитической в объединении областей и02.Приэтом/(2)=/1(2)вВ|и/(2)=/2(2)в02. Пример 22. Пусть — круг |2| < I, а область — круг|г-![< '/2.ВХ>|задана аналитическая функция определенная своим степенным рядом /|(г)=I -2+ -2^-1 -... = 2 3(-0 ”2". п=0 Используя разложение функции ^ - в ряд Тейлора в окрестности точки г = О, найдем, что /1(2 ) — ---- вобласти Раскладывая функцию ---- в степенной 1-(- -2 1+2 ряд в окрестности точки 2 = 1 , получим /2(2) “ 2-1 - '-ГТ7ПТТ7)--,- 1 1+! < 1,т.е. 1-1 -» Этот ряд сходится к /2(2 ) в области />2 {так как он сходится при при \г —г\ < \^2), и его сумма равна у-|-— . Таким образом, / 1(2 ) = ^ области <1 пересечения областей и 02- Обе функции / 1(2) и / 2(2) являются элементами одной же функции /{г) = \ ^ аналитической в области объединения Х>| и 1 >2 . Следовательно, / 1(2) и / 2(2 ) являются аналитическими продолжениями друг друга в соответствующие области. Более того, ^ ^ ^ я вл яется а нал итичес ки м продолжением
функции /[{г), определенной в круге В ] , на всю комплексную плоскость с исклю­ ченной точкой 2 = —] . 10.7 .2 . Аналитическое продолжение при помощ и степенных рядов Если аналитическое продолжение возможно, то обычно его осуществляют при помощи степенных рядов. Пусть дана аналитическая функция / 1(2), представленная степенным рядом в круге сходимости \г - г]\ < Н\ (область 0 |). Выберем внутри 01 точку 22 ф и построим степенной ряд Тейлора в окрестности г: п=0 коэффициенты которого находятся при помощи / ,(г) по формуле „(2)_ 'М, . “и — /1 Круг сходимости этого ряда |г - 22! < Яг (область О г) может выходить за пре­ делы круга Х)|, тогда получается аналитическое продолжение / 1(2) за пределы С ] . В результате повторения процедуры аналитического продолжения будем иметь цепь пересекающихся кругов сходимости. Если этот процесс может быть продолжен по всем возможным направлениям, то получим функцию, анали ­ тическую во все более увеличивающейся области, а функции /|(г), /2(2),.. ■ , являющиеся суммами степенных рядов, будут элементами некоторой общей аналитической функции / ( г ) . Если продолжение степенного ряда, представ­ ляющего функцию /|(г), далее невозможно ни в каком направлении, то говорят, что эта функция непродолжаема и окружность круга является ее естественной границей. Если центры 22, ■ .. , 2т пересекающихся кругов сходимости 0 ^,0 2 , ■■■. О т лежат на некоторой кривой С , то говорят, что функция /(г) аналитически продолжается вдоль С . Теорема монодромии. Ест некотораяфункцияано/штическипродолжа­ ет с я вдоль любой непрерывной кривой, содержащейся в односвязной области, т о данная функция однозначна в э то й области.
10.7 .3 . Многозначные аналитические функции Может оказаться, что при аналитическом продолжении функции /1(2) при помощи цепи пересекающихся кругов мы получим круг пересекающий­ ся с первым кругом Л ]. Значения аналитических функций /|(г) и /т(^) в точках пересечения » В т могут; 1) совпадать, 2) не совпадать. В первом случае общая функция /(2) будет однозначной и аналитической в области ее продолжения. Во втором случае / (2) является многозначной, а однозначные аналитические функции, из которых она состоит, называются ее (однознач­ ными) ветвями. 10.7 .4 . Аналитическое продолжение действительной аналитической функции Действительная однозначная функция /(х) действительной переменной, определенная в промежутке (а; 6) оси О х , называется аналитической в (о; Ь), если в некоторой окрестности каждой точки Хо из (а; Ь) она может быть представлена в виде сум м ы ряда 00 {(х)= '^а„(х-хоТ, п=0 имеющего действительные коэффициенты. Если /(ж) аналитична в (а;Ь), а /(г) — комплексная аналитическая функция в области В , содержащей промежуток (а;Ь), и /(х) = /(г) при г = х в (а;Ь), то говорят, что /(г) является аналитическим продолжением /(х) из {а ,Ь) в В . Для построения аналитического продолжения /(г) функции /(х), определенной в (а;Ь), в некоторую область В , симметричную относительно действительной оси Ох (1т 2 = 0), следует в разложении /(х) заменить х на 2 = х -Ьгу: /(2)= ^ а „(2-хо)". п=0 Пример 23. 1) Однозначная функция действительной переменной определяется рядом .I” п! п=и Заменяявэтомряде х на2 =ж+гу, получимряд 00 п сходящийся на всей комплексной плоскости (Д = оо), сумма /(г) которого сов­ падает с е* при г = X . Функция /(г) является единственным (по теореме един­ ственности) аналитическим продолжением е” в комплексную плоскость. В силу этого /(г) можно назвать комплексной показательнойфункцией и обозначить е . е*=5^ “ (|х| < -Ноо).
2) Комплексные функции 51п г, со8г могут быть определены как аналитические про­ должения соответствующих однозначных действительных функций 51п х и со8х. 3) Заменяя в разложении 1п (I + 2:) (см. 9.7.2, пример 30) х на 2 , получим ряд 1п(1+г)= г-у+ у-... (|г|<1), сумма которого 1п (1 + г ) равна главной ветви бесконечнозначной функции ^п (1 + г) (см. пример 16). 10.8 . Римановы поверхности. Точки ветвления 10.8 .1 . Общие понятия Однозначные аналитические функции могут иметь в некоторой точке г = гцфой (или 2 = оо) изолированные особенности вида: устранимая особая точка, по ­ люс, существенно особая точка. Многозначные функции имеют в некоторой точке г = го 7^ 00 (или 2 = оо) изолированные особенности, называемые точками ветвления, понятие и свойства которых рассматриваются ниже. 10.8 .2 . Условие однолистности функции Если однозначная аналитическая в области О функция IV=/(г) = и(х,у)+1ь{х,у) удовлетворяет в какой-либо точке 2о области О условию /'(^о) Ф О, из кото ­ рого следует ди ди ,2 ди ди д(и, V) дх ду д{х, у) ду дю ду то система уравнений и = и {х, у), V = V{x, у) в некоторой окрестности точки 2о может быть однозначно разрешена относительно х и у. Следовательно, такая окрестность точки 2о является областью однолистности (см. 10.2 .1) функции /(г), а обратная функция г = ^ {ы) однозначна и аналитична в некоторой окрестности точки то = /(^о) и /(те) = /'И ' Функци я К) = /(г) осуществляет при этом взаимно однозначное отобра­ жение окрестности точки 2о на некоторую область ю-плоскости, содержащую точку ТОО-
Примечание. Если /\г) ^ О в каждой точке области В , то /(г) не обязательно является однолистной во всей этой области. В общем случае об однолистности можно говорить лишь для достаточно малой окрестности каждой точки г из О. 10.8 .3 . Римано вы поверхности. Точки ветвления Дляфункциит — производнаяго' = Зг^ = Оприг—Оит'^ Оприг^0. Следовательно, любая окрестность точки г = О не является для функции V) = областью однолистности, при этом и; = не имеет однозначной обратной функции. Областями однолистности для т = являются, например, три бесконечные области Г>о, 02 в 2 -плоскости , аргументы <рточек г = \2\е“^ которых удовлетворяют соответственно неравенствам (рис. 10.11 о): т ж ж 5л- тг<1р<— . Если точку 2 перемещать по г-плоскости в пределах любой из областей По. то соответствующая ей точка т = \т\е'^ = будет пере­ мещаться по всей И)-плоскости, из которой исключены точки отрицательной действительной полуоси и < О, « = О, т. е. Й = тг (рис. 10.116), Раствор угла каждой из областей Оо ,0 \ ,02 , равный 2тг/3, увеличивается в 3 раза, становясь равным 2тг, что соответствует всей и;-плоскости с исключенной по­ луосью в = п (говорят также, что ш -плоскость разрезана вдоль отрицательной полуоси0=7Готточки2=Одог=оо).Лучи(р= -тг/Зи^ = тг/3,ограни­ чивающие область Оо, перейдут соответственно в нижний (0 = - я ’) и верхний {в = 7г) берега разреза ге-плоскости. Каждая из областей О ц ,В {,О г , явля­ ясь областью однолистности для ш = , о тображается взаимно однозначно
на всю ю-плоскость с разрезом. Точки г = О и г = ос находятся во взаимно однозначном соответствии с точками и; = О и и; = оо. Любой другой точке ю (и)^О ию/оо)в ю-плоскости соответствуют три числа (точки) 2о, гь 22 в г-плоскости , являющиеся значениями корня г = \/'т (см. 10.1.3): / 3/]—г/ ^0+ . 00 + 2ЙТГ\ = (</у])и = V 1»"11С08-------- ^------------Ьг5Ш -------- ^-------- 1, ( 10. 16) где /г = О, 1, 2; 0о — главное значение аргумента ю (-тг < во ^ тт). Рассмотрим три экземпляра (листа) «с-плоскости с разрезом, обозначен­ ных Со.СьСг и расположенных друг над другом в указанном норяаке. При этом лист Ск соответствует области О* (Л = О, 1, 2). Для объединения этих трех листов в единое целое соединим (или, как говорят, склеим) верхний берег разреза листа Со с нижним берегом разреза лежащего над ним листа О , ; верхний берег разреза С\ с н ижн им берегом разреза О^, а верхний берег разреза Сг соединим с оставщимся свободным нижним берегом разреза Со (возникающие при этом пересечения листов во внимание не принимаются). Построенная таким способом многолистная (в данном случае трехлистная) область называется римановой новерхностью функции 2 = . Функция (отоб­ ражение) IV = 2 ^ является трехлистной и устанавливает взаимно однозначное соответствие между всей расщиренной 2 -плоскостью и римановой поверх­ ностью функции 2 = Для каждой области Ок (к = О, 1,2) обратную к «) = 2^функцию обозначим 2 = = (\/то)к, значения которой на­ ходятся по формуле (10.16). Функции 2 = 5*(ю) (Л = О, 1,2) называются (однозначными) ветвями многозначной функции 2 = Каждая из ветвей равна нулю при и; = 0. Ветвь г = $о(^) (^ = 0) называется главной. Каждая из ветвей определена в соответствующей области Со, С| или С 2 и имеет область изменения или 02- Если, исходя из некоторой фиксированной точки то с аргументом Оо = -тг на листе Со, соверщать обход точки ю = О (не пересекая ее) по непрерывной кривой против часовой стрелки, переходя на действительной полуоси 9 = ж с листа Со на С], затем с С] на С2, а далее обратно на лист Со, то мы возвратимся в точку Юо- При этом происходит непрерывный последователь­ ный переход точки 2 на 2 -плоскости с одной ветви трехзначной функции 2 = \/ш на другую; в результате точка г вернется в первоначальное положение 2= т. е. при трехкратном обходе точки то = О (а также точки т = оо) происходит возврат к исходной ветви. В связи с этим точки ю = О и т = оо называются алгебраическими точками ветвления порядка 2 ф ункци и 2 = ■ Для того чтобы можно было рассматривать ветви функции независимо друг от друга, используется соответствующий разрез ю-плоскости . Если запретить пересечение этого разреза, то точка ы не сможет обойти точки ветвления и рассматриваемая ветвь не сможет непрерывно перейти в другую. Разрез
является линией разрыва ветви, значения которой отличаются друг от друга на разных берегах разреза. Совершенно аналогично рассматриваются алгебраические точки ветвле­ ния (и) = Ои и; = оо) порядка п - 1функции г = !Уй) (п — любое натуральное число), обратной к V] = г " . Области однолистности Оо. 0|, •••, Оп-\ Функ­ ции ю = г " на г-плоскости определяются неравенствами 2кж-ж 2кж+ж ,, ------- <1р< ------- (А;=О,1,2,... ,п - 1). п п Риманова поверхность функции г = \/ю является п-листной, состоящей из листов Со, С ь •••, С „_ 1 с разрезами по отрицательной действительной полуоси, склеенных между собой. В любой окрестности точек ветвления ю = О и И) = 00 разные ветви функции \/и) не могут быть отделены друг от друга. Если конечная область С в ю-плоскости односвязна и не содержит точку ветвления ги = О, то в ней можно рассматривать отдельные ветви данной функции. Каждая из этих ветвей устанавливает однолистное отображение области С , а, следовательно, для каждой точки этой области по формуле производной обратной функции можно записать (^еIсМ _ 1 _ _1 _______ ^ йт (г")г пг" пи» п т.е. в каждой точке области С , не содержащей точку и; = О, существует опре­ деленное значение производной рассматриваемой ветви. Таким образом, ка ж ­ дая из ветвей в области С является аналитической функцией. 10.8 .4 . Логарифмические точки ветвления Областями однолистности экспоненциальной функции т = являются по­ лосы на г-плоскости шириной 2тг и параллельные действительной оси Ох: Ок'. 2ктг-ж<1тг <2кт+ж (Л= ...,-1,О,1,...). Каждая из этих полос однолистности отображается взаимно однозначно на всю и)-плоскость с исключенной точкой No = О и имеющую разрез вдоль отрицательной действительной полуоси (и < О, и = О, т. е. ^ = ж) от точки VI=ОноVI—оо.Прямыеу=\тг= -ж у=\тX=жна2-плоскости, ограничивающие полосу Оо, переходят соответственно в нижний и верхний берега разреза и)-плоскости . Отображение к = переводит прямые у = \гп2 = Ь на 2 -плоскости в лучи в = Ь на то-плоскости, где ^-аргумент то. Логарифмическая функция 2 = Ьп то (то / 0) определяется ка к обратная функция2=^(то)кто=е*. Полагаяг=х+гу,ю =ге'*’,гдег=|то|;в=во+2кж (А = О, ±1, ±2,...); во — главное значение {-тг < йо ^ тг) аргумента то, по ­ лучим ге‘* = =е*•е‘^,т.е.г = , х =1пг(г^0);у=во+2кж.
Следовательно, для каждой из областей отдельные однозначные ветви 2 = ?*(«<) = (Ьг! и>)к многозначной функции г = ^пV^ можно записать в виде г=X+гу=(Ьпю)к=1пг+г(^о+2^тг) {к=О,±1,±2,...). Ветвь2=?о(®) =0)называется главной. Функция И) = — бесконечнолистна, а 2 = Ьпто — бесконечнозначна, так как все ее ветви г = (Ьп ю)*: отличаются друг от друга. Какую-либо из ветвей обозначают также г = 1п ю . Рассмотрим бесконечное множество листов ... ,С -[ ,Оо,С1, ... расши­ ренной И)-плоскости с исключенной точкой » = О и имеющей разрез вдоль полуоси 0 = 7Г, расположенных друг над другом в указанном порядке. С о­ единяя края разрезов соседних листов, как и при построении римановой поверхности функции 2 = получимбесконечнолистнуюриманову новерх- ность функции г = ^п т. Точки и;=Ои и;= ооявляютсяточками ветвления бесконечногопорядкаиназываютсятрансцендентными точками ветвления (или логарифмическими точками ветвления) функции2=ЬпИ),таккакприкаждом обходе в одном и том же направлении вокруг этих точек происходит переход к очередной новой ветви, а возврат к исходной ветви невозможен ни при каком числе обходов. Функция No = устанавливает взаимно однозначное соответствие между расширенной г-плоскостью и бесконечнолистной римановой поверхностью с исключенной точкой те = 0 . В любой конечной односвязной области С в те-плоскости, не содержащей точку те = О, можно рассматривать отдельные ветви функции г — ^ п го, зна ­ чения которых в каждой заданной точке Noо отличаются друг от друга на 1 к ш . Каждая из этих ветвей устанавливает однолистное отображение области С. По формуле производной обратной функции имеем =1 =1(,^0), йто {е% те т. е. производные для всех ветвей существуют и равны между собой в любой точке те / 0. Следовательно, каждая ветвь 2 = 1п те является однозначной аналитической в области С функцией. 10.8 .5 . Заключительные замечания Если в функции г = г (») , обратной к те = /(г), поменять местами, как это часто делается, обозначения зависимой и независимой переменной, т. е. рассматривать функцию те = ^ (г), то в 10.8.3 и 10.8.4 обратные функции запишутся в виде те = и те = Ь п г . Остальные обозначения также следует изменить соответствующим образом. Каждая из однозначных ветвей много­ значной функции является аналитической функцией, и к ней применимы интегральные теоремы Кош и при условии, что контур интефирования не пе­ ресекает соответствующие разрезы плоскости.
Точка 2 = 00 является точкой ветвления для функции / (г) , если функция Н О — /(1/С), полученная в результате преобразования г - 1/(, имеет при ^ = Оточку ветвления. Например, многозначная функция /(г) = 1/ \/г имеет точку ветвления г = ос (а также 2 = 0), так как функция /1(() = имеет точку ветвления С = О (а также С = оо). 10.9 . Конформное отображение 10.9 .1 . Понятие и свойства конформного отображения Пусть ю = /(г) = и(х, у) + гь{х, у) — однозначная аналитическая в области О функция, удовлетворяющая в точке 2о этой области условию / ’(г:о) ф О (см. 10.8 .2), в силу которого она однолистна в некоторой окрестности точки 2о. Тогда взаимно однозначное отображение т — /{г) достаточно малой окрестности точки 2о в 2 -плоскости на некоторую область в ю-плоскости , содержащую то чку гоо = / ( 2 0 ) , называется конформным отображением (первого рода). При этом отображении угол а между дугами иС® любыхдвух кривых, проходящих через точку 2о, равен по величине и направлению отсчета углу а между образами С^,'^ и этих дуг, проходящих через точку щ = / ( 2о) (рис. 10.12а, б). Элементы длин |Й2о| = ^ (<1хУ + (ЛуУ и © О 0 б)
\йтй\= ^ (йиУ+(ЛюУдугСги в точках го и то связаны соотношением Произвольный бесконечно малый треугольник (т. е. имеющий бесконечно малые стороны) вблизи точки го отображается в подобный ему бесконечно малый треугольник на ге-плоскости, причем все его стороны растягиваются в |/'(го)| раз и поворачиваются на угол а г§/'(2о), а площадь умножается на |/'(го)|^ = а;— -. - . Здесь /'(го) - функция от го. д(х,у) Точки, в которых } '( г) = О или 1//'(г) = О и, следовательно, конформ­ ность нарушается, называются критическими точками отображения го = /(г). Отображение, при котором неизменными являются только величины углов между двумя кривыми, но не направления их отсчета, называется антикон- формным (и ли конформным отображением второго рода). Например, т =г. Далее рассматриваются только конформные отображения первого рода. Отоб­ ражение т = /(г) конформно в точке г = оо, если отображение ^(^) = /(1/С) конформно в точке С = О- Задача построения конформного отображения некоторой односвязной об­ ласти О в г-плоскости на односвязную область О в то-плоскости сводится к нахождению однозначной аналитической и однолистной в области В функ­ ции, область значений которой совпадает с С . При этом предполагается, что О не является всей расширенной г-плоскостью или всей г-плоскостью с од­ ной исключенной точкой. Теорема Римана о конформном отображении. Для каждой односвязной области О в г-плоскости, кроме всейрасширенной г-плоскости и ^-плос­ кости соднойисключеннойточкой, существует однозначнаяаналитическая функция и; = / ( г) , осуществляющая конформное отображение области О на внутренность единичного круга |г«| < 1. Функция /( г) определена един­ ственным образом, если заданы условия: /(го ) = Шо « агв/'(го) = а, где го,Щ,а —заданные числа, причем го принадлежит В. Задача комформ- ного отображения двух областей друг на друга сводится к конформному отображениюкаждой из них наединичный круг. X—1 пример24. Функция т — ■ осуществляет конформное отображение правой 2-полуплоскости ж = Ке2 > О на единичный круг |гу1< 1 (рис. Ю .13а,5).Приэтом точка г—О(Л1)переходитвточку ги—-I(Л',);гу'(О)= 2, аг§ш'(0)= 0.Точка г—оо переходит в точку ь) = \.Прямая х = О(г = гу)переходит в окружность |ш| = 1. При конформном отображении взаимно перпендикулярные прямые х = соп51 и у=С0П51 на 2-плоскости переходят во взаимно ортогональные кривые на 1У-плоско - сти; и обратно, координатным прямым и = соп51, V ~ соп51 на и?-плоскости соответ ­ ствуют взаимно ортогональные кривые на 2-плоскости .
«) © 0 б) Рис. 10.13 П ри м ер 25 . Функция и) = г является двухлистной во всей 2 -плоскости. Обратная к ней функция г = — двузначна и имеет точки ветвления гу = О и г^? со. Функция V) — 2 ^ отображает всю расширенную 2 -плоскость на двухлистную риманову поверхность функции г = у/ь). В точках 2 = О и 2 = оо, являющихся критическими, преобразование не является конформным. Первая четверть ^-плоскости (О ^ у? ^ тг/2) © 0
«) Рис.10 .15 отображается на верхнюю «/-полуплоскость (О ^ й < ж). Правая г-полуплоскость (~ж /2 < у! ^ тг/2) отображается на всю ««-плоскость с разрезом ( - ж < в ^ ж). Левая г-полуплоскость также отображается на всю ш-плоскость (неоднолистность). Областями однолистности функции VI = являются, например, правая 2 -по­ луплоскость (-1г/2 < >р < ж/2) и В , : левая г-полуплоскость (ж/2 < 1р < Зтг/2). Отображение конформно в областях однолистности, за исключением критических точек.Пустьг=И- «у,то=и -Ь»«,тогдадляV)= имеем и = - у^и=2ху. Прямым и = С\ и V = Сг на и;-плоскости соответствуют два семейства ортогональных гипербол ~ = С\ и 2ху = Сг на 2 -плоскости (рис. 10.14о,б). Каждой точке гиперболы х^ - у^ — в правой (левой) полуплоскости а: > О (х < 0) соответствует только одна точка прямой и = С , . Однако каждой точке прямой и = С, будут соответ­ ствовать точки как на гиперболе х^ -у^ = С| (г > 0), так и на гиперболе - у^ = С| (г < 0) (двухзначность). Прямые х = Сх, у = Сг на г-плоскости переходят в два семейства ортогональных парабол и = а ± на то-плоскости (рис. 10.15 о, б). Лучи, выходящие из точки г = О, переходят в лучи, выходящие из точки и; = О и повер­ нутые на некоторый угол. Если угол между двумя лучами, выходящими из г = О, равен а , то угол между их образами на ш-плоскости равен 2а (2а ^ 27г). Точки г = О и г = 1 переходят в точки No ~ О и ад = 1. Любая область В , содержащаяся в области однолистности, конформно отображается на некоторую область О в («-плоскости. Интеграл Ш варца—Кристоффеля г И)=^У(г-Х|)“'-'(г-12)“'-' ■■•(г- йг+В, где = п -2\А^О,В — некоторые комплексные числа, определяет конформное отображение верхней полуплоскости у = 1т .г > О на внутрен­ ность офаниченного п-угольника {п Ъ) ъ то-плоскости; точки контура
п-угольника взаимно однозначно соответствуют точкам оси О х; различные точки (—00 < Х\ < Х2 < ■■. < Хп < +оо) ОСИ Ох соответствуют вер­ шинам и)1, «>2,. .. , «>п п-угольника, внутренние углы которого в вершинах Ы]равныа^тг{} =1,2,... ,п)-, т = В при 2 = 0. Для каждого заданного п-угольника на ш-плоскости из всех точек три могут выбираться произ­ вольно, а остальные значения и величины А н В находятся единственным образом из условия задачи. Если одной из вершин многоугольника, например ы „, соответствует точ­ ка г „ = оо, то множитель (г - х„)""~', содержащий х „ , выпадает из формулы Шварца— Кристоффеля. 10.9 .2 . Примеры конформных отображений 1. Линейная функция IV = аг + Ь {а = |а|е'“ ^ 0) осуществляет конформ­ ное (линейное) отображение всей расширенной г-плоскости на расширенную ш-плоскость. Данное отображение является наложением тр>ех отображений: 1) поворот 2 -плоскости на угол а , 2) подобное преобразование с коэффици­ ентом растяжения |а|, 3) сдвиг на постоянный вектор Ь. Прямые переходят в прямые, окружности — в окружности. Линейное отображение при о ^ 1 можно записать в виде V)-и)о=а(2-2о), го= - —!— . 1-а Точка г = 2о переходит в точку т = го. 2. Функци я «) = 1/2 осуществляет отображение расширенной 2 -плоско ­ сти на расширенную «)-плоскость . Пусть 2 = ре'*’ , = ге'*, тогда г = 1/р, О = - (р. Окружность \г\ = 1 переходит в окружность |и)| = 1. Внутренность круга |2 | < 1 переходит в область |и;| > 1, и наоборот, область \г\ > 1 перехо­ дит во внутренность круга |ге| < 1. В точке 2 = 0 отображение не конформно. Точки21=1и22= - 1,2з=«, 24 = -« переходятвточкии))=1,И)2= -1, щ= -I,No4=I.Изравенстваи+IV=1/(х+1у)следует «=^, У=-^, р= у/х^ + у^. Любая прямая или окружность на 2 -плоскости переходит в окружность на И)-плоскости . 3 . Дробно-линейное отображение, осуществляемое дробно-линейной ф ун к ­ цией V}= {ай-Ьс^О , Сф0), сг+й взаимно-однозначно отображает расширенную 2 -плоскость на расширен­ ную 1с-плоскость . Отображение конформно на всей плоскости, исключая
точку го = - й/с, в которой т(го) = оо, т '(го) = оо. функция, обратная к дробно-линейной, является также дробно-линейной. Прямые и окружности в г-плоскости переходят в прямые или окружности в No-плоскости и обратно. Неподвижные точки, т. е. отображающиеся сами в себя (то = г ) , находятся из уравнения аг+Ь сг+й’ т. е. +(а-а)г-Ь=0. 4. Функция и>= (т = ге'*, 2 = ре"*’) двузначна и имеет две ветви, одна из которых — главная (ю = -тг < ^ >!■) — отобража­ ет взаимно однозначно всю г-плоскость с разрезом вдоль отрицательной полуоси О х (^0 = выходящим из точки 2 = О, на правую те-полуплос- кость (-7г/2 < 0 с 7г/2); а другая ветвь (г» = -п < щ ^ т ) — на левую полуплоскость (я-/2 < б < 35г/2). Конформность нарущается в точке г = О, в которой ю'(0) = оо. Неподвижными являются точки2=Ои2=1.Полагаяю=и+IV,г =х+гу,получимх=у}- у=2ию\ и=±~(г+ V=±^(-х -Ь\/1^+ у^)'^^. Прямым и = С( и « = Сг на то-плоскости соответствуют параболы на 2 -плоскости . 5. Экспоненциальная функция т = (и= со&у, V = &ту) может быть записана в виде ге‘® = е“’+'*';т. е. г = , у = в ^ во+2ктг (-тг <во< ,тт), й=О±1,±2,.... Всилу(е^)' = Ф О, функция то = осуществляет кон­ формное отображение горизонтальных полос шириной 2тг на 2 -плоскости, например, —тг < у ^ тг, на всю то-плоскость с разрезом по отрицатель­ ной действительной Ои (и ^ О, V = 0) (см. также 10.8.4). Отрезки прямых х = С| (- тг ^ 2/^тг)на 2 -плоскости переходят в окружности на No-плоскости; прямые у = С2 переходят в лучи во = С 2, выходящие из на­ чала координат. 6. Логарифмическая функция и) = ^п 2 — бесконечнозначна, с точками ветвления2=О,2 =оо.Полагаят =и+IV,2 =ре"*', 95= + 2А;тг, -ж < 1ро л,к =О,±1,±2,... , получим2=е” = р=е", <р=V, те.и =\пр,V= ^0+2/гтг,илит = \п р + г{1ро + 2А;тг). Производные для
всех ветвей логарифмической функции равны между собой в любой точке г и находятся по правилу дифференцирования обратной функции: (1пг)' = (е”)' е"' 2' Каждая ветвь 1п г является аналитической функцией. Главная ветвь И)= 1пг = 1пр +1^0функции т = ^п г (при к = 0) конформно отображает всю г-плоскость с разрезом по отрицательной действительной полуоси (х < О, у = 0) на полосу -гг < 1ти) ^ 7Г. Конформность нарушается в точках ветвления2=Оиг=сю.Отрезкампрямыхи=С\(-тг<и<гг) и прямым V = С2 (-7Г < Сз ^ гг) на No-плоскости соответствуют окружности р=\г\ = е^' и лучи = Сг- 10.10. Некоторые элементарные функции 10.10.1 . Общ ая степенная функция Общая степенная функция ю = 2 ° (а = а + г/3 — произвольное комплексное число) определяется равенством 2° = и является при /3 О бесконеч­ нозначной. Пусть 2 = ре’*’ , тогда ^п 2 = 1пр-1-1(^0 + 2/гя’) (см. 10.9.2,6). Сле­ довательно. ьа = г“ = ехр{а 1пг-/9(^о+2Лгг)}-ехр{1\а(<рп+2кж)+0\пг|}, гдеехр{Ф} =6*, к = О, ± 1 ,±2,.... Главная ветвь получается при к = 0.При /3= 0 значения 2“ лежат на окружности |ю| = е "'"'’ — р ° и имеют аргументы Ок = а(^о-I -2<:гг). Если а —р/д — рациональное число (несократимая дробь), то функция 2“ = является 5 -значной. При а иррациональном функция г " бесконечнозначна и имеет точки ветвления 2 = О, 2 = оо. Справедливы следующие тейлоровские разложения в окрестности точки 2 = О (в случае многозначных функций рассматриваются их главные ветви): где а — любое комплексное число; если а = п — натуральное, то ряд пере­ ходит в конечную сумму. Здесь рассматривается однозначная ветвь, равная 1 при 2 = 0. Круг сходимости: |2| < 1. Разложение функции (с± 2)“ , где с — комплексное число, находится при помощи равенства (с±2)“= с‘‘(1±0“. 2)— = -(|±-) = 1[1т--Н(-) Т(-) ' С±2 С\ С/ С С\С/ \с/ |2| < |С|, сфО.
3 И<1. ' 2 2-4 2-4-6 2-4-6-0 Здесь рассматривается ветвь, равная I при г = 0. Обозначая 1+2 = С. можно записать разложение главной ветви а/^ в окрестности С = I : 2-4-6-8' |С-1|<1. 10.10.2 . Тригонометрические и гиперболические функции 5шг=2 - — +— -... (|2| < оо), г" С05г= 1- — +— - (|г1< оо), 5Ь2=2+ — +— +... (|2:|<00), с112=1+—+ — +... (121 <оо). Периоды функций 81п 2 , С08 2 и 5Ь 2 , сН 2 равны соответственно 2тг и 2тгг. Определение остальных функций: 1ё2= 51П2 С1§2 = С05 2 Ш2= 8К2 сНг’ сШ2 = С08 2 81П 2 Справедливы равенства: 8Ш2 = ^(е‘"-е-'"), 5(12= ^(е"-е~"), 8Ш2= -181112, С08 2 = сН12, (82= -ИЬ12, с1Н2 = гс(Ь«2 . Обратные функции и еоотношення между ними: 12^I32^13 52’ агс8Ш2=2+-.-+-.-.-+-.-.-.у+... сЬ2 8Н2 (к1< 1).
1 I32*135 л, ч аг.Н . = . ( N < 1 ) , г* агс182=г-у+у- ... (|г| < 1), ^ 2.^ зПЪг=2+—+ — + (|2|< 1), агс81П2 = - аг5Нгг, агс1ё2= -г аПН гг. 10.10.3 . Показательная и логарифмическая функции Общая показательная функция ю = , где а — произвольное комплексное число, определяется равенством и является бесконечнозначной функцией, главная ветвь которой получается, если Ьпо взятьпри к= О(см. 10.10.1).Приа = еимеем е^=1+^+^+^+... (N<00). Функция — периодическая, с периодом 2жг. Справедливы равенства: е'* = С05 г + г 81п г (формула Эйлера), = е^(со8у + г&\пу), = сН2+зН2. Пример 26. 1) Главное значение равно: ^ ^ ^.4(1. ^^0.^,„,2=е08у +.•5|Пу . 2) Главное значение г' равно: Логарифмическая функция V) = ^'п г ( г ^ 0 ) определяется как обратная к2=е”. Пусть2=ре'*,р =\г\, = 1рй + 2жк, к = О, ±1,±2,..., ~ж < (ро Я-, тогда Ьп2 = 1пр+!^, где 1пр — обычный натуральный логарифм. Однозначная функция 1п2 = 1пр + гу?о {к = 0) называется главной ветвью бесконечнозначной логарифмической функции Ьп г (см. также 10.8.4),
Пример 27. Найти значения логарифмов комплексных чисел: 1) 1п1=!п|||+ »агё* = О+ =1^. 2) 1п(-1) = 1пI -«I+«аш(-«)=«^-0 =-у . 3) Ьп(2.) = Ьп [2е'No+“ ''] =\п2+г(^ +2к-к^ . * = 0,±1,±2. 4) 1п(-е) =1пI - е|+«аг8(-е) = 1+«тт. Решение. Для главной ветви логарифмической функции, значение которой равно О при 2 = 0, справедливо разложение 1п(1+2)=г-у +у - ... (|г:|<1). [>
Глава 11 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее не­ известную функцию (или несколько функций), ее производные или диф­ ференциалы различных порядков, а также независимые переменные. Если неизвестные функции зависят от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным; если от нескольких аргументов, то — уравнением с частными производными. Любая функция, удовлетворяющая дан­ ному дифференциальному уравнению, т. е. обращающая его в тождество, называется решением этого уравнения. П рим ер 1. Обыкновенное дифференциальное уравнение у + х у = 0 содержит неиз­ вестную функцию у{х) . В уравнении с частными производными неизвестная функция и{ х, у) зависит от двух аргументов. 11.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 11.1 .1 . Основные понятия. Достаточные условия существования и единственности решения 11.1.1.1. Основные понятия и определения Обыкновенным дифференциальным уравнением порядка пназываетсяуравнение вида Р(х,у(х),у '{х),у "{х),... =0, (11.1) где Р — функция указанных аргументов, связывающая независимую пе­ ременную X , неизвестную функцию у(х) и ее производные. Порядком п дифференциального уравнения называется порядок наивысшей (старшей)
из входящих в него производных неизвестной функции. В некоторых част­ ных случаях уравнение может не содержать явно х ,у{х), а также отдельных производных. Пример2. Уравнения {уУ+-у^ = 0 иу" -\-4у=0соответственно первого и второго порядка. Уравнение (ИЛ) записано в неявном виде. Уравнение, разрешенное от­ носительно старшей производной г/*"’ = / ( г , г/, 2/',..., !/*"■'>), ( 11.2) называется уравнением в явном (нормальном) виде. Если левая часть уравнения (11.1) линейна по совокупности у ,у ', . . . ,у^"\ то оно называется линейным уравнением п-го порядка. Некоторая функция у = >р{х), непрерывная в конечном или бесконечном промежутке (а; Ь) вместе со своими производными до порядка, равного порядку дифференциального уравнения ( 11.1) и обращающая это уравнение (или уравнение (И .2)) в тождество для всех х из (а; Ь), т. е. Р{х, >р(х),1р'{х), ^ р "{x),ур*"*(х)) г О (а< X <Ь), называется решением (интегралом) этого уравнен ия в промежутке (а; Ь). В об­ щем случае интегралом какого-либо дифференциального уравнения называ­ ется любое уравнение, не содержащее производных неизвестной функции, из которого это дифференциальное уравнение может быть получено как следствие. Процесс нахождения решений (интегралов) дифференциально­ го уравнения называется его интегрированием. Если все решения какого- либо дифференциального уравнения выражаются через элементарные функ­ ции или через неопределенные интефалы от элементарных функций (т. е. в квадратурах), то говорят, что это уравнение интегрируется в конечном виде. Большинство дифференциальных уравнений не интегрируются в конечном виде. Решения таких уравнений ищутся с помощью степенных рядов, а также с использованием различных приближенных методов (см. 16.8). Пример 3. 1) Функция у ~ при любом х является решением уравнения у" —4у = О, что проверяется непосредственной ее подстановкой вуравнение. 2) Функции у=зтх, у =со&х обращаютуравнение у"+у=Овтождество при всех X. 3) Уравнение х^у = 1 является интефалом для дифференциального уравнения ху'+2у=О,таккак(х^у)' — 2ху+х^у' — 0. Решение уравнения может быть найдено также в неявном виде Ф(х, у) = О, либо в параметрической форме х = 1р (1), у = ‘фЦ), где I — параметр. Общее
р е ш е н и е уравнения ( 11.1) или ( 11.2) порядка п записывается в виде 2/= ^(1,С|,С2, ... ,С„), (11.3) где С1,С2,...,С„ — произвольные постоянные (постоянные интегрирования). Общее решение уравнения порядка п , записанное в неявном виде Ф(х,2/,Сь...,С„) =0, называется о бщ им инте гр а л о м этого уравнения. Для каждой совокупности конкретных значений постоянных С ], . . . , С „ из общего решения получается частное решение. График какого-либо частного решения уравнения на плос­ кости Оху называется интегральной кривой этогоуравнения. Множество всех этихкривыхназываетсяя-параметрическимсемейством интегральных кривых, зависящим от параметров С ], . . . , С „ . Обратно, каждому семейству кривых, например, однопараметрическому Ф { х , у , С ) = О, соответствует некоторое дифференциальное уравнение Р(х , у , у ') = О, которое получается исключе­ нием параметра С из системы уравнений Ф(х,у.С)= О, Ф^(х,у.С)+ Ф’у{х.у.С)у= 0. Если семейство кривых задано уравнением у = (р{х ,С), то предьшущая си­ стема примет вид: у = <р(х.С), у = (р'^{х. С). Некоторые дифференциальные уравнения имеют дополнительные, о с о ­ бые решения (особые интегралы), невходящиевобщеерешение,т.е.ихнельзя получить из общего решения ни при каких значениях С\, Сг, (включая ±оо). Задача К о ш и (начальная задача) состоит в отыскании частного решения, удовлетворяющего п начальным у с л о в и я м у{хо) = Уо, у'(хо) = Уо, ■■■, у‘’’~'\хо) = Уо^'\ где1о,з/о,у'о,..., уд" '^ — заданныечисла(начальные значения).Заданиена­ чальных условий означает, что при I = Хо задаются значения функции и всех ее производных до порядка ( п - 1) включительно. Решение задачи Кош и ино­ гда записывают в виде у = у(х, Хо, Уо, З/о. •••>Уо"~'^), в котором указываются начальные значения. В частности, для уравнения у' = /(х , у) начальное условие имеет вид: У = Уо при X = Хо (или у(хо) = уо}- Геометрически решение задачи Кош и состоит при этом в отыскании интегральной кривой уравнения, проходящей через заданную точку (хо, уо) на плоскости Оху. Если общее решение (11.3) уравнения (11.1) или (11.2) известно, то по­ стоянные С|, Сз,..., С „ , определяющие соответствующее частное решение.
находятся из системы уравнений 1р{хо, С| ..., С„) = Уо, 1р'{хо,С{ = у'о. где производные поа; от 1р(х, С ), . . . , С „) берутся при х = Хо- Если выра­ зить произвольные постоянные С 1, . . . , С „ через начальные значения Хо, Уо, Уо,- - - ,Ро‘~ ‘^ и подставить их в общее решение (11.3), то общее рещение, записанное в виде у = у(х,Хо,уо,Уо,--.,Уо"^'^), где Хо зафиксировано, а уо, у ц , играют роль произвольных посто­ янных, называется общим решением в форме Коши. При фиксированных на­ чальных значениях из общего решения получается частное решение. Пример 4. Уравнение первого порядка у' = 2х имеет общее решение у = + С { С — произвольное число), равное неопределенному интефалу от 2х. Семейство ин- тефвльных кривых уравнения состоит из бесконечного множества парабол, соответ­ ствующих разным значениям С (рис. П .1). Задача Коши с начальными условиями у = Уо при х = Хо здесь состоит в нахождении параболы, проходящей чеЕ>ез заданную точку (жо,уо)- Для нахождения С подставим X = Хоу у = Уо в общее решение, полу­ чимС=Уо-х1,т.е.у =х^ Уо-х].Например, еслиЖо=ЬУо=2,тоС=1иу= +1.Таким образом, из множе ства парабол общего решения выделена одна, проходящая через то чку (! ; 2). Краевая задача заключается в нахожде­ нии частного рещения у = 1р{х) дифферен­ циального уравнения порядка п при наличии п краевых (граничных) условий, наложенных на функцию 1р{х) и ее производные в кон­ цах X = а к X = Ь некоторого заданного отрезка [о; 6], в котором это рещение ищется. Функция (р{х) обращает уравнение в тожде­ ство внутри [а; 6] и удовлетворяет краевым условиям на его концах. Если для уравнения второго порядка краевые условия имеют вид у(а) = Уа, у{Ь) = уь, то геомет­ рический смысл краевой задачи состоит в нахождении интегральной кривой, проходящей через заданные точки (а, */„), (Ь, уь).
Пример 5. Решением уравнения у " + у = О, удовлетворяющим краевым условиям у(0) = О, у(тг) = О на концах отрезка |0; ]г|, является функция у = С 51п I (О $ I < тг), где С — произвольное число. Данная краевая задача имеет бесконечное множество решений. Для краевых условий у(0) = О, у(тг/2) = I задача имеег единственное решение у = $тх (О^ < >г/2). Система обыкновенных дифференциальных уравнений Рх(х\У\,.--,Ут-,У.......у 'т , - ) = ^ («= 1,2,...,т) ( 11.4) содержит т неизвестных функций У1(г), ..., У т(х) и их производные различ­ ного порядка. П о р я д к о м п^ каждого из уравнений системы (11.4) называется наивысший порядок содержащейся в нем производной. Порядком п системы (11.4) называется сумма порядков п = П| + . .. + Пт всех входящих в нее урав­ нений. Любая совокупность функций у^ = <р\(х), , Ут = 4>т(х), обраща­ ющих все уравнения системы (11.4) в тождества относительно х , называется решением (интегралом) этой системы. Процесс нахождения рещений системы называется ее интегрированием. Графикрещения системы, являющийся неко­ торой кривой в { т + 1)-мерном пространстве точек (х, у|, . У т), называет­ ся интегральной кривой системы (11.4).Общеерешениеу, = ^р^{x,С\,..., С„) (*=1,2 т) системы(П.4)содержитп произвольных постоянных (посто­ янных интегрирования)Сь ..., которые могут быть найдены при помощи п начальных условий. Уравнение вида (11.2) с одной неизвестной функцией у(х) сводится к системе п уравнений первого порядка Лу2 йуп-\ <^Уп ,, . ^ = ^=Уз. .... ^=Уп, ^ = /(.,Уь...,У„), гдеу, = у(х), у2= у'{х), ..., у„ = у*""'*(г) — новые неизвестные функции. Если найдено решение этой системы, то тем самым найдено также и решение уравнения ( 11.2), так как у(х) н у](х). Обратный переход от системы п уравнений первого порядка к одному уравнению п-го порядка удается провести не всегда. Однако всегда можно перейти от системы к совокупности нескольких уравнений (каждое — с одной неизвестной функцией), сумма порядков которых равна п. Любую систему вида (11.4) можно свести к равносильной ей системе п уравнений первого порядка, заменяя высшие производные новыми неизвест­ ными функциями. Пример 6. Система трех уравнений второго порядка х" = Р(х, у, г), у" = Я(х, у, г), г " = Щх. у, г) с тремя неизвестными функциями х(1), у(1), г(1) при помощи введения еще трех неизвестных функций и(<) = х ' . V(^) = у , т { 1) = г сводится к системе шести
уравнений первого порядка (1х <1у (1г (1и Лх) йи) — = Р{х,у ,г), — = д(х,у,и), — = К(х.у ,г), содержащей шесть неизвестных функций х(1), у(1), г(1), и{1), V{^), т{1). Шесть про^ извольных постоянных С|,...,Сб, входящих в каждую из шести функций общего решения, например, х = ^](<, С], ..., Сь), находятся при помощи начальных условий хЦо)= Хо, у((о)= Уо, г(«о) = го, и(1о) = Чо, в(<о)= Vо, Ч)(1о) = Щ . Подставляя найденные отсюда значения С ь , Сб в общее решение, получим частное решение. Нормальной системой называется система п дифференциальныхуравне­ ний первого порядка, разрешенных относительно производных п неизвестных функций у^{x) (« = 1,2,..., п): у\ = /\{х,Уи-- -,Уп), у'г = ^ ,[5^ у' п = и(x,У^,■■■,Уп)■ 06щее решение у^ = (р({х,С\,.. ■,Сп) (1= 1,2,..., п) системы (11.5) со­ держит п произвольных постоянных, которые могут быть найдены при по­ мощи начальных условий У\(х) = У\0, У2{х) = У20, ■■■, Уп{х)=У„о п р и 1 =Хо, ( 11.6) где Хо ,ую ,У2о, ■■■,УпО — заданные числа. В результате получается ч а с т н о е решение у^ = Общее решение системы (11.5) может быть записано также вформеКоши Уг= уЛх,Хо,2/10. •••, Упо) (» = 1,2,..., п), где Хо фиксировано, а значения у ю , . . . , у„о иф ают роль произвольных постоян­ ных.Первым интегралом системы (11.3)называетсяфункция ф(х,уиУг,... ,уп), не являющаяся тождественной постоянной и обращающаяся в постоянную при подстановке в нее любого решения у{ = ^р^(x) (» = 1, 2,..., п ) системы (11.5). Первый интефал удовлетворяет дифференциальному уравнению дхр дФ дФ ох дух ву„ В частном случае независимая переменная х может не входить явно в пер­ вый интефал. Примеры нахождения первых интефаловсм. в 11.2.2.1 и 11.2 .2 .2 .
Разрешая равенства у( = (р{{х, С\, . . . , С „) относительно С{, можно по­ лучить п первых интегралов ... ,уп)=С,(*=1,2, Если известны п первых независимых интегралов системы (11.5), то задача ее инте­ грирования решена, так как из уравнений У1, ■■■,Уп) = ^ (* = 1,..., п) можно выразить искомые функции через х и С ;. Каждый известный первый интеграл позволяет понизить порядок системы на единицу. П рим е ч а н и е. Первые интефалы называются независимыми, если ни одна из функций не может быть представлена как функция от остальных. Если правые части системы (11.5) зависят линейно от неизвестных функ­ ций з/ь ... , 2/п, то система уравнений ^ =Щ + /.(*) (* = 1,2,..., п) называется линейной. 11.1 .1 .2 . До стато чные условия существования и единственности решения Пусть требуется решить задачу Кош и ^ = /{х,у), у{хо) = Уо- (11-7) ах Теорема Пикара. Если однозначная функция /(х , у) в правой части урав­ нения (11.7); 1) определена и непрерывна по совокупности переменных х, у в зам кнутом прямоугольнике Н на плоскости О х у , определяемом неравенствами хй-а^х<,хц+а, уц-Ь^у ^уа+Ъ, 2) удовлетворяет условию Липшица \}(1:,У)- }(х,у)\ <,Ь\у-у\, где число Ь > О, а (х, у) и (х, у) — любые две точки из прямоугольника К , т о задача Коши (11.7) имеет единственное решение у = (р(х) {т . е. 1р (х) = / ( х , <р(х)) и (р{хо) = Уо)- Решение ^ (х ) непрерывно дифференцируемо на отрезке |х - Хо| ^ й, гдеН = т1п{о, Ь/М}, |/(х, у)\ ^ М в области К. П р им еч ан ие 1. Если / ( х , у ) удовлетворяет условию теоремы Пикара в некоторой открытой области О на плоскости Оху. то задача Ко ш и (11.7) имеет единственное решение при любых Жо.Ио таких, что точка (х сУ о) принадлежит О . Каждое из по­ лученных решений может быть продолжено до границы области О . Геометрический емысл теоремы Пикара: через всякую точку (хо, уо) в О проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (11.7).
П ри м е ч а н и е 2 . Условие Липшица заведомо выполняется, если частная производная /у непрерывна (или ограничена) в области V . Если в этой теореме отказаться от условия Липшица, то получим достаточное условие лишь существования решения для заданного начального условия. П ри м е ч а н и е 3 . Теорема Пикара обобщается также нанормальнуюсистему (] 1.5) с на­ чальными условиями (11.6), если условие Липшица записать в виде |/Их,уь..-Уп)-/.(ж,Уь---,Уп)| (*= 1,2,...,п) длялюбыхдвухточек (ж,у1, ... ,Уп) и {х,у Уп) из открытой области о ъ {п + !)-мер' ном пространстве. В частности, условие Липшица выполняется, если все производные непрерывны (или офаничены) в В . П рим еч ан и е 4 . Задача Коши для уравнения (11.2) с начальными условиями У(*о)=9о, у'(хо) = у'о. имеет одно и то ль ко одно, п раз непрерывно дифференцируемое решение, при ус ло­ вии , что одн озна чна я функц ия / непрерывн а по совокупнос ти всех аргументов в некоторой окрестности точки (жо, уо, !/о> ■■•■ " имеет в этой окрестности непр ерывные ча стные производ ные по у ,у \ Непрерывная зависимостьрешения задачи Коши от параметрови начальных значений. 1. Если в задаче Коши Лу/<1х = }(х,у,1), у(хо) = 2/о, функция /(х , у , I), где <— параметр, задана в области Ь , определяемой неравенствами |х-го|Со- 12/~Уа\С С <С <2, и удовлетворяет в ней условиям: 1) / непрерывна по совокупности всех своих аргументов, и , значит, \}{х , у ,1)\ ^ М в О; 2) удовлетворяет условию Липш ица по у, — то данная задача Кош и имеет единственное решение у = у{х,Хо,Уо,1), являющееся непрерывно дифференцируемой функцией от х в промежутке |х - Хо| < й, где к = П11п{а, Ь/М}, а также непрерывной функцией от <в промежутке С << <2. равномерно по х из |х-Хо| < Л; те. для каждого Е > О найдется число д > О, зависящее только от е и такое, что при |Д<| < <5 выполняется неравенство |у(х, Х(1,уо,Ь +А1) - у(х, Хо,!/о,ОI < ^плялюбого х изпромежутка |х- ХоК Л. 2. Если в уравнении йу/йх = /{х , у) правая часть /(х , у) удовлетворяет обоим условиям теоремы Пикара в области |х - Хо| С о. I?/~ 2/о| С Ь, то реше­ ние у = у(х, X*, у ') этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию у{х ‘ ) = у ' , является непрерывной функцией по совокупности начальных дан­ ныхX*,у' вобласти|х*-Хо|СА,|у*-уо|СЬ/2(О^А<й/4,гдеЛопределе­ но в п. 1) равномерно по х из промежутка С : |х-Хо| С Й/2-А; т. е. для каждого е > О найдется число <5> О, зависящее только от е и такое, что при |Лх*| < (5, |Ду*| < <5выполняется неравенство \у{х,х'+ Ах',у*+ Ау')-у{х,х* ,у ‘)\<е для любого X из С.
11.1 .2 . Дифференциальные уравнения первого порядка 11.1 .2 .1 . Основные сведения Если дифференциальное уравнение первого порядка общего вида Р(х,у,у') =0 ( 11.8) может быть разрешено относительно производной, то оно примет нормальный внд 2= (•'■9) Уравнение (11.9) можно записать также в виде, связывающем дифферен­ циалы: = /(х, у)Лх. Общее решение уравнения (11.9) имеет вид у = >р(х. С ). Наличие общего решения позволяет решать задачу Кош и У =}{х,у), у(ха) =Уо при любых начальных условиях го, Уа из области О , в которой выполня­ ются оба условия теоремы Пикара. Общее решение, записанное в неявном виде Ф(х, 2^, С) = О, называется общим интегралом уравнения. При известных начальных условиях из общего интефала может быть найден частный инте­ грал. Значение С определяется при этом из уравнения Ф(хо, Уо, С ) = 0. Если общий интсфал записан в виде 'ф(х, у) = С , то левая часть этого равенства называется интегралом уравнения. Дифференциальное уравнение может быть получено из его общего интефала путем исключения параметра С из системы уравнений: дФ дФI Ф(х,у,С)=0, Одно и то же дифференциальное уравнение может иметь несколько об­ щих интефалов. Геометрический смысл дифференциального уравнения. Есл и у = у (х ) — частное решение уравнения (11.9), то касательная М Т к интефальной кривой у = у{х) на плоскости Оху в каждой точке М {х ,у), лежащей на этой кривой (рис. 11.2), имеет угловой коэффициент к = } ( х , у ) (так как к = 1$а{М) = у'{х) = }{х,у{х))). Даже не решая уравнения (11.9), можно получить представление о расположении его интефальных кривых. Через каждую точку М (х , у ) области О на плоскости О ху, в которой определена Функция /(г , 2/), проведем вектор достаточно малой длины, составляющий угол а (18а = /(г, у) = {(М)\ с положительным направлением оси Ох. Точ­ ка М вместе с таким вектором называется линейным элементом. Множество всех линейных элементов образует поле направлений уравнения (И .9 ). Геомет­ рически задача интефирования уравнения ( 11.9) заключается в нахождении
таких кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпада­ ет с направлением поля. Если поле направлений представлено достаточно густо расположенными линейными элементами, то интегральные кривые могут быть изображены приближенно без решения уравнения (рис. 11.3), что дает возможность качественного исследования уравнения. При этом по­ лезно вначале изобразить изоклины (линии равного наклона) с уравнением /{х , у) = к = соп8(, вдоль которых направление поля, определяемое уравне­ нием (11.9), неизменно. При условии, что } ( х , у ) непрерывно дифференци­ руема, линии точек перегиба и линии экстремумов (если они существуют) инте­
гральных кривых могут быть найдены из уравнений р" = }'х + /у' /(*■!/) = О и у = {( х , у) = О соответственно. Например, изоклинами уравнения у' = 2х (см. пример 4) являются прямые х = к/2, параллельные оси Оу; линия точек перегиба здесь отсутствует; л ин и я экстремумов: х = 0 . Пример 7. Правая часть уравнения у' = + у^ непрерывна и имеет непрерывную производную по у на всей плоскости. Изоклинами являются окружности + у^ = к . При к = 0 окружность вырождается в точку (0; 0). В точках изоклины = 1угол а = я‘/4. Линий экстремума нет. Линия точек перегиба: у^ + х^у + х = 0. Некоторые иитефальные кривые изображены на рис. 11.4 сплошными линиями. Штриховыми изображены изоклины. Если в некоторой точке М (х , у) правая часть уравнения (11.9) обраща­ ется в бесконечность, что означает направление поля, параллельное оси Оу (вертикальное), то наряду с уравнением (П .9) рассматривают также «перевер­ нутое» уравнение Ту-1 ^у в котором X = х (у). уравнения (11.9) и (11.10), а также их интегральные кривые всегда рассматриваются совместно.
Обыкновенные иособыеточки уравнения.Точка(хо,уо)наплоскостиОху, в окрестности которой, содержащей и эту точку, выполняются оба условия теоремы Пикара для уравнений (11.9) или (11.10), называется о б ы к н о в е н н о й т о ч к о й уравнения (11.9). Через каждую обыкновенную точку в указанной ее окрестности проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (11.9) или (11.10). Вся эта окрестность сплошь заполнена интегральными кривыми, не имеющими друг с другом общих точек. Точка (хо,уа), в которой не выполняются все условия теоремы Пикара для уравнений (11.9) и (11.10), но выполняются в ее достаточно малой окрест­ ности,называется (изолированной)особой точкойуравнения(11.9).Множество особых точек может представлять собой некоторую линию, называемую о с о ­ бой линиейуравнения. Если (хо, Уо) — особая точка и существует интефальная кривая у = у(х) илиX=х(у)такая,чтоу(х)->уоприх^ Хаилих{у)->■Хоприу уо, то говорят, что эта интегральная кривая п р и м ы к а е т к особой точке. Поле направлений в особой точке не определено. К особой точке могут примыкать либо несколько интефальных кривых, либо ни одной. П р и м еча н ие . Особыми случаями задачи Коши называются: 1) задача нахождения интегральных кривых, примыкающих к особой точке {хо, Ио); 2) случай, когда хотя бы одно из начальных значений Хо, Уо не является конечным; 3) случай, когда правая часть уравнения (11.9) обращается в бесконечность в ко­ нечной или бесконечно удаленно начальной точке (хо.Уо). П р и м е р 8 . Рассмотрим уравнение (1у/Лх = у/х как единую совокупность самого этого уравнения, а также «перевернутого» уравнения Лх/йу = х/у. Поле направлений данного уравнения определено всюду на плоскости О ху, исключая точку 0(0; 0), в которой правые части обоих урав­ нений обращаются в неопределенность 0/0. Условия теоремы Пикара выполня­ ются всюду, кроме точки (0;0). Точка (0; 0) — особая, и в ней поле направле­ ний не определено. Непосредственной подстановкой проверяется, что функции у=Сх(х^й)иX=С^у(уф0), где С, С\ ~ постоянные, являются ре­ шениями самого уравнения и «перевер­ нутого» соответственно. Объединяя эти решения, получим, что интегральными кривыми данного уравнения являются все полупрямые (лучи), включая полу­ оси координат: у=Сх{хФ0)\ Х=0{уф0), примыкающие к особой точке 0(0; 0) (рис. 11.5). Изокл ины здесь совпадают с интефальными кривыми.
Пример 9 . Для уравнения Лу/Лх = - х /у (рассматриваемого совместно с «переверну­ тым») особой является точка 0(0; 0). Все остальные точки плоскости Оху — обыкно­ венные, так как в некоторой их окрестности выполняются оба условия теоремы Пикара либо для исходного уравнения, либо для «перевернутого». Записывая уравнение в видехЛх+уЛу=0,или Л{х^+у^) =0, найдем, что (общий) интеграл уравне­ ния имеет вид х^+у^ = С^ {С — посто­ янная). Изоклины: лучи, выходящие из начала координат; интегральные кри­ вые: окружности (рис. П .6), ни одна из которых не примыкает к особой точке 0 (0; 0). Некоторые дифференциальные уравнения кроме общего решения могут иметь также дополнительные (особые) решения. В связи с этим каждое уравнение необходимо и с­ следовать на наличие особых реше­ ний. Особым решением дифференци­ ального уравнения называется такое его решение, во всех точках которо­ го нарушается единственность решения задачи Кош и, т. е. к любой точке особого решения примыкают по крайней мере две интегральные кривые. Всякое особое решение является особой линией, но не наоборот. Особое решение не может быть получено из общего решения у = {р(х. С ) ни при каком конкретном значении произвольной постоянной С (в том числе ±схэ). Если правая часть уравнения у = /(х , у) удовлетворяет в некоторой об­ ласти обоим условиям теоремы Пикара, то уравнение не имеет в этой области особых решений, т.е . задача Кош и (11.7) для любой точки указанной области имеет единственное решение. Если /(х , у) непрерывна в некоторой области и имеет частную производную по у, то особыми решениями могут быть только такие кривые у = ^>{х), в каждой точке которых производная не су­ ществует (либо обращается в бесконечность). При этом следует проверить, удовлетворяет ли у = ф{х) уравнению и не нарушается ли единственность решения задачи Коши. П р и ме р 10. Правая часть уравнения ^ = No .у)=3Уг? ах Непрерывна во всей плоскости Оху. Производная /' = обращается в беско- (1х 1 _2/з нечность при у — О (ось Ох). Правая часть перевернутого уравнения ^ ~
не определена при у = 0. Ось Ох {у = 0) является особой линией. Условия теоремы Пикара выполняются по отдельности в верхней (у > 0) и нижней {у < 0) полуплоско­ стях. Через каждую точку этих полуплоскостей проходит единственная интефальная кривая. Функция у = (х + С)^ является общим решением (см. 11.1.2.3) как самого уравнения, так и перевернутого в каждой из указанных полуплоскостей (что прове­ ряется подстановкой в уравнение). Особым решением может быть только функция у = О, так как /у обращается в бесконечность при у = 0. Очевидно, что функция у = О удовлетворяет уравнению. Задача Коши для точек (хо.О) оси Ох у' = /(».!/)- уЫ =Уо=о имеет решение у = 0. Для заданного начального условия из общего решения находим также О = (жо + С)^, т. е. С = -Хо- Следовательно, к точке ( х о , 0 ) примыкают слева (х < Хо) и справа (х > Хо) две кубические полупараболы у = (х - Хо)^ (рис. 11.7). Таким образом, в точках решения у = О единственность решения задачи Коши нарушена, и это решение особое. Особое решение у = О не может быть получено из общего ни при каком значении С. Пример 11. Уравнение у' = 2у/у имеет особое решение у = 0 (ось Ох). В полуплос­ кости у > О выполняются оба условия теоремы Пикара как для самого уравнения, так и для перевернутого. Интефальные кривые общего решения заполняют верхнюю полуплоскость. К каждой точке (жоЛ) особого решения у = О примыкает справа интегральная кривая (полупарабола) у = (х - Хо)^ (х > Хо). П р и м е р 12. Функция у = О является подозрительной на особое решение уравнения у' = Зу^^^ + 1 (см. пример 10). Однако она не удовлетворяет уравнению, и поэтому особых решений нет вообще.
Обычно, кривые, подозрительные на особые решения, ищутся среди огиба­ ющих семейства интефальных кривых общего решения (или общего инте- фала). О г и б а ю щ е й однопараметрического семейства кривых у = 1р(х, С ) или Ф(ж, 3/, С) = О называется такая кривая, которая в каждой своей точке имеет касательную, общую только с одной кривой данного семейства, проходящей через эту же точку, т. е. огибающая вся состоит из точек касания (см. так ­ же 14.1.7). Огибающая Я {х ,у ) = О семейства кривых (если она существует) находится исключением параметра С из системы двух уравнений у=ф ,С), ( 11.11) ИЛИ Ф(1,2/,С) = 0, =0, ( 11.11') при условии, что функции у - (р{х, С ) или Ф(а:, у . С ) имеют непрерывные частные производные по х, у , С . Чтобы выяснить, является ли кривая Н {х ,у) = 0 огибающей, следует проверить равенство угловых коэффициентов касатель­ ных к огибающей и интегральной кривой в их общих точках. Огибающая семейства кривых общего решения у = (р(х. С ) или общего интефала Ф{х,у ,С) = О уравнения (11.8) или (11.9) все гда является также интефальной кривой (решением) уравнения. В н е к о т о р ы х случаях это реше­ ние оказывается особым (т. е. в каждой его точке нарушается единственность решения задачи Кош и). Однако, иногда случается так, что огибающая входит в состав семейства кривых и поэтому не является особым решением. Система (11.11) или (11.11') может не определять вообще никакой кривой. В общем случае кривая(называемаядискриминантной кривой), получаемая из(11.11) или (И.и '), может оказаться не огибающей, а множеством особых точек (в которых одновременно = О и ф|, = 0) кривых семейства, т. е. не быть особым интефалом. При отсутствии огибающих особые решения отсутствуют. Особые решения могут быть найдены также непосредственно при нахо­ ждении общего решения уравнения, так как при этом иногда производятся действия, приводящие к нарушению равносильности промежуточных урав­ нений (например, деление на какое-либо выражение ^{x, у)). В результате могут потеряться решения у = <р{х), при которых ^{х, у) = 0. Эти решения могут оказаться особыми, если они не входят в общее решение. Отметим, что в отличие от особого решения, частное — единственно при заданных начальных значениях. Пример 13. Уравнение в примере 10 имеет общее решение у = {х + С)^. Система (11.11) здесь принимает вид у=(х+С)\ 3(14-0 =0, исключая из которой С , получим дискриминантную кривую у = О, которая является огибающей семейства общего рещения, так как в точках оси Ох угловые коэффици­ енты касательных к интегральной кривой и огибающей совпадают {у = 0).
П р и м е р 1 4. Для семейства полукубических парабол (у + С)^ = {х ^ 0) дискрими­ нантной кривой, получаемой из системы ( П .П ') , имеющей вид (у+С)^ = х\ 2{у+С)=0. является прямая х = О (ось О у), представляющая собой множество особых точек кривых семейства, но не огибающую. Пр им ер 15. Семейство окружностей с центром в начале координат не имеет огибающей. Дискриминантная кривая состоит из единственной точки (0; 0). Пример 16. Семейство окружностей х^ + {у + СУ = 1 имеет две огибающие: прямые X=-I,I=I. 1 1.1 .2 .2 . Неполные уравнения Уравнениявида у' = }(х) или у =}(у) называются неполными. 1. Для уравнения | = /(х), (11.12) где функция /(х) непрерывна в интервале -оо ^ а < х < 6 ^ +сю, общее решение имеет вид у=У /(х)Лх+С {а<X<Ь). Здесь первое слагаемое в правой части представляет собой какую-либо одну первообразную для /(х). Частное решение уравнения (11.2) с начальным условием у{ха) ~ уо может быть записано в виде X г= у /(х)<гх Уо- Хо пример 17. Для решения задачи Коши (/' = 31^+21- 1, !/(0)=1 находим общее решение у —х^-^х^-х + С. Полагая здесь а: О, у = 1, находим С=1.Частноерешениеимеетвиду=х^+х^- х+\. Если функция /(х) непрерывна в интервале (а; 6), кроме точки разрыва X = ^, находящейся внутри или на концах этого интервала, причем /(х) обращается в бесконечность при х = ^, то уравнение ( 11.12) рассматривается совместно с «перевернутым» уравнением имеющим рещение X = ^, которое присоединяется к решениям уравнения ( 11. 12).
П ример 18. Праваячастьуравнения й у / й г = 1/а:^ непрерывнапри все»^, кроме ж = 0 , при котором она обращается в бесконечность. Для х О имеемреш ен ку = -1/ж+С. Перевернутое уравнение с1х/с1у = имеет решение 1 = 0, которое присоединяется к решению исходного уравнения. Решение х = О — частное (не а.ч)бое), так как семейство интефальных кривых не имеет огибающей. 2. Если в уравнении 2 = /(г') функция /(у) непрерывна и /(у) / О в интервале -оо ^ ^4 <у < В < +оо, то его общий и частный интефал (для начального условия у{хо) = уо) имеют соответственно вид Уо где Уо принадлежит промежутку (Л; В ), С — произвольная постоянная. Если /(»/)=ОприА <Г)<В, ю уравнение(11.13)имеетрешениеу =г/.Все интегральные кривые уравнения (11.13) состоят из кривых общего интеграла (11.14) и прямой у — Г). Пример 19. 1) Правая часть уравнения Лу1Лх = у - 1 непрерывна при всех у и обращается в нуль приу~ — 1. Интефальными кривыми данного уравнения яа1яются кривые а:=1п|у-11+С (у 1)ипрямаяу=1.Вполуплоскостяху>1иу<1имеем соответственно интефальные кривые ж = 1п(у - 1) + С и х = 1п(I - у) + С, для которых прямая у = I является асимптотой. При С = О имеем у = 1+ е^ (у > 1) иу=I - е* (у<I).ДляначальныхусловийЖо = I. Уо = 2частноерешение имеетвиду=1+ . Изоклинами уравнения являются прямые у = соп51. 2) Решением задачи Коши <*!/ 2 • „ ~Г=У'У-1"Р** *=® ах 3 являетсяфункцияу=(3-х) '(-00 <а;<3).Приа:^ 3эторешениенесу­ ществуетЕсли1-»3-0,тоу-» +оо;у-»ОприX-* -сх>. Интефальными кривыми данного уравнения являются у=-^^ (У^^) " И=“ 11.1 .2 .3 . Уравнения с разделенными переменными 1. Уравнение вида Р{х)(1х+д(у)(1у=О, (1115) где множители при йх и йу зависят только от х и только от у соответственно, Называется уравнением с разделенными переменными. Если фун кци и Р ( х ) и
^ { у ) непрерывны и функция у = 1р(х) является решением уравнения ( 11. 15), то. подставляя ее в уравнение, получим тожаество Р{х) Лх + ^(^р{x))(р'(х) йх = О, интегрируя которое, найдем У Р(х)Лх+^ д{1р(х))(р'{х) ах = С. Осуществляя во втором интефале замену переменной у = ^ (х), находим, что общий интеграл уравнения (11.15) имеет вид: УР(х)йх+У Я(у)йу=С, (11.16) где зн ак неопределенного интеграла означает какую-либо одну первообраз­ ную. Частный интефал при начальных значениях Хо, уо может быть найден либо из (11.16), либо по формуле I У ! Р(х)йх+У С?(г/) =0. (11.17) Хо Пример 20. Для уравнения 1+1^ I+ общий интеграл имеет вид 1п(1+1^) -1п(1+у^) =С, или |^ = е^. Для начальных данных хо = О, уо = I из общего интефала находим С = - 1п 2. Част­ ный интефал: 2(1 -1 -1 ^) -у^ - 1= 0. Этот интефал получается также из формулы (11.17). 2. Уравнение с разделяющимися переменными /(х)е(у) ах + /,(х)е,(у) ау = о, (11. 18) в котором все четыре ф ункции непрерывны, приводится к виду (11.15) деле­ нием на §(у)/,(х): А(^) е(у) Общий интефал этого уравнения При этом предполагается, что /|(х) ф О, ^ (у) 51^ 0. В результате деления может произойти потеря решений вида х = | , у = )?, где числа — решения
уравнений ^ ( х ) = О, §(у) = 0. Такие решения могут быть либо частными, либо особыми. В точках пересечения прямых х = ( , у = Г) уравнение (11.18) не определено, и поэтому такие точки исключаются из решений. Пример 21. Разделив уравнение 1(1 - у^) Лх + у(\ - х^)<1у = О на (1 - 1^)(1 - у^) , получим хйх^уЛу^^ 1- 1- Общий интеграл этого уравнения: - ^1п|1-*^51п|1-у^|=-1пС, (1) ИЛИ |(1-*^)(1-у^)|=С ^ (2) При делении могли утеряться дополнительные решения х = \ ,х = - \ ,у = 1 ,у = -1 . Непосредственная проверка показывает, что все эти четыре функции являются реше­ ниями уравнения. При этом из решений следует исключить четыре точки пересечения соответствующих четырех прямых. Дополнительные решения здесь являются частны­ ми (не особыми), так как содержатся в общем интефале (2) при С = 0. Отметим, что после освобождения в интефале ( 1) от логарифмов, получается интефал (2), в котором значения х = ± 1, у = ±1 уже являются допустимыми. Пример 22. Разделяя в уравнении йу/йг = 2у/х (г^О) переменные, получим йу/у = 2йх/1. П о формуле (11.19) находим 1п |у| = 21п |х| -И1п |С|. Огсюда у = Сх^ (х Ф 0). При С = 0 получаем решение у = 0 ( х ф 0 ) . «Перевернутое» уравнение йх/йу = х/(2у) (у ф 0) имеет, кроме того, решение х = О {у ф О). Интефальные кривые исходного уравнения: полупараболы у = Сх^ {х Ф 0); две полуоси оси Ох ( у = й, х ф 0); две полуоси оси Оу {х = 0, у ф 0), примыкающие к особой точке 0(0; 0), в которой поле направлений не определено. Нахождение всех решений упрощается, если исходное уравнение записать в виде 2уЛх - х ду = 0. При делении на х у происходит потеря решений X = О, у = О с исключенной точкой (0; 0). 11.1.2.4. Однородные уравнения 1. Фун кци я /(х , у) называется однородной функцией степени п, если ПЬх,1у) = еПх.у), ( 11.20) гдеI — произвольный параметр.Если п = 0,т.е. /(<х, 1у) = /(х, у), то /(х, у) называется однородной функцией нулевой степени (и ли просто однородной). Любая однородная функция может быть записана в виде }( х ,у ) — (р{у/х), так как, полагая I = 1/х, получим /(х, у) = }(1х,1у) = /(1,у/х) = <р{у/х). й2Х + &зУ Пример 23. Для функции /(х, у) = ----- — имеем а|Х + 0|У
т. е. /(х, у) — однородная функция. Ее можно записать в виде а2+ Ь2- 1(х,у) = ----- 02+Ь^и 0|+6|- 2. Уравнение у' = } ( х , у ) называется однородным относительно х и з/, если /(х , у) — однородная функция (нулевой степени). Однородное уравне­ ние можно записать в виде ( 11.21) Изоклинами уравнения (11.21) являются лучи у = кх (х ^ 0), так как вдоль каждого луча (А = соп81) направление поля, задаваемого этим уравнением, неизменно: 18 а = ^ (к) = соп81, где !§ а — угловой коэффициент касательной к интефальной кривой. Интегральные кривые пересекают луч у = кх под одинаковыми углами. Все интегральные кривые уравнения (11.21) могут быть получены из какой-либо одной интегральной кривой (не являющейся прямой) посредством преобразования подобия х, = а х , у] = ау (а > 0) с центром подобия в начале координат. Уравнение Р{х,у)ах +д(х,у)(1у =0, (11.22) в котором Р (х ,у ) и ^^x ,у) — однородные функции одинаковой степени, также является однородным, так как отношение Р / ^ — однородная функция нулевой степени. Предполагается, что Р и ^ — непрерывные в некоторой области функции, не обращающиеся там одновременно в нуль. Точка (хо, уо), в которой Р и ^ одновременно равны нулю, называется особой точкой урав­ нения (11.22). В этой точке поле направлений уравнения у' = - Р /д = (р{у/х) не определено. Уравнение (11.21) приводится к уравнению с разделяющимися перемен­ ными при помощи подстановки у — х ■и{х), где и(х) — новая неизвестная функция. Подставляя (1у йи Т~= “ йх Лх в уравнение ( 11.21), получим хйи+[и- ^(и)1йх=О, Разделяя переменные, найдем (1и йх +— =0 (хфй, и - <р(и)ф0).
Интегрируя, получим общий интефал уравнения (И .21): 1-(г)+,п|,|.С . = , 11,23) Кроме того, следует рассмотреть уравнения 1)х =0, 2)и-(р(и) =0. (11.24) Если ф ункция I г О удовлетворяет перевернутому уравнению (1х 1 Й!/ <р(у/х)’ то решение х = О {у ^ 0) (которое может оказаться особым) следует при­ соединить к общему интефалу (11.23). Если второе уравнение (11.24) имеет решениеи=т (т —постоянная),тоу=т ■х(х#0)будетрешением (возможно, особым) уравнения (11.21). Если ^ (и) = и , то уравнение (11.21) примет вид йу/йх = у/х. Решения этого уравнения: у = Сх (г / 0); а; = О (у ^ 0); особых решений нет. Точка (0; 0) — особая. Пример 24. Применяя в однородном уравнении (у + х )у Лх - х^Лу = О подстановку У= х-и (Лу = иЛх + хЛи), приведем его к виду Лх —х^Ли = 0. Разделяя пе- Лх Ли ременные (при условии х ^ О, и ф 0), получим уравнение------ Г “ общий Xи интеграл которого 1п |а:| + х ! у = С . Кроме того, решениями исходного уравнения являются также х = 0 {у ^ 0), у = 0 (х фЧ). Точка (0;0) — особая. Пример 25. Уравнение у = ^ — однородное. Используя подстановку у = хи , ' I I и+и’ ~ л п/ /п У= и +хи ,приведемегокуравнениюхи = г,или ---------гЛи = О(х ф \-и ^ X и+и^ и+и^ф0), общий интефал которого —(х1 +1)=С, или +у^—Су=0.Это— уравнение семейства окружностей с центрами на оси О у и примыкающих к особой точке (0;0) вдоль оси Ох . Исходное уравнение имеет также решение у = О {х ф 0); Функция X = О не является решением. 3. Уравнение /«2Х+»2^ Х (,125) <1х \а,x+Ь^у+с^^ приводится к однородному или к уравнению с разделяющимися переменны­ ми. Переходя от переменных х ,у к новым переменным и ,V : X=и+а, у=ь+^, где о, /3 — числа , которые находятся из системы
можно привести уравнение (11.25) к однородному (IV /а2и+ Ь2V\ <1и \а1а+6|»/' Если 0|б2 = <*2^1 >то, вводя вместо у переменную ю{х) — агх + Ьгу, получим уравнение с разделяющимися переменными. Пример 26. Найдем общий интсфал уравнения у = ^ ^ ^ X—У ~2 Решение-Полагаяздесьх= « +а, у =V йх=Ли, йу=Ль инаходяизсистемы а-^ -2 =0,а+^9-4 =0значенияа=3,/5=1,получимуравнение и+V Ли и—V Это однородное уравнение удобнее интегрировать не стандартной подстановкой ь = и -г{и}, а переходя на плоскости Оиь к полярным координатам и = рсоар, V = р & т 1р, Ли = со5 (рЛр —р$1П(р Л<р, Лх) — 81П(рЛр-\-рсо5 <р<1<р. Уравнение принима­ ет вид Лр = рЛ(р, или Лр!р = Л<р, откуда р = С е^. Это — семейство логарифмических спиралей, примыкающих к о с о ^ й точке (0; 0) и обходящих ее бесконечно много раз в одном направлении при (р ±оо (см. пример 43). Возвращаясь к переменным х, у, получим общий интефал 0 *-ЗИ+(у-1)^= С-ехр< гдеехр{<} = е‘. [> 4. Уравнение вида (11.22) называется обобщенным однородным, ес ли при помощи подстановки у = и ° , йи = аи °‘~ Ли со специально подобранным показателем а оно приводится к однородному относительно ж и «(х). 11.1 .2 .5 .Линейные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним 1. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида Лу — +р{х)у = д{х), (11.26) где р{х) и д(х) — известные функции, непрерывные в интервале (о; 6), конеч­ ном или бесконечном. Если д(х) = О (д(х) ^ 0), то уравнение (11.26) называ­ ется однородным (неоднородным) относительно у и у' (не следует смешивать с уравнением, однородным относительно х и у). Согласно теореме Пикара уравнение (11.26) имеет единственное частное рещение, удовлетворяющее начальному условию у{хо) = уо, где Хо принадлежит (а; Ь). Однородное урав­ нение всегда имеет нулевое рещение у = 0.
2. Разделяя переменные в однородном уравнении у +р{х)у = О, получим — +р{х)йх=0. Интеф ируя, найдем общее решение 1п|у|+У р(х)йх =С\, или 2/=С -ехр|-Ур(х)</х| {С=±е^‘). Неопределенный интеграл означает здесь одну из первообразных. Решение у = О содержится в обшем. Если задано начальное условие у{хо) = уа, то частное решение у=Уп-ехр Пример 27. Разделяя переменные в уравнении у' - ху = О, получим У Отсюда 1п |у| - у = С|;т.е. |у|= Общее решение: у = С -е' гдеС=±е‘'’. Приначальномусловииу{0)=I имеемС =1,т.е. у = е* 3. Методы интегрирования неоднородныхуравнений.Еслиизвестнокакое- либо одно частное решение у — у\{х) неоднородного уравнения (11.26), то его общее решение равно сумме у=уЛх)+г{х), г{х)=Сехр1^-^ р{х)ах^, (И.27) где г(х) — общее решение соответствующего однородного уравнения г +р(х)г=0. Постоянная С может быть найдена из начального условия у{хо) = Уо- Если известны два частных решения ух{х) и уз(х) неоднородного уравнения, Не пропорциональные между собой, то его общее решение имеет вид У=У1+С{У2-У ,). Пример 28. Найти общее решение уравнения у' - ху = х. .Решемир Неоднородное уравнение имеет частное решение у, = - 1 . Общее решение однородного уравнения; г = С е” (см. пример 27). Общее решениенеоднородного уравнения: у = -1 +Се* . Для начальногоусловия у(0) = 1имеем 1= - 1+С, т.е. С=2иу= -1+2е*''^ >
Метод подстановки. Запишем неизвестную функцию в виде у = и{х)-ь{х), отсюда у = и'в +ии'. Уравнение (11.26) примет вид Vи + «(«' + рV) = д. Рас­ сматривая V как вспомогательную функцию, выберем ее так, чтобы она удо­ влетворяла уравнению «' + рт = О, откуда V=С ехр Подставляя V в уравнение ь и = д, получим уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим и{х). Окончательно общее решение урав­ нения (11.26) запишется в виде у=ехр ( 11.28) Здесь символы интефирования означают какую-либо одну соответствующую первообразную; ехр {<} = е‘ . Постоянная С\ может быть найдена из началь­ ного условия у(го) = !/о- Метод вариащ1и произвольной постоянной (метод Лагранжа). Реш ение не­ однородного уравнения (11.26) ищем в виде у =С(х) •ехр - !Р{x)(^xУ где С (х) — неизвестная, непрерывно дифференцируемая функция. Подстав­ ляя выражение у и ^ ^ с1С{х) Лх йх в (11.26), получим уравнение для С(х)\ ехр{- Р(х) 1-С{х)р{х)ехрI- р(х)Лх| внение для С(х)\ С(х) = д(х) •ехр имеющее решение С{х) = I д(х) ■ехр р(х) Лх^йх +С\. С учетом выражения С{х) получим общее решение в виде (11.28). Пример 29. Найти общее решение уравнения у' — 2у = с*. Решение. Общее рещение однородного уравнения; у = С е ^ . Общее решение неодно­ родного уравнения ищем в виде у = С(х)с^*. Подставляя у и у ' = (У(х)е^^ + 2С{х)е^^ в исходное уравнение, получим С'(ж)е^* = е*, или С'{х) = е~^. Отсюда С(ж) = С| -е'*- Общее решение исходного уравнения; у — (С\ —е~^)е^ = —е*. Для начального условияу(0)—1имеемС|=2иу= —е*. О
4. Уравнением Бернулли называегся уравнение вида у' + р(х)у = д{х)у”' (т/О,т#I). (11.29) Разделив обе части (11.29) на у"" и вводя новую неизвестную функцию «(х): и=у'~”‘, и =(\-т)у'”'у, приведем уравнение к линейному виду и' + (I - тп)р{х)и = (1 - т)д{х). Из общего решения и(х) этого уравнения находится общее рещение уравне­ ни я (11.29): I У=и . Если т > О, то уравнение (11.29) имеет также решение у = О, являющееся особымприО<т <1. Пример 30. Для уравнения Бернулли у' - 2ху = —( I + 2х‘ )у^ ( т = 2) решение У = 0 — частное, особых решений нет. Обозначая и = 1/у или у = 1/«, у = получим линейное уравнение и + 2*и = I + 2ж^, которое имеет частное решение И] = X . Общее решение соответствующего однородного уравнения: г = Общее решение неоднородного линейного уравнения: и = х+Се~ ^ . Общее решение исходного уравнения: 2,= 1 =1:[*+Се-‘Ч 5.Уравнение Риккати г/'= о(х)г/^ + б(х)г/+ с(х) (п.зо) в общем случае не интегрируется в квадратурах. Если известно одно его част­ ное решение У1(х), то подстановкой у = У1(х) + 1/«(х) оно приводится к линейному относительно и(х) уравнению. При с(х) = Оуравнение Риккати сводится к уравнению Бернулли. 11-1.2.6. Уравнение в полных дифференциалах I. Если левая часть уравнения Р(х,у)Ах +д(х,у)ау =0 (11.31) является полным дифференциалом некоторой однозначной функции Р(х , у), Те., еслиРйx+^Лу=йР, =Р, = (3, то уравнение (11.31) называется уравнением в полных дифференциалах. При этом (11.31) можно записать в виде ЛР{х,у) = О, откуда находим его общий интефал Р(х.у) = С , а решениями являются дифференцируемые функции у = (р(х), для которых Р{х, <р(х)) = с.
Пример 31. Уравнение хйх + уЛу = й является уравнением в полных дифференци­ алах,таккакI йг+уйу= + у ') . Его общий интефал: +у^) =С.Для начального условия у(1) = I имеем С = I , частный интеграл: + у^ = 2. Если в уравнении (11.31) функции Р , ^ м их частные производные определены и непрерывны в некоторой односвязной области О на плоскости Оху, то это уравнение является уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда всюду в О выполняется тождество (см. также 8.9.1) Т (Ч-32) ду дх Общий интефал уравнения (11.31) может быть найден по формуле (см. 8.9.1): X у Р(х,у)= ^ Р{х,уо)ах^ ^ ^{x,у)(^у^с, (11.33) Хо Уо где (хо1Уо) — какая -либо точка в области В . При решении конкретных задач можно не пользоваты:я формулой (11.33), а проводить промежуточные вычисления, применяя неопределенные инте- фалы вместо определенных. Пример 32. Уравнение (Зг + 2у) <1х + (2х —у)(1у = ^ являетс я уравнениемвполных дифференциалах, так как Р'у = 2. = 2\\Ру= Полагая хо = 0. уо= О в формуле (11.33), получим общий интефал г у ^ Зх(^х+^{2x~у)ау=С, о о или +2ху - ^-у- =с. Решим задачу, не применяя формулы (11.33). Найдем функцию Р { х , у ) такую, что = Зх + 2у, Ру = 2х —у . \\з первого уравнения получим Р=У(31+2у)Лх+(р(у)= ^ + 2ху + у>(ж). Отсюда = 2х+^'(у)=2*- у,те.>р'(у)= -у и!р(у)= - у +С|.Следовательно, Е=^1^+2ху-^-у^+С^. Полагая здесь С, = О, запишем общий интефал Р (х , у) = С . Для начального условия у = О при 1 = 0 находим С = О, т. е. через начало координат проходит интефальная криваяЗх^+4ху-у^ = 0.
2. Если условие (11.32) не выполнено, то уравнение (11.31) не является уравнением в полных дифференциалах. Е сл и удается подобрать фун кци ю )1 = ц{х, у) такую, что выражение /лР Лх + Лу становится полным диффе­ ренциалом некоторой функции Р\{х, у), то функция д(х, у) называется инте­ грирующим множителем уравнения (11.31), а его общим интегралом является Р\(х, у) = с . Для любого уравнения вида (11.31) существует интегрирующий множитель, однако его не всегда легко найти. Интеф ируюшие множители удовлетворяют дифференциальному уравнению д{цР) д Ш (дР Однако, фактически, нахождение )1{х, у) из этого уравнения может оказаться более сложной задачей, чем интегрирование уравнения (11.31). Пример 3 3 . Уравнение (у - е*) Лх + Лу = О не является уравнением в полных диф­ ференциалах, так как условие (11.32) не выполнено. Умножая его на /и = е‘ , получим уравнение в полных дифференциалах (е*у-е^*) йх-Не* йу = О, или й(е*у- - е ^) = 0. Общий интефал этого уравнения; е*у - ]-е^‘ = С . Общее рещение исходного уравне­ ния: у=1е'-ЬСе-'. 11.1 .2 .7 .Уравнения, не разрешенные относительно производной 1. Если уравнение Р(1,у,а/') = 0 (11.34) может быть разрешено относительно производной у, то в общем случае получится п различных нормальных дифференциальных уравнений первого порядка У=1М,у)\ у'=Мх,уУ, у' = и(х,у)- (И-35) Уравнение (11.34) определяет в каждой точке (хо,уо), вообще говоря, несколько направлений у'о поля, получаемых из уравнения ^ ' ( г о , Уа, Уо) = О - Пример 34. 1) Уравнение (у')^ - 1 = О в каждой точке («о. !/о) определяет два направления поля: Уо = 1, Уо = -1- Интефальными кривыми являются прямые у = х + С иу—-X+С. 2) Уравнение (у')^ -1-1=0 вообще не имеет решения (действительного). Если число решений у = у(х) уравнения (11.34), каждое из которых является дифференцируемой функцией и удовлетворяет начальному условию У(хо)=уо, не превышает числа направлений у'о поля в точке (хо ,2/о)> то говорят, что соответствующая задача К о ш и имеет единственное решение.
Частным (особым) решением уравнения (11.34) называется такое его решение, в любой точке которого единственность решения задачи Коши выполняется (нарушается). Если функция Р (х , у ,у ) непрерывно дифференцируема по всем трем переменным в некоторой окрестности точки (хо,Рп.р'о), где уо — одно из направлений поля уравнения (11.34) и частная производная дР/ду Ф О в этой точке, то уравнение (11.34) имеет единственное решение у(х) такое, что у(ха) = уо и 2/'(1о) = р'о- Особые решения уравнения (11.34) ищутся среди дискриминантных кри­ вых этого уравнения, получающихся при исключении р' из системы дР Е(х,у ,у') =(^, — =0. П ри этом следует проверить, удовлетворяет ли полученная кривая уравнению и является ли решение особым. Пример 35. Для уравнения Р(х, у,у) = (у У - 4х^ = О дискриминантная кривая есть ось Оу {х = 0), которая находится исключением у' из системы Р { х , у . у ) = О, дР18у' = 2у = 0. Дискриминантная кривая здесь не является интефальной кривой, так как во всех ее точках направление поля {у = 0) не совпадает с направлением касательной {у' = о с) к ней. 2. Интефирование уравнения (11.34) сводится к интефированию п урав­ нений(11.35).Если Ф((х,у,С)=0(I= 1 ,...,п) — обшие интефалы этих уравнений, то общим интефалом уравнения (11.34) называется выражение, полученное перемножением этих интефалов: Ф(х,у ,С) =Ф>(х,у,С)Ф2(х,у ,С) ■■■Ф„(х,у ,С) =0. (11.36) Если разрешить (11.36) относительно у, то получится решение уравнения (11.34). Если известны общие решения у = <р{{х,С), то Ф{{х,у ,С) = у - ^р^(x,С). При этом необходимо проверить, нельзя ли из отдельных отрезков инте- фальных кривых у = ^ ,(х. С ) построить еще и другие решения, которые должны быть дифференцируемыми функциями. Если существует огибающая семейства интефальных кривых уравнения (11.34), то она всегда является его особым решением. П р им е р 3 6 . Разрешая относительно у уравнение в примере 34, получим два урав­ нения; у = 21, у = -2ж, решениями которых являются параболы у = I * + С, у = -х^ + С. Обший интефал исходного уравнения: (у - С)^ - х ' = 0. Интефальны- ми кривыми исходного уравнения являются эти параболы, а также дифференцируемые кривые, составленные из отрезков парабол. 3. Рассмотрим уравнение
Если Я(х,у) = - ^ > О в некоторой области на плоскости О ху, то, раз­ решая (11.37), получим два уравнения у' = -Р{х,у)±у/я{х,у), интегрируя которые, найдем общий интеграл уравнения (11,37). Особые ре­ шения уравнения (11.37) могут находится только среди дискриминантных кривыхй(х,у)=0. 4. Некоторые частные случаи а) Неполное уравнения Р {у ') = О имеет общий интеграл =О, если только уравнение Р {р) = Оимеет действительные корни. Если Р{ро) = О, I У~С то, интегрируя уравнение у = ро, получим у = рцх + С . Отсюда ро = ----- . X В силу Р(ро) = О получаем вышеприведенный общий интеграл. Пример 37. Общим интефалом уравнения (у'У — 1 — О является — 1=0, у-с т.е. 2- - --: X б) Решение уравнения у = (р{у) ищется в параметрической форме. П о ­ лагая у' = р , запишем уравнение в виде у = ^ (р). Выразим также х через р. Из— = р следует<1х= — = йр. Интегрируя, получим ах Р Р I шЧп) (1р+ С = 'ф(х,С). Р Уравнения х = ф(х. С ), у = (р{р) дают общее решение исходного уравнения в параметрической форме. Исключая, если возможно, из этих уравнений параметр р, получим общий интеграл Ф(г, у ,С ) = 0. в) Аналогично интефируется уравнение х = >р{у), если положить у' = р , <^У= у' (1х= р(1х= рч>'(р)Лр'. X=У(Р)> У=У Пример 38. Для уравнения у = (у^)^ - (у'У , предполагая, что у = р ^ 0. имеем У=1р{р)= - р^, ^ (1р+С = ^{Зр-2)(^р-^ -С = -р^ ~2р-\-С. Общее решение в параметрической форме: х = ~р^ ~ 2р + С , у = -р^. Еслир=О (у’ = 0), то получим решение у = С , удовлетворяющее уравнению только при С = 0.
г) Пусть дано неполное уравнение Р(х, у') = О (или Р{у, у') = 0). Если из этого уравнения удается выразить х (или соответственно у), а также р = у через некоторый параметр I , то общее решение уравнения может быть получено в параметрической форме. Пример 39. Дано уравнение у = Полагаяр—у = зЬЛ,найдем у= л/Г+зйЧ =сЬI. Далее Лу ^ Лу (Ф1)'<и — =р,Лх=—= — —— = (й. Лх р $Н< отсюда х = 1+С. Обшеерешение имеет вид х = 1+С.у = сЫ. Исключая I. получим у=сН(х-С). д)УравнениеЛагранжа у=1р(у')х +1р(у) (11.38) интефируется в параметрическом виде. Предполагая, что 1р {у ') = у ' и обозначая у' = р (т. е., принимая у за параметр), запишем (11.38) в виде у = (р(р)х+1р{р). Отсюда, взяв дифференциал от обеих частей, получим уравнение с1(р <1^ , <р{р)Лх+X—йр+— йр=уйх=рЛх ар ар с неизвестной функцией х от аргумента р. Предполагая, что ^(р) - р Ф й, запишем уравнение в виде ^ У''(р) (1р р - 1^{р) р- 1р(р)■ Общий интефал этого линейного уравнения имеет вид I = /](р) •С + ^|{р). Подставляя полученное выражение для х в равенство у = <р(р)х + ^ {р), найдем некоторое соотношение у = /2(р) ■С + ^2{р), которое совместно с найденным общим интефалом даст общее решение уравнения (11.38) в па­ раметрической форме. Исключая р из выражений для х н у , найдем общий интефал уравнения Лафанжа. Если уравнение р - 1р{р) — О имеет действи­ тельныекорнир= («= I,2 ,.... га),тоонидадутрешенияу = + ^(р^) (прямые линии), которые могут быть особыми. е)Уравнение Клеро у=ху'+ф{у) является частным случаем уравнения Лаф анжа, когда <р{у') = у'- Для инте- фирования уравнения Клеро обозначим у = р , тогда
Дифференцируя (11.39)по I, найдем йр (1ф{р)с1р йр д.х ах1>{ру =Р. 4р = 0. Получим два уравнения: р'(х) = О, х + ^’ (р) = 0. Решение первого из них р = С ; с учетом этого из (11.39) получается общее решение уравнения Клеро у=хС+ф{С), (11.40) представляюшее собой семейство прямых линий. Второе из этих уравнений совместно с (11.39) также дает решение уравнения Клеро в параметрической форме х= -ф'{р), у = -р1р'(р)+ф(р). (11-41) которое обычно является особым и во многих случаях представляет собой огибающую семейства (11.40). Исключая р из (11.41), получим особый инте- фал. Пример 40. Дано уравнение Клеро у = ху - 1/у'. Здесь ф(р) = -1/р. ^ '(Р) = 1/Р^- Общее решение: у = хС - \1С. Исключая р из уравнений х = - 1/р^ у = -2/р, получим интеграл (параболу) у^ = - 4х , являющийся особым, так как представляет собой огибающую семейства прямых общего решения (рис. 11.8). Огибающая может
быть найдена также исключением С из системы: у=^С-1;0=х+^. 5. Изогональные траектории. Углом 1р между двумя кри выми называется угол между касательными к ним в точке их пересечения. Изогональными (в частности, ортогональными, т. е. >р = тг/2 ) траекториями однопараметриче­ ского семейства кривых Ф (г , у ,С ) = О называется другое семейство кривых, каждая из которых пересекает любую кривую данного семейства под одним и тем же заданным углом ^ (см. также 14.1.9). Дифференциальное уравнение Р{х,у,у')=0 (11.42) семейства кривых Ф {х ,у ,С ) = 0 находится исключением параметра С из си­ стемы (см. 11.1.1.1): Ф = О, + Ф'уу' = 0. Дифференциальное уравнение семей­ ства изогональных траекторий для данного семейства кривых Ф(х , у ,С ) = О находится исключением у' из уравнения у\-у' ' +у\у' где угол ^ отсчитывается от кривой Ф(а;, у , С ) = 0 до искомой кривой у = У)(х), и уравнения (11.42). В результате получается дифференциальное уравнение с неизвестной функцией У1(х). Для нахождения уравнения ортого­ нальных траекторий надо в уравнении (11.42) заменить у и у' соответственно наУ1и-1/г/ьт.е.Р(х,уи-Уу[)=0. Пример 41. Найти ортогональные траектории семейства у = + С (см. пример 4). Решение. Дифференциальное уравнение этх)го семейства: у =2х. Заменив у* на —1/У|- получим у\ = {х ф 0). Общее решение этого уравнения у; = - ^1п|х| + С 1 дает искомое семейство ортогональных траекторий, к которым следует присоединить функцию X = О (ось О у), являющуюся решением «перевернутого» уравнения. 1> 11.1 .2 .8 .Особые точки дифференциальных уравнений первого порядка Если правая часть уравнения у’ = /(х , у) непрерывна вместе с частной про­ изводной /^(х, у) в точке (хо, Уо) и некоторой ее окрестности, то согласно теореме Пикара через эту точку проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения. Если в некоторой точке (хо, Уо) функция /(х , у) разрывна и (или) не существует производная /у(х ,у), то такая точка может оказаться (изолированной) особой точкой, (см. 11.1.2 .1), в которой не выполняется утверждение теоремы Пикара. Однако такие точки не обязательно должны
быть особыми, так как условия теоремы Пикара являются только достаточ­ ными, но не необходимыми. Особыми точками уравнения <^У Р(х,у) . где Р(х , у) и ^ (x , у) — однозначные, непрерывно дифференцируемые всюду в плоскости О ху функции, называются такие точки , в которых одновременно выполняются равенства Р(х,у) = О, ^ {x,у) = 0. В таких точках поле направлений не определено и уравнение (11.43) не имеет смысла. Если в некоторой точке {хо, уо) выполняются условия Р(хо, уо) 7^0, ^(xо, Уп) = О, то, рассматривая уравнение (11.43) совместно с «перевернутым* уравнением (см. 11.1.2.1), можно утверждать, что эта точка является обыкновенной. Классификация особых точек однородного уравнения (1у а^х + Ь^у Лх а1Х + Ь1у' (11.44) где 0|, Ь|, 02 , 62 — постоянные и 0162-0261 ^0 . Уравнение (11.44) всегда рас­ сматривается совместно с «перевернутым» уравнением (см. 11.1.2.1). Точка (0; 0) является единственной (изолированной) особой точкой уравнения (11.44). Уравнению ( И .44) соответствует однородная линейная система двух урав­ нений с неизвестными функциями х{1) и у{1): ^ =0,1-1 - 6,у, ^ = й2Х+Ь2У, (11.45) имеющая в отличие от уравнения (11.44) нулевое решение (точку покоя) 1 = 0, 9 = 0 (наряду с прочими решениями). Переходя к новым переменным X*=т^х+щу, у' = гп2х+пгу (т,П2-ТП2П1#0), (11.46) уравнение (11.44) можно привести к простейшим формам, удобным для иссле­ дования, которым соответствуют канонические формы системы (11.45). Вид простейших форм уравнения (11.44) и специфика поведения его интегральных кривых в окрестности особых точек полностью определяются характеристи­ ческими числами, т. е. корнями Г \, Г2 характеристического уравнения 0|-г Ь^ 02 &2- г = - (о| + +(0162-0261)= о, (11-47) Которое не может иметь корня г = 0 . Для уравнения (11.44) возможны только приведенные ниже типы особых точек.
1.Если корни Г],Г2 — действительные или комплексные и не равны друг другу (г|^ г2), то преобразованиемвида (11.46), в котором коэффициенты т | ,П|,Ш2,П2 находятся из систем Г(01-г,)т,+02П1=0, Г(а, - Г2>т2 + О2П2 = О, 1 Ь/ТП, + (/>2- Г|)П| =0; 1 Ь|Т7г2+ (62- Г2>П2= О, уравнение (11.44) приводится к форме ^ = (11.48) ах* Г] х‘ Здесь возможны следующие четыре случая: 1а) Корни Г|,Г2 — действительные, различные и одного знака. Если Г|>О,Г2>О,то,нетеряяобщности,можнопринятьГ2>Г]>0;аесли Г| < О, Г2 < О, то Г2 < Г|. Интегральными кривыми уравнения (11.48), рассматриваемого совместно с перевернутым ЙХ* Г|Х* йу* Г2У* на плоскости О х'у ', являются г/'= С|х’р''’''(XV 0); х*=0(г^‘ /0). (и.49) Такая особая точка называется обыкновенным узлом. Интегральные кривые примыкают к особой точке (0; 0) и все, кроме двух лучей х* = О (у' ^ 0), касаются в этой точке оси Ох*. На плоскости Оху качественная картина расположения интегральных кривых в окрестности особой точки (0; 0) будет аналогичной. Пример 42. Для уравнения у' — 2 у / х имеем характеристическое уравнение (I-г)(2-г)=0, г, = 1, Г2=2, Разделяя переменные, находим интефальные кривые: у = Сх^ (ж ^ 0) и х = О (у ^ 0) (рис. И .9). 16) Корни Г], Г2 — действительные, различные и разных знаков. Из (11.49) следует, чтона плоскости О х 'у ' к особой точке (0;0), называемой в этом случае седлом,примыкают только четыре интефальные кривые(это полуоси Ох* и Оу‘): у' = 0(х*/0)(С=0); X*=О{у‘ф0), называемые сепаратрисами седла. Между сепаратрисами располагаются осталь­ ные интефальные кривые (С / 0), похожие на гиперболы и не примыка­ ющие к особой точке. На плоскости О ху сепаратрисами являются лучи Г71|Х + П\у = О, ГП2Х + П2У = О, выходяшие из особой точки (0:0), между которыми находятся интефальные кривые, имеющие вид гипербол.
Пример 43. Для уравнения у = —у1х имеем Г] = - 1, г, = 1. Интефальные кривые: У = с/х [х ф 0 ), X = О (у ф 0). Сепаратрисами являются четыре полуоси осей Ох и Оу (рис. 11.10). 1в) Корни Г|, Г2 — комплексно сопряженные: Г\ = а + /З», Г2 = а - (а ф а , Р ф 0). В уравнении (11.48) переменные х ’, у* будут комплексными. В формулах (11.46) коэффициенты можно выбрать так, что т г = т \ ,П 2 = П\, где черта означает комплексное сопряжение, т. е. У = х " . Вводя новые (действительные) перемен­ ныеи,V поформуламх’ = и+IV,у' = и—IV, приведем ура вн ен ие (11.48) к виду (см. 8.2.11): Ли а»+/Зи (11.50) аи-13у’ интефальными кривыми которого на плоскости Оиу являются логарифмические спирали, примы- кающие к особой точке (0; 0), называемой в этом случае ф окусо м . На плоскости Оху расположение интефальных кривых вблизи особой точки (0; 0) будет качественно аналогичным. Рис . 11.11 Пример 44. у' = - (см. также пример 26). Характеристические числа: г, = 1+ 1, ^2 = I — г. Интегральные кривые: семейство логарифмических спиралей р = Се^ (рис. 11.11), асимптотически приближающихся к точке (0;0), так как р О при
<р - 00 , не имея при этом определенного направления. Здесь р м — полярные координаты на плоскости Оху. 1г) Корни Г|, Г2 — чисто мнимые: г, = Рг, Г2 = -/Зг (/3 Ф 0). Уравнение (11.50) при а = О принимает вид (IV _ и йи V' Интефальными кривыми являются окружности у} + = |С|^ на плоскости Оию с центром в особой точке (0;0), называемой в этом случае центром (см. пример 6 и рис. 11,6). На плоскости Оху интефальными кривыми будут подобные эллипсы или окружности с центром в особой точке (0; 0). 2. Уравнение (11.47) имеет кратный корень г, = гг / 0. Здесь возможны следующие два случая: 2а)КоэффициентыЬ, = 02 =О,0|=&2иГ|=Г2 =а,,т.е.уравнение ( 11.44) имеет вид (1у 6.x X Интефальными кривыми являются лучи (см. пример 8) у=Сх(хфО)\ х = И(уф 0), примыкающие к особой точке (0; 0), называемой дикритическим узлом, в ко­ тором каждая интефальная кривая имеет свое направление касательной, в от­ личие от обыкновенного узла. I * Ь2~ а\ 26) Корни Г| = Г2 = -(а|-|-Ь2). При помощи замены х = 02И --- -— у, у ' = у («2 Ф 0) уравнение (11.44) приводится к виду Лу' _ х’ -Ьг,у* Й1* Г|Х* Интеф альными кривыми на плоскости О х 'у " являются у*=х'^С-Н ^1п|1*|^ (х*/0), I* =О (у*ф0). Все эти кривые примыкают к особой точке (0;0), называемой вырожденным узлом, касаясь в этой точке одной и той же прямой х* = О (ось Оу*). Анало­ гично расположены интефальные кривые на плоскости Оху в окрестности особой точки (0; 0).
Пример 45. у X+у . Здесь Г 1 = Г2 = 1. Данное однородное уравнение интегриру­ ется при помощи подстановки у = х-и(х) (см. I I . 1.2.4). Получим уравнение и' = 1/х, имеющее общее решение и = 1п |х| + С (г ^ 0), к которому присоединяется решение ж = О {у ф а ). Интегральные кривые исходного уравнения: у = х(1п 1а:| + С ) (х ф 0), 1=0(9^0)(рис.11 .12). Примечание. В общем случае, если точка (0; 0) является особой для уравнения ( 1 1.43), то, применяя формулу Тейлора, это уравнение можно записать в виде ^ ^ а2Х+Ь2у+Р1(х,у) Лх 0|Ж+6|у+д|(г,у)’ (11.51) где Р и ^ \ — бесконечно малые относительно у/х^ + у^. Тип особой точки уравнения (11.51) совпадает с ее типом для уравнения линейного (первого) приближения, имеющего вид ( И .44) (т. е. когда Р| и в ( 11.51) отбрасываются) во всех случаях, кроме одного исключения: если для уравнения (11.44) особая точка — центр, то для уравнения (11.51) она может быть центром или фокусом, либо иметь более сложный характер (в зависимости от вида слагаемых Если а,Ь2 - 0261 = О, то особая точка называется особой точкой высшего порядка. Такие точки могут иметь либо один из перечисленных выше типов, либо иметь более сложный характер. П.1 .2 .9 .Общие методы интегрирования 1. Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений при­ ведены в 16.8. 2. Метод последовательных приближений Пикара является приближенным аналитическим методом интегрирования уравнений. Пусть требуется найти Решение у = у{х) уравнения у' = { (х ,у ), удовлетворяющее начальному условию у{хо) = уо- Тогда, если /(ж, у) и / '(х , у) определены и непрерывны в некоторой окрестности начальной точки (хо, уо), то в силу теоремы Пикара в окрестности точки Хо существует единственное решение, удовлетворя­ ющее начальному условию. Метод последовательных приближений основан
на построении последовательности { 5/„( х)} функций, сходящихся к искомому решению у{х) уравнения. При выполнении условий теоремы Пикара рас­ сматриваемая задача Ко ш и экви валентна интегральному уравнению X у{х) =Уо+! /(<.У(1)) решение которого (а также задачи Ко ш и ) строится в виде последовательности функций Уп(х)=Уо+^ {(1,Уп-\(Ь))(И (п= 1,2, ...), 10 каждая из которых может рассматриваться как приближенное решение данно­ го дифференциального и интегрального уравнения. Для значений х, достаточ­ но близких к Хо, последовательные приближения Уп(х) сходятся равномерно к искомому решению у(х). П р и м е ч а н и е . Иногда переменный верхний предел х интефала и переменная инте- фирования I обозначаются одной и той же буквой х. Пример46.РешимзадачуКошиу = ^ху,у(0)=I.Имеемуо=I. 1Г х^ У>{х)='+2У*'“='+ о Iл »2 -г X* Уг(х) + ^ ~ ^ Точное решение задачи Коши у{х) = е* а его разложение в степенной ряд х“ «(*)='+Т +52+-- Ни одно из приближений уо. у , ,У 2,-- - не явля етс я точн ым решением задачи, однако их последовательность сходится к точному решению. 3. Применение степенных рядов. Если функция /{х , у) в правой части уравнения у' = /(х , у) с начальным условием у(хо) = уо аналитична по х и у (см. 10.7), т. е. может быть представлена двойным степенным рядом в окрестности то чки (хо, Уо) и, следовательно, дифференцируема любое число раз, то существует решение задачи Кош и в виде сходящегося степенного ряда
коэффициенты которого (^ = 1,2, . . . ) , находятся последова­ тельным дифференцированием данного уравнения: у'{х) =/(ж, у), У"(х)=/^+/уу=/;+/;■/(I,у), с последующей заменой г и у на 1о и ро- Для нахождения коэффициентов ак может применяться также метод неопределенных коэффициентов, согласно которому в обе части уравн ен ия у = /(х , у) подставляется ряд (11.52) с неопределенными коэффициентами, которые находятся затем приравниванием выражений при одинаковых сте­ пенях (х —Хо) в обеих частях равенства. П р и м е ча н и е . Аналогично в виде степенного ряда (11.52), применяя один из двух описанных здесь методов, можно искать решение задачи Коши для уравнения п-го порядка у'"'= /(х.у .„', »(*о) = Уо, у'(*о) = у1, у‘”"”(*о)=уГ'"- Решение задачи Кош и для системы уравнений »« =/т(*,У1,---,У»), Ут(*о) =УтО (т=1 ,2 п) ищется в виде рядов 00 =Л “*м(* - *о)* (т=1 ,2 ......п). к~1 Пример 47. у' = ху, у(0) = 1. Решение задачи Коши ишем в виде ряда с неопреде­ ленными коэффициентами у=I -I-0,14-агХ^ а,х'+ад/+..., дифференцируя который, получим ряд у' —а,+1агХ+ +404®^+ ... . Подставим оба этих ряда вместо у и у' в уравнение а, +2о21 -I-Зоз*’ -I-4в41^+... = * +а,х^+ +аух^+ ... . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, по­ лучима, = О,2ог=1,Зоз=о,,4в4=02, ..., те.О]=О,02 =1/2,Оз=О,04 =1/4, = 1/8,05 =О Следовательно, решение
Нахождение коэффициентов ряда путем последовательного дифференцирования ис­ ходного уравнения дает тот же результат, так как у"^у +ху', у"' = 2у'+ху", !/<“* = Зу" + жу", у'(0) = 0, 1/"(0)=1, у"'(0) = 0, у<>) = 3, а, =0, <^2=^, «3=0, 04=^, • 11.1 .3 . Дифференциальные уравнения высших порядков 11.1 .3 .1 . Общие сведения Уравнение п-го порядка имеет общий вид Р{х,у,у',у",...,у^"^)=0 (11.53) или вид, разрешенный, если это возможно , относительно старшей производной ?/<">=/(ж,г/,3/',У',..., (11.54) Решение задачи Коши для уравнения (11.53) или (П .54) заключается в на­ хождении его решения, удовлетворяющего начальным условиям 2/= г/о, у =у'й, •••, 2/*"“'*=Уп^'^ при X=Хо, где Хо, г/о, Уо, ■■■, г/о"~'* — н еко торые заданные числа. Если выполнены условия теоремы Пикара для уравнения (11.54) (см. при­ мечание 4 к теореме Пикара в 11.1.1.2), то оно имеет одно и только одно решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Общее решение у = С,,С2, . . . , С „) уравнения (11.54), для которого выполнены условия теоремы Пикара, содержит п произвольных постоянных С |, С2, . . . , С „ , которые могут быть найдены при помощи начальных условий. Общее решение уравнения (11.54) может быть записано также в виде общего интеграла Ф(х, у ,С ],С 2, ■.. , С „) = 0. При определенных числовых значениях величин С], С2, . . . , Сп получим частное решение (частный интеграл) данного уравнения. Особое рещенне уравнения (11.54) определяется так же, как и для уравнения первого порядка. Оно не может быть получено из общего ни при каких значениях С|,Сг,.. . , С „, включая ±оо. В частности, для уравнения второго порядка с начальными условиями у{хо) = Уо, у'(хо) = Уо геометрический смысл решения задачи Кош и заклю­ чается в нахождении интегральной кривой у = у(х) (частного решения), проходящей через точку (хо, уо) на плоскости О ху и имеющей в этой точке касательную с заданным угловым коэффициентом ко = — у'а - Пример 48. Решим задачу Коши
Интегрируя дифференциальное уравнение два раза, получим у + у— — +С1Х+С2. При помощи начальных условий найдем: С\ = \, С 2 = 2, т. е. х^ У= ^ +х+2. Если уравнение (11.53) разрешимо относительно старшей производной, то получается одно или несколько уравнений вида Совокупность общих решений (общих интефалов) этих уравнений называется общим интегралом уравнения ( И .53). Иногда общий интефал уравнения (11.53) удается найти и без его разрешения относительно старшей производной. Основным общим методом интефирования уравнений высших порядков является понижение порядка, т. е. сведение данного уравнения к другому, имеющему более низкий порядок. Понижение порядка возможно не для всех уравнений. Ниже рассмотрены типы уравнений, для которых возможно по­ нижение порядка. 11.1 .3 .2 . Понижение порядка уравнения 1. Уравнение у*"* = /(г) . Порядок уравнения 2,'"> = /(х), (11.55) в котором /{х) непрерывна в интервале (а; 6), понижается путем последова­ тельного интефирования п раз: х)(1х+С], йх+С\Х+Сг, Пример 49. у " = С05 3; - 81пх. Интсфируя уравнения три раза, получим его общее решение у" = 51ПX+С05х+С\, у'= - С081+51111+С|1+Сг, у= - 81ПI - С05Х +]^С[Х^+С^Х+С}. П ри последовательном интегрировании уравнения (11.55) вместо неопре­ деленных интефалов можно брать определенные интефалы с переменным
верхним пределом х и фиксированным нижним пределом Хо, являющимся любым числом из (а; Ь): XX XX ,=/^/ ... у лх^ /(х)ах+ Хо Хо Хо Хо Здесь первое слагаемое справа, содержащее п интегралов, может быть запи­ сано в виде одного интефала X Иявляется частным решением уравнения (11.55) при нулевых начальных усло­ виях: г>(1о) = 0, у'(хо) = 0, .... 9*"“ '>(хо) = 0. Общее рещение (11.56) уравнения (11.55) можно записать в виде у=2/|(х)+С;х"^'+Сг'х"-^+ ...+С;_,х+С1 где вместо постоянных С \, . . . , С п введены новые постоянные С ' С„, которые находятся из начальных условий: уЫ ) = Ро, р'(хо) = у'о, ■■■, У^"~'\хо) = 2. Уравнение, не содержащее явно неизвестной функции и ее нескольких по­ следовательных младших производных, =0 (11.57) допускает понижение порядка на к единиц путем введения новой неизвестной функции и = 2/***. Уравнение принимает вид /■(х, =0. Если и = <Р\{х, С \,. . . , С „_ *) — общее решение этого последнего уравнения, то общее рещение у = >р(х. С ), . . . , С „) уравнения ( 11.57) находится последо­ вательным интегрированием уравнения 3/<*>= ^|(х,Сь-..,С „_»),
Пример50. (I+х)у" +у" = 0(1+* >0). Обозначая и = у", получимуравнение (1+х)и'+и=Оилий[(1+х)и] =О,общий интефал которого(I+х)и=С). С, Интегрируя уравнение у = ---- последовательно два раза, получим общее решение 1-Ь X исходного уравнения: у=С|[(1+I)1п(I+ж)-х]+С2Х+С,. П римеча ние . Если уравнение типа (11.57) содержит у и не содержит функцию у, то применяется подстановка и = у . 3. Уравнение, не содержащее явно независимой переменной х Р{у.у !/*"’) = о (11-58) интегрируется посредством введения новой искомой функции р = у'. За новую независимую переменную берем у ,т .е . полагаем р = р(у). По правилу диф­ ференцирования сложной функции уч ^ Отсюда следует, что уравнение (11.58) принимает вид / ар (Г“-‘р\ „ - ’ау"-') ~ ' имеющий порядок (п - 1). Если р = ^ |(у, Сь- .- ■<?„_!) — общее решение этого последнего уравнения, то общий интефал (11.58) равен: Лу /; = X+С„. ^31(2/,Сь...,С„-|) В частности, уравнение у" = 1(у,у) может быть записано в виде Для уравнения у" = } (у) имеем (у?=! 2{(у)(1у+С^=г(у)+С\.
Пример51. уу " - (у У = 0. Полагая р = у , р = р (у), приведем исходное уравнение к виду ... Интефируя, получим 1 ёх 1п1У1+С|= -- = - — . Р Лу Интегральными кривыми исходного уравнения являются 1+у1п|у|+С,у+Сг=О, у =Сг- 4. Если левая часть уравнения Р{х ,у ,у , . , 2/*"*) = О является полной производной, то порядок уравнения понижается путем однократного инте- фирования. Пример 52. у" + ху' + у = 0. Уравнение можно записать в виде (у' +ху}' = 0. Отсюда у' + ху = С , . Решая это линейное уравнение, получим 5. Уравнение Е(х,у ,у = О, левая часть которого является однородной функцией (см. 11.1.2.4) аргументов у , у , , у^"\ допускает по­ нижение порядка на единицу путем введения новой функции и(х) = у'/у, I|У и<4и|. т.е. ^ =ехр• Пример 53. х^уу" — (у - ху'У . Подставляя в это однородное относительно у, у ', у" уравнение выражения у—ехр ийи|, у' = и■еxр^^ийи|, у" = (и +и^)ехр•^ ийи|, получим уравнение х\и+и^) =(I-хиУ. или , 21 и+-и т=0. Xх^ общее решение которого и = С|Х” ^ 4- х “ ' . Отсюда, в силу равенства и = (1пу)\ находим 'с,' у=Сгехр^ I «йх>=СгХ■ехр
11.1 .4 . Линейные дифференциальные уравнения высших порядков 11.1 .4 .1 . Общая теория линейныхуравнений 1. Линейное дифференциальное уравнение порядка п имеет общий вид “ о(х)у*’’' + + ... + а„{х)у =?(х) или, если Оо(х) ф О в некотором интервале, г/<"> + ...+р„{х)у = /(х), (11.59) где функции Р|(х), . . . , р „{х), /(х) предполагаются непрерывными в интер­ вале (а; Ь), что обеспечивает существование и единственность решения задачи Коши для любых значений уо, Уо,- - ., Уо" '* при любом го из (а; 6). Уравне­ ние (11.59) называется неоднородным (однородным), если / ( х ) ^ О ( / ( х ) = 0). Вводя линейный дифференциальный оператор п-го порядка уравнение (11.59) можно записать в виде Ь{у) = /(х). Здесь Ь(у) является некоторой функцией, получающейся в результате выполнения над функцией У{х) операций, перечисленных в правой части (11.60). <1- Л , Пример 54. Пусть Ь = + 2х- - 1. Тогда для функции у = х получим ах- ах Му)=у"+ - у ={х')"+Щх^)' - х’ = б1+5x1 2. Свойства линейного дифференциального оператора Ь 1) Ь(Су)=СЦу)(С —любое число). 2) Цу\ +У2) =Цу\) +Цуг)- Отсюда следует 1ЛС\У\ -!-■■■+ СпУт,) = С\Ь(у\) + ... + С „Цу„) . 3. Свойства частных решений линейного однородного уравнения. Ес ли у| (х ) , ' >Ут{х) — частные решения однородного линейного уравнения Ь{у) = О винтервале(а;Ь),т.е. ^(у^{x))=0,1=1,..., т (а<х<6),тоихлинейная Комбинация у(х) = С]»/1(х) + ... + СтУт(х), где С| — любые числа, также Является решением этого уравнения. Каждое однородное уравнение имеет Нулевое (тривиальное) решение ;0.
4. Функции 2/1(х).......Ут{х) {а < X < Ь) называются линейно независи­ мыми в интервале (а; 6), если их линейная комбинация С\У] + ... + Сщу„ тождественно равна нулю в (а; 6) толькопри условии, что все С; (г = 1, . . . , т ) равны нулю. В противном случае эти функции называются линейно зависи­ мыми в (о;Ь). Если функции у\, . . . , ут линейно зависимы в (а;Ь), те. С\У\+...+СтУт=0(а<X<Ь)приусловии,чтоневсеС{равнынулю, то одна из них является линейной комбинацией остальных. Совокупность п линейно независимых решений У\,У2, ■■■,Уп (а < х <Ъ) однородного линейного уравнения п-го порядка Ь (у) = О называются фун­ даментальной системой решений этого уравнения. Если решения у\, . . . , у „ образуют фундаментальную систему решений уравнения 1{у) = О, то общее решение этого уравнения имеет вид у{х) = С]У\{х) + ... + С „у „{х). Любое линейное однородное уравнение имеет бесконечное множество фундамен­ тальных систем. Для того чтобы решения у\, . . . , у „ однородного линейного уравнения п-го порядка Ь{у) = О были линейно независимы в интервале (а; Ь), в кото ­ ром непрерывны коэффициенты этого уравнения, необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского (вронскиан) У| У2 Уп И^(х) = у\ У2 Уп У^Г ^ . не обрашался в нуль в какой-либо одной точке Хо из (а; 6). Из формулы Лиувилля X й^(х) = Ж(хо)ехр|-Ур,(х)йх 10 где каждое Хо принадлежит (а; 6), следует, что: а) если Ж(хо) = О, то ’No(х) = Ово всех точках (о; 6), б) если 1^(хо) ф О хотя бы в одной точке Хо из (а; Ь), то 1У(х) / О всюду в (о; Ь). Пример 35. Уравнение у " + у — О имеет частные решения = созх, У2~ 51пх, которые образуют фундаментальную систему в промежутке ( - о с ; +оо), так как сох X 51П X - 51П X С05 X No{Х) = Общее решение уравнения: у = С\ со51 -Ь С 2 51п л.
5. Пусть !(1(х) — какое -либо частное решение линейного неоднород­ ного уравнения п-го порядка Ь(у) = /(х), т. е. Ь{у1{х)) = /(х) в (а; 6), а 21(1), 22(х), . . . , г „{х) — линейно независимые решения однородного урав­ нения Ь(г) = О, левая часть которого такая же, как и у неоднородного уравнения. Тогда общее решение у неоднородного уравнен ия равно сумме любого частного решения У ((х ) этого неоднородного уравнен ия и общего решения г ( х ) соответствующего однородного уравнения: У= У\(х) + г(х) н у^{x) -ЬС|2|(х) -I-. . . + С„2„(х). Пример 56. Неоднородное уравнение у " + у — х имеет частное решение у, = х. Общее решение однородного уравнения г " + г = О имеет вид (см. пример 55) г = С] созх-ЬСг ЯП х. Общее решение неоднородного уравнения: у = х+С^ С0&Х+С2«1П х. 6.Для нахождения частного решения неоднородного уравнения Ц у) = /(х) можно использовать принщш наложения (суперпозищ1и), который заключается в следующем. Еслиправая часть уравнения имеет вид /(х) = /](х) +}г{х) и уравнения Ь(у) =/|(х), Ь(у) = /г(х) имеют частные решения у\ иу2соот­ ветственно, то сумма у\ -Ьу2 будет частным решением уравнения Ь{у) = /(х). 7. Метод вариации произвольных постоянных. Общее решение неоднород­ ного уравнения 1{у) - }( х) ищется в виде у = С\(х)г\(х) С„(х)2„(х), где С ,(х) — некоторые функции от х, подлежащие определению; 21(х),, 2„(х) — фундаментальная система решений уравнения Ц г) = О, Производ­ ные С '(х) находятся из системы алгебраических уравнений первой степени +С222-Н... -Ьс^2„ = о, С[г\ -Ь -I-... -Ь =О, С;21"-'» -Ь +...-Ь =о, с;2|’- ' ' -н -Ь ... -н = /(Х). В силу условия 1У(х) / о эта система имеет решение, которое можно найти, например, по формулам Крамера С 1(х) = <^|(х), ..., С^„(х) = 1^;„(х). Отсюда С|(х) = У V^|{x)(^I + А|, ..., С„(х) = ! ^рп(x)<^x^ А „ . гдеЛ|,.., , — произвольные постоянные, знак неопределенного интефала Здесь означает какую-либо одну первообразную. Общее реш ение неоднород­ ного уравнен ия имеет вид у=у^+2=гх! (рх(1х+...+г„У <р„(1х+А,2,+ ...^ Л„2„.
Если Ах = . . . = А „ = О, то отсюда получается частное решение неодно­ родного уравнения. Пример 57. Найти частное и общее решения неоднородного уравнения у " —у = ~х. Решение. Для однородного уравнения г" —г = О имеем решения 2] = е*, 22 — е~^. Определитель Вронского ^V(x) = 21^2 - = - 2 ^ 0 . Общее решение однородного уравнения: 2. = С |е*+ С 2е“ * , где С ,, Сг — постоянные. Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде у = С\{х)е^ + Сг(х)е~^, где С [(х ) ,С 2(х) — неизвестные функции. Система для нахождения С1 и С'^: +С-2е-’ =(!, су-С'ге-" = -х. Отсюда С\ = -^хе^“ , С[ = Интефируя, получим С ,(х) = + 1)е“* +А,, СЛ^) = - \)е' + А 2. Общее решение неоднородного уравнения: у = У1 + 2 = х + А]е^ + А 2в~^; частное решение: у] = х . Если заданы начальные условия, например, у=I,у'=-Iпри1=0,тоЛ1=--,42=2 »у=X- -е*+ 11.1 .4 .2 .Линейные однородные уровнения с постоянными коэффициентами 1. Общий вид линейного уравнения п-го порядка с постоянными дей­ ствительными коэффициентами О], а г , . . . , а „: Ну)=г/'"’+а,-Ь...Н -а„„|у'+а„у =/(х), (11.61) где функция /(х) непрерывна в конечном или бесконечном интервале (а; Ь). Если /(х) =О,то уравнение называется однородным. Если комплексная функция действительной переменной х у{х)=и(х)+п{х) {г=V^), где и{х), » (х) — действительные функции, является решением однородного уравнения Ь{у) = О, то и{х) и и(х) также являются решениями этого уравне­ ния. Частное решение однородного уравнения ищем в виде у = е''^. Подстав­ ляя производные у' = ге’^^, у" = ... , у*"* = г "е ’’^ в дифференциальное уравнение, получим ■Р{т) =О,гдеР{г) = г"+а\г’'~' + .. .+а„- 1Г+а„ на­ зываетсяхарактеристическим полиномом. АлгебраическоеуравнениеР(г) =О называетсяхарактеристическим уравнением данногодифференциальногоурав­ нения,аегокорни—характеристическими числами этогоуравнения.Функция у = е’’^ тогда и только тогда является решением однородного дифференци­ ального уравнения с постоянными коэффициентами, когда г является харак­ теристическим числом этого уравнения.
2. Интегрирование линейного однородного уравнения второго порядка с по- 1ННЫМИкоэффициентами.Дляуравнения второго порядка Цу)=у"+ру'+д=0, (И.62) гдер,д —действительные числа, характеристическое уравнение имеет вид +рг+д=О,корни которого Г 1.2 Здесь возможны три следующих случая. Если характеристические числа Г), Гг: 1) различные и действительные; 2)комгиексные,т.е.г, = а+1/3,Гз= а ->/9; 3)равные, т.е. Г|=Г2 = -р/2, то общее рещение уравнения (11.62) имеет соответственно вид: 1)у= + С 2е'■^^ 2) у = е“"'(С| со5(бх+ С2^1п0х), 3)у= + С^х). Постоянные С|, Сг могут быть найдены при помощи начальных условий У{ч) = Ро, у'{хо) = уо, где хо, Уо. Ро — заданные числа. Например, в случае I) величины С|, Сг находятся из системы уравнений 8,0 = у'о = Здесь второе уравнение получается подстановкой начальных условий в про­ изводную общего рещения. Пример 58. О у" ~ Зу' + 2р = 0. Характеристическое уравнение — Зг + 2 = О имеет корни Г]=I,Г2 =2.Общеерешение:у=С|в*+ 2) у" - 4у' + 5у = 0. Характеристическое уравнение - 4г + 5 = О имеет корни Г[=2+«, Г2 =2- 1(а =2,/3=I).Общеерешение:у=е^*(С|С05Х+С251п1). 3) у" + 2у' + у = 0. Характеристическое уравнение + 2г + 1 = О имеет корни г, = Г2= -I.Общеерешение:у=е '(С1+Сгх). '*) у" + у' = 0. Характеристическое уравнение + г = О имеет корни г, = О, Г2= —I .Общеерешение: у=С]+ . 3. Интегрирование линейного однородного уравнения п-го порядка с посто­ янными коэффнщ1ентами
где0|,...,а„ — действительные числа. Характеристическое уравнение для (11.63) имеет вид г"+а,г"''+ ... +а„_,г+а„=0. При нахождении общего решения уравнения (11.63) возможны следующие случаи. 1) Все корни характеристического уравнения различные и действительные, т. е. среди характеристических чисел г ,, . . . , г „ нет ни одинаковых, ни ком­ плексных. Общим решением будет у= +Сге’''^ + ... +С„е'''^. (11.64) 2) Все корни различные, но среди них имеются комплексные. П ри этом каждой паре комплексно сопряженных корней вида а ± 1р соответствуют два линейно независимых частных рещения е“ со8^г, е“ 81П,9х. Найдя п линейно независимых действительных частных решений диффе­ ренциального уравнения, образующих фундаментальную систему решений, общее решение уравнения строят затем как линейную комбинацию вида (11.64) этих частных решений, в которой каждому действительному корню г соответствует частное решение вида е'’^, а каждой паре комплексно сопря­ женных корней а ± 1/3 — два частных решения вида е“ сокДх, е“ * 81п ^х. 3) Среди корней имеются кратные действительные. Е сл и г — действи­ тельный корень кратности к, то ему соответствует к линейно независимых частных решений ^гх ^ гх к~\ гх €ухе, ..., X€у входящих в фундаментальную систему решений, при помощи которой стро­ ится общее решение в виде линейной комбинации этих частных решений. 4 ) Среди корней имеются кратные комплексные. Если т = а + гр — корень кратности к, то имеется также сопряженный корень г = а - гР кратности к. При этом соответствующие 2к слагаемых в общем решении (11.64) заменяются линейной комбинацией [(С] -ЬСгХ-Ь ..■-Ь ' ) СО5^0Х Ч-((7;ь+1 + + •••+ ^ )8^п^^x]- Пример 59. -Ь -Ь 7у"' + ву " -Ь 2у' ~ 0. Характеристическое уравнение г-' -1 -4г‘‘ -И7г’+6г^+2г=0 имеет корни Г| = О, =Гз=-1,г<=1 Г5 = 1 - 1 . Общее решение уравнения: у=С|-I- - I-С}хе~ ‘ Ч- С<е' со® * -I- 81п х.
11.1.4.3. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с по­ стоянными действительными коэффициентами вида (11.61) может быть най­ дено методом вариации произвольных постоянных (см. 11.1.4.1). При этом требуется выполнение интефирования. В силу того что общее решение неод­ нородного уравнения равно сумме какого-либо его частного решения и об­ щего решения соответствующего ему однородного уравнения (см. 11.1.4.1), интегрирование неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда его правая часть имеет специальный вид, сводится к нахо­ ждению частного решения 3/1( 1 ) методом неопределенных коэффициентов, не требующим интегрирования и состоящим в том, что частное решение ищется в виде, содержащим неопределенные коэффициенты. Метод неопределенных коэффициентов. Случай 1. Пусть правая часть уравнения (11.61) имеет вид /(1) = Р т(х)е‘"‘ , где а — действительное число, Р т{ х) — действительный полином степени т , в частности , некоторое число. Тогда частное решение имеет вид: 1а)У1= Ят(х)е“^, где ^т(x) — полином степени т с неопределенными коэффициентами, при условии, что а не явл яется корнем характеристиче­ ского уравнения. 16) у, = 1 *^щ (х)е“ , есл и а — корень кратности к характеристического уравнения. Пример 60. 1)у"+2у'=X —1 . Здесь т = 1, а = О, так как правую часть уравнения можно записать в виде е ° ' ( г - I). Корни характеристического уравнения - I-2г=О равны Г| = О, Г2 = - 2. Так как а — корень кратности к = I характеристи­ ческого уравнения, частное решение ищем в виде у^ = х {Ах + В ). Подставляя производные у\ = 2Ах + В я у " = 2 А ъ дифференциальное уравнение, получим: 2Л+ 4Ах + 2В = х —\. Сравнивая здесь коэффициенты при одинаковых степенях X слева и справа, найдем А = 1/4, В = - 3/4. Следовательно, >23 V.=4^-4^- Общее решение однородного уравнения: 2 = С| + . Общее решение неод­ нородного уравнения: у=у,+г= +С|-I- 2)у"- 2у'+у= Здесь т = О, а = 2, г, = Гг = I, следовательно, частное р>ешение ищем в виде у[ = . Подставляя у ь у | . у 1^ в уравнение, получим Л = 1, т. е. у 1 = Общее решение однородного уравнения: г ~ С\б^ + Сгхе*. Обшее решение неоднородного уравнения: у = у| г.
Случай 2. Пусть правая часть уравнения (11.61) имеет вид /(х) = е“ "'1Р1(1)С05/ЗХ+ Р2(х)81П0х\. где а,/3 — действительные числа, Р \(х) ,Р 2(х) — полиномы , наивысшая сте­ пень которых равна га, т. е. один из них имеет степень га, а другой — меньшую степень и, в частности , может быть тождественно равным нулю. Тогда частное решение у^ имеет вид: 2а) = е“ [ ^ , (г) со8/Зх + Ц2(г)51п,б1), где Я\(х), ^ 2{x) — полиномы степени т с неопределенными коэффициентами, при условии, что комплекс ­ ные числа а ± 1/3 не являются корнями характеристического уравнения. Оба полинома ^| и ^2 записываются одновременно даже в случае, когда Р] = О либоРз=0. 26) у1 = 1 *е“ ''|С?|(х) со5/Зх -Ь ^ 2{x) 5гп/3х|, если а + (соответственно а — гР) — корень кратности к характеристического уравнения. Пример 61. Оу"+4у=со52х.Здесьа=О,/9=2,т = 0. Корни характеристического урав­ нения -Ь 4 ^ О равны Г[ = 2», Г2 = -2г, следовательно, к = \. Частное решение ищем в виде у) = со5 2ж + В 5ш 2х). Подставляя производные от у 1 в дифференциальное уравнение и приравнивая коэффициенты при со^2х и 81п2ж в обеих частях равенства, получим Л = О, В = 1/4. Частное решение: У) -X 51П 2х. Общеерешение однородногоуравнения: г = С\ С0521 +С2зт 2х. Обшее решение неоднородного уравнения: у = У1 + 2 . 2) у" - 4у'+5у= со5 х. Здесь а = 2, ^ = I , т = 0. Корни характеристического уравненияг^-4г+5=Оравны = 2+*, Гг= 2 -1 ,те. Л = 1.Частноерешение ищем в виде у) = хе^'(Лсо8х + В 81пх). Подставляя у\.у\,у'! в уравнение и приравнивая коэффициенты при со5 х и 51п х в обеих частях равенства, находим >1 = 0, В = 1, т е . у| = хе^*81п х . Общее решение однородного уравнения: 2 = е^*(С'| С05Х + С 2 81П х). Общее решение неоднородного уравнения: у = у\+^- П р и м еча н ие . Если правую часть /(х) уравнения (11.61) можно представить в виде суммы нескольких слагаемых, для каждого из которых применим метод неопределен­ ных коэффициентов, то для нахождения частного решения неоднородного уравнения используется принцип суперпозиции (наложения) (см. 11.1.4.1,6). Пример62. Ь{у) =у"'+2у"+5у' = хе”*"-2х+451п2х. Здесьг^+2г^+5г = О,Г1 —О, Г2=-14 - 2*. Гз = —1 —2*. Представим правую часть уравнения в виде суммы слага­ емых /|(х) = хе~^, /2(х) = - 2х, /з(х) = 4 81п2х. Частное решение исходного урав­ нения равно сумме частных решений у),у2,уз уравнений Ь {у) = хе~^\ Ь {у ) — - 2х, Ь (у) ^ 4 51П2х, из которых первое относится к случаю 1а); второе -- к случаю 16). так как а О является корнем характеристического уравнения; фетье — к случаю 2а); т. е. У1—е ^(Ах В).у1=х{Сх+В), у^= Есо^2х4- 2х,гдеА,В,С,В,Е,Е —ис­ комые коэффициенты. Общее решение однородного уравнения: х — С\ сох 2x4 Сяе” ^ 81П 2х. Общее решение неоднородного уравнения: у = У1 + У: + Уз + -г.
11.1 .4 .4 . Уравнение Эйлера Уравнением Эйлера (однородным) называется дифференциальное уравнение +••■+а„-1ху+а„у =О, где0|, . . . , а „ — постоянные. Заменой независимой переменной по формуле I = е* (или <= 1 т ) уравнение Эйлера приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами. Имеем: ах ИЛх 4х'М М^ ’ т.е. ^Их М’ ^ ^±(^ -Л -1^ с1х\(1х/ (И\с1х/ (И (И\й1 ) (11^ М т.е. 2^ ау Лх^ (И^ м Аналогачно вычисляются последующие производные. Неоднородное уравне­ ние Эйлера интегрируется методом вариации произвольных постоянных либо методом неопределенных коэффициентов. Однородное уравнение Эйлера может быть проинтефировано также непо­ средственно, без замены переменной, если искать его решение в виде у = х . Вычисляя производные и подставляя их в уравнение Эйлера, получим алгеб­ раическое уравнение степени п для нахождения т . Если это уравнение имеет п рамичных корней тп\,... , т „ , т о общее решение уравнения Эйлера имеет вид у=С1х”" +...+Спх’"\ Если корень т , имеет кратность а , то ему соответствуют частные решения вида: х”", хГ1пх, x"■Ч1п x)^ ..., х”"(1пх)“ ~‘ . Паре сопряженных корней а ± гЬ соответствуют два решения: х“ со8(61пх), х “ 81п(61пх). Пример 63. х^у" - 2ху'+2у=0.Полагаях=е' изаменяяпроизводныеоту поI производными по I , получим 2^ +2у=0. V<й/<й" т.е. линейное уравнение
характеристическое уравнение которого - Зг + 2 = О имеет корни Г| = 1, =2. Общее решение: у = С|е' + Сге^’ . Возвращаясь к прежней переменной, получим у = С1Х+Сгх'. Еслиискатьрещениеввидеу=х"",тоу' = тх"~', у” =т(т - Подставляя эти выражения в исходное уравнение, после сокращения на получим уравнение - Зт +2= О, имеющее корни ГП] = I, Шг = 2. Полученное общее рещение совпадает с предыдущим. 11.1 .4 .5 . Краевые задачи. Функция Грина Для вьшеления частного решения дифференциального уравнения из его обще­ го решения может рассматриваться либо задача Коши, состояшая в отыскании частного реш ения, удовлетворяющего начальным условиям, либо краевая за­ дача, заключающаяся в нахождении частного решения, удовлетворяющего краевым (фаничным) условиям (см. 11.1.1.1) на обоих концах заданного про­ межутка, внутри которого это решение ищется. Число ф аничных условий должно совпадать с порядком уравнения. 1. Краевая задача для уравнения второго порядка. О бы чно рассматривается следующая краевая задача на отрезке [а; Ь|, состояшая из дифференциального уравнения Цу)=Ро{х)у"+рЛх)у'+Р2(х)у=/{х) (а^х ^Ь) (11.65) и двух краевых (фаничных) условий 1^1(») = ам»'(а)+ апу{а) +апУ (Ь) + ацу{Ь)=;9|, У1{у) = а 21у'(а)+ а 22у(а) +а 2уу'{Ь) + й2Ау(Ь)=02, где ра{х),р1{х),р2{х), /{х) непрерывны в [а; 6] и ро{х) ф 0; предполагается, что ранг матрицы коэффициентов Ли а,2 а,з 0,4 а21 022 «23 «24. равен двум, т. е. хотя бы один из щести определителей ( 11.66) (* <]\ г,] = 1,2,3,4) Д.= 02( 02] отличен от нуля. Если ац = = а 2\ — 0:22 = О, то краевые условия примут вид апу'{а)+ а,2у{а) =01, а2зу'(Ь)+а24Р(6)=Л . (11.67) Краевые условия (11.66) и (11.67) называются смешанными (неразделенными) и разделенными соответственно. Краевая задача (11.65), (11.66) называется однородной, если /(х) = О, /З, = /З2 = О, в противном случае — неоднород­ ной. Решение у = у?(х) краевой задачи (11.65), (11.66) обращает уравнение (11.65) в тождество на |а: 6| и удовлетворяет краевым условиям (11.66), т е.
КД^(х)) = А (» = 1,2). Любая однородная 1фаевая задача всегда имеет три­ виальное решение 1р(х) = 0. Всякая линейная комбинация решений какой- либо однородной краевой задачи также является ее решением. Существуют неоднородные краевые задачи, совсем не имеющие решений. Пример 64. Решить краевую задачу: у"+4у=С052г; 2у(0)+у'(0)=2, Решение. Общее решение данного уравнения (см. пример 61): Его производная у= С| С052г+Сг81П21+^151П2х. у = -2С| 81П2х+2С1С052х+ ^ът2х + С052х. Подставляя значенияу и у' в точках х = О и х = яг/4 в краевыеусловия,получим систему 2С| 4-2Сз =2, 2С, - 20^ = 1/4 Отсюда находим С| = 9/16, Сг = 7/16. Решение краевой задачи: 9 7 I у= 77 С0821-Ь — 51П2г+ -151П2х. > 16 16 4 Если Ро(х), р\(х), Р 2(х) непрерывны на |а;Ь), то дифференциальный оператор , о пределяемый равенством 1’(у)={роу)" - (Р\У)' +Р2У = +(2ро- +Рз+Ро-р\ называется сопряженным к оператору Ь. Уравнение Ь ’(и) = О называется (сопряженным к уравнению Ь{у) = 0. Если и(х), V(x) — две любые дважды непрерывно дифференцируемые на [а; 6] функции, то выполняется соотно ­ шение ь [иЦь)-V^'(и)]йх= [ро(«« - »«')+(Р|-Ро)Н , (1 1.68) /(. Называемое формулой Грина. Если Ь{у) = Ь ‘(у), то оператор Ь и однородное уравнение Цу) = О Называются самосопряженными. Оператор Ь является самосопряженным тогда и только тогда, когда р] = р'о- П ри этом I=Ь‘ =Ро-^ +Рот-+ ч Му)=(Риу'У+Р2У- ах- ах Всякое уравнение второго порядка у" + а^(х)у + аг{х)у = ^(х).
где 0|(х), 02(х), ^ (х) непрерывны, можно привести к самосопряженному виду р(х)у" +р'(х)у + д(х)у = [р(х)з/']' + д(х)у = /(х) умножением на функцию ^1{x) = еxр|^^ а^(х)ах'^, здесь ехр{1} = е‘ , р(х) = ц{х), д(х) = 02(х)/1(х), /(х) = й(1)/1(х). Пусть дана краевая задача вида (11.65), (11.66): Ь{у) = /(х), У^^у) = Д (г = 1,2),Тогда соответствующая однородная краевая задача Ци)=0, Г^(и)=0, (1=1,2) (11,69) называетсясамосопряженной, если: 1)Ь(и)=Ь ‘(и),2)длялюбыхдвухсистем чисел {«(в), и (а), и{Ь), и {Ь)} и {»(а), » ’(а), 1)(6), ю'(6)}, удовлетворяющих оди­ наковым краевым условиям У;(«) = О, У ,(«) = О (| = 1, 2), справедливо соот- нощение ь [ро(и® - И«')1 = о, а Краевая задача (11,69) самосопряжена тогда и только тогда, когда 1) Р 1=ро, 2) ро(а)Пз4 = ро(Ь)П,2. Неоднородная краевая задача Д2/) = /(х), Ш = 0 (1=1,2). для которой соответствующая однородная задача (11,69) самосопряжена, раз­ решима тогда и только тогда, когда для всякого нетривиального решения ф{х) однородной краевой задачи (если оно существует) вы полня ется равенство ь IНхЖх)йх-0, а Если однородная краевая задача (11,69) имеет только тривиальное решение (ф {х) = 0), то неоднородная краевая задача (11,65), (11,66) имеет решение, и притом единственное, 2. Функция Грина. Функцией Грина (илифункцией влияния) однородной краевой задачи (11.69) называется функция С { х , ( ) , удовлетворяющая следу­ ющим условиям: I ) Она определена и непрерывная в квадрате О , определяемом неравен­ ствамиа$X, ^ 6 на плоскости О х|,
2) Как функция от х она имеет в каждом из двух треугольников а < ^ < х ^ Ь и а ^ х < ( < Ь непрерывные производные по х до второго порядка и при X / 4 удовлетворяет однородному уравнению Ц р) = Рйу"+Р\У +РгУ = О, т.е. ЦС)=0. 3) Как функция от х она (при каждом фиксированном а<^<Ь)удо­ влетворяет однородным краевым условиям У |(С) = 0 (* = 1, 2). 4)Надиагонали квадратаО, т.е . при х = ^ (а<(< Ь),ее первая произ­ водная по X имеетразрыв первогорода, причем дО(х,0 дх дС(х,0 х=(-0 РоЮ' Для самосопряженной краевой задачи ( И . 69) функция Грина симметрична, т.е. С(х,0 = С(^,х). Построение функции Грина. Если однородная краевая задача (11.69) имеет только тривиальное решение у = 0,т о для этой задачи существует единствен­ ная функция Грина. Если известны какие-либо два линейно независимых решения у\{х) и У2{х) однородного уравнения 1{у) = О, то функция Грина строится по формуле Га](0г/1(1)+О2и)у2(х) при а^х ^^ ^Ь, ~ I Ь|(^)г^|(г) + Ь2(02/2(х) при где оД^), 02(^), 61(0 , б2(€) определяются так, чтобы выполнялись условия 1)-4) в определении ф ун кци и Грина. Если С(х,0 — функция Грина однородной краевой задачи (11.69), то решение неоднородной краевой задачи Ш = /(х), У.(г/)= 0 (*= 1,2), (11.70) где /(ж) непрерывна на |а; 6], находится по формуле ь у{х) = ! О(х,0 т)<1С (Ч-71) а Решение неоднородной краевой задачи Ш =0, V^(у)=|^^(»= 1.2) (11.72) ищется в виде у = С\у\(х) + С2У1(х), где С], С2 находятся из краевых условий (11.72). Решение краевой задачи (11.65), (11.66) равно сумме решений краевых задач (11.70) и (11,72). Следовательно, без ограничение общ ности, решение краевой задачи (1 1.65), (1 1.66) сводится к решению задачи (1 1.70).
Примечание . Простейшие краевые условия у(о) = у^, у(Ь) = уь посредством замены искомой функции у{х) на г{х) по формуле Уь-Уа, V 2=У-Уа--Г (х-а) о-а преобразуются в однородные краевые условия г{ а) = О, 2( 6) = 0. В этом случае неоднородная краевая задача легко преобразуется в краевую задачу с однородными краевыми условиями. Для краевой задачи \р(х)у'\+ч{х)у=}(х) (а^х^ьу, аиу'(а) +а]2«/(а) =О, а2}у'{Ь)+024(6) =О, в предположении существования только тривиального решения однородной краевой задачи, функция Грина имеет вид ^ У 2(0 У1{х), С{х.О ={ I ( 11.74) -^уЛ0У2{х), а^(,^х^Ь, где 2/1(1), У2{х) — решения однородного уравнения (11.73) (т.е . при /(х) = 0) такие, что 3/1(1) удовлетворяет только первому фаничному условию (11.73) (в точке х —а ) , а у 2{х) — только второму условию (в точке 1 = 6); С = р(^)й^'(^). ^^(4) = У\а)У2{0 - У2Юу'](0 -При этом функция 3/1(1) ищется как решение задачи Кош и для однородного уравнения (11.73) (т.е . при /(1) н 0) с на­ чальными условиями 3/1(0) = - а ц , 3/'|(а) = для 3/2( 1 ) — соответственно 3/2(6) = - 023, 3/2 = “ 24. Функции 3/1(х), з/2(х) линейно независимы. Пример 65. Решить неоднородную краевую задачу: у"+^у =/{х) (О^х^ж): у{0)=\. у{п)= -\. (1) Решение. Построим сначала функцию Грина для однородной краевой задачи у"+ = 0; у(0)= О, у(ж)=О, (2) имеющей только тривиальное решение у = 0. Сравнивая задачу (2) с (11.73), найдем, что Он = О, а|г = 1. азз = О, 024 = 1. Характеристические числа: Г |,2 = * Решение У|(г) уравнения (2) ищем в виде у,{х) = С, со8 81п ~х и с учетом начачьных условий У|(0)=-Он = О, 1/1(0) = а ,2 = I получим У){х) = 51П - I . Аналогично. у:(х) = Сз С05 + С451П Сз = I, С4 = 0, те. у2(х)=сои ^х.Учитывая, что
= —1/2, р(^) = I , найдем согласно (11.74): О{х,0 = - 2 с05^{- -251П-^ ■(С05-I); о<^<X<7Г. Здесь С(х, { ) = С(^, I ) , т. е. функция Грина симметрична. Краевая задача ( I ) разбивается на две краевые задачи. Решение г|(х) краевой задачи с однородными условиями г"+ = /(*); гСО)=О, 2(п)=О находится по формуле (11.71): » X г,{х) = I в{х.О ПО<Ч = - I2,т'-( (а>^'-хУц)(Ц- Ж - / 2С05 • ^51П /{() Решение «2(0:) задачи ищем в виде г"+-2 =0; г(0)=1, ф)=-I 4 «2(1)=А)С08 +Лг5Ш^х. Находя А,,А2Спомощьюусловий 2^(0) = 1, г2(к) = - I, получим 4, = 1, ^2 = -1 и 12{х) = С05-X - 51П -X . Решение у{х) исходной краевой задачи (1) равно сумме решений у(х) = 21(1) + 22(1). > Примечание к примеру65. Однороднаякраеваязадачау"+-у =0;у(0)=0,у(2х)=0 имеет нетривиальное решение у = 81П ^х . Поэтому неоднородная краевая задача, “ частности: у" + -у = со5 -х . у{0) = /9,, у{21г) = ^2. не имеет решения, если только 4 2 Не выполнено определенное условие разрешимости, которое можно найти следующим ^разом. Учитывая, что общее решение данного неоднородного уравнения имеет вид */=С1С05-Х+С251П-Х +Х-51П - Х,ПОЛуЧИМИЗГраНИЧНЫХУСЛОВИЙС\=Д|,С|= - р2- ^ Уравнения совместны только при условии = -^2^ которое и является условием Разрешимости данной краевой задачи. Если = - 0 2 , то неоднородная краевая задача I 1 1 Имеет бесконечное множество решений у = сок -х + Сз 5Ш -х + х ■81п -х , так как Постоянная С 2 не определена.
Пример 66. Для краевой задачи у"=/(*)(о < * < 1>); у(а)=О, у(Ь)=О имеем:а,, =0, а|2 =1,«гз=О,024 =1,у,(х)=х -а,У2(х)=1 -6,ЦГ(^) =Ь-а, р(^) = 1. Следовательно, функция Грина, согласно (11.74), имеет вид - Щх-а); о<I <^<6, 6-« 7---(^-о)(*-6); О-а Решение краевой задачи для любой непрерьЕвной функции /(х) имеет вид ь X ь у(х}=I а{х.от)<‘( =I о(х4)т)<^(+1о{х,от)<ч = а а X X Ь =^ а X 3. Задачи на собственные значения. Неоднородной краевой задаче Ну)+Ы^)У=Цх)(а<з:^Ь); У^у)= (г = 1,2) соответствует однородная задача, предполагаемая самосопряженной Цу)+Х8(х)у=О(о^ X ^ 6); У,(г/)=О(.' = 1,2), (II .75) где Ц у) = [р(х)у'\ + ^(x)у\ р(х), р '(х), д(х), ^ {х) непрерывны в (а; 6|. Задача на собственные значения заключается в том. что в однородной крае­ вой задаче (11.75) требуется найти те значения (в общем случае комплексные) параметра А, для которых эта задача имеет нетривиальные (т. е. не равные тождественно нулю) решения. Такие значения А называются собственными значениями (числами), а их совокупность — спектром задачи на собственные значения. Каждое нетривиальное решение у = <р{х) задачи называется соб­ ственной функцией, соответствующей данному собственному значению. Рассмотрим следующую самосопряженную задачу для случая ^(х) = 1: Ь(»)+Аз/=0 (а^х^Ь); аиу'{а) +аоу{а) =О, а21у'(Ь)+а2Ау{Ь)=0. Если А = О не является собственным значением краевой задачи (11.76), т.е. при А = О задача имеет только тривиальное решение у = О, то задача (11.76) равносильна, согласно (11.71), интегральному уравнению с симметричным ядром (в силу симметричности функции Грина): О
Основные свойства собственных значений и собственных функций краевой задачи (11.76). 1) Существует по крайней мере одно собственное число и соответствующая ему собственная функция. 2) Если ^|(х) и (Р2(х) — собственные функции, соответствующие отличным друг от друга собственным числам А] и Аз, то выполняется условие ортогональности и I 1Р\{х)Ых) =0. 3) Собственные числа действительны. Каждому из них соответствует только одна собственная функция (с точностью до числового множителя). Для краевых условий, отличающихся от (11.76), каждому А может соответ­ ствовать не более двух линейно независимых собственных функций. 4) Все собственные числа образуют бескон ечную последовательность А, ^ Аг<Аз^ ^ А„< . 5) Пусть А„ (п = 1, 2, . . . ) и (р„{х) — собственные числа и соответствующие им собственные функции, образующие ортонормированную систему. Тогда каждую функцию (р{х), удовлетворяющую граничным условиям (11.76) и имеющую непрерывные производные до второго порядка на [а; 6], можно разложить в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье Г 1р{х) = ^ с„‘Рп(х), где с„ = / (р(х)(р„(х) ах. а Для неоднородной краевой задачи Ш турм а —Лнувилля |р(г)у'Г + д{х)у + Аг(х)г/ = /(х) (а < х ^ 6); ацу'(а) +апу{а) =О, а2уу'{Ь)+а24У(*) =О справедливы следующие утверждения. О Если параметр А не равен ни одному из собственных чисел соответствую­ щей однородной задачи (т. е. однородная задача имеет только тривиальное решение), то неоднородная задача (11.77) для любой непрерывной / (х ) имеет единственное решение. 2) Если параметр А равен одному из собственных чисел однородной задачи (т. е. однородная задача имеет нефивиальное решение), то неоднород­ ная задача имеет решение только при условии, когда для собственных функций (р{х), соответствующих собственному числу А, выполняется
равенство (условие разрешимости): /(х)1р{х) йх = 0. /■ При этом задача (11.77) имеет бесконечное множество решений, так как, если у(х) — решение задачи (11.77), то ее решением будет также функция у{х) + С ■<р{х), где С — произвольное число, ^ (х) — собственная функ­ ция, соответствующая собственному числу А. Таким образом, для заданного значения А либо однородная задача имеет нетривиальное решение, либо неоднородная имеет единственное решение (альтернатива Фредгольма). Пример 67. Найдем собственные значения и собственные функции однородной кра­ евой задачи у"+>^у=й(О<I<0; »(0)= о, у(1)-0. (1) Требуется найти все значения А, при которых задача (1) имеет ненулевые (нетриви­ альные) решения у ^ 0. Решение. 1) Если А < О, то характеристическое уравнение - I- А = О (см. 11.1.4.2) имеет различные действительные корни Г 12 = ±\^-А , а общее решение уравнения (О имеет вид у = + Сге’"^^. Краевые условия ( I ) дают =С;=О,т.е.у =О 2) ЕслиА=О,тоу=С11 -(-Сг.ЗдесьтакжеС|=С2 =Оиун0. 3) А > 0. Характеристические числа: Г |.2 = ±:\/А. Общее решение уравнения (I): у = С| С05\/АI -I-Сг у'АI . Краевые условия (I) дают С| = О, Сз51п\/А/ =0. Здесь С 2 ^ О, так как иначе у = О, следовательно. 51п \/А I = 0. Отсюда \/Х„1 =±пи (п = 1,2 ,...), те. А„ = (пж/1)^. Если п =0,то у н 0.Собственным значениям А|, А г , . . . соответствуют собственные функции у„(х) = А „&1п’^ х (п=1,2,...), где А „ — произвольные постоянные. Полагая Л„ — ^/2/1, получим ортонормИ' рованную систему собственных функций ,. [2.пп Если А ^ А„ (п = I, 2___), то любая неоднородная краевая задача у" +Ау = /(!)• у(0)=О,у{1)=Оимеетединственноерешение.ЕслиА=А„,то неоднородная задача имеет бесконечное множество решений (см. пример 65) при в ы п о л н е н и и условия разрешимости. Р"
11.1.4.6. Интегриро вание уравнений с помощью степенных рядов 1. Линейное уравнение вида (11.59) порядка выше первого с перемен­ ными коэффициентами не может быть в общем случае проинтефировано в конечном виде (т.е . в квадратурах). Один из наиболее распространенных ме­ тодов интегрирования таких уравнений основан на представлении искомого решения в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами, если коэффициенты уравнения являются аналитическими функциями, т. е. могут быть представлены в виде степенных рядов с известными коэффициентами. Идея этого метода состоит в том, что ряды, представляюшие коэффициенты уравнения и искомого решения, подставляются в уравнение, а затем при­ равниваются друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях х, что позволяет найти неопределенные коэффициенты ряда (см. также 11.1.2.9). Примечание . Функция /(х) называется аналитической в точке 1о, если в некоторой окрестности \х —Х а\<б этой точки она представима в виде степенного ряда по сте­ пеням {х - Хо): 00 /(X) = а„(х - (11.78) п=0 Если /(ж) обладает этим свойством в каждой точке Хо интервала (а; Ь), то она назы­ вается аналитической в интервале (о; 6). Аналитическая функция имеет производные всех порядков. Разложение (11.78) функции /( х) может быть записано в виде ряда Тейлора для этой функции в точке Хо'. Пх)=/(Хо)-иЕ ^/“ ’(*о)(х-х„)‘. (11.79) 2.Теорема Кошиосуществованиииединственности аналитического решения « д а ч и К о ш и . Задача Коши для линейного уравнения п-го порядка +...+р„^,{х)у'+р„(х)у = /(I), У{хо) = Уо, у(хо)=у'о = ^ Уо.у'о,■■■, Уо” '^ — любые заданные чиош, при условии, чт о функции Р |(х ) , >Рп{х), / ( х ) ана^штичны в т о чке Хо, и меет единственное решение, анали- 'Чическое в точке Хо, причем ряд У=Уо+^{х-х„) -Н§(х-х„)'-Ь ... +(^^(г-*о)‘"-" + - На„(х-х0)“ -ьа„+,(х-х„)"+' -Н ..., (11.81) ^Р^^тавляющий э то решение, сходится в том ж е промежутке, в котором схо- ^^^ся ряды, представляющие р\(х),. . . ,рп(х), /(х). Коэффициенты ряда (11.81) могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов, либо
методом последовательного дифференцирования уравнения. Д ля этого сле­ дует вычислить производные у почленным дифференцированием ряда (11.81) и подставить затем полученные ряды, а также ряды, представ­ ляющие функции р ь- - , Рп . / в окрестности точки Хо, в дифференциаль­ ное уравнение (11.80). Приравнивая в полученном равенстве коэффициенты при одинаковых степенях (х - Хо), получим уравнения для нахождения а„. Сходимость полученного ряда (11.81) обеспечивается выполнением условий теоремы Кош и. Пример 6 8. Найдем аналитическое решение задачи Кош и »"+у3^г/=1п(1+1); у(0)=1, !/'(0)= - 1. (1) Решение. В этом уравнении I-* = ж(И-а;-|-г^-Ьх^...) (-1< К 1), 1п(I+I) =I -у - 1-у - ... (-1<1^ 1). а) Метод неопределенных коэффицие1гтов. Решение ищем в виде ряда (хо = 0) у=Оо+0,1+агХ^+Озж’4-04Ж''+051’ (2) сходящегося в интервале - 1 < х < 1. Производные у' и у " равны у =в1+2021 Ц-Зоз*^ 4а,х’ +Ьа^х*+ .... у" = 2а2+3-2а,X+4■304*^ -Н5•4051’ -Н. .. . При помощи начальных условий найдем Оо = 1, о, = - 1. Подставляя все ряды в урав­ нение ( I ) , получим (2о2-I-3■2оз1+4■304*^ + 5■405Х’ + . ..) + х^ х’ +х(1+X+х^+ + ...)(!-X+агХ^+а,х^+ ...) =х~ — + — - . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях предыдущего равенства, получим систему уравнений о 2о2= о, 3-2оз+I=1, 4-304 = - у 5■4о5+02= ^, из которой получим; I
Искомое решение: 2-3-4 3-4-5 4-5-6 б) Метод последовательногодифференцирования уравнения. Коэффициенты ряда (2), начиная с 0 2, находим по формуле (см. (11.79)) а, = 1 У ’\0) (Л=2,3,...), в которой производные находятся последовательным дифференцированием уравне­ ния (I). Из (I) при ж = О с учетом начальных условий следует у"(0) = О, т.е. Ог = 0. Дифференцируя (1) и подставляя у = \, у = —] при х = О, получим у"'{0) = О (й) = 0). Аналогично, у**^(0) = - I , !/*’*(0) =1-2, !/*‘ *(0) = -I-2-3, ... . Таким обра­ зом, для решения получается тот же результат. > 3. Интегрирование линейных однородных уравнений второго порядка. Ра с ­ смотрим уравнение второго порядка у"+р{х)у'+ д{х)у = О, (11.82) гдер{х), д(х) аналитичны в точке Хо. Пусть требуется найти фундаментальную систему решений у|(х) и у 2{х) (см. 11.1.4.1) уравнения (11.82), аналитических в точке Хо. Обычно эти решения выбираются так, что они удовлетворяют начальным условиям у,(хо) = 1, 2/'|(хо) =0, У2{Хо)=0 , У2(Хо) = \. Решения У[{х), у2(х) ищутся в виде рядов 00 У\ = И -Х^а*(х-Хо)*, У2=х-Хо+'^ Ь„{х-Хо)*, *=2 сходящихся в той же окрестности точки Хо, что и ряды, представляющие р(х) и ?(х). Общее решение уравнения (11.82) записывается в виде у = С,У\{х) + С2У2{Х). Примечание. Если уравнение имеет вид Ро(х}у' +Р 1{х)у'+ Р2(х)у = О, где Рц, Р|, ^^2 — полиномы от X, то ряды для !/|(х) и У2{ х) можно подставлять непосредственно в это уравнение.
Пример 69. Найдем фундаментальную систему решений уравнения у " + у = О, ана­ литических в точке 1 = 0. Решения, удовлетворяющие начальным условиям (11,83), ищем в виде рядов 00 00 1/1=1+ У2=х+^ь„х\ *=| *=| имеющих радиус сходимости Д = оо. Находя коэффициенты этих рядов, аналогично примеру 68, получим искомую фундаментальную систему решений х‘‘ х’ У2=*--+ - -... = 511 11. 4. Интегрирование уравнений с помощью обобщенных степенных рядов. Если дифференциальное уравнение имеет вид (Х-Хй)^у +(х - Хо)р(х)у +^(x)р = о, (11.84) где р(х), д(х) аналитичны в точке Хо, то точка Хц называется регулярной особой точкой этого уравнения. При этом коэффициенты уравнения х-х „ {х- ХоУ неограничены при х -> Хо- Решение уравнения (11.84) ищется в виде обоб­ щенного степенного ряда С» 2/=(х-Хо)'’ ^ а*(х-Хо)*, (11.85) к=0 где р — некоторое действительное число, предполагается, что Оо # 0. Ряд (11.85) сходится в той же окрестности точки Хо, что и ряды ОС ОС А=0 к=0 Подставляя в (11.84) ряды, представляющие функции р .д ,у ,у ' , у " , приводя подобные члены и приравнивая к нулю коэффициенты при различных степе­ нях (х - Х о ) , получим уравнения для вычисления коэффициентов а^. Первое из этих уравнений дает определяющее уравнение для нахождения р\ р(р-1)+роР+до=О, корни которого обозначим р\,рг. Здесь возможны три случая. I ) Если р\ - р2 не равно целому числу, то по формуле (11.85) можно постро­ ить два линейно независимых рещения, образующих фундаментальную систему: У\=(х-Хо)'''^ а*(х-Хо)‘, У1=(х- Хо)'" ^ Ьк(х - Хо)‘ .
2) Если Р] — Р2 — натуральное число, то можно построить двалинейно независимых решения: 00 У\=(х- хо)'” ^ ак(х - 1о)*, к=а 00 У2=Ьу\1п(х-Хо)+(г- Ьк(х - хо)\ к=0 где Ь — некоторое число. Если 6 = О, то получается случай 1). 3) Если р^ = Р2, то решения и у2 строятся, как в случае 2). Уравнение Бесселя х^у"+ху+{х^-т})у=0, ( 11.86) где т — заданное число, имеет регулярную особую точку х = 0. Согласно вышеизложенному, находим определяющее уравнение р(р - 1) + /5- =О иегокорнир1=т,Р2= Решение уравнения (11.86) ишем в виде У = хTM(оо + 0|Х + 02Х^ + . . .) . Подставив этот ряд в уравнение и приравнивая к нулю коэффициенты при различных степенях х, начиная с х ’"'*'', найдем значения 01, 02, . . . . Полученный ряд, в котором принято, что 1 Оо= 2'"Г(тп+ 1)’ где Г — гамма -функция, определяет функцию Бесселя первого рода ш -го порядка: ^^^x)=о„хTM I - 2^(т + 1) 2'*2!(т + 1)(т +2) •••+( 2^"п!(т + 1)(тп + 2)•••(тп + п) ^ , п!Г(п+т+1)(2) п=о Этот ряд сходится по признаку Даламбера при любом х . Здесь р\ - р2 = 2 т . Следовательно, если т не равно целому числу, то общее решение уравнения ( 11.86) имеет вид у=С^^„,(x)+С2^-т(x), гдеряд3^т(х)получаетсяизряда7„(х) заменойтна(-т ) . Дляцелыхт выполняется равенство ^ - т{x) = Если т — натуральное число
или нуль, то общее решение уравнения ( 11.86) равно где 00 ^т(х) =Ь■^„(x)1пx+х-"" ^ Ь,х\ 1с=0 Длят =1/2ит = -1/2имеем ^\|2(x)== У_1/2(х) = ч/— С05Х . V 7ГЖ V 7ГЖ Применяютсятакже модифицированные функции Бесселя первого рода тп-го порядка чисто мнимого аргумента 00 I /^\2п+т удовлетворяющие дифференциальному уравнению х^у"+ху -(х^+п?)у=0. Справедливырекуррентные соотношения: X ^ [х~TM7„(1)]= - х“”/ „+1(х), ^[хTM/„(х)] = х"‘7„_1(х). Уравнением Лежандра для целых неотрицательных п называется урав­ нение -п(п+1}у5(1-х^)у" - 2ху'+п{п+\)у=0. (11.87) Точки X = —I, X = 1являются для него регулярными особыми. Решениями уравнения (11.87) служат полиномы Лежандра Р„{х): Ро(х) = 1, Р|(х) = х, Р2(*) = ^(Зх^'- 1), Рз(х)= ^(5х' - Зх), Р,{х) =5(35х'‘ - ЗОх^+3), .... 2. о
ПолиномыЛежандра могутбыть найдены поформуле Родрига На отрезке - 1 1 выполняются неравенства |Рп(2;)| ^ 1. Полином Р п{х) имеет п простых действительных корней, расположенных в интервале - К г < 1. Для полиномов Лежандра выполняются равенства (п+1)Р„+1(г)-(2п+1)гР„(х)+пР„_,(г)=0; I ^ Р„(г)Р„(х)Й1 = -1 где = 1прит=п; =Опритфп. 11.1.5. Линейные системы дифференциальных уравнений П . 1.5.1. Основные понятия Линейная система дифференциальных уравнений у'\ =Р\\{х)у\ +Рп(х)у2+ •••+ Р|„(х)у„ + /](!), »2 =Р2г(х)г/1 +Р22(х)у2 + ■■■+ Р2п{.х)Уп + /2(х), (Ц 88) !/п = Рп1(х)»| + Р„2(Х)У2+ ...+ Р„п{х)Уп + /п(х) называется однородной (неоднородной), если все Д(х) =О(хотябы одно из Мх) ^ 0). Существование и единственность решения. Если всеР{]{х),/|(х) непре­ рывны в некотором интервале (о; Ь), то существует единственное решение »|=»|(*). Уп= Уп{х) системы ( 11.88), удовлетворяющее начальным условиям У\{х) = Ую, •••. Уп(х) = упо при Х = Х0 из (а;(>), Хо,Ую, ... ,у„0 — заданныечисла(начальные данные).Функциирешения !'|(х), . . . , у „{х) непрерывно дифференцируемы в (а; Ь). Геометрически решение системы (11.88) изображается интефальной кри­ вой, проходящей через точку (хо, Ую Упо) в ( п + 1)-мерном пространстве ’^чек (х,у ,у„).
Если ввести в рассмотрение матрицы г/|(х)' у\(х) 1\(х) Г(х) = У2(Х) , У'{х) = У2(х) , Р(х) = Н(х) >(*). у'п(х)_ /п(х)_ Р(х) = \рф)\ = >11 Р\г ••• Рт Р21 Р22 •■■ Р2„ .Рш Риг ■ Рпп. то систему ( 11.88) можно записать в матричном виде У' = Р(х)У +Р(х). (11.90) Примечание. Для записи вектора-столбца У ( х ) далее используется также обозначение Г(1)= у „ } (см. 1.3.1.1). Общее решение у, = ... ,С„) (г= 1,2, ...,п) системы(11.88) или (11.90) содержит п произвольных постоянных С \, . . . , С „ , которые могут быть найдены при помощи начальных условий. Свойства решений однородной системы. Рассмотрим однородную систему У' = Р(х)У. (11.91) Если У^ = {у|,(х), У2,(х), . . . , у „,(х)} (« = 1,2) — два решения-столбца си­ стемы (11.91), то К = С\У\ -I-С2У2, где С ьС г — любые числа, также является решением системы. Решением системы (11.91) будет линейная ком- бинациялюбого конечного числа решений ^.(х) этой системы т г=х;с,у,(х). 1=1 Решения У \(х) , ,У т(х) системы (11.91) называются линейно независимыми в (а; 6), если их линейная комбинация удовлетворяет тождеству У{х) = 0 только в случае С\ = . . . = С „ = 0. Всякая совокупность п линейно неза­ висимых решений У\(х) (1 = 1 п ) системы (11.91) называется ее фунда­ ментальной системой решений. И з фундаментальной системы решений можно составить фундаментальную матрицу, столбцами которой являются эти реше­ нияУ^(г=I,..., п): >11 (г) г/12(х) . ■■ У\п(х)' \^(х) =(У,,У1, . . . , У „) = У21(х) »22(Х) ••• У2п(х) Л/-1(х) Уп Лх) ■■• Упп(х).
Совокупность п решений системы (11.91) только тогда является фундамен­ тальной системой решений, когда сушествует точка Хо из (о;Ь), в которой определитель Вронского Д(х) = <1е1No'(х) отличен от нуля, т. е. Л(хо) ф 0. При этом Д(г) фОдля любого х из (о; Ь). Однородная система (П-91) с не­ прерывными коэффициентами р^^{x) всегда имеет фундаментальную систему решений. Общее решение (вектор-столбец) однородной системы (11.91) имеет вид ли ­ нейной комбинации векторов-столбцов фундаментальной системы решений У= С ,Г ,(х) -ЬС2У2(х)+...+С„У „(х), где С1,С 2, . . . , С п — произвольные постоянные, значения которых при за­ данных начальных условиях находятся из системы Ую=С'1Уп(хо) -I-С2г/|2(Хо)-Ь . . . -ИС„У1„(Хо), У20= С '|У21(Хо) + С2!/22(Хо) + ■■■+С„!/2п(хо), !/пО = С ',!/„,(хо) Сг!/„2{хо) + ... -I-С „у „„(хо), определитель которой Д(хо) ф 0. Общее решение системы (11.91) можно записать также в матричном виде У=Ц'(х)-С, гдеС = {Сь С2, . . . , С „} — постоянный вектор-столбец. Общее решение неоднородной системы (11.90)имеетматричный вид У=г{х)■С+У(х), гдеУ — общее решение-столбец системы (11.90), 2(х) —фундаментальная Матрица однородной системы 2' = Р(х)2, С — постоянный вектор-столбец, У(х) — частное решение-столбец системы (11.90). " •1.5.2 . Системы с постоянными коэффициентами Однородные системы. Рассмотрим однородную линейную систему урав­ нений у’\ = «112/1+“1292+ •■•+ У1=“212/1+“222/2+•.. +лтУп, (11.92) 2/1= “ «12/1+ “п22/2+ •••-Ь ОцпУп, где — действительные числа. Матричная запись системы (И .92) У'=А У, ■■ДеК = {у|,У2....... 2/п} — вектор-столбец неизвестных функций, А = [а^| — ^трица размера п х п из коэффициентов.
Частное решение системы (11.92) ищется в виде у, = , у2 = А2с'^, у„ = А„е'^, где Л* — некоторые числа, г — число , одинаковое для всех функций, образующих рещение. Подставляя это рещение в (11,92), получим системудля нахождения чисел Л^ (оц —г)А\ +0|2>42+ ... + а\пА„ — О, <»2|-41+(о22- г)А2+...+а2пА„ = О, «1.1^1+а„2Аг+...+(а„„ - г)Л„ = 0. (11.93) Эта однородная система имеет ненулевое решение только тогда, когда ее определитель равен нулю, т.е. = 0. Он-г а,2 0|„ Р(г) = 021 «22-г с^2п а„| «П2 ■ Опп-Г Уравнение Р{г) = О называется характеристическим уравнением, а его корни - характеристическими числами. Рассмотрим частные случаи. 1. Если все п характеристических чисел действительные и различные, то, подставляякаждое изних,равное (к = 1,2 ,..., п), вместо г в(11.93) и решая полученную систему, найдем какое-либо ненулевое ее решение А 21с, , Апк (эти числа определяются с точностью до постоянного мно­ жителя). Частное решение-столбец, соответствующее значению г*, имеет вид: = {у^^, У 2Ь •■■, Л2*е’■ ‘^ ..., Из этих п решений-столбцов может быть составлена фундаментальная мат­ рица \У{х) = |^/^^| системы (11.92): ’Апе^'" Апе'^^ . »У(х) = (Г,,.. ■,Уп) = ^2,е^'" А22е'-^^ . Л2в’'=* . Общее решение — столбец системы (11.92) имеет вид Г={у,,у2,..., Уп}=1Г(х)•С =С,У,(х)-Ь ... -Ь С „У „{х), гдеС={СьСг,..., С„} — постоянный столбец; или У]=С1 + С2^4^2е'^^^ -I- . . . -Н С „А]„е ’^ ’'^ и—1,2,..., п).
Пример 70. Ре ши м систе му диффер енциальных уравн ен ий ^ =4у-г, ^ = -6у+Зг. Лх Ах Решение. Составим характеристическое уравнение = - 7г+6=О, 4-г -1 -6 3-г имеющее корни Г| = 6 , Гг = I .При Г] = 6 система (11.93) для нахождения Х|, Лг при­ нимает вид -2А,-Л2 =0, - 6Л|-ЗЛ2 = 0 и сводится к одному уравнению 2А, + Л; = 0. Примем, например, А, = \, тогда Кг = -2 . То есть числу г, = 6 соответствует частное решение ух = е‘ * , г, = -2е‘” . Аналогично для числ а = 1 найдем частное решение у2 = е*, 22 = Зе*. Запишем фундаментальную матрицу систе мы У\VI^ е г, гг] [-2е‘^ Общее решение системы находится по одной из двух формул: е' Зе* 1) 2) =С. +С2 С\У\ + С2У2 С\г\ + € 2^2. !/1 «2с; С,е‘*Н-Сзе' 2, 22 , С2. ,-2С,е'“+гС2е\ т.е.у =С,е‘' +Сге', г = -2С,е'’^+ЗС2е^ > 2. Пусть все характеристические числа различные и среди них есть ком­ плексные, которые всегда встречаются комплексно сопряженными парами, например, Г] = а 4-»/3, Г2 = а - 1/9. Подставив Г] + вместо г в (11.93) и решая полученную систему аналогично предыдущему, найдем комплексные значения = 04 -Ь>6»: (* = 1,2 , .. . , п). Частноерешение оказывается ком­ плексным и имеющим вид 2/1= (о, -Ь «6,) ехр{(а 1Р)х), Уп = (ап + гЬ„) ехр{(а + >/3)х}. '■Де ехр{<} = е‘ . Действительные и мнимые части в этом решении дают 'Соответственно два линейно независимых действительных частных решения 'системы (11.92). Сопряженный корень Г2 уже не дает новых линейно неза­ висимых решений, т .е . каждой паре ГьГг комплексно сопряженных корней соответствуют только два линейно независимых действительных частных ре­ шения. Найдя все линейно независимые частные решения системы, можно вписать общее решение системы (аналогично случаю 1).
Пример 71. Рассмотрим систему уравнений Характеристическоеуравнение (-7 -г)(-5 -г)- 1-(-2) = г^+ 12г+37 = Оимеет корн» г, = -6+«,Г2= -6-1 .Приг=г,система(П.93)принимаетвид(-1 - »)Л, =0, - 2Л| + (1 - г)А2 = О и сводится к одному уравнению, полагая в котором Л, = I, получим А -1 = 1+ 1 . Отделяя дей стви тельные и мним ые час ти в компл ексном частном решенииуц, г[2'. У1.2=У\+>У2=ехр{(-6 +1)1}= е“‘*(со51 +18Ш1), «1.2 =2,+ггг=(1+<)ехр{(-6+•)!}=е‘'“(1+«)(со51+«5шх)= = е'**[(С08X - 5ШI)+ г(51пI + С08ж)], получим два линейно независимых частных решения (у1, 2|) и (уз.гг): У1=е " ‘'со5ж, г| = е"‘'(со81- 81Пх); !/2 = 51ПЖ, «2=е"‘*(со8X+5ШI). Общее решение исходной системы имеет вид у=С^у,+С2У2 =е'‘*(С|С05I +С251Пх), г = С ,г ,+ С222 = е” ‘'[С|(со51 - 51Пх) + С2(с05Х +81пх)]. 3. Если среди характеристических чисел имеется число Г) кратности т. то соответствующее ему решение системы (11.92) ищется в виде У1 = Р\(х)е’’'^, у2= ^’2(x)е’■'^ ..., у„ = Р „(х)е'''^, где Р|(г),Р2(х),,Рп(х) — полиномы степени (т - 1) с неопределенными коэффициентами, которые путем подстановки этого рещения в систему (11.92) выражаются через т произвольных параметров. В частности, эти полиномы могут обратиты;я в п чисел, из которых только т произвольны, и через них выражаются все остальные. Полагая в полученном рещении последова­ тельно один из параметров равным единице, а остальные — нулю, получим совокупность т линейно независимых частных р>ещений. Если число Т\ " действительное, то полученные частные решения действительны. Если Г1 = а + 1/3 — комплексное кратности т , то имеется также характеристическое число а - %Р кратности т . Найдя т линейно незави­ симых комплексных частных решений, соответствующих числу Г| = а + *Р (аналогично случаю кратного действительного корня) и отделяя в них дей­ ствительные и мнимые части, получим 2т линейно независимых частны* действительных решений. В общем случае среди п характеристических чисел имеются простые действительные числа (каждому из них соответствует одно частное действи­ тельное решение); пары простых сопряженных комплексных чисел (каждо* паре соответствуют два действительных частных решения); действительны®
т г Ч ’этаь'2 числа (каждому соответствует Ш) действительных решений); ГП2-кратные пары комплексных сопряженных чисел (каждой паре соответ­ ствуют 2я»2действительных частных решений). Пример 72. Решим систему уравнений У1=2»1+!/2, У2=2У1+У1, Уз = 2уз. (1) Решение. Характеристическое уравнение 2-г I О О 2-г 1 О О 2-г = (2-г)5=о имеет трехкратный ( т = 3) корень Г| = 2, поэтому решение ищем в виде р, = (Аох^+А,х+Л2)е^. У2=(ВохЧВ|а: +В2)е^*, Уз= Подставляя У ),У 2*УЗ в ( 1), получим 2АоХ+А|= +В|Ж+-Вг, 2ВоХ+В]— "Ь + /?2’ 2Ло« + =0. ОтсюданаходимВо=0.2Ао=В,,А, - В2.Ло=0.2Во=1^1,В, = />2, =О, т.е.Во—О,1?о— ^1 =0,В[=2Ао,В2=А[,/?2~2Ао,гдеА^,А],А2— произвольные параметры. Следовательно, у, = {АоХ^+Л,х+ у2=(2Л)Х+Л,)е^, уз = 2Лов^*. Три линейно независимых частных решения-столбца, соответствующих трехкратному ’^^Рактеристическому числу г = 2 и образующих фундаментальную систему решений, Имеют вил У\={У1ьУ21,Уз1}={ж^е^,2хе^,2е^}, 5^2-^У12,У22.Уз2}= {xе^,е^О}, Уз = {У13,У2з.Узз} ={е^ ,0,0}. ^Щее решение системы (1): V={уьУ2,Уз} = ^1^1+С2К2+С3У3, т.е. VI = С[У\\ + С2У12+ С3У13= С\Х^е^ + Сгхе^ + , У2 — ^1У21 + С 2У22 + С^у2з = 2С\хе^^ + Сге^^, Уз = С'|Уз14- С2У32 + Сзузз = 2С\€^. О
Неоднородные системы. Общее решение-столбец У неоднородной линей­ ной системы с постоянными коэффициентами П у[= {*=1,...,п) (11.94) 3=1 равно сумме какого-либо частного решения-столбца У = {у\, ■■■,Уп) не­ однородной системы (11.94) и общего решения-столбца соответствующей однородной системы П >=| У=у+с^г,+ ...+с„2„, где 2 ^,... , 2п — вектор-столбцы фундаментальных решений однородной си- ^ м ы ; С|, . . . , Сп — произвольные числа. Для нахождения частного решения У можно воспользоваться методом вариации произвольных постоянных, соглас ­ но которому постоянные С, в общем решении-столбце 2 = С\2[ +... +С„2„ однородного уравнения заменяются неизвестными функциями С^(x), т .е . част ­ ное решение У системы (11.94) ищ етсяввиде У=С]{х)21(х)+ ...+С„(х)2„(х). Подставляя выражение У = {уь •■■,!/п} в (11.94), получим систему диффе­ ренциальных уравнений для нахождения функций С{{х). Пример 73. Найдем обшее решение неоднородной системы Решение. Для соответствующей однородной системы г\=22. Л2=г, (2) характеристическое уравнение имеет вид ( - г ) ( - г ) - 1 = - 1=0.ЕгокорниГ|=Ь Гг = —1. Аналогично примеру 70 находим общее рещение системы (2): 2|— +О26*, ^2= *. Частное решение У = {у^уг} системы (1) ищем в виде у, = С,(1)е'ч-С2(х)е", у2= С ,(х)е’ - С2(х)е-. (3) Подставляя (3) в (1), получим (У\{х) = С^(х) = Интегрируя и полагая 3 I21 постоянные интегрирования равными нулю, получим С,(х) = -х . С2(х) = - - е ■ Частное решение системы (1): ^ т1. - 3^1, у,=-хе - -е,У;=-хе+-е .
Обшее решение системы (I): У1= У1+ “ 7^^+С|е*+Сгв 2 4 !/з=У2+^2=2*®^+4®^■*" ” ^2^*, (4) где С ь Сг — произвольные постоянные. Если при нахождении С](х), С з(х) постоянные интефирования не полагать рав­ ными нулю, то выражения (3) сразу дадут общее решение (4) системы (I). > 11.1.6 . Теория устойчивости Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Лт ^ = /,(<,Хь....х„) (^= 1,...,п), (11.95) т где правые части непрерывны по совокупности всех переменных I, и имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем пере­ менным X] (т. е. удовлетворяют условиям теоремы Пикара существования и единственности решения). Решение системы (11.95), удовлетворяющее на­ чальным условиям x^{^о) = Хй (* = 1........ ” ) . запишем в виде I. = х;(«;<о,Х|о, ••• ,Хпо) = (11.96) где x^ — непрерывные функции от < и начальных значений <о>Хю, •••■Хпо в некоторой области изменения этих величин. Если под аргументом I по­ нимать время, то всякое частное решение (11.96) системы (11.95) можно рассматривать как движение некоторой изображающей точкиМ{х\,... ,х „) в п-мерном пространстве, начавшей свое движение при <= <о из положе­ ния М о(г|о,. . . , х „о). Далее предполагается, что решение (11.96) существует на бесконечном промежутке «о ^ < +°о . Некоторое решение (движение точки) (11.96), подлежащее исследованию на устойчивость, называется невозмущенным решением (движением). Решение (движение) Х{ = х,(<; <о.хю , •• ., х „о) = x^{^), соответствующее новым на­ чальным условиям x^(^о) = Хй при I =1ц, называется возмущенным решением (движением), а числа (х,о —Х(о) — (начальными) возмущениями. Изображаю­ щая точка М(хь -- , х „) возмущенного движения начинает свое движение " 3 положения Мо(хю,..., х„о) при I = 1а- Невозмущенное решение (движение) (11.96) называется устойчивым по Ляпунову (или просто устойчивым), если для каждого числа Е > О найдется Числод{е)>Отакое,чтодляХц,длякоторого|х*о-х»!<<5(е)(« = 1 ,..., п), ® промежутке 1о < +ос выполняются неравенства |х;(<;«о,х,о,... ,х „о) -Х((<;<0,Хю,... ,х „о)|<г («= 1,... ,п). Ь:ли же для некоторого е > О нельзя найти такого <5(е), то движение (11.96) Называется неустойчивым.
Геометрический смысл устойчивости состоит в том, что координаты Х\,... ,х „ переменной точки М возмущенного движения отклоняются от со­ ответствующих координат XI, . . . , х „ точки М невозмущенного движения на величины, не превышающие е в любой один и тот же для обеих точек момент времени I ^ 1о, если только возмущения не превыщают д при I = /(,, Невозмущенное движение (11.96) называется асимптотически устойчи­ вым, если оно устойчиво и, кроме того, существует достаточно малое число йо > Отакое, что Нт|х((0-х^(«)|=0 (г п) (11.97) 1—*СС приусловии |Х(о-гй|<<5о (* = 1 , . . . , п ). В этом случае всеразности хД<)- хД() стремятся к нулю при неограниченном возрастании времени, если только возмущения {x^о - х^о) достаточно малы. Если свойство (11.97) выполняется при любых х,о (*■= 1 , . . . , п) и движение (11.96) устойчиво, то это движение называется устойчивым вцелом. Переходя в системе (11.95) от неизвестных функций x^ к новым неиз­ вестным функциям, называемым отклонениями, у^= x^- Х{{1-«о,Х|о,..., х„о)=x^- x^(^), получим систему ^ (11.98) в которой = ^^{^,У\+X^{^),... ,Уп+х„(Ь))-{^{^,x^(^),... ,х „{()) .Началь­ ные условия для системы (11.98) имеют вид: у;(<о) = x^о - Х(о = уцу. Если все отклонения равны нулю, т.е. = О(»= 1 ,..., п),товозмущенноедвижение Х{{1) совпадает с невозмущенным x^{^) для I ^ (о. При этом дня правых частей (11.98) выполняются равенства О,..., 0)=0. В п-мерном пространстве точек (у ,у „) невозмущенномудвижению соответствует неподвижная точка (нулевое решение) — начало координат, соответствующее нулевым начальным условиям у^(^о) = 0 (( = 1, . . . , п )- Таким образом, задача исследования устойчивости движения х,(<) сводится к изучению устойчивости нулевого рещения = О(»=1,..., п)системы (11.98), т. е . необходимо исследовать, будут ли для возмущенного д ви ж е н и я у^(() выполняться неравенства |No(<)| < Е для всех I ^ <о, если при <= выполняются неравенства |у,о| < <5(г). Нулевое решение у, = О назы вается асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и, кроме того, Ишу^(^) =® ДЛЯ достаточно малых у^о- Пример 74. Уравнение (/у/(И = ку , где к — постоянная величина (параметр), имеет обшеерешение у = С е^ . Начальномуусловию у(^о) = Уо О соответствует частное (возмущенное) решение
Если Уо = получим нулевое (невозмущенное) решение у = О при I ^ <о- Исследуем устойчивость нулевого решения для трех возможных случаев. 1) к = 0. Отклонение возмущенного решения у{1) = уо {уо ф 0) от нулевого реше­ ния = |уо“ 0|=|уо1<епривсех<> если |уо| < где(5= г. В этом случае решение у = О устойчиво. 2)к<0.Здесь |у(е)|= ^ |уо| при I > <о- Если положить (5= е, то |у(<)| < е при условии |уо| < т. е. невозмушенное решение у = О устойчиво и даже асимптотически устойчиво, так как у(1) -> О при I -» +00. Решение у = 0 также устойчиво в целом. 3) к > 0. В этом случае, даже если возмущение уо как угодно мало, величина |у({)| неограниченно увеличивается при I +оо, т. е. возмущенное решение будет неофаниченно удаляться от невозмущенного, что и означает неустойчивость последнего. Примечание к примеру 74 Для уравнения Лх/(И= к(х - а), где к,а — постоянные, исследование устойчивости решения х = а , начальное значение которого Хо ~ о , сводится к изучению устойчивости решения у = О уравнения йу/(й = ку, которое получается из исходного уравнения, если положить у = х —а . Пример 75. Задача об устойчивости нулевого решения уравнения йу/<й = у^ не может быть поставлена, так как возмущенные решения существуют не при всех I ^ 1ц (см. пример 19,2). Устойчивость решений линейных систем. Пусть система (11.98) линейна иимеет постоянные коэффициенты Яу: 5= (»= 1,...,п). (11.99) ;=1 ^рактеристическое уравнение (см. 11.1.5.2) этой системы имеет вид Р(г) = ае((а^^ - гду)=0. ^ нулевого решения (невозмущенного движения) у* = О(г = 1 , . . . , п) си- '^темы ( 11.99) справедливы следующие утверждения. 1- Если действительные части всех характеристических чисел (корней харак­ теристического уравнения) отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво. 2. Если хотя бы одно из характеристических чисел имеет положительную действительную часть, то невозмущенное движение неустойчиво. 3. Если некоторые характеристические числа имеют ненулевые действи­ тельные части, а остальные — отрицательные действительные части, то характер устойчивости может быть установлен непосредственно из вида общего решения системы (11.99) (см. 11.1.5.2).
Пример 76. Исследуем устойчивость нулевых решений систем: ч|--' 1--=»^ «I-*' I-» - Решение. 1) Характеристическое уравнение (-1 - г)(-2 - г)=Оимееткорниг, = -|, Г2= - 2 . Нулевое решение х = 0, у = 0 асимптотически устойчиво. 2) Характеристическоеуравнение(I- г)(-1- г) =ОимееткорниГ|= -1, гг =1. ! Нулевое решение неустойчиво. 3) Характеристическое уравнение +I=0имееткорниГ]= -1,гг =+1. Дифференцируя первое уравнение системы и подставляя Лу/М из второго, получим уравнение + 1 = 0. Отсюда и из равенства у = Лх/сЧ. находим общее решение системы; X=С|со8<+Сг51П у= -С|81П4+СгС08 Видно, что для любых начальных условий х(0) = Жо, у(0) = уо возмущенное решение ограничено, что свидетельствует об устойчивости нулевого решения. 4) Характеристическое уравнение =Оимееткорниг, = = 0. Интегрируя по I каждое уравнение системы, получим ее общее решение х = С\, у = С:, которое офаничено для любых начальных условий. Нулевое решение системы устойчиво. > Исследование устойчивости решений нелинейных систем с помощью ли­ нейного приближения. ПрименяяформулуТейлорадля функций нескольких переменных и учитывая, что ... ,0) = О, нелинейную систему (11.98) можно записать в виде ~ ='^ацУ]+<рЛ(^Уь--,Уп) (г=1 ,...,п), (11.100) где коэффициенты о^^ = дд^/ду^ {1,0, . . . , 0) в общем случае зависят только от I. В частности, если система (11.98) — автономная (стационарная), те- г;(2/ь■■■,Уп) независятявно отI, то все а,^ — постоянные,а не зависят от I. Отбрасывая в (11.100) нелинейные слагаемые и предполагая систему автоном ной, получим линейную систему вида (11.99), называемую в этом случаелинейным (или первым) приближением длянелинейной системы(11.98) или (11.100). Если все корни характеристического уравнения Р{г) линейно го приближения имеют отрицательные действительные части, то нулевое (не- возмушенное) движение нелинейной системы (11.100) (в которой все о,; " постоянные) асимптотически устойчиво независимо от вида не ли нейны х слагаемых кр^. Если среди характеристических чисел имеется хотя бы одно с положительной действительной частью, то нулевое решение нели нейной
системы неустойчиво независимо от вида (р^. Если отсутствуют характери­ стические числа с положительной действительной частью, но имеются чисто мнимые, то необходимодополнительное исследование на устойчивость с при- мечением нелинейных слагаемых |р^. Пример 77. Исследуем на устойчивость постоянные (стационарные) решения урав­ нения ^ = х’ - 4х=/(х). (1) Приравнивая /(ж) к нулю, найдем три корня, которым соответствуют стационарные решения дифференциального уравнения: 1) I = О, 2) а; = - 2 , 3) х = 2. Исследуем их на устойчивость. 1) Отбрасывая в /(х) нелинейное слагаемое, получим линейное приближение Ле/Л = - 4ж, для которого характеристическое число г = - 4 < 0. Следователь­ но, решение ж = О нелинейного уравнения ( I) устойчиво. 2) Раскладывая /(х) в ряд Тейлора /(х) = /(*о ) + /'{хо)(х - Хо) + ■■■в окрестности точки = - 2 и удерживая только линейное слагаемое, получим линейное приближение уравнения (1) Лх/сЧ = 8(* + 2), или йу/М = 8у (у = ж + 2), для которого характеристическое число г = 8 > О, т. е. решение х = —2уравнения (1) неустойчиво. 3) Аналогично случаю 2) получим уравнение йх1<й = 8(х - 2), или Лу1Ш, = 8у (у = г - 2), что свидетельствует о неустойчивости решения х = 2 (так как г=8>0). Операционный метод решения дифференциальных уравнений (Операционный метод решения задачи Кош и для дифференциального уравне- чия сводит эту задачу, при помощи некоторого интефального преобразова- к нахождению решения вспомогательного алгебраического уравнения. ^*6ратное преобразование решения этого алгебраического уравнения позво- '’яет найти решение данной задачи Коши. 1- Основные сведения из операцнонного исчисления. Для интегрирования линейных дифференциальных уравнений обычно используется интегральное ®1**®6разомшие Лапласа: 00 ^{р)= ^[п^)\=I ( 11. 101) О ^Десь р = (т+ гш — комплексное число; /(<) — действительная или ком- ••лекснозначная функция действительной переменной I, определенная при ^ О, интегрируемая в (0; -Ьоо) и удовлетворяющая при всех I ^ О условию ^■^(*)|^ М е’’°‘ (действительные постоянные М, <То удовлетворяют условиям
М > О, <То^ 0). Наряду с (11.101) используются также записи /(Р) = Л[/(<),р], 7(р) = /(<)• Функция /(<) называется при этом оригиналом, а функция /(р) — изображе­ нием функции /(<). При <7> (Тонесобственный интефал (11.101) сходится аб­ солютно и равномерно и определяет в комплексной полуплоскости Кер> щ функцию /(р), аналитическую в этой полуплоскости и единственную для каждой функции /((). Основные свойства преобразования Лапласа. ПустьЛ[/(<)) =/(р), тогда справедливы равенства: 1) л[с,/ ,(<) +С2/2«)] = с ,л[/,(01+С2Л[/2(<)1. 2) Л|/(а<)| = (а>0). 3) Л|е“‘/(<)1=7(р-а) (а —любое). 4) Л[е“’^‘/(01 =Л р -Ро) (Ро - любое). 5) Л|/(< -« „)) = е-‘«'’7(р) (<о>0). 6) Л(<"/(()] =(-1)"7 "^(р) (п — натуральное). 7) Л(/<")(г)|=р"7(р)- [р"'7(0)+р"‘ 7 '(0)+...+/‘" ' ‘>(0)], вчастности, л[/'(<)1=р/(р)-/(о), Л|/"(«)1=Р '/(Р)- [Р/(0)+/'(0)], л1/"'(()1 = р'7(р) - [р^(0)+р/'(0) + /"(0)]. 8)Л 9)Л 10) Л ^ 1(т)Лт о = ^7(Р). /(<) ! 7(9)Йд. I ^ /|(г) /2(<-г)йт = Ш - Ш- Примечание 1. Предполагается, что все функции /(<), рассматриваемые как ориги­ налы, равны нулю при <<0. Например, если /(Л)= 1при <^ О, то предполагается, что /(<)=ОприI <0. Примечание 2. Оригинал / {I ) определяется однозначно при <^ О по своему извест­ ному изображению /{р).
т 1 - (Кер>0) Р I " (п — натуральное) Ц (Кер>0) р-а (Кер > о) (п — натуральное) (р-а)” (Кер>о) 51Па1 +а -2(Кер>0) СО&а1 ^ (Кер>а) сЬ а< (Кер > о) е“ 51ПМ (р-аУ +Ь^ (Кер > о) е С05Ы р-а (р-аУ + (Кер > о) <81П а1 2ар (р^+ а’)2 (Кер >0) I С05а1 (р^+«2)2(Кер>0) *^Ример 78. Вычислим изображение Л = /(?)• Используя свойства преобразования Лапласа и таблицу изображений, получим 1 /(р)= ^ [ЛСе-')+аЛ(()-Л(1)]= ^ 1 _ 1 р+ор^р ■р^(р+ а)'
2. Применение операционного метода к решению дифференциальных урав­ нений. Пусть требуется найти частное решение х = х(1) линейного уравнения с постоянными коэффициентами Ь{х)=X*"*+а,х*""'*+...+о„_|х'+а„х =/(«), удовлетворяющее начальным условиям х(0) = хо, х'(0)= Хо, ..., х‘"“'>(0)= х^"“‘*. Применяя к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа и обозна­ чая изображения функций х(1) и /(<) через х(р) = Л[х(<)| и /(р) = Л|/(()| (предполагается, что эти изображения существую т), приведем дифференци­ а л ь н о е у р а в н е н и е к веномогательному (операторному) уравнению <р(р)х{р)-^ >(р) = 7(р), где <р{р)=р"+01?"”' + ...+о„-|р+а„; ’Ф(Р) = +...+х^,"”'*]-Ь +Л\[р"^Хо+р" ^х'о+ ...+Хд" + ...+ 0„_2[рхо+ х'о]+ 0„-|Хо- в частности, при нулевых начальных условиях получается ф(р) = 0. Из опе­ раторного уравнения находим изображение искомого решения х(<): Находя по этому изображению оригинал, получим искомое частное решение х(<). Пример 79. Решим задачу Коши х" -2х"+х=е^‘\1(0)=О, 1(0)=1, х"(0) = 1. Решение. Здесь '/'(р)=(р^*0+рх'о+ х'о)+ а,(рхо+х!,)Ч-02*0=Р-I; Ф)=Р’+0|Р^+ “2Р+а,=р’ ~ 2р‘+р: Л(е“') = Операторное уравнение имеет вид (р’ - 2р^+Р)*(Р)- (Р- I)= откуда
Раскладывая правую часть этого равенства на простейшие (элементарные)дроби, найдем 1 I I *(Р)= -ТГ - : + т,----г: + : 4(р+1)'4(р-1)'2(р-1)2 Переходя ш ес ь к оригиналам по таблице изображений, получим решение задачи Кош и г(0= ^ е ' +^<е‘. о 3. Применение операционного метода к решению систем дифференциальных )фавнений. Пусть требуется найти частное решение Х\{1),. .. системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами ®'| = +/|(0. >=| П Х2=X] + /2(0- >=1 п 4=X] У=| УДоалетворяющее начальным условиям 1|(0) = Х,о, х„(0)=х„о- Применяя к уравнениям этой системы преобразование Лапласа и обо­ значая л|х.(<)1 = х,(р), А\мт = ш . Получим систему операторных уравнений п Р 2.(р) = а<}Х,{р)+Л(р)+1,0 («■=1,..., п). }=> •*ешая эту систему линейных алгебраических уравнений относительно изоб­ ражений x^(р) и переходя затем к оригиналам, получим искомое частное Решение x^{^) (I = 1 , . . . , п ). Операционный метод позволяет также найти и общее решение системы дифференциальных уравнений. Пример 80. Найдем: общеерешениесистемых' = х+у-I ,у = -2х+4у+6/; б) частное решение при начальных условиях х(0) = 1. у(0) = I .
Решение, а ) Для нахождения общего решения начальные условия запишем в общем виде х (0 ) = С (, 2/(0) = С2. Запишем операторную систему рх(р)=х(р)+У(р)-- +С|, Р ру(р)= -2х(р)+4у(р)+^ + ^2. Отсюда, например, по формулам Крамера, находим \ ~ ~ С2+1)р^+4р+6 * р^(р^~5р + 6) ^С2Р^-(2С,+С,)У+8р-6 р2(р2-5р + 6) Раскладывая дроби на элементарные, получим , 312С,-Сг-- , а:(р) = ^ + ------ + !----, 2р р-2 р-3 , 11 ~ 2 4Сг-2С,+2 ,-г ^ ■ Переходя к оригиналам, найдем общее решение х{1)==1+1+(2с, - Сг- +(Сг-С,+1)е'‘, У(0=\-^+(2с, - ЗС, - \У'‘+(4С2-2С,+2)е^‘. б) Частное решение: Ф)=1+(-^е^‘+е^‘; у{1) +4е^‘ . й 11.2 . Дифференциальные уравнения с частными производными 11.2 .1 . Основные понятия и определения Обозначим через О некоторую область п-мерного действительного евкли­ дова пространства Е„ точек с декартовыми прямоугольными координатами X I, . . . , х „ . Дифференциальным уравнением с частными производными называ­ ется функциональное уравнение вида Ч' ......
связывающеедве или более независимых переменных 1|, . . . , являющихся координатами точек из области О, неизвестную функцию и(х х„)ихо­ табы однуее частную производную. Порядок старщей производной неизвест­ нойфункции, входящей в уравнение, называется порядком этого уравнения. Решением (интегралом) уравнения называется функция « (х , ....... х „) , удовле­ творяющая этому уравнению, т. е. обращающая его в тождество в области V. Пример 81. Функция и = является решением уравнения ви да на всей плоскости Оху. Решением будет также любая функция /{х^ - у^), имеющая производные. Общее решение (общий интеграл) уравнения с частными производными является семейством рещений, содержащим, в общем случае, произвольные функции, число которых обычно равно порядку дифференциального урав­ нения, а не только произвольные постоянные. Частные решения (интегралы) выделяются из общего рещения путем задания соответствующих дополни­ тельных условий, налагаемых на искомую функцию и(х\,,х„) или на эту функцию и ее частные производные на некотором множестве точек простран- <^теа Е„ (краевые условия). Особыми решениями уравнения называются такие дополнительные его решения, которые не могут быть получены из общего чи при каком выборе произвольных функций. Дифференциальное уравнение совместно с краевыми условиями образует краевую задачу. Краевая задача называется корректно поставленной задачей (или коррект­ нойзадачей), если выполнены следующие условия: О решение задачи существует при любых допустимых, не противоречащих друг другу исходных данных задачи; решениеединственнодля каждого набора исходныхданных, достаточных для однозначного вьщеления этого решения; решение непрерывно зависит от исходных данных, т. е. оно устойчиво (при этом достаточно малые изменения исходных данных приводят к малому же, в каком -либо определенном смысле, изменению решения). Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному из этихусловий, называются ***орректнымн. Обычно, хотя и не всегда, рассматриваются только корректные ’ адачи. Дифференциальное уравнение называется линейным, если функция Р ®(11.102) линейно (т. е. в первой степени) зависит от неизвестной функции *' Всех ее частных производных. Линейные уравнения второго порядка назы- ®*'0тся также уравнениями математической физики и имеют общий вид
где коэффициенты а^^,Ь^,с, а также /, — заданные функции только не­ зависимых переменных В частности, коэффициенты могут бьщ постоянными. Линейное уравнение 1{и) = /(г ........ , х „) называется линей­ ным неоднородным (однородным), если / ^ О (/ = 0). Каждая линейна комбинация С1«1 + ... + С„и „ решений линейного однородного уравнении Ь{и) = О также является его решением. Всякое решение и линейного неод­ нородного уравнения Ь{и) = / (если оно существует) представляется в ввд! суммы частного решения щ этого уравнения и общего решения и соответ­ ствующего однородного уравнения ^(и) = О, т .е . и = «о + «. Квазилинейным уравнением второго порядка называется уравнение, ли­ нейное относительно старших (вторых) производных неизвестной функции 5, +К*" ё I:)= где коэффициенты а,^ являю тся заданными функциями от тех же аргументов, что и функция Ф. Система уравнений с частными производными ....^=0 где и(х1, ..., х„), ь{х\,... ,х„), ... — неизвестные функции, может иметь решение только при выполнении определенных условий совместно­ сти, налагаемых на заданные функции и их производные. Э т и условия находятся исключением функций и , « , . . . и их производныхизсоотношений, полученных дифференцированием по Х], . . . , г „ уравнений данной системы Пример 82. Для нахождения условия совместности системы ^+/(*,У)=0, ^+ ,(х,у)=о, продифференцируем первоеуравнениепоу,а второе—двараза по х. Приравнивая смешанные производные от и, найдем искомое условие ду дх^' Любое уравнение или систему уравнений в частных производных можя® привести к системе дифференциальных уравнений первого порядка, рассмат­ ривая некоторые частные производные как новые неизвестные функции. Решение уравнений с частными производными методом разделения пер«' менных состоит в том, что во многих случаях попытка искать решение в вИДв
11.2 . ^^ффвренциальные уравнения с частными производными 5 3 9 даетвозможность записать уравнение ( 11.102) в разделенной форме / ди,а^«| \ „С 9ио \ Неизвестные функции и1,«о должны по отдельности удовлетворять уравне­ ниям /' йи, <г^и, \^ ^ 5«о Зио ^ ^ где С — произвольная постоянная (постоянная разделения), которая нахо­ дится при помощи заданных дополнительных (краевых и других) условий. В результате исходное уравнение (11.102) распадается на обыкновенное диф­ ференциальное уравнение для функции иДх,) и уравнение с частными производными для функции «0(12, • .. , х „) , которое имеет на одну независи­ мую переменную меньше. К уравнению для щ можно попытаться повторно применить метод разделения переменных и т.д . Существование н единственность решения дифференциального уравнения или системы уравнений с частными производными устанавливается отдельно вкаждом случае, даже при выполнении условий совместности. 4.2 .2 . Уравнения с частными производными первого порядка Дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка имеет общий вид гдер _ заданнаяфункция отуказанных аргументов, Х|, . . . , х „ — независи- *'ые переменные, х(х\,,х „) — неизвестная функция. Частными случаями Предыдущего уравнения являю тся линейное однородное уравнение ^а.(хь...,х „)— =0 " *<1>азнлинейное уравнение ^аДх|,.-. ,х „;г)— = с(х,,..., х„;2), 1=1 а-с _ заданные функции указанных аргументов.
1 1.2 .2 .1. Ли нейные однородные уравне ния первого порядка Рассмотрим линейное однородное уравнение с двумя независимыми перемен­ ными =0(а^+й^о), (11.1051 где заданные функции а(х,у), Ь(х,у) имеют непрерывные частные про­ изводные в некоторой области В на плоскости Оху. Предполагается, то решение г(х, у) уравнения имеет непрерывные частные производные первого порядка. Геометрически решение г = г(х, у) уравнения (II. 105) представляя собой поверхность (интегральную поверхность) в пространстве Охуг. Равен­ ство (11.105) означает, что производная от г(х .у) по направлению вектора (а;Ь) на плоскости Оху равна нулю. Кривая на плоскости Оху, в каждой точке которой касательная к ней коллинеарна направлению вектора (а;4) в этой же точке, называется характеристикой линейного уравнения (11.105). Характеристики являются интегральными кривыми обыкновенного диффе­ ренциального уравнения Лх^ йу а(х, у) Ь{х,у) ■ Параметрическое представление х = х{з), у =у(«) характеристики находите* из системы уравнений с1х (IV - = а(х,у), ^= 6(х ,у). Через каждую точку в О проходит единственная характеристика. Есл* г(х, у) —решение уравнения (11.105), то на каждой характеристике х = !(*)■ У = У(^) функция г(х, у) сохраняет постоянное значение, так как I дгйх дгЛу дг дг ^ ^ X= г{х,у)=С, йв дх (1з ду Ла дх ду где постоянная С имеет разные значения на разных характеристиках. Хара'^' теристики являются линиями уровня интефальной поверхности. Пусть 7 — заданная кривая на плоскости Оху, не совпадающая с хара'^' теристикой. Обозначим через г длину дуги кривой 7, отсчитываемую с сО" ответствующим знаком от некоторой точки на этой кривой. ХарактеристИ10< образуют однопараметрическое семейство, для которого параметром является- например, значение г , соответствующее точке А пересечения характеристИ ки Г(т), проходящей через точку М(х,у), с кривой 7 (рис. 11.13). Точк^^ М(х,у) взаимно однозначно соответствует пара чисел (т,з), где значен ие определяет положение точки А и характеристику, а « — положение точки ^ нахарактеристике,т.е. х =х(т,з),у =у(т,з),или г =Т{х,у), з —5(х,У'' Уравнение характеристики в переменных (г, я) имеет вид т = С] = '
Рис. 11 .13 т.е. на характеристике выполняется Г(х , у) = С\, являющееся уравнением характеристики в переменных (х, у). Общее решение уравнения (11.105) имеет вид г{х,у) = Р{Т(х,у)), где Р — произвольная дифференцируемая функция от какой-либо функции Т{х,у), постоянной вдоль характеристик этого уравнения, т.е. ат{х,у) дТах йз дхйз дуйв на каждой характеристике. Пример 83. Для уравнения в примере 81 дифференциальное уравнение характеристик "меет вид йх/у = йу/г, интегральные кривые которого Т(х, у) = х^-у^ = С| = сопя являются характеристиками, заполняющими всю плоскость Оху. Общее решение Noавнения с частными производными (пример 81): и{х,у) = /(х^ - у^), где / — про- ВДвольная дифференцируемая функция. Вдоль каждой характеристики /(х^-у^) = С , Че постоянная С зависит от постоянной С\, различной на разных характеристиках. Пример84.Дляуравненияо^ + ^ = 0(« =и{х,у), а =соп81),гдеI —время, дифференциальное уравнение характеристик: Лх!Л1 = о. Характеристиками явля- прямые !р(х,1) = X - а1 = Сх = С0П81 на плоскости 0x1. Общее решение: “ ( * ,( ) = / ( г - а<), где / — любая дифференцируемая функция. Вдоль характеристик выполняются равенства и(х,1) = }{ С \ ) = С = сопЛ. Полученное решение и{х,1) ^ы вае тся бегущей волной, движущейся вдоль оси Ох слева направо со скоростью а изменения своей формы /(х ) на плоскости Охи. Начальная задача (задача Коши). Пусть требуется найти частное решение '*•!/) уравнения (11.105), удовлетворяющее начальному условию г/)|., = - г(г(А), у{\)) = « (А),
где «(А) — заданная функция на кривой 7, имеющей параметрическое пред. ставление х = г(А), у = у(А) и несовпадающей с характеристиками на какой- либо своей дуге. Задача Коши решается следующим образом. Для функции <р(х,у), постоянной на характеристике, вдоль кривой 7 имеем »? = ^{г,г/)|., = ^ (х(А)), у(А) = Ф(А). Отсюда А = Л(г}). Вдоль характеристики справедливо г(А) = »|Л(7)] = V[К(1р(х, 2^))]. Искомое частное решение уравнения (11.105) в области О имеет вид г(х,у) = »[Л(^(1,у))]. Это решение содержится в общем решении и удовлетворяет начальному условию. Геометрически частному решению г(х,у) соответствует интефальная по­ верхность г = г(х,у), проходящая через пространственную кривую 7 с па­ раметрическим уравнением х = х(А), у = у{\), г = ®(А), проекцией которой на плоскость Оху является кривая 7 |х = х(А),у = у(А)]. Через каждую точку на 7 , соответствующую значению А, проходит единственная характеристика, являющаяся линией уровнядля поверхности г —г{х,у),т.е . г = »(А) = сопй вдоль характеристики. Поверхность г = г{х, у) образована пространствен­ ными кривыми X = х(я), у = у(з), 2 = в(А) = С0П51, проекциями которы* на плоскость Оху являются характеристики х = х(«), у = у{а), соответству­ ющие значениям А. Пример 85. Найдем решение и{х, I) задачи Коши для уравнения в примере 84 с на­ чальным условием и{х, 0) = ь(х). Линией 7 здесь является прямая <= О на плоскост* 0x1, а в качестве параметра Л возьмем х. На линии 7 имеем ^ I)=х(см.Г*' шение примера 84). Вдоль характеристики справедливо у(х) = V((р) = г(х - Искомое решение и(х, I) = » ( * - а1) является бегущей волной, форма ь{х) которой* задана в начальный момент времени I = 0. Примечание. Если 7 совпадает с какой-либо характеристикой, то возможны следУ®" щие случаи. 1) г(ж, у) = сопя на 7 . Решений в этом случае можетбыть бесконечное множеств» 2) г{х, у) ^ СОП51 на 7. Задача Коши при этом не имеет решения. Линейное однородное уравнение общего вида ^а.(Х|,...,1„)^ =0 ( 11.Ю^> .=1 ^ где функции а^ имеют непрерывные первые частные производные в неКО' торой области В пространства Е „, рассматривается аналогично случаю независимых переменных.
Уравнению (11.106) можно поставить в соответствие два вида систем обыкновенных дифференциальных уравнений: ЙХ| (1X 2 а1(х1,...,х „) 02(гь•••,х„) ■" а „(1|, •••. Хп) (11.107) ^ =а^(а:ь•••,Xп) (»=1,...,п). (11.108) Интегральные кривые системы (11.107) или (11.108) в области О называются характеристиками уравнения (11.106). Решение системы (11.108) дает пара­ метрическое представление г, = x^(^) (г = характеристик. Через каждую точку в I) проходит одна и только одна характеристика. Решение , х „) уравнения (11.106) остается постоянным вдоль характеристики, так как Область В заполнена семейством характеристик, зависящим от (п ~ 1) па­ раметров Каждой точке М(х1,...,х „) из В взаимно одно­ значно соответствует упорядоченная совокупность чисел (Г], . . . , г „ _ ] , я), т.е. =Т^(x|,,х„),3 =5(х|,..., х„).Совокупностьчисел(г|,..., т„_1)вы­ деляет характеристику из их семейства, а значение « определяет положение Точки М на выделенной характеристике. Общее решение уравнения (11.106) имеет вид 2=/'■’(Г|(Х|, ..., х „)........Т„_,(хь..., х „)), где ~ произвольная дифференцируемая функция, — какие-либо функ­ ции, постоянные вдоль характеристик. Первым интегралом системы (11.107) Называется функция ^(Х|, . . . , х „) , обращающаяся в постоянную вдоль инте- 'Радьных кривых этой системы, те . (11р д(р ЙХ| д1р йх„ _ р йз дх\ йз дх„ йз Че x^ = x^{з) — решение системы в параметрической форме. Первым инте- •Ралом при этом будет также любая функция Р{<р). Пр имечани е. Иногда первым интегралом называется не функция а равенство = С0П51, связывающее компоненты любого ее частного решения. , Всякий первый интефал системы (11.107) является решением уравнения 'Ч.106), и, обратно, всякое решение уравнения (11.106) является первым ин- ^^Фалом системы (11,107). Общее решение 2(х ь ... , х „) уравнения (11.106) может быть получено формуле 2(Х|,... ,х „) =Р{>р](х,,..., х„),..., 1р„-1{хи■■■,х„)),
где Р — произвольная дифференцируемая функция от аргументов 1р1, >Р1(х],..., х„) (г= 1,2,... ,п - I) —независимые первыеинтегралы системы (11.107), т. е. такие, что в области О якобиан д{(ри--- ,'Рп-1) , „ 9(х,,...,х„_|)^• Пример 86, Найти первые интефалы следующих систем уравнений. . (^X^ 4X2 1)3—=Ж|+ 3— =-X , +Х2. аЖз ажз Решение. Умножая первое и второе уравнение системы соответственно на Х\ и Х} и складывая их, получим Л{х] + х1) — у-р - = 2й*з- X, +Х2 Отсюда + г ] = С е^ ’ . Первый интеграл системы имеет вид 1р(Х1,Х2,Хз) = + так как ешоль любой интефальной кривой системы <р{х\, Хг, Жз) —С . Исходную систему можно записать также в виде ЛХ\ 4X2 4x2 — =х,+Х2, — = -Х|+Х2, “5-=и аз аз аз где 5 — параметр. Тогда вдоль интефальной кривой й(р д(р4х\^д(р4x2 д(р4х^ ^ р, 4з дх\4з дх24з дх24з 4X1 ^ 4X2 2)_ =Х2, — = -Х|. ахз ахз Решение. Аналогично предыдущему получим ±у,+,1)=о. Отсюда находим первый интефал ^(х,,х2) = I? + Задача Коши для уравнения (11.106) заключается в нахождении частного решения г(хь ... ,х „) этого уравнения, удовлетворяющегоначальному усл®' ВИЮ 2(Хь...,Х„)|д=и(Аь...,А „_1) на (п - 1)-мерном многообразии (множестве точек) С, содержащемся в об ласти V и имеющем параметрическое представление х, = x^{X^,.. ■, (1= 1 , . . . , п); V — функция, заданная на многообразии. Если у?((Ж|,. ••>
(1=1, . . . , п - 1) — первые интефалы системы (11.107), то на многообразии О будем иметь Ч, = (Р,(хь..., 1„)1с= ^Р^(г.(А|,..., ••• . ,А„_|))= =Ф|(А|,..., А„_|). Разрешая эту систему относительно А] А„_1 (в предположении, что это возможно),получимА;=Л,(»7ь ... , 7/„_|)(I= 1 п - 1). Искомое частное решениевобласти О, удовлетворяющее начальному условию на С, имеет вид г{х\ Хп)=VЛ|(|^|(1, ........ 1„) .........1р„.](хи■■■,х „)),... , ...,Л„_, ....... х „),..., ^?„-1(хь..., х„)) Примечание. Вопросы единственности решения задачи Кош и для уравнений первого порядка рассматриваются в 11.2.2.2 . П . 2.2.2. Кв азилинейные уравнения первого порядка Рассмотрим сначала квазилинейное уравнение с двумя независимыми пере­ менными х,у: а{х,у,2)р+Ь(х,у,2)д=с{х,у,г) (а^+6^^0), (11.109) TM а,Ь,с, — заданные дифференцируемые функции от аргументов х, у, г внекоторой области О пространства Охуг; 2(х,у) — неизвестная функция; Р= дг1дх, д = дг/ду. Предполагается, что решение г(х, у) уравнения имеет Непрерывные частные производные первого порядка (т. е. г = г(х, у) — глад- поверхность в Охуг). Геометрически решение г(х ,у) уравнения (11.109) представляет собой поверхность (интегральную поверхность) г = 2{х,у) в про- '^анстве. Величины р,д,(-1) пропорциональны координатам вектора нор­ мали к поверхности г = г(х,у). Вектор с координатами (а,Ь ,с) находится ®касательной плоскостик этой поверхности. Уравнение (11.109) выражает условие ортогональностиар+Ьд+с-{ -I) = 0 векторов (р,д, - 1)и (о, 6,с) в каждой точке интегральной поверхности. Интегральные кривые системы обыкновенных дифференциальных урав­ нений Чх ^ Лу^ _ лг__ („„0^ о(х,у,г) Ь(х.у.г) с(ж,у,г) Или ^= а{х,у ,г), ^= Ь{х,у,г), ^ = с(х,у ,г) (11.111) аз а8 аз ••ззываются характеристиками квазилинейного уравнения (11.109). Предпола- ^ ^ с я , что функции о, Ь, с удовлетворяютусловиям теоремы Пикара в области ■Через каждую точку в П проходит одна и только одна характеристика.
Рис. 11 .14 Характеристики заполняют всю область О. Каждая интефальная поверхность г =г{х,у) образована(покрыта) характеристиками, целиком лежащими на ней. Если известны два независимых первых интефала у, г), (р2{х, у,^) системы (11.110), то уравнение Р{1Р1{Х,У,2),1Р2{Х,у,г)) =о, где Р — произвольная функция своих аргументов ^р\,<р2,даетобщее решение уравнения (11.109) в неявном виде. Два семейства поверхностей с уравне­ ниями (р\{х,у,г) = С] и (р2(х,у ,2) = Сг дают в пересечении различные характеристики для разных С] и Сг. Семейство характеристик является двуК' параметрическим с параметрами С\ и Са. Задача Коши (начальная задача) для уравнения (11.109) заключается в определении интефальной поверхности г = г(х, у) этого уравнения, прохо­ дящей через пространственную кривую 7 с параметрическим представлением X=хо(А), у =2/о(А), 2 =2о(\) (А1<А^Аг), в котором правые части непрерывно дифференцируемы по А. Геометриче' ски решение задачи Коши состоит в том, что из каждой точки кривой 7 выпускается характеристика Г уравнения (11.109). Множество всех такИ* характеристик и образует искомую интефальную поверхность (рис. 11.1'* '’ Если 7 сама является характеристикой, то через 7 проходит, вообще говорЯ' бесконечное множество интефальных поверхностей (решений уравнения). Аналитическое решение задачи Коши. Если 1р\{х,у ,2), 1р2{х,у ,г) — независимых первых интефала системы (11.110), то, подставляя в них парЗ'
метрическое представление у, получим два уравнения ^ Р((хо(А),г/о(А),го(А)) = С; (г = 1, 2), Исключая из них А, найдем связь ^^(С|,С2) = О, конкретизирующую вид произвольной функции Р вобщем решении. Искомое рещение г(х, у) задачи Коши определяется в неявной форме уравнением Р{^1{х ,У,2),>Р2{х ,У ,2)) = 0. Е^иственность решения задачи Коши. При достаточно малом я решение системы ( 11.111) имеет вид Х = х {8,Хо,Уо,2о), У = У{3,Х0,У(1,20), 2 = 2(в, Хо, 2/о, 2о), гдев качестве начальных данных при я = О взяты координаты точек кривой 7. Подставляя в эти равенства параметрическое представление 7 , получим х=г(я.А), у =у{з,Х), 2 =2(8,А). (11.112) Еслиопределитель, составленный из первых двух функций (11.112), Д(я, А) = - х\у, ф О ааоль кривой 7 (при я = 0), то искомое рещение 2(1.у) задачи Коши единственно в некоторой достаточно малой окрестности ко­ ординат (х, у) некоторой точки на кривой 7, так как при этом первые два уравнения (11.112) можно однозначно решить относительно * и А. С учетом этого третье равенство (11.112) дает единственную гладкую функцию г(х,у) такую, что интегральная поверхность х = г(х, у) содержит отрезок кривой 7. Если Д(«, А) = О вдоль 7, то для существования интефальной поверхности, проходящей через 7 , необходимо, чтобы 7 была характеристикой. В этом случае через 7 проходит бесконечное множество интефальных поверхностей. Пример 87. Рассмо трим ква зилинейн ое уравнение (у Система (11.111) примет вид Лх ^Мадывая три этих ур авн ения , получим ^сюда 1р,(х,у,г)=X+у+г=С, = сопя. ^^'ножая ур авне ни я (2) последовательно на х . у ,г и затем складывая их, найдем - — {х^+у^+2^)=0, т.е. у);(1,у,г)= = С2= СОП51. 2Ля <1х <1у йг ,. т~=У“-2’ -г -2 -х, — =X-у. (2) б8 йз ^(х+у+г)=0.
Тем самым найдены два независимых первых интефала <р; и ^ 2 - Общее решение г(х,у) уравнения ( 1) в неявной форме: Р{х+у+г; +у^+г^) =О, где Р — произвольная функция двух своих аргументов и у);. Найдем вид Р такой, чтобы соответствующая интефадьная поверхность проходила через прямую 7 , определяемую уравнениями х = О, у = 2г (задача Кощи). Исключая х, у, г из двух последних уравнений и из равенств <р1 = С], <Р2 — С2 , получим х = О, у = ^С], 2= -С? - Сг = 0. Следовательно, ^ '(С ьС г) = - С; . Искомое решение г(х . у) задачи Кощи дается выражением 5(1+у+ - (гЧуЧ =0. Пример 8 8 . Для уравнения дх ду система (11.111) имеет вид ^=2., ^ = -., ^ =1. Лв Лз Лз Ее интефальная кривая, проходящая при « = О через точку (го, Уо,г<,}, определяется уравнениями X=3^+2г„з+Хо, у= -«+уо. г =«+го. (2) Будем искатьинтефальную поверхность, проходящую через линию 7 с уравнениями I=1о=А^ у =Уо=л, г =2о=А. (3) Подставляя Х о , уо. го из (3) в (2), получим I= 2А«+А^у=-«+А, г=8+Л. (^) Так как Д(« =О,А) = 4А О на 7 , то из (4) находим единственную интефальную поверхность г = \/ж (исключая я и Л из (4)). П р и м е ч а н и е . Линейное однородное уравнение (11.105) можно рассматривать как ква­ зилинейное уравнение ( I I . 109), в котором с = 0. При этом одним из первых интефалов системы (11.111) является решение г { х , у ). и Лг(х,у)/<1з = О вдоль характеристик уравнения (11.105). Пример 89. Линейное уравнение дг дг ^Тх-^д-у=^ рассмотрим как квазилинейное. Из системы (11.111), принимающей вид йх Лу Аг -Г=У'т - Т"= 0.8 аз аз
находим два первых интеграла: +у^, <р2= г (так как (11р,/Ла = О, </у);/йя = 0). Общее решение квазилинейного уравнения определяется равенством Р(<Ри <Р2)=Р(х^ +у\г) = 0. Отсюда 2 = /{х^ + у^). Квазилинейное однородное уравнение с п независимыми переменными Я /^ да\ 1„,г)р(= с(г..............х „ ,г) (У) /0.Л = ^ ) (П .113) .=1 ^,= 1 рассматривается аналогично случаю двух независимых переменных. Пусть и=Ф(*|,... ,х „,г) —решениелинейногоуравнения ^ ди ви „ соответствующего квазилинейному уравнению (11.113), и уравнение Ф(1|,...,х „,г)=0 определяет некоторую функцию х = ^ (x ^ , . , х „) . Тогда, если 51^О при ^ то 2 = (р(х1, . . . , х „) является решением уравнения (11.113). Характеристики уравнения (11.113) определяются как интегральные кри­ вые системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1х , _ _ йХп _ с1г о, ■■■ а„ с Или — =а,, ..., — =а„, -т-=с, (11.114) йа Ла аз где8 — параметр. Характеристики являются линиями в (п + 1)-мерном про- «Т^анстветочек (хь ..., х„,2). Всякая интегральная поверхность г — 2(х ь ... , х „) уравнения (11.113) ®(»+ 1)-мерном пространстве образована (покрыта) характеристиками, цели- '^омлежащими на ней.Векторы (р\,... ,р „,- \)и(а,,. ••, о „,с) направлены Соответственно по нормали и касательной к интефальной поверхности. Урав- «ЗДие (11,113) выражает условие ортогональности этих векторов. Вектор направлен по касательной к характеристике. Если (р,(х\,... ,х „,г) (« = 1, . . . , п ) — независимые первые интефалы системы (11.114), то п-параметрическое семейство характеристик определя- системой уравнений ^р^{xи■■■,x„,2)^V^ (1= 1 ,.. .,п), (11.115) Чх — параметры.
Всякая интегральная поверхность г(Х|,- - - ,х „) образована семейством характеристик, зависящим от (п - I) параметров. Для вьщеления (п - 1)-па­ раметрического семейства характеристик из п-параметрического свяжем па­ раметры щ соотношением Р{г1 т/п) = О, где Р — произвольная диф­ ференцируемая функция. Подставляя (11.115) в Р, получим общее решение уравнения (11.113) в неявном виде Р{(р^(x^,...,x„),...,^р„{x|,.■ ■ ,xп)) =0. (11.116) Задача Кош и для уравнения (11.113) состоит в нахождении интегральной поверхности, содержащей заданное (п - 1) -мерное многообразие 7 с пара­ метрическим представлением =а:“(А,,...,А „_1) (»=1,...,п), г=ЛА„...,А „_,), гдеА] А„_| — параметры. Подставляя (11.117) в (11.115), получим систему уравнений ^>.(х?(А,,...,А„_,),..., Ла ,А„_,)) =>/;(•= 1,...,п), исключая из которой А],..., А „ _ |, найдем соотношениеР{т]\,... г)„) =0 , где Р —уже вполне определенная функция. Отсюда получаетсярешение вида (11.116) задачи Коши. Полученная интегральная поверхность заполнена характеристиками x^=хД«,X?,..., х^2°) (1=1,..., п), /О о0\ г=г(в,XI,,х„,2), выходящими източек(х?,.. . , х °,г”) на7 при я=0.Подставляясюда(11.117). найдем решение задачи Кош и в виде (п - 1)-параметрического семейства характеристик x^=Х((«,А|,... ,Л„_|)(«= 1,...,п), г=г(я,А|,...,А „-1). Если определитель Д(^>,Аь...,А „_,) = а, а„ бХ[ дх„ а\, дХ, дх\ дх„ 9К-1 аА„_, не равен нулю на многообразии 7 (т.е. при в = 0), то , исключая параметры из (п - 1)-параметрического семейства характеристик, получим интефальну!® поверхность г = г(х|,. . . . х „), являющуюся единственным решением задач** Коши.
11.2.3. Уравнения с частными производными второго порядка 11.2.3.1. Приведение уравнен ия второго порядка с двумя независимыми переменными к кано ничес к ому виду. Харак терис тики 1. Замена независимых переменных. Рассмотрим уравнение второго по­ рядка с двумя независимыми переменными х, у, линейное относительно производных второго порядка от неизвестной функции и(х, у): д^и д^и д^и ( ди ди\ гдеА,В,С — заданные функции только от х,у , имеющие непрерывные производные до второго порядка включительно. В частном случае уравнение (11.118) может иметь вид (11.103), т. е. Р линейно зависит от и(х,у) и ее производных первого порядка. Введем вместо х, у новые независимые пере­ менные I, Г) по формулам ^ = ^ ,(х,у), Г1=1р2{х,у), (11.119) где р|,^2 — функции, имеющие непрерывные производные до второго д (1р\, 1Р2) порядка включительно, причем якобиан ^ / О в рассматриваемой д{х, у) области. Подставляя выражения производных неизвестной функции и{х, у) по старым переменным х, у через производные по новым переменным т; (см. 8.2.11) в уравнение (11.118), получим Здесь , „(д1р\д!р1 д^р^д^рг\ д1р,д<р2 дх дх ду'дудх)^^дуду’ “ (4.»?)= и[^1(6'?).(Р2(6V)]. X= у= ^ 2(^ .4) ~ преобразование, обратное к (11.119). Спра­ ведливо тождество ( 11.121) у)
2. Классификация уравнений 1) Если врассматриваемой области О выражение Д = В ^ - А С > О,то урав­ нение (11.118) называется гиперболическим (гиперболического типа) в В . 2) Если Д = О в I), то уравнение (11.118) называется параболическим (па­ раболического типа) в О . 3) Если Д < О в К , то уравнение (11,118) называется эллиптическим (эл­ липтического типа) в О . При замене независимых переменных тип уравнения (11.118) не изменяется согласно (11.121). Если Д изменяет знак вI), то уравнение (11.118) называется уравнением смешанного типа в О. Кривая в О, на которой Д = О, называет­ ся параболической линией уравнения. Две части области О, на которые она делится параболической линией, называются соответственно областью эллип­ тичности уравнения (если Д < 0) и областью гиперболичности (если Д > 0). Пример 90. Уравнение Т^икоми д^и д^и — смешанного типа. В области у <0 (А = - АС = - у > 0) — гиперболического типа; налинии у=0(А=0)—параболическоготипа; прир>О(Д<0) —эллип­ тического типа. 3. Канонический вид уравнений 1) Гкперболический тип. Если уравнение (11.118) — гиперболическое (А— - АС > 0) в области В, то в этой области существуют функции такие, что заменой переменных (11.119) уравнение (11.118) приводится к первому каноническому (простейш ему) вцду Если Л =С = О в области О, то , разделив (11.118) на 2В ^ О, сразу получим канонический вид уравнения. Пусть А Ф Он(или) С / Ов I). Не нарушая общности, примем АфО. Функции 1р\,<р2в(11.119) выберем так, чтобы Л = О, С = О, т е. эти функции являются решениями дифференциального уравнения первого порядка называемого уравнением характеристик. После разрешения относительно это уравнение распадается на два дифференциальных уравнения + к,{х,у)(р^ = 0, + к2{х,у)<Рд= о.
где ,____________________________ ^__ в+л/В2-АС . ВАС *=. = , /=2 = . Эпшдвумуравнениям соответствуют обыкновенные дифференциальные урав­ нения (см. 11.2.2 .1) А, к2 ми л л ^= А ,(х,г/), ^=Мх.У). (11123) Иногдауравнением характеристик называется выражение А(ау)^ - 2В йхйу+С(йх)^ = О, распадающееся на два уравнения (11.123). Возьмем в качестве <р\,1р2 в (11.119) левые части общих интегралов ^р^(x,у)=С^, <р2{х,у) = С2 уравнений (11.123). При этом у ,, 1р2удовлетворяют также уравнению (11.122). Кривые (р\(х, у) = С1,1р2{х, у) = Сг называются характеристикамиуравнения (11.118) и образуют два семейства кривых. Для нахождения характеристик удобно использовать уравнения (11.123). После замены х,у на V согласно (11.119) уравнение (11.120) принимает первый канонический вид. Еще одна замена переменных р= ^+г), = приводит уравнение (11.118) к экви­ валентному второму каноническому виду д^и д^и ( ди ди\ . . ,, Еслиуравнение (11.118) — линейное, то его канонический вид также является линейным уравнением. Приме р 91. Приведем к каноническому видууравнениеТрикоми (см. пример 90) воб- '1асти гиперболичности у <0. Уравнения (11.123) принимают вид 1 , 1 уЯ/’ ^ Щ и е интегралы этих уравнений соответственно равны: ^,= -ж - -у/^= Сь (Р2= -X+ = С2- ^Рактеристиками являются левые и правые ветви кривых = “ ^(®"('У(У^®) ^ Вершинами (остриями) на оси Ох. Замена ^=^X- Г)=^хл/^
приводит уравнение Трикоми в области у < О к первому каноническому виду д^и I /ди 5и\ Замена р +а= приводит уравнение Трикоми ко второму каноническому виду дЫ дЫ Iди_ др^ д(т^ 3(Т да Пример 92. Уравнение =0,Л=1,В =0,С = -у,Д =В^-АС —у — дх^ ду^ гиперболического типа в области у > 0. Уравнения (11.123) принимают вид у'=V». у'=-\/у и имеют общие интефалы соответственно: ^| = г - 2 ^/у = С |, ^2 = * + = С'г- Характеристиками являются левые и правые полупараболы у = “ С)^(УФ касающиеся вершинами оси Ох . Замена ^ — х — 2^/у, =х+ приводит данное уравнение к первому каноническому виду д^и ^ 1 _ д(дп д^) Второй канонический вид: О (и = и(4. Г))). д^и д^и I „ ■ 2) Параболический тип. Пусть уравнение (11.118) — параболическое (Д = 0) в области В. Один из коэффициентов А,С отличен от нуля. Не теряя общности, полагаем ^4/ 0. В этом случае А| = кг = В/А и для нахождения характеристик имеется только одно уравнение с частными производными 1Рх + = о, или обыкновенное — =—. Пусть <р\{х,у) = С — обший А ах А интефап последнего уравнения, тогда функция <р\(х,у) будет решением уравнения с частными производными. Взяв в формулах (11.119) в качестве найденную функцию ^р^(x,у), а в качестве ^2 любую функцию, такую что д{(р\^ (Р2) якобиан — --- — Ф О(если ^4 О, то можно принять = х), и, используя о{х, у) замену ^ = >р\(х, у), 1) = X , приведем (11.118) к каноническому виду д^и / ди ди\ (и==па.у)). тиккакА=О,В =О,С =Аф0. Уравнение параболического типа имеет только одно семейство характе* ристик ^|(х,у)=С.
Если уравнение (11.118) — линейное, то его канонический вид также является линейным уравнением. Пример 93. Приведем к каноническому виду уравнение д^и д^и д^и ди ди А=|,В = -1,С =I,А = - АС = 0. Уравнение для нахождения характеристик: Ну/11х = —1. Его общий интеграл = х+у—С .Прямыех+у~С образуют семейство характеристик. Замена ( = х + у, г) = у данное уравнение к каноническому виду д{х,у) = 1 ^0 приводит Пример 94. д^и +у^ = 0 (Х>0). Здесь Л=ж^ В =ху, С =у^, А =В^- АС =0. Уравнение характеристик йу/йж = у/х имеет общий интефал у/х = С. Характеристиками являются лучи, выходящие из начала координат Замена ( = - , г) = у уравнение к каноническому виду д{х,у) х^^ . приводит данное ^ =0 (и=««.Ч))- 3) Эллиптический тип (Д = - А С <О в области П). Уравнения (11.123) принимают в этом случае вид ^ _ В .4^ <^x А А _ В_ (^x А'А ’ ■■ДеI — мнимая единица. При этом к] = к2-Общие интефалы Мх,у)= ‘Р{х,у)+Мх,у)=С|, ^2(х.у)=Ф ,у)-Щх.у)=Сг (С,=С2) уравнений — комплексно сопряженные. Замена переменных =<р(х,у), V = = 'Ф{х,у) Приводит уравнение (11.118) к каноническому виду дЧ д^и ае^ ^ ТаккакI =С,В =0. / ди ди\
Уравнение эллиптического типа не имеет действительных характеристик (характеристики мнимые). Если уравнение (11.118) — линейное, то его кано­ нический вид также является линейным уравнением. Пример 95. Уравнение Трикоми д^и д^и + (см. также примеры 90, 91) эллиптично в области у > О (Д = - у < 0). Первое уравнение (11.123) принимает вид ^ = -т-^. Егообщийинтефалш, = ш+гй= ах 1у/» = С].Замена^= <р= -х,г]= приводит уравнение Трикоми к каноническому виду (в области у >0): д^и \ди Пример 96. Уравнение д^и д^и ^=1.-В=0,С=-у,Д=у — эллиптическое в области у < О (см. также пример 92). Первое уравнение (11.123) принимает вид ^ = «\/^. Егообщийинтефал =^+:^=х- = С)- Замена ^ = 1р = х ,Т1 = ф = - 2у/^ приводит данное уравнение к каноническому виду (в области у < 0): д^и д^и 1йи_ 4. Канонический вна линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Если исходное уравнение +2Ви1^+ +6,Вз:+ЬгИ»+Ьз«+/(х,у)=О является линейным с постоянными коэффициентами, то соответствуюше® каноническое уравнение с неизвестной функцией и{(, г]) также будетлиней­ ным с постоянными коэффициентами. Дальнейшее упрощение уравнения возможно при помощи замены неизвестной функции гдеа,Р — числа, подлежащие определению. После подстановки выражен ий для производных в уравнение числа о, /3 выбираются так, чтобы обратить в нуль два коэффициента в каноническом уравнении.
11.2.3.2. Уравнения второго порядка с несколькими независ имыми переменными. Класс ификация. Харак терис тики 1. Классификация уравнений. Рассмотрим уравнение второго порядка, линейное относительно вторых производных А д^и / ди ди\ снепрерывными коэффициентами ,х „) . Произведем невырожден­ ную замену независимых переменных У^= У^{x\,■■■,x„) («= 1,2,... ,п); ^0. х„) Старые переменные х^ можно выразить через новые у*; 1у = х ,(у^ , . .. , уп). При этом й(уь..., у„) =и(х,(г/.........у„) , .... ...,у„)); и(х х„) = й{у,(х х„),у „(хи х„)). Справедливы равенства: ди дй ду] ^ вх, ’ д^и _ А дуг ду, дй д^уг дх{дх, дугдуг дx^ дх, ^ дуг дx^дx^ После замены переменных уравнение (11.124) примет вид г,«=1 где »")• 1,>=1 •' в каждой фиксированной точке Мо(х°, ■■■,х °) дифференциальному Уравнению (11.124) соответствует квадратичная форма П
Формула (11.125) в точке Мо совпадает с формулой преобразования коэффи­ циентов этой квадратичной формы при невырожденном линейном преобра­ зовании ^ дуЛхЧ,... ,х'1) = . ^1е1(а ^ )5^0, ;=] П переводящем ее к виду ^ Всегда существует линейное невырож- г,«=1 денное преобразование, приводящее квадратичную форму с действительными коэффициентами к каноническому виду Г т ("» ^ п), 1=1 1=Г+\ причем числа г и т не зависят от вида линейного преобразования, а опреде­ ляются исключительно коэффициентами квадратичной формы и точкой Ма. Это позволяет провести следующую классификацию типов дифференциаль­ ного уравнения (11.124) в каждой точке Мо и некоторой ее достаточно малой окрестности: 1) эллиптический тип, если т — п » все п слагаемых в каноническом виде квадратичной формы одного знака (т.е. либо г = т , либо г = 0); 2) гиперболический тип, если т — п к имеются слагаемые разных знаков (т.е.1^г^п-1); 3) нормальный гиперболический тип, если т =пклибог=1,либог=п-1; 4) параболический тип, если имеются равные нулю слагаемые, т.е . т < я; 5) нормальный параболический тип, если т =п-\илибог=О,либо т = т , т.е. только одно слагаемое равно нулю, а остальные (п - 1) " одного знака. Приведенная классификация зависит от выбора точки Мо, так как числа г и т зависят от Мо. В общем случае дифференциальное уравнение может иметь либо один и тот же тип во всех точках некоторой области О, либо иметь различный тип в разных ее точках, т.е. быть уравнением смешанного типа (см. пример 90). В общем случае невозможно привести уравнение (11.124) к ка н о н и ч ес ко ­ му видуодновременно во всех точках области О с помощью одной и той же за­ мены независимых переменных. Такая возможность имеется только при п = 2- Если постоянны в В, то уравнение (11.124) при помощи некоторого линейного преобразования П 8/. = [йе! (а^^) ф 0|
11.2 . Дифференциальные уравнения с частными производными 559 во всей области О может быть приведено к каноническому виду ^ ди дй\ ......ч .)-" - 1. Характеристики. Пусть «с(хь ... , 1 „) (п ^ 2) —функция, такая что на поверхности 10(11, •••, 1п) = О справедливо (ды Зю\ '"“‘" П й;...... Тогда, если и )(х ь... , х „) удовлетворяет дифференциальному уравнению ха­ рактеристик ^ дхю дь) топоверхностые(а:1, . . . , х „) = Оназывается характеристической поверхностью (характеристикой) уравнения (11.124). При п = 2 имеем характеристическую линию (см. 11.2.3.1). Если каждая поверхность семейства «»(1|, .. . ,Хп)-С = 0 {а<С<Ь) является характеристикой уравнения (И.124),то , всилу 8га<)«; ^ О, Это семейство заполняет некоторую достаточно малую область В , через ■®кдую точку которой проходит характеристика, причем только одна. Если ^формулах замены независимых переменных взять у, = « ;(Х|, . . . ,Жп)> то = 0 в I? согласно (11.125). 3. Основные уравнения математической физики. 1) Примером уравнения <Иперболического типа является (трехмерное) волновое уравнение, описыва - •“ Щеераспространение волн различной природы в трехмерном пространстве Охуг. и(х, у, г, I) — неизвестная функция, I — время, а = соп51 — скорость Распространения волны в данной однородной изотропной среде. В частном Случае Р = 0. Если функции и и Р зависят только от одной (от двух) про- '^ н с т в е н н ы х переменных и от времени, то волновое уравнение называется "ДНомерным (двумерным). Одномерное (соответственно двумерное) волновое ''Равнение описывает, в частности , малые поперечные колебания однородной '^ Уны (соответственно мембраны). Уравнение характеристик для трехмерного волнового уравнения имеет вид [дь)
Поверхность - к?-(Х-Хо)^- (у-Уо)^- (г-го)^=О в четырехмерном пространстве (х , у, 2 ,1) называется характеристическим ко­ нусом с вершиной в точке (хо, Уо,2о, <о) и является характеристикой волнового уравнения. Характеристиками являются также плоскости о<+Ь]!+ЬгУ+&з2=С, гдеС,6],62.6з—любыечисла,причемЬ]+1^+ь1=\. 2) К параболическому типу относится (трехмерное) уравнение теплопро­ водности где о = СОП81, и(х,у ,г ,1) — неизвестная функция, описывающая процессы распространения тепла и диффузии вещества в данной однородной изо­ тропной среде. Аналогично волновому уравнению рассматриваются также одномерное и двумерное уравнения теплопроводности (в декартовых коорди­ натах соответственно и = и{х, <) и и = и{х, у, <)). В частном случае Р = 0. Уравнение теплопроводности имеет уравнение характеристик Характеристики образуют семейство плоскостей ю = I - С = 0. 3) Если в уравнении теплопроводности можно принять и = и(х,у,^)^ Р = Р(х, у, г), т. е. ди/д1 = О, дР/М = О (стационарный процесс), то это уравнение принимает вид Аи=-^Р(х,у,г)=0 +_ + называемый уравнением Пуассона, которое при ^’ = Ообращается в уравнение ЛапласаД« = О, Пусть в волновом уравнении внешнее возмущение Р{х,у,г,I)=Ро(х,у,г)е'“‘ периодическое, тогда, если искать решение уравнения в виде
Уравнения Лапласа, П>зссона и Гельмгольца относятся к эллиптическому типу. Уравнение характеристик для них имеет вид \г , а...\2 /я...\2 (дк\ (дь>\ /дыу „ Отсюда ш{х,у,2)= с = соп81и8га<1и»= Она ю{х,у,г) =О,что невоз­ можно. Следовательно, вышеперечисленные уравнения эллиптического типа не имеют действительных характеристик. 11.2.3.3. О сно вные краевые задачи для уравнен ий математической физики Длятого чтх5бы из множества решений дифференциального уравнения, задан­ ного вобласти О, выделить единственное решение, описывающее некоторый реальный процесс, необходимо задавать дополнительные условия, называе­ мые краевыми условиями. К ним относятся: начальные и граничные условия. Задача нахождения решения, удовлетворяющего краевым условиям, называ­ ется краевой задачей. Различаютследующиетипы краевыхзадачдля уравнений математической физики. 1.Задача Кошидля уравнений гиперболического (соответственно парабо­ лического) типа: требуется найти функцию и{х, у ,г ,1), удовлетворяющую при * > Оуравнению (И . 126) (соответственно (11.127)) в любой точке М{х, у, г) “сего пространства Охуг, а также начальным условиям при <= 0: ди(х,у,2 ,0) и(х,у ,2 ,0)=(р(х,у,2), ---- —-----=11){х,у,2) (соответственно и(х,у ,2 ,0) = 1р(х,у ,2)), где <р,г(> — заданные функции. ^*6ласть О совпадает здесь со всем пространством Оху2. 1. Краевая задача для уравнений эллиптического типа: в ограниченной области О пространства Охуг найти функцию и{х,у ,2), удовлетворяющую Эллиптическому уравнению, а на границе Е области В — заданному фанич- Ному условию ди а«+^ - а,р ,'у — заданные на поверхности Е функции от х,у ,г; причем а ^ О, ^ ^ О,а+0>0\ди/дп—производнаяповнешнейнормаликЕ. =7. и
Рассматривают следующие частные виды общего фаничного условия; = 71(первый тип), ди дп — 72 (второй тип), Е ди = 7з(третий тип). которым соответствуют краевые зяоачи первого, второго и третьего типа. Для уравнений Лапласа и Пуассона краевая задача первого типа (соответственно второго или третьего) называется задачей Дирихле (соответственно задачей Неймана или смешанной задачей). Начальные условия для эллиптических уравнений отсутствую т 3. Смешанная задача для уравнения гиперболического (соответственно парабо.тнческого) типа: в офаниченной области О требуется найти функцию и{х,у ,2 ,1), удовлетворяющую в О при I > О уравнению (11.126) (соответ­ ственно (11.127)), а также краевым условиям: а) начальным, в замкнутой области О при 1 = 0, и{х,у,г,0)=1р{х,у,г), = гр{х,у,г) (соответственно и(х, у, г , 0) = (р{х,у, г)), где >р,ф — заданные функции; б) фаничному, на фанице Е области О при <> О, и(х,у ,г ,1)\^='1(х,у ,х ,1), где функция 7(1,у , г , I) задана на поверхности Е при <> 0. Здесь фаничное условие может быть одного из трех перечисленных выше типов (см. п.2), в которых 71,72,73 — функции от х, у ,г ,1 . Замкнутая поверхность Ё ограни­ чивает две области, в которых может искаться решение: внутреннюю и внеш­ нюю. В соответствии с этимразличаютвнутренние и внешние краевые задачи. Примечание. Некоторые типы краевыхзадачдляодномерныхидвумерныхуравнений рассматриваются ниже. 11.2 .4 . Методы решения уравнений гиперболического типа 11.2 .4 .1 . Метод характеристик нахождения общего решения гиперболических уравнен ий 1. Для одномерного волнового уравнения д^и , “^-^=0 (11.128) уравнениехарактеристик имеет вид а}{(11)^ - {4хУ =0. Его общие интетралы: X-а1=С],X+а(=€2-Заменапеременных^= х -а1.г}=х+а1или
д Эт1 д^Удг,) Интегрируя его последовательно по ^ и т/, получим общеерешениеуравнения (11.128): и{х,у)=Ф{х - а1)+ 'Ф{х+а1), (11.129) гдеФ,Ф — произвольные, дважды непрерывно дифференцируемые функции, называемое решением Даламбера. Решение и = Ф (х - а1) (соответственно и = Ф(х + а1)) называется прямой (соответственно обратной) бегущей волной. Прямая (обратная) волна распространяется направо (налево) по оси Ох со скоростью а. Физический смысл решения. Уравнение (11.128) описывает малые попе­ речные колебания бесконечной струны, совпадающей в покое с осью Ох, априколебании находящейся все время в одной и той же плоскости. Рещение (11.129)даетпоперечное смешение и(х, у) точки х струны в момент времени ( иявляется наложением прямой и обратной волн, распространяющихся по струне. Функция Ф(х - а1) описывает возмущение, исходящее при < = О източкиХоиприходящеевмоментIвточкух=Хо+ без изменения формы (рис. 11.15). Аналогично функция Ф(х + а1) описывает возмущение, приходящее в момент I в точку Хо - а1 из точки Хо- Рис. 11 .15 Пример 97. Найти общее решение уравнения. д^и д^и 2 п /1\ 1 - 5-Т “25тг—-т со5 ж— - со5г— = 0. (1) ' дх^ дхду ду^ ву Решение. Здесь А = В ^ —А С = \ > 0 . Уравнение гиперболическое. Уравнение харак- ’^истик: у' = -8тх+1, у' = -81П1-1. Их общие интефалы: 1 -у +со51=С|, ^+у-со8Х=Сг-Замена^ = х -у+со&х, 1)=Ц -у -со81 приводитуравнение(1)
к виду д^и_д д(дт}~ д(\дт,) ди Отсюда — = /{г}). Интефируя по п, найдем дт^ «(4^»?) = Ф (0 + Ф(»7) где Ф, Ф — произвольные функции своих аргументов. Возвращаясь к старым пере­ менным, получим общее рещение исходного уравнения (I ): и(х,I)=Ф(Х-у+С08ж)+Ф(1+у-С05ж), > 2) (1>0, у>0). (2) Решение. Здесь Д = > 0. Уравнение характеристик: х^{ЛуУ - у^{<1х)^ = 0. Его общие интефалы: ху = С ,, у/х = Сг- Замена^ = ху, Г1 = у/х приводит уравнение (2) к виду д^и \ди д^дг) 2^ дт! ди дVV Обозначая V — получим уравнение -г------- = 0 , общее решение которого дг) ^ Ц V = /{г})у/1. Имеем уравнение — = обшее решение которого дт) «(«.»;) =ф(0+ф('))V^, где Ф, Ф — произвольные функции. Обшее решение уравнения (2): и(*,() =Ф(ху)+Ф^|^У1у. 1 1.2 .4 .2 . Реш ение краевых зад ач для гиперболических уравнений I. Метод характеристик. Рассмотрим задачу Коши для однородного вол­ нового уравнения (11.128), заключающуюся в нахождении его решения и(х,Ч при 1 ^ 0,удовлетворяюшего в промежутке -оо < х < +оо начальным усло­ виям ди т где (р(х),ф{х) —функции, заданные в промежутке (-оо; 4-оо). Предполагает­ ся, что 1р{х) имеет первые две производные, а ^ (*) — только первую. Данна* задача Коши описывает свободные колебания бесконечной струны, для ко­ торой задана начальная форма и начальная скорость ее точек. Определяя = ф{х), 1=0
функции Ф, Ф в общем решении (11.129) так, чтобы выполнялись начальные условия, получим формулу Даламбера, дающую рещение задачи Кош и 1 +0( Ф^) = ^[<р{х-<^^)+Ф +^^^)]+^ ^ ф{г)с12. (11.130) х-аХ Полученное рещение единственно и непрерывно зависит от начальных дан­ ных. Задача Кош и поставлена корректно. Решение (11.130) можно записать в виде наложения (суммы) прямой и обратной волн: и(х,г)=(Р1{х- а1)+^[(а:+а1). где X X <рЛх) = ^ ^’(-г) ФЛх)= ^>р(х)+^ У ^’(г) О Если ^(х) = О, то имеем решение «(*, ^)=\Ых-аЬ)+ <р(х+о<)]. Если >р(х) = О, то решение имеет вид х+<а "(г,<)= ^ /Х-1Л которое также можно представить как наложение прямой и обратной волн. 8самом деле, в этом случае «(х,I)=Р{х+а1)-Р(х-о<), ''Я' Р(г) — какая -либо первообразная для функции ^ ^ ’(г). При этом на­ блюдается явление остаточного действия, которое заклю чается в том, что , если ^(®) 5^ О только в некотором промежутке (х ьх г). то с течением времени ’^чки струны будут смешаться вдоль оси Оу на некоторый отрезок с длиной ” оставаться в покое в этом положении. Причем эта область постоянного *^Чещения расширяется равномерно со временем, т. е. за прошедшей волной ®'^ется область постоянного ненулевого смешения.
Пример 98. Найдем методом характеристик решение уравнения в примере 97.1, удо- влетворяющее начальным условиям ди = ф(х). у=а»х Решение. Здесь кривая у — сок х не является характеристикой. Определим в общем ре­ шении данного уравнения функции Ф , Ф так, чтобы выполнялись начальные условия Ф{х) + Ф(х) = (р(х), - Ф'{х) +ф'(а;) = ф{х). Интеф ируя второе равенство, получим X -Ф(г)+Ф(*)=! +С. *0 Отсюда и из первого начального условия следует * Ф(г)=]^ф) 0(л)йг - 1с, *0 X Ф(1)= ~ ф)+'-^ ф(г)Лг+'-С. Подставив выражения Ф и Ф в формулу общего решения (см. пример 97.1), получим искомое решение: ^ ^ г+к-совг “(2:,у)= ^[у>(х-у+С08г) + ^(Х+У-С051)]+^ ^ > Г'|Г +С«1 2. Свойства характеристик волнового уравнения.Для выяснениясмысларе­ шения (11.130) однородного уравнения будем рассматривать характеристи ки X- а( =С1,X+а1=С2(двасемейства прямыхлиний)нафазовой плоскости 0x1. Точка (х,1) на этой плоскости характеризует точку х струны в данный момент времени I. Функции и = ^ ,(х - о<) и и = 1р[{х+а1)постоянны вдоль характеристик первого и второго семейства соответственно. Пусть при <= ® отклонение струны и = <р\(х) ^ О в интервале {х,,х2) и (р\{х) = О вне этого интервала. Через точки (11,0) и {х2,0) проведем характеристики I - о< = *| и X - а1 = Х2(рис. 11.16), разбивающие верхнюю полуплоскость <> О на об­ ласти 1,2,3.Функция и = ^](х - а1)^ Отолько в области 2,для которой Х|<X-а1<Хг.Приэтомхарактеристики х-а1=х^, х -а1—х\соответ­ ствуют переднему и заднему фронтам прямой волны. Для того чтобы найти на струне точки, начальные возмущения которых дощли к моменту <о ки Хо (т. е . из которых подошли прямая и обратная волны), возьмем точкУ М{хо.1и) на фазовой плоскости (рис. 11.17) и проведем через нее характе­ ристикиX-а(=Хо-а1о=X, и х+а(=хо+а1о=Х2,которыепересекутось
Рис.11 .16 Рис.11 .17 О* вточках А(хо~а(о, 0) иВ{хо+а1о,0).Функция и = 1р]{х-а1)+1р](х+а1) “ Точке М(хо,<о) имеет значение и(хо,к) = которое опре­ деляется ее значениями в точках А и В. Треугольник АМ В называется ''^рактеристическим треугольником точки М{хо,1о)- Согласно (11.130), попе­ речноеотклонение и{хо,1о) точки го бесконечной струны в момент (о опре­ деляется только ее начальными отклонениями (р(х) в точках А{хо - о1о, 0) ** В(хо -Ьа<о, 0) и начальными скоростями ^р{х) на всей стороне АВ харак- ’^РИстическою треугольника: «(Л/)= ^[‘Р(А)+>р(В)\+^ У <^2. АВ *^*Чальные условия вне отрезка АВ не влияют на значение решения в точке
3. Решение задачи К ош и для неоднородного одномерного волнового уравне­ ния. Пусть требуется решить задачу Коши 2 д^и в^и •5?+ и(х, 0) = 1^(х), = ^(®)(-00<X<+оо), описывающую вынужденные колебания бесконечной струны. Данная задача разбивается на две: 1) задача Коши д^V дV(x,0) 2) задача Коши 2^^*" „ дю(х,0) + = «-<х ,0)=0, — ^ =0. Решение исходной задачи имеет вид и = V + IV, где х+<и Ф-о = ^Ых-а1)+<р{х+“<)]+^ ^ ^>(г)(^г, х~а1 I х+аЦ~т) «'(х.О=^У У }(г,т)Лгйт. о х-аЦ-т) 4. Колебания ограниченной струны. Пусть имеется конечная струна, сов­ падающая в состоянии покоя с отрезком О^ х ^ ^оси Ох.Требуется методом характеристик найти решение однородного уравнения д^и а?’ удовлетворяющее начальным условиям «1,=о= = ф{х), (О^X</) и фаничным условиям «1х=о=0- «1х=; =0’ означающим, что концы струны х = Ои х = <закреплены. Здесь ^(х) и заданы в промежутке О ^ х ^ при этом ^(0)=(р{1)=О, ^(0)=гр(1)^
Предполагается, что ^(ж) имеет первую и вторую, а ^(х) — первую непре­ рывные производные; а также выполняется условие ^"(0) = (р"(1). Решение данной задачи может быть сведено к изучению колебаний бесконечной стру­ ныметодом характеристик. Для этого надо продолжить функции (р{х) и ^(х) из промежутка [0;/] в промежуток [- ^ ;(] нечетным образом, а затем с пери­ одом 21на всю ось Ох по формулам (р(-х)= - ц>{х), г1>(-х) = - гр{х), <р(х+21)=(р{х), ■ф(х+ 21)= 'ф{х). При этом движение бесконечной струны на отрезке [0;/] такое же, как и у конечной струны с закрепленными концами х = О, х = 1. Решение исходной краевой задачи находится по формуле Даламбера (11.130) с учетом продол­ жения !р(х) и ^(х) на всю ось Ох. 5. Решение задачи Коши методом Римана. Любое линейное гиперболиче­ скоеуравнение второго порядка с двумя независимыми переменными приво­ дится к виду д^и ди Ь(х,у)^ +с{х,у)и=/(х,у). (11.131) ду Соответствующееуравнение характеристик имеет вид (1х (1у = 0.Характери­ стиками уравнения (11.131) являются прямые х = С\, у = Сг, параллельные осямкоординат. Пусть С — разомкнутая дуга кривой, пересекаюшаяся небо­ леечем в одной точке с прямыми, параллельными осям координат(рис. 11.18).
Кривая С задана уравнением у = П(х), где Л(г) — дифференцируемая функ­ цияиН'{х)ФОнаС. Задача Коши: найти решение и(х, у) уравнения (11.131), удовлетворяю­ щее на кривой С начальным условиям ди и(х,у)\^ = и{х,Н(х)) = 1р{х); — = ^(х,Н{х)) =11!{х), I ап где ‘р(х), ^ (х) —заданные на Сфункции такие, что !р(х) — непрерывно ди ди ди дифференцируема,а щ х) —непрерывна; ^ ~ ~ производная по направлению единичной нормали п = {Пх,Пу) к кривой С (рис. 11.18). ди ^ диди Еслиизвестныии— наС,то,темсамым,известнытакже - — и- — на с. дп дх ду При этом йи = и^йх + и|,Лу. В качестве начальных условий на С можно задавать и, и^, и!у как функции х или у. Наряду с выражением Ь(и) (см. левую часть (11.131)) рассмотрим сопря­ женное с Ь(и) дифференциальное выражение 1'{и) = ю"), - (а®)^ - {ЬV)'у + о). Предполагается, что а(х,у), Ь(х,у) имеют непрерывные производные пер­ вого порядка. Пусть Мо(хо, уо) — произвольная точка, а ^4 и В — точки пересечения кривой С с характеристиками х = хо, у = Уо, проходящими че­ рез Мо. Обозначим через С область, офаниченную характеристиками х = у = Уо идугой АВ. Нормаль й — внешняя для С. Тогда решение и(Мо) задачиКоши в каждой точкеМо{хо,уо)даетсяформулой Римана: 2и{Мо)=2и(хо,уо)=(«■Я)а +(и■Н)в ~2Ц }■Кйхау с +^[«Д -иК+2ЬиД)с1х-(и[Н-иШ,+2аиН)(1у]. (1 ВА где, например, (и ■Д)д = пл ■Яа — соответствующее значение в точке К(М,Мо) =Н(х,у,Хо,Уо) —функция Римана. которая зависит отдвух пар аргументов и определяется следующими условиями; 1) Д, как функция от х,у , является решением однородного сопряженного уравнения 1 '(Н) = 0; 2) Уо;Хо, Уо) = Ь(х. уо)Д(х. уо\Хо, уо) на характеристике МоВ\ 3) К'у(хи,у,Хо,уа) ^ а{хо,у)я{хо,у ,хо ,уо) на характеристике МоА: 4)Д(Мо,Мо)=Л(хо,уп',Хо,Уо)=1вточкеМ =Мо.
Отсюда следуют равенства: X К{х, Уо;а:о,Уо) = ехр| у* Ь{х,уо) (на МоВ), Ха у Д(хо,у.Ха,Уо)=ехрI у*а{хо,у) (на МцА). Уо Такимобразом, функция Римана Н является решением уравнения 1*{Я) = О, удовлетворяющим двум предыдущим равенствам, и не зависит ни от началь- ных условий на С, ни от формы этой кривой. Точки М (х, у) и Мо(хо, уо) являются для Л соответственно аргументом и параметром. Выражения, сто ­ ящие в (11.132) под знаком интефала по ВА, содержат только функции, известные на В А. Действительно, если х = х(в), у = у{я) — уравнения С, гдеа — длина дуги, то ^ <^{х) + ^(х)Н'(х) с = + «'„Пт) = (и,Ту + и„Пу) /ГТГОЙ ’ у'(г)Д'(х) - у>(х) уг+гар ’ гдет = (г,. Ту), п = (п1,пу) = (Ту, - т ,) — соответственно единичный вектор исательной и нормали к С . Причем <^и|р= ^ '(х) йх, /1 //ч ^^ (р(х) и'п\с = Ф{хЬ ^ _ Н'(х) <18 ~ Решение (11.132) задачи Коши единственно и непрерывно зависит от на- '*1'1ьных данных. Значение решения и(Мо) зависит только от начальных ^нных на дуге АВ кривой С, вырезаемой характеристиками, выходящими точки Мо. Если изменить начальные условия вне дуги АВ, то решение Изменится лишь вне криволинейного треугольника МоАВ. Пример99. Решить методом Римана задачу Коши (см. также примеры 97 и 98):
Решение. Уравнение ( I ) заменой ^= X-у+со&х. Г)=X+у-стх приводится к виду Ь {и ) = и'/, = 0. Уравне­ ние линии у = со$х в новых переменных: ( = г) (рис. 11.19). На прямой 4 = »? имеем «I= = = И{(1-5Шх)+и^(1+81Пх)= = «{(1-8ш^+и;,(1+5Ш^); Ч= так как I = ^ на А В . Разрешая предыдущую систему двух уравнений относительно и^.и, по формулам Крамера (с учетом того, что на АВи,= = ^’{?))' находим Принимая в формуле Римана (11.132) а = 6 = с = / = 0, получим 2и(С„,чв)=(и•Д)д+(и.К)в + ^ [(и^Д -иД^)0^ - («;д- «<)<1г,]. ВА Неизвестная пока функция Римана Д(4, т/, 1о) должна удовлетворять с о п р я ж е н н о м у уравнению Ь*{Я) = = О и условиям на характеристиках = т)о и ^ = ^о' г)о\Со, »Л,) = ехр О•^ = = 1 (наМоВ), (о П Я ( 4о.1;;^о.Чо) = ехр о-Й1)=е“ =I (наМоЛ). 40 ИшемрешениеуравненияЩ,, = ОввидеЛ =Р{1), Р{0)= I ,где/= Равенство I = Одает уравнения характеристик ^ Ч выходящих из Л1о- ция Е{1) является решением уравнения 1Р"{1) + г{1) = Опри условии Р(0) = I тефируя это уравнение, получим /^'(0 = С\ 1пЛ- Сг- Удовлетворяя условию Р(0) ^ ' найдем С\ —О, С2 — 1, т. е. Л = 1. Окончательно, из (2), получим »») и(^о.Чо)= ^ [»)(6)+^>(То)]+^У ^>(0
Возвращаясь к старым переменным, найдем решение задачи (1) я;+у-С051 «(*.») = !/+со8а:)+^>(а:+у-со5ж)] + ^ ^ ф{г)с1г, Х-У+СО&Х совпадающее с полученным в примере 98. > 6. Задача с характеристическими начальными условиями. Пусть требуется найти решение и{Мо) уравнения 1{и)=и"у+а(х,у)и^+Ь(х,у)и'у+си=О, когдазаданы только значения неизвестной функции и{х, у) на характеристи­ кахРЛ и РВ , параллельных осям и проходящих через точку Р(х| ,У\)цопере­ сечения с прямыми М^)А и МоВ, параллельными осям координат (рис. 11.18): = Ф), = Ф(У) \Ф\) = ■ф(У\)\. Применяя формулу Римана (11.132), находим, что единственное искомое ре­ шение дается формулой '‘{хо,Уо)=п{Мо) =и{Р)-Я(Р,Мо)+^ К ■(аи+Пу)йу+^ Е ■{Ьи+и'х)с1х. РВ РА Здесьи(х, у) = 1р(х) на РА, следовательно, В результате при у = У\ уравнение Ь(и) = О переходит в обыкновенное уравнение первого порядка. Решениекоторогодает значение Пуна РА, которое, тем самым , уже известно. ‘Аналогично находятся наРВ. 7. Метод Фурье для уравнения свободных колебаний ограниченной струны. Требуется найти решение и(х, Ь) уравнения, описывающего свободные коле- “*ния струны, закрепленной на концах х = Ои х = I, "Ри граничных условиях ^ и{х,0)=О и и{1,1)=О " Начальных условиях ^ и{х,0)=ф), и',{х,0) = 1р{х). функции 1р{х), ф{х) заданы на отрезке [0;/], причем ^(0) = (р{1) = 0. Ищем ненулевое частное рещение методом Фурье (методом разделения ^ Менных) в виде произведения и{х, I) = X (х) ■Т(1).Из граничных условий 'Дует Х(0) =Х(1) =0 . Подставляя и = X Т вуравнение, получим Х"{х) Т"(1)
Здесьлевая часть зависиттолько от I, а правая — только от I, следовательно обе эти части равны постоянной величине, которую обозначим (-А). Отсюда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения для Х(х) и Т((): Х"{х) +ХХ{х) = О, Т"(1)+а^ХТ{1)=0. Требуется найти значения А, при которых существуют ненулевые решения первого из этих уравнений. Такая задача называется задачей Штурма—Лиу- БИЛЛЯ. Возможны следующие случаи. 1) А<0. Характеристическоеуравнение + А= Оимеет корни Г|,2 = Подчиняя общее решение X = С[е’''^ + фаничным условиям АГ(0)=Х{1)=О,находимС|=Са=О,т.е,Х(х)=0. 2) А = 0. Общее решение X = С|1 +Сг. Из граничных условий следует С, =С2=0,т.е.Х(х)=0. 3) А>0. Характеристические числа Г|,2 = ±*\/А. Из общего решения Х(х) = С] соз'/Хх + Сг \[\х, с учетом фаничных условий, находим С| = О, Сг / О (в противном случае Х{х) = 0). Следова­ тельно, ненулевые решения возможны только при условии = О, т.е. при значениях ‘■=(т) ТолькопритакихзначенияхА=А„(собственныхзначениях)дифференциаль­ ное уравнение имеет ненулевые решения (собственные функции) Л’„(х)=5ш^^ (п=1,2,...), где принято Сг = I . При А= А „ общее решение уравнения для Т{1) имеетвиД ^ , тга1 птга1 Т„(1)=Апсо5— -Ь5„5Ш Функция и„{х,1) = Хп(х)Т„{1) удовлетворяет волновому уравнению и гра­ ничным условиям. Если на отрезке [0; /]функция ^(х) дважды непрерывно дифферениирУ® ма, имеет кусочно непрерывную третью производную и удовлетворяетуслов** ям у?(0) = у(/) = у>"(0) = = О, а ф(х) — непрерывно дифферениирУ®’^^ имеет кусочно непрерывную вторую производную и удовлетворяет условия тр{0) = ф{1) = О, то сумма ряда , пжа1 ппа1\ птгх О=2^МлС08-у - +В„5Ш 151П—
где I I Ап=7I Ф)51П^ (1х, В„ = ----- I 1р(х)81П^ (1х(п=1,2,...), I^ I П1га ^ I о о является дважды непрерывно дифференцируемым решением волнового урав­ нения, удовлетворяющим граничным и начачьным условиям. Вводя обозна­ ченияА„ = а„51П<5„,В„ = а„соз , о„ = V/лIТв|, полученноерешение можно записать в виде ряда / г^ и(х,() =2^а„ 5Ш— 5Ш +д„^, каждоеслагаемое которого соответствует стоячей волне, в которой точки стру­ нысовершаютгармонические колебания содинаковойфазой <(„ичастотой ш„ = Ша/1. При этом амплитуда волны о „ 51п{птгх/1) зависит от положения точки. 8. Вынужденные колебанияструны,закрепленнойна концах.Требуетсянай- TM решениеуравнения, описывающего колебания струны поддействием внеш­ ней силы 81^ ^ лриграничных и начальных условиях и(0,«) =0, «(/,<)=0; и(г,0)= у5(х), «|(х,0)= ^(х). Решениеданной краевой задачи ищется в виде суммы и = V+•трешений * и V) следующих двух краевых задач: О =а^|-7 +/{х,0- V(0,^)=0, »(/,<)=О, «(а;,0)=0, »;(х,0)=0, о1^ дх^ = ю(0,0 = 0, П1(1,1)=0, Ц х,0)= ^(х), «;(/,0)= ^’(х). ^'Шение второй из этих двух задач приведено выше в п. 7. Решение V первой ищется в виде плх »(х, = 2**что граничныеусловия выполняются сразу Разложим /(х, I) в промежутке ^ ^ / Вряд Фурье по синусам X—^ птгх /{х, <) = /п(<) 5Ш— ,
где I /п(1)=7У /(*’О ^ о Для нахождения Тп{1) имеем уравнения ТЩЬ) + = /„(<) = п==1,2 ,..^ ПриусловияхТ„(0)= о, Г,^(0)= 0.Соответствующиерешения этихуравнений имеют вид I I ^ йЛ/ "о о Подставляя Т„(<) в выражение для г{х, I), получим искомое решение первой задачи. 9. Вынужаенные колебанияструны с подвижными концами.Требуетсянайти решение краевой задачи « (0,<) =?|(<). и(1.1)=$2{1), и{х,0) = 1р{х), и',{х,0) = 1р(х). Данная задача сводится к задаче с нулевыми фаничными условиями, к кото­ рой применим метод Фурье. Введем вспомогательную функцию т{х,1)=Ц ^5|(х)+ уй(«), для которой т{0,1) т{1,1) = ^ 2{1)- Реш ение исходной краевой задачи ищется в виде и = « + и», где » — новая неизвестная функция, удовлетворЯ' юшая граничным условиям »(0,1) —О, ь{1, <) = О и начальным условиям «(1,0)=^(х) -^ ,(0)-[«2(0)-?1(0)1у = <р,(х), 1>;(х,0)=11>{х)- «',(0)-|й(0)- г'1(0)!у = функция у{х, I) ищется какрешение краевой задачи д^и 2 ^^^
X /|(г,<)=/(х,I)-?|(О- [82{^) -«■|'(0]у■ Методрешения этой задачи приведен выше в п. 8 . 10. Общая схема метода разделения переменных. Пустьтребуется найти решение уравнения ЛГ Л«| п - д{х)и, (11.133) в^и д■аи где/)(г), р(х), р'(х), д{х) — непрерывные функции при О ^ х ^ 2, причем р{х)>О,р(х) >О, д{х) ^ О,удовлетворяющее фаничным условиям а«(0,1)+Ри'х{0,1)=О, 'уи{1,1) + дщ{1,1) = О и начальным условиям и{х,0)= ^ (х), «'((х,0)=1р{х), (О<X^I), гаеа,р ,у ,б — постоянные и / О,7^+(5^^0 . Сначала ишется нену- •1евоерешение уравнения (11.133) в виде произведения и(х,1) = Х{х) Т(1), Удовлетворяюшее только граничным условиям. Из (11.133) следует ^ [р(х)Х'(х>] -д(х)Х(х) р(х)Х(х) No А — некоторое число. В результате имеем два обыкновенных дифферен- ииальных уравнения ^ [р(х)Х'(х)] + [Ар(х) - ?(х)]Х(х) = О, (11.134) Т"(0 +АТ(<)=0. (11.135) Чтобы получить ненулевое решение уравнения (11.133) вида и = Х Т , удо- ®'>егворяюшее граничным условиям, необходимо и достаточно выполнение '1^ничных условий аЛ-(О)+;8Х'(0)=О, 7 ^(0 +<5Х'(/)=0. (11.136) образом, для нахождения Х ( х ) приходим к следующей задаче на соб- '^ н н ы е значен ия для обыкновенногодифференциального уравнения: найти ^кие значения параметраА (называемыесобственными значениями), при ко- ^“ Рых существуют ненулевые решения уравнения (11.134), удовлетворяющие ''’^овиям (11,136) (называемыесобственными функциями).Доказано, что для ^нной задачи: •) Существует счетное множество действительных собственных значений А,<Аз<...<А„< ... .
2) Каждому А„ соответствует собственная функция Хп{х) (одна или две), определяемая с точностью до числового множителя, который обычно выбирают так, что I /р(х)Х^(х)с1х = I . О функции, удовлетворяющие этому условию, называются нормированными. Х=1 3) Если ф ) ^ О и [р{х)Х„{х)Х'„(х)] <О,товсеА„>0. 1=0 ( / ГО (т 7^п), р(х)Х„(х)Хщ(х) <1х = < , , т. е. собственные функции о6- и (т=п), о разуют ортогональную и нормированную систему с весом р{х). 5) Теорема Стеклова. Всякая функция /(г), имеющая непрерывную первую производную и кусочно непрерывную вторую производную и удовлетво­ ряющая условиям (11.136), может быть разложена в абсолютно и равно­ мерно сходящийся ряд по собственным функциям Х „(х); Г !(х)=^ СпХп(х), где Сп= р(х)Х„(х)}(х) йх. "=' о Уравнение (11.135) при каждом А = А „ имеет общее решение Г„(<)=А„С08\/%,I+Вп51П гдеА„,В„ — произвольные постоянные. Каждая функция и„(х,1) = Х „{х)Т„{1) является решением уравнения (11.133) с соответствующими фаничными условиями. Чтобы удовлетворить также начальным условиям, составим ряд 00 и{х,1)= ^2 С05 5Ш У а ; 1)Хп(х). (П-137) П=1 Если ряд (11.137), а также ряды, получающиеся из него почленным двукрат­ ным дифференцированием по г и (, сходятся равномерно, то его сумма буд^^ удовлетворять уравнению (11.133) и фаничным условиям. Для удовлетвори' ния начальных условий к уравнению (11.133) потребуем, чтобы 00 «(I,0)= ^ АпХп(х) = П=1 00
Если ряды в этих двух равенствах сходятся равномерно, то , умножая их на р(х)Х„(х) и интефируя по а: от Одо /, найдем коэффициенты / I = У р{х)<р(х)Х„(х) ах, В „ = ^ у р(х)ф{х)Х„{х) ах. о о Подставляя эти коэффициенты в ряд (11.137), получим искомое решение уравнения (11.133), удоалетворяющее одновременно граничным и начальным условиям. 11. ■Ц)ехмерное однородное волновое ур авнение. Р еш ен и е и(М,I)=и{х,у,г,I) юлнового уравнения вкаждой точке М(х, у, г) безфаничного пространства в любой момент вре­ мени <^ О, удовлетворяющее при 1= 0 начальным условиям и(х,у,2,0)=Ф(1,у,г), щ(х,у,2 ,0)=Ф(г,у,г), гдеФ и Ф — соответственно трижды и дважды непрерывно дифференцируемы, дается формулой Пуассона Ф{р)аз гг^(Р)лз' и(М,1)= ' 4-па (11.138) где8/^^ — сферарадиуса г = а1с центром вфиксированной точке М{х, у,2)\ — переменная точка интегрирования на сфере 5мг с координатами *=I+аЫ,у =у+Ра1,2 =2+70<; — направляющие косинусы Радиуса МР сферы Змг, <13= 51пвМ Л<р= — элемент плошади ^Феры Змг в сферических координатах. Формулу (11.138) можно записать еще в виде и{х,у,2,1)= ^ 2)г Я- гяЖ ^11 У’ ^ 00 00 углы 1р и в при интефировании изменяются в промежутках О< ^ ^ 2тг, ^ б^7г;а =81П#со8 = 51п051пу?, 7 = С05Й. Решение (11.138) един- ^Твенно и непрерывно зависит от начальныхданньк при конечных значениях I. Смысл решения (11.138). Пусть начальные возмущения Ф и Ф отличаются Нуля только в некоторой конечной области С с поверхностью Е , которая
отделяет при 1 = 0 возмущенную область С от покоящегося пространства. При < > О колебания из О передаются в окружающее пространство, так что в любой момент времени I можно построить поверхность, отделяющую точки, до которых возмущение уже дошло, от тех, до которых оно еще не допио Пусть точка М находится вне С. Если I < Л/а, где с1 — кратчайшее расстояние от ЛГ до Е (рис. 11.20), то сфера 8иг расположена вне С и Ф =0. Ф =Она8\1г-Согласно(11.138)имеемпри этом «(М,I)=О,т.е. возмущение ещенедошлодоМ.ПриI=й/асфераЗмг коснетсяЕ.ЕслиI>О/а,где В — наибольшее расстояние от М до Е, то 8мг снова будет находится вне С (С — полностью внутри 8мг) и, согласно (11.138), и(М,1) =0 . Распространяющаяся из точек области С волна имеет два фронта: пе­ редний фронт, т.е. поверхность, отделяющая в момент I еще покояшиеся точки пространства от уже колеблющихся; и задний фронт, являющийся по­ верхностью, которая отделяет еще колеблющиеся точки пространства оту*^ покоящихся. Через каждую точку М вне С волна проходит последователь­ но обоими своими фронтами: при = й/а она подойдет к М передним фронтом, а при <2 = О/а сойдет с М задним фронтом, т. е. в промежуго'^ от до <2 волна проходит через точку М. При <> <2 в точке М смешение и{М,1) обращается в нуль, но не в постоянную, как в случае струны (т-^- в случае плоской волны). Поверхность переднего фронта в момент I нахоДИ'К* как огибающая семейства сфер радиуса г = а1 с центрами на поверхности Е (принцип Гюйгенса). Постоянная а в волновом уравнении равна скоросг* распространения фронта волны. 12. Трехмерное неоднородное волновое уравнение. Решение задачи в безфаничном пространстве для неоднородного уравнения д^и т = а^Аи+}(М,I), и{М,0)=Ф(М), щ(М,0)=Ф(М),
гдеМ{х,у,г)—точкавпространстве,ищетсяввидеи=у+у),где®ии;— решения следующих двух задач: 1)^= а^Д«, и(М,0)=Ф(М), г<;(М,0)=Ф(М); 2)^= а^Аго+1(М,1), и>(М,0)=О, и>;(М,0)=0. 01^ Решение первой задачи приведено выш е в п. 11. Решение второй задачи дается выражением, называемым запаздывающим потенциалом: Ома гдеинтефирование ведется по объему шара Вмн радиуса К = а1 с центром вточке М\ (IV = йхйуйг', Р{х,у ,г) — переменная точка интегрирования; г=РМ — расстояние между точками Р » М (0^г<Д).В выражении (11.139) функция / берется в момент I - г/а, предшествующий моменту I напромежуток времени г/о, необходимый для распространения возмущения източки Р в точку М со скоростью а. 13. Цилиндрические волны. Требуется найти решение задачи Кош и для двумерного однородного волнового уравнения в безграничном трехмерном пространстве д^и 2/ ^ V^’ (11.140) и{х,у,0)=Ф(х,у), щ(х,у,0)=Ф(х,у), функции Ф, Ф , заданные в безграничном пространстве, зависят только у иостаются постоянными навсякой прямой, параллельной оси Ог. При решение и(х, у,I) также независитот г, т.е. его значение не изменяется Приизменении г илюбыхфиксированных х,у ,1 . Такие волны в пространстве 'называются цилиндрическими. Решение задачи (11.140) находится по формуле / /•/• Цх,у)Л8 ** 2тгад1УУ^аЧ'^ ~ (х-хУ-(у-уУ Сцг 1ГГ Ф(х, у)(18 + 2тгоII у/аЧ'^- (х-хУ-{у-уУ' Сиг ^Мг — круградиуса т=сЛс центром в точке М (х , у) (вкоторой ищется ре- "®^ние) на плоскости Оху, х ,у — переменные интефирования; ЛЗ = (1хйу — ^'’^Мент площади. Приведенная формула дает искомое решение в каждой точке '’Рямой, проходящей через любую точку М (х , у, 0) параллельно оси Ох.
Решением задачи Кош и для неоднородного волнового двумерного урав­ нения с нулевыми начальными условиями (Ф = О, Ф = 0) имеет вид /(г,у,т)ЛхЛу Лт, где р^ =(х-х)^+ {у-у)^\Смн— круг радиуса В=а{1-т)с центром в точке М{х,у,0). Пусть начальные возмущения Ф(х, у), Ф(х, у) не равны нулю лишь в не­ которой бесконечной цилиндрической области, сечением которой плоскостью Оху является фигура В, офаниченная замкнутой кривой Г. Пусть М —точ­ ка в плоскости Оху вне В и й — наименьшее расстояние от М до Г. Тогда передний фронт цилиндрической волны достигает точки М в момент <1 = Л/а. Однако, вдвумерном случае, в отличии от трехмерного, возмущение в точке М, начиная с момента <2= О/о, (О — наибольшее расстояние от М до Г), не обращается ни в нуль (как в пространстве), ни в постоянную (как на струне). При этом и(х, у,() -у О, если < со. В двумерном случае у волны есть передний фронт, но нет заднего. 14. Постановка задачи о колебаниях мембраны. Под мембраной понимают тонкую упругую натянутую пленку, не оказывающую сопротивления на изгиб. Пусть в состоянии покоя мембрана находится в плоскости Оху и занимает некоторую область О , офаниченную контуром С. Уравнение малых по­ перечных колебаний мембраны, находящейся под действием равномерного натяжения, приложенного к ее краям (к контуру С), имеет вид + (а = соп .1), (11.141) где и{х,у,1) — смещение точки {х,у) мембраны в момент I, перпенди­ кулярное к плоскости Оху, функция / характеризует внешнюю силу. ствуюшую на мембрану. Ехли / = О (или / ^ 0), то колебания называются' свободными (или вынужденными).Уравнение(11.141) —двумерное.Для нахо­ ждения функции и(х,у,1) к уравнению (11.141) следует добавить граннч»^ условие на контуре мембраны, например, для случая, когда на контуре мембрана закреплена: и{х,у,1)=0 на С (или и|^,= 0); атакже начальные условия, т.е.смешения искорости каждой точки мембраиь* и{х,у,0)=Ф(х,у). и[(х,у,0)=Ф(х,у).
15. Свободные колебания прямоугольной мембраны. Рассмотримсвободные колебания мембраны, контуром которой является прямоугольник со сторо­ нами X =О,X =р , у =О,у =д.Математическая постановка задачи: = +«';); «(0,у,<)=0, и(р,у,1) =0, (11142) и(х,0 ,1)=0 , и{х,д,1) =0\ и{х,у,0)=Ф(г,у), щ{х,у,0)=Ф(х,у). Частные решения уравнения (11.142) ищем методом разделения пере­ менных в виде и{х,у,I) = «(х,}/)•Т{1),удовлетворяющем только фаничным условиям из (11.142). Из уравнения (11.142) следует (см. также 11.2.4.2, п. 7): Т"(1) ^ + ^ 2 а^Т{1) V где — постоянная. В результате получаем дифференциальное уравнение Т" -I-{ак)^Т = О и краевую задачу «;(0,у)=V(р,у)=О, »(х,0)=ь(х.д)=0. ^ краевая задача также решается методом разделения переменных: г{х,у) = Х{х)У{у). В результате получим У"(У) ^ . 2_ _ .2 У{у) Х(х) — еще одна посте Нения Х'\х)+к^Х{х)=О, Г"(у)+к\У(у)=О (*2=к^-к],или = к}+к2). Граничныеусловия к ним: А’(О) = 0, Х(р) =0; ^'(0) = О, У(д) = 0. Общие решения предыдущих уравнений: Х(х) =С)С05к]!+Сг51П У(у) = С} сок к2У4-С4 51Пк2у. ^ учетом фаничных условий находим С| = Сз = 0. Полагая С2= С4 = I , '•ВДучим Х(х) = 51пЛ|г, У(у) —8шк2У-Из условий 5т*г/)=О,8Ш*2? =О следует тп пи, . =---, *2п= — (т,п = 1,2,...). Р Ч Гдек\ — еще одна постоянная (см. 11.2.4.2, п. 7). Отсюда получаем два урав-
Этим собственным значениям к^п соответствуют собственные функции ттгх ппу Чтп(Х,У) = 8 Ш -----81П ----- . рд Чтобы удовлетворить начальным условиям из (11.142), запишем двойной «(Х,У ,1)= ^ {АтпС08актп1+В„„51ПаЙшпО «1П 81П ■ ряд °° тжх П1ту 81П --- т,п=1 Р 9 Если этот ряд, а также ряды, получающиеся из него двукратным почленным дифференцированием по х,у,1 , сходятся равномерно, то его сумма будет решением уравнения (11.142), удовлетворяющим граничным условиям. Для удовлетворения начальных условий необходимо, чтобы и(х,У,0)=2_, ^тп81П 8Ш --- = Ф(х, у), т,п =1 Р 9 щ(х,у,0)= ^ а*:т„В„„8ш^^8т— = ф(1,у). т,п =1 Р 9 Предполагая, что эти ряды, являющиесяразложениями функций Ф и Ф вдвой­ ные ряды Фурье, сходятся равномерно, умножая обе части обоих равенств на тих птгу 81П ---- •8Ш --- Р Ч и интегрируя по X от Одо р и по у от Одо д, найдем коэффициенты V! X А/ж/ \ ^ Атп=— // Нх,у)8Ш---- 8Ш----ЙХ(1у, РЯ^^ Р Я оо ря _ 4 СГ, ^ ттгх ппу Втп= ---;— //Ф(х,у)5Ш 81П йх Лу. лрдктп ^ ^ Р я оо Значения частоты колебания ш мембраны находится по формуле
16. Свободные колебания круглой мембраны. М атематическая постановка задачи о колебаниях круглой мембраны радиуса р с центром в начале коор­ динатв полярных координатах (г, в) имеет вид: д1^ \дг^^гдг^ дв^) ’ (11.143) и(г,в,0|г=р = 0; и{г,в,0) =Ф{г,в), и;(г, в, 0) = Ф(г, в). Здесьполярные координаты обозначены (г, в) вместо (р, (р). Решение и(г, в, I) задачи (11.143) ищется методом разделения переменных в виде и(г, в,Ь)=Т{1)■V(^, в) вклассефункций, периодических по в с периодом 2тг и офаниченных во всех точках мембраны. В результате получается уравнение Т"{1) + =О и краевая задача 1ве 1 2 „ I „ где — постоянная, и(г, в) — однозначная, периодическая по 0 с периодом 2тфункция, конечная при г = 0. Решение этой краевой задачи ищется также методом разделения переменных в виде »(г, в) —Д(г) ■У{в) с введением еще однойпостоянной. Окончательное решение задачи (11.143),удовлетворяющее фаничным и начальным условиям, имеет вид ряда: 00 «(г,в,1)= '^ {А„тС05Ш„„1+В„т 5Шш„„1)совпв+ п=0 т—] +{С„т С05 +Опт81ПШ„т«)51Ппв) ^к^тГ), "т.т = ак „т , К т = ^^пт|р, ^^пт — положительные корни трансцен­ дентного уравнения ^п(^^) = О [-^п — функция Бесселя первого рода п-го Порядка);п=О,1,2,...; т =1,2,...;коэффициентыА„т,В„т,С„т,Опт Находятся при помощи начальных условий (11.143) аналогично п. 15: оо Р2ж ^72 I ( [ Ф(^ .в)^п(^^^\сО&(пв)^аТ|1в, ^7„%,(/Х„т)УУ \Р) ,,2^'7 Т[[ &\п{пв)г(1г(1в. А= ОО Р2ж 1 '' Сит —
Коэффициенты Вот, ^ п т. ^п т находятся соответственно по формулам для -^Отл, Спт путем замены в них Ф(г, в) на Ф(г, в) и делением соответству­ ющих формул на ацпт/р- 11.2 .5 . Уравнения эллиптического типа 11.2.5 .1. Общие сведения Трехмерное уравнение эллиптического типа, имеющее вид _ д^и д^и д^и „ \ дх^ ду^ дг^ V ду^ дг^) ’ где и(х, у, г) — неизвестная функция, Д — оператор Лапласа, называется уравнением Лапласа. Неоднородное уравнение Ли = /(ж, у, г) эллиптическо­ го типа, где /(х, у, г) — заданная функция, называется уравнепием Пуассона. Если функция щ(х, у) не зависит от координаты г (т. е. сохраняет постоянное значение на каждой прямой, параллельной оси О г), то получим двумерное уравнение Лапласа Ди = -Ьи'уу =О, так как = 0. Аналогично рассмат­ ривается и двумерное уравнение Пуассона. Для нахождения функции и к уравнению эллиптического типа следует присоединить некоторое граничное условие (см. 11.2.3.3). Начальные условия в этом случае не требуются. Пусть область О офаничена замкнутой по­ верхностью Е. Если область В, в которой ищется решение эллиптического уравнения, конечна , то краевая задача называется внутренней, если бесконеч­ на, то внешней задачей. Для внещней задачи ставится еще условие обращения решения в нуль на бесконечности. Обычно для внешних и внутренних задач рассматривают граничное условие: 1) и\^ = <р(М), где ^ (М) — непрерывная функция, заданная на поверх­ ности X); или условие = 1р(М), когда на Е задается нормальная к Е производная функции «• 2)Р дпЕ При этом краевая задача с первым (вторым) фаничным условием называете* задачей Дирихле (задачей Неймана) для эллиптического уравнения. Мо*^ рассматриваться также и смешанная задача. Область О может быть как двумерной, офаниченной контуром С, так и трехмерной, о ф ан и ч ен н о поверхностью Е. Если фаницей области О является плоскость (прямая), говорят, что краевая задача поставленадля полупространства (пол у п л о с к о с ти ^ Внутренняя задачаДирихледляуравненийДи = Ои Да = / им ^ ственное решение во множестве функций, непрерывных в области П вмест^ с частными производными первого порядка. Решение внутренней заД8‘‘
Неймана для уравнений Ли = О и Ди = / определяется однозначно с точ­ ностью до произвольного постоянного слагаемого при выполнении условия 1р(м) аз - /(м)ду =о, Е о вытекающего из формулы Грина (см. 11.2.5.2). 11.2.5.2. Гармо ничес ки е функции Функция и, непрерывная вместе со своими частными производными до вто­ рого порядка в некоторой области С (трехмерной или двумерной) и удовле­ творяющая там уравнению Лапласа (трехмерному или двумерному) Ди = О, называется гармонической функцией в О . Формула П>ина. Пусть О — некоторая офаниченная трехмерная область, — ее кусочно гладкая поверхность; и, и — две функции, непр^ывные сосвоими производными до второго порядка в замкнутой области О, тогда справедлива формула Грина ///(“Д”- =// о Е No производные в правой части берутся по направлению внещней для О чормали = ЛхЛуЛг, (13 — элемент площади. Для двумерной области В, ограниченной кусочно гладким контуром С, формула Грина имеет вид (иД®- иДи)(1хйу= ^ ~ в с Если вместо внешней нормали брать внутреннюю, то надо изменить знак Правой части формулы Грина на противоположный. Формула Грина приме- '**'Ма и в случае области О (или В), ограниченной несколькими замкнутыми "“верхностями Е; (или контурами С{). Из формулы Грина следует, что для ■’*>бойфункции и, непрерывной вместе со_своими производными до второго " “Рядка в трехмерной замкнутой области В , справедлива формула Е В ^ — любая произвольно фиксированная точка в О, г = |МоМ| — рас- ^ я н и е от фиксированной точки Мо(хо, уо, ^о) до переменной точки инте- ^'•РованияМ(х,2/,г);Д •1/г= ОприМ ФМ(,.
Соответствующая формула для плоской области В имеет вид пт= ^ - ,пг^] ± ||(1пг)Апа з. (11,145) с в Здесь учтено, что в двумерном случае Д(1п г) = О при М ^ Мо. Свойства гармонических функций. Пусть функция и{М) гармонична (т.е. Ди =0) в конечной области Ь,офаниченной поверхностью Е , и непрерывна со своими производными первого порядка в О, тогда: Е Л8- , Мо. 3) “(л^о)= ^ IIи{М) аз, где 5н — сфера радиуса Я с центром целиком находящаяся в О, М — точка на 8 (теорема о среднем значении); 4) функция и(М), не равная тождественно постоянной, достигает своего наибольщего и наименьшего значений только на фанице Е области В Гармонические функции на плоскости имеют аналогичные свойства, ко­ торые устанавливаются при помощи формулы Грина и формулы (11.145). в частности, теорема о среднем значении примет вид ^ Iи(М)а1, Сн где Сн — окружность радиуса К с центром Мо. 1 1.2 .5 .3 . Реш ение кр аевых зад ач методом функций Грина Рассмотрим задачуДирихле в ограниченной области О с поверхностью 3: Д«=/, «1;, = Р, где / и Р — непрерывные функции. Функцией Грина оператора Лапласа для области О называется фуни* С(М, М о ) , удовлетворяющая следующим условиям. 1) С(М, Мо) является функцией двух точек: М , принадлежащей О, и принадлежащей О. 1^к функция от переменной точки М(х,у ,^ )- произвольно фиксированной точке Мо(хо, !/о,^ ) , она удовлетвори уравнениюЛапласаАС=С'^^+С'у^+С'^г=О(являетсягармоническо / вовсехточкахМ изОкромеМ =Мо.ПриМ =МофункцияС(ЛЛ обращается в бесконечность.
2) Граничное значение 0{М, Мо) на поверхности Е равно нулю: С(М,Мо)\^=0. 3) Она может быть представлена в виде С(М,Мо)=С(х,у,г;Хо,уо,го)= М>), гдег = |ММо| —расстояние междуточками М иМо;^(М,Мо) —функ­ ция, гармоническая всюду в П и непрерывная в В по М. Аналогично определяется функция Грина для бесконечной области вне 2, при этом требуется, чтобы С стремилась к нулю, если точка М стремится кбесконечности для любой фиксированной точки Мо. Смйства функции Грина 1)0<С(М,Мо) < дляМ.МоеС,М/Мо; 4тгг 2)С(М,Мо)=С(Мо,М). Физический смысл функции Г^ина. Пусть Е — электропроводящая по­ верхность с нулевым потенциалом. Тогда С(М,Мо) = С(М о,М ) можно рассматривать как суммарный потенциал, создаваемый в точке Мо зарядом +7- , помещенным в точку М, и зарядами, индуцированными на Е. Для построения функции П>ина необходимо найти гармоническую в обла- 'ти о функцию ?(М , Мо), удовлетворяющую на Е фаничному условию г(М,Мо)|„ = - ' 4ят Если найдена функция Грина С{М, Мо), то , согласно (И .144) и формуле ФИна, искомое рещение задачи Дирихле в точке Мо имеет вид Е О =-II Е С _ переменная точка интегрирования, ЛУм = ЛхЛуйг. В случае плоской области В, ограниченной контуром С, функция Грина “Ператора Лапласа имеет вид с(м,Мо)= - 1пг+г(м,Мо) (м ев. МоеВ), 2тг
где г = \ММо\, ^ {М, Мо) — функция, гармоническая всюду в В и непре­ рывная в В по М. На контуре С выполняется С(МЛ/о)|с = О- Например, решение краевой задачи Ли=О, = в области В с фаницей С дается при этом формулой Вв(М,Мо) и(Мо)= - У Р(М)~ дп (11.146) где М - переменная точка интегрирования. Пример 100. Найти решение внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге с центром в начале координат с окружностью С радиуса Н: Ди=О, « |р = Р(1р). где Р{1р) — заданная функция, у) — полярный угол в полярных координатах (р,р). Решение. Построение функции Грина а(м.м„) = -^ 1п-+х(лг,м„) 2тг г сводится к нахождению функции $, гармонической в круге и равной наС.ОбозначимчерезМ]точкуналучеОМо,для которойрор^ = Д ’ ,гдеро= ОМц, Р\ = 0М[ (рис. 11.21). Для любой точки М на окружности С треугольники ОММо
иОММ, подобны, так как угол при О общий и ОМд:ОМ = ОМ :ОМх.Из подобия следует Го_ ^ _ Я г, К р,’ гдеГо = |го|=|АГоЛ/|, г, = |г,| =|М|М|. Отсюда го = Рог,/Н. Следовательно, г- 1п 2т р„г ,' т.е. 1Г1 а 0(М,М„)=— \\п 1п--- 2тг[ Го />оГ, гдеточка М, вообще говоря, уже не лежит на окружности. Для рещения краевой задачи ло формуле (11.146) вычислим производную дС/дп на С по направлению внешней нормали п: дС 1 дп 2тг 3 1д Я — 1п I” ---- дп Го дп роГ1 — 1п— = дп Го д,Я — 1п- ПК как д II дго 1 ■5—1п—-^ = ---- С08 (Го, п), дго Го] дп Го 9, я1дг, 1 -— 1п ------ -г —= -------- С0 8 (Г|,П)1 дг, рог,_ дп г, бго ^ дг, — = 8га()„Го = С05(го, п); — = С05(г,, п). дп дп Из треугольников ОММо и ОММ , находим +'•5-р1 С05(го,п) = 2йг„ С08(Г],п) = 2Дг, г Я^ учетомр,=—,а Ро на окружности Г] = Го— , получим Ро No дп I - Ро 2ТГЙ г^ ^треугольника ОММо находим г^ = К^+р1~2Нро соз(^ - ^ о). где (Я, (р) и (ро, <Ро) — *“ординаты точки М на окружности и точки Мо соответственно. Учитывая, что окружности (Им = Я (1‘р. по формуле (11.146) находим искомое решение г* и(Мо) = и(ро, »>о) = ^ У^ Я^-Ро -Р((р)Л1р, ^+ р1~ 2Яро ео8(1р - <ро) О ^ззываемое интефалом Пуассона для круга. пример 101. Реш ить внутреннюю задачу Дирихле для шара радиуса К.
Решение в сферических координатах (р, в, <р) проводится аналогично примеру 100. В тех же обозначениях (после замены окружности сферой) функция Грина имеет вид 4)г\Го роГ.У Искомое решение в точке М(1{ро, во, (ро) внутри сферы, называемое интефалом Пуас­ сона для сферы, имеет вид - т=ё// - 2 Яр~со'у+ р1У'^ оо где С087 = С05вС05#0+8'П981П9оС05(^! - Ро). > 11.2 .5 .4 . Реш ение кр аевых зад ач методом разд еле ния переменных Для простых по форме областей (прямоугольник, круг, круговое кольцо, цилиндр, шар, прямоугольный параллелепипед и др.) решение краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона может быть найдено методом разделения переменных. 1. Найти в полярных координатах <р)функцию и{р, у ), гармоническую в круге В радиуса г, непрерывную в В и принимающую заданные значения Р{‘р)нафанице кругар=г;т.е. решитьвнутреннюю краевую задачу Да = О, и(г, !р)= Р(>р). Функция Р в общем случае кусочно непрерывна. Решение и(р,(р)должно быть однозначной, следовательно, периодической функцией: и{р,(р + 2тг) = и{р, >р). Решение ищется в виде и{р, <р)= Я(р) ■Ф{‘р) ^ 0. Тогда из уравнения Лапласа Вполярных координатах рдрУдр) 1 д^и после разделения переменных следует р^К"(р) + рН1{р) Ф"(<^) =А, й(р) Ф(|р) где А — постоянная . Получаем два дифференциальных уравнения: ф"+АФ=0 [Ф^О,Ф(у+2тг)=Ф(^)|, ^^^ , 47) р^Ш'+рВ!-\К=0 (Д^О).
Ф(^) =АС05 + В 51П %/А^, удовлетворяющее условию периодичности Ф({р+ 2тг) = Ф(^), если \/Д = п , где п — любое неотрицательное целое число. Числа А„ = (п=О,1 ,2 ,...) называются собственными значениями данной задачи. Соответствующие им ненулевые решения 1, С05^, ..., С05П^, 5шпу?, ... называются собственными функциями задачи. При А = О общее решение уравнения имеет вид Фо(^) = Ло + Вц>р. В силу периодичности. Во = 0. Полагая Ло = I , получим собственную функцию, соответствующую соб- авенному значению Ао = 0. Общее решение первого уравнения (11.147): ф„(уз)=А„со5П(р+В„5Штр (п=О,1,2 ,...). Общеерешениевторогоуравнения(11.147)приА=п^ (п = 1,2 ,...), яв­ ляющегосяуравнением Эйлера(см. 11.1.4.4), ищем в виде Д(р) =рTM. Отсюда т- = о,т.е.т = ±п. Общее решение имеет вид Е„(р) =Спр" + Опр " (п>0).Если п = О,то общеерешение: До(р) = Со+Г>о1пр.Решениедолжно быть конечным при р = О, следовательно, надо положить = О(п=О,1, ^••• ). Решениями вида Н{р)Ф((р) являются функции и„ = р"(о„С05П9?+6„51пп^) (п=О,1,2 ,...), где о„ = А „С „, Ь„ = В „С „ . Решение внутренней краевой задачи представим ввидесуммырешений и„,т.е.ввидеряда 00 и(р,(р)= ^ р"(ап С05П(р+Ь„ 81птр) (р ^ г). п=0 *^о^%1)ициенты ап, К находятся из фаничного условия и{г, <р)= Р(<р)’ 2-к 2т Оо=^ У М, а„=^ ^ Р{1) С05п1(11, О о 2х Ь„=^ I Р(1)^тп1Л1 (п=1,2,...) . О ^Уммаряда, представляющего решение и(р, V?), равна интегралу Пуассона для "РУга (см. пример 100).
Примечание 1. Решение внешней краевой задачи для круга, офаниченное в беско­ нечности, ищется аналогично и имеет вид ряда «(р.г)=^ п=0 Р коэффициенты которого находятся из фаничного условия. П римечание 2 . Решение краевой задачи для кольцевой области между двумя кон­ центрическими окружностями /? = Г | , /) = Г2 (Г1 < Г2) Ди=0; и(гь^) и{г2,<р) = имеет вид ряда п «(/), = йо(^>)+53 п=\ где общие выражения для Яо,Кп, Ф „ , содержащие все коэффициенты, приведены выше. Коэффициенты этого ряда находятся из ф аничных условий аналогично предыдущему. 2. Найти решение «(х, у) краевой задачи =0; “(0,у)= /|(у), и(а,у)= }2(у) (О^ г/^ Ь), «(х,0)=Р\(х), и(х,Ь)=Р1(х) (О^а;^а) в прямоугольной области (О ^х ^ а , причем /1(0) = ^^](0), /](Ь) =/^г(®)' Ш)=РМ),Р2(а)=т - Данная краевая задача сводится к следующим двум задачам: 1)Д«=0; 1а) и(0,3/)= О, V(а.у) = ^), (11.148) 16) к(х, 0) =Р|(х), V{x,Ь)=Р2(х); 2)Ди;=0; 2а) и)(0,г/) = /|(з/), ш {а,у) = }г{у), ( 11. 149) 26)ю(х,0)=О, и)(х,Ь)=0; тогда решение исходной краевой задачи и{х, у) = и(х, у) + ю(х, у). Ищем решение уравнения Лапласа (11.148) в виде и(х, у) = Х(х) ■У(У'' удовлетворяющее сначала только однородным фаничным условиям 1а). ПоД' ставляя V = X У в уравнение, получим соотношение X" V — = = - А (А — постоянная), А У распадающееся на два уравнения
Подставляя V = X V в условие 1а), получим ^Г(0)=0, Х(а)=0. (11.151) Только при А > о первое уравнение (11.150) с фаничными условиями (11.151) имеет ненулевое решение X=АС05\/Ах+ В51П^Хх, вкотором А =0; \/Ха = 7ГП, те . собственные значения равны А„ = тг^п^/а^ (п = 1 ,2 , . . . ) . Соответствующие собственные (ненулевые) функции: Х„(х) =81П X а (полагаем В = 1). При А= А „ второеуравнение (11.150) имеет общее решение Уп{у)=С„сН—у+0„8Н—у. а а Решение краевой задачи (11.148) запишем в виде ряда / ттп тгп \ жп V(x,у)=} 1С„сЬ у+0„8Н у51ПX, а а) а No С„,В „ находятся при помощи граничных условий 16) в (11.148): О а л 2Г жп1 тгпЬ ппЬ2/* ,, тгп1 , Сц= - / ^^|(<) 51п (II, С„сЬ КвЬ =- / ^:(<) 5Ш Ш. а] а а а а] а о о 1^аевая задача (11.149) решается аналогично. 3. Найти решение краевой задачи с+«';=о; 1) и(0,у) = к, и{а,у)= ку (О^у^Ь), 2) «;(х,0)=0, «;(х,6)=0 (О^х^а) ®Прямоугольнике(О^х ^а,О^X<6). Ищем решение в виде и(х,у) = Х(х) ■У{у), удовлетворяющее сначала ’^лько однородному фаничному условию 2). После разделения переменных "Чеемдвауравнения:X" - XX =0,У"+АК=0.Изфаничногоусловия2) Следует:К'(0)=О,У'{Ь)=0.ПриА=Ао=ОимеемУ(у)=Ао+ВоУ,где '^0^О, ^?о=0.ПриА>ОполучимУ(у)=Асо8'/\у+В$т\/\у,гдеВ =О, К=ж^п^/Ь^(п=1,2 ,...) .СобственнымчисламАо,АьАг,... соответствуют Собственные функции жу 2жу 1, С05 — , С05 —— , . . .. О о
Уравнениедля Х(х) при А = О имеетрешение Х(х) = Со + а пои А=А„(п=1,2,...) „ ^ „ Я’П Х жпх Х„(х)=С„сЬ +0„5Н—— . о о Решение исходной краевой задачи ишем в виде ряда 00 у- и(х,у)=Са+Оох+^ сЬ^ +0„зЬ п=1 ^ ппх \ ппу —— IС05—- . Найдя коэффициенты Со, Во, С „, В „ при помоши граничных условий I), по­ лучим искомое решение: , , , к{Ь-2) т=0 1 (2т+ 1)пх' Ь '{2т +\)1гу' (2т + 1)тга" Ь Ь 11.2 .6 . Решение уравнений параболического типа 11.2.6 .1 . Общие замечания Основные типы краевых задач для уравнений параболического типа приведе­ ныв11.2.3.3. Уравнение теплопроводности (трехмерное) ди у(д^и д^и д^и т д^и д^и\ /..кИ где и{х, у, г, I) — неизвестная функция, о — постоянная, относится к па­ раболическому типу. Если заданная функция / = О (/ ^ 0), то уравнение называется однородным (неоднородным). Аналогично рассматриваются одно­ мерное[и = и(х,()] идвумерное[и = и(х,у.<)|уравнениятеплопроводности (см. также 11.2.3.2,3) Если область О. в которой ищется решение, безфанична, т. е. сов­ падает со всем пространством, то ставится задача Коши: найти функиию и{х, у, X,I) = и(М, I), удовлетворяющую при <> Оуравнению (11.152) в лю­ бой точке М{х, у, г) пространства и начальному условию (при <= 0) и(х,у,г ,0)=1/>(х,у,г), где (р— заданная функция. В случае ограниченной области О пространства сфаницей Е ставится см«' шанная задача для уравнения теплопроводности: найти функцию удовлетворяющую в области О при ( > О уравнению (11.152), а также I) начальному (при <= 0) условию и(х, у,2 ,0) = <р{х, у, г) в области
2) граничному (при I > 0) условию и(М, <)|^ = у{М,1) в каждой точке М поверхности Е , где^ ,7 ~ непрерывные в области их определения функции; причем должно выполняться условие согласованности у(М,0)=1р(М)\^. В общем случае граничное условие имеет вид (см. 11.2.3.2,2): а(М)«+;3(М)^]^ = 7(М,<) (<>0). Принципмаксимума и минимума. Пусть П — конечная область с по­ верхностью Е. Рассмотрим в пространстве (х,у ,г ,1) бесконечный цилиндр С, основанием которого является О, а образующие параллельны оси 01 ^ 0). Пусть замкнутая область От — часть этого цилиндра, офаниченная плоскостями <= 0и< = Т > 0 . Тогда каждая функция и{М,1), являющаяся решением однородного уравнения теплопроводности в От » непрерывная на Су, принимает наибольшее и наименьщее значения или на «нижнем» основании цилиндра (на плоскости I = 0), или на его боковой поверхности. Таинственность решения смешанной задачи. Решение и(х,у,г,I)смешан­ ной задачи для уравнения (11.152), непрерывное в замкнутой области От вместес частными производными первого порядка по совокупности аргумен­ тов, единственно и непрерывно зависит от исходных данных (т.е . от правых частей начального и граничного условий). Единственностьрешениязадачи Коши. Непрерывноеиограниченноевбес- |<онечном пространстве при <> О решение задачи Коши «[ =а^Д«, «(М,0)=уг(М), Че — непрерывная и ограниченная всюдуфункция, единственно и не­ прерывно зависит от (р. ^^'2.6.2. Решение краевых зад ач методом разделения переменных 1. Найдем непрерывное в замкнутой области Решение и{х, I) однородного одномерного уравнения теплопроводности и,- (0<х<1, 0<1^Т), Удовлетворяющее начальному и граничным условиям и(х,0)= ^(1) (О^X ^/), и(0,<) =0, и{1,1)=0 {0^1 ^Т), ■■Де(р(^х) непрерывна, имеет кусочно непрерывную производную и ^(0)=<р{1)=0.
Ищем решение в виде «(ж ,I) = Х{х) ■Т(1). Подставляя его в исходное урав­ нение, находим Т'{1) Х"{х) ^ = (А-пос«,я„„ая). Отсюда получаем два уравнения Х"+АХ=0, Г'+а^АГ=0. (11.153) Граничныеусловия к первому из них: Х(0) =0, Х{1)=0.Только для (собствен­ ных) значений А„ = (тгп/1)^(п = 1 ,2 , . . . ) существуют ненулевыерешения(соб­ ственные функции) первого уравнения (11.153), равные Х„{х) = 5т{птгх/1). Значениям А = А „ соответствуют решения второго уравнения (11.153): Тп{1)=А„ехр где А„ — произвольные постоянные, ехр{х} = е^. Решение исходной крае­ вой задачи является суммой ряда, составленного из произведений Х„Тп'. 00 г/ \2Л N /т^па\ I п'кх и(х,1) = 2 _/ “Р коэффициенты которого находятся при помощи начального условия пофор­ муле 1 2Г шх 77 ~1Г о Этот ряд удовлетворяет всем условиям краевой задачи. 2. Найти решение и{х, I) краевой задачи щ= {0<х<1, * > 0); и{х,0)= ^(х) (О^X ^г); и{0,1) = -ф1{1), и(1,1) = 'фг(1) (1^0), где <р,'ф\,1р2 — заданные функции. Искомое решение имеет вид ряда 00 П=1 Т„(0=е-“ |с„+^ ^ I е‘^[^’,(г)-( -1)>,(г)]йг};
(пжа\^ 2Г — С.= Т.,0).;У О <р(х)5Ш — (1х. о V’1(<) = «1 = С0П81, ^/|2(0= «2 = С0П81, ТО решсние принимает вид иС» 2 (-1)’‘«2- «1 -ы ппх «(*,() =и ,+(«2-и , - +- — — -----е‘5Ш-— + /я-^ п I п=1 л ‘г 2 -И . ПТГ1 Г . пих ^ +у2^е 51П— I (р{Х)51П— Й1. п=1 о 3. Решение и(х, () краевой задачи и, = а^и"^. {О<х<1,<>0); и(г,0)= ^(г) (О^х</); 00 / Е./ ,Р . /‘ п* 008-—+ ---- 8Ш-— „=, Vг / где имеет вид и(хЛ) о ^ _ 2 ^ ^”-1 /<„(п= 1,2,...) — положительные корниуравнения 2с1е/X= - - - {р=Ы>0). Р 4. Решение и{х,I) краевой задачи с неоднородным уравнением тепло­ проводности и однородными начальными и фаничными условиями «; =а^и"^+/(х,0; и(х,0)=0; и(0,<)=0, «(/,<)= О Имеет ви д пжх '"Г ’ Где 00г /• «(х,0 =х; / е“‘'"“ ‘ '*/-.(г)бгг «=| о ■' I ^/ч2г^. . . П7ГХ С0п= — , /«(г)=у //(а:,г)5ш — о
5. Решение и(х, I) краевой задачи с неоднородным уравнением тепло­ проводности и неоднородными начальными и граничными условиями “(= + /(г, 0 ; и{х,0) =1р{х); и(0,1) = ^,{1), = имеет вид и{х, I) = ^) + гу(х, I), где функции V, т удовлетворяют следу­ ющим двум краевым задачам: 1) и,'= аЧ'*; *'(2;,0) = ^(х); V(0,^) = ■фх{Ь), г{1,1) = ■Ф2Ц); 2)т'1= ю(х,0)=0; т{0,1)=0, No{1,1)=0. Решения обеих этих задач приведены выше (в п.2 и п. 4 соответственно). 6. Найдем решение и{х,у ,1) двумерной краевой задачи, описывающей распространение тепла в прямоугольной пластине ди 2/ д^и\ дЬ°V ^ )’ и{х.у ,0) =(р{х,у); и{0,у,I)=и{р,у,I)=0; и(х.О,I)=и(х,д,I)=0. Решение ишется в виде и(х, у, I) = Х(х)У(у)Т{1). Получим уравнения X"+А^Х=О, Г"+ = 0, Т'+а}(\^+^^^)Т=О, где А,/4— постоянные . Обшие решения этих уравнений X(х) =С\созАх+С251ПАх, У{у)= С}С05)МХ+ С4 51П (IX, Т(1) = Асхр{-а^{\^ + Для удовлетворения граничных условий следует положить С]=0,Сз=О,А=^^, /X= — (т,п = \,2 ,.. V Я Искомое решение имеет вид ряда 00 \ * тТГХ Т11ГХ и{х,у,1)= > атпе •5ш 5ш , п п т. п=1 РЯ I т/т^ п^\ ^ Г1 ч тжX ппу,1. ктп = + =- УУ у) -п — 00 Коэффициенты ащ„ находятся при помощи начального условия.
7. Общая схема метода разделения переменных при решении пространствен­ ных задач. Пусть требуется найти решение и(х, у, г, I) = и{М, I) простран- авенной краевой задачи внутри области В с поверхностью Е щ=а^Аи (МеI», 1>0); и(М,0)= и{х,у,г,0) = <р{х,у,г)-, и(М,<)|5, = 0. Вначале ищется решение уравнения теплопроводности в виде произведения и(М,1) = Ф(М)Т{1) ^ О, удовлетворяющее только однородному граничному условию и|^, = 0. Разделяя переменные, получим уравнения: ДФ + АФ = О еО,Т' + а^ХТ = 0 (<> 0). Граничное условие к первому из этих уравнений: Ф(М)|2, = 0. Решение для Ф(М) в свою очередь также ищется при помо­ щи метода разделения переменных. Для функции Ф (М ) получается задача насобственные значении. Если А ьА г,.. . — собственные значения задачи, аФ|(ЛГ),Ф2(М ), . . . — соответствующие им собственные функции, образу­ ющие ортогональную систему, то решение исходной краевой задачи можно представить в виде ряда 00 П=1 коэффициенты которого находятся при помощи начального условия по фор­ муле (^,Фп) , (п=1,2,...), (Фп.Фп) где {^,Фп)= I I I 9(М')Фп(М')<1У'. О Ьесь М '(х',у\г') — переменная точка интефирования; йУ' = Лх'йуЛг \ '•алярное произведение (Ф „, Ф „) определяется аналогично. •'каждому собственному значению А„ в общем случае соответствуют не- 'Иолько линейно независимых собственных функций. Для преобразования '•стемы всех собственных функций в ортогональную систему используется ортогонализации Шмидта, аналогичный приведенному в 2.6. Решение неоднородного уравнения щ=а^Аи+}(МЛ) однородных краевых условиях и(М,0)=0; и|5, = 0 " ‘•'«твид
где I ТпИ)=/Ш ехр - г)}йг; /„(г)= О Здесь /„(<) — коэффициенты разложения /(М, I) по собственным функциям Фп(МУ- 00 тл)=^ш ым). п=1 Решение краевой задачи для неоднородного уравнения теплопровод­ ности с неоднородными фаничными условиями и|^, = 1р(М,1), где М - точка поверхности X,, приводится к решению р{М,1) неоднородного урав­ нения теплопроводности с однородными фаничными условиями ю!,, = О, если и{М,1) = у{М,1) + Р(М,1), где Р — достаточно гладкая произвольная функция, такая что = V-Вчастности,если1р=С =соп5(,тои =V+С. 11.2.6.3 . Задача о распространении тепла на бес ко нечной прямой Требуется найти офаниченную функцию и{х,1) (-оо < I < +оо, I ^ ®)’ являющуюся решением задачи Коши щ = а^и'хх (-00 <X<+оо, I>0); и{х,0)=1р{х) (-00<X<+00,I =0), где ^(х) — заданная непрерывная офаниченная функция. Ишем решение уравнения в виде и{х, I) = Х(х) ■Т{1). Из уравнения следует Т'+а^Х^Т=О, X"+Х^Х =0. Здесь параметр А произволен в силу отсутствия фаничных условий. Функи"* «л(х,I) = [^(А)С05Ах + В(А)51пАх] является частным решением уравнения при любых ^4(А), В(Х). Ф у н ки и я +00 и(х,<)= ^ е “'•''‘ [у1(А)со5Ах+В{А)5тА1]ЙА -00 также будет решением, если этот интефал сходится и может быть проД"^^) ренцирован по <и х один и два раза соответственно. Выбирая Л(А) И , | так, чтобы выполнялось начальное условие, и используя разложение
винтеграл Фурье, получим +00 +00 ^(А)= ^ / “5 В(А)= ^ / <Р(0 -0 0 -0 0 Посленекоторых преобразований решение исходной задачи Кош и принимает вил +00 -ос функцию (!-»)■ 4а^( }■ являющуюся решением однородного уравнения теплопроводности при х ^ ^ и( >О, называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности. П.2.6.4. З ад а ч а о рас прос транении тепла на полупрямой Решение и(х, I) краевой задачи щ=а^и'^х (О<X<+00,I>0); и{0,1) = 1р{1) ((> 0); и{х,0)=1р(х) {х^0) *ПромежуткеО<I <+ооимеетвиди=и+ю,где / (С+*)Ч ь{х,1) = 2а\/тН +00 I Ш ехр|- 4аЧ о +00 г/(2о^) начальная температура постоянна, т.е . и (х,0) = уг(х) = щ , то Р{г) -Т .!-' Лу.
Глава 12 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 12.1 . Общие сведения Вариационное исчисление — раздел математики, посвященный изучению ме­ тодов отыскания минимальных или максимальных (т, е. экстремальных) или просто стационарных значений функционалов. Под функционалом здесь пони­ мается числовая (действительная или комплексная) функция, определенная на некотором множестве функций. Каждой функции у(х) из этого множестм функционал У = Ф|у(х)] ставит в соответствие некоторое число тогда как обычная функция у = /(х) каждому числу х из некоторого множества ставит в соответствие другое число у. Пример 1. I) Определенный интефал О Т непрерывной на отрезке (а; &] функции у{х) является функиионалом, ставя­ щим всоответствие ка)кдой функции у(х) число — значение ^ определенного интефала. 2) Функиионалом является наибольшее значение (т.е . некоторое число) непр ер ы® ' ной функции /(х), определенной на отрезке (о; Ь], т.е . Ф[/(х)1 = тах /(*)■ Пусть дан (интегральный) функционал вида ь ^ = Ф[у(х)1 = у Р\х, у(х),!,'(х)| ах. (12 ') а где Р — заданная непрерывная функция трех аргументов, у{х) — неизвестна* функция, принадлежащая множеству функций, определенных и непрерЫ®' но дифференцируемых на отрезке [а;6]. Простейшая задача вариационного
исчисления (задача с закрепленными концами) состоит в следующем. На раз­ личные функции у(х) наложены граничные условия: у(о) = з/а, у(Ь) = уь, Те. графики всех рассматриваемых функций у(х) проходят через две закреп­ ленные (фиксированные) точки А(а,уо), В{Ь,уь) (рис. 12.1). Хотя интеграл (12.1)берется от а до Ь, функция у{х) при этом неизвестна. Требуется найти Функцию у{х), удовлетворяющую граничным условиям, для которой функ- чионап (12.1) примет экстремальное (или просто стационарное) значение. Отакой функции говорят, что она доставляет экстремальное (стационарное) *«чение функционалу. ^1»«ер 2. Найти кривую с наименьшей длиной, проходящую через две заданные Л (о , у „) , В(Ь, уъ) на плоскости Оху. Решение этой задачи состоит в нахождении (кривой) у = у{х), для которой функционал О Ь=Цу(х)] = ^ у/1+ |у'(г)1^ (1х ^еоогветствуюшими ф аничным и условиями принимает наименьшее значение. Реше- Этой задачи, как известно , является отрезок прямой, соединяющий две точки. Для постановки и решения задач вариационного исчисления введем сле- ^'°Щие основные понятия. Будем рассматривать лишь два класса функций, ■которых ищется экстремум: Класс Со непрерывных на отрезке [а; 6] функций, Класс С] непрерывно дифференцируемых на |а; 6| функций.
Функционал может иметь экстремум в одном классе функций и не иметьего в другом. В каждом из классов Со и для любыхдвухфункций 3/1{х) иу2{х) можно ввести аналог расстояния между двумя функциями, называемый мет­ рикой. В классе Со метрика равна: Ро{у\,У2)= тах |2/1(1) - 3/2(1) В классе С |: Р\{У\,Уг)= тах |з/,(а:)-2/2(х)|+ тя\ \у\(х) - у2(х)\. Аналогично могут быть введены функции класса С*, определенные наот­ резке |о; Ь] и имеющие на нем непрерывные производные до Л-го порядка включительно. Если две функции близки в метрике р\, т .е, Р\(у\,уг) <Е,то они близки и в метрике ро,т.е. ро{У\,У2) < е и ро(у\,У2) <е, но не наоборот Функционал Ф|з/| называется непрерывным в точке уо (под точкой здесь понимается функция уп{х) из класса Со или С ]), если для любого числа е >О существует число (5> О такое, что |Ф[у| - Ф|г/о]|<е, как только р{у,уа) <^ (здесь под р подразумевается либо ро, либо р^). При этом у и уо принадлежат к одному классу Функционал ф[2/] называется линейным, если он: 1) непрерывен в некотором классе функций; 2) для любых у]{х),у2(х) из этого же класса выполняется условие Ф|г/1+8^21 = Ф[у|| +^[2/21- ь ь Пример 3. Функционал Ф|(/| = ^ у(х) Лх — линейный, а Ф(у| = ^ " а а нелинейный. Вариация функции. Пустьу(х) иу(х) —двефункции из одного Тогда вариацией ду{х) функции у(х) называется такаяфункция от х, при каждом фиксированном значении х определяется как разность оу{^1 у{х) - у(х) (рис. 12.1). При этом у(х) = у(х) + 5у(х). Вариация аналогична приращению Дх = х - х аргумента х обычной функции Приращение функции Лу(х) = у(х) - у(х) связано с приращением аргуме Дх, а вариация функции связана с изменением видафункции, т.е. с переход от функции у(х) к у(х) при каждом фиксированном х. Приращение функции Р\х, }(х),^ {х)\оттрех аргументов, связанное с риациями 6}(х) и <5^(х), равно (при каждом фиксированном х): Д^-= Р(х,/+<5/,«+<5«)-Р(х./,я).
Если у(х), у(х) — дифференцируемые, то [(5у(х)]' = |г/- !/(х)Г = у '(х) - у '{х) = (5[у'(х)|, т.е.операции варьирования идифференцирования перестановочны. При этом 1 {х) =у'(х) + ду'(х). Взадачес закрепленными концами в точках х = а ,х =Ь имеем 6у(а) = О, (#)=0. 12.2. Вариация функционала от функции одной независимой переменной Ирнршцение Д7 функционала (12.1), связанное с переходом отфункции у(х) Iфункции у(х), равно ь ь Д7=ф[у]-Ф[2,] =у р{х,у,у')Лх- ^ Р(х,г/,у)ах= а а Ь Ь =^[р(х,у+ду,у'+6у)-Р{х,у,2/')] =У ^Р(х,у,у')Лх а а (является, в общем случае, нелинейным по 6у{х) функционалом отфункций >ЦиЛ;,(х). Говорят,чтофункция уо(х)доставляетлокальный экстремум функционалу 191(илифункционал достигаетлокального экстремума приу =уо{х)), если ^^’^8сеxфункций у{х) (называемыхфункциями сравнения), достаточно близ- метрике ро или р|) к функции уо{х), приращение А^ = Ф(у| - Ф|уо| TM'Щионала имеет один и тот же знак. При ^ О(или ^ 0) функ- “Чалимеетлокальный минимум (или максимум). ПриА^ = Офункционал /'"^арен вдостаточно малой окрестности уо{х). Условие достаточной бли- У н Уо здесь связано с тем, что функционал может иметь несколько '‘Чьных экстремумов (по аналогии с обычной функцией), В случае ло- |7^Чого минимума (максимума) существует число Е > О такое, что А^ > О ^ 0) для всех вариаций, удовлетворяющих условию р(уо, Уо+ <5у) < е р означает ро либо />]). V Если экстремум функционала ^ = Ф 12/(1)] достигается в классе функ- к О) (соответственно С\), то этот экстремум (максимум или минимум) , Ывается сильным (соответственно слабым). Всякий сильный экстремум одновременно и слабым, обратное в общем случае неверно. Это следует I Определения метрик в классах Со и С\. Нахождение слабого экстремума ^ 1Цем случае является задачей более простой, чем нахождение сильного, '^Вязано с непрерывностью многих функционалов в классе функций С\.
12.3 . Необходимое условие экстремума функционала. Уравнение Эйлера 1. УравнениеЭйлера. Пусть функция ^Чх, у{х), 2/'(г)] дважды непрерывно дифференцируема по всем трем своим аргументам. Требуется найти функцию у = у(х) в классе С, непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворя­ ющих фаничным условиям у(а) = у„, у{Ь) = уь, такую, которая доставляет слабый локальный экстремум функционалу О ^ = Ф|»(х)|= ^ Р[х,у(х),у'(х)] ах. (12.2) Однопараметрическое семейство функций сравнения у{х) = у(х, а) для функции у{х) = у{х,0), доставляющей экстремум функционалу, где а — малый параметр (-ао ^ а ^ ар), запишем в виде у{х,а) =у(х) +а «(1). ё(а) = ^{Ь) =О, т е. 5у(х) = а-^(х). Обозначим {(а) =Ф\у(х,а)] функцию, в которую перейдетфункционал, вычисленный для функции сравнения. Тогда приращение функции /(а), связанное с приращением аргумента от Одо а, будет равно приращению функционала, связанному с вариациями ду и ду'■ А^ = /(а)-/(0)=Д/=/'(0)а+^/"(О)а'+ ... = ь = ^ [^’(х,у+а^,у'+а/)-Р{х,у,?/')](^x = О О = IАРах=I дР дР, (1х + О +\! йх+... (12-3) а Здесь использована формула Тейлора для приращения ^Р(х, у,у) фиксированном х, многоточием обозначены дифференциалы более высоки порядков. Выражение д^=(^/=/'{0)а=^ ах. являющееся линейным по йу функционалом, называется первой варияи"^* функционала ( 12.2).
Выражение = / "(О)а^ называется второй вариацией функционала (12.2). Вариации более высоких порядков определяются аналогично (по индукции), формула (12.3) может быть записана в виде А^=3^+^<5^+... . Если функция у = Уй(х), соответствующая значению а = О, доставляет экстремум функционалу (12.2), то /'(0) = О (так как /(а) имеет экстремум при а = 0). Необходимое условие экстремума функционала (12.2) имеет вид и=/'(0)а=оили дР, дР. , йх= о -Ч =0. (12.4) Для достижения функционалом Ф[г/] экстремума при у = 2/о(а:) необходимо, чтобыего первая вариация, если она существует, обращалась в нуль при у =уо{х). Поскольку 6у = а ■§(х) — произвольная функция и 5у(а) = бу{Ь) = О, то “ 3(12.4) следует дифс^ренциальное уравнение Эйлера: или р',-р';,~р';уу'-р';.,.у" =0. Уравнение Эйлера можно записать также в виде дх йхУ ^ ду’) При интефировании этого дифференциального уравнения второго по- Рядка появляются две произвольные постоянные, которые находятся из гра- "•^ных условий у(а) = Уа, у(Ь) = уь. Интегральные кривые у = у(х, С\, Сг) ''Рзвнения Эйлера (12.5) называются экстремалями. Уравнение Эйлера (12.5) чвляется необходимым, но не достаточным условием слабого локального ^•^стремума, хотя иногда из смысла задачи видно, доставляет ли найденная ^•^стремальминимум или максимум функционалу. Уравнение Эйлера является **'оке необходимым условием сильного экстремума. Отметим, что экстремаль Всегда доставляет экстремум функционалу, так как уравнение Эйлера — необходимое условие экстремума.
Условие гарантирующее существование непрерывной второй производной у экстремали у = у(х). Если Р(х, у,у'} дважды непрерывно дифференцируема по всем трем аргументам, то функция у{х) дважды непрерывно дифферен­ цируема для всех X, при которых К у'[*• ?/(*)■!''(*)] ^ О- Экстремаль у = у{х) может иметь излом только при условии =0. Пример 4. Найти экстремаль функционала ь ________ }=! 1+ (у'У а С Граничными условиями у{о) = Уа, у{Ь) = уь- Этот функционал представляет собой длину дуги кривой, соединяющей точки А{а,уа) и В{Ь,уь). принимает вид — ах Решение. Р{х, у,у) = ^ 1+{у'У, =О, ^^ Уравнение Эйлера (12.5) у' 1 у' —==== — 0. Отсюда —7= = = = = СОП51. Это равенство вы- полняется, если у = С] = сопз1. Интегрируя, получим уравнение прямой у = С[Х-{-С2- Уь~Уа ЬУа ~ аУь Из фаничных условий следует С\ = ---- , Сг = ------- . По смыслу задачи ясно. Ь-а Ь-а что функционал достигает минимума на этой экстремали. С> Пример 5. Найти экстремаль функционала 1>П ^=! [»^-(уУ-2усо81]Лх о с фаничными условиями у(0) = 1, у(л^/2) = 0. Решение. ^^ = 2у—2 со5х, = —2у'. Уравнение Эйлера у” + у'=со8 х имеет обшее решение у = С] сокх+ СзЗ1пх + -х •зт х. Из фаничныхусловий находим С| = Ь _ 7Г 7Г X Сг= - -. Уравнение экстремалиу=созх - -§1пх+-81Пх. > Пример 6. Найти экстремаль функционала I •^= /[У' +(!/')']Лх О
Решение. Здесь Р'у — 2у, = 1у. Уравнение Эйлера у" - у = О имеет общее реше- у = С\В* Ч-Сгв”* . Находя С\ и Сг из фаничных условий, получим уравнение е*-е"* экстремали у = ^ . 1> 2. Частные случаи уравнения Эйлера. 1) Если = т.е. 7^=0,тоуравнениеЭйлерапринимаетвид Отсюда Ру> = С\ ~ С0П51 является первым интегралом этого уравнения. 2)ЕслиР=Р{у,у),т.е. ^ = О,то = О- Следовательно, дх ахV ду') уравнение Эйлера имеет первый интеграл Р —у = С\ = соп51. ду’ 3) Если Р = Р{х,у)у тоуравнение Эйлера принимает вид Ру =О, т.е . яв ­ ляется алгебраическим уравнением. Пример 7. Пусть кривая у = у(дг) соединяетдвефиксированные точки (а, Уо) и{Ь, уь)- Найти такую кривую, чтобы поверхность, образованная ее вращением вокруг оси Ох. имела минимальную площадь. ^шение. Задача состоит в нахождении минимума функционала ь ^=! 1туф +(у'уах. а Так как = О, то по второму частному случаю уравнения Эйлера находим У С, _ \ х/Г+ТуУ *;V С,)' ^^сюда следует :=±4х {кУ >1). V'*V^ ^ Р я для определенности справа знак плюс и интефируя, получим экстремаль у= 1 [е‘(-+С2)+ ^ сН[Мх+С^)' 2л 2тг С| Постоянные С |,С 2 определяются из ф аничных условий. Данная задача может иметь Решение не при любых фаничных значениях. При определенных условиях задача **'^еет два решения, из которых только одно соответствует минимуму площади. > ^2.4. Достаточные условия слабого экстремума Аля того чтобы выяснить, доставляет ли полученная экстремаль максимум минимум функционалу, можно вычислить значения этого функционала различных функций сравнения. Иногда тип экстремума можно выяснить
непосредственно из смысла задачи. Так, в примере 4 видно, что найденная экстремаль (отрезок прямой линии) доставляет функционалу минимум. С использованием второй вариации функционала можно получить до­ статочные условия слабого экстремума функционала =^ У, у') Лх [2^(о) = Уа, у(ь) = Уь]. а Кривая у = Уо{х) доставляетслабый экстремум (максимум или минимум) функционалу ^ при совместном выполнении следующих трех условий: 1)2^ = Уо{х) — экстремаль, т. е. удовлетворяетуравнению Эйлера и условиям у{а) =у„, у{Ь)=уь- 2) Р(х) = -Ру'у![х, уо(х), з/(|(х)] > О — в случае минимума; Р{х) < О— в случае максимума. 3) Отрезок [а; 6] несодержит точек х^, сопряженных с точкой х —а. Здесь точка Хс называется сопряженной с точкой х = о , если она является предельной точкой пересечения данной экстремали уо(х) с близкими экстремалями у{х), выходящими из точки х = а при стремлении у(х) -> Уо{х). Сопряженная с точкой х = о , точка Хс находится следующим образом. Если Ь,{х) — решение дифференциального уравнения ^ =о ш = 01, то в качестве х^ принимают наименьший из корней уравнения Н{х) = расположенных справа от х = а . Согласно условию 3) должно выпол­ няться неравенство Хс >Ь. Пример8. Исследуем тип экстремума функционала в примере5.Имеем: 5' Уравнение для Л(ж) примет вид Л" + Л = 0. Его решением при Л(0) = О является Л(х) = С •51ПЖ. Корни уравнения Н{х) = О, расположенные справа от ж = О, равны т. 2тг Наименьший из них Хс = тг дает сопряженную с х = О точку, которая не лежит на отрезке [0;я-/2]. Следовательно, найденная в примере 5 экстремаль доставляет функционалу слабый локальный максимум.
12.5. Задача со свободными концами 1. Пусть требуется найти кривую у = у(х) ,доставляющую экстремум функ­ ционалу 7 = У Р[х.у(х),у'(х)] Лх, среди кривых, заранее неизвестные концы которых А к В (см. рис. 12.1) находятсянапрямыхх=а,г =Ь,т.е.условияу(а)=Уа,Уь=Уьнеставятся. В формуле (12.4) рассмотрим среди прочих сначала вариации 6у(х) = а -^{х), длякоторых${а) =^{Ь)= 0, тогда из необходимого условия экстремума (57=О получим ''--г"'-"' т.е. искомые кривые должны быть экстремалями (интегральными кривыми уравнения Эйлера). С учетом этого из формулы (12.4), в силу произвольности вариаций, следуют равенства, заменяющие фаничные условия и называемые естественными граничными условиями К'[“>*''(“)]= К [*> при помощи которых находятся произвольные постоянные, входящие в урав­ нение экстремали. Возможны также комбинированные случаи, когда, напри­ мер, в точке X = а задано фаничное условие у(а) = Уа = соп51, а в точке х= Ь — второе условие вида (12.6). 2. Пусть, например, в левом фиксированном конце экстремали у(х), в точке А{а,уа), ставится либо фаничное условие у(а) = Уа —сопл , либо естественное фаничное условие (12.6), а для второго (заранее неизвестного) Конца В экстремали требуется, чтобы точка В(Ь, у(Ь)) находилась на заданной •кривой у = /(х), т .е . у(Ь) = 1(Ь). Тогда неизвестное значение х = Ь, °пределяюшее точку В, находится из условия трансверсальности у(Ъ),у'(Ь)] + [Г(Ь) - 2/'(Ь)] •К [*’ У(Ь), » '(Ь)] = 0. Условия трансверсальности могут быть заданы и в обоих концах экстре- Мали. Прим ер 9. Найти экстремаль функционала с граничными условиями: дР С дР }=I [у^+ ='+«’• ^ о Мщение. В примере 6 найдено обшее уравнение экстремали у=С,е‘+
Из первого фаничного условия получим С] + Сг = I + е , а из второго следует дР ду’ = 2у'{\) = 2{С,€-С2е-^) = 0, т.е.С|е^- Сг=0.ОтсюдаС]=1,Сг=е^. Искомаяэкстремальу=е*+ > Пример 10. Найти кратчайшее расстояние от фиксированной точки (хо,уо) ДО пря­ мойу=/{х)=кх+Ь. Решение. Найдем минимум функционала *1 _____ ■I=^ УI+(у’У у(ха)=Уо, у(х,) =Ах,+6. Уравнение экстремали имеет вид у = С ,х + С2 (см. пример 4). Из условия в точке Хо находим Уо = ^71X0 -1 - С 2. Условие трансверсальности в точке Х\ имеет вид ттащр=“ или к С\ = - 1, что означает ортогональность экстремали и заданной прямой. Отсюда С'=Л - ^^=»«+т- Определяя точку пересечения этих двух прямых, легко найти искомое расстояние. 1> 12.6 . Функционалы от нескольких функций одной независимой переменной Требуется найти экстремум функционала ь ^ = ф[г/|(1),...,9 „(1)] = ^ Р[x,у^{x),...,у„{x),у\(x),...,уп{x)](^x а сграничнымиусловиямиу^{а)=у{а,У{(Ь)=уи(* = I,2 ,... ,п)(задачасза­ крепленными концами). Первая вариация данного функционала определяется выражением а
Взадаче с закрепленными концами: ду^{а) = О, ду^{Ь) = О (« = 1,2 , ., п). Каждая совокупность п функций (экстремалей) з/|(х),. . . , р „(х), доставляю­ щихэкстремум функционалу, должна удовлетворять системе дифференциаль­ ных ура»ие"**й Эйлера а!’ а (вр\ и соответствующим граничным условиям. Данный функционал удобно рассматривать в (я -I-1)-мерном координат­ ном пространстве {х,уи-- -, Уп), тогда функции 2/1(1), . . . , у „{х) дадут урав­ нение кривой (экстремали) в этом пространстве. 12.7. Функционалы, зависящие от производных высших порядков Экстремали функционала ь а граничными условиями у(а) = уа, у'(о.) = у1 .... г/<’- '>(а) = г,1’- '> , у{Ь)= Уь, у'(Ь) = у'ь, ■■■, У^"~'\ь) = у1"~’\ являются интегральными кривыми уравнения Эйлера 12.8. Функционалы от функций нескольких независимых переменных 1. Требуется найти экстремум функционала 7^Ф[и(х,2/,г)] = Р[х,у ,2 ,и ,и '^ .иу,щ](1хау(1г. О Где р _ заданная, дважл>1непрерывно дифференцируемая функция; граница И “бласти интегрирования О ифаничные значенияфункции и{х,у, г) наН мо- 'Угбыть либо заданы, либо нет. Функция и(х, у,2) выбирается из множества
функций, имеющих в О непрерывные частные вторые производные. Офани- чимся здесь случаем, когда и{х,у,г) задана на фанице и!;, = «о(г, у,г).Для нахождения прирашения Д7 функционала функции сравнения берутся в виде и(1,у,2,а)=и(х,у,х)+а-^(х,у,г), где а — параметр, и(х, у. г) — экстремаль; ^{х, у ,г) = Она поверхности И. Из необходимогоусловия экстремума = Оследует, что экстремаль и{х, у, г) удовлетворяет уравнению Эйлера ^ - о ди дх ди'^ ду ди'у дг ди'^ являющемуся необходимым условием слабого локального экстремума функ­ ционала. Аналогичный вид имеют уравнения Эйлера для пространств других раз­ мерностей. Пример 11. Уравнение Эйлера для функционала ^^III ^^ о имеет вид уравнения Лапласа =О- 2. Если подынтефальная функция Р в функционале (1Хтг содержит функции И((хь ..., х^) (I=1,..., п) от независимых переменных Х|,...,х„,т.е. г. Е./" ^“1^“1\ то система уравнений Эйлера для нахождения экстремалей имеет вид дР^ д дР\ ^ , ..... где щ ^ = д щ!дху Здесь следует задать также соответствующие фаничные условия на фанице области В.
12.9. Условные экстремумы. Метод множителей Логронжо 1. Пусть требуется найти систему функций у {(х ) , ,у „(1), доставляю- ших экстремум функционалу ь ^ = У р[х,у^(х),... ,у„(х),у\(х),... ,у'„(х)](1х (12.7) а с граничными условиями у,{а) = , ;/((&)=у{ь(1= 1,2,..., п) при допол­ нительных условиях (уравнениях связи), наложенных на эти функции: ‘Р]{х,У1,--.,Уп) =0 (;■= 1,2,... ,т; т < п). (12.8) Умножая ]-е уравнение связи на некоторую неизвестную функцию Ау(г) I; = 1,2,..., т),интегрируя эти произведения от а до Ь, получим т допол­ нительных функционалов, вариации которых, очевидно, равны нулю. Склады- мянеобходимоеусловие экстремума ^^ = Офункционала (12.7)с вариациями кех т дополнительных функционалов, наЛаем, что искомая совокупность Функций у1(х) Уп(х) является решением системы уравнений Эйлера = .... .. удовлетворяющим условиям ( 12.8), где т /(х,у,... ,у„,у'1,... ,у'„,Х,,... ,к) =^^+ ^2 Неизвестные функции АДг) называются множителями Лагранжа. Если суще- ^TMУет решение задачи, то п + га функций у\ у„, А ь ■■■, Ащ находятся +т уравнений (12.8),(12.9) и изфаничных условий. Система уравнений Эйлера является лишь необходимым, но не достаточным условием экстре- Метод множителей Лафанжа аналогично применяется также в случае ‘ “язей вида (р^(x,у,,■■■,уп.у'^,■■■,у'п) = 0 О = 1, 2 ,. ..,т). 2. Требуется найти экстремум функционала 7=ф[и,,...,и„] = р{x^,и^,^\лx^...аxт о ’ "Рч условиях (уравнениях связи) ^ *(г>,« .) = 0 (*:=1.........в).
Здесь {}=I . т),и,(*=1,...,п)— соответственно наборы незави­ симых и зависимых переменных. Системауравнений Эйлера для данной задачи имеет вид д} TM а/а/\ дщ ^ ехДаи;,;) (г-1,...,п), где = / = -Р + ^А*(Хь...,Х„)^Зк. *=1 Экстремали находятся из совместного решения уравнений Эйлера иурав­ нений связи с учетом заданных граничных условий. 12.10. Изопериметрические задачи 1. Требуется найти систему функций у^(х),...,уп(х), доставляющих экстремум функционалу (12.7) с теми же фаничными условиями, при допол­ нительных в <п интегральных условиях, наложенных на эти функции: ь ! ■фк{х,У\,....Уп,у\,---,у'п)Лх = Ск (* = 1,(12.10) а где Ск — заданные постоянные. Вариации функционалов (12.10), очевидно, равны нулю. Система ура»' нений Эйлера для данной задачи имеет вид (12.9), при этом $ /{х,у,,... ,у'„,Ци---,Ц,) =Р +^ (Хкгрк. *=| ЗдесьмножителиЛагранжа /1ц{к = , з) являются постоянными. Неизвест­ ные функции у\(х), Уп{х) и числа /Лз находятся из совместного решения п + з уравнений (12.9) и условий (12.10) с учетом заданных гранич­ ных условий. 2. Если требуется найти экстремум функционала (12.7) при т условиях (12.8) и я условиях (12.10), то система уравнений Эйлера для этой задачи имеет вид (12.9), при этом т 3 }=Р+'^ +X] >=| *=|
3. Экстремаль функционала 7=Ф|и(х,!/,г)1= Р(х,у,г,и ,щ ,и'у,щ)йхйуЛг о при условии (уравнении связи) ф{х, у,2, и, и'у,щ)йхйуйх —С =соп5(, о атакже с соответствующими граничными условиями, находится из совмест­ ногорешения уравнения связи и уравнения Лагранжа ^ ^ о ди дх ди’х ду ди'у дг ди’^ вкогором / = Р +Х-ф, X ~ множитель Лагранжа (число). П рим ер 12. Найти функцию у{х), доставляющую минимум функционалу ■I= ^ уф +[у'{х)?<1* [»(“) =!/«. У(1>)=й]. а "ри дополнительном интегральном условии ь ! \/1+(!/'(*)РЛх=С =СОП51. ?5Щ»!!ие. Здесь }(х.у,у',ц)=уф +[у'(*)Р+ + |у'(1)|^, ^Дец _ неизвестная постоянная . Так как / не зависит явно от х, то уравнение Эйлера ^‘ -5) имеет первый интефал {у')Чу+1^) у= -ц+С,'^\+(у‘У. ('"■'^сгрируя последнее дифференциальное уравнение в параметрической форме 11.1.2 .7), получим
где р — параметр, исклю чая который из двух предыдущих равенств, найдем уравнение искомой экстремали: х —Сг у= -/Л-С,сН-— , В котором постоянные находятся при помощи интегрального и фаничных условий. > Физический смысл задачи: однородная цепь с заданной длиной свободно под­ вешена между двумя фиксированными точками; полученная экстремаль дает форму цепи, при которой ее потенциальная энергия минимальна в поле тяжести. П ример 13. Рассмотрим вывод уравнения Эйлера для экстр>емали функционала йхЛуЛг с интефальным условием ЛхЛуЛг = I, где интегрирование проводится по всему безф аничному пространству, а вместо гра­ ничных условий предполагается, что на бесконечности Иш = О-Т - е. 1^{г) г-юо стремится к нулю при г ос; 11{х,у,г) — заданная функция. Необходимое условие экстремальности (стационарности) ^ имеет вид 'III III + 2\ф6г1> ЛхЛу<12=О Лх с1уЛг = О, где А — постоянный множитель Лагранжа. В формуле Грина II[ - 6^А^)ахауаг=II О Е пр>авая часть обращается на бесконечности в нуль. Следовательно, [- + 2(17+А)^]6фЛхЛуЛг = 0. ///I Искомое уравнение Эйлера можно записать в виде -^Д^-+ (С7+Л)^’ = 0. в этой задаче / = --хрАф + + \ф^.
12.11* Прямые методы реш ен ия вариационных задач в тех случаях, когда дифференциальное уравнение Эйлера не может быть решено аналитически, применяют прямые методы решения вариационных задач, позволяющие перейти от решения дифференциальных уравнений к за­ даче нахождения экстремума функции нескольких переменных. Общая идея прямых методов нахождения экстремума функционала ь ^ ! Р(х,у,у')ах [у{а) =Уа, у{Ь)=Уь] (12.11) а заключается в приближении искомой функции у(х),доставляющей экстремум функционалу, последовательностью некоторых функций и],и г , причем каждая функция « „ удовлетворяет граничным условиям для у{х) и является дифференцируемой функцией от х и п неизвестных параметров, т.е. «п =и„{х,С „|,С „2,...,С „„). Число параметров, от которых зависит и „, равно п (п = 1,2,...). Эти пара­ метры находятся из необходимого условия экстремума функции ь Л(С„ьС„2,...,С„„) =I р(^x,п „,^'^(^x^^, а Те. из алгебраической системы уравнений ^ = 0, ^= 0 (п = 1,2,...). дСп1 оСпп Точность приближенного решения увеличивается с увеличением числа п ''эраметров, однако при этом возрастает объем вычислений. Поэтому в прак­ тических расчетах число п берется не очень большим. 1. Метод Эйлера. Требуется найти экстремум функционала (12.11). Разо- “ ‘«м отрезок |а; Ь| на п равных отрезков длиной Н = (Ь - а)/п точками *о=о,XI =а+Н, ..., х „ = 6. При этом искомая экстремаль у = у(х) ^Меняется ломаной с вершинами (а,уо), (хиУ\), (хг,Уг), •••, (Ь,Уь)- Заме- У(х1) приближенно неизвестными пока величинами у^, а такж е полагая (| = о, I,... , п - I)и используя метод прямоугольников ^ приближенного вычисления определенного интефала, заменим функци- °Нал (12.11) суммой МуиУ! Уи-^} = ^^'^р(x^,у^. - 'У
Вариационная задача свелась к нахождению экстремума функции о т аргу­ ментов у\, ■■■,Уп Найдя соответствующую ломаную для каждого п, полу­ чим последовательность ломаных, являющихся приближенными решениями вариационной задачи. Неизвестные величины находятся из си­ стемы алгебраических уравнений 1^= 0, .... ^= 0. 2. Метод Ритца. Искомая экстремаль функционала (12.11) приближенно заменяется линейной комбинацией и„ функций ^ ,(х), определенных на от­ резке |а; 6]: Ип=С „,^|(1)+...+С„„<р„{х), (12.12) где (р],(р2,■■■,<Рп, ■■■ — замкнутая система функций из класса функций, на которых определен функционал. Примечание. Система функций называется замкнутой, если каждая функция у{х) из того же класса может быть с любой точностью представлена (приближена) в виде линейной комбинации функций изэтой системы. Иногда замкнутые системы функций назьншют полными системами. Каждая приближающая функция и„ должна удовлетворять граничным условиям для функции у{х). Это достигается в каждом случае специальным подбором функций (р^. Подставив и „ из (12.12) вместо у в (12.11), получим: ь Л(С„ ,Спп) = I а Параметры С„|,... , С „ „ находятся из системы ..., - ^= 0. дСп\ дСп^ Пример 14. Методом Ритца найти функцию, доставляюшую экстремум функционалу I ^ =1[у^-(у'У]ах [у(о) = 1, у(|) = о]. О Решение. Приближенное решение вариационной задачи, удометворяюшее фаничным условиям, ищем в пиле дП! и,г:I-X+С-хО~х), ~ =-1 -1-С-2СХ. ох ПерЕюеслагаемое (1~х) в удовлетворяетисходным фаничным условиям, авторое" однородным (нулевым)фаничным условиям. Подставляя г*; вместо у вфункционал*
получим 119 Изуравнения ^{{с)= - ---- - С =0,получим С =0,132;т.е. «|(г)=1-0,8681—0,132*^. 615 Для сравнения найдем точное решение вариационной задачи. Уравнение Эйлера у'4-у = О имеет, с учетом граничных условий, точное решение у{х)= СО$Х- (С18I)•51ПX. Сравнение точного решения у(х)с приближенным и](ж) приведено в таблице: X 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 и, (ж) 1,000 0,775 0,533 0,275 0,000 »(*) 1,000 0,810 0,570 0,294 0,000 Следующее, более точное приближение, ищется аналогично в виде «2=1-ж+С]Ж(1-*)+С2*^(1-х) ит.д. > Примечание. Метод Ритца применяется аналогично и для решения вариационных мдачсфункционалами отфункцийдвух независимых переменных. При этом функции у)подбираются так, чтобы удовлетворить граничным условиям.
Глава 13 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Раздел математики, изучающий операции над векторами, называется векторным исчислением и подразделяется на векторную алгебру (см. 2.2), рас­ сматривающую линейные операции над векторами иразличные произведения векторов, и на векторный анализ (теорию поля), изучающий векторные функ­ ции от одной или нескольких независимых скалярных переменных. 13.1 . Векторные функции одного скалярного аргумента 13.1 .1 . Векторная функция и ее предел Векторная функция (вектор-функция) а = а(1) от одной независимой ска­ лярной переменной (аргумента) I ставит в соответствие каждому значению < (из области определения) один (для однозначной функции) вектор а(()< или несколько векторов (для многозначной функции). Если все векторы а{1) откладывать от некоторой фиксированной точки О (обычно от начала координат), то линия X в пространстве (или на плоскости), описываемая концом М вектора а{1), называется годографом данной векторной функции (рис. 13.1). Если точку О принять за начало прямоугольной декартовой си­ стемы координат, то а = а(1) = а^{1)г + Оу{1}] + а^(1)к, где 01,01,,аг — заданные функции от I. Параметрическое уравнение годо­ графа имеет вид X= У=а „(0, ^ = а,(1). Если I — время, г{1) — радиус-вектор движущейся материальной точки, то закон криволинейного движения этой точки имеет вид
Рис. 13.1 где х(Ь),у{1), г(<) — функция от Ь. При этом годограф называется траекторией точки. Векторная функция а{1) называется ограниченной (конечной), если ее модуль |а(«)| офаничен. Вектор Оо называется пределом векторной функции а{1) при I <0 (запись: И т а{1) = Оо), если для каждого числа е > О существует число <5(е) такое, что |о(<) - Оо| < Е при О < |<- <о| < <!•При этом Цщ\а(1)—Оо| = 0. Если предел йо существует, то 11то(<)=гИтах{1)+]Итау{1)+кИта^Ц). ри Noгда непрерывны функции ах{1), ау(1), а^(1) при <= <о- Функция а(() называется непрерывной при ( = (о, если И т а(1) = а(1о), т. е. ^3.1.2. Дифференцирование Придадим аргументу I функции а{1) приращение А1 ^ 0. Тогда вектор ММ, = До=а{1+Д<)-о(0 ®Удетприращением вектора а(1) при переходе от значения I к значению 1+А1 (Рис. 13.1). Векторная функция а(1) называется дифференцируемой при задан- значении I, если существует конечный предел (являющийся функцией (1а(<) о(«+ М)-а(1) До —77^= ITM г; = ITM 41 Д(-*о Д< Д|->о Д (
называемый производной от а(1) в точке I. Обозначения производной: йй , М' Производная а(1) представляет собой вектор, касательный к годографу вдан­ ной точке М, соответствующей заданному значению I. Если существует про­ изводная а"(1) от а{1), то она называется второй производной от о(() и т.д. В декартовой системе координат а'{1)=а'М ^ + а,Ш+а'Л1)к, а"(1)=а"(«)|+а'у(1)]+а"{1)к и т.д. Если г{1) — радиус-вектор движущейся точки М, а I ~ дуговая коорди­ ната (длина дуги) на траектории Ь и |Дг|), то скорость «{<) и ускорение гд{1) точки М в момент I определяется следующим образом (1г йтШ _й1 _ йа сРг где т=(1г/<И(|г| = 1) — единичный вектор касательной к линии Ьв точке М. Правила дифференцирования: ^ИОх.-(0]=|х.-+а-х|, Если 1а(<)| = С0П51, т,е. годофаф лежит на сфере, то а а ' = 0. Следовательно, в этом случае о и о' ортогональны при всех I. Лифференциал <1афункции о(<) определяется равенством йо = а М. Неопределенный интеграл ^(<) = ^ о(<) , определяется как такая функ­ ция А{1), для которой А' = а{1). Определенный интеграл от векторной функции а{1) = ах{1)г + ОуЦ)} + на промежутке от а до 6 определяется как предел соответствующей инте-
фальной суммы и может быть вычислен по формуле ь ь ь ь ^ а{1)(11=гУ а^Ц)М+] ! ац(1)(11+кУ аг(1)(11. а а а а Еслифункции ахЦ), о,у{1),Ог(<)!являющиеся компонентами векторной функ­ ции а(1), дифференцируемы необходимое число раз в окрестности точки <о, токаждая из них может быть разложена по формуле Тейлора, причем соответ­ ствующие остаточные члены Н„у , Кщ берутся, вообще говоря, в разных точкахвиз интервала(0;1)(см. 5.7).Отсюдаследует,что разложение по фор­ муле Тейлора имеет вид + ,.+^(д<Г+в.. где =I— =Дщ*"Ь При выполнении соответствующих условий а{1) может быть разложена врадТейлора (см. 9.7 .1). 13.2. Скалярные и векторные поля 13.2.1. Скалярное поле Если внекоторой области пространства Оху2 каждой точке М{х, у, г) =М{г), Че г — радиус-вектор этой точки, поставлена в соответствие скалярная ве­ личина Ф(М)н Ф(г) н Ф(х,I/,г), то говорят, что задано скалярное поле (или ■скалярная функция) Ф = Ф(М). Поверхностью уровня пространственного ска- ■'яриого поля Ф(х,у, г) называется поверхность в пространстве с уравнением ^(х,у,г) = С, где С —заданное число, изменяя которое, получим различные поверхности уровня. На каждой из них Ф имеет постоянное значение, свое каждой поверхности. Линией уровня плоского скалярного поля Ф{1,у) Называется линия на плоскости Оху, на которой Ф имеет постоянное зна­ чение Ф(х, у) = С . Обычно линии (поверхности) уровня изображают через равные промежутки изменения С. При этом, чем гуще расположены линии (поверхности) уровня, тем быстрее изменится функция Ф. Может оказаться, 410пространственное поле Ф (М ) в некоторой декартовой системе координат зависит только от х и «/ и не зависит от г. Такое поле называется нло- ' “ опараллельным. В плоскости Оху оно можетрассматриваться как плоское, если отвлечься от координаты 2. Пример 1. ') Поверхностями уровня пространственной функции ф = ф(-у^х^ + у^ + г^) =Ф (г), где г = |г|, являются сферы с общим центром в начале координат. Н а каждой из них Ф имеет постоянное значение, изменяющееся при переходе на другую сферу.
2) Линиями уровня плоского скалярного поля Ф = ху являются гиперболы хр= С = С0П51, заполняющие при С > О первую и третью координатные четверти, а при С < О — вторую и четвертую. 13.2 .2 . Векторное поле Если в некоторой области пространства каждой точке М(х, у, г) = М{т) ста­ вится в соответствие вектор Р{М) =Р{г) =Р(х, у,г), то говорят, что задано векторное поле Р(М)=Р^(х,у,2)1+Р^{х,у,г)]+Р,{х,у,х)к. Векторной линией (линией тока) называется линия Ь, в каждой точке М(г) которой вектор йг = Ы х +] (1у+к Лг, направляемый по касательной к ней, параллелен вектору Р(М) в этой же точке (рис. 13.2). Векторные линии определяются дифференциальными уравнениями: (1х йу йг ЛтX^’(г)=0 или Р^(х,у ,г) Ру(х,у ,г) Р,(х,у ,г)' либо '^ = Р х(х(1),у (1),2(1))\ ^ = где I — параметр векторной линии. При соблюдении условий теоремы суше- ствования и единственности решения системы дифференциальных уравнен ий через каждую точку М проходит одна и только одна векторная линия. Все пространство (или его область) заполнено векторными линиями. Векторны ми линиями плоского векторного поля Р = Рх(х, у)г + Ру{х, у)] являются линии, лежащие в плоскости Оху. Часть пространства, состоящая из всех векторных линий, проходящих через некоторый кусок поверхности, называется вектор­ ной трубкой. ЯМ,)
Пример 2. 1) Всеторными линиями поля Г = <р(г)г, где г = хг+ ^ гк,г= |^,являются лучи, выходящие из начала координат. 2)Вс1сгорные линии плоского поля Р =ку{-кхз,где к —постоянная,определя­ ются уравнением ^ _ йу у~(-*) и являются окружностями + у^ = с центром в начале координат. Векторным элементом Лт линии X с уравнением г = т(1) (I — параметр) или X = х(<), у = у{1), г = г{1) называется вектор (1т=Ых+]Лу+кЛг=(х'г+у'у+/к)Ш=г'(1)М, являющийся функцией от <. В каждой точке гладкой кривой вектор <1г на­ правлен по касательной. Длина дуги линии Ь находится по формуле I 1= ^ (II (11=у /+Лу^+ (х')^ + (у')^ + (И 13.3. Производная скалярного поля по направлению. Градиент Пусть Ф(М) = Ф(х, у, г) — скалярное поле в декартовой системе координат. Изкаждой точки М{г) = М(х, у, г) пространства можно провести бесконеч­ ное множество лучей. Каждый из этих лучей определяется своим единичным Направляющим вектором т, выходящим из точки М, и имеет уравнение Щ=ом,=0М +мм,=г(0)-I-т/(или Ц1)=х{0)+т^, ...),где/^О —расстоя­ ние от переменной точки М , луча до фик- ’-Нрованной точки М (рис. 13.3). Скалярная величина Ф для точки М , каждого заданно- луча будет функцией только от I. Тогда ^ луча, определяемого вектором т , предел ЙФ(М) Ф(М,) -Ф(М) — -— = И т ---------------- = (II М|-*М Ит 1-»0 мм, ф[г(0) + т1\- Ф[г(0)] I ’ Рис.13 .3 он существует, называется производной функции Ф(г) в точке М (г) по на- ®Р*аденню т. При изменении направления луча на противоположное про­
изводная по направлению изменяет только знак. Производную от Ф(М) по направлению т = т^г+Ту]+ т^к = хг + у'] +г'к можно записать в виде ЙФ дФйх дФйу дФ(1г , , , Л+ ^ ш Если г=г{1) или х=х(1), у=у(1), г=г{1) — уравнение какой-либо ориен­ тированной кривой, проходящей через точку М, и г = (г1,т„,тг)= {х',у ',г) — единичный касательный вектор к этой кривой, то можно рассматривать производную от Ф(1,у, г) по направлению т(М) в каждой точке М этой кривой ЙФ дФ дФ дФ (11 дх ^ ду^^^ дг Если г = г(й); X = х(1),у =у{1), 2 = г(<), где I — любой параметр, то ЙФ дФйх дФЛу дФйг т ~ЪхИ^ ~д^ИИм' Градиентом функции (скалярного поля) Ф(М) = Ф{х, у, г) называется векторное поле (обозначаемое вгад Ф ), определенное в каждой точке М (х , у, г) равенством дФ- дФ- дФ- 8гас1Ф= — » -Ь —] -I- — к. дх ду дг Справедливо равенство ЙФ — = г -8гас1Ф , 01 т. е . производная по направлению т равна проекции градиента на направление т. Полный дифференциалфункции Ф(г) (т. е. линейную часть ее прирашения при переходеотточки (х, у, г) кточке(И-йх, у-Ьйу,г-Ьйг)) можно записать в виде ЛФ=ф'^(1х+ф'лйу +ф'^йг = (вгас!Ф)•йт. Наповерхностиуровня Ф(х, у,г) =С справедливо с1Ф= (егайФ) йг = О,т.е. фадиент нормален к поверхности уровня, точнее говоря, к касательной плос­ кости. Наименьшего (соответственно наибольшего) абсолютного значения производная д.Ф/й1 по направлению т достигает, когда т касателен к поверх­ ности уровня, при этом ЛФ/Ш = О (соответственно, когда г нормален к пО' верхности уровня, при этом |йФ/й/| = |вгаа Ф| = у (Ф^)^+ (Ф[,)^ + (^'г)^ В каждой точке поля вектор градиента перпендикулярен к поверхности уроВ' ня и направлен в сторону наиболее быстрого возрастания скаляра Ф- -д -д градиента используется также запись егай Ф = УФ , где V = I — + дх Оу называется оператором набла. При этом ЛФ = (УФ) йг = (йгУ)Ф (см.
Свойства градиента: 8гад(Ф +Ф)=8га<1Ф +8гас1Ф, ВгайС=О (С=СОП81), ёгад(СФ)=С вгаёФ (С = соп51), 8гад(ФФ)=Ф8гайФ+Фёга(1Ф, дФ 8гааФ(/(х,у,г)) = — 8гас1 / , 8гас1{С ■г) = С {С — постоянный вектор), ^Ф ФвгайФ-ФкгайФ ,, , ------- Ф 2------- Пример 3. Найти градиент поля Ф = Ф(г), где г - у / . Ре ш е н и е . Поверхности уровня — сферы с центрами в начале координат. Имеем НФ §гас1Ф = — бга<1г, аг где {дгдтдг\ (Xуг\ г ^ \дх'ду'дг) Vг’ г ’г/ г' Следовательно, <^Ф г Вгас1Ф(г) = — > агг примечание. Символический дифференциальный оператор гд ~д Называется оператором Гамильтона (гамильтонианом, набла-оператором, V -оператором). Приэтом 8гас1Ф{х,у,г) = ^Ф. ^3.4. Криволинейные интегралы. Потенциальное поле ^3.4.1. Криволинейные интегралы Чусть Ф(г) и Р{г) — скалярное и векторное поля, АВ — кусочно гладкая 'кривая (4 и В — ее начальная и конечная точки соответственно), заданная 'Т'авнением г = г(1) или х = х{1), у = у{1), 2 = г(1), где ^ <2,<1и1^
соответствуютточкамА иВ.Тогдаскалярные криволинейные интегралы ^2 1) ^ Ф(г)Ш=! Ф(х,у,2)(И=I 12 2) УПг)йг =У Р,{х,у,г)<1х+Ру{...)(1у+РА---)Лг= ^ АВ к - I -м= >и. определяются как пределы соответствующих интегральных сумм (см. также 8,5.2) и вьиисляются сведением их к определенным интегралам по I от <1до «2- Аналогично определяются и вычисляются векторные криволинейные ин­ тегралы к 3) ^Ф{г)(1г=1^ Ф(1х^2^ Ф(1у-\^к^ Ф(1г= ^ Ф{г)-^(И^ АВ АВ <2 - I и 4)IР{г)хаг=1Р{г)х~с АВ <1 = 1 !(Р,<1^ -Е ,ау)+]! (Р,Лх-Р^<1^)+кI (Р,с1у-{'у<1^)- АВ АВ АВ Для вычисления этих интегралов ихудобно свести к определенным интегр а л а м по Значения скалярных и векторных интегралов в общем случае зависят о формы пути интефирования АВ (при фиксированных точках А и В). Криволинейный интеграл 2) имеет следующие свойства: ^ Р{г)<1г = ^ Р(г)аг +! Р{г)йг, АВ АС СВ !Р(т)<1г= - ! Р(г) аг.
^ [к,Р|{^) + к2Р2{^)](^^ = к^! Р^(г)<1г + к2 ^ Рг{г)Лг, АВ АВ АВ [дес —точка кривой АВ, лежащая междуточками А иВ; к\,к2— любые числа. Интеграл по замкнутой кусочно гладкой кривой (по контуру) С называ­ ется циркуляцией и обозначается ^ Р(г)аг=^ РгМ (Рг=т-Р), гает^Лг/Ш — единичный вектор касательной к С; й — дифференциал дли­ ныдуги, Рг — проекция Р на г. 13.4.2. Потенциальное поле Векторное поле Р{г) называется потенциальным в области О, если цирку- Иция поля по любому контуру С, расположенному в О, равна нулю. Для "отенциального поля интегралы по любым двум разным кривым АаВ и АЬВ, '|>единяющим точки Л и В и целиком расположенным в Г>, равны другдругу У р{г)йг= У Р(г)аг ЛаВ АЬВ " Мвисят только ОТ точек .4 и 5 . В потенциальном векторном поле отсут- '^УЮт замкнутые векторные линии. Если функции Рх(г), ^ к(г), Рг{г) имеют все непрерывные первые част- производные в поверхиостно-односвязной области О (см. 8 .7 .1), то для *'*пх)рного поля Р{г) = (Рх,Ру,Рг) В О Эквивалентны следующие четыре *Човия (т.е . из одного любого из них следуют все остальные): ') Векторное поле Р(г) является потенциальным. В области V существует однозначная потенциальная функция (потенциал) И(М) = {/(г) = 1/{х,у,г) такая, что Р{М) = %тайХ1(М), или , что равносильно, (III = Лг■вгас!V = Рхйх + Руйу +Р^йг. ДлялюбыхдвухточекАиВ изОидлялюбойкривойАВвV,их 'Соединяющей, интеграл !Рйг=^ ли=и(в)-и(А) АВ АВ ^висит ТОЛЬКООТточек Л иВ , но неотформы кривой, ихсоединяющей.
4) Всюду в В тождественно выполняется равенство го1^^ = О (см. 13,6,2), что равносильно соотношениям дРг дР, ду дх’ дг ду' дх 8г Каждое из условий 2), 3), 4) является необходимым и достаточным усло­ вием потенциальности векторного поля Р .Если 1}(В) = и(г), 11{А) =[/(го), где точка В{г) — переменная, а Л(го) — фиксированная, то из условия 3) находим О С/(г) = С/(го) +I Рйт, А где интефал может вычислятся по любой кривой АВ, соединяющий А иВ. Способы вычисления потенциала V (г) приведены в 8.9. Потенциал опре­ деляется с точностью до аддитивной постоянной. 13.5 . Поверхностные и объемные интегралы 13.5 .1 . Поверхностные интегралы Пусть Е — двухсторонняя гладкая поверхность, заданная уравнением г = ?(«•'’) или X=х{и,у),у =у{и,V), г =г(«,г), гдеи,V — параметры(см. 8.6).Тогда вектор равный \ди где &(и,V)’ ^ д(и, ^ д{и, Ли (IV, дг дх- ду- дг- дг дх- ду- дг- ди ди^ди^^ди’ дь ^ дь^ ^ бг»*' называется векторным элементом поверхности и направлен по нормали к ней- Приэтом(13= п(18, где п — одно издву^направлений единичной нор Мали к элементу поверхности И , (18 = |Й5| — площадь этого элемента (см. также 8.6). В случае замкнутой поверхности Е в качестве п берут внеШ нюю нормаль. Для гладкой поверхности, заданной однозначной функии 2=г{х,у)(т.е.и=х,V=у),имеем аз=|й5|- ^ (4)2+(4)2+1йхау.
Скалярные поверхностные интегралы 1)уу Ф(м)аз, 2) р(м)а8. Е Т. И•екторные поверхностные интегралы 3) Ф(М)аз, 4)уу Р{М)Xаз, Е Е гдеМ —точка на кусочно гладкой поверхности Т,, определяются как пределы юотаетствующих интегральных сумм (см. также 8.6 .3). Для вычисления этих кнтегралов удобно свести их к двойным интегралам по переменным и,», используя соотношения х = х(и, V), у = у{и,« ), 2 = г{и, ю). В частности, ' 0(у,г) д{г,х) д(х,у) — г+Гь г+-Гг Ли йь. д{и,V) д{и,у) д(и,ь) Е а' гдеП — область интегрирования на плоскости Оиь, Рх = ^^х(х{и,г)),у(«,и),г(и,«)) «Т.Д, Если = г п, Пу=] п, Пг = к п — направляющие косинусы нормали 2^,то = I»! аЗ+^Пуаз+кщаз= «аз^+заЗу+каЗг и, вчастности, Ф(м)аз=1Ц Фп^аз+] Фпуаз + к фп, аз, Е Е Е Е УУЩм) л Рп(м)аз {Р„ = п -Р), Е Е Л Р{М)хаз=Ц [Р{М)Xй]аз. Е Е Если поверхность Е задана уравнением г = г(х,у), то поверхностные ^ Ф ал ы 2), 3), 4) запишутся соответственно в виде Е Е' Ф{М)(13 = + <1х(1у, Е Е* дх
где Е ' — проекция поверхности Е на плоскость Охр; функции Ф(М), Р{М) берутся в точках М {х,у ,г{х,у)) на Е. При этом поверхностные интегралы вычисляются по внешней (положительной) стороне поверхности Е (см. 8.6). Поверхностный интеграл Л Р(М)а8 =л Р„Л8 у. Е называется потоком вектора Р(М) через поверхность Е. 13.5 .2 . Объемные интегралы Скалярный и векторный о&ьемные интегралы по области В трехмерного про­ странства Ф{м)аг = Цх,у ,х)Лх(1уа2, V V Р(М)(IV= [^’з:(х, у,2)1+Ру]+Р:,к\йхйуйг О в определяются как пределы соответствующих интегральных сумм (см. 8.4.1) и вычисляются сведением их к тройным интегралам по I, у, г (см. 8.4.3). Инвариантное(не зависящее от системы координат) определениеградиеш и бгайФ(М) скалярного поля Ф(М) в точке М дается формулой 8гааФ(М)= Нгп^ Л Ф(М|)Л8, Е где V — объем области, содержащей точку М и офаниченной замкнутой поверхностью Е; М, — переменная точка интефирования на Е; в пределе поверхность Е стягивается к точке М. Вектор (18— внешний к области, огра­ ниченной Е. 13.6 . Дивергенция и ротор векторного поля. Производная по направлению 13.6 .1 . Дивергенция Дивергенцией (ИуА{М) векторного поля А{М) в точке М называется скаляр ная функция от М, определяемая формулой А{М) = Нт^ Л А(Мх) <18. 2
В декартовых координатах дивергенция вычисляется по формуле , дА^ дАу дА, дх ду дг Векторное поле ^4(г) называется соленоидальным в области В , если всюду -д -д -д вэтойобласти(1'1\А=0.Припомощи оператора наблаV =1— +]— +к— ах ау дг дивергенцию_можно ^записать в виде скалярного произведения векторов V и^4,хе. (11уА = V-^4. Свойства дивергенции: ШуС=0 (С = С0П81), й[\СА(т) = С й\\А (С = сопз1), (11у [Ф(г)Л(г)] =Ф 1 +28гайФ, (1|у[^4(г) XВ(г)] =В ю1А -Ато1В, а^Ф д^Ф дЧ ШУ8гас1Ф(г) = ^ +^ +^ = ДФ. Определение ротора см. в 13.6.2. ''ример 4 . - _ дхдудг Дляполяг =XI+VI+гк имеем й1уг=-т—1-тг‘+ '^ = 3. дхдудг 2) Дляполя А = ^(х,у ,г)тимеем й\уА=ЗФ +г-8га()Ф.Если Ф =Ф(г), где г = |г|, то й|уЛ =ЗФ(г) +гф'(г). V '^•6.2 . Ротор ^'мором го1А(М) векторного поля А(М) = ^ (г) в точке М называется век- ^РНая функция от М, определяемая формулой Г01А(М)= - Ит^ А{М^) х с18. Е Обозначения см. в 13.5.2. Такое определение ротора не связано с какой- •'Ибосистемой координат В декартовых координатах Г01Л(г) = г д/дх д!ду к д/дг _ /ГаА, али - 1К ду дг) =VXА(г)= дх
Определение ротора через циркуляцию. Пусть Е — небольшой кусок глад­ кой поверхности в пространстве, имеющий площадь 5 и офвниченный контуром С (рис. 13,4). Направление единичного вектора нормали й в точке М на I! согласовано с направлением обхода контура С (из конца п обход контура виден против часовой стрелки). Тогда го1А(М) определяется как такой вектор, проекция которого п ■го1А(М) на п определяется формулой п •го1А(М)= Цт ^ / А(М^) с1г, 3—*0о ^ где М| — точка интегрирования на С; в пределе С стягивается к точке М- Свойства ротора: Г01[Л(г)+В(г)]= го1Л+го1в, го!С=О (С=СОП81), го1[СЛ(г)] =С ю1А (С=соп51), го( [ф(г)1(г)] =Ф го11 +(вгайФ)XА, го1[Л(г)XВ(г)] =(ВУ)1 -(1У)В +А<И\В-В с1|уI. Здесь, например, {ВV)А = +Ву^+В,^ = {ВVА^)^ + (В\7Ау)]+(ВУА,)к Справедливо также равенство - дФ дФ дФ- (ВУ)Фн5.-+В,- +В.- = В .(УФ), где в качестве Ф можно брать также величины А^, Ау, А^.
Пример 5. 1)Дляпаляг=хг+у]+гкимеемго1г=0. 2) го1[Ф(г)г] = (вгааФ) X г = 0. 3) го([Схг]=(г^)С-(С^)г+Сй\мг-тй\мС = -(СЧ)т+ЪС= -С+гС =2С. 13.6.3. Производная по нопровлению 1. Полныйдифференциал скалярной функции. Ф(г), т.е. главная линейная частьее приращения Ф(г +Лг) - Ф(г) при переходе из точки г в точку г+йт, гаеЛт=1(1х+]Лу+кЛг, равен ЙФ=Ф'^ёх+Ф^, (1у+Ф'гЛг= (УФ)йг = {<И^)Ф. 2. Полная производная скалярной функции. Ф (г) по направлению вектора о(г) равна — = ао•УФ =Ф'^Оох+ Ф^Ооц+Фг“Ог=(ОоУ)Ф. гдеОо= о/|о| — единичный вектор. 3. Полныйдифференциал векторной функции. Р{г^, т .е . главная линейная частьее приращения +йг) - ^’(г), равен ~ дР НР дР No=~ах+~ау+~аг = (агУ)р= +(агУР.Я+ + {(И^р,)к = + {Лт^)Ру]+((1г^)Ргк= ^ЛРх+ зЛРу +кар,. Полная производная векторной функции. Р(г) по направлению вектора “(>1определяется как предел (см. 13.3) ар Р{г +ОоА1)- Р{г) Т-= п --- <1а дмо * “Ычисляется по формуле (1Р дР дР дР = (ооУ)Р^+{ооУ)Ру]+ ( о о У ) Р ’Д = + ^к. Аналогично находится полная производная ЛР(г)1М по направлению 'Р«войг= г«): (-=й)
5. Ряд Тейлора, если он сходится, для скалярной функции Ф(г) имеет вид Ф(г+Дг)=Ф(г)+(Д»^)Ф(г)+^(ДгУ)^Ф(г)+.., . Аналогично, для векторной функции ^(г+Дг)= ^'(г)+(ДгУ)^(г)+^(Д»^)^^(г)+.... При этом ДФ(г)=Ф(г+Дг)-Ф(г)=(1Ф+..., АР{г) =Р(г+Дг)-Р{г)=аР+.... 13.7 . Основные формулы векторного онолизо 1. Для вывода формул векторного анализа следует раскладывать веюсры в компонентах в декартовой системе координат, т.е. о = 01»+ йу] + а^к. Например, а) вгад <р(х,у, г) = дх\дх) ^ ду\ду)^ дгудг) ^ ^ =д« дх^ ду^ дг^ (оператор Лапласа); . т т5(аМ) , ^а(а1у1) ^^(сЛуЛ) б) 8^0 = + ^ - дА^ дАу дА, гдеё|уА= +—---1 - ; дх ду дг ^н- .7 ^ дАу\ д/дА, дАЛ д(дАу ал.ч о в) а.Уго1Л= -(^ — -— — — . , т. , 9(<рА,) г)а.уМ)= ^ +— + = д>р ^ д1р д<р дАх дАу дАг . „л\\к, д) го1 то1А = г го«1(го1^4) + ] го(„(го( А) + к го1г(го1А). Здесь ду' " дг^ го11(го(Л) = — (го1^4)г - — (го1^)„ = дуVвх ду) ЗгVдг дх)
д{дА.дАу дАЛ (д^А,^А,д^АЛ_д^ - 8х\ 9х ду дг) V дг^)дх Следовательно,го( го1Л =8гас1дпА-АА , гдеД^4 = «ДЛ1+ +ЛД^4г. Инвариантное определение оператора Лапласа Д дается формулой Ду,(М)=Ит1||^5 ^й5 , х; гдеп — внешняя нормаль, остальные обозначения см. в 13.5.2. 2. Вычисления с векторами удобно проводить, переходя к индексным обо- шчеяиям: Х\,Х2,Хз = х,у,г;ёьёг,ёз= I,; , ктак, что 3 А=ё\А]+62.^2+ёзЛз= ^ ^€хА{. >=1 Введем символ обозначающий набор из 3^ = 27 чисел, которые опреде­ ляются следующим образом: (Е|23= ^231 =г312=1. Е|32 = ^213 = =-1, все остальные е^^|, = 0. Таким образом, е*;» = О , если хотя бы два индекса из трех совпадают. Справедливо равенство 3 где =I*’ I^ — символ Кронекера. Векторное произведение в индексных обозначениях можно записать в виде 3 3 АXВ= ^^ , (^4XВ)|= ^ ^ Ех^щА^В^п - *,>,т =1 т=1 Например, (АXВ)|= е12з.^2Вз +г|32^4зВ2= ^42^3 -Л3В2 =АуВ^ - А^Ву и т.д. Имеем также дл я ротора го(А=
Приведем примеры вычислений. ^ д{д<р\ ^ д^>р а) ^ ^ ^ ^ Д(,. 3 ^ б) (го1ёгас!^), = V Е,;га— (егаа^)т = ;.т =1 А д в<р ^ = 2^ ^ ’'-®- ^°‘ 8гаа^ = о. 3 ^ 3 в)а|у(1хВ)= ^ — (е^^„Л^В„,) = XI ^Цт^В,„+ |,;,т =1 * »,7, т =1 * ав„ л ал, „ л . дв^ Е иОт (7А^ \ < . - , Зх. ^ дx^ "‘ ,^ ^ дх, 1,3,т = ] ш,»,; =1 ;,1,т =1 _ = в •го(Л-Л •го(в. / т\ \^ д/^^ \ \^ О^Ап __ (го.гоы).= ]=. Е ^ ],р —1 ■' т,п=1 ^,р,т,п=1 ;,т,п=1 ■> '* р=1 ^,т,п=1 •' А а^л, ^ э - ^ — ^- =— ё|ул - АА^. дх^дхх дх^дх^ Умножая это равенство на ё^ и суммируя по г, получим формулу, не за­ висящую от выбора системы координат го1го1А=§гас1сИуА-АА. 3. Некоторые формулы векторного анализа. 8гас)(А-В)=(ВЧ)А+(ЛУ)В +В хго1Л+Лхго1В, - $тайЛ^ = (ЛУ)Л +ЛXго1Л, А{(рф) = фА1р+(рА'ф + 2$га6Л(р■8гас1гр. 4.Для скалярной функции Ф(|г„ - Г(,|), зависящей от расстояния 3 '^{Хга-ХгьУ
междуточками иГ;,,взависимостиоттого,какаяизэтихдвухточекфикси­ рована,можно рассматривать градиент по координатам другой(переменной) точки.Градиент по координатам переменной точки г„ (соответственно Г/,): йФ дн дФ дк {V„Ф). - , {Vь ). - . дН дК Поскольку - — =--— , тоУоФ= -У(|Ф. дХаг дХы Аналогично (иссматриваются пространственные производные для век­ торнойфункции Р(К)отдвух точек. 13.8. Интегральные формулы 13.8 .1 . Формула Остроградского Пусть О —конечная, в общем случае многосвязная область в пространстве Охуг,ограниченная кусочно гладкой поверхностью Е (которая может со­ стоятьиз конечного числа замкнутых поверхностей И;) и пусть компоненты Щх,у,г),Ру{...), Рг{---) векторного поля Р{г) непрерывны в замкнутой области I», а их первые частные производные непрерывны в В, тогда спра­ ведливаформула Острограаского (в векторнойформе) =ЦРй8= р„аз, о ЕЕ ''Дей8=пЛ8,п —внешняя нормаль(см.также8.7 .2). '3 .8 .2 . Следствия из формулы Остроградского формулы Остроградского следуют формулы Г^ина, первая и вторая соот- ®^твенно: 1)I I I =IIЩш-шау, В у: О 2) 1Ц{<р^^-фА^)ЛУ= о Г л - дп~^ ~ производная от ^ по направлению внешней нормали п.
Частные случаи и следствия из формулы Остроградского. 1) Если вформуле Остроградского положить Щг)=С<р(г)(С= согш!) то Е о 2)Если положить Р(г)=С х ^4(г)(С= сопй),то <рй8 = ёгаа 1р(IV. Е О :СXЛ(г)(С=СОП81),то ■ю1А(1У=Ц(С>^А)(13= В о Е = // ^тС^А^а8^ = с (Ахаз) (й5, =п,<г5). ША<1У= - Ц (А>^ аз). в Е 3) Если впервойформуле Грина положить ^ = 1,то V ■•>•*=> Отсюда о Е 4) Для замкнутой поверхности Е: Е Е где7 — объем области,офаниченной поверхностью Е, 13.8 .3 . Формула Стокса Пусть Е — конечная, в общем случае многосвязная (имеющая отверстия) двухсторонняя незамкнутая кусочно гладкая поверхность в пространстве Оху^< ограниченная кусочно гладкойкривойС(котораяможетсостоятьизнесколь­ ких замкнутых кривыхС,); компоненты Рх{х,у,г),Ру(...),/'г(..•) вектор­ ного поля Р{г) непрерывны вместес первыми частными производными вне­ которой пространственной окрестности Е, тогда справедливаформулаСтокса (ввекторнойформе)
где интеграл по кривой С равен сумме интегралов по всем контурам С,; (15= п <1^, п — нормаль к Е;обход контуров С;при интефировании совер­ шается в направлении, при котором область Е остается слева,если смотреть из конца вектора п. В случае односвязной поверхности поток ротора через поверхность И, натянутую на контурС,равен циркуляции (см.также 8.8 .1). Следствия из формулы Стокса. 1) Если вформуле Стокса положить ^^'(^) = С<р(г)(С=соп5«),то получа­ ется формула (вгай(р)X43= - ^ 1рс1г . Е С 2) ЕслипринятьР{г)=С х4(г)(С= соп5(),то XV)XI= - ЛXйг, С 3 т=\ 13,9. Нахождение векторного поля по ротору и градиенту 1.Векторное поле Р(г) называется безвихревым в области О простран- если го1Р г О в каждой точке области V.Для того чтобы поле ^’(г) былобезвихревым в О, необходимо и достаточно существование в этой об­ ласти скалярной функции П(г) (в общем случае многозначной)такой, что ^(г) =8гайг/(г), при этом (IV=РЛт=(VII)йг.Функция V(г) называется '**ляриым потенциаломвекторногополяиопределяетсясточностьюдопроиз­ вольнойаддитивной постоянной.Вслучае поверхностноодносвязной области ^ Функция 1/{г)однозначна и находится по формуле, приведенной в 13.4 .2; ''Ри этом безвихревое поле является потенциальным. 2. Векторное поле Р(г) называется соленоидальным в области О, если = о всюдувэтой области. Условие Р =то1А вО, гдеЛ(г) — неко- ^Рая векторная функция, называемая векторным потгациалом, необходимо " Достаточно для соленоидальности поля. Потенциал А определяется с точ- '*остью дофадиента произвольно^скалярнойфункции. В пространственно “ ДНосвязной области поток поля Р{г^ черезлюбую замкнутую поверхность
X,расположенную в О,равен нулю,т.е . Р(1В=0 {д1УР=0). II' 3. Еслидляполя Г{г)заданыдивергенция иротор какфункции отг,т.е . = 4жд{г),ю1Р=4л-7(г), причем ? и 7 стремятся на бесконечности к нулю, то поле Р{г) можно записать в виде Р{г) = ёга<1(7(г) + го1^4(г), Здесь Г] = Х\1+у\]+г\к — переменный радиус-вектор интефирования; |г- Г]I—расстояние междуточками г и Г|;интегрирование ведется по всему безграничном)^пространс2ву Если с11уР(г) и го1^’(г) заданы в каждой точке г области О, а на ее границе Е задана нормальная компонента Р^, то поле Р(т) определяется однозначно в и можетбыть представлено в виде Р(т)=Рх(г)+ ^:(г) (го1 = О,д1У7^2 = 0), т.е . в виде суммы безвихревой и соленоидальной составляющих. 13.10 . Цилиндрические и сферические координаты 1. Цилиндрические координаты р,1р,г. Каждой точке М пространства поставлены всоответствие три единичных попарно ортогональных базисных вектора ёр,ё^, = к.изменяющихся при переходе отодной точки кдругой (см. 2 .2 .2).Любой вектор А(М), приложенный к точке М, имеет в этом базисе разложение ЦМ) = А „(М)ёр(М)+ А^(М)ё^(М)+А,(М)к. гдеАр,А^, Лг — цилиндрические координаты вектора вточке М.Декартовы координаты вектора А(М)= А1(М){+ Ау(М)]+А2(М)к связаны с цилин­ дрическими следующими соотношениями: А^ = АрС08(р~А,р51П(р, Ау =Ар8ш(р+А^со8 А^=А^, Ар=Ахсо'ир+Аупт = -Ах^т1р + АуСоир, А^ = А;,.
Справедливы равенства: ч \д^ _ ди- 8гааГ/(р,^,.) = — е,+ - — в,+ — к, ^ , 1 д(рАр) 1дА^ дЛ, а1уА{р,<р,г) = +-й“> рор Р ог , 1д(д^\ I ^^V рё^ к д/др д/д1р д/дг Ар рА^ А^ го1 А{р,(р,г) = - Р Длявычисления АА = (ДЛ)^е^ + (Д^)^е^ + {АА);к используется фор­ мула Д^4 =ёгай сЛу - го1го1Л. Элементдлины; <и^=V + + Лг^. Связь междубазисами: ёр=1С05<р+]81П^Р, ё^= - I81П<р+]С081р, ё^ = к. 2. Сферические координаты р,в, ^р.Каждой точке М пространства по­ ставлены в соответствие три единичных попарно ортогональных базисных вектораёр,ё«, ё^(см. 2 .2 .2).Разложение вектораА(М)вэтом базисе: А(М) = Ар{М)ёр(М)+Ав(М)ёв(М)+Л^(М)ё^(М), гдеАр,А),А^ — сферические координаты вектора. Связь междубазисами; ёр=151ПвсО^{р+]81ПЙ81ПV?+*С08в, ё(Р=IС08бС08<р+)С05081П^ - к5Шв, = -г 81П(р+ ] С08<р. Умножая обечастиравенства А^г+Ау]+А^к =Арёр-I-А^ё^+ А^ё^ска- лярно,последовательно на г,],к,получим связьмеждукоординатами вектора А(М) вразных базисах. Элементдлины;
Справедливы следующие представления: Вгаа ^ = - ^ е^+ - - — ее+ ар рдв р81Пвд<р (11уА(р, в, (р) = I р^ 81Пв д д ОЛ. ,1пв-уА,)+р-{.швАе)+р-^ л,./ ^ N > Г д{ ди\ 1 %\-Гр)+двГ ^ V го1 А{р, в, (р)= р^ 81П0 вр рев р 31Пве^ д/др д/дв а/ау Ар рАв р 51ПвА^ 13.11 . Некоторые сведения из тензорного анализа Если внекоторой области О пространства каждой точке М поставлен всоот­ ветствие тензор какого-либо одного и того же ранга (см. 2 .5),то говорят,что в V задано тензорное поле. Скалярное и векторное поля являются частными случаями тензорного поля. Рассмотрим следующие три примера тензоров второго ранга вдекартовой системе координат Оху2.Далее приняты обозна­ чения;X]=X,Х2=У,X}=г;ё, = г,ёг= ёз=к. 1. Тензордеформации. Пусть й(г^ = й(х\,Х2,Х^) —вектор смещения (век­ тор деформации)деформируемого твердого тела. Тогда в результате деформа­ циинекоторая точка М\теласрадиус-вектором ОМ\= г сместится вточку М\срадиус-вектором ОМ , = г-Ь «(г).Точка Мг{т-\ - йт),бесконечно близ­ кая к точке М| (при этом М1М2= Лт), перейдет последеформации вточку М'1срадиус-вектором ОМ'1= г+йг+й{г+Лт).Перемещение точки Мг относительно точки М\,т.е.относительно поступательно переместившейся на векторй(г) системы координатс началом вточке М\,равно 5(г+йт)-й(г^) =йй =((^^V)« или в координатном виде дщ Й1, йх, Используя формулы перехода от одной декартовой системы координат кдругой, можно показать, что величины = дщ!дх, являются компонен­ тами тензора второго ранга. Разложим тензор иц на симметричную ианти­ симметричную части дщ \/ дщ 1/дщ ди,Ч _ Щ ~2\дх,^ д^^) ^2\Щ~д^^ щ^= г+
так, что 3 3 йи,=^ з^^ЛХ]+ ^ а^^(^x^. ^=^ >=1 Введем вектор А такой, что I^ ^ =-тXI 1,^=1 *=1 Тогдачастьотносительного смешения йщ,связанная стензором о*;,равна 3 _ _ _ I _ У^. а^^йХ]=(^4Xйг)ь где 2 >=1 т.е . является чистым вращением (бездеформации) вокругмгновенной оси, проходящей черезточкуМ] внаправлении вектора А,аугол поворота равен 1-4].Симметричная часть я^^называется тензором чистойдеформации. 2. Тензор напряжений. Из теории упругости известно, что на любую область V внутри деформированного тела со стороны частей тела, находя­ щегося вне V,действуютсилы на поверхность И,офаничиваюшую О, так, что к элементарной площадке ЛЗв окрестности точки М на Е приложена силар„ЛЗ, гдер„ — сила на единицу площади, называемая напряжением (рис.13 .5)иизменяющаяся вдоль X).При этом р„ = р,п, +Р2П2+Рз«з. где
п = (П|,П2,Пз) — внешняя нормаль к I); р\,р2,рз — напряжения на пло­ щадках, проходящих черезту же точку М, нормалями к которым являются векторы ё|,ёг,ёз соответственно. Справедливыравенства 3 Рпх=Рп)=РиП\+Р12П2+Р13П3= '^Рцпу, >=1 3 3 Рщ=Рп2= Р2]П]\ Рпг =РпЗ = ' ^ Рз^п^■ Разложение вектора в базисе ё^имеет вид 3 Р<= ]=> На всю поверхность Е извне действуетсила 3 ^< = 1/Р- 2- 3) Е Е ■’=' или, применяя формулуОстроградского, Ъ ;=1 ■' "Ь Следовательно, на единицуобъема тела действует сила >=, ' Тензор с компонентами р^^называется тензором напряжений. 3. Векторный градиент. Производная скалярного поля ^рпо направлению единичного вектора а = (о],аг,Оз) й<р д^р д!^> д>р / д<р д<р д(р\ определяется вектором (градиентом) I-— ,-— ,-— 1. _ \5Х1 дх2 дхъ) Производная векторного поля А(г) =(^1,А2,А-^)по направлению еДИ ничного вектора а = (О],Ог,Оз)равна ЛА/Ла= {а\/)А(см. 13 .6 .3)иливко
ординатах ал, дА, дА1 дл, -Л дл> с1А2 а а^2 <1Лз А алз “ 2^ Лп~^ Яг. , дХз ■'’ ^ дх }=] 3 з=\ т.е. з=\ Следовательно, йА /д ^ а определяется величинами являющимися компонентами тензора, называемого векторным градиентом. Примечание. Тензор можно р ас сматр ива ть та кже ка к линейный оператор, преобразу­ ющий одни векторы в другие. Н апри мер, тензоры и^^, р у , 0^^, расс мотренные выше, преобразуют векторы ^x^, п , , а^ соответстве нн о в векторы ЙИ(. р „ , , ЛА,/Ла.
Глава 14 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ в дифференциа.1ьной геометрии геометрические образы (кривые линии и поверхности в трехмерном евклидовом пространстве), заданные некоторыми уравнениями, изучаются методами математического анализа, в основном — дифференциального исчисления. Различают локальные (дифференциалышс) свойства геометрического образа, которые относятся только к ближайшей окрестности той или иной точки, и его свойства в целом, относящиеся ко всему образу. Одни свойства геометрического образа зависят от выбора системы координат, в которой они изучаются, а другие — инвариантные свойства — оттакого выбора не зависят. 14.1 . Кривые на плоскости Ы .1 .1 . Способы зодония кривых на плоскости. Длина дуги кривой Кривую ^ на плоскости (плоскую кривую)можно задатьпри помошиееурав­ нения одним изследующих способов. Вдекартовых координатах (х,у): •)У= »(*)(явныйвид); 2) Р{х,у)=0(неявный вид); 3) X = х{1),у =у(1)(параметрический вид); 4) г = г(1)=х(()г+ у(1)}(векторно-параметрический вид); Вполярных координатах 5) Р= рМ- _ _ Длина дуги гладкой (непрерывно дифференцируемой) кривой У—У' (а ^ X < 6) находится по формуле ь _________
Вслучае параметрического задания (2 I=I + (<■<<< к)- I, Здесьх,уозначают производные по <.В полярных координатах /9 *=^ ■^Р^(‘Р) + У(>Р)? # (а а Дифференциалом длины дуги называется величина <й= {(1ху + (<гу)2 = + [у'(х)Р = \/[г(<)Р + 1»(<)1^<и= = + (Лр?- Еслиг=г(<),тоЛ=|йг|=\/йг•йг. 14.1 .2 . Касательная и нормаль к плоской кривой Касательнойк кривой Ьвточке М называется прямая,являющаяся предель­ ным положением секущей (хорды), проходящей черездве разные точки М * ЛГ]на X, когда точка М\неограниченно приближается к фиксированной точке М (М] М)(рис.14 .1).Если г = г{1)—уравнение кривой,то вектор МТ=?(<)=Цщ =Пт^ м->о А1 м-10 А1
направлен по касательной к кривой.Если в качестве параметра ^взятьдлину Iдугикривой,отсчитываемую отнекоторойфиксированной точки Адопе­ ременной точки М на кривой с положительным знаком в определенном выбранном направлении, и с отрицательным знаком — в противоположном (аналогично координате х, отсчитываемой от точки О на оси Ох), т.е. г = г(1), то г(М) = г'(1)будет единичным (|т| = 1) вектором касательной вкаждой точке М кривой,направленным всторонуувеличения I(рис.14.1). Уравнение касательной(еслионасуществует)к кривой вточке Мо(хо,уо), отвечающей значению параметра I = для различных способов задания кривой: 1) У-Уо = у'{хо){х - Хо) (г/о = у{хо))\ 2) ^^(хо,2/о)(х - Хо)+ Р'у{хо,Уо)(у-Уо)=0; У-Уо^х-хр ’ т х(<„) ’ 4) г = г(<о)(р- Ро)+ Го (го = г(<о)), гдер — параметр на касательной. Угловой коэффициент к касательнойравен . _ Ч_ ^ х(хо, Уо) _ у(1о) ° Ру{хо,уо) х(кУ Единичный вектор касательной в точке Мо{хо,уо)'- _ - - йт гЛх+]йу х+ ]у'(хо) гх{1о) + ]у(к) т=гт,+]Ту= - =- - - ------ <11 ^ 1 + [2/'(*о)Р ^Щ(о)?ТШ? Обычно вектор г направляют в сторону возрастания х, или I, или I. Нормалью к кривой в точке М называется прямая МN, проходящая через точку М перпендикулярно к касательной в точке М (рис. 14.1). Если г = (тх,Ту) —единичный вектор касательной, то единичный вектор нормали п= (Пх,Пу)=1Пх+]Путакой, что п■т= О,может иметьодноиздвух направлений: либо п = {-Ту,т^), либо п = {Ту, -Тх);т. е . Пх=^Ту,Пу= ±^Ь- Если выбрано Пх= -Ту, Пу= Тх, товекторы т, п ориентированы так же, как и векторы г,]. Векторы тип задают положительное направление касательной и нормали, соответственно . Уравнение нормали, проходящей через точку Мо(хо, Уа), может быть за­ дано одним из следующих способов: О у'{хо)(у- уо)+X- Хо= 0\ 2)^’^(хо,уо)(у- Уо)= Ру{хо,Уо){х-Хо); 3) х{1о){х- Хо) -Ь у(1о){у- Уо) = 0; 4) г = п{1о){р- Ро)+Го (го = г(1о)), где р — параметр на нормали.
Уголмеждудвумя кривымиу=у\(х),у =уг{х)вточке их пересечения А^о(*о>Уо) по определению равен углу7междуединичными касательными векторами Т\(Мо),Т2(Мо),отсчитываемомуот Т]кгг против часовой стрел­ ки,т.е .С087= Т|-Т2= ГцГз!+ т^утц. Пример 1. Для эллипса с уравнением г — хасо51 + ]Ь%\п1 (-оо < < < +ос), т.е . г —асо&1, у = Ь8ш1, находим вектор касательной г{1) = - 1 а з т I + и вектор нормали N = Т*Ьсо8< ± ]а ! л п 1 . Здесь оба вектора, в общем случае, не единичные. Исключая I из уравнений х = асо&1, у = Ь%т1, получим уравнение эллипса в виде При этом ^ ^ и уравне ние ка са тельной в то чке (хо. Уо) име ет вид ^(х-Хо)+^{у-!/о)=0. Поскольку - ? + -4 = I , то получи м уравнение касательной ХрХ УоУ ~ Имеем далее х{1) = - о з ш * , у{1) = Ьс<х1. Уравнение касательной, проходящей через Точку 1 о = асо5(о. Уо — Ь81п<о. имеет вид у-Ьв\п1о_ X - асо^и Ь со81„ а 81П<0 I^ Решая уравнение Р{х,у) = О относительно у, получим у = ±6у ^ ~ смотрим случай у ^ О, т .е . берем плюс перед радикалом (с лучай у < 0 р ассматривается аналогично). Тогда , Ьх У=-- Уравнение касательной имеет вид Ьхо , , У-Уо = -'- - - - - - - -, . (1-Ж о). '4 .1 .3 . Особые точки кривой Лусть при параметрическом задании плоской кривой ^ функции х{1) и у(1) "^'ею тпри <= <0 непрерывные производные. Тогда точка Мо(хо, Уо) (жо = ®{<о)> ~ У(и)) на кривой I называется обыкновенной, если [х(<о)Р + |у(<о)Р Ф ^ли же ®(<о) = У(*о) = О, то М» называется особой точкой кривой X; при
этом кривая вокрестности Мо не может быть представлена в видефафика дифференцируемойфункции у = у(х) или х= х{у).Однако, разлагая 1(«), у(1)врядыТейлора 1 ( 0 = х(1о)+ ^*(<о)(< - кУ+■■■, у(1)=у(1о)+^!/(<о)(<- <о)^+ •••, можно исследовать вид кривой X вокрестности Мо(<о)- Пусть кривая Ь задана уравнением Р(х,у)=ОиР имеет в некоторой окрестности Мо(хо,уа)непрерывныечастные производныепо х,у.Тогдаточ­ ка Мо называетсяобыкновенной(соответственно особой)точкойкривойI, ес­ ливэтойточке + фО(соответственно = Р'у =0).ЕслиточкаМо обыкновенная (соответственноособая),токриваяможетбыть(соответственно не можетбыть) представлена уравнением у = у(х) или х=х(у) в окрест­ ности Мо.Есливточке Мо выполняется Р'х(Мо)= О,Р'у(Мо)= О,а вторые производные не все равны нулю, то особая точка называется двойной. Если вМо обращаются внуль всепервые и вторые частные производные,атретьи производные не все равны нулю,то точка Мо называется тройнойи т д. Если Мо — двойная точка, то используяразложение Тейлора вокрест­ ности Мо Р(х,у)=Р{хо,уо)+А(х-ХоУ+2В(х-Хо)(у-уо)+С(у-уо)^+■■■=<>, где А^Р^А ^о.Ро), В =Р^у(хо,уо), С =Р;',(хо,уо), можно исследоватьвид кривой Ьвокрестности точ­ ки Мо.Поведение кривой вблизидвойнойточкиоп­ ределяетсязнаком выражения В{хо,уо)= АС- В ■ ЕслиР >О,тоточкаМо называетсяизолированной. Если О < О, то Мо называется точкой самопер*' сечения. Если Л = О, то точка Мо является либо изолированной, либо точкой возврата, либо точкой самоприкосновения. Имеются также и другие типы особыхточек. Пример 2. Для кривой ^’(I,у) = = 0 вточке 0(0;0) имеем (0;0)=О, ^'^(О;0)=О, = 2 5^ О, остальные вто­ рые производные р авны нулю. Следовательно, 0 (0 ; 0) ^ двойная особая точка. Имеем Г>(0;0) = 0. Точка 0(0;“) явл яе тс я точкой возврата (заострения) данной кр и в о й (рис. 14.2). Ось Ох является ее касательной в точке О-
14.1 .4 . Асимптоты Если кривая X имеет бесконечную ветвь, т.е . такую свою часть, которая неограниченно удаляется в бесконечность, то прямая линия, к которой не- ограничено приближается точка М(х,у)наэтой кривой приудалении вбес­ конечность, называется асимптотойданной кривой. Кривая неофаниченно приближается к своей асимптоте, оставаясь либо с одной стороны от нее (рис.14 .3), либо пересекая ее (рис.14 .4).Для кривой, заданной уравнением у=](х), наклонной асимптотой является прямая у=кх+Ь,где , Ь= Ит [/(х)- кх]. к= Ит *-»+оо (1-»-00) я-*+оо еслиэти пределы существуют. При к = Оасимптота горизонтальна. Прямая 1=0называется вертикальной асимптотой графика у=/(х), если Ит/(х)= +оо(-оо) и(или) Пт/(х) = +оо(-оо). х>а х<а Например,гиперболау=1/химеетвертикальнуюасимптотух= О(осьОу), таккак2/->+ооприх -УОсправа(х>0)и -о оприх->Ослева(х<0). Припараметрическом задании кривой х = х(<),у = у{1)находятзначе­ ния<0такие, что х(<) иу{1)стремятся к ±оо при < слева и(или) справа. Еслиприэтом х{1)-> ±с», ау{() ЬФоо,топрямаяу=Ь —горизонтальная асимптота.Если у{1)-> ±оо, а х{1) а ^ оо,то прямая х=а —вертикаль- чм асимптота. При х(1) ±оо, у(1)-> ±оо,если существуют пределы ь=итЫ«)-М01. к=Ит• , (-><0 х{1) асимптота имеетуравнение у=кх+Ь.Кривая сбесконечной ветвью может ^Неиметьасимптоты (например,парабола).Дляфункцииу= /(х),графикко- *®Ройимеетасимптотуу= кх+Ь,справедливо равенство /(х) = кх+Ь+а{х) Чеа(х) — бесконечно малая при х оо.
14.1 .5 . Кривизна плоской кривой Если г = с1г{1)/(и — единичный вектор касательной к кривой г = г(/), где I—длинадугикривой(см. 14 .1,2),то Лт - г--.г-ЛГ=0, т.е .вектор — <1т Ат ЛГ= — = Пт— , Ш д(-»о Д/ гдеДг=т(1+ДО-т(1). называемый вектором криви;шы,перпендикулярен к касательной,т.е .направ­ лен по нормали. При этом N всегда натравлен всторону вогнутости кривой (рис.14 .5).Точка С на конце вектора N называется центром кривизны кривой дляточки М.ОкружностьрадиусаК =|ЛГ|=МС,описанная изцентраС,на­ зываетсясоприкасающейсяокружностью (или кругом кривизны)кривойдляточ­ ки М.Этаокружность можетбытьопределена также как предельное положе­ ниеокружности,проходящейчерезточкуМ идвеблизкие к нейточки М|,Мг на кривой, когдаМ\и неофаниченно приближаются к М (рис.14 .5). Рис. 14.5 Пусть а(М)—угол междут(М)ивектором госи Ох, отсчитываемый против часовой стрелки. Тогда кривизной кданной кривой вточке М назы­ вается величина Да к= Нт , м,-,м А1 гдеД/—длинадугиММ,(Д^>ОприДх>0);Да=а(Мх)-а(М)— смежности (рис.14 .6).Если кривая вогнута (или выпукла) (см. 5 .9 .2),то кри визна к будет положительной (или отрицательной)величиной.Справедлив®
а) Рис.14 .6 равенство |А|=|7У|.Часто кривизной называют не к, а |А|.Кривизна изме­ няется от точки к точке и является мерой искривленности участка линии: Чембольше |Л|, тем больше линия искривлена. Для прямой к = 0.Кри­ визнаокружности радиуса й всюдуравна 1/Д.Точки кривой,для которых к=0,называютсяточками спрямления(таковыми являются,например,точки перегиба).Кривизна и радиус кривизны любой кривой связаны равенством \к\= 1/Л. Кривизна к кривой и центр С{Хс,Ус) ее кривизны для точки М(х,у) ях)йкривой, в зависимости от способа ее задания (см. 14 .1 .1), находятся по следующим формулам 1)* = {у = У(х)), (14.1а) Ус=У+ 1+(у')^ У" ■ Еслиу" = О(например,вточке пер>егиба),тоА:= О,й = со,центркри­ визны отсутствует. 2)к = + 2р',р^р''у - (Р^?Р‘^ ,- 2Р;,Р;,Р^, +(Р^)^Р^,' (р;,)^р'^, - 2р-р;р;^, +(р^ур;', '
3) <== (х = х(«), !/= »(0), (14.1В) 3/(х2 + 2/2) _ г(х2 + у2) Ус—у+ ху-ух ху-ух Еслиздесьпринятьх=I,у =у{1),товэтихформулахх= 1,I =0; еслиI=х(<),у=<,тоу=1,у =0. р2 2(р')2 _ Р(/' [р2+ (^)')2|(^С08^+ Р'8т(р) Хс= рСО%<р- - Ус==р%\тр- рг + 2(р1у-рр ,' [р2+ (р')2](р8Шу?-/>'с05у;) + 2(р')2 - рр/' Пример 3. 1) = 2рх. С чи та я здесь ж и у соответственн о функци ей и аргументом, запишем X=— х'{у) = 1"(у)= ДляточкиМ(0;0)имеемк= -, Я =р. 2р р р р Хс=Р.Ус=0. 2) ^^ о, =А =о, а к—--Т,Хс—------, Ус=одляточкиМ(о,0). о' а 3)Х=1.у =1‘(-00 <I<+00);х=\.у =21,х=0,у =1,к =2вточке(0;0) приI=0. 4) р= 2Дсо8^ ^1р^^у,к=^.х,=К.Ус=0. Точка кривой, в которой она пересекается со своей касательной, т.е. переходит с одной стороны касательной на другую, называется ее точкой перегиба.Точки перегиба находятся из условия к = О,при этом кривизна * должна изменять знак при переходе черезточку перегиба. В частности, если у= у{х) —уравнение кривой, то условие к = Опри х = Хо равносильно условию у"(хй)= 0.Здесь при х = Хо имеется точка перегиба, только если у" изменяетзнак при переходе черезХослева направо. Пример 4. 1) Кривая у = имеет точку перегиба (0;0), а ось Ох — ее касательная в этой точке (рис. 14.7) при переходе через 1 = 0 зн ак у " изменяется. 2) Для кривой у = х* при 1 = 0 точка перегиба отсутствует, так как, хотя у"(0) = однако у " не ме няе т зн ак при переходе через * = О (рис. 14.8).
14.1 .6 . Касание плоских кривых Говорят, что д в е плоские кривые касаются друг друга в некоторой Точке Мо.если они проходят черезэту точку и их касательные вэтой точке совпадают (рис. 14 .9). Пусть кривые Ь\,Ьг касаются другдруга в точке Мо иАГ|,Мг — точки пересечения кривыхЬ\,Ьгсперпендикуляром к ихобщей 'асательной впроизвольнойточке М на этой касательной. Тогда говорят, чтокривые Ь\,Ьгимеютвточке Мо порядок касания п, если существует Ненулевой предел Ит 1м ,М2| М-.М.|ММо|"+'■ Еслиэтот предел равен нулю, то го­ ворят,что кривые имеютпорядокка­ саниявыще п.Еслипорядоккасания 'кривых в некоторой точке больще Любого числа п, то говорят, что эти 'кривые имеютвданной точке беско- Рис. 14 .9 Ч^чный порядок касания. Достаточное условие касания порядка п плоских кривых. Если для двух "Ривыху=}\(х),у =}г(х)внекоторойточке Ховыполняютсясоотношения /1(хо)=/2(10), /((хо)=/гЫ , /Г’(хо)=/^”’(х„),
то данные кривые имеют в точке Мо{хо,уо), гдеуа= /,(1о) = /2(10), по­ рядок касания п. Здесь предполагается, что /\(х) и /г(х) имеют в точке непрерывные производные до порядка (п + 1)включительно. При выполне­ нии всех вышеперечисленных условий разность /г(хо +Ах) -/,(10+Дх) является бесконечно малой (я-Ь |)-го порядка относительно Дх. Если гра­ фиком функции у= /(х) является кривая Ь,имеющая вточке Мо(хо,/(хо)) касательную Т с уравнением у = ^(х) = / '(1о)(х - Хо)+ /(хо), то вслучае /"(хо)^ОлинииЬ нТ имеютвточке Мопорядоккасания п=\\еслиже /"(хо)=О,топ>2. Кривые Ь\,Ь2пересекаются в точке касания только в том случае, когда п — четное. Точка, в которой кривая Л и ее касательная Т пересекаются и имеют касание любого четного порядка п ^ 2, называется точка перегиба Кривизна линии в ее точке перегибаравна нулю. Пример 5. 1) Кривые у = /|(х) = х^, у = /г(г) = 2х^ имеют в точке 0(0;0) порядок касания п = I ,таккак /,(0)=МЩ,/\{0)=/2(0),/"{О}ф/^'(О). 2) Кривая у = и ее касательная у = О в точке перегиба 0(0; 0) имеют порядок касания п = 2. 14.1 .7 . Дискриминантная кривая и огибающая семейства кривых Множество {^(С)} кривых называется (однопараметрическим) семейством, если каждой кривой Ь{С) этого семейства ставится в соответствие опреде­ ленное значение параметра (числа) С, называемого параметром семейства. Изменяя значение С, получим различные кривые семейства. Пустьоднопа­ раметрическое семейство кривых определяется уравнением Р{х,у,С)= О’ где Р —дифференцируемая функция. Тогда, если точка М(х,у) на данной кривой Ь(С)семейства, отвечающей значению С параметра, является пре­ делом приДС Оточек пересечения данной кривой Ь(С)иблизкой к ней кривой Ь(С+ ДС), то такая точка М называется характеристической точкой кривой Ь(С). Координаты характеристической точки М(х,у) кривой удовлетворяютсистеме уравнений (»■« Дискриминантной кривой семейства кривых называется геометрическое место (множество) характеристических точек кривыхданного семейства.Ис­ ключая С изсистемы (14.2), получимуравнение дискриминантной кривой- Огибающейсемейства кривых называется такая кривая, которая вкаждой своей точке касается только одной кривой семейства,а вразных своихточках касается рахтичных кривых этого семейства.
Если врассматриваемой области значений I,у,С выполняются условия 10уравнениеогибающей можно найти,исключая параметрСизсистемы (14.2). Такимобразом,если кривые семейства идискриминантная кривая не имеют особыхточек,тоданнаядискриминантная криваяявляетсятакжеогибающей. Вобщемслучаедискриминантная кривая можетсуществовать,аогибающая — отсутствовать.Дискриминантная криваяможетнарядусогибающейсодержать особыеточки семейства. Пример 6. 1) Для семейства полукуб и чес ки х парабол Р(х,у,С)=х^-(у-С)^=0 имеем /с = 2(!/-С). Исключая С из системы вида (14.2), получим дискри­ минантную линию а; = О (рис. 14.10), состоящую из особых точек. Огибающая здесь отсутствует. 2) Для семейства окружностей Р(х,у,С)=х^+(у-су-д' =О
имеем /с = - 2(у - С). Исключая С из системы вида (14.2), получим * = ±д, т. е. огиб ающими я вл яю тс я две прямые (рис. 14.11). Все усло вия существования огиб ающей вы полн ен ы. 14.1 .8 . Эволюта и эвольвента 1. Эволютой плоской кривой называется геометрическое место (множе­ ство)центров кривизны данной кривой.Эволюта является также огибающей однопараметрического семейства нормалей этой кривой.Если плоская кри­ ваяX,не имеющаяточексамопересечения, участковсамоналегания иособых точек, задана в виде у = у(х) или х = х{1),у = у(1), то формулы (14.1а) и (14.1в)для нахождения центров кривизны являются одновременно пара­ метрическими уравнениями эволюты Хс = /(х), Ус= ^(х); или х^ = (р{1), Ус= или, исключая отсюда х (соответственно I), получим уравнение эволюты в виде ус = Р(хс), где х^Ус — координаты переменной точки эволюты. Пример 7. 1) Для параболы = 2рх, принима я у за параметр (см. та кже пример 3 ,1), получим 12 I уи ^ I II X=—у,у—у\X=-, X=-,у — ],у = 0 (штри х означает диффе* 2р Р Р ренцир ован ие по у ). П о формулам (14.1в) получим параметрическое уравнение эволю ты параболы _ !/’ +Р^ _ + 2р- _ у’ 2р р 2р’ ■ Исключая отсюда у , п олучи м уравнение эвол юты в виде (рис. 14.12) 2) Дляэллипсах = х{1)=аст1, у =у{1)=Ьз\п1 (см. также пример3,2)пофор­ мулам (14.1 в) находим уравнение эволю ты а^-Ь^ , Ь^-а^ , Хс= ------ С05I, Ус= ь 3) Для параболы у = х^ уравне ние э вол юты, найденное по формулам (14.1а), имеет видХс= -Лх’. Ус= - +31^, или ~ 2 ^('4) 2. Каждая кривая Ь по отношению к своей эволюте называется эвольвентой (разверткой). Кривую Ь (эвольвенту) из ее эволюты можно получить следующим механическим построением. Если сматывать с эволюты натянутую на нее нерастяжимую нить, то свободный конец М этой нити будет описывать эвольвенту Ь. При этом данной эволюте соответствует
семейство бесконечного множества эвольвент , каждая из которых определяется выбором точки М’ на нити (рис. 14 .13).Любые две из этих эвольвент Ь,Ь' имеют общие нормали (например, МС), а отрезок любой нормали мм' между этими эвольвентами остается постоянным при пе­ ремещении точки М по кривой Ь. Каждая нормаль эвольвенты является Тигельной к эволюте. Эвольвенты пересекают все касательные к эволюте “одпрямымуглом, т.е . являются ортогональными траекториями этих каса­ тельных.Система дифференциальныхуравненийдлянахождения эвольвенты ''“*етбытьполучена при помощиформул(14.1). '^■'•9.Изогональные траектории 5|Устьоднопараметрическое семейство кривых { 1/1(0 1)} задано уравнением У],С]) = 0 , определяющим ординату кривой у\ как функцию от I и С 1. ^^"Фференциальное уравнение у\ = /(х, у\) этого семейства кривых находит- ‘'сключением параметра С\ изсистемы уравнений дР дЕ, ^’(х,8,1,С ,) = 0, - +—у,=й. , Изогональной траекториейданного семейства кривых называется кривая ’ Пересекающая каждую кривую Ь\ этого семейства под одним и тем же углом /3(рис.14 .14), где ^=аг - а\ —угол междукасательными ^ М ккривым кЬг,отсчитываемыйот к ^2обычно противчасо- С стрелки. Изогональные траектории образуютеще одно семейство кривых (1^^Раметром Сг- Если угол /3прямой, то изогональная траектория называ- * “ртогональной.Изравенств аг = 0:1 +/3,(8«2= 1е(“1+/3),18«I =у\.
18« 2 = 2/2 , где 2/1 , 2/2 ~ ординаты кривых X], Хг, получаем дифференциальное уравнение семейства изогональных траекторий у;+18^ ^ + (,4 3) 1-5/; 18/3 1 - / (х ,У2)18/3 Здесь учтено, что в точке М пересечения //[ и ^ 2 справедливо У2 = У\- Если /3 = ?г/2, то из а : = ж/2+ а], 1802 = -1/18а| получается дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий у'=-- = ------!--- . (14.4) у; /(х .2/2) Обшее решение у2= 2/2(2^»С'г) (или общий интефал)уравнения (14.3)дает семейство изогональных траекторий. Пример 8. 1) Для семейства лучей = С\Х, выходящих из начала координат, дифферении* альное ур авнение семейства получается ис кл юче ние м С[ из уравнений у\ = у\ = С\ иимеетвиду\ = у\/х = /(г, у|). Уравнение (14.4)семейства ортогональ­ ных траекторий имеет вид уг = а его интефальными кривыми являются окружнос ти у\-\- = 2С 2 (Сг > 0) с центром в начале координат (рис. 14.15)- 2) Найдем изогональные траектории с емейства парабол Р { х , у\, С\) = у\-С\Х^ — те . у| = С\Х^. Исключая С\ из уравнений у\-С\Х^ = О, - 2 С\Х+у\ = О, получим лиффере нииальное уравнение этого семейства у\ = 2у\/х = / (х , у|). Уравнение (14.3), в котором ве ли чин а —к задана, пр инимает вил
Если Д = ^•/2, то уравне ни е (14.4) семейства орт огональных тр аекторий имеет вид ,^ I ^ ^ и его общим интегралом явля етс я р2+2^^ ~ Следовательно, орт огональными тр ае кт ориями (при С 2 > 0) являются подобные эллипсы с центром в начале координат. 14.2. Кривые в пространстве 14.2.1. Способы задания кривых. Длина дуги кривой Кривую Ь в пространстве (пространственную кривую) в декартовой системе координат Охуг можно задать одним из следующих способов (см. также 3.2 .1): 1)I = х{1),у =у{1),2 = г{1)(параметрический вид); 2)г = г(1)= гх(1)+]у{1)+кх(1)(векторно-параметрический вид), гдег=IX+]у +кг = ОМ —радиус-вектор точки М{х, у, г) на кривой. Еслизапараметр I принять длину I дуги кривой (натуральный параметр), мсчитываемую с определенным знаком от фиксированной точки Адо пере- ‘'внной точки М на этой кривой (см. 14.1.2), то г = г(1) = (х{1) + ]у{1) + к2(1). ^^Роизводные по { и I обозначаются соответственно х и х'. Кривая ^ может быть задана и как линия пересечения двух поверхностей ' уравнениями Г,(х,у,г)=0, Г2(х,у,2)=0. Если за параметр принять одну из координат, например х, то линию мож- ° задать уравнениями х=х, у =/{х), 2=^{х). ^ ДлинаIдугикривой междуточками М)иМг(МгследуетзаМ,сувели- 1)^ которым соответствуют значения параметра 1[ и <2 равна М2 Мг М2 ______________ 1= ^ (йг)2 = ^ у/{(1хУ(агУ = д/, м, Му к
Выражение Ш под кажаым из этих интегралов называется дифференциалом длины дуги (или элементом длиныдуги). Пример9.Длинадуги винтовой линии I = осовЛ, у = 0 81П4, г -Ы , гдеа >О(при Ь> О — правая винтовая линия, при Ь <0 — левая винтовая линия) равна I 1=^ +у^+ <и=1у/а^+Ь^. Если за параметр пр иня ть длину дуги, отс читывае мую от начальной точки при I = 0, то ур авнен ия винтовой ли н ии пр имут вид Винтовая линия расположена на поверхности цилиндра радиуса а . осью которого является ось Ог. 14.2 .2 . Основные элементы пространственной кривой Касательной к кривой Ь вточке М называется прямая, являющаяся предель­ ным положением секущей, проходящей черездве точки М,М] на X, когда точка М] стремится к М. Если функции х{1),у{1),г(1)имеют непрерывные производные по <,то кривая Ь имеетвкаждой точке М, вкотороййг/(йфО, единственную касательную и вектор йт/М направлен по касательной.Если I— натуральный параметр, то для кривой г = т(1)единичный касательный вектор т = ^ = ~хх'(1)+]у'(1) + кг'(1) соответствуетположительному направлению на Ъ(вкотором величина Iвоз­ растает). Вектор (II (1Р называется вектором кривизны вточке М,аего длина 1^1 = |г"| = к = ^|х"(/)]2 + [2,"(0Р -К[г''(/)Р (всегда к^ 0)называется кривизной кривой вточке М,авеличина Д = ^ радиусом кривизны кривой вточке М.В сл^ае плоской кривой крив*'^^ может иметь знак плюс или минус. Вектор N перпендикулярен ^^ направление называется направлением главной нормали кривой в точке Вводя единичный вектор главной нормали _ г"{1) 1х"{1)+]у"(1) + к2"{1) " “ |г-"(01 ~ к
Рис. 14 .16 •каждой точке М, можно записать ЛГ= кп.Единичный векторЬ=тхп, “4>пендикулярный к г и п, называется вектором бинормали. Тройка пере- “'Нныхединичныхвекторовг,п ,Ь,приложенных ккаждойточке М кривой ^ и имеющая ту же ориентацию, что и тройка базисных векторов г,],к, 1'^ывается сопровождающим (или подвижным) трехгранником данной кривой ВДс.14 .16). Плоскость ТМ^, проходящая через векторы г, п называется ’’*'фИ1ы|саюшейся плоскостью. Плоскость ВМЫ, содержащая векторы Ь, п, ''^Ываетсянормальнойплоскостью.Плоскость ВМТ, на которойлежатвекто- 1'“Ь,г ,называетсяспрямляющейплоскостью.Соприкасающейсяокружностью ВДикругом кривизны) кривой Ь вточке М называется предельное поло- **ние окружности, проходящей черезМ и соседние точки М\,Мг, которые 'Ч 'емятся к М.Кругкривизны лежит всоприкасающейся плоскости, его ра- равен радиусу кривизны кривой вточке М,аего центрС определяется ^иус-вектором гс —Ги+Яп{М).С учетом разложения г(1+ Д/)вряд 'Йлоравокрестности точки М(1)\ С точностью до членов (Д/)^ лежит в соприкасающейся плоско- а расстояние точки кривой до соприкасающейся плоскости не ниже ^^его порядка по М. Кривая располагается, как правило, по одну сто- от спрямляющей плоскости и по обе стороны от соприкасающейся
плоскости. Производная Ь'{1)векторабинормали характеризует отклонение кривой от плоской формы. Вектор Ь’{1)параллелен вектору п. В равенстве Ь{1)= -Тп(1)величина Т = Т(1),изменяющаяся вдоль кривой, называется кручением кривойЬвточке в М(1).Кручение Т вычисляется по формуле Г=^г'(0-[г"(Охг'"(0]=^ у// У у" (14.5) где}г=(хУ+(з/'У+(г")\ Вслучае любого параметрического задания кривой г = г(1)справедливы формулы ^2^_1_^ X _ (уг- гуУ+{гх- хг)^+ (ху-ухУ г■(гXг) , (х^ + у^+ 22)3 (V=гх+ЗУ+Й, хВ=гх+]у+Лг); (14.6) |г" X (х2+у'^+ ' Длятого чтобы кривая была плоской, необходимо и достаточно, чтобы ее кручение всюдуна кривойравнялосьбы нулю (Т=0).У неплоской кривой кручение может равняться нулю только в некоторых ее точках. Если Г >О вточке М кривой, то в окрестности этой точки направление закручивания кривой такое же, каку правой винтовой линии,расположенной на поверхно­ сти цилиндра, ось которого параллельна векторубинормали Ь{М)(см. при­ мер9);если же Г < О,то кривая закручивается каклевая винтовая линия. Пример10.Для винтовой линии I =асо5<, у =а^'т1,г =Ы(см. также пример9) I I Ы имеем у=а51П ^+ Ь^' т= — а 81ПI аС081 -0С05< -й51П1 0 8ш< -асо&1
14.2.3. Формулы Серре—Френе 1.В каждой точке кривой I единичные векторы т(1),п(1),Ь{1)сопрово- маюшего трехфанника связаны междусобой соотношениями 1=,,, ^^ = -кг-+ТЬ, | = -Тп, (14,7) называемыми формулами Серре—Френе. Из этих формул следует, в частности, чтоесли известны кривизна к{1)и кручение Т{1)кривой Ь, то могутбыть найдены производные от т(1),п{1),Ь{1)по Л Вдекартовой системе координат имеемг = гт^+^т^+кт^, п =гп^+^пл+кп^, Ь = гЬх+зЬу+кЬ^и,например, (II (И^ (11 (И' Всилуэтихравенствформулы(14.7)могутбытьразложены вдекартовой системе координат. 2.Если г= г(1)(т.е . I =1{1))—уравнение кривой Ь, то справедливо равенство г=г{+ = тщ+ПЬ}„, Н являющееся разложением ускорения Ш= г движущейся точки в осях есте­ ственного трехфанника. Noи. 3. Если к{1)> О и Т{1) — любые заданные дифференцируемые функ- то существуетединственная,сточностью до положения в пространстве, Ч1ивая г = г{1){I — длина ее дуги),для которой к{1)и Т{1)— кривизна *4>учение соответственно. В этой связи уравнения к=к{1),Т = Т{1)назы- натуральными (внутренними)уравнениями кривой. '4.3 . Поверхности '4.3 .1 . Общие сведения ^“Верхность Е в пространстве (см. также 3.2 .1 и 8.6 .1) вдекартовой пря- "“Угольной системе координат Охуг можно задать ее уравнениями одним Следующих способов: *^^= /(х ,2/)(явный вид), (14.8) ^(х,у,г)=0(неявный вид), ^^=г(и,1))=г-х{и,у)+] у{и,у)+к-2{и,у)(векторно-параметрический вид). х(и,ю), у —у{и,«), 2=г{и,ь)(параметрический вид).
Здесьг=гх+ +кг=ОМ — радиус-вектор точки М(х.у,г) на по­ верхности; и,ю — независимые переменные параметры,называемые кривата- нейными координатами на поверхности. Поверхность представляет собой дву­ мерное многообразие, помешенное в трехмерное пространство. Поверхность можно изучать, не связывая ее с окружающим пространством, рассматри­ вая параметры и, V как (криволинейные) координаты точек на поверхности Е (рис. 14 .17). Придавая параметру и определенное постоянное значение и=С], получим кривую г = г(С], ») на поверхности X.Такая кривая,ааоль которой изменяется только параметр V, называется «-кривой или кривой и = СОП81.Аналогично, принимая в = С2, можно определить и-кривую (или кривую V = соп$1), вдоль которой изменяется только и. Два семейства этих кривыхобразуютнаповерхности Е координатную сетку,при помощи которой можно задатьположениелюбойточки Мо какпересечениекоординатныхкри­ вых и = ио,V = »о (рис.14 .17).Направление координатной кривой совпадает с направлением роста соответствующего параметра и (или »). На поверхно­ сти можно ввести бесконечное множество координатных систем, любыедве из которых связаны соотнощениями и = и(й,€), V = г(й,ь), где якобиан д(и,V) ^ 0. Произвольная кривая Ь на поверхности Е может быть задана ст(и, V) уравнением V= /(и), либо Р{и,ь) =О, либо параметрически: и = и(/). V = »(<). Пример 11. Сфера радиуса Я с центром в начале координат может б ыть определена ОДНИМ из следующих способов: \) г = ±^/К^ -х^ -у^ (знаки -I-и — с оо т ве т с т вуют верхней н нижней полусфере). 2)^*(х.у,2)= +у^ =0; 3) X = Я$1писо5«, у = Л$1пи51п1;, г = Кс ови, где используются сферические координаты и пр иняты обозна че ни я « = = 2чгУ, 4 ) г = « Л 51ПИС0551П«51П«-} -ЛЯсо5«. Координатными и-линиями ( н а кото­ рыхV= сопя) здесьявляются меридианы,а «-линиями (и = сопЛ)— параллели.
Если поверхность Е определена уравнением ^Р'(x,у,г)=О,гдефункция ]?имеет непрерывные частные производные первого порядка по всем аргу­ ментамвнекоторойокрестности каждойточки наЕ,то точкаМо наэтойпо­ верхности называется особой,если вэтой точке Р'х(Ма)= Ру(Мо)=Р'АМа)= 0. Точкина Е, не являющиеся особыми, называются обыкновенными. Поверх­ ность, не имеющая особых точек, называется гладкой(илирегулярной). Пример 12. Для кругового конуса имеем уравне ние Р ( х , у , г ) = =Ои =2*,^^=2у, = - 2 г . Единственной особой точкой я вл яе тся начало координат 0(0;0;0). В окрестности этой точки поверхность конуса не льзя однозначн о спроеци ­ ровать ни на одну из координатных плоскостей. Пусть поверхность Е определена параметрически, причем функции Ф. •').2/(и,»), г{и,ь) в(14.8) имеют непрерывные частные производные первого порядка по и,I; в некоторой окрестности точки М на Е. Тогда точка М является обыкновенной, если существует система координат и,V внекоторой окрестности точки М такая,что вэтой точке рангматрицы дх% дг- ди ди дхдудг .ду ду ду (14.9) равендвум, т.е . три определителя, которые можно составить из элементов Яойматрицы, не всеодновременно равны нулю в точке М, или дт5г,„ 7Г-Xт- О ди дь ®Точке М. В противном случае точка М на поверхности Е является осо­ бой.Черезкаждуюобыкновенную точку поверхности проходитединственная “-линия и единственная и-линия , пересекающиеся в этой точке. У каждой ''быкновеннойточки имеетсяокрестностьна поверхности Е,однозначно про­ ецирующаяся хотя бы на одну из координатных плоскостей всистеме Охуг. '4 .3 .2 . Касательная плоскость и нормаль к поверхности 'деятельная плоскость в каждой обыкновенной точке Мо(хо,з/о.2о) на по­ верхности Е определяется как предельное положение плоскости, проходящей ’'РезточкуМо идведругие точки М\,Мг на Е при неофаниченном произ- “'Чьном приближении точек МиМ2кМо вдоль поверхности Е. Если поверхность Е заданауравнением г = г(и,«), то векторы дх(и,V)- ду(и,«)- 9г(и,к)- дх(и,г)- ду{и, у) дг(и, у)- I ду *^ ду ^^ дк Iъ„
Рис. 14 .18 являются касательными к (координатным) «-линиям и н -линиям соответ­ ственно. При этом векторы |Г^| — единичные. в каждой точке Мо(ио, «о) векторы г1,(Мо) и г'„(Мц) лежат в касательной к поверхности Е плоскости, а единичный вектор нормали к поверхности \г'иXП1 перпендикулярен к касательной плоскости в каждой точке Мо поверхности ^ и направлен так, что векторы г'„, г[,, N образуют правую тройку, (рис. 14.18). Для поверхности Е , заданной одним из способов (14.8), единичный век­ тор нормали N к поверхности в каждой обыкновенной точке Мо(хо: Уо< = Мо(ио, «о) определяется формулами V/(^ 2)N= 3)ЛГ= , УЖ+Ж+С2’
гдеА,В,С — якобианы,составленные изэлементов матрицы (14.9); , д(у,х) „ д(г,х) ^ д{х,у) , А=— г, В =^7 г, С=-~ г (см.также 8.6). а(и,V) д(и,с) д(и,ю) Вформулах (14.10)производные вычисляются вточке Мо. Касательная плос­ костьвточке Мо(го) определяетсяусловием ортогональности векторов (г-го) нN (г-г„)-ад)=0, гдег — радиус-вектор переменной точки М{х,у,г)вкасательной плоскости: 1)(I- Ха)К{хо,Уо)+(у-Уо)/^(хо,Уо)-{г-2о)=О, 2) (х - Хо)К{Мо)+(У-Уо)К(^о) + (^ - го)К(Мо) =О, 3) (г-Го)-[г-иМ„)хг;(Мо)] =0 , 4) (х - Хо)>4(Мо)+(у- уо)В{Мо)+(г - го)С(Мо) =0. (14.11) Пример 13. Для эллипсоида Р(х, у,г) = — + — +—-1=0, = = ^ ^ , ка сательная пл оско сть в то чке Мо(1о, Уо, имеет уравнение или ^(х-Жо)+ - Уо)+ - го)=О, хрх уоу грг '■ Пусть однопараметрическое семейство поверхностей задано уравнением У,г.С)=О,гдеР —дифференцируемаяфункциявобластиееопределе- '••'я.ЛинияЬ на поверхности Ё(С),соответствующей значению С параметра, Называетсяхарактеристикой,если координаты точекЬудовлетворяютсистеме “Чухуравнений Р(х,у,х ,С) =О, Е'с(х,у,г,С)= 0. Геометрическое место (Множество) характеристик называется дискриминантной поверхностью дан- **ого семейства. Огибающей однопараметрического семейства поверхностей чазывается такая поверхность, которая в каждой своей точке касается ка- '"’й -нибудьповерхности данного семейства. Если все поверхности семейства ^скриминантная поверхностьнеимеютособыхточек,тодискриминантная Л^верхность является также огибающей. В общем случае дискриминантная ''“ “срхткть может полностью состоять из особыхточек поверхностей се- ‘'«йства,а также иметьсвои особые точки. Например, огибающей семейства одинакового радиуса,центры которыхнаходятся на окружности (радиус ^''Торой не меньше радиуса сфер), является поверхность тора. А для сфер ‘‘^нтрами на прямой — цилиндрическая поверхность.
Ы .3 .3 . Первая квадратичная форма поверхности. Элемент длины дуги и элемент площади Пустьг= г(м,V)—уравнение поверхности Е,аи = и(<), V = у{1)—урав­ нения кривой Ь,лежащей на этой поверхности. Тогдадифференциал радиус- вектора г=т\и(Ь),г>(<)] вдоль этой кривой имеет вид д,г =г'^(1и+г'„ Лп,где йи=й(И,(IV= г)(11,аквадратдифференциала длины дуги кривой Ьравен = |<ггр=аг (1г=(1х^-Ь(1у^+(1г^= = (х'„ (1и + х'„ (у'^ (1и -Ь у'„ -I-(г(,(1и+ г' = = Е{и,V)(1и^+2Р(и,V)йи(IV+0(и, в) (14.12) _ дхдх дуду дгдг “ ” дидк^дидV^дидV' Выражение Е +2Р(1и(IV+Сд,V^в (14.12)называетсяпервой квадра­ тичнойформой поверхности. Если поверхность задана уравнением г = }(х,у), то Е=1+и',)\ с=1+(/;)1 в каждой обыкновенной точке поверхности с координатными линиями и, V первая квадратичнаяформаположительноопределена(т.е . .Е>О,С >О’ ЕС-Р^>0). Длинадугигладкойкривой//междуточками М||и((1),«(<1))иМ2|и((2)>®(*2)! на Е равна Ь2 Ьг 12 1=I ^ ^ и ьх и Угол междудвумя кривымиЬ\и1,2 на поверхности Е, пересекаюцщмися в точке М и имеющимиуравнения г = К\(1)=г\щ{1),1»|(<)| и г = Яг(^) = г|и2(<),ИгСОЬ находится по формуле ЛК\ йК2 Ейхи^Л-Р(щ <12 +Ьхиг) + С<!\Щ со5а= ^
гдеа — угол междуположительными направлениями касательных вточке М; производные по I, обозначаемые точками,берутся при значении I,соответ­ ствующем точке М.Угол Р междукоординатными линиями и,V , проходя- шими черезточкуМ(«, ю),находится по формуле Условием ортогональности координатных линий и,Vявляется Р =0. Векторный элементплощади <18и элементплощади = |Й5|поверхности вокрестности обыкновенной точки М(и,ь) определяются равенствами (13= {г^X г'„)йи(IV=N(18 (|]У|= 1), (18=|г|,Xг'„|с1и(IV= л/еС - йи(IV= V + В^+С^йи(IV. Выражения для величин А,В ,С приведены в 8.6 и 14.3 .2 .Для поверхности суравнением г = }(х,у)справедливо (см. 8 .6 .2): <18= ф +{ПУ + и1У(1х<1у, гдевкачестве параметров на поверхности берутся х=и, у =У. Площадьгладкого куска поверхности находится по формуле: гдеП _ область изменения параметров и,ю на плоскости Оии; в качестве берется одно из вышеприведенных выражений. Формулыдлявычислениядлин,углов,площадей на поверхности Е, вко­ торых используется первая квадратичная форма, не связаны с окружающим Пространством и относятся к внутренней геометрии поверхностей. Поверхно­ сти,имеющие одинаковую внутреннюю геометрию (т.е. одинаковые значе­ ния Е,Р ,С)при соответствующем выборе координатной системы на каждой 43этих поверхностей, называются изометричнымн. как, например, плоскость *<Параболическийцилиндр, который может бытьразвернут на плоскость без "вменения длин, углов и площадей. ' 4 .3 .4 . Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна кривой на поверхности 1. Пусть I —гладкая кривая, заданная на гладкой поверхности Е урав­ нением
где I —длина дуги этой кривой. Вектор касательной т= г'{1) к Ь перпен­ дикулярен единичному вектору нормали N поверхности, т. е. т(1)■N(1) = 0. Дифференцируя это равенство по I, получим Лг йК п-N со &ш , ^ на--—---г- _ где К —радиус кривизны кривой I,, <р—угол межцу нормалью N к поверхно­ сти и главной нормалью п кривой Ь\йг= Ли+г'„ (IV, ЛМ = йи+М'„ Введем обозначения: -Лг ■<1М= Ь(и, и ) + 2М(и, и) йи(IV+ К(и, V) (14.14) где “ “ ““ ’ М--г' -М' - -г'Ы' - г" .М ~ ^ М- Г„л„-Г„„ Л - , N--г' -М' - г" -К - ^ Выражение Ь(1и^+2Мс1ий» -ЬN(1V^в (14.14) называется второй квадратичной формой поверхности. Для поверхности, заданной в виде г = /(х,у), имеем: г=х1+у]+гк; г'^= 1+1'^к\ г„ = 7 -I-/ 'А; г" - Г"к- г" - Г"к г" - г" Ь- 'XX — }хх'^> 'ху— 'УУ ~ Ь= , ;М= _ : ^^+{ПУ+(ПУ ^1 + (ЛЯ+ (/;)' лг=• 2. В каждой точке М(и,V) кривой Ьна поверхности Е вектор кривизны г"(1) = кп (см. 14.2.2) этой кривой единственным способом может быть пред­ ставлен в виде суммы двух векторов г"=кп =Ле[ЖXг'(01-I-кцЫ, гдеЛс= X г '(0] •г"{1) — геодезическая кривизна кривой I в точке М, являющаяся кривизной проевдии кривой Ьна касательную плоскость в точке М ; кп = г " ■N = -г'(1)■N'(1) —нормальная кривизна кривой Ь в точке М, являющаяся кривизной 1юрмального сечения поверхности Е плоскостью, проходящей через векторы N ит= г'{1), приложенные в точке М.
ТеоремаМёнье. Радиус кривизны Н =\/к любой кривой на поверхности в данной ее точке М ровен произведению радиуса кривизны Ддг = 1/|Ллг| соответствующего нормамного сечения на абсолютную величину косинуса угла ^ между нормалью N к поверхности в точке М и главной нормалью пккривой,т.е. й = Д;у|со5у?|. (14.15) Например,для сферырадиусаК вкачестве нормального сечения можно взять любой меридиан. Взяв в качестве кривой X параллель на широте <р, получимдляеерадиуса г соотношение г=Нсояу?(здесьнормальN к сфере направлена к ее центру). Уравнение (14.15)выражаеттакже радиус кривизны любого наклонного сечения поверхности черезрадиус кривизны нормального сечения с той же касательной к сечению. Соответствующие кривизны связаны равенством * = 1^:д^/со5V’I• Из(14.13)и(14.14)следует, что для всякой кривой Ь на поверхности Е справедливо , со5(й / йиЛ'о / (^V\^ I(IV?+2МЛи(IV+N П1 16) “ Е(^и^ + 2^'(^и(IV + 0(^V^ ' ' ' ’ где правая часть равенства зависит в заданной точке М(и,«) поверхности толькоототношения йв :йа,т.е .толькоотнаправления касательнойккривой ^ в точке М.Для нормального сечения в (14.16)надо полагать со5^ = ±1, где со5^ = 1(или со5^ = -1), если направления вектора главной нормали йнормального сечения и вектора N совпадают (или противоположны).При этомдля кривизны нормальногосечения имеем соответственно кп = 1/Д > О (иликк = -1/й <0), гдей —радиус кривизны нормального сечения. 14.3 .5 . Главные кривизны, гауссова кривизна и средняя кривизна поверхности 1. Главныекривизны поверхности.Точка гладкой поверхности Е называет- сферической(иликруговой),если вэтой точке кривизна кц имеетодинако­ вые ненулевые значения для всех нормальных сечений (т.е . Ь .Е=М:Р— ^ :С = А). В каждой несферической точке М поверхности Е всегда су­ ществуютдва таких нормальных сечения, называемых главными нормальны- сечениями, которые имеют наименьшее А| и наибольшее кг значения ^«Рмальной кривизны к^, называемые главными кривизнами поверхности Е ®Точке М.При этом плоскости обоих главных нормальных сечений взаимно •*®рпендикулярны. Направления главных нормальных сечений в касательной ''лоскости называются главными направлениями. Для каждого нормального
=0. сечения поверхности вточке М, плоскость которого образуетугол а с плос­ костью первого главного нормального сечения, справедлива формула Эйлера Алг=Л|со5^а+к251п^а. Значения Л,,1с2находятся как корниуравнения 1-кЕ М-кР М-кР N~кС 2. Средней кривизной поверхности в точке М(и, «) называется величина Н(п,у)=\{к,+к2), где кик^ — главные кривизны поверхности. Гауссовой (полной) кривизной поверхности в этой точке М{и,г) называется произведение К(и,г) = к[к2 главных кривизн вэтой точке. Справедливы формулы 1ЬС-2МР+КЕ ^N- ~2 ЕО-Р^ ’ ~ ЕС-Р^' Вчастности,длясферырадиусаК имеем:А, = Лг = 1/Д,Я = 1/Д,К = (нормаль N к сфере направлена к ее центру). Знакгауссовой кривизны совпадаетсознаком выражения ^N -М ^, так какЕС-Р^ всегдаположительно. Величины к\,кг,Н ,К не зависятотвыбора координат и,ь на поверхности. Главные кривизны к^к2являются корнями квадратного уравнения к^ - 2Нк+ А' = 0. 14.3 .6 . Классификация точек поверхности Пусть ЛГ(Ро) — единичный вектор нормали к гладкой поверхности Т,вобык­ новенной точке Ро(«о,»о);Аг = ^ =г{щЧ-Д«,^ +Д«)-г(ио,»о).где Р(«о-I-Ди, «о+Д«) —близкаякРоточканаЕ;/г= N{Ро)■Дг — расстояние (взятое сопределенным знаком) отточки Р до касательной вточке Роплос­ кости. Тогда, используяформулуТейлора, получим вокрестности точки Ра’- к(Ро,Ли,(IV) = ЛГ(Ро) • = ^ЛГ(Ро)-(й'г)я„ + ...= = ^ [ЦРо)Ли^ -I-2М(Ро)Ли(IV+N{Ра) +..., где йи= Ди, йв= Ау;многоточием обозначено малое слагаемое, имеюшее порядок о(р^),р =\/йу}+ Таким образом, пространственное строение любой гладкой поверхности Е вокрестности каждой ее обыкновенной точ­ ки Ро(ио, »о) определяется второй квадратичнойформой поверхности в этой точке.
Точка Ро(ио,Ьо) поверхности называется: 1) Эллиптической точкой,если в ней ЛГ= Й1Л2> О(вторая квадратичная формазнакоопределенна лля всехйи, и >0).Вдостаточно малой окрестности точки Ро поверхность ведетсебя как эллипсоид;ее нормальные сечения все выпуклы или все вогнуты; поверхность Е располагается по одну сторону от своей касательной в точке Ро плоскости. В частном случае, при ^ О, точка Ро называется сферической (или круговой), а поверхность ведетсебя как сфера. Всеточки сферы,эллипсоида, эллиптического парабо­ лоидаявляются эллиптическими. Любое направление йв ;йи всферической точке является главным. 2) Пшерболическойточкой,если внейК =к[к2<О(вторая квадратичная формазнакопеременна и ^N - < 0).В малой окрестности Ро поверхность Еведетсебя какоднополостный гиперболоид ирасполагается по разные сто­ роныотсвоей касательной плоскости. Имеются нормальные сечения с про­ тивоположными направлениями главной нормали.Всеточки однополостного гаперболоида и гиперболического параболоида являются гиперболическими. 3)Параболическойточкой,есливнейК= к]к2=О,т.е . ^N - =О (втораяквадратичная форма представляетсобой полный квадрати не меняет своего знака, но при одном направлении й» :Ли нормального сечения вы­ полняется Адг= к] = Овнекоторой точке).При этом вобщем случае Лгф0. Еслик, = к2=О{Ь=М =N = 0)вточке Мо, то Мо называется точкой уплощения. Поверхность И в окрестности параболической точки может рас­ полагаться по разные стороны от касательной плоскости (сучетом слагаемых высших порядков малости). Все точки цилиндрической поверхности параболические. Поверхность ^~х*+у*имеетединственную точку уплощения 0(0;0;0). '4 -3 .7 . Специальные кривые и направления на поверхности ‘'^*мптотическим направлением на поверхности Е называется такое направле- “•Чс :йи, в котором нормальная кривизна к^ равна нулю. В этой точке Ь +2МйийV+N =0. ®^орая квадратичная форма обращается в нуль в гиперболических и парабо- ^**Ческихточках, атакже точках уплощения. Поэтому только втаких точках ‘“ 'еются асимптотические направления; в гиперболической точке их два; * Параболической точке одно; вточке уплощения — бесконечное множество. ^Чмптотнческой линией на поверхности называется кривая, касательное на- "Рааление которой в каждой точке — асимптотическое. В частности, любая ''Рямаянаповерхностиявляетсяасимптотической,например,прямолинейные °®Разуюшиеоднополостного гиперболоида.Если на поверхности имеютсядва
семейства асимптотических линий, то их можно принять за координатные линии и,V.Тогдавторая формаприметвид 2Мйи(IV(Ь=N =0). Линиейкривизны наповерхности называетсятакаякривая,вкаждойточке которой касательная направлена по главномунаправлению.Таккак вкаждой точке поверхности (не являющейся сферической или точкой уплощения) главных направленийдва,то имеются два взаимно ортогональных семейства линий кривизны,дифференциальное уравнение которых имеетвид - йа (1и^ Е Р С I М N =0. Есливкачествекоординатныхлиний и,Vвыбратьлиниикривизны,топервая и вторая формы примут соответственно вид: Е + С(^V^,Ь (таккакР=0,М = 0). Геодезической линией на поверхности называется такая кривая, главная нормаль которой к каждой точке колинеарна с нормалью к поверхности. Кривая на поверхности является геодезической линией тогда и только тогда, когда еегеодезическая кривизна вкаждой точке равна нулю кс=0.Еслидве точкинагладкойповерхностидостаточноблизкидругкдругу,тосоединяющая их дуга геодезической линии является кратчайщей из всех соединяющих эти точки линий наданной поверхности. На плоскости геодезическими линиями являются прямые, а на сфере — большие окружности. Геодезические линии на искривленной поверхности аналогичны прямым на плоскости. 14.3 .8 . Связь средней кривизны с вариацией площади поверхности Пусть кусок поверхности Е с площадью 5 и уравнением г = г(и,») под­ вергается малому смещению <5Л(«, V)■М(М) по нормали в каждой его точке М(и,у). В результате смещения получается другая поверхность 11|, образо­ ваннаяточками М\(и,г),имеющими теже координаты,что иточкаМ(и,!)) Дляточек поверхности I)] имеем Г\(и, у)— г(и, и)+5к{и,V)■М(и,V).Диф­ ференцируя это равенство по и, получим аг| дт дбк - дМ аналогичнозаписывается производная по V.Вычисляя коэффициенты С\дляпервой формы поверхности и отбрасывая малые второго порядка по ёНи ее производным по и,V.получимдля вариации площади д3=3х-3 = - Ц 26ПН■у/еС-Р^аи(^V= - 2-5ПН -Л8, I: Е где5| — площадькуска поверхности Г),;Я — средняя кривизна поверхности2.
14.3.9. Некоторы е специальные поверхности .Мшимальной называется поверхность, у которой в каждой ее точке средняя 1фивизна Я(и,г»)г О,т.е. Л](и,1») = - к2{и,V).Для поверхности с мини­ мальной площадью, натянутой на заданный контур, выполняется равенство Я= Овдоль всей этой поверхности. Поверхностью постоянной кривизны называется такая поверхность, для всехточек которой гауссова кривизна К =сопз1;например,для сферы 1 К= - ^ = СОП51. Линейчатой поверхностью называется поверхность, описываемая движе­ нием прямой (образующей)по некоторой линии, называемой направляющей (например,цилиндр, конус, однополостный гиперболоид, гиперболический параболоид).Линейчатые поверхности подразделяются на развертывающиеся икосые. Развертывающиеся поверхности путем изгибания можно наложить наплоскость(например,цилиндр,конус);вкаждой точке такой поверхности ^=О,т.е.^N- = 0. Гиперболический параболоид и однополостный «перболоид не являются развертывающимися поверхностями. 14.4. Формулы Гаусса, Вейнгартена и Гаусса—Бонне I I. Индексные обозначения. Введем следующие индексные обозначения: “ =и, = в; г = г(и‘,и^) —уравнение поверхности Е; ’^о=^ (а=1,2); Оа,? =г„ •Гд, йац=аца (а,/3=1,2), йи=Е, 0|2=021 = ^^, 022=0. внекотором выражении какой-либо индекс повторяется дважды (один — внизу,одинраз— вверху), то предполагается, что это выражение сум- '""РУется по повторяющемуся индексу(правило суммирования Эйнштейна), ^^пример, первая квадратичная форма А поверхности запищется в виде ^ ~йтйг= а„дйи°(1и^= ац(<^«')^+а12 <<«^+021 +а22(<1'и^)^=А, Как йг= <1и°= ТаЛи" = Тр ди" индекс суммирования можно обозначатьразличными символами).
Вторая квадратичная форма В запишется в виде В=-йг(1Ы=- <1и“ Ли^ = ди« дг^ I(дгдЯ дгдЯ\^^в ^ „ где 6]] = Ьп= ^21=М ,Ьц=Ы (Ьар=Ь^а)- Вводя обозначения а= йеЮад = аца22- а^2= а" = чп/а, а'^=а^' = -а^/а= - 021/а,а” = Оц/а(приэтомафоР’’= <5„ — символ Кронекера), кривизны поверхности можно записать ввиде: Я= ^в“Ч/?; К=^- (Ь= ае1(.„д = 6пЬ22-ь52)- Гауссова кривизна К поверхности может быть выражена только через коэффициенты йарпервой квадратичнойформы поверхности и первые и вто­ рые производные по от них (теоремаГкусса). 2. Справедливы следующие формулы для производных (деривационные формулы): а ) формула Гауеса дМ б ) формула Вейнгартена = -а^''Ь~ ,аТр. Здесь о,Д ,7 = 1,2;по повторяющимся индексам производится суммирова­ ние; выражения г'' - 4- 2 \дх11> ) называются символамиКристоффеля. 3.ФормулаГаусса—Бонне. Пусть О — односвязная область на гладкой поверхности 5),офаниченная кусочно гладкой замкнутой кривой(контуром) Ь(рис.14 .19),имеющей геодезическую кривизну ко(1),гдеI—дуговая коор­ дината (длина дуги)этой кривой (если Ь состоит из отрезков геодезических линий, то кс = 0), тогда справедлива следующая формулаГауеса—Бонне: Ц К(13+^ксЛ^=2^^-'^{^^-а^), (1417) о ^ ‘ гдеК(и,V)—гауссова кривизна поверхности; а, — внутренние углы контура I вугловых точках А{(а, — это углы между касательными в точках А<)'<
(г-а,) — внешние углы в точках суммирование ведется по всем уг­ ловым точкам. Если кривая Ь гладкая (т.е . отсутствуют угловые точки), то - а^) = 0. Первое слагаемое в левой части (14.17) называется инте- I ■Нкьной кривизной области О.Две поверхности называются топологически Кнвалентными, если они допускают взаимно однозначное и непрерывное вобоих направлениях отображение. Интефальная кривизна является топо- Яогическим инвариантом, т.е . одинакова для топологически эквивалентных ^Ьверхностей. Используя(14.17), можно показать, что для всех гладких по­ верхностей,топологически эквивалентных поверхности сферы,интегральная «ривизна равна 4)г; иравна нулю для всехгладких поверхностей,топологиче­ скиэквивалентных поверхности тора(см. 14 .3 .2).Для всякого геодезического <%еугольника с внутренними углами А,В,С на поверхности с постоянной ИЧ'ссовой кривизнойК выполняетсяравенствоА+В+С-тт =К -3,где5 — Влощадьтреугольника. В частности,если /Г = О,то геометрия наповерхности евклидоваи А+В+С=тг.
Глава 15 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 15.1 . Теория вероятностей 15.1 .1 . Испытания и события Испытаниемназываютнаблюдение (опыт,измерение,эксперимент),осуществ­ ленное при определенной совокупности некоторыхусловий 5. Предполага­ ется,что испытание можно повторитьлюбое число раз(с сохранением усло­ вий 5).Результатом, исходом испытания, является событие.События обычно обозначаютбольшимилатинскими буквами А,В ,С ... . Достовернымназывают событие, которое обязательно происходит при каждом повторении некоторого испытания. Обозначение: V. Невозможнымназываютсобытие, которое заведомо не может произойти ни при каком повторении испытания. Обозначение: V. Случайнымназываютсобытие, которое вданном испытании можетлибо произойти, либо не произойти по объективным, не зависящим от наблюда­ теля причинам. Разные случайные события имеют различную возможность появления. Мерой такой возможности является некоторое число, называемое вероятностью случайного события. Теориявероятностей— раздел математики, занимающийся изучением свойств вероятностей появления случайных событий и устанавливающий соотношения междувероятностямисобытий,связанныхдругсдругом каким- либо образом. Пример 1. И сп ытани е: извлече ние шара из ур ны, содержащей только белые шары. Соб ыти е А — извлечен бел ый шар — достоверное. Соб ыти е В — извлечен черный шар — невозможное . Пример 2. И сп ыт ание : одн ократное бросание игральной кости (изготовле нн ого из од­ нородного материала куб ика, на гранях которого отмече ны чис ла о чко в от 1 до Событи е А — выпадение, например, одного о чка — сл учайн ое, та к к а к может лиоо пр оизой ти, ли бо нет.
Два события называют несовместными, если появление одного из них вданном испытании исключает появление другого события в этом же ис­ пытании. Если появление одного события не исключает появления другого водном и том же испытании,то этисобытия называютсясовместными.Более чемдвасобытия называются несовместными, если они попарно несовместны. Если водном испытании обязательно происходиттолько одно издвух несов­ местных событий, то эти события называются противоположными. Если А — одноиздвух противоположных событий,тодругое обозначают А.Очевидно, А=А.Если событие А происходит, то Л не происходит, и наоборот. Пример 3. 1) Испытание : однократное бросание ифа л ьн ой кости. Соб ытие А — появлен ие двух очков, В — трех очков, С — четного числ а очков. Событ ия А и В несов­ ме стные. А и С — совместные . 2) События выпадения любого числа очков от 1 до 6 при однократном бросании игральной кости несовме стны. Пример 4 . Ис пыта ние : однократное бросание моне ты. С об ыти я А — выпадение герба и В = Л — выпадение цифры являются противоположными. 15.1 .2 . Классическое определение вероятности 1. Определение и свойства вероятности. Совокупность событий образует *олнуюгруппусобытий внекотором испытании,еслиего исходом непременно Должно быть хотя бы одно из них. В частности, в полной группе попарно Нсовместныхсобытий при испытании реализуетсяодно и толькоодно изэтих «Лытий.Попарно несовместныеравновозможные(т.е .имеющиеодинаковые Возможности появления)результаты испытания называются его элементарны- исходами (элементарными событиями). В полной фуппе Е элементарных Исходов Е1,Е2,...,Е„ в результате испытания появляется один и только один элементарный исход Пример 5. Ис пыта ни е : однократное бросание ифа л ь н ой кости. Эл еме нтарн ые исхо- ''ы (равновозможные попарно несовместные с об ы ти я), образующие полную фуппу: ®|, Е , , Е 4, Е^, Ее, где Д — означает событие выпадения г очков. Здесь выпадение ^*>бого чис ла очк ов от 1 до 6 искл юча ет появлен ие какого-либо другого числа очков (несовместность). Предпо ложен ие равновозможности отдельных исходов может быть ®**Равдано л и ш ь в случае однородной правильной по форме иф ал ь ной кости. Появление какого-либо одного, любого из элементарных событий Е^, Образующих полную группу, при каждом однократном испытании является ^'стоверным событием 17. Теэлементарные исходы, при наступлении которыхдостоверно проис- '‘одит интересующее нас событие А, называются благоприятнымидля А, т.е . Событие А подразделяется на эти благоприятные исходы и представляетсобой 1»еализанию одного изблагопр! гыхдля него событий.
Пример 6. Исп ытание : игральная кость брошена один раз. Событи е ^4: выпааение чет­ ного числа очков. Благоприятными для А являются элементарные события В 2, Ез,Е^ (см. пример 5). Вероятностью Р{А)событияА называетсяотношение числа т благопри­ ятных для него элементарных исходов к общему числу п всех элементарных исходов: Р(А)= — (т^п). Для отдельных элементарных исходов получаем Р{Е,)=...=Р(Еп)=-, п т.е .равновозможность означаетодинаковую вероятность. Пример 7. 1) В урне имеется 4 белых и 3 черн ых шара од инакового размера. Ис пытан ие : из­ влечение наугад одного шара. Соб ытие А — извл ече н белый шар, В — извлечен чер ный шар. Пол на я фупп а исходов состоит из п = 7 равновозможных событий, следовательно, Р{А) = 4/7, Р{В) = 3/7. 2) Найдем вероятнос ть выпаде ни я четного числ а о чко в в ус лови ях примера 6. Число благоприя тных для А элеме нтарных исходов т = 3, чис ло всех исходов п = 6, следовательно, Р(А) = т/п — 1/2. 3) Найдем вероятность выпаде ни я цифры (с обытие А ) при одном бросании монеты. Здесьп=2,т =IиР(А)=Х/!. 4) Испытание : однократное совмес тное бросание двух ифа л ь н ых костей. Событие А\ выпадение в сумме 7 очков. Полная фуппа состоит из п = 6^ = 36 равно­ возможных событий . Выпадение в сумме 7 очк ов возмож но т = 6 способами: 7= И-6 =6-|-1=2-1-5 = 54-2 = 34-4 =44-3. Следовательно, Р(А) = т/п = 6/36. Свойства вероятности: 1) Вероятностьдостоверного событияравна единице(наибольшее значение вероятности): Р{1!)= I. 2) Вероятность невозможного событияравна нулю (наименьшее значение вероятности):Р(У)=0. 3) Вероятностьслучайногособытия Аудовлетворяетнеравенствам О<Р(Л)<1• Следовательно, вероятность любого события А удовлетворяет неравен­ ствамО<Р(А)<1. Вероятность какого-либо события характеризует лишь возможность его появления. Практическое значение имеюттерезультаты теории вероятностей, которые позволяютустановить, чтовероятностьсобытия Аблизка к единице, или, что равносильно, вероятность противоположного события А близка к нулю. При этом используется основанный на результатах многочисленных опытов «принцип практической невозможности маловероятных событий», согласно которому практически можно полагать,что вединичном испытании
событие Анаступит, лА —нет. Вопросотом,насколько близкой кединице (иликнулю)должнабытьвероятность,чтобы можно былосчитатьпоявление события достоверным (или невозможным) в одном испытании, решается вкаждой конкретной задаче отдельно. 2. Основныесведенияизкомбинаторики. Комбинаторика — раздел мате­ матики, изучающий задачи выбора и расположения элементов некоторого конечного множества в виде определенных комбинаций, составленных со­ гласно заданным правилам. Перестановкамииз п различных элементов называются комбинации, состоящие из одних и тех же п элементов, но различающиеся порядком их расположения. Число всех перестановок из п элементов равно Р„ = п!, где я!=1■2•3...п .Поопределению,О!=1. Пример 8 . Три разные кн иги, стояшие на полке , можн о переставить Рз = 3! = 1•2-3= 6 способами. Размещениямииз п различных элементов по т (т < п) элементов на­ зываются комбинации, состоящие из т элементов и отличающиеся другот друга либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений ЛTM=п(п-1)(п-2)...(п-т -Ь I). Здесьчислосомножителей вправойчастиравно т .Если т =п, го А’^ = Р „ = п\. ^1ример 9 . Абонент, набир авший номер телефона, за был две последние цифры и на­ брал их наугад, п омня л и шь , что они разные. Найдем вероятнос ть правильн ого набора Номера. Ч и с л о всех р авновозмо жных исходов равно чи слу р азмещений из 10 цифр Подве, т. е. Д?о = 10•9 = 90. Число благоприятных исходов т = 1. Искомая вероят­ ность Р=\:А]о= 1/90. Сочетаниями из п различных элементов по т элементов называются 'комбинации, составленные из т элементов и отличающиеся хотя бы одним Элементом (порядок расположения элементов при этом не учитывается). Число всех возможных сочетаний СTM= т!(п-га)! Длячисла перестановок, размещений и сочетаний справедлива формула — р, "п — ■ пример 10. В ящике находятся 10 одинаковых деталей, отмеченных номерами от 1 10.Найти вероятностьтого,что среди наугад извлеченныхчетырехдеталей окажется No2 (событие А).
Решение. Общее число всех р авновозмо жных исходов равно п = С^о- Благоприятными для события А явл яю тс я такие с об ыти я, в которых среди 4 извлеченных деталей име­ ется деталь No 2, а остальные 3 име ют другие номера. Ч и сл о этих событий равно чи сл у способов и звлечения трех деталей из оставшихс я де вя ти, т. е. т = С , . Искомая вероятность ГП) (Ь2...9)(1-2 -3 -4) 4 .6,0-— . — ^ 29,0) > Число перестановок из пэлементов, среди которых некоторые повторя­ ютсягп\,Ш2,■■■,тпкраз(т| + ... + т * = п),равно «I Р„(тх,...,тпк)= т\\гп21... ш ^.! 10! Например,буквы вслове «математика* можно переставить 21у2\11\\\\~ способами. 15.1 .3 . Статистическое определение вероятности Недостатки классического определения вероятности, ограничивающие его практическое использование, обусловлены следующими предположениями; 1) число всехэлементарных исходов испытания конечно, 2) элементарные событияравновозможны, 3) интересующее нас событие представляется состоящим из некоторого числа элементарных исходов (благоприятныхсобытий). Вместе с тем, например, в случае неоднородной и неправильной по форме ифальной кости предположение о равновозможности элементарных исходов неприменимо. Пустьнекоторое испытание производится праз(с точным повторением каждыйразсовокупности условий 3)ипри этом подсчитывается количество появлений интересующего нас случайного события А.Пусть событие А по­ явилось т раз(т ^ п).Отношение гч„(А)=т/п называется относительной частотойслучайного событияА вп испытаниях. При многократном повторе­ нии серий испытаний относительная частота изменяется мало, и причем тем меньще, чем больще число испытаний вочередной серии, т.е.относительная частота в этом смысле устойчива. Вероятностью события А вданном испы­ тании называется число Р(А), около которого фуппируются относительные частоты этого события при увеличении числа п испытаний. По значениям относительных частотможно найти лишь приближенное значение вероятно­ сти Р(А)и т„(А), но при оченьбольшом числе испытаний опытможетдать значение вероятности с достаточно высокой точностью. Например, много­ численные опыты сбросанием монеты показали, что относительные частоты появления герба малоотличаютсяотчисла0,5 и этоотличие тем меньше,чем
большечисло бросаний.Придостаточно широких предположениях класси­ ческаяи статистическая вероятностьсобытияравны междусобой. 15.1 .4 . Геометрическое определение вероятности Геометрическоеопределениевероятностидает возможность найти вероятность попаданияточки внекоторуюобласть(отрезокпрямой,областьна плоскости или в пространстве), т.е . оно применимо к испытаниям с бесконечным множеством возможных исходов. 1. Пусть отрезок прямой {Ь\) с длиной Ьу является частью отрезка (I), имеющего длину Ь.На отрезок {Ь)наугад ставятточку, вероятностьее попадания на (Х|)пропорциональна длине и не зависитотрасположения (ЬОнаотрезке (Ь).Тогдавероятностьпопадания точки наотрезок(Ь,)равна 2.Пусть область (5]) на некоторой плоскости является частью области (5)на этой же плоскости. На область (8)наугад ставят точку, вероятность попадания в область (5|) пропорциональна площади области (5|) инезависитни отформы(5,),ни отрасположения (8,)вобласти (5).Тогда вероятность попадания точки вобласть (5|)равна - I- П р и м е р 1 1 . Внутрь круга наугад ставят точку. Найдем вероятность ее попадания внутрь ^Писанного в о кружно сть квадрата. Площади круга и квадрата р авны соответстве нно 8 = ттЯ^ {Я — радиус круга), 3^ = ^(2-К)■(2К) = 2К^. ^^скомая вероятность р=| =-. 8 7Г 3. Пусть область (К,) с объемом К, в пространстве является частью '’бласти(V)собъемом К.Вобласти (1^)наугадставятточку.Тогдавероятность попадания вобласть (1^|)равна ^5.1 .5 . Алгебра событий Если появление события Аделаетдостоверным событие В, то говорят, что 'обытнеВ содержитвсебеА или А влечетзасобойВ.Обозначение: АСВ. ®общемслучаеиз>4СВ неследуетВСА.ЕслиЛСВ,тоР(А)^Р(В).
Пример 12. Если при бросании игральной кости событие А — выпадение 3 очков а В — нечетного числ а очков , то А С В . Обратное утверждение здесь не справедливо, та к ка к появлен ие нечетного чи сла не делает достоверным появлен ие 3 очков. Если, вчастном случае,справедливы оба соотношения АСВ иВСА, тособытияАаВ называютравносильнымии пишут:А=В. Объединением (или суммой)двух событий А иВ называют событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В (т.е . или А, или В, или обоих этих событий совместно).Обозначения: С =А+В ти С=АиВ.ЕслисобытияАиВ несовместны,тособытие С=А+Вбудет состоять впоявлении либо А,либо В (безразлично какого). Объединением (или суммой)нескольких событий А],А2,■■■, назы­ ваютсобытие А,состоящее впоявлении хотябы одного изних. Обозначения: Л=А,+ ...+Л„илиА=А111...иАп. Пример 13. 1) Каждый из двух стре лков делает по одному выстре лу в одну ми ше нь. События А и В — попадание в миш е нь пер вым и вторым стре лком, тогда событие С = А + В состоит в попадании или то лько первым стрелком, или вторым, или обоими вместе. 2) Испытание: однократное бросание ифальной кости. События А 2, А , , А(, — появ­ ление 2-х, 4-х, 6 -ти очков . Тогда событие А = А 2 + А^ + А(, состоит в появлении че тного числа. Пересечением (или произведением, или совмещением) нескольких событий А^,...,Ап называется событие А, состоящее в совместном появлении всех этихсобытий.Обозначения: А=А^■■■А^или А=А\П...ПА„. Пример 14. 1) В условиях примера 13,1 событие С = А В означает совместное попадание в ми­ ше нь обоими стрелками. 2) В условиях примера 13,2 событие С = Л 2Л 4Л6 = V, т.е . является невозможным, так как Аг, А^, А(, — несовместные в одном испытании собьггия. Длялюбых случайных событий А,В,С справедливы соотношения: А+В=В+А, АВ =ВА. А+В=АВ+В, А+А=А, АА =А. (А+В)+С=А+{В+С), (АВ)С=А{ВС), {А+В)С=АС+ВС, АТВ=I■в, А+В=аТв, А■А=V(невозможное событие), А+А=17(достоверное событие). События Аи А называются противоположнымиили дополнительнымидруг кдругу.Запись:А=11-АилиА=1/\А{А=[I-АилиА=и\А).Говорят при этом, что событие А является разностьюсобытий V иА.
«) Рис. 15 .1 Разностью любыхдвух событий А иВ обозначение: А -В или А\В) Называется событие С,означающее, что событие А происходит, а В не про­ исходит Если случайное событие понимать геометрически как попадание точ- •м в некоторую область на плоскости, то соотношения алгебры событий допускают наглядное толкование. На рис. 15 .1 каждый из четырех прямо­ угольниковозначаетполную группуЕ элементарныхисходовиспытания так. Что попадание точки в прямоугольник является достоверным событием V, Поскольку врезультате испытанияодин изэлементарныхисходовобязательно Произойдет Нарис. 15 .1аизображены два несовместных (непересекающихся) СобытияАнВ.на рис.15.1бобъединение (сумма)событий АиВ заштрихо- ®вно;пересечение событий АиВ изображено на рис.15 .1взаштрихованной °бщей частьюобластей >4иВ^^нарис.15 .1гсобытие Аизображенозаштрихо­ ванной областью,асобытие А внешней к области А частью прямоугольника (см.также рис.17 .1).Площадьпрямоугольника принимается равнойединице, 3Площади областейравны вероятностям соответствующих событий.
15.1 .6 . Правила сложения и умножения вероятностей 1. Вероятность объединения (суммы)двух несовместных событий Л иВ равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(Л)+Р(В). Длянескольких попарно несовместных (когда несовместны любые два из них) событий Аи■■■,А „ справедливо равенство Р(Л,+ ...+А„) =Р(А,)+...+Р{А„). Сумма вероятностей противоположных событийравна единице: Р(4)+Р(1)=1. Пример 15. 1) В урне 30 шаров оди накового размера: 5 красных, 10 синих, 15 белых. Найти ве­ роятность появления цветного (с инего или кр асного) шара при однократном извле чении. Решение. Вероятность появления красного шара Р{А) = 5/30, синего Р (В ) = 10/30. События А а В несовместные, следовательно Р{А +В) = Р{А) +Р{В) = 1/2. > 2) Вер оятнос ть выпа ае ни я 3-х очк ов (соб ыти е ^4) при одном броса нии игральной кости Р(А) = 1/6. Вероятность невыпадения 3-х очков (событие А) Р(А) = 1- Р(Л) = 5/6. 3) В урне находятся п белых и черных шаров одина кового размера, из них т белых. Найти вероятность того, что из к наугад извле че нных шаров есть хотя бы один белый. Решение. Обозначи м соответственно А и А противоположны е соб ыти я: «среди из­ вле ченных шаров е сть хотя бы один белый» и «все извле че нн ые шары черные». Тогда — — С* Р(А)+Р(А)=1.ПриэтомР(А)= , так как число всех исходов испытания равно С „, а число способов извлечения к черных шаров из (п - т ) черных шаров — равноС„_„ (А< п - т). Следовательно, Р(А) = 1- Р{А) = 1------------------> Если попарно несовместныесобытияА],,А „образуютполную группу (т.е. врезультате испытания только одно из них обязательно происходит), то Р(^,)+...-ЬР(^„)=1. 2. Условная вероятность. Два события АиВназываются независимыми (друготдруга), если появление одного изних не изменяет вероятность появ­ лениядругого (т.е .невлияетнанее).В противном случаесобытия называются зависимыми. Независимость (зависимость) событий является взаимным свой­ ством.
Вероятность события В, вычисленная приусловии, что событие Ауже наступило, называется его условнойвероятностьюи обозначается Р{В\А) или Рл(В).Если событияЛ иВ независимые,то Р{В\А)=Р{В),Р(А\В)=Р{А), т.е .условная вероятность равна обычной,безусловной вероятности, при вы­ числении которой никаких другихусловий, кроме условий 3(см. 15 .1 .1)не налагается;тогда как Р{В\А)вычисляется придополнительном условии, что произошло событие А. Пример 16. И з ур н ы, содержащей 4 белых и 4 черн ых шара, дважды извле кают по одному шару. Пусть событие А — при первом извлечен ии вынут белый шар, В — при втором извлечен ии вынут черный шар. Тогда Р ( А ) = 1/2. Е с ли после первого из­ влечения шара его во звращают обратно, то неза висимо от исхода первого извл ече ни я вероятность соб ытия В равна Р { В ) = 1/2. Здесь Л и В — неза вис имые события . Пусть теперь извле ченн ые шары не возвр ащаются обратно. Е сл и первым извле ­ чен белый шар (произошло событие Л), то Р(В\Л ) = 4/7, так как после первого извлечения осталось 7 шаров, из котор ых 4 черных. Ес л и бы в первом извле чении был вынут черный шар (т е. событие А не произошло бы), то вероятность события В была бы равна 3/7. Вер оятнос ть соб ытия В зави сит от появлен ия или не по явлен и я А. Здесь А и В — за висимые события . 3. Вероятность пересечения (совместного появления) двух зависимых со­ бытийА нВ равна произведению вероятности одного из них на условную вероятностьдругого, вычисленную приусловии,что первоесобытиеуже про­ изошло Р{АВ) =Р(А)■Р(В\А)=Р{В)■Р{А\В)=Р(ВА). Если события А кВ независимы, то Р(АВ) =Р{А)■Р(В). Правило умножения вероятностей обобщается на случай произвольного Числасобытий.Например,для трехсобытий А.В ,С: Р(АВС) = Р(А)■Р(В\А)■Р{С\АВ). Здесь Р{С\АВ) — вероятность события С, вычисленная при условии, Чтособытия А иВ уже произошли. Порядок расположения А,В,С может бытьлюбым. *^Ример 17. В условиях примера 16 найти вероятность Р ( А В ) того, что первым и в т о ­ ром будут извлечены (без возвращен ия обра тно) белый и черн ый шар соответстве нно. Общение. Р {А) = 4/8, Р(В\А) = 4/7, следовательно, 442 Р(ЛВ)=-.- =-. Задача может б ы ть решен а та кже непоср едственно по опреде ле нию вероятности ^(С)=Р{АВ)=т/п = 2/7, гдеобщеечислоисходов п — = 8•7=56,ачисло ^■^агоприятных исходов т = 4 •4 = 16. [>
Пример 18. Найти вероятностьсовместного попадания вцельдвух орудий,сделавших по одному выстрелу. Вероятность попадания первого орудия (событие А)равна 0,9, авторого(событиеВ)—0,8. Решение. События А иВ независимые, следовательно Р{АВ)=Р(А)■Р(В)=0,9 •0,8 =0,72. > Случайныесобытия ,А „ называютсянезависимымивсовокупности, еслинезависимы любыедваизних,атакже независимы каждоесобытие ивсе возможные пересечения остальных. Из независимости всовокупности следуетпопарная независимость(когда независимы каждые два события из нескольких событий), но не наоборот. Длянезависимых всовокупности событий справедливо Р(А, •••А„) =Р(Л,)---Р(4„). Еслисобь^ияЛь ..., — независимы всовокупности,топротивоположные события Л1, ... А„ также независимы всовокупности. 4. Вероятность появления хотя бы одного из событий. Пусть в результате испытания могут произойти все п независимых в совокупности событий А1,...,А „, имеющих вероятности появления р]= Р(А\),Р2= Р(А2), р„= Р(А„), либо только некоторые из них (в частности, ни одного, либо только одно).Тогда событие А, состоящее в появлении хотябы одного из А| А„,и событие А=А) А2...А„(т.е.непоявление ни одногособытия) противоположны и Р{А)+Р(А)= I .Отсюда следует: Р{А) = Здесь91=I-Р1,92=I-Р2,■■■,?п=1-Рп- Еслир,=р2= ...= =р,то Р(Л)=1-д"(9=1-р). Пример 19. Ка жд а я из трех игральных костей брошена по одному разу. Найти веро­ ят нос ть выпадения одного очка хотя бы на одной кости (с об ыти е А). Р е ш е н и е . Соб ытие А означает выпадение одного очка толь ко наодной кости, либо на двух, ли бо на трех. С об ыти я выпаде ни я 1 очка на каждой из костей независимы в совокупности. Вероятность каждого из них р = 1/6. Вероятности противоположных событий ц=\ -р —5/6. Отсюда Р(А) = \ ~ = 91/216. ^ 5. Правило сложения вероятностей совместных событий.Вероятностьобъ­ единения (суммы)двухсовместных событий АиВравна Р{А+В)=Р{А}+Р{В)~Р{АВ). (15‘) При этом события А ив могутбытьлибо независимыми, либо зависимыми. Длянезависимых событий Р{АВ) = Р(А)■Р(В).
адлязависимых Р{АВ) = Р{А}Р(В\А). ЕслиАиВ несовместные,то Р(АВ)=0 и Р{А+В)=Р{А)+Р(В). Формуле (15.1)соответствует рис. 15 .1б. Длятрех совместных событий справедливо Р(Л+В +С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС). Пример 20. Брошена иф а л ь на я кость. Най ти вероятность выпадения четного либо |фатного трем числ а очко в. Решение. Пусть событие А — выпадение четного числа очков, В — кратного трем. События А и В совместны (выпадение 6 очков). Находим Р(А ) = т / п = 3/6, Р(В) = 2/6, Р (А В ) = 1/6 (вероятность выпадения 6 очков). Следовательно, согласно формуле (15.1) получим Задача может б ыть решена также непоср едс тве нно с исполь зова нием определения Мроятности. Благоприятным для А являются исходы Е 2, Е 4,Е ^ , для В — исходы ®з,.Вб,дляА+В —исходыЯг,Вз,Е4, т.е.т =3+2-I=4,п=6и />(Л+В)= - =? О п 3 15.1 .7 . Формула полной вероятности. Формулы Байеса 1. Пустьслучайное событие А может произойти приусловии появления одногоиз попарно несовместныхсобытийВ[,Вг,..., В„,образующих пол- иуюгруппу(т.е .одно из них обязательно происходит при испытании), тогда ‘справедлива формула полной вероятности Р(А) = Р(В,)■Р(А1В,)+... +Р(В„)■Р(А\В„). (15.2) Здесь Р(Вк) — вероятности событий Вц (*; = 1,...,п), называемых ''"•отезами для события А, при этом Р(В,) + ... + Р(В„) =1;Р{А\В1с) — Условные вероятности события А. ^Ример 21. Име ю тся две урны. В первой 3 белых и 4 черн ых шара. Во второй 2 белых, Черных. Най ти вероятность того, что наугад извл ечен ный шар из наугаа выбранной ’Т’Чы ока жется белым. Пусть событие В| — выбрана первая урна, В 2 — вторая. Поскольку урн всего Р(В|) = 1/2, Р(Вг) = 1/2.Условные вероятности Р{А\В\) = 3/7, Р(Л|В;) = 2/8, '^''событие А — вынут белый шар. П о формуле (15.2) находим 13 12 19
2. Вероятности гипотез,принятыедопроведенияиспытания,равны Р(В^) {к=1,2 ,, п).Имеем Р(АВ,) = Р(А)■Р(В,\А)=Р(В,)■Р(А\В,). Отсюда получаем Подставляя сюда Р(А) из (15.2), находим формулы Байеса: (.^ .,2,..„П), (.5 .3) ^ Р{В,)Р(Лт 1=1 позволяющие найти условные вероятности гипотез Р(Б*|^4) после испыта­ ния, при котором произошло событие А (переоценка вероятностей гипотезпо результатам нснытання).В частности, если Р(В,) = ... = Р(В„) = 1/га,фор­ мулы (15.3)упрощаются: Р^В,А)^-Р^■ Ер{т) 1=1 Пример 22 . Пусть в ус ловиях примера 21 после испытания стало известно, что вынут белый шар (произошло событие А). Какова вероятность того, что шар вынут из первой урны? Из второй? Решение- Вероятности гипотез Б| и В 2 до испытания Р{В^) — Р {В 1) = 1/2. Вероят­ ности гипотез после и сп ытан и я находим по формулам (15.3): 12 (1/2)(2/8) 7 15.1 .8 . Повторение испытаний 15.1 .8 .1 . Формула Бернулли Пусть некоторое испытание повторяется гараз. В каждом испытании может произойти или не произойти случайное событие А. Пусть вероятность р события А в каждом изэтих испытаний одна и таже и не зависитотисходов другихиспытаний (независимые относительно А испытания).Вероятность по­ явлениясобытияА(т.е .непоявления А)равнад= 1-р вкаждом испытании. Вероятность того, что врезультате п испытаний событие А произойдетровно т (т^п)раз(и не произойдет п- т раз), находится по формуле Бернулли Р„(т)=С-р"‘-9"-’", С= 0!=1 . т!(п - т)!
Вероятности наступления события А вп испытаниях: 1) менее т раз, 2) более т раз, 3 ) не менее т раз, 4 ) не более га раз — находят по формулам: 1)Р„{к<т) =Р„(0)+Р,(1)+...+Р„(га-1), 2)Р„{к>т)=Р„(т+ 1)+Рп(т+2)+ ... +Р„(п), 3)Рп(к^ го)=Р„(га)+Р„(т+1)+...+Р„(п), 4)Рп{к<т)=Р„(0)+Р„(1)+...+Р„(т). Пример 23. М он е ту бросают 5 раз. Н айти вероят нос ть того, что герб выпадет: 1) менее двух раз, 2) не менее двух раз. Решение. 1) Р,(к<2)=Рз(0)+Р5(1)= •(5) •(0 +Сз•(0 •(0 = 5! 1 5!1I 3 “ 0!^ ' 1!4!’2 ’16“ 16’ 2) Вероятность можно найти либо по формуле Р^(к > 2) = />5( 2 ) + /’5(3)+Р5(4) + Р5(5), либо с учетом того, что со б ыт ия в пунктах 1) и 2) противоположн ы: Р5(*>2)=1-Р(к<2)=1--^ = Н. О ' 5 .1 .8 .2 . Локальная теорема Лапласа ^ Роятность того, что при п независимых испытаниях, в каждом из которых ^^Роятность события А постоянна и равна р (0 < р < 1), это событие произой- ровно т раз, приближенноравна (тем точнее, чем болыие п): Р„(т)= -^>р{х), ,/прд , . 1 -хЧ1 т-пр 1р(х)= -у=е ',I=— \/27Г ^/гЩ функция !р(х) — четная, т.е . ^ (-х) = у(х); ее значения приведены ^табл. 15 .1 на с.765. *^Ример 24. Найдем вероятнос ть того, что событие А н аступи т ровно 125 раз в 250 ^^пытаниях; в каждом испытании Р {А) ~ 0,5. Рс 125-0 ,5 -250 „ '5^йение. По условию п = 250, тп = 125, р = ^ =0,5. Величина ж= _ _ . . . - =0,00. у250*0,5 *0,5 '^табл. 15.1 находим ^ (0,00) = 0,3989. И ск ома я вероятность
700 Глава 15. Теория вероятностей и математическая статистика 15.1 .8 .3 . Интегрольная теорема Лапласа Вероятность того, что при п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность события А одна и та же иравна р (О < р < 1), это событие произойдетнеменее ГП| разинеболееГП2раз (т. е. Щ\ ^ т ^ т г ) , приближенно равна (при достаточно большом п): Р„{тит2)=Я „(т|< т ^ п»:)=Ф(х2)-Ф(х1), Ф(х)= [е (1г, Х\ = хг= ' ' . /т ТП2-Пр у/Ш ' ^ /прЯ о ЗначенияфункцииЛапласа Ф(а:) приведены втабл. 15 .2для х^ 0.Функ­ цияФ(х)нечетная,т.е .Ф(-х)= -Ф(х).Прих>5приближенноФ(з:) 0,5. Пример25. В условиях примера 24 найдем вероятность того, что т примет какое- либо значение от гт»! = 100до тг = 125. Решение. Имеем 100- 250 -0,5 По табл. 15.2 находим Ф(-3 ,15)= -ф (3,15)= -0 ,499; Ф(0,00)= 0,000. Искомая вероятность Р25о(100;125)=Ф(Х2)- Ф(1|)=0,000+0,499 =0,499. > Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых случайное событие А происходитс постоянной вероятностью р(О< р < 1), тогда вероятность того, что абсолютная величина отклонения относительной частоты т/п от вероятности р=Р(А)не превышаетзаданного числа г > О, приближенно равна 15.1 .9 . Случайные величины. Дискретные случайные величины Случайной величиной называется действительная переменная величина, кото­ раяврезультате испытания случайно принимаетодно и только одно значение из множества ее возможных значений.При повторении испытаний случайная величина может принимать различные значения. Например, число очков, выпавших при однократном бросании Ифальной кости, является случайной величиной, принимающей какое-либо одно значение от 1до 6. Случайная величина называетсядискретной,если еевозможные значения можно перену­ меровать. Множествоэтихзначений можетбытьлибо конечным (как вслуча®
иральной кости), либобесконечным (счешым).Случайные величины обо­ значаютобычнобольшимибуквами X,У ,2,., аи\возможныезначения — РЬответствуюшимималымибуквамих,у ,г,..., возможно,синдексами.Каж­ домуэлементарному исходуЕ^испытания ставится всоответствие некоторое число x^(возможное значение случайной величины X).Например, в случае ^фавильной ифальной кости величина X принимает значения Х1= 1, ..., Хб=6, каждое с вероятностью 1/6.Если игральная кость неправильная, то возможные значения X будуттеми же, но их вероятности — другими. При этом сумма всех вероятностей также будетравна 1. Непрерывная случайная величина может принимать любое значение изнекоторого промежутка, конечного или бесконечного. Например,рассто­ яние, пролетаемое снарядом при выстреле из орудия, является непрерывной случайной величиной. Законом распределения дискретной случайной величины X называется ^соответствие между всеми ее возможными значениями Х{и вероятностями ихпоявления = Р{Х=Х(). Закон распределениядискретной случайной величины можетбытьзадан ввидеформулы,выражающейр^какфункцию отх^, атакже ввидетаблицы, в1соторой перечислены возможные значения x^и их вероятности р^: XX,Х2 Хп рР|Р2 Рп гдер|+Р2+.. ,+р„ = 1,таккаксобытияX =Х), ..., X =Хпобразуютполную Ч>Уппу.Если множество значений величины X бесконечно (счетно), то ряд Р|+Р2+ •••должен бытьсходящимся, аего сумма — равной 1. ' Законраспределения можно изобразитьтакже фафически,если впрямо- •Я’ольнойсистемекоординатпостроитьточки (Х{,р{)(1= 1,2,...) (рис.15 .2а,б). С каждым случайным событием А можно связать специальную случай- **Уювеличину 1а, называемую индикатором этого события и принимающую *ВДькодва значения: если А произощло, если А не произошло. Индикатор события А, имеющего вероятность р=Р{А), является дис- *Ретной случайной величиной с законом распределения: - С: 1л 0 1 Р д=\-р Р 1.9 .1 . Биномиальное распределение . ^усть производится пнезависимых испытаний, в каждом из которых может оизойти событие Асодной итой же вероятностью р,авероятностьего не- *вления д=I-р.Обозначим Xдискретную случайную величину,равную
0,1 ОХ| ж, X, X, X а) Рис. 15.2 числупоявленийсобытияА вписпытаниях. Возможнымизначениями X бу­ дутчислаО,1,2 ,..., п - 1,п .Вероятности ихпоявления находятся поформуле БернуллиР{Х=т)=Р„{т)= гдет =О,1,2,..., п.Законрас­ пределения случайной величины X можетбытьзаписан в виде таблицы X 0 1 т п р9" с'от"-' „тп п—т С„р д р" Случайная величина X называется распределенной по биномиальному закону с параметрами пир. При этом: п '^Р„{т)=(р+дГ=\’'= \.
15.1 .9 .2 . Геометрическое распределение ПустьвероятностьпоявлениясобытияАвкаждом изнезависимыхиспытаний постоянна иравнар(О<р<1),авероятностьнепоявления Аравна^ = I-р . Испытания заканчивают при первом появлении события А. Обозначим X дискретную случайную величину,равную числу испытаний т, проведенных допервого появления А.Возможные значения X:Х\=\, =2,... . Веро­ ятностьпоявления Авт-м испытании инепоявленияего впредыдущихт - 1 испытанияхравнапоправилуумножения вероятностейнезависимыхсобытий: Р{Х=т)=д”'~'р (т=1,2 ,...). Закон распределения случайной величины X : ЯР ЯР Значения вероятности Р образуют геометрическую прогрессию, сумма которой равна единице. Пример26. Бросают ифальную костьдо первого пояаления 1очка. Найти вероят­ ность появления 1очка при третьем бросании. Решение. Вероятность появления 1очка при одном бросании р=1/6 {д=5/6). Ис­ комая вероятность 15.1 .9 .3 . Гипергеометрическое распределение Вурне находится N шаров одинакового размера, среди которых М белых {М^N)иN -М черных.Изурнынаугадизвлекаютодинзадругимпшаров ^ ТУ) без возврата обратно (поэтому формула Бернулли неприменима), '^значим X случайную величину, возможные значения которой равны '*ислут белыхшаровсреди пизвлеченных.Множество возможных значений О,I,2,..., т т{М,п}.Вероятностьтого,чтовеличинаX приметзначение равна (согласно классическому определению вероятности): Р(Х=т)=— (га=О,1,2,..., т1п{М,п}). Распределение вероятностей, определяемое этой формулой, называется ''•пергеометрнческим с параметрами N.М ,п . Если числа М,М, N —Мзна- "•ительно превышают п, то гипергеометрическое распределение может быть Приближенно заменено биномиальным, в котором р = М/М. Пример27.Дано;ЛГ=40,М =10,п =4, т =1.ИмеемР{Х=2)= ” = 0 ,214.
15.1 .9 .4 . Распределение Пуассона 1.ДискретнаяслучайнаявеличинаX,принимающаябесконечноесчетное множество возможных значенийО,I,2,... с вероятностями Р(Х=т)=Р,(т)= (т=0,1,...), т' где число а > О — параметр распределения, называется распределенной по 00 законуПуассона. Справедливо равенство ^ Ра(т)=1. т=0 Распределение Пуассона,являющеесяасимптотическим длябиномиаль­ ного распределения при малых значениях р и больщих п = а/р, можно использоватьдля приближенного вычисления вероятностей вбиномиальном распределении, если п очень велико, ар — мало, и при этом пр = а — постоянно;Р„(т) Ра{т).Имеются специальные таблицыдля нахождения Ра(т)дляразличныхаит. П р и м е р 2 8 . Вероят ность поврежде ния каждого изделия при перевозке р = 0,001. Отпр авлен о в перевозку п = 1000 изделий. Н ай ти вероятность того, что при перевозке будет повреждено изделий: 1 ) ровно два, 2) менее двух, 3) более двух, 4) хотя б ы одно. Решение. Параметр а = пр= 1000 ■0,001 = 1. 1) т =2,Р(Х=2)=Р,(2)= —е~'=0,184. 2) Р(т<2)=Р,(0)+Р,(1)=^е-' +{те'' =2е-‘= 0,736. 3) Событи е «повреждено более двух изделий» противоположн о соб ытию ♦повре­ ждено не более двух». И с кома я вероятность равна Р(т> 2) = I - [Л(0) -ИР|(1) -НР ,(2)] = 1- (0,736+0,184)= 0,08. 4) Соб ыти я: «повреждено хотя бы одно изделие» и«не поврежденони одного изде- ЛИЯ, т. е. т = О» п рот ивоположны. И с ко ма я вероятность равна 10 1-Р|(0)= 1- —е“ ' = 1-0,368 =0,632. 1> 2. Простейший поток событий.. Потоком событий называется последо­ вательность событий, происходящих одно за другим в случайные моменты времени. Поток событий называется простейшим (пуассоновским), если вы­ полнены условия: 1)вероятностьпоявления т событий(т = О,1,2,...) запромежуток вре­ мени I зависит только от числа т и от длительности ( и не зависит от выбора начала отсчета 2) вероятность появления т событий за промежуток I не зависитотпояв­ ления или непоявления событийдо начала этого промежутка;
3)вероятность появления более одного события за малый промежуток времени пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события; 4)вероятностьпоявленияодногособытиязабесконечномалый промежуток времени (Ипропорциональна величине М. Вероятность появления т событий простейшего потока за промежуток времени I находится по формуле Пуассона т\ Здесь А — среднее число событий, появляющихся в единицу времени. Величина а=XIравна среднему числу событий за время I. Пример 2 9 . Среднее чи сло вызовов, поступ аюших на АТС в одну минуту, р авно трем. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: а ) четыре вызова, б ) менее трех вызовов, в) не менее трех вызовов. Решение. ЗдесьА=3,( =2,А<=6. а) т =4,Р(т =4)=Р2(4)= ----=0,135. 4! б) Событие п оступ ле ния менее трех вызо вов озн ачает наступле ние одного из следу­ ющих попарно не совмес тных соб ытий: поступил о О, 1 или 2 вызова. П о правилу сложения вероятностей ис комая вероят нос ть равна: б“е-‘ 6'е-‘ 6^е-‘ Р(т<3)= Р2(0)+Р,{\)+Рг(2)= — +— +— = 0,0625. в) Событие поступ ле ния не менее трех вызово в противоположн о соб ыт ию по ступ­ ления менее трех вызовов. След овательно, ис комая вероятность равна Р(т^ 3) = 1 - [Р2(0) -I-Я2(1) + Р2{Щ= I - 0,0625 = 0,9375. 1> ^^•1.10 . Непрерывные случайные величины '^■1.10.1. Интегральная функция распределения 1. Интегральнойфункцией распределения непрерывной случайной вели- Чины X называется функция ^’(х),равная вероятности того, что случайная ®*личина примет какое-либо значение, строго меньшее чем I, т.е. Р(х)=Р(Х<х). При этом функцияР(х)непрерывнаи имееткусочно-непрерывную про­ изводную 2.Длядискретной случайной величины X функцияраспределения Р(х) сумме вероятностей всех еезначений,строго меньших чем х\ Х1,<Х в точках X = Хкфункция Р{х) имеетразрывы первого рода, г. ....... ..
Пх) 0,5 0,2 Рис. 15.3 П р им ер 30. Для дискретной случайной величины, заданной законом распределения X 123 р 0,2 0,3 0,5 найти функци ю распределения Р (х ) и построить ее ф аф ик. Решение.Если х<1, то Р(х)=Р{Х<х)=Р{Х<I)=О, так как левее х=\нет возможных значенийX. Если I<х<2, то Р{х)=Р(Х<2)=Р{Х=I)=0,2.Если 2<1 <3, то #’(а:)=Р(А:<3)=Р(Х =1)+Р(Х =2)=0,2+0,3 =0,5 (по правилу сложения вероятностей несовместных событий). Если х>3, то Р{х) = Р {Х = + Р(Х =2)+Р(х=3)=0,2+0,3+0,5 =I,так каклевееточек I >3находятся всетри возможн ые зна чен ия X . 1; 2; 3. Следовател ьно, Р {х ) можно записать в виде Р(х)^ СО при1^1, I0,2 приI<I <2, I0,5 при2<X^3, II при*>3. Графику= Р{х) приведен на рис.15 .3 . 3. Свойства интегральнойфункции распределения; 1)Функция Р{х) —неубывающая,т.е .если I, < Х2,то Р{х\)^ Р(Х2)- 2)О Р{х)^1. 3) Вероятностьтого,чтослучайнаявеличинаX приметкакое-либозначение впромежутке |а;6),равна Р{а ^ X <Ь)=Р(Ь)~Р{а).
4) Вероятность того, что непрерывная случайная величина X приметодно определенное значение Х],равна нулю, т.е . Р{Х =Х() = 0.Однако это не означает, что событие X =Х1невозможно. Хотя вероятность невозможного события равна нулю, из равенства Р{А)= О не следует невозможность появления события А. Из Р{А)=1 не следуетдосто­ верность А. Вместе с тем при классическом определении вероятности равенство нулю (единице) вероятности некоторого событияравносильно его невозможности (достоверности). 5) Справедливы равенства: Р{т^Х <Ь)=Р(а<X <Ь)=Р{а<X ^Ь)=Р{а^Х ^ Ь). 6) Если возможные значения случайной величины X расположены только винтервале(а;Ь),тоР{х)=ОприI ^ аиР(х)=1приI ^6.Вчастно­ сти,если возможныезначенияслучайной величины расположены навсей числовой оси (рис.15 .4),то Пт ^’(х)=0, Ит Р(х)=1. Г -^+00 7) Функция Р(х)длядискретной случайной величины непрерывна слева влюбой точке X=Хо'. Ит Р(х) = Р(хо). Х-*Хо~0 ^^.1 .10.2. Дифференциальная функция распределения 'дифференциальной функцией распределения (плотностью распределения, или •Чогностью вероятности) непрерывной случайной величины X называется Функция /(х),равная производной от Р(х): /(х) = Р'(х). Плотность распределения неотрицательна: /(х) ^ 0. Вероятность по- •'адания величины X в промежуток (а;Ь)равна площади криволинейной
(15.4) трапеции подфафиком у=/(х)(рис.15 .5): ь Р(а<Х <Ь)=Р{Ь)-Р(а)=^/(х)йх. а Отсюда, вчастности, следует: X Р(х) =У /(х)(1х - ОС Дляфункции /(х) выполняется условие нормировки X У }(х)Лх^\. Пример 31. Да на плотно сть распределения непрер ывной случай ной величи ны X ■О, I<О, /(*) = 0<хО, ,0. г>6. Опреде лить вероят нос ть попадания X в интервал ( I ; 5). Н айти функцию Р(х)- Решение. />(1<ЛГ<5)= ' ' [—йх= — У18 36 уле (15.4). Ес ли О т ^ Функцию Р{х) находим по формуле (15.4). Если х ^ О, то /{х) = О, следова­ тельноР(х)=0.ЕслиО<I <6.то
ЕслиI >6,то и о X Р(х)=^ОЛх+^ ^ ^ 0<1х= \. ■0, I<0, Р(х)= . 36' 0<I<6, 1, х> Ь. > Таким образом. 15.1 .10.3 . Примеры непрерывных распределений 1. Равномерноераспределение.Случайная величина X,принимающая все СЮНвозможные значения только на отрезке [а;6), называется равномерно распределенной,если ее плотность распределения равна: О, С= /{х) = 1 Ь-а ' I<о, а^I ^6, О, X>Ь. На |о;6]функция /(г) постоянна,а вне [а;6]равна нулю. Постоянная Снаходится изусловиянормировки Р{а ^ 1 ^ 6)= С(Ь-о) = 1.Равномерное распределение X на [о;6]соответствует понятию о выборе точки на [а;6| •наугад». Интегральная функцияравна Р(х) = О, X-а X<а, - , а^X<Ь, Ь-а 1, X>Ь. Графики у =/(х) ну =Р(х) приведены на рис. 15 .6 и 15.7 соответ­ ственно. Лх) I- -г-
2. Нормальное распределение (распределение Гаусса). Непрерывная слу­ чайная величина X. принимающая все свои возможные значения на проме­ жутке (-оо;-Ьоо), называется нормально распределенной, если ее плотность распределения имеет вид где а и (Т> О — параметры распределения. График р = /(х) приведен на рис.15 .8 .Точка х = а является точкой максимума /(х) и /(а) = — т=- а\/2ж График /(х) симметричен относительно прямой х = а. Абсциссы двух то­ чек перегибаравны {а-<т)и{а+<т).При |х| -> +оо функция /(х) 0. При (Г~ 1, а = О нормальное распределение называется нормированным и центрированным (стандартизованным).Вероятностьпопадания нормально рас-
пределенной случайной величины в интервал (Х];13)равна Ф(х)= \/^ йг. ЗначенияфункцииФ(х) приведены втабл.15 .2 .Вчастности,вероятность осуществления события [ДГ- а| < й, где <5> О ~ заданное число,равна Р(|Х-а|<Л)= - Ч;)' Правило «трехсигм»:если случайная величина X распределена нормаль­ но,то вероятностьтого,что \Х-о|превышаетЗс,равнаприближенно 0,003. 'Справедливо равенство Р(|.У - а|<3<т)=2Ф(3)=0,997. 3. Показательное (экспоненциальное) распределение. Непрерывная слу­ чайная величина X называется экспоненциально распределенной,если ее плот­ ность вероятности имеет вид /(х) = гдеА — положительный параметр. Интегральная функция Р{х) имеет вид Пх)= {О, X<О, \е~^, х^О, етр. х) имеет вид -Г' X<О, X>0. Графики у = /(х) иу =Р(х) приведены на рис.15 .9 и 15.10 соответ­ ственно.
15.1 .1 1. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины 1 5.1 .1 1 .1 . Математическое ожидание Математическим ожидание М{Х) дискретной случайной величины X назы­ вается число, равное сумме произведений всех возможных значений x^на их вероятности р,: М{Х)=х,р|+Х2Р1+...+х„р„. Если X принимаетсчетное множество значений, то еслирядсходитсяабсолютно(иначе математическоеожидание несуществует). Пустьдискретнаяслучайная величина X можетприниматьтолько конеч­ ное множество значений Х\,... ,х„. Пустьврезультатедостаточно большого числа испытаний каждое значение Х{встретилось (1=I,... ,п)раз, причем N1+...+N„ = N.тогда среднее арифметическое х всех полученных значенийравно X„N„)=Х1^+. Придостаточно большо.м N справедливо N^/Nкр,(см. 15 .1 .3).Следо­ вательно, М(Х)к, X. Это равенство тем точнее, чем больше N. Пример 32. Для случайной величины X — числа очков, выпавших при однократном бросании иф ал ь ной кости, закон распределения имеет вид X 1 2 3 4 5 6 р 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Математическое ожидание: М(Х)=7(1+2+3+4+5+6)=3,5. 6 Математическое ожидание числа появлений событияводном испытании равно вероятности этого события. Свойства математического ожиоания; 1) Математическое ожидание постоянной величины С равно М(С)=С. 2)Постоянный множитель можно выносить зазнакматематическогоожи­ дания: М{СХ)=СМ{Х). 3)Математическое ожидание суммы случайных величинравносумме мате­ матическихожиданий:М(Х-ЬК)= М{Х)-I-М{У).Равенствосправед­ ливодля суммы любого числа произвольныхслучайных величин. Примечание 1. Сумма Х +У определяется как случайная величина 2 = Х +У, воз­ можные зн ачен ия которой р авны суммам всех возможных значений X и У. Ан ал ог ично для су ммы любого чи сл а случайн ых величин. 4) Математическое ожидание произведениядвухнезависимыхслучайных ве­ личин равно М(Х■У)=М(Х)-М(У).Равенствосправедливодлянесколь­ ких взаимно независимыхслучайныхвеличин, например М(ХУ2)=М(Х)М{У)М{2). Примечание 2. Две случайн ые ве личины X , У называются независимыми, если закон распределения каждой из них не завис ит от того, ка кие возможные зна че ния п риняла Другая. Н е ско лько случайн ых ве ли чин н азыва ются взаимно независимыми, если закон Распределения любого их чис ла не зависи т от того, ка ки е из возможных значений Приняли остальные . Примечание 3. Произведение 2 = Х У независимых случайных величин X, У опреде­ ляется ка к с лучай ная вели чина, возможн ые зна чен ия которой р авны прои зведениям ■каждого возможного зна че ния X на каждое возможное значение У. А на лог ично для любого чис ла не завис имых случайн ых вели чин. ^1ример 33 . М атематичес кое ожида ние б иномиал ьно распределенной случайн ой ве- ■^Ичины X : М{Х)=^ = пр. т=0 Следовательно, мате матиче ское ожид ание чис ла появлен ий с обытия А в п неза- ®^*симых и спытан иях равно произведению п р. где р — Р { А ) — вероятность появления в каждом и сп ытан ии. В п и спыта ниях соб ытие А по явится примерно п -р раз.
Пример 34. Математическое ожидание случайной величины, распределенной по гео­ метрическому закону: М(Х)^ +2др+ Зд^р+ ... + +...= =рО+2,+35Ч...)=р(1+?+?Ч...)'=р(^ ) = (7^=^- пример 35. Для случайной величины, распределенной по закону Пуассона: 15.1 .11.2.Дисперсия ДисперсиейВ{Х)случайной величины X называется математическое ожида­ ние квадратаотклонения X - М{Х)этой случайной величины от ее матема­ тического ожидания М(Х): В(Х)=М[Х-М(Х)]^= = р ,(г1- а)^+Р2(Х2-а)^ ... - а)^ [а= М(Х)]. Л-1 =ае"е“=о. Величина <т{Х)= ^ 0{Х) называется средним квадратическим отклоне­ нием (или стандартом) случайной величины X. Дисперсию можно вычислить также поформуле П{Х)=М(Х^) -|М(^)1^ где М(Х^) =Р ,Х| -1-Р2Х2+...+Рпх1. Пример 36. Для случайной величины в условиях примера 32 имеем: В{Х)=^[(1-3,5)'+{2-3,5)'+(3-3,5)' -|-(4-3,5)' -I-(5-3,5)' (6-3,5)'] = Свойства диснерсин: 1)Дисперсия постоянной Сравна 0{С)=0. 2) Если С —постоянная, то П(СХ)= С^В(Х). 3)Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: 0(Х + К)= 0(Х)+0(У). В частности, если У =С =С0П51,то В{Х +С)=0{Х).Дисперсия суммы любого числа попарно независимыхслучайных величин равна сумме дисперсий отдель­ ных слагаемых, например,0(Х+У+2)=0{Х)4-0(У)+0(2).
4) Длядвухнезависимыхслучайныхвеличин X,У справедливо 0{Х- К)= 0{Х)+0(У), глеX -У = Х+{-1)-У. Если случайная величина X —число появлений событияА вп незави­ симыхиспытаниях,вкаждом изкоторыхвероятностьпоявления А постоянна иравнар,то0{Х)= пр(1-р). Пусть Х[,Х2,- ..,Х„ — взаимно независимые случайные величины, имеющие одинаковые законы распределения (следовательно,одинаковые ма­ гматические ожидания, равные а,дисперсии, равные О ит.д .) .Тогда М{Х)=м о{х) =о -Н^2+•.•+Х„) п ^ Х ,+Х2+...+Х„) п =о, (Г" п сг(Х)= ,/п(Х)= IгдеX=^(Х,+Х2+...+Х„). '■ Таким образом, дисперсия среднего арифметического большого числа взаимно независимых случайных величин уменьшается с увеличением числа слагаемых. П р и м е р 3 7 . Для биномиальн ого распределения В(Х)=^ (т - пр)^Ср’"?'' ^ =ПР?. <^(^) =\/пР9- т=0 П р и м е р 38. Для геоме трического распределения В{Х) = М{Х^)-[М{Х)]^='-^ . <7(Х) = ^ ^ ^ . См. также пример 34. Пр имер 39. Для распределения Пуассона 0(Х) = М{Х^)-[М{Х)]^ = а, (т{Х} = ^5. 15.1 .12 . Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины Пусть X —непрерывнаяслучайная величина с плотностью вероятности /(х). I. Математическое ожидание М{Х) величины X определяется равенством 00
Предполагается, что несобственный интефал сходится абсолюгао. 2. Дисперсия В(Х) величины X определяется равенством 00 0(х) = ! (х-а)^}(х)(1х [а = М(Х)]. (15.6) -0 0 3. Среднее квадратическое отклонение (стандарт)(т(Х)величины X опре­ деляется равенством <т(Х)= ^^0{Х). Дисперсия можетбыть вычислена по формуле 00 В{х)=У х^Пх)^х-1М{Х)]\ -оо Всесвойства математического ожидания и дисперсии дискретных вели­ чин остаются всиле идля непрерывных величин. 4.ЕслиМ(Х)=а,0(Х)= то случайная величина {X —а) называ­ ется центрированной, Х/а — нормированной, а величина V=(Х-а)/а, для которой М{У) =О,0(У) = 1, называется центрированной и нормированной (или стандартизованной). Пример 40. Дл я равномерно распределенной случайной ве ли чи ны (см. 15.1.10.3): 00 Ь х(1х а+Ь / ГXАх х}{х) = у—=. 2■ о(х)= = ~ -00 а П р и м е р 4 1 . Д л я нормального распределения (см. 15.1.10.3): -00 П р и м е р 4 2 . Дл я показательного распределения (см. 15.1.10.3): 00 00 М(Х)=I хХе~^ах = 0{Х)=I =
5. Функции случайного аргумента. Если У = 1р{Х) — заданная функция влучайного аргумента X, имеющего плотность распределения }(Х), то 00 М(У)=М(^>(Х)|=[Ф)т ах, 00 о{У) = о\<р(х)\= I [^(х) - М (У)]'/(Х) ах. 1 5. 1 .1 3 . Многомерные случайные величины 15.1 .13 .1 . Основные понятия 1.Упорядоченнаясистема (X],Хг, •••, Х „) случайныхвеличинназывает­ сямногомернойслучайной величиной(случайным вектором).Офаничимся далее ■вумерной случайной величиной (X,У), возможными значениями которой (Шяются упорядоченные пары чисел (х,у).Двумерную случайную величину Можно представить геометрически как случайную точку на плоскости Оху (т.е .точку, имеющую случайные координаты).Составляющие X иУ случай­ ного вектора могутбыть либодискретными, либо непрерывными. Законом Ьмпределениядискретнойдвумерной случайной величины (X,У) называется роответствие междуупорядоченными парами чисел (х;,}/;) всех ее возмож­ ных значений и вероятностями их появления Р(x^, у^) =р^^(г= 1,2,... ,п; п.т У=1,2,..., т).Приэтом ^ р^^ = 1,так как совокупность всех событий 1.;=1 (X = X;,У = )образуетполную группупопарнонесовместныхсобытий.Ве­ роятностьтого, что случайная величина X приметзначение х^, равна т Р{Х=X.) =Р(Х„у,)+Р(Х„й)+■■■+Р{ХиУш)= У])- Аналогично находится вероятность Р{У = ^/^). 2. Фунышейраспределениядвумерной случайной величины (X,У)назы­ вается функция Р(х,у), определяющая вероятность того, что X <х, У <у Длякаждой заданной пары чисел (х,у): Р{х,у)=^Р{Х <х, У <у). Свойства функции распределения: 1)О Р(х,у)<1. 2) Если Х| < Х2,то Р(х\,у)^ Р(х^, у);если у, <у2,то Р(х,ух) ^ Р{х,уг). 3)^^(-оо;у)=О,Р(х;-оо)=О,Р(-оо;-ос)=О,^^(-( -оо;-Ьоо)=I.
4) При у -> +00функция Р{х,у)переходитвфункцию распределения ве­ личины X: Р{х\+оо)= Р\{х)-, при X +00функция Р{х,у)переходит вфункцию распределения ве­ личины У: ^'(+00,»,) = ^^2Ы• 3. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Х =хи Х=хг, Г=у,, Г =у2 равна: Р(Х, X <Х2,У> <У2)= [Р{Х2,У2)-Р{Хи У2)\-[Р{Х2,У1)- Р{Х1,У1)]. 4. Двумернаяплотностьраспределения/(х, у)непрерывной случайной ве­ личины (^, У)определяетсяравенством Свойства функции }(х,у)\ 00 00 1)/(х,г ,)^0; 2)УI/(X,у)<1хау= 1. -0 0 -00 Справедливо равенство: уX Р(х<у)= ^ ! /{х,у)(1х(1у. -0 0 -00 5. Вероятность Р{С) попадания случайной точки (Х,У) в область О на плоскости Охуравна Р{С)=Р((Х,У)€С)=л /(х, у)Лхау. с 6. Математическое ожидание функции У)отдвух случайных вели­ чин X,У определяется равенством ОС 00 МЫХУ)\=УУф,у)}(х,у)йхЛу. -0 0 -00 Аналогичнодляфункции ч:>(X^, Х2,■■■,Х „)любогочисласлучайныхвеличин Х,,Х2,...,Х„.
Длядвухдискретныхслучайныхвеличин X,V: п,т М[^р(X,У)\ - ^ ^ р(x^,у^)р,^. *.;=! Плотности распределения /|(х) и{^{у)составляющих случайных величин X и У находятся по формулам: 00 00 =! Ях,у)Лу, Ы у)-= ! }(х,у)йх. -0 0 -0 0 15.1 .13 .2 . Числовые характеристики системы двух случайных величин 1.Двеслучайные величины X иУ называются независимыми,еслизакон распределения каждой из них не зависитоттого,какие из возможныхзначе­ нийприняла другая величина. В противном случаеэти величины называются зиисимыми.Для того чтобы случайные величины X,Убылинезависимыми, Яеобходимо и достаточно выполнения одного издвух следующихравенств: Р{х,у) =Р\(х)Р2(у) или /(х , г/)= /](®)/2(г/), где и ^^2—функциираспределения,а /| и/2— плотности распределения •мичинX иУсоответственно. К Аналогичнодляпвзаимнонезависимыхслучайныхвеличин Х,,Х2,.. .,Х „ Ричполняются равенства (см. также независимость событий в совокупности И5.1 .6): Х2,...,Х„) =Р{Х,)Р{Х2)■■■Р„{Хп), /(х,,Х2, . .. , х„) =/(Х|)/(Х2)•••/„(х„). 2.Для описания системы двухлюбых(необязательно независимых)слу- ■Ийныхвеличин X иУ нарядусих математическими ожиданиями идиспер­ сиями используюттакже корреляционный момент (ковариацию) и коэффи­ циент корреляции. Корреляционным моментом (ковариацией)Цху системы (X,У)называется *еличина = соу(Х,У)=М{\Х-М(Х)\■[У-М{У)]}= 00 00 [х - М(Х)]■[у-М(Г)]/(х,у)ахйу, Где =//' 00 00 м(х) = ! х/|(х)(гх, м(У)= ^ уШ)<^у-
720 Глава 1 5. Теория вероятностей и математическая статистика Длядискретных величин X,У: п т =Е 1=1 ;•= ] Коэффициентом корреляции величин X к V называется величина гху=г=-^ ; <т(Х)=7Бт, <т(Г)=у/о^), ах(Ту * * где В(Х), 0(У) —дисперсии величин X, У.Коэффициент корреляции не имеетразмерности и удовлетворяет неравенствам: -1 ^ Гху ^ I. Длялюбыхдвух(не обязательно независимых) случайных величин X.У справедливы равенства М{Х■У)=М(Х)■М(У)+гхуахау, 0(Х± Г)= 0{Х)+В(У)±2гху<тх<ту. Длянезависимых величин X,У справедливо Цху= О,Тху= 0.Две случай­ ные величины X,У называются коррелированными,если Тху^ О,и некорре­ лированными.если г^у = 0.Две коррелированные величины также и зависи­ мы. Еслидвевеличины зависимы,то они могутбыть как коррелированными, так и некоррелированными. Две независимые величины также и некорре- лированы. Из некоррелированности величин в общем случае не следует их независимость.Длясистемы двухнормальнораспределенныхслучайных вели­ чин из некоррелированности величин следуетих независимость, и наоборот. 15.1 .13 .3 . Регрессии Если случайные события А и В зависимы, то условная вероятность Р(А\В) события А отличается от его безусловной вероятности Р{А) и находится по формуле Р(А\В) = ■Аналогично, зависимость междусоставляю- шими X кУ случайного вектора(Х,У)сфункциейраспределения Г{х,у) характеризуется условным распределением. Для дискретного случая условный закон распределения величины X при условии, что событие У = ^/^{^ зафиксировано)уже произошло, имеетвид: Р(^=х,|Г=й)= - ^ , ■=| аналогично записывается условный закон распределения величины У приусло­ вии X =x^(гзафиксировано):
Длянепрерывных случайных величин условные плотности распределения даисываются в виде . /Ш- ! /(х,у)Лх ^ }(х, у)ау Составляющие X и У случайного вектора (X,У) могут быть связа­ ны междусобой вероятностной (статистической)зависимостью, называемой вуреляционной зависимостью (см. также 15.2 .7 .1)и отличающейся от обыч­ нойфункциональной зависимости. Если X иУ связаны корреляционной ■внсимостью, то для каждого возможного значения х случайной величины Xвеличина У является случайной с определенным (зависящим от значе­ ния х)условным распределением вероятностей, аналогично тому, что для двухзависимыхслучайныхсобытийусловная вероятностькаждого из них при яаступлении другого отличается от обычной безусловной вероятности. Условное математическое ожидание дискретной случайной величины У приусловии,что X = Х{{x^ — определенное возможное значение X), опре­ деляется равенством: ТП М{У\Х=x^)=х;У^Р(У=У^\X=I.). ;=1 Аналогично определяется М(Х \У =у^). Условные математические ожидания непрерывных случайных величин X * У определяются равенствами 00 сю М{У\Х =х)=у у/(у\х)Лу- М(Х\У =у)=I хПх\у)йх. -0 0 -0 0 функция !р(х)=М{У\Х =х),зависящаяот переменной х,называется (тео- ^•тической) функцией регрессии величины У на величину X (или регрессией ^ на X).Иногда ее называют регрессией У по X.Уравнение у= 1р{х) на­ пвается уравнением регрессии У на X, асоответствующий график — линией (иликривой)регрессии У на X (или У по X). Регрессия К на X показывает, в среднем изменяется У при изменении х. Аналогично рассматривается Функция 11>(у)=М(Х IУ =у),называемая регрессиейX на У,а также соот- *®1«твующееуравнение х =1р(у)ифафик. Условнаядисперсия Г)(У|X = х) величины У,вычисленнаядля каждого Учения X = X, характеризует точность, с которой уравнение регрессии У X передаетизменение У всреднем при изменении х. Основноесвойство функциирегрессии.Среди всех функций д{х) минимум ‘'атематического ожидания М[У-д{Х)^ достигаетсядляфункциирегрессии
<р(х),которая, таким образом, минимизирует среднее квадратическое откло­ нение прогноза величины V,сделанную наосновании значений величины X. Отсюда, вчастности,следует,что если известен видфункциирефессии,то ее неизвестные параметры могутбытьнайдены методом наименьших квадратов. Согласно основномусвойству,для каждого X =хонаилучшим прогнозируе­ мым значением У является значение уо=9?(хо) функции регрессии. Всамом простом случае (теоретическая) линиярефессии У наX явля­ ется прямой суравнением (Ту у=тг+Гхг— (х-тх). (15.7) Здесьтх и ту —математическиеожиданиявеличинX иУ;сгхи/Ту— ЦхУ дисперсии величин X иУ;Гху= ---------------- коэффициенткорреляцииX иУ. ах'СГу Аналогично записывается уравнение прямойрефессии X на У; X=тх+гхг^{у-щ)- (15.8) (Ту в частности, если X иУ связаны линейнойфункциональной зависимостью У=аХ+Ь,тоту=ашх+Ь,)1хг=о,(т\,П(У)=а?0{Х)=а}(т][, ^ху= а/|я| = ±1.Следовательно,функциярегрессии У наX принимаетвид у=ах+Ъ.Коэффициент корреляции Гху является оценкой силы линейной связи между X и У: чем ближе \гху\к единице, тем сильнее эта связь, чем ближе \гху\к нулю, тем эта связь слабее. При Тху= ±1 величины X иУ связаны линейнойфункциональной зависимостью. В общем случае истинные функции регрессии у = ^р{x) и г = 1р(у) не являются линейными. Однако и вэтом случае можносоставитьуравнения прямых(15.7)и(15.8), которые будутлинейными аппроксимациями(прибли­ жениями)истинныхфункцийрефессии.Аппроксимирующиефункции могут бытьиболеесложными, чем линейные. 15.1 .14 . Закон больших чисел Совокупность утверждений, носяших общее название закона больших чисел, рассматриваетусловия, при выполнении которых совместное действие боль­ шого числа случайных причин приводит к результату, практически не зави­ сящему отслучая. 15.1 .14 .1 . Неравенство Чебышёва Вероятностьотклонения случайной величины X отее математического ожи­ дания М(Х)удовлетворяет неравенству: Р(|Х-М(Х)|<е)^1 - ^ . где е—любое положительное число, 0(Х)—дисперсия.
15.1-14 .2 . Теорема Чебышёво ]^стьX],Х2,■■.,Х „,... — к а к а я -либо последовательность попарно независимых (!^айных величин с равномерно ограниченными дисперсиями, т . е. 0 (Х к ) ^ С (С — некоторое число) для любого к , тогда среднее арифметическое первых п из этих случайных величин х= - No+Х2+...+х„) п сходится по вероятности к среднемуарифметическому ихматематических ожи­ даний, т . е. Ит п-юо где е ~ любое положительное число. Примечание. Говорят, что последовательность случай ных величи н X ] , Х г , . . . сх одится по в^юятности к случайн ой ве ли чине X, если для любого > О вероятность вып ол ­ нения неравенства \Х —Х „1 < е стремится к единице при п ^ ос. При этом для •■скоторых отдельных номеров п нераве нство може т не выпо лн я тьс я, в отл ичие от схо- Noмости последовательности к своему пределу в об ычн ом смысле сходимости. I Частный случай теоремы Чебышева. Е с л и все имеют одинаковые мате- рштические ожидания М (Хк) = а, то 11т п-юо Частный случай теоремы Чебышева является теоретическим обосно­ ванием практического приема измерения какой-либо величины, согласно которому производится несколько независимых измерений этой величины, азатем находится среднее арифметическое результатов измерений.Ошибкой Измерения называется разность меаду результатом измерения и истинным (обычно заранее неизвестным) значением измеряемой величины. Если при Измерении имеются лишь случайныеошибки,то математические ожидания всехрезультатов измерения одинаковы и равны истинному значению измеря­ емой величины. Следовательно, придостаточно большом числе измерений. Их среднее арифметическое с вероятностью сколь угодно близкой к 1будет •акугодно мало отличаться от истинного значения измеряемой величины. 15.1 .14 .3 . Теорема Бернулли Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероят- Чость появления события А постоянна и равна р = Р{А). Тогда, если т — Число появления события А в этих испытаниях, то относительная частота
724 Гл а в а 1 5 . Теория вероятностей и математическая статистика т/п появленияА стремитсяповероятности(см. 15 .1 .14 .2)кр, т . е . ИтР( —-р <е)=1. п-юо\п / 1 5.1 .14 .4 . Центральная предельная теорема Сумма любого числа взаимно независимых нормально распределенных слу­ чайных величин X], ^ 2.■■■ с различными, в обшем случае, математиче­ скими ожиданиями М(X^) = а* и дисперсиями 0{Х()=<т}(1=1,2,..., п) является также нормально распределенной случайной величиной с парамет­ рами0=0]+02+...+а„, +(т1+...+1т1. Справедливо и обратное утверждение:если сумма любого числа взаимно независимыхслучайных величин является нормальной случайной величиной, то каждая случайная величина (слагаемое) является нормальной. Обобщением этих утверждений является предельная теорема Ляпунова, формулируемая следующим образом. ПустьХ|,Х2,..., Х„,... — какая-либо бесконечная последовательность взаимно независимых случайных величин, кажд ая из которых имеет конечное математическое ожидание М (Х{) = а^, дисперсию 0 (Х{) = , а бс олютный центральный момент третьего порядка М (\Х - 0;р ) = 7;. Величины Ап=а\-Ьй2+ •••+ Лп, — <7”?+(Т2+-•.Ч- являются математическим ожиданием и дисперсией соответственно для слу­ чайной величины 8„ = Х\ -Н А '] + Х п - Случайные величины ^ 8п~ Ап " “ — п ----- Оп являются центрированными и нормированными, т .е . М {2„) = О , 0(2„) = !■ Обозначим Р „(х ) интегральную функцию распределения величины 2 „ : Тогда,еслиприп -> со выполняетсяусловие Ляпунова В1 I" ПтЕп{х)=-]=[е^<1г (15.9) п-»оо ^/2тг У -ос равномерно по х. Таким образом, случайная величина 2п асимптотически п —>оо) нормальна.
Примечание. Говорят, что функция /(х) является асимптотическим выражением (или дряближением)дляфункции д{х) при х-Но {вчастности, при х-*±оо), если 1->ю /(г) Вусловиях предельной теоремы Ляпунова требуется, чтобы п—уоо,од­ нако,если п конечно, нодостаточно велико,то распределение величины будетблизким к нормальному. Говорят, что к последовательности применима центральная предельная теорема, если при любом х выполняется соотношение (15.9). УсловиеЛяпунова означает, что отдельные слагаемые (X;—а;)/В„, составля­ ющие сумму2„,равномерно малы по сравнению со значениями суммы 2„. Смысл центральной предельной теоремы состоит в том, что если рас­ сматриваемая случайная величина является суммой большого числа взаимно независимых случайных величин, каждая из которых мала по сравнению совсей суммой,то эта сумма имеет приблизительно нормальное распределе­ ние.Например, на случайную ошибку, возникаюшую при измерении какой- либовеличины, влияетбольшое число не зависяшихдруготдругаслучайных причин. Если вклад каждой изэтих причин всуммарную ошибку незначите­ лен,то можно считать,что суммарнаяошибка имеетраспределение,близкое кнормальному.При этом математическое ожидание случайной ошибкиравно нулю (т.е . среднее арифметическое всех ошибок близко к нулю), а среднее квадратическое отклонение, являющееся средней квадратической ошибкой, характеризуетточность измерений. 15.2 . Математическая статистика Математическаястатистика — разделматематики,вкотором рассматриваются Методысбора,классификации,обработкиианализастатистическихсведений. Полученных врезультате наблюдений или опытов над объектами какой-либо Достаточнообширной совокупности. Математическаястатистика,изучаюшая Закономерности,которым подчиняются массовыеслучайныеявления,связана стеорией вероятностей,результаты которой используются в математической статистике. Но исами вероятностные закономерности находятсвоестатисти­ ческое выражение всоответствии с законом больших чисел (вероятность со­ бытияприближенно равнаегоотносительной частоте,аматематическоеожи­ даниеслучайной величины — среднемуарифметическомуеезначений)ит.п . 15.2 .1 . Выборочный метод Множество объектов,однородныхотносительно какого-либо количественно- или качественного признака этих объектов, называется генеральной сово­ купностью (статистической совокупностью).
Генеральная совокупность может иметь дискретное (конечное или бес­ конечное)распределение признака,либо непрерывное его распределение. Совокупность объектов, отобранных независимо друг от друга случай­ ным образом из генеральной совокупности, называется простой выборкой (выборочной совокупностью). Объемом совокупности (генеральной или вы­ борочной) называется число ее объектов. Выборка называется возвратной, если объект после регистрации признака возвращается обратно в генераль­ ную совокупность. В противном случае выборка называется безвозвратной. На практике генеральная совокупность часто имеетконечный объем,однако в теоретических исследованиях могут использоваться генеральные совокуп­ ности с бесконечно большим объемом. Выборочный метод представляет собой статистический метод исследо­ вания свойств генеральной совокупности на основе изучения свойств лишь части ее, т.с . простой выборки. Если из генеральной совокупности случайным образом (наугад)извлечь один объект, а после регистрации и возвращения его обратно наугад и не­ зависимо от первого объекта извлечь второй и т.д ., то значения изучаемого количественного признака этих объектов можно рассматривать какзначения некоторой случайной величины X. П р и м е р 4 3 . В качестве генеральной с овокуп ности можно р ас сматр ива ть совокупность деталей, изготовл енных на одном станке при неизме нн ых условиях. Коли чес твенным признаком X здесь явля етс я, например, какой-либ о размер детали, а каче ственным ее стандартность. Ес ли деталь стандартная, то можно , например, п р ин ять У = I , а если нет, то У = 0. Выб ор кой здесь можно счи тать л юбую со во куп но сть деталей, взятых из данной генеральной совокуп нос ти. Пусть признак (т.е. случайная величина) X объектов генеральной со­ вокупности имеет интефальную функцию распределения Р{х). Из этой ге­ неральной совокупности можно осуществитьмного возвратных независимых простых выборок объема п, т.е . получать при каждой выборке различные наборы конкретных значений Х\,Х2,---,Х„ признака X для отобранных п объектов. Математической выборкой объема п называется упорядочен­ ная система (случайный вектор) п взаимно независимых случайных вели­ чинХ^,Х2,., Х„ с одинаковой функцией распределения Р{х). Каждая простая возвратная выборка Х],Х2,--- ,х„ из данной генеральной совокуп­ ности является конкретной числовой реализацией математической выбор­ ки Х|,Х2,Х„. Для того чтобы простая выборка достаточно правильно представляла свойства генеральной совокупности, отбор объектов должен нр<)водиться случайно, т.е. все выборки одинакового объема должны иметь равные вероятности быть выбранными. Если Nкп—объемы генеральной и выборочной совокупности соответственно, то число выборок равно числу сочетаний С" = ^ п\{N - п)'.'
Вслучае п <^N применение возвратных и безвозвратных выборок равно­ го объема дает практически одинаковые результаты. Это различие исчезает совсем,если рассматривать теоретически бесконечную генеральную совокуп­ ность.Далее каждаяпростая выборка изгенеральной совокупности конечного объема предполагается возвратной,если не оговорено противное. 15.2 .2 . Полигон и гистограмма Пусть из генеральной совокупности с признаком X извлечена простая вы­ борка Хь •••.**, в которойзначениеХ{наблюдалосьщ(г= разиП|+...+ =я — объем выборки. Каждое значение x^ называется ■ариантой.Набор вариант выборки, расположенных в порядке возрастания, называется вариационнымрядом. Число называется частотойварианты , а п , / п = гО{ — е е относительной частотой. Совокупность вариант простой выборки и соответствующих им частот или относительных частот называется статистическимраспределениемвыборки (эмпирическимраспределением).Для наглядного фафического представления распределения количественного признака в простой выборке используют полигон или гистограмму. На оси абсцисс откладывают значения вариант (« = 1,2, вариационного ряда (в порядке возрастания), а на оси ординат — соответствующие частоты п, (или относительные частоты !»(). Ломаная,отрезки которой соединяютточки {х\,П|),{х2,Пг). ■•■> ” *)> где *1<12< ... < X*(или точки {хи«!\),(хг,щ),■■■,(х*,тлц)), называется по­ лигономчастот(или полигономотносительныхчастот)(ср. с рис. 15 .26). Если число различных вариантдостаточно велико, то применяется гистограмма— столбчатая фигура, которая строится следующим образом. Вариационный рядХ|,Х2, ..., X*, представляющий выборку,при помощи точекСо,Сь..., Сг делится на промежутки (обычно одинаковойдлины Л).Наоси абсциссотме­ чаютточки Со= Х|,С|, •■■,Сг= X*. ПодсчитываютсуммыТП(частотвариант, Попавшихвпромежутки|с,_ьС{)для:= 1,2,..., г - I;дляI= г — впро­ межуток |сг_ьсг]. При этом следует учесть, что гистограммы со слишком большими или слишком малыми промежутками не отражают точно суще- 'П 'венных особенностей распределения. На отрезках [с^_1;с^1 с длиной Л строятся прямоугольники с высотами,равными т^/Л.Площадь «-го прямо­ угольника равна Л(т,7й)= т^, а площадь всей гистограммы равна объему выборки п=ГП|-I-Ш2-Ь...+гПг.В результате получается гистограммачастот. Дляпостроения гистограммыотносительныхчастотвысоты прямоугольников берут равными (т^/п)/й. При этом площадь 1-го прямоугольника равна Щ/п, а площадь всей гистограммы равна т\/п+...+тпг/п= I .Рассмат­ риваются также гистофаммы, вкоторыхвысоты прямоугольников равны т^, эплощади гп{Н. Пример 44. Построить гистофамму частот по данному распределению выборки объ­ емом п = ГП] +Ш2-I-тз + п»4+ тз = 100, приведенному в таблице:
1 т, т,/Н 1 [5; 10] 10 2 2 (10; 151 20 4 3 [15; 20] 50 10 4 |20; 25| 15 3 5 [25; 301 5 1 т^/к 10 10 15 20 25 Рис. 15.11 30 Решение. Стр оим на оси абсцисс 5 отрезков дли ной Л = С} —Со — 5, причем Со = 5, С5 = 30. На этих отрезках строим пр ям оугольни ки с высотами т,/к. Гистограмма изображена на рис. 15.11. Ее площадь равна п = 100. ^ 15.2 .3 . Эмпирическая функция распределения Пусть известно статистическое распределение какого-либо признака X объ­ ектов простой выборки объема п, т.е . для каждой варианты x^ известна ее частота п^. Обозначим через т„(х) число всех вариант (т.е .сумму частот п, отдельных вариант), строго меньших данного действительного числа X (т.е - ж, < х).Эмпирической(т.е . наблюдаемой, взятой изопыта) функциейраспре' деления (функцией распрелеления выборки) называется ступенчатая функция
^(ж), определяемая для каждого заданного числа хравенством: §М0 15.2 . ЬАатематическая статистика Р'{х) = ■ _ ювательно, (х) являетсяотносительной частотойсобытияX <х.Функ­ ция РЩх) изменяется при переходе от одной простой выборки объема п к •угой. Функция распределения генеральной совокупности Р{х) =Р{Х <х) (см. также 15.1 .10 .1) называется теоретической функцией распределения и по рфеделению равна вероятности события X < х. Если щ — частота вари­ анты x^, а N — объем (конечной) генеральной совокупности, то согласно ^ссическому определению вероятность того, что X примет значение x^, равна щ/М.Тогда вероятность события X < х равна сумме вероятностей щ/Мдля всех X, <X.Функцию Р^{х) можно рассматривать как прибли­ жение (оценку) теоретической функции распределения Р{х) бесконечной генеральной совокупности, поскольку из теоремы Бернулли (см. 15 .1 .14 .3) ^дует, что относительная частота Р^(х) события X <х при ге->■оо стре- ются по вероятности (см. 15 .1 .14) к вероятности этого события Р(х), т.е . вюятность выполнения неравенства \Р(х)-Р^{х)\<е,гдее>О,стремится Единице при п оо,так что придостаточно большом номере п значения Р(х)и Рп(х) практически не отличаются друготдруга. Пример 4 5 . Построить фафик эмпирической функции Р'(х) = Рт(х) по заданному ^Определению выборки XI134 П.302050 Ц»шенив. Объем выборки п = 30 + 20 -I-50 = 100. Варианта х, = 1 — наименьшая, и (х) = Опри I < 1.Для X <3варианта Х] = 1наблюдалась 30раз, т.е. тюо(З) = 30, ^'(х)=30/100=0,3при1<г ^ 3.ДляX <4вариантаII =I наблюдаласьбы30 Раз,12=3 —20раз;тюо(4)=30-1-20 =50,Р'(х)=50/100при3<х^ 4.Варианта = 4 — на ибольшая; Р'(х) = (30 -Н20 Ч- 50)/100 = 1 при I > 4. Следовательно, Г(х) = 0; 0,3; 0,5; 1; г$1, 1<X^3, 3<X<4, X>4. График этой ступ енчат ой функции приведен на рис. 15.12. О Свойства эмпирическойфункции распределения; 1. 1- 2. Р^(х) — неубывающаяфункция. 3.Если Х|иX* — наименьшая и наибольшая варианты,то Р^(х)=Опри X^Х|,Р^(х)=IприX>Хк.
0,5 0,3 Р(х) 2 3 Рис. 15.12 15.2 .4 . Точечная оценка параметров генеральной совокупности 1 5 .2 .4 .1 . Выборочные средние и дисперсии Пусть дана математическая выборка Х],Х2,.. - ,Хп (см. 15.2.1). Функция У =}(Х\,Х2, .■., Хп), являющаяся случайной величиной, называется ста­ тистикой(функциейвыборки).Для каждой числовойреализацииЖ|,Хг, •••> математической выборки статистика У принимает конкретное числовое зна­ чение. Функция выборки: 1” X^ называется выборочным средним случайной величины " 1=1 1" _ называется выборочнойдисперсией величины X, 1=1 п 1” 3.81= — Ов=— '^ (х^ - Х^,)^ называется исправленной (несмв' *=г1 щенной)выборочнойдисперсией величины X. Каждая изслучайныхвеличин Хд,Од,8вдлялюбой простой возвратной выборки Х1,Х2,...,Х„ принимает конкретное числовое значение, равное
соответственно: г=-^г,; В=(т^= - х)^\ 8^='^{x^ - х)^. 71. Т1. Т1—1 , . 1=1 »=1 1=1 ЗдесьXназывается эмпирическимсреднимдля простой выборки Х],Х2,■■■,х„; О—эмпирической дисперсией; —эмпирической несмещенной (исправленной) дисперсией, обычно используется в практических расчетах. 15.2 .4.2. Точечные оценки Напрактике функцияраспределения Р{х) признака X генеральной совокуп­ ности (теоретическая функция распределения) обычно неизвестна. Известна лишьпростая выборка,т.е .наборчисловыхзначений признака Х[,Х2,■■■,х „, полученных из п наблюдений, предполагаемых независимыми. Задачасосто­ итвтом, чтобы, зная эти числовые значения, получитьоценку(приближенное мачение)какого-либо неизвестного параметра(числа)/3, характеризующего генеральнуюсовокупность,например,математическогоожиданияр = М(Х). Длярешения этойзадачинеобходимо найтитакуюфункцию выборки(случай­ нуювеличину)В =}(Х\,Хг,..., Х „), котораядля каждой простой выборки *1,12,..., принимала бы числовое значение /3* = /(хь ■■■>®п). вка­ ком-либо определенном смысле близкое к параметру/9.Переходя от одной простой выборки к другой,будем получать всякий разразличные значения ^ , являющиеся возможными значениями случайной величины В. Такая случайная величина В называется точечнойоценкойпараметра (}(так как Параметр/3 при этом оценивается одним числом р*).Точечная оценка В — 1{Х^,Х2,■■■,Х „) параметра Р называется несмещенной,если ее математиче- <^коеожидание равнооцениваемому параметрурпри любом объеме выборки, ^е.М(В)=р.Впротивном случаеоценка называетсясмещенной.Например является несмещенной оценкой математическогоожидания М(Х)таккак М(Хв)= ^ 1=1 ' 1=1 "«сколькувсе ^1имеютпоопределениюодинаковыефункциираспределения ^{х).Следовательно, математическое ожидание выборочного среднего равно ‘'атематическому ожиданию Мо признака X генеральной совокупности. Дисперсия выборочного среднего равна 1 0(Хв)=М[(Хв-Мо)'] =М - ^(Х. - Мо) »=1 = \пО(Х)=-0(Х)= -Оа п п
в силу взаимной независимости X^ и (гФ]).Здесь0(Х)=По—дис­ персия признака X генеральной совокупности. Математическое ожидание выборочнойдисперсии равно М(Ов)=М ^^(Х, - ХвУ 1=1 = ^ ! 1=1 7=1 Величина является смещенной оценкой параметра Во = 0{Х), так как М (Рв)Ф1>о-Для несмещенной выборочнойдисперсии имеем М(8в)= - М(Ов)= г ------- 1>о= Оо. п-1 п—1 п т.е.М(5|)=Со. Оценка В параметра имеющаяпри заданном объеме п выборки наи­ меньшую возможнуюдисперсию 0{В)= М[{В-Р)^\,называется эффектив­ ной.Оценка В параметра/3, которая при п -> ос стремится по вероятности (см. 15 .1 .14)к оцениваемому параметруД, называется состоятельной: ИтР(|В-;3|<е)=1(е>0). П -^00 Состоятельной будет, например, несмещенная оценка, дисперсия которой стремится к нулю при п —>ос. 15.2 .4 .3 . Точечные оценки генерального средне го и дисперсии Генеральнымсреднимпризнака X генеральной совокупности называется чис­ ло,равное математическомуожиданию этого признака: хр = М(Х).Вслучае конечнойдискретной генеральной совокупности, состоящей из N объектов сразличными значениями признака X,равными Х\,Х2, .. ■,хц, вероятность извлечьнаугадодинобъектслюбым конкретным значением признака равна I/М.Тогда М(X)=^(x,+X2+...+X^). Точечной оценкой неизвестного генерального среднего хр является выбо­ рочное среднее Хв- Оценка Хд — несмещенная, состоятельная, т.е . при увеличении объема п выборки она стремится по вероятности к Хг (отсюда следует,чторазличные простые выборкидостаточнобольшогообъема,извле­ ченные изнекоторой генеральной совокупности,дадутпримерно одинаковые эмпирическиесредниезначения х).Чем больщеобъем выборки,тем меньше Xотличается от Хр.
Генеральнойдисперсиейпризнака X генеральной совокупности называ­ ется число, равное 0г=0{Х)=М[{Х -х,)^]. Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) н а з ы в а е т с я число (Гр= \/Ог- в случае конечнойдискретной генеральной совокупности 1=1 Случайная величина $1(см. 15.2.4.1)являетсянесмещенной оценкойдля Ог,т.е .М{3%)= Оу.Оценка Ов величины йг являетсясмещенной,так как М{Ов) = Кг фОг (см. 15.2.4.2).На практике величиной 3\обычно пользуются, когда объем п выборки меньще 30, поскольку при достаточно больших празличие между8ви Ов незначительно. 15.2 .4 .4 . Метод моментов точечной оценки параметров 1. Теоретические моменты. Начальным теоретическим моментом порядка к {к— натуральное число)случайной величины X (дискретной или непрерыв­ ной)называется математическое ожидание величины х‘‘- . щ=М(Х*). Вчастности, М(Х)= и\,В{Х)= и]. Центральнымтеоретическиммоментомпорядкак случайной величины X Называется математическое ожидание величины = М(1*), г д е . ^ = X - М ( Х ) — отклонение случайной величины от математического ожи­ дания.Вчастности, ц.\ = М[Х -М{Х)]=О,(12=-О(-У)-Справедливы соот­ ношения: (12= У2~ + 21/?; Ц4= Щ - 41/|1^3+ Длянахождениятеоретических моментов необходимо иметьфункцию рас­ пределения случайной величины. 2. Выборочные и эмпирические моменты. Начальным выборочным моментом Порядкак(к —натуральное) называется функция математической выборки (см. 15.2 .4 . 1): ®частности, а\ =Хв-
Центральным выборочным моментом порядка к называется функция мате­ матической выборки 1=1 в частности, т , = 0,Ш2=8д. Конкретные числовые реализации выборочных моментов для каждой простой возвратной выборки Х],Х2, называются эмпирическими мо­ ментами иобозначаются а\пт\\ = ^Е(^. - *)*■ 1=1 1=1 вчастности,а*=х,ГОг= - Д= (см.15.2.4.1). При вычислении центральных эмпирических моментов т* удобнее пе­ рейти отобычныхравноотстоящих вариант x^к условным вариантам и,: где С — некоторое число, в качестве которого берутлюбую варианту,распо­ ложенную примерно в середине вариационного ряда; Л — шаг (постоянная разность междулюбыми двумя соседними вариантами). Условные вариан­ ты — целые числа. В частности х=С+~'^и„ »=1 Кроме вышеперечисленных применяются также следующие эмпириче­ ские характеристики вариационного ряда: 1)модой то называется варианта Х(, имеющая наибольшую частоту п<; 2)медианой называется варианта, делящая вариационный ряд на две части, равные по числу вариант, при п — четном определяется как полусумма центральных вариант; 3)размахом варьирования Д называется разность междунаибольшей и наи­ меньшей вариантами: К = х^ах ~ 4) средним абсолютным отклонением называется число 61=^^ |Х(- х|; »=1 5) коэффициентом вариации V называется выражение V= ^-100% (а=V^). X
3. Метод моментов точечной оценки параметров генеральной совокупности. Метод состоит в замене теоретических моментов соответствующими выбо­ рочными моментами того же порядка и основан на том, что начальные и центральные выборочные моменты являются состоятельными оценками (см. 15 .2 .4 .2) соответствующих теоретических моментов. Для нахождения конкретного числового значения точечной оценки (являющейся случайной величиной)необходимо найти значениесоответствующегоэмпирического мо­ мента(или нескольких моментов)дляданной простой выборки Х],Х2,■■■,х„ и приравнять его (или их) к соответствующему теоретическому моменту (илимоментам). Пусть требуется оценить один неизвестный параметр /3 плотности распределения /(х, /3) заданного вида. Для этого приравнивают какой-либо один теоретический момент к эмпирическому моменту того же порядка, например,1^1 =а')(А:= I).Рассматривая это равенство как уравне­ ниедля нахождения параметра /3, входящего в выражение для — М(Х), ирешая это уравнение, найдем числовую (точечную) оценкуР* параметра выраженную череззначения вариант Х\,Х2,■■■,х„. Пример 46. Найти методом моме нтов во выборке х,,Х2, ... ,х„ чи сл овую (точе чную) оценку о‘ неизве стного параметра а распределения Пуассона а”* Ро(Х=т)= —-е (т = 0 ,1,...) т! Реш ен ие. Для случайной величины X, распределенной по закону Пуассона, справед­ ливо М{Х) = а. Поскольку а ' = х, из уравнения = а * находим, что а*=I = -(Х1+...+х„). > п 1^ример 4 7 . По данной выборке най ти чис ловую (то че чную) оце нку Л’ параметра А •доказательного распределения, плотность вероятнос ти которого /(х)=о(х<0), /(X)=Ае'^ (х^0). ^ ение.Здесь — М{Х)=1/А,1/А*=х,т.е.А*= 1/х. > Если плотность распределения /(х,!3\, зависитотдвухпараметров , ^2, необходимо приравнять два каких-либо теоретических момента к двум Соответствующим эмпирическим моментам, например = а\,цг=т^. ^Десьоценка тг является состоятельной и несмещенной. *^Ример 48. Найти чи словые (то че чны е) оце нки а ‘ ,(Т* не изве стных параметров нор- ‘'ального распределения
Решение.Для нормального распределения I/, = М(Л)= а, р2= Имеем два уравнения: I/,=а=а',=х; = =т\= Отсюда а'=х, <т' = у/^. Выражение через*1,12,..., х„приведенов15.2.4.1.[> Примечание. Эмпирическая дисперсия В здесь не используется, так как оценка Од —смещенная. Пример49. Найти числовые оценки параметров о и 6равномерного распределения сплотностьювероятности/(*) =О(к оилиI >6),}(х)=(Ь~а)"'(о^ г ^6). Решение.Для равномерного распределения М(Х) = ^(о + Ь); 0(Х) = - ^(Ь-а)^. Изусловий1/|= а^, = ГП2следует: ^(а+Ь)=х, 1^(6- о)^ = Отсюда находим а*= г -%/з?.Ь' =х+\/з?. > 1 5.2 .4 .5 . Метод наибольшего правдоподобия 1. Дискретные случайные величины. Пусть задан вид закона распреде­ ления дискретной случайной величины X с неизвестным параметром /3. Требуется найти оценку /9* этого параметра по известной простой выборке ХиХ2,... ,Хксчастотамищвариант(1=1,2,..., А;^ щ=п). I Функцией правдоподобиядискретной случайной величины X называется следующая функция от Цхи..., х „;/3)=р"Чх,;/3)р"^(х2;/3)•••р "*(х*;/9), гдер{х{\р)— вероятность того, что величина X приметзначение I, . Здесь к щр(Х{-,Р)Ф1,так как вероятности относятся к выборке, но не к гене- 1=1 ральной совокупности. Метод наибольшего (максимального) праядоподобня состоит в том, что в качестве оценки параметра 0 берется такое его значения уЗ*, при котором функция правдоподобиядостигает максимума. Значение оценки наибольшего правдоподобияр' = /9*(хь ..., х„) находят,решаяотносительно Руравнение, выражающее необходимое условие максимума функции правдоподобия дЬ д\пЬ \дЬ _ =0 или - ^ = - - = 0. Если функция правдоподобия зависитот нескольких неизвестных пара­ метров Д (« = 1,2,..., г),тодлянахождения Д'решаютсистемууравнений дЬ д\п1 ^ _ =0 или ^ = 0(, = 1,2,...,г).
Вобшем случае оценки, полученные по методунаибольшего правдопо­ добияи по методумоментов, не совпадают. Пример 50. Методом наибольшего правдоподобия по заданной простой выборке Х|, 12,..., х „ найти значение оценки неизвестного параметрар геометрического распре­ деления Р(Х = т)=р{\-рГ-' (т=1,2,...). Решение. Ф ун к ии я правдоподобия име ет вил 1=р(1-рГ'-'р{\-рГ- ^ - рО-рГ-'. Логарифм от функции правдоподобия |п = П|пр-I-[(II-I-12+ •.. -и*п)- п]1п(1-р). Необходимое условие максимума дЫЬпг, , 1I — = --[(*, +Х2+...+Х„)-„]— =0 выполняется при р = 1/ж. Вторая производная д^\пЬ п . 1 прир= 1/х. Следовательно, в точке р= 1/х достигается максимум функции прав­ доподобия. Таким образом, искомое значение оценки р*—1/х. > 2. Непрерывные случайные величины. Пусть задан вид плотности распре­ деления /(х;Р)непрерывной случайнойвеличины X снеизвестным парамет­ ром /3.Требуется по заданной простой выборке Хь12,..., х „ из генеральной совокупности значений X найти значение оценки /3* этого параметра. Функцией правдоподобия непрерывной случайной величины называют следующуюфункцию от /9: ЦхиХ2,..., х „;/3)=/(х,;/3)/(х2; ••■/(х„;й- Значение оценки 0* находятизуравнения вЬ д\п1 — =Оили =0. Если /(х; ,..., /9г) зависитот нескольких неизвестных параметров Д , длянахождения /9,'решаютсистемууравнений ад='’ (.= 1.2,-..,г). * ^ р и м е р51. Методом наибольшего правдоподобия по выборке Х\, Х2, . •., Хп найти Значения оце нок не изве стных параметров о и нормального распределения (см. п ри­ зер 48).
738 Г л а в а 1 5 . Теория вероятностей и математическая статистика Решение. Функция правдоподобия: Логарифм этойфункции: 1" 1пX—-п1п(7-п1п - а)^- Длянахождения значений оценок а\(г* имеем уравнения 1(Х:х. - „а)=0, д!п1_1 да (т^ д\пЬ п 1 , да а (т 1=1 решая которые, получим значения оценок * 1V—' _ ,2 I X—>/ ,■) 1■) а=-Уx^=x;а=- >(I,- х) =В = --------» . "1^ п п Здесь оценка Хд (с числовым значением ж) — несмещенная; тогда как оценка Ов= 8в(с числовым значением О)—смешенная, но она асимптотически (при п п -> со)несмещенная, так как М(Од)-» прип->ос. О 15.2 .5 . Интервальная оценка параметров генеральной совокупности 15.2 .5 .1 . Основные понятия Нарядус точечной оценкой неизвестных параметров теоретического распре­ деления, при которой параметры оцениваются отдельными числами, при­ меняется также интервальная (доверительная) оценка, представляющая собой некоторый интервал, содержащий в себе значение оцениваемого параметра. В отличие от точечной интервальная оценка позволяет установить точность оценки иее надежность. Пусть дана математическая выборка Х|, ^ 2, •■•, .Уп из некоторой гене­ ральной совокупности объектов с признаком X сзаданным видом распреде­ ления,содержащего неизвестный параметрр. Доверительным интервалом для параметра/3с надежностью (доверительной вероятностью, или коэффициентом доверия) I- а , где а — заданное число (О < а < 1), называется такой случайный интервал (В,;В2)с границами, определяемыми двумяфункциями выборки В, =/,(Хь- -,Х„), В2=/2(Х,,...,Х„) (В,<Вз),
длякоторого вероятность Р(В,<^<Вз)=1-а. Границы интервала В| и Вг (случайные величины) называются дове- |>гельными границами. Для заданного значения а доверительный интервал Йокрывает(т.е .содержит) неизвестное значение параметра/3с вероятностью 1-а .Вероятностьтого,чтодоверительный интервалнепокроетистинное значение /3, не превышает а.Доверительный интервал можетбыть записан такжеввиде{В-д,В+д)илиВ-ё<Р<В+6,таеВу1д~ случайные величины. Для каждой простой выборки Х\,Х2,■■■,х„ (т.е. набора чисел) Црверительный интервал (В{\В2)переходит в обычный числовой (эмпири­ ческий) интервал где = /1(1,,■.■,Хп), = /2(хь.■■,х „),или винтервал (/9*+<5*), где число <5*> Охарактеризуетточностьоценки. Из всей совокупности эмпирических интервалов, найденных для простых выборок,примерно 7•100% покрываютистинное значение параметра/9.За­ даваемоезначение а обычно берутблизким к нулю,соответственно 7= 1- а близким к единице, а именно: 0,95;0,99;0,999. 15.2 .5 .2 . Интервальная оценка неизвестного параметра а нормального распределения при известном (Т Пусть признак X генеральной совокупности распределен нормально с из- •естнойдисперсией 0(Х)= . Необходимо найтидоверительный интервал дляоценки неизвестного математического ожидания а= М(Х)по заданному :эмпирическому среднему х. Интервальная оценка основана натом,что если Признак X распределен нормально, то выборочная средняя Хв является также нормально распределенной величиной с параметрами распределения М(Хв)= а; 0(Хв)= <т(Хв) = у]0(Хв) = Длянормальнораспределенной величины Хв можнозаписать(см. 15 .1 .10 .3) Р(\Хв-а1<<5‘)=2Ф — ^ = 2Ф(<), (15.10) ■■Де(5* > О — некоторое число, Ф(<) —функция Лапласа (см. табл.15 .2), ^~ <5*\/п/<т. Соотношения (15.10)можно записатьтакже в виде <а<Гв+<5*)=2Ф(<). (15.11) Соотношение (15.11)означает, что при заданной надежности (вероятности) Т' = 2Ф(<)доверительный интервал
где I находится из равенства Ф(1)= 7/2, покрывает неизвестное значение а с вероятностью у,причем точн^^тьоценки 6‘ = 1а/\/п.Для каждой простой выборки случайная величина Хв принимает конкретное числовое значение X, поэтому в каждом случае будем иметь интервал с определенными грани­ цами (х - 1а1\/п\X + 1<т1\/п),которые изменяются при переходе от одной простой выборки к другой. При увеличении 7 величины I и 8' возрастают (т.е . точность уменьшается). Если заданы 7 и <?*, то наименьший объем выборки п, обеспечивающий требуемую точность, равен п=1^(т^15’^. Пример 52. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 7 = 0,99 не­ известного параметра а нормального распределения случай ной ве ли чи н ы X по эм­ пи рическому среднему 1 = 9, дисперсии (Т^= 4, объему выбор ки п = 40. Решение. И з ра венства Ф (() = 7 / 2 = 0,495 находим I = 2,57 (см. табл. 15.2). Точность оце нк и 6' = <(т/\/п = 2,57•2/\/ад = 0,81. Доверител ьный интервал ( * - 0 ,8 1 ; 1-1-0,81) = (8,19; 9,81) с веро ят нос тью 0,99 п окр ывае т неизве стный параметр а . > 1 5.2 .5 .3 . Интервальная оценка неизвестиого параметра а нормального распределения при неизвестном параметре (Т Оценка основана на использовании случайной величины Хв-а Зв {8в — исправленная выборочная дисперсия), имеющей так называемое рас­ пределение Стьюдента с (п - 1) степенями свободы. Пусть из генеральной совокупности, признак X которой распределен нормально с неизвестными параметрами а,<т,извлечена простая выборка Х[,Х2, ..., х „ заданногообъема п, по которой найдены;эмпирическое среднее х и эмпирическая несмещен­ ная дисперсия Тогдадоверительный интервал, покрывающий с заданной надежностью (вероятностью)7неизвестный параметр а, имеет вид где величина 1^находится по табл.15 .3 по заданным значениям 7 и п. Если п ^ 30,то сдостаточной точностью вместо доверительного интервала (15.13) можно использоватьтакже доверительный интервал (15.12),заменив прибли­ женно <тна я. Пример 53. Найти доверительный интервал, покрывающий с надежностью 7 = 0.999 не изве стный параметр а нормального распределения, если известно: х = 18,3; п = Ю; 3=0.7. Решение. По известным 7 и п по табл. 15.3 находим = 1(1. п ) = 4,78. Далее: = (4,78 •0 .7)/У1о = 1,06. Доверите льный интервал (17,24; 19,9) с вероятностью 0,999 покрываеп не изве стный параметр о. Ь
15.2 .5 .4 . Интервальная оценка неизвестного параметра <т нормального распределения по заданному значению 5 Оценка основана на использовании случайной величины (п-1)4 <7-2 ’ |)аспределенной по такназываемомузакону (хи-квадрат)с(п- 1)степеня­ ми свободы. Пусть из генеральной совокупности извлечена простая выборка объема п, по которой найдены эмпирические величины х и з. Тогда до­ верительный интервал, покрывающий неизвестный параметр а (при этом параметр а также неизвестен) нормального распределения с заданной надеж- >ностью 7,имеет вид «{1-?)<(Г<«(1-) -д) (дляд<1), О<(Т<я(1+д) (дляд>1), где9находится по табл.15 .4позаданным 7и п. Пример 54. Дано: п = 15, « = 0,1. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр а нормального распределения с надежностью 7 = 0,99. Решение. По табл. 15.4 по данным 7 и п находим д= д('),п) = 0,73. Искомый дове­ рительный интервал: 0,027 <а < 0,173. > 15.2 .6 . Оценка неизвестной вероятности по относительной частоте 15.2 .6 .1 . Точечная оценка вероятности Точечнойоценкойвероятностир=Р(А) события А является случайная вели­ чина. называемая относительнойчастотой: »^п{А) = гдеМ„ — случайная величина, возможные значения которойравны числу т (О^ т ^ п) появлениясобытия Авкаждой серии из пнезависимых испы­ таний. Величина М„ в каждой серии случайно принимает разные значения отт =0нот =п. Математическое ожидание величины равно \п/ п п (см. пример 33 в 15.1.11), т.е . оценка \У„{А) — несмещенная. Дисперсия оценки ]V„равна ' ' \п/ п
742 Г л а в а 1 5 . Теория вероятностейи математическая статистика (см. пример37в15.1 .11).Следовательно, Частота \У„(А)имеетасимптотически,при я оо (т.е .длявыборокдостаточ­ но большого объема), нормальное распределение с плотностью вероятности /(х,а,а)(см.пример48),гдеа=р,(Т=у/п/п(О<р<1), 15.2 .6 .2 . Интервальная оценка вероятности Оценка основананатом,что частота Ж„(Л)длядостаточнобольших объемов п выборок(приусловии,что вероятностьр=Р{А)не очень близка к Ои 1) приближенно имеет нормальное распределение (см. 15 .2 .6 .1). Если И)— возможное значение (числоваяреализация)случайной величи­ ны Ж „(Л) вконкретной серии из п испытаний, то с заданной надежностью (вероятностью)7доверительный интервал (рьРг) покрывает неизвестную вероятность р (р|<р <рг), где (^) Здесь значение I находится из условия Ф{1)—7/2, где Ф(1)—функцияЛа­ пласа (см. табл. 15 .2). П р и м е р 5 5 . Произведено п —100 независимых испытаний, в каждом из которых неизвестная вероятность р появления события А одна и та же. Событие А появилось т = 45 раз. Н ай ти д оверите льный интервал , п окр ывающ ий вероят нос ть р с надеж­ ностью7=0,99. Решение. Ча стота ш= т/п = 45/100 = 0,45. И з равенства Ф(<) = 7 / 2 = 0,495 по табл. 15.2 находим <= 2,58. Доверительный интервал с фаниц ами = 0 ,330; рг ==0,571 имеет вид 0,330 < р < 0,571. С> 15.2 .7 . Анализ корреляции и регрессии по результатам выборок 1 5.2 .7 .1 . Оценка корреляционных и регрессионных параметров В простейшем случае две случайные величины X иУ могутбыть связаны обычнойфункциональной зависимостью V=}(Х), например V= , когда каждому возможному значению X соответствует определенное возможное значение У. Более сложной является вероятностная (статистическая) зави­ симость между случайными величинами X »У, когда изменение значений А=1 т{1-ш)^ 1/2
однойизнихприводитк изменению законараспределениядругой.Такаязави­ симость, называемая корреляционной зависимостью (или просто корреляцией), появляется втом случае,когда среди совокупности случайныхфакторов, вли ­ яющих наX иУ,естьобщие для нихфакторы,действующие одновременно как на X,так и на У.Корреляция проявляется также в том случае, когда V зависитне только от X,но и от несколькихдругихслучайныхфакторов. Дляизучения связи (зависимости) междуслучайными величинами X иУ, образующими случайный вектор(X,У),делается выборка объема п, состоя­ щаяиз п пар чисел (Х|,2/]),(хг,3/2),, (х„, «/„).Такие выборки называются связанными, в отличие от независимых выборюк по признакам X иУ от­ дельно. При этом каждому возможному значению х величины X может соответствовать несколько возможных значений 2/величины У (в зависи­ мости от случая). Оценкой условного математического ожидания М(К|х) (см. 15 .1 .13 .3)является условное среднее р(х{),равное среднему арифметиче­ скому всех п, значений величины У,наблюдаемых при X =x^: Фг)= —{У<\+Ш+•••+No-.()• щ Аналогично определяется условное среднее х{У]).Регрессия представляет со­ бой зависимость условного математического ожидания (условного среднего значения) какой-либо величины отодной или несколькихдругихвеличин. Всамом простом случае (теоретические)функциирегрессии (см. 15 .1 .13 .3), конкретизирующие вид корреляционной зависимости, являютсялинейными, алинии регрессии — прямыми. В этом случае величины X иУ называются линейно коррелированными. Для теоретических параметров (см. 15 .1 .13 .3), характеризующих прямые регрессии, могутбытьданы при этом нижеприве­ денные оценки по результатамсвязанной выборки согласно методумоментов. 1.Оценки математических ожиданий тх и ту равны соответственно: . п . п 1=1 *=1 2. Оценки дисперсий 0{Х)= <7^ и 0{У)=(Тусоответственно; 1=1 »=1 3.Оценка корреляционного момента (ковариации) ^ху- 1”
4. Оценка коэффициента корреляции гху: п ^ (1^- 1)(у, - у) тхг Г= ------ 8х 8у \-хУ Оценки параметров 1-4 называютсясоответственноэмпирическими:сред­ ними, дисперсиями, корреляционным моментом, коэффициентом корреляции. 15.2 .7 .2 . Эмпирические прямые регрессии Длялинейно коррелированных случайных величин X и V уравнения эм­ пирических (т.е . полученных на основании наблюдений)прямыхрегрессии получаются из уравнений (15.7) и (15.8) прямых регрессии посредством замены в последних всех теоретических параметров соответствующими эм­ пирическими оценками.Эмпирические прямыерегрессии У наX иX т У (в общем случае разные) имеютсоответственно уравнения: у=у+г-(х-х), (15.14) «лг х=х+г-{у-у). (15.15) яу Уравнения (15.14),(15.15)применяюттакже вслучае приближенной ли­ нейной корреляции X иУ. В большинстве случаевналичие даже прибли­ женной линейнойкорреляции между X иУ неможет бытьустановлено теоретически. На практике поступают следующим образом. Пусть (г,,у,)) — точки связаннойвыборки(эмпирические точки).Построим наплоскости Оху точки {x^, у{х{)),гдеу{Х()—условное среднеезначение Удлязаданногозна­ чения X =x^. Если наосновании полученного расположения эмпирических точек можно сделатьзаключение о близости этого расположения к прямоли­ нейному,то линию ре1рессии допустимо искать приближенно в виде прямой с уравнением (15.14)или(15.15).Эмпирические прямые регрессии с уравне­ нием (15.14)являются прямыми наилучшего среднеквадратического прибли­ жения кэмпирическим точкам (х^,у ,),т.е .сумма квадратовотклонений »=1 гдеу(Х|)= у+г{зг1зх)(х{-х), минимальна по сравнению со всякойдругой прямой,отличающейсяотпрямой(15.14).Аналогичнорассма1риваетсясумма
;ЯаДратовотклонений •=1 где x(у^) находится по уравнению (15.15). Наэтом свойстве эмпирических прямыхрегрессии основан метод нахо­ ждения уравнений (15.14) и(15.15)для этих прямых, называемый методом ■шменьших квадратов,смысл которого заключается вследующем. Пусть, на­ пример, пары значений {x^, у;) наблюдались только по одномуразу каждая. Подберем параметры к иЬискомой прямойрефессии у=кх+Ьтак,чтобы . функция И /’(к,б)=Х;[No-(*:^;+Ь)]' 1=1 была минимальной.Параметры к кЬнаходятся изсистемы уравнений дк~ ' дЬ^' Еслиже каждомуI, соответствуетнесколько наблюдаемыхзначений , то в правой части выражения для Р(к,Ь)вместо у^должно стоятьусловное среднее у(x^).Аналогично находится эмпирическое уравнение (15.15).Если регрессии V на X иX на У отличаются отлинейных, то уравнения (15.14) и (15.15),полученные методом наименьших квадратов,являютсялинейными [приближениями истинных уравненийрегрессии. Если эмпирический коэф­ фициенткорреляции г,являющийсяоценкой коэффициентакорреляцииГху генеральной совокупности, отличен от нуля,то на основании этого вобщем случае нельзя делать вывод, что ГхгФ0.Следовательно, возникает необхо­ димость проверки гипотезы о значимости (существенности) эмпирического Коэффициента корреляции,т.е .гипотезы о некоррелированности величин X иV(см.15.2.8.9). Если значения признаков X иV заданы ввидеравноотстоящихвариант. Товычисления удобнее вести с использованием условных вариант; 'Ч =1(х>-С,), V;= - Сг), •ДеС|,Сг — варианты, расположенные примерно всередине вариационных Рядов;/1|,/»2— шаги вариантX иV. В более сложных случаях фафиком регрессии может быть некоторая Кривая линия (криволинейная регрессия).
Пример 56. Найти эмпирическое уравнение прямой линии рефессии У на X подан­ н ым корреляционной таблицы: В этой таблице приведены данные о выборке (объема п — 50) пар наблюдаемых зна чени й сис те мы пр изн аков {X, У). В первой строке таблицы приведены зна чения {г= I, 2, 3, 4) признака X, в первом столбце — значения {] = \,2,3) признака У. Н а пересечении строк и столбцов находятся час тоты п,^ пар призна ков. Например, пара чис ел {Х4 = 5; уг = 6) наблюдалась П42 = 5 раз. Пара (2; 3) не наблюдалась ни разу (П 21 = 0). В шес том столбце записаны суммы частот п{у,) каждого из у^, наблюдавшегося совме стно с ра зл ичными значе ни ями X, нап ример, уг = 6 наблюда­ лос ь 10 раз. В пятой строке указаны суммы час тот п{x^) каждого ж, , наблюдавшегося совме стн о с разли чными значе ния ми У, нап ример, 13 = 4 наблюдалось 26 раз. При этом^ п(Х()=^ п(у,) =п =50. ' I Решение. Найдем эмпириче ские параметры _1 _ 50 _1 _ 50 I=^^I,=^ = ^ (15■1-Ь4 •2 -I-26■4+5•5)=3,04; ^ ^ п(у,)Уг = 10-6-1-20-8) = 5,6; = ^ [15 ■(1 - 3,04)^ -I-4 ■(2 - 3,04)^ -I-26 ■(4 - 3,04)^ -Н 5 ■(5 - 3,04)^] = 2,26; = 1.50; - У?= Е "(УгХУг-У? = } Г - ^ [20-(3- 5,6)^+ 10■(6- 5,6)^+ 20•(8- 5,6)^] - 5,И; зу = 2,27; тпху 1 ЗхЗу {п-\)ЗхВг‘^ - у)= I
где сумму ^ п^^x^у^ можно вычислить двумя способами: I. '^п„х,у, = = 1•(10-3+5-6+0-8)+ +2(0-3 +0-6+ 4-8) +4-(Ю-3 +0-6+16-8) + 5-(0-3 +5-6+0-8) = 906; 2- '^п,,Х1у, = '^У,('^п^,x^ = 3 (10 -I + 0-2 + 10•4 + 0•5) + ■.^ )^ ' + 6-(5-1+0 -2+0-4+5-5)+8 (0-1+4 -2+16-4 +0 -5) = 906. Следовательно, 906 - 50 ■3,04 ■5,6 49-1,50-2,27 “ ’ ' Величина гзу/зх = 0,33 •2,27/1,50 = 0,50. Уравнение эмпир ическ ой прямой регрессии У на X: у= 5,6+ 0,50 •(х- 3,04) = 0,50* + 4,08. Аналогично находится ур авнение эмпир ическ ой прямой регрессии X иаУ. > 1 5 .2 .8 . Провер ка статистических гипотез 15.2 .8 .1 . Основные понятия Статистической гипотезойназывается предположение о неизвестных парамет­ рах распределений заданного вида или о виде неизвестного распределения. Пример 57. 1) Дисперси и двух нормально распределенных генеральных совокупнос тей равны между собой, 2) генеральная совокуп нос ть имеет геометрическое распределение признака X. Здесь в первой гипотезе сделано пр едположение о параметрах известных распределе­ ний, а во второй — о виде не изве стного распределения. Совместно с предложенной(проверяемой)гипотезой Яо, которую назы­ ваютнулевой(основной),рассматриваюттакже гипотезуЯ],противоречащую основной и называемую конкурирующей (альтернативной).Если гипотезу Но отвергают,то следуетпринять гипотезуН\,и наоборот. Пример 58. Ес л и гипотеза Я о состоит в предположении равенства (Г? = а\ дисперсий двух нормальных распределений, то гипотеза Н\ может предполагать, нап ример, что о'| ^ (г1. Запись: Я„:<г?=а\- н, -.<г]ф Гипотеза называется простой, если она однозначно определяет распре­ деление. В противном случае она называется сложной. Сложная гипотеза состоит из конечного или бесконечного множества простых гипотез.
Пример 59. Гипотеза о том, что параметр распределения Пуассона а = 2 — простая, так как распределение Пуассона определяется только одним параметром. Гипотеза Во'. а> 2является сложной. Пусть дана некоторая простая выборка (упорядоченный набор чисел) Х,,Х2,... ,Хп объема п из генеральной совокупности. Правило, позволяющее принять или отклонитьданную гипотезунаосновании простойвыборки,назы­ вается статистическим критерием.Статистический критерий не доказываетпра­ вильность или неправильность гипотезы, а устанавливаетлишь еесоответствие или несоответствие с данными наблюдений на принятом уровне значимости. Статистикой критерия называется случайная величина Т=}{Х\,Х2,-■■,Хп)— подходящим образом подобранная применительно к данной задаче функция математической выборки(см. 15 .2 .1),которая служитдля проверки гипотезы. Конкретное числовоезначение I=}(хх,Х2, ,х„)статистики Т, найденное по каждой простой выборке, называется частным (наблюдаемым) значением статистики. Множество всех возможных значений статистики Т разбивают на два непересекаюшихся подмножества: критическую область и область при­ нятия гипотезы. Множество значений статистики Т, при которых нулевую гипотезу отклоняют, называется критической областью. Множество значений Т, при которых нулевую гипотезу принимают, называется областью принятия гипотезы. Последовательность проверки гипотезы состоит в следующем: в зависи­ мости отспецифики конкретной задачи осуществляется одна или несколько простых выборок, по которым вычисляется частное значение Iстатистики Т критерия. Если I принадлежит критической области, то гипотезу Но откло­ няют. Если I принадлежитобласти принятия гипотезы Яо, то ее принимают. Каждое возможное значениеслучайной величины Т определяетсяодним чис­ лом Ь,следовательно, эти значения можно изобразить точками на числовой оси 01. Критической точкой (критическим значением) называется точка 1о,от­ деляющая критическую областьотобласти принятия гипотезы. Критические области могутбытьследующего вида; 1) I > 1о > О (правосторонняя область), 2) I<1о<О(левосторонняя область), 3) << <1или <> <2, где <1< <2(двухсторонняя область, определяемая двумя критическими точками <1и<2)- Длянахождения критической области задают уровень значимости (веро­ ятность ошибки) а, являющийся достаточно малым числом. Величина 1- в называется надежностью (доверительной вероятностью). Затем ищут крити­ ческие точки (одну или две) такие, что если нулевая гипотеза верна, то вероятности попадания значения случайной величины Т в соответствующие критические области равны а: 1)дляправосторонней области Р{Т >1о)=а, 2) длялевосторонней области Р(Т <1о)=а,
3) длядвухсторонней области Р{Т <<|) + Р{Т >«г) = а. Вчастности,длядвухстороннейсимметричнойобласти(^2= -^1 =^о >0): Р(т>к) = Если наблюдаемое значение Iстатистики Г попадаетвкритическую область, то от гипотезы Щ отказываются. Однако значение I может попасть в кри- !, лическую область не только вслучае ложности гипотезы Щ,но иподругим (! причинам (например, из-за недостаточногообъема выборки).Чемменьшеа, темменьше вероятность совершения ошибкипервогорода(при которой от­ вергают правильную гипотезу Но). Вероятностьсовершения ошибки первого рода равна а. Ошибкавторогородазаключается в том, что не отвергается [Неправильная гипотеза. I; Еслижезначение Iнаходится вобласти принятия гипотезы На,то мож­ но только заключить, что нет оснований отвергать эту гипотезу. Гипотеза принимается при этом с надежностью вывода,равной I- а . Принятие гипотезы или отказотнее не являются еелогическим доказа­ тельством или опровержением. Здесьвозможны четыре случая; 1. Гипотеза Яо верна и принимается. 2. Гипотеза Яо неверна и отвергается. 3. Гипотеза Яо верна, но отвергается (ошибкапервогорода). 4. Гипотеза Щ неверна, но принимается (ошибкавторогорода). Мощностью статистического критерия называется вероятность того, что значение Iвеличины Т принадлежит критической области приусловии пра­ вильности конкурирующей гипотезы Я|. Мощность критерияравна, таким Образом,вероятности того,чтобудетотвергнута нулеваягипотеза приусловии правильности конкурирующей гипотезы. Мощность критерияравна 1-/9, где/3— вероятность ошибки второго рода. При заданном уровне значимости а критическая область определяется неоднозначно.Критическую областьстрояттак,чтобы призаданном значении а вероятность /3была минимальной, т.е . чтобы мощность критерия была максимальной. Дляодновременногоуменьшения вероятностейошибокпервого и второ­ го рода следуетувеличить объем выборки. Ниже в 15.2 .8 .2 -15 .2 .8 .9рассмат­ риваются некоторые, наиболее часто применяемые статистические критерии. 15.2 .8 .2 . Сравнение дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Критерий Р Пустьнеобходимо проверить гипотезуоравенстведвух генеральныхдисперсий Яо :0(Х)= 0(У)приусловии,что X иУраспределены нормально.Изобе­ их генеральных совокупностей производятся независимые выборки объема П| и П2соответственно, по которым найдены эмпирические исправленные дисперсии е]с и а\(см. 15 .2 .4 .1).
1.Для проверки гипотезы Щ :В(Х)=В(У)при заданномуровнезначи­ мости а и конкурирующей гипотезе :В{Х) >В(У)находятнаблюдаемое значение ^2 ^2 /= /=^ (1516) Зу 8х статистики (случайной величины) Р, равное отношению большего из чисел кменьшему.Величина Р имеет так называемое распределение Фишера (или - распределение) со степенями свободы й)= Я|- 1,А:2= П2- I , где П] — объем выборки, дающий большее значение исправленной дисперсии, так как необходимо выполнение условий М(3\)=0(Х), М(3у)= 0(У), где Зх, 8у— исправленные выборочные дисперсии (случайные величины). Затем по табл.15,7 (критические точки распределения Р) для заданного а и числам к] =П]-1,*;2= П2-1(к: —относится к большей исправленной дисперсии) находят критическую точку /о(а, к],кг).Если наблюдаемое зна­ чение / больше, чем /о, то гипотезуЯоотклоняютс вероятностью ошибки а. Если / < /о, то нетоснований отклонять гипотезуЯо, Здесь критическая область — правосторонняя. 2.Есликонкурирующая гипотеза имеетвидН\:0(Х)фВ{У),то крити­ ческую точку /о(а/2;к[,к2)ищутвтабл.15,7по уровню значимости а/2 (те, вдвое меньше заданного) и числам степеней свободы /г, и кг- Критическая областьздесь — двухсторонняя. Если / > /о.то Ноотклоняют. Если / </о. то нетоснований отклонять Но. Пример 60. Даны две независимые выборки (П| = 10, Пг = 15) из нормальных ге­ неральн ых совокуп ностей X и У, по которым вы числ е ны ис правленные выборочные дисперсии Зх = ],52 иЗу = 0,85, При уровне зна чи мости а = 0,1 требуется проверить гипотезу Яо : 0{Х) = 0 {У ) при конкурирующей гипотезе Я , : В{Х) ф 0(У)- Решение. Наблюдаемое значение стати стики (отношение большей дисперсии к мень ­ шей) / = 1,52/0,85 = 1,79, Для отыскания (правой) критической точки по табл. 15.7 берем уровень значимости, равный 0,1/2 = 0,05, а также к] = Г)1 -- 1= 9, Лг = Пг - 1= 1'*- /„(0,05; 9; 14) = 2,65, Поскольку / < /о (1,79 < 2,65) — нет оснований отклонять гипотезу: 0(Х) = 1>(У)- Различие испр авле нных дисперсий з^ , ву здесь може т б ыть об ъясн ено случайн ыми пр ичина ми, т, е, не явля етс я значимым. ^ 15.2 .8 .3 . Сравнение исправленной эмпирической дисперсии с предполагаемой генеральной дисперсией нормальной совокупности. Критерий хи-квадрат Пустьизнормально распределенной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией извлечена выборкаобъемая и по ней вычислена исправленная эмпирическая дисперсия (см, 15.2,4,1).
1. При заданном уровне значимости а требуется проверить нулевую ги­ потезу Но :сг^= (т1 о равенстве неизвестной дисперсии предполагаемому [даачению сг1, при конкурирующей гипотезе Н\ \сг^> сг^. Для этого надо (пот( Щя1а^ Г ислить наблюдаемое значение статистики 2 “ 1)'^ В "О являющейся случайной величиной, имеющей так называемое распределение хн-квадратс к=п - \степенями свободы, так как необходимо выполнение [условия М(8в) = ■Затем по табл.15 .5(критические точки распределения по заданной величине а и числу к= п - I находяткритическую точку х1{а,к). Если > ^о> то гипотезу Но отклоняют. Если то нет ! оснований отменять гипотезу Но. I 2.Вслучае конкурирующей гипотезы Н\:сг^<<то критическое значение равно Хо(1“ а\к). При этом, если ^ > Хо< то нет оснований отвергать [гипотезу Но-Если х^<Хо^то гипотезуЯоотвергают. у! 3.Приконкурирующей гипотезеН[: ^ <т1находятлевую^?(1-а/2;к) I иправую к)критические точки. Если х] < то нетоснований Отвергать гипотезу Щ.Если же х^ <х] или х^>х1,то нулевую гипотезу отвергают. 4. Если ^: = п - 1>30,то критическую точку можно найти по прибли­ женнойформуле х1{а,к)хк где2анаходятизравенства Ф(г„) ~ ^ ~ табл. 15 .2). Пример 61. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка (п = 25, •^ = 11,3). При уровне зн ачимости а = 0,025 проверить гипотезу Щ . = (т1= 10, если ко нкурирующая гипотеза Н\ \ (т^> <т1= 10. Решение. Критическую точку находим по табл. 15.5 по значению а = 0,025 » к = п - I = 25 - 1 = 24, имеем ^о(0.025; 24) = 39,4. Наблюдаемое значение с тати стики ,_ («-1У _ (25-1)-П.З _ ^ - 10 Поскольку < х1 (27,12 < 39,4), то нет осн ова ний от кло ня ть гипотезу о равенстве <г^= 10. Различие между = 11,3 и «То = 10 здесь может быть объяснено случайными Причинами, т. е. не я вл яе тся значк м. О
15.2 .8 .4 . Сравнение генеральных средних двух нормальных совокупностей с неизвестными, но равными дисперсиями. Критерий Стьюдента Пустьнеобходимо проверитьнулевую гипотезуоравенстве генеральныхсред­ них(математическихожиданий)Но:М(Х)=М(У)приусловии,чтоX иУ распределены нормальное неизвестными,норавнымидисперсиями а\ =(г\. Если нет оснований в истинности предположения сгх=ау,тонеобходимо сначала его проверить (см. 15 .2 .8 .2). Пусть из генеральных совокупностей X, V извлечены независимые случайные выборки объемов П],Пг соответ­ ственно, по которым найдены эмпирические средние х,у и исправленные эмпирические дисперсии Зх, 8у. 1. Дляпроверки нулевой гипотезы Нц:М(Х)=М(У) при конкури­ рующей гипотезе Н\ :М(Х) Ф-М{У) вычисляют наблюдаемое значение I статистики ^(П, - 1)5^ +(712-1)52 V "1+"2 т= (15.17) где8х, 8у— исправленные выборочные дисперсии, являющейся случайной величиной, имеющей распределение Стьюдента с числом степеней свободы к=П]+П2-2,таккак на величины Хви Удналожены дваусловия: М(Хв) =М(Хв), <т{Хв) = а(Ув). Затем по табл. 15,6(Критические точки распределения Стьюдента) для заданного уровня значимости а (находящегося в верхней строке таблицы) и числа степеней свободы к=П]+П2-2ищуткритическую точку1о(а;к), являющуюся правой фаницей двухсторонней критической области. Если наблюдаемое значение Iудовлетворяетусловию |<| >1о(сс;к),то гипотезуНо отвергают;если |(| <1о{а;к),то нетоснований отвергать гипотезуЩ. 2.В случае конкурирующей гипотезы Н^ :М(Х)> М(У) критическую точку <о(«;к)ищутпозаданномузначению а (находящемуся внижней строке табл. 15.6) и числу степеней свободы ^: = П|-I-пг - I. Если наблюдаемое значение I >1о(а\к), то гипотезу Яо отвергают Если I <1о{а',к), то нет оснований отвергать гипотезуНо. 3.При конкурирующей гипотезе Н^ :М(Х)<М{У)критическая точка 1'онаходится из равенства = -1о{а\к), где величина 1о{а\к) ищется по значениям а и А посхеме п.2 .Если наблюдаемоезначение << <5,то гипотезу Яоотвергают Если I>1‘о,тонетоснований отвергать гипотезуЩ. Примечание 1. Если о&ъемы выборок малы (т»1 < 30, Пг < 30), то по этим выборкам нельзя пол учить достаточно точные оц енки генеральных дисперсий. При отсутствии
Кференности (основанной на содержании задачи) в равенстве <Гх= <ту необходимо [щроверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при помощи критерия (см. 15 .2 .8 .2). Примечание 2. Случайная величина Т не очень чувствительна к условию нормаль­ ности распределения величин X и У. Ее можно применять и в случае, когда ста- ^Иктические распределения обеих выборок имеют по одной вершине и достаточно ^мметричны,т.е .похожи нафафикфункции/(х) нормальногораспределения. Пример62. Из двух нормальных генеральных совокупностей X и У извлечены независимые выборки объема П1=1,П2=9соответственно, по которым вычислены (кмпирические средние и исправленные дисперсии: х = 5 ,4; у = 4,9; Ях = 0.^5; «у = 0,45.Приуровне значимости а = 0,01 проверить гипотезуЩ :М(Х)=М(У) при конкурирующей гипотезе Н):М{Х)ф-М(У). Решение. Исправленные эмпирические дисперсии различаются, однако, в связи с ма­ лостью чисел П| и п^, нельзя сделать заключения об оценках генеральныхдисперсий. Проверим гипотезуЩ -.а\=<туприпомощи критерияР.Имеем / = 0,75/0,45 = 1,67. Поскольку з][ >$\, примем следующую конкурирующую гипотезу ■.а\ >(т\. Позначениямвеличина=0,01;Л|=7-I =6,Аг=9-1=8изтабл.15.7находим 1ч>итическую точку /о(0,01;6;8)= 6,37 . Поскольку / < /о (1,67 < 6,37), нет основа­ нийдля отклонения гипотезы Щ .(г](=(7у.Учитывая теперьравенство генеральных дисперсий, переходим крассмотрению гипотезы Щ :М{Х)=М{У).Для нахождения наблюдаемого значения I величины Т подставим в (15.17) вместо Хд, Ув, Зх, Зу данные значения х,у. Зх, Зу, получим 5,4 -4 ,9 /7-9(7+ 9-2) \/6-0 ,75 -Ь8 -0 ,45У Т+9 Согласно п. 1длядвухсторонней критической области по значениям а = 0,01и * = Ч1-)-П2-2=74-9 - 2 = 14 находим критическую точку1о{а', к)=<о(0,01;14)= 2,98. ПосколькуI< (1,34 < 2,98), то нетоснований отвергать нулевую гипотезу Ноо ра­ венстве генеральныхсреднихМ(Х)=М{У).Различие х пу незначимо (случайно). > 15.2 .8 .5 . Сравнение генеральных дисперсий нескольких нормальных совокупностей. Критерий Кочрена ПустьизнормальнораспределенныхгенеральныхсовокупностейХ\,Х2, ..., Х{ ^ 2)произведено I независимых простых выборок одинакового объема п, Покоторым вычислены исправленные эмпирические дисперсии «2-•••.*/ (см. 15.2 .4.1).При заданном уровнезначимости а необходимо проверитьнуле­ вую гипотезуоравенстве генеральныхдисперсий Яо :В(Х\)= 0{Х2)= ... = ЩХ1).Для проверки гипотезы Но используется случайная величина (стати­ стика критерияКочрена)
где — максимальная исправленная выборочнаядисперсия.Каждая извы­ борочныхдисперсий(являющихсяслучайными величинами)3^(г= 1,..., имеет к=п - Iстепеней свободы,так как необходимо выполнение условий М(3})=В(Х,)(г= 1,...,/). Позаданнымзначениям уровнязначимости а,атакже к=п -\и/ при помощи табл.15 .8(Критические точки распределения Кочрена) находяткри­ тическую точкуСо(а;к,I).Затем по формуле (15.18)вычисляют наблюдаемое значение с случайной величины С.Если с > Со,то гипотезуЩ отклоняют. Если с < Со, то нет оснований отклонять гипотезу. В случае справедливости нулевой гипотезы в качестве оценки генеральнойдисперсии каждой совокупно­ сти берутсреднее арифметическое исправленных эмпирических дисперсий. Пример 63. ДаноI = 5 независимых выборок одинакового объема п = 37 из нор­ мальных генеральных сово купностей. Э мп ири че с кие д исперсии р авны: 0,31; 0,39; 0,28; 0,37; 0,38. При уровне значимости а = 0,01 проверить гип отезу о равенстве генеральных диспер сий. Решение. Наблюдаемое значение с тати стики равно, соглас но (15.18), 0,39 0,31-1-0,39 -1-0,28-1- 0,37 4-0,38 = 0,225, где = 0,39.Позначенияма =0,01;Л=37-1=36;(=5припомощитабл.15.8 находим Со(0,01; 36; 5) = 0,3351. Т а к к а к с < Со (0,225 < 0,3351), то не т оснований от­ к лон ять гип отезу Но, т е . различие эмп ири че ских дис перс ий незначимо (случайно). Оце нка генеральной дисперсии <т^ = 1(0,31 -I-0,39 -I-0,28 -I-0,37 -И0,38) = 0,35. 1> 1 5.2 .8 .6 . Критерий РГ Вилкоксона или Манна—Уитни КритерийNoВилкоксонаилиМанна—Уитни применяетсядляпроверкигипо­ тезы о принадлежностидвух выборокк однойитой же генеральнойсовокупности. Нулевая гипотеза Но:Р\{х)=Р2{у)состоит в равенстве неизвестных функ­ ций распределения непрерывных случайных величин (каких-либо предполо­ жений о видераспределений X иV иеделается) и проверяется при помоши одной выборки XI,Х2,■■■ ИЗX и одной выборки У\,У1,... ,Уп2из У-ДЗ' лее предполагается, что щ ^Пг- Этого можно всегдадостичь перестановкой выборок местами. В качестве конкурирующей гипотезы возьмем Н\:Р\{х)^ Р2{х).Для проверки нулевой гипотезы при заданном уровне значимости а (если П|^ 25,П2^ 25)располагаютварианты обеихвыборок ввозрастающем порядке водном итом же вариационном ряду,азатем находятвэтом рядусум­ му порядковых номеров No всех вариант первой выборки, которая и является наблюдаемым значением статистики Ж критерияВилкоксона(Манна— Уитни). Далее по табл.15 .9(Критические точки распределения Ц') ищут: I) нижнюю критическую точкуNo„(<3,П|,Пз), где^ =а/2;
2) верхнюю критическую точку т, = (п] + Пг + 1)и1 - га„. Если и)„<г»< , то нет оснований отклонять гапотезу Щ. Если т<га„ или No > «Ив, то гипотезу До отклоняют. Если в какой-либо одной выборке имеется несколько одинаковых вари­ ант, то в общем вариационном ряде их нумеруют как разные варианты. При совпадении вариант разных выборок таким вариантам приписывают оди­ наковый номер, равный среднему арифметическому номеров этих вариант в общем вариационном ряде. Если объем хотя бы одной выборки больше 25, то нижняя критическая точка ПьПг) равнацелой части числа (п,+П2+1)п, - 1-1 [щп. -- 2(П| +П2+1) 12 те^ = а/2,2онаходят по таблице значений функции Лапласа Ф(1) (табл. 15.2) из равенства Ф(го) = -(1 - а). Примечание. Целой частью |а| числа а называется наибольшее целое число, не пре- восходяшее о. Например, |4,7| = 4; |-3 ,1] = - 4 . Дробная часть {а } числа о есть разность а - |а|.Причем О< {а} < I. Пример 64. Даны две выборки из генеральных совокупностей X и У с объемами П|=6,П2=7(П|<Пг): 122478- No56910111315 При уровне значимости а = 0,1 проверить гип отезу Щ : ^’1(х) — Р2{у) при к он кур и­ рующей гипотезе Н, : Р1(х) ф- . Решение. Р асположи м вар ианты обеих выборок в возрас тающем порядке в виде одного Ряда (вариан ты подчеркнуты; номеравариант12345678910111213 варианты 12245678910111315 Сумма порядковых номеров под черкнутых вариант первой выб орки равна и>=И-2 -(-3 -| -4 -| -7 -Н8 = 25. По значениям ^ = а/2 = 0,05; П| = 6; «2 = 7 при помощи табл. 15.9 находим; No„(0,05; 6; 7) = 30. Верхняя кр ити чес кая точка No, = (П|+П2Ч-1)п1—No„ = (64-7 -ИI)•6-30=54. Так как ш < и)„ (25 < 30), то гипотезу Яо отклоняем, т. е. выборки не принадлежат одной и той же генеральной с овокуп нос ти. >
15.2 .8 .7 . Критерий согласия хи-квадрат Пирсона Критерии согласия служат для проверки гипотез о том, что неизвестный за­ кон распределения случайной величины X имеет определенный вид Ро{х). Одним из таких, наиболее часто используемых критериев, является критерий хи-квадрат Пирсона, позволяющий, в частности, проверить гипотезу о нор­ мальном виде закона распределения. Критерий Пирсона применим и для других гипотетических распределений как непрерывных, так и дискретных случайных величин. 1. Проверка гипотезы о нормальности распределения непрерывной случай­ ной величины нри помощи критерияПирсона. Пусть эмпирическое распределе­ ние непрерывной случайной величины X задано ввиде конечного множества промежутков Л, (г = 1,2 ,..., г) обычно одинаковойдлины и соответствую­ щихим сумм ГП{частот пу вариант выборки Ц=1,2, , п), попавших в эти промежутки (т.е .гп{равно числу вариант впромежутке Л,): т. Л, = [бо;Ь|) т. Л2 = [6,;62) Ш2 Лг = [бг-,;бг| ГПг Примечание 1. Иногда частоты вариант, попавших на фаницы промежутков Ь\,Ь^, Ь,-1 , пр ип ис ыва ютс я пополам кажд ому из соседних промежутков (та к что воз­ можн ы дробные зна че ни я частот). Объем выборкиравен ГП1+Ш2+■■.+гПг=п. Длятого чтобы при помощи критерия Пирсона при заданном уровне значимости а проверитьнулевую гипотезуНоо нормальности распределения генеральной совокупности, следует: 1. Найти середины с, всех промежутков Л,: 1 С;= -(Ь,-1 -ЬЬ .) («= 1,2, и записать последовательность вариант с, вместе с их частотами, которые полагаютравными : С1 С2 ... Сг ГП) ГП2 ... ТПг. 2.Для вариационного рядас^(I= 1,2 ,..., г) найти эмпирическое среднее с и эмпирическое среднеквадратическое отклонение сг(с)= у/0(с),тогда дляисходного вариационного ряда приближенно I а;с; а{х)~ <т(с)- 3. Найти теоретические вероятности = Ф(г^)-Ф(г(_|),«= 1,2,..., г,по­ падания случайной величины X впромежутки Л, приусловии принятия гипотезы о нормальности распределения, где Ф(г) —функция Лапласа
(см. табл. 15 .2); = (6^- с)/гг(с);^ = О,I,2,..., г;приэтомнаимень­ шее значение г, (те. го) полагают равным -оо , а наибольшее (те. гг) полагаютравным +оо,такчто р, =Р(Х< 61)=Ф(2|)-Ф(-оо)= Ф(г,)+0,5, Рг=Р(Х> Ьг-х)=Ф(+оо)-Ф(гг-|) =0,5 -Ф(гг_|), Г Приэтом Рг= 1. 1=1 4. Вычислить теоретические частоты т ' (т.е .математические ожидания частот) т'^ = пр^, гдеп — объем выборки. 5. Найти наблюдаемое значение хи-квадратстатистики Пирсона {т, -т'Л2 '' - Е 1= где ^ ^ т'=п. - п. (15.19) Если > ^0. то нулевую гипотезу отклоняют. Если то нет 6. Потабл.15 .5позаданномузначению а ичислустепенейсвободы к~ г-3 найти критическую точкуХо(«> правосторонней критической области. Если > ^0. то нулевую гип оснований отклонять гипотезу. Примечание2. Объем выборки должен быть достаточно большим (п ^ 50), а все частоты т, должны удовлетворять неравенствам т^ ^ 5. Промежутки, для которых < 5, следует укрупнять, объединяя их с соседними промежутками, складывая при этом частоты вариант. Число степеней свободы находится по формуле А = г - 3, где в качестве г берется число прюмежутков, получившихся в результате объединения. Примечание3.Так как объем выборкидостаточно велик (п ^ 50),различием эмпи­ рических дисперсий В и8^пренебрегается, т.е . В а Пример65. Приуровне значимости а —0,05 , используя критерий Пирсона, прове­ ритьгипотезу о нормальности распределения непрерывной случайной величины X. Эмпирическое распределение выборки из X объема п = !00 задано ввиде промежут­ ков вариант и их суммарных частот т^ втаблице: номер промежуток суммарная промежутка ОТб,_1 д о Ь, частота т, 1 -5 0 6 2 0 5 7 3 5 10 16 4 10 15 43 5 15 20 17 6 20 25 6 7 25 30 5
758 Гл а в а 1 5 . Теория вероятностей и математическая статистика Решение. 1. Найдем середины промежутков С; = -(Ь^_| +Ь,), например, с, = ^ -(-5+ 0) = -2 ,5 и запишем варианты с^ с ихчастотамитп^: С; -2 ,5 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 6 7 16 43 17 6 5 2.с=-^ с,т, = 12,30; <т\с) = - - с )^ т , = 49,50; <г(с) = ч/49,50 = 7,00. Для вариант x^ пр инима ем прибл иженн о: х « с = !2,30; а{х) » е{с) = 7,00. Ь, —с 3. Находим г, = , • <т(с) о - 12,30 2,=-1 - ^ = - 1,76; «2 = -1,04; 2, = -0,33; 7,00 г, = 0,38; г, = 1,1; гб=1,81. Вероят но сти р,- н аходим по табл. 15.2: р, = Ф(г,) - Ф(-оо) = Ф(-1,76)+ 0,5 = -0,4608+0,5 = 0,0392; Р2 = -0,3508 + 0,4608 = 0 ,11; Р з = 0,2215; Р4 = 0,2773; Р 5 =0,2163; Р(, = 0,1006; Р 7 = Ф(+оо) - Ф(1,81) = 0,5 - 0,4649 = 0,0351. Проверка; ^ р, = >■ 4. Теоретические частоты т ! = пр,: т ' | = 100-0,0392 = 3,92; т'2 = II; тпз = 22,15; т,=21,И\ т'5 =21,63; = 10,06; т', = 3,51. Проверка: ^ т\ = 100. 5. Наблюдаемое зн ачение ст атис тики П ир сона п олучи м, подставляя в (15.19) зна­ чения га, и т,: X—' (т, — га')^ проверка; ^ - п = 15,75. *^т
6.Потабл.15.5позначениюа=0,05и*;=г-3=7-3=4получимкрити­ ческую точку Хо(0,05;4)= 9,5. Поскольку > х1 (15,75 > 9,5), то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем. Различие эм­ пирических и теоретических частотздесьзначимо (т.е . не можетбыть объяснено случайностью). > 2. Общая схема применения критерия Пирсона к непрерывным случайным ■еличинам. Пусть по выборке из генеральной совокупности X требуется с по­ мощью критерия Пирсона при заданном уровне значимости а проверить правильность гипотезы Но :Ро{х) = Р(х\/31,Р2,■■■, где Ро{х) —функ­ ция распределения непрерывной случайной величины Х\ /5],/Зг,. . . , — ■неизвестные параметры гипотетического распределения Ро{х)- Например, если Ро{х) — нормальное распределение, то имеются два неизвестных па­ раметра (а и а). Если Ро{х) — показательное распределение, то неизвестен одинпараметрАит.д. Для проверки гипотезы Но вначале по выборке объема п из X при помощи метода наибольшего правдоподобия(см. 15 .2 .4 .5)находят значения оценокпараметров Р2,■■■,Ра и полагают,что ■■■,Ю - Затем область возможных значений величины X разбивают на конечное число непересекающихся промежутков = [Ь^-ьЬ;)(г=1,2,...,г)лю­ бой (не обязательно одинаковой) длины. Далее находят вероятности = Я(6;_1 ^X <Ь()=Ро{Ь{)-Ро(Ь{-\)итеоретические частоты т[ = пр^(число выборочных значений вЛ, равно га^), по которым вычисляют наблюдаемое значение статистики Пирсона поформуле (15.19).Число степеней свободы находятпоформулеА= г—* - 1,гдег — число промежутков Л,, * — число оцениваемых параметровфункции распределения. По табл.15 .5 по заданным значениям а нк находяткритическую точку Если >Хо(Х^<Хо).то Нулевую гипотезуЩ отклоняют(принимают). 2а) Проверка с помощью критерия Пирсона гипотезы о равномерном рас- ■■ределенни непрерывной случайной величины. Пусть эмпирическое распреде­ ление непрерывной случайной величины X (генеральной совокупности) за­ дановвидеконечного множества г промежутков Л, = [6,_|;6^|(г= 1,..., г) исоответствующих им суммарных частот т{ вариант,так что ^ — п— X объем выборки. Пусть требуется при заданном уровне значимости а прове­ ритьгипотезу о том, что случайная величина X распределена равномерно (см. 15 .1 .10 .3). Для этого следует: 1.Середины с, всех промежутков Л, принять в качестве новых вариант с частотами ГП{.Для вариационного ряда с, вычислить эмпирическое среднее с и эмпирическое среднее квадратическое отклонение (т(с). 2. Найти числовые оценки параметров а и Ь,являющихся концами проме­ жутка [а;6|, в котором наблюдаются возможные значения величины X,
760 Гл а в а 1 5 . Теория вероятностей и математическая статистика по формулам (см. пример49); а'=х-а{с)\/3, Ь' =х+<т(с)\/3. 3. Записать плотность вероятности предполагаемого равномерного распре­ деления (приняв а=а', Ь =Ь‘): 4. Вычислить теоретические частоты т [: т\=пр|=пС'{Ь]-а“); т'г = пр2= пС*(&2- Ь|); га' = прг= пС‘{Ь*- Ьг-[). 5. Найти наблюдаемое значение статистики Пирсона по формуле (15.19). 6. При заданном а и числе степеней свободы *: = г - 3 по табл.15 .5либо принять гипотезу,либо отклонить ее (аналогично п.1). 26) Проверка с помощью критерия Пирсона гипотезы о показательном рас­ пределениинепрерывнойслучайнойвеличины. Пусть, аналогично п.2а, эмпи­ рическое распределение непрерывной случайной величины X (генеральной совокупности) задано в виде конечного множества г промежутков Л; и со­ ответствующих суммарных частот т, вариант х^. И пусть требуется при заданном уровне значимости о проверить гипотезу о том, что величина X распределена по показательному закону(см. 15 .1 .10 .3,3). Для этого следует: 1. Ввести варианты С; с частотами т^ (аналогично п.2а) и вычислить эмпирическое среднее с. 2. В качестве числовой оценки параметраА показательного распределения взятьА' = 1/с(см. пример47). 3. Найти вероятности попадания величины X в промежутки Л^; при этом всегдаЬо=О,т.е .Л, = 10,6]): р, = Р(Ь,_, ^ ДГ<Ь.)=Р{Ь,)-2?(Ь._|)= - е"’'"; Р,=е“-е - ^ > .............. 4. Вычислить теоретические суммарные частоты = пр,. 5. Вычислитьнаблюдаемоезначениестатистики Пирсона поформуле(15.19). 6. При заданном а и числестепенейсвободы/с= г - 2потабл.15 .5принять гипотезу,либо отклонитьее (аналогично п. 1).
3. Применение критерия Пирсона к дискретным случайным величинам. Схема применения критерия Пирсона к дискретным случайным величинам ^алогична общейсхемеего применения к непрерывным случайным величи­ нам(см.п.2). Пусть эмпирическое распределение дискретной случайной величины X идано ввиде последовательности вариантвыборки исоответствующихчастот (п\+П2+■■■+Пг=п —объем выборки): щщ Х2 П2 Хг Пт ■ Длятого чтобы при помощи критерия Пирсона при заданном уровне вачимости а проверить нулевую гипотезу о заданном виде закона распреде- ^ н и я генеральной совокупности X ,следует: 1. Поданной выборке найти методом моментов или методом наибольшего правдоподобия (см. 15 .2 .4 .4 и 15,2.4 .5)значения оценок параметров, от которых зависит заданный закон распределения. 2. Найти вероятности р^того,что случайная величина X приметзначения I],12,. • . , Хг, а также вычислить теоретические частоты щ = пр,(г= 1,2,...,г). 3.Найти числостепеней свободы поформуле А:= г - « - 1 ,гдег — число (фупп)разных вариант выборки, я — число оцениваемых параметров закона распределения. П р и ме ча ни е . При этом малые частоты (п, < 5) надо предварительно объединить (сложить). С кладыва ются та кже и соответствующие теоретичес кие час тоты п',. В каждой фуппе должно б ыть не менее 5 вариант. Вариа нты с об ъед иненн ыми час тотами при нима ют за одну группу при подсчете чис ла степеней свободы. 4. Найти наблюдаемое значение статистики Пирсона по формуле (15.19) дляновых (объединенных)значений частот как эмпирических щ,так и теоретических п, . 5.Аналогично п.2 принять или отклонить нулевую гипотезу Пример 66. По данной выборке объема п = 200 из генеральной совокупности X: X, 0 1234 П,11951;2343 "Члбуется при уровне значимости а = 0,01 проверить гипотезу о том, что величина X Распределена по закону Пуассона (см. пример 46).
762 Гл а в а 1 5 . Теория вероятностей и математическая статистика Решение. 1. Закон распределения Пуассона РЛХ=т)= ^е ’“ (т=0,1....) т! зависитотодного параметра о,оценка которого по метолумоментов{см. 15 .2 .4 .4) имеет вид , _ I, . 1 а=х = -(ж,+Х2+...ж„) ~ - = ^(119-0+5!•1+23-2+4-3+3-4)=0,6!. 2.Вычислим вероятности Ро(т), гдеа= 0,61;т = О,1,2,3,4: Ро=п(0)= = 0,5434 (О! = 1); Р1=-Ра(1)=^е-“ = 0,3315; Р 2 = 0,1011; рз = 0,0206; Р4 = 0,0031. Теор етиче ские частоты щ = пр^: щ = 108,68; п, = 66,3; П; = 20,22; п, = 4,12; «4 = 0,62. Об ъед ин им малые частоты щ щ ~ 1\п\ =щ+ П4= 4,74. 3.Числостепенейсвободык=г - « -1=4-1 -1=2,гдег=4 —числогрупп вариант после объед инения, 8 = 1 — чи сло оц ен ива емых параметров. 4. Наблюдаемое значение с тати стики Пирсона: 2^(По-о" ^ (П|-п'|)^^{Пг- п';)^ (Пз- ^5 п\ п'з п'з 5. По табл. 15.5 по значениям а = 0,01 и к=2находим критическую точку Хо= ‘^’^' Так как < Хо (5.971 < 9,2), то нет осн ований отвергать гипотезу о пуассонов- с ком распределении ве ли чи н ы X. ^ 1 5.2 .8 .8 . Сравнение генеральных средних двух нормально распределенных случайных величин, дисперсии которых известны Пустьиздвух генеральныхсовокупностей X иУ,распределенных нормально и имеющих известные генеральные дисперсии В{Х), 0(У)(в общем случае разные), извлечены независимые случайные выборки достаточно больших объемов П[>30, П2>30 соответственно. И пусть требуется при заданном уровне значимости а и известных (вычисленных) эмпирических средних г- у проверить нулевую гипотезу Но :М(Х) =М(У) (или, что равносильно, М{Хв) =М(Ув)) оравенстве генеральных средних(математических ожида­ ний)случайныхвеличин X нУ\
1.При конкурирующей гипотезе Я|:М(Х)/ М(У).Для этого следует найти наблюдаемое значение статистики ^^ Хв-Ув Хв-Ув ^ ]о(Хв - Ув) /Р(Х) Р(У) П) П2 равное х-у I; ^ с V"1 "2 ; азатем по табл.15 .2 найти критическую точку го из уравнения Ф(го) = - {1 - а).Если |г| < го,то нет оснований отклонять нулевую гипотезу; если же |г| >го,то нулевую гипотезуотклоняют \ 2.Приконкурирующей гипотезе Н\:М(Х)>М(У)критическую точку го находятизуравнения Ф(го) = -(1-2а).Если г<го(г >го),то нулевую гипотезу принимают (отклоняют). I 3.При конкурирующей гипотезе Н\:М(Х)<М(У)находят из уравне- ■' ния Ф(<о)= 2^* “ Критическая точка го= -1о-Если г>го(г <го), то нулевую гипотезупринимают(отклоняют). Примечание. Е с ли вели чи ны X и У не распределены нормально, то для проверки вулевой гипотезы Яо : М ( Х ) = М(У) при соотве тствующей ко нкур ирующей гипотезе Может использоваться прибл иже нн ое наблюдаемое значени е г' статистики 2'. х-у П, П2 ■■Де П1 > 30, П2 > 30 — объемы выборок; О], 02 — эмпи р ичес кие дисперсии для Червой и второй выборки соответственно. Пример 67. Из генеральных совокупностей X » У с дисперсиями В{Х) = 90 и ^{У) = 120 извлечены независимые выбор ки с объемами П[ = 45 ч П2 = 60 соот- *етственно, для которых найдены эмпириче ские средние х = 135, у = 140. Требуется Проверить нуле вую гипотезу Яо : М{Х) = М(У) при уровн е зна чимости а = 0,01 ^ Конкурирующей гипотезе Я , ; М{Х) фМ{У). Ьшение. Наблюдаемое зна че ни е статистики 2 равно 135-140
Из уравнения Ф(го) = ^(1 - а ) = 0,495 по табл. 15.2 находим г» = 2,58. Так как |г| = I - 2,5| < 2о = 2,58, то нет основа ни й откл оня ть нуле вую гипотезу, т. е. эмпи рические средние различаютс я незна чимо (с лучайн о). > 15.2 .8 .9 . Проверка гипотезы о некоррелированности двух случайных величин Пусть из двумерной нормально распределенной генеральной совокупности (ХУ) извлечена связанная выборка объема п (см. 15 .2 .7 .1)и по ней най­ ден эмпирический коэффициент корреляции г/ 0.Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Но:Гхг = Оо некоррели­ рованности величин X 1лУ.при конкурирующей гипотезе Н\:Гхуф0.Если гипотеза Щ принимается, то ЛГ и У некоррелированы, т.е . коэффициент г незначимо (случайно) отличается от нуля. Дляпроверки(при заданном а)гипотезы Щ при конкурирующей гипо­ тезе Я| следуетвычислить наблюдаемое значение <= (15.20) VI- случайной величины (статистики) Т. имеющей распределение Стьюдента с к=п - 2степенями свободы. Затем по заданным а и Л найти критическую точку 1о(а,к)для двухсторонней критической области по табл. 15.6. Тогда, если \1\< 1а,то нетоснований отклонять нулевую гипотезу.Если |<|> 1о,то нулевую гипотезу отклоняют. П р и м е р 68. Предполагая, что в услови ях примера 56 выборка объема п = 50 — из нормальной двумерной совокупнос ти , проверить при уровне значимост и а = 0,05 нулевую гипотезу Яо : Тху = О при конкурирующей гипотезе Н\ : Гху ФО- Решение. Найденное в примере 56 значение г = 0,33. Наблюдаемое зна чение стати­ сти ки равно ,^0,33-75^ ^^^2. ^/1 -0 ,332 Позначениям а=0.05и* = п - 2 =50-2 =48потабл. 15.6можноустановить лишь, что 2,00 < <о(0,05;48) < 2,02, так как 40 < 48 < 60. Поскольку I >1„, нулевую гипотезу отклоняем. Значит, отличие коэффициента г от нуля значимо (неслучайно), и ве ли чи ны X и У коррелированы. ^
15.2 .9 . Таблицы Таблица 15.1 Значения функции (р{х) = О 1 5 7 0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656 0,0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060 0,0044 0033 0024 0017 0012 0009 3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644 0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058 0043 0032 0023 0017 0012 0008 3989 3961 3894 3790 3652 3485 3292 3079 2850 2613 2371 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632 0519 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056 0042 0031 0022 0016 0012 0008 3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620 0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 0040 0030 0022 0016 ООП 0008 3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 2323 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608 0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053 0039 0029 0021 0015 ООП 0008 3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 ЗОН 2780 2541 2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596 0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051 0038 0028 0020 0015 0010 0007 3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516 2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584 0478 0387 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050 0037 0027 0020 0014 0010 0007 3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492 2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573 0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048 0036 0026 0019 0014 0010 0007 3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562 0459 0371 0297 0235 0184 0143 ОНО 0084 0063 0047 0035 0025 0018 0013 0009 0007
Окончание таблицы 15.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003 3.8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001 Таб лицы 15.1-15.9 заимс твова ны из кн иги: Гмурман В. Е . Теор ия вероятностей и математи ческая статисти ка. М .: Вы с ш а я школа, 1999. 479 с. Более подробные таблицы приведены, например, в кни ге: Большее Л. Я . , Смир­ нов Н. В. Таб лицы математиче ской с тат истики. М .: Наука, 1965. Таблица 15.2 Значения функции Ф (х )= X /' ,-^72 <12 Ф{х) Ф (х) Ф(х) Ф(х) 0,0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,1 1 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,1844 0,1879 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,2580 0,2611 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289
Ф(х) Ф(х) Ф(х) Ф(х) 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1,11 1,12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.2 0 1,21 1,2 2 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 0,3849 0,3869 0,3883 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0.3980 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.50 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.60 1,61 1,62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 1.70 1.71 1.72 1.73 1.74 1.75 1.76 1.77 0,4147 0,4162 0,4177 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4916 1.78 1.79 1.80 1,81 1,82 1.83 1.84 1.85 1.86 1.87 1.88 1.89 1.90 1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 2,16 2,18 2,20 2,22 2,24 2,26 2,28 2,30 2,32 2,34 0,4625 0,4633 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 0,4772 0,4783 0,4793 0,4803 0,4812 0,4821 0,4830 0,4838 0,4846 0,4854 0,4861 0,4868 0,4875 0,4881 0,4887 0,4893 0,4898 0,4904 2,36 2,38 2.40 2,42 2,44 2,46 2,48 2.50 2,52 2,54 2,56 2,58 2,60 2,62 2,64 2,66 2,68 2,70 2,72 2,74 2,76 2,78 2,80 2,82 2,84 2,86 2,88 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98 3.00 3,20 3.40 3,60 3,80 4.00 4.50 5.00 0,4909 0,4913 0,4918 0,4922 0,4927 0,4931 0,4934 0,4938 0,4941 0,4945 0,4948 0,4951 0,4953 0,4956 0,4959 0,4961 0,4963 0,4965 0,4967 0,4969 0,4971 0,4973 0,4974 0,4976 0,4977 0,4979 0,4980 0,4981 0,4982 0,4984 0,4985 0,4985 0,49865 0,49931 0,49966 0.499841 0,499928 0,499968 0,499997 0,499997
Таблица 15.3 Значения 0.95 0,99 0,999 0,95 0,99 0,999 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,23 220 2,18 2,16 2,15 2,13 2,12 2,11 2,10 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,06 3,01 298 2,95 2,92 2,90 2,88 8,61 6,86 5.96 5,41 5,04 4,78 4,59 4,44 4,32 4,22 4,14 4,07 4,02 3.97 3,92 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 120 00 2,093 2,064 2,045 2,032 2,023 2,016 2,009 2,001 1,996 1,001 1,987 1,984 1,980 1,960 2,861 2,797 2,756 2,720 2,708 2,692 2,679 2,662 2,649 2,640 2,633 2,627 2,617 2,576 3,883 3,745 3,659 3,600 3,558 3,527 3,502 3,464 3,439 3,418 3,403 3,392 3,374 3,291 Таблица 15.4 Значения д = д(7, п) п 7 п 7 0,95 0.99 0,999 0,95 0,99 0,999 5 1,37 2,67 5,64 20 0,37 0,58 0,88 6 1,09 2,01 3,88 25 0,32 0,49 0,73 7 0,92 1,62 2,98 30 0,28 0,43 0,63 8 0,80 1.38 2,42 35 0,26 0,38 0,56 9 0,71 1,20 2,06 40 0,24 0,35 0,50 10 0,65 1,08 1,80 45 0,22 0,32 0,46 11 0,59 0,98 1,60 50 0,21 0,30 0.43 12 0,55 0,90 1,45 60 0,188 0,269 0.38 13 0,52 0,83 1,33 70 0,174 0,245 0.34 14 0.48 0,78 1,23 80 0,161 0,226 0.31 15 0,46 0,73 1,15 90 0,151 0,211 0,29 16 0.44 0,70 1,07 100 0,143 0,198 0,27 17 0.42 0,66 1,01 150 0,115 0,160 0,211 18 0.40 0,63 0,96 200 0,099 0,136 0,185 19 0.39 0,60 0,92 250 0,089 0,120 0,162
Таблица 15.5 Критические точки распределения х Число степеней свободы к Уровень значимости а 0,01 0,025 0,05 0,95 0,975 0,99 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 П 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 6,6 9,2 11.3 13.3 15.1 16,8 18.5 20.1 21.7 23.2 24.7 26.2 27.7 29.1 30.6 32.0 33.4 34.8 36.2 37.6 38.9 40.3 41.6 43.0 44.3 45.6 47.0 48.3 49.6 50.9 5,0 7.4 9.4 11,1 12,8 14.4 16,0 17.5 19.0 20.5 21.9 23.3 24.7 26.1 27.5 28.8 30.2 31.5 32.9 34.2 35.5 36.8 38.1 39.4 40.6 41.9 43.2 44.5 45.7 47,0 3.8 6,0 7.8 9.5 11,1 12,6 14,1 15.5 16.9 18.3 19.7 21,0 22.4 23.7 25.0 26.3 27.6 28.9 40.1 31.4 32.7 33.9 35.2 36.4 37.7 38.9 40,1 41.3 42,6 43.8 0,0039 0,103 0,352 0,711 1,15 1,64 2,17 2,73 3,33 3,94 4.57 5,23 5,89 6.57 7,26 7,96 8,67 9,39 10,1 10,9 11,6 12.3 13.1 13.8 14.6 15.4 16.2 16.9 17.7 18.5 0,00098 0,051 0,216 0,484 0,831 1.24 1.69 2,18 2.70 3.25 3,82 4,40 5.01 5,63 6.26 6.91 7,56 8,23 8.91 9,59 10.3 11,0 11.7 12.4 13.1 13.8 14,6 15,3 16,0 16.8 0,00016 0,020 0,115 0,297 0,554 0,872 1,24 1.65 2.09 2,55 3,05 3,57 4,11 4.66 5,23 5,81 6,41 7,01 7,63 8,26 8,90 9,54 1 0,2 10.9 11.5 12,2 12.9 13.6 14,3 15,0
Таблица 15.6 Критические точки распределения Стьюдента Число степеней свободы к Уровень значимости а (двухсторонняя кр итичес ка я область) 0,10 0,05 0,02 0,01 0,002 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 6,31 2,92 2,35 2,13 2,01 1,94 1,89 1,86 1,83 1,81 1,80 1,78 1,77 1,76 1.75 1.75 1,74 1.73 1.73 1.73 1.72 1.72 1.71 1.71 1.71 1.71 1.71 1.70 1.70 1.70 1,68 1,67 1,66 1,64 12.7 4.30 3.18 2,78 2,57 2,45 2,36 2.31 2,26 2,23 2,20 2.18 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2.09 2.09 2,08 2.07 2.07 2,06 2,06 2,06 2.05 2.05 2.05 2,04 2,02 2,00 1,98 1,96 31,82 6,97 4.54 3.75 3,37 3,14 3,00 2,90 2,82 2.76 2,72 2,68 2,65 2,62 2,60 2,58 2,57 2.55 2,54 2,53 2,52 2,51 2,50 2.49 2.49 2,48 2,47 2.46 2.46 2.46 2,42 2,39 2,36 2,33 63,7 9.92 5.84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,05 3,01 2,98 2,95 2.92 2,90 2,88 2,86 2.85 2,83 2,82 2,81 2,80 2,79 2,78 2,77 2.76 2.76 2,75 2,70 2,66 2,62 2,58 318,3 22,33 10,22 7.17 5,89 5,21 4.79 4.50 4.30 4,14 4,03 3,93 3,85 3.79 3,73 3,69 3,65 3,61 3,58 3,55 3,53 3.51 3,49 3,47 3,45 3,44 3,42 3.40 3.40 3,39 3.31 3,23 3.17 3,09 637,0 31,6 12,9 8,61 6,86 5.96 5,40 5,04 4.78 4,59 4,44 4,32 4,22 4,14 4,07 4,01 3.96 3,92 3,88 3,85 3,82 3.79 3,77 3,74 3,72 3,71 3,69 3.66 3.66 3,65 3,55 3,46 3,37 3,29 Уровень значимости а (одн осторонняя кр ити чес кая область)
Критические точки распределения Р (А| — число степеней свободы для большей дисперсии, кг — число степеней свободы для меньшей дисперсии) Уровень значимости а =0,01 1 10 11 12 4052 98,49 34,12 21,20 16,26 13,74 12.25 11.26 10,56 10,04 9.86 9,33 9,07 8.86 8,68 8,53 8,40 4999 99,01 30,81 18,00 13,27 10,92 9.55 8,65 8,02 7.56 7,20 6,93 6,70 6,51 6,36 6,23 6,11 5403 99,17 29,46 16,69 12,06 9,78 8,45 7,59 6,99 6.55 6,22 5,95 5,74 5.56 5,42 5,29 5,18 5625 99,25 28,71 15,98 11,39 9,15 7,85 7,01 6,42 5,98 5.67 5,41 5,20 5,03 4,89 4,77 4.67 5764 99,30 28,24 15,52 10,97 8,75 7,46 6.63 6,06 5.64 5,32 5,06 4,86 4,69 4,56 4,44 4,34 5889 99,33 27,91 15,21 10,67 8,47 7.19 6,37 5,80 5,39 5,07 4,82 4,62 4,46 4,32 4.20 4,10 5928 99,34 27,67 14,98 10,45 8,26 7,00 6,19 5,62 5,21 4,88 4,65 4,44 4,28 4,14 4,03 3,93 5981 99,36 27,49 14,80 10,27 8,10 6,84 6,03 5,47 5,06 4,74 4,50 4,30 4,14 4,00 3,89 3,79 6022 99,38 27,34 14,66 10,15 7,98 6,71 5,91 5,35 4,95 4,63 4,39 4,19 4,03 3,89 3,78 3,68 6056 99,40 27,23 14,54 10,05 7,87 6,62 5,82 5,26 4,85 4,54 4,30 4,10 3,94 3,80 3,69 3,59 6082 99,41 27,13 14,45 9,96 7,79 6,54 5,74 5,18 4,78 4,46 4,22 4,02 3,86 3,73 3,61 3,52 6106 99,42 27,05 14,37 9,89 7,72 6,47 5.67 5,11 4,71 4,40 4,16 3,96 3,80 3.67 3,55 3,45 Уровень значимости а =0,05 I 161 18,51 10,13 7,71 6,61 5,99 5,59 5,32 5,12 4,96 4,84 200 19,00 9,55 6,94 5,79 5,14 4,74 4,46 4,26 4,10 3,98 216 19,16 9,28 6.59 5,41 4,76 4,35 4,07 3,86 3,71 3.59 225 19,25 9.12 6,39 5,19 4,53 4.12 3,84 3,63 3,48 3,36 230 19,30 9,01 6,26 5,05 4,39 3,97 3,69 3,48 3,33 3,20 234 19,33 8.94 6,16 4.95 4,28 3,87 3,58 3,37 3,22 3,09 237 19,36 8,88 6,09 4,88 4,21 3,79 3,50 3,29 3,14 3,01 239 19,37 8,84 6,04 4,82 4,15 3,73 3,44 3,23 3,07 2,95 241 19,38 8,81 6,0 0 4,78 4,10 3,68 3,39 3,18 3,02 2,90 10 242 19,39 8,78 5.96 4,74 4,06 3,63 3,34 3,13 2.97 2,86 11 243 19,40 8,76 5.93 4,70 4,03 3,60 3,31 3,10 2.94 2,82 12 244 19,41 8,74 5.91 4,68 4,00 3,57 3,28 3,07 2.91 2,79
I 5 10 II 12 4,75 4,67 4,60 4,54 4,49 4,45 3,88 3,80 3,74 3,68 3,63 3,59 3,49 3,41 3,34 3,29 3,24 3,20 3,26 3,18 3,11 3,06 3,01 2,96 3,11 3,02 2,96 2,90 2,85 2,81 3,00 2,92 2,85 2,79 2,74 2,70 2,92 2,84 2,77 2,70 2,66 2,62 2,85 2,77 2,70 2,64 2,59 2,55 2,80 2,72 2,65 2,59 2,54 2,50 2,76 2,67 2,60 2,55 2,49 2,45 2,72 2,63 2,56 2,51 2,45 2,41 2,69 2,60 2,53 2,48 2,42 2,38 Таблица 15,8 Критические точки распределения Кочрена {к — число степеней свободы, I — количество выборок) Уровень значимости а =:0,01 1 к 1 2 3 4 5 6 7 2 0,9999 0,9950 0,9794 0,9586 0,9373 0,9172 0,8988 3 9933 9423 8831 8335 7933 7606 7335 4 9676 8643 7814 7212 6761 6410 6129 5 0,9279 0,7885 0,6957 0,6329 0,5875 0,5531 0,5259 6 8828 7218 6258 5635 5195 4866 4608 7 8376 6644 5685 5080 4659 4347 4105 8 0,7945 0,6152 0,5209 0,4627 0,4226 0,3932 0,3704 9 7544 5727 4810 4251 3870 3592 3378 10 7175 5358 4469 3934 3572 3308 3106 12 0,6528 0,4751 0,3919 0,3428 0,3099 0,2861 0,2680 15 5747 4069 3317 2882 2593 2386 2228 20 4799 3297 2654 2288 2048 1877 1748 24 0,4247 0,2871 0,2295 0,1970 0,1759 0,1608 0,1495 30 3632 2412 1913 1635 1454 1327 1232 40 2940 1915 1508 1281 1135 1033 0957 60 0,2151 0,1371 0,1069 0,0902 0,0796 0.0722 0,0668 120 1225 0759 0585 0489 0429 0387 0357 00 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
Продолжение таблицы /5.) Уровеньзначимости а —0,01 1 к 8 9 10 16 36 144 00 2 0,8823 0,8674 0,8539 0,7949 0,7067 0,6062 0,5000 3 7107 6912 6743 6059 5153 4230 3333 4 5897 5702 5536 4884 4057 3251 2500 5 0,5037 0,4854 0,4697 0,4094 0,3351 0,2644 0,2000 6 4401 4229 4084 3529 2858 2229 1667 7 3911 3751 3616 3105 2494 1929 1429 8 0,3522 0,3373 0,3248 0,2779 0,2214 0,1700 0,1250 9 3207 3067 2950 2514 1992 1521 1111 10 2945 2813 2704 2297 1811 1376 1000 12 0,2535 0,2419 0,2320 0,1961 0,1535 0,1157 0,0833 15 2104 2002 1918 1612 1251 0934 0667 20 1646 1567 1501 1248 0960 0709 0500 24 0,1406 0,1338 0,1283 0,1060 0,0810 0,0595 0,0417 30 1157 1100 1054 0867 0658 0480 0333 40 0898 0853 0816 0668 0503 0363 0250 60 0,0625 0,0594 0,0567 0,0461 0,0344 0,0245 0,0167 120 0334 0316 0302 0242 0178 0125 0083 ОС 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 Уровеньзначимости а =0,05 1 к 1 2 3 4 5 6 7 2 0,9985 0,9750 0,9392 0,9057 0,8772 0,8534 0,8332 3 9669 8709 7977 7457 7071 6771 6530 4 9065 7679 6841 6287 5895 0,5598 5365 5 0,8412 0,6338 0,5981 0,5440 0,5063 4783 0,4564 6 7808 6161 5321 4803 4447 4184 3980 7 7271 5612 4800 4307 3974 3726 3535 8 0,6798 0,5157 0,4377 0,3910 0,3595 0,3362 0,3185 9 6385 4775 4027 3584 3286 3067 2901 10 6020 4450 3733 3311 3029 2823 2666 12 0,5410 0,3924 0,3624 0,2880 0,2624 0,2439 0,2299 15 4709 3346 2758 2419 2195 2034 1911 20 3894 2705 2205 1921 1735 1602 1501 24 0,3434 0,2354 0,1907 0,1656 0,1493 0,1374 0,1286
Окончание таблицы 15.8 Уровень значимости а ==0,05 1 к 1 2 3 4 5 6 7 30 2929 1980 1593 1377 1237 1137 1061 40 2370 1576 1259 1082 0968 0887 0827 60 0,1737 0,1131 0,0895 0,0765 0,0682 0,0623 0,0583 120 0998 0632 0495 0419 0371 0337 0312 00 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 Уровень значимости а =:0,05 1 к 8 9 10 16 36 144 00 2 0,8159 0,8010 0,7880 0,7341 0,6602 0,5813 0,5000 3 6333 6167 6025 5466 4748 4031 3333 4 5175 5017 4884 4366 3720 3093 2500 5 0,4387 0,4241 0,4118 0,3645 0,3066 0,2013 0,2000 6 3817 3682 3568 3135 2612 2119 1667 7 3384 3259 3154 2756 2278 1833 1429 8 0,3043 0,2926 0,2829 0,2462 0,2022 0,1616 0,1250 9 2768 2659 2568 2226 1820 1446 1111 10 2541 2439 2353 2032 1655 1308 1000 12 0,2187 0,2098 0,2020 0,1737 0,1403 0,1100 0,0833 15 1815 1736 1671 1429 1144 0889 0667 20 1422 1357 1303 1108 0879 0675 0500 24 0,1216 0,1160 0,1113 0,0942 0,0743 0,0567 0,0417 30 1002 0958 0921 0771 0604 0457 0333 40 0780 0745 0713 0595 0462 0347 0250 60 0,0552 0,0520 0,0497 0,0411 0,0316 0,0234 0,0167 120 0292 0279 0266 0218 0165 0120 0083 00 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
Объемы выборок П1 «2 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0,005 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 36 37 38 39 40 42 43 44 45 32 34 35 37 38 40 41 43 44 46 47 49 50 52 53 55 57 58 60 0,01 24 25 27 28 29 30 32 33 34 36 37 39 40 41 43 44 45 47 48 50 34 35 37 39 40 42 44 45 47 49 51 52 54 56 58 59 61 63 64 0,025 26 27 29 31 32 34 35 37 38 40 42 43 45 46 48 50 51 53 54 56 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 0,05 28 30 31 33 35 37 38 40 42 44 46 47 49 51 53 55 57 58 60 62 39 41 43 45 47 49 52 54 56 58 61 63 65 67 69 72 74 76 78 Объемы выборок «1 «2 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0,005 43 45 47 49 51 53 54 56 58 60 62 64 66 68 70 71 73 75 56 58 61 63 65 67 69 72 74 76 78 81 83 85 88 90 92 0,01 45 47 49 51 53 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 81 59 61 63 66 68 71 73 76 78 81 83 85 88 90 93 95 98 0,025 49 51 53 55 58 60 62 65 67 70 72 74 77 79 81 84 86 89 62 65 68 71 73 76 79 82 84 87 90 93 95 98 101 104 107
Продолжение таблицы 15.9 Объемы выборок Я Объемы выборок Я П| «2 0,005 0,01 0,025 0,05 П| П2 0,005 0,01 0,025 0,05 10 10 71 74 78 82 12 12 105 109 115 120 11 73 77 81 86 13 109 113 119 125 12 76 79 84 89 14 112 116 123 129 13 79 82 88 92 15 115 120 127 133 14 81 85 91 96 16 119 124 131 138 15 84 88 94 99 17 122 127 135 142 16 86 91 97 103 18 125 131 139 146 17 89 93 100 106 19 129 134 143 150 18 92 96 103 ПО 20 132 138 147 155 19 94 99 107 ПЗ 21 136 142 151 159 20 97 102 ПО 117 22 139 145 155 163 21 99 105 113 120 23 142 149 159 168 22 102 108 116 123 24 146 153 163 172 23 105 ПО 119 127 25 149 156 167 176 24 107 113 122 130 13 13 125 130 136 142 25 110 116 126 134 14 129 134 141 147 П 11 87 91 96 100 15 133 138 145 152 12 90 94 99 104 16 136 142 150 156 13 93 97 103 108 17 140 146 154 161 14 96 100 106 112 18 144 150 158 166 15 99 103 ПО 116 19 148 154 163 171 16 102 107 113 120 20 151 158 167 175 17 105 ПО 117 123 21 155 162 171 180 18 108 113 121 127 22 159 166 176 185 19 111 116 124 131 23 163 170 180 189 20 114 119 128 135 24 166 174 185 194 21 117 123 131 139 25 170 178 189 199 22 120 126 135 143 И 14 147 152 160 166 23 123 129 139 147 15 151 156 164 171 24 126 132 142 151 16 155 161 169 176 25 129 136 146 155 17 159 165 174 182 18 103 170 179 187 19 168 174 183 192 20 172 178 188 197 21 176 183 193 202 22 180 187 198 207 23 184 192 203 212 24 188 196 207 218 25 192 200 212 223
Окончание таблицы 15.9 Объемы выборок Я Объемы выборок 0 п, «2 0,005 0,01 0,025 0,05 П| «2 0,005 0,01 0,025 0,05 15 15 171 176 184 192 19 19 283 291 303 313 16 175 181 190 197 20 289 297 309 320 17 180 186 195 203 21 295 303 316 328 18 184 190 200 208 22 301 310 323 335 19 189 195 205 214 23 307 316 330 342 20 193 200 210 220 24 313 323 337 350 21 198 205 216 225 25 319 329 344 357 22 202 210 221 231 20 20 315 324 337 348 23 207 214 226 236 21 322 331 344 356 24 211 219 231 242 22 328 337 351 364 25 216 224 237 248 23 335 344 359 371 16 16 196 202 211 219 24 341 351 366 379 17 201 207 217 225 25 348 358 373 387 18 206 212 222 231 21 21 349 359 373 385 19 210 218 228 237 22 356 366 381 393 20 215 223 234 243 23 363 373 388 401 21 220 228 239 249 24 370 381 396 410 22 225 233 245 255 25 377 388 404 418 23 230 238 251 261 22 22 386 396 411 424 24 235 244 256 267 23 393 403 419 432 25 240 249 262 273 24 400 411 427 441 17 17 223 230 240 249 25 408 419 435 450 18 228 235 246 255 23 23 424 434 451 465 19 234 241 252 262 24 431 443 459 474 20 239 246 258 268 25 439 451 468 483 21 244 252 264 274 24 24 464 475 492 507 22 249 258 270 281 25 472 484 501 517 23 255 263 276 287 25 25 505 517 536 552 24 260 269 282 294 25 265 275 288 300 18 18 252 259 270 280 19 258 265 277 287 20 263 271 283 294 21 269 277 290 301 22 275 283 296 307 23 280 289 303 314 24 286 295 309 321 25 292 301 316 328
Глава 16 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 16.1 . Приближенные числа и действия с ними 1. Пусть число А — точное (обычно неизвестное) значение некоторой величины, о — известное число, близкое к точному значению, заменяющее его в вычислениях и называемое приближенным числом. Абсолютная величина разности чисел А и а , т е . Л а = \А-а\, называется абсолютной погрешностью или абсолютной ошибкой приближенного числа а. Отношение („^0) называется относительной погрешностью приближенного числа а. Вся1^ чис­ ло Д а (соответственно 5а), удовлетворяющее неравенству Да ^ Д а (со­ ответственно 6а ^ 6а ) , называется предельной абсолютной (соответственно предельной относительной) погрешностью приближенного числа а. Обычно предполагается, что До и да связаны соотношением Д а = 1а|йо (если а Ф 0). Часто применяемая запись А = а± Д а означает, что неизвестное точное число А заключено в промежутке а - До ^ Л ^ о -I-Да. Обычно приближенные числа могут быть записаны в виде конечных десятичных дробей. Первая слева не равная нулю цифра, и все расположенные справа от нее цифры, называ ­ ются значащими цифрами. Например, чи сло -17,0035 имеет ш есть значащих цифр, включая два нуля. Число 0,003040 имеет четыре значащие цифры, включая последний нуль; первые три нуля не являются значащими цифрами. Если нуль в конце числа не является значащей цифрой, то это число следует записать в виде 0,00304. Цифра а, в десятичной записи приближенного числа о = ±а,„ат_| ...ао,а-| ...а_„ называется верной, если абсолютная погрешность числа о не превышает по­ ловины единицы соответствующего разряда т. е. Д а ^ 0,5-10'. Например, дл* точного числа А = 14,98 приближенное значение о = 15,0 имеет три верных
цифры, так как Д а = 0,02 < 0,5 •10“ ' (г = —1). Если предельная абсолютная погрешность приближенного числа не указана, то в записи этого числа при­ водятся (указываются) только верные цифры, включая нули в конце числа. Приближенные числа 0,072 и 0,0720 отличаются друг от друга: абсолютная по­ грешность первого не превыш ает 0,5-0,001 = 0,5-10~^, а второго не превышает 0,5 •Ю"'*. В таких случаях, для избежания неопределенности, приближенные числа записывают в виде: 0,072 = 7,2 •10“ ^ и 0,0720 = 7,20 •10“ ^. Число 5,79 •10^ имеет три верных значащих цифры, а число 5,790 •10^ — четыре. Запись этих чисел в виде 579 ООО была бы неправильной. Если о каком-то числе, например 0,5, заведомо известно, что оно точное , то верные нули справа можно не писать. Округлением числа называется замена его другим числом с меньшим ко­ личеством значащих цифр. Правило округления чисел. Если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки не изменяются; если — больше или равна 5, то к последней сохраняемой цифре при бавл яется единица того же разряда с тем же знаком, что и у округляемого числа. Пример1. В результате округления соответственно до первого, второго и третьего десятичных знаков после запятой следующих чисел: 2,718; 0,036; -0 ,00453 , будем иметь числа: 2,7;0,04; -0 ,005 . Точность приближенного числа определяется не количеством значащих цифр, а количеством верных значащих цифр. При наличии излишнего коли­ чества неверных значащих цифр применяют округление 2. Вычисление погрешностей в арифметических действиях с приближенными числами. Пусть а],а],...,а „ — приближенные числа, тогда справедливы следующие утверждения. 1) Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы а = + 02 -Ь . . . + а„ нескольких приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных пофешностей слагаемых: Да —Да} -ЬАаз + ■■■+Дйп. Если все слагаемые имеют одинаковый знак, то предельная относитель­ ная пофешность их суммы не превышает наибольшей из предельных относительных пофещностей слагаемых. 2) При умножении а = 0102. . . а „ (делении а = 01/02) приближенных чи­ сел, не равных нулю, их предельные относительные пофешности скла­ дываются: _ _ _ _ _ _ да—ЙЛ]+6й2-1 --■ . -Ьбоп (да = до1-Ьда2). Для двух приближенных чисел 01 и аг справедливы приближенные фор­ мулы для предельных абсолютных пофещностей:
Д(а,а2) = |02|•Да, + 1о,|■Дог, д(^) = [1<»2|-Да| + |а,|-До2] ЧогГ^- 3. Практические рекомендации при проведении приближенных вычислений. 1) При сложении и вычитании приближенных чисел с различным количе­ ством верных цифр после запятой результат округляется по наименьшему количеству верных цифр после запятой у этих чисел. 2) Следует избегать вычитания двух близких по величине приближенных чисел. 3) При умножении и делении приближенных чисел с различным количе­ ством верных значащих цифр результат округляется по наименьшему количеству верных значащих цифр у этих чисел. 4) При извлечении квадратного или кубического корня из приближенного числа результат должен содержать столько же верных значащих цифр, сколько их содержит подкоренное число. 5) Во всех промежуточных результатах приближенных вычислений реко­ мендуется сохранять кроме верных значащих цифр еще на одну или две дополнительные значащие цифры больше по сравнению с вышеизло­ женными рекомендациями. 4. Общ ая формула для погрешности. П усть дана дифференцируемая фун к­ ция и = /{х \, . . . , х „) . Тогда предельные абсолютные погрешности функции Ди и аргументов Аx^ связаны соотношением Ди= ди дх. Дх, -Ь ... - I- ди дх„ Аг». а предельная относительная погрешность ди функции равна 6и= д _ 9 -— 1пи Дх, -1 -.... - 1- - — 1п«Лх„ 9X1 дх„ Для функции одного аргумента у = } ( х ) справедлива формула Дх= позволяющая по известной предельной абсолютной погрешности функции Ду найти предельную абсолютную погрешность аргумента Д х . Такая необ­ ходимость возникает, в частности , когда по значению функции, заданной, например, таблично, находят соответствующее значение аргумента. Пример2.Дляфункцийи= зтх:V—х";и>= ( п — натуральное чи сл о) имеем соответственно: Ди = |со5ж|Д1: А ь = п\х’'-'\Лх- Дш=
6и = |с(8ж|Дг; = п— -= пдх', 5ю— |х| п |г| п 5. Пусть приближенные числа получены в результате неза­ висимых измерений величины х, а абсолютные погрешности Дж^ имеют случайный характер и не превышают некоторого числа Д (зависящего от точ­ ности измерительного прибора). Тогда на практике в качестве неизвестного истинного значения величины х принимают среднее арифметическое Жср = - (Х| + ... -|-а;„). Т1 в теории вероятностей доказывается, что в качестве предельной абсолютной погрешности величины Хср можно принять число Д = А/л/п. Результат измерения запишетсятогда в виде х = х^р ± Д. Видно,что пофешность Д уменьшается с увеличением количества измерений п. 16.2 . Решение систем линейных уравнений Для упрощения изложения ограничимся здесь рассмотрением неоднородной системы линейных уравнений третьего порядка (ОцХ, Н -а|2Х2-Ьа.зХз = Ои, 021X1 -Ь Й22Х2 -Ь О23Х3= «24, (16.1) аз|Х| + «32X2-I-аззХз= О34, которая при условии, что с1е1А = йе1(а,^) / О (г, ^' = 1, 2, 3) имеет единствен­ ноерешениеX =(сг,С2,Сз).Расширенная матрица системы(16.1)имеетвид: ац «12 а,з «14 «21 ац «23 “24 ■ (16.Г) .031 032 Озз «34. Для нахождения решения X системы (16.1) рассмотрим следующие два метода, 16.2Л . Метод Гаусса Алгоритм методаГаусса. 1. Пустьведущий элемент а 11/ О.Если о11= О ,тоследуетпереставитьместа­ ми уравнения системы (16.1) так, чтобы на месте Оц оказался коэффици­ ент, не равный нулю. Разделим первое из уравнений (16.1) на о ц , получим XI -I-а'|2Х2 -I-а'|зХз = 0 ,4 , (16.2)
2. При помощи уравнения (16.2) исключим неизвестную х, из второго и третьего уравнений (16.1). Для этого из второго уравнения (16.1) вы­ чтем уравнение (16.2), умноженное на 021, а из третьего уравнения (16.1) вычтем уравнение (16.2), умноженное на 031. В результате вместо второго и третьего уравнений (16.1) получим уравнения (16.3) О22Х2 + 023X 3 — 024, О32Х2 + о'ззХз = а'з4, где о'^ = - аца\^(г= 2,3;] =2,3,4). 3. Пустьведущийэлемента'22 ^ О (в противном случае см. п . 1). Разделив первое уравнение (16.3) на а'22, получим уравнение Х2+ а'ззХз = 024, ('6-4) где о'2'з = агъ/лц', а '24 = « 24/022■ 4. Умножая уравнение (16.4) на а'32 и вычитая из второго уравнения (16.3), получим (Х2 при этом исключается) уравнение «33X3 = о?4, (16.5) где о'з'з = о'зз - 023032; О34 = а'з4 - О24О32. Разделив обе части (16.5) на ве­ дущий элемент О33, находим хз=^^сз. ■ (16.6) “зз Подставляя затем Хз = Сз в (16.4), найдемХ2 =а '24 ~ “ "зСз = «2. Анало­ гично, подставляя *2 = С2 , Хз = Сз в(16.2),получим Х\ =С\. Решение системы: X = (с ь С2,Сз). Пример 3. Ре ши ть методом Гаусса си стему 5х, - 2X2~Хз=5, -2Х,+Х2+X}=0, 2х, - Х2+4хз=5. Решение. З ап ише м последовательность расшире нн ых матриц исходной си стемы в со­ ответстви и с методом Гаусса (знаком * о тмечен ы ведущие элементы): 5' -2 -1 -2 I 1 2-1 4 1 - 2/5 - 1/5 О (1/5)' 3/5 О - 1/5 22/5
Передвигаясь в обратном направл ен ии от последней матрицы к первой, по лучим 2 1 14I 1з=|, 12=10-3*3=7, I, = 1+-Ж2+-Жз=1+у +- =4. Решение системы: = 4,Ж2=7,= 1илиX=(4;7;1). > 16.2 .2 . Метод Гаусса—Жордана Алгоритмметода.Пункты (шаги)1—3при нахождениирешениясистемы (16.1) данным методом такие же, как вметодеГаусса(см. 16 .2 .1). 4. При помощи уравнения (16.4)исключим неизвестную Х2не только из второго уравнения (16.3), но и из уравнения (16.2).Для этого умножим (16.4) на 0)2и, вычитая из (16.2), найдем XI+о'пХз=а'|4, (16.7) //I пI И Г III где0,3 —0|з- а2за^2;0,4 —0,4-0240,2. 5. Припомощи (16.6)исключим жз изуравнений(16.7)и(16.4).Для этого сначала умножим (16.6)на а"} и вычтем из (16.7), получим (хз исклю­ чается): И П_ X, = 0|4- С3О23= С|. Затемумножим (16.6)наа”зи вычтем из(16.4),найдем (13исключается): Хг = 024- Сзо'2'3= С2. в результате получаем решение X = (с|,Сг,сз) системы (16.1). Процесс нахождения неизвестных Х|,Х2,Хз методом Гаусса—Жордана удобно записывать в виде последовательности преобразованных согласно этому методурасширенных матрицсистемы (16.1), начиная с матрицы (16.1 ). Пример 4. Ре ши ть методом Гаусса— Жордана систему из примера 3. Решение- За пис ыва я исходную систе му в виде (16.1 ') и производя вычисл е ни я соглас­ но пп. 1 -5, получим последовательность ра сширенных матриц (знаком * отмечены ведущие эл ем енты ): 5* -2 -1 5' - 2110 2-1 45 - 2/5 -1/5 1 (1/5)' 3/5 2 - 1/5 22/5 3 10 15 =!■О1310 ОО5’5 Видно, что система имеет решени* = (4:7;1).
16.3 . Решение нелинейных уравнений 16.3 .1 . Графическое решение уравнений У р а в н е н и е м называется равенство, содержащее неизвестные величины и не яв­ ляющееся тождеством. Уравнение с одной неизвестной х можно записать в виде /(х) = О, где функция /(х) определена и непрерывна в некотором интервале (а; Ь), конечном или бесконечном. Уравнение называется а л г е б р а и ­ ческим, если /(х) —полиномотносительнох.К неалгебраическим уравнениям относятся, например, иррациональные и трансцендентные уравнения. Транс­ цендентное уравнение содержит неизвестную в аргументе трансцендентной функции (тригонометрической, показательной, гиперболической и обратных к ним функций). Числовые значения неизвестных, при которых уравнение превращается в тождество, называются решениями или корнями уравнения. Для весьма приближенного нахождения (оценки) корней уравнений мо­ жет использоваться графический метод. Корни уравнения /(х) =Онаходятся как абсциссы точек пересечения графика функции у = /(х) с осью Ох. Если уравнение имеет вид д{х) = Ц х) (или приводится к такому виду), то для нахождения его корней строят ф афики у = д(х) и 1/ = Н(х). Тогда искомые корни находятся как абсциссы точек пересечения этих фафиков. Пример 5. Графически решить уравнение 181 = - х . Решение. Если построить фафики у = \^х и у = —I на координатной (миллиметро­ вой) бумаге (рис. 16.1), то можно пр иб лиже нно найти еди нс твен ный коре нь х’ = 0,4 [> Рис. 16.1 16.3 .2 . Метод половинного деления Данный метод обычно используется для приближенной оценки корня урав­ нения и основан на следующем свойстве непрерывных функций. Если непре­ рывная на отрезке [а: &| функция /(х) принимает значения разных знаков
на концах этого отрезка, т. е. /(а) •/ (6) < О, то в интервале (а; Ь) существует хотя бы один корень ж* уравнения /(х) = О (т. е. /(х‘) = 0). Корень х* будет при этом единственным, если производная /'(х) существует и сохра­ няет постоянный знак в конечном или бесконечном интервале (о; Ь). Это позволяет о т д е л и т ь корни уравнения друг от друга, т. е. для каждого корня подобрать такой отрезок, в котором содержится только один этот корень. Процесс отделения корней упрощается, если производная /*(х) непрерывна и корни уравнения / '(х) = О легко находятся. Тогда отрезок [а; 6] можно разбить на участки знакопостоянства для / '(х), содержащие каждый по од­ ному корню уравнения /(х) = О в интервале (а; 6). Отделение корней можно осуществить также при помощи построения графика у = }( х) . Пусть требуется найти в интервале (а; Ь) корень уравнения /(х) = О, где /(х) непрерывна на (а; Ь] и /(а) •/(Ь) < 0. Если /(с,) = О, где С] = (а -Ь6)/2, то С1 — корень уравнения. Если }(с\) Ф О, то выбираем тот из половинных отрезков [а; С]] и [с]; 6], на концах которого /(х) принимает противополож­ ные знаки. Середину этого половинного отрезка обозначим Сг и аналогично предыдущему рассмотрим знаки функции /(х) и т.д . Метод половинного деления либо заканчивается на некотором щаге нахождением точного корня /(с „) = 0, либо дает бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков, концы которых «стягиваются» к искомому корню с двух сторон. П рим е р 6. Методом половинного деления вычи с ли ть кор ен ь уравнения /(г) ш -9х+4=О, ле жащий в интервале (0; 1). Решение. З апи ше м последовательность значений функции / (ж ) на концах соответ­ ст вующи х отрезков: I)/(0)=4,/(1)= -5; 2)/(0,5)= -0,375; 3) /(0,25)=1,766; 4)/(0,375)= 0,678; 5) /(0,4375)= 0,099; 6)/(0,4688)= -0 ,116; 7) /(0,4532) = 0,016; 8)/(0,461)=-0 ,05; 9) /(0,457)= -0 ,017; 10) /(0,455)= -0 ,0008 . Следовательно, искомый корень х* = 0 ,45 5 . > Примечание. Рекомендуется изображать на оси Ох точки, в которых вычисляются значения /(ж). 16.3 .3 . Метод хорд Пусть требуется найти в интервале (о; Ь) корень х* уравнения /(х) = О, где /(х) непрерывна на [а; й] и /(а) •/(6) < О, Для определенности примем: I) /(а) < О, /(6) > 0; 2) корень х* отделен (т. е. в (а; 6) нет других корней).
В частности, корень будет единственным, если } '{ х ) сохраняет знак в (а\Ь). Числовая последовательность х „, сходящаяся к искомому корню х ’ (т. е. I* = П т Хп), строится по формуле п-»оо гдеп=О,I,2 ,..1о=а. Если {(а) > О, }(Ь) < О, то вместо (16.8) имеем /(^п) . ®п+1—Хп (I \ Г! - /(а) гдеп=0,1,2 ,..хо=Ь. Название данного метода связано в тем, что последовательные прибли­ жения х„ (га = 1 ,2 , . . . ) являются точками пересечения оси Ох с хордами, соединяющими точки фафика функции у = /(х). Если требуется найти ко­ рень X* с точностью до е (т.е . |х* - х„| < е), то процесс вычисления следует остановить, как только |х„ - х„-[\<е. Пример 7. Вычислить положительный корень уравнения /(г) а -Ы ,5х^- 2,51-3=О с т очнос тью до 0,005. Решение. Отделяем корень: /(1) = - 3 , /(2) = 6; производная / '(х) = +Зх-2,5 сохра няе т зн ак пл юс в интервале ( 1 ; 2 ), следовательно, в этом интервале корень е ди нствен ный. Найдем его по формуле (16.8). И ме ем последовательно: 1о=I; г, = 1,333; /(1 ,) =-1,299; 12 = 1,452; /(х,) =-0,406; 13 = 1,487; /(жз) =- 0,113; = 1,497; /(14) =-0,026; 1 5 =1.499; /(15) =-0,009. Поскольку 1x 5 - 1 4 ! = 1,499-1,497 = 0,002 < 0,005, принимаем, что х ' = 1,499. Для на­ дежности убедимся в том, что /(1,499 -Н0,005) > О, т е . 1,499 < х ' < 1,499 -I-0,005. 1> 16.3 .4 . Метод касательных (метод Ньютона) Пусть требуется найти отделенный на отрезке [ а ;6] корень х* уравнения / ( х ) = 0, при условии, что производные /'(х) и /"(х) сохраняют знак на [а; 6]. Чис­ ловая последовательность х „, сходящаяся к искомому корню х*, строится по формуле Д^п+1=Хп- (га=О, 1,2,...). (16.9) Здесь в качестве Хо берется тот конец отрезка |о ;6], в котором знаки /(х) и / ” (х) одинаковы.
Название данного метода связано с тем, что последовательные приближе­ ния х„ (п = 1 ,2 , . . . ) находятся как точки пересечения оси Ох с касательными к графику у = /(х). Если вычисление / '( х „) затруднительно, то вместо (16.9) можно приме­ нять формулу (П=0,1,2,...). Пример 8. Вычислить наименьший корень уравнения е* = 5* с точностью до 10'* = 0,0001. Решение. Запишем уравнение в виде /(х) = е’ - 5х = 0. Отделяем корень: /(0)= 1 >0, /(1) = 2,71828-5 = -2 ,28172<0 и /'(х) = е’ - 5 сохраняет отрицательный знак в ин­ тервале (0; 1). Искомый корень находится в этом интервале. Поскольку /"(ж) = е* >0, берем 1 о = О (так как /(0 ) > 0). Далее имеем последовательно по формуле (16,9): I, =0,25; /(1 |)= 0,034; /(ж,) =-3,716; Ж; = 0,2591; /(жг) = 0,0003; /(жг) = -3,7042; Жз= 0,25918; /(жз)= - 3 •10"*< 0. Поскольку /(жз - 0,0001) = /(0,25908) = 0,0003 > О, то 0,25908 < ж* < 0,25918, сле­ довательно, с ошибкой, не превышающей 10” *, можно принять ж* = 0,2591. > 16.3 .5 . Комбинированный метод хорд и касательных Методы хорд и касательных могут использоваться совместно. Пусть при вы­ полнении условий, приведенных в 16.3.4, требуется найти отделенный корень уравнения /(г) = 0. Для определенности полагаем, что /’(х) > О, } "{х) > О на (о;Ь). Другие возможные случаи рассматриваются аналогично. Комбини­ рованный метод дает две числовые последовательности х „ и х „ , сходящиеся к искомому корню X* с двух сторон: х„+,=х„- _ ^(_^^*"](^^)(х„-х„). Здесь Хо = а, Хо = Ь. При этом х„ < х* < х„. Процесс прекращается, как только х „ - х „ < г , где е — заданная точность (абсолютная погрешность) приближенного корня. Значение корня х* берут равным х* = (х „ + х„)/2. 16.3 .6 . Метод итераций (метод последовательных приближений) Пусть требуется вычислить корень уравнения х = д{х), где д(х) определена и дифференцируема на отрезке [а;Ь], причем все ее значения д{х) при-
надлежат |а;Ь|. Тогда, если существует число д такое, что |з'(х)| ^ <1 всюду в (о; 6), то данное уравнение имеет ровно один корень х* на [а; 6|, а сходящаяся к нему последовательность х „ строится по формуле х„=д(х„.1) (ге=1,2,...). (16.10) В качестве Хо здесь может быть взято любое приближенное значение корня (найденное, например, фафическим методом), или даже любое про­ извольное значение Хо на |о; 6|. Если е — заданная предельная абсолютная погрещность корня х ' (т. е. |х* - х „| ^ г), то процесс продолжается до вы­ полнения неравенства 1-а \^п ^п-1|^ Я Пример 9. Вычислить у/2 с точностью до 10”**. Решение. Значение х = \/2 является корнем уравнения = 2 , которое можно при­ вести к виду Здесь д'{х) = - ^ 1 — — ^ и условие |5*(ж)| < I выполняется при > 2/3. Возьмем Хо = I (1^ > 2/3). Вычисляем приближения х„ с одной запасной цифрой по формуле (16.10): X, = д{хо) = 1.5; Х2 = <?(х,) = 1,41667; Хз = р<Хз) = 1,41422; Х4 = 1,41421. Поскольку |5*(х)! ^ 0,5 = 7 на отрезке [1;2], имеем {\ —д)/д = \ . Следовательно, можно принять у/2 = 1,4142 с точностью до 10”'*, так как \x^ - Хз] = 10'^ < 10'^*. О Примечание. Если для уравнения х = д{х) выполняется условие |5^(х)| > I , то следует перейти к решению равносильного уравнения х = Л{х). где Л(х) — обратная к д{х) функция, для которой |Л'(х)| < I. 16.4 . Вычисление значений функций 16.4 .1 . Приближенные формулы Приведенные в табл. 16.1 приближенные формулы позволяют вычислять зна­ чения некоторых часто используемых функций. Для получения результата с п верными цифрами, |х| не должно превыщать определенного числа, стоящего на пересечении соответствующей строки и столбца. 16.4 .2 . Вычисление значений полинома по схеме Горнера Пусть требуется найти значение полинома
Таблица 16.1 Формула п=2 п=3 п=4 (1+г)^ й 1+2Ж 0,07 0,022 0,007 (1+*)^й1+За; 0,04 0,012 0,004 — й 1-X 1+х 0,06 0,022 0,007 , - 1 VI+г»1+-а; 0,19 0,062 0,020 3/---- 1 ^1+1И1+-! 0,20 0,065 0,021 51ПIкж 0,31 0,144 0,067 008ЖЙ!1 0,10 0.031 0,010 1^хх:X 0,25 0,112 0,053 1е(1+ ж) и 0.43431 0,14 0,047 0,015 10* га 1 + 2,3031 0,04 0,014 0,004 1"Ь ж 18---- я 0,86861 1—X 0,25 0,119 0,055 Табл. 16.1 заи мствована из кн.: Ма те матичес кий энци кл опед иче ский словарь. М .: Сов. э нци кл опедия, 1988. 847 с. В тр игонометр ических формулах * и зме ряетс я в радианах. Е с ли радианная мера угла равна х , то этот угол содержит (180°/тг) •х фадусов. Угол в 1 радиан равен пр ибли же нно 57°17'44",8. Угол в Г равен тг/180 » 0,017453292 радиан. с действительными коэффициентами а^ (г = 0 ,1,2,...) при х = а. Если записать многочлен в виде Р(х) =оо+х(й1+х(й2+...+х(а„-2+х(а„_|+а„1))...)) , то нахождение значения Р (о) сведется к следующей последовательности вы­ числений, называемой схемой Горнера: Ь„ = а„, 6„_| =о„_|+аЬ„, Ь„-2 =о„_2+ 61= 01+ 062. Ьо=оо+061=Р(о).
При проведении вычислений схему Горнера удобнее записывать в виде: (+) , а „ Оп-| Оп-2 ао аЬ„ аЬ„-1 аЬ\ К К-1 Ь„-2 Ьо= Р(а) Пример 10. Вычислить при х —2значение полиномаР{х) =3+2х- - х*. Решение. (+), 1-3 2 3 -2 -2 -10 -16 -1 -1 -5 -8 -13=Р(2) и. Ответ: Р(2) = - 13. > 16.4 .3 . Вычисление значений аналитической функции Пусть действительная функция /(г) аналитична в точке Хо (см. 9.7, 10.3) и ее разложение в ряд Тейлора в некоторой окрестности |1 - го| < Д этой точки имеет вид /(х)=/(1о)+/'(ха){х-Ха)+ - Хо)^ + ... 2! (х-Хо)" + ... При Хо = О из (16.11) получается ряд Маклорена Выражение (16.11) можно записать в виде /(х) = 8„{х)+К{х), с=Хо+0(х-Хо); О<0<1. Для ряда Маклорена имеем /("+'> (с) (16.11) (16.12)
В равенствах (16.13) 8п{х) и Дп(®) называются полиномом Тейлора и остаточным членом соответственно. Значение /(хо + /») при известном /(жо), где к — заданное приращение аргумента, можно найти по формуле (16.13), записанной в виде /(хо+й)=/(жо)+/’(®о)й+^ +...+ -— + В„(Н); ^г.(л) = с=х„+ол, о<<?<]. Видно, что при приближенной замене функции ее полиномом Тейлора 8„{Н) погрешность выражается остаточным членом Л„(/г) и быстро стремится к нулю при й -4 О (при X Хо) и возрастает при увеличении к. Погрешность уменьшается также при увеличении числа п слагаемых в 3 „{к) [йп(й) О при п ->■со]. Пример 11. Вычисление некоторых значенийфункции е*. I) Вычислим \/ёсточносгыо дочетвертого десятичного знака ( т е . до е = 0,5-10''') . Для функции /(х ) = е* ряд Маклорена имеет вид е=1+*+^+-+...+ - + ... с интервалом сходимости -оо < х < +оо. Согласно (16.13) запишем х^ х^ х" е=1+1+—+ — +...Ч— ^- + Л„(а:), 2'^ 3! п! ПоусловиюX=0,5.Имеем:2<е<3; < 2; < 2; следовательно Число слагаемых в полиноме Тейлора (при х = 0,5) 5„(*)=1+1+|-+^+...+ ^, (16.17) обе спе чива ющих заданную то чнос ть е при замене е* по ли номом 5 п(ж),находится из условия 1 ^ (п+ 1)!2" ^ В действительности окончател ьная погр ешн ссгьока зывается больше, чем е , в связи С погрешностями арифметических действий и округлении при вычисл ении отдельных слагаемых полинома (16.17) и его суммы. П о этой пр ичине на практике все промежуточ­ ные вычисле ни я проводятся с двумя запас ными точным знаками после запятой. Ок он ча ­ тельный результат округляется до требуемого количества цифр после запятой.
Вычисляя правую часть неравенства (16.16) при п = 1 ,2 , . . . , получим последо­ вательно ^~4' 4!23“ No ’ 1920 ’ 6!2* “ 23040 “ ■ т е. в полиноме (16.17) достаточно взять п = 5, так как Д5(0,5) < 0,5 •10'“ . Вычисляя в (16.17) при X — 0,5 все ше сть слагаемых с ше сть ю де ся тичными зн ак ами (два знака запас ных), получи м 55(0,5) = 1,000000 + 0,500000 + 0,125000 + 0,020833 + 0,002604 + 0,000260 = 1,648697; т. е. \/ё = 1,6487. 2) Если г = 1, то папином (16.17), дающий приближенное значение е , примет вид 5„(1)=1+1+-+ ... +- . Для нахождения чис ла п имеем неравенство 3^ 3 й~(1) = ("+ I)! < (п + 1)!’ (п+ 1)! (п+ 1)! (п+ 1)!* Вычисления, ана логичны е предыдущим, пока зывают , что для нахождения е с точно­ стью до е = 0,5 •Ю""* (до четвертого дес ятичного знак а), надо взя ть п = 8, при этом е - 2,7183. 3)Еслиж=-1,то(16.17)приметвид М-1)=1-1+^-... +(-1)";|;, аостаточный член(—1<с<0): |Л.( -1)1= так как <е^—1. Здесь при п = 7 имеем ^ = 2 ■10“ ^ = 0,2 ■10'“’ < 0,5 ■10“\ Следовательно, для обеспечения точности до 0,5 •10'“*, в полиноме (16.17) надо взять 8 слагаемых: 111111 5,(-,) =1-1+---+ - - - +---. Проводя вычисления с двумя запасными цифрами, получим 5 ,( -1) = 1 - 1 +0,500000 - 0,166667 + 0,041667 - 0,008333 + 0,001389 - 0,000198 = = 0,367858; т. е. 1/е = 0,3679. Если |а:| > 1, то использование формулы (16.15) связано с очень большим объемом вычислений. В это случае х следует представить как сумму I = [х] +{х}, где [х] — це­ лая часть числа х (т. е . наибольшее целое число, не превосходящее х); {х} = х —\х] — дробная часть числа х. Например, 4,3=|4,3|+{4,3}=4+0,3; -2,4 =|-2,4|+{-2,4)= -3+0,6.
Задача нахождения е* сводится тепер ь к вы чис л ен и ю целой (положительной или отрицательной) степени числа е (е = 2,718281828; 1/е = 0,367879441) и числа е'^, где г = {ж} (О < г < 1). Вычисление е' удобно проводить так е’'= «о+«I+«2+••■+«п+-НпС»"); Л„(г)<-и„; «0=1;щ= (А=1,2, , п). Если точность е задана, то вычисления заканчиваются при условии [и„| < е, так как при этом |Л„| < |и„1. В ычи с л е н и я проводятс я с д вумя запас ными цифрами после запятой. О кон ча те льно, е' л: щ +и, Пример 12. Вычисление значений функции / (х ) = 1п (1 + ж ). Спр аведливы р азл ожения Маклорена; 1п(1+1)=1-^ +^-... +(-1)""'— + ... ( -1<!^ 1), 23 п ж" |п(1-х) =- х - - - у-...- - ( 16.18) (-1 ^X<1). 2) Введя обозначе ние 1-X ^ I+X получим из (16.18) (при О < л: < +оо): 1- 1пг= ~2 1-2 1/1-гV "^5( 1+2/ Отсюда следует, что для любого числа х > О, записанного в виде х = 2”' ■2 (т — целое число; 0,5 < 2 < 1), справедливо равенство 1пX=т 1п2-2(<;|+»2+...+«») -Я„, (16.19) где ,. . . , . 1-2 _ . . 1 2г- 1 (|=1,2,..., п); 1= 1п2=0,6931472; 0<Л„< -; , 0<<^-; 1+2 3 9 «'’>+■ 42п+ I Суммирование »| + ®г + ■■■+ заканчивается при условии V„ < 4е, где е — заданная точность (Л „ < е). 1) Вычислим 1п0,9 с точностью до Е = 0 ,510 Промежуточные вычисления прове­ дем с д вумя запас ными цифрами (см. пример 11). Зап ише м 0,9 = 2° •0,9 ( т = 0; 1- 0,9 2=0,9),тогдаI= ---— = 0,052632. И ме е м последовательно по формулам 1+ 0,9 (16.19): V, = { = 0,052632; 1)2 = 1^/3 = 0,000049. Видно, что «2 < 4е = 2 •10“\ Следовательно, 1п 0,9 = - 2(0,052632 + 0,000049) = -0 ,105362 » -0 ,1054. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.; Наука. 1966. 664 с. См.: Там же.
2) Вычисл им 1п5 с точност ью до е = 0,5- 10"*. Промежуточные вычисл ения проведем с д вумя зап асн ыми цифрами после запятой. Име ем 5 = 2^ -— = 2^-0,625 ( т = 3; г = 0,625). Отсюда I = 0,2307692. И мее м последовательно: и, = ( = 0,2307692; Ю; = = 0,0040965; Оз = 1 ^5 = 0,0001309; = <'/7 = 0,0000050. Видно, что » 4 < 0,5 ■10"* < 4е = 2 • 10"*. Следовательно. 1п 5 = 3 ■0,6931472 - 2(0,2307692 + 0,0040965 + 0,0001309 + 0,0000050) = = 1 ,6094383»! 1,60944. Пример 13. Вычисление значений 81лх и со5 Х. Для вычисления 51п х при О ^ а: $ я-/4 используется разложение Ма клоре на х’ X* х^"+' которое для пр актиче ск их р асчетов удобнее записать в вид е’ ': 51ПX=I),+ «2+...+ »„+Д„; »,= х, II,+1 = ~ 2^(2,' +У)”’ (•=1.2,■■■,»»-1); (16.20) 1Д.1^к+.1 - Суммирован ие Ь\ Пп в (16.20) заканчивается при выпо лне нии условия |^п| < €, где е — заданная точность. Если т/4 < X я'/2,тодля вычисления 8»пж используется разложение функции 005 гдеI=Я-/2-хи0^Л<тг/4. Функция со5< вычисляется по схеме С08^=«I+Ы2+■••+и„+Я„, Вычисление заканчивается при условии [ип1 < е, где € — заданная точность. Если угол выражен в фадусах, то для перевода его в радианы используется равен­ ство: Г = 0,017453292 радиан. Например, д ля угла 10” 15' имеем (точн ос ть до 0,5-10 ): * 18^ ^ 10.25 0,0174532 = 0,1788953 а 0,17890. Вычислим 8 1 П 0.5 с точностью до четвертого знака после запятой (т. е. до 5=0,5 -10 ^)- Имеем последовательно (по формуле (16.20)): Демидович Б. П . , Марон И. А. Указ. соч. См.; Там же
ы =0,000260; «4 = -0,000002; 1»4|=0,02 •10'“< 0,5 •10"". Следовательно,81п0,5 = «14-1;2+^з+г»4 = 0,479425 и 0,4794 .Вычисления проводились сдвумя запасными цифрами. 16.5 . Интерполяция функций 16.5 .1 . Постановка задачи интерполяции Интерполяцией (интерполированием) в общем случае называется нахождение значений какой-либо величины по известным отдельным ее значениям. Задача интерполяции функиии у = /(х) на отрезке [а; 6| по ее известным значениям {]=0,1,2,... ,п)вп+1точках (а^Хц<Х\<...<х„ ^ Ь) заключается в построении другой функции Г (х ) (обычно, это полином Р(х) степени невышеп)такой,чтоР{х^) = {] =О,1,2 ,, п). Точки Хо ,Х ], . . . , х „ называются узлами (опорнымиточками) интерполяции, а Р {х ) — интерполяционной функцией. Функцию у = Р (х ) применяют для приближен­ ного нахождения значений функции /(х) в точках х, отличающихся от узлов интерполяции. Нахождение значений /(х), когда х лежит между Хо и 1„ , называется интерполящ1ей; если же х находится вне отрезка [х о;х„| — экс­ траполяцией. При этом справедливо приближенное равенство /(х) » Р (х) . 16.5 .2 . Интерполяционный полином Лагранжа Пустьвп4-I точкахХо <х, <Х] < ...< !„, принадлежащих отрезку(о;6], заданы значения некоторой функции у = /(х): 2/0=/Ы), У1=/(хО, ■■■Уп= Тогда существует един ствен ный интерполяционный полином Лагранжа: П Рп(х) = ^ У^^т(x), 1=0 ^ ^ (х- хр)(х- Х|)...(х- Х;-|)(х- Х;+|)...(х- Х„) (16.21) “ (Х, -Хо)(х;-X,) ...(Х^ -Х(_|)(Х;- X,+,)...(Х;- Х „)’ I=О,1,.... П. где полиномы Ь т ( х ) называются лагранжевыми коэффициентами. При этом ^т(x^) =Оеслигф],Ь„Дх()=1;Р„{х;)=у,(] =й,\,..., п). В частности, при п = 2 (три уала интерполяции): (х-а;|)(х-х2) (х-хр)(х-Х2) (х-хр)(х-х|) - No _ а;,)(хо - хг) (Х] - Хо)(х, - 12) (Х2- хо)(хз - 11)' Графиком функции у = Р г(х) является парабола, проходящая через три точки (хо, г/о), (Х\,У\), (Хг,у2).
Пример 14. Дана таблица значений функции у = /{х) г 0123 x^ -1 !24 Уг 2315 Найти значение /(3). Решение. Согласно (16.21) при п — 3 имеем (I-1)(ж-2){х-4) Р,{х) =2• (з;+ 0(1 - 1)(а;-4) ^ ■(2+1)(2-1)(2-4) 1х + 106). (х+ 1)(з:-2)(а;-4) ■(1+ 1)(1-2)(1-4) (д+ 1)(а;- 1)(ж -2) ^ (4+|)(4-|)(4-2) = 53(8х^-3 .х Отсюда/(3)иРз(3)= ^(8•3^- 31 ■З Ч 7■3+106)=2-^. > Погрешность (остаточный член) интерполяции определяется ка к разность Л„(х) = /(ж)-Р „(х). Если /(г) имеет на [а; 6] всенепрерывные производные /'(X), / "(х), /<"+ '»(х),то /(ч+1){с) = (п+V)! - Х|)...(х- х„), где с — некоторая неизвестная точка, зависящая от х и лежащая внутри (а; Ь). Вводя обозначения М„+, = тах |/<"+‘>(х)|; П„+|(х) =(х - Хо)(х- х ,) ...(х- х„), запишем оценку абсолютной пофешности интерполяции в точке х отрезка |а;Ь|: |й„(^)1.^7Г^|Пп+|(х)|, (п + !)!' а также на всем отрезке [а; Ь\: т а х |^г„(^с)| < ---- ------ (п+I)! ( 16.22) Пример 15. Оценить абсолютную погрешность интерполяции в точке X = П 8 инаот- резке 1о;6| (при а = 100, Ь = 135), возникающую при замене функции у - у/х ин­ терполяционным полиномом Л а ф а н ж а второй степени ( п = 2), построенным на трех узлах:Хц=100,Х\=123,Х:=135,
Решение, у = у'= у”— Отсюда: Мз = тах|»"'| = ^ •100"’'^ = (100<I <135). О 8 Следовательно, 1^2(118)1 ^ 110)(118- 123)(П8- 135)|= 0,96- 10 10~^ тах |Л2(ж)| < тах 1(1 - 100)(г - 123)(1 - 144)1 = 2,8 ■10“’ . О 16 ' Задача минимизации оценки погрешности интерполяции состоит в нахожде­ нии такого расположения узлов интерполяции г, (* = О, 1 п ) на отрезке |в;Ы, для которого величина та х |П„+|(х)| в правой части (16.22) была бы наименьшей. Доказано (П. Л . Чебышев), что наилучшими в этом смысле уз­ лами являются точки Х(=^^-^ +-— -и, <;=-С08 ^ * 7Г (1= 0, 1,2........п), (16.23) 2 2 2п -I-2 где и — нули так называемого полинома Чебышёва Г „+ 1(<). При таком выборе узлов оценка погрешности интерполяции (16.22) примет вид Полиномы Чебышёва определяются равенством Т„(4) = со5(п ■агссо5<), (-1 ^ < I). В частности, То(<) = 1, Г ,(<) = I . Справедлива рекуррентная формул а Т„+,(<)=21■Т„(1)-Г„_|(<) (п= 1,2....), из которой следует: Ш)=21^-и Т,(1)=41^- 31- Щ1)= +и Т^{1) = - 201^+51- Тб(()=32<'’ - 48<Ч 18«^ - 1; .... Свойство; тах |Г„(<)| = I (п > 0). 1- 1И1 16.5 .3 . Линейная интерполяция При п = 1, когда имеются два узла интерполяции Хо, Ж), полином (16.21) принимает вид Р,(х) = No ^^ +2/|^^ . С6.24) Хо-X, Х[-Ха
Графиком линейной функции у = Р\ (х) является прямая, проходящая че­ рез две точки: (хо, Уо) и (Х[, У1}. При линейной интерполяции функция у = }(х) приближенно заменяется на отрезке (х о ;*!) линейной функцией у = Р ^(х). Пусть известны значения функции уо = /(хо) ку\ = /(х|) = ?(о+А, тогда значение /(х), где х находится между точками Хо и Х] = Хо + Ь, вычисляется приближенно по формуле линейной интерполяции /{х)и/(хо)+^^Д . (16.25) Предельная абсолютная погрешность при линейной интерполяции на от­ резке [хо; Х]) имеет согласно (16.22) оценку: тах |Д1(х)| ^ Мг= тах |/"(х)|. (16.26) Пример 16. Дано: уо = = 1ё47°40' 1,098; у| = = х%АТЬО' ~ 1,104. Найти при помоши линейной интерполяции х^х при х = 47^46'. Решение.Л =аГ|-Жо=Ю';Д=У1-уо=0,006;х-Жо=6'. Поформуле(16.25) имеем 1847°4б' = 1,098 -Н -0,006 =1,102. Согласно (16.26) абсолютная погрешность интерполяции (без учета погрешностей округления) не превышает величины = тах |/"(1)1• < 5,6 -10'*, гдеЛ= •7 я 3 •10 ’ в рааианной мере. 1> 180 6 П р и м е ч о н и е . При вычислениях с тригонометрическими функциями удобнее пользо­ ваться только радианной мерой углов, во избежание недоразумений. 16.5 .4 . Интерполяционный полином Лагранжа с равноотстоящими узлами Если узлы интерполяции x^ являются равноотстоящими друг от друга точ­ ками,тоХ(=Хо-Н1 'Л, « = О,1,..., п, Л>О—шагинтерполяции.Тогда интерполяционный полином Лаф анжа (16.21) можно записать в виде X-Хо УФтКЯ), Я= 1=0 9(д- I).■ . (?-»+ 1)(д-» - 1)■■■(д-п) ■Рп(х)=Р„(хо+?Л)=X] Ч= (х=Хо-ь«Л), 1п*(9) = ( - 1)'‘
Здесь узлу Х( соответствует ^ — = {Х1~Хо)/>1= г. В частности, при п = 1: Р|(ж)=Р,(хо+9Й)=(1-?)•90+9■2/ь априп=2: Рг{х) = Рг{хо + дЬ.) = - 1)(?-2)уо-д{д-2)?/|+^д{д-\)у2- Поф еш ность интерполяции имеет вид Н„{х)=/(х)-Р„(х)=Ыхо+дк)= ^ ^ 9(9-1)..■(9-га), где с = с(х) — некоторая точки внутри (а; Ь) (см. 16.5.2). Абсолютная погрешность интерполяции на отрезке [хо; х „] не превышает величины та х |Д„(х)| ^ /г"+' тах - 1)... (д - п)|, а?о^г^а:„ (п+1)! ' М„+| = тах [/‘""^‘^Сх)!. 16.5 .5 . Интерполяционные полиномы Ньютона 1. Пусть функция у = /(х) задана на множестве равноотстоящих друг отдругаточекц =Хо+гй(г=О,1,2,..., ге;й>0)своимизначениями у^ = /(х(). Величины Д2/. = Уг+1-Ух=^(x^+й)-/(х.), =Д(ДNo)=^Уш- = (г/.+2 - No+0-(«/;+! -Уг) = No+2 - 2г/;+1 + Д"2/(=Д’-'г/;+|-Д ’- 'уь гдеп^ 1(Д'^г/1=2/0.называютсяконечными разностями первого, второго, ..., п - г о п о р яд к а соответственно. Конечные разность удобно записывать в виде таблиц (см. табл. 16.2). 2. Первый интерполяционный полином Ньютона (дляинтерполяции вперед) имеет вид Рп{х)=уй+д^уч + Д^г/0+ ■••+ п\ (16.27) гдед= (х- Хо)/1г. Приэтом Р„{x^) = (г =О,1,... , п). Погрешность интерполяции (остаточный член), появляющаяся призамене функции у = /(х) первым интерполяционным полиномом Ньютона (16.27), равна
Таблица 16.2 1XУДуд'уд’у 0ХоУо Дуо I*|У| Д^Уо ДУ| А'уо 2 У2 Д^У1 Д»2 3X}Уз где с — некоторое неизвестное число, зависящее от х и принадлежащее отрезку |1о;х „| при интерполяции; в случае экстраполяции с может не при­ надлежать Обозначая М„+1= тах запишем оценкудляабсолютной погрешности интерполяции /-М ^ ^п+|19(9- 1)---(д-п)| \Я„{х)\^Ь , ----- - — — ------М „+ ,. (п+ 1)! Дляп = Iформула(16.27)принимаетвид(линейная интерполяция): Р\(х) = уо + д^уо- Прип=2получимформулуквадратичной(параболической)интерполяции: Р2(х)=Уо+Я^Уо+ ' ^ А^уо- Полиномом (16.27) удобно пользоваться для интерполяции (экстраполя­ ции) функции у = }(х) в окрестности значения Хо как правее (д>0), так и левее {д < 0) точки Хо- П ри м ер 1 7 . В первых трех столбцах табл. 1 6 , 3 приведены: номера узлов, узлы интер­ поля ци и, значен ия у — / (х ) в этих узлах. Требуется построи ть первый интерп оляци­ онный полином Ньютона и приближенно вычислить /( 3 ) . Решение. В последних трех столбцах табл. 1 6 .3 приведены ко не чн ые разн ости (ан ало­ гично табл. 1 6 .2). Конечные разности, используемые для построения полинома (1 6.27 ), подчеркнуты. Вводя д —{х —2)/2, запишем полином (16.27) ввиде (п = 3): ?{?~1) 9(?~0(9~2) Рз(х) = 1-И ■9-И • +1■ з| --- = 1 1 = 1+9+^Ч(Ч-О+79(9*0(9-2). 2 о
Таблица 16.3 1XУДуА^у 021 1 142 _ 1 \ 2 1* 264 2* 4* 388* ПриX=3имеемд=(3-2)/2=1/2(здесьД=2); Пофешность интерполяции в этом примере не может быть оценена, так как о функции / (х ) ничего не изве стно, кроме ее значений в узлах интерполяции. > Примечание. Если для некоторого числа т конечные разности т-го порядка А"*!/, п рактически п ос тоян ны (с заданной точн остью) для р азличных зн аче ний г, то это свидетельствует о том, что порядок интерп оляционного поли нома можно прин ять равным т . 3. Второй интерполяционный полином Ньютона (для интерполяции назад) сузламиX;=Хо+гЛ(г= О,1,2,..., п)имеетвид <(^+0 ,2 <(<+1) •••(<+ " - 1) л ■Рп(^) —Уп+1^Уп-л -I — А Уп-2+ ■■■ Н------------------—----------------А Уо, ( 16.28) гдеI= — ^ ;^Уп-1 =Уп-Уп-\,Аг/„-2 = Уп-\ ~Уп-2и т.д .(см.табл.16 .2)- конечные разности. Полином (16.28)удобно использовать для интерполяции назад(? < 0) и экстраполяции вперед(д> 0). Погрешностьинтерполяции(остаточныйчлен)второго интерполяционного полинома Ньютона (16.28)имеетвид: Д„(х)=/(х)-Р„(х)=Л"+'■^^^^^___|±^/("+^)(с), где с — некоторое неизвестное число, принадлежащее отрезку [хо',х„] при интерполяции; при экстраполяции с можетне принадлежать (жо;2;п|- Обозначая М„+,= тах |/"+ ‘>(а;)|,
запишем следующуюоценкудляабсолютной погрешности интерполяции: П р и м ер 18. В условиях примера 17 построить второй интерполяцион ный полином Ньютона и приближенно вычислить значение /(7). Решение. К о не ч ны е разности функци и у = / {х ) , используемые для построения поли­ нома (16.28), отм ечены в табл. 16.3 зна ком *. Вводя перемен ную I = (х - 8)/2 (здесь шаг Н — 2), запишем полином (16.28) в виде {п = 3): Рз{х)=8+4•<+2■ +1. = » +41+Ц1+1)+ '-Ц1+!)(< +2). 2! 3! о Приа:=7имеемI={1-8)/2--1/2; Погр е шность интерп оляци и здесь не может быть оценена (см. пример 17). О 16.5 .6 . Численное дифференцирование Численное нахождение производной применяется к функциям,заданным таб­ лично, атакже аналитически. Длячисленногодифференцирования заменяютданнуюфункцию у=/{х) на отрезке [а;6]некоторой интерполяционнойфункцией Р{х), азатем при­ ближенно полагают /'"'(х) « {а<х<Ь), где т —порядок производной. 1. Пустьвточках x^=Хо+гк(г= О,1,2,... , п;Н>О—постоянный шаг), принадлежащих отрезку [а;6|, заданы значения = /(г;) функции. Тогдадлянахожденияв(а;Ь)производных(еслиони существуют)отфункции /(ж)ееприближеннозаменяютпервым интерполяционным полиномом Р*(ж) Ньютона (см. 16.5.5),построенным наузлах Хо,Х\,... ,Х1;(к^ п): /(х)=Р^(х)=уо+дАуо - д)А^уо + ^(?^ - + 2д)А^уо + ■■■, I о гдед={х-Хо)1Н. Производные от /(х) находятся приближенно, сучетом равенства ^ йх Нйд'
по формулам: ^'(х) = ^ (^^уо +^-(2д- 1)А^уо + - 6д + 2)А^у„ {"{х) = ^ (^Д^2/о + (9 - 1)Д^2/о + - 18?+11)Д г/о- ...^ и т.д. (16.29) При нахождении производных по формулам (16.29) в точке х, в качестве хо следует брать ближайший к х узел х, . Формулы (16.29) упрощаются при нахождении производных в узловых точках х = г , . Обозначая точку х, через Хо (д = 0), получим /"(*о)=^(а^уо-А^г/о+ - • (16.30) и т.д. П ри нахождении производных по формулам (16.29), (16.30) происходит деление на Н"' ( т ~ порядок производной), поэтому при малом к погрешно­ сти в значениях функпии могут сильно повлиять на окончательный результат. Погрешность р т{х) производной т - г о порядка интерполяционного по­ линома р 1'"\х) выражается через пофешность интерполяции Н,{х) = /(х) - Р ,(х): рт{х) = /<TM>(х) - Р<"->(х) = Л ‘’">(х). В частности, при х = Хо погрешность в нахождении первой производной имеет оценку |р|(хо)| = |Дк(*о)| = (с)| к+1 где с — некоторое неизвестное число (хо < с < х*). При малой величине шага к приближенно принимают 1 Д*^+> 1Р1(2:0)1 ~ г |/*+ "(х)|, (16.31) к+1 Пример 19. Для функции у = \пх, значения которой заданы втабл. 16.4, найти у'(ЗО). Решение. Н = 5. К о н е чн ые р азности приведены в табл. 16.4. Соглас но первой формуле (16.30) находим (ис пользу ются подчеркнутые ко не чные ра зности):
Таблица 16.4 г X У Ау Д'у 0 30 3,4012 0,1541 1 35 3,5553 - 0,0205 0,1336 0,0047 2 49 3,6889 -0,0158 0,1178 3 45 3,8067 Так как у' = 1/ж, то точное значение у'(ЗО) = 1/30 я; 0,0333. Полученные значения !/'(30) различаются на 10“ ^. С уче том у'"** = , абсол ютная погр ешн ость согласно (16.31) не превышает 2,3 ■10*“' (без уче та погр ешностей округ лен ия). С> 2. Для численного дифференцирования функции у = /(х), значения которойзаданывравноотстоящихузлахх, = Хо+гк(г=О,1,2 ,..., га;Л>0), ее можно приближенно заменить также интерполяционным полиномом Ла- фанжа с равноотстоящими узлами (см. 16.5.4), а затем принять приближенно = Р}Г\х) (т=гп). 3. Пусть узлы Хо, Х [, . . . , х „ принадлежат отрезку [а; Ь], на котором су­ ществуют соответствующие производные функции у = }( х ) . Тогда для нахо­ ждения этих производных в узлах Х{ справедливы следующие формулы. Прит =1,п = 1(узлыхо,а;|): 1)/'Ы = - ^/"(с); (хо < с<I,); Прит = 1,п = 2(узлыЖо,Ж|,Хг): 2) /'(хо) = +41/1- уг) + у/'"(с), 3)ГЫ=~(У2-У,)-~Г'{С), 4) {'(Хг) = ^(уо - 4г/1+Зуг)+у/"'(с), где неизвестные точки с (различающиеся в разных формулах) принадлежат интервалу {хц^Хг). Прит =2,га=2(узлыхо,ХьХз): 5) /"(хо) = ^(Уо - 2у1+ У2) - /г/"'(с).
6)/"(Х1)= ^(Уо-2у,+уг)- 7) /"(2:2) = ^(»/о - 22/1+ г/г) + й/"'(с), где точки с принадлежат интервалу (жо; Хг). Прит = 1, п = 3(узлыХо,Х\,Х2,Х}): 8) /(хо) = - 9У2 + 22/з) - 9) /'(х,) = ^(-2«/о - 32/1+ ву2- Уз)+ 10) /'(Ж2)= ;^(г/о - 6»/1+ Зг/2+ 2г/з) - ^ / ^ “'’(с), 6/г'" " ' 12' 1, , Л’ 11) /'(хз) = ^ ( -22/0+92/1- 182/2+11г/з)+—/' '(с), и т. д., где точки с в разных формулах принадлежат интервалу (хо; Хз). (16.32) В каждой формуле (16.32) (от 1-й до 11-й) первое слагаемое в правой части дает приближенное значение производной, указанной в левой части; а второе слагаемое, зависящее от неизвестного числа с, является погрешно­ стью (остаточным членом) соответствующей производной. В общем случае точность формул (16.33) увеличивается с ростом п и гладкости /(х) и умень­ шается с ростом т , где т — порядок производной. Пример 20. В условиях примера 18 вычислить производную от у = 1пх при х = Хо = 30 иа:=Х2=40. Решение. П о 8-й и 10-й формуле (16.32) находим /'(30)= ~ (-11 -3,4012 + 18- 3,5553 - 9 -3,6899 Ч-2 -3,8067) = 0,0332; 6•5 /'(40) = — (3,4012 - 6 •3,5553 -I- 3 ■3,6889 + 2 •3,8067) = 0,0250 6■5 (точное значение /'(40) = 1/40 = 0,0250). 1> 4. Для аппроксимаш1и (приближенной замены) дифференциальных урав­ нений разностными уравнениями обычно используют формулы численного дифференцирования, приведенные ниже. Пусть для функции у — /(х) заданы ее значения 2/; в узлах x^ = Хо -Н (г = О, ±1, ±2, . . . ; Л > О — постоянный шаг), тогда справедливы следующие приближенные формулы для первой и второй производной:
Остаточные члены этих формул (т. е. разности между левой и правой частями) равно соответственно : Ь? 1) рЛсд = (х^_, < с, < ж,+|); 2) /02(с.) = (а;.-1 < с. < 1,+ ,). Причем предполагается, что в первом случае /(х) € Сз|ж,_ |; Х;+|), а во вто ­ ром / (х ) е С 4{x^^|■,x^+^]. Следовательно, погрешность обеих этих формул порядка . 16.6 . Приближение (аппроксимация) функций 16.6 .1 . Постановка задачи аппроксимации функций Приближением (аппроксимацией)даннойфункции /(ж) называется прибли­ женная замена (представление) ее другой, более простой функцией д(х). принадлежащей к некоторому классу функций (например, алгебраических полиномов заданной степени) и в каком-либо определенном смысле близкой к /(ж). Приведем некоторые основные сведения, необходимые для формулиро­ вания задачи аппроксимации функций. Говорят, что функция /(ж) , заданная на отрезке [а; 6], принадлежит к л а с с у Ст[ я ; (запись: /(ж) 6 СTM[а; Ь|), если она непрерывно дифференцируема т раз на [а;6|. Посредством С[а; 6] обозначается класс всех непрерывных на |а; 6| функций. Для оценки близости двух функций используется понятие расстояния междуними.Расстояние (метрика)междудвумяфункциями/(ж),д{х)еС|а;Ь| определяется одним из двух способов: 1) д) ^ II/ - З11см| = тах |/(ж) - з(ж)|, [а;Ь| 2) Л(/,3) =||/-Р1к = 1} , (16.33) — У(/(^) - Ф)) Расстояние Р ]({,д ) имеет смысл максимального по модулю отклонения друг от друга функций / и д на отрезке [а; Ь], а расстояние — средне­ квадратичногоотклонения/ ирна[а;6).Скалярным произведением функций / ,5 € С[а\ Ь| здесь называется число (/,</), определяемое равенством О (/,р) = ! {(х)д(х)йх. О-а ^
Функции { а д называются ортогональными на |а;6|, если (/, ^ ) = 0. Если функции заданы на конечном множестве точек Х о ,Х\, . . . , Х т отрезка [о; Ь|, то скалярное произведение определяется равенством 1 {/•9) = (16.35) п=0 Расстояние между функциями / и д выражается через скалярное произведе­ ние р(/:9)=и-9^-9)'^^- Скалярному произведению (16.35) соответствует среднеквадратичное рассто­ яние 1га П 1/2 - 9{Хг)У ри,9)= га+1 п=0 (16.36) Система функций ^ 1. •. ■. Уп называется ортогональной на |а;6], если каждые две из этих функций ортогональны друг другу на |а; 6], т. е. {^р^, ^^) = 0 (г^3)\ > 0. Очевидно, = (^;, ^р^). Система функций ^о, ,..., 6 С\а\ 6] называется линейно зависимой. если Со^о + +...+С„1^„ = О, (16.37) где С о,С\, . .. ,Сп — одновременно не равные нулю числа. Если равенство (16.37) выполняется только при Со = С] = . . . = С „ , то система функций называется линейно независимой. Если система функций ортогональна, то она линейно независима. Наиболее распространешюй является задача аппрокси­ мации заданных на отрезке |а; 6| функций обобщенными полиномами Ф„(г) = Оо^о(а;) -Ьа,^|(х) + ... -I-о „^ „(1), (16.38) гдеузо,^1,... , — заданные функции; ао, Я|, . . . , а „ — произвольные числа. Обычно Ф „(х ) — это алгебраические полиномы ао+а/Х+...+а„х’'. или тригонометрические полиномы ао+^(«к С05кх+Ьк81Пкх). Коэффициенты ад, О].... , а „ приближения функции /(ж) полиномом Фп(г) находятся из условия минимума одной из метрик (16.33). Применяется также аппроксимация сплайнами — функциями, являющимися некоторыми алгебраическими полиномами на каждом частичном отрезке, на которые раз­ бит данный отрезок |а;Ь|; причем эти полиномы подбираются так, что на всем отрезке |а; 6| сплайн непрерывен вместе с несколькими своими произ­ водными (см. 16.6.4).
16.6 .2 . Равномерное приближение функций 1. Наилучшим равномерным приближением непрерывной функции /(х) ^ С |а;6 ] полиномами (16.38) называется величина Е„(Л= тшр,(/,Ф„), где минимум берется по всем числам Оо, Оь . . . , о „ . Полином Ф * , доставляю­ щий этот минимум, называется полиномом наилучшего равномерного прибли­ жения функции / (определения для других метрик аналогичны). Чаше всего в качестве Ф „ берут алгебраические полиномы некоторой степени п Р„(х) =ао+а,х+...+ а„х". Доказано (П. Л . Чебыш ев), что среди всех алгебраических полиномов Р„( х) существует и притом единственный полином наилучшего равномерного приближения Р „'(х) такой, что тах \/(х) - Р„*(х)| тах |/(х) - Р „(х)|. Построение полинома наилучшего равномерного приближения для функ­ ции /(х) часто бывает связано со значительными затруднениями, поэтому на практике обычно офаничиваются нахождением полинома, близкого к поли­ ному наилучшего равномерного приближения, или просто какого-либо полинома Р„( х) , равномерно аппроксимирующего /(х) с заданной точностью е, т. е. Р,и ,Рп)^е. Для всякой функции /(х) ё С|а; Ь\ последовательность ее полиномов наилучшего равномерного приближения {Р ^(х)} равномерно сходится к /(х) на |о:Ь|(ИтЯ„(/)=0). 2. Если производная /*"+ ‘*(х) функции /(х) е С„+||а: Ь| на отрезке (а; Ь\ изменяется незначительно, то полиномом, близким к полиному наилучшего равномерного приближения функции /(х), является интерполяционный по­ лином Лагранжа (16.21) с узлами интерполяции (16.23), причем (п-И)! В частности, если /*"^'*(х) — постоянна на |а; Ь], то
3. Метод близкого к наилучшему равномерного приближения функций, раз­ лагающихся в ряд Тейлора, рассмотрим на конкретном примере. Пример 21. Равномерно аппроксимировать функцию у = на отрезке |-0 ,5;0,5| при помощи алгебраического полинома, имеющего на име нь шую возможную степень, с точностью до 5 = 0,5 •10”“*. Решение- При аппроксимац ии полиномом Тейлора (а^о = 0) для обеспече ния заданной точности необходимо взять п = 5 (см. пример 11 в 16.4.3). Пофешность аппрокси­ мации при этом существенно нера вномерна на заданном отрезке: она прибл ижа ется к нулю при г ^ О и возрастает на концах отрезка до 0,43 •10” ''. Для построения искомого алгебраического поли нома Р п { х) возьмем сначала полином Тейлора, а пп рокс имирующий функц ию с более высокой точностью ( п = 6) При этом р,{/, 5б) <0,3■10 ^ При помощи за ме ны х = 0,51 перейдем к отрезку [—1; 1], тогда (берем две за­ пасные цифры после запятой): Я ь {1) = 5б(0,5«) = 1 + 0,5<+ 0,125^4 0,020833гЧ 0,002604(4 0,000260г Ч 0,000022<‘ . Приб авим к полиному выра жение; где Т^{1) = 32Л‘ -48<^ + 18(^- 1 — полином Ч еб ыше ва. Получи м полином более низкой (пятой) степени = д,(1) - 0,000022 ■2“ ’ •П(1) = = 1 + 0.51 + 0.1249884^ + 0,020833г’ + 0.002637<" + 0,000260(’ . На отрезке (-1 ; 1] справедлива оценка = тах1<?б-(?5| = 0,000022 ■2” ^ ■1< 0,7 ■10'^ Следовательно, если б ы в поли номе просто отбросить слагаемое 0,000022<^, то по­ лучил ась бы в 2^ = 32 раз большая ошибка. Аналогично предыдущему д41) = (?5(<) - 0,000260 •2"" ■ТА1) = = <г5(«) - 0,000260 •2-“ ■(Ш ^ - 201’ +51) = = I +0,499920* +0,124988<4 0,021153«’ + 0,002637(‘': 0,000260 />| <Э5.<34 = шах 1^5 - ^4 = --- <1,7-10 . 1-ии 16 Возвращаясь к переменной х , находим ис ко мый полином Л (х) = <34(2х) = I +0.9998401 +0,499952*4 0,169224х’ + 0,042192з:\
В частности./ 4 (0 ,5 ) = 1,648698. Оценка погрешности аппроксимации на отрезке [-0 .5; 0,5|: ^тм ^|/(*) - Р4(х)| = тах |/(() - (?4(г)| ^ рЛ1. +рАЯь. ^^) +Р|(«5. «4>< <0,03-Ю""+0,007-Ю"* +0,17-Ю"" =0,21•I0■^ Требуемая точн ость выполне на. Процесс по ниже ни я степени полинома 0п+|(0=Оо+а,1+...+ аппроксимирующего функцию /(() на отрезке |-1; 1|. заканчивается при выполнении условия |а„4_||2' ” - шах|/- >е. |-И1| Коэффиц ие нт при полинома равен а„ +| = 0.002637 (п = 3); е = 0,5-10^; тахI/—^„+1!—0.21■ Так как выполняется условие 0,002637■2“’ - 0 .21■10““ = 3.09 •10“ " > е. то дальнейшее понижение степени найденного, равномерно аппро кс имирующего с тре­ буемой то чн ост ью , полинома невозможно. \> 16.6 .3 . Метод наименьших квадратов Пусть функции /(х) и 1р{{х) (г = о, I п ) принадлежат классу С\а\ 6|, где (р{(х) — заданная система линейно независимых функций, называемых базис­ ными функциями. Задача состоит в том, чтобы среди полиномов вида (16.38) найти такой (т. е. найти его коэффициенты р), С], . . . , с „) полином Ф^(х) = Со^о(х) + С|^1(х) + ... + с„^ „(х). для которого метрика Р2(/,Ф ^) (см. 16.6.1) была бы наименьшей. Такой по­ лином Ф^^(х), называемый полином наилучшего среднеквадратичного при­ ближения функции /(х), всегда сушествует. и притом единственный. Для нахождения Со,С| с„ частные производные выражения п п л(/.Фп)=(/- /-Ф„) ={/■/)+Е VI)-2х;«•</’ 1.;=0 1=1 поС;(г=О,I п ) приравнивают к нулю и решают полученную систему ли нейн ых алгебраических уравнений: <\)(>Ро. 'Р»)+С\(>Ро. (Рх) + ...+ Сг,(<р„. 1р„) --= (/.< Р о). С()(У’|.'^1)) +С|(^7ь У>1) + ■■■+С„(1Р1,1Р „) - (/,< ^1), А)(|^л, ‘Ро) + +...+С„(^„, ^„) =(/,(р„). ' В<иков Е.А . Численные методы. М .: Наука. 1982. 256 с.
Определитель этой системы, называемый определителем Грама, не равен нулю для линейно независимой системы функций ^о, •••, ^’ п- В качестве базисных функций (ро, (р,, . . . , можно взять, в частности , 1 , х,х^,...,х". Пример 22. Для функции /(ж) = построить на отрезке |0; 1] полином наилучшего среднеквадратичного прибл ижени я вида Ф 2 (ж) — Сц + с , х + . Решение. >ра(х) = 1, ^ |(ж) = х, 1р2{х) = х^. I г {<Ра^Ч>1>) = 1 (*Зо,Р|)=^ 1-гйх=^; о о I I {^Ро,^Р2) = ^ \ -х ‘ йх=^--, ((01,^,) = ^ х^ ах О о 1 I ! Х-Х ^ЛХ = ^\ {<Р2,<Р2)= ^ О о 1 (/.^о)=У {/,ч>,) = у, {/,1Р2) = ^ - О Получа ем си сте му уравн ений 113 11131 11 3 С,+-С,+-С2--. -С,+ -С+^С2--, - с„+-с+-С2=-, име ющую решение Со = 9/28, С1 = 9/7, Сг = -9/14. Искомый полином Среднеквадратичное отклонение Ф 2 от / (х ) — 1/2 Р2(/, Ф5) = ^ 0,04. Примечание. Если /(х) задана на конечном множестве точек Х о ,Х[, . . . Х т (число которых должно б ыт ь достаточно б оль шим) отрезка [а; &], то при заданных базисных функци ях 1р(), <р\,. . . , <рп нахождение коэффицие нто в проводится ана логично с помо­ щью скаляр н ого произведения (16.36). 16.6 .4 . Сплайны Пусть отрезок (а; 6] разбит точками (узлами) а = Хо < <...<х„ = Ьна частичные отрезки. Сплайном называется функция, заданная на отрезке |а;6|.
которая на каждом частичном отрезке x^\ является алгебраическим по­ линомом некоторой, обычно третьей степени. Коэффициенты этих полино­ мов подбираются так, что на всем отрезке |а; 6] с плайн непрерывен вместе с его первой и, возможно , второй производной. Такие сплайны называются кубическими и обозначаются 5з(ж) или просто 8(х). Далее офаничимся ли шь наиболее часто применяемыми на практике кубическими сплайна­ ми. Сплайн называется интерполирующим для данной функции /(х), если 8(x^) = ^(x^) =уг(г=О,1,... ,п). 1. Построение сплайна, принимающего в узлах заданные значения. П усть 3{х) — кубический сплайн, у = /(х) — функция, определенная на отрезке |а;6]. Введем обозначения: 3(х^) =у„ 5'(х.) =5', ^"(х.)^^." (г = 0 ,1 .........п), x^-х ,_1 =Л;(г= 1,2 ,..., п).Построимнаотрезке|а;6]кубическийсплайн, интерполирующий для функции /(х), принимающий заданные значения Уг = /(Х |) в узлах Х{ и имеющий непрерывные на |а ;&] первую и вторую производные. На каждом частичном отрезке |х;_ь хг| сплайн 8(х) является кубическим полиномом, поэтому его вторую производную можно записать в виде линейной функции 8"{х)=-8'и^-^ +3'Г-^ . Интсфируя это равенство по х два раза, найдем для любого х из |х;_ь х. |: где8^, А^. В, (г= 1,2,... , п) — неизвестныечисла. Исключая величины А^. В , с учетом заданных значений 3^x^) = у^, по­ лучим Производная от 8(х) равна ^ 2Н. + (16.40) (г = 1,2.........п). Заменяя в выражениях (16.39), (16.40) индекс (г - 1) на г, а * — на (г + I). получим соответствующий кубический полином и его производную на от­ резке |x^;x^+1|. Приравнивая друг к другу значения первых производных ,п). (16.39)
этих полиномов в узлах Ж|, Жз, •••, (в силу непрерывности производной 5'(ж)), получим систему (п - 1) уравнений, содержащих (тг+ 1) неизвестную с" о» с". ‘с"л -и'я'ЧиМ1, н 2/.+1-у , , У^- У.-1 _ „ б *-"!-!'-! ' V-! I ^ + I, ' I. ^ 3 6 Л^+1 Пг (16.41) (г=1,2,...,п-1). Так как здесь число неизвестных на два больше, чем уравнений, то к этой системе следует добавить еще два уравнения, связанные обычно с условиями на концахотрезкаХо=а, х„ = Ь. 1) Если известны значения производных у'о —{ '(а) н у'п = }(Ь) на кон­ цах отрезка, то полагаем '9о = Уо,= Уп- Два добавочных уравнения находятсяизвыражения(16.40)при х=а.г=Iих=Ь,г=псоот­ ветственно. 2) Если известны значения / "(х) в точках о и Ь, то полагаем 5?=г/?=/"(а); 5"=г/" = /». 3) Если /(х) периодична с периодом (6- а), т.е. /(х +6- а) =/(х), то /"(х+Ь-а) =/"(а). Отсюдаследует: 5^,' = 8'о, = 3". Вэтомслучае к системе (16.41) следует добавить уравнение, получающееся из формулы (16.41) при г = п с учетом периодичности: 1. /1/; I 1. с,// 1^/1,II,\о" У\~Уп Уп~Уп\„ ~КЗп^\+т(Й1+К)В„ г -Ь г =0. 6 6 3 П] п„ 2. Построение сплайна по заданным в узлах значениям сплайна и его пер­ вой производной. Построенный вышеприведенным способом в п. 1. интер­ полирующий сплайн, с заданными значениями в узлах (причем значения производных в узлах не заданы, но требуется их непрерывность), применя­ ется для аппроксимации функции у = /(х) и ее первых двух производных наотрезке[а;6].Если жевузлахx^(I= О, 1,2,... , п) одновременнозаданы значения кубического сплайна 3(x^) = у^ = /(Х{) и его первой производной 3'{х,) = «/' = { '{x^) , то, в предположении, что длины всех частичных отрез­ ков x^ - 1,- 1 = и = (Ь - а)/п одинаковые, сплайн имеет на каждом отрезке [х;_|;Х(|(г=1,2,..., п)вид , (х,-х)^[2(х-х,_,)+Л| (х-х,--|)^[2(х^-х) +й| *'■ + (Х;-Х)^(Х-Х;_,) , (х-Х._|)^(х-X;), + ------- --------- т - . + ------------- у,- Здесь гарантирована непрерывность сплайна и лиш ь его первой произ­ водной 3 '{ х ) в промежутке |а; 6].
3. Оценка погрешности аппроксимации сплайнами. Если / ( х ) € С 4|а; 6| и I;-х,'^1 =й(г=1,2,..., п),ТОсплайн3{х),построенныйоднимиздвух вышеприведенных способов, удовлетворяет неравенству^*: тах - 5®(х)|^С■ т а х |/''‘>(х)|, к , -1:1,1 (о;*! где г= I,2,... , п: ^ = О, 1,2; С— некоторая постоянная. Максимальные в |о;6| отклонения 5(х), 8 '{х), 3 "(х) от /(х), / ’(х), / ”(х) имеют соответ­ ственно порядок О(к^), 0(Ь}), 0(Ь}). Пример 23 . Д л я функции у = со%х построим на отрезке 1-)г/2; я-/2| куб иче ский ин те рполирующий сп лайн, н епрерывн ый вместе со своими первой и второй пр оиз­ водными (см. п. 1). Возьмем п = 2, Л1 = й; = й = тг/2. Значения функции в узлах 1о= -тг/2,XI =О,Х;=Ж12равныУо=О,У|=I.!/’ = 0.Значенияеепроизводной на концах отрезка и звестны: уо = 1: Уг = —\. Используя формулы (16.40), (16.41), состави м си стему трех уравнений с не из­ вестными 5?, 5 ", 55': У\-Уч Под ставл яя в эту си сте му числовые зн ачен ия ве ли чин и решая ее, получим 7Г^ 7Г 7Г^ 7Г 7Г^ 7Г Согласно (16.39) искомый с плайн имеет вид: - ж/2)’ ^х<-. ’ Волков Е.Л . Указ. соч. (см. сноску 5).
16.7 . Приближенное вычисление интегралов 16.7 .1 . Вычисление интегралов при помощи рядов Для вычисления интегралов используется свойство знакочередующихся чис­ ловых рядов с убывающими членами, согласно которому остаток такого ряда имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине (см. 9.3.1). Пример 24. Вычислить с точностью до е 0,5 ■10^^ интсфал Л=у е“^ (^X. о Решение. Заменяя х на в разложении {см. 9.7.2), получим ряд + (1) сходящийся в промежутке (-оо; +оо). Интсфируя обе части (1), получим знакочере­ дующ ийс я чис ловой ряд с убыва ющи ми члена ми I-г ' 1 1 > ^ 1 I I = / е ^^x—\------1 ----------- \ ------------ 1 ------------- 1 ------ (- ' 3-1! 5 -2! 7-3! 9-4! 11-5! 13-6! 15-7! 17-8! - I’- О (2) Здесь 1/(17-8!) я: 0,15- 10'^ < 0,5- 10"’ . Отбрасыва я в (2) девятый и последующие член ы, будем иметь остаточную по- фешность, не превышающую заданного е. Складывая первые восемь членов в (2), оставл яя в них по две запа сные цифры и округл яя окончате льн ый результат до 5 цифр после запятой, получим 0,74682. > Пример 25. Вычислить с точность до 0,5 •10'^ интефал Решение. Заменяя I на X в разложении 1п (I + х) (см. 9.7.2) и разделив его почленно на X , получим сте пе нной ряд 1п(И-х^) х^ х’ х’’ “ ^ ="-т+т-т+-- Полагаем, что функц ия в левой части (1) равна нул ю при ж = 0. Согласно призна ку равномерной сходимости Вейерштр асса ряд в правой час ти (1) сходится равномерно и аб солютно на отрезке [0; 0,5] в силу сходимости числового ряда 1111 • + -
Следовательно, ряд ( I ) можно почленно интефирова ть . По лучи м УX ^~ 2-2^ 2-4 -2‘'^3-6 -2<’ О Четвертый (отбрас ывае мый) член ряда (2) равен 0,12-10"^ < 0,5-10“ ^. Склад ывая первые три члена в (2). получим (в ып о лн я я промежуточны е вычис ле н и я с 5 цифрами после запя той): ^ 2 — 0,118. [> Пример 26. Вычислить с точностью до 0,5 •Ю""* интеграл 51П X 7^ О Решение. Разлагая в ряд (см. 9.7.2) и деля его почле нно на л/х. получим функц ион ал ьн ый ряд .т'/2 ^5/2 ^9/2 ^13/2 +.... (1) ^ 1! 3! 5! 7! Примем, что функция в левой части (I) равна нулю при х = 0. Согласно признаку равномерной сходимости Вейершграсса ряд в (1) сходится равномерно и абсолютно на отрезке 10; 1| в силу сходимости числового ряда 1111 ^ + ^ + ^ ++■ Интефируя почленно ряд в (1), получим I / 51П1 2 2 2 2 , ^ 3-1! 7-3!^ 11-5! 15-7! ^ Четвертый (отбрасываемый)член ряда в(2) имеетпорядок 0,13 - 10 ” “* < 0 ,5 -10 ” '’ . Складывая три первых члена в ( 2 ), получим (выполняя промежуточные вычисления с 6 цифрами после запятой): = 0,6206. > 16.7 .2 . Квадратурные формулы Метод квадратур при вычислен ии определенного интеграла состоит в замене интефируемой на отрезке |а; 6| функции /(х) интерполирующей или аппрок­ симирующей функцией д(х) более простого вида. Приближениое равенство ь ь
называется квадратурной формулой. Формулу (16.42) можно записать также в виде ь ь где Д п(/) — погрешность (остаточный член) квадратурной формулы. Отметим, что полная погрешность складывается из погрешностей промежуточных дей­ ствий и остаточного члена. Для приближенного вычисления интефала в левой части равенства (16.42) разобьем отрезок [о; Ь] на п промежутков [х(_ь Х;] (г = 1, 2 , . . . , п) одинако­ войдлинык={Ь-а)/пприпомощип+1точека=Хо<Х]<...<х„ = Ь, где x^ = I,й. Рассмотрим три наиболее часто применяемые квадратурные формулы. Квадратурная формула, как правило, тем точнее, чем больше точек разбиения. 16 .7 .2 .1 . Формула прямоугольников Пусть п = 2 т — четное число и даны значения = /(х;) функции у = /(х) вточках Хуснечетныминомерами ^' = 1,3,..., 2т - 1.Посколькунаудво­ енном промежутке [хо; Х2] задано только одно значение у\ = /(Х]) функции, получим интерполяционный полином нулевой степени Ро{х) = у\. Прибли­ женное значение интеграла на отрезке [хо;х2] согласно (16.42) равно Х2 ! Лх)<гхи2Лг/,. Аналогично и для всех остальных удвоенных промежутков. Складывая вычисленные таким способом интегралы для всех удвоенных отрезков, полу­ чи м формулу прямоугольников ь ^ }(х)йхи2Н{ух+Уз+г/5+■■•+г/2т-|). а Остаточный член формулы прямоугольников для }{ х ) € С2(о; Ъ] удовле­ творяет неравенству: |Лп(/Ж1/"(*)1- 6 |о;6| Если /(х) задана лиш ь значениями в нескольких отдельных точках, то строгая оценка невозможна.
Пример 27. Вычислить по формуле прямоугольников интефал 1 I йх. Решение. БеремЛ=0,1; п=2т= 10; Значения /(ж) приведены в таблице; = 0,3989. Обозначим /(ж) = у2тг XI =0,1 Жз=0,3 Хз=0,5 Х7=0,7 х<) = 0,9 ж72 0,005 0,045 0,125 0,245 0,405 0,3970 0,3813 0,3520 0,3122 0,2661 Интефал равен 7 = 2 •0,1 - = 0,3417. Вторая производная о т /(ж) равна: 3 у" = у/2тт и имеет та х |у'| й 0,4 при х = 0. Оценка остаточного члена 10; 1| |Лп(/)1 ^ 0,01 • 7 •0,4 к 0,067 ■10"^ < 0,5 •10^1 6 Промежуточные вычисления проводились с 4 знаками после запятой. Точными в по­ лученн ом результате 7 = 0,3417 являются лишь две цифры после запятой. Для с равнен ия, значение взятое из табл. 15.2, р авно 0,3413. Ош иб к а равна примерно 10,3413-0,34171 =0 ,0004. |> 16.7 .2 .2 . Формула трапеций Пусть п — любое натуральное число и даны значения у, = /(г,) функции /(х) в точках Хо,Х1, . . . , х „ . Поскольку на отрезке [хо', Х1] заданы значения Уо,У\ функции в двух точках Хо, Х ь то имеем интерполяционный полином первой степени (16.24), который можно записать в виде п/\ . У\-Уч, ^ Р\(х)=No+—^—(х-Хо). Приближенное значение интеграла на отрезке [жо;Х|] согласно (16.42) равно а?о+Л Хо+Н
Вычисляя аналогично интефалы для всех частичных отрезков (ж, _ 1; х^\ и скла­ дывая их, получим формулу трапеций ь у /(х)< гг +2/,+...+2/„_1+у У а Если /(ж) € С2[а; Ь|, то остаточная погрешность формулы трапеций удо­ влетворяет неравенству |Дп(/)| < т а х |/"(х)|. 12 (а;&| Пример 28. Вы ч и с л и ть интеграл ^ в примере 27 по формуле трапеций. Решение. Берем Л — 0,2; п — 5; \/у/ ^ = 0,3989. Обозначим /(ж) = В таблице приведе ны значе ни я /(ж ). у/2п Хо=0 ж, =0,2 Х2—0,4 Хз—0,6 Х4=0,8 х,=\ хУ2 0,02 0,08 0,18 0,32 0,5 У=/И 0,3989 0,3910 0,3682 0,3332 0,2900 0,2419 По формуле трапеций находим пр ибл иженн о ^ = 0,3406. Оценка остаточного чле на (см. пример 27): |Дп(/)1 ^ 0.04' ~ ^ Точными в полученном здесь значении ^ = 0,3406 являются ли шь две цифры после запя­ той. Испол ьзуя табличное значение находим погрешность |0,3413-0 ,3406] = 0,0007. > 16.7 .2 .3 . Формула Симпсона (формула парабол) Пусть п = 2 т — четное число и даны значения = /(х;) функции /(х) врав­ ноотстоящих точках x^ (г = О, 1,2 ,... , 2т). На удвоенном отрезке [хо; хг) с точкой Х| в середине заданы три значения уо, уи у2 функции, поэтому бу­ дем иметь интерполяционный полином второй степени (см. 16.5.2), который можно записать ввиде(Х] =Хо+Н,Х2=Хо+2к): „ ,, , У\-Уо, . , 2/2- 22/1+ г/о, Р1(х)=Уа+— ^— (х-Жо)+ ------^ - (х-Хо)[х-(хо-Ь/г)].
Согласно (16.42) получим приближенно 10+2/1 / /(ж)ах!^ -{уа+ + У2)- Вычисляя аналогично интегралы для всех удвоенных отрезков и склады­ вая их, п ол учим формулу Симпсона (и ли формулу парабол): О //(х)ах« -{уо+У2т+4(Т,+2(Т2), где(Т|=2/,+)/з+ ...+у2т-\;0-2=1/2+г/4+•••+У2т-г- Если / ( ж) € С 4[а; Ь|, то имеет место следующая оценка остаточного члена формулы Симпсона |Д2т(/)| л М.= . а х|/И)(.)|. Правая часть этого неравенства является предельной остаточной погреш­ ностью. Если предельная допустимая погрешность задана и равна е, то следует брать шаг к, удовлетворяющий неравенству 4 180^ (Ь- а)М4' Пример 29. Вычислить интеграл в примере 27 по формуле Симпсона. Решение. Берем Л—0,25; п=2т =4; =0,398942.Обозначим/(ж) = - 7 ^ В таблице приведены значе ния /(х ) : \/27г ' ■у/2тг X х^/2 У=/(х) х„=0 0 0,398942 X, = 0 ,25 0,03125 0,386668 Х2=0,5 0,125 0,352065 хз = 0 ,75 0 ,28125 0 ,301137 Х4=1 0,5 0,241970 0,25 Имеемуо+^4 = 0,640913;4о^1 =4(у1+уз) = 2,751220;2<Т2—2уг —0,704130;/= 4,096265 = 0 ,34136 . Табличное значение интефала равно 0,34134 . Пофсшность вычис ле ний по формуле Си мпсон а: 0,34136 —0,34134 = 0,2 •10 .
Полная предельная погрешность вычисленного значения интефала складывается из остаточного члена (называемого также погрешностью метода) и погрешности суммирования. Оценка остаточного члена: = шах|/-( .)|=3.^«.,2; No (/)!< 0,25^-^^ -1,2 <0,26-10-''. Если е — наибольшая абсолютная погрешность округления значений подынте­ гральной функции (в нашем случае г = 0,5 •10"^), то, согласно формуле Симпсона, предельная погрешность суммирования имеет оценку: л ■п■е= (6- а)е= 1■4■0,5■Ю"* = 0,02■10"\ Полная предельная абсолютная пофешность равна 0,26 •10"'^ + 0.02 ■10"' = 0,28 -10■^ Таким образом, 3 = 0,34136± 0,28 •10” ' . Верными здесь являются 4 знака после запятой. Промежуточные вычисления проводились с двумя запасными цифрами после запятой. > 16.7 .3 . Метод Монте-Карло Идея метода Монте-Карло (метода статистических испытаний) состоит в сле­ дующем. Пусть требуется найти значение о некоторой величины, тогда вы­ бирают такую случайную величину У (см. 15.1.9), математическое ожидание которой равно о, т. е. М (У ) = а. Н а практике производят п независимых испытаний величины У, в результате которых получают п ее возможных значений (т. е. выборку) у\,у2, ■■■Уп и находят их среднее арифметическое у = ^{у| -|-... + г/„), принимаемое в качестве приближенного значения числа а , т. е. «/к: о. Рассматривая числа У\,У2, ■■■,Уп как возможные значения взаимно не­ зависимых случайных величин У\,У2, ■■■,У „ , имеющих одинаковые матема­ тические ожидания а и дисперсии а^, имеем (см. 15.1.11): М(У)= „^ + •••+ ^ 0(У)=^ Д(У, -Ь... -Ы„)=^ [Д(Г.) -Н...Х>(У„)] = ^ Г = -!-(Г,-Ь...-ЬУ„) п па =— =а;
Н а основании центральной предельной теоремы и правила «трех сигм» (см. 15.1.10.3) при достаточно большом числе испытаний (п > 30): Т. е. вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной вели­ чины V от числа а будет меньше чем За/^/п, равна 0,997. Для оценки <т на практике (при п > 30) применяют равенство » / = ^^^[(2/1 - У)^ + ■■■+ (УП-У)^]- (16.43) Определенный интеграл от некоторой функции 1г{1) на отрезке о ^ ^ 6 при помощи подстановки I = а + (Ь- а)х сводится к интегралу 1 = ^ д(х)йх. (16.44) Один из способов вычисления интеграла (16.44) по методу Монте-Карло (способ усреднения подынтегральной функции) состоит в следующем. П усть X — равномерно распределенная на отрезке [0; 1] случайная величина с плот­ н остью распределения {О, X<О, 1, 0^х«:1, О, х>1. Тогда V = д (Х) также является случайной величиной с математическим ожиданием 1 1 М{У)= ^ д{х)/{х)Лх=! д(х)ах=3. о о Заменяя приближенно математическое ожидание средним арифметиче­ ским, будем иметь 3^У = “ [»(®1)+9(^2)+•■■+9(®п)]- (16.45) где Х\,Х2, ■■■,Хп — случайные числа. Случайными числами называются возможные значения равномерно рас­ пределенной на отрезке [0; 1] случайной величины. Случайные числа имеют, вообще говоря, бесконечное множество цифр после запятой. На практике ис­ пользуют случайные числа, содержащие конечное число десятичных знаков
(цифр) после запятой. Для получения случайных чисел имеются специаль­ ные таблицы. Н иже приведен фрагмент таблицы равномерно распределенных на отрезке (0; 1] случайных чисел с двумя цифрами после запятой’*: Таблица 16.5 1009732533765201358634673548768095909117 37 54204805648947429624805240372063610402 0842268953196450930323209025601595334764 99 01902529093767071538311311658867674397 12 80799970801573614764032366539895116877 Пофешн ость \3 - »/| формулы (16.45) оценивается неравенством а С вероятностью р ~ 0,997, причем а оценивается по формуле (16.43), в кото ­ рой у1 = д(х{) (г = 1 , . . . , п). Смысл этой оценки погрешности состоит в том, что с вероятностью р « 0,997 доверительный интервал (у-Ъа/\/п , у+Ъст/л/п) покрывает неизвестную величину 7, причем е = Ъ а1 у/п является предельной погрешностью (см. 15.2.5). Пример 30. Методом Монте-Карло приближенно вычислить интефал I /■ 7= \ хЛх. Найти минимал ьное чис ло испыта ний, обеспечивающее погрешность е = 0,1 с ве ­ роятностью 0,997. Решение. Огра ничимс я дес ятью и с пыта ни ям и ( п = 10). Возь мем следующие случай ­ ные числ а с тремя цифрами после запятой (* — номер ис п ыта н ия), сконст руиро­ ва нн ые по табл. 16.5: г 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,100 0,973 0,253 0,376 0,520 0,135 0,863 0,467 0,354 0,876 Приб ли же нн ое значени е (оце нка) интеграла 1 1 ^=у =Т^Е^. = Т?^-4.917«0.492. Точное значение интеф а ла 3 = 0,5; поэтому аб солю тн ая погре шность равна \3 — у\ ~ 0,5 — 0,492 — 0,008. Дл я равномерно распределенной на [0; 1] случай ной Таблица заимствована из кн.: Гмурман В.Е . Указ. соч. (см. 15.2.9).
величины = 1/12 (см. 15.1.12). М и ним ал ьн ое чис ло исп ытан ий, обесп ечива ющих предельную п офе ш н о ст ь е = 0,1 с вероят нос тью 0,997, находим из равенства 9(1/12) 0,01 ■= 75. 16.8 . Численное решение дифференциальных уравнений 16.8 .1 . Метод Эйлера Предполагая, что решение задачи Кош и (см. 11.1.1) у' = 1(х,у), у{хо) =уо. (16.46) где Хо, уо — заданные числа, сушеству- ет и единственно, найдем приближен­ ное решение у{х) этой задачи на от­ резке [го;а:„] , разбитом на п равных частичных отрезков при помощи рав­ ноотстоящих точек Х{=Хо+гЬ, (г=О,1,2,..., п). Н а отрезке [хо;^;]] принимаем у(х)=уа+/(хо, уа)(х- хо), т. е. проводим прямую РоР\ из точки Ро{хо, Уо) под углом ао = к оси Ох [18«о = /(^0, г/о)] (рис. 16.2). На отрезке [х ь Хг]: у{х) = 2/1-| -/(Х|,!/|)(х-Х1), (8а, = /(Х|, »/1). Дляотрезка[х;;Х{^[](г=0,I , ... ,п - 1); у{х) =Уг+Нх(,у<){х-Х(), 11,04=}(Ц,У1), уо= Уо- При этом у^^| = у>+ /(х,, у{) ■к. В результате получаем ломаную линию Р0Р 1... Рп-\Рп {'^Р\РоА\ = а о , /-РгР^А2= а ь ...). Полученное решение можно представить в виде таблицы: Хо Х| хг Хп-\ Хп Уо У\ У2 Уп-\ Уп
Отметам, что изложенный метод Эйлера обычно применяют лишь для весьма грубой оценки решения. Пример 31. Найти приближенное решение задачи Коши: у — ху, у(0) = 1 на отрезке [0;0,5]. Решение. Берем п = 5; /г= 0 ,1 ; Хо = 0 ; 1 5 = 0,5. Вычисления производим по формулам: 1, =^/! (^ = 0, 1,2, 3,4, 5); У(+|=У.+/(®(.уО■^‘ = !/^+X^у,к =У(•(1+»л^) («■=0 ,1,2,3,4). Результаты вычисл е ний приведены в таблице: О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1 1,01 1,0302 1,0611 1,1035 У(*() 1,0050 1,0202 1,0460 1,0833 1,1331 Точное решение данной задачи: у(х ) = е ' Значения у{x^) приведены в третьей строке таблицы. Видно, что абсолютн ая погр ешность |у, - у (х ,)| растет с уве ли че нием и при X = 0,5 составляет 0,0296, те . 2 ,7%. О Оценки погрешности приближенного решения. Погрешностью округления е(х^) называется погрешность, возникающая при действиях с приближенными числами, в том числе при вычислении значений функции /(х , у) в точках (Х{,Уд- Погрешностью приближенного решения называется разность е^ = у(х1)- у 1 , где у{х) — точное решение задачи Кош и (16.46). Локальной погрешностью метода Эйлера ем{Х г) называют погрешность, возникаюшую при замене интегральной кривой, проходящей через точку (х(, у^), на касательную к этой интегральной кривой в точке (x^,у^) при переходе из точки х; в х,+] (у; = у(х,)) . Согласно методу Эйлера Уо=Уо, У(+1=No+^■/(*■,Уг) (*=О,1,... ,п -1). (16.47) Используя формулу Тейлора для точного решения, получим Д2 у(хо) =Уо, У^+^ = У;+/г•/(*;,у,)+уУ'(с,), (16.48) гдеx^<с^<Х(+1(г=О,I,..., га- 1);У(=у{x^). Вычитая (16.47) из (16.48) и применяя формулу Тейлора к функции ^ {х (,у), получим**: го= 0, г.+1 =е; +/1-/у(хь70-е< + т^'(с(). * Волков Е.А . Указ. соч. (см. сноску 5).
В силу формулы (16.48) локальная погрешность метода равна емМ =у/(с() и имеет порядок 0(Ь}). Максимальная пофешность приближенного решения по методу Эйлера тах |г,1 имеет порядок 0(Ь), т. е. метод имеет первыйпо Л 0<1<П порядок точности (« = 1). 16.8 .2 . Методы Рунге—Кутта Приведем три метода Рунге—Кутта для приближенного решения задачи Коши (16.46). 1 6.8 .2 .1 . Усовершенствованный метод Эйлера второго порядка точности (в = 2); У1=Уг + \- /(®>. Уг) {УО=У0= У(Хо)), У^+I=Уг+}1-/(x^+ ^,у^^ (г=0,1,2,... ,и - 1). Максимальная погрешность приближенного решения порядка О(й^) (см . 16.8.1). 16.8 .2 .2 . Метод второго порядка точности (« = 2 ): уГ+]=У1+>^-/{Х{.Уд (Уо=Уо) г/.+1 =У^ + :^и{x^,У^) + /{хн1, No^|)]. Максимальная погрешность приближенного решения порядка О(Н^), 16.8 .2 .3 . Метод четвертого порядка точности (в = 4): У^+\=У^+ ^(*1+2*2+2*3+к^) {уо=2/о). к, = Й■/(Х(,у,), к2 =П-+ у^+ , *3 =/I-/^1;+у2/;+у = П■/{x^ +I^,у^+ *з). Если /(х, у) имеет непрерывные производные по х и ?/ до 4 порядка включительно, то максимальная пофешность приближенного решения равно 0(Н*).
Методы Рунге—Кутга применимы и в случае, когда шаги й; = 1(4.1 —Х{ — разные. Для оценки погрешности приближенного решения задачи Коши (16.46) на практике обычно используется правило Рунге, заключающееся в следующем. Пусть приближенное решения задачи Коши (16.46) ищется методом Рун­ ге—Кутга 8-го порядка точности (для метода Эйлера 8=1; для усовершенство­ ванного метода Эйлера 8= 2 и т.д .) . Обозначим у{х,Н) и у{х,2к) значения двух разных приближенных решений в одной и той же точке х , вычисленных с шагами Н а 2к соответственно. Тогда оценка погрешности приближенного решения у{х, к) в точке имеет вид у{х( +2) - у{x^+2, ^^) ~ ---------^7— I---------■ Здесь при переходе от точки Х{ к = Х{+2к величина у(14^2 , ^^) вы­ числяется дважды (при помощи двух шагов Н), а у{x^+2, ^^) — один раз. 16.8 .3 . Метод Адамса Пусть каким-либо методом (например, методом Рунге— Кутга) найдены при­ ближенные значения решения задачи Коши (16.46) УиУ2,---, Ут в нескольких точках X,, Х2,■■■,Хт- Тогда последующие значения Ут+1, ■■■,Уп-\,Уп вычис­ ляются по формуле т Уш =У^+Ь.■'^атV■/(х;-г,Уг-г) (г=т , ..., п -1). г=0 Здесь т — порядок метода, а ^ г — постоянные, зависящие только от порядка метода т . В частности, для т = О, 1, 2, 3 соответственно: (т = О, метод Эйлера) аоо = 1; 3 1 «10 = 2’ «и= ~2’ 23 4 5 «20 = 12’ «21 = ~3’ «22 = п’ 55 59 37 «30 = 24’ «31 = 24’ «32 = Й’ Максимальная погрешности приближенного решения имеет порядок В отличие от методов Рунге—Кутга, в которых шаг может быть изменен в процессе вычисления, в методе Адамса шаг зафиксирован. Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. СПб.: Специальная литера­ тура, 1996. 384 с.
Пример 32. Найти приближенноерешение задачи Коши у' =у, у(0)=уо= 1методом Адамса на отрезке |0; 1]. Решение. Берем т = 2, Н = 0,05. Зн а че ни я у] и у2 найдем, используя известное точное решение у{х) = е“ : у, = у(0,05) = 1,051271; у^ = у(0,1) = 1,105171. Последующие значения находим по формуле (здесь /(х, у) = у): Г23 4 5 У^+^=У(+0,05 гдег=2,..., 19.Вчастности. Уз=92+0,05 23 I =Уо, Здесь максимальная погре шность приб лиже нн ог о р ешения равна 0(Л’) = 0(0,13-10""). Значения точного и приближенного решения с шестью цифрами после запятой (из них две — за пас ные ) приведены в таблице через кажд ые 5 шагов X Точное решение Прибл ижен ное решение 0 1 1 0,25 1,284025 1,284017 0,50 1,648731 1,648692 0,75 2,117000 2,116939 1,00 2,718282 2,718173 16.8 .4 . Краевые задачи для обыкновенных диффер енциаль ных уравнений 1 6.8 .4 .1 . Понятие краевой задачи Краевой задачей будем называть задачу о решении дифференциального урав­ нения Цу]=у"+р{х)у'+д(х)у=/{х) (а^х ^Ь) (16.49) при наличии двух краевых условий йо1з/1 = аоУ(а) + /Зо!/'(а) = уо, ДЛ»! = ос>У{Ь)+Р1У'(Ь) = 71- Здесь р(1 ),д{х), }(х) — заданные функции, непрерывные на [а; Ь|; а^, Д , 7( — заданные числа(о^ + 0} ^ 0) (г = О, 1). Краевые условия, длякоторых То = 71 = О, называются однородными, в противном случае — неоднородными. Матвеев И. М . Указ. соч. (см. сноску 9).
16.8 .4 .2 . Метод аппроксимирующих функций Выберем на отрезке |о; й] систему линейно независимых базисных функций (см. 16.6.1) 6 С2|а ;6] таких, что <ро(х) удовлетворяет неодно­ родным краевым условиям До[уо1 = 10 , Щ 1^о| = 7 ь а остальные функции — однороднымусловиямДо|^1|= [^1)=О(1=1,2 ,..., п). Решение краевой задачи (16.49) аппроксимируем (т. е. приближенно за­ меняем) функцией Уп(х) = М х) + С,<р1(х) + ... + С„<р„(х) (16.50) с коэффициентами С\ С„, которые требуется найти. Функция у„(х) удо­ влетворяет краевым условиям (16.49). Функция П Е{х-Сь..., С„) =1\у„\ -}(х)=1[ч>,\-ЬХ;СМ'РА ~/Н (>6-51) >=| называется невязкой. Если при некоторых значениях С [, . . . , С „ невязка равно нулю всюду на [а; 6], то у„(х) является решением краевой задачи (16.49). По­ скольку обычно невязку нельзя выбрать тождественно равной нулю на |а; 6], то для нахождения С\, ■■. , С „ исходят из условия минимизашши невязки. Метод коллокации заключается в том, что в интервале (а; Ь) выбира­ ются точки в которых невязки (16.51) приравниваются к нулю. В результате получается система линейных алгебраических уравнений для нахожденияС],..., С„. Интегральный метод наименьших квадратов основан на отыскании мини­ мума интефала ь 7(С,,...,С„) =У в'(х;С,,...,С„)йх. а Коэффициенты С ь .. . , С „ находятся из необходимого условия экстре­ мума „•=1,...,п). сводящегося к решению системы линейныхуравнений относительно С ], . . . , С „ . Дискретный метод наименьших квадратов. Коэффициенты С\,. . . , С „ на­ ходятся из условия минимума суммы где точки Хг принадлежат (а\Ь) м т ^ п. При т = п отсюда следует метод коллокации.
Метод частичных областей. На [а; Ь] выбираются точки а ==Х\ < Х2 < ... ... < х„+1 = Ь. Коэффициенты С],... ,Сп находятся из условий ^ Е{х;С\,... ,Сп) О(г^1,2,..., и). Метод ортогонализации (метод Галёркина). Коэффициенты С [, . . . ,Сп на­ ходятся из условий 6 I Е{х-,Си...,СпЫ^)ах=0 {г=\,2,...,п). а Пример 33 . Методом Галёркина р еши ть крае вую задачу Цу\=у"-2у'+у=х-1 !/(0)= у(1) = 0, Решение. Возь мем следующие б ази сные функц ии ( п = 2): <Ро(х)=0, (р,{х) = х {х-\), 1р2(х) = х\х - удовлетворяющие однородным краевым условиям задачи. Согл асно (16.51) невязка равна Е{х;С,,Сг)=Цщ\+ 1+ СгЦ^г] ~ !(х) = = О+С|(а:^ - 5*+4)+Сг(х^- 1х^+10*-2)-ж+2. Умножая невязку последовательно на (р\{х) и (р2 { х ) и интегрируя оба пр оизве­ дения от О до 1, получи м, соглас но методу Галёркина, си стему двух уравне ний 10'60 ^ 4’ 60 ' 105 ' 60’ решение которой С| = -0 ,60705; Сг = - 0,37028. Приближенное решение задачи имеет вид У2 {х) = у?о(ж) + С|^|(а:) + - ~Ф ~ 0(0,60705 + 0,37028х). Для сравнения: 2/2(0,5) — 0,1980; у(0,5) — 0,1967. Пофешность равна У2(0,5)-у(0,5)= 0 ,13 -10 -1 1> 16.8 .4 .3 . Понятие о разностном методе Возьмемна[а;6]равноотстоящиеточкиХ{=Хо+гН(г= 1,2,... ,п - 1), Хо = а, х „ = Ь и заменим все производные в дифференциальном уравнении и в краевых условиях соответствующими приближенными (разностными) выражениями (см. 16.5.6,4). В результате дифференциальная краевая задача
аппроксимируется разностной краевой задачей, численное решение которой сводится к решению системы алгебраических уравнений относительно неиз­ вестных значений функции = р(x ^). Пример 34. Аппроксимировать краевую задачу в примере 33 соответствующей раз ностной задачей. Решение. Заменяя производные разностными выражениями (см. 16 .5 .6 ,4), получим У,-.-2у,+No+1 (.= 1,2, 2Л !/о=0, Уп=О- Вчастности, при п=4 получим системууравнений относительно р,,уг,!/з (/>=0 ,25): - 1,94у| + 0,75у2 =-0,11; 1,25!/, - -0,25у)=-0,09; 1,251/2- =-0,08. О
Глава 17 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 17.1 . Алгебра логики (алгебра высказываний) 17.1 .1 . Общие сведения Математической логикой называется раздел математики, посвященный иссле­ дованию математических доказательств и вопросов оснований математики. Алгебра логики (алгебра высказываний) является разделом математической логики, изучающим логические операции над высказываниями. Под вы­ сказыванием понимается предложение естественного или формализованного языка, о котором можно говорить, что оно истинно или ложно. В этом за­ ключается отличие высказываний, например, от вопросительных или повест­ вовательных предложений естественного языка. Высказывания обозначаются большими латинскими буквами А ,В ,С , . . . (возможно, с индексами). Логи­ ческие операции позволяют получить из исходных высказываний некоторые новые высказывания. Содержание высказываний при этом не рассматри­ вается. Каждое высказывание имеет истинностное значение истина (И) или ложь (Л), которое в алгебре логики обозначают также числами 1 (истина) и О (ложь). В математической логике обычно не делается различия между высказыванием и его истинностным значением. Пример 1. Предложение «2 -Ь3 = 5» является высказыванием, так как о нем можно сказать, что оно истинно (И). Предложение «4 — простое число» есть высказывание, так как его истинностное значение равно Л. Предложение «2х — 6» не является высказыванием, т.е . о нем нельзя сказать, истинно оно или ложно. Однако, давая переменной хразличные числовые значения, будем получать высказывания. 17.1 .2 . Логические операции Используя в обычной речи связки вида: «и», «или», «если ..., то», «тогда и только тогда, когда» и др., м о ж н о и з одних высказываний образовывать новые, другие высказывания.
Способ построения из данных высказываний (или высказывания) но­ вого высказывания называется логической операцией. При этом истинност­ ное значение нового высказывания полностью определяется истинностными значениями исходных высказываний. Знак, применяемый для обозначения логической операции, называется логической связкой (или просто — связкой). Логические операции и связки могут быть одноместными, двухместными и т.д . Примерами логических операций являются «конъюнкция», «дизъюнк­ ция», «импликация», «отрицание», «эквивалентность», обозначаемые соот­ ветственно следующими связками: Л, V , =>, “ , -(ф. Из них отрицание — одноместная операция, а остальные — двухместные. Пусть даны два произ­ вольных высказывания А к В , тогда: 1. Конъюнкцией (логическим умножением) называется логическая опера­ ция, состоящая в построении нового высказывания «А и В» , которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба А и В . Применяются следующие обозначения конъюнкции высказываний А и В: АЛВ , А -В , АВ (читается А и В). Истинностные значения конъюнкции А АВ приведены в табл. 17.1. 2. Дизъюнкцией (логическим сложением) называется логическая операция, состоящая в построении нового высказывания «А или В», которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно (может быть, и оба) из исходных высказываний А или В . Обозначение дизъюнкции высказываний А а В: АУВ, А+В (читается: А или В). Истинностные значения конъюнкции 4 V В приведены в табл. 17.1. Примечание. Связка «или» здесь понимается в неисключающем смысле, т. е. оба вы­ сказывания А и В могут быть совместно истинными (или ложными). Таблица 17.1 А В ЛАВ А\>В А=>В А Л (0) л (0) Л(0) Л (0) И(1) И(1) И(1) Л(0) И( 1) Л(0) И(1) И(1) И(1) Л (0) И (1) Л(0) Л(0) И(1) Л(0) Л(0) Л (0) И(1) и (1) и (1) И(1) И (1) Л(0) И(1) 3. Импликацией (логическим следованием) называется логическая опера­ ция, состоящая в построении нового высказывания «если А, то В» , которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно. Обозначения им­ пликациивысказыванийАиВ:А=>В,А -^В(читается:если^1,тоВ;из^ следует В ). Истинностные значения А =>В приведены в табл. 17.1. Высказы­ вание А в импликации называется посылкой, а В — следствием (заключением). Наличия смысловой или причинной связи между высказываниями иВ
здесь не предполагается. При ложном высказывании А высказывание А =>В истинно всегда независимо от истинности или ложности В (в краткой фор­ мулировке: «из ложного утверждения может следовать все что угодно»). Пример 2. Истинными будут, например, высказывания «1 > 2 => 51п(я-/3) = 3», «1+1=2 8 --четноечисло». 4. Отрицанием называется логическая операция построения нового вы­ сказывания «не А», которое истинно, когда А ложно,_и ложн о, когда А ис­ тинно. Обозначения отрицания высказывания А это: А, ]А (читается: не А] отрицание А). Истинностные значения приведены в табл. 17.1. 5. Эквиваленцией (или эквивалентностью) называется логическая опера­ ция построения нового высказывания «А равносильно В», которое истинно тогда и только тогда, когда А и В совместно истинны или совместно ложны. Наличия смысловой связи между высказываниями А и В при этом не пред­ полагается. Обозначения эквивалентности высказываний А и В эт«: А ^ В , А^В,А ^В,А =В(читаетсяАравносильноВ;АэквивалентноВ; А тогда и только тогда, когда В; если то В , и обратно). Истинностные значения А В приведены в табл. 17.1. Смысл равносильности высказы­ ваний А » В состоит в том, что А является необходимым и достаточным условием В , т. е. из Л следует В , а из В следует А. Истинность А достаточна для признания истинности В , и наоборот. Необходимость состоит в том, что из ложности А следует ложность В , и наоборот. Высказывания А п В называются логически эквивалентными, если высказывание А В истинно. Пример 3. Теорема представляет собой математическое утверждение (предложение), истинность которого доказывается. Всякая теорема может быть записана в виде им­ пликации А В {т А следует В), у которой в посылке А стоит условие (то, что дано), а в заключении В то, что требуется доказать. Обратной теореме соответ­ ствует импликация В =>■А', противоположной теореме — импликация А =>В. При доказательстве теоремы, в предположении истинности посылки А, устанавливается (доказывается) истинность заключения В, тем самым исключается единственный случай, когда импликация ложна (см. табл. 17 .1). В случае ложной посылки из спра­ ведливости теоремы нельзя сделать выводов об истинности или ложности заключения. Если к высказыванию А,истинность которого неустановлена, применена правильная теорема ^4 =Ф’В , то из истинности высказывания В нельзяделать заключение об ис­ тинности А.Справедливостьдвух взаимно обратных теорем означает, что А является необходимым и достаточным условием для В, и наоборот. Если, например, высказы ­ вание Л:«сумма цифрчисладелится на три», а В : «это число делится на три», то для теоремы «если А,то ^3» (А=> В) обратная теорема В ^ А верна. Противоположная теорема здесь имеет вид: «Если сумма цифр числа не делится на три, то это число не делится на три», и является правильной теоремой. Доказательствометодом от противного теоремы А=>В состоит в том, что предпо­ лагают противное тому, что требуется доказать, и получают противоречие с условием. Вышеприведенные логические операции 1 - 5 сведены в одну иетинноетную таб­ лицу (или таблицу истинности), имеющую 2^= 4 строки (табл. 17 .1).
17.1 .3 . Формулы и функции алгебры высказываний Из нескольких исходных высказываний при помощи логических операций 1-5 можно получить сложное высказывание. При этом исходные высказывания могут быть постоянными, т. е. иметь определенные значения И (1) или Л (0), либо переменными — не имеющими определенного значения. При задании всех исходных переменных высказываний, сложное высказывание примет определенное значение И или Л (соответственно I или 0). Пример 4. Пусть в сложном высказывании X => {У V2) переменным высказываниям X , У, 2 заданы значения Л, И , И соответственно. Тогда X =>(У \/2) можно записать в виде Л =>■{И VИ), значение которого есть И. Действительно, И VИ есть И, а Л => И есть та кже И. Ан ал ог ично находится зн ачение данного сл ожного выс ка зыва ни я при других значениях переменных выс казыва н ий при помощи табл. 17.1. Пропозициональной переменной называется переменная, возможными зна­ чениями которой являются высказывания (имеющие истинностные значения О или 1). Список основных символов алгебры высказываний состоит из трех ф упп символов: 1) пропозициональные переменные X ,У ,2 , . . . (возможно, с ин ­ дексами); 2) связки: Л, V , =4>, “ , <=>; 3) скобки (). Формулами алгебры высказываний (пропозициональными формулами) я в ­ ляются: 1) все пропозициональные переменные; 2) если Р\ Р2 — формулы, то выражения {Р]АР2), (Р\^Р2), (.Р| Р2), (Р]), (Р\ Р2) — также форму­ лы. Каждая формула, представляющая собой форму сложного высказывания, превращается в высказывание, если вместо переменных в нее подставить определенные высказывания и произвести операции, указанные в формуле. Если после всякой такой подстановки получается истинное высказывание, то формула называется общезначимой или тавтологией. Пример 5. Выражения: (X <=>(У V 2})-, {2 V {2 => У )); 2 (X ЛУ) являются фор­ мулами. Примечание. Обычно при записи формул для краткости внешние скобки опускаются, а вместо Р1ЛРг пишутР1Рг. Пример 6. Формулу (2 {X АУ)) можно записать короче: 2 О ХУ. ПустьДГ|,Х2, Х „ ~ пропозициональные переменные, которым мож­ но придать истинностные значения О или 1. Каждой формуле Р , содержащей только эти переменные, соответствует п-местная функция /{Х[,Х2, ■■■,х „) , зависящая от аргументов Х\, Х2, ■■■,х„, числовые значения которых равны истинностным значениям (Оили 1) соответствующих пропозициональных пе­ ременных Х,,Х2,... ,Х „. функция }(хиХ2,... ,х„) принимает также одно из значений О или 1, для нахождения которого всем пропозициональным переменным в формуле Р следует придать их истинностные значения О или I
и произвести затем вычисления, соответствующие операциям, указанным в этой формуле, согласно табл. 17.1. При этом говорят, что формула Р реализует функцию /. Логическим операциям соответствуют функции, принимающие значе­ ния 0; 1, аргументы которых также принимают значения 0; 1. Эти функции обозначаются теми же знаками, что и связки соответствующих логических операций (см. табл. 17.1). Функция }{х\,х2, . . . ,Хп), принимающая значение О или 1, когда каж­ дый ее аргумент также принимает значение О или 1, называется логической функцией или функцией алгебры логики, или булевой функцией (по имени ма­ тематика Дж. Буля). Логическую функцию можно задать с помощью формулы или посредством истинностной таблицы. Пример 7. Формула X (У 2) реализует логическую функцию /(г , у, г), задава­ е мую таблицей, имеющей 2^ = 8 строк: X Уг /(х,У ,г) 0 00 0 001 1 010 1 011 1 100 1 101 0 110 0 111 0 Две формулы и ^^2 , содержащие лишь пропозициональные перемен­ ные Х), Х 2, ■■■,Х „ , называются равными, или эквивалентными, или равно­ сильными (обозначение: ^?| = Р2, или Р^ = Р2), еслилогическиефункции /\{Х1,Х2, ... х „) И}2(х\,Х2,■■■,х „), реализуемые формуламиР, и Р2 соот­ ветственно, совпадают на всяком наборе истинностных значений переменных (т.е . их истинностные таблицы совпадают). Некоторые основные равенства. 1)РЛР=Р] 2)РVР—Р идемпотентности)', 3) Р = Р {закон снятия двойного отрицания)'.
^ {законы дистрибутивности)'. 4) ^'1Л ^"2 = ^^2Л 5) VР’2=V коммутативности)- , 6) Р\ Р2 = Рг ^ Р\ {коммутативность эквивалентности)', 7) {Р^/\Р2)АР^ = Р ,А{Р2ЛР^)\ 8) V^^2)V V{Р2V^^з)/ оссо,иативности); 9) Л{Р2VРз)=(Р,ЛР2)V{Р,ЛРз) 10)Р,V{Р2ЛРз)=(Р1VР2)Л(Р,VРз) 11)Р,ЛР2=Р)VР2иР1VР2=Р[ЛР2{закондеМоргана)- , \2) Р,А{Р2\/Р^) = РЛ ^ 13) ^’,V(^^2Л^^,) = ^’^ 14) Р)=>Р2=Р\ Рг", 15) Р А Р = 1\ {закон противоречия)', 16) Р У Р = {закон исключенного третьего)', 17)Р/\'Л =Р', 18)^"7И =И; 19) Р-ЛЛ =Л; 20)РУЛ=Р. 17.1 .4 . Логика предикатов Пусть М — некоторое множество объектов и О],Оз, аз, 04 — знаки (символы), обозначающие какие-то определенные объекты (предметы) этого множества. Обычно объекты и соответствующие им символы отождествляются. Высказы­ вания об этих объектах будем обозначать Р(а^) ,^ {аг), В .{аз,а^) и т.д . Здесь Р{а1) — высказывание об объекте 01, ^ {а2) — высказывание об объекте 02, Я{аз,а ^) — высказывание об объектах 03,04 и т.д . ПримерЯ.М — множество всех натуральных чисел. Пусть знаки 01, 02, 03,04 обо­ значают соответственно числа 4; 6; 5; 3. Тогда можно привести, например, следующие высказывания: Р (0|) — «4 — простое число»; ^{а2) — «6 — четное число*; Д(оз, 04) — «5 > 3». При этом Р (0|) — ложное высказывание , а два других истинные. Таким обр азом, здесь зна чен ия И и Л ст авятс я в соотве тс твие объектам. Множество М некоторых объектов называют предметной областью (или просто областью). Знаки, обозначающие определенные объекты из М , назы ­ вают предметными постоянными. Знаки, обозначающие неопределенные (про­ извольные) объекты из М , называют предметными переменными. Обозначим Р (а ь Ог, . . . , о „) какое-либо высказывание об упорядоченном наборе определенных объектов 0|,Ог, ■■■. Оп из области М. Если п — 1, то
Р(а,) есть высказывание о свойстве объекта 0|. Если п = 2, то Р(а|,а 2> есть высказывание об отношении объектов 0],а 2 (расположенных в данном порядке) и т.д. ПустьХ\,Х2,...,х„ — предметные переменные с некоторыми обла­ стями изменения, являющимися подмножествами множества М. Выражение Р{Х 1,Х2,■■■,х „) , являющееся п-местной функцией, определенной на М и принимающей значения О или I, называется п -местным предикатом, пе­ реходящим в высказывание при замене Х],Х2, ■■■,х „ определенными объ­ ектами из соответствующих подмножеств множества М. Произвольное вы­ сказывание можно рассматривать как нуль-местный предикат. Если предикат Р (а ь 02, •••, а „) = 1 при наборе определенных значений аргументов (объек­ тов) 0|,02, . . . , о „ , то говорят, что этот набор значений аргументов удовлетво­ ряет данному предикату, а предикат выполняется для этого набора значений аргументов. Предикат называется тождественно истинным (тождественно лож­ ным) если любой набор значений его аргументов удовлетворяет (не удовлетво­ ряет) этому предикату. Областью истинности предиката называется множество наборов значений аргументов, удовлетворяющих данному предикату. Пример 9. 1) М — множе ство всех натуральн ых чисел. Неопределенное выра же ние «х — простое чи сло» явл яе тс я одномес тным предикатом, переходящим в определенное выска зыва ние , если х за ме ни ть числом из М . например «5 — простое чис ло». «6 — простое число». Первое высказывание есть И, а второе — Л. 2) Неопределенное выра же ние «х < у о есть 2-местный предикат. Е с л и I = 2, у = 3, получим высказывание «2 < 3». Если х — 4, у ~ 2, получим высказывание «4 < 2». Первое высказывание есть И, а второе — Л. Вьппе символ Р был использован для обозначения вполне опреде­ ленного конкретного предиката. Произвольный неконкретизированный пре­ дикат Р{Х\,Х2,■■■,Хп) на предметной области М называется п-местным неременным предикатом. Если Р{х\, Х2, ■■■, х „) — переменный предикат, а У\,У2,---,Уп — предметные постоянные или предметные переменные, то выражение Р(У\,У2, ■■■,Уп) называется элементарной формулой. Элемен­ тарные формулы считаются предикатами. Элементарные формулы могут при­ нимать только значения И и Л. Следовательно, эти формулы можно связать с помощью логических связок и получать сложные формулы, называемые предикатными формулами. Пример 10. Выражения: 1) А/\Р{х), где Л — переменное высказывание, Р(х) — одноместный предикат; 2) (х < у)У(х — простое число); 3) Р(х) <=>Р(у) — являются пр едикатн ыми формулами. Ес ли х и у при нима ют од инаковые зна че ни я, то предикат, представляемый третьей формул ой, имеет зн ачение И. Наряду с логическими операциями 1-5, действующими над высказы­ ваниями, для построения новых предикатных формул из уже имеющихся
вводятся новые операции, называемые кванторами. Наиболее употребитель­ ными из них являются: квантор всеобщности (обозначение: V х; читается; «для всех X») и квантор существования (обозначение: 3 х; читается: «для некоторых X» или «существует х такое, что»). Обобщение понятия предикатной формулы: предикатные формулы стро­ ятся из элементарных формул при помощи логических связок 1-5 и кванторов всеобщности и существования. Пусть Р(х) — определенный предикат, принимающий значения И или Л для каждого элемента х из некоторой предметной области М. Тогда формула V хР(х) означает высказывание, истинное, когда Р{х) истинно для каждого х из М, и ложное в противном случае, т. е. высказывание V хР{х) означает, что область истинности Р{х) совпадает с множеством значений переменной х. Формула 3 хР{х) означает высказывание, истинное, если существует элемент х из М , для которого Р{х) истинно, и ложное — в противном случае, т. е. высказывание 3 хР{х) означает, что область истинности Р(х) не пуста. Символы логических операций (логические связки) V, Л , =>, ] , -(Ф, V , 3 часто используются в математике для сокращения записи. Пример 11.1) Выражение 6 М ; Л означает: «для всякого эл емента х из м ноже­ ства М выска зывани е А и стинн о»; 2) Выр аже ни е З у е N : В означает: «существует элемент у из множества N. для которого высказывание В истинно». Отрицание высказывания V х 6 М : А означает, что высказывание А истинно не для всех х е М. Следовател ьно, существует такой элемен т х € М, для которого А ложно (т. е. истинно ]Л): 1(У1бМ;Л)оЭхеМ:14. Аналогично строится э квивале нц ия ЦЭуеN:В)^^уеN:]В, ВуеN :В<^^уеМ:В. 17.1 .5 . Метод математической индукции Данный метод доказательства математических утверждений основан на сле­ дующей аксиоме. Аксиома полной индукции (нринщш математической индукции). Если утвер­ ждение Л(п), зависящее от натуральной переменной п, верно (доказано) при п = 1, и если доказано, что для любого натурального п из предположения, что А(п) истинно, следует истинность А{п + 1), то Л(п) истинно для всех натуральных п. Символическая запись аксиомы полной индукции;
Пример 12. Докажем, что п’ + 5п делится на 6 при любом натуральном п. Доказательство. 1) Начало ишо^сции. При п = 1число 1’ + 5■1=6 делится на 6. 2) Ш а г индукции. Предполагаем, что + 5п = 6 ■р (р — целое число). Докажем, что (п + 1)^ + 5(п + 1) = 6 •9 (д — целое число). Действительно: п(п+1) 2~ 3) Заключение. Число п? + 5п делится на 6 при любом натуральном п. □ (п+1)’+5(п+1)=(п^+5п)+Зп(п+1)+6=6• ■+ 1 =6д. 17.2 . Основы теории множеств 17.2 .1 . Основные понятия Понятие множества является основным первичным понятием; оно не опре­ деляется, но поясняется с помощью примеров. Под множеством понимается совокупность объектов, обладающих каким-либо общим свойством. Объекты, образующие множество, называются его элементами. Для описания множества можно указать свойство, которым обладают все элементы этого множества, и только они. Пример 13. 1) Элементами множества решений уравне ния - х = Оявляются числа: -1; 0; 1. 2) Элементами множества всех четных натуральных чисел являются: 2; 4; 6 ;... . 3) Точки, лежащие на отрезке а ^ х < 6, являются элементами множества [а; 6]. Множества обычно обозначаютбольшими латинскимибуквами А ,В ,С , . . . , аихэлементы — малыми буквами а,Ь ,с ,... . Множество обозначают также при помощи фигурных скобок, внутри которых каким-либо образом описы­ ваются его элементы. Для множества элементов х, обладающих свойством А(х), обычно применяют запись {х : А(х)}. В частности, множества в при­ мере13можнозаписатьтак: 1){-1;0;I},2){2;4;6;...},3){х :а X^Ь}. Если о — элемент множества А, то это записывают так: а & А (читается: «а принадежит А», или «а есть элемент ^4»). Если а не принадлежит А, то пишут оеЛ или А. Два множества А и В называются равными, если они состоят их одних и тех же элементов (запись: А = В). Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым (обозначение; 0). Если все элементы множе­ ства А являются также элементами множества В , то множество А называют подмножеством (частью) множества В (запись: А С В; читается В содер­ жит, или включает ^4). Подмножеством множества А является и само это множество А. Если АсВиА^^В ,тоА называется правильной частью
Рис. 17.1 (собственным подмножеством) множества В . По определению считается, что <2) С А, гае А — любое множество. Для равенства А = Б двух множеств А и В необходимо и достаточно выполнение соотношений А С В и В С А. Для наглядности множества и операции над ними изображают в виде фигур Эйлера—Венна, представляющих собой некоторые области на плос­ кости (рис. 15.1 0-г). При этом каждый из прямоугольников, обозначенный посредством Е , изображает множество всех элементов, обладающих рассмат­ риваемым свойством, а множества А и В являются подмножествами Е. На рис. 17.1 о изображено соотношение А С В. 17.2 .2 . Операции над множествами Пусть А н В — два множества, являющиеся подмножествами Е (см. 17.2.1). Объединением (или суммой) множеств А и В называется множество С, со ­ стоящее из элементов множеств А и В , т. е. С состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А н В (на рис. 15.1 б множество С заштриховано). Обозначение объединения: А и В или А + В. Очевидно, чтоАиА=А.
Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множе­ ство, состоящее из элементов, общих для А и В (на рис. 15.1 в пересечение защтриховано). Обозначение: А П В или АВ. Очевидно, что А П А = А. Если Л П В = 0 (т. е. ^4 и В не имеют общих элементов), то множества А и В называются непересекающимися. Для ненересекающихся множеств А » Б объединение С = А и В изображено на рис. 15.1 а (заштриховано). Для любых множество А, В , С справедливы равенства: 1) Айв =ВиА\ 2)АПВ=ВПА; 3) (Аив)ис = Аи(вис); 4) (ЛПВ)ПС =АП(ВПС); 5) ли(впс) =(лив)п(лис); 6) Ап{вис) =(Апв)и(Апс)- 7)Аи(АПВ)=А-, 8)АП(АиВ)=А-, 9)АиО)=А\ 10) АП0=0. Разностью множеств А и В (обозначение: А \ В или А - В ) называется множество, состоящее из элементов множества А, которые не принадлежат множеству В (на рис. 17.1 б разность заштрихована). Если множество А есть часть множества В , то разность В \ А называется дополнением множества А в множестве В (на рис. 17.1 в дополнение защтриховано). Дополнение Е \ А множества А в множестве Е обозначается также А (на рис. 15,1 г множество А изображается точками Е , внешними по отношению к заштрихованной области А). На рис. 17.1 г изображено множество А \В (заштриховано). Для дополнения Е \ А используется также обозначение Се А. Примечоние. В главах, посвященных дифференциальному и и нтеф альному исчисле­ ни ю, посредством { М ] обознача ется замкнутая область, соответс твующая откр ытой области {М } (см . 8 .1 .1), однако это не может привести к недоразумению, так как из кон текста понятно, о чем идет речь. Для любых множеств А, В , С являющихся подмножествами множества Е, справедливы соотнощения: 1) А\А = <г>-, 2) Л\(Л\Б) = 3) 4\(^?^С) =(А\В)п(Л\С); 4) А\(ВГ^С)=(А\В)и(А\С) 5)(АиВ)\С =(А\С)и(В\С) 6) [АГ\В)\С ={А\С)П(В\С) 7) (Л\^?)\С =Л\(ВиС);
8) 4\(В\С) =(А\Б)и(ЛпС); 9)АПВ=А<ФА\В=0; 10)АПВ=04ФВ\А=В; И)АиА =Е; 12)АПА=0; 13)0=Е; 14)Ё=0 15)1=А 16)Айв=АПВ; 17)АпВ =АиВ. Пример 14. На числовой оси Е = (-оо;+оо) = {х : —оо < х < +оо} даны мно­ жества;А=|-2;I]={х:-2 ^а:<I};В=(-1;2|={ж;-I<х^2} С=(-оо;0]={х:-оо<х<0}.Для этихмножествимеем: ЛиВ =|-2;2] АПВ =(-1;1|;А\В =|-2;-1|; СПВ =(-1;0]; С =Е\С =(0;+оо) А =Е\А =(-оо;-2)и(1;+оо); (ЛПВ)ПВ = 0;В = Е\В = (-оо; -1|и(2; +оо) (ЛиВ)УС=[-2;+ос);(ЛиВ)ПС=(0;2). Прямым произведением (или декартовым произведением) двух множеств А и В (обозначение: А х В ) называется множество всевозможных пар (а; 6), те а е А, ЬеВ. Здесь элементы а и 6 взяты в определенном порядке, т.е . указано, какой из них считается первым, а какой — вторым. Аналогично, для п множеств А{,... , А„ вводится прямое произведение А)х...хА„ как мно­ жество всевозможных конечных последовательностей элементов (аь ..., а„), расположенных в определенном порядке, где й| 6 6 А„. Если Л|= ... = = Л, то вместо Ах х ... хА„ пишут А". По определению (о ,а„) ={Ь\,... ,Ь„) тогдаитолькотогда,когдао, = Ь|, ..., а„ = Ь„, или (а,,..., а „) = (Ь|, ...,(»„)-» (о| = 6|)Л...Л(а„ = Ь„). Если а Ь(авА, ЬеВ),то(а;Ь)/{Ь,а). 17.2 .3 . Мощность множеств Пусть каждому элементу множества А поставлен в соответствие по какому- либо правилу некоторый определенный элемент множества В. Если при этом каждый элемент из В поставлен в соответствие одному и только одному элементу из А, то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие. Множество А называется конечным, если существует такое натуральное п, что все элементы из А могут быть пронумерованы числами от 1до тг. В противном случае множество называется бесконечным. Если множества А и В конечные, то взаимно однозначное соответствие между ними может быть установлено в том и только том случае, когда числа элементов в обоих множествах равны.
Два множества А и В (конечные или бесконечные) называются равно­ мощными или эквивалентными (обозначение; А ~ В), если между ними может быть установлено взаимно однозначное соответствие. Пример 15. Множество всех натуральных чисел и множество всех четных чисел рав­ н омощны, т а к к а к каждому натура льно му ч ис лу п можно поставить в соответствие четное чис ло 2п. и наоборот Следовательно, между этими двумя множе ствами суще­ ствуе т взаимн о однозначн ое соответствие. Множество называется счетным, если оно конечно или равномошно множеству всех натуральных чисел. Элементы счетного множества можно пронумеровать. Мощность счетных множеств является наименьшей мощно­ стью, которую может иметь бесконечное множество. Мощность множества всех действительных чисел называется моишостью континуума. Мощность континуума имеют: 1) множество всех точек на плоскости; 2) множество всех комплексных чисел; 3) множество всех точек га-мерного пространства и т.д . 17.2 .4 . Отображение множеств Отображением, действующим из множества X в множество V, называют пра­ вило, в силу которого каждому элементу х € X ставится в соответствие один или несколько элементов из У. Отображение обозначается через / : X Г или X Л К. Соответствие между х & X иу € У записываетсяввиде у = }(х). Если при этом каждому элементу х 6 X соответствует только один элемент у е У, то отображение называется однозначным, в противном случае — мно­ гозначным. Вместо термина «отображение» используется: термин «функция», если X и У — числовые множества; термин «функционал», если числовым является множество К, а X — произвольное множество; термин «оператор» — в линейной алгебре и функциональном анализе. Если множество У совпадает с X, то отображение / : X -> X называется преобразованием множества X. Множество всех элементов из У, соответствующих элементу х 6 X при отображении: / :X У, называется образом элемента х. Если отображе­ ние/:X К — однозначное, то отображение :К X , ставящее в со­ ответствие каждому у €У элемент х е X (именуемый прообразом элемен­ та у), называется обратным по отношению к отображению /. Отображение ; К —^ X может быть однозначным либо многозначным. Образомнекоторого подмножества множества X называется объединение образов всех элементов х из этого подмножества. Образ всего множества X (являющийся подмножеством множества У) называется областью значений отображения /. Однозначное отображение / ; X У называется: а) Инъективным отображением (инъекцией, или вложением , или отображе­ нием X в У), если для любых двух элементов Х|,Х2 € X из равенства
/(Х|) = /(хг) следует Х| = Хг, т. е. разные х € X имеют разные образы в У (при этом могут существовать у € У, которые не имеют прообраза хбХ). б) Сюръективным отображением (сюръекцией, или отображением X на К ), если образ всего множества X совпадает с множеством У, т. е. /(X) = У. При этом каждому у е У соответствует хотя бы один прообраз х е X. Примечание 1. Если каждому у соответствует толь ко один прообраз, то формула у = } ( х ) устанавливает взаимно однозначное отображение X на У. в) Биективным отображением (биекцией, или взаимно однозначным отображе­ нием X на К ), если оно инъективно и сюръективно одновременно, т. е. разные X € X имеют разные образы у € У и /(X) = У. Биекция уста­ навливает взаимно однозначное соответствие между всеми элементами множеств X и У (см. примечание I). г) Тождественным отображением множества X на это же множество, если /(х)=XдлявсехXеX Примечание 2. Отображение на некоторое множество распространяется на все эле­ менты этого множе ства, а в множе ство — возможно , не на все его элементы. В этом смысле вс яко е отображение «на» можно назвать и отображе ни ем «в», но не наоборот. Пример 16. Отображение х отображает мн ожес тво дей ствительных чисел Д = ( - 00; + ос) на мн ожес тво всех неотриц ательных дей ствительных чис ел Я+ = (0; +оо). Множество отобр ажается при этом взаи мно однозна чно на .
Именной указатель Абель 359, 366, 371, 417, 420 Адамар 370, 375, 379, 418 Адамс 827, 828 Байес (Бейес) 697, 698 Безу 30 Бернулли 475, 698, 702, 703, 723, 729 Бессель 517, 518, 585 Больцано 151 Бонне 683, 684 Буль 836 Буняковский 25 Валлис (Уоллис) 364 Вейерштра сс 151, 162, 337, 366, 815, 816 Вейнгартен 683, 684 Венн 841 Виет 29 Вилкоксон (Уилкоксон) 754 Вронский (Вроньский) 496, 498, 521 Галёркин 830 Гамильтон 91, 631 Гаусс 41, 45-47, 326, 683, 684, 710, 781-783 Гельмгольц 561 Гильберт 83 Горнер 788-790 Грам 811 Грин 327-329, 504-510, 587-590, 592, 620, 643, 644 Гюйгенс 580 Даламбер (Д'Аламбер) 353, 354, 359, 368-370, 517, 563, 565, 569 Декар т 48-50, 58, 68, 646 Дини 337, 367 Дирихле 144, 359, 366, 384-390, 562, 586, 588-591 Жордан 121, 403, 783 Кантор 163 Капелли 46 Клеро 480, 481 Кочрен (Кокрен) 753, 754 Коши 25, 149, 153, 162, 174, 176, 247, 249, 350, 353-355, 357, 358, 365, 366, 370, 375, 379, 407-410, 413, 414, 416, 418, 440, 453, 454, 456-459, 462-467, 477, 478, 488-490, 495, 504, 508, 513, 514, 531, 534, 535, 541, 542, 544-548, 550, 561, 564, 565, 568-571, 580-582, 596, 597, 602, 603, 824-828 Крамер 44, 45, 280, 285, 497, 536, 572 Кристоффе ль 444, 445, 684 Кронекер 33, 36, 46, 68, 70, 73, 85, 641, 684 Кугга 826, 827 Кэли 91 Лагранж 174, 176, 177, 276, 291-293, 377, 474, 480, 617-620, 795, 796, 798, 804, 808 Лаплас 286, 287, 410, 531-535, 560-562, 586-590, 592, 594, 616, 640, 641, 699, 700, 739, 742, 755, 756 Лежандр 518, 519 Лейб ниц 173, 240, 244, 335, 338, 356, 357, 359, 371, 373, 375, 379 Лиувилль 496, 511, 574 Лопиталь 156, 180, 181, 343, 377 Лоран 421-427 Ляпунов 527, 724, 725 М аклорен 177-179, 276, 357, 376, 378-381, 790, 791, 793, 794
Манн 754 Мёбиус 314 Мёнье 679 Морган 837 Муавр 401 Нейман 562, 586, 587 Ньютон 23, 240, 244, 274, 347, 786, 799-802 Острофадский 324, 326, 327, 330, 643, 644, 650 П и к а р 424, 457 -459, 462-464, 472, 482, 483, 487, 488, 490, 527, 545 Пир сон 756-762 Пуассон 341, 560-562, 579, 586, 591-593, 704, 705, 714, 715, 735, 748, 761, 762 Риккати 475 Риман 235, 236, 294, 302, 358, 407-410, 436, 437, 439, 442, 569-573 Ритц 622, 623 Родриг 519 Ролль 174, 176 Рунге 826, 827 Серре 671 Сильвестр 94 Симпсон 819-821 Сохоцкий 424 Стеклов 578 Стирлинг 342 Стокс 327, 644, 645 Стьюде нт 740, 752, 764 Тейлор 156, 177-179, 275-277, 376-378, 419, 420, 422, 423, 425, 427, 433, 434, 487, 513, 530, 531, 608, 627, 640, 656, 669, 680, 790, 791, 809, 825 Трикоми 552-554, 556 Уитни 754 Ферма 174, 175 Фишер 750 Фредгольм 512 Френе 671 Фур ье 82-84, 381, 383-393, 511, 573, 575, 576, 584, 603 Чебышев 25, 227, 722, 723, 797, 808, 809 Шварц 444, 445 Шмидт 80, 601 Штурм 511, 574 Эйлер 19, 228, 269. 341, 400, 421, 449, 503, 593, 608-613, 615-621, 623, 680, 824-827, 841 Эйнштейн 683 Якоби 280
Предметный указатель Абсолютная величина (модуль) числа 19 — ошибка 778 — сходимость ряда 357 аб солютн ый мак симум, ми нимум 175, 288 аб сцисс а 48, 50 автон омная система дифференциальных уравне ний 530 акси ома полной (математической) индукции 839 алгебра векторная 54, 55 — высказываний (алгебра логики) 832 — соб ытий 691 алгебр аический корень 23, 28 алгебраическое дополнение 35 — уравнение 27, 28 квадратное 29 куб иче ское 29 ли не йное 29 , общий вид 29 алгоритм метода Гаусса 781 Гаусса— Ж орда на 783 ан а литическая функци я 376, 409 , а л ь тернативное определение 409 — — , достаточное условие ан алити чности 377 , разложе ние в ряд 376 , с войства 410 аналитическое продолжение 433, 435 антиконф ормное отобр ажение 442 антилогарифм 31 аппликлта 50 аппроксимг ция(приближение) функц ии 806 аргумент компле кс ного чис ла 399 - -- --- - , главное значение 399 — функции 142 п ромежут очный 146 арифметическая профессия 31 ар иф ме тический корень 23 а си мптота 188, 657 — вертикал ьн ая 188, 657 — гиперболы 115 — горизонтальная 189, 657 — кри воли нейная 189 — н аклонн ая 189, 657 а симптотичес ки е оце нки (фор мулы) 179 — соотноше ния 156 ас импт отическое выра же ние 725 — направление 681 ас имптотическая л и н и я 681 ас со ци ати вность 17 а ффинные си стемы координат 49 аффинор (диада) 70 Базис 57, 77 — канонический 77 — ор тонормирова нный 59, 80, 82 базисные векторы 54 Байеса формулы 698 бегуща я волна 541, 563 бесконечно б ольшая, б ес ко нечно малая последовательность 150 , функция 154 — удаленная то чка 403 бесконечное произведение 360 аб солютн о сходящееся 363 , значение 360 неопределенно расходящееся 361
бесконечное произведение [ расходящееся к нулю 361 сходя шееся 360 условно сходящееся 363 бета-функция 341 биекция 845 биквадратное уравне ние 29 бином Ньютона 23 биномиальное распределение 701 биномиальные коэффициен ты 24 бинормали вектор 669 булева функци я 836 Варианта 727 вар иационный ряд 727 вар иация площади 682 — функц ии 606 — функци онала 607 первая, вторая, ... 608 вектор 54, 68 — п-мерный 74 — бинорма ли 669 — главной нормали 668 — деформации 648 — еди ни чный 55, 79, 124 — касательной 654 — кр ивизны 658, 668 — , м одуль (длина, норма) 54, 79 — нормали 314 — нормаль ный 124 — нул евой 55, 74 — пр оти воположный 55, 75 — своб одный 55 — связанный 54 — ск ользящий 54 — с лучай ный 717 — со бстве нн ый 73, 88 векторная линия 628 — сумма 55 — трубка 628 — функция 624 , дифференцирование, и нтефир овани е 625 не пр ерывна я 625 ограниченная 625 векторное подпространство 78 — поле 628 безвихревое 645 соленоидальное 637, 645 — произведение векторов 63 — пространство 74, 75 бесконечномерн ое 82 евклидово 79 компле ксн ом 75 коне чноме рное 77 ли не йное 75 векторно-с калярное (см еша нное) произведение 65 вектор ный градиент 651 — потенциал 645 — элемент линии 629, 676 поверхности 634, 677 вектор-столбец 33 вектор-строка 33 векторы б ази сные 51, 52 — коллинеарные 55 — компл анарные 55 — , л ин ейная комбинация 57 — линейно зависимые 57, 75 н езависи мые 57, 76 — пе рпенд икулярн ые (орт огон альные) 80 — равные 55 — , сложение, умножение на число 55 ве личи на с лучай ная 700 вероят нос ть объедине ни я событий 694, 696 — осуществления хотя бы одного со б ытия 696 — ошиб ки 748 — пересечения событий 695 — соб ытия 688, 690 , г е оме трическое определение 691 , классическое определение 687, 688 полная 697 , статистическое определение 690 условная 695
верхний, н иж ни й предел инте гриро ван ия 235 —, последовательности 151 верхняя, н и ж н я я грань множества 22 —, — с торона поверхности 318 ве ршин а ли н ии второго порядка 108 ветвь функци и 438 главная 438 взаи мно однозначное соответствие 406, 843, 845 винтовая линия 668 возрастание, убывани е функци и 183 волна плос ка я 580 — цилинд ри че ска я 581 волновое ур авнение 559 двумерное 559 одномерное 559 трехмерное 559 вр онскиа н 496 выб орка безвозвратная 726 — возвратная 726 — математическая 726 — , объем 726 — простая 726 выбор ки независ имые 743 — связан ные 743 выбор очн ая диспер си я 730 исправле нн ая 730 выб орочно е среднее 730 выбор очный метод 725, 726 выска зыван ие 832 — постоянное, переменное 835 — сложное 835 выск азыва ни я логи чес ки эквива лен тные 834 выче т функц ии 427 лога рифмичес кий 430 , те орема о вычетах 428 вычисл ени е двойных интегралов 296 — длин дуг плоских кри вых 255 — зна че ний ан алитической функци и 790 полинома 788 функций, приближенные формул ы 788 — ин те фал ов, ква дратурные формул ы 816 при помощи рядов 815 , формула пр ям оуголь ников 817 , — Си мп со на (формул а парабол) 819 , — трапеций 818 — объемов 256 — площадей плоских фигур 252 — площади поверхности вр ащения 257 — тройных интефалов 303 Гамильтониан 631 га мма-функция 341 гар моническая функц ия 587 га рмони че ский анализ функц ий 383 гармоническое колебание 390 гауссова кри ви зн а 680 генеральная диспер сия 733 — совокуп нос ть 725 генеральное среднее 732 ква дратическое отклонение 733 геодезическая кр ивизн а 678 — линия 682 геометрическая профе с с ия 32 геоме трическое распределение 703 гильбертово пространство 81 гипербола 109, 114 ги перб олические функции 194 обратн ые (аре акоси нус, ареакотангенс, ареаси нус, ареакотанген с) 196 гиперб ол иче ск ий кос инус 194 — ко тангенс 196 — параболоид 139 — синус 194 — та нгенс 195 — цилиндр 140 гиперболоид двухполостной 138 — однополостной 138 гипергеометрическое распределение 703
гипотеза статистическая 697 гистограмма 727 главная ветвь логарифма 440 — диагональ матрицы 33 — ось л ин и и второго порядка 108 поверхности второго порядка 133 — пл оскость поверхности второго порядка 133 главное зн ачение логарифма 439 несоб ственного интеграла 247, 249 главн ые кр ивизн ы 679 — нап ра вления л ин и и второго порядка 108 поверхности 679 характер истиче ской квадратичной формы 133 — нормальные се че ния 679 гладкая кр ивая 121 — поверхность 122, 314, 673 годофаф 624 фадиент 271, 636 — векторного поля 650 — скал яр ног о поля 630 граница множе ства верхняя 22 нижняя 22 — области 403 грани чное условие второго ти па 562 естественное 613 первого ти па 562 третьего ти па 562 фафик функции 143 двух переменных 259 графический метод 784 Грина формула 329, 505, 587 — формулы 643 — функци я 506, 507, 588 — , построение 507 Даламб ер а решение 563 — формул а 565 д виже ние возмущенное, не возмущенн ое 527 — не устойчивое 527 — устойчивое 527 в целом 528 двойная то чка 656 двойное векторное произведение 64 двухполостной гиперболоид 138 действие сопряжения 396 действител нь ая ось 397 действител ьн ая ось 21 — час ть компл екс ного чис ла 395 действительное уравнение 30 дей ствитель ные (веще стве нные) чис ла, геометрическое изображе ние 20 ------ , свойства 17 действия над линейными пр еобра зованиями 87 матрицами 37 пределами 155 деление компл екс ных чисел 396 — отрезка в да нном о тноше нии 98 — поли номов 26 — рядов 375 деривационная формула Вейнгартен а 684 Гаусса 684 детерминант (определитель) 34 дефект матрицы 41 диагонали квадратной матрицы 33 диада (аффинор) 70 диадное произведение 70 диаметр ли ни и второго порядка 107 диаметр альн ая пл ос кость поверхности второго порядка 132 диаметры взаи мно с опря же нн ые 108 дивергенция 636 директри са гип ерболы 115 — параболы 117 — эл липса 113 дискри мин ан т квадратного уравнения 29 дискрими нант ная кр ивая 465, 662 — пове рхность 675 дисперсия 714, 744 — выбор очная 730 ис пр авленная 730
дисперсия , свойства 714 — условная 721 — эмпи риче ска я 731 исправле нная 731 дистрибутивность 18 дифференциал, геометриче ский смыс л 268 — длины дуги 653, 668 — независимой переменной 170 — функц ии 169, 267, 626 пер вый, второй, ... 173, 267, 273 диффер енциальная функци я распределения 707 дифференциа льное уравнение 451 Бернул ли 475 Бесселя 517 в полных дифференциалах 475 , ге ометрический смысл 459 интефал (решение) 452 , и нт ефальная кривая 453 , ин тефирование методом последовательных прибл иже ний Пикара 487 , — при помощи рядов 488, 513 Клеро 480 Лафанжа 480 Лежанд ра 518 лин ейн ое 452, 537 . ме тод вариации постоя нной 474 неоднородное 495 неполное 466 , н ормальный вид 452, 459 , общее решение 453 , в форме Коши 454 . общий интефал 453, 459 обыкн ове нное 451 однородное 469, 470, 495 , оп ераци онный метод решения 531 , особое решение 463 первого порядка 459, 472 , понижение порядка 491 . п орядок 451 Риккати 475 с час тными производными 536 ----------- гипе рболиче ского типа 552, 558 ----------- , интефальная поверхность 540 ------------, канонический вид552, 556 ----------- ква зилине йн ое 538 ------------квазилинейное первого порядка 539 ----------- , классификация 552, 557, 558 ----------- лин ейн ое 539 ----------- лин ейн ое первого порядка 540 ----------- , начальная задача (задача Коши) 541, 546 ----------- неоднородное, однородное 538 - -- --- --- -- -, нормальный ги пербол ический ти п 558 ----------- , н ормальный пар аб оличе ский ти п 558 - -- --- --- -- -, общее решен ие (обший интефал) 537 ----------- , основные краевые задачи 561 ----------- , о собое решение 537 ----------- параболиче ского типа 552, 558 ----------- первого порядка 539 ----------- , приведение к ка нони че скому виду 551, 558 ----------- , решение методом разделения переменных 538 -- -- --- --- -- , система уравнений 538 ----------- смешан но го ти па 552 ----------- , уравнение характеристик 552, 559 ----------- , характеристика 540, 543, 553, 559 ----------- , частное решение 537 ----------- элл иптического тип а 552, 558 с р азд еля ющимися перемен ными 468
диффер енциальное уравнение, теорема Пикара 457 , частное решение 453 Эйлера 503 диффер енциальный оператор набла 630 с амос опря жен ный 505 дифференцирование 164 — вектор-функции 625 — не явн ой функци и 169, 269 — по параметру 338 — сложн ой функци и 167 — суммы , произведения, дроби 166 — функц ионал ьного ряда 368 — числе нн ое 802 д ли на вектора 54 — дуги кр ивой 652 — промежутка 22 доверител ьная вероятность 738, 748 — оц енка 738 доверительные фаницы 739 довер ите льный интервал 738 довер ия ко эффицие нт 738 доп олнение мн ожес тва 842 — соб ытия 692 достаточное условие ана ли тичности функци и 409 дифференцируемости 267 независимости функц ий 282 достаточные ус ловия слабого экс тр емума 611 строгого локальн ого экстремума 186 дробн о-линейное отображение 445 Евклид о во векторное пространство 79 е дин ичн ая матрица 33 ед и ничн ый вектор нормали к поверхности 674 естестве нное ф а ни чн ое условие 613 Зависимость, независимость функций 282 задача вар иац ионная 604 изопериметрическая 618 с закрепленными концами 605 со свобод ными конц ами 613 — Дирихле 586 — Коши 544, 550, 570, 596 (начальная задача) 453 — кр аевая 454, 504 смешанная 562 — на собственные значения 510 — Неймана 586 — с закре пл енными конц ами 614 — с характеристиче скими на ча льными условиями 573 закон ассоциа тивности 837 — больших чисел 722 — де Морга на 837 — дисфибугивности 837 — идемпотентности 836 — ис ключен ного фе ть е го 837 — коммута ти вности 837 — погл още ни я 837 — противоре чия 837 — Пуассона 704 — распределения 717 случайн ой вел ичи ны 701 -- -- -- ---- условный 720 — снятия двойного офицания 836 замена базиса 84 — системы координат 66 зам кнуто е мн оже ство 262 зам кнутый промежуток 22 зап азд ываюший потенциал 581 зн аменатель ге оме фичес кой профессии 32 зна че ни е бесконечно го произведения 360 — функци и наибольше е 175 наименьше е 175 Изображающая точка 527 изобр ажение 532 изокл ин а 460 изоли ни я 261 изоли рова нн ая точка 423, 462, 656 и зом е фи чн ые поверхности 677
изопери метрическая задача 618 имп ли кац ия 833 ин вариа нтность формы первого дифференциала 174, 272 ин ва риа нты л и ни и второго порядка 107 ~ поверхности второго порядка 132 и нверсия 397 и нд ексные обо значения 641 индикатор случай ног о соб ыт ия 701 интеграл 452 — вне шни й 297 — внутрен ний 297 — двой ной 293 — дифференциального уравне ния обыкн ове нн ого 459 ------- с ча с тны ми пр ои зводными 537 — , зависящий от параметра 334 — криволинейный 345 — много кр ат ный 302 — неопределе нный 215 — н есоб ст вен ный 243 — определе нный 234 — поверхностный 345 — повторный 297 — Пуассона 341 — — для круга 591 — с пе ременными пределами 239 — тройн ой 302 — Фурье 389 — Шварца— Кристоффеля 444 — Эйлера 341 интегралы объемные 636 интефальная кривая 453 с исте мы дифференциальн ых уравнений 455 — кривизна 685 — линия 214 — поверхность 545 — с умма 234 — теорема Коши 413 Лапласа 700 — формула Коши 414 — функц и я распределения 705 интегральное преобразование Лап ла са 531 - -- -- -- , и зображение 532 - -- -- -- , оригинал 532 интефирование 215 — гиперб олических функций 234 — дифференциальных уравнений 452 — ир рациональных функц ий 226 — комплексных функций 411 — по параметру 339 — по частям 242 — подстан овкой 218 — п оказательных функций 231 — рациональных функций 222 — тригонометрических функций 229 — функцион альн ого ряда 368 — элементар ных дробей 224 интефирующий множитель 477 интервал бесконечный 22 — доверите льный 738 — конечный 738 — монотонности 183 — офаниченный 21 интервальная оце нка вероятности 742 интерполяционная функция 795 и нтерп оляци онные по лин ом ы Ньютона 799 - - ---- - , абсолютная пофешность 800, 802 - - ---- - , квадратичная интерполяция 800 -- --- --, лин ейная интерполяция 800 --- -- -- , п офешность 799, 801 интерполяционный полином Лафанжа 795 --- -- -- , минимизация погр>ешности 797 --- -- -- , п огрешность 796 ------- с р авноотстоящ ими узлами 798 ин терполяция 795 — линейная 798 инъекция 844 испыта ни е 686
истинностное значение 832 итерация 787 Канонический базис 77 — вид квадратичн ой формы 93 канон ическое уравне ни е л и н ии второго порядка 108 поверхности второго порядка 134 касание плоских кри вых 661 касательная к фафику функции 165 — к плоской кр ивой 653 — к пространстве нной кр ивой 668 — пл оско сть 673 ка честве нн ое исследование дифференциа льного ур авне ни я 460 ква дрант 48 квадратичная форма 72, 93 знакоп ере ме нн ая 94 знак оп осто янна я 94 ка нониче ска я 93 ква зизнакоопределенная 94 неопределенная 94 неотрица тельная 94 неполо житель на я 94 отрицательно определенная 94 поверхности вторая 678 ------ первая 676 поло жительно определенная 94 квадратурные формулы 817 квантор всеобщности 839 — суще ствова ния 839 кла ссифи кац ия дифференциальных уравнений 552, 557 — квадратичных форм 94 — поверхностей второго порядка 136 — точе к поверхности 680 кла ссы интегрируемых функц ий 302 ковариация (к орр ел яц ио нн ый моме нт) 719 колеба ни я мембран ы 582 круглой 585 прямоугольн ой 583 — свободные (вынужд е нн ые) 582 — струн ы 568, 573, 575, 576 комб инатор ика 689 коммута ти вность 17 компл екс на я плоскость 397 замкн утая 403 открыта я 403 комп ле кс ные числ а 395 , а лг ебраиче ская форма 396 , показательная форма 400 сопряженные 396 , тр игономе тр ическая форма 400 комплексный интефал по контуру 412 ко не чн ые разности 799 кон иче с кая поверхность (ко нус) 139 кон ичес кие се чени я 107 контур 403 кон ус характеристиче ский 560 ко нформное отображение 441 конъюнкция 833 координатная линия 51, 52 — ось 21 — пл оско сть 49 — пове рхность 52 координа ты вектора 57 — декартовы прямоугольные 59 — косоугольные 49 — кри вол инейные 50 — — на поверхности 51 — поля рные 50 — сферические 647 — точк и 48, 50 — цилиндри ческие 646 кор ень п-й степени 23 — алгебраического уравнен ия 27 ------- кратный 30 -- арифме ти че ский из действительного числ а 23 ~ из компл ексного чис ла 396, 401 — из компл ексного числа, главное значе ни е 402 кор ре ляционна я зависимость 721, 743 — таблица 746 корр ел яц ион ный моме нт 744 корреляция 743
косинус-образ Фурье 391 коэффиц иен т вар иации 734 — доверия 738 — корреляци и 720, 744 — угловой 101 коэффицие нты Фур ье 383 краевая задача 537, 561, 828 внешняя 562, 586 внутр енн яя 562, 586 Дирихле 562 для уравнений гиперболи ческого ти па 561 --------- п араболического ти па 561 --------- эллиптического ти па 561 корректная 537 Неймана 562 некорректная 537 неоднородная 504 однородная 504 первого, второго, третьего типа 562 са мосопр яжен ная 506 смешанн ая 562, 596 Штурма—Лиувилля 574 --- --- -, а л ь тернатива Фредгол ьма 512 краевые условия 561 неоднородные 828 неразделенные 504 однородные 828 разделенные 504 см ешан ные 504 Крамера формулы 44 кратные несобственные интефалы 342 --- --- - , зависящие от параметров 346 — соб ствен ные интегралы, за висящие от параметров 346 кр ивая вогнутая 183 — вып ук лая 183 — гладкая 121 — Жорд ана 121, 403 — замкнутая простая 121 — интегральная 453 — кусочно гладкая 122 — не прерывная 121 — рефессии 721 кр ивизна геодезическая 678 — интефальная 685 — кривой 668 — нормального се чения 678 — п лос кой кривой 658 — поверхности 679 гауссова 680 главная 679 средн яя 680 , формул а Эйл ера 680 криволинейная рефессия 745 кр иволин ей ные ин тефа лы 306, 631 — координаты на поверхности 672 поля рные 50 сферические 53 цил ин дричес кие 51 криволинейный интефал векторный 632 второго рода 310 первого рода 307 по замкнутой кривой 311 скалярный 632 кр ивые в пространстве 667 критерий Вилкоксона (М анна—Уитни) 754 — К оши равномерной сходимости последовательности 365 ---------- ряда366 суще ствова ния коне чного предела функции 153 сходимости ряда 350 — Сильвестра 94 — согласия хи-квадрат Пирс она 756 — стати стиче ский 748 — сходимости К о ш и 149 кр ити чес кая область 748 крити чес кое значение 748 круг кр ивизн ы 658 — сходимости степенного ряда 417 кр учение кри вой 670 кубическое уравнение 29 кусочно непр ерывная функц ия 161
Лежандра полиномы 518 ли не йна я зави симость векторов 75 — интерполяция 797 — ко мбин ац ия векторов 76 — коррел яц ия 743 — независимость векторов 76 — систе ма диффер енциальных уравнений однородная, неоднородная 519 лин ейно е дифференциальное уравнение 452 — подпространство 78 — преобразование 86 — приближени е 487 ли н е йн ый дифференциальн ый оператор п-го порядка 495 — оператор 86 — фунц ион ал 606 — элемент 459 линии точек перегиба 460 — экстре мум ов 460 ли ни я а симптотическа я 681 — векторная 628 — второго порядка 106 — геодезическая 682 — кривизны 682 — параб олическая 552 — регрессии 721 — то ка 628 — уровня 261, 627 — хар актеристическая 559 лист Мёбиуса 314 логарифм 30 — десятичный 31 — натуральный 31 — , свойства 30 — , ха ра ктеристика, мантис са 31 лога рифмирование 30 лога рифмичес ка я производ ная 167 — функц ия 193, 439, 446 логи ка предикатов 837 , область ис ти ннос ти предиката 838 , п еременный предикат 838 , предикат п- ме стный 838 , тождественно и стин ный и ложный 838 , предикатн ые формулы 838 , предметная область 837 , предметные переменные и пост оя нные 837 , элементарная формула 838 логи че ска я оп ерация 832, 833 — с вязка 833 — функц ия 836 лок аль на я теорема Ла плас а 699 локальный максимум 174 — ми ни мум 174 — экстр емум 287 Максимум функции абсолюный 288 аб солютн ый 175 ло ка ль ный 174, 287 условный 292 — функцио нал а 607 матема ти че ска я выборка 726 ма тематиче ское ожидание 712 непр ерывной случай ной вел ичин ы 715 произведения случай ных величи н 713 суммы случай ных вели чи н 713 условное 721 функци и случайного аргумента 718 матрица 32 — ан тиси мме три чн ая (кососимметр ичн ая) 42 — вырожде нн ая 39 — диа гона льная 33 — единичная 33 — квадратная 33 — комплексно сопряженная 42 — ко соэр ми това (а нтиэрмитова) 42 — ли не йного оператора 86 — невырожде нн ая 39 — нуле вая 33 — обр атная 39
матрица ортогональн ая 42 — перехода 84 — пр отивоположная 37 — , ранг40 — си мметр ичная 42 — си сте мы алгебраических ли ней ных уравнений 43 --- -- --- --- - расширенная 43 — , с обственное зн ачен ие 88 — , соб стве нный вектор 88 — тран спонирован ная 34 — треугольн ая 36 — унитарная 42 — характеристическая 88 — эр мито ва 42 матрицы коммута ти вные 39 — пе рестан овочные 39 ~ подобные 87 — равные друг другу 37 —, сумма37 — , умножен ие маариц 38 —, — на число 37 ме диана 734 мембрана 582 метод Ада мса 827 — аппроксимирующих функций 829 — вариации п остоя нной 474 — Галёркина 830 — Гаусса 781 — Гаусса—Ж орда на 783 — доказательства от проти вного 834 — интефирования по частям 220 — итераций (метод последовательных приближений) 787 — касатель ных (метод Ньютона) 786 — квадратур 816 — коллока ции 829 — координат 97 — матема тиче ской индукции 839 — множите лей Лагра нжа 291, 617 — моментов точечной оце нки параметров 733 ----------- генеральной с овокуп нос ти 735 — Монте -Карло 821 — наиболь шего правдоподобия 736 — на имень ших квадратов 745, 810 ------ дискретн ый 829 ------ интегральный 829 — неопределенных коэффиц ие нтов 223, 489, 501 — обратной матрицы 43 — ортогонализации Ш мид та 80 — под становки 474 — п оловин ног о деления 784 — последовательных прибл ижений Пикара 487 — разделения переменных 538, 573, 577 -- --- -- , общая схема 601 — Римана 569 — Ритца 622 — функ ций Грина 588 — Фурье 573 — хорд 785 — ча стичных областей 830 — Эйлера 621, 824 методы Рунге— Кутта 826 метрика 606 ми нимал ьн ая поверхность 683 ми ни мум функции аб солютн ый 175, 288 локальный 174, 287 условный 292 — функци онала 607 минор 35, 40 мни мая единица 395 — ось 397 — часть компле кс ного чис ла 395 мнимое чис ло 395 многомерные случайн ые ве ли чи н ы 717 множе ства непе рес ека ющиеся 842 — равномощные (эк вива ле н тн ые) 844 — равные 840 множество 840 — бесконечное 843 — замкнутое 262 — значений функц ии 142 — конечное 843
множество офаниченное 22 — открытое 262 — пустое 840 — связное 262 — счетное 844 — , фигуры Эйлера—Венна 841 — чис ловое 21 — , элемент 840 множители Лафанжа 617 мода 734 модуль вектора 54, 79 — действительного чис ла 19 — компл екс ного чис ла 398 момент выборочный н ачал ьный 733 центральный 734 — кор рел яц ион ный 719 — те оре ти ческий н ачал ьн ый 733 центральный 733 — эмп ир иче ский 734 монотонна я функц ия 146, 149 мо щн ость ко нти нуума 844 — множес тв 843 — статистиче ского кр итерия 749 Наб ла-опе ра тор 631 на иб ольше е, наи меньше е значе ни е функции 175 наи лучше е равномерное приб лижени е функц ии 808 направление аси мптоти чес ко е 681 — главной нормали 668 — отрицательное 21 — положительное 20 нап равл ения главн ые 108 направленная секущая 165 нап ра вл яюща я цилиндра 140 нап равляющи е кос и нус ы 59, 62 нап р авляющий вектор прямой 127 нап ряже ние 649 натур альный параметр 667 нахождение абсолютного экстремума 187 — обратной матриц ы 39 начало координат 48 неалгебраическое ур авнение 28 не вязка 829 не завис имая переменная 142 необходимое условие диффере нцируемости 267 экстре мума функцион ала 609 необходимые усл ови я локального экстре мума (ма кс имума и мин имума) функци и 185 необходимый пр изнак сходимости ряда 350 неопределенности 150 неопределенный и нт еф а л 215, 239 от векторн ой функц ии 626 неправильн ая дробь 222 непрерывная кривая 121 вЕ"262 в ко мпле ксн ой плоскости 403 — поверхность 122 — случайная величина 701, 705 — функция 158 не прерывный функцион ал 606 неравенство Кош и— Буняковского 25 — Чебышева 25, 722 несобственный интефал 243, 344 аб солютно сход ящийся 345 второго рода 248 , ге о ме трический см ысл 245 , главное значение 247, 249 , за вис ящий от параметра 336, 346 , — от п араметра, признаки равномерной сходимости 347 первого рода 243 --------- ра сходящийс я 243 --------- с ходящий ся 243 расходя щийся 248, 342, 345 сходящий ся 248, 342, 345 абсолютно 245, 343 ------ равномерно 336, 347 ------ условно 245 тройной 345 неявная функция 259, 277 норма (модуль) вектора 54, 79
норма элемента гильбертова пространства 83 евклидова пространства 81 нормаль к кр ивой 654 — к кривой главная 668 — к поверхности 674 нормальна я кр иви зна 678 — пл оско сть 669 — система диффере нциальных уравнений 456 нормальное распределение 710 но рмированное и центрированное 710 нормирующий множите ль 103 нул ь поли нома 27 — функци и 27, 420 простой 420 н ьютон ов потенциал 347 Область 262 — ги перб оличности 552 — , фаница 262 — за мкнута я 262, 403 — изменения фунции 142 — многосвязн ая 324, 404 — неофаниченная 262, 404 — офаниченная 262, 404 — однол истности 406 — односвязна я 324, 404 — определения функци и 142 — поверхностно односвя зна я 325 — предметная 837 — пр ин ятия гипоте зы 748 — пространс тве нно односвязна я 324 — сходимости ряда 366, 417 — элли пти чнос ти ур авнени я 552 обобщенные степенные ряды 516 образ подмножества 844 — точ ки 406 — Фурье 392 — элемента 844 образующая ли н ейчат ой поверхности 683 обратная матрица 39 — теорема 834 — функци я 146 обратн ые ги перб олические функц ии 196 — триго нометрические функци и 210 обход кривой положитель ный 311 общее решение дифференциального уравнения 459 си стемы диффере нциальных уравнений неоднородной 521 ----------- однородной 521 общие методы и нтефир ован ия 487 общий ин тефа л дифференциального уравнения 491 — член профессии 31, 32 — элемент ряда 349 объединение (сум ма) множес тв 841 — событий 692 объем выборки 726 — пространстве нной области 327 — тела 324 вр ащения 256 объемный ин тефал 636 обыкновенная точка дифференциа льного уравне ни я 462 кр ивой 655, 656 поверхности 673 оги ба ющая поверхность 675 — семейства плос ких кр ивых 465, 662 Офаниченная последовательность 148 — функци я 146 офаниченное числовое множество 22 одновременное приведение двух квадр атичных форм к сумме квадратов 95 однолистное отображе ние 406 однополостный гиперболоид 138 окр естность точки 22, 262, 403 прямоугольна я 262 округление чи сла 779 окр ужность 109, 110 окта нт 50
оператор 85 — выро жде нн ый 86 — Гамильтона 631 — дифференциальный линейный 495 ------- сопряженный 505 — Лапласа 641 — линейный 86 — наб ла 630 — невырожденный 86 операционный метод решения дифференциальных уравнений 531 определенный интефал 234, 235 , основные свойства 236 от векторной функции 626 определитель 34 — Вронского 4 % — , вычисление 35 — Грама 8 11 — , разложение по строкам и столбцам 35 — , свойства 36 — Якоби (якобиан) 280 ордината 48, 50 оригинал 532 ориентация поверхности 314 орт 55, 79 ортогональные векторы 80 — матрицы 42 ортонормированная система 80 ортонормированный базис 82 оси координат (абцисс, ординат. аппликат) 49 основные правила дифференцирования 166 особая линия дифференциального уравнения 462 — точка изолированная 423 кривой 655 двойная, тройная, ... 656 поверхности 673 функции 410 особое решение дифференциального уравнения 463, 478 особые то чки д ифференциального уравнения 462, 483 --------- , классификация 483 оста ток формулы Т ей лора в форме Лагранжа 276 — функционального ряда 366 — чи сл овог о ряда 351 ось гиперболы действительная, мнимая 114 — координат (числовая ось) 21 — симметрии 107 — эллипса большая, малая 111 отклонение 528 — случайной величины 733 — среднее квадратическое 714 открытое множество 262 открытый промежуток 22 относительная частота 741 отображение 280, 406 — биективное 845 — взаимно однозначное 281 — гомеоморфное 281 — инъективное 844 — конформное второго рода 442 первого рода 441 — многозначное 844 — множеств 844 — непрерывно дифференцируемое 281 — обратное 281, 844 — однозначное 844 — однолистное 406 — сложное 281 — сюръективное отображение 845 — тождественное 845 отрезок 21 — масштабный 20 — направленный 21 оценка 731 — доверительная 738 — интервальная 738 — несмещенная 731 — смешенная 731 — состоятельная 732 — точечная 731
оценка эмпирическая 744 — э ффекти вная 732 ошибка (статистическая) второго рода 749 первого рода 749 Парабола 117 — п-го порядка 199 параб ол ический цилиндр 141 параболоид вр аще ния 139 — гип ерболический 139 — эллиптический 139 параллелепипед п- ме рный 262 — о ткрытый 262 пар ал лел ьный перенос си стемы координат 66 параметр 121 — натура льный 667 — семейства 662 — фокальный 112 параметрическое задание пл оскости 125 первообразная 214 первый интефал системы 456 переменная за вис имая 259 — ин тегрирования 235 — не зависимая 259 — пр опозиц ион альная 835 пересечение (пр ои звед ение) множе ств 842 — с обытий 692 перестановка 689 период функци и 145 пери одическая функц ия 145 п лоскость 124 — ка са те льная 673 — нормал ьная 669 — с имметрии 132 — с о прикасающаяся 669 — спрямляющая 669 плотно сть распределения (п лотность вероятности) 707 , нормальное распределение 710 — . показательное распределение 711 , равномерн ое распределение 709 , условие нормировки 708 условная 721 площадь гладкого кус ка поверхности 677 — кон ечной п лос кой многосвязн ой области 329 — кр иволи нейн ой трапеци и 252 — п лос кой фигуры 253 — поверхности 314 вр ащения 257 — тр еугольника 99 поверхности топологически экви ва ле нтн ые 685 поверхностный интеграл 314 вектор ный 635 второго рода 318 первого рода 316 скалярный 635 поверхность 671 — второго порядка 122, 131 ------ вырожд енная 133 --- --- -, классификация 136 ------ не вырожд енная 133 --- --- - , приведение уравне ния поверхности к к анон ичес кому виду 134 ------ распадающаяс я 133 — гладкая 122, 314, 673 — д вухсторонняя 314 — дискриминантная 675 — интефальная 540 — косая 683 — кусочно гладкая 122, 314 — линейчатая 138,683 — ми нима льна я 683 — непр ерывная 122 — односторонняя 314 — первого порядка 122 — постоянной кривизны 683 — простая 122 — развертывающаяся 683 — тензорная 72 — уровня 261 — хара ктеристиче ская 559
пове рхность ц илиндрическая 140 поворот систе мы координат 67 повторе ние ис пытан ий 698 пофешность абсолютная 778 предельная 778 — квадратурной формулы 817 — метода Эйлер а 825 — окр углен ия 825 — относите ль на я 778 предельная 778 — пр иб лиженн ого ре шен ия 825 подмноже ство 840 подобные матрицы 87 подпос ледовательность 151 подпространство 78 пока зате льна я функц ия 193 поле векторное безвихревое 645 поте нци альное 633 соленоидальное 645 — нап равл ений 459 — плоское 627 — плоскопараллел ьное 627 — скал ярн ое 627, 628 , производная по направл ен ию 629 полигон час тот 727 поли ном наи лучшего равномерного приближения функции 808 — обобщенный 807 — Тейлора 177 пол иномы, деление 26 — Лежанд ра 5 18 — , разложение на множите ли 29 — Чебышёва 797 полн ая группа событий 687 — производная 269 полное приращение функци и 263 полнота пространства 82 положительное нап равление обхода кр ивой 311 полуинтер вал б ес коне чный 22 — конечный 21 полупериод ряда 381 полю с 50 — функц ии 423 простой 423 полярна я ось 50 — система координат 50 поля рн ые координаты 50 по ляр ный радиус 50 — угол 50 по ниже ние порядка ура вн ени я 491 порядок дифференциального уравнения 451, 537 — касания 661 — связнос ти 404 — уравнений си стемы 455 последовательность 147 — возрастающая 149 — моното нн ая 149 — невозрастающая 149 — неуб ыва юща я 149 — Офаниченная 148 — расходящаяся 148, 404 — сл учайных ве ли чи н, сходящаяся по ве роятности 723 — строго монотонн ая 149 — сходящаяся (к пределу) 148 , свойства 149 — убывающая 149 — функциональная 364 , обл асть опред еления 364 , — с ходимости 364 , предельная функц и я 364 , равномерно сходящаяся 364 — чис лова я 147 постоянная интефирования 455 — Эйлера 19 по сыл ка 833 потенциал 633 — ве ктор ный 645 — запазд ывающий 581 — скалярный 645 поте нци альное поле 633 поток вектора 636 — соб ытий 704 пуа ссон овс кий 704 правила дифференцирования 166
правило диффер енцирован ия сложн ой функции 167 — Лейбница 338 — Л опита ля 180, 181 — мн огоугольника 56 — округления чисел 779 — парал ле лофамма 56 — Рунге 827 — сло жен ия вероятностей 696 — суммирования Эйнштейна 683 — треугольника 56 — «трех сигм» 711 — умножения вероятностей 695 п равил ьная дробь 222 предел векторной функц ии 625 — за ме чате льный 153 — односторонний 153 — последовательности 148, 404 верхний 151 нижний 151 частичный 151 — функции 152, 406 не ск оль ки х переменных 263 слева 153 справа 153 — чис ловой последовательности 147 предельная теорема Л я пун о ва 724 — то чка последовательности 151 — функция 364 предикат 838 — двухме стный 838 — нуль-местный 838 — од номе стный 838 — пе ременный 838 предикатн ая формула 838 предметная область 837 — пе ременная 837 — пост оя нная 837 преобразование декартовых координат 99 — к главным ося м 134 — ли не йное 86 — множества 844 — обратное 86 — пространства 86 — тождественное 87 приближение (аппроксимация) функций 806 — ли не йное (пер вое) 530 пр иб лиженное (чис лен ное) дифференцирование 802 — интегрирован ие 815 пр иб лиже нные формулы вычи сле н ия значений функций 788 п ризна к существования предела 149 — сходимости Абеля 359, 366 Вейерштра сс а 337, 366 Даламбера 353 Дини 337, 367 Дирихле 359, 366 ин тегральный 354 Коши 353, 354 Лейбница 356 принцип аргумента 431 — Гюйгенса 580 — ма ксимума и ми нимума 597 — н аложения (суп ер позици и) 497 прираше ние аргумента 158 — функции 407 проверка с тати стиче ски х гип отез 747 прогрессия ар ифметическая 31 — возрастающая 31,32 — геометриче ская 32 — зн акоче редующаяся 32 — убывающ ая 31, 32 пр ое кция вектора ал гебра ическая 60 произведение бес коне чное 360 — вектора на чи сло 55 на число 75 — комп ле ксных чисел 395 — матриц 38 — матрицы на чис ло 37 — не зависимых сл учайн ых величин 713 — тензора на скаляр 71 — тензоров 71 — функций 144 — час ти чное 360 — чисел 17
производная 164, 626 — бесконечная 168, 169 — вдоль кр ивой 272 — вектор ной функц ии 626 — вторая 172 — , геометрический смысл 165 — левая и правая 166 — логарифми чес ка я 167 — обратной функции 170 — первая 172 — по напра вле ни ю 270, 639 — функции 408 в то чке по нап равл ению 629 — час тн ая 265 — четной (нечетной) функции 177 пр оизводные высши х порядков 172 — основных элемен тарных функций 167 пр омежуток 22 — за мкнутый 22 — отк рытый 22 прообраз точ ки 406 — элемента 844 пр оп озициона ль на я пер еменная 835 — формула 835 пропорция 26 простая кривая 403 простой нуль 27 пр остранство векторное 74 — гильбертово 81 — евклидово 79 — непрерывн ых функц ий 81 пр от ивоположна я матрица 37 — теорема 834 процесс стац ио нарный 560 пр ямая в пр остранстве 126 — на плос кости 101 пр ямое (декар тово) произведение множес тв 843 пр ямолин ей ные образующие 138 пр ямоугольн ая система координат 48, 49 ------ в пространстве 49 ------ на пл ос кости 48 пр ямые методы решения вариационных задач 621 - --- --- -- --- , метод Ритца 622 - --- --- -- --- , метод Эйлера 621 Пуассона распределение 704 путь интефирования плоский 330 пр ос тран стве нный 333 пучо к плоскостей 129 — прямых 102 Равенство векторов 55, 74 — матриц 37 — множес тв 840 — формул 836 равнобочная гипербола 115 равномерна я сходимость ряда 417 равномерно непрерывна я функц ия 264 равномерное пр иб лижение наи лучше е 808 — распределение 709 равномошные множества 844 радиан 202 радиус кр иви зн ы гиперболы 115 кр ивой 668 параболы 120 элл ипс а 113 — сходимости сте пе нного ряда 417 радиус-вектор 59 развертка 664 развертывающая ся поверхность 683 разделенная форма 539 разложение вектора по бази су 57 — полин омов на множите ли 29, 30 — функц ий 376 в ряд Лоран а 422 в ряд Маклорена 377 в ряд Тейлора 376 в ряд Фурье 82 размах вар ьирования 734 размер ность подпространства 78 — пространства 75 размещение 689 разность 37 — векторов 56
разность комплексных чисел 396 — мн оже ств 842 — прогрессии 31 — соб ытий 693 — функций 144 разрыв функции бесконечный 161 второго рода 161 первого рода 160 устра ни мый 160 ранг матрицы 40, 41 “ тензора 69 раскрытие неопределенности 150, 180 распределение (за кон распределения) 701 ------ биномиальное 702 ------ геометрическое 703 ------ гип ергеометрическое 703 ------ нормальное (Гаусса) 710 ------ Пуассона 704 равномерное 709 Стьюд ента 740 ------ Фишера 750 ------ хи-квадрат 751 ------ э ксп оне нциа ль ное 711 ------ эмпирическое 727 расстояние (ме три ка) между функциями 806 — между паралле льными пр ямыми 106 то чка ми 261 расшире нная матрица си сте мы 781 рационал ьн ая дробь 222 рационал ьн ые и ирраци онал ьные числа 17 регрессия 720, 721, 743 регулярна я особа я точкой 516 рельеф функци и 407 решение алгебраических уравнений 29 — ас имп тотичес ки устойчивое 528 — Даламбер а 563 — дифференциальн ого уравнения высше го порядка общее, частн ое 490 ------ первого порядка 459 ------- с ча стн ыми пр оизвод ными общее, частное 537 — не лин ейн ых уравнений 784 — неоднородного ур авне ния 601 — систем ли не й ных ур авне ний 781 — си сте мы дифференциальн ых уравнений общее, частное 456 ли н ей ных уравне ний 43 — уравнения 784 Римана метод 569 — формула 570 — функция 570 риманова поверхност ь функции 438 ротор вектора 637 ряд 349 — аб солютн о сходящийс я 357 — безусловно сходящийся 357 — вар иац ионн ый 727 — гар мо нический 350 — знакоп ере менный 356 — знакопостоянный 352 — знакоче редующийся 356 — Лорана 421, 422 , главная часть 422, 426 , правильная часть 422, 426 — Маклорена 376 — не отрица тельный 352 — равномерно сходящийс я 366 — расходящи йс я 349 — степенной 369 — сходящийся 349 — Тейлора 376, 419, 627 — тригономе тр ический 381 — условно сходящийся 357 — функциональный 365 - Фурье 82, 381,383,511 — , частичная сумма 349 Самосопряженный оператор 505 свертка тензора 71 — функ ций 392 свер тывание тензора 71 свободный вектор 55 свя за нн ый вектор 54
с вязка логичес ка я 833 свя зн ое мн ожество 262 с вя зь поверхностных интегралов первого и второго рода 322 седло 484 се кущая 165 семе йс тво интегральных кр ивых 453 сепаратриса 484 сече ни е в множе стве рациональных чисел 18 — кони че ское 107 — поверхности нормальное 679 символ Кронекера 33, 68, 641 си мволы Кристоффе ля 684 синус-образ Фурье 391 систе ма алгебраичес ких ли ней ных уравнений 28, 43 --------- неоднородная 43 --------- несовместная 43 --------- однородная 43 --------- совместная 43 — координат декартова 48 косоугольная 49 поля рн ая 50 правая, левая 48, 50 сфер иче ск ая 53 цилиндричес кая 51 — об ыкновен ных дифференц иа льных уравнений 455 --------- л и н ейная 457 --------- н ормальная 456 — ортогональная 80 — ортон ор мирова нная 80, 82 полная 82 — решений фунд амента льная 496 — тригоно ме тр иче ск ая 82 — уравнений 28 — функций замкнутая 622 линейно зависимая 807 ------- неза вис имая 807 ортогон альная 382, 807 си стемы дифференциальных уравнений с по стоян ными коэффиц ие нтами 521 - -- ---- -- -- - , х арактеристическое уравнение 522 ------------ , — чи сло 522 — равносильные (эквивалентные) 43 скал яр 54, 68 скалярная величина 54 — функц ия 627 ск ал ярн ое поле 627 — произведение векторов 60, 79 -------, свойства79 функци й 807 ск ал яр ный потенциал векторного поля 645 ск ачо к функци и 161 ск оль зя щий вектор 54 след матрицы 33 — тензора 71 следование логичес кое 833 следствие 833 сл оже ни е векторов 55 — дей ствительных чис ел 17 — ко мпле кс ных чисел 395 — логиче ское 833 случайная величина 700 ас имптотичес ки нормал ьн ая 724 дискретная 700 многоме рн ая 717 непрерывна я 701 нормаль но распределенная 710 нормирова нн ая 716 равномерно распределенная 709 центрир ованная 716 случайн ое число 822 случайные величины зависимые 719 коррелирован ные 720 неза висимые 713, 719 некоррелированные 720 — соб ытия 686 зависимые 694 независимые 694 несовместные , совме стн ые 687 противоположны е 687 сл учай н ый вектор 717 сме ша нна я частна я производная 266
смешанное произведение векторов 65 собственная функция 510 собственное зн ачение 510 матрицы 88 тензора 73 соб ствен ные под множество 841 с об стве нный вектор матрицы 88 оператора 88 тензора 73 — и нт е фа л, зави сящ ий от параметра 334, 346 событие 686 — благоприятное 687 — достоверное 686 — не возможное 686 — случайное 686 — элементарное 687 соб ытия неза ви симые 694 —, — в с овокупнос ти 696 — , произведение (п ересечен ие) 692 — пр отивопол ожные (дополнительные) 692 — совмес тные и не совме стные 687 — , сумма (объедине ни е) 692 соленоидальное поле 637 соп рик аса ющая ся о кружно сть 658 — пл ос кость 669 сопровождающий тр е хфа н н ик 669 сопр яжен ные взаи мно диаметры 108 сос тавляющие ве ктора 61 сочетание 689 сп ектр задачи на собстве нные значения 510 — соб стве нных значений матрицы 89 — функции 390 н еп рерывный 390 сп ектр ал ьная п лот ность функции 392 сплайн 811 — и нт ерполирующий 812 — , пофешность 814 — , по строение 813 с п рям ляющая п лоскость 669 сравнение д ействительных чисел 18 среднее аб солютное откл оне ние 734 — ар ифметическ ое 24 — гармоническое 25 — геометрическое 25 — квадрати ческое отклоне ние 714 ------- генеральное 733 — квадратичное 25 средняя кр ивизна поверхности 680 стандарт 714, 733 статистика 730 — критерия 748 Вилкоксона 754 Кочрена 753 Пирс она 759 Стьюде нта 752 Фишера 750 с татистическая гипотеза 747 кон курирующ ая (ал ьтерна тивная) 747 , кр ити чес кая область 748 нулевая (ос но вн ая) 747 , область при ня тия 748 , проверка 754 простая 747 сл ожная 747 — совокупность 725 с тати стиче ский критерий 748 статистическое распределение выборки 727 стационарное зна чение функции 288 функци онала 605 степ ени тригономе триче ск их функций 210 степенная функция 197 степенной ряд 369, 417 , и нт ервал сходимости 370 , радиус сходимости 370 , с войства 371 , центр 369 сте пе нь компл екс ного чис ла 396 сумма 713 — векторов 55, 56, 74 — компл ексн ых чисел 395 — матриц 37 — ряда 349, 405, 417
сумма событий 692 — тензоров 71 — функц ий 144 — функц ионал ьного ряда 366 — чисел 17 суперпозиц ия отобр ажен ий 281 сфера 262 сфер иче ск ая система координат 53 сфероид 137 схема Горнера 789 сходимость несобственных и нтефа лов 245 — последовательности 148 — равномерна я 364 — ряда 349 абсолютн ая 357 , признак Абеля 359 , — Даламбера 353 , — Дирихле 359 , — Коши 353, 354 , интегр альный 354 , — сравнени я 352 условная 357 счетное мно же ство 844 сюръекция 845 Таблица истинности 834 — основных неопределенных интегралов 216 — приб лиже нных формул 788 та втология 835 тензор 69 — антисимметричный 71, 72 — второго ранга 69 — , главные значения 73 —, — оси 73 — деформации 648 — е дин ичный 70 — , инвариантная запись 70 — , компоненты 69 — напряжений 650 — симметричный 70,72 — чистой деформации 649 тен зорная алгебра 71 — поверхность 72 тензорное поле 648 тензоры 68 — , п ерестановка индексов 72 — , произведение 71 — , свертывание 71 — , с обстве нные ве кторы 73 —, — зн ачен ия 73 — , сумма71 теорема Абеля 371 — Безу 30 — Бернул ли 723 — Больца но— Вейерштрасса 151 — Вейерштрасса 162 — Виета 29 — Гамильтона— К эл и 91 — Гаусса 684 — Дирихле 384 — единственности ана ли тической функц ии 410 степенн ых рядов 372 — Кантор а 163 — Коши 162, 358 — Кронекера— Капелли 46 — Лафанжа 176 — Лапласа интефальная 700 лока льна я 699 — Ляпунова 724 — Мёнье 679 — монодромии 434 — о вычетах 428 — о не явных функц ия х 277 — о среднем зн аче нии 296, 588 — Пикара 424, 457 — Римана 358, 442 — Ролля 176 — Сохоцкого 424 — Стеклова 578 — Тейлора 419 — Ферма 175 — центральная предельная 724 — Чебышева 227, 723 — Эйлер а об однородных функц ия х 269 те ори я не явных функц ий 277
теория устойчивости 527 тождественное отображение 845 тождество 28 тор 325 точечная оценка 731 вероя тности 741 точка б ес ко нечно удаленная 403 — ветвления алге браическая 438 лога рифмическая 440 трансцендентная 440 — внутренняя 262 — возврата 656 — гип ерб ол ическая 681 — фаничная 262, 403 — двойная 656 — дифференциального уравне ния обыкновенная 462 ------- о с обая (изол ир ован ная) 462 — единичная 20 — изображающая 527 — изолированная 656 — кривой особая 122 хар актеристическая 662 — кр ити чес кая 186, 288 — локальногоусловногоэкстремума 291 — о быкн ове нн ая 655, 656, 673 — опорная инт ерполяции 795 — особая 248, 655, 656 устр анимая 423 — отобр ажени я кр ити ческа я 442 — па раболиче ская 681 — перегиба 184, 660 — поверхности об ыкн ове нн ая 278 особая 278 — п равил ьная 423 — приложения 54 — разрыва 248, 263 второго рода 161 первого рода 160 устранимого 160 функции 160 — с а м о пересечения 656 — с а м о прикосновения 656 — с лучайн ая 717 — сп ря мле ния 659 — стационарная 183, 185, 288 — существенн о особая 424 — сферическая (круговая) 679, 681 — угловая 166 — уплоще ния 681 — функц ии особая 410 регулярная 410 — э лли пти чес кая 681 трае ктори и изогональные 665, 482 ортогональные 665, 482 траектор ия т очки 625 тран спонирован ная матриц а 34 тривиа льное р ешение си стемы уравнений 45 тригономе тр ические ур авне ния 213 — функции 202 обратные 210 , основные формулы 207 , с войства 203 тр игонометрический ряд 381 тройная то чка 656 тр ойн ой интеграл 302 Убывающая, возрастающая последовательность 149 —, — функция 145 угловой коэффиц иен т 101 угол между двумя кри выми 676 нен ул евыми векторами 79 узел 795 — вырожде нн ый 486 — дикритический 486 — и нт ерполяции 795 — обыкновенный 484 умножение вектора на чи сло 55 — действительных чи сел 17 — комп ле ксных чисел 395 — логи ческое 833 — матриц 38 — матрицы на чи сло 37 — рядов 374
универсаль на я тригоно ме тр иче ск ая I подста новка 231 I уравнение 784 ( — алгебраическое 28, 784 — Бернулли 475 — Бесселя 517 — биквадратное 29 — волновое неоднородное 580 одномерное, двухмерное, трехмерное 559 однородное 579 — Гельмгольца 561 — гиперболы, параметрическая форма 115 — дифференциальное обыкнове нн ое 451 с час тными производными 536 с час тными прои зводн ыми второго порядка 551 — иррациональное 28, 784 — квадратное 29 — квази лин ейн ое 539 — Клеро 480 — колебаний струны 573 — кр ивой натуральное (внутрен нее) 671 — Лафанжа 480 — Лапласа 560, 586 — Лежандра 518 — ли нейн ое 29 однородное 539 — ли нии 97, 121 второго порядка ка нон иче ское 108 — лога рифми ческое 28 — неалгебраическое 784 — неполное 124 — неразрешимое 27 — обощенное однородное 472 — однородное 498 — окружности , параметрическая форма 111 — плоскости в отрезках: 125 — поверхности 120, 261 — пока зательное 28 — прямой в векторном виде 126 в отрезках 102 , ве кт орно-параметриче ский вид 127 ка нон ическ ое 127 , п араме триче ский вид 127 с угловым коэффицие нтом 101 — Пуассона 560, 586 — разр ешимое 27 — регрессии 721 — Риккати 475 — с дей стви те ль ными коэффиц иен тами 30 — са мосопря же нн ое 505 — свя зи 619 — сопр яженн ое 505 — теплопроводности 596 трехмерное 560 — тр ансценден тное 28, 784 — тригоно ме трическое 28 — Трикоми 552 — характеристическое 89, 498 — Эйлера 609 — эллипса, параметри ческий вид 112 уравнения диффере нц иа льные высших порядков 490 --------- , понижение порядка 491 — мате матической физики 537 — . не разре ше нные относительно производной 477 уровень значимости 748 условие коллинеарности векторов 64 — ко мпланарности трех векторов 66 — Липшица 457 — Ляпунова 724 — необходимое и достаточное 834 — однолистности функц ии 436 — пар аллельности плоскостей 128 прямой и плоскости 128 — перпенд икул яр ности плос костей 128 прямой и плоскости 129 пр ямых 128 — согласованности 597
условие трансверсальности 613 условия гр ан ичные 561, 586 естес твенные 613 — Коши— Римана 408 — краевые 504, 561 — н ачальные 561 условная (н е аб со лю тн ая) сходимость ряда 357 — вероят нос ть 694 условное среднее 743 условный экстре мум 290, 617 устойчивость аси мп тоти че ская 528 — в целом 528 — , геометрический смысл 528 — , н еус тойчивость движе ния (по Ляпунову) 527 — решений н елинейн ых систем 530 Фа зовая плоскость 566 факториал 23, 342 фигуры Эйлера— Венна 841 фокальный параметр 112, 115 фокус 117 формула Бернулли 698 — Валлиса 364 — Вейнгартена 684 — Гаусса 684 — Гаусса—Бонне 684 — Грина 329, 505, 587 — Даламбера 565 — заме ны пе ременных 300, 305 — интегрировани я по ча стям 220 — к онечных прир ащений 176 — К о ш и —Адамара 370, 418 — Лейбница 173 — Маклорена 177 — Муавра 401 — Ньютона—Лейбница 240, 244 — общ езна чимая 835 — Остроградского 324, 326, 643 — па раб олической интерполяции 800 — полной вероятности 697 — пря моугол ьни ков 817 — Пуассона 579 — Римана 570 — Родрига 519 — Симпсона (формула парабол) 820 — Стир лин га 342 — Стокса 327, 644 — Тейлора 177, 275 — трапеций 819 — Эйлера 400, 421, 449 — эл ементар ная 838 формул ы алгебры выс ка зыван ий 835 — Бай еса 698 — вычисления двойного интефала 296 — Грина 643 — Крамера 44 — Лиувилля 496 — приведени я 207 — пропозициональные 835 — Серре—Френе 671 — среднего зна че ния (теоремы о среднем значении) 237 — эк ви вале нтн ые 836 фронт волны 580 фундаме нтальна я си сте ма решений 496, 520 фундаме нтальное решение уравнения теплопроводности 603 функц и и алгебры логики 836 — асимптотически равные (эквивалентные) 157 — бесконечно большие, бесконечно малые 157 — взаимн о обра тные 146 — гармониче ские 587 — гип ерб оличе ские 194 — зави симые 282 — линейно зависимые 282, 496 не завис мые 496 — не завис имые 282 — не элемен тарные 147 — не явн ые 277-279 , т е орема суще ствова ния 277, 278 — обра тные гиперб оличе ские 196 тригоно метрические (аркфункции) 210 — ортогональные 382, 807
функци и случайн ого аргумента 717 — сравнен ия 607 — тр игономе тр ические 202 — эквивале нтные 157 — элементарные 147 функц иона л 604 — линейный 606 — не прерывный 606 функц ион аль на я последовательность 364 функциональный ряд 365, 417 равномерно сход ящийся 366 , с войства 367 сход ящийся 366 , частичная сумма 365 функц ия 142 — ан алити ческа я 409 в бесконечности 409 в интервале 513 в области 377 в откр ытой области 409 в то чке 409, 513 — Бесселя 517 — булева 836 — , возр ас тающая в некоторой точке 146 , убывающая 145, 183 — выборки 730 — , фафик 143 — Грина 506, 507, 588 — двух переменных 259 ------ , линия уровня 261 — Дирихле 144 — дифференцируемая 164, 172, 265, 267 —, — в области 408 —, — в точке 408 —, — на множе стве 268 — дробно-линейная 407 — дробно-рациональная 222, 407 — интегрируемая 235, 294, 302 — ко мп ле ксна я однозначная, многозначна я 405 — ку со чно непрерывная 161 — Лафанжа 292 — Лапласа 700 — линейная 407 — логарифмическая 193 — логиче ска я 836 — многих пер еменных 261 — монотонн ая 146 — неофаниченная 146 — непрерывна я 158, 159 — , не пр ерывной слева 159 — неуб ыва ющая , не возрастаюшая 146 — обр атная 146 — общая пока зате льна я 449 — офаниченная 146, 407 — однозна чна я, многозначна я 142 — однородная нулевой степ ени 469 степени а 269 п 469 — пер иодическая 145 — по дынтефал ьна я 235 — правдоподобия 736 — равномерно непрерывная 163, 264 — распределения те оретическая 729 эмпирическая 728 — рациона льная 222 — рефессии 721 — Римана 570 — сигн ум 144 — сл ожна я 146, 264, 406 , правило диффере нцирования 268 — , способы задания 143 — строго монотонн ая 146 — убывающая 183 — целая рациональная 407 — , частное приращение 264 — четная, нечетная 145 — экспоненциальная 193 Характеристика 540, 543, 553, 559, 675 характеристическая квадратичная форма поверхности второго порядка 132 хара ктери стический конус 560 — полином 498 — треуголь ник 567
характеристическое уравне ние 498 тензора 73 хорда линии второго порядка 107 Центр кривизны 658 — ли ни и второго порядка 107 — поверхности второго порядка 132 — симметрии 107 центральная предельная теорема 724 цилиндр (ц ил инд риче ская поверхность) 140 — гип ерболический 140 — круговой пр ям ой 140 — па раболи ческий 141 — эллиптический 140 цил ин дриче ская си сте ма координат 51 цир кул яц ия 633 цифра верная 778 — значащая 778 Частичная сумма ряда 349 час тичн ый предел последовательности 151 ча стн ая производная 265 высших порядков 266 , п орядок 266 частн ое 26 — функций 145 час тота вар ианты 727 относи те льная 727 — случай ног о соб ытия относи тельна я 690 чис ле нное дифференцирование 802 — решение дифференциальных уравнений 824 --------- , метод Адамса 827 --------- ,- Эйлера 824 --------- , ме тоды Рунге — Кутта 826 краевых задач 828 --------- , метод аппроксимирующих функ ций 829 --------- , — коллокации 829 --------- , — наи ме ньших квадратов 829 --------- , — частичных областей 830 численные методы интефирования 487 число е 149 17 — вещественное 17 — действительн ое 17 — , дробная ча сть 755 — иррациональное 17 — компл екс ное 395 — натуральное 17 — отрицательное 18 — положительное 18 — п риб лиженное 778 — рациональное 17 — случайное 822 — характеристическое 498 — , целая часть 755 — целое 17 — чис то мним ое 395 чис ловая ось 21 — п рямая 21 чис ловой ряд 349 сходящийся 405 члены ряда 349 Ш а г интерполяции 798 шар о ткрытый 262 Эвольвента кривой 664 эво лю та кривой 664 эквиваленция (эквивалентность) 834 экспоненциальная функция 446 эк сп оне нциа ль ное распределение 711 эк стр аполяция 795 экстр емаль 609, 615 экстр емум внутренний 288 — фаничный 288 — нестрогий 287 — строгий 287 — функции 174 а бс олютный 175, 187, 288 , достаточные условия 186, 289 лок ал ьн ый 175, 287
э кстр емум внутре нн ий, необходимые условия 185, 288 н ескольких переменных 287 ---- -- --- - условн ый 290 — функци онала 607 , д остаточные ус ловия 612 , н еобходимое условие 609 сильный 607 слабый 607 эксцентриситет 112 — гиперболы 115 — параболы 117 элемент длины 647 — матрицы 32 — плошдди 300 поверхности 677 эл ементар ная дробь 222 элем ен ты ортогональные 82 — ряда 349 э лли пс 109, 111 — мнимый 109 эллипсоид 137 э лл ип тиче ски й параболоид 139 — цилиндр 140 эмпирическая дисперсия 731 — исправленная дисперсия 731 эмпирические прямые регрессии 744 эмпи риче ск ое среднее 731 эр мито ва матрица 42 эф фекти вн ая оценка 732 Якобиан (определитель Якоби) 280
Основные обозначения е(тг) — число е = 2,718... (число тг= 3,141...) — равно, не равно, тожд ествен но (либ о по опред елению) равно « — приближенно равно ~ — асимптотическое равенство, эквивалентность, равносильность |о| — аб солютная ве личи на, модуль (о; Ь)\ [а; Ь\ — и н тервал, отрезок (о;Ь]; [о; 6) — п о луи нтервалы +;х(')’ “ (• ’ /) ~ сложе ни е, вычитан ие , умноже ни е, деление >,^ — больше, бол ьше или равно <,^ — меньше, меньше илиравно зир — верхняя фань множества 1пГ — нижняя грань мн оже ства тах — максимальный элемент множества т1п — минимальный элементмножества 1оёо — л ог арифм по основанию а 1§ — д е с ятичн ый логарифм 1п — н а тураль ный логарифм — коре нь квадратный — коре нь степени п п! — факториал (п -факториал) Сп — б иномиа льн ые коэффиц ие нты (а!,02,. --, а„) — в е ктор-строка {о1,02,.. •, Оп} “ вектор-столбец А, [Оу1, {ац) - матрица I) , с1е1Л, де^(а^^) — о пределитель (детерминант) А~\ ,А — м атрица обратная, тр ан спонирован ная, ко мпл екс но со пряжен ная 5р, Тг — след матрицы или тензора
Ох — ось координат (чи слова я ось) Оху, Охуг — декартова система координат на плоскости, в пространстве р, <р — п о л яр ные координаты р,(р,г — цил ин дриче ские кординаты р,0.1р — сфер ические координаты о, АВ — вектор |а|, а , \АВ\ — модуль, длина вектора г — радиус-вектор Лх, Лу, — ко ордина ты вектора а г,] ,к — декартов базис аЬ;а Ь:(о,Ь) — с к а л ярн ое произведение 0x6;\а,&] — ве кт орное произведение (о,Ь ,с); обе; а (6 х с) — смешанное произведение ё^ — ед иничные попарно-ортогональные бази сн ые вектор ы а, — ко ординаты вектора а в декартовой системе ОХ1Х2Х3 — символ Кронекер а ЕП — сумма, произведение (х, у) — скаляр ное произведение элемен тов векторного пространства IIXII — норма элемента векторного пространства У=/(х) — функц ия от аргумента х {а„} — бесконечная последовательность X а — X стремится к а Ит,Игп, Пт — предел обычный, нижний, верхний 00, -ьоо, -00 — обозначени я бе сконечности х-^ а-0 , х->а4-0 — стремление х к о слева, справа /(а-0),/(о+0) — предел слева, справа о,О — о малое, О большое (си мвол ы порядка малости функц и и) Дх. Ду — прираще ние аргумента, функци и ар — дифференциал аргумента, функции ' I ч У>Ух, — , — , / (х) — производная по х Лх Лх у\у" — производная вторая, тр еть я, порядка п X,у, ... — производные по параметру /-С*). Л(*) — левая , правая производные [1п /I' — лога рифми чес ка я производная
ехр{ж} = — показательная функция (экспонента) хЬ, сН, 1Н, с1Ь — ги п ерболический синус, косинус, тангенс, котангенс Аг5Ь, АгсН, АпН. Агс1Н — ареасинус, ар еакосинус, ареатангенс, ареакотангенс \" — градус, минута , секунда 51П, со5, 1^1 5ес, со5ес — син ус, кос инус , тангенс , котангенс , секанс , косеканс агс51п. агссо5, агс1б» агсс^ё — главное значе ни е ар кс инус а, аркк ос инус а, арктангенса, арккотангенса дг Ьг д^г 6г 6/ 6^/ — ,—, , .•-, ’т“ ’ 7—;—»••• — час тн ые производные дх ду дх^ оx^ 0 Х{ дx^дx^ ь /I'11'11 ' г ~ интеграл неопределенный, определенный, двойной ^ ^ ^ иаи поврпуногтнмй . тпойн ой . кп иволин ейн ый или поверхностный, тройной, криволинейный по дуге ЛВ и замкнутому контуру , у) ^ =—------------------ — якобиан д{и, V) г — мнимая единица агвг,Аг§г — аргумент комплексного числа 2 г, 2* — комплексно сопряженное число Ке2,1т2 — действительная, мнимая часть комплексного числа Д — операторЛапласа, прирашение С(М,Мо) — функция Грина ^ —Ф(у(а;)) — функционал ... — вариация функционала первая, вторая, ... (1а М ёгас1, V — градиент, оператор набла (гамильтониан) (^1У, го1 — дивергенция, ротор Г7, V — событие достоверное, невозможное Р{А) — вероятность события А и (+) — объединение (сумма) событий, множеств П (•) — пересечение (произведение) событий, множеств - (\) — разность событий, множеств е(6,^) — элемент принадлежит (не принадлежит) множеству С — событие (множество) содержится вдругом событии (множестве) 0 — пустое множество /•г -АV ГДГЛУ) - отображение — производная ве кторной функци и
М{Х), В{Х) — математическое ожидани е, дисперсия о- (Х) — среднее ква дратическое отклонение ^ху ~ корреляционный момент (ковариаиия) Гху — к о эф фицие нт корреляции — выборочное среднее Л) — выбор очна я дисперсия ^2 — и с правлен на я выборочна я дисперсия XI)3^ ~ эмпир ическое среднее, эмп ир иче ская дисперсия, эмп и риче ска я исправленна я дисперсия — начал ьный (центра ль ный) теоретический момент к — отклонени е случайн ой вел ичи ны от математического ожид ан ия — начальный выборочный (эмпирический) момент — централ ьный выбор очный (эмпиричес кий) момент т* {тк) — оце нка корре ляционного момента — оце нка ко эффицие нта коррел яции ^ .1 — кл асс (множе с тво) всех непр ерывных на отрезке (о; Ь\ Со-,С\о-»\ , .(,| — кл асс всех т раз (тп = I , 2,...) непрерывно Ст'у ' дифференцируемых — на [а; 6] функций — метрика в классе Со, С, — ДИЭТ.ЮНКЦИЯ (логичес ко е сложе ние) — конъюнкция (логаческое умножение) ^^^ — и мп л ика ци я, логическое следование — отрицание 1^^ — экви ва ле нц ия , эквивале нтн ость ~ " — квантор всеобщности (существования) V(Э)
иИ888:ги ЦИ88;ГЦ^^ 11ЙШЙГ иН88Ш Уважаемые читатели! Уважаем ые авторы! Наше издательство специализируется на выпуске научной и учебной литературы, в том числе монографий, журналов, трудов ученых Россий­ ской академии наук, научно-исследователы;ких институтов и учебных заведений. Мы предлагаем авторам свои услуги на выгодных экономи­ ческих условиях. При этом мы берем на себя всю работу по подготовке издания — от набора, редактирования и верстки до тиражирования и распространения. инзз Среди вышедших и готовящихся к изданию книг мы предлагаем Вам следующие: БоярчукА.К. и др.Справочное пособие по высшей математике (Анткоемноович).Т . 1-5 . Т. 1: Введение в анализ, производная, интеграл. Т. 2: Ряды, функции векторного аргум«гга. Т.3: И|ггегралы, зависящие от параметра; кратные и криволинейные интегралы. Т. 4; Функции комплексного переменного: теория и практика. Т. 5: Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. КрасновМ.Л. и др. Вся высшая математика. Т .1-7. Краснов М.Л . и др. Сборники задач «Вся высшая математика» с подроби, решениями. Векторный анализ. Интегральные уравнения. Вариационное исчисление. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Тео|Жя устойчивости. БоссВ. Интуиция и математика. Босс В. Лекции по математике. Т . 1: Анализ: Т.2: Дифференциальные уравнения; Т.З Т.5 Т.7 09 ва аа Ев Линейная алгебра: Т.4: Вероятность, информация, статистика; Функциональный анализ; Т.6; От Диофанта до Тьюринга; Ошимизация; Т.8:Теория групп; Т.9:ТФКП; Т. 10. Перебор и эффективные алгоритмы; Т. 11. Ура Серия «Знакомство с высшей математикой» Понтрягин Л. С. Метод координат. Понтрягин Л.С. Анализ бесконечно малых. Понтрягин Л. С. Алгебра. Понтрягин Л.С. Дифференциальные уравнения и их приложения. Серия «Классический университетский учебник» Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. КолмогоровА.И ., Драгалин А. Г. Математическая логика. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных у| Кононович Э.В., Мороз В. И. Общий курс астрономии. ИшхановБ.С ., КапитоновИ.М., ЮдинН.П.Частицы и атомные ядра. Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. В 4 т. тической 4ЖЗИКИ. ев; 09 ■Ш со ев к По всем вопросам Вы можете обратиться к нам: тел./факс (499) 135-42- 16, 135-42-46 или Э4ек7п^«ш0н/10Ч1Я0«11К88@1;К$8.П1 Полный каталог изданий представлен в интернет-магазине: Ь«р://иК58.п! Научная и учебная литература бв ев иК88.ги л 'иН88.ги>^^иН88.ги »ик88.ги
Николай Григорьевич ТАКТАРОВ Доктор физико-математических наук, профессор. Окончил Мордовский государственный универси­ тет по специальности «математика», аспирантуру МГУ им.М .В .Ломоносова по гидромеханике. В течение многих лет заведовал кафедрой теоре­ тической механики на математическом факультете Мордовского университета. В настоящее время — профессор математики. Опубликовал свыше 120 научных работ и учебных пособий, в том числе 2 монографии. Заслуженный деятель науки Рес­ публики Мордовия. Занимался популяризацией естественных наук в периодической печати, на ра­ дио и телевидении. Наше издательство предлагает следующие книги: 1Г«»..ИТ . НАУЧНАЯ ИУЧЕБНАЯ ЛИТЕРАг У”785397 '0665:^3 !0:24 Е-та11: иК38@иК5^ Г Каталог изданий в Интернет» И«р://иР88.ги Тел ./факс (многоканр +7(499)17 Е-та11: иК88@иК88.ги Каталог изданий в Интернете: Н«р://иК55.ги