УДК 517
ББК 22.16
Х91
Хренников А. Ю. Неархимедов анализ и его приложения. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 216 с. - ISBN 5-9221-0191-9.
Предлагаемая монография представляет собой краткое введение в анализ
над неархимедовыми числовыми полями и приложения этого анализа к тео-
теоретической физике (в частности, основам Qp-значной квантовой механики),
теории вероятностей и обработке изображений.
Для научных работников и студентов старших курсов, специализирую-
специализирующихся в функциональном анализе, теории обобщенных функций, теории
вероятностей, теоретической физике (квантовой теории и космологии), об-
обработке изображений, моделировании биологических процессов.
Научное издание
ХРЕННИКОВ Андрей Юрьевич
НЕАРХИМЕДОВ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Редактор Н. Б. Бартошевич-Жагелъ
Оригинал-макет: М.В. Башевой
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 28.03.03. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 13,5. Уч.-изд. л. 14. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с диапозитивов
в РГУП «Чебоксарская типография № 1».
428019 Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 5-9221-0191-9
9 785922 101912
ISBN 5-9221-0191-9
© ФИЗМАТЛИТ, 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	 6
Глава 1. Первые шаги к неархимедовой математике. . .	12
§ 1.1. Неархимедовы числовые поля		12
§ 1.2. Ультраметрики		14
§ 1.3. Поля р-адических чисел		16
§ 1.4. Расширения неархимедовых полей		21
§ 1.5. Нормированные и локально выпуклые пространства. ...	25
§ 1.6. Непрерывные, дифференцируемые и аналитические
функции		27
§ 1.7. Теория Малера интегрирования на кольце целых р-адиче-
ских чисел		32
Глава 2. Распределения Гаусса, Лебега и Фейнмана над
неархимедовыми полями	 37
§2.1. Аналитические функции над неархимедовыми полями . .	38
§ 2.2. Аналитические распределения, распределения Гаусса
и Фейнмана		40
§ 2.3. Неархимедово гильбертово пространство		47
§ 2.4. Пространство Ь2(Кп, е~\х\ dx) функций, квадратично
интегрируемых относительно распределения Гаусса .... 50
§ 2.5. Пространство Ь2(/Сп,с/ж) функций, квадратично инте-
интегрируемых относительно распределения Лебега	 53
§ 2.6. Пространство F<i(Z12^) аналитических функций,
квадратично интегрируемых относительно канонического
комплексного распределения Гаусса	 56
§ 2.7. Неограниченность р-адического распределения Гаусса . . 58
§ 2.8. Равномерное распределение Волкенборна	 65
Глава 3. Распределения Гаусса и Фейнмана на бес-
бесконечномерных пространствах над неархимедовыми по-
полями 	 66
§3.1. Непрерывные полилинейные формы	 66
§ 3.2. Обобщенные функции на бесконечномерных простран-
пространствах 	 70
§ 3.3. Преобразование Лапласа на бесконечномерных простран-
пространствах 	 75
§ 3.4. Линейные уравнения в частных производных на бесконеч-
бесконечномерных пространствах 	 77

Оглавление
Глава 4. Квантовая механика для неархимедовознач-
ных волновых функций	 82
§4.1. Представления Шредингера и Баргмана—Фока в неархи-
неархимедовой квантовой механике	 83
§4.2. Неархимедова квантовая статистическая механика	 88
§ 4.3. Теоремы существования и единственности для решений
линейных уравнений в частных производных на неархи-
неархимедовом пространстве	 89
§ 4.4. Разрешимость уравнений Шредингера, Гейзенберга
и Лиувилля в неархимедовой механике	 90
§4.5. Два процесса измерения: шкала с бесконечным убывани-
убыванием единицы и шкала с бесконечным возрастанием едини-
единицы 	 92
§ 4.6. Неархимедова космология	 93
§ 4.7. Микромир и неархимедова структура вещественной мо-
модели пространства—времени Минковского	 95
§ 4.8. Модели с бесконечно большим числом частиц	 96
§ 4.9. Р-адическая интерпретация тахионов	 98
Глава 5. Р-адическизначные вероятностные меры ....	100
§5.1. Р-адическая частотная теория вероятностей		100
§ 5.2. Аксиоматика, основанная на конечно-аддитивных мерах.	104
§ 5.3. Теория Монна—Спрингера интегрирования относительно
неархимедовозначных мер		106
§5.4. Меры, убывающие на бесконечности		110
§5.5. Произведение функции и меры		112
§ 5.6. Формула замены переменных в интеграле Монна-
Спрингера для убывающей меры		113
§5.7. Р-адическизначные вероятностные меры		116
§ 5.8. Р-адическизначные вероятности Бернулли на кольце
g-адических целых чисел		127
§ 5.9. Биологические модели, связанные с р-адическизначными
распределениями Бернулли		130
§ 5.10. Дискретные вероятности. Санкт-Петербургский парадокс
в р-адической интерпретации		132
Глава 6. Статистическая стабилизация относительно
р-адической и действительной метрик	 136
§6.1. Р-адическое статистическое моделирование	 137
§ 6.2. Определение р-адической частотной вероятности	 145
§ 6.3. Что можно делать с р-адическими вероятностями?	 150

Оглавление
§ 6.4. Первый шаг к р-адической теории информации		151
§6.5. Вероятностная модель р-адической монеты		152
§ 6.6. О колмогоровской сложности р-адических случайных по-
последовательностей 		157
§ 6.7. Статистическая интерпретация квантовых моделей с вол-
волновыми функциями, принимающими значения в квадра-
квадратичных расширениях поля р-адических чисел		160
Глава 7. Р-адическизначные распределения вероятно-
вероятностей (обобщенные функции)		162
§ 7.1. Аксиоматика		162
§ 7.2. Распределения вероятностей на пространствах р-адиче-
ских последовательностей		166
§ 7.3. Предельная теорема		171
§ 7.4. Сходимость ряда независимых случайных величин		173
§ 7.5. Р-адический белый шум. Аналог исчисления Хиды		175
Глава 8. О сегментации изображений в р-адической
и евклидовой метриках		182
§8.1. Ультраметрические пространства и цепное расстояние . .	184
§ 8.2. Алгоритмы кластеризации, базирующиеся на евклидовой
и р-адической метриках		185
§ 8.3. Выделение векторов цвета и текстуры из потока кадров
формата MPEG 2		186
§ 8.4. Сегментация изображений в спектральной области БПФ
методом Split-LBG		188
§ 8.5. Результаты и обсуждение		188
§ 8.6. m-адическая координатная сеть		192
§ 8.7. m-адическое кодирование изображений		192
§ 8.8. Программная реализация т-адического кодирования
и декодирования изображений		194
§ 8.9. Сжатие изображений с использованием полиномов
Малера		195
§8.10. Образы и «графы» га-адических функций		196
Библиографические замечания		198
Открытые проблемы		201
Приложение		202
Список литературы		208

Предисловие
Эта книга представляет собой краткое введение в анализ над неар-
неархимедовыми числовыми полями и приложения этого анализа к тео-
теоретической физике, теории вероятностей и обработке изображений.
В каком-то смысле неархимедов подход к описанию природных явлений
является альтернативным к стандартному подходу, основанному на
вещественном анализе. Напомним, что поле вещественных чисел R
является архимедовой числовой системой. В R выполняется аксиома
Архимеда: для любых двух положительных вещественных величин
I и L можно найти такое натуральное число п, что имеет место
неравенство
(n-l)l ^ L <nL.	A)
Наша книга посвящена анализу над полями, в которых аксиома
Архимеда нарушается.
По существу, аксиома Архимеда — это аксиома физической теории
измерений. В силу этой аксиомы всегда возможно измерить любую
величину L с помощью другой величины / (выбранной в качестве еди-
единицы измерения) с точностью, не меньшей, чем /, см. неравенство A).
В большинстве естественно-научных моделей считается, что такое
предположение о возможности измерений обоснованно. Это влечет
практически повсеместное использование вещественных чисел и ана-
анализа. Напомним, что поле вещественных чисел R и производное от него
поле комплексных чисел С являются основными примерами архимедо-
архимедовых числовых полей.
Хорошо известным (и популярным 10-25 лет назад) примером неар-
химедового числового поля является поле нестандартных чисел *Я.
Это расширение поля вещественных чисел Я, содержащее бесконечно
малые и бесконечно большие величины. В силу присутствия бесконеч-
бесконечно малых и бесконечно больших величин аксиома Архимеда в поле
нестандартных чисел *Я нарушается. Заметим, что поле нестандартных
чисел широко использовалось в математической физике. Например,
Серджио Альбеверио пытался решить проблему квантовополевых рас-
ходимостей используя нестандартные числа.
Но эта книга посвящена отнюдь не анализу над *Я (нестандартному
анализу). Основными примерами неархимедовых полей, рассматривае-
рассматриваемых в этой книге, являются поля р-адических чисел Qp, где р ^ 2 про-
простые числа. Напомним, что каждое простое число определяет некоторое
локально компактное поле. Поля, соответствующие различным про-
простым числам, например Q2 и Qi999> не изоморфны. Поля р-адических

Предисловие
чисел неархимедовы. Более того, Qp вообще не является упорядо-
упорядоченным множеством, т. е. мы не можем сравнить два произвольных
р-адических числа.
Начиная с работ B.C. Владимирова и И.В. Воловича A984) по
неархимедовому суперанализу поля р-адических чисел Qp являют-
являются базовыми примерами неархимедовых числовых полей, используе-
используемых в теоретической физике. Фундаментальная роль, которую играют
р-адические числа при описании различных естественно-научных яв-
явлений, обусловливается тем, что природа устроена неожиданно просто
с теоретико-числовой точки зрения. Стартуя с поля рациональных
чисел Q, мы можем получить либо поле вещественных чисел R, либо
одно из полей р-адических чисел Qp (теорема Островского). Поэтому,
если считать «физическими числами» только рациональные числа,
то существует ровно две возможности развивать математические мо-
модели на основе рациональных физических данных. Это архимедовы
вещественные модели и неархимедовы р-адические модели. Третьего
не дано.
Заметим, что «физичность» рациональных чисел (и только этих
чисел) довольно очевидна. В любом физическом эксперименте может
быть достигнута только конечная точность, т. е. мы можем оперировать
только с числами, имеющими конечное число знаков (десятичных или,
например, двоичных). Это рациональные числа.
Вещественное описание естественно-научных моделей продолжает-
продолжается уже несколько лет. Довольно естественно (даже с общефилософской
точки зрения) попробовать использовать р-адическое описание, находя
модели, в которых аксиома Архимеда нарушается. Одной из первых
р-адических физических моделей была модель р-адической струны
(Волович, 1987). Основой этой модели была гипотеза о том, что в ми-
микромире (на так называемых планковских расстояниях ~ 10~34 см)
аксиома Архимеда может нарушаться. Работа Воловича вызвала целую
волну публикаций по р-адическим струнам (Фрейнд, Виттен, Олсон,
Фрамптон, Паризи, Владимиров, Маринани, Арефьева, Драгович, ...).
Эта деятельность стимулировала развитие многих других р-адиче-
ских физических моделей, например моделей квантовой механики
и теории поля, а в последствии и теории р-адических динамических
систем с приложениями к наукам о мышлении (начиная с работ
Хренникова, 1996).
Заметим, что есть две основные группы квантовых р-адических
моделей. В моделях обеих групп предполагается, что пространство
имеет неархимедову структуру и описывается р-адическими числами,
X = Q%.
В моделях первой группы предполагается, что волновые функции
(амплитуды вероятности) по-прежнему (как и в стандартной квантовой
механике) принимают комплексные значения, (р: Q™ —ь С. В моделях
второй группы рассматриваются волновые функции, принимающие

Предисловие
значения в полях р-адических чисел или в алгебраических расши-
расширениях (как конечного, так и бесконечного порядков) полей Qp, <?:
Qp ~^ Qp или Ср. Здесь символ Ср используется для обозначения поля
комплексных р-адических чисел. Квантовые р-адические модели с ком-
плекснозначными волновыми функциями являются весьма специаль-
специальными, но стандартными квантовыми моделями. Рассмотрение таких
моделей не требует пересмотра стандартного квантового формализма.
В частности, состояния реализуются векторами в обычном комплекс-
комплексном гильбертовом пространстве. Хотя, конечно, использование поля
р-адических чисел в качестве координатного пространства существенно
усложняет построения. Одной из основных проблем р-адических кван-
квантовых моделей с комплекснозначными волновыми функциями является
отсутствие представления Шредингера. Здесь нельзя ввести операторы
координаты q и импульса р. Формальным математическим препятстви-
препятствием является невозможность определить производную отображения из
Qp в R или С, (р: Qp —> Я, С. Таким образом, в этих моделях можно,
как и в стандартной квантовой механике, описать динамику волновой
функции, но, в принципе, нельзя описать динамику операторов коор-
координаты q(t) или импульса p(t).
Последовательное изложение р-адической квантовой механики для
комплекснозначных волновых функций можно найти в монографии
B.C. Владимирова, И.В. Воловича и Е.И. Зеленова A994).
В р-адических квантовых моделях с Qp-значными волновыми
функциями мы не можем использовать идеологию стандартной
квантовой механики. Основной проблемой, возникающей при рассмот-
рассмотрении Qp-значных амплитуд, является невозможность использования
стандартной (Колмогоров, 1933) теории вероятностей. Возникает
необходимость построения обобщенных вероятностных моделей
(неколмогоровских моделей) с Qp-значными вероятностями. С другой
стороны, большим достоинством этого класса квантовых р-адических
моделей является существование аналога представления Шредингера.
Здесь мы можем ввести операторы р-адических координаты и импуль-
импульса, q и р. Однако эти операторы действуют в р-адическом гильбертовом
пространстве, где «скалярное произведение» принимает р-адические
значения. В отличие от стандартной квантовой механики, операторы
р-адических координаты и импульса являются ограниченными.
Они удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям.
Другим важным отличием от стандартного квантового формализма
является наличие неэквивалентных представлений канонических
коммутационных соотношений в р-адических гильбертовых простран-
пространствах. Заметим, что в стандартной квантовой теории неэквивалентные
представления существуют только в случае бесконечного числа
степеней свободы — теории квантовых полей.
Квантовые р-адические модели с р-адическизначными волновыми
функциями развивались А.Ю. Хренниковым с 1989 года (впоследствии

Предисловие	9
в тесном сотрудничестве с С. Альбеверио и Р. Чианчи). Предлагаемая
монография посвящена математическим основам Qp-значной кванто-
квантовой механики.
В первой главе приводятся основные сведения о р-адических чи-
числах, причем рассматривается сразу общий случай числовых полей
с неархимедовым абсолютным значением. Напомним, что абсолютное
значение называется неархимедовым, если, кроме обычного неравен-
неравенства треугольника \с\ ^ \а\ + |6|, оно удовлетворяет так называемому
усиленному неравенству треугольника (|с| $J max(|a| , \b\)). Как мы уже
отмечали, в силу теоремы Островского поля р-адических чисел Qp —
это единственные примеры неархимедовых числовых полей, получае-
получаемых пополнением поля рациональных чисел Q.
Усиленное неравенство треугольника для неархимедова абсолютно-
абсолютного значения приводит к тому, что соответствующая метрика является
ультраметрикой. Ультраметрические топологические пространства бы-
были введены в 1943 году французским математиком Краснером *).
Ультраметрические топологические пространства обладают очень
специальными топологическими свойствами. Наша стандартная гео-
геометрическая интуиция, развитая на основе евклидовой геометрии, ока-
оказывается практически бессильной в ультраметрическом случае.
Ультраметричность является основой развития анализа над неар-
неархимедовыми числовыми полями. По существу, в конкретных анали-
аналитических рассмотрениях мы никогда не используем непосредственно
нарушение аксиомы Архимеда. Однако усиленное неравенство тре-
треугольника используется практически повсюду. Итак, первая глава пред-
представляет собой элементарное введение в анализ над неархимедовыми
полями — ультраметрический анализ.
Вторая глава посвящена теории аналитических обобщенных функ-
функций со значениями в неархимедовых полях («ультрараспределениям»).
Использование пространств основных функций, состоящих из ана-
аналитических функций, вызвано «патологическими» свойствами глад-
гладких функций. Здесь, например, существуют очень сложные гладкие
функции с производной, которая тождественно равна нулю. Для ана-
аналитических функций таких патологий не возникает. Хотя, конечно,
поведение многих стандартных аналитических функций существенно
отличается от поведения над полями вещественных или комплексных
чисел. Например, экспонента, а также синус и косинус не являются
целыми аналитическими функциями. Теория обобщенных функций
х) Заметим, что поля р-адических чисел были введены в 1888 году немецким
математиком Гензелем, который был в основном заинтересован алгебраиче-
алгебраическими свойствами этих полей. Попытка опубликовать статью о р-адических
числах привела к конфликту с Дирихле, который в течение почти 10 лет
задерживал публикацию статьи.

10	Предисловие
используется для определения гауссовских и фейнмановских интегра-
интегралов. Заметим, что введение даже гауссовских интегралов представляет
собой серьезную проблему из-за отсутствия /С-значной меры Хаара
(аналога линейной меры Лебега) на неархимедовом поле К. Я ввожу
гауссовские интегралы, используя трюк, предложенный в (обычном
вещественном) бесконечномерном анализе для определения функци-
функциональных интегралов на математическом уровне строгости (С. Альбе-
верио и Р. Хоэг-Крон, О. Смолянов и Е. Шавгулидзе, А. Хренников).
Этот трюк состоит в использовании преобразования Фурье и равен-
равенства Парсеваля в рамках теории обобщенных функций для опреде-
определения функционального интеграла. Мне удалось использовать этот
трюк в неархимедовом (конечномерном) случае. Более того, это дало
возможность ввести /С-значное распределение (не являющееся мерой)
Хаара на/Сс помощью следующей весьма «извращенной» процедуры:
dx = ex is(dx), где v — гауссовское распределение.
Глава 3 посвящена бесконечномерному неархимедову анализу.
В частности, здесь вводятся неархимедовы функциональные интег-
интегралы. Эта глава очень технична. Я рекомендую пропустить ее при
первом чтении.
Глава 4 содержит формализм квантовой механики с волновыми
функциями, принимающими значения в неархимедовых полях. Здесь
также изучаются эволюционные уравнения, возникающие в квантовых
моделях. Например, уравнение Шредингера. Заметим, что мы рассмат-
рассматриваем эволюцию относительно неархимедова времени. Кардинальным
отличием от стандартных физических (как квантовых, так и классиче-
классических) моделей является отсутствие порядковой структуры на множе-
множестве моментов неархимедова времени. Рассмотрение такой эволюции
нуждается в дальнейшем физическом осмыслении и интерпретации.
Глава 5 посвящена аксиоматике неколмогоровских вероятностных
моделей, в которых вероятности принимают значения в неархиме-
неархимедовых полях. Наибольший интерес представляют Qp-значные веро-
вероятности. Такие обобщения теории вероятностей Колмогорова были
мотивированы развитием квантовых моделей с неархимедовозначными
(и, в частности, Qp-значными) волновыми функциями. Неархимедо-
Неархимедовы вероятностные модели представляют и самостоятельный интерес.
В частности, мы рассматриваем использование р-адической схемы Бер-
нулли для описания катаклизмов; ситуаций типа: «хорошо, хорошо, ...,
катастрофа». В частности, мы рассматриваем р-адическую стохастиче-
стохастическую модель вымирания биологической популяции, динамика развития
которой является «вполне благополучной» с точки зрения стандартной
(колмогоровской) теории вероятностей.
Глава 6 посвящена р-адическому расширению частотной теории
вероятностей Р. фон Мизеса A919). Основная идея состоит в использо-
использовании р-адической метрики для изучения статистической стабилизации

Предисловие	11
относительных частот событий. Заметим, что частоты г/дг = п/N все-
всегда являются рациональными числами (как и любые другие результаты
физических измерений).
Глава 7 посвящена некоторым аспектам теории р-адических случай-
случайных процессов. В частности, мы развиваем исчисление р-адического
белого шума. Заметим, что предлагаемая теория базируется на некол-
могоровских р-адических вероятностях. Эту теорию следует отличать
от традиционных исследований по теории стандартной колмогоровской
вероятности на локально-компактных группах (и, в частности, полях
р-адических чисел). Глава 7 весьма технична и при первом чтении
может быть опущена.
Глава 8 посвящена использованию р-адических чисел при обработке
изображений. Эти результаты были получены совместно с Ж. Бенуа
и Н. Котовичем. Рассматриваются два класса р-адических алгоритмов
обработки изображений: в спектральной области и в координатном
представлении. В алгоритмах первого класса мы в основном используем
ультраметрическую топологию на спектрах изображений, а в алгорит-
алгоритмах второго класса — алгебраическую структуру поля р-адических
чисел. Одним из интересных нововведений, используемых в алгорит-
алгоритмах второго класса, является введение р-адической системы координат
в физическом пространстве.
Основные части этой книги были написаны в период моих стран-
странствий по разным странам: в Японии, Китае, Италии, Франции, Герма-
Германии. Мне хотелось бы поблагодарить всех ученых, поддерживавших
меня в этот трудный период. Пользуясь случаем, я выражаю глубокую
благодарность Т. Хиде, С. Альбеверио, Р. Чианчи, М. Эндо, В. Шихову,
А. Эскассуту, Л. Геритцену, Ж. Паризи, Л. Аккарди, К. Перез-Гарсиа,
Л. Ван-Хамме.
Я также благодарен Екатерине Борзистой за огромный труд по
подготовке рукописи книги, внимание и постоянную поддержку.
Мой интерес к р-адике был вызван лекциями, прочитанными
B.C. Владимировым и И.В. Воловичем на конференции по ком-
комплексному анализу в Ташкенте A989). Я глубоко благодарен им за
многочисленные дискуссии, обсуждения и поддержку.
Менделеево-Генуя-Нагойя-Бохум-Пекин- Ухань- Токио-
Клермон/ Ферранд- Сантандер-Наймеген-Векше

Глава 1. ПЕРВЫЕ ШАГИ
К НЕАРХИМЕДОВОЙ МАТЕМАТИКЕ
Введение было посвящено наиболее важным аспектам неархимедо-
неархимедовой (в частности, р-адической) математики и обсуждению основных
понятий, которые будут использоваться в последующих главах. Нам
нет необходимости излагать неархимедову математику в виде после-
последовательности строгих доказательств всех получаемых результатов.
Поэтому мы рассмотрим только те доказательства, которые будут
нам необходимы в дальнейших исследованиях. Читатель, желающий
изучить этот предмет более подробно, сможет сделать это, например,
с помощью книг Малера [97] и Шихова [106]. Малер рассматривал
неархимедовы поля с точки зрения теории чисел: цифры, разложения,
алгебраические операции, алгоритмы этих операций. Исследования
Шихова полезны с точки зрения неархимедова анализа. Полагаю, что
книги этих авторов наиболее доступны для начинающих изучать неар-
неархимедову математику.
§ 1.1. Неархимедовы числовые поля
В дальнейшем везде символом К будем обозначать полное неархи-
неархимедово поле с нетривиальной абсолютной величиной | • \к. В этой книге
мы будем рассматривать только случай, когда характеристика К равна
нулю.
Пусть F — поле. Абсолютная величина (в некоторой литературе
просто норма) — это отображение | • |: F —ь Я+, удовлетворяющее
следующим условиям:
0 <^ х = 0,	A.1)
= \x\F-\y\F,	A.2)
\x + y\F <: \x\F + \y\F.	A.3)
Последнее неравенство хорошо известно как неравенство треуголь-
треугольника. Абсолютная величина является неархимедовой, если выполняет-
выполняется усиленное неравенство треугольника
\х + y\F ^ max(|a;|iP, \y\F).	A.4)
Поле F с неархимедовой абсолютной величиной называется неархи-
неархимедовым полем. Абсолютная величина является неархимедовой тогда
и только тогда, когда \n\F $J 1 для всех элементов п из кольца,

§1.1. Неархимедовы числовые поля	13
порожденного в поле F его единичным элементом. Это следует из
усиленного неравенства треугольника A.4).
Таким образом, если / и L — два ненулевых элемента, принадле-
принадлежащих /С, таких, что \1\к < \L\ki т0 невозможно найти такое нату-
натуральное га, что \п1\к > \L\k- С другой стороны, если / и L — два
элемента, принадлежащих Я, то всегда можно найти такое натуральное
га, что \nl\ > |L|, где | • | = | • \R — обычная абсолютная величина
в R. Вот почему мы можем рассматривать усиленное неравенство
треугольника A.4) как одну из возможных математических реализаций
неархимедовой аксиомы теории измерений (см. введение).
Замечание 1.1. В случае, когда характеристика поля К равна
нулю, множество натуральных чисел можно считать подмножеством
множества К. Данное утверждение верно и для множества рациональ-
рациональных чисел Q. В дальнейшем будем считать Q подполем поля К.
Напомним, что абсолютная величина | • |F на поле F называется
тривиальной, если \х\р = 1 для всех х ф 0.
Абсолютная величина на поле F — это гомоморфизм мультиплика-
мультипликативной группы F* в мультипликативную группу R*. Пусть Г — образ К
относительно этого гомоморфизма. Тогда Г является подгруппой в R*.
Для скалярной величины R ? Г мы обозначим символом clr любой
элемент поля /С, для которого |ая|к = R-
Любая абсолютная величина порождает метрику. Полнота по-
поля К — это полнота относительно этой метрики, рк(х, у) = \х — у\к-
Если абсолютная величина на К является неархимедовой, то соответ-
соответствующая ей метрика имеет много необычных свойств, которые будут
обсуждаться в следующем разделе.
Поле р-адических чисел Qp — один из наиболее важных примеров
неархимедовых полей. Также как и поле действительных чисел Я,
это поле является пополнением поля рациональных чисел Q. Но вме-
вместо обычной абсолютной величины, нормы, мы будем использовать
так называемую р-адическую норму | • | . Здесь р — это фиксиро-
фиксированное простое число, р = 2,3,... Для каждого р можно постро-
построить собственное поле Qp. Достаточно определить | • | на множестве
натуральных чисел. Представим натуральное п в виде произведения
множителей п = 2*/2Зг/3 . . . pUp . . ., где v$ = 0,1, 2, ... Тогда по опреде-
определению \п\р = р~г/р (знак минус играет важную роль при доказательстве
неравенства A.4)). Таким образом, если натуральное число п делится
нар^, то \п\р = p~Up. Более того, мы полагаем |0|р = 0. Если х = га/га,
где п и га натуральные числа, то по определению \х\р = |га|р/|7га|р.
Например, |3|2 = 1, |4|2 = 2, |3/2|2 = 2, а |3|3 = 3"\ |4|3 = 1,
|3/2|з = З. В частности, если рациональное число представлено
в виде х = га/гаг, где пит целые числа, которые не делятся на р, то
\х\р = 1. Таким образом, р-адическое расстояние между точками в про-
пространстве Q существенно отличается от действительного расстояния.

14	Гл. 1. Первые шаги к неархимедовой математике
Говорят, что абсолютные величины | • |а и | • L эквивалентны, если
I™ — |™|С _ rz U r \ П
Теорема 1.1 (Островского). Любая нетривиальная абсолютная
величина на поле Q эквивалентна либо действительной | • |, либо одной
из р-адических | • | .
В неархимедовом случае функция 1/|п!|к возрастает. Позже нам
понадобится оценка этого роста. Приведем эту оценку для поля Qp:
1 ^ p(n-i)/(P-i)_
Используя теорему Островского, получаем, что \х\к = \х\р,
р = р(/С), / = 1(К) > 0. Это влечет экспоненциальную оценку
У- ^ Ъп,	A.5)
где а = а(р,/) и b = 6(р, /), для любого неархимедового поля К. Мы
будем использовать асимптотику l/|n!|K ~ рп//(р-!) дЛЯ больших п.
Усиленное неравенство треугольника имеет много полезных след-
следствий.
оо
Теорема 1.2 (мечта плохого студента). Ряд J^ an,an G /С, схо-
п=1
дится в К тогда и только тогда, когда ап —>• 0, п —>• оо.
Для доказательства этой теоремы нам необходимо применить тео-
теорему Коши для полных метрических пространств.
Например, ряд
сходится в Qp, так как \рп\р = р~п —> 0, п —> оо. Сумма ряда вычисля-
вычисляется по обычному правилу, как предел конечных сумм: S = 1/A — р).
Следующее утверждение также является следствием усиленного
неравенства треугольника. Оно будет очень полезно при некоторых
оценках и вычислениях.
Утверждение 1.1. Пусть ж, у Е К. Тогда из неравенства
\х\к Ф \у\к следует, что \х + у\к = тах(|ж|к, \у\к)-
§ 1.2. Ультраметрики
Пусть \ • \к — неархимедова абсолютная величина. Рассмотрим
Рк(х, у) — \х — у\к- Легко показать, что это метрика. Используя уси-
усиленное неравенство треугольника для абсолютной величины, получаем,
что рк{х, у) ^ max \рк{х, z), Pk{z, у)\, х, у, z E К.
Интересно рассмотреть общие метрические пространства X, для
которых вместо стандартного неравенства треугольника
р(ж, у) ^ р(ж, z) + p(z, у), x,y,z E К,

§1.2. Ультраметрики	15
выполняется усиленное неравенство треугольника
р(х, у) ^ тах[р(ж, z), p(z, у)], x,y,z e К.
Такие метрики называются ультраметриками, а соответствующие
метрические пространства ультраметрическими. Усиленное неравен-
неравенство треугольника имеет следующий геометрический смысл: длина лю-
любой стороны треугольника не больше, чем наибольшая из длин двух
других сторон. Таким образом, в ультраметрическом пространстве все
треугольники являются равнобедренными.
Обсудим основные свойства ультраметрического простран-
пространства X. Полагаем: Ur(a) = {х ? X : р{х — a) $J r} и U~(a) =
= {х ? X : р{х — а) < г}, г Е Я+, а Е X. Это шары радиуса г
с центром в точке а. Интуиция подсказывает нам, что Ur(a) — замкну-
замкнутый шар, a U~ (а) — открытый. Но ситуация в ультраметрических
пространствах более интересна.
Утверждение 2.1. Любой шар в пространстве X является одно-
одновременно как открытым, так и замкнутым. Любая точка шара может
служить центром. Шар может иметь бесконечно много радиусов.
Доказательство. Конечно, U~(a) открытый, a Ur(a) замкну-
замкнутый шары. Теперь докажем, что Ur(a) является также и открытым
шаром. Пусть b E Ur(a). Покажем, что Ur(b) С Ur(a) (это намного
больше, чем нужно для доказательства того, что шар Ur(a) открытый).
Используя усиленное неравенство треугольника, получаем, что если
х Е Br(b), то р(ж,а) $J тах[р(ж, 6), рF, а)], тогда х Е Ur(a), т.е.
Ur(b) С Ur(a). Теперь несложно доказать (используя симметрию), что
Ur(b) = Ur{а) и, следовательно, любая точка b шара Ur(a) является
его центром.
Множества, которые являются одновременно как замкнутыми, так
и открытыми, будут играть важную роль в наших дальнейших исследо-
исследованиях. Для обозначения таких множеств будет использоваться термин
замкнуто-открытые (clopen).
Утверждение 2.2. Пусть U и V — два шара в пространстве X.
Тогда существуют только две возможности:
1)	шары включаются друг в друга (т. е. U С V или V С U);
2)	шары не пересекаются.
Доказательство. Если бы ни одно из этих утверждений не было
верным, то мы могли бы найти элементы а ? UC\V, х ? C/\V, у Е V\U.
Тогда точка а была бы центром как С/, так и V, и /о(г/, а) > р(х, а) при
х Е U и у ? ?/; р(х, а) > р(у, а) при у Е V и х ^ V, что противоречит
условию.
Утверждение 2.3. Пусть G — непустое открытое подмножество
множества X. Тогда существует разбиение G на шары. Более того, для
г\ > . . . > гп > . . . > О G можно покрыть непересекающимися шарами
вида Urn(an), ап Е X.

16	Гл. 1. Первые шаги к неархимедовой математике
Для доказательства данного утверждения достаточно использовать
предыдущее утверждение 2.2.
Напомним, что топологическое пространство Y называется вполне
несвязным, если только пустое множество и одноточечные множества
{а} связны (множество О является связным, если О = Ли В, АПВ = 0
влечет А = 0 или В = 0, где А и В замкнуто-открытые множества).
Утверждение 2.4. Ультраметрическое пространство X является
вполне несвязным.
Доказательство. Для любого а Е X связная компонента Т
точки а содержится в каждой замкнуто-открытой окрестности а. Но
в X существует базис замкнуто-открытых окрестностей. Следователь-
Следовательно, Т = {а}.
Топологическое пространство Y имеет нулевую размерность, если
для любого а Е У и любой окрестности U точки а существует замкнуто-
открытое подмножество V такое, что а Е V С U. Нетрудно заметить,
что любое ультраметрическое пространство X имеет нулевую раз-
размерность.
Функция /: X —} К является непрерывной, если для любых а Е X
и е > 0 существует 5 > 0 такое, что для х Е X: р(х,а) < E,
выполняется неравенство \f(x) — /(а)\к < ?• Далее, мы будем часто
использовать тот факт, что множество О является замкнуто-открытым
тогда и только тогда, когда его (/С-значная) характеристическая функ-
функция фо(ж), определенная как фо(х) = 1 для х Е О и 0о(#) = 0 для
ж ^ О, является непрерывной.
Обозначим символом Sr(a) сферу {ж Е X: р(х,а) = г} радиуса
г Е Я+ с центром в точке а. В ультраметрическом случае сфера Sr(a)
не является границей шаров U~(a) и Ur(a). Можно доказать, что
граница шара пуста (см. утверждение 2.1.).
§ 1.3. Поля р-адических чисел
Мы начинаем рассмотрение свойств поля Qp с проблемы представ-
представления р-адических чисел в виде рядов по степеням р. Любое положи-
положительное действительное число а может быть записано в виде десятич-
десятичной дроби:
а = . . . + ^ + . . . + ^ + а0 + п1 • 10 + . . . + ап • 10п =
1[)к	1U
= ап . . . а0, a_i . . . а_& . . . , C.1)
где dj могут принимать только десять значений: 0, 1, . . ., 9. Это раз-
разложение единственно, за исключением случая, когда после конечного
числа членов в десятичном разложении все последующие а& равны 9.
Так, например,
9	9 9		 	 0 0 0
10	+ 102 + 103 +'" ~ ~ + 10 + ТО2" + 103 +•'•'

§ 1.3. Поля р-адических чисел	17
и мы имеем два разложения для одного и того же числа 1. Десятичное
представление может быть обобщено. Если т > 1 любое фиксиро-
фиксированное целое число, то любое положительное действительное число а
может быть записано в виде
а = . . . Н—^ + . . . Н—— + ао + aim + . . . + аптп =
mk	m
= ап . . . а0, a_i . . . а_к . . . , C.2)
где а/г принимают значения 0, 1, ... , т — 1. Это разложение един-
единственно, за исключением опять же случая, когда все а/~ для достаточно
больших к равны т — 1. Таким образом, здесь существует второе
представление, в котором начиная с некоторой позиции все числа равны
нулю. Поэтому
оо	оо
^2 (т - 1) • т~к = m~f+1 + ^ 0 • т~к.
k=f	k=f
Положительные целые числа могут быть записаны в базисе т как
конечные суммы:
а = а0 + aim + . . . + аптп.	C.3)
Более общие суммы
а = -^ + . . . -\—— + ао + а\т + . . . + аптп	C-4)
представляют собой отношение полож:ительных целых чисел и степе-
степеней т. Они являются рациональными. Известно, что действительное
число а является рациональным тогда и только тогда, когда его т-адич-
ное разложение является периодичным.
Похожая ситуация имеет место для р-адического случая (на некото-
некоторое время мы ограничимся рассмотрением случая простого основания
т = р, а общий случай будет разобран позднее). Любое р-адическое
число а можно представить в виде дроби:
а = ^f + . . . + ^^ + а0 + ахр + . . . + апрп + . . . =
pf	p
= a-f . . . a_i, aoai . . . ап . . . , C.5)
где aj = 0, 1, . . ., р — 1. Это разложение схоже с представлением
действительного числа в виде дроби, но отличается от действитель-
действительного случая неограниченностью в направлении возрастания степеней р
и ограниченностью в направлении их убывания.
Условимся писать р-адическое разложение в форме C.5). Нет прин-
принципиальной разницы в порядке написания натуральных чисел и от-
отношений C.4) для действительного случая C.2) и для р-адического
случая C.5). Число C.3) записывается в виде ап . . . а$ в соответствии

18	Гл. 1. Первые шаги к неархимедовой математике
с вещественным представлением C.2). И то же самое число C.3) запи-
записывается в виде 0, uq . . . ап в соответствии с р-адическим разложением
C.5).
Идея доказательства C.5) проста. Во-первых, каждый из рядов C.5)
сходится в Qp, так как \рп\р = р~п —> О, п —>• оо. Это разложение
единственно, так как р-адическая норма нуля равна нулю.
Чтобы показать обратное, мы используем тот факт, что любое
р-адическое число а является пределом последовательности рацио-
рациональных чисел {гц}. Если laL = р~*, то lim \щ\ = р~*. Но так как
степени р~^ не имеют других предельных точек, кроме 0 и оо, то может
существовать только конечное число членов в последовательности \и%\
<z \u{\ ф р~*. Этими значениями можно пренебречь для \и{\, не
изменяя предела и, следовательно, можно суммировать \щ\ = р~^
уже по всем г. Поэтому все U{ имеют вид U{ = р* —, где г\ и s\ > 0 —
Si
целые числа такие, что (r^, Si) = 1 (не имеют общих делителей) и не
делятся на р.
Далее, несложно доказать, что любое рациональное число с такого
типа может быть представлено в виде
с = Cfpf + cf+1pf+1 + . . . + cN+1pN+1 + pN(tN/qN),	C.6)
где коэффициенты с& являются цифрами и (p,qN) = 1- Целое число N
может быть выбрано сколь угодно большим.
Для завершения доказательства достаточно показать фундамен-
фундаментальность последовательности {г^}- Фундаментальность означает, что
для больших г цифры в разложении C.6) для \u{\ не зависят от г.
Наиболее простым способом реализации р-адических вычислений
является использование канонических разложений этих чисел. Опера-
Операция деления осуществляется как умножение. Если мы хотим получить
х = а/6, то нам нужно представить a, b и х в виде C.5) (послед-
(последний с неопределенными коэффициентами), и решать шаг за шагом
бесконечную систему уравнений, порожденную уравнением xb = а.
На компьютере р-адические вычисления реализуются гораздо быстрее,
чем вещественные.
Мы будем использовать каноническое разложение р-адических
чисел как основу для статистического моделирования над полями
р-адических чисел.
Как и в действительном случае, р-адическое число рационально, если
его каноническое разложение периодично. Этот факт будет чрезвычай-
чрезвычайно важен в наших физических исследованиях при получении ответа
на вопрос о рациональности р-адических результатов. Можно будет
рассматривать эти р-адические результаты как точные физические
значения. Но это сложная проблема теории чисел даже для простейших

§ 1.3. Поля р-адических чисел	19
случаев. Например, из оценки A.5) следует, что ряд
1 + 2! + ... + п\ + ...
сходится в любом Qp. Но нам ничего не известно о значении этой
суммы. Мы не знаем, является ли эта сумма рациональным числом.
Были предприняты попытки с помощью компьютерных исследований
найти периодичность в каноническом разложении (в частности, мои
студенты пытались сделать это). Но периодичность ни для какого р не
была найдена.
Заметим, что сходимость в Qp эквивалентна стабилизации цифр
в каноническом разложении C.5). Этот факт будет использоваться
в теории с р-адическизначными вероятностями для нахождения ста-
статистической стабилизации в Qp.
Единичный шар Ui@) будет играть важную роль в дальнейших
рассуждениях. В теории чисел Zp — стандартное обозначение, исполь-
используемое для L^i(O). Из усиленного неравенства треугольника следует,
что Zp — аддитивная подгруппа Qp. Более того, это кольцо. Оно
называется кольцом целых р-адических чисел. Использование такого
термина имеет следующую мотивировку. Если натуральное число раз-
разложить в канонический ряд C.5) = C.3), то данное разложение не
будет содержать отрицательных степеней р. Это справедливо и для
элементов Zp.
Мы не будем начинать запись канонического разложения целых
р-адических чисел с нуля: а = 0, а^а\ . . . В случаях, когда очевидно,
что мы рассматриваем только Zp, намного удобнее писать а = а^а\ . . .
Замечание 3.1. Каноническое разложение отрицательного целого
числа можно представить в виде бесконечного ряда. Например, пусть
р = 2, тогда
-1 = 1/A - 2) = 1 + 2 + 22 + . . . = 111. . .
Кольцо Zp содержит также рациональные дробные числа. Напри-
Например,
1/3 = 1 + 2 + 23 + 25 + . . . = 110101. . .
в Q2.
Пусть А — подмножество множества К и число b Е К. Символом ЪА
обозначим множество {х Е К: х = 6а, а Е А}. Нетрудно заметить, что
pnZp = Up-n@). Эти множества в дальнейшем будут нам полезны.
И в заключение заметим, что топология Qp (как и любого неархиме-
неархимедова поля К) является вполне несвязной и имеет нулевую размерность.
По определению поле Qp является полным и сепарабельным.
Утверждение 3.1. Кольцо р-адических целых чисел Zp является
компактом.

20	Гл. 1. Первые шаги к неархимедовой математике
Доказательство. Пусть
{хк = ^апрп = ако...акп...}?=1	C.7)
п=0
последовательность в Zp. Покажем, что эта последовательность схо-
сходится. Так как существует только конечное число возможностей для а§
(а именно 0, 1, . . ., р — 1), то мы можем найти такие bo Е {0, 1, . . ., р — 1}
и подпоследовательность последовательности {xk}, что для элементов
этой подпоследовательности первая цифра в C.7) равна bo. Повторим
данную процедуру для второй цифры подпоследовательности и т. д.
Доказательство завершается с помощью стандартной диагональной
процедуры.
Утверждение 3.2. Множество натуральных чисел всюду плотно
в кольце целых р-адических чисел.
Для доказательства этого свойства используется каноническое раз-
разложение.
Следствие 3.1. Поле Qp локально компактно.
При анализе процедуры измерения будут также использоваться
обобщения р-адических чисел. Это так называемые т-адические числа,
т — это любое фиксированное натуральное число, т > 1. Заметим, что
m-адические числа определяются так же, как и р-адические. В поле
рациональных чисел Q вводится понятие га-адической псевдонормы
х —>• \х\т. Если п натуральное число, то его можно представить в виде
п = гаг/и, где кит взаимнопростые. Полагаем \п\т = т~г (обыч-
(обычным способом эту псевдонорму можно продолжить на Q). Отличие
от р-адического случая состоит в том, что для | • |ш не выполняется
условие A.2), если т не является простым числом. Например, пусть
т = 4, тогда |2|4 = 1, но |2 х 2|4 = 1/4 ф |2|4|2|4. Вместо условия A.2)
в общем случае выполняется более слабое условие
\xy\m ^ \x\m\y\m.
Такая функция называется псевдонормой. Пополнение поля рацио-
рациональных чисел Q по отношению к метрике, соответствующей псевдо-
псевдонорме | • |ш, и есть поле m-адических чисел Qm. Каноническое раз-
разложение C.5) в этом случае выглядит аналогично (если заменить р
на т в C.5); цифры принадлежат множеству {0, 1, ..., т — 1}). Это
каноническое разложение также единственно, в отличие от действи-
действительного случая. С его помощью реализуются алгебраические операции
на Qm. Нетрудно показать, что Qm является кольцом. Но существуют
проблемы с операцией деления.
Пример 3.1. Пусть т = 6. Можно найти два 6-адических числа
вида а = 2а\п2а^ . . . и b = З616263 • • • таких> чт0 аЬ — 0- Можно
шаг за шагом разрешить бесконечную систему уравнений относительно

§ 1.4. Расширения неархимедовых полей	21
а и Ь. Например, после трех шагов мы получим, что а = 2101. . .
и 6 = 3120...
Таким образом, если т — простое число, то в Qm существуют
делители нуля. Вот почему это не поле, а только кольцо.
Аналогично вводится и понятие кольца целых m-адических чи-
чисел Zm. Это компакт, и множество целых чисел всюду плотно в Zm.
По определению кольцо Qm является полным и сепарабельным. Его
метрика является ультраметрикой. Qm — вполне несвязное топологи-
топологическое пространство размерности нуль.
Обратим внимание на случай, когда т = рг, г = 1, 2, ... —
степень простого числа. Заметим, что любое каноническое т-адическое
разложение можно рассматривать как разложение р-адического числа.
С другой стороны, любое р-адическое разложение можно переписать
как m-адическое. Поэтому Qpr и Qp — совпадающие множества. Легко
заметить, что их топологии эквивалентны. Таким образом, Qpr = Qp.
Данный результат можно обобщить. Пусть pi, р^, . . ., Pk простые
и различные, и пусть т = р^1 . . . ргкк и / = р\г . . . pskk, где ri, ...,
s/e — положительные целые числа. Повторив предыдущие рассужде-
рассуждения, получим Qm = Qi (как топологические кольца). Таким образом,
рассмотрение всех т-адических пополнений можно свести к случаю,
когда т = р\ . . . pk есть произведение одного или нескольких различ-
различных простых чисел. Следующая теорема была доказана К. Гензелем.
Теорема 3.1. Пусть pi, . . ., pf, — это к простых различных чисел
и т = pi . . . pk- Тогда кольцо Qm является прямой суммой р-адических
полей QPi:
Отметим, что, если р ф q, то р-адические поля Qp и Qq не изоморф-
изоморфны. Поле действительных чисел R не изоморфно любому Qp.
Для нас важным также является и тот факт, что невозможно
определить структуру частичного порядка ^ на Qp, удовлетворяющую
условиям (i) 1 ^ 0 ^ — 1; (и) если а ^ 0, b ^ 0, тогда а + b ^ 0; A11) если
ап ^ 0 для всех п и lim ап = а, тогда а ^ 0.
п—)>оо
Например,
оо	оо	оо	оо	оо
пп\ = V (п + 1)п\ - V п\ = V (п + 1)! - V п\ = -1
п=1	п=1	п=1	п=1	п=1
для любого Qp.
§ 1.4. Расширения неархимедовых полей
1.4.1. Структура квадратичных расширений и алгебраических за-
замыканий неархимедовых полей. Как известно, поле комплексных чисел
С является квадратичным расширением поля действительных чисел R

22	Гл. 1. Первые шаги к неархимедовой математике
на основе уравнения х2 + 1 = 0: С = Я(г), г = л/-~1, z = х + iy, х,
у G Я. В этом случае возникает достаточно простая алгебраическая
структура, так как данное квадратичное расширение является в то же
время и алгебраическим замыканием поля действительных чисел (по-
(полиномиальное уравнение любого порядка всегда имеет решение в С).
В р-адическом случае алгебраическая структура не так проста.
Во-первых, в отличие от действительного случая, квадратичное расши-
расширение не единственно. Если р = 2, то существуют семь квадратичных
расширений, а если р ф 2, то три. Таким образом, если рассмот-
рассмотреть фиксированное квадратичное расширение Qp(y/r) поля Qp, то
существуют такие р-адические числа, для которых невозможно вы-
вычислить квадратный корень в Qp(y/r). Все квадратичные расширения
не являются алгебраически замкнутыми. И, более того, расширения
любого конечного порядка не являются алгебраически замкнутыми.
Алгебраическое замыкание поля Qp строится как бесконечная цепь
расширений конечного порядка. Вот почему оно является бесконеч-
бесконечномерным векторным пространством над Qp и не является полным
полем. Поэтому нам нужно рассмотреть пополнение данного поля. Это
станет завершающим шагом наших долгих рассуждений, так как в этом
случае полнота влечет алгебраическую замкнутость поля. Обозначим
это поле через Ср. В литературе оно называется полем комплексных
р-адических чисел.
Но возникают проблемы при использовании Ср как поля комплекс-
комплексных р-адических чисел в физических приложениях. Известно, что
в обычной квантовой механике большую роль играет автоморфизм inv:
С —>• С, z —>• z. Поле действительных чисел инвариантно по отно-
отношению к действию этого автоморфизма. Следовательно, инвариантно
и выражение \z\ = zz, которое рассматривается в квантовой механике
в качестве вероятности. Этот автоморфизм связан с зарядом квантовой
частицы. Под действием автоморфизма изменяется знак заряда части-
частицы. В квантовой теории поля автоморфизм соответствует симметрии
частица —>• античастица. Вероятность является инвариантом авто-
автоморфизма inv. Как следствие этого в квантовой физике имеет место
симметрия частиц и античастиц. Естественно, нам необходимо иметь
аналог автоморфизма inv в р-адическизначной квантовой механике.
Но такого автоморфизма инволюции invp: Ср —>• Ср не существует.
Самое простое решение — использовать квадратичное расширение Qp
с аналогом автоморфизма комплексного сопряжения. В основном мы
будем использовать некоторое квадратичное расширение Qp как основу
физической модели. Наряду с этим мы будем использовать Ср для опи-
описания некоторых квантовых моделей в случаях, когда можно обойтись
без инволюции.
Предположим, что квадратное уравнение х2 — т = 0, т Е /С, не
имеет решений в поле К. Будем использовать символ Z для обозна-
обозначения квадратичного расширения К (у/т) поля К. Элементы Z можно

§ 1.4. Расширения неархимедовых полей	23
представить в виде z = х + у/ту, ж, у Е /С; операция сопряжения:
г = ж — \/тг/; абсолютную величину на Z обозначим | • |к; по определе-
определению \z\к = \ \z\ . Здесь используется аналог евклидового квадрата
у к
длины \z\ = zz = х2 — ту2. Все значения этой величины принадлежат
полю К (а значения абсолютного значения | • \к принадлежат полю
действительных чисел).
1.4.2. Квадраты в поле р-адических чисел. В квантовой механике
и теории поля нас, главным образом, будет интересовать р-адический
случай. Поэтому мы рассмотрим его более подробно.
Используя каноническое разложение р-адического числа х ф О,
мы можем записать его в виде х = рт?, где \е\р = 1 и m — целое
число. Если х — квадрат р-адического числа у = рт?о, \eo\p — 1, то
m = 2k и е = ?q. Поэтому для описания всех квадратов в Qp достаточно
описать все элементы ?, \ер\ = 1, которые являются квадратами, е = ?§.
Теорема 4.1. Пусть р ф 2. р-адическое число е = cq + cip + . . .
. . . + С2Р2 + . . ., С{ = 0, . . ., р — 1, со ^ 0, является квадратом тогда
и только тогда, когда cq является квадратичным вычетом по модулю р.
Доказательство. Пусть е = rj2 и rj = 6(modp), где 6 — целое
число. Тогда с$ = 62(modp). С другой стороны, пусть со = 62(modp).
Рассмотрим многочлен F(x) = х2 — е. Получаем: F(b) = O(modp)
и F'(b) = 2b ф O(modp). Используя аналог метода Ньютона (см.
Приложение), получаем, что существует такое rj E Zp, что F(rf) = О
и rj = 6(modp). Таким образом, е = ?72, и теорема доказана.
Следствие 4.1. Если р ф 2, то любой элемент е такой, что
? = l(modp), является квадратом в Qp.
Рассмотрим мультипликативную подгруппу Q* поля Qp и множе-
множество Qp2 = {и = v2: v E Qp} всех квадратов в Qp.
Следствие 4.2. Если р ф 2, то индекс (Q*: Q*2) равен 4.
Доказательство. Действительно, если \е\р = 1 и е не квадрат,
то отношение любых двух чисел из A, ?, р, ?р) не является квадра-
квадратом в Qp. С другой стороны, несложно доказать, что любое ненуле-
ненулевое р-адическое число можно представить в виде произведения чисел
A, е, р, е — р) и квадрата.
Например, рассмотрим случай р = 3. Тогда 3-адическое число х ф О
является квадратом, если
В частности, не существует \/2 в поле Q%. Выберем е = 2 и четыре
числа A, 2, 3, 6) из предыдущего следствия. Очевидно, что любое 3-
адичное число х можно представить в виде произведения одного из
этих чисел и квадрата. Достаточно рассмотреть случай |ж|3 = 1. Если

24	Гл. 1. Первые шаги к неархимедовой математике
х не квадрат, то х = 2 + ci3 + с232 + . . . = 2A + ci3 + с'232 + ...) = 2w,
где к; — квадрат.
Существуют 3 различных расширения поля Qp при р ф 2. Это
Qp(y/s), ЯР(л/р), Qp(V? ' р)- ^ частности, если р = 3, мы можем
выбрать следующие реализации: ф3(л/2), Фз(л/3)? <2з(л/б)- Если р = 5,
то не существует квадратного корня для ?г1 = 2и?2 = 3. Значит, мож-
можно выбрать поля <Зб(л/2), <Зб(л/5), <Эб(л/1О) в качестве квадратичных
расширений Q$. Существует и другая возможность выбора, а именно
поля Eб(л/3), фб(л/5), <2б(л/15)- Однако заметим, что 3 = 2C/2) =
2-5п + ...) = 2т;,гдет; = к;2, и лД = лДги. Поэтому
и Q5(Vl0) = Q5(Vl5).
Теперь остановимся на случае р = 2.
Теорема 4.2. Пусть р = 2; 2-адичное число ?, |?|2 = 1, является
квадратом тогда и только тогда, когда е = I(mod8).
Доказательство. Необходимость является следствием того, что
квадрат нечетного числа всегда сравним с I(mod8). С другой стороны,
рассмотрим многочлен F(x) = х2 — е. Тогда F(l) = 0(mod8) и F'(l) =
= 2 ф 0(mod 4). Снова применяем теорему 2.1 Приложения (при 8 = 1).
Следствие 4.2. Индекс (Q^'- QJ2) Равен 8.
Доказательство. Единичная сфера Si = S'i(O) является муль-
мультипликативной подгруппой в Q\. Пусть S2 — подгруппа квадратов
в Si. На основании теоремы 4.2. получаем, что множество чисел
А = A,3,5,7) представляет собой классы вычетов Si/S2. Чтобы до-
доказать это, достаточно показать, что любой элемент х Е Si можно
представить в виде х = аи2, а Е А, и Е Si. В случае, когда х = а +
+ х3 • 23 + . . ., где аеД получаем х = а(х/а). Но 1/3 = 11@1), 1/5 =
= 1011@11), 1/7 = 111@11). В данном каноническом разложении скоб-
скобки используются для обозначения периода. Следовательно, если а = 3,
то ж/3 = ЮОжз • • • является квадратом; если а = 5, то ж/5 = ЮОжз • • •
является квадратом; а если а = 7, то ж/7 = ЮОжз • • • Поэтому суще-
существует yjx/а. Если мы присоединим к множеству А произведения 2-1,
2 • 3, 2 • 5, 2 • 7, то получим полную систему, представляющую собой
классы вычетов Q\ по отношению к Q%2-
Нас будут интересовать (при изучении проблемы квантования)
квадратные корни из х = —1 в Qp. Обозначим один из этих корней гр
(другой равен —ip). Используя теоремы 4.1 и 4.2, несложно показать,
что этот корень существует в Qp при р = I(mod4), см. также [17].
Например, если р = 5, то г5 = 21213423032204132404. . . (здесь исполь-
использовалось каноническое разложение р-адических целых чисел из § 1.3).
1.4.3. Поле комплексных р-адических чисел Ср. Мы будем исполь-
использовать не только квадратичные разложения, но и поле комплексных
р-адических чисел Ср. Чтобы построить это поле, рассмотрим алге-
алгебраическое замыкание QS поля Qp (минимальное расширение Qp, где
любой многочлен р(х) с р-адическими коэффициентами имеет корень).

§ 1.5. Нормированные и локально выпуклые пространства	25
Существует единственное продолжение нормы | • | с Qp на Qp. Мы ни-
нигде не будем использовать конкретную форму этого продолжения | • | .
Поэтому нас не интересует процедура продолжения. Для обозначения
р-адической нормы на Qp1 будем также использовать символ | • | . Но
здесь возникают новые трудности. Метрическое пространство Qp1 не
является полным. Пополнение Ср поля Qp1 называется полем комплекс-
комплексных р-адических чисел. Это алгебраически замкнутое поле.
1.4.4. Представление р-адических чисел в виде а = ж2 — ту2.
Сигнум-функция в поле р-адических чисел. Теперь обсудим следую-
следующую проблему. Пусть Z = Qp{^/r) - фиксированное квадратичное
расширение Qp. Нас интересуют те элементы а Е Qp, которые можно
представить в виде а = \z\ = zz = x2 — ту2. Полезно изучить более
общую проблему представления
а = х2 — ау2,	D-1)
где а — произвольное р-адическое число, а ф 0. Обозначим множество
всех таких ненулевых чисел На. Это множество является мультипли-
мультипликативной группой. Действительно, если b = х2 — ау2 и b\ = х\ — а.у\, то
b'1 = (j-j ~
a (f
Теорема 4.3. Если а является квадратом в Qp, то На = Qp. Если а
не является квадратом в Qp, то индекс (Q* : На) = 2.
Доказательство теоремы см. в [17].
Пусть теперь т — фиксированный элемент, не являющийся квадра-
квадратом. Введем функцию signr(:z) = 1 при х Е Нт и signr(;r) = 0 при
х ф Нт. Она является естественным обобщением обычной сигнум-
функции (функции знака) на R (если мы представим эту функцию
с помощью квадратичного расширения С). Так как Нт является муль-
мультипликативной подгруппой Q* с индексом 2, то signr является мульти-
мультипликативной функцией на Qp signr(a6) = signr(a) signrF).
§ 1.5. Нормированные и локально выпуклые
пространства
Пусть Е — линейное пространство над К. Неархимедова норма
на Е — это отображение || • || : Е —>• Я+, удовлетворяющее следующим
условиям:
1)	||ж|| = 0 <?> х = 0,
2)	||Лж|| = |А|к||ж||,Ле К,

26	Гл. 1. Первые шаги к неархимедовой математике
3) ||x + y|Kmax(||z||,|M|).
Если || • |(удовлетворяет условиям B) и C), то || • || — неархимедова
преднорма. Обычным образом определим неархимедово банахово про-
пространство В как полное нормированное пространство над К. Метрика
р(х,у) = \\х — у\\ является ультраметрикой. Следовательно, любое
неархимедово банахово пространство является вполне несвязным про-
пространством размерности нуль. Все шары Ur(a) = {х Е В : \\х — а\\ ^ г}
и U~(a) = {х Е В : \\х — а\\ < г}, г Е Я+, а ? В являются замкнуто-
открытыми множествами. Сопряженное пространство В' определим
как пространство К-линейных функционалов /: В —>• К. Введем норму
на Б':
я#0 \\х\\
Пространство В' с данной нормой является банаховым. В теории
распределений мы будем использовать простое обобщение теоремы 1.2:
Теорема 5.1. Пусть В — неархимедово банахово пространство.
оо
Ряд ^2 ап,ап ? В сходится в В тогда и только тогда, когда ап —>• О,
71 = 1
п —> оо.
Доказательство вытекает из усиленного неравенства треугольника.
Если топология на /С-линейном пространстве Е задается системой
неархимедовых преднорм, то Е называется неархимедовым локально
выпуклым пространством. Окрестность точки а имеет вид иа}Г(а) =
= {х Е Е : \\х — а\\а ^ г}, г Е Я+, где || • ||а Е Ре —одна из преднорм,
определяющая топологию на Е. Множество таких преднорм обозна-
обозначено через Ре- В частности, последовательность {хп} элементов про-
пространства Е сходится к х Е Е, если ||ж — жп||а —>• 0, п —>• оо для любой
II * ||а ? Ре- Обычным образом определим пространство Фреше Е как
локально выпуклое пространство, в котором топология эквивалентна
метрической топологии и которое полно относительно этой метриче-
метрической топологии. Пополнение локально выпуклого пространства Е яв-
является пространством Фреше в том и только в том случае, когда его
«	«	Г 11 11 1 ОО
топология определяется счетной системой преднорм \||ф||п/п_1-
Неархимедовы банаховы локально выпуклые алгебры вводятся
обычным образом (операция умножения является непрерывной). Ес-
Если В — банахова алгебра, то выполняется следующее неравенство:
||а6|| ^ С||а||-||6||; если Е — локально выпуклая алгебра, то для любой
преднормы || • ||а Е Ре существует такая преднорма || • |L Е Ре-, что
выполняется неравенство ||а&||а ^ С ||а||^ • |Н|^-
Замечание 5.1. Как мы знаем, для действительного случая
локально выпуклое пространство является топологическим вектор-
векторным пространством, в котором существует фундаментальная система
окрестностей нуля, состоящая из выпуклых множеств. Существование

§ 1.6. Непрерывные, дифференцируемые и аналитические функции 27
такой системы окрестностей эквивалентно существованию фундамен-
фундаментальной системы, состоящей из абсолютно выпуклых уравновешенных
(convex balanced) подмножеств. Для неархимедового случая понятие
абсолютной выпуклости более естественно, чем понятие выпуклости.
Множество Л С Е абсолютно выпукло, если Хх + \iy E А для ж,
у Е Л; А, II Е К, |А|К, \/л\к ^ 1. Имеет место обычное соответствие
между абсолютно выпуклыми подмножествами неархимедового линей-
линейного пространства Е и неархимедовыми преднормами. Пространство
Е является локально выпуклым тогда и только тогда, когда существу-
существует фундаментальная система окрестностей, состоящая из абсолютно
выпуклых подмножеств. Неархимедова теория абсолютно выпуклых
пространств рассматривается в [86, 90-92]. Далее мы будем описывать
топологии только с помощью преднорм.
Замечание 5.2. В вещественной теории абсолютно выпуклые ком-
компактные подмножества в локально выпуклых пространствах играют
важную роль. В неархимедовом случае попытка прямого обобщения
ведет к различным патологическим примерам. Поэтому вводится но-
новый класс объектов — компактоидов [91, 92].
Простейшим примером неархимедового банахова пространства яв-
является пространство Кп = К х . . . х К {п раз) с неархимедовой нормой
\\x\\ = max \хЛ „.
§ 1.6. Непрерывные, дифференцируемые
и аналитические функции
1.6.1. Локально постоянные функции. Пусть множество О С К.
Символом С (О) = С(О, К) обозначим /С-линейное пространство
непрерывных функций /: О —> К. Символом Сь(О) = Сь(О, К)
обозначим подпространство, состоящее из ограниченных функций. На
Сь(О) введем норму ||/|| = sup \f{x)\K. Это неархимедово банахово
хео
пространство. Если О — компакт, то С (О) = Сь{0) и для / ? С (О)
получаем: ||/|| = max\f(x)\K.
В неархимедовом случае непрерывные функции могут быть равно-
равномерно приближены локально постоянными функциями.
Пусть О С К. По определению функция /: О —>• К является
локально постоянной, если для любых х Е О существует такая окрест-
окрестность U точки ж, что / постоянна на [/ПО.
Подмножество U Е О называется относительно открытым, замкну-
замкнутым, замкнуто-открытым, ..., если оно является открытым, замкну-
замкнутым, замкнуто-открытым, ... относительно топологии на О, индуци-
индуцированной из К. Характеристическая (/С-значная) функция фи,о{х)
относительно замкнуто-открытого подмножества U С О (определен-
(определенная как фи,о(х) = 1 ПРИ х Е U и фи,о{х) = 0 при х Е O\U) является

28	Гл. 1. Первые шаги к неархимедовой математике
локально постоянной. Если функция /: О —>• К локально постоянна, то
множество О может быть представлено в виде разбиения с помощью
системы относительно замкнуто-открытых множеств U{, где i принад-
принадлежит некоторому множеству индексов, а функция / постоянна на Ui
для любого г. Локально постоянные функции являются непрерывными.
Локально постоянные функции на О образуют /С-линейное подпро-
подпространство пространства С (О).
Утверждение 6.1. Пусть О С К и / <Е С (О), ? > 0. Тогда
существует локально постоянная функция g: О —> /С, для которой
\f(x) — g{x)\K < е для всех х Е О. Ограниченные локально посто-
постоянные функции образуют всюду плотное подпространство простран-
пространства Сь(О).
Доказательство. Нам нужно доказать только первое утвержде-
утверждение. Соотношение эквивалентности ^ на О определяется следующим
образом: х ~ г/, если \f(x) — f(y)\K < s. Это соотношение эквивалент-
эквивалентности, для которого классы эквивалентности U{(i E /) относительно
замкнуты. Для каждого г Е / выбираем элемент а,{ Е U{ и задаем
функцию g: О —ь К уравнением g(x) = f(ai) для Х{ Е U{, г Е /.
Тогда g постоянна на любом \]\ и \f(x) — g{x)\K < ? для всех х Е О.
1.6.2. Аппроксимация многочленами. Непрерывные функции мы
мож;ем приближать с помощью полиномиальных функций q(x) =
N
= ^2 akxkч гДе CLk ^ К. Следующая теорема будет играть важную
/с = 1
роль в теории неархимедовозначного интегрирования и в теории веро-
вероятностей. Доказательство этой теоремы нигде в дальнейшем не будет
использоваться, поэтому читателю достаточно ознакомиться только
с формулировкой.
Теорема 6.1 (Капланского). Пусть Т — компактное подмножество
множества К и пусть / Е С(Т) и е > 0. Тогда существует полиноми-
полиномиальная функция q: К —} К такая, что на Т выполняется неравенство
\q(x)-f(x)\K <e.
Доказательство. Из предыдущей теоремы следует, что доста-
достаточно решить эту проблему для локально постоянной функции /.
В силу компактности существует такое 5 Е (ОД), что функция /
постоянна на каждом из шаров подмножества Т радиуса 5. Поэтому
можно предположить, что / — это характеристическая функция шара
(в Т), имеющего радиус S. Не нарушая общности можно допустить,
что 0 Е Т, /@) = 1. Выберем сь ..., ст Е Т такие, что Т С U8@) U
U Us(ci) U ... U Us(cm), где шары (в К) попарно не пересекаются
и \ci\k ^ \сз\к ^ • • • ^ 1ст1к- Тогда 5 < \ci\K. Выберем натуральное
число s такое, что E/ \ci\K)s < e. По индукции мы найдем такие целые

§ 1.6. Непрерывные, дифференцируемые и аналитические функции 29
7ii, • • •, Пт, что полиномиальная функция
q(x) = П A - {с^хУГ*
3 = 1
даст решение проблемы. Покажем, что \q(x) — 1\к < е для х G t/j @)
|()|	()	()	()
и |<7(ж)
к
< ? Для х G
cj1
к
U ... U Us(cm). Пусть сначала ж G Us@).
Тогда [1 — (cj1x)s] G С/еA) для всех j. Так как U?(l) — мультипли-
мультипликативная группа (по крайней мере, для е < 1), то q(x) G ?/еA), т.е.
|#(ж) — 1|к < ?. Данный результат не зависит от выбора rai, ..., nm.
Пусть теперь х G Us(ci) для некоторых г = 1, 2, ..., га. Тогда
1Ж ~ с*1к ^ s и Мк = Ык- Отсюда
\l-c7sx*
- cj
/с
к
max(l, \x/cj\sk) ^ \ci/cj\8K (j < г),
К
Для того чтобы удовлетворить неравенству
ходимо, чтобы
< ?, нам необ-
необCi/Ci-1
к
F/\С1\кУ'<е.
Если ni, • • • -, пг-1 Уж<? выбраны, то всегда можно найти такое п^,
чтобы данные неравенства выполнялись, поскольку 5/ \с\\к < 1.
Теорема Капланского справедлива для любого К. Тогда как клас-
классическая теорема Вейерштрасса о приближении не верна в случае заме-
замены R на С. Если К — локально компактное поле, в частности К = Qp,
то теорему Капланского можно применять для шаров Т = Ur(a).
1.6.3. Дифференцируемые функции с нулевой производной. Про-
Производная определяется стандартным образом. Пусть W открытое под-
подмножество множества К и a G W. Функция fiW—^-К называется
дифференцируемой в точке а, если существует производная
?i( \ 1- f(x + h) — fix)
j (a) = hm ^	f	J-^—L.
h^-o	h
Функция / называется дифференцируемой на множестве VK, если
она дифференцируема в любой точке a G W. Основное отличие от
архимедова случая (полей R или С) состоит в существовании функций,
которые не являются постоянными или локально постоянными и в то
же время имеют нулевую производную.
Пример 6.1. Построим отображение /: Zp —» Zp, имеющее нуле-
нулевую производную. Для х = ао + . . . + апрп + . . . G Zp полагаем
2п +
f(x) = а0
апр2

30	Гл. 1. Первые шаги к неархимедовой математике
Покажем, что для этой функции выполняется наше утверждение.
Пусть х = a$ai . . . ап ... и b$b\ • • • Ьп . . . элементы Zp и \х — у\р = p~J
для некоторых j = 0, 1, . . . Тогда а$ = 6q, • • ., «j-i = frj-i и aj ^ 6j.
Отсюда следует, что \f(x) — f(y)\ = p~2j. Поэтому
I/O*)-/Ы1Р = !*-»? (x,yezp).
А это и означает, что f'(x) = 0 в любой точке х Е Zp.
Но мы не будем углубляться в такие сложные аспекты неархимедо-
вого анализа. Основным объектом наших исследований будут анали-
аналитические (и непрерывные) функции.
1.6.4. Степенные ряды и аналитические функции. Рассмотрим сте-
оо
пенной ряд ^2 спжп, где х и коэффициенты Cj E К. Областью сходи-
п=1
мости этого ряда является множество всех ж, для которых данный ряд
сходится. Радиус сходимости определяется как
Г-п	, ,1/п1
-1
Радиус сходимости имеет те же свойства, что и в поле С. Ряд
сходится на множестве {х Е К: \х\к < р} и расходится на {ж Е К:
\х\к > р}- Для любого г, 0 < г < р, сходимость является равномерной
на {х Е /f: |ж|/<- ^ г}. Функция
является дифференцируемой. Ее производная вычисляется обычным
способом. В отличие от комплексного случая, не всегда верно, что для
степенного ряда существует единственное г Е [0, оо] такое, что ряд
сходится при \х\к < г и расходится при \х\к > г. Поэтому р нельзя
определить с помощью этого свойства. Например, такая ситуация имеет
место для К = Qp, так как абсолютное значение принимает дискретные
значения р1. Например, пусть р = р и областью сходимости является
шар С/р(О), тогда ряд сходится также и на сфере Sp@). Поэтому можно
выбрать любое г Е [р,р2)-
В комплексном анализе большое место отводится проблеме сходи-
сходимости степенного ряда на границе. Для неархимедова случая данная
проблема не является сложной. Пусть р < ос, р ф 0. Тогда ряд сходится
либо всюду, либо нигде на сфере Sp@). Заметим, что эта сфера не
является границей шара {х: \х\к < р}- Возможно также, например
в Ср, существование таких рядов, для которых множество Sp@) пусто.
Следовательно, в неархимедовом случае область сходимости — это
либо шар Up@), либо U~@).

§ 1.6. Непрерывные, дифференцируемые и аналитические функции 31
Существует также различие между архимедовым и неархимедовым
случаями в сходимости ряда и его формальной производной. В неархи-
неархимедовом случае области сходимости могут быть различны.
Аналогичные рассуждения проведем для степенного ряда
^2сп(х — а)п, где а Е К. Областью сходимости данного ряда
является либо шар Up(a), либо шар U~(a). Пусть О — один из
этих шаров. Функция /: О —> К является аналитической, если ее
можно представить в виде
оо
f(x) = ^ Сп(х - а)п, сп е К.	F.1)
п=0
Это определение совпадает с соответствующим определением в ком-
комплексном случае. Но уже на первом шаге мы получаем неожиданное
отличие. Как уже отмечалось, любая точка b E О может быть выбрана
в качестве центра данного шара. Зависит ли определение аналити-
аналитической функции на О от точки, в которой происходит разложение?
Интуитивно мы понимаем, что не зависит. И это действительно так.
Если функцию / можно разложить в степенной ряд на О в одной
точке а, то ее можно также разложить в любой точке b E О. Процедура
переразложения в ряд F.1) в новой точке b такая же, как и в ком-
комплексном случае. Новые коэффициенты в биномиальном разложении
(х — а)п = [(х — Ь) + (Ь — а)]п вычисляются обычным образом. Но
для доказательства сходимости нового ряда на О необходимо исполь-
использовать усиленное неравенство треугольника. Этот результат может
быть рассмотрен как утверждение о невозможности аналитического
продолжения. Если мы разложим функцию в новой точке, то получим
ту же область сходимости. Таким образом, в неархимедовом случае
вся теория аналитичности функций сводится к теории аналитичности
на шарах. Центр шара не играет особой роли. Вот почему мы будем
рассматривать только аналитические функции на шарах с центром
в нуле.
Так как шар Ur(a) в Кп есть прямое произведение одномерных ша-
шаров того же самого радиуса, то все наши рассуждения можно обобщить
на случай нескольких переменных. Пусть О — шар в Кп. Функция /:
О —> К, где О шар в /Сп, является аналитической, если ее можно разло-
разложить в ряд на О. Мы продолжим рассмотрение понятия аналитичности
в начале следующей главы, где будут введены основные пространства
аналитических функций на шарах в Кп.
1.6.5. Экспонента. Экспоненты играют важную роль в построении
неархимедового анализа. Экспонента в К (как и в С) определяется
рядом
п=0

32	Гл. 1. Первые шаги к неархимедовой математике
Используя теорему 1.2 и экспоненциальное разложение A.5) функции
1/|га|/<-, получаем, что экспоненциальный ряд сходится при \х\к < Ь~х.
В частности, в р-адическом случае он сходится при \х\р < р1/^1~р\
§ 1.7. Теория Малера интегрирования на кольце
целых р-адических чисел
1.7.1. Разложение Малера для непрерывных функций. Рассмот-
Рассмотрим непрерывную функцию /: Zp —>• Qp. Множество Zp — компакт,
поэтому любая непрерывная функция / является равномерно непре-
непрерывной. Значит, для каждого натурального s существует натураль-
натуральное t = t(s) такое, что из неравенства \х — у\р ^ р~1 следует, что
\f(x) — f(y)\ ^ p~s. Как уже отмечалось, множество натуральных
чисел является всюду плотным подмножеством в Zp. Следовательно,
любую непрерывную функцию можно задать ее значениями в нату-
натуральных точках:
Теперь запишем следующее выражение:
-l)*C7*/(n-fc) (n = 0,l,2,...),	G.1)
/с=0
^и	п\	п(п — 1)(п — 2) • . . . • (п — к + 1) г
где С„ = ттт	гтт = —^	—	~г,	 — биномиальные
к\[п — к)\	к\
коэффициенты. Выражения G.1) являются стандартными в разност-
разностном исчислении. Формальный интерполяционный ряд запишем в виде
Г(я) = Х>»С?,	G-2)
п=0
^п х(х — 1)(х — 2) • . . . • (х — п + 1) ^
где С" = —	—	—	-. Прежде всего рассмотрим
этот интерполяционный ряд для множества натуральных чисел: х = N.
Тогда С7^ = 0 для п > N и f*(N) представляет собой конечную сумму:
N
"пСЪ.	G.3)
п=0
Используя свойства биномиальных коэффициентов, можно дока-
доказать, что f*(N) = f(N). Это стандартные вычисления разностного
исчисления, которые никоим образом не связаны с р-адикой. Таким
образом, f(x) и /*(ж) совпадают на множестве натуральных чисел.
Поэтому, если мы покажем, что ряд /*(ж) сходится для любых х и его

§1.7. Теория Малера	33
сумма есть непрерывная функция, то /*(ж) = f(x). Но это доказа-
доказательство очень громоздкое, поэтому мы сформулируем в виде теоремы
только результат.
Теорема 7.1 (Малера). Пусть /: Zp —)> Qp — непрерывная функ-
функция и интерполяционные коэффициенты ап вычисляются по форму-
формуле G.1). Тогда
1)	lim an = 0;
п—>>оо
2)	интерполяционный ряд G.2) сходится равномерно к f(x) на Zp\
3)	II/H = max{|o|n:nG {0,1,2...}}.
Обратное утверждение также верно: если {ап} сходится к нулю
в Qp, то ряд G.2) определяет непрерывную функцию на Zp.
1.7.2. Мера как функционал. Определим Qp-значную меру на Zp
как непрерывный Qp-линейный функционал /i: C(Zp) —>• Qp. Тогда
множество мер совпадает с сопряженным пространством: C'(Zp). Ис-
Используя разложение Малера, получаем
п=0
где /in = 1л(С%). Следовательно, \li(f)\K ^ L^maxlanl^ = L/i||/||,
где Ьц = sup|/in|K (по теореме 7.1). Таким образом, ||/х|| ^ LM. Но
п
\\С%\\ = 1 (по теореме 7.1.3) и
То есть мы доказали, что \\fi\\ = LM и что любая мера на Zp
представляется ограниченной последовательностью {/in} р-адиче-
ских чисел. Обратное утверждение также верно: любая ограниченная
последовательность р-адических чисел определяет меру fi с помощью
равенства G.4).
1.7.3. Мера как функция множества. Обозначим через $(ZP) систе-
систему замкнуто-открытых подмножеств множества Zp. Характеристиче-
Характеристическая функция фи{х) является непрерывной для любого U G <§>(Zp).
Следовательно, существует соответствие между функцией множества
U —>• fJ>(U) = 1м(фи) и мерой /1. В частности, так как линейный
функционал II аддитивен, то соответствующая ему функция множества
тоже аддитивна:
UnV = 0.	G.5)
Так как линейный функционал \± непрерывен, то соответствующая ему
функция множества обладает свойством ограниченности:
sup{|At(V)|p : VCU,V€ Ф(гр)} < оо	G.6)
2 Хренников А.Ю.

34	Гл. 1. Первые шаги к неархимедовой математике
для любого U E <$>(Zp). Можно доказать, что любая функция множе-
множества /i: &(Zp) —>• Qp, для которой выполняются условия G.5) и G.6),
может быть продолжена до меры на Zp (непрерывного линейного функ-
функционала /i: C(Zp) —>• Qp). Как обычно, в качестве первого шага, мы
определим по линейности этот функционал на пространстве Е, состоя-
состоящем из линейных комбинаций характеристических функций замкнуто-
открытых подмножеств множества Zp (используя G.5)). На втором ша-
шаге покажем ограниченность функционала fi: E —>• Qp (используя G.6)):
\\fjb\\E = sup{|/i@)|p / \\ф\\ : ф Е Е, ф ф 0} < оо.
Таким образом, этот функционал является непрерывным в топо-
топологии, индуцированной из C(Zp). И для завершения доказательства
остается применить теорему 6.1, чтобы продолжить по непрерывности
функционал II с Е на C(Zp). Итак, мы доказали, что существует
взаимно однозначное соответствие между мерами, определенными
как Qp-линейные непрерывные функционалы на пространстве C(Zp),
и функциями множества, определенными на системе &(ZP) (которая
состоит из замкнуто-открытых подмножеств) такими, что выпол-
выполняются условия G.5) и G.6).
1.7.4. Отсутствие меры Хаара. Докажем, что не существует транс-
трансляционно инвариантной меры /i: <$>(Zp) —>• Qp. Как обычно, мера
называется трансляционно инвариантной, если
fi(a + U) = fi(U), а е Zp, Ue^(Zp).	G.7)
Сначала докажем, что рп аддитивных комножеств вида pnZp в Zp
дают разбиения множества Zp. Из канонического разложения х Е Zp
получаем, что ж = ао + . . .-\-an-ipn~l-\-z, где z E pnZp. Теперь заметим,
что цифрами cti, 0 ^ i ^ п — 1 могут быть только {0, 1, ..., р — 1}, т. е.
существует только рп различных возможностей. Причем различные
комножества имеют пустое пересечение.
Пусть \i трансляционно инвариантная мера. Из G.5) и G.7)
получаем
рп
Zp).	G.8)
Из G.6) следует, что sup \fi(pnZp)\ < ос, поэтому fi(Zp) =
п
— yim pnfji(pnZp) = 0. Учитывая G.8), получаем fi(pnZp) = 0 для
любого п = 0,1, . . . Таким образом, в силу трансляционной инвариант-
инвариантности получаем, что fi(Ur(a)) = 0 для любого шара в Zp (так как все
радиусы имеют вид г = р~п, п = 0,1,...).А любое замкнуто-открытое
подмножество может быть представлено как конечное объединение
непересекающихся шаров.

§ 1.7. Теория Малера	35
Заметим (см. [101], [102]), что существует трансляционно инвариант-
инвариантная мера /jl: <$>(Zp) —>• Qq, где р ф q. Данный вопрос будет обсуждаться
более подробно в гл. 6 в контексте теории интегрирования Монна-
Спрингера.
1.7.5. Интеграл Волкенборна (равномерное распределение).
Из G.8) получаем, что /jJ(pnZp) = A/рп) для /J>(Zp) = 1. Следо-
Следовательно, fi(Ur(a)) = г для г = A/рп). Поэтому можно определить
трансляционно инвариантную конечную аддитивную функцию на
алгебре замкнуто-открытых подмножеств с помощью значений этой
меры на шарах. Но из предыдущих рассуждений следует, что она
будет неограниченной. Следовательно, невозможно интегрировать все
непрерывные функции с помощью этой «меры».
Существует другой способ введения данного интеграла. Интеграл
Волкенборна для функции /: Zp —)> Qp определяется равенством
[ f(z) dx = lim (l/pn)(/@) + ... + f(pn - 1)).
>оо
Здесь этот интеграл не будет изучаться на математическом уровне
строгости. Для этого нам нужно было бы ввести новое функциональное
пространство (строго непрерывно дифференцируемых функций [106]).
Мы только заметим, что существуют такие непрерывные функции,
для которых интеграл Волкенборна не определен. Но он корректно
определен для характеристических функций шаров и
m(Ur(a)) = фиЛа)(х) dx = r, r = 1/рп.
Следовательно, этому интегралу соответствует (трансляционно ин-
инвариантная) аддитивная функция множества. Отметим также, что
интеграл Волкенборна корректно определяется и для любых полино-
полиномиальных функций и
где Вп — числа Бернулли, которые определяются равенством
оо
оо
а _ ^-^ Впа
2
2-*i n\
п=0
Справедлива следующая оценка:

36	Гл. 1. Первые шаги к неархимедовой математике
Интеграл Волкенборна определен для аналитических функций /:
оо
Zp -> Qp, f(x) = ? апхп:
f(x)dx = }2anBn.
J		n
п=0
п=0
«Мера» Волкенборна в некотором смысле является равномерным
распределением на кольце р-адических целых чисел. Попытаемся вве-
ввести равномерное распределение на множестве натуральных чисел N
(здесь мы рассматриваем нуль как элемент N). Возьмем первые рп
чисел 0, 1, ..., рп — 1 с равномерными весами 1/рп . Пусть п —>• оо.
Получим равномерное распределение. В обычном случае получить та-
такое распределение невозможно. Мы же получаем его на множестве Zp,
в котором множество натуральных чисел плотно. Но это распределение
не является мерой даже в р-адическом случае.
Интеграл Волкенборна мы будем изучать в гл. 2 на основе теории
обобщенных функций. «Мера» Волкенборна будет введена как обоб-
обобщенная функция (распределение).

Глава 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАУССА, ЛЕБЕГА
И ФЕЙНМАНА НАД
НЕАРХИМЕДОВЫМИ ПОЛЯМИ
Интегралы Гаусса и Фейнмана на числовой прямой Я,
IG = \ ^х)е-^^^= IF = \ ф)е~*2/™^,
J	V2tt6	J	У2тг6г
R	R
определяются с помощью меры Лебега dx на R. Интеграл Гаусса Iq —
это интеграл, соответствующий мере Гаусса на Я, которая являет-
является абсолютно непрерывной относительно меры Лебега dx. Ситуация
осложняется в случае осциллирующего интеграла Фейнмана. Если
функция (р интегрируема по мере dx на Я, то интеграл Iq является
интегралом Лебега (так как экспонента ограничена). Если if не ин-
интегрируема по Лебегу, то интеграл рассматривается как обобщенный
интеграл, определяемый в соответствии с теорией распределения на Я,
т. е. If = (mf, ф), где \±f — соответствующее распределение (обобщен-
(обобщенная функция) на R.
В неархимедовой теории возникает новая проблема, которая связа-
связана с отсутствием меры Лебега (Хаара) dx с неархимедовыми значения-
значениями. Отсутствие этой меры серьезно осложняет построение неархимедо-
неархимедовой теории для интегралов Гаусса и Фейнмана.
Эта проблема была решена в работах [57-59], [64], [72]. В рамках
теории распределений, распределение Гаусса рассматривается как
непрерывный функционал на пространстве целых аналитических
функций. Эта конструкция основана на равенстве Парсеваля. Из
равенства Парсеваля следует, что, для того чтобы найти распределение
некоторой функции, необходимо знать преобразование Лапласа
(Фурье) этого распределения. По аналогии с теорией действительных
функций можем предположить, что преобразование Лапласа (Фурье)
неархимедова распределения Гаусса — это квадратичная экспонента
на неархимедовом числовом поле.
Далее распределение Лебега в неархимедовом поле вводится как
абсолютно непрерывное распределение относительно гауссовского рас-
распределения.
Для получения неархимедова аналога интеграла Фейнмана If
также используется равенство Парсеваля. Надо отметить, что в неар-
неархимедовой теории практически не существует различия между инте-
интегралами Iq и 1р, так как поведение обеих квадратичных экспонент

38	Гл. 2. Распределения Гаусса, Лебега и Фейнмана
практически одинаково. Не представляет проблемы и поведение этих
экспонент на бесконечности, так как они определены только в неко-
некоторой окрестности нуля. Это и является основной причиной специ-
специфического выбора [72] пространства основных функций неархимедова
аргумента, а именно: это пространство состоит из всех функций анали-
тичных в нуле (вообще говоря, не определенных на всем поле).
Идея ввести неархимедовы распределения Гаусса и Фейнмана с по-
помощью равенства Парсеваля была заимствована из теории интегра-
интегралов Фейнмана для бесконечномерных действительных пространств [1],
[134], [115-117], [43-45]. Для таких пространств над R мера Лебега dx
также отсутствует. Бесконечномерный анализ имеет много общего
с неархимедовым анализом.
Аналогичная ситуация возникает в суперанализе, где не существует
меры Лебега и используются только интегралы-распределения (даже
в случае конечной размерности), см. [46], [49], [50]. Об интегралах Гаусса
и Фейнмана для неархимедовых суперпространств см. [51], [66], [73], [74]
(также здесь вводится интеграл Волкенборна для суперпространств).
§ 2.1. Аналитические функции
над неархимедовыми полями
Теперь рассмотрим пространства аналитических функций, которые
будут играть основную роль в теории распределений. Как уже отмеча-
отмечалось в первой главе, мы рассматриваем только функции, определенные
на шарах с центром в нуле. Намного проще рассматривать только
те шары, у которых радиусы R ? Г (только такие шары являются
«естественными шарами»).
Символом Ur обозначим шар Ur@) в Кп. Функция /: Ur —>• /С,
R G Г, аналитична, если ряд
/(а;) = Х)/а*а, faeK,	(l.i)
а
сходится равномерно на Ur. Здесь a(c^i, . . . , суп), ol{ = 0,1, 2, . . .,
и ха = х±г • . . . • х™п. Согласно неархимедову критерию Коши для
сходимости ряда A.1) необходимо и достаточно, чтобы
lim \fa\KRW=0.	A.2)
|а|—Юо
Для доказательства необходимости используется то, что R Е Г. Су-
Существует такое а я Е /С, что |ад|к Е К. Точка xr = (clr, . . ., ад) Е Ur.
И если ряд A.1) сходится в этой точке, то выполняется условие A.2).
Топология в пространстве A(Ur) = Л(С/д, К) (= Ar) функций,
аналитичных на шаре Ur, определяется неархимедовой нормой |
= max \fa\x Ra- Это неархимедово банахово пространство.

§2.1. Аналитические функции над неархимедовыми полями	39
Функция /: Кп —} К является целой, если ряд A.1) сходится на
шаре Ur для любого ЯеГ. Топология в пространстве целых функций
А(Кп) = А(Кп, К) (= А) определяется системой неархимедовых норм
{II ' Ня}яея+- Последовательность целых функций {/п} сходится в А,
если она равномерно сходится на любом шаре Ur. Нетрудно заметить,
что эта топология может быть определена при помощи произвольной
последовательности норм {|| -\\R }^_1?где lim R^ = ос. Это неархиме-
дово пространство Фреше. Такой тип топологий известен как топология
проективного предела банаховых пространств:
А(Кп) = lim proj A(UR).
Я—)>оо
Замечание 1.1. Последовательность функций {/п} сходится
в пространстве А к функции /, если ||/п — /||д —>• 0 для любой
нормы || • ||д.
Функция является аналитической в нуле, если существует радиус
R G Г такой, что / Е A(Ur). Пространство аналитичных в нуле функ-
функций А()(Кп) = Ао(Кп, К) (= Aq) наделяется топологией индуктивного
предела
А0(Кп) = lim indA(UR).
Замечание 1.2. Согласно теории индуктивных пределов после-
последовательность функций {/п} сходится в пространстве Aq, если все
эти функции принадлежат пространству Ar для некоторого R и эта
последовательность сходится в банаховом пространстве Ar.
Пространство Aq является полным локально выпуклым простран-
пространством.
Замечание 1.3. Если читатель не интересуется построением то-
топологий, он может рассматривать только сходимость последовательно-
последовательностей функций.
Утверждение 1.1. Операторы дифференцирования d/dxj\
As —> As, j = 1,. . . ,ra, непрерывны.
Доказательство. Так как
qx. J\X) — Z^^j/a^l • • • Xj	• • • Xn i
a
TO
ЫкШкб^-1 < (l/5NW\fa\K -> 0, \a\ -»¦ oo
(мы использовали оценку |ттг|х ^ 1 для натуральных т).
Следовательно, ——f(x) E As. Далее,
ox j
-/
A-3)
*

40
Гл. 2. Распределения Гаусса, Лебега и Фейнмана
Используя определения топологий в пространствах А и Ло, полу-
получаем, что операторы дифференцирования d/dxj непрерывны в этих
пространствах. Напомним, что если линейный оператор непрерывен
в любом банаховом подпространстве индуктивного предела, то он
непрерывен.
Утверждение 1.2. Пространства As являются неархимедовыми
банаховыми алгебрами.
Доказательство. Ограничимся случаем п = 1. Пусть функ-
функции fug принадлежат пространству As. Тогда
(fg){rn)(o)
к
max
Мы выберем такое TV, что для s
К
f{k)(o)
N
g{s)@)
к \(т-к)\\к
g
{rn-k
К
К max
*)'
Пусть т ^ 2N. Если к ^ N, то
max
,\Ш
е.
Если k < N, то т - к ^ N и
(fg)
(т
К
*. 1
Таким образом,
^7^^@)|
0,
оо и
A.4)
Как следствие этих утверж;дений мы получаем, что пространство Л
является неархимедовой алгеброй Фреше (так как неравенство A.4)
справедливо для любой нормы, определяющей топологию на Л), а про-
пространство Aq неархимедовой локально выпуклой алгеброй (так как
в индуктивном пределе неравенства A.4) влекут непрерывность опе-
операции умножения).
§ 2.2. Аналитические распределения,
распределения Гаусса и Фейнмана
Выберем пространства аналитических функций А(Кп) и Ао(Кп)
в качестве пространств основных функций и пространства /С-линейных
непрерывных функционалов А'(Кп) и А'0(Кп) в качестве пространств

§ 2.2. Аналитические распределения, распределения Гаусса и Фейнмана 41
распределений (обобщенных функций). Эти пространства распределе-
распределений допускают явное описание в виде пространств дифференциальных
операторов бесконечного порядка с коэффициентами поля К. Для
дифференциального оператора бесконечного порядка
где Ра G К, 5(х) — функция Дирака, мы полагаем
Вводим пространства Dр = \ Р '• ||Р|| < оо >. Как обычно, обоб-
обобщенная производная функции Дирака определяется с помощью урав-
уравнения: (?(а)(ж), /(ж)) = (—l)a/(a)@). Дифференциальный опера-
оператор можно рассматривать как функционал: (Р, /) = *^2 Paf
ос
Следующая теорема дает представление пространства распределений
(непрерывных линейных функционалов) с помощью дифференциаль-
дифференциальных операторов бесконечного порядка.
Теорема 2.1. А' = HDp к Af0 = UDp.
Таким образом, дифференциальный оператор бесконечного поряд-
порядка Р является распределением на пространстве целых аналитических
функций, если ||Р|| < оо для всех р > 0. Более того, дифференци-
дифференциальный оператор бесконечного порядка Р является распределением
на пространстве функций, аналитичных в нуле, если ||Р|| < оо для
некоторого р > 0. Доказательство этой теоремы основано на следующем
утверждении.
Утверждение 2.1. Мономы еа = ха образуют базис в локально
выпуклых пространствах А и Aq, причем ||ео||д = WaK
Таким образом, степенное разложение любой целой аналитической
функции сходится в пространстве Фреше А. Это разложение сходится
в неархимедовом локально выпуклом пространстве Aq для любой ана-
литичной в нуле функции. Доказательство этого утверждения основано
на прямой оценке, основанной на определении нормы || • \\R. Затем
применяется теорема 5.1 из гл. 1. И чтобы закончить доказательство
для пространства Ло, мы должны использовать основное свойство
сходящихся последовательностей в индуктивных пределах (см. заме-
замечание 1.3).
В частности, это утверждение позволяет представлять простран-
пространства основных функций А и Aq в виде пространств /^-последователь-
/^-последовательностей. Такое представление иногда очень удобно при вычислениях. По
теореме 2.1 пространства распределений А' и А'о можно представить
в виде последовательностей. Если Р = (Ра) и / = (/а)? т0

42	Гл. 2. Распределения Гаусса, Лебега и Фейнмана
Введем топологии в пространствах распределений, используя утвер-
утверждение теоремы 2.1:
А' = lim ind Dp, A'o = lim proj Dp.
Утверждение 2.2. Мономы efa = (—l)a5^a\x) образуют базис
в пространстве Л', наделенном индуктивной топологией, и в простран-
пространстве Лд, наделенном проективной топологией.
Заметим для дальнейших рассмотрений (гл. 3), что (е^,,еа) = а\.
Более подробные исследования свойств пространств Л, Ло, А', А'о
вы можете найти в работе [57]. В частности, в этой работе было доказа-
доказано, что пространства основных функций А и Aq рефлексивны: А" = А
и А"о = Ао.
Использование аналитических функций является наиболее простым
путем к неархимедовому обобщению теории распределения. Эта анали-
аналитическая теория необходима в приложениях неархимедовой математи-
математической физики. Как обычно, удобно использовать символ интеграла
для обозначения действия распределения на основную функцию. Для
нас удобна следующая запись:
J(F) = (J, F) = | J(dx)f(x), JGA'O, f e Ao,
M/) = (/, /*) = I f(x)p(dx), /i e A', feA.
To есть мы записываем распределения класса Af0 слева, а распреде-
распределения класса А' — справа от основной функции. Прямое произведение
двух распределений J\ и J<i G Af0 определяется как
,v) = Ji(du) J2(dv)f(u,v).
Простые (но достаточно громоздкие) вычисления со степенными
рядами показывают, что прямое произведение J\ 0 J2 является непре-
непрерывным /С-линейным функционалом на пространстве Aq. Значит, оно
принадлежит пространству AfQ. Все оценки в этих вычислениях основа-
основаны на усиленном неравенстве треугольника. Поэтому операция прямого
произведения распределений корректно определена в пространстве AfQ.
Свертка двух распределений Ji, J2 G Af0 определяется равенством
/i * J2(dv)f(v) = J\ 0 J2(dvidv2)f(vi + v2).

§ 2.2. Аналитические распределения, распределения Гаусса и Фейнмана 43
Данная операция также корректно определена в пространстве AfQ.
Операции прямого произведения и свертки в пространстве А мы введем
аналогичным образом. Доказательства всех утверждений, касающихся
операций 0и*, можно найти в работе [69].
Обычным образом мы можем ввести операцию дифференцирования
в пространствах распределений А'о и A': (8J/дг/j, ф) = — (J, дф/дг/j),
J G Ао, ф Е Aq, и аналогично для \± Е А!, ф Е А. Эта операция
корректно определена, так как операторы д/дг/j, j = 1, . . ., являются
непрерывными в локально выпуклых пространствах Aq и А.
Обычным образом мы можем также ввести в пространствах распре-
распределений операцию умножения распределения на основную функцию:
(gJ, ф) = («/, g), J Е Af0, g, ф Е Ло, и аналогично в случае \i E Л',
g", 0 Е А Эта операция корректно определена, так как пространства
основных функций являются локально выпуклыми алгебрами.
п
Введем скалярное произведение на Кп, полагая (ж, у) = ^2 xjVj-
i=i
Определение 2.1. Преобразованием Лапласа распределения
g- E Aq называется функция L(g)(y) = (#,exp{(y, •)}).
Как уже отмечалось в гл. 1, экспоненциальная функция является
аналитической в некоторой окрестности нуля; эта окрестность зависит
от поля К. Следовательно, функция ехр{(у, •)} является аналитиче-
аналитической в окрестности нуля для любого у Е Кп, т. е. она принадлежит Aq
для любого у Е Кп и преобразование Лапласа корректно определено.
Вот почему пространство основных функций Aq выбрано нами как
базис для неархимедового преобразования Лапласа.
Теорема 2.2. Преобразование Лапласа L: А'о —» А является изо-
изоморфизмом.
Мы получим точно такой же результат для случая бесконечной
размерности в гл. 3. Полное доказательство этой теоремы для случая
конечной размерности можно найти в работе [72].
Таким образом, мы получили неархимедово исчисление Лапласа
А'о -^Л, Л, ?- А1.	B.1)
Неархимедово преобразование Лапласа имеет такие же свойства,
как и в обычном случае. Пусть J, Ji, J2 Е Ао и /i, /ii, Д2 Е А. Тогда:
1)	LiJ, * J2) = Ь{^)ЬЩ и L'(/ii * /*2) = Ь'Ы^'Ы;
2)	L^-J) = dL(J)/dXj и //(^/i) = dL'M/dyy,
3)	L(dJ/dyj) = -XjL(J) и L'(<9/i 0Ж,-) = -yjL'(fi).
Эти свойства вытекают из определений. Согласно определению со-
сопряженного оператора мы имеем равенство Парсеваля
L(g)(y)n(dy) = | g{dx)L'(p){x).	B.2)

44	Гл. 2. Распределения Гаусса, Лебега и Фейнмана
Определение 2.2. Распределение Гаусса на Кп (со средним зна-
значением а Е Кп и ковариационной матрицей В) определяется как
распределение 7а,б G Aq с преобразованием Лапласа L' (^а,в)(х) =
= ехр{1/2(Бж, х) + (а, х)}.
Если вместо К рассмотреть Я, то мы получим обычное гауссовское
распределение для ковариационной матрицы В > 0.
Для интеграла, соответствующего распределению Гаусса, мы ис-
используем обозначение
(p(x)expl--(B~1(x-a),(x-a))\dx.
j
Произведение квадратичной экспоненты на dx — это только символ,
определяющий гауссовское распределение 7а,б- Но этот символ удобен
при вычислениях. Формально мы можем работать с квадратичной
экспонентой как с обычной плотностью по отношению к мере dx. Но
чтобы обосновать такие вычисления, мы должны использовать преоб-
преобразование Лапласа. Это символическое представление для гауссовского
распределения 7а,б содержит единичную нормировку интеграла
ехр < —(В~1(х — а), (х — а)) > dx.
Используя равенство Парсеваля B.2), мы имеем
| L(g)(x)exp{-l(B-1(x-a),(x-a))}dx =
С	п	^
• B-3)
То есть можно вычислить любой интеграл Гаусса, используя только
преобразование Лапласа.
Отметим также, что формула интегрирования по частям для рас-
распределения Гаусса выглядит так: если (р ? Л, а Е Кп, то
К'
(р(х)(а, х) ехр <—(В xx,x)\dx =

§ 2.2. Аналитические распределения, распределения Гаусса и Фейнмана 45
Мы представим доказательство этой формулы, чтобы продемон-
продемонстрировать технику преобразования Лапласа для гауссовских интегра-
интегралов. Используя B.3) и свойства L, получаем
/= ip(x)(a, х) ехр <—(В~1х, х) > dx =
кп
= L'1^)* pa(dy)exp{-(By,y)V
, Л , ч А дё(х) „
где ра = (gradd,a) = 2^ а^ v . Следо
j=l	OXj
= L-1((p)®pa(dy1,dy2)ex
довательно,
1=
К
Более того, мы видим, что L((Ba, •)L~1((p)) = (Ba, grad ip). Для
завершения доказательства применим равенство B.3) еще раз.
Все предыдущие рассуждения можно повторить и для аналити-
аналитических функций /: Кп —*Z,Z = K(y/r). Здесь используется про-
пространство целых функций v4(/Cn,Z), пространство А$(Кп, Z) функ-
функций, аналитичных в нуле, и пространства распределений A'(Kn,Z)
и v4g(A^n, Z). В рамках теории распределений вводится гауссовское
распределение, для которого а Е Z и элементы матрицы В принадле-
принадлежат Z. Для ^-значной теории мы также вводим преобразование Фурье:
Теорема 2.3. Преобразование Фурье F: А'0(Кп, Z) -+ А(Кп, Z)
является изоморфизмом.
Преобразование Фурье имеет обычные свойства. Отличие заклю-
заключается только в замене г —>• у/т во всех стандартных формулах. Если
К = Qp и р ф I(mod4), то может быть рассмотрено квадратичное
расширение Z = Qp(i), г = л/—Т. В этом случае преобразование Фурье
определяется той же формулой, что и в действительном случае, а все
формулы совпадают с комплексными аналогиями.
Пример 2.1. Каноническое распределение Гаусса i/(dx) = e~x dx.
Мп= I xne~x2dx=
I

46	Гл. 2. Распределения Гаусса, Лебега и Фейнмана
Следовательно, M2k+i = 0, М2к = B к - 1)!!/2/с. Используя утвер-
утверждение 2.1, мы получаем формулу для вычисления интеграла Гаусса
оо
для любой целой функции f(x) = ^2 fnxU'-
п=0
К	"=°
Многие «необычные», с точки зрения теории действительных функ-
функций, функции являются интегрируемыми. Пусть К = Qp. Тогда функ-
оо
ция f(x) = ^2 п^-хп является интегрируемой и
п=0
Теперь введем эрмитовы полиномы над полем К:
Здесь, как обычно,
I" Hn(x)Hm(x)e-x2dx = 0,
Вычислим интеграл Нп(х)е~х dx. Чтобы сделать это, заметим,
что произведение основной функции Нп Е Л и распределения v E Л!
равно обобщенной производной (—1)п-—{у) от v.
ахп
п ф т.
к	к
dn
dxn v v
к	к
x2dx = Тп\ \ e~x2dx =
= 2пп\.
Пример 2.2. Каноническое гауссовское распределение ^y(dz, dz) =
= e~zzdzdz.
Пусть К = Z] обозначим через z и z независимые переменные на
Z\ uj = (z, z) — переменная на Z2, zz = 1/2(Вси, со), где В имеет вид
I .. ^ I. Следовательно, 7{dz, dz) — это распределение Гаусса на Z2

§ 2.3. Неархимедово гильбертово пространство
47
с нулевым средним значением и ковариационной матрицей В, причем:
lzme-zSdzdz =
Z2
z=0,z=0
*^Х-> n-JP
Например, функция /(z, z) = Yl —v-znzn принадлежит простран-
n=0 n'
ству A(Z2, Z) и для нее имеем
n=0
Как уже отмечалось, z и z — две независимые переменные на Z2,
§ 2.3. Неархимедово гильбертово пространство
Квантование над неархимедовыми числовыми полями должно быть
основано на неархимедовом аналоге гильбертова пространства. В мате-
математической литературе [101], [106] понятие неархимедового гильберто-
гильбертова пространства, соответствующего физическим приложениям, еще не
выработано. Понятие ортогональности в неархимедовых пространствах
основано на норме, а не на скалярном произведении. Напомним, что
система векторов {e^jj^j в неархимедовом нормированном простран-
пространстве Е является ортогональной, если
для каж:дого конечного множества S G J и любого ж^ G К". Орто-
Ортогональная система {ej}jej называется ортогональным базисом в Е,
если ж = X^^jei Для любого вектора ж G Е. В этом случае простран-
пространство Е называется ортогонализируемым. По теореме ортогонализации
Дж. П. Серра каждое дискретно-нормированное неархимедово банахо-
банахово пространство является ортогонализируемым.
Не существует стандартного определения скалярного произведе-
произведения (•,•) в ортогональном пространстве Е. Предположим, что векто-
векторы {е^} должны быть ортогональны не только относительно нормы,
но и относительно скалярного произведения. Тогда
у ^
где Xj = (ej,ej). Данный ряд сходится тогда и только тогда, когда
lim \xj\k y/\^j\K = 0. Но банахово пространство Е содержит такие ж,

48	Гл. 2. Распределения Гаусса, Лебега и Фейнмана
для которых lim \xj\k \\ej\\ = 0. Если ||ej||2 G Г, то в качестве Xj мы
можем взять любой элемент поля К такой, что |Aj|x = ||е^||2. Если
||ej||2 ^ Г, то вообще невозможно найти Xj Е К. Поэтому естественно
включить числа Xj в определение неархимедового гильбертова про-
пространства. Далее мы будем рассматривать только счетные множества
индексов. Для последовательности Л = (Лп) Е К°°, Хп ф 0, мы
полагаем
ЯЛ = {/ = (/п) : ряд ^2 fnXn сходится}.
Из неархимедового критерия Коши следует, что
Нх = {/ = (/„) : Нт \fn\K J\K\^ = о}.
В пространстве Н\ введем норму, относительно которой векторы
ej = (elj) = (dlj) являются ортогональными, ||/||Л = max|/n|K \/|An|K.
Пространство Н\ является неархимедовым банаховым пространством.
В пространстве Н\ введем скалярное произведение, полагая (f,g)\ =
= ^2 fngn^n- Квадрат длины вектора / Е Н\ определяется равенством
|/|Л = Х^/n^n- Скалярное произведение Н\ х Н\ —» К непрерывно.
Имеет место неравенство Коши-Буняковского:
\V,gh\K< II/II \\g\\-	C-1)
Определение 3.1. Тройка (//д? (•, -)д, || • ||д) называется коорди-
координатным гильбертовым пространством [64], [72].
В абстрактном неархимедовом линейном пространстве Е скалярное
произведение задается произвольной невырожденной симметричной
билинейной формой (•,•): Е х Е —> К. Очевидно, что невозможно вве-
ввести аналог положительно определенной билинейной формы. Например,
для поля р-адических чисел любой элемент 7 E Qp можно представить
в виде 7 = (ж, х)\, х е Нх (см. [17]).
Тройки (Ej, (•, -)j, || • || •), j = 1,2, где Ej — неархимедовы бана-
банаховы пространства, || • ||. — нормы и (•, -)j — скалярные произведе-
произведения, удовлетворяющие неравенству C.1), являются изоморфными, если
пространства Е\ и Е<± алгебраически изоморфны и алгебраический
изоморфизм Е\ —» E<i является изометрическим и унитарным, т. е.
||/ж||2 = ||ж||ь (Ix,IyJ = (x,y)i.
Определение 3.2. Тройка (?/,(•,•), || • ||) является неархимедо-
неархимедовым гильбертовым пространством, если она изоморфна координатному
гильбертову пространству (Яд, (-,-)\, || • ||Л) для некоторых А.
Отношение изоморфизма делит класс гильбертовых пространств на
классы эквивалентности. Мы задаем класс эквивалентности гильбер-
гильбертовых пространств некоторым координатным представлением Яд.

§ 2.3. Неархимедово гильбертово пространство	49
Пример 3.1. Пусть А = A) и /х = BП). Пространства Н\ и Яд
принадлежат одному и тому же классу эквивалентности для поля
К = Qpi Р Ф 2, но различным классам для поля К = Q2.
По аналогии можно ввести неархимедовы гильбертовы простран-
пространства над квадратичными расширениями Z = К(у/т). Для последова-
последовательности А = (An) G К°°, Хп ф О, мы вводим
Н\ = {/ = (/n) G Z°° : ряд ^ |/п|2 Ап сходится в поле К} =
= {/ = (/n): lim \fn\
(f,g) = E fninXn; \f\2x = (/, /)a = E \f-\2K e к.
\x
Тройка (//д, (#, *)а5 II * ||д) называется неархимедовым комплексным
координатным гильбертовым пространством. Неархимедово комплекс-
комплексное координатное гильбертово пространство (?7,(-,-),||-||) определя-
определяется как изоморфный образ координатного гильбертова пространства.
Заметим, что пространство, сопряженное с неархимедовым гиль-
гильбертовым пространством, не совпадает с ним.
Поэтому оснащенное гильбертово пространство естественно опреде-
определить как четверку вложенных пространств V С Е С Е' С V7, где V —
топологическое линейное пространство, плотно вложенное в Е.
Мы также будем использовать в некоторых физических моде-
моделях неархимедово гильбертово пространство над полем комплексных
р-адических чисел Ср. Все квадратные корни ^J~Уj можно вычислить
в Ср, поэтому нет необходимости включать эти коэффициенты в опре-
определение гильбертова пространства. Таким образом, нам нужно опреде-
определить только стандартное пространство последовательностей:
Н(Ср) = {/ = (/п), /п е Ср : ряд Е fn сходится}.
Но имеется существенное отличие от обычного комплексного случая,
так как в поле Ср нет инволюции. Скалярное произведение на Н(СР)
определяется как (f,g) = ^ fngn- To, что скалярное произведение
(/, /) принимает свои значения в поле Ср, а не в Qp, является серьезной
проблемой для наших дальнейших физических исследований.

50	Гл. 2. Распределения Гаусса, Лебега и Фейнмана
§ 2.4. Пространство L2(Kn,e~\x\ dx) функций,
квадратично интегрируемых относительно
распределения Гаусса
В пространстве целых функций А(Кп, Z) рассмотрим каноническое
распределение Гаусса
п
/ 1 \	—\т\2 1	|2 V^ 2
v\dx) = е ' ' аж, ж| = J j ж?-.
Используя тот факт, что пространство Л является алгеброй, введем
на нем скалярное произведение
и квадрат длины функции /
О	I	О	I |2
тА _ I f (T)\z p-fI rlT а К	(А 2)
Алгебра А является топологической, поэтому скалярное произве-
произведение (•, •) непрерывно на А х А. Символом На(х) будем обозначать
полиномы Эрмита, соответствующие гауссовскому распределению г/,
"(ai,...,an)l^b • • • •> %п) = -HOilyX]_) . . . ii otnyXnj.
Утверждение 4.1. Полиномы Эрмита На(х) ортогональны от-
относительно скалярного произведения (•, •) и
Ч2 (т)р~\х\2с/т — 2lalryf
Это утверждение вытекает из примера 1.1.
Теорема 4.1 (оценка роста коэффициентов Эрмита для целых
функций). Пусть / G А. Тогда для коэффициентов Эрмита fa =
= (/, //а)/(//а, На) выполняется неравенство
/a
для всех R ^ 1/^J\2\K.
c ii/ii.

§ 2Л. Пространство Li(Kn, е 'ж' dx) функций	51
Доказательство. Пусть п = 1. Тогда, используя пример 1.1,
получаем
оо
тгп = (/, Нп) = ^fn+vW + 1) • . . . • Bj + n)Bj - 1)!!2"'.
i=o
Следовательно,
n\K ^sup(J/n+2j|KK'^
3
Теорема 4.2. Полиномы Эрмита На(х) задают базис в простран-
пространстве целых функций А.
Доказательство. Пусть п = 1. Оценим нормы полиномов Эр-
Эрмита в А. Используя рекурентное соотношение Hn+i(x) = 2хНп(х) —
— 2nHn-i(x), получаем
^(\2\KR)n+\ Re Г,
Используя оценку D.3), получаем
/„
к
п\\к < ||/||Й1 (ЬЯ/ЯгГ -»¦ О
при Ri > bR. Следовательно, ряд Фурье, соответствующий эрмитовым
полиномам ^/п//п(ж), сходится в пространстве Л для всех / Е А.
Докажем, что он сходится к /. Для этого нам достаточно показать,
что /(n)@) = g"(n)@), где g(x) — сумма ряда. С помощью прямых
вычислений покажем, что
Аналогично можно рассмотреть производную в нуле. Таким обра-
образом, мы доказали, что
для любых / Е А.
Утверждение 4.2. Пусть /, g E А. Тогда
D.4)
D.5)
Для доказательства этого утверж:дения достаточно использовать
теорему 4.1 и утверждение 4.1.

52
Гл. 2. Распределения Гаусса, Лебега и Фейнмана
Введем на пространстве А норму, относительно которой полиномы
Эрмита ортогональны:
Пополнение пространства целых функций относительно этой нормы
называется пространством функций, квадратично интегрируемых от-
относительно распределения Гаусса v. Оно обозначается через Ь2(Кп', v).
Утверждение 4.3. L2(Kn, i/) = {/ = Е/а#а: ряд |/|2 =
= Z) /а «!2'а| сходится } = {/ = ?) /аЯа: lim
|а|—>-оо
^ =
}
Скалярное произведение D.5) непрерывно на L2(/Cn,^), и выпол-
выполняется неравенство Коши-Буняковскго C.1). Тройка (L2(/Cn, ^), (•, •),
|| • ||) является неархимедовым комплексным гильбертовым простран-
пространством класса //(ai2i«i)- Четверка
А(Кп, Z) с L2(Kn, и) с L'2(Kn, v) с А'(Кп,
D.6)
является оснащенным гильбертовым пространством. Будем использо-
использовать равенства D.1) и D.2) для скалярного произведения и квадрата
длины на L<i(Kn', г/)- Заметим, что
= lim
К"
К"
где
faHa(x).
Утверждение 4.4. Справедливы включения A(Upi,Z) С
>
Доказательство. (А) Пусть / G L2. Докажем, что ряд D.4)
сходится в A(Up2, Z):
h
К
L
при условии, что
max

§2.5. Пространство L^(Kri, dx) функций
53
(Б) Пусть / G A(UPl, Z). Для вычисления коэффициентов Эрмита
мы используем формулу
/п =
1
нп
fdti - 1) • ... • (i - п + 1)
3=п
Согласно теореме 4.1 найдем
К
ь.\к •
Рассмотрим функцию g(x) = ^2 fnHn(x). Покажем, что
Действительно,
Ь2(Кп,
Более того,
т.е. если Я < /?i/6, то ряд Фурье D.4) сходится в простран-
пространстве A(Ur, Z). Аналогично доказательству теоремы можно показать,
что^/п#п(ж) = f\UR.
Замечание 4.1. Таким образом, в неархимедовом случае все целые
функции являются квадратично интегрируемыми относительно кано-
канонического распределения Гаусса, и все квадратично интегрируемые
функции аналитичны.
§ 2.5. Пространство L2(Kn,dx) функций,
квадратично интегрируемых относительно
распределения Лебега
Введем функциональное пространство
U(Kn, Z) = {/(х) = ^(x)e-l*l2 : ф) € А(Кп, Z)}.
Топология на пространстве U индуцируется из пространства Л целых
функций с помощью изоморфизма /: U —>• Л, /(/)(ж) = /(ж)е'ж1 .
Пространство U является рефлексивным неархимедовым простран-
пространством Фреше. Мы выбираем это пространство в качестве пространства
основных функций, а пространство U' как пространство обобщенных
функций. Пространство обобщенных функций U' изоморфно простран-
пространству А', Г: А' -> U'.
Определение 5.1. Распределением Лебега на неархимедовом
пространстве Кп называется обобщенная функция dx = I'(v) G
G U'(Kn,Z).

54	Гл. 2. Распределения Гаусса, Лебега и Фейнмана
Для обозначения действия распределения Лебега dx на основную
функцию / G U мы используем интегральную запись
(dx,f)= | f(x)dx.
Отметим основные свойства интеграла по распределению Лебе-
Лебега dx.
1. Линейность:
(\f(x) +fj,g(x))dx = \ f(x)dx+fj, g(x)dx.
Кп
2.	Предельный переход под знаком интеграла:
Г	Г
lim frn(x)dx= f(x)dx
m-Юо J	J
при /m ->> /.
3.	Теорема Фубини:
f(x)dx= (... f(x1,...,xn)dx1...)dxn.
Для доказательства теоремы Фубини достаточно показать, что рас-
распределение Лебега dx может быть представлено в виде прямого произ-
произведения распределений, т. е. dx = dx\ 0 . . . 0 dxn.
Введем функциональное пространство
W(Kn, Z) = {f(x) = <p(x)e-W2/2 : <р(х) G Л(Кп, Z)}.
Топология в пространстве W индуцируется из пространства А с по-
помощью изоморфизма J: W —>• Л, «/(/) = /е'ж1 /2. Заметим, что если
/, g" G VK, то произведение f • g E U.
Формула интегрирования по частям (/, g G VK):

§2.5. Пространство L^(Kri, dx) функций	55
Доказательство. Действительно,
^ - 2xJ(f)(x)J(g)(x)>) u{dx) =
, y), (x + y) exp
r, y), ^ exp ^±^) = 0.
Чтобы ввести скалярное произведение и квадрат длины на
функциональном пространстве W, мы используем обычные формулы
(f,g)= } f(x)g(x)dx,	E.1)
|/|2= | |/(x)|2dx.	E.2)
Скалярное произведение (•,•): W x W —> Z непрерывно (см. неравен-
неравенство C.1)). Функции Эрмита (ра{х) = На(х)е~\х\ /2 ортогональны. Из
предыдущей теоремы 4.1 следует, что функции Эрмита задают базис
Шаудера в пространстве W, т. е. для любой функции / ? W ряд
где
f(x)(pa(x)dx
fa = h
(fl(x)dx
сходится в пространстве W. Отсюда следует, что E.1) и E.2) можно
представить в координатной форме:

56	Гл. 2. Распределения Гаусса, Лебега и Фейнмана
На функциональном пространстве W введем норму, относительно
которой функции Эрмита ортогональны:
Пополнение пространства W(Kn,Z) по этой норме называется про-
пространством функций, квадратично интегрируемых по распределению
Лебега, и обозначается L2{Kn, dx). Заметим, что
L2(Kn,dx) = {/(ж) = Y,f°4>a{x) ¦ ряд ^|/Q|2a!2l«l сходится} =
Изоморфизм J:W —> А продолжается до изоморфизма гильбертова
пространства J: L2{Kn^dx) —>• L2(/Cn,z/). В частности, возникает
оснащенное гильбертово пространство:
W(Kn,Z) С L2(Kn,dx) С Lf2(Kn,dx) С W(/T\Z).
Утверждение 5.1. Имеет место включение Ь2(/Сп,с/ж) С
с л(с/4, z), s < Л/Щ^ь.
Доказательство. Функция е~'ж' '2 принадлеж:ит пространству
A(U1,Z) при всех 7 < у/Щ~к7Ь- Из предыдущего утверждения 4.3
получаем
L2(Kn, dx) С L2(K^, */)e-l*l2/2 С Л(^ 7 ^^, Z) С
Замечание5.1. Таким образом, в неархимедовом случае все функ-
функции, квадратично интегрируемые относительно распределения Лебега,
являются аналитическими.
По аналогии мы можем ввести пространство /С-значных функ-
функций, квадратично интегрируемых относительно распределений Гаусса
и Лебега.
§ 2.6. Пространство F2(Zri,^) аналитических
функций, квадратично интегрируемых
относительно канонического комплексного
распределения Гаусса
В пространстве целых функций A{ZГ , Z) рассмотрим канониче-
каноническое распределение Гаусса ^{dzdz) = e~^z^dzdz (в случае большой
размерности оно определяется так же, как и для размерности один, см.

§2.6. Пространство F2(Zn,^) аналитических функций	57
пример 1.2). Введем скалярное произведение и квадрат длины в про-
пространстве A(Zn, Z):
(f,g)= | f(z)g(z)e-^dzdz; |/|2 = (/,/).	F.1)
Мономы za = z^1 • ... • г"та, olj = 0,1,..., ортогональны, при-
причем |za|2 = ol\. Более того, имеет место координатное представление
оо
для скалярного произведения F.1): (/', g) = ^ faga^- В простран-
а=0
стве A(Zn, Z) введем норму, относительно которой мономы za ортого-
ортогональны: II/H = тах|/а|к д/|Ы|к. Пополнение пространства A(Zn, Z)
а,
относительно этой нормы является пространством Z-аналитичных
функций, являющихся квадратично интегрируемыми относительно
распределения Гаусса 7- Это пополнение будем обозначать симво-
символом F2(Zn,7).
Утверждение 6.1. F2(Zn,7) = {/(*) = Е/а^а: ряд |/|2 =
а
= Ys\foc\2 ol\ сходится в К} = {f(z): lim \fa\K y/\a\\K = 0}.
Теорема 6.1. Имеет место включение F2(Zn,7) С A(Up,Z), где
р = 1/Vb.
Четверка пространств
A(Zn, Z) с F2(Zn, 7) с Fi(Zn,-r) С Л'B«, Z)
является оснащенным гильбертовым пространством.
Теорема 6.2. Пусть у/2 G ^, тогда пространства L2(/Cn, (ia;)
и F2(Zn, 7) изоморфны.
Как обычно, изоморфизм ?: L2(Kn, е/ж) -^ F2(Zn, 7) определяется
интегральным оператором
Мы можем сравнить пространства аналитических функций, квад-
квадратично интегрируемых относительно распределения Гаусса: в ар-
архимедовом случае — F2(C,~f)\ в неархимедовом случае — F2(Z, 7)-
Все полиномы с рациональными коэффициентами принадлежат обоим
оо
этим пространствам. Однако, например, функция f(z) = ^ nzn+1
п=1

58	Гл. 2. Распределения Гаусса, Лебега и Фейнмана
не принадлежит пространству ^(С, 7), н0 принадлежит простран-
пространству F2{Z,j):
|/|2=
z'	n=1
ОО
В тоже время функция f(z) = J^ zn /п\ не принадлежит простран-
пространно
ству F2(Z, 7M н0 принадлежит F2(C, 7): I/I = e-
Таким образом, переход к неархимедовому случаю делает возмож-
возможным интегрирование функций, которые в обычной теории не являются
интегрируемыми. С другой стороны, в неархимедовом случае многие
«хорошие» (с вещественной точки зрения) функции не интегрируемы.
§ 2.7. Неограниченность р-адического
распределения Гаусса
Неархимедово распределение Гаусса корректно определено на про-
пространстве целых аналитических функций. Можно ли продолжить
гауссовское распределение до меры и определить интеграл Гаусса от
произвольной непрерывной функции? Ответ на этот вопрос отрица-
отрицательный (в противоположность действительному случаю). Данный па-
параграф содержит (довольно нетривиальное) доказательство того, что
р-адическое распределение Гаусса не является ограниченным. Как
обычно, в р-адической теории случай р = 2 является «патологиче-
«патологическим». В этом случае наше доказательство не работает для большого
класса гауссовских корреляций. Таким образом, в общем случае во-
вопрос о неограниченности р-адического распределения Гаусса остается
открытым.
Пусть Л — некоторая мера в кольце р-адических целых чисел Zp,
см. гл. 1. Тогда Л определяется с помощью коэффициентов Лп = А (С"),
^п х(х — 1) • . . . • (х — п + 1) г	,
где С^ = —	р	 — биномиальные полиномы (см.
разложение Малера). Так как мера — это ограниченный Qp-линейный
функционал на пространстве непрерывных функций C(Zp), то после-
последовательность Ап ограничена. С другой стороны, если мы рассматрива-
рассматриваем Qp-линейный функционал А на пространстве полиномов, таких что
соответствующая последовательность {Ап} ограничена, то этот функ-
функционал можно расширить до непрерывного Qp-линейного функциона-
функционала на пространстве непрерывных функций C(Zp) — Qp-значной меры.
Пусть А некоторый Qp-линейный функционал на пространстве
полиномов. Мы можем определить формальный степенной ряд
П = 0

§ 2.7. Неограниченность р-адического распределения Гаусса	59
Как обычно, формальный степенной ряд называется ограниченным,
если коэффициенты {Лп} ограничены. Формальный степенной ряд
/(ж) = f\(x) ограничен тогда и только тогда, когда функционал Л огра-
ограничен. Это соответствие (ограниченные формальные степенные ряды
f(x) —>• меры Л = Л/) является взаимнооднозначным и обратимым.
Более подробное изложение можно найти в работе [70]. Более того, если
Х(хп) = Г xnd\{x) = ап,
= А„,
то
g(z) = f{e* - 1) = S \n{ez - 1)" = ? ?K-
n=0	n=0
Следовательно,
n=0	n=0
где
к
Попробуем реализовать р-адическое распределение Гаусса (обоб-
(обобщенную функцию) Л = 7о,ь, Ь G Qp (для случая размерности один),
как меру на Zp. Наши рассуждения будут основываться на формуле
для моментов:
Ш fl/1	Л f =0,1,2,...
Формальный степенной ряд, соответствующий распределению Гаус-
Гаусса, имеет вид
оо
f(x) = 2_j ^пхП = ехр \ - (i°g(i + х)) \ = 2_^ —
п=0	п=0
Далее будет доказано, что коэффициенты разложения функ-
функции f(x) не ограничены.
Теорема 7.1 (Эндо-Хренникова). Пусть Ь/2 = раи, где а — целое
число и \ир\ = 1.
1)	Если а четное, то для всех простых р коэффициенты {Лп} не
ограничены.
2)	Если а нечетное, то для всех нечетных р коэффициенты {Лп} не
ограничены.

60	Гл. 2. Распределения Гаусса, Лебега и Фейнмана
Для / = 2npta/2]+1, где п = рь (а — степень р), выполняется
равенство
|Л I _ 2n(l-*) + (n-l)/(p-l)
\/кп\р — У	1
где E = 0, если а четное, и 6 = 1/2, если а нечетное.
Доказательство этой теоремы будет основано на серии лемм.
Лемма 7.1. Пусть п = ao + ai?> + . . .-\-atp1 р-адическое разложение
положительного целого п. Тогда число п\ делится на степень pg, где g =
= (п - s)/(p - 1) и s = sn = a0 + . . . + ап.
Этот факт хорошо известен в теории чисел, см., например, [17], [106].
В частности, на этой лемме основывается важная оценка A.5) гл. 1.
Лемма 7.2. Пусть жх, . . . , хп — неотрицательные действительные
переменные, и пусть А — фиксированное положительное число. При
условии, что х\ + . . . + хп = А произведение х\ • ... • хп достигает
своего максимального значения (А/п)п, когда х\ = . . . = хп = А/п.
Лемма 7.3. Пусть f(x) = (A/x)x функция от положительной
действительной переменной. Тогда f(x) достигает своего максималь-
максимального значения при х = А/е; функция f(x) монотонно возрастает на
интервале @, А/е) и монотонно убывает на интервале (А/е, оо).
Лемма 7.4. Пусть п = рь — степень числа р, а т — фиксиро-
фиксированное целое число такое, что п < т < пр. Допустим, что значение
1/|жх • • • • • Х2т\р достигает своего максимума для целочисленных пере-
переменных Ж1, . . . , X2mi УДОВЛеТВОрЯЮЩИХ СООТНОШеНИЮ Х\ + . . . + Х2т =
= 2прс+1. Тогда для некоторого и
XI = Х2 = • • • = Х2т-и = РС+\
Х2т-и+1 — Х2т-и+2 = . . . = ^2m-l = Р°,
Х2т = крС> 1 ^ к ^ р - 1.
Доказательство. Мы можем изменить порядок переменных
так, что \х\\р $J |жг|р ^ ... ^ |^2m|p. Также можно допустить, что
все, кроме последнего, Х{ являются степенями р. Действительно, если
Xi = kpd для к ^ 2, то yi = pd и у2т = х2т + (А - l)pd. Тогда
|2/2m|p ^ |ж2т|Р5 и, следовательно,
Таким образом, можно допустить, что х\ = pd,...,X2m-i = ре,
х2т = /ср-^ при условии, что d ^ ... ^ е ^ f и (к,р) = 1. Далее
мы покажем, что d = c + l, f = cmk^p — 1.
Сначала покажем, что / ^ с. Будем доказывать методом от против-
противного. Пусть / < с, тогда из условия жх + . . . + ^2m = 2прс+1 следует,
что d ^ с + 1. Из этого же условия мы получаем, что / = е = . . .
и сумма z = ж2ш-и+1 + x2m-v+2 + • • • + х2т должна делиться на pf+1

§ 2.7. Неограниченность р-адического распределения Гаусса	61
при некотором v(^ р). То есть мы получили, что у\ = pd~l, . . . , yv-\ =
= pd~\ yv = (p-v + l)pd-\ Тогда
yX + • • • + yv + X2 + • • • + X2m-V + Z
Но по условию 1/1^1^2 • • • • • X2m\p достигает максимального значе-
значения. Противоречие. Следовательно, / должно быть ^ с.
Теперь покажем, что d ^ с + 1. Будем использовать метод до-
доказательства от противного. Пусть d > с + 1. Тогда из условия
Х\ + . . . + Х2т = 2npc+1 следует, что / = с. Аналогично предыдущим
рассуждениям получаем, что сумма z = x2m-v+i + ^2m-^+2 + • • •
. . . + Х2т долж:на делиться на рс+1. Получаем у\ = pd~l, ..., yv_i =
= pd~\ yv = (p-v + l)pd-\ Тогда
т. е. мы пришли к противоречию. Следовательно, d должно быть
^ с + 1.
Наконец покажем, что k $J р — 1. Если /с = qp + r, то у2т-\ — qp^1
и 2/2т = (г + 1)р^- Как было показано выше,
• • • ' Х2т\р	р
А это противоречит условию максимальности, т. е. к должно быть
-1.
Доказательство теоремы 7.1. Пусть
Покажем, что последовательность коэффициентов {Л/} не ограничена.
Напомним, что
Следовательно, коэффициенты Л/ при ж* можно записать в виде суммы
V tlY(b\m v 	г-		G 1
( v
т\ \2)	2s	XlX2...X2m
Х1,Х}...,Х2т
где суммирование производится по всем положительным целым числам
Х\, • • ., Ж2т, уДОВЛеТВОрЯЮЩИМ УСЛОВИЮ Х\ + Х2 + • • • + Ж2т = /•
Рассмотрим случай Ь/2 = раи, где а — целое и |ир| = 1.
Пусть а = 2(/с+J) с целыми /с, т. е. E = 0, если а четное, иб = 1/2, ес-
если а нечетное. И пусть / = 2np^+1. Ниже будет показано, что значения
|А/|р становятся произвольно большими с ростом п = ръ (степень р).

62	Гл. 2. Распределения Гаусса, Лебега и Фейнмана
Фактически, мы получили значение
|Л/|Р = р2пA+^)+(п-1)/(р-1),	G.2)
которое равно p2n+(n-i)/(P-i) при а = 2к и pn+(n-i)/(p-i) При
а = 2к + 1, для п = рь (степень р). Покажем, что только один член
суммы G.1) для коэффициентов А/ принимает максимальное значе-
значение G.2), тогда как все остальные члены этой суммы строго меньше, чем
значение G.2). Затем, используя утверждение 1.1 из гл. 1, мы получаем
равенство G.2) для коэффициентов А/.
Пусть / = 2npk+1 = 2pbpk+1 = 2pb+k+1 фиксировано. Обозначим
,. . . ,х2т) =
1 (Ь
т\ V2
М{т) = тах{М(жь ж2, • • • , х2ш) : a?i + ж2 + . . .
где a?i, . . ., Х2т принимают положительные целые значения. Будет
показано, что только М(п) = M(a?i, ж2, • • • , ^2m)(^i = . . . = ж2п =
_ pk+i^ д0СТИгает максимального значения G.2) среди всех членов
коэффициентов Л/.
Из леммы 7.2 следует, что х\ • . . . • ж2т ^ (Bп/2т)рк+1Jгп. Если
х\ • . . . • ж2т = рси при (р, и) = 1, то |a?i • . . . • Х2т\р = р~с. Так как все
жъ • • -5 Ж2т являются положительными целыми числами, то
М(Х1,х2,..., х2т) = р^т-У^-^-ат\A/Х1х2 ¦...¦ х2
2т)\р
_ (m-s)/(p-l)-am с ^ (m-s)/(р-1)-ат с^ _
- п(т-з)/(р-1)-ат	Тп	Го К (!^гЛ-8+1/2{р-1)\2ГП m-s/{р-1)
\гп	/
Рассмотрим случай m = п. Если a?i, . . ., ж2п ^ р^"^1, • • ., р/с+1, то по
лемме 7.2 ^i • . . . • ж2п < p2n(fc+1). Тогда, из предыдущих рассуждений
следует, что
Покажем, что
а)	Если m = n, то М(п) = р2пA~^)+(п~1)/(р~1) достигает своего
максимального значения только когда х\ = . . . = ж2п = р ^ .
Так как 0 ^ J < 1 и ер < p1-^+1/2(p-i) < ер^ т0 из леммы 7.3 мы
получаем:
б)	Если m > пр, то М(гтг) < М(пр).
в)	Если m < n/р, то М(гтг) < М(п/р).
Более того, М(пр) = (p-*+i/2(p-i))p-i/(p-i) < М(п).
Теперь покаж;ем, что
г)	Если п < m < пр, то М(т) < М(п).

§ 2.7. Неограниченность р-адического распределения Гаусса	63
д)	Еслип/р < т < п, то М(т) < М(п/р), где J > Bр-3)/2(р-1)
и М(га) < М(гс), где 5 < Bр - 3)/2(р - 1).
е)	М(п/р) < М(п) тогда и только тогда, когда 5<Bр — 3)/2(р — 1).
Очевидно, что все наши рассуждения выполняются и в случае 5 = 0
(для четных а) или 5 = 1/2 (для нечетных а). Таким образом, для
случая р = 2 и нечетного а покажем, что М(п) является максимальным
значением.
Продолжим доказательство г). Пусть п < т < пр. Если M(^i, ...
• • •? ^2m) достигает максимального значения М(га), то согласно лем-
лемме 7.4 получаем
XI = Х2 = • • • = Х2т-и = Р , Ж2т-м+1 = . . . = Ж2т-1 = Р ,
Так как a?i + ж2 + • • • + х^т — 2np/c+1, to получаем
Bт - u)pk+1 + (u- l)pk + ipk = 2npk+1,
2{т - п)р = и(р - 1) - (г - 1).	G.3)
Далее заметим, что
М(т) = М(хъ . . . , х2т) = р2(^-^)/(р-1)-™+B^
_ (m
Так как М(п) = р(п-1)/(р-1)+2пA-^M то из этого следует, что
М(п)/М(т) = p2(n-m)(l-E) + (n-m)/(p-l)+«+(e-l)/(p-l)! ИспОЛЬЗуЯ
G.3), мы получаем, что показатель степени в правой части этой
формулы имеет вид
= 2(ш - n)
-!) J Р-1 Р-1
Значит, М(п) >М(т).
Теперь докажем д). Здесь ситуация схожа с г). Если п/р < т < п
и М(^1, . . ., Х2т) достигает своего максимума М(га), то по лемме 7.4
получаем, что
Х\ = Х2 = • • • = X2m-u = Р/С+2, Ж2т-м+1 = . . . = Х2т-1 = Pfc + 1,
Далее,
Bт - ^)pfc+2 + (г* - 1)/+1 + ipk+1 =

64	Гл. 2. Распределения Гаусса, Лебега и Фейнмана
2(рт — и) = (р — 1)и — (г — 1).
Так как
М{т) = p(m
М(п/р) = p(n/
то
M{n/p)M(m)=p^s-1)^i:
Нетрудно заметить, что показатель степени в правой части этой фор-
формулы имеет вид
п — рт ,8 — 1 2(п — тр) ,~ я^ 2(тр — п) г — 1 _
р(р — 1) р — 1	р	р — 1	р — 1
_ тр-пг 1 , 1UO	s-l г-1
" p(p-l) L	VjK ;v	; KJ p-1 p
Мы показали, что М(п/р) > М(т) при E > Bр — 3)/2(р — 1).
Пусть теперь 6 < Bр - 3)/2(р - 1). Тогда
М(п) _ р(г
т. е. показатель степени имеет вид
п — т з — 1 . о/	А/1 Хч о о ош — п г —1
	— Н	 + 2(гг - т)A — о) — 2т + 2ш + 2	— Н	-.
р — 1 р — 1	р — 1 р — 1
Следовательно, в этом случае М(т) <М(п).
И, наконец, докажем (f). Очевидно, что
М(п/р) Р
Это означает, что М(п) > М{п/р) тогда и только тогда, когда
2A-E)(р-1) > 1, т.е. 5 < Bр-3)/2(р-1).
Мы рассмотрели распределение Гаусса для b E Qp. Несложно
обобщить наши рассуждения на случай b ? Ср. Получаем следующий
результат:
Теорема 7.2. Пусть \Ь/2\р = р"а, где а = 2(к + E), 0 ^ д < 1.
1)	Если J < Bр - 3)/2(р - 1), то М(п) = p2n(i-*)+(n-i)/(P-i)
является единственным максимальным значением.
2)	Если 5 > Bр- 3)/2(р - 1), то М(п/р) = р2пB-*)/р+(п-р)/р(р-1)
является единственным максимальным значением.
Основная проблема состоит в следующем: ограничен или не ограни-
ограничен р-адический интеграл Гаусса в случае, когда b принадлежит полю
Ср и 5 = Bр — 3)/2(р — 1)? (В частности, когда р = 2 и а нечетное.)

§ 2.8. Равномерное распределение Волкенборна	65
§ 2.8. Равномерное распределение Волкенборна
«Мера» Волкенборна уже изучалась в гл. 1. Но она не являлась
корректно определенным математическим объектом, так как эта мера
не была действительно неархимедовой мерой. Она не ограничена на
алгебре замкнуто-открытых множеств. Теперь эта мера будет введе-
введена как распределение (обобщенная функция). Это элемент простран-
пространства Af(Qp). Используя определение гл. 1, мы получаем, что
и(а) = I eaxdx = -^—^ =
Е°° Впап
п=0
Эта функция принадлежит пространству Ло. И мы вводим распре-
распределение Волкенборна как элемент А' с преобразованием Лапласа
L'(m)(a) = и(а).
3 Хренников А.Ю.

Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАУССА
И ФЕЙНМАНА НА
БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ НАД
НЕАРХИМЕДОВЫМИ ПОЛЯМИ
По аналогии со случаем конечной размерности (гл. 2) определения
интегралов Гаусса и Фейнмана основываются на теории распределе-
распределений. Вариант этой теории предложен в работе [69], где пространства
аналитических функций на неархимедовых бесконечномерных про-
пространствах используются в качестве пространств основных функций
(функции с бесконечномерным аргументом часто называют функцио-
функционалами, но мы не будем использовать этот термин). Эта теория
неархимедовых пространств является естественным обобщением на
неархимедов случай теории аналитических бесконечномерных распре-
распределений [38], [43—45], [47], [48] над полями комплексных чисел и супер-
суперкоммутативными банаховыми алгебрами [49], [50], [52], [55], [56]. Другие
(неаналитические) теории распределений на бесконечномерных про-
пространствах были также разработаны для полей комплексных чисел. Это
распределения на пространстве с фиксированной гауссовской мерой,
а также распределения и обобщенные меры, соответствующие теории
дифференцируемых мер Фомина. Об этих теориях см. [7], [34-36] (тео-
(теория Гаусса) и [11], [115], [134] (теория, инвариантная относительно
выбора меры). Подобные теории также могут быть построены в неар-
неархимедовом случае. Частный случай (функционалы р-адического белого
шума) был рассмотрен в работе [64], см. гл. 6.
§ 3.1. Непрерывные полилинейные формы
Для неархимедового банахова пространства Е полагаем
Лемма 1.1. rA(URiK) = Г.
Утверждение 1.1. Пусть Е неархимедово банахово простран-
пространство, для которого Г# = Г. Тогда
sup \b(x!,...,xn)\K= sup \Ь(хъ. . . ,хп)\к/\\х1\\. . .\\хп\\.
\ЫК1	||*;||#о

§3.1. Непрерывные полилинейные формы	67
Доказательство.
1.	Действительно,
||Ь||= sup \Ь(хъ...,хп)\к^\\\Ь\\\ =
\\Xj\Kl
= sup \Ь(хъ.. .,хп)\к/\\х1\\.. .\\хп\\.
ll*ill#0
2.	Так как по условию Г# = Г, то существует такой элемент а у.
\аз\к ~ \\ХЛ- Следовательно,
|||Ь|||= sup \Ъ(х1а^\...,хпа-1)\к^\\Ъ\\.
В силу леммы 1.1 утверждение 1.1 справедливо для непрерывных
полилинейных форм на пространстве целых функций А (заметим,
что любая непрерывная полилинейная форма является непрерывной
относительно некоторой нормы).
Далее везде, мы будем обозначать символом X пространство целых
функций Л, а символом Y — пространство распределений Л7, Xr =
= Л(С/д, /С), Yr = A'(Ur, К). Для топологического линейного про-
пространства Е над полем К будем использовать символ Ln(?/n, К) для
обозначения пространства n-линейных (над полем К) непрерывных
форм Ь: Еп —> К.
Утверждение 1.2.
1.	Пусть b G Ln(Xn, К). Тогда существует такое R Е Г, что
||Ь||Я = sup\bai...an)\KR-^ < оо,	A.1)
а
где Ьа = Ь(еа1, . . . , eaj.
2.	Для любой последовательности чисел 6а, удовлетворяющих усло-
условию A.1) при некотором R Е Г, форма
A-2)
1
а\
принадлежит пространству Ln(Xn, /С)
Доказательство.
1. Пусть b E Ln. Тогда
МЯF)= sup |
при некотором Я G Г. Более того,
= SUP
b(eaiaRl ',
к
где
а^.ая|| = 1 для j = 1, . . ., п. Таким образом, ||6||я ^ МдF).

68	Гл. 3. Распределения Гаусса и Фейнмана
2. Следовательно, для всех форм, определяемых отношением A.2),
получаем
MR(b)= sup \ba\K\ft1,...,f2n\K =
\\fj\\R^
—	чип minlh I Z?"!"'!/1 I /?lail	\ fn I R\an\ < \\h\\
—	SUp S\ip\Oa\Kn	\jch\k	' ' ' Чк	^ П°Пд-
ИЯ'И^1
Для завершения доказательства мы должны проверить тот факт,
что ряд A.2) абсолютно сходится в пространстве Ln(Xn, К).
При доказательстве утверждения 1.2 мы показали, что
Введем индуктивную топологию в пространстве непрерывных по-
полилинейных форм Ln(Xn, К). Получаем
Ln,R(Xn, K) = {b? Ln(Xn, К) : ||6||д < оо} = Ln(XnR, К).
Утверждение 1.3. Пространство Ьп^(Хп, К) является неархи-
неархимедовым банаховым пространством.
Мы имеем Ln(Xn, К) = lim ind Ln r(Xu, К). В силу предыдуще-
го утверждения 1.3 пространство Ln(Xn, К) является полным. Далее
|Ь|Я = sup \b(f, . . . , f)\K. Тогда \b\R ^ ||Ь||Я ^ bn\b\R. Следовательно,
ll/IK
топологии, определенные нормами | • |я и || • ||я, эквивалентны.
По аналогии с утверждением 1.2 мы можем доказать следующее
утверждение.
Утверждение 1.4.
1. Пусть b G Ln(Yn, К). Тогда для всех R е Г получаем
^biKfa] <oo,	A.3)
L-\k
где6а = 6(е/а1,...,е/ап).
2. Для любой последовательности чисел 6а, удовлетворяющих усло-
условию A.3) для всех ЯеГ, форма
принадлежит пространству Ln{Yn, /f).
В пространстве непрерывных полилинейных форм Ln(Yn, К) мы
вводим проективную топологию Ln(Yn, К) = lim proj Ln(YR, К).
Ft—>-оо
Утверждение 1.5. Пространство Ьп(Уп, К) является неархиме-
неархимедовым пространством Фреше.
Утверждение 1.6. Ln(Yn, К) = L'n(Xn, К).

§3.1. Непрерывные полилинейные формы
69
Доказательство.
1. Пусть г е Ln(X%,K), b e Ln(Yn,K). Используя A.2) и A.4),
получаем
Следовательно,
\(Ь,т)\
к
\ЬО
|
Ня11г11я-
2. Докажем, что ряд A.2) сходится в пространстве Ln(Xn, К).
Пусть г G Ьп,я, Й1 G Г, Й! > R. Тогда
/ ^
3. Пусть 6 G L^(Xn, /С). Тогда, используя пункт 2, получаем
где 6а =
Далее полагаем
Тогда ||^а||я = 1 и, следовательно,
16
'а'
= sup|(ft,iza)|A: ^ ||Ь||Д = sup \(Ь,т)\к<ос.
Утверждение 1.7. Ln(Xn, К) = L'n(Yn, К).
Доказательство. Докажем, что ряд A.4) сходится в простран-
пространстве Ln(Yn, К). Пусть Ъ G Ln(Yn, К), R е Г. Тогда
> 1.
Пусть т G L'n(Yn, /С). Тогда, используя пункт 1, имеем
для всех 6 G Ln(Yn, К). Так как функционал г непрерывен, то суще-
существует ЯЕ Г: sup |F,т)|к < оо. Мы полагаем
\\b\Ki
va =
...® e

70	Гл. 3. Распределения Гаусса и Фейнмана
Тогда ||va|| д = 1 и, следовательно,
-|a| =sup\(var)\K < оо.
Следствие 1.1. Пространства полилинейных форм Ьп(Хп, К),
Ьп(Уп, К) рефлексивны.
§ 3.2. Обобщенные функции на бесконечномерных
пространствах
Символ Ur:P будем использовать для обозначения замкнутого шара
(радиуса р Е Г) относительно нормы || • ||д, R Е Г в пространстве X:
^я,р = {/: ||/||я ^ р}- Обозначим символом A(Ur}P) пространство
аналитических функций F: Ur:P —t К:
n=0
где формы bn E Ln(Xn, К) симметричны. Ряд B.1) равномерно схо-
сходится на шаре Ur^p. Это эквивалентно тому, что
sup |ЬП(/,. . . ,f)\K -> 0, п -)> оо.
Заметим, что
SUp ^n(/^ • • • 5 /) К" ~~ Р ^^ \R'
В пространстве Л(С/д^) мы введем нормы
suP
^ feuR,p
Используя результаты предыдущего параграфа, получаем
\\Пя,р/ь ^ \F\r,p ^ \\Пн,Р-
Полагаем АР(Х) = lim ind Л(Ur}P). Пространство Ар(Х) состоит
R—>-оо
из функций, аналитичных на шарах с фиксированным радиусом р по
отношению ко всем нормам, которые определяют топологию на X.
Заметим, что
Ur2,p С URuP, R2 > Ди A(Ur2,p) D A(URuP),
где A(Ur^p) — неархимедово банахово пространство, а Ар(Х) — полные
неархимедовы топологические линейные пространства.

§ 3.2. Обобщенные функции на бесконечномерных пространствах 71
Обозначим символом Aq(X) пространство функций, аналитичных
в нуле, т.е. Ао = lim ind Ар. Заметим, что АР2 С АР1, р\ < рч- Функ-
/0—^0
циональное пространство Aq(X) является бесконечномерным аналогом
пространства А0(Кп).
Теорема 2.1 (аппроксимация цилиндрическими полиномами).
Множество полиномов, зависящих от конечного числа переменных,
всюду плотно в пространстве А0(Х).
Доказательство. Сначала мы докажем, что ряд B.1) сходится
в пространстве Aq(X). Для этого достаточно доказать, что для р, Д ? Г
данный ряд сходится в пространстве A(Ur^p). Действительно,
^ max sup \bn(f, . . . , f)\K -+ 0.
n=N
Осталось использовать тот факт, что ряд A.2) сходится в простран-
пространствах Ln(Xn, К) для форм Ьп из B.1).
Введем пространства
Br,p = {F е Ао : \\F\\Rip < оо};
Из неравенства B.2) следует, что
Вр =
Ао = lim ind lim ind A(Ur p) = lim ind lim ind В л р.
p^0	R^oo	/?-)>0	R^oo
Введем пространство последовательностей
U(K°°) = |тг = {тгп}~=0 : тгп = {тга}, а = (аь . . . , ап), тга е К,
УД, р G Г, ЦтгЦ о _ = SUpp~n||7rn|| о < СЮ, ||7ГП|| о = SUD171
Теорема 2.2. Пространство распределений Лр (X) изоморфно про-
пространству П(/С°°).
Доказательство.
1. Пусть J G Лд(Х). Тогда для любых R и р получаем
Рассмотрим функции FaRp(f) — fai ... fana'^a~n. Для этих
функций получаем
\\FaRp\\RtP = 1, \J(FaRp)\K = I J(fa) \K R™ Р~П •
Для последовательности тг = {J(fa)} получаем ||тг||я ^ ||«^||д <сю.

72	Гл. 3. Распределения Гаусса и Фейнмана
2. Пусть тг е U(K°°) и
п=0 а
тогда
11^11я,р= SUP
Напомним, что
y=limindyfi, YR = A\UR).
Ft—^0
Функция F: Уд —>• К является целой, если ряд B.1) равномерно
сходится на шаре любого радиуса р Е Г в пространстве Уд. Обозна-
Обозначим A(Yr) пространство целых функций Уд. Функция F: У —> К
является целой, если ограничение F на пространство Y^ является
целой функцией для любого R Е Г. Пространство целых функций
обозначим Л (У). Это пространство бесконечномерное, и оно являет-
является аналогом пространства А(Кп). Топология на пространстве целых
функций A{Y) определяется системой норм
\F\R = sup sup |6n(/,. . . , f)\K.
Пространство А (У) является неархимедовым пространством Фреше.
Введем пространство последовательностей
П'(К°°) = {тг = {7г„}^=0 : тг„ = {па}, тга е К, 3R, рвП,
Теорема 2.3. Пространство распределений A'(Y) изоморфно про-
пространству П'(К°°).
Доказательство.
1. Пусть J Е Л7. Тогда ЗД, р Е Г : ||«/||д|/0 < оо. Рассмот-
Рассмотрим функцию FaRp(f) = a~na^|a|a!/ai . . . /ата. Для таких функций
II Fcx Rp || д = 1- Для последовательности тг = {«/(/а)} получаем
IKIIfl р = SUP sup| J(FaH/0)|K ^ || J||fl < оо.
n a
2. Пусть тг Е П'(/С°°). Получаем

§ 3.2. Обобщенные функции на бесконечномерных пространствах 73
тогда
Ш\ц,Р= SUP
Введем пространства бесконечномерных дифференциальных операто-
операторов бесконечного порядка:
оо
= {* = ЕЕ 5*(в
n=0 a
Следствие 2.1. AqW = D0(X).
Введем в пространстве распределений А'о проективную топологию:
А'0(Х) = limproj lim proj DRiP(X).
Утверждение 2.1. Пространство (обобщенных) основных функ-
функций (Лд) Aq рефлексивно.
Определим пространство дифференциальных операторов Dr^p(Y)
по аналогии с DRiP(X). Тогда D(Y) = UDR,p(Y).
Следствие 2.2. A'(Y) = D(Y).
В пространстве распределений введем топологию индуктивного
предела:
d lim ind DRp(Y).
R^oo
Утверждение 2.2. Пространство (обобщенных) основных функ-
функций (Af) А рефлексивно.
Прямое произведение J\ 0 J2 распределений «Д, J<i определяется
соотношением
а свертка J\ * J2 распределений J\, J2 соотношением
(Ji * J2, Af)) = (Ji ® J2, fif1 + f2))-
Теорема 2.4. Пространства распределений А' и Af0 являются то-
топологическими сверточными алгебрами.
Утверждение 2.3. Пространство BR является неархимедовой
банаховой алгеброй.
Доказательство. Действительно,
sup |

74
Гл. 3. Распределения Гаусса и Фейнмана
Следствие 2.3. Пространство А$ (X) основных функций является
топологической алгеброй.
Из следствия 2.3 следует, что операция умножения распределения
J G А'о на основную функцию (р Е Ло корректно определена.
Утверждение 2.4. Дифференциальный оператор d/dfa:
Br,p ~^ Br,p непрерывен, и имеет место неравенство
R,P H
Доказательство. Действительно,
R,p-
B.4)
п=1
= #|a|suppn 1\п\
К
sup
Следствие 2.4. Дифференциальный оператор д/df: Л —> Aq
непрерывен.
Из следствия 2.4 следует, что оператор дифференцирования в про-
пространстве распределений А'0(Х) корректно определен. Для полилиней-
полилинейной формы а Е Lk(Yn, К) введем дифференциальный оператор
Утверждение 2.5. Пусть а Е Lk(Yn, К). Дифференциальный
оператор a(D): Вцр —>- ^Вя,/? непрерывен, и имеет место неравенство
\HD)F\\Rp^\\a\\Rp-k\\F\\Rp.
Доказательство. Из неравенства B.4) следует, что
B.5)
Утверждение 2.6. Пусть коэффициенты дифференциального
оператора
к=о
принадлежат классу BRp:
lira \\bk\\R^\\ak\\Rp~k =0.

§ 3.3. Преобразование Лапласа на бесконечномерных пространствах 75
Тогда оператор 6(/, D): Вцр —ь Br,p непрерывен, и имеет место
неравенство
ЦЬ(/, Я)И1Я), < M\R№A\bk\\R,P\W\\RP~k-	B-6)
К
Утверждение 2.7. Пространство А(У) является неархимедовой
алгеброй Фреше.
Утверждение 2.8. Дифференциальный оператор d/dg:
А(У) —» А(У) непрерывен, и имеет место неравенство
B-7)
Для полилинейной (симметричной) формы а Е L^(Xk, К) введем
дифференциальный оператор
Утверждение 2.9. Пусть а Е Lk(Xk, К). Дифференциальный
оператор a(D): A(Y) —>• A(Y) непрерывен, и имеет место неравен-
неравенство B.5).
Из утверждений 2.7 и 2.8 следует, что операторы дифференцирова-
дифференцирования и умножения на основную функцию определены в пространстве
распределений А'(У). Аналогично вводятся пространства Ao(X,Z),
A'0(Y,Z),A(Y,Z),A'(Y,Z).
§ 3.3. Преобразование Лапласа на
бесконечномерных пространствах
Утверждение 3.1. Пусть g Е Уд, Ц^Цд < (pb)~l. Тогда функция
Доказательство. Действительно,
Определение 3.1. Преобразование Лапласа распределения
J Е А'0(Х) определяется как функция L(J)(g) = (J, Fg) на
пространстве У.
Теорема 3.1. Преобразование Лапласа L: А'0(Х) -> A(Y) являет-
является изоморфизмом.
Доказательство.
1. Пусть J E v4q, L(J) = 0. Тогда (J, Pc) = 0 для любого цилин-
цилиндрического полинома Рс. Но из теоремы 2.1 следует, что множество

76	Гл. 3. Распределения Гаусса и Фейнмана
цилиндрических полиномов всюду плотно на пространстве Aq. Следо-
Следовательно, (J, F) = 0 для F G Aq. Таким образом, мы показали, что
KerL = {0}.
2. Пусть J G Aq. Мы докажем, что L(J) G А. Действительно,
supH sup \(J,(g,-)n)\K^\\J\\RPlsup(bpPl)n.
п	\\g\\R<p	n
Выбирая р\ € Г, р\ < (Ьр)~1 получаем, что ||?(</)||д р < оо.
3. Пусть F в A, F(g) = ? bn\g). Тогда
р
Покажем, что функционал J, определенный последовательностью
{J(/a)}, принадлежит пространству А'о:
SUpp~nSUp|(J, (/a))lx^'a' ^ ll^lll/p Я1 < °°-
п	а
Остается показать, что L(J) = F.
Из теоремы 3.1 мы получаем бесконечномерное исчисление
Лапласа:
Рассматривая функции со значениями в квадратичном расширении Z
поля К вместо функций со значениями в поле /С, т. е.
A0(A(Kn,Z),Z), A{A\Kn,Z),Z),
мы можем ввести преобразование Фурье распределения J G Л;о:
Теорема 3.2. Преобразование Фурье F: Ао —» А является изомор-
изоморфизмом.
Мы получаем исчисление Фурье
A'0(X,Z)^A(Y,Z), A0(X,Z)?-A'(Y,Z).	C.2)
Для исчисления Фурье справедлива следующая теорема.

§ 3.4. Линейные уравнения в частных производных	77
Теорема 3.3 (свойства преобразования Фурье). Пусть J, Ji,
J2 € А'0(Х, Z), ц, /л, ц2 € Л'(Y, Z). Тогда
* J2) = F(Jx)f (J2); F'(^i * /i2) = F'(/ii)F'(/i2).
2. ^F(J) = a\y/?F(fa, J); ^n^'M = a\
3.
Определение З.2. Распределение Гаусса на неархимедовом про-
пространстве У вводится как распределение (бесконечномерного аргумен-
аргумента) 7а,/5 ? ^47(^) с преобразованием Лапласа
Ь/Gа,^)(ж) = ехр |-Ь(ж, х) + (а,
где а(Е К) — среднее значение, 6 (симметричная форма, принадлежа-
принадлежащая L2(X2, /С)) — корреляционный функционал.
Определение 3.3. Распределение Фейнмана на неархимедовом
пространстве Y вводится как обобщенная функция (бесконечномерного
аргумента) 7а,^6 с преобразованием Фурье
F'ila, у/гЪ)(х) = ехр I т^Ь(х, х) + у/т (а, х) L
где a(G К) — среднее значение, b (симметричная форма, принадлежа-
принадлежащая L2(X2, /С)) — корреляционный функционал.
Далее будем использовать интегральную запись
Г
=
J
3.4. Линейные уравнения в частных производных
на бесконечномерных пространствах
Для дифференциального оператора
/с=0
полагаем
aR>p(b)=sup\\bk\\RJak\\Rp-k.	D.1)
k
Для матричного дифференциального оператора B(f,D) = (Bij(f,
полагаем
(B) = тах aR,p(Bij)-

78	Гл. 3. Распределения Гаусса и Фейнмана
Теорема 4.1. Пусть коэффициенты матричного дифференциаль-
дифференциального оператора B(f, D) принадлежат Brp и L&(Y, К) и выполняется
условие
Тогда на интервале \t\K < (Ьац^р) , где b коэффициент из неравен-
неравенства A.5) гл. 1, существует единственное решение задачи Коши
jt	D.2)
которое принадлежит пространству Вцр и является аналитическим
относительно t.
В самом деле, из B.5) следует, что
, ?>)Ф||я>р ^ Csup (|*|^b)" \\Bn(f, DMR
П
^Csup(\t\KbaR,p(B))n\\<i>\\
П
Следствие 4.1. Задача Коши имеет единственное локальное ре-
решение в пространстве Вцр для любого дифференциального оператора
конечного порядка с коэффициентами fr^jife ? ^я,р и aijk ^ ^к-
Следствие 4.2. Пусть 6j(/, D), j = 0, . . ., гтг — 1, дифференци-
дифференциальный оператор с коэффициентами bjk G #я,р и aj/e G L/, такими, что
Тогда в пространстве Вцр существует единственное решение задачи
Коши
т — 1
^(t, f)+J2 bj(f, D)^f(t, f) = 0,	D.3)
^,/) = Ф,-(/), i = 0,...,m-l,	D.4)
на интервале |t|^ < (bj) , 7 = max <JRn(bj). Это решение является
j
аналитическим относительно t.
Следствие 4.3. Пусть B(f,D) — дифференциальный оператор
конечного порядка. Тогда задача Коши D.2) имеет локальное решение
в пространстве Aq{X, К). Это решение единственно в классе таких
функций.
Пример 4.1 (уравнение теплопроводности). Пусть
K\KR2l<xl
supJ	^	 < 00

§ 3.4. Линейные уравнения в частных производных	79
для всех R G Г. Тогда задача Коши для уравнения
|а|=0
имеет решение на интервале
для ф G В л р. Задача Коши для уравнения теплопроводности с потен-
потенциалом
|а|=0
имеет решение на интервале
\t\K<b-1m&^\V\\RtP,
Это можно доказать по аналогии со случаем простран-
пространства Aq(X, Z). Задача Коши имеет локальное решение для уравнения
Шредингера с потенциалом
~(t,
Таким образом, в неархимедовом случае уравнение теплопровод-
теплопроводности и уравнение Шредингера имеют локальное решение в простран-
пространстве Aq для аналитического потенциала с произвольно быстрым ро-
ростом.
Применим оператор Лапласа (L')~1 к задаче Коши D.2) и D.3),
D.4). Получаем задачу Коши
jt	D.8)
в пространстве А!(У, К) распределений, где
N
В'Цп, g) = J2 biJ(D)aiJ(g), blj e Ao, alj e Lk;
k=0
и задачу Коши
dmG
dtm (
з=о

80	Гл. 3. Распределения Гаусса и Фейнмана
D.10)
где
N
bj(D,g) = 2_^bjk(D)ajk(g)i bjk G Ло, aj/г G L^.
/c=0
Следствие 4.4. Задачи Коши D.8) и D.9), D.10) имеют локаль-
локальное решение в пространстве распределений Л7(У, К). Это решение
единственно в классе функций, принимающих значения в простран-
пространстве Af(Y, К) и являющихся аналитическими относительно t.
Следующее утверждение вытекает из утверждений 2.7 и 2.9.
Утверждение 4.1. Дифференциальный оператор конечного по-
порядка
N
b(g, D) = Y, bk(g)ak(D), bk e A(Y, К), ак е Lk{X, К),
к=о
непрерывен в пространстве Af(Y, К), и имеет место неравенство B.5).
Постоянная <jR,p(b) определяется условием D.1).
Теорема 4.2. Пусть коэффициенты матричного дифференциаль-
дифференциального оператора B(f,D) = (Bij(f,D)) (дифференциального операто-
оператора ^j(/, D)) принадлежат Л(У, К) и Ьк(Х, К) и выполняется
к = lim aR:P(B) (или crRjP(b) < ос).
Тогда задача Коши D.2) (D.3), D.4)) имеет решение в простран-
пространстве A(Y, К) на интервале \t\K < (bk) . Это решение, являющее-
являющееся аналитическим относительно ?, единственно в этом пространстве
и непрерывно зависит от начальных условий.
Для доказательства достаточно воспользоваться B.6).
Следствие 4.5. Пусть B(D) = (Bij(D)), где Bij(D) =
N
= 2 aijk{D) с a,ijk G Lk(X, К). Тогда задача Коши
k=i
^G(t, g) = B(D)G(t, g), G@, g) = ВД,	D.11)
имеет глобальное решение в пространстве Л (У, К).
Следствие 4.6. Фундаментальное решение задачи Коши D.11)
в пространстве распределений А'(У, К) существует и единственно.
Уравнение теплопроводности D.5) имеет решение в А при суще-
существенно более слабых ограничениях на коэффициенты оператора Ла-
Лапласа:
Kir|a| < оо.

§ 3.4. Линейные уравнения в частных производных	81
Фундаментальное решение для D.5) является распределением Гаусса:
где В — диагональная матрица В = (Ьа). Фундаментальное реше-
решение уравнения Шредингера является распределением Фейнмана. Ес-
Если V = 0, то
Y
Обозначим символом A°(Ut, У) пространство аналитических функ-
функций со: Ut —> Uf> Ut = {s G К: \s\k ^ t} с условием и)@) = 0. Для
уравнения теплопроводности и уравнения Шредингера с потенциалом
справедливы формулы Фейнмана—Каца:
F@, w(t)) exp
Ф@,<
A°(Ut,Y)
где Wf^B и Ф/,в соответственно распределения Винера и Фейнмана на
пространстве A°(Ut,y). Заметим, что определенный интеграл для ана-
аналитической функции в поле К вводится обычным образом с помощью
b
¦	II	— С
равенства
Г
tn =
J

Глава 4. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ДЛЯ
НЕАРХИМЕДОВОЗНАЧНЫХ
ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
В работах [72], [64], [58] была предложена модель квантовой
механики, в которой волновые функции принимают значения
в квадратичных расширениях неархимедовых полей. В этих работах
были построены представления Баргмана—Фока и Шредингера
в пространствах функций, квадратично интегрируемых относительно
неархимедовых распределений Гаусса и Лебега. Для квантовых
приложений было построено исчисление псевдодифференциальных
операторов, действующих в пространствах функций неархимедова
аргумента с неархимедовыми значениями (данное исчисление является
естественным обобщением исчислений псевдодифференциальных
операторов в бесконечномерном случае [43], [45], [47], [48], [53], [54]
и на суперпространстве [49], [50], [52], [55], [56]). Общим для всех этих
исчислений является отсутствие меры Лебега. Все они строятся на
основе теории распределений. В рамках исчисления псевдодиффе-
псевдодифференциальных операторов доказывается принцип соответствия между
квантовой механикой и классической неархимедовозначной механикой
(были рассмотрены неархимедовы параметры деформации).
Линейные эволюционные уравнения с переменными коэффициен-
коэффициентами на пространствах аналитических функций были изучены в ра-
работах [64], [57]. Получены теоремы существования, единственности
и непрерывной зависимости от начальных условий. Эти результаты
использовались при исследовании уравнений неархимедовой матема-
математической физики. А также были получены достаточные условия су-
существования решения уравнений Шредингера, Гейзенберга, Лиувилля
и теплопроводности [64].
В работе [64] предложена модель статистической квантовой меха-
механики с неархимедовыми функциями распределения и изучены соответ-
соответствующие эволюционные уравнения.
В связи с развитием модели квантовой механики, в которой волно-
волновые функции принимают значения в неархимедовых полях, возникло
много новых математических проблем таких, как теория неархимедо-
неархимедовых гильбертовых пространств [64], [72], спектральная теория операто-
операторов над этими полями [64] (прогресс здесь минимален). А также теория
вероятностей, в которой вероятности могут принадлежать не только

§4.1. Представления Шредингера и Баргмана-Фока	83
полю действительных чисел, но также и полям р-адических чисел [67].
Эта теория имеет наиболее интересные приложения (см. гл. 6).
Впервые неархимедовозначная квантовая механика возникла как
математический формализм, обобщающий формализм обычной кван-
квантовой механики. Позднее были проведены исследования [76], [21], в ко-
которых были предложены физические реализации этого формализма.
Во-первых, это статистическая интерпретация в рамках р-адической
теории вероятностей. С этой точки зрения р-адическизначные кван-
квантовые модели являются обычными квантовыми моделями, в которых
рассматриваются добавочные квантовые состояния, имеющие р-адиче-
скую вероятность реализации. Во-вторых, в космологических моделях
была предпринята попытка интерпретировать р-адические значения
как бесконечные величины. С этой точки зрения можно рассматривать
системы с бесконечным числом частиц в фиксированном состоянии,
бесконечные пространственно-временные интервалы.
Итак, перед нами встают две основные проблемы, а именно пробле-
проблема построения математического формализма для квантовых теорий
с неархимедовозначными функциями и проблема физической интер-
интерпретации этого формализма. Очевидно, что предложенная здесь интер-
интерпретация не единственна, и возможны другие применения полученного
математического формализма.
§ 4.1. Представления Шредингера
и Баргмана-Фока в неархимедовой квантовой
механике
Состояния систем в неархимедовой квантовой механике в пред-
представлении Шредингера описываются функциями из пространства
L<i(Kn,dx). Наблюдаемые реализуются операторами в Li{Kn,dx),
симметричными относительно скалярного произведения E.1) гл. 2;
среднее значение наблюдаемой а в состоянии <^, как обычно,
определяется соотношением а^ = (а, <р, у>), а ее эволюция описывается
уравнением Шредингера:
где Н — гамильтониан.
Замечание 1.1 (о положительной определенности операторов
квантовой механики). Очевидно, что невозможно ввести понятие по-
положительной определенности для Н. Мы могли бы потребовать, чтобы
signr Ну ^ 0, но этого требования недостаточно даже для простейших
неархимедовых моделей. Гамильтониан гармонического осциллятора

84	Гл. 4. Квантовая механика
имеет (как и в обычной квантовой механике) собственные значения
Хп = п (собственные функции являются функциями Эрмита <^п),
H(fn = п. Пусть К = Q2, г = 3, п = 3. Тогда символ Гильберта [17]
C,3) = —1 и, следовательно, sign3 3 = —1. С другой стороны, если
i = д/~Т принадлежит полю /С, тогда signr(—1) = 1 и, следовательно,
оператор (—1) должен быть положительным.
Замечание 1.2 (о самосопряженности операторов квантовой ме-
механики). Так как L2(/Cn, dx) ф L2(Kn, dx), сопряженный оператор а*:
^2 ~* L'2 и самосопряженность оператора не может быть определена
обычным способом. Мы можем ввести аналог самосопряженности с по-
помощью спектрального разложения: а = XdE\. Здесь оператор инте-
к
грирования понимается в слабом смысле (a/, g) = A d(E\f, g). Если
к
(E\f,g) Е А'р, то функции и(а), и Е Ар, оператора а определяются
следующим образом:
(u(a)f,g) ~-
к
Например, (E\f,g) Е А± для гамильтониана Н гармонических коле-
колебаний. Заметим, что этот оператор Н ограничен и ||Я|| = 1.
Замечание 1.3 (вероятностная интерпретация неархимедовой
квантовой механики). Обобщенная функция Р(р(Х) = |^л^| =
= (Е\(р, Е\(р) называется функцией распределения оператора а,
который наблюдается в состоянии (р. В частности, среднее значение а^
может быть представлено как вероятностное среднее значение
а^ = A(iP^(A). Однако невозможно вычислить вероятность того,
что наблюдаемая величина а, измеренная в состоянии у?, принадлежит
борелевскому множеству А (во всяком случае, в нашей теории
распределения).
Замечание 1.4 (предквантование). Если группа Г дискретна, то
уже на классическом уровне координаты q^ моменты р^, масса т
и энергия Н принимают дискретные значения. Таким образом, переход
от классической вещественной системы к классической неархимедовой
системе ведет к дискретизации наблюдаемых значений.
Если функция распределения наблюдаемой а в состоянии (р являет-
является гауссовской, Р^ (dX) = 7а^,в^ т0 корректно определена вероятность
Г
того, что а Е [с, d]: Р = Р^ (dX).
j

§4.1. Представления Шредингера и Баргмана-Фока	85
Псевдодифференциальный оператор (ПДО) а с (др)-символом
a(q,p) определяется равенством (у? ? VK, а Е Л):
К2п
, р
Pj((p)(q) = ^^т;—(<?) являются ПДО с символами gj и pj. Это следует
В частности, операторы координаты qj((p)(q) = qj(tp)(q) и импульса
Pj((p)(q) = ^
из формулы
<p(q)= | rtqJe^M-^bdqKlp!.	A.1)
Докажем эту формулу:
i) exp |-| ^B (x - ^B-'a
где
Используя равенство Парсеваля, получаем
fL-1(J(^))®<5(rfx) xexpj^B-^.a;)} x exp {^(ж, В^аЛ =
Теорема 1.1 (формула композиции). Пусть a, ai, a<i являются
ПДО с символами а, аь а2 Е Л(А^2п), а = ai°a2. Тогда
a(g,p) = ax *a2(q,p) =
^F^^hdp1. A.2)

Гл. 4. Квантовая механика
Доказательство.
a((p)(q) =
a2(qup)(p(q2)x
х exp
I ^[{pi.q -
<7i) + (p, <7i - q2)] >dq1dp1dq2dp2.
Теорема 1.2. Пусть выполняются условия теоремы 1.1. Тогда
a(q,p) = ai ( q,p+-rlr—) a2{qi,p)
A.3)
_,_
¦ A-4)
Доказательство. Достаточно доказать формулу A.3) для функ-
функций ai = ai(q)a2(p), «2 = ^i{q)^2{p)- Используя A.2), получаем
a(q,p) =
|a|=0
^T2 r/3i(9i)eV7«
Используя A.1), получаем
Таким образом, формула A.3) доказана.
Теорема 1.3 (принцип соответствия между классической и кван-
квантовой механиками). Пусть ai, a<i G А. Тогда
1. limai * a2(q,p) = a1(q,p)a2(q,p)l
2. Yim^[aua2]^(q,p) = {aua2}(q,p),
где [ai, a2]* = ai * 0^2 ~ a2 * ai-> {ai-> ^2} — скобки Пуассона.
Доказательство этой теоремы основано на формуле компози-
композиции A.4).
Уравнение Гейзенберга на неархимедовом пространстве

§4.1. Представления Шредингера и Баргмана-Фока	87
можно записать как уравнение для символов ПДО:
da(t,q,p) _ y^ ( h \	1 fdnadnH дпадпи i ,	, ,
n=l ^ '	^
По принципу соответствия при h —>• 0 уравнение Гейзенберга превра-
превращается в уравнение Лиувилля.
Представление Баргмана-Фока в неархимедовой квантовой меха-
механике реализуется в пространстве F^{Zn', 7) посредством ПДО-исчисле-
ния с символами Вика:
a(<p)(q)= \ a{z,v)ip{v)e^>z-v)/hdvdv,
ZL	A-6)
aeA(Z2n,Z), <p
Оператор рождения а-(^ = Zjtp и оператор уничтожения aj(p = /i-^-
3
являются ПДО с символами Вика Zj и Zj. Это следует из формулы
ф)= [ v(v)e^>z-v)/hdvdv.	A.7)
Для распределения Гаусса имеет место формула интегрирования по
частям (cLj(p, ф) = ((р, a*jip), (p, ф ? А. Формула композиции для ПДО
с символами Вика имеет вид
a = a1*a2{z,z) = I a1(z,v)a2{v,z)e-{z-v^-v)/hdvdpv- A.8)
z2n
a(z,z) = ai(z,z + ft—j a2(v,z) ;	A.9)
a(z, z)=exp ft f,f aiB,ti) a2{v, z)	.	A.10)
I Vav ov J )	v=z,v=z
Теорема 1.4. Пусть a, «i, a2 G A(Z2n, Z). Тогда справедливы
формулы A.8)-A.10).
Из A.10) получаем следующую теорему.

Гл. 4. Квантовая механика
Теорема 1.5 (принцип соответствия между классической и кван-
квантовой механиками). Пусть ai, a<i G А. Тогда
1. limai * a,2(z, z) = ai(z, z)ai(z^ z)\
2. lim -[ai, а2]*(г, z) = {ab a2}(z, z),
где
ai да2
Теорема 1.6 (эквивалентность представлений Шредингера
и Баргмана—Фока). Пусть у2 Е Z. Тогда представления Шредингера
и Баргмана-Фока эквивалентны.
Если л/2 ^ Z (например, Z = Q2(v3)), то вопрос об эквивалентно-
эквивалентности представлений Шредингера и Баргмана-Фока остается открытым.
§ 4.2. Неархимедова квантовая статистическая
механика
В классической статистической схеме [14] можно рассмотреть
или уравнение Лиувилля для распределения вероятностей Dt(d?l),
Л = (g,p), в пространстве распределений
Н(П)},	B.1)
или уравнение Лиувилля для плотности вероятностей распределения
D(t,?l) на пространстве L<i{Kn, dx). Переходя от уравнения Лиувилля
на пространстве L2(Kn,dx) к уравнению Лиувилля в L2(Kn,dv):
D(t,rt) = P(?,fi)e~'nl /2, мы получим
^(«, П) = {P(t, U), Я(П)} + u(fi)P(«, О),	B.2)
где
В квантовой статистической схеме [14] статистический оператор фон
Неймана Dt удовлетворяет уравнению Гейзенберга A.5), а символ этого
оператора удовлетворяет уравнению A.6).
Так же как и для гамильтониана, невозможно ввести положитель-
положительную определенность для статистического оператора Df. Пусть, на-
например (см.[14]), множество допустимых значений в момент t = О
описывается функцией (. . ., фп(х), . . .) и вероятность n-го состояния
равна с<;п, т.е. J^a;n = 1. Тогда для ядра Dt(x,xf) статистического

§ 4.3. Теоремы существования и единственности	89
оператора Dt получаем
Dt(x,xf) =
где i/jn{t) x) — решения уравнения Шредингера с начальными услови-
условиями фп. Следовательно,
h(x)Dt(x, x')h(x) dxdx' =
h(x)i/>n(t, x) dx
2
Но signr
, x)dx
= — 1 в общем случае.
В рамках теории интегралов Гаусса каноническое распределение
Гиббса для квадратичной функции Гамильтона определяется следую-
следующим образом:
Dt(dft) =
§ 4.3. Теоремы существования и единственности
для решений линейных уравнений в частных
производных на неархимедовом пространстве
Пусть тр(а) = sup f /9~l^l ||а/з|| ) для дифференциального оператора
(бесконечного порядка) с переменными коэффициентами а(х, D) =
3
р	р	Да^-) для матричного дифференци-
о	^х
ального оператора А(х, D) = (а^(ж, D)).
Теорема 3.1. Пусть а^/з, (р ? Ар и
lim р-^1ца || =0.	C.1)
\/3\^ЮО	Р
Тогда в пространстве Ар на интервале \t\K < l/bap(A) существует
решение задачи Коши, которое является единственным решением, ана-
аналитическим относительно t:
fin
^(t,x) = A(x,D)u(t,x), и@,х) = ф).	C.2)
Это решение имеет вид
u(t,x) = etA(x>D)(p(x).	C.3)
Условие C.1) выполняется, в частности, для всех дифференциальных
операторов конечного порядка.

90	Гл. 4. Квантовая механика
Пример 3.1 (уравнение неархимедовой диффузии).
¦m(t,x)=
Это уравнение имеет решение на интервале \t\K < p2/b тахЦа^-Ц
ij	P
с начальными условиями класса Ар.
Следствие 3.1. Пусть выполняются условия теоремы 3.1. Тогда
в пространстве А'р на интервале \t\K < l/bap(A) существует решение
задачи Коши, которое является аналитическим относительно t:
^(t,x) = A*(x,D)g(t,x), g{Q,x)=tl>{x),	C.4)
где
Следствие 3.2. Пусть A(x,D) — дифференциальный оператор
конечного порядка. Тогда в пространстве основных функций Aq суще-
существует единственное, аналитическое относительно ?, решение задачи
Коши C.2).
Теорема 3.2. Пусть матричный дифференциальный оператор ко-
конечного порядка Л (ж, D) удовлетворяет условию
k = \imap(A) < oo.	C.5)
/о—^0
Тогда задача Коши C.2) имеет единственное, аналитическое относи-
относительно ?, решение в пространстве А на интервале \t\K < 1/kb.
Решение имеет вид C.3) и, следовательно, верна следующая
теорема.
Теорема 3.3. Пусть выполняются условия теоремы 3.2. Тогда
в пространстве А' распределений существует единственное, анали-
аналитическое относительно ?, решение задачи Коши C.4) на интерва-
интервале \t\K < 1/kb.
§ 4.4. Разрешимость уравнений Шредингера,
Гейзенберга и Лиувилля в неархимедовой
механике
Предположим, что функция ф Е Ар удовлетворяет уравнению
Шредингера
^f	?, х) + v(x)t/,(t, x).	D.1)

§ 4.4. Разрешимость уравнений Шредингера, Гейзенберга и Лиувилля 91
Из теоремы 3.1 следует, что задача Коши для уравнения D.1) имеет
решение на интервале \t\K < 5(h, 6, т, v, p) [69]. Из следствия 3.2 следу-
следует, что задача Коши имеет локальное решение в пространстве основных
функций Aq. Рассмотрим уравнение D.1) в пространстве Ь2(Кп, dx).
Перепишем его в пространстве L2(/Cn, v):
h dtp ,, ч h2 v-^ ( д	\ i (, \ . / \ / (x \
Пространство L^{Kn, v) вложено в пространство Ар, p < y/b/\2\K.
Из теоремы 3.1 следует, что в подпространстве Ар задача Коши для
уравнения D.1) имеет решение на интервале \t\K < 5(h, 6, г, v, p) [69].
Рассмотрим уравнение Лиувилля B.1). Получаем
^(дН д дН д
Следовательно, для функции Гамильтона класса Ар уравнение B.1)
для вероятностного распределения на неархимедовом фазовом про-
пространстве имеет решение в пространстве распределений А' на интер-
вале \t\K < р/Ь\\Н\\р.
Более того, ||V//|| ^ р^НЯН . Пусть Н — полином, deg Н = s.
Тогда ||//|| ^ ps(max \Нар\к). Следовательно, k = lim <Jp(L) < счэ
при s ^ 2. Таким образом, для квадратичных функций Гамильтона
уравнение Лиувилля B.1) имеет решение в пространстве распределе-
распределений А'.
Изучим теперь уравнение Лиувилля B.2) в пространстве L2{Kn, v)
(Ар С L2, р < у/Ь/\2\К). Рассмотрим B.2) в подпространстве Ар
пространства L2:
ap(L + u)= max
Находим, что уравнение Лиувилля B.2) для плотности вероятно-
вероятностей P(t,?l) имеет решение на интервале |?|к</?/6||//|| .
Используя стандартную формулу перехода от представления Шре-
Шредингера к представлению Гейзенберга и формулу C.3), находим, что
функция Гамильтона H(q,p) = \р\ /2 + v(q), v G Ар, уравнение Гей-
Гейзенберга A.5) имеет решение в пространстве линейных непрерывных
операторов L(Ap, Ap) на интервале
к
Щ
ь\Н\к

92
Гл. 4. Квантовая механика
Получаем
Г		 \ _ I
^quantum — ^ п\ \ п
'1
_2_
q" 'dp" )'
(^quantu
п-1
\\H\\o-
По теореме 3.1 в пространстве Ар решение уравнения A.6) для симво-
символов ПДО существует на интервале
\t\K < min
Jin
п-1
К
ьп+1\\н\\Р\.
§ 4.5. Два процесса измерения: шкала
с бесконечным убыванием единицы и шкала
с бесконечным возрастанием единицы
Любой процесс измерения предполагает, что мы задаем некоторую
единицу измерения 1 и коэффициент т возрастания или убывания
единицы измерения 1, т.е. шкалу 5A, т). Только сумму вида
X =
а0
аптп,
E.1)
где clj = 0, 1, . . ., т — 1 можно измерить с помощью этой шкалы.
Естественно назвать эти суммы 5A, т)-измеряемыми.
Существуют две возможности.
1. Предположим, что процесс измерения с убыванием единицы в т
раз бесконечен, т. е.
X = . . . + ^-? + • • • + а0 +
+ . . . + аптп.
E.2)
2. Предположим, что процесс измерения с возрастанием единицы
в т раз бесконечен, т. е.
х =
а—к
тк
а0
аптп
E.3)
В первом случае появляются действительные числа E.2), а во вто-
втором — га-адические (в частности, если т = р простое, то появляются
р-адические числа). Шкала 5A, т) расширяется либо до т-адической
шкалы 5 A, га), либо до га-адической шкалы о A, га). В классической
действительной физике допустимы только абстракции вида E.2), тогда
как в новой неархимедовой физике допустимы абстракции вида E.3).

§ 4.6. Неархимедова космология	93
Выражения E.2) и E.3) — только символы, которые используются
для обозначения бесконечных алгоритмов измерения. Мы можем ска-
сказать, что суммы, описанные бесконечными алгоритмами E.2) и E.3),
несоизмеримы.
Иррациональные числа E.2) и рациональные числа E.3), которые
можно представить в виде периодической га-адической дроби, являют-
являются 5A, т)-неизмеримыми. Например, в дециметровой шкале иррацио-
иррациональное число
Vs = 1 + L + ...	E.4)
и рациональное число
- = — + Дг + • • •	E.5)
являются неизмеримыми. Мы не можем получить ни уЗ? ни 1/3 как ре-
результат измерений в дециметровой шкале. Мы можем только получить
их приближения в виде дробей E.1), т = 10, т.е. для дециметровой
шкалы как \/3? так и 1/3 — это только символы, используемые для
обозначения бесконечных алгоритмов измерения E.4), E.5).
То же верно и для га-адических измерений. Например, в р-адиче-
ской шкале
| = 1 + 2 + 23 + 25 + ...	E.6)
Таким образом, бесконечность алгоритмов измерения с бесконечным
возрастанием единицы измерения в т раз E.2) и бесконечным убыва-
убыванием единицы в т раз E.3) не отражает никаких специальных свойств
сумм, описываемых этими алгоритмами. Эта бесконечность зависит
только от выбора шкал S A, т) и S A, т).
Отметим, что m-адическое число E.3) описывает измерительный
процесс, в котором на любом шаге единица измерения 1 возрастает т
раз. Предположим, что алгоритм E.3) бесконечен. Тогда т-адическое
число E.3) содержит бесконечное число единиц измерения 1 и может
быть интерпретировано как бесконечно большая сумма по сравнению
с единицей измерения 1. В этом случае появляются новые свойства
бесконечно больших сумм, а именно: конечную относительно действи-
действительной метрики сумму (например, E.6)) можно представить в виде
бесконечно большой суммы в m-адическом процессе измерения.
§ 4.6. Неархимедова космология
Здесь мы попытаемся применить m-адические числа к космологии.
В предлагаемой т-адической космологической модели т-адические
числа описывают бесконечные расстояния, интервалы времени и мас-
массы, появляющиеся в космологической шкале.

94	Гл. 4. Квантовая механика
4.6.1.	га-адическая модель пространства-времени в га-адической
космологии. Отметим, что га-адическая модель пространства-
времени обладает рядом интересных свойств. Например, здесь
возможно (см. E.6)) перемещение на расстояние, равное 1/3 длины
единицы 1 за бесконечное число шагов единичной длины 1. Подобным
образом, подсчитывая бесконечное число E.6) временных интервалов
единичной длины At = 1 для начального момента to = О, МЫ
возвращаемся к моменту t = 1/3. Таким образом, в рассматриваемой
га-адической модели исчезает отношение порядка в пространстве-
времени на космологической шкале. Часть измеряемой единицы 1
представляется в виде бесконечного числа единиц 1. В га-адической
модели космологическое пространство-время имеет неархимедову
структуру. Более того, для шкалы S A, 2) получаем
-1 = 1 + 2 + 22 + . . . + 2п + . . .	F.1)
Следовательно, в га-адической модели разница между направлениями
в пространстве, так же как между прошлым и настоящим, исчезает.
Из F.1) следует, что, суммируя бесконечное число F.1) интервалов
At = 1 (для начального момента времени to = 0), мы вернемся назад
на один временной интервал. Подобным образом мы можем интерпре-
интерпретировать простое обобщение отношения F.1):
-2 = 2n + 2n+1 + ...	F.2)
И, далее,
0 = 1 + A + 2 + 22 + . . . + 2п + . . .).	F.3)
Следовательно, в рассматриваемой га-адической модели космоло-
космологическое пространство—время имеет структуру дискретного тора бес-
бесконечного радиуса. За космологическое время Т = F.3) га-адиче-
га-адическая Вселенная в своем развитии возвращается к начальному момен-
ту t0 = 0.
4.6.2.	Бесконечные, отрицательные и нулевые массы в космологии.
Бесконечно большие массы E.3) реализуются в тороидальном га-адиче-
ском пространстве-времени, а некоторые конфигурации с бесконеч-
бесконечными массами дают эффект нулевой массы F.3) или отрицательной
массы F.1)-F.2).
Замечание 6.1. В релятивистской теории бозонной струны беско-
бесконечная масса основного состояния также характеризуется отрицатель-
отрицательным числом, т. е.
М02 = 1 + 2 + ... + п + ... = -^.	F.4)
Равенство F.4) является бессмысленным в поле действительных чи-
чисел Я, так как действительные алгоритмы E.2) реализуют бесконечное

§ 4.7. Микромир и неархимедова структура	95
убывание единицы измерения 1, а не бесконечное возрастание, как
в F.4). Алгоритм F.4) ближе к m-адическим алгоритмам E.3).
Р-струна (р простое) — это струна с частотами vn = рп,
п = О, 1, . . .,
оо
хр(а) = x°p + ^2x%cospna, a e [О,тг].
р	p ^2
п=0
Квадрат массы для основного состояния р-струны
м02 = 1 + р + р2 +... + Рп +... =
В частности, в поле 13-адических чисел Qi3 РЯД
Ml = 1 + 13 + 132 + ... + 13" + ... = г-^ =
сходится. Следовательно, квадрат массы для основного состояния
р-струны для р = 13 совпадает с квадратом массы основного состояния
обычной бозонной струны. Следует отметить, что случай 2р = 26 — это
критическая размерность бозонной струны.
4.6.3. Исчезновение сингулярности плотности массы. В соответ-
соответствие с алгоритмом F.3) сингулярность плотности массы (ее бесконеч-
бесконечное возрастание) приводит к нулевой плотности. Аналогично, беско-
бесконечное возрастание в силе гравитации или электромагнитном поле F.3)
приводит к ее исчезновению.
§ 4.7. Микромир и неархимедова структура
вещественной модели пространства—времени
Минковского
Здесь я предлагаю рассмотреть m-адическую модель микромира
и ввести неархимедову m-адическую структуру в пространство—время
Минковского. Такую m-адическую модель микромира можно описать
следующим образом. Величины, описывающие события, происходящие
в микромире, являются бесконечно малыми по сравнению с подобными
величинами макромира. Для наблюдателя в координатной системе ми-
микромира характерные макромиру величины реализуются бесконечно
большими m-адическими числами. Для наблюдателя в координатной
системе макромира представление физической величины (координаты,
момента, массы, энергии, заряда, силы поля) является представлением
в виде бесконечного числа E.3) микроскопических величин. В этом
смысле макрофизика — это космологическая теория микромира.

Гл. 4. Квантовая механика
В вещественной модели Минковского пространство—время также
имеет неархимедову структуру. Мы можем рассматривать его в каче-
качестве архимедового только приближенно (пренебрегая микроструктурой
физических величин).
Например, пусть L = 1 — это единица измерения в макрошкале,
/ = 1 единица измерения в микрошкале. Если мы не берем в расчет ми-
микроструктуру величины L, то можем рассмотреть отношение Архимеда
L > L/n, п = 2,3,. . .	G.1)
Однако, если мы учтем микроструктуру величины L, то
L = —^р- + . . . + an + aim + a^vn? + .../;	G.2)
L mk	J
L_
m
Обе величины G.2) и G.3) являются бесконечно большими по сравне-
сравнению с /, и неравенство G.1) превращается в сравнение двух бесконеч-
бесконечностей.
Пусть, например, в 3-адической шкале S A,3): L = 2 + 2-3 +
+ 2-32 + . . ., тогда
\ = 1 + 3 + 32 + ..., L-| = l + 3 + 32 + ... = r^ = -i.
Все уравнения E.1)-F.3) также справедливы для нашей интерпре-
интерпретации микромира. Например, положительная макроскопическая мас-
масса F.1), являющаяся бесконечно большой по сравнению с единицей
измерения А = 1 массы в микромире, имеет эффект отрицательной
массы в микромире, тогда как подобный положительный временной
интервал в макромире производит действие поворота времени в ми-
микромире.
Естественно, что определение макромира и микромира относитель-
относительно и зависит только от способа наблюдения. С точки зрения кос-
космологического наблюдателя, мы живем в микромире и, пренебрегая
космическими величинами, космологический наблюдатель полагает,
что космологическое пространство—время — это вещественное время
Минковского Я4.
§ 4.8. Модели с бесконечно большим числом частиц
Операторы квантования поля ф(х) и число частиц N не коммути-
коммутируют и, поэтому для фиксированного значения силы поля ip(x) число
частиц не определено и может быть бесконечным.

§4.8. Модели с бесконечно большим числом частиц	97
В шкале S A,га) бесконечное число частиц описывается га-адиче-
ским целым числом
^оо = «о + сцт + . • . + аптп + . . .	(8.1)
В частности, вакуум (состояние, в котором N(fo = 0) — эт0 предел
состояний с бесконечно растущим числом частиц
х0 = 1 + [(га - 1) + (га - 1)га + . . . + (га - 1)гап + ...].	(8.2)
Как обычно, устанавливается взаимосвязь между квантовым полем,
для которого допустимы состояния с бесконечным числом бозонов,
и системой гармонических осцилляторов, для которой допустимы со-
состояния с бесконечными энергиями (8.1).
Можем ли мы сравнивать различные бесконечно большие величи-
величины, определяемые алгоритмом измерения E.3)? Как мы знаем, кольца
га-адических чисел Qm (и, в частности, поля р-адических чисел Qp) не
упорядочены. Однако мы можем ввести на Qm отношение частичного
порядка, которого вполне достаточно для приложений.
Рассмотрим два числа х = E.3) и
у = ft_tm~* + . . . + Ъо + Ьхт + . . .	(8.3)
Введем отношение < по следующему закону: у < ж, если существует
такое число s, что as > bs и ctj ^ bj для j > s.
Обозначим через Qfin{^) множество действительных чисел ви-
вида E.1).
Утверждение 8.1. На множестве Qfin(m) отношение < совпа-
совпадает с обычным отношением порядка на Q.
Доказательство. Пусть ж, у Е Qfin{m) и У < х. Тогда
х = Х-Гтг + . . . + xsms + . . .
у = у-гт~ь + . . . + ysms + . . .
при ys < xs и yj ^ Xj, j > s. Худший случай, когда х = xsms + . . .
. . . + xTmT и у = (m —l)(m~* + . . . + ms~1) + (xs - l)ras + . . . + xTmT.
Ho (ra — l)(ra~* + . . . + ms~1) < ms. Следовательно, у < х в случае
обычного отношения порядка на Q.
Как обычно, отношение < индуцирует отношение ^.
Утверждение 8.2. Отношение $J является (частичным) отноше-
отношением порядка.
Доказательство.
1.	В случае х ^ х это очевидно.
2.	Пусть х $J у и у $J х. Тогда существуют такие s\\ x8l > ySl,
хз ^ 2/jj J > ^1 и s2: 2/S2 > ж82, 2/j ^ a;j, j > s2. Пусть, например,
s\ > S2- Тогда, с одной стороны, yj ^ Xj, j = si, а с другой стороны,
xSl > ySl. Получили противоречие. Поэтому Xj = yj.
4 Хренников А.Ю.

Гл. 4. Квантовая механика
3. Пусть у $J х и х $J z. Тогда существуют такие si: жв1 > ySl,
^j ^ 2/j? J > <si и S2: zS2 > xS2, Zj ^ Xj, j > S2- Остается выбрать
s = max(si, «2)-
Отношение ^ является только отношением частичного порядка.
Например, нельзя сравнить два числа х = т + т3 + т5 + . . . и у = 1 +
+ т2 + т4 +. . . Мы говорим, что числа из Q fin (m) конечны, а числа из
Qm\Qfin{jn>) бесконечны, и любое конечное число меньше, чем любое
бесконечное.
Теперь мы можем сравнить, например, число частиц для двух со-
состояний, имеющих бесконечно большое число частиц.
§ 4.9. Р-адическая интерпретация тахионов
Мы знаем, что в специальной теории относительности импульс
может быть найден по формуле
Mv = Мус
/	«Г	По 77>	^ '
Если скорость v ^ с, то эта формула становится бессмысленной. Од-
Однако, как уже упоминалось, в полях р-адический чисел, р = I(mod4),
существует квадратный корень из (—1). Поэтому формула (9.1) имеет
смысл и для сверхсветовых скоростей.
Рассмотрим, например, случай р = 5. При таком выборе коэффици-
коэффициента измерения результаты принадлежат пространству QfinE). Поэто-
Поэтому здесь существуют конечные дроби относительно степеней 5. Теперь
пусть масса М и скорость с измеряются с помощью коэффициента
5. То есть они принадлежат пространству QfinE). Для обозначения
этих рациональных чисел мы также будем использовать символы М
и с. Рассмотрим, например, скорость v = 5с. Получим два значения
импульса к:
кг = 0,010323031034221444 ...Мс
к2 = 0,0441214134102230001 ...Me
Существуют алгоритмы, в которых единица измерения возрастает
в 5 раз при бесконечном числе шагов. Таким образом, это бесконеч-
бесконечные числа с нашей точки зрения. Значит, в рамках предложенной
5-адической интерпретации тахион следует рассматривать как частицу
с бесконечно большим импульсом, тогда как масса и скорость частицы
конечны. Наша р-адическая интерпретация тахионов согласуется со
специальной теорией относительности. В наших единицах измерения
скорость света не будет превышена. При переходе через световой барьер
частица должна получить бесконечно большой импульс.

§ 4.9. Р-адическая интерпретация тахионов	99
С точки зрения энергии, при р-адической интерпретации тахионы —
это частицы конечной массы М, движущиеся быстрее света и обладаю-
обладающие бесконечной энергией. В ранее рассмотренном случае v = 5с
Ех = 0,010323031034221444 ... Мс2
Ех = 0,010323031034221444 ...Мс
(9.3)
Для преодоления светового барьера необходима бесконечно большая
энергия Е.
Теперь рассмотрим другую модель. Пусть частица имеет бесконечно
большую р-адическую массу
м = м0 + м1Р +... + msPs +...
Пусть, как и раньше, р = 5 и v = 5с. Тогда, если масса части-
частицы М = 1,0220340214423 ..., то ее момент к = с. Таким образом,
мы получили неожиданный результат. В р-адической теории могут
существовать частицы, обладающие бесконечной массой и конечным
моментом и движущиеся с конечной, хотя и сверхсветовой, скоростью.
То есть мы можем определять бесконечно большие величины конечны-
конечными характеристиками. Например, рассмотренная выше частица с беско-
бесконечно большой массой характеризуется двумя конечными параметра-
параметрами. Измеряя эти параметры, мы можем вычислять бесконечно большую
массу М = Мо + М\р + . . . Для экспериментального обоснования
наших рассуждений нам нужно обнаружить частицу, которая имела
бы, например, скорость v = 5с и энергию Е = с2. Тогда масса такой
частицы будет бесконечно большой величиной по сравнению с единицей
измерения / = 1.
Возможно, наши рассуждения будут более интересны в космологии,
чем в теории элементарных частиц. В космологии мы предсказываем
существование объектов, имеющих бесконечную массу, движущихся
с конечной скоростью v > с и имеющих конечную энергию. Мы также
предсказываем существование объектов, имеющих конечную массу,
конечную сверхсветовую скорость и бесконечную энергию. В послед-
последнем случае можно также реализовать бесконечно большую величину,
обнаружив объект, который имеет, скажем, скорость v = 5с и массу
М = 1. Как и в рассмотренном выше случае, энергия этого объекта
является бесконечно большой по сравнению с единицей измерения.

Глава 5. Р-АДИЧЕСКИЗНАЧНЫЕ
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕРЫ
Р-адическая теория вероятностей возникла в связи с проблемой
вероятностной интерпретации физических моделей, в которых волно-
волновые функции принимают значения в расширениях полей р-адических
чисел [64], [72]. Эта проблема не разрешима в рамках обычной аксио-
аксиоматической теории вероятностей Колмогорова [94], так как в одну из
его аксиом включены действительные числа.
Как известно (см. замечания в [94]), при построении аксиоматиче-
аксиоматической теории в рамках теории меры Колмогоров использовал частот-
частотную теорию вероятностей фон Мизеса [99], [100]. Каждая аксиома
Колмогорова является теоремой в частотной теории вероятностей
(за исключением условия сг-аддитивности, которое накладывается до-
дополнительно). При построении неархимедовой теории [75], [76], [71],
[67] я поступил также. Во-первых, я строил общую частотную тео-
теорию, основанную на фундаментальном (топологическом) принципе ста-
статистической стабилизации относительных частот. Из этого принципа
следует, что статистическая стабилизация может рассматриваться не
только в обычной действительной топологии на поле рациональных
чисел Q (заметим, что все частоты являются рациональными числами),
но также и в других топологиях на Q. Эти топологии называются
топологиями статистической стабилизации. Вероятности определяются
как пределы относительных частот. Вероятности принадлежат попол-
пополнению поля Q относительно топологии стабилизации. Особый интерес
представляют статистические выборки (коллективы), для которых ста-
статистическая стабилизация отсутствует в поле действительных чисел,
тогда как в одном из полей Qp она присутствует, см. [67], [75]. На
основе частотной теории [67], [75] я предлагаю аксиоматическую тео-
теорию (теоремы частотной теории [67], [75] берутся в качестве аксиом),
основанную на теории меры (а также распределений) со значениями
в неархимедовых числовых полях.
§ 5.1. i^-адическая частотная теория вероятностей
Напомним основные положения частотной теории вероятностей
фон Мизеса. Основой этой теории является понятие коллектива. Рас-
Рассмотрим произвольное испытание S и обозначим ft = {c^i, . . ., uus}
множество всех возможных исходов этого испытания (признаков). Для
простоты исследований мы будем рассматривать только конечные

§5.1. Р-адическая частотная теория вероятностей	101
множества ft. Множество ft называется множеством элементарных
событий или множеством признаков. Рассмотрим N исходов испыта-
испытания S и обозначим через Xj результат j-ro исхода. Тогда мы получим
конечную последовательность наблюдений
х = (жь . . . ,ждг), Xj <E ft.	A.1)
Коллектив — это бесконечная идеализация выборки A-1):
х = (a?i, . . . ,xn, . . .), Xj e ft,	A.2)
для которой выполняются два принципа фон Мизеса.
Первый из них — это принцип статистической стабилизации отно-
относительных частот появления каждого элементарного события Ш{ Е ft
в последовательности A.2). Вычислим частоты iy(oji) = щ/N, где П{ —
число реализаций элементарного события uji после первых N наблю-
наблюдений. Принцип статистической стабилизации относительных частот
гласит:
существует предел частот v (uji) появления элементарного собы-
события uoi ? ft при Л/", стремящемся к бесконечности.
В частотной теории вероятностей этот предел P(u)i) = limj/(cc^)
называется вероятностью события ио^.
«Будем говорить, что коллектив — это массовый феномен, или
повторяющееся событие, или просто длинные последовательности
наблюдений, для которых существует достаточно причин, чтобы
поверить в то, что относительная частота наблюдаемого события
должна стремиться к фиксированному предельному значению, если
число наблюдений стремится к бесконечности. Этот предел будет
называться вероятностью события, наблюдаемого в пределах взятой
совокупности [99].»
Второй принцип фон Мизеса — это принцип случайности после-
последовательности A.2). Однако этот принцип порождает большое число
логических проблем. Варианты теории фон Мизеса без этого принци-
принципа были предложены позднее [119]. Мы также будем рассматривать
частотную теорию, основанную только на обобщенном принципе ста-
статистической стабилизации. В гл. 6 мы попытаемся применить теорию
колмогоровской сложности к р-адической теории вероятностей [95],
см. [140]. Колмогоровская сложность является альтернативой понятия
случайности и, мне кажется, что для р-адического случая она будет
более полезной, чем определение Мизеса.
Заметим, что все аксиомы теории вероятностей Колмогорова (за ис-
исключением сг-аддитивности) являются теоремами в частотной теории
вероятностей фон Мизеса [99], [100].
Для наших дальнейших рассуждений очень важно отметить, что от-
относительные частоты принадлежат полю рациональных чисел, а обыч-
обычные действительные вероятности получены посредством предельного
перехода относительно действительной топологии (метрики).

102	Гл. 5. Р-адическизначные вероятностные меры
Будем развивать нашу неархимедову теорию вероятностей та-
таким же образом. Мы также исследуем бесконечную последователь-
последовательность A.2) наблюдений. Но предлагается новый топологический прин-
принцип статистической стабилизации относительных частот:
статистическая стабилизация относительных частот is(uji) мо-
может рассматриваться относительно произвольной топологии г на
поле рациональных чисел Q.
Такую топологию называют топологией статистической стабилиза-
стабилизации. Предельные значения частот is(uJi) называют т-вероятностями.
Эти вероятности принадлежат пополнению поля Q относительно топо-
топологии т.
Замечание 1.1. Топология статистической стабилизации т долж-
должна быть «достаточно хорошей» для определения пополнения.
Выбор топологии т статистической стабилизации связан с конкрет-
конкретной вероятностной моделью.
Последовательность A.2), для которой выполняется принцип ста-
статистической стабилизации относительных частот топологии т, называ-
называется т-коллективом.
Обозначим через QT пополнение поля рациональных чисел Q от-
относительно топологии статистической стабилизации т. В соответствии
с [99], [100] вероятностное распределение т-коллектива A.2) определя-
определяется как вектор вероятностей
Особый интерес для нас представляет случай, когда действительная
топология tr не является топологией статистической стабилизации
для последовательности A.2), а другая топология г является. В этом
случае невозможно рассматривать A.2) как коллектив фон Мизеса. Но
возникает возможность изучить A.2) как т-совокупность.
Обозначим через Uq подмножество поля рациональных чисел Q:
UQ = {qeQ: 0 ^ q ^ 1}.
А через Uqt — замыкание множества Uq в пополнении QT поля Q.
Следующая теорема — это очевидное следствие топологического
принципа статистической стабилизации.
Теорема1.1. Вероятности Р(и}{) принадлежат множеству Uqt для
произвольного т-коллектива A.2).
Как обычно, рассмотрим алгебру а(О) всех подмножеств ft и обо-
обозначим через Р(А), А ? Л, сумму ^2 P{ui). Из теоремы 1.1 сле-
дует, что вероятность Р(А) принадлежит множеству Uqt для любо-
любого А е а(П).
В приложениях к физике р-адическая топология тр на поле рацио-
рациональных чисел Q играет наиболее важную роль.
Теорема 1.2. Множество Uqt для г = тр совпадает с полем Qp.

§5.1. Р-адическая частотная теория вероятностей	103
Доказательство. Достаточно рассмотреть каноническое разло-
разложение р-адического числа а:
_ а-п + . . . + рп га-г + рпао ¦
CL —
,. а-п + ...+pn+NaN
= hm 	—.	 , ...	= hm
где bN ? Uq.
Мы использовали выражение A + рп+дг), но можно использо-
использовать любую последовательность (vn) натуральных чисел такую, что
\imvN = 1 и (а_п + . . . + pn+NaN) < pnvN.
Например, любое рациональное число может служить р-адической
вероятностью. Возникают «патологические» (с точки зрения обычной
теории вероятностей) вероятности: Р(А) = 2, Р(А) = 100, Р(А) = 5/3,
Р(А) = —1; и возможно, что Р(А) = ip = л/—1, при р = I(mod4).
Мы развиваем теорию вероятностей, основанную на фундаменталь-
фундаментальном (топологическом) принципе стабилизации относительных частот,
аналогично тому, как это делается в [99], [100].
Теорема 1.3. Пусть пополнение Qr поля Q относительно топо-
топологии статистической стабилизации т является аддитивной топологи-
топологической группой. Тогда для каждого т-коллектива вероятность — это
аддитивная функция на а(?1):
Р(А UB) = Р(А) + Р(В), А П В = 0.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству, приве-
приведенному в [100]. Нужно только использовать аддитивность топологи-
топологической группы: Wm(uN + vn) = Нтг/лг + Нт^дг.
Теорема 1.4. Вероятность Р(?1) = 1 для любой топологии стати-
статистической стабилизации г на Q.
Как и в частотной теории вероятностей фон Мизеса, мы можем
также определить условную вероятность Р(А/В).
Теорема 1.5. Пусть Qr — мультипликативная топологическая
группа. Тогда для произвольных Л, В ? а(?1)
Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В).
Для доказательства используется то, что в мультипликативной то-
топологической группе: \iu\(un/vn) — Нтг^дг/Нт^дг при Нтг?дг ф 0.
Теорема 1.6. Пусть QT — мультипликативная топологическая
полугруппа. Тогда для независимых событий А и В
Р(АПВ) = Р(А)Р(В).

104	Гл. 5. Р-адическизначные вероятностные меры
§ 5.2. Аксиоматика, основанная
на конечно-аддитивных мерах
Несложно обобщить наши рассуждения на случай счетного множе-
множества элементарных событий ft = {ио\, . . . , uos, . . .}. Проблема возникает
в процессе построения частотной теории вероятностей в случае произ-
произвольного топологического пространства ft, являющегося множеством
элементарных событий (сравним с [100], [119]).
Но мы можем попытаться использовать в этом случае обобщение
теории Колмогорова, основанное на нашей частотной теории веро-
вероятностей, и основные свойства частотных вероятностей как аксиомы
новой теории вероятностных мер (используя теорию ?/дг-значных мер
как основу этой теории). Рассмотрим простейший случай, когда QT —
топологическое поле.
Введем следующее определение (по аналогии с Колмогоровым [94])
Тройка (ft, a(ft), P), где
а)	ft — произвольное множество,
б)	a (ft) — произвольная алгебра подмножеств множества ft,
в)	Р — аддитивная функция определенная на a (ft) и принимающая
значения в Uqt такая, что P(ft) = 1,
называется обобщенным вероятностным пространством для топо-
топологии статистической стабилизации т на Q.
Если т = тц — обычная действительная топология на Q, то
мы получаем стандартное определение вероятностного пространства
с конечно-аддитивной вероятностью (обобщенное вероятностное про-
пространство [94], [34]).
Следующим шагом в построении теории Колмогорова было
рассмотрение сг-аддитивных вероятностей и расширение области
определения вероятностей с алгебры до сг-алгебры. Это условие
является основополагающим в современной теории вероятностей.
Оно обеспечивает возможность интегрирования относительно
сг-аддитивной вероятности. Возникает теория вероятностных средних.
Но подход Колмогорова неприменим в общем случае. В р-адическом
случае существуют только дискретные сг-аддитивные меры (см., на-
например, [106]).
Итак, условие сг-аддитивности является естественным только в од-
одном случае (когда вероятности принимают действительные значения).
Это условие нельзя использовать в остальных случаях, например когда
вероятности принимают р-адические значения. Что можно предложить
в такой ситуации? Было бы полезно попробовать применить старую
идею фон Мизеса [99] в более общем случае и рассматривать вероятно-
вероятности не на произвольном множестве ft (которое никак не связано с ис-
испытаниями), а на конкретном пространстве элементарных исходов ft.
Для каждого статистического эксперимента мы должны использовать

§ 5.2. Аксиоматика, основанная на конечно-аддитивных мерах 105
специальное множество Л и специальную топологию статистической
стабилизации т. Каждая пара (Л, г) будет порождать конкретное
условие на конечно-аддитивную вероятность Р, которое обеспечит воз-
возможность интегрирования относительно этой вероятности.
В связи с возникновением новых вероятностных моделей можно рас-
рассмотреть некоторые геометрические аналогии. Ситуация с колмогоров-
ской аксиоматикой в теории вероятностей схожа с ситуацией с аксио-
аксиоматикой Евклида в геометрии. Теория вероятностей Колмогорова —
это только одна из вероятностных моделей. Подобно неевклидовым
геометриям, мы можем создать неколмогоровские теории вероятностей
(например, р-адическую теорию вероятностей). Различные топологии
статистической стабилизации т порождают различные теории вероят-
вероятностей.
Каждая неколмогоровская теория вероятностей зависит от двух то-
топологий. Первая — это топология статистической стабилизации т на Q,
а вторая — это топология C на пространстве элементарных событий Л,
соответствующем статистическому эксперименту S. Неколмогоровская
теория вероятностей — это теория, основанная на паре топологических
пространств
Мы рассмотрели определение вероятностного пространства в слу-
случае топологии т, для которой QT является топологическим полем.
Но мы не рассматривали более общие топологии т на Q. Например,
можно применить наши рассуждения для топологии статистической
стабилизации г с разрывной операцией сложения на Q. Вероятность
Р: a(ft) —>• Uqt в такой неколмогоровской теории вероятностей бы-
была бы неаддитивной функцией множества. Другая возможность —
это рассмотрение такой топологии т, для которой сложение непре-
непрерывно относительно этой топологии (поэтому вероятность являет-
является конечно-аддитивной функцией), а умножение разрывно. Обычное
равенство Р(АВ) = Р(А)Р(В) для независимых событий неверно
в этой неколмогоровской теории вероятностей. И возможна ситуа-
ситуация, в которой все алгебраические операции непрерывны на поле
рациональных чисел Q (поэтому Q — топологическое поле относи-
относительно топологии статистической стабилизации т). Но пополнение QT
поля Q может оказаться только топологическим кольцом. Обычное
равенство Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В), Р(В) ф 0 неверно в этой модели.
Например, можно рассмотреть кольцо га-адических чисел Qm, где т
не является простым числом (т = 4, 6, 8, ...), или какую-нибудь
адельную топологию.
Предыдущие рассмотрения приводят к следующей аксиоматике
обобщенной теории вероятностей, основанной на топологическом прин-
принципе статистической стабилизации (в случае, когда QT является топо-
топологическим полем).

106	Гл. 5. Р-адическизначные вероятностные меры
Вероятностная модель — это система топологических объектов
и мер
(()()()())
где
1.	г — топология на Q такая, что Qr — топологическое поле (топо-
(топология статистической стабилизации);
2.	(Л, /3) — топологическое пространство (пространство событий);
3.	a(ft) — подалгебра борелевской сг-алгебры пространства (П,/3)
(алгебра событий);
4.	Р — конечная аддитивная функция множества Р: a(?l) —> Uqt
такая, что P(ft) = 1;
5.	(УИ) — некоторое «условие интегрируемости для Р» такое, что
при выполнении этого условия достаточно большой класс непрерывных
функций ?: ft —t Uqt является интегрируемым относительно Р.
Топология статистической стабилизации т и пространство событий
(Л, C) могут быть найдены на основе свойств конкретной вероятностной
модели 5, а т и /3 порождают У И
Замечание 2.1. Математическая формулировка У И в общем слу-
случае была дана в работе Шихова [110]. Но существует одна проблема,
возникающая при связи результатов его работы с нашей теорией веро-
вероятностей. Нам не удалось найти множество значений вероятности Uqt
в общем случае. Для действительного случая это отрезок [0,1], а для
р-адического случая — это Qp. Однако мне ничего не известно о более
общих топологиях.
Замечание 2.2. На данный момент мы не можем предложить
вероятностную аксиоматику для топологий т, для которых QT не
является полем, так как не ясно, как интегрировать относительно
неаддитивных функций множества.
§ 5.3. Теория Монна—Спрингера интегрирования
относительно неархимедовозначных мер
А. Монна и Т. Спрингер разработали теорию интегрирования для
мер на локально компактных сг-компактных пространствах размерно-
размерности нуль [102] (см. также [101]). Эта теория была обобщена В. Шихо-
вым [110] на случай топологических пространств, которые не являются
а-компактными. Коротко напомним основные положения этой теории,
изложение которых можно найти в [102].
Далее везде X будет означать локально компактное сг-компактное
топологическое пространство размерности нуль, А(Х) — кольцо ком-
компактных открытых подмножеств множества X, СС(Х) — пространство
непрерывных функций /: X —>• К с компактными носителями. На этом
пространстве введем равномерную норму
= max\f{x)\K.

§5.3. Теория Монна-Спрингера	107
Определение 3.1. Мерой называется произвольный /С-линейный
функционал fi: CC(X) —> К, удовлетворяющий следующему условию:
для любого A G А(Х) существует такая константа Мд ^ 0, что
для любых / G СС(Х) таких, что supp / С А.
Определение 3.2. Мера ограничена, если существует такая кон-
константа М ^ 0, что
Hf)\K^M\\f\\, feCc(x).
Норма ограниченной меры \± определяется как норма элемента
двойственного пространства С f(X) (к /С-линейному нормированному
пространству СС(Х)):
Для любого подмножества В С X характеристическую функ-
функцию множества В будем обозначать символом фв- Если В G А(Х),
то фв G СС(Х). Каждая мера \± порождает функцию множества \±\
А(Х) -»¦ К, ii(A) = !л{фА).
ТеоремаЗ.1. Пусть F — база топологии X, состоящая из компакт-
компактных открытых подмножеств, и fi: F —>• К удовлетворяет следующим
условиям.
к
1. Пусть Ль ..., Ак е F, Ai П Aj = 0, i ф j и А = \J A{ e F.
i=i
Тогда
2. Пусть {^4}, v4 G F, — совокупность подмнож;еств фиксированного
множества В G А(Х). Тогда {|/л(Л)|к} ограничено в К.
Тогда функцию множеств /i мож:но продолж:ить до меры на СС(Х).
Обратно, каждая мера /i удовлетворяет условиям 1 и 2.
Для функции fi: F —> К, удовлетворяющей условиям 1 и 2, инте-
интеграл /i(/) определяется как предел суммы Римана, т.е.
где и = (?/, «1, . . . , а/г), ?/ = (^4)jL1? — покрытие множества В =
= supp /, Ai ? F, Aid Aj =0, i/ j, «j g v4j.

108	Гл. 5. Р-адическизначные вероятностные меры
На пространстве СС(Х) введем действительнозначную функ-
функцию N^:
ВД)	||irV(/)l 8 ^ Сс(Х).
Это неархимедова полунорма на СС(Х), обладающая свойствами:
«) 1М/Iа: ^ ВД),
6) Nv(fg) ^ ^/i(/)ll5"ll (неравенство Гельдера).
Покрытие U = (?А) Для -^ называется специальным, если
[/^ C\Uj = 0,1ф j, f/» G А(Х). Для функции / <Е СС(Х) полагаем
xeUi
Тогда
Для ж G X полагаем N^(x) = inf N^cfru), где {L^} — система
компактных открытых окрестностей точки х.
Теорема 3.2. Пусть / <Е СС(Х). Тогда
N^f) = sup\f(x)\KN^x).	C.1)
хех
Для любого а > 0 получаем
Ха = {х е X : УУм(ж) ^ с^}, Х+ = Ua>0Xa,
Используя C.1), мы можем определить N^(f) для любой функ-
функции f:X—>K(B частности, имеем: Njl(x) = М/Л(ф{х}).
Определение 3.3. Функция / (множество А) называется /i-npe-
небрежимой, если N^(f) = 0 (Л^((/>д)).
Утверждение 3.1. Функция / является /i-пренебрежимой <^>
N^(f) = 0 для любых ж, f(x) ф 0.
Определение 3.4. Функции fug эквивалентны, если функция
(/ — g) /i-пренебрежима.
Обозначим символом Fi^ji) пространство классов //-эквивалентных
функций /, для которых N^(f) < оо.
Определение 3.5. Класс Lx(X,/i) функций, интегрируемых от-
относительно меры /i, определяется как замыкание пространства СС(Х)
в F(/jl) (относительно нормы N^).
Утверждение 3.2. Пусть / ? L1 (X, /i). Тогда ограничение / на
любое множество Ха непрерывно.
Определение 3.6. Функция /: X —> К называется абсолютно
непрерывной относительно УУ^, если выполняются следующие условия:
а) для любого е > 0 существует такое S > 0, что для М^(фц) < 5,
U G Д(Х), выполняется неравенство А^м(/0^/) < ?'•>

§5.3. Теория Монна-Спрингера	109
б) Yimy ^^(/фи) = 0, где V фильтр множеств, являющихся допол-
дополнениями компактных подмножеств множества X.
Теорема 3.3. Функция /: X —>• К интегрируема тогда и только
тогда, когда выполняются следующие условия:
а)	ограничение / на любое Ха, а > 0, непрерывно;
б)	f абсолютно непрерывна относительно N^.
Утверждение 3.3. Пусть / ? L1(X,/i). Тогда
8 ? Сс(Х).
Далее везде символ А будет использоваться для обозначения до-
дополнения подмножества А множества X, А = А\А.
Определение 3.7. Функция /: X —> К называется /i-измеримой,
если для любого компакта В С К и любого е > 0 существует такой
компакт ^i С Б, что N^B П Bi) < е, и ограничение / на Bi
непрерывно.
Утверждение 3.4. Функция /: X —>• /С является /i-измеримой
тогда и только тогда, когда ограничение / на Ха непрерывно для
любого а > 0.
Определение 3.8. Последовательность {/п} /i-измеримых функ-
функций на X называется сходящейся по Егорову, если для любого ком-
компакта В и любого е > 0 существует компактное подмножество В\
компакта В такое, что N^(B П В\) < е и {/п} сходится равномерно
на В\.
Утверждение 3.5. Последовательность {/п} сходится по Егоро-
Егорову, если она сходится равномерно на любом Ха, а > 0.
Теорема 3.4 (предельная теорема для интеграла Монна-
Спрингера). Пусть {/п} — сходящаяся по Егорову последовательность
интегрируемых функций. И пусть существует интегрируемая
функция g такая, что \fn(x)\K $J |^(ж)|к для х ? X. Тогда предельная
функция / интегрируема и /i(/) = lim/i(/n).
п—>-оо
Обычным образом определим прямое произведение \i (g) г/ меры /i
на X и меры г/ на У:
Следует отметить, что в теории Монна—Спрингера нет аналога тео-
теоремы Радона-Никодима [102].
Мы будем часто использовать тот факт (Монна—Спрингер [102]),
что существует мера Хаара (мера, инвариантная по отношению к сдви-
сдвигам) на Qp, принимающая свои значения на Qg, где р ф q (сравните
с результатами гл. 1 «Отсутствие меры Хаара» для случая Qp-значных
мер на Qp). Как обычно, эта мера единственна при условии нормировки
/ji(Zp) = 1. В этом случае функция N^(x) равна константе с = 1,
и пространство L1 совпадает с пространством Сс.

110	Гл. 5. Р-адическизначные вероятностные меры
§ 5.4. Меры, убывающие на бесконечности
Как уже отмечалось, мы хотим определить Qp-значные вероятност-
вероятностные меры. Нас интересует р-адический аналог условия а-аддитивности,
которое использовал А.Н. Колмогоров [94] в своей системе аксиом. Кол-
Колмогоров отмечал, что данное условие играет исключительно техниче-
техническую роль. Такую же роль будет играть аналогичное условие и в нашей
теории вероятностей.
Естественно, первое условие, накладываемое на меру /i, — это усло-
условие ограниченности. Нам будет полезна следующая теорема.
Теорема 4.1. Мера \± ограничена тогда и только тогда, когда
функция N^ ограничена на X и
|Н| = 8\ipN,Jl(x).
Доказательство. Пусть \± ограничена; {U} — система замкнуто-
открытых окрестностей точки х ? X. Тогда
n^x) = inf	V	1
U
С другой стороны, для любой / G СС(Х)
Ш)\к ^ ВД) = sup\f(x)\KN
X	X
Далее для определения Qp-значных вероятностных мер мы будем ис-
использовать следующее условие. Для приложений нам необходима мера
не только на кольце Д(Х), но также и на алгебре всех замкнуто-
открытых подмножеств.
Определение 4.1. Мера /i называется убывающей (на бесконеч-
бесконечности), если для любого е > 0 существует такое U? G Д(Х), что
G U?}
e.
Из теоремы 4.1 следует, что убывающая мера /i ограничена. Нетруд-
Нетрудно привести пример ограниченной, но неубывающей меры на Qp.
Пример 4.1. Пусть X = К = Qp, {хп = p""}^=0 и /х({ж„}) = 1,
п = 0, 1, ... Тогда /1 ограничена, но не убывает.
Символом Ф(Х) обозначим алгебру замкнуто-открытых подмно-
подмножеств пространства X.
Теорема 4.2. Пусть /i — убывающая мера. Тогда любое множество
A G Ф(Х) суммируемо.
Доказательство. Нам нужно построить такую последова-
последовательность функций gn G СС(Х), что Мц(Фа — gn) ~^ 0- Пусть
{Вп} — последовательность подмножеств из Д(Х) такая, что
sup{Njd(x) : х G Вп} < 1/п. Пусть Сп = А П Вп. Эти множества

§5.4. Меры, убывающие на бесконечности	111
замкнуто-открыты. Далее,
М»(Фа ~ Фсп) = $ир\фА(х) - Фсп{х)\кМ1Л(х) < 1/гс.
В частности, используя данную теорему, мы получаем, что про-
пространство X суммируемо.
Убывающая мера \± может быть продолжена на алгебру Ф(Х)
с сохранением свойств конечной аддитивности и ограниченности: для
любого A G Ф{Х)
зир{\ц(В)\к : В С Л, В е А(Х)} < оо.
Для доказательства этого утверждения нам достаточно показать, что
\»(В)\К = ^(фв) = 8ирфв(х)м^(х) <:
Заметим также, что для любого А Е Ф(^0 существует такая после-
последовательность (Сп), Сп Е А(Х), что fi(A) = lim /j,(Cn).
Символом Сь{Х) обозначим пространство непрерывных ограничен-
ограниченных функций /: X —> К. Это пространство наделяется равномерной
нормой || • ||.
Утверждение 4.1. Пусть \± — убывающая мера. Тогда любой
функции / Е Сь{Х) соответствует элемент / Е L1(X, /i) и выполняется
неравенство
Доказательство. Пусть (Вп) — такая же последовательность,
что и в теореме 4.2. Тогда
ВД - 1Фвп) < sup |/(x)|K^(x) < ll/11/n.
х<ЕВп
Утверждение 4.2. Мера \± является убывающей тогда и только
тогда, когда подмножество Ха является компактом для любого а > 0.
Доказательство.
1.	Множества Ха замкнуто-открыты. Используя убывание меры /i,
получаем, что существует такое Ua Е Д(Х), что УУ^(ж) < а для ж Е f/a.
Поэтому Ха С L^a.
2.	Теперь наоборот, пусть все Ха являются компактами для любых
а > 0. Для каждой точки х Е Ха существует замкнуто-открытая
окрестность U(x). Система таких окрестностей является открытым
покрытием компактного подмножества Ха. Существует конечное под-
п
покрытие {U(xj))n=1. Получаем Ga = |J U(xj). Это множество при-
3	j=i
надлежит А(Х), но
sup {N^(x) : х Е Ga} ^ sup {N^x) : х Е Xa} < a.

112
Гл. 5. Р-адическизначные вероятностные меры
5.5. Произведение функции и меры
Пусть /1 — произвольная мера на X, / Е L1(X,/i). Рассмотрим
функционал v = //i, v(g) = l^(fg) для g Е СС(Х). Заметим, что
Поэтому v — ограниченная мера.
Теорема 5.1. Пусть \± мера, / Е Ьг(Х, /i), г/ = //i. Тогда
ЛГ„(а:) = \f(x)\KNlx{x).
E.1)
Доказательство. Из определений Nu{x) и N^(x) следует, что
существует такая открыто-компактная окрестность U точки ж, что
- Nv(x)
E.2)
и Мц(фц) — №ц(х) ^ е. Так как / Е L1, то существует такая g* E GС(Х),
что N^(f — g) ^ e. Можно рассмотреть такую окрестность U, что
\g(y) ~ g{x)\K ^ ? для любого у Е U. На основании E.2) достаточно
оценить
Заметим, что
yeY
0,
То есть получаем, что
- \f(x)\KNlx(x)\
- f(x)\KNlx(x)
Как известно, каждая суммируемая функция / абсолютно непре-
непрерывна относительно Njd(x). Используя E.2), получаем
Ve > 03V G
у) < е.
Данный результат можно сформулировать как следующее утвер-
утверждение.
Утверждение 5.1. Пусть /i мера, / Е Lx(X,/i). Тогда мера
v = /\i является убывающей.

§ 5.6. Формула замены переменных в интеграле Монна-Спрингера 113
§ 5.6. Формула замены переменных в интеграле
Монна-Спрингера для убывающей меры
Далее везде символом S будем обозначать локально-компактное
полное неархимедово поле. Рассмотрим 5-значные меры и функции
/ ту-	С*\
Теорем а 6.1. Пусть /i — убывающая мера и функция rj E Ь1(Х, /i).
Тогда композиция / о g e L1(X, /i).
Доказательство. Так как rj E L1 (X, /i), то ту непрерывна на Ха.
Поэтому Ма = г/(Ха) является компактом. Обозначим через Va шар
в поле S с центром в нуле такой, что Ма С Va.
И пусть Ua Е А(Х) такая, что sup {Л^(ж) : ж Е Ua} < a.
Так как г/ Е L1, то для любого J > 0 существует такое ?7j E СС(Х),
что 74^^G7 - г/^) < 77.
Теперь рассмотрим систему функций
gSa (х) = [(/0^а ) ° Щ] Фиа •
Эти функции принадлежат пространству СС(Х). Заметим, что
для х Е Ха С ?/а.
Докажем, что N^(f о rj — gSa) —> О ПРИ S, а —> 0.
Сначала мы выберем такое а, что ||/||а < е. Тогда
^м(/ ° V - gSa) ^ max sup \f(rj(x)) - gsa{x)\sNfl(x),
lxexa
sup \f(r)(x))-,
Так как Л^а ^ ||/||а < e, то
= sup
Теперь мы выберем 5 = в а. Тогда N^(rj — rjs) $J ва. Таким образом,
|г/(ж) — f]s(x)\sNl^(x) ^ ^с^. А это и означает, что \rj(x) — rjs(x)\s ^ в
для х Е Ха. Функция f фуа имеет компактный носитель, и, следова-
следовательно, она равномерно непрерывна. Поэтому для любого е > 0 суще-
существует такое 0? > 0, что \f(yi) - /B/2)!5 < е/||м11 ПРИ 12/1 - 2/2Is ^ ^?-
Для завершения доказательства достаточно выбрать E = 5? = #?а.
Теорема 6.2. Пусть \± — убывающая мера, rj E LX(X,/i). Тог-
Тогда функционал /i: CC(S) —t S, определенный с помощью уравнения
= /i(/ о g-), является ограниченной мерой на CC(S).

114	Гл. 5. Р-адическизначные вероятностные меры
Если мера \± ограничена, но не убывает, то возможно, что
1
Пример 6.1. Пусть /1 такая же мера, что и в теореме. Рассмотрим
функцию г](хп) = уп = рп, г](х) = 0 при х ф хп. Покажем, что
г] G L1. Для каждой точки хп существуют замкнуто-открытые ша-
шары Vn, имеющие пустое пересечение для различных точек. Рассмотрим
непрерывные функции с компактными носителями:
N
к=1
Тогда N^^tj — tjn) —>• 0. Пусть теперь / равно 1 + г/ на шаре U\@) и нулю
вне его. Тогда zn = f(yn) = 1 + рп и anzn -/> 0, п —>> 0.
Утверждение 6.1. Пусть \i — убывающая мера, rj G Ь1(Х, /х).
Тогда
^(/)^^(/077).	F.1)
Доказательство.
N^(f) = sup ll^irV
Это неравенство может быть строгим.
Лемма 6.1. Если у ? Ма = rj(Xa), то N/dri(y) < a.
Доказательство. Множ;ество Ма замкнуто, поэтому для любого
у G Ма существует окрестность Va: Va П Ма = 0. Далее, используя
равенство E.1) и неравенство F.1), получаем
inL
Утверждение 6.2. Мера /i^ является убывающей для любого
г1еЬ1(Х,1г).
Данное утверждение является следствием леммы 6.1.
Можно наложить более слабые условия на функцию / в теореме 6.1.
Пусть rj G L1. Введем функциональное пространство Г(г/) функ-
функций f:S—>S, непрерывных на Ма для любого а > 0. Символом Гь(г/)
обозначим подпространство пространства ГG7), состоящее из ограни-
ограниченных функций.
Теорема 6.3. Пусть /i — убывающая мера, rj G Lx(X,/i), / G
G Г^(?7). Тогда композиция f о rj ? LX(X,/i), функция / G L1(*S',/i^)
и выполняется следующее равенство:
»?)-	F-2)

§ 5.6. Формула замены переменных в интеграле Монна-Спрингера 115
Доказательство.
1. Покажем, что / о g ? L1(X, /i). Используя равномерную непре-
непрерывность ограничения fa функции / на Ма, получаем, что для любого
е > 0 существует такое 5 > 0, что |/(ж) — /B/)|^ < ei ПРИ 1Ж ~ 2/ls < ^>
ж,|/Е Ма. Рассмотрим покрытие Us(x),x ? Ma. Существует конечное
п
подпокрытие (J Us(xj) D Ма. Пусть
i
для е = /3. Тогда /а)9 ? С с и
/а/5(ж) - /(ж)|5 < /3.
Теперь пусть функции 7/я такие же, как и в теореме 6.1. Рассмотрим
функции gaps(x) = 1а(з(л{х))Фиа{х)^ гДе множ:ество Ua такое же, как
в предыдущей теореме. Аналогично теореме 6.1. можно доказать, что
Ра/38 = N^f orj- gaf3S) ->> 0, a,P,S-> 0.
Таким образом, правая часть уравнения F.2) определена.
Теперь покажем, что функция / ? L1(*S',/i^). Для этого нам до-
достаточно доказать, что существует последовательность функций {фп},
Фп ? CC(S) такая, что N/dri(f — фп) —» 0. По лемме:
N^(f - fap) = supl/Ы -
yes
max
sup I/Ы^^Ы; sup
уема
Следовательно, левая часть уравнения F.2) определена. Теперь
докажем, что левая часть равна правой. Используя предыду-
предыдущие рассуждения, получаем: /ia(/ ° v) = пт/^г7(/а^)- Далее,
^/Д/ ° V ~ fa/3 ° v) ~^ 0- Таким образом,
Замечаниеб.1. Полученные результаты можно расширить на слу-
случай векторнозначных функций rj: X —» Sn, rj = G71, . . . , ?7n), r/j ? L1.
Мера /i^ будет определена на (f>(Sn).

116	Гл. 5. Р-адическизначные вероятностные меры
§ 5.7. Р-адическизначные вероятностные меры
5.7.1. Аксиоматика, основанная на убывающих мерах. Теория убы-
убывающих мер является основой для создания р-адическизначной теории
вероятностей на аксиоматическом уровне.
Определение 7.1 (Колмогоров [94]). Вероятностное простран-
пространство — это тройка (Л, Ф(^), Р), где ft — локально-компактное
сг-компактное топологическое пространство размерности нуль
(пространство элементарных событий), Ф(^) — алгебра замкнуто-
открытых подмножеств (алгебра событий), Р — убывающая
Qp-значная мера на Ф(^), Р(Р) = 1 (вероятность).
Замечание 7.1. Аксиоматика Колмогорова строилась на основе
произвольного абстрактного множества ft и некоторой алгебры его
подмножеств. Но такой подход не применим в нашем случае. Мы
не можем рассматривать произвольное множество ft и абстрактную
алгебру его подмножеств. Топологические свойства (геометрия) про-
пространства ft играют большую роль в наших рассуждениях. Наша ак-
аксиоматика несколько похожа на теории геометрических вероятностей
Фреше [29] и Крамера [23] (первоначальные рассуждения Колмогорова
о вероятности были также связаны с конкретными геометриями на
пространстве ft).
Пусть S — локальное компактное неархимедово поле (как и в пре-
предыдущем параграфе), содержащее Qp в качестве подполя.
Определение 7.2. Функция ?: ft —» S класса L1 называется
случайной величиной (СВ).
Введем математическое ожидание ? с помощью обычного определе-
определения:
а также моменты т^ (?) = M?k (если ?k Е L1, то эти моменты кор-
корректно определены) и вероятностное распределение Р^(А) = Р(? Е Л)
(это убывающая нормированная мера на S). Вектор ? = (?i, . . . , ?п),
где ?i — это СВ, называется случайным вектором. Вероятностное рас-
распределение Pg случайного вектора ? можно ввести так же, как и для
СВ (это убывающая нормированная мера на Sn). Мы также введем
смешанные моменты случайного вектора: та(?) = М^1 . . . ?"та1.
5.7.2. Независимые случайные величины.
Определение 7.3. СВ ? и rj называются независимыми, если
A)P(V e В)	G.1)
для всех А, В

§5.7. Р-адическизначные вероятностные меры	117
Лемма 7.1. Пусть ? и rj — независимые СВ. Тогда выполняется
следующее равенство
= Mf{?)Mg{rj)	G.2)
для функций /, g e CC(S).
Доказательство. Обозначим символом а выражение
e
Пусть f?=^2 с%Фи1 — локальная постоянная функция такая, что
Uf. G Д(?) ияир|/(ж) - f?(x)\s < e; g? —аналогичная функция для g.
х
Тогда а ^ max[a?i, a?2]? гДе
max
sup\ge(ri(u>))\s\f(?(w))-f*(t(b>))\sNp(u,j\ =
1
= max[a?,/3?];
NP(f о Z)NP(g о r,-g* or,) < ^(/
Таким же образом можно оценить /3?.
Теорема 7.1. Пусть ? и rj — независимые СВ, функции /, g G
G Cb(S). Тогда выполняется равенство G.2).
Доказательство. Пусть Ма^ = ?(fia), Ма5Г7 = 7/(^a), a > 0.
Множество Та = Ма^ U Ма^ является компактом.
Пусть функция и G Cb(S). Ограничение г^ на Та является равно-
равномерно непрерывным. Повторяя рассуждения теоремы 6.3, мы построим
такую функцию иар G Cb(S), что
sup \u(x) - uap(x)\s < /3.
хета
Теперь пусть fap и gap — аналогичные функции для / и g. С помо-
помощью 7.1 оценим выражение
a/3 = \M№Mg(T,) - Mfap{Z)Mga0{r,)\S.

118	Гл. 5. Р-адическизначные вероятностные меры
Например, \а/з ^ тах[Аа/зъ Аа/з2], где
Аа/31
max sup \g(r){u)) - gaj3(ri(w))\sNp(u)),
sup \g{ri(u;)) - gap(r](u;))\sNP(uj) ;
wena	J
Если uj G ^cn to 77(c<;) G Маг7 С Та и ?(а;) G Ма? С Та. Следовательно,
Аа/32 < 11/11 max [\\P\\0, \\g\\a] -Ю, а,/3 -»¦ 0.
Мы можем таким же образом оценить \ар2-
Следствие 7.1. Пусть ? и 77 — независимые СВ. Тогда для всех
замкнуто-открытых подмножеств А и В выполняется равенство G.1).
Далее везде будем говорить, что свойство S выполняется почти
всюду (mod Р), если S выполняется на подмножестве Л+.
Пусть С В ? и rj ограничены почти всюду. Тогда из теоремы 6.3.
следует, что ?k и rjk также С В для любых к = 0, 1, ... С помощью
теоремы 6.1 получаем, что произведение ?kr)k также является СВ.
Поэтому все моменты rrtkniCv) корректно определены.
Теорема 7.2. Пусть СВ ? и rj ограничены почти всюду. Эти СВ
являются независимыми тогда и только тогда, когда
гпкп(^ ту) = mk(?)mn(ri)	G.3)
для любых к, п = 1, 2, . . .
Доказательство.
1.	Пусть СВ ? и 77 независимы, U — шар в S, содержащий множества
f(П+) и 77(П+). Тогда функции Д(у) = укфи{у) и g"n(z/) = УпФи{у)
принадлежат классу CC(S) и выполняются равенства:
Mfk{?)g{ri) = гпкп(С, ту), МД (О = mfc@, Mg-n(r/) = ттгпG7).
2.	Пусть выполняется условие G.3), и функции / и g принадлежат
классу CC(S). Можно рассмотреть случай, когда supp/, suppg* С U.
Для завершения доказательства используем тот факт, что множество U
является компактом, и теорему Капланского.
Для СВ ?, как и в обычной теории вероятностей, полагаем
Утверждение 7.1. СВ ? и 77 являются независимыми, если вы-
выполняется условие G.3) для всех ?с и 77е.
Утверждение 7.2. СВ ? и 77 являются независимыми, если Pz =
= Р^ 0 Р^ где z = (?,77).
Это очевидное следствие леммы 7.1.

§5.7. Р-адическизначные вероятностные меры	119
5.7.3. Условное математическое ожидание. Пусть ? и rj — это СВ.
Условное математическое ожидание М[?|7/ = у] определяется как
функция т(у) G Ь1(*9, Р^) такая, что
для любого множества В ?
Это определение корректно, так как ф в (?](&)){; (и) ? Ь1(П, Р) для
всех СВ ? и г]. Это следует из следующего утверждения.
Утверждение 7.3. Пусть ? и Л — СВ и Л ограничена почти всюду.
Тогда ?А является СВ.
Доказательство. Покажем, что ф(ш) = ?(cj)A(cc;) ? L1.
Рассмотрим функцию g(u:) = ?(а;)гх(а;), где ?i G GС, и покаж:ем,
что g"(a;) является СВ. Для любого е > 0 существует такая функция
a G СС(Л), что Np{^ — а) < е/\\и\\. Следовательно, Np(^u — аи) < е
при аи G GС(П).
Теперь используем условие Л G L1: существует последователь-
последовательность (гхп), ип G GС(^), такая, что Np(X — ип) —> 0. Следовательно,
sup |Л(о;) - гл„(о;)|5 ^ (I/a) sup |Л(о;) - un(co)\sNP(uj) -^ 0, п -^ 0,
кроме того, мы можем рассмотреть случай \\ип\\ ^ sup |Л(о;)| = С.
Далее рассмотрим последовательность СВ {ф^(со) = ?(u))un(u))}.
Имеет место неравенство
и {V'iv} равномерно сходится к ?А на любом подмножестве Ла:
sup \?(и)\(и;)->фм(и)\3 ^
^ sup |?(а;)|5 sup |А(а;) - un(uj)\s -> 0, N -> оо.
Здесь мы воспользовались непрерывностью сужения функции А (о;)
на Па. Чтобы завершить доказательство, необходимо использовать
предельную теорему для интеграла Монна-Спрингера.
В неархимедовом случае нет аналога теоремы Радона—
Никодима [102]. Возможны ситуации, в которых не существует
условного математического ожидания.
Далее везде будет рассматриваться случай ограниченной почти
всюду СВ ?. Конечно, это условие является только техническим, но
без него невозможно развитие нашей теории. Мы также полагаем, что
математическое ожидание M[X(uj)\rj(oj) = у] существует везде, где
о нем идет речь.

120	Гл. 5. Р-адическизначные вероятностные меры
Утверждение 7.4. Для любой функции / Е ^G7) выполняется
равенство
Mf(V{u>))t{u>) = Mf(r,(w))M[?(b>)\ri = v(")]-	G-4)
Доказательство. Пусть ?(?^+) С U, U Е А(^). Тогда
почти всюду.
Далее, функция g(x,y) = /(у)хфц(х) принадлежит классу Г
где z = (?,77). Используя формулу замены переменных, получаем
n	s2
= [ f(y)xPz{dxdy).
s2
Мы рассматриваем меру
Л(Л) = Г фл(x)Pz{dxdy) =lm(y)xPr,(dy),
S2	A
где т(у) = М[?|77 = у].
Следовательно,
1 = ^(у)гп(у)Р^у).
S
Утверждение 7.5. Условное математическое ожидание един-
единственно (modP^).
Доказательство. Пусть rrij(y) = М[?|?7 = у], j = 1, 2. Тогда
NP(m1-m2)= sup \\ф\\~1\РГ](ф(т1 -
Но
для любых / E
Утверждение 7.6. Для любой функции / Е Г^(?7) выполняется
равенство
v]-	G-5)

§ 5.7. Р-адическизначные вероятностные меры	121
Доказательство. Конечно, мы рассматриваем это равенство как
равенство почти всюду (mod Р^). Используя формулу замены перемен-
переменных, получаем
J	u) = | фв(у)Ну)т(у)РТ1(<1у).
В
Для завершения доказательства применяем предыдущее утвержде-
утверждение.
Утверждение 7.7. Пусть ? и rj — независимые СВ. Тогда
М[?\г, = у] = МС	G.6)
Доказательство. Используя ограниченность ? (почти всюду),
получаем
= М?{е>)Мфвг){е>) =
S
Утверждение 7.8. Пусть ? и г\ — независимые СВ и функция
ф е Cb(S2). Тогда
ЩФ(?,л)\л = у] = Мф{?,у).	G.7)
Доказательство. Символом g\(у) обозначим левую часть G.7),
a g2(y) — правую. Мы хотим доказать, что Nр^(gi — #2) = 0. Покаж;ем,
что равенство Pr](ipgi) = Pr]{^g2) выполняется для любого ф G Cb{S).
Но
(?,/)
Обозначим через Ra компактное множ;ество z(?la), a > 0. Пусть
а G A(^2), Ra С Та. Можно рассмотреть случай Та <Е Т^ х Т2,
^ G ДE). С помощью леммы 6.1 получаем
~Фта)) ^ ||^||sup
Следовательно, возможна аппроксимация P^{xj)g2j с помощью после-
последовательности
{Рг(фффТа)}а>0.

122	Гл. 5. Р-адическизначные вероятностные меры
Далее, используя теорему Капланского, получаем, что существует мно-
многочлен р?: Та —> S такой, что
sup\(j)(t) -Ps(t)\s ^ e.
t<ETa
Следовательно,
\Рг{1>ФФта) - PzA>Pe<i>Ta)\s < 4Ф\\\\Р>1
Таким образом, возможна аппроксимация Pz(^g2) с помощью по-
последовательности
{Рг(ФРеФта)}а,е>0.
Заметим, что
СВ ?, rj независимы, и, следовательно,
РЛФРеФта) = J2 Рек1к
Для завершения доказательства покаж:ем, что семейство СВ
^ г])фТа (?, ^))}а,?>0 аппроксимирует СВ ф{г])ф{^ г/).
Действительно,
NPz{w) ^ а
(?, г,) - ф(г1)ре(?, г,)фТа (?, г))) <
SUp |(V(^(W), VW) ~ Ре(?(ы)М<»)))ФтЛЬ V))\SNp,(b>) = Is
wena
Полагаем Wa = z^); fta С Wa. Тогда
7?^max sup \ф{?{ш), rf{u;)) - pe(f (<*>)> rj(uj))\sNp(u;), sup NP(u)
^ max[e||P||,a] -)> 0, a, e -)> 0.
Следствие 7.2. Пусть ^ и 77 — независимые СВ и множество
В е Ф(#2). Тогда

§ 5.7. Р-адическизначные вероятностные меры	123
5.7.4. Условная плотность. Пусть v — мера на S (она может быть
даже неубывающей или неограниченной). СВ ? имеет плотность отно-
относительно г/, если существует такая функция f^(y) (плотность) класса
L\S, i/), что Р(?(ш) еА)=1 U{y)v{dy), А е ФE), т. е. Р^ = fry. Как
А
обычно, f^(y)i/(dy) = P(?(cj) G S) = 1. Аналогичное определение бу-
дет использоваться для случайных векторов.
Пусть случайный вектор z(uj) = (?(fc;), ?7 (<*>)) имеет плотность
fz{x,y) относительно v ® v: Pz = /^i/ (g) г/. Полагаем f^rj(x\y) =
= Л(ж, y)/fn(y), где /^^(^ly) = 0 при f^y) = 0.
Утверждение 7.9. Пусть случайный вектор z = (?,77) имеет
плотность относительно г/ 0 ^ и множество G = {у G S: frj{y) = 0}
г/-пренебреж;имо. Тогда существует
Доказательство. Проверим равенство
h = ^(°°)Фв{л{^))Р^и) = m(y)Pr](dy) = /2.
п	в
Используем ограниченность множества ?(Г?_|_) и формулу замены
переменных:
Г
h = xcj)B(y)fz(x,y)i;®i;(dxdy) =
5.7.5. Дискретные случайные величины. Рассмотрим случай дис-
дискретной СВ г] = (уп). Можно получить обычную формулу для условно-
условного математического ожидания. Но неархимедова структура порождает
новую проблему. Множества А^ = rj~1(yk) могут оказаться несумми-
руемыми.
Пример 7.1. Пусть Л = Zq и Р = dx — мера Хаара на Zq,
принимающая свои значения на Qp. Тогда Np(uj) = 1 и /^(Г^Р) =
= С{?1). Пусть уп — последовательность р-адических чисел такая, что
yi ф у. % ф j5 и существует lim у л = у^. Обозначим через si сферу
радиуса q~l и введем функцию 77: г/ = у/ на S/, / = 0, 1, 2, . . . и 77@) =
= Уоо. Множества si замкнуто-открыты, и непрерывность г] является
следствием ее непрерывности в нуле. Следовательно, 77 = (yi)f^-0 —
дискретная СВ. Но А^ = rj~1(yoo) = {0} и фл^ ? С (ft).

124	Гл. 5. Р-адическизначные вероятностные меры
Утверждение 7.10. Пусть rj = (уп) — дискретная СВ и у\~
изолированные точки последовательности (уп). Тогда множество А^
суммируемо.
Доказательство. Пусть U G A(S'), У к ? U, но yj ф Vr, j ф к.
Тогда фи(г){шУ) = фАк(и)). Для доказательства достаточно применить
теорему 6.1.
Замечание 7.2. Наиболее интересен случай, когда
из),	G.8)
к=1
где А^ G Ф(Г^). Здесь не возникает проблемы с суммируемостью мно-
множества Аь.
Рассмотрим более общее достаточное условие. Далее компактное
множество ?1а наделено топологией, индуцированной из ft.
Утверждение 7.11. Множество Л С П суммируемо тогда и толь-
только тогда, когда множества Аа = А П Па, а > 0, замкнуто-открыты
в топологических пространствах fta.
Доказательство.
1.	Пусть Фа G L1(il, Р). В частности, ограничение 0д на Па непре-
непрерывно. Пусть U — шар с центром в точке t = l^Sna = 0^U.
Тогда ф^(и) = Аа — замкнуто-открытое множество, потому что U —
замкнуто-открытое множество и фАа непрерывно.
2.	Пусть Аа G Д(^а) (множества Па компактны, и, следовательно,
понятия замкнуто-открытости и компактно-открытости совпадают).
Пусть Va G Ф(^): Va П ^а = Аа. Из компактности Аа следует, что
Va G Д(^), таким образом, 0да G Cc(ft). Но
Мр(фА ~ фуа) ^ sup |0a(^) - 0v«(^)I^p(^) ^ ol.
Пример 7.2. Пусть Л = Zq, \± = dx. Рассмотрим плотность /
такую, что ограничение f:?l—> Qp на si равно константе //, где // —>- 0,
/ —> оо, \fi\p < \fi-i\p и /@) = 0. Эта функция непрерывна, поэтому
принадлежит L1. Условие нормировки влечет дополнительное условие
^2fifJ<(si) = 1. Пусть Р = f ц. Из первого пункта теоремы получаем:
NP(uo) = \f{u)\p и ft0 = {0}, ft+ = Zq\{0}. Множество А = П+ не
является замкнуто-открытым множ:еством, и поэтому не выполняются
условия замечания 1 для этой функции. Но множества Аа = А П Г?а G
G Ф(^), и, следовательно, множество Л суммируемо.
Легко изменить данный пример и получить ситуацию, когда мно-
множества Лa не будут замкнуто-открытыми.
Пример 7.3. Пусть ft' = Zq x Zq, // = /i 0 J, /i = d;r. Здесь
Л^/(ж,0) = 1 и N^i^x^y) = 0, у ^ 0. Введем плотность f(x,y):
/(ж, 0) = /(ж), где / такая же плотность, как и в предыдущем примере,

§ 5.7. Р-адическизначные вероятностные меры	125
и /(ж, у) = 0 при у ф О. Полагаем Р' = ///. В этом случае
Sl'+ = {z = (x,O): хфО}, uo = {z = (x,y): у ф 0} U {z = (О, у)}.
Пусть А = П+. Тогда Ла = А П ffQ = Оа х {0}, где ^а те же
множества, что и в примере 7.2. Очевидно, что Аа ^ Ф(?У). Пусть Ua =
= Ла х Zq G Ф(?У). Тогда Ла = ?/а П ^7а. Здесь можно использовать
утверждение 7.9.
Мы изучали вопрос о суммируемости множеств Л/, = {ио ? Л:
rj(uj) = Ук} Для дискретной СВ tj(uj). Теперь рассмотрим обратную
задачу. Разберем случай, когда все множества А^ суммируемы. Нас ин-
интересуют условия, которые нужно наложить на функцию G.8), чтобы
она была СВ.
Утверждение 7.12. Пусть
lim \yk\sNP(Ak) = 0.
Тогда функция G.8) является СВ.
N
Доказательство. Функции tjn(lo) = Y1 Укфлк(ш) являются
к=1
СВ для всех N. То есть существуют функции ?n{u) G Cc(?l) та-
такие, что Np(rjN — ?дг) ^ е. Остается заметить, что Np(rjN — ?дг) =
= sup \yk\sNp(Ak) -+ 0, N -+ оо.
k>N
оо
Лемма 7.2. Пусть множества (А^)^—! суммируемы и (J Ак = П,
k=i
Ai П Aj = 0, г ф j. Тогда Ак П Па ^ 0, а > 0, только для конечного
множества индексов к.
Доказательство. Достаточно заметить, что в силу утвержде-
утверждения 7.11 система множеств {Ак П ^а} — эт0 открытое покрытие ком-
компактного топологического пространства fta.
Утверждение 7.13. Пусть Л — некоторая СВ и г] имеет вид G.8),
где множества Ак П fla суммируемы, функция / G CC(S). Тогда
выполняется равенство
k=l
\(u>)P(du>).
Доказательство. Из теоремы 6.1 следует, что z(uj) = f(rj(uj))
это СВ. Она ограничена и дискретна. Рассмотрим
k=i

126	Гл. 5. Р-адическизначные вероятностные меры
п
Тогда ип(со) = z(co)X(co), если со G |J Ак, и ип(ио) = О,
/с = 1
п
если cj ^ U 4. Таким образом, выполняется неравенство
к=1
\un(co)\s ^ II/II 1^(^I s- Чтобы завершить доказательство, мы
используем лемму 7.2 и предельную теорему.
Утверждение 7.14. Пусть rj удовлетворяет условиям утвержде-
утверждения 7.13. Тогда Рц является дискретной мерой, сосредоточенной в точ-
точках (Уп) = т/(П), и NPv{yk) = \P(Ak)\s.
Это утверждение вытекает из предыдущего.
Теорема 7.3. Пусть Л — некоторая СВ, а СВ rj такая же, как
в утверждении 7.13. Тогда существует условное математическое ожи-
ожидание М[Л|?7 = у], которое вычисляется по формуле
M[X\rj = уп] = A/Р(Лп)) | X(co)P(dco).	G.9)
Доказательство. Если Р(Ап) = 0, то по утверждению 7.14
УУр?7(уп) = 0. Значит, из правой части равенства G.9) следует, что
функция т(у) корректно определена. Нам остается только проверить,
что эта функция является условным математическим ожиданием:
J \(w)P(du) = Yl<l>B(Vk)
к = 1
Для завершения доказательства покажем, что т G Ь1(*9, P-q)- Это
эквивалентно равенству
lim т(уп)Р(Ап) = lim \(и)Р(duo) = 0.
п—>-схэ	п—>-оо I
лп
Функция Л (о;) суммируема и, следовательно, абсолютно непрерыв-
непрерывна: для любого е > 0 существует такое S > 0, что Мр(Хфц) ^ е при
NP(U) < 5, U е А(п). И, в частности,
\X(oo)\sNp(oo) <: е	G.10)
для любого со G U. Пусть теперь ио ф ?1$. Используя компактность ?1$,
получаем, что существует окрестность V G Д(П) точки ио такая, что
V П ?1$ = 0- Но Np((j)y) < 6 удовлетворяет неравенству G.10).
Из леммы 7.2 следует, что существует N такое, что Ап nils = 0 для
всех п > N. Следовательно, G.10) выполняется для всех точек со G Ап.

§ 5.8. Р-адическизначные вероятности Бернулли	127
Таким образом,
X(co)P(dco)
NP(\(j)An) = sup \X(co)\sNP(co) <: e.
Ап
Заметим, что здесь мы не использовали ограниченность Л.
§ 5.8. Р-адическизначные вероятности Бернулли
на кольце q-адических целых чисел
Пусть а = (с^о, • • ., OLq-i) G Qp, где q и р — простые числа
. . . + aq-i = 1. Эти коэффициенты порождают дискретную меру /ла
на множестве Tq = {0,1, . . . , q — 1}, которая принимает свои значения
на Qp. Введем конечную последовательность таких мер {/^ап}^=о Для
векторов-коэффициентов ап. Представим П = Т^° = Tq х . . . х Tq . . .
в виде кольца Zq и рассмотрим на ft формальное прямое произведение
мер 0~=о/хап, где А = (а0, . . ., ап, . . .) и ап = (а#, . . ., o?_i).
Элемент со G ^ записывается в каноническом виде со = coo~\-coiq-\-. . .
. . .+cjmgm + . . . = (cjo, • • ., c<;m, . . .), coj G Tg. Обозначим *9дп множество
всех слов длины п в алфавите Tq: x = {жо, • • ., a;n_i}, a?j G Tg, см., на-
например, [140]. Символом ?9 обозначим множ;ество всех конечных слов.
Положим 1(х) = п для ж G 5дп. Существует естественная топология
произведения на множестве последовательностей П, а также топология,
индуцированная из Zq. Они эквивалентны. Определим в ft множество
Вх, х G #дп, как множество всех последовательностей Л, начинающих-
начинающихся с ж. Это база П-топологии. Обозначим ее F(?l). Множ:ество Вх — это
шар в Zq радиуса q~l(x) с центром в любой точке со, начинающейся с х.
Для 1(х) = п + 1 получаем
= fJLao(xO) • . . . • fJLan(xn).	(8.1)
Теорема 8.1. Пусть все коэффициенты {с^?} принадлеж:ат коль-
кольцу Zp. Тогда \ia может быть расширена до меры на Л = Zq.
Доказательство. Пусть х G Sq(n+iy Тогда Вх = |J .B^j, где
з=о
символом xj обозначено слово у = (ж, j). Тогда
g-l	g-l
5^/XA(Bxi) =^/iA(Bx)/ia.(j) =flA(Bx).
j=0	j=0
Используя это равенство, можно доказать конечную аддитивность ме-
меры \iA на базе F(il). Далее, если Ву С Вх, то у = (ж, yn+i, . . ., ym),
m = /(у) — 1, и, следовательно,
1^4(#з,)|р = |^A(^x)|p|Ma»+iB/n+l)---Ma-B/m)|p ^ \»А{Вх)\р.

128
Гл. 5. Р-адическизначные вероятностные меры
Из теоремы 3.1 следует, что функция \ia'- F(?l) —>• Qp, определенная
равенством (8.1), может быть расширена до меры на A (ft) = 4>(ft).
Мера \1а — это Qp-значная Л-мера Бернулли. Рассмотрим симмет-
симметричный случай: а0 = . . . = otq-i = 1/q. Если А = (а, . . ., а, . . .), то
/j,a(Bx) = q~l(x>. Это мера Хаара на Zq, принимающая свои значения
в Qp. Далее меры Бернулли будут рассматриваться как вероятности.
Вместо обозначения \±а будет использоваться символ Рар- Символ Раоо
будет обозначать обычное (вещественнозначное) распределение Бер-
Бернулли с коэффициентами А (в симметричном случае Раоо эт0 обычное
симметричное вероятностное распределение Бернулли, которое можно
представить как меру Лебега на действительном отрезке [0,1]). Рас-
Распределения Бернулли соответствуют бесконечным рядам независимых
испытаний.
Теорема 8.2. Пусть \ia — мера Бернулли. Тогда
(8.2)
где (а)п — начальный отрезок длины п последовательности а.
Доказательство. По определению N/dA(a) =
in
а е U e A (ft)}. Используя неравенство N^A(U) ^ N^A(V), U С V,
получаем NjdA(a) = infNjdA(B^n). Теперь воспользуемся равенством
iVMA(Ba.)=sup||/xA(f/)|p: U С Вх\.
t
Пусть U = U Urj(cj) и пересечением различных шаров является
пустое множество. Рассмотрим один шар Ur(b), где г = g~m, /(ж) $J m;
в этом случае ?/гF) С Вх и F)т = (ж, 6/(ж), . . ., 6m_i). Поэтому
Далее,
Итак, мы получили, что
Следовательно,
П
П
з=о
п-1
= inf
3=0

§ 5.8. Р-адическизначные вероятности Бернулли	129
Следствие 8.1. Пусть все коэффициенты {а^}, за исключением
конечного числа, принадлежат единичной сфере в Qp. Тогда множе-
множество По пусто для меры Бернулли //д.
Рассмотрим возможность обобщения построения меры Бернулли.
Во-первых, рассмотрим, кроме простого числа д, произвольное нату-
натуральное число т > 1: а = {«о, . . ., am_i}, «о + - • -+^m-i = 1? olj ? Qp-
Здесь iia — дискретная мера на Тш = {0, . . ., га — 1}. Пространство
ft = T^ изоморфно кольцу Zm га-адических целых чисел. Построение
меры Бернулли /хд можно осуществить аналогичным способом. Также
можно рассмотреть случай, когда не требуется, чтобы меры принимали
свои значения в Zp.
Теорема 8.3. Пусть меры /ian на Тт, за исключением конечного
числа, принимают свои значения в Zp. Функция множества /хд, опре-
определенная с помощью (8.1), расширяется до меры на Zm.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 8.1. Достаточ-
Достаточно проверить, что для любого Вх
п-1
< ОС.
3=0
Пример 8.1. Пусть а0 = 1/3, а\ = 2/3 и все меры /ian = /ia
(случай равномерного распределения). Для меры /лд максимальное
пренебрежимое множество ^о состоит из всех последовательностей,
для которых бесконечное число координат равно 1. Функция NjlA(uj) =
= 2-/с, если |о;| = S^j = k. Множество П+ — это множество после-
последовательностей, для которых конечное число координат равно 1. Оба
множества fto и ft+ плотны в ft. Учтем, что fta ? A(ft) для этой меры.
Множество, на котором сконцентрирована эта мера, счетно: элементы
ft+ являются натуральными числами в Z^. Эта мера не дискретна,
так как одноточечные множества не суммируемы относительно нее.
Докажем это.
Если множество Ап = {п}, п = по + . . . + п\2} суммируемо, то
Ап П fta является замкнуто-открытым для любого а > 0. Мы хотим
получить противоречие. Пусть п Е fta. Множество fta состоит из таких
последовательностей о;, для которых число единиц |о;| $J к = ка.
В частности, |га| $J к. Достаточно рассмотреть случай \п\ < к.
Допустим, что существует такая окрестность Вх, х = (a?i, . . ., xt),
в Л, что Вх П ^а = {п}. В этом случае, по = жо, • • ., Щ = xt. Рассмо-
Рассмотрим два случая.
1.	Пусть t ^ /. Можем выбрать m = п + 2/+1. Тогда |га| = \п\ +
+ 1 ^ к, значит, m Е ^а- Но m Е Вх.
2.	Пусть t > I. Здесь все Xj = 0, j > I. Выберем m = п + 2t+1 E
Следовательно, мы не можем определить меру точки для множества
натуральных чисел. Но это множество является носителем этой меры.
5 Хренников А.Ю.

130	Гл. 5. Р-адическизначные вероятностные меры
§ 5.9. Биологические модели, связанные
с р-адическизначными распределениями
Бернулли
В этом разделе будут изучены вероятностные свойства меры Бер-
Бернулли на примере стохастической биологической модели.
Пусть Ра2 — мера из примера 8.1. Событие, состоящее в выпадении 1
бесконечное число раз, для данного распределения вероятностей прак-
практически невозможно. А событие, состоящее в выпадении 1 конечное
число раз, практически достоверно.
Рассмотрим на ft обычную (в смысле Колмогорова) вещественно-
значную вероятность Рлоо- Вещественная и 2-адическая вероятности
совпадают для всех Вх. Невозможно отличить вещественную и 2-адиче-
скую вероятности для всех случаев, описанных с помощью конечного
числа испытаний. Стохастическая модель, соответствующая Рд2? отли-
отличается от обычной вероятностной модели (описанной Раоо) принципом,
запрещающим реализацию бесконечного числа 1. В обычной теории
вероятностей такого принципа нет.
Мы предлагаем следующую статистическую биологическую модель,
описанную с помощью вероятностного пространства (?1 = ^2, Р = Рд2,
A(Z2)).
Пусть белые и черные мыши находятся в закрытой коробке в от-
отношении: Б = 1/3, Ч = 2/3, и это отношение сохраняется в процессе
развития их популяции. Мы имеем дело с обычным статистическим
экспериментом с мышами в коробке. Достанем мышку из коробки
и запишем 0 и 1 для белой и черной мыши соответственно, затем вернем
мышку в коробку.
Мы рассматриваем популяцию мышей с одним дополнительным
свойством. Предполагается, что практически всегда в какой-то момент
возникает ужасная эпидемия черных мышей, и все они погибают. Так-
Также предполагается, что такая эпидемия происходит в статистически
отдаленный момент времени. Последнее условие мы должны понимать
следующим образом.
Рассмотрим большое число коробок с мышами. Относительная ча-
частота коробок, в которых произойдет эпидемия, очень и очень мала
в любой момент времени.
Получена статистическая схема Бернулли с весами а = (су о = 1/3,
а\ = 2/3) в любой момент времени и условием моментального выми-
вымирания черных мышей в достаточно удаленный момент времени. Такая
биологическая модель описывается 2-адическим распределением веро-
вероятностей Рд2, которое совпадает с обычным действительным распре-
распределением вероятностей (с весами а) для любого конечного интервала
времени. Таким образом, если использовать обычную теорию вероят-
вероятностей, то мы ни каким образом не сможем «отследить» неизбежность

§ 5.9. Биологические модели	131
исчезновения черных мышей. Более того, статистически в каждый
конечный момент времени черная популяция существенно доминирует
над белой. Однако 2-адическая модель в явном виде описывает неиз-
неизбежный катаклизм для черных мышей.
Возможно, р-адическая теория вероятностей может быть использо-
использована для описания более реалистичных моделей природных и социаль-
социальных катастроф.
Существует также возможность построения р-адическизначных ве-
вероятностей Рлр с весами а = A/2, 2/3) для любых р ф 3 (если р = 3,
то мера Бернулли не определена и это только распределение). Но если
р ф 2, то эти вероятности не описывают условие вымирания черных
мышей (как обычная действительная вероятность). В этом случае мы
не можем предложить никакой статистической модели, описываемой
с помощью этих вероятностей. Такие статистические модели должны
отличаться от обычных действительных вероятностных моделей Раоо •>
так как если р ф 2, 3, то максимальное пренебрежимое множество ft0
пусто. Значит, для такой вероятности не существует пренебрежимых
подмножеств. В частности, нельзя пренебречь ни одним одноточечным
событием.
Подобная ситуация возникает и для симметричного случая а =
= (ао = 1/2, ol\ = 1/2). Здесь распределение вероятностей Рар
корректно определено на ft = Z2 для любого р ф 2. Это р-адиче-
скизначная мера Хаара на Z<i- Эти вероятности совпадают с обыч-
обычной симметричной вероятностью Бернулли Раоо для любого события,
зависящего только от конечного числа исходов. Основное отличие от
действительного случая заключается в том, что ^о пусто. И опять
же, нельзя пренебречь каким-либо событием, в частности ни одним
одноточечным событием.
В обычном действительном случае мы можем отождествить после-
последовательности исходов типа ио = @10 . . . 0 . . .), о/ = (ООН . . . 11. . .),
чтобы получить равномерное распределение вероятностей на отрезке
[0,1] действительной прямой. В нашем случае это невозможно.
Рассмотрим более сложную биологическую модель с тремя видами
50, 51, S2 и статистическими весами а = (ад = 5/13, а\ = 6/13,
а^2 = 2/13). Здесь /ха — дискретная мера на Т3 = {0,1,2}, ft =
_ rpoo ^ ^ Пусть Рлр — соответствующая вероятность на ft. Мы
хотим описать статистическую модель с вымиранием видов S1 и S2,
которая совпадает с соответствующей действительной моделью Раоо
для любого события, зависящего только от конечного числа исходов.
Такая модель описывается с помощью вероятности Ра2 • Если мы хотим
описать модель с угасанием вида 50, то мы можем использовать Раь->
если 51 — то Раз- Эти модели также описывают катаклизмы: «все идет
хорошо, хорошо, . . ., вымерли».
Если р ф 2, 3, 5, то вероятность Рдр, как и действительная вероят-
вероятность, не описывает вымирания ни одного из видов.

132	Гл. 5. Р-адическизначные вероятностные меры
Такие статистические биологические модели могут быть исполь-
использованы не только для случая эпидемии в статистически удаленные
моменты времени, но также для моделей, где запасы еды для одних
составляющих пополняются, а для других нет. Например, рассмотрим
очень большое число популяций, содержащих два типа животных: ВО
и Б1, с постоянным отношением ВО к В1 в течение всего периода
эволюции этих популяций. Но ВО и В\ будут развиваться по-разному.
Скорость роста популяции ВО достаточна для обновления природных
запасов пищи, а скорость роста популяции В\ слишком высока для
обновления этих запасов. Такое вырождение 51-запасов пищи происхо-
происходит статистически не очень быстро. В каждый момент времени только
очень маленькая часть всех В1-популяций имеет уже истощенный
природный запас пищи.
Было бы интересно сравнить действительную и р-адическую ве-
вероятностные модели в данной ситуации. Эти вероятностные модели,
в общем, не отличаются в любой конечный момент времени эволюции.
В частности, все средние значения случайных переменных (с рацио-
рациональными значениями), зависящие только от конечного интервала вре-
времени, совпадают. Отличие состоит в «глобальном прогнозе» эволюции.
Если мы используем обычную действительную теорию вероятностей,
то можем сказать, что эволюция ВО и 51 стабильна. В каждый конеч-
конечный момент времени лишь в пренебрежимо малом числе популяций
запасы 51-пищи истощаются. Вещественная вероятность события 6г,
состоящего из всех о;, для которых 51-запасы должны быть истощены,
равна нулю. Это «практически невозможно» с вещественной точки зре-
зрения. С точки зрения обычной теории вероятностей, вид В\ находится
в благоприятном положении.
Но, с точки зрения р-адической теории, мы получаем другой вывод.
Множество G не является пренебрежимым относительно р-адической
меры Бернулли. Значит, ситуация не очень благоприятна для состав-
составляющей В\. Несложно ввести такую Рар, что множество G будет
пренебрежимым. Ситуация для вида В\ не будет благоприятной в этом
случае.
§ 5.10. Дискретные вероятности.
Санкт-Петербургский парадокс
в р-адической интерпретации
Рассмотрим счетное множество исходов ft = {coi, . . ., сип, . . .}.
Последовательность х = A.2) называется р-адическим коллективом,
если для любого элементарного события ujj имеет место статистиче-
статистическая стабилизация частоты реализации ujj в топологии Qp, причем
ряд ^2 аз = 1? aj = Pi^j)-» сходится. Такой коллектив индуцирует
дискретную счетную аддитивную меру на сг-алгебре всех подмножеств

§5.10. Дискретные вероятности	133
множества ft. Приведем примеры дискретных распределений вероят-
вероятностей:
2) {ап = -тт!}~=1;
Случайная величина — это любое отображение ?: ft —> Qp, матема-
математическое ожидание М? = ^2C(U}j)aj^ дисперсия D? = М(? — М?J.
з
В нашей теории дисперсия может быть и отрицательной. Например,
пусть ft = (u-i, оио, ^ь • • ¦)> a-i = P/(P ~ !)j ап = рп, п ^ 0, тогда
D? = 1/A — р3) — A/A — р2)J для СВ, определяемой равенствами:
?(o>-i) = 0,?(a;n)=pn,n^0.
Пусть D = (v4i, . . ., Лп, . . .), P(Aj) ф 0, — полная группа взаим-
нонепересекающихся событий. Для счетно-аддитивной вероятности Р
справедливы формулы произведения вероятностей:
..Ап) = Р(А1)Р(А2/А1)... Р{Ап/А1... Ап.г),
если
Р(А1)ф0,...,Р(А1...Ап.1)ф0.
Теорема 10.1 (формула Байеса). Пусть события А\ . . . Ап состав-
составляют полную группу взаимно непересекающихся событий, P(Aj) ф 0
и Р(В) ф 0. Тогда
р(Л
{ г
Рассмотрим, например, классическую задачу Байеса, но примени-
применительно к р-адической монете. Монета — это некоторое устройство, для
которого вероятность выпадения орла равна х Е Qp, а вероятность
выпадения решки: A — х). Из совокупности монет мы выбираем одну
для эксперимента. Затем подкидываем эту монету п раз. Если орел
выпадает n\ раз, то с какой вероятностью qn(x) можно утверждать, что
вероятность выпадения орла равна х? Мы рассмотрим такую ситуацию,
когда распределение монет полностью дискретно: у нас есть счетное
множество вероятностей {xk}k=ii xj ^ Qp-> c вероятностями Pq(xj),
^Po(xj) = 1- Данное распределение вероятностей соответствует кол-
з
лективу Mi (для р-адической топологии стабилизации). Этот коллек-
коллектив возникает в результате эксперимента Si, в процессе которого мы
выбираем одну монету из совокупности всех монет и находим веро-
вероятность выпадения орла х = Xj. Затем для каждой вероятности Xj
мы рассматриваем коллектив М2(ж^), который возникает в результа-
результате эксперимента ^2(ж^), состоящего в подбрасывании п раз р-адиче-
ской монеты, имеющей вероятность выпадения орла Xj. С помощью

134	Гл. 5. Р-адическизначные вероятностные меры
операции комбинации коллективов (см. Р. фон Мизес [99], [100]), мы
получаем новую последовательность исходов М, соответствующую экс-
эксперименту 5, в котором мы случайным образом выбираем монету из
совокупности всех монет и подбрасываем ее п раз. В обычной теории
вероятностей частот [99], [100] такая последовательность также явля-
является коллективом. В р-адическом случае это, вообще говоря, неверно.
Теорема 10.2. Пусть последовательность вероятностей {xk} огра-
ограничена на Qp. Тогда последовательность М является р-адическим
коллективом.
Доказательство. Пространство элементарных исходов ft состо-
состоит из точек ojkrn — {х — хк и орел выпадает т раз}. Как обыч-
обычно, P(uukrn) = Po(xk)C™x™(l — х^~т). Остается показать, что ряд
^2 Р(шкгп) сходится на Qp, а для этого достаточно использовать огра-
ограниченность биномиальных коэффициентов {С™} в Qp.
Используя дискретные Qp-значные распределения вероятностей,
мы можем предложить новый подход к знаменитому Санкт-Петербург-
Санкт-Петербургскому парадоксу теории вероятностей (см., например, Борель [16]).
Пусть Петр и Павел играют в игру (вероятность выигрыша в одной
игре равна 0,5). Игра подчиняется следующим правилам. Если Петр
выигрывает первую игру, то Павел платит ему 2 франка и игра закан-
заканчивается. Если Петр проигрывает первую игру, но выигрывает вторую,
то Павел платит ему 22 франков и игра заканчивается, ..., если Петр
проигрывает (п — 1) первых игр, но выигрывает п-ю игру, то Павел
платит ему 2п франков и игра заканчивается. Задача состоит в опре-
определении ставки Петра, т. е. в том, какую сумму он должен заплатить
Павлу перед началом игры в качестве компенсации за свои долги (более
реальный вариант — это Санкт-Петербургская игра до проигрыша,
см. Борель [16]). Парадокс состоит в том, что ставка должна быть
бесконечно большой, а именно: математическое ожидание выигрыша
Петра
оо	оо
пг = У — Т = У 1 = оо.
п=1	п=1
Санкт-Петербургский парадокс оказал большое влияние на фор-
формирование основных законов теории вероятностей [16]. Существует
несколько подходов к решению этого парадокса. Одна из них при-
принадлежит Бертрану. Она заключается в том, что бесконечное число
рассматриваемых ответов «корректно» и при любой ставке Петр может
быть уверен, что в конце игры он победит и разорит Павла.
В р-адическом случае можно рассмотреть модификацию Санкт-
Петербургского парадокса. Предположим, что взнос поднялся до 4П.
Тогда в 2-адичной теории вероятностей мы можем вычислить матема-
математическое ожидание победы Петра. Получим неожиданный результат:

§5.10. Дискретные вероятности	135
оо	оо
m = V —4n = V 2n = -2.
/_^ 2n	^
п=1	п=1
Конечно, т = —2 — это лишь символ для некоторой бесконечной
ставки. Здесь возникает возможность классифицировать бесконечные
ставки.
Теперь рассмотрим основную модель с выплатами An, A E Q+,
где Q+ — множество положительных рациональных чисел. Введем
множество рациональных чисел Wp = {А Е Q+'- |А/2|Р < 1},
оо лп
р = 2, . . ., оо, | • 1^ = | • |я. Если А Е Wp, то ряд га(А) = ?) —
п=1 ^
сходится на Qp, определяя среднее mp: VKp —>• Q такое, что гтгр|^^ пи/ =
= mq\w nw . Из этого условия согласованности следует, что отображе-
оо
ние т: W = |J Wp —>• Q. Если А Е VKq©, to можно применять обычную
р=2
теорию вероятностей, а если А Е VKp — то Qp-значную.
Также мы можем рассмотреть вариант Санкт-Петербургского пара-
парадокса с более сильными расходимостями. Предположим, что выплаты
Ап = 2ппп\. Тогда для любого р ф оо математическое ожидание
корректно определено:
т
п=1
С помощью р-адической теории появляется возможность получения
информации о переменных, которые с точки зрения действительной
теории бесконечны.
По аналогии мы можем рассмотреть модель с выплатами Ап и ве-
вероятностью проигрыша Петра /i G Q, 0 < /i < 1. Математическое
оо
ожидание победы Петра m(A, /i) = ^ An/in~1(l — /i) имеет смысл
п=1
в обычной теории вероятностей, если A/i < 1, т.е. оно определено
на множестве V^ = {(A,/i) E Q^_: 0 < /i < 1, A/i < 1}. Возникает
проблема расширения статистических характеристик игры на более
широкое множество рациональных чисел (мы рассмотрели только ма-
математическое ожидание, но можем также изучить, скажем, проблему
расширения дисперсии). Введем множества рациональных чисел Vp =
= {(A,/i) E Q2: A E Q+, /i G Q, |A/i|p < 1}. Если параметры игры
принадлежат множеству Vp, то игра может быть описана в рамках
Qp-вероятности. Значит, математическое ожидание продолжается на
оо
множество V = (J Vp.
р=2

Глава 6. СТАТИСТИЧЕСКАЯ
СТАБИЛИЗАЦИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО
Р-АДИЧЕСКОЙ
И ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ МЕТРИК
Мы рассматриваем такие статистические модели, в которых отно-
относительные частоты колеблются относительно действительной метрики
и стабилизируются относительно р-адической. Мы имеем возможность
создавать такие случайные последовательности, для которых не суще-
существует обычных частотных вероятностей, а р-адические определены.
Статистические выборки, обладающие таким свойством, мы можем
рассматривать как новый тип случайности. Поэтому наши исследо-
исследования мы можем также рассматривать как исследования нового типа
случайных последовательностей. Появляется целый спектр различных
случайностей. Если мы попытаемся классифицировать эти случайные
последовательности с помощью колмогоровской сложности, то увидим,
что (грубо говоря) колмогоровская сложность растет как п (где п —
длина конечного начального сегмента) для обычных случайных после-
последовательностей, коллективов Мизеса; и она увеличивается как logp n
для р-адических случайных последовательностей. Таким образом, на-
наши случайные последовательности «более простые», чем коллективы
Мизеса. Они не являются обычными коллективами Мизеса. Поэтому
с точки зрения обычной теории вероятностей они являются хаотиче-
хаотическими выборками.
Заметим, что наши статистические модели реализованы как ста-
статистические эксперименты на компьютере. Как применять такие ре-
результаты? Наша основная идея — это получение новой информации,
которая не заметна в обычном вероятностном формализме. Напри-
Например, мы не можем различить два стохастических объекта, которые
рассматриваются как хаотические (не случайные) выборки в теории
Мизеса. Относительные частоты могут колебаться для обоих этих
стохастических объектов относительно действительной метрики. Но
в то же время эти объекты могут иметь р-адические вероятности. Зна-
Значит, р-адическая вероятность может рассматриваться как некоторая
физическая характеристика аналогично обычной вероятности. Напо-
Напомним, что в работах Мизеса предлагалось, что вероятность является
такой же физической характеристикой объекта, как, например, масса
или электрический заряд. Следовательно, и мы только вводим новую

§6.1. Р-адическое статистическое моделирование	137
физическую характеристику, а именно р-адическую вероятность, и ни-
ничего более.
§ 6.1. Р-адическое статистическое моделирование
6.1.1.	Статистическая стабилизация р-адических цифр. В случае
р-адических топологий (статистической стабилизации частот) мы мо-
можем использовать простые числа р = 2, 3, 5, . . ., 127, . . . как параметры
вероятностных моделей. Существуют две возможности нахождения
этого параметра для конкретной вероятностной модели. Одна из них —
это теоретическое изучение исследуемой модели и нахождение числа р
из свойств этой модели. Вторая — это статистическое моделирование
с помощью компьютера.
Мы, конечно, понимаем, что на практике невозможно рассматри-
рассматривать бесконечный коллектив. Можно изучать только конечные после-
последовательности. Также невозможно говорить и о пределе в р-адической
топологии при практическом вычислении (такая же ситуация возникает
в обычной теории вероятностей над полем действительных чисел R).
Можно только изучать стабилизацию р-адических цифр ctj в р-адиче-
ском расширении относительной частоты v(uJi) = rii/N. Например,
цифра ао стабилизировалась после N = р10 наблюдений, а\ — после
N = р100 наблюдений и т. д. Мы говорим, что в этом случае имеет место
статистическая стабилизация относительной частоты.
Если мы хотим найти параметр р вероятностной модели S с по-
помощью компьютера, то можем начать с исследования статистической
стабилизации относительных частот в поле Q^. Затем (если не суще-
существует статистической стабилизации в Q2) исследовать статистическую
стабилизацию в полях Q%, Q$, • • • и т. д.
Проведенное статистическое моделирование показывает, что если
мы хотим реализовать наши вычисления для достаточно больших зна-
значений р, то нам необходим достаточно мощный компьютер. Например,
на практике невозможно использовать персональный компьютер для
простейших вероятностных моделей при р > 100.
Несложно предложить такую вероятностную модель, для которой
нет статистической стабилизации в R (следовательно, не существует
действительнозначного вероятностного распределения), но имеет место
быстрая статистическая стабилизация в Qp.
6.1.2.	Игровая индустриальная статистическая модель. Рассмот-
Рассмотрим некоторую индустрию (ИНД), которая может производить два
типа продукции. Например, ИНД производит красные и белые шары.
Рассмотрим такой индустриальный процесс, в котором шары произво-
производятся сериями по М = pk, к = 0, 1, 2, . . ., шаров одного типа. Затем
рассмотрим случайный процесс производства белых и красных шаров.

138	Гл. 6. Статистическая стабилизация
Статистическое моделирование этого процесса будет осуществлять-
осуществляться с помощью двух генераторов случайных чисел (случайных в смысле
обычной теории вероятностей): ? и #, где ? = w или г и в = 0 или 1.
Пусть в предыдущей серии произведено М = рк шаров некоторого
фиксированного цвета. Тогда мы используем первый генератор слу-
случайных чисел ? и, если ? = w, то ИНД будет производить серию
белых шаров, а если ? = г, то серию красных шаров; длина этой новой
серии будет вычисляться с помощью второго случайного генератора в:
М' = Мрв (поэтому это экстенсивный процесс производства). Пусть
теперь полученные таким образом шары перемешали в достаточно
большой коробке.
Нас интересует изучение глобального результата ИНД-производ-
ства. Какова будет вероятность P(w) вытащить белый шар из коробки
и вероятность Р(г) вытащить красный шар после очень большого
периода ИНД-производства (в математической идеализации мы мо-
можем рассматривать бесконечный период ИНД-производства)? Чтобы
получить ответ на этот вопрос, мы можем рассуждать следующим
образом. Пусть 7\, Т2, . . ., Т/,, . . . — моменты окончания предыдущих
серий ИНД-производства и начала новых серий. Вычислим относи-
относительные частоты vk(w) и Vk(r) белых и красных шаров в моменты
7~?, к = 1, 2, . . . Чтобы ответить на наш вопрос, рассмотрим пределы
{vk(w)} и {vk(r)}.
Теорема 1.1. Пусть ? и в — произвольные генераторы случайных
чисел. Тогда в поле р-адических чисел существуют пределы
P(w) = lim ^(-ш), P(r) = lim ^/c(r).
к—>-оо	к—>-оо
Доказательство. Используя равенство \Мк+1\р = \Мк\рр~вк+1,
получаем, что |М/,|р —» 0, к —>• оо в Qp. Поэтому пределы
P(w) = lim k-^	, P(r) = lim
где ак = 1 при ?fe = w и ак = 0 при ?fe = г, существуют в Qp.
В частности, мы получаем формулы
Ем,
к=1
Теорема 1.2. Пусть в — произвольный генератор случайных чисел
и для генератора ? вероятности для к; и г не равны 0. Тогда относи-
относительные частоты колеблются в поле действительных чисел.

§6.1. Р-адическое статистическое моделирование	139
Доказательство. Пусть один из цветов изменился в момент
времени Tj при достаточно большом j. Например, рассмотрим изме-
изменение w на г. Получаем
где Nj=pei + ...+ pA*, Xj = X) #j, и 7Vi+i = ЛГ, + pA*+*i+i. Тогда
г=1
где 7 = 1 + ^^ = pXj^6j+1 /Nj. Очевидно, что
А7
Рассмотрим первую возможность: ^j+i = 1- Тогда получаем
. l + (p-l)
^ 1 _ p-(A, + l) ~ P
при достаточно больших j.
Теперь рассмотрим случай ^+1 = 2. Тогда получаем
. 1 + р(р- 1) 2	, !
при достаточно больших j.
Конечно, чтобы быть более точными, мы должны рассматривать
вероятностное пространство Колмогорова (Л, F, Proi) и Дв^ последо-
последовательности обычных СВ ?n{w) и rjn(w). Каж;дая последовательность
состоит из независимых и равномерно распределенных СВ (все выра-
выражения рассматриваются в смысле колмогоровской вероятности). Свой-
Свойство колебаний частот в вещественной метрике модели не зависит от ве-
вероятностей реализации значений СВ Oj. Оно является следствием того,
что вероятности qKo\{w) и tfKoi(w) ~~ реализации значений СВ ?j. Отно-
Относительные частоты зависят от со: Vj(w) = Vj{w\uj) и Vj(r) = Vj{r;uj).
Используя qKo\{w) Ф 05 получаем, что ^/-вероятность события
Ow = {со еП: 3k = k(w) : &(ш) = w\/i > к}
равна нулю. Используя <7KoiM Ф ^' получаем, что ^/-вероятность
такого ж:е события Ог для r-реализаций тож;е равна нулю. Значит,
/(^/-вероятность события
{со eft : Wk3j > к : ?j(u) = w, 0+i(^) = r)

140	Гл. 6. Статистическая стабилизация
равна 1. Следовательно, последовательности {vj{w; ш)}°°=1
и {^j{r;(jo)}°°=1 не имеют предела в действительной топологии почти
всюду (modPKoi)-
Данный случайный ИНД-процесс мы могли рассматривать как
алгоритм, использующий две стандартные (в колмогоровском смысле)
случайные последовательности ? и в в качестве начальных данных,
порождающих новую случайную последовательность, состоящую
из цветов шаров. Но эта новая последовательность не является
вещественно-случайной, потому что относительные частоты колеб-
колеблются в R. Таким образом, данный алгоритм порождает новый
класс случайных последовательностей, которые не рассматривались
в обычной теории вероятностей.
Этот процесс статистического моделирования был реализован (мо-
(моим студентом В. Безгиным) на компьютере, и мы обнаружили [67],
[92] стабилизацию р-адических цифр в р-адическом разложении частот
Vj(w) и i/j(r) и колебание цифр в действительном разложении этих
частот.
Для читателя не составит труда повторить данные вычисления.
Проблема состоит только в делении больших натуральных чисел в Qp.
6.1.3.	Излучение мультиплетов. Предыдущую статистическую мо-
модель можно интерпретировать и по-другому. Вместо процесса ИНД-
производства рассмотрим процесс излучения. У нас имеется источник
излучения Р частиц двух видов: R и W. Частицы излучаются мульти-
плетами, состоящими из частиц одного вида. Тип частиц в излучаемых
мультиплетах — это случайная величина (СВ), распределенная в со-
соответствии с некоторым законом. Допустим, что число частиц в муль-
типлете — это степень некоторого фиксированного (простого) числа р,
т.е. М = pk, k = 0, 1, 2, . . . Допустим, что процесс излучения таков,
что со временем мультиплеты увеличиваются в размере по некоторому
стохастическому закону. Статистическое моделирование осуществля-
осуществляется с помощью двух генераторов случайных чисел: A) j = 0, 1,
B) г = 1, 2. Если j = 0, то излучается мультиплет Я-частиц, а если
j = 1, то мультиплет VK-частиц. Размер мультиплета определяется
следующим образом: величина первого мультиплета — это степень р г
(которая также может быть случайной) и, если длина предыдущего
ряда была р1гп, то длина следующего ряда — этор1гп+1, где /m+i = /m+i.
Обозначим i/^ = n^/ Nm относительную частоту Я-частиц в первых m
мультиплетах и v^ = п^ / Nm — частоту VK-частиц. Поведение этих
относительных частот аналогично поведению частот в ИНД-модели.
6.1.4.	Биологическая модель. Рассмотрим некоторый биологиче-
биологический организм (БИО), обладающий следующими свойствами: A) в те-
течение периода репродукции А каждый БИО порождает р БИО, и на

§6.1. Р-адическое статистическое моделирование	141
этом для БИО процесс воспроизводства рода заканчивается, B) период
репродукции А намного меньше, чем время жизни БИО Т, т. е. А ^С Т.
Таким образом, один БИО порождает следующую биологическую попу-
популяцию: за время А БИО-Ева порождает р БИО и больше не принимает
участия в процессе воспроизводства. В момент т\ = А имеется N\ =
= 1 + р БИО, в момент rk = kA — уже Nk = 1 + . . . + рк БИО.
Теперь подвергнем эту биологическую систему случайному облуче-
облучению Р. В поколении, подвергшемся облучению, среди потомства появ-
появляются мутанты. Пропорция этих мутантов в потомстве облученного
поколения также случайная величина. Предположим, что мутанты не
принимают участия в дальнейшем размножении и что продолжитель-
продолжительность их жизни такая же, как у нормальных индивидуумов. Появилась
биологическая популяция, состоящая из нормальных индивидуумов
и мутантов. Нас интересует вероятность того, что выбранный из по-
популяции случайным образом БИО окажется нормальным Р(п) или
мутантом Р(т). Для этого мы вычисляем количественное отношение
нормальных индивидуумов и мутантов в популяции после к поколений
воспроизводства и рассматриваем предел при к —>• оо.
Предположим, что случайный источник излучения определяется
вероятностями а^, . . ., ap_i G R (здесь случайность в смысле обычной
теории вероятностей). Здесь щ — это вероятность того, что появится
в точности г мутантов в потомстве каждого БИО из данного поколения.
Это число г постоянно для всех БИО в фиксированном поколении.
Таким образом, влияние излучения Р в момент т& одинаково для
любого БИО. Иногда это влияние очень мало, и в потомстве мутантов
не существует. Иногда оно очень велико, и возникает р — 1 мутант
из р БИО, порожденных каждым БИО. Мы не будем изучать случай
всеобщей дегенерации, когда в некотором поколении будет появляться
р мутантов в потомстве каждого БИО. Для изучения такого случая,
нам нужно ввести вероятность ар ф 0.
На математическом уровне эта стохастическая биологическая мо-
модель развития может быть описана следующим образом. Предположим,
что существует последовательность независимых равномерно распре-
распределенных СВ {?п(<^)}> определенная на обычном колмогоровском ве-
вероятностном пространстве (Л, F, РкоО- Эти СВ принимают значения
0, 1, . . ., р — 1 с вероятностями ад? • • •? otp-i ? R- Если мы хотим быть
более точными, то нам следует использовать символы ao(Kol), . . .,
. . ., ap-i(Kol). Таким образом, все наши модели являются примерами
р-адической стохастики, порожденной обычной колмогоровской стоха-
стохастикой.
Обозначим через бг&(га, ио) число нормальных БИО в к-м потомстве,
через rik(u) — число всех нормальных БИО в момент т& = к А. Симво-
Символы Gk(rn, uj) и mk((jo) будем использовать для мутантов, Nk(w) — чис-
численность всей биологической популяции (нормальных индивидуумов

142	Гл. 6. Статистическая стабилизация
и мутантов) в момент времени т/., ^(п, со) = rik(co)/Nk(co) и v\~{m, со) =
= rrik(oj)/Nk(oj) — соответствующие частоты.
Утверждение 1.1. Относительные частоты определяются равен-
равенствами:
1 + (р - &Н) + ... + (р - 6И) • • • • • (р -
р[1 + (р - 6Н) + ... + (р - 6И) • ... • (р
= [6И + • • • + (p - 6И) •••••(?- ^fe-i(w)NH]x
X [1 + p[l + (p - ^(W)) + . . . + (p - ^(W)) • . . . • (p - &-1H)]]-1.
Теорема 1.3. Пусть ад > 0. Тогда последовательности относи-
относительных частот {j/fc(n, о;)} и {^(гтг, со)} имеют пределы на Qp почти
всюду (modPKoi)-
Доказательство. Рассмотрим два признака: А и В. Первый
означает, что не существует мутантов в поколении, а второй — что
существуют. Таким образом, мы можем ввести последовательность
{Vk(w)} независимых равномерно распределенных СВ со значениями
А и В и соответствующие вероятности ао и 1 — ао- Теперь
О = I со G Л : {^/е(п, с<;)} имеет предел на Qp} D
D{weO: lim|Gfc(n,u;)| =0),
следовательно,
оо оо
П\О=С (J f| Dk, Dk = {w: г)к(ш) + В}
m=l k=m
И
(оо	\	М
)
(
f| Dk)=\im
(
/ M^oo
k=m /	k=m
Что можно сказать о статистической стабилизации в поле действи-
действительных чисел? Я не получил никаких математических утверждений
в этом направлении. Совместно с В. Безгиным я пытался провести ком-
компьютерные вычисления и обнаружил, что данные частоты колеблются
в поле действительных чисел для некоторых значений вероятности ol{
и стабилизируются для других значений [9]. Основная проблема здесь

§6.1. Р-адическое статистическое моделирование	143
состоит в большом объеме вычислений, поэтому трудно увидеть ста-
статистическую стабилизацию. Эта проблема изучалась также М. Эндо
и О. Юко (см. также [9]). Они смоделировали длинный ряд поколений
для некоторой вероятности с^ и исследовали колебание относительных
частот в вещественной метрике.
Мы также провели вычисления для р-адической метрики. Здесь
имеет место статистическая стабилизация для всех а^ с ql$ ф 0. Неслож-
Несложно показать, что относительные частоты являются р-адическими целы-
целыми числами. Вот почему мы можем записать их р-адическое разложе-
разложение, не используя цифр с отрицательными степенями, а начиная точно
с цифры, соответствующей в нулевой степени р в разложении, см. гл. 1.
6.1.5. Результаты статистического моделирования.
А. р = 7, а0 = 0,3(9), «I = ...аъ = 0,0(9), а6 = 0,1. Мы
рассматриваем 20 поколений. Рассмотрим частоты только для мутан-
мутантов. Сохраним только первые две ненулевые цифры в вещественном
десятичном разложении частот. Сохраним все 7-адические цифры до
первой нестабильной цифры.
Вещественные частоты:
0; 0; 0,49; 0,14; 0,62; 0,59; 0,21; 0,74; 0,66; 0,28;
0,63; 0,33; 0,52; 0,15; 0,026; 0,0038; 0,00055; 0,61; 0,67; 0,78.
7-адические частоты:
0; 0; 004366; 004361; 0044000; 004014;
004042;00406326; 00406320;
00406022;00406303; 004065403;
0040654040;00406540412;004065404133;
004065404134;004065404514; 004065404653; 004065404062.
Таким образом, первая десятичная цифра постоянно колеблется, а 9
цифр 7-адического разложения стабильны после 20 воспроизводств.
Б. р = 7, а0 = 0,2(9), аг = 0,1(9), а2 = . . . = а5 = 0,0(9), а6 = 0,1.
Вещественные частоты:
0,63; 0,23; ,0,42; 0,25; 0,16; 0,028; 0,13; 0,26; 0,63; 0,33;
0,52; 0,25; 0,16; 0,38; 0,64; 0,25; 0,51; 0,15; 0,26; 0,17.
7-адические частоты:
524; 560; 564; 561; 5644; 5645; 5642; 5641; 5646; 5641; 5640;
5641; 5640; 5643; 56422; 56424; 564210; 564216; 564215; 564216.

144	Гл. 6. Статистическая стабилизация
Здесь вероятность ао меньше, чем в (А), поэтому статистическая
стабилизация в Q>? более медленная, чем в (А). Только 5 цифр стаби-
стабилизируются после 20 воспроизводств.
В. р = 11, а0 = 0,1(9), ai = ... = 0,0(8), а10 = 0.
11-адические частоты:
5; 4; 94; 90; 95; 90; 947; 94A0); 948; 949; 946; 9454; 9456;
9450; 9453; 9452; 9456; 9450; 94554; 94555; 9450; 9453; 945554;
94550; 94554; 94559; 94558; 94553; 94555; 94558; 94557; 94555;
94554; 94559; 94556; 945549; 945542; 94554A0); 945543; 945542;
94554A0)8; 94554A0K; 95554A0M8; 945554A0N2; 94554A0N16;
94554A0N18; 94554A0N16; 94554A0N111;
94554A0N110; 94554A0N115;
94554A0N110.
Здесь только 3 цифры 11-адического разложения стабилизируются
после 20 шагов, 4 цифры после 30 шагов, 9 после 50 шагов.
Теперь обсудим, какое значение может иметь эта статистическая
информация. Каким образом мы можем применять ее в приложениях?
Первый подход состоит в следующем. С помощью этой информации
мы можем выделять различные типы развития биологических популя-
популяций. В нашей модели это означает различие неизвестных источников
излучения. Рассмотрим две биологические популяции. Одну из них
мы описали с помощью статистической информации (А), а другую
с помощью (Б). Если мы рассмотрим статистические данные (А) и (Б)
с точки зрения стабилизации в Я, то увидим только хаотические коле-
колебания цифр. В частности, мы никак не можем классифицировать эти
типы хаоса. Это одинаковые типы или нет? Уже первая десятичная
цифра колеблется в обоих случаях. Теперь рассмотрим р-адическую
информацию. Нетрудно заметить, что здесь эти два хаоса различны.
Для первого из них 7-адическая вероятность мутантов равна (прибли-
(приблизительно) 00406, а для второго 7-адическая вероятность Р(т) = 56421.
Таким образом, мы обнаружили точную 7-адическую структуру среди
хаотических колебаний. Значит, две наши биологические популяции
развиваются под действием двух различных источников излучения.
Интуитивно статистическая стабилизация в R связана с индивиду-
индивидуальным процессом мутаций, когда каждый БИО может иметь 0, 1, ...
. . ., р — 1 мутантов в потомстве с вероятностями ао, . . ., ар-ь Данную
стохастическую модель также просчитали на компьютере М. Эндо
и О. Юко и получили статистическую стабилизацию в R и флуктуации
частот в Qp.

§6.2. Определение р-адической частотной вероятности	145
§ 6.2. Определение р-адической частотной
вероятности
6.2.1. Популяции, имеющие различные бесконечные численности.
Фундаментальный топологический принцип статистической стабили-
стабилизации относительных частот был сформулирован в предыдущей главе.
Он был сформулирован на интуитивном уровне как некая общая фи-
философская концепция. Теперь мы хотим сформулировать этот принцип
на математическом уровне строгости. Основная проблема построения
теории на математическом уровне строгости заключается в словах
«статистическая стабилизация» в формулировке основного принци-
принципа. Нам нужно придать строгий математический смысл выражению
«N стремится к бесконечности». В обычной частотной теории Мизеса
стремление к бесконечности означает, что N монотонно возрастает
с шагом А = 1. Определить закон изменения N — это то же самое, что
определить правило вычисления относительных частот. Это правило
является стандартным в обычной частотной теории вероятностей, где
относительные частоты вычисляются после каждого испытания.
Но, вообще говоря, пополнение Qr множества Q относительно топо-
топологии статистической стабилизации г не имеет какой-либо порядковой
структуры. Таким образом, невозможно определить монотонное воз-
возрастание Л/", если мы рассматриваем N как подмножество QT. Конечно,
можно рассматривать совокупность относительных частот как после-
последовательность в топологическом пространстве QT, N —>• j//v? где мно-
множество натуральных чисел рассматривается как отдельное множество
без какой-либо связи с QT (множество натуральных индексов). Но если
мы рассмотрим конкретные статистические примеры, то немедленно
поймем, что это правило не годится для р-адического случая. Мы
всегда вычисляли относительные частоты не после каждого испытания,
а после завершения серии испытаний. Относительные частоты, вычис-
вычисляемые после каждого испытания, не стабилизируются ни в одной из
метрик, ни в действительной, ни и в р-адической. Таким образом, про-
проблему правила вычисления относительных частот следует исследовать
более тщательно.
В гл. 4 был введена некая порядковая структура на Qp (заме-
(заметим, что эта структура несовместна с алгебраической структурой Qp).
И здесь возникает новая проблема. Это большое число различных
бесконечных р-адических чисел вместо одной действительной бес-
бесконечности. Что собой представляет бесконечное р-адическое число,
к которому стремится N? Я считаю, что определить единственную
бесконечность в р-адическом случае нельзя. Существуют различные
возможности «стремиться к бесконечности». Они зависят от конкрет-
конкретных р-адических моделей. Можно предложить следующую вероят-
вероятностную интерпретацию этих различных бесконечностей. Бесконечный

146	Гл. 6. Статистическая стабилизация
предел по N можно интерпретировать как численность популяции
в рассматриваемой стохастической модели. В действительном случае
нас не интересовала структура (предельной) бесконечной популяции.
Она была бесконечна, вот и все. Р-адика дает нам возможность изу-
изучать бесконечные популяции различной численности. Таким образом,
если численность N^ e Qp популяции в изучаемой вероятностной
модели не известна априори, то мы можем рассмотреть некоторую
последовательность {Nk}^=1 натуральных чисел (/с —>• оо в обычном
смысле) такую, что Nk —> N^ в Qp и вычислять относительные ча-
частоты после TVi, . . ., ./Vfc, . . . испытаний. Это самый простой случай. Но
обычно невозможно узнать численность популяции заранее (см. пример
ИНД-производства). В этом случае мы предлагаем вычислять относи-
относительные частоты после серии испытаний. Мы начнем с рассмотрения
случая, когда априорная численность популяции известна.
6.2.2. Правила вычисления относительных частот. Здесь нам более
удобно обозначить множество всех признаков (возможных исходов)
случайного эксперимента символом А = {ai, . . ., a/, . . ., as}. Пусть
N = {Nk}™—!, Nf, < Nk+i, — это последовательность натуральных
чисел. Здесь используется обычная порядковая структура на множе-
множестве натуральных чисел. По определению, зафиксировать статистиче-
статистическое правило N — означает вычислять относительные частоты после
^ъ ^2•, • • •? N[, ... испытаний. Значит, если
uj = {uj1,uj2,. • • ,о;„,. . .), LOj e А,	B.1)
— это последовательность исходов испытаний, то мы можем вычислить
относительные частоты Vk(ah ш) = nk{ah ш)/^к Для всех / = 1, . . ., s
и взять их пределы относительно различных топологий в поле рацио-
рациональных чисел.
Здесь мы рассматриваем только случай, когда существует предел
УУоо = lim Nk ф 0 в Qp для одного из р. Это р-адическое число N^
может быть интерпретировано как численность популяции.
Простейшим статистическим правилом является N = N(p), где
yVfc+i = Nk + рк, к = 0, 1, . . . Здесь N^ = —1. Нас не удивля-
удивляет возникновение —1 в качестве численности бесконечной популяции.
В соответствии с гл. 4, это только символ для обозначения бесконечной
р-адической величины.
Теперь установим одно из статистических правил N. Последова-
Последовательность uj является ^-последовательностью (а точнее, #р iV-после-
iV-последовательностью), если существуют пределы Рр(а^ uj) = lim ^(a/, uj)
k^-oo
в Qp для всех a/ E А. Пределы Pp(ai,uj) являются р-адическими ве-
вероятностями (относительно статистического правила N). Следующим
шагом должно стать определение р-адического коллектива, с введением
понятия случайности, как в частотной теории Мизеса. Но в то же время

§6.2. Определение р-адической частотной вероятности	147
нам бы не хотелось исследовать этот довольно сложный вопрос, а лишь
ограничить наши рассмотрения ^-последовательностями, так как нас
больше интересует р-адика, а не случайность. Но если мы рассмот-
рассмотрим наши статистические примеры, то можем обнаружить случайную
структуру изучаемых последовательностей.
Теперь, как и в предыдущей главе, можно доказать формальные
утверждения для частот в виде строгих математических утверждений.
Рассмотрим два фиксированных признака ai и ctj и последовательность
ио = B.1). Символом oo(ij) обозначим последовательность, построен-
построенную с помощью ио по следующему правилу. Признаки а^ и ctj заменя-
заменяются одним признаком и = бц V uj в последовательности ио.
Утверждение 2.1. Если последовательность ио является
^-последовательностью, то последовательность uo(ij) также является
^-последовательностью для каждой пары признаков сц и а^ причем
выполняется формула аддитивности для р-адических вероятностей:
РР(Ъ V aj,w(ij)) = Рр{а{,оо) + Рр(а^со).	B.2)
Доказательство.
Pp(u,oo(iJ)) = lim п*("М*>Я) = цтМ^)+ цтМ^).
РУ	V П k^oo	Nk	k^oo Nk	k^oo Nk
Теперь рассмотрим множество признаков В = {ii, . . ., г^}. Оно
(по определению) является событием. Таким же образом введем после-
последовательность cj(ii, . . . , it) используя метку и = а^ V . . . V ait. Если ио
является ^-последовательностью, то cj(ii, . . . , it) также ^-последо-
^-последовательность и выполняется формула аддитивности для вероятностей:
t
Pp(ail V ... V ait, cj(iu . . . , г*)) = Y, pp(aim^)-	B-3)
m = l
Для обозначения вероятности мы также будем использовать символ
Pp(ai1 V . . . V a^t, cj(ii, . . . , г^)). Таким образом, получаем
РР{С UB,oo) = РР{С, ш) + РР(В, ио), СПВ = 0.
Очевидно, что
Рр(А,ш) = 1.	B.4)
Утверждение 2.2. Образ р-адической вероятности содержится
в шаре ?Уд, R = |А^оо|^ для всех ^-последовательностей ио.
В частности, мы получаем, что образ р-адической вероятности —
это кольцо р-адических целых чисел для правила N{p).
Очевидно, что Pp(ai,oo) содержится в этом шаре. Нужно только
к формуле B.3) применить усиленное неравенство треугольника.

148	Гл. 6. Статистическая стабилизация
Теперь рассмотрим случай, когда априорный объем N^ общей по-
популяции неизвестен. В этом случае предлагается следующее правило
вычисления относительных частот.
Относительные частоты вычисляются после окончания серии од-
одного из признаков.
Значит, мы имеем следующий процесс вычисления. Пусть закон-
закончилось к серий признаков. Мы вычисляем относительные частоты
isk(aj) = vk{a^uj) = nk(aj) / Nk, где nk(aj) — число реализаций
S
признака uj в течение первых к серий, Nk = J^ nk(aj) — общее число
испытаний после к серий. Если следующая серия — это серия при-
признака а/, и длина этой серии А = A/^+i, то Vk+i{ai) = (nk(ai) +
+ A)/Nk+U Vk+i{o>j) = nk\aj)/Nk+1, j 'ф1,и Nk+1 = Nk + А. Данное
статистическое правило обозначим через NS. Аналогично введем поня-
понятие ^-последовательности относительно статистического правила NS.
Зафиксируем правило NS и изучим свойства ^-последовательностей.
Сначала покажем, что свойство аддитивности B.3) выполняется для
таких последовательностей.
Доказательство. Вычислим относительные частоты в последо-
последовательности cj(zi, . . ., it) после т серий. Пусть было а серий признака
и = aix V ... V ait и т — а серий других признаков. Пусть также а
серий признака и были получены из а\ серий признака а^, . . ., at серий
признака ait. Пусть jm = /3 + c^i + . . . + at. Тогда 7m ^ ос, ш ^ оо, от-
относительно обычной порядковой структуры. Следовательно, для j ф i\
получаем: i/m(aJ-, uj(iu . . . ,it)) = islrn(aj,uj) ->> Pp(a,j,u). Далее,
Также очевидно, что суммарная вероятность равна единице, т. е.
справедлива формула B.4).
Утверждение 2.3. Для статистического правила NS образ
р-адической вероятности равен Qp.
Доказательство. Пусть а Е Qp. Представим его в виде
а = a/pq', а Е Zp, а = а$ + сыр + . . ., ao ф 0. Построим
^-последовательность со с двумя свойствами W и R такими, что
vk(W, uj) —> а, к —>• счэ. Введем следующие натуральные числа:
Ак = акрк, Гк = pq(pk+1 + 1),
ДГ* = Г, - rfc_i(r_i = 0), 5к = ДГ* - Ак.

§6.2. Определение р-адической частотной вероятности	149
Рассмотрим последовательность серий W и R. Длинами серий W
являются Ад, . . ., А/с, . . ., а длинами серий R являются Ji, . . ., 5к->
Тогда каждая такая последовательность может быть выбрана в каче-
качестве со.
Мы можем ввести некоторый тип случайной структуры при рас-
рассмотрении стохастического правила выбора серий W и R.
Теперь рассмотрим условные частотные вероятности относительно
статистического правила NS. Здесь мы также следуем теории Р. фон
Мизеса.
Пусть В = {а^, . . . , dit} — некоторое множество признаков (собы-
(событие). Рассмотрим последовательность B.1) и построим новую последо-
последовательность со\В по следующему правилу. Из последовательности со
мы выбираем только те элементы, которые принадлежат В. Таким
образом, получаем
ш\В = (&,...,?„,...), ЬеВ.	B.5)
Утверждение 2.4. Пусть со — это ^-последовательность отно-
относительно правила NS. Тогда последовательность со\В является также
^-последовательностью для каждого события В с ненулевой вероятно-
вероятностью. И для каждого события С С В выполняется следующая формула
условной вероятности:
Рр(С,ш\В) = Рр(С,ш)/Рр(В,ш).	B.6)
Доказательство. Вычислим частоты в B.5) после к серий:
t
Vk{a>in u\B) = n(ain u\B)/Nk, где NkiB = Е nk{aq, u\B). Заметим,
q = l
что конец к-й серии в последовательности B.5) соответствует концу
(к + га)-й серии в ^-последовательности B.1), га-я серия соответству-
соответствует признакам a,j, j ф iq, с числом реализаций n/c+m(aj, uj). Далее,
nk(aiq, uj\B) = nk+m(aiq,oj), q = 1, . . ., t. Таким образом,
q=l
где yV/c_|_m число всех реализаций в B.1) после к + т серий. Следова-
Следовательно,
Используя символ Рр(С\В,ш) вместо Рр(С, w\B), мы получаем обыч-
обычную формулу условной вероятности:
) = Рр(С,ш)/Рр(В,ш).

150	Гл. 6. Статистическая стабилизация
§ 6.3. Что можно делать с р-адическими
вероятностями?
6.3.1. Об исчислениях р-адических коллективов. Мы можем ис-
использовать р-адику (и более общие топологические вероятности) таким
же образом, как и обычную действительную теорию вероятностей.
Вот простейший пример. Рассмотрим ИНД-производство с s раз-
различными видами производства (s видов шаров). Используем статисти-
статистическое правило NS. Пусть мы имеем вероятности РрA), . . ., Pp(s) Е Qp
различных типов ИНД-производства. Для большей строгости мы дол-
должны использовать символы РрA,с<;), . . ., Pp(s,lu). Это означает, что
мы имеем дело со случайной последовательностью о;, полученной в про-
процессе ИНД-производства. Заметим, что это ^-последовательность
с р-адическими вероятностями Pp(l,c<;), . . ., Pp(s,lu). Теперь нас ин-
интересует вероятность того, что взятый из коробки шар, принадлежит
одному из фиксированных типов: ii, . . ., if~. Тогда, используя форму-
формулу B.3), мы получаем
Pp(iiV ...Vik) =
t=i
Этот тривиальный пример может быть обобщен на случай топологи-
топологического пространства. Распределение вероятностей может быть не дис-
дискретным. Хотя в прикладных исследованиях мы используем конечную
выборку. Поэтому р-адические вероятности РрA, cj), . . ., Pp(s,uj) —это
всегда рациональные числа.
Теперь рассмотрим некоторое подмножество G = {ii, ..., i/}, со-
состоящее из признаков (ii, . . ., is) (например, шары фиксированного
размера, но различных цветов). Пусть нам известно, что шар b при-
принадлежит G. Какова вероятность события 6 G ^, где it E G? На этот
вопрос нетрудно ответить: Pp(b E it, Ь Е G)Pp(b E it)/'Pp(G).
Таким же образом мы можем рассмотреть два и более независимых
ИНД-производства и вычислить распределение нового коллектива.
Вероятностное исчисление учит нас вычислять распределения ве-
вероятностей в новых коллективах на основе распределений в первона-
первоначальных коллективах [99], стр. 14.
В вероятностном исчислении и начальные и конечные данные явля-
являются вероятностями. Эти начальные данные принадлежат полю дей-
действительных чисел в обычной теории вероятностей и Uqt — в нашей
обобщенной теории.
А в приложениях мы должны использовать частотную интерпрета-
интерпретацию для результатов наших теоретических рассуждений.
6.3.2. Развитие идей Р. фон Мизеса и А. Н. Колмогорова. Основная
идея фон Мизеса состоит в следующем:

§ 6.4. Первый шаг к р-адической теории информации	151
«Вероятность — это высоко математизированная наука, но она не
является математикой, так же как и гидродинамика не является частью
теории уравнений в частных производных, хотя она исследует интерес-
интересные и сложные проблемы этой области. Нашей целью в представлении
теории вероятностей как математической науки является внедрение
в основные вероятностные положения идеального отношения к дей-
действительности, как это сделано в механике и других науках» ([99],
стр. 44).
Такими идеальными производными действительности являются ча-
частотная теория коллективов (фон Мизес) и теория вероятностных мер
(Колмогоров).
Теории фон Мизеса и Колмогорова неоднократно и подробно обсу-
обсуждались (см. [100] и ссылки в первой главе этой книги). Представленное
здесь исследование демонстрирует новое широкое поле для их приме-
применения.
§ 6.4. Первый шаг к р-адической теории
информации
6.4.1. О нахождении р-адической структуры. Наша р-адическая
теория вероятностей — это первый шаг к новой р-адической теории
информации. Какой вывод можно сделать из изучения игровой моде-
модели ИНД-производства с помощью р-адической теории вероятностей?
Это возможность получения из статистических данных информации,
которую было бы невозможно получить, используя вычисления в по-
поле действительных чисел. Если мы попытаемся получить осмыслен-
осмысленную интерпретацию статистических данных ИНД-модели с помощью
обычных вероятностных рассуждений, то получим только хаотические
флуктуации частот и никакой информации с точки зрения обычной
теории информации. Но некоторая полезная информация здесь все
же присутствует, и проблема заключается только в том, как найти
эту информацию, используя наш р-адический математический аппарат,
применительно к этим статистическим данным. Какого рода информа-
информацию можно изучать с помощью р-адической теории информации? Как
мы видели на примере ИНД-модели, одно из возможных применений —
это работа с большими (порядка pk) информационными строками.
Я думаю, что можно было бы применить р-аддическую теорию
информации ко многим проблемам.
1. Квантовая механика и теория поля (новые квантовые состоя-
состояния). Мы предсказываем существование новых квантовых состояний,
имеющих р-адические вероятности реализации. Если квантовая систе-
система описывается такой волновой функцией, то относительные частоты
стабильны относительно р-адической метрики.

152	Гл. 6. Статистическая стабилизация
2.	Промышленность: процессы экстенсивного производства. Воз-
Возможно, р-адика была бы полезна для финансовой статистики. Хаоти-
Хаотические колебания финансов могут иметь р-адическую структуру.
3.	Экология: хаос колебаний. Для изучения колебаний различных
типов загрязнений, нам следует найти р-адическую структуру этого
экологического хаоса.
4.	Биология: биологические системы, где каждый биологический
организм производит р новых биологических организмов и т. д.
6.4.2. Космические сигналы. Р-адическая теория вероятностей —
это мощный инструмент для исследования хорошо известных данных,
которые не несут какой-либо полезной информации (хаос или шум)
с точки зрения обычной действительной теории информации.
Существует масса интересных примеров такой информации. В по-
последние годы было предпринято множество попыток обнаружить кос-
космические сигналы других цивилизаций. Но все эти исследования не
дали никаких результатов. Но почему для обнаружения этих сигналов
мы должны пользоваться только теорией информации, основанной на
действительных числах? В рамках р-адической теории информации
исследование космических сигналов также возможно. И, возможно,
такая попытка оказалась бы более удачной.
Рассмотрим простой пример, иллюстрирующий наши идеи. Кто-то
пытается послать сообщение о некоторой константе Т = — 1. Но он
использует для этого сообщения 2-адическое числовое поле. Он знает,
что в Q2 эта константа имеет следующий код:
Но некто, кто попытается использовать для данного космического сиг-
сигнала компьютер, оперирующий с действительными числами, получит
бесконечно возрастающую последовательность чисел.
Мы не утверждаем, что применение р-адических чисел для иссле-
исследований космических сигналов было бы очень простым. Существует
проблема нахождения простого числа р, на котором основывается кос-
космический сигнал. Но можно в качестве первой попытки попробовать
провести вычисления непосредственно для р = 2, 3, ...
§ 6.5. Вероятностная модель р-адической монеты
Мы хотим придумать математическую модель, которую можно бы-
было бы рассматривать в качестве аналога обычной монеты. В настоящий
момент у меня нет промышленного образца такой монеты. Но если Вы
обладаете финансовыми и техническими ресурсами, то несложно скон-
сконструировать такой металлический диск с р-адическими вероятностями
реализаций его сторон. Таким образом, если с «монетой» производится
длинная серия испытаний, то частоты реализаций сторон «монеты»

§ 6.5. Вероятностная модель р-адической монеты	153
колеблются относительно действительной метрики и стабильны отно-
относительно р-адической метрики. Параметр р включен в конструкцию
«монеты».
6.5.1.	Описание р-адической монеты. Пусть у нас имеется металли-
металлический диск с меткой «а» на одной стороне и меткой «Ь» на другой.
Внутренняя структура данного диска не так проста, как структура
обычной металлической монеты. Во-первых, существует устройство,
которое может наводить отрицательный электрический заряд на сто-
стороне «а» или «6». Заряд может возникать только на одной стороне.
Поэтому, если он появляется на «а», то пропадает на «6», и наоборот.
Во-вторых, существует цифровой компьютер (или что-либо подобное)
с генератором обычных (псевдо) случайных чисел, ?(ш) = 0, 1. Напри-
Например, рассмотрим случай равновероятностных реализаций 0 и 1. Сейчас
мы говорим об обычном генераторе случайных чисел и об обычных
(колмогоровских) вероятностях. Относительные частоты реализаций О
и 1 стремятся к 1/2 относительно действительной метрики. Цифровой
компьютер управляет работой электрического устройства в соответ-
соответствии со следующим алгоритмом А.
Во-первых, существует фиксированная единица времени, например
А = 1 сек. Если ?(ш) = 0, то электрический заряд (отрицательный)
появляется на стороне «а» и сохраняется на ней в течение времени
At' = Atp2,	E.1)
где At — предыдущий интервал времени, в течение которого сторона
«а» была наэлектризована. Здесь первый интервал A^i = At± = 1.
Таким образом, имеются интервалы At = 1, р2, р4, . . ., р2/с, . . . для
стороны «а». Если ?(glj) = 1, то электрический заряд (также отрица-
отрицательный) появляется на стороне «6», и интервал времени, в течение
которого «Ь» была наэлектризована, также вычисляется с помощью
E.1), но первый интервал Ati = At\ = р. Таким образом, мы получили
интервалы At = р, р3, р5, . . ., p2k+l, . . .
Диск с такой внутренней структурой называется р-адической моне-
монетой.
6.5.2.	Описание опыта с подбрасыванием монеты. Рассмотрим ста-
статистический опыт с р-адической монетой. Существует наблюдатель О,
который ничего не знает о внутренней структуре этой «монеты». Он
видит только металлический диск. Наблюдатель О проводит следую-
следующий опыт с этой монетой. Он бросает ее на стол, обладающий постоян-
постоянным положительным зарядом. Каждую секунду бросается только одна
монета. Верхняя часть монеты не заряжена. Кроме этого, существует
еще и условие на алгоритм А. Этот алгоритм начинает работать после
первого подбрасывания.

154	Гл. 6. Статистическая стабилизация
Нас интересуют вероятности выпадения стороны «а», Р(а), и сто-
стороны «6», Р(Ь).
6.5.3. Флуктуации частот относительно действительной метрики.
Пусть {^/с(^)} — последовательность независимых СВ, ?&(о;) = 0, 1,
с вероятностями 1/2 (схема Бернулли) на обычном вероятностном
пространстве (Л, F, Р). Здесь мы используем обычное определение
Колмогорова.
Введем суммы СВ:
п
И, Тп{ш) = п- Sn(uj) = J2 С1 - &Н)-
/с = 1	/с = 1
Введем относительные частоты:
k=l	k=l
и Nm(uj) = n^(c<;) + n^(c<;). Введем относительные частоты
Теорема 5.1. Относительные частоты ^(cj) и ^(cj) не имеют
пределов в поле действительных чисел почти всюду (mod P).
Доказательство. Рассмотрим, например,
тУ ' nS,(W) + <Н 1 + Am(w)'
где
~ р2Тт(а;) _ I — p2(Tm(u)-Sm(u)) _ p-2Sm(o>) '
Используя закон больших чисел, мы получаем, что p-2Srn{u) _^ q^
т —> оо, для почти всех со. Далее, Tm(oj) — Sm(cj) = m — 2Sm(cj), но
данное выражение не имеет предела для почти всех со.
Мы вычисляли относительные частоты после каждой серии 0 или 1.
Можно вычислить относительные частоты после каждого испы-
испытания, так же как и в обычной теории вероятностей (например,
теории Мизеса). Из теоремы 5.1 следует, что пределов этих относи-
относительных частот не существует.

§ 6.5. Вероятностная модель р-адической монеты	155
6.5.4. Статистическая стабилизация относительно р-адической мет-
метрики. Во-первых, рассмотрим статистическое правило NS вычисления
относительных частот после окончания серии «а» или «6».
Теорема 5.2. Относительные частоты Vm(uj) и ^(oj) имеют пре-
пределы в Qp почти всюду (mod P).
Доказательство. Так как Тт(ш), Sm(uj) —>• оо почти всюду
(mod P), то мы получаем, что существуют пределы:
Рр(а) = lim Vm(w) =	^-A — р) =	;
га—^оо	1 — р	1 -\- р
Значит, что со G Л являются #Тр-последовательностями относительно
статистического правила NS. И р-адические частотные вероятности
корректно определены для всех последовательностей такого вида. Эти
р-адические вероятности не зависят от uj ? П.
Например, если р = 2, то 2-адические вероятности выпадения «а»
и «Ь» равны 2/3 и 1/3 соответственно, а если р = 127, то Ра = 127/128
и Рь = 1/128.
Несложно переделать эту р-адическую монету, изменяя алгоритм А.
Мы можем рассмотреть другое правило для интервалов времени, ког-
когда «а» или «6» наэлектризованы. Например, At'a = Аар4 и А^ = А^р3.
Получим другую р-адическую монету с другими р-адическими веро-
вероятностями. Существует также возможность использования несиммет-
несимметричных генераторов (псевдо) случайных чисел в цифровом компьюте-
компьютере. Каждый может предложить свою цифровую модификацию такой
р-адической монеты. Например, Вы могли бы реализовать р-адический
аналог кости с шестью р-адическими вероятностями и флуктуациями
относительно действительной метрики.
Как же мы можем использовать р-адическую вероятность в случае
опыта с р-адической монетой? Очевидная возможность такого исполь-
использования — это классификация различных типов р-адических монет
с помощью статистических экспериментов. Пусть у наблюдателя О
имеется два металлических диска. И эти диски являются р-адически-
ми монетами с различными р-адическими вероятностями РоA)? ^бA)
и РаB), Р&B). Наблюдатель О проводит предыдущий статистический
эксперимент сначала с одной, а затем с другой монетой. Если он
использует обычную статистику, то получает хаотические колебания
относительных частот как для первой, так и для второй монет. Разли-
Различить эти монеты нельзя. Обе они порождают только серию хаотических
колебаний. Но если наблюдатель использует р-адические числа, то
сразу получает различные р-адические вероятности. Что позволяет без
труда различить эти монеты.
В этом эксперименте возникает типичная проблема р-адики. Перед
тем как начинать все наши процедуры, мы должны решить проблему

156	Гл. 6. Статистическая стабилизация
выбора р. Какое из р-адических чисел удобнее использовать в данной
модели? В случае с нашей монетой на этот вопрос ответить нетрудно.
Мы сразу видим р^-серийную структуру наших статистических дан-
данных. Это несложная проблема, так как различные серии, полученные
цифровым компьютером, наблюдатель О может рассматривать как
одну большую серию.
Эта модель р-адической монеты была реализована на компьютере
моим студентом В. Безгиным, и мы увидели флуктуации цифр в де-
десятичном разложении относительных частот «а» и «Ь» на протяжении
очень и очень длинной серии экспериментов и статистическую стаби-
стабилизацию р-адических цифр тех же относительных частот. Конечно,
скорость этой р-адической стабилизации очень сильно зависит от раз-
различных A/2, 1/2)-генераторов псевдослучайных чисел. Но конечный
результат всегда одинаков. Мы также проводили статистические экс-
эксперименты с несимметричными генераторами. Картина была анало-
аналогичной. Наблюдалось колебание вещественных цифр и стабилизация
р-адических. Но на данный момент нет математических результатов
для несимметричных р-адических монет.
Теперь рассмотрим правило N(p) вычисления относительных
частот.
Теорема 5.3. Последовательность ио Е Л является STP-
последовательностью относительно статистического правила N(p)
почти всюду (modP).
Доказательство. Обозначим через т% и mbk число реализаций
сторон «а» и «Ь» после М& = ^2 Р3' = 	испытаний р-адической
j=o	р-1
монеты, a /ij, ц\ — соответствующие частоты. Пусть па = lim n%
к—>-оо
и пъ = lim п\ (см. доказательство теоремы 5.2). Так как lim Nk(uj) =
к—>-оо	к—>-оо
= lim M/g = 1/A — р) почти всюду (modP), то достаточно показать,
к^-оо
что па = lim m? и пъ = lim mt. Мы также видим, что
ak + mbk = (p + / + ... +р2^-1) = A +
+ (часть одной из «а»-серии длины p2
или одной из «6»-серии длины p2Vk) = Пцкш^ + nbh(^k^ + 5k-
Здесь Uk = Uk(w) и Vk = Vk{u) и Uk(u), Vk(u) —> ос, к —> ос почти
всюду (modP). Следовательно, п%,к ш^ —> па и пън,к ш^ —> пь', к —> оо.

§ 6.6. О колмогоровской сложности	157
Далее,
Л _
k~
p - 1 [ p2 - 1 * p2 - 1
(pfc+1 - l)(p + 1) - p2Vfc
P2-1
= pfc+2 + pfc+1 - p2Vfc - p2^fe+1 = pz(fc)E
~	p2 - 1	~ p2 - 1'
где (p, S) = 1.
Так как (р2 — 1, p) = 1 и число #& натуральное, то (р2 — 1) — делитель
Ли Sk = Pl^lki гДе Ik натуральное число, Gife?p) = 1- И имеют место
следующие возможности:
а)	8k — это часть серии «а» и rajj = nbh,k ш\(ш) + ^/с(^) и га^(с<;) =
б)	8k — это часть серии «6» и raj^ = пъ ,к ш\(ш) + ^/с(^) и т^(о;) =
= Uh(k,u>)'
Так как |7/с(^)|р ^ 1и 1(к,ш) —> оо, к —> счэ, почти всюду (mod P), то
?jfe(k;) —> 0 почти всюду (modP). Значит, мы получили представление
тк = <(/е,с)И + ^И? ^ = ^(/с,с)И + 2/лИ?
где 2fc(o;), у к (и) —> 0, /с —>- счэ, почти всюду (modP). Следовательно,
lim гтг2(сс;) = па и lim mjj(c<;) = пь почти всюду.
к^оо	к^оо
§ 6.6. О колмогоровской сложности р-адических
случайных последовательностей
На математическом уровне мы уже определили понятие р-адиче-
ской статистической стабилизации. Это понятие ^-последовательно-
^-последовательности относительно статистического правила N с фиксированной чис-
численностью Nvq популяции или правила №>, где относительные частоты
вычисляются после окончания серии какого-то признака. Но на самом
деле это понятие не дает определения р-адического коллектива, по-
потому что мы не предложили никакого аналога условию случайности
фон Мизеса. Мы не можем применить идеи фон Мизеса о случайности
к последовательности со свойством статистической стабилизации, ко-
которое является инвариантом относительно выбора подпоследователь-
подпоследовательности, так как р-адическая метрика очень сильно зависит от изменения
п(а/, со) на одну или несколько единиц.
Мы хотим применить идеи Колмогорова о случайности к р-адиче-
скому случаю, чтобы определить случайные последовательности, осно-
основываясь на сложности их конечных сегментов. В данной книге мы не

158	Гл. 6. Статистическая стабилизация
будем подробно обсуждать этот вопрос, а ограничимся только рассмот-
рассмотрением примера с р-адической монетой. Также будут представлены
некоторые философские замечания о природе стохастики.
6.6.1. Колмогоровская сложность. Пусть ft — множество всех по-
последовательностей uj = (ojj)JLi, uoj = 0, 1. Нас интересуют функции /:
ft —» ft. Точнее — рекурсивные функции. Основные определения по
этой тематике Вы можете найти, например, в [140]. Но мы не стремимся
к строгому логическому подходу, поэтому нам достаточно использовать
только тезис Черча:
Класс алгоритмически реализованных функций (в интуитивном
значении алгоритма) совпадает с классом всех частично рекурсивных
функций.
Таким образом, нас не интересует математическая теория частично
рекурсивных функций. Нам достаточно только использовать алгорит-
алгоритмы, соответствующие этим функциям.
Как обычно, конечные векторы х = (#i, . . ., жп), Xj = 0,1,
называются словами относительно алфавита {0,1}, 1(х) = п — длина
слова ж, см. [140].
Определение 6.1 (А.Н. Колмогоров [95]). Пусть А — произволь-
произвольный алгоритм. Сложностью слова х относительно А называется число
Кд(х) = гшп/(тг),
где {тг} — это программы, которые могут реализовать слово х с помо-
помощью А.
Данное определение очень сильно зависит от структуры А. Но
А.Н. Колмогоров доказал следующую теорему, которая делает закон-
законным это определение.
Теорема 6.1. Существует такой алгоритм А' (оптимальный алго-
алгоритм), что
КА'(х)<КА{х)	F.1)
для любого алгоритма А.
Как обычно, F.1) означает, что существует такая константа С, что
для всех слов х. Оптимальный алгоритм А' не единственен.
Определение 6.2. Сложность К{х) слова х равна сложности Кд>
относительно одного фиксированного (для всех рассматриваемых) оп-
оптимального алгоритма А!.
А.Н. Колмогоров предложил [95] использовать понятие сложности
конечного слова, чтобы попытаться определить случайные последова-
последовательности с помощью сложностей их конечных сегментов. Идея Колмо-
Колмогорова очень естественна. Он предложил считать последовательность
uj G ft случайной последовательностью, если конечные сегменты

§ 6.6. О колмогоровской сложности	159
(ио)п = (o;i, . . ., ujn) этой последовательности имеют сложности, не
меньшие, чем п. Таким образом, последовательность со является слу-
случайной последовательностью в смысле Колмогорова, если невозможно
найти программы тгп, производящие слова (о;)п, с длинами /(тгп) <С п.
Нам необходимо слово длиной не меньше, чем длина сегмента последо-
последовательности и для кодирования этого сегмента.
6.6.2. Оценка сложности р-адической монеты. Мы можем рассмот-
рассмотреть модель р-адической монеты. Существует алгоритм А (теперь
эта буква используется для конкретного алгоритма рассматриваемой
р-адической монеты) и машина Тюринга, которая переводит любую
последовательность uj E ft в новую последовательность ? = f{w). Пусть
{si(O < s2@ < • • • < sn@ < • • •} моменты, когда 0 меняется на 1
или наоборот. Обозначим через rrij = \(?)Sj | число единиц в слове (?)Sj-
Теорема 6.2. Следующая оценка,
K№Sj)^\ogpSj,	F.2)
выполняется для почти всех uj относительно обычной (действительной)
вероятности Бернулли на П.
Доказательство. Из теоремы 6.1 получаем
Далее,
P(p+ -1)	p+ -1
где ? = /(о;). Теперь rrij = р2 _ г и «j ~ ™j = р2 _ г > гДе
Lj = t + г. Таким образом,
Таким ж;е образом мы вычисляем г и получаем
logp A + (*,- - ш,-)(р2 - 1))) - 1.
Теперь мы используем тот факт, что rrij —> ос и Sj — rrij —> 00,
j' —>• сю, почти всюду (mod вероятность Бернулли) на П. Это обычная
вероятностная мера с действительными значениями. Значит,
Так как л/аб ^ (а + 6)/2, то получаем
j(sJ ~ rrij)+C^\ogp -+\ogp(sj-mj+mj)+C = \ogp Sj+C.

160	Гл. 6. Статистическая стабилизация
Теперь мы хотим представить некоторые философские
рассуждения о природе стохастики. Что такое обычная стохастика?
Это стохастика, которая рассматривается в обычной вещественной
теории вероятностей на основе подходов коллективов Р. фон Мизеса
или сложности А.Н. Колмогорова. Используется термин случайность.
В теории Колмогорова рассматриваются последовательности реа-
реализаций, в которых сложность конечного сегмента возрастает как
длина этого сегмента (в действительности это не так просто, но мы не
можем изучать этот предмет более подробно, см., например, [140]). Мы
рассмотрели один частный пример и увидели, что последовательности,
обладающие свойством р-адической статистической реализации, могут
оказаться намного проще (в смысле колмогоровской сложности), чем
обычные случайные последовательности. Их сложность возрастает как
logp n, а не как п в обычной теории вероятностей. Следовательно,
мы могли бы попытаться классифицировать стохастику более
точно и ввести различные типы стохастик: n-стохастика (обычная
действительная теория вероятностей), logp n-стохастика (р-адическая
теория вероятностей) и т. д. С обычной (вещественной) точки зрения
у нас есть только случайные последовательности, детерминированные
последовательности (где колмогоровская сложность не ограничена)
и большой промежуточный класс последовательностей, которые не
рассматриваются как случайные или определенные. Колмогоровская
сложность этих последовательностей не ограничена, но она не
возрастает как длина. Мы надеемся, что р-адическая теория
вероятностей поможет в классификации этого промежуточного
класса стохастики. Но пока это только идеи. Наше рассмотрение
основано только на примере р-адической монеты. Я полагаю, что,
как и в обычной теории вероятностей, колмогоровская сложность не
является хорошим инструментом для разрешения этой проблемы на
математическом уровне, см. [140]. Даже в вещественном случае нужны
другие типы сложностей, см. [140]. И, вероятно, нам нужно ввести
новые типы сложностей для р-адических исследований.
§ 6.7. Статистическая интерпретация квантовых
моделей с волновыми функциями,
принимающими значения в квадратичных
расширениях поля р-адических чисел
Частотная теория вероятностей, базирующаяся на фундаменталь-
фундаментальном топологическом принципе стабилизации относительных частот,
позволяет предложить статистическую интерпретацию неархимедо-
возначных квантовых теорий, подобную статистической интерпретации
обычного квантования.

§ 6.7. Статистическая интерпретация квантовых моделей	161
Предположим, например, что мы рассматриваем представление
Баргмана-Фока
Когда число испытаний (измерений энергии) стремится к бес-
бесконечности, относительная частота is (а) реализации энергии
Еа = ^2(aj-\-1/2) стремится к вероятности |/а|2 в р-адической
топологии.
Таким образом, по-моему, неархимедовозначная квантовая механи-
механика соответствует рассмотрению новых квантовых состояний с р-адиче-
скими вероятностями реализации.
Можно предложить подобную статистическую интерпретацию
неархимедовозначной теории поля. Предположим, например, что мы
рассматриваем представление Баргмана-Фока
/Сг) = ?/«*в> (/./) = !•
Когда число испытаний стремится к бесконечности, относитель-
относительная частота is (а) частиц aj, находящихся в состоянии Zj, стремит-
стремится к вероятности |/а|2 в р-адической топологии.
Значит, неархимедовозначная теория поля соответствует рассмот-
рассмотрению новых состояний квантовых полей с р-адическими вероятностя-
вероятностями реализации.
Отметим, что неархимедова структура гильбертова пространства
квантовой теории не связана со структурой пространства-времени.
Мы можем также рассматривать обычную действительную структу-
структуру пространства-времени, вводя в этом случае новые квантовые со-
состояния.
Для экспериментального подтверждения этой теории необходимо
проводить опыты, в которых относительные частоты колебались бы
в вещественной топологии и стабилизировались бы в р-адической то-
топологии для одного из полей р-адических чисел. Простое число р
должно выбираться либо теоретически на основе свойств модели, либо
моделироваться на компьютере с помощью перебора р. Конечно, если р
велико, то последний способ неудобен.
Из структуры р-адических статистических моделей, рассмотренных
в этой главе, мы видим, что р-адическая статистика подходит для си-
систем с большими сериями выпадения, длина которых стремится к нулю
в р-адической норме.
6 Хренников А.Ю.

Глава 7. Р-АДИЧЕСКИЗНАЧНЫЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
(ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ)
Неограниченность р-адического распределения Гаусса явля-
является основной причиной создания варианта р-адической теории
вероятностей, в которой вероятности принадлежат пространствам
распределений (обобщенные функции). Данная глава посвящена этой
вероятностной модели, которая очень похожа на обычную квантовую
вероятность (над полем действительных чисел). Оба этих формализма
развиваются без построения теории мер.
§ 7.1. Аксиоматика
Пусть Л — множество, Ф(^, Qp) — топологическая алгебра функ-
функций ?, обладающая следующим свойством:
композиция / о ? принадлежит Ф(^, Qp) для всех / Е A(Qp, Qp)
Далее, пусть Р: Ф(^, Qp) —>• Qp — нормированный (РA) = 1)
непрерывный линейный функционал, обладающий свойством:
функционал Р%: А —>• Qp, определяемый равенством P^(f) =
= P(f о ?), непрерывен для каждой функции ? Е Ф(^, Qp)-
Определение 1.1. Тройка (П, Ф(П, Qp), P) является обобщенным
вероятностным пространством р-адическизначной теории.
Как уже отмечалось, поле Qp играет роль сегмента [0,1] в р-адиче-
ском случае. Вот почему условие нормировки — это единственное
ограничение на значения P. ft — это пространство выборок тео-
теории, Р — распределение вероятностей, функции из алгебры Ф(^, Qp)
называются случайными величинами (СВ), распределение Р^ — рас-
распределение вероятностей СВ ?.
Безусловно, рассматриваемый нами класс распределений вероят-
вероятностей Р слишком широк. И не ясно, какого рода ограничения нужно
наложить на Р, чтобы получить наиболее естественную вероятностную
модель. Как уже обсуждалось, условие сг-аддитивности (на сг-алгебре)
влечет дискретность меры. Если в качестве распределений вероят-
вероятностей рассматривать только ограниченные меры, то распределения
Гаусса и Волкенборна исключаются из вероятностных рассмотрений.

§ 7.1. Аксиоматика	163
Существует целый ряд точек соприкосновения с квантовой теорией
вероятностей. В частности, здесь нет никакой сг-аддитивной вероят-
вероятностной меры.
Простейшим примером вероятностного пространства является
si = q;, ф(п,яр) = a(q;,qp), p = »gA'(q;,qp),
где /1 удовлетворяет условию нормировки
Г
lfj,(dx) = 1.
j
Это вероятностное пространство удобно для реализации конечного
числа независимых СВ. Но здесь невозможно построить бесконечную
последовательность независимых СВ.
Следующая вероятностная модель была предложена в [60]
(см. §7.5). Это вероятностное пространство на основе распределения
белого шума. В нем можно построить бесконечную последовательность
независимых гауссовских СВ. Здесь предложен большой класс
вероятностных пространств. Мы можем построить практически все
бесконечные последовательности независимых СВ на основе этих
вероятностных пространств.
Как обычно, математическое ожидание СВ ? Е Ф(Л, Qp) определя-
определяется как интеграл М? = ^(uj)P(duj), причем М/(?) = f(x)P^(dx).
п	Qp
Моменты СВ ? определяются как т^(п) = М?п.
Определение 1.2. Последовательность С В {?п} сходится по рас-
распределению к СВ ?, ?п —>• ?(.D), n —>• оо, если последовательность
вероятностных распределений {Р% } сходится к Р^ в пространстве
A'(QP, Qp).
Определение 1.3. Характеристическая функция СВ ? — это
преобразование Лапласа распределения Pt\
<Pt(t) = Ме^ш) = Г etxP^(dx).
QP
Так как А! = UrAfr, то для любого Р^ Е А! существует такое г Е Гдр,
что Pg E v4^,. Поэтому для малых ? характеристическая функция
корректно определена.
Замечание 1.1. Здесь нет необходимости использовать мнимую
экспоненту, так как в р-адическом случае г не влияет на существование
математического ожидания.
Теорема 1.1 (свойства характеристической функции). Предполо-
Предположим, что ? — случайная величина и y>?{t) — ее характеристическая
функция.

164	Гл. 7. Р-адическизначные распределения вероятностей
Тогда:
п
2. функция (p^(t) аналитична в нуле,
4.	характеристическая функция единственным образом определяет
распределение СВ,
5.	если /(О = | ext\f(dt), A, G A'0(QP), то
Случайный вектор — это любой вектор ? = (?i, . . ., ?п), состоящий
из СВ. По аналогии со случаем одной СВ мы введем моменты и рас-
распределение случайного вектора (совместное распределение СВ). В этом
случае M/(f) = | f{x)Pi{dx).
Случайные величины независимы, если их совместное распределе-
распределение имеет вид: Р^ = Р^г х . . . х Р^п.
Характеристическая функция случайного вектора
обладает похожими свойствами, в частности
<¦¦¦<: =
Более того, так как (р^@) = 1 и функция if^(t) G Ao^Q™), мы можем
ввести камулянты случайного вектора ?, которые связаны со смешан-
смешанными моментами обычными формулами (эти формулы носят чисто
алгебраический характер и не зависят от выбора числового поля).
Теорема 1.2. Для того чтобы компоненты случайного вектора
? = (?i, . . ., ?п) были независимы, необходимо и достаточно, чтобы его
характеристическая функция являлась произведением характеристи-
характеристических функций компонент.
Доказательство. Продемонстрируем, как метод характеристи-
характеристических функций может использоваться в нашей теории. Докажем до-
достаточность. Если функция f(x) = fi(xi) •. . . • fn(xn), то по свойству 5

§ 7.1. Аксиоматика	165
характеристической функции (для случайного вектора) получаем
= j
• • • M/n(?n).
Мы можем также использовать характеристическую функцию при
доказательстве следующего утверждения.
Утверждение 1.1. Распределение суммы независимых случай-
случайных величин ? = ?х + . . . + ?п равно свертке распределений ее членов
p€ = p€l*...*p€n.
Случайный вектор ? является гауссовским, если его характеристи-
характеристическая функция является квадратичной экспонентой:
где т G Q™, В — симметричная матрица. Другими словами, распреде-
распределение этого случайного вектора является распределением Гаусса на Q™.
Как и в обычной теории вероятностей, мы используем символ Л/" (га, В)
для обозначения класса распределений Гаусса с параметрами т и В.
Из определения следует, что для случайного вектора Гаусса
) = m, Вы = cov(ffc, 6).
Теорема 1.3. Случайный вектор ? = (?i, • • •, ?п) является гауссов-
гауссовским тогда и только тогда, когда случайная величина (?, Л) является
гауссовской для любого вектора Л.
Для доказательства этой теоремы достаточно рассмотреть характе-
характеристическую функцию.
Теорема 1.4. Некоррелированность компонент гауссовского век-
вектора эквивалентна их независимости.
Мы опять должны использовать характеристическую функцию.
Заметим, что многие важные свойства гауссовских случайных ве-
величин имеют место и в р-адическом случае. Однако о многих других
ничего не известно.
Остаются открытыми следующие вопросы.
1.	Выполняется ли центральная предельная теорема в р-адическом
случае?
2.	Существует ли р-адический вариант теоремы Леви—Крамера?
Пусть ?, г] независимые случайные величины. Если их сумма ? + rj
является гауссовской случайной величиной, то ? и 77 гауссовские.

166	Гл. 7. Р-адическизначные распределения вероятностей
3. Сохраняются ли свойства гауссовских случайных величин, осно-
основанные на линейных комбинациях, в р-адическом случае? (см., напри-
например, монографию Хиды [35].)
Определение 1.4 (аналог равномерного распределения). СВ ?
называется СВ Волкенборна, если Р^ является распределением Вол-
кенборна.
§ 7.2. Распределения вероятностей
на пространствах р-адических
последовательностей
Рассмотрим вероятностные пространства, построенные с по-
помощью бесконечных произведений одномерных распределений
вероятностей. Здесь пространством выборок является множество:
Q™ = {х = (хъ . . ., хп, . . .): xi e Qp.
Пусть Л — множество всех мульти-индексов a = (ai, ..., ап, ...)
таких, что olj = 0, за исключением конечного числа j. Положим
i(a) = max{ra: аш ф 0} для а Е Л. Всюду далее ряды J^ aa рассмат-
риваются как
оо	оо
Е Е ««•
n=0 \a\=n;i(a) = l
Обозначим через Рс = P(Q^°, Qp) пространство цилиндрических
многочленов q: Q^ —>- Qp,
Определение 2.1. Линейные функционалы Л: Рс —>• Qp являют-
являются цилиндрическими распределениями Q^°.
Теорема 2.1. Пусть {/in} — последовательность нормированных
распределений класса А!. Тогда равенство
определяет цилиндрическое распределение.
Обозначим такое цилиндрическое распределение через Y\ l^j • Есте-
Естественно, класс цилиндрических функций конечного аргумента Рс очень
ограничен. И возникает вопрос, как продолжить цилиндрические рас-
распределения на более широкие пространства?

§ 7.2. Распределения вероятностей	167
Рассмотрим пространство формальных степенных рядов Af =
= Af{Q?,Qp):
оо	оо	оо
Е Е /«*а = Е/(»)(*)•	BЛ)
п=0 |а|=п;г(а) = 1	п=0
Продолжим цилиндрическое распределение \i с Рс на некоторое под-
подпространство Л^ с помощью равенства
ЖаМ1®-..®Л(а)(^).	B.2)
Используем символ С/^Р, R = (Д1, . . ., ДП5 • • •)> ^i ^ ^QP5 Для
обозначения «шара» {ж G Q™ : |ж^| ^ Я^ > = С/дх х . . . х [/Дп х . . .
Конечно, не существует топологии, порожденной этими шарами.
Обозначим символом Л(?/??, Qp) подпространство Af(Q™, Qp),
состоящее из таких функций /(ж), что степенной ряд B.1) сходится
в следующем смысле:
lim sup |/(п)(яI =0.
Такие функции называются аналитическими на «шаре» ?/??.
Теорема 2.2. Пространство A(U^, Qp) совпадает с подпростран-
подпространством Af(Q^, Qp), состоящим из всех функций /, удовлетворяющих
условиям:
1.	lim \fa\pRa — 0 для всех натуральных щ
|а|=п;г(а)—>-оо
2.	lim max |/а|„#а = 0.
п-)>оо|а|=п;г(а)-)>оо	Р
Доказательство.
А. Пусть / G Af удовлетворяет условиям 1 и 2. Тогда
lim |/«жа| =0 для всех х G Q2°. Таким образом, ряд
|а|=п;г(а)^-оо	Р
|а|=п;*(а) = 1
сходится на L^^. Далее,
|/(п)(ж)| ^ SUP max |/a
P ^Gf/-|a|=n;i(a)
Б. Пусть теперь / G ^(t/^3, Qp). Ряд f(n)(x) сходится для
любых х G ^т?- Так как ^i ^ ^QP' T0 существуют такие
aRj e Qp, что \aRj\p = Д^-. Пусть xR = (ац.)°°=1, тогда xR G f/g5
и	lim |/а|рДа = 0- Таким образом, мы доказали 1. Используя
|а|=п;г(а)—)> оо	^

168
Гл. 7. Р-адическизначные распределения вероятностей
это условие, получаем, в частности, что
max \fa\pR<* = \fp(n)\
|а|=п;г(а)	^
для любых п.
Введем конечные векторы х(п) = x(R, /3(n)): x(n)j = 0 при
/3(n)j = 0 и x(n)j = ац6 при /3(n)j ф 0. Тогда
|/^(n)L^(n) = \f{n)x{n)\ ^ sup |/(„)я:(п)| -> 0, п -> оо.
А это и есть второе условие.
Введем на пространстве Л(?/??, Qp) неархимедову норму ||/||я =
||
|
Утверждение 2.1. Пространство Л(?/??, Qp) является неархиме-
неархимедовой банаховой алгеброй.
Доказательство основывается на прямых вычислениях для степен-
степенных рядов.
Теорема 2.3. Пусть {/in} — последовательность нормированных
распределений класса А! и fin ? AfRn и Л = sup||/in||^ ^ 1. Тогда
п
цилиндрическое распределение \± = \\ fin может быть продолжено до
ограниченного линейного функционала на пространстве Л(?/??, Qp),
R = (Ri, R2, • • •)•
Доказательство. Покажем, что B.2) определяет ограниченный
линейный функционал на Л(?/??, Qp). Рассмотрим ряд
оо
fa xa/j,(dx).
j
ni(oc)
Получаем
fa
Г	Га
а X^1/l1(dx1) . . . x"ff 1
QP	QP
Значит, все эти ряды сходятся, и \l(k)\ ^ max|/q,| Ra. Следова-
тельно, ряд B.2) сходится, и мы получаем неравенство
f(x)fi(dx)
Теорема 2.4. Пусть функция / принадлежит пространству
Л(Eр, Qp), а функция g принадлежит Л (?/??, Qp). Тогда композиция
ф = f о g принадлежит пространству A(U^, QP)-

§ 7.2. Распределения вероятностей	169
Доказательство. Доказательство представляет собой длинную
серию преобразований степенных рядов. Формально:
ОО	ОО
= У У
т=0
' ' ' get"
B.3)
Сначала покажем, что коэффициенты ф1(х1) корректно
определены:
Далее покажем, что функции фп(х) корректно определены:
\ф7\ Я7^тах|/„| max
Выберем такое N?, что если г7 ^ N?, то |<§г7|рЯ7 < е для |7| = гп.
Тогда \gaj\pRaj < ^ и |(/>7|рЯ7 ^ ^И/ИцяНдИ^Ид1-
Чтобы завершить доказательство, нам нужно показать сходи-
сходимость B.3). Первый шаг в этом направлении состоит в следующем:
Ve > 03M?: Vi7 ^ М?: |#7|рЯ7 < е для всех т. Действительно,
Ve > 03ш?: Vm ^ me: max |g*7| R1 ^ е и для всех ш, 0 ^ т? < т?,
\j\=m	p
существует Nm?\ \/i1 ^ Nrn?l \*y\ = гтг, |<§г7|рЯ7 < е. И выберем
га
Теперь нам нужно оценить выражение
п
Ат = max max|/n| max I I |g"aj| Raj =
|7|=т;гт<оо n	a +-" + «n=7j = 1
= max[Am(M?),A/m(M?)],
где
Ат(м?) = _max M [•••]; Am(Ms)= _max M [•••]•
Если г7 > M?, то существует такое j, 1 ^ j ^ гг, что iaJ > Ме.
Следовательно,
Д'т(Ме)	^	ll^llj
Так как / € ^(Qp, Qp),ToVe > 03ne:Vn ^ ne : |/„|р||#||д < е. Поэтому
Ат(М?) ^ maxmaxfs, max|/n|	max

170
Гл. 7. Р-адическизначные распределения вероятностей
Таким же образом мы можем доказать, что для малых е
Теорема 2.5. Пусть функционал v принадлежит пространству
А'(и^, Qp), а функция g принадлежит Л (?/??, Qp). Тогда функционал
vg\ A(Qp, Qp) —> Qp, vg(f) = v(f о g) принадлежит пространству
A'(QP, QP).
Доказательство. Из предыдущей теоремы получаем, что функ-
функционал Vg определен на пространстве A(Qp, Qp). Далее,
Пусть Р — нормированный ограниченный линейный функционал на
функциональном пространстве A(U^, Qp). Тогда тройка (С/дР, А(и^,
Qp), P) является обобщенным вероятностным пространством (р-адиче-
скизначной теории вероятностей). В частности, это справедливо для
распределений типа Р = Y\ Pj ? гДе Pj ~ распределения вероятностей
на Qp, удовлетворяющие условиям теоремы 2.3.
Пример 2.1 (вероятностное пространство Волкенборна). Так как
коэффициенты Бернулли Вп удовлетворяют неравенству \Вп\р $J p, то
мы получаем следующую оценку:
и \(dx, f)\
xndx
для / G А. Таким образом, \\dx\\ ^ 1. Если выбрать
\in = dx и Rn = р для всех п, то выполняются условия теоремы 2.3. По-
этому (U™
, Qp), Р = П dx) —это вероятностное пространство.
Пусть ?п(сс;) = соп для со = (o;i, . . ., ип, . . .) G U^. Это бесконечная
последовательность независимых СВ Волкенборна.
Пример 2.2 (вероятностное пространство Гаусса). Пусть
г	т оо	«
\7о,ьта/п=1 ~~ эт0 последовательность гауссовских распределении
с нулевым математическим ож:иданием и ковариациями Ьп. Используя
оценку гауссовских моментов
\x2n-y0ib(dx)
J
получаем, что выполняются условия теоремы 2.3 для Rn ^ \bn\n
оо
и /in = lbn- Таким образом, (U™, A(U^, Qp), P = П 7бп) — это
г = 1
вероятностное пространство. Пусть ^п(^) = шп. Это бесконечная по-
последовательность независимых гауссовских СВ с законами N@,bn).

§ 7.3. Предельная теорема	171
§ 7.3. Предельная теорема
Здесь нам потребуются некоторые результаты, касающиеся анали-
аналитических функций в р-адическом случае. Рассмотрим аналитические
функции на Ср. Мы будем одновременно использовать шары в Ср
и в Qp. Поэтому нам необходимы различные символы для обозначения
этих шаров. Символом Wr обозначим шар в Ср, а символом Ur — шар
в Qp. В первом случае радиус R принадлежит множеству Тср = {g =
= рь: t G Q}, а во втором R принадлежит множеству Гдр = {g = рь\
t = 0, ±1, ±2, ...}.
По определению функция /: Wr —>• Ср является аналитической,
если lim |/| Rn = 0 (мы используем один и тот же символ | • |
для обозначения абсолютного значения на Qp и на Ср). Простран-
Пространство A(Wr, Ср) аналитических функций наделено нормой ||/||я =
= max|/| Rn (см. гл. 2). Введем на этом пространстве другую норму:
Она также является неархимедовой на A(Wr, Cp).
Будем пользоваться следующей теоремой (см., например, [106]):
Для всех / G A(Wr, Cp) и R G Tqp справедливо равенство ||/||д
Основной факт, который используется для доказательства этой
теоремы, — это то, что поле Ср не является локально компактным.
Например, данная теорема не выполняется для Qp.
Произвольная функция / G Л(С/д, Qp) может быть продолжена до
функции / G A(Wr, Ср) (будем использовать один и тот же символ
для этих функций). Следовательно, получаем: ||/||д = sup |
)| ,
zewR
R e Гдр, для любой функции / G A(Ur,Qp).
Теорема 3.1. Пусть {Cnfe(^)}fe=ij n = 1, 2, . . ., — последова-
последовательность независимых СВ, удовлетворяющих условию: существует
последовательность действительных чисел {апк}2=1^ ^ = 1, 2, . . .,
которая равномерно стремится к нулю при п —> оо относительно к.
И выполняется неравенство
j i = 1,2,...	C.1)
Тогда последовательность СВ Sn = Yl ?nk сходится относительно по
к=1
распределению к СВ ?(lj) с распределением вероятностей J, где 5 —
мера Дирака, сконцентрированная в {0}.

172
Гл. 7. Р-адическизначные распределения вероятностей
Доказательство. Распределение СВ Sn равно свертке
= Р^п1 * ... * Р?пп • Рассмотрим характеристические функции
з=о
Зафиксируем R ? Гдр. Используя неравенство C.1), получаем, что
lim R?
= 0
начиная с некоторого п. Таким образом, все функции tp?nk(t) принад-
принадлежат A(Ur, Qp) начиная с некоторого п. Значит, характеристическая
п
функция (fsn(t) = П (P?nk{t) принадлежит Л(С/д, Qp). В соответствии
k=i
с замечанием, сделанным перед данной теоремой, мы можем продол-
продолжить характеристические функции (f?nk(t) и <psn{t) до аналитических
функций на шаре Wr.
Далее, (p?nk(z) = 1 + Ank(z). Покажем, что Апк —>> 0, п —> ос
равномерно относительно к в пространстве v4(VKr, Cp)'.
\\\Ank\\\R= sup \Ank(z)\ <:
sup max
Из C.1) получаем, что Me > 03N?: Vn ^ N?: ank.
Следовательно, |||-4п/с|
?-
Далее, (fsn(z) = 1 + Ln(z). Получае
k=i
max (max
R
?, max
при n ^ N?. Таким образом, |||ЬП|||Я —> 0, n —> оо. И, в частности,
Ln —> 0 в пространстве Л(С/д, Qp). Для завершения доказательства
используем теорему 3.1.
Теорема 3.2. Пусть {?n(kO}^Li последовательность независимых
равномерно распределенных СВ с нулевым математическим ожидани-
сп}п=1 — последовательность р-адических чисел и \сп р —> оо.
Тогда СВ Тп = Sn/cn -+ g(D), где Р^ = 6.

\ 7.4. Сходимость ряда независимых случайных величин
173
Доказательство. Так как Р^к ? Л', то \rn?n(j)\ $J с-7. Следова-
Следовательно,
оо.
В частности, —	'-^-——
§ 7.4. Сходимость ряда независимых случайных
величин
Теорема 4.1. Пусть {?п(^)} — последовательность независимых
СВ, удовлетворяющих условию: существует последовательность {ап},
ап G Я+, такая, что
а^ и ап —> 0, п —>- оо.
Тогда ряд ^2 ?п сходится по распределению.
п=1
Доказательство. Рассмотрим суммы Sn (со) =
и их ха"
п=1
рактеристические функции <psn(t) = П V?k(f)- Используя оценку для
к=1
моментов, получаем, что функции ip?n(t) являются аналитическими на
Up, р Е Гдр, начиная с некоторого п = пр. Следовательно, существует
такой шар Ur, что все <f?n(t) G A(Ur,Qp). Таким образом, ф?п, (р$п
продолжаются до функций класса A(Wr, Cp). Этого достаточно, чтобы
показать: \\\(psm ~ <Ps
k\\\R
0.
Используя доказательство теоремы 3.1, получаем: ip?n(z) = 1 +
+ An(z), где |||А|||Д -+ 0. Таким образом, \fs > 03N?: \\\A\\\R < е.
В частности, последовательность {(fsn} ограничена. Действительно,
пусть с = 1 + max |||Л|||Я. Тогда
max
max
Каждое произведение ограничено константой cNl.
Далее,
П
для т ^ к. И в завершение доказательства выберем к, т ^ N?^cn1.

174	Гл. 7. Р-адическизначные распределения вероятностей
Пример 4.1. Пусть {?п} — последовательность независимых дис-
дискретных СВ, ?п принимает значения uni, . . ., ип^п Е Qp с вероятно-
стями РпЪ . . ., РпЛгп Е Qp, J2 pnj = 1. Если
при ап —>• 0, то ряд из этих СВ сходится по распределению.
Например, пусть rjn = Л, В Е Qp с вероятностями а, 6 ? Qp,
оо	оо
а -\- b = 1. Тогда ряд ^2 Vn сходится в Qp. Ряд ^2 n^Vn сходится в Qp
п=0	п=1
для всех р.
Пусть ?п = р2п, р3п с вероятностями ап = 1/рп, Ьп = 1 - ап. Тогда
1 nj ^ \Р	) •
Пусть ?п = 1, 0 с вероятностями ап + 1/рп, Ьп = 1 — ап. Тогда ряд
оо
^2 Сп расходится. Действительно, если Sn —> S(D), то, в частности,
п=1
оо
MSn —> MS. Значит, М? = ^ р"п. Но этот ряд расходится в Qp.
п=1
Из примера для rjn получаем: М У^ рПгПп = 	. Аналогично,
п=0	1~Р
оо
пусть 77П = 0, 1 с вероятностями 1/2. Тогда ряд ^2 ti2(n-\-l)\rjn
n=l
оо
сходится по распределению и Mrj = 1. Ряд rj = J^ n5(n + l)!r/n также
71 = 1
сходится и М77 = 13.
Теорема 4.2. Пусть {?п} — последовательность независимых СВ,
оо
Un} ~ N(an, Ьп), где an, bn e Qp. Тогда ряд С = Е Сп сходит-
71 = 1
ОО
ся по распределению тогда и только тогда, когда ряды а = ^2 ап
71=1
оо
и 6 = J^ 6П сходятся. Суммой является гауссовской СВ ? ~ TV (а, 6).
71 = 1
Доказательство.
оо	оо
1. Пусть ряды а = ^2 ап и b = ^2 bn сходятся. Введем С В rjn =
71=1	71=1
ОО
= ?п — ап. Достаточно показать, что ряд ^2 Vn сходится. Используем
71=1
неравенство \mr]n(j)\ ^ \bn\J и то, что |6П|Р —>- 0. Таким образом, ряд
сходится. Чтобы показать, что ? является гауссовской СВ, достаточно
вычислить ее характеристическую функцию.

§7.5. Р-адический белый шум. Аналог исчисления Хиды	175
оо	оо
2. Пусть теперь ряд ? = ^2 Сп сходится. Тогда Sn = ^2 ~~^
n=l	k=l
оо
и MSn = ^2 ак —> М^. Далее, мы видим, что из условия Sn —>
следует, что MS% —> М?2.
§ 7.5. Р-адический белый шум. Аналог исчисления
Хиды
Гауссовские распределения на пространствах бесконечной размер-
размерности играют важную роль в современной теории вероятностей и мате-
математической физике. Распределение белого шума [34] занимает особое
место среди гауссовских распределений. С одной стороны, это распре-
распределение имеет очень простую структуру (единичный ковариационный
оператор в гильбертовом пространстве), а с другой — распределение
белого шума встречается во многих физических проблемах [35]; см.
также [36] об интегралах Фейнмана. Основы теории неархимедового
белого шума были представлены в докладе [60].
Нетрудно ввести р-адическизначное распределение белого шума на
основе ранее рассмотренной аксиоматики как бесконечное произве-
произведение гауссовских распределений класса 7V@,1) на Qp. Но было бы
интереснее рассмотреть белый шум на основе /^-теории. Это было
бы более похоже на вещественный случай. И мы смогли бы полу-
получить р-адический аналог теории Хиды функционалов от белого шума
в /^-представлении. Начнем построение распределения р-адического
белого шума по стандартной схеме [34]. На первом шаге определим
распределение р-адического белого шума на основе нашей теории гаус-
гауссовских распределений на пространствах бесконечной размерности,
используя определение с помощью преобразования Лапласа.
7.5.1. Квадратично интегрируемые функционалы белого шума.
Пусть К = Qp. Введем пространства р-адических последовательно-
последовательностей:
Sk = {/ = (/„) € Q~ : lim |/„| ркп = О},
L	TL—>-ОО	^	)
= lim proj Sk = {/ € Q™ : lim |/n| pkn = 0, к = 1, 2,. . .);
k^-oo	I	y n-Юо	p	)
_oo= lim indSfc = {/GQ~:3*! = -l,-2)...: lim |/n|
Пространство З^ — это неархимедово пространство Фреше,
a S-oo — это полное неархимедово локально выпуклое пространство.

176	Гл. 7. Р-адическизначные распределения вероятностей
Выполняется равенство S^ = S-^q. Можно рассмотреть оснащенное
гильбертово пространство Soo С Я С S-oq, H = #(i). Также как
и в гл. 3, для пространств A(Q™), Af(Q™) мы вводим функциональные
пространства Aq(Soo) и А(S-<*>) и пространства распределений AfQ(Sоо)
и A^S-oq) и определим преобразование Лапласа для распределений
\i G ^0(^00). Преобразование Лапласа L: ЛоEоо) —>• Л(*9_оо) —
изоморфизм.
Определение 5.1. Р-адическим белым шумом называется рас-
распределение W G A'i^S-oo) с преобразованием Лапласа
(/,/) = (/,/)а, А = A).
Рассмотрим систему полиномов Эрмита, связанную с распределе-
распределением р-адического белого шума:
ftn(t) = {-l)nee'2^-e-t2l\ ha(f) = hai{fi) ¦ ¦ ¦ han(fn) • • •,
а =
На пространстве A^S-^q) рассмотрим скалярное произведение
(F,G) = JF(f)G(f)W(df).
Полиномы Эрмита ортогональны относительно скалярного про-
произведения и \ha\2 = a\. Также как в гл. 2, нельзя нормировать
эти полиномы. Полиномы Эрмита задают базис в пространстве Фре-
ше A(S-oq): F(f) = ^2 Faha(f). На этом пространстве мы введем
а
непрерывную неархимедову норму IIFII = max Fa л/Iси!I - Попол-
нение пространства ЛE'_оо) относительно этой нормы (см. гл. 3)
является пространством функционалов белого шума. Они являются
квадратично интегрируемыми. Пространство функционалов обознача-
обозначается L<i{S-оо1 W). Это неархимедово гильбертово пространство типа
А = (<*!).
Пусть ft = $_оо, Р = W. Вместо алгебры аналитических функций
рассмотрим пространство L2E'_OO, W) в качестве пространства СВ.
Использование /^-теории позволяет существенно расширить простран-
пространство СВ (правда, в одном весьма специальном случае).
По аналогии с теорией Хиды функционалов от белого шума, L2-CB
могут быть рассмотрены как квадратично интегрируемые функциона-
функционалы белого шума. Так как в рамках предлагаемой модели белого шума
мы не определяем никаких других СВ, то будем использовать термин
«случайные величины».

§7.5. Р-адический белый шум. Аналог исчисления Хиды	177
Как обычно, введем математическое ожидание и моменты случай-
случайной величины.
Если линейный функционал Р^: f —>• М/(?) определен и непреры-
непрерывен на пространстве Фреше A(QP), то он называется распределением
С В ?. В этом случае
Qv
Таким образом, возникает специальная вероятностная модель, нес-
несколько отличная от моделей, описываемых общей аксиоматикой обоб-
обобщенных вероятностных пространств.
Теорема 5.1. СВ ? обладает распределением тогда и только тогда,
когда ? имеет моменты всех порядков, которые растут не быстрее, чем
Чтобы доказать эту теорему, достаточно заметить, что
п
п=0
и воспользоваться определением топологии в A(Qp).
Случайный вектор — это любой вектор ? = (?ъ • • ., ?п)> состоящий
из СВ. Распределение случайного вектора определено тогда и только
тогда, когда моменты растут не быстрее гп.
СВ называются независимыми, если совместное распределение име-
имеет вид Р^ = Р^г х ... х Р^п. Таким образом, в формализме белого
шума понятие независимости имеет смысл не для всех СВ. Существуют
такие СВ, для которых нельзя обсуждать проблему зависимости или
независимости.
Пусть ? — это СВ, имеющая распределение Р^. Тогда в некоторой
окрестности нуля характеристическая функция С В определяется та-
таким же образом, как в §7.1. Теоремы 1.1-1.4 и утверждение 1.4 также
справедливы для этого случая.
7.5.2. L2-сходимость гауссовских рядов и функционалов от белого
шума. Отображения ?п: Л —» Qp,
?n(cj) = (en,cj), n = 1,2,...,
где {en} — канонический базис в //, могут служить примерами неза-
независимых гауссовских величин, имеющих распределение Л/"@,1).
Замечание 5.1. Чтобы получить гауссовскую величину ? ~
~ 7V@,1), мы можем использовать гауссовскую величину rj ~ Л/"(га, а2)
для любого числа а Е Qp. Однако, вообще говоря, мы не можем
получить гауссовскую СВ rj ~ N(m, b) даже в случае, когда b —
положительное рациональное число.

178	Гл. 7. Р-адическизначные распределения вероятностей
Теорема 5.2. /^-предел последовательности {г]п(и:)} гауссовской
С В также является гауссовской СВ.
Для доказательства данной теоремы мы должны рассмотреть явное
представление СВ как функционалов от белого шума.
Рассмотрим последовательность независимых, одинаково распреде-
распределенных гауссовских СВ ?((*;) ~ ^V@,1). Для /^-сходимости мы получа-
получаем аналог теоремы 4.2.
Теорема 5.3. Пусть последовательность р-адических чисел
оо
ап —>• 0, п —> оо. Тогда ряд ^2 anin{u) сходится к гауссовской
п=1
случайной величине
Например, следующие ряды независимых стандартных гауссовских
С В сходятся над полем р-адических чисел:
п=1	\ п=1
Теорема 5.4. Пусть последовательность р-адических чисел
оо
ап —> 0, п —> ос. Тогда ряд г/(о;) = ^ ап(?п{ш) - 1) сходится.
п=1
Например, ряд
сходится.
В обычной теории вероятностей, рассмотренные выше ряды могут
быть реализованы на математическом уровне строгости в рамках ис-
исчисления Хиды как обобщенные функционалы от броуновского движе-
движения. В нашем случае они являются обычными случайными величинами.
7.5.3. Обобщенные функционалы от белого шума. Теория р-адиче-
скизначных обобщенных функционалов белого шума была разработана
в [60]. Существует возможность реализовать в виде р-адическизнач-
ных обобщенных функционалов белого шума такие формальные ряды
полиномов Эрмита с рациональными коэффициентами, которые невоз-
невозможно корректно определить как распределения Хиды в вещественном
случае.

§7.5. Р-адический белый шум. Аналог исчисления Хиды	179
Рассмотрим оснащенное гильбертово пространство
A(S-oo) С L2(S-oo,Vl0 С L'2(S-oo,W) С A'(S-oo).
Функции G{uj) G L^S—ooi W) называются /^-обобщенными функ-
функционалами от белого шума, а функции G(uo) G A'^S-oq) — обобщенны-
обобщенными функционалами от белого шума.
Мы можем привести большое количество примеров р-адическизнач-
ных функционалов от белого шума, которые в вещественной теории не
могут быть реализованы как функционалы Хиды (все коэффициенты
являются рациональными числами и формальные представления ин-
инвариантны относительно числового поля).
Например, пусть р = 2 и
G(u>) =
n\hn(ujn)'
Этот ряд не сходится в L2(*S'_OO, W) и даже в L^S—oo^W). Но
он сходится в Л'^-оо), и G(uj) — корректно определенный р-адиче-
скизначный обобщенный функционал от белого шума. Если мы рас-
рассмотрим этот ряд как ряд обычных действительных функционалов от
белого шума, то он будет расходиться в смысле теории распределений
Хиды.
Таким образом, мы можем рассматривать р-адическизначный фор-
формализм белого шума как возможность регуляризовать расходящиеся
стохастические выражения (с рациональными коэффициентами), воз-
возникающие в обычной действительной теории вероятностей, основан-
основанной на аксиоматике Колмогорова. Предыдущий пример был приведен
для того, чтобы проиллюстрировать ситуацию на основе «настоящего»
обобщенного функционала от белого шума. Но мы можем привести
примеры р-адических /^-функционалов, которые имеют расходящую-
расходящуюся вещественную реализацию (в смысле теории распределений Хиды).
Например,
п=0
Эта функция является /^-функционалом от белого шума для всех р.
Конечно, наша регуляризация может быть применена только
к очень специальному (но достаточно широкому) классу рядов по
полиномам Эрмита.
7.5.4. Стохастический процесс на основе белого шума. Пусть Т —
подмножество поля Qp. Множество СВ X = {&}, t G Т, называется
стохастическим процессом с р-адическим интервалом времени Т. От-
Отметим, что в нашем формализме
X: Т -»¦ L2{S.^,W{df)),	E.1)

180	Гл. 7. Р-адическизначные распределения вероятностей
т. е. для любого t E T случайная величина Ct{^) является квадратично
интегрируемым функционалом р-адического белого шума.
Стохастический процесс X называется процессом с непрерывны-
непрерывными (в смысле среднего квадратичного) траекториями, если отображе-
отображение E.1) непрерывно.
Теорема 5.5. Пусть Т = Zp. Тогда любой стохастический процесс
X = {?,t}teT с непрерывными траекториями единственным образом
определяется его значениями в моменты времени t = 0, 1, 2, . . .,
т.е. случайные величины {?n}^Li единственным образом определяют
стохастический процесс.
Чтобы доказать эту теорему, достаточно заметить, что множество
натуральных чисел всюду плотно в кольце р-адических целых чисел.
Следующий процесс является простым примером процесса с непре-
непрерывными траекториями (в смысле среднего квадратичного) и с интер-
интервалом р-адического времени Т = Zp.
Предположим, что последовательность ?,n(uj) состоит из независи-
независимых гауссовских СВ с распределением Л^@,1). Заметим, что любое
t E Zp можно представить в виде ряда:
t = t0 + hp + . . . + tjpj + . . . ,
где tj = 0, 1, . . ., p - 1. Пусть
rjt(uj) = to?o(u)
По теореме 5.3 этот ряд сходится в смысле среднего квадратичного
для t E Zp к случайной величине Гаусса:
0,
Покажем, что стохастический процесс rjt{oo) непрерывен в смысле сред-
среднего квадратичного. Заметим, что
ht - r)s\\2 = max \tj - Sj\ p~J.
Пусть \t — s\p < p~k. Тогда tj = Sj, j = 0, 1, . . ., k — 1, т.е.
\\Vt — Vs\\2 ^ P~k ~* 0, k —>• оо. Таким образом, X = {rjt(u)} — это
гауссовский стохастический процесс с траекториями, непрерывными
в смысле среднего квадратичного.
Пусть w(t,uo) — обычный процесс Винера над полем действитель-
действительных чисел. Тогда w(t, со) Е Ь2(^, P(dui)) для любого t. В р-адическом
случае это не так. Мы можем использовать различные представле-
представления р-адического винеровского процесса. Используем представление
Пэли-Винера (см., например, [34, стр. 79]) для процесса Винера w(t, со)

§7.5. Р-адический белый шум. Аналог исчисления Хиды	181
и рассмотрим это представление в р-адическом случае в качестве одной
из реализаций процесса Винера w(t,uo).
Пусть {?/с(^)} и {77/с(сс;)} — две независимые последовательно-
последовательности независимых гауссовских случайных величин с нормальным
распределением Л^@,1), выбранные из стандартной координатной
последовательности |?п(с<;)}. Рассмотрим ряд гауссовских случайных
величин
E.2)
где в р-адическом случае (р ф 2) число тг определяется как ГрA/2), где
Гр(ж) — это р-адическая Г-функция Морита (см. [106, стр. 108]).
В действительном случае ряд E.2) сходится в смысле среднего
квадратичного, а в р-адическом — расходится в смысле среднего квад-
квадратичного (для произвольно малых моментов времени t). Таким об-
образом, мы сталкиваемся с важной открытой проблемой построения
р-адическизначного процесса Винера.

Глава 8. О СЕГМЕНТАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИИ
В Р-АДИЧЕСКОЙ И ЕВКЛИДОВОЙ
МЕТРИКАХ
Использование р-адических чисел в математической физике стиму-
стимулировало развитие многих новых областей р-адической математики.
Мы хотели бы отметить создание р-адической теории вероятностей
и теории р-адических (и более общих неархимедовых) динамиче-
динамических систем [79]. В последние годы р-адические числа нашли новое
неожиданное применение — создание математических моделей про-
процесса мышления на основе представления человеческих идей ветвями
р-адических иерархических деревьев [81]. Эти исследования привели
к пониманию того, что р-адические числа могут быть использова-
использованы во многих приложениях для обработки (когнитивной) информа-
информации. В статье [7] р-адический анализ был впервые использован для
обработки изображений. Видеоизображения, представленные в фор-
форматах MPEG 1, 2 и JPEG, кластеризовались и сжимались с помо-
помощью р-адического алгоритма кластеризации. Основным достоинством
р-адического алгоритма является выигрыш в скорости вычислений
(в десятки раз). Для некоторых классов изображений качество вос-
восстановления при р-адическом сжатии существенно лучше, чем при
евклидовом.
Использование форматов MPEG 1, 2 и JPEG означает обработку
изображений в спектральной области. При этом первоначальная ко-
координатная кодировка изображений проводится с помощью стандарт-
стандартной декартовой (прямоугольной) системы координат. Таким образом,
в работе [7] мы использовали евклидову геометрию в координатном
пространстве и р-адическую — в спектральном пространстве.
За последние несколько лет проблема автоматического анализа
и интерпретации сжатых мультимедийных данных приобрела важное
значение. Причина этого в возрастании числа мультимедийных архивов
и в увеличении служб реального времени, имеющих дело с данными
в сжатых форматах — MPEG 1, 2 для видеофильмов и JPEG для
статических изображений. Другим важным примером необходимости
работы со сжатыми форматами является видеонаблюдение. Видеоизоб-
Видеоизображение в этом случае передается в архив в сжатом виде, поэтому
его анализ (выделение объектов, отслеживание траекторий и т. п.)
также должен проводиться со сжатым форматом. Проблема сегмен-
сегментации изображений в сжатых областях уже освещалась в литературе.

	183
В общем случае при сегментации изображений формата JPEG (или
MPEG 1, 2) использовалась только одна низкочастотная составляющая
спектра. В статье [7] мы использовали и высокочастотные коэффици-
коэффициенты, выделяя тем самым текстурные характеристики в локальных об-
областях (MPEG-блоках). Другим важным нововведением в наших рабо-
работах по сегментации является использование в алгоритмах кластериза-
кластеризации р-адической метрики. Эта метрика, имеющая лексикографические
свойства, позволяет ввести «порядок важности» спектральных компо-
компонент от низкочастотных к высокочастотным. Тем самым используется
хорошо известное свойство органов зрения человека, а именно диффе-
дифференциальная чувствительность к частотным составляющим образов.
Р-адическая метрика является так называемой ультраметрикой.
Вместо обычного неравенства треугольника она удовлетворяет уси-
усиленному неравенству треугольника: в каждом треугольнике третья
сторона не больше максимума двух других сторон. Поэтому геомет-
геометрия в ультраметрическом пространстве кардинально отличается от
стандартной евклидовой геометрии. Одним из важных (и довольно
необычным) свойством этой геометрии является то, что если два шара
имеют непустое пересечение, то один является частью другого. Это
свойство позволяет проводить кластеризацию изображения как раз-
разбиение на множество непересекающихся шаров-кластеров. Такая кла-
кластеризация возможна также благодаря тому, что в ультраметрическом
пространстве так называемое цепное расстояние совпадает с обычным.
Таким образом, р-адическая кластеризация образов имеет простую
геометрию, а именно геометрию шаров. Это дает возможность про-
простого и компактного описания кластера. В принципе, такая шаровая
кластеризация может быть использована для сжатия информации.
В статье [55] мы построили р-адическую модель, стартуя непо-
непосредственно с координатного представления. Основа этой модели —
р-адическая система координат на плоскости. Эта система координат
имеет структуру иерархического дерева, начинающегося в центре изоб-
изображения. Таким образом, р-адическая система координат отражает
одно из важнейших свойств человеческого зрения — его центрирование.
В принципе наши исследования можно рассматривать с точки зрения
математического моделирования обработки информации в р-адической
системе координат. Изображения кодируются в р-адической системе
координат, затем кластеризуются в р-адической ультраметрике и вновь
восстанавливаются. Обработан большой класс изображений для раз-
различных параметров модели. Для некоторых классов изображений до-
достигается существенное сжатие при хорошем качестве восстановления.
Заметим, что, кроме приложений к теории обработки изображений,
наше исследование может быть использовано для математического мо-
моделирования процессов обработки информации в человеческом мозге.
Наше исследование является серьезным доводом в пользу гипотезы

184	Гл. 8. О сегментации изображений
о р-адической геометрии в ментальном пространстве, [81]. Мы пока-
показали, что евклидовы образы (вернее дискретные приближения к ним)
могут быть адекватно (с точки зрения человеческого наблюдения)
представлены в р-адическом пространстве. Отметим, что р-адическая
обработка информации происходит существенно быстрее, чем евкли-
евклидова.
В статье [55] также предложен алгоритм сжатия изображений, осно-
основанный на разложении Малера непрерывных функций в р-адической
области. Сжатие проводится с помощью сохранения нескольких первых
коэффициентов Малера в разложении (р-адически закодированного)
изображения в ряд Малера.
В теории чисел и неархимедовом анализе традиционно использу-
используются р-адические числа для простого числа р. Однако при построении
моделей процесса мышления [81] было замечено, что естественно возни-
возникают модели, основанные на m-адических ментальных пространствах
для любого натурального числа га. В статье [55] было замечено, что
т — это важный параметр при обработке изображений. Поэтому мы
проводим общие построения для произвольного га, используя р-адиче-
ские числа только при рассмотрении сжатия с помощью метода Малера.
§ 8.1. Ультраметрические пространства и цепное
расстояние
Алгоритм цепной кластеризации, который мы используем в данной
главе, базируется на так называемой цепной метрике. Мы обсудим
это понятие для произвольной метрики. Последовательность точек
а = жо, жь • • ., жп_1, хп = b в метрическом пространстве (X, р) назы-
называется ?-цепью, соединяющей а и b если р(ж/,, Xk+i) ^ ? для всех к $J п.
Если существует ?-цепь, соединяющая а и 6, то говорят, что эти точ-
точки ^-связываемы. Ультраметрические пространства характеризуются
следующим образом.
Метрическое пространство является ультраметрическим тогда
и только тогда, когда любые точки а, 6, а ф 6, не ^-связываемы ни для
какого е < р(а, Ь).
Пусть (X, р) — произвольное метрическое пространство. Положим
Д(ж,г/) = Inf{e: х и у ^-связываемы}, ж, у Е X. Эта функция
имеет все свойства ультраметрики, кроме невырождения (может быть
Д(ж,г/) = 0 для некоторых х ф у). Это так называемая псевдо-
ультраметрика. Эта метрика называется цепным расстоянием от а
до Ь. Заметим, что из теоремы следует, что в ультраметрическом
пространстве (X, р) исходная метрика р совпадает с соответствующим
цепным расстоянием. Этот топологический факт упрощает алгоритмы
кластеризации, базирующиеся на вычислении цепного расстояния, если
они модифицируются для ультраметрических (в частности, р-адиче-
ских) пространств.

§ 8.2. Алгоритмы кластеризации	185
§ 8.2. Алгоритмы кластеризации, базирующиеся
на евклидовой и р-адической метриках
Кластерный анализ в действительности включает в себя набор
различных методов и алгоритмов классификации. Всякий раз, когда
необходимо классифицировать «горы» информации по пригодным для
дальнейшей обработки группам, кластерный анализ оказывается весь-
весьма полезным и эффективным.
8.2.1. Алгоритм цепной развертки. Рассмотрим алгоритм цепной
развертки, предложенный Е. Щепиным. Этот алгоритм относится
к группе агломеративно-иерархических методов. В качестве исходного
элемента цепной развертки берется любой объект из предъявленной
совокупности, ему приписываются две метки: номер п = 1 и расстояние
р = 0. Затем просматриваются все оставшиеся объекты. Выбирается
объект, расстояние р' от которого до исходного элемента минимально.
Ему присваивается номер п = 2 и расстояние р = р1. Среди остав-
оставшихся ищется объект, расстояние р" от которого до уже выбранного
множества объектов из двух элементов минимально, и т. д. — всегда на
очередном шаге выбирается объект, расстояние от которого до уже про-
пронумерованных объектов (как расстояние до множества) минимально,
ему приписывается очередной номер и это расстояние. Легко видеть,
что расстояние р является цепным расстоянием, введенным в разделе 2.
Процедура повторяется, пока все объекты не будут пронумерованы.
В результате все объекты будут выстроены в некотором порядке, и ка-
каждому объекту будет приписано некоторое число — расстояние до
предшествующего множества.
Разбиение множества объектов на кластеры базируется на следую-
следующей процедуре. Пусть го > 0 — некоторая константа (параметр кла-
кластеризации). Мы хотели бы разбить исходное множество на несколько
кластеров таким образом, чтобы цепное расстояние между объектами,
входящими в один кластер, было меньше заданной величины р ^ го,
а для любых объектов из разных кластеров — р > г о. Для этого доста-
достаточно просмотреть все приписанные объектам р-метки (расстояния)
и пометить те из них, у которых р > tq. Пусть это будут объекты
с номерами ni, . . ., пк- Тогда к первому кластеру следует отнести все
объекты с номерами 1 $С п < ni, ко второму — все объекты с номерами
п\ ^ п < П2 и т. д. Меняя параметр го, можно анализировать различ-
различные варианты кластеризации.
Как мы уже упоминали, в ультраметрическом пространстве цепное
расстояние совпадает с обычным. Поэтому кластеризация по цепному
расстоянию есть разбиение на шары. Комбинаторная сложность ука-
указанного метода O(N2), где N — мощность исходного множества. Она
равна 7VGV — l)/2 и в худшем и в лучшем случае.

186	Гл. 8. О сегментации изображений
8.2.2. Цепная развертка с фиксированным порогом. Рассмотрим
быструю версию цепной развертки, а именно цепную развертку с фик-
фиксированным порогом. В этом случае задается требуемое межкластерное
расстояние г о > 0. В качестве начального берется любой объект, ему
присваивается принадлежность к первому кластеру. К этому же пер-
первому кластеру присоединяются все объекты, расстояние от которых
до исходного объекта меньше порога го- Затем для каждого из вновь
присоединенных объектов данная процедура повторяется. После того
как к первому кластеру не может быть больше отнесен ни один объ-
объект, среди объектов, которые остались, берется произвольный объект
в качестве опорного для второго кластера и т.д., пока не будут исчер-
исчерпаны все объекты. В худшем случае и здесь при наличии N объектов
требуется N(N — l)/2 процедур вычисления расстояния, но в лучшем
случае — всего N процедур. В наших опытах сегментации изображений
развертка с фиксированным порогом в евклидовой метрике требовала
в среднем в три раза меньше времени, чем стандартная процедура.
Особенно успешно развертка с фиксированным порогом работает
в р-адическом случае. Поскольку в этом случае цепное расстояние
совпадает с обычным, то для выяснения, принадлежит ли объект
к кластеру, достаточно проверить расстояние от него до любого одного
элемента кластера, а не до всех, как в общем случае (и, в частности,
в евклидовом случае).
Алгоритм модифицируется следующим образом. В качестве исход-
исходного берется любой объект, ему присваивается принадлежность к пер-
первому кластеру. Затем берется следующий объект. Если расстояние от
него до первого объекта меньше порога, то ему присваивается принад-
принадлежность к первому кластеру, иначе — ко второму. Далее все повторя-
повторяется. Берется очередной объект, проверяется р-адическое расстояние от
него до первых элементов уже имеющихся кластеров. Если расстояние
до некоторого кластера меньше порога го, то объекту присваивается
принадлежность к этому кластеру, иначе объект берется в качестве об-
образующего для нового кластера, общее число кластеров увеличивается.
Легко видеть, что здесь при наличии N объектов и при получении К
кластеров требуется не больше N*K процедур вычисления расстояния,
как правило много меньше.
§ 8.3. Выделение векторов цвета и текстуры
из потока кадров формата MPEG 2
Мы кратко опишем векторное пространство, с которым имеем дело.
Семейство стандартов видеосжатия MPEG базируется на двух глав-
главных принципах: (i) использование временной корреляции видеокадров
с компенсацией движения, (и) использование пространственной корре-
корреляции с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ). Архитек-
Архитектура потока MPEG содержит три вида фреймов: I, В, Р. 1-фреймы

§ 8.3. Выделение векторов цвета и текстуры в MPEG 2	187
кодируются непосредственно с помощью БПФ. Фреймы Р и В компен-
компенсируют движение. Мы рассматриваем сегментацию I-фреймов. В них
каждый блок 8x8 пикселов изображения кодируется с использованием
БПФ, так же как в стандарте JPEG для статических изображений.
Видеокадры в формате MPEG 2 записаны в цветовой системе YCrCb
(яркость Y, цветность Сг и СЬ). Поэтому видеофреймы представляют
собой три плоских образа: Y, Сг, СЬ. Ранг значений в этих образах, как
правило, [0, . . ., 255] и соответствует глубине 8 бит на пиксел. Все три
плоскости изображения кодируются независимо в формате JPEG или
MPEG - I.
Схему кодирования можно кратко описать так. Изображение раз-
разбивается на участки 8x8 пикселов. Затем на каждом участке при-
применяется двумерное БПФ. Первый коэффициент i^@, 0) представляет
собой среднее значение исходного сигнала. Получившиеся коэффициен-
коэффициенты квантуются с целью сжатия информации. Высокочастотные коэф-
коэффициенты квантуются более грубо, чем низкочастотные. Это связано
с тем, что высокочастотные составляющие изображения соответствуют
шуму и их огрубление или потеря менее значимы для визуальной систе-
системы человека. Чтобы представить спектр Фурье в виде одного вектора,
который был бы лексикографически упорядочен, мы предлагаем взять
коэффициенты БПФ в стандартном зигзагообразном порядке от F@, 0)
до F(N — 1, N — 1) для каждой плоскости — яркости Y и цветности
Сг, СЬ. Затем эти три вектора объединяем в один, последовательно
смешивая компоненты.
Таким образом, мы получаем один упорядоченный вектор для ка-
каждого участка 8x8:
VNxN-1, CrjsfxN-i, cbNxN-l) >
ИЛИ
a = (ao, • • • , cll) •> К = L * 3 — 1.
Первые три координаты / = 0, . . ., 2 вектора а характеризуют
«цвет» в блоке, так как они представляют средние значения яркости
и цветности. Иные координаты характеризуют «текстуру» внутри бло-
блока, так как они соответствуют вариации сигнала в блоке. Как мы уже
упоминали, некоторые авторы уже использовали первые низкочастот-
низкочастотные коэффициенты (координаты а/, / = 0, . . ., 2 наших векторов а) для
сегментации видеокадров. Мы покажем, что добавление высокочастот-
высокочастотных спектральных коэффициентов улучшает классический алгоритм
сегментации. Использование р-адической метрики и цепной развертки
для кластеризации позволяет нам учитывать избирательную чувстви-
чувствительность человеческого зрения.

188	Гл. 8. О сегментации изображений
§ 8.4. Сегментация изображений в спектральной
области БПФ методом Split-LBG
Помимо кластеризации спектральных коэффициентов путем цеп-
цепной развертки, мы использовали для сегментации изображений метод
кластеризации «Split-LBG» . Этот метод хорошо себя зарекомендо-
зарекомендовал при анализе изображений. Он базируется на обобщенном методе
/С-средних. Кратко напомним суть метода Split-LBG.
Пусть дано множество векторов А = {ао,...,ам}5 гДе am =
= (а0, . . . , aL) и К(К < М) векторов-центров ск = (а0, . . . , aL) ,
не обязательно принадлежащих А. Надо найти разбиение множества А
на К кластеров Пд., к = 1, . . ., К, минимизирующее энергию
к
E = Y1 Z) d^rn,ck).	D.1)
k=lamG^fc
Результатом данного метода кластеризации является разбиение
пространства на множество кластеров ojk таких, что Vam E ojk =>
=> d(am,Cfc) ^ disLm^Cj), j ф к.
Заметим, что в случае евклидова расстояния гиперсферы в общем
случае могут пересекаться.
Базируясь на обобщенном методе /С-средних, метод Split-LBG пред-
предлагает строить финальный набор кластеров ft = {cj/e}, к = 1, . . .,
К последовательно. Метод начинает с небольшого начального числа
кластеров Ко < К. После оптимизации разбиения на заданное число
кластеров /Q < К обобщенным методом /С-средних добавляются
новые кластеры с новыми центрами, и процесс повторяется, пока не
будет достигнуто требуемое число кластеров К.
Мы используем следующий способ добавления центров кластеров:
он состоит из «расщепления» («splitting») каждого из уже существую-
существующих центров кластеров с& на два новых с'к = С& + 8, с^ = с& — 8, где
8 — случайный вектор малой энергии Е (е) = У^ sf.
I
Начиная с 2 центров кластеров, выбранных случайным образом,
метод позволяет построить разбиение пространства Rn на К = 2я
кластеров за q шагов оптимизации /С-средних.
§ 8.5. Результаты и обсуждение
Мы проводили сегментацию изображений посредством кластериза-
кластеризации коэффициентов БПФ для большого класса изображений. Исполь-
Использовалась евклидова и р-адическая метрики.

§8.5. Результаты и обсуждение	189
Кластеризация проводилась таким образом, чтобы изображение,
полученное восстановлением после кластеризации коэффициентов Фу-
Фурье, было достаточно «хорошим» и при этом чтобы число кластеров
было по возможности минимальным.
Целью первой серии экспериментов было показать, что использова-
использование высокочастотных коэффициентов (увеличение размерности векто-
вектора пс) позволяет улучшить сегментацию даже при одном том же числе
кластеров. Результаты сегментации приведены на рис. 8.1.
а	б	в	г	д
Рис. 8.1. Результаты кластеризации методом Split-LBG в евклидовой метри-
метрике. Слева направо: а) исходное декодированное изображение, б) сегментация
с пс = 1, в) пс = 3, г) пс = 6, д) пс = 10
Изображение а) на рис. 8.1 представляет собой образ, получен-
полученный заменой блока 8x8 цветных пикселов оригинального видеокадра
средним значением. Далее слева направо показаны результаты сег-
сегментации с увеличивающимся числом использованных спектральных
коэффициентов. Результаты, наблюдаемые на большом числе дан-
данных B40 изображений), соответствующих I-фреймам сжатых по схе-
схеме MPEG2 видеофильмов «Le temps des Lagunes» и «L'Homme de
Tatavel» (SFRS ®), ясно показывают, что использование высокочастот-
высокочастотных коэффициентов, а не только 7^@, 0), позволяет получить лучшую
однородность и лучшую отделимость кластеров. Максимальное число
спектральных коэффициентов было 30. Если бы мы применяли тот же
метод кластеризации на исходном изображении, а не на спектре Фурье,
нам потребовались бы векторы размерности 3 х 64 = 128. Таким об-
образом, использование спектральных коэффициентов позволяет сильно
сократить размерность пространства.
Целью наших последующих экспериментов было сравнение алго-
алгоритмов кластеризации в евклидовой и р-адической метриках. Резуль-
Результаты для одного изображения показаны на рис. 8.2. Изображение а)
на рис. 8.2 представляет собой исходный образ. В изображениях б\ в)
и г) левые части являются реконструкцией изображения по центрам
кластеров, правые части представляют собой карты сегментации, где
каждый кластер выделен своим цветом.
Сегментация изображений при использовании р-адической метрики
при кластеризации методом цепной развертки оказалась более успеш-
успешной, чем аналогичная при использовании евклидовой метрики. Для
получения сегментации приемлемого качества в р-адическом случае
(рис. 8.26") требуется меньше кластеров. В нашем примере на рис. 8.2

190
Гл. 8. О сегментации изображений
понадобилось 24 кластера вместо 101. Это представляется достаточно
естественным, так как первые коэффициенты Фурье играют более
важную роль в формировании изображения, нежели коэффициенты
более высоких порядков.
Также р-адическая кластеризация требует меньше времени (в сред-
среднем примерно в полтора раза), так как вычисление р-адического рас-
расстояния — существенно более быстрая процедура, чем нахождение
евклидова расстояния.
Ш
- т	ьь. ш
в	г
Рис. 8.2. Кластеризация в р-адической и евклидовой метриках: а) исходное
изображение, б) цепная развертка, р-адическая метрика, 24 кластера, в)
цепная развертка, евклидова метрика, 101 кластер, г) LBG метод, евклидова
метрика 8 кластеров.
При использовании метода Split-LBG с евклидовой метрикой
сегментацию приемлемого качества удается достигнуть уже на 8
кластерах, хотя некоторые детали при этом исчезают (по сравнению
с сегментацией р-адической цепной разверткой). Чтобы детализация
была сравнима, методу Split-LBG требуется уже 16 кластеров, т. е.
примерно столько же, сколько цепной развертке с р-адической
метрикой. Скорость работы двух разных методов сравнима.
Метод Split-LBG нельзя непосредственно перенести на случай
р-адической метрики, но было бы интересно рассмотреть возможность
его модификации, в которой можно было бы учесть как особенности
метода, так и особенности р-адической метрики.
8.5.1. Скорость работы алгоритмов. Важным вопросом оценки ра-
работы алгоритмов кластеризации, помимо качества, является скорость
работы. Кроме собственно типа алгоритма на скорость работы оказы-
оказывают существенное влияние различные параметры.

§8.5. Результаты и обсуждение	191
1.	Выбор метрики: евклидова или ее квадрат, расстояние городских
кварталов, расстояние Чебышева, степенное расстояние, процент несо-
несогласия, р-адическое расстояние и т. д.
2.	Размерность объектов исследуемого пространства
3.	Число кластеризуемых объектов.
Были проведены исследования скорости работы алгоритмов при
сегментации изображений указанными выше способами. Изображение
разбивалось на 6464 части (т. е. всего имелось 6464 объекта, подлежа-
подлежащих кластеризации). Число коэффициентов Фурье было от 1 до 64 (т. е.
размерность объектов от 3 до 192).
Как легко видеть, полная процедура цепной развертки требу-
требует 7VGV — l)/2 вычислений расстояний между объектами. В случае
р-адической метрики время слабо зависит от размерности объектов,
в случае евклидовой метрики зависимость от размерности сильная. При
числе коэффициентов Фурье до 10 общее время работы в разных мет-
метриках отличалось слабо. Однако при 30 коэффициентах время работы
в евклидовой метрике в среднем в три раза больше, чем в р-адической.
Метод Split-LBG является итерационным, число итераций, число
вычислений расстояний сильно зависит от структуры информации,
от заданного числа К. Время работы также существенно зависит
от размерности объектов, поскольку применяется евклидова метрика.
При использовании небольшого числа К в методе Split-LBG
(К = 16) и небольшом числе коэффициентов Фурье (пс = 10)
LBG-метод работал существенно быстрее (в 5 раз) цепной развертки
с р-адической метрикой. Но уже при числе коэффициентов пс = 30
время работы было примерно одинаковым. При последующем увеличе-
увеличении числа коэффициентов стало меньше уже время р-адической цепной
развертки. Таким образом, р-адическая цепная развертка позволяет
учитывать тонкие дифференциальные различия без существенной
потери времени.
Заметим, наконец, что в наших опытах сегментации изображений
цепная развертка с фиксированным порогом в р-адической метрике
требовала в среднем в тридцать (!) раз меньше времени, чем стандарт-
стандартная процедура, и в шесть (!) раз меньше времени, чем LBG-процедура
(в благоприятных для LBG-процедуры условиях, а именно: 10 коэффи-
коэффициентов, 16 кластеров).
Мы предложили сегментировать изображения методами кластери-
кластеризации в спектральной области. Мы показали, что использование вы-
высокочастотных составляющих, а не только низкочастотных, приводит
к лучшей сегментации естественных изображений с текстурами. Вто-
Второй важный результат — использование в пространстве коэффициен-
коэффициентов БПФ р-адической метрики, приводящей к хорошей сегментации
с лучшей вычислительной эффективностью. Эта метрика позволяет
учитывать особенности человеческого зрения, в первую очередь, вы-
выделяя низкочастотные коэффициенты.

192	Гл. 8. О сегментации изображений
§ 8.6. m-адическая координатная сеть
Пусть га > 1 — произвольное фиксированное натуральное число.
Мы хотим ввести m-адическую координатную сеть на круге радиуса
R > 0 с центром в нуле. Пусть 0 < г < R — некоторый небольшой
радиус (таким образом, координатная сеть будет зависеть от параметра
дискретизации г). Координатная сеть — это множество натуральных
чисел
О ^ j < mN : j = 0, j = 1, . . . , j = ao + aim+. . . + адг_1ШДГ~1, . . . ,
j = mN~1 = (m - 1) + (ra - l)ra + . . . + (ra - ljm^.
Здесь N — это длина ветвей m-адической сети. Каждый элемент
этой сети может быть отождествлен с последовательностью х =
= olqoli . . . «n-ъ с*] = 0, 1, . . ., га — 1. Мы обозначаем множество таких
строк (= множество натуральных чисел 0 ^ j < mN) символом Zm^.
Сейчас мы произведем пространственную реализацию Zm^- Мы скон-
сконструируем га-адическое дерево следующим образом. Пусть
7г = Bтгг)/га, г = 0, . . . , т — 1.
На каждом луче 7г мы выберем точку А\ на расстоянии г и напишем
на этой точке число г (г = 0, . . ., га — 1). На следующем шаге мы
используем А{ вместо нуля и повторяем процедуру. После N шагов мы
получим га-адическое дерево такое, что все числа х Е Zm,N реализова-
реализованы как ветви этого дерева. Здесь N меньше чем Nint, первый момент
пересечения нового круга (радиуса г) с большим кругом (радиуса R).
Это га-адическая координатная сеть на круге. Можно конструиро-
конструировать более общие сети, если на каждом шаге выбирать новый радиус г:
г = п, г = Г2, • • • (например гь+\ = 1/2г^); га-адический шар
k
радиуса p~k — это все точки га-адической координатной сети, которые
лежат на ветвях, имеющих общий корень длины кг. Таким образом,
это все последовательности х Е Zrn^^ которые имеют фиксированный
начальный сегмент а$а\ . . . ak-i длины к.
Замечание. В математической модели мы можем продолжить
процесс построения га-адической координатной сети бесконечно долго.
Так мы получаем га-адическое представление плоскости. Это евклидов
образ кольца целых га-адических чисел Zm-множества всех рядов по
степеням га:
х = а0 + aim + . . . + aN-imN~1 + . . . ,
где коэффициенты aj = 0, 1, . . ., га — 1.
§ 8.7. m-адическое кодирование изображений
8.7.1. Кодирование. Предположим, что мы имеем некоторую кар-
картинку /, лежащую внутри круга радиуса R. Мы дискретизируем уровни
яркости и получим шкалу: /3 = 0, 1, ..., q — 1, где q > 1 — некоторое

§8.7. т-адическое кодирование изображений	193
натуральное число (которое, в общем случае, не имеет связи с га).
Для каждой точки, принадлежащей га-адической координатной сети на
круге, мы находим соответствующий уровень яркости. Таким образом,
каждой ветви х Е Zm,N ставится в соответствие последовательность
уровней яркости:
у = /Зо . . . /?N-i = f(x)
Так изображение / кодируется посредством отображения /:
8.7.2.	Сжатие изображений. Мы выбираем некоторый уровень яр-
яркости е = q~\ I < N. Конечно, е должно зависеть от класса рассмат-
рассматриваемых изображений. Мы кластеризуем изображение / = f(Zm^)
на шары радиуса е. Напомним, что различные га-адические шары фик-
фиксированного радиуса имеют пустое пересечение. Пусть это некоторые
шары и^\ . . ., U^\ В действительности такая кластеризация означает,
что мы обращаем внимание на яркость только первых / точек из каждой
ветви га-адического дерева и забываем о последующих точках. Мы
выбираем некоторые точки, принадлежащие этим шарам:
?/A) _ flU)	/qC1) g ttA)	At) _ o(t)	n{t)	jr{t)
У — Po •••Рм-1ьи I'-'iV — Po •••PN-lkzU
Мы полагаем fc(x) = y^ для каждого x E f~1{U^), k = 1, . . ., t.
Отображение /с: Zm,iv —>• {y^\ • • •? У^} является сжатием изображе-
изображения / (отображ:ения /).
8.7.3.	Реконструкция изображения. Пусть у нас есть некоторое сжа-
сжатие изображения /с: Zm^ ~^ {у ? • • •? У }• Мы долж;ны восстановить
исходное изображение /. Для каждого х Е /<Г1(г/^^) мы выбираем
некоторое у Е U?(y^) и полагаем frec(x) — У- Отображение /гес:
Zm,N -^ Zq^N рассматриваем как восстановление изображ:ения / на ба-
базисе сжатого изображения. Можно предложить различные алгоритмы
выбора точек у Е U?(y^).
А1. Перенумеруем (некоторым образом) точки, принадлежащие
/(Г1B/^^), и получим массив а^) = (a?i, . . ., хмк)- Также пере-
перенумеруем точки, принадлежащие шару U?(y^), и получим массив
у(к) = (у1? ^ Уьк)- Затем положим frec(xj) = Уз- Естественная нуме-
нумерация индуцируется представлением га-адической координатной сети
и g-адического массива яркостей в виде натуральных чисел.
А2. Если требуется оперировать большими массивами данных, мо-
может быть полезным использование случайного выбора. Выбираем слу-
случайным образом точку х Е /<Г1(г/^^), точку у Е U?(y^) и полагаем
frec(x) = У-
7 Хренников А.Ю.

194	Гл. 8. О сегментации изображений
Замечание. Для воспроизведения реконструированного изобра-
изображения мы могли бы использовать вместо отдельных точек отрезки ли-
линий. Если frec(aoai • • • ctN-i) = А) • • • Pn-i-, то на первом сегменте
ветви aoai . . . адг-i устанавливается уровень яркость /Зо и т. д.
§ 8.8. Программная реализация т-адического
кодирования и декодирования изображений
Была разработана программа, реализующая описанный выше
подход к га-адическому кодированию изображений с последующей
реконструкцией образов. В программе можно задавать различные
параметры преобразования — число шагов TV, число направлений т,
величину шага г, порог кластеризации е. Также можно указывать
дополнительный угол поворота 0, цвет заливки <т, радиус закраски р —
ниже будет дано описание этих параметров.
После каждого шага направляющие углы лучей изменялись на
угол #, т.е. после первого шага 7г = Bттг/т) + #; после второго
ji = Bтгг/т) + 29 и т. д. Такое добавление угла производится с целью
более полного покрытия изображения га-адическими деревьями. Ко-
Конечно, можно задавать и в = 0.
После построения m-адического образа картинки проводилась про-
процедура кластеризации с порогом е. Как уже отмечалось, эта процедура
сводится к разбиению на m-адические шары.
Поскольку в т-адических шарах все точки равноправны, в качестве
определяющей для кластера бралась просто первая точка кластера.
Таким образом, изображение кодировалось следующим образом: для
каждого кластера запоминалось га-адическое представление его пер-
первого элемента, затем для каждого числа от 0 до mN — 1 запоминался
номер кластера, к которому оно принадлежит.
Восстановление изображения. При декодировании изображения
бралось каждое число, проверялось, к какому кластеру оно принад-
принадлежит, и все точки ветви закрашивались в соответствии с цветами
кластера.
Легко видеть, что га-адическое кодирование с произвольными па-
параметрами не гарантирует, что каждая точка изображения попадет
хоть в одну m-адическую ветвь. Точки, расположенные в центре изоб-
изображения, почти наверняка попадут во многие ветви, многие точки
по краям — могут вообще не попасть. Поэтому при восстановлении
изображения использовались дополнительные параметры — цвет за-
заливки <т, радиус закраски р. Закрашивались вершины вместе с точками
в радиусе р. Цветом заливки заполнялись точки, не вошедшие ни в одну
ветвь, даже с учетом окрестностей ветвей.
Ниже приводится пример исходного изображения (рис. 8.3) и при-
примеры восстановленных после m-адической обработки изображений.
В наших примерах цвет закраски был белый, радиус равен 1.

§ 8.9. Сжатие изображений с использованием полиномов Малера 195
Легко видеть, что если шаг сетки (радиус г) мал, то изображе-
изображение восстанавливается только в центре картинки — как это видно на
рис. 8.4.
Рис. 8.3. Исходное изображение Рис. 8.4. Изображение с малым шагом
На рисунках 8.5, 8.6 радиус г составлял 15% от высоты картинки,
дополнительный угол равен тг/10. На рис. 8.5 представлено изображе-
изображение, восстановленное после кодирования при 4 направлениях (т = 4)
и 8 шагах (N = 8). На рис. 8.6 число направлений т = 2, число шагов
N = 16.
Рис. 8.5. Декодированное
изображение, т = 4, N = 8
Рис. 8.6. Декодированное
изображение, т = 2, N = 16
§ 8.9. Сжатие изображений с использованием
полиномов Малера
Представляется полезным (по чисто математическим причинам)
выбрать т = q = р > 1 — простое число. В этом случае изображение /
кодируется отображением /: ZPiN —> Zp^. Для функций / в кольце
р-адических целых Zp(f: Zp —» Zp) имеется хорошо развитый анализ.
Мы будем использовать следующий хорошо известный факт. Пусть /:
7*

196	Гл. 8. О сегментации изображений
Zp —t Zp — непрерывная функция. Тогда она может быть единствен-
единственным образом представлена в виде ряда Малера:
оо
f{x) = Y,fnC%, fnezp,	(9.1)
n=0
rp ( rp 	 1 \	/ rp 	 Y) _|_ 1 \
где С™ = —	—'' ,	 — биномиальные полиномы, а коэф-
п
фициенты /п = ? (~1)кСп{п — к)-
к=о
Это представление Малера может быть использовано для сжатия
изображений. Пусть картинка / закодирована посредством отображе-
отображения /: ZP:N —>• Zp^, которое является ограничением на натуральные
числа {0, 1, . . ., pN — 1} непрерывной функции /: Zp —> Zp. Такое пред-
полож:ение особенно естественно, если мы используем координатную
сеть с уменьшающимся радиусом г: rn = r/an, a > 1. В этом случае
р-адическая непрерывность согласуется с непрерывностью евклидовой
плоскости. По теореме Малера можно аппроксимировать / полиномом
Малера:
к=0
Мы сохраняем только первые коэффициенты Малера Д (которые явля-
являются целыми) как массив (/о, . . ., //) и реконструируем изображение /
как полином Малера:
Ik^j , J = U, 1, . . . ,р
к=0
Из математического анализа хорошо известно, что M/(/)(j) = /(j),
j = 0, 1, . . ., /. Если j > /, то в общем случае M/(/)(j) ф f(j). Но
Mi(f)(j) дает аппроксимацию /(j) при j —» оо. Если мы представим
натуральное число M/(/)(j) в р-адической форме и возьмем первые N
цифр р-адического разложения, мы получим аппроксимацию вектора
яркости /(j) = /?о • • • Pn-i-
§ 8.10. Образы и «графы» m-адических функций
Использование гтг-адических координатных сетей дает возможность
визуализации m-адических функций. Пусть /: Zm —» Zq — некото-
некоторая функция. Сначала мы рассмотрим ее ограничение на множество
Zm^ = {0, 1, . . ., mN~1} С Zm. Получаем /: Zm^ —>- Zq. Чтобы

§8.10. Образы и «графы» т-адических функций	197
создать отображение /: Zm^N —>• Zq^, используем канонический про-
проектор
ТГдг I Zq —>> Zq^N, ТГмЦЗо • • • Pn-1 • • •) = 00 • • • Pn-1-
Чтобы создать двумерный образ функции /: Zm —» Zq, мы устанав-
устанавливаем уровни яркости /?о • • . /Зла—1 в вершинах (или отрезках) ветви
. . . OLN-1-
Чтобы произвести граф, мы устанавливаем вертикальные отрезки длин
/Зо, • • •, Pn—i b точках (или сегментах) этой ветви.

Библиографические замечания
Начнем с обсуждения физических мотиваций математической тео-
теории, представленной в данной книге.
Обсуждение структуры пространства-времени на фантастиче-
фантастически малых планковских расстояниях имеет длинную историю (см.,
например, [10]). В связи с этой проблемой периодически возникали идеи
о различных вариантах неархимедовой структуры пространства-
времени на планковских расстояниях (см., например, [6], [103], [131]).
Неархимедовы физические модели вызвали большой интерес в связи
с развитием теории струн. Первая работа в этом направлении [132]
вызвала целую серию публикаций о р-адических струнах [3]-[5], [25],
[26], [28], [31]-[33], [89], [98], [124], [133]. В дальнейшем интенсивно
изучались более простые неархимедовы модели такие, как квантовая
механика и теория поля [51], [58], [59], [62], [64], [69], [72], [76], [112], [122],
[123], [127]-[130], [137]-[139].
Как уже отмечалось, во всех неархимедовых моделях переменные
принадлежат некоторому полю неархимедовых чисел К. В первом фор-
формализме [112], [113], [122], [123], [127]-[130], [137]-[139] действительное
пространство-время Я4 заменяется на /С4 (как правило, /С4 = Qp,
поле р-адических чисел), но волновые функции принимают обычные
комплексные значения. Во втором формализме [51], [58], [59], [62], [64],
[69], [72], [76] волновые функции принимают неархимедовы значения.
Данная книга посвящена математическим проблемам неархиме-
довозначной физики. Здесь развивается теория неархимедовозначных
распределений на неархимедовых пространствах конечной и бесконеч-
бесконечной размерности [64], [69]. Эта теория является основой формализма
неархимедова интегрирования по распределениям Гаусса и Фейнма-
на [69], [72]. Рассматриваются приложения к квантовой механике и тео-
теории поля [64], [69], [72].
Р-адическая вероятность и статистика возникли [67], [75] в связи
с проблемой статистической интерпретации квантовых теорий, в ко-
которых волновые функции принимают свои значения в квадратичных
расширениях полей р-адических чисел. Обычная теория вероятно-
вероятностей, основанная на колмогоровской аксиоматике [94], в данном случае
неприменима. Появляются новые неколмогоровские теории вероятно-
вероятностей [71].
В частности, р-адический белый шум служит важным примером
вероятностного распределения на неархимедовом пространстве беско-
бесконечной размерности [60].

Библиографические замечания	199
Теории обобщенных функций, принимающих значения в полях
неархимедовых чисел, рассмотренные в работах [64], [72], [69], носят
аналитический характер (пространства основных функций являются
различными пространствами аналитических функций). Это неархиме-
неархимедовы теории ультрараспределений. Использование обобщенных функ-
функций в математической физике позволило решить множество проблем
квантовой механики и теории поля с неархимедовозначными волновы-
волновыми функциями. Понятно, что это только первые шаги по применению
обобщенных функций в неархимедовозначной математической физике.
И возможно существенное продвижение в направлении работ [12]—[15],
[120], [121].
Мы рассмотрим более детально три работы [103], [6], [131],
которые являются ключевыми в развитии неархимедовой физики.
По-видимому, идея о неархимедовой структуре пространства-времени
в квантовой физике впервые была предложена в статье [103]. В ней
утверждалось, что существуют несоизмеримые пространственно-
временные интервалы, которые должны измеряться с помощью
р-адических чисел. Эта статья не нашла отклика у физиков и была
забыта. Авторы работы [6] пришли к применению р-адических чисел
в физике через формализм квантовой логики. Они связывали алгебру
высказываний с квантовым экспериментом и изучали проблему
алгебраической структуры линейного пространства, в котором
рассматривались представления соответствующей решетки квантовой
логики, а именно проблему выбора числового поля для этого
представления. Ответ на вопрос, касающийся возможности применения
поля р-адических чисел в квантовой логике, был отрицательным.
В связи с этим исследования, начатые в работе [6], были прекращены.
В 1987 г. И.В. Волович [131] начал изучать проблему неархимедовой
структуры пространства-времени на планковских расстояниях. Кроме
основных философских положений, ранее изложенных в [103], он
рассмотрел две конкретные физические модели: гравитацию и теорию
струн. Эти модели пробудили огромный интерес к неархимедовой
физике [3]-[5], [25], [26], [28], [31]-[33], [89], [98], [51], [58], [59], [62], [64],
[72], [76], [112], [113], [122], [123], [127]-[130], [137]-[139].
В качестве замечания к работе [6] стоит отметить, что неархиме-
довозначная квантовая физика, в принципе, не должна развиваться
в рамках стандартной аксиоматики (тогда как работа [6] — это, в сущно-
сущности, попытка построения неархимедовой физики в рамках стандартной
аксиоматики). Аксиоматика должна быть изменена, в частности, гиль-
гильбертова структура должна быть модифицирована. Такое изменение
аксиоматики было предложено в [51], [58], [59], [62], [64], [69], [72], [76],
где, в частности, было введено неархимедово гильбертово простран-
пространство и была построена новая неколмогоровская теория вероятностей,
в которой вероятности могли быть р-адическими числами. Было бы
очень интересно завершить исследования по неархимедовой квантовой

200	Библиографические замечания
логике, начатые в статье [6], используя новые результаты [51], [58], [59],
[62], [64], [69], [72], [76].
Р-адическая вероятность и стохастика [60], [67], [71], [75], [83],
[90]-[93], возникшие в р-адическизначной физике, могут найти приме-
применения в других естественных науках. Так, они могут использоваться
для описания стохастических моделей, в которых относительные ча-
частоты колеблются в поле действительных чисел, но стабилизируются
в одном из полей р-адических чисел. Появляется возможность получе-
получения из статистической выборки новой информации, недоступной «ве-
«вещественному» исследователю. В дополнение к обычной вещественной
информации, сконцентрированной в действительных вероятностях,
статистическая выборка может также содержать информационный
слой, соответствующий р-адическим вероятностям.
На теорию неархимедовозначных гауссовских и фейнмановских ин-
интегралов большое влияние оказали исследования в области обычного
бесконечномерного анализа [1], [11], [24], [37]-[45], [47], [48], [114]-[117],
где методы обобщенного интегрирования на бесконечномерных про-
пространствах также успешно использовались. Аналогичные методы были
разработаны при построении теории интегрирования для распределе-
распределений на суперпространствах [46], [49], [50], [52], [55], [56].
Неархимедова математическая физика оказала стимулирующее
влияние на развитие теории динамических систем над неархиме-
неархимедовыми (и, в частности, р-адическими) полями, см. монографию
А.Ю. Хренникова [79]. В этой монографии была также выдвинута идея
о возможности использовать р-адические динамические системы для
математического моделирования процессов мышления, см. также [81].
Построение р-адических моделей, описывающих работу мозга, привело
к пониманию того, что р-адическая метрика может использоваться
при обработке изображений [7], [54]. Здесь огромную роль сыграло
плодотворное сотрудничество автора с Ж. Бенуа, начавшееся еще при
выполнении НИСовских проектов по обработке космических снимков
в Московском институте электронной техники. Важнейшую роль
сыграло привлечение к реализации р-адического проекта Н. Котовича,
предложившего использовать алгоритмы ультраметрической класте-
кластеризации, разработанные топологом Е. Щепиным.

Открытые проблемы
Неархимедовозначные квантовые модели порождают большое чис-
число новых математических проблем в неархимедовом анализе.
1.	Математическая теория неархимедова гильбертова пространства.
Нами было предложено новое определение. В связи с этим определе-
определением возникает множество нерешенных проблем. Например, каковы
условия для последовательностей весов А = (Ап)и/л = (/in), индуци-
индуцирующих изоморфные гильбертовы пространства Н\ и Яд?
2.	Спектральная теория операторов в неархимедовых гильбертовых
пространствах. Аналог самосопряженного оператора, унитарного опе-
оператора. Эволюционные группы унитарных операторов.
3.	Неограниченность распределения Гаусса при р = 2.
4.	Связь между распределениями Лебега и Волкенборна.
5.	Интегрирование на бесконечномерных локально выпуклых про-
пространствах.
6.	Неархимедовы стохастические процессы и стохастические диф-
дифференциальные уравнения.
7.	Формула Фейнмана-Каца для дифференциальных и псевдо-
псевдодифференциальных уравнений.

Приложение
1. Разложение чисел относительно различных шкал. Так как нату-
натуральные числа являются простейшими из всех чисел, то с них мы и на-
начнем наши рассмотрения. Кроме обычного разложения относительно
шкалы т, гл. 1 C.3), которая соответствует измерительному процессу
с m-кратным возрастанием длины единицы 1, мы можем рассмотреть
следующее факториальное разложение:
п = ail! + a22! + . . . + апп\,	A.1)
где 0 ^ aj ^ j для j = 1, 2, . . ., п. Это разложение не так хорошо
известно, как обычное, гл. 1 C.3), поэтому мы докажем, что любое
натуральное число п может быть единственным образом разложено
в форме A.1).
Доказательство. Предположим, что п допускает два разложе-
разложения вида A.1). Тогда
п = ail! + a22! + . . . + апп\ = сг1\ + с22! + . . . + спп\.
Обозначим через к наибольшее натуральное число такое, что
ак ф с/с, например ск > а>к- Тогда ск — ак ^ 1 и
к\ ^ скк\-акк\ =
^ 14! + 2 • 2! + ... + (к - l)(jfe - 1)! = к\ - К jfe!.
А это невозможно.
Теперь обозначим через s натуральное число. Рассмотрим все раз-
разложения вида A.1) с п ^ s. Легко вычислить, что число их равно
A + 1)B + 1) • . . . • (s + 1)!. Поэтому число разложений, включающих
нулевое разложение, равно (s + 1)! — 1. Но различным числам со-
соответствуют различные разложения A.1). С другой стороны, любое
разложение A.1) с п $J s задает натуральное число 1-1! + 2-2! + ...
. . . + п-п\ = (п + 1)! —1 $J (s + 1)! —1. Таким образом, любое натуральное
число ^ (s + 1)! — 1 может быть представлено в виде разложения A.1),
где п ^ s.
Разложение A.1) можно рассматривать в качестве алгоритма из-
измерения, где единица 1 возрастает в п раз на п-м шаге. Для любого
натурального числа этот алгоритм прекращает работу через конечное
число шагов. Теперь аналогично рассмотрим возможность убывания 1
в п раз на n-м шаге. Если мы предположим, что этот «убывающий»

Приложение	203
алгоритм может иметь бесконечное число шагов, то получаем факто-
риальное разложение
х = ¦ ¦ ¦ + (FTT)T+ ¦ ¦ • + ^Г + ai ¦1! + • • •+ а" ¦n!' (L2)
где uj целые иО^а^,а_^ ^ L Как мы знаем, бесконечные алгоритмы
с фиксированным коэффициентом убывания 1 соответствуют действи-
действительным числам. То же справедливо и для алгоритмов A.2).
Можно рассмотреть и более общие «убывающие» алгоритмы с из-
изменяющейся шкалой. Пусть rai, 7712, ... — бесконечная последователь-
последовательность натуральных чисел > 1, х — действительное число. Бесконечные
последовательности cq, c_i, с_2, . . . и ж1? ж2, . . . определяются следую-
следующим образом:
с0 = [ж], х\ = х - с0, c_i =
х2 = mixi - c_i, с_2 = [гтг2ж2], . . . ,	A.3)
с_п = [тпхп], . . . , хп+1 = тпхп - c_n, n = 1, 2, . . .
Понятно, что 0 ^ жп ^ 1 и 0 ^ с_п ^ тп — 1. Алгоритм A.3)
соответствует разложению действительного числа ж вида
. . . • тп
Так как для п = 1, 2, . . . получаем гап ^ 2 и 0 ^ жп_1 < 1, последнее
слагаемое в A.4) неотрицательно и меньше чем 1/2п. Оно стремится
к нулю при п, стремящемся к бесконечности. Таким образом, мы имеем
разложение х в виде бесконечного ряда:
х = с0 + — + -^^- + . . . +	—	+ . . .	A.5)
?7li	ГП1ГП2	77117712 ' . . . ' 77ln
Если ran = n + 1, п = 1, 2, . . ., то оно совпадает с A.2), а если
ТЩ = Ш2 = • • • = 771, ТО С C.2) ГЛ. 1.
В факториальном случае алгоритм A.3) обладает интересным свой-
свойством, характеризующим рациональные числа. Можно доказать, что
если х рационально, то A.3) приводит к конечному разложению в ви-
виде A.2). Этот результат подтверждает наши рассуждения о поле Q
как множестве «физических чисел» и тот факт, что другие числовые
системы — это только идеализации, порожденные нашим воображе-
воображением. Для использования алгоритма A.3) в факториальном случае
нам необходимо только конечное число шагов измерения для любой
(рациональной) физической величины.

204	Приложение
Однако любое рациональное число допускает также бесконечное
представление в виде A.2). Это следует из тождества
х -
+	+ + + Сп
( l)! + к\ +•••+ 2! +со-
— + & + 2 , А; +1 с-д. - 1 c-(fc-i)	с_^
~'	(/с + 3)! (/с + 2)! (& + 1)!	А;!	' ' ' 2!	°'
Существуют и другие виды разложений действительных чисел. На-
Например, разложение относительно фиксированной шкалы, где в каче-
качестве основания рассматривается произвольное действительное число g,
g > 1, вместо натурального числа т. Например, мы можем рассмот-
рассмотреть шкалу, где коэффициент убывания 1 равен у/2. В этом случае мы
получаем расширение относительно степеней у2. Существуют также
отрицательные шкалы и изменяющиеся шкалы, где последовательность
777-1, Ш2 •> • • • зависит от действительного числа х.
Но если мы без особых проблем можем представить измерительный
процесс A.2), содержащий бесконечное число шагов убывания единицы
измерения 1, то также несложно представить и аналогичный процесс
с возрастанием 1:
Х = (Шу. +••• + ^г + *i • 1! + ••• + «п •"! + ••• A-6)
Данные алгоритмы измерения порождают новые алгебраические
структуры на основе поля рациональных чисел Q. Можно было бы
обобщить основные выводы данной книги на эти случаи. В настоящий
момент не ясно, в чем заключается основное различие между р-адиче-
скими (или га-адическими) физическими моделями и моделями, опи-
описываемыми A.5).
2. Аналог метода Ньютона.
Теорема2.1. Пусть F(x),x G Zp, — многочлен с коэффициентами
Fi G Zp. И пусть существует такое 7 G Zp, что
FG) = 0(modp2m), F;G) = O(mooV), F7G) ф 0(mod/+1),
где 6 — натуральное число. Тогда существует такое целое р-адическое
число а, что
F(a) = 0, a = 7(modp*+1).
Доказательство. Условие на производную многочлена можно
переписать в виде Ff(j) = up , где \и\р = 1. Будем использовать метод,
очень похожий на обычный действительный метод Ньютона.
Начиная с olq = 7 построим последовательность ао, с*1, . . ., CKn> • • •
с помощью процедуры итерирования:
F(an)	, ч
а-+1 = а» - F^y-	BЛ)

Приложение	205
Докажем, что все ап являются р-адическими целыми числами и
F(an) = 0(modp2m+n), п ^ 0,	B.2)
^n), rc^l.	B.3)
Будем доказывать B.2) и B.3) по индукции относительно п.
Пусть B.2) и B.3) выполняются для некоторого п ^ 0 (если п = 0, то
рассматриваем только B.2)). Так как ап = ao(modp^+1), то Ff(an) =
= F'(ao) = ups. Значит, F'(an) = unps, где |гх|р = 1. Следовательно,
используя B.2), получаем, что скп+1 является р-адическим целым
числом и an+i = c
Далее, разложим многочлен F(x) относительно степеней х — ап:
F(x) = F{an) + F'(an)(x - ап) + (х - anJG(x),
где G(x) — многочлен с р-адическими целыми коэффициентами. Пусть
х = an+i- Используя B.1), получаем
Значит, F(an+i) = 0(modp2J+2+2n). Таким образом, B.2) и B.3) вы-
выполняются для всех п.
Из B.3) получаем, что последовательность {ап}<^>=0 сходится. Обо-
Обозначим этот предел а. Очевидно, что а = а$ = ^(modp6^1). Бо-
Более того, из B.2) следует, что lim F(an) = 0. С другой стороны,
п—>-оо
lim F(an) = F(a). Таким образом, F(a) = 0.
Следствие 2.1. Пусть р(х) — многочлен с целыми р-адическими
коэффициентами и существует такое 7 ? Zp-> чт0
= 0(modp), F7G) / 0(modp).
Тогда существует такое а ? Zp, что
F(a) = 0, а = 7(
На компьютере несложно реализовать алгоритм нахождения квад-
квадратного корня. Такая программа была написана моим студентом
В. Безгиным. Можно вычислять квадратные корни для достаточно
больших р с практически произвольным числом р-адических цифр. На-
Например, дляр = 11: у/3 = 5268199439283491. . . Обозначим р-адические
цифры, соответствующие натуральным числам, большим 9, с помощью
букв английского алфавита: 10 = Л, 11 = Б, 12 = G, 13 = D и т.д.
Например, если р = 17, то \Д = 6EE8b4EE72FF. . . или л/13 =
= 93CG595?>507B3F..., или VIE = 7C6DF22A0F5... С помощью

206	Приложение
этой программы можно быстро показать, что в Q17 не существует квад-
квадратных корней из 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14. Например, мы можем выбрать
), Qi7( л/17) и Qi7(л/51) как все квадратичные расширения
3. Отсутствие дифференцируемых отображений из Qp в R.
Попытаемся определить дифференцируемые отображения между
банаховыми пространствами над р-адическим числовым полем
и действительным числовым полем. Результат будет отрицательным:
таких отображений не существует.
Теперь дадим определение линейного отображения между линей-
линейными пространствами, построенными над различными полями. Это
определение является частным случаем более общего определения
функтора между моделями (см. литературу по теории категорий).
Определение 3.1. Пусть В — банахово пространство над полем /,
a F — банахово пространство над полем К. Линейное отображение А
из В в F — это пара (A,g), где:
А — гомоморфизм аддитивных групп банаховых пространств В и F
такой, что А(х + у) = А(х) + А(у) для всех ж, у Е В;
g — гомоморфизм мультипликативных групп полей / и К такой,
что#(Ар) = g(X)g(p)-
гомоморфизмы А и g связаны следующим образом: А(Хх) =
= g(X)A(x) для ж е 5 и А е /, А / 0.
Теперь определим дифференцируемые отображения.
Определение 3.2. Отображение F: В —> F дифференцируемо
по Фреше в х Е В, если существует непрерывное линейное отображе-
отображение Dfx: В —> F такое, что для всех h E В выполняется равенство
F(x + h) = f(x) + Dfx(h) + o(ft),
где ||o(/i)||/||/i|| —> 0 при условии \\h\\ —> 0.
Теперь сформулируем основную теорему.
Теорема 3.1. Любое дифференцируемое по Фреше отображения
из Qp в R имеет нулевую производную; это верно и для отображений
QP ^Qr,P^r.
Доказательство. Обозначим символом А дифференциал Dfx,
и пусть g — ассоциированный гомоморфизм из мультипликативной
группы Qp в R. Тогда получаем
А(а + р) = А((а + /3I) = g(a
Так как АA) ф 0, то
Используя это равенство, получаем, что g{n) = n для любого
натурального п. Таким же образом уравнение g(m/m) = g*(l) = 1

Приложение	207
содержит g(x) = х для каждого положительного рационального х.
Рассмотрим теперь последовательность положительных рациональных
чисел
Эта последовательность сходится к 3 в Qp и к 1 в Д. Получаем
g( lim xn) = g(S) = 3,
тогда как
lim g(xn) = lim xn = 1.
n—)-oo	n—)-oo
Аналогично мы можем показать, что все отображения из Qp в С
имеют нулевую производную. Последнее утверждение можно доказать,
рассмотрев последовательность хп = рп.

Список литературы
1.	Альбеверио С, Хоэг-Крон П. (Albeverio S., Hoegh-Krohn P.)
Mathematical theory of Feynman path integrals. Lecture notes in
Math. — Berlin: Springer, 523 A978).
2.	Альбеверио С, Фенстад И., Хоэг-Крон П., Линдстрем Т. {Albe-
{Albeverio S., Fenstad /., Hoegh-Krohn P., Lindstrom Т.) Nonstandard
method in the stochastic analysis and mathematical physics. — L.:
Academic Press, 1990.
3.	Арефьева И. Я., Драгович Zx, Воловин И. В. (Arefeva I.Ya.,
Dragovic В., Volovich I. V.) On the p-adic summability of the an-
harmonic oscillator // Phys. Lett. B. 1988. T. 200, С 512-514.
4.	Арефьева И. Я., Драгович Б., Воловин И. В. (Arefeva I.Ya.,
Dragovic В., Volovich I. V.) Open and closed p-adic strings and
quadratic extensions of number fields // Phys. Lett. B. N. 1988.
T. 200, С 512-516.
5.	Арефьева И. Я., Драгович Б., Фрамптон П.Х., Воловин И. В.
(Arefeva I. Ya., Dragovic В., Frampton P.H., Volovich I. V.) The
wave function of the Universe and p-adic gravity // Int. J. of Modern
Phys. A. 1991. T. 6, № 24. С 4341-4358.
6.	Бельтраметти Е., Казинелли Г. (Beltrametti E., Cassinelli G.)
Quantum mechanics and p-adic numbers // Found. Phys. 1972. T. 2,
С 1-7.
7.	Бенуа-Пино Ж., Хренников А.Ю., Котович Н.В. Сегментация
образов в р-адической и евклидовой метриках // Докл. Акад.
Наук. 2001. Т. 381, № 5. С. 604-609.
8.	Березин Ф.А. Континуальный интеграл по траекториям в фазо-
фазовом пространстве // УФН. 1980. Т. 132, С. 497-548.
9.	Безгин В. В., Хренников А.Ю., Эндо М., Юко М. (Bezgin V. К,
Khrennikov A. Yu., Endo M., Uoko M.) Статистическая биологи-
биологическая модель с р-адической статистической стабилизацией //
Доклады Академии Наук. 1994. Т. 334, № 1. С. 5-8.
10. Блохинцев Д. И. Пространство и время в микромире. — М.: Нау-
Наука, 1982.

Список литературы	209
11.	Богачев В. И., Смоляное О. Г. Аналитические свойства бесконеч-
бесконечномерных распределений // УМН. 1990. Т. 45, С. 3-84.
12.	Боголюбов Я. Я, Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных
полей. — М.: Наука, 1984.
13.	Боголюбов Я. Я, Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиомати-
аксиоматического подхода к квантовой теории поля. — М.: Наука, 1969.
14.	Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н. (мл.) Введение в квантовую
статистическую механику. — М.: Наука, 1984.
15.	Боголюбов Н.Н., Медведев Б.Н., Поливанов М.К. Вопросы тео-
теории дисперсионных соотношений. — М.: Физматгиз, 1958.
16.	Борель Е. Вероятность и безусловность. — М.: Наука, 1970.
17.	Боревич 3. Я., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985.
18.	Чианчи Р., Хренников А. Ю. (Cianci #., Khrennikov A. Yu.) P-adic
superanalysis, 1. Infinitely generated Banach superalgebras and al-
algebraic groups // J. Math. Phys. 1993. T. 34, № 5. С 1990-1995.
19.	Чианчи Р., Хренников А.Ю. (Cianci R., Khrennikov A.Yu.)
P-adic superanalysis, 2. Supermanifolds and differential operators //
J. Math. Phys. 1993. T. 34, № 5. С 1995-1999.
20.	Чианчи Р., Хренников А. Ю. (Cianci R., Khrennikov A. Yu.) P-adic
superanalysis, 3. Super-Lie groups // J. Math. Phys. 1993. T. 35, № 3.
21.	Чианчи Р., Хренников А.Ю. (Cianci R., Khrennikov A. Yu.) Can
p-adic numbers be useful to regularize divergent expectation values
of quantum observables? — Preprint / Int. J. of Theor. Phys. —
Genova: Depart. Math., Univ. Genova, 1993.
22.	Чианчи Р., Хренников А.Ю. Неархимедовы суперполя // Изве-
Известия ВУЗов: Физика. 1993, № 11. С. 35-38.
23.	Крамер X. (Cramer H.) Mathematical theory of statistics. — Prince-
Princeton Univ. Press, 1949.
24.	Далецкий Ю.Л., Фомин СВ. Меры и дифференциальные урав-
уравнения в бесконечномерных пространствах. — М.: Наука, 1983.
25.	Драгович Б. (Dragovic В.) On signature change in p-adic space-
time // Mod. Phys. Lett. 1991. T. 6, № 25. C. 2301-2307.
26.	Драгович Б. (Dragovic В.) P-adic perturbation series and adelic
summability // Phys. Lett. B. 1991. T. 256, № 3/4. C. 392-396.
27.	Эскассут A. (Escassut A.) T-filters, ensembles analytiques et trans-
transformation de Fourier p-adique // Ann. Inst. Fourier. 1975. T. 25,
№ 2. C. 45-80.
28.	Фрамптон П.Х., Окада Ю. (Frampton P.H., Okada Y.) P-adic
string TV-point function // Phys. Rev. Lett. B. 1988. T. 60,
C. 484-486.

210	Список литературы
29.	Фреше М. {Frechet М.) Recherches theoriques modernes sur la
theorie des probabilities. — P.: Univ. Press, 1937-1938.
30.	Френель Дж., Матан Б. (Fresnel J., De Mathan B.) Sur la trans-
transformation de Fourier p-adique // С R. Acad. Sci. Paris, 1973. T. 277,
С 711-714.
31.	Фреунд П., Олсон М. {Freund P., Olson M.) Non-Archimedean
strings // Phys. Lett. B. 1987. T. 199, С 186-190.
32.	Фреунд Я., Виттен Э. {Freund P., Witten E.) Adelic string ampli-
amplitudes // Phys. Lett. B. 1987. T. 199, С 191-195.
33.	Жервейс flotc.(Gervais J.) P-adic analyticity and Virasoro algebras
for conformal theories in more than two dimensions // Phys. Lett.
B.	1988. T. 201, C. 306-310.
34.	Хида Т. Броуновское движение. — M.: Наука, 1987.
35.	Хида Т., Штрайт Л. (Hida Т., Streit L.) On quantum theory
in terms of white noise analysis // Nagoya Math. J. 1977. T. 68,
C.	21-34.
36.	Хида Т., Штрайт Л. {Hida Т., Streit L.) Generalized Brownian
functionals and the Feynman integral // Stoch. Process Appl. 1983.
T. 16, С 55-69.
37.	Хренников А. Ю. Уравнения с бесконечномерными псевдодиффе-
псевдодифференциальными операторами // Доклады Академии Наук СССР.
1982. Т. 267, № 6. С. 1313-1318.
38.	Хренников А. Ю. {Khrennikov A. Yu.) Some applications of Keller's
convergence structure to the nonlinear functional analysis // Abh.
Acad. Wiss. 1984. T. 2, C. 112-118.
39.	Хренников А. Ю. Теорема существования для решения бесконеч-
бесконечномерного уравнения Шредингера с квадратичным потенциа-
потенциалом // УМН. 1984. Т. 39, № 1. С. 163-164.
40.	Хренников А.Ю. Фундаментальные решения эволюционных
псевдодифференциальных уравнений // Дифф. уравнения. 1985.
Т. 21, № 2. С. 346-348.
41.	Хренников А.Ю. Дифференциальные уравнения в локально
выпуклых пространствах и эволюционные псевдодифференци-
псевдодифференциальные уравнения // Дифф. уравнения. 1986. Т. 22, № 9.
С. 1596-1602.
42.	Хренников А.Ю. Об одной теории обобщенных мер на гильбер-
гильбертовом пространстве // Вестник МГУ: Математика. 1985. Т. 2,
С. 81-83.
43.	Хренников А.Ю. Мера Фейнмана в фазовом пространстве
и символы бесконечномерных псевдодифференциальных опера-
операторов // Матем. заметки. 1985. Т. 37, № 5. С. 734-742.

Список литературы	211
44.	Хренников А.Ю. Интегрирование по обобщенным мерам на то-
топологических линейных пространствах // Труды моек, матем.
общества. 1986. Т. 49, С. 113-129.
45.	Хренников А.Ю. Вторичное квантование и псевдодифференци-
псевдодифференциальные операторы // ТМФ. 1986. Т. 66, № 3. С. 339-349.
46.	Хренников А.Ю. Суперанализ: обобщенные функции и псев-
псевдодифференциальные операторы // ТМФ. 1987. Т. 73, № 3.
С. 420-429.
47.	Хренников А.Ю. Бесконечномерные псевдодифференциальные
операторы // Известия Акад. Наук СССР: Математика. 1987.
Т. 51, № 6. С. 46-68.
48.	Хренников А.Ю. Фейнмановские меры на локально выпук-
выпуклых пространствах // Сиб. матем. журнал. 1988. Т. 29, № 4.
С. 180-189.
49.	Хренников А.Ю. Псевдодифференциальные уравнения в функ-
функциональном анализе, 1. Метод преобразования Фурье // Дифф.
уравнения. 1988. Т. 24, № 12. С. 2144-2154.
50.	Хренников А.Ю. Псевдодифференциальные уравнения в функ-
функциональном анализе, 2. Формула Фейнмана—Каца // Дифф.
уравнения. 1989. Т. 25, № 2.
51.	Хренников А. Ю. Квантование на неархимедовом суперпростран-
суперпространстве // Труды международной конференции «Актуальные про-
проблемы комплексного анализа». — Ташкент, 1989. № 129.
52.	Хренников А.Ю. Принцип соответствия в квантовых теориях
поля и релятивистской бозонной струны // Матем. сборник. 1989.
Т. 180, № 6. С. 763-786.
53.	Хренников А. Ю. Квантование поля бозонной струны и бесконеч-
бесконечномерных псевдодифференциальных операторов. Фиксирован-
Фиксированная мера // ТМФ. 1989. Т. 80, № 2. С. 226-238.
54.	Хренников А.Ю. Квантование бозонного струнного поля и нели-
нелинейное уравнение Клейна—Гордона // Известия ВУЗов: Физика.
1990. Т. 33, № 1. С. 56-60.
55.	Хренников А.Ю., Котович Н.В. Представление и сжатие изоб-
изображений с помощью га-адической системы координат // Докл.
Акад. Наук. 2002. Т. 387, Ж 2. С. 159-163.
56.	Хренников А.Ю. Функциональный суперанализ // УМН. 1988.
Т. 43, № 2. С. 72-114.
57.	Хренников А.Ю. Псевдодифференциальные операторы на неар-
неархимедовых пространствах // Дифф. уравнения. 1990. Т. 26, № 6.
С. 1044-1053.

212	Список литературы
58.	Хренников А.Ю. Представления Шредингера и Баргмана-Фока
в неархимедовой квантовой механике // Доклады Акад. Наук
СССР: Физика. 1990. Т. 313, № 2. С. 325-329.
59.	Хренников А.Ю. Представление вторичного квантования над
неархимедовыми числовыми полями // Доклады Акад. Наук
СССР: Физика. 1990. Т. 314, № 6. С. 1380-1384.
60.	Хренников А.Ю. (Khrennikov A.Yu.) Non-archimedean white
noise // Proc. Int. Conf. on Gaussian Random Fields, Nagoya. 1990.
T. 127.
61.	Хренников А.Ю. Псевдотопологические коммутативные супер-
супералгебры с нильпотентными духами // Матем. заметки. 1990.
Т. 48, С. 114-122.
62.	Хренников А.Ю. Квантовая механика над расширениями Галуа
числовых полей // Доклады Акад. Наук СССР: Физика. 1990.
Т. 315, № 4. С. 860-864.
63.	Хренников А.Ю. Формула Троттера для уравнений теплопро-
теплопроводности и Шредингера на неархимедовом суперпространстве //
Сиб. матем. журнал. 1991. Т. 32, № 5. С. 155-165.
64.	Хренников А.Ю. Математические методы неархимедовой физи-
физики // УМН. 1990. Т. 45, № 4. С. 79-110.
65.	Хренников А.Ю. Вещественно-неархимедова структура про-
пространства-времени // ТМФ. 1991. Т. 86, № 2. С. 177-190.
66.	Хренников А. Ю. Обобщенные функции на неархимедовом супер-
суперпространстве // Известия Акад. Наук СССР : Математика. 1991.
Т. 55, № 6, С. 1257-1286.
67.	Хренников А.Ю. Р-адическая вероятность и статистика // До-
Доклады Акад. Наук СССР : Математика. 1992. Т. 322, № 6. С. 1075-
1079.
68.	Хренников А.Ю. Бесконечномерное уравнение Лиувилля // Ма-
Матем. сборник. 1992. Т. 183, № 1. С. 20-44.
69.	Хренников А.Ю. Обобщенные функции и гауссовские конти-
континуальные интегралы по неархимедовым функциональным про-
пространствам // Известия Акад. Наук СССР: Математика. 1991.
Т. 55, № 4. С. 780-814.
70.	Хренников А.Ю., Эндо М. Неограниченность р-адического рас-
распределения Гаусса // Известия Акад. Наук СССР: Математика.
1992. Т. 56, № 4. С. 456-476.
71.	Хренников А.Ю. Аксиоматика р-адической теории вероятно-
вероятностей // Доклады Акад. Наук СССР: Математика. 1992. Т. 326,
№ 5. С. 1075-1079.

Список литературы	213
72.	Хренников А.Ю. (Khrennikov A. Уи.) P-adic quantum mechanics
with p-adic valued functions // J. Math. Phys. 1991. T. 32, № 4.
С 932-937.
73.	Хренников А.Ю. (Khrennikov А.Уи.) Analysis on p-adic super-
space, 1. Generalized functions: Gaussian distribution // J. Math.
Phys. 1992. T. 33, № 5. C. 1636-1642.
74.	Хренников А.Ю. (Khrennikov А.Уи.) Analysis on p-adic super-
space, 2. Differential equations // J. Math. Phys. 1992. T. 33, № 5.
C. 1643-1647.
75.	Хренников А.Ю. (Khrennikov А. Уи.) Non-archimedean theory of
probability: frequency and axiomatic theories. — Preprint / Depart.
Math., Univ. Genova. № 209. - Genova, 1992.
76.	Хренников А.Ю. (Khrennikov А.Уи.) P-adic valued quantiza-
quantization. — Preprint / Depart. Math., Univ. Genova. № 215. — Genova,
1992. To be published in Int. J. of Theor. Phys. 1993.
77.	Хренников А.Ю. О теории бесконечномерного суперпростран-
суперпространства: рефлексивные банаховы супермодули // Матем. сборник.
1992. Т. 183, С. 75-98.
78.	Хренников А.Ю. Формулы интегрирования по частям для
фейнмановских и гауссовских распределений на суперпростран-
суперпространствах // Известия Акад. Наук СССР: Математика. 1990. Т. 4,
С. 126-133.
79.	Хренников А.Ю. (Khrennikov А.Уи.) Non-archimedean analysis:
quantum paradoxes dynamical systems and biological systems. —
Dordrecht: Kluwer Academic, 1994.
80.	Хренников А.Ю. Некоммутативное дифференциальное исчисле-
исчисление и проективные тензорные произведения некоммутативных
банаховых алгебр // Доклады Акад. Наук СССР: Математика.
1991. Т. 321, С. 722-726.
81.	Хренников А.Ю. (Khrennikov А. Уи.) Classical and quantum men-
mental models and Freud's psychoanalysis // Ser. Math. Model in
Physics, Eng, Economy and Cogn. Sc, Vaxjo Univ. Press. 2001.
82.	Хренников А.Ю. Центральная предельная теорема для ква-
зигауссовского распределения на бесконечномерном суперпро-
суперпространстве // Теория вероятн. и ее применения. 1990. Т. 35,
С. 599-602.
83.	Хренников А. Ю. (Khrennikov А. Уи.) The theory of probability and
the theory of numbers // Com. Math. Univ. Sancti Pauli (Rikkyo
Univ.). 1992. T. 41, № 2. С 135-140.
84.	Хренников А.Ю. Процесс Винера-Фейнмана на суперпростран-
суперпространстве // Теория вероятн. и ее применения. 1993. Т. 38, № 3.

214	Список литературы
85.	Хренников А.Ю. Фундаментальные решения над полем р-адиче-
ских чисел. Алгебра и анализ // Ленинград, мат. журн. 1992. Т. 4,
№ 3. С. 248-266.
86.	Хренников А.Ю. Формула Фейнмана-Каца на фазовом су-
суперпространстве, 1 // Дифф. уравнения. 1992. Т. 28, № 8.
С. 1434-1443.
87.	Хренников А.Ю. Формула Фейнмана-Каца на фазовом су-
суперпространстве, 2 // Дифф. уравнения. 1992. Т. 28, № 9.
С. 1599-1607.
88.	Хренников А.Ю. Обобщенные функции с неархимедовыми зна-
значениями и их применения в квантовой механике и теории по-
поля // Анализ-3, Современная математика и ее применения /
ВИНИТИ. - М., 1993.
89.	Хренников А.Ю. (Khrennikov A.Yu.) Gauge connection between
real and p-adic space-time // Proc. of Marcel Grossman Meeting on
General Relativity, Kyoto. 1991 (Sato Ed.H., Nakamura T. Singa-
Singapore: World scientific, 1992. C. 498-500).
90.	Хренников А.Ю. Р-адическая теория вероятностей и ее приме-
применения. Принцип статистической стабилизации частот // ТМФ.
1993. Т. 97, № 3. С. 348-363.
91.	Хренников А.Ю. Статистическая интерпретация р-адически-
значной квантовой теории поля // Доклады Акад. Наук: Физика.
1993. Т. 328, № 1. С. 46-50.
92.	Хренников А.Ю. Р-адические статистические модели // Докла-
Доклады Акад. Наук: Математика. 1993. Т. 330, № 3. С. 300-304.
93.	Хренников А. Ю. Дискретные Qp-значные вероятности // Докла-
Доклады Акад. Наук: Математика. 1993. Т. 333, № 2. С. 162-164.
94.	Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. — М.:
Наука, 1974.
95.	Колмогоров А.Н. Логические основы теории информации и тео-
теории вероятностей. Logical basis for information theory and proba-
probability theory // IEEE Trans., IT-14. 1968. C. 662-664.
96.	Коноплева Н., Попов Н. Калибровочные поля. — M.: Атомиздат,
1980.
97.	Малер К. (Mahler К.) P-adic numbers and their functions // Cam-
Cambridge tracts in math. T. 76. — Cambridge: Cambridge Univ. Press,
1980.
98.	Махалдиани Н. Динамика числовых полей и проблема согласо-
согласованности пространства в теориях полей и струн. — Дубна, 1989.
99.	Мизес Р. Вероятность, статистика, истина. — М.: ГТТИ, 1933.
100. Мизес P. The mathematical theory of probability and statistics. —
L.: Academic, 1964.

Список литературы	215
101.	Монна А. (Моппа A.) Analyse non-Archimedianne. — N.Y.:
Springer, 1970.
102.	Монна А., Спрингер Т. (Моппа A., Springer T.) Integration non-
Archimedianne, 1, 2 // Indag. Math. 1970. Т. 25, С. 634-653.
103.	Монна А., Блий Ф. (Моппа A., Blij F.) Models of space and time
in elementary physics // J. Math. Anal. And Appl. 1968. T. 22,
С 537-545.
104.	Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. — М.: Наука, 1978.
105.	Попов В. И. Континуальные интегралы в квантовой теории поля
и статистической физике. — М.: Атомиздат, 1976.
106.	Шихов В. (Shikhov W.) Ultrametric calculus. — Cambridge: Cam-
Cambridge Univ. Press, 1984.
107.	Шихов В., Морита Я. (Shikhov W., Morita Y.) Duality of projec-
tive limit spaces and inductive limit spaces over a nonspherically
complete non-Archimedean field // Tohoku Math. J. 1986. T. 38,
№ 3. С 387-397.
108.	Шихов В. (Shikhov W.) P-adic nonconvex compactoids // Proc.
Konik. Ned. Acad. 1989. T. 92, № 3. С 339-342.
109.	Шихов В. (Shikhov W.) Topological stability of p-adic compactoids
under continuous injections // Reports of Catholic Uni. Nijmegen.
1986. № 8644.
110.	Шихов В. (Shikhov W.) Non-archimedean harmonic analysis. —
Nijmegen: Catholic Univ. Press, 1967.
111.	Славное А. А., Фадеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калиб-
калибровочных полей. — М.: Наука, 1988.
112.	Смирнов В. A. (Smirnov V.A.) Calculation of general p-adic Feyn-
man amplitude // Commun. Math. Phys. 1992. T. 149, С 623-633.
113.	Смирнов В.A. (Smirnov V.A.) Renormalization in p-adic quantum
field theory // Mod. Phys. Lett. 1991. T. 6, С 1421-1427.
114.	Смоляное О. Г., Шавгулидзе Е. Т. Континуальные интегралы. —
М.: Изд-во МГУ, 1990.
115.	Смоляное О. Г. Бесконечномерные псевдодифференциальные
операторы и квантование по Шредингеру // Доклады Акад.
Наук СССР. 1982. Т. 263, № 2. С. 558-561.
116.	Смоляное О. Г., Хренников А.Ю. Центральная предельная тео-
теорема для обобщенных мер на бесконечномерном пространстве //
Доклады Акад. Наук СССР. 1985. Т. 281, № 2. С. 279-283.
117.	Смоляное О.Г., Хренников А.Ю. Алгебра бесконечномерных
псевдодифференциальных операторов // Доклады Акад. Наук
СССР. 1987. Т. 292, № 6. С. 1310-1313.
118.	Смоляное О.Г., Фомин СВ. Меры на топологических линейных
пространствах // УМН. 1976. Т. 31, С. 3-56.

216	Список литературы
119.	Торнье Е. (Tornier Е.) Wahrtscheinlichkeitsrechnunug und allge-
meine Integrationstheorie. — Leipzing: Univ. Press, 1936.
120.	Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической фи-
физике. — М.: Мир, 1979.
121.	Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных
переменных. — М.: Наука, 1964.
122.	Владимиров В. С. Обобщенные функции над полем р-адических
чисел // УМН. 1988. Т. 43, № 5. С. 17-53.
123.	Владимиров В. С. О спектре безусловных псевдодифференциаль-
псевдодифференциальных операторов над полем р-адических чисел // Алгебра и ана-
анализ. 1990. № 2, С. 107-124.
124.	Владимиров В. С. (Vladimirov V.S.) On the Freund-Witten adelic
formula for Veneziano amplitudes // Lett. Math. Phys. 1993. T. 27,
C. 123-131.
125.	Владимиров B.C., Воловин И.В. Суперанализ, 1. Дифференци-
Дифференциальное исчисление // ТМФ. 1984. Т. 59, № 1. С. 3-27.
126.	Владимиров B.C., Воловин И.В. Суперанализ, 2. Интегральное
исчисление // ТМФ. 1984. Т. 60, № 2, С. 169-198.
127.	Владимиров В. С, Воловин И. В. Р-адическая квантовая механи-
механика // Доклады Акад. Наук СССР: Физика. 1988. Т. 302, № 2.
С. 320-322.
128.	Владимиров В. С, Воловин И.В. (Vladimirov V.S., Volovich I. V.)
P-adic quantum mechanics // Commun. Math. Phys. 1989. T. 123,
C. 659-676.
129.	Владимиров В. С, Воловин И.В., Зеленое Е.И. (Vladimirov V.S.,
Volovich I.V., Zelenov E.I.) P-adic numbers in mathematical
physics. — Singapoure: World Scientific Publ., 1993.
130.	Владимиров B.C., Воловин И.В., Зеленое Е.И. Спектральная
теория в р-адической квантовой механике // Известия Акад.
Наук СССР: Математика. 1990. Т. 54, № 2. С. 275-302.
131.	Воловин И. В. (Volovich I. V.) Number theory as the ultimate phys-
physical theory. — Preprint / CERN. № 4781/87. — Geneva, 1987.
132.	Воловин И.В. (Volovich I. V.) P-adic string // Class. Quant. Gra.
1987. T. 4, С 83-87.
133.	Воловин И.В. (Volovich I.V.) Harmonic analysis and p-adic
strings // Lett. Math. Phys. 1988. T. 16, С 61-64.
134.	Угланов А. В. Об одной конструкции фейнмановского интеграла.
1978. Т. 243, № 6. С. 1406-1409.
135.	Вудкок К. Ф. (Woodcock С. F.) Fourier analysis for p-adic Lipschitz
functions // J. London Math. Soc. 1974. T. 7, С 681-683.
136.	Вудкок К.Ф. (Woodcock C.F.) Convolutions on the ring of p-adic
integers // J. London Math. Soc. 1979. T 20, С 101-108.

Список литературы	217
137.	Зеленое Е. И. Р-адическая квантовая механика для р = 2 //
ТМФ. 1989. Т. 54, № 2. С. 253-263.
138.	Зеленое Е. И. (Zelenov E. I.) P-adic path integrals // J. Math. Phys.
1991. T. 32, С 247-251.
139.	Зеленое Е.И. {Zelenov E.I.) P-adic Heisenberg Group, Maslov In-
Index // Commun. Math. Phys. 1993. T. 155, С 489-502.
140.	Звонкий А. К., Левин Л.А. Сложность конечных объектов
и оправданность записи информации и случайности на основе
алгоритмов // УМН. 1970. Т. 25, № 6. С. 85-127.