среднее -----
профессиональное
образование
Β.Π. Омельченко
Э.В. Курбатова
МАТЕМАТИКА
5-е издание

среднее
профессиональное
образование
В.П. Омельченко
Э.В. Курбатова
МАТЕМАТИКА
5-е издание

УДК 51(075.32)
ББК 22.1я723
КТК 11
O-57
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор
A.M. Лерер;
кандидат физико-математических наук, доцент
Г.В.Антоненко
Главы 1, 3 написаны
кандидатом физико-математических наук
Н.В. Карасенко
Омельчевко В.П.
0-57 Математика: учеб. пособие / В, П. Омельченко,
Э. В. Курбатова. — Изд. 5-е, стер, — Ростов н/Д: Фе-
никс, 2011. — 380 с. — (Среднее профессиональное об-
разование).
ISBN 978-5-222-17602-3
Содержание учебного пособия соответствует примерной
программе по математике для специальностей среднего профес-
сионального образования. Подробно рассмотрены основы дис-
кретной математики, математический анализ, основные числен-
ные методы, теория вероятностей и математическая статисти-
ка. Изложение теоретического материала сопровождается боль-
шим количеством примеров и задач. В коние каждого раздела
приводятся задания для самостоятельной работы.
Пособие предназначено для учащихся всех специальностей
средних специальных учебных заведений.
ISBN 978-5-222-17602-3 УДК 51(075.32)
ББК 22.1я723
© Омельчснко В.П., Курбатова Э В , 2011
© Оформление: ООО «Феникс», 2011

Предисловие
Настоящее учебное пособие написано в соответствии с
программой по математике, утвержденной Управлением
среднего профессионального образования Минобразования
РФ в 2002 году. Программа предназначена для реализации
государственных требований к минимуму содержания и
уровню подготовки выпускников по специальностям сред-
него профессионального образования и является единой для
всех форм обучения.
Учебное пособие состоит из четырех глав.
В первой главе рассматриваются основы дискретной ма-
тематики. Даются определения множества, способы задания
множеств, операции над множествами, типы отношений,
а также основные понятия теории графов.
Вторая глава посвящена математическому анализу. Под-
робно рассматриваются основы дифференциального и ин-
тегрального исчисления. Приводится много примеров ре-
шения задач на вычисление пределов функций, вычисления
производных и интегралов, нахождения частных производ-
ных. В этой же главе рассматривается решение обыкновен-
ных дифференциальных уравнений и дифференциальных
уравнений в частных производных. В конце главы приве-
дены основы числовых и функциональных рядов.
В третьей главе рассмотрены методы численного интег-
рирования и дифференцирования, а также численное реше-
ние обыкновенных дифференциальных уравнений.
Четвертая глава посвящена теории вероятностей и мате-
матической статистики. Даны понятия случайного события
и его вероятности, рассмотрены законы описания случай-
ных величин и их характеристики, приведены формулы
определения математического ожидания, дисперсии и сред-
него квадратического отклонения дискретной случайной
величины.

4
Математика
Большое количество решенных примеров, а также за-
дач дяя самостоятельного решения позволяют использовать
данное учебное пособие не только для изучения теорети-
ческих основ дисциплины, но и как задачник по общему
курсу математики дяя средних специальных учебных заве-
дений.
По итогам изучения дисциплины студент должен:
► знать:
— основные понятия и методы дискретной математики,
математического анализа, теории вероятностей и ма-
тематической статистики;
— основные численные методы решения прикладных
задач;
► уметы
— решать прикладные задачи с использованием элемен-
тов дифференциального и интегрального исчисления;
— решать обыкновенные дифференциальные уравнения
и простейшие уравнения в частных производных;
— находить значения функций с помощью ряда Макло-
рена;
— решать простейшие задачи, используя элементы тео~
рии вероятностей;
— находить функцию распределения случайной вели-
чины;
— использовать метод Эйлера для численного решения
дифференциальных уравнений;
— находить аналитическое выражение производной по
табличным данным.
Авторы приносят благодарность рецензентам: профессо-
ру А.М+ Лереру и доценту Г\В, Антоненко.

[йшш*
Θ
Основы дискретной
МАТЕМАТИКИ
1.1. Множества и отношения
В данном разделе для сокращенной записи будем исполь-
зовать следующие символы:
► а е А — я является элементом множества А;
► а€ А — α не является элементом множества А\
► 0 — пустое множество;
► {ач d, с) — множество, состоящее из трех элементов a, due;
► {xjPCx:)} — множество, состоящее из таких элементов ху
для которых истинно утверждение Р(х);
► А и В — объединение множеств А и В;
► An В — пересечение множеств А и В;
► А с В — А является подмножеством В;
► А \ В — разность множеств А и В;
► А — дополнение множества А до универсального мно-
жества;
► U—универсальное множество;
► a R b — между о и b существует бинарное отношение Л.
L1.1. Основные понятия
В тех случаях, когда невозможно дать четкого определе-
ния какому-либо предмету или явлению, люди пользуются
понятиями. Основные понятия не определяются. У каждого
из нас существуют интуитивные представления о них, ос-
нованные на личном опыте.
Введем понятие множества.
Множеством называют совокупность объектов, объеди-
ненных по определенному признаку.

б
Математика
О множестве известно, что оно состоит из элементов.
Например, множество студентов определенного колледжа,
множество зрителей данного театра, множество слушате-
лей в аудитории и т.п.
Множества обозначают заглавными буквами латинско-
го алфавита А, В, С ..., с индексами или без них. Элементы
множества обозначают малыми латинскими буквами я, 6,
с,..., v, z в случае, если речь идет о множестве вообще, или
же за ними сохраняют конкретные обозначения. Принад-
лежность элемента*/ к множеству N записывается так: as N
(читается «а принадлежит М>). Непринадлежность элемен-
та А к множеству N обозначается Ь g N (читается «Ь не при-
надлежит М>).
Способы задания множеств:
► Перечислением всех объектов, входящих в множество. Та-
ким способом можно задать лишь конечные множества.
Обозначение—список в фигурных скобках. Например,
множество натуральных чисел, делителей числа 6:
#={1,2,3,6}.
► Описанием характеристических свойств, которыми обла-
дают все элементы множества. Обозначается:
N= {х\ Р(х)} или N= {х: Р(х)).
Например, множество Af = {1, 2, 3, 6} можно записать и
таким образом: N = {х\ х — натуральное число, делитель
числа 6}.
Свойство Ρ состоит в том, что объект есть натуральное
число, на которое делится число 6.
Приведем еще примеры множеств, встречающихся в
школьном курсе математики:
L = {(Xr у)\ (*,v)e Л, ах + by = с\ — прямая линия,
Μ = {(.ν, у)\ (х,у)е R,ax + by<c\ — полуплоскость, со-
держащая начало координат, если с > 0. (Напомним, что
R — множество действительных чисел.)

Глава 1. Основы дискретной математики
7
♦ Пример 1.1
Задать различными способами множество N всех нату-
ральных чисел; 1, 2, 3, 4, 5, ...
Решение:
Перечислением множество N задать нельзя, так как оно
бесконечно. Множество можно задать описанием характе-
ристического свойства элементов множества:
N= {x\ х — целое положительное число}.
♦ Пример 1.2
Оценить корректность определения множества^:
Л = {1,2,3,3,4}.
Решение:
При перечислении элементов множества не следует ука-
зывать один и тот же элемент несколько раз. Корректное
определение: А = {1,2, 3,4}·
Множество А называют подмножеством множества В,
если каждый элемент множества Л является элементом мно-
жества В. Обозначается A<zB.
Например: А = (1,2, 4}, В= {1,2,4,8, 12,16}. А с В.
Среди всех множеств выделяется я^тое множество, ко-
торое не содержит ни одного элемента. Пустое множество
обозначается знаком 0. Принято считать, что пустое мно-
жество является подмножеством любого множества.
Если одновременно А а В и В с А, то говорят, что мно-
жества Λ Hi? равны (А = В).
LL2. Операции над множествами
Для наглядного представления операций над множества-
ми применяют своего рода диаграммы. Построение диаг-
раммы заключается в изображении большого прямоуголь-
ника, представляющего универсальное множество V, а внут-
ри него — кругов Эйлера, представляющих множества.

8
Математика
Вместо кругов Эйлера определенные множества изобра-
жают любые другие замкнутые фигуры, и такую иллюстра-
цию называют диаграммами Венна.
Для рассуждений, связанных с множествами, будем ис-
пользовать язык диаграмм Эйлера-Венна.
Область, представляющую то подмножество, которое нас
интересует, отметим штрихами. На рисунке 1.1 первая диа-
грамма соответствует универсальному множеству С/, вто-
рая— его пустому подмножеству, третья—произвольному
подмножеству Л.
Объединением множеств А {иА2
называют множество В% состоя-
щее из всех тех элементов, кото-
рые принадлежат хотя бы одно-
му из множеств Αν Α2 (рис. 1.2).
Тот факт, что В есть объединение
АхнАт записывается:
В = А{ иА2,
В- {х\хв А{ или хе А2 }.
На рисунке 1.2 вся заштрихованная область представля-
ет собой множество В.
Пересечением множеств АгиА2 называется множество В,
состоящее из тех и только тех элементов, которые принадле-
жат и множеству A v и множеству А ? одновременно (рис. 1.3).
Рис. 1.2

Гхава 1. Основы дискретной математики
9
То, что В есть пересечение Л
hAv записывают так:
В^А[пА1,
В- {х\хе А{ и хе А2}.
Разностью множеств Α}ηΑΙ pUCe j$
называют множество В, состоя-
щее только из тех элементов множества А,, которые не со-
держатся в А 2 (рис. 1.4).
Разность множеств обозначается:
B = A{\AV
5= {x\xeAh xtA2 }.
Разность — операция строго
некоммутативная. В общем слу-
члсА}\А2фА^Ау
Пусть U — универсальное
множество такое, что все рас-
сматриваемые множества явля-
ются его подмножествами.
Дополнением (до U) множества А назы-
вается множество А всех элементов, не
принадлежащих А, но принадлежащих
универсальному множеству U(pnc. 1.5).
A=U\A.
Рис. 1.5
♦ Пример 1.3
Пусть X—множество студентов I курса одного факульте-
та университета, учащихся на «отлично» и «хорошо», а У—
множество студентов I курса другого факультета универси-
тета, учащихся аналогично. Определить множество XkjY.

10
Математика
Решение:
XuY — это множество студентов I курса двух факуль-
тетов, успевающих на «хорошо» и «отлично».
♦ Пример 1.4
Пусть X— это множество государственных предприятии
с годовым оборотом Ь не ниже а. Пусть Υ— это множество
предприятий с годовым оборотом h не выше с, (Пусть а < с.)
Определить пересечение множеств Χ η Υ.
Решение:
Пересечение множеств Χ η Υ означает совокупность
объектов с годовым оборотом А, удовлетворяющим нера-
венству а<Ь<с-
♦ Пример 1.5
Даны множества А, = {a,b, с)\А2- {c.d, e,f)\ U= {ayb,c,
d, ej\. Осуществить над множествами операции: а) объеди-
нения; б) пересечения; в) разности; г) дополнения.
Решение:
а) объединение множеств А{\\ А2 содержит все элементы,
принадлежащие множествам Л, иА2:
AtUA2={a,b,c,d,e,f};
б) пересечение множеств А1 и А2 содержит только элементы,
принадлежащие и первому, и второму множествам:
А]пА2 -{с};
в) используя определение разности множеств, получаем:
Ax\A2={a4b\4A£Ax = id*e,j)\
г) дополнение А{ содержит только те элементы множест-
ва I/, которые не принадлежат Л,:
Аналогично, А2 = U \ А2 = {а,Ь}.

Глава 1, Основы дискретной математики
11
♦ Пример 1.6
Пусть ЛН1,ЗЬД= {2,3,4>,С={2,4),<7= {1,2, 3,4}»
Найти; а) Л и£; б) ЛпД; в)Лп#; г) (Я\С)и А
а)Найдем Ли5,
А — это дополнение множества А до множества (У, т.е.,
чтобы получить А из элементов множества U- {1,2, 3, 4},
исключим элементы множества ^={1,3}. Получаем:
1=£/\Л = {1,2,3,4}\{1,3} = {2?4}.
Аналогично вычислим дополнение множества В до уни-
версального множества U. Оно содержит только те элемен-
ты, которые не принадлежат множеству В.
i = t/\/U{UA4}\{2,3,4} = {lb
Объединение 2 и В = {2,4} и {1} = {1,2,4};
б) определим ^4п5.
Найдем множество Л η 5. Оно содержит только те эле-
менты, которые принадлежат и множеству А = {1,3} и мно-
жеству В= {2, 3, 4}. Очевидно, что такой элемент только
один.Получаем,что АпВ~{3}.
Дополнение А г\ В содержит только те элементы универ-
сального множества U, которые не принадлежат множе-
ству А п В.
АпВ = и\(АпВ).
Окончательно получаем:
^П5 = {1,2,3,4}\{3} = {1,2,4};
в) Найдем множество Ас\В.
Последовательность определения В = {1} подробно рас-
смотрена в пункте«а».

12
Математика
Α η В содержит только те элементы, которые принадле-
жат и множеству А, и множеству В. Легко видеть, что та-
кой элемент только один:
АпВ ={13} п{\} = {1};
г) определим, что представляет собой множество
(В \ С) и А. Разность множеств В и С— это множество, со-
стоящее только из тех элементов множества В, которые не
содержатся в множестве С: В\С= {2,3,4}\{2, 4} = {3}.
Объединяя полученное множество с множеством А, по-
лучаем: (В\С)иА = {3)и{1,3} = {1,3}, так как один и тот
же элемент не указывают несколько раз.
♦ Пример 1.7
Представить множество Α η (В и С) диаграммой Эйле-
ра -Венна.
Решение:
Начнем с изображения универсального множества U
в виде прямоугольника и множеств АуВиСв виде кругов
в этом прямоугольнике. Круги, изображающие множества
А, В и С, размещаем так, чтобы они имели общие области
(рис. 1.6а). _
Изобразим множество В и С. Для этого заштрихуем
множество В и всю область универсального множества за
исключением круга, представляющего множество С_Линии
штриховки в области множества В и множества С нано-
сим под разными углами. Область на рисунке 1.66, куда
попала хотя бы одна из штриховок, представляет собой мно-
жество β и С.
Изобразим на диаграмме рисунка 1.6в множество Λ штри-
ховкой в одном направлении, а множество В и С — штри-
ховкой в другом направлении. Искомое множество
A n(BkjC ) представлено площадью с двойной штрихов-
кой. Выделим полученное решение жирной линией.

Пиша 1. Основы дискретной математики
13
а)
♦ Пример 1.8
С помощью диаграммы Эйлера-Венна изобразить мно-
жество (Л η С) и (В η С).
Решение:
Последовательность построения диаграммы представле-
на на рис. 1.7.
(АпС)и(ВпС)
в)
Аг\С ВпС
а) б)
Рис. 1.7
♦ Пример 1.9
С помощью диаграмм Эйлера-Венна и конкретных мно-
жеств доказать справедливость соотношения:
Ап(ВиС) = (АпВ)и(АпС).
Решение:
Левой часта равенства соответствуют диаграммы, при-
веденные на рис. 1.8. Множество Α η (В vj С) изображено
двойной штриховкой на правой диаграмме (рис. 1.86).

14
Математика
a) BkjC б) Ап{В<иС)
Рис. 1.8
Правая часть равенства приведена на рис. 1.9. Сравнение
конечных диаграмм на рис. 1.8 и рис. 1.9 подтверждает спра-
ведливость доказываемого соотношения.
АпВ АглС (AnB)v(AnC)
а) б) в)
Рис. 1.9
Пусть А = {□, *, ΔΙ, В = {□, о}, С= {о, *, Δ, #}.
Определим множество, соответствующее левой части
равенства:
BkjC = {П. о} u {о, ♦, Δ, #} = {п. о, *, Δ, #}.
Множество Α η (В и С) содержит элементы, принадлежа-
щие множеству А и множеству В и С:
Лп(ДиС) = {П,*,А}г>{О,0,*,А,#} = {П.*,А}. (1.1)
Для правой части равенства:
ΛηΒ= {Ο, *.Δ}η {D, <>} = {□},

Гщаяа 1. Основы дискретной математики
15
А пС = <□. *, Δ} η {о, *, Δ, #} = {*, Δ}.
Окончательно получаем:
(АпВ)и(АпС)={П\и {\ Δ} = {□, *, Δ}. (1.2)
Таким образом, левая (1.1) и правая (1.2) части равенства
соответствуют одному и тому же множеству, т.е. равенство
доказано.
♦ Пример 1.10
Пусть универсальное множество U—множество всех уча-
щихся и преподавателей некоторого техникума; А — мно-
жество всех преподавателей; В — множество учащихся, ус-
певающих по всем дисциплинам на «отлично»; С — мно-
жество неуспевающих учащихся; D — множество учащих-
ся в группе № 1. Каков содержательный смысл каждого из
следующих множеств:
а)Л; _ 6)2?; в)впД г) D\C;
jx)A\jC\ c)Au(BnD); ж)С\ГЯ
Решение:
в) А — множество всех учащихся техникума (без препо-
давателей);
6) В — множество преподавателей и учащихся, кроме ус-
певающих по всем предметам на «отлично»;
в)ВпО— множество отличников, обучающихся в груп-
пе № I;
г) D\C — множество учащихся группы № 1, справляющих-
ся с учебным планом;
д) А и С — множество преподавателей и всех успевающих
учащихся;
е) А и (В η D) — множество преподавателей и отличников
из группы № 1;
ж) C\D — множество неуспевающих учащихся всех групп,
кроме первой.

16
Математика
♦ Пример 1.11
Проиллюстрировать на содержательном примере неком-
мутативность операции разности множеств: А \ В # В \ А.
Решение:
Пусть А = {*,·, #, ?,D,o}1i= {*, Δ, #, + }.
Λ\θ={·,?, Π,ο>,ΛΛ = {Δ,+ }.
Сравнение множеств A\Bvl B\A свидетельствуют о том,
что они не равны и, следовательно, подтверждают неком-
мутативность операции разности множеств.
♦ Пример 1.12
Доказать на содержательном примере справедливость
соотношения: А и(Вп С) = (А и В) η (А и С).
Решение:
Пусть/1 = {*,е,#},В={П},С={о, + ,П,#}.
^u(SnC)={V,#,Df — множество, стоящее в левой
части равенства.
ЛиЯ= {*,·,#, ПК Ли С-{*,·,#, о, + ,П}.
Множество, соответствующее правой части равенства:
(АиВ)п(АиС)= {*,·,#, □>.
Множества левой и правой части совпали.
Свойства операций над множествами
1. Закон идемпотентности для объединения и пересече-
ния множеств:
ХиХ = Х, ХпХ = Х.
2. Закон коммутативности:
XvY = YvX, XnY = Yr\X.
3. Закон ассоциативности:
Xv(YvZ) = (XuY)uZt Χη(ΥπΖ) = (ΧπΥ)ηΖ.
4. Законы дистрибутивности:
Xn(YuZ) = lXnY)v(XnZ),
Xv(YnZ) = (XvY)n(XvZY

Ттштл 1. Основы дискретной математики 17
5. Законы поглощения:
Xv(XnY) = X< Xn(XuY) = X.
6. Законы, описывающие свойства пустого и универсаль-
ного множеств по отношению к объединению и пересече-
нию: Xkj 0 = ХчХгл 0 = 0.XuU=U,XnU = X.
7. Законы дополнения: X\jX = i/, Χ η Χ = 0.
8. Законинволютивностидополнения: X -Χ.
9.ЗаконДеМоргана:XkjY = XnY, XnY = XuY.
Истинность каждого тождества проще всего проверяется
построением диаграмм Эйлера-Венна отдельно для левой
и правой частей, с последующим сравнением результатов.
Большая часть из соотношений 1-9 является очевидной.
Докажем с помощью диаграмм (рис. 1.10) справедливость
первой части свойства 9:
X\jY = XnY.
Левая часть равенства:
Правая часть равенства:
Рис. 1.10

18
Математика
Совпадение конечных диаграмм для левой и правой ча-
стей доказывает рассмотренное тождество.
L1.3. Отношения
Отношения — один из способов задания взаимосвязей
между элементами множества. Наиболее изученными яв-
ляются унарные и бинарные отношения.
Унарные (одноместные) отношения отражают наличие
какого-то определенного свойства R у элемента множе-
ства Μ, Тогда все элементы а из множества Му которые об-
ладают свойством R, образуют некоторое подмножество,
называемое унарным отношением Л. Например, множество
Μ — это компания друзей: Μ = {Юрий, Инна, Игорь, Лена,
Ирина}. Если свойство R «быть девушкой», то унарное от-
ношение R= {Инна, Лена, Ирина}.
Бинарные (двухместные) отношения используются для
определения взаимосвязей, которыми характеризуются
пары элементов множества М+ Тогда все пары {а7 6) элемен-
тов множества М, между которыми существует отношение
Λ, образуют подмножество из множества всех возможных
пар элементов МхМ = М2, называемое бинарным отно-
шением R:(a,h)€. R; RaMxAf.
В общем случае рассматриваются «-местные отношения,
например, тернарные отношения—отношения между трой-
ками элементов.
Рассмотрим более подробно бинарные отношения. Если
бинарное отношение R задается между парами элементов
двух различных множеств М] и Λ/,, тогда отношениеR об-
разует множество пгр(а,Ь)е R прямого произведения
Множество М\ называется областью определения D(R)
отношения R: D(R) = {а\ (а,Ь)е R }.

Пива 1. Основы дискретном математики
19
Множество Af2 называется множеством значений Q(R)
отношения R: Q(R) = Щ (a,b)e R }.
Бинарные отношения могут быть заданы любыми спо-
собами задания множеств. На конечных множествах бинар-
ные отношения обычно задаются:
1. Перечислением пар, для которых это отношение выпол-
няется. Например, для множества Μ = {1,2,3,4} бинарное
отношение R с Μ х А/, если R означает «быть больше», име-
ет вид: R = {(а, Ь)|а,Ье Μ, a>b).
R = {(4, 3), (4, 2), (4,1), (3,2), (3,1), (2,1)} (в каждой паре
первый элемент больше второго).
2. Матрицей — бинарному отношению R с Μ х М, где
М= {а}, а2> ау..., ап} соответствует квадратная матрица по-
рядка л, в которой элементу стоящий на пересечении i-й
строки иу-го столбца, равен 1, если между ах и ^существу-
ет бинарное отношение Л, или 0, если такого отношения
нет,
II,если я, Raj,
О, в противном случае.
Составим, например, матрицу отношения ЛсЛ/хЛ/,
если Μ = {1,2,3,4,5,6} и R означает «быть строго меньше».
Таким образом R - {(а, 6)1 а,Ье А/, а < Ь),
На пересечении первой строки и первого столбца ставим
О, так как ai = 1, а, = 1 и условие а<а* не выполняется. Эле-
мент х12= 1 (на пересечении 1 -й строки и 2-го столбца), так
как ai = 1, а, = 2 и неравенство ai < а} оказалось верным.
Элемент х {3 также равен 1, поскольку для всей первой стро-
ки а#= 1, а для третьего столбца я = 3 и условие бинарного
отношения at<ajвыполняется. Рассуждая аналогично, по-
лучаем матрицу бинарного отношения:

20
Математика
1
2
3
4
5
6
1
0
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
0
3
1
1
0
0
Q
0
4
1
1
1
0
0
0
5
1
1
1
1
0
0
6
0
♦ Пример 1.13
Пусть Μ = {35 4,5,6, 7,8,9}. Записать бинарное отноше-
ние R перечислением и матрицей, если R означает «быть
делителем».
Решение;
R- {(а,Ь)\а,Ь€ Μ, α—делитель Ь).
R = {(3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8), (5, 5), (6, 6), (7, 7),
(8, 8), (9, 9)}.
В матрице бинарного отношения R на пересечении стро-
ки элемента а и столбца элемента b записываем 1, осталь-
ные пары элементов определяют нуль.
^
3
4
5
6
7
8
9
3
1
0
0
0
0
0
0
4
0
1
0
0
0
0
0
5
0
0
1
0
0
0
0
6
1
0
0
1
0
0
0
7
0
0
0
0
1
0
0
8
0
1
0
0
0
1
0
9
1
0
0
0
0
0
1

Глава I- Основы дискретной математики
21
Свойства бинарных отношений
1. Рефлексивность. Бинарное отношением рефлексивно,
если для любого элемента ав Μ данное бинарное отноше-
ние выполняется, т.е. a R а. Отношение «жить в одном го-
роде» рефлексивно.
Матрица рефлексивного бинарного отношения на глав-
ной диагонали содержит только единицы, так как отноше-
ние выполняется для всех пар {а, а), а им соответствуют эле-
менты главной диагонали.
2. Антирефлексивность. Бинарное отношение/? антиреф-
лексивно, если для каждого элемента де Μ не выполняет-
ся бинарное отношение a R а. Например, отношение «быть
сыном» — антирефлексивно, так как ни для каких а не вы-
полняется а — сын а. Из определения антирефлексивности
бинарного отношения следует, что его матрица на главной
диагонали содержит только нули.
3. Симметричность* ОтношениеR симметрично, если для
любой пары(а,6)е МхМ бинарное отношение выполня-
ется в обе стороны; из я R Ъ следует bR а. Например, отно-
шение «учиться в одном техникуме» симметрично. Пара
элементов (Петров, Иванов) данного бинарного отноше-
ния означает «Петров учится в одном техникуме с Ивано-
вым». Очевидно, что на паре (Иванов, Петров) отношение
также выполняется; «Иванов учится в одном техникуме с
Петровым». Учитывая, что отношение R для любой пары
выполняется в обе стороны, либо не выполняется вообще
(Ху = хХ матрица симметричного отношения симметрична
относительно главной диагонали.
4. Антисимметричность. Бинарное отношение R анти-
симметрично, если ни для каких различающихся элемен-
тов а и b (α Ψ b) не выполняется одновременно aRbnbRa.
Например, отношение «быть начальником» антисимметрич-
но. Пара (Рыжков, Зуев) означает «Рыжков — начальник
Зуева», Наоборот, (Зуев, Рыжков) не является бинарным
отношением «быть начальником». В матрице антисиммет-

22
Математика
ричного бинарного отношения отсутствуют единицы, сим-
метричные относительно главной диагонали.
5. Транзитивность. Бинарное отношение R транзитивно,
если для любых элементов а, Ь, с из того, что aRbn bRe,
следует a Re. Например, отношение «быть братом» тран-
зитивно. Действительно, пара (Петр, Василий) — «Петр —
брат Василия» и пара (Василий, Иван) — «Василий — брат
Ивана» делают справедливым отношение (Петр, Иван) —
«Петр—брат Ивана»,
♦ Пример 1.14
Определить свойства бинарного отношения R «быть де-
лителем», заданного на множестве натуральных чисел N.
Решение:
R - {(я, 6)| а — делитель Ь}
► отношение R — рефлексивно, так как любое число явля-
ется делителем самого себя и пары (я, а) являются эле-
ментами отношения Л;
► отношение R — антисимметрично, например 5 является
делителем числа 25, но 25 не является делителем числа 5;
► отношение R — транзитивно, так как если h делится на а
и с делится на 6, то с делится на а. Например, Ь= 12, а=4,
с = 24. Если 12:4=3 и 24:12 = 2, то 24:4 = 6.
♦ Пример 1Л5
Определить свойства бинарного отношения R «быть бра-
том», заданного на множестве людей.
Решение:
К= {(а, 6)| а — брат Ь\
► нерефлексивно, так как отношение aRawt выполняет-
ся. На множестве людей отдельный индивидуум сам себе
братом не является;
► антирефлексивно, так как отношением Λ о не выполняет-
ся ни для какого я, принадлежащего множеству людей;

foraa 1. Основы дискретной математики
23
► несимметрично, так как в общем случае наличие отно-
шения a R b не влечет Ь R и. Например, Петр — брат
Анны не означает, что Анна — брат Петра;
► не антисимметрично, так как если aRbnbRa.,To отсю-
да не следует, что а = Ь. Если Иван — бран Василия и
Василий — брат Петра, то это не означает, что Иван и
Василий —- один и тот же человек;
► транзитивно, так как если a R b и b R с, то, следователь-
но, a R г. Действительно, если Иван — брат Василия и
Василий — брат Анны, то Иван — брат Анны.
Типы отношений
Отношением эквивалентности (эквивалентностью) назы-
вают бинарное отношение, если оно обладает свойствами
рефлексивности, симметричности и транзитивности. Напри-
мер, отношение «жить в одном городе», заданное на мно-
жестве людей, обладает всеми указанными выше свойства-
ми и потому является эквивалентностью.
Эквивалентность Л разбивает множество Л/, на котором
оно задано, на непересекающиеся подмножества, причем дпя
элементов одного и того же подмножества отношение R
выполняется, а между элементами разных подмножеств за-
данное отношение отсутствует. В этом случае говорят, что
отношение R задает разбиение на множестве М, или, други-
ми словами, задает систему классов эквивалентности.
Отношением нестрогого порядка называют бинарное от-
ношение, если оно обладает свойствами рефлексивности,
антисимметричности и транзитивности.
Отношением строгого порядка называют бинарное от-
ношение, если оно антирефлексивно, антисимметрично и
транзитивно.
Например, отношение «быть не меньше», заданное на
множестве натуральных чисел, является отношением нестро-
гого порядка, а отношение «быть больше» — отношением
строгого порядка.

24
Математика
В результате задания отношения порядка на множестве
Μ оно может быть:
1) полностью упорядоченным. Между двумя любыми элемен-
тами множества А/ можно задать отношение порядка,
Например, на множестве людей между двумя любыми
элементами можно задать отношение R «быть не стар-
ше». Следовательно, это бинарное отношение задает пол-
ный порядок на множестве людей;
2) частично упорядоченным, когда бинарное отношение не
может быть задано между двумя любыми элементами
множества, т.е. когда элементы множества не сравнимы
по данному отношению. Например, отношение «быть на-
чальником», заданное на множестве сотрудников одной
организации, устанавливает частичный порядок, гак как
пара сотрудников, занимающих одинаковые должно-
сти, не могут быть сравнимы по данному отношению,
♦ Пример 1.16
Определить типы отношений:
1) на множестве формул отношение равносильности:
(a^b)2 = a2 + 2ab + b2;
2) на множестве программ {(a, b) \ а и b вычисляют среднее
значение случайной величины};
3) на множестве {а, б, в, г, д, е, ж, з} отношение предше-
ствования букв в русском алфавите.
Решение:
Отношения, указанные в п. 1 и 2, являются отношения-
ми эквивалентности, так как имеют все характерные свой-
ства данного типа отношений. Отношение, заданное в п. 3,
является отношением строгого порядка.
♦ Пример 1.17
Какой порядок на множестве задают следующие отно-
шения:

Пиша 1. Основы дискретной математики
25
!)£ и >, а также < и > на множестве натуральных чисел;
2) подчиненности на предприятии?
Решение:
Отношения, указанные в п. 1, полностью упорядочива-
ют множество натуральных чисел.
Отношение, указанное в п. 2, задает строгий частичный
порядок, поскольку существуют пары элементов, между
которыми нельзя установить указанное отношение: сотруд-
ники, имеющие одинаковые должности.
♦ Пример 1.18
Проиллюстрировать диаграммой Венна следующие раз-
биения универсального множества:
1) {АпВМ^ВМ пВ,А пВ};
2) {А\В,АпВуВ\А}\
3) M,J}.
Решение:
Заданные разбиения представлены на рисунке 1.11.
Аг\В АпВ
υ 2) з)
Рис. LJ1
1.2. Основные понятия теории графов
Графические представления — удобный способ иллюст-
рации различных понятий, отображения исследуемого про-
цесса.

26
Математика
Все более распространенным становится представление
количественных показателей в виде гистограмм, круговых
и столбцовых диаграмм, по наглядным характеристикам
которых (высота, ширина, площадь, радиус и др.) можно
судить о количественных соотношениях сравниваемых
объектов, значительно упрощая их анализ.
Мощным и наиболее исследованным классом объектов,
относящихся к графическим представлениям, являются так
называемые графы. В теории графов используется геометри-
ческий поход к изучению объектов. Основное понятие тео-
рии — граф — задается множеством вершин (точек) и мно-
жеством ребер (дуг), соединяющих некоторые пары вершин.
Пример графа — схема метрополитена: множество станций
(вершины графа) и соединяющие их линии (ребра графа).
Основоположником теории графов является Леонард
Эйлер, опубликовавший в 1736 г. решение задачи о кенигс-
бергских мостах. В городе Кенигсберге было два острова,
соединенных семью мостами так, как показано на рисун-
ке 1.12. Задача состояла в следующем: найти маршрут про-
хождения всех четырех частей суши (Λ, В, С, Ζ)), который
бы начинался с любой из них, кончался на ней же и только
один раз проходил по каждому мосту.
в {
Рис. L12
Эйлер доказал, что задача не имеет решений. Для этого
он обозначил каждую часть суши точкой (вершиной), а каж-
дый мост — линией (ребром). Получился граф, представ-

Bum 1. Основы дискретной математики
27
ленный на рисунке 1.13. Утверждение о невозможности на-
хождения указанного маршрута эквивалентно утверждению
о невозможности обойти граф указанным образом.
С Отправляясь от этого част-
/*Sw ного случая, Эйлер обобщил
/ \ ^**s^ постановку задачи и нашел
I J ^^v. критерий обхода (специально-
AyL j> D го маршрута): граф должен
(\ ^^ быть связанным, а каждая его
I 1 ^^ вершина должна быть инци-
\L·^^ дентна четному числу ребер.
ТГ Существенный вклад в тео-
рию графов внесли в первой
с' ' половине XX в. немецкие уче-
ные Кирхгоф и Келли. Изучение Кирхгофом электрических
цепей привело к разработке основных понятий и получе-
нию ряда теорем, касающихся деревьев в графах. Келли по-
дошел к исследованию деревьев, решая задачи исследова-
ния химических веществ с различными типами молекуляр-
ных соединений. Однако широкое распространение теория
графов получила лишь с 50-х гг. в связи со становлением
кибернетики и развитием вычислительной техники, когда
теория графов существенно обогатилась новыми материа-
лами и подходами. Тогда же началось системное изучение
графов с различных точек зрения (структурная, информа-
ционная и др.). В это время формулировались проблема-
тика и методы теории графов.
Графы находят применение при проектировании вычис-
лительных машин, в теории программирования, в изуче-
нии химических, физических и технологических процессов,
в решении задач сетевого планирования и управления,
в проектировании организационных структур управления,
в лингвистических и социологических исследованиях и т.д.
Теория графов тесно связана с топологией, теорией чи-
сел, комбинаторикой, алгеброй и другими разделами ма-
тематики.

28
Математика
Теория [рафов решает большое число разнообразных
задач. Это задачи по анализу графов, определению харак-
теристик их строения, подсчет графов или их частей, обла-
дающих определенными свойствами, решение транспорт-
ных задач, связанных с перевозкой грузов по сети и др.
Отдельный класс составляют задачи по синтезу графов с
заданными свойствами.
L2.L Графы. Основные определения
Графом G называется совокупность двух множеств: вер-
шка V и ребер £*, между элементами которых определено
отношение инцидентности— каждое ребро с € Ε инцидент-
но ровно двум вершинами и и \\ которые оно соединяет.
Вершины и и ν называют смежными, а о вершине и и ребре е
говорят, что они инцидентны, так же как и ν и е.
Если два ребра инцидентны
одной и той же вершине, то они
называются смежными. На ри-
сунке 1.14 вершины / и 2 —-
смежные, У и 3 — нет. Ребра е{ и
е-ь
смежные, de{ и е.
нет.
Рис. 1.14
При изображении графа не
все его детали одинаково важ-
ны. Несущественными являют-
ся геометрические свойства ребра (длина, кривизна и т.д.) и
взаимное расположение вершин на плоскости. На рисун-
ке 1.1 5 приведены одинаковые графы G{ и 6\ (G{ - G,).
/· * 2 а 4
Рис. 1.15

Гяава 1. Основы дискретной математики
29
Граф называется правильным, если его ребра не имеют
общих точек, отличных от вершин графа. На рисунке 1.15
правильный граф(72, граф G} — неправильный, так как реб-
ра, соединяющие вершины 1, 3 и 2,4 имеют общую точку,
которая не является вершиной 1рафа (точка пересечения диа-
гоналей прямоугольника).
Для любого графа существует его правильная реализа-
ция в пространстве, но не любой граф можно правильно
реализовать на плоскости. Правильно реализованные на
плоскости графы называются плоскими. Граф G2 на рис. 1.15
является плоским. Примером неплоского графа может слу-
жить граф G1 + G2 на рис. 1.35.
Чтобы реализовать неплоские графы в пространстве в
микроэлектронике пришлось создать технологию много-
слойных печатных плат.
Ребра, соединяющие вершины сами с собой, называются
петлями. На рисунке 1.166 петли обозначены е{, е2, е}.
Ребра, инцидентные одной и той же паре вершин, назы-
ваются параллельными, или кратными {тгр на рис. 1.16а и
ху у\ z — параллельны).
А
а)
Рис. L16
Ребро, соединяющее две вершины, может иметь направ-
ление от одной вершины к другой, оно называется направ-
ленным, или ориентированным. На рисунке 1.17 представле-
ны примеры графов с тремя вершинами и тремя дугами.

30
Математика
£-£-А
Рис. 1.17
Граф, соединяющий ненаправленные ребра, называется
неориентированным (рис. 1.13-1.16).
Граф называется конечным, если множество его элемен-
тов (вершин и ребер) конечно, и пустым, если множество
его вершин, а значит, и ребер пусто.
Граф называется полным, если каждая пара вершин со-
единена ребром и граф не содержит петель и кратных ребер.
Дополнением графа G называется граф G, имеющий те
же вершины, что и граф (7, и содержащий только те ребра,
которые надо добавить к графу (7, чтобы получить полный
граф.
Подграфом графа G называется граф, у которого все вер-
шины и ребра принадлежат G, На рисунке 1.18а изображен
граф, а на рис. 1.186 — два его подграфа.
б)
Рис. 1.18
Графы G, и G2 называются равными (G, = С2), если мно-
жества их вершин и ребер (выраженных через пары инци-
дентных им вершин) совпадают: V}=V2nEx- Ег (рис. 1.15).
Граф G является полностью заданным, если нумерация
его вершин и ребер зафиксирована. Графы, отличающиеся
только нумерацией вершин, называются изоморфными. Изо-

Гяава 1. Основы дискретной математики
31
морфизм есть отношение эквивалентности на графах, т.е. оно
рефлексивно, симметрично и транзитивно. В математике
понятие «изоморфизм» означает похожесть однотипных
объектов. Запись <7, ^ G2 означает, что графы G} и G2 —
изоморфны. Изоморфные графы изображены на рис. 1.19.
G^G2
Рис. 1.19
Локальной степенью ρ (V) (или просто степенью) верши-
ны графа G называют количество ребер, инцидентных вер-
шине V.
Поскольку каждое ребро инцидентно двум вершинам,
в сумму сгепеней вершин графа каждое ребро вносит двой-
ку. Таким образом, мы приходим к утверждению, которое
установлено Эйлером и является исторически первой тео-
ремой теории графов.
Сумма степеней вершин графа G равна удвоенному числу
егоребер:
£р(П = 29.
VeG
В любом графе число вершин с нечетными степенями
четно (см. пример 1.20).
Для вершин орграфа (графа с ориентированными реб-
рами) определяются две локальные степени:
1) рД V) — число ребер с началом в вершине V, или количе-
ство выходящих из вершины V ребер;
2) Р2(И) — количество входящих в V ребер, для которых
эта вершина является концом.

32
Математика
Петля дает вклад 1 в обе эти степени.
В орграфе суммы степеней всех вершин ρ{(V) и р2( V) рав-
ны количеству ребер т этого графа, а значит и равны меж-
ду собой (см. пример 1.20):
V У
Вершина графа называется изолированной, если ее локаль-
ная степень равна нулю: р( V) = 0.
Концевой называют вершину, локальная степень которой
равна l:p(F)=l.
Графы, у которых все вершины имеют одинаковую сте-
пень, называются регумрными, или однородными.
♦ Пример 1.19
Задать граф, представленный на рисунке 1.20, через мно-
жество вершин К и ребер Ε.
Рис. L20
Решение:
Множество поименованных вершин У- {ν,,ν2,ν3,ν4,ν5,ν6}.
Множество поименованных ребер Е- {ev ev еу е4, е5}.
Для задания графа требуется установить отношение
инцидентности ребер соответствующим вершинам.

Глава 1. Основы дискретной математики
33
Множество ребер, каждое из которых представлено па-
рой своих концевых вершин:
£"= U>V V· К* у,з>> lyy »*>· (vy v2>> (yv ve)b
Порядок указания вершин при описании ребра здесь без-
различен, так как все ребра в графе С неориентированы.
♦ Пример 1.20
Определить степени вершин графов, изображенных на
рис. 1.21.
Решение:
Степени вершин неориентированного графа G,:
р(1) = 3,р(2) = 4,р(3) = 3,р<4) = 2.
Сумма степеней всех вершин графа G{ равна 12, т.е. вдвое
больше числа ребер.
Степени вершин ориентированного графа &>:
pf определяет количество выходящих ребер,
pI(l) = 2,p|(2) = 3fpI(3)=lfpI(4) = 0.
р2 определяет количество входящих в вершину ребер,
р2(1)=Кр2(2)=1,р2(3) = 2,р2(4) = 2.
Суммы степеней вершин первого и второго типа ориен-
тированного фафа G2 совпадают и равны числу ребер графа:

34
Математика
1.2.2. Маршруты цепи, циклы
Рассмотрим неориентированный граф G.
Маршрутом в графе G называется чередующаяся после-
довательность вершин и ребер, в которой каждые два со-
седних ребра еп и еп+, имеют общую вершину. В маршруте
одно и то же ребро может встречаться несколько раз. Нача-
ло маршрута — вершина νρ инцидентная ребру е{ и не ин-
цидентная ребру еТ Вершину ν , инцидентную ребру еп и не
инцидентную ребру eft+r называют концом маршрута. Мар-
шрут называется замкнутым, если ν, = ν и открытым в
противном случае.
Маршрут называется цепью, если все его ребра различ-
ны. Цепь, содержащая только различные вершины и ребра
и непересекающая себя, называется простой цепью.
Замкнутый маршрут называется циклом, если он являет-
ся цепью, и простым циклом, если это простая цепь.
На рисунке 1.22 представлен граф G, иллюстрирующий
описанные выше понятия.
ν
Рис. 1.22
На графе G маршрут ν, ν2 r3 v2 v4 не является цепью, так
как дважды содержит ребро е2.
Маршрут ν, ν2 ν3 ν4 является примером простой цепи,
a v2 v3 v4 v2 — простой цикл.
Две вершины v^ и \>п называются связными, если суще-
ствует маршрут с началом в вершине vk и концом в верши-
не уя. Между связанными вершинами всегда существует
простая цепь. Граф G называется связным, если любая пара

ГМва 1. Основы дискретной математики
35
его вершин соединена простой цепью. Максимальный связ-
ный подграф графа G называется компонентом графа G.
Итак* несвязный граф имеет как минимум два компонента.
Граф на рис. 1.23 имеет 7 компонент.
В связном графе все подграфы связны, следовательно,
неориентированный граф распадается единственным обра-
зом в сумму своих связных графов.
Γ·-=Δ
Рис. 1.23
Длина маршрута vr.. ул равна количеству ребер в марш-
руте, причем каждое ребро считается столько раз, сколько
раз оно встречается в данном маршруте.
Пусть Gx — ориентированный граф.
Последовательность ребер, в которой конец одного реб-
ра совпадает с началом другого, называется путем. Соб-
людение ориентации ребер в пути обязательно, а вот одно
и то же ребро может встречаться несколько раз.
Путь называется ориентированной цепью, если каждое
ребро в нем встречается один раз. Простой цепью в ориен-
тированном графе называют путь, в котором любая вер-
шина инцидентна не более чем двум ребрам.
Замкнутый путь называется контуром. Если контур яв-
ляется простой цепью, то его называют простым циклом, если
обычной цепью, то —циклом. Всякий граф, содержащий цик-
лы, содержит и простые циклы.
Орграф называется связным, если он связен без учета ори-
ентации его ребер, и сильно связным* если из любой верши-
ны ν существует путь в любую другую вершину и с учетом
ориентации ребер.
2·

36
Математика
Расстоянием d{ut ν) между двумя вершинами и и ν графа
G называется длина кратчайшей постой цепи, соединяющей
эти вершины. Если и и ν не соединены, то расстояние между
ними равно бесконечности d(ut ν) = °°.
В связном графе расстояние удовлетворяет следующим
аксиомам:
l)d(u, v)>0;
2) d(ut ν) = 0, тогда и только тогда, когда и = ν;
3)d(u, v) = d(v.u);
4)d(u, v)+ d(v.w)>d(u,w).
Центром ориентированного графа называется вершина,
от которой наибольшее расстояние до других вершин яв-
ляется минимальным. Максимальное расстояние от центра
графа до его вершин называется радиусом графаг(С).
Цепь, которая включает все ребра графа, но имеет раз-
личные начало и конец, называется эйлеровой.
Цикл, содержащий все ребра графа, называется Эйлеро-
вым. Эйлеров граф содержит эйлеров цикл.
Теорема Эйлера: неориентированный конечный граф G яв-
ляется эйлеровым, если он связен и все его вершины имеют
четные степени.
Гамильтонов цикл — простой цикл, проходящий через
все вершины графа. Гамильтонова цепь — это простая цепь
с началом и концом в разных вершинах, соединяющая все
вершины графа.
Обхват графа G— это длина кратчайшего простого цик-
ла, обозначается g{G).
Окружение графа — обозначается c(G) — длина самого
длинного простого цикла. Если граф G не содержит циклов,
то понятия обхвата и окружения для него не определены.
♦ Пример 1.21
В графе G, изображенном на рисунке 1.24, указать при-
меры маршрута, цепи, простой цепи, замкнутого маршру-
та, цикла, простого цикла.

Глава 1. Основы дискретной математики 37
V2f
"/
Рис. 1.24
Peiueitue:
1. Пример маршрута, соединяющего вершины v{ и v9,
не являющегося цепью: (ev ev еу е4, еу е6, eRt е9, е5, ев, е%)
или (е10, еду е»8, ?6, *5, е9) и другие.
2. Пример цепи, которая не является простой цепью,
соединяющей вершины vft и v9: (e5, e^ cv e^ ev elQye9).
3. Пример простой цепи, соединяющей вершины v6 и v9:
(<?6, е$) или (е5, е9).
4. Замкнутый маршрут, не являющийся циклом: (е10, е5,
еЬ* eV е9< е5> е& еЪч е9> е\0''
5. Цикл, не являющийся простым циклом: (ер ev ey е4,
*5' €Ь> ^8' е9* e\Q''
6. Простой цикл: (ev ev ev e4, *|0) или (е5, *6, еъ, е9).
При описании цикла любая вершина может быть выбра-
на в качестве начала, поэтому простой цикл (е5, еь> ev e^ мож-
но записать (еь, ev е9, е5), или (е8, е9> е5, е6) и (е9> еу е6, *g).
♦ Пример 1.22
Какие из графов Gv G2, C3 (рис, 1.25) являются связны-
ми, сильно связными? Ответ обосновать.

38
Математика
3 1
Рис. US
Решение:
Граф G, является связным, так как любая пара его вер-
шин соединена простой цепью, а вот сильно связным он не
является, так как, например, вершина 1 недостижима из дру-
гих вершин с учетом ориентации ребер.
Граф G2 связен и сильно связен, поскольку любая из его
вершин достижима из другой вершины при движении в ука-
занном направлении.
Граф G3 связен, но не сильно связен, так как, например,
из вершины 4 невозможно по указанной ориентации по-
пасть в вершины 1, 2, 3, а из вершины 5 невозможно по-
пасть ни в какую другую вершину.
♦ Пример 1,23
Для графов, изображенных на рис. 1.26, определить рас-
стояние между вершинами.
G,
Рис. 1.26
G,
с<

Глава 1. Основы дискретной математики
39
Решение:
По определению, расстояние между двумя вершинами—
это длина кратчайшей простой цепи, соединяющей эти вер-
шины.
Для графаC|:d(v|fv2) = rf(vI,v4) = rf(v|fv3)=lf
d(vvvj = 2, rf(vpv6) = 3, diVpVj) = 2, d(vvvb) = 3 и т.д.
ДляграфаС2:(/(|||9м2)=19^(МрМ|) = 0^(|«21и2) = 0.
Для графа Gy: d{w, w) = 0.
Для графа G4: d( ν,, ν2) = 1, d( ν,, ν J = 2, </( ν2, ν^) = 1,
</(угу,) = 0ит.д.
♦ Пример 1.24
Определите центры и радиусы графов, изображенных на
рисунке 1.26.
Решение:
Определим максимальное расстояние от каждой верши-
ны графа:
Gp r(Vj) = 3, так как наиболее длинная минимальная про-
стая цепь (v|fv3, v^v^ содержит 3 ребра. r(v2) = 3 [простая
цепь — (ν2,ν3, ν5,ν6)], r(v3) = 2, r(vj = 2, r(v5) = 2, r(vj = 3.
C2:r(iil) = l1r(ii2)=l.
G3:r(w)=0.
GA: r(v{) = 2 [простая цепь — (v|fv2, v3)], r(v2) = 1, r(v3) = 2
[простая цепь — (v3»v2> vi)l·
Максимальное расстояние до других вершин минималь-
но в графе G, от вершин v3, v4, v5. Следовательно, эти три
вершины являются центрами. Радиус графа G, равен 2.
Аналогично, для G2 обе вершины и{ и и2 являются цент-
рами и r(G2)~ 1
В графе Су центр — вершина w и г(<73) = 0.
С4: центр — вершина v2, r(G^) = 1.

40
Математика
7 PucJJ?
♦ Пример 1»25
Имеет ли пятиугольник, с цен-
трами в некоторых вершинах,
эйлерову цепь или эйлеров цикл
(рис Л .27)?
Решение:
Любая вершина пятиугольни-
ка, не содержащая петель, имеет
степень 2. Каждая петля дает вклад
в степень вершины, равный 2.
Таким образом все вершины изоб-
раженного пятиугольника имеют четные степени: p(vj) - 2,
p(v2) = 6> p(v3) = 4, p(v4) = 4, p(v5) = 2,
В соответствии стеоремой Эйлера заданный граф являет-
ся эйлеровым и, следовательно, содержит эйлеров цикл.
Чтобы в конечном неориентированном графе существо-
вала эйлерова цепь (цепь, проходящая через все ребра с
разными началом и концом), необходимо и достаточно,
чтобы начальная и конечная вершины имели нечетную сте-
пень, а все остальные вершины — четную. Это условие в
заданном пятиугольнике не выполняется, следовательно, он
не содержит эйлерову цепь.
♦ Пример 1.26
Определите наличие гамильтоновых циклов и цепей в
графах, изображенных на рис 1.28,
2 е2 3 е3 4 е4 5
3
•
8
ш я- J
W Ч
i—t
I i
4
* J
7 6
Рас. 1.28

Глава 1. Основы дискретной математики
41
Решение:
Простой цикл, проходящий через все вершины графа (га-
мильтонов цикл), существует в графе Gv Он проходит че-
рез все вершины графа по ребрам (ev е2, ev e4, е5, еь, ev г8),
соединяющим все вершины графа. В графе G{ существуют и
гамильтоновы цепи, которые получаются из гамильтонова
цикла удалением любого ребра.
В графе G1 нет гамильтонова цикла, так как при обходе
внешнего прямоугольника (а, с, е, g) цикл должен содер-
жать все ребра, лежащие на сторонах прямоугольника, но
тогда он не проходит через вершины Ъ и/. Не существует в
графе G2 и гамильтоновой цепи.
В графе С3 нет гамильтонова цикла, но есть гамильтоно-
ва цепь. Например, цепь, содержащая ребра, соединяющие
вершины 1, 2, 3,4, 5,6, 7, 8.
1.2.5. Деревья
Существует один простой, но важный тип графов, кото-
рый называется деревом. Деревья находят приложения в
различных областях знаний и, кроме того, в силу предель-
ной простоты строения, являются модельными объектами
при решении различных задач теории графов.
Деревом называется связный граф, не содержащий цик-
лов, а значит петель и кратных ребер. Связность графа оз-
начает, что при удалении хотя бы одного ребра, он теряет
связность (рис. 1.29).
В дереве число вершин и число ребер жестко связаны:
если вершин л, то ребер — на единицу меньше (л - 1).
„У1 г^<
•—· · · ·—-ъ—· >·
Рис. 1.29

42
Математика
Вершина V графа С называется концевой, если ее степень
р( V) = 1. Ребро, инцидентное концевой вершине, называет-
ся концевым.
Для того чтобы ориентировать дерево, выбирается вер-
шина Vg, которую называют корнем дерева, и все ребра та-
кого дерева с корнем ориентируются от этой вершины.
Пусть дано конечное дерево G. Вершинами типа 1 назы-
ваются его концевые вершины.
Если у дерева G удалить все вершины типа 1 и инцидент-
ные им ребра, то в оставшемся дереве G* концевые верши-
ны называются вершинами типа 2 в дереве G.
Аналогично определяются вершины типов 3,4, 5 и т.д.
Цикломатическим числом конечного неориентированно-
го графа называется:
V{G)=Vc+ VE-Vyy
где V( — число связных компонент графа;
VE — число ребер графа;
Vv — число вершин.
♦ Пример 1.27
Дано дерево G (рис. 1.29). Определить число вершины
максимального типа, цикломатическое число графа. По-
строить ориентированное дерево с корнем V0, являющимся
вершиной максимального типа.
Решение:
Пользуясь определением, обозначим концевые вершины
дерева G типом 1. Отсекая их и инцидентные им ребра, найдем
вершины типа 2 (рис. 1.30). Оставшееся дерево назовем Gv
V у т' γ-.' j.i
^Ч
I
2 У
*,
\
Рис. 1.30

Глава 1- Основы дискретной математики
43
Из полученного дерева G, удалим вершины типа 2 и ин-
цидентные им ребра, обозначим вершины типа 3 (рис. 1,31).
А. з
\ 2
2 3 Рис. L31 2
Аналогичными действиями определим тип остальных
вершин. Окончательный результат представлен на рис, 1,32.
Итак, максимальный тип вершины 5 и такая вершина одна.
Для расчета цикломатического числа определим число
связных компонент; V = 1 (для любого дерева> согласно опре-
делению V - 1). Число вершин νν-20> число ребер VE~ 19.
r(G)=l + 19-20 = 0.
Учитывая, что в любом дереве, число ребер на единицу
меньше числа вершин, получим одинаковое, равное нулю, цик-
ломатическое число для любого дерева. Ориентированное де-
рево с корнем в вершине типа 5 представлено на рис 1.33.
/ # м1
Рис. US

44
Математика
L2A. Графы и бинарные отношения
Отношению Я, заданному на множестве V, взаимно од-
нозначно соответствуют ориентированный граф G без крат-
ных ребер с множеством вершин V, в котором ребро (ν{, ν2)
существует, если только выполнено v} R v2.
Пусть бинарное отношение R определено на множестве
Симметричному отношению R взаимно однозначно со-
ответствует неориентированный граф без кратных ребер,
в котором ребро (v1, v2) существует только тогда, когда вы-
полняется ν4/?ν2Η v2tfvr
Антисимметричному отношению R взаимно однозначно
соответствует ориентированный граф без кратных ребер, не
содержащий пар вершин с ребрами, противоположно на-
правленными к разным вершинам.
Р^ле/сш^ол/у отношению/f соответствует граф без крат-
ных ребер, имеющий петли во всех вершинах.
Антирефлексивному отношению R соответствует граф без
кратных ребер и без петель.
Транзитивному отношению R соответствует граф без крат-
ных ребер, Для каждой пары ребер (vp v7) и (v2, v3) имеется
замыкающее ребро (vp v3)+
1.2.5. Операции над графами
В ряде случаев удобно представить структуру рассмат-
риваемого графа с помощью графов меньшего размера и
более простой структуры.
Пусть графы G1 и G2 имеют непересекающиеся множе-
ства вершин V}n V2n непересекающиеся множества ребер
£1 и ЕТ
Объединением графов G} \j G2 называют граф, множе-
ством вершин которого являются V- \\ и V2, а множеством
ребер— Ε = E1kjE1 (рис, 1.34),

Глава 1* Основы дискретной математики
45
GjUG2
Рис. 134
Соединение графов G{ + G2 состоит из G^ \j G2 и всех ре-
бер, соединяющих V} и К2(рис. L35).
GJ+G2
Рис. L35
Произведением графов Gx х G2 называется граф, вершины
которого и = (м-р w2) и ν = (vp w2) смежны тогда и только
тогда, когда [и {~ v{ и uv v2—смежные вершины] или [щ - v2
и ир ν, — смежные вершины] (рис. 1.36).
U7 <*/>"*) (*J>*J> («Г^2)
М>
<?2
Рис. J.56
("/' VP ("/' ™£

46
Математика
Композицией G = G{[G2] называют такой граф G, вершина
которого и = (м,, и2) смежна с ν = (ν,, ν2) тогда и только тогда,
когда [и,, ν, — смежные вершины] или [м, = ν, и м2, ν2 —
смежные вершины].
Композиции графов Gx и G2 представлены на рис. 1,37.
02\С^
Рис. 137

ШШ№
Математический
анализ
2.1, Дифференциальное
и интегральное исчисления
2ЛЛ. Числовые последовательности
Числовые последовательности — это бесконечные мно-
жества чисел.
Например, последовательность приближенных значе-
ний л/2:
х{ = 1; х2~ 1,4; хъ- 1,41 ...
Числовая последовательность — это множество вещест-
венных чисел
в случае, если каждому числу η из натурального ряда чисел
\, 2, 3,. ♦,, п,,. ♦ (п е Ν) поставлено в соответствие веществен-
ное число хп.
Элементы (члены) последовательности — это числа xv
Xv Xy...y Хп,...
Общий элемент последовательности обозначается сим-
волом хпУ где число п~ъто номер.
Символ {х } — это сокращенное обозначение последо-
вательности (2Л).
Например, {хп} = \ — > — это последовательность чисел
! I 1 I
2 3 /1
Последовательность считается заданной, если указан спо-
соб получения любого ее элемента.

48
Математика
Например, общий элемент хп задан формулой:
*„=-!* ИГ-
Это значит, задана последовательность 0,-2,0,-2,...
Геометрически последовательность изображается в виде
последовательности точек на числовой оси. Координаты этих
точек равны соответствующим членам последовательности.
Например, на рис. 2.1 на числовой оси представлена по-
следовательность
[■-}·
Рис. 2.L Геометрическое изображение
последовательности \ — \
► Чмcnoaнaзън^ac^QяrφeдeлoмnocJ&дoβameльнocfm{xJ9QCШ
для любого сколь угодно малого положительного числа
ε > 0 существует такой номер Ν, что при всех η > Ν вы-
полняется неравенство
Κ-*Ι<ε· (2.2)
Сходягцаяся последовательность — это последователь-
ность, у которой существует предел
lim xn = д.
Расходящаяся последовательность—это последователь-
ность, не имеющая предела, а также имеющая своим преде-
лом +оо ИЛИ -оо.
► ε — окрестность точки а—это множество точек число-
вой прямой, если \хп -а\< ε (рис. 2.2).
Это означает, что при η > Ν все элементы последователь-
ности {хп\ находятся в ε — окрестности точки а.
Предел последовательности α часто называют точкой сгу-
щения. Это следует из геометрической интерпретации: если
последовательность, представляющая собой бесконечное

Глава 2. Математический анализ
49
α-e / а \ α+ε
Рис. 2.2* Геометрическое представление
предела последовательности
множество чисел, сходится, то в любой ε — окрестности точ-
ки α на числовой прямой находится бесконечное число ее
точек — элементов этой последовательности, тогда как вне
ε — окрестности остается конечное число элементов.
► Числовая последовательность может иметь только один
предел.
► Последовательность (2.1) называется ограниченной, если
существует постоянная Μ такая, что
|лгл| <Л/ для всех η е N.
► Если последовательность имеет предел, то она ограни-
чена.
► Неограниченная последовательность не имеет конечного
предела. Однако она может иметь бесконечный предел:
lim хп = оо.
► Если {хп} — бесконечно малая последовательность, то
— [ — бесконечно большая последовательность, име-
юшая бесконечный предел, и наоборот.
♦ Пример 2.1
Рассмотрим сходящуюся последовательность \ 1.
Доказать, что предел этой последовательности равен 1:
л-*«Л + 1

50
Математика
Решение:
Воспользуемся определением предела (2.2):
|ХЯ-Л|<6.
Возьмем любое положительное число ε > 0.
Ь-1-
п -II
м + 1
I
л + 1
Следовательно, < ε. Решая это неравенство, полу-
л+1
1-ε
чаем η > .
ε
Если примем Ν, равным целой части числа :
ε
*·№
то неравенство \х„ -1| < ε будет выполняться при всех η >Ν.
♦ Пример 2.2
Показать, что последовательность {хя}=(-1)м является
расходящейся, т.е. не имеет предела.
Решение:
{х„}=(-1)я —это последовательность-К 1,-1, 1, ....ка-
кое бы число мы ни предположили в качестве предела:
1 или -1, при ε < 0,5. Определение предела ]хп - а\ < ε не удов-
летворяется: вне ε—окрестности этих чисел остается беско-
нечное число элементов {хп\, так как все элементы с нечет-
ными номерами равны -1, а с четными номерами равны 1.
Свойства сходящихся последовательностей
(сформулированы β виде теорем)
Пусть заданы две последовательности {хп\ и {уР1\. Пусть
предел {л*л} равен a: lim xn = я, а предел {уп} равен Ь:

Пива 2. Математический анализ
51
lim y„ = Ъ.
Сумма двух сходящихся последовательностей {хп} и {уп}
есть сходящаяся последовательность вида {хп + уп) > пре-
дел которой равен сумме пределов последовательностей
\\т{хп+уп) = а + Ь.
Произведение сходяирлхся последовательностей {xj и {уп}
есть сходящаяся последовательность вида {хп -уп}, предел
которой равен произведению пределов последовательностей
&n(x„y„) = ab.
Частное двух сходящихся последовательностей {хп} и {уп},
при условии, что предел последовательности {уп} отличен
от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел ко-
торой равен частному пределов последовательностей {хп}
( \
lim — = --,
»->-\>'η) b
если уп * 0 для всех пе N и Ь Φ О.
Если элементы сходящейся последовательности {хп} удов-
летворяют неравенству хп > Ь, начиная с некоторого но-
мера, то и предел а этой последовательности удовлетво-
ряет неравенству а>Ь.
Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim cx„ =са.
л—>«
Если заданы три последовательности {хп}у {уп} и {zn} и
предел {zj равен с, то еслихп <уп < гл, а = с, то Ь~с.
Произведение бесконечно малой последовательности на
ограниченную последовательность или на число есть бес-
конечно малая последовательность.

52
Математика
8. Прохаведение конечного числа бесконечно малых последо-
вательностей есть бесконечно малая последовательность,
9. Число е определяется как предел последовательности xv
x2,...,xn...t общий член которой выражается формулой:
( 1V
Эта последовательность монотонно возрастает и имеет
предел:
lim 11 + - = е.
lim(l + -| = ,
л->Ц^ η)
Этот предел называют числом е.
е = 2,7182818... — иррациональное число.
Это число играет большую роль в математике.
Натуральный логарифм Incr — это логарифм по осно-
ванию г:
ln^ = logtf a.
♦ Пример 2.3
Предел последовательности lim (2 + 03я) равен ...
Варианты ответов;
1)1; 2)2; 3)3; 4)~.
Решение:
Используя свойство последовательности, получим:
lim (2+ 03")= lim 2 + lim 03".
Π—>» П —>оо Л—»оо
lim 2 = 2, так как все члены последовательности 2.
lim 0,3" =0. Возьмем произвольное ε > 0.
.хл = 0,3". Так как [лгл - 0| = 03", то неравенство |*я - 0| < ε
будет выполняться, если 0,3Л < ε. Возьмем ηε > log03 ε.

Глава 2. Математический анализ
53
Учитывая, что показательная функция 0,3я—убывающая,
получим:
|хя-о|=озя<о<з1ч'<аз|ово-зе.
По определению логарифма, 0,3 og0-ε = ε. Следователь-
но, \хп -0| < ε для всех /; > л£. Значит, lim 0,3" = 0.
л—»»
♦ Пример 2.4
Предел последовательности lim равен ...
п л->~ Зл + 4
Варианты ответов:
1 1 1
1)0; 2)-; 3)-; 4) 4.
Решение:
оо
В этом примере имеет место неопределенность вида —
оо
(бесконечность на бесконечность). Преобразуем выражение,
стоящее под знаком предела, разделив числитель и знамена-
тель на л, а затем, применив свойство, получим:
1 Uml 1
lim = lim
л-*»Зл + 4 л-*»-j 4 t. 4 * . .. 1
3 + - lim 3+lim— 3+4 lim —
Л л~><» л—*» Λ /i-x» я
1 1
3 + 40 3
♦ Пример 2.5
2л3-л + 1
Предел последовательности lim —г = равен ...
я-*~3л +4л -2
Варианты ответов:
1)0; 2)j; 3)-; 4) оо.
Решение;
оо
Это неопределенность вида — . Разделим числитель и зна-
ъ °°
менатель на /г.

54
Математика
lim " "Л.
*-*« -> 4__2_ 3
я
η η5
♦ Пример 2.6
Л
Предел hm—= равен...
"-»- 4л^+л-3
U-; Ц; 3)|; 4)1.
Решение:
Разберем этот пример. При η —»°° числитель и знамена-
тель дроби стремятся к бесконечности. Это неопределен-
оо
ность вида —. Применять сразу теорему о пределе частно-
го нельзя, так как она предполагает существование конеч-
ных пределов последовательностей. Разделив числитель и
знаменатель нал2, преобразуем данную последовательность.
о 2 ., А 3 + - + 4- Hm Г 3 н—I—=г
3« +2п + 4_|:_ η п2 _ п-**>[ η π
lim —г = lim
— 4л2+п-3 —4+Ι-Λ Hmi4+i--l
η η* л-*»^ η η2
.. - ,. 2 „ 4
lim 3+ lim ~-+ lilt! -Τ-
Η-*» /?-»«> И /|-ЮоЛ^ _3+0+0_3
~ I " Г~4 + 0-0~4*
hm4 + lim-- lim -r-
♦ Пример 2.7
Предел последовательности при π -
, t Jncosn
{*„} = —— равен...
w + 1

Глава 2. Математический анализ
55
Варианты ответов; 1) 0; 2)1; 3) °°; 4)—·
Решение:
Числитель и знаменатель не имеют конечных пределов и
поэтому сначала разделим их на старшую степень п,
1 г 1
—==cosn lim-7=cos/j
rill· \П η-*00 JП
hm {.γ„} = hm - -
1 +
Используя свойство 8, получим:
lim {*.} = — -0.
♦ Пример 2.8
Предел последовательности {хп} = \/л +1 - V л при η —»©о
равен...
Варианты ответов:
1)~; 2)2; 3)0; 4)1.
Так как не существует конечных пределов слагаемых, то
теорему о пределе суммы сразу непосредственно применять
нельзя. Умножив и разделив формулу для {хп\ на сопря-
женное выражение 7й + 1 + Jn , получим:
n+l-n r 1
= hm ,—т=г = hm
л-х» ViTTT + 4п п^°° л/п + \ + л/л
Разделим на
hm -т=г
"—V" ^0 =0
lim
+—
1 + 1
+ 1

56
Математика
♦ Пример 2.9
Пусть темп инфляции составляет 1% в день. Чернгз полго-
да первоначальная сумма уменьшится в ... раз.
Указание: Для расчета следует использовать формулу
сложных процентов:
/ ρ \п
Q = Qo
L+-
100
где Q{) — первоначальная сумма вклада в банк;
^ — процент начисления за определенный период вре-
мени (день, месяц, год);
η — количество периодов времени хранения вклада;
Q — сумма вклада по истечении η периодов времени.
Решение:
η = 182 — число дней в полугодии;
Q0 — начальная сумма.
( Р ^2
* °( 100
Знак «-» означает инфляцию.
Воспользуемся формулой из 9-го свойства ля =
и преобразуем данное выражение.
Q'Q,
100
-100
182
"100
-а-*
-ш
4 ХЛ1~ 6
[.82
Ответ: такая инфляция уменьшит первоначальную сум-
му примерно в 6 раз.

Глава 2. Математический анализ
57
Задания для самостоятельного решения
► Предел числовой последовательности:
1. ton я1"- равен ...
Л
Варианты ответов: 1)0; 2) 1; 3) 2; 4) 3.
-, ν 6+ (0,2)"
2. lim y--!— равен ...
"->~(0,4)" +10
Варианты ответов: \) 0,2; 2)0,4; 3)0,5; 4)0,6.
3. lim равен ...
л->«2/1 + 4
Варианты ответов: 1) 0,5; 2) 1; 3) 4; 4) <».
'2-Зл л-2"
4. lim.
л->Ц Зл + 1 л+ 5
равен...
Варианты ответов: 1)1; 2) -1; 3) —; 4) 0.
_ .. л3 +л-1
5· hm — равен ...
л->«л- + л-1
Варианты ответов: 1)0; 2) 1; 3) -1; 4) °°.
.. л5+л + 2
6. lim —τ равен ...
п->°°8л -л + 1
1 1
Варианты ответов: 1) —; 2) - ; 3) <»; 4) 2.
2 о
_ л + 2
7. lim -, — равен ...
Варианты ответов: 1)0; 2) —; 3) - ; 4) ©о.

58
Математика
Найти пределы следующих числовых последовательно·
стей:
Л ,. /?3 + 6л + 1 Л r 4/I + 1
8· lim — ; 9. Inn ;
л-*« З/j + l я->вв/л —1
,- .. 8/Г-5л + 2 t~ ,. л4+2/Г+1
12. lim } ; 13. hm ;
л-х» 2/Г -4/7 «-><* Зл +4/2
14. lim(V^3-^); 15. lim ^3^1-^
Л—*оо /J—>оо
л/^
16. Прирост населения в стране составляет Р- 5% в год.
Население удвоится за ... лет.
17. Темп инфляции составляет в месяц 6%. Чтобы при-
быль от кредитования составляла 12% в год, процент годо-
вой ставки кредита, вьщаваемого банком, должен быть...%.
2.1.2. Функция одной переменной
Определение функции. Пусть X и Υ— некоторые число-
вые множества. Функция /— это множество таких упоря-
доченных пар чисел {х; у), что .те X и ye Υ и каждое .г
входит в одну и только одну пару этого множества. При
этом говорят, что числу .ν поставлено в соответствие чис-
ло у по какому-либо закону.
Это записывают так: у -fix), где .ν — это аргумент, или
независимая переменная (ее меняем мы сами); у — функ-
ция, или зависимая переменная. Ее значения меняются вслед-
ствие изменения аргумента.
Говорят, что определена функциональная зависимость
у от х по закону у =Дх).
Множество X— область определения (существования)
функции (ООФ). Ее образуют те значения независимой пе-

Пива 2. Математическим анализ
59
ременной л:, при которых правая часть формулы у =/{х)
существует (имеет смысл).
Множество Υ—область значений (изменения) функции.
При нахождении области определения функции следует
учитывать, что:
1. Дробь имеет смысл, если ее знаменатель отличен от
нуля.
2. Корень четной степени существует, если подкоренное
выражение неотрицательно.
3. Корень нечетной степени существует при любом зна-
чении подкоренного выражения.
4. Функция у = ах (а > 0, α * 1) определена на множестве
всех действительных чисел хе R.
5. Логарифмы отрицательных чисел не существуют.
6. Областью определения функций у = sinx, у = cosxt
у = arctgx является множество всех действительных чисел
xeR.
7. Функция у = tg.v определена, если л: * — + тгл, пе Z.
8. Функция у = ctgx определена, если .ν * π//, не Z.
9. Функции у = arcsinv и ν = arcosx определены, если
-1<х<1.
► Если функция/Ул) определена на некотором множестве
X и необходимо найти значение этой функции, соответ-
ствующее некоторому значению аргументах0, то в урав-
нение функции следует подставить это значение д0.
Например, Дх) - Зле3; пусть х0 = 2,
то /(л'0)=/(2) = 3-23 = 24.
► Постоянная функция С — это функция, все значения ко-
торой равны между собой, /(.γ) = С
► Функция ограничена, если есть такое число Μ > 0, что для
любого хе X будет |/(.v)j< M ,т.е. множество У значе-
ний функции ограничено.
Функция неограничена — в противном случае.

60
Математика
Например, функция у = sin дг ограничена на всей оси, так
как есть число А/ = 1 и sin х< 1 при любом х.
Способы гадания функции. Задать функцию — это зна-
чит указать закон, по которому каждому значению аргу-
мента х ставится в соответствие (иначе говоря, вычисляет-
ся) значение функции .у из области значений функции У. Су-
ществуют три способа задания функций: табличный, анали-
тическими графический.
1. Табличный сшнюбзаключается в задании функции таб-
лицей соответствующих значений переменных х и у, кото-
рые получаются опытным путем. Этот способ имеет широ-
кое применение в различных отраслях знаний и приложени-
ях: известны таблицы тригонометрических функций, табли-
цы логарифмов, социологические опросы, таблицы экспери-
ментальных измерений, таблицы бухгалтерской отчетности,
таблицы деятельности банка. В таких таблицах одна пере-
менная (чаще всего время) является аргументом, а все дру-
гие величины будут функциями этого аргумента. На таблич-
ном способе задания функции основаны широко применя-
емые реляционные базы данных — это по сути дела таблич-
ный способ задания, хранения и обработки информации.
2. Аналитический способ заключается в задании функции
при помощи некоторой формулы, которая имеет смысл при
всех значениях аргумента .ν, для которых определена функ-
ция. Задается связь между аргументом и функцией в виде
формул.
Например:
1) у = х2 — это функция, область определения которой Х-
- (-«>; +«>), а множество значений Υ- (0, +*>) — полуин-
тервал;
2) у = sin х. Область определения этой функции. X — это
множество всех вещественных чисел .х = (0, + °°), а мно-
жество значений функции Υ— это множество чисел, за-
ключенных между-1 и+1: У=[-1, + 1];

Гьава 2. Математический анализ
61
3) у = х3 — кубическая парабола. Эта функция задана на
бесконечной прямой -<» < д < <*>. ООФ: (-«>; «>). Множе-
ство значений этой функции — бесконечная числовая
Прямая-«>< У < со;
4) y = Jl^ . Это функция задана на отрезке [-1, 1] или
X = § х |< l}. Множество значений функции — отрезок
[0,1]илиУ=[0,1];
(I)"
В этом примере аргумент (независимая переменная) обо-
значен п. Он может принимать целые положительные зна-
чения пе #={1,2,...}. Следовательно,^ является функци-
ей натурального аргумента и вычисляется по заданной фор-
муле Υ =
, образуя множество Q — множе-
ство рациональных чисел.
Функция может определяться и набором формул: на раз-
ных промежутках ООФ используются разные формулы.
Например:
6) y = signA' = j
+1, если л: > О,
О, если х = О,
-1, если лг<0.
sign (от лат. sigmtm — знак),
ООФ: (-<», о*) — функция задана на всем бесконечном
промежутке, а область значений функции состоит из трех
чисел: -1,0, 1.
3. Графический способ заключается в задании соответствия
между переменными х (аргументом) и у (функцией) при
помощи графика.

62
Математика
График функции у=Дл) — это множество всех точек (х;у)
плоскости Оху, координаты которых связаны соотношени-
ем ν =/( ν), называемым уравнением графика функции.
Этот способ задания функции используется обычно
в экспериментах, где используются самописцы, осцилло-
граф и т.п.
Рассмотрим графики функций, приведенные в примерах
3, 4, 6 (рис. 2.3, а, б, в).
У1
у = д3
X
(
-1
У1
I
0
1
y^Jl-x1
Л .
/ х
а)
б)
у = sign х =
+1, еслих>0,
0, если jc = 0,
-1, если jc<0.
У{
1
0
\
-1
X
·)
Рис. 2.3. Графики некоторых функций

Глава 2. Математический анализ
63
Кубическая парабола у = *3 представлена на рис. 2.3а.
График функции у = V1 - х2 (пример 4) представляет со-
бой половину окружности, лежащую в верхней полуплос-
кости (рис. 2.36). А график функции у-signx , приведен-
ной в примере 6 (рис 2.3в), состоит из двух полупрямых со
стрелками на концах. Стрелки означают, что полупрямые
не достигают точек на оси ординат, ведь прих = О значение
функции определено по другому условию (у - 0).
Алгоритм нахождения
области определения функции (ООФ)
1. Если функция задана аналитически у =Дх), т.е. по-
средством формулы, и не имеется никаких ограничений,
то область ее определения (ООФ) устанавливается исходя
из правил выполнения математических операций, входящих
в формулу/в выражении у =/(.*).
Эти ограничения хорошо известны и изложены в начале
этой главы (пункты 1-9).
Например:
1
А) У-arcsin ,
х + 2
ООФ находится из двух условий: знаменатель дроби не
может быть равным нулю (пункт 1) и аргумент под знаком
arcsin не может быть по модулю больше 1 (пункт 9).
Получается:
i x + 2
[x* 2.
Иначе л: + 2 > 1;
λ+2<-1.
Таким образом, область определения функции (-*», - 3] и
[-1, оо). Точка л = -2, являющаяся запретной, сюда не попа-
дает, т.е. второе условие выполняется.

64
Математика
2) .r = log2(*2-5.x: + 6).
ООФ находится из условия (пункт 5), что логарифмы
отрицательных чисел не существуют.
л-2-5л- + 6>0.
Отсюда х = 2, л- = 3 — это корни квадратного уравнения.
Следовательно, ООФ (-<», 2) и (3, «*>).
На отрезке [2,3] функция не существует.
2. Если область определения функции у =/(л) задана вме-
сте с функцией/(лг), то специально ООФ находить не надо.
Например,
4
у = 2х 3 +8 1 <.т<4.
3. Если функция имеет определенный прикладной харак-
тер, то область ее существования определяется также ре-
альными значениями входящих параметров. Часто это
имеет место в задачах с физическим или экономическим
смыслом и т.п.
Пример:
Рассмотрим прикладное использование функции в об-
ласти экономики на примере изучения кривых спроса D и
предложения S.
При постоянной покупательной способности населения
эти кривые носят экспоненциальный (логарифмический)
характер и описываются следующими уравнениями:
D=pP + C^ α<0;
S=ph + C2 h>L (2.3)
Зависимость спроса D от цены на товару D{p) (на рис. 2.4
кривая D) имеет вид нисходящей кривой: чем меньше цена
/?, тем больше спрос D. Зависимость же предложения 5 от
цены на товар S(p) (на рис. 2.4 кривая S) имеет вид восходя·
щей экспоненты: с увеличением цены на товар растет пред-
ложение.

Глава 2. Математический анализ
65
DjSi
Ρ Ρ * Ρ
Рис. 2.4. Кривые спроса D и предложения S
Постоянные С{ и С2 в уравнениях (2.3) являются экзо-
генными (т.е. внешними) величинами. Они зависят от внеш-
них причин: политической обстановки, благосостояния об-
щества ht.il
Экономистов интересует точка равновесия ε — точка пе-
ресечения кривых S и D, когда спрос равен предложению:
D(p) = S(pl
Цена/>0, при которой это условие выполняется^ называ-
ется равновесной ценой, (рис. 2,4).
Интересная картина наблюдается на графике при увели-
чении благосостояния населения. При этом растет экзоген-
ная величина С(, кривая D поднимается вверх и точка рав-
новесия г1 смещается вправо при неизменной кривой пред-
ложения S(p) (рис. 2А), цена на товару' растет.
♦ Пример 2 Л О
Укажите область определения функции у ~ 4l* -Ъх
Варианты ответов:
1)х>0; 2)х<0; 3)х>1; 4)х<1 +
3. За* Q4Q

бб
Математика
Решение:
Согласно пунктам 2 и 4 получим 2х -3х >О => 2х >3х:.
Разделим на 3V:
<1\ >
zA > ~ =*,γ<0, таккак 0<-<1.
♦ Пример 2.11
Область определения функции у = уб-д: - *2 + V14 - лл
имеет вид ...
Решение:
Согласно пункту 2 получаем, что ООФ составляют те
значения*, для которых существует корень четвертой степе-
ни, т.е. при б-*-*2 >0=*6-jr-x2 =0=>л-, =-3,.Υ2 =2.
Ответ: ООФ - 3 < л < 2.
♦ Пример 2.12
Изучая модель торга между покупателем и продавцом
(рис. 2.5) (модель паутинного рынка), установлено, что как
.,*
*>2
о,
\ D
1
|
I
1
1
1_
I I
1 1
1 1
/
у
Л
1 ■
1
/ S
'
1 *.
'; ?4 *0
г3г,
Рис. 2.5. Кривая торга между продавцом и покупателем

Глава 2. Математический анализ
67
только продавец называл цену р{ (выше равновесной р^,
покупатель определял свою цснур2 (ниже равновесной/?^.
Как только продавец, оценивая спрос D14 определяя свою
цену ру (выше равновесной р^, сразу же у покупателя воз-
никла ценар4 (ниже равновесной р0).
Предел последовательности цен/>я , называемых в про-
цессе торга, равен...
lim/>„=...
Решение:
Этот устойчивый узел в виде скручивающейся спирали
имеет своим пределом равновесную цену pQ.
► Задание функцииявног, если функция задана уравнением
У = f(-x) * разрешенным относительно у.
Например, у = sinZx; у = 4х3 - 6.
В противном случае имеет место неявное задание функ-
ции.
Например, в уравнении у = -4-дг — ни одно из дей-
ствительных чисел х и у не удовлетворяет ему.
► Сложная функция — это функция, заданная в виде
ν = /(φ(Λ-)) няну = /{и) и м=<р(х),гдем — промежу-
точный аргумент, а* — независимая переменная.
1
( 1 \2
Например, функцию ν = sin|
как сложную:
1
1-х3
можно представить
и = 7 й v = /(w), v = sinir.
I-*3
Четная функция. Функция у -f(x), область определения
которой симметрична относительно начала координат,
называется четной, если для любого значения х из этого
промежутка имеет место равенство f(-x) = /(х). Гра-
фик четной функции симметричен относительно оси ор-
динат (рис. 2.6а).
з*

68
Математика
Например:
1) у = cos.v —четная функция, так как cos(-.r) = cos.v;
2) у = ν 1 - х — четная, так как
/(-.г) = Vl-("*)2 = VT? = fix) ·
► Нечетная функция. Функция у =/(х), область определе-
ния которой симметрична относительно нуля, называет-
ся нечетной, если для любого значения имеет место ра-
венство f(-x) = -/(*) · График нечетной функции сим-
метричен относительно начала координат (рис. 2.66).
Например, у = sinx — нечетная функция, так как
sin(-x) = -sinx.
а)
yi
/ °\
i
1 f— W
L / ^
\ / X
б)
Рис. 2.6.
Графики четной (а) и нечетной (б) функций

Глава 2. Математический анализ
69
► Функции общего вида— это функции, которые не являют-
ся ни четными, ни нечетными.
Так, у = х4 + х2, определенная в промежутке - 2 < х < 10,
не является ни четной, ни нечетной, так как ее область опре-
деления не симметрична относительно начала координат,
хотя формально /(-*) = f{x).
Определяя четность или нечетность функции, следует
помнить, что:
1) сумма четных функций — функция четная;
2) сумма нечетных функции — функция нечетная;
3) произведение четных функций — функция четная;
4) произведение двух нечетных функций — функция
четная;
5) произведение четной и нечетной функций — функция
нечетная.
► Периодическая функция. Функция у =/"(*) называется
периодической, если существует такое положительное
число Τ— период функции, что для любого значения х
из области определения функции выполняется равенство
Дх±Т) = Дх).
Обычно в качестве периода берется наименьшее поло-
жительное число Г, удовлетворяющее этому равенству, если
такой период существует.
Например, у = siruc — периодом является число Τ = 2π
sin(.v + 2π) = sin x, а для функции у = tg.r периодом являет-
ся число Τ = π.
► Пример 2.13
Функция /(а) = лА * ух + 2sin д: является ...
Варианты ответов:
1) нечетной;
2) четной;
3) ни четной, ни нечетной;
4) смотря, при каких значениях х.

70
Математика
Решение:
Область определения функции (ООФ): хе (*-°°,-н»), она
симметрична относительно нуля.
/(-x) = (-x)^V^ + 2sin(-x) = (x4(H/jO)-2smx =
= 4x4Vx+2sinx) = -/(*)
Таким образом, /(-х) --/(х), следовательно, данная
функция — нечетная.
♦ Пример 2Л 4
Основной период функции f(x) = sinlOA" равен...
π π
Варианты ответов: 1)2π; 2) ~; 3) - ; 4) π.
Решение:
Функция у = sinx имеет основной период 2π. А период
функции у- sin 1 Ох в 10 раз меньше, т.е. — = —.
► Функция у -f(x) ,xe(atb)y называется возрастающей на
интервале (а, Ь)У если при любых х{ и х2, принадлежа-
щих этому интервалу,
*i <*2=>/<*■)< Д*2)·
► Функция у =/(х), хе (а;Ь), называется убывающей на
интервале (а, *), если при любых х, и х2, принадлежа-
щих этому интервалу,
х, <х2=>/<х,)>/(х2).
► Интервалы монотонности —это интервалы, в которых
функция или только возрастает, или только убывает.
Например, функция, представленная на рисунке 2.7, воз-
растает на интервале (- 5; ~3) и убывает на интервале (-3; 0).
На этих интервалах она строго монотонна. На интервале
(0; 3) она не убывает и монотонная.

Пива 2. Математический анализ
71
Рис. 2.7. График фующии
Задания для самостоятельною решения
► Найти область определения следующих функций:
18. _у = -1.;ООФ... 19. у = ^4-х2 ;ООФ...
20. у = -;ООФ
х + 3
21. ^=411; ооф
V-i
22. _у = 3/2л-1;ООФ... 23. у=(х.+ 1) ;ООФ...
х -4
24. у = Цб-х;ООФ... 25. у = £~^;ООФ...
26. У = -, = ;ООФ... 27. y = log2(x-l);OCKD.
\1-х
25. у = Зх-2;ООФ... 29. у = х2-5х + 6;ООФ
30. ^ = ^1;ООФ... 31. ^ = л/х2-9;ООФ...
Здг-2
32. ^л/^О-л/Г+З^ОФ...

72
Математика
► Найти множество значений ν функции:
34. j/ = -L;... 35. у = ^4-х2 ;...
х~
► Выяснить, какой является данная функция:
1) четной; 2) нечетной; 3) ни четной, ни нечетной.
36. ν — |л:|; функция ...
37. у = х; функция ...
38. у = -; функция ...
2 + jr
39. v = —= ; функция ...
х2+5
40. у г-; функция ...
1-х
41. v =
jc4 при х > 0 ,
; функция...
х2 при х < 0
42. Спрос и предложение на рынке на некоторый товар
описываются линейными зависимостями вида
Г/Нр)=19-2р
[ЗД = 3 + 2/>.
1. Равновесная рыночная цена/?0 равна ...
2. Изобразить графически данную модель паутинного рын-
ка и установить, является ли она «скручивающейся».
43. Спрос и предложение на некоторый товар на рынке
описывается зависимостями вида:
Шр) = 15-3р
[S(p) = \ + Ap.
Ответить на вопросы:
1. Равновесная рыночная цена /70 равна ...
2. Изобразить графически данную модель паутинного рьш*
ка и установить, является ли она «скручивающейся».

Глава 2. Математический анализ
73
2.1.3. Предел функции
Пусть функция^ =/(л) определена на некотором проме-
жутке Хн пусть точка л0 € А' или х0 g Л*. Составим из мно-
жества Л"последовательность точек: xv .Χ2,...„υλ,..., сходя-
щихся к точке х0. Значения функции в этих точках также
образуют последовательность:/^),/(*2),... ,/(лл),...
► Число А называется пределом функции у =/(*) в точке
х = Л'о, если для любой сходящейся к х0 последователь-
ности значений аргументах, соответствующая последо-
вательность значений функций сходится к числу А.
Это записывают так: lim f(x) = A.
Односторонние (левый и правый) пределы функции
Левый предел—это односторонний предел функции, ког-
да последовательность значений аргумента хя —> ,х0 слева от
точки х0, т.е. хп < х0.
Символическая запись левого предела функции
lim f(x) = A.
Правьш предел— это односторонний предел функции, ког-
да последовательность значений аргумента хп —> xQ справа
от точки х0, т.е. хп > лг0.
Символическая запись правого предела функции
lim f(x) = A.
Теорема. Функция f(x) имеет в точке х0 предел тогда и
только тогда, когда в этой точке существуют левый и пра-
вый пределы, и они равны. В таком случае предел функции ра-
вен односторонним пределам.
Основные теоремы о пределах функций
На них основано вычисление пределов элементарных
функций.
1. Если С — постоянная величина, то lim С = С.
х~>ха

74
Математика
2. Если С— постоянная величина, то
iim Cf(x) = C lim f(x),
х^хй x->x0
Арифметические операции над функциями, имеющи-
ми предел в точке х = xQ, приводят к функциям, также име-
ющим предел в этой точке.
Пусть функции/^) и/2(х) имеют в точкех0 пределы^ и В-
lim Mx) = A, lim f2(x) = B.
3. Предел алгебраической суммы равен алгебраической
сумме пределов:
lim(./](x)±/2(x)) = lim Mx)± lim f2(.x) = A±B.
4. Предел произведения равен произведению пределов:
lim(Mx)-f2(x))= lim yj(x)- lim /2(X) = A-B.
х—*Х0 х~*Хо х~*Хо
5. Предел отношения равен отношению пределов, есл#
предел знаменателя отличен от нуля:
lim /х(х)
lim MfO^iz^ = ^
*-"о/2М lim /2(л) 5
♦ Пример 2.15
Предел многочлена lim(6x3 + 2х2 - Зх + 7) равен „,
Варианты ответов: 1) 11; 2) 49; 3) 0; 4) 57.
Решение:
Для вычисления предела многочлена при х -> *0 надо
вместо переменной τ подставить значение х0, к которому
она стремится, и подсчитать, используя соответствующие
теоретические положения.
lim(6*3 +2х2 - Зле + 7) = 6 lim jt3 +2limx2 -ЗИтх + Т-
х^>2 х—>2 х—>2 х—>2
= 6·23+2·22-3·2+7 = 57.

Гяам 2. Математическим анализ
75
♦ Пример 2.16
х2-4
Предел функции Um — равен ...
Варианты ответов: 1)0; 2)1,5; 3)2; 4)2,5,
Решение:
Используем теоремы 5 и 3 о пределе отношения и преде-
ле суммы, а затем подставим х = 3 в формулу дроби.
2 _ л lim(x2 - 4) lim x1 - lim 4
lim—-—— = v^3 = ^ *И =
*^x2 -3x + 2 lim(;c2-3jt + 2) limx2-3limjt+lim2
9-4 5
= 1 = 2,5.
9-9 + 2 2
♦ Пример 2Л7
*3 -Η-3
Предел отношения двух многочленов lim —τ——
П9оШ *->з х3 + з* + 3
равен...
л-3-2л-3 ;^3"2ЛГ"3) 33-23-3 18
lim —г = ^^—- = — = —.
*-+3Χ3+3λ: + 3 lim(x3+3x + 3) 33 +3-3 + 3 39
-т-*3
♦ Пример 2.1 8
_ с .. 5.x+ 2
Предел дроби hm равен ...
х->* 2х + 3
Варианты ответов: 1)1; 2) 2; 3) 0; 4) <*>.
5.y + 2 = 5-4 + 2 _ 22 _2
*™2* + 3 2-4 + 3 11
Часто встречаются случаи, когда непосредственно нельзя
применить теорему о пределе частного. Это так называ-
0 °°
емые неопределенности вида- или — .
О °°

76
Математика
В ситуации, когда числитель и знаменатель дроби стре-
мятся к нулю, говорят, что имеет место неопределенность
О
вида —. Для раскрытия неопределенности такого вида надо
числитель и знаменатель разложить на множители.
Если числитель и знаменатель неограниченно возраста-
ют при а- —> оощ то в таком случае имеет место неопределен-
ность вида — . Для ее раскрытия надо разделить числитель
оо
и знаменатель дроби на старшую степень х.
♦ Пример 2.19
jt3-x2-x + l
Предел дроби lim^r =—: равен ../
*-*** + х — лс — 1
Решение:
О ^
Здесь имеет место неопределенность вида -. Это мож-
но видеть, подставив х = 1. Для решения разложим на
множители числитель и знаменатель дроби, сократим об-
щий множитель, после чего уже подставим предельное зна-
чение jc= 1:
„m *Vi1мх -1). lim u^**^) . s., *z!. о . о.
*-*«jr(.v + l)-(jc + l) *->»(jc + 1)(jc2-1) -v^ix + 1 2
♦ Пример 2.20
x3+2x2+3x + 4
Предел дроби lim —г равен ...
*-*-4;r + 3x*+2jc+1
Решение:
оо
Это неопределенность вида — . Разделим числитель и
оо
знаменатель на старшую степень х (на лг3).
,234
1 + Г + -Т + ^Г 1
lim—* * * =i
*-»·- 3 2 14
X X X

Глава 2* Математический анализ
77
♦ Пример 2.21
Зх4-2
Предел дроби lim равен...
I 2
Варианты ответов: 1) —; 2) —; 3) 0; 4) 3.
4 3
Решение;
Разделим числитель и знаменатель на хА (неопределен-
ность вида —).
со
lim ,. .. = = hm
( 2
3'7
V 77
„4
= lim *■ х
2\ л 2
4 L 3 4" «- Г 3"
3 л:4 3 ,
= lim , * =- = 3.
*-»- 4 /, 3 4 *-♦» ,341
♦ Пример 2.22
Предел дроби lim~^ равен...
х-*2х1 -Ъх + 2
Варианты ответов; 1) 0; 2) 2; 3) -1; 4) L
Решение;
Если непосредственно подставить в формулу х = 2> то
О
получим неопределенность вида — . Разложим числитель и
знаменатель (а это квадратные трехчлены) на множители
и сократим общий множитель.
х2-5х + Ь = {х-2)(х-Ъ)
х2-Зх + 2 = (х^2)(х-1) -

78
Математика
г л;2-5л+6 .. (jc-2Xx-3) _. х-3 2-3
hm — = lim = hm = = -1.
x-*2x2-3x + 2 *->2(x-2)(x-l) л->2*-1 2-1
♦ Пример 2.23
г2-4
Предел функции lim -^ равен ...
дг-»2х* -3-Х+ 2
Варианты ответов: 1)1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.
Решете:
О
Это неопределенность вида — — и числитель, и знаме-
натель дроби стремятся к нулю. Разложим и числитель и
знаменатель для раскрытия неопределенности и применим
теорему о пределе частного и пределе суммы.
г .т2-4 г (х-2Хх + 2) г х + 2
lim — = hm ' = lim =
-γ-*2 x2 - 3.x + 2 *-»2 (* ~ 2)(λ- -1) x->2 Χ -1
lim(x + 2) A
-Χ->2 = - = 4
limU-1) 1
х-Л
♦ Пример 2.24
Χ1 -4
Предел функции lim — равен ...
*->°° х" - 3-х + 2
Варианты ответов: 1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 8.
Решение:
оо
Это неопределенность вида —, так как и числитель, и
оо
знаменатель стремятся к ©о при .х -» «>. Разделим их на х2 и
применим теорему о пределе частного, которую до этого
применять было нельзя.

Глава 2. Математический анализ
79
♦ Пример 2,25
Предел функции lim — равен ...
х-^*> х + 1
Варианты ответов: 1) 0; 2) 2; 3) 4; 4) 8.
Решение:
Это неопределенность вида —. Разделим числитель и
знаменатель на х и применим теорему о пределе частного,
а затем — теорему о пределе суммы.
4 + 1 limU + i] 4+lim!
^я+1 ^1+1 iimi+n 1+Iimi но
♦ Прнмер 2.26
Х^ + JC +1
Предел дроби lim — равен ...
*->« х + х +3
Решение:
со
Так как это неопределенность вида —, то разделим чис-
литель и знаменатель на я3, после чего воспользуемся тео-
ремой о пределе частного.
1 I 1 r fl 1 Π
г Χ2 + Χ + 1 -. Χ ν2 ν3 Χ-*\ Χ Χ1 Χ1
lim — - = hm f—j^- = ^, ,—~^-
*->~лг+jr + 3 *-** ,. 1 , ^ ,. ft I . 3 >
lim — + -7
1 + - + 3
\ x * )
0+0+O=0^
1+0+0 1
Рассмотрим раскрытие неопределенности вида0*-**. Для
этого умножим и разделим данное выражение на сопряжен-
ное, после чего используем прием, рассмотренный выше:
разделим числитель и знаменатель на старшую степень пе-
ременной х.

80
Математика
♦ Пример 2.27
Предел функции lim wx + 2 - Vx) равен ...
Решение:
Умножим на сопряженное выражение (vx + 2 + vx 1 и
разделим на него,
lim
' х-*- (Vx+2+Vx)
.. х + 2-х -. 2
= bm . —= = hm . —j=.
*-^~Vx + 2+Vx *-»~vx + 2+vx
Теперь разделим числитель и знаменатель на vx.
2
lim Ji = JL =0.
+ ТГ+о+1
Я
Задания для самостоятельного решения
44. lim1 ; 45. lim—г ;
*-*1 х-2 х->2 х1 - 2х +1
т2-1 х2-9
46. lim -т= ; 47. lim
*->1х2-5х+4' *-*з х-3
5 г —2 ν* +^γ — 2
48. lim , ; 49. lim ', ;
_Λ .. .ν3+4 ν2+4*-5
50. lmi ~= ; 51. lim = ;
x-+-x -3 *-»i xl -i
.. r x2 + 4x-5 „ г х2+4х-5
52. lim = ; 53. hm = ;
*-»- х -1 -*—»-! x2-l
54. iim4^; 55· ^Ji+x*-x\

Глава 2. Математический анализ
81
56. lim(V*2+4.v-.v); 57. Цщ *" ~ 5* * 4 ■
*-*Ч ) л-»1 л-2 - 7.γ + 6
58. lim
Л-
л + 1
2.1.4. Два замечательных предела
В математике и ее приложениях широко используются
два замечательных предела функции.
Теорема о первом замечательном пределе
Предел функции —— в точке .ν = 0 существует и равен
единице:
,. sin л: %
hm = 1.
*->о л*
♦ Пример 2.28
_ .. sin 5 а-
Предел Inn равен...
1
Варианты ответов: 1)0; 2) 1; 3) 5; 4) —.
Решение:
Чтобы использовать первый замечательный предел, надо
преобразовать данную дробь так, чтобы в знаменателе был
аргумент синуса. Для этого умножим и числитель, и знаме-
натель на 5, после чего можно применить теорему о пер-
вом замечательном пределе.
,. sin5A* r 5sin5x с .. sin5x С1 с
lim = hm = 5hm— =51 = 5.
т->о х л-->о 5 л- л-»о 5л
♦ Пример 2.29
™ г sin2x
Предел функции hm—— равен...

82
Математика
2 1
Варианты ответов: 1)0; 2) —; 3) - ; 4) 2.
Решение:
Преобразуем данную дробь, чтобы в знаменателе был
аргумент синуса. Для этого числитель и знаменатель умно-
жим на 2,
,. sin2x ,. sin2x-2 ^,. sin2x
hm -—— = lim ——— = 2 hm — =
*->o 3x v->o 3x-2 x^o2x-3
2 л. smlx 2 fl 2
--lim- = -♦! = -.
3.v->o 2x 3 3
♦ Пример 2.30
1 - cos x
Предел выражения lim — равен ...
Решение:
Знаменатель дроби стремится к нулю при х > 0. Преоб-
разуем данную дробь, используя формулу тригонометрии
l-cos2a = 2sin2a ■
, Л ^ 2sm — -
v 1-cosx г 2 I r
hm г— = lim τ^- - — lim
/
jc—>0
л-^0
2*^ю
sin-
V
х
2
= -lim
2x-&
sm
x
2
lim
sm —
2.
x
1
-i-M-i.
2 2
♦ Пример 2,31
π ,. l~cos5x
Предел выражения lim -—— равен ...
x~>i} x2
Решение:
Используя формулу тригонометрии l-cos2a = 2sin2 α ,
получаем:

Глава 2. Математический анализ
83
.. I-cos5x ..
hm г— = hm -
2sin~
5.x
лс->0
.х-Ю
= 2 lim
x->0
sin-
5x
= 2
X'
4=12,5.
♦ Пример 2,32
„ .. cos2jc-cos6jc
Предел выражения hm - равен...
Решение:
Преобразуем данную дробь по формулам тригономет-
рии, для того чтобы применить теорему о первом замеча-
тельном пределе.
,. cos2jt-cos6x .. 2sin2x-sin4.x
Jim - = hm г =
х-+0
л->0
- „ ... sin 2л .. sin 4.x t, t , .,
= 2 · 2 ■ 4 lim hm = 16 11 = 16.
л-*о 2х л->о 4jc
♦ Пример 2.33
„ , .. cos 3.x-cos 7.x
Предел функции hm = равен ...
Варианты ответов: 1)3; 2) 20; 3) 10; 4) 45.
Решение:
Воспользуемся формулой из тригонометрии: преобра-
зование разности косинусов в произведение.
cos3.x-cos7.x = 2sin5.xsin2.x.
.. cos 3.x- cos 1 х t. 2 sin 5.x- sin 2x
hm - = lim =
\^0
= 2 lim
.X'
sin 5.x
x->0
sin 2.x
-X
А--Ю X
lim
λ-λ .x
= 2-5-2 = 20.

84
Математика
Теорема о втором замечательном пределе
Предел функции f(x) =
равен е:
Л*
при х —*» существует и
lim
Vх
\
= е.
1 + ~
л*
Число с = 2,71828 является одной из фундаментальных
величин в математике.
Логарифм числах по основаниювназываетсядш/иураль-
ным логарифмом и обозначается In .v. Показательная функ-
ция вида еах называется экспонентой.
Вычисляя пределы, можно использовать следующие ра-
венства:
ах-\
.v-»0 х х->0 Χ
= 1ηα, lim
x->0
(1 + jcr-l
-т.
♦ Пример 2.34
Предел lim (l + x) равен ...
x-*0
Решение:
1
Проведем замену переменной, полагая — = а.
х
Тогда α —> во при .γ -> 0.
7 ( i \α
Hm(l + jc) = lim 1 + —
x-^0 α-**^ α J
♦ Пример 235
Предел выражения lim
1 +
->Y
= е.
равен ...
Решение:
Проведем замену переменной .υ = 2α, При х —>°° α —> °о
получаем:
lira 1 + — = Hm
л—►«! х J α-►«
(
1 +
1\
2α
\
α
= lim
l + i
α
λα
π2
= ε>

Глава 2. Математический анализ
85
♦ Пример 2,36
з/
Предел lim (I + Зх2 ) равен ., ,
Решение:
1
Сделаем замену переменных —г = ос. При хчОа^*
Зх1
lim(l + 3x2) =iim 1 + - =
♦ Пример 2.37
Предел ш(^^Щ равен...
Решение:
Преобразуем дробь, а затем перейдем к пределу:
limf-Ioge(l+jc) ]= lim 108,(1 + *)' =
jc->01 x i x-^0
\\
= log.
V
Ит(1 + лс)Л
= 1о§де = —.
In α
Задания для самостоятельного решения
Найти предел функции, используя теоремы о двух заме-
чательных пределах функции:
sin 7л:
59· Нт
л->0 х
6L lim
sin 2 х
х^о х'
63· lim
sin2 x
x->0 x*
65· lim
sin3x
x-*o sin 4x
^ sin8x
60. lim ;
*->o x
„ r sin3*
62. lim ;
x->0 sin 5 jc
64· lim ;
*-»o tg 3x
66, limxctgjc;
A"-*0

86
Математика
67. lim
sin Ьх - sin 8.x
\4.ν
69. Iim 1 + —
*->Ч 2л*
68. lim (14-4л*)4
70. lim
3ex+l
71. Iim
v-»0
1-cos.x
72. lim
X
3ex
2x
2л-3
3.r
73.
/ л . \2.v-t-l
limi^ti .
2.L5. Непрерывность функции
Понятие непрерывной функции является фундаменталь-
ным в математическом анализе.
► Функция fix) называется непрерывной в точке х0, если
предел этой функции и ее значение в этой точке равны
lim Дл') = Лл-0)
х->х0
ИЛИ
lim /U) = /|
lim x
X-iXQ
► Функция f{x) называется непрерывной справа в точке л0?
если правый предел этой функции в точкед:0 равен значе-
нию функции в этой точке.
Urn /U) = /(x0) или /Х*+0)=/Х*0).
► Функция f{x) называется непрерывной слева в точке а*0,
если левый предел этой функции в точке л0 равен значе-
нию функции в этой точке.
lim fix) = fixQ) или /(х-0) = /(.*0).
v-».vtf -
Если функция/(.х) непрерывна в точке.х0 справа и слева,
то она непрерывна в этой точке.
Точки разрыва функции — это точки, в которых функция
не является непрерывной.

Глава 2* Математический анализ
87
Например, функция f(x) = sign х (рис. 2.3в), Ее значение
в точке х = 0 существует левый предел этой функции
lim f(x) = -l и правый предел Ит /(х) = 1 .Ноэтаточка
х-0 будет точкой разрыва функции, поскольку пределы
слева и справа не равны по значению функции в этой точке.
Теорема. Пусть функции /j(x) и f2(x) непрерывны в
AM
точкех0. Тогда функции f}(x) + f2(x), /\{х)- Λ(-ν) UT7Z\
J2KX)
будут также непрерывны в точке xQ (для дроби — при усло-
вии, 4mof2{x() Φ 0).
Непрерывность элементарных функций в точке
Постоянная функция f(x) = С является непрерывной в
любой точке числовой оси, согласно определению непре-
рывности функции в точке
lim /(jc) = C = /(jt0).
► Функция f(x) = х непрерывна в каждой точке х0 число-
вой оси, согласно определению — предел функции в точ-
ке х0 равен ее значению в этой точке
lim f(x) = XQ=f(xo).
► Функции f(x) = x2 =х*х; f(x) = x3=x2*x; f(x) =
- хп - хп~] ■ х, где η — натуральное число, также непре-
рывные согласно последней теореме.
► Многочлен Р(х) = а0хп +д1лгн~1 + a2xn~2 + .., + дд также
является непрерывной функцией согласно последней те-
ореме, так как он (многочлен) является суммой произве-
дений непрерывных функций,
Р(х)
► Дробно-рациональная функция R(x)= у s где Р(х)
@№
и Q(x) — алгебраические многочлены, согласно этой

88
Математика
теореме также непрерывна во всех точках числовой пря-
мой за исключением корней знаменателя.
► Тригонометрические функции у = sin x и у = cos х непре-
рывны в любой точке л числовой оси.
► Тригонометрические функции
sin .γ Ι
v = tg.v = и sec.v =
cos .ν cos .ν
непрерывны во всех точках числовой оси, кроме
х*- + т (л = 0,±1,±2,...).
2
► Тригонометрические функции
cosjc 1
y=cigx = —,— и cosecx =
sin .ν sin .γ
непрерывны во всех точках числовой оси, кроме л * пк
(л = 0,±1,±2,...).
Все основные элементарные функции — постоянная,
показательная, логарифмическая, степенная, тригонометри-
ческие, обратные тригонометрические непрерывные на сво-
их областях определения.
Непрерывность функции на интервале и отрезке
Функция f(x) непрерывна на интервале (я, Ь), если она
непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция/(л) непрерывна на отрезке [а, Ь]% если она не-
прерывна на интервале (л, Ь) и непрерывна в точке а справа
и в точке Ъ слева.
lim /(*) = /(*), lim /(.v) = /(*).
Λ—><! + Χ—»6-
Классификация точек разрыва функции
Точки разрыва, в которых функция не является непре-
рывной, классифицируются следующим образом.
► Устранимый разрыв. Точкалс0 называется точкой устра-
нимого разрыва функции fix), если предел функции в этой
точке существует, но в точке л0 функция/(л) не опреде-

Глава 2. Математический анализ
89
лена, либо ее значение в этой точке/(л;0) не равно преде-
лу в этой точке.
sin х
Например, функция f(x) - —*— в точкех => 0 имеет пре-
х
дел, равный единице. Это первый замечательный предел.
Однако в самой точке х = 0 эта функция не определена. Этот
разрыв можно устранить, если доопределить функцию в этой
точке: пустьДО) = 1 (значение предела в этой точке). Полу-
чится новая функция
f sin х Л
, если я # О,
[l, если х - 0.
Функция f(x) будет непрерывной на всей числовой
прямой.
► Разрыв Ipoda. Точка х0 является точкой разрыва первого
рода функцииДх), если в этой точке функция f(x) имеет
конечные, но не равные друг другу левый и правый пре-
делы:
lim f{x)± lim f(x).
Например, рассмотренная выше функция
[+1, если л- > 0,
у = sign х = 10, если х = 0,
[-1, если х < 0,
для которой точка х=0 является точкой разрыва I рода.
► Разрыв IIрода* Точкал;0являетсяразрывом второго рода
функции f(x), если в этой точке не существует хотя бы
одного из односторонних пределов функции f(x) или
хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
Например, для функции f(x) = — точка х = 0 является
X
точкой разрыва II рода (рис 2+8), поскольку в этой точке
ill-
lim — =+°°, lim

90
Математика
Рис. 2.8. График функции у ~
_ 1
х
> Точка скачка функции — это точка, в которой левый и
правый пределы функции в точке х0 различны:
lim /(х)ф lim f(x).
Разность /(л'0 + 0) - /(xq - 0) называется скачком функ-
ции в точке -х0.
♦ Пример 2.38
Показать, что при л- = 4
функция у = -
- имеет раз-
*-4
рыв, и это разрыв ... рода.
Решение:
Найдем левый и правый
пределы:
lim —:— = -со
x-»44J Jt-4
lim —— = +<*>.
дг->4+0 .V —4
Видно, что при л -» 4
Рис. 2.9
функция не имеет конечных График функцгш у =

Глава 2. Математический анализ
91
пределов. Следовательно, х = 4 — это точка разрыва II рода
(рис. 2.9).
♦ Пример 2,39
Показать, что при .ν = 4 функция у = aretg — имеет
х-4
разрыв, и это разрыв ... рода.
Решение:
Если .х = 4 - О, то »-оо, и Цт у = —.
jc-4 *-*4-о 2
1 π
Если .ν = 4 + 0, то >+«>, и lim у = —.
.х-4 *-»4+о 2
Видим, что функция ^ при х = 4 имеет левый и правый
конечные пределы, не равные друг другу. Следовательно,
точка х = 4 — это точка разрыва I рода — точка скачка.
Скачок функции в точке*=4 равен — —
2 2
= π (рис. 2.10).
Рис. 2.10. График функции у = arctg— —
л:-4
♦ Пример 2.40
1
Для функции /(л) = sin — точка х = 0 является точкой
х
разрыва ... рода.
Решение:
В этой точке не существует ни левого, ни правого преде-
ла функции. Это разрыв II рода.

92
Математика
♦ Пример 2,41
Функция f(x) = ех (рис. 2Л1), Точка* = 0 является точ-
кой разрыва ... рода.
у\
1
\
0
1
г ,
X
Рис. 2Л1
Решение:
I
Предел слева равен нулю: Hm ех =0 .
Предел справа стремится к бесконечности: lim ех = *» .
Это разрыв II рода.
2.1*6, Сложная функция
► Функция у "/(φ С*)) называется сложной функцией от х,
если на некотором промежутке Ζ определена функция
z = φ (х) со множеством значений Ζ и на множестве Ζ
определена функция y=f(z). Переменная z называется
промежуточной переменной сложной функции.
Например:
l.y = cosVl-х — сложная функция, определенная на
(-<*>, 1], так как у = /(;:)-cosz , z = <p(x)~<Jl-x ,

Глава 2. Математический анализ
93
2. у = е х — сложная функция, определенная на всей
числовой прямой, так как у = /(г) = г,: = ср(х) = -х2.
Теорема. Пусть функция z = φ /4J непрерывна в точке х0,
а функция у}-f(fz) непрерывна в точке z0- φ (ха). Тогда слож-
ная функция у =/(φ (х)) непрерывна в точке xQ.
Например, функция у = tg(,v" +дг) непрерывна в точке
х = 0, потому что функция z = (р(л*) = х + л* непрерыв-
на в точке .ν = 0, а функция >> = /(z) = tgz непрерывна в точ-
кег = 0.
♦ Пример 2.42
2 1
Функция /(х) = л" + — непрерывна на множестве точек...
л*
Ответ: х е (-«>, 0)и(0, + оо).
Решение:
Функцию/fxJ можно представить как сумму функций
/,(*) = х2 и/2(*) = -.
/(*) = /,<*) +/2(дг)„
ООФ/,(лг): х ε /?. Следовательно, она непрерывна на этой
области определения при всех хе R.
ООФ/2(л): все х е /?, кроме точки л* = 0. Следовательно,
она непрерывна на множестве (-<», 0)и(0, +«>).
Согласно теореме, сумма двух непрерывных функ-
ций f(x) = /j(x) + fi(x) будет непрерывной там, где непре-
рывны обе функции.
Вывод: /(л) = х2 + — непрерывна при (-°о, 0)и(0, +°°).
х
♦ Пример 2.43
Функция /(х) - sin х" непрерывна на множестве:
Варианты ответов:
1)(-1,1); 2)*е Л; 3)[-1, + 1]; 4)(0, + ~).

94
Математика
Решение:
/(z) = sinz, r = <p(.x) = .x2.
Функция <р(л) = .ν непрерывна при всех х 6 /?. Функ-
ция /(z) = sin z непрерывна при z e (-«, «>).
Следовательно, сложная функция /(.г) = sin х2 непрерыв-
на при всех х е R.
♦ Пример 2,44
Используя свойство непрерывности элементарных функ-
ций, вычислить предел функции:
.. COSJC
am равен ...
дг-^О I — дг
π
Варианты ответов; 1)0; 2) у; 3)1; 4) 2.
Решение:
Функция /| (лг) = cos .ν непрерывна при всех д· € Л, по-
этому limcos.Y = co$0=l.
Функция/2(*) = 1-* непрерывна при всех х е Л, по-
этому lim(l-jc) = l-0 = l.
.т->0 ,.
„лв%. hmcos.v !
,. COS A v_iO 1 ,
1Ш1 = -£=! =_ = - = 1.
*-*о 1 - л* lim(l - x) 1
лг-*0
♦ Пример 2.45
Используя свойство непрерывности элементарных функ-
ций, вычислить предел функции:
ИтИ + Зх2 К равен...
jc->0V '
Варианты ответов: 1)1; 2) е\ 3) е2; 4) е3.
Решение:
Умножим числитель и знаменатель показателя вышеука-
занной функции на 3:

Глава 2. Математический анализ
95
lim
.ν—*0 I
(l + 3x2)^
1
Функция/(г) = z является непрерывной при всех zeR.
iimz3(jc) = (limr(x)) ;
J
z(jc) = (i + 3x2)3jc2;
1
]im(l + 3x2W = e;
ДГ-Й)
lim
.X-*0
(l*lx»)
3x2
= e
Φ Пример 2.46
гарных фу1
■\ 2jc +
Найти предел lim 1 + | , используя свойство не-
*-*"\ 2дс +■ IJ
прерывности элементарных функций.
Решение:
равен
Преобразуем х = 2х— н = —(2х + 1)—.
^Р 222 2V 2
Тогда выражение примет вид:
1 + -
1
Vv
1 + ·
1
ч2.*+Л2 Α-
ν
2.x-1
/(.x)=y;u)/2U).
Заменим 2.x + 1 = а:
2дг-1
1 + -
1
\
2.x+ 1
1 + -
1 \
2х+1
2х-1
"И"
I «J

96
Математика
lim 1 +
= e.
Функция/j (.ν) =
1 + -
1 λ
V
2jc-1
\x+\ \2
непрерывна при вы-
ражении в скобках больше либо равно нулю. Поэтому
1
lim
\
-е1 =ve.
Функция /2(л)= 1 + -
1
2х + 1
жение в скобках больше нуля.
непрерывна, если выра-
lim 1 + = lim 1 +
= 1 2=1.
Окончательно, используя теоремы о свойствах пределов,
имеем:
limfl + —^—Ι =
*-*·{ 2x + lJ
ые Л-4е.
Задания для самостоятельного решения
► Найти точки разрыва функций и определить типы раз1
рывов:
х-... Разрыв ... рода;
74. y = JL-
\_
75. >- = 2~Л
76. V = tgA
77. у = е*х
78., = ^
х=... Разрыв... рода;
х=... Все разрывы ... рода;
х- ... Все разрывы ... рода;
.ν = ... Все разрывы ... рода;

Пива 2. Математический анализ
97
79. У = —
1
.ν, = ... Разрыв ... рода;
х--Зх + 2 "'
х2= ... Разрыв ... рода;
80. у=~ — л, = ... Разрыв ... рода;
х^-Зх + 2
х2 =... Разрыв ... рода.
► Найти множество, на котором непрерывна функция:
1
81. >' = Зл"-1;
83. у = х + \пх;
SS.y = xV;
. 1
87. j» = sin-;
Χ
82. v = -^r + 4x;
хг
cos x
84. y = ;
Χ
86. у = -*-;;
x-l
x -4
► Найти предел функции, используя непрерывность функ-
ции:
89. lim-^
v->o jc* + 4
I
91. Нт(1 + 2х)*;
90. lim
In*
x-*\ x
92. lim
.v-*0|
i+i-
3 0
93. UmO-x)*;
.x-»0
95. lim 1 +
3x-lJ
Yx~
97. lim
Л-*«
1-
l + .v2
94. lim(l + 2x)v;
v-»l
96.
( 1 f**
*-»-\ 4лг + 3 )
4. 3*i 64»

98
Математика
Ζ L 7. Производная функции
Производная функции у ~/(х) а точке *0 — это предел
отношения приращения функции Δν в этой точке к соответ-
ствующему приращению аргумента их при Ах -» 0.
f(x0+Ax)~f(xQ)
у'(х)=Ш^=Ът
Δλ^ο Ах δλ--*ο
Δλ'
Производная обозначается У («игрек штрих») или/'(х)
(«эф штрих от икс») или JL («дэ игрек по дэ икс»).
dx
Геометрически производная представляет угловой ко-
эффициент касательной к графику функции^ =/(х) (рис. 2.12)
в соответствующей точке М1 (л0> >-0) tg α = У = /"(*о ) -
Уо+АУ
х0+Ах
Рис. 2J2, Геометрический смысл производной
Физический смысл производной, у — это скорость изме-
нения функции у =f(x) относительно ее аргумента х. Про-
изводная У характеризует быстроту изменения функции,
т.е. скорость роста. Отрицательная скорость роста означает
падение — уменьшение у при увеличении х7 т.е. скорость
убывания функции. Производная У указывает на тенден-
ции, характерные для изменения^, и позволяет судить о том,
что можно ожидать при дальнейшем изменении аргумента.

Гяава 2. Математический анализ
99
Производная 2-го порядка — это производная от произ-
водной первого порядка: у' = (у'(х))', у' = —γ (читается
«дэ два игрек по дэ икс дважды»), х
Производная п-го порядка— это производная от произ-
водной (л- 1) порядка: у{п) = (у{п~])(х))'.
Например, ускорение а = это первая производная
dt
от скорости по времени или вторая от перемещения по вре-
d2S
мени а=
dt
2 *
dS
Линейная скорость ν = это первая производная от
dt
перемещения по времени.
Таблица 1
Таблица производных
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(с)' = 0,
где С—постоянное число
(u±v)' = u±v
(uv) =mv + vm
(и Λ и ν-ν и
/ν' '
(си) =си
(хя У* их-1
(ln-v)' = i
X
(α*)' = αΧ\ηα
I . , 1,
(logu.rj =-log„*
10
11
12
13
14
15
16
17
18
(ex)' = ex
(sin x)' = cos.v 1
(С0$ЛГ)' = -5Н1Х ]
//Γ„ν_ i
{IgX} - ^
cos* л* |
(rtir\~\'— .
sin .x
(arcsinx) = ,■■ η
7i-7
(arccosx/ = —i
(arctg*)' = ¥
(arcctgx)' = -; j m
l + .v |

100
Математика
♦ Пример 2.47
у = л2 -4х + 3. Вычислить /.
Решение:
/ = (х2-4д: + 3)' = (х2)'-(4:с)' + (3)'.
Применяя формулы (3, 5, 6) таблицы 1, получим:
/ = 2.х-4.
♦ Пример 2.48
>Лх x 3jc
Вводя дробные и отрицательные показатели, преобра-
1 Л I
зуем данную функцию: у = jc2 + 5.x 3 - .х 2 + -л: 3.
Применяя формулы (5 и 6), получим:
х'^ =
/ _] 5_ _2_-_L
♦ Пример 2.49
ГГ
f(x)Jl±=. ВычиелитьЯ 1).
1 + V-x
Решение:
Используя формулы (4 и 6), получим:

Глава 2. Математический анализ
101
I 1 1
: +
^ 2л/Г 2 2 _ 1
(1 + V*)2 2^(1+ ^)2'
/U 2лЯ(1 + 7Г)2 2·22 8
+ Пример 2,50
(l + ^f n
_y = t ВЫЧИСЛИТЬ у *
Χ
Решение;
Раскрываем скобки и производим деление:
(Ι + Vx)2 1 + 2л/^ + х 1 2 .
y = i ^- = _ + _ + !,
х х х Vx
Используем дробные и отрицательные показатели, при-
водя данное выражение к табличному виду (6).
_j_
у = лч +2x 2+1.
Находим производную /:
, -2 J П ~ l i
♦ Пример 2.51
Найти производную 2-го порядка от функцииу =х ■ shut.
Решение;
Используя формулы (3, 11 и 12), получим:
у = (x)'sinx + x(sin x)f - sin x + х * cosx
Дифференцируя производную/, имееМ;
3/ = (smx)' + (x)'cosx + x(cosx)' = cosx + c0sx--Jcsmx =
= 2cosx-xsinx.

102
Математика
♦ Пример 2.52
Движение летчика при катапультировании из реактив-
ного самолета можно приблизительно описать формулой
S = 3,7f3 +Ы-19/ (м). Определить скорость и ускорение
летчика через 2 г после катапультирования.
Решение:
Используя определение линейной скорости, а также фор-
мулы (5, 6 и 7), получим:
v = *[, v = (3,7/3+ln/-19/)',
dt
-> 1
тогда ν = 3,7 · 3r + —19 (м/с);
ν,=ο=11,1·22 +--19 = 25,9 (м/с).
2
Используя определение ускорения, получим:
' 1Ц*2+1~19|; а = 22&-\ (.ч/с2);
dv
а = а =
ω'
а,=2=22.2-2-!- = 44Д5 (м/с1).
4
♦ Пример 2.53
В какой момент времени скорость тела, движущегося по
закону S = З/2 -15/+2, равна 0? Найти ускорение тела.
Решение:
Скорость тела ν — это первая производная от перемеще-
— и ^
ния S повремени: v = ; v = (3/2 -15/+ 2)'= 6/-15-
dt
Если v = 0, то 0 = 6/-15=* / = — = 2,5 (с).
6
Ускорение а — это первая производная от скорости ν
по времени: а = —-; а = (6/ - 15)' = 6 (м/с1),
dt

Глава 2. Математический анализ
103
Производная сложной функции
Если у = f(u)y где w = cp(x), т.е. если у зависит отх через
посредство промежуточного аргумента и, то у называется
сложной функцией отх
Производная сложной функции равна произведению ее
производной по промежуточному аргументу на производ-
ную этого аргумента по независимой переменной:
/ = /'<«)·«'(*).
Некоторые формулы таблицы производных теперь бу-
дут иметь вид: х
(ип) = пип-]*и'>
(shim)'= cosh *i/,
(cos u)' = - sin и * и и т.д.
Найти производные следующих функций.
+ Пример 2+54
у - (1 + 5х)ъ- Вычислить у'.
Решение:
Полагаем 1 + 5х = и и у = w3. Тогда, применяя правило
дифференцирования сложной функции, имеем:
/ = 3w2(l + 5jcy^3(l + 5x)2'5 = 15(l + 5x)2.
♦ Пример 2.55
y = sm3x. Вычислить/,
Решение:
Полагая Ъх - н, найдем, используя соответствующие фор-
мулы:
у* - (sin3x)' = (sin и)'' = cosw ■ и - со$Ъх -3> _у' = 3cos3jc .
♦ Пример 2.56
у = sin х\ Вычислить /.
Решение:
Полагая х1 = и, найдем:
у = (sin^)y = (sinи)''-cosw■ и -Ъх"cos* .

104
Математика
♦ Пример 2.57
Точка совершает колебательные движения по оси абс-
цисс по закону .v = cosci)/. Найти момент времени, когда
скорость равна нулю. Чему в это время равно смещение л?
Решение:
dx л кп
v = — = -G)sino:>f· 0 = (Dsina)f=>/ = — ·
dt ' ω '
ω/ai _t
л =cos = ±1.
ω
Применение производной
для решения прикладных задач
► Скорость изменения некоторой переменой величины .ν
определяется как производная её по времени —.
♦ Пример 2.58
В результате значительной потери крови содержание
железа в крови уменьшилось на 210л*г. Недостаток железа
вследствие его восстановления с течением времени t умень-
шается по закону у = 2\0е 7 мг (/ — в сутки). Найти зави-
симость скорости восстановления железа в крови от време-
ни. Вычислить эту скорость в момент / = 0 и через 7 суток.
Решение:
Скорость восстановления железа:
_' L
у -—210е 7 = -30е 7. Знак «-» указывает на умень-
шение недостачи.
При t = 0 скорость восстановления равна 30 мг/сутки.
Через 7 суток скорость восстановления равна:
7
in ~7 ™ 1 3° 30 in мг
у^п=-Ук 7=30е> =_ = _ = iy .
е 2,7 сутки
Примечание. Релаксационный процесс— это процесс воз-
вращения сисгемы к состоянию устойчивого равновесия.

Глава 2, Математический анализ
105
из которого она была выведена. Во многих случаях (осо-
бенно при однократном воздействии) этот процесс описыва-
I
ется экспоненциальным уравнением у - у$е τ > где τ — по-
стоянная времени. Ее физический смысл: это время, в течение
которого начальное отклонение у0 уменьшается в е раз
(т.е. в 2,7 раза). В данной задаче постоянная времени —
7 суток.
+ Пример 2.59
Зависимость между массой вещества, получаемой в не-
которой химической реакции, от времени / определяется
формулой Μ = 7(1 + 2e~5t). Найти скорость реакции.
Решение:
Надо взять производную от Μ по времени t:
dt
> В прогнозах и анализе ценовой политики широко при-
меняется понятие эластичности спроса относительно цены
товара. Спрос D -f{P) — это функция от цены товара Р.
Эластичность спроса Ε — это процентное изменение
спроса D при изменении цены товара Ρ на один процент.
г, г, D'(P)
Эту формулу можно записать и так: Ε = Р t учи-
тывая, что АР= 1%.
Функция спроса относительно цены D(P) убывает с рос-
том цены.
♦ Пример 2.60
Пусть спрос D зависит от цены Ρ таким образом:
D=\5^P при цене/>=5.

106
Математика
Если цена увеличивается на 1%, то величина спроса ♦..
(возрастает, убывает, не изменится) на ... %.
Решение:
Е = р!*±11, />'(/>) = (15-/>)' = -1.
D(P)
£ = />-^- = 5.^- = —= -0,5 (%).
15-Р 15-5 10
Ответ: упадет на 0,5%.
♦ Пример 2.61
Пусть себестоимость продукции С зависит от объема Q
ее производства следующим образом:
С = 50-0,4б.
При выпуске продукции Q = 30 эластичность себестои-
мости равна ..., а себестоимость ... (снижается, увеличива-
ется).
Решение:
Ε = pV'iP± C(Q) = (5O-0AQ)' = -0,4;
D(P)
50-0,4β 50-0,4-30
Увеличение объема выпуска продукции на 1% приведет
к снижению себестоимости на 0,32%.
Задания для самостоятельного решения
► Найти производные первого порядка:
98. y = ^ + 5tfx*+x: 99. у = 2ех-2х + Injc-31gjc;
100. ν = 4е5х'1; 101. у = ех + е"х ;
102. у = л3 sinх + л[х ; 103. у = -sin42x;
4
104. ν = ; 105.у = х*/g.t + Incosа* + -
COS Л'

Глава 2, Математический анализ
107
113 х
106. у = - + г-; 107. у = lncos3;c + In =-
2 2л; x3 1-х2
108. y = 3jf + x2tgjc; 109, У =
ех+е-'х
ех-е"'х
ПО· ^-х -У; in.y = 5arccos3x+3arcsin3A:;
112. y = sin(2x-l)>eax; 113. ^jc(l-lnx);
114. y = ln*-ln-; 115. y = - + \.
ax t t
► Решить задачи:
116. Падение тела описывается формулой S - 4,2i2 + Ы -
- 10f. Определить скорость ускоренного тела через 2 с после
начала падения.
117. Тело движется по закону S-t-6t -4i-8. Опре-
делить скорость тела в конце 5-й секунды.
118. Найти ускорение тела, движущегося по закону
£ = 03531η2*> при /--.
4
119. Тело массой т - 1 кг движется по закону:
£=0,3sin(10/-jt)/
Определить силу, действующую на тело при t - — .
120. Количество электричества, протекшее через провод-
ник, начиная с момента t = 0, определяется формулой
q = It2 + 3f +1 {Кл). Найти силу тока в конце 10-й секунды.
12L Движение двух материальных точек задано уравне-
ниями:
S = 4/ + 8/2~16f3,
■ . S = 2f-4r2 + r3.
Найти, в какой момент времени ускорение одинаково,
122. Маховик вращается по закону φ = 8г - 6( + 4, Най-
ти угловую скорость в момент времени t - 3 с.

108
Математика
123. Закон изменения температуры тела Г в зависимости
от времени выражается формулой Τ = 2$t2. С какой ско-
ростью нагревается тело в / = 2 с?
124. Концентрация (г) некоторого вещества в крови чело-
века вследствие его выведения из организма изменяется с те-
чением времени (t—в часах) по закону с{() = 2е ч ' (мг/л)>
Построить график зависимости концентрации от времени.
Найти скорость изменения концентрации. Какой смысл име-
ет знак скорости? Рассчитать время, в течение которого кон-
центрация уменьшается в е раз.
125. Концентрация раствора изменяется с течением вре-
100i ^ %_
мени по закону: с = . Найти скорость растворения.
1 + 5г
126. Зависимость между массой вещества М, получа-
емой в некоторой химической реакции, и временем t выра-
жается уравнением: Μ = 5/2 + 6*. Найти скорость реакции.
127. Разряд конденсатора емкостью Си зарядом q через
i
сопротивление R описывается уравнением q = g0e RC (Ал).
Найти скорость изменения заряда конденсатора с течением
5" времени Л Построить график этой за-
висимости. Какова величина этой ско-
рости в начале разряда (г = 0)? Чему
равна постоянная времени этого про-
цесса?
128. Рост клеток (бактерий) в условиях ограниченности
питательных веществ или пространства в течение началь-
ного интервала времени t происходит по экспоненте. Закон
увеличения числа клеток имеет вид: N = NQekt, где N0 —
это число клеток в начальный момент времени / = 0; к —
постоянная величина, зависящая от вида клеток, характера
среды и т.п. Постройте график зависимости для klnk1>kv
Что характеризует величина/: в процессе роста численности
популяции с математической точки зрения?

Глава 2. Математический анализ
109
129. Функции спроса D и предложения 5* от цены Ρ име-
ют вид:
# = ^-Л
S=l+P,
При равномерной цене эластичность спроса ED и пред-
ложения Esравна. ♦.
При увеличении ц^ны на 10% доход ... (увеличится^
уменьшится) на ...%.
Доход/равен произведению цены товара/* на величину
спроса D. I(P) = D(PyP.
2.L8. Дифференциал функции
Дифференциал функции у =f(x) β точке х§— это главная
часть приращения функции, линейная относительно при-
ращения аргумента Ах. Обозначается dy = /Ах. Дифферен-
циал независимой переменной х равен ее приращению:
dx = Ax.
Дифференциал функции i/y = y'dx или dy = /'(xq )dx равен
ее производной, умноженной на дифференциал аргумента.
Дифференциал функции afy имеет четкий геометрический
смысл (рис, 2.12): это приращение ординаты касательной к
графику функции в точке х0.
Свойства дифференциала функции
Пусть и - и (х) и ν - v(x)—некоторые дифференцируемые
функции, с — вещественное число.
Lde = Q.
2. d(u + v) = du + dv.
3. d{cu) = cdu>
Λ 1и λ vdu-udv
4· {τ}—?-
5. d(uv) = vdu + udv.
6. df{u) = f{u)du,rj& ы = <р(х).

110
Математика
+ Пример 2,62
Найти дифференциал функции у = Ъх + х~ в точкех = 2.
Решение:
dy - ydx.
Вычислим производную функции: у - 3 + 2х.
Подсчитаем ее значение в точкех = 2: ух=1 =3 + 2-2 = 7.
dy = Idx.
Ответ: rf>\-2 = ^х
♦ Пример 2,63
Найти дифференциал функции: у~х -3х.
Решение:
Находим производную функции и умножаем ее на диф-
ференциал независимой переменной.
dy = /dx = (jc3 - 3* )'dx = (Зх2 - 3х In 3)dx.
Задания для самостоятельного решения
► Найти дифференциал функции
132.y = \nyll-2x2 ;
134.y = -tg33x + tg3x + 3;
л- +1
138.y = (arcsinA'}2.
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала
Эти приближенные вычисления основаны на приближен-
ной замене приращения функции Ау в данной точке на ее
дифференциал dy:
Ay = dy.
. 1
131.^=arcsin-;
Χ
Ш.у = е* +x + l;
2а—4
135.У = ~ г;
4х + 3
137.у = 1п2х;

Глава 2. Математический анализ
111
При Ах —> 0 абсолютная погрешность от такой замены
(рис, 2Л0) является бесконечно малой более высокого по-
рядка по сравнению с Лх:
АУ = /(лЬ+Дх)-/(-1о),
dy-fix^dx.
Объединяя эти две формулы, получим:
f(x0+Ax)*f(x0) + dy7
/(До + Дх)-=/(АЬ) + /'(До)Ах- (2'4)
Это основная формула в приближенных вычислениях.
♦ Пример 2.64
Вычислить приближенное значение
Решение:
f(x) = {л1х) - -Д-; Лх = 0,07;
2Vx
Jl^7 - VT + Л-*0,07 = 1 + 0,035 = 1,035.
2V1
♦ Пример 2,65
Ребро куба а-2м. Объем куба V-а1 равен 8jwj. Ребро
увеличили на ha = 1 см. Приближенно оценить увеличение
объема куба dV, а также абсолютную и относительную по-
грешности этого приближения по сравнению с точным ре-
шением Δ V.
Решение;
У=аъ
AV=V'-V = (a + Aaf-a2
AV = (2,0I)3 -8 = 0,120601 (м3)
Приближенно Δ V можно рассчитать так:
AV=dV = {a2)' = la2Aa
<iV=3-22-0,01 = 0,12 (л*3)

112
Математика
Абсолютная погрешность:
|Δ V - dV\ = OJ 20601-OJ 2 =0,000601 (*3).
Относительная погрешность:
*»^.100%-«»·»'-WS.
AV 0J 20601
2. L% Функции нескольких переменных
Координатная плоскость — это множество всех упоря-
доченных пар вещественных чисел (хч у); каждая точка на
ней характеризуется парой своих координат: М(х, у).
Величина и называется функцией переменных величин
х, ν, г, если каждой рассматриваемой совокупности этих
величин соответствует одно определенное значение величи-
ны и: и =/(.х, ν, г).
Частные производные первого порядка
Частная производная функции и =/(.т. у) нескольких пе-
ременных по аргументу х — это предел отношения соот-
ветствующего частного приращения функции к прираще-
нию рассматриваемой независимой переменной при усло-
вии, что последнее приращение стремится к нулю:
дх Ах-*о Ах
Приращение получает только один аргумент*. Осталь-
ные аргументы фиксируются. Обозначается частная произ-
ди
водная и γ или —.
дх
Таким образом, частная производная функции и =/{х. >)
по.τ — это обыкновенная производная функции одной пе-
ременной х при фиксированном значении переменной v.
Аналогично определяются частные производные функ-
ции трех и более переменных.

Глава 2. Математический анализ
113
Частный дифференциал функции — это произведение
частной производной по одной из независимых перемен-
ных на дифференциал этой переменной.
а <*и ди . j ди ,
ахи = —ах; dvu = —dv; dM--—dz.
ох ду " ' Эг
Полный дифференциал du функции и — это сумма частных
дифференциалов функции м=/(л\ у, z).
, du . du . du .
du = —dx + — dv + — dz.
ox oy ' oz
♦ Пример 2.66
Найти частные производные первого порядка и полный
дифференциал функции и - arctg"— .
х-у
Решение:
Находим частную производную их, считая у = const.
Эй
Ъх
arctg
х + у
х- ν
(х+у] (х)\х-у)-Ах+у)
2
х-У
(х-уГ
1 +
х-у
1 +
ЛГ+ V
\2
2у
[х-У)
2х2 + 2у2 л2 + у2 *
Считая .v = const, получим:
'х + у^
Ьу
arctg -
х + ν
\
х - ν
1+1
х-у
I =
х + у
х-у
?г
2.Y" + 2у~ -V + у
7 *

114
Математика
Полный дифференциал равен:
ди . ди . \dx xdy
du=—dx + —dy =—^ j+ ' =
ox ay x' + у1 xz + yz
_ xdy - ydx
x + у
Градиент функции
Градиент функциим =/(лг, у, z) — это вектор, координаты
ди
которого равны соответственно частным производным
ди ди
-цг , -j- в точке Μ(х, у, z).
Обозначение градиента функции:
. {ди ди ди]
Градиент функции характеризует направление и величи-
ну максимальной скорости возрастания этой функции в дан-
ной точке.
дх'
Частные производные высших порядков
Частные производные первого порядка от функции двух
и более переменных также представляют собой функщги не-
скольких переменных и их также можно продифференци-
ровать.
Для функции двух переменных и =/(*, у) возможны че-
тыре вида частных производных второго порядка.
Ё1
дх2 '
д2и
д_
дх
(ди}
дх
(ди
дГи_ д_
' дудх ду
д2и э
ди]
дх,
(дил
ду
дхду дхудуу ду1 ду\
Смешанные производные — это частные производные,
в которых дифференцирование производится по разным
переменным.

Глава 2, Математический анализ
115
Задания для самостоятельного решения
Найти частные производные от функции и полный диф-
ференциал функции.
139. и = х2+5у; 140· и = ^^~
2 _^л„\2,
14L u=4sin(x + y); 142, w = 3(x'+4y)z;
Ш.и = %еху; 144. и = In-;
У
145. и = уех; 146. и = Jx*+y^z.
2.L1Q. Применение производных
в исследовании функций
Раскрытие неопределенностей
Правило Лопиталя (Теорема Лопиталя)
Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференциру-
емы в некоторой окрестности точки х0 за исключением, быть
может, самой точки х0. Кроме того, пусть lim f(x) =
= lim g(x) = 0, причем g'(x) Φ 0 в указанной окрестности
X-5XQ
точки xQ. Тогда если существует предел отношения
f\x)
lim —7™—- (конечный или бесконечный), то сугцествует и
x-+xog(x)
f(x)
предел lim ——} причем справедлива формула:
х^хъ g(x)
Α'^Λ'0 g(x) .X-+XQ $(Х) '
> Эта теорема верна и если:х~-> ±«>.
► Правило Лопиталя можно применять повторно, если
/'(х) и g'(x) удовлетворяют тем же требованием, что и
исходные функции/(.х) и g(x).

116
Математика
♦ Пример 2.67
тпяттятт Mm — -
1 ~~ COS X
Вычислить предел. Jim ^— равен
*-ю 2х2
Варианты ответов: 1)0; 2) —; 3) г-; 4) 1,
Решение:
О
Здесь неопределенность вида -г . Применим правило
Лопиталя последовательно два раза, так как эта неопреде-
ленность имеет место дважды.
v 1 - cosx .. sin х л. cos λ: Ι
lim —г~ = Jim ——- = lim -—- = -,
*^o 2x *-*o 4jc \^o 4 4
♦ Пример 2 «68
Вычислить предел, lim— =—— равен,,.
д^3х4-5х ъ-4х
Варианты ответов: 1) 0; 2) — ; 3) — ; 4) Ь
Решение:
Здесь неопределенность вида - . Применим правило
f'(x)
Лопиталя и найдем lim™-^-·
x->xog(x)
у х3-х2-4 у Зх2-2х
lim —з = = lim
^2 3jc4 ~5х3 -4* *->2 !2х3 -15.v2 -4
3-4-2-2 _ 8 ^ t
"12 8-15-4-4 32~4_
♦ Пример 2,69
Вычислить предел, lim равен ...
■w0 X
Варианты ответов: 1)0; 2) г-; 3) 1; 4) 2.

Глава 2. Математический анализ
117
Решение
Это неопределенность вида —
lim -= lim = 2.
х->0 X .v->0 1
♦ Пример 2.70
„ ,. cosx-1
Вычислить предел, hm равен ,..
х-л xsinx
Варианты ответов: 1) - -; 2) 0; 3) -; 4) 2.
Решение:
0
Имеет место неопределенность вида _ . Применим пра-
вило Лопиталя два раза последовательно.
.. cosx-1 .. -sin.v .. -cosx
lim —: = lim — = hm
*-*o .rsin* дг-лвга.т + .тсоБ-х v->o2cosx-xsinx
__1_
2
► Если имеет место неопределенность вида —, то правило
Лопиталя остается справедливым при замене усло-
вия lim /(х) = lim g(x) = 0 на условие
lim /(х) = lim g(x) = oo.
♦ Пример 2.71
Вычислить предел, lim —— равен ...
ν->« Χ
Варианты ответов: 1)8; 2) <»; 3) 0; 4) 1:
Решение:
i
lim—= lim^-= lim- = 0.

118
Математика
♦ Пример 2.72
Найти предел функции lim —^-.
Решение:
Применяя правило Лопиталя, получим
lim^.limJL.HmJT.0.
,ν~»βο х- х->°*2х х-*°°2х
♦ Пример 2.73
Найти предел функции lim — .
*-»! ctgnx
Решение:
1
r ln(-x-l) r х-\ 1,. sin2rac
lun = lim -—±— = —hm =
л-*1 ctgTLr Jf-^-icsin iw iix-d Jt-l
.. sia2iuc Λ
= -hm = 0.
*->! I
► Неопределенности вида 0 · <» и °° - «> можно свести к не-
0 со
определенностям вида -г и — .
♦ Пример 2.74
Найти предел функции lim x In л\
х-*о
Имеет место неопределенность вида 0 · о?
Преобразуем функцию х In х = —т—.
оо
Это неопределенность вида —. Применяя правило Ло-
оо
питал я, получим:

Глава 2. Математический анализ
119
lim jclnx = lim -—Ц- = lim ~-" = - linuc = О.
X
♦ Пример 2.75
Найти предел функции lira xx.
х->0
Решение:
Это неопределенность вида 0°. Используя формулу
хх =ех]пх и с учетом примера 2.74, получим:
lim х In x n
l\mxx =ex-«> =e°=l.
л-*0
Задания для самостоятельного решения
Найти пределы, используя правило Лопиталя.
147. lim
л:6-6.* + 5
л->1 Jt-1
149. lim
ех-е~х
*-»ο1η(1 + .γ)'
151. lim
COS" JC
ν
n2 '
X-
153. Um
x3-3jc2+2.
v->ix3 -Ax1 +3
,. Ιπλ-
155. i™ —;
"-"" Λ"
„.ν
157. lim
λ-Λ γ
*Λ-1-.τ
148. lim
ex-\
-x-*0 JC
150. lim
Vx+2-2
λ->2 X - 2
152. limjflnx;
154. lim
In*
дг-и» .V
156. lim^-;
158. Ьп1-^
x-*0 v3

120
Математика
Формула Тейлора. Формула Маклорена
Этот материал подробно изложен в разделе «Ряды»,
но здесь он служит иллюстрацией основного принципа ма-
тематики: представлять сложное через более простое.
Если функция дифференцируема достаточное число раз в
точке х - xQ, то ее можно представить в виде многочлена не-
которой степени для функции у =/(х) в точке .v = x0. А мно-
гочлен — это простая элементарная функция, над которой
несложно проводить любые арифметические операции.
Функцию/{,х)в точке х = х0, имеющую (п + 1) производ-
ную, можно представить по формуле Тейлора:
w!
где Rtt(x) — остаточный член /i-ro порядка, а слагаемые
перед остаточным членом называются многочленом Тей-
лора.
Если ,v0 = 0, то функцию^ -f(x) в точке х - 0, имеющую
(п + 1) производную, можно представить по формуле Мак-
лорена:
/(Λ) = /(0) + /'(0)^ + ^Χ2+.Λ^^ΛΒ+^(Λ). (2.6)
2! п\
Эта формула широко используется в приближенных
вычислениях значений различных функций, так как коэф-
фициенты этого многочлена вычисляются достаточно про-
сто. Погрешность этого приближения можно оценить по
остаточному члену Rit(x).
Рассмотрим примеры разложения функций по формуле
Маклорена.

Глава 2. Математический анализ
121
Формула Маклорена
дня основных элементарных функций
l.f(x) = ex.
Решение: (ex)(fl)=e\n f{n}(0) = е° = 1, то для любо-
го η формула Маклорена для f(x) = ex имеет вид:
2 η
X X X
ех = 1 + - + —+ ... + —+ ,.. . (2.6а)
I! 2! л! l }
Ее используют для вычисления числа е с любой необхо-
димой точностью. Так при х = 1 получим е = 2,7182808.
2, f{x) = $mx.
π
Решение: f^n){x) - sin x + л—
,следовательно,
f(w)
fw(Q)=$m
f Μ i
η— =Η
I 2J
0, при четном п>
(-1) 2 , при нечетном я.
Формула Маклорена для функции f(x) = sin x имеет вид:
sin х = х Η- +... + (-1)" ———
3! 5! 7! (2л+ 1)!
±...,
или ряд Маклорена для функции siruc можно записать так
3- f(x) = co$x-
п=0
2п+[
(2п + 1)!
Решение: fin\x) = cos
г
/<"40) = cos(«|) =
π
x + η —
2
О, при нечетном л,
(-1)2, при четном я.
Формула Маклорена для функции/( х) = cos x имеет вид:
t х2 х* х6 , η х2п
cosjc=1- — + — - — + ..- + (-1)" + .-.
2! 4! 6! (2л)!

122
Математика
4. /(.x) = ln(l + *).
Решение: /{п)(х) = (-Ι)*"1 iHsDL το/(0) = 0.
0 + *)"
/{п\0) = (-1)1Г~х(п-1)\ (0!=1).
Формула Маклорена для функции f(x) = ln(l + х) име-
ет вид:
2 3 4 /I
ln(l + jc) = jc- —+ —- —+ ... + (-l)rt+l—±...
2 3 4 η
5. f(x) = (1 + *)α, где а — вещественное число.
Решение: f(n\x) = a(a-l)(a-2)...(a-n + \)(\ + х)а~\
Для /(,,)(0) = а(а-1)...(а-/? + !) формула Маклорена
для функции f{x) = (1 + *)α имеет вид:
/t t ,a I ol а(а-1) 2
1! 2!
л!
Если а — целое число, равное л, то эта формула перехо-
дит в формулу бинома Ньютона:
<* чп . Л л(л~1) 1
1! 2!
♦ Пример 2.76
Разложить по формуле Маклорена f(x)-e Λ.
В формуле Маклорена для функции /(.ν) = е'х (2.6а) за-
меним х на 2х.
2jr lx2i, 4x2 (2л)"
Получим «г* = 1 +— + + ... + -——+ ...
1! 2! л!
Иначе *2λ =1 + 2x + 2jc2+... + ^L + ..
л!

Гнлшъ 2. Математический анализ
123
♦ Пример 2,77
Разложить в ряд Маклорена f(x) = sin x2.
Решение:
В формуле Маклорена для функции /( jc ) = sin jc заме-
ним х на х2. Получим:
ν6 ν10 4/1+2
sinjc2=jc2 — + - ...♦(-i)" — + ...
3! 5! (2л+ 1)!
♦ Пример 2,78
T¥ „ ,. sin*-*
Найти hm г—.
Решение:
Применим формулу Маклорена для функции
/( jc) = sin x, используя два первых члена разложения. Для
числителя этого выражения:
jc3 х3
sin jc — jc = jc jc = .
3! 3!
.. sinjc-jc .. ( 1 ^ 1 1
lim -—= lim — = = —.
•v->o .t3 x^o{ 3!j 1-2-3 6
♦ Пример 2-79
Найти многочлен Тейлора третьей степени для функ-
ции/(.γ) =х10-5х4 -1-1 в окрестности точки л* = 1.
Региение:
Запишем многочлен Тейлора третьей степени, исполь-
зуя формулу (2.5):
Р4и) = /0)^и-0н-^и-1)2+^(х-1)3.
Найдем значение функции и значения первых трех про-
изводных в точке х = 1.
/(1) = 110-5 14 + 1 = -3;
/'(л) = 10.V9 -5-4.V3 = Юх9 -20а-3;
/'(1) = 10·1-20·Ι = -Ι0;

124
Математика
/'(.v) = 90.r8-60x2; /'(1) = 90-60 = 30;
/"(.ν) = 720л·7 -120х; /"(1) = 720-120 = 600.
Подставим найденные значения в формулу:
Ρ4(*) = -3-10(λ:-1) + 15(*-1)2 +100(*-1)3.
Задания для самостоятельного решения
► Разложить по формуле Маклорена функции:
Ш. f(x) = e*Z-x;
160. /(.y) = C08(2jc-1);
161. /U) = In(e + Jt);
162./(λ) = tg.x до члена с.х3 включительно;
163. fix) = e"x до члена с.х2 включительно.
► Найти пределы с использованием разложений по фор-
муле Маклорена:
л*а г tgx-.v „_ .. ехе~х-2х
164. hm-5—-=—; 165. hm : ;
.v->o x* x-+o jc-smjc
t„ г 1-cos.Y Л£п v ex+e~x-2
166. hm =—; 167. lim г .
дг->0 xl x-+0 хг
Исследование функций и построение графиков.
Экстремумы
Возрастание и убывание функции на отдельном интер-
вале является существенной характеристикой поведения
функции.
Теорема. Если функция Л*) дифференцируема и на интер-
вале (а, Ь) производная данной функции f'fx) > 0 положи-
тельна, то функция возрастает на этом интервале.
Если производная отрицательна f'(x) < 0, то на этом
интервале функция убывает.

Гваяа 2. Математический анализ
125
► Точка х0 называется точкой локального максимума (или
просто максимума) функции у -f(x), если для любого
х * xQ в некоторой окрестности точки х0 верно неравен-
ство/^) >Дх) (рис. 2.13а).
► Локальный минимум функции — это точка, если для любо-
го х Φ х0 в некоторой окрестности точки х0 выполнено
неравенство/Ц,) <Дх) (рис. 2.136).
Точки локального экстремума (или просто экстремума) —
это точки максимума и минимума.
Экстремум—значение функции в этих точках.
Рис. 2.13. Точки экстремума

126
Математика
Связь знака производной и характера ее изменения, из-
ложенная в вышеуказанной теореме, очевидна (рис, 2ЛЗа).
Геометрический смысл производной: уЧх) = tg<p .Если функ-
ция возрастает, т.е. угол наклона касательной к графи-
ку функции — острый tg<p>0 > а если функция убывает,
то tg(p<G и угол наклона касательной тупой.
Теорема (необходимое условие существования экстрему-
ма) . Если функция/(х) дифференцируема в точке х(} и имеет
в этой точке экстремум, то/\х) = 0.
Такие точки называются точками возможного экстрему-
ма, или точками, подозрительными на экстремум. В таких.
точках касательные параллельны оси Од: (рис, 2.136).
Следует обратить внимание на термин «возможного эк-
стремума». Иными словами, если в этой точке х0 производ-
ная равна нулю/'(х) = 0, то она может и не быть точкой
экстремума. Например, для кубической параболы Дх) = х3
(рис. 2ЛЗа) производная вточкех~0/'(л) = Ъх2 f (0) = 0,
но это не точка экстремума. Условие /'(х) = 0 только необ-
ходимое, но не достаточное.
Теорема (первое достаточное условие существования
экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в неко-
торой окрестности точки х0 и непрерывна в самой точке х0.
Если при переходе через точку х0 слева направо производная
f(x) меняет знак с плюса на минус, то в точке х0 функция
f(x) имеет максимум.
Если же при переходе через точку х0 производная f(x)
меняет знак с минуса на плюс, то точка х0является точкой
минимума.
Еслиже/'(х) не меняет знак в окрестности точки xQt то
данная функция не имеет локального экстремума в точке х0.
Теорема (второе достаточное условие существования
экстремума). Если в точке xQ первая производная функции
у ~f{x) равна нулю/'(х) -0Уа вторая производная опгчична

Глава 2. Математический анализ
127
от нуля/"(х) Φ Ot то xQ — точка экстремума. Причем:
► х0 — точка минимума, если ffi (х)> 0;
ν х0 — точка максимума, если f"(x) < 0.
♦ Пример 2,80
Найти интервал возрастания и убывания (монотонно-
сти) функции f(x)-x3 -7,5х2 +18* и точки экстремума.
Решение:
Данная функция определена при всехх е R. Найдем про-
изводную: f\x) - Зх: -1 5л: +18 .
Приравняем ее к нулю:
Зх2~15х + 18 = 0*
Решаем квадратное уравнение и находим две точки воз-
можного экстремума:
^=2 х2~3.
Использовали необходимое условие существования экс-
тремума. Теперь достаточное условие: f'{x) меняет знак с
плюса на минус при переходе через точку хх - 2. Это озна-
чает, что в этой точке х1 - 2 — максимум,
В точке х2 = 3 — минимум, так как знак меняется с мину-
са на плюс.
Интервал монотонности данной функции:
► при х е (-«>, 2) f'(x) > 0 — функция монотонно возрас-
тает;
► при х е (2, 3) /'{.*) < 0 — функция монотонно убывает;
► при х е (3, »)/'(л') > 0 — функция монотонно возрас-
тает.
♦ Пример 2,81
Найти экстремум функции f(x) - (х -2)ех.
Региеиые:
Функция определена при всех .v € R.
f\x) = (x-2)'ex +(.v-2X<rv)Wv +«* -2ех =
= хех -е* =ех(х~1).

128
Математика
Приравняем ее к нулю. Точка .ν = I — точка возможного
экстремума. Для исследования этой точки применим теоре-
му о второй производной: f\x) = xex и в точке х = I
f*(x) >0 (f'(x) = е). Следовательно, точках = 1 — точка
минимума и значение функции в этой точке /(1) = -е.
♦ Пример 2.82
Найти наименьшее и наибольшее значение функции
/(х) = ху -2х2 + jc -2 на отрезке [0,5; 2].
Решение:
Найдем точки возможного экстремума функции:
1
Но точка хх = - не принадлежит отрезку [0,5; 2].
Рассчитаем значения функции в точках концов отрезка
[0,5; 2] и в точке экстремума.
х = 0,5 jc= 1 х = 2
/(0,5) = ~ = -lJ, /d) = -2, /<2) = 0.
о о
Наибольшего значения на отрезке [0,5; 2) функция до-
стигает в точке х = 2, и оно равно 0.
Наименьшее значение функции в точке х = 1, и оно рав-
но -2.
♦ Пример 2,83
Найти оптимальные размеры консервной банки, име-
ющей форму цилиндра радиуса R и высотой Η заданного
объема V. при котором поверхность сосуда будет мини-
мальной, а, следовательно, и затраты материала на ее изго-
товление также минимальны.
Решение:
Полная поверхность цилиндра вычисляется по формуле:
S = 2KRH + 2nR2.

Глава 2. Математический анализ
129
Найдем Η из заданного объема V:
V = tiRrH=>H =
nR2
и подставим в формулу поверхности цилиндра:
5=2πΛ-^-+2πΛ2,
%Rl
\%R )
Найдем минимум этой функции S{R), приравнивая
ST(R) = Q.
2R —^ = 0=>Л = 3/— и Я = 3 —
2 \2π V π
ные размеры банки.
это оптималь-
Условия выпуклости и точки перегиба
графика функции
► График функцииу -f(x) имеет на интервале (а, 6) выпук-
лость, направленную вниз, если он расположен не ниже
любых касательных, проведенных к графику функции
(рис 2.14).
s
Ь х
б)
Рис. 2.14. Выпуклость графика функции
5. Зэк 649

130
Математика
Выпуклость, направленная вверх, будет, если график фун-
кции у =/(*) на этом интервале расположен не выше лю-
бых касательных (рис. 2.146).
Теорема. Если функцияy-f(x) имеет на интервале (а, Ь)
вторую производную и она положительна f"(x) >0,mo функ-
ция выпукла вниз на этом интервале. Если же f"(x) <0, на
интервале (а, Ь), то она выпукла вверх на этом интервале.
► Точка перегиба графика непрерывной функции j; =/(дг) —
это точка, при переходе через которую функция меняет
направление выпуклости.
Геометрическая интерпретация: в точке перегиба касатель-
ная пересекает график функции, так как он переходит с од-
ной стороны касательной на другую, «перегибаясь» через
нее (рис. 2.15).
у
У
У
7
JM
У
j<u_
^
У
i
V
_^^&
/
1
У
X
Рис. 2.15. График функции у = х3
Точка х=0 — точка перегиба кубической параболы
Теорема (Необходимое условие существования точки
перегиба). Если х = х0 является точкой перегиба функции
у=/(х), то вторая производная, если она существует, долж-
на обратиться в нуль: f"(x0) = 0.

Гяава 2. Математический анализ
131
Критические точки — это точки графика, для которых
///(х0) = 0-
Теорема (достаточное условие существования точки
перегиба) Пусть функция у -f(x) имеет вторую производ-
ную в окрестности точки х0. Эта точка х0 является точ-
кой перегиба функции, если при переходе через нее вторая про-
изводная f"(x) машет знак.
♦ Пример 2,84
Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции
/(.v) = jc4-6*2+3jc-1.
Решение:
Найдем/#(x) = (4^3-12jc + 3/ = 12jc2-12,
/'(jc) = 12(jc2-1).
► На интервале (-*», -]) f'(x) > О, следовательно, функ-
ция/(л) выпукла вниз на этом интервале.
► На интервале (1, «>) f"{x) > О, следовательно, и на этом
интервале функция/^,/ выпукла вниз.
► На интервале (-1, \)/"(х) < О и, следовательно, функ-
ция/fxj выпукла вверх.
► Рассмотрим точку х=-1. При переходе через нее / "(х)
меняет знак. Следовательно, jc=-1 — это точка переги-
ба данной функции.
► Рассмотрим точку х = I. Вторая производная f'{x) так-
же меняет знак. Точка х = 1 — точка перегиба данной
функции.
Асимптоты графика функции
Асимптоты — это прямые, к которым неограниченно
приближается график функции.
Различают 3 вида асимптот: вертикальные, горизонталь-
ные и наклонные.
5*

132
Математика
► Вертикальная асимптота графика функции у =/(х) —
это прямая х = а, если хотя бы одно из предельных зна-
чений lim /(jc) или lim f(x) равно, или + °°, или-*».
Обычно эти асимптоты сопровождают точки разрыва
2-го рода. И если функция непрерывна, то вертикальных
асимптот нет.
► Наклонная асимптота графика функции у =/(*) — это
прямая у = кх + Ь при х -* ±роу eamffx) можно предста-
вить в вндсДх)=кх'ЬЬ^а(х) (*), гдеас(х)-> Опри х-»±°°.
► В случае горизонтальной асимптоты к = 0.
Для нахождения коэффициентов/с и Ь в уравнении разде-
лим обе части равенства (*) на х и перейдем к пределу при
х-*» х *-*»[_ х X J
Найдем i из (*):
lim (6 + а(х)) = Ь = lim [/(jc) - кх).
♦ Пример 2.85
2х2-8
Найти асимптоты графика функции /(х) =
Решение:
х = -1 — точка разрыва 2-го рода
lim /(х) = -н» lim /(*) = -°°-
Это вертикальная асимптота:.х=-1.
Составим уравнение наклонной асимптоты.
k= iun^-^-^= hm— = hm ^— = 2.
x1 + x *-»- 2 +1
x

Imam* 2. Математический анализ
133
*->- ДГ-*оо[ Х + 1 J *-*» X + l
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид у = 2jc - 2.
Схема исследования графика функции
1. Найти область определения функции (ООФ).
2. Определить возможный тип симметрии функщго (чет-
ность» нечетность).
Напомним, что четная функция симметрична относитель-
но оси Оу.
/(-лг) = f(x) — условие симметрии относительно Оу.
Нечетная функция симметрична относительно начала
координат.
f(-x) = -f{x) — условие такой симметрии.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями
координат, т.е. решить уравнения д:=0 ну=0, Найти точки
разрыва.
4. Найти точки возможного экстремума (у(х) = 0 ).
5. Найти критические точки (у'(х) = 0).
6. Исследовать знаки первой и второй производных, оп-
ределить участки монотонности функции, направление вы-
пуклости графика, точки экстремума и перегиба.
7. Определить максимум и минимум функции на облас-
ти ее определения. Если ООФ является отрезок [а, 6], то не-
обходимо вычислить значения функции в его точках и со-
поставить их с локальными экстремумами.
8. Найти асимптоты.
9. Построить график функции.
♦ Пример 2.86
Исследовать функцию у = х3 - Зх и построить ее график.
Решение:
1.00Ф:хбХ.

134
Математика
2. Функция нечетная, так как/(-ν) = -х3 - 3(-х) = - (х3 -
- Зх) = -/(х). Следовательно, она симметрична относитель-
но начала координат.
Функция непериодическая.
3. Функция непрерывна и точек разрыва нет.
Точки пересечения графика с осью Ох:
Пусть у = О х3 - Зх = 0 => л*1 = -л/3 ; х2 = 0; х3 = V3.
В этих трех точках график пересекает ось Ох:
(-V3.0); (0r0); (fi,0).
4. Найдем точки возможного экстремума:
/ = 3(х2-1) = 0=»х4=-1, *5=1·
5. Найдем >'" = 6х 6х = 0 => х = 0.
6. В точке хА=-1 — будет максимум функции» так как
/' = 6(-1)<0.
В точке х5 = 1 — минимум функции, так как /' = 6 · 1 > 0.
На интервале (-<», -1) / > 0 — функция возрастает.
На интервале (1, °°) / > 0 — функция возрастает.
На интервале (-1,1) ν' < 0 — функция убывает.
При переходе через точку х = 0 вторая производная ме-
няет знак: (-«>, 0)/' < 0, функция выпукла вверх, а на (0, °°)
у" > 0 функция выпукла вниз. Следовательно, х = 0 — точка
перегиба.
7· Лпах =/(-!) = 2 ;>'min =/(!) = "2 — значения функ-
ции в точках экстремума.
8. Вертикальных асимптот нет, так как функция непре-
рывна.
Наклонных асимптот также нет, так как
r3-3v
к = lim = °о
v-x» X
9. Построим график функции (рис. 2.16):

Гяава 2. Математический анализ 135
Рис. 2.16. График функции у = хъ - 3-х
♦ Пример 2.87 1
Исследовать функцию у = и построить ее график.
X
Решение:
1. ООФ: х Φ О или х е (-«>, 0)и(0, «).
2. Функция нечетна, так как
х2~\
/(-*) = —— -/(*).
-х
Следовательно, она симметрична относительно начала
координат.
Функция непериодическая.
3. Точки пересечения с осью Ох: решая уравнение у = О,
получаем х = ±\. Точек пересечения с осью Оу нет. так как
л*0(ООФ),
4. Точки возможного экстремума: производная нигде не
равна нулю -
у =—г-*0,
Следовательно, точек возможного экстремума нет.
В области определения функции/ > 0.
с <> 2
5. ν = —γ — критически* точек нет.
х

136
Математика
6- Функция монотонно возрастает в области определе-
ния, так как/(х) > 0.
В правой координатной полуплоскости выпуклость гра-
фика функции направлена вверх, так как у"(х) < 0+ В ле-
вой — вниз {у"(х) > 0)+
7- Нет наибольшего и наименьшего значений функций,
так как область ее значений неограниченна.
8. Вертикальная асимптота — это ось 0у, поэтому что
lim f(x) ч>« lim f(x) -> -«■
Уравнение наклонной асимптоты:
у = кх + Ь.
к= lim
/<*)_
- lim
х2-l
lim [f(x) - кх] = lim
= 1, k=l.
x2-l
-X
= lim = —
:0.
Уравнение наклонной асимптоты у - х.
9- Построим график функции (рис. 2.17):
4
Рис. 2,17. График функции у =
х2-1

Пива 2. Математический анализ
137
Задания для самостоятельного решения
► Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графи-
ков функции:
2 ν2
168. Дх) = х3 - 6-v2 + х; 169. Дх) = —^-г-;
170. f{x) = х- -6х2 + х; 171. /(*) = *3 -6.v2 + х;
П2.Дх) = - + \.
х х2
► Найти асимптоты графика функции:
1 „л -т2+За-2
173. >» = -; 174.^ = ;
х х-1
Ixf Зх-1
175. y = -rJ-J ; 176. j> = -
х -2х+5
177. ^ = ln(jc-2); 178.^ = ^—.
Исследовать и построить графики функций:
179. ;> = х3-12х+5; 180. у = хА -10х2 +10;
181. у = -^—; т.у = х2е~х;
х+2
183. y = x+l—L; 184. >> = х21пх;
х х
185. у = х2-21пх; 186.^ =
х-2

138
Математика
2.1.1 L Неопределенный интеграл
Понятие первообразной функции
Это понятие возникает из следующей задачи математи-
ческого анализа: по данной функции f(x) найти такую функ-
цию F{x)y производная которой равна функции /(*).
► Первообразная функция для функции у =f(x) называется
такая функция F(x), что имеет место равенство
F'(x)=Ax).
Например: функция F(.v)- sin x является первообраз-
ной для функции f(x) =5 cos .ν на бесконечном промежутке
(_оо, ©о), так как для любых х справедливо (sin .т)' = cosx.
► Две первообразные одной функции отличаются друг от
друга на постоянную. Другими словами, если Дх) —
первообразная для функцииДх), то и функция F(x) + С,
где С — произвольное постоянное число, также перво-
образная для функции^), потому что (F(x) + C)f -fix).
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл функции у =/(х) — это сово-
купность всех первообразных функций F(x) + С для функ-
ции f(x).
Обозначается символом
ff(x)dx = F(x) + C4
где I — знак интеграла (это стилизованная латинская бук-
ва S, означающая суммирование; fix) — подынтегральная
функция; f{x)dx — подынтегральное выражение; С— посто-
янная интегрирования, способная принимать любое значе-
ние; х — переменная интегрирования.
Интегрирование — это отыскание первообразной по ее
производной. Это действие, обратное дифференцированию.
Геометрический смысл неопределенного интеграла: это се-
мейство кривых, зависящих от одного параметра С кото-

Пиша 2. Математический анализ
139
рые получаются путем параллельного сдвига вдоль оси Оу.
(рис. 2.21).
У *
Рис. 2.18. Кубическая парабола у
Основные свойства неопределенного интеграла
l.d(ff(x)<fx)=f(x) + C.
2. jdf(x) = f(x) + C.
3. JCf{x)dx = С \f(x)dx—постоянный множитель мож-
но выносить за знак интеграла.
4. j(/(x) + g(x))dx =jf(x)dx + fg(x )dx — интеграл
суммы равен сумме интегралов.
Основные способы интегрирования
1. Метод непосредственного интегрирования, который
заключается в использовании основных свойств неопреде-
ленного интеграла и приведении подынтегрального выра-
жения к табличному виду.

140
Математика
Таблица 2
Таблица основных формул интегрирования
л+|
1 л +
л*-1
-+с\
10
dx
cos2 .ν
= /*х + С\
х* —+ mc,
2
я = 0,±1,±2,...
rfx=x+C
II
I—^- = -cfgx + C,
' sin x
x± m, л = 0,±1,±2,.
— = ln|x|+C,
x
*0
12
г <fa _ | aresinx + C
^ J\-x2 j-arccosx + C
-1<х<1
Ιηα
<a* 1
13
dx
Jl + x2
arctgx -f С
-arcctgx + C
e*dx = ex+C
14
*£v I ,v „
= —arctg— + C
a
a2+x2 a
unxdx = -cosx + C
15
dx . x
= arcsui — + С,
α>0
Λ
cosxax=sinx + C
-J-K
16
Jx2-a2 2a
|x|*l; a*0
x-o
x + a
+ C,
fgxax = -Injcosx) + С
dx
17
ctgxdx = InjsinxJ + С
^Vx7^"
= 1п(х +vx2 + a) + C
|х|>я при а<0

Гяава 2. Математический анализ
141
♦ Пример 2.88
Найти неопределенный интефал Г — + 2 sin
dx.
Решение:
Используя свойство неопределенного интеграла: а) ин-
теграл от суммы равен сумме интегралов и б) постоянный
вшожитель можно выносить за знак интеграла, получаем:
ji- + 2sm.Y|dx = 3j— + 2jsinxdLr.
— + 2sin.Y dx = 3j—
Используя формулы (3 и 6) из таблицы 2, получаем:
JI — + 2 sin x \dx = 3 Γ— + 2 Γ sin xdx = 3 ln|x| - 2 cos x + С
♦ Пример 2.89
Γ.ν4-5*3+1^
Найти неопределенный интеграл ах.
J х
Решение:
Почленно разделим на х:
г*4-5.г3+1 , г з г С 2 С<& *4 с·*3 1 I i r
J—-—^=K'5K+j-7=7"-5Y+lnH+c·
2. Метод подстановки или метод введения новой перемен-
ной, или метод замены переменной.
Это самый эффективный прием сведения неопределенно-
го интеграла к табличному виду.
♦ Пример 2.90
с х2
Найти неопределенный интеграл dx
j(at + 1)3
Решение:
Положим х +1 = t, тогда
* = /-!; *2=</-1)2;(х + 1)3=Д

142
Математика
Продифференцировав х +1 = t, получим dx- dt.
t2-2t + l
j(jc + 1)3
x + l = t
x2=(t-i)2
dx = dt
rdt
г-^ч-
*dt rdt rdt
dt =
гг-2г + 1 . rdt ^rat rat rat ^r _2j г _з,
r] r2 i i
M -1 -2 И t Ъ2
= Цл: + 1| +
1
1
* + l 2(х + 1Г
■ + C
Правило: интеграл от нечетной степени синуса или коси-
нуса находим путем отделения одного множителя, затем,
используя формулу sin jc + cos x =1, разбиваем на два
интеграла, и далее проводим замену переменных.
♦ Пример 2.91
Найти неопределенный интеграл I sin xdx t
Решение:
j sin3 xdx = J sinx * sin xt£v = J sin x{\ - cos2 x)iuc =
= \sinxdx-jco$2 x-$inxdx=\$inxdx + \t2dl~
bosx = /
\-sin xdx = dt\
= -cosx + — -t-C
3
Правило: интеграл о£ четной степени синуса или косину-
са можно найти путем понижения степени вдвое по форму-
лам половинных углов:

1*ава 2. Математический анализ
143
sin2A- = -(l-cos2.v)·
2
cos".x = — (1 + cos2a) .
♦ Пример 2.92
Найти неопределенный интеграл J sin" xdx.
Решение:
fsin2 xdx = - J(l -cos2a)^v = - jdx - -jcoslxdx =
x 1 . Л ~
2 4
♦ Пример 2.93
г dx
Найти неопределенный интеграл J γ.
Решение:
Применяя формулу (14) из таблицы 2, получим:
J25 + x2 5 5
♦ Пример 2.94
„ « Г Tdx
Найти ]
[ неопределенный интеграл Г-==
5х2
Решение:
Применяя формулу (15) из таблицы 2, получим:
г Idx 1 г dx 7 . V5 ^
■ I = -т^ I ~т= arcsm—л: + С.
JVT17 VJJ ГГ^г л з
Интегрирование по частим
Теорема. Пусть функции и = и($)и ν = ν (*; определены
и непрерывно дифференцируемые функции, то справедлива фор-
мула интегрирования по частям:

144
Математика
judv = uv - J vdu. (2.7)
Самое трудное в интегрировании по частям — это вы-
брать сомножитель dv в подынтегральном выражении: ин-
теграл в правой части формулы (2.7) J vdu должен быть
проще исходного.
Чаще всего формула (2.7) применяется к интефалам вида
jP{x)eaxdx, jP{x)sinaxdxy jP(x)coi>(xxdx, (2,8)
где Р(х) — многочлен, α * 0.
В этих интегралах и = Р(х); dv = е°лах; dv = sinaxdx;
dv = cosaxdx или к интегралам вида:
JR(x)]nxdx, JR(x)2LTQtgaxdx9 J/i(x)arcctgaxdx, (2.9)
где R(x) — рациональная функция, т.е. частно'. от деления
двух многочленов.
Здесь и = Inх; и = arctgах; и = arcctgax; dv = R(x)dx.
♦ Пример 2,95
Найти j(x + l)e2xdx.
Решение:
Данный интеграл преобразуем по формуле (2.8):
Р(х) = х + \ <х = 2 м = х+1 dv = e2xdx.
Следовательно, у = -е2х ,du-dx.
2
Используея формулу (2.7), получим:
j(x + l)e2xdx=±-(x+l)e2x -~je2xdx =
= 1(.г + 1)в2х--.^2дс+С,
2 2 2
j(x + \)e2xdx = -(x + l)e2x +C.

Гддеа 2. Математический анализ 145
♦ Пример 2.96
Найти Jinxdx.
Решение:
Согласно (2.9) и = In х; dv = </х, т.е. ν = х; du = (lnx)Vx.
Используя формулу (I) из таблицы 2, получим:
tbixdx = х\пх -- \ x(\nx)'dx = х\пх -- \ х · --dx =
= xlnx-x + C = x(lnx-l) + C
♦ Пример 2,97
Найти JV cos xdx.
Решение:
Используем (2.8), затем формулу (2Л).
Здесь м=х2, Jv = cosxrfx , следовательно, rfw = 2xdx;
ν = f dv = J cosxix = sin x + C.
J x2 cosxrfx = x2 sin x - J sin x 2xdx =
= x2sinx-2Jxsin xdx
Опять интегрируем по частям и = х,
dv = sinxdbc = rf(cosx), v = -cosx + C.
J x2 cosxdbt = x2 sinx-2 f xtf(cosx) =
= x2sinx-2(-xco$x-J(-cosx)d!x)=
= x2sinx+2xcosx-2sinx+C =
= (x2-2)sinx+2xcosx+C.
Примеры применения неопределенного интеграла
для решения задач
♦ Пример 2.98
Даноуравнениескоростидвижениятела ν = г -4г + 1 (м/с).
Найти уравнение пути, если тело за первые 3 с прошло путь
24 м.

146
Математика
Решение:
Уравнение пути s(/) находится интегрированием:
dt J
S(f) = J(/2-4/ + I)rf/ = Jf2*-4j/A + Jrf/ = -—4—+ / + C;
,з
S(0 = -—2/2+/ + C.
3
Найдем С из дополнительных условий при t = 3 с,
5=24 .и:
З2
24 = -—2-3 + 3 + С;
3
24 = 9-18 + 3 + С=*С=30.
г3 ,
Ответ: уравнение пути имеет вид S(t) = 2г + / + 30 (м).
♦ Пример 2*99
Найти Ге~ xdx,если прих = 0первообразная функции
равна 5,5.
Лшдоме;
J 2
Найдем С исходя из условий задачи, при λ*=0 и F[x)=5,5:
5,5 = -i«?°+C=*C = 6.
2
Ответ: — е ~2t + 6.
2

где** 2. Математический анализ "1
Задания для самостоятельного решения
ψ Найти неопределенные интегралы:
_3_ I
^ ,-,
190. J(x2-2)U + 3)dv;
х4+3* * jVl + 2cosx '
205. J x2 sin jcrfx:; 206. J(4 - x) cos 3xrfx.
207. Ток в цепи, содержащей конденсатор, меняется с те-
чением времени по закону , где Jmax и ω — известные по-
стоянные величины. Определить, как изменяется со време-
нем заряд конденсатора, если в момент времени, когда ток
максимален, заряд конденсатора равен нулю.
208. В любой момент времени ускорение тела а = -г
(м/с2). Найти зависимость пройденного пути от времени

148
Математика
движения, зная, что тело начало двигаться из состояния
покоя с начальной скоростью 8 м/с.
209. Сила, действующая на тело, в направлении движе-
ния меняется со временем по закону F = 6r (H). Найти ско-
рость тела в любой момент, зная, что в момент начала от-
счета времени она была равна 1 м/с. Масса тела 3 кг.
210. Скорость движения кисти руки задана уравнением
1 -,
ν = -г +3 (см/с). Найти уравнение движения кисти, если
за первые 6 с было пройдено 40 см.
211. Найти закон изменения скорости тела, если уравне-
ние ускорения имеет вид: а = Зг2 - At + 4 (м/с) и если через
2 с скорость тела была 16 м/с.
212. Найти J (х -\)dx, если при х = -3 первообразная
функция равна -4.
г 5dx
213. Найти J , если при х-4 первообразная функ-
ция равна 2.
214. Найти J (sin x-cos*)<&:, если при х = — первооб-
разная функция равна 4л/2^
215. Угловая скорость вращения барабана кимографа
ω = 6/2 -4/ + 5. Найти угол поворота, если за t -2 с был
совершен поворот на φ = 2рад.
2.1.12. Определенный интеграл
Определенный интеграл— это общий предел всех интег-
ральных сумм функции f{x) на отрезке [а, Ь].
η
Интегральная сумма S = J)/(ξ,- )Ajc,- , где ξ. — произ-
вольная точка существующего отрезка.

{дева 2. Математический анализ 149
Определенный интеграл обозначается:
\f(x)dx = пт^/^Дх,.,
1=1
где /(-*) — подынтегральная функция, х — переменная
интегрирования.
Теорема. Если F(x) — первообразная функция для непре-
рывной функции у =f(x)t т.е. F'(x) =f(x), то имеет место
формула:
]f(x)dx = F(xi
\=F(h)-F(a).
\а
Это формула Ньютона-Лейбница — основная формула
интегрального исчисления, устанавливающая связь между
определенным и неопределенным интегралом. Она читает-
ся так:
Определенный интеграл — это разность значений любой
первообразной функции для f(x) при верхнем и нижнем
пределах интегрирования.
Можно отметить разницу между определенным и не-
определенным интегралами: определенный интеграл — это
число, а неопределенный интеграл — это функция.
Основные свойства определенного интеграла
1. При перестановке пределов изменяется знак интеграла:
Ъ а
J/(*)dx=-J/(x)rfx.
а Ь
2. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
а
\Ях)<1х=0.

150
Математика
3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
h с Ъ
\f{x)dx = \f{x)dx + \f(
x)dx (свойствоаддитивности).
а а с
4. Определенный интеграл от алгебраической суммы
функций равен алгебраической сумме их определенных
интегралов.
5. Постоянный множитель можно выносить за знак оп-
ределенного интеграла.
6. Если функция/(х) £ 0 всегда на отрезке [а, Ь]9 то
)f{x)dx>Q.
а
7. Еслн/(х) < g(x) всюду на отрезке [а, Ь]% то
h Ь
jf(x)dx<jg{x)dx.
Геометрический смысл определенного интеграла: он чис-
ленно равен площади криволинейной трапеции, ограни-
ченной прямыми .г = а; х = Ь\ у = 0 и частью графика функ-
ции у =/(.*), взятой со знаком плюс, если функция поло-
жительна, и со знаком минус, если функция отрицательна
(рис. 2.19).
Рис. 2.19. Геометрическая интерпретация
определешюго интеграла

Глава 2. Математический анализ
151
Φ Пример 2.100
J3x2rfx.
Решение:
Применяя формулу Ньютона-Лейбница и свойства оп-
ределенного интеграла, получим:
з з
^3x2dx = 3^x2dx = x3
Г=з3-23=19.
2
2 2
♦ Пример 2.101
f xdx
Решение:
Вводим новую переменную интегрирования, полагая
Отсюда находим новые пределы интегрирования: 11 = 1
при х} = 0 и /, = 4 при х, = 5.
Подставляя, получим:
|Vi+3jc=/|
J
xdx
l + 3* = r2
r2-l
дг = -
3
J 3/-3 9J

152
Математика
Применение определенного интеграла
для решения прикладных задач
► Площадь плоской фигуры
♦ Пример 2.102
Определить площадь полуволны синусоиды,
У k
2к
Решение:
π
S = \ sinxdx = -cos.v
π
= -(соьп-со$0) = -(-1-\)=2(кв.ед.у
♦ Пример 2.103
Определить площадь полной синусоиды.
yh
2π
0
-COSJC
Решение:
In
0
=-(+i-i)=o.
Ответ: $ = 0.

fgaea 2. Математический анализ
153
+ Пример 2 Л 04
Сколько краски нужно, чтобы закрасить области, за-
дггрихованные на рисунке примера 2.103.
Для ответа на этот вопрос надо брать площади по мо-
дулю.
♦ Пример 2Л 05
Определить площадь фигуры, образованной функцией
у = 2х + 5 и осью при изменении х от 0 до 3.
Решение:
S=*J(2x + 5>/x = 2-
о
= 24 (кв. ед.).
+ 5x\l=x2\%5x\l=9 + lS=.
♦ Пример 2Л06
Вычислить площадь между линиями >>, = х2 и у2 = 3.x.
Решение:
Искомая площадь — это разность между площадью пря-
моугольного треугольника 0Ах0 и площадь криволинеи-
ного треугольника, ограниченного сверху участком пара-
болы.
'= |зл<£т-|
x2dx.

154
Математика
Точку xQ — абсциссу точки пересечения графиков нахо-
дим из уравнения х2 = Зх => .х0 = 3.
S^J3xdx-jx2dx = 3—\
= — -9 = 4,5 (кв.ед.).
2
о о
► Физические задачи
Пример 2.107
Определить силу давления воды на стенку аквариума с
основанием 1,8 м и высотой 0,6 м.
Дано:
/=К8л
Л=0,6л1
F—?
£ = 9,8λ|/<γ
P = — =>F = P-S, F=\PdS.
S J
Величина Я давления жидкости на го-
ризонтальную площадку зависит от глу-
бины ее погружениях, т.е. от расстояния
площадки до поверхности жидкости:
P = p-g-x.
I

£цава 2. Математический анализ
155
Площадь этой полоски ds = l-dx.
F=}p^/^ = pg/^6 = ^(0,36-0) =
= 0Д8103-9>81Э8 = ЗД (кН).
♦ Пример 2 Л 08
Через участок тела животного проходит импульс
тока, который изменяется с течением времени по закону
/= 20е~5/ (мА). Длительность импульса 0,1 с. Определить
работу, совершаемую током за это время, если сопротив-
ление участка 20 кОм.
Решение:
За малый интервал времени dtt на котором ток можно
считать почти неизменным, совершается работа dA-J 2Rdt
За время действия импульса совершенная работа равна
од
А = jJ2Rdt;
о
J = 20-10"VS,M),
Я = 20 103 (Ом),
i4=j410"4e"I0f-20103rfi = 8010",|^l()/rf/ =
о о
♦ Пример 2Л09
Найти работу при растяжении мышцы на 4 см, если для
ее растяжения на 1 см требуется нагрузка 10 Я. Считать, что
сила, Необходимая для растяжения мышц, пропорциональ-
на ее удлинению.

156
Математика
Дано:
L = 4c^ = 0,04-w
х, = 0,01 см
А — ?
Решение:
0,04
0.04 0,04 2 I
0 0 li
Найдем жесткость пружины:
Ь , Ю ,п3Я
Л=103—(),042 -θ)=500·0,042 =0,8 (Дж).
► Некоторые задачи экономики
В экономических задачах переменная меняется дискрет-
но, но достаточно часто. Для использования методов ин-
тегрирования, предполагающих непрерывность функций,
надо составить модель (упрощенный аналог реального
объекта), в которой аргументы и функции меняются непре-
рывно.
♦ Пример 2.110
Найти количество произведенной продукции (дневную
выработку) Ρ за восьмичасовой рабочий д1нь, если изме-
нение производительности труда/(f) в течение дня можно
описать формулой:
/(O = P0(-O,2f2+l,6f + 3),
где / — время в часах; Р0 — некоторая постоянная, име-
ющая размерность производительности.
Чему равен объем продукции Ръ за третий час рабоче-
го дня?
Решение:
Эта формула вполне отражает реальный процесс рабо-
ты (рис. 2.20). Производительность сначала растет, дости-

Ifcaaa 2. Математический анализ
157
гая максимума в середине рабочего дня при / = 4 ч, а затем
падает.
ЗР,
4
Рис. 2.20
t,n
Будем полагать, что производительность труда меняется
в течение дня непрерывно, т.е. f(t)—непрерывная функция
от времени i на отрезке [0,8].
Дневная выработка Ρ — это определенный интеграл —
площадь криволинейной трапеции, ограниченная сверху
кривой/(/).
8 8
= А
-0,2 —
3
+ 0,8/'
+ 3*
= 4U)6P0.
Объем продукции Ру произведенной за третий час рабо-
чего дня, равен:
з
Л = J/fcHU/2 +ДО+ 3)4/ =
2
/3 λ
од—+о#2+з<
= 5,75/>0.

158
Математика
Задания для самостоятельного решения
216. J
о
о©
218. J
dx
oV3-jc2 '
"At
217. J i·*"1* cos.r<£t;
0
bi2
1 + У
« '
220. J
1 + e4
219. JV'Ar;
0
%
Lfcc; 221. Jjicos2x<ix;
222. f-*;
f,V3x+4
223. Jcos2Jcd!x;
0
3xdx
1 1
224. l(2 + lx2fxdx; 225. j
о о"' л
226. J sin.vcos3 xdx ■ 227. JVЩ2 -хъ)2ах\
о
%
228. jnsin3.v<£c;
0
230. f^Ldx:
//sin .x
•In л:
. №**:
232
ixdx
0
2я
229. fsin^dx;
о 4
231. jtg2x<fc;
101+2*+3*2
233
• J
I
dx
iJTTi*
235. J^V*.
I

Глава 2. Математический анализ
159
^ ^ 7Л*
236. Jcos2Ai/xr; 237. \ ~f=
о о \2-
238. J(3.v2-aKx: 239. J V V
A'2
-a
2
240.
0i + *2
]^4-х2ах, UI']t1
2x dx
242. Через тело животного проходит импульс тока, ко-
торый изменяется со временем по закону / = 20е~~5/ (мА).
Длительность импульса равна 0,1 с. Определить заряд, про-
текающий через тело животного.
243. Вычислить площадь между линиями ух=х3ну2 = 4л\
Изобразите эту площадь графически.
244. Вычислить площадь между линиями у1 = 2х -х2 и
у2 = 0. Изобразите эту площадь графически.
3
245. Вычислить площадь части косинусоиды от0 до —π.
246. Определить площадь треугольника, образованного
графиком функции ν = х1 и осью абсцисс при изменении х
от 0 до 1.
%
247. Вычислить Jcos~.\:ar аналитически и дать геомет-
о
рическую интерпретацию, т.е. вычислить площадь криво-
линейной трапеции.
248. Найти суточное потребление электроэнергии в кВт-ч,
если мощность Ρ потребляемой городом электроэнергии
выражается формулой:
(15000 (кВт) г <6
Р =
где t — текущее время суток (ч).
15000 +12000 sin — (r~6)r>6,
18

160
Математика
2.2. Обыкновенные дифференциальные
уравнения
В дифференциальных уравнениях неизвестная функция
содержится вместе со своими производными. Дифференци-
альные уравнения являются основой математических мо-
делей, к построению которых приводит изучение законо-
мерностей общественных процессов, исследование разно-
образных явлений, происходящих в природе. В описания
конкретных свойств систем и механизмов, в выражения тех
или иных научных законов входят, как правило, производ-
ные интересующих функций, а не сами функции.
Основной задачей теории дифференциальных уравнений
является изучение функций, представляющих собой реше-
ния этих уравнений. В этой главе в части 2.2 рассматрива-
ются обыкновенные дифференциальные уравнения, в кото-
рых неизвестные функции зависят от одной переменной,
а в части 2.3 будут рассмотрены дифференциальные уравне-
ния в частных производных, в которых неизвестные функ-
ции являются функциями двух и более числа переменных.
2.2.1. Основные понятия
Дифференциальное уравнение—это равенство, содержа-
щее производные или дифференциалы неизвестной функции.
Общий вид дифференциального уравнения:
F(xfy,y\y*...) = 0 —неявная форма,
где jc—независимая переменная; у—неизвестная функция;
У — её производная первого порядка и т.д.
Например: {y'J + 3ху = 0; 5/ЧЗ/-4у = 0.
Если из уравнения можно выразить у\ то оно примет
вид: у' = f(xty) — явная форма. Это уравнение первого по-
рядка,разрешенное относительно производной.
Порядок дифференциального уравнения — это порядок
высшей производной, содержащейся в этом уравнении.

Пмва 2. Математический анализ
161
Например, уравнение у* + 5у' - Ъу = 0 — это дифференци-
альное уравнение второго порядка.
Решение дифференциального уравнения — это функция
У =У(*)> определенная на некотором интервале {а, Ь), удов*
летворяющая этому уравнению, которая при подстановке
в уравнение обращает его в тождество.
График решения дифференциального уравнения называ-
ется интегральной кривой.
Общее решение — это решение, зависящее от произволь-
ных постоянных. Оно содержит столько независимых пере-
менных, каков порядок уравнения. Общее решение дифферен-
циального уравнения—это семейство функций у = φ(.ν, С),
удовлетворяющее этому уравнению при произвольном зна-
чении постоянных С.
Например, для дифференциального уравнения ху -
-2х2 = 0 функция у = х2 будет решением, так как при ее
подстановке левая часть уравнения тождественно обраща-
ется в нуль: х-2х-2х2=0.
Частное решение — это решение, получающееся из об-
щего решения при конкретных определенных значениях
произвольных постоянных ^ = Ф(х,С0). Для нахождения
частных решений задают дополнительные условия. Эти
условия будут называться начальными, если все они отно-
сятся к одному и тому же значению независимой перемен-
ной. Начальные условия, или условия Каши, задают значение
функции ν0 в фиксированной точке дг0. ,Уо=>1* -
Об этом говорит теорема Коши.
Теорема Коши* Пусть дано дифференциальное уравнение
у'=/(х, у). Если функция /(х, у J и ее частная производ-
ная /' (х, у) непрерывны в некоторой области D плоскости
Оху, то в некоторой окрестности любой внутренней точки
(хо> У о) этой области D существует единственное решение
данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее ус-
ловию у = у0 при х = х0.
6, За*. 549

162
Математика
С геометрической точки зрения в области D содержится
множество интегральных кривых у = <р(х, С), соответству-
ющих различным значениям С. Теорема Коши говорит о
том, что, при соблюдении определенных условий, через каж-
дую внутреннюю точку области D проходит только одна
интегральная кривая. То есть начальные условия фиксиру-
ют произвольную постоянную С и позволяют выбрать из
семейства интегральных кривых уравнения только одну
интегральную кривую у = ф(х,С0), проходящую через
заданную точку (х0, у0).
Например, дифференциальное уравнение / = 2х имеет
общее решение у = х2 + С, где С—произвольная постоян-
ная. Это семейство парабол. Частное решение при произ-
вольных условиях у0 = у{ будет иметь вид:
у = х2 + С => С = у0 - *о. Подставим в общее решение.
у = х2 + у0 -х* — это частное решение. Оно выделяет
одну параболу из семейства кривых, проходящую через
точку (*0,jo).
♦ Пример 2.111
Проверить подстановкой, что дифференциальное урав-
нение у - 2у = егх имеет общее решение в виде
у = е3х+Се2х-
Найти частное решение, удовлетворяющее условию у = 3
при х = 0.
Pevteme:
у = *ЗЛ + Се2х\ / = ЪеЪх + 2Се2х*
Подставим в дифференциальное уравнение:
Зе3х + 2Се2х - 2(еУх + Се2х) = еЪх
ЪеЪх +2G?2* -2еЪх -2Се1х =еХх
еУх _ ез.х _ это тоэвдество.

Гаага 2. Математический анализ
163
Частное решение.
у = еи + Се2х ; 3 = e° + G>°=*C = 3
у = е3т + Зе2дг — частное решение.
Задания для самостоятельного решения
Проверить подстановкой, что данная функция является
общим решением (интегралом) данного дифференциально-
го уравнения:
249. >> = >/* 2уу=1;
250. у=Сх2— -г-2-=^-;
х ах х х1
251. lnx\ny = C y)nydx + xlnxdy = 0.
2.2.2. Дифференциальные уравнения первого
порядка с разделяющимися переменными
Уравнение первого порядка P(x,y)dx + Q(x9y)dy = 0 на-
зывается уравнением с разделяющимися переменными, если
функции PhQ разлагаются на множители, зависящие каж-
дый только от одной переменной:
f\(x)f2(y)dx + Vi(x)4>2(y)dy = 0*
В таком уравнении после деления его членов на
Л(У)' 4>i (*) переменные разделяются:
<Μ-ν) /г(У)
и каждый член уравнения зависит от одной переменной.
Общий интеграл уравнения находится почленным ин-
тегрированием:
J <PiU) J My)
ν

164
Математика
Рассмотрим примеры решения уравнений методом раз-
деления переменных.
♦ Пример 2 Л12
Найти общие интегралы уравнения:
(х+1)3</у-(у-2)2ах = 0.
Решение:
Разделим переменные в данном уравнении, деля обе его
части на (х +1)3 · (у -2)2.
dy dx
(у-2)2 (х+1)3
= 0.
Почленно интегрируя первое слагаемое по у, а второе—
по х, получим искомое общее решение:
~! L__c
У-2 2(х + 1)2
♦ Пример 2.113
Найти частное решение дифференциального уравнения
-^ = (д;-1)Лг npHAr0 = 2,>O = 5.
У
Решение:
— = xdx - dx.
У
Inj^| = 0^Jc2-x + [nC.
Есть правило: если в решении содержится логарифм, то
константу интегрирования С также записываем как !пС.
Умножим (0Дх2-х) на Хпе, (1пе = 1)
Щу\ = 1пе°*х2-х + 1пС:
[у) = С *е0,5х ~х — это общее решение дифференциаль-
ного уравнения.

Гпава 2. Математический анализ
165
Найдем частное решение. Для этого вычислим С при
х0 = 2иу0=5.
5 = Се2'2 =*С = 5.
Частное решение у = 5е * х ~х.
♦ Пример 2.114
Найти частное решение дифференциального уравнения
ху - у = 0 при начальных условиях у0 = 2 при х0 = -4.
Решение:
Разделим переменные, записав предварительно, что
, dy
dx j
dy a
dx
xdy - ydx.
Разделим обе части на ху:
dy dx
у х
Интегрируем обе части этого уравнения: правую часть
по х, а левую — по у.
lnjy| = b|x| + b|C|,
где С—произвольная интегрирования-'
При потенцировании получаем:
[>'( = \Сх\, или у-± Сх% или у=С,х — это семейство интег-
ральных кривых.
Выделим частное решение. В эту формулу подставим
у0 = 2прил*0 = -4.
2 = С(-4)=>С = -1.
2
Частное решение имеет вид: у = — х.
2

166
Математика
♦ Пример 2.115
dx
Решить уравнение 2 vdy + = 0,
л:+ 2
Решение:
Это уравнение с разделяющимися переменными. Про-
интегрируем оба слагаемых;
/ + 1п|х + 2| = С
♦ Пример 2Л16
Найти частное решение дифференциального уравнения
у г х 2*Z , проходящее через точку (0,1).
У
Решение:
dy V/+1
ах у
Разделяя переменные, получим;
Проинтегрируем: \-JUL·.' = fxdx.
Интеграл в левой части берем при помощи замены пере-
ГТ"— ν2
менной Jv~ +1 =:— + С.
2
Произвольная постоянная равна: С = л/2, и частное ре-
шение имеет вид:

Глава 2. Математический анализ
167
♦ Пример 2.117
Найти общее и частное решение дифференциального
уравнения и показать на графике у' = - — при х0 = 3, у0 = 4.
Решение:
#^--; ydy = -xdx; \уау = -\хах^=-^ + с
dx у J J 2 2
или х2 + у2 = С — общее решение. Найдем С.
С = 9+16 = 25.
х2 + .у2 = 25 — частное решение.
А (3,4)
Рис. 2М
Интегральными кривыми данного уравнения является
семейство концентрических окружностей с центром в нача-
ле координат (рис. 2.21). А частное решение — это окруж-
ность, проходящая через точку с координатами х = 3, у = 4.
2, 2·3· Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка —
это уравнение вида.
y'+P{x)y = q(x), (2Л0)
где Р{х) и q{x) — непрерывные функции.

168
Математика
Название уравнения «линейное» связано с тем, что неиз-
вестная фунющя и ее производная входят в первой степени,
т.е. линейно.
► Линейное однородное уравнение будет, если q(x) s О,
т.е. это уравнение вида:
/ + дх)>, = 0. (2.11)
Это уравнение с разделяющимися переменными, и его
решение будет иметь вид:
у=Се-1н**ь (2Л2)
► Линейное неоднородное уравнение будет, если функция </(*)
не равна тождественно нулю:
q(x)*Q:y' + P(x)y = q(x). (2.13)
Общее решение линейного уравнения первого порядка
находится методом вариации постоянной и имеет вид:
у(х) = е J [C + ]?(x>j dx]. (2.14)
Или можно в уравнении (2Л2) С заменить на неизвест-
ную функцию и(х)ч решение искать в виде:
у = и(х)е } . (2.15)
► Уравнение Бернулли — это нелинейное уравнение вида:
y' + P(x)y = q(x)y\
где η — некоторое постоянное число. При η = I — это ли-
нейное однородное уравнение.
у'Нр-ч)у=Ъ·
При η = 0 — это линейное неоднородное уравнение.
Если η Φ О и η Φ I, то нелинейные уравнения сводятся к
линейным соответствующими заменами t (.v).
Пример 2.118
Решить уравнение: >>'+ х2у = л*2.
Решение:
Это линейное неоднородное уравнение первого поряд-
ка, где Р(х) = х2 и q(x) = x* (2.13).

Гяава 2. Математический анализ
169
В решении в (2.14):
\P(x)dx =/х2Л = —, jq(x)JP{x)dxdx =\x2e *dx = e\
Решение будет иметь вид:
у(х) = е 3 | С + е3 \=Се 3 +1.
♦ Пример 2.119
Решить уравнение: ху + у = ех.
Решение:
Данное уравнение може быть приведено к виду (2.13):
, ν е*
ν + — = —
X X
t лх
X
X
{P(x)dx=\^ = ln\x\; e-iPlx)dx=e-W=i.
J J Χ Χ
\q(x)JPlx)dxdx = \e- ■ e* *dx = jexdx = e\
Формула (2.14), выражающая общее решение, примет вид:
у(х) = ±{ех + С).
х
♦ Пример 2.120
Решить линейное уравнение первого порядка:
у = х +1.
х2+\
Решение:
Сделаем иначе. Сначала решим линейное однородное
уравнение, т.е. вместо правой части будет нуль:
х +1

170
Математика
Разделим переменные: -= ^— dx - 0.
У х2+\
Интегрируем: 1п|>'| - 21п(лг +1) = In С.
Потенцируем:
у = С(х2 +1)2 — решение однородного уравнения (2.16).
Решение неоднородного уравнения будем искать в виде
у = и(х)е J
Сравним (2.12) и (2.16):
у*а-1"х* и y = ctf+\i.
Видим, что JP(x)dk = (x2+l)2.
Следовательно, (2.17) примет вид: у = и(х)(х2 +1)2.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
х +1
у =и'(х)(х2 +\)2 +2(х2 +\)-2хи(х),
и'(х)(х2 +1)2 + 4х(х2 +l)u(x)-4x(x2 + 1)κ(.υ) = λ-2 +1.
Отсюда и(х) = -=— =?> м(т) = arctgx + С
.ν +1
и решение примет вид: у = (arctg.τ + C)(.y- +1) .
Заданна для самостоятельного решения
► Найти общие решения дифференциальных уравнений ме-
тодом разделения переменных:
dv
252. cos.Y^- = (>> + l)sinx; 253. ху'-у'=0;
254. у/ + .ν = 0; 255. д:2/ + у = 0:
256. / = у; 257. / = sin.v;
258. у' = е3дг4>'·

Пиша 2. Математический анализ
171
► Найти частные решения уравнений первого порядка,
удовлетворяющие указанным начальным условиям:
259. х2&. = ууу0=5прих0 = 0;
ах
260. у=-?-,у0=-10прих0 = 16;
Ах
261. ^L-dy+ — = 0, (у*0),у0 = -5прих0 = У,
у Ay
262. ly'Jx =y,y0=l при x0 = 4;
263. х2у + у2=0,у0=1прих0 = ~А;
264. xy = -?—, y0 = 1 при xQ = e;
265. {x + 3)dy+(y-2)ax = 0,y0 = 3rtpiix() = -2;
266. (x2-l)ax + ydy = 0,yo = 0npKx0 = 2;
267. 2x2dy - y2dx = 0, y0 - 1 при x0 = 1;
► Решить линейные уравнения первого порядка:
268./-- = *; 269. /+— = *\
X Х
270. у' + х2у=2е 3 ; ТП.у'-у = ех;
2Т2.у=х + у; 273. ху+у = 3;
274. (х2 +y2)dx-2xydy = 0; 275. y-xy' = yln-;
276. (x+2y)dx+2xdy = 0; 277. jc/ - 2.v = 3.v5.
► Найти частные решения однородных дифференциальных
уравнений:
278. .ν dy-ydx*=ydy, если при х--1,у~\;
279. (y2-3x2)dy+2xydx=Qteumnpux=: 1,>=-2.

172
Математика
2.2Л* Линейные однородные
дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
Уравнения вида а0 —~- +■ щ -р + а2у - 0 называются ли-
d"y dy
dx2 l dx
нейными однородными уравнениями второго порядка с
постоянными коэффициентами.
Общий интеграл находится с помощью характеристиче-
ского уравнения а^к2 + а]к + а2-0> которое получается из
этого уравнения, если, сохраняя в нем все коэффициенты а{1
заменить функцию у единицей (у = 1), а все ее производ-
ные — соответствующими степенями к. При этом:
1. Если все корни характеристического уравнения дей-
ствительные и различные, то общий интеграл имеет вид:
^С^ + Сзе***.
2. Если характеристическое уравнение имеет корни дей-
ствительные и равные (к^=к2-к)^то у- С\в + С2хе v,
3. Еслпкор}шмиимые(к-± Й),то у - Cj cos foe + С2 smbx,
4 Если корни комплексные (к = а ± Ы), то
у = еах(С{ cosbx + C2 sin bx).
Найти общие решения следующих дифференциальных
уравнений.
+ Пример 2.121
. d2y 5 dy
dx2 dx
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
2
2^-5^- + 2^0.
/г, =2, *,= -.

Глава 2. Математический анализ 173
Общее решение данного дифференциального уравнения
имеет вид:
♦ Пример 2.122
^-8^ + 16>, = 0.
dx2 dx
Решение:
fc2-8A: + l6 = 0, £,=^ = 4.
Общее решение данного однородного уравнения име-
ет вид:
у=е**(С]+С2х).
♦ Пример 2Л 23
—~+v = 0.
dx2 '
Решение:
Соответствующее характеристическое уравнение име-
ет вид:
к2 + 1 = 0, к =±i\ где / = V-T — мнимая единица.
Общее решение данного уравнения имеет вид:
у = С] cosx + C2 sin jc.
♦ Пример 2.124
dx2 dx
Решение:
А:2 + 8А: + 25 = 0.
Комплексно сопряженные корни таковы: к = -4 ± 3/.
Г = е"4* (Cj cos 3.v + С2 sin Зх).
^-£ + 8-=^ + 25^ = 0.
•2 J ^

174
Математика
Задания для самостоятельною решения
► Найти общее решение:
280. /~3/ = 4ν; 281. /-5/+6j>=0;
282./-Ю/+26у = 0; 283./-5/-6у = 0;
284.^+4^+4^0.
dx2 dx
► Найти частное решение:
285. /+4/+5^ = 0,при^(0) = -3,/(0) = 0;
286. /+25/ = 0,1фМ1) = 20./(1)=10;
287. /-у = 09прьуФ) = 09/ф)=и
288. /-4/ = 0,при^0) = 0,/(0) = 8;
289. / + 2/ + 2^ = 0, при>40)= 1, /(0)= 1;
290. /-12/+35у = 0,приЯ1)=10,/(1) = 2.
2.2.5. Применение дифференциальных
уравнений для решения задач
♦ Пример 2.125
Концентрация лекарственного вещества в крови живот-
ного уменьшается вследствие выведения вещества из орга-
низма. Скорость уменьшения концентрации пропорцио-
нальна концентрации вещества в данный момент. Опреде-
лить зависимость концентрации данного вещества в крови
от времени, если в начальный момент времени она была
равна 0,2 мг/л, а через 23 ч уменьшилась вдвое.
Решение:
Скорость изменения концентрации и концентрация С в
любой момент времени г связана соотношением:

№ава 2. Математический анализ
175
dt
где к — коэффициент пропорциональности, который не за-
висит от времени. Знак «-» поставлен потому, что концент-
рация убывает с ростом времени.
Решаем это уравнение I -го порядка методом разделения
переменных:
— = -Аш.
С
После интегрирования имеем:
In С = -kt + 1пС0, С = С0е~*'.
Подставляя сюда концентрацию при г=0, найдем
С0-0>2 мг/п.
При г = 23 часа ОД = ОДе*"2** или 2 = <?23*·
^1^2^069^^
23 23
Закон изменения концентрации: С(/) -0?2е ~°'03/ (мг/л).
♦ Пример 2Л26
По Ньютону скорость охлаждения тела в воздухе про-
порциональна разности температур тела и воздуха. Если
температура воздуха 20 dC, и тело в течение 20 минут охла-
дилось от 100 до 60 °С, то через сколько времени температу-
ра тела станет равной 30 °С?
Решение:
Обозначим температуру тела Т;
£L=~k(T-20), JIL^kdt, Уг-гоЫАг+с.
dt т-20 'II
Найдем С из начальных условий при / - 0, 7= 100 flC:
InSO^vt 0 + С, С=1п 80,
ln|T-20(-ln80 = fcr,
80 ' 80 .. '

176
Математика
7*-20 = 80Иг.
Найдем * из дополнительных условий: за 20 мин темпе-
ратура тела уменьшилась на 40 °С: при t = 20 мин Т- 60 *С:
60-20 = 80 г20*, 40 = 80*** еш =-,к = -~,
2 20
-1п2
7-20 = 80е -° '.
Вычислим теперь, через сколько времени температура
тела станет равной 30 °С:
-In 2 л». «3
30-20 = 80е 20 , f = —г^—= б0(лгии).
In 2
♦ Пример 2,127
Популяция бактерий*{$) растет так, что скорость ее рос-
та в момент времени / (/ — часы) равна одной десятой от
размера популяции. Описать этот процесс роста дифферен-
циальным уравнением. Чему равен размер популяции спу-
стя 10 часов, если начальное условие *(0) = 1000?
Решение:
Пустьx(t) — размер популяции в момент времени /. Ско-
dx ^ dx
рость роста — это —. Тогда по условию скорость роста ~т
в момент времени t равна 0,1 л\ Это дифференциальное урав-
нение 1-го порядка. Решим его: — = ОД at;
.γ
1п|л-| = ОМ + In С ; 1п|л'| = 0Л/In е + In С;
х = Сеом — общее решение.
Если г = 0, л: =1000.
Найдем С: 1000= С;
х = 1000 ■ еои — частное решение.
После 10 часов размер популяции станет равным:
л-(10) = Ю00е04',0 = 10(Юе=2718.

Глава 2. Математический анализ
177
Рассмотрим некоторые примеры применения дифферен-
циальных уравнений в непрерывных моделях экономики,
где независимой переменной является время t. С помощью
таких моделей исследуется эволюция экономических сис-
тем. При этом в экономическом процессе устанавливается
связь между некоторыми величинами и скоростями их из-
менения.
♦ Пример 2.128
Определение закона прироста численности населения.
Найти зависимость численности населения N от време-
dN
ни *, если известно, что скорость прироста -~т~ численно-
сти населения зависит от его количества N в данный момент
времени t. Пусть в начальный момент t - О эта величина
равна N0.
Решение:
Для построения математической модели предположим,
dN
что скорость изменения численности населения -т~ про-
порциональна его количеству в данный момент времени N.
dt
Введем коэффициент пропорциональности к.
где it — коэффициент прироста численности населения.
к > 0. если численность населения увеличивается, и к < 0,
если численность убывает.
Решим это дифференциальное уравнение первого поряд-
ка, разделяя переменные:
— = kdt.
_ Ν
Интегрируем: Ν = Cekt — общее решение.

178
Математика
Найдем С из начальных условий: Ν = Ν9 при t = 0.
Ма=Сек0=>С = Ы0.
let
N = NQe — частное решение. Это закон прироста чис-
ленности населения.
♦ Пример 2.129
Модель естественного роста выпуска.
Пусть некоторая продукция продается по фиксирован-
ной цене Р. Пусть Q(t) — качество продукции, реализован-
ное на момент времени и Тогда доход от продажи на этот
момент составит Ρ · Q. Пусть часть т указанного дохода Ρ - Q
расходуется на инвестиции J(t) в производство реализуемой
продукции.
J^mPQ,
где т — норма инвестиции, причем 0 < ш < 1.
Предположим, что происходит полная реализация про-
изводимой продукции. Следовательно, в результате расши-
рения производства будет получен прирост дохода, часть
которого опять будет использована для расширения выпуска
dQ
продукции. Скорость выпуска —г~ (акселерация) будет ра-
at
сти, причем скорость выпуска продукции — пропорцио-
нальна увеличению инвестиций I(t).
А
где а — величина, обратная норме акселерации.
^ = amPQ.
at
Введем параметр k-amP и получим:
—— - /cQ — это дифференциальное уравнение первого
dt
порядка с разделяющимися переменными.

Глава 2. Математический анализ
179
Общее решение этого уравнения имеет вид:
Q = Cekl.
где С—произвольная постоянная.
Пусть в начальный момент времени г0 зафиксирован
объем выпуска продукции Q0. Из этого начального усло-
вия найдем константу интегрирования С:
Qo=Cekt° =*С = &<Г*'°.
Частное решение исходного уравнения будет иметь вид:
ρ = <Зo/<'-'o)или^ = ί2beiЮ",<,-'0,.
Заметим, что в задачах 2.1 27-2.129 полученное частное
решение примерно одного вида, хотя речь шла о процессе
разложения бактерий, приросте численности населения. Это
проявилось важное свойство математических моделей: свой-
ство общности.
Задания для самостоятельного решения
291. Скорость растворения лекарственного вещества в таб-
летках пропорциональна количеству лекарства в таблетке.
Известно, что при t = 0, т = mQ. Найти закон растворения
таблетки (т.е. закон изменения массы), если период полу-
растворения таблетки равен Г.
292· В культуре дрожжей быстрота прироста дрожжево-
го фермента пропорциональна количеству, имеющемуся в
наличии в начальный моменту. Если это количество удва-
ивается в течение часа, то во сколько раз оно возрастает за
2,5 часа? То есть определить закон прироста дрожжевого
фермента в зависимости от времени.
293. Известно, что скорость распада радия пропорцио-
нальна его конечному количеству и что половина его пер-
воначального количества распадается в течение 1600 лет.
Определить, какой процент данного в количестве т0 радия
распадется в течение 100 лет.

180
Математика
294. В воде с температурой 20 °С в течение 10 минут тело
охлаждается от 100 до 60 °С. До какой температуры охла-
дится тело за 30 минут, если по закону Ньютона скорость
охлаждения пропорциональна разности температур тела и
охлаждающей среды?
295. Найдите закон убывания лекарственного препарата
в организме человека, если через 1 час после введения 10 мг
препарата в организме его масса уменьшилась вдвое. Какое
количество препарата останется в организме после второго
часа?
296. Уменьшение интенсивности света при прохождении
через поглощающее вещество пропорционально интенсив-
ности падающего света и толщине поглощающего слоя.
Найти закон убывания интенсивности света, если известно,
что при прохождении слоя толщиной / = 0,5 м интенсив-
ность света убывает в 2 раза.
297. Скорость роста числа микроорганизмов пропорци-
ональна их количеству в данный момент. В начальный мо-
мент имелось 100 микроорганизмов, и их число удвоилось
за 6 часов. Найти зависимость количества микроорганизмов
от времени и количество микроорганизмов через сутки.
298. Популяция бактерий увеличивается таким образом,
что удельная скорость роста в момент/ («/) составляет вели-
чину Допустим, что начальной популяции соответ-
1 + 2Г
ствует л'(0) = 1000. Какой будет популяция после 4 часов
роста? После 12 часов?

Глава 2. Математический анализ
181
2.3- Дифференциальные уравнения
в частных производных
2.3.1- Основные понятия
Пусть функция и описывает некоторый физический про-
цесс. Этот процесс протекает во времени /ив пространстве,
которое можно характеризовать декартовыми прямоугольны-
ми координатами (xt у, z) или в общем случае (л*,, х1 хп).
Дифференцируя функцию м, получаем частные производ-
Ьи ди Эй Эй
ные — * — и т.п. или в общем случае ^ - -z— и т.д.
Эх Оу ОХ] 0Х2
Поскольку в данном процессе эти производные связаны ка-
кими-либо соотношениями, то приходим к дифференциаль-
ному уравнению, содержащему частные производные.
В отличие от обыкновенных дифференциальных уравне-
ний, в которых неизвестная функция зависит только от од-
ной переменной, в дифференциальных уравнениях с част-
ными производными (ДУЧП) неизвестная функция зависит
от нескольких переменных.
Дифференциальное уравнение в частных производных—это
равенство, содержащее несколько независимых переменных,
искомую функцию и ее частные производные по этим пере-
менным.
В общем виде это уравнение может быть записано так:
ди ди д и д и
' Ъхх' Эхл * dxf ' Эх|Эа*2
где .х j, х2,..., хп — независимые переменные;
и \xv х2,..., хп) — неизвестная искомая функция.
Как было сказано выше, во многих практических зада-
чах в качестве независимых переменных используются вре-
мя г и пространственные координаты.
Если используется одна пространственная координата,
то такие задачи называются одномерными, если две — дву-
мерные, три — трехмерные, четыре и более— многомерные.
TTi OU OU О U О U \ л /1 1Q\

182
Математика
Порядок уравнения — это наивысший порядок частных
производных, входящих в уравнение.
Решение уравнения — это функция мЦ,х2»-м *л), имс"
юшая соответствующие частные производные до требуемо-
го порядка и обращающая это уравнение в тождество.
Интегрирование — это процесс нахождения решений
ДУЧП.
Нахождение частного решения, удовлетворяющего тем
или иным условиям — основная задача теории дифферен-
циальных уравнений в частных производных.
Дифференциальное уравнение (2.18) будетлинейным, если
функция F линейна относительно искомой функции u (xv
х,,..., xj и ее производных.
Дифференциальное уравнение будет квазшшнейным, если
функция F линейна по высшим производным (л-го поряд-
ка), т.е. коэффициенты при высших производных зависят
только от функции м и ее производных до (п - 1)-го порядка.
Дифференциальные уравнения второго порядка (т.е. вхо-
дящие в них старшие производные имеют второй порадок)
представляют особый интерес для физических приложений.
С помощью этих уравнений описываются математиче-
ские модели современных систем проектирования летатель-
ных аппаратов, ряд физических явлений в гидродинамике,
теплопередаче, электродинамике, оптике, механике. Напри-
мер, математические уравнения электромагнетизма (урав-
нения Максвелла), уравнения газовой динамики, закон теп-
лообмена Ньютона. Производные появляются в этих урав-
нениях потому, что они описывают скорость, ускорение,
силу, поток, трение, электрический ток и т.п. Поэтому диф-
ференциальные уравнения с частными производными вто-
рого порядка называют уравнения математической фишки,
► Классификация линейных дифференциальных уравнений
с двумя независимыми переменными на примере линей-
ного дифференциального уравнения второго порядка,
записанного в канонической форме.

Гдава 2. Математический анализ
183
Рассмотрим линейное одномерное дифференциальное
уравнение второго порядка, в котором в качестве независи-
мых переменных используется время г и одна пространствен-
ная координатах,
дх dtox
дг ах
+ E{x,t)^^- + F(x,t)u(x,t) = G{x,t) (-x,Oe D, (2.19)
ш
где D—некоторая односвязная область изменения незави-
симых переменных xt t\
и(х, i) — искомая функция;
А{х, t), В(х, 0, С(х. t), D(x, /), E(xt /), F{x, t) — коэффи-
циенты;
G(x, /) — свободный член (правая часть).
Уравнение (2.19) называется уравнением с постоянными
коэффициентами* если эти коэффициенты уравнений не за-
висят от х и /.
В противном случае—это уравнение с переменными ко-
эффициентами.
Уравнение (2.19) называется однородным* если правая
часть G(xt t) тождественно равна нулю для всех х и /.
В противном случае — это неоднородное уравнение.
Уравнение (2.19) можно записать компактно, используя
обозначения:
, du(xj) 9 d2u(xj)
Аихх + 2 В( xj)u'xf + Cult + Dux + Eu\ + Fu=G.
Уравнение параболического типа— это уравнение (2Л 9) в
точке М(х{Г ta) (в области Z>), если в этой точке выполняется

184
Математика
условие В2 - А С- 0. Такие уравнения описывают процессы
теплопроводности.
Уравнение гиперболического типа в точке Л/(х0, /0) в об-
ласти D — если В2 - АС > 0. Такие уравнения описывают
колебательные системы и волновые движения.
Уравнение эллиптического типа будет при условии
В2 - А С < 0. Например, это течение жидкости в стационар-
ных потоках.
В различных точках тип одного и того же уравнения
может быть различным.
Уравнение будет стационарным, если искомая функция
не зависит от времени. Например, стационарное распреде-
ление напряженности электрического и магнитного полей.
Нестационарное уравнение будет, если искомая функция
зависит от времени.
Линейное нестащонарное уравнение с частными производ-
ными первого порядка имеет вид:
A(xj)ux + B(x,t)u't + C(xyt)u = G(xJ).
Предполагается, что коэффициенты^, В, С и правая часть
G являются заданными непрерывно дифференцируемыми
функциями.
Уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид:
Аих + Вщ +Cu=G,
где коэффициенты не зависят отх и (.
Однородное уравнение имеет вид:
Au'x + Bu't+Cu=0.
Правая часть тождественно равна нулю для всех*.
♦ Пример 2.130
Классифицировать следующие уравнения:
1.Ы; + М;=0; 2. и'-cV^o:
3. М;-Я2М;Х=0: 4. и'х+и'Уу =0;

Глава 2. Математический анализ
185
5. и\ - ииххх = sin л ; 6. Зихх + 7и*, + 2м', = 0.
Ответ:
1. Линейное одномерное нестационарное однородное
дифференциальное уравнение первого порядка с постоян-
ными коэффициентами. Его называют уравнением переноса,
2. Линейное одномерное нестационарное однородное
дифференциальное уравнение второго порядка с постоян-
ными коэффициентами: А =-<?, В=0, С= 1, D = E=F= (7=0.
Оно называется волновым уравнением. Описывает распро-
странение звуковых волн и т.п. Это уравнение гиперболи-
ческого типа, так как В2-АС = с2> 0.
3. Линейное одномерное нестационарное однородное
дифференциальное уравнение второго порядка с постоян-
ными коэффициентами, где А --а2, В=0, С=0, D = 0, F=0t
G = 0, Ε = 1. Это одномерное уравнение теплопроводности.
Уравнение параболического типа, так как В2 - А С=0.
4. Линейное двумерное стационарное однородное урав-
нение второго порядка с постоянными коэффициентами, где
A = l,B=Q, C=\.D=E=F=G = Q. Это двумерное уравнение
Лапласа, Поскольку В2- АС = -1< 0, то это уравнение эл-
липтического типа при всех х и у.
5. Это квазилинейное одномерное нестационарное уравне-
ние третьего порядка.
6. Линейное одномерное нестационарное однородное
уравнение второго порядка с постоянными коэффициента-
7
ми, где Л=3,Д=-, C = 2, D = £ = F-(7 = 0. Это уравнение
49
гиперболического типа, поскольку В2-АС- 6>0 при
4
всех л и /.

136
Математика
2.3.2* Линейные однородные
дифференциальные уравнения
в частных производных первого порядка
Это уравнение определяется соотношением вида:
2Мхи...9хп)2± = 09 (220)
где xv хТ.. .,xfj ~ независимые переменные;
и (xvxv*„,xj—неизвестная функция;
её частные производные;
dxi
А.=А§{х[9х2,...,х^— коэффициенты, не зависящие от и.
Будем считать, что уравнение (2.20) рассматривается в
некоторой области D переменных .ν,, я3,..„;сй, а коэффици-
енты уравнения
1) непрерывно дифференцируемы в области D;
2) не обращаются одновременно в нуль ни в одной точке
из области Д т.е.
£4,?(Х],...,*Д)>0 (xvxv.*»xt)eD.
Решением уравнения (2.20) будет любая непрерывно диф-
ференцируемая в области D функция и -u(x{i x2>...txt),
обращающая его в тождество.
(любое х из множества D)
> Геометрическая интерпретация решения данного диффе-
ренциального уравнения: это интегральная поверхность
для данного уравнения — гладкая л-мерная поверхность
в пространствеО*,,..,,^ и.
> Линейное однородное дифференциальное уравнение все-
гда имеет решение и = С, где С—любое постоянное чис-
ло. Такие решения называются очевидными и не подле-
жат обсуждению.

Гыша 2. Математический анализ
187
► Для дифференциального уравнения с двумя независимы-
ми переменными:
Л*,)0|^ + еия|^0. (2.21)
ох дх
Решение и =/(лс, у) представляет собой в пространстве
Охуи просто некоторую гладкую двумерную поверхность.
► Характеристическая система и характеристики.
Характеристическая система для уравнения (2.20)— это
система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
в симметрической форме.
dx\ _ _ dxn
Ах{хх^хп) "' Ап(хи...,хпУ
а при ее эквивалентной записи в параметрической форме,
имеющей вид:
^ = 4(*i,...fxJf/=1.2,...f л.
где х — независимая параметрическая переменная.
Характеристики этого уравнения (2.20)—это его реше-
ния (интегральные кривые).
В условиях, оговоренных для уравнения (2.20) характе-
ристическая система удовлетворяет теореме существования
и единственности решений. Поэтому через каждую точку
области D проходит единственная характеристика уравне-
ния (2.20), которую в параметрической форме можно пред-
ставить в виде/i функций.
*, = *,(0. / = 1, 2 л.
В случае уравнения (2.21) с двумя независимыми пере-
менными его характеристическая система в симметрической
форме вырождается в одно обыкновенное дифференциаль-
ное уравнение первого порядка
JW)-flirt·"" ЯЧ*-Ч«*-»

188
Математика
А в параметрической форме приобретает вид автоном-
ной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
dx Л,
— = P(jcfy),
dt
[dt
Соответствующая ей характеристика может быть запи-
сана с помощью двух функций:
x = x(t);y=y(t). (2,22)
► Первый интеграл характеристической системы уравне-
ния (2.20) — это отличная от константы непрерывно диф-
ференцируемая в области D функция gixv.. .,xn), которая
на любой характеристике (2.22) данного уравнения при
подстановке в качестве аргументов*!,.. ..^соответствую-
щих выражений xx(t\.. .,.νπ(/) имеет постоянное значение
g(x{(t),.:,x„(t)) = C V (*,,...,*„)€£, где С—константа.
Теорема L Если и =f(Xj,...,xH) —решение уравнения
(2.20), то функция f(xJt...txn) является первым интегра-
лом для характеристической системы данного уравнения.
Обратно, если функция g(xJt...txn) служит первым интег-
ралом характеристической системы уравнения (2.20), то и
u-g (xJt..., xj есть решение этого уравнения.
► Задача Коши для линейного однородного уравнения с ча-
стными производными первого порядка.
Задача Коши — зто одна из трех основных типов задач с
дифференциальными уравнениями в частных производных,
содержащих дифференциальные уравнения и дополнитель-
ные условия, позволяющие выделить искомые частные ре-
шения среди целого семейства решений.
В случае задачи Коши решение уравнения ищется удов-
летворяющим заданным начальным условиям.

Глава 2. Математический анализ
189
Постановка задачи для уравнений лервого порядка
Пусть имеется линейное однородное уравнение в част-
ных производных первого порядка
ΣΜΧΧ^Χ»)~' = 07 (2,23)
в котором, без ограничения общности, положим:
A^{x}i...tx})±Q \f(x, x,)€D.
В этом случае задача Коши ставится так:
Среди всех решений уравнения (2.23) выделить такое ре-
шение и =/(*ρ·.·ΡΧΛ) (2.24), которое удовлетворяет началь-
ному условию;
Щ 0-<р(*2,">хД (2.25)
\хх = *,
где х*\ — заданное число, а <р(д:2,...,л:л) — заданная непре-
рывно дифференцируемая функция своих аргументов.
При данной постановке задачи Коши, естественно, по-
лагается, что в (п + 1 )-мерном пространстве 0xv., .txnu соот-
ветствующая «-мерная плоскость х1 - х°{ пересекается с
областью D. Речь идет о построении в этом пространстве
я-мерной интегральной поверхности, описываемой урав-
нением (2.24), проходящей через заданную гладкую
(и - 1)-мерную поверхность и = φ(^2,. ...xt), хг =x*j.
Если подобная задача Коши рассматривается для урав-
нения с двумя независимыми переменными
П*,У)^2(*,у)^ = 0 (2.26)
ах ду
с начальным условием и _ 0 = φ00 (2*27), то в ней требует-
ся найти решением -fix ,у)7 для которого изображающая в
пространстве Охуи интегральная поверхность будет прохо-
дить (в плоскости х~х°) через заданную кривую.
и-фОО* х=х°-
Пусть г1иь»мхд),^^я-](^ь-^я)— ' i22S)
независимые первые интегралы для характеристической

190
Математика
системы уравнения (2.23), причем положим, что для них
выполняется условие:
fog)—g*-i^0V(jc.,.,. txJeD.
д(х2^„,х„)
Алгоритм решения задачи Коши:
1. Составить систему равенств с произвольными парамет-
рами с |,...,сй_р подставляя хг = х® в первые интегралы (2.28)
g)(X\ 9Х2*..чХп) = С19
g2(X}tX2*-*Xn) = c2>
(2.29)
2. Найти выражения для переменных х2,^.1хп7 решая си-
стему (2.25) с соответствующими гладкими функциями.
\х2 = />2(с1*"*>с*н)»
(2.30)
3. Подставив выражения (2.30) в функцию <р(х2>*. .,*„)> за-
дающую начальное условие (2,25), составить формулу:
и положить в ней
Ki =?l(xi >*2> —v^,*,,),
(2.32)
Для уравнения (2.26) с условием (2.27) характеристиче-
ская система характеризуется лишь одтш первым интегра-

Глава 2* Математический анализ
191
лом вида g{xf у), система (2.29) сводится к одному уравне-
нию g(x°t у) - с, система (2.30) перейдет в одно равенство у
=р(с)> а из соотношений (2.3]), (2.32) вытекает единая фор-
мула для искомого решения задачи Коши:
и=>ф[р(8(х*У))]·
♦ Пример 2.131
Поставить задачу Коши для одномерного дифференци-
ального уравнения первого порядка (уравнение переноса).
au(*,o fo(x,o n 0<x<L
& Эх Л
0<t<T
Это уравнение описывает конвективный одномерный
перенос тепла и является модельным для некоторых про-
цессов в механике сплошных сред.
Решение:
Таким образом, задается областьD(0f L)x(0> Т), ограни-
ченная прямоугольником с длиной L, высотой Г(рис 2 Л 9).
Рис, λ 19
Здесь x~0nx=L—левый и правый концы отрезка изме-
нения пространственной переменной; / = 0, t - Τ— момен-
ты начала и окончания процесса. -« <л:< +«, 0 < t < Т.
Задача Коши ut + ик = 0 -<*> < х < + °°
0<t<T;

192
Математика
и(л%0) = ψ(.γ), -оо < ν < + οο (начальноеусловие)содержит
только функциональное начальное условие (при / = 0) и рас-
сматривается в бесконечной области изменения простран-
ственной переменной. Теперь надо найти функцию и(х. /)>
которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.10)
в области D и соответствующим условиям на ее границе.
♦ Пример 2.132
_ ди Ъи „
Для уравнения у-— х— = 0 найти общее решение.
ох Ъу
Решение:
Будем рассматривать данное уравнение на всей плоско-
сти независимых переменных х, уу где только исключим
точку х = 0, у = 0 согласно нашим требованиям к коэффици-
ентам линейного однородного уравнения.
Характеристическая система в симметрической форме
определяется одним обыкновенным дифференциальным
уравнением 1-го порядка
xdx+ydy = 0.
1 1
Интегрируя его, получим ν +у = С, где С — произ-
вольная постоянная (С> 0).
Отсюда следует, что первый интеграл для характерис-
тической системы данного уравнения задается функцией
g(\\y) = х2 + у1, а его общее решение записывается в яв-
ном виде и = φ(.ν" + у), где φ — произвольная непрерыв-
но дифференцируемая функция своего одного аргумента.
Геометрическая интерпретация — это на плоскости O.vv
однопараметрическое семейство концентрических окружно-
стей с центрами в начале координат. При этом в простран-
стве Олтм функцией φ задается интегральная поверхность,
являющаяся поверхностью вращения вокруг оси Ом.

Глава 2. Математический анализ
193
♦ Пример 2.133
„ ди Ъи п __
Для уравнения у-—.г —= 0 решить задачу Коши с
дх ду
начальным условием и^, = ^1+у2 =Ф(у)·
Решение:
Согласно требованиям к задаче Коши для линейного
однородного уравнения, из плоскости независимых пере-
менных Оху исключим уже целую прямую у = 0.
Из примера 2.132 следует, что общее решение уравнения
имеет вид и = ф(х2 + у*),гдеф— произвольная непрерывно
дифференцируемая функция, а выражением g(x,y) = х2 + у2
определяется первый интеграл соответствующего характе-
ристического уравнения.
Согласно начальному условию подставим jc = 1 в пер-
вый интеграл.
Получим х2 +у2\ = С, где С — параметр.
[х = \
Отсюда1 + у2=С=>> = л/с^Т (С>1).
Подставим найденное значение у в функцию φ(γ) и по-
лучим:
Заменим С выражением для g(x. у), делаем вывод, что
решением рассматриваемой задачи Коши служит функция
Геометрическая интерпретация: в пространстве Охуи этой
функцией и = <Jx2 + у2 задается интегральная поверхность,
являющаяся верхней частью прямого кругового конуса с
вершиной в начале координат и осью вращения Ок. прохо-
дящей в плоскости дг= 1 через заданную кривую и = yjx2 + у2 ·
которая представляет собой ветвь равнобочной гиперболы
7. за* М9

194
Математика
Задания для самостоятельного решения
299. Для у— + Д-— = 0 0' > 0) решить задачу Коши с
Эх Ъу
начальным условием и\
х = 0
2.3.3. Дифференциальные уравнения
второго порядка с частными производными
Рассмотрим задачу о свободных колебаниях упругой
струны, натянутой вдоль оси Ох, закрепленной на концах.
Пусть в какой-то момент времени струна выводится из со-
стояния покоя каким-либо внешним воздействием (напри-
мер, щипок). Возникают свободные колебания струны.
Предположим, что каждая точка струны отклоняется по
перпендикуляру к оси Ох, и все эти перпендикуляры лежат
в одной плоскости. Кроме того, это «малые» колебания
струны, т.е. угол между касательной к струне и осью Ох ос-
тается все время малым.
Пусть и(х, t) — смещение точки струны с абсциссой х в
любой момент времени г. Тогда уравнение свободных ма-
лых колебаний струны имеет вид:
—т- = <Г—г-> (2.33)
Э/2 Эх2
где а1 — постоянная определяющаяся натяжением и мате-
риалом струны.
(2.33) — одномерное волновое уравнение — это линейное,
однородное, дифференциальное уравнение второго поряд-
ка с частными производными.
Для полного определения движения струны зададим:
► граничные (краевые) условия, показывающие, что делает-
ся на концах струны при х = 0 и х=/, каково смещение и.
"(0,0 = 0 (2.34)
и (А 0 = 0; (2.35)

Глава 2. Математический анализ
195
► начальные условия, описывающие состояние струны в на-
чальный момент при / = 0. Пусть в этот момент струна
имеет определенную форму, которая описывается функ-
цией fix),
Таким образом, и(х. 0) -f(x). (2.36)
И пусть в этот момент г= 0 скорость в каждой точке стру-
ны определяется функцией<р/%1.
Эи| =<Р00. (2.37)
Таким образом,
at
I/ = 0
Решение волнового уравнения методом Фурье
Метод Фурье — это метод разделения переменных. При
этом находят частные решения уравнения (133), удовлетворя-
ющие пока что только граничным условиям (2.34), (2.35).
Разделим переменные. Для этого функцию и(х, t) запи-
шем в виде произведения двух функций, каждая из одной
переменной:
u(xf t)=X(x)* T\t).
Подставим эту функцию в уравнение (233):
Х{хУГЦ) = а2Х\х)ПГ) или 7τ(0=^Μ*
Видим, что после разделения переменных левая часть не
зависит от х, а правая — от /. Следовательно, обе части
равенства не зависят ни отх, ни от t, т.е, являются постоян-
ными.
Обозначим эту постоянную -λ2+
Г(0 _Х\х)^^2
ctnt) X{x)
или получаются два уравнения:
Г*(г) + Я2а2Г(/) = 0
Х*{х) + )?Х{х)^
Из этих уравнений находим:
T(t) -AcosXai + S sin λα*
г

196
Математика
Х(х) = Ccoslx + DsinXx-
Смешение и (х, t) примет вид:
u(xj) = (AcosXat + B$\nXat)(CcosXx + DsinXx).
Теперь положим х - 0. Получим
i*(0,0 = Mcos Xat + 5 sin Xai)C ^0.
Значит С=О,
Теперь положим х ~ L
u(lj) = (AcosXat + BsinKat)DsmXl = 0.
кл
Следовательно, sinXi =0 > XI -kn> λ =
Эти значения λ называют собственными значениями для
данной краевой задачи, а соответствующие им функции
X(x) = D$in — х —собственными функциями.
Итак, частное решение волнового уравнения, удовлет-
воряющее данным граничным условиям (234) и (2.35) име-
ет вид:
u(x,t)-(A'Dcos t + B*Dsin Г) sin — х-
Заменим AD - ak, BD - Ьк
, " , кка л + , . кла Л . кп
uk{xj)-{ak cos t + bks\n t)-sm—ж.
Сумма решений уравнения (2*33) также будет решени-
ем, так как это однородное линейное уравнение:
u{x,t)^2^uk{x,t)^2^{akcos~— i + bAsin—— 0-sixi—— х.
кМ Ы\ l It
Рассмотрим первое начальное условие (236):
Σ Jar
ак-$т—х.
Это разложение функции fix) в ряд Фурье по синусам.

Глава 2. Математический анализ
197
Следовательно, коэффициенту имеет вид:
. кпх
ак =jjf(x)sin——dx,k = U2%...
(2.38)
Коэффициент/^ найдем из второго начального условия,
которое олисвается уравнением (2.37):
A:=I ' '
kna
. кпх
Следовательно, bk =- f<p(.x)sin dx и
/ /J /
**=·
/ела
JW)
sin——ax.
(2.39)
Окончательный вид решения волнового уравнения (2.33)
имеет вид:
, ч тгу , кяа . . ктш ч . ки
u(x,t) = 2J(akcos'^t + bksm-—t)sm—х.
♦ Пример 2.134
Струна, закрепленная на концах х = 0, х = /, имеет в
4А
начальный момент / = 0 форму параболы и = -у х(1 - х)
(рис 2.20). Начальные скорости отсутствуют. Смещение то-
чек струны от оси абсцисс имеет вид ...
▲
Рис. 2.22. Струна, закрепленная tut концах

198
Математика
Решение:
Запишем начальные условия:
m(jc,0) = /(x) = ^jc(/-jc),
φ<*) = 0.
Найдем коэффициенты ак и Ьк ряда Фурье, определя-
решение волнового уравнения по формулам (2.38)
I.
. кях ,
ш ах-
кпх .
ющего решение волнового уравнения по формула
и (2.39).
2 г-, . кпх . 8Лг/; г.. кпх,
Ч = -J/(x)srn— ix = -3-J(Zx-xz)sm-—dx
о ' о' 2 '·—J-^
αν
= —r-(ix- jc )—cos
/3 kn I
\l 8Л r„ „ x
+ г- (/-2jt)COS
|0 *7C/2j0 /
-dr =
8Л r,. *π* ,
1 (/-2jc)cos—— ax =
ы\
8A ,. ^ v . /rftxl/ , 16Л r . Aroc ,
= , (/-2x)sm—- Г + , , \sm-—dx
k2n2l Ι ρ *V/J /
,ir' /лсх|/ 16Л , ,
"rfc=-?^(cos^-l)=
16A
^=0;A: = 1,2,...
При/г = 2л й^=0.
Окончательно
π" Йо(2л +1)3
(2л + 1)тю/ . (2/! + 1)π*
• cos sin - .
/ /

Глава 2. Математический анализ
199
2.4. Ряды
Ζ 4.1. Числовые ряды
Числовой ряд — это выражение вида;
й]+а2 + ... + а„+... (2.40)
Числа ανα2>,„>αη.., называются членами ряда. Они обра-
зуют бесконечную последовательность.
Общий член рада—это член ап с произвольным номером.
Сокращенно ряд обозначают следующим образом:
ее
Частичные суммы ряда — это суммы конечного числа
членов ряда.
S{=a]y S2-ax+av
Частичные суммы ряда образуют бесконечную последо-
вательность частичных сумм: S{7S2,S2,..., S^...
Сходящийся рад—это ряд, у которого последовательность
его частичных сумм имеет конечный предел при η -»«*>:
lim Sn = 5.
и—>«
Сумма ряда — это число 5, к которому сходится эта по-
следовательность частичных сумм:
Ряд называется расходящимся, если такой предел lim Sn
не существует или бесконечен.
4 Пример 2.135
Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов
геометрической прогрессии:

200
Математика
Причем \q\ < 1 +Данный ряд ...
Решение:
Подсчитаем:
с 1 2 n-\ qn-i i-qn i q*
sn=i + q + q2+... + qn ,=5—- = —*- = - f-
q-l l-q \-q l-q
Посмотрим, существует ли предел lim Sn:
η—>»
S=limSn=-^- (U<1).
Существует. Следовательно, данный ряд сходится.
♦ Пример 2Л36
Исследовать на сходимость ряд 1 + 1 + 1 + ,. . + 1 + ,..
Данный ряд ...
Решение:
Так как S -п и S = lim Sn = » щ
Ряд расходится.
♦ Пример 2Л37
Исследовать на сходимость ряд V ,
Данный ряд„.
Решение:
Очевидно,что = η-1,2, 3,.,.
л(л+1) η п + 1
Поэтому
2
2 3
i-iv+(i_jjli__l
3 4j ^ « + ij /z + 1
f 1 Ι
iim5„ = lim 1
= 1.
n-^tt я-»«1 η +1
Этот предел существует, и ряд сходится.

Глава 2. Математический анализ
201
♦ Пример 2,138
Сумма ряда 1 + — + — + - + ...+— + „, равна „,
2 4 8 2п
Варианты ответов: 1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 4.
Решение:
Члены данного ряда образуют геометрическую прогрес-
сию, знаменатель которой q = -. Тогда я-й частичной сум-
мой будет сумма η первых членов этой прогрессии.
-L-i
5=1 + - + -+-+... + — = 4 ·
"248 2" 1_{
2
По определению суммы ряда:
S= HmS„ = lim ^— = 2.
ft—i« Л—?w * |
2~
Или можно воспользоваться формулой из примера 2.135:
2
♦ Прнкер 2.139
Сумма ряда
^,1 111 ,1
+ + + ... + + ... равна...
^п(я+1) 1-2 23 3-4 я(п+1)
Варианты ответов: 1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 4.
Решение:
По определению частичной суммы имеем:
с 1 с 112
•>1=«1=2» 52=в]+й2 =- + — = -,
2 1 3
5ч = а, + а? + й3 = - + = -,
3 ' - 3 3-4 4'

202
Математика
с 3 14
4 ' " 3 4 4 20 5
Получаем последовательность частичных сумм:
112 1
г'г'4'5·"'
Эту последовательность можно представить в виде:
$.,-!, Λ.,.Ι+Ι.Ι., 1,
1 2' 2 2 3 3s
"~ 2+2 3 и п+\~ л+Г
Следовательно,
5 = ton S„ = limfl——1 = 1.
Или воспользоваться методом решения примера 2.137+
2.4.2. Основные свойства рядов
Остаток ряда после m-го члена или остаток т — это ряд,
полученный из ряда (2.40) путем отбрасывания конечного
числа первых гп членов.
e^i+«^2 + »-+<W + ··· (2.41)
Теорема А Если у сходящегося ряда отбросить конечное
число его членов, то полученный ряд также будет сходить-
ся. Верно и обратное утверждение: если сходитсяряд, полу-
ченный отбрасыванием конечного числа членов у данного ряда,
то и данный ряд также сходится.
Или можно проще сформулировать эту теорему:
Ряд/^аи сходится или расходится одновременно с лю-
бът своим т-м остатком.
Итак если сходится ряд
л=1

Глава 2. Математический анализ
203
то сходится ряд йт+\.~ + &п-\ +#„ + ...= ^#я, (2 41)
n=m+l
и обратно, если сходится ряд (2,41), то сходится и ряд (2.40),
Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбра-
сывание любого конечного числа его первых членов.
Теорема 2. Пусть ряд z^an сходится и его сумма равна S.
ее
Тогда ряд Х^ = сщ + са2 +.♦. + сап + ..., где с—произволь-
на ч '
иое число также сходится, причем его суммаравна cS.
Теорема 3, Пусть ряды 2^я и £* п сходятся и их сум-
оо
мы соответственно равны S} и S2. Тогда ряд Zj ^ -^п)-'
tt=l
={&\ ± t>i) + (а2 ± Ъ>1) + „■_ также сходится, причем его сумма
равна S{ ± Sr
2.4*3. Необходимый признак сходимости
Теорема 4. (Необходимый признак сходимости ряда).
Если ряд Z^an сходится, то общий член ряда ап стре-
мится к нулю при неограниченном возрастании η (при я -* «^.
ИтдЙ=0. (242)
Это условие является лишь необходимым, но не доста-
точным условием сходимости рада.
Следствие; Если общий член апряда (2,40), при п-**<>не
стремится к нулю, то такой ряд расходится.
Если lim ап Φ 0, то ряд V яЛ расходится. (2.43)

204
Математика
♦ Пример 2.140
Исследовать на сходимость рад, составленный из членов
бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем
|#| >1 и первым членом, аФО.
a + aq + aq2 +.„+aqn^] + ...
Данный геометрический ряд ...
Решение:
Расходится, так как \q\" > I для л = 1, 2, 3,..м т.е. qn не
стремится к нулю при η ->«»,
♦ Пример 2Л 41
Дан ряд У . Исследовать рад на сходимость.
^ 1000л+ 5
Ряд...
Решение:
Используем условие (2.42)— необходимый признак схо-
димости ряда.
Нт а„ - Нт
и^« n-^oolOOO/i-i-5
Этот предел должен быть равен нулю, если ряд сходит-
ся. Подсчитаем его.
Разделим числитель и знаменатель дроби на п.
lim ап - lim ~ .
«^w л_>№ £ ЮОО
л
Условие (2.43) выполняется. Следовательно, ряд расхо-
дится.
φ Пример 2Л42
Исследовать ряд на сходимость.
Ряд...

Гяава 2. Математический анализ
205
Решение:
Найдем lim ап - lim - = 1^0 — предел отличен от
нуля. Следовательно, данный ряд расходится.
♦ Пример 2.143
Исследовать рад на сходимость. Дан гармонический ряд
Рад... ^
Решение:
Ряд расходится.
Гармонический ряд является частичным случаем ряда
Дирихле.
Ряд Дирихле — это ряд вида
111
1 + — + — + ,,.+ — + ...
где ρ > 0. Этот ряд сходится при ρ > 1 и расходится при
Воспользовавшись условием (2.42), видим, что необхо-
димое условие сходимости выполнено lim ап - lim — = 0,
однако это необходимое^ но не достаточное условие сходи-
мости ряда. Докажем, что этот ряд расходится.
lim(52n ~Sn) = lim S2n - lim Sn = 5-S = 0, (2,44)
но S, -£„=-Ц- + - + ... + —> —- + J- + ... + _L =
2" " л + 1 и+2 2n 2« 2л In
11
=Й'2Г2'
т.е. 52n-5„>-.

206
Математика
Отсюда следует, что равенство (2.44) невозможно и, сле-
довательно, данный гармонический ряд расходится.
Таким образом, если общий член ряда стремится к нулю,
то окончательный вывод о сходимости ряда делать рано.
Необходимо дополнительное исследование с помощью до-
статочных признаков сходимости рада.
2.4.4. Признаки сходимости рядов
с положительными членами
Положительный рад — это ряд, члены которого поло-
жительны.
Пусть ряд (2.40) flj + а2 +... + ап +... будет положительный,
т.е. ап > 0 (л = 1,2,...). Тогда очевидно 5л+1 = Sn + дд+1 > Sn
(л = 1, 2,...), т.е. последовательность Slt S2,..*9 S является
неубывающей.
Теорема 5. Для того, чтобы положительный ряд (2.40)
сходился, необходимо и достаточно, чтобы последователь-
ность частичных сумм этого ряда была ограничена сверху.
Теорема 6.1-й признак сравнения рядов.
Пусть даны два положительных ряда:
« ее
а[ +а2 +- + <ь +... = £*,. и fy +&2 +... + £>„ +... = £/>„·
И для всех п, начиная с некоторого номера, выполняется
неравенство ап< Ь# т.е. члены одного ряда не превосходят
соответствующих членов другого ряда, то из сходимости
оо оо
ряда Zj^» следует сходимость ряда Σα»>α израсходимо-
оо се
стиряда£иап следует расходимость ряда 2j n -
При исследовании рядов на сходимость и расходимость
по этому признаку часто используется:

Глава 2. Математический анализ
207
► геометрическая прогрессия
a + aq+aq2 +,.. + aq" +_ (а > 0),
которая сходится при |#| < 1 и расходится при |#| > 1;
,11 1 ^1 1
► гармонический ряд 1 + - + - + .„ + — + .,.= >—, который
2 3 η ^η
расходится.
♦ Пример 2 Л 44
Исследовать на сходимость ряд Λ, г. Ряд ..,
Решение:
Сравним этот ряд со сходящимся рядом (пример 2Л 37).
J 1_
(л + 1)2 п{п+1)
Согласно теореме 6 получаем, что данный ряд сходится.
Имеем *——2<—~\\\ (и =1,2,3,...).
♦ Пример 2.145
Исследовать ряд на сходимость.
Дан гармонический ряд V . Ряд .,.
■ Й(я + 1)п+1
Решение:
Сравним этот ряд с рядом из членов ряда сходящейся
геометрической прогрессии:
1 1
Члены данного ряда не больше членов ряда сходящейся
геометрической прогрессии:
(л + \)η+λ 2"+1 ■
Следовательно, данный ряд сходится.

208
Математика
Теорема 7.2-й признак сравнения.
ОС ОО
Пусть Σα" w 2^6П — />яоы с полоэнгителъкылш члена-
ми. причем существует конечный и отличньш от нуля предел
СЮ ОО
lim ~л-, тогда ряды Σα* и 2^ " сходятся или расходят-
с я одновременно.
При использовании этих двух признаков сравнения час-
то сравнивают исходный ряд с соответствующим рядом
Дирихле. При этом часто используется эквивалентность
следующих малых последовательностей:
.11 .1 1 W1 1ч 1
sm — ~ tg — arcsin — ~ arctg — ln(l + —)-- —
η η η η η η
Φ Пример 2Л46
V 1
Исследовать ряд на сходимость. Дан ряд Zj~~^ (m < 1).
Ряд...
Решение:
Сравним члены этого ряда с членами гармонического
V1 11
ряда А,—, который расходится. Видим, что — S —. Сле-
£" η пт
довательно, данный ряд расходится.
Признак Даламбера
Пусть дан ряд Σ αη с положительными менами. Если для
этого ряда существует конечный предел lim -^ = р. то
и-*» ап
при ρ < 1 ряд сходится, а при ρ > ] —расходится. (При ρ = 1
вопрос о сходимости ряда остается нерешенным. В этом слу-
чае требуется исследовать ряд с помощью других. * temodoe.)

Гвава 2. Математический анализ
209
+ Пример 2.147
Исследовать ряд на сходимость. Дан ряд 2а~ · Ряд ...
Решение:
lim -^ = lim :— = lim = 0 < 1. Ряд сходится.
л-м» ап п-*» (п + 1)! л-»«»л + 1
♦ Пример 2,148
Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Да-
ламбера.
Дан ряд Σ—ТГ- ряД·.
л=1 *
Решение:
Преобразуем выражение ^п±1:
an^_(n^l)S^{ ^(п + 1)5 3n+1 _(n + lf З"*1 _
α„ 3"+wn5 η5 V2 л5 V2
5
-i-KI·
Ряд сходится по признаку Даламбера.
+ Пример 2Л49
Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Да-
ламбера.
Дан ряд Σ—. Ряд...
"=·
Решение:
о«*\ _ (я + *Г' "'· - ("+0*^ __"!_ _

210
Математика
(л + 1)"(« + 1) 12-3-
,," 1-2 3-...л(л + 1)
^T=i,+i~
п J V η)
lim -£±i- = lim 1 + — = е>1 (это 2-й замечательный
предел).
Исходный ряд расходится.
Признак Коши
Пусть дан ряд ^, Д„ г положительным членами. Если для
эжогя ряда существует предел lim ^/дл -q, то при q < 1
/?лс) сходится, а при q > 1 —расходится. (При ρ = / вопрос о
сходимости ряда остается открытым.)
♦ Пример 2.150
V 1
Исследовать ряд на сходимость. Дан рад >,— .
л*|!1Г(5 + л)
Ряд...
Согласно признаку Коши:
lim ?/я7 = lira J = lim = 0 «
„_>«,v „-*~ у in"(5 + „) „_и~ ln(5 + л)
Ряд сходится.
♦ Пример 2 Л 51
Исследовать рад на сходимость, применяя признак Коши.
I к+2?я+1
.Рад...
Дан ряд 2*
и-1
2л + 1

Гшма 2. Математический анализ
211
ν=»Γη+2Υ (п+2^
Решение:
Зя+1 , 1
л + 2
Зл+1 / . „ s^-^ , . „ v3+
2л + 1
2п + 1
lim^7=lim(^l-
п-»- я—»«-^ 2/1 +1 у
3+1 /t\»
2л + 1
8
Исходный ряд сходится.
Интегральный признак сходимости
оо
Пусть £jan —ряд с положительными членами, для ко-
торого существует положительная, непрерывная и монотон-
но убывающая на промежутке [1, + **>) функция f(x) такая,
что/(п) -а^ гдеп- I, 2, ...
Тогда ряд £^ап и несобственный интеграл \f(x)dx cxo-
дятся или расходятся одновременно.
♦ Пример 2.152
Исследовать ряд на сходимость.
2/4 3/4 //4
Решение;
Рассмотрим функцию /(х) = —, х > 1 — это непрерыв-
ха
ная, монотонно убывающая функция.
f{n) = следовательно, можно применить интег-
па
ральный признак.

212
Математика
f*Le Km Jf^-- Bm-!■*'-«
J лое д/^J ^α л^>-1~а
\м
= lira
Г 1
1-а
1-а il—«>
(М^-Г*)
1
1-а
1-ал/
limO/1"*-!).
У нас 1 -а < 0, т.е. а-1 > О
Следовательно, М[~а =——г —»(h
--1>0-
4
Μ
ос-1
Тогда [— = (0-1) = приа>1
/ 1-а а-1
(у нас α = — > 1) ряд сходится.
Задания для самостоятельного решения
300· Формула частичной суммы Sn имеет вид:
1 + 3 + 5+...+(2л-1)+...
Варианты ответов:
1)и; 2)п2; 3) л3; 4)0.
> Найти предел частичной суммы ряда 1™ Sn и сделать
вывод о сходимости или расходимости ряда
30L 1+3 + 5+.,. +(2«-1)+...
limSn = ... Ряд...
30Z 1+2 + 4+.„ + 2|И + ...
limS„ = ... Ряд...
п—>«>
2 1
303. £:
л=Г
Пт5„=... рад..
S3 2""1

Гяава 2. Математический анализ
213
304.1п2 + 1п- + 1п- + ... + 1п( 1 + -Х
2 3 "\ п)
Шп5д=... Рад...
► Исследовать ряд на сходимость, применяя 1-й признак
сравнения:
Зи.|.£Ж±1 .Ряд...
п=1 Я
,5"+1
306. Τ2_Л.Ряд...
^^ *)Л
л=1 *
т-Ыи ■'"■■■
► Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Да-
ламбера. Указать lim л+|
*л
308. Σ~.Ряд... lim^ = ...
309. Σ^-Ряд... lim^U...
оо ^Л
ЗЮ.ХтГ. Ряд... lim^±*- = ...
311. Ет^РяД- Iim^i±L = ...
f,l-4-...-(3H-2) β ,
312. Σ ^ .Ряд... lim =*± = .

214
Математика
► Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Коши.
Указать lim tfa^:
313. Σ 1 + _ ·ρ>ω··· Iima/i" = ...
Σ iTTT · Ряд... hra ^Γ = ...
Ряд... Iims/a7 = ...
314
315.
316,
V arcsm—
► Исследовать ряд на сходимость. Дан ряд:
"и5
318. Σττ7 · Рад · · 319. Σςτ ■ Рад
я=1'юя -- "~"^зл
-.Ряд..
320. Σ<^^.Ряд... 321. Σ
324.1^%· Ряд...
Ряд...;
325. Σ
(2л+1)!
^4"<5л+4)
1 3 5 ...(2/1-1)
л=1
5" л!
Ряд...

ГЬава 2. Математический анализ
215
2.4.5. Знакопеременные ряды
Знакопеременные ряды— это ряды, содержащие как по-
ложительные, так и отрицательные члены.
Пусть дан знакопеременный ряд:
Σαη=αΧ+α2 + ... + дл+... (2.45)
С каждым таким рядом связан ряд с неотрицательными
членами, составленный из модулей членов данного ряда,
т.е. ряд
Теорема & Если сходится ряд У\\ап\, то сходится и ряд
«с П=*
Σ<ν
Абсолютная сходимость: знакопеременный ряд называ-
ется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составлен-
ный из модулей его членов.
я=1
♦ Пример 2.153
) D5LQ 1-
2! 3! 4! л!
1 1 1 (-1)л+1
Доказать, что ряд ] + -к.. + -—-— + ... абсо-
лютно сходится.
Решение:
Ряд, составленный из модулей его членов
,111 1
1 + — + — + — + ... + — + ..,,
2! 3! 4! п\
является сходящимся, как рассматривалось выше по при*
знаку Даламбера, так как
/= !im^=lim —— = lim— = 0<1.

216
Математика
Свойства абсолютно сходящихся рядов
1. Если два ряда αλ +я: + ... + а„ +... = ^я„ nbl+b2 +
+... + Ьп +... = ^Г />„ сходятся абсолютно, то при любых α и
оо
β ряд V (α · ап + β· />„) сходится абсолютно.
2. Если ряд Q\ +аг +... + д„ +... = ]Гап сходится абсо-
лютно, то ряд, составленный из тех же членов, но взятых в
другом порядке, также сходится абсолютно и его сумма
равна сумме первого ряда.
Условная сходимость: Ряд ^ Д., =**i + <ь +... + о,, +... на~
зывается условно сходящимся, если он сходится, а ряд
2L г" I= г 1Г \а21+ * ·*+ г«I + ■ · ·, составленный из модулей его
членов, расходится.
Для ответа на вопрос об абсолютной сходимости ряда
σο оо
Zjan к ряду^гя! можно применять все рассмотренные
выше признаки, используемые при сравнении рядов с по-
ложительными членами.
Из расходимости ряда Σ\αη I Расх°яимость Данного ряда
я=1
Ой
Σα» ' вообще говоря, не следует.
Однако, если применить к ряду, составленному из моду-
лей, признак Даламбера (или признак Коши). получаем
предел:

Глава 2, Математический анализ
217
(или lim 5/|α J = / > 1), то в этом случае оба ряда: и исход-
ный Z^an , и ряд, составленный из модулей ΣΚΙ* — рас-
ходятся.
Знакочередующийся рад — это ряд, в котором положи-
тельные и отрицательные члены следуют друг за другом
поочередно.
Например, это ряд вида:
щ-а2+аъ-„. + {-\)п*{ап+„^ (2-46)
гдедра2,... ,ап> ...— положительные числа.
Для знакочередующихся рядов имеет место следующий
достаточный признак сходимости.
Признак Лейбница. Ряд (2,46) сходится, если его члены
монотонно убывают по абсолютной величине
а}>а2>а3>... >ап>.„
и общий член ряда стремится к нулю при η —> »: lim an = 0.
♦ Пример 2.154
Пользуясь признаком Лейбница, исследовать на сходи-
мость знакочередующийся ряд:
1_I+I_I+..+(_ir-I+...
2 3 4 V n
Этот ряд...
Решение:
Члены этого ряда монотонно убывают по абсолютной
till * - ^
величине I > — > — > — >,„ и общий член ряда при η —> «
2 3 4
стремится к нулю: lim ап = 0 . Ряд сходится.

218
Математика
Алгоритм исследования на сходимость
знакопеременных рядов
1 ♦ Исследовать на сходимость ряд, составленный из мо-
дулей членов данного ряда, используя какой-либо признак
сравнения.
2. Сделать вывод об абсолютной или условной сходи-
мости этого ряда.
3. Выяснить, сходится ли данный знакочередующийся
ряд, применяя признак Лейбница. Для этого:
► проверить, выполняется ли неравенство^ >йп^ для
абсолютных величин членов ряда;
► найти предел общего члена ряда.
4. Сделать вывод о сходимости данного исходного ряда.
♦ Пример 2Л55_
ряд на
Ση)"
Исследовать ряд на сходимость:
1
Λ=Ι 2л/л-Г
Решение:
1. Исследуем на сходимость рад, составленный из моду*
1
лей членов данного ряда ^йн =5/ г
*° 1
Сравним этот ряд с рядом ^—т= ♦ Этот ряд расходится,
я=]2л/п
так как расходится ряд ^-/= (как ряд Дирихле 2^— ПРИ
it-] VH лИ ПР
р = — < 1). Следовательно, по 1-му признаку сравнения рас-
1
ходится и ряд V —j=— .
2. Исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

Глава 2* Математический анализ
219
3. Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд,
используя признак Лейбница.
► Проверим выполнение неравенства ап > ап^ ;
1 1
2V/I-1 2л/л + 1-1
Данное неравенство эквивалентно неравенству
2Vn-l<2Vn+T-b
которое верно для любого л = 1,2,... Следовательно, нера-
венство выполняется для всех л
а*>ап+\ я =1,2,...
► Найдем предел общего члена ряда:
lim ап = lim —?=— = 0.
4, Таким образом, для данного знакочередующегося ряда
выполнены оба условия, содержащиеся в признаке Лейб-
ница. Это означает, что исходный ряд сходится. Однако
данный ряд сходится условно.
♦ Пример 2.156
Исследовать на сходимость ряд У (-1)* 1 —.
Решение:
1. Исследуем на сходимость ряд, составленный из моду-
ДО
У —
леи членов данного ряда, т.е. рад Zd ^n ·
Для этого используем признак Даламбера.
Найдем выражение
aH+xJn + l)-3\* + l 3"
*„ 3я*1-л η
и найдем предел этого выражения:
lim ^U lim
limii + i]
я-х»^ Л J

220
Математика
2. Ряд, составленный из модулей, сходится, а следова-
тельно, и исходный ряд сходится абсолютно.
Задания для самостоятельного решения
► Исследовать ряды на сходимость,
► Указать применяемые признаки,
► Указать: *
1) для необходимого признака lim an;
и—►*>
2) для 1-го и 2-го признаков сравнения — общий член
, ряда, с которым сравнивается данный ряд;
3) для признака Даламбера lim -^ ;
4) для признака Коши Um ^|awj.
«=i 3""1'
328. £(4f
1
*=, 3«-1-
329.
331.
<!=[
Σ<-
-1)"
-1)"
4
In"-
1η2
■т
In .
n+2
J
330S(_1)nsm«.
332·ςη>"£·
ft=] *
2.4.6. Функциональные ряды
Функциональный рад— это выражение вида:
со
Х«лМс«1М + И2(л) + ((, + «яМ + «. , (2,47)
где ufa), и2(х),.<~, uJtM>*.. — члены ряда — некоторая по-
следовательность функций отлг.

Глава 2. Математический анализ
221
Если в данном функциональном ряде (2.47) положить
х = х0, где х0 — некоторое число* то получим числовой ряд.
п=\
При одних значениях х ряд может сходиться, а при дру-
гих — расходиться.
► Функциональный ряд (2.47) называется сходящимся в точ-
ке х0, если при х = х0 он обращается в сходящийся чис-
ловой ряд.
Если же при х -xQ получается расходящийся числовой
ряд, то ряд (2.47) называется расходягцимся в точке х0.
Область сходимости функционального ряда— это сово-
купность всех значенийх, при которых ряд (2.47) сходится.
♦ Пример 2.157
Исследовать на сходимость функциональный ряд
2jc-1 1Г2х-1
+ -
Зх + 2 2
1
+ ... + —
η
2х-\
Зх + 2
Зх + 2
1. Вточкех-1 этот ряд...
2. В точке х- -2 этот ряд ...
Решение:
1. Подставим х = 1 и получим числовой ряд
-к..
1+1 I
5 2 5
+ "'+и 5
Применяя признак Даламбера, получим, что данный ряд
сходится.
lim
1
я + 1
( p"+
1Λ
-V-
л 5
1 1 " ] 1
= -hm - = -<1.
5л->«п + 1 5

222
Математика
2. Подставим х —2. Получим числовой ряд:
5 l(5f \(5Y
4 2(4J «^J.
Применяя признак Даламбера, получим, что данный рйд
расходится.
(
lim
4
ν/»+Ι Λ
я+1
-i-T
5,, /τ 5 ,
= - lim = ->l.
4n^°*n+l 4
♦ Пример 2 Λ 58
" x х2
Областью сходимости ряда
Χ
fJ-V
будет
Σλ . л л
— = 1 + — + — + .
Λ η* 11 21
Χ"
и!
Решение:
Применяя признак Даламбера к ряду У\~—> получим,
что для любого х\
и=0
**+1-п!
(л + 1)!У
= lim -
= 0<1.
Следовательно, ряд сходится на всей числовой оси.
♦ Пример 2 Л 59
Областью сходимости ряда
1 + (1-х) + (2-х)2 +(3-х)3 +.„ + (п-х)" +„.
будет...
Решение:
Общий член ряда при любом фиксированном^ R п-х > I
не стремится к нулю.

Глава 2. Математический анализ
223
Так как существует такое N для любого х, что при η > Ν
η -х > 1.
Ряд расходится на всей числовой оси.
► Из всех функциональных рядов наиболее распростра-
ненным на практике являются степенные ряды.
Стеленной рад— это функциональный ряд вида:
С»
^ап(х-х0)п = аъ+ щ(х - х$) + аг(х - х0)2 +
+ ...+ал(зс-х0)и+..., (248)
где д: — переменная, xQ — некоторое число.
Числаа0> л^ a9i ·.., α называются коэффициентами рада.
Если х0=09 то ряд примет вид:
ΣαΛΧ~Χθ)η =α0+α}Χ + α2Χ2 ±агх2„.+апхп +... (249)
Область сходимости степенного ряда— это совокупность
всех значений х? при которых ряд (2.48) сходится.
Радиусом сходимости степенного ряда (2,48) называется
число Л, если ряд сходится при |х - х$\ < R к расходится при
|х-х0|>Л.
Для ряда (2.49) это определение примет вид:
► при(х|<Л ряд сходится;
► при|х|># ряд расходится.
Интервал сходимости ряда (2.48) — это интервал (x^-R,
Если х0 ~ О, то интервал сходимости (-R; R). Если ряд
сходится на всей числовой прямой, то пишут R =«. Если
ряд сходится только при jc —0, то пишут R =0.
Радиус сходимости можно вычислить по одной из суще-
ствующих формул, если соответствующий предел существует.
R= lim
-Е-1 или R = iim —I*—■♦
4л+1

224
Математика
♦ Пример 2 Л 60
η
п ж^ X X' X' X X
Дан ряд у — = jc + — +— +— + ... + — + ...
,tl * 2 3 4 η
Радиус сходимости R равен ...
Варианты ответов: 1)0; 2) 1; 3) 2; 4) <».
Решение:
Здесь ап = —, ял+1 = г . Тогда
η л + 1
/?=lim^^=lim^i=liinil + il = L
Можно расширить эту задачу и определить область схо-
димости данного степенного ряда.
Интервалом сходимости будет (-1; 1), так как *0 =0. Ис-
следуем поведение ряда на концах интервала сходимости.
у(-1)"
Zj „ — это знакочередующийся ряд. Он сходится
по признаку Лейбница:
lim ап - lim — = 0, и модули членов ряда образуют убы-
1 1
вающую последовательность ап^ = < а - —.
л + l η
СО j
Подставим дг = 1. Λ- Этот ряд расходится.
Следовательно, областью сходимости данного ряда бу-
дет полуинтервал [-1; 1).
► Если функция^ -f(x) определена в некоторой точкед:0 и
имеет производные всех порядков в этой точке, то сте-
пенной ряд вида:

Глава 2. Математический анализ
225
+ ^Sl(x - х0)" +... = /(.х0) + £ £^1(х - х0 )■ (2.50)
называется рядом Тейлора для функции/(.х) в точке х0.
Если х0 = 0, то получается ряд:
/W = /(0) + mv + ^.v^.^^Jc4...(15i)
2! л!
который называется рядом Маклорена.
Алгоритм представления элементарной
функции в виде суммы ряда Тейлора (Маклорена)
1. Вычислить последовательные производные данной
функции в точке х = х0.
2. Составить ряд Тейлора (Маклорена) для функции,
используя формулу (2.50).
3. Определить промежуток сходимости полученного
ряда.
4. В этом промежутке ряд Тейлора (Маклорена) сходит-
ся к порождающей его функции/С*), если только все значе-
ния Дтф), /Х^о),.. .* f(n}(*o)· * - получаются непосредственной
подстановкой значения* =х0 в выражения для функции Дх)
и ее производных/^*),..„ fn\x).
Применяя этот алгоритм, найдем разложение в ряд Мак-
лорена для некоторых элементарных функций.
► Разложение функции f(x) = еХш-
При х = 0 получаем:
/'(0) = /'(0) -... = /(л)(0) = i.
2. Составим ряд Маклорена:
^=1 + £ + — + ... + — + ... (2.52)
1! 2! п\
8. За* W9

226
Математика
3. Найдем интервал сходимости ряда
R = hm —*- = hm - = +~.
^«+1
/I!
Вывод: ряд абсолютно сходится по всей числовой оси.
4. Покажем, что ряд (2.52) имеет своей суммой f(x) = e*.
Согласно необходимому условию сходимости ряда для
любого .х справедливо равенство:
lim^L = 0 и lim-Ш— = 0.
■(л + 1)!
lim /?л(-х) = 0 при любом х.
При /I -
Следовательно, функциям* является суммой ряда (2.52).
Таким образом, при любом х имеет место:
2 3 П оо η
ν , X X X
е = 1 + х +— +— + ... + — + ...
2! 3! л!
= £— (-оо <*<+«>)
Я=0
► Вьтолним подробно по алгоритму разложение в ряд
Маклорена функции f(x) = sinx.
/'(A*) = cos.x = siiJ
π
x + —
1
/*(-*) =-sin* =
= sira -x+ 2· —
Λ 2j
Полагая л =0, получим:
Д0) = 0. /'(0) = 1.
/'"(0) = 0. /'"(0) = -1,
/<4>(0) = 0...

Гяава 2. Математический анализ
227
2. По формуле (2.51) для функции sinx составим ряд Мак-
лорена:
хъ х5 х1 {-\)пх1п+х
X + + ... + - + ...
3! 5! 7! (2л+ 1)!
3. Определяем промежуток сходимости. Исследуем оста-
точный член ряда:
,<К1
КИ<-
(и+1)!
lim-Ы—= 0.
л-»~(л + 1)!
Следовательно, lim Λ„(λ*) = 0 при любом .v.
4. Это означает, что функция sinx является суммой ряда
и имеет место разложение
jc3 х5 х1 (-Ι)"*2"*'
sin х = jc + + ... + -—- +...=
3! 5! 7! (2л+ 1)!
(-l)njt2n+1
я=0 (2n + i)! <-<*<+~)·
Аналогично выводятся следующие формулы:
, х2 jc4 (~1)ядг2/| ^(-1)"*2"
2! 4! (2л)! „to (2п)!
(^о < .V < +оо);
> (l + x)m =l + mx + —- -;Г+...
2!
+ ... + — —- -У+... (-1<_т< 1);
л!
► = 1 + .γ + .ν2+...+ *" + ... (-1 <.ν< 1);
1-х
β*

228
Математика
> ln(l + x)=jc^ — + — -... + <—Ι)"*1—+—=
2 3 η
"2, η н<*<в.
η=\ η
Задания для самостоятельного решения
333- Исследовать на сходимость ряд
Σ" $тп2х sin л: sin22x smn~x
Λ=Ι η г 2 «
Ряд...
334· Областью сходимости ряда
> — = 1 + —+ ^=- + .., + — + „. будет —
335* Радиус сходимости степенного ряда ΣηΧ равен.,.
и=1
Варианты ответов: 1) 1; 2) 2; 3) 8; 4) »,
™ (х — ПЛ
336· Радиус сходимости степенного ряда V - —
равен...
Варианты ответов: 1)1; 2) 2; 3) 10; 4)».
» 2
337· Радиус сходимости степенного ряда Υ—У
^Jin + l)!
равен...
Варианты ответов: 1)0; 2) 1; 3) 10; 4) »,
сю
338· Радиус сходимости степенного ряда
п=14
равен...
Варианты ответов: 1) 1; 2)3; 3)4; 4)».

Глава 2. Математический анализ
229
339. Область сходимости степенного ряда ^-
это.
— „2
340. Область сходимости степенного ряда
_£±1 + (^_(*±£ + ...+НГ(2Е±!£. + ..._это..
2 2·22 3·23 η·2"
341. Область сходимости степенного ряда
Зх + 3Ах4+39х9 + ... + 3"2х"2 + ...—это...
► Разложить в ряд Маклорена:
342. /(х) = е-х* ;
343. /(х) = 1п(1-2х);
344. /(а) = cos2 х.

Зйаээ
Основные
численные методы
3.1. Численное интегрирование
Не все, даже сравнительно простые функции, могут быть
проинтегрированы с помощью элементарных функций.
С другой стороны, определенный интеграл от непрерывной
функции >> =/(.v) обязательно существует. Поэтому важное
значение имеют методы приближенного вычисления опре-
деленного интеграла. Изложим самые простые и очевид-
ные из этих методов, а затем рассмотрим вопрос об оценке
погрешности.
b
Речь вдет о вычислении интеграла \f{x)dx, где a < b.
a
Определенный интеграл будем вычислять как площадь кри-
волинейной трапеции.
JW--
3.L1. Формула прямоугольников
Самый простой, но и са-
мый грубый метод прибли-
женного вычисления интегра-
ла, когда площадь криволи-
нейной трапеции заменяется
площадью прямоугольника
(рис. 3.1).
Тогда для вычисления ин-
теграла получаем прибли-
женное выражение:
j/lx)dx-hy0.
i
а
fi*\
' f S ' / / ' s s ' л
/ / // -' / / ■ / /
1///У//////,
/////■"///-
μ * Л
Ь ~х
Рис. 3.1

Глава 3. Основные численные методы
231
Здесь Л — ширина интервала, у0 — значение функции,
вычисленное в нижнем пределе интегрирования.
В общем случае, если интервал [а. Ь) не является малым,
то промежуток от а до b разбивается на η равных частей
длины А =
Ь-а
и для точек деления л-0, х[щ х,,.
хп вычис-
ляются значения интегрируемой функции>>=/и).Считаем,
чтох0=а ихп = Ь (рис. 3.2). Площадь криволинейной трапе-
ции заменяется суммарной площадью полученных прямо-
угольников.
Рис. 3.2
В этом случае для вычисления определенного интеграла
получаем приближенное выражение (формула прямоуголь-
ников):
\/(х)ах~Куъ+ух+^ + уп_х). (3.1)
а
Вычисленное значение тем точнее, чем больше/?. Оценка
погрешности при вычислении по формуле прямоугольни-
ков определяется выражением:
R<-\fLA*i'(b-a)'h
(3.2)
Где л- е [а, Ь]% а |/^ (jc)| — максимальная величина абсо-
лютного значения первой производной во всем интервале
и;ггегрирования.

232
Математика
Причем lim R = О .
η—*=«
Вычисление определенных интегралов численными ме-
тодами на практике проводится с помощью ЭВМ. При этом
формулу погрешностей (3.2) не используют, а проводят
расчеты, последовательно уменьшая шаг Л: т.е. при Л, —,
h 2
—,... до тех пор, пока результаты расчетов практически пе-
рестанут изменяться.
♦ Пример 3.1
Вычислить по формуле прямоугольников определенный
интеграл | —. Оценить погрешность вычислений.
Решение:
Положим η = 10, т.е. разбиваем интервал интегрирова-
ния от 1 до 2 на десять равных частей.
А = ^=—i- = 0,1.
10
Вычислим значение функции в точках разбиения:
*о=1 >'о= —= т~1
х0 1
л-,=1Л η= —= — = 0.90909
.ν, U
.v, = U у-, = — = — = 0,83333
' х2 U
.ν, = 1.3 v3= —= — = 0.76923
*з U
л-4 = 1.4 >'4 = — = -г- * 0.71429
.v4 1,4

Гяава 3. Основные численные методы
233
х5 = 15 у5 = — = — = 0,66667
^6=1.6 у6= —= ^- = 0,625
л-6 L.6
л-7=1,7 у-, = — = 1 = 0,58824
Χη 1,7
-ν8=18 ^= J-= -L=0.55556
Ч 1^8
л-9=1,9 ^= — = i- = 0,52632
х<) 1,9
Сумма = 7,18773.
По формуле (3.1) получаем:
'•Л
Г—= 0,1-7,18773 = 0,718773.
i *
Полученное значение больше истинного, так как кривая
у = — обращена к оси .* своей выпуклостью.
X
Вычислим остаточный член по формуле (3.2). Для этого
предварительно определяем первую производную подын-
тегральной функции:
i/'wi4-
л-
Она представляет собой убывающую функцию и, следо-
вательно, принимает максимальное значение при меньшем
х из заданного интервала 1 J л* J 2, т.е. при х = 1:
1/;ах(-Ф1/'(1)1=^=1.
Подставляя в формулу (3.2), окончательно получаем:
/? < — -1 1 0,1 = 0,05.
2
Ошибка округления существенно меньше полученного
R и, следовательно, ее можно не учитывать.

234
Математика
Окончательно получаем:
"f—* 0.72 ±0,05.
Ι *
Вычисленное по методу прямоугольников значение оп-
ределенного интеграла оказалось достаточно грубым. Для
получения более точного результата следует уменьшить шаг
разбиения. Расчеты, выполненные методом прямоугольни-
ков при —, рассмотрены в примере 3.2.
♦ Пример 3,2
Вычислить по формуле прямоугольников определенный
интеграл (пример 3.1) | — , уменьшив шаг разбиения в
I Х
2 раза. Оценить погрешность вычислений.
Решение:
Согласно условию шаг разбиения А = — ~ 0,05 (см. при-
мер 3.1). Вычислим значение функции в точках разбиения:
а, =1,05 л =± = -1- = 0,95238
Xj Ц05
■v, = l,l >'2= — = -i--0,90909
х2 Ц
хл = Ц 5 )\ = — = — * 0,86957
ху U5
л-4 =1-2 .v4 = — = — = 0,83333
*4 12
AS=U5 v5= —= -±- = 0,8
х$ U5

пава 3. Основные численные методы
235
*6=tf л = — = π = 0,76923
-ν6 ЦЗ
.v7=U5 Ут= — = -[- = 0,74074
х-, 135
х8=14 Л= — = -^-«0,71429
*8 14
х9 =1,45 >'9 = — = 777 = 0,68966
jc9 1,45
-ν,ο=14 Λθ= —=T7s0'66667
л„=155 уп =-L = -i--0,64516
-ν,2=16 ^,= — = -1 = 0,625
.ν,, = 1,65 у, з = — = 4- « 0,60606
A"i3 1,9 J
-х,4=1Л ,14=_L = -U 0,58824
Л) 4 I,'
.v15=U5 ^-J-.-l--057143
*15 М->
л,6=Ц8 У16= — = — «0,55556
л-17=1,85 M7=_L = -L- 0,54054
λ*17 L,oj
.х,8=Ц9 >l8=-i- = -l = 0,52632
x18 U9
Сумма =
14,11609.

236
Математика
По формуле прямоугольников (3.1) получаем:
f — = 0,05 · 14 J 1609 « 0,70580.
* X
] х
Для оценки погрешности вычислений используем расче-
ты, выполненные в примере 3.1. Учитывая, что А = 0,05 и
получаем
R<l-\fLM(b-a)-h,
Λ<-·1·1 0,05=0,025.
Значение абсолютной погрешности уменьшилось в 2 раза.
X
Решение определенного интеграла Г— можно получить
^ х
аналитически:
J— = ta|*f = 1п2 -Inl = 1η2 - 0,69315.
Сравнение аналитического решения с численным позво-
ляет сделать вывод, что численное решение интеграла, вы-
полненное в примере 3.2, где число разбиений увеличено
вдвое, является более точным.
Дальнейшее увеличение числа разбиений (уменьше-
ние Λ), очевидно, повысит точность численного решения
определенного интеграла.
♦ Пример 33
По формуле прямоугольников вычислить \4xdx% раз-
бив интервал интегрирования на десять равных частей. Оце-
нить погрешность вычислений.
Решение:
Здесьл=10, Л = —= 0J.

Пива 3. Основные численные методы
237
*o = i jo=V*o =Vi = i;
*i=U >Ι = >/^Γ = VU = 1,0488;
х2=1Л уг= V^ = >ДД = 1,0954
jc3=U Λ=λ/^ = λ/^=14402
*4=Μ ^=^ = ,/^4=14832
λ·5=1,5 >'5 = V^T = λ/^5 = 1Д247
*6=tf y6= 7^б=т/16 =12649
*7 = Ь7 ^=7^7 = 717 = 13038
*8=18 J>'8=V^ = VU8=13416
*9=1,9 >-9=7i = Vi^=U784.
Согласно (3.1):
2
JV*</x «04(1 + 1,0488+1,0954+14 402+14832 + U247 + U649+
I
+1,3038 + Ц3416+U784) = 04 11,981=Ц98.
Оценим погрешность вычислений. Определим, предва-
рительно, модуль наибольшего значения первой производ-
ной функции на интервале интегрирования [1,2]:
Наибольшее значение /'(х) принимает в точкех=1.
/'(i)=|=>|/^(*)|=f
По формуле (3.2) имеем:
«<^-|/;ax(-t)|(*-fl)A = iil0,l = 0,025.
Окончательно получаем:
2
JVxdc = lJ 98 ±0,025.

238
Математика
Вычислим для сравнения заданный интеграл по форму-
ле Ньютона-Лейбница:
2 i
JJj«fr = Jx5<fc = -.r3
/ 3
3>|
22_12
= -(2Л-1)«1219.
1 I
Таким образом, значение определенного интеграла, вы-
численное по формуле Ньютона-Лейбница, попадает в ука-
занный интервал:
2
|л/х^с = Ц98±0,025.
312. Формула трапеций
В данном методе приближенного вычисления определен-
ного интеграла площадь криволинейной трапеции заменя-
ется площадью прямолинейной трапеции (рис. 3.3). Оче-
видно, что при той же затрате труда на вычисления полу-
чим более точный результат, чем при замене площади кри-
волинейной трапеции площадью прямоугольника.
У1
Рис.33
//и^-^о+Л)
(3.3)

Гвава 3. Основные численные методы
239
Остаточный член (ошибка) формулы (3.3) не превышает
значения:
где \/^x(xl\ — максимальное значение абсолютной вели-
чины производной второго порядка во всем интервале ин-
тегрирования.
В общем случае, если интервал интегрирования не мал,
его делят на η равных частей [л0, хх]9 [*,, х2],..., [х^{, х J и к
каждому из них применяют формулу трапеций (рис. 3.4):
\f(x)dx = -(yQ+y[) + -(yl + y2) + ... + -(yn-i+yn)
или
]f(x)dx = h
γ + Λ+Λ+··· + Λ-Ι+γ L (3.5)
Ошибка формулы трапеций для каждого малого интер-
вала определяется формулой (3.4). Суммируя все эти ошиб-
ки, получим, что абсолютное значение остаточного члена
формулы (3.5) не превышает значения:
R±~\fLM- (3.6)
Рис. 3.4

240
Математика
♦ Пример 3.4
Вычислить по формуле трапеций определенный интег-
рал Г—. Оценить погрешность вычислений.
1 *
Решение:
Так же, как в примере 3.1, положим г? = 10. Воспользуем-
ся вычисленными в примере 3.1 значениями функции в точ-
ках разбиения. По формуле (3.5) найдем значение опреде-
ленного интеграла:
ffk = од.Π . 1+0>9о909+0,83333 + 0,76923 + 0,71429 +
\х [2
1 О
+ 0,66667 + 0,625 + 0,55556+0,58824 + 0,52632 + - —
2 2/
= 0,69377.
Оценим погрешность вычислений. Полная погрешность
R0 складывается из погрешности арифметических действий
Л' и остаточного члена /?.
1=0
где А{ — коэффициенты формулы трапеций; ε — макси-
мальная ошибка округления значений подынтегральной
функции.
l? = hnE = 0X 10 0Л 10 5 =0^ 10"5.
Остаточный член оценим по формуле (3.6), предваритель-
но определив максимальное значение второй производной
функции на заданном интервале интегрирования.
X
™&Н

Глава 3. Основные численные методы
241
9
\f (Л')( - — —убывающая функция, на интервале 1 <х<2
наибольшее значение имеет в точке л = 1.
!/'И = /'(1) = 2.
По формуле (3.6) получаем:
12
I? существенно меньше Л, поэтому можно считать RQ ~ Л.
С учетом точного решения заданного определенного
интеграла (см. пример 3.2), абсолютная погрешность чис-
ленного интегрирования методом трапеций:
0,69377 - 0,69315 = 0,00062 < Л.
♦ Пример 3.5
Вычислить интеграл J -Jxdx по формуле трапеций, при-
няв шаг разбиения равным А = 0,1. Оценить погрешность.
Решение:
Воспользуемся вычисленными в примере 3.3 значениями
функции в точках разбиения. Дополнительно определим
)\0 = V2 «1,4142 .До формуле трапеций (3.5) получаем:
ь
jf[x)dx = h·
(Уо±М + У]+У2+^У9
jyfcdx = 04 .fi±Mi*2 + 104g8 +10954 + Ц402 + 1Д832 +
+ L2247 + U2649 + 13038 + U416 +13784)= U188.
Определим модуль наибольшего значения второй про-
изводной функции /(х) = >/л на интервале интегрирова-
ния [К 2].

242
Математика
/'(*) =
2^'
( I Л
1
2
V
J
1 -Ι .
= —-х =—г=.
J7
функция убывающая, следовательно,
на интервале [1,2] максимальное значение имеет в точке* = I:
По формуле (3,6) имеем:
WF 4
1очад1.1^00002
12 4
2
Итак, ^4xdx=\2188 ±0,0002 .
3./.J. Формула Симпсона
и ее остаточный член
Рис. 3.5
Значительно более точ-
ные результаты получаются,
если площадь криволиней-
ной трапеции заменяют пло-
щадью полосы, ограничен-
ной сверху не прямой лини-
ей, а дугой параболы, про-
ходящей через три точки
кривой с абсциссами а, х, =
= я + йи6 = а + 2Л(рис. 3.5).
Значение определенного
интеграла вычисляется по
формуле:

Тмяшл 3. Основные численные методы
243
jf(x)dx = l(yQ+4yi+y2). (3.7)
Л
Формула (3.7) носит название формулы Симпсона.
Абсолютное значение остаточного члена формулы Симп-
сона не превышает значения:
1/<
^~\fZ\ (3.8)
^max — модуль максимального значения четвертой
производной от функцииДт) на интервале интегрирования
[а,Ы
Формула Симпсона является более точной по сравне-
нию с формулой прямоугольников и формулой трапеций.
В общем случае, интервал интегрирования разбивается
на η = 2m четное число равных частей и к каждому удвоен-
ному промежутку [xQ, jc2], [x2, .xj,..., [x^-v xid дайны 2Λ
(рис. 3.6) применяют формулу Симпсона:
a h h
а
Приводя подобные слагаемые, получаем общую форму-
лу Симпсона:
\/(x)dx = -[(>>0 + у1т )+Цух + у3 +...+у1тА) +
* (3.9)
+ 2(>'2+^4+- + >'2т-2)]·
Сумму нечетных значений функции обозначим σ,:
°\=Ух + Уз + ...+у2„-1>
а значений функции с четными индексами —σ,.
σ2=Λ+^4+· +У2П-2-
J/<

244
Математика
Тогда формула (3.9) примет вид:
а
У=/(х)
(ЗЛО)
Рис. 3.6
Ошибка формулы Симпсона (3.10) на каждом удвоен-
ном промежутке [х^ 2, jc^L где к = 1,2,..., т, определяется
формулой (3.8). Суммируя все эти ошибки, получим абсо-
лютное значение остаточного члена общей формулы Симп-
сона в виде:
RZ
-/max I "~ , ηΛ Umax
•UV)
(b-a).
(ЗЛ1)
90 1"ттл I 180
Отметим, что выражение погрешности в виде определен-
ной формулы имеет скорее теоретическое, чем практичес-
кое значение, так как обыкновенно дает слишком грубый
предел.
В ряде случаев отыскание четвертой производной подын-
тегральной функции оказывается затруднительным. В та-
ких случаях для оценки погрешности вычисления интегра-
ла jf{x)dx по формуле Симпсона при выбранном шаге
d
разбиения Λ = ♦ если л = 4А, применяют специальный
η
прием, называемый методом удвоения шага вычислений.

Гяава 3. Основные численные методы
245
Вычисляется приближенное значение данного интеграла
по формуле Симпсона, в которой принять А = . Назо-
Ак
вем найденное значение интеграла У,. Далее шаг Л удваива-
ется, и вычисление по формуле Симпсона проводится для
. Ь-а
шага Л = ——; вновь наиденное значение интеграла обо-
л* К
значим JT Погрешность второго вычисления приблизитель-
но в 16 раз больше погрешности первого, и обе погрешно-
сти имеют одинаковый знак. Поэтому погрешность перво-
го вычисления (при шаге h = ) можно приблизитель-
но определять по формуле:
1 15
Такой способ называют оценкой погрешности формулы
Симпсона по методу удвоения шага вычислений.
Применение вышеописанного метода проиллюстрирова-
но в примере 3.8.
♦ Пример 3,6
Вычислить по формуле Симпсона определенный интег-
rdx
рал I —. Оценить погрешность вычислений.
. х
Решение:
Вычисление значений функции у = — в точках разбие-
х
ния подробно рассмотрено в примере 3.1. Определим сум-
му нечетных значений функции σ,:
x,=U У\ = — = ^-0,90909

246
Математика
.r3=U л =-!_ = !. = 0,76923
.r3 13
х5=\5 v5 =± = ± = 0,66667
л-5 15
Χη = 1,7 v7 = — = — » 0.58824
'. *7 1,7
x9=l,9 y9 =± = ± = 0,52632
x9 1,9
Сумма σ, = 3,45955.
Сумма значений функции с четными индексами:
х2=12 .у, =± = ± = 0,83333
х4=И ,4 =± = ± = 0,71429
л-4 1,4
х6=1,6 Уь =± = ± = 0,625
.ν6 1,6
х% = 18 ν8 = ± = — » 0,55556
*8 1,8
Сумма σ2 = 2,72818.
>O= ]' >Ιο=0*5·
По формуле Симпсона (3.10) получаем:
tdx h.. . . _ .
J — = τ·[(>'ο + ν,0)+4σ, + 2σ2 ] =
Ι Χ
= y(l+ 0,5+ 4-3,45955+ 2 -2,72818) = 0,69315.
Оценим погрешность вычислений. Остаточный член, со-
гласно (3.11), равен:
90 !/тах I'

Глава 3. Основные численные методы
247
В данном примере т = 5, h = ОЛ · Определим модуль мак-
симального значения четвертой производной:
1_
х2'
( 1
Пх) =
х
Т'
(2
х
"IF
f(,V\*) =
\
( 6
ν хА)
μ шах
г(ГУ)
\ГК'УЩ
X
= 24,
24
5'
R<
5-Of
90
•24 = 0,00001.
Погрешность арифметических действий (см. пример 3.4)
не превышает
од,
1-5=1
/f=^(2 + 4 5 + 2-4) 0,5-10° =0,5ΙΟ"5,
Ло=Д + Л' = 10~5+0,5-10~5=1,5-10"5-
Аналитическое решение заданного интеграла (см+ при-
мер 3.2):
f—= 0,69315.
Таким образом, вычисленное по формуле Симпсона зна-
чение определенного интеграла совпадает с его аналитиче-
ским решением вплоть до пятого десятичного знака.
♦ Пример 3.7
Вычислить интеграл \yfxdx по формуле Симпсона с
точностью до 0,00 i.

248
Математика
"^W"'·
Решение:
Определим, прежде всего, шаг разбиения, необходимый
для достижения заданной точности. По формуле (3.11)
имеем:
А4
180
Определим максимальное значение модуля четвертой
производной:
/(.v) = VI; /'(.v) = -i=; Я*) = —т-г;
2V.X 4Vx3
8Vx5 l6Vx7
На отрезке [1,2] максимальное значение l/"max )(·ΥΛ име"
етвточке.х= 1:
Κ™*>(ν)Γ16·
Поэтому R< 1 —.
180 16
Потребуем, чтобы эта погрешность была меньше 0,001:
«.4
-^-< 0,001; Л4 < 0J 92; Л < 0,66.
Примем h = 0,5, т.е. интервал интегрирования разобьем
на две части. Вычисления произведем с одним запасным
знаком.
л-0=1 j^o = Vl = 1;
л%=К5 ^=1,2247;
*з = 2 v3 =1,4142.
По формуле Симпсона (3.7) имеем:
|Vx</.x =~(1+4-Ц247 +1,4142) = 1,2188.
I

Глава 3, Основные численные методы
249
Округляя последний знак, получаем значение интеграла
по формуле Симпсона:
2
JVxdx-1^19.
I
Сравнивая со значением интеграла, вычисленным по
формуле Ньютона-Лейбница (см+ пример 3.3), видим, что
эти значения совпадают с точностью до третьего знака пос-
ле запятой.
♦ Пример 3.8
2
dx
Вычислить по формуле Симпсона Г , приняв η = 8.
Вычисление вести с шестью знаками после запятой- Оце-
нить погрешность полученного результата, пользуясь спо-
собом удвоения шага вычислений. Сравнить результат с
истинным значением интеграла, взяв последнее с одним за-
пасным (седьмым) знаком.
Решение:
Определим шаг разбиения:
в . 8
Вычислим значения функции в точках разбиения:
*о=1 ^=^ = 0333333;
х. = Ц25 л = « 0,320000;
1 . 7λ 2+Ц25
х = 1,25 у, = —— = 0,307692;
2 - 2 + 1,25
хг = 1,375 Уъ = -Л я 0,296296;
2+1,375
jc4=1,5 Λ = ^-р 0,285714;

250
Математика
л5 =1,625 у$ =-——«0,275862;
Ζ -f- 1,о/Э
X6=U75 УЬ = —— «0,266667;
i+ 1,0
x7 = 1,875 v7 = 1 » 0,258065;
'7 2+1,875
Подставляем эти данные в формулу Симпсона (3.10):
А = -j[vO + У% +4Oi + Уъ + У$ + Л) +2(й + ^4 + 7б)]»
7, = ^^[0333333+0,25+4(0,32 +0Д96296 + 0,275862 +
+ 0,258065 + 2(0,307692 + 0,285714 + 0,266667})« 0,287682.
Вычислим интеграл по формуле Симпсона, удвоив шаг
разбиения, т.е. при А, = 0,25.
fa
У2 = —[0,333333 + 0,25 +4(0,307692 + 0,266667) +
+ 2-0,2857143 = 0,287683.
Отсюда
&/ = А^А β _ο оооооообб.
1 15
Таким образом, все шесть знаков интеграла Jλ должны
быть точными. Истинное значение интегр&лй вычислим по
формуле Ньютона-Лейбница, сохраняя семь знаков после
запятой:
запятой:
2
с их 1 ,2 4
J = = In2 + х\\ = in4 -1η3 - In- ^0,2876821.
J 2 + х ! } 3
Сравнение значений ^ с J подтверждает найденный ре-
зультат,

Глава 3. Основные численные методы
251
3-2. Численное дифференцирование
В ряде случаев возникает необходимость найти произ-
водные от функции у =/(*), заданной таблично. Возможно
также, что непосредственное дифференцирование функции
оказывается слишком сложным в силу особенностей ана-
литического задания функции. В этих случаях прибегают к
приближенному дифферет(ированыю.
Для вывода формулы приближенного дифференцирова-
ния данную функцию f(x) заменяют интерполяционным
полиномом Р(х) и полагают:
f(x) = Р'(х) на отрезке [а, Ь].
Погрешность интерполирующей функции Р{х) опреде-
ляют разностью: R(x) -fix) - Р(х), тогда погрешность про-
изводной F (х) выражается формулой:
г(дг) =/rix) - -P'Cjc) = JT(jc).
Получим формулы приближенного дифференцирова-
ния, основанные на первой интерполяционной формуле
Ньютона.
Пусть функция;/ =/(.v) задана в равноотстоящих точках
xi (i = 0,1 · 2,..., л) отрезка [а, Ь\ Функцию у приближенно
заменим интерполяционным полиномом Ньютона:
q(q-l)(q-2)(q-i) 4 + (3.12)
4!
Здесь q = £·, Л=.х/+| -х. — шаг интерполяции.
я
&у0 — первая конечная разность:
Δν0 = Δ/"(Χ0) = f(x0 + Л) - /(л0).
Δ2 ν0 — вторая конечная разность: Δ2.ν0 = Δ(Δ;'0).
Δ" γ0 — конечные разности высших порядков:
Δνο=Δ(Δ"-4)-

252
Математика
Производя перемножение в формуле (3.12) и раскрывая
факториал, получаем:
* Я ~Ч .' Я' ~Зо +2<7 дз
+ ^-^+11,'-6,д, (3.-3»
1·2·3-4
.. , rfv rfv da \ dy ,
Учитывая, что ^ =-г = -г*-г"=:т,' получаем фор-
dx dq dx h dq
мулу приближенного дифференцирования:
, 1ГА 2q-\ A2 3<72-6g + 2A3
у =г[Ду0ч>^—Δ2ν0+ * * Δ3ν0 +
л 2 о
2^-V+ 11^-3 А4 , (314)
Аналогично для второй производной:
dx dq dx h dq
h 1^
Таким же способом можно вычислить производную лю-
бого порядка.
Если функция задана таблично и значение производной
нужно вычислить в узловых точках хр то каждое таблич-
ное значение принимают за начальное л* = xQ и тогда q = 0.
Формулы численного дифференцирования сушественно
упрощаются. Полагая в формуле (3.14) q = 0, получаем:
/-i<4*-^Uik-ik+_). (3.16,
Для второй производной:
/ = -V(A2^^A3j;0+11a4v0 -...). (3.17)
/Г 12

Глава 3. Основные численные методы
253
Опустим теоретический вывод и приведем конечную фор-
мулу для вычисления погрешности производной:
R{Xo)~ Α·(* + 1) '
где£—это максимальный порядок конечной разности, вхо-
дящей в интерполяционный полином Ньютона Р{х).
В формулы численного дифференцирования входят ко-
нечные разности разных порядков функции у =/(*). Рас-
смотрим подробно на примере вычисление конечных раз-
ностей некоторой функции.
♦ Пример 3.9
Построить конечные разности для функции Р(х) - х3>
полагая шаг равным единице: h = 1.
Решение:
Первая конечная разность функции Р(х):
AP(x) = P(x + h)-P(x);
АР(х) = (х + 1 )3 - х3 = х3 + Зх2 + Зх + 1 - х3 = Зх2 + Зх + 1 ,'
Вторая конечная разность функции Р(х):
А2Р(х) = А[АР(х)];
A2P(x) = [3(x+l)2+3(x+l)+\)-(3x2 + 3x+l) = 6x + 6.
Конечная разность третьего порядка:
АгР(х) = А[А2Р(х)];
А*Р(х) = [6(х + 1) + 6] - {6х + 6) = 6.
Конечная разность четвертого порядка:
A*P{x) = A[A*P(x)]\
Д4/>(х) = 6~6 = 0.
Все конечные разности порядка выше четвертого также
равны нулю: А"Р(х) = 0.
Справедливо общее утверждение: если полином
P(x) = uqx" +щхп~1 +.·.+ αΛ
является полиномом п-й степени, го конечная разность
/ьго порядка — постоянная величина:

254
Математика
АГР(х) = const = n\a^hn. (3.18)
Конечные разности порядка выше, чем л, равны нулю.
В случае табличного задания функции .У -fix) для систе-
мы равноотстоящих точек х. (/= 0, 1, 2, 3, ...X где Δτ, =
= .v/+] - л-; = Λ = са/ш, конечные разности определяются по
формулам:
Л2у,- = Δ(Δ#) = Ауы - Δν,-,
ΔΛΛ-Δ(Δ-1.ν/) = ΔΙ,-1Λ+Ι-ΔΙ,-1Λ-
(ЗЛ9)
Вычисленные конечные разности различных порядков
располагают в форме таблицы 3.1, которую назьгеают го-
ризонтальной таблицей разностей или просто таблицей ко-
нечных разностей.
Таблица 3J
| /
0
1
2
1
| ■··
X
хо
Х\
Х2
...
...
У
у*
VI
У2
...
...
Ау
Луо
&у\
Ayi
...
...
АЪ·
&У9
Л2у,
&У2
...
...
Δ?γ
А3уо
Δ^Ι
Δ3^2
...
...
♦ Пример ЗЛО
Составить горизонтальную таблицу разностей функции
у = х*-х2 + 6х-4.
Начальное значение принять равным нулю: х0 = О, шаг
равным единице: h -1.
Решение:
Вычислим значения функции в некоторых узловых
точках.

Глава 3. Основные численные методы
255
При
х0=0
х\ =1
х2 -2
*3=3
х4=4
лг5 =5
Уо=0?-02+6-0-4 = -4,
;и,=13-12+6-1-4 = 2,
у2=23-22+6-2-4 = 12,
>>з=33-32+6-3-4 = 32,
д,4=43-42 +6-4-4 = 68,
_y5=53-52+6-5-4 = 126,
(3.20)
По формулам (ЗЛ9) вычислим конечные разности раз-
личных порядков и занесем их в таблицу 3.2,
&у0=У1-у0=2-(-4) = 6У
Ьу^Уг-Ух =12-2-10,
Δ2^0=Δ^-Δν0 = 10-6 = 4.
Данная функцияу =/(*) является полиномом третьей сте-
пени, поэтому третья разность ее постоянна и вычисляется
по формуле (ЗЛ8):
Д3Я=ЗН-13=6.
Дальнейшее заполнение таблицы удобно производить
при помощи суммирования уже вычисленных значений
величин.
Согласно формулам (3.19):
Отсюда:
Δ2Λ+1=Δ2Λ+Δ3^
Δ2Λ+]=Δ2Λ+6 (/ = 0,1,2,3,...).
Таким образом, столбец А2у получается добавлением
значения третьей разности (числа 6) к каждому вышестоя-
щему элементу.
Для формирования столбца Δν из (3.19) получаем фор-
мулу:
ΔΛ+|=ΔΛ+Δ2^ 0" = <U,2,3,...).

256
Математика
Каждый элемент столбца Δ у представляет собой сумму
вышестоящего числа в этом столбце и соседнего с ним в
столбце А2у. (См. стрелку в таблице.)
Используя формулы (3.19), для элементов столбца^ по-
лучаем выражение, существенно облегчающее вычисление
значений функции в узловых точках:
Лч1=Л+4У/ (/ = 0,1,2,3,...).
Правило заполнения столбцам такое же, как столбца Ду.
(См. стрелку в таблице.)
Ступенчатой ломаной отмечены исходные данные, не-
обходимые для заполнения таблицы по указанным пра-
вилам. Подробные вычисления представлены в (3.20)
и(3.21).
Таблица 3,2
♦ Пример 3.11
Построить таблицу разностей функции у =/(*)♦ задан-
ной таблично:
'
У,
0
1
1
5
2
15
3
35
4
70
5
140

Глава 3. Основные численные методы
257
Решение:
Вычислим конечные разности первого порядка:
&Уо=У\-Уо =5-1 = 4,
ЬУ\=Уг~У\ =15-5 = 10,
ЬУг = Уъ ~Уг =35-15 = 20,
Ауг=ул-уъ=1Ъ-Ъ5 = Ъ5,
АУ4 = Уь ~У4 = 140-70 = 70.
Полученные значения разностей первого порядка зане-
сем в столбец Δν таблицы разностей.
Определим конечные разности второго порядка:
А2у0 =Δν| -Δμ0 =10-4 = 6,
А2ух = Ау2 - Ay] = 20 -10 = 10,
Δ2у2 = Ауз - Ау2 = 35 - 20 = 15,
Δ2^3 = Ау4 - Δ>»3 = 70- 35 = 35.
Результаты заносим в столбец А2у.
Конечные разности третьего порядка:
Δ\νο=Δ2>Ι-Δ2.Ηο=10-6 = 4,
Л3л = Δ2>>2 - А2ух = 15 -10 = 5,
А2у2 = А2у3 -Azy2 =35-15 = 20.
Заполним столбец Δ3}'·
Конечные разности четвертого порядка:
А4у0=А>ух-А*у0 =5-4 = 1,
А4ух =Δ3>'2 "Δ3Λ =20-5 = 15.
Заполним столбец AV
Конечная разность пятого порядка:
А5у0 = AAyt -А*у0 =15-1 = 14.
9. За« 649

258
Математика
Таким образом, таблица разностей для заданной функ-
ции имеет вид:
| /
0
I
2
3
4
1 5
X
0
I
2
3
4
5
V
1
5
15
35
70
140
Δν
4
10
20
35
70
&у
6
10
15
35
&}у
4
5
20
&*у
1
15
&iy
14
[ ■*
30
35
40
45
50
у 1
1,4771
1,5441
1,6021
1,6532
1,6990
♦ Пример 3.12
Найти производную функции
у = \gx, заданной таблично в точ-
ке д: = 30.
Значения функции у = lg.v.
Решение:
Здесь шаг Л = 5. Вычислим конечные разности различ-
ных порядков по формулам:
4И> = У\ - Уо = U441 -1,4771 = 0,067,
4И = Уг ~ У\ = W021 -1,5441 = 0,058,
Δν2 =У)-У2= 1,6532 -1,6021 = 0,0511,
ΔΛ = У а ~ Уъ = 1.6990 -1,6532 = 0,0458.
Ь2у0 = Ay, - AyQ = 0,058 - 0,067 = -О,009,
Δ2>, = Ьуг - Ьу{ = 0,0511 -0,058 = -O,0069,
&Уг = Δν3 ~&Уг = 0,0458 - 0,0511 = -0,0053.
Δ3>·0 = ^Ух ~ Δ2JO * -0,0069 + 0,009 = 0,0021,
Δ3>·, =Δ".ν2 -Δ2^ =-0,0053+0,0069 = 0,0016.
Δ4^ο =Δ3>-, -Δ3>>0 =0,0016-0,0021 = -0.0005.

Глава 3. Основные численные методы
259
Заполним таблицу разностей:
Г/
0
1
2
3
4
X
30
35
40
45
50
У
1,4771
1,5441
1,6021
1,6532
1,6990
Ау
0,0670
0,0580
0,0511
0,0458
А2у
-0,0090
-0,0069
-0,0053
Δ^
0,0021
0,0016
Δ4? 1
-0,0005
Отметим, что на практике таблицу конечных разностей
заполняют сразу по правилам, разобранным в примере 3.10.
Вычисление разностей по формулам (3.19) мы привели в
качестве проверки.
По формуле (3.16), используя первую строчку таблицы,
с точностью до разностей четвертого порядка, получаем:
/<30)=i|
0,067 + ^ + ^ + ^1
2 3 4/
/(30)=* 0,0145.
Оценим точность найденного значения. Заданная таблич-
но функция есть у = lg.x. Производная этой функции:
, 1 , 0,4343
у = -lge- .
х х
При х = 30 получим:
/<30) = ^^ -0,0145.
Таким образом, результаты совпали с точностью до чет-
вертого десятичного знака.
♦ Пример 3.13
Найти значения первой и второй производных функции
Бесселя, заданной таблично, в точкех = 1.
ЛГ
У
0,96
_0,782536_
0,98
LjV773?33_
1
0,765198
1,02
0,756332
Ш 1
0,747339 1
9*

260 Математика
Решение:
Составим таблицу конечных разностей. Рекомендуем эту
таблицу заполнять сразу без предварительных вычислений.
В примере приводится подробная запись с целью проде-
монстрировать последовательность действий при вычисле-
нии конечных разностей различного порядка.
Первые конечные разности:
Δ>'ο = У\ ~Уо = 0,773933-0,782536 = -0,008603,
АИ =Л -Л =0,765198-0,773933 = -0,008735,
Ду2 =Уз -у2 =0,756332-0,765198 = -0,008866,
4V3 =У4~Уз =0,747339-0,756332 = -0,008993.
Вторые конечные разности:
А2у0 = Аух - Ау0 = -0,008735 + 0,008603 = -0,000132,
А2у} = Ау2 -Ау} = Ч),008866 +0,008735 = -0,000131,
А2у2 =Ау3 -Ау2 =-0,008993+ 0,008866 = -0,000127.
Третьи конечные разности:
Д3уо =Δ2Λ -Δ2Λ> =-0,000131 + 0,000132 = 0,000001,
Δ3^ = Δ2>>2 -A2y} =-0,000127 + 0,000131=0,000004.
Четвертая конечная разность:
А4у0 =Δ3^-Δν0=0,00Ο0Ο4-0,0ΟΟ0Ο1 = 0,00Ο0Ο3.
Таблица конечных разностей:
/
0
1
2
3
4
X \
0.96
0,98
1
1,02
1.04
У
0,782536
0,773933
0.765198
0.756332
0.747339
-0,008603
-0,008735
-0,008993
-0,000132
-0,000131
-0.000127
Δ>>·,
0,000001
0,000004
Δ"ν,
0,000003

Глава 3- Основные численные методы
261
Значение первой производной функции в точкех -1 вы*
числяем по формуле (3.16):
у\х = 1) = -|-[ - 0,008866 - ^ · (-0,000127)1 - -0,440125.
Вторая производная функции Бесселя в точке х= I
[см. формулу (3.17)]:
/'(х = 1) = _Ц_. (-0,000127) = »0,3175.
0,022
Для сравнения приведем точные значения производных
функции Бесселя в точке х - 1:
У>(Х= 1) = -0,440056 /'(jc^I)^-0,325147.
♦ Пример 3.14
Найти значения первой и второй производных функции,
заданной таблично, в точке х = 2,7-
X
У
0,8
2,857
1,2
3,946
1,6
4,938
2,0
5,801
2,4
6,503
2,8
7,010
3,2
7,288
~T,6i
7,301
Решение:
Составим таблицу конечных разностей заданной функции:
/'
Т"
1
2
3
4
5
6
[7
X
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
1 3,6
У
2,857
3,946
4,938
5,801
6J03
7,010
7,288
7,301
&У,
1,089
0,992
0,863
0,702
0.507
0,278
0,013
&у,
-0,097
-0,129
-0,161
-0,195
-0.229
-0,265
А*У{
-0,032
-0,032
-0,034
-0,034
-0,036
Δ*Λ
0
-0,002
0
-0,002

262
Математика
В данном примере точка, в которой нужно вычислить
производные, не является узловой, т.е. значение функции в
этой точке не задано. В таком случае следует воспользо-
ваться формулами (3.14) и (3.1S):
Δ>·0 + -γ- £ty0 + » Δ· у0 +
2q3-9qZ + 11?-3 a4
+ —I 2 2 дν0 + ...
12 ,0
;
4 h ■
Ближайшая к .*=2,7 меньшая точка, в которой известно
значение функции х = 2,4. Поэтому положим л0 = 2,4.
2,7-2,4
Тогда q = -
0,4
=0,75.
Подставляем в формулу первой производной функции:
уат).^
2-075-1
0,507 + ±Jhl±_L. (-0,229) +
+ 3.(ft7S)»-6*73+2. ■
Вторая производная функции:
= Ц37.
v =7Т
_1
А2
»2 , iui 6й"-18л + 11 .4
/(2,7) = —у(-0Д29 + (О,75-1)(-О,036))«-1,375.
♦ Пример 3.15
В точке л = 7,5 вычислить производные функции, задан-
ной таблично.

Глава 3. Основные численные методы
263
Л*
У
7,5
7,52
7,54
7?56
7,58
7,6
7,62
7,64
7,66
0,200910,205810,210710,215510,220210,2249)0,229510,2341 |Q,23S5
Решение:
Составим таблицу конечных разностей заданной функ-
ции:
I
0
1
2
3
4
5
1 6
7
8
X
7,5
7,52
7,54
7,56
7,58
7,6
7f62
7,64
7,66
У
0,2009
0,2058
0,2107
0,2155
0,2202
0,2249
0,2295
0,2341
0,2385
Ду,
0,0049
0,0049
0,0048
0,0047
0,0047
0,0046
0,0046
0,0044
&У,
0
-0,0001
-0,0001
0
-0,0001
0
-0,0002
Δ3*
-0,0001
0
0,0001
-0,0001
0,0001
-0,0002
А*у,
0,0001
0,0001
-0,0002
0,0002
-0,0003
Д5у,
0
-0,0003
0,0004
-0,0005
Абсолютная погрешность исходных значений функции
y-f(x) не превосходит величиные = 0,5-10~4. Абсолютная
погрешность разности п-го порядка имеет порядок величи-
ны 2п · £. Из таблицы конечных разностей видно, что разно-
сти второго, третьего, четвертого и пятого порядка разли-
чаются менее чем на величину погрешности их округле-
ния. Поэтому при вычислении производной функции в точ-
ке х = 7,5 в формуле (ЗЛ 6) достаточно взять два первых сла-
гаемых
/(7,5)-
I
0,02
( 1
0,0049 —-0
V 2
= 0,245.

264
Математика
♦ Пример 3.16
По табличным данным найти аналитическое выражение
производной.
[ х
У(х)
0
10,4
1
16
2
20,8
3
24,8
4
28
5
30,4
Решение:
Составим таблицу конечных разностей, обозначив
и = у'(х):
\ i
0
1
2
3
4
5
X
0
1
2
3
4
5
и
10,4
16
20,8
24,8
28
30,4
Аи
5,6
4,8
4
3,2
2,4
А*и
-0,8
-0,8
-0,8
-0,8
Δ^Μ
0
0
0
Воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона
в форме (3,12):
u{x) = Ub + qbuQ + q{q~ Vhq-k..
Слагаемое, содержащее третью конечную разность,
не записываем, так как Ь?и=0.
Учтем, что а = ^.
4 h
По таблице определяем: jc0 = 0, Л = 1.
Следовательно, q = = jc .
w(.r) = 10,4 + Ar5,6+iiiril-(-0,8),
и(х) = /(-*) = Ю,4 + 5,6jc -0,4.v2 + 0,4л\
/U) = 10,4 + 6x-0f4jc2.

Глава 3, Основные численные методы
265
♦ Пример 3.17
Для функции, заданной таблично, найти аналитическое
выражение производной.
X
1 у
1
11
2
40
3
99
4
200
5
355
6
576
7
S75
8 1
1264
Решение:
Определим в точках задания аргумента значения произ-
водной функции.
Таблица конечных разностей для заданной функции:
| i
0
1
2
3
4
5
6
7
X
1
2
3
4
5
6
7
8
^
11
40
99
1 200
355
i 576
1. 875
1294
Ay
29
59
101
155
221
299
389
А*у
30
42
54
66
78
90
й?у
12
12
12
12
12
Д4у I
0
0
0
0
По формуле (3.16;
/0) =
/(2) =
У(3)=
/(4) =
У(5) =
сЛ = 1:
= 18,
155 — ^1 = 126,
'221-Μ=186.

266
Математика
Составим таблицу конечных разностей для у'(х)\
i
0
1
2
3
4
X
1
2
3
4
5
/
18
42
78
126
186
Δ/ Ι
24
36
48
60
ду
12
12
12
ду i
0
0
Используя данные последней таблицы и интерполяцион-
ную формулу Ньютона (3.12) с учетом q = , получаем:
/(x)^18 + (jc-l)-24+tx )(X М2 = 6(х2+х + 1).
Задания для самостоятельного решения
► Составить таблицу конечных разностей функций, задан-
ных аналитически, от начального значения х0 до конеч-
ного xv приняв шаг, равным h:
1. у = х ~х~ +6л--8,
2. у = 2х*-%х + 20,
3. ^ = 0,5дг3+2х2-Зх + 8,
4. >- = 5х3-8х+4,
5. у = х4~2х2+\,
6. у = хА-2х2+№,
1.у = 3(х+\)(х~Ь)г
8. у = 5(х-3){х + 2),
9. у = х(х-1)(х + 2), .
10. v = (a-3)(jc+2)(x+4),
U. >1 = 8(л--1)(х-2)(х-3),
12. >> = 4(*+1)0 + 2)(* + 3),
13. j? = 3jc4-j:2+1,
х0 = 0
х0 = 0,5
х0=1
х0 = 0
х0 = 0
х0 = 0
х0 = 0
xQ~l
*0=0
х0 = 0
х0 = 0
х0 = 0
х0 = 0
А = 1;
/г = 0,5;
Л = 1;
А = 2;
А = 0,5;
А = 0,2;
А = 1;
А = 1;
А=1;
А = 0,5;
А = 0,5;
Л = 1;
А = 0,25;

Пмаа 3. Основные численные методы
267
14. v = 6x3-x2+x-l.
15. у = х3 + х2 + х +1,
16. >< = х3-х2-х-10,
17. у = 02ху-01х2-20,
18. >» = ОДлг3 + 0,5.x2 +х,
19. j> = 10x3+5x+10,
20. ^ = х3-Зх2-х-8,
х0 = 0
х0 = 0
х0 = 0
х0 = 0
х0 = 0
х0 = 0
х0=1
Л = 0,5;
Л = 0,5;
А=1;
Л = 2;
Л=1;
Л = 0,2;
А = 0,5.
► Составить таблицу конечных разностей для функции, за-
данной таблично:
21.
1 х
1 У
I
7.5
2
2
3
-3,5
4
-6
5
-2,5
6
10
7 1
34,5 |
22.
1 *
[.У -
1
-3,9
2
-0,2
3
6,7
4
17,4
5
32,5
6
52,6
7 1
78.3 1
23.
1 х
1 У
1
-3,9
2
-5,2
3
-3.3
4
2,4
5
12,5
6
27,6
7
48,3
24.
[ X
У
1
5,5
2
18
3
40,5
4
76
5
127,5
6
198
7
290,5
25.
Ι -ν __
1
6
2
16
3
36
4
72
5
130
6
216
7 1
_зз61
26.
X
1 У ..
1
-3
2
-6
3
-3
4
12
5
45
6
102
1
189 J
27.
X
У _
1
0
2
J
3
30
4
72
5
140
6
240
7
_378

268
Математика
28.
У
1
5,2
2
19,6
3
44,4
4
80,8
5
130
6
193,2
7
271,6
29.
1 х
У
1
4
2
22
3
56
4
106
5
172
6
254
7
352
30.
1
X
1 У
1
3
2
10
3
27
4
60
5
115
6
198
7
315 ]
► Найти значения первой и второй производных функции,
заданной таблично, в точках х = а + Ь · п:
31. х = 2,4 +0,05л
X
У(х)
2.4
3,526
2,6
3,782
2,8
3,945
3,0
4,043
3,2
4,104
3,4 1
4,155
а)л=1; б)л = 3; в) η = 5; г)л-7.
32. .ν = 4,5-0,06л
■*
1 Лх)
3,6
4,222
3,8
4,331
4,0
4,507
4,2
4,775
4,4
5,159
4,6 1
5,683 |
а)л = 5; б)л = 7; в)л = 9; г)л=11.
33. х = 1,6 + 0,08л
Г х 1 1,5
>(.х) 1 10,517
2,0
10,193
2,5
9,807
3,0
8,387
3,5
8,977
"4X1
8.637
а) л = 2; б) л = 4; в) л = 6; г) л = 8.
34. х = 6,3 -04 2л
1 х
yix)
4,5
8,442
5,0
8,482
5,5 1
8,862
6,0
9,701
6,5
11,132
1 7,0 1
13.302
а) л = 2; б)л = 3; в) л = 4; г) л = 5.

Глава 3. Основные численные методы
269
35. х = 1,2 +0,1л
1 х
\у(х)
1
1,2661
"1,1
1,3262
"Т2~1
1,3937
I 1,3 1
1,4693
' 1,4 1
1,5534
ПХ~
1,6467
1,6
1,75 !
а)и = 0; б)и=1; в)и=3; г) п = 4.
36. х = 1,5 + 0,15/1
[ X
\уЩ
1,7
1,8640
1,8
1,9896
1,9
2,1277
2,0
2,2796
2,1
2,4463
2,2
2,6291
2ΤΙ
2,8296_
а) п-2\ б)гс~3; в) и = 4; г) га =5,
► Для функций, заданных таблично, найти аналитическое
выражение первой производной:
37.
1 *
У
1
8
2
«
3
10
~4
26
5^
60
6^
118
7
206
8
330
91
496
38.
1 х
У
1
-2
2
15
3
58
4
139
5 '
270
"б1
463
7
730
8
1083
9 ]
1534
39.
Г X
У
1
-1,5
2
16
3
70,5
4
180
5
362,5
6
636
7
1018,5
8
1528
9
2182,5
44.
1 X
У-
~1
5,5
2
18
3
40,5
4
76
5
127,5
6
198
7
290,5
8
408
9]
553,5]
41.
Гл
LZ
1
7
2
24
3
63
4
136
5
255
6
432
7
679
8
1008
9
1431
42.
1 X
1 У
1
0
2
18
3
78
4
204
5
420
6
750
7
1218
~Г^
1848
9
2664!

270
Математика
43.
1х
1 У
1
о
44.
1 х
1 У
1
2
45.
л
У
1
4
46.
1 х
1 У
1
8
2
8
7
26
2
22
2
50
3
30
3
102
3
56
3
162
4
7?
4
260
4
106
4
380
5
140
5
530
5
172
5
740
6
240
6
'942
6 j
254
6
1278
7
'378
8
560
: 9
792
7
1526
8
2312
, 9
3330
7
352
8
466
9
596
7
2030
8
3032
9
4320
► Вычислить значения первой и второй производных функ-
ции в точке ,v0 методом численного дифференцирования.
Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой:
47. л0 =1,5, функция задана таблично в задаче 37;
48. лг0 = 2,5, функция задана таблично в задаче 38;
49. .х0 = 1,25, функция задана таблично в задаче 39;
50. х0 =1,75. функция задана таблично в задаче 40;
51. х0 = 2,2, функция задана таблично в задаче 41;
52. л0 = 2,1, функция задана таблично в задаче 42;
53. л0 = 2,25, функция задана таблично в задаче 43;
54. х0 = 2,75, функция задана таблично в задаче 44;
55. х0 =1,2, функция задана таблично в задаче 45;
56. xQ = 1,6, функция задана таблично в задаче 46.
3.3· Численное решение обыкновенных
дифференциальных уравнений
В главе 2.2 показано, что обыкновенное дифференциаль-
ное уравнение имеет бесчисленное множество решений.
Однако задание начальных условий позволяет получить

Глава 3* Основные численные методы
271
вполне определенное решение дифференциального уравне-
ния. Нахождение частного решения дифференциального
уравнения я-го порядка, удовлетворяющего заданным на-
чальным условиям, называют задачей Коши,
Пусть функция у = у(х) — непрерывная функция одно-
го аргумента, определенная в открытой области D(xf у),
т.е. области к которой не причисляют ее границы. Имеет
место теорема, которую называют теоремой существования
и единственности решения дифференциального уравнения
при заданном начальном условии, или теоремой Коши:
Если/(х> у) непрерывна в некоторой области около точки
{х0, у0), т.е. при \х - л0| < а и \у - у$\ < Ь, то существует по
крайней мере одно решение уравнения
принимающее при х = х0 значение у^ определенное непрерыв-
ное в некотором интервале около х& Если кроме того/(х, у)
имеет в рассматриваемой области ограниченную частную
Щх,у)
производную VJ Х"7\ < °°, то существует единственное ре-
I °У I
шениеу(х) обыкновенного диффереющтъного уравнения пер-
вого порядка.
3. 3* I* Метод Эйлера для решения
задачи Коши
Пусть интегральная кривая при начальном условии
задана уравнением:
/ = /(*»?)■
Нанесем на плоскость последовательность прямых, па-
раллельных оси ординат: х - xQt х - x[f х = х2.. + (рис. 3J).
Пусть М0{х0, у0) — начальная точка интегральной кри-
вой. Из точки М0 проводим луч с угловым коэффициентом
Д-fy Уq) Д° пересечения ее с прямой х = xv Точку пересече-

272
Математика
•Μ
M,(x,jrJ
мо(хв'Уо>
М}(х},У3)
хв *, *j *i *
Рис. 3.7
ния назовем Λ/,(.Χ,, у,). Ординату точки Л/, определим из
прямоугольного треугольника Λ/0Μ,Ν:
|A/iW|=tga-(-Vi-*o)
Vi-.Vo=/Uo,yo)(^|-^o),TaKKaKtga = /(.v0,>O).
Аналогично из точки Μt проводим луч А/, А/, с угло-
вым коэффициентом /(.х(,;'])до пересечения с прямой
х=х2. Из прямоугольного треугольника Μ,Μ2Ν, находим:
Точно так же строим точки М2, Му и т.д.
Таким образом, получаем:
У\ -Уо = Я-«о» Уо)-(х\ --«о).
У2-У\~/(Х\>У1)(*2-Х1)*
Уу -У2= f(x2 · Уг) · (>хг * ), ,2
У - Уп-1 = /(-Vi. -Vi) · (·* - -Vi >·
Если шаг разбиения области непрерывного изменения
аргумента сделать постоянным л|Ч, - .ν, = Δ.ν = Л , то фор-
мулы (3.22) запишутся так:
или (3.23)

Глава 3. Основные численные методы
273
Очевидно, что чем меньше шаг разбиения Л, тем точнее
вычисляются ординаты интегральной кривой.
Абсолютная погрешность вычисления следует из разло-
жения:
h h^
y(x + h) = y(x) + j*y(x) + — -\y"max(x)l
х0<х<хп,
а
R< — ymax(x% (3.24)
2
Из формулы (3.24) определяют шаг разбиения А, если он
не задан в условии задачи.
+ Пример 3.18
Решить методом Эйлера дифференциальное уравнение
у = х *у при условии у(0) = 1, в интервале 0 < х < 0,6. Вы-
числения провести при h = 0,1 *
Решение;
Условия теоремы Коши выполнены:
1) J(xt у) = х-у — непрерывная функция;
3/(jc,v)
2) частная производная . -х < <» в интервале
0 < х < 0,6.
Результаты вычислений оформим в виде таблицы. Из
начального условия х0 = 0 (второй столбец), у0 = 1 (третий
столбец). Функция /(х^ yQ) = х0 - у0 = 0 · 1 = 0 (четвертый
столбец).
Из формулы (3.23) имеем Ду0 - h * f(x0,y0} = 0,1*0 = 0 .
Полученное значение записываем в пятый столбец.
у1=у0 + Ьуо=1 + 0 = 1>
Л*иЛ) = *гЛ=0Д.1 = 0Д,
A^=A-/(JC[^) = ОД-ОД ^OtjOL
Вычисленные значения разносим по соответствующим
столбцам.

274
Математика
Аналогично,
у, =>·,+Δν, =1 + 0,01 = МИ,
/(х2,у2 ) = .γ, ·у2 = 02 ■ 1,01 = 0,202,
А)': = А /(*2. Уг) = °Ι · °-02 = 0.0202.
ν3 = у2 + Δ>·2 = 1,01 + 0,0202 = 1,0302,
Яхг,у3) = X) ■ уъ = 0,3-10302 = 0309,
Ьуг = h ■ /(xj, v3) = ОД · 0,3091 = 0,0309.
у4 = у3 + Δл'з = 1,0302 + 0,0309 = 1,0611,
/(-ν4,;'4) = *4 ·Л =0,41,0611 =0,4244,
Ау4 = Л ■ /(*4,Л >= 0Д' °'4244 = °'0424·
у5 = >-4 + Δν4 = 1,0611 +0,0424 = Ц035,
f(x5 ,y5) = x5y5=Oj- Ц035 = 0,5518,
by5=h-f(x5,y5) = 0Д0,5518 = 0,0552.
у6 = ys + Δ>·5 = Ц035 + 0,0552 = Ц 587.
А-Ч,Уб ) = *<,■ Уе = 0,6 · U 587 = 0,6952,
Δν6 = h · /(.хб ,у6) = ОД · 0,6952 = 0,0695.
Проверим полученные результаты прямым решением
заданного уравнения. Найдем частное решение, удовлетво-
ряющее заданным начальным условиям:
dy
у=ху, ~т = хУ·
ах
Разделяя переменные, получаем:
dl
у
dy
У
*«*&.
!*-/*
х2
ΙφΙ-γ + C

Глава 3. Основные численные методы
275
у = С-е2 .
С учетом начальных условий 0' = 1 при х = 0):
С=1.
Частное решение: j; = е 2 .
Подставим значения аргумента из заданного интервала
в полученное частное решение и результаты расчетов зане-
сем в последний столбец таблицы.
Таблица 3.3
i
0
1
2
3
4
5
6
X
0
0,1
0,2
0.3
0.4
0,5
0,6
У
1
1
1,01
1,0302
1,0611
1,1035
1,1587
Ах. у)
0
0,1
0,202
0,309
0.4244
0.5518
0,6952
Δ,
0
0,01
0,0202
0,0309
0,0424
0,0552
0,0695
У точное
1
1,0050
1,0202
1,0460
1,0833
1,1331
1,1972
Как видно из таблицы, при х - 0,6 расхождение вычис-
ленного по методу Эйлерах и точного значения ординаты
Х~
интегральной кривой е 2 имеет наибольшее значение.
Ошибка R = 1,1972- 1,1587 = 0,0385, что составляет при-
близительно 3,2% от точного значения.
♦ Пример 3.19
Решить методом Эйлера дифференциальное уравнение
у' = л у при условии у(х-0) = 1, в интервале 0 < л < 0,6.
Вычисления провести с абсолютной погрешностью ε = 0,05.

276
Математика
Решение:
Выполнение условий теоремы Коши проверено в при-
мере 3.18.
Вычислим в качестве предварительной оценки у"(х = 0):
у'(х) = (ху)' = у + Х'У=у + х2у = у(1 + х2)
(учли, что у = х-у)
Согласно формуле (3.24) абсолютная погрешность:
e>y/(.v);
А^^ = 2^05
/(0) 1
Л < 0,32.
Предварительный расчет можно выполнить, например,
при Л = 0,1. Воспользуемся результатами расчетов приме-
ра 3.18.
-*о=0 ν0=1 /(0) = 1(1 + 02) = 1,
jc, = 04 ух = 1 /(0,1) = 1 · (1+0J2) = 1,01.
л, = 0,2 у2= Ю1 /(0,2) = 1,01 · (1 + 0,22) = 1,0504,
л3 = 0,3 уу = 1,0302 /(0,3) = 1,0302 · (1 + 032) = Ц229,
хА =0,4 у4 =1,0611 /(0,4) = Ц)61 1(1 + 0,42) = 1^309,
х5=0,5 y5=U035 /(0,5) = L1035 (1 + 0У) = 13794,
Ч = 0,6 у6 = Ц 587 /(0,6) = 14 587 · (1 + 0,62) = 1,5758.
Максимальное значение вторая производная имеет в точ-
ке .\ft = 0,6. Пересчитываем/г.
А2< 2ε 1005= 0^35;
/(0,6) U758
Л < 0,25.
Таким образом, расчет можно проводить при Л =0,1
(см. пример 3.18).

Гдава 3- Основные численные методы
277
Отметим, что для получения более точных результатов
шаг разбиения следует брать с запасом меньше.
♦ Пример 3,20
Решить методом Эйлера дифференциальное уравнение
у -у-2х ,где0£х<0,5 , если при х0-0,у0= 3+ Вычисле-
ния провести с абсолютной погрешностью ε=0,01.
Решение;
Проверим выполнение условий теоремы Коши:
1) /(х>У) = У-2х —непрерывная функция;
2) ^ ^ *У* = 1 — частная производная по у является ог-
ду
раниченной функцией.
Таким образом, условия теоремы Коши выполнены.
Сделаем предварительную оценку шага разбиения А,
вычислив У(х0). Согласно формуле (3,24):
Й^Р^Ц- (3.25)
- \у(хоУ\
Определим модуль значения второй производной функ-
ции в точке х = х0:
ах ■ ах
По условию задачи / = у - 2х. Окончательно получаем:
у'(х) = у-2х-2.
Согласно начальным условиям при х0 = 0,у0 = 3
/(л'0) = 3-20-2 = 1.
Подставим полученное значение в формулу (3.25):
иг Л 0,01 лм
h ^~~r— = 0,02;
А<л/0>02=0Д4.

278
Математика
Выберем А = 0,1 и произведем предварительный расчет.
Учтем,что f(x.y) = у-2х.
*о=0 >Ι = ν0 + Λ·/(ΛθΙν0) = 3 + 0.1·(3-0) = 3.3.
*i=0J У:=у1+Л-/и1,у|) = 3.3 + 0.1-(3.3-20Л) = 3.61,
х2 = 0,2 .у3 = ν2 + Α·/(Λ2,ν,)«3·6Ι-»-011·(3>6Ι-2·0,2) = 3.931,
х3=0,3 у4=у3 + /г/(*3,.υΟ = 3,931 + 0.1 (3.93Ι-2 0,3) = 4,2641,
х4 =0.4 .ν5=τν4+Λ/(^4»>4) = 4.264Ι + 0.1·(41264Ι-20,4)=4,6Ι05,
Л'5=0,5 уь = y5 + h· f(x5%y$) = 4,6\05 + QA (4,6105-20,5) = 4,9716.
Значения вторых производных в точках разбиения:
Хо=0 у0=3,3 /(х0) = у0-2^-2 = 3.3-20-2 = 1,3,
.v, =0J ν, =3,61 /(*,) = >>,-2*| -2=3,61 -2-0.1-2 = 1,41.
х2=02 у2 =3,931 /U-2)=v2-2jt2-2 = 3.93l-20.2-2 = l.531,
л'з=0,3 уз = 4,2641 у'(хэ)=у3-2*,-2 = 4,2641-20.3-2 = 1,6641,
л-4=0,4 уА =4,6105 /(Χ4) = >'4-2γ4-2 = 4^105-2α4-2 = 1,8Ι05.
дг5=0,5 у5 =4,9716 у'(х5) = у5-2х5-2 = 4,9716-20,5-2 = 1,9716.
Модуль максимального значения второй производной
функции на интервале 0 < х < 0,5 равен 1,9716.
Пересчитываем А по формуле (3.24):
лЧ 2ε =2^01
[/(0,5)| 1,9716
А < ОД 007.
Таким образом, расчеты ординат интегральной кривой,
выполненные выше при А = 0,1, сделаны с абсолютной по-
грешностью, не превышающей ε = 0,01.
♦ Пример 3.21
Найти методом Эйлера численное решение дифферен-
' У-х
циального уравнения у = при начальных условиях
.у ч-х
>(0) = 1, принимая А = 0,1. Ограничиться отысканием пер-
вых десяти значений.

Глава 3. Основные численные методы
279
*1
Решение:
у-*
у + х
/(*,>')=-
*о=0 Уо = 1·
1-0
= 0Д λ=λ+*·/(*ο.Λ)) = Ι + 0^·Τ7Κ = 1,1·
1+0
*4=0,4 y«->i+*-/(*„>i)-U54+W.^=g-U15.
1,254+0,3
х5=0,5 Л=Л+*-/(*4.Л) = 1315+0Д-1315+а4
1368-0,5
^15-°'4^U68,
«1,414,
.х6 =0,6 Л =Л +*-/(*5.*> = tf68+W· y^^
1414-06
1454-07
.ν8=0,8 Λ-Λ + *·/(^.Λ)-Μ54+υ·^^-Μ89.
*,=0,9 Λ-Λ+*·/<^Λ)-Μ89 + 01·^^-№9.
L519-09
xl0 = i >io
Получаем таблицу
1519+0,9
1 .V
[y
0
!
0.1
\A_
0,2
i,i83
0,3
1,254
0,4
1,315
ТГ]
1,368
~w\
1,414
0,7
1,454
0,8
1,489
0,9
1.519
1
1,545

280
Математика
♦ Пример 3.22
Применяя метод Эйлера, найти решение дифференциаль-
ного уравнения у = у + (1 + ж) · у2 с начальным условием
у(1) = -\ на отрезке [1; 1,5]. Шаг А принять равным 0,1.
Решение:
f(x,y) = y + (l + x)-y2.
=-i+(U-(-i+a+iH-i)2)s-o.9,
*2=1,2 У2=У1+к-/(хиУ1)= '
=-0,9 + 0,1 ■ (-0,9 + (1 +1,1) · (-0,9)2) =-0,8199,
X3=U у3 = у2+Л./(Л2,у2) =
= -0,8199 + 0,1(-0,8199+(1 + 1,2)(Ч),8199)2) =
=-0,753998,
=-0,753998 + 0,14-0,753998 + (1 +1,3)·
■(-0,753998)2) =-0,698640,
x5 =1,5 y5 = yA + A -/(^4,^4) =
. = -0,698640 + 0,1 ■ (-0,698640+(1 +1,4) ·
■(-0,698640)2) =-0,651361.
Окончательно получаем таблицу:
1,1
1,2
1,3
1,4
rpj
T5 I
у I -1 I -0,9 И,81991-0,753998 I-0.6986401-0,651361

Гяава 3. Основные численные методы
281
♦ Пример 3.23
Найти методом Эйлера численное решение системы урав-
нений:
\dx _ у- х
Л"~_~
dy _ у + х
Tt~~T
при начальных условиях .х(1)=1>><1)=1, 1 </<2, полагая
шаг равным Л = 0,2,
Решение:
Полагаем fx{x%\\t) = x\ /2(*,>\0 = /*
'о=1 *о=Ь >'ο=1·
Г! =12 х\ =xQ+hfl(xQ,yQ,t0) = l + 02 -η_==1'
У\=Уо+Ь/2(х0,у0^0) = \ + ОЛ~^ = \А.
Λ=^+Α/2(^^1^) = Μ+0^^ = 158.
r3=l6 хя =*-> +hfi(x2*y2,h) =
=1067+02.И^*1„Ц7,
у, =y2+hf2(X2,y2>h) =

282
Математика
U = 1,8 л-4 =Xj+h- /j(.ν,,Уз,'з) =
= U7 + 0,2-2,21"U7=13,
16
у4 =у? + Л-/2(х,,уз,'з) =
= 221 + 02-1^21
1.6
/5 =2 л5 = х4 + h-h(x4,y4,tA) =
= U + 02 ■2,6Ъ~° =145,
1,8
У5 =У4+Л/2(Л'4,>'4^4) =
= 2,63 + 02·^^62 = 3,06.
1,8
Получаем таблицу:
1 '
1 х
L. Я
1
1
1
1,2
1
1,4
1,4
1,07
1,8
1,6
1,17
2,21
1,8
1,3
2,63
2,0 1
1,45
3,06
Задания для самостоятельного решения
► Для заданных дифференциальных уравнений подберите
шаг разбиения в методе Эйлера, обеспечивающий абсо-
лютную погрешность вычислений, не превышающую
ε = 0,005:
57. -~ = у - х , при начальных условиях уф) = 1,5;
ах
58. ;·' + 2х = 03у у при начальных условиях >*(0) = 0,5;
59. ^L = 1L, при начальных условиях v(0) = 1:
ах 4

Глава 3. Основные численные методы
283
60. -Ζ = х + zL, при начальных условиях у(\) = 2;
£&с л*
61. у = у + —, при начальных условиях у(2) = 4;
X
62. У = 1 + х-—, при начальных условиях ><1) = 4;
х
63· / = 4 - х + ν2, при начальных условиях у(0) = 1;
64. -^- = 3jc - 2у, при начальных условиях у{ 1) = 3;
65. / = -^-, при начальных условиях у{\) = 2;
л-2>>
66. / = (а* + у)(1 - -ту), при начальных условиях у(0) = 1.
► Решить методом Эйлера дифференциальные уравнения.
Вычисления провесги с абсолютной погрешностью,
не превышающей ε = 0,01:
67. ^ = 2>>-3.τ, у(0)=1,5, 0<jc<0,5;
dx
68. / = 2д: + у, J>(0,5) = i, 0,5<х<1;
69. у' = Ъу + х2, У(0) = 0Д 0<х<П;
70. / = 5>>-2;с, М0) = 2, 0<л<0,5;
71. / = 2лг2-у, ><!> = !, 1£τ<2;
72. /-0,5у + 3х = 0, у(0) = 0,5, 0<х<1;
73. / + у-5х=0, У0) = 2, 1<д:<2;
74. ^У+2*-4>· = 0, М0) = 0Д 0<х<0,5;
75. *1_з^-3* = 0, Я1) = 2Э l<x<U;
αν
76. ^-v-x = 0, Ж5) = 1, 1,5<лг<2.

284
Математика
► Используя метод Эйлера, составить таблицу приближен-
ных значений интеграла дифференциального уравнения
у' =/(.\-, у), удовлетворяющего начальным условиям
У(*о ) = Уо на отрезке [а, Л], принять шаг равным А = 0,1.
Вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.
Аргумент тригонометрических функций выражен в ра-
дианах:
77. / = x+cos-L·, у0(1Ъ)=2,6, 1,8<х<2,8;
78. / = х + cos^, v0(l,6) = 4,6, 1,6 й х < 2,6;
79. / = х+cos-4, ^0(0,5) = 0,5, 0,5 < л· < Ц5;
80./ = x + sin-^, v0(0,4) = 0,8, 0,4<х<1,4;
81. / = Jc + sin-4, д;0(04) = 0,8, 0,l<x<lJ;
82. / = х + sin -jL, Уо(0,Ь) = 0,8, 0,6 < jc < 1,6;
83. / = x + sin^-, ^(1,6) = 4, 1,6 < x < 2,6;
84. / = x + sin^, ^0(1,7) = 53, 1,7 < x < 2,7;
я
85. y' = x + cos^, >>0(1,7) = 5,3, l,7<.x<2,7;
π
86. / = л- + cos-L, д;0(2Д) = 2,5, 2Д < .г < 3J.
► Применяя метод Эйлера, численно решить дифференци-
альные уравнения с данными начальными условиями с
шагом Л и —:

Гпава 3. Основные численные методы
285
87.
88.
89.
90.
у -■
У :
у -■
у --
_■* + У
у-х'
6-х1 у2
" х2 '
__ ху
VT7
'
1 j/sinx
COS λ' COSJC
.v(0) = l, A=0,1, 0<x<l;
>-(l)=2, A = 0,05, \<x<\$\
y(Q) = e, Λ = 0,05, 0<x<0,5;
^0) = 0, A=0,1, 0<x<l;
9\./zzlL + lxy, J*1)=0, A = 0,1, 1<л<2;
2x 2
y(2)=\, A = 0,05, 2<x<2,5;
y(l)=2, A = 0,1, l<x<2;
><l)=2, A=0,1, l<x£2;
y(0) = l, A = 0,1, 0<x<0,5.
92.
93
94.
95.
Q£
/
у =
7 =
/
2
l-
У
X
1
:x2
. 1 i
xy
\nx-y
5
X
-0,25y2,
-2y\
v^„2

Элементы
теории вероятностей
и математической
статистики
4.1. Случайные события и их вероятности
4.1.1. Случайные события
Теория вероятностей — это раздел математики изучаю·
щий закономерности массовых случайных событий.
Случайным называется событие, наступление которого
нельзя гарантировать. Случайность того или иного собы-
тия определяется множеством причин, которые существу-
ют объективно, но учесть их все, а также степень их влия-
ния на изучаемое событие, невозможно. К таким случай-
ным событиям относятся: выпадание того или иного числа
при бросании игральной кости, выигрыш в лотереи, коли-
чество больных, записавшихся на прием к врачу и т.п.
И хотя в каждом конкретном случае трудно предсказать
исход испытания, при достаточно большом числе наблю-
дений можно установить наличие некоторой закономерно-
сти. Подбрасывая монету, можно заметить, что число вы-
падания орла и решки примерно одинаково, а при броса-
нии игральной кости различные грани также появляются,
примерно одинаково. Это говорит о том, что случайным
явлениям присущи свои закономерности, но они проявля-
ются лишь при большом количестве испытаний. Правиль-
ность этого подтверждает закон больших чисел, который
лежит в основе теории вероятностей.
Рассмотрим основные термины и понятия теории веро-
ятностей.
Испытанием называется совокупность условий, при ко-
торых может произойти данное случайное событие.

Гпава 4. Элементы теории вероятностей
287
Событие — это факт, который при осуществлении опре-
деленных условий может произойти или нет. События обо-
значают большими буквами латинского алфавита А, В, С...
Например, событие А — рождение мальчика, событие В—
вьшгрыш в лотерее, событие С — выпадение цифры 4 при
бросании игральной кости.
События бывают достоверные, невозможные и слу-
чайные.
Достоверное событие — это событие, которое в резуль-
тате испытания непременно должно произойти.
Например, если на игральной кости на всех шести гра-
нях нанести цифру 1, тогда выпадение цифры 1, при бро-
сании кости, есть событие достоверное.
Невозможное событие—это событие, которое в резуль-
тате испытания не может произойти.
Например, в ранее рассмотренном примере — это выпа-
дение любой цифры, кроме 1.
Случайное событие—это событие, которое при испыта-
ниях может произойти или не произойти. Те или иные со-
бытия реализуются с различной возможностью.
Например, завтра днем ожидается дождь. В этом приме-
ре наступление дня является испытанием, а выпадение дож-
дя — случайное событие.
События называются несовместными, если в результате
данного испытания появление одного из них исключает
появление другого.
Например, при бросании монеты выпадение одновремен-
но орла и решки есть события несовместные.
События называются совместными, если в результате
данного испытания появление одного из них не исключает
появление другого.
Например, при игре в карты появление валета и масти
пик — события совместные.
События называютсяравновозможныии, если нет основа-
ний считать, что одно из них происходит чаще, чем другое.

288
Математика
Например, выпадение любой грани игрального кубика
есть равновозможные события.
События образуют полную группу событий, если в резуль-
тате испытания обязательно произойдет хотя бы одно из
них и любые два из них несовместны.
Например, при 10 выстрелах в мишень возможно от 0 до
10 попаданий. При бросании игрального кубика может
выпасть цифра от 1 до 6. Эти события образуют полную
группу.
События, входящие в полную группу попарно несовме-
стных и равновозможных событий, называются исходами,
или элементарными событиями. Согласно определению до-
стоверного события, можно считать, что событие, состоя-
щее в появлении одного, неважно какого, из событий пол-
ной группы, есть событие достоверное.
Например, при бросании одного игрального кубика вы-
падает число меньше семи. Это пример достоверного со-
бытия.
Частным случаем событий, образующих полную груп-
пу, являются противоположные события.
Два несовместных события А и А (читается «не Л») на-
зываются противоположными^ если в результате испытания
одно из них должно обязательно произойти.
Например, если стипендия начисляется только при полу-
чении на экзамене хороших и отличных оценок, то собы-
тия «стипендия» и «неудовлетворительная или удовлетво-
рительная оценка» — противоположные.
Событие Л называется благопршгттвующгтсоЬытюВ,
если появление события А влечет за собой появление собы-
тия В.
Например, при бросании игрального кубика появлению
нечетного числа благоприятствуют события, связанные с
выпадением чисел 1, 3 и 5.

Глава 4. Элементы теории вероятностей
289
4.1.2. Операции над событиями
Операции над событиями аналогичны операциям над
множествами, рассмотренными в главе 1.
Суммой нескольких событий называется событие, состо-
ящее в наступлении хотя бы одного из них в результате
испытания.
Сумма событий может быть обозначена знаками «+»,
«U», «ИЛИ».
На рисунке 4,1 представлена геометрическая интерпре-
тация с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Сумме собы-
тий А + В будет соответствовать вся заштрихованная об-
ласть.
Рис. 4.1
Область пересечения событий А и В соответствует совме-
стным событиям, которые могут произойти одновременно.
Аналогично для событий А, В и С имеются совместные со-
бытия А и В\ А и С; В и С; А и В и С, которые могут про-
изойти одновременно.
Например, в урне находятся белые, красные и синие
шары. Возможны следующие события: А — вынут белый
шар: В — вынут красный шар; С— вынут синий шар. Со-
бытие В+С означает, что произошло событие— вынут цвет-
ной шар или вынут не белый шар.
Произведением нескольких событий называется событие,
которое состоит в совместном наступлении всех этих собы-
тий в результате испытания.
10 За* 649

290
Математика
Произведение событий может быть обозначено знаками
<оо>, «о», «и».
Геометрическая интерпретация произведения событий
представлена на рис. 4.2.
АхВ АХВХС
Рис. 4.2
Произведением событий А и В будет заштрихованная
область пересечения площадей А и В. А для трех событий А
и В и С — общая площадь, одновременно входящая во все
три события.
Например, пусть из колоды карт наугад извлекается
карта. Событие Л — вынута карта пиковой масти; В—вы-
нут валет. Тогда событие АхВ означает событие — вынут
валет пик.
Разностью двух событий А~В называется событие, со-
стоящее из исходов, входящих в А, но не входящих в В.
На рис. 4.3 представлена иллюстрация разности собы-
тий с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
А-В АхВ-С
Рис. 4.3

Глава 4. Элементы теории вероятностей j^JA
Разностью двух событий Л -В является заштрихованная
область А без той части, которая входит в событие В. Раз-
ность между произведением событий А и Вп событием С
будет совместная площадь события А и события В без со-
вместной с нею площадью события С
Например, пусть при бросании игрального кубика со-
бытие А — появление четных чисел (2,4, 6), а событие В—
чисел кратных 3, т.е. (3,6), Тогда событие А -5 появление
чисел (2, 4),
47.3· Определение вероятности события
Случайные события реализуются с различной возмож-
ностью. Одни происходят чаще, другие — реже. Для коли-
чественной оценки возможностей реализации события вво-
дится понятие вероятности события.
Вероятность события— это число, характеризующее сте-
пень возможности появления события при многократном
повторении испытаний.
Вероятность обозначается буквой Ρ (от англ. probability —
вероятность). Вероятность является одним из основных по-
нятий теории вероятностей. Существует несколько опреде-
лений этого понятия.
Классическое определение вероятности заключается в сле-
дующем. Если известны все возможные исходы испытания
и нет оснований считать, что одно случайное событие появ-
лялось бы чаще других, т.е. события равно возможны и не-
совместны, то имеется возможность аналитического опре-
деления вероятности события.
ВероятностьюР(А) события^ называется отношение чис-
ла благоприятствующих исходов m к общему числу рав-
новозможных несовместных исходов п:
Р(А) = ~. (4.1)
η
10*

292
Математика
Свойства вероятности:
1. Вероятность случайного события А находится меж-
дуОи 1.
0<Р(А)<1.
2. Вероятность достоверного события равна 1.
Π П
3. Вероятность невозможного события равна 0.
Р{А)=тЛ=о.
η η
♦ Пример 4.1
Найти вероятность выпадения числа, кратного 3, при од-
ном бросании игрального кубика.
Решение:
Событие Λ —выпадение числа, кратного 3. Этому собы-
тию благоприятствуют два исхода: числа Зи6,т.с.т = 2.
Общее число исходов состоит в вьтадении чисел: 1,2,3,4,
5,6, т.е. η = 6. Очевидно, что эти события равновозможны
и образуют полную группу. Тогда искомая вероятность,
по определению, равна отношению числа благоприятству-
ющих исходов к числу всех исходов.
Р{ А)=™ЛЛ.
η 6 3
♦ Пример 4.2
В урне 10 белых, 5 красных и 5 зеленых шаров. Найти
вероятность того, что вынутый наугад шар будет цветным
(не белым).
Решение:
Число исходов, благоприятствующих событию Λ, рав-
но сумме красных и зеленых шаров: т = 10. Общее число
равйовозможных несовместных исходов равно общему
числу шаров в урне: η = 20. Тогда:
P(A) = " = l-l = 0j.
и 20

Гдава 4. Элементы теории вероятностен
293
При определении вероятности события, по ее классиче-
скому определению, требуется выполнение определенных
условий. Эти условия заключаются в равновозможности и
несовместности событий, входящих в полную группу со-
бытий, вероятность которых надо определить. На практике
не всегда можно определить все возможные варианты ис-
ходов, а тем более обосновать их равновозможность. По-
этому при невозможности удовлетворения требованиям
классического определения вероятности используют стати-
стическую оценку вероятности события. При этом вводится
понятие относительной частоты появления события А, рав-
ной отношению ггуп „ где т — число испытаний, в которых
произошло событие^; η — общее число испытаний.
Я. Бернулли доказал, что при неограниченном уве-
личении числа испытаний относительная частота собы-
тия А будет сколь угодно мало отличать от вероятности со-
бытия^.
lim™=P(A).
Это равенство справедливо при неизменности условий,
при которых проводится эксперимент.
Справедливость теоремы Бернулли была доказана и в
многочисленных опытах по сравнению вероятностей, вы-
численных классическим и статистическим методами. Так,
в опытах Пирсона, по определению вероятности выпаде-
ния «герба» при выполнении 12000 бросков, статистичес-
кая вероятность была равна 0,5016, а при 24000 бросков —
0,5005, что показывает приближение к значению вероятнос-
ти 0,5 по мере увеличения числа опытов. Близость значе-
ний вероятности, определенных различными способами,
указывают на объективность возможности наступления это-
го события.

294
Математика
4.1.4. Теорема сложения вероятностей
Зная вероятности одних событии, можно вычислить ве-
роятности других, если они связаны между собой. Теорема
сложения вероятностей позволяет определить вероятность
появления одного из нескольких случайных событий.
Теорема. Вероятность суммы двух несовместных собы-
тий А и В равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р{А) + Р(В). (4.2)
Доказательство. Пусть η — общее число равновозмож-
ных несовместных элементарных исходов; тх — число ис-
ходов благоприятствующих событию А\ т2— число исхо-
дов, благоприятствующих событию В, Так как А и В несов-
местные события, то событию Л + В будет благоприятство-
вать тх + т2 исходов. Тогда, согласно классическому опре-
делению вероятности:
P(A + B)=frlrt^ = ^l + ^ = p(A) + p(B)
η η η
Расширяя это доказательство нал событий, можно дока-
зать следующую теорему.
Теорема. Вероятность суммы конечного числа попарно
несовместных событий А[,А2,...,Ап равна сумме вероятно-
стей этих событий, т.е.
Р{Ах+А2 + ...+Ап) = Р{Ах) + Р{А2) + ... + Р{А,). (4.3)
Из этой теоремы можно вывести два следствия:
Следствие 1. Если события AVAV ..., Ап образуют пол-
ную группу, то сумма их вероятностей равна единице, т.е.
Р(Ах) + Р(А2) + ...+Р(Ап)=1. (4.4)
Доказательство. Если события Av Av ..., Ап образуют
полную группу, то наступление хотя бы одного из них есть
событие достоверное. Следовательно,
ΡΜ,+Λ2+ ...+А,)=\н
P(Al + Al + ...+An) = P(Ai) + P(A2) + ... + P(Atl)=l.

Гяава 4. Элементы теории вероятностей
295
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных
событий равна единице, т.е.
P(A) + P(A)=L
Доказательство, Противоположные события несовмест-
ны и образуют полную группу, а сумма вероятностей та-
ких событий равна 1,
Φ Пример 4.3
Найти вероятность выпадения цифры 2 или 3 при броса-
нии игральной кости.
Решение:
Событие А — выпадение цифры 2, вероятность этого со-
бытия Р(А) = -. Событие В — выпадение цифры 3? вероят-
о
ность этого события Р(В) = - . События несовместные, по-
о
этому
Р{А + В) = Р(А) + Р(В)= А + 1ЛЛ.
♦ Пример 4.4
Получена партия одежды в количестве 40 штук. Из них
20 комплектов мужской одежды, 6 — женской и 14 — дет-
ской. Найти вероятность того, что взятая наугад одежда ока-
жется не женской.
Решение:
Событие^ — одежда мужская, вероятность-
20 1
^,= 40 = 2
6 3
Событие В — одежда женская, Р{В) = — = —
40 20
14 7
Событие С— одежда детская, Р(С) = — = —
40 20
Тогда Р{А + С) = Р(А) + Р(С) = - + 2- = —.
W 2 20 20

296
Математика
В том случае, если события А и В являются совместны-
ми, то справедлива следующая теорема.
Теорема, Вероятность появления хотя бы одюго из двух
совместных событий равна сумме вероятностей этих собы-
тий без вероятности их совместного наступления, т.е.
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А х В). (4.5)
Доказательство. Пусть для полной группы событий, име-
ющих η исходов, /и, исходов благоприятствуют событию
А, т2 — событию Bt a / исходов благоприятствуют как со-
бытию А, так и событию В, тогда
Р{А) = Ш- />(£)= ™?_; Р(АхВ) = -.
η η η
Так как событие А +В состоит в том, что произошло со-
бытие А, либо событие J3, либо событие А и В. Поэтому
ему будет благоприятствовать т}+т2-1 исходов.
Следовательно,
P(A + B)=mi+mi-'' =0± + !Ъ_1 =
η η η η
= Р(А) + Р(В)-Р(АхВ).
♦ Пример 4.5
Вероятность попадания в мишень одного стрелка равна
0,65» а второго — 0,6. Определить вероятность поражения
мишени при одновременных выстрелах двух стрелков.
Решение:
Так как при стрельбе возможно попадание в мишень дву-
мя стрелками, то эти события совместные. Следовательно,
Р{ А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(АхВ) = 0,65 + 0,6 -0,39 = 0,86.
4.1.5. Теорема умножения вероятностей
Событие А называется независимым от события В, если
вероятность осуществления события А не зависит от того,
произошло событие В или нет.

Глава 4. Элементы теории вероятностей
297
Например, при повторении бросания игральной кости
вероятность выпадения цифры 1 (событие А) не зависит от
появления или не появления цифры 1 при первом бросании
кости (событие^),
Событие^ называется :шотошбш от события if, если его
вероятность меняется в зависимости от того, произошло
событие В или нет.
Например, если в урне находятся черные и белые шары,
то вероятность повторного появления черного шара (собы-
тие А) будет зависеть оттого, какой шар вынули первый раз.
В случае зависимых событий А и В вводится понятие
условной вероятности, под которой понимается вероятность
события А при условии, что событие В произошло. Обо-
значается Р(А/В).
Φ Пример 4.6
В урне находится 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Первым
был вынут черный шар, найти вероятность того, что вто-
рой шар будет черным.
Решение:
Вероятность появления черного шара первый раз (со-
бытие В) равно Р(В) ~ 3/10; а вероятность появления его
второй раз (событие А), при условии, что событие В про-
изошло, равно Р(А/В) — 2/9, так как в урне осталось 9 ша-
ров, из них 2 черных.
Рассмотрим закон умножения вероятностей для незави-
симых событий.
Произведением двух событий А и В называют событие
С = Ay В, состоящее в совместном осуществлении этих со-
бытий.
Теорема. Вероятность произведения 2 независимых собы-
тий А и В равна произведению вероятностей этих событий;
Р(А пВ) = Р(АхВ)-Р{А)- Р(В).

298
Математика
Этот закон справедлив и для η независимых событий.
Р(Л{А2..,Ап)=:Р(А})Р(А2)'...Р(Ап1 (4.6)
♦ Пример 4.7
В билете 3 раздела. Из 40 вопросов первого раздела
студент знает 30 вопросов, из 30 вопросов второго — 15,
из 30 вопросов третьего — 10. Определить вероятность пра-
вильного ответа студента по билету.
Решение:
Учитывая, что ответ на каждые разделы есть независи-
мые события Α ρ Α 2 и А у а их вероятности соответственно
равны:
™-34 ™-iN< ™-5-з-
Тогда вероятность правильного ответа на билет Р(В)>
можно найти по формуле (4.6),
Р{В) = Р(4)Р(А2)Р(А3) = 1~~ = ]- = 0}25.
4 2 3 о
Теорема. Вероятность произведения двух зависимых со-
бытий А и В равна произведению одного из них на условную
вероятность второго, вычисленную при условии, что первое
событие осуществилось.
Р(А и В) = Р(А хВ) = Р{А) ■ Р(В/А). (4.7)
Формула умножения вероятностей может быть обобще-
на на случай л событий Л,, Av„.t An:
P{AvA2...An)^
= P(Al)P(A2/A[)P(A2/(AlA2)l..P(AJ(A]Ar..A^)l
Причем вероятность каждого последующего события
вычисляется в предположении, что все предыдущие про-
изошли.

Глава 4. Элементы теории вероятностей 299
♦ Пример 4.8
В группе из 20 человек 5 студентов не подготовили зада-
ние. Какова вероятность того, что два первых студента,
вызванные наугад, будут не готовы к ответу.
Решение:
Вероятность того, что первый студент не готов к ответу
Р{А) = 5/20, вероятность того, что и второй студент также не
подготовлен, как и первый, Р{В/А) = 4/19, тогда для ответа
на вопрос воспользуемся формулой:
P{AuB) = P{AyP(B/A) = — -~ = — = Qfi5t
; 20 19 380
События А1, А -,,♦,., А п называются независимыми в сово-
купности, если каждое из этих событий и событие, равное
произведению любого числа остальных событий, незави-
симы.
Теорема* Вероятность появления хотя бы одного из собы-
тий A [t Av ♦. „ Ап> независимых в совокупности, равна разно-
сти между единицей и произведением вероятностей проти-
воположных событий A{iA2,..;Anim.e.
Р(АХ+А2 + „ЛА^\-Р{А)Р(А2у..Р{Ап). (4.8)
♦ Пример 4,9
В трех театральных кассах продаются билеты. Вероят-
ность наличия билетов за час до начала спектакля в первом
театре равна 0,7, в кассе второго — 0,3, а в кассе третьего —
0,5. Какова вероятность того, что за час до начала спектакля
имеется возможность купить билет хотя бы в одной кассе.
Решение:
Событие А — возможность купить билеты хотя бы в од-
ной кассе. Тогда противоположное событие обозначим А.
Оно наступит тогда, когда наступит событие A t ~Аг Л3- Тогда
Р(А)=\ - PiAJPU.U Р(Ап)= I -0,3*0,7 0,5 = 0,891

300
Математика
♦ Пример 4.10
Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех ору-
дий такова: Р{ = 0,75; Р2 = 0,8; Рг = 0,85. Какова вероятность
хотя бы одного попадания (событиеЛ) при одном залпе из
всех орудий?
Решение:
#, = 1-^ = 1-0,75 = 0,25;
g2=l-P2= 1-0,8 = 0,2;
g3= 1-P3=1 -0,85 = 0,15;
PiA)=l-glg2g3;
P(A)= 1-0,25 0,2 0,15 = 0,9925.
Φ Пример 4.11
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попада-
ния в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна
0,7, а для второго — 0,8. Найти вероятность того, что при
одном залпе в мишень попадает только один стрелок.
Решение:
Вероятность того, что в мишень попадает первый стре-
лок и не попадает второй, равна:
P(AVA2) = 0,7 (1-0,8) = 0,7 0,2 = 0,14.
Вероятность того, что попадет второй стрелок в мишень
и не попадет первый, равна:
РМ,Л2) = (1 -0,7) -0,8 = 0,30,8 = 0,24.
Вероятность того, что в мишень попадет только один
стрелок, равна сумме этих вероятностей:
/>(^1^2) + /i(^1yi2) = 0,14 + 0,24 = 0,38.
4.1.6. Формула полной вероятности.
Формула Байеса
Следствием основных законов сложения и умножения
вероятностей является формула полной вероятности.

Глава 4. Элементы теории вероятностей
301
Пусть требуется найти вероятность некоторого события В,
которое может произойти вместе с одним из событий Αν
Αν... Ан, образующих полную группу несовместных со-
бытий. Так как события Α νΑν ...Αη образуют полную груп-
пу, то событие В может произойти только в комбинации с
каким-либо из них:
Β = ΑλΒ + Α2Β+..+ΑηΒ*
Так как событие^ {уА2,.„Ап несовместны, то и комбина-
цииЛ^Д А2В, АпВ несовместны.
Согласно закону сложения несовместных событий
имеем:
Р(В)^Р(АхВ) + Р(А2В) + .„ Р(АпВ).
Каждое из слагаемых является вероятностью произведе-
ния двух зависимых событий.
Р{В) = PiAJPiB/A г) + Р(А2)Р(В/А2) +... + P(AJ P(B/A).
Р(В)^Р(А;)Р(В/А<). (49)
ы
Теорема. Вероятность события Bt которое может на-
ступить только при условии появления одного из событий А1,-
А^ ,.., Ап, образующих полную группу попарно несовмест-
ных событий, равна сумме произведений вероятностей каж-
дого из событий A J, А2? ..,, Ап на соответствующую услов-
ную вероятность события В,
Полученная формула называется формулой полной веро-
ятности, а события AvAv„.,An — гипотезами.
♦ Пример 4.12
На склад ежедневно поступают детали с трех предприя-
тий. С первого — 30 деталей, со второго — 20 и с третье-
го — 40· Установлено, что 2, 4 и 5% продукции этих пред-
приятий, соответственно, имеют дефекты. Найти вероятность
того, что взятая наугад деталь будет дефектна.

102
Математика
Решение:
Обозначим: В — взятая наугад деталь дефектна; А ( —
деталь изготовлена на первом предприятии, А2 — деталь
изготовлена на втором предприятии, Аъ—деталь изготов-
лена на третьем предприятии. События Ах>АгъАъ образу-
ют полную группу несовместных событий и
PMi_30_l ,_20_2 40_4
Условные вероятности события В равны:
P(B/A{) = 0fi2: P(BIA2) = 0№; Р(В/А3) = 0$5.
Тоща
Р{В) = Р{АХ)> Р{В1 А^)+ Р(А2)· Р{В1 А2)+ Р^У Р(В1 Аъ) =
= -0,02 + -0,04 + -0,05 =0,0378.
3 9 9
С формулой полной вероятности тесно связана формула
Байеса, названная по имени английского математика Тома-
са Байеса (1702-1761). Формула Байеса позволяет переоце-
нить вероятности гипотез после того, как в результате опы-
та произошло событие Я.
Пусть имеется полная группа несовместных событий
A j, Av..*iAn. Вероятности этих событий до опыта (априор-
ные) известны и равны соответственно Р(А}), Р(А2),..., PiA^.
В результате проведения опыта произошло событие В. Не-
обходимо найти апостериорные (после опыта) вероятности
событий Ар т.е. следует определить условную вероятность
Согласно закону умножения вероятностей имеем:
Р(ВА§) - P{B)P(Ai IB) = Ρ(Α,)Ρ{ΒΙΑΙ);
Tor№:P(B)P(AiIB)^P{Ai)P(B/Ai);
«В)

Глава 4. Элементы теории вероятностей
303
Выражая Р(В) с помощью формулы полной вероятно-
сти ? имеем:
/W*)- ЪАЖВЦ) {410)
J^P(Ai)P(B/Ai)
♦ Пример 4ЛЗ
Имеются три урны: в первой из них 5 белых шаров и
4 черных; во второй — 3 белых и 6 черных; в третьей —
2 белых и 7 черных. Из выбранной наугад урны вынимают
шар. Он оказался черным. Найти вероятность того, что этот
шар вынут из первой, второй или третьей урны.
Решение;
Гипотезы: A t — выбор первой урны; А2 — выбор второй
урны; Аг ~ выбор третьей урны. До опыта все гипотезы
равновероятны:
Р(АХ) = Р(А2) = Р(А3) = ^
Событие В — появление черного шара. Условные веро-
ятности этого события равны:
Ρ{ΒΙΑ,)Λ- Ρ(ΒΙΑ2)Λ- Ρ(ΒΙΑΖ)=η-.
Тогда по формуле Байеса имеем:
A i
«*'*>= ^ -1(4 . 6 . ?Гйщ
з
- + —+ ■
9 9 9

304
Математика
Ι.Ζ
fW8)''iwr^'0·412·
Таким образом, наиболее вероятным был выбор третьей
урны.
Задания для самостоятельного решения
► Классическое определение вероятности
1. Из букв слова «вероятность» наугад выбирается одна
буква. Какова вероятность того, что выбранная буква бу-
дет: А — согласной; В — гласной; С — буква «о».
2. Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одина-
ковых карточках и положены в урну. После тщательного
перемешивания карточек из урны извлекается одна карточ-
ка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке
окажется кратным 5?
3. Бросаются две монеты. Какова вероятность, что обе
монеты упадут «решкой» кверху:
4. В урне 6 белых и 4 черных шаров. Из урны вынимают
один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался бе-
лым. После этого из урны вынимают еще один шар. Найти
вероятность того, что этот шар тоже будет белым.
5. Из урны, содержащей 10 белых шаров и 8 черных, вы-
нимают подряд все находящиеся в ней шары. Найти вероят-
ность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар.
6. В нервом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5,
а во втором — с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика
вынули по одному шару. Найти вероятности следующих
событий:
А — сумма номеров вынутых шаров не меньше 7;
В — сумма номеров вынутых шаров равна 11;
С — сумма номеров вынутых шаров не больше 11.

Глава 4. Элементы теории вероятностей
305
7. Игральная кость бросается один раз- Найти вероят-
ность следующих событий:
А — появление не менее 4 очков;
В — появление не более 4 очков,
8· Игральная кость бросается два раза. Найти вероят-
ность того, что оба раза появится одинаковое число очков,
9. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти
вероятности следующих событий:
А — сумма выпавших очков равна 6;
В — произведение выпавших очков равно 6.
10. Брошены две игральные кости. Какова вероятность
того, что абсолютная величина разности выпавших очков
равна 2?
11. В лотерее 1000 билетов. Из них на два билета выпа-
дает выигрыш 200 рублей, на четыре билета — 100 рублей,
на десять — по 20 рублей, на тридцать — по 10 рублей,
на пятьдесят — по 5 рублей, на 200 билетов — по 1 рублю,
остальные билеты без выигрыша. Какова вероятность вы-
играть по билету не менее 5 рублей?
12. Произвольным образом выбирается двузначное чис-
ло. Какова вероятность того, что это число окажется:
А — кратным 3;
В — кратным 6;
С — кратным 50.
13. Наудачу выбрано натуральное число, не превосхо-
дящее 10. Какова вероятность того, что это число является
простым?
14. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру
и набрал ее наугад. Какова вероятность того, что набран-
ная цифра правильная?
15. На странице книги имеется 2 500 букв. Буква «а» встре-
чается 190 раз. Какова вероятность того, что случайно вы-
бранная буква не есть буква «а»?

306
Математика
► Теоремы сложения и умножения вероятностей
16. В ящике находятся пуговицы различных цветов: бе-
лых— 50%; красных— 20%; зеленых— 20%; синих— 10%.
Какова вероятность того, что взятая наугад пуговица ока-
жется синего или зеленого цвета.
17. Вероятность того, что стрелок, произведя выстрел,
выбивает 10 очков, равна 0,4; 9 очков — 0,3 и, наконец,
8 или меньше очков — 0,3. Найти вероятность того, что
стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков.
18. В магазин поступили телевизоры, 60% которых по-
ставило первое предприятие, 25%— второе и 15%— третье.
Какова вероятность того, что купленный телевизор изго-
товлен на первом или третьем предприятии.
19. При записи фамилий участников соревнований, об-
щее число которых 420, оказалось, что начальной буквой
фамилии у 10 из них была «А», у 6 — «Е», у 9 — «И», у 12 —
«О», у 5 — «У», у 3 — «Ю», у всех остальных фамилия
начиналась с согласной. Определить вероятность того, что
фамилия участника начинается с гласной.
20. Вероятность попадания в мишень для первого спорт-
смена 0,85, а для второго — 0,8. Спортсмены независимо
друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероят-
ность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен.
21. Один стрелок поражает цель с вероятностью 90%, дру-
гой — с вероятностью 75%. Найти вероятность поражения
цели, если оба стрелка стреляют в нее одновременно. Цель
считается пораженной при попадании в нее хотя бы одной
из двух пуль.
22. Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Како-
ва вероятность того, что будет вынута пика или туз?
23. Брошена игральная кость. Найти вероятность того,
что выпадет четное или кратное трем число очков.
24. Консультационный пункт университета получает па-
кеты с контрольными работами из городов Л. В и С. Веро-

Г*ам 4. Элементы теории вероятностей
307
ятностъ получения пакета из города Л равна 0,6, а из горо-
да В — 0,1. Найти вероятность того, что очередной пакет
будет получен из города С
25. С первого предприятия поступило 200 пробирок, из
которых 190 стандартных, а со второго — 300, из которых
280 стандартных. Найти вероятность того, что взятая на-
удачу пробирка будет стандартной.
26. Найти вероятность того, что взятое наудачу двузнач-
ное число окажется кратным либо 2, либо 5, либо тому и
другому одновременно.
27. В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 — чер-
ного. Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара. Найти
вероятность того, что оба шара окажутся черными.
28· В мастерской два мастера работают независимо друг
от друга. Вероятность того, что в течение часа первый мо-
тор не потребует внимание мастера, равна 0,9, для второго
мотора эта вероятность равна 0,89. Найти вероятность того,
что в течение часа ни один из моторов не потребует внима-
ние мастера.
29. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по
цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка
равна 0,75, для второго — 0,8, для третьего — 0,9. Опреде-
лить вероятность того, что все три стрелка одновременно
попадут в цель.
30. В условиях предыдущей задачи определить вероят-
ность того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.
31. В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны вынима-
ется один шар, отмечается его цвет и шар возвращается в
урну. После этого из урны берется еще один шар. Найти
вероятность того, что оба вынутые шара будут белыми.
32. В урне 3 белых и 6 черных шаров. Из урны вынима-
ются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары
будут разных цветов.

308
Математика
33. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только
24. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отве-
чать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос?
34. Вероятность того, что в течение одного рабочего дня
возникнет неполадка в определенном медицинском прибо-
ре равна 0,05. Какова вероятность того, что не произойдет
ни одной неполадки за 3 рабочих дня?
35. Три охотника одновременно стреляют в зайца. Шанс
на успех первого охотника расценивается как 3 из 5; второ-
го — 3 из 10; наконец, для третьего охотника они составля-
ют лишь 1 из 10. Какова вероятность того, что заяц будет
подстрелен?
36. Вероятность того, что в летнюю сессию студент сдаст
первый экзамен, равна 0,8; второй—0,9; третий — 0,8. Най-
ти вероятность того, что он сдаст только первый экзамен.
37. Предположим, что в некоторой семье имеется 2 ре-
бенка. 1) Какова вероятность того, что оба ребенка — де-
вочки? 2) Если известно, что, по крайней мере, один ребе-
нок девочка, то какова вероятность того, что обе—девоч-
ки? 3) Если известно, что старший ребенок — девочка, то
какова вероятность, что оба ребенка девочки?
38. Вероятность того, что в летнюю сессию студент
сдаст первый экзамен, равна 0.8; второй — 0,9; третий —
0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст хотя бы один
экзамен.
39. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе
из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения
цели при одном выстреле первым из орудий, если известно,
что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
40. Отдел технического контроля проверяет медицин-
ское изделие на стандартность. Вероятность того, что изде-
лие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из
двух проверенных изделий Только одно стандартное.

Гяава 4. Элементы теории вероятностей
309
4.2. Случайная величина
Случайной называют величину, которая принимает в ре-
зультате испытания то или иное возможное значение, зара-
нее не известное, меняющееся от испытания к испытанию и
зависящее от случайных обстоятельств.
Случайные величины могут быть дискретными и непре-
рывными.
Дискретной называют такую случайную величину, кото-
рая принимает счетное множество значений, т.е. такое мно-
жество, элементы которого можно подсчитать. Примером
дискретной величины является количество студентов на лек-
ции, число бракованных изделий в поставленной продук-
ции, число новорожденных за сутки.
Непрерывной называют такую случайную величину, ко-
торая может принимать любые значения в определенном
интервале. Занумеровать все значения величины, попада-
ющие даже в узкий интервал, принципиально невозможно.
Эти значения образуют несчетное бесконечное множество.
Например, температура тела пациента за определенный про-
межуток времени; дальность полета футбольного мяча,
объем утечки воды из городского водопровода.
Случайные величины обозначают прописными буквами
латинского алфавита X, У, Ζ, а их возможное значение —
соответствующими строчными буквами дг, у, z.
При многократных испытаниях определенные значения
случайной величины могут встречаться несколько раз. По-
этому для задания случайной величины недостаточно пе-
речислить лишь все ее возможные значения. Необходимо
также знать, как часто могут появляться те или иные значе-
ния в результате испытания при одних и тех же условиях,
т.е. нужно задать вероятности их появления.

310
Математика
4.2.1. Распределение дискретных
и непрерывных случайных величин
Случайная величина считается заданной, если известен
закон распределения случайной величины.
Распределением (законом) случайной величины называет-
ся всякое соотношение между возможными значениями слу-
чайной величины и соответствующими им вероятностями.
Распределение дискретной случайной величины может
быть задано в виде таблицы, в графическом и аналитиче-
ском виде.
Пусть дискретная случайная величина Л" принимает зна-
чения Х=х[9Х=х29...чХ=хп. Обозначим вероятности этих
событий соответственно: Р(Х = х{)=р{, P(X = x2)=pr...,
КХ=.\)=р„.
Таблица, содержащая возможные значения случайной
величины и соответствующие вероятности, является простей-
шей формой задания распределения дискретной случайной
величины:
1 Значение случайной
величины xf
[Вероятности значений pt
Х\
/>L.
Х2
Pi
...
...
х*
Ρ*
Так как в результате испытания случайная величина X
всегда примет одно из своих возможных значенийxv х2%...
xw, то эти случайные события образуют полную группу со-
бытий и
η
ΡΙ+Ρ2+:+Ρη=ΣΡ*=1'
Табличную формулу задания называют также рядом
распределения. Для наглядности ряд распределения можно
представить в графическом виде, где по оси абсцисс откла-
дываются значения случайной величины, а по оси ординат
вероятности этих значений.

Гиава 4. Элементы теории вероятностей 311
♦ Пример 4.14
Построить график ряда распределения значений частоты
пульса в гипотетической группе из 47 человек (табл. 4.1)
Таблица 4.1
Распределение частоты пульса в группе из 47 человек
[ Значения
случайной
величины
уд./мин
Значения
вероятности
P(Xi)
65
2
47
66
2
47
67
4
47"
68
5
47
69
7
47
70
1_
47
71
6
47
72
4
47
73
4
47
74
3
47
75
3
47
Решение:
По данным таблицы построен график (рис. 4.4), кото-
рый называется многоугольником распределения вероятно-
стей.
Р(хЛ
0J5\
0,1 \
0,05\
°{ 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 ^
Рис, 4Л. График распределения частоты пульса
в группе из 47 человек
В ряде практических случаев вместо вероятности того,
что случайная величина Л'принимает некоторое определен-
к

312
Математика
ное значение*,, необходимо знать, что случайная величина
X меньше хг Эта вероятность задается интегральной функ-
цией распределения.
Функция распределения определяет вероятность того, что
случайная величина X принимает значение, меньшее фик-
сированного действительного числа*, т. е.
F(x) = P(X<x).
Функцию распределения F[x) иногда называют интег-
ральной функцией распределения, или интегральным законом
распределения.
Функцию F\x) можно получить, суммируя значения ве-
роятностей по тем значениям случайной величины, кото-
рые меньше хр т. е.
FU/) = />(A'<x/)=£/>(.y/).
X<Xj
где неравенство x<xt под знаком суммы показывает, что
суммирование распространяется на все значения х, мень-
ше хг
♦ Пример 4.15
Используя данные таблицы 4.1, получить интегральную
функцию распределения частоты пульса.
Решение:
Интегральная функция распределения частоты пульса в
группе из 47 человек.
Таблица 42
Значения
случайной
величины
.ν,, уд./мин
Пх.)
65
0
66
2
47
67
4
47
68
8
47
69
13
47
70
20
47
71
27
47
72
33
47
73
37
47
74
41
47
75
44
47
76
1

Глава 4, Элементы теории вероятностей
313
Значения F(x) в таблице 4.2 получены следующим обра-
зом. Вероятность того, что Р(Х<65) = 0, так как значений
меньше 65 нет.
Тогда:
при х < 65 F(x) - Р(х<65) = 0 (в том числе и при х - 65);
2
при 65 < х < 66 F(x) = Р(х<66) = Р(х = 65) = —
(в том числе и при х = 66);
66 <х< 67 Я*) = ^(*< 67) =
(в том числе и при х = 67);
при 66 <х<67Я*) = ^(*<67) = Р(* = 65) + P(jc = 66) = —
при х > 75 Д*) = Р(х < 76) = Р(л = 65) + Р(х = 66) + ...
+ />(jc-75)=1.
График интегральной функции, поданным таблицы 4.2,
приведен на рис. 4.5.
F(xf> 1
0,*
0,й
0,4
0,2
О
■■ С '
Р£^
,,'
,-
f
У
m /
*7 '
/
/
,
w^
s
J™'
V
i^"
^
;
ж s 1
*~-
"**1
65 <ii 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 x.
Рис. 4.5, График интегральной функции
распределения частоты пульса
Для дискретной случайной величины график функции
распределения представляет собой разрывную ступенчатую
функцию. Когда переменная .ν принимает какое-нибудь из

Э14
Математика
своих возможных значений, функция распределения уве-
личивается скачкообразно на величину вероятности этого зна-
чения. Причем при подходе слева к точкам разрыва функция
сохраняет свое значение. На графике это отмечено черной
точкой. Сумма величин всех скачков функции F\x) равна 1.
Свойства функции распределения
1. Функция распределения случайной величины есть не-
отрицательная функция, заключенная между нулем и еди-
ницей:
0<Дх)<1.
2. Функция распределения случайной величины есть не-
убывающая функция на всей числовой оси, и для любых
α < β выполняется равенство:
Р(а<Х<$) = т-Па.)·
3. На минус бесконечности функция распределения рав-
на нулю, на плюс бесконечности — единице, те.
lim Лл*) = 0и IimF(A) = l.
х лг+Дд: х
Рис. 4.6. Функция распределения
непрерывной случайной величины

Гива 4. Элементы теории вероятностей
315
При возрастании числа значений случайной величины
(л—х») и увеличении количества интервалов на графике,
уменьшаются их ширины (Ах—»0) и функция распределе-
ния вместо ступенчатого, принимает плавньгй характер (пун-
ктир на рис. 4.5).
Таким образом, интегральная функция распределения
применяется для описания всех случайных величин — как
дискретных, так и непрерывных.
Согласно свойствам функции распределения, зная непре-
рывную функцию распределения случайной величины F(x),
можно определить вероятность попадания случайной вели-
чины X в некоторый интервал (х, х + Ах) (рис. 4.6).
f(x)\
Рис. 4.7. Плотность распределения
непрерывной величины
Р(х < X < х + Ах) = F{x + Ax)- Ях). (4.11)
Разделим левую и правую части этого выражения на Δλ-
и найдем предел при Av->0:
Да—»0 Δ-V Δ*-Λ Дд-
= F'(.v) = /(.v).

316
Математика
Функцию /(.х) называют дифференциальной функцией
распределения или плотностью распределения (плотностью
вероятности) непрерывной случайной величины X.
Плотность распределения непрерывной случайной вели-
чины есть предел отношения вероятности Ρ(Δλγ) попадания
случайной величины X в интервал Дх к величине этого ин-
тервала.
Геометрический смысл плотности распределения ве-
роятностей f{x) заключается в следующем (рис. 4.7), зная
f(x) можно вычислить вероятность того, что случайная ве-
личина примет значение, принадлежащее заданному интер-
валу (а, Ь):
ь
Р(а< X <b) = J f(x)dx = F(b)- F(a). (4.12)
a
Основные свойства дифференциальной
функции распределения
1. Для любых.г дифференциальная функция распределе-
ния неотрицательна, т.е./(х) > 0.
2. Для дифференциальной функции распределения имеет
место равенство:
β
P(a<X<$) = jf(x)dx.
а
3. Для дифференциальной функции распределения имеет
место равенство:
оо
Это свойство называется условием нормировки плотно-
сти вероятностей.
4. Для интегральной и дифференциальной функций рас-
пределения имеет место равенство:
л

Глава 4, Элементы теории вероятностей
317
♦ Пример 4.16
Случайная величина А"задана функцией распределения:
F<*) =
О при х<U
<*-0
1
при 1 < jc < 3,
при*>3.
Вычислить вероятности попадания случайной величины
Хв интервалы (1; 2) и (3; 4)-
Решение;
* 2-1 1-1
P2=F(4)-FO) = \-
3-1
= 1-1 = 0.
♦ Пример 4.17
Случайная величина X задана функцией распределения:
fO при jc < 2>
F(x) =
(Χ-2)2τφπ2<Χ<3,
1
прил>3.
Найти плотность распределения случайной величины.
Решение:
Согласно определению плотности распределения как пер-
вой производной функции распределения, имеем:
f(x) = F'(x) =
0 прид:>2>
2(х-2)при2<*<3,
О при л: > 3.

318
Математика
4.2.2. Числовые характеристики
случайных величин
Закон распределения полностью характеризует случай-
ную величину. Но при решении ряда практических задач нет
необходимости знать все возможные значения случайной
величины и соответствующие им вероятности, а удобнее
пользоваться некоторыми количественными показателями,
которые в сжатой форме дают достаточную информацию о
случайной величине. Такие показатели называются числовы-
ми характеристиками случайной величины Основными из
них являются:математическое ожидание, дисперсия и сред-
нее квадратическое отклонение.
Математическое ожидание характеризует положение
случайной величины на числовой оси, определяя некото-
рое среднее значение, около которого сосредоточены все
возможные значения случайной величины.
Математическое ожидание дискретной случайной вели-
чины равно сумме произведений всех возможных ее значе-
ний на соответствующие вероятности:
η
М(Х) = хм + х2р2 +...+ хпрп = £*,/>, <4·13)
Для непрерывных случайных величин с плотностью
распределения/Ον) математическое ожидание равно опре-
деленному интегралу:
ь
M{X) = fx-f{x)dx9 (4.14)
а
где а и b—пределы интегрирования, соответствующие край-
ним границам возможных значений X.
оо
В обшем случае Μ(X) = JV f(x)dx. (4.15)
Формула (4.14) получается из формулы (4.13), если в ней
заменить отдельные значения х. на непрерывно изменя-
ющейся параметр .ν, соответствующие вероятности pi — на
элемент вероятности A.xjrfv, конечную сумму — на интеграл.

Глава 4. Элементы теории вероятностей
319
Математическое ожидание является центром распределе-
ния вероятностей случайной величины X. На рисунке 4.8
приведены графики распределения случайной величины,
описанные одинаковым законом, но имеющие различные
значения математического ожидания.
Л?)
Ms>M2>Mj
Рис. 4.8
♦ Пример 4.18
Найти математическое ожидание дискретной случайной
величины Ху зная закон ее распределения.
Г х
Р_
-1
0,05
0
0,2
1
0,4
2
0,3
3
0,05
Решение:
По формуле (4.13) находим:
М{Х) = -\ 0,05 + 00,2 + 1 0,4 + 20,3 + 30,05 = 1,1.
♦ Пример 4.19
Найти математическое ожидание непрерывной случай-
ной величины X, зная закон ее распределения.
[О прих<0,
f{x)AX пРи0^^<^
|-* + 2 при1<д:<2,
[θ прил:>2.

320
Математика
Решение:
По формуле 4.14 находим:
2 I 2
M(x) = lxf(x)dx=fx2dx + jx(2-x)dx =
О 0 1
||
?
+ зг
0
2 v3|
х
!
1 3|
Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной величины рав-
но этой постоянной:
М(С) = С
2. Постоянный множитель можно выносить за знак ма-
тематического ожидания.
М(СХ) = СМ(Х).
3. Математическое ожидание алгебраической суммы слу-
чайных величин равно алгебраической сумме их математи-
ческих ожиданий:
М(Х± Y)=M{X)±M(Y).
Две случайные величины X и У называются независимы-
ми, если распределение одной из них не зависит от того,
какое значение приняла другая величина.
4. Математическое ожидание произведения независимых
случайных величин равно произведению их математиче-
ских ожиданий.
М(ХГ) = М(Х)М(П
5. Математическое ожидание отклонения случайной ве-
личины от ее математического ожидания всегда равно нулю:
М(Х-М(Х)) = 0.
Другой характеристикой центра распределения является
срединная точка, или медиана. Медина равна такому значе-
нию случайной величины, которое делит пополам площадь
под кривой плотности распределения (рис. 4.9)

Пива 4. Элементы теории вероятностей
321
Me
jf{x)dx = 0,5 или Р(Х > Me) = P(X< Me).
/w4
Рис. 4.9, Определение медианы случайной величины
Медиана менее чувствительна, чем математическое
ожидание к небольшому числу крайних значений.
Часто применяется еще одна характеристика положе-
ния—мода случайной величины.
Мода — это значение случайной величины, имеющее
наибольшую вероятность (рис. 4.10). Однако это определе-
ние подходит только для одномодальных распределений.
В общем случае мода — это такое значение случайной ве-
личины, что предшествующие и последующие за ними зна-
чения имеют меньшие вероятности. Например, на рис. 4Л 0
показано бимодальное распределение.
В случае симметричного одномодального распределения
математическое ожидание совпадает с модой и медианой.
Дисперсия характеризует рассеяние (отклонение) случай-
ной величины относительно математического ожидания.
Математическое ожидание квадрата отклонения случай-
ной величины X от ее математического ожидания М(Х) на-
зывают дисперсией случайной величины X и обозначают
гнягт.е.
ΕΚΧ) = Μ[Χ-Μ(Χ)Υ. (4Л6)
Для дискретных случайных величин эту формулу мож-
но записать в следующем виде;
Ι>(Χ) = ΣΙΧ<-Μ{Χ))2Ρ,. (4.17)
11 Зак 649

322
Математика
Рис 4*10. Одномодальное и бимодальное распределение
случайной величины
Для непрерывных случайных величин с плотностью ве-
роятностных):
во
D(*)= l[x-M(X)ff(x)dx. (4.18)
На рисунке 4.11 приведены графики плотности распреде-
ления случайных величин с одинаковыми значениями ма-
тематического ожидания, но различными дисперсиями. Сле-
дует отметить, что
JMx)dx= j/2(x)dx = l.

Гмжа 4. Элементы теории вероятностей
323
М(Х) х
• Рис. 4,11. Графики плотности распределения
случайных величин fj(x) uf2(x)
Размерность дисперсии равна квадрату случайной вели-
чины и ее неудобно использовать для характеристики раз-
броса, поэтому удобнее применять корень квадратный из
дисперсии — среднее квадратическое отклонение. Эта вели-
чина дает представление о размахе колебаний случайной
величины около математического ожидания.
с(сигма) = у]В(Х). (4.19)
♦ Пример 4,20
Случайная величина задана следующим рядом распре-
деления.
*
Ρ
-1
0,1 1
0
1 0,3 |
1
1 0,4
'"~2
_Р._2 1
Найти математическое ожидание и дисперсию этой вели-
чины.
Решение:
Для нахождения математического ожидания воспользу-
емся формулой (4.13), а для дисперсии — (4.17). Результаты
вычисления сведем таблицу 4.3
1Г

324
Математика
Χ
-1
0
1
Ι 2
ГУ
Ρ.
0,1
0,3
0,4
Ρ,2
1
XPi
-6,1
0
0.4
0,4
0,7
Χ, - Μ(Χ)
-1,7
-0,7
0,3
1,3
[x,-M(X)Y
2.89
0,49
0,09
1,69
Таблица 4.3
[Х)-М(Г)]2р, Ι
0,289
0,147
0,036
0,338
0,81 J
Из таблицы следует, что М(Х) = 0,7; D{X) = 0,81.
♦ Пример 4.21
Случайная величина задана плотностью вероятности:
[0 при*<0,
{2х при 0 < х < 1,
[О при х > 0.
Найти математическое ожидание и дисперсию этой слу-
чайной величины.
Решение:
Математическое ожидание найдем по формуле (4.14).
/00 =
<
'_2
о 3
Л/(ЛГ)= jxf(x)dx = J2x2dx = —
~оо 0
Далее по формуле (4.18) получаем:
D(X)= \(x-M(x))1f(x)dx^ J Lv-| \lxdx =

Глава 4. Элементы теории вероятностей
325
Основные свойства дисперсии
1. Дисперсия алгебраической суммы двух независимых
случайных величин X и Υ равна сумме дисперсий этих
величин, т.е.
D(X±Y) = D(X)±D(Y).
2. Дисперсия постоянной величины С равна нулю,
т.е. ДС) = 0.
3. Постоянный множитель С случайной величины X
можно выносить за знак дисперсии, предварительно возве-
дя его в квадрат, т.е.
D(CX)=C2D(X).
т
4. Дисперсия случайной величины Я"равна разности меж-
ду математическим ожиданием квадрата случайной вели-
чины и квадратом ее математического ожидания, т.е.
D{X) = М(Х*) - [M(X)f. (4.20)
Последняя формула более удобна для вычислений, чем
формула (4.17).
4.2.3- Законы распределения непрерывных
случайных величин
Распределение вероятностей носит название теоретиче-
ского распределения случайной величины. Теоретические
распределения получают исходя из некоторых предполо-
жений относительно простейших закономерностей данно-
го явления. Знание теоретических законов распределения
изучаемых случайных величии позволяет оценивать их па-
раметры, определить допустимые отклонения от истин-
ных значений, проверять гипотезы и т.д.
Рассмотрим наиболее распространенные законы распре-
деления непрерывных случайных величин.

326
Математика
4.2.3Л. Равномерное распределение
Равномерным называется распределение непрерывных
случайных величин, все значения которых лежат на отрезке
[а% Ь] и имеют постоянную плотность вероятности на этом
отрезке (рис. 4.12).
f<x)h
Рис. 4.12. График равномерного распределения
График равномерно распределенной случайной величи-
ны может быть описан следующей функцией:
(Оприжа,
f{x) = \ с при а < х < Ь,
[Оприх>Ь.
Учитывая, что площадь под кривой распределения рав-
на 1, получим:
Ь \Ь 1
J f(x)dx = J cdx = cx\ = с{Ь - a) = 1, отсюда с .
L a \a b-a
Тогда плотность вероятности случайной величины, рав-
номерно распределенной на отрезке [а, Ь], имеет вид:
|0 при х < а,
/U) =
7 при а <х<Ь,
Ъ-а
О при л > Ь.

Гяава 4. Элементы теории вероятностей
327
Математическое ожидание равномерного распределе-
ния равно:
М(Х) = f х f{x)dx = — \xdx = —— ·£-
J b-aJ b-a 2
-ж а
1 b2-a2 b + a
2 b-a 2
♦ Пример 4.22
Вычислить дисперсию и среднее квадратическое откло-
нение для случайной величины с равномерным распределе-
нием.
Решение:
Используем формулу (4.20), согласно которой D(X) =
= M{P)-[M{X)?.
ь Л
М(Х2) = f x2f(x)dx = \^—dx =
1 J b-a
3(b-a)
Ь3-аъ _b2+ab + a2
Xb-a) 3
Тогда Z>UO =
b2+ab + a2 (a + bf (b-a)2
12
b-a
a.jm-%
Вероятность попадания случайной величины, имеющей
равномерное распределение, на интервал (α, β), лежащий
на отрезке [я, Ь]ч равна:
P(a<X<$)=[f(x)±c = {-™L = ^
Равномерное распределение часто используется для ге-
нерирования случайных чисел.

328
Математика
4*2.3.2. Экспоненциальное распределение
Случайная величина называется распределенной поэкс-
поненциапъному закону, если ее плотность распределения
имеет вид (рис. 4.13):
[Оприл:<0,
прил:>0.
О t
Рис, 4*13. Экспоненциальное распределение
Определим математическое ожидание показательного
закона распределения:
M(X) = jxXe~Xxdx =
о
Дисперсия:
ее
D(X ) = | x2Xe-^dx - [Μ (Χ)? =
λ
Ν
ο
-Je-**~ е-**-2-е-Ъ<
-J_=jL__L-JL
|q Л A A λ
Среднее квадратическое отклонение:
а = 7/)(^)=1;т+е. М(Х) = а(Х) = ^
А А
Экспоненциальным законом описываются случайные
величины, выражающие время безотказной работы уст-
ройств или их отдельных элементов.
Вероятность попадания случайной величины X в интер-
вал (α, β) определяется по формуле:

Глава 4. Элементы теории вероятностей
329
Р(а < X < β) = jXe^dx = -β_λΧ
= *"*"-«Г**.
α
♦ Пример 4.23
Непрерывная случайная величина X распределена по
показательному закону:
iO при х < О,
[4*~**при*>0.
Найти вероятность того, что результаты испытания X
попадут в интервал (0,2; 0,5).
Решение:
По формуле Р{а < X < β) = <Γλα - <Γλρ имеем:
Р(0Д < X <0,5) = е"40*2 -е"40'5 = 0,4493 -0Д353 = 0,314.
4.2.3.3. Нормальный закон распределения
Одним из наиболее важных н часто используемых рас-
пределений непрерывных случайных величин являетсяяяр-
маяьноераспределение (законГаусса).
Теоретическим обоснованием частого использования
нормального распределения является одна из центральных
предельных теорем. Согласно этой теореме распределение
среднего η независимых случайных величин, распределен-
ных по любому закону или даже имеющих η различных
распределений с конечным математическим ожиданием и
дисперсией, при увеличении числа наблюдений в выборке
приближается к нормальному. Таким образом, если слу-
чайная величина подвержена достаточно большому числу
независимых «небольших» воздействий, то можно ожидать,
что эта случайная величина будет иметь распределение, близ-
кое к нормальному. Этим объясняется широкое использо-
вание нормального закона распределения в теории вероят-
ностей,

330
Математика
Однако в тех случаях, когда имеет место воздействие
одного фактора и значительное его превышение над други-
ми более мелкими факторами, нельзя использовать нор-
мальный закон распределения. Необходимо соответству-
ющее теоретическое обоснование выбора закона распреде-
ления или экспериментальная проверка соответствия тому
или иному закону распределения.
Непрерывная случайная величина X имеет нормальное
распределение вероятностей с параметрами а и σ, если ее
плотность распределения задается формулой:
/<*) = —ττ*
σν2π
где а — математическое ожидание случайной величины;
σ2 — дисперсия случайной величины; σ — среднее квадра-
тическое отклонение. Кривая нормального закона распре-
деления имеет колоколообразную форму, симметричную
относительно математического ожидания (рис. 4.14).
Л*) к
а\ *2 х
Рис. 4,14. Графики плотностей
нормального распределения с разными аиа
Основные свойства графика нормального распределения
1. Областью распределения функции /(а) является вся
числовая ось.

Ттммш 4. Элементы теории вероятностей
331
2. Функция fix) может принимать только положитель-
ные значения, т.е./(д:)>0.
3. Предел функции Дх) при неограниченном возраста-
нии \х\ равен нулю, т.е. ось Ох является горизонтальной
асимптотой графика функции.
4. Функция/(х) имеет в точке х-а максимум, равный
1
5. График функции/(х) симметричен относительно пря-
мой х = а.
6. Кривая нормального распределения в точкахх = а ± σ
юнеет перегиб.
Параметра характеризует положение графика на число-
вой оси (параметр положения), а σ характеризует степень
сжатия или растяжения графика относительно оси а (пара-
метр сжатия). Площадь под кривой во всех случаях должна
быть одинаковой и равной 1 (условие нормировки).
Если случайная величина подчинена нормальному за-
кону распределения с параметрами а и σ, то это можно крат-
ко записать как X ~ ЩаУ σ).
Рассмотрим определение вероятности попадания нор-
мально распределенной случайной величины в заданный
интервал. Для этого используется специальная функция,
которая называется функцией Лапласа.
2 " ~
Ф(и) = -£=[е 2du
Значения этой функции приведены в Приложении 2
(табл. 1).
Функция Лапласа обладает следующими свойствами:
Ф(0) = 0; Ф(оо) = 1; ф(_„) = _ф( иу
Для использования табулированных функций Лапласа
необходимо перейти к стандартной случайной величине

332
Математика
х-а
)=Jaza<xza<t^
[а σ σ j
w . Тогда вероятность попадания случайной величи-
ем
ны в интервал (а, р) можно записать:
Ρ(α<.Χ<β) =
Отсюда следует
P(a<x<^ = F(u2)-F(Ul),
где F\u) — интегральная функция распределения, которая
связана с функцией Лапласа следующим соотношением:
Р(и) = ± + ±Ф(и).
Тогда Р(а<Х <$) = -Ф(и2)--Ф(и{).
♦ Пример 4,24
Найти вероятности попадания случайной величины X в
интервалы (-σ, σ); (-2σ, 2σ); (~3σ, 3σ) (рис. 4Л 5).
Решение:
_Ιφ(α-α-α
2 σ
1. Ρ(α-σ<Χ<α + σ) = -Φ[
2 \ σ )
=Ιφ(1)_1φ(_1)=1[Φ(1)+Φ(1)]=φ(1)
По таблице № 1 (Приложение 2) находим Ф(1) = 0,6827,
тогда Р(а - а < X < а + σ) = 0.6827.
2.Ρ{α-2σ<Χ<α+2α)
■ii
(а+2а-а\
= Ιφ(2)-1φ(-2) = Φ(2) = 0,9545.
)
3 Ρ(α-3σ<Χ<α+3σ) = -
2
Η-ψ")
-φ
-φ
= -Φ(3)--Φ(-3) = Φ(3)«0,9973.
а-2с-а
а-Ъа-а

Гяава 4. Элементы теории вероятностей
333
Рис. 4.15. Распределение площадей под кривой плотности
стандартного нормального распределения
Полученные данные показывают, что на расстоянии σ
по обе стороны от математического ожидания находится
68,5% возможных значений случайной величины, в диапа-
зон ±2σ попадает 95,4%, а в диапазоне ±3σ (трех сигм) на-
ходится 99,86%, т.е. практически все возможные значения
случайной величины X.
Отсюда вытекает правило «трех сигм»: Если случайная
величина X имеет нормальный закон распределения с парамет-
рами а и G2, то ее значения практически не выходят за ин-
тервал (а - 3σ; α + 3σ).
4.2.3-4. Распределение %г (хи-квадрат)
Распределением %2 с к степенями свободы называется рас-
пределение суммы квадратов к независимых случайных ве-
личин, распределенных по стандартному нормальному за-
кону, т.е.
х2-Х^
/=1

334
Математика
где Ζ, (/ = 1, 2, ..., к) имеет нормальное распределение
#(0; 1).
Кривые х2 — распределение для различных значений
числа степеней свободы к приведены на рисунке 4.16. Вид-
но, что с увеличением к распределение медленно прибли-
жается к нормальному.
0,511
0.3 +
0,2 + \Х ,к=6
0,1+к=\
к=2
=3-
V 2 4 6 8 10 12 14 х
Рис. 4.1а. Распределение х2
В приложении 2 (табл. 3) приведены числовые значения
распределения х2 при некоторых к.
4.2.3.5. Распределение Стьюдента ((^распределение)
Распределением Стьюдента (или ^распределением) назы-
вается распределение случайной величины
Ζ
f =
¥7
V /к
где Ζ — случайная величина, распределенная по стандарт-
ному нормальному закону, т.е. N(0; 1): х2 — независимая
от Ζ случайная величина, имеющая х2-распределение с
к степенями свободы.

Гкава 4. Элементы теории вероятностей
335
Графики кривых распределения Стьюдента и нормально-
го распределения приведены на рисунке 4.17. При /с-><» кри-
вая /-распределения приближается к нормальному. Как видно
из рис. 4.17, кривая /-распределения симметрична относитель-
но оси ординат, следовательно, M(t) = 0. В Приложении 2
приведены табличные данные распределения Стьюдента.
Нормальная
кривая 7V(0;1)
-3 -2 -/
Рис. 4.17. t-распределение
4.2.3.6. Распределение Фишера-Снедекора
(^-распределение)
Распределением Фишера-Снедекора (F-распределением)
называется распределение случайной величины
F =
где х2(0 и хНк) — случайные величины, имеющие х2-рас-
пределение соответственно с / и к степенями свободы.
На рисунке 4.18 приведены кривые /^распределения при
некоторых значениях числа степеней свободы / и к. В При-
ложении 2 приведена таблица распределения Фишера-Сне-
декора.

336
Математика
1=10, к =50
1=4, к = 100
»' / 2 3
Рис. 4.18. F-распределение
Задания для самостоятельно решения
41. Случайная величина Л'задана законом распределения:
X,
Pi
2
0,1
3
0,4
10
0,5
Найти математическое ожидание и среднее квадратиче-
ское отклонение о(Х). Построить многоугольник распреде-
ления.
42. Найти дисперсию случайной величины X, зная закон
ее распределения. Построить многоугольник распределения.
*;
Pi
0,1
0,4
2
0,2
10
0,15
20
0,25
43. Найти дисперсию случайной величины X, зная закон
ее распределения. Построить функцию распределения F{X).
X,
Р.
-' I '
),48 | 0,01
0,09
0,42
44. Найти среднеквадратическое отклонение о{Х) случай-
ной величины X, зная закон ее распределения. Построить
функцию распределения F{X).

Гвааа *. Элементы теории вероятностей
337
р.
-1
0.19
1
0,51
0,25 I 0,05
45. Найти математическое ожидание и дисперсию слу-
чайной величины X, зная закон ее распределения.
X,
Pi
3
0,1
5
0,6
2
0,3
46. Найти дисперсию случайной величины X, которая
задана законом распределения. Найти функцию распреде-
ления.
X,
Р,
0,1
-Li
0,3
47. Дискретная случайная величина X имеет закон рас-
пределения:»
X, I 0,2 I 0,4 I 0,6 I 0,8
Р, | 0,1 | 0,2 | 0,4 j Л | 0,1
Чему равна вероятность />4(А'=0,8)? Построить много-
угольник распределения. Найти математическое ожидание
и дисперсию.
48. Дискретная случайная величина X имеет закон рас-
пределения:
X,
Pi
3
Р\
4
0.15
5
Л
6
0,25
7
0,35
Найти вероятность Рх{х = 3) и Р3(х = 5), если известно,
что Ρλ в 4 раза больше Рг Построить многоугольник рас-
пределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.
49. Функция распределения случайной величины Л" име-
ет вид:
[О прих<0,
2
F(x) =
1 + х
упри*>0.
Найти ее плотность распределения.

338
Математика
50· Случайная величина X задана функцией распределе-
ния Fix). Найти плотность распределения вероятностей и
математическое ожидание.
[О при х < 1,
fuH
i*--x)
при 1 < х < 2,
11 при х>2.
51. Функция распределения случайной величины А'име-
ет вид:
[0 при х < 0,
F(x) = \ х" при 0 < д: ^ 1,
1 при х > 1.
Найти ее плотность распределения, математическое ожи-
дание и дисперсию.
52. Случайная величина X подчиняется закону распреде-
ления с плотностъю/(х), равной:
f 0 при х < 0,
/(*> =
а(3х-х2) при0<д:<3,
0 при*>3.
Найти коэффициента и определить вероятность попада-
ния X в промежуток (1,2).
53. Случайная величина X задана функцией распреде-
ления:
[0 при х < 2,
Р(*) = |(х-2)2при2<х<3,
[1 прих>3.
Вычислить вероятность попадания случайной величины
X в интервал (2,5; 3,5).
54. Дана функция плотности распределения случайной
величины X:

Ibama 4. Элементы теории вероятностей
339
[О при jc < 0;
f(x) = \asmx при0<л<и;
[0 при x>it
Найти коэффициента и функцию распределения вероят-
ности F{X).
55. Случайная величина Л"задана плотностью распреде-
ления:
[0 при*<0,
/(х) = Ш4х-х*)хфиО£хй2,
О придс>2.
Найти коэффициента и математическое ожидание.
56. Дан рад распределения дискретной случайной вели-
чины: *
X,
Pi
5
0.05
10 Ι 15
0,2 I 0,35
20
0,25
25
0,1
30
0,05
Найти моду.
57. Случайная величина имеет равномерное распределе
ние на отрезке [3,8]. Найти вероятность попадания случай
ной величины в промежуток (4,6).
58. Для какого значения а функция
[0 прих<0,
ае
/(*) =
прих>0,
является плотностью распределения показательного закона?
59. Случайная величина А" распределена по нормально-
му закону с математическим ожиданием а = 40 и дисперси-
ей D(x) = 200. Найти вероятность попадания случайной ве-
личины в интервал (30, 80).
60. Математическое ожидание количества болельщиков,
посещающих спортивные мероприятия, равно 950 со сред-
ним квадратическим отклонением 150. Считая, что данная

340
Математика
случайная величина подчиняется нормальному закону рас-
пределения, найти вероятности:
a) болельщиков окажется больше 1 250 человек;
b) меньше, чем 850 человек;
c) будет находиться между 800 и 1 300 человек.
4.3. Основы математической статистики
4.5-1. Задачи математической статистики
Математическая статистика — это раздел математи-
ки, изучающий методы сбора, систематизации и обработки
результатов наблюдений массовых случайных явлений с це-
лью выявления существующих закономерностей.
Согласно определению в центре внимания математиче-
ской статистики, как и теории вероятностей, находятся мас-
совые явления. Однако если в теории вероятностей рассмат-
риваемые законы распределения случайных величин и их
характеристики были заранее известны, то при решении
задач математической статистики положение совершенно
иное. Единственный способ получения информации о слу-
чайной величине — это проведение экспериментов. И все
характеристики должны быть получены по эксперименталь-
ным данным.
При этом надо иметь в виду, что всякий эксперимент свя-
зан с ошибками наблюдений и измерений, поэтому харак-
теристики получаются приближенными. Кроме того, при
проведении опытов всегда приходится иметь дело с ограни-
ченньш-количеством экспериментальных данных, что так-
же сказывается на точности полученных выводов. Поэтому
одна из основных задач математической статистики состоит
в том, чтобы по экспериментальным данным сделать выво-
ды о параметрах распределения, например определить их
приближенные значения (оценки) и указать ошибку их оп-

рыша 4. Элементы теории вероятностей
341
рсделения. Кроме того, важным разделом является статис-
тическая проверка предположений (гипотез) о законах рас-
пределения случайных величин, равенстве математических
ожиданий, дисперсии и т.п. Таким образом, основные зада-
чи математической статистики заключаются в следующем:
1) статистическое оценивание параметров законов рас-
пределения;
2) статистическая проверка гипотез.
4.3*2. Генеральная совокупность и выборка
Обычно исследования проводятся не на единичных, а на
групповых объектах, объединенных по какому-либо при-
знаку. Совокупность таких относительно однородных, но
индивидуально различных единиц наблюдения, объединя-
емых по некоторым качественным или количественным,
признакам, характеризующим эти объекты, называется со-
вокупностью.
Чтобы получить исчерпывающую информацию о состоя-
нии той или иной статистической совокупности, нужно учесть
весь ее состав без исключения. Однако не всегда приходится
прибегать к сплошному обследованию изучаемых совокуп-
ностей. Поэтому часто анализу подвергается какая-то часть,
по которой и судят о состоянии всей совокупности в целом.
Совокупность всех мыслимых наблюдений или мысленно
возможных объектов исследования называется генеральной
Генеральная совокупность есть понятие условно мате-
матическое или абстрактное, а на практике обычно исполь-
зуется часть членов генеральной совокупности, которая
носит название выборки, или выборочной совокупности.
Например, чтобы дать ответ об эффективности некото-
рого препарата для лечения гриппа, необходимо его про-
верить в отношении всех больных, страдающих этим забо-
леванием на земном шаре. Такая группа больных относит-
ся к генеральной совокупности. На практике клиническая

342
Математика
апробация препаратов проводится на ограниченном кон-
тингенте больных (выборочной совокупности).
Сущность выборочного метода заключается в том, что-
бы по свойствам части (выборки) судить о численных ха-
рактеристиках целого (генеральной совокупности).
Ввиду неполного отображения выборкой статистических
характеристик генеральной совокупности необходимо: во-
первых, организовать получение выборки так, чтобы она
наиболее полно характеризовала свойства и особенности
генеральной совокупности {репрезентативность выборки);
во-вторых, в каждом конкретном случае устанавливать,
с какой уверенностью можно перенести результаты выбо-
рочного наблюдения на всю генеральную совокупность.
Для выполнения первого условия необходимо, чтобы
выборка быпа типичной и объективной, что достигается ис-
пользованием принципа случайного отбора объектов ис-
следования из генеральной совокупности.
Выделяют два метода проведения исследования: повтор-
ный и бесповторный. В первом случае все объекты после
проведения наблюдений над ними возвращаются обратно
в генеральную совокупность. При бесповторном отборе
выбранный объект обратно в генеральную совокупность не
возвращается.
4.3- 3- Статистическое распределение
(вариационный ряд). Гистограмма. Полигон
В ходе экспериментов исследователь получает набор чис-
ловых данных, отражающих результаты измерений или
наблюдений исследуемых объектов. Совокупность этих
числовых данных, представленных в виде последователь-
ности результатов наблюдений х{, хг ..., хя, есть выборка из
генеральной совокупности. Основная задача первичного ста-
тистического анализа состоит в том, чтобы по имеющимся
экспериментальным данным охарактеризовать исследуемую
генеральную совокупность-небольшим числом параметров.

ГЬава 4. Элементы теории вероятностей
343
Если полученные данные расположить в порядке убыва-
ния или возрастания числовых значений исследуемого при-
знака, то такой ряд чисел будет называться вариационным
рядом.
В том случае, когда среди числовых данных есть одина-
ковые значения, их можно представить в виде таблицы.
В первой строке таблицы указываются значения признака
(варианты), а во вторюй— абсолютные или относительные
частоты их встречаемости. Такое представление вариацион-
ного ряда еще называют статистическим распределением.
Статистическим распределением выборки называют пе-
речень вариант и соответствующих им частот или относи-
тельных частот.
♦ Пример 4-25 »
Ежедневное количество студентов, посещающих методи-
ческий кабинет на протяжении ряда дней, следующее: 15,17,
16,18,20,21,18,17,20,15,18,17,16,19,17,16,18,19,18,19.
Составить статистическое распределение выборки.
Решение:
В первой строке таблицы укажем встречающиеся значе-
ния посещений, во второй — количество таких значений и,
наконец, в третьей — относительную частоту этих значений.
1 Значения приз-
нака х,
1 Частота встре-
чаемости т,
ГОтносительная
| частота/ = т,/п
15
2
0,1
16
3
0.15
17
4
0,2
18
5
0,25
19
3
0,15
20
2
0,1
21
1
0,05
Для графического изображения статистического распре-
деления строят полигоны или гистограммы. Гистограммой
называется график, по оси абсцисс которого отложены гра-
ницы классов, а по оси ординат—их частота (рис. 4.19).

344
Математика
Для построения гистограммы весь диапазон измеряемой
величины (от минимального до максимального) разбива-
ется на равные интервалы, называемые классами. Ширину
интервала можно определить по формуле Стерджеса:
I _ -Ymax ~-*π!1π
l + 3,32lg* '
где h — ширина интервала; лтах — максимальное и хтт —
минимальное значения выборочной величины; η — коли-
чество выборочных данных.
Зная ширину интервала, определяют количество интер-
валов. Однако эта формула носит эмпирический характер и
на практике количество интервалов выбирают в пределах
7-12. После выбора количества интервалов устанавливают
границы классов (С,) и срединные значения классов (СД
где С, = ~* ^L — середина /-го класса; / = U2, ...: к —
количество классов. Затем определяютmi—количество зна-
чении выборочных данных, которые попадают в тот или
иной класс. После просмотра всех выборочных данных по
значениям /и. строят гистограмму. По этой гистограмме
можно построить нормированную гистограмму, в которой
каждое значение/w, заменяется на у-\ = —-.
Получение нормированных гистограмм позволяет срав-
нивать гистограммы, построенные на одних и тех же гра-
ницах классов, но имеющих различный объем выборки.
♦ Пример 4.26
Построить гистограмму для примера 4.25.
Решение:
Интер-
вал
| ™<
\ /
14.5-
15.5
2
0,1
15,5-
16,5
3
0,15
16,5-
17,5
4
0,2
17,5-
18.5
5
0,25
18,5-
19,5
3
0,15
19,5-
20.5
2
0,1
20,5-
21,5
1
0,05 1

ГЬава 4. Элементы теории вероятностей
345
/,·
0,3
Л 1 ,
0,2
0,1
к
/
; λ
LfJ
f
Ы
/
L+J
π
L-н
ч
L-h
η^
Ы
4-L-
»
u IS 16 17 18 19 20 21 *;
Рис. 4.19
Полигон частое можно получить из гистограммы путем
соединения срединных значений классов (рис. 4.19). График
полигона частот (или относительных частот) легко постро-
ить и по статистическому распределению. На оси абсцисс,
из точек дгл проводятся перпендикуляры высотой т/п и со-
единяются ломаной прямой.
При неограниченном увеличении числа наблюдений и
увеличении количества классов ширина прямоугольников
гистограммы будет уменьшаться и середины верхних кон-
цов верхних концов прямоугольников сольются в одну
сплошную плавную линию, которая в пределе станет гра-
фиком плотности вероятности, характеризующим распре-
деление генеральной совокупности.
Построение полигонов к гистограмм позволяет произ-
вести первичный анализ экспериментальных данных, а имен-
но: по форме гистограммы сделать предположение о зако-
не распределения случайной величины; выявить наиболее
часто встречающиеся значения исследуемой величины и
разброс или отклонение относительно тгого значения.

346
Математика
4.4. Характеристики положения
и рассеяния статистического
распределения
В разделе теории вероятностей были рассмотрены чис-
ловые характеристики случайных величин: математическое
ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
Аналогичные числовые характеристики вводятся и для вы-
борочных данных. Выборочные аналоги можно определить
как из результатов наблюдения, представленных в виде пос-
ледовательности х,, х2,..., хщ9 так и предварительно сгруп-
пированых в виде статистического распределения или гис-
тограммы.
Аналогом основной характеристики положения матема-
тического ожидания случайной величины является выбороч-
ное среднее:
Σ*!
3c^iiL_. (4.21)
η
Если данные представлены в виде гистограммы, то
*6-Σ/Λ, (4.22)
где Q — срединное значение i-ro интервала;/ — относи-
тельная частота попадания в данный интервал;/:—количе-
ство интервалов.
Кроме математического ожидания, параметрами, харак-
теризующими центр статистического распределения, явля-
ются медиана и мода.
Медиана (Me)—структурная средняя, относительно кото-
рой вариационный рад делится на две равные части: по обе
стороны от Me располагается одинаковое число вариант.
Если η — нечетное число, то медиана равна значению
-j- — упорядоченного наблюдения, если же η — четное

Ifema 4. Элементы теории вероятностей
347
число, то медиана равна среднему значению вариант с но-
мерами (я/2) и [(я/2) + 1].
♦ Пример 4.27
Дан вариационный ряд 5, 7, 8, 10, 12, 14, 18. Найти ме-
диану.
Решение:
Медианой этого ряда будет центральная варианта, т.е.
Me = 10, по обе стороны от нее находится по три варианты.
Если выборочные данные представлены в виде гисто-
граммы, то медиана определяется следующим образом.
Вначале находится класс, ияи интервал, в котором — ме-
диана. Для этого необходимо сложить частоты интерва-
лов от меньших к большим значениям классов до величи-
ны, превосходящей till. Тот класс, прибавления частот ко-
торого, превысит л/2, будет соответствовать медианному
классу.
Далее определяем значение медианы по формуле:
( η
Me = хМе + А
#=1
т
Me
(4.23)
\ J
гдехМе — нижняя граница интервала, в котором находится
медиана; ^т, — накопленная частота домадианного ин-
тервала; А — ширина интервала;тш — частота медианно-
го интервала; л — объем выборки.
♦ Пример 4.28
Найти медиану для примера 4.26.
Решение:
Занесем данные примера 4.26 в таблицу 4.4.

348
Математика
1 Интер-
1 вал Χ
14,5-15,5
15,5-16,5
16,5-17,5
1 17,5-18,5
т,
2
3
4
5
Σ™'
2
5
9
14
Интер-
вал Χ
18,5-19,5
19,5-20,5
20,5-21,5
Щ
3
2
1
Таблица 4.4
Σ™' Ι
17
19
20
Согласно условию задачи л = 20, тогда л/2 = 10. Следова-
тельно, частота медианного интервала тш = 5, а сам интер-
вал 17,5-18,5. По формуле (4.23) получаем:
Afe = 17,5 + l·
'10-9
= 17,7.
Мода (A/q) — это такое значение случайной величины,
что предшествующие и следующее за ним значения имеют
меньшие вероятности.
На гистограмме класс, имеющий наибольшую частоту,
называется модальным. Значение моды определяется по сле-
дующей формуле:
( ~ ~. Л
Л/п=х„+Л
tt%2 —ТП\
\2т2 -т} ~т3
(4.24)
где хн — нижняя граница модального класса, т.е. класса с
наибольшей частотой (л?2); т{ — частота класса, предше-
ствующего модальному; пгъ — частота класса, следующего
за модальным; А — ширина интервала.
♦ Пример 4.29
Найти значение моды для примера 4.26.
Решение:
Из данных таблицы следует, что нижняя граница класса
с наибольшей частотой (т2 = 5) равна хн = 17,5; частота
предшествующего класса — т{ =.4, а следующего за мо-
дальным классом — тъ = 3; h = 1.

Гяава 4. Элементы теории вероятностей
349
Тогда по формуле (4.24):
5-4
Л/0=17,5 + 1
= 17,83.
10-4-3/
Для характеристики рассеяния вариант относительно сво-
его выборочного среднего jtj, вводят характеристику, на-
зываемую выборочной дисперсией, которая является анало-
гом дисперсии генеральной совокупности и равна:
Квадратный корень из выборочной дисперсии называет-
ся выборочным среднеквадратическим отклонением:
Sb=J$,. (4.26)
Если данные представлены в виде гистограммы, то
к _
Sl^iCi-Xbffa (4.27)
7=1
где С,- — срединное значение /-го интервала;^— относи-
тельная частота попадания в i-й интервал; к — количество
интервалов.
Иногда, для сравнения вариабельности признаков, име-
ющих различную размерность, применяют безразмерный
показатель, который называется коэффициентом вариации.
Этот показатель представляет процентное отношение сред-
него квадратического отклонения к выборочной средней:
Ч
4.5. Оценка параметров генеральной
совокупности по ее выборке
Характеристики нормального закона распределения
М(Х), D(X) и σ( А"), для генеральной совокупности представ-
ляют собой постоянные величины или параметры. По от-
ношению к ним соответствующие выборочные характерис-

350
Математика
тики xb, S£ и Sh являются оценками генеральных парамет-
ров, т. е. приближенными значениями параметров генераль-
ной совокупности.
Оценкой параметра генеральной совокупности называ-
ют всякую однозначно определенную функцию результа-
тов наблюдений, с помощью которой судят о значении па-
раметра.
Оценки подразделяются на точечные и интервальные.
Точечной называют оценку, которая определяется одним
числом. Основными свойствами оценок являются свойства
несмещенности, эффективности и состоятельности.
Точечную оценку θ * параметра θ называют несмещенной,
если ее математическое ожидание равно оцениваемому па-
раметру Θ, т.е. Λ/(θ*) = θ.
Требование несмещенности гарантирует отсутствие
систематических ошибок при оценке параметров.
Так как оценка θ *—случайная величина, значение кото-
рой изменяется от выборки к выборке, то величину ее от-
клонения от истинного значения параметров θ можно оха-
рактеризовать дисперсией /)(θ*).
Несмещенную оценку Θ*, которая имеет наименьшую
дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок па-
раметра Θ, вычисленных по выборкам одного и того же
объема, называют эффективной оценкой.
Оценку Θ* параметра θ называют состоятельной, если
при увеличении числа независимых наблюдений (/*-»<») с
вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что
разность между Θ* и θ по абсолютной величине меньше сколь
угодно малого положительного числа ε, или
ton /φ*-θ|<ε)=1.
Рассмотрим, какие выборочные характеристики лучше
всего оценивают математическое ожидание и дисперсию.
Если из генеральной совокупности взять А: независимых
выборок одинакового объема, то вычисленные по этим дан-

Глава 4. Элементы теории, вероятностей
351
ным выборочные средние xbl;xb2\..jcbk будут распределе-
ны по нормальному закону, а их математическое ожида-
ние равно математическому ожиданию генеральной сово-
купности:
М(хь) = М(Х).
Таким образом, выборочное среднее хъ является несме-
щенной оценкой математического ожидания генеральной
совокупности. При увеличении объема выборки (гс->«) зна-
чение выборочного среднего стремится к параметру гене-
ральной совокупности с вероятностью, близкой к единице,
т.е. данная оценка является состоятельной. Касаясь эффек-
тивности оценки, приведем без доказательства важный для
практики вывод. Если случайная величина X распределена
по нормальному закону, то несмещенная оценка математи-
ческого ожидания имеет минимальную дисперсию, равную:
D(xb)^. (4.27)
п
Таким образом, оценкой математического ожидания слу-
жит выборочная средняя:
гдех. — значение выборочных данных; η — объем выборки.
Если данные представлены в виде вариационного ря-
да, то:
1 *
*=-Σ'ν<^> (4-29)
п ы
где*.— варианта выборки;/я. — частота встречаемости ва-
рианты х:7 к — число классов.
Ранее, по аналогии с дисперсией генеральной совокуп-
ности, была введена выборочная дисперсия:
где η — объем выборки.

352
Математика
Можно показать, что для к независимых и равных вы-
борок из генеральной совокупности, математическое ожи-
дание их дисперсий отлично от дисперсии генеральной со-
вокупности:
M{S2b)=~D(X),
η
т. е. данная оценка дисперсии является смещенной. Для по-
лучения несмещенной точечной оценки дисперсии генераль-
ной совокупности необходимо использовать формулу:
52=-^Σ(^-Χ)2. (430)
Для вариационного ряда:
S2=^£(*,-*)V (4·31)
Эту оценку называют исправленной выборочной дисперси-
ей. Однако эта поправка существенна при малых значениях
л, при η > 50 практически нет разницы между оценками SP и
Sb2. Можно показать, что оценки S2 и Sb2 являются состоя-
тельными оценками D(x).
Выборочной оценкой среднего квадратического откло-
нения будет:
С учетом полученной оценки генеральной дисперсии (4.27),
выражение для дисперсии выборочной средней равно:
S2
П
Тогда оценка среднего квадратического отклонения
выборочной средней или ошибка выборочной средней:

Пива 4. Элементы теории вероятностей
353
♦ Пример 4.30
Имеется выборка: 2,4,5,3,6.4. Найти выборочное сред-
нее, выборочную дисперсию и ошибку выборочного сред-
него.
Решение:
_ 1Л 2+4 + 5 + 3+6+4 .
*=-Σ*= 1 =4·
S2=-M>,-3c)2==
_ (2-4)2 +(4-4)2 +(5-4)2 +(3-4)2 +(6-4)2 +(4-4)2
6-1
^-^rJl·**·
♦ Пример 431
Из генеральной совокупности извлечена выборка:
^
т,
4
10
5
12
6
6
7 1
2 J
Найти оценки математического ожидания и дисперсии.
Решение:
410+512 + 6-6 + 7-2
«"
30
= 5,
1
(4-5)2·10 + (5-5)2·12+(6-5)2·2 24 ...
= 30^1 " = ^9'
12 За* 649

354
Математика
4.6. Интервальная оценка.
Доверительный интервал
и доверительная вероятность
В некоторых случаях представляет интерес не получение
точечной оценки неизвестного параметра генеральной со-
вокупности, а определение некоторого интервала, в кото-
ром может находиться этот параметр с заданной вероятно-
стью. Интервальное оценивание более эффективно при ма-
лом числе наблюдений, когда точечная оценка мало надежна.
Доверительным интервалом (а, Ь) для параметра θ назы-
вают такой интервал, относительно которого можно с за-
ранее выбранной вероятностью Р, близкой к единице, утвер-
ждать, что он содержит неизвестное значение параметра 0.
Доверительный интервал, как бы «накрывает» содержа-
щийся в нем неизвестный параметр и гарантирует, с какой
вероятносгью оцениваемый параметр будет находиться
внутри этого интервала (рис. 4.20).
/ Л N
α θ Ь х
Рис. 4.20. Доверительный интервал
для математического ожидания
Вероятность, с которой гарантируется попадание парамет-
ра генеральной совокупности внутрь доверительного интер-
вала, называется доверительной. Чаще в качестве доверитель-
ных используется следующие уровни вероятности: Рх = 0,95;
Р2 = 0,99 и Рг = 0,999. Это означает, что параметр генераль-
ной совокупности попадет в указанный интервал в первом
случае в 95 случаях из 100, во втором — в 99 случаях из
100 и в третьем случае— в 999 случаях из 1000.
В некоторых случаях указывается не доверительная ве-
роятность, а вероятность обратных случаев, когда параметр
не попадает в указанный интервал. Вероятность таких ма-

Гхава 4. Элементы теории вероятностей
355
ловероятных случаев называется уровнем значимости α и
равна:
Для нормального закона распределения, зная величину
выборочной средней и ее ошибку, можно определить гра-
ницы, в которых с той или иной вероятностью находится
параметр генеральной совокупности — математическое ожи-
дание. Эти границы называются доверительными и опреде-
ляются по формуле:
*ь ~тх ' W *М(Х)<хь +mY -taj,
или
_ S _ S
л/л л/л
где/α./— величина нормированного отклонения, опреде-
ляемая по таблицам распределения Стьюдента (табл. 2). Ве-
личина tu f- определяется вероятностью попадания генераль-
ного параметра в указанный интервал и числом степеней
свободы/ = л-1, где η — объем выборки.
Так, при η = 30,/=30 - 1 = 29 для Ρ = 0,95, /0 05 29 = 2,045;
для Ρ = 0,99, /0 ш 29 = 2,756; для Ρ = 0,999 г00129 = 3,659.
Из приведенных данных видно, что с увеличением дове-
рительной вероятности границы интервала раздвигаются,
т.е. увеличивается надежность попадания параметра в ука-
занный интервал, но уменьшается точность его определе-
ния. И, наоборот, чем меньше вероятность, тем точнее оцен-
ка, но увеличивается возможность промаха. С увеличени-
ем объема выборки η длина интервала уменьшается. По-
этому для сохранения высокой доверительной вероятности
и повышения точности доверительной оценки необходимо
увеличить объем выборки.
Обычно при определении доверительного интервала ис-
ходят из заданной величины. Если задан объем выборки,
то подбирают соответствующую доверительную вероят-
ность, и, наоборот, если задана доверительная вероятность,
то определяют необходимый объем выборки.
12*

356
Математика
Χ --
♦ Пример 4,32
Для данных примера 4.30 найти доверительные интерва-
лы математического ожидания с надежностью 0,95,
Решение:
S — S
-r,-t0Lj<M(x)<x + -rtaj_
Из решения примера 4.30? имеем:
х=2; ™?=о,45; /=л- 1 -Ъ- 1 = 5.
В Приложении 2 (табл. 2) найдем /005 5 - 2,57L
Тогда 2 - 0,45 ♦ 2,571 < М(х) < 2 + 0,45 · 2,571;
0,83 <М(х)< 3,157.
Доверительный интервал для дисперсии нормально рас-
пределенной генеральной совокупности определяется сле-
дующим выражением:
<£1±>21<од-)5<Ц>£1, (4.32)
%2 Х\
где S1 — выборочная дисперсия; η — объем выборки; х{ и
Х2 — величины, определяемые по таблице 3 (Прил. 2).
Распределение х2 зависит от числа степеней свободы
/= η -1 и доверительной вероятности Р.
2 2
Обычно X] и %2 выбирают таким образом, чтобы веро-
2 2 2 2
ятности событий X < Х\ и X < %2 были одинаковы, т.е.
Р(х2<хЬ-Р(х2<х1) = ~.
При использовании таблиц вероятностей Р(х2 >х2рк)
необходимо учесть, что Р(х2 <xl)-l-P(x2 >Х\) у по-
2 "J Ι — Ρ
этому условие Р(х <xj-) = — равносильно условию
^(% > 3£i) -1 —г~~ " "~г— * Таким образом, значения χf и
Х2 находим по таблице 3 Приложения 2 из равенств:

Глава 4, Элементы теории вероятностей
357
Пх2>хЬ=1-~; Р(х2>х1>1-~·
♦ Пример 433
Простроить доверительный интервал с вероятностью
Ρ = 0,96 для дисперсии D(X) случайной величины Ху рас-
пределенной по нормальному закону, если S2 = 20, а п - 25.
Решение:
Доверительная вероятность Ρ - 0,96.
Тогда (1 + 0,96): 2 = 0,98; (1 - 0,96): 2 = 0,02.
По таблице 3 при Ρ=0,98 и к=25 -1 = 24 находим значе-
ние %\ -12,0; при Ρ = 0,02 и fc = 24 — значение %1 - 40,3.
Тогда доверительный интервал можно записать в следу-
ющем виде:
(25-1)20 (25-1)20.
H9<D(X)<40.
♦ Пример 4.34
Количество деталей, изготавливаемых ежедневно рабо-
чим на протяжении 12 дней, равно:
289s 203,359, 243,232,210,251,246, 224,239, 220, 211.
Найти точечные и интервальные оценки (Р=0,9) матема-
тического ожидания и дисперсии генеральной совокупности.
Решение:
289 + 203 + ...+2П
Х~ 12
_2 (289-244)2+(203-244)2 + ... + (211-244)2 1ЙА0
S = = 1849.
т* ~ \~уГ =12'4; i°-9·11 = l58'
244-12,4-1££Д*(ЛГ)£244'+12,4-1£;
221,68 <М{Х)< 266,32.

358
Математика
Для определения доверительного интервала дисперсии
найдем Ц = Ь^ - о,95; Р2 = 0,05.
Соответственно %} = 4,58 , х| =19,7.
(12-1) 1349^ (12-1)1849.
19,7 UD{X)- 4,58 ·
1032,4<Ζ>(^)<4440,8.
Задания для самостоятельного решения
61, В результате испытания случайная величина X при-
няла следующие значения: 2,6, 8,4, 2, 5, 7,6,4,4,1, 5, 7,6,
3,1,3, 5, 5, 3, Построить дискретный вариационный ряд и
начертить полигон распределения.
62· В результате испытания случайная величина X при-
няла следующие значения: 11,13,18,22,24,12,23,15, .18,17,
12,18, 19,20, 12, 22, 16, 17, 14, 20, 21, 25, 27, 19. Построить
дискретный вариационный ряд с равными интервалами и
начертить гистограмму.
63- Абитуриентами на вступительных экзаменах были
набраны следующие суммы баллов: 20,21,17,20,19,24,22,
21,22,21,20,18,24,18,16,22,21,23,18,21,18,21,23,19,20,
25,17, 20,17, 22,20,24, 21, 20,16, 21,17,19,15т 20,1% 21,23,
18,20,24,23;21,19,22, 21,19,20,23,22,25,21,21. Построить
дискретный вариационный ряд, найти моду и медиану.
64, Дан вариационный ряд: 3,6, 6, 8, 8,12, 12, 12, 25, 25,
70, 75. Найти медиану.
65. Значения случайной величины X представлены в виде
статистического распределения:
Значения X
Ш-
140-
160-
-140
-160
-180
180-200 1
Частота
1
6
19
58
Значения X
200-220
220-240
240-260
260-280
1 Ч
астота
53
24
16
3
Найти моду и медиану этого распределения.

Гяава 4. Элементы теории вероятностей
359
66. Из генеральной совокупности извлечена выборка
объемом η = 50.
1 х,
η,
2
16
5
12
7
8
10 Ι
14 I
Найти точечные оценки математического ожидания и ге-
неральной дисперсии.
67. Пять измерений некоторой величины дали следующие
результаты: 92,94,103,105,106. Найти выборочное среднее,
выборочную и испраааенную выборочную дисперсию.
68. Из общего числа студентов выборочно измерен рост
у 81 мужчины. Средний рост оказался равным 171 см с дис-
персией S2 = 64 см2. Определить ошибку выборочного сред-
него и коэффициент вариации.
69. Количественный признак ^распределен нормально.
По выборке объемом 18 найдено выборочное среднее зна-
чение 21,5 и среднее квадратическое отклонение^ 0,9. Най-
ти коэффициент вариации, ошибку выборочного среднего
и доверительный интервал для математического ожидания
при уровне значимости α < 0,05.
70. По данным девяти независимых равноточных изме-
рений физической величины найдено среднее арифметиче-
ское результатов отдельных наблюдений х = 41,21 и исправ-
ленная дисперсия S2 = 25. Найти коэффициент вариации,
ошибку выборочного среднего и доверительный интервал
для математического ожидания с доверительной вероятно-
стью р> 0,99.
71. Изучали рост мужчин 25 лет для сельской местности.
Объем выборки η = 21. По данным статистической обработ-
ки имеем:
Границы
интервалов
(см)
Относитель-
ная частота^
161-165
0.04
165-169
0,19
169-173
0.47
173-177
0,19
177-181
0,09

360
Математика
Выборочное среднее х -171,42; выборочное среднее квад-
ратическое отклонение S= 3,6. Построить гистограмму рас-
пределения частот и определить доверительный интервал для
математического ожидания с доверительной вероятностью
^>0,95.
72. Изучали воздействие определенной физиопроцедуры
на частоту сердечных сокращений в группе испытуемых.
Объем выборки 18. Поданным статистической обработки
имеем:
Границы
интервалов
(удУмин)
1 Относитеяь-
ная частота
67-68,2
0,05
68,2-
69,4
0,16
69,4-
70,6
0.44
70,6-
71,8
0,22
71,8-73
0,05 1
Выборочное среднее х = 70,16; выборочное среднее квад-
ратическое отклонение 5= 1,2. Построить гистограмму и
определить доверительный интервал для математического
ожидания с уровнем значимости α < 0,05.
73. Признак X генеральной совокупности распределен
нормально. Данные выборки имеют следующее статисти-
ческое распределение:
1 х>
т,
0.1
2
0,2
4
0,3
7
0,4
6
0.5 1
_ 1
Найти выборочное среднее х и выборочное среднее квад-
ратическое отклонение S.
74. Построить доверительный интервал с уровнем зна-
чимости α < 0,1 для дисперсии D{X) случайной величины А",
имеющей нормальный закон распределения, если S1 = 30,
л = 40.

Литература
1. Белявский С>С.} Широкова Η,Λ. Высшая математика.
Решение задач. — Минск: Высшая школа, 2004, — 285 с.
2. Богомолов A.M., СалийВ.Н. Алгебраические основы тео-
рии дискретных систем. — М.: Наука, Физматлит, 1997. —
368 с,
3. Воробьева Г. if., Данилова А.Я. Практикум по вычисли-
тельной математике. — М.: Высшая школа, 1990, — 207 с.
А.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и зада-
чах: учеб. пособие для вузов. Ч. 2. / П.Е. Данко> AT. По-
пов, Т\Я. Кожевникова. — 6-е изд. — М,: Издательский дом
«ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2003. — 416 с.
5. Данко ИЕ., Попов AT. Высшая математика в упраж-
нениях и задачах. — М.: Высшая школа, 1974. — 415 с.
б.ДемидовичБМ., МодановВ.И Дифференциальные урав-
нения. — СПб.: Иван Федоров, 2003. — 287 с.
7. Калинина В.Н. Математическая статистика: учебник
для студентов средних специальных учебных заведений /
В.Н. Калинина, В.Ф. Панкин. — 4-е изд., испр. — М.: Дро-
фа, 2002. — 336 с.
8. Кремер Н.Ш* Теория вероятностей и математическая
статистика: учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2000. — 546 с.
9. Мацкевич И.П. и др. Сборник задач и упражнений
по высшей математике: учеб. пособие / И.П. Мацкевич,
Г.П, Свирид, Г.М. Булдык; под общ. ред. Г\П. Свирида. —
Минск: Высшая школа, 1996. — 318 с.
10. Омеяьченко В.П., КурбатоваЭ.В. Практические занятия
по высшей математике. — Ростов н/Д: Феникс, 2003. — 256 с.
11. Протасов Μ Д. Лекции по вычислительной матема-
тике. — М.: Гелиос АРВ, 2004. — 184 с.
12. Сборник задач по методам вычислений / под. ред.
П.И. Монастырского. — Минск: БГУ, 1983. — 287 с.
13. Шипачев B.C. Задачник по высшей математике, — М.:
Высшая школа, 2003- — 303 с.
14. Шипачев В.С. Курс высшей математики. — М.: Про-
спект, 2004. — 600 с.

Приложения
Приложение 1
Ответы к заданиям
для самостоятельной подготовки
Глава 2
4
1. 3. 2.4. 3.1.4. 2. 5. 4. 6.2. 7. 1. 8. «. 9. -. 10.1. И. 0.12. 2.
1 1 7
13. - . 14. 0. 15. - . 16. 14 лет. 17. 64% . 18. (-~, 0)и(0, «).
19. [-2, 2]. 20. (^>, -ЗМ-3, +~). 21. (-~,-l)u(-I,1M1, +«).
22. Λ. 23. (-оо, 0М0,4М4, +»)· 24. (-о, 6). 25. {0}. 26. (-1,1).
2 2
27. (1, оо). 28. (-~, -). 29. (-~, «о). 30. (-~, j)u( - , оо).
31. (-«о, -ЗМЗ, оо). 32.13, со). 33. (6, оо). 34. (0, со). 35. [0, 2].
36. Четная. 37. Нечетная. 38. Четная. 39. Нечетная.
40. Ни четная, ни нечетная. 41. Ни четная, ни нечетная.
2
42. Р0 = 4, нет. 43. Р0 = 2, да. 44. -5. 45. 1. 46.- - 47. 6 48. 0.
3
49. 1. 50. со. 51. 3. 52. 1. 53. ~. 54. со. 55. 0. 56. 2. 57. -. 58. 1.
3 I 3
59. 7. 60. 8. 61. 2. 62. j. 63.1. 64. - . 65. у (числитель и зна-
5 3 4
менатель дроби умножить на х). 66. 1. 67. -2(sin6* - sin8.v =
= -2cos7.Tsinx). 68. е. 69. е (замена α = 2л2). 70. е (замена
1 ·
α = ех). 71.-?. 72. е2 . 73. е4. 74. х = -2, второго. 75. .ν = 0,
-, я и
второго. 76. ·ν = *τ + ππ,л€ г,второго.77. х = — + пп,пе z,
Я
второго. 78. л = — + ял, η € г, второго. 79. х{ = 1, второго;
.ν2 = 2, второго. 80. х{ = 2, устранимый; г-, = 1, второго. 81.
R. 82. Λ, кроме л = 0 83. х > 0. 84. А, кроме .т = 0. 85. R.
86. Λ. кроме л: = 1. 87. /?, кроме х = 0. 88. [0, 2М2, ~). 89. -.

Приложения
363
90. 0. 91. е2. 92. V?. 93.~. 94. 2. 95. V7. 96.7ё. 97. Τ ·
е е
98.-U + 4?= + l. 99.2<?T-24n2 + i- 3
'2jx зУх х xlnlO
100.20β5*"'. 101. ех - е~х. 102. Зх2 sin х + х3 cos х + -^= .
2Vx
103.2 sin3 2x · cos2x. 104.
1-lnx
105
х + sin x
cos2 x
106.--L + A.107.-3tg3x + ?-_
x2 x3 x(l-jc')
108.3*ln3 + 2xtgx +
109.1
.-*>
e +e
ex-e-x
COS X
no.x2-3x(3+xin3). in. _zL= .v
Vl^9? 2
li^coe^x-D^+esin^x-iy*. из.-inx. ii4.-.
H5.-i±l. 116. 7,3 jm/c. 117. 11 м/с. 118. -2м/с1. 119. 30 Я.
120. 43 A 121. 0,24 <· 122. 42 рад/с. 123. 10 К/с.
124. — = -ОДе 5' «-» — убывание концентрации, 20 с.
dt
nS.-^-r.126.^ = 101+6.127Л = ^.е~Тс;х = Яс;
(1 + 5/)2 * dt Rce
\dt
= -^2-. 128. К — быстрота роста числа клеток.
//=о
Re
С ростом /С график становится круче. 129. ED=ES = 0,8.
ix
Уменьшится на 2,5%. 130. ctg -fx —~. 131.—
rfx
гГх
xJ7-i
132
_^£ . 133.(е* +l)dx. l34.—^—(tg23x + l)dx
l-2x^
cos" 3x

364
Математика
135.
22dx
(4х + 3)2
136.
2xdx
(х2 +1)2
137
41nxJ
dx.
138.2 arcsin x ·
dx
f^x1
~A39.du = 2xdx + 5dy.
14Q.du = ~+^ + ?±^d2.Ul.du = 4cos(x + y)(dx+dy).
Z 2 2Γ
142. du = 6(x2 + 4 jO(2ja*x + Ady). 143. f/w = %exy(ydx + xdy).
144.du = — ~^.U5.du=ex(ydx + dy).
x у
I46,du=2xd*+dy~dz . 147. 0.148. 1.149. 2.150.-. 151. 0.
-> .J , 4
2,/
X +У"2
3 1
152. 0.153. - , 154. 0.155. 0.156. 0.157. 2.158, -
хг-\ -1 x2
-ее.
159. e"]y\—--\-r2ri+i(x),надо представить £* * = е
fc!
A (2*)! 0 (2fc+1)!
надо представить cos(2x -1) = cos2x ·cosl + sin2x ■ sin 1.
161. l+]T(-l)*+i^- + r„(x); 1п(е + д:>=1п
a=o e к
r+;
JJ
= 1+
In 1+-
. 162..* + y+r(;e3). 163.1-* + ~ + r(*3)·
164. -. 165. 2.166. -. 167.1.168. (-, 2) — выпуклость
вверх, (2,«) — выпуклость вниз, х = 2 — точка перегиба.
169. (-0°, - >/з) — выпуклость вверх, (>/з , «) — выпук-
лость вверх, (- 7з,7з) — выпуклость вниз, х = -л/3 и

Приложения
365
—точки перегиба. 170. При всех хе R функция вы-
пукла вниз. 171. (^*, 0) — выпуклость вверх, (0, <*,) _
выпуклость вниз, х = О — точка перегиба. 172, (-«, -3) —
выпуклость вверх, (-3,0) — выпуклость вниз, (0, «) —
выпуклость вниз, л = -3 — точка перегиба, в точке х = О
функция не определена. 173. х - 0 — вертикальная асимп-
тота,^ = 0 — горизонтальная асимптота. 174. х - 1 —
вертикальная асимптота, у - х + 4 — наклонная асимпто-
та. 175. у ~ х + 2 — наклонная асимптота, у ~ ™х - 2 —
наклонная асимптота.
176. х-0; у = 3 при х-^±«. 177. х = 2.178, х- ±1; у -х + 3
при х->«>; у = -х - 1 при х->-«.179. 1) ООФ: х е Л;
2) нечетная, непериодическая; 3) точек разрыва нет; точки
пересечения графика функции с осями координат (0,5);
-7 + 745 -7-745
(1,0); ( γ— ,0);( ^,0); 4) минимум ^^-11 в
точке х = 2, максимуму - 21 в точкех = -2; 5) на интерва-
лах (-&=, -2) (2, +«) — функция возрастает, на интервалах
(-2,2) — убывает; 6) на интервале (-«>, 0) — функция вы-
пукла вверх, на интервале (0, +») — выпукла вниз, х = 0 —
точка перегиба; 7) асимптот нет. 180.1) ООФ: х е R;
2) функция четная, непериодическая; 4) точек разрыва нет,
точки пересечения графика функции с осями координат
(0,10); (±1, 0); (±3? 0); 4) минимум у ~ -15 в точках х - ± 75 ,
максимум у " 10 в точке х = 0; 5) на интервалах (- 7^ > 0),
(7J, +«) функция возрастает, на интервалах (-<*>, - 7?),
(0, 75) — убывает; 6) на интервалах (-*°, - Л- ), (J-,
/5 /5
■+») функция выпукла вниз, на интервале (- J - , J -) —
/5
выпукла вверх, х = ±J- -точка перегиба; 7) асимптот нет.

366
Математика
181. Ι) ООФ; (-», -2)и(-2, +<*>); 2) функция ни четная, ни не-
четная, непериодическая; 3) разрыв 2-го рода в точке х = -2,
точки пересечения графика функции с осями координат (О, 2),
4
(— ,0); 4) экстремумов нет; 5) на интервалах (-**, -2);
(-2, +») функция возрастает; 6) на интервале (-2, +«)
функция выпукла вверх, на интервале (-», -2) — выпукла
вниз; точек перегиба нет; 7) jc = -2 — вертикальная асимп-
тота, ^ = 3 — горизонтальная асимптота при*-*±».
182,1) ООФ хе Л; 2) функция ни четная, ни нечетная,
непериодическая; 3) точек разрыва нет, точка пересечения
графика функции с осями координат (0,0); 4) минимум
у = 0 в точке х = 0? максимум у = 4е~2 в точке х = 2;
5) на интервале (0, 2) функция возрастает, на интервалах
(-«, 0), (2, +«) — убывает; 6) на интервалах (-», 2 -л/2),
(2 + V2 , +») — функция выпукла вниз, на интервале
(2 - л/2 ? 2 + л/2) — выпукла вверх, л = 2±v2 — точки пе-
региба; 7) у = 0 — горизонтальная асимптота при я—>+«,
183. 1) ООФ; (-», 0)и(0, +«); 2) функция ни четная, ни не-
четная, непериодическая; 3) разрыв 2-го рода в точке jc = 0;
9 + llJvj -1 + 7Г7
4) минимум у = ■■■-- - в точке х = , максимумы
16 2
9-177Г7 -\-4vi
У в точке х = и ν = 5 в точке х = 1;
16 2
« < ~1-^7, m 1, ,-I + Vn
5) на интервалах (-«, ), (0,1) и ( , +«)
функция возрастает, на интервалах (.
(1, ) — убывает; 6) на интервалах (-«, 0) и (0,1,2)
функция выпукла вверх, на интервале (1,2, +«) — выпукла
вниз, л = 1,2 — точка перегиба; 7) jc = 0 — вертикальная
асимптота, у—х+\ — наклонная асимптота при х—* ±^t

Приложения
367
184. Ι) ΟΟΦ: (0, +»); 2) функция ни четная, ни нечетная,
непериодическая; 3) точек разрыва нет, точка пересечения
графика функции с осями координат (I, 0); 4) минимум
у - -е In 2 в точке х = -Je ; 5) на интервале { Ve,+«) функ-
ция возрастает, на интервале (0, -Je) — убывает; 6) на интер-
вале (е у J>+») — функция выпукла вверх, на интервале
Μ л/
(0, е /3) — выпукла вниз, х - е /3 —точка перегиба;
7) асимптот нет, 185.1) ООФ: (0, +»); 2) функция ни чет-
ная, ни нечетная, непериодическая; 3) точек разрыва нет;
4) минимум у = 1 в точке х - 1; 5) на интервале (1, +»)
функция возрастает, на интервале (0,1) — убывает;
6) на интервале (0, +«) функция выпукла вниз, точек
перегиба нет; 1)х = 0 — вертикальная асимптота,
186. 1) ООФ: (-«, 2)и(2, +»); 2) функция ни четная, ни
нечетная, непериодическая; 3) разрыв 2-го рода в точке
х = 2, точки пересечения графика функции с осями коор-
3
динат (0,0), (~г, 0); 4) минимум у = 1 в точке х = 1, мини-
мум >' = 9 в точке х = 3; 5) на интервалах (-«, 1), (3, +«)
функция возрастает; на интервалах (1,2), (2, 3) — убывает;
6) на интервале (-«, 2) функция выпукла вверх, на интер-
вале (0, +») — выпукла вниз, точек перегиба нет;
7) х = 2 — вертикальная асимптота, у = 2х + 1 — наклон-
2 г~ I
пая асимптота. 187, -sin.v + C 188.6Vx— + С
3 х
•7
3 „4
189.— + -х2+4х + С.190.^--х2+х3-6х + С,
2 3 4
.1 ? 2
191.-2* 2-^x2-21n|x| + C\19X-2cos+6x-x3 + C.
193.-sin —+ С 194.-yCos4je-!sin2jt + C.
3 2 4 2

368
Математика
195.-ctg.x-2 + C. l96.-{tg{a-bx) + C.
h
197. - -cos3x3 + C. 198. - - tg(l - 2x) + C.
199.-Ictg7.v + C 200. -I]n|3x| + C JOl.-atctgMx + C.
202.i-ln|25 + .v2|+C. 203.Iarctg4- + C
2 i I 3-Я
'VJ
204.-Vl+2cosx+C.205. (2-jt2)cos.v + 2.xsmx+C.
206. -i-(4 - x)sin 3x - -cos3x + С 207. q{t) = -^Lcosaw.
3 9 ω
/3 /4 /3
208. ν = — + 8;5 = —+ 8/. 209. v = /2+ 1.210.5 = — + 3/-14.
2 8 6
211. v = /3-2/2+8.212.F(x) = ix2-x+2.
3
213. F(x) = 51п(л- - 3)+2.214. F(x) = -sin x - cos x + 5л/2.
215.φ=2/3 -2/2 +5/-16. 216.arcsini. 217. *- 1. 218. —.
219. 1,5. 220.4e. 221. ~ + -. 222. f. 223. J + j. 224. 6,5.
8 4 3 о 4
3 4 1 s
225.-In-.226.-.227.-
2 3 4 9
1-23
.228. j*t. 229.4.
230.
r'-#T-»4-s'-f»i~**
^ 2· 235-^^8 -29)· 236· }· 237. yarcsin-^. 238.0.
31n2
4^2
239.0,21.240.^.241.4.242.1,6-KH/e,. 243. 8,8 кв.ед.

Приложения
369
1 π
244. 8,5 кв. ед. 245. 1 кв. ед. 246. - кв.ед. 247. τ кв. ед.
3 4
248. 797500 кВтч. 249. Да. 250. Да. 251. Да.
252. \у+\\ =
|cosx|
.253.у = Сх. 254. ^ +у2 = С2
2SS.y = Cex 256у = Се\257. v = -(x-^V>i
'22
+ С.
1
258. - е~у = ~е3х + С. 259. \у\ = 5ех. 260. у = -5*Jx.
26\.2х2-2у2+х+29 = 0.262.у = еГх~2.263.У =
4х
Зх-4'
264.у2=2Ц
1
#М
265. (у-2)(х + 3) = 1.
2х
266.V2 =-<4 + 6х-2х*).267.у=—.Ш.у = Сх + х2.
3 1 + х
х4 С
269. у = — + ±г. 270. (2х + С)е 3 . 271. у = (х~ + С)ех.
6 .ν
272. у = С<?* -х -1.273. у = 3 + -. 274. у2 = х2 - С,х.
х
275. у = хес,х. 276.4х ν+х2 = С. 277. у = х5 + Сх2.
278.x = -y(I+ln|.yj). 279.3y2 =8(х2 -у2).
280. у = С,е~* + С2И\ 281. ^ = С,е3* + C2e2jr.
282.y = i5x(C1cosx+C2sinx).283.y = C,e6x+C2f"T.
284..у = С,е~2лг +C2xe'2x. 285. y = -3e~2x(cosx + 2sinx).
286. у = -0,4е25(,-г) + 20,4 .287. у = QJSex -0,5*"*
288.y = -2 + 2e4,289..v = i'_JC(cosx + 2sinx).
0.69
5.x
290. у = -0,022е/А + 021eJ . 291. m = /и„<?

370
Математика
I
292. х = 5.66.ν0. 293. 4,2%. 294. 30 °С. 295. 25 мг.
296.У = Λ,*-'38*· 297. Ν = 100i>0l,s'; 1600. 298. 3000; 5000.
299. U = 2( ν2 - л·2). 300. 2). 301. +«; расходится. 302. +«;
4
расходится. 303. —; сходится. 304. +«; расходится.
U\
305. Сходится; надо сравнить с рядом ап = * ^ .
/г
306. Расходится; надо сравнить с рядом ап = — .
1 ^' 1
307. Сходится; ап = -γ. 308. Расходится; 2.309. Сходится; -.
rt *
1 3
310. Сходится; 0.311. Сходится; — 312. Расходится; - .
4 2
313. Расходится; е 314. Сходится; - . 315. Сходится;
316. Сходится; 0.317. Расходится; -. 318. Расходится
(признак Даламбера). 319. Сходится. 320. Сходится (при-
знак Даламбера). 321. Сходится (признак Коши).
322. Расходится (признак Коши). 323. Расходится (при-
знак Коши). 324. Расходится (признак Даламбера).
325. Сходится (признак Даламбера). 326. Расходится;
необходимый признак; 1.327. Расходится; признак Да-
ламбера; +*>. 328. Сходится условно; 2-й признак сравне-
i
ния; - . 329. Сходится абсолютно; признак Коши; 1п2 .
330. Сходится абсолютно; 1-й признак сравнения; — -
331. Расходится; необходимый признак; In2. 332. Сходит-
ся абсолютно; признак Даламбера; -. 333. Расходится;
использовать признак сравнения. 334. Два интервала (-«>; -1)

Приложения
371
и {Ι; +«), это геометрическая прогрессия со знаменателем
q = -. 335. I). 336. 3). 337. 4). 338. 3). 339. [-2, 0J.
340. (-3; 1]. 341.
з'з
.М2.е~х = l~xi + —+ .„
2!
92 -,3
1 Л
l\
343. ln(l-2x) = -2x-—х^- —х3-...
2 3
2" я ^лл 2 1 1 „ , 2х2 2V
Xя-... 344. cos x = - + -cos2x = l-^—+ ■
2 2
2!
4!
+ <-!)'
->2я-1
"2 х2"+.
(2л)
Глава 3
37. /(х) = Зх2 - 6х. 38. /(х) = 6х2 + 2х.'39. /(х) = 9х2 + х- 5.
40. /(х) = 1,5х2 + 4х + 3. 41. /(х) = 6х2 - 2х + 6.
42. /(х) = 12х2 - 6х - 1. 43. /(*) = Зх2 + 2х - 2.
44. /(х) = 15х2 - 8х + 1. 45. /(х) = 16х - 6.
46. /(х) = 18х2 - 2х + 3. 47. /(1,5) = -2,25;/'(1,5) = 3.
48. /(2,5) = 42,5; /'(2,5) = 32. 49./(1,25) = 10,3125;
/'(1,25) = 23,75.50./(1,75) = 14,5938;/'(1,75) = 9,25.
51. /(2,2) = 30,64; /'(2,2) = 22. 52. /(2,1) = 39,32;
/'(2,1) = 44,4. 53./(2,25) = 17,6875;/'(2,25) = 15,5.
54. /(2,75) - 92,4375; /'(2,75) = 74,5.55. /(1,2) = 13,2;
/'(1,2) = 16.56. /(1,6) = 45,88;/'(1,6) = 49,2.
Глава 4
1. Р(А) = 6/11; ДЯ) = 4/11;Р(С) = 2/11.2. 0,2.3.1/4.4.5/9.
5. 5/9.6.Р(А)~1; Р(Б) =1/5; P(Q = 3/5. 7. Р(А) = 1/2;
Р(В) = 2/3. 8.1/6. 9. Р(А) = 5/36; Р(В) = 2/36.10. 2/9.
П. Я(Л) = 0,096.12. Р(А)= 1/3; Ρ(β)= 14/99; P(Q = 49/99.
13. 0,5. 14. 0,1.15. 0,924. 16. 0,3.17.0,7.18. 0,7.19. 0,107.

372
Математика
20. 0,97. 21. 0,975. 22. Р(А + В)=^ = \. 23. 5/6.24. Р = 0,3.
36 3
25. ^ = 0,94. 26. Р(А +В) = 0,6. 27. Ρ = 2/119. 28. Ρ - 0,765.
500
29. 0,54. 30. 0,995. 31.1/9. 32. 5/12.33. ~ ■ — = —.
30 29 29
34.0,95* = 0,857.35.0,748. 36. Р{А\ Д, ~Аг) = 0,8·0,1 ·0,2 =
= 0,016.37. P(DD)=-.3S.P(D) = l-P(A]!A2,A3) =
4
= I - ОД ОД - ОД = 0,996.39. Ρ=0,7.40. Ρ - ОД 8.41. М{Х) =
6,4; <з(Х) = 3,61.42. 67,64.43. 3,69.44.1,1.45. М{Х) = 3,9;
ОД ~ 1,89.46. 1,05.47. Р4 = 0,2; М{Х) = 0,6; ОД = 0,048.
48. />, = 0,05; Р3 = 0,2; М(Х) = 5,7; D{X) = 1,51.49. Дх) = О
2х
при х < 0 и /(х) = —- при х > 0.
(1 + х2)2
50. /(*) = {
О при х<1,
2х-1
при 1<Χ<2, 51. f(x
1°
при х<0,
2х при 0 < х 51,
О при х> I.
М(Х) =0,6667
[О при х>2.
М(Х) = 1,5833
52. о = 2/9; /> = 13/27. 53. Ρ=0,75. 54.« = 5; F(x) = 0 при
х < 0; F{x) = 0,5(1 - cosx) при 0 < х < π; f*(je) = 1 при х > π.
55. я = 1/4; Μ*) - 16/15.56. М„ = 15.57. />(4 < х < 6) =
= |5| = |- 58.α = λ.59./>(30<Λ<80) = 0,758.
60. ? (л-> 1250) = 0,02276; Р(х < 850) = 0,2514;
Р(800<х<1300) = 0,8314.63.21;21.64.Ме= 12.65.197,73;
202, 26. 66. х = 5,76; S2 = 10,15. 67; х = 100; ОД = 34;
S3 = 42,5. 68. 0,89; 4,7%. 69. 4,2%; 0,2; 21,05 < М{Х) < 29,95.
70. 32%; 1,67; 35,6 <М(Х)< 46,8. 71. 169,8 <М{Х)< 173,1,
72. 69,57 < М(Х) < 70,75.73. х = 0,3; S = 0,1076.
74. 26,7 <D(X)< 63,2.

Приложения
373
Приложение 2
Таблица 1
Значение
функции Лапласа
* ш _f_
72π
•м-гяг/
о
J
Η
#ш
ν 0
ь
^
, У=Ф(и)
и
и
0.0
0,1
0,2
03
0.4
0.5
0,6
0,7
0,8
0.9
1,0
и
la
1,3
1,4
L5
1.6
1.7
L8
1,9
2,0
2,1
2,2
2.3
2,4
2.5
2.6
0
0.0000
0797
1585
2358
3108
3829
4515
5161
5763
6319
0,6827
7287
7699
8064
8385
8664
8904
9J09
9281
9426
0.9545
9643
9722
9786
9836
9876
9907
_J
0,0080
0876
1663
2434
3182
3899
4581
5223
5821
6372
0,6875
7330
7737
8098
8415
8690
8926
9127
9297
9439
0,9556
9651
9729
9791
9841
9879
9910
2
0.0160
0955
1741
2510
3255
3969
4647
5285
5878
6424
0,6923
7373
7775
8132
8444
8715
8948
9146
9312
9451
0.9566
9660
9736
9797
9845
9883
9912
3
0,0238
1034
1819
2586
3328
4039
4713
5346
5935
6476
0.6970
74J5
7813
8165
8473
8740
8969
9164
9327
9464
0.9576
9668
9743
9802
9849
9886
99915
4
0,0319
1113
1897
2661
3401
4108
4778
5407
5991
6528
0,7017
7457
7850
8198
8501
8764
8990
9181
9342
9476
0.9586
9676
9749
9807
9853
9889
99917
5
0,0399
1192
1974
2737
3473
4177
4843
5467
6047
6579
0.7063
7499
7887
8230
8529
8789
9011
9189
9357
8488
0.9596
9684
9756
9812
9857
9892
99920
6
0.0478
1271
2051
2812
3545
4245
4907
5527
6102
6629
0.7109
7540
7923
8262
8557
8812
9031
9216
9371
9500
0.9606
9692
9762
9817
9861
9895
9922
7
0.0558
1350
2128
2886
3616
4313
4971
5587
6157
6679
0,7154
7580
7959
8293
8584
8836
9051
9233
9385
9512
0.9616
9700
9768
9822
9865
9898
9924
8
0,0638
1428
2205
2960
3688
4381
5035
5646
6211
6729
0.7199
7620
7994
8324
8611
8859
9070
9249
9399
9523
0.9625
9707
9774
9827
9869
9901
9926
9 J
0,0717
1507
2282
3035
3759
4448
5098
5705
6265
6778
0,7243
7660
8029
8355
8638
8882
9090
9265
9412
9534
0,9634
9715
9780
9832
9872
9904
9928 I

374
Математика
и
2.7
2.8
2,9
3,0
3.1
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
4.5
5.0
0
9931
9949
9963
0,9973
9981
9995
9997
9998
9999
9999
0.999936
0.999994
0.99999994
1
9933
995»
9964
0.9974
9981
99%
9997
9998
9999
9999
9999
2
9935
9952
9965
0.9975
9982
9996
9997
9998
9999
9999
999*9
3
9937
9953
9966
0.9976
9983
9996
9997
9998
9999
9999
9999
4
9938
9955
9967
0.9976
9983
99%
9997
9998
9999
9999
9999
5
9940
9956
9%8
0.9977
9984
99%
9997
9998
9999
9999
9999
6
9942
9958
9969
0.9978
9984
99%
9997
9998
9999
9999
9999
7
9944
9959
9970
0,9979
9985
99%
9998
9998
9999
9999
9999
8
9946
9960
9971
0,9979
9985
9997
9998
9998
9999
9999
9999
9 |
9947
9%1
9972
0.9980
99&6
9997
9998
9998
9999
9999
9999
Таблица 2
Значения/γ,
определяемые
уравнением
Ρ = {/(*)|</γ)=γ
1
/У(Х) /Я
Кривая f/yy
Стьюдента iy/fr
-Μ,
-ty a
i
W/sA
i
/
V
τ
_γ
***—
Χ
Ι
2
3
Ι 4
5
6
i 7
8
9
10
! 11
Ι 12
13
0.5
1.000
0.816
765
741
727
718
711
706
703
700
697
695
694
0.6
1376
1,061
0,978
941
920
906
8%
889
883
879
876
873
870
0.7
1.963
1.336
1.250
1.190
1.156
1.134
1,119
1.108
1.100
1.093
1.088
1.083
1.079
0,8
3.078
1.886
1,638
1,533
1.476
1.440
1,415
1.397
U83
1.372
1.363
U56
1.350
0.9
6314
2,920
2353
2,132
2.015
1.943
1.895
1.860
1.833
1.812
1.7%
1.782
1.771
0.95
12,706
4303
3.182
2.776
2371
2.447
2365
2.306
2,262
2328
2.201
2.179
2.160
0.98
31.821
6,%5
4341
3.747
3365
3.143
2.998
2.8%
2.821
2.764
2.718
2.681
2,650
0,99
63,657
9,925
5.841
4,604
4.032
3.707
3.499
3.355
3.250
3.169
3.106
3,055
3.012
0.999
636.619
31398
12.941
8.610
6.859
5.959
5.405 J
5,041
4.781 Ι
4.587
4,487 Ι
4.318
4.221

Приложения
375
рч
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
оо
0.5
692
691
690
689
688
688
687
686
686
685
685
684
684
684
683
683
683
681
679
677
674
0.6
868
866
865
863
862
861
860
859
858
858
857
856
856
855
855
854
854
851
848
845
842
0.7
1.076
1.074
1.071
1.069
1.067
1.066
1.064
1,063
1.061
1.060
1.059
1.058
1.058
1,057
1.056
1,055
1.055
1.050
1,046
1,041
1.036
0,8
1,345
1341
1337
1,333
1.330
1,328
1325
1.323
1,321
1.319
1.318
1.316
1,315
1,314
1313
1,311
ию
1.303
1,2%
1,289
1,282
0.9
1,761
1.753
1.746
1.740
1.734
t.729
1.725
1.721
1.717
1.714
1.711
1,708
1.706
1,703
1.701
1,699
1.697
1.684
1.671
1.658
1.645
0,95
2.14S
2,131
2.120
2.110
2,103
2,093
2,086
2,080
2.074
2.069
2,064
2.060
2.056
2.Ь52
2.048
2,045
2.042
2.021
2.000
1.980
1.960
0.98
2.624
2,602
2,583
2,567
2.552
2.539
2.528
2,518
2.508
2,500
2,492
2.485
2.479
2.473
2.467
2,462
2.457
2.423
2.390
2.358
2,326
0.99
2.977
2.947
2.921
2.898
2.878
2.861
2,845
2.831
2.819
2,807
2.797
2.787
2,779
2,771
2.763
2.756
2.750
2.704
2,660
2,617
2.576
0.999
4,140
4,073
4.015
3.965
3,922
3.883
3.850
3,819
3,792
3.767
3,745
3,725
3,707
3.690
3,674
3,659
3,646
3,551
3,460
3373
3,291
Таблица 3
Значения %2 к
критерия Пирсона
число степеней
свободы
1
1
2
Вероятность ρ
0,99
0.00
0.02
0.98
0,00
0.04
0.95
0.00
О.Ш
0.90
0.02
0,21
0.80
0.06
0,45
0.70
0.15
0,71
030
0.45
1.39
030
1.07
2.41
0.20
1.64
3,22
0.10
2,71
4.60
0.05
3.84
5,99_
0.02
5.41
7,82
0.01
6.64
9,21

376
Математика
степеней
эбоды
О Я
с; о
X
[ Г
3
1 4
5
6
| 7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1 23
24
25
26
27
28
29
| 30
Вероятность ρ
0,99
Oil
0.30
0.55
0.87
К24
1,65
2.09
2.56
3.05
3,57
4.11
4.66
5.23
5.81
6,41
7.02
7.63
8,26
8.90
9.54
10,2
10.9
11.5
12.2
12.9
13.6
14,3
14.9
0.98
0.18
0.43
0.75
из
1.56
2,03
2t53
3.06
3,61
4.IK
4.76
5.37
5,98
6,61
7.26
7,91
8,57
9,24
9,92
10,6
п.з
12,0
12,7
13.4
14,1
14.8
15.6
16,3
0.95
035
0,71
1.14
1,63
2.17
2.73
3,32
3,94
4,58
5.23
5.89
6,57
7.26
7.%
8.67
9.39
10.1
10.8
11.6
12,3
13.1
13.8
14.6
15,4
16.1
16.9
17.7
18,5
0.90
0,58
1.06
1,61
2.20
2.83
3,49
4.17
4.86
5.58
6,30
7,04
7.79
8,55
9.31
10.1
10,9
11.6
12,4
13.2
14,0
14,8
15.7
16,5
17.3
18,1
18.9
19,8
20.6
0.80
1.00
1.65
2.34
3.07
3.82
4.59
5.38
6.18
6.99
7.81
8.63
9.47
10.3
11.1
12.0
12.9
13.7
U.6
15.4
16.3
17.2
18.1
18,9
19.8
20.7
21,6
22,5
234
0.70
1 4?
2.20
3.00
3.83
4,67
5,53
6.39
7.27
8.15
9,03
9.93
10,8
11.7
12,6
13.5
14.4
15.3
16.3
17.2
18,1
19.0
19.9
20,9
21.8
22.7
23,6
24.6
25 5
0.50
2.37
3.36
4.35
5.35
6.35
7,34
8.34
9,34
10.3
11.3
12,3
13.3
14,3
15.3
16.3
17,3
18.3
193
20,3
21.3
22.3
23.3
243
25.3
263
27,3
283
29.3
030
3.66
4.88
6.06
7.23
8.38
9,52
10.7
11,8
12.9
14.0
15.1
16.2
173
18.4
19.5
20.6
21,7
22,8
23.9
24,9
26.0
27.1
28.2
29.2
30.3
31.4
32,5
33.5
0.20
4.64
5.99
7.29
8.56
9,80
11,0
12,2
13,4
14,6
15,8
17.0
18,1
193
20.5
21.6
22.8
23.9
25.0
26.2
27.3
28.4
29.6
30,7
31.8
32.9
34,0
35,1
362
0.10
6.25
7.78
9.24
10.6
12,0
13,4
14,7
16.0
17.3
18,5
19.8
21.1
223
23,5
24,8
26,0
27,2
28,4
29.6
30.8
32,0
33.2
34,4
35.6
36.7
37,9
39,1
403
0.05
7.82
9.49
11.1
12.6
14Л
15,5
16.9
183
19.7
21.0
22 4
23.7
25.0
26.3
27.6
28,9
30.1
31.4
32.7
33,9
35,2
36,4
37.7
38.9
40.1
413
42,6
43,8
0.02
984
11.7
13.4
15,0
16.6
18.2
19,7
21,2
22,6
24.1
25,5
26.9
28,3
29.6
31.0
32,3
33.7
35.0
363
37,7
39,0
40.3
41.7
42.9
44,1
45.4
46.7
48,0
0.01
113
133
15.1
16.8
18.5
20.1
21.7
23.2
24,7
26.2
27.7
29.1
30.6,
32,0
33.4
34.8
36.2
37,6!
38,9
40.3
41.6
43,0
44.3
45.6
47,0
483
49.6
50.9]

о Г! £ 4к OJ tO tO ΙΟ
о g О 5 Ο νΟ 00 si
yJVJ4b***»4k4*4k
ОС "θ © О *— "— Vo ГО
^IOOOOsJOCO-
ы ы у ы u ы w^
о "о — to u» ui u» u»
О si Wi »rfJ Ν) Ы 4k Ui
U Ы NJ hJ Ы t J N Ю
*o >> Vj bo о ">o о о
1 ГО Ю t J tO tO tO tO ГО
Lo *4» On 0" Ъ> Vl Vl Vl
Ito to to to jo ы to to
lb 'm w V u> 'v 1л l/i
- φ 4j Ul Ы 4k О -4
1Ы JO Ы tO К* Ы Ы IO
O^On4kU>tO — OsOOOsJC*
4k 4k Jh- 4k ^ 4*. 4k 4k 4* 4k 4k
IO "к» to to *U» Ul U> U» 4k 4k 4k
Ut Ul Ы '^ Ui Ы U U '^J Ы U
U» u» 4* *4k 4k 4k V In 0i l/i C*
vl 00 О I'J t vl φ - Lft О W
Ν) Μ W W Ы W W'jJ Ы W W
*чс *sg to © о о "— *— '— "к> to
to to μ to to to jo to jo to yj
Vj Vj Vj be be Ъо Ъо о "о О О
4kO»00OtO4b.-JOW©s —
to to to to to to to to to to io
Lft b* Ь* b» b" b4 Vi Vi Vi bo be
OOro4k&*00 — 4k si — ил
to to to to jo jo jo to t>i to to
W U U In In α b" b> *-J *-J
n) i - у in >) О w № О ^
1— to to to to ro to ro to to to to to jo to to to to to
О О "— *- К* К» lo U» OJ Ul U» U» *4k *4k 4k 4k Ъ< 1л if»
4*l0O00*a0CvOOrO4kCt00Oto0n00~UtO
·- —■ — to ы to to to
Vi oo Vo Q © *— -- *—
bwtooooMu
on b* V» '-J Ъо л vo >o
to — O-COO — U»
*o kj ы υ» "^ b< b· b
pv»c-wbwsj
to to to to to to to to to to jo
*_. t- *— totototol*»u»U»4k
onCNOe©uio*oo~4kooto
(ji^ooSwSoo^^o^
cs Vj Vj Vj Vj be bo bo *o *чР о
О — ЫОЭ0— 4k00NJ(^ —
Ui J. W Μ -О
4k 4k 4^ 4k 4k 4k
"Ln T> b* Vj bo о
4k О -о: On 4k CK
ы ы ы ω uj 4k
(> xj 0C 00 О ·-
00 4k О 00 00 О
yj y> у» oj ui yj
tsJ U) 4* V bi 'θ.
O 4k — О О —*
О — — to U» fk
оч м> go ©* O* oo
IO JO 'jJ Ul Ul Ul
о о b '** Ij w
О C> Ы — О Ui
to jo jo y> yj yj
Vl bo sO *Q Q to
О en to о О to
to to to to to u>
On Vj Vj be >o О
t O-J ^ Vi vj
to to to to to to
4k 1л <> On Vl sO
00 Ui О О О —
to io to to to to
K* w V 1л Ь* Vi
О on to О — 4k
to to to to to to
Ъ V. ls> Lj 4k Ln
si Ui — © © 4k
O00 s| ^ Lft
on yn on on O*
".— ui on \p "o
to to ч0 О —·
4k 4v 4k on ьп
tO *4k Vj *·— Vj
ON 5 4k 4k чО
UJ 4k 4k 4k on
*» о u> Vj V
Й* si Ιλ α -
U) Ul 4k 4k on
'o bo '- 1л "-
ы 4> U ы <U
U» U* U» 4k \St
"4k b с Ь b
00 О si О on
u» Ui yj 4k 4*
u» on bo to ">©
-J 00 si 00 Ui
Ы OJ Ul 4k 4k
to 4k Vi V. bo
U> 4k Ul ОП Ю
Ul OJ Ul 4k 4k
О ы 1л о on
-J U» sj О 90
to yj ы и» 4k
*vO V. *4k OO ОП
Ο Ν - t W
Ы W W Ы *>
Vj о to b^ ui
- WUslOv
4*
7.71
6.94
on
чО
6Г9
to
6.16
6.04
5.91
5.77
5.63
u>
10,13
«5
9.28
9.12
9.01
8.94
bo
4k
8.74
00
00
u>
to —
161,40
18,51
5 8
sis
215,70
19.16
224.60
19,25
230,20
19,30
234,00
19.33
.«8
243.90
19.41
249.00
19.45
~1
"I
to
u>
4k
on
ON
00
Ы
bi
i
-

Оглавление
Предисловие 3
Глава 1. Основы дискретной математики 5
1.1. Множества и отношения 5
1.1.1. Основные понятия 5
1.1.2. Операции над множествами 7
1.1.3. Отношения 18
1.2. Основные понятия теории графов 25
1.2.1. Графы. Основные определения 28
1.2.2. Маршруты цепи, циклы 34
1.2.3. Деревья 41
1.2.4. Графы и бинарные отношения 44
1.2.5. Операции над графами 44
Глава 2. Математический анализ 47
2.1. Дифференциальное и интегральное исчисления 47
2.1.1, Числовые последовательности 47
Задания для самостоятельного решения 57
2.1.2. Функция одной переменной 58
Задания для самостоятельного решения 71
2.1.3. Предел функции 73
Задания для самостоятельного решения 80
2.1.4. Два замечательных предела 81
Задания для самостоятельного решения 85
2.1.5. Непрерывность функции 86
2.1.б. Сложная функция 92
Задания для самостоятельного решения 96
21.7. Производная функции 98
Задания для самостоятельного решения 106
2.1.8. Дифференциал функции 109
Задания для самостоятельного решения 110
2.1.9. Функции нескольких переменных :. 112
Задания для самостоятельного решения 115
2.1.10. Применение производных
в исследовании функций 115
Задания для самостоятельного решения 119, 124, 137
2.1.11. Неопределенный интеграл 138
Задания для самостоятельного решения 147
2.1.12. Определенный интеграл 148
Задания для самостоятельного решения 158

379
2.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения 160
2.2.1. Основные понятия 160
Задания для самостоятельного решения .... 163
2.2.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
с разделяющимися переменными 163
2.2.3. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка 167
Задания для самостоятельного решения 170
2.2.4. Линейные однородные дифференциальные
уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами 172
Задания для самостоятельного решения 174
2.2.5. Применение дифференциальных уравнений
для решения задач 174
Задания для самостоятельного решения 179
2.3. Дифференциальные уравнения
в частных производных 181
2.3.1. Основные понятия 181
2.3.2. Линейные однородные дифференциальные
уравнения в частных производных
первого порядка 186
Задания для самостоятельного решения 194
2.3.3. Дифференциальные уравнения второго порядка
с частными производными 194
2.4. Ряды 199
2.4.1. Числовые ряды 199
2.4.2. Основные свойства рядов 202
2.4.3. Необходимый признак сходимости 203
2.4.4. Признаки сходимости рядов
с положительными членами 206
Задания для самостоятельного решения 212
2.4.5. Знакопеременные ряды 215
Задания для самостоятельного решения 220
2.4.6. Функциональные ряды 220
Задания для самостоятельного решения 228
Глава 3. Основные численные методы 230
3.1. Численное интегрирование 230
3.1.1. Формула прямоугольников 230
3.1.2. Формула трапеций 238
3.1.3. Формула Симпсона и ее остаточный член 242

380
Математика
3.2. Численное дифференцирование 251
Задания для самостоятельного решения 266
3.3. Численное решение обыкновенных
дифференциальных уравнений 270
3.3.1. Метод Эйлера для решения задачи Коши 271
Задания для самостоятельного решения 282
Глава 4. Элементы теории вероятностей
и математической статистики 286
4.1. Случайные события и их вероятности 286
4.1.1. Случайные события 286
4.1.2. Операции над событиями 289
4.1.3. Определение вероятности события 291
4.1.4. Теорема сложения вероятностей 294
4.1,5 Теорема умножения вероятностей 296
4.1.6. Формула полной вероятности.
Формула Байеса 300
Задания для самостоятельного решения 304
4.2. Случайная величина 309
4.2.1. Распределение дискретных
и непрерывных случайных величин 310
4.2.2. Числовые характеристики случайных величин 318
4.2.3. Законы распределения непрерывных
случайных величин 325
Задания для самостоятельно решения 336
4.3. Основы математической статистики 340
4.3.1. Задачи математической статистики 340
4.3.2. Генеральная совокупность и выборка 341
4.3.3. Статистическое распределение
(вариационный ряд). Гистограмма. Полигон 342
4.4. Характеристики положения и рассеяния
статистического распределения 346
4.5. Оценка параметров генеральной совокупности
по ее выборке 349
4.6. Интервальная оценка. Доверительный интервал
и доверительная вероятность 354
Задания для самостоятельного решения 358
Литература 361
Приложения 362

Серия
• Среднее профессиональное образование
Омельченко Виталий Петрович,
Курбатова Элеонора Владимировна
МАТЕМАТИКА
Издание 5-е, стереотипное
Ответственный за выпуск Кузнецов В.Л.
Корректор Подопригорина О.И.
Художник Тимофеева Е.В.
Компьютерная верстка: Машир Т.Г.
Сдано в набор 12.05.2010 г. Подписано в печать 16.06.2010 г.
Формат 84x108 1/32. Бумага тип. № 2.
Гарнитура Таймс.
Тираж 3000 экз. Заказ № 649.
ООО «Феникс»
344082, г. Ростов-на-Дону,
пер. Халтуринский, 80
Отпечатано с готовых диапозитивов в ЗАО «Книга».
344019, г. Ростов-на-Донур ул. Советская, 57,
Качество п*чатм соответствует пр*доставл#ины* Депозитивам.

ISBN 978-5-222-17602-3
9 7 85 222 176023'