Мир
МАТЕМАТИКИ
31
Тайная жизнь
чисел
Любопытные разделы математики
DWSOSTINI
Мир математики
Мир математики
Хоакин Наварро
Тайная жизнь чисел
Любопытные разделы математики
Москва - 2014
KXAGOSTINI
УДК 51(0.062)
ББК 22.1
М63
М63 Мир математики: в 40 т. Т. 31: Хоакин Наварро. Тайная жизнь чисел. Любопытные
разделы математики. / Пер. с исп. — М.: Де Агостини, 2014. — 160 с.
Задача этой книги — опровергнуть миф о том, что мир математики скучен и скуп
на интересные рассказы. Автор готов убедить читателей в обратном: история математики,
начиная с античности и заканчивая современностью, изобилует анекдотами — смешными,
поучительными и иногда печальными. Каждая глава данной книги посвящена определен-
ной теме (числам, геометрии, статистике, математическому анализу и так далее) и свя-
занным с ней любопытным ситуациям. Это издание поможет вам отдохнуть от серьезных
математических категорий и узнать чуть больше о жизни самих ученых.
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0726-7 (т. 31)
УДК 51(0.062)
ББК 22.1
© Joaquin Navarro, 2010 (текст)
© RBA Coleccionables S.A., 2011
© ООО «Де Агостини», 2014
Иллюстрации предоставлены: Age Fotostock.
Все права защищены.
Полное или частичное воспроизведение без разрешения издателя запрещено.
Содержание
Предисловие......................................................... 9
Глава 1. Числа....................................................... И
Великое изобретение................................................. 11
Цена истины ....................................................... 11
Евангелисты, рыба и число 153....................................... 13
Торговцы важнее математиков ........................................ 15
Когда закончились буквы............................................. 16
Лейбниц и император Китая........................................... 16
Несносный ребенок................................................... 17
Ферма и Куммер...................................................... 18
1 +1 = 2 и другие элементарные равенства............................ 20
Небольшие ошибки.................................................... 21
Удивительные расчеты................................................ 22
Очень большое число................................................. 23
Сага о числе 1729................................................... 24
Харди, Бог и гипотеза Римана ....................................... 25
Ноль и ничто........................................................  27
Удивительный гений ................................................   28
Подсказка от Эрдёша ............................................... 29
Числа господина Смита............................................... 30
Муха............................................................... 31
Западня Ферма....................................................... 32
Глава 2. Фигуры..................................................... 35
Циклоиды вместо овец................................................ 35
Ускользающий многоугольник.......................................... 36
Настоящий рыцарь.................................................... 38
Теорема Наполеона................................................... 38
О ценности вещей.................................................... 40
Игры беспокойного разума............................................ 40
Домохозяйка днем и геометр — ночью................................. 41
Удивительная история гения, который не хотел быть таковым........... 42
5
СОДЕРЖАНИЕ
Тони Блэр и носорог .................................................... 43
Бутылка, у которой нет «внутри» и «снаружи»....................... 44
Глава 3. Анализ................
Гипотезы, теоремы и Ньютон.....
Кто платит, тот и заказывает музыку
Блистательный маркиз ..........
Интеграл мельника..............
Мыльные пленки ................
Открытие Нептуна ..............
Здравый смысл и математика.....
Как важно знать ряды Тейлора ..
«Простой поляк, господин учитель» .
47
48
48
50
52
53
55
56
56
57
Глава 4. Все остальное.............................................. 59
Нос Тихо Браге ..................................................... 59
Шифр Галилея........................................................ 61
Многогранный космос................................................. 62
Статистик и лавочник................................................ 63
Невезучий астроном ................................................. 63
Статистика не врет.................................................. 65
Графиня-программист................................................. 66
Флоренс Найтингейл и статистика .................................... 67
Статистика и геноцид ............................................... 68
Теннисон и Бэббидж.................................................. 70
Жуликоватый булочник................................................ 71
Их связали кватернионы.............................................. 74
Бесполезная теория.................................................. 75
Следуем правилам вежливости......................................... 76
У логики есть своя логика..........................................  77
Сложное домашнее задание............................................ 78
Все заканчивается на «АС»........................................... 78
Теорема, доказанная дважды.......................................... 79
Сочетания с повторениями............................................ 80
Взмахи крыльев бабочки.............................................. 81
Лучшее — враг хорошего.............................................. 83
6
СОДЕРЖАНИЕ
Красноречивое название.............................................. 84
Не просто игра...................................................... 84
Глава 5. Математики далекого прошлого............................... 87
Первый спекулянт.................................................... 87
Борьба с мошенничеством............................................ 88
Вторая жизнь палимпсеста ........................................... 89
Барон Мерчистон.................................................... 90
Безумные математики................................................ 92
Вундеркинды в мире науки........................................... 93
Ради чести человеческого разума.................................... 94
Популярный математик............................................... 94
Эйлер и Дидро...................................................... 94
Донжуан и математик................................................ 96
Математик-министр.................................................. 98
В поисках потерянной формулы....................................... 98
Король математиков ................................................. 99
Античиновник.......................................................100
Математик в Военной академии США...................................101
Простодушный математик ............................................102
Обманчивый титул...................................................102
Ректор-фехтовальщик............................................... 103
Пусть останется в шляпе — без нее эта женщина очень опасна.........105
Глава 6. Математики недавнего прошлого............................ 107
Не совсем обычный дьякон...........................................107
Первый в рейтинге................................................. 108
Миттаг-Леффлер не виноват........................................  109
Женщинам вход воспрещен .......................................... 111
Мрачный энтузиазм Гильберта....................................... 112
Простое и сложное................................................. 114
Вопрос четности................................................... 114
Третейский судья.................................................. 115
Математик, которого никогда не существовало....................... 117
Компьютер и холодная война.......................................... 118
Инопланетянин в Соединенных Штатах................................ 119
7
СОДЕРЖАНИЕ
Норберт Винер ..................................................120
Нелогичная конституция......................................... 121
Особый словарь..................................................122
Идеальная афера................................................ 123
Верить нельзя даже «Коду да Винчи»..............................124
Гений за работой................................................126
Математик и в лагере математик................................  127
Неожиданный удар................................................127
Награда Жака Титса..............................................128
«Я старею»..................................................... 129
Глава 7. Математические симфонии............................... 131
Колокола звонят по умершему.................................... 131
Гороскопы и предсказания....................................... 135
Одновременные открытия..........................................137
Очевидно или нет? ..............................................139
Шнобелевская премия ............................................140
Математики должны сидеть в тюрьме...............................142
Задача стоит хорошего гуся..................................... 144
Библиография....................................................147
Алфавитный указатель............................................149
8
Предисловие
Математика — музыка разума.
Джеймс Джозеф Сильвестр
Сборники математических анекдотов пользуются определенной популярностью.
Чем-то похожа на них и эта книга. Хотя истории, рассказанные в ней, не столь из-
вестны, с математической точки зрения они вызывают интерес. Математические
анекдоты многим читателям кажутся не особенно смешными — гораздо чаще улыб-
ку может вызвать многое из того, что математики говорят (и делают) с серьезным
выражением лица. Порой математические истории вовсе не забавны: в прошлом
веке нацистские, коммунистические и прочие тоталитарные режимы вынуждали
ученых (просим у читателя извинений за излишний натурализм) вскрывать себе
вены, но этот период истории вообще полон черных страниц. Впрочем, математики
во все времена шутят не слишком часто, хотя любой специалист по логике мог бы
заинтересоваться шутками как языковой аномалией, достойной изучения.
С математиками связаны и некоторые поистине бессмертные истории: образ
компьютерного гения Алана Тьюринга, который покончил с собой, откусив отрав-
ленное яблоко, словно Белоснежка, не вызывает улыбки. Вспоминается и печальная
история женщины-математика Ады Лавлейс, которая умерла от рака, — мать пря-
тала от нее морфий и считала, что дочь своими мучениями искупает земные грехи.
По сравнению с этими историями рассказ о борьбе Годфри Харолда Харди с Богом,
бурным морем и гипотезой Римана кажется пустячным.
Во время работы над книгой мы следовали вдоль оси времени, то есть старались
изложить истории в хронологическом порядке, от древних к современным. Чтобы
структурировать материал, каждую главу мы посвятили конкретной теме. Так,
в первой главе мы расскажем истории, связанные с простейшими математическими
объектами — числами. Вторая глава посвящена геометрии, третья — историям
о математическом анализе (эти разделы математики были наиболее популярны
до начала XX века). В четвертой главе собраны занимательные случаи, связанные
со всеми остальными математическими дисциплинами и теориями. В пятой и шестой
главах мы обратимся к самим математикам, которые — быть может, к своему несча-
9
ПРЕДИСЛОВИЕ
стью — относятся к совершенно особому виду людей. В последней главе изложены
факты, не поддающиеся классификации: среди всего прочего, в ней мы расскажем
о гороскопах, которые в разные годы привлекали внимание множества людей.
Историк Эрик Темпл Белл считал математику царицей всех наук. Те, кто зани-
мается ею, — в некотором роде особые люди, ведь математика достаточно сложна
и требует четкости мышления и порой значительных умственных усилий. Возможно,
мир математики кому-то покажется очень скучным, однако скромная цель автора
этой книги — посмотреть на знакомую всем историю науки немного под другим
углом и, избегая излишней сухости и строгости, заглянуть на ее невидимую сторону.
10
Глава 1
Числа
Альберт! Перестань указывать Богу, что Ему делать!
Нильс Бор — Альберту Эйнштейну
Вначале были число и фигура. Когда человек попытался овладеть ими, родилась
наука, и человек начал познавать окружающий мир. Развитие науки часто сопрово-
ждалось забавными, любопытными и даже анекдотичными случаями. Упомянуть их
все или даже хотя бы самые известные из них — слишком обширная задача, так что
мы остановились только на самых любопытных. Нашей единственной целью было
показать читателю земную сторону математики, которую слишком часто считают
наукой, недоступной простым смертным.
Великое изобретение
Паламед — персонаж древнегреческой мифологии, упоминаемый в легендах
об Агамемноне и Улиссе — героях Троянской войны. Мы говорим о нем потому, что
Платон иронично называет его создателем математики. По легенде, Паламед был
создателем мер и весов, а также их концептуального выражения — числа. Он изо-
брел числа — что ни говори, не самое пустяковое открытие. Платон писал о пред-
положительном существовании Паламеда с усмешкой: «Выходит, до того как Ага-
мемнон поговорил с Паламедом, он не знал, сколько у него ног?» Непочтительный
Платон был столь же острым на язык, как и его учитель, Сократ, которого даже
приговорили к смерти за инакомыслие.
Цена истины
Древние греки считали, что если измерить величину а единицей измерения Ь,
то дробь а/b будет мерой а. Иными словами, все, что можно измерить, имеет дроб-
ную меру, или, говоря современным языком, всякая мера эквивалентна рациональ-
ному числу и наоборот. К примеру, если отрезок имеет длину 70 см, а линейка —
11
ЧИСЛА
20 см, то дробь 70/20 = 7/2 была мерой а, измеренной Ь. Так считали ученики
пифагорейской школы. Но Гиппас из Метапонта (V век до н. э.) обнаружил, что
измерить диагональ квадрата, выбрав в качестве меры его сторону, невозможно.
Подчеркиваем: не очень сложно, а именно невозможно.
Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.
Если d = а /Ь, то очевидно, что мы можем выбрать а и b так, что они будут вза-
имно простыми. Достаточно сократить дробь a/b. Теперь рассмотрим самый про-
стой случай — квадрат с единичной стороной. Теорема Пифагора гласит, что d2 =
= I2 + I2 = 1 + 1 = 2, то есть (a/b)2 = 2, или, если вы предпочитаете иной способ
записи, a2 = 2Ь2.
Рассмотрим а подробнее. Если а четное, то b обязательно должно быть нечет-
ным, так как мы предположили, что а и b взаимно простые. Так как а — 2р, пре-
дыдущее равенство примет вид (2р)2 = 4р2 = 2b2, следовательно, 2р2 = Ь2, откуда
следует, что Ь2 (а следовательно, и Ь) четное. Но это невозможно, так как мы уже
показали, что b должно быть нечетным.
Теперь предположим, что а нечетное. Тогда нечетным будет и а2. Однако а2 =
= 2b2, и это означает, что а2 четное, что противоречит нашей предпосылке. Как
видите, получается нечто немыслимое, и первым это доказал пифагореец Гиппас.
Как известно, лучшее, что можно сделать, получив дурную весть, — это убить
гонца. Ямвлих Халкидский восемь веков спустя утверждал, что пифагорейцы по-
строили склеп, где должен будет упокоиться тот, кто откроет несоизмеримые вели-
чины. Существует несколько версий гибели Гиппаса. В самой милосердной версии он
даже не упоминается и говорится лишь о том, что пифагорейцы принесли в жертву
сто быков — столь велико было удивление, которое вызывали несоизмеримые ве-
личины. Так как пифагорейцы были вегетарианцами, эта гекатомба (что по-гречески
и означает «сто быков») кажется возможной, но не слишком вероятной. В другой
12
ЧИСЛА
версии легенды Гиппас всего лишь был изгнан из пифагорейской школы. И в самом
жестоком варианте он был сброшен в море с борта корабля. Как бы то ни было, вера
пифагорейцев в истинность своего учения оставалась непоколебимой. Лишь Евдокс
Книдский, открыв вещественные числа, смог разрешить загадку несоизмеримых ве-
личин.
Евангелисты, рыба и число 153
Одно из первых упоминаний о нумерологии в истории западной цивилизации со-
держится в 21-й главе Евангелия от Иоанна, где рассказывается о чуде в море Ти-
вериадском, свидетелем которому стал Симон Петр, поймавший в сеть за один раз
153 рыбы. Разумеется, это чудо сотворил Иисус Христос.
Число 153 непременно должно обладать какими-то особыми свойствами. Дей-
ствительно, это треугольное число. Читатель может сосчитать звездочки на рисунке
и убедиться, что их действительно 153:
*****************
****************
***************
**************
*************
************
***********
**********
*********
********
*******
******
*****
* * * *
* * *
* *
*
Однако этой причины недостаточно для упоминания в Евангелии Рассмотрим
равенства:
13
ЧИСЛА
1! = 1
21 = 2-1 = 2
31 = 3-21 = 6
41 = 4- 3-2-1 = 24
5! = 5-4-3-2-1 = 120.
Мы видим, что 1! + 2! + 3! + 4! + 5! — 1 + 2 + 6 + 24 +120 —153, как показано
на схеме:
@©®@®
@®@@®@
@@@@@@@
' 40 41 4	,	+
ФФФФФФФФФФ
(56)(57;58 59' 160 i о1; 62(63 (64 (65j1бб)
фффффффффффф
(79)@@(
У2 93 94 1 >5 96 97 ”8 99 цюкиЩ02 ЮЗ К>4-105
’’.Ь Г -']0> 10'*	И 118 И" :()
(12l'i?:ll?3)124 и" 2	1?Й(
132 15)'
Это уже лучше, однако и теперь найдутся неверующие, для которых и этой при-
чины недостаточно, чтобы считать 153 божественным числом. В поисках лучше-
14
ЧИСЛА
го решения будем действовать так: поскольку Бог един в трех лицах, рассмотрим
любое число, кратное 3, например 1728, возведем все его цифры в третью степень
и сложим их:
13+73+23+83 = 864
83+63+43=792
73 +93 +23=1080
13+03+83+03 = 513
53+13+33 = 153.
Удивительно, что ряд будет заканчиваться числом 153 для любого числа, кратно-
го трем. Что это — чудо или занимательная математика?
Торговцы важнее математиков
Именно так считали в эпоху Возрождения. В 1456 году было изобретено книгопе-
чатание, и путь к знаниям был открыт — для многих, но далеко не для всех, особен-
но если смотреть в прошлое из нашего благополучного XXI века. Вопреки ожида-
ниям, первой печатной книгой по математике
были не «Начала» Евклида, подлинный памят-
ник античной мудрости, а учебник по элемен-
тарной арифметике, отпечатанный в Тревизо
под названием L’arte de 1’abbacho («Искусство
абака»). Автор книги ограничился объяснения-
ми четырех арифметических действий и задача-
ми о справедливом разделе вещей. Книга увиде-
ла свет в 1478 году. В ней использовались индо-
арабские цифры.
Купцы, которые интересовались подобными
книгами, одержали верх над мудрецами и мыс-
лителями. Впрочем, науке удалось отыграться:
книга «Искусство абака» больше не переизда-
валась, в то время как известно о сотнях изданий
«Начал» Евклида.
।ffacoti mdtncccfluuaсра'Гс/
tKcqtncn Jqucft artafiiacntcndx: u
pamcracoTacneqtKfta fpccia fatxraql
ta taulatccoripcrplabeaafigurada:^
mucn^atnoftreliforocaeaqucfta t#
tcfabnmaU pUrirpaniretotcelwal/
WjJIcerferiioftnapolfcMc cnaltn
mancranengupojuc» agjcdx algiitu
(pu.tabpcri'ucw.
Страница из учебника арифметики,
отпечатанного в Тревизо, — первой
в истории книги по математике.
15
ЧИСЛА
Когда закончились буквы
Эта история, в которой сочетаются правда и вымысел, объясняет, почему в аналити-
ческой геометрии и в любых книгах по математике неизвестные чаще всего обозна-
чаются буквой х. Начало этой традиции положил Рене Декарт (1596—1650) в сво-
ей книге «Геометрия», где обозначал известные числовые величины первыми буква-
ми алфавита (a, b, с, d, ...), а неизвестные — последними буквами (х, у, z). Так
буква х, которая стоит на первом месте в этой троице, стала синонимом неизвестной
величины.
Некоторые полагают, что инициатором такого решения был издатель книги: он
заметил, что если литер с другими буквами не хватало, то литер с буквой х всегда
было в избытке. Ее печатник и использовал при появлении неизвестной величины.
Как было на самом деле — мы уже не узнаем, но точно можно утверждать, что
обозначение, введенное Декартом, сегодня использует весь мир.
Лейбниц и император Китая
Знакомство с двоичной системой счисления для разностороннего мыслителя Гот-
фрида Вильгельма Лейбница (1646—1716) было сродни озарению. Царство единиц
и нулей напоминало философский камень, способный превращать железо в золо-
то: оно открывало новые, доселе невиданные горизонты. Единица (подобная Богу)
и ноль (ничто) могли объяснить целую Вселенную, а простые 0 и 1 могли порождать
любые числа. Это чудо следовало как-то объяснить и применить на практике.
В 1689 году Лейбниц обратился к своему другу, иезуиту Карлу-Филиппу Гри-
мальди, главному придворному математику Китая (в последующие годы они вели
весьма интересную переписку). Ученый просил Гримальди использовать все свое
влияние и дар убеждения, чтобы, опираясь на новые знания о единице и нуле, убе-
дить императора Кам-хи оставить буддизм и с распростертыми объятиями встретить
христианство. Однако император Китая счел, что двоичная система никак не связа-
на с единым Богом и вполне соответствует концепции инь и ян. Он не стал прини-
мать христианство, а двоичная система счисления вернулась в царство арифметики,
которое не должна была покидать.
Лейбниц упрямо приписывал полубожественные свойства всем новым матема-
тическим понятиям, о которых ему становилось известно. Например, таинственные
мнимые числа он считал возвышенными и прекрасными, «амфибиями бытия с небы-
тием».
16
ЧИСЛА
Несносный ребенок
О детстве Карла Фридриха Гаусса (1777—1855), который был вундеркиндом,
обычно рассказывают такую историю. Когда ему было 10 лет, учитель, желая
немного передохнуть, дал Гауссу и его одноклассникам задачу, которая заняла бы
детей надолго: нужно было найти сумму всех чисел от 1 до 100:
1 + 2 + 3 + ...+ 98 + 99 + 100.
Спустя несколько минут маленький Гаусс поднялся с места и протянул учителю
грифельную доску с ответом: 5050. Как несносный ребенок смог так быстро спра-
виться с задачей? Гаусс заметил, что если записать числа исходного ряда друг под
другом справа налево и слева направо,
1 + 2 + 3 + ...+ 98 + 99 + 100
100 + 99 + 98 + ...+3 + 2 + 1,
то сумма чисел в каждой паре будет равна:
1+100 = 2 + 99 = 3 + 98=... = 98 + 3 = 99 + 2 = 100 + 1 = 101.
Сколько всего таких пар? 100. Так как искомая сумма была в два раза меньше,
ответ к задаче таков:
100-101
2
= 50-101 = 5050.
Обычно здесь и заканчивается легенда об одаренном ребенке с фантастическими
способностями — наверное, для того, чтобы понять ее могли все, даже те, кто дале-
ко отстал от Гаусса по своим способностям.
На самом же деле задача была еще сложнее: учитель предложил ученикам найти
сумму первых 100 чисел ряда:
81297 + 81495 + 81693 + ... —
каждое слагаемое отличалось от предыдущего на 198. Получить этот результат уже
не так просто — выходит, Гаусс был еще умнее, чем гласит легенда.
17
ЧИСЛА
Ферма и Куммер
В 1847 году французский математик Габриель Ламе (1795—1870) в присутствии
множества коллег восторженно объявил, что доказал теорему, известную нам как
великая теорема Ферма. При этом Ламе не преминул выразить благодарность вдох-
новившему его Жозефу Лиувиллю (1809—1882), который присутствовал здесь же.
По словам Ламе, без неоценимой помощи Лиувилля он не смог бы... и прочая,
и прочая. В ответ совершенно пораженный Лиувилль обратил внимание собравших-
ся на одну небольшую деталь: доказательство Ламе было верно тогда и только тогда,
когда выполнялось одно условие: целые числа определенного класса (далее мы опре-
делим их подробнее), как и обычные целые числа, можно разложить на множители
единственным способом. Следует отметить, что в этом сомневались немногие. Ламе
попытался найти доказательство для этого недостающего звена, но, к его разочаро-
ванию, сделать этого не удалось. Как сказал музыкальный критик об одном из про-
изведений Дебюсси: «Его музыка не слишком шумна, но этот шум крайне непри-
ятен». Ламе терял терпение, не в силах справиться с каким-то пустяком.
Тремя годами ранее немецкий математик Эрнст Куммер (1810—1893) опубли-
ковал в малоизвестном журнале контрпример, в котором показал, что целые числа
определенного класса можно разложить на множители не единственным способом.
Узнав о попытках Ламе, Куммер поспешил отправить коллеге свой контрпример,
и Ламе, лишившись надежды, оставил всякие попытки доказать теорему Ферма.
Сегодня известно, что знаменитые целые числа Ламе образуют так называемое
квадратичное поле. Во времена ученого этим числам уделялось не слишком много
внимания. Для обычных целых чисел, в частности на множестве Z, разложение
на множители является единственным (если не делать разницы между 1 и —1). На-
пример,
6 = 2 • 3 = 2 • (-3) • (-1) = (-2) • 3 • (-1) = (-2) • (-3).
Множителями в этом разложении являются 2 и 3. На множестве Z [л/-5 ] (его эле-
менты — числа вида a + iby/s, где а и b — целые), за исключением 1 и —1, разложить
это число на множители можно уже не единственным способом:
6 = 2-3 = (1 + г\/5)-(1 —г\/5).
18
ЧИСЛА
К примеру, целое число 6 (если принять, что 1 = —1) можно разложить на множи-
тели двумя разными способами.
Как говорится в пословице, нет худа без добра. Куммер начал охоту за доказа-
тельством теоремы Ферма, описав идеальные числа, и знаменитая недоказуемая
теорема
Не существует тройки целых чисел х, у, z,
которые удовлетворяли бы равенству хп + уп = zn для п> 2
была доказана для 100 первых показателей степени (п < 100). Оставалось доказать
ее для бесконечного множества чисел.
Эрнст Куммер.
Эрнст Куммер не только увлекался нумерологией, но также был ярым патриотом
и славился неспособностью запомнить основы элементарной арифметики — обыч-
ные таблицы умножения. Когда ему нужно было использовать таблицу умножения
в классе, он обращался к ученикам: «Семь на девять будет... эээ ...» — тут какой-
нибудь ученик, желая напакостить, обычно подсказывал неверный ответ: «Семь
на девять будет шестьдесят один». «Нет, нет, шестьдесят девять», — подсказывал
другой ученик, присоединяясь к общему веселью. И тогда бедному Куммеру не оста-
валось ничего другого, как невинно сказать: «Ну же, господа, давайте остановимся
на чем-нибудь одном». Но правильный ответ был необходим, и Куммер начинал
рассуждать логически. Сколько же будет 7 • 9? Числа 60, 62, 64, 66 и 68 не под-
19
ЧИСЛА
ходят, так как они четные, 61 и 67 не подходят, потому что они простые, 65 не под-
ходит потому, что оканчивается на 5 и, следовательно, делится на 5. 69 тоже не под-
ходит, так как очевидно, что оно слишком велико. Остается 63 — таким и должен
быть ответ. Следовательно, 7*9 = 63.
1	+1 = 2 и другие элементарные равенства
Немецкий математик Иоганн Петер Густав Аежён Дирихле (1805—1859) питал
к числам особые чувства. Рассказывают, что даже ложась спать, он клал под по-
душку том «Арифметических исследований» Гаусса. А когда у Дирихле родился
первый ребенок, он отправил тестю телеграмму:
2	+ 1 = 3.
Яснее выразиться невозможно: раньше их было двое, и вот на свет появился
третий. Кроме того, телеграммы в то время были очень дороги, так что послание
Дирихле было не только лаконичным, но и дешевым. Он не первым и не послед-
ним использовал равенство, вынесенное в заголовок: сам Сократ ломал голову над
выражением «1 + 1 = 2», будучи не в силах убедиться в его очевидности. Но что
можно ожидать от человека, выбравшего своим девизом фразу «Я знаю только то,
что ничего не знаю»?
Австрийский физик и математик Людвиг Больцман (1844—1906) как-то стал
героем забавной сцены. Ученый умел быстро выполнять расчеты в уме, поэтому его
занятия часто были настоящей пыткой для присутствующих: Больцман пропускал
множество действий, так как считал очевидными вычисления, произведенные в уме,
и даже не записывал их на доске. На одной из лекций его попросили все же рас-
шифровать ход своих мыслей. Больцман покорно пообещал исправиться и продол-
жил рассуждения: «Как я уже говорил, поскольку pv = povQ (1 + at) и так далее,
и так далее»,— однако по-прежнему ничего не записал. Закончил он свою непо-
нятную лекцию бессмертной фразой: «Я верю, что все сказанное выше будет для вас
столь же очевидным, как и то, что один плюс один равно двум». И тут, вспомнив
о своем обещании записывать все вычисления, он подошел к девственно чистой до-
ске и записал: «1 + 1 = 2».
Несколько позже Бертран Рассел (1872—1970) и Альфред Норт Уайтхед
(1861—1947) удивили весь научный мир, создав на заре XX века (в 1910—1913 го-
дах) невероятно сложный и почти недоступный для понимания трехтомный труд
20
ЧИСЛА
по логике, который, вслед за Ньютоном, назвали «Начала математики». Очевидное
для непосвященных равенство «1 + 1 = 2», вынесенное в заголовок этой главы,
во втором томе книги приводилось как теорема под номером 54.43, а весь первый
том, можно сказать, подготавливал для него почву. Чтобы вы могли оценить всю
«увлекательность» «Начал математики», приведем лишь один факт: редакция одной
уважаемой газеты учредила премию для того, кто докажет, что прочел всю книгу.
Премия так и осталась невостребованной. Какое-то время в редакции теплилась на-
дежда, что хотя бы один из соавторов прочел книгу целиком, но эти ожидания были
напрасными: и Уайтхед, и Рассел прочли только лично написанную часть труда.
*54’43. Ь:.а,/Зе1.Э:ал/3 = Д. = .аи/Зе2
Dem.
Ь .*54’26. Э Ь :. а = t'a?. /3 =	. Э : a v /Зе 2 . = .	•
[*51*231]	= . i*x г\1*у — Л .
[*13*12]	= .ал/3 = Л (1)
Ь.(1). *11*11*35. Э
Ь :. (з«, у). а — i*x. /3 = i‘y. Э : а и /3 е 2. = . а п /3 = Л (2)
I-	. (2). *11-54. *521. Э Ь . Prop
From this proposition it will follow, when arithmetical addition has been
defined, that 1 + 1 = 2.
Фрагмент «Начал математики», в котором приводится строгое доказательство равенства
1 + 1= 2. Сначала, как иронично указано в тексте (здесь явно слышится шутливый тон Рассела),
нужно определить операцию сложения.
Небольшие ошибки
Огюстен Луи Коши (1789—1857) как-то раз получил по почте объемный труд
по теории чисел, в котором доказывалось, что диофантово уравнение
x3 + y3 + z3=f3
не имеет целых решений. Коши, который отличался саркастичным и довольно на-
смешливым характером, отправил автору трактата письмо, состоявшее из одной
строки:
З3+43+53=63.
21
ЧИСЛА
Нечто подобное произошло с прекрасным французским математиком Альфон-
сом де Полиньяком (1817—1890), известным сегодня как автор гипотезы о простых
числах, представляющей собой обобщение гипотезы Гольдбаха. Полиньяк провоз-
гласил:
Любое нечетное число можно представить как сумму степени двойки
и простого числа.
Гипотеза не только впечатляла, но и выглядела вполне правдоподобно. Рассмо-
трим любое число, например 63:
63 = 25 + 31.
Так как 31 простое, то, похоже, гипотеза Полиньяка верна. Прибавим еще один
факт: Полиньяк дал понять, что проверил свою гипотезу для всех чисел вплоть
до 3000000. Однако, видимо, в его вычисления вкралась ошибка: уже для числа
127 гипотеза не выполняется. Перечислим шесть первых степеней двойки и убедим-
ся в том, что это и в самом деле так:
127 = 21 + 125 = 21 + 5-25;
127 = 22+123 = 22 + 3 - 41;
127 = 23+119 = 23+7 17;
127 = 24+111 = 24+3-37;
127 = 25+95 = 25 + 5 • 19;
127 = 26 + 63 = 26 + 3-21.
Однако следующей степенью двойки будет уже 28 — 128 — число, большее 127.
Таким образом, несмотря на заявления Полиньяка, его гипотеза не выполняется для
числа 127.
Удивительные расчеты
Следующая история произошла на собрании Американского математического обще-
ства в октябре 1903 года. Математик Фрэнк Нельсон Коул (1861—1926) должен
был выступить с докладом на тему «О разложении больших чисел на множители».
Выступление Коула было не совсем обычным: он поднялся с места, подошел к доске
и записал на ней 267—1 — число Мерсенна М67, которое считалось простым. Далее
Коул вычислил значение 267 и вычел из него 1. Присутствующие затаили дыхание,
22
ЧИСЛА
а Коул записал на доске еще два числа и вычислил их произведение: 193707721 X
X 761838257287. Полученное число 147573952589676412927, как и ожидалось,
было равно искомому числу М67. Коул развернулся и проследовал на свое место.
Его доклад длился целый час, и за это время ученый не произнес ни слова. Однако
аудитория все равно разразилась аплодисментами.
Следует отметить, что в 1903 году еще не существовало ни калькуляторов, ни ал-
горитмов, которые используются для работы с числами Мерсенна сегодня. По сло-
вам Коула, все необходимые расчеты он провел «за три года по воскресеньям».
В честь этого математического подвига Американское математическое общество
учредило премию Коула, которая и сегодня остается очень престижной. За поиском
простых чисел Мерсенна можно следить в интернете на сайте проекта Great Internet
Mersenne Prime Search (http://www.mersenne.org/default.php). Самым большим
простым числом, известным на февраль 2013 года, было M57g85161 — действительно
большое число, состоящее из 17 425 170 цифр. И еще: М57885161 начинается с циф-
ры 5. Больше об этом числе — ни слова.
Очень большое число
В математике можно говорить о сколь угодно больших числах — конечных, но очень
больших, огромных, колоссальных. В 1938 году девятилетний племянник известного
математика Эдварда Казнера (1878—1955) придумал число гугол, которое казалось
ему невообразимо большим, практически бесконечным. Милтон Сиротта — так
звали племянника — определил гугол как единицу, за которой следует 100 нулей.
В математической нотации это число записывается так:
1 гугол = 10100.
Гугол кажется не слишком впечатляющим — куда больше впечатляет гуголплекс,
определяемый как 1, за которым следует гугол нулей:
1 гуголплекс = 10гугоА =10* .
Долгие годы невинное изобретение Сиротты упоминалось в учебниках математи-
ки как любопытная диковинка, пока не появился Google. Этот компьютерный гигант
был основан в 1998 году двумя молодыми американскими математиками — Ларри
Пейджем (род. 1973) и Сергеем Брином (род. 1973). Сначала проектом компании
был только поисковый механизм, который со временем занял важное место в интер-
нете, а затем за ним последовали и другие проекты. Название компании представ-
23
ЧИСЛА
ляет собой один из способов написать слово «гугол». На момент создания Google
было проиндексировано всего 24 миллиона интернет-страниц, что достаточно дале-
ко от обещанного гугола, но, как мы знаем, математикам часто присущ оптимизм.
Сага о числе 1729
Число 1729 считается мифическим благодаря известной истории о двух математи-
ках — англичанине Годфри Харолде Харди (1877—1947) и индийце Сринивасе
Рамануджане (1887—1920). Харди рассказывал, что как-то раз, навещая Рама-
нуджана в больнице, он, чтобы завести с больным непринужденную беседу, сказал,
что приехал на такси с номером 1729 — по словам Харди, это число было «ничем
не примечательным». «Вовсе нет, — тут же ответил Рамануджан, — это наимень-
шее натуральное число, представимое в виде суммы кубов двумя различными спосо-
бами». И действительно,
1729 = 123+13=93+103.
На доказательство этого утверждения, которое у Рамануджана родилось мгно-
венно, Харди потратил несколько недель. Позднее число 1729 дало начало целому-
подразделу теории чисел, который изучает так называемые числа Рамануджана —
Харди.
Этот рассказ очень известен и подтвержден документально. Он позволяет по-
нять, как работает ум гениального математика, каким Рамануджан, без сомнений,
был. Однако не будем забывать о том, чем эта история закончилась, и здесь не обой-
тись без упоминаний еще об одном гении из мира математики и физики — о нобе-
левском лауреате Ричарде Фейнмане (1918—1988).
Как рассказывает сам Фейнман в книге «Вы, конечно, шутите, мистер Фейн-
ман!», число 1729 помогло ему победить японского продавца счетов, который за-
явил, что может выполнять действия с числами быстрее всех. Убедившись, что чем
сложнее становились вычисления, тем чаще Фейнман выигрывал, японец предло-
жил ему задачу на извлечение кубических корней. Он попросил Фейнмана выбрать
число, из которого нужно было извлечь кубический корень — и допустил промаш-
ку, потому что Фейнман сразу же выбрал 1729. Это число не вызвало у продавца
подозрений, а
л/1729 = л/123 + 13
з 123 1 + — =123/1 + ——,
V I 123 J V 1728
24
ЧИСЛА
что можно с легкостью записать на бумаге и разложить в ряд Тейлора:
1 +-------
3 1728
Этих членов уже достаточно для того, чтобы получить
л/ 1729 = 12,0023.
Фейнман тут же одержал над продавцом победу. Рамануджан, должно быть,
с улыбкой смотрел на это с небес, из нирваны или любого другого места, где он
сейчас находится.
Индийская марка, выпущенная в честь Сринивасы Рамануджана —
величайшего математика в истории Индии.
Харди, Бог и гипотеза Римана
О выдающемся математике и писателе Годфри Харолде Харди рассказывают мно-
жество анекдотов, мы же приведем один из самых известных. Понять всю неза-
урядность Харди помогает список целей, составленный ученым. Наряду с довольно
прозаичными пунктами в нем значилось следующее.
1.	Доказать гипотезу Римана.
2.	Набрать победное очко в важном крикетном матче.
3.	Убить Муссолини.
4.	Доказать, что Бога не существует.
25
ЧИСЛА
О первом желании, с которым связан известный исторический анекдот, мы
и расскажем. Однако вначале представим основных действующих лиц:
—	Годфри Харолд Харди, прекрасный математик, известный прежде всего тем,
что открыл для западного мира удивительного индийца Сринивасу Рамануд-
жана;
—	Бог, который не требует представления и которого Харди считал своим лич-
ным врагом;
—	гипотеза Римана — несомненно, важнейшая гипотеза современной матема-
тики, которая по-прежнему остается недоказанной.
Изложим события согласно версии Дьёрдя Пойа (1887—1985), в которой
можно оценить способности Харди и проследить за его математическими рассуж-
дениями. Харди возвращался из Дании, где встретился с математиком Харальдом
Бором, братом знаменитого физика Нильса Бора. Перед отплытием корабля в Ан-
глию погода испортилась, и вероятность того, что корабль попадет в шторм и по-
терпит крушение, была довольно высока. И тогда Харди отправил Бору открытку
со словами: «Я доказал гипотезу Римана». Харди рассуждал следующим образом:
если бы корабль утонул, то весь мир благодаря Бору узнал бы, что Харди доказал
гипотезу Римана. Но Бог не мог допустить, чтобы его заклятый враг Харди обрел
незаслуженную славу, поэтому он не дал бы кораблю утонуть. Таким образом, ко-
рабль не мог потерпеть крушение, что и требовалось доказать. Само собой, Харди
по воле Бога добрался до Англии без происшествий.
Удивительно, но если путем Харди пойдет обычный человек, то он легко мо-
жет допустить логическую ошибку. Так, часто рассказывают о некоем статистике,
который вычислил вероятность того, что кто-то пронесет на борт самолета бомбу,
и после этого стал каждый раз брать с собой в полет бомбу в чемодане. По его сло-
вам, вероятность присутствия на борту сразу двух взрывных устройств значительно
меньше, чем вероятность присутствия одного. Разумеется, это вовсе не корректный
статистический вывод, а обыкновенная наивность.
Очень похожую историю рассказывают о Давиде Гильберте (1862—1943), од-
нако в ней речь идет о теореме (в то время — гипотезе) Ферма. Как-то раз Гильберт
сообщил своим коллегам из далекого города, в котором он должен был выступить
26
ЧИСЛА
с докладом, что расскажет об окончательном доказательстве теоремы Ферма. Ког-
да Гильберт долетел до места назначения без происшествий, он прочел блестящий
доклад, но ни словом не обмолвился о теореме Ферма. Когда его спросили об этом,
он ответил, что упомянул о теореме «на случай, если самолет разобьется». В этой
версии о Боге ничего не говорится, но его роль подразумевается.
Ноль и ничто
Во время интервью, которое выдающийся мыслитель Бертран Рассел дал индий-
скому писателю Разипураму Ааксману (род. 1924), словоохотливый Рассел заме-
тил, что Индия не дала миру ничего: «You indians, have invented absolutely nothing»
(«Вклад индийцев в науку и культуру равен нулю») — сказал Рассел. Ааксман
был ошеломлен: фраза показалась ему не просто невежливой — услышать ее из уст
такого джентльмена было попросту немыслимо, к тому же она не соответствовала
истине. Однако Ааксман не успел возразить: хитрый Рассел пояснил, что слово
nothing, «ничто», следует понимать буквально. Nothing означает «ноль» — именно
это имел в виду Рассел. Индийцы изобрели ноль — это и есть их важнейший вклад
в науку.
Карикатура из газеты Evening Standard, опубликованная в 1961 году,
когда Рассел в очередной раз был заключен в тюрьму за свои политические взгляды,
противоречившие тогдашним законам.
Действительно ли все было именно так, доподлинно неизвестно. По всей ви-
димости, стоит предполагать, что ноль изобрели именно индийские математики
27
ЧИСЛА
в VI веке. Они не только открыли способ описать «ничто», но добились значи-
тельно большего. Понятие нуля является одним из основных в позиционной системе
счисления. Бертран Рассел был нобелевским лауреатом, одним из величайших ма-
тематиков всех времен, но даже ему не удалось открыть хоть что-то, сопоставимое
с нулем — изобретением столь же гениальным, как и колесо.
Удивительный гений
Гениальный венгерский математик Пал Эрдёш (1913—1996) был широко изве-
стен — отчасти благодаря экстравагантному характеру, о котором было сложено
немало анекдотов, а отчасти — благодаря реальному вкладу в теорию чисел. Эрдёш
и вправду был гением: он говорил, что открыл отрицательные числа, когда ему было
всего 4 года.
Не рассказывать анекдотов об Эрдёше невозможно. Он, как и Харди, считал
Бога своим личным врагом, который скрывает от людей прекраснейшие из теорем,
а он, Эрдёш, должен вытягивать их из него силой. Математик утверждал, что самые
примечательные образцы этой тайной мудрости изложены в воображаемой книге —
сборнике шедевров мысли, и когда ему удавалось доказать какое-то очень красивое
утверждение, он восклицал: «Это наверняка должно быть в книге!»
Эрдёш стал живой легендой, а некоторые математические понятия, связанные
с ним, прочно вошли в науку, как, например, предложенное в шутку число Эрдёша,
которое теперь изучается в теории графов. Число Эрдёша для любого ученого X
определяется как наименьшее число Е(Х) такое, что для этого ученого найдется
хотя бы один соавтор одной из его статей с числом Эрдёша Е(Х) — 1. Это рекур-
сивное определение заканчивается, когда мы определяем число Эрдёша, равное О,
единственным обладателем которого является сам Эрдёш. Ученый имеет число Эр-
дёша, равное 1, если он написал статью в соавторстве с самим Эрдёшем. Очевидно,
что число Эрдёша, равное 2, имеют те, кто написал статью в соавторстве не с Эрдё-
шем, а с одним из тех, кто имеет число Эрдёша, равное 1. Те, кто написал статью
в соавторстве с ученым X, имеющим число Эрдёша Е(Х) = 2, имеют число Эрдё-
ша, равное 3, и так далее. Тот, кто не связан с этой цепочкой соавторов, имеет бес-
конечно большое число Эрдёша. Число Эрдёша — это в высшей степени математи-
ческий способ классификации математиков.
Множество математиков с числом Эрдёша, равным 1, содержит 511 человек.
В их число входит знаменитый бейсболист Хэнк Аарон — по совету математика
28
ЧИСЛА
Карла Померанса (род. 1944) Эрдёш оставил ему автограф на бейсбольном мяче
во время церемонии вручения степени почетного доктора. Кто-то подсчитал, что
90 % ученых современности имеют число Эрдёша, меньшее или равное 8. Наиболь-
шее известное на сегодняшний день число Эрдёша равно 15.
Следует отметить, что старейшим математиком, принадлежащим к этой блестя-
щей компании, является Рихард Дедекинд (1831—1916) с числом Е (Дедекинда) =
= 7.
«Мой разум открыт» — говорил Пал Эрдёш друзьям, когда стучался в их двери, чтобы погостить у них.
С собой ученый брал только чемодан и смену белья, поскольку все остальное — его ум и готовность
решать самые запутанные задачи — были при нем всегда. После этой фразы часто звучало и другое
его изречение: «Another roof, another proof» («Еще одна крыша, еще одно доказательство»).
Подсказка от Эрдёша
Все, что не было связано с математикой, вызывало у Эрдёша просто мучительную
скуку. Как-то раз его пригласили на ужин, и когда ученый убедился, что гости дей-
ствительно собрались ужинать, а не говорить о математике, то уткнулся носом в та-
релку и заснул. Существует еще одна история, рассказанная польско-американским
математиком Марком Кацом (1914—1984). Один из семинаров Каца был посвя-
29
ЧИСЛА
щен теме, не слишком интересной Эрдёшу, и тот благополучно задремал. Однако
в какой-то момент Кац зашел в тупик, не в силах решить задачу о делителях числа,
и ровно в этот же момент Эрдёш проснулся, словно хищник, почуявший добычу,
и тут же погрузился в задачу. Кац еще не закончил говорить, как Эрдёш триумфаль-
но вскинул голову: задача была решена.
Числа господина Смита
Эта история началась благодаря Альберту Вилански, который описал новый класс
чисел, взяв за основу телефон своего зятя — по крайней мере, именно так изложены
события в книгах по теории чисел. У зятя Вилански, некого Гарольда Смита, был
номер телефона 4937775. Сумма его цифр равна 42:
4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 42.
Затем Вилански разложил номер телефона на простые множители:
4937 775 = 3-52-65 837
и записал его без показателей степени, точно так же, как это делают школьники:
4937 775 = 3 5 5 65 837.
Сюрприз! Сумма всех цифр этих чисел вновь равнялась 42:
3 + 5 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 7 = 42.
Другой не обратил бы на это внимания, но Вилански испытал настоящее оза-
рение. Так появились числа Смита. Число Смита (мы приведем его определение
в десятичной системе счисления, но его можно определить и в любой другой) — это
составное число, для которого при разложении на множители и записи в указан-
ном виде сумма цифр исходного числа и сумма цифр его простых сомножителей
равны. Изучение чисел Смита оказалось довольно плодотворным, и сегодня этим
занимаются сотни и тысячи математиков. Известно, что чисел Смита бесконечно
много (недаром это весьма распространенная фамилия в англоязычных странах),
бесконечное множество из них является палиндромами, и даже известно одно любо-
пытное число Смита
30
ЧИСЛА
9 • К1031(Ю4594 + 3 • 102297 +1)1476 • Ю3913210,
где R1031 (R означает «репьюнит» от английского «повторяющаяся единица») обо-
значает целое число, записанное как 1031 единица подряд, или, что аналогично
_10,о31-1
^1031 — g 
На 2010 год это число было наибольшим из известных чисел Смита. Самым при-
мечательным в этом классе является «число зверя» 666, упоминаемое в Откровении
Иоанна Богослова:
С другой стороны,
6 + 6 + 6 = 18.
666 = 2-3-3-37;
2 + 3 + 3 + 3 + 7 = 18.
Трепещите, каббалисты и приспешники темных сил! Жаль, что числа Смита име-
ют столь прозаическое название и обязаны своим появлением на свет телефонному
номеру.
Муха
Американский физик и математик венгерского происхождения Джон фон Нейман
(1903—1957) благодаря некоторым чертам своего характера также стал героем мно-
жества анекдотов. В одном из самых популярных рассказывается о его впечатляю-
щих способностях к вычислениям и любопытной привычке действовать не так, как
простые смертные. Задача о двух поездах и мухе стала уже классической, и звучит
она так: предположим, что два поезда, А и В, отправляются навстречу друг другу
из точек А и В соответственно. Допустим, что расстояние междуЛ и В равно 100 км,
скорость поездов — 50 км/ч. В момент отправления муха, сидевшая на локомотиве
поезда А, летит в точку В со скоростью 75 км/ч. Она летит быстрее, чем движется
поезд А, и в конце концов встречается с поездом В. Достигнув поезда В, она сра-
зу же поворачивает обратно и летит в сторону А. Когда она достигает поезда А, она
вновь поворачивает обратно и летит в сторону поезда В, и так далее. Полет мухи за-
кончится, когда оба поезда встретятся. Какое расстояние к этому времени пролетит
31
ЧИСЛА
муха? После трудоемких вычислений студент-отличник показал бы, что длина пути
равна сумме следующей бесконечной геометрической прогрессии:
12 12
d — 60 +12 ч-1--+ ...
5 25
Знаменатель прогрессии равен 1/5, а ее сумма равна d — 75 км.
Проницательный неспециалист получит тот же результат, рассуждая следующим
образом: поезда Аи В встретятся в середине пути, на отметке в 50 км, время в пути
составит один час. Следовательно, длительность полета мухи также равна одному
часу, а поскольку скорость мухи равна 75 км/ч, то муха в сумме пролетит 75 км. Это
решение элементарно, однако подойти к задаче подобным образом способны не все.
Когда один из коллег фон Неймана предложил ему эту задачу для развлечения,
ученый незамедлительно дал ответ: «75 км». Коллега был несколько разочарован:
«Ну вот, а я надеялся застать тебя врасплох. Ты очень умный, а вот большинство
решает эту задачу с помощью суммы ряда». Фон Нейман с удивлением ответил:
«А что я, по-твоему, сделал?» Гений среди гениев ни на секунду не задумался о дру-
гом решении. Он всего лишь вывел нужный ряд и мгновенно вычислил его сумму.
Просто и быстро — если, конечно, вы — фон Нейман.
Западня Ферма
Некоторые известные задачи и простые математические темы попали на киноэкран:
математике посвящены, в частности, фильмы «Маленький человек Тейт» (1991),
«Куб» (1997), «Мёбиус» (1996), «Пи» (1998), «Энигма» (2001) и многие дру-
гие. Однако существует фильм, все действие в котором вращается вокруг матема-
тики, — это «Западня Ферма» (2007) режиссеров Луиса Пьедраиты и Родриго
Сопеньи. В фильме снимается блестящий актерский ансамбль, а герой Алехо Сау-
раса, молодой специалист с фамилией Галуа (подсказка для внимательного зрителя),
играет особую роль — он нашел доказательство гипотезы Гольдбаха. К сожалению,
доказательство было украдено, о чем сообщается в начале фильма.
Сюжет фильма полон неожиданных поворотов, один из которых (по всей види-
мости, он взят из рассказа Эдгара Аллана По) заключается в том, что герои фильма
заперты в комнате со сдвигающимися стенами. Эта драматическая история — лишь
32
ЧИСЛА
сюжет фантастического фильма: еще никому не удалось достаточно близко подойти
к доказательству гипотезы Гольдбаха. Галуа признает, что его доказательство было
ошибочным, однако другой персонаж, по фамилии Гильберт (его роль исполняет
Луис Омар), по всей видимости, находит корректное доказательство. К сожале-
нию, Гильберт погибает, а его выкладки оказываются на дне реки. На сегодняшний
день гипотеза Гольдбаха по-прежнему не доказана и ждет своего укротителя.
33

Глава 2
Фигуры
Геометрия — единственная наука, которую Богу
угодно было пожаловать человеческому роду.
Томас Гоббс
Циклоиды вместо овец
Те, кто страдает бессонницей, обычно считают овец, чтобы заснуть. Математик
и богослов Блез Паскаль (1623—1662) нашел для себя другой способ призвать сон.
В конце жизни он практически полностью посвятил себя богословию, оставив в сто-
роне науку, которая до того была его основным занятием. При этом Паскаль стра-
дал от бессонницы, которая не отступала, сколько бы овец он ни сосчитал. По всей
видимости, недостаток сна стал причиной постоянных головных болей мыслителя,
а во времена, когда еще не знали о болеутоляющих, это было настоящим мучением.
Однажды, страдая от бессонницы, Паскаль задумался о геометрии, в частности
о циклоидах — кривых, обладавших загадочным очарованием. Головная боль вскоре
утихла, и ученый смог заснуть. С тех пор мысли о циклоидах стали для Паскаля без-
отказным средством против бессонницы и головных болей.
Циклоида определяется механически как траектория
фиксированной точки катящейся окружности.
35
ФИГУРЫ
Размышляя об этом любопытном явлении, Паскаль нашел ему лишь одно объ-
яснение — религиозное: Богу, по всей видимости, математика угодна больше, чем
что-либо еще. Паскаль даже учредил особую премию для авторов интересных от-
крытий, связанных с циклоидой, а членом жюри назначил известного специалиста
Жиля Персонна Роберваля (1602—1675).
Об этом превосходном математике также следует сказать несколько слов. Ро-
берваль обожал циклоиду — кривую, вызвавшую столько жарких споров, что неко-
торые называли ее Еленой геометрии, имея в виду Елену Троянскую. Роберваль уча-
ствовал во многих подобных диспутах по одной причине: должность главы кафедры
математики Коллеж де Франс освобождалась каждые три года, и новый глава на-
значался по результатам конкурса на тему, указанную его предшественником. Есте-
ственно, действующий глава кафедры хранил все интересные результаты в тайне,
а затем представлял их во время конкурса, в котором обычно одерживал верх, так
как имел фору. Но если бы кто-то, кроме него, открыл какую-то секретную теорему
и представил ее на суд жюри, разразилась бы настоящая буря. Роберваль возглавлял
кафедру 40 лет — достаточно времени, чтобы со всеми перессориться. Однажды
его оппонентом был итальянец Торричелли, и Паскаль, который, как и Роберваль,
был французом, встал на сторону соотечественника. Однако позднее было доказано,
что Торричелли верно вычислил площадь, ограниченную кривой, и определил метод
построения касательных к ней совершенно независимо от вспыльчивого Роберваля.
И в завершение рассказа — снова о Паскале: его отец не воспринимал увлечение
сына математикой всерьез, пока тот не сформулировал самостоятельно утвержде-
ния, охватывавшие содержание 32 первых теорем «Начал» Евклида. Мальчику
в то время было всего девять лет, и после этого отец уступил просьбам сына.
Ускользающий многоугольник
Вундеркинд Карл Фридрих Гаусс в 19 лет обнаружил, какие многоугольники можно
построить с помощью циркуля и линейки, а какие — нет. В то время Гаусс колебался
между лингвистикой и математикой, поскольку к обеим наукам проявил удивитель-
ные способности. Раскрыв тайну многоугольников, он понял, что призван стать гео-
метром, и занялся математикой. Гауссу не пришлось сожалеть о выборе: многие годы
он оставался бесспорным лидером в своей области.
36
ФИГУРЫ
Найденный им ответ к задаче о многоугольниках был таким: правильный
п-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки, если выполняется ра-
венство
п = ^!РгР2'---'РГп ПРИ
где р. — либо единицы, либо различные простые числа Ферма. Осталось объяс-
нить, какие числа называются числами Ферма. Число F? называется числом Ферма,
если имеет вид
F = 22'+1.
р
Числа Ферма могут быть простыми или составными:
= 22" +1 = 3
F] = 22' +1 = 5
F2 = 222 +1 = 17
F3 =22’+1 = 257
F =22' +1 = 65 537
4
F5 = 22' +1 = 4294 967 297 = 641 • 6700 417.
F6 разложил на множители французский математик Фортюне Ландри
в 1880 году. Для последующих F? вплоть до Fn были найдены способы разложения
на множители, но больше простых чисел Ферма обнаружить пока не удалось. Неиз-
вестно, существуют ли они.
Из теоремы следует, что возможно построение правильных п-угольников для
п = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 24 ... вплоть до 65537, что соответствует F4.
Здесь мы ненадолго остановимся и укажем, что, по-видимому, существует руковод-
ство, описывающее построение правильного 65537-угольника.
В 1894 году немецкий геометр Иоганн Густав Гермес (1846—1912) завершил
немыслимое построение, занимающее свыше 200 страниц. Он не смог опубликовать
свой труд и передал рукопись Гёттингенскому университету, где она хранится до сих
пор и, возможно, будет храниться вечно — ознакомившись с описанием построения,
37
ФИГУРЫ
некоторые сомневаются в его правильности. Каким же огромным будет разочаро-
вание, если окажется, что Гермес, потратив столько сил (по оценкам британского
геометра Гарольда Скотта Макдональда Коксетера, эта работа заняла десять лет),
допустил ошибку. Но вряд ли кто-то готов потратить еще десять лет на то, чтобы
убедиться в этом.
Настоящий рыцарь
Гаспар Монж (1746—1818) не был рыцарем — он родился и вырос в семье торгов-
цев. Его жизнь была неразрывно связана с Наполеоном Бонапартом — Монж по-
следовал за Наполеоном в Египетский поход и с тех пор не расставался с ним. После
смерти Монжа король запретил ученикам Политехнической школы присутствовать
на похоронах. Сегодня гроб с телом ученого находится в Пантеоне. Монж был соз-
дателем начертательной геометрии и одним из крупнейших специалистов по начер-
тательной и дифференциальной геометрии. О событиях его бурной жизни можно
было бы написать целую книгу, но мы изложим всего один эпизод.
В юности Монж вел светский образ жизни. Однажды на приеме он услышал,
как один из присутствовавших осыпал проклятиями некую вдову Орбон, которая
отвергла его ухаживания. Неудачливый донжуан жаждал мести и обвинял вдову
во всех смертных грехах. Галантный Монж не стерпел подобных оскорблений в адрес
отсутствовавшей дамы и повздорил с этим господином. Ссора оказалась чрезмерно
горячей, и оппоненты даже вызвали друг друга на дуэль, которая, впрочем, не со-
стоялась. Спустя некоторое время Монжа представили одной очаровательной вдо-
ве, и он был восхищен ее юностью и красотой. Дама не хотела выходить замуж
повторно до тех пор, пока не будут улажены все дела ее покойного мужа. Вы уже,
наверное, догадались, что это была не кто иная, как мадам Орбон. Они поженились
в 1778 году и, как говорят в сказках, стали жить-поживать и даже добра наживать,
так как Наполеон пожаловал Монжу титул графа Пелузского. Современники счи-
тали этот брак примером для подражания.
Теорема Наполеона
Возможно, самым безобидным из деяний Наполеона Бонапарта (1769—1821), ко-
торое он совершил во время, свободное от принятия законов, покорения империй
38
ФИГУРЫ
и планирования битв, было доказательство теорем. Наполеон, математик-любитель,
не достиг профессионального уровня только потому, что, как всем известно, зани-
мался несколько другими вещами. Однако он любил окружать себя блестящими
математиками и часто беседовал с Фурье, Монжем, Лапласом и многими другими
учеными. Возможно, при этом полководец несколько разочаровывал своих генера-
лов, которых интересовало уничтожение противника, а не построения с помощью
циркуля и линейки. Рассказывают, что военачальники, присутствовавшие на встре-
чах императора с интеллектуалами, часто засыпали от скуки. Также известно, что
Наполеон повелел геометру Лоренцо Маскерони (1750—1800) читать своим мар-
шалам лекции по геометрии.
Приписываемая Наполеону теорема гласит, что если построить на сторонах про-
извольного треугольника равносторонние треугольники, то их центры определят
равносторонний треугольник. Понять эту красивую теорему, которая считается эле-
ментарной теоремой геометрии Евклида, поможет рисунок.
Эта теорема, возможно, действительно была предложена в наполеоновскую
эпоху, однако ее доказательство, по мнению экспертов, принадлежит не Напо-
леону. Формулировки этой теоремы с доказательством встречаются у разных ав-
торов, старейшее принадлежит Резерфорду и датируется 1825 годом. Наполеон
39
ФИГУРЫ
умер на острове Святой Елены четырьмя годами ранее, так что авторство теоремы
вряд ли принадлежит ему. Любопытно, что Резерфорд опубликовал свое доказа-
тельство в развлекательном ежегоднике для дам — The Ladies’ Diary.
Для теоремы Наполеона в прошлом веке было предложено несколько обобще-
ний: Адриано Барлотти доказал ее уже не для равносторонних треугольников, а для
правильных п-угольников.
О ценности вещей
Земли древнего Конго сегодня не вызывают особого интереса. Конго — одна из са-
мых отстающих стран, где не прекращаются всевозможные племенные конфликты.
Эта страна — родина народа бакуба, народа геометров, который известен благодаря
своим симметричным узорам. Их можно видеть на поясах и лентах, на масках, плат-
ках, на барабанах и даже статуях вождей. Европейцы в начале XX века попытались
включить бакуба в список «цивилизованных народов» и, по давнему обычаю, под-
несли королю дар — мотоцикл, который был для бакуба настоящим чудом. Однако
главное внимание народа привлек не сам мотоцикл, а следы его шин. Бакуба ско-
пировали эти узоры, оставленные протекторами, и король назвал их в свою честь.
После такого впору задуматься: чем на самом деле измеряется ценность вещей?
Игры беспокойного разума
Героями кинофильмов стали немногие математики. Наибольшую известность среди
них имеет Джон Форбс Нэш, главный герой фильма «Игры разума» (A Beautiful
Mind), сошедший с ума в период расцвета творческой деятельности и вновь обрет-
ший разум много лет спустя, после вручения Нобелевской премии.
Джон Нэш (род. 1928) был не только нобелевским лауреатом, но и блестящим
математиком. Его число Эрдёша равно 4. В книгах по алгебраической геометрии
Нэш неизменно упоминается как автор теоремы, носящей его имя, согласно которой
всякое риманово многообразие допускает изометрическое вложение в разновид-
ность евклидова пространства. Эта важная теорема была опубликована в журнале
40
ФИГУРЫ
«Анналы математики» в 1952 году под заглавием «Вещественные алгебраические
многообразия» (Real Algebraic Manifolds). По легенде, настоящим автором статьи
был сам редактор журнала, поскольку к тому времени Нэш уже был серьезно бо-
лен, и его рукопись напоминала непроходимые джунгли. Поэтому редактор статью
переписал, и она была встречена с большим энтузиазмом. Возможно, это всего лишь
легенда — симптомы паранойи начали проявляться у Нэша шестью годами позже,
в 1958 году, но вообще об этом ученом рассказывают множество историй, которые
так и просятся на киноэкран.
Джон Форбс Нэш.
Домохозяйка днем и геометр - ночью
Крайне редко бывает так, что простая домохозяйка в промежутках между варкой
макарон и вышиванием демонстрирует всем, что ее мозг работает не хуже, чем у зна-
менитого сыщика Эркюля Пуаро. Но именно это и произошло с уставшей от до-
машних дел калифорнийской домохозяйкой Марджори Райс (род. 1923), которая
всегда любила математику и головоломки. Сначала она помогала детям решать до-
41
ФИГУРЫ
машние задания по математике, а в конце концов даже специалистов заставила рас-
крыть рты от изумления. Как-то в руки Марджори попал номер журнала Scientific
American, в котором его знаменитый колумнист Мартин Гарднер (1914—2010) объ-
яснял результаты, полученные Кершнером и касающиеся замощения плоскости вы-
пуклыми пятиугольниками. Марджори увлеклась этой задачей и в свободное время
за два следующих года нашла четыре принципиально новых замощения плоскости
выпуклыми пятиугольниками. Одно из ее решений изображено на рисунке.
Фрагмент найденного Марджори Роуз замощения плоскости пятиугольниками.
Оно называется «рыбы»: если изобразить в каждом пятиугольнике узор,
показанный сверху, то плоскость будет полностью покрыта рыбами,
как на одной из знаменитых гравюр Маурица Корнелиса Эшера.
Это далеко не единственный случай, когда математик-любитель затмевал про-
фессиональных ученых. Как видите, порой официальные титулы значат немного.
Удивительная история гения, который не хотел быть таковым
Об Александре Гротендике (род. 1928), математике немецкого происхождения,
которого многие считают французом, написано немало. Его считают настоящим
гением алгебраической геометрии, хотя объяснить суть его открытий в этой сфере
очень и очень сложно. Гротендик изучал столь абстрактные разделы математики,
42
ФИГУРЫ
что даже классифицировать его труды непросто. Он до сих пор жив, но мы говорим
о нем в прошедшем времени, потому что математик удалился от мира в 1988 году:
он оставил науку и поселился на юге Франции, близ Андорры, в совершенной изо-
ляции от всего мира.
История Гротендика достаточно драматична: по происхождению он был евреем,
родители оставили его в детстве, чтобы сражаться в гражданской войне в Испании,
потом его отец умер в Аушвице. В биографии математика можно найти странные
браки и непримиримую борьбу за мир, он отличался экстремистскими взглядами
и выдающимся умом, благодаря которому открывал новые понятия и создавал пере-
довые математические теории. Гротендик стал автором более десятка современных
математических понятий с достаточно живописными названиями (схемы, топология
и пространства Гротендика, теория детских рисунков, кристаллическая когомология
и так далее).
В 1966 году ученый был удостоен Филдсовской премии, но отказался ее при-
нять. В 1988 году ему была присуждена престижная премия Крафорда — аналог
Нобелевской премии в дисциплинах, где эта премия не присуждается. Гротендик
отказался и от нее. Золотые годы он провел в Институте высших научных исследо-
ваний близ Парижа и покинул его, едва узнал, что финансирование частично пре-
доставлялось источниками, близкими к вооруженным силам. Один из докторантов
Гротендика, Пьер Делинь (род. 1944) в 1978 году был также удостоен Филдсов-
ской премии.
Позднее были опубликованы остросюжетные, хотя и весьма путаные воспоми-
нания ученого, а также несколько его трудов. Все эти книги отличались внушитель-
ными размерами. Он редко вступал в личный контакт, предпочитая переписку. Уже
более 20 лет нам ничего неизвестно о его новых работах, и нет надежды, что имя
Гротендика когда-нибудь промелькнет в новостях — разве что по случаю его кончи-
ны. Как жаль, что мы лишились такого ученого!
Тони Блэр и носорог
Как вы уже знаете, некоторые правители, к примеру Наполеон или Имон де Ва-
лера, испытывали любовь к математике. Например, экс-президент США Джеймс
Гарфилд (1831—1881) во время одного из скучнейших заседаний даже нашел новое
доказательство теоремы Пифагора. Однако существуют и политики, взаимоотно-
шения которых с математикой не столь успешны. Известна очень смешная история
43
ФИГУРЫ
о Тони Блэре, рассказанная учителем математики в Chorister School, где юный Блэр
учился. В ответе к задаче о прямоугольных треугольниках он почему-то упомянул
слово «носорог». Блэр признался, что использовал это слово по уважительной при-
чине: «Я бы написал „гиппопотам**, но не был уверен, как именно оно пишется, по-
этому не захотел огорчать учителя и написал первое более или менее похожее слово,
которое пришло в голову». Словом, которое никак не мог вспомнить Блэр, была
«гипотенуза». В этот момент Евклид, наверное, перевернулся в гробу.
Путаница между словами «гиппопотам» (англ, hippopotamus) и «гипотенуза»
(англ, hypotenuse) стала классической темой математических анекдотов. Мы при-
вели здесь эту историю потому, что она подтверждена документально и в ней рас-
сказывается об известной личности.
Бутылка, у которой нет «внутри» и «снаружи»
Как сказал бы капитан Хэддок, друг героя комиксов Тинтина, у всех бутылок в на-
шем мире есть «внутри» и «снаружи», и они либо пусты, либо в них что-то налито.
Но правильнее было бы сказать «почти у всех», поскольку существуют математиче-
ские бутылки (бесполезные для Хэддока и потому ему неизвестные), обладающие
весьма необычными свойствами. Немецкий математик Феликс Клейн (1849—1925)
в 1882 году описал бутылку, у которой, как вы можете видеть, нет ни внутренней,
ни наружной части. И выпить из нее нельзя.
44
ФИГУРЫ
Читатель, конечно, может попытаться представить ее себе полной или пустой,
но в нашей трехмерной Вселенной такая бутылка, к несчастью, пронзает сама себя,
а вот в четырехмерном пространстве — вполне возможна. Со строго геометриче-
ской точки зрения, бутылка Клейна — это замкнутая неориентируемая поверхность
без границы, которая изучается в топологии наряду со своей сестрой, лентой Мёби-
уса.
Анекдотичность этой геометрической диковинки заключена в ее названии, куда
вкралась ошибка: изначально на немецком языке бутылка Клейна называлась
Kleinsche Flache, то есть «поверхность Клейна». Если кто-то хочет изобразить эту
поверхность (для этого достаточно компьютерной программы и принтера), он дол-
жен будет построить график следующего уравнения в декартовых координатах:
(х2 + у2 +z2 + 2у — 1) (x2 +у2 + z2 — 2у — 1) — 8z2
+ 16xz (х2 + у2 + z2 — 2у — 1 j = 0.
Однако даже математики порой ошибаются, и Kleinsche Flache стало писаться
как Kleinsche Flasche, что как раз и означает «бутылка Клейна». А поскольку слово
«бутылка» тоже довольно точно описывает поверхность Клейна, то это ошибочное
название стало в научном мире общепринятым.
Открытие бутылки Клейна предоставило ряд возможностей и для бизнеса: в ин-
тернете вы найдете шапки, имеющие форму поверхности Клейна, или ковши для
зачерпывания вина, которые представляют собой практически ее копию.
45

Глава 3
Анализ
А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений.
А что такое эти самые исчезающие приращения?
Они не есть ни конечные величины,
ни величины бесконечно малые, но они и не нули.
Разве мы не имеем права назвать их призраками исчезнувших величин?
Епископ Джордж Беркли (1685—1753)
Процитированные выше строки взяты из памфлета «Аналитик» (The Analyst,
1734) — прекрасного интеллектуального упражнения англиканского епископа,
посвященного «одному неверующему математику» — по-видимому, Беркли имел
в виду Эдмунда Галлея (1656—1742), который славился своей недоверчивостью.
В памфлете Беркли выступает против недавно появившегося ньютоновского исчис-
ления, столь обожаемого Галлеем и всем научным миром, возражая им (и небезос-
новательно), что если они не верят в Бога, поскольку священные тексты им непо-
нятны, то не следует верить и в почти мистические хитросплетения математического
анализа.
Прошли годы и даже столетия, доверие
к математическому анализу было восстанов-
лено благодаря более строгим и четким, но ме-
нее интуитивным определениям. Тем не менее
не стоит забывать слова Беркли, превосход-
ного философа-эмпирика (его именем назван
знаменитый американский университет). На-
против, следует отдать ему дань уважения
за грамотную и обоснованную критику.
Методы, описанные Ньютоном и Лейбни-
цем, открыли множество путей в науке и вме-
сте с тем породили множество анекдотичных
ситуаций. Приведем некоторые из них.
Портрет епископа Джорджа Беркли кисти
Джона Смайберта.
47
АНАЛИЗ
Гипотезы, теоремы и Ньютон
Очевидно, что гипотеза и теорема — не одно и то же. Гипотеза обретает статус
теоремы только после доказательства, однако довольно долго это не учитывалось.
Рассмотрим, например, труды Иоганна Кеплера (1571—1630). Все мы не раз
почтительно отзывались о его законах, которые представляют собой эмпирические
выводы, основанные на таблицах Тихо Браге (1546—1601). Эти законы можно на-
звать гениальными, они широко известны в научном мире и точно описывают дви-
жение небесных тел, хотя для них не приводится какого-либо математического до-
казательства. Сегодня, с вершин нашего знания, можно сказать, что это были три
блестящие гипотезы, но не три теоремы.
Лишь Исаак Ньютон (1643—1727) через 50 с лишним лет расставил все по сво-
им местам. Именно он, применив элементарные законы дифференциального и ин-
тегрального исчисления к механике, вывел три закона Кеплера исходя из фунда-
ментальной гипотезы — закона обратных квадратов, согласно которому два тела
притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их
масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Раз уж мы за-
говорили о Ньютоне, который отличался особой мрачностью и неразговорчивостью,
то расскажем о нем одну историю (разумеется, апокрифическую), в которой ученый
предстает более человечным. У Ньютона была собака по кличке Даймонд (это дей-
ствительно подтверждается разными источниками), которой он в шутку приписы-
вал способности к математике. Как-то раз в разговоре с Валлисом Ньютон в шутку
заметил: «Сегодня до завтрака Даймонд доказал две теоремы». Валлис подыграл
ему: «Ваша собака, должно быть, гениальна». Ньютон ответил: «Ну что вы. Одно
доказательство содержало ошибку, другое — патологический пример»1.
Кто платит, тот и заказывает музыку
Как-то раз в 1684 году Эдмунд Галлей, архитектор сэр Кристофер Рен (1632—
1723), автор проекта собора Святого Павла в Лондоне, и Роберт Гук (1635— 1703),
который первым стал использовать термин «клетка», вышли с собрания Королев-
ского общества, зашли в кафе и завели разговор о том, какую форму имеет траекто-
рия планеты, притягиваемой Солнцем с силой, обратно пропорциональной квадрату
1 В математике патологическим примером называется столь явное отклонение от общего правила, справедливого в осталь-
ных случаях, что оно имеет научную (и эстетическую) ценность само по себе.
48
АНАЛИЗ
расстояния до центра масс. Рен даже согласился выплатить денежную премию тому,
кто решит эту задачу. Гук заявил, что траекторией планеты будет эллипс, но доказа-
тельства этому не привел. Участники встречи разошлись по домам.
Вскоре Галлей пришел к Ньютону и между делом поинтересовался, какую же
форму будет иметь траектория планеты в этой задаче. «Эллипс», — незамедлитель-
но ответил Ньютон. «Почему вы так уверены в этом?» — удивился Галлей. «По-
тому, что я это вычислил». Галлей наверняка подскочил от удивления — Ньютон
не бросал слов на ветер. Однако он не смог найти доказательство среди бумаг и сде-
лал вычисления повторно. Коротко изложим последующие события. Уступив уго-
ворам Галлея, Ньютон записал свои расчеты, в которых применил закон обратных
квадратов, и, слово за слово, через 18 месяцев на свет появились «Математические
начала натуральной философии» — труд, сыгравший основную роль в формирова-
нии нашей картины мира. В нем Ньютон описал закон всемирного тяготения, за-
кон обратных квадратов, эллиптические орбиты планет, а также заложил основы
математического анализа. Некоторые ученые буквально рыдали от восторга, прочтя
эту полную мудрости рукопись. Однако у Ньютона не было денег, чтобы оплатить
публикацию, так что финансировать издание книги пришлось самому Галлею. Тем
более что и родилась она отчасти благодаря его уговорам.
Галлей известен широкой публике тем, что рассчитал орбиту кометы, названной
в его честь. Эта комета появляется на звездном небе каждые 75—76 лет, имеет ви-
димую величину 28,2 (в 2003 году) и видна невооруженным глазом. Ученый на-
блюдал комету в 1682 году и, применив результаты наблюдений, законы механики
Ньютона и собственную интуицию, предположил, что именно ее наблюдали Петер
Апиан в 1531 году и Иоганн Кеплер в 1607 году. Если эта гипотеза верна, то, со-
гласно расчетам Галлея, в следующий раз комета должна появиться на небе пример-
но в 1758 году. В 1682 году, Галлей, высказавший свою догадку, был уже немолод,
а когда комета появилась в указанном месте точно в назначенное время, он уже был
16 лет как мертв.
49
АНАЛИЗ
Математик и астроном Эдмунд Галлей первым рассчитал орбиту кометы,
которая сегодня носит его имя.
Блистательный маркиз
Следующая история доказывает, что деньги и желание пустить пыль в глаза часто
идут рука об руку. Все началось со швейцарской семьи Бернулли, которой мы позже
посвятим несколько строк, и с маркиза Лопиталя — Гийома Франсуа Антуана де
Лопиталя, маркиза де Сен-Мэм и графа де Антрмон (1661—1704). С маркизом
произошел постыдный случай, в котором оказались замешаны члены упомянутого
семейства Бернулли.
Господин маркиз был прекрасным математиком. Также он был богат и хотел ис-
пользовать деньги на благо математики и, как язвительно замечает историк Уильям
Данэм, на собственное благо, поэтому приобрел у гениального Иоганна Бернул-
ли права на все его открытия. Сегодня это кажется нам возмутительным, однако
в то время взгляды были иными. Работы Иоганна Бернулли были опубликованы
в 1696 году под заглавием «Анализ бесконечно малых для познания кривых ли-
ний». По словам Данэма, единственным, что получил маркиз в результаты сделки
с Бернулли, стала эта превосходная книга. В 1704 году, уже после смерти Лопиталя,
Бернулли рассказал подлинную историю произошедшего. Хотя ученый и говорил
правду, ему мало кто поверил: об интриганстве Бернулли знали все, а сам он имел
весьма сомнительную репутацию.
50
АНАЛИЗ
В 1921 году были найдены бумаги, подтверждающие, что Иоганн Бернулли
действительно был автором большинства открытий, приписываемых Аопиталю,
и до сих пор неясно, стремился ли маркиз к незаслуженной славе: во-первых, Ло-
питаль и сам был математиком высокого уровня, во-вторых, книга была опубли-
кована без указания авторства, а в-третьих, в предисловии содержится множество
благодарностей Иоганну Бернулли. Возможно, господин маркиз всего лишь хотел
сделать математическое знание доступным для всех.
ANALYSE
DES
INFINIMENT PETITS,
Peur I’inttBigente dtt liffta rourbet.
A PARIS,
DE L'IMPRIMERIE ROYALE.
M. DC. XCVL
Обложка первого издания самой известной книги маркиза Лопиталя.
Теперь настало время сказать несколько слов о семье Бернулли. Старшими Бер-
нулли были братья Якоб (1654—1705) и Иоганн (1667—1748), затем историю
семьи знаменитых математиков продолжили сын Иоганна, Даниил (1700—1782),
и племянник братьев, Николай Бернулли (1687—1759). На этом история семей-
ства не заканчивается: до 1807 года в истории науки отметились целых девять Бер-
нулли, и все они были выдающимися учеными. Сравниться с Бернулли талантом
может разве что семья композиторов Бахов, однако математическое семейство во-
шло в историю также благодаря непростым родственным отношениям. Некоторые
распри среди Бернулли стали просто легендарными, например, ссора Иоганна с соб-
51
АНАЛИЗ
ственным сыном Даниилом, у которого он украл часть результатов в области гидро-
динамики. Вот до чего может довести зависть...
Интеграл мельника
Математики-любители вызывают определенное восхищение у простых людей. Лю-
бители редко получают свои удивительные знания обычным путем и часто отли-
чаются необычными способностями, как, например, польский математик Стефан
Банах (1892—1945) или индиец Сриниваса Рамануджан — это лишь два примера
ученых, не имевших классического образования, но занявших место на математиче-
ском Олимпе. Однако королем среди любителей был Пьер Ферма (1601—1665) —
юрист, читавший книги по арифметике, поля которых были слишком узки для его
поистине чудесных доказательств.
Прекрасным примером ученого-самоучки является также Джордж Грин (1793—
1841), который совершенно самостоятельно прошел путь к математической мудро-
сти. Он обладал одним странным для британца качеством: в его время в Англии
считалось дурным тоном использовать в математическом анализе нотацию Лейбни-
ца вместо нотации Ньютона. Однако Грин мало оглядывался на общественное на-
учное мнение и малопонятной нотации Ньютона предпочитал способ записи Лейб-
ница. Такая независимость его мышления удивляет еще больше, если учесть, что он
был простым мельником. Грин, сын разбогатевшего пекаря, до 40 лет не осмеливал-
ся поступить в Кембридж, и его насилу удалось уговорить. Именно благодаря его
трудам сегодня нам известна теорема Грина (она также независимо от него была
сформулирована русским математиком Михаилом Остроградским (1801—1861)),
влияние которой прослеживается даже в современном дифференциальном и инте-
гральном исчислении:
dx + Mdy) = J J	dxdy.
c	о l Эх dy
Работы Грина позднее позволили ученым добиться значительных успехов даже
в квантовой механике — науке, совершенно немыслимой в XIX веке. Из «Небес-
ной механики» Лапласа Грин вывел вполне достойную математическую теорию
электричества. В последние годы жизни он часто прикладывался к бутылке. Сло-
вом, этот мельник — сегодня в его мельнице находится музей — в обычной жизни,
скорее всего, был совершенно простым и довольно приятным человеком.
52
АНАЛИЗ
Одним из результатов практического применения теоремы Гоина стало создание планиметра —
прибора, позволяющего определить площадь замкнутой фигуры неправильной формы.
Мыльные пленки
Бельгийский физик Жозеф Плато (1801—1883) был большим экспериментатором
и получил множество результатов, описывающих персистенцию зрения и принцип
действия сетчатки глаза. Он же изобрел фенакистископ. Сегодня изобретения Пла-
то и их производные отошли в область занимательной физики, хотя именно благо-
даря им стало возможным изобретение кинематографа.
Фенакистископ стал первым прибором, в котором использовалась персистенция — способность
глаза запоминать последовательные события. При вращении диска кажется, что фигуры движутся.
53
АНАЛИЗ
Но как это связано с математикой? Плато почти случайно провел эксперименты
с маслянистыми жидкостями, в итоге которых родилась теория, описывающая по-
верхностное натяжение и форму мыльных пленок. Если погрузить криволинейную
структуру, представляющую собой контур поверхности (например, изогнутую про-
волоку), в мыльную пену, то образуется пленка, которая будет поверхностью наи-
меньшей площади, а границей этой поверхности станет проволока. Именно здесь
в игру вступает математика: вычислить поверхность наименьшей площади матема-
тическими методами — с помощью вариационного исчисления, частных произво-
дных высших порядков и так далее — очень сложно или даже невозможно. Чтобы
найти физическое решение, достаточно воды и мыла. Таков весьма достойный вклад
Плато в математику.
Поверхность наименьшей площади, заключенная между двумя дугами, —
это не прямой цилиндр, а катеноид, что доказывает эксперимент
с мыльными пленками, изображенный на фотографии.
Жизненный путь Плато полон казусов. В 1829 году ученый наблюдал Солнце
невооруженным глазом в течение 25 секунд и ослеп. Этот эксперимент был абсо-
лютной глупостью, и Плато вошел в историю как человек, принесший в жертву на-
уке свое зрение. Согласно более реалистичной версии, экспериментатор ослеп лишь
54
АНАЛИЗ
частично, потом его зрение восстановилось, но спустя некоторое время, в 1843 году,
он вновь начал терять зрение, в этот раз по неясным причинам, и до самой смерти
продолжал научную работу в кромешной тьме.
Открытие Нептуна
Планета Нептун была открыта в 1846 году, и это стало триумфом математических
методов вычислений. Можно сказать, что само открытие было совершено задом на-
перед. Началось все с наблюдения за Ураном — планета все время отклонялась
от расчетной орбиты, и объяснить это можно было воздействием на нее неизвестно-
го небесного тела. В истории об открытии Нептуна лицом к лицу сошлись англий-
ские и французские ученые, и конфликт выплеснулся далеко за пределы Англии
и Франции — поговаривали, что уважаемые мудрецы таскали друг друга за боро-
ды, а серьезные журналы публиковали подстрекательские статьи. Открытие Непту-
на приписывается главе Парижской обсерватории Урбену Жану Жозефу Аеверье
(1811—1877) и юному английскому астроному Джону Кучу Адамсу (1819—1892).
Изначально посчитали, что именно Аеверье принадлежит честь открытия
Нептуна, а все притязания Адамса — просто подозрительная инсинуация, однако
позднее историки подтвердили, что Адамс опередил именитого французского колле-
гу. Ученые сделали свои открытия независимо друг от друга, их труды были выпол-
нены на самом высоком уровне и содержали обширнейшие и сложнейшие расчеты.
Истории уже известен случай, когда между Англией и Францией разгорелась бес-
кровная война относительно того, кто же был истинным автором математического
анализа — Ньютон или Аейбниц. Спор между Аеверье и Адамсом стал повторени-
ем этого конфликта. В обоих случаях причины для дискуссии отсутствовали, однако
жаркие споры, несомненно, куда интереснее объективных поисков истины.
Наиболее забавным эпизодом этой истории стали притязания Аеверье: со слов
Франсуа Араго (1786—1853), астроном хотел назвать новую планету своим име-
нем, о чем заявил на заседании Французской академии наук. Не стоит и упоми-
нать, что это предложение было отвергнуто почти единогласно, и, как ни настаивали
французские ученые, новая планета получила имя древнегреческого бога Нептуна.
Сегодня ее символ — стилизованный трезубец.
55
АНАЛИЗ
Французская гравюра XIX века, на которой изображен астроном Адамс (слева),
пытающийся подсмотреть в книгу с результатами открытий Леверье.
Здравый смысл и математика
О Томасе Эдисоне (1847—1931) рассказывают тысячи историй, по большей части
апокрифических. Однако следующая история подтверждается сразу несколькими
надежными источниками. Один из героев этого исторического анекдота — мате-
матик из Принстона по имени Аптон, которого Эдисон нанял для работы в своей
лаборатории. Не будем забывать, что самоучка Эдисон не получил инженерного об-
разования, поэтому не мог самостоятельно проводить сложные расчеты. Как-то раз
Эдисон поручил Аптону вычислить объем лампочки грушевидной формы. Аптон,
вооружившись методами интегрального исчисления, с головой ушел в работу. Шли
дни, а расчетам не было видно конца. Эдисон потерял терпение и продемонстриро-
вал свою гениальность — он взял колбу от лампочки, наполнил ее водой и передал
Аптону со словами: «Измерьте объем воды, и задача будет решена».
Как важно знать ряды Тейлора
Однажды разложение функции в ряд спасло человеку жизнь. Советский физик
и математик Игорь Тамм (1895—1971), удостоенный Нобелевской премии по фи-
зике 1958 года, был не слишком известен в бурные годы Гражданской войны, кото-
рая последовала за Октябрьской революцией. Пытаясь немного пополнить запасы
56
АНАЛИЗ
провизии, Тамм покинул сравнительно спокойную Одессу и отправился в ее окрест-
ности. Однако он попал в плен к одной из многочисленных вооруженных банд, и его
посчитали переодетым коммунистическим агитатором. Дрожа от страха в ожидании
расстрела, Тамм предстал перед главарем банды. Он представился и объяснил: я —
всего лишь бедный математик, который ищет пропитание.
По лицу главаря пробежала тень сомнения. «Хорошо, — сказал он — если ты
не соврал, то мы сохраним тебе жизнь. Подсчитай-ка, какой будет ошибка, если
вместо функции f(x) мы рассмотрим ее разложение в ряд Тейлора до n-го члена».
Вопрос был не слишком трудным, и это подтвердит любой студент-математик, од-
нако из уст бандита, пусть даже главаря банды, он прозвучал совершенно неожидан-
но. Тамм, трясясь от страха, сделал некоторые расчеты пальцем прямо на пыльном
полу. Главарь взглянул на них и сказал: «Точно, не соврал. Что ж, иди». Больше
они не встречались. Эта абсолютно реальная история приводится в заметках Георгия
Гамова.
«Простой поляк, господин учитель»
Марк Кац (1914—1984) был подлинным светилом теории вероятностей. Мало кому
известно, что по происхождению он был поляком. По рассказам самого Каца, как-
то раз он столкнулся с не слишком способным учеником. Кац задал вопрос, как ве-
дет себя функция
Л*)=-
X
на поле комплексных чисел, и ученик с трудом ответил, что это аналитическая функ-
ция (это очевидно), которая имеет критическую точку х = 0. «А как называется
эта критическая точка?» — спросил Кац. Ученик никак не мог ответить на вопрос,
и Кац сжалился над ним. «Посмотрите на меня внимательно и скажите, кто пе-
ред вами?» Ученик оживился: «Простой поляк, господин учитель» (на английском
это звучало как «А simple pole, sir»). Однако на языке Шекспира pole обозначает
не только «поляк», но еще и «полюс».
Это и есть ответ на вопрос Каца: функция /(х)= — имеет полюс в точке х = 0.
Простой полюс.
57

Глава 4
Все остальное
Статистика — это наука, доказывающая, что если у моего соседа две
машины, а у меня — ни одной, то в среднем у каждого из нас по одной машине.
Бернард Шоу
Школьный курс математики охватывает только ее основы — арифметику, гео-
метрию и начала алгебры и анализа. Казалось, что такой школьная программа бу-
дет всегда. Однако жить в нашем мире, ничего не зная о статистике, информатике
и программировании, очень сложно. I Неизвестно, что будут изучать в школах через
50 лет, однако школьная программа будущего наверняка будет отличаться от сегод-
няшней. Томази ди Лампедуза писал: все должно измениться, чтобы ничего не из-
менилось. Посмотрим, окажется ли он прав.
Далее мы расскажем о различных любопытных эпизодах из истории математики,
которые не укладываются в рамки традиционных дисциплин. Мы поговорим о ли-
нейном программировании, астрофизике, гидродинамике, теории множеств и ком-
пьютерах. Откроем же двери в будущее.
Нос Тихо Браге
История была благосклонной к Тихо Браге (1546—1601), астроному выдающегося
ума, высокомерному наблюдателю, который обладал прекрасным чувством юмо-
ра и располагал таким помощником, как Иоганн Кеплер (1571—1630). Страстью
Тихо Браге было небо, а точность его наблюдений стала легендарной. Когда Кеплер
спустя много лет заметил, что круговые орбиты планет не совсем точно описывают
результаты наблюдений Браге, он предпочел поверить своему учителю, и оказался
прав — его данные намного точнее описывались эллиптическими орбитами. Время
подтвердило правоту Кеплера.
Когда Тихо Браге было 19 лет, он повздорил с юным и знатным дипломатом
Мандерупом Парсбергом (1546—1625), о котором история не сохранила почти
никаких сведений. Между ними разгорелся спор об эпициклах, обстановка накали-
59
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
лась, и дело закончилось дуэлью. На дуэли Парсберг разрубил Браге нос шпагой.
История гласит, что Браге повелел изготовить два искусственных носа: один
из бронзы, другой (предположительно, для торжественных случаев) — из золота
и серебра. Единственное неудобство заключалось в том, что когда Браге чихал, нос
отваливался.
Тихо Браге не прекращал работать до самой смерти. Долгое время считалось, что
он умер от заболевания почек, так как на одном из званых ужинов он выпил много
вина, а протокол не позволил ему отлучиться в туалет. В 1996 году его останки были
подвергнуты химическому анализу, и в них было обнаружено высокое содержание
ртути. Тем не менее последующее исследование, проведенное в 2012 году специали-
стами из Орхусского университета, ставит версию об отравлении Тихо Браге под со-
мнение. Какова же истинная причина его смерти? Преступление?..
Прага, могила Тихо Браге.
60
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
Шифр Галилея
Вклад в современную науку Галилео Галилея (1564—1642) или Иоганна Кеплера
не подлежит сомнениям, однако даже эти ученые порой ошибались. В частности, Га-
лилей, наблюдая в 1610 году планету Сатурн в свой превосходный для того времени
телескоп, обратил внимание на странные объекты рядом с Сатурном. Возможно ли,
чтобы у планеты были уши? Или что это за «ручки» вокруг Сатурна? Быть может,
это спутники? Позднее сам Галилей определил, что видел знаменитые кольца Са-
турна.
Чтобы обеспечить себе первенство предполагаемого открытия, в письме Кеплеру
Галилей сообщил о нем в зашифрованном виде (точнее говоря, используя логогриф),
что было распространенной практикой в то время: логогрифы позволяли изложить
мысль так, чтобы ее не понял непосвященный. Галилей написал Кеплеру:
smaismrmilmepoetaleumibunenugttauiras
Разумеется, Кеплер попытался расшифровать сообщение, расставив эту мешанину
букв в правильном порядке. Потратив множество сил, Кеплер решил, что Галилей
хотел сказать следующее:
Salve umbistineum geminatum Martia proles,
что в переводе приблизительно означает «Возрадуйтесь, два протуберанца, сыны
Марса». Легко заметить, что расшифрованное сообщение на одну букву длиннее
шифровки, однако Кеплер не придал этому значения, так как полученный текст со-
ответствовал результатам его собственных наблюдений. Как и следовало ожидать
(иначе не было бы этой истории), Кеплер расшифровал сообщение неверно. В дей-
ствительности Галилей хотел сказать вот что:
Altissimum planetam tergeminum observavi.
В переводе это означает: «Я наблюдал, что самая высокая планета имеет форму
цифры 3». Самой высокой планетой в то время назывался Сатурн. Между вариан-
тами Кеплера и Галилея лежит пропасть, из чего следует, что каждый расшифровал
сообщение так, как ему хотелось.
61
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
Многогранный космос
Астроном, математик и астролог Иоганн Кеплер был сыном своего времени и со-
четал в себе мечтательность, способность к научным прозрениям и средневековую
невежественность. Одной из самых странных и вместе с тем наиболее известных
фантазий Кеплера была концепция, согласно которой на орбитах планет в зависи-
мости от их размера построены вписанные и описанные правильные многогранники.
Кеплер развил эту идею в своей книге «Тайна мира». На ее иллюстрациях изобра-
жены правильные многоугольники, также называемые Платоновыми телами.
Эти фигуры, столь обожаемые Кеплером и подробно им изученные, были описа-
ны еще Платоном в античные времена. Платон наделил правильные многогранники
магическими свойствами: каждый многогранник с треугольными или квадратными
гранями (тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и гексаэдр, или куб) отождествлялся с одним
из четырех основных элементов: землей, воздухом, огнем и водой. Додекаэдр —
многогранник с двенадцатью пятиугольными гранями — отождествлялся с так на-
зываемой квинтэссенцией, веществом, из которого состояли небесные тела. Сегодня
знаменитая квинтэссенция, или пятый элемент, осталась лишь в сказках, а додека-
эдр считается всего лишь еще одним многогранником.
Однако в 2003 году была опубликована статья астрофизика (и — отчасти — ми-
стика) Жан-Пьера Аюмине (род. 1951), которая вновь пробудила интерес к доде-
каэдру. Данные, полученные спутником WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy
Probe), по мнению Аюмине и его группы, указывают, что пространство имеет по-
62
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
ложительную кривизну и с точки зрения топологии представляет собой додекаэдр
Пуанкаре. В двухмерном пространстве (наши органы чувств воспринимают его как
трехмерное) эту фигуру можно представить как сферу, поверхность которой вымо-
щена двенадцатью пятиугольниками. Несколько лет спустя гипотеза Люмине была
поставлена под сомнение, однако в остальном она не менее прекрасна, чем гипотеза
Кеплера.
Статистик и лавочник
Ученые в большинстве своем сходятся во мнении, что основателем статистики явля-
ется англичанин Джон Граунт (1620—1674). Каждое утро Граунт посвящал скру-
пулезной работе: он сводил в таблицы данные о смертности и причины смертей,
которые каждую неделю брал у церковных служителей. Возможно, чтобы как-то
скрасить мрачную картину, Граунт фиксировал и сведения о рождаемости. На осно-
ве частичных данных он получил более общие результаты. Славу британцу принесла
брошюра под названием «Естественные и политические наблюдения над списками
умерших» (Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality), опу-
бликованная в 1662 году.
Почему Граунт работал по утрам? Да потому, что он был простым лавочником
и ежедневно должен был появляться в галантерейном магазине. То, что лавочник
вел двойную жизнь, было настолько неслыханным, что его королевское величество
Карл II даже издал указ, разрешавший торговцам впредь заниматься подобными
делами, даже если они не вполне соответствуют их основному занятию. Граунт был
избран членом Лондонского королевского общества в 1662 году — в тот же год,
когда была опубликована его книга. Общество в то время было сравнительно немно-
гочисленным и еще не страдало от бюрократии. Кроме того, немалую поддержку
Граунту оказал королевский указ.
Невезучий астроном
Мы расскажем о Гийоме Жозефе Гиацинте Жан-Батисте Лежантиле (1725—1792),
на долю которого выпало столь же много невзгод, сколь длинным и пышным было
его имя. Не будем рассказывать о его злоключениях очень подробно: они слишком
печальны и, кроме того, стали темой для пьесы и оперы.
Несчастья Лежантиля начались с попытки решить простую астрономическую
задачу об измерении расстояния от Земли до Солнца на основе параллакса Венеры.
63
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
При наблюдении прохождения Венеры по диску Солнца из удаленных друг от друга
точек земной поверхности можно увидеть, что относительное положение Венеры
в зависимости от выбранных точек будет различаться, и это различие тем больше,
чем дальше друг от друга располагаются наблюдатели. Примерно в 1760 году была
организована группа для проведения необходимых наблюдений. Следует отметить,
что из-за особенностей взаимного расположения планет транзит Венеры по диску
Солнца наблюдается с интервалом, порой превышающим сто лет. Однако к на-
блюдателям XVIII столетия Бог был благосклонен, и Венера должна была пройти
по диску Солнца дважды с интервалом в восемь лет.
Аежантиль, будучи патриотом Франции, выбрал для наблюдений самую удален-
ную от Европы французскую территорию — Пондишери в Индии. Он отправился
в путь в 1760 году. К сожалению, политика внесла в его план коррективы: Франция
и Англия начали войну, и Пондишери захватили британские войска.
После ряда перипетий Аежантиль решил ожидать прохождения Венеры по дис -
ку Солнца на острове Маврикий — французском анклаве в Индийском океане. Од-
нако удача отвернулась от него: транзит Венеры произошел, когда корабль Аежан-
тиля находился в открытом море, и произвести точные измерения было невозможно.
Следующее прохождение Венеры ожидалось через восемь лет. Аежантиль уже
находился вдали от Франции и не видел смысла в том, чтобы вернуться домой.
С Маврикия он отправился в Манилу, однако испанские власти отнеслись к нему
недоброжелательно. К счастью, после заключения мирного договора Пондишери
вновь оказался в руках французов, и Аежантиль направился туда. Там он построил
обсерваторию и стал ждать транзита Венеры по диску Солнца. Стояла прекрасная
погода, в том числе в день накануне события, однако в час X с самого рассвета небо
заволокло тучами, и разглядеть сквозь них Солнце было невозможно. Восемь лет
оказались потрачены впустую, и Аежантиль едва не сошел с ума.
Но и это еще не все — главные злоключения ученого были впереди: Аежантиль
отправился на родину, по пути он переболел дизентерией и преодолел множество
трудностей, а во Франции обнаружил, что объявлен мертвым, его имущество поде-
лили наследники, он потерял престижное место в Академии наук, а жена вышла за-
муж за другого. Аежантилю пришлось потратить несколько лет на то, чтобы вернуть
себе имущество и место в академии. К счастью, не подвергалось сомнению хотя бы
то, что он действительно жив — возможно, потому, что король Аюдовик XVI при-
нял участие в судьбе ученого и лично проследил, чтобы все его дела были улажены.
64
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
Прохождение Венеры по диску Солнца, наблюдавшееся 8 июня 2004 года.
Статистика не врет
Такие писатели, как Александр Солженицын (1918—2008) или Хорхе Луис Борхес
(1899—1986), довольно неплохо разбирались в математике, однако они представ-
ляют собой скорее исключение, чем правило. Впрочем, знакомство с элементарными
понятиями необходимо каждому.
Известен случай с Чарльзом Диккенсом (1812—1870), который однажды в на-
чале декабря отказался садиться в поезд. Он не имел ничего против железной до-
роги как таковой, однако в этот год число происшествий на ней было ниже обычно-
го, и Диккенс ошибочно счел, что до конца года должно произойти сразу несколько
аварий, чтобы «скомпенсировать отставание от графика». Ученый отказался ехать,
не подумав, что в том году по счастливой случайности могло произойти меньше ава-
рий, чем в предыдущем. Его вера в статистику была столь же непоколебимой, как
вера великомучеников в Бога.
Если бы Федор Михайлович Достоевский хорошо разбирался в теории веро-
ятностей, он никогда не стал бы игроманом, но и не написал бы роман «Игрок»,
а если бы голливудские сценаристы и режиссеры были знакомы с расчетом кон-
струкций, то никогда не сняли бы фильм о Кинг-Конге. Так что лучше оставить все
как есть.
65
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
Графиня-программист
Ада Августа Байрон (1815—1852), позднее — графиня Лавлейс, более известная
как Ада Лавлейс, стала привлекательным персонажем для исторических хроник.
Во-первых, она была дочерью блистательного лорда Байрона, поэта и писателя-
романтика, с которым, однако, не поддерживала отношений.
Во-вторых, ее семья была прекрасным примером неблагополучной семьи — ро-
дители Ады разошлись еще до рождения дочери. Кроме того, ее жизнь пришлась
на расцвет викторианской эпохи с ее специфическими ценностями.
В-третьих, вопреки обычаям того времени, Аду обучали наукам — отчасти под
влиянием матери, получившей математическое образование, отчасти для того, чтобы
девочка не забивала себе голову отцовскими стихотворениями. В числе учителей
Ады был блестящий математик Огастес де Морган.
В-четвертых, Ада Лавлейс была прекрасным математиком. Результатом ее
дружбы с гениальным Чарльзом Бэббиджем стали важные открытия, удивитель-
ные для того времени. В ходе работы над механической вычислительной машиной
Бэббиджа, так называемой аналитической машиной, Ада Лавлейс создала первую
в истории компьютерную программу, записанную на перфокартах. Хотя машина
Бэббиджа была готова лишь частично, программа Ады работала на ней корректно.
В-пятых, Ада Лавлейс жила бурной жизнью: помимо науки, она испытывала
безмерную страсть к лошадям и скачкам, она делала ставки, завела роман с игро-
ком и ей даже пришлось отдать семейные драгоценности в уплату его миллионных
долгов.
Умерла Ада Лавлейс в возрасте 36 лет от рака матки. Ее смерть была долгой
и мучительной. Мать Ады искренне беспокоилась за судьбу дочери на том свете
и считала, что искупление грехов вечными муками следует начать еще при жизни,
поэтому отказывалась давать ей морфин, веря, что невыносимые физические стра-
дания очищают душу Ады и искупают ее грехи, в том числе пристрастие к азартным
играм.
Мать также попыталась «привести в порядок» бумаги дочери после ее смерти,
но Бэббидж, который был членом парламента и обладателем рыцарского звания,
не допустил этого и сам распорядился всеми бумагами Ады Лавлейс и ее завеща-
нием.
В 1970-е годы в компании Honeywell Bull был создан язык программирования
ADA, названный в честь Ады Лавлейс, который используется до сих пор. Что ж,
заслуженная дань уважения графине и программисту.
66
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
Ада Августа Байрон Кинг (фамилию Кинг носил ее муж),
больше известная как Ада Лавлейс. Портрет кисти британской
художницы Маргарет Карпентер.
Флоренс Найтингейл и статистика
Крымская война вдохновила многих писателей, вызывала жаркие споры, ожесто-
ченные парламентские дискуссии и даже была запечатлена на большом экране,
к примеру, в фильме «Атака легкой кавалерии» (1936), где Эррол Флинн скачет
на коне навстречу своей славе. Несмотря на все ужасы войны, в ней были и светлые
страницы: британское правительство отправило на фронт женщину по имени Фло-
ренс Найтингейл (1820—1910), которая стала главной медицинской сестрой. Леди
со светильником, как прозвали ее раненые солдаты, воочию увидела грязь, анти-
санитарию и ужасную обстановку в военных госпиталях и начала достойную уваже-
ния борьбу за реформу здравоохранения. После войны ее ожидало новое, намного
более важное сражение на родине. Флоренс Найтингейл и на этот раз одержала
67
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
победу, заручившись поддержкой королевы Виктории и премьер-министра лорда
Палмерстона. Флоренс была женщиной, и общество неодобрительно относилось
к ее увлечению математикой — ее преподавателем был сам Джеймс Джозеф Силь-
вестр — и особенно статистикой. Однако Найтингейл совершила подвиг и в этой
сфере, став первой женщиной, избранной членом-корреспондентом Лондонского
королевского общества. Знания статистики бывшая медсестра применила в здраво-
охранении, произведя здесь поистине революционные изменения. В своих работах
она широко использовала круговые диаграммы, которые были столь наглядны, что
Флоренс удалось убедить современников в своей правоте, а в результате реформы
здравоохранения выиграли все мы.
В честь Флоренс Найтингейл установлен памятник на Ватерлоо-Плейс. Другой,
нерукотворный памятник ей воздвигли раненые, которым она спасла жизнь.
DIA&KAM'ег тик CAUSES ок МЫКТ.ШТГ
The^froas cfthtsHu*. red, ifblacfo uuuiyes art each measured fivm
the. esrilrt 09 the. common vcrtr'c
TheUueuMdgee measured frtrr the centra ofthe, arde'ryrtsenl area
Hr area the deaShe /Уesn, PrtvtnhMe arMdiyaHe, Zyrndtrydrseaaes the,
red wdyta measured, them, the centre thr deaths frvm wounds, Itrths
black tnufyes measured from. tha cenlrclhe deaths freon all Other causes
Hu-Hack. line across thend Iriartyle	1054 marks thebeundary
Hthe. deolhsfrtnvall other causes durmy the month,
Itu October 1&54 kdprH fdJo, the Hack area eaaicsdtxvnlh'the. red
m, January & February Idbd the. Hue conodes smih the black
The enUre. areas may Ье compared by fi>llawiny the Ыш, the' red Jcthe
Ы*deluster mdanny tbc’si.
Диаграмма Флоренс Найтингейл.
Вы можете видеть, как по мере реализации предложенных мер снижалась смертность.
Статистика и геноцид
Фрэнсис Гальтон (1822—1911), двоюродный брат Чарльза Дарвина, был метео-
рологом, астрономом, психологом, изобретателем, антропологом, исследователем и,
68
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
разумеется, математиком, хотя формально так и не получил образования. Как и его
двоюродный брат, он был одним из тех странствующих гениев, благодаря которым
Англия достигла вершин науки. Интерес у Гальтона вызывало практически все — он
занимался измерением носов, составлял карты женской красоты, изучал самовнуше-
ние и законы наследования, был превосходным статистиком и вошел в историю как
автор понятий регрессии и корреляции. К несчастью, он запомнился и благодаря
противоречивому понятию евгеники, которое ввел в 1865 году.
Weather Chart, March 31.1S75.
The dotted Мае» (ndlette «л ?nlxtlcra> ct bworaetoto imm
TbftVMUUoMof the tant antan aro marked by figures, tbe «UU
ot th* m and ricy by dtsedptiri words, *nd the direction of the wind
by axrowa—berbed and ftethuad acoordlnyto lb force. ©denotes
csltiu
Первая в истории карта погоды, опубликованная в газете «Таймс»
в 1875 году, была работой Гальтона.
Евгенику в общих чертах можно определить как улучшение населения (ранее
речь в ней шла о расах) путем подавления отрицательных характеристик, препят-
ствующих прогрессу. На протяжении нескольких десятилетий евгеника была очень
модной — к ней положительно относились как правительства разных стран, так
и частные лица, к примеру экономист Джон Мейнард Кейнс. Массовые эвтаназии,
или плановый геноцид населения, которые стали частью евгенических программ на-
цистского режима, радикально изменили отношение к этому учению, и сегодня упо-
минать о нем считается дурным тоном.
69
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
С другой стороны, закон Харди — Вайнберга, связанный с цепями Маркова
и точками равновесия, неопровержимо показывает, что устранить всех обладате-
лей рецессивного признака в популяции гетерозиготных организмов невозможно:
по мере того, как любые «аномалии», часто рецессивные и незаметные, — а также
их носители — будут уничтожаться, в силу неумолимых законов наследования доля
организмов, обладающих этими «аномалиями», будет возвращаться к исходной.
Евгеника стала политически некорректной, крайне сомнительной с моральной
точки зрения и математически ошибочной. Но после недавнего открытия методов
изменения генома человека этот вопрос вновь вышел на первый план. Закон Хар-
ди — Вайнберга по-прежнему выполняется, однако изменились сами правила игры:
кажется возможным изменить ген, определяющий тот или иной рецессивный при-
знак, и определить носителей такого гена, даже если внешне этот признак никак
не проявляется. Теперь ученые могут работать напрямую с генами, а не с их носите-
лями. Похоже, что евгеника и Гальтон вновь выходят из тени.
Теннисон и Бэббидж
Мы расскажем о двух очень разных талантливых англичанах, которые познакоми-
лись благодаря математике.
Великий поэт Альфред Теннисон (1809—1892), более известный как лорд Тен-
нисон, считался лучшим поэтом своего времени и был избран членом Лондонского
королевского общества за интерес к науке и ее распространение. Чарльз Бэббидж
(1791—1871) также был членом Лондонского королевского общества, философом,
инженером, криптографом и прежде всего математиком. Впоследствии Бэббидж
стал одним из родоначальников вычислительной техники, автором понятия про-
граммируемой вычислительной машины, создавшим примитивное вычислительное
устройство, которое он назвал аналитической машиной. Продвинуться вперед ему
помешали ограниченные технические возможности того времени. Между паровыми
машинами и микросхемами лежит пропасть — столь же глубокая, как и та, что раз-
деляет приспособления эпохи Бэббиджа и современные механизмы.
Будучи членом парламента, Бэббидж отличался противоречивыми инициати-
вами — например, он боролся с уличными шарманщиками, которых считал невы-
носимыми. Представьте удивление Теннисона, когда он получил от своего коллеги
Бэббиджа такое письмо:
70
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
«Милостивый государь,
в вашем прекрасном стихотворении «Видение греха» (The Vision of Sin)
можно прочесть строки:
Every moment dies a man
Every moment one is born
[Каждую секунду умирает человек
И каждую секунду рождается человек].
Это статистически некорректно. Если бы это в самом деле было так, число
живых людей было бы неизменным. Я предлагаю вам заменить эти строки
следующими или подобными им:
Каждую секунду умирает человек
Каждую секунду рождается 1— человека.
Хотя 1/16 — лишь приближенное значение вещественного числа, оно до-
статочно точное, чтобы его можно было привести в стихотворении.
Искренне Ваш,
Чарльз Бэббидж».
Как и следовало ожидать, предложение Бэббиджа не было услышано. Но как
можно зайти столь далеко в оценке, или, точнее говоря, отрицании ценности по-
эзии? Представьте себе, что некто прочел строки
Любовь моя, цвет зеленый. Зеленого ветра всплески
и заключил, что их автору, Федерико Гарсия Лорке, следовало указать точнее, что
к зеленому цвету относятся волны длиной 520—570 нанометров.
Жуликоватый булочник
В свое время титул лучшего математика мира до самой смерти носил Анри Пуанкаре
(1854-1912). Рассказывают, что Джеймс Джозеф Сильвестр (1814—1897) совер-
шил поездку в Париж с единственной целью — лично познакомиться с Пуанкаре,
а встретившись с ним, не смог проронить ни слова, словно представ перед живым
71
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
божеством. Пуанкаре был настолько одарен, что в студенческие годы не записал
ни одного конспекта. Этот прекрасный писатель и философ, мыслитель первой вели-
чины подошел совсем близко к созданию знаменитой теории относительности. Его
результаты, основанные на работах Лоренца и созвучные трудам Фитцджеральда
и Минковского, были очень близки к формулировке, которую позднее разработал
Эйнштейн.
Пуанкаре был выдающимся ученым, которому мы обязаны многими революци-
онными идеями в столь далеких друг от друга областях, как теория хаоса и топо-
логия. Случай, произошедший с ним и его булочником, покажется вам странным,
но достоверность этой истории подтверждается авторитетом Бостонского музея.
Анри Пуанкаре в своем кабинете.
Пуанкаре обвинил булочника в том, что тот обвешивал его и продавал булки,
весившие меньше положенного килограмма. Ученый стал записывать вес проданных
булок и обнаружил, что он описывался кривой нормального распределения со сред-
ним значением в 950 граммов — меньше положенного килограмма.
Доказательства Пуанкаре были неопровержимы, и полиция сделала булочнику
предупреждение. Прошло некоторое время, и кто-то спросил Пуанкаре, перестал ли
булочник обвешивать его и повысилось ли качество обслуживания в целом. Он зая-
вил, что на оба этих вопроса нельзя ответить положительно: булочник действительно
перестал его обвешивать и присылал только булки весом в 1000 граммов, но — про-
должил объяснения Пуанкаре — для остальных покупателей ничего не изменилось.
И действительно, на новой кривой распределения, построенной ученым, было вид-
72
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
но, что теперь булочник присылал ему только булки из правой части кривой, то есть
весом более 1 килограмма. Кривая четко показывала, что Пуанкаре получал только
булки, которые были тяжелее обычных, а булки меньшего веса, находившиеся с дру-
гой стороны кривой нормального распределения, доставались другим покупателям.
Видите, как непросто обмануть статистика!
73
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
Их связали кватернионы
И сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1805—1865), и Имон де Валера (1882—1975)
были ирландцами, однако если Гамильтон был английским подданным, то де Валера
стал президентом независимой Ирландии и, разумеется, обладателем ирландско-
го паспорта. Их объединяла не только общая родина, но и любовь к математике.
Гамильтон потратил много лет на поиски алгебраического поля, которое стало бы
обобщением комплексных чисел, и его поиски в конце концов увенчались успехом:
В1843 году он открыл кватернионы.
Кватернионы представляют собой сочетания символов вида
a-l + b- i + c- j + J- k
(обычно они записываются без единицы — а + bi+ cj + dk), где а, Ь, с и d — ве-
щественные числа, 1 — единица, операция умножения является дистрибутивной,
а также выполняется следующее условие: i2 = j2 = k2 = ijk = —1. Таблица умноже-
ния 1, i, j и k выглядит так:
х	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	—1	k	—j
j	j	-1	i
k	k	j	—i	—1
Множество кватернионов образует поле, которое заключает в себе комплексные
числа (достаточно рассмотреть кватернионы при с = d = 0). По легенде, идея о ква-
тернионах пришла в голову Гамильтону, когда он проходил по мосту Брум Бридж
в Дублине.
Это открытие показалось всем столь удивительным и столь подлинно ирланд-
ским, что много лет спустя Имон де Валера возглавил церемонию открытия памят-
ной таблички на этом мосту. На табличке было написано:
«Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, сэр Уильям Роуэн Гамильтон,
во вспышке гения, открыл формулу умножения кватернионов
i2 = j2 = k2 = ijk = —1, записав ее на камнях этого моста».
На этом история закончилась бы, если бы Имон де Валера (для друзей — Дев)
не изучал математику и сам не был математиком. В 1913 году он предложил свою
74
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
кандидатуру на должность преподавателя математики, но его не утвердили, хотя
Артур Конвей, один из его преподавателей, говорил, что претендент «глубоко раз-
бирался в теме». Когда в 1916 году де Валера находился в тюрьме, ожидая рас-
стрела, то в ночь перед расстрелом он с гордостью написал на стене камеры вместо
эпитафии:
I2 — j2 — k2=ijk = — 1.
Любить математику больше, чем он, и вправду сложно.
В конце концов де Валера спасся, занялся политикой, и математика потеряла спе-
циалиста по кватернионам, однако политика от этого только выиграла. Он пережил
войну (единственным опрометчивым его шагом стало выражение соболезнований
Германии в связи со смертью Гитлера) и стал президентом независимой Ирландии.
Памятная табличка на мосту Брум Бридж.
Бесполезная теория
Теория множеств составляет важную часть фундамента всей математики, однако
попытки преподавать ее в школах вызвали массу разногласий и споров, которые
в конце концов по большей части удалось разрешить. Сегодня никто не спорит
с тем, что теория множеств занимает центральное место в изучении науки, однако
в начале XX века эта дисциплина, созданная благодаря усилиям Георга Кантора
(1845—1918) и Рихарда Дедекинда (1831—1916), не вызвала большого интереса
в академических кругах. В Принстонском университете был организован совет уче-
ных с целью обсуждения программы преподавания математики. Предметом этой
75
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
истории, которую рассказал физик и математик Фримен Дайсон (род. 1923), стал
разговор между астрономом сэром Джеймсом Хопвудом Джинсом (1877—1946)
и специалистом по топологии Освальдом Вебленом (1880—1960). Учебная про-
грамма казалась несколько перегруженной, и Джинс предложил облегчить ее: «Мы
могли бы исключить теорию множеств — в конце концов, этот раздел математики
никогда не будет особенно важным для физиков», — сказал он. Однако сэр Джеймс
оказался плохим провидцем, и это подтвердят те, кто изучает квантовую механику
и повсеместно использует множества.
Следуем правилам вежливости
В какой бы стране мира ни находился математик, если он увидит формулу, то сможет
понять ее. Хотя научные статьи печатаются на самых разных языках (большая часть
работ публикуется на английском, за ним следуют французский, русский и пинь-
инь), но даже в странах, находящихся за 10 тысяч километров друг от друга, исполь-
зуются одинаковые математические символы и сокращения. Равные величины всег-
да будут обозначаться знаком «=», а символ «Е » всегда означает «принадлежит к».
Когда любой человек, знакомый с математикой, видит выражения, подобные
p^- = pF.+— Г2д(е.. —Ад /3)1,
*Dt И' Эх. ЭхЛ U ’ 'J
I	I
он прекрасно понимает их, даже не зная, что эта формула описывает закон сохране-
ния импульса в жидкости.
Математическая мысль следовала многими трудными путями, пока не обрела
нынешнюю форму: теперь математики всего мира могут понять друг друга, так как
используют общий метаязык. Воздадим дань уважения тем, кто, часто из соображе-
ний простоты, вводил универсальные знаки, как, например,
А А-», е, G, 0, Э, °°, л, (, >Г, a,
и тем, кто соглашался использовать обозначения в своих работах. До появления этих
символов и сокращений математика была чрезвычайно многословной и непонятной.
Попробуйте описать привычное всем квадратное уравнение
76
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
ах2 + Ьх + с = 0<=5х =
—b + \]b2 — 4ас
2а
словами, не используя ни показатели степени, ни буквы, ни знаки =, + и —, ни знак
деления, ни уГни даже логический символ <=>. Посмотрим, что у вас получится.
Авторы многих из этих знаков не слишком известны: так, например, скромный
священник Уильям Отред (1574—1660) первым стал обозначать умножение зна-
ком х, ввел сокращения sinOt и cosOt, а также изобрел круговую логарифмическую
линейку. За всю жизнь он написал всего один труд объемом 88 страниц и в свое
время считался математиком-любителем. В тот период эта наука, можно сказать,
пребывала в нежном возрасте.
Когда же математика повзрослела? Один из ответов звучит так: когда было на-
печатано достаточно книг по математике, чтобы стало возможным определить уни-
версальные обозначения. В 1875 году в Великобритании был учрежден комитет
по унификации печатных книг, а также используемых при печати символов и со-
кращений. Много воды утекло с тех пор, и на свет появились совершенно новые
разделы математики и математические теории, однако общие обозначения остались
неизменными.
У логики есть своя логика
Американский математик и логик Уиллард Ван Орман Куайн (1908—2000) за-
помнился прежде всего подробными исследованиями взаимосвязей между обычным
языком и языком науки. Многие ученые разделяли его точку зрения, высказанную
в активной дискуссии с Жаком Деррида и другими деконструктивистами, которых
Куайн считал псевдофилософами, а то и вовсе шарлатанами. Ван, как называли его
друзья, много печатал на машинке, и как-то раз, направив свой ум в практическое
русло, решил поменять местами несколько клавиш на клавиатуре. В частности, что-
бы сэкономить время, он заменил символы «1», «!» и «?» другими, особыми логиче-
скими знаками, которые часто встречались в его записях. Как же Куайн обходился
без привычных всем восклицательного и вопросительного знаков? Когда друзья
спросили его об этом, то получили абсолютно логичный ответ: «Видите ли, в моем
кабинете я работаю только с достоверными результатами».
77
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
Сложное домашнее задание
Американский математик Джордж Бернард Данциг (1914—2005) известен среди
специалистов по линейному программированию как автор алгоритма, применяемого
в решениях симплекс-методом, который играет основную роль в дисциплине под
названием исследование операций. Среди любителей анекдотов он известен тем, что
принял за домашнюю работу задачи, являвшиеся темой серьезных исследований.
Но эта история заслуживает более подробного рассказа.
В 1939 году одним из университетских преподавателей Данцига стал известный
польско-американский математик Ежи Нейман (1894—1981), который вел курс
статистики. Как-то раз Данциг опоздал на занятия и попросил Неймана не стирать
написанное на доске, так как не хотел терять нить рассуждений. Он обратил внима-
ние на два выражения, которые посчитал домашним заданием, и переписал их к себе
в тетрадь. Придя домой, Данциг принялся за домашнее задание, однако оно оказа-
лось на удивление трудоемким. Студент потратил много времени и сдал работу
с опозданием. «Оставь ее в углу», — сказал Нейман, кивнув на стол, заваленный
огромной кипой бумаг. Данциг молча положил свою работу сверху.
Прошло несколько недель, и однажды в воскресенье Данциг услышал звонок
в дверь. Перед ним стоял взволнованный Нейман, державший в руках исписанные
листы. «Быстро прочитай все, что здесь написано, — я намерен сегодня же передать
это для публикации». Нейман держал в руках домашнюю работу Данцига, изложен-
ную в виде статьи и дополненную предисловием самого Неймана. Данциг ошибочно
принял за домашнее задание две важные статистические гипотезы, которые никому
до этого не удавалось доказать. Он не знал об этом и доказал их, посчитав гипотезы
всего лишь непростыми задачами.
Все заканчивается на «АС»
Гениального венгерско-американского ученого Джона фон Неймана (1903—1957),
который, помимо прочего, считается изобретателем компьютеров, друзья называ-
ли просто Джонни. Основной принцип так называемой архитектуры фон Нейма-
на, описывающей устройство компьютера, заключается в том, что данные и коман-
ды хранятся в общей памяти, доступной центральному процессору. В годы жизни
фон Неймана появился знаменитый компьютер ENIAC (сокращение от Electronic
Numerical Integrator and Computer — «электронный числовой интегратор и вычис-
литель») — колоссальное соединение тысяч диодов, контактов, проводов и реле,
78
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
весившее почти 30 тонн и способное извлекать 35 квадратных корней в секунду
с точностью до 10 знаков — немыслимая скорость в то время. После программи-
рования и запуска ENIAC работал без вмешательства человека. Так родился пред-
шественник компьютера HAL из фильма «Космическая одиссея 2001 года».
Джон фон Нейман, который был заядлым шутником и рассказывал забавные
истории на трех языках, построил свою версию ENIAC и назвал ее Mathematical
Analyzer, Numerical Integrator, And Computer («математический анализатор, число-
вой интегратор и вычислитель») — сокращенно MANIAC. Корпорацией RAND
был создан JOHN von Neumann Numerical Integrator And Automatic Computer
(«числовой интегратор и автоматический вычислитель Джона фон Неймана») —
сокращенно JOHNNIАС. На протяжении 13 лет, с 1953 по 1966 год, JOHNNIAC
работал без передышки. В его конструкцию вносились новые и новые улучшения,
и он становился все эффективнее. Эта модель намного уступала в мощности просто-
му современному ПК, но не забывайте — на дворе стоял 1953 год!
Фотография компьютера JOHNNIAC, который в настоящее время хранится
в Музее компьютерной истории в Калифорнии.
Теорема, доказанная дважды
Известный математик Пол Ричард Халмош (1916—2006) когда-то был скромным
ассистентом фон Неймана — опытного исследователя и даже гения. Как Халмош
рассказывал в автобиографии под названием «Хочу быть математиком» («I Want
to Be a Mathematician»), в 1941 году он вместе с фон Нейманом начал работу над
79
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
проектом, имевшим отношение к теории мер и теории вероятностей. Они дошли
до очень серьезного этапа рассуждений, когда фон Нейман рассмотрел создание
сложного вырожденного множества, при работе с которым часто приходилось при-
бегать к континуум-гипотезе посредством, как выражался Халмош, «неявной двой-
ной трансфинитной индукции». Как видите, доказательство итоговой теоремы было
запутанным и непростым даже для фон Неймана. Халмош пробирался сквозь ма-
тематические дебри... и при этом не делал никаких заметок. Фон Нейман обратил
на это внимание и предупредил помощника, но Халмош считал, что все понимает
и так, поэтому не придал словам шефа особого внимания.
Настал момент записать теорему на бумаге, и тут Халмош с ужасом понял, что
не может вспомнить все шаги доказательства. Что же делать? Вспомнить доказа-
тельство целиком решительно невозможно, а следующая встреча с фон Нейманом
состоялась лишь спустя несколько дней.
Униженно улыбаясь, Халмош объяснил гениальному ученому, что произошло,
и удостоился редкой чести наблюдать Джонни в гневе — фон Нейман никогда
не выходил из себя. Ученый принялся за доказательство во второй раз, вновь пре-
одолевая значительные трудности. К счастью, ему удалось повторить рассуждения
и, потратив много времени, восстановить промежуточные действия и конечный ре-
зультат, что стало настоящим подвигом даже для гения. В этот раз Халмош делал
как можно более подробные записи.
Соль этого анекдота заключается в том, что Халмош стал соавтором статьи фон
Неймана, озаглавленной Operator Methods in Classical Mechanics II («Операторные
методы в классической механике II»), А несостоявшаяся статья под номером I стала
настоящей легендой в мире физики и математики.
Сочетания с повторениями
Поэт, прозаик и — иногда — математик Раймон Кено (1903—1976), который вой-
дет в историю как автор романа «Зази в метро» (а также текста одной из песен
Жюльетт Греко), однажды вторгся в область комбинаторного анализа. До него
этот же путь проделал Моцарт, однако Кено применил комбинаторику в поэзии,
что на первый взгляд кажется непростой задачей. В коротенькой книжечке «Сто
тысяч миллиардов стихотворений», состоящей всего из десяти страниц, на каждой
из которых напечатано по одному сонету, он описал способ, позволяющий создать
новые сонеты — очень современные, со множеством скрытых смыслов — на основе
нескольких заранее приготовленных строчек. Для этого достаточно было взять по
80
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
одной полной строчке из каждого сонета, уже напечатанного в книге. Общее число
сочетаний, таким образом, равнялось 14 ю — более чем достаточно даже для самого
плодовитого автора. Вооружившись калькулятором, нетрудно показать, что если мы
будем составлять по одному стихотворению в минуту, то для того, чтобы записать их
все, потребуется немногим меньше 200 миллионов лет.
Еще один способ применения комбинаторного анализа можно увидеть в прозе
Артура Кларка, который был не только писателем, но и автором серьезных науч-
ных гипотез: в частности, он предложил разместить на орбите Земли искусственные
геостационарные спутники, а также первым описал космический лифт. В рассказе
«Девять миллиардов имен Бога» Кларк описывает компьютер, который печатает
для монахов все возможные имена Бога, составляя их с помощью обычных пере-
становок. Монахи верят, что когда будут записаны все имена Бога, наступит конец
света. Похоже, что это действительно так: пока компьютер закончит работу над
задачей, мир успеет прекратить свое существование.
Взмахи крыльев бабочки
Чтобы понять, что такое эффект бабочки, сначала нужно объяснить, что такое хаос.
В 1961 году метеоролог Эдвард Нортон Лоренц (1917—2008) построил динами-
ческую систему, которую применил в качестве модели для прогнозирования пого-
ды. Однажды (возможно, поленившись) он ввел в компьютер число 0,506 вместо
0,506127 и, к своему удивлению, обнаружил, что это небольшое отклонение вход-
ных данных приводило к значительным изменениям состояния динамической си-
стемы. Лоренц проверял полученный результат снова и снова и всякий раз получал
столь же удивительные результаты. Так официально появилась на свет одна из са-
мых изучаемых тем в теории хаоса.
Более подробные исследования помогли несколько упорядочить этот хаос.
Выходные данные по-прежнему оставались хаотическими, однако, проследовав
непредсказуемыми путями, они стремились к некоему итоговому множеству, словно
испытывая к нему непреодолимое влечение.
Множество всех этих бесконечно больших итоговых значений называется ат-
трактором. Когда точка динамической системы движется беспорядочно, хаотически,
ее «пунктом назначения» на бесконечности будет точка аттрактора. Хаотическая
траектория в каждый момент времени является хаотической, однако на бесконечно-
сти, в пределе, который никогда не будет достигнут, она окончит свое существование
в аттракторе.
81
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
Эта точка обладает, если можно так выразиться, неотразимой притягательно-
стью. Лоренц первым проанализировал хаос метеорологических прогнозов и описал
аттрактор — множество точек, по форме отдаленно напоминающее крылья бабочки.
Разумеется, это множество является фрактальным, имеет размерность Хаусдорфа,
равную 2,06 ± 0,01, и представляет собой настоящее геометрическое чудо.
Аттрактор Лоренца — трехмерное фрактальное множество,
по форме напоминающее крылья бабочки.
Тот факт, что аттрактор напоминает крылья бабочки, пробудил воображение бес-
численного множества деятелей кино и литературы. Самым известным из них был,
возможно, знаменитый писатель-фантаст Рэй Бредбери: в своем рассказе «И гря-
нул гром» он описывает путешествие во времени, в ходе которого гибель одной до-
исторической бабочки приводит к значительным изменениям в современной полити-
ке — вместо либерального президента народ избирает ужасного диктатора-фаши-
ста. Сложно найти более привлекательный образ: простой взмах крыльев бабочки
в далеком прошлом способен определить настоящее, которое, как кажется, не имеет
82
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
к этой бабочке никакого отношения. Динамические системы могут быть хаотиче-
скими, а небольшие предпосылки могут иметь огромные последствия. На неболь-
ших промежутках времени — ничто по сравнению с вечностью — предопределения
не существует; хаос нависает грозной, бесконечно грозной тенью, которая не по-
зволяет делать какие-либо прогнозы. На длительных промежутках времени наблю-
дается аттрактор, существующий необъяснимо далеко, в пределе, на границе бес-
конечности.
Лучшее - враг хорошего
Для чистокровного демократа из тех, что голосуют по любому поводу и верят, что
их голос поможет изменить положение в обществе, идеалом является совершенная
система голосования, удовлетворяющая определенным требованиям. Известны
множество систем голосования (например, в Испании применяется метод д’Ондта),
однако должна же существовать некая суперсистема, которая будет лучшей среди
них. Ее предполагаемые характеристики, снабженные обширными комментариями,
можно найти в интернете. Так как подробные описания различных систем голосова-
ния слишком объемны и скучны, не будем приводить их полностью. Ограничимся
следующим указанием: идеальная система голосования, позволяющая принять об-
щее решение на основе предпочтений отдельных лиц, должна соответствовать пяти
разумным требованиям.
1.	Отсутствие диктатуры: никакие личные предпочтения одного человека не мо-
гут влиять на остальных.
2.	Индивидуальное упорядочение: каждый должен уметь упорядочивать свои
предпочтения.
3.	Единодушие: если все выбирают какой-то вариант, он является окончатель-
ным.
4.	Единственность: результат голосования всегда будет одним и тем же, если
предпочтения избирателей не меняются.
5.	Независимость незначащих альтернатив: если исключить из голосования один
вариант, остальные не изменятся.
Лауреат Нобелевской премии по экономике 1972 года Кеннет Эрроу (род.
1921) подробно изучил вышесказанные характеристики с точки зрения математики
и вынес удивительный вердикт: не существует системы голосования, которая соот-
83
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
ветствовала бы всем указанным условиям. Она может соответствовать некоторым
из них, но не всем одновременно. «У каждого свои недостатки», как говорил герой
Билли Уайлдера в фильме «В джазе только девушки».
Красноречивое название
Американский математик Ив Нивергельт был автором работ о компьютерах, вейв-
летах и статистике. Одна из его статей, опубликованная в 1987 году, стала насто-
ящим бестселлером среди студентов, изучающих экономику и социологию. В ней,
в частности, идет речь о математическом понятии эластичности.
Непосвященный напрасно будет пытаться понять, в чем же заключено очаро-
вание этой статьи: она полна формул с производными, логарифмами и другими ма-
тематическими ужасами. Если вы прочитаете статью до конца, то узнаете, что ку-
рить — вредно, а антитабачные пошлины почти не влияют на курильщиков, однако
позволяют выручить средства, которые затем направляются на борьбу с курением.
"Также в статье рассказывается, что спрос на лосося, помимо прочих факторов, зави-
сит от его относительной численности, от выживаемости икринок и молодых особей
и так далее. Словом, вы узнаете много интересного о самых разных явлениях.
Не просто игра
Если какую-то игру и можно назвать царицей игр, то этого титула, несомненно,
заслуживают шахматы. В них случайность никак не влияет на ход игры, а опреде-
ляющее значение имеют чистая стратегия и память: число возможных ходов в пар-
тии имеет порядок 10123 — это невообразимая величина. Однажды чемпионом мира
по шахматам стал профессиональный математик Эмануэль Ласкер (1868—1941).
Сейчас мы говорим о стандартных шахматах на доске из 64 клеток, но еще в да-
лекую викторианскую эпоху математик Артур Кэли (1821—1895) уже рассмотрел
трехмерные шахматы, в которые сегодня играют персонажи сериала «Звездный
путь».
Пока что никто не смог должным образом изучить эту игру — она слишком слож-
на даже для передовых методов современной теории игр. Но существует несколько
ценных результатов: испанский инженер Леонардо Торрес Кеведо (1852—1936)
в 1914 году сконструировал шахматный автомат, который всегда одерживал победу
в окончании шахматной партии для трех фигур (король против короля и ладьи). Ко-
84
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
нечно, мы по-прежнему далеки от заветной цели — алгоритма, указывающего путь
к победе в любой партии, но надо же с чего-то начать.
Машина под названием «Турон», снонструированная венгерским инженером
Вольфгангом фон Кемпеленом в 1769 году, произвела фурор. Казалось,
что машина способна играть в шахматы, однако на самом деле
она была искусной фальшивкой — внутри механизма прятался человек.
Шахматы — прекрасное поле битвы, можно даже сказать, первой битвы в веч-
ном противостоянии человека и машины. Известно, что шахматные программы ста-
новятся все совершеннее, и сложно устоять перед соблазном столкнуть лицом к лицу
гроссмейстера и такую программу. В 1996 году уже состоялся поединок между ком-
пьютером Deep Blue, созданным компанией IBM, и чемпионом мира по шахматам
Гарри Каспаровым. Каспаров выиграл со счетом 3:0. Таким образом, в 1996 году
человек опередил машину.
На следующий год программное обеспечение Deep Blue было улучшено, и по-
единок прошел вновь. Теперь машина одержала верх. Каспаров остался не слишком
доволен результатом и предположил, что во время партии в действия компьютера
вмешивался человек. Компания IBM, как и следовало ожидать, отвергла обвинения.
Желаемая цель, отчасти пропагандистская, была достигнута, и после этого компью-
тер был разобран. В 2000 и 2003 годах прошли новые поединки между гроссмей-
стерами и компьютерами, сменившими Deep Blue, все они завершились ничьими.
Вероятно, в будущем мы увидим новые партии между человеком и машиной.
85
ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
В конце концов люди запомнят только одно: благодаря техническому прогрессу
машина одержала верх над человеком — рано или поздно это все равно произой-
дет. Однако по-настоящему важен ответ на другой вопрос: подобно ли мышление
человека мышлению машины? Эт< >го мы пока не знаем. Быть может, мы не узнаем
этого вообще никогда, и вопрос останется гёделевским утверждением, дать ответ
на которое невозможно.
Deep Blue — первый шахматный компьютер, одержавший верх над чемпионом мира.
86
Глава 5
Математики далекого прошлого
Математик — это слепой, ищущий в темной комнате
черную кошку, которой там нет.
Чарльз Дарвин
Математики прошлого очень отличаются от современных ученых и, безусловно, за-
служивают большого уважения и почитания. Рассуждали они не так, как мы, им
были неизвестны эффективные и универсальные обозначения, у них не было науч-
ных журналов и интернета, на распространение новых идей в то время в лучшем слу-
чае уходили десятилетия, и окружающие очень часто считали ученых чудаками.
Проходили столетия, и сегодня математики — люди высшего разума. Но и в са-
мые далекие времена математики были необычными существами, невероятно ода-
ренными и удивительно мудрыми.
Первый спекулянт
Одним из семи греческих мудрецов, по мнению Павсания, был Фалес Милетский
(ок. 639 года до н. э. — ок. 547 года до н. э.). Он занимался самыми разными на-
уками, но мы считаем его математиком, поскольку, согласно Евклиду, Фалес пер-
вым доказал некоторые геометрические утверждения — сегодня они кажутся нам
примитивными, но в свое время вовсе не были таковыми. К примеру, именно Фалес
первым сказал, что существует прямая, называемая диаметром, которая делит круг
пополам, что углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треуголь-
ника, равны или что накрест лежащие углы равны. Не будем забывать и о теореме,
носящей его имя, с помощью которой Фалес измерил высоту пирамиды, зная длину
ее тени и длину тени посоха (как именно он это сделал, показано на иллюстрации).
87
МАТЕМАТИКИ ДАЛЕКОГО ПРОШЛОГО
Применив теорему, носящую его имя, Фалес вычислил высоту d,
зная высоту посоха а и длину теней b и с:
_зс
~~Ь~'
Ученый был незаурядной личностью, и греческие историки приписывали ему са-
мые разные подвиги, доказывающие его гениальность. Мы расскажем о нем всего
одну историю, поскольку она имеет отношение к математике. Согласно письменным
источникам, Фалес знал астрономию (скорее астрологию) и как-то применил свои
знания для личной выгоды. Наблюдая за движением звезд, он определил, что в сле-
дующем году будет большой урожай маслин, и заранее арендовал все близлежащие
маслодавильни. Когда большой урожай был собран, все повезли маслины на масло-
давильни, монополизированные Фалесом. Мудрец в одночасье разбогател. Пусть
эта история послужит уроком для предпринимателей: она доказывает, что знания
никогда не помешают, пусть даже дело происходит в Древней Греции.
Борьба с мошенничеством
Выдающийся мыслитель Архимед из Сиракуз (ок. 287 года до н. э. — ок. 212 года
до н.э.) известен не только тем, что обнаженный бежал по улицам с криком «Эв-
рика!», не только своими знаниями геометрии, физическими открытиями и боевыми
машинами, созданными благодаря его инженерному таланту. Архимед также был
одним из первых борцов с мошенниками от науки. Как объясняет сам мыслитель
в трактате «О спиралях», он имел обычай одаривать друзей из Александрии фор-
мулировками теорем и результатами открытий, не приводя доказательств, чтобы те
смогли отточить свой ум, найдя доказательства самостоятельно.
88
МАТЕМАТИКИ ДАЛЕКОГО ПРОШЛОГО
Однако некоторые из друзей злоупотребили доверием ученого и опубликовали
теоремы Архимеда от своего имени, даже не удосужившись найти доказательства.
Они, должно быть, думали: «Если так говорит Архимед, значит, это правда». Архи-
мед пришел в ярость и начал бороться с мошенниками очень хитроумным способом:
он по-прежнему отправлял им теоремы, но перемежал их ошибочными утверждени-
ями. В результате друзья были вынуждены искать доказательства для всех утверж-
дений Архимеда. «Тот, кто полагает, что знает все, но не имеет тому доказательств,
может быть обвинен в том, что открыл невозможное».
Архимед столь высоко ценил открытое им соотношение площадей поверхности и объемов цилиндра
и вписанной в него сферы, что повелел запечатлеть его на своем надгробии.
Вторая жизнь палимпсеста
В прошлые века пергамент изготавливался из шкуры быков и других животных
и был очень дорогим материалом. Если человеку попадал в руки пергамент, он без
колебаний стирал написанное на нем и записывал поверх старого новый текст — так
появились палимпсесты. В 1906 году датский историк Йохан Людвиг Гейберг, про-
фессор Копенгагенского университета, обнаружил в одном из турецких монастырей
палимпсест, датированный XIII веком, — всего 175 листов пергамента. Гейбергу
удалось стереть тексты православных молитв, записанные поверх более древнего
слоя, относящегося, по всей видимости, примерно к 975 году. Открытый Гейбергом
текст представлял собой описание великого математического открытия и был частью
утерянной книги Архимеда под названием «Метод», посвященной теоремам меха-
89
МАТЕМАТИКИ ДАЛЕКОГО ПРОШЛОГО
ники. Помимо фрагментов этой книги, на нижнем слое были записаны и другие ин-
тересные труды этого древнегреческого мудреца. В «Методе», возможно последней
своей работе, Архимед не только приводил соображения о механике и рассуждения
о центрах тяжести тел, но и использовал понятия, близкие к понятиям современного
интегрального исчисления (в частности, метод исчерпывания, предложенный Ев-
доксом), что лишний раз подтверждает гениальность ученого.
На этом приключения палимпсеста не закончились: пергамент был утерян, вновь
найден 90 лет спустя и продан на аукционе Christie’s за 2 миллиона долларов неко-
ему мультимиллионеру, который передал покупку на хранение в Художественный
музей Уолтерса в Балтиморе. Палимпсест был восстановлен, насколько это было
возможно, и теперь находится в надежных руках.
Страница из палимпсеста Архимеда.
Барон Мерчистон
В заголовке говорится о математике, астрологе и чернокнижнике Джоне Непере
(1550-1617), известном как «неподражаемый Мерчистон», одном из самых ува-
жаемых ученых всех времен, авторе логарифмов.
Подобно многим ученым XVII века, Непера нельзя оценивать по привычным
нам критериям — и он, и его современники покажутся современному человеку за-
конченными эгоистами. К примеру, знаменитый Сэмюэл Пипс считал сыр парме-
90
МАТЕМАТИКИ ДАЛЕКОГО ПРОШЛОГО
зан величайшей ценностью: во время Великого лондонского пожара он завернул его
в упаковку и закопал. Более того, Пипс ценил сыр выше собственной жены, которая
умерла от невыносимой зубной боли.
Непер занял место в математическом Пантеоне благодаря открытию натураль-
ных логарифмов по основанию е, которые иногда в его честь называют неперовыми.
Многие его современники, особенно католики, высоко ценили Непера за запутан-
ные и хитроумные вычисления даты конца света. Изучив Откровение Иоанна Бого-
слова, ученый определил, что конец света должен наступить в 1688—1700 годах.
Один из первых абаков Непера представлял собой коробочку с так называемыми
палочками Непера, позволявшими легко выполнять действия с логарифмами.
Часто рассказывают менее гротескный, но, возможно, столь же недостоверный
исторический анекдот о бароне Мерчистоне и черной курице. Непер обоснованно
полагал, что один из слуг обкрадывает его. Рассказывают, что Непер в темноте по-
строил слуг в ряд и сказал, что черный петух в его руках знается с самим Сатаной
и укажет виновного, когда тот прикоснется к его гребню. Никто не знал, что Непер
вымазал гребень петуха сажей. Когда Непер осмотрел руки своих слуг, все они были
черными от сажи, и лишь у одного ладони остались чистыми — в темноте слуга
91
МАТЕМАТИКИ ДАЛЕКОГО ПРОШЛОГО
всего лишь притворился, что коснулся петуха. Как говорится, если это и неправда,
то хорошо придумано.
Безумные математики
Астрономы, математики, да и вообще ученые вызывали у некоторых писателей отча-
сти объяснимое отторжение. Однако некоторые литераторы славились мизантропи-
ей и страстью очернять всех и вся, поэтому не ладили не только с учеными. Именно
так произошло с ирландским писателем Джонатаном Свифтом (1667—1745), кото-
рый рассорился со всем миром.
В своем знаменитом памфлете Свифт предложил поедать ирландских детей. Это
могло показаться чудовищным благопристойному английскому обществу, однако
Свифт с нечеловеческой язвительностью отмечал, что это лучший способ одновре-
менно решить две проблемы: перенаселение Ирландии и недостаток пропитания
на острове. С математической точки зрения писатель был абсолютно прав. Комик-
группа «Монти Пайтон» куда менее деликатно рассмотрела похожее предложение
в одном из скетчей фильма «Смысл жизни по Монти Пайтону».
Неудивительно, что жертвами Свифта стали астрономы, математики и ученые
в целом — в фантастическом романе «Путешествия Гулливера» они были представ-
лены в не самом лучшем свете. В этом произведении описан остров Аапута, кото-
рый населяют представители среднего класса, обожающие математику и все, что
с ней связано, однако неспособные применить свои знания для решения какого бы
то ни было практического вопроса. Их одежда уродлива, так как обитатели Аапуту
накладывают друг на друга только лоскуты ткани в форме геометрических фигур; их
здания построены плохо; еда неаппетитна, однако по форме напоминает фигуры Ев-
клида; их астрономические наблюдения очень точны, но бесполезны; их изобретения
абсурдны. Более того, «если они хотят, например, восхвалить красоту женщины или
какого-нибудь другого животного (sic), они непременно опишут ее при помощи ром-
бов, окружностей, параллелограммов, эллипсов и других геометрических терминов».
Словом, жизнь на острове была не сахар. А самым занимательным было то, что учи-
теля заставляли учеников в прямом смысле проглатывать теоремы. Читатель делал
вывод: математики — это люди, которых лучше избегать. Некоторые усматривают
в образе Аапуту злую карикатуру на Лондонское королевское общество — офици-
альное общество мудрецов времен Свифта. Возможно, так оно и есть.
92
МАТЕМАТИКИ ДАЛЕКОГО ПРОШЛОГО
Вундеркинды в мире науки
Математика знает немало вундеркиндов из самых разных эпох. Если в прошлом
своих современников удивляли Паскаль, Гаусс и Фурье, то сейчас имена Норберта
Винера (1894—1964), Энрико Ферми (1901—1954), Пала Эрдёша (1913—1996),
Эдварда Виттена (род. 1951) и Питера Шора (род. 1959) напоминают, что вун-
деркинды — непреходящий феномен. Конечно, далеко не все математические ге-
нии были вундеркиндами. Например, Ньютон и Эйнштейн и в детстве, и в юности
не демонстрировали каких-то выдающихся способностей.
Классическим, пусть и не слишком известным вундеркиндом был Пьер Бугер
(1698—1758), создатель гидрографии и изобретатель гелиометра — инструмента
для измерения диаметра звезд. В его честь названы лунный кратер и кратер на Мар-
се, и хотя имя Бугера не слишком известно простым людям, однако ученые ценят его
достаточно высоко.
Бугер сменил отца на посту преподавателя гидрографии, что само по себе
не слишком примечательно. Гораздо любопытнее другое: произошло это событие
в 1713 году, когда Бугеру исполнилось всего 15 лет.
Французский математик и астроном Пьер Бугер.
93
МАТЕМАТИКИ ДАЛЕКОГО ПРОШЛОГО
Ради чести человеческого разума
О бесполезности математики сделано множество заявлений. Зачем же люди зани-
маются этой наукой? Карл Густав Якоб Якоби (1804—1851) стал автором выска-
зывания «ради чести человеческого разума», которое элегантно подчеркивает, что
математику изучают для того, чтобы получить удовольствие от самих размышлений.
Право на получение удовольствия от бесполезных занятий горячо отстаивал Годфри
Харолд Харди (1877—1947), автор знаменитого и превосходного эссе «Апология
математика». Харди очень гордился тем, что был специалистом по теории чисел —
дисциплине, которая никогда (святая простота!) не получит практического примене-
ния. Однако самым красивым из исторических анекдотов на эту тему стала история
Стобея о Евклиде (ок. 325 года до н. э. — ок. 265 года до н. э.). На одном из пер-
вых занятий новый ученик спросил его: «А какая мне будет выгода от этой науки?»
Евклид подозвал раба и сказал: «Дай ему три монеты, раз он хочет извлекать при-
быль из учебы».
Популярный математик
Великий Леонард Эйлер (1707—1783) имел швейцарское происхождение, но его
научная карьера прошла в России и Пруссии времен Фридриха Великого. Во вре-
мя Семилетней войны русские солдаты до основания разрушили поместье Эйлера,
находившееся на немецкой земле. Об этом узнал русский генерал, который, по-
видимому, был наслышан о крупном ученом. Он сказал, что сражается с неприяте-
лем, а не с наукой, и щедро возместил Эйлеру все убытки. Неизвестно, насколько
он был искренен, возможно, что генерал просто хотел, чтобы его имя вошло в исто-
рию вместе с именем Эйлера. Горечь ученого от утраты поместья еще не утихла, как
о произошедшем узнала императрица Екатерина II, которая также незамедлительно
возместила ученому ущерб из государственной казны. Как видите, бывали времена,
когда занятия математикой считались престижными, а ущерб, нанесенный во время
военных действий, полностью возмещался. Эйлер наверняка предпочел бы, чтобы
война продолжалась подольше.
Эйлер и Дидро
У Леонарда Эйлера было тринадцать детей, 47 лет он был слепым на один глаз,
за 21 год до смерти полностью ослеп, но продолжал работать и писал по 800 стра-
94
МАТЕМАТИКИ ДАЛЕКОГО ПРОШЛОГО
ниц в год. Кроме того, он обладал феноменальной памятью и невероятными способ-
ностями к вычислениям. Одной бессонной ночью он вычислил шестые степени всех
чисел от 1 до 1* ’0 и безошибочно воспроизвел их спустя несколько дней.
Эйлер работал так быстро, а служащие Санкт-Петербургской академии наук
были столь нерасторопны, что не успевали публиковать его работы. Труды ученого
по мере поступления в Санкт-Петербургскую академию наук складывались в стоп-
ку, а публиковались в обратном порядке — сверху вниз. В результате всем казалось,
что Эйлер публикует свои работы наоборот — статьи более высокого уровня появ-
лялись в печати раньше, чем те, в которых он только описывал новое открытие, и все
это напоминало путешествие во времени. Удивительно, что даже прогрессирующая
слепота не замедлила работы: Эйлер, разумеется, был вовсе не в восторге от своего
недуга, но не падал духом. Он ослеп на один глаз еще в расцвете лет, но по этому
поводу сказал только: «Так я буду меньше отвлекаться», — и продолжил работу.
Портрет Эйлера кисти швейцарского художника Эмануэля Хандманна,
выполненный в 1753 году, на котором Эйлер уже изображен слепым на один глаз.
Эйлер был героем множества анекдотов, историй и математических каламбуров,
так что случай, о котором мы сейчас расскажем, один из самых известных, но далеко
не единственны) I. К счастью, истории об Эйлере столь популярны, что в этой книге
нам нет нужды рассказывать их все. Любопытно, что уже не сам математик, а исто-
рии о нем стали темой докторских диссертаций.
95
МАТЕМАТИКИ ДАЛЕКОГО ПРОШЛОГО
Дьёдонне Тибо в своих заметках отмечает, что однажды двор императрицы Ека-
терины II посетил Дени Дидро (1713—1784). В это время в Петербурге находился
и Эйлер — протестант, а следовательно, верующий. Религиозные взгляды француза
на протяжении жизни менялись, и в то время он считал себя атеистом. Как и следо-
вало ожидать, для Дидро и Эйлера при дворе был организован философский диспут.
Эйлер начал беседу с заявления: «Милостивый государь,
а + Ь"
-----= х,
п
следовательно, Бог существует. Отвечайте».
Дидро не нашел, что ответить на эту математическую резкость, поскольку,
по словам Тибо, совершенно не знал математики. Он не проронил ни слова, так же
молча вышел из аудитории, а вскоре вообще вернулся в Париж.
На этом исторический анекдот заканчивается. В действительности более позд-
ние исследования, проведенные Американским математическим обществом, дают
нам другую версию изложенных событий, хотя заметки Тибо всегда славились своей
достоверностью и непредвзятостью. Дидро вовсе не был полным профаном в мате-
матике — он не был профессионалом, однако написал несколько весьма достойных
математических статей. С другой стороны, аргумент Эйлера сбил бы с толку любого:
он был совершенно бессмысленным, особенно в устах лучшего математика мира.
Наконец, неудивительно, что Дидро решил удалиться: не принимая во внимание
причины личного характера, отметим, что кажется совершенно разумным покинуть
холодную Россию, высший свет которой насмехается над тобой, и вернуться в Па-
риж, где тебя ожидает во всех смыслах теплый прием.
Донжуан и математик
Обычно ученых изображают непривлекательными внешне: вспомните бессмертного
профессора Турнесоля из комиксов о Тинтине — пожилого, невысокого и, разумеет-
ся, не отличающегося атлетическим телосложением. Но в то же время ученым всегда
присущ блестящий ум и почти всегда — превосходная память. Пал Эрдёш, который
практически полностью соответствует этому описанию, помнил все до единого номе-
ра телефонов своих многочисленных друзей. Однако Тома Троттера, единственного
96
МАТЕМАТИКИ ДАЛЕКОГО ПРОШЛОГО
человека, к которому Эрдёш обращался по имени, он неизменно называл Биллом.
Но не стоит считать всех ученых неспортивными слабаками, лишенными привлека-
тельности, — история знает примеры математиков высоких и низких, спортивных
и неуклюжих, красивых и некрасивых, соблазнительных и отталкивающих.
Однако почти никто не знает, что Джакомо Казанова (1725—1798), самый из-
вестный донжуан, король всех соблазнителей, был математиком, причем имя его
связано со столь сухой наукой, как геометрия. А кроме этого, наш герой, щего-
леватый венецианец, был социологом, шпионом, купцом, гурманом, каббалистом,
скрипачом, сводником, богословом, адвокатом, игроком, военным, мошенником,
танцором, дипломатом, политиком и, разумеется, писателем. Казанова был автором
множества более или менее математических текстов, в частности фантастического
романа «Икозамерон» и серьезных статей об удвоении куба. Однако наши совре-
менники чаще читают его мемуары, особенно ту их часть, где Казанова рассказывает
о своих любовных похождениях. Таким образом, существовал по меньшей мере один
математик-соблазнитель. Обратное верно лишь в частных случаях.
Джакомо Казанова на портрете кисти его брата Франческо.
97
МАТЕМАТИКИ ДАЛЕКОГО ПРОШЛОГО
Математик-министр
Пьер Симон Лаплас (1749—1827) достиг наибольших высот на французской госу-
дарственной службе во время правления Наполеона Бонапарта, который назначил
Лапласа министром внутренних дел. Если бы Наполеон знал, как все обернется,
то никогда не сделал бы этого: вскоре после назначения одаренный математик Ла-
плас доказал, что как чиновник он очень плох. Спустя шесть недель после назначения
Наполеону пришлось снять его с должности. Уже находясь в заточении на острове
Святой Елены, Наполеон нашел время, чтобы довольно иронично охарактеризовать
вклад Лапласа в управление государством:
«Великий геометр, Лаплас был более чем посредственным администратором.
Первые шаги на этом поприще убедили нас в том, что мы в нем обманулись.
Замечательно, что ни один вопрос практической жизни не представлялся Ла-
пласу в его истинном свете. Он везде искал какие-то субтильности, мелочи,
идеи его отличались загадочностью, наконец, он весь был проникнут духом
«бесконечно малых», который он вносил и в администрацию».
Не слишком лестная характеристика из уст человека, который превосходно раз-
бирался в людях. Любопытно, что Наполеон упрекал Лапласа в том, что за деревья-
ми он не видит леса, в то время как в своих книгах тот действовал совершенно иначе:
Жан-Батист Био рассказывал, что Лаплас часто употреблял выражение «II est aise
de voir que...» («Нетрудно видеть, что...»), когда прекрасно знал, каким должен
быть конечный результат, но ленился вдаваться в детали.
Лаплас умер благородным человеком: после свержения Наполеона он перешел
на сторону бурбонов и получил титул маркиза де Лапласа.
В поисках потерянной формулы
Физик и математик Андре Мари Ампер (1775—1836) был одним из первооткры-
вателей электромагнетизма. В память о нем названа единица силы тока — ампер.
Известно также, что этот несколько забывчивый человек полностью соответствовал
стереотипу о рассеянном ученом. Однажды Ампер вступил в оживленную дискус-
сию с посетителем Коллеж де Франс, не понимая, что неизвестного ему господина,
с которым он так жарко спорил, звали Наполеон Бонапарт.
98
МАТЕМАТИКИ ДАЛЕКОГО ПРОШЛОГО
Как-то раз Ампер, едучи в наемном экипаже, испытал прилив вдохновения
и, не теряя ни минуты, записал свои мысли, чтобы не забыть их. Но Ампер забыл,
где именно он их записал, и никак не мог найти своих заметок. Методом исключе-
ния он пришел к очевидному выводу: заметки были сделаны не на клочке бумаги,
а на самом экипаже, который все это время по-прежнему ездил по городу, и его
хозяин даже не подозревал, что вместе с пассажирами везет сокровенные тайны
науки. У Ампера оставался единственный выход: осмотреть все конные экипажи.
И в конце концов, он нашел потерянные записи.
Король математиков
Так, правда на латыни — Princeps mathematicorum, — современники называли
Карла Фридриха Гаусса (1777—1855), одного из величайших ученых, в честь кото-
рого названы астероид и кратер на Луне. Его портрет бесчисленное количество раз
изображался на почтовых марках и даже украшал собой банкноты. Гаусс был на-
стоящим сыном своей эпохи: он происходил из скромной семьи, был вундеркиндом,
отличался невероятным умом и вряд ли был хорошим семьянином. К примеру, он
бил сыновей палкой и запрещал им изучать науки, чтобы они не запятнали безупреч-
ную репутацию фамилии Гаусс. А когда ученому сообщили, что его жена находится
при смерти, он ответил: «Одну минуту, дайте закончить работу».
Английский математик Джон Вильсон (1741—1793), ознакомившись с трудами
арабских авторов, предположил, что
(п —1)! = —l(mod п),
но никак не мог доказать свою гипотезу. В итоге он заявил, что для доказательства
потребуется ввести новую нотацию теории чисел. Первое доказательство нашел Ла-
гранж, однако Гаусс показал, что
О (mod я») при «1=1
П & = < — 1 (mod/я) при т =4 ,ра ,2ра
(Лй)=1	1 (mod//?) в остальных случаях.
Это намного более общий результат, чем тот, что искал Вильсон. Но гораздо удиви-
тельнее то, что Гаусс получил его всего за несколько минут, только ознакомившись
с гипотезой. Он весьма едко отозвался о попытках Вильсона доказать гипотезу:
99
МАТЕМАТИКИ ДАЛЕКОГО ПРОШЛОГО
«Вильсону требовалась не новая нотация, а некоторое представление, о чем идет
речь».
Доказательства Гаусса всегда были безупречными, а порой — и совершенно ори-
гинальными. Ученый скрывал источники своего вдохновения и не описывал, каким
путем пришел к теоремам. Нильс Хенрик Абель говорил, что Гаусс напоминает ему
лису, заметающую следы хвостом.
Античиновник
Появлением гиперболической геометрии, одной из неевклидовых геометрий, мы
обязаны русскому ученому Николаю Лобачевскому (1792—1856). В 1972 году
в знак признания заслуг именем этого геометра был назван астероид.
Лобачевский был образцовым и трудолюбивым чиновником. Он занял пост пре-
подавателя математики в Казанском университете, а затем, сам того не желая, полу-
чал всё новые и новые должности либо по болезни третьих лиц, либо по решению
администрации. В одно и то же время он преподавал, заведовал музеем, библиоте-
кой и университетской обсерваторией, а также исполнял обязанности инспектора.
Неудивительно, что в конечном итоге Лобачевский оказался на посту ректора уни-
верситета.
Рассказывают, что он всегда принимал решения без колебаний и лично участво-
вал во всем. Не было занятия, которое казалось ему недостойным его высокого по-
ста: ученый спокойно мог взять тряпку и почистить музейные экспонаты. Как-то
раз знатный посетитель — по некоторым источникам, дипломат, — войдя в здание
университета, попросил консьержа, с головой погруженного в дела, провести для
него экскурсию. К удивлению посетителя, консьерж проявил не только прекрасные
манеры, но и невероятную осведомленность. Гость был настолько впечатлен, что по-
пытался дать ему чаевых, но, к его удивлению, служитель оскорбленно отказался.
Должно быть, вы уже догадались, что консьержем был не кто иной, как Николай
Лобачевский, ректор университета. Вскоре посетитель попал на официальный при-
ем и, к своему стыду, обнаружил, что мнимый консьерж был главой университета —
он находился в числе приглашенных и был одет по всем правилам этикета.
Увы, усердие Лобачевского и его вклад в науку не были оценены: когда у по-
жилого ученого, одного из лучших геометров мира, начало портиться зрение, Сенат
отстранил его от руководства университетом. Лобачевский умер в нищете, слепой,
смещенный со всех постов.
100
МАТЕМАТИКИ ДАЛЕКОГО ПРОШЛОГО
Но и на этом его злоключения не закончились — много лет спустя американцы
также сыграли над ученым злую шутку. В далеких Соединенных Штатах певец-
юморист Том Лерер посвятил Лобачевскому один из самых известных хитов, в ко-
тором математик представлен не в самом выгодном свете. Похоже, чтобы избежать
подобных неприятностей, нужно быть прежде всего хорошим чиновником.
Николай Иванович Лобачевский.
Математик в Военной академии США
Когда вместе сходятся математическая логика и немецкое упрямство, можно ожи-
дать чего угодно. Фердинанд Хасслер (1770—1843) был геометром и топографом
швейцарского происхождения и отличался такой честностью и прямотой, что стал
героем следующей истории. Хасслеру предложили эмигрировать в США и занять
должность в престижной Военной академии США в Вест-Пойнте. Как-то раз его
пригласил к себе казначей, который, по всей видимости, заботился об экономии го-
сударственных средств, и сказал: «Ваше жалованье следует урезать — сам государ-
ственный секретарь получает почти столько же, сколько и вы». «Конечно,— по-
101
МАТЕМАТИКИ ДАЛЕКОГО ПРОШЛОГО
следовал ответ. — Но президент США, если пожелает, может назначить государ-
ственным секретарем кого угодно, хотя бы вас, но ни вы, ни кто-либо еще не сможет
заменить Хасслера». На этом разговор был окончен. Хасслер продолжал получать
значительное жалование, а казначей, разумеется, так и не был назначен на долж-
ность госсекретаря.
Простодушный математик
Превосходный геометр и специалист по математическому анализу Мишель Шаль
(1793—1880) однажды оказался одурачен, как простофиля.
В 1867 году он с гордостью представил Академии наук несколько писем Паска-
ля, в которых убедительно доказывалось, что закон всемирного тяготения Ньютона
намного раньше был открыт французским гением. Выступление Шаля произвело
эффект разорвавшейся бомбы. Европейцы наконец нанесли смертельный удар ан-
гличанам!
Шаль приобрел письма — как позже и другие крайне любопытные докумен-
ты — у некоего Дени Врэн-Аюка. К примеру, последний продал Шалю несколько
ящиков с письмами Юлия Цезаря Верцингеториксу и Клеопатре, письма Алексан-
дра Македонского Аристотелю и даже письмо Марии Магдалены Лазарю. В об-
щей сложности Шаль отдал Врэн-Люка почти 140 тысяч франков.
Большая часть писем была написана на обычной бумаге и на французском язы-
ке — одно это могло бы заставить покупателя усомниться в их подлинности. Одна-
ко, как гласит английская пословица, хуже всякого глухого тот, кто не хочет слышать,
и Шаль, блестящий математик, не применил в повседневной жизни те же строгие
критерии, какими пользовался в мире науки.
Обманчивый титул
Джеймс Джозеф Сильвестр (1814—1897) был английским математиком и люби-
телем головоломок. Многие годы он преподавал в США, в Университете Джона
Хопкинса, и сделал большой вклад в развитие математики Нового Света, однако
в математическом мире он известен прежде всего как неразлучный коллега Арту-
ра Кэли (1821—1895). Небрежное отношение Сильвестра к тому, что доказано,
а что — нет, вошло в пословицу. Одно из утверждений, которое он возвел в ранг
теоремы, Дерфи даже назвал абсурдным.
102
МАТЕМАТИКИ ДАЛЕКОГО ПРОШЛОГО
Сильвестр обладал горячим нравом и отличался оригинальностью. В 1858 году,
в то же время, когда на сцену вышел Чарльз Дарвин и его «Происхождение видов»,
Сильвестр опубликовал в журнале Philosophical Magazine статью, которая должна
была вызвать скандал в викторианском обществе.
Статья называлась «On the Problem of the Virgins and the General Theory of
Compound Partition» («О задаче о невинных девушках и общей теории составного
разделения»), но, несмотря на это название, в работе не содержалось ничего про-
вокационного. Невинные девушки, которым была посвящена статья, имели отноше-
ние исключительно к математической задаче. Она заключалась в решении системы
из двух уравнений на поле натуральных чисел. Эта задача относится к непростой
дисциплине под названием «комбинаторная алгебра», в частности к теории раз-
биений.
Содержание подобных провокационных статей в 1858 году вызывало у читате-
лей улыбку.
Ректор-фехтовальщик
Немецкий математик Карл Вейерштрасс (1815—1897) считается одним из авторов
логически строгого изложения математического анализа. Современные ученики ше-
потом проклинают ученого — именно Вейерштрассу принадлежит знаменитое опре-
деление предела и непрерывности с 8 и £:
«Говорят, что /(х) стремится к у0 при х, стремящемся к х0, если для любого
£ > 0 существует 8 > 0 такое, что |/(х) — у0| < £ для любого х такого, что
|х — xj< 8».
Юность Вейерштрасса едва ли можно назвать образцовой: высокий атлетич-
ный юноша, большой любитель пива и математики, был к тому же первоклассным
фехтовальщиком. В те времена считалось нормальным, что студенты собирались
в фехтовальных клубах и, соревнуясь в храбрости, вызывали друг друга на поедин-
ки. Защитная экипировка оберегала от тяжелых ран, но не прикрывала щеки, кото-
рые становились первой мишенью для ударов, так что шрамы на щеках считались
признаком красоты и мужественности. Однако Вейерштрасс был столь искусным
фехтовальщиком, что на его щеках не осталось ни единого шрама: на фотографиях,
сделанных позднее, можно видеть, что его щеки идеально гладкие. Видимо, студент
гораздо больше сил отдавал фехтованию, чем наукам, потому что по окончании обу-
103
МАТЕМАТИКИ ДАЛЕКОГО ПРОШЛОГО
чения получил только второстепенный диплом, дававший право преподавать в шко-
ле. Вейерштрасс был учителем физики, математики, истории, иностранных языков,
географии, гимнастики и — хотите верьте, хотите нет — каллиграфии.
Много лет спустя, когда благодаря математическим заслугам Вейерштрасс воз-
высился над простыми смертными, он стал ректором Берлинского университета
и рыцарем ордена «За заслуги» — высшего ордена Германии, учрежденного ко-
ролем Фридрихом II. Даже докторскую степень Вейерштрасс получил не совсем
обычным способом — ему была присуждена степень почетного доктора Кёниг-
сбергского университета.
Карл Вейерштрасс на портрете кисти Конрада Фера
104
МАТЕМАТИКИ ДАЛЕКОГО ПРОШЛОГО
Пусть останется в шляпе -
без нее эта женщина очень опасна
Таким необычным образом блестящий химик Роберт Бунзен (1811—1899) охарак-
теризовал прекрасную русскую женщину-математика Софью Ковалевскую (1850—
1891) — одну из немногих женщин, которой удалось преодолеть предрассудки и за-
нять место на математическом Олимпе.
Короткая жизнь Ковалевской (она носила фамилию мужа, геолога, друживше-
го с самим Дарвином) была похожа на приключенческий роман и изобиловала ро-
мантическими историями, словно предназначенными для кинематографа. Наверное,
поэтому о жизни Ковалевской снято целых три фильма. Ее бабушка была цыган-
кой, дед происходил из благородного рода, и Софья являлась прямым потомком
венгерского короля Матьяша I Корвина. Она была писательницей, феминисткой,
политиком и, к несчастью, женщиной, так что весь мир порой был настроен про-
тив нее. Ковалевская близко дружила с Достоевским, Миттаг-Аеффлером и Вей-
ерштрассом, который не слишком благожелательно относился к женщинам в науке,
но согласился давать ей частные уроки. Она была первой женщиной, возглавившей
университетскую кафедру, лауреатом престижной премии Французской академии
наук Prix Bordin за исследования механики сложных маятников и просто красави-
цей, умершей в расцвете лет от осложнений после простуды. Многое в ее жизни
достойно того, чтобы стать сюжетом фильма или книги.
По легенде, все началось с того, что Ковалевским нужно было оклеить стены
обоями, однако обоев для детской по каким-то причинам не хватило, и ее стены
оклеили листами из старых конспектов лекций Михаила Остроградского по мате-
матическому анализу, на которых можно было прочесть формулы интегрального
и дифференциального исчисления. Софья пыталась расшифровать некоторые фор-
мулы и те, подобно увлекательному роману, постепенно раскрывали перед ней свои
тайны. Отец Софьи, несколько старомодный генерал-лейтенант, был человеком
своего времени и считал уделом женщин исключительно рождение детей. Он ре-
шительно противился тому, чтобы дать дочерям хоть какое-то образование, а о за-
нятиях наукой вообще не могло быть и речи.
Друг семьи Ковалевских, господин Тыртов, преподнес в дар главе семейства
свою книгу по физике. Софья не только прочитала ее, но и прекрасно разобралась
в написанном, чем немало удивила автора. Тыртов попросил у отца Софьи разреше-
ния давать его дочери уроки, но генерал был непреклонен. Чтобы обрести свободу,
105
МАТЕМАТИКИ ДАЛЕКОГО ПРОШЛОГО
девушка заключила фиктивный брак с Владимиром Ковалевским. Для обоих су-
пругов этот союз был чистой формальностью, но такова была цена независимости.
Продолжение истории Софьи Ковалевской вы найдете во множестве книг.
Российская памятная марка с портретом Софьи Ковалевской, выпущенная в 1996 году.
106
Глава 6
Математики недавнего прошлого
Математик — это машина, которая перерабатывает кофе в теоремы.
Пал Эрдёш
Не совсем обычный дьякон
Дьякон Чарльз Лютвидж Доджсон (1832—1898) никогда не был рукоположен
в сан священника и больше известен как Льюис Кэрролл. Он был автором «Али-
сы в Стране чудес» и «Алисы в Зазеркалье», а также преподавателем математи-
ки и логики. Подобно доктору Джекилу и мистеру Хайду, Доджсон вел двойную
жизнь, в которой сочетались странные увлечения и занятия наукой. Все считали его
писателем с буйной фантазией, его любимым занятием была фотография, а на жизнь
он зарабатывал преподаванием математики в колледже Крайст-Черч Оксфордского
университета.
Иллюстрация Джона Теннила к «Алисе в Стране чудес».
107
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
Жизнь Кэрролла была полна анекдотов, но самый известный из них, по всей ви-
димости, оказался выдумкой: рассказывают, что королева Виктория прочла сказки
об Алисе с большим удовольствием и попросила принести ей другие книги того же
автора. Следующей книгой, которую получила королева, стало «Элементарное ру-
ководство по теории детерминантов» («Ап Elementary Treatise on Determinants»).
Наверняка Виктория была довольно сильно удивлена.
Первый в рейтинге
Возможно, имя Уильяма Томсона (1824—1907) ничего вам не скажет. Этот человек
упоминается в книгах под именем лорда Кельвина — этот титул был пожалован ему
в викторианскую эпоху за участие в прокладке трансатлантического кабеля, соеди-
нившего Америку с Европой.
Лорд Кельвин был сыном преподавателя математики и шотландцем, то есть
провинциалом. Французский язык он выучил в Париже, а его высокий интеллект
считался едва ли не оскорбительным для окружающих. Статью Кельвина для Эдин-
бургского королевского общества представил более зрелый профессор — если бы
члены общества узнали об истинном возрасте автора (который был еще подрост-
ком), то сочли бы его труд розыгрышем и отказались бы его рассматривать.
О лорде Кельвине рассказывают множество историй, и некоторые из них весьма
примечательны. К примеру, став профессором, он держал перед собой три ящика
с надписями «Чистилище», «Рай» и «Ад». На каждом занятии он извлекал из ящи-
ка с надписью «Чистилище» бумажку с именем студента и заставлял его прочесть
урок наизусть. В зависимости от того, насколько удачным был ответ, бумажка
с именем студента отправлялась в один из двух других ящиков.
Томсон был вундеркиндом, он вырос в достатке и в результате был несколько из-
балован. Первый удар по самолюбию он получил в Кембридже. По университетской
традиции (она сохранялась до 1909 года) студенты третьего курса, изучавшие ма-
тематику, сдавали экзамен, на котором требовалось решить несколько задач, после
чего составлялся их общий рейтинг. Последнему студенту в рейтинге выдавалась де-
ревянная ложка — этот обычай до сих пор сохранился в регби, — а первые студен-
ты в списке получали почетную степень wrangler, что можно перевести как «боец».
Получить высшую почетную степень было большой честью — так, ее в разные годы
удостаивались Кэли, Гершель, Литлвуд, Эддингтон и Адамс. Однажды высшую
почетную степень получил будущий нобелевский лауреат лорд Рэлей, и ему при-
шлось опубликовать в газете «Таймс» заметку, в которой он объяснил, что почетная
108
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
степень была присуждена ему исключительно за его заслуги, а не за титул и автори-
тет. Лорд Кельвин сдал экзамен и, не особо-то волнуясь, отправил слугу на факуль-
тет, чтобы узнать свое место в общем рейтинге. Юноша ни на секунду не сомневался
в том, что заслужил высшую почетную степень, поэтому когда слуга вернулся, он
спросил: «Ну что, кто получил вторую почетную степень?». Слуга ответил: «Вы,
сэр». И действительно, высшей почетной степени был удостоен другой студент.
Вторая почетная степень тоже была весьма достойным результатом — ее в разные
годы удостаивались Джеймс Клерк Максвелл и первооткрыватель электрона Джо-
зеф Джон Томсон. Другие студенты, прославившиеся впоследствии, в свое время
занимали в этом рейтинге весьма скромные места: Харди был четвертым, Бертран
Рассел — седьмым, Мальтус — девятым, Кейнс — двенадцатым. Как видите,
реальные заслуги нельзя измерить никаким рейтингом.
Уильям Томсон, первый лорд Кельвин.
Миттаг-Леффлер не виноват
Изготовитель взрывчатки Альфред Нобель (1833—1896) учредил одну из пре-
стижнейших премий в истории — Нобелевскую премию, которая присуждается
за заслуги в науках: физике, химии, литературе, медицине, а также в деле сохране-
ния мира. Позднее, в 1969 году, фонд Нобеля также учредил премию по экономике,
109
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
которую финансирует Шведский банк. Но почему Нобель не учредил премию
по математике? В XXI веке была учреждена премия для математиков, аналогичная
Нобелевской — Абелевская премия, названная в честь великого норвежского мате-
матика Нильса Хенрика Абеля (1802—1829) и присуждаемая Норвежской акаде-
мией наук и литературы. Впервые премия была вручена в 2003 году. Ее лауреатами
стали:
Год	Абелевская премия
2003	Жан-Пьер Серр
2004	Майкл Атья, Изадор Зингер
2005	Питер Лакс
2006	Леннарт Карлесон
2007	Сриниваса Варадхан
2008	Джон Томпсон и Жак Титс
2009	Михаил Громов
2010	Джон Тейт
2011	Джон Милнор
Размер этой премии составляет 550 тысяч долларов. Увы, сам Нильс Хенрик
Абель, по злой иронии судьбы, в буквальном смысле умер от голода.
Так почему же Нобель решил не вручать премии по математике? Существуют
две основные версии, которые связаны с личностью крупнейшего шведского мате-
матика времен Нобеля — Магнуса Гёсты Миттаг-Леффлера (1846—1927).
110
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
Магнус Геста Миттаг-Леффлер — человек, который ни в чем не был виноват.
Одно из самых популярных объяснений заключается в том, что возлюбленная
Нобеля предпочла ему Миттаг-Леффлера, а возмущенный Нобель решил не при-
суждать свою премию математикам. Миттаг-Леффлер действительно был высо-
ким и статным, однако доподлинно неизвестно, встречался ли он с Нобелем хоть
когда-нибудь — интересы ученых были чрезвычайно далеки, сам Нобель покинул
Швецию в 1865 году и возвращался на родину считаное число раз. Однако то, что
Нобель всю жизнь оставался холостяком, совершенно точно.
Согласно другому, менее драматичному объяснению, предположительно Мит-
таг-Леффлер нажил свое состояние не совсем честным способом и где-то перешел
дорогу Нобелю. Однако эта версия вообще не содержит ни грамма истины: Миттаг-
Леффлер своим состоянием обязан не каким-то финансовым операциям, а удачной
женитьбе на богатой невесте.
Скорее всего, Альфреду Нобелю просто не пришло в голову учредить премию
по математике — она не была частью его жизни.
Женщинам вход воспрещен
В наши дни в некоторых религиозных течениях женщин по-прежнему забивают кам-
нями за недостойное поведение. На Западе подобное строго запрещено, а любого,
кто причинит женщине физические или моральные страдания, ждет наказание. Од-
111
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
нако в начале XX века всё обстояло иначе, и подтверждением этому может служить
судьба Эмми Нетер (1882—1935) — возможно, величайшей женщины-математика
из всех, кого видел свет. Ее злоключения начались уже в молодости. В 1915 году
руководство Гёттингенского университета не разрешило ей, обладательнице док-
торской степени с неоспоримым авторитетом, занять должность преподавателя.
Причина, по которой власти авторитетного университета приняли такое решение,
была абсурдной. В самый разгар Первой мировой войны члены университетского
синедриона фарисейски задавались вопросом: что подумают солдаты, вернувшиеся
с полей сражений за отечество, когда увидят, что им будет преподавать математику
какая-то женщина? Возможно, вполголоса звучала и другая причина: женщина-
преподаватель бросила бы тень на авторитет остального ученого состава. В резуль-
тате никто не взял на себя смелость изменить существовавшее положение вещей.
Давид Гильберт (1862—1943), который возглавлял кафедру Гёттингенского
университета и взирал на происходящее с отвращением, в отчаянии воскликнул:
«Какое значение имеет пол кандидата? Это университет или мужская баня?» На-
много позже, в 1919 году, Эмми наконец была принята в число сотрудников универ-
ситета, однако ей не назначили ни кафедру, ни жалование.
Когда в 1933 году в Германии начались преследования евреев, Нётер эмигрирова-
ла в США, и здесь ей вновь пришлось столкнуться с нетерпимостью: ее должность
в Брин-Мор-колледже прекрасно оплачивалась, однако колледж не имел статуса
высшего учебного заведения и в нем обучались только женщины, а Принстонский
университет в те годы принимал на работу исключительно мужчин. Эмми не пригла-
сил ни один университет, и сложилась парадоксальная, можно сказать, смешная си-
туация: преподаватель женского колледжа выступала с докладами и вела семинары
в Принстонском институте перспективных исследований, где работали некоторые
из ее бывших учеников, а также, к примеру, Альберт Эйнштейн.
Мрачный энтузиазм Гильберта
Далее мы расскажем об одном случае из жизни Давида Гильберта, типичного рас-
сеянного ученого, который после смерти Пуанкаре был признан ведущим матема-
тиком мира. Об извечной рассеянности Гильберта рассказывают множество анекдо-
тов, но наша история выдается из общего ряда.
Как-то раз один из лучших учеников Гильберта передал ему черновик доказа-
тельства знаменитой гипотезы Римана, и ученый далеко не сразу нашел ошибку
в рассуждениях юноши. Этот ученик поистине подавал большие надежды. К несча-
112
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
стью, он безвременно скончался, и Гильберт, потрясенный случившимся, попросил
у его родных разрешения произнести прощальную речь. В день похорон шел дождь.
Окруженный плачущими родственниками умершего, Гильберт сказал несколько
слов. Присутствующие взирали на него с восхищением: сам великий Гильберт про-
износил речь у могилы. Гильберт рассказал об умершем, отметил его достоинства
и знания, затем перешел к его интересам, после чего упомянул гипотезу Римана и тут
оживился. К изумлению и ужасу присутствующих, он продолжил объяснения для
посвященных: «К примеру, если мы рассмотрим функцию /(z), где г принадлежит
полю комплексных чисел...». Далее последовала целая лекция по основам мате-
матического анализа. Представьте себе эту сцену — дождливый день, родители
и родственники умершего стоят у могилы... а перед ними докладчик с энтузиазмом
повествует о функциях комплексной переменной. Опустим завесу скорби над этой
печальной сценой.
Давид ГАльберт.
Разумеется, известно множество рассеянных математиков, о которых существу-
ет неисчислимое множество историй. Как-то раз Витольд Гуревич (1904—1956)
приехал на работу на машине. А вечером отправился домой... поездом — он забыл,
что приехал на автомобиле. «Это могло случиться с кем угодно», — возразит нам
читатель. Однако на следующий день, когда Гуревич вновь должен был ехать на ра-
боту, он с огорчением обнаружил пропажу автомобиля и незамедлительно заявил
о краже в полицию.
ИЗ
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
Неповторимый Пал Эрдёш (1913—1996) как-то раз встретился со своим из-
вестным коллегой и из вежливости спросил его, откуда тот родом. «Из Ванкуве-
ра», — последовал ответ. Лицо Эрдёша озарилось улыбкой: «Тогда вы наверняка
знакомы с моим другом Эллиотом Мендельсоном». — «Я и есть Эллиот Мендель-
сон». Рассеянность Эрдёша была поистине феноменальной.
Простое и сложное
Одним из самых выдающихся экономистов был математик Джон Мейнард Кейнс
(1883—1946), первый барон Кейнс. Мы не будем подробно перечислять все заслуги
знаменитого ученого — это уже сделано до нас. Сам Кейнс рассказывал, что как-то
раз в Берлине лауреат Нобелевской премии по физике Макс Планк (1858—1947),
создатель квантовой физики, который славился выдающимся умом, признался, что
хотел бы стать экономистом, но экономика показалась ему слишком сложной. По-
добное признание и проявление скромности тронули Кейнса: он расценил слова
Планка как дань уважения своему таланту.
Однако его радость длилась недолго: спустя несколько дней, на встрече в Ко-
ролевском колледже Кембриджского университета, Кейнс с улыбкой пересказал
слова Планка присутствующим. Один из них, историк Лоус Дикинсон, ответил,
что как-то раз Бертран Рассел, отличавшийся разносторонним умом, признался, что
в юности тоже хотел стать экономистом, но отказался от этой идеи — экономика
показалась ему слишком легкой.
То, что казалось сложным лауреату Нобелевской премии по физике, показалось
легким лауреату Нобелевской премии по литературе. Кейнс не получил Нобелев-
скую премию по экономике — на тот момент она еще не была учреждена.
Вопрос четности
Советский физик и астроном Георгий Гамов рассказывал, что в 1929 году состоя-
лась важная конференция с участием крупных физиков. На ней была представле-
на формула Клейна — Нишины, которая играет важнейшую роль в исследованиях
элементарных частиц, так как описывает столь важное (для посвященных) явление,
как рассеяние фотонов в квантовой хромодинамике. Статья, в которой приводи-
лась эта знаменитая формула, называлась «Uber die Streuung von Strahlung durch
freie Elektronen nach der neuen relativistischen Quantendynamik von Dirac» («О вза-
имодействии свободных электронов с излучением по дираковской теории электро-
114
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
на и по квантовой электродинамике») и принадлежала шведскому физику Оскару
Клейну (1894—1977) и одному из уважаемых творцов современной физики Есио
Нишине (1890—1951). На конференции выступил сам Нишина, а среди присут-
ствующих находился молчаливый, но очень опасный защитник только-только за-
рождавшейся новой физики — английский ученый Поль Дирак (1902—1984), ко-
торый тогда еще не был нобелевским лауреатом.
Нишина бойко записывал на доске свои выкладки, пока один из присутствующих
не заметил, что в последней формуле содержится знак «минус», которого не было
в исходной статье. Нишина не придал этому особого значения — должно быть, он
попросту случайно сменил знак посреди хитросплетения расчетов. «Поищите в ста-
тье — в одном из мест знак изменен верно». И тут оживился Дирак, который, как
обычно, в течение всего выступления дремал: «Ищите в нечетном числе мест»,—
заметил он. И действительно, если ошибка в знаке содержится в трех, пяти, семи
местах и так далее, результат не изменится. Единственное, что имеет значение —
четность числа ошибок. Одни скажут, что Дирак стоял на страже математических
идеалов, а другие возразят, что он всего лишь хотел уязвить собеседника.
Поль Адриен Морис Дирак, лауреат Нобелевской премии по физике.
Третейский судья
Было время, когда имя сэра Артура Эддингтона (1882—1944) почиталось всеми.
Этот астрофизик обладал огромным авторитетом и был признанной величиной
115
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
в мире науки. Он увлекался нумерологией и часто использовал число, которое на-
зывал космическим. Оно равнялось числу частиц во Вселенной, и Эддингтон считал
его равным
136 • 2256 = 15 747 724136 275 002 577 605 653 961181555 468 044 717 914 527
116 709 366 231425 076185 631031296.
Это поистине астрономическая величина, и наш герой умело жонглировал ею. Он
был действительно блестящим математиком, а также славился остроумием и легким
характером.
Эддингтон считался достаточно умным, чтобы воспринять теорию относитель-
ности Эйнштейна, которая в то время была воплощением непонятного и загадочно-
го. Личность Эддингтона хорошо описывает одна история, связанная с теорией от-
носительности. Польско-американский физик и признанный специалист по теории
относительности Людвиг Зильберштейн (1872—1948) однажды похвалил Эддинг-
тона: «Говорят, что вы — один из трех человек в мире, способный понять теорию
относительности Эйнштейна». Эддингтон немного подумал и спросил: «А кто же
третий?» Очевидно, что первыми двумя он считал себя самого и Эйнштейна. Впро-
чем, справедливости ради отметим, что нескромность была чуть ли не единственным
недостатком ученого.
Сэр Артур Эддингтон (справа) с Альбертом Эйнштейном.
116
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
Математик, которого никогда не существовало
Когда кто-то хочет рассказать не совсем обычную историю о математике, речь захо-
дит о Николя Бурбаки. Мы не указываем год его рождения, так как, строго говоря,
у Николя Бурбаки его нет. И вообще, этот один из наиболее влиятельных матема-
тиков XX века в действительности никогда не существовал.
Хотя привести год рождения несуществующего человека непросто, можно ска-
зать, что он появился на свет примерно в 1935 году, когда вихри войны, позднее
всколыхнувшие весь мир, еще не обрели полную силу. Группа молодых математи-
ков, среди которых были Андре Вейль (1906—1998), Анри Картан (1904—2008),
Клод Шевалле (1909—1984), Жан Дьёдонне (1906—1992) и другие, решила соз-
дать математический трактат, который обладал бы строгостью и четким логическим
фундаментом и где использовался бы новый подход, заключающийся в переходе
от общего к частному. Тексты должны были публиковаться без подписи, мнимым
автором считался Бурбаки, а установленные правила игры были довольно прогрес-
сивными: каждая рукопись перед публикацией передавалась между членами группы
с целью дальнейшего улучшения, и вклад в нее мог внести каждый. Каждая руко-
пись в итоге вызывала жаркие споры на встречах (громче всех на этих встречах зву-
чал громовой голос Дьёдонне), которые порой превращались в настоящие сражения.
Затем наступила война, пришло послевоенное время, и на свет появился целый ряд
книг за подписью Бурбаки — сложных, но безукоризненно точных. Позднее они
стали легендарными, так как отличались высоким уровнем изложения, в них было
предсказано появление множества новых математических понятий. Не последнюю
роль сыграла и оригинальная личность коллективного автора. Понемногу членами
группы становились и другие математики, уже не только французы, и группа Бурба-
ки обновлялась сама по себе. К этой славной плеяде присоединились Аоран Шварц
(1915—2002), Роже Годеман (род. 1921), Самуэль Эйленберг (1913—1998), Жан-
Пьер Серр (род. 1926), Александр Гротендик (род. 1928), Джон Тейт (род. 1925),
Серж Ланг (1927—2005), Ален Конн (род. 1947), Жан-Кристоф Иокко (род.
1957) и многие другие, о которых мы не будем упоминать отчасти потому, что этот
перечень будет слишком длинным, а отчасти потому, что о многих доподлинно неиз-
вестно, были ли они членами группы. Бурбаки продолжал оставаться юным и бли-
стал своим поистине французским чувством юмора. Можно написать не одну книгу,
полную анекдотов о Бурбаки, который получил свое имя в честь малоизвестного
французского генерала. Но чтобы описать его максимально точно, достаточно сле-
дующего анекдота.
117
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
Ральф Боас (1912—1992), президент Математической ассоциации Америки,
считал, что роль Бурбаки следует прояснить для широкой американской публики
на страницах журнала Scientific American, и подробно рассказал, что Бурбаки был
коллективным псевдонимом группы профессиональных математиков, по большей
части французов и так далее. Каково же было удивление Боаса, когда в один пре-
красный день он обнаружил в почте письмо от некоего Николя Бурбаки, который
энергично протестовал против того, что он якобы не существует. Боас, разумеется,
отнесся к письму с юмором и счел его всего лишь шуткой одного из бурбакистов.
Однако Боас не учел, сколь мстительным окажется Бурбаки: спустя некоторое вре-
мя тут и там стали появляться слухи, призванные убедить математиков в том, что
Ральфа Боаса не существует. Слухи утверждали, что Боас — это коллективный
псевдоним американских математиков, а человека с таким именем никогда не суще-
ствовало. ..
О кончине Николя Бурбаки было объявлено в 1968 году. Он покинул этот мир
в возрасте 33 лет, подобно Христу. В некрологе, опубликованном скорбящими род-
ственниками-авторами, приносились соболезнования всем бурбакистам и сочув-
ствующим, а также приводилась цитата из воображаемой книги священного писа-
ния — Евангелия от Гротендика, глава IV, стих 22.
Компьютер и холодная война
Сразу же за великой объявленной войной (Второй мировой) последовала другая,
необъявленная, — так называемая холодная война, которая длилась намного доль-
ше. За эти 44 года безмолвное противоборство сторон было не только политиче-
ским — оно коснулось и науки, в том числе математики, качалось бы, столь далекой
от любых военных конфликтов.
В 1945 году, вскоре после завершения военных действий, СССР столкнулся
с новым миром знаний, к которому оказался совершенно не подготовлен. К при-
меру, советская интеллектуальная элита проявляла большой интерес к вычислитель-
ным методам, однако в СССР не было ни одного компьютера. Когда же совет-
ские специалисты захотели приобрести компьютер, чтобы понять принцип его дей-
ствия и просто скопировать его, то столкнулись со всевозможными препятствиями.
В том же году в США был построен ENIAC — первый действующий компьютер.
Советские бюрократы физически не могли выкрасть или скопировать вычислитель-
118
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
ную машину столь огромных размеров (и, кроме того, очень редкую — ENIAC
существовал в единственном экземпляре), поэтому через министерство по внешней
торговле отправили в Пенсильванский университет письмо с просьбой продать им
экземпляр так называемого «робота-вычислителя». Декан университета немедленно
передал письмо американским военным. Ответа на обращение не последовало, так
что Советскому Союзу пришлось обходиться без ENIAC. И советским ученым это
прекрасно удалось: в последующие годы в странах Восточного блока наблюдалось
бурное развитие вычислительной математики, и весь мир узнал о таких выдающихся
деятелях науки о вычислениях, как Андрей Колмогоров (1903—1987).
Инопланетянин в Соединенных Штатах
Джон фон Нейман (1903—1957), известный среди друзей под именем Джонни,
был венгром по происхождению и при рождении получил имя Янош. А современни-
ки поговаривали, что он вообще инопланетянин — память фон Неймана, его способ-
ности к вычислениям, широчайший спектр самых разных интересов и умение рас-
суждать были поистине нечеловеческими. Возможно, он был последним ученым,
способным охватить все разделы математики своего времени. Сегодня это уже
невозможно, так как наука стала слишком велика.
Еще один математик, Дьёрдь Пойа (1887—1985), который всегда отличался
проницательностью и умением ставить задачи, как-то заметил, что некая теорема
не доказана. Спустя несколько минут фон Нейман подошел к доске, взял мел и за-
писал искомое доказательство. 1оворят, что Пойа с тех пор всегда смотрел на фон
Неймана с некоторым испугом.
Ханс Бете (1906—2005), лауреат Нобелевской премии по физике 1967 года,
делил задачи, рассматриваемые на математических семинарах, на десять уровней
сложности. Его классификация выглядела примерно так: «Задача 1-го уровня —
это задача, которую способна понять даже моя мама. Задача 2-го уровня понятна,
скажем, моей жене». Для экономии времени пропустим несколько уровней слож-
ности: «К 7-му уровню принадлежат задачи, которые способен понять я. Задачи
8-го уровня способны понять только их автор и Джонни фон Нейман. К 9-му уров-
ню принадлежат задачи, которые понимает только Джонни, но не автор. К 10-му
уровню относятся те задачи, которые пока не понял даже фон Нейман. Однако,
по правде говоря, таких задач очень немного».
119
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
Джон фон Нейман был одним из создателей электронных вычислительных машин.
Норберт Винер
Американский математик Норберт Винер (1894—1964) известен как создатель
кибернетики и вундеркинд. Он был типичным рассеянным ученым и стал главным
героем огромного количества популярных историй. Мы не будем приводить их все,
чтобы читатель не заскучал. Тем не менее одна из этих историй, не очень известная,
заслуживает упоминания. Представьте себе лекцию в легендарном Массачусетском
технологическом институте, на которой Винер с необычайной быстротой делится
своей мудростью со студентами, заполняя доску все новыми и новыми символами.
Лектор лихо лавирует в океане математических понятий и теорем, в котором аудито-
рия давно и бесславно потонула. Порой слушатели совершенно не понимают, о чем
идет речь. И тут один из студентов решился попросить о перерыве в этой словесной
бомбардировке: «Извините, не могли бы вы повторить еще раз, помедленнее?» Ви-
нер выполнил просьбу, однако сделал это своеобразным способом. Студент жалу-
ется на то, что лекция идет слишком быстро? Что ж, стоит немного расслабиться.
Винер с улыбкой расположился у доски и несколько минут хранил молчание. Когда,
по его мнению, прошло достаточно времени, чтобы студенты смогли переварить ус-
лышанное, он все с той же улыбкой вернулся к доске, поставил энергичную точку,
и лекция на этом закончилась. Разумеется, никто так ничего и не понял.
120
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
Нелогичная конституция
Наибольшее влияние на развитие современно1  математики оказал австрийско-аме-
риканский ученый Курт Гёдель (1906—1978) — великий математик, который будет
упомянут во всех энциклопедиях будущего за свои научные достижения, а также,
увы, во всех сборниках анекдотов за необычные черты характера, которые с годами
только обострились.
В конце жизни Гёдель посчитал, что ему неплохо бы получить американское
гражданство. Для этого, согласно правилам, требовалось поклясться в верности
Конституции США перед судьей и в присутствии двух свидетелей. Свидетелями
стали друзья — и какие! Оба они, как и Гёдель, прошли через Институт перспек-
тивных исследований в Принстоне. Одним был Альберт Эйнштейн, другим —
экономист Оскар Моргенштерн (1902—1977), создавший вместе с Джоном фон
Нейманом теорию игр. Оба опасались, что Гёдель совершит что-нибудь неразумное
во время церемонии — им было известно о прогрессирующей паранойе ученого,
и они уже знали, что Гёдель прочел Конституцию США и своим острым умом об-
наружил статьи, которые содержали лазейки, позволявшие установить диктатуру.
Настал момент, когда Гёдель должен был предстать перед судьей, который счел
себя обязанным побеседовать со столь выдающимися людьми, ведь перед ним пред-
стали три величайших интеллектуала мира. Со всей вежливостью судья напомнил
Гёделю, что произошедшее на его родине (судья ошибочно упомянул Германию,
хотя Гёдель был гражданином Австрии) больше не повторится: «Американская
конституция никогда не позволит установить диктатуру в нашей стране». Это было
равносильно упоминанию веревки в доме повешенного. Гёдель с жаром начал свое
выступление: по его словам, из-за лазеек в Конституции диктатура в США была
вполне возможной. Но свидетели поспешно перебили Гёделя и перевели разговор
на другую тему. Беседа закончилась ничем — все присутствующие, включая су-
дью, решили больше не беспокоить прославленного логика. Гёдель в конце концов
получил желаемое гражданство — судья вынес положительный вердикт, возможно,
только для того, чтобы больше не слушать Гёделя.
«Все хорошо, что хорошо кончается» — должно быть, подумал Эйнштейн.
«И кто только просил меня ввязаться в это дело?» — должно быть, подумал Мор-
генштерн. «Но мне не дали объясниться!» — наверняка сказал Гёдель. «Вот поте-
ха!» — подумал бы американский комик Граучо Маркс, если бы мог присутствовать
при разговоре.
121
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
Курт Гёдель в Институте перспективных исследований в Принстоне.
Особый словарь
Пал Эрдёш выделялся не только своими нестандартными подходами в математике
и крайней научной плодовитостью — он также использовал особый язык. Необыч-
ная манера выражаться стала следствием излишней увлеченности Эрдёша матема-
тикой, и она достойна нескольких страниц в нашей книге. Ограничимся лишь из-
бранными примерами, которые нетрудно найти даже в интернете.
Термин,использованный Эрдёшем	Значение
Хозяин	Жена
Раб	Муж
Эпсилон	Ребенок
Арест	Брак
Повторный арест	Повторный брак
Освобождение	Развод
Яд	Алкоголь
Шум	Музыка
Проповедовать	Преподавать
Верховный фашист	Бог
Прибыть	Родиться
Существовать	Заниматься математикой
122
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
Умереть	Оставить математику
Оставить нас	Умереть
Устный экзамен	Пытка
Янош	Венгрия (по имени коммунистического диктатора Венгрии Яноша Кадара)
Сэм	США (от «Дядя Сэм»)
Джо	СССР (от прозвища Иосифа Сталина)
Длинные волны	Коммунисты (длинным волнам спектра соответствует красный цвет)
Короткие волны	Фашисты
Шоу Сэма и Джо	Международные новости
Книга	Собрание лучших математических доказательств
Тривиальное существо	Тот, кто не занимается математикой
Мой разум открыт	Я готов заняться математикой
Чем это было при жизни?	Что это за мясо?
Идеальная афера
Математики способны придумывать превосходные аферы — даже жаль, что они
профессионально этим не занимаются. Математик Джон Аллен Паулос (род. 1945)
преуспел на литературном поприще, написав несколько книг по математике, ставших
мировыми бестселлерами. Возможно, самой успешной из них была книга «Матема-
тическая безграмотность и ее последствия». В ней Паулос демонстрирует неспособ-
ность современного человека оперировать числами в повседневной жизни. К при-
меру, использование процентов вызывает затруднения у миллионов людей, даже
вполне грамотных.
Однако мы упомянули Паулоса по другой причине. В книге «Математическая
безграмотность» он объясняет инвестиционную аферу, которую может провести лю-
бой, обладающий достаточным начальным капиталом. Изложим ее на свой страх
и риск.
Допустим, что мы разослали 64 тысячи сообщений по разным адресам. В по-
ловине из них мы рекомендуем адресату совершить вложения, в другой половине
советуем не инвестировать. В итоге 32 тысячи сообщений окажутся истинными —
неплохой результат. Повторим эту же операцию, к примеру, еще 5 раз, но не будем
отправлять сообщение тем, кто в прошлый раз получил ошибочный совет. В итоге
у нас останется 1000 адресов людей, получивших подряд шесть сообщений с вер-
ной информацией об инвестициях. В нашем мире жесткой конкуренции, полном
123
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
неопределенности, получить шесть верных сообщений подряд попросту немыслимо.
Таким образом, у нас есть 1000 потенциальных жертв аферы. Мы можем убедить
кого-нибудь из этой тысячи передать нам определенную сумму для того, чтобы мы
выгодно ее вложили. Разумеется, деньги жертве мы не вернем. Внесем ясность: эту
схему описал Паулос, мы же не несем за нее никакой ответственности.
Верить нельзя даже «Коду да Винчи»
Роман «Код да Винчи» не только стал бестселлером на всех языках, но и вызвал
интерес у любителей математики, так как многие ключи к загадке романа имеют
отношение к арифметике или геометрии. Автор обрушивается с жестокой крити-
кой на такие организации, как Опус Деи, и это вызвало недовольство в некоторых
кругах. Неприязнь недоброжелателей стала бы еще больше, если бы им сообщили,
что в математических выкладках, приведенных в «Коде да Винчи», имеются неточ-
ности. Расскажем об одной из них.
В главе 22 монах Сайлас, носивший железные вериги для усмирения плоти, смо-
трит на линию Розы в церкви Сен-Сюльпис. Это металлическая лента, проложен-
ная на полу строителями церкви в 1727 году подобно гномону — астрономическому
инструменту, тень которого указывает точное время в день летнего солнцестояния.
К сожалению, автор романа, Дэн Браун, пишет, что эта линия совпадает с линией,
обозначающей Парижский меридиан. На самом деле это не так: подлинный ме-
ридиан проходит по воображаемой линии, отстоящей от линии Розы на несколько
метров. Вы можете увидеть эту непрерывную линию в Парижской обсерватории
и на улицах города — ее образуют свыше ста бронзовых медальонов с именем Ара-
го, первого математика, который вычислил положение меридиана. Первый медальон
находится в центре знаменитой пирамиды Лувра.
124
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
Линия Розы на полу церкви Сен-Сюльпис доходит до обелиска,
расположенного в глубине зала.
125
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
Металлическая лента, указывающая положение Парижского меридиана в обсерватории.
Гений за работой
Англичанин Стивен Хокинг (род. 1942) из героя научного мира превратился в лю-
бимца СМИ и желтой прессы. Выдающийся ученый, обладающий невероятными
способностями, прикованный к инвалидной коляске и страдающий от неизлечимого
заболевания, стал желанной добычей журналистов. Если учесть, что основной об-
ластью деятельности Хокинга является астрофизика, то он сегодня является первым
кандидатом на место гениального ученого и умнейшего человека на Земле.
В юности Хокинг учился в Оксфорде, где настоящим бедствием были не толь-
ко лекции, но и сложнейшие задачи, которые требовалось решить самостоятельно.
Как-то раз Хокинг с друзьями столкнулись с рядом особо трудных задач. Некото-
рые просидели над ними всю ночь и к утру решили целых две с половиной задачи.
Наш герой принялся за дело после завтрака. У него оставалось всего три часа —
ровно через три часа должны были начаться занятия, где нужно было сдать прокля-
тые задачи. Хокинг появился у дверей аудитории перед началом с поникшей голо-
126
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
вой. «Ну что? Решил какую-нибудь?» — спросили его друзья. Он ответил: «Черт
побери, мне не хватило времени. Я решил только первые десять».
Математик и в лагере математик
Жан Лере (1906—1998) был одним из крупнейших французских математи-
ков XX века. При всей близости к группе Бурбаки он не примкнул к этому коллек-
тиву, позднее ставшему легендарным. Лере был патриотом и выдающимся интел-
лектуалом, поэтому нацисты, оккупировавшие Францию, сочли его угрозой для
режима и с 1940 по 1945 год содержали его в лагере для военнопленных близ Эдель-
баха.
Лере был специалистом по гидромеханике и получил несколько очень важных
результатов, связанных с одной из задач тысячелетия — задачей о решении уравне-
ний Навье — Стокса, ключевых уравнений гидродинамики. Боясь, что нацисты уз-
нают, кто он, и захотят использовать его знания в военных целях, Лере радикально
сменил род деятельности и занялся топологией. Этот раздел математики в то время
считался бесполезным и не представлял для военных никакого интереса. Однако
благодаря своему выдающемуся уму Лере вскоре стал одним из ведущих специ-
алистов по алгебраической топологии во всем мире, хотя по-прежнему находился
в лагере для военнопленных.
Однако все, даже самое плохое, когда-нибудь заканчивается. Лере пережил вой-
ну и был освобожден. Вернувшись к работе, он оставил топологию, которой уделил
столько лет, и вновь, как и до войны, занялся уравнениями в частных производных.
И вновь он стал мировым лидером в своей области. Есть в этом мире вещи, которые
остаются неизменными.
Неожиданный удар
Следует признать, что некоторые шутки порой очень обидны. Прекрасный пример
такой шутки можно найти на странице 75 книги «Математические методы для фи-
зических наук» (издание 1965 года). Ее автор, Лоран Шварц (1915—2002), — из-
вестный математик, член группы Бурбаки и лауреат Филдсовской премии 1950 года.
На этой странице, которой заканчивается очередная глава книги, приведен ряд за-
дач. Соль шутки заключена в задаче 8, которая в переводе с французского звучит
так: «Одно из утверждений 1—7 неверно! Какое?». У бедного студента, который,
потратив уйму времени, докажет задачи 1—7, при виде задачи 8 с языка, скорее все-
127
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
го, сорвется крепкое слово, и шутка автора покажется ему вовсе не смешной. Пред-
ставьте, каково это: пролить семь потов, решить семь задач и в итоге услышать, что
в одной из них ошибка — причем неизвестно, в какой именно!
Но если поразмыслить хорошенько, разве почитаемая всеми математика — это
не искусство мысли? Возможно, своей шуткой Шварц попал в самую точку, и за-
дача под номером 8 поистине прекрасна.
Exercices sur le chapitre i
On dit que les deux normes sont equivalentes si chacune d’elles est plus
fine que 1’autre.
Montrer que sur ||.;|g est plus fine que
En utilisant la suite de functions /„(t) definie sur [0, 1] par
pour
pour
0 < t < 1/n
montrer que ||. Цд et ||. ||g ne sont pas equivalentes
6° Montrer que pour ||. ||g, 8^ 4 est un espace de Banach
7° On cons’dere la suite de functions fn{t) definie sur [0, 1] par:
(°
/nW- )n(t —1/2)
(1
pour
pour
pour
t < 1/2
1/2 < t < (1/2 + 1/n)
t > (1/2 +- 1/n)
Montrer que pour ||. ||x, c’est une suite de Cauchy qu> ne converge pas vers
une function / de 8[o( 4. Pour ll.llx, Efo, ij n’est done pas complet.
Ko L'ne des questions ci-dessus est faussc. 'Laquelle?
Страница книги «Математические методы для физических наук», на которой указывается,
что одно из семи представленных выше утверждений ложно.
Награда Жака Титса
В переводе с английского фамилия Tits обозначает «женская грудь» — возмож-
но, это не самый удачный вариант для авторитетного алгебраиста. Непросто пред-
ставить, чтобы столь пикантная фамилия звучала в университетских коридорах
и на крупных конференциях. Однако Жак Титс (род. 1930), лауреат премии Воль-
фа (1993) и Абелевской премии (2008), действительно незаурядная личность.
Во-первых, он не англичанин, а бельгиец, принявший французское гражданство
после приглашения на работу в Коллеж де Франс. Во-вторых, он блестящий уче-
128
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
ный, отличающийся превосходным творческим мышлением, и сфера его интересов
выходит далеко за рамки теории групп. Существует простая группа, названная его
именем: группа 2F4 (2)’, или группа Титса, содержащая 17 971200 элементов. Кро-
ме того, Жак Титс создал несколько новых понятий, в частности «строение» (англ,
building, фр. immeuble) — комбинаторную структуру, используемую при изучении
групп. А еще ученый говорит по-китайски.
В 1995 году он был удостоен немецкого ордена «За заслуги» (Pour le merite).
В этом нет ничего удивительного: Титс — великий ученый, кроме того, он девять
лет преподавал в Берлине. Интересно другое — почему высший немецкий орден
называется по-французски? Этот орден был учрежден королем Пруссии Фридри-
хом II Великим в 1740 году (в то время официальным языком королевского двора
был французский) и поначалу вручался только за боевые заслуги — как извест-
но, в те годы Пруссия была крупной военной державой. В 1842 году Фридрих
Вильгельм IV учредил гражданскую разновидность ордена, которой награждались
не только военные. К примеру, одним из кавалеров ордена стал Альберт Эйнштейн,
однако позднее нацисты заставили его вернуть награду. С 1952 года этот орден при-
суждается по очень строгим критериям и вручается канцлером Германии.
Знаете ли вы, кто получил этот орден в далеком 1918 году? Некий Герман Геринг,
герой недавно созданной немецкой авиации и будущий рейхсмаршал. И бельгийцы,
и французы говорят о Геринге без особой теплоты и до сих пор помнят вторжение
нацистов, однако Жак Титс не придал особого значения тому, что он стал кавалером
того же ордена Pour le merite, что и Геринг, — быть может, это даже вызвало у него
улыбку. Узнать, что по этому поводу думает Геринг, уже невозможно.
«Я старею»
Старение неизбежно, и слова, вынесенные в заголовок, произносили многие.
Но из уст некоторых людей, проживших яркую жизнь, они звучат особенно горько.
Филдсовская премия, к примеру, присуждается только математикам моложе 40 лет
(для тех, кто перешагнул границы этого возраста, существует престижная Абелев-
ская премия). Сэр Эндрю Уайлс, доказавший знаменитую теорему Ферма, не полу-
чил желанную Филдсовскую премию. Когда ученый нашел заветное доказатель-
ство, ему еще не исполнилось 40, однако он потратил некоторое время на устранение
ошибок, и к моменту окончания этой работы предельный возраст оказался превы-
шен, пусть и всего на несколько месяцев.
129
МАТЕМАТИКИ НЕДАВНЕГО ПРОШЛОГО
Можно поспорить с тем, что математик по достижении 40 лет вступает на «клад-
бище слонов» — существуют многочисленные подтверждения тому, что это не так,
хотя молодость тела, по всей видимости, действительно подразумевает определен-
ную молодость духа. Некоторые специалисты осознают свой возраст несколько
оригинальным образом. Аоран-Моиз Шварц (1915—2002), участник Трибунала
Рассела, создатель теории распределений и лауреат Филдсовской премии, понял,
что стареет, когда ему пришлось... обратиться к заметкам! Шварц был подобен
борхесовскому персонажу Фунесу памятливому: почти всю жизнь он занимал ме-
сто в первых рядах науки, никогда ничего не записывая. Он посещал конференции
и семинары и хранил в своей удивительной памяти содержимое тысяч и тысяч до-
сок, испещренных формулами. Когда он понял, что нужно обратиться к заметкам,
то признался, что постарел. Он больше не мог помнить все.
Лоран-Моиз Шварц был не только математиком и политиком,
но и большим коллекционером бабочек. Своей коллекцией он гордился не меньше,
чем любимыми математическими открытиями.
130
Глава 7
Математические симфонии
Математика — точная наука: ты точно знаешь,
что не сдашь по ней экзамен.
Автор неизвестен
Порой героями любопытных историй, связанных с математикой, становится не один
человек, а сразу несколько. К примеру, смерть знаменитых математиков представ-
ляет определенный интерес, однако спокойная смерть от старости в собственной
постели или гибель на эшафоте — вовсе не одно и то же. Сам Эйлер, о смерти
которого мы расскажем далее, долгое время прожил в России и тем, кто обвинял
его в немногословности, отвечал так: «Видите ли, я приехал из страны, где того, кто
говорит лишнее, вешают». Некоторые темы подобны симфонии, поскольку затраги-
вают многих людей. Расскажем о них подробнее.
Колокола звонят по умершему
Смерть, особенно необычная, обладает особой притягательностью в глазах людей.
Уход в мир иной для многих математиков сопровождался мрачными деталями —
так, великий Архимед (ок. 217 года до н. э. — ок. 212 г. до н. э.) погиб от меча рим-
ского солдата, который нанес ему удар, когда мудрец, чертивший на песке, в ответ
на требование сдаться ответил: «Оставь меня в покое и не трогай моих чертежей».
Эта история достаточно драматична, поэтому она и остается в вечности. А то, что ее
приводит Плутарх, придает рассказу еще большую достоверность.
Достоверным кажется рассказ о смерти Эратосфена Киренского (276—194 годы
до н. э.), математика, который первым вычислил диаметр Земли, применив методы
геометрии. Говорят, что в возрасте 80 лет (а в то время это были весьма почтенные
годы) слепой и уставший от мира мудрец уморил себя голодом.
131
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМФОНИИ
Смерть Эванджелисты Торричелли (1608—1647) обычно объясняют частой
для тех времен тифозной лихорадкой. По другой, более драматичной (и, возмож-
но, недостоверной) версии, причиной смерти стало чувство вины: Жиль Персонн
Роберваль (1602—1675) обвинил Торричелли в краже некоторых его результатов,
связанных с циклоидой, и, по легенде, Торричелли умер от горя, не в силах пере-
жить оскорбление своей чести. Но вряд ли Торричелли действительно был таким
чувствительным.
Смерть великого Леонарда Эйлера была образцовой и достойной лучшего мате-
матика мира — этот титул он совершенно обоснованно носил при жизни. Как-то
утром 1783 года Эйлер, как обычно, занимался со своими внуками — в то время
школы были не те, что сейчас, и многие старались дать детям домашнее образова-
ние. Затем, выпив чашку чая, Эйлер прошептал: «Я умираю...» — и скончался.
Вот и всё.
Мари Жан Антуан Николя де Карита, маркиз де Кондорсе (1743—1794), ко-
торый упоминается в энциклопедиях как французский философ, ученый, математик,
политик и политолог, в самом деле успевал находить время для всех этих занятий.
Он был автором множества статей о математике для знаменитой «Энциклопедии»,
а также считался большим специалистом по анализу. Этот аристократ всегда вызы-
вал подозрения у революционеров независимо от занимаемой позиции. В Законо-
дательном собрании Франции Кондорсе примкнул к жирондистам и стал отвечать
за образование во всей стране. Эта должность стала вершиной его карьеры. Однако
когда к власти пришел Робеспьер со сторонниками, маркизу пришлось спасаться
бегством. Рассказывают, что он был опознан и схвачен, так как, не зная настоящей
жизни (у него всегда были слуги), наивно попросил хозяина постоялого двора при-
готовить омлет из 12 яиц. Тот счел поведение Кондорсе типичным для аристократа
и доложил о нем. Спустя несколько дней маркиз умер в тюрьме. Вероятно, он знал,
как Робеспьер расправлялся с врагами, поэтому предпочел самоубийство.
Не слишком известна, возможно из-за недостатка драматизма и налета буржу-
азности, история смерти Жан-Батиста Жозефа Фурье (1768—1830) — человека,
который потратил много сил на создание аналитической теории тепла. Говорят, что
в юности он писал для местных священников проповеди, отличавшиеся талантом
и красотой слога. Фурье любил, чтобы вокруг было очень тепло, и в его доме едва
можно было дышать. Эту привычку он приобрел в Египте, где побывал в соста-
ве экспедиции Наполеона. Фурье был убежден, что теплота сохраняет все, даже
жизнь: в Египте он увидел, как жар пустыни хранит тела от тления, и вернулся
132
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМФОНИИ
во Францию, убежденный, что жар сохранит его собственное тело. Фурье кутался
даже летом, и в результате тепло его и убило: по некоторым источникам, у Фурье
случился сердечный приступ от жары.
Еще более драматичной была смерть Эвариста Галуа (1811—1832), который по-
гиб на дуэли из-за неразделенной любви, когда ему не исполнилось и 21 года. Чтобы
придать этой истории черты настоящего приключенческого романа, заметим, что
Галуа потратил последние часы перед дуэлью на работу над рукописью с изложе-
нием своих математических идей. Молодой гений адресовал этот документ своему
другу — для того, чтобы он передал его Якоби или Гауссу: по мнению Галуа, только
эти ученые были способны оценить его труд.
Рассказывают, что Джорджа Буля (1815—1864), блестящего логика и профес-
сора математики Королевского колледжа Корка в Ирландии, ждал другой финал,
вызванный неправильным лечением. В дождливый день Буль сильно промок и за-
болел пневмонией. Жена с любовью ухаживала за ним, но делала это в подлинно
ирландском духе: по-видимому, невежественные методы лечения тех лет предпи-
сывали беспрерывно поливать больного водой. Эта пытка окончилась для бедного
Буля смертью.
Причиной смерти Джорджа Буля стала пневмония.
133
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМФОНИИ
Талантливый англичанин Алан Тьюринг (1912—1954), прекрасный атлет, бегун
на дальние дистанции (между любимыми библиотеками он перемещался исключи-
тельно бегом) и ассистент фон Неймана, создал большинство современных вычис-
лительных методов. Широкой публике он известен как глава проекта по взлому
шифров нацистских ВМС в Блетчли-парке. В результате принудительного курса
лечения у него развился депрессивный синдром, и ученый начал изучать новые хи-
мические вещества, которые бесстрашно пробовал. Возможно, случайно, а может
быть — посчитав, что смерть станет решением всех проблем, Тьюринг откусил от-
равленное яблоко и умер. Невозможно избежать параллелей с отравленным яблоком
из легендарного мультфильма о Белоснежке, вышедшего на экраны в 1937 году.
Эта статуя Алана Тьюринга из угольного сланца хранится
в Национальном музее компьютеров в Блетчли-парке.
Довольно ужасную смерть выбрал для себя Курт Гёдель (1906—1978) — логик,
автор теорем о неполноте, на которых основана вся современная математика. Уче-
134
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМФОНИИ
ный всегда отличался экстравагантностью и параноидальными наклонностями, ко-
торые со временем только обострились. В последние годы жизни он страдал от ма-
нии преследования и был убежден, что его хотят отравить, поэтому принимал еду
только из рук любимой жены Адель. Когда Адель заболела, ее пришлось положить
в больницу, и Гёдель остался без пищи. Он терял в весе и похудел до невероятных
30 килограммов, после чего в буквальном смысле умер от голода.
Гороскопы и предсказания
Все мы находимся в неоплатном долгу перед монахом-августинцем Михаэлем Шти-
фелем (1487—1567). Совершенно независимо от Джона Непера он составил чис-
ловые таблицы, весьма схожие с логарифмическими. В его главном труде, «Полной
арифметике» (Arithmetica integra), уже используются символы «+», «—» и «у/~»,
поэтому книга занимает важное место в истории алгебры.
МКИШ1» СТ1МХЯР
»» *+<♦«.
।	»—<»<»<.
t trtaqumn ri*«—
i vquMUt ct-f* *4r<-
I tctscquuuftMtC--
|ОД*ф>М'В»И<ГГ7«|- ЮМ’
t	r«jr«7<nu
I MtxqiMWMoil—7*44)1 if,
l аупшм'нц—м«Д.
tog-f-
itfaqpuuatwog—
DtdtaMteaaafknan,
Нмпш^попмг
-[juLntin*»fatirW,T ~ * SeuMKWu»*ягаЫffii,4.».«.
iftHuiiiinttiigflttftnwbftnywrrir-. п*.4.(тпм«шмь>
6fcUgn»eoffic»e®i4*H^»ni(«nthax,lirt.rt.« Tinian •
мжп!&»>т«фо«котЛм* *.».«.
iQBtxpoaaMufiaic, .4.0.
Нммикго^ро*
raatxtMntetMSin* fo.i.*.
Ok »*rt. a>t.«.boHim(igoonimexpoo«Mc>Gmt4.
ttattK4t> ЗД	Ие"амт(>фмкак*Гио(4. ».•*
Eibdcahj»,
&dH
Страница «Полной арифметики», на которой
вы можете видеть знаки«+»и«-».
135
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМФОНИИ
Но дальше речь пойдет не о ней. В «Ein Rechenbuchlin vom EndChrist.
Apocalyps in Apocalypsim» («Книга по арифметике об Антихристе. Откровение
в «Откровении») Штифель привел составленный им гороскоп, согласно которому
конец света должен был наступить в 1533 году. Назначенный день приближался,
Штифель все больше нервничал, но никаких признаков конца света не наблюда-
лось. Некоторые авторы утверждают, что Штифель добровольно заточил себя
в тюрьму, сбежав от тех, кто требовал объяснений — заметим, вполне обоснованно.
В той же книге Штифель путем хитроумных манипуляций с цифрами связал имя
правившего на тот момент папы Аьва X, Leo Decimus, с 666 — числом зверя
из «Откровения» Иоанна Богослова. Неудивительно, что труд Штифеля пришелся
папе римскому не по душе. Впоследствии ученый продолжил занятия арифметикой,
но оставил гороскопы.
В те годы астрология была очень популярна и входила в число увлечений Дже-
роламо Кардано (1501—1576). Кардано однажды уже допустил оплошность, со-
ставляя гороскоп для своего господина, Эдуарда VI: математик предсказал, что его
господин будет жить счастливо, однако в следующем году тот умер от туберкулеза.
Уже в старости Кардано составил гороскоп самого Иисуса Христа. Должно быть,
он простодушно счел, что в этом нет ничего страшного, однако католическая цер-
ковь, узнав о содеянном, пришла в ужас и со всей яростью обрушилась на ученого.
В результате Кардано удалось спасти свою жизнь, но ему запретили писать. Несмо-
тря на произошедшее, тяга к пророчествам в нем не угасла. Ходят слухи (предпо-
ложительно ложные), что позднее Кардано составил свой собственный гороскоп,
в котором был отмечен и день смерти. Жизнь ученого действительно окончилась
согласно гороскопу: когда намеченный день настал, Кардано покончил с собой. Если
вдуматься, он остался верен своему слову и не попал в неловкое положение.
Знаменитый Абрахам де Муавр (1667—1754) также имеет полное право на-
зываться математиком-прорицателем. В науке он известен как автор следующего
равенства с комплексными числами:
(cos (X + isin (X }n = cosn CX + isin n (X.
По легенде, в старости де Муавр понял, что ему становится все тяжелее просы-
паться по утрам, и каждый день он спит на четверть часа дольше. Такому математи-
ку, как он, не составило никакого труда предсказать дату собственной смерти — или
136
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМФОНИИ
точнее будет сказать, «вечного сна». В определенный день де Муавр должен был
проспать все 24 часа и уже не проснуться. 27 ноября 1754 года его пророчество сбы-
лось.
Создателю математического анализа великому Исааку Ньютону (1642—1727)
тоже были не чужды предсказания. Хотя в его эпоху сожжение еретиков прекрати-
лось, великий ученый все равно хранил в тайне свой грех: он сам был еретиком-мо-
нофизитом, арианцем, то есть не признавал божественной природы Христа. Совре-
менному человеку подобные вещи могут показаться не слишком важными, однако
во времена, когда господствовало христианское учение, ересь была немыслимой
и подлежала наказанию.
Ньютон считал свои исследования в области богословия крайне важными и по-
ставил себе целью определить дату конца света на основании библейских стихов.
Рукописи с результатами его трудов хранятся в Еврейском университете в Иеру-
салиме. В своих расчетах Ньютон прежде всего использовал фрагменты из книги
пророка Даниила, в частности из седьмой главы. По его предсказанию, конец света
должен настать через 1260 лет с момента основания Священной Римской импе-
рии — как известно, ее основал Карл Великий в 800 году. Сложив эти два чис-
ла, получим, что конец света настанет в 2060 году. Мы не склонны верить, что
в 2060 году на нас обрушатся всевозможные напасти, — возможно, в конце про-
изойдет второе пришествие Христа и настанет рай на земле. Глядя на современный
мир, сложно представить, что довольно скоро его ждет конец, однако это утверждал
сам Ньютон.
Одновременные открытия
Когда многие люди ищут решение одной и той же задачи, вполне естественно, что
одни и те же открытия совершаются одновременно. К несчастью, авторы этих от-
крытий в большинстве случаев не хотят делиться своим первенством.
В героическую для математики эпоху почти не существовало научных журналов
и периодической печати, об открытиях становилось известно из переписки, а инфор-
мация распространялась так же медленно, как масляное пятно расплывается на бу-
маге. Проходило очень много времени, прежде чем становилось известно, что некто
137
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМФОНИИ
из далекой страны уже нашел верное решение той или иной задачи. Среди самых
известных примеров одновременных открытий упомянем следующие.
— Десятичные дроби практически одновременно начали применять немецкий
математик Бартоломеус Питискус (1561—1613) в 1608—1612 годах, Иоганн
Кеплер в 1616-м и Джон Непер в 1616—1617 годах.
— Авторство логарифмов, которые в свое время считались едва ли не чудом,
приписывается Неперу (1614), однако в действительности их также ввел
швейцарский математик Иост Бюрги (1552—1632) в 1620 году.
— Закон обратных квадратов, который играет основную роль в физике, астро-
номии, электромагнетизме и других областях, был независимо друг от друга
открыт двумя учеными, которые, к счастью, прекрасно ладили: Ньютон вы-
вел этот закон в 1666 году, Эдмунд Галлей — в 1684-м. Подобная разница
во времени объясняется одной из многочисленных странностей Ньютона, ко-
торый не спешил публиковать результаты своих работ. Он написал «Матема-
тические начала натуральной философии» только под влиянием Галлея.
В список авторов этого закона наряду с Галлеем можно включить и других
ученых, в частности Роберта Гука (1635—1703).
— Возможно, самым известным совпадением подобного рода стало одновремен-
ное создание математического анализа, вызвавшее яростную полемику, кото-
рая объяснимо, но абсолютно неоправданно приняла национальный оттенок.
Позднее история расставила все по своим местам, и заслуженной чести были
удостоены и англичанин Ньютон, и немецкий ученый Лейбниц, которые соз-
дали математический анализ одновременно и независимо друг от друга.
— Метод наименьших квадратов был открыт почти одновременно Адриеном
Мари Лежандром (1806) и Карлом Фридрихом Гауссом (1809).
— Неевклидова геометрия составляет важную часть нашего культурного багажа.
Она была создана усилиями Гаусса (1829), который держал полученные ре-
зультаты в тайне, а также венгерского математика Яноша Бойяи (1802—1860)
в 1826—1833 годах и русского математика Николая Лобачевского (1792—
1856), который создал гиперболическую геометрию в 1836—1840 годах.
138
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМФОНИИ
— Принцип двойственности в проективной геометрии был сформулирован Жа-
ном-Виктором Понселе (1788—1867) и Жозефом Жергонном (1771—1859)
в 1838 году.
— Векторы, автором которых, по всеобщему мнению, считается Герман Гюнтер
Грассман (1809—1877), также были описаны Уильямом Роуэном Гамильто-
ном (1805—1865) в том же 1843 году.
— В 1846 году была открыта новая планета Солнечной системы — Нептун.
Открытие почти одновременно совершили английский ученый Адамс и фран-
цуз Леверье. Английский королевский астроном Джордж Биддель Эйри
(1801—1892), раздув невообразимый скандал, отказался признать заслуги
Адамса, однако позднее справедливость восторжествовала. Этот инцидент
вновь пробудил дух соперничества между Британией и континентальной Ев-
ропой, и так называемые мудрецы проявили себя в этом споре не с самой луч-
шей стороны. Нептун был открыт в 1846 году, однако первым, кто обнару-
жил его «на бумаге», произведя необходимые вычисления, был Адамс. Тем
не менее достижение Адамса никоим образом не умаляет заслуг Леверье.
— Теорему о простых числах сформулировал Гаусс, однако доказать ее он
не смог. Это и неудивительно — найти доказательство этой теоремы совсем
не просто. Лишь в 1896 году это удалось независимо друг от друга сделать
французу Жаку Адамару (1865—1963) и бельгийцу Шарлю Жану Ла Валле
Пуссену (1866—1962).
— Итальянский математик Эннио де Джиорджи (1928—1996) и нобелевский
лауреат американец Джон Нэш (род. 1928) в 1956 году практически одно-
временно решили 19-ю проблему Гильберта. Однако де Джиорджи опередил
Нэша всего на несколько месяцев, и в результате умственное расстройство
последнего серьезно обострилось.
Очевидно или нет?
Никто пока не смог объяснить, что значит «очевидно» или «тривиально», по мень-
шей мере, для конкретного профессионального математика. В общем случае фра-
за «это очевидно» означает «это кажется мне очевидным», а это не совсем одно
139
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМФОНИИ
и то же. Принстонские студенты в свое время шутили, что очевидное по мнению
Алонзо Черча (1903—1995) было настолько очевидным, что это понимали все; оче-
видное по мнению Соломона Лефшеца (1884—1972) непременно было ложным,
а если что-то очевидным считал Герман Вейль (1885—1955), то доказать это мог
разве что фон Нейман, Эта история в некотором роде характеризует фон Нейма-
на, о котором Питер Лакс (род. 1926), лауреат Абелевской премии, говорил так:
«Большинство математиков доказывают то, что могут. Фон Нейман доказывает то,
что хочет».
Рассказывают, что как-то раз на лекции фон Неймана один из слушателей под-
нял руку и спросил: «Господин фон Нейман, вы могли бы доказать это утверждение
по-другому?» Фон Нейман опустил руки, посмотрел на доску, подумал несколько
секунд и ответил: «Да», после чего продолжил выступление.
Похожая история произошла и с Годфри Харолдом Харди (1877—1947), кото-
рый, по-видимому, произнес злополучные слова «Это очевидно», а затем сразу же
понял, что это не совсем так. Он посмотрел на доску, затем повернулся и, не говоря
ни слова, вышел из аудитории под удивленный шепот студентов. Спустя пять минут
Харди вернулся и произнес: «Действительно, это тривиально», после чего повер-
нулся к доске и продолжил лекцию. Другие утверждают, что эта история произошла
с Гильбертом.
Иногда фраза «Это очевидно» звучит совершенно оправданно: к примеру, Алек-
сандр Гротендик (род. 1928), человек поистине выдающегося ума, в 1969 году
опубликовал статью, озаглавленную «Hodge’s General Conjecture is False for Trivial
Reasons» («Общая гипотеза Ходжа ложна из тривиальных соображений»). И дей-
ствительно, гипотеза Ходжа была сформулирована некорректно, и ее следовало
изложить иначе. Учитывая, что эту гипотезу никто не смог доказать до сих пор,
немногие ожидают, что она будет доказана в ближайшие сто лет. Доказательство
гипотезы Ходжа в текущей формулировке входит в число семи задач тысячелетия,
предложенных Институтом Клэя, за решение которых полагается премия в 1 мил-
лион долларов.
Шнобелевская премия
Параллельно с Нобелевской премией ежегодно вручается Шнобелевская премия —
как понятно из названия, это шутливая имитация Нобелевской премии. Шнобелев-
ская премия присуждается не какой-то авторитетной организацией или академией
наук, а юмористическим журналом «Анналы невероятных исследований». Редакция
140
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМФОНИИ
этого журнала выискивает среди научных статей, публикуемых во всем мире, кажу-
щиеся комичными, абсурдными или имеющие необычные названия. Мы говорим
«кажущиеся», поскольку речь идет об очень серьезных статьях, содержащих науч-
ную информацию, хотя на первый взгляд она кажется нелепой. Шнобелевские пре-
мии вручаются ежегодно на церемонии, где обычно присутствуют многие нобелев-
ские лауреаты. Лауреатов Шнобелевской премии также приглашают на церемонию
вручения, и, как правило, они не отказываются.
Любопытно, что по меньшей мере один нобелевский лауреат также был удосто-
ен Шнобелевской премии — это советский и нидерландский ученый Андрей Гейм
(род. 1958), удостоенный Нобелевской премии за открытие графена, а Шнобелев-
ской — за исследование диамагнитной левитации ля1ушки.
Один пример стоит тысячи слов, поэтому упомянем работы некоторых лауреатов
премии, имеющие отношение к математике.
— В 1993 году премии была удостоена статья Роберта Фейда (США) по мате-
матической статистике, озаглавленная «Gorbachev! Has the Real Antichrist
Come? («Горбачев! Явление настоящего антихриста?»). Согласно этой ста-
тье, вероятность того, что Горбачев на самом деле является антихристом,
равна:
__________1__________
710 609 175 188 282 000’
— В 1994 году премии была удостоена Южная баптистская церковь Алабамы
за оценку числа жителей каждого штата, которые попадут в ад, если немед-
ленно не покаются.
— В 2000 году в номинации «Информационные технологии» премию
получил Крис Нисвандер из США за создание программы PawSense
(«Котодетектор»), способной определить, когда по клавиатуре компьютера
ходит кошка.
— В 2002 году настал черед индийцев Срикумара и Нирмалана за блестящее
исследование Estimation of Total Surface Area in Indian Elephants — Elephas
maximus indicus («Оценка общей площади поверхности индийских слонов
Elephas maximus indicus») — несомненно, необходимое для необъяснимых
целей.
141
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМФОНИИ
— В 2006 году премия была присуждена австралийцам миссис Ник Свенсон
и Пирсу Бёрнсу, вычислившим минимальное число снимков, которые нужно
сделать, чтобы на групповой фотографии не было моргнувших людей. Статья
называлась «Blink-Free Photos, Guaranteed» («Фотографии без моргания.
С гарантией»).
— В 2007 году Шнобелевской премии по физике были удостоены Махадеван
(США) и Энрике Серда Вильябланка (Чили) за статью Geometiy and
Physics of Wrinkling («Геометрия и физика морщин»), где рассматривалось
образование морщин и складок на простынях, которые становятся настоящим
бедствием для родителей неспокойных детей.
— В 2009 году премией был отмечен Гидеон Гоно, директор Резервного банка
Зимбабве — не самого престижного учреждения в наше время, которое для
удобства населения и повышения образовательного уровня опубликовало
справочные статьи, где приводились номиналы банкнот, выпущенных
банком, составлявшие от 0,1 до 1000000000000000 долларов. По-
видимому, во владениях Роберта Мугабе наблюдается немалая инфляция,
а ведь далеко не все могут разборчиво произнести: «Будьте добры, дайте
бананов на 1000 000 000 000 000 долларов». Представьте масштаб трагедии,
которая разыгралась бы, если продавец понял эту фразу как «Будьте добры,
дайте бананов на 100000000000000 долларов». Простая арифметико-
лингвистическая ошибка может привести к смерти от голода — абсурд, сам
по себе достойный премии.
Математики должны сидеть в тюрьме
Пусть не все, но некоторые совершенно определенно заслужили это. Мы не имеем
в виду случаи, когда тюремное заключение было вызвано обстоятельствами, не свя-
занными с математикой. К примеру, Бертран Рассел во время Первой мировой вой-
ны попал в тюрьму за пацифистские взгляды, Казанова в свое время оказался в за-
стенках по политическим причинам, а американский математик Теодор Качинский
(род. 1942), больше известный как Унабомбер, был приговорен к пожизненному
заключению за терроризм. Но существуют и не столь известные случаи.
142
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМФОНИИ
— Французский математик Андре Вейль (1906—1998) известен скорее как
младший брат мыслителя Симоны Вейль, чем как один из крупнейших уче-
ных XX столетия. Однако мало кто знает, что Симона долгое время испыты-
вала комплекс неполноценности, наблюдая за талантом брата-вундеркинда.
Также не слишком известно, что Андре провел длительное время в заключе-
нии. В 1939 году он прибыл в Финляндию. Официальной причиной визита
было посещение коллег, но на самом деле убежденный пацифист Вейль хотел
избежать призыва в вооруженные силы. Во время Первой мировой войны
призыв велся не особенно разборчиво: критерии полезности того или иного
человека для общества не принимались в расчет, так как это считалось неде-
мократичным. В итоге сложилась абсурдная ситуация, когда пушечным мя-
сом на фронте становились блестящие университетские профессора, которые
могли бы принести куда больше пользы отечеству своими исследованиями
в области криптографии или магнетизма. Итак, Вейль приехал в Финляндию
и спустя несколько дней после того, как было начато обсуждение возможной
войны с Россией, прогуливался в одиночестве. В напряженной предвоенной
обстановке он занимал себя тем, что внимательно изучал расположение фин-
ских батарей. Как и следовало ожидать, его посчитали иностранным шпионом
и задержали. В довершение всего при нем были обнаружены бумаги русских
коллег, где упоминался таинственный господин Бурбаки (Андре Вейль был
одним из создателей этой группы). Напрасно Вейль доказывал, что он был
математиком и другом финского математика Рольфа Неванлинны (1895—
1980). Его признали шпионом и на следующий день назначили расстрел. В ту
ночь по чистой случайности на приеме встретились начальник полиции
и Неванлинна, который был полковником резерва. Неванлинна услышал
от начальника полиции рассказ о том, какая незавидная судьба ждала некоего
Вейля, и шутливые сетования: «Представляете, этот мерзкий шпион сказал,
что якобы знаком с вами!» В результате Вейль был спасен и вскоре переправ-
лен в Швецию в закрытом купе поезда.
Однако на этом история не заканчивается: Вейль прибыл в Англию, где вновь
попал в тюрьму за то, что пытался избежать призыва в армию во Франции.
К тому времени уже разгорелась Вторая мировая. Математик был выслан
на родину, вновь заключен в тюрьму, после чего, к величайшему неудоволь-
ствию ученого (в камере он мог хотя бы спокойно размышлять в тишине), был
призван на службу и отправлен на фронт.
143
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМФОНИИ
— Норвежский математик Софус Ли (1842—1899), создатель группы Ли, был
любопытным человеком с интересной судьбой. Его страсть к математике
была настолько велика, что как-то раз, решив задачу, Ли сообщил об этом
своему другу Мотцфельду, разбудив его среди ночи криком: «Я нашел реше-
ние, и оно очень простое!» Ли также сочли шпионом — на этот раз французы
во время франке-прусской войны 1870—1871 годов. Задержан он был при
довольно сложных обстоятельствах: математик прогуливался в Фонтенбло
перед укреплениями, и ему в голову пришла блестящая идея сделать несколь-
ко заметок на природе. Французские военные сочли его математические за-
метки секретным шифром. Только благодаря вмешательству Жана Гастона
Дарбу (1842—1917) Ли был освобожден из тюрьмы. Ему удалось избежать
худшего: Франция недавно проиграла войну, и военные пребывали в не луч-
шем расположении духа.
— Главным героем самой необычной истории о тюремном заключении, возмож-
но, стал француз Андре Блох (1893—1948), в честь которого названы функ-
циональное пространство и теорема. Он был, бесспорно, умен, раз уж ему
удалось утаить от нацистов еврейское происхождение, и публиковался под
псевдонимами. Блох решил свою проблему весьма остроумным способом:
большую часть жизни он провел в психиатрической больнице. На свободе он
наверняка стал бы жертвой холокоста, поскольку был не только евреем,
но и психическим больным.
Блох начал Первую мировую войну в чине артиллерийского офицера,
а в 1917 году убил своего брата при свидетелях, заявив полиции, что сделал
это исключительно из соображений евгеники — его брат не должен был
остаться в живых, так как был потенциальным носителем психических забо-
леваний. Блоха объявили невменяемым, и в тишине психиатрической больни-
цы он 31 год работал над статьями и переписывался с математиками первой
величины, среди которых были Эли Картан и Жак Адамар. Блох оставался
в лечебнице до конца жизни. Неизбежно возникает вопрос: что такое безу-
мие?
Задача стоит хорошего гуся
То, что гусь попал в заголовки новостей по всей стране, уже необычно. Но еще более
странно то, что вручение живого гуся в качестве премии за решение задачи было
144
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМФОНИИ
удостоено трансляции по национальному телевидению. Вот такая история произо-
шла в Польше в 1972 году. Расскажем ее подробнее.
Польская математическая школа пользуется заслуженной славой, и хотя ее пред-
ставители, в отличие от музыкантов (вспомним Шопена, Рубинштейна, Пендерец-
кого и других), не достигли мировых высот, они определенно пользуются уважени-
ем. Имена Куратовского, Тарского, Серпинского, Банаха широко известны в мире
математики и в университетских кругах.
В 1930-е годы, незадолго до того, как разразилась Вторая мировая война, поль-
ские математики и гости Львова (теперь этот город находится на территории Украи-
ны) по вечерам собирались в «Шотландском кафе», чтобы поговорить о чем-нибудь
интересном, главным образом о новых математических задачах. Некоторые из этих
задач были решены, другие — нет, так как порой они были сложнее, чем казалось
на первый взгляд. Иногда за решение задачи полагалась премия — часто это была
бутылка какого-нибудь алкогольного напитка или что-то более серьезное — жир-
ный и аппетитный гусь или хороший банкет.
Предложенные задачи тщательно записывались в блокнот, известный как
«Шотландская книга». Блокнот был доступен всем желающим и хранился у адми-
нистратора кафе, который вряд ли подозревал, что ему в руки попали сложнейшие
математические задачи, придуманные человеком.
Среди 37 авторов 153 задач книги были величайшие умы эпохи: Стефан Ба-
нах (1892—1945), Станислав Улам (1909—1984), Казимир Куратовский (1896—
1980), Марк Кац (1914—1984), Вацлав Серпинский (1882—1969), Гуго Штейн-
гауз (1887—1972), Самуэль Эйленберг (1913—1998), Джон фон Нейман, Морис
Рене Фреше (1878—1973), Александр Александров (1912—1999) и многие дру-
гие. Некоторые из этих математиков позднее были расстреляны советскими или
немецкими войсками. Одну из задач «Шотландской книги» представил Станислав
Мазур (1905—1981), а в 1972 году ее решил Пер Энфло (род. 1944). Задача была
непростой, за решение полагался живой гусь, а церемония вручения транслирова-
лась по всей стране. Неизвестно, какой была цель тогдашнего коммунистического
правительства страны — привить людям интерес к математике или же компенсиро-
вать недостаток настоящих новостей в скучной социалистической действительности.
Сегодня «Шотландская книга» переведена на английский язык, и ее можно найти
в интернете. Некоторые задачи книги не решены до сих пор.
145

Библиография
ALEXANDER, A., Duel at Dawn: Heroes, Martyrs, and the Rise of Modern Mathema-
tics, Cambridge, Harvard University Press, 2010.
ALSINA, C., De Guzman, M., Los matemdticos no son gente seria, Barcelona, Rubes
Editorial, 2003.
BELL, E.T., Men of Mathematics, Londres, Penguin Books, 1953.
DUNHAM, W., El universe de las matemdticas: un recorrido alfabetico por los grandes
teoremas, enigmas у controversias, Madrid, Piramide, 2004.
EVES, H., In Mathematical Circles, Washington, The Mathematical Association of
America, 2002.
GRATZER, W., Eurekas у euforias: сото entender la ciencia a traves de sus anecdotas,
Barcelona, Critica, 2004.
GUIRADO, J.F., Citas matemdticas, Madrid, Editorial Eneida, 2007.
HERSCH, R., JOHN-STEINER, V., Loving and Hating Mathematics: Challenging the
Myths of Mathematical Life, Princeton University Press, 2010.
KRANTZ, S.G., Mathematical Apocrypha, Washington, The Mathematical Association
of America, 2002.
NEWMAN, J.R., Sigma: el mundo de las matemdticas (7 vols.), Barcelona, Grijalbo,
1968.
PAPPAS, T., Mathematical Scandals, San Carlos (California), Wide World Publishing/
Tetra, 1997.
PETERSON, I., Mathematical Treks, Washington, The Mathematical Association of
America, 2002.
WELLS, D., The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, Londres,
Penguin Books, 1991.
147

Алфавитный указатель
ADA 66
Deep Blue 85—86
ENIAC 78-79,118
Honeywell Bull 66
RAND, корпорация 79
Аарон, Хэнк 28
Абель, Нильс Хенрик 100, 110
Агамемнон И
Адамар, Жак 139, 144
Адамс, Джон Куч 55—56, 139
Александров, Александр 145
Ампер, Андре Мари 98—99
Араго, Франсуа 55, 124
Архимед из Сиракуз 88—90, 131
Атья, Майкл 110
Байрон, Ада Августа 9, 66—67
Байрон, лорд 66
бакуба 40
Банах, Стефан 52,145
Барлотти, Адриано 40
Беркли, Джордж 47
Бёрнс, Пирс 142
Бернулли, семья 50—51
Бете, Ханс 119
Блох, Андре 144
Блэр, Тони 43—44
Боас, Ральф 118
Бойяи, Янош 138
Больцман, Людвиг 20
Бор, Нильс И, 26
Бор, Харальд 26
Борхес, Хорхе Луис 65, 129
Браге, Тихо 48, 59—60
Браун, Дэн 124
Бредбери, Рэй 82
Брин, Сергей 23
Бугер, Пьер 93
Буль, Джордж 133
Бурбаки, Николя 116—118, 126, 127, 143
бутылка Клейна 45
Бэббидж, Чарльз 66, 70—71
Бюрги, Иост 138
Валера, Имон де 43, 74—75
Валлис, Джон 48
Варадхан, Сриниваса 110
Веблен, Освальд 76
Вейерштрасс, Карл 103—105
Вейль, Андре 117,143
Вейль, Герман 140
Вейль, Симона 143
Виктория, королева 68, 108
Вилански, Альберт 30
Вильсон, Джон 99—100
Винер, Норберт 93, 120
Виттен, Эдвард 93
Галилей, Галилео 61
Галлей, Эдмунд 47—50, 138
Галуа, Эварист 133
Гальтон, Фрэнсис 68—70
Гамильтон, Уильям Роуэн 74, 139
Гамов, Георгий 57, 114
Гарднер, Мартин 42
Гарфилд, Джеймс 43
Гаусс, Карл Фридрих 17, 20, 36, 99—100, 138—
139
Гедель, Курт 121—122, 135
Гейберг, Йохан Людвиг 89
Гейм, Андрей 141
Геринг, Герман 129
Гермес, Иоганн Густав 37
Гершель, Уильям 108
Гильберт, Давид 26—27,112—113, 140
гипотеза
Гольдбаха 22, 32—33
Ходжа 140
Гиппас из Метапонта 12
Годеман, Роже 117
Гоно, Гидеон 142
Грассман, Герман Гюнтер 139
Граунт, Джон 63
Гримальди, Карл-Филипп 16
Грин, Джордж 52—53
Громов, Михаил 110
Гротендик, Александр 42—43, 117, 140
Гук, Роберт 48, 49, 138
Гуревич, Витольд ИЗ
Дайсон, Фримен 76
Данциг, Джордж 78
Дарбу, Жан Гастон 144
Дарвин, Чарльз 68, 87,103, 105
149
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Дедекинд, Рихард 29, 75
Декарт, Рене 16
Делинь, Пьер 43
Деррида, Жак 77
Джинс, Джеймс Хопвуд 76
Джиорджи, Эннио де 139
Дидро, Дени 94—96
Диккенс, Чарльз 65
Дирак, Поль 115
Дирихле, Иоганн Петер Густав Лежён 20
Доджсон, Чарльз 107
Достоевский, Федор Михайлович 65, 105
Дьёдонне, Жан 116—117
Евклид 15, 36, 44, 87, 92, 94
Жергонн, Жозеф 139
Зингер, Изадор 110
Иисус Христос 13, 136,137
Институт Клэя 140
Иокко, Жан-Кристоф 117
«Искусство абака» 15
Казанова, Джакомо 97, 142
Казнер, Эдвард 23
Кам-хи 16
Кантор, Георг 75
капитан Хэддок 44
Кардано, Джероламо 136
Карл II 63
Карлесон, Леннарт 110
Картан, Анри 117
Каспаров, Гарри 85
Кац, Марк 29, 57,145
Качинский, Теодор 142
Кейнс, Джон Мейнард 69, 109, 114
Кельвин, лорд 108—109
Кено, Раймон 80
Кеплер, Иоганн 48—49, 59, 61—63, 138
Кершнер 42
Кларк, Артур 81
Клейн, Оскар 114
Ковалевская, Софья 105—106
Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд 38
Колмогоров, Андрей Николаевич 119
Кондорсе, Жан Антуан Никола 132
Конн, Ален 117
Коул, Фрэнк Нельсон 22—23
Коши, Огюстен Луи 21
Куайн, Уиллард Ван Орман 77
Куммер, Эрнст 18—19
Куратовский, Казимир 145
Кэли, Артур 84,102,108
Кэрролл, Льюис 107—108
Лакс, Питер ПО, 140
Ламе, Габриель 18
Ланг, Серж 117
Ландри, Фортюне 37
Лаплас, Пьер Симон 39, 52, 98
Ласкер, Эмануэль 84
Лев X 136
Леверье, Урбен Жан Жозеф 55—56, 139
Лежандр, Адриен Мари 138
Лежантиль, Гийом Жозеф Гиацинт Жан-Батист
63
Лейбниц, Готфрид Вильгельм 16, 47, 52, 55, 138
лента Мёбиуса 45
Лере, Жан 127
Лефшец, Соломон 140
Ли, Софус 144
Литлвуд, Джон Идензор 108
Лиувилль, Жозеф 18
Лобачевский, Николай 100—101, 138
Лопиталь, Гийом Франсуа 50—51
Лоренц, Эдвард 81—82
Люмине, Жан-Пьер 62—63
Мазур, Станислав 145
Максвелл, Джеймс Клерк 109
Мальтус, Томас 109
Маскерони, Лоренцо 39
Махадеван, Л. 142
Мерсенна, простое чис \о 22—23
Милнор, Джон 110
Минковский, Герман 72
Миттаг-Леффлер, Магнус Геста 105, 109—111
Монж, Гаспар 38—39
Моргенштерн, Оскар 121
Муавр, Абрахам де 136—137
Навье — Стокса уравнения 127
Найтингейл, Флоренс 67—68
Наполеон Бонапарт 38, 98
Неванлинна, Рольф 143
Нейман, Джон фон 31—32, 78—80, 119—120, 140
Нейман, Ежи 78
Непер, Джон 90-92,135,138
Нётер, Эмми 112
Нивергельт, Ив 84
Нирмалан, Г. 141
Нисвандер, Крис 141
150
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Нишина, Ёсио 115
Нобель, Альфред 109—110
Ньютон, Исаак 21, 47—49, 52,55, 93,137,138
Нэш, Джон 40—41,139
Остроградский, Михаил Васильевич 52
Отред, Уильям 77
Паламед И
Паскаль, Блез 35—36, 93, 102
Паулос, Джон Аллен 123
Пейдж, Ларри 23
Пипс, Сэмюэл 90
Питискус, Бартоломеус 138
Планк, Макс 113—114
Плато, Жозеф 53—54
Платон 11, 62
Плутарх 131
Пойа, Дьёрдь 26, 119
Полиньяк, Альфонс де 22
Померане, Карл 29
Понселе, Жан-Виктор 139
Пуанкаре, Анри 63, 71—73, 112
Пуссен, Жан Ла Валле 139
Райс, Марджори 41
Рамануджан, Сриниваса 24—26, 52
Рассел, Бертран 20—21, 27—28,109, 114, 142
Резерфорд, Эрнест 39—40
Рен, Кристофер 48—49
Римана гипотеза 9, 25—26, 112
Роберваль, Жиль 36,132
Робеспьер, Максимилиан 132
Свенсон, Ник 142
Свифт, Джонатан 92
Серда Вильябланка, Энрике 142
Серпинский, Вацлав 145
Серр, Жан-Пьер 110, 117
Сильвестр, Джеймс Джозеф 9, 68, 71, 102—103
Симон Петр 13
Смита числа 30—31
Сократ И, 20
Солженицын, Александр 65
Срикумар 141
Тамм, Игорь Евгеньевич 56—57
Тейлора ряды 25, 57
Тейт, Джон 110,117
Теннисон, Альфред 70
теорема
Пифагора 12, 43
Ферма 18, 19, 128
Тинтин 44, 96
Титс, Жак 110,127-128
Томпсон, Джон 110
Томсон, Джозеф Джон 109
Томсон, Уильям 108—109
Торрес Кеведо, Леонардо 85
Торричелли, Эванджелиста 36, 132
Тьюринг, Алан 9,134
Уайлс, Эндрю 129
Уайтхед, Альфред Норт 20—21
Улам, Станислав 145
Улисс И
Фалес Милетский 87
Фейд, Роберт 141
Фейнман, Ричард 24—25
Ферма, Пьер 27, 52
Ферми, Энрико 93
фон Кемпелен, Вольфганг 85
Фреше, Морис Рене 145
Фридрих II 104, 129
Фурье, Жан-Батист Жозеф 39, 93, 132—133
Халмош, Пол Ричард 79—80
Харди, Годфри Харолд 9, 24—26, 94,109,140
Харди — Вайнберга закон 70
Хасслер, Фердинанд 101—102
Хокинг, Стивен 126
Черч, Алонзо 140
Шаль, Мишель 102
Шварц, Лоран 117,127—128, 130
Шевалле, Клод 117
Шнобелевская премия 140—142
Шор, Питер 93
Штейнгауз, Гуго 145
Штифель, Михаэль 135—136
Эддингтон, Артур Стэнли 115—116
Эдисон, Томас Алва 56
Эйленберг, Самуэль 117,145
Эйлер, Леонард 94—96, 103, 131—132
Эйнштейн, Альберт 72,116,121,129,125,128
Эйри, Джордж Биддель 139
Энфло, Пер 145
Эратосфен Киренский 131
Эрдёш, Пал 28-30,93,96,107,114,122
Эрроу, Кеннет 83
Якоби, Карл Густав 94, 133
151
ДЛЯ ЗАМЕТОК
Научно-популярное издание
Выходит в свет отдельными томами с 2014 года
Мир математики
Том 31
Хоакин Наварро
Тайная жизнь чисел.
Любопытные разделы математики
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция:
ООО «Де Агостини», Россия
Юридический адрес: Россия, 105066,
г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу не при-
нимаются.
Генеральный директор: Николаос Скилакис
Главный редактор: Анастасия Жаркова
Выпускающий редактор: Людмила Виноградова
Финансовый директор: Наталия Василенко
Коммерческий директор: Александр Якутов
Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук
Менеджер по продукту: Яна Чухиль
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите иа сайт www.deagostini.ru, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в России:
® 8-800-200-02-01
Телефон горячей линии
для читателей Москвы:
® 8-495-660-02-02
Адрес для писем читателей:
Россия, 600001, г. Владимир, а/я 30,
«Де Агостини», «Мир математики»
Пожалуйста, указывайте в письмах свои кон-
тактные данные для обратной связи (телефон
или e-mail).
Р аспространение:
ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»
УКРАИНА
Издатель и учредитель:
ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина
Юридический адрес: 01032, Украина,
г. Киев, ул. Саксаганского, 119
Генеральный директор: Екатерина Клименко
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите иа сайт www.deagostini.ua, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в Украине:
® 0-800-500-8-40
Адрес для писем читателей:
Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини»,
«Мир математики»
Украша, 01033, м. Ки!в, а/с «Де АгоспнЬ>
БЕЛАРУСЬ
Импортер и дистрибьютор в РБ:
ООО «Росчерк», 220037, г. Минск,
ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,
тел./факс: (+375 17) 331-94-41
'Телефон «горячей линии» в РБ:
® + 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00-21.00)
Адрес для писем читателей:
Республика Беларусь, 220040, г. Минск,
а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини»,
«Мир математики»
КАЗАХСТАН
Распространение:
ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»
Издатель оставляет за собой право увеличить реко-
мендуемую розничную цену книг. Издатель остав-
ляет за собой право изменять последовательность
заявленных тем томов издания и их содержание.
Отпечатано в соответствии с предоставленными
материалами в типографии:
Grafica Veneta S.p. A Via Malcanton 2
35010 Trebaseleghe (PD) Italy
Подписано в печать: 02.07.2014
Дата поступления в продажу на территории
России: 19.08.2014
Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».
Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 5,5.
Усл. печ. л. 7,128.
Тираж: 34 000 экз.
© Joaquin Navarro, 2010 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2011
© ООО «Де Агостини», 2014
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0726-7 (т. 31)
@
Данный знак информационной про-
дукции размещен в соответствии с требования-
ми Федерального закона от 29 декабря 2010 г.
№ 436-ФЗ «О защите детей от информации, при-
чиняющей вред их здоровью и развитию».
Издание для взрослых, не подлежит обязатель-
ному подтверждению соответствия единым требо-
ваниям, установленным Техническим регламентом
Таможенного союза «О безопасности продукции,
предназначенной для детей и подростков» ТРТС
007/2011 от 23 сентября 2011 г. № 797.
Тайная жизнь
чисел
Любопытные разделы математики
Задача этой книги - опровергнуть миф о том, что мир
математики скучен и скуп на интересные рассказы. Автор готов
убедить читателей в обратном: история математики, начиная
с античности и заканчивая современностью, изобилует
анекдотами - смешными, поучительными и иногда
печальными. Каждая глава данной книги посвящена
определенной теме (числам, геометрии, статистике,
математическому анализу и так далее) и связанным
с ней любопытным ситуациям. Это издание поможет вам
отдохнуть от серьезных математических категорий и узнать
чуть больше о жизни самих ученых.
ISBN 978-597740682-6