А. Г. СИТЕНКО
ТЕОРИЯ
РАССЕЯНИЯ
(КУРС ЛЕКЦИЙ)
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов
физических специальностей
высших учебных заведений
Издательское объединение
«Вища школа»
Головное издательство
Киев — 1975

530.1
C41
УДК 530.145 (075.8)
Теория рассеяния (курс лекций). Изд. 2. С и -
т е н к о А. Г. Издательское объединение «Вища школа»,
1975, 256 с.
Второе издание книги существенно переработано и
дополнено по сравнению с первым изданием. Детально изло-
жен формализм функций Грина, рассмотрена связь между
функциями Грина и матрицей рассеяния. Значительно пол-
нее изложена теория дисперсных соотношений, рассмотрена
обратная задача теории рассеяния. Книга восполняет про-
бел, существующий между университетским курсом кван-
товой механики и современными оригинальными работами
по теории рассеяния, и может служить введением в теорию
ядерных реакций и теорию элементарных частиц.
Книга предназначена в качестве учебного пособия для
студентов и аспирантов физических факультетов универси-
тетов и инженерно-физических вузов. Она будет полезна
также преподавателям и научным работникам, работающим
в области теоретической ядерной физики.
Табл. 2. Ил. 28. Библиогр. 59.
Редакция литературы по математике и физике
Зав. редакцией А. С. Макуха
Ситенко Алексей Григорьевич
Теория рассеяния
(курс лекций)
Издание второе, переработанное и дополненное
Допущено Министерством высшего н среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов физических специальностей
высших учебных заведений
Издательское объединение «Вища школа»
Головное издательство
Редактор Л. И. Ващенко
Художественный редактор А. П. Щербаков
Технические редакторы И. И. Левченко, Л. Ф. Волкова
Корректор Т. Г. Щеголь
Сдано в набор 4. 03. 1975 г. Подписано к печати 1. 09. 1975 г. Формат
бумаги 60х901/и- Бумага тнп. № 2. Печ. л. 16. Уч. нзд. л. 15,57. Тираж
2000. Изд. № 2512. БФ 34463 Цена 79 коп. Зак. № 5—614.
Головное издательство издательского объединения «Вища школа»,
252054, Киев, 54, Гоголевская, 7.
Отпечатано с матриц Головного предприятия республиканского
производственного объединения «Полиграфкннга» Госкомиздата УССР,
г. Киев, ул. Довженко 3, в Киевской книжной типографии научной
книги, ул. Репина, 4. Зак. 5-783.
20408—171
158—75
М211 (04)—75
(С) Издательское объединение «Вища школа», 1975.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 5
Предисловие к первому изданию 6
Глава 1. Кваитово-механическое описание и представления
1.1. Квантово-механическое описание физических систем 7
1.2. Шредингеровское представление 9
1.3. Гайзенберговское представление 9
1.4. Представление взаимодействия 10
1.5. Временные функции Грина 11
Задачи 13
Глава 2. Матрица рассеяния и вероитность перехода
2.1. Матрица рассеяния 15
2.2. Оператор временного сдвига в представлении взаимодействия .... 17
2.3. Интегралы движения и диагонализация S-матрицы 20
2.4. Вероятность перехода за единицу времени 21
2.5. Интегральное уравнение для t-матрицы 24
2.6. Преобразование матрицы рассеяния. Сечения 25
Задачи 28
Глава 3. Стационарная теория рассеяния
3.1. Амплитуда рассеяния 31
3.2. Уравнение Липпмана-Швингера 34
3.3. Функции Грина G0 и G 36
3.4. Связь между амплитудой рассеиния и матрицей перехода 38
3.5. Неупругое рассеяние и реакции 40
3.6. Борновское приближение и теория возмущений 42
3.7. Высокоэнергетическое приближение 46
Задачи 48
Глава 4. Волновая функция частицы во внешнем поле
4.1. Разложение по парциальным волнам 56
4.2. Прямоугольная потенциальная яма 62
4.3. Кулоновское поле 64
4.4. Парциальные функции Грина и их связь с матрицей рассеяния .... 66
4.5. Метод фазовых функций 68
Задачи 71
Глава 5. Оптическая теорема
5.1. Связь между полным сечением и амплитудой упругого рассеяния ... 75
5.2. Соотношение унитарности для амплитуды упругого рассеяния .... 77
Задачи 78
Глава 6. Обращение времени и теорема взаимности
6.1. Преобразование волновых функций и операторов при обращении времени 80
6.2. Оператор обращения времени для конкретных систем 82
6.3. Обращенная во времени волновая функция 83
6.4. Теорема взаимности и детальное равновесие . 85
Задачи 88
Глава 7. Аналитические свойства матрицы рассеяния
7.1. Аналитические свойства радиальных волновых функций 88
7.2. Случай отличных от нуля моментов 93
7.3. Нули функции Иоста и связанные состояния 95
7.4. Симметрия и расположение особенностей матрицы рассеяния на комплек-
сной плоскости k 98
3

7.5. Связанные состояния и лишние нули 101
7.6. Квазистационарные состояния и резонансы 104
7.7. Виртуальные состояния 110
7.8. Матрица рассеяния в случае прямоугольной потенциальной ямы . . .111
Задачи 118
Глава 8. Дисперсионные соотношения
8.1. Интегральные представления функций Иоста 125
8.2. Теорема Левинсона 128
8.3. Комплексная энергетическая поверхность 129
8.4. Аналитичность матрицы рассеянии и принцип причинности 130
8.5. Дисперсионные соотношения для амплитуды рассеяния на нулевой угол 132
8.6. Дисперсионные соотношении для амплитуды рассеяния на произвольный
угол 136
Задачи 139
Глава 9. Комплексные моменты
9.1. Аналитические свойства матрицы рассеяния в плоскости комплексных
моментов 143
9.2. Полюса матрицы рассеяния в плоскости комплексных моментов . . . 148
9.3. Аналитические свойства амплитуды рассеяния в комплексной плоскости z 152
9.4. Асимптотическое поведение амплитуды рассеяния при больших значе-
ниях г 156
9.5. Дисперсионные соотношения по передаваемому импульсу 157
Задачи 159
Глава 10. Двойные дисперсионные соотношения
10.1. Представление Мандельстама 161
10.2. Спектральная плотность и условие унитарности 164
Задачи 167
Глава 11. Обратная задача теории рассеяния
11.1. Интегральные представления решений дли задачи рассеяния 171
11.2. Восстановление потенциала по фазам рассеяния 174
Задачи" 176
Глава 12. Сепарабельное представление амплитуды рассеяния
12.1. Амплитуда рассеяния вне энергетической поверхности 178
12.2. Разложение Гильберта-Шмидта для амплитуды рассеяния 180
12.3. Свойства собственных значений и собственных функций ядра уравнения
Липпмана — Швингера 182
Задачи 189
Глава 13. Рассеяние в системе трех частиц
13.1. Уравнения Фаддеева 194
13.2. Координаты и импульсы в системе из трех частиц 198
13.3. Импульсное представление 199
13.4. Разложение по парциальным волнам 202
13.5. Сепарабельное разложение двухчастичной t-матрицы и сведение интег-
ральных уравнений Фаддеева к одномерному виду 204
Задачи 209
Глава 14. Рассеяние частиц со спином
14.1. Спиновая волновая функция и матрица плотности 216
14.2. Разложение матрицы плотности по спин-тензорам 222
14.3. Амплитуда рассеяния частиц, обладающих спинами 227
14.4. Сложение спинового и орбитального моментов и диагонализация S-мат-
рицы 231
14.5. Рассеяние частицы со спином 1/2 на бесспиновой частице 236
14.6. Рассеяние частицы со спином 1 на бесспиновой частице ....... 243
Задачи 248
Приложение 254
Литература 255

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Второе издание книги существенно переработано и дополнено по
сравнению с первым изданием. Укажем на некоторые важнейшие из-
менения и дополнения в новом варианте книги.
Во-первых, в многочисленных дополнениях к старому тексту изло-
жен формализм функций Грина. Определены временые функции Грина
для нерелятивистского уравнения Шредингера и функции Грина для
стационарной задачи рассеяния; введены спектральные представле-
ния функций Грина и исследованы их аналитические свойства на ком-
плексной плоскости энергии; обсуждается связь между функциями
Грина и матрицей рассеяния.
Во-вторых, более детально рассмотрена теория возмущений в
применении к задачам рассеяния, а также некоторые другие прибли-
женные методы описания задач рассеяния (например, высокоэнерге-
тическое или эйкональное приближение, метод фазовых функций и др.).
В-третьих, существенно дополнены главы о простых дисперсион-
ных соотношениях и комплексных моментах. Приведено доказательст-
во дисперсионных соотношений для амплитуды рассеяния на произ-
вольный угол; более детально рассмотрены аналитические свойства
амплитуды на комплексной плоскости косинуса угла рассеяния; при-
ведено рассмотрение дисперсионных соотношений для амплитуды рас-
сеяния по передаваемому импульсу.
И наконец, введена новая глава, посвященная двойным диспер-
сионным соотношениям для амплитуды рассеяния. С помощью пред-
ставлений Мандельстама рассмотрены аналитические свойства ампли-
туды рассеяния от двух независимых переменных — энергии и переда-
ваемого импульса. Введена новая глава, посвященная рассмотрению
обратной задачи теории рассеяния. Рассмотрен также ряд новых задач.
В конце книги приводится список книг по квантовой механике и
теории рассеяния [1 — 111, в которых читатель сможет найти более
подробное изложение ряда вопросов, а также ссылки на оригинальные
работы. В отличие от первого издания в книге приведены'также некото-
рые ссылки на оригинальные статьи, которые однако не претендуют
на полноту и носят чисто иллюстративный характер.
Автор

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящая книга является расширенным изложением курса
лекций по дополнительным вопросам квантовой механики, прочитан-
ного автором для студентов Киевского государственного университе-
та, специализирующихся по теоретической ядерной физике. В лек-
циях изложены основы нерелятивистской теории потенциального
рассеяния. Изложение ведется на основе введения понятия матрицы
рассеяния. Подробно рассмотрены свойства матрицы рассеяния и ее
связь с физически наблюдаемыми величинами. Приведена стационар-
ная формулировка задачи рассеяния и рассмотрены волновые функции
частицы во внешнем поле. Сформулирована оптическая теорема, рас-
смотрено обращение времени и теорема взаимности. Детально иссле-
дованы аналитические свойства матрицы рассеяния, дисперсионные
соотношения, комплексные моменты, а также рассмотрено сепарабель-
ное представление амплитуды рассеяния. Рассмотрено рассеяние и
связанные состояния в системе трех частиц. В последнем разделе из-
ложена теория рессеяния частиц, обладающих спинами, и рассмотрены
поляризационные явления при рассеянии. Лекции восполняют пробел,
существующий между университетским курсом квантовой механики и
оригинальными современными работами по теории рассеяния, и могут
служить введением в теорию ядерных реакций и теорию элементар-
ных частиц.
Книга предназначается в качестве учебного пособия для студен-
тов и аспирантов физических факультетов университетов и инженерно-
физических вузов. Возможно, она окажется полезной также препо-
давателям и научным работникам, работающим в области теоретиче-
ской ядерной физики.
Автор выражает искреннюю благодарность В. Ф. Харченко за
помощь при написании § 12 и § 13, а также искренне благодарит
И. С. Доценко, П. В. Скоробогатова, В. К. Тартаковского и А. Д. Фур-
су за полезные замечания.
Автор

ГЛАВА 1
КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
1.1. КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В квантовой механике любой физической величине (динамиче-
ской переменной) сопоставляется некоторый оператор. Каждому опе-
ратору в свою очередь сопоставляется линейное уравнение, допуска-
ющее решение только при определенных собственных значениях
оператора. Соответствующие решения линейного уравнения носят на-
звание собственных функций. В квантовой механике обычно рассматри-
ваются эрмитовские операторы. Эрмитовским называется линейный
самосопряженный оператор, собственные значения такого оператора
вещественны.
Собственные значения эрмитовского оператора определяют воз-
можные значения физической величины и характеризуются определен-
ными квантовыми числами. Соответствующие собственные функции
описывают возможные состояния физической системы. На собственные
функции обычно накладываются определенные условия (конечность,
однозначность и непрерывность). Собственные функции эрмитовских
операторов "удовлетворяют также условиям ортонормируемости и
полноты.
В общем случае физическая система может характеризоваться
рядом динамических переменных. Состояние системы описывается
волновой функцией (вектором состояния) ψα (х), где α — индекс со-
стояния, т. е. набор собственных значений физических величин или
соответствующих квантовых чисел, которые определяют состояние сис-
темы, их — индекс представления, т. е. совокупность переменных,
от которых зависит волновая функция. Квадрат модуля волновой
функции ψα (#) непосредственно определяет вероятность пребывания
системы в определенной точке х для заданного состояния а.
Разложим волновую функцию ψα (х) по собственным функциям
некоторого оператора Q:
ψα(*) = Σ&Μ*)· (1-1)
Q
где q — собственное значение оператора Q. Предполагается, что функ-
ции \pq (х) образуют полную ортонормированную систему функций,
удовлетворяющую условию:
j" dx%· (x) tyg (х) = 6т-. (1.2)
Квадрат модуля коэффициента разложения сда характеризует вероят-
ность обнаружения значения величины q в состоянии а. Поэтому со-
вокупность коэффициентов разложения с& можно рассматривать как
7

волновую функцию состояния α в ^-представлении. Это становится
особенно наглядным, если воспользоваться обозначениями Дирака:
ψα(Χ)=3(Χ|α), Ψ9(λ:) = (Χ|<7) и cqai={q\a).
При этом равенство (1.1), описывающее переход от ^-представления в
лг-представление, можно переписать в виде
(*|α) = Σ(*|0)<ς|α>. (1.3)
Из (1.3) следует, что собственная функция оператора Q в представлении
х (х | q) ξ= ψ9 (д·) является функцией преобразования из представления
q в представление х.
Запись функции преобразования в виде (х \ q) подчеркивает сим-
метрию между индексом представления х и индексом состояния q. Не-
трудно убедиться, что функция, совершающая обратное преобразова-
ние, (q\x) совпадает с комплексно сопряженным выражением от функ-
ции прямого преобразования (х \ q)*. Действительно, умножим ра-
венство (1.3) на (x\q)* и проинтегрируем по х. Тогда в силу ортонор-
мированности функции (1.2) получим
(q\a) = §dx(x\q)*(x\a),
откуда, согласно определению функции преобразования, следует:
(q\x) = {x\q)*. (1.4)
Преобразование матриц операторов из одного представления в
другое непосредственно следует из (1.3):
<х'\0\х) =2<*\q'H<f\0\q)(q\x) (1.5)
и осуществляется теми же функциями преобразования.
В качестве примера функции преобразования можно привести
собственную функцию оператора импульса в координатном представ-
лении:
qP(r)^(r\p) = e^°r. (1.6)
Эта функция осуществляет преобразование из импульсного представ-
ления в координатное представление. Другим примером может слу-
жить собственная функция оператора момента в импульсном представ-
лении:
ψ,„ (η) = (и | lm) = Ylm (ft, φ), (1.7)
где η — единичный вектор в направлении импульса р. Функция
(1.7) осуществляет преобразование из представления, заданного зна-
чениями момента, в представление, задаваемое направлением движения
частиц.
Переход от одного представления к другому (т. е. переход от
одних независимых переменных к другим) называется каноническим
преобразованием. Канонические преобразования осуществляются уни-
тарными операторами. Физические свойства системы инвариантны
относительно канонических преобразований.
8

В квантовой механике кроме унитарных канонических преоб-
разований, соответствующих переходу от одних независимых перемен-
ных к другим, рассматриваются также унитарные преобразования,
описывающие изменение состояний физических систем с течением вре-
мени. В отличие от канонических преобразований в этом случае уни-
тарные операторы зависят от времени. При этом само изменение со-
стояния системы со временем представляется как результат действия
на волновую функцию унитарного оператора. Возможны различные
способы такого описания временного поведения физических систем,
называемые обычно представлениями. Эти представления, характери-
зующие временное поведение физических систем, не следует смешивать
с введеными ранее представлениями физических величин и состояний,
определяемыми выбором независимых переменных.
1.2. ШРЕДИНГЕРОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
В шредингеровском представлении операторы явно не зависят
от времени, и изменение состояния системы стечением времени опре-
деляется изменением волновой функции. Временная зависимость
волновой функции определяется уравнением Шредингера:
т-ЁШ=Нъ®, (1.8)
где Η — гамильтониан системы.
Временная зависимость волновой функции может быть описана с
помощью оператора временного сдвига R {t, 0):
ψ(0 = /?(*,0)ψ(0), ■ (1.9)
где ψ (0) — значение волновой функции в начальный момент времени
t =0. Из условия сохранения вероятности во времени
(Ψ(9.Ψ(0) = (Ψ(0).Ψ(0))
следует, что R — унитарный оператор
R+R=l. (1.10)
Из уравнения Шредингера (1.8) нетрудно получить следующее опе-
раторное уравнение для R (t, 0):
tft dR£'0) =HR(t,0) (1.11)
с начальным условием R(0, 0) = 1. Формальное решение оператор-
ного уравнения (1.11) можно записать в виде:
-±-т
R(t,0) = e h . (1.12)
1.3. ГАИЗЕНБЕРГОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Возможно альтернативное описание физической системы, когда
волновые функции не изменяются с течением времени, а изменяются
операторы, соответствующие физическим величинам.
Определим волновые функции в гайзенберговском представлении
так, чтобы они совпадали с волновыми функциями шредингеровского
9

представления в определенный момент времени, например / =0:
ψΗ = ψδ(0). (1-13)
Согласно (1.9), переход от шредингеровского представления к гейзен-
берговскому представлению будет осуществляться унитарным преоб-
разованием:
qH = R-1(t, 0)1* (0. (1.14)
При этом операторы в гайзенберговском представлении будут выра-
жаться через операторы в шредингеровском представлении посредством
соотношения:
Qh (t) = R"1 (t, 0) QSR (t, 0). (1.15)
Дифференцируя по времени (1.15) и учитывая (1.11), получим гей-
зенберговское уравнение движения, определяющее изменение опера-
тора в гайзенберговском представлении с течением времени:
Я-£-0н®=10н®,Щ. (1.16)
Операторы, коммутирующие с Н, не изменяются со временем и в
представлении Гайзенберга. В частности гамильтониан системы Η ос-
тается неизменным при переходе от шредингеровского представления к
гайзенберговскому представлению и наоборот.
1.4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Рассмотрим систему, состоящую из нескольких частей, взаимо-
действующих между собой. В этом случае гамильтониан системы удоб-
но разбить на две части:
H=H0 + V, (1.17)
где Н0 — гамильтониан без учета взаимодействия частей системы и
V — взаимодействие. В таких системах для описания изменения со-
стояния со временем удобно использовать представление взаимодей-
ствия.
Введем новую волновую функцию ψ/ (t) таким образом, чтобы
Ψ/ (0 = ЯГЧ0)гМ0, (1-18)
где оператор сдвига R0 (t, 0) является решением уравнения
Щд*°«-°> =HoRo(i,0) (1.19)
с начальным условием R0 (0,0) = 1. Формальное решение уравнения
(1.19) имеет вид:
RoQ,0) = e-TH'm (1.20)
Дифференцируя по времени (1.18) и используя уравнение Шредингера
(1.8), найдем уравнение движения в представлении взаимодействия
Μ-Ι£- = ν,(№,®, (1.21)
где Vi (f) — оператор взаимодействия в представлении взаимодействия
V, (t) = Β£* (*, 0) VsR0 (t, 0) = еТ "*Vse~T "** (1 -22)
10

Аналогичным образом определяется временная зависимость лю-
бого оператора в представлении взаимодействия
Q,(t) = eh Qse h . (1.23)
Дифференцируя это соотношение, найдем изменение оператора со
временем в представлении взаимодействия
itl-^rQI(t) = [Q1(i),H0]. (1.24)
Представление взаимодействия является промежуточным между
гайзенберговским и шредингеровским представлениями. Операторы в
представлении взааимодействия зависят от времени так же, как гайзен-
берговские операторы для системы в отсутствие взаимодействия, а из-
менение со временем волновых функций полностью обусловлено взаимо-
действием. В последующих главах индекс / у величин в представлении
взаимодействия будем опускать.
1.5. ВРЕМЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
Для описания временной зависимости волновых функций в шредин-
геровском представлении взамен оператора временного сдвига R (t, 0)
можно использовать запаздывающую и опережающую функции
Грина G<+> (t) и (7~> (t). "Эти функции обладают тем преимущест-
вом по сравнению с функцией временного сдвига, что их спектральные
представления допускают аналитическое продолжение в комплекс-
ной плоскости.
Запаздывающая и опережающая функция Грина G(+> (t) и G(—) (f)
определяются уравнением
(fft-| Я)С(±,(0 = 6(0, (1-25)
где δ (f) — обычная дельта-функция, и начальными условиями
G<+) (Л = 0 при t < 0,
. . (1.26)
G(_) (i) = 0 при / > 0.
Символически решения уравнения (1.25), удовлетворяющие начальным
условиям (1.26), можно представить в виде следующих операторов
0, /<0,
&+)«)=\ _J_„t (1.27)
σ->(η
—
ie
0,
ie
i
"T
i
τ
Ht
9
Ht
, t>
f<0,
t>0.
(1.28)
Так как в уравнение (1.25) и условия (1.26) не входят операторы,
не коммутирующие с Н, то функции G(+» (t) и G<~» (f) коммутируют с
гамильтонианом системы Н. Это непосредственно видно также из
11

явного вида выражений (1.27) и (1.28). Из эрмитовости Η следует,
что функции С(+) (t) и G(—) (t) удовлетворяют соотношению
G(-> (t) = [G(+) (f)]+. (1.29)
Функция G(+) (f) унитарна при t > 0, а функция G(—' (i) унитарна
при t < 0.
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что, если вол-
новая функция ψ (f) удовлетворяет уравнению Шредингера (1.8),
то оператор G(+> позволяет выразить волновую функцию ψ (f) в любой
последующий момент времени t' Z> t через ее значение в момент к
ψ (/') = i(?+) (f — 0 ψ (0, (1.30)
а оператор G(—> — в любой предыдущий момент времени f <C t:
ψ(0 = —Ι^-» (f —0ψ(0· (1-31)
Следовательно, оператор G(+) описывает временную эволюцию волно-
вых функций системы, характеризуемой гамильтонианом Н, в будущее,
а оператор G(~' —в прошлое. (Функции Грина G(+> (f) и G1-1 (0 назы-
вают также пропагаторами).
Если гамильтониан системы представляется в виде (1.17), то ана-
логично функциям G(+> (t) и Q-—) (t) можно ввести также запаздываю-
ную и опережающую функции Грина Go (0 и Go-' (^)для невозмущен-
пого гамильтониана Н0. Эти функции, подобно (1.27) и (1.28), можно
представить в виде
0,
Go+,(0={ -±-hj (1.32)
ie h
ie h
0,
i<0,
t>0;
i<0,
/>0.
G0-40 = i ie " ' Γ^υ· (1-33)
Используя уравнение (1.25) и условия (1.26) для функций G+) (t) и
Gl_> (f), а также аналогичные уравнение и условия для функций Go (t)
и G0_) (i)i нетрудно получить интегральное соотношение
со
G±} (t — f) = Go*' (i — f) + J ^"Go*' (i — Π 1/G(±) (Г — Г), (1.34)
CO
которое можно рассматривать в качестве интегрального уравнения,
определяющего функцию Грина С(+> (t) или G1-' (f) при заданном зна-
чении невозмущенной функции Грина G(0+) (/) или Go-' (0- Поскольку
функции Грина G±} (t) и Go*' (t) удовлетворяют условиям (1.26), то
в (1.34) интегрирование фактически производится в конечных пре-
делах. Поэтому уравнение (1.34) является интегральным уравнением
Вольтерра и, следовательно, имеет единственное решение.
12

Задачи
1. Найти собственные функции некоторого оператора q в собствен-
ном представлении.
Пусть собственное значение оператора q равно q0. Уравнение для
собственных функций оператора q в любом представлении имеет вид:
9Ф». = 9оФвь- (1-35)
В собственном представлении действие оператора q сводится просто
к умножению на величину q, при этом величина q является аргументом
волновой функции ·ψ9ο и может рассматриваться в качестве независи-
мой переменной выбранного представления.
Перепишем уравнение (1.35) в виде:
(<?-<?ο)ψ9„(<7) = 0. (1-36)
Из (1.36) следует, что %0 (q) =0 при всех q Φ q0. Отличное от нуля
значение функции %а (q), отвечающее значению аргумента q =q0,
можно нормировать произвольно, например, положить равным еди-
нице. Введя символ Кронекера, собственные функции оператора q в
собственном представлении таким образом можно записать в виде:
*М9) = 6«.· (1-37)
Очевидно, функции (1.37) образуют ортонормированную систему
Σψ;(<7)Ψ9'(<7) = δ9ο9<· (1-38)
Если величина q принимает непрерывный ряд значений, то под симво-
лом Кронекера в (1.37) следует понимать дельта-функцию
δ«;-»-δ(0 — <7о)·
2. Записать операторы радиуса-вектора и импульса, а также их
собственные функции, нормированные на дельта-функции, в коорди-
натном и импульсном представлениях.
В координатном представлении
.+. д
1 ~ГРсГ
4>rc\f) vyr r0), ψΡα[Τ)— e
(2ith)T
В импульсном представлении
.+. д
1 Грг°
4V. \Р) 3 е > Ψρο \Р) — °\Р — Ро)'
Юг,Ь\ 2
(1.39)
(1.40)
(1.41)
(1.42)
13

Операторы г и ρ имеют зеркальный вид (с точностью до знака) в кано-
нически сопряженных представлениях.
3. Показать, что собственные функции момента в координатном
и импульсном представлениях имеют одинаковый вид.
Запишем уравнение для собственных функций квадрата момента
и его проекции в произвольном представлении
где / и m — квантовые числа квадрата момента и его проекции. Оче-
видно, квантовые числа I и т характеризуют состояние физической
системы и не зависят от выбора представления. Явный вид операторов
Ж2 и Mz, так же, как и вид собственных функций, зависит от выбора
представления.
Определим вид оператора момента в импульсном представлении.
Для этого заметим, что операторы г и ρ входят симметрично (с точ-
ностью до знака) в выражение для оператора
М = гхр (1.44)
и что они имеют зеркальный вид (также с точностью до знака) в кано-
нически сопряженных представлениях (1.39) и (1.41). Подставляя
(1.39) и (1.41) в (1.44), таким образом найдем:
Mr = ~ihrx-gr, Mp = — Игр х -А-, (1.45)
т. е. операторы момента в импульсном представлении выражаются через
д
ρ и -=— точно так же, как они выражаются в координатном представ-
лении через г и -=—. Операторы квадрата момента и его проекции,
записанные в сферической системе координат, имеют вид:
* = ~ * Ш 4г (sin * ж) + ^ЧГТЙ · <! 46>
*. — *-£. (»-47>
где углы $ и φ характеризуют направление вектора г в координатном
представлении и направление вектора ρ в импульсном представлении.
Так как уравнения для собственных функций момента в коорди-
натном и импульсном представлениях имеют одинаковый вид, то и их
решения, отвечающие определенным значениям I и т, совпадают:
ψΖΙΒ (»,) = Ylm (»,), », = -£-; (1 -48)
%ш (Пр) = Ylm (»р), Пр = -£-, (1.49)
14

где Yimip) = Yim (ф.ф) — шаровая функция, т. е. угловая зависи-
мость собственных функций момента в импульсном представлении
такая же, как и в координатном представлении.
ГЛАВА 2
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА
2.i. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
Одной из основных задач квантовой теории является изучение
процессов взаимодействия частиц. Условимся в дальнейшем понимать
под частицей физическую систему, локализованную в пространстве
под действием внутренних сил.
При столкновении двух частиц вследствие взаимодействия между
ними возможно как упругое рассеяние, так и неупругие процессы
(неупругое рассеяние и различные реакции). Рассеяние называется
упругим, если при столкновении внутренние состояния сталкивающих-
ся частиц остаются неизменными. При неупругом рассеянии столкнове-
ние сопровождается изменением внутреннего состояния одной или
обеих сталкивающихся частиц. В случае реакции столкновение со-
провождается перераспределением частиц, т. е. в результате взаимодей-
ствия образуются частицы, по природе отличные от сталкивающихся
частиц. Мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением реакций, в
результате которых образуются только две частицы.
Процесс столкновения условно можно разделить на три этапа.
Начальный этап, когда сталкивающиеся частицы достаточно удалены
друг от друга, так что взаимодействием между ними можно пренебречь.
Второй этап, когда в результате сближения частиц между ними проявля-
ется взаимодействие, приводящее в конечном итоге к какому-либо про-
цессу. И, наконец, заключительный этап, когда частицы, образовавшиеся
в результате процесса взаимодействия, удаляются друг от друга на рас-
стояния, на которых можно пренебречь взаимодействием между ними.
Для описания процессов рассеяния и реакций удобно ввести опе-
ратор рассеяния S, матричные элементы которого образуют матрицу
рассеяния. (Оператор рассеяния S был введен Гайзенбергом [12]).
Матрица рассеяния связывает начальное состояние системы, соответ-
ствующее сталкивающимся частицам, находящимся на достаточно
большом расстоянии друг от друга, на котором взаимодействием между
ними можно пренебречь, с конечными состояниями, соответствующими
разлету образующихся частиц на большие расстояния, на которых
также можно пренебречь взаимодействием между ними.
Пусть ψ (—оо) — начальная волновая функция, характеризую-
щая относительное движение частиц и их внутренние состояния в
момент времени f=—оо, и ψ (оо) — конечная волновая функция,
описывающая систему частиц после столкновения в момент времени
t = оо. Матрицу рассеяния S можно определить соотношением
■ψ(°°) = 5ψ(— оо). (2.1)
15

Из условия сохранения вероятности следует унитарность матрицы
рассеяния
S+S=l, (2.2)
т. е. 5+ = S-'.
Очевидно, конечная волновая функция системы может совпадать
с начальной волновой функцией только в том случае, если состояние
системы не изменяется. Поэтому все возможные переходы в системе,
т. е. все возможные процессы рассеяния и реакций, будут связа~
ны с различием между конечной и начальной волновыми функциями
системы и будут описываться разностью указанных функций:
■ψ'(οο) = ψ(οο)— ψ(— οο) = $ψ(— οο), (2.3)
где
51 = 5—1. (2.4)
5 называют оператором перехода.
В общем случае произвольной реакции полный гамильтониан
системы Η удобно разбить на две части двумя способами:
Η = Н0 + V = Н'0 + V, (2.5)
где Н0 и Но — операторы, описывающие кинетическую энергию отно-
сительного движения и внутреннее движение соответственно сталки-
вающихся и разлетающихся частиц; V и V — потенциалы взаимо-
действия соответственно сталкивающихся и разлетающихся частиц.
Очевидно, в случае рассеяния (как упругого, так и неупругого) Н0 =
= ЯО и У =V.
Введем собственные функции операторов Н0 и Но'·
#θΨα = Εαψα И Н0Щ = £рфр, (2.6)
где Еа и Е$ — собственные значения Н0 и Но- Наборы функций φα и
Фр образуют полные ортонормированные системы, удовлетворяющие
условиям:
(ψα, Φα') = δαα-, (ψρ, фр-) = 6ρβ'. (2.7)
Отметим, что в случае реакций, когда природа сталкивающихся час-
тиц изменяется, системы функций φα и щ не ортогональны друг другу.
В случае рассеяния системы функций ψα и фр совпадают.
Вследствие ограниченности радиуса действия сил, действующих
между частицами, потенциалом V или V можно пренебречь соответст-
венно в начальном или конечном состояниях ψ (— оо) или ψ (οο).
Разложим волновые функции начального и конечного состояний
-ψ (— оо) и ψ (οο) соответственно по собственным функциям операторов
Н0 и Но:
ψ (_ оо) = 2 Сафа, Ψ («о) = 2 WP- (2-8)
α β
Подставляя эти разложения в (2.1), имеем:
cp = 25paca, (2.9)
а
16

где
5Ρα = (φρ, 5φα). (2.10)
Если система в начальный момент времени t =—со находилась в
определенном состоянии φα„, то коэффициент разложения в (2.8) равен
са =δαα„· Коэффициент разложения конечной волновой функции
ср в (2.8) характеризует вероятность обнаружения системы в состоянии
φρ после столкновения. Если са =6αα„, то
ср = 5РПо.
Таким образом, вероятность обнаружения системы после столкновения
в состоянии β, если первоначально система находилась в состоянии а,
равна:
M2 = |SPa|2. (2.11)
Из условия унитарности матрицы рассеяния (2.2) следует:
ΣI Spa Iя =1, (2.12)
β
т. е. сумма всех вероятностей равна единице.
Согласно (2.3), вероятность перехода системы из состояния α в
состояние β будет определяться элементом матрицы перехода Spa:
^α-β = |^ρα|2. (2.13)
Возможное состояние системы называют каналом реакции:а —
входной канал, β — выходной канал. Канал характеризуется энергией
относительного движения частиц и квантовыми числами, определяю-
щими внутренние состояния частиц. Очевидно, элементы матрицы
рассеяния Spa описывают связи между различными каналами в систе-
ме. В случае упругого рассеяния входной и выходной каналы совпа-
дают (а = β). Если же выходной канал отличается от входного (β φ a),
то имеет место неупругое рассеяние или же реакция.
Наглядную картину временного развития процесса можно по-
лучить, если ограничиться рассмотрением только процессов рассея-
ния, при которых природа сталкивающихся частиц не изменяется
(//„ = На и V = V). В этом случае матрицу рассеяния можно не-
посредственно связать с оператором временного сдвига в представлении
взаимодействия.
2.2. ОПЕРАТОР ВРЕМЕННОГО СДВИГА
В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Введем оператор временного сдвига в представлении взаимо-
действия U (t, t0), который переводит значение волновой функции от
момента времени t0 к моменту времени к
г])(0 = и(МоЖу. (2.14)
Согласно (1.21), этот оператор определяется уравнением
mdU(';to) =v{t)U{t,t0) (2.15)
2 5-614
17

и начальным условием
U(t0,t0)=l. (2.16)
Интегрированием по времени дифференциальное уравнение (2.15)
с учетом начального условия (2.16) сводится к интегральному уравне-
нию
*/(*Л)=1 j-ldrV(f)U(t',t0).
(2.17)
Методом последовательных итераций решение интегрального урав-
нения можно представить в виде бесконечного ряда
t t *,
U (t, Ы = 1+ (- x) J dt.V (/J + (- "f) i dt, J dt2V (y V (У + · · · =
= Σ (_ τΤ idii 1 d'2 ■ ■ · Τ d'"F ^ v {h) · ■ ■ v {tn)- (2·18)
Полученное разложение можно записать в более симметричной
форме, если воспользоваться определением хронологического упоря-
дочивающего оператора Р, введенного Дайсо-
ном [131:
Ρ (V (h) V(tJ...V (Q) = V (tt)V (t,) ... V «,),
ti>tj> .··>/,. (2.19)
Действие хронологического оператора Р на
некоторое произведение операторов, завися-
щих от времени, сводится к расположению
множителей в таком порядке, чтобы их вре-
менные аргументы убывали слева направо.
Применив к подынтегральному выраже-
нию в (2.18) операцию хронологического упо-
рядочения Р, все интегрирования в (2.18) мож-
но проводить по полному интервалу времени от t0 до t. При этом, однако,
вследствие симметрии интеграла относительно перестановок перемен-
ных интегрирования мы получим выражение в п\ раз больше требуе-
мого. В справедливости сказанного нетрудно убедиться на примере
двухкратного интеграла
U = ldtildtJ><y(tuV(t$.
Замечая, что хронологическое произведение, стоящее под знаком
интегрирования в /2, равно:
[V(tj)V(i^, k>t2,
область интегрирования в /2 удобно разбить на две области ^ > t2 и
к < h (Рис- !·) Тогда
t t, t U
/, = J dtx {dtjy (h) v (g + J dta J dty (y ν (у.
Рис. 1
18

Заменив переменные интегрирования (^ =?* 4) во втором слагае-
мом /2, получим
/.
= 2\[dtl\dLy(tl)V{Q.
2
k \
Аналогично можно рассмотреть и-кратный интеграл, входящий в (2.18).
Таким образом разложение оператора временного сдвига можно пред-
ставить в виде
оо t t t
и V, t0) = Σ -π [- τΤ i Λ1 i Λ· · · ■ i dt*p <F ft) v &> · · - y ft-»·
1=0 U h U
(2.20)
Формально суммируя бесконечный ряд (2.20), для оператора сдвига
получим следующее компактное выражение
t
U(t,t0) = Pe '" . (2.21)
Оператор сдвига во времени U (t, t0) является унитарным опе-
ратором и обладает следующим групповым свойством
U(t,t')U(t',t0) = U(t,t0). (2.22)
Это свойство непосредственно следует из вида (2.21).
Воспользовавшись определением оператора временного сдвига в
представлении взаимодействия (2.14), матрицу рассеяния можно
определить соотношением
S= lim U(i, g. (2.23)
/о-*—со
f-*oo
Согласно (2.21), имеем
-η- i diV®
S = Pe -°° , (2.24)
т. е. матрица рассеяния непосредственно выражается через оператор
взаимодействия сталкивающихся частиц в представлении взаимодейст-
вия
V{t) = eh Ve h . (2.25)
Обычно предполагается, что взаимодействие V (t) при t -*- =р оо «б-
ращается в нуль. Это требование можно обеспечить, сделав в (2.25)
формальную замену
V->Ve~e,n (ε>0) (2.26)
и переходя в окончательных результатах к пределу ε ->- 0. Заме-
на (2.26) означает, что взаимодействие адиабатически включается
при t = — оо и выключается при t = оо.
2* 19

Отметим, что представление S-матрицы в виде (2.24) справедливо
только для процессов рассеяния, когда V = V. В случае процессов с
перераспределением частиц, когда взаимодействие в выходном канале
V отличается от взаимодействия во входном канале V, формула (2.24)
не имеет места. Однако путем несложного обобщения можно получить
явное представление S-матрицы и для этого случая. Действительно,
в силу симметрии процесса относительно входного и выходного кана-
лов момент времени, до которого существенно взаимодействие V и
после которого играет роль V", всегда можно выбрать за нуль. Сле-
довательно, можно считать, что развитие процесса в интервале времени
от — со до 0 определяется взаимодействием во входном канале V, а
развитие в интервале времени от 0 до со будет определяться взаимо-
действием в выходном канале V'. Учитывая групповые свойства опе-
ратора временного сдвига (2.22), матрицу рассеяния для процесса с
перераспределением частиц можно представить в виде
S^Pe ° '. (2.27)
При этом предполагается, что V if) обращается в нуль при t-*- — со,
а V (0->0 при t-+ со.
23. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ
И ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ S-МАТРИЦЫ
Интегралами движения в квантовой механике называются ди-
намические переменные, операторы которых Q удовлетворяют условию
-^- = 0. (2.28)
В шредингеровском представлении это условие означает:
^--7Г + Тггё.Я1 = °- (2'29)
Если Q явно не зависит от времени, то условие (2.29) сводится к тре-
бованию коммутативности оператора Q с гамильтонианом системы
[Q, Н\ = 0. (2.30)
Согласно (1.16), условие (2.30) автоматически приводит к выполнению
условия (2.28) и в гейзенберговском представлении. В представлении
Гч /ч Гч Λ
взаимодействия из (2.30) следует [Q, Н0]= — [Q, V] и, так как левая часть
не зависит от V, то [Q, V] = 0. Воспользовавшись определением мат-
рицы рассеяния (2.24), легко видеть, что при этом и
[Q, S] = 0. (2.31)
Коммутирующие операторы одновременно приводятся к диаго-
нальному виду. Поэтому, выбирая в качестве индексов α и β интегралы
20

движения системы q (например, энергию, момент количества движения,
изотонический спин и др.), S-матрицу можно привести к диагонально-
му виду:
Spa=(Y'|S*|Y>6W', (2.32)
где у — другие квантовые числа за исключением q.
Заметим, что не все интегралы движения коммутируют между
собой, поэтому в качестве α нельзя выбрать одновременно все интегра-
лы движения.
Можно показать, что S-матрица не зависит от интегралов дви-
жения, которые изменяются при преобразованиях, оставляющих
неизменным гамильтониан системы. Например, S-матрица в случае
центрально симметричного поля не может зависеть от проекции полного
момента системы. Действительно, S коммутирует со всеми проекциями
полного момента системы /.
V. S] = 0.
Обозначим проекцию момента на ось г через т. Запишем условие ком-
мутации матрицы рассеяния и проекции момента 1Х:
Ιβ = SIX,
в матричном виде
Σ <т' | /х | т") (т'У | S | ут) = Σ (т'у' \ S \ ут!') (nf | Ix \ т). ■
т" т"
Так как (m'V | S \упг) = (у' \ Sm |v)6mm', το
(m'\Ix\m)(y'\Sm\y) = (y'\Sm'\y)(m'\Ix\m).
В выбранном представлении матричный элемент 1Х не диагоналей
(т φ т), поэтому Sm не зависит от т.
Указанное свойство S-матрицы является непосредственным след-
ствием изотропии пространства. Действительно, Spa определяет
вероятность перехода системы и не может зависеть от выбора системы
координат, в то же время проекция момента изменяется при повороте
системы координат. Аналогичным образом можно показать, что матрица
рассеяния S не может зависеть от полного импульса системы, от проек-
ции изотопического спина системы и т. д.
2.4. ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА ЗА ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ
Определим вероятность перехода системы из одного состояния в
другое за единицу времени. Используя определение (2.4) и замечая,
что энергия является интегралом движения, матрицу перехода запишем
в виде
$βα = — 2ш7Раб (Еа — £р), (2.33)
где матричный элемент iga соответствует состояниям α и β, относя-
щимся к одной и той же энергии; t$a — матричный элемент на энер-
гетической поверхности. Множитель — 2ш" в (2.33) выбран из сообра-
жений удобства.
21

Вероятность перехода для бесконечного интервала времени
й?а-*р, согласно (2.13), равна:
Wa^ = (2л)21 t^ f {δ (Εа - £р)}а =
I
τ
1 С 4" <Εα-Εβ"
= (2π)21 fa |2 δ (£α - Ер) lira -^- j Λβ»
= -^ЧЫаб(£а-£Р)НтГ.
Вероятность перехода за единицу времени wa^ найдем, разделив
полную вероятность Wa-+$ на полное время перехода Т:
wa^ = -^-\fa\z6(Ea-E^). (2.34)
Если конечное состояние системы относится к непрерывному спектру,
то вероятность перехода, в результате которого конечное состояние
системы оказывается в элементе фазового объема ΔΓβ, равна
Δα^β = -|4/βα|2δ(£α-£β)ΔΓβ. (2.35)
Вводя число конечных состояний, отнесенное к единичному интер-
валу энергии,
ΔΡβ = ^ (2-36)
и выполняя в (2.35) интегрирование по энергии с учетом дельта-функ-
ции, для вероятности перехода за единицу времени получим следую-
щую формулу:
Δα^ρ = -|4*βα|2Δρρ, £β = £α. (2.37)
Сечение процесса σα_>β определяется как отношение вероятности пе-
рехода в единицу времени ω>α->β к плотности падающего потока /0:
σα.β = -^. (2.38)
'ос
В качестве примера переходов в непрерывном спектре рассмотрим
рассеяние частиц. В этом случае начальное и конечное состояния α и β
отвечают определенным значениям импульса относительного движения
частиц ρ =hk и ρ' =hk' (оставшиеся квантовые числа обозначим
через у и γ*). Соответствующие функции относительного движения
выберем в виде плоских волн
Фк = eikT и qv = eik'T. (2.39)
Функции (2.39) нормированы на единичную плотность частиц. Плот-
hk
ность падающего потока в этом случае равна ]а = , где μ — приве-
22

денная масса сталкивающихося частиц. Полная энергия системы равна
Ь2Ь2
£а =-!— 1- Еу, где Εν — внутренняя энергия сталкивающихся час-
тиц. Число конечных состояяний в единице объема (плотность конеч-
Ak' h2k'z ' ,
ных состояний) равноДГр = ,2π3, .Так как £β =~ъ? l·E■t,гдeμ —
приведенная масса и Еу — внутренняя энергия разлетающихся частиц,
то плотность конечных состоояний, отнесенная к единичному интервалу
энергии, равна:
ДРр= (2£)»Μ А°'
где Δο — элемент телесногоо угла. Используя (2.37) и (2.38), получим
следующую формулу для дифференциального сечения рассеяния
doy^y-, отнесенного к элеиегнту телесного угла do:
da^y = -iSir -τ Ι <*'?' 111 yk> I2 d0· (2·40)
где {k'\t\k) — матричный элтемент оператора перехода по состояниям
(2.39), а величины k и k' свячзаны законом сохранения энергии
*2*24f^=4^ + £; (2.41)
2μ "™ "* 2μ'
Часто бывает удобнее исппользовать другую нормировку состояний
(2.39), а именно волновые φ »ункции нормировать на дельта-функцию от
энергии. Обозначим соответствующие волновые функции через ψ£« и
ф£'и', где Ε и Е' — кинетичееские энергии частиц и га и га' —единичные
векторы в направлении k и ft'. Условие нормировки запишем в виде
J dnp'B.a-ς»» = δ (Ε —Ε') δ (га — га'). (2.42)
Очевидно функции ψΕη отдличаются от фк только нормировочным
множителем
Ч>Еп = Сфк. (2.43)
Замечая, что
f йгфк-(Д)к = (2π)3δ (k — k'),
и учитывая равенство
δ (k - к') = -^^гб <£ - £')б (" -"')·
найдем
Обозначим матричный элемеент оператора перехода t по состояниям
ф£л и фя-я- через (n'E'\t\EnJ. Формула для сечения рассеяния (2.40)
при этом может быть представлена в виде
*W= -^-\(n'Y\t\yn)\'do. (2.45)
Заметим, что индексы Ε и Е" возле матричного элемента t можно опус-
тить, поскольку энергии Ε и Е' связаны соотношением (2.41).
23

2.5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ t-МАТРИЦЫ
Используя разложение матрицы рассеяния в ряд по степеням
взаимодействия, можно установить интегральное уравнение для опре-
деления оператора перехода t. Действительно, согласно (2.23) и (2.18),
матрицу рассеяния можно записать в виде ряда
S = Σ Sim,
п=0
SM= (- τ)" Ι ^ f dt* ■ ■ ■ V Λ*ν W V(tj ...V (tn), (2.46)
где взаимодействие V (f) определяется формулами (2.25) и (2.26). Раз-
ложение (2.46) перепишем в матричном виде:
Spe=Ssg2, (2.47)
п=0
при этом в качестве состояний α и β выберем собственные состояния
невозмущенного гамильтониана Н0.
В нулевом приближении имеем:
S£ = fie*. (2.48)
Первый член разложения равен:
S&--X Ute* β (P|V|a>-
= — 2шб (£·„ — £„) (β / У J a). (2.49)
Поскольку при вычислении (2.49) особенности отсутствуют, то пара-
метр ε можно сразу устремить к нулю. Выражение (2.49) представ-
ляет собой матричный элемент первого порядка обычной теории воз-
мущений.
Второй член разложения с помощью введения промежуточных со-
стояний γ представим в виде:
&-(~$ъ] *******
X \ dt#h (V\V\y)(y\V\a). (2.50)
Так как
Г. I 4" (Ey-Ea)h
Г "Г (Ey-E^h-ε It, I t. еЬ
24

(при /j > 0 для доказательства (2.51) необходимо воспользоваться
тождеством x_fe = fe + 2ш'б (*)), то
S& = -2ni6(Ea-Ed% ρ _g ■ t-e (Р|У1у)(у|У/а) =
v pa-pv + fe
1
= -M(£B-£p)(PF E.-H. + * V
a). (2.52)
Аналогичным образом нетрудно вычислить матричные элементы
следующих членов разложения (2.46), и в результате матрицу рассея-
ния можно привести к виду:
Spa = б„р - 2шб (£« — £р) (β \t I a), (2.53)
где оператор перехода на энергетической поверхности t представляется
в виде бесконечного ряда:
t=V + V-e—L-—V+V-E—лЦг^-У,, J , . V+ ··· (2.54)
Непосредственной проверкой легко убедиться, что бесконечный ряд
(2.54) эквивалентен следующему интегральному уравнению:
*-У+УЕ-Н. + Ь*' 8-°· <2·55>
Как было показано ранее, матричные элементы оператора перехода
полностью определяют вероятности переходов в системе. Поэтому зада»
ча о рассеянии частиц формально может быть сведена к решению инте-
грального уравнения для оператора перехода t.
2.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ. СЕЧЕНИЯ
Остановимся несколько подробнее на вопросе о том, как связана
матрица рассеяния с экспериментально наблюдаемыми величинами,
например, сечениями, угловыми распределениями и т. п. Мы видели,
что квадрат модуля элемента матрицы рассеяния Spa связан с вероят-
ностью перехода системы из какого-либо начального состояния α в
конечное состояние β. Если в качестве величин α и β выбрать углы,
определяющие направления движения частиц, то квадрат модуля
•Spa будет характеризовать вероятность обнаружения частиц, движу-
щихся в определенном направлении.
Однако очень часто оказывается, что вид матрицы рассеяния легче
установить в представлении, отличающемся от того, которое непосред-
ственно связано с измеряемыми величинами. Так, законы сохранения
налагают определенные ограничения на вид матрицы рассеяния. Если
в наборы аир входят квантовые числа, отвечающие интегралам движе-
ния, то по ним матрица рассеяния диагональна. Поэтому, если нас ин-
тересует характер углового распределения, обусловленный законами
сохранения, мы должны перевести матрицу рассеяния из представле-
ния, заданного квантовыми числами интегралов движения, в представ-
ление, задаваемое углами.
25

Преобразование S-матрицы, заданной одним набором квантовых
чисел, BS-матрицу, заданную через другой набор, определяется общей
формулой (1.5). В частности, переход от представления, характери-
зуемого моментом количества движения, к представлению, задаваемо-
му углами вылета частиц, определяется выражением
(ra'|S|ra) = Σ {n'\l'm')(l'rn'\S\lm){lm\n), (2.56)
Iml'm'
где в качестве функций преобразования следует взять
(«' | I'm') = YVm- (га'), Um I га) = У'ш (га).
Учитывая диагональность S-матрицы
<l'nt\S\lm) = S,6u.6mm.,
а также тот факт, что в случае центрально симметричного поля вели-
чина элементов S1 не зависит от проекции момента т, и используя фор-
мулу сложения шаровых функций
Σ Y'lm И Уш («') = -Щ^ Ρi (cos Щ (2.57)
m=—l т
(■θ — угол между векторами га и га'), найдем:
(га' / S | га) = Jj- Σ (21 + 1) S'P, (cos θ). (2.58)
В случае неупругого перехода эта формула перепишется в виде
(»'β | S | осп} = -±- Σ (21+ 1) S^P, (cos #), (2.59)
где α и β — совокупности всех других квантовых чисел, определяющих
начальное и конечное состояния.
Матрица перехода t связана с матрицей рассеяния S на энергетиче-
ской поверхности соотношением:
5=1 — 2яЙ. (2.60)
Таким образом, согласно (2.45), получим:
^α-β = 1#Г
Σ (21 + 1) (δαβ - S^) P, (cos fl) Γ do. (2.61)
Эта формула определяет угловое распределение продуктов реакции
при произвольном переходе системы из состояния α в состояние β.
Полагая β = α, из (2.61) найдем дифференциальное сечение упру-
гого рассеяния
z
doe = -i-1Σ (21 + 1) (1 - Slm) Pi (cos V)
№
do. (2.62)
Интегральное сечение упругого рассеяния найдем, проинтегрировав
(2.62) по углам
ое = 4- Σ (2/ + 1) |1 - Si» Is. (2.63)
26

При этом мы использовали условие ортонормировки полиномов Ле-
жандра
{ doPt (cos fl) Pv (cos Щ = 2/4^t δ„-. (2.64)
Интегрируя (2.61) по углам и суммируя по всем конечным состоя-
ниям β, отличным от начального (β φ α), найдем полное сечение реак-
ций
й«
σ, = £ Σ' (2/ + 1) Σ ISfc, p. (2.65) #*fl««
Λ i=o β+«
Воспользовавшись условием унитарнос-
ти матрицы рассеяния (2.12), сечение
реакций ог нетрудно выразить через
диагональный элемент матрицы рассея-
ния SL:
οΓ = ~Σ(21 + 1)(\-\Ξ^\Ζ). (2.66)
i=0
(гм)ккг
Следовательно, задание диагонального
элемента матрицы рассеяния s'aa пол-
ностью определяет как сечение упруго-
го рассеяния ое, так и сечение реакций
(сечение всех неупругих процессов) аг.
Согласно (2.63) и (2.66), сечение уп-
ругого рассеяния ае и сечение реакций
ог представляются в виде сумм парци-
альных сечений а1е1) и cl'\ описываю-
щих соответственно упругое рассеяние и реакции в состоянии с опре-
деленным моментом I.
σ. = 2σ?. of = -^-(2l+l)\l-SL\z; (2.67)
σ, = Σ<#1. o«=-^-(2/ + l)(l-|S4a|a). (2.68)
Сечение реакций (2.66) обращается в нуль, если модуль диагональ-
ного элемента матрицы рассеяния равен единице \Slaa\ = 1, т. е. если
с' Л
опп = е
ив,
(2.69)
где бг — вещественная функция энергии, называемая фазой рассея-
ния на бесконечности. В этом случае имеет место только упругое рас-
сеяние, сечение которого непосредственно выражается через фазу рас-
сеяния
k2
(21 +1) sin2 δ,.
(2.70)
При наличии неупругих переходов |S«a | < 1 и сечение реакций от-
лично от нуля. При этом всегда имеет место также упругое рассеяние,
27

поскольку при \S'aa\ < 1 величина 11 —Saal отлична от нуля, а сле-
довательно отлично от нуля и сечение упругого рассеяния.
На рис. 2 представлена область допустимых значений для парциаль-
ных сечении σ*° и оУ.
Задачи
1. Найти связь между дифференциальными сечениями рассеяния
при столкновении двух частиц в лабораторной системе координат и си-
стеме центра инерции.
Пусть в лабораторной системе координат (л. с. к.) частица массой
т1 и скоростью ν1 сталкивается с покоящейся частицей массой т2.
Обозначим скорости частиц после столкновения через ν\ и v2. Углом
рассеяния в л. с. к. называется угол -g- между векторами v\ и vx (рис. 3).
^
т
V, ^т,\&
т, т\ ">, vw2 Й> п*
vi
л.с.к. сим.
Рис. 3
Так как vz = О, то скорость движения системы центра инерции
(с. ц. и.) относительно л. с. к. равна:
В с. ц. и. скорости частиц до столкновения равны:
i1 = ^—vu v2 = ^ с,. (2.72)
Относительная скорость сталкивающихся частиц равна юх:
»! —Ч,=..г,. (2.73)
Вследствие сохранения энергии скорости частиц в с. ц. и. в результа-
те столкновения не изменяются по абсолютной величине, но могут из-
менить направление.
1М = К1. \Ъ\ =Ы- (2.74)
При этом вследствие сохранения импульса скорости частиц после столк-
новения будут также противоположны по направлению. Обозначим
угол между векторами v\ и юг через ■& и назовем его углом рассеяния
в с. ц. и.
Для нахождения соотношения между углами рассеяния в л. с. к.
и с. ц. и. θ и Φ спроектируем векторное равенство
U, = V\ -f- U
28

на направление вектора ъх и перпендикулярное направление. Взяв
затем отношение полученных равенств, найдем:
tg*~ Sine-, (2.75)
γ + cos 0·
где величина у равна отношению масс γ = —!-.Если массы сталкиваю-
щихся частиц равны (т1 = т2)^т γ = 1, при этом соотношение (2.75)
упрощается:
ft = 4"*' (2-76>
т. е. при столкновении двух частиц с равными массами угол рассеяния
в л. с. к. равен половине угла рассеяния в с. ц. и.
Из условия лоренцовской инвариантности полного сечения следует
а (Щ do = а (Ь) do, (2.77)
где do = sin ftdftdy и do = sinftdfWip. Выбирая φ = φ и учитывая (2.75),
найдем:
sin ftdft = l + ycosft s.n£d-^ (2 ?g)
(1 + 2ycos©+y2) 2 '
Таким образом, получим следующее соотношение между сечениями
рассеяния в л. с. к. и в с. ц. и.— σ (§) и σ (ф):
о(Щ = Π + ^β + τΒ' σ<fl). (2.79)
1 + γ cos ■&
Если γ = 1, то формула (2.79) упрощается. При равных массах стал-
кивающихся частиц имеем:
а(Щ = 4cos^-o(ft). (2.80)
2. Найти закон преобразования матричных элементов оператора
S между состояниями с определенной энергией и импульсом при пре-
образованиях Лоренца.
Пусть система К' движется относительно системы К с постоянной
скоростью и. Волновая функция ψ при переходе от системы К к систе-
ме К' преобразуется в я]/.
ψ' = £ψ, (2.81)
где L — унитарный оператор, осуществляющий преобразование Ло-
ренца. При этом операторы преобразуются по закону:
S' = LSL~l. (2.82)
Требование лоренцовской инвариантности оператора рассеяния озна-
чает, что
S' = S. (2.83)
29

Однако, матричные элементы S могут изменяться при переходе от
К к К' в зависимости от выбора начального и конечного состояний.
Пусть начальное и конечное состояния ψα и ψρ в системе К характери-
зуются заданием энергий и импульсов частиц
« = ft, Εν Ρ·2. £2; ··· β = Α. Ёг; ρΖ, Ё2; ... (2.84)
Соответственно, в системе К' состояния ·ψα- и %' будут характеризо-
ваться величинами со штрихом
а'=р\; Е\\ р2; Е2; ... β'==ρ|; Ё\\ р2, Ё'2; ... (2.85)
Значения импульса и энергии частицы в системе К' связаны со зна-
чениями в системе К преобразованиями Лоренца. Выбрав направление
оси z вдоль вектора и, преобразования можно записать так:
иЕ
Р* = Р„ Ру=РУ, Рг= ^=-- Ε'=ΤΤΤψ> <2'86>
где β = — (с — скорость света). Дифференцируя три первых равен-
ства и замечая, что dE = vdp (v — скорость частицы), для элемента
объема в пространстве импульсов найдем
. ИР
dp' = Г dp. (2.87)
Замечая, что P=—rvi четвертое равенство (2.86) можно переписать
в виде:
Е' = -—J=-E. (2.88)
V\ — β2
Разделив (2.87) на (2.88), мы видим, что величина ~- является ин-
вариантом относительно преобразований Лоренца.
Рассмотрим вероятность перехода системы из некоторого объема
фазового пространства Δ в некоторый другой объем Δ.
ЯДд = 2|5ра|2. (2.89)
αβ
Хотя величины Δ и Δ могут изменяться в различных лоренцовских
системах, вероятность перехода (2.89), очевидно, не может зависеть от
выбора лоренцовской системы и является инвариантом. Выбирая эле-
мент объема в фазовом пространстве импульсов в виде ^ а, вероят-
ность перехода (2.89) можно записать так:
Ρ -
ΔΔ
J (inhf (2nh)3- '" (2nhf (2nhf ·" Κβ|51α>12. (2·90)
ΔΔ
30

или
Ρ = Γ dpi ^
ΔΔ J (2πΛ)3£, (2πΛ)
dp2 m _ # Φ! dp2
3E* (2nhfEi (2nhfE,
ΔΔ
... \VEtEt ... (β^Ια)^,^ ... I2· (2.91)
Учитывая инвариантный характер величин —ψ-, —f2- и т. д., мы видим,
что величина К £Ι£2...5ρα ^iExE^... также является инвариантом
при преобразованиях Лоренца. Таким образом, матричный элемент
оператора S в системе К' связан с матричным элементом S в системе
К соотношением:
5р« = ^Υ;···!,,!,,··^5ρ- (2-92)
ГЛАВА 3
СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
3.1. АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ
В предыдущей главе мы, основываясь на временной картине разви-
тия процесса рассеяния, определили матрицу рассеяния, связав ее с
унитарным оператором временного сдвига в представлении взаимо-
действия. Возможна и другая формулировка задачи, когда взамен вре-
менного описания процесса рассеяния рассматривается стационарная
картина. При стационарном описании процесса рассеяния предполага-
ется, что волновая функция системы на больших расстояниях от рас-
сеивающего центра представляет собой суперпозицию падающей и рас-
сеянной волн.
Ограничимся вначале рассмотрением упругого рассеяния, при ко-
тором внутренние состояния сталкивающихся частиц не изменяются.
Переходом в систему центра масс задача о рассеянии двух частиц
сводится к задаче о рассеянии одной частицы с приведенной массой
μ в поле неподвижного силового центра V (г). Гамильтониан системы
при этом имеет вид:
h3
где #0 = =— Δ — кинетическая энергия относительного движения.
Волновая функция ψ, описывающая рассеяние, является решением
уравнения Шредингера
#ψ = £ψ (3.1)
31

при положительной энергии (Е > 0) с определенными граничными ус-
ловиями, а именно: на больших расстояниях от рассеивающего центра
это решение должно иметь вид суммы падающей и рассеянной волн.
Для нахождения решения с указанной асимптотикой перепишем
уравнение Шредингера в виде
(Ε-//„)ψ = νψ (3.2)
и будем рассматривать правую часть как заданную функцию. Тогда
общее решение уравнения (3.2) может быть записано в виде
Ψ (г) = Φ И + $ dr'G0 (Ε; r-r')V (/■') ψ (/■'), (3.3)
где φ — общее решение уравнения (3.2) без правой части
(£-Я0)ф = 0, (3.4)
a G0 (Ε; г — г') — функция Грина, удовлетворяющая неоднородному
уравнению с точечным источником
(Е - Н0) G0 (Ε; г - г') = δ (г - г'). (3.5)
В полученном выражении (3.3) первое слагаемое можно рассматривать
как падающую волну, описывающую свободное движение частицы.
Второе слагаемое описывает рассеянную волну, которая в зависимости
от выбора функции Грина может быть расходящейся или же сходя-
щейся.
Выберем собственные функции уравнения (3.4) в виде плоских волн
фк, (г) =<**'', £' = ~. (3.6)
Тогда функция Грина будет определяться интегралом
Г dk' (?к'<т—т">
G„(E; г-7·') = ]-^- Е_Е, . (3.7)
Выполняя в (3.7) интегрирование по угловым переменным, имеем:
сю
Go (£; г - г') = -j&p- T_L7T j dk'k· 4^L, (3.8)
—oo
где введено обозначение Ε = —^— . Оставшееся интегрирование мож-
но выполнить с помощью теории вычетов, при этом, однако, необходи-
мо задать правила обхода полюсов подынтегрального выражения k' —
= ± k в соответствии с граничными условиями. Для того чтобы реше-
ние на больших расстояниях представляло собой расходящуюся волну,
необходимо выбрать контур интегрирования в плоскости комплексно-
го переменного k' в виде, изображенном на рис. 4, а. Так как интеграл
по окружности бесконечно большого радиуса равен нулю, то интеграл
(3.8) будет равен умноженному на 2ni вычету в единственном полюсе
k' = k, лежащем внутри контура интегрирования.
^{Е;г-г') = --^^—т. (3.9)
)2

Функцию Грина, соответствующую сходящимся волнам, найдем, вы-
брав контур интегрирования в виде, изображенном на рис. 4, б.
GJT»(£; r-r') = - ^, e;Z7'|' ■ (ЗЛО)
Правила обхода полюсов при вычислении функций Грина можно за-
дать и путем формальной замены в знаменателе выражения (3.7) зна-
чения энергии Ε на Ε + i0 в случае функции Грина, отвечающей расхо-
Рис. 4
дящимся волнам, и £ на £ — i0 в случае функции Грина, отвечающей
сходящимся волнам.
^'k'lr—г') »2.,2
Е, = J1J_ (3.11)
G0-'(£; r-r) = j (2π)3 £_£,
± Ю
2μ
При такой замене внутри контура интегрирования, состоящего из
вещественной оси и полуокружности бесконечно большого радиуса,
лежащей в верхней полуплоскости, оказывается полюс k' = k + t'O в
случае Go+' и полюс А' = — А + i0 в случае Go-'.
Выбрав в качестве φ в (3.3) плоскую волну, отвечающую падающей
частице с импульсом k, и выбирая функцию Грина в виде расходящейся
волны (3.9), перепишем (3.3) в виде
ip(k+) (г) = фк (г)
-2^\dr'
Jk I г-r· I
i(Oi+,H. (3.12)
Полученное выражение является интегральным уравнением, опреде-
ляющим волновую функцию задачи рассеяния. Это интегральное урав-
нение, очевидно, эквивалентно уравнению Шредингера с учетом гра-
ничных условий.
На больших расстояниях функция Грина (3.9) может быть аппрок-
симирована выражением
„<fe-
<#-'(£;#—#■')->-
μ
2лЛ2
—tk 'г'
(г-^оо),
3 5-614
(3.13)
33

где к' = — k. Поэтому, если область, в которой потенциал существен-
но отличен от нуля, конечна, то асимптотика волновой функции имеет
вид:
ψ!+' И->Фк (r)+f(k, к') -^- (г-+со), (3.14)
где
/ (к, к') = - -2^г $ dre-ik'rV (г) ψ{+' (г). (3.15)
Коэффициент при расходящейся волне / (k, k') обычно называют ампли-
тудой рассеяния. Очевидно, величину к' следует интерпретировать
как импульс частицы после рассеяния. Согласно (3.15), амплитуда
рассеяния / (к, k') зависит от энергии относительного движения, угла
между векторами к и к' и потенциала рассеяния.
Зная асимптотику волновой функции, нетрудно вычислить диф-
ференциальное сечение рассеяния. Действительно, на больших рас-
стояниях радиальная плотность потока рассеянных частиц равна
><=т1-(*^-^Ь-^|№*'>1!- «зле,
Разделив число частиц, рассеиваемых в элемент телесного угла do за
единицу времени, dN = jrr*do на плотность падающего потока /0 =
hk
= , мы и найдем сечение
И·
dae = tf(k,k')\2do. (3.17)
Таким образом, дифференциальное сечение рассеяния, отнесенное к еди-
ничному телесному углу, непосредственно определяется квадратом
модуля амплитуды рассеяния.
3.2. УРАВНЕНИЕ ЛИППМАНА—ШВИНГЕРА
Полученные результаты удобно записать в символической форме,
допускающей обобщение на случай более сложных систем. Рассмотрим
квантовомеханическую систему, состоящую в общем случае из не-
скольких взаимодействующих частиц. Будем предполагать, что га-
мильтониан системы разбивается на две части:
первая из которых Н0 описывает невозмущенное движение системы,
а вторая V — взаимодействие, исчезающее при достаточном удалении
взаимодействующих частей системы друг от друга.
В стационарной формулировке задача о рассеянии сводится к на-
хождению решения уравнения Шредингера _
(£ — Я)г|5 = 0 (3.18)
с определенными граничными условиями при положительном значе-
нии энергии системы Е. На бесконечности решение ψ должно иметь вид
34

суммы падающей волны φ, являющейся решением невозмущенного урав-
нения
(Ε — Η0)ψ = 0 (3.19>
и расходящейся рассеянной волны.
Формально решение уравнения (3.18), удовлетворяющее указан-
ным граничным условиям, можно представить в виде:
ψ +» = φ + G^' (Ε) Κψ<+>, (3.20)
где Go+)(£)—функция Грина невозмущенного уравнения (3.19).
с°+'(£> = £-я! + ю· (321>
Правило обхода полюса в (3.21) соответствует выбору расходящейся
рассеянной волны в асимптотике ·ψ<+>.
Формальное решение (3.20) уравнения Шредингера (3.18) является
интегральным уравнением и обычно называется уравнением Липпма-
на —Швингера [14J:
Волновая функция, описывающая рассеяние и имеющая на беско-
нечности вид суммы падающей и сходящейся рассеянной волн, опре-
деляется уравнением с другим правилом обхода полюса
^~' = (Р + £-Я10-Ю^(")· (3-23>
При получении (3.23) использована функция Грина
<РЮ = Е_Н1_Л. (3.2Г)
Уравнения (3.22) и (3.23) записаны в символической форме. Для
явной записи уравнений следует разложить функцию Vty по собствен-
ным функциям невозмущенного гамильтониана #„, при этом получим:
β ОС β -L
Очевидно, функция Грина равна:
<у<д>--Σ£%;·;>' · <325>
β Р
Это соотношение определяет разложение функции Грина Go** по пол-
ному набору собственных функций оператора Н0. В координатном пред-
ставлении имеем
*■ № г. ,') - (г" | <*"<Ч I г> - J ^ *^У , ,3.26)
что находится в соответствии с (3.11). Нетрудно убедиться, что в ко-
ординатном представлении уравнение (3.24) совпадает с уравнением
о*
6 35

Решения уравнения Шредингера (3.18) при отрицательных значе-
ниях энергии относительного движения отвечают связанным состоя-
ниям системы. Уравнение Шредингера для связанных состояний систе-
мы может быть записано при помощи функции Грина (3.21) в виде од-
нородного интегрального уравнения
ψ = GO*' (Ε) νψ. (3.27)
Уравнение Липпмана — Швингера (3.20) при наличии связанных
состояний у системы в общем случае не имеет однозначных решений.
Действительно, даже для системы, состоящей из двух частиц, уровни
энергии
»-£-+*·
где Ρ — полный импульс, Μ — полная масса и £ — энергия относи-
тельного движения, многократно вырождены, так как различным рас-
пределениям энергии между внутренним движением и движением си-
стемы как целого отвечают различные состояния. Поскольку наличие
связанного состояния у системы означает существование при фиксиро-
ванном значении Ъ> решения однородного уравнения (3.27), то решение
неоднородного уравнения (3.20) становится неоднозначным. Для
системы, состоящей из двух частиц, уравнение Липпмана — Швин-
гера допускает однозначное решение только при переходе в систему
центра масс, в этом случае Ρ = 0 и вырождение по энергии снимается
(Е = 8).
3.3. ФУНКЦИИ ГРИНА G0 И Q
Решения уравнений (3.22) и (3.23) можно непосредственно выразить
через асимптотическую функцию φ при помощи функций Грина урав-
нения (3.18):
Определим функции Грина G0 (г) и G (г) при комплексных значе-
ниях г согласно равенствам
Go(z) = т^. (3.29)
G®=rhf (33°)
(Эти функции обычно называют резольвентами операторов Н0 и Н).
Очевидно
G\r)(E) = G0(E±iO),
,*, (3-31)
G(±) (E) = G(E± iO).
Функции Грина G (г) и G0 (z) связаны соотношением
G(z) = G0(z) + G0{z)VG{z). (3.32)
зь

Непосредственной проверкой легко убедиться, что решение (3.22)
может быть представлено в виде:
ψ(+Ι = lim ieG (Ε + /ε) φ. (3.33)
ε-»0
Действительно, умножая уравнение (3.32) при г = Ε -\- /ε на ie, при-
меняя его к функции φ и замечая, что lim itG0 (Ε + /ε) φ = φ, полу-
ε-0
чим (3.20). Приведем также другую форму записи (3.33):
V+)-9+ Ε^Η+ΛνΨ. (3.34)
Аналогичным образом решение (3.23) может быть представлено в виде
^ = ^+ Е-Н-Ю^- <3"35>
Функции Грина G(±> (E) можно разложить по полному набору соб-
ственных функций оператора Η подобно тому, как мы разлагали функ-
ции Go*' (E) по собственным функциям оператора Н0. Обозначим соб-
ственные волновые функции оператора Н, отвечающие связанным со-
стояниям и состояниям непрерывного спектра, соответственно через
■ψ„ и ψβ. Пусть эти функции образуют полный набор
Σψ, (ψ„. · · ■) + Σψρ (Ψρ. ■ ■ ·) = i · · ■. (3-36)
η β
тогда, подействовав оператором G(±) на это равенство, получим иско-
мое разложение
^■■·=Σ^+Σ^^, <3·37>
где собственные значения £„ < 0 и £р > 0.
Перепишем соотношения (3.36) и (3.37) в координатном представ-
лении для простейшего случая частицы во внешнем поле. В качестве
волновых функций непрерывного спектра удобно выбрать функции
i|4+) (г) или ψ{(—' (г). Условие полноты принимает вид
Σ ψ„ W ^ (/■') + j' -(Цг% Μ % И = δ (г - г'), (3.38)
и соответственно разложение функции Грина определяется выраже-
нием
О»,£; ,. „ _ ? *^1! + J ^E^|iii. ,3.39)
В отличие от функции Грина для свободного движения GO*' (£; г, г')
полная функция Грина G(±) (Ε; г, г'), описывающая движение в поле
V (/·), зависит в отдельности от координат г и г', а не только от их раз-
ности г — г'.
Используя явный вид (3.39), легко проверить, что функция Грина
G(±> (Ε; г, г') действительно является решением уравнения (3.18) с
точечным источником в правой части
(Е — Н) G(±) (Ε; г, г') = б (г — г'). (3.40)
37

Покажем теперь, что функции Грина GO*' (£) и G(±> (E) связаны
простым преобразованием Фурье с введенными ранее (в главе 1) вре-
менными функциями Грина GO*' (f) и G(±> (f). Действительно, разло-
жим в интегралы Фурье временные функции Грина Go*' (t) и G<±> (t),
определенные согласно (1.27—28) и (1.32—33), и введем фурье-ком-
поненты
DO i
G0±'(£)= J ate** Op®,
Ι j_B (3.41)
G(±'(£) = J dteh G^'tf).
•—oo
В случае запаздывающих функций Грина G(o+) (t) и G(+> (f) интегрирова-
ние в (3.41) фактически производится от t = 0 до t = сю, поэтому для
обеспечения сходимости интегралов под знак интегрирования необ-
ходимо внести множитель e~et, где ε > 0, и после интегрирования
параметр ε устремить к нулю. Аналогичным образом, для опережаю-
щих функций Грина Go-' (0 и G<-> (t) под знак интегрирования необ-
ходимо внести множитель^, так как в этом случае интегрирование
проводится от t = — сю до t = 0. В результате для компонент Фурье
временных функций Грина получим выражения, совпадающие с (3.21—
21') и (3.28).
В стационарном случае взаимодействие V не зависит от времени.
Нетрудно видеть, что в этом случае преобразование Фурье от уравне-
ния (1.34) совпадаете уравнением (3.32) при г = Ε ± Ю.
Используя общее определение (3.28), функцию Грина для системы,
состоящей из невзаимодействующих подсистем, можно выразить че-
рез функции Грина для отдельных подсистем. Например, если систе-
ма состоит из двух невзаимодействующих подсистем, то
при этом функция Грина всей системы G(±> (E) выражается через функ-
ции Грина отдельных подсистем Gi*' (Ε) и Сг±} (Е) следующим обра-
зом
оо
G(±) (Ε) = hf -2^- J df'Gi*' (£') G^' (E — E'). (3.42)
—oo
Аналогичным путем можно записать функцию Грина и для более обще-
го случая.
3.4. СВЯЗЬ МЕЖДУ АМПЛИТУДОЙ РАССЕЯНИЯ
И МАТРИЦЕЙ ПЕРЕХОДА
Используя уравнение Липпмана — Швингера (3.22) и найденное
ранее интегральное уравнение для оператора перехода t (2.55), нетруд-
но установить общее соотношение между амплитудой упругого рассея-
38

ния / (k, к') и матрицей перехода t. Для этого домножим левую и правую
части уравнения Липпмана — Швингера (3.22) слева на V, а оператор-
ным равенством для t (2.55) подействуем на волновую функцию φ:
^ = У<Р + УЕ-н0 + ю^
Непосредственное сравнение показывает, что между решением урав-
нения Липпмана — Швингера и оператором перехода t имеет место
соотношение
νψ(+) = ty. (3.43)
Используя это соотношение, решение уравнения Липпмана —
Швингера можно представить в виде:
^+)=ч + Е-н0 + ю^ (3-44>
В координатном представлении второе слагаемое в правой части (3.44)
на больших расстояниях представляет собой расходящуюся рассеян-
ную волну, коэффициент при которой и является амплитудой рассея-
ния:
/=--*£5-(ф'.<ф). (3·45)
2лЙ
ИЛИ
f(k,k') = -^r{k'\t\k). (3.46)
Это выражение для амплитуды рассеяния можно также непосредствен-
но получить из (3.15), подставив в (3.15) соотношение (3.43).
Амплитуда упругого рассеяния, выраженная через матричные
элементы оператора перехода t по состояниям (2.43), имеет вид:
/(*,*') = ^-{n'\t\n). (3.47)
Учитывая связь между f-матрицей и S-матрицей на энергетической
поверхности (2.60) и учитывая диагональный характер матрицы рассея-
ния в представлении, характеризуемом моментом количества движения
(2.58), амплитуду упругого рассеяния (3.47) можно представить в
виде:
/ (к, к') = -L- Σ (21 + 1) (1 - St) Pt (cos О), (3.48)
где ф — угол рассеяния.
Иногда удобно использовать так называемые парциальные ампли-
туды рассеяния fh которые можно определить как коэффициенты раз-
ложения
f (к, к') = Σ (2/ + 1) f,Pt (cos Ь). (3.49)
При таком определении парциальные амплитуды равны:
' /* = -§*-0-Si)· (3·5°)
39

Если имеет место только упругое рассеяние |S,| = 1, то парциальные
амплитуды можно выразить непосредственно через фазы рассеяния
fl=,-Lei6'sm6l. (3.51)
В заключение отметим, что матрицу перехода t можно связать с
функцией Грина G. Действительно, сравнивая операторные равенства
(2.55) и (3.32), нетрудно получить соотношение
Ю0 = VG. (3.52)
Таким образом, если известна функция Грина для системы G (Е), то с
помощью равенств (3.46) и (3.52) можно непосредственно определить и
амплитуду рассеяния.
3.5. НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ И РЕАКЦИИ
До сих пор мы ограничились рассмотрением только упругого рас-
сеяния. Формализм Липпмана — Швингера позволяет также описы-
вать неупругое рассеяние и реакции.
В уравнении Липпмана — Швингера
второе слагаемое в правой части помимо упругого рассеяния описы-
вает также неупругое рассеяние и реакции, связанные с переходом в
другие каналы. Действительно, воспользовавшись операторным тож-
деством
^ = ^{l + (B-A)-L},
где А == Ε — Н0 + г'О и В == Ε — Н0 + iO, нетрудно показать, что
уравнение (3.53) может быть переписано в следующей эквивалентной
форме:
^(+,=,p'+^t^kV+' (3·54>
где φ' — составляющая φ, одновременно являющаяся собственной
функцией Н0:
ф' = Φ — -Ζ—„· , .„ (#о — Но) φ.
Ε — п0 + «О
Выражение (3.53) удобно для нахождения асимптотики рассеянной
волны во входном канале при г -> со, в то время как выражение (3.54)
удобно для нахождения асимптотики рассеянной волны в канале V'
при г' -> оо.
Коэффициент при расходящейся волне в канале V обычно назы-
вают амплитудой реакции. Найдя асимптотику рассеянной волны в
(3.54) при г' ->- оо, получим следующее выражение для амплитуды
реакции
r-—^rW,V^X (3.55)
40

где μ' — приведенная масса системы в выходном канале. Эта амплиту-
да характеризует переход из состояния φ в состояние φ'.
Мы видим, что в амплитуду реакции (3.55) входит функция ψ(+\
являющаяся решением уравнения Липпмана — Швингера. Эта функ-
ция описывает как относительное движение, так и внутреннее состоя-
ние частиц во всех каналах, и только асимптотически1 при г -> со (г —
относительное расстояние между частицами во входном канале) она
переходит в функцию φ, описывающую свободное движение частиц во
входном канале. Очевидно, функция φ' описывает внутреннее состоя-
ние и относительное движение частиц в отсутствие взаимодействия в
выходном канале. Вводя импульсы относительного движения сталки-
вающихся и разлетающихся частиц k и k' и квантовые числа, характе-
ризующие входной и выходной каналы, у и у', формулу (3.55) удобно
переписать в более детализованном виде:
/ (* γ; k' у') = - -J^- (Фк^, У'4+>), (3.56>
2nh2
h2k* , τ, h2k,]
2
~г LLy — о..' Г Ьу.
2μ ' y 2μ'
Формула (3.56) описывает также неупругое рассеяние частиц,
при этом V = V и μ.' = μ.
Амплитуду реакции так же, как и амплитуду рассеяния, можно
выразить через матрицу перехода t. Отметим, что при переходах в ка-
налы, отличающиеся от входного, взамен (3.43) имеет место соотно-
шение
V\p{+) = ftp. (3.57)
В справедливости этого соотношения нетрудно убедиться, восполь-
зовавшись уравнением (3.54). При этом уравнение для определения
t может быть записано в одной из эквивалентных форм (2.55) или
t = V + V , -. t. (3.58)
Ε — Н0 + Ю
Используя (3.57), амплитуду реакции (3.55) можно переписать в виде
? = - w(ф'' w- <3-59>
Полученное выражение формально совпадает с амплитудой рас-
сеяния (3.45), если в (3.45) под μ и φ' понимать приведенную массу и
волновую функцию в выходном канале.
Вводя квантовые числа начального и конечного состояний k, у и
k', у', запишем (3.59) в виде
f (ky- k'y') = ^r (k'Y 111 yk). (3.60)
Если применима теория возмущений, то в (3.59) или (3.60) оператор
перехода t можно заменить потенциалом V или же V. Заметим, что
матричные элементы от К и К' по состояниям φ и φ', для которых
Ε = Ε', равны. Это непосредственно следует из соотношения
V = H — H0=H'0 — H0 + V'-^V. (3.61)
41

Вычисляя с помощью (3.54) плотность потока рассеянных частиц,
нетрудно найти дифференциальное сечение реакции, которое опреде-
ляется формулой
dew = JJ- -^ | f (ky; k'i) I2 do. (3.62)
Как видим, сечение реакции, отнесенное к единичному углу, равно квад-
рату модуля амплитуды реакции, умноженному на отношение скорос-
ти разлета образующихся частиц к скорости относительного движе-
ния сталкивающихся частиц.
3.6. БОРНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
Для вычисления амплитуды рассеяния или же амплитуды реак-
ции, вообще говоря, необходимо знать решение интегрального урав-
нения Липпмана — Швингера. Однако, если взаимодействие можно рас-
сматривать как малое возмущение, то интегральное уравнение можно
решать методом последовательных приближений. В качестве иллюст-
рации применим теорию возмущений для вычисления амплитуды упру-
гого рассеяния.
Точная волновая функция задачи рассеяния в координатном пред-
ставлении % (г) определяется уравнением
ψκ (г) = Фк (г) + J ar'G0 (г, г') V (г) цк (г'), (3.63)
где фк (г) — падающая плоская волна и G0 (г, г') — запаздывающая
функция Грина (3.9). Рассматривая потенциальную энергию V в каче-
стве возмущения, решение уравнения (3.63) можно представить в виде
ряда
Ыг) = фР(г)+141)(г)+1£)(г)+ ···, (3.64)
в котором каждый член разложения пропорционален соответствующей
степени потенциала. Методом последовательных итераций нетрудно
получить
Ч# (г) = J driG0 (г, гг) V (г,) Фк (г,), (3.65)
^ И = Я <Мг.°о (г, г2) V (г2) G0 (г2, гх) V (г,) Фк (г,),
Заменив в (3.15) точную волновую функцию tyu на падающую волну
<pi(, мы получим амплитуду упругого рассеяния в первом или борнов-
ском приближении
/в (к, k') = - -^г { dre-ik'rV (г) Фк (г). (3.66)
Подставляя в качестве фк плоскую волну, амплитуду рассеяния пред-
ставим в виде
/в (к, к') = ^ J dre^V (г), (3.67)
42

где q — изменение импульса частицы при рассеянии
q = k — k'. (3.68)
Абсолютная величина вектора q равна
q = 2k sin -γ , (3.69)
где т& — угол рассеяния (угол между векторами k' и k). Сечение рас-
сеяния в борновском приближении определяется выражением
d(TB=-& I $dre(qry (г) Гdo· (3·70)
Согласно (3.67), амплитуда упругого рассеяния в борновском при-
ближении определяется компонентой Фурье рассеивающего поля и
зависит только от величины передаваемого импульса q. Нетрудно
убедиться, что в борновском приближении между амплитудами прямо-
го и обратного процессов рассеяния, т. е. процессов, отличающихся
друг от друга перестановкой начального и конечного импульсов,
имеет место соотношение
fe (*,*') = /£(*', *). (3.71)
В случае центрально-симметричного поля в (3.67) можно выполнить
интегрирование по углам, в результате амплитуда принимает вид
fB (k, k')= Щ-\ drr -^ V (г). (3.72)
С
Заметим, что при Φ = 0 (т. е. 9 = 0) интеграл в (3.72) расходится,
если потенциал убывает на бесконечности как г~3, или медленнее.
Характер угловой зависимости амплитуды рассеяния в борновском
приближении определяется энергией частицы. Если энергия частицы
достаточно мала, то в (3.67) можно положить е'чг я» 1, при этом рас-
сеяние оказывается изотропным по направлениям и не зависящим от
энергии. Если скорость частицы достаточно велика, то рассеяние резко
анизотропно и направлено преимущественно вперед. Амплитуда за-
метно отличается от нуля только в области углов ft ^Ζ-τ^-, где R—
радиус действия потенциала.
Используя разложение (3.64) и (3.65), нетрудно найти поправки к
борновскому приближению (3.66). В общем случае амплитуда упругого
рассеяния может быть представлена в виде ряда по степеням возму-
щения
оо
/(*,*')= Σ Л"» (*.*'). (3.73)
где
/(«) (ft, k') = - -g^ \ { ■ · · { drA2 - · · dr„qv (rn) V (г„) Χ
X G0 (г„, iv-,) V (r„_0 ... G0 (r2, rj V (rx) q>k (г,). (3.74)
43

Очевидно, первое слагаемое в (3.73) соответствует борновскому при-
ближению. Последующие слагаемые отвечают поправкам соответст-
вующего порядка. Согласно (3.74), поправка к амплитуде п-го порядка
f{n) (k, k') определяется интегралом, под знаком которого множители
расположены в следующем порядке: справа стоит волновая функ-
ция (рь (rj), описывающая падающую частицу с импульсом k\ затем,
чередуясь, стоят потенциал V и функция Грина G„; и, наконец, слева
стоит Еолновая функция срк· (гп), описывающая частицу после рас-
сеяния с импульсом k'.
Каждой амплитуде /<"' (k, k') можно сопоставить простой график,
отдельные элементы которого сопоставляются с элементами амплитуды,
г, w. . и с помощью которого легко вос-
^ ~* ν *~ ^' 1 ·*■*' становить саму амплитуду. На
рис. 5 представлено несколько
<рк -» '-—»£—2—·—<ft, / (W) графиков, отвечающих ампли-
тудам упругого рассеяния ни-
г, G0 г, Go г, λ»λ^,1 жайшего порядка. Начальной
** ~" V V * V *~^' 7l'/ волноВОЙ фуНКЦИИ фк (rt), ОПИСЫ-
рис_ 5 вающей падающую частицу с
импульсом k, на графиках сопо-
ставляется линия, идущая из бесконечности в точку гг; вершина в точке
гг сопоставляется с потенциалом взаимодействия V (rt); линия, соеди-
няющая соседние вершины гх и г2, сопоставляется с функцией Грина
G0 (r2, rt) и т. д.; и, наконец, линия, уходящая в бесконечность из
последней вершины г„, сопоставляется с волновой функцией конечного
состояния срк' (гп).
Графики как бы схематически изображают процесс рассеяния.
Падающая частица описывается линией, идущей из бесконечности.
В точке rt частица испытывает рассеяние на потенциале V (rt). Затем,
двигаясь, частица попадает в точку г2, где снова испытывает рассеяние,
и т. д. Движение частицы между двумя последовательными рассея-
ниями описывается функцией Грина, которую поэтому и называют
функцией распространения или пропагатором. Число актов рассеяния,
испытываемых частицей, определяет порядок амплитуды. Рассеяв-
шись последний раз в точке гп, частица затем уходит на бесконеч-
ность.
Для восстановления амплитуды по графику необходимо составить
произведение в соответствующей последовательности из величин, отве-
чающих элементам графика, и проинтегрировать по координатам всех
вершин. Домножив результат интегрирования на Σ" 2 , мы и по-
лучим амплитуду /(п) (k, k'). Очевидно, амплитуде η-го порядка /<п> (А?,
k') отвечает график с η вершинами. Введение графиков существенно
облегчает нахождение поправок в высших приближениях теории воз-
мущений.
Картина рассеяния становится еще более наглядной, если при
использовании теории возмущений перейти к импульсному представ-
лению. В импульсном представлении поправка к амплитуде η-го по-
44

рядка по возмущению может быть записана в виде
2-itF
P"(fe k') = tL_ff ... [Jh ±
' [R'R> 2nh2 )) J (2ix)3 (2,
X V'k'k
din—i
(2π)8
X
1
Kn-1£—£.
^Гда ^n—ikn—2 · · · ^kski;
V+ioVk*
(3.75)
На рис. 6 представлены простейшие графики для амплитуд в импульс-
ном представлении. В этом случае пропагаторами являются величины
, а вершинам графиков сопоставляются фурье-компонен-
ты потенциала
Vk'k= \dre!(W-k')rV(r).
(3.76)
т
Рис. 6
Внутренним линиям соответствуют промежу-
точные импульсы fex, fe2,··· и fen—1, по которым
производится интегрирование. Начальной и ко-
нечной линиям графика сопоставляются на-
чальный и конечный импульсы частицы fe и fe'.
Отметим, что формулу (3.75) можно также
непосредственно получить из разложения (2.54)
с учетом соотношения (3.46).
В заключение остановимся на вопросе при-
менимости метода последовательных приближе-
ний. В соответствии с (3.65) запишем первую поправку к волновой
функции в виде
^(г) = ~ w idr' ^т~ V{r- г'>фк (г -г,)- (3-77)
Очевидно, разложение (3.64) будет справедливо при выполнении ус-
ловия
И^КИЯЧ (3.78)
Будем предполагать, что потенциал V характеризуется конечным
радиусом действия R, т. е. что потенциал заметно отличается от нуля
только в области пространства с линейными размерами R. Если энер-
гия частицы достаточно мала, так что величина kR меньше или поряд-
ка единицы, то множитель ёкг' в подынтегральном выражении (3.77)
несущественен, при этом первая поправка к волновой функции по по-
рядку величины равна
tf:
£-W4>P
k ,
(3.79)
где V — эффективное значение потенциала. Подставляя (3.79) в (3.78),
таким образом получим условие применимости теории возмущений в
виде
h2
V«-
μ/?2
kRZ.\.
(3.80)
Это условие означает, что для применимости теории возмущений
необходимо, чтобы эффективная величина потенциала была малой по
45

сравнению с кинетической энергией частицы, локализованной в облас-
ти действия потенциала.
Если энергия частицы достаточно велика, то kR 3> 1, при этом ве-
личина интеграла в (3.77) сильно уменьшается вследствие наличия
под знаком интеграла быстро осциллирующего множителя eikr'. Оце-
ним величину поправки (3.77) в этом случае. Замечая, что ipk0) (r) =
= е'кг, выражение (3.77) можно переписать в виде
№ <г> = --a§F ^ (г>) dr' -f?-V<г-г')е~*Г'· <3·81>
Так как потенциал является медленно изменяющейся функцией на
расстояниях порядка kr~', то при выполнении интегрирования по уг-
лам в правой части (3.81) усредненное значение потенциала можно вы-
нести за знак интеграла.
оо
ΨΙ" (Г)- £г^0> (г) Jdr' Χ~**' V(r-r'). (3.82)·
с
Пренебрегая быстро осциллирующей функцией eHkr' по сравнению с
со
единицей и замечая, что \dr'V (г — г') ^ RV, найдем
о
^^-#-4^· <3·83>
Подставляя (3.83) в (3.78), условие применимости теории возмущений
получим в виде
V^Ji?kR> *Я»1. (3.84)
Это условие значительно слабее по сравнению с условием (3.80).
3.7. ВЫСОКОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Определим амплитуду упругого рассеяния при высоких энергиях в
условиях, когда неприменимо борновское приближение. Если V не
мало по сравнению с —^-, то для применимости борновского прибли-
жения необходимо, чтобы выполнялось условие (3.84). Это условие
может выполняться только при достаточно высоких энергиях, когда
kR > 1. Заметим, что малость взаимодействия V по сравнению с энер-
r^ h2k2
гией Ε = —— еще не означает применимости борновского приближе-
ния. Нетрудно убедиться, что при kR ^> 1 может существовать об-
ласть достаточно больших энергий Ε ^> V, в которой борновское при-
ближение не применимо. Для этого необходимо, чтобы нарушалось
условие (3.84), т. е.
J^kR^V^E, (3.85)
46

Из (3.85) непосредственно находим указанную область
i«f^/-i£-· (3·86>
Очевидно, для существования такой области необходимо, чтобы
0>W- (3-87)
Для нахождения амплитуды рассеяния в области энергий (3.86)
найдем вначале приближенное выражение для волновой функции
■фк. Если энергия Ε в любой точке пространства значительно превосхо-
дит потенциальную энергию V, то зависимость волновой функции от
координат приближенно должна быть такой же, как и для свободного
движения. Поэтому волновую функцию ψ« приближенно можно запи-
сать в виде
г]5к = е1кгФ, (3.88)
где Φ — некоторая функция координат, медленно изменяющаяся по
сравнению с множителем eikr. Выберем ось г вдоль направления дви-
жения свободной частицы. Подставляя (3.88) в уравнение Шредингера
(3.2) и сохраняя в Δψκ только слагаемые, в которых множитель e'te
дифференцируется хотя бы один раз, получим уравнение
решение которого дает
**-&--*-"*
«и—4— [ dzV(x,yji)
Ьр J
%(r) = e -~ (3.89)
Воспользовавшись общей формулой (3.15), для амплитуды рассеяния
найдем
z
— -^— J dzV (x,y,z)
f(k,k') = -^^dre^V(r)e "— . (3.90)
Так как при больших энергиях существенно рассеяние на малые углы
(с малым изменением импульса q <C k), то в (3.90) вектор q можно счи-
тать перпендикулярным начальному волновому вектору k, т. е. лежа-
щим в плоскости х, у. Вводя цилиндрические координаты г = (р, г)
и выполняя в (3.90) интегрирование по г, получим следующее выраже-
ние для амплитуды рассеяния
— — I dzV (р,г) I
= ik J dppJ0 (qp) [1-е ~°° J. (3.91)
47

Эта формула справедлива при выполнении условия
ft/?» 1, (3.92)
где R — радиус области действия потенциала V.
Изменение импульса q связано с углом рассеяния Φ обычным со-
отношением
л
q = 2k sin — .
Легко видеть, что амплитуда рассеяния, определяемая (3.91), отлична
от нуля только в области малых углов (Φ с^ -гтг ^ 1 )■ Таким образом,
рассеяние при достаточно высоких энергиях приобретает дифракцион-
ный характер.
Формулу (3.91) можно непосредственно получить из разложения
амплитуды рассеяния по парциальным составляющим (3.48). Действи-
тельно, при выполнении условия (3.92) рассеяние происходит в об-
ласти малых углов {& <£ 1) и в разложении (3.48) эффективны большие
значения /. Поэтому можно воспользоваться приближенным выражени-
ем для полиномов Лежандра
Переходя в (3.48) от суммирования по I к интегрированию по прицель-
ному параметру ρ = /λ и учитывая, что
оо
Sl^S(p) = e
мы и получим формулу (3.91).
Задачи
1. Показать, что оператор U (0,— оо) переводит собственное Состоя-
ние φ гамильтониана Н0 в состояние ψ(+\ являющееся собственным со-
стоянием полного гамильтониана системы Н:
U (0, — оо) φ = ψ<+\
Аналогично:
U (0, то) φ = ψ(->.
Оператор временного сдвига в представлении взаимодействия опре-
деляется интегральным уравнением:
t
U(t, g=l_-i-\dt'V{t')V(f,t6).
Применим это операторное равенство к состоянию φ. В результате
получим
ψ(/) = φ_-1- J di'eh Ve h φ(0·
—оо
48

Выбирая / = О, методом последовательных итераций находим
^(0) = [l + E_l+ieV+E_H\ + iBVE_H\ + iBV+ ...)φ =
Сравнивая полученное уравнение для ψ (0) с уравнением Липпмана —
Швингера, мы видим, что
ψ (0) = -ψ1+).
Таким образом мы показали, что
ψ(+) = U (0, — со) φ. (3.93)
Аналогично можно показать, что
φ(-» = U (0, со) φ. (3.94)
2. Показать, что функции ψ<+) образуют ортогональную систему:
(#'. Ψα) = бсф. . (3.95)
(#\ ^+>) - (V (0, - оо) φβ, £/ (0, - со) φα) =
= (фр, ^+ (0, — oo) U (0, — оо) φα) = (φρ, φα) = δαρ.
3. Показать, что матрица рассеяния может быть выражена через
гайзенберговские волновые функции ψ<+> и ψ<~):
Spa = (ψρ-', я|4+)). (3.96)
Spa = (φβ, Sq>a) = (φρ, U (со, 0) U (0, — оо) φα) =
= (1/+ (с», 0) φρ, U (0, - со) φα) =
= (U (0, ос) φρ, φ<+') = (ψρ_), ipS")-
4. Показать, что оператор рассеяния S преобразует ·ψ(—'-состояние
в ■ф(+'-состояние:
У+> = 5ψ<->. (3.97)
SV_> = St/ (0, со) φ = SU~l (со, 0) U-1 (0, — со) £/ (0, — со) φ =
= SSTlU (0, — со) φ = ψ(+)·
5. Показать, что при вычислении элементов матрицы рассеяния
можно пользоваться любой из систем функций φ, ·ψΗ-> и ψ'—>.
(Φβ, Sq>a) = Spa = (ψΙΤ», Tj4+>) = (4~\ Sift) = (ψ(β+), S^+). (3.98)
6. Найти функцию Грина для системы двух взаимодействующих
частиц G (Е; г, г') в предположении, что энергетический спектр си-
стемы состоит из единственного дискретного уровня Е0, отвечающего
связанному состоянию системы φ0 (г), и непрерывного спектра по-
4 5-614 49

ложительных значений энергии Ек, отвечающих несвязанным со-
стояниям ерь (г):
<Ρ°(')= У-^-Ч—· £°
Wo?
2μ
* W = «'" - ΙΓΠΓ 41 · * = ^- (3-99)
Приведенные функции соответствуют случаю взаимодействия между
частицами, характеризуемого нулевым радиусом действия.. Согласно
(3.99) в приближении нулевого радиуса действия взаимодействие
характеризуется единственным параметром а, определяющим как
энергию основного состояния системы, так и амплитуду рассеяния
в несвязанных состояниях. Предельное значение параметра α-νοο отве-
чает отсутствию взаимодействия между частицами.
Функции срк (г) и φ^ (г'), соответствующие различным значениям
волновых векторов k и k', ортогональны друг другу:
{ агщ (г) q£. (г) = (2π)3 δ (k — k'). (3.100)
Функции фь (г) ортогональны также функции φ0 (г), описывающей
связанное состояние системы,
Jdrcpk(r)cpo(/-) = 0. (3.101)
Функция φ0 (г) нормирована согласно условию
'drq>o(r)=l. (3.102)
Непосредственной проверкой легко убедиться, что система функций
(3.99) удовлетворяет условию полноты:
Фо С) Фо (О + j ^г Фч И Фч (г') = δ (г - г'). (3.103)
Полная функция Грина G (Е; г, г') для системы с указанным энерге-
тическим спектром, согласно общему определению (3.39), может быть
записана в виде
ода ,,ο-0Ι0(Ε)|γ>-^5Ρ + ^5^.
(3.104)
Используя явный вид функций (3.99) и выполняя интегрирование по
углам, нетрудно получить
r,F. ,._ μ j е^г-гЧ 2а е~" "+П
о^с, г, г;— 2jxft2 |Г_Г'| α2+^ гг<
I·
W J β<7<? (q - fa) (*2 - ?2 + Ю)
CO '
Ε-.*1*"
2μ '
Последний интеграл легко вычислить с помощью перехода в комплекс-
ную плоскость и выбора контура интегрирования подобно (3.11).
50

Окончательно, функцию Грина G (Е; г, г') получим в следующем виде
(3.105)
Сравнивая это выражение с (3.9), нетрудно видеть, что второе слага-
емое в фигурных скобках (3.105) описывает эффект взаимодействия.
Если α -ν со, то (3.105) переходит в функцию Грина для невзаимодей-
ствующих частиц.
Приведем асимптотическое выражение для функции Грина (3.105)
на больших расстояниях
ikr
G(Е- г, г')-*- -^±у-Ф_к, (г'), k'=3-Z-k. (3.106)
(Сравните это выражение с (3.13)).
7. Вычислить функцию Грина для системы трех частиц в отсутствие
взаимодействия между ними.
Обозначим радиусы-векторы отдельных частиц через гь г2 и г3, а
массы соответственно через ти т2 и ms. Перейдем в систему центра инер-
ции и введем относительные радиусы
Гамильтониан системы запишем в виде
"о =-^-|^, (З.Ю8)
где т и μ — соответствующие приведенные массы:
т= ".("»+/"■) , μ = _ΜΙ_. (з.109)
Функция Грина системы в координатном представлении G0 (£),
согласно общему определению (3.21), равна
Выполнив интегрирование в пространстве вектора q и по угловым
переменным вектора р, найдем
<*\r'|G0(E)|r,*> =
__i μ_
Six3 h*
со -. /~"*Ч1
^TTT—FT J аР1* У h
(3.111)
Эта формула находится в соответствии с (3.42), если для функций Грина
по переменным жиг воспользоваться определением (3.9).
4* 51

Введем безразмерные величины х и у:
а также безразмерную переменную интегрирования ξ:
Тогда
-/
(x',r'\G0(E)\r,x) =
оо
4Г^У"Ж~4Г I <&-***=*=***. (3.112)
—оо
(Т\ При вычислении интеграла, входя-
^-^ щего в (3.112), удобно перейти к
утг-г комплексным значениям ξ. Так как
|Т | = ± (1 + Ю) являются точками
' -VfM" ветвления, то на комплексной плос-
кости ξ необходимо сделать разрезы
от — оо до — 1 и от 1 до оо. (Левый
ис· 7 разрез находится чуть ниже вещест-
венной оси, а правый — чуть выше).
Деформируя контур интегрирования так, как показано на рис. 7, и
беря значение корня на верхнем берегу разреза с противоположным
знаком, получим
/ = { d&l*b (е-* ^*-' — еУ ^2-').
Это выражение нетрудно свести к одному из интегральных представле-
ний функции Ханкеля
Замечая, что
/ = ш . у Я{" (Vx2 + Φ).
=L я?» (VW+J*) = - -ji* H? (Ух* + у*),
дх у^+^2 ' ν ' » ' x2 + i/2
таким образом получим
(x',r'\G0(E)\r,x) = - 2;2 (gff''' -^- /#> (К^Т?), (3.113)
где
*2 + i/2 = -^ (m (* - *')2 + μ (г - г')2}.
Формула (3.113) определяет функцию Грина для системы трех не-
взаимодействующих частиц.
8. Найти функцию Грина для двух невзаимодействующих частиц
в высокоэнергетическом приближении.
52

Обозначим энергию относительного движения частиц через г = -|—
(p = tik — импульс относительного движения) и представим гамиль-
тониан системы Н0 = -£— , где ρ — оператор импульса, в следующем
виде:
2т
^Ρ(β-Ρ)+^Γ + ~Θ-Ρ)2. (3-114)
Высокоэнергетическое приближение заключается в пренебрежении по-
следним слагаемым в правой части (3.114), т. е. в замене гамильтониа-
на Н0 приближенным так называемым эйкональным гамильтонианом
Ηη = ±ρΟ-Ρ) + &- (З.П5)
Очевидно, такая замена оправдана только при дифракционном харак-
тере рассеяния, когда существенны только малые изменения импульса.
В высокоэнергетическом приближении вместо закона сохранения энер-
гии имеет место закон сохранения проекции импульса на направление
k:
pk = const. (3.116)
Замена гамильтониана //„, зависящего от квадрата оператора импуль-
са р, эйкональным гамильтонианом //„, линейным относительно р,
существенно упрощает задачу о рассеянии. Зависимость эйконального
гамильтониана Н0 только от составляющей импульса вдоль направле-
ния первоначального импульса k означает, что в высокоэнергети-
ческом приближении полностью пренебрегается движением в попе-
речных направлениях.
Заменив невозмущенный гамильтониан Н0 в выражении для функ-
ции Грина (3.21) на эйкональный гамильтониан Н0, мы определим эйко-
нальную функцию Грина G0 (E):
<p'\Gn(E)\p) = 1 (2^)3 δ(Ρ-ρ'). (3.117)
——ρ(ρ—ρ) + «ο
В импульсном представлении функции G0 и G0 мало отличаются друг
от друга внутри небольшого телесного угла вокруг направления k.
При достаточно больших значениях энергии падающей частицы эта
область углов представляет наибольший интерес, так как амплитуда
рассеяния при больших значениях энергии именно в этой области су-
щественно отлична от нуля.
В координатном представлении эйкональная функция Грина
имеет вид [15]:
(x'\G0{E)\x) = -i-HJ£- е"*'-« Θ (z' - г) δ (ρ' - ρ), (3.118)
53

где Θ (г) — функция Хэвисайда. Наличие дельта-функции δ (ρ' — ρ)
в эйкональной функции Грина G0 (ρ и ρ' — составляющие векторов
а: и ж' в плоскости, перпендикулярной вектору k) непосредственно свя-
зано с пренебрежением поперечным движением частицы.
Подстановкой функции G0 взамен G0 интегральное уравнение
(3.20), или (2.55), может быть сведено к обыкновенному дифференциаль-
ному уравнению первого порядка. Нетрудно найти решение этого урав-
нения
г'
т г
—' ... \ dz"Vt£>,z")
(x'\t\x) = -i-^-e^'-^{©(z'-z)^e * \x
хб(р'-р). (3.119)
Матричный элемент от (3.119) при kz = kz = k (на энергетической
поверхности) принимает вид
<Ρ'Ι'ΙΡ>^<*; = *. P'1'IP. *Ζ = *> = -*-^ω(ρ)6(ρ'-ρ), (3.120)
где ω (ρ) — так называемая профилирующая функция
оо
т г
ω(ρ) = 1— е -~ . (3.121)
Используя (3.120), для амплитуды упругого рассеяния в высокоэнерге-
тическом приближении получим формулу
f(k, k) = -|L j dpe'*-k4Pffl(p), (3.122)
совпадающую с (3.91).
9. Определить амплитуду рассеяния частицы высокой энергии на
системе, состоящей из нескольких связанных частиц.
Обозначим энергию взаимодействия падающей частицы с отдельны-
ми частицами рассеивающей системы через V, а внутренний гамиль-
тониан рассеивающей системы через Н'. Оператор перехода Т, описы-
вающий рассеяние частицы на сложной системе, определяется уравне-
нием
T = V + VG'0T. (3.123)
Go — функция Грина, описывающая относительное движение частицы
и рассеивающей системы, а также внутреннее движение в рассеиваю-
щей системе. Обозначим функцию Грина, описывающую внутреннее
движение в рассеивающей системе, через g', тогда функция Go может
быть представлена в виде
G« (£) = - -щ- i dE'G° <£ - Е"> & (£')· <3·124)
—со
где функция G0 определяется согласно (3.21). В высокоэнергетическом
приближении G0 в (3.124) следует заменить на G0.
54

В простейшем случае, когда рассеивающая система состоит из
двух частиц, внутренний гамильтониан Н' имеет вид
ff' = --|[-A + t/(r), (3.125)
где U (г) — потенциал, описывающий взаимодействие рассеивающих
частиц, г — относительное расстояние между частицами и μ — при-
веденная масса. Предположим, что для гамильтониана (3.125) из-
вестен спектр собственных значений £} (состоящий в общем случае
из ряда дискретных уровней и непрерывной части) и известны собст-
венные функции q>t (г). Тогда внутренняя функция Грина g' может
быть представлена в виде
где сумма по / означает суммирование по дискретным уровням и ин-
тегрирование по непрерывной части спектра.
Если пренебречь движением частиц в рассеивающей системе, то
спектр собственных значений (3.125) вырождается в единственное зна-
чение Ef = 0. Используя полноту системы собственных функций φ; (г),
в этом случае из (3.126) получим
<г' | g' (Ε) I г) = ^-Lg- δ (г' - г). (3.127)
Для наглядности функция Грина в (3.126) и (3.127) записана в коорди-
натном представлении. Из (3.126) и (3.127) нетрудно перейти в любое
другое представление.
Подставляя (3.127) в (3.124) и заменяя G0 на G0, таким образом
найдем
GO(E) = G0(E). (3.128)
Очевидно, это соотношение справедливо и при рассеянии частицы на
более сложных системах (состоящих из трех и большего числа час-
стиц), если только не учитывать движение частиц в рассеивающей си-
стеме. Соотношение (3.128) лежит в основе дифракционного приближе-
ния.
В случае двухчастичных сил взаимодействие V представляется
в виде суммы потенциалов, описывающих взаимодействие падающей
частицы с отдельными частицами рассеивающей системы
ν = Σν1(Χ-Χυ· (3-129)
i
(Вектор х характеризует относительное расстояние между падающей
частицей и центром тяжести рассеивающей системы, радиусы-векторы
отдельных частиц xt в системе центра тяжести выражаются через
внутренние координаты). Подставляя (3.128) взамен Go в (3.123) и
используя (3.129), нетрудно найти выражение для оператора перехо-
55

да в дифракционном приближении. В частности, на энергетической
поверхности (при kz = kz = k) имеем
(ρ', г'\ ΤI г, р) = - i -^ coW) (ρ, г) δ (г' - г) δ (ρ' - ρ), (3.130)
где ω(ΛΓ) (ρ, г) — полная профилирующая функция, выражающаяся
через профилирующие функции для отдельных частиц ω,- (ρ — ρ,):
Ν
ωΝ(ρ, г)=1-П{1_Ю/(р-р;)} (3.131)
(г — совокупность координат, характеризующих внутренние степени
свободы рассеивающей системы). Используя (3.130), для амплитуды
рассеяния частицы на системе связанных частиц получим формулу
[16, 17]:
Fof (q) = -£- { dpefw (φ, (г), ω{Ν) (ρ, г) φη (г)), (3.132)
где φ0 (г) и qv (r) — внутренние волновые функции рассеивающей си-
стемы до и после столкновения. Так как величины со£, через которые
выражается профилирующая функция ω(Ν), определяют амплитуды
рассеяния на отдельных частицах, то соотношения (3.132) и (3.131)
устанавливают общую связь между амплитудой рассеяния частицы на
сложной системе и амплитудами рассеяния на отдельных частицах.
ГЛАВА 4
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ЧАСТИЦЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
4.1. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПАРЦИАЛЬНЫМ ВОЛНАМ
Остановимся подробнее на задаче о рассеянии частицы в централь-
ном поле, когда потенциал V зависит только от модуля расстояния г.
Как уже отмечалось, решение задачи сводится к нахождению решения
уравнения Шредиугера при положительном значении энергии
{Ho + V(r)-E}qk = 0, (4.1)
удовлетворяющего следующему граничному условию: на больших рас-
стояниях решение должно иметь вид суммы падающей плоской и рас-
ходящейся рассеянной волн
*k->eikr + f(к, к')-^-, Ε = Ц-. (4.2)
Ь2
Учитывая, что Н0 = —Δ, перепишем уравнение (4.1) в виде
{Δ-и (г)+ #*}% = 0, (4.3)
где для упрощения записи введено обозначение ν (г) = -р- V (г).
В дальнейшем ν (г) будем называть приведенным потенциалом. В сфериче-
56

ской системе координат оператор Лапласа определяется выражением
А = ±±(г*-д-)-— (4 4)·
" I-2 дг [ дг) г2 ·- к ■ '
где L2 — оператор квадрата орбитального момента
^ = -bV — (sin*-i-)+—!—А-). (4.5)
1 sm о ao \ ao ) sin2 ο ^φ2 Ι
Приведем эквивалентные формы записи радиальной части оператора
Лапласа
r2 ar (^ ar j— 5r2 ■ г дг — г дг2 (г- · ■'■ * '
Так как центральный потенциал характеризуется сферической сим-
метрией, то момент количества движения является интегралом дви-
жения. Состояния, отвечающие различным значениям момента, участ-
вуют в рассеянии независимо. Поэтому функцию фь (г), являющуюся ре-
шением (4.3), удобно представить в виде суперпозиции парциальных
волн, соответствующих определенным значениям момента количества
движения. Выбирая ось z в направлении импульса падающей частицы
к, разложение волновой функции % по парциальным волнам можно
записать
^к (г) ~ Σ WO Λ (costf),
Ζ
где Pl (cos Ь) — собственная функция оператора квадрата орбитального
момента L2:
L2Pt (cos -θ) = /(/+ 1) Яг (cos Щ. (4.7)
Разложение tyk (г) нетрудно переписать в произвольной системе ко-
ординат, если воспользоваться формулой сложения для сферических
функций (2.57). При этом коэффициент пропорциональности выберем
так, чтобы
% (Г) = 2 Ь,к (Г) У\т («) У 1т («'), (4-8)
1т
где»и п' —единичные векторы в направлениях k иг. Подставляя раз-
ложение (4.8) в (4.3) и используя (4.7.), получим следующее дифферен-
циальное уравнение для нахождения радиальных функций ψ/,^ (г):
-pr i (r* i) ~ ^Р1 -^ + η *.* ^ = °- <4-9)
Рассмотрим сначала уравнение (4.9) в отсутствие потенциала ν (г) =
= 0:
\^Ц^)-Щ^ + ^1к{г) = ^ (4.10)
В качестве двух независимых решений уравнения (4.10) можно вы-
брать сферическую функцию Бесселя /,· (kr) и сферическую функцию
Неймана nl (kr), или же сферические функции Ганкеля первого и вто-
рого рода /i/+) (kr) и /i/_) (kr).
57

-Приведем определение сферических функций:
Μ*) =]/-£-JV+J>). (4.11)
Л)*' (*) = h (*) ± in, (*),
где J i (х) и N 1 (х)— функции Бесселя и Неймана полуцелого
'+— <+—
порядка. Для малых х имеют место приближенные выражения
*''<*)"*" (2/+1)И , "|(*)->— (2/^i')!! . *<£!- (4-12)
Если л; очень велико, то справедливы асимптотические формулы
щ (х) ->
>(*-4)
л;
±1-(,-4)
М*'(*)-> + '"- . *»1. (4.13)
Общее решение уравнения (4.10) может быть представлено в виде су-
перпозиции двух независимых решений jt и пи или же h\+) и Л*~\
Перейдем теперь к исследованию уравнения (4.9) при ν (г) Φ 0 и
будем предполагать, что потенциал ν (г) является монотонной функцией
г. Возможны два случая. Если ν (г) > 0 при всех г, то потенциал описы-
вает силы отталкивания. Если же ν (г) < 0 при всех г, то потенциал со-
ответствует силам притяжения.
В случае сил. притяжения возможны связанные состояния у си-
стемы, которым отвечает дискретная последовательность уровней энер-
гии. Обозначим соответствующие значения энергии через Еп =
= ^— < 0, где η — номер уровня. При больших г волновая функ-
ция связанного состояния, как видно из уравнения (4.9), имеет асимп-
тотику
Ψη-^βπ-^. г->оо, (4.14)
гДе βη — некоторая постоянная.
Будем предполагать, что потенциал ν (г) с ростом г убывает быстрее
г-1, т. е. асимптотика ν (г) при г -> со имеет вид
oW L·, ε>0. (4.15)
Γ1+ε
58

При выполнении такого условия асимптотика волновой функции
ψΛΑ:, являющейся решением'уравнения (4.9), может быть представле-
на в виде линейной комбинации независимых решений уравнения
(4.10).
Действительно, на больших расстояниях от центра потенциал
ν (г) изменяется достаточно плавно, поэтому для нахождения асимпто-
тического вида волновой функции можно воспользоваться квазиклас-
сическим приближением. Ограничиваясь рассмотрением S-случая,
имеем
τ
%.k (г) ~ у" sin { dr Vk* — ν (г). (4.16)
о
Выберем достаточно большое значение г — г', так чтобы k2 ^> ν (г').
Тогда при произвольном г > г' имеем
V(r):
ν [г)
2k
Разбивая область интегрирования в (4.16) на две части: от 0 до г' и
от г' до г, функцию (4.16) можно записать в виде
y0,k(r)~±sM(kr + 60), (4.17)
где
δ0 = - kr' + J dr V& -*>(r)—5jr\ drv(r)- (4-18)
0 r'
Если на больших расстояниях (г -> со)
то
lim J dr v (г)
Следовательно, фаза (4.18) при г-^-оо стремится к конечному преде-
лу. Само решение (4.17) в этом случае представляет суперпозицию
решений уравнения (4.10). Если же ε = 0 (случай кулоновского поля
»W = t-)· T0
Г
\drv{r) = b\n-!p-. (4.19)
г'
В этом случае фаза (4.18) с ростом г растет как In r. Как нетрудно
проверить, этот вывод остается в силе и для фаз с произвольным значе-
нием /.
Вследствие сферической симметрии и допущения о монотонном ха-
рактере потенциал ν (г) может иметь особенность только при г = 0.
59

В случае сил притяжения будем предполагать, что вблизи г = О
потенциал ведет себя как
v(r)~ro, (4.20)
где q > — 2. Если это условие не выполняется, то не существует
нижней границы энергии системы, т. е. энергия основного состояния
системы оказывается равной — с». В случае сил отталкивания отсут-
ствует необходимость наложения ограничений на характер особенности
при г = 0.
Уравнение (4.9) необходимо дополнить граничным условием, нала-
гаемым на функцию tyi,k в соответствии с (4.2). Для нахождения этого
условия разложим падающую плоскую волну по парциальным волнам
е*г = 4π ^ ilji (kr) Y*im (n) Ylm (n')- (4.21)
lm
Асимптотика радиальной части разложения плоской волны согласно
(4.13), имеет вид
sinlkr ?-)
ψ»Λ (г) = 4я|'/, (kr) -* 4ш' V kr ' , (4.22)
или же
ylk(r)-+^{(-D'e-ikr-e»r}, Г-+ОС. (4.23)
Первое слагаемое в фигурных скобках описывает сходящуюся к центру,
а второе — расходящуюся от центра сферические волны.
Подставляя (4.23) в (4.2) и используя разложение амплитуды рас-
сеяния пС парциальным волнам (3.48), найдем асимптотику, которой
должно обладать решение уравнения (4.9):
9ттг"
Мы видим, что радиальная волновая функция %^, являющаяся ре-
шением уравнения (4.9), на больших расстояниях от центра так же,
как и Tj3?,fe, представляет собой суперпозицию сходящейся к центру и
расходящейся от центра сферических волн. Сравнение (4.24) с (4.23)
показывает, что взаимодействие частицы с полем приводит только к из-
менению амплитуды расходящейся волны, в то время как амплитуда
при сходящейся волне в (4.24) совпадает с соответствующей амплиту-
дой в (4.23) и определяется плотностью падающего потока. Изменение
амплитуды расходящейся от рассеивающего центра волны определя-
ется диагональным элементом матрицы рассеяния Sly соответствующим
орбитальному моменту /.
Матричные элементы Sh вообще говоря, являются комплексными.
Если возможно только упругое рассеяние, то S/ выражается через
вещественную фазу δ;:
S, = e2i6/. (4.25)
Поскольку экспоненциальная функция является периодической функ-
цией, то соотношение (4.25) определяет фазу не однозначно. Если
потребовать, чтобы при V -»- 0 фазы обращались в нуль, то значения
фаз можно выбрать в интервале ( ^-, -ψ)·
60

Подставляя (4.25) в (4.24), асимптотику радиальной функции %,ft
можно записать в виде
sinlfer к- + М
ψΙΑ(Γ)-»-4πΙ'ε*βΙ i ^ '-, r-+oo. (4.26)
Сравнивая (4.26) с (4.22), мы видим, что взаимодействие приводит к
появлению в асимптотике радиальной части парциальной волны фазово-
го сдвига δ( по сравнению с асимптотикой для свободной волны.
Если потенциал характеризуется конечным радиусом действия,
т. е. ν (г) = 0 при г > R, то вне области действия сил (г > R) точное
решение уравнения (4.9) можно записать в виде
*Ь (г) = aV tV (kr) + dp ft}+) (kr), r > R. (4.27)
Учитывая асимптотики Н\~] и М+> и сравнивая (4.27) с (4.24) при боль-
ших г, нетрудно убедиться, что коэффициент в (4.27) при h^ опреде-
ляется плотностью падающего потока
ct] = 2nil, (4.28)
а коэффициент при h^' выражается через матрицу рассеяния
а\+> = Sflt*. (4.29)
Таким образом, решение уравнения (4.9) вне области действия сил
выражается через известные функции h'f' и h\+) и матрицу рассея-
ния
%.fc (г) = 2ш< {/4_) (kr) + Sifti+) (ftr)}, r > /?. (4.30)
Это решение можно выразить также через функции /г (kr) и nt (kr) и фазу
рассеяния б,:
Ψ/.* (г) = 4ni'eiei cos δ, [/, (kr) — tg δ,η, (fer)], r > R. (4.31)
Зная решение задачи во внутренней области, из условий непрерыв-
ности волновых функций и их' производных на границе области взаи-
модействия можно определить фазы рассеяния. Решение во внутрен-
ней области (г < R) можно найти путем численного интегрирования
уравнения (4.9). Для некоторых потенциалов решение уравнения
(4.9) может быть найдено в явном виде. Обозначим решение уравнения
(4.9) во внутренней области через ψ^ (г). В силу непрерывности вол-
новой функции и ее производной на границе области взаимодействия
(при г = R) должно выполняться условие непрерывности логарифми-
ческих производных
Α = Α при г = R. (4.32)
U %
Правая часть равенства, согласно (4.31), выражается через фазу рас-
сеяния δ,.
Соотношение (4.32) может рассматриваться как уравнение для
нахождения фазы рассеяния, если нам известна волновая функция во
61

внутренней области. В этом случае левая часть равенства (4.32) —
известная функция потенциала и энергии и, используя (4.32), в прин-
ципе можно найти соответствующую фазу рассеяния.
4.2. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА
Рассмотрим в качестве иллюстрации задачу о рассеянии частицы в
прямоугольной потенциальной яме. Эта задача допускает точное реше-
ние. Определим потенциал следующим образом
'«И о! ,>*. ,4·33»
где υ0 — глубина (ν0 > 0) и R — ширина ямы.
Очевидно, уравнение (4.9) во внутренней области r<Z R принимает
вид, подобный (4.10):
|^(^)--^ + *о)йИ = 0, r<R, (4.34)
где &о = v0 + k2. Поэтому решение уравнения (4.34), удовлетворяющее
требованию конечности в точке г = 0, можно выбрать в виде
ii(r) = C/I(V). r<R, (4.35)
где С — некоторая постоянная.
Решение во внешней области r~>R имеет вид:
y,(r) = Aji(kr) + Bnl(kr), r>R, (4.36)
где А определяется нормировкой падающей волны и В находится из
условия на бесконечности
А = 4nilei6i cos δ„ Β = — tg δ Д (4·37)
Приравнивая ψ, и ψ/ в точке г = R, находим величину С
С = 4juV6' cos δ, [/, (kR) — tg δ,η, (kR)] /Γ* {k0R). (4.38)
Равенство логарифмических производных % и % в точке г = R дает
нам уравнение для нахождения фазы δ{:
0 ii(k»R) /i(*J?)-tgfiin,(ftJ?) · (4-d9)
Разрешая это уравнение относительно tg δ(, находим
j'tlkR)-Di,(kRi
tg δ, = — , (4.40)
1 η, (kR) — Dnt (kR) v '
где D==-£- . ,. , . Формула (4.40) определяет зависимость фазы
рассеяния от параметров потенциальной ямы (глубины ν0 и ширины R)
и энергии падающей частицы.
Нетрудно убедиться, что для потенциала с конечным радиусом
действия в рассеянии участвует только конечное число парциальных
62

волн. Действительно, в отсутствие взаимодействия частица с моментом
количества движения Μ проходила бы на расстоянии от рассеивающе-
го центра, равном М/р. Очевидно, парциальная волна будет рассеи-
ваться только в случае, если это расстояние окажется меньше радиуса
действия сил R. Полагая М2 = ЬЧ (I + 1) и ρ = Hk, таким образом
получим условие рассеяния
V41+ 1)<ЛЯ, (4.41)
т. е. фаза рассеяния δ, будет отлична от нуля только при выполнении
условия (4.41).
При достаточно малых энергиях падающих частиц, когда длина
волны превосходит радиус действия сил, kR < 1. В этом случае вза-
имодействие проявляется только в S-состоянии, т. е. при / = 0.
~ ... sin je , . cos x с
Замечая, что /0 (л:) = и п0 {х) — , в случае Л-рас-
сеяиия имеем:
*oW=C-^£-, r<R, (4.42)
%(г) = 4пе'*° sHfer+a,,)^ r>R (443)
Уравнение (4.39) для определения фазы рассеяния при этом можно за-
писать в виде
k0 ctg k0R = k ctg (kR + δ0). (4.44)
Ограничиваясь рассмотрением предельного случая малых энергий
k2 <£ v0 и kR <£ δ0, равенство (4.44) перепишем в виде
kctg60 = ar1, (4.45)
где о-1 ξξξ ]/^ν0 ctg У v0R2. Величину а обычно называют длиной рас-
сеяния.
Полное сечение рассеяния выражается через фазу рассеяния, со-
> гласно (2.70):
°е==-^- sin2 δ0.
Используя (4.45), таким образом находим:
4πα2
°е= 1 + α2£2 "
(4.46)
Мы видим, что в предельном случае нулевой энергии (k -»- 0) сечение
рассеяния стремится к конечной величине и равно σ = 4зш2.
Аналогично можно рассмотреть рассеяние для прямоугольного
потенциала отталкивания
1»о. г < R>
*<Ηθ, r>R. (4-47>
В этом случае уравнение для радиальной функции при г < R имеет
вид (4.34), где k\ = k2 — v0. Если k2 < v0, то k\ = — ν2 < 0 (κ2 =
= νο — k2 > 0). Ограничиваясь рассмотрением рассеяния только в
63

^-состоянии, решение во внутренней области запишем в виде
%(r) = C e"~J~W , r<R. (4.48)
Во внешней области (г > R) решение определяется (4.43). Из усло-
вия сшивки решений находим уравнение для определения фазы:
κ cth xR = k ctg (kR + δ0). (4.49)
В пределе v0 ->- oo, соответствующем рассеянию на непроницаемой
сфере радиуса R, получим
б0 = — kR. (4.50)
Если энергия настолько мала, что kR <£ 1, сечение рассеяния равно:
ае = 4nR2. (4.51)
Это сечение в четыре раза превосходит площадь геометрического се-
чения непроницаемой сферы.
4.3. КУЛОНОВСКОЕ ПОЛЕ
Имея в виду дальнейшие приложения, рассмотрим волновые функ-
ции для кулоновского поля
V(r) = ^f. (4.52)
Уравнение (4.9) в случае кулоновского потенциала принимает вид
Ze2 I hk
где I = -τ так называемый кулоновский параметр ν = ско-
рость частицы). Записывая волновую функцию в виде
Ψ/Μ = -^ (4-54)
и используя (4.6), для радиальной функции ut (r) получим уравнение:
«;-рУ^ + ^-ф = 0. (4.55)
Это уравнение имеет два линейно независимых решения Ft (r) и
С/ (г), которые удобно выбрать следующим образом. Регулярное реше-
ние Ft (г), обращающееся в нуль при г = 0, выбирается так, чтобы на
больших расстояниях оно имело асимптотику
Fz(r)-^sinifer--^-|ln2fer + ^), r-voo, (4.56)
где ηΖ — кулоновская фаза, определяемая равенством
Асимптотика функции Ft (r) в соответствии с (4.19) отличается от асимп-
тотики (4.26) наличием добавочной фазы £1п2£л, обусловленной даль-
нодействующим характером кулоновского взаимодействия.
64

Нерегулярное решение Gt (r) выбирается так, чтобы при г ->- оо оно
имело асимптотику
G, (г) -r — Cos(kr 1 1 In 2/y + η,). (4.58)
Функции F, (г) и Gi (r) — вещестЁенны. Используя асимптотики функ-
ций Ft (г) и G, (r), нетрудно найти вронскиан:
f'-^-<H!r=fe (4·59)
При г ->■ О имеют место следующие приближенные выражения для
функций Ft (г) и G; (г):
F, (г) ~ Сг (ftr)'+1 {l + -j^j- kr + ■ · ■ J , (4.60)
+ ρ (fcr)/+1 (l + -y-i-j- ftr + · · ·) (In 2kr + const)}, (4.61)
где
C' = [(2/ +fi)!]2 (/2 + ^) К* ~ I)2 + ξ2Ι · · · (1 + ξ2) -psfrT- ■ (4·62)
22i+l
P = (2/+l)(2fl)» ^ + ξ2) [(/ - 1)2 + S2I · · · i1 + S2) *· (4·63)
В наиболее важном случае / = 0 формулы (4.60) и (4.61) упрощаются:
F0(r)~C0kr(l+lkr+---), (4.64)
G0(r)~--^-{l + 2|Mln2ftr+2V-l+/z(|) + ln|I+ .··}, (4.65)
где
С° = 7^=Т' (4·66)
со
*®=ε'Σ v(v.+CT—ln?-v (4·67)
v=l
и γ = 0,57721 — постоянная Эйлера.
Используя регулярное решение Ft (г), волновую функцию частицы
в состоянии с определенным импульсом, нормированную на единичную
амплитуду в падающей волне, можно представить в виде
φ, (г) = 4л У) ileixii Ιψ- Y\m (n) Ylm (n'). (4.68)
lm
Асимптотика функции (4.68) имеет вид:
„ikr—il·, In 2kr
ipk И -*- elkr+lg ln <^-kr' + f (k, k') - , r -+ oo, (4.69)
5 5-6H 65

где/ (ft, k) — амплитуда рассеяния в кулоновском поле.
со
/ (ft, ft') = -JL Σ (2/ + 1) (1 - e2ir]i) Pt (cos θ) =
ΔΚ /=o
7„2 -iE ln sln* 4 + 2iT)o + '"
= —we . (4.70)
2μα2 sin2 —ξ-
Наличие логарифмического члена в фазе первого слагаемого (4.69)
указывает, что вследствие дальнодействующего характера кулоновско-
го взаимодействия падающая плоская волна также искажается. Сог-
ласно (4.70), сечение рассеяния частицы в кулоновском поле опреде-
ляется известной формулой Резерфорда:
, / Ze2 \2 do
ito«==(-2i5r) T~F- (4·71>
v ^ ' sin4 —
Эта формула совпадает с формулой, к которой приводит классическая
механика.
4.4. ПАРЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
И ИХ СВЯЗЬ С МАТРИЦЕЙ РАССЕЯНИЯ
В случае рассеяния частицы в центральном поле функции Грина
G0(E; r, г') и G(E; r, г') удобно разложить по парциальным состав-
ляющим. Представим функцию Грина свободного движения G0 (Ε; г, г')
в виде ряда
G0(E; r, r') = S(2/+l)G°(fc; r, г')Л(со5 0) =
= 4л 2 G? (ft; r, r') Y\m (n') Y,m (η), (4.72)
Itn
где Yim (га) и Yim (га') — сферические функции от углов, характеризу-
ющих направления векторов г и г'; Θ — угол между векторами г
и г'; G? (k; г, г') — парциальная функция Грина. Используя явный
вид функций Ωο^(Ε; г, г') и Go-' (£; г, г'), определяемый форму-
лами (3.9) и (3.10), нетрудно получить следующие выражения для
парциальных запаздывающей и опережающей функций Грина:
lii(kr)h\±)(kr'),r<r',
* * г. О --иг й.(г. О. ЙР «г. О - τ ft {, (j,^ r>r,
(4.73)
(Для удобства мы выделили в парциальных функциях Грина множи-
тель *12 ). Парциальные функции Грина g°k (r, г') удовлетворяют
радиальному уравнению Шредингера для свободного движения с то-
чечным источником в правой части
{^i(^)--^+ *■]&<'. г')-^Нг-П. (4.74)
66

функции g°lk(r, r') являются симметричными функциями переменных
г и г'. Используя g^(r, r'), уравнение Шредингера (4.9) с учетом
граничных условий (4.24) можно свести к следующему интегральному
уравнению для радиальной функции Ψ/.λ(γ):
Ьл (г) = Ψ?.* (г) + j dr'r'^p (r, r') v (r') b.k (r\ (4.75)
υ
где i|i,ft (г) — радиальная функция падающей волны, определяемая
равенством (4.22). Интегральное уравнение (4.75) представляет собой
парциальную составляющую уравнения Липпмана —Швингера (3.12).
Аналогично (4.72), полную функцию Грина G (Е; г, г') также пред-
ставим в виде ряда
G (Е; г, г') = 2 (2/ + 1) G, (k; r, r') Pt (cos Θ) =
i
= 4π Σ Gt (k; r, r') Y'lm («') Y,m (га), (4.76)
lm
где G, (k; r, r') — парциальная функция Грина, учитывающая рассея-
ние частицы в центральном поле V (г). Так же, как и в предыдущем
случае, выделим в парциальной финкции Грина множитель η h2'·
°i^ r>r') = ^g'M(r, r'). (4.77)
По определению парциальная функция Грина gitk (г, г') — симметрич-
ная функция своих переменных и удовлетворяет неоднородному урав-
нению
с определенными граничными условиями: запаздывающая функция
Грина gffi (г, г') на больших расстояниях (г -»- оо) должна переходить
в расходящуюся сферическую волну, а опережающая функция Грина
&«' (г, г') — в сходящуюся сферическую волну.
Для построения указанных функций Грина кроме физического
решения уравнения (4.9), имеющего на бесконечности асимптотику
(4.26), необходимо ввести также другие решения (4.9), асимптотически
переходящие на больших расстояниях в расходящуюся или сходя-
щуюся сферическую волну. Обозначим соответствующие независимые
решения уравнения (4.9) через tJj'J^' (г) и ψ'^' (г). Эти решения на
бесконечности имеют асимптотику
kr
Физическое решение %,/■> (г) может быть выражено через tJj'J' (г) и
Ψ^ (г) = -]- ВД (г) + SiMV MI- (4-80>
67
,±4- 2
ψ(±) (Г) _> zpinii+i . (4.79)
Λ-»οο к'
■ф/,/Л(г) согласно

В то время как физическое решение %,/г (г) удовлетворяет требованию
конечности во всем пространстве и при г -»- 0 ведет себя как г', реше-
ния ^f (г) и ψ*!1 {г) при г -*- 0 содержат особенность и ведут себя
как г~Ь+1).
Из уравнения (4.78) видно, что при г Φ г функция Грина gi,k (r,
г') удовлетворяет однородному уравнению (4.9). При г = г' функция
Грина gi_k (r, г') непрерывна, но ее производная терпит разрыв
-gpgl.k(r, γ')|λ=λ-+0 — -frgl,k(r, г) |л=л'-0 = ~рг- (4.81)
Поэтому, используя решения ψ^' (г) и ψ^ (г), а также регулярное реше-
ние ij)/,fc (г), функции Грина g}±> (r> г') нетрудно получить в явном виде.
Действительно, замечая, что функция Грина g<+> (г, г') регулярна в точ-
ке г — 0, и предполагая, что при г ->- оо она ведет себя как расходя-
щаяся сферическая волна, представим ее в форме
\Ь,к(г)Фг(г'), г</,
^MeW ->'· (4-82)
где Ф! (/) и Ф2 (г') — некоторые функции, которые нетрудно опреде-
лить из условий непрерывности и симметрии функции Грина. Оконча-
тельно, для запаздывающей парциальной функции Грина получим
следующее выражение
В соответствии с (1.29) опережающая парциальная функция Грина
g/Λ* (г» О связана с функцией gjj^' (r, г') соотношением
BfcHr, r') = gft(r, r')*. (4.84)
При достаточно больших значениях г функцию Грина (4.83)
можно переписать в виде
Sij? (Γ· r') -* —^Ьм (г') ^—. (4.85)
Если г' также достаточно велико, то
l№ С. г') -* -i -?- {(- 1У e~ikr' ~ s'eikr') "Τ?" · <4·86)
г'-»-оо
Таким образом, асимптотика парциальной функции Грина gffl (r, г')
полностью определяется заданием матрицы рассеяния St.
4.5. МЕТОД ФАЗОВЫХ ФУНКЦИИ
Согласно (3.48), амплитуда рассеяния полностью определена, если
заданы фазы рассеяния. Так как фазы рассеяния определяются асимп-
тотиками радиальных функций (4.26), то для нахождения амплитуды
68

полное решение задачи рассеяния, т. е. нахождение радиальных функ-
ций Tj3/,ft (г) во всем пространстве, не обязательно. В этой связи по-
лучил распространение так называемый метод фазовых функций,
основанный на введении фазовой функции δ, (г), имеющей простой фи-
зический смысл. При заданном потенциале V (г) значение фазовой функ-
ции в точке г определяет фазу рассеяния на той части потенциала, ко-
торая содержится внутри сферы радиуса г. Фаза рассеяния на полном
потенциале δ, равна асимптотическому значению фазовой функции
бг = δ£ (οο). В методе фазовых функций взамен уравнения Шрединге-
ра вводится уравнение для фазовой функции, устанавливающее не-
посредственную связь между фазой рассеяния и потенциаломг.
Введем в рассмотрение две функции δ; (г) и At (г), связанные с ра-
диальной волновой функцией ij>itfe (г) соотношением
Ψα (г) = Л (г) [cos δ, (г) /, (kr) - sin δ, (г) η, (kr)]. (4.87)
Очевидно, радиальная волновая функция i])/>ft (г) удовлетворяет урав-
нению Шредингера (4.9). Для однозначности определения функций
δ{ (г) и Аг (г) соотношение (4.87) следует дополнить условием. В ка-
честве такого условия потребуем, чтобы производная радиальной волно-
вой функции была равна
^- = Л, (г) [cos δ, (г) <ψ- - sin β| (г) -^Ц, (4.88)
что эквивалентно добавочному условию
^У [cos δ, (г) /", (kr) — sin δ, (г) щ (kr)] —
- -^р- At (r) [sin δ, (г) и (kr) + cos δ£ (г) η, (kr)] = 0. (4.89)
Таким образом, мы имеем два уравнения (4.9) и (4.89), достаточные
для однозначного нахождения функций δ, (г) и At (r).
Функции δ[ (г) и Аг (г) называются соответственно фазовой и ам-
плитудной функциями. Действительно, из сопоставления (4.31) и
(4.87) видно, что если потенциал V (г) обрезать в некоторой точке
V(r, rm) = V(r)©(rm-r); (4.90)
где Θ (λ:) — функция Хевисайда, то функции 8t (r) и At (r) принимают в
области г > гт постоянные значения, равные фазе рассеяния и ампли-
туде асимптотического выражения волновой функции при рассеянии
на обрезанном потенциале (4.90). Значение фазовой функции δ£ (г)
при г-*- оо равно фазе рассеяния на полном потенциале V (г): δΖ =
= δ, (оо). Заметим, что при г -»- 0 фазовая функция обращается в нуль,
так как условие гт = 0 означает отсутствие взаимодействия.
1 Уравнение для фазовой функции впервые было получено Друкаревым (18]. Де-
тально метод фазовых функций изложен в монографиях [19, 20].
69

Продифференцировав соотношение (4.88) и воспользовавшись урав-
нением Шредингера (4.9), нетрудно получить следующее уравнение:
**■^ [cos δ, (г) *ψΙ - sin δ, (г) ^ψΙ
dr
d?>l(r) л i*\„;„R /,ч dH(kr) 1 „„„Я ,,, <te,(ftr)_
d/·
.^r)[sinMr)^ + cosMr)-^]-
— t; (г) Л, (r) [cos δ; (r) /, (kr) — sin δΖ (г) щ (kr)\ = 0. (4.91)
Это уравнение совместно с (4.89) образует систему двух дифферен-
циальных уравнений первого порядка, достаточную для однозначного
определения функций δ, (г) и А{ (г). (Напомним, что исходное урав-
нение Шредингера (4.9), определяющее радиальную волновую функцию,
является дифференциальным уравнением второго порядка).
Исключив производную от амплитудной функции из (4.89) и (4.91),
нетрудно получить следующее уравнение для фазовой функции δ, (г):
*Ьр~ = - kr*v (г) [cos б, (г) /, (kr) - sin δ, (г) щ (kr)]\ б, (0) = 0. (4.92)
Это уравнение не зависит от амплитудной функции, что является есте-
ственным, так как нормировка волновой функции не должна сказы-
ваться на фазе рассеяния. Согласно (4.92), вычисление фазы рассеяния
для заданного потенциала сводится к решению нелинейного дифферен-
циального уравнения первого порядка с начальным условием.
Аналогичным образом, исключив из (4.89) и (4.91) производную
от (фазовой функции, получим уравнение для амплитудной функции
АЦг):
AMI = — kr*v (г) At (г) [cos б, (г) /, (kr) — sin δ, (г) щ (kr)] Χ
X [sin δ, (г) /, (kr) + cos δ/ (г) щ (kr)]. (4.93)
В отличие от уравнения для фазовой функции (4.92) это уравнение
является линейным и зависит от фазовой функции. Уравнение (4.93)
можно проинтегрировать в явном виде
А (г) = At (r0) expl — k j drr2v (r) [cos δ, (r) jt (kr) — sinδΖ (г) щ (kr)\ x
X [sin δ, (г) η (kr) + cos δ, (r) η, (kr)]} , (4.94)
где Ai (r0) — значение амплитудной функции в точке г0.
Решение уравнения для фазовой функции (4.92) и соотношение
(4.94) полностью определяют радиальную волновую функцию (4.87).
Тот факт, что уравнение для фазовой функции является уравнением
первого порядка (хотя и нелинейным), существенно упрощает прове-
дение приближенных и численных расчетов для задачи рассеяния.
Из уравнения для фазовой функции (4.92) непосредственно видна
связь между фазой рассеяния и потенциалом. В частности, так как
выражение
[cos δ£ (г) /, (kr) — sin δ; (г) щ (kr)]2
всегда положительно, то знак производной от фазовой функции од-
70

нозначно связан со знаком потенциала. В случае притяжения (v (г) <С
< 0) производная от фазовой функции, а следовательно, и фаза рас-
сеяния положительны; в случае отталкивания (v (г) > 0) производная
от фазовой функции и фаза рассеяния отрицательны.
Исследуем поведение решения уравнения (4.92) в зависимости
от свойств потенциала ν (г) при г ->- 0. Запишем уравнение (4.92) в
интегральном виде:
г
б, (г) = — k J dr r*v (r) [cos δ; (г) /г (kr) — sin δ( (г) щ (kr)f. (4.95)
о
Если потенциал не сингулярен (или слабо сингулярен) и удовлетворяет
условию г2£> (г) -*■ 0 при г -*- 0, то, полагая под знаком интеграла
созбг (г) _^ 1 и sino, (г) ~ 6г (г), имеем
/■ /■
бг (г) « — /г J dr А; (г) /7 (£r) + 2k J dr r2t» (r) δ; (r) /, (ftr) щ (kr).
о о
При достаточно малых значениях г вторым слагаемым можно пренеб-
речь по сравнению с первым, поэтому
б'(г)- [(21+1)11]' W<r)r2/+2, г+0. (4.96)
В частности, для потенциала, характеризуемого степенной зависимостью
ν (г) = Сгр (р> — 2), получим
1 ^ ~ (2/ + 3 + р)[(2/ + 1)!!]2 - ^4-97)
Рассмотрим еще пример сильно сингулярного потенциала оттал-
кивания, удовлетворяющего условию r2v (г) -»- оо при г ->■ 0. Так как
фазовая функция и ее производная всегда ограничены, то в случае
сильно сингулярного потенциала выражение, стоящее в скобках в пра-
вой части (4.92),'должно обращаться в нуль. Полагая при малых зна-
чениях г: cosbl (г) ~ 1 и s\nbt (г) ~ δ, (г), находим
8'fr>^-(2l + (^l_1)„. г+0. (4-98)
Такое же выражение для фазы мы получим в случае твердой оттал-
кивательной сердцевины малого радиуса г.
Задачи
1. Определить зависимость фазы рассеяния δ, (k) от волнового век-
тора k при малых значениях k.
Будем предполагать, что длина волны частицы велика по сравне-
нию с радиусом действия потенциала R (kR <£ 1), а энергия частицы
мала по сравнению с величиной потенциала в области взаимодействия.
В уравнении (4.9) при г С k~~l можно пренебречь слагаемым с
k2. Если R <^ r <£ kT , то при этом можно пренебречь и потенциалом
ti + Τ Ψ/' - JSL^L ΨΙ = 0- (4-99)
71

Общее решение этого уравнения имеет вид:
*i = <V + с2г-<'+'>. (4.100)
где сг и с2 — постоянные, не зависящие от k, значения которых могут
быть определены только в результате нахождения решения во внут-
ренней области г < R. Если г ~ k~\ то в уравнении (4.9) можно пре-
небречь потенциалом, но необходимо учесть слагаемое с &2. Уравне-
ние (4.9) в этом случае совпадает с уравнением для свободного дви-
жения (4.10). общее решение которого представим в виде
Ψ/ = с, К ^ }" U (kr) - с2 (2f_1)n щ (kr). (4.101)
Коэффициент в (4.101) выбран так, чтобы это решение при г <^ k~'
переходило в (4.100).
Используя асимптотики (4.13), решение (4.101) при kr ^> 1 можно
записать в виде
л[ с? [(2/+!)!!]* ф21 1 . / Ы х
*«-" К £*+2 + ни-1)И]« т51П(^--^-+б')'(4·102)
где фаза δ, определяется равенством
**'^8' = М2/-1)П2/+1)П k2l+1- (4·103)
Формула (4.103) и определяет зависимость фазы рассеяния δ£ от k при
малых значениях k. Постоянные q и с2 различны для различных / и,
вообще говоря, определяются видом потенциала ν (г). Согласно (4.103),
отношение фаз для соседних значений I пропорционально &2. Поэтому
в предельном случае малых энергий в рассеянии принимает участие
только S-волна.
2. Определить зависимость фазы рассеяния δ, (k) от k при больших
значениях k.
Согласно (3.15), амплитуда рассеяния может быть записана в виде
/ (к, к') = - -L- j dr e-*''v (г) ψ„ (г). (4.104)
Подставляя в правую часть равенства (4.104) разложения е~1 г и
\$к (г) в виде (4.8) и используя разложение (3.49) для амплитуды / (k,
к') по парциальным амплитудам, найдем:
со
inf'=- -L· $dr rh) (r) ^(r) ψ< w· (4· lo5>
0
или
-1ψ-β6' sin 6t = — ^drr2v(r) ψδ(r) ψ, (r). (4.106)
Это соотношение устанавливает связь между фазой рассеяния δ, и
потенциалом. Однако для нахождения фазы бь согласно (4.106), не-
обходимо знать точную радиальную волновую функцию %.
72

В случае достаточно больших k величину фазы можно вычислить
приближенно, воспользовавшись методом возмущений. Для этого
заменим в правой части равенства (4.106) функцию ψΖ невозмущенной
функцией %. Используя для % выражение (4.22), получим:
6,^ — k\dr r2v (r) /? (kr). (4.107)
б
Если потенциал ν (г) характеризуется конечным радиусом действия
R, и если этот радиус достаточно мал, так что kR <^ 1, то в (4.107)
можно воспользоваться разложением (4.12). В результате найдем:
^-wwi*^^ (4Л08)
С ростом / фазы δ£ быстро уменьшаются. Так, для прямоугольной ямы
имеем
δ, ~ ^'+3 ь2'+! /4 109)
°i— (2i + 3)[(2i+l)llp R ■ l*.iu»j
3. Показать, что в случае потенциала с конечным радиусом дей-
ствия R существует следующее неравенство, связывающее фазу рас-
сеяния в S-состоянии δ0, радиус взаимодействия R и волновое число k:
-%- + R-~k-sin &kR + 2δο) > °· <4·[ 10>
Запишем уравнение Шредингера для двух близких значений k и к;
1 d?
Умножим первое из этих уравнений на ψ*, а второе на ψ и вычтем одно
из другого. Домножив затем полученное равенство на г2 и проинте-
грировав по г от нуля до R, в пределе k -> k найдем:
Так как при г — R потенциал обращается в нуль, то в левой части
(4.111) можно воспользоваться асимптотикой
ψ = W» sin(fe;+6°).
В результате получим:
R
^!^ + #-^5!η(2/^ + 2δ0)] = ^ΓΓ4ψ|2. (4-112)·
о
Так как правая часть равенства положительна, то из (4.112) непосред-
ственно следует неравенство (4.110).
73

4. Проверить, что функции
Ч+) И = 2 Ч>« (г) У\т (»*) УШ. (»,), (4.113)
1т
описывающие стационарные состояния частицы в центральном поле,
в которых на бесконечности имеется плоская волна и расходящаяся
сферическая волна, взаимно ортогональны и нормированы согласно
условию
J drift, (г) \ (г) = (2π)3 δ (ft — ft'). (4.114)
Подставляя функции % и %· в виде (4.113) в левую часть равенст-
ва (4.114) и используя условие ортогональности сферических функций,
интегрированием по углам найдем:
оо
J dry;, (r) ψ, (r) = Σ Yi,n (»*·) Y\m Ы J dr Λ2ψ;,, (r) ψα (г). (4.115)
lm 0
Функции ·ψ/>Λ. и %,fe' ортогональны друг другу, т. е.
J dr Γ*ψ;Λ. (г) ψυ (г) = С6(ft — ft'). (4.116)
и
где С — некоторая постоянная. Если функции i]i+) (r) нормированы на
единичную амплитуду в плоской волне, то
С = п£- (4.117)
Учитывая условие полноты сферических функций
Σ У\т («') К,т (η) = δ (и - и'), (4.118)
1т
таким образом найдем
j drift, (г) фк (г) = -^-б (ft - ft') δ («-«'). (4.119)
Стоящее справа выражение при умножении на dk и интегрировании
по всему пространству волновых векторов дает (2л)3, т. е. оно совпада-
ет с дельта-функцией в пространстве ft, умноженной на (2н)3. Таким
образом мы проверили соотношение (4.113).
5. Найти асимптотику полной функции Грина G (Е; г, г') для части-
цы в центральном поле V (г).
Воспользуемся асимптотическим представлением (4.85) для пар-
циальной функции Грина g/j^' (r, г'). Подставляя (4.85) в соотношения
(4.77) и (4.76), нетрудно получить
G (£; г, г') -+--gt- J1.ψ<-)· (0, (4.120)
где ft' = — ft и
Ψ!Γ> И = Σ (- 1)' Ψα (г) ^;m К) У1т (пг). (4.121)
im
74

функция tyk (r) описывает стационарное состояние частицы в поле с
центральной симметрией V (г). В отличие от (4.8) в ijjk—' (г) на беско-
нечности содержится плоская волна и наряду с ней сходящаяся сфе-
рическая волна.
l4~' И -* *""" + / (ft, ft') ^—. (4.122)
Γ-*·οο
Функцию ψΙτ1 (г) можно получить непосредственно из гр^"' (г).
Для этого необходимо провести операцию комплексного сопряжения и
заменить ft на — ft, т. е.
ИГ» И = [%+' (г)]*. (4.123)
Можно показать, что если в результате какого-либо возмущения
частица переходит в состояние непрерывного спектра, то в качестве
волновой функции конечного состояния частицы необходимо исполь-
зовать ψΙτ' (г). Действительно, пусть частица находится в поле по-
тенциала V (г) и испытывает переход под воздействием возмущения
U (г). Обозначим волновую функцию начального состояния через
Vk1^ (г)· Искажение волновой функции, обусловленное возмущением
U (г), равно
Δψ (г) = f dr'G (Ε; г, г') U (г') ψ{+> (г').
Используя асимптотику функции Грина (4.120), для амплитуды перехо-
да, таким образом, получим:
r (ft·ft') = —sSf i ^т)* (r>υ (r) ^(r>- {4·124>
Полученная формула определяет амплитуду перехода между состояни-
ями непрерывного спектра частицы, находящейся в поле потенциала
V (г), под воздействием внешнего возмущения U (г).
ГЛАВА 5
ОПТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА
5.1. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПОЛНЫМ СЕЧЕНИЕМ
И АМПЛИТУДОЙ УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ
Как уже отмечалось во второй главе, матрица рассеяния унитарна.
Унитарность матрицы рассеяния является следствием сохранения
вероятности со временем. Из унитарности матрицы рассеяния выте-
кает целый ряд важных следствий, в частности из унитарности матри-
цы рассеяния следует наличие связи между полным сечением всех про-
цессов, происходящих в системе, и мнимой частью амплитуды упру-
гого рассеяния.
Унитарность матрицы рассеяния S означает, что
S+S = l и SS+=1. (5.1)
75

Введем оператор перехода § = S — 1. Из условия унитарности S-
матрицы вытекает требование, налагаемое на ^-матрицу:
S + §+ = — §+§. (5.2)
Выбирая энергетическое представление и вводя матрицу перехода на
энергетической поверхности t, согласно (2.33), равенство (5.2) пере-
пишем в матричном виде:
i {tfk* — t*a$} = 2π 2 tfttyab (Εα — Ey), (5.3)
ν
где Еа = £ρ и суммирование в правой части производится по всем
промежуточным состояниям γ.
Рассмотрим соотношение (5.3) для частного случая, когда а = β.
Имеем
-2\т^ = 271^у*\2Ь(Еа — Еу). (5.4)
ν
Правую часть равенства (5.4) можно выразить через сумму сечений
для различных переходов α -»- у. Действительно, согласно (2.38) и
(2.34), сечение перехода α ->- γ равно:
σα-»ν == t2£ I 'vo I " (Ё-а £·γ)>
где fik — импульс относительного движения сталкивающихся частиц.
Поэтому равенство (5.4) можно переписать в виде
h*TIm taa = ^ °а^· (5·5)
Вспоминая связь между амплитудой упругого рассеяния и матрицей
перехода
f(k, k') = -^r(k'\t\k), (5.6)
мы видим, что левая часть равенства (5.5) непосредственно выражается
через амплитуду упругого рассеяния на нулевой угол. Обозначая
сумму сечений всех процессов через ot
σ< = ~Σ σ«->ν. (5·7)
ν
окончательно соотношение (5.5) перепишем в виде
ii
k
af = -£-bn/(0). (5.8)
Полученное соотношение обычно называют оптической теоремой.
Оптическая теорема устанавливает общую связь между полным сече-
нием всех процессов, включающих как упругое рассеяние, так и
всевозможные неупругие переходы, и мнимой частью амплитуды упру-
гого рассеяния на нулевой угол.
76

5.2. СООТНОШЕНИЕ УНИТАРНОСТИ ДЛЯ АМПЛИТУДЫ
УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ
Рассмотрим теперь соотношение (5.3) для общего случая α Φ β,
однако будем предполагать, что в системе возможно только упругое
рассеяние. В этом случае состояния системы будут полностью опреде-
ляться заданием импульсов относительного движения
a-*k, β^Α:' и y^k",
при этом
dtf
(2π)3
Выражая элементы матрицы перехода через амплитуду рассеяния,
согласно (5.6), и выполняя интегрирование по энергиям промежуточных
состояний за счет дельта-функции, из (5.3) получим
/ (ft, ft') - f* (ft', *) = -5Г J йо'7* (ft', ft") / (ft, ft"), (5.9)
где справа интегрирование производится по всем направлениям век-
тора к". Соотношение (5.9) обычно называется условием унитарности
для амплитуды упругого рассеяния. В отсутствие спинов амплитуда
рассеяния/ (к, ft') симметрична относительно векторов k и к', поэтому
условие унитарности (5.9) можно переписать в виде
Im / (ft, ft') = -^г J do"f* (ft', ft") / (ft, ft")· (5.10)
При k = ft' из (5.9), как и должно быть, следует оптическая теорема
(5.8).
В случае центрального взаимодействия амплитуда упругого рас-
сеяния зависит только от угла Φ между векторами к и к'. Если пред-
ставить амплитуду в виде разложения (3.49), то, используя формулу
сложения для сферических функций, нетрудно получить следующее
соотношение для парциальных амплитуд
Im/, = fc|/,|2- (5.11)
Переписав это равенство в виде Im//~ = — k, мы видим, что амплиту-
да ft должна иметь вид
л = -вгЬг· (5·12>
где gi = gt (k) — вещественная функция. gt (k) связана с фазой рассея-
ния δ£ посредством соотношения
g, =ftctg6,, (5.13)
поэтому
/£=4-Λ'ηδ<· (5·14)
Соотношение унитарности для амплитуды рассеяния (5.9) в прин-
ципе позволяет по известному для всех углов сечению рассеяния
77

определить саму амплитуду. Действительно, если амплитуду упругого
рассеяния записать в виде
f(®) = V^WJeiaib), (5-15)
где а (ft) — фаза амплитуды рассеяния, то при известном для всех углов
сечении рассеяния a(ft) соотношение (5.9) можно рассматривать как
интегральное уравнение, из которого можно определить неизвестную
фазу a (ft):
sin a (ft) ^^j do")/" °(У} cos [α (θ)- α (θ')]. (5.16)
Здесь θ — угол между векторами к и к"; Θ' — угол между векторами
к' и к". Интегрирование производится по всем направлениям вектора
к".
Так как уравнение (5.16) инвариантно относительно замены а-*-
-»- π — а, то фазу амплитуды рассеяния можно вычислить только с
точностью до преобразования
/(ft)-^_/*(ft). (5.17)
Поэтому измерение сечения упругого рассеяния при заданной энергии
для всех углов позволяет определить амплитуду упругого рассеяния
с точностью до преобразования (5.17).
Задачи
1. Записать условие унитарности (5.9), выбрав в качестве независи-
мых переменных, от которых зависит амплитуда упругого рассеяния
/ (к, k'), величины k и z = cos ft.
Введем обозначение
f(k, k')^f(k, z). (5.18)
Обозначим далее косинус угла между векторами к и к" через z1? ко-
синус угла между векторами к' и к" через z2 и угол между плоскос-
тями (k, k") и (k\ k") через φ. Между величинами z, гъ z2 и φ
имеет место соотношение
z2 = zzx + V 1 — z2 V 1— zicoscp. (5.19)
Интегрирование по направлениям вектора к" в правой части (5.9).
т. е. интегрирование по zx и углу φ, можно заменить интегрированием
по переменным zx и z2:
1 я 1
\ do"/ (k, zj f* (k, Za) = J dzx \ dq> \ dzJ> (z2 — zzx —
-1 0 -1
-\T=* К 1—2? COS φ)/(ft, Zx)f*(k, Z^ =
= 2 \ dzx \ dz2 =-/(fe, z1)f*{k, z2).
_Ji J?, ]/ 1 - г2 - г? - 4 + 2zZlz2
β результате условие унитарности (5.9) принимает следующий вид
ь г С θ(1—г2 —г? —г^ + ггг^,)
Im/(ft, 2) = -^· J ^ dz2 κ \ γ f(k, zx)f*(k, z2).
/π ii J, J/ 1 -г2 _ zf - z22 + 2г21г2 (5.20)
78

Пределы интегрирования в правой части (5.20) фактически определя-
ются Θ-функцией.
Если воспользоваться разложением Редже
θ(1— z2 — z? — £+2zz1z2) π °°
Λ = 4" Σ & + !) Pi (Ζ) Ρ< &) Ρ' (*»>. (5.21>
V\-z* — z\ — zl+2zz,z2 z /Ξο
то из (5.20) сразу следует условие унитарности для парциальных ампли-
туд (5.11).
2. Определить среднее изменение импульса за единицу времени при
рассеянии [21 ].
Рассмотрим некоторый оператор Q, не зависящий явно от времени
и коммутирующий с Я0. Производная по времени от оператора Q равна
Q = -^IQ, Я], (5.22).
где Я — полный гамильтониан системы Η — Н0 -\- V. Обозначим:
собственные функции операторов Q и Я0 через φα, и пусть функциям
φα соответствуют собственные функции полного гамильтониана ψ^1"'.
Так как Q коммутирует с Я0, то среднее значение (5.22) в состоянии
■ψα равно:
(ψα, Οψα) = Ua, -^"[Q, ^J *«V (5.23)
Воспользовавшись полнотой системы функций φα, правую часть ра-
венства (5.23) можно записать:
(ψα. -y-[Q, V] ψα) = -^ Σ Qv {ψα. Φν) (φγ· ^Ψα) — (ψα. V<pv) (φν, ψβ)}„
или в силу эрмитовости V:
(ψ* -gp [Q. У1 Ψ») = \ Σ Qv Im (ψ», Φν) (Φν. %*)· (5.24)
Замечая далее, что 1Л])а = Λρα, где / — оператор перехода на энерге-
тической поверхности, и используя (3.22), найдем:
(ψ* \ [Q. V] ψ») = \ Qa im /αα + -ψ- Σ Qv Ι 'να j2 δ (£β - £τ). (5.25)
Если в качестве Q выбрать единичный оператор, то из (5.25) непосред-
ственно следует оптическая теорема (5.4).
Воспользовавшись оптической теоремой (5.4) и определением ве-
роятности перехода за единицу времени (2.34), соотношение (5.25)
можно переписать в форме:
(ψα, ~ [Q, V] ψα) = Σ (Qv - Qoc) Wa^v. (5.26)
Вспоминая (5.17), мы видим, что
(ψα, Οψα) = Σ (Qv — Qa) fflu^, (5.27)
т. е. среднее изменение за единицу времени величины Q в состоянии
■ψα непосредственно выражается через сумму произведений изменения
79

величины Q при определенном переходе на вероятность соответствую-
щего перехода.
Выбирая в качестве величины Q импульс р, на основании равенства
(5.26) получим соотношение
Ht(p' — P)wv-P-= (ЦР, (— νν)ψρ). (5.28)
Таким образом, среднее изменение импульса за единицу времени при
рассеянии, описываемом волновой функцией ·ψρ, непосредственно
выражается через среднее значение силы в состоянии ·ψρ.
ГЛАВА 6
ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ
6.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИИ
И ОПЕРАТОРОВ ПРИ ОБРАЩЕНИИ ВРЕМЕНИ
В классической механике уравнения движения для консерватив-
«ых систем не изменяются при изменении знака времени, т. е. при за-
мене /на — /. Поэтому в указанных системах имеет место обратимость
времени, заключающаяся в том, что если г (/) является допустимой
траекторией движения, то и обращенная во времени траектория г (— f)
также является допустимой. В квантовой механике обратимость вре-
мени имеет место, если система описывается гамильтонианом, не
изменяющимся при изменении знака времени. Инвариантность гамиль-
тониана относительно обращения времени приводит к наличию опре-
деленных соотношений между вероятностями прямых и обратных пере-
ходов в системе.
Условимся под обращением времени понимать преобразование
/->/' = —/. (6.1)
Пусть система находится в состоянии ψ (/). Обозначим волновую функ-
цию, которая получается из ψ (/) в результате обращения времени,
через яр' (/'). Очевидно,
Ψ'.0=·ψ(-Ο- (6.2)
Сопоставим преобразованию (6.1) оператор отражения времени R,
который, согласно определению, преобразует волновую функцию
ψ (/) в функцию яр' (/).
ψ' (/) = #ψ (/). (6.3)
Можно показать, что преобразование отражения времени R экви-
валентно последовательному выполнению комплексного сопряжения и
некоторого унитарного преобразования. Рассмотрим для этого за-
висящее от времени уравнение Шредингера
Й-Э- = Я1>. (6.4)
so

Если гамильтониан системы инвариантен относительно обращения
времени, то при замене в (6.4) t на — t получим:
-т-^^ну. (6.5)
Для нахождения связи между ψ (f) nif(i) рассмотрим уравнение,
комплексно сопряженное уравнению (6.4):
_ in -*!£- = Η*ψ. (6.6)
Из эрмитовости Я следует, что Я и Я* имеют одни и те же собственные
значения, хотя собственные функции этих операторов могут разли-
чаться. Это означает, что Я и Я* связаны некоторым унитарным пре-
образованием W, т. е.
Я = WH*W~l (W+ W=l). (6.7)
Действуя слева на обе части уравнения (6.6) оператором W, имеем:
— iil d(Wdf] = ΗΨψ. (6.8)
Сравнивая это уравнение с (6.5), мы видим, что
ψ' = WKq, (6.9)
где К — оператор комплексного сопряжения, г W — унитарный опе-
ратор, удовлетворяющий условию (6.7). Таким образом, обращенная
во времени волновая функция φ' (/) получается из исходной функции
■ψ (f) путем комплексного сопряжения и некоторого унитарного пре-
образования [22]:
R = WK- (6.10)
Оператор комплексного сопряжения К. не является линейным опера-
тором, так как имеет место равенство
ΚΣα\ρ = Σα*Κψ. (6.11)
Однако операция комплексного сопряжения оставляет неизменным
абсолютное значение скалярного произведения двух произвольных
функций, а следовательно, не меняет условие нормировки волновых
функций
I (КЬ Κψ)\ = \ (ψ, φ*) Ι = Ι (ψ, φ) |. (6.12)
Оператор, удовлетворяющий условиям (6.11) и (6.12), называется ан-
тиунитарным оператором. Так как произведение унитарного и анти-
унитарного операторов является антиунитарным оператором, то опе-
ратор отражения времени R является антиунитарным оператором.
Отражение времени сопровождается не только преобразованием
функций, но и преобразованием операторов. Определим отраженный
во времени оператор Q', соответствующий Q, исходя из требования,
чтобы матричный элемент Q между состояниями φ и ψ равнялся ма-
тричному элементу обращенного во времени оператора Q' между обра-
щенными во времени состояниями ψ' и φ':
(ψ, 0φ) = («ρ', QY). (6.13)
6 5-614
81

Из этого условия вытекает:
Q+ = R~lQ'R, (6.14)
или
Q'=F>Q+R-\ (6.15)
Полученное соотношение устанавливает связь между оператором Q
и обращенным во времени оператором Q'.
Все физические величины можно разделить на две группы в зави-
симости от поведения этих величин при отражении времени. К первой
группе отнесем величины, не изменяющиеся при отражении времени
Q'=Q. (6.16)
Такими величинами являются: радиус-вектор точки, энергия, квад-
рат момента количества движения и другие. Ко второй группе отне-
сем физические величины, изменяющие свой знак при отражении
времени
Q' = -Q. (6.17)
Примерами таких величин являются: скорость, импульс, момент
количества движения и другие. Очевидно, в состоянии, описываемом
обращенной во времени волновой функцией ψ', все физические вели-
чины первой группы имеют те же значения, что и в состоянии ψ, а
физические величины второй группы имеют противоположный знак.
6.2. ОПЕРАТОР ОБРАЩЕНИЯ ВРЕМЕНИ
ДЛЯ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Явный вид оператора обращения времени R зависит от свойств
системы и представления, в котором рассматривается система.
А. Система состоит из бесспиновых частиц в отсутствие электро-
магнитного поля. Нетрудно проверить, что в координатном представ-
лении оператор обращения времени для указанной системы сводится к
оператору комплексного сопряжения
R = K. (6.18)
Действительно, так как в координатном представлении Я = Н*, то
ψ = 1 удовлетворяет условию (6.7). При этом для операторов коорди-
нат г и импульса ρ =■ — i/zV имеем:
г' = КгК~1 = г, р' = К (— ih V) K~l = ШУ = —р.
В импульсном представлении г = 1ЙУР, р = риН*фН.В этом
случае необходимо положить
R = WPK, (6.19)
где Wp — оператор, заменяющий ρ на —р.
WppWp~1 = -p.
Легко видеть, что условие (6.7) выполняется, при этом г' = г и р' =
= — Р-
82

Б. Система заряженных частиц во внешнем электромагнитном поле
описываемом векторным потенциалом А. В этом случае гамильтониан
содержит слагаемое
■ш(р-т AJ-
В координатном представлении условие (6.7) будет выполняться,
если
R = ХРлК, (6-20)
где оператор WA заменяет векторный потенциал А на — А.
В. Система частиц со спином в электромагнитном поле. В этом слу-
чае гамильтониан содержит слагаемое, описывающее магнитное вза-
имодействие
— μσ rot A,
где μ — магнитный момент и σ — спиновая матрица Паули. Для вы-
полнения условия (6.7) в координатном представлении необходимо,
чтобы
W = WAWa,
где WA — определенный выше оператор, a Wa —«спиновый оператор,
определяемый равенством
Непосредственной проверкой легко убедиться, что оператор
W„ = iau (6.21)
удовлетворяет соотношению (6.7). Фаза i в (6.21) выбрана так, чтобы
для частиц со спином половина оператор отражения времени R удо-
влетворял условию R2 = — 1.
6.3. ОБРАЩЕННАЯ ВО ВРЕМЕНИ ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ
Рассмотрим полную систему собственных функций ψα гамиль-
тониана Я:
Hqa = Eaya. (6.22)
Очевидно, в состояниях, описываемых функциями ·ψα, помимо энергии
определенное значение могут иметь и другие физические величины.
Выберем набор физических величин А, однозначно определяющий
состояние ψα- Тогда
Αψα = αψα. (6.23)
Применяя к этому уравнению операцию обращения времени, находим:
Λ'·ψα = αψα, (6.24)
где
ψ; = #ψ„ и A' = RARTl (А+ = А).
Согласно (6.16) и (6.17), обращенные во времени операторы А' могут
отличаться только знаком от исходных операторов А. Поэтому
Л' = ± Д (6.25)
6* 83

где верхний знак соответствует величинам первой группы, а нижний
знак — величинам второй группы. Подставляя (6.25) в (6.24), имеем:
Aq'a = ± αν (6.26)
Сравнивая (6.26) с (6.23), мы видим, что, если величина А не изменяет-
ся при отражении времени, то
Ч>; = 4>«. (6-27)
если же при отражении времени величина А изменяет свой знак, то
ψ;=β_αΨ_α, (6.28)
где β_α — некоторый фазовый множитель, т. е. | β_а | = 1. Таким
образом мы показали, что обращенная во времени волновая функция
ψα с точностью до фазового множителя совпадает с функцией ·ψ_α,
описывающей состояние, которое отличается от ·ψα знаками величин
второй группы, входящих в набор а.
В качестве примера рассмотрим преобразование при отражении
времени волновой функции для состояния с определенными значения-
ми квадрата момента и проекции момента ψα s= tyjm. Будем предпола-
гать, что все другие квантовые числа при обращении времени не изме-
няются, и опустим их. Функции ·ψ,„, удовлетворяют уравнению
/zi|)/m = 1Щ,т. (6.29)
Производя обращение времени и учитывая, что }г =—/г, имеем:
/«*;„ =-«φ^. (б-зо)
откуда следует:
t = PU-.· (6·31)
Имея в виду дальнейшие приложения, определим фазовый множи-
тель $—т, ВХОДЯЩИЙ В (6.31).
Введем операторы /т = \х =р Цу. Действуя оператором /т на функ-
цию tyjm, получим:
h4>im = V(j ± т) (/ τ т + 1) ψ,η^\. (6.32)
Используя определение обращенного во времени оператора (6.15) и
учитывая, что /* изменяет свой знак при обращении времени, имеем:
или
Rh = - i±R- (6-33)
Применяя непосредственно оператор отражения времени R к равенству
(6.32), имеем:
Rj-^im = Pi-m+i V(j + m)(j — m+ 1) г]з,_т+1. (6.34)
Если же воспользоваться соотношением (6.33), то
Rl-tyim = — l+Rtyjm = — p7-m/+%_m,
84

откуда
Rj-tyjm = — Pi-m V (i + m)(j — m + 1) %_m+1. (6.35)
Сравнивая (6.34) и (6.35), имеем:
PLm+1 = -P'lm.
Это равенство будет удовлетворено, если положить, что
Pi_m = P'"(-i)m- (6.36)
Таким образом, явная зависимость фазового множителя от т опреде-
ляется свойствами момента количества движения.
Оставшийся фазовый множитель β' можно определить, только введя
дополнительные условия. Например, можно потребовать, чтобы при
отражении времени правила сложения моментов не изменялись.
Рассмотрим волновую функцию системы с определенным моментом,
состоящей из двух подсистем, характеризуемых также определенными
моментами.
Ьм = Σ (jitnjjih IIM) ψ/,™,*/.™.· (6-37)
m,m2
Применяя к этому равенству операцию отражения времени, получим:
Ψ™ = Ρ7*'' Σ 0VW41 Щ (- l)mi+m^_mi^mi, (6.38)
mifn2
где мы воспользовались соотношениями
■ψ' = β/i (— l)m> ib. и яр' = β'* (— l)m* ψ.
Переобозначая в (6.38) индексы суммирования тг -*- — щ и т2 -*- —т2
и учитывая симметрию коэффициентов Клебша — Гордона
0Ι-mj2 -m211Μ) = (- 1/·+'*-'(y1m1/2m2 \I - M), (6.39)
находим:
*ш = (- 1)-/+Λ<+''·+W4/_M, (6.40)
в то время как должно быть
ψ;Λ1 = β/(-1)Λ<ψ/_Λ<. (6-41)
Сравнивая (6.40) с (6.41), мы видим, что
β7 = (— 1)-/. (6.42)
Таким образом, волновая функция для состояния с определенным мо-
ментом при отражении времени преобразуется по закону:
%т = (- l)-/+m%-m. (6.43)
6.4. ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ И ДЕТАЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ
Как мы уже отмечали, обратимость времени имеет место, если га-
мильтониан системы инвариантен относительно обращения времени
Н' =Н. Нетрудно проверить, что из инвариантности гамильтониана
85

Η относительно обращения времени непосредственно следует также
инвариантность матрицы рассеяния
S' = S. (6.44)
Использовав свойство инвариантности матрицы рассеяния относительно
обращения времени, можно установить простые соотношения между
вероятностями прямых и обратных переходов в системе. Для этого в
соответствии с (6.14) запишем:
S = (R^S'R)*. (6.45)
Вычисляя матричный элемент от (6.45), соответствующий переходу
α -> β, и учитывая определение обращенных во времени состояний
(6.3), имеем:
(Φρ. S4>a) = Κ· 5'φβ)" (6·46)
Заменяя в правой части S' на S, согласно (6.44), и используя (6.28),
окончательно получим следующее соотношение, называемое обычно
теоремой или условием взаимности:
Sp« = β1αβ-β5_α_ρ. (6.47)
Теорема взаимности устанавливает общую связь между матричными
элементами матрицы рассеяния для прямых (а -*- β) и обращенных во
времени (— β -> — α) переходов. Теорема взаимности является не-
посредственным следствием инвариантности матрицы рассеяния от-
носительно обращения времени.
Очевидно, соотношение, аналогичное (6.47), имеет место и для ма-
тричных элементов оператора перехода t:
?βα = β1αβ-β*-α-β- (6.48)
Согласно (2.37), вероятность перехода системы из состояния α в со-
стояние β за единицу времени пропорциональна квадрату модуля ма-
тричного элемента ^βα и плотности конечных состояний ρ (Ер). Поэто-
му, используя условие взаимности (6.48), получим следующее соотно-
шение, связывающее вероятности прямого (α -> β) и обращенного во
времени (— β -> — α) переходов:
J5-L = ^L·^ . (6.49)
Заметим, что под обращенным во времени переходом (— β -> — α)
понимается переход из состояния — β в состояние — а, которые от-
личаются от конечного β и начального α состояний прямого перехода
(а -»- β) знаками всех величин, относящихся ко второй группе. Если
плотности конечных состояний для обоих переходов равны друг другу,
то равны и вероятности прямого и обращенного во времени переходов.
В качестве примера рассмотрим какой-либо переход в системе, когда
начальное и конечное состояния определяются заданием импульса от-
носительного движения, спинов и проекций спинов частиц:
α = ft; jlt ttii, к, m2 и β = ft'; /J, m[; j'2, m'r
(При упругом рассеянии ft = ft', \г = /j и j2 = }'2] в общем случае ка-
кой-либо реакции ft φ ft', jt φ j\ и }2 φ Q. Если гамильтониан систе-
86

мы инвариантен относительно обращения времени, то условие взаим-
ности для рассматриваемого и обращенного во времени переходов
записывается в виде
<k'i\m\i'2m21S | khmJitih) =
= (—1) (— к]г — tnj2 — т2\Ъ\ —
— k'j[ — т[]"2 — m'2). (6.50)
Мы учли определение фазовых множителей (6.43).
Если гамильтониан системы инвариантен также относительно
пространственного отражения, то в этом случае S = PSP~l, где Ρ —
оператор пространственного отражения, и, следовательно,
(К\\т\]2т21S | khtnj./tu) =
/ i\— /i—it—/Ι—М-т1+т2+т,+тг
= (— 1) («/l ~ «ii/г —
— m, |S|ft'/,' — т\]'2— т2). (6.51)
Условие (6.51) по-прежнему можно записывать в виде (6.47), если под
состояниями — α и — β понимать состояния, отличающиеся от со-
стояний α и β только знаками проекций спинов. Очевидно, при таком
определении состояний вероятности, усредненные по проекциям спи-
нов начальных и конечных состояний, для переходов — β -> — α и
β -»- α совпадают.
^ш_р^_« = Συν^α. (6.52)
Поэтому для систем, инвариантных по отношению к отражению време-
ни и отражению пространственных координат, имеет место полуде-
тальное равновесие, при котором вероятности прямого и обратного
переходов, усредненные по проекциям спинов начального и конечного
состояний и отнесенные к одному конечному состоянию, равны:
Щ^ = 1д^. (6.53)
Если гамильтониан системы инвариантен также относительно
пространственных вращений, то в этом случае, как было показано в
главе 2, матрица рассеяния не зависит от проекций спинов. Поэтому
из условия взаимности непосредственно следует связь между матрич-
ными элементами оператора рассеяния для прямого и обратного пере-
ходов
5βα = SaP. (6.54)
Это соотношение означает, что в системе имеет место детальное рав-
новесие, при котором вероятности прямого и обратного переходов,
отнесенные к одному конечному состоянию, равны
"^ = "П^Т ■ (6"55>
Ρ(£β) Ρ(£α)
87

Детальное равновесие имеет место в системах, свойства которых ин-
вариантны по отношению к вращениям и отражению пространственных
координат и отражению времени.
Задачи
1. Показать, что в случае N открытых каналов матрица рассеяния
1_
2
полностью определяется заданием -^-N(N-\-l) вещественных пара-
метров.
Требования взаимности и унитарности сокращают число независи-
мых параметров, определяющих матрицу рассеяния. Если открыто
N каналов, то матрица рассеяния, являющаяся комплексной, в общем
случае может содержать 2Л72 вещественных параметров. Вследствие
унитарности и условия взаимности только -γ-Ν(Ν -\- 1) из этих пара-
метров являются независимыми. Представим матрицу рассеяния в виде
S = * (6.56)
где /С*" = К- Из такого представления следует, что S = S~ . Обра-
щая равенство (6.56), находим:
т* = тт^· (6"57)
Матрица К характеризуется теми же свойствами симметрии, что и S.
В представлении полного момента матрица К. эрмитова и симметрич-
на, следовательно, она имеет -~-Ν (Ν + 1) независимых вещественных
параметров, которые полностью описывают рассеяние и реакции.
2. Показать, что в случае двух открытых каналов матрицу рассея-
ния можно записать в виде
/ V \— г2 е216 ire1 «Н-ч> \
S= . , (6.58)
\ireH6+rj, yi+r2 e2iiy
где r, δ и η — вещественные параметры.
ГЛАВА 7
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ
7.1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
РАДИАЛЬНЫХ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИИ
Матрица рассеяния при фиксированном значении орбитального
момента / является функцией энергии Ε или же волнового числа k.
Определенная для вещественных значений волнсвого числа k матрица
рассеяния St (k) может быть аналитически продолжена в область комп-
88

лексных значений k. Аналитичность матрицы рассеяния является
непосредственным следствием физического принципа причинности, со-
гласно которому причина должна предшествовать следствию. Однако,
конкретные аналитические свойства матрицы рассеяния, например
характер и расположение особенностей, определяются свойствами фи-
зической системы, поэтому изучение аналитических свойств матрицы
рассеяния может давать непосредственные сведения о свойствах самой
физической системы. Значительным достижением теории является то,
что на основе рассмотрения аналитических свойств матрицы рассеяния
оказывается возможным единое описание рассеяния и связанных со-
стояний системы.
Аналитические свойства матрицы рассеяния рассмотрим на примере
задачи о рассеянии нерелятивистской частицы в центральном поле.
Исследуем прежде всего зависимость от волнового числа k радиальных
волновых функций системы. При этом для простоты ограничимся вна-
чале рассмотрением случая S-рассеяния.
Уравнение для радиальной функции в S-состоянии имеет вид
*± + [Р-о(г)]и = 0. (7.1)
Это уравнение является линейным однородным уравнением второго по-
рядка. Общее решение такого уравнения может быть записано в виде
линейной комбинации двух независимых решений. Напомним, что
решения их и и2 являются независимыми, если вронскиан для этих
решений отличен от нуля
W (%, «2) = щи' — и[щ φ 0.
Исследуем зависимость различных решений уравнения (7.1) от k.
При этом будем предполагать, что сингулярность потенциала в точке
г = 0 слабее г~ , а на бесконечности потенциал спадает быстрее г^ .
Это означает, что потенциал ν (г) должен удовлетворять условиям
оо
|Лт|и(г)| = Л1<оо, (7.2)
о
со
f dn*1 ν (г) \ = N<oo. (7.3)
о
Различные решения уравнения (7.1) определяются заданием соот-
ветствующих граничных условий. Обычно под заданием граничных
условий понимают либо задание значения решения и его первой произ-
водной в определенной точке г, либо задание асимптотического вида
решения на бесконечности.
Введем функцию Φ (k, r), являющуюся решением уравнения (7.1) и
удовлетворяющую граничным условиям в точке г =0:
Ф(к, 0) = 0 и Ф'(&, 0)=1. (7.4)
Так как при вещественных k уравнение (7.1) вещественно и граничные
условия (7.4) также вещественны, то функция Φ (k, r) — вещественна
и зависит от Л2, т. е. является четной функцией от k.
89

При комплексных значениях k выражение, стоящее в квадратных
скобках в (7.1), является целой функцией от k, т. е. функцией, не имею-
щей особенностей при конечных значениях k. Согласно теореме Пуан-
каре, если коэффициент, входящий в дифференциальное уравнение
второго порядка, зависит не только от координаты, но является целой
функцией некоторого параметра, решение уравнения, удовлетворяю-
щее граничным условиям, не зависящим от указанного параметра,
оказывается целой функцией параметра при любом значении коорди-
наты. Поэтому функция Φ (k, r), являющаяся решением уравнения
(7.1) и удовлетворяющая граничным условиям (7.4), является целой
функцией от k, т. е. аналитической функцией без особенностей
в открытой плоскости комплексного переменного k при любом значе-
нии г.
Введем другое решение / (k, r) уравнения (7.1), удовлетворяющее
граничному условию
lime**/(Л, г) = 1. (7.5)
/■-♦со
Это решение обычно называют решением Иоста. Условие (7.5) означает,
что на бесконечности функция / (k, r) имеет асимптотику
f(k, r)^e~ikr, r->oo. (7.6)
Граничное условие (7.5) позволяет определить f (k, r) только в ниж-
ней полуплоскости комплексного k (Im k <; 0). Можно показать, что
/ (ft, г) является аналитической функцией комплексного ft при Im ft < 0
и непрерывна вдоль вещественной оси lmft = 0.
При доказательстве дифференциальное уравнение (7.1) и гранич-
ное условие (7.5) удобно свести к интегральному уравнению. Для этого
перепишем уравнение (7.1) в виде
f" + k*f = vf (7.7)
и будем рассматривать как неоднородное уравнение с заданной правой
частью. Введем два независимых решения соответствующего однород-
ного уравнения
f1 = e-4* и /а = -Л_^, (7.8)
коэффициенты в которых выберем так, чтобы выполнялось равенство
/,'/2-^=1· (7-9)
Тогда общее решение неоднородного уравнения (7.7) может быть за-
писано в виде
г Ь
f = hldr%vf+f^dr'hvf, (7.10)
а г
где а и Ь — две произвольные постоянные. Выберем эти постоянные
так, чтобы выполнялось граничное условие (7.6):
со
Ъ = оо и j dr' eilu"vf = — 2ift;
90

при этом
со
f (ft. r) = e~ikr + j dr' sinfe^'-r) ν (r') f (ft, r'). (7.11)
r
Полученное соотношение представляет собой интегральное уравне-
ние для нахождения f (ft, r). Введя функцию
g(k, r)^e*f{k, r), (7.12)
это уравнение можно переписать в более компактной форме
со
g (ft, r) = 1 + j dr'Gk (r' - г) ν (г') g (ft, r'), (7.13)
Г
где
1 p—2ikx c
G* w=J-^— = j <& e~2iky- (7· 14>
о
Представим решение уравнения (7.13) в виде ряда
оо
g(b.r)=2gn{k,r), (7.15)
оо
go = 1, gr, = J rfr* G* (r' - г) и (л') g„_,. (7.16)
где
Покажем, что при Imft < 0 ряд (7.15) сходится. Действительно, в этом
случае
\Gk(r' _r)|<r'-/·</,
поэтому нетрудно убедиться в справедливости следующих неравенств
со
\gi\<p(r), pir)^\ar'r'\v(r')\,
г
\g2\<ldr'r'\v(r')\p(r')= J αρρ = -ψ-,
г О
оо
\gs\<\d'r'\Hr')\-^=^,...
г
Откуда
(1drr\v(r)\\
Из (7.17) следует, что члены ряда (7.15) мажорируются соответствую-
щими членами разложения экспоненты, и, следовательно, этот ряд
сходится равномерно, если выполнено условие, налагаемое на потен-
циал ν (г), при г =0 (7.2). Для доказательства аналитичности
91

g (k, г) относительно к достаточно показать, что последовательность
производных по к также сходится равномерно и непрерывна по к.
Продифференцировав ряд (7.15) по к, нетрудно убедиться, что получаю-
щийся ряд равномерно сходится, если выполнено условие, налагае-
мое на потенциал при г-> оо (7.3). Таким образом, мы показали, что
функция / (к, r), связанная с функцией g (к, r) согласно (7.12), анали-
тична, не имеет особенностей в нижней полуплоскости комплексного
переменного к и непрерывна вдоль вещественной оси k.
Область аналитичности функции / (к, r) в зависимости от потенциа-
ла можно распространить и в верхнюю полуплоскость к. Так,
если потенциал удовлетворяет условию
оо
\ dre™] ν (г) |< оо, (7.18)
о
где т — вещественно и положительно, то функция / (к, r) аналитична
при Im к < -д-, за исключением точки k = 0. Доказательство можно
провести аналогично предыдущему с тем отличием, что | Gk (х) \ <; \хётх\.
Из граничного условия (7.5) и вида уравнения (7.1) следует, что в
области аналитичности, включающей вещественную ось, решение Иос-
та удовлетворяет условию
Г (- fe*. г) = / (к, г). (7.19)
Решения Иоста / (к, г) и / (— к, г) представляют собой независимые
решения уравнения (7.1). В этом легко убедиться, заметив, что вронс-
киан от / (к, г) и / (— к, г) отличен от нуля. Так как вронскиан не за-
висит от г, вычисление его легко произвести, подставив вместо функ-
ций / (к, г) и / (— к, г) их асимптотические значения при г -> оо:
W{f(k, r),f(- k, r)) = 2ife. (7.20)
Очевидно, функцию Φ {к, г) можно преставить в виде линейной
комбинации функций / (k, г) и / (— к, г):
Φ (к, r) = af(k, r) + bf(-k, r).
Коэффициенты а и Ь нетрудно определить из условий, налагаемых на
функцию Φ (к, г) в точке г =0 (7.4). Таким образом получим:
ф <*· г) = - -ш V (- fe) f ^ г) - f W f (- *· Г)Ь (7-21>
где введены обозначения
f{k) = f(k, 0) и f(-k)^f(-k, 0). (7.22)
Из вида (7.21) непосредственно следует, что
f(k) = Wlf(k, г), Φ (к, г)]. (7.23)
Это соотношение мы в дальнейшем используем.
Функции Иоста / (к) и / (—к) играют важную роль в теории рассе-
яния [231. Это связано с тем, что матрица рассеяния непосредственно
выражается через эти функции. Для установления связи между функ-
02

циями / (k) и f (—ft) и матрицей рассеяния S (k) запишем асимптотику
выражения (7.21) при больших г:
Ф(*. г)->-4^-{^-^)^}· '-«>■ (7-24)
Сравнивая это выражение с (4.24), находим:
s(*) = 7c=^T (7·25)
Так как аналитические свойства функций Иоста нами определены, по-
лученное соотношение может быть использовано для изучения анали-
тических свойств матрицы рассеяния.
7.2. СЛУЧАЙ ОТЛИЧНЫХ ОТ НУЛЯ МОМЕНТОВ
Результаты, полученные в предыдущем пункте, нетрудно обобщить
на случай произвольных моментов /. Уравнение для радиальной функ-
ции в состоянии с орбитальным моментом I имеет вид:
dr2 "τ"
,, /(/+1) , .
и, = 0. (7.26)
Различные решения этого уравнения будут определяться заданием
граничных условий либо в точке г = 0, либо на бесконечности г -*■ оо.
Будем по-прежнему предполагать, что потенциал ν (г) вещественен и
удовлетворяет условиям (7.2) и (7.3).
Рассмотрим вначале решения с граничными условиями при г =0.
Если г мало, то центробежная энергия в (7.26) много больше k2 — ν (г),
поэтому последними слагаемыми можно пренебречь. В результате по-
лучим укороченное уравнение
^_iil + JL-=0i (7.27,
общее решение которого имеет вид:
щ = от**1 + β/"'. (7.28)
Из вида (7.28) следует, что в качестве двух независимых решений
уравнения (7.26) целесообразно выбрать решения Ф/ (k, r) и Ф{' (k, r),
удовлетворяющие следующим граничным условиям:
Ф,(й, /-)->/-'+!, (7.29)
<№Цк, г)-+г-'. (7.30)
г--0
При рассмотрении решений уравнения (7.26) с граничными ус-
ловиями на бесконечности удобно исходить из укороченного уравнения
^L + k% = 0, (7.31)
которое следует из (7.26), если в последнем пренебречь потенциалом
ν (г) и центробежной энергией. Общее решение уравнения (7.31) имеет
вид:
щ = ae~ikr + рУ*", (7.32)
93

поэтому целесообразно рассмотреть решения ft (k, г) и fl (—k, г)
уравнения (7.26) со следующими асимптотическими свойствами:
ΗπΙβ**-/,(/?, г) = 1. (7.33)
г~*-оо
Нетрудно проверить, что решения // (к, г) и /г (— k, г) удовлетворяют
условию
W{f,(k, r), Ui—k, t)) = m. (7.34)
Эти решения так же, как и в S-случае будем называть решениями Иоста.
Определим функцию Иоста /z (к.) с помощью равенства х
Ы*)^^(М*. г), Ф,(к, г)). (7.35)
Тогда регулярное решение Фг (к, r) выражается через решения Иоста
// (к, г) и // (—к, r) следующим образом
Ф, (к, r) = —^{U(-k) U (к, г) - U (k) U (- к, г)). (7.36)
Асимптотика выражения (7.36) на бесконечности имеет вид
Ф, (к, r)^~±- {ft (- к) е~^ - ft (к) ё»}.
Сравнивая эту асимптотику с (4.24), находим:
SI(fe) = (-l)i7M_. (7.37)
Полученное выражение устанавливает общую связь между матрицей
рассеяния S, (к) и функциями Иоста ft (к) и // (—k).
Нетрудно показать, что при Ι Φ О так же, как и для S-случая,
регулярное решение Ф, {к, г) является целой функцией на комплекс-
ной плоскости к, а решение Иоста ft (к, г) является аналитической
функцией в нижней полуплоскости комплексного к. Из вида гранич-
ных условий (7.29) и (7.33) следует, что функции Ф/ и ft при комплекс-
ных к удовлетворяют следующим условиям:
ф; (&*, г) = ф, (к, г),
η (-к*, r) = ft(k, r). (7-38)
Регулярное решение Ф, (к, г) отличается только множителем от
радиальной волновой функции i|)/,fc (г), нормированной согласно (4.26).
Непосредственной проверкой легко убедиться, что имеет место соот-
ношение
*'-*ю = *йНп^- (7-39>
Аналогичным образом, решения ij)<"£> (г) и ·ψ<~> (г), нормированные со-
гласно (4.79), выражаются через решения Иоста fl{k, г) и /г(—к, г):
ЩЦ,) = -Ш flfrr) , ф}-)(г) = (-1)14я1^=^>. (7.40)
1 Отметим, что функцию Иоста можно определить также как предел
fl{k)=\im(2l + l)rlji(k,r).
94

Эти формулы совместно с (4.83) и (4.84) позволяют выразить запазды-
вающую и опережающую парциальные функции Грина g|jj> (г, г') и
&Гк (г> г) чеРез регулярное решение Ф1 (k, г) и решения Иоста fl(k, r)
и fi (— k, r), а тем самым и определить аналитические свойства функ-
ций g$> (г, г') и g(-> (г, /·')·
7.3. НУЛИ ФУНКЦИИ ИОСТА II СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ
Стационарные состояния системы, отвечающие дискретным уровням
энергии и описывающие финитное движение, называются связанными
состояниями. Связанные состояния описываются квадратично интег-
рируемыми решениями уравнения Шредингера.
Покажем, что нули функции fl (k) в нижней полуплоскости комп-
лексного k соответствуют связанным состояниям системы. Согласно
(7.36), если функция // (к) обращается в нуль при каком-либо значении
k=kn
fi(kn) = 0, (7.41)
то имеет место соотношение
Ф|(*„. n = ^-fi(kn, r), (7.42)
Υπ
где уп — некоторая постоянная. Так как функция Ф1 (kn, г) при г = О
обращается в нуль, a ft (kn, г) вследствие Im kn < 0 при г -»- оо убыва-
ет экспоненциально, то ΦΖ (kn, r) — квадратично интегрируемая функция.
Покажем, что величина kn — вещественна. Используя уравнение
(7.26) для Ф, и аналогичное уравнение для Ф/, нетрудно убедиться,
что
4 W (Ф, (kn, г), ф\ (kn, г)) = 2i Im k% I Фг (kn, r) |2. (7.43)
Согласно (7.40) имеем
ф,1фп,г) = -^-11(~к'п,г) (7.44)
Уп
и поэтому, если Im kn < 0, функция Ф^ (kn, r) экспоненциально убы-
вает при г->оо. Учитывая это свойство функции Ф, и аналогичное
свойство Ф/, в результате интегрирования (7.43) получим:
со
Imklldr^^k^ г)|2 = 0. (7.45)
о
о
Это соотношение может быть выполнено только, если величина kn —
вещественна и функция Ф1 — квадратично интегрируема, т. е.
Im/£ = 0 (7.46)
и
со
^ dr \Ф[\2<оо. (7.47)
о
Таким образом мы доказали, что ft„ — вещественно.
95

Покажем, что k2n < 0. Действительно, если положить fen >0, то
kn будет вещественным. Однако функция fl (β) не может обращаться
в нуль при вещественном k, так как в силу (7.38) в этом случае обра-
тится в нуль и функция f[(—β). При этом должно быть Q>i(kn, г) =
н=0, что невозможно из-за граничных условий (7.29). Поэтому функ-
ция // (й) может обращаться в нуль только при kn, для которых
ftn < 0, т. е. нули функции // (ft) могут находиться в нижней полу-
плоскости только на мнимой оси:
кп = -Ып, κ„>0 (7.48)
(я — номер нуля).
Нулям функции f[ (й) соответствует дискретная последовательность
уровней энергии
Л2**
2μ
(7.49)
Каждому уровню в свою очередь соответствует волновая функция
Ф, (— 1κ„, г), являющаяся решением уравнения (7.26) и удовлетворя-
ющая условию квадратичной интегрируемости (7.47,) а поэтому и
описывающая связанное состояние системы. Функции Ф1 (— inn, г)
обращаются в нуль при г = 0 и имеют асимптотику
Ф/ (— Ып, г) -> -i- e~Knr, r.+ «ж,. (7.50)
Гп
Коэффициент уп нетрудно найти, используя (7.36):
у =- 2*" .
(7.51)
Отметим, что функции Φ/ (t"x„, r) — вещественны.
Покажем, что нули функции ft (β) простые. Для этого продиффе-
ренцируем равенство (7.35) по ft2 и положим затем ft2 =k2n. Используя
(7.42), имеем:
+ ynW Ιφ, (*„, г), -jjj- Φ, (i„, r)\. (7.52)
Замечая, что функции // и Ф, удовлетворяют уравнению (7.26), и
учитывая, что Ф, обращается в нуль при г = 0, a ft (kn, r) имеет асимп-
тотику (7.50), нетрудно получить:
г
W (ф, («„, г), Φ, (β, г)) = (ft* - ft2) J Л-'Ф, (βη, г') Φ, (β, λ');
ο
со
W (// (*„. г), /г («, г)) = (fe2 - «*) \ dr'U (ftn) /) /, (ft, /-')·
06

Продифференцировав эти выражения по k2 и положив k2 = kni найдем:
W (ф, (/г„, r), -j- Φ, (kn, r)) = - { аг'ф] (*„, r');
СО
W (-±- U (К, г), h (kn, a)) = - J dr'fl (kn, r').
Подставляя эти выражения в (7.52), таким образом имеем:
~- fi {К) = - ЫпУп J агф] (kn, r). (7.53)
Так как величина уп отлична от нуля, а функция Ф/ (kn, r) — вещест-
венна, то производная , ft (kn) не равна нулю. Следовательно, нули
функции fl (k) при Im k < 0 простые.
Очевидно, функция ft (— к) аналитична в верхней полуплоскости
k и имеет простые нули, отвечающие связанным состояниям системы,
расположенные на положительном участке мнимой оси. Согласно
определению (7.38), нулям функции /; (— k) соответствуют полюса ма-
трицы рассеяния St (k). Поэтому каждому связанному состоянию си-
стемы отвечает нуль матрицы рассеяния, расположенный на отрица-
тельном участке мнимой оси, и симметрично (относительно веществен-
ной оси) расположенный полюс матрицы рассеяния на положитель-
ном участке мнимой оси.
Обозначим нормированную волновую функцию связанного состоя-
ния через щ (г):
щ (г) = «„Ф, (— шп, г). (7.54)
Очевидно, нормировочная постоянная ап определяется условием
со
fdroi = l. (7.55)
δ
Учитывая (7.53), имеем:
2 2κ„Υη
α"= аЫ-ып) ' (7-56)
Иногда волновую функцию связанного состояния удобнее выражать
через функцию Иоста ft (— tx„, r):
«iW = W/(-<'). (7-57)
где
" V2„ dfii-i**) ' (7"58)
dxn
Используя определение матрицы рассеяния (7.37), нормировочную по-
стоянную β„ можно представить в виде интеграла
fn = -t^-§dkSl{k), (7.59)
7 5-6Н 97

в котором в качестве контура интегрирования следует выбрать малую
окружность, охватывающую полюс k = Ып в положительном направ-
лении. Вблизи полюса матрицу рассеяния, очевидно, можно предста-
вить в виде
si(k)- к1"Ып №->&„), (7-60)
при этом, согласно (7.59), вычет с„ непосредственно выражается через
нормировочную постоянную волновой функции связанного состояния
сп = (- 1)Ж ®1 (7-61)
7.4. СИММЕТРИЯ II РАСПОЛОЖЕНИЕ
ОСОБЕННОСТЕЙ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ
НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ к
Перейдем теперь к исследованию аналитических свойств матрицы
рассеяния St (k) на комплексной плоскости k. Волновая функция,
описывающая рассеяние в состоянии с определенным /, вне области
действия потенциала с учетом временной зависимости может быть за-
писана в виде
-— Et
Ыг, g~-J-{(-l)'e-№r-S/(*)e*}e h , Е = ^-, (7.62)
при этом матрица рассеяния Si (k) связана с введенными нами функ-
циями Иоста соотношением
Sl(k) = (-\)l-^w. (7.63)
Так как функции /, {k) и ft (— k) определены при комплексных зна-
чениях k, то равенство (7.63) определяет матрицу рассеяния St (k)
на всей комплексной плоскости k.
Будем обозначать вещественную и мнимую части комплексного
волнового числа k через k' и k", т. е.
k = k' + ik". (7.64)
Очевидно, комплексным значениям k отвечают комплексные значения
энергии W:
W = E — -Lr, (7.65)
Ε = -^- (кл - k"\ r = -^-k'k". (7.66)
Комплексные значения энергии описывают нестационарные состояния
системы, для которых плотность вероятности изменяется со временем
по экспоненциальному закону
Tt
Величина Г, входящая в мнимую часть энергии, называется постоян-
ной распада. Если Г положительно, то в системе имеет место распад, в
98

результате которого плотность вероятности в любой точке пространст-
ва экспоненциально уменьшается со временем. Если Г отрицательно,
то в системе имеет место захват, в результате которого плотность ве-
роятности увеличивается со временем. Согласно (7.66), первый и третий
квадранты комплексной плоскости k отвечают захвату, а второй и
четвертый квадранты соответствуют распаду.
Из соотношения (7.63) непосредственно вытекает следующее свойст-
во симметрии матрицы рассеяния
S,(-k) = ST1(k). (7.67)
откуда, воспользовавшись определением фазы рассеяния Sl (k) =
= e2,6/(ft), нетрудно убедиться, что при вещественных значениях k
фаза рассеяния б/ (k) — нечетная функция к:
δ, (-*) = -Μ*). (7.68)
Свойство симметрии (7.67) обусловлено тем, что волновое число к
входит в уравнение Шредингера квадратично и, следовательно,
уравнение инвариантно относительно изменения знака к. Поэтому,
если в (7.62) заменить к на —к, то получаемая функция должна по-преж-
нему являться решением уравнения Шредингера, откуда и следует
(7.67).
Используя равенство (7.40) для функций Иоста, нетрудно убе-
диться, что должно выполняться соотношение
S] (к*) = ST1 (к). (7.69)
При вещественных значениях к это равенство совпадает с условием
унитарности матрицы рассеяния (4.1).
Соотношения (7.67) и (7.69) устанавливают взаимно однозначное
соответствие между значениями матрицы рассеяния в различных
квадрантах плоскости к. Если в какой-либо точке к матрица рассеяния
St (к) принимает значение S;:
S,(*)=S„ (7.70)
то в симметрично расположенных точках она равна
S, (к*) = St~\ S, (- к*) = Sf, S, (- k) = 5Г1. (7.71)
Поэтому, зная вид функции Si (k) в каком-либо одном квадранте,
легко найти матрицу рассеяния S{ (k) во всей плоскости k.
Согласно (7.70) и (7.71), матрица рассеяния St (k) принимает комп-
лексно сопряженные значения в точках, симметричных относительно
мнимой оси. Поэтому на мнимой оси функция Si (k) — вещественна,
а фаза б, (k) — чисто мнима:
б, (in) = — б/ (in), κ — вещественно.
Для точек, симметричных относительно вещественной оси, выполняет-
ся равенство (7.69). Отсюда следует, что на вещественной оси | St(k) \ =
= 1, т. е. фаза б, (k) вещественна. Заметим, что на вещественной оси
St (k) -> 1 при k -> оо.
7*
99

Соотношения (7.67) и (7.69) приводят к определенной симметрии в
расположении нулей и полюсов матрицы рассеяния на плоскости k.
Из условия (7.67) следует, что если матрица рассеяния St (k) имеет
нуль в точке k, то она обязательно должна иметь полюс в точке — k,
расположенной симметрично относительно центра плоскости. Из усло-
вия (7.69) следует, что наличие нуля матрицы рассеяния в точке k
приводит также к наличию полюса в точке /г*, расположенной симмет-
рично относительно вещественной оси. Таким образом мы видим, что
как нули, так и полюса матрицы рассеяния располагаются парами,
симметрично относительно мнимой оси.
Можно показать, что в верхней полуплоскости матрица рассеяния
S/ (k) может иметь полюса только на мнимой оси, в нижней полуплос-
кости полюса матрицы рассеяния S, (k) могут быть расположены где
угодно, единственное условие на их положение заключается в том, что,
если полюс в нижней полуплоскости не лежит на мнимой оси, то ему
должен соответствовать другой полюс, симметрично расположенный
относительно мнимой оси. Так как каждому полюсу St (k) соответствует
нуль, симметрично расположенный относительно вещественной оси,
то нули матрицы рассеяния в нижней полуплоскости будут расположе-
ны только на мнимой оси, в верхней же полуплоскости нули могут быть
расположены где угодно, в соответствии с расположением полюсов в
нижней полуплоскости.
Для доказательства высказанного утверждения воспользуемся
временным уравнением Шредингера (1.8), из которого непосредствен-
но следует закон сохранения вероятности
4г (|ΨΡ^ = — ]jde, (7.72)
ν
где j — плотность потока вероятности
и интегрирование производится слева по произвольному объему V,
заключенному внутри поверхности S, а справа — по поверхности S.
Если матрица рассеяния St (k) имеет полюс в точке k, то в волновой
функции (7.62) вблизи этой точки можно пренебречь первым слагаемым.
Поэтому
и, (Л — lTEt 1 ikr—^-Et „
Ψ,(γ,/)=^ h -^-t-S^e h (k~k). (7.73)
Выберем в качестве V объем сферы радиуса R и будем считать R доста-
точно большим так, чтобы на поверхности сферы можно было поль-
зоваться асимтотическим выражением (7.73). Тогда условие сохра-
нения вероятности (7.72) примет вид:
R ~ ~
k'k" \dru2i = — ~\Sl (k) |2e~2k"R. (7.74)
о
Поскольку справа стоит отрицательная величина, то это равенство
выполняется только в том случае, если k' = 0, т. е. полюс 5; (k) ле-
100

жит на мнимой оси, или же, если к' φ 0 и k" < 0, т. е. полюс St (k)
находится в нижней полуплоскости. Таким образом мы доказали, что
в верхней полуплоскости k полюса матрицы рассеяния S/ (k) могут
быть только на мнимой оси.
Матрица рассеяния St (k), рассматриваемая как функция комплекс-
ного k, описывает различные физические процессы. При вещественных
значениях k матрица рассеяния описывает истинное рассеяние. В этом
случае матрица рассеяния выражается через вещественные фазы рас-
сеяния, которые непосредственно и определяют сечение рассеяния.
Полюса матрицы рассеяния при мнимых и комплексных значениях k
описывают связанные, виртуальные и квазистационарные состояния
системы.
7.5. СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ И ЛИШНИЕ НУЛИ
Рассмотрим мнимые значения волнового числа k. Если k чисто
мнимо k = — tx (κ — вещественно), то энергия отрицательна Ε =
= ■ ^—. Отрицательной энергии соответствует связанное состояние,
если волновая функция квадратично интегрируема. Используя (7.62),
условие квадратичной интегрируемости можно записать в виде
со
( dr | (— 1)' e~w — Si (— fee) ew |2 < oo.
6
Для выполнения этого условия необходимо, чтобы
κ > 0 и S,(—ix) = 0.
Таким образом, связанному состоянию системы соответствует нуль
Si (k), расположенный на отрицательной мнимой оси. Соответственно
установленным выше свойствам симметрии St (k), этому нулю отвечает
полюс St (k), расположенный на положительной мнимой оси в точке
Ы. Очевидно, при значениях k, близких к ± ix, матрица рассеяния
имеет вид
Si (k) = еиогве, 4±|- , κ>0, (7.75)
где С; — некоторая постоянная.
Следует отметить, что, хотя каждому связанному состоянию соот-
ветствует нуль функции S, (k) на отрицательной мнимой оси, обратное
утверждение не всегда справедливо. В некоторых случаях матрица
рассеяния St (k) может иметь так называемые лишние нули, не соот-
ветствующие связанным состояниям [24]. Чтобы убедиться в этом, выра-
зим матрицу рассеяния через функции Иоста, согласно (7.37). Ранее мы
показали, что нули функции // (k) в нижней полуплоскости отвечают
связанным состояниям. Ясно, если функция ft (k) обращается в нуль, то
матрица рассеяния S, (k) также равна нулю. Однако, матрица рассея-
ния S, (k) обращается в нуль и в тех точках, где функция /, (— к) об-
ращается в бесконечность. Очевидно, этим лишним нулям матрицы
Ю1

рассеяния S, (fc) не соответствуют связанные состояния. Так как лиш-
ние нули Si (k) появляются за счет полюсов /, (— k), то для отсутствия
их необходимо, чтобы функция Иоста /, (k) была регулярной на всей
плоскости k. Это имеет место для потенциалов, удовлетворяющих
условию
j" dr emr I и (г) |< оо (7.76)
6
при любых конечных положительных значениях т. Поэтому лишние
нули матрицы рассеяния S, (k) отсутствуют, если потенциал характери-
зуется конечным радиусом действия. Отсюда следует, что лишние нули
матрицы рассеяния St (k) всегда можно отделить от физических нулей
при помощи следующего формального приема. Нужно обрезать по-
тенциал на достаточно большом расстоянии R, найти положение ну-
лей S/ (k) в нижней полуплоскости k и затем устремить R к бесконеч-
ности. Предельные значения κ (R) при R —*■ оо и будут определять энер-
гии связанных состояний системы.
В качестве примера потенциала, приводящего к матрице рассея-
ния, имеющей лишние нули, рассмотрим экспоненциальную яму
г
v (/■) = — vcfi a . (7.77)
г
Введем взамен г новую переменную у = ае 2а, где а = 2а V~v0. Тог-
да уравнение (7.1) для радиальной функции (мы ограничимся рассмот-
рением только 5-случая) сведется к уравнению Бесселя
■у+ттг + О+■?)"-·■ "** ("s>
общее решение которого можно записать в виде
u = c^v (у) + c2/_IV (у), (7.79)
где сг и с2 — произвольные постоянные.
В точке г = О имеем у =а. Если г -*- оо, то у -*- О, при этом
t/v I a \'v e~ikr
•Mi/)-^2/Vr(.v+1) = (-2-) Γ(«ν+1) ·
Поэтому решение Иоста будет непосредственно определяться выраже-
нием
f(k, r) = (-^ff'Vr(iv+l)Jlv(y),
с помощью которого нетрудно найти матрицу рассеяния
S(k) =
,-2/ν Γ(«ν+1)^-ν(α)
(к) = Ьг) г (-,-v+i)/_,,(«)■ v==2ak- (7-80>
Регулярное решение уравнения (7.78), обращающееся в нуль при
г = О, имеет вид
г
Φ (k, r) = — -gLГ (iv + 1) Г (— /ν + 1) {J-iv (a) Jiv (ae~"*") —
Г
— Λν (a) J-iv (ае 2α)}. (7.81)
102

На отрицательной мнимой оси k = — Ы (κ > 0) матрица рассеяния
(7.80) имеет нули в точках κ„, где
J**n (а) = 0. (7.82)
Эти нули отвечают условию / (k) =0 и соответствуют связанным со-
стояниям, так как волновая функция
Φ (- Ып, ,) = — -JL Г (2акп + 1) Г (- 2акп + 1) J_2mtn (α) х
*™η(°* 2α)
хУ
при /■—»- оо убывает по экспоненциальному закону.
Кроме нулей указанного типа, матрица рассеяния (7.80) обращает-
ся в нуль в точках, где
Г(— tv + 1)= оо (7.83)
(это соответствует условию / (— k) = оо). Равенство (7.83) имеет место
при k = — ixCT и 2акт = т (т. е. iv — т), где т—целое положи-
тельное число. Нетрудно убедиться, что последовательность нулей
(7.83) не соответствует связанным состояниям системы. Запишем вы-
ражение для волновой функции
Ф(-»ст, г) = --^-Г (т+ 1)Г(-т+ [) X
X U_m (a) Jm \шГ^) - Jm (а) У_т W "й")1.
Множитель Г (—m -f 1) обращается в бесконечность, однако выраже-
ние, стоящее в фигурных скобках, обращается в нуль вследствие
симметрии бесселевых функций
/_m(a) = (-l)m/m(a),
где т — целое число. Для устранения неопределенности выразим
функцию Бесселя с отрицательным индексом через функцию Неймана
J—m (a) = cos rrmJin (α) — sin m Nm (a).
Учитывая, что sin m · Г (— m -f- 1) = —г- , найдем
m!
π
2κ„ m!
Φ (-mm, ,) = _i—JL г (m + 1) x
x
\Nm(a)Jm(ae 2a)-Jm(a)NmW 2"P
Это решение регулярно в точке г = 0, однако при г -»- оо экспонен-
циально растет. Поэтому оно не соответствует связанному состоянию
системы.
Покажем на примере экспоненциальной ямы, как можно отделить
лишние нули от физических при помощи обрезания потенциала. За-
меним потенциал (7.77) модифицированным потенциалом
„я(/-) = |~ иое °. '<#. (7.84)
0, г > /?.
103

Решение уравнения (7.1) с потенциалом (7.84) в области г > R имеет
вид
Φ (k, г) ~ [ег1» — S (k) ekr), (7.85)
а в области г <С R будет по-прежнему определяться выражением (7.81).
Величину S (k) найдем из условия равенства логарифмических произ-
водных функций (7.81) и (7.85) в точке г = R:
S(k)=-e-™« ^v^^-.kj + ^^^v-.k^) . (7.86)
Условие обращения в нуль 5 (k) приводит к уравнению
/_iv (a) Jiv+] (ae ~*°) + Jiv (a) /_IV_, [сиГ 2а ) = 0, (7.87)
которое эквивалентно (7.82) при R -*■ оо. Поэтому при вычислении
спектра связанных состояний мы можем исключить лишние нули, за-
менив потенциал (7.77) модифицированным потенциалом (7.84) и
устремив в окончательных результатах R -»- оо.
7.6. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ И РЕЗОНАНСЫ
Из условия сохранения вероятности, согласно (7.74), следует,
что особенности матрицы рассеяния могут располагаться на мнимой
оси в верхней полуплоскости, или же в нижней полуплоскости комп-
лексной плоскости k. Полюсам на мнимой оси в верхней полуплоскос-
ти соответствуют связанные состояния, энергии которых могут быть
определены из условия обращения St (k) в бесконечность. Это условие
эквивалентно требованию, чтобы для связанного состояния в регуляр-
ном решении уравнения Шредингера (7.36) оставалось только второе
слагаемое, экспоненциально убывающее на бесконечности.
Полюсам матрицы рассеяния в нижней полуплоскости k, не лежа-
щим на мнимой оси, соответствуют квазистационарные состояния,
описывающие распад или же захват в системе. Комплексные энергии
этих квазистационарных состояний, так же как и энергия связанных
состояний, могут быть найдены из условия обращения St (k) в беско-
нечность. Волновая функция, описывающая квазистационарное состо-
яние, так же как и в случае связанного состояния, выражается только
через второе слагаемое в (7.36), представляющее на бесконечности рас-
ходящуюся волну. Очевидно, энергии квазистационарных состояний
системы могут быть также определены из условия обращения в нуль
коэффициента при сходящейся волне в (7.36).
Заметим, что при вещественных положительных значениях энер-
гии для обеспечения сохранения вероятности необходимо наличие
обоих слагаемых в регулярном решении (7.36). Действительно, если
// (— fe) = Ои /; (k) Φ 0, то существует поток вероятности в радиаль-
ном направлении \г > 0, и это противоречит закону сохранения ве-
роятности, так как при вещественных значениях Ε решение стацио-
нарно. При комплексных же значениях энергии в силу того, что плот-
104

ность вероятности убывает со временем по экспоненциальному закону,
сохранение вероятности может быть обеспечено и при наличии только
расходящейся волны в асимптотике решения (7.36).
Рассмотрим полюс St (k) в четвертом квадранте, отвечающий распа-
дающемуся квазистационарному состоянию
kr = k'r + ikr, k'r > 0, kr < 0.
Соответствующее значение энергии равно
Wr = Ег - ± Г„ Er = -|J- (k? - k"r\ Гг = - Jj£- krkr > 0. (7.88)
Плотность вероятности для распадающегося состояния, определя-
ющаяся квадратом модуля волновой функции, затухает по экспо-
ненциальному закону
--L-iy
|ψ(0|2~6 h ■ (7.89)
В частности, по такому же закону изменяется со временем и вероят-
ность нахождения частицы в какой-либо ограниченной области про-
странства. Согласно (7.89), вероятность распада в единицу времени
равна
w, = -£-. (7.90)
Поэтому время жизни распадающегося квазистационарного состояния
τΤ можно определить посредством равенства
гг = -^-- (7.91>
Заметим, что система, распадающаяся со временем, вообще говоря,
не обладает дискретным спектром энергий. Вылетающая при распаде
частица уходит на бесконечность, поэтому движение системы инфи-
нитно, и, следовательно, энергетический спектр системы непрерывен.
Однако если в силу каких-либо причин вероятность распада системы
мала, то можно ввести понятие о квазистационарном состоянии. В та-
ком квазистационарном состоянии частица в течение длительного вре-
мени движется внутри системы, покидая ее лишь по истечении значи-
тельного промежутка времени хг = . Энергетический спектр таких
квазистационарных состояний является квазидискретным и состоит из
ряда размытых уровней Ег, ширина которых Гг определяется временем
жизни соответствующих состояний Г, = — . Очевидно, введение ква-
зистационарных состояний имеет смысл только в том случае, если
ширина соответствующих квазидискретных уровней оказывается малой
по сравнению с расстояниями между уровнями Гг < D, где D — сред-
нее расстояние между квазидискретными уровнями.
Радиальная волновая функция распадающегося квазистационарного
состояния экспоненциально возрастает на больших расстояниях
Φ (k, r) ~ e'V~fc'r (k'r < 0), г -* оо. (7.92)
105

Это связано с тем, что для распадающегося состояния поток вероят-
ности направлен вдоль радиуса (jr > 0), поэтому на больших расстоя-
ниях находятся волны, ушедшие из системы задолго до момента вре-
мени t. А так как плотность вероятности в системе пропорциональна
е h , то при t = — оо она была необычайно большой. Очевидно,
радиальная волновая функция квазистационарного состояния не может
быть нормирована, поскольку нормировочный интеграл \ агФ2 расхо-
дится.
Заметим, что квазистационарные распадающиеся состояния, опи-
сываемые расходящейся волной, строго говоря, не реализуются в
действительности. В самом деле, распаду системы должно предшество-
вать образование распадающегося состояния. Очевидно, в процессе
образования распадающегося состояния должна участвовать сходя-
щаяся волна, в то время как условие /, (— kr) = 0 исключает сходя-
щиеся волны во все моменты времени. Приближенное осуществление
распадающегося состояния возможно путем суперпозиции стационар-
ных состояний с энергиями Е, близкими к резонансному значению
Ет. Обозначим волновую функцию такого стационарного состояния
через ψ£ (г, η. Вне области взаимодействия эта функция имеет вид
. -J-Et
yE(r, t) = -L{e-lkr — S{k)eikr)e h , r>R. (7.93)
Взяв суперпозицию состояний ·ψ£(/\ t) с энергиями, заключенными
в интервале Δ около резонансного значения Еп который выберем так,
чтобы Гг <^ Δ <^ D, можно построить волновой пакет, локализованный
в момент / = 0 в области г < R:
ψ (г, 0 = J dEa(E) ψ£ (г, t), (7.94)
где α (Ε) — медленно изменяющаяся функция Е. Определим форму
волнового пакета при t > 0 в области r~>R. Так как Δ <£ D, то,
учитывая полюсной характер матрицы рассеяния
S(k)^ с-^-г- ,
Е-Ег + ± Гг
вкладом сходящейся волны при r~>R в (7.94) можно пренебречь.
' 1 hkr
Замечая, что k — &/· — -»—(Ε — Ег), где vr = скорость частицы
при резонансной энергии Ег, и вынося медленно изменяющиеся функ-
дии за знак интеграла, найдем:
. I Д/2ГГ Lr(t г-\
ikr—— ЕЛ η i rV υ ·
1 r h ' e b \ vr /
ψ(Γ, t)^a(Er)c(Er)-^e " \ dx- -, — , (7.95)
-Δ/2Γ. ^2
106

Так как Δ ^> Гг, то интегрирование можно распространить от — со
до оо. Рассматривая х как комплексное переменное, интегрирование
в (7.95) будем производить по контуру, изображенному на рис. 8.
Подынтегральное выражение имеет полюс в нижней полуплоскости
при х = к-. Если t <0, контур следует замкнуть в верхней
полуплоскости, и интеграл равен нулю. Если /
> О, то контур
Vo
-<с
Vc
->0
Рис. 8
следует замкнуть в нижней полуплоскости, и интеграл сведется к вы-
чету в точке х = ψ.
ψ (г, 0 =
О, t — — <0,
υ, ^ '
2nia (Ег) с (Ег) — е r
-ЕЛ-
2ft \ υ. )
t —
>0, r>R.
(7.96)
Полученное выражение и определяет волновую функцию, приближенно
описывающую распадающееся квазистационарное состояние вне облас-
ти взаимодействия г > R. В начальный момент времени t = О волно-
вая функция отлична от нуля только в области г < R. В момент вре-
мени t волновая функция имеет вид, изображенный на рис. 9. Мак-
симум в области г < /? определяется начальньми условиями, а максимум
при r>R отвечает распаду квазистационарного состояния сразу же
после его образования, этот максимум движется со скоростью vr.
Из-за непрерывного распада плотность частиц в точке с фиксированным
значением г уменьшается по экспоненциальному закону ~ е ·* [25].
Полюса матрицы рассеяния в третьем квадранте комплексной плос-
кости k соответствуют квазистационарным состояниям, описывающим
захват в системе. Для захватных состояний радиальный поток веро-
ятности направлен внутрь \г < 0, при этом плотность вероятности
107

в определенной точке пространства возрастает по экспоненциальному
закону ~е h , Г<;0. Наличие распадающихся состояний в силу
(7.67) и (7.69) приводит к наличию захватных состояний и наоборот.
Напомним, что полюсам в нижней полуплоскости, связанным с ква-
зистационарными состояниями, соответствуют нули, симметрично рас-
положенные относительно вещественной оси в верхней полуплоскости.
На энергетической римановой поверхности отвечающие квазистаци-
t=0
онарным состояниям полюса находятся на втором нефизическом
листе.
Наличие квазистационарных состояний у системы проявляется при
рассеянии, если энергия системы близка к одному из квазидискретных
уровней. В этом случае энергетическая зависимость сечения рас-
сеяния носит резонансный характер. Определим амплитуду, описываю-
щую рассеяние частицы с энергией, близкой к одному из квазидискрет-
ных уровней системы. Для этого найдем вид матрицы рассеяния St (k)
вблизи полюса kr =kr + ikr (k'r < 0), отвечающего квазидискретно-
му уровню. Разложим функции // (k) и /z (— k) по степеням k — kr и
k — kr и ограничимся членами первого порядка. С учетом свойства
эрмитовости (7.40) получим
fi (k) с*. blr (k — k'r + ikr),
ft (— k) ~ b'ir (k — k'r — ikr),
(7.97)
где bir — некоторая постоянная. Следовательно, в окрестности полюса
матрица рассеяния имеет вид:
где
S, (k) с*, е
'ib't k — k'r-\-ik,
= (-i)
/ К
(7.98)
(7.99)
108

h2k
Домножая числитель и знаменатель (7.98) на и замечая, что
- (k — kr) ^ Ε — Ег, получим:
Sl(E)^e2<E~Er~Jb =е**\\ ^4—i (7·10°)
Ε — Er + -±-y, j E—Er+~yr\
где уг (k) = krk — ширина резонанса. Отметим, что ширина ре-
зонанса уг ψ) отличается от ширины квазидискретного уровня Г, мно-
k л[~Е~
жителем — = I/ -=—.
kr v Er
Используя выражение (7.100), нетрудно получить следующую фор-
мулу для парциального сечения рассеяния
σ(0 =~(2l+l)U sin2 δ: — 4 Re ёь\ sin δ^ ^—. +
I E-Er + -Lyr
+ ^—j L (7.101)
Первое слагаемое в (7.101) описывает потенциальное рассеяние, вто-
рое слагаемое описывает интерференцию между потенциальным и
резонансным рассеянием, последнее слагаемое описывает резонансное
рассеяние на квазидискретном уровне. Из (7.101) видно, что сечение
резонансного рассеяния имеет острый максимум при Ε = Ег. Макси-
мальное значение сечения резонансного рассеяния равно:
Если фаза потенциального рассеяния мала (δ; <^ 1), то главный вклад
в сечение рассеяния дает резонансное слагаемое.
Замечая, что St (Ε) =еш'1Е), формулу (7.100) можно переписать в
виде
δ, (Ε) = fij- arctg2(EyLEry (7Л03>
При I £ — Er | 5> yr фаза рассеяния δ, совпадает с фазой потенциаль-
ного рассеяния δ/Λ. Из (7.103) следует, что при изменении энергии
в резонансной области от E<zEr до Е^>ЕГ фаза рассеяния (7.103)
изменяется на π. Если при энергиях, меньших резонансного значения,
фаза δ; близка к нулю, то при энергиях, больших резонансного зна-
чения, она достигает величины π. При самом резонансном значении
энергии фаза равна —.
Используя выражение для матрицы рассеяния (7.100), нетрудно
определить амплитуду упругого рассеяния частицы с энергией Е,
близкой к квазидискретному уровню Ег. Для этого в общей формуле
(3.36) в слагаемое с тем значением /, которому отвечает уровень Ег,
109

нужно подставить выражение (7.100). В результате амплитуду упру-
гого рассеяния получим в виде суммы
/(*)=/ (i>)pot ^Г —i ε'*' Р' (cos *)» (?-104>
где / (itypot — амплитуда потенциального рассеяния, совпадающая с пол-
ной амплитудой вдали от резонанса, и второе слагаемое — амплитуда
резонансного рассеяния. Область применимости формулы (7.104) опре-
деляется условием \Е — Er | <^D.
7.7. ВИРТУАЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ
Полюса матрицы рассеяния, расположенные на мнимой оси в ниж-
ней полуплоскости k, соответствуют так называемым антисвязанным
или виртуальным состояниям. В верхней полуплоскости k виртуальным
состояниям отвечают нули матрицы рассеяния, расположенные на мни-
мой оси. Обозначим полюсное значение k, отвечающее виртуальному
состоянию, через km = — Ыт (κ,„ > 0), тогда при k*m = inm матрица
рассеяния будет иметь нуль.
Используя (7.36), легко видеть, что волновая функция виртуаль-
ного состояния характеризуется асимптотикой
Φ (— Ыт, г) ~ ехтг (κ.„ > 0), г -*· οο, (7.105)
т.е. на больших расстояниях волновая функция виртуального состоя-
ния экспоненциально возрастает. Очевидно, волновые функции вирту-
альных состояний не нормируемы.
Виртуальным состояниям соответствуют отрицательные уровни
энергии
h2vL
Е" = 2jf-· <7·106)
На энергетической поверхности этим виртуальным уровням отвечают
полюса матрицы рассеяния, расположенные на втором нефизическом
листе.
Виртуальные состояния подобно квазистационарным состояниям
проявляются при упругом рассеянии. Если энергия виртуального со-
стояния достаточно мала,то наличие виртуального уровня оказывает
существенное влияние на характер энергетической зависимости се-
чения рассеяния уже при малых энергиях. Действительно, при доста-
точно малых значениях кт и малых k можно воспользоваться разло-
жениями:
где b0 — чисто мнимо, так как /0 (k) и /0 (— k) должны совпадать при
k —*■ 0. (При малых значениях k можно ограничиться рассмотрением
только S-рассеяния). Используя разложения (7.107), матрицу рас-
сеяния представим в виде
5о(*)--Й^§- (7.108)
ПО

Соответственно, сечение рассеяния в S-состоянии будет определяться
выражением
(7.109)
σ„ =
4π
В предельном случае нулевой энергии рассеяния (k -+■ 0) имеем
σ. = -τ. (7.110)
Очевидно, если энергия виртуального уровня очень мала (малое зна-
чение κ,η), то сечение рассеяния при малых энергиях оказывается
необычно большим.
Θ
Θ
О
Θ
©
С)
С)
Рис. 10
Заметим, что формулы (7.109) и (7.110) четны относительно кт,
поэтому к аналогичным зависимостям сечений от энергии будут при-
водить и связанные состояния с достаточно малыми энергиями связи.
Поэтому только при отсутствии связанных состояний, способных
объяснить указанное поведение сечения рассеяния при малых энер-
гиях, можно с определенностью говорить о наличии виртуальных сос-
тояний у системы.
На рис. 10 схематически представлено распределение полюсов и
нулей матрицы рассеяния St (k) на комплексной плоскости k. Если
в системе возможны неупругие процессы, то | St \ <С 1, при этом полюса
и нули в правой полуплоскости смещаются вниз, соответственно
в левой полуплоскости — вверх.
7.8. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
В СЛУЧАЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЫ
В заключение этого параграфа в качестве примера иллюстрации
полученных результатов рассмотрим матрицу рассеяния для случая
прямоугольной потенциальной ямы
\ — v0, r<R,
"(0 = 1 о, r>R. (7Л11>
111

Ради простоты ограничимся рассмотрением только сферически симмет-
ричных состояний (/ = 0).
Решение Иоста, удовлетворяющее граничному условию (7.5), имеет
вид:
fde'V + Coe-''Ч г < R,
№') = U, r>R, <7I12>
где^о =v0-\- kz, а коэффициент Сг и С2 определяется из условий сшив-
ки при г — R:
Сг № = 4" (1 - х) e-,№+fc»,i?, С2 (Л) = ^ (1 + -%) e-«*~***. (7.113)
Легко видеть, что коэффициенты Сг и С2 удовлетворяют условию
Сг(к) = Сг(—к)*. (7.114)
Функция Иоста, согласно (7.112) и (7.113), равна:
/ (к) = С, (fe) + С2 (А·) = ег1* * icos /г0Д + i -|- sin У?) - (7.115)
Как это следует из общего рассмотрения, функция / (к) целая.
Регулярное в нуле решение уравнения Шредингера для потенциа-
ла (7.111) имеет вид:
iC0sin&0r, /"</?,
°(*'HcV--S(*)en r>R, (7J16>
где
Матрица рассеяния S (k) при этом определяется выражением
S (k) = (Г-Ш* *°C|gf0p + '* . (7.118)
Рассматриваемая как функция комплексного переменного k, матрица
рассеяния (7.118) имеет простые нули в точках
k0cigkJR=—ik, (7.119)
простые полюса в точках
k0cigkJR=ik (7.120)
и существенную особенность в бесконечно удаленной точке k =oo.
Энергии связанных состояний определяются нулями матрицы рас-
сеяния, расположенными на мнимой оси в нижней полуплоскости k,
или же полюсами матрицы рассеяния, расположенными на мнимой
оси в верхней полуплоскости k. Сопоставляя связанным состояниям
полюса матрицы рассеяния, вводим обозначение
k = Ы, κ > 0.
Тогда из (7.120) для нахождения уровней энергии связанных состояний
получим следующие соотношения
kQ ctg k0R = — κ, k\ = υ0 — κ2. (7.121)
112

Вводя для удобства безразмерные величины
KR
κ# = у,
перепишем соотношения (7.121) в виде:
у = — х ctg х, х2 + у2 = vJR*. (7.122)
Эти уравнения допускают численное, или графическое решение. При
графическом решении уравнений (7.122) соответствующие значения хп
и уп определяются точками пересечения кривой у = — jtrctgx и окруж-
ности радиуса Vv0R с центром в нуле на плоскости х, у. Так как
связанным состояниям отвечают
•О-О и следовательно г/>0, то ре-
шения возможны только при зна-
чениях х, лежащих в интервалах
5л
и т. д.
Если радиус окружности
\fv0R меньше -γ, то окруж-
ность не пересекается с кривой
у = — х ctg х > 0. В этом слу-
чае связанные состояния у си-
стемы отсутствуют. Вспоминая
определение приведенной глу-
бины потенциальной ямы v0 —
2ц
= -tt-V0, где V0 — глубина ямы
в энергетических единицах, условие отсутствия связанных состояний
можно записать в виде
(7.123)
-^- V„R2 <L ■
Если радиус окружности V^R превосходит -γ, но меньше —γ,
то окружность пересекает кривую у = — xctgx>0 в одной точке
(хъ у±). В этом случае у системы имеется одно связанное состояние
с энергией
Ег
2μφ
2
У\-
(7.124)
На рис. 11 этому случаю соответствует окружность 1. Условие нали-
чия только одного связанного состояния у системы можно записать в
виде
4-<-|£-1У?2<-^. (7.125)
В связанном состоянии движение частицы ограничено внутренней
областью потенциальной ямы. При этом дискретное отрицательное
значение энергии, отвечающее связанному состоянию, можно интерпре-
тировать следующим образом. Для того чтобы находящаяся внутри
8 5-614
113

потенциальной ямы частица не могла покинуть яму, необходимо, чтобы
при г = R происходило полное отражение. Это возможно только при
таком значении энергии, для которого волны до и после отражения
находятся в фазе. Если фазовое условие не выполняется, то в резуль-
тате отражения возникает интерференция, нарушающая стационар-
ность состояния.
Если потенциал удовлетворяет условию
^T<^V0R\ (7.126)
то в системе имеется по крайней мере два связанных состояния. На
рис. 11 окружность 2 соответствует случаю, когда у системы имеется
два связанных состояния
£2 = -
м
2μ#
■у%
Е-2 = -
2μ#2
%'
(7.127)
Очевидно, число связанных со-
стояний будет увеличиваться с
ростом величины -~ VqR2. Та-
ким образом, согласно (7.123),
(7.125) и т. д., отсутствие или
же наличие определенного числа
связанных 5-состояний в прямо-
угольной потенциальной яме оп-
ределяется величиной произведе-
ния массы частицы на глубину
и квадрат радиуса ямы.
Полюсам матрицы рассея-
ния, расположенным на мнимой
оси в нижней полуплоскости k, отвечают виртуальные состояния.
Вводя обозначение
k = — /κ, κ > О,
из (7.120) получим следующие уравнения для нахождения виртуаль-
ных уровней:
у = х ctg х, х2 + г/2 = vnR*,
(7.128)
где х = k0R и у = V.R. Виртуальные уровни будут определяться точ-
ками пересечения кривой у = xcigx>0 и окружности радиуса V~VqR
на плоскости х, у (рис. 12). Обозначим радиусы окружностей 1 и 2,
касающихся первой и второй ветвей кривой у = х ctg x > 0, через
Yv0Ri и У~ц£2. Очевидно, если выполняются условия R<.R! или
-=- <С R < #2, то виртуальные состояния у системы отсутствуют.
у υ,
114

Полюсам матрицы рассеяния, расположенным в нижней полуплос-
кости k и не находящимся на мнимой оси, отвечают квазистационар-
ные состояния, описывающие распад или захват в системе. Для опре-
деленности рассмотрим полюс S (k) в четвертом квадранте, отвечающий
распадающемуся состоянию. Будем предполагать, что выполнено ус-
ловие -р- V0F? ~5> 1. В этом случае можно ожидать, что система
характеризуется долгоживущими квазистационарными состояниями.
Действительно, если энергия системы положительна, то движение час-
тицы, вообще говоря, и при наличии ямы инфинитно. Однако учет
отражения частицы от края приводит к возможности осуществления
квазистационарных состояний. В самом деле, коэффициент прохожде-
ния волны через скачок потенциала равен . . °..а . Поэтому, если
О < Ε <§[ V0 (а для этого необходимо, чтобы глубина ямы была до-
статочно большой), волна, описывающая движение частицы, может
испытывать сильное отражение от края ямы и с малой вероятностью
выходить за ее пределы. Очевидно, это возможно только при опреде-
ленных значениях энергии, когда падающая и отраженная волны на-
ходятся в определенном фазовом соотношении подобно тому, как это
имеет место для связанных состояний.
Сопоставляя квазистационарное распадающееся состояние системы
с полюсом S (k) в четвертом квадранте плоскости k, уравнение для
нахождения энергии квазистационарного состояния запишем в виде
k0 ctg k0R = ik, k = k' + ik" (k" < 0). (7.129)
При этом волновая функция, согласно (7.116), имеет вид
φ<*·Ηω* г>*. <7·13ο>
где С0 определяется (7.117) и С = '„.. . Заметим, что условие (7.129)
эквивалентно требованию, чтобы решение уравнения Шредингера,
отвечающее квазистационарному состоянию, при г > R содержало
только расходящуюся волну. Само условие (7.129) при этом означает
равенство логарифмических производных внутренней и внешней волно-
вых функций в точке г = R.
Уравнение (7.129) комплексно, поэтому корни уравнения, а следо-
вательно и энергии квазистационарных состояний, также будут комп-
лексными. Уравнение (7.129) можно решать численным путем, однако
с физической точки зрения более наглядным оказывается прибли-
женное решение этого уравнения. Для удобства введем обозначение
F{k) = k0R ctg k0R. (7.131)
Тогда уравнение (7.129) можно переписать в виде
F(k) = ikR. (7.132)
Пренебрежем правой частью в (7.132), при этом получающееся урав-
нение
F(k) = 0 (7.133)
8*
115

не содержит мнимых величин. Обозначим вещественные положитель-
ные корни уравнения (7.133) через kr. Соответствующие резонансные
значения энергии равны
Ег = -ф. (7-134)
Для нахождения решения уравнения (7.132) предположим, что k
близко к одному из резонансных значений k'r и разложим функцию
F (k) в степенной ряд в окрестности точки kr:
Fw = (*-*;) -π
.+ ··· · (7.135)
Подставляя это разложение в (7.132), имеем
k = kr = k'r + ikr, (7.136)
k'rR
где kr = -^-r-. (7.137)
dk .'
Используя (7.131) и (7.133), нетрудно убедиться, что величина —гг-
в резонансе равна
dk \k- -^~koR-dTk°R
k.
<0. (7.138)
Поэтому полюс (7.136) действительно находится в четвертом квадранте
комплексной плоскости k. Соответствующее значение комплексной
энергии для квазистационарного уровня равно
Wr = Er--Lr„ (7.139)
где ширина уровня Гг определяется выражением
ЗУ? (7 140)
lf _dF_ I * У '
dE L
Согласно (7.138), ширина уровня (7.140) положительна. Нетрудно
оценить порядок величины Гг. Очевидно, при переходе от одного уров-
ня Ег к другому величина k0R, входящая в аргумент котангенса в
(7.133), изменяется на π. Поэтому приближенно
(7.138), найдем:
116
d . j-, ^^ η
~dE~k°K~ ~D~'
у резонансами.
Г ~ Ak'r D
' k0 η
Используя
(7.140) и
(7.141)

Так как k, <£ k0, то ширина оказывается малой по сравнению
с D
rr«D. (7.142)
Рассмотрим теперь рассеяние при энергии Е, близкой к одному из
резонансных значений Ег. Воспользовавшись обозначением (7.131),
матрицу рассеяния (7.118) перепишем в виде
с/м tr-Ы» F(k) + ikR
(7.143)
Разлагая в (7.143) функцию F (k) в степенной ряд вблизи резонансного
значения Ег и учитывая (7.133), найдем:
S(k) = e-akK\\ —
'Υ/·
1
E — Er + ~ γ,
где уг — ширина резонанса
Уг = —
2kR
dF
dE
(7.144)
(7.145)
Ширина резонанса уг отличается от ширины уровня Гг добавочным
множителем klkr.
Используя (7.144), нетрудно найти сечение упругого рассеяния
о.=
k*
p2ikR .
1 +
Wr
Е — Ег + -^уг
= 41 e*k« _ 11» + -g- Re {er**-1)
'Yr
+
+
τ?
E — Er + -jyr
ft2 1 9
(Е-Ег)*+—у2г
(7.146)
Первое слагаемое в (7.146) описывает потенциальное рассеяние. Если
kR 4^ 1, сечение потенциального рассеяния равно:
σ£ρο, = 4π^2. (7.147)
Второе слагаемое в (7.146) описывает интерференцию между потен-
циальным и резонансным рассеянием. Третье слагаемое в (7.146)
описывает резонансное рассеяние. Сечение резонансного рассеяния
при энергии, равной резонансной энергии, достигает своего максимально-
го значения
<ЯЕ = -5г· (7Л48>
Если kR 4s 1, το в резонансе сечение резонансного рассеяния зна-
чительно превосходит сечение потенциального рассеяния. Для эне-
ргий, сильно отличающихся от резонансного значения, резонанс-
ным рассеянием можно пренебречь, при этом главную роль играет
117

потенциальное рассеяние. На рис. 13 представлена энергетическая
зависимость сечения упругого рассеяния вблизи резонанса.
В случае рассеяния волновая функция системы определяется вы-
ражением (7.116). Определим отношение квадратов модулей амплитуд
волновой функции во внутренней и внешней областях ямы. Используя
(7.117) и (7.131), найдем:
IС012 1 k*R*
«*.
4ю?
\
\
\
\
\
/К 4π
Ι ч^
1 1 ^*
\с\* -
Вблизи
можно
жением
торого
/С0|
|СР
sin2 k0R
F*(k) + k2R2 '
(7.149)
резонансной энергии Ег
воспользоваться
(7.135),
найдем:
_
(Е-
разло-
с помощью ко-
— γ2
4 >>
£л2+4-
У?
О Ег
Рис. 13
(7.150)
Мы видим, что частица в процессе рассеяния проникает с заметной
вероятностью в область потенциальной ямы только при энергиях,
близких к резонансным значениям. Согласно (7.150), если Ε =ЕГ, то
/С0|2
|С|2
= 1.
Вдали от резонанса частица испытывает почти полное отражение от
края ямы, поэтому волновая функция во внутренней области оказы-
вается очень малой.
Задачи
1. Найти верхнюю границу для нормировочной постоянной вол-
новой функции связанного состояния в случае потенциала с конечным
радиусом действия.
Если потенциал обладает конечным радиусом действия R, то реше-
не Иоста // (k, г) для состояния с моментом / во внешней области г > R
может быть выражено через функцию Ханкеля h (Г> (kr)'-
ft (k, r) = Г1+3 krhV {kr). (7.151)
Волновая функция связанного состояния при r>R будет определять-
ся равенством
Щ (г) = β//, ИХ г). (7.152)
Эта функция нормирована согласно условию
Jdrui = l. (7.153)
118

Выделим в (7.153) внутреннюю и внешнюю области интегрирования.
Тогда
R £»
§dru1+(—l)lx'pl\drr*lrir\—ixr)F= l. (7.154)
О R
Так как первое слагаемое в левой части равенства (7.154) представ-
ляет собой положительную величину и меньше единицы, то из (7.154)
следует неравенство
β/< s—! · (7.155)
(— 1)' κ2 \ dr г2 [ft<-> (— iv,r)f
R
Для частных случаев I = 0 и / = 1 имеем:
β<2κ^, β«<2κ^* Ц- (7.156)
1 + —
т κ/?
Таким образом верхняя граница для β? определяется значением ра-
диуса потенциала R и радиусом связанного состояния системы, т. е.
величиной κ-1.
Если радиус потенциала R отличен от нуля, то βο строго меньше
2ие2хЛ. Это соотношение можно использовать для оценки величины
радиуса потенциала из данных о рассеянии. Действительно, зная
зависимость фазы δ0 от k, можно экстраполировать S0 (k) в
область мнимых k и определить вычет с0, а следовательно и β0. Если
при этом окажется, что βο < 2κ, то радиус R может быть сколь угод-
но малым. Если же β0 > 2κ, то радиус потенциала R конечен.
2. Проверить, что потенциалы
(Л _ (р2 - σ2) {р2 - σ2 + a* ch (рг - 26) - р2 ch ar) . _
((p-a)sh — (ρ + σ)/--θ -(p + a)sh — (ρ-σ)/--θ [
, . _ (ρ2 - о») {ρ' - о* + σ8 ch pr - ρ2 ch (or + 26)} , , *
v2 \n - τ ρ 1 η Τ?' ( '
J(p_o)sh —(ρ+σ)|- + θ|-(ρ + σ)Λ —(ρ-σ)|- + θ J
гдер>а>0и6>0 (потенциалы Баргмана), приводят к одинаковым
фазам рассеяния, но различным уровням энергии связанных состояний
[26].
Обозначим функции Иоста, соответствующие потенциалам vt (г) и
v2 (r)> через Д (к) и /2 (&). Непосредственное решение уравнения (7.1) с
потенциалом иг (г) дает
откуда для связанного состояния имеем:
£i = -1-P, £i=--|J-p2. (7.160)
119

Аналогично, величина /2 (k) определяется равенством
М*>~-£±£. (7-161)
которое для связанного состояния приводит к значениям
*, = --1-σ, £, = __*! Л (7.162)
Однако функции /2 (k) и f2 (k) приводят к одной и той же матрице рас-
сеяния S (k):
а следовательно и к одинаковой величине фаз рассеяния для потен-
циалов vx (г) и р2 (г)·
Так как потенциалы ν2 (г) и ρ2 (г) зависят от параметра Θ, а функции
Иоста f± (k) и /2 (k) (и следовательно, матрица рассеяния S (&)) не за-
висят от Θ, то существует множество потенциалов, зависящих непре-
рывно от Θ, приводящих к одним и тем же значениям фазы рассеяния
б (k) и энергий связанных состояний. Рассмотренный пример показы-
вает, что потенциал не определяется однозначно заданием величины
фазы рассеяния δ (k) и значений энергии связанных состояний. Для
однозначного определения потенциала помимо фазы рассеяния и энер-
гий связанных состояний необходимо еще задать и значения норми-
ровочных постоянных волновых функций связанных состояний системы.
3. Доказать, что число связанных состояний Nh отвечающих оп-
ределенному значению момента /, удовлетворяет неравенству
оо
Ni<-2T+x\drr\v<r)\ (7·164)
~ о
(неравенство Баргмана).
Пусть ν (г) является потенциалом притяжения. Заменим ν (г) на
l,v (r), где 0<£<1, и обозначим через Nt(t) соответствующее чи-
сло связанных состояний. Очевидно, Nr (ξ) будет возрастающей функ-
цией величины ξ, при этом Nt (0) = 0 и Nl (1) = Nh Энергия связан-
ного состояния является убывающей функцией ξ. В этом легко убе-
диться на основании равенства
(*-$-»-£■)·—£*-i.i°·.
\ йг | ν | Ф2
интегрирование которого дает
дк*
■<0. (7.165)
\ агФ2
0
С уменьшением ξ энергия связанного состояния увеличивается до
нуля, дальнейшее уменьшение ξ приводит к исчезновению данного
связанного состояния с уменьшением Nt (Q на единицу.
120

Используя уравнение Шредингера, нетрудно показать, что волно-
вая функция для связанного состояния с энергией /г2 = 0 удовлетво-
ряет интегральному уравнению
Ф, (0, г) = ς J dr'Gt (г, г') \ ν (г') | Ф, (о, /·'), (7.166)
о
где Gi (г, г') — функция Грина для свободного уравнения
Число связанных состояний Л^, очевидно, совпадает с полным числом
связанных состояний с нулевой энергией, возникающих при изменении
£ от 0 до единицы, т. е. равно числу собственных значений t^, лежащих
в интервале от 0 до 1.
Так как \v (r)\ > 0, то можно ввести
Gt(r, r') = V\v{r)v(r')\Gl(r,n.
Ф,(0, г) = К|7ГИ]Ф|(0, г),
и тогда уравнение (7.166) перепишется в виде
ЕГЧ (0, г) = j dr'Gt (г, г') Фв (0, г'). (7.167)
о
Учитывая ортогональность и полноту функций Ф, (0, г), находим:
2 IVх = SpG = -g^ J drr I v (r) |. (7.168)
Так как ξ, < 1, то
Из неравенства Баргмана (7.164) следует важный результат: если
интеграл £ drr \v (r)\ конечен, то система имеет конечное число свя-
о
занных состояний.
4. Выразить время задержки частицы в области взаимодействия
Q через матрицу рассеяния S.
Волновая функция частицы в состоянии с определенной энергией
вне области взаимодействия определяется выражением (7.93). По-
строим из указанных волновых функций волновой пакет
ψ (г, t) = f dEa (Ε) ψΕ (r, t) (7.170)
и будем считать, что амплитуда волнового пакета а (Е) характеризует-
ся резким максимумом вблизи некоторого среднего значения энергии
Е0. Запишем волновую функцию пакета в виде
—ε t
Ψ {г, 0 = 4" {а- (г, 0 e~ik°r - а+ (г, t) ё**\ е h ', (7.171)
121

где
. —i(k—k0)r ^-(E-E„)t
a-(r,t) = ldEa{E)e h , (7.172)
. i(k-k0)r i-4.E—Et)t
a+(r, f) = )dEa(E)S(E)e h (7.173)
Первое слагаемое в (7.171) описывает сходящуюся часть пакета, свя-
занную с падающей волной; второе слагаемое описывает расходя-
щуюся часть пакета и определяется взаимодействием частицы с рас-
сеивающим полем. Если волновой пакет достаточно узок, то логарифм
матрицы рассеяния S (£) можно разложить в ряд по степеням откло-
нения энергии Ε от среднего значения Е0
\nS(E) = lnS(E0) + {E~E0)-^-\nS(E0) + ■■·,
при этом
(£-£0)-^r-lnS(£0)
S(E)~S(E0)e dE° . (7.174)
Подставляя (7.174) в (7.173), находим:
i(k-kc)r—^-iE-E,)(i+ih-^r-\nS(E,))
а+ {г, t) = S (E0) J dEa (E) e h dE° .(7.175)
Сравнивая (7.175) с (7.172), мы видим, что взаимодействие частицы с
полем приводит не только к изменению амплитуды расходящейся вол-
ны (в отсутствие взаимодействия S (£) = 1), но и к задержке времени
при формировании расходящейся части волнового пакета [27]:
Q0 = -iti^-lnS(E0). (7.176)
Величина Q характеризует добавочное время пребывания частицы в
области взаимодействия (сверх времени свободного пролета), обуслов-
ленное взаимодействием. Если Q > 0, частица задерживается в об-
ласти взаимодействия; если же Q <С О, то взаимодействие как бы вы-
талкивает частицу.
Соотношение (7.176) можно переписать в другом виде. А именно,
взяв производную от логарифма, находим:
Q = — itiS-1 JL S. (7.177)
Если матрицу рассеяния выразить через фазу S (Е) = еш(Е>, то из
(7.177) для времени задержки следует формула Вигнера:
Q = 2h-±-6{E). (7.178)
В отсутствие взаимодействия время пребывания частицы в области
внутри сферы радиуса R равно {2R + kT1) /ν, где ν — скорость части-
цы. (Слагаемое /г-1, равное длине волны, учитывает волновые свойства
частицы). При наличии поля ν (г) время пребывания частицы на рас-
стояниях, меньших R, равно:
(2Я + k~l)lv + Q > 0. (7.179)
122

Это соотношение находится в соответствии с неравенством (4.83).
Из (7.179) следует, что всегда имеет место неравенство
Q> — (2/?+ *-')/». (7.180)
5. Определить матрицу рассеяния и рассмотреть квазистационар-
ные состояния для прямоугольной потенциальной ямы, окруженной
прямоугольным барьером.
(0, r<R,
»(г) = \v0, R<r<R', (7.181)
Ιθ, R'<r.
Для определенности будем считать, что k2 <. υ0. Решение Иоста,
удовлетворяющее граничному условию (7.5), имеет вид:
\Схё* + С.ге~1кг, г < R,
fik, г) =
С^ + с*-**, R<r<R', (7.182)
е R <г,
где κ2 = v0 — k%, а коэффициенты определяются из условий сшивки
при г = R и г = R'.
Ci-%r(l + £)Q-e-*""«)e
-ik(R'+R)+K(R'-R)
с.= 1К
_j_ 2t — (1 + β_2κ(/?'_Λ>)] β~,7^'-#)+κ(«'-«)
Г ' /l ; k \ „-IkR'-nR'
c;=4-(i + tA)e-^'+^
Сумма коэффициентов Сг и С2 определяет функцию Иоста / (k), и та-
ким образом матрица рассеяния в рассматриваемом случае равна:
S (/г) = <Г2lfti?' 2-г=г —% , (7.183)
K + lk e-2«*'-ft+*-'feE(fe)
где
cw-iSSS- (7,δ4>
Определим полюса матрицы рассеяния (7.183). Если ширина барь-
ера достаточно велика и полюс не соответствует очень малым значени-
ям κ, то κ (R' — R) р- 1, при этом слагаемое e~2v,{R ~R) очень мало.
Однако, пренебрегать этим слагаемым в знаменателе и числителе выра-
жения (7.183) нельзя, так как в противном случае в (7.183) отсутству-
ют полюса. Очевидно, малая величина e~v'(R'~R) может играть
123

существенную роль только в окрестностях нулей функции ξ (k). Обо-
значим нуль функции Z, (k) через kr. Раскладывая функцию ξ (/z) вбли-
зи нуля в ряд по степеням k — kr
из условия обращения в нуль знаменателя (7.183) находим:
^K-e^-^^^-lSrl. (7-185)
Как и следовало ожидать, полюс матрицы рассеяния (7.183) располо-
жен в нижней полуплоскости k. Вещественная часть к, определяет
энергию, и мнимая часть kr определяет ширину квазистационарного
уровня.
f ~i!£ Г -SE —^ i-^-l Г' e-2V«'-«) π 186)
В непосредственной близости к полюсу матрица рассеяния имеет вид
S (/г) ~ е21'ч> k+tr , (7-187)
k kr
или
£ £ Lr
S (£) ~ e21'" %--, (7.188)
Е-Ег + -±-Гг
где φ — медленно изменяющаяся функция k или Ε.
Используя (7.177), определим время жизни квазистационарного
состояния
Q = —j— Qr, Qr = jr. (7-189)
{£-£r)*+-Lr2r
Очевидно, о квазистационарном состоянии можно говорить только в
том случае, если величина Q значительно превосходит время СВОбОД-
ного пролета частицы через область взаимодействия . Это условие
будет выполнено, если энергия частицы достаточно близка к резонан-
сной энергии
|£-2?,|<4-Γ,/^.
Если устремить правый край потенциального барьера R' к бес-
конечности, то полюс к, будет стремиться к kr (мнимая часть kr при
R' -*■ оо обращается в нуль), т. е. в пределе R' -> оо потенциал (7.181)
переходит в прямоугольную потенциальную яму, характеризующуюся
при κ2 < ν0 дискретным спектром. При этом на месте квазистацио-
нарных состояний для потенциала (7.181) возникают стационарные
состояния для прямоугольной ямы.
124

ГЛАВА 8
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
8.1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ИОСТА
Для любой аналитической функции на основе теоремы Коши можно
установить интегральные соотношения, связывающие вещественную и
мнимую части функции. Эти соотношения обычно называются дис-
персионными соотношениями.
Рассмотрим дисперсионные соотношения для функции Иоста fi (k).
Как мы видели, функция ft (k) является целой аналитической функцией
в нижней полуплоскости комплексного переменного k. Используя
уравнение (7.26) и граничное условие (7.33), нетрудно убедиться, что
ft (k) стремится к единице при k -> оо вдоль любого направления в
нижней полуплоскости, включая вещественную ось. Применяя тео-
рему Коши к функции fi (k) — 1, имеем
ш-^М0*·*^' (81)
с
где интегрирование следует производить по любому замкнутому конту-
ру С, лежащему в нижней полуплоскости и огибающему точку k.
Выберем в качестве С контур, состоящий из вещественной оси и по-
луокружности бесконечно большого радиуса ниже вещественной оси.
Замечая, что интеграл по полуокружности равен нулю, таким об-
разом получим
оо
—со
Формула (8.2) определяет функцию ft (k) при любом k в нижней
полуплоскости по заданным значениям функции на вещественной оси.
Устремляя точку k к вещественной оси снизу и замечая, что
оо оо
lira \ dk' tl(p~X = Sr dk' U{p-X -in {f,{k)- 1}, (8.3)
—oo —oo
где интеграл в правой части берется в смысле главного значения, из
(8.2) находим:
U(k)=\—^$fdk' f,Wj-kl , lmfe = 0. (8.4)
—oo
Выделяя в (8.4) вещественную и мнимую части, мы получим диспер-
сионные соотношения для функции Иоста:
Ref,(ft)-1—L^ ирУР-. (8-5)
—со
оо
lmfl(k)==±$dk'Refl/2-1. (8.6)
*оо
125

Соотношение (8.5) позволяет находить вещественную часть функции
Иоста, если известна ее мнимая часть; соотношение (8.6), наоборот,
определяет мнимую часть по известной вещественной части.
Дисперсионное соотношение (8.5) удобно представить в другом виде.
Так как
то из (8.5) следует:
—оо
Такая форма записи позволяет рассматривать дисперсионное соотно-
шение (8.7) в качестве интегрального уравнения для нахождения fi(k).
Действительно, замечая, что ft (ft) = \ft (k)\ e'6'<ю и 1m ft (ft) =
= \fi (k)\ sin δ, (ft) =ft (ft) sinS2 (ft) e~~'6l(k), дисперсионное соот-
ношение (8.7) можно представить в форме интегрального уравнения
/i(fe)-i—н- 3 dk' k'-k+ю f'(*')· <8·8)
CO
ядро которого определяется фазой рассеяния δ2 (ft). Оказывается,
однако, что интегральное уравнение (8.8) допускает однозначное реше-
ние только в том случае, если известно расположение нулей fi (ft) в
нижней полуплоскости, соответствующих связанным состояниям.
Обозначим нули ft (ft) в нижней полуплоскости через kn = — Ып X
Χ (κ„ > 0). Введем функцию ft (ft), определив ее равенством
''<*,= (Д -ТТ^Г \Ш- (8-9)
Функция fi (ft) аналитична в нижней полуплоскости, не имеет там
нулей и стремится к единице при ft ->■ оо. Поэтому для In ft (ft) подобно
(8.4) имеем
Wk) = -±}dX*JM-. (8.10)
Взяв вещественную часть от этого равенства и учитывая, что
Не1п7, = 1п|7,| = 1п|Ы,
Im In J, = β, (ft) _ f 2 {in (ft - Ып) - In (ft -f ixn)},
rt=l
126

получим
In I
—oo
oo
, J_ у С dk> In (fe' — iv.n) — In (fe' + '*„)
Интеграл, входящий в пра-
вую часть равенства (8.11), не-
трудно вычислить, заметив, что
i\dk·
X
Рис. 14
In (fe' — iv.n) — In (fe' + i-Kn) _ „
X fe' — ft U'
если интегрирование проводить
по контуру С, изображенному
на рис. 14. Так как интегриро-
вание по полуокружности беско-
нечно большого радиуса дает нулевой вклад, а вклад от интеграла по
малой полуокружности около точки k чисто мнимый, то интеграл вдоль
вещественной оси сводится к вещественной части интеграла вдоль
мнимой оси от нуля до точки ветвления Ып и наоборот:
i Pdk'
In
fe' — ix
fe' + tx
fe' —fe
Rei
\dk'
In
fe' — ix
fe' + tx
fe' —fe +
+
idfe'
. ft' —ix , „ .
'"-Fl^Tx-"1"2"'
ft7 —ft
<"ln(l + £)
(8.12)
Подставляя (8.12) в (8.11) и замечая, что In \fi\ = In ft — i"6/, полу-
чим
и, следовательно,
'"^"-Η**' fe'-i+t-o +1ш(ч-4-)' (8лз)
5ательно,
/,»-П(1 + 4)«ф|-г1*·-^
')
(8.14)
Формула (8.14) определяет интегральное представление функции
Иоста. Мы видим, что для нахождения функции Иоста необходимо за-
дать не только зависимость фазы рассеяния от энергии, но и все энер-
гии связанных состояний. Очевидно, найденное представление (8.14)
можно рассматривать в качестве решения интегрального уравнения
(8.8).
127

8.2. ТЕОРЕМА ЛЕВИНСОНА
Между значениями фаз рассеяния при нулевой и бесконечной энер-
гиях имеет место определенное соотношение, являющееся следствием
аналитичности матрицы рассеяния [29 ]. Это соотношение обычно на-
зывают теоремой Левинсона. Эта теорема устанавливает связь между
разностью фаз при нулевой и бесконечной энергиях и количеством
связанных состояний. Для нахождения этой связи воспользуемся
аналитическими свойствами функции Иоста // (&). Согласно (2.69),
логарифмическая производная от матрицы рассеяния непосредствен-
но выражается через производную от фазы рассеяния
' =2ibt{k). (8.15)
Рассмотрим интеграл
S,{k)
I
С . s'(ft)
-3Λ*- <8Л6>
Подставляя (8.15) в (8.16) и учитывая, что фаза δ; (k) является нечет-
ной функцией k, имеем
/ = 4i J dkb'i (k) = 4t {β, (оо) - β, (0)}. (8.17)
о
Здесь фазы рассматриваются как непрерывные функции k без приве-
дения к интервалу (—j, 5-).
С другой стороны, выражая матрицу рассеяния St (k) через функ-
ции Иоста f, (k) и ft (— k), интеграл (8.16) можно привести к виду
ак
оо
{1пМ£)-1пЫ-*)} = 2 j dk-^-]nft(k). (8.18)
Функция In fi (k) обращается в нуль при k —*- 00 вдоль любого направ-
ления в нижней полуплоскости, поэтому интеграл в правой части (8.18)
нетрудно вычислить, замыкая контур снизу. Так как ft (k) регулярна
в нижней полуплоскости, то вклад в интеграл дают только простые
изолированные нули в точках kn = — Ып.
Поэтому
I = —4niN„ (8.19)
где Ni — число связанных состояний с моментом /, отвечающих нулям
функции ft k).
Приравнивая значения (8.17) и (8.19), таким образом получим тео-
рему Левинсона
δ; (0) — δ, (оо) = ηΝ,. (8.20)
В случае, если ft (k) = 0 при k = 0 и I = 0, формула (8.20) несколько
модифицируется:
б0 (0) - δ0 (оо) = η (ν0 + -i-) , f0 (0) = 0. (8.21)
128

Если потенциал характеризуется конечным радиусом действия,
то δ/ (оо) = 0. В этом случае значение фазы рассеяния при нулевой энер-
гии определяется числом связанных состояний.
В силу соотношения (8.21) для i = 0 и /0 (0) = 0
Sn(0) = e2l6»(0> = —1, (8.22)
для всех других случаев S, (0) = 1. Поэтому парциальная амплитуда
рассеяния
f1(*)=^r{SI(fe)-l} (8.23)
при k = 0 оказывается конечной, за исключением случая, когда I =
= 0 и /о (0) = 0. Этот случай называется резонансом при нулевой
энергии.
8.3. КОМПЛЕКСНАЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Иногда удобнее рассматривать зависимость матрицы рассеяния
непосредственно от энергии Е, а не от волнового числа k. Определен-
ная для вещественных значений энергии матрица рассеяния S,· (Е)
может быть аналитически продолжена в область комплексных зна-
чений Е- Для установления соответствия между S/ (Е) и S, (к) необ-
ходимо учитывать, что при переходе от комплексных к к комплексным
h2k2
энергиям Ε в силу связи Ε = —^— плоскость к отображается на
двулистную поверхность энергии Е. Верхняя полуплоскость к пре-
вращается в целую плоскость Е, а нижняя полуплоскость к разворачи-
вается во второй лист римановой поверхности Е, при этом разрез
необходимо сделать вдоль положительной части вещественной оси Е.
Верхний лист римановой поверхности Ε называется физическим листом
Im VΕ > 0. Связанным состояниям соответствуют полюса матрицы
рассеяния S, (Е) на левой полуоси физического листа. Полюса матри-
цы рассеяния на нефизическом листе (Im Υ Ε < 0) соответствуют ква-
зистационарным состояниям.
Для определения матрицы рассеяния St (E) на комплексной плос-
кости Ε введем функцию Di (E), которая при вещественных положи-
тельных значениях Ε совпадает с функцией Поста ft (— к), где к =
= 1/ —р~ Для аналитического продолжения D/ (Е) в комплексной
плоскости Ε воспользуемся дисперсионным соотношением (8.7) для
функции ft (— k):
M-*) = l+-i-]*--£?fc3-. (8-24)
—оо
Домножив числитель и знаменатель подынтегрального выражения в
(8.24) на к' -f- k -f Ю и учитывая, что Im ft (— к) — нечетная функ-
ция k, получим
/,<-*) = 1 + ^'jlaAtiL,
9 5-614
129

или же
Dl(E) = l+±\jdE' ^fji0.- (8.25)
о
Соотношение (8.25) определяет Dt (Ε) на всей плоскости комплекс-
ных энергий с разрезом вдоль вещественной оси от нуля до бесконеч-
ности. Физическое значение Dt (E) мы получим, приближаясь к веще-
ственной оси сверху:
Dt (Ε + Ю) = /, (— k) (k — вещественно). (8.26)
По определению, фаза Dt (Ε) на вещественной оси равна — δ; (Ε).
При приближении к вещественной оси снизу (на нижнем берегу раз-
реза) мы получим
A (E-iO) = ft {k). (8.27)
Заметим, что Dt (Ε — ДО) = D] (Ε + ДО), т. е. на верхнем и нижнем бере-
гах разреза функция Dt (E) принимает комплексно сопряженные зна-
чения.
Матрица рассеяния S/ (Е) равна
5Ι(£) = (-1/ g;(J~g ■ (8-28)
Парциальная амплитуда рассеяния связана с матрицей рассеяния со-
отношением
fl(E)=—LT{Sl(E)-l}. (8.29)
2i J 2μ£
Рассматривая парциальную амплитуду рассеяния как функцию комп-
лексной энергии на всем физическом листе, мы видим, что дискрет-
ные уровни энергии являются ее простыми полюсами.
8.4. АНАЛИТИЧНОСТЬ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ
И ПРИНЦИП ПРИЧИННОСТИ
Как мы видели, матрица рассеяния является аналитической функ-
цией в комплексной плоскости к или же комплексной плоскости Е.
Аналитичность матрицы рассеяния имеет место для любых потенциалов
и является, вообще говоря, следствием принципа причинности, со-
гласно которому причина должна предшествовать следствию. Пока-
жем сейчас на простейшем примере, что физическое требование при-
чинной связи между событиями действительно приводит к аналитич-
ности матрицы рассеяния.
Рассмотрим рассеяние на потенциале с конечным радиусом дей-
ствия. Волноейя функция, описывающая рассеяние при заданной энер-
гии Е, вне области взаимодействия имеет вид
Уе(г, t) = -L{e-lkr-S(E)e^}e h ,
£ = -—-, г >/?. (8.30)
130

Первое слагаемое соответствует волне, падающей на рассеивающий
центр, второе — рассеянной волне. (Для простоты мы ограничились
рассмотрением случая S-рассеяния). Построим локализованный в
пространстве и во времени волновой пакет
ОО
ψ (г, t) = { dE'a (Ε') ψ£- (г, 0, (8-31).
b
форма которого будет определяться амплитудой а (£"). Очевидно,
ψ (г, 0 = Φ'"' (г, 0 - Ф(+) (г, f), (8.32).
где Ф(_)(г> 0 — волновой пакет, описывающий падающие волны
СО , *" р#.
ф<->(г, 9 = ^£'а(£')-^ h , (8.33)
о
и Ф(+> (г, t) — волновой пакет, описывающий расходящиеся волны
ф<+> (г, t) = { d£'a (E') S (Ε') ±-*Γ h . (8.34)
о
Так как амплитуда расходящейся волны целиком определяется
амплитудой падающей волны, то между Ф(+> (г, t) и Ф(_) (г, t) должна
существовать линейная связь. Наиболее общий вид линейной зави-
симости между Ф(+' (г, t) и значениями Ф<_) (г, t) во все предыдущие
моменты времени может быть записан в виде интегрального соотно-
шения
оо
ф(+} (г, f) = j dxF (τ) Φ(_> (r, i — τ), (8.35)
о
где F (τ) — некоторая конечная функция времени, зависящая от
свойств системы. В соответствии с принципом причинности интегри-
рование в (8.35) производится лишь по времени, предшествующему
времени t.
-TEt
Домножим равенство (8.35) на е и проинтегрируем по t от
— оо до оо. В результате получим:
°° ——е
S (Е) еШг = J dxF (τ) е h \ (8.36)
о
Полученное соотношение определяет матрицу рассеяния не только как
функцию вещественной энергии, но допускает обобщение и на случай
комплексных значений Е.
Будем считать Ε комплексной величиной и определим свойства
функции S (Е) в верхней полуплоскости Е. Согласно (8.36), в верхней
полуплоскости Ε матрица рассеяния 5 (Е) есть однозначная функция,
нигде не обращающаяся в бесконечность, т. е. не имеющая никаких
особых точек. Действительно, при Irn Ε > 0 в подынтегральном вы-
ражении (8.36) имеется экспоненциально убывающий множитель

e h (τ > 0), а поскольку функция F (τ) конечна во всей области
интегрирования, то интеграл сходится. В нижней же полуплоскости
Ε интеграл расходится, поэтому функция S (Е) может быть определе-
на лишь как аналитическое продолжение (8.36).
Итак, мы показали, i.to из условия причинности непосредственно
следует аналитичность матрицы рассеяния 5 (Е) в верхней полуплос-
кости Е. Этот вывод совершенно не зависит от свойств потенциала в
области взаимодействия. На комплексной плоскости k найденная об-
ласть аналитичности соответствует первому квадранту. Используя
свойства симметрии матрицы рассеяния (7.67) и (7.69), область ана-
литичности можно расширить на всю плоскость k за исключением
изолированных полюсов.
Множитель e2lkr в (8.36) учитывает разность фаз волн, проходя-
щей через центр рассеивающего поля и отраженной от поверхности
сферы радиуса г (мы рассматриваем случай S-рассеяния). В общем слу-
чае рассеяния плоской волны на угол © разность хода лучей, прохо-
дящего через центр и отраженного от поверхности радиуса г, равна
АЛ
2rsin-2-. Поэтому, как нетрудно проверить, аналитической функцией
в верхней полуплоскости Ε будет не просто амплитуда рассеяния, а
о
2lkr sin—
величина f (k, ν) e 2 . Отсюда следует, что наиболее простыми
аналитическими свойствами обладает амплитуда рассеяния на нуле-
вой угол f (k, 0), которая аналитична в верхней полуплоскости Е.
8.5. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
ДЛЯ АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ НА НУЛЕВОЙ УГОЛ
До сих пор мы рассматривали аналитические свойства матрицы рас-
сеяния Si в состояниях с определенным значением орбитального
момента /. Согласно (3.38), парциальная амплитуда рассеяния непосред-
ственно выражается через St. Поэтому особенности матрицы рассея-
ния одновременно являются особенностями и парциальной амплиту-
ды. Очевидно, такими же особенностями будет обладать и полная ампли-
туда f (k, k'), рассматриваемая как функция k или Ε при заданных
значениях угла рассеяния. Мы видели, что изучение аналитических
свойств матрицы рассеяния осложнялось возможностью появления
лишних полюсов и особенностями на бесконечности. Как мы сейчас по-
кажем, амплитуда рассеяния на нулевой угол обладает более простыми
аналитическими свойствами.
Согласно (3.15), амплитуда рассеяния на нулевой угол определя-
ется выражением
f (k, 0) ^f(k,k) = 2^г J dre-*TV (r) ψ<+> (г), (8.37)
где •ф^") (г) — точная волновая функция задачи рассеяния. На боль-
ших расстояниях от рассеивающего центра волновая функция ·ψ£™ (г)
состоит из двух частей — падающей и расходящейся волн. Расходя-
щаяся волна пропорциональна eikr, поэтому соответствующая часть
132

интеграла в подынтегральном выражении будет содержать множи-
тель e,fer<1-cose>, где θ — угол между векторами k и г. Так как cos θ <
<; 1, то этот интеграл сходится, если k лежит в верхней полуплоскости.
Падающая волна в ·ψΙ+) (г) пропорциональна elkr, поэтому экспонен-
циальные множители в соответствующей части интеграла сокращают-
ся, и эта часть также сходится.
Поскольку функция i|&*~' (г) однозначно определяется при комплекс-
ном k (в верхней полуплоскости), как решение уравнения Шредингера,
содержащее помимо плоской волны экспоненциально убывающую при
г -> оо часть, то амплитуда (8.37) также однозначно определена.
Особенности амплитуды (8.37) могут возникнуть только в резуль-
тате обращения в бесконечность самой функции -фь4"* (г). Это имеет
место при k, удовлетворяющих условию ft (— k) = 0. Действительно,
функция г])к+> (г) нормирована на единичную амплитуду при плоской
волне. Поэтому в разложении функции грк (*·) по функциям Ф2 (k, r),
последние входят с коэффициентами обратно пропорциональными
U (- *): f
и следовательно i]5lk+) (г) в нулях функции ft (— k) будет обращаться
в бесконечность. Как мы видели, эти нули соответствуют связанным
состояниям системы.
Если потенциал характеризуется конечным радиусом действия,
то амплитуда (8.37) при k -*■ оо остается конечной. Действительно,
если k -ν оо, то в уравнении Шредингера можно пренебречь потенциа-
лом, при этом Tjif"' (r) сводится к плоской волне. В результате для
амплитуды получим выражение
/(оо, 0) = --^-J drV (г), (8.39)
совпадающее с борновской амплитудой рассеяния на нулевой угол.
Заметим, что борновская амплитуда вещественна.
Таким образом мы показали, что амплитуда рассеяния на нулевой
угол, определяемая равенством (8.37), является аналитической функ-
цией в верхней полуплоскости к и имеет простые полюса на мнимой
оси, отвечающие связанным состояниям системы.
Рассмотрим интеграл
_J_[dk> f(k'· Q)-/(<*>. 0)
2iu J 'ft' — ft '
с
в котором точку k выберем в верхней полуплоскости и интегрирование
будем совершать по замкнутому контуру С, состоящему из вещественной
оси и полуокружности бесконечно большого радиуса в верхней полу-
плоскости. Замечая, что интеграл по полуокружности равен нулю,
на основе теоремы Коши имеем
оо
dk, /(^g-/(°°.0) = m о)-Доо, 0) + 2, (8-40)
2m' J ft'
133

где 2 обозначает сумму вычетов подынтегрального выражения в по-
люсах амплитуды f \k', 0).
Амплитуда / (k, 0) связана с матрицей рассеяния Si (k) соотноше-
нием
f(k. 0) = 4-2(2/+ 1) {1 -S,(fe)}, (8.41)
поэтому указанная сумма вычетов в соответствии с (7.61) равна
Σ = Σ (-1)' (2/ +1) ~ ^3tr ■ (8·42)
l.n Δνκ1η κ — tKln
Здесь β/„ — коэффициент перед экспонентой е~К1пГ в асимптотике
нормированной волновой функции связанного состояния, и суммиро-
вание распространяется по всем связанным состояниям системы (по
всем значениям орбитального момента /, для которых есть связанные
состояния, и по всем состояниям η при фиксированном /).
Если мнимую часть k в (8.40) устремить к нулю, то интеграл вдоль
вещественной оси должен быть взят, обходя полюс k' = k снизу. За-
мечая, что
оо оо
\ dk' ν-Ρ-ю = % dk' 4^τ + ™F№. (8-43)
■—oo ■—oo
соотношение (8.40) при Im/z = 0 перепишем в виде
—oo
- Σ (- Ι)' (21+ 1) —- -j^— . (8.44)
l.n tKln R mln
Отделив вещественную и мнимую части в (8.44), мы получим диспер-
сионные соотношения для амплитуды рассеяния на нулевой угол:
со
Ref(*. 0)=f(oo, 0) + ±jdk' Im/,^fe°> +
—oo
+ Σ(-1)'+42/+1)^, (8.45)
+ Σ (- 1)' (21 + 1) ~ —^s- , (8.46)
l.n Kln ftr -f У.1п
Дисперсионное соотношение (8.45) определяет вещественную часть
амплитуды рассеяния на нулевой угол при Im k = 0 по значениям
134

мнимой части амплитуды рассеяния и по энергиям и нормировочным
коэффициентам волновых функций всех связанных состояний. Соглас-
но оптической теореме (5.8), мнимая часть амплитуды рассеяния на ну-
левой угол непосредственно выражается через полное сечение рас-
сеяния
lmf(k,0)=-^-a(k). (8.47)
Поэтому соотношение (8.45) позволяет выразить амплитуду рассея-
ния f {k, 0) исключительно через наблюдаемые на опыте величины
f (k, 0) = Re/ (k, 0) + i-^-a (k), (8.48)
oo
Ref (k, 0) = f (oo, 0) + Jpjf dk' -^- +
CO
+ Σ (- 1)'+1 (2/ + 1) β% . (8.49,
In ft2 + <
Дисперсионное соотношение (8.46) определяет мнимую часть амп-
литуды рассеяния на нулевой угол при Im k = 0 по ее вещественной
части.
Воспользовавшись равенством (8.43), дисперсионное соотношение
(8.45) можно представить в другой форме:
f(k, 0) = f(oo, 0) + ^ J dk'-^±
i0
2
β/η
+ Σ(-1)<+'(2/+1) J'\ . (8.50)
Un ft2 + У-ы
Такая форма записи дисперсионного соотношения удобна, поскольку
она определяет амплитуду f (k, 0) при любых комплексных значениях
k, лежащих в верхней полуплоскости.
Если амплитуду рассеяния рассматривать как функцию энергии,
то дисперсионное соотношение (8.50) принимает вид
/(£, 0)=f(oo, O> + ±\dl?£!}*Ll +
о
+ Σ (~ 1)/+I (21 + 1) -£- -ёЩг- . (8.51)
Формула (8.51) определяет амплитуду f (E, 0) в любой точке физиче-
ского листа по значениям ее мнимой части при положительных зна-
чениях энергии. Мы видим, что дисперсионные соотношения накла-
дывают жесткие ограничения на энергетическую зависимость ампли-
туды рассеяния.
135

Отметим, что дисперсионные соотношения, вообще говоря, явля-
ются следствием принципа причинности. Действительно, при выводе
дисперсионных соотношений мы использовали только свойство анали-
тичности амплитуды. Поскольку аналитичность матрицы рассеяния,
а следовательно и амплитуды рассеяния обеспечивается, как мы пока-
зали, принципом причинности, то учет принципа причинности обес-
печивает и существование дисперсионных соотношений.
8.6. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
ДЛЯ АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ НА ПРОИЗВОЛЬНЫЙ УГОЛ
В случае рассеяния на угол, отличный от нуля, аналитические
свойства амплитуды рассеяния в комплексной плоскости k существен-
но зависят от характера убывания рассеивающего потенциала на
больших расстояниях. Дисперсионные соотношения типа (8.50) или
(8.51) имеют место только при выполнении определенного соотношения
между величинами передаваемого импульса и радиуса взаимодей-
ствия.
Для установления дисперсионных соотношений при произвольном
угле рассеяния и нахождения условий их применимости исследуем
прежде всего аналитические свойства амплитуды рассеяния в комп-
лексной плоскости k при k' Φ k. Будем исходить из общего опреде-
ления амплитуды рассеяния
f (k, *») = _ _£- f dre'^V (r) ψ{+> (r). (8.52)
В случае сферически симметричного потенциала V (г) амплитуда рас-
сеяния зависит только от величины k и угла рассеяния Φ (угла меж-
ду векторами k и k'). Однако при аналитическом продолжении ам-
плитуды рассеяния в область комплексных значений k использовать
угол Ь в качестве независимой переменной неудобно. Более удобной
величиной является вектор передачи импульса
q = k — k', (8.53)
абсолютная величина которого связана с углом рассеяния соотно-
шением
q = 2k sin -5- = К2/г2(1 — cosflj. (8.54)
В дальнейшем амплитуду рассеяния (8.52) будем рассматривать как
функцию независимых переменных k и q, при этом будем считать,
что k комплексно и находится в верхней полуплоскости, a q фиксиро-
вано и вещественно
f(k, k')^f(k, q).
Выделим в амплитуде (8.52) часть, отвечающую первому борнов-
скому приближению
M^-a^i-W^ir). (8-55)
Вследствие сферической симметрии потенциала борновская амплиту-
да рассеяния вещественна и зависит только от величины передавае-
136

мого импульса q. Оставшуюся часть амплитуды удобно переписать в
виде
f (k, q) - Ы (Я) = 2ШГ J dre'v-^V (г) (ψ{+> (r) - <*η. (8.56)
(Вектор ft' в правой части (8.56) мы выразили через величины ft и q).
Исследуем сходимость интеграла, входящего в правую часть (8.56).
Так как величина q предполагается фиксированной, то в скалярном
произведении kr, стоящем под знаком экспоненты в (8.56), угол между
векторами ft и г необходимо выразить через углы между указанными век-
торами и вектором q:
kr = kr {cos (ft, q) cos (r, q) + sin (ft, q) sin (r, q) cos φ}, (8.57)
где φ — угол между плоскостями, проходящими через векторы ft и q
и векторы г и q. Замечая, что
cos (ft, q) = -i—|- и sin (ft, q)=y \--S-.,
скалярное произведение (8.57) можно переписать в виде
kr = -^-qr+ry^k2 — -J-sin (r, я) cos φ. (8.58)
Разность (iJ)k+> (r) — e'kr) на больших расстояниях соответствует рас-
ходящейся волне. Поэтому под знаком интеграла в (8.56) при больших
значениях г будет стоять следующий экспоненциальный множитель:
Ддг+1(й-|Л*- £- sin (Г.Ч, созф)^ (g 59)
Легко видеть, что в верхней полуплоскости комплексной плоскости k
вещественная часть выражения, стоящего под знаком экспоненты
(8.59), не является отрицательно определенной. Следовательно, ин-
теграл в правой части (8.56), вообще говоря, может расходиться.
Сходимость интеграла можно обеспечить, если предположить, что
потенциал V (г) с ростом г убывает достаточно быстро (не медленнее,
чем по экспоненциальному закону). Действительно, предположим,
что потенциал удовлетворяет условию
\ drr2emr\v (г) \<оо, (8.60)
о
где т — некоторая положительная величина. В этом случае всегда
будет иметь место неравенство
Im k + т > Im 1//г2 — -^-,
если выполняется условие
<7<2т. (8.61)
Поэтому интеграл в правой части (8.56) будет сходиться, за исклю-
чением тех значений k, при которых функция ψΙ^1"' (г) обращается в
бесконечность.
137

Таким образом, если потенциал удовлетворяет условию (8.60),
то при q <; 2/л амплитуда рассеяния f (k, q) является аналитической
функцией в верхней полуплоскости комплексной плоскости k. Ампли-
туда рассеяния может иметь особенности — простые полюса, распо-
ложенные на мнимой полуоси и отвечающие связанным состояниям
системы. На вещественной оси k амплитуда рассеяния непрерывна, за
исключением точек ветвления k — ± ~ . При j k | -*■ оо по любому
направлению амплитуда (8.56) стремится к нулю.
Используя полученные свойства амплитуды рассеяния и выбирая
контур интегрирования в комплексной плоскости k так же, как и в
случае рассеяния на нулевой угол, нетрудно установить дисперсион-
ное соотношение для амплитуды рассеяния на угол, отличный от
нуля:
+ Σ(-1/+1(2Ζ+1)17|^_Ρ2(1 + ^).
i.n k* + κ,„ \ 2κ,„ /
(8.62)
Если амплитуду рассеяния рассматривать как функцию энергии
и переданного импульса, то дисперсионное соотношение принимает
вид \
о
2
+ 2 (- 1)'+I (2/ + \)-?£—еЩг-Р1 f 1 - -^-)
цГ> ' V ' 2μ £ —£fa '\ 4μ£/η )
(8.63)
Дисперсионные соотношения (8.62) или (8.63) имеют место, если
выполняется условие q <; 2m. Очевидно, для потенциалов, убываю-
щих с ростом расстояния быстрее, чем по экспоненциальному закону
(например, по гауссовскому закону или быстрее), дисперсионные со-
отношения (8.62) или (8.63) справедливы при любых значениях пере-
даваемого импульса q.
Следует отметить, что интегралы в правых частях (8.62) и (8.63)
содержат нефизическую область. Действительно, при упругом рас-
сеянии импульс частицы не может измениться на величину, превос-
ходящую его удвоенное начальное значение. В то же время в (8.62) и
(8.63) при фиксированном значении изменения импульса q интегриро-
вание производится по всему интервалу изменения k' и £". Очевидно,
области интегрирования в (8.62) от — ■—■ до -|- и в (8.63) от 0 до —-~-
являются нефизическими. Поэтому для возможности практического
использования дисперсионных соотношений (8.62) и (8.63) необходимо
1 Дисперсионные соотношения для амплитуды рассеяния на произвольный угол
были получены Хури [30]. Простой вывод дисперсионных соотношений предложен
в [31].
138

установить правила аналитического продолжения мнимой части ампли-
туды рассеяния в нефизическую область.
Если потенциал V (г) удовлетворяет условию (8.60), то можно по-
казать (см. задача 1), что мнимая часть амплитуды рассеяния является
аналитической функцией переменной z = cos Φ внутри эллипса на
комплексной плоскости z с фокусами в точках ± 1 и большой полу-
„ , , 2т2 Λ
осью, равной 1 -\ р—. Функция, аналитическая внутри эллипса на
комплексной плоскости г, может быть разложена в ряд по полиномам
Лежандра, сходящийся во всей области аналитичности. Поэтому,
используя представление амплитуды рассеяния в виде разложения по
парциальным волнам, можно мнимую часть амплитуды рассеяния анали-
тически продолжить в нефизическую область, содержащуюся в инте-
гралах (8.62) и (8.63). В переменных q граница области аналитичности
мнимой части амплитуды рассеяния при вещественных значениях г
определяется неравенством
<72 < 4m2 + 4k2. (8.64)
Так как дисперсионные соотношения имеют место только при q <; 2m,
то путем аналитического продолжения мнимой части амплитуды подын-
тегральные выражения в дисперсионных соотношениях могут быть
определены во всей области интегрирования.
В случае рассеяния на нулевой угол дисперсионные соотношения
(8.62) и (8.63) переходят соответственно в (8.50) и (8.51), при этом не-
физические области исчезают. Отметим также, что дисперсионные со-
отношения в случае рассеяния на нулевой угол выполняются при
условии на потенциал (7.3), которое значительно слабее условия (8.60),
необходимого для существования соотношений (8.62) и (8.63).
Задачи
1. Доказать, что для потенциала, удовлетворяющего условию
(8.60), мнимая часть амплитуды рассеяния (рассматриваемая как
функция независимых переменных k и z — cos Φ) аналитична на ком-
плексной плоскости z внутри эллипса с фокусами в точках ± 1 и с
большой полуосью, равной 1 -\ р- [32].
Используя (8.56) и (3.29), часть амплитуды рассеяния, остающую-
ся после выделения борновской амплитуды, можно непосредственно
выразить через точную функцию Грина (3.39):
f(k, z)-fB(k, 2) = _^JjdrdrY-ik'rV(r)G(+>(£2, г, г') х
х V (/·') eikr'. (8.65)
Так как борновская амплитуда fs (k, z) вещественна, то мнимая часть
амплитуды f [k, z) будет определяться мнимой частью выражения,
стоящего справа в (8.65). Согласно определению (4.75), функция Гри-
на G (/г2; г, г') зависит от абсолютных значений и относительной ориен-
тации векторов гиг', поэтому в (8.65) можно провести интегрирование
139

по одному из углов в явном виде. Введем следующую систему координат
k = k(l, 0, 0),
Л'=/г (cos ft, sin ft, 0),
г — г (sin β cos α, sin β sin a, cos β), (8.66)
r' = r' (sin β' cos a', sin β' sin a', cos β'),
где ft — угол рассеяния, а α и β (α' и β') — обычные сферические углы,
причем полярная ось выбрана перпендикулярно к плоскости, содержа-
щей векторы А и А;'. Функция Грина G (fe2, г, г') зависит от г, г'и коси-
нуса угла Θ между векторами гиг':
cos Θ = cos β cos β' + sin β sin β' cos (a — a').
Поэтому, если взамен α и α' ввести новые переменные X = а — а и а,
то вся зависимость интеграла /, входящего в (8.65), от а, так же как и
зависимость от угла ft, будет вынесена в экспоненту.
со оо Я Л 2π 2л
/ = { drr* J dr'r'2 j' <ф sin β J dp' sin β' J dX J da e-'W*«>-">F (r) x
0 0 0- 0 0 0
X G<+) (£2; r, r', Θ) V (г') е'*''^Р'с°*<*-">. (8.67)
Выполняя интегрирование по α, получим
оо оо я Я
/ = 2л J drr* j dr'/·2 f dp sin β j dp' sin β' Χ
0 0 0 0
2Я
X j dX/0 (/г x V2rr' sin β sin β' Кб — cos (ft — X)) X
X У (г) G<+) (&2; γ, γ', Θ) V (/), (8·68)
где введено обозначение
_ λ2 sin2 β -(- λ'2 sin2 β'
6 ~~ 2rr' sin β sin β' "
Исследуем сходимость интеграла (8.68). Величина ς принимает
минимальное значение ς = 1, если г = г' и β = β'= -g-. При пере-
ходе к комплексным значениям cos ft величина cos (ft — X) может при-
нимать значения, большие единицы. В этом случае при больших значе-
ниях г бесселева функция J0 будет экспоненциально расти, так как
корень |/ 1 — cos (ft — %) становится мнимым:
/0 (V2krVl — cas(& — %)) ~ eV^riReVcosie-JO-ii.
Очевидно, для сходимости интеграла необходимо, чтобы этот рост
перекрывался убыванием подынтегрального выражения, связанным с
радиальной зависимостью потенциала V (г). Если потенциал удовлет-
воряет условию (8.60), то для сходимости интеграла необходимо, чтобы
выполнялось требование
1/2А | Re |/cos (ft — Χ) — 11 < 2m. (8.69)
140

Это неравенство удобно переписать в другом виде. Введем обозначение
cos* = ch (ξ + ir\), при этом
cos (■& — %)= ch (ξ + Щ, ψ = η + Χ. (8.70)
Подставляя (8.70) в (8.69) и преобразуя, нетрудно получить
sh24-cos^<-^.
Наибольшее ограничение на ξ налагается при ψ = 0, и таким образом
получим
ch|<l+^. (8.71)
Условие (8.71) определяет область аналитичности мнимой части
амплитуды рассеяния lmf(k, г) по переменной z == cos Φ = ch (ξ + "])·
На комплексной плоскости z эта область представляет собой эллипс с
фокусами ± 1, большой полуосью 1 -\—р— и малой полуосью -τ— Χ
2. Найти амплитуду упругого рассеяния при высоких энергиях,
используя условия аналитичности и унитарности [33].
Предположим, что дисперсионное соотношение для амплитуды
рассеяния по энергии (8.63) справедливо при всех значениях переда-
ваемого импульса. Для упрощения предположим также, что отсут-
ствуют связанные состояния. Применим к амплитуде / (k, q) преобра-
зование Фурье — Бесселя
со
/ (k, q) = J dpph (k, ρ) /„ (qp). (8.72)
о
Домножив соотношение (8.62) на qJ0 (qp) и проинтегрировав по пере-
менной q от 0 до то, получим
—оо
со
Лв (Р) = — J dzv (^P^+T2). (8.73)
о
Функция h (k, ρ) при фиксированном значении ρ аналитична в верх-
ней полуплоскости k. Дисперсионное соотношение (8.73) можно пре-
вратить в уравнение, если воспользоваться условием унитарности
(5.9) и выразить Imh (k, ρ) через саму функцию h (k, p). В результате
громоздких вычислений можно получить
оо оо
Imft (k, p) = f ф'р' J dp"p"h* (k, p') h (k, p") x
о о
X У (k, p; p', p"), (8.74)
141

где
У (k, ρ; ρ', ρ") = J£ j <*φ j <ffi sin θ/0 (2fe sin 4 p) y* [^(θ' φ)] , (8.75)
о о
b (θ, φ) = ρ'2 + ρ"3 — 2p'p" cos 4 cos Φ·
При достаточно высоких энергиях выражение для У (k, ρ; ρ', ρ")
существенно упрощается
У (k, ρ; ρ', ρ") ~ -~ δ (ρ' - ρ) δ (ρ" - ρ), (8.76)
при этом условие унитарности (8.74) принимает вид
Iran (Л, p) = JL|ft(ft, ρ) р. (8.77)
Подставляя (8.75) в (8.73), мы получим уравнение, определяющее
амплитуду h (k, p). Если условие унитарности (8.77), справедливое
только при высоких энергиях, использовать для всех энергий, то из
(8.73) следует простое уравнение для нахождения h (k, p). Вместо не-
посредственного решения этого уравнения, мы однако воспользуемся
следующим приемом. Введем функцию
L^P)-mSr- <8-78>
которая очевидно аналитична в верхней полуплоскости k и стре-
мится к единице при \k\ -*■ оо. (Будем предполагать, что функция
h (k, p) не имеет нулей). Запишем в явном виде условие аналитичности
для введенной функции
оо
Ьф, р) = 1+±$ & *££$., (8.79)
где
Im L (k, ρ) = - Д(р| |2 Im h (k, p). (8.80)
Используя условие унитарности (8.77), имеем
lmL(k,p) = ^-Лв(р). (8.81)
Подставляя (8.81) в (8.79), непосредственно находим
ЦЛ, р) = 1 + 1)гЛв(р), (8.82)
откуда
*в(Р)
h(k, p)=.
!+-й**в*)
(8.83)
Полученная функция h (k, p) обладает требуемыми аналитическими
свойствами и удовлетворяет условию унитарности для высоких энер-
гий (8.77).
142

Амплитуда рассеяния в указанном приближении определяется вы-
ражением
/ (/г, q) = Г dppJ0 (qp) - {
η Ι
hB(P)
2ik 'B
ИЛИ
*в(Р)
/ (k, q) = ik j dpp/n (qp) {1 - *2'«<*·ρ>}, (8.84)
где
δ (k, ρ) = arctg (JL AB (p)) s - arctg ( JL j cfcy (W + г2) J . (8.85)
Высокоэнергетическое приближение, рассмотренное в разделе 3.7,
соответствует замене функции δ (k, p) первым членом разложения
арктангенса.
Интересно указать на связь между амплитудой h (k, p) и парци-
альной амплитудой /( (k). Так как при высоких энергиях существенны
малые углы рассеяния и большие значения /, то нетрудно установить
следующее приближенное соотношение
fl(k)^^h(k,-L). (8.86)
Очевидно, в пределе больших / и высоких энергий величина ρ имеет
смысл классического прицельного параметра.
ГЛАВА 9
КОМПЛЕКСНЫЕ МОМЕНТЫ
9.i. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ
В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ МОМЕНТОВ
В предыдущих параграфах мы видели, что переход к комплексным
значениям k позволил установить ряд важных свойств матрицы рас-
сеяния, связанных с ее особенностями. Так как матрица рассеяния
5, (k) зависит не только от волнового числа k, но и от орбитального
момента /, то особенности матрицы рассеяния, вообще говоря, могут
быть не только при комплексных значениях k и целочисленных физи-
ческих значениях /, но и при физических значениях k и комплексных
значениях / [34].
При изучении аналитических свойств матрицы рассеяния в плос-
кости комплексных моментов удобно взамен I ввести величину λ:
λ = / + -Ι-. (9·1)
143

Тогда уравнение для радиальных функций (7.26) можно переписать
в виде
и" (λ, k, r) + \& ^-5 ν (г) Jи (λ, k, r) = 0. (9.2)
Обозначим регулярное в нуле решение уравнения (9.2) через Φ (λ, k, r).
Это решение удовлетворяет граничному условию
-(ч4)
limr 2 Φ (λ, k, r) = l. (9.3)
В качестве второго независимого решения уравнения (9.2) можно взять
Φ (— λ, k, r). Это решение будет удовлетворять условию
limr 2 Ф(—λ, k, r) = l. (9.4)
Нетрудно проверить, что
И? {Φ (λ, k, г), Ф(— λ, k, /·)} = — 2λ. (9.5)
Решения Иоста для уравнения (9.2) обозначим через f (λ, k, r) и
/ (λ,— k, r); граничные условия для этих решений имеют вид
lime'*'/(λ, k, r) = l. (9.6)
Г-fCO
В дальнейшем будем считать, что величина λ принимает произ-
вольные комплексные значения, и будем рассматривать поведение раз-
личных решений уравнения (9.2) на комплексной плоскости λ. Так
как коэффициент в уравнении (9.2) — целая функция λ, и граничное
условие (9.6) не зависит от λ, то / (λ, k, r) — целая функция λ. Заме-
тим, что при вещественных значениях λ / (λ, k, r) является четной фун-
кцией λ. Если потенциал вещественен, то из (9.2) и (9.6) следует
f(K, k, /") = /* (λ*. -k*, r). (9.7)
Нетрудно показать, что регулярное решение Φ (λ, k, r) является
аналитической функцией в правой полуплоскости λ, т. е. при Κελ>0.
Для этого введем новые переменные
Л=е-р, u = we 2". (9.8)
Тогда уравнение (9.2) и граничное условие (9.3) принимает вид
-|j-{A2 + He-p)-^]e-2V = 0, (9.9)
lime7*uy(p) = 1. (9.10)
Сравнивая (9.9) с (9.2) и (9.10) с (9.6), мы видим, что
а'(р)=/(-Г· ~1'λ> ρ). (9Л1>
если под потенциалом понимать величину [ν (е~р) — k?\ е~2р. Соглас-
но предыдущему, решение (9.11) является аналитической функцией
144

без особенностей при Im (— tk) <c 0 (т. е. при Κελ> Ο), и следователь-
но решение Φ (λ, k, r) — аналитическая функция λ при Re λ > 0, не
содержащая особенностей.
Таким образом мы показали, что области существования аналити-
ческих решений Φ (λ, k, г) и / (λ, k, r) определяются условиями:
± Re λ > 0, k — конечно для Φ (± λ, k, r),
λ — конечно, ±lmfe<0 для /(λ, ±k, r).
Эти области могут быть расширены, если на потенциал υ (г) наложить
определенные ограничения.
Введем функцию Иоста:
f (λ, k) ^ W [f (λ, k, r), Φ (λ, k, r)}. (9.12)
Тогда регулярное решение уравнения (9.2) может быть выражено
через решения Иоста:
Φ (λ, k,r) = --^ {/(λ, -k)f(K, k, r) -
-/(λ, /г)/(λ, -k, r)}. (9.13)
Отметим, что функции / (± λ, ± k) полностью определяют связь меж-
ду решениями с граничными условиями при г = 0 и решениями с гра-
ничными условиями при г -*■ оо.
Так как / (λ, k, г) и /' (λ, k, г) являются целыми функциями λ, а
Φ (λ, k, г) и Φ' (λ, k, r) — аналитические функции λ при Reλ>0, то
функция f (λ, k) является аналитической при Re λ > 0 и фиксирован-
ном k. Ранее мы показали, что / (λ, k) — аналитическая функция k в
полуплоскости Im k < 0 при фиксированном λ. Поэтому функция
/(λ, k), рассматриваемая как функция двух переменных λ и k, являе-
тся аналитической функцией без особенностей в прямом произведении
областей Im k < 0 и Re λ > 0.
Взяв асимптотику (9.13) и сравнив ее с (4.24), находим
^.'>-'"(λ4)7£^Γ· (MO
Матрица рассеяния 5 (λ, k) является мероморфной функцией λ и k в
прямом произведении областей Re λ > 0 и I in k <z 0. Из соотношения
(9.7) следует условие комплексной унитарности матрицы рассеяния
5* (λ*, ^*) = 5_1(λ, k). (9.15)
Это условие выполняется, если потенциал υ (г) вещественен при
вещественных положительных значениях г.
Условие комплексной унитарности (9.15) накладывает определен-
ные ограничения на положение полюсов матрицы рассеяния в л- пло-
скости. Если k вещественно, то условие (9.15) принимает вид
5* (λ*, k) = S~1(k, k). (9.16)
Из этого соотношения непосредственно следует, что, если функция
5 (λ, k) имеет полюс в точке λ = λ0 при вещественном k, то она имеет
10 5-614
145

также нуль в точке λ = λ0. Если и λ — вещественно, то из (9.16)
следует
5 (λ, k) = £>2'6<λΑ, (9.17)
где δ (λ, k) — вещественная фаза рассеяния. При комплексных
значениях λ соотношение (9.17) также можно записать, однако фаза
δ (λ, k) будет комплексной.
Выразим функции Иоста f (λ, k) и / (λ, — k) через фазу δ (λ, k).
Для этого заметим, что функцию / (λ, k) всегда можно представить
в виде
f (λ, k) = β<Δ<λ·*>,
где Δ (λ, k) — некоторая фаза, вообще говоря, комплексная при комп-
лексных значениях λ. Очевидно, функцию / (λ, —k) при этом можно
записать в виде
/(λ, -k) = ei*{K~k).
Используя (9.14), нетрудно получить следующее соотношение
между фазами Δ (λ, k) и δ (λ, k):
Δ (λ, k) —Δ (λ, — k) + π (λ — -±-) = 2δ (λ, k). (9.18)
При вещественных значениях k комплексную фазу Δ (λ, k) удобно раз-
бить на две части \ (λ, k) и Δ2 (λ, k):
Δ (λ, k)=A1(l, &)+Δ2(λ, k),
одна из которых ΔΧ (λ, k) — четная функция k, и вторая Δ2 (λ, k) —
нечетная функция k. Соотношение (9.18) непосредственно определяет
нечетную часть фазы Δ (λ, k):
Δ2(λ, £) = δ(λ, k)-^-(l--L),
и таким образом получим следующие формулы, устанавливающие связь
между функциями Иоста f (λ, k) и f (λ, —k) и фазой δ (λ, k):
/(λ, £) = τ(λ, k)e 2V 2 ,
/(λ, -£)=τ(λ, k)e 2 2/, (9.19)
где τ (λ, k) = £'Δ> <*-*)— некоторая комплексная функция при комп-
лексных значениях λ. Если λ — вещественно, то фаза δ (λ, k) — веще-
ственна, при этом τ (λ, k) = \f (λ, k) \.
Покажем, что в области Ιπ1λ<; О при вещественных положительных
значениях k полюса матрицы рассеяния отсутствуют. Домножим урав-
нение (9.2) на и* и вычтем из полученного уравнения комплексно со-
пряженное уравнение. В результате получим
■ψ (и*и' ~ ии*') = 2i Im λ2 Ц£-. (9.20)
146

Выбирая в качестве и регулярное решение Φ и интегрируя равенство
(9.20) по г от 0 до оо, с учетом (9.13) и (9.19) найдем
2ΙΙΠλ»^-1^- = -^-(|/(λ1 £)|2-|/(λ, -£)|2} =
о
, —2( lm δ—^- Im λ) 2( Im 6—^-lm λ)
= -^-|τ(λ, k)f{e 2 '-eK }. (9.21)
Из полученного равенства следует, если Im λ < 0, то 1тб > — 1т λ.
Таким образом мнимая часть δ ограничена снизу при Im λ <z 0 и,
следовательно, величина S (λ, k) = e2ib (λ·k) ограничена сверху.
Поэтому в указанной области (1ггЛ < 0) полюса матрицы рассеяния
5 (λ, k) отсутствуют. Аналогичным образом, в силу соотношения
(9.16), можно показать, что в области 1тЯ> 0 не существуют нули
S (λ, k).
Разъясним физический смысл отсутствия полюсов S (λ, k) при Im λ<;
< 0. Прежде всего заметим, что при комплексных значениях λ центро-
бежный потенциал (λ2 j-\ г~2 также будет комплексным. При этом
знак мнимой части λ2 будет указывать на поглощающий характер
потенциала (Im λ < 0) или же на наличие испускания (Im λ > 0).
Пусть Φ — регулярное решение уравнения (9.2), отвечающее полюсу.
В этом случае / (λ, — k) — 0, и асимптотика равна
Ф^ n^kk) eikr, r->oo.
С помощью этой асимптотики нетрудно убедиться, что на достаточно
больших расстояниях при k > 0 плотность потока вероятности /,
положительна, следовательно поток вероятности направлен из внут-
ренней области наружу. Так как волновая функция Φ регулярна и опи-
сывает стационарное состояние (Е — вещественно), то компенсация
потерь вероятности возможна только за счет какого-то источника.
Таким источником может быть центробежный потенциал, отвечающий
комплексному моменту с Im λ > 0. При Im λ < 0 компенсация невоз-
можна, что и указывает на отсутствие полюса.
При рассмотрении ограничений на положение полюсов матрицы
рассеяния в комплексной плоскости λ мы использовали только свойства
комплексной унитарности матрицы рассеяния. Если учитывать харак-
тер конкретных потенциалов, то можно получить дальнейшие ограни-
чения на положения полюсов. Так для юкавского потенциала, удов-
р
летворяющего условию | ν (iy) \ < , полюса могут располагаться
У
ρ
только в области Re λ < —г-, т. е. на плоскости λ существует линия,
справа от которой полюса отсутствуют.
Ю*
147

9.2. ПОЛЮСА МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ
В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ МОМЕНТОВ
Выясним физический смысл полюсов матрицы рассеяния в плос-
кости комплексных моментов λ при физических значениях энергии,
т. е. при вещественных значениях k. Указанные полюса матрицы рас-
сеяния обычно называются полюсами Редже. Согласно (9.14), полюс
Редже определяется условием
/(λ, — А) = 0. (9.22)
Обозначим решение уравнения (9.22) через λ (k)l. Очевидно, уравне-
ние (9.22) будет удовлетворяться при
λ = λ(Λ).
Величина λ (k) определяет положение полюса Редже и является ана-
литической функцией k. Эта функция при вещественных значениях
fe2 называется траекторией Редже. При наличии нескольких полюсов
Редже (т. е. нескольких решений уравнения (9.22)), каждому полюсу
сопоставляется своя траектория, т. е. своя аналитическая функция
λ (k). В дальнейшем будем использовать обозначение
λ (£)==/(£)+-!-. (9.23)
Очевидно, физическими значениями величины I (k) являются целые
положительные числа, отвечающие значениям орбитального момента
системы I.
Полюса матрицы рассеяния 5 (λ, k) в плоскости комплексных мо-
ментов λ (k) — I (k) + -γ описывают либо связанные состояния, либо
резонансы в системе. Если функция / (k) вещественна и равна целому
положительному числу /, то имеется связанное состояние. Если же
функция / (k) комплексна, причем вещественная часть I {Щ близка
к целому положительному числу /, а мнимая часть мала Im/ (k) < 1,
то полюсу Редже соответствует резонанс в системе.
Рассмотрим свойства траектории Редже, когда k? изменяется от
— со до оо. Будем предполагать, что рассматриваемая траектория не
пересекается с другими траекториями.
Если энергия отрицательна Ε <z 0, то волновое число чисто мнимо
k = гх. Будем рассматривать значения Ε на физическом листе, в этом
случае κ > 0. Из условия вещественности регулярного решения (9.13)
следует, что функция f (λ, — k) также вещественна. Поэтому уравне-
ние f (λ, —k) = 0 имеет либо вещественные, либо комплексно сопря-
женные решения.
Покажем, что решения уравнения (9.22) при Ε <. 0 на физическом
1 Можно показать, что, если f (λ, —k) — аналитическая функция по обеим пере-
менным в ограниченной области и в общем случае -4г-Ф 0, то уравнение / (λ, — k) =
= 0 имеет единственное решение λ = λ (k), принимающее определенное значение λ
в заданной точке k (/ (λ, — £) = 0) и являющееся аналитической функцией.
148

листе вещественны. С учетом условия (9.22) асимптотика регулярного
решения (9.13) имеет вид
Фц«№. r)^-~fm(iY)e-Kr- (9.24)
Так как Φ обращается в нуль при г = 0 и г -> оо, то, согласно (9.20),
имеем
со
Im I (k) [I (k) + 1J j dr -Ц^ = 0. (9.25)
о
Отсюда следует, что величина / (k) вещественна. Сходимость интеграла
в (9.25) обеспечена, поскольку I (k) > ψ. Величина I (k) может при-
нимать физические значения, т. е. равняться целому числу /:
l(k) = l. (9.26)
Из этого условия находим значение kt = ix.t и, следовательно,
E^~~W- О·27)
Так как соответствующая волновая функция Φ квадратично интегри-
руема, то при значении энергии (9.27), определяемом из условия про-
хождения траектории Редже через физическую точку /, существует
связанное состояние системы.
Нетрудно показать, что I (k) является возрастающей функцией k2.
Для этого уравнение (9.2), определяющее функцию Ф, продифферен-
цируем по k2 и домножим на Ф, а затем полученное уравнение вычтем
из уравнения (9.2), домноженного на -щ-· Таким образом находим
iK^-®TH1-Jrir'<*><'<*>+'>|V (9.28)
Интегрируя затем это равенство по г от 0 до со и учитывая, что функция
Φ обращается в нуль при г = 0 и г -> со, получим
оо
fdrCD2
-JL./(*)(/(Л)+1) = -J . (9.29)
1'л ф2
\dr—
о
Так как функция Φ вещественна, то из этого равенства непосредствен-
но и следует положительность производной -^-1 (k), т. е. возрастаю-
щий характер функции I (k). Отметим, что вследствие возрастающего
характера функции I (k) величина I (0) определяет максимальный ор-
битальный момент связанных состояний, соответствующих опреде-
ленной траектории Редже.
Проиллюстрируем связь между полюсами матрицы рассеяния на
комплексной плоскости I и связанными состояниями на примере
149

кулоновского поля. Согласно (4.57), матрица рассеяния для кулоновс-
кого поля имеет вид
Г (/ + 1 + Φ у Ζε*μ
-φ ' е
St(k) =
(9.30)
T(l+\-iQ ' * h*k ■
Очевидно, полюса функции (9.30) на комплексной плоскости I со-
ответствуют значениям I (ft), при которых аргумент гамма-функции
Г (I (ft) + 1 + г"|) равен целому отрицательному числу или нулю,
т. е. при значениях
l(k) + l + £ = —п„ (9.31)
где пг = 0, 1, 2, ... Число п, опре-
деляет полюс матрицы рассеяния на
комплексной плоскости I и связан-
ную с ним траекторию Редже.
Если величина I (ft) принимает
физические значения 0, 1, 2, .... то
полюс Редже соответствует связан-
ным состояниям. Энергии связан-
ных состояний, лежащие на соот-
ветствующей траектории Редже
(9.31), равны
г-, Ζν>μ 1
-nj-
Ш (nr+l + l)2
(9.32)
Таким образом, каждой траектории Редже, определяемой числом п„
соответствует бесконечное число связанных состояний, отличающихся
значением орбитального момента /. На рис. 15 изображены траектории
Редже для кулоновского поля пг = 0, 1 и 2.
Формула (9.32) определяет уровни энергии водородоподобного атома.
Число пг совпадает с числом узлов радиальной волновой функции.
Мы видим, что классификация связанных состояний водородоподоб-
ного атома по числу узлов радиальных волновых функций эквивалентна
классификации состояний по принадлежности к различным траекто-
риям Редже.
Перейдем теперь к рассмотрению полюсов Редже при положитель-
ных значениях энергии Ε > 0. Когда ft2 > 0, то у функции / (λ, —ft)
появляется мнимая часть, следовательно мнимая часть возникает и у
Kk):
I (ft) = Re / (ft) + i Im / (ft). (9.33)
Покажем, что полюс Редже при ft2 2> 0, для которого вещественная
часть I (ft) близка к целому положительному числу /, а мнимая часть
/ (ft) достаточно мала, описывает резонанс в системе. Итак, пусть
ReZ(ft)^/, Im/(ft)«;i, (9.34)
и для определенности ft > 0. Подчеркнем, что полюсу Редже (9.34)
соответствует физическое значение энергии и комплексное значение
момента.
Перейдем на комплексную плоскость ft и выберем комплексное ft0
таким образом, чтобы
Re/(ft0) = /, lm/(ft0) = 0. (9.35)
150

Так как / (k) аналитическая функция, то, разлагая ее в ряд по
степеням разности k — k0 и ограничиваясь линейным членом разло-
жения, получим
Rel(k) + ilml (k) = I + (k-k0)-^- + ···
Откуда
k0= ko+ iko,
и' и i i — Re i (ft) , - lm / (k) ._ QC.
/go=fe+ dm · ^—ЖЖ~" ( }
dk
Так как lm / (k) > 0 и "'^ > 0, то ko < 0. Комплексному значению
k0 соответствует комплексное значение энергии
W = Е0 L г0, Е0 = -|L (^ - Л?),
г _ 2*о lm < (fe) ,Q ч7\
dk
Таким образом полюсу матрицы рассеяния мы сопоставили физическое
значение момента (9.35), однако при комплексном значении энергии
(9.37). В точке k0 на комплексной плоскости k волновая функция имеет
вид
φ _ MhjL eik'or-k'or (Г _ оо) (9.38)
и описывает распадающееся состояние.
Итак, мы показали, что полюсу матрицы рассеяния на комплексной
плоскости I при физическом значении энергии (9.34) можно сопоставить
полюс на комплексной плоскости k при физическом значении момента
(9.36). Поэтому, если траектория Редже I (k) близко подходит к цело-
му положительному числу /, то в системе возникает резонанс. На одной
и той же траектории Редже может находиться несколько резонан-
сов, если функция / (k) близко подходит к нескольким целым чис-
лам /.
На одной траектории Редже могут, вообще говоря, находиться и
связанные состояния и резонансы. Вместе они образуют семейство
состояний с одинаковыми внутренними квантовыми числами и могут
быть классифицированы по принадлежности к определенной траекто-
рии Редже. Пример такой классификации мы привели для водородо-
подобного атома, когда на каждой траектории имеется бесконечное
число связанных состояний, характеризуемых одинаковым радиаль-
ным квантовым числом пг (т. е. числом узлов радиальной волновой
функции) и различными значениями орбитального момента /.
151

9.3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ
В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ г
■Переход к комплексным моментам позволяет в общем виде ис-
следовать аналитические свойства амплитуды рассеяния в комплекс-
ной плоскости косинуса угла рассеяния z = cos -q,.
Представление амплитуды рассеяния в виде ряда по полиномам
Лежандра
f {k- г>=-ж ?(2/+!> (5< w -1) pi ® (9·39)
удобно при физических значениях угла рассеяния, т. е. при — 1 <;
< z < 1. Однако при переходе в нефизическую область значений z это
разложение непригодно, так как ряд (9.39) сходится лишь в ограничен-
ной области комплексной плоскости z. Для возможности аналитиче-
ского продолжения амплитуды рассеяния на всю комплексную пло-
скость z целесообразно воспользоваться преобразованием Ватсона —
Зоммерфельда.
Введем функцию (sin ln)—\ имеющую бесконечное число полюсов
(—П'
при целочисленных значениях /, вычеты в которых равны ——-—.
Если окружить фиксированную точку /0 в комплексной плоскости /
замкнутым контуром с0, то согласно формуле Коши
Со
Поэтому сумму (9.39) можно преобразовать в интеграл
/ (k, z) = JL j dl (21 + 1) {5, (k) - 1} P, (- z) -^ (9.41)
с
по контуру С, окружающему положительную вещественную ось.
Все физические значения I = О, 1, 2,... расположены внутри контура.
Контур С изображен на рис. 16.
Представление амплитуды рассеяния в виде интеграла (9.41) удоб-
но при исследовании аналитических свойств амплитуды рассеяния
как функции z.
Будем предполагать, что потенциал V (г) удовлетворяет условию
(8.60) и представляется в виде суперпозиции потенциалов Юкава
V(r) = J φσ (μ)-?-__, (9.42)
m
где функция σ (μ) ограничена за исключением конечного числа осо-
бенностей. Если в (9.42) положить σ (μ) = V08 (μ — μ0), то получим
обычный потенциал Юкава
V(r) = V0-^. (9.43)
Исследуем прежде всего сходимость интеграла в (9.41) при боль-
ших значениях /. Матрица рассеяния 5, (k) для | I | 3> 1 мажорируется
152

борновским приближением, причем разность между ними при | I \ -»- оо
можно сделать сколь угодно малой независимо от значения k:
1
2
С
S, (k) — 1 ~ — 2ik J drr2V (r) fi (kr).
о
(9.44)
Г
Ч.
®ш
<эш
1 2 3 4 5 ReL
Рис. 16
Подставляя в (9.44) потенциал V (г) в виде (9.42) и замечая, что
со
i*«-^/?W = -i-Qi(i + -|sr).
где Q[ (z) — функция Лежандра второго рода, найдем
S, (А) - 1 ~ L \ αμο (μ) Q, (l + -^) . (9.45)
m
Для нахождения асимптотических выражений при больших зна-
чениях I для функций Лежандра первого и второго рода Pt (z) и Q, (z)
удобно воспользоваться следующим представлением
ЗД
1
ПМ-1) /,2
1 2π Γ
Ы)
<+4
(г2—!) 4 (z + W-l) 2f
2 ' 2
, / +
■ΗτγΙ i i
+-§-' £ife1) + i'z-i/?^T>"!f(T.x.' +
_3_. г— Yz*— 1
+ 2 ' 2 | i^Tl
(9.46)
153

X
x4·!· '+-r: -ΙΙ0=τ)- <9·47>
тде F (a, b, с; x) — гипергеометрическая функция. Замечая, что
1
F(a,b, с, х)-»- 1,еслиНес-»-оо,и1нп—/ }. ->- / 2, из (9.46) и
(9.47) при фиксированном значении z = cos Φ и 11 | -> оо (Re I ;> 0)
получим следующие асимптотические формулы:
Ρ,(г)-+-L·--4=-{/ 2; +i, V 2; }е \ (9.48,
У 2п1 у sin ■&
Подставляя эти асимптотики в (9.41) и (9.45), нетрудно проверить,
что подынтегральное выражение в (9.41) будет меньше, чем
N\l\2 exp{— |ReG- fm/| + (| ImG| — α) - Re/}, (9.50)
где Ν — некоторая величина, не зависящая от /, и а — величина, опре-
деляемая равенством
dm=l+-g-. (9.51)
Если контур С в (9.41) выбрать достаточно близко прилегающим к
вещественной оси, то в (9.50) можно положить Im I = 0. При этом
условие абсолютной сходимости интеграла в (9.41) можно записать
в виде | Im Ф| < а. Границей области сходимости на комплексной
плоскости Φ являются прямые
Imfl = ±a. (9.52)
Нетрудно убедиться, что на плоскости z граница области сходимости
интеграла в (9.41) представляет собой эллипс с фокусами в точках
-t 1. Действительно, выделяя в z и Ь вещественную и мнимую части
z = х + iy — cos (■&! + ifl'a), 0 < &г < π,
имеем
х = cos ^ ch Ф2, у = — sind1sh,fl'2.
Граничному условию (9.52) на плоскости z соответствует уравнение
эллипса
х2 у2
(cha)2 "+" (sha)2
154
= 1. (9.53)

Следовательно, границей области абсолютной сходимости интеграла в
(9.41) на комплексной плоскости z является эллипс с фокусами в
точках ± 1, называемый обычно эллипсом Лемана. При вещественных
значениях к, т. е. положительных энергиях, большая и малая полу-
оси эллипса соответственно равны:
— 1 _l т2 — т λ/ 1 -и т2
хо — 1 + 2£2 ' У° ~ k V + 4k2
(9.54)
Таким образом, мы показали, что интеграл в (9.41), а следователь-
но и разложение амплитуды рассеяния по парциальным волнам (9.39),
абсолютно сходятся внутри эллипса Лемана jm[
и поэтому амплитуда рассеяния f (k, z) явля-
ется аналитической функцией на комплексной
плоскости z внутри эллипса Лемана. Считая,
что z лежит внутри эллипса Лемана, контур
интегрирования С в (9.41) удобно деформи-
ровать в вертикальную прямую С I проходя-
щую правее Re / = ψ), дополнив ее дву-
мя дугами окружности большого радиуса в
первом и четвертом квадрантах (рис. 17).
Так как парциальная амплитуда достаточно
быстро убывает при |/|->оо, то вкладами
интегралов по дугам окружности большого
радиуса можно пренебречь. Поскольку, одна-
ко, матрица рассеяния является мероморфной функцией в комп-
лексной плоскости моментов при Re I > ψ, то к интегралу по С
необходимо добавить сумму вычетов подынтегрального выражения
(9.41) в полюсах матрицы рассеяния на комплексной плоскости момен-
тов. В результате амплитуда рассеяния может быть представлена в
виде
1
Рис. 17
f®' г> = "Μ d/(2/+ !) \St(k) - 1} Ρ,(-г)
V *U*H-' br(k)Pim(~z)
— sin L (k) η r x ' >w x '
sin In
+
in
~w
(9.55)
(lr (k) — положение и br (k) — вычет полюса матрицы рассеяния).
Представление амплитуды рассеяния в виде интеграла по конту-
ру С позволяет аналитически продолжить амплитуду рассеяния на
всю комплексную плоскость z за исключением разреза вдоль части
вещественной оси. Действительно, подынтегральное выражение в
(9.55) асимптотически ограничено величиной
N\l\2 exp(— |Reft · Im/|),
поэтому при Re ■& > 0 интеграл абсолютно сходится и, следователь-
но, амплитуда рассеяния f (k, z) будет аналитической функцией на
155

всей плоскости z с разрезом вдоль вещественной оси от точки z = I
до со. Так как мы показали ранее, что амплитуда рассеяния аналитич-
на внутри эллипса Лемана, то в действительности разрез на веще-
ственной оси ограничен интервалом от точки 2=1+ „.2 до со. От-
метим, что представление амплитуды рассеяния в виде (9.55) позволи-
ло аналитически продолжить ее в область тех значений z, при которых
сходимость в (9.41) и (9.39) нарушается.
Итак, мы показали, что амплитуда рассеяния / (k, z) для потенциа-
ла, представляемого в виде суперпозиции потенциалов Юкава, являе-
тся аналитической функцией на комплексной плоскости z с разрезом
trip'
вдоль вещественной оси от 1 -\—^- до оо.
Взамен косинуса угла рассеяния z часто вводят величину t, являю-
щуюся квадратом передаваемого импульса с обратным знаком
t= — q*. (9.56)
Так как изменение импульса при рассеянии q связано с углом рассе-
яния θ соотношением (8.54), то величина t связана с z линейным со-
отношением
t=2ki(z—\). (9.57)
Взамен энергии Ε при этом вводят величину s
s = 2μΕβ2 (9.58)
и амплитуду рассеяния рассматривают как функцию sat. Для потен-
циалов, представляемых в виде суперпозиции потенциалов Юкава,
амплитуда рассеяния f (s, t), рассматриваемая как функция комплекс-
ных переменных s и t, является аналитической функцией на комплекс-
ной плоскости s с разрезом вдоль положительной вещественной оси
и аналитической функцией на комплексной плоскости / с разрезом
вдоль вещественной оси от точки т2 до со.
9.4. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ
ПРИ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЯХ Ζ
Представление амплитуды рассеяния в виде (9.55) позволяет не
только исследовать аналитические свойства амплитуды рассеяния
на комплексной плоскости z, но и найти асимптотику амплитуды рас-
сеяния в нефизической области, когда косинус угла рассеяния неогра-
ниченно возрастает г-> со. Используя (9.55), нетрудно показать, что
асимптотическое поведение амплитуды рассеяния / (k, z) при z ->■ со
определяется особенностями матрицы рассеяния S, (k) в комплексной
плоскости /. Действительно, функции Лежандра Pt (z) при больших
значениях z имеют асимптотику
Pt{z)~*, z^co, (9.59)
поэтому в (9.55) наибольший вклад будет вносить крайний правый
полюс Редже, т. е. полюс с наибольшей вещественной частью lr (k).
Очевидно, при неограниченном возрастании z вкладами других полю-
сов и оставшегося интеграла по вертикальному контуру можно пре-
156

небречь, и, таким образом, асимптотика амплитуды рассеяния будет
определяться выражением
Важность полученного соотношения определяется тем обстоятель-
ством, что в релятивистской теории для перекрестных процессов
a + b-+c + d, (1)
a+c-^b + d (2)
(черточками обозначены античастицы) амплитуды связаны таким об-
разом, что большие нефизические значения косинуса угла рассеяния
для процесса (1) соответствуют большим физическим значениям энергии
для реакции (2). Поэтому поведение амплитуды рассеяния (2) при
больших энергиях будет определяться положением полюсов парци-
альной амплитуды рассеяния (1).
При рассмотрении перекрестных процессов (1) и (2) очень удобно
использовать переменные s и /. В силу перекрестной симметрии ампли-
туда процесса (2) получается из амплитуды процесса (1) заменой t на
s и наоборот.
М«. О = М', s). (9.61)
Поэтому асимптотика амплитуды процесса (1) по переменной t опре-
деляет асимптотику амплитуды процесса (2) по переменной s и на-
оборот.
9.5. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
ПО ПЕРЕДАВАЕМОМУ ИМПУЛЬСУ
Так как амплитуда рассеяния, соответствующая потенциалу (9.42),
является аналитической функцией на комплексной плоскости z с
разрезом вдоль вещественной оси от точки 1 + -|^- до бесконечности,
то для амплитуды рассеяния / (k, z) можно получить дисперсионные
соотношения по величине z при фикси-
рованном значении k.
Выберем на комплексной плоскости z
контур С так, чтобы он обходил линию
разреза по часовой стрелке, и дополним
его окружностью бесконечно большого
радиуса с центром в начале (рис. 18).
Некоторое усложнение, возникающее
при выводе дисперсионного соотноше-
ния, связано с тем, что амплитуда pi c-
сеяния f (k, z) не обращается в нуль
при | z | ->- оо. Действительно, путем ин-
тегрирования величины / (k, z')/(z'—z)
(z' — переменная интегрирования и Рис. 18
157

z— фиксированная точка внутри контура) по указанному контуру дис-
персионное соотношение получить нельзя, так как интеграл по окруж-
ности не обращается в нуль. Согласно (9.60), амплитуда рассеяния
при больших значениях | z | растет не быстрее, чем zN , где N —
наименьшее положительное целое число, превосходящее Re / (k). По-
этому, если амплитуду рассеяния / (к, г') предварительно домножить
на величину
N
Г"! (г-г,)
где z,- — координаты Л/ произвольно выбранных точек, не лежащих на
разрезе, то интеграл по окружности бесконечно большого радиуса
будет обращаться в нуль.
В силу теоремы Коши, таким образом, получим
N
f(k,Z)
1
2jxt"
-\dz·
с
fib
г'-
N
-V
—J
/=1
-г
f(k,
Π (г"
ii(г'-
N
*д Π ■
-1)
(г-
(г,-
• = i
*
(9.62)
Введем обозначение для скачка амплитуды рассеяния / (к, г) при пе-
реходе через разрез
f(k, z+ Ю) —f(k, z— Ю) = 2i 1тг f (k, z). (9.63)
Очевидно, при вещественных значениях к величина Imz/ (β, z) совпа-
дает с мнимой частью амплитуды Im/ (k, z). Используя определение
(9.63), дисперсионное соотношение (9.62) представим в виде
N оо
i+"
2fte
Λ/
*Π-£=$. (9.64)
Хотя величины гг можно выбрать не зависящими от £, число Л',
вообще говоря, должно зависеть от k, так как от к зависит величина
Re I (к). Если величина Re / (k) остается ограниченной при k ->-оо,
существует конечное число N, большее максимально возможного зна-
чения Re I (к). Используя это число N в (9.64), мы получим диспер-
сионное соотношение, справедливое при любом значении к.
Вводя взамен z величину квадрата передаваемого импульса со
знаком минус t, дисперсионное соотношение (9.64) можно переписать
в виде
158

где
Im, f (s, t) = -1- {f (s, i + iO) — f (s, * — Ю)}. (9.66)
Если все величины tt положить равными нулю, то дисперсионное со-
отношение (9.65) принимает вид
N °°
^ , t" Г lmt.f(s,t')
Hs, f) = Ζ*8,® + ~) df '' , (9.67)
где
ft(s)=TT-5-ffe Ofc=o· (9.68)
Отметим, что в интеграл в правой части дисперсионных соотношений
по передаваемому импульсу входят только нефизические значения
амплитуды рассеяния.
Задачи
1. Рассмотреть резонансное поведение матрицы рассеяния вбли-
зи полюса Редже, используя для амплитуды рассеяния f (k, г) пред-
ставление (9.55).
Матрица рассеяния 5, (k) может быть выражена через амплитуду
рассеяния / (k, z) следующим образом
1
5, (k) = 1 + ik J dzf (k, z) Pl (z). (9.69)
—1
Воспользовавшись для / (k, z) представлением (9.55) и замечая, что.
при целочисленных значениях I имеет место соотношение
1
Г л η / ч η / ч 2 sin lrn
\dzPl(z)Plr(-z) = - {l + lr+l)(l_lr),
получим следующее выражение для вклада в St (k), обусловленного-
л-м полюсом амплитуды (9.55):
^~4т^ш-· (970)
Если величина 1Г близка к целому числу I, то зависимость 5, от энергии
будет определяться (9.70). Разлагая lr (к) в ряд вблизи значения k0, при
котором Re /, (k0) = I, получим
*»—'τΙ^Γγ-^^τ· (9·71)
где Е0 и Г0 определены согласно (9.37). Таким образом, матрица рас-
сеяния 5, (к) вблизи полюса Редже характеризуется резонансной
зависимостью от энергии. Очевидно, эта резонансная зависимость
159

может проявляться только в случае малости величины Г0 по сравне-
нию с характерными значениями энергии, от которых зависит амп-
литуда рассеяния.
2. Рассмотреть поведение траекторий Редже вблизи порога Ε =
= 0 [35].
Если потенциал V (г) удовлетворяет условию (7.18), то функция
Иоста / (λ, k) — аналитическая функция k в области Im k << -=-, за
исключением точки k = 0. Точка k = 0 при произвольных значениях
λ является точкой ветвления, а при вещественных полуцелых значе-
ниях λ — кратным полюсом порядка | λ | ψ. Поэтому для одно-
значного определения функции / (λ, k) необходимо на комплексной
плоскости k сделать разрез вдоль мнимой оси k = 0 до k = i -ψ. Функ-
ция / (λ, k) в области Im й < -?- и k φ iv. (θ < κ < -^·] однозначно
определяется итерационным разложением и соответствующее значение
обычно называется главным значением/ (λ, k). Значения функции Иос-
та на других листах римановой поверхности определяются аналити-
ческим продолжением. Обозначим значение функции Иоста, полу-
чаемое аналитическим продолжением вдоль пути, лежащего в области
Im k<C~Y и окружающего точку k = 0 против часовой стрелки с не-
прерывным изменением аргумента от φ до φ + пл, через / (λ, кёпя).
Используя (9.2) и (9.6), можно показать, что имеет место равенство
/ (λ, kein) = / (λ, ke~") + 2i cos πλ/ (λ, k), (9.72)
откуда следует
5 (λ, keln) = 1 + 62Ιπλ — e2iJ*S~' (λ, k). (9.73)
Непосредственной проверкой легко убедиться, что функция
z (λ, ^-^^«Г-'Г <9·74)
в области Im k < -ψ является однозначной функцией k2. При полуце-
лых значениях λ эта функция равна
Ζ (λ, k*) = #*ctg δ (λ, k). (9.75)
Используя определение (9.74), представим матрицу рассеяния
S (λ, k) в виде
s*·*- 2%кт-^ ■ (9'76)
Полюса матрицы рассеяния определяются условием
Ζ (λ, k*) = ik2k (9.77)
за исключением целочисленных значений λ, при которых необходимо
использовать предельно ю форму
dZ(Kk*) =2ik*lnk (978)
160

При малых значениях энергии Ε разложим Ζ (λ, k2) в ряд по степеням
Ζ (λ, ft2) = Z0 (λ) + VZX (λ) + · · ·, (9.79)
где Zo(/(0) + -γ) = 0 и функция Ζ0 (λ) регулярна в окрестности λ =
= /(0)+4-·
Если / (0) < -д-, то правая часть (9.77) больше второго слагае-
мого в (9.79) и, таким образом,
/(£) —/(0) =0(£ 2). (9.80)
Если / (0) ;> -γ, то второе слагаемое в (9.79) превосходит правую
часть (9.77), поэтому
l(k) — l(0) = O(E). (9.81)
В случае / (0) = -^ необходимо воспользоваться (9.78), при этом по-
лучим
l{k) — l (0) = О (£ln E). (9.82)
Угол, под которым траектория Редже отходит от вещественной оси,
определяется равенством
π[4--/(0)]. /(0)<4":
arg[/(A)—/(О)]-*· (9.83)
Следовательно, при Ε = 0 траектория Редже отходит от вещественной
оси для волн с / > 0 под конечным углом вправо, для волн с / = 0 —
под прямым углом и для волн с / <; 0 — под конечным углом влево.
При этом траектория тем теснее прижимается к вещественной оси,
чем больше пороговое значение / (0).
ГЛАВА 10
ДВОЙНЫЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
10.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАНДЕЛЬСТАМА
Рассмотренные в главе 8 дисперсионные соотношения по энергии
не являются уравнениями для амплитуды рассеяния; они выражают
только ее аналитические свойства. Для возможности превращения
дисперсионных соотношений в уравнения необходима дополнительная
связь между вещественной и мнимой частями амплитуды. Как мы
видели на примере функций Иоста, такое дополнительное соотношение
между вещественной и мнимой частями функций можно получить, ис-
пользуя условие унитарности для парциальных амплитуд. Аналогичным
Π 5-6Ι4
161

образом можно попытаться превратить дисперсионное соотношение
по энергии в уравнение для амплитуды рассеяния, воспользовавшись
соотношением унитарности для полной амплитуды рассеяния (5.9).
Согласно этому соотношению, связь между мнимой частью ампли-
туды при фиксированном значении угла рассеяния и амплитудой
существенным образом зависит от значений амплитуды во всей физи-
ческой области углов. В то же время само дисперсионное соотношение
(8.63) получено только для ограниченной области углов. Поэтому
без аналитического продолжения дисперсионного соотношения по
энергии на более широкую область углов объединение дисперсионного
соотношения с условием унитарности невозможно.
В предыдущей главе нами было получено дисперсионное соотно-
шение для амплитуды рассеяния по передаваемому импульсу. Одна-
ко это дисперсионное соотношение также нельзя использовать в со-
четании с условием унитарности для получения уравнения, так как
в самом дисперсионном соотношении содержится интегрирование по
нефизической области.
Таким образом, простые дисперсионные соотношения для амплиту-
ды рассеяния по одной переменной в сочетании с условием унитарности
недостаточны для получения уравнений, описывающих динамику фи-
зической системы. Такие уравнения, однако, можно получить, ис-
пользуя совместно с условием унитарности так называемое двойное
дисперсионное соотношение для амплитуды рассеяния, предложенное
Мандельстамом [36]. Двойное дисперсионное соотношение определяет
аналитические свойства амплитуды рассеяния от обеих переменных —
энергии и передаваемого импульса — во всей области их изменения.
При рассмотрении двойного дисперсионного соотношения для
амплитуды рассеяния в качестве независимых переменных удобно ис-
пользовать введенные ранее величины s и t, называемые обычно ман-
дельстамовскими переменными. Напомним их связь с величинами k и г:
s = k2, t = 2k2(z—l). (10.1)
Дисперсионное соотношение для амплитуды рассеяния по энергии
(8.63) в переменных s и t перепишем в виде
f(s, 0=MQ + I-7II^ + — )ds S._s_i(j, (Ю.2)
l.n <" 0
где
Rin (0 see (- 1)'+1 (21 + 1) flnPt (l + -2У ,
\mj (s, f) = -±- {/ (s + Ю, t)-f(s- Ю, t)}. (10.3)
Если потенциал удовлетворяет условию (8.60), то разность между
амплитудой рассеяния и ее борновским приближением / (s, t) — /в (t)
является аналитической функцией на всей комплексной плоскости t
с разрезом вдоль вещественной оси от точки 4т2 до бесконечности.
В той же области аналитична и функция Ims/ (s, t). Функции Rin (t),
162

стоящие под знаком суммы в (10.2), являются полиномами от t. Степени
этих полиномов определяются значениями момента количества дви-
жения связанных состояний, величина которого ограничена некото-
рым значением / (s). Поэтому дисперсионное соотношение (10.2), по-
лученное непосредственно для передач импульса t > — 4m2, можно
аналитически продолжить на всю комплексную плоскость t за исклю-
чением разреза вдоль вещественной оси от точки 4т2 до бесконечности.
Это аналитическое продолжение можно осуществить, воспользовав-
шись в соотношении (10.2) представлением для функции Ims/ (s, /),
которое явно отражало бы указанную аналитичность по переменной
t. Такое представление для lms/ (s, /) непосредственно следует из
дисперсионного соотношения (9.67):
V* i tN F Ini,, {Ims/(s, f)\
Κ/(β. t) = 1 to,(S) + V) *r tL,_']. (Ю.4)
где
G,(s) = -i-^-IrV(s, Ομο. (10.5)
Нижний предел интегрирования по f в (10.4), вообще говоря, зави-
сит от s, но не может быть меньше 4т2.
Подставляя выражение (10.4) в (10.2), мы получим для амплитуды
рассеяния / (s, t) так называемое двойное спектральное представление
Мандельстама:
со со
+ Jl.[ds' \df N *<?'* , (10.6)
π2 J J t'N {t' — t)(s'—s — i0) v
где ρ (s, f) — спектральная плотность, определяемая скачками ампли-
туды на разрезах
p(s, t)^lmt{lmj(s, t)}. (10.7)
Если потенциал представляется в виде суперпозиции потенциалов
Юкава (9.42), то борновская амплитуда равна
оо
fB(t)=-§dk-£&L. (10.8)
m
В наиболее простом случае, когда отсутствуют связанные состояния
и когда lmtf (s, t) -*- 0 при | t \ ->■ оо, двойное спектральное представ-
ление Мандельстама принимает вид
оо оо
/ (8. О = /В (0 + ^ \ ds' \ df (,_^^_Ю) · (10·9)
0 0
11* 163

Полученные двойные дисперсионные соотношения (10.6) и (10.9)
определяют аналитические свойства амплитуды рассеяния / (s, t),
которая рассматривается как функция двух независимых переменных
s и t. Спектральная плотность ρ (s, i), входящая в дисперсионные со-
отношения, выражается через значения амплитуды на разрезах со-
гласно (10.7). Дополняя дисперсионное соотношение условием уни-
тарности, можно получить замкнутую схему динамического описания
системы, эквивалентную уравнению Шредингера [37].
10.2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ И УСЛОВИЕ УНИТАРНОСТИ
Ограничимся рассмотрением наиболее простого случая, когда
в системе отсутствуют связанные состояния и 1гп// (s, t) —>■ 0 при
j i | —»- оо. Согласно (5.9), соотношегие унитарности в переменных
s и t можно записать следующим образом:
К / (s. О = "if J doT (s, /ь._к-) / (s, fk_k.), (10.10)
где s = k2 = k'\ t = — {k—k')\ *k_k- = - (k - k"f и fk._*. = — (V —
■— k"f. Соотношение (10.10) справедливо только в физической области
— 4s < t <: 0, однако его можно аналитически продолжить с помощью
(10.9).
Подстановка (10.9) в правую часть (10.10) приводит в общем слу-
чае к интегралам следующего вида
1
-\
do"
lh + (k-k"f]lt„ + (k'-k"f]
=-Lido"-я ^ j-sr, (10.11)
4ss J (Aj — nn) (λ2 — в в") ' ν '
где λΧ = -ψ- -J- 1, ij = y- + l и т.д. Воспользуемся преобразованием
Фейнмана
I
fom-Ltanln-nW· (10·12)
i-*i
[(1+α)α + (1-α)6]2'
тогда
I
I- 2s* iJdaJito"{(l+o)A1 + (I-o)V-[(H-«)'» + (l-«)'»']»'},'i10-1^
Интегрирование по углам дает
s2 j
1
I
где О — угол между векторами η и га', а величина S определена равен-
ством
ς = λΛ+4-[4^(λ'-1) + 4τ^^-1)]· (10Л5>
164

Выберем далее величину S в качестве переменной интегрирования в
(10.14). Воспользовавшись соотношением
у/р-хл)»-pj-i)(М-Ц--3-[-{■=£ Р·?-1)-
--ifS-«-')]■
нетрудно убедиться, что
da 1 de
]-«2 2 ]/(ς_λ1λ2)2_(λ2_,)(λ2_,)
и, таким образом,
(10.16)
/ = -£- j *■
s2 J— e-cos*^(6_w_ (λ?-1)(Λ|-1)"
KK+V (λ2-1)(λ2-Ι)
(10.17)
В полученном выражении удобно возвратиться снова к переменным
t, tx и t2. Замечая, что cos φ = 1 + —, и вводя обозначение S =
*= 1 + -9-1 окончательно интеграл (10.11) представим в виде
со
J = -±r^df -p^- К (s, Г; tlt g, (10.18)
где
2 ys(/_/l_y2_(4e + /)/1|;
/C(s, i. ilf у = -g- „.__J?^ ,, (Ю.19)
t0 (s; Ι, y = 'i + 'i + -^- + -s- ^(4s + ti) (4s + У *A- (10·20)
Отметим, что знаменатель в (10.19) в действительности симметричен
относительно переменных t, tx и t2.
Используя выражение (10.18), все слагаемые в правой части со-
отношения (10.10) можно продолжить для произвольных значений
t. Представляя левую часть соотношения (10.10) в виде
оо
lmsf(s,t) = -L\dt'-^n.
о
и опуская интегрирование по f в левой и правой частях равенства,
окончательно получим из (10.10) следующее уравнение:
ОО СО
р (s, 0 = \^а (μ^ αμ2σ (μ2) К (s, t; μ?, μ!) —
m m
165

- ^r%dSl ^L- j dttfisJJ j φσ (μ) Κ (s, t; tlt μ2) +
О От
oo oo oo oo
oooo
(10.21)
Это уравнение определяет спектральную плотность ρ (s, t), зная ко-
торую, с помощью (10.9) нетрудно найти амплитуду рассеяния / (s, f).
Таким образом, из соотношений аналитичности и унитарности для
амплитуды рассеяния мы получили уравнение, полностью описываю-
щее динамическое поведение системы и являющееся поэтому эквива-
лентом уравнения Шредингера.
Решение уравнения (10.21) нетрудно получить, заметив, что функ-
ция К (s, t; tlt t2) обращается в нуль, если только величины s и t не-
достаточно велики при фиксированных значениях tt и t2. Действитель-
но, согласно (10.19), К (s, t; tu t2) = 0 при t < t0 (s; tt, t2), где tn —
монотонно возрастающая функция от tt и t2. Функция К (s, t; tlt t2) с
наименьшими значениями tt и t2 (равными m2) входит в первую строку
правой части (10.21). Поэтому из вида (10.21) непосредственно сле-
дует, что ρ (s, t) = 0, если
t < t0 (s; m2, m2) = 4ma + -!j- . (10.23)
Спектральная плотность ρ (s, t) может быть отлична от нуля только
в области на плоскости (s, t), расположенной выше граничной кривой
t = t0 (s; m\ m2). (10.24)
Вторая строка правой части (10.21) отлична от нуля при
t>t0(s; 4m2, m2), а третья строка — при
f>f0(s; 4m2, 4m2). Поэтому в области
t0(s; m2, m«Xf<fe(s; 4m2, m2) (10.25)
спектральная плотность р (s, t) полностью определяется первой стро-
кой правой части (10.21):
оо оо
Рг («. О = \ Ф^ Ы J Фг0- (μ2) К (s, t; μ?, μ?). (10.26)
m m
Нетрудно показать, что к такому же выражению для спектральной
плотности ρ (s, t) приводит второе борновское приближение. Следу-
ет, однако, подчеркнуть, что выражение (10.26) для ρ (s, t) в области
(10.25) является точным. (В указанной области точное выражение для
ρ (s, t) совпадает с результатом второго борцовского приближения).
Кривая t = t0 (s; 4m2, m2), отделяющая область, в которой ρ (s, t)
4m4
отличается от (10.26), характеризуется асимптотиками t = при
малых значениях sh i = 9m2 при больших значениях s. Поэтому при
выполнении условия
t0(s; 4m2, m2)<i<i0(s; 9m2, m2) (10.27)
166

под знаком интеграла во втором слагаемом в правой части (10.21)
можно использовать ρ (δΧ, tj) в виде (10.26). Тем самым мы определим
значение ρ (s, t) в области (10.27):
то ia(sl\im%.mt)
, (s, t) = р2 (s, t) — ■^^ds1 -^—^ j dtl9z (sj.tj) x
Pal „ ti oi_^
Χ§αμσ(μ)Κ(8, t; tlt μ*). (10.28)
m
Продолжая эту процедуру, плоскость (s, i) можно разбить на по-
следовательность областей, в каждой из которых плотность ρ (s, t)
выражается непосредственно через функцию σ (μ) и может быть пред-
ставлена в виде некоторого конечного полинома по константе взаимо-
действия. Подставляя получаемые выражения в (10.9) и выполняя инте-
грирование по соответствующим областям, амплитуду рассеяния
найдем как предел последовательности полиномов.
Задачи
1. Вычислить во втором борновском приближении амплитуду рас-
сеяния для потенциала, являющегося суперпозицией потенциалов
Юкава
оо
ν(Γ)=\αμσ(μ)-^-. (10.29)
m
Используя общее определение амплитуды рассеяния (3.15) и урав-
нение Липпмана— Швингера (3.12), добавку к амплитуде рассеяния
во втором борновском приближении запишем в виде
/(2) (s, f) = - -2^г J dr ] dr'e-ik'rV (r) &0+) (s; г, г') V (/) е**',
V(r)^^v(r), (10.30)
где Go+) (s; г, г') — функция Грина, определяемая формулами (3.9)
и (3.11). Вычислим вначале амплитуду рассеяния для простого потен-
циала Юкава
v{r) = v0^-. (10.31)
Подставляя (10.31) в (10.30) и используя для функции Грина выраже-
ние (3.11), добавку к амплитуде /(2> (s, t) представим в виде интеграла
,(2) , ^0_ Γ . 1 [ 1
Τ (S, Ц- 2n,yq s_q2 + iQ v?Q + (k_qf μ2 + (Α'_^ ·
s = £2, t=s — (k — k'f. (10.32)
Интегрирование по углам в (10.32) легко выполняется с помощью
167

преобразования Фейнмана (10.12). Распространяя интегрирование на
отрицательные значения q, таким образом, получим
—I
где введено обозначение
Ρ = ys + -L (1 — α2) t. (10.34)
Дополним далее интеграл по q вдоль вещественной оси интегралом
по полуокружности бесконечно большого радиуса в верхней полуплос-
кости. Замечая, что подынтегральное выражение в (10.33) имеет по-
люсы внутри выбранного контура в точках
\i~J
q = V~s + iO и q = P + iy ν* }-(1 — o?)t,
мы о вычетах найдем
/<2) («. t) = ■— f da - -J-!— , (10.35)
на основе теоремы о вычетах найдем
„ i
—1
где
λ (α) = ]/Vo J- (1 - о?) t. (10.36)
Функция (10.35) аналитична в верхней полуплоскости k, если t <
< 4μ2, и обращается в нуль на бесконечности. Поэтому добавку
второго борновского приближения к амплитуде (10.35) можно запи-
сать в виде интеграла
(*М-±.] «-£££„.. ,10.37)
0
введя обозначение
w(s, t) = lmsf2)(s, f)==
I
= ~ vo V~s f da -. ~ . (10.38)
2 ^ μ4 + 5[4μ2_(1_α^]
Воспользуемся далее тождественным преобразованием
оо
и выполним в (10.38) интегрирование по параметру а:
θ(,<_4μ02—*Ц
/<-
. 2 ^0
4μ„ Г
168

Соотношение (10.39) определяет аналитические свойства w (s, f)
как функции комплексной переменной t. Согласно (10.39), w (s, t)
является аналитической функцией на комплексной плоскости t с раз-
4
резом вдоль вещественной оси от точки t = 4μο + , ° до оо. Исполь-
S
зуя (10.39), можно написать спектральное представление для амплиту-
ды /<2) (s, t) как функции комплексных переменных sat:
со оо
Г (s, t) = ^ j^ j <у y_p^g_0 , (10.40)
где
p(2)(s, 0=4-
/si
■('-^-4·)
(10.41)
t-Щ-
Область на плоскости (s, f), где спектральная плотность р<2> (s, f)
отлична от нуля, определяется θ-функцией. Эта область заштрихова-
на на рис. 19. Заметим, что граничное значение t = 4μ0 достигается
только при бесконечно большой энергии ^
s —> оо.
Аналогичным образом можно найти сле-
дующие члены борновского разложения ам-
плитуды 4β'0
f(s, η=ΣΓ(*, t),
π=1
(10.42)
Рис. 19
причем можно показать, что /(n) (s, t) будет иметь спектральное пред-
ставление такое же, как и /(2) (s, t). Однако спектральная плотность
р("> (s, t) будет отлична от нуля в меньшей области. Граница области
η-го борновского приближения для бесконечно большой энергии будет
равна η2μο·
В случае суперпозиции потенциалов Юкава (10.29) добавка второго
борновского приближения к амплитуде рассеяния определяется по-
прежнему выражением (10.40), однако спектральная плотность р(2> (s,t)
представляется в виде Двухкратного интеграла
оо ои
Р<2) (s> t) = ~ J αμρ (μ1) J αμ2σ (μ2)
θ[<-
O(s; μ?. μ%)]
/8(<-μ2-μ2)='_(45 + 0
2 2 '
μ^2
где
t0 (s; к, Q=t1 + t2 + -^ + -L γ(4s + h) (4s +12) t^.
2s
Выражение (10.43) совпадает с (10.26).
2. Рассмотреть аналитические свойства парциальных амплитуд
рассеяния для потенциала (10.29) на комплексной плоскости s.
169

Для задания парциальных амплитуд ft (s) на комплексной плос-
кости s воспользуемся разложением по парциальным составляющим
полной амплитуды / (s, f), определяемой представлением Мандельста-
ма (10.9). Домножим почленно равенство (10.9) на -к-Pi (z) и выполним
интегрирование по z от —1 до 1. При расчете встречаются интегралы
вида
1
f *,+£(!%--г^ 4)· <10·44>
—I
где Qt (z) — функция Лежандра второго рода. Функция Qt (z) анали-
тична на комплексной плоскости z, разрезанной вдоль отрезка — 1 <<
<! z <; 1. Используя явный вид борновской амплитуды (10.8), для
парциальной амплитуды рассеяния ft (s) окончательно получим сле-
дующее выражение:
со
M4--ij4"0i)Gi(l+ -£) +
т
со со
+ -ш-1ds'idt' /Ζ'-* ^(l + it) · <1045>
о о
Парциальная амплитуда ft (s), определяемая равенством (10.45),
является аналитической функцией на комплексной плоскости s с раз-
резами I—оо, А~т2} и №. оо). Первое борновское слагаемое в
{10.45) ответственно за левый разрез I—оо, j-trf\. Второе сла-
гаемое в (10.45) приводит к разрезам (—оо, —т2) и (0, оо), так как
спектральная функция p(s, f) при i<4m2 обращается в нуль. При
s->0 парциальная амплитуда ft(s)~sl.
3. Найти разложение функции ctgo^s), где 8{(s)—фаза рассеяния,
в ряд по степеням s[38].
Представим парциальную амплитуду рассеяния ft (s) в виде от-
лошения двух функций Nt (s) и Dt (s):
w-Ш- (10·46)
которые определим следующим образом: Nl (s) — аналитическая функ-
ция на плоскости s с левым разрезом (— оо, j- m2), принимающая
вещественные значения при вещественных положительных значениях
s; Dj (s) — аналитическая функция на всей плоскости s, за исключе-
лием правого разреза (0, оо). (Функция Dt (s) совпадает с введенной
ранее функцией (8.26)). Кроме того, будем предполагать, 4toDl (s) ->· 1
при s->-oo niV/(s)~si при s ->■ 0.
Из условия унитарности для парциальных амплитуд рассеяния
(5.10) следует, что при вещественных положительных значениях s:
Im (— i)'D, (s) = — VsNt (s). (10.47)
170

(Это равенство проще всего получить, воспользовавшись соотношени-
ями (8.28) и (8.29)). Введем обозначение
2>t (s) = (— t)lDt (s) + i V~sNt (s), (10.48)
тогда соотношение (10.47) можно записать в виде
1т#г(5)=0, s>0. (10.49)
В (10.47) и (10.48) выбрана та ветвь функции ys, для которой
\/~s + Ю > Опри s> 0. Равенство (10.49) означает, что аналитическая
функция (10.48) не имеет правого разреза на вещественной положи-
тельной оси. В соответствии с определением функций Dl (s) и Ν, (s),
функция (10.48), однако, имеет левый разрез (— оо, тт2)- Поэто-
му функцию (10.48) можно разлагать в степенной ряд в круге с цент-
ром в s = 0 и радиусом сходимости -j- m2. Нетрудно проверить, что
Re φ, (s) = V~sNl (s) ctg bt (s), (10.50)
где δ; (s) ■— фаза рассеяния. Разлагая вещественную часть функции
Dt (s) в степенной ряд, получим
VlN, (s) ctg 6, (s) = Σ №. (10.51)
Так как функция Nt (s) аналитична в том же круге и при s -*- 0 про-
порциональна sl, то при малых значениях s имеем
,,±
s 2 ctg δ, (s) = 2 b'nsn. (10.52)
Ограничиваясь в правой части несколькими первыми членами разло-
жения, мы получим формулу так называемого приближения эффек-
тивного радиуса. Область сходимости ряда в правой части опреде-
ляется радиусом действия потенциала ~т—'. Очевидно, чем шире
область сходимости ряда (10.52), тем меньшее число слагаемых в раз-
ложении необходимо учитывать, чтобы удовлетворительно описать
парциальную амплитуду рассеяния при малых энергиях.
ГЛАВА 11
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ
11.1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
ДЛЯ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ
В предыдущих разделах мы детально исследовали свойства матри-
цы рассеяния 5г (k), отвечающей потенциалам, удовлетворяющим ус-
ловиям (7.2) и (7.3). Мы показали, что рассеяние частицы потенциаль-
ным полем полностью определяется асимптотикой волновой функции
на бесконечности. Значительный практический интерес представляет
171

обратная задача, а именно восстановление потенциала поля по данным
рассеяния, т. е. по асимптотике волновой функции на бесконечности.
В принципе обратная задача теории рассеяния допускает решение,
если фаза рассеяния, отвечающая определенному значению орби-
тального момента, задана при всех значениях энергии, или же заданы
все фазы рассеяния, отвечающие различным орбитальным моментам,
при определенном значении энергии. Мы детально остановимся на
рассмотрении первой постановки задачи. При этом оказывается, что
если в системе существуют связанные состояния, то для восстанов-
ления потенциала задания значений фазы при всех энергиях недо-
статочно. Для однозначного определения потенциала необходимо
задать, кроме значений фазы рассеяния при всех энергиях, собствен-
ные значения энергии связанных состояний и нормировочные постоян-
ные волновых функций связанных состояний [39].
При рассмотрении обратной задачи удобно воспользоваться ин-
тегральными представлениями для различных решений уравнения
(7.1), отвечающих задаче рассеяния. Представим решение Иоста / (k, r)
в виде
оо
f (k, r) = e-lkr + \dr'K(r, f)e~ikr', lm£<0, (11.1)
r
где К (г, г') ·— некоторая функция, отличная от нуля при г' > г.
(Для простоты ограничимся рассмотрением случая / = 0). Подставим
затем это выражение в уравнение для функции Иоста (7.11) и изменим
порядок интегрирования в двойных интегралах. С помощью преобра-
зования Фурье из полученного соотношения'^нетрудно получить сле-
дующее интегральное уравнение для функции К (г, г'):
4-и-") г+г._,
К (Г, г') = 4" i dr"v(r") + ±- \ dr"v(r") j" dr"'K(r",r"') +
+ 4" J dr"v(r") i dr"'K(r",r"'). (11.2)
Это уравнение имеет решение, которое может быть найдено методом
последовательных приближений. Можно показать, что при выполне-
нии условий (7.2) и (7.3) ряд для последовательных приближений схо-
дится равномерно в области 0 < г < г'.
Формально соотношение (11.1) выражает решение уравнения для
задачи рассеяния с потенциалом υ (г) через решение соответствующего
уравнения для свободного движения. При этом функция К (г, г')
определяет ядро интегрального преобразования. Отличительной осо-
бенностью указанного преобразования является то, что функция
К (г, г') не зависит от энергии.
Из уравнения (11.2) следует, что функция К (г, г') имеет непре-
рывные производные по каждому из аргументов. Если ν (г) дифферен-
цируемо, то функция К (г, г') имеет также вторые производные.
172

При этом дифференцированием (11.2) можно получить для определения
функции К (г, г') следующее дифференциальное уравнение
-£- К (г, r')--^K(r, r') = v(r)K(г, г'). (11.3)
Из уравнения (11.2) непосредственно следует также соотношение
со
К (г, г) = ±-\dr'v (/), (11.4)
г
с помощью которого нетрудно получить
0(r) = -2-J-ff(r,r). (11.5)
Интегральные представления вида (11.1) имеют место также для
решений уравнения (7.1) с другими граничными условиями, в част-
ности для решений и (k, г), регулярных в точке г = 0.
Рассмотрим полную систему функций, описывающих движение
частицы в поле потенциала ν (г). Эта система состоит из совокупности
функций, отвечающих непрерывному спектру системы:
u(k, г) = -j=- [f(k, r)-e2imf(- k, r)}, Ε = -^>0; (11.6)
и функций связанных состояний, отвечающих последовательности
дискретных уровней Еп = »—<0 («=1,2, ...):
"«О = &/(-«'*„.')· (11-7)
На больших расстояниях функции и (k, r) и ип (г) характеризуются
следующими асимптотиками
u(k,r) -*-Ъ (Л,г) = eim sin [kr + δ (k) ], (11.8)
un(r)^un(r) = ¥>ne-*nr. (11.9)
Нормировка функций (11.6) выбрана таким образом, чтобы условие
полноты системы функций имело вид:
со
J dku (k, г) и* (k, r') + Σ «„ (г) ип (/) = δ (г - г'). (11.10)
О "
Используя связь между функциями и (k, г) и f (k, r) и представле-
ние (11.1), нетрудно найти интегральное представление для функций
u (k, r):
со
u(k, r) = U(k, r) + j dr'K(r, r')u(k, г'). (11.11)
г
Так как ядро преобразования К {г, г') не зависит от энергии, то ана-
логичное соотношение можно записать и для функций связанных со-
стояний:
со
ип(г) = йп(г) + J dr'K (r, г') un(r')- (ИЛ2)
173

Обращая соотношение (11.11), можно получить
и (k, r) = u (k, г) — j dr'K (r, /) и (k, г). (11.13)
г
где К (г, г') ·— некоторая функция, отличная от нуля только при г' >
> г. Для /С (г, г') нетрудно найти уравнение, аналогичное (11.2).
11.2. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПО ФАЗАМ РАССЕЯНИЯ
Покажем, что функция К (г, г') удовлетворяет линейному интег-
ральному уравнению, ядро которого выражается через фазу рассея-
ния δ (k), собственные значения энергии связанных состояний Еп
и соответствующие нормировочные постоянные для связанных со-
стояний β„.
Домножим равенство (11.11) на и* (k, rr), а равенство (11.13) на
ип (г') и просуммируем полученные выражения по энергиям. В резуль-
тате получим
со оо
j dku (k, г)й* (k, r') + Σ «„ (г)Ъп (г') = j dkii(k, г) и* (k, r') +
о п о
оо Г ее "1
+Σ ип {г)Ъп (г') + \ dr'K (г, г') \dkZ(k, г") й* (k, г') + Σ й„ (О "„ (Λ \.
п г 10 " J
(11.14)
Введем обозначение
F(г, г') == J dk\u(k, г)й*(k, r') —£-sinkrsinkr' 1 + Σ"η W"~(О·
(11.15)
Используя это определение и замечая, что
оо
— ] dk sin &r sin &r' = δ (r — r'),
о
из (11.14) при г' > г получим
оо
J itau (£, г) и* (k, г') + Σ ип (г) йп (г') =
О "
оо
= F (г, г') + δ (г - г') + К (г, г') + J dr'K {r, r") F (г", г'). (11.16)
г
Аналогичным образом, домножив комплексно сопряженное выраже-
ние (11.13) в точке гг на и (k, r) при г'>ги просуммировав по энер-
гиям, получим
оо
\dku(k, r)u*(k, r') + Σ^ΜΜΟ = 8(r-r'). (11.17)
0 " _
(При этом мы воспользовались тем обстоятельством, что К (г', г) = О
при г' > г).
174

Сопоставляя формулы (11.16) и (11.17), окончательно получим сле-
дующее линейное интегральное уравнение для нахождения функции
К (г, г'):
оо
К (г, г') + F (г, г') + \ dr'K (r, r") F (г", г') = О (г' > г). (11.18)
г
Ядро этого уравнения, согласно (11.15), (11.8) и (11.9), непосредствен-
но выражается через фазу рассеяния, энергии связанных состояний
и нормировочные постоянные:
оо
F (г> /) = JL J dk [1 _ e2im] eiHr+r,) + 21 р21<Ги«<г+г'). (11.19)
—оо п
Можно показать, что уравнение (11.18) имеет единственное реше-
ние при г > 0. Действительно, если бы уравнение (11.18) имело не
единственное решение, то соответствующее однородное уравнение
имело бы нетривиальное решение. Обозначим это решение (при фик-
сированном значении г), которое будем считать вещественным, через
X (/"'):
оо
X (г') + J dr"l (г") F (r\ г') = 0. (11.20)
Г
Умножим равенство (11.20) на X (г') и проинтегрируем по dr':
оо оо со
j" dr'%2 (r') + J dr' J dr"% (/-') X (/') F (r", r') = 0.
r r r
Откуда, используя (11.19), получим
DO CO
j d/X2 (/)+-^[&[l- e2l'№] *2(- *) + Σ $№ (- **„) = 0, (11.21)
r -co n
где
оо
X (k) = j dr'e~ikr'% (/). (11.22)
r
В нижней полуплоскости k функция % (k) является аналитической
и ограниченной. Так как % (/*') = 0 при г' < г, то
со оо
-^ J dm? (- щ = J d/x (/) x (- r') = o,
CO Г
oo oo
JL J dk\l(-k)?^\dr'K(r·),
—oo Г
и соотношение (11.21) можно переписать в виде
оо
JL J ^[|X(-^)P-X2(-^e2i6№)] + 2p^(-ix„) = 0. (11.23)
—со п
17а

Из определения (11.22) и вещественности X (г') следует, что X (·—ix„)
вещественно и X2 (—Ып) > 0. Поэтому для выполнения соотношения
(11.23) необходимо, чтобы выполнялись условия
X (_ ып) = 0 и X2 (£) = | X (/е)|2 е2'"6№).
Следовательно на вещественной оси аргументом X2 (k) является удво-
енная фаза рассеяния 26 (k), причем нули функции X (k) совпадают
с нулями функции Иоста / (k). Поэтому функция X2 (&)//2 (k) анали-
тична в нижней полуплоскости и вещественна на вещественной оси.
Эту функцию можно аналитически продолжить на всю плоскость,
причем так как / (k) -ν 1 при | k \ ->■ оо, то полученная целая функция
будет ограниченной, т. е. постоянной. Эта постоянная должна быть
равна нулю, так как
оо
J dk\l(k)\2<oo.
—со
Следовательно X (г') =0 и таким образом уравнение (11.18) имеет
единственное решение.
Итак, если заданы значения фазы рассеяния δ (k) при всех энер-
гиях, энергии связанных состояний Еп =— 5_и нормировочные
постоянные связанных состояний β„, то можно определить функцию
F (г, г'), являющуюся ядром линейного интегрального уравнения
(11.18). Решая затем линейное интегральное уравнение при всех зна-
чениях г ;> 0, можно найти функцию К (г, г'), которая, согласно (11.5),
и определяет потенциал [39, 40]. Заметим, что нормировочные постоян-
ные β„ выражаются через функцию Иоста, согласно (7.58). Поскольку
сама функция Иоста однозначно определяется через фазу рассеяния
δ (k) и энергии связанных состояний Еп, согласно (8.14), то норми-
ровочные постоянные β„ фактически не являются независимыми пара-
метрами задачи.
Задачи
1. Построить потенциал по наблюдаемой энергетической зависи-
мости интенсивности рассеяния частиц под определенным углом, если
применимо борновское приближение.
В борновском приближении амплитуда упругого рассеяния в цент-
рально-симметричном поле определяется выражением
оо
fB (k, Щ s /в (?) = - j drr -Α ν (r)> (i i .24)
о ч
где
q=2k sin-g-.
176

Величину /в(<7) можно найти непосредственно из измерений. При фик-
сированном значении О из (11.24) находим потенциал
оо
v(r) = -~\dqqh(q)^-. (11.25)
о
2. Восстановить потенциал по заданной фазе рассеяния δ (k) в
предположении, что применима теория возмущений и связанные со-
стояния в системе отсутствуют.
В отсутствие связанных состояний функция (11.19), определяющая
ядро интегрального уравнения (11.18), имеет вид
оо
F(г, г') = ~ \ dk\\- e2im\eiHr+n. (11.26)
—ex?
Подставляя (11.26) в (11.18) и решая линейное интегральное уравне-
ние (11.18) методом последовательных приближений, находим
со
/С (Л О = 2 К"п)(г,г'), (11.27)
где
СО СО
К(п) (г, г') = (- 1)" \ drx J dr2 ... j drn-iF (r, rj F (η, r2) ... F (/-„_,, r').
r r r
(11.28)
Используя соотношение (П-5), потенциал υ (г) представим в виде ряда
v(r)= Σν{η)(η, (11.29)
где
v(n) (r) = - 2 -£-/С(П) (г, г). (11.30)
vll; (г) = — — j dkk [sin 2kr — sin 2 (Лг + δ (Α)], (11.31)
Приведем явные выражения для первого и второго приближений
4
о
хР (r) =JL-l \ dk [cos 2kr — cos 2 (kr + δ (A)] i . (11.32)
3. Предполагая, что применимо высокоэнергетическое прибли-
жение, восстановить потенциал по фазе рассеяния δ (ρ).
В высокоэнергетическом приближении фаза рассеяния δ (ρ), за-
висящая от прицельного параметра р, связана с рассеивающим потен-
циалом интегральным соотношением:
оо
6(Р) ST i dzv (КрЧ^"2). (11.33)
.— со
12 5-614 ]77

Введем взамен z переменную интегрирования г = ]/р2 + г2. Тогда
оо
Ρ
Это соотношение представляет собой интегральное уравнение Абеля.
С помощью обратного преобразования находим
оо
v(r) = JL±* Up <W_. (11.35)
Таким образом, в высокоэнергетическом приближении потенциал ν (г)
полностью определяется заданием зависимости фазы рассеяния δ (ρ)
от прицельного параметра р.
ГЛАВА 12
СЕПАРАБЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АМПЛИТУДЫ
РАССЕЯНИЯ
12.1. АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ
ВНЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Определим амплитуду рассеяния вне энергетической поверхности,
воспользовавшись общим соотношением между амплитудой рассеяния
и матрицей перехода t, установленным в главе 3. Напомним, что опе-
ратор перехода t определяется уравнением Липпмана ■— Швингера
(2.55), которое в импульсном представлении имеет видг
(k'\t(z)\k) = (k'\V\k)+\^jr <*Ι»Ι «><«!'СИ *> >(12Л)
J г—|г
z = E+ Ю.
Ε ■— энергия относительного движения двух частиц, сохраняющаяся
при упругом рассеянии, и μ*—приведенная масса. Уравнение (12.1)
определяет /-матрицу как на энергетической поверхности, когда на-
чальный и конечный импульсы k и к' связаны с энергией соотноше-
ниями
£2 £'2
так и вне энергетической поверхности, когда
£2 Ь'2
^Ф^фЕ. (12.3)
1 Далее мы полагаем ft = 1.
178

Согласно (3.46), амплитуда упругого рассеяния / (ft, ft') выражает-
ся через i-матрицу на энергетической поверхности
f (ft, ft') = --£-(ft' \t(E + i0)\k). (12.4)
Амплитуду рассеяния вне энергетической поверхности / (k, ft'; z)
можно определить, считая соотношение (12.4) справедливым и при
нарушении условия (12.2).
Амплитуда рассеяния / (ft, ft'; z) так же, как и матрица перехода
(ft' 11 (z) I ft), в плоскости комплексных энергий z имеет особенности,
а именно ■— полюса, соответствующие дискретному спектру, и разрез
вдоль положительной части вещественной оси, порождаемый непре-
рывным спектром системы. Явный вид указанных особенностей можно
получить из так называемого спектрального представления f-матрицы:
(k'\t(z)\k) = (k'\V\k) + \ e»(k')g»(k) +
' 2μ
+, „ <4(-£-+")1«Χ«Κ·£—)Ι*>
(2л?) φ
, (12.5)
где gN (ft) = —2 Ψλτ (ft), Ν = {η, Ι, т], -^——энергия связи и
Ψλ, (ft) = ψη/ (ft) Yim (и) — волновая функция связанного состояния в им-
пульсном представлении.
Если взаимодействие является центральным, потенциал удобно
разложить по парциальным составляющим:
(ft'| V | ft) = Σ (2/ + 1) Уi (ft', ft) Ρ, (cos Θ) =
i
= 4π Σ V, (ft', ft) Y\m («') Yim («), (12.6)
lm
где Yim (n) и Y[m (n') ■— сферические функции от углов, характеризую-
щих направления векторов ft и ft'; θ·— угол между векторами ft и ft'.
Отдельные слагаемые в (12.6) описывают взаимодействие в состояниях
с определенными значениями орбитального момента /. Парциальная
составляющая потенциала Vt (ft', ft) равна
оо
Vt (ft', ft) = 4π j dr r% (k'r) V (r) jt (kr). (12.7)
о
Разложения для f-матрицы и амплитуды рассеяния по парциальным
составляющим имеют вид
(ft' 11 (2)| ft) = Σ (2/ + 1) U (ft', ft; z) Pt (cos θ), (12.8)
/ (ft, ft'; z) = Σ (2/ + 1) /, (ft, ft'; z) Ρt (cos Θ), (12.9)
12* 179

где /, (k', k; z) — парциальная матрица перехода и /, (k, k'; z) — пар-
циальная амплитуда рассеяния вне энергетической поверхности.
Из (12.1) нетрудно получить следующее уравнение для парциальной
матрицы перехода:
tl(z) = Vl + Vl г_'Яо Ш, (12.10)
или
/,(*'. k; z) =F,(*\ k)+-^-Cdqq^Vl(k', q) Ц-^(<?. fc z). (12.11)
J г ~~
o 2μ
Парциальная амплитуда рассеяния // (k, k'\ z) связана с парциаль-
ной матрицей перехода // (k', k; z) соотношением, подобным (12.4):
fl[k,k'\z) = Ь-Ьф.Ьг). (12.12)
Парциальная амплитуда рассеяния на энергетической поверхности
выражается через фазу рассеяния dt (k):
U [k, k; -|L.) = I (k) = -Le16' sin δ,. (12.13)
Рассеяние в системе двух частиц полностью определяется заданием
амплитуды рассеяния на энергетической поверхности; действительно,
согласно (2.70), сечение рассеяния непосредственно выражается через
фазы. В случае рассеяния в системе трех частиц оказывается необхо-
димым определение двухчастичных амплитуд и вне энергетической
поверхности. Решение трехчастичной задачи существенно упрощается,
если двухчастичные амплитуды имеют сепарабельныи вид, т. е. мсгут
быть представлены в виде произведения сомножителей, зависящих
от различных переменных k, к' и z.
Нетрудно показать, что амплитуда рассеяния имеет сепарабельныи
вид для нелокального потенциала с разделенными переменными
Vl(k',k) = —±rgl(kr>gl(k). (12.14)
Хотя реальные физические потенциалы являются локальными и,
строго говоря, не имеют сепарабельной формы (12.14), однако при
достаточно малом радиусе действия потенциалы, удовлетворяющие
условию квадратичной интегрируемости, могут быть апроксимированы
выражениями вида (12.14), что приводит к возможности сепарабель-
ного представления и для двухчастичной амплитуды рассеяния.
12.2. РАЗЛОЖЕНИЕ ГИЛЬБЕРТА—ШМИДТА
ДЛЯ АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ
Рассмотрим метод факторизации потенциала и двухчастичной амп-
литуды рассеяния, основанный на использовании теоремы Гильбер-
та >—Шмидта для симметричных интегральных уравнений [41, 42].
С помощью преобразования подобия приведем уравнение Лип-
пмана >— Швингера (12.10) к симметричному виду
il(z) = Vl(z) + Vl(z)tl(z), (12.15)
180

где введены обозначения
Vt (z) = -(//„- z)~^~ У i (Но - z)~,
1_ I_
Ш = -(Н0-г) ^,(2)(Я0-2) 2.
Идея метода заключается в использовании собственных функций ядра
интегрального уравнения (12.15), т. е. решений уравнения
Vt(z)gni(z) = r)ni(z)gnl(z). (12.16)
Собственные значения ηη/ (z) (п— квантовые числа, характеризую-
щие собственные значения в порядке убывания их абсолютных вели-
чин) и собственные функции gnt (z) зависят от z как от параметра.
Собственные функции gm (г) выбираются в гильбертовом простран-
стве, т. е. предполагается, что они имеют конечную норму
(gni(z),gn'i(z)) = ?>nn.. (12.17)
При конкретных расчетах удобнее использовать собственные функ-
ции g„i (z) ядра несимметризованного интегрального уравнения Лип-
пмана ■—Швингера (12.10), т. е. собственные функции оператора
Vfio (г):
Vfi0 (z) gni (z) = η„/ (z) gn[ (z). (12.18)
Так как операторы VtG0 (2) и Vt (z) связаны преобразованием подобия,
то их собственные значения совпадают, а собственные функции g„i (г)
и gni (г) связаны между собой соотношением
gm(z) = (H0-zygnl(z). (12.19)
В импульсном представлении уравнение (12.18) можно записать
в виде
СО
-^-^dk'k'W^k, k')[z--^Ygn[(k', z) = 4ni(z)gn,{k, z). (12.20)
о
При этом условие ортонормировки собственных функций gni (k, z)
имеет вид
со
_i_ j dk& (2 *L) gn4 {k, z*) gnl (k, z) = - bnn.. (12.21)
о
Хотя система собственных функций gnl (z) ядра интегрального
уравнения Липпмана — Швингера (12.10) и не явля.£1ся__полнойг
тем не менее решение /, (г) и свободный член интегрального уравнения
Vi всегда можно представить в виде разложений по этим функциям.
Запишем решение интегрального уравнения (12.10) в импульсном
представлении в виде ряда
/, (*', k; z) = Σ anl (fc\ z) gnl (k, z). (12.22)
n
181

Коэффициенты ащ нетрудно найти, подставив (12.22) в (12.10) и вос-
пользовавшись уравнением (12.20) и условием ортонормировки (12.21).
В результате получим следующее сепарабельное представление для
матрицы перехода
U (Ы, k; z) = - У] , y™i(z) g"ni (k\ z*) gnl (k, z). (12.23)
Аналогичным образом с помощью формул (12.20) и (12.21) нетрудно
найти сепарабельное представление для потенциала взаимодействия
V, (£',£) = — Σ Цт (2) gnl (k\ z*) gnl (k, z). (12.24)
η
В разложениях (12.23) и (12.24) скорость убывания слагаемых с
увеличением я определяется скоростью убывания с η собственных
значений ηη/ (z) (собственные функции gni (k, z) являются ограничен-
ными функциями п). Если в разложении (12.23) выделить потенциал
взаимодействия в виде (12.24), то для матрицы перехода получим
следующую формулу:
о
/, (k', k; z) = Vt (k', k) - £ , У^(г) g*nl (k't z*) gn[ (k, z). (12.25)
Ряд в полученном разложении сходится быстрее по сравнению с (12.23),
так как убывающие с η собственные значения η„/ в (12.25) входят квад-
ратично. Выражение (12.25) однако не является сепарабельным. По-
этому при рассмотрении трехчастичных систем мы будем пользоваться
разложением для i-матрицы в виде (12.23), ограничиваясь учетом не-
скольких первых слагаемых.
12.3. СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ
И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИИ ЯДРА
УРАВНЕНИЯ ЛИППМАНА—ШВИНГЕРА
Рассмотрим основные свойства собственных значений и собствен-
ных функций,.используемых в методе Гильберта -— Шмидта. Заметим
прежде всего, что ядро симметризованного уравнения (12.15) эрмитово
только при вещественных отрицательных значениях z. Из эрмитовости
ядра V{ (z) в этом случае следует, что собственные значения η„/ (г)
при z ■< 0 всегда вещественны. В остальных случаях оператор V, (z)
не является эрмитовым (хотя по-прежнему является симметричным),
и его собственные значения t\ni (z) комплексны.
Взамен собственных функций g (z) удобно использовать функции
ψ (z), связанные с функциями g (z) соотношением
q(z) = G0(z)g(z) (12.26)
н удовлетворяющие уравнению
G0(z)Vq(z) = 4(z)\p(z). (12.27)
(Операторы G0 (z) V и VG0 (z) связаны между собой преобразованием
подобия). Решения уравнения (12.27) должны быть квадратично ин-
182

тегрируемыми. Из условия существования таких решений при произ-
вольных значениях z (за исключением значений, лежащих на вещест-
венной положительной оси) и определяются собственные значения
η (г).
Уравнение (12.27) можно переписать в форме уравнения Шре-
дингера
{Я«+-^) ^(2) = °· (12·28)
содержащего обобщенный потенциал V/r\ (z), зависящий от г. При ве-
щественных отрицательных значениях z этот обобщенный потенциал
эрмитов, и решение уравнения (12.28) ψ (г) можно рассматривать
как волновую функцию связанного состояния системы с энергией
связи ·— z. Следовательно, при z < 0 собственное значение η (z) опре-
деляет то число, на которое нужно разделить потенциал V для того,
чтобы система имела связанное состояние с заданной энергией свя-
зи .— z. При η (г) = 1 уравнение (12.28) переходит в обычное уравне-
ние Шредингера, допускающее решения, убывающие на бесконечно-
сти, только при определенных отрицательных значениях энергии z =
= ·— ε. Очевидно, эти значения отвечают связанным состояниям си-
стемы и определяются из условия
η(_ε) = 1. (12.29)
Волновая функция связанного состояния системы в импульсном пред-
ставлении может быть записана в виде
4ni(k) = Nnl g"'f~e"f) , (12.30)
ft2 ,
где Nm ■— нормировочная постоянная и gm (k, ■—ent) ■— собственная
функция уравнения (12.18). Таким образом из всего набора волновых
функций ·ψη/ (г) при z < 0 физическими волновыми функциями, опи-
сывающими связанные состояния системы, являются только функции
с такими значениями η и z =■— eni, при которых собственные значе-
ния Цп1 (г) обращаются в единицу.
Из уравнения (12.27) непосредственно следует
Ля/(2);
со ее
J dk Ρ (~ - г) J dr η и {kr) V (r) ψ„, (γ, г)
i
(12.31)
drrW{r)\qnl{r, Ζψ
о
поэтому при вещественных отрицательных значениях z в случае по-
тенциалов с определенным знаком собственные значения η (г) являют-
ся знакоопределенными, а именно для потенциалов притяжения (V <
< 0) собственные значения положительны η (z) > 0, и для потенциа-
лов отталкивания (Vz> 0) собственные значения отрицательны η (г) <
<0.
183

Дифференцируя по 2 диагональный матричный элемент (ψ (z) \ (Η0·—
— z) η (z) + VΙ ψ (г)}, который тождественно равен нулю, имеем
1 dr\(z) <ψ(Ζ)[·ψ(Ζ)) ,.9 о9\
η (г) dz <ψ (г) | /70 — 21 ψ (г)> · <1Ζ·ΟΖ'
Так как(#0.—%)'—положительно определенный оператор при г<0,
то из (12.32) в случае вещественных отрицательных значений энергии
z следует неравенство
^Ь>0. (12.33)
[ 2 | — η (z) dz
Таким образом в случае знакоопределенных потенциалов при отри-
цательных значениях г собственные значения η (z) являются или по-
ложительными возрастающими функциями z (в случае потенциалов
притяжения), или отрицательными убывающими функциями (в слу-
чае потенциалов отталкивания). Согласно (12.29), отсюда следует,
что связанное состояние с отрицательной энергией z = -— ent возмож-
но только при условии
Чп/(0)>1. (12.34)
В случае комплексных значений z решения уравнения (12.27) воз-
можны только при комплексных значениях η (z). Если собственное
значение η (z) при комплексной энергии z0 с малой положительной
мнимой частью таково, что
ReT](z0)~l и 1глт](20)«;1, (12.35)
то соответствующая волновая функция описывает квазидискретное
резонансное или же виртуальное состояние системы.
В координатном представлении нахождение собственных функций
«„,(/-, г)
ijw (г, г) ΞΞ= и собственных значений цп1 (г) сводится к реше-
нию дифференциального уравнения
/ 1 d* . 1(1+1) . V(r) \ . . „ „о ос\
с граничными условиями
unl(r, z)~rl+\ r-+0 (12.37)
unl{r,z)~eiqr, г-^оо, (12.38)
где величина q определена равенством
q = V2\iz, Im q > 0.
Рассмотрим уравнение Шредингера с потенциалом gV (r), в котором
для удобства выделена константа связи. Решение такого уравнения
о2
Ф/ (<7> г> ё) ПРИ энергии z = * , удовлетворяющее граничному усло-
вию (12.37), может быть представлено в виде
Ф/ (<?. Π g) ~ {/, (- <?; g) ft (q, r, g) - f, (с: g) fi (- q, r, g)}, (12.39)
184

где /, (± q; g) <— функции Иоста и /, (± q, r; g) — решения уравнения
Шредингера с граничными условиями на бесконечности
lime
г-*оь
±lQr
'f,(±q,r,g)=\.
Очевидно, решение уравнения (12.36) можно записать в виде (12.39),.
где под g следует подразумевать обобщенную константу связи g/η (г).
Поскольку собственное решение уравнения (12.36) в отличие от (12.39)
должно на бесконечности содержать только расходящуюся волну,
то зависимость η от г может быть найдена из условия обращения в нуль
коэффициента при сходящейся волне
*(-«*)■
0.
(12.40)
Корни этого уравнения и определяют собственные значения η„/ (z).
Функция Иоста /, (—q\ g) совпадает с фредгольмовским детерми-
нантом Dt (z\ g) интегрального уравнения (12.15). Замечая, что фред-
гольмовский детерминант D, (z; g) представляется через ядро уравне-
ния Vt (г) в виде бесконечного ряда
со со со
Dl(z;g)=l + V J=JTL_ J^ ... $dkm x
m=l 0 0
Yj(kx, kx; z)Vj(ku h,; z) ... Vt{kx, km; z)
Vl (k2, ki; z) V, (k2, k2; z) ... Vi (k2, km; z)
X
Vi(km, ki, z)V,(km, k2\z) ... V(km, km; z)
и используя разложение (12.24), найдем
£>,(Ζ;£)=Π(1-η„,(Ζ)).
(12.41>
(12.42)
Таким образом, функция Иоста /, («—q; g) непосредственно выражает-
ся через собственные значения η„/ (z) [43]:
fi(-9;g) = n(l-4»i(2)).
(12.43)
Замечая, что соотношение (12.24) линейно по g и Цт (z), нетрудно
убедиться, что
(12.44)
,,(_вх)_ Π (,_-*£.).
где η ■— произвольный параметр. Приравнивая левую часть равенства
(12.44) нулю в соответствии с (12.40), мы действительно получаем урав-
нение для нахождения собственных значений ηη( (z).
Соотношение (12.43) позволяет найти связь между фазой рассея-
ния двух частиц δΖ (q), через которую выражается составляющая двух-
частичной i-матрицы на энергетической поверхности, и собственными
значениями η„/ (Ε + id) при Ε =
2μ
> 0. Действительно, фаза
185

рассеяния δ, (q) является аргументом функции Иоста // (q; g). Поэтому,
учитывая, что δ, (q) нечетная функция q, и используя (12.43), найдем
δ/ (<?) = - Σ arg (1 - η„, (Ε + Ю)), (12.45)
η
или
Г, , Im η„, (Ε + Ю)
δ, (φ = Σ arctg ^^.Д - (12.46)
Функция Иоста Д (>—q; g) при комплексных значениях g является
целой функцией от g при любом значении q или г. Поэтому собствен-
ные значения цт (z) при фиксированном значении энергии z, опреде-
ляемые нулями функции Иоста (12.40), образуют дискретный набор,
при этом вне круга конечного радиуса будет лежать лишь конечное
число собственных значений ■цщ (z). Вследствие дискретности соб-
ственных значений ηη/ (г), их можно перенумеровать с помощью це-
лого числа η (в порядке убывания абсолютной величины ηη/), что не-
явно и предполагалось до сих пор.
Аналитические свойства функции Иоста ft (■—q; g) в плоскости
комплексных энергий z определяются поведением потенциала V (г).
Будем предполагать, что сингулярность потенциала в точке г —0
слабее г-2, а на бесконечности потенциал спадает достаточно быстро
(например, быстрее г~3). В этом случае функция Иоста /, (■— q; g)
аналитична и не имеет особенностей на физическом листе римановой
поверхности комплексных г, т. е. на всей комплексной плоскости z
за исключением разреза вдоль вещественной положительной оси.
Аналитические свойства собственных значений ηη/ (z) вытекают из
аналитических свойств функции Иоста ft (<—q; g). Так как функция
Иоста /, (—q; g) аналитична по обеим переменным и в общем случае
Φ 0, то уравнение (12.40) имеет единственное решение т]л/ (г),
являющееся аналитической функцией от г в области аналитичности
функции /, (<—q; g). Таким образом, собственные значения оператора
Гильберта ■— Шмидта цщ (г) являются так же, как и функция Иоста
/, (—q; g), аналитическими функциями без особенностей на всей ком-
плексной плоскости z за исключением разреза вдоль вещественной по-
ложительной оси.
Из вещественности ηη/ (г) при г < 0 следует, что для комплексных
z имеет место принцип отражения Шварца
η«/(Ζ)=η„/(2*). (12.47)
Заметим, что при вещественных отрицательных значениях z надлежа-
щим выбором фазового множителя функции gM (k, z) можно сделать
вещественными. В этом случае принцип отражения имеет место и для
собственных функций
gm{k,z) = gnl(k,z*). (12.48)
Как отмечалось выше, собственные значения цщ (г) вещественны
только на вещественной отрицательной оси. Поэтому, учитывая зна-
коопределенный характер мнимой части ηη/ (г) в верхней и нижней
1в6

полуплоскостях z и учитывая неравенство (12.33), найдем, что в верх-
ней полуплоскости
Im 1]т (z) > 0 при V < О
1тт]„,(г)<0 при V>0. ( >
В нижней полуплоскости z мнимая часть ηη/ (z) имеет противополож-
ный знак.
При | z | ->■ оо собственные значения цм (z) обращаются в нуль.
Поэтому, используя теорему Коши, для аналитической функции
Цт (z) можно записать дисперсионное соотношение
оо
1 i" Im ii„i (£")
о
Используя (12.32), нетрудно показать, что при малых значениях
энергии Ε мнимая часть η„/ равна
1гаЧпх(£ + Ю) = Ся|£ + 2, (12.51)
где Сщ -— вещественная постоянная. Подставляя (12.51) в (12.50),
нетрудно получить следующее разложение для собственных значений
Цт при малых вещественных положительных энергиях
η„, (Ε + Ю) ~ цп1 (0) + Вп1Е + iCniE'+^, (12.52)
где Вт <— некоторая вещественная постоянная.
Используя независимость шпура оператора от выбора представ-
ления, находим
Σ Ы (г))р = Sp (Go, (z) Vf, ρ = 1, 2, . .. (12.53)
При ρ = 1 имеем
сю <?
I] Цт (г) = - 2t><7 f drr*j[ (qr) V (г) Л(,+) (qr), q = Υ^Ξ. (12.54)
л=1
0
Интеграл в правой части (12.54) сходится, если потенциал характе-
ризуется конечным радиусом действия и сингулярность потенциала в
точке г = 0 слабее г-2. Для обеспечения сходимости ряда в левой
части (12.54) в этом случае собственные значения цщ (z) должны убы-
вать с ростом η как п~ν, где у> 1. При z< 0 зависимость η„ο (z)
от η для больших значений η легко определить в квазиклассическом
приближении, воспользовавшись правилом квантования Бора ■— Зом-
мерфельда:
ρ
J^-+z dr = nn, (12.55)
о
где величина ρ определяется из условия V (ρ) = 2η„0 (z). Для достаточ-
но больших η
|zhno(z)«To (12.56)
187
ΥΤμ\Υ

(V0·—глубина потенциала), поэтому интегрирование в (12.55) можно
продолжать до бесконечности, при этом под знаком корня можно пре-
небречь вторым слагаемым. В результате получим
ΗηΟ (2) — ^2^2
(12.57)
где R = \ V— V (r)/V0 dr — эффективный радиус действия потенциала.
о
Используя (12.57), условие (12.56) можно переписать в виде
V— 2μΖ R^nn. (12.58)
Так как собственные функции (12.18) являются ограниченными
функциями п, то в разложении для амплитуды рассеяния (12.23) ско-
3
к-2,0
О 1234012340i2 3W
Рис.20
рость убывания членов с увеличением η будет определяться скоростью
убывания собственных значений η„/ (z). Мы видим, что при z <! О,
согласно (12.57), сходимость разложения (12.23) будет достаточно
хорошей. Можно показать, что сходимость улучшается с ослаблением
сингулярности потенциала и уменьшением его протяженности.
Для потенциала Хюльтена и прямоугольной ямы при 2=0 соб-
ственные значения определяются выражениями
η,Ι0 (0) = -£- и ηηο(θ)= {2η1\Υη* <12·^)
(g = 2μν„7?2, V0 ■— глубина потенциала и R ■— радиус действия).
Отношения собственных значений η„0 (0) при η = 1, 2, 3 и 4 соответст-
венно для потенциала Хюльтена и прямоугольной ямы равны
1:-^:4-
1
49
1 ,11
и 1 "—
16 ' 9 · 25
Сходимость разложения амплитуды рассеяния (12.23) при различных
значениях импульса k и отрицательных значениях z (q = ]/2μ \ z\)
в случае 1=0 показана для потенциала Хюльтена на рис. 20 и для
прямоугольной ямы на рис. 21. Как следует из рис. 21, в случае пря-
моугольной ямы значения матрицы перехода, рассчитанные при по-
188

мощи (12.23) с учетом только двух слагаемых, оказываются очень близ-
кими к точным значениям. (Цифры возле кривых указывают порядок
приближения, т. е. число слагаемых в разложении (12.23). Индексы
е-
' 1,0
О 12 3 4 0/234 0 1 2 Зд,фм1
Рис. 21
ts и st отвечают выбору параметров потенциала, соответствующих
взаимодействию двух нуклонов в триплет-синглетном и синглет-трип-
летном спин-изоспиновом состояниях).
Задачи
1. Найти амплитуду рассеяния вне энергетической поверхности
в случае, если взаимодействие между частицами описывается нелокаль-
ным потенциалом Ямагучи
(k'\V\k) = --^g(k)g(k')t (12.60)
где λ.— константа связи (λ > 0 соответствует силам притяжения) и
g {k)«— произвольная вещественная функция импульса к.
В координатном представлении потенциал Ямагучи также имеет
факторизованкый вид
где
{r'|F|r> = —£-g(r)g(r-),
/ \ [ dk ... ikr
(12.61)
Заметим, что потенциал (12.60) описывает взаимодействие только в
5-состоянии.
Волновая функция для связанного состояния в случае, если взаи-
модействие описывается потенциалом (12.60), в импульсном представ-
лении имеет вид
%(к) = М-£^р-,
(12.62)
где £„= ^
вия нормировки
— энергия связи, и постоянная N находится из усло-
dk g2 {k) __
а ·
189
ΛΓ
_ f dk
J (2n:
(2π)3 (α2+ k2)2

Энергия связи определяется из условия
Уравнение Липпмана -— Швингера в случае, если взаимодействие
описывается потенциалом (12.60), допускает точное решение в анали-
тическом виде. Подставляя (12.60) в (12.1), найдем
/(*'. *; z) = - -Α- λ У У g>WT- · г = £ + Ю" (12·64)
+ 2μ I (2я)» g2
J 2μ
Как и следовало ожидать, /-матрица имеет полюс при значении энер-
гии, отвечающем связанному состоянию системы. Амплитуда упруго-
го рассеяния и фаза рассеяния для потенциала Ямагучи определяются
выражениями:
/(*) = -ε- =-^ · (12·65)
Ас*в = -з£г f1 + -a-j^92-^-}. (12-66)
Волновая функция, описывающая рассеяние для потенциала Ямагу-
чи, также находится в явном виде
ъ (в) = ел)* δ (9 - k) +- =—ьтт— .
(12.67)
В качестве конкретного примера рассмотрим потенциал (12.60),
когда функция g (k) имеет вид
g(k) = -j$^-· <12·68)
В координатном представлении имеем
ям-УЧНт-· (12-69>
Энергия связи частиц и константа λ связаны соотношением
. „2
(« + β)2β '
Нормировочная постоянная, входящая в (12.62), равна
190

Волновая функция для связанного состояния в координатном пред-
ставлении имеет вид
Ψο(Π~ V 2π(β-α)* ~r · Ι12·70)
И, наконец, волновая функция, описывающая рассеяние, в координат-
ном представлении определяется выражением
yk(r) = eikr + f(k) **-<-* , (12.71)
где амплитуда рассеяния равна
2. Найти собственные функции ядра уравнения Липпмана ■—
Швингера для потенциала Хюльтена [41].
Радиальная зависимость потенциала Хюльтена определяется вы-
ражением
У(г) = т^—. ^-2^-. (12.73)
е« — 1
На малых расстояниях (г <С R) потенциал Хюльтена характеризуется
сингулярностью вида г~1, на больших расстояниях (г ^> /?) ■— убывает
по экспоненциальному закону.
Ограничимся рассмотрением сферически симметричных состояний
(/ = 0, индекс / опускаем). Для потенциала Хюльтена функция Иоста
имеет вид
со
Κ-*Α~Π(1-„(ΒΛ^). (12.74)
Нули функции Иоста (12.74) определяют энергии связанных состоя-
ний
£« = -Ж' κ« = ^(-|--η)' "=1.2.··· 02.75)
Соответствующие функции связанных состояний определяются вы-
ражениями
r(jL + v)r(-i—„ + i)
anv ~ ( l) (n-v)!v! TTVTfi Γ"
Зная функцию Иоста, согласно (12.40), нетрудно найти собствен-
ные значения ядра уравнения Липпмана ·— Швингера:
η„(Ζ) = — Д. — , lm^z>0. (12.77)
л (л — 2« у 2με^)
191

Соответствующие собственные функции, являющиеся решениями урав-
нения (12.18), имеют вид
1
Sn(k,z) = Cn(z)^iAnAz)^r _ ^м^_А_
(12.78)
v=l
/W — 2μ2/?2 + -
IvW
Λ„ν(Ζ)-{ 1) 11 η + σ_, ηη+σ_)(2) ·
[η—1 1—1
η2η (2) Π ην
ν=1
Cn(Z)-
σ=1
μ („|)4 |-Β«ν-/ " -Ιν(Ζ)
•Функции (12.78) нормированы согласно условию (12.21).
-5-1015
Рис. 22
/оса;
При изменении параметра z от ■— оо до 0 собственные значения
η„ (г) вещественны и изменяются от 0 до —§—. Связанным состояниям
отвечают значения z, для которых η„ (z) =1. При дальнейшем изме-
нении z от 0 до оо + t'O (вдоль верхнего края разреза) собственные
значения η„ (z) становятся комплексными и описывают на комплек-
сной плоскости полуокружности радиуса 2 с центрами, лежащими
на вещественной оси в точках .,-. Значения постоянных βη0 и Сп0,
■определяющих разложение η„ο (£ + iO) при малых вещественных
значениях энергии Е, равны
Впо = —
βμgft2
do =
2}ffygR
(12.79)
g
Поэтому, если значение величины °2 несколько превосходит единицу,
то возможно резонансное состояние с энергией Еп, которому отве-
чает значение η„ с ReTjn (Еп + t'O) =^ 1 и 1тт)„ (£„ + t'O) < 1.
На рис. 22 показаны зависимости Re^ (z) и Ιπτη„ (z) от параметра
энергии z при изменении 2 от — оо до оо + t'O для случая g = 1,4
(отвечающему взаимодействию двух нуклонов в триплетном спиновом
состоянии).
192

3. Найти собственные значения и собственные функции ядра урав-
нения Липпмана ■— Швингера для прямоугольной потенциальной ямы
( — V0, r<R, а
V{r) = \ 0. r>R, V^-2^· (12-8°)
В случае прямоугольной ямы функция Иоста / (<—q; g) имеет вид
f (- ?: S) = e{QR (cos VJ+qW - i ■/-g^r sin Vg~+W\ ■ (12.81)
Энергии связанных состояний определяются корнями трансцендент-
ного уравнения
Vg — κ"#· ctg Vg — κ2/?2 = — xR. (12.82)
Rep„B,ImQnl
w=2JJR'z
Щт
Imljno
3=3,6
Соответствующие волновые функции связанных состояний равны
*„(*) =
Nn
k
k2 + K g-K + *2)tf2
(12.83)
Собственные значения η„ (z) в случае прямоугольной потенциаль-
ной ямы можно найти, решая трансцендентное уравнение
У J. + q*R* ftg У-^ + q*R* = iqR.
(12.84)
При малых г собственные значения η„ (г) можно получить в явном
виде
Чг (?)■
4g \
2л—Ι)2 π2 1
1 +
8i
qR +
(а
^W^-ls^W-)^· Μ*«1· (12-85)
13 5-614
193

Собственные функции gn (k, z) для прямоугольной ямы определяются
формулой
cos kR — i -η- sin kR
gn (k, z) = Cn (z) —S- * , (12.86)
In (2)
4n(z)
Cl(z)
l+q2R2
4nR ' v ч g
μ g
iqR
In (2)
Вещественные и мнимые части собственных значений η„ (г) в случае
прямоугольной ямы (g = 3,6) при изменении параметра z вдоль ве-
щественной оси от >— оо до оо + t'O, представлены на рис. 23. Коэф-
фициенты, входящие в разложение η„ (Ε + t'O) при малых значениях
Е, в случае прямоугольной ямы равны
R 32μ6Κ2 /, 20 ^ П9Я7\
°пй = (2л—Т^^М (2/1-Ι)2 π2/' (l^.OI)
Сп0— (2л —I)4 π1 ·
При п >- 2 коэффициент β„0 > 0. Поэтому резонансные состояния
системы в случае п >- 2 возможны, если величина -4- несколько мень-
ше единицы. Этим резонансным состояниям отвечают энергии Еп,
для которых Rer]„ (£„ + t'O) ^ 1 и 1тт)„ (Еп + t'O) <C 1.
ГЛАВА 13
РАССЕЯНИЕ В СИСТЕМЕ ТРЕХ ЧАСТИЦ
13.1. УРАВНЕНИЯ ФАДДЕЕВА
Перейдем теперь к рассмотрению задачи о рассеянии в системе трех
частиц. Подход, основанный на непосредственном использовании урав-
нения Липпмана ■— Швингера, в этом случае оказывается неприме-
нимым. Действительно, в гл. 3 было показано, что уравнение Липпма-
на ■— Швингера даже для системы двух частиц не имеет однозначных
решений, если учесть движение центра масс системы. Аналогичная
неоднозначность решений уравнений Липпмана ■— Швингера имеет
место и для систем, состоящих из трех и большего числа частиц.
Так как для таких систем, кроме связанного состояния всей системы,
возможны связанные состояния для подсистем, состоящих из меньше-
го числа частиц, то решения неоднородных уравнений Липпмана -—
Швингера всегда неоднозначны. Однозначное решение допускает
только однородное уравнение для связанного состояния всей системы,
рассматриваемой в системе центра масс. Неоднозначность уравнений
1S4

Липпмана ■— Швингера можно устранить путем соответствующей пере-
стройки уравнений. Получаемые в результате такой перестройки урав-
нения обычно называют уравнениями Фаддеева [44].
Остановимся на выводе интегральных уравнений Фаддеева для
системы трех нерелятивистских бесспиновых частиц. Полный га-
мильтониан системы запишем в виде
H = H0 + V, (13.1)
где Н0 — оператор кинетической энергии частиц и V ·— взаимодей-
ствие, представляемое в случае двухчастичных сил в виде суммы трех
слагаемых
V=Va + V„ + Vn. (13.2)
(Vij характеризует взаимодействие между частицами t и /, убываю-
щее с ростом относительного расстояния между ними).
Оператор перехода Τ для системы определяется уравнением Лип-
пмана ■— Швингера
T{Z) = V + VG0(Z)T(Z), (13.3)
где
G0(Z) = (Z-/У0Г\ Z = £ + tO. (13.4)
Заметим, что ядро интегрального уравнения (13.3) сингулярно вслед-
ствие наличия дельта-функций, выражающих сохранение импульса
частицы, не взаимодействующей с выделенной парой.
В случае двухчастичных сил (13.2) оператор перехода системы Τ
естественно представить также в виде суммы
Τ (Ζ) = T{U (Ζ) + Γ2' (Ζ) + Τ0) (Ζ), (13.5)
а отдельные слагаемые определить посредством равенств
tm (Z) = V{l + V„G0 (Ζ) Τ (Ζ), ijk = 123, 231, 312. (13.6)
Представив оператор Τ (Ζ) в правых частях (13.6) в виде (13.5), соот-
ношения (13.6) можно рассматривать как систему зацепляющихся
операторных уравнений, определяющую отдельные слагаемые (13.5).
Отметим, что итерационный ряд для Tik) (Z) из (13.6) содержит как син-
гулярные слагаемые (вида V23G0 (Z) V23, V23G0(Z)V23G0 (Z) У23 и т. д.),
так и слагаемые, в которых дельта-функции устраняются промежу-
точным интегрированием (вида V23G (Z) V31 и т. д.). Полученная си-
стема (13.6), очевидно, эквивалентна уравнению (13.3) и поэтому
так же, как и уравнение Липпмана ■— Швингера, не имеет однознач-
ного решения.
Для устранения неоднозначности перестроим систему (13.6), счи-
тая известными двухчастичные операторы перехода Тц. Определим
операторы Тц с помощью уравнения
Та № = Vu + V& (Ζ) Τα (Ζ), (13.7)
которое получается из (13.3), если в последнем пренебречь взаимо-
действием частиц / и / с третьей частицей. Заметим, что правая часть
уравнения (13.7) содержит все сингулярности уравнения (13.6), по-
этому сингулярности в (13.6) можно исключить с помощью (13.7).
13*
195

Выделяя в (13.6) диагональную часть
[ 1 - V?0 (Ζ)] Γ№) (Ζ) = Va + VtiG0 (Z) [7(i) (Ζ) + Γ(Λ (Ζ)1
(t7&= 123,231,312)
и обращая двухчастичный оператор [1 — Vi;-G0 (Z)], систему зацеп-
ляющихся уравнений для отдельных слагаемых оператора перехода Τ
с помощью (13.7) перепишем в виде
T(ft) (Ζ) = Та (Ζ) + Та (Ζ) G0 (Z) [Γ(,) (Ζ) + 7ω (Ζ)], (13.8)
i/'* = 123,231,312.
Полученная система интегральных уравнений в отличие от (13.6) име-
ет однозначное решение. Итерационный ряд второго слагаемого пра-
вой части (13.8) не содержит сингулярностей. Поэтому система интег-
ральных уравнений (13.8) может быть решена фредгольмовскими ме-
тодами.
Учитывая связь между оператором перехода Τ и функцией Грина G
(3.29), из (13.8) можно получить систему уравнений для G. В соответст-
вии с разбиением (13.5) имеем
G (Z) = G0 (Ζ) + G(,) (Z) + Ga (Ζ) + G(3) (Z),
G(i) (Ζ) = G0 (Ζ) 7*> (Ζ) G0 (Ζ), i = 1, 2, 3. (13.9)
При этом функции G(i> удовлетворяют уравнениям
G(ft> (Ζ) = G„ (Ζ) - G0 (Ζ) + G0 (Ζ) 7„ (Ζ) [G(i) (Ζ) + C« (Ζ)],
t/7e= 123, 231, 312, (13.10)
где
G„ (Ζ) = G0 (Ζ) + G0 (Ζ) 7V (Ζ) G0 (Z).
На основе (13.10) с помощью (3.30) нетрудно получить соответствую-
щие уравнения для нахождения волновой функции системы Ψ.
В системе трех взаимодействующих частиц возможно как инфи-
нитное движение всех трех частиц, так и инфинитное движение от-
дельной частицы, относительно двух других частиц, находящихся
в связанном состоянии. Соответствующие асимптотические волновые
функции системы обозначим через Ф123 и Ф{, где i =1,2 или 3. (Ин-
дексы возле функции указывают номера несвязанных частиц в систе-
ме. Все частицы предполагаются различными).
Применяя уравнения (13.10), домноженные на 1г, к функции Ф123
и учитывая (3.30), для нахождения волновой функции системы в слу-
чае несвязанного движения всех трех частиц Ψ123 получим следующие
уравнения:
Ψ& = Φ.(23, - Фш + G0 (Ζ) Τα (Ζ) [Ψ(,?3 + 4fi3],
4% = Ф2(з., -Φ123 + G0 (Ζ) ΤΛ (Ζ) [Ψ<& + Ψ&Ι,
ψ№ = Φ3()2) - Физ + G0 (Ζ) Ты (Ζ) [Ψ& + Ψ&]. Ζ = Ε + Ю,
196

где Фцгз) = lim ieGi3 (Ε + is) Φ123 и т. д. Функции Фцгз) отличаются
ε->·0
от Ф123 учетом взаимодействия между частицами 2 и 3. Нетрудно убе-
диться, что разность ФХ(23) ■— Ф123 представляет собой расходящуюся
волну на больших расстояниях по относительной координате между
частицами 2 и 3.
В случае рассеяния отдельной частицы на двух других частицах,
находящихся в связанном состоянии, для нахождения волновой функ-
ции системы ΨΧ (при рассеянии частицы 1 на связанном состоянии
частиц 2 и 3) можно получить уравнения
ΨΧ = ψ·" + 4f> + Ψ?,
Ψ',1' = ΦΧ + G0 (Ζ) Τ23 (Ζ) [Ψ12) + ΨΓ>],
Ψ(,2) = G0 (Ζ) Τ31 (Ζ) [Ψ\3> + Ψ\ (13.12)
Ψ(,3' = G0 (Ζ) Ты (Ζ) [Ψ\" + Ψ\2)], Ζ = Ε + Ю.
Аналогичные системы уравнений имеют место для функций Ψ2 и Ψ3.
Система трех интегральных уравнений (13.12) может быть сведена
к системе двух интегральных уравнений для функций f" и Ψ1 Х):
Ψω=ψ(1)1 ψ(») = ψ(2) + ψΡ).
Нетрудно проверить, что функции Ψ(Ι) и Ψ(Ι ' удовлетворяют урав-
нениям
Ψ<1' = φ1 + 00(Ζ)Γ23(Ζ)Ψ{ΙΙ),
T()I1)-G0(Z)ri(Z)¥(1I), (13.13)
где оператор 7\ описывает рассеяние отдельной частицы на двух дру-
гих в отсутствие взаимодействия между ними:
71(Z) = F1 + K1G0(Z)ri(Z), ν^ν1Ζ + ν13. (13.14)
Заметим, что как в случае инфинитного движения всех частиц,
так и в случае рассеяния отдельной частицы на двух других в связан-
ном состоянии, имеем неоднородную систему интегральных уравне-
ний, допускающую однозначное решение.
В случае связанного состояния всей системы для нахождения
волновой функции Ψ0 аналогичным образом может быть получена
следующая однородная система интегральных уравнений:
ψ^ψ^ + Ψο^+Ψο',
ψ!,1' = g0 (Z) τ„ (Z) m2) + 4f> ],
¥o2' = G0(Z)73l(Z)[¥f + ¥a (13Л5)
Ψ<ο3) = GJZ) 712 (Ζ) [Ψ{,η + ^o2'].
Однородная система уравнений (13.15) имеет решение только при энер-
гиях, соответствующих связанным состояниям системы. В системе
центра масс эта энергия отрицательна (Е < 0). Заметим, что система
уравнений (13.15) формально может быть получена из системы урав-
нений (13.12), если в последней положить Фх =0.
197

13.2. КООРДИНАТЫ И ИМПУЛЬСЫ
В СИСТЕМЕ ИЗ ТРЕХ ЧАСТИЦ
Обозначим массы трех частиц через щ1г т2 и т3; соответственно
радиусы-векторы и импульсы частиц обозначим через ги г2, г3 и ки ft2,
k3. При описании относительного движения в системе, состоящей из
трех частиц, удобно использовать координаты Якоби:
~ __ "У2 + т3г3
1 т2 + т3
Г23=Г2 —Г3. (13.16)
где Μ = mL + т2 + т3 <— полная масса системы. Взамен относитель-
ных координат лгх и г23 можно выбрать относительные координаты
лг2 и г31 или л:3 и г12:
■*2~ mi + m3 ^1+ (т,+т3)(т2 + т3) г»· I10·1''
т2
Г31 — ~~ Xl m_ J-m. Г23'
т2 + т3
тх т2Л4
Щ+т2 х (т, + «а) ("Ч + тз) 23*
г12 = ^—1Агг23. (13.18)
Соответственно удобно ввести импульсы Якоби
1
Μ
Л = "ХГ К"1* + тз) *i— mi (*» + *»)Ь
m3k2-m2k3
23 ПЦ + ГПз К '
# = Лх + Л2 + k3.
Взамен относительных импульсов pt и Л23 можно выбрать р2 и ft31 или
р3 и Л12:
Ρ* = m2 + m3 ft+*«·
(mi + m3) (m2 + m3) ™ щ + гщ a' v '
m.2 + m3
^3 — m_J-m_ Л ~* 2Д.
12 (m, + m2) (m2 + m3) Pl mi + m2 23' *
Оператор кинетической энергии системы в координатах Якоби
Х\, г2з и R запишется в виде
".---^--sjb-*---^-Δ' (13·22)
198

где введены приведенные массы
_ т1 (т2 + т3) _ т2т3
^1— Μ ' μ23— m2 + ms '
В импульсном представлении Н0 имеет вид
»«-4+^-+w· с3·23»
Приведем явные выражения для асимптотических функций. Будем
обозначать начальные значения импульсов индексами нуль. Асимп-
тотическая функция Ф123, описывающая свободное движение всех
частиц, может быть записана в виде
<*,,_.**<*-««. Ет.^г-^.+^.. (.3.24)
Отметим, что функция Ф123 инвариантна относительно замены коор-
динат Якоби.
Асимптотическая функция Фх имеет вид
m IPD.Xt+iK°R . ρ Р\ κ23 , /С02 ,nor,
Φ1 = β' l Фк„ Ы, £i = -^ - -^- + -ИГ · <13·25>
где φκ23 (г23) является решением уравнения
( 2ib" Ая + V™ ~ £гз) φκ"(Гя) = ° (13·26)
при отрицательном значении энергии относительного движения £23 =
= 23 < 0, т. е. функцией, описывающей связанное состояние си-
■4*23
стемы частиц 2 и 3.
Асимптотическая функция Ф\ (23) запишется в виде
Ф.(2з, = еР"Х1+'К°%^ (г23), £1(23) = Е123, (13.27)
где Фк28(**2з) — решение уравнения (13.26) при £23 = -^ >0, име-
ющее на бесконечности видсуммы плоской волны и расходящейся сфе-
рической волны.
13.3. ИМПУЛЬСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Уравнения Фаддеева имеют наиболее простой вид в импульсном
представлении. Каждую из составляющих волновой функции систе-
мы Ψ удобно представить в виде функции соответствующего набора
координат:
ψ© == ψ№ (JC|> r/jfcf д)> i/Jfe = 123, 231, 312. (13.28)
В импульсном представлении функцию Ψ(1> определим посредством
равенства
Ψ(Λ (p|t */Jt, К) = J сЦА-ййЯβ-"Λ-*/*Ι»-'«ΤΡ<') (*„ rftl Я). (13.29)
199

Поскольку оператор кинетической энергии в импульсном пред-
ставлении является оператором умножения, то функция Грина G0 (Ζ)
в импульсном представлении диагональна:
(pck'jkK' | G0 (Z)| KkikPi) = (2π)9 (Ζ - J&-
2μ№ 2μ,- 2Μ
Χ δ (ρ, - !»;> δ (klk- kik) δ (К-К1). (13.30)
jpj-1
2M lX
Оператор двухчастичного рассеяния Tjk (Z) диагоналей в представ-
лении полного импульса системы и импульса свободной частицы pt:
(2nf<^k'ik
ilk
(PikjkK'\Tlk(Z)\KkikPi)
\
Pt
2M J
2μ,· 2M j k^bfr-pJbiK-K'),
(13.31)
где tik (z) <— двухчастичная i-матрица, определяемая интегральным
уравнением (12.1).
Так как все операторы, входящие в уравнения Фаддеева, диаго-
нальны в /С-представлении, то волновая функция Ψ будет содержать
множитель δ (К ■— К0), выражающий собой закон сохранения пол-
ного импульса системы. Поэтому переходом к системе центра масс все
зависимости от К можно полностью исключить из рассмотрения.
В качестве примера запишем в импульсном представлении систему
интегральных уравнений Фаддеева (13.12) в случае рассеяния части-
цы на двух других частицах, находящихся в связанном состоянии:
Yi = Ψ'·1' (А. *м) + ^ (ft, *м) + ^ (A. *u), (13.32)
x^)(Pi,k2S) = ®i(p1,k23) + (z-
*23
2μΖ
2 х-1 ρ
"2μ7/ J
dft.
23
(2π)3
Χ
Χ \ *"23
Γ23 Ι ^ "
Α
2μΧ
*Λ {Ψ(12) (Ρ2, *3i) + Ψ® (ft, *υ)}, (13.33)
ν
Vf(A,fea)= Ζ
"31
и
π
dfto
/,
Χ \*31
4i(2-
2μ31 2μ2 / J (2π):
\
Χ
(Ζ —§γ) *»■/ Ιψ™ (λ· *;*» + * ω- *i)l.
*h,y = (z-4-4fi
dAv
Χ
X\k12
кг I Ζ ■
Рз
2μ3
2μ3 / J (2π)3
*Λ 1ΨΙ" (Pi, *23) +Ψ(12) (Ρ2, fel)·.
ν
„°2
Ρ\
2μΧ
Λ23
2μ2;
+ /0.
200

Величины р2, ksi и р3, fti2 под знаком интеграла в первом уравнении"
следует выразить через рх и й2з с помощью формул (13.20), (13.21) и
т. д. Функция Фг (plt ft23), согласно (13.25), равна
&1 (А, *2з) = (2π)3 δ (ft - ρ?) φ*. (ft23), (13.34)
где φκ23 (ft23) <— волновая функция связанного состояния двух частиц
9
УС О
с энергией связи Ё_ и pi ■— импульс относительного движения си-
2μ23
стемы в начальном состоянии.
Если все три частицы одинаковы и имеют равные нулю спин и
изотопический спин, то полная волновая функция системы ΨΧ должна
быть симметричной относительно перестановки любой пары частиц,
в этом случае
Ψ?' (Α ft) = Ψ? (Ρ, *) = Ψ<3) (Ρ, *) = Ψ (Α *)- (13.35)
Поэтому волновая функция может быть представлена в виде
4Ι = ψ (A, ft23) + Ψ (A. ft3i) + Ψ (А, *и)- (13.36)
(Относительные импульсы ftt7- и pfe (i/A: = 123, 231 и 312) определя-
ются формулами (13.19), в которых следует положить тх = т2 =
= т3 = т). При этом взамен системы уравнений (13.33) мы получим
одно интегральное уравнение для функции ψ (ρ, k):
+<^k
44Α*) = Φ(Ρ.*>+(Ζ—£— -Ι-^Γ^Χ
х{<*1'(г-т^-)к+^>+
i(z-4-f)|--l~^>i*(^i'+4-). <Ι3·37>
где φ (ρ, ft) ■— функция, через которую путем симметризации выражает-
ся начальная волновая функция системы
ф1 = ф (a, ft23) + φ (a. ft3i) + φ (a. *is)· (13.38)
В случае связанного состояния трех частиц φ = 0, Ζ = Е0 < 0; в слу-
чае рассеяния частицы на двух других частицах, находящихся в свя-
занном состоянии,
φ (ρ, ft) = (2π)3 δ (ρ — ρ0) φ^0 (ft), Ν0 = {η0, l0, m0}, (13.39)
z = _|-——^- + io.
4 m m
Отметим, что начальное и конечное состояния матричных элементов
k'у в (13.37) находятся вне энергетической по-
k2 к, -
верхности, т. е. φ Φ Ζ -
201

13.4. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПАРЦИАЛЬНЫМ ВОЛНАМ
Интегральное уравнение (13.37) определяет волновую функцию си-
стемы, зависящую в общем случае от шести переменных (двух отно-
сительных векторов). Путем разложения волновой функции по угло-
вым функциям и отделения угловых переменных трехмерное интег-
ральное уравнение (13.37) в случае центрального взаимодействия
между частицами может быть сведено к системе двумерных интег-
ральных уравнений.
Рассмотрим систему трех одинаковых частиц. Введем орбиталь-
ный момент относительного движения двух частиц I и орбитальный
момент относительного движения третьей частицы и центра масс двух
других частиц λ. Очевидно, полный момент системы L равен вектор-
ной сумме I и λ:
L^l+λ. (13.40)
Соответствующая волновая функция, описывающая состояние системы
с полным моментом L, может быть выбрана в виде
У вам (nk, вр) = Σ (&ηλμ | LM) Уы (nk) Υλμ (ηρ). (13.41)
Функции Угым образуют полную систему ортонормированных функ-
ций.
Волновая функция системы трех частиц ψ (ρ, ft) зависит не только
от векторов ρ и ft, но и от вектора относительного импульса системы
в начальном состоянии р0. Предположим, что момент количества дви-
жения связанного состояния системы двух частиц, на которой рас-
сеивается третья частица, равен нулю (/„ = 0). Тогда в силу скаляр-
ного характера волновой функции ψ (ρ, ft) разложение этой функции
по функциям (13.41) имеет вид
Ψ (ρ, ft)=Ψ {ρ, ft; Po) = Σ ψ/u. (p, ft; a>) у^ш (nk, «„) y'lm K„).
tKLM
(13.42)
Подставляя разложения (13.42) и (12.8) в (13.37) и используя ортонор-
мировку функций (13.41), для коэффициентов разложения ψ^Ζ. полу-
чим следующую систему интегральных уравнений:
ΨΛΙ. (ρ, ft; Po) = (2π)3 φ10 (ft) Ηρ~Ρο) δ1οδ^ +
+ 2Δ, [zp — -^-j -±r jdp'fjdoXtKiA(«c, np) x
X it {q, k; zp) 2 ^vk-l (p', q'\ p0) Угкчл («с-, «„-). (13.43)
где Δ, = 4-{1+(-1)'}, q = -j+p' и g' = p + 4"· Вв°Дя П°Д
знаком интеграла в правой части формулы (13.43) δ=— функцию и до-
202

бавочное интегрирование [dk'2b (k'2 <— q'2)}, систему уравнений (13.43)
можно привести к виду
Ψμ.(ρ, Л; Ро) = (2π)3φ10{k) δ(Ρ~Ρο) 6l06u. +
Ρ+Τρ'
+ 2Δ,(гр--£-)"' £-^-f dp' J dfe' ^f-i, (9, fc гр) х
''λ' η ill
X ΚΖ-x- (P, p'\ k') %'%-l (p't k'; p0), (13.44)
где q2 = k'2 + -j- p'2 — -^p2 и
K{kW (p, p'\ k') = 2 j dopdop-yftto («„, «„) X
Χ δ |cos6 —, 1 y^'ioira,', «p-). (13.45)
Таким образом, интегральное уравнение (13.37) для функции
■ψ (ρ, ft) мы свели к бесконечной системе двумерных интегральных
уравнений для коэффициентов разложения tyiu. (p, ft)- Если потен-
циал, описывающий взаимодействие между частицами, характеризу-
ется конечным радиусом действия, то система уравнений (13.44) ста-
новится конечной.
Подставляя в (13.45) явный вид функций Уах-о и выполняя интег-
рирование по углам, ядра интегральных уравнений К\г!,1'н (ρ, ρ'; k')
можно получить в виде:
з_ i_
К№гх· (Р, Р'; k') = (4π)2 (2λ' +1) 2 Σ (- 1)'+''-" (ImL - т | λΟ) Χ
тп'
X (I'm'L-т\К'т'-т)¥1п(О, 0) Ytn. (О', 0)Y^m-m-(θ, 0),
(13.46)
где углы θ, θ и θ' определяются выражениями:
*'2-р2-4-р'2
cose pp,
^-4-"2-4-"'2
ρ у к'*+-гР'*--гР*
[ТО
ЛО0,00 — 1.
(13.47)
k'2+P*—1гр'2
2pk'
(13.48)
cosvr =
Заметим, что
В случае связанного состояния системы трех частиц волновая функ-
ция также может быть разложена по угловым функциям (13.41). Если
в связанном состоянии система характеризуется полным моментом
203

количества движения L и проекцией М, то это разложение имеет вид
Цш (р, к) = 2 ψ/λ£ (Ρ, k) У^ш («а, пр). (13.49)
Подставляя (13.49) и (12.8) в (13.37) и учитывая, что для связанного
состояния системы функция φ в (13.37) равна нулю, для нахождения
коэффициентов разложения ψ/λ£ (/?, k) получим однородную систему
двумерных интегральных уравнений
Р+1ГР'
*0Lt(p.A) = 2(zl,-4-)~,Ai2-srJdp' I dk'^f-X
X/, (q, k; zp) KitW (p, p'\ k') ψΓλ-t (p\ k'), (13.50)
где Kli%!i'X по-прежнему определяется выражением (13.46). Эта си-
стема непосредственно следует из (13.44), если в последней неоднород-
ное слагаемое положить равным нулю.
Вследствие наличия множителя Δ, в уравнениях (13.44) и (13.50)
компоненты txi\L с нечетными / равными нулю, что обусловлено сим-
метричностью волновой функции Ψ относительно перестановок любой
пары частиц.
Для короткодействующих ядерных потенциалов элементы двух-
частичной ^-матрицы tt (kr, k; z) быстро убывают с увеличением /
(при малых k или k' элементы tt (k', k; z) пропорциональны (kk'Y,
при больших k компоненты tt малы для всех /, кроме того, вклад
больших k в уравнениях подавляется множителем \zp<— I ). По-
этому в полученных уравнениях суммирование по / (и, следовательно,
при заданном L по λ) может быть ограничено конечным числом слагае-
мых, и, следовательно, системы интегральных уравнений оказываются
конечными.
Системы уравнений (13.44) и (13.50) существенно упрощаются, если
двухчастичная ^-матрица имеет сепарабельный вид. В этом случае
системы (13.44) и (13.50) могут быть сведены к системам одномерных
интегральных уравнений, допускающим численное решение.
13.5. СЕПАРАБЕЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ДВУХЧАСТИЧНОЙ
i-МАТРИЦЫ И СВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ФАДДЕЕВА К ОДНОМЕРНОМУ ВИДУ
Воспользуемся введенным в главе 12 сепарабельным представле-
нием двухчастичной амплитуды рассеяния для решения задачи трех
частиц, а именно с помощью сепарабельного разложения для двух-
частичной ^-матрицы (12.23) системы двумерных интегральных урав-
нений (13.44) и (13.50) сведем к системам одномерных интегральных
уравнений.
Подставляя разложение (12.23) в уравнение (13.44) и используя
204

для волновой функции двух частиц в связанном состоянии выражение
(12.30), функцию ψΖλ£ можно представить в виде:
%xl(ρ, k; p0) = (2л)3N10 £ g«(k'Zp) [КАМ б(Р~Р9) +
+ T„i (Zp) dnlXL (Ρ, Po)}>
(13.51)
где
τ„, (zp) =.
2π2
со
i
<%2
ω(<?
ZP
. Zp)
<72
2μ J
—1
CO
antKL (p, Po) = -sU-WiiM, S J dp' X
P+"2"P'
J dfc' -^- ЯЙт· (p, p'; A:') g„, (?, гр) ^,K.L (p\ k'; p0). (13.52)
X
Множитель Δ, при нечетных значениях / обращается в нуль, поэтому
обращаются в нуль и все составляющие Опскь с нечетными /. Это свой-
ство непосредственно связано с тождественностью частиц и обуслов-
лено симметрией волновой функции Ψ относительно перестановок
любой пары частиц.
Как нетрудно убедиться подстановкой (13.51) в (13.52), функции
o-ntKL (ρ, Ρο) определяются следующей системой интегральных урав-
нений
CLnlhL (ρ, Ρο) = UnlhL. 10LL (Ρ, Ρο'. Ζ) +
со
+ 2 \ dp'p'2L/„ftI.,„'№i.(p, ρ'; Ζ)τ„τ (2p.)anTVi.(p', Ρο), (13.53)
n'l'X' g
где введены обозначения
UnlkL.n'rh'L (Ρ, ρ'; Ζ) £= ^2~ Χ
ρ+υρ'
J W™'™\P»P >k) ^i · (13.54)
m
(При определении величин Uni%L, пч-vl мы использовали свойство Δ; =
= Δ,). Взамен интегрирования по k' в (13.54) удобно перейти к ин-
тегрированию по переменной
fe'2 _ D2 .
У =
рр'
205

При этом пределы интегрирования оказываются независящими от
Ρ и р':
Unoz.nrrvL {ρ, ρ'\ Ζ) = ~2^ { ауК&ех· (Ρ, Ρ'; У) Χ
—1
g/i/to. Ζρ)8η·ν(4', у)
Χ
(13.55)
-(P2+P'2 + PP'y)-Z
q = V\ Ρ* + Р'г + РР'У, Я' = Υ Ρ2 + 4 />" + /vV
Функция Κα^-λ- (ρ, ρ'; #), входящая в (13.55), определяется выраже-
нием (13.46), в котором углы θ, θ и ■&' следует выразить через пере-
менную у:
cos Θ = у, cos i
-γΡ + Р'у
]i^-P2 + p'2 + PP'y
cos tr =
P+~YP'y
(13.56)
Составляющие OnrkL, n-i'KL с нечетными значениями / или /' обращаю-
тся в нуль, вследствие наличия множителя Δ,Δ/< в выражении (13.55).
Амплитуда упругого рассеяния частицы системой двух других
частиц, находящихся в связанном состоянии, определяется выраже-
нием
/ (Ро. Р) = ~ -fr \ dxdre-ip\ (г) [V [x + \ г) +
Замечая, что
+ V(x i-r)}T1(^r;p0) =
= [ (PV°} J -ЩГ Ф (*) Ti (P. *; />o)]p=p; (13.57)
/ (Pc Ρ) = 4π 2 h (Po, P0) Y*lm (np) Ylm («„„), (13.58)
LM
и используя формулы (13.36), (13.42) и (13.51), можно показать, что пар-
циальная амплитуда Д. (/?„, р0) непосредственно выражается через
значение величины owll при ρ = /?0:
U (р0, Ро)
(Р2 _ р^) .
4 (2π)5 J dkk\l0 (k) \pOLL (Ρ, k, p0)
JP=Po
2π
= -3-m
(t^U-^'o-^Po)· (13.59)
206

Итак, волновая функция системы трех частиц %^l представляе-
тся через функции ani\L (р, Ро), которые являются по сути амплитуда-
ми рассеяния частицы вне энергетической поверхности на системе
двух других частиц, находящихся в связанном состоянии с квантовы-
ми числами п0 = 1, 10 =0 (конечное состояние описывается кванто-
выми числами п, I). При этом функции Onn.L, n'i'k'L играют роль ма-
тричных элементов эффективного потенциала взаимодействия частицы
с системой из двух других частиц в связанном состоянии, а функции
xni (zp) являются функциями распространения свободной частицы и
пары взаимодействующих между собой частиц в связанном состоянии
с квантовыми числами п, I. Эффективный потенциал оказывается
зависящим от энергии и является нелокальным.
В случае нулевой энергии падающей частицы (р0 = 0) свободный
член уравнения (13.53), согласно (13.55) и (13.46), равен
UnixL, wll {ρ, 0; — ε10) = бадиУгаю. moo (ρ, 0; — ε10) (13.60)
и, следовательно, отличны от нуля только амплитуды апа,ь (β, 0)
с равным нулю суммарным орбитальным моментом L =0 ис Ι ~λ:
anthL (ρ, 0) = δΛδωαη|/ο (ρ, 0). (13.61)
Интегральные уравнения, определяющие функции апцо (ρ, 0) =.
i= Oni {p, 0), имеют вид
am (β, 0) = UnU ю {ρ, 0; — ε10) +
Co
+ Σ \ ар p'HJnUn.v (ρ, ρ'; — ε10) τη.ν (— ε^ — -г- -^-) αηΥ (ρ', 0),
η'1' ρ \ '" '
(13.62)
где Uni η4· (ρ, ρ'; Ζ) = ипц0. „что (ρ, ρ'\ Ζ) =
J. -L '
= (- 1)'+'' Δ,Δ, (21 + 1) 2 (21' + 1) 2 -J^ [ dyPt (cos О) х
—1
X ^Я,гр)еп,1Ля',гр.) ?1 (cos (θ _ ^ (1з бз)
-^{P2 + P~2 + PP'y)-Z
Длина рассеяния, т. е. амплитуда упругого рассеяния при нулевой
энергии со знаком минус, определяется выражением
Запишем также интегральные уравнения для связанного состояния
системы трех частиц с полным орбитальным моментом L и проекцией
М- Используя сепарабельное разложение двухчастичной ^-матрицы
(12.23), функции tyi%L, удовлетворяющие уравнениям (13.50), можно
представить в виде:
^l (ρ, k)=*S\ ^' Zp) xnl (z„) аыи. (Ρ). (13.65)
η г
т
207

При этом для парциальных амплитуд ап(кь (р) получим однородную
систему одномерных интегральных уравнений
со
anikL (р)= 2 \ ap'p'4JnVLU n.v%.L (ρ, ρ'; Ζ) xn.v (zp·) an-VVL {p'). (13.66)
Если полный орбитальный момент системы равен нулю L = О, то
UnMo,n'i'K'o(p, ρ'; Ζ) = bafrvk'Uni,n-i· {ρ, ρ'; Ζ),
α«/λο (ρ) = δ/λαπ, (ρ), (13.67)
и уравнения (13.66) приводятся к
виду
со
ат (р)= Σ ( dp'p'2Uni,n'i' (β, р'\ г) X
«ν i
ХХпг(гР')ап>г(р'). (13.68)
Системы одномерных интегральных
уравнений (13.62) и (13.68) допускают
численное решение.
На рис. 24, 25 и 26 представлены
результаты численных расчетов на
основе уравнений (13.62) и (13.68)
энергии связи Е0 для системы трех
одинаковых частиц в основном со-
стоянии с полным моментом, равным нулю (L = 0), и длина рассея-
ния А частицы на системе двух частиц в связанном состоянии. Рас-
смотрены два случая ■— взаимодействие между частицами описывалось
потенциалом Хюльтена (12.73) и потенциалом прямоугольной формы
(12.80).
На рис. 24 и 25 показана зависимость величины У mE0R от эф-
фективной глубины двухчастичного взаимодействия g для потенциала
Хюльтена и прямоугольной ямы. Зависимость длины рассеяния А
от g для потенциала Хюльтена показана на рис. 26. При расчете зави-
симостей, представленных на рис. 24—26, учитывалось взаимодей-
ствие между парами частиц только в S-состояниях (/ = 0). Различные
кривые получены с учетом различного числа слагаемых в сепара-
бельном разложении (12.23) (цифры возле кривых указывают порядок
приближения, т. е. число слагаемых в разложении (12.23), учитывае-
мых при расчете).
В случае потенциала Хюльтена кривые 3 и 4 для энергии связи
основного состояния системы трех частиц практически совпадают, сле-
довательно можно ограничиться учетом только трех слагаемых в се-
парабельном разложении (12.23). При больших значениях эффектив-
ной глубины g кривая 4 асимптотически переходит в прямую линию
3 ^_i
VmE0R~Cg-
С ~ 1,03.
(13.69)
В случае прямоугольной ямы сходимость решения при использовании
.208

сепарабельного разложения (12.23) еще лучше, чем в случае потен-
циала Хюльтена. Как следует из рис. 25, значения энергии связи трех
частиц Е0, рассчитанные с учетом одного и двух слагаемых в разло-
жении (12.23), очень близки.
Проведенные расчеты указывают на сильную зависимость свойств
трехчастичнои системы от формы двухчастичного взаимодействия даже
в случае достаточно короткодействующих сил, в отличие от двух-
I
R
fiZF„l>
АО
2,0
1,0
0
St
А *'
ts s^V
1 J 1 L, .1 1 1 L
10
2,0 АО \0 5,0 6,0 д
Рис. 25
1,5
2,0 2,5
Рис. 26
частичной системы, свойства которой практически не чувствительны
к форме двухчастичного взаимодействия. Так мы видим, что для двух-
частичного взаимодействия, описываемого потенциалом Хюльтена и
прямоугольной ямой, параметры которых выбраны так, чтобы энер-
гия связи двухчастичной системы, длина рассеяния и радиус эффек-
тивного взаимодействия были одинаковыми, в случае трехчастичнои
системы энергия связи и длина рассеяния одной частицы на двух
других частицах в связанном состоянии могут значительно разли-
чаться.
Задачи
1. Рассмотреть задачу о движении трех одинаковых частиц в пред-
положении, что взаимодействие между ними имеет место только в
S-состоянии и описывается нелокальным потенциалом с разделен-
ными переменными (потенциал Ямагучи)
(к'\У\Ю
—^g(k)g(k').
(13.70)
Волновая функция для системы трех одинаковых частиц симмет-
рична относительно перестановок любой пары частиц, поэтому в си-
стеме центра масс она может быть представлена в виде (13.36), где
функция ψ (ρ, ft) определяется интегральным уравнением (13.37).
В случае потенциала Ямагучи (13.70) двухчастичная i-матрица фак-
тор изуется. Полагая в уравнении (13.37) свободный член равным нулю
14 5—614
209

и используя (12.64), для связанного состояния системы трех частиц
найдем [46]:
%(Р,*)= °У(*> , £„—£-. (13.71)
№ + -^- р2 + Y?
где функция а (р) определяется интегральным уравнением
Л т 4 m jj (2п)з κ2 + ρ2 + р'2+др'
α(ρ)=:2λτ(—— rJir)\-J^. \^^ΙηΧ^_, a(p'),
(13.72)
'Ля)
m
Если связанное состояние системы характеризуется полным орбиталь-
ным моментом равным нулю (L = 0),' то функция а (р) зависит только
от модуля р, при этом интегральное уравнение (13.72) сводится к од-
номерному интегральному уравнению
Ω(/7) = 4πΛτ(--£- 1^-\ ]dp'p'4(p, p';tf)a(p'), (13.73)
1
/(/7,/7';κ2) = 12^ [ay
Χ
'{V-τ ρ*+ρ'2+рр'у)ё(^р2+ -\-р'*+рр'у)
κΖ + ρ2 + ρ'2+ρρ'1/
Выбрав функцию g (k) в виде (12.68), для τ и / получим следующие
выражения:
, (13.74)
J i!___l_£_^_ii (ц+β)2 Г1
\ (β+1/^+4"2) J
Пр, Ρ': *2) = η —г^ Χ
(β2 - κ2 Οτ ρ2 Д β2 - κ2 1- p'2J pp'
ν L *2+Ρ2 + Ρ'2 + ΡΡ' ,
Γ κ2 + ρ2 —ρ'2 —ρρ' -Γ
β2 + Ρ2 + ^-ρ'2 + ΡΡ'
1η +
β2 + Ρ2 + -4"Ρ'2-ρρ'
Ρ + ^ΓΡ2 + Ρ'2 + ΡΡ'
+ ^- ^=^ 1η 7 >■ (1375)
β2+^-Ρ2+Ρ'2-ΡΡ'
210
+4
4 Ρ'-
3
β2-«2--§-ρ2
ρ2 — ρ'2
-κ2 —Αρ'2
Ρ2-Ρ'2

При заданных значениях параметров λ и β одномерное интегральное
уравнение (13.73) можно численно решить и, следовательно, опре-
делить энергию и волновую функцию для связанного состояния си-
стемы трех частиц.
В случае рассеяния частицы на двух других частицах в связанном
состоянии свободный член в интегральном уравнении (13.37) следует
положить равным (13.39), при этом функции ψ (ρ, ft) можно предста-
вить в виде
Ф(р,*)-(2дГ f(fe) _ {б(р-р0) + ^- /_<%^
(13.76)
fe2 + JLp2_mZ [ w "2-'o-/0
7 3 Ро а2 . .п
4 m m '
где функция f (p0, p) удовлетворяет интегральному уравнению
.)
+
, 2λ . 2 α /7 3 ρ2\( 1 e(p+^)i(-f-+Po)
— (Ρ2 + Ρθ+«Ρο)—Ζ
+ \ (2π)3 , 1
(13.77)
Амплитуда упругого рассеяния / (ρυ, ρ) непосредственно выражается
через значение функции F (р0, р) на энергетической поверхности
f(Po,p) = F{Po,P)D._D2. (13.78)
В случае упругого рассеяния частицы нулевой энергии на связанном
состоянии двух других частиц уравнение (13.77) для амплитуды
F (р) = F (О, р) сводится к одномерному интегральному уравнению
F{p) = AnKpH(- — ---E-)\-^- a2+\2> +
+ ]dp'i(p,p';a2)F(p')\. (13.79)
Выбирая функции g(k) в виде (12.68) и устремляя параметр β к бес-
конечности (что соответствует устремлению радиуса действия сил
к нулю), из (13.79) получим уравнение Тер-Мартиросяна и Скорня-
кова [47]:
f(p)=4(a+l^a2+4^)x
a2 + p2 ' π J ^ pp' a2 + p2-|-p'2 — pp' v^ ' v '
14* 21t

Численное решение уравнения (13.79) позволяет определить ампли-
туду упругого рассеяния при нулевой энергии F (0) или длину рас-
сеяния А =.— F (0).
2. Найти в координатном представлении асимптотический вид
волновой функции для случая рассеяния частицы на двух других
частицах, находящихся в связанном состоянии [48].
Если двухчастичная ^-матрица, характеризующая взаимодействие
отдельной пары частиц, имеет только простые полюса, то в волновой
функции системы трех частиц нетрудно выделить особенности в явном
виде. Волновая функция системы трех частиц, описывающая рассея-
ние одной частицы на двух других, находящихся в связанном состоя-
нии, определяется соотношениями (13.32) и (13.33).
Предположим для простоты, что каждая из пар взаимодействую-
щих частиц имеет только по одному связанному состоянию, и запи-
шем ^-матрицу для отдельной пары в виде
(k'\t(z)\k)= S(k')g(k) +(k>ft{z){k)t (13.8l)
к
где t (г) ■— часть, плавно изменяющаяся с изменением энергии г,
и ё (ft)'— вершинная функция для связанного состояния пары φ (к).
Подставляя (13.81) в (13.32) и (13.33), волновую функцию для трех-
частичной системы представим в виде
% (ft, ft23; ft) = <Di (ft, ft23; ft) Η § з— Bi (а. *г3; ft, Ζ).
z Pi fe23
2μ1 2μ23
02 2
Z = E + iO, £ = -*-_--2_, (13.82)
где
Вг (ft, ft23; Я 2) = Σ Кд (ft, ftA; ft, Ζ), (13.83)
*ц(л, */*; ft0, 2) = pa(ft, ft/fe, pi, Z) + g*(fe/fe) 2 Qn(ft·; ft, 2).
2μ,- "*" 2μ#
Величины Р и Q определяются соотношениями
(13.84)
*a(ft.*ft:PbZ)^j'-^\*A i«'(z-
Ρ? ,
2μ,- /
x {Ψ!'1 (ft, *«; ρ?) + ψ5* (ft, ft.:/, ft9)},
dft'
, \
ft,*/ X
Q£1 (ft; ft0; Z) ^ j -^ g/fc (Λ^) {Ψ? (ft\ Λ«; p$ + Ψ?» (pi, ft,'/; P°)}.
(13.85)
212

Согласно (13.82), волновая функция трехчастичной системы, опи-
сывающая рассеяние частицы (1) на двух других (2 и 3), находящихся
в связанном состоянии, имеет полюса в точках
2 *2 2 „2
7 Pi . β23 7 Pi *jk
2μ1 τ 2μ23 η 2μ,- 2μ,* *
Величины Вг и Q£1 определяют вычеты волновой функции в соответ-
ствующих точках. Будем предполагать, что функции Ра и Qa не имеют
особенностей.
Непосредственной проверкой легко убедиться, что
Qa (Pil Pi E) = Τ^, ^ (Φ/? (Va + Vlk) Ψ,). (13.86)
Следовательно, величина Qu (p^ /?i, Ε) непосредственно определяет
амплитуду упругого рассеяния частицы на двух других частицах в
связанном состоянии, а величины Q21 (р2; pi, E) и Q31 (р3; A. £) ■—
амплитуды рассеяния с обменом частиц. Соответственно, сечение
упругого рассеяния и сечение рассеяния с перераспределением частиц
определяются равенствами
daM = -^-\Qu(α; Α, £)|2do,, (13.87)
da^c = -Ш- 4-1 Qn (a; p°u Εψ do,. (13.88)
Pi
Аналогичным образом нетрудно проверить, что справедливо соотно-
шение
Вг (А, *„; р°и Е) = Тмю — (Ф123, (У12 + F23 + Vsl) Ψ,), (13.89)
где Ф123 ■— волновая функция трех несвязанных частиц с импульсами
А и ft23. Следовательно, Вх (a. ft23; р\, Z) является амплитудой рас-
сеяния, сопровождающегося расщеплением рассеивающей системы.
Соответствующее сечение расщепления определяется выражением
da^l23 = -^г -ω_ | В, (a, fc23; />?, £)|« -g*- do,. (13.90)
Волновая функция системы в координатном представлении может
быть получена из (13.83) с помощью преобразования Фурье
Ψ1 (*ь г»; а") = taljff- j -f^- β'ΡΛ+*-'-Ψ1 (α, *23; Ρ?)· (13.91)
Определим вклад в асимптотику волновой функции полюсных сла-
гаемых в (13.83).
Рассмотрим вначале вклад слагаемых, содержащих особенности ви-
да (Ζ_^ε йгу ^z-^r+_2iSr] *
213

Введем обозначения
2μ,- + 2μΜ
η,, и,— gft(*)Qt,0»,p?.Z)
Я/ (P. *) = ^ — · (13-93)
~ ~2μ1 2μ/Α
Нетрудно видеть, что
Я* (*. ft) = j -^r *""*/ (P. *)· (13-94)
В случае упругого рассеяния или рассеяния с перераспределением
частиц величина г остается ограниченной, в то время как х-*- со.
В этом пределе
\х — х'\-+х — пх'+ · · ·, (13.95)
где η >— единичный вектор в направлении вектора х. Введем обозна-
чение
A-|/2h(fi+^r) п. (13.96)
Очевидно, при х -*■ со величина р. характеризует импульс относи-
тельного движения в системе. Используя разложение (13.95) и выпол-
няя интегрирование, перепишем (13.94) в следующем виде
4>(V, г) -*- ■%-(& (р(; р?, £) -^ <р*1к (г), (13.97)
где qw ■— нормированная волновая функция связанного состояния
двух частиц.
Рассмотрим теперь вклад в (13.91) полюсного слагаемого, пропор-
/ Р\ к\ Х-1
ционального ΙΖ ■ х ^т-) · " этом случае
^'^\Sf[
dk ipx+ikr Bi <J>· k'< P°i· z)
(2π)3 _ „г £2
2μ1 2μ23
= J dx' J dr'B1 (a', r'; p°u E) (x', r' \ G0 (Z)| г, ж), (13.98)
где (ж', r' I G0 (Ζ) I г, ж) — свободная функция Грина для системы
трех частиц. Согласно (3.113), эта функция равна
(х-, г' | G0 (Z)| r, *> = - -^г (fW- -|-Я11» (1/Zp), Im Ζ > О,
(13.99)
214

где ρ = νΑ2μ1 (х — x'f + 2μ23 (г — г')2 — расстояние между точками в
шестимерном пространстве. Если ρ —»- со, то
. я
(*', г' | G0 (Ζ) I r, g) - - е \^fl'fU el ^р, ImZ>0. (13.100)
В этом пределе имеем
• π _
ψ (*, г) -* - g^V С dx' \ dr'B, (х\ г'; р°, Ζ) -S-^г-.
У 2л π2 J J p '·
(13.101)
В случае рассеяния частицы 1, сопровождающегося расщеплением
системы частиц 2 и 3, все частицы вне пределов области действия
сил движутся с фиксированными скоростями. Это значит, что тре-
угольник, образованный концами векторов гг, г2 и г3, увеличивается
со временем без изменения формы. Поэтому в случае расщепления
имеем х->оо, /--»-оо и — = const. Величину ρ при этом можно раз-
ложить вблизи значения У 2μ1#2 -f- 2μ23Γ2:
ρ = |/2μ^ + 2μ23Γ*- %** + W^_ ...
У 2μ,Λ!2 + 2μ23Γ2
Замечая, что — = ^23 -£-, имеем
VlTp = К2£ (μ^2 + μ23Γ2) — рп,х' — kn/ -f - · · (13.102)
и, таким образом, для асимптотики (13.101) получим следующее вы-
ражение
ψ {х, r)-+ ЩЦ*^ Вг {рпх, knr; ρ», Z) j-,
(2μ^2 + 2μ23Γ2) 4
(13.103)
где Ε = -^— + -5—· С помощью (13.97) и (13.103) нетрудно найти
■4*1 -4*23
асимптотический вид волновой функции (13.91) в различных случаях.
В случае упругого рассеяния главный вклад в асимптотику вол-
новой функции дает слагаемое в (13.82), содержащее Qu. Остальные
слагаемые дают значительно меньший вклад. Поэтому волновая функ-
ция системы может быть записана в виде
. о
Viixur,» ρ?) ^ р'"'—g_Qu(/>K: p» £)-^-}Ф*„С-2з)-
r„=const
(13.104)
215

Аналогично, в случае рассеяния с перераспределением имеем
УЛ^Пь р°) -> --^Qnipji;, р°, E)^-<p„jk(rik), (13.105)
/■;i,=COnSt
(i = 2, 3),
где
Λ=|/2μ(.(£+Α-).
В случае рассеяния с расщеплением асимптотика волновой функ-
ции определяется (13.103); имеем
Vitei.'»; ρ?) - —е и^з)У°'' flifo"*. ^23"м К£)х
jq-i-oo "|/2π π2
г23->-°°
*,/r2,=eonst
I VIE (μ^+μ^φ
Χ- i-. (13.106)
_2_i ο.. _2· 4
(2μ^ + 2μ23Γ|3)
Импульсы />i и fe2s в этом случае удовлетворяют соотношению Ε — — -J-
2
А2
«23
2^23
ГЛАВА 14
РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ
14.1. СПИНОВАЯ ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ
Перейдем теперь к рассмотрению рассеяния частиц, обладающих
собственными моментами (спинами). Если частицы обладают спина-
ми, то взаимодействие между ними в общем случае является нецент-
ральным, т. е. потенциал взаимодействия между частицами зависит
не только от относительного расстояния между ними, но и от взаим-
ной ориентации спинов и вектора относительного расстояния между
частицами. Рассеяние частиц в случае нецентрального взаимодей-
ствия может сопровождаться изменением ориентации спинов частиц1.
Волновая функция частицы, обладающей спином, зависит кроме
пространственных координат еще и от спиновой переменной. Обыч-
но спиновую переменную принято обозначать буквой σ. В качестве
спиновой переменной можно выбрать значение проекции спина час-
тицы на определенное направление. В отличие от пространствен-
1 Поляризационные явления при рассеянии частиц со спином рассмотрены в
[49—54].
216

ных координат, пробегающих непрерывный ряд значений, спиновая
переменная принимает только ограниченное число дискретных зна-
чений. Поэтому волновая функция ψ (г, σ) частицы, обладающей
определенным спином s, может быть представлена в виде вектора-столб-
ца с (2s + 1)-й компонентой, в качестве которых следует взять зна-
чения функции ψ (г, σ) при различных значениях σ (σ принимает
значения от ■— s до s). Спиновые операторы при этом представляются
в виде (2s + 1)-рядных матриц.
Очевидно, пространственные координаты и спиновая переменная
для свободной частицы независимы, поэтому волновая функция сво-
бодной частицы может быть представлена в виде произведения про-
странственной и спиновой волновых функций. Обозначим через Х^
собственную функцию операторов квадрата спина s2 и проекции спина
на выделенное направление sz:
s4Sfl = s(s + l)XSil, (14.1)
Функции Χ5μ нормируем согласно условию
2Χ^(σ)Χ41.(σ) = 6μμ.. (14.2)
σ
Так как под спиновой переменной мы подразумеваем проекцию спина
на выделенное направление, то представление, в котором проекция
спина имеет определенное значение, является собственным, и следо-
вательно
Χ5μ(σ) = δμσ. (14.3)
Очевидно, функцию Χδμ (σ) можно представить в виде столбца, у ко-
торого отличной от нуля (и равной единице) является единственная
компонента σ = μ:
^μ(σ)= = . (14.4)
Воспользовавшись представлением (14.3), нетрудно проверить,
что функции Χ5μ образуют полную систему
ΣΧ;μ(σ)Χ5μ(σ') = δσσ.. (14.5)
μ
Поэтому любое спиновое состояние X можно представить в виде
линейной суперпозиции состояний Χ5μ:
£
х(о)= 23 (АН· (14.6)
μ=—s
Состояние системы, описываемое волновой функцией, обычно назы-
вается чистым состоянием. Если спиновая функция X нормирована
на единицу, то
2К12=1- (14.7)
μ
217

Функции Χμ можно считать базисными ортами в (2s + 1)-мерном спи-
новом пространстве, на которые проектируются любые другие спи-
новые состояния. Коэффициенты разложения αμ в (14.6) при этом
можно рассматривать в качестве составляющих вектора спинового
состояния X.
Определим вектор поляризации Ρ как отношение среднего значе-
ния вектора спина s в заданном состоянии X к величине спина s:
ρ __ (% Is I%) (14 8)
Направление вектора поляризации определяет направление ориен-
тации спина частицы, а величина вектора Ρ определяет степень поля-
ризации, т. е. относительную вероятность ориентации спина в вы-
бранном направлении. Нетрудно проверить, что в состояниях Χ5μ=±5
вектор поляризации направлен вдоль или против оси квантования
и по абсолютной величине равен единице
P^-L(Xs±s\s\Xs±s)=±z0, (14.9)
где z0 <— единичный вектор в направлении оси квантования, т. е.
в состояниях y>sti=±s спин частицы ориентирован вдоль или против
оси квантования. В случае произвольного спинового состояния (14.6)
вектор поляризации равен
р = -оГ 2 V(s -f μ) (s — μ + 1) (αμαμ_1 + ΩμΩμ-i) x0 —
s
2 . . Κ(δ+μ)(δ— μ+ 1) (ΩμΩμ-1 — Ωμβμ-l) У0 +
+ 4- Σ μ|βμ|4, (14.Ю)
(
~2s~
-s+1
S
μ=—s
при этом квадрат модуля вектора поляризации определяется выра-
жением
2
^2 = 4г{| Σ Κ(5 + μ)(5-μ + 1)βμΩμ-
ь l I μ=—s+l
+
+
Σ μ|Ωμ|2 <1· (14.11)
1
Если спин частицы равен -^-, то выражение для вектора поляри-
зации (14.10) упрощается:
Р=(а\а t+a^a* l)x0—i(a\a ,— а^±а^±)у0 +
~~2 2~ Τ ¥ ~2 2~ ~ 2 2
+ (К |а-|а ,|2)V (14.12)
■_l_ I I " l_
2 2
Непосредственная проверка показывает, что в этом случае
/»=1. (14.13)
218

Следовательно, для частицы со спином -=- в любом чистом состоянии
спин полностью поляризован, т. е. характеризуется определенной
ориентацией в пространстве.
Так как для частицы со спином -=- квадратичная комбинация из
оператора спина сводится к линейной комбинации, то векторная по-
ляризация Ρ полностью определяет спиновое состояние системы.
В случае частиц со спином 1 или больше можно ввести квадратичный
тензор поляризации, определяемый как среднее значение произве-
дения операторов sts,-.
Спиновое состояние частицы со спином 1 полностью определяется
заданием квадратичного тензора поляризации (SiS,). В самом деле,
выделим в тензоре S/Sj симметричную и антисимметричную части:
«Is/ = -γ (sisi + sft) + 4" (*Λ — s&)·
Антисимметричная часть, согласно перестановочным соотношениям,
выражается линейным образом через оператор спина
S;Sj — SjSi = I8j,-ftSft,
где stjk ·— полностью антисимметричный тензор третьего ранга.
Из симметричной части удобно выделить единичный тензор так, чтобы
сумма диагональных элементов оставшегося симметричного тензора
равнялась нулю. Таким образом, можно записать
sfy == -3- δ£/ + Sij + -i- 8i/fcsftl (14.14)
где
St,- e= -γ (щ + sft) — -γ 6y. (14.15)
Среднее значение симметричного тензора st/, сумма диагональных
элементов которого равна нулю, обычно называется тензором поляри-
зации и обозначается Ρ{μ
/>//в(Х|ау|Х). (14.16)
Итак,
(sfii) = -§- 6„ + Рц + \ Bi/ftP*. (14.17)
т. е. спиновое состояние частицы со спином 1 характеризуется, кроме
вектора поляризации Ρ еще и тензором поляризации Ptj. В чистом
состоянии, описываемом волновой функцией (14.6), вектор поляриза-
ции и тензор поляризации определяются выражениями:
Ρ = V 2 Re (ax + a_i) c^x0 — |/2 Im (аг — a_i) айу0 +
+ (K|2-|«-i|2K. (14.18)
219

/ -γ Ι αο Ρ + Re aia"-\ g- — Im a^L,
^7 =
V
yUReia! —a_,)a· — -L·- Im (ax + a_,) aj
=- Re (ax — a_i) fl*
V 2
~wIm(ai+a~i)ao I- (14Л9)
ΚΙ2 + |β_,|2—§-
Мы видим, что спиновое состояние системы со спином 1 характери-
зуется восемью вещественными параметрами ■— тремя компонентами
вектора поляризации и пятью компонентами симметричного тензора
поляризации.
В общем случае частиц с произвольным спином s можно показать,
что спиновое состояние определяется заданием поляризационного тен-
зора ранга 2s.
В экспериментальных условиях обычно приходится изучать не рас-
сеяние отдельной частицы на частице, а рассеяние пучка, состоящего
из большого числа частиц, на мишени, содержащей также большое
число частиц. Описание систем, содержащих большое число частиц,
с помощью волновых функций практически невозможно. Поскольку,
однако, на опыте измеряются только усредненные (по большому числу
частиц) значения физических величин, то применимым оказывает-
ся статистическое описание, основанное на введении матрицы плот-
ности.
При статистическом описании предполагается, что система может
быть разбита на отдельные подсистемы, каждая из которых находит-
ся в определенном состоянии, описываемом волновой функцией ψ(α>
a = 1, 2, ..., Ν (Ν — число подсистем). Состояние системы в целом
при этом определяется некогерентной смесью состояний ·ψ(α> с опре-
деленными статистическими весами w (а). Среднее значение физиче-
ской величины, характеризуемой оператором Q, в таком состоянии
равно
2 «»(a)(*w, 0Ф*°)
Q = -^ . (14.20)
V Ш(а)№(а), ψ(α))
(Обычно состояние системы, для которого среднее значение физиче-
ской величины определяется равенством (14.20), называют смешанным
220

состоянием). Разлагая функцию ψ(α) по полной системе ортонормиро-
ванных функций ψ|
^> = 2«ГЧ, (14.21)
i
равенство (14.20) можно представить в виде
Q=JLZ . (14.22)
i
где ρ ■— матрица плотности
N
Pt/ = Σ и» (α) aWP*·. (14.23)
α=1 '
Равенство (14.22) можно переписать в более компактной форме:
Согласно определению (14.23), матрица плотности эрмитова и по-
ложительно определена, поэтому с помощью унитарного преобразо-
вания ее всегда можно привести к диагональному виду.
Если волновые функции ψ нормированы на единицу, и стати-
стические веса w (а) выбраны так, что
N
2в|(о) = 1, (14.25)
то матрица плотности ρ удовлетворяет условию нормировки
Spp=l. (14.26)
Воспользовавшись определением (14.23), нетрудно проверить, что
Sp ρ2 = Σ w («) w («') Ι Σ ofof0* |Ζ·
a.a' i
Используя далее неравенство Коши.— Буняковского
\Σ^α^\2 <Σ\α^\2Σ\αΤ']1
i » 1
получим
Spp2<(Spp)2=l. (14.27)
Верхнее значение
Spp2=l (14.28)
достигается только в случае, когда все w (α), кроме одного, равны
нулю. Это случай чистого состояния.
Вводя для описания спиновых свойств пучка частиц спиновую ма-
трицу плотности
р=2СХ+, (14.29)
221

где черта означает статистическое усреднение, поляризацию частиц
в пучке можно определить посредством равенства
Р = 4^· (14-30)
В случае частиц со спином —- вектор поляризации полностью опре-
деляет спиновое состояние пучка. В отличие от чистых состояний,
для которых Ρ = 1, в смешанных состояниях, описываемых матри-
цей плотности, величина поляризации Ρ может принимать любое зна-
чение от 0 до 1. Пучок называют полностью поляризованным, если ве-
личина поляризации равна единице (Р = 1). Если же поляризация
равна нулю (Р = 0), то говорят о неполяризованном пучке.
Квадратичный тензор поляризации Pt/· для частиц со спином 1
или больше определяется формулой
где Sy — симметричный тензор, определяемый в случае произвольно-
го спина s выражением
St, = 4-(«(β/ + sA) - S(S+1) δ,,-. (14.32)
Если для пучка частиц со спином 1 вектор поляризации Ρ равен нулю
и все компоненты поляризационного тензора Р(! равны нулю, то по-
ляризация полностью отсутствует, при этом матрица плотности ρ
сводится к единичной матрице. В случае частиц с произвольным спи-
ном s спиновое состояние пучка определяется заданием поляризацион-
ного тензора ранга 2s.
14.2. РАЗЛОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ
ПО СПИН-ТЕНЗОРАМ
Операторы, действующие на спиновые переменные, при поворотах
системы координат преобразуются по определенному закону. Наиболее
простыми трансформационными свойствами характеризуются так на-
зываемые неприводимые тензорные операторы.
Неприводимым тензорным оператором ранга / называется совокуп-
ность величин Tim (Μ =·— /, ■— / + 1, ..., /), преобразующихся
при поворотах системы координат по неприводимому представлению
размерности 2/ + 1 трехмерной группы вращений
Тт = Σ D'm-m (θ) Т'ш , (14.33)
м-
где Dm'm (θ) ■— матрица конечных поворотов, зависящая от углов
Эйлера Θ. Любой оператор можно представить в виде линейной су-
перпозиции неприводимых тензорных операторов [55].
Замечая, что спиновые волновые функции Χ5μ при поворотах си-
стемы координат преобразуются по закону
*Ч1 = Σ £>μ'μ (θ) V (14.34)
μ'
222

и что комплексно сопряженные функции XJ преобразуются как функ-
ции противоположной ковариантности (— l)s—μλ5_μ:
^μ ~ (— 1)S_μλ5_μ,
неприводимый тензорный оператор Тш можно сконструировать, вос-
пользовавшись правилом сложения моментов:
Тш = α Σ (- 1)5~μ (s'v's — μ ΙΙΜ) X^X*. (14.35)
μμ'
где α ■— некоторая произвольная постоянная. Обычно величину а
находят из условия нормировки, накладываемого на Тш.
Согласно (14.35), неприводимый тензорный оператор Тш в пред-
ставлении, задаваемом значениями квадрата спина и проекции спина
(т. е. квантовыми числами s и μ), характеризуется матрицей, элементы
которой с точностью до фазовых множителей совпадают с коэффи-
циентами Клебша — Гор дана:
(sV I Тш 18μ> = о (— 1)5_μ (sYs — μ Ι ΙΜ), (14.36)
|s—s'|</<s + s'.
Матрицы (14.36) с различными значениями Ι α Μ образуют ортого-
нальную систему и называются обычно спин-тензорами. Если s' = s,
то матрица (sV' I Тш I s\i) принимает квадратную форму.
Введем для фиксированного значения s ортогональную систему
матриц (спин-тензоров)
(ψ' | Тм 15μ) = (- 1)5-μ |/2ЙЛ (5μ'8 — μ | ΙΜ) (14.37)
(/ = 0, 1, .... 2s; -/<Ai</),
нормированных согласно условию
Sp TmTt-M- = (2s + 1) Ьи-Ьмм: (14.38)
Спин-тензоры (14.37) образуют полную систему, поэтому по ним мож-
но разложить любой оператор, характеризующий систему с заданным
значением s.
Заметим, что спин-тензоры (14.37) не являются эрмитовыми; они
удовлетворяют условию
Тш = (- \ГМТ,_м. (14.39)
Если при определении спин-тензоров (14.37) положитьа =]/2s + \i ,
то взамен (14.39) получим
Тш = (- 1)'-мТ,_м. (14.40)
При таком определении фазы спин-тензора свойство (14.40) в отличие
от (14.39) сохраняется и в случае векторной связи.
При выбранной нормировке (14.38) спин-тензор нулевого ранга Г00
совпадает с единичной матрицей
^00=1- (14-41)
223

Спин-тензоры первого ранга Тш выражаются линейным образом
через матрицы спина
TvV-^FW8* Ti» = *Vire+T)ls'±ts*)- (14-42)
Спин-тензоры второго ранга Тгм выражаются через квадратичные
комбинации матриц спина:
T2±i = =F -у l(s* ± isy) sz + sz (s, ± /s^J,
7,2±2 = 4<8*±"*)2' (14-43)
или же, если воспользоваться определением симметричного тензора
su (14.32), то _
Т2о=у ~2~Ns™ T2±i = =pN (sxz ± isp),
T2±2 = ^-(sxx — Syy±2isxu), (14.44)
где Ν = у -
30
s(s+ l)(2s—l)(2s + 3) ·
Спиновые состояния системы частиц с заданным спином s в общем
случае описываются (2s + 1)-рядной матрицей плотности. Так как
матрица плотности эрмитова, то имеется всего (2s + I)2 независимых
параметров, характеризующих ее. Если матрицу плотности норми-
ровать согласно условию (14.26)
Spp= 1,
то имеется 4s (s + 1) независимых параметров. Вместо задания
элементов матрицы плотности, можно разложить ее по спин-тензорам
(14.38) и задавать спиновое состояние системы набором коэффициен-
тов в этом разложении
[ 2s
Ρ = "2F+T Σ Σ (ТТм) Т,м, (14.45)
где
(TlM) = Sp (Тш9). (14.46)
(Мы предполагаем, что Sp ρ = 1). Таким образом, спиновое состояние
системы частиц с заданным спином s определяется совокупностью
коэффициентов разложения ρ по спин-тензорам Тш, ранг которых
не превышает 2s. Параметры (Т^м) полностью определяют спиновое
состояние системы.
Домножив равенство (14.45) на ρ и взяв шпур от обеих частей по-
лученного равенства, найдем
224
2s
SPP2 = -2ПГГ Σ Σ I {Tm) Is. (14.47)

Если система находится в чистом состоянии, т. е. описывается вол-
новой функцией, то согласно (14.28) Sp ρ2 = 1; в смешанном состоянии
Sp р2 < 1. Поэтому допустимые средние значения спин-тензоров,
описывающих спиновое состояние системы, удовлетворяют условию
2s
-^\γγΣΣ\(Τ,μ)?<1. (14.48)
Максимальная поляризация в системе соответствует знаку равенства
в (14.48) и достигается только в чистых состояниях. Если средние
значения для всех составляющих спин-тензоров с / > 0 равны нулю,
то матрица плотности сводится к единичной матрице, и в этом случае
говорят об отсутствии поляризации в системе.
В частном случае частиц со спином -»- матрицу плотности следует
разлагать по спин-тензорам
Т„=1, T10 = az, Tl±l = +-~-(ax±iay) (14.49)
(σ*, Оу и σΖ ■— матрицы Паули). Разложение имеет вид
Р = 4(1+ 2_Λ>7Ι«). (14.50)
Коэффициенты разложения непосредственно выражаются через плот-
ность частиц в пучке (при выбранной нормировке (14.26) она равна
единице) и вектор поляризации
(Т10) = Рг, (ТТ±1)=^-^-(Рх±1Ру). (14.51)
Поэтому (14.50) можно переписать в виде
р = -^-(1+Ра). (14·52)
Домножив (14.52) на ρ и взяв шпур от левой и правой частей получен-
ного равенства, для чистого состояния, описываемого волновой функ-
цией, найдем
-i-(l+P2) = l, (14.53)
откуда следует уже известное нам равенство
Р2= 1.
В смешанном состоянии Р2 < 1.
В случае частиц со спином 1 матрица плотности разлагается по
неприводимым тензорам нулевого, первого и второго рангов Тм,
Tim и Т2М-
Too = 1. гю = У -Ysz> Ti±i = Τ -^-γ- (sx ± isy),
Τ20 = —=- szz, T2±i = =F КЗ (sxz ± isyz), (14.54)
Tl±2 = —g— (Sxx — Syy ± 2iSxy).
15 5-614 225

Коэффициенты разложения выражаются через плотность частиц в
пучке, вектор поляризации и квадратичный тензор поляризации.
Заметим, что величины (7W) более удобны для описания спинового
состояния системы по сравнению с поляризационным тензором (st-s;·),
поскольку при поворотах системы координат (Тгм) преобразуются
по неприводимому представлению группы вращений.
Разложение матрицы плотности по спин-тензорам в случае спина,
равного 1, имеет вид
1 2 '
Ρ = 4- Σ Σ 01м)Тш. (14.55)
Эквивалентное разложение матрицы плотности можно записать в виде
Ρ = 4 (1 + 4 Ps + 3Pt&i) · <!4·56>
Если состояние системы описывается волновой функцией, то средние
значения составляющих спин-тензоров равны
σ,„>= ]/"-§-(КР-1 о-1 F).
<Ти) = - У-ψ Л - cio-i). (Tu-υ = - <TU) *.
{Г20> = -^-(|Й1Р + |й_,|г-4-), (14.57)
(Τα) = - У-γ Л - flia_i), (Т2_.) = - (721)*,
(Ле) = Vlfllfl-l, (^2-2) = (Т22>*.
Так как для чистых состояний поляризация максимальна, то при-
веденные величины определяют максимально возможные значения
для соответствующих составляющих спин-тензоров. Согласно (14.28),
для чистых состояний имеем
1 2
■1+4- 2 \<Тш)Г + ± Σ |(7'2м>|,= 1. (14.58)
0 а М=—\ а М=—2
Используя (14.57), нетрудно найти значения отдельных слагаемых
в левой части (14.58):
4 J§_, |(Тш) I2=4 π β1 ρ -1β-· i2)2+1 а\а*+βοβ-· i2. (14·59)
4j_2i^->i2=4(i^i2+i«-.i2-4)2+
+ I a\a0 - а*йа_х |» + 21 fli |21 a_, I2. ' (14.60)
Непосредственной подстановкой (14.59) и (14.60) в (14.58) легко убе-
диться в справедливости (14.58) для чистого состояния. Очевидно,
(14.59) и (14.60) можно интерпретировать как веса соответственно
векторной и тензорной поляризаций в системе. Если (14.59) обра-
щается в нуль, то векторная поляризация пучка отсутствует. Если же
(14.60) обращается в нуль, то отсутствует тензорная поляризация.
226

Выражения (14.59) и (14.60) определяют максимально допустимые
значения весов векторной и тензорной поляризаций в системе, кото-
рые реализуются только для чистого состояния.
Если система состоит из двух невзаимодействующих подсистем,
то матрица плотности р, описывающая всю систему, образуется пря-
мым произведением матриц плотности рх и р2, относящихся к каждой
подсистеме:
ρ = рхр2. (14.61)
14.3. АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ,
ОБЛАДАЮЩИХ СПИНАМИ
Рассмотрим вначале наиболее простой случай рассеяния частицы
с определенным спином s на бесспиновой частице. Потенциал взаимо-
действия V, входящий в гамильтониан системы
зависит как от относительного рассеяния между частицами, так и от
спина; следовательно V является матрицей в спиновом пространстве.
Определим амплитуду рассеяния частиц, являющуюся также матрицей
в спиновом пространстве.
Выберем начальную волновую функцию системы φ в виде произ-
ведения плоской волны, характеризующей относительное движение
частиц с определенным импульсом k, на спиновую функцию, отвечаю-
щую определенному значению проекции спина частицы μ на ось z:
<PM = eikrV (14.62)
Тогда волновая функция %μ , являющаяся решением уравнения
Шредингера и описывающая рассеяние частиц, согласно общей фор-
муле (3.3), может быть представлена в виде
№ (г) = <Pk(i (г) + J dr'G (r - г') V (г') ^к+> (г'), (14.63)
или более детализировано
1$? (г, о) = Фк(1 (г, σ) + Σ f dr'Gco. (г - r') VW И г|Ж+> (г', σ"), (14.64)
ca"J
где G (г — г').— функция Грина, определенная согласно (3.25) и имею-
щая в координатно-спиновом представлении вид
eik\t—r'l
Gco. (г - г') = - -gJL- )γ_^ 2, Χμ. (σ) y+, (σ'). (14.65)
Вследствие условия полноты спиновых функций (14.5), функция
Грина (14.65) диагональна в спиновом пространстве
Οσσ- (г - Г') = - ^L ^~Vl βοο·· (14.66)
Воспользовавшись определением оператора перехода t, согласно
(3.43),
ЗД = %μ, (14.67)
15* 227

в правой части равенства (12.63) можно выделить начальную спиновую
волновую функцию
ψ£' (Г) = {eikr + J dr'G{r - г') teikt') λμ. (14.68)
Выражение, стоящее в фигурных скобках, является оператором в спи-
новом пространстве. Используя (14.66), асимптотику волновой функ-
ции (14.68) можно представить в виде
^Ш^[е^ + -^-}{к, ft')} V (r-»-«>), (14.69)
где / (k, k') — амплитуда рассеяния
}(b,k') = --£jp<k'\i\kh (14.70)
Так же, как и оператор перехода t, амплитуда рассеяния / (k, k') яв-
ляется оператором (матрицей) в спиновом пространстве.
Функция, получаемая в результате действия оператора / на на-
чальную СПИНОВуЮ фуНКЦИЮ Хц,
Г = /^ (14.71)
может рассматриваться как спиновая функция частицы после рас-
сеяния, т. е. оператор рассеяния f переводит начальное спиновое со-
стояние Χμ, в конечное спиновое состояние %'. Раскладывая спиновую
функцию V по полному набору функций λμ-, найдем
K' = Sf*4iV. (14.72,
μ'
где /μ/μ ■— амплитуда упругого рассеяния, сопровождающегося изме-
нением проекции спина частицы,
/μ·μ = —2^5-<*'μ'|<Ι*μ>, (14-73)
где μ ■— проекция спина в начальном состоянии, μ' ■— проекция спи-
на в конечном состоянии.
Если взаимодействие между частицами зависит от ориентации спи-
на, то азимутальная симметрия при рассеянии отсутствует. В этом
случае амплитуда рассеяния /μ-μ (θ, ср) зависит не только от угла
рассеяния ■&, но и от азимутального угла φ, в качестве которого можно
выбрать угол между плоскостью, определяемой направлениями оси
квантования и вектора k, и плоскостью рассеяния (рис. 27) г.
1 Обычно в качестве азимутального угла выбирают угол между осью квантования
(выделенным направлением, вдоль которого задана поляризация падающих частиц) и
нормалью к плоскости рассеяния φ,
cos
φ = sin θ0 cos i — + φ) ,
где ·θ0 — угол между вектором k и осью квантования. Если #0 = , то φ =
= —+ φ-
228

Используя (14.67), амплитуду рассеяния (14.73) можно непосред-
ственно выразить через потенциал
/ц»ц (θ, φ) = - -^ J dr%+.e-ik,tV (r) ψ&> (г). (14.74)
Эта форма записи особенно удобна в тех случаях, когда взаимодей-
ствие между частицами достаточно мало и применима теория возму-
щений.
Дифференциальное сече-
ние рассеяния, сопровожда-
ющегося переходом частицы
из начального состояния, ха-
рактеризуемого проекцией
спина μ, в конечное состоя-
ние, характеризуемое проек-
цией спина μ', определяется
квадратом модуля амплитуды
(14.73):
σ^μ.(*,φ) = |/|1.μ(*> φ)|».
(14.75)
Если падающие частицы не-
поляризованы и проекция
спина частицы после рассея-
ния не фиксируется, то сече-
ние (14.75) следует усреднить
по возможным значениям
проекции спина в начальном
состоянии и просуммировать
по всем возможным значениям проекции спина в конечном состоянии.
Рис. 27
σ(*) = -δΓΤΓ,2|/μΙ4(#.φ)Ρ.
2s + 1 μμ
(14.76)
Так как в случае неполяризованных частиц вьщеленное направление
отсутствует, то усредненное сечение (14.76) может зависеть только
от угла рассеяния.
Проведенное рассмотрение нетрудно обобщить на случай, когда и
рассеивающая частица обладает спином. Пусть спин падающей частицы
равен %, а спин рассеивающей частицы равен s2. Начальная волновая
функция может быть записана в виде
qW, = βΛ%,μΛ.μ., (14.77)
где μΧ и μ2 ■— проекции спинов частиц. Введем волновые функции ка-
налового спина λ5μ с помощью обычных правил сложения
^μ = *_d (Sim^Ha) I δμ) ΛΙ1μΙΧ81μ1.
Обращая это равенство, имеем
^,Лш = 2 (s^iS^ | δμ) Χ8μ. (14.78)
229

Подставляя (14.78) в (14.77) и замечая, что спиновые функции для
различных каналов ортогональны друг другу, мы видим, что рассея-
ние для различных входных каналов происходит независимым образом
и может быть описано так же, как и рассеяние частицы со спином s
на бесспиновой частице. Поэтому волновая функция, описывающая
рассеяние, для определенного входного канала может быть представ-
лена в виде
*Ш И = e'k%w - -gL- Σ W J dr' j^y (W, U|$ (r% (14.79)
откуда для амплитуды упругого рассеяния можно получить следую-
щее выражение:
frw (*, φ) = - -^г $ drX^-*''i> (r) ψ^ (г). (14.80)
Отметим, что каналовый спин не сохраняется при рассеянии, по-
этому в общем случае s φ s. Так как наблюдаемыми величинами яв-
ляются проекции спинов взаимодействующих частиц, а не каналовые
спины, то физический смысл имеет амплитуда /μ|μ2μ,μ2, а не /νμ^μ·
Воспользовавшись соотношением (14.78), амплитуду /ν^μ2μ|1μ2 нетрудно
выразить через найденные амплитуды fs'^'sv.'-
f,. (θ, φ)= Σ (s^iS#2 I δμ) (s^,'s^2 I sV)/5^5μ (■&, φ). (14.81)
μ1μ2μ1μ2 stis'\i'
Суммирование в (14.81) производится по всем допустимым значениям
каналовых спинов s и s'.
Дифференциальное сечение рассеяния при фиксированных значе-
ниях проекций спинов взаимодействующих частиц до и после рассея-
ния непосредственно определяется квадратом модуля амплитуды
(14.81):
σμ,μ2-»μ;μ2 (θ, φ) = | /^'μ^μΑ φ |Ζ. (14.82)
Если проекции спинов взаимодействующих частиц не фиксированы,
то сечение (14.82) следует усреднить по значениям начальных проек-
ций спинов и просуммировать по значениям проекций спинов в конеч-
ном состоянии. Используя условие ортогональности коэффициентов
Клебша ■— Гордана, таким образом найдем
σ (*) = (2s1+l)(2s2+l) Д. IW* <*. Φ) Ρ· (14.83)
До сих пор мы предполагали, что рассматриваемая система опи-
сывается волновой функцией. В общем случае спиновое состояние
падающего и рассеянного пучка следует описывать матрицей плот-
ности. С помощью соотношения (14.71) нетрудно установить связь
между матрицей плотности системы до рассеяния и матрицей плот-
ности после рассеяния. Если падающий пучок описывается матрицей
плотности
ρ = λλ+
230

(черта означает статистическое усреднение), то матрица плотности
системы после рассеяния определяется выражением
р' = ГГ+ = /р/+. (14.84)
Непосредственной проверкой легко убедиться, что при выбранной
нормировке волновой функции λ' (14.71) шпур матрицы плотности р'
определяет дифференциальное сечение рассеяния
Если падающие частицы неполяризованы, то начальная матрица плот-
ности сводится к единичной матрице, при этом дифференциальное
сечение рассеяния равно
σ(θ) = -^ω_. (14.86)
Как нетрудно убедиться, эта формула совпадает с (14.83). Если па-
дающие частицы поляризованы, то сечение рассеяния (14.85) оказы-
вается зависящим от направления вектора поляризации.
В общем случае даже при отсутствии поляризации падающих ча-
стиц в результате рассеяния возникает поляризация спинов частиц.
Поляризация частиц после рассеяния определяется общей формулой
ρ=4-^- <Ι4·87>
В том случае, если падающие частицы неполяризованы и начальная
матрица плотности сводится к единичной матрице, формула (14.87)
определяет поляризацию частиц, возникающую в результате рас-
сеяния.
Формулы (14.85) и (14.87) справедливы как для случая рассеяния
частиц со спином на бесспиновых частицах, так и в случае рассеяния
частиц со спином на частицах со спином. В последнем случае матрица
плотности будет представлять собой прямое произведение матриц
плотности для падающих и рассеивающих частиц
Ρ = Pift. (14.88)
Очевидно, формулой типа (14.87) будет определяться и поляризация
частиц отдачи при рассеянии.
14.4. СЛОЖЕНИЕ СПИНОВОГО И ОРБИТАЛЬНОГО МОМЕНТОВ
И ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ S-МАТРИЦЫ
В случае нецентрального взаимодействия, характеризуемого по-
тенциалом V, зависящим как от относительного расстояния между
частицами, так и от вектора спина, орбитальный и спиновый моменты
при рассеянии в отдельности не сохраняются. Интегралом движения
(если потенциал инвариантен относительно вращений) является пол-
ный момент системы J, определяемый как векторная сумма орбиталь-
ного и спинового моментов / и s:
j = l + s. (14.89)
231

Пусть %5μ, <—собственная функция оператора спина, a F/m —
собственная функция оператора орбитального момента. Положим
Уи/м = Σ {Ιπκμ I jM) Yim (θ, φ) λ5μ (σ), (14.90)
/ημ
где (Ιητςμ \ jM) — коэффициенты Клебша ■— Гордана. Определенная
таким образом функция У^-м является собственной функцией опера-
тора квадрата полного момента системы
рУым = Щ+1)Уь,м (14.91)
и проекции полного момента системы на выделенное направление z:
}гУк,м = МУ1в1М. (14.92)
Одновременно функция Уь,м является собственной функцией опера-
тора квадрата орбитального момента
РУым = Ц1+1)Уь,-м (14.93)
и оператора квадрата спина
*Уь,м = 8(8+1)Уым. (14.94)
Используя условия ортонормировки шаровых функций Ylm и спино-
вых функций λ5μ, нетрудно проверить, что функции Ущм удовлетво-
ряют условию ортонормировки
2 \ doyls-j-M-yisjM = б/сб^.бу/'бдш'- (14.95)
Разложим волновую функцию входного канала ipi^ по полному
набору спин-угловых функций Ущм'·
Ψ\^μ. (г, σ) == eikrXsll = ~Σ als'm (к, г, βμ) Уг?!М- (14.96)
I's'jM
Коэффициенты разложения а^чм нетрудно найти, воспользовавшись
разложением плоской волны по шароЕым функциям (4.21) и орто-
нормировкой шаровых и спиновых функций:
als-ju (к, г, s\i) = 2 bwbsAnil]l (kr) {Imsy. \ jM) Y]m K)· (14.97)
lm
Таким образом имеем
φκ5μ (г. σ) = 22 4η? j, (kr) (1тщ \ jM) Y\m (nk) Уь,-м (nr, a). (14.98)
jM Ш
Аналогичным образом можно разложить волновую функцию ψΙ^μ,
описывающую рассеяние:
"ψΙαμ (г, σ) = 2 «i's'/Ai (к, г, sv) Уг*чм (пг, σ). (14.99)
I's'jM
При этом
avs'jM ψ, г, βμ) = Σ M's-.is (r) (Imsyi | jM) F*m {nk), (14.100)
lm
232

и следовательно
i|W (г, σ) = Σ Σ M's-.k (r) (lms\i \ jM) Y]m (nk) Ущм (n„ σ). (14.101)
I's'jM lm
Так как при рассеянии спиновый и орбитальный моменты в отдель-
ности не сохраняются, то коэффициенты разложения ipi'S',is в (14.101),
в отличие от (14.98), не имеют диагонального вида. Индексы V и s'
при коэффициенте разложения ψ}'5<,/5 указывают, что соответствую-
щая составляющая в (14.101) отвечает определенным значениям ор-
битального и спинового моментов, т. е. определяет амплитуду вероят-
ности обнаружить систему с данными моментами /' и s'. Индексы /и s
указывают значения орбитального и спинового моментов во входном
канале и связаны с начальными условиями задачи. В случае цен-
трального взаимодействия
4s'.is = buAs-tfts, (14.102)
и разложение (14.101) переходит в (4.8).
Подставляя волновую функцию в виде (14.101) в уравнение Шре-
дингера, получим следующую систему зацепляющихся уравнений
для определения радиальных функций ψ/»8' /s:
= ^ ak-./'v (г) 4's»,is (r), (14.103)
V's"
где
vis-.h W = Σ S doyk>jMv(r) Уым. (14.104)
(Независимость матричного элемента потенциала и от Μ есть след-
ствие инвариантности взаимодействия относительно вращений). До-
пустимые значения каналовых спинов s и s' определяются спинами
сталкивающихся частиц sx и s2- При заданном значении / допустимые
значения / и /' определяются правилами сложения, следующими из
свойств коэффициентов Клебша ■— Гордана.
Подставляя разложения (14.98) и (14.101) в (14.79), нетрудно по-
лучить следующую систему зацепляющихся интегральных уравнений
для определения радиальных функций tyf's'js'-
■ψ/'s-./s (г) = 4т и (kr) bwbSS' +
со
+ Σ \ drY*g? (г, г') хА.гг, (г') ψΚ-./s (г'). (14-105)
7"s" 0
где g° [г, г') ■■— функция Грина
gar, r) = -ml (14.106)
\ hr'(nr)]i(kr'), r>r.
233

Используя интегральное представление (14.105), асимптотику ради-
альной функции ^ρΙ-s'.is можно записать в виде
4s-,is (г) -> -η£- {(- 1)' bu.bss-e-ikr - Sk-,,^}, r^oo, (14.107)
где
Sis-,* = 6H-6SS- — 2ni^s;is, (14.108)
CO
tk-,is = -rK- Σ f drr*jv (kr) 4*jv (г) 4г.ь (r). (14.109)
4itV i"s"q
Величины S'i's'js непосредственно определяют амплитуду упругого
рассеяния. Действительно, используя (14.73) и переходя к представ-
лению, задаваемому величинами /, s, / и М, получим
4л2
fs'»'s» (k, k') = γ- (η'ε'μ' \ 11 τ^μ) =
4πΖ
i ,
ImjM
τ- Σ (»' I I'm') (I'm's'tf \ I's'j'M') (I's'j'M' 11 \ IsjM) x
R I'm'j'M-
X (IsjM| lms\i) (lm\n). (14.110)
Вследствие инвариантности взаимодействия относительно вращений
f-матрица, так же как и S-матрица, в представлении / и Μ диагональ-
на и матричные элементы t не зависят от магнитного квантового чис-
ла М:
{I's'j'M 111 IsjM) = tiv.ubif6M№. (14.111)
Замечая, что (n'\l'm') = Yvm· (»'). (lm\n) = Y*im (re) и исполь-
зуя (14.108), таким образом найдем
Uv-^V. (k, k') = -£- Σ Y'lm И Υ I'm' (»') (/"Κμ | /ΛΙ) X
jM
X (I'm'sY Ι /Μ) f6д.6и. - S/,A}. (14.112)
Если взаимодействие инвариантно относительно пространственной
инверсии, и следовательно, сохраняет четность, то / и V в (14.112)
должны быть одинаковой четности. Если взаимодействие инвариантно
и относительно обращения времени, то из условия взаимности (6.54)
следует, что
Shjs = Skrt, (14.113)
т. е. матрица S{'S-js — симметрична.
Симметричную унитарную матрицу S/v./s можно диагонализо-
вать с помощью некоторой ортогональной вещественной матрицы
U (UT = U~l):
Sk-,is = Σ t/U*2i6«t/U (14.114)
α
234

где е а >— диагональные элементы S-матрицы, выраженные через
собственные фазы δ„. Из унитарности S следует, что собственные фазы
рассеяния δ'α ·— вещественны.
С помощью представления (14.114) нетрудно определить число
параметров, необходимых для задания матрицы S;v,/s- Пусть пары /
и s образуют η комбинаций, т. е. матрица S' имеет размерность η Χ п.
В общем случае для определения комплексной матрицы размерности η
необходимо задать 2я2 параметров, однако для определения (14.114)
достаточно задать -ψ η (η -f- 1) вещественных параметров. Действитель-
но, вещественная ортогональная матрица определяется набором -»-« (я — 1)
вещественных чисел. Добавляя к ним η собственных фаз δ'α, мы
и получим -»-«(«+ 1) вещественных параметров.
В качестве иллюстрации рассмотрим рассеяние в системе, когда
спин сохраняется и равен единице s = s' = 1 (например, рассеяние
нуклона на нуклоне в триплетном состоянии). При фиксированном
значении / величины / и /' могут принимать три значения /— 1, / и
/ + 1. Если / = /, то в силу сохранения четности и /' = /. Учитывая
унитарность S-матрицы, в этом случае имеем
S},./,^2"*. (14.115)
Если / равно / + 1 или / ■— 1, то возможные значения V также равны
/" + 1 или /.— 1. Поэтому матрица S', а следовательно и ортогональ-
ная матрица U', имеет размерность 2x2. Вещественная ортогональ-
ная матрица размерности 2 х 2 в общем случае имеет вид
/ cose' sinV\
U'=\ ■ i
\—sine cose/
(14.116)
где ε' ■— некоторый вещественный параметр. Таким образом получим
. /cos2 ε/''6' + sin2 геш' sin ε cos ε (e2£6· — e2i6*)\
S' = Unecose(e2i6·-*21'6*) sin2 ε/'6· + cos2 ε*-2'6*)'' (I4'U7)
Величина ε7 называется параметром смешивания. Матрица S' в рас-
сматриваемом случае определяется тремя вещественными параметра-
ми: двумя собственными фазами рассеяния δ{ и δ£ и параметром сме-
шивания в'.
Волновая функция ifics-.a получаемая в результате ортогонального
преобразования,
4s',a(r) = Σ Uirs'4's'.rs' (Г) (14.118)
является решением уравнения (14.103) и удовлетворяет граничным
условиям на бесконечности. Однако, в то время как функции ty'rs'js
235

содержат только сходящуюся волну с моментами / и s, функции ·ψ/ν,α
содержат сходящиеся волны с моментами, которые допускаются при
заданном значении /. При этом асимптотика волновой функции (14.118)
имеет вид
<5'η(*Γ--ΓΓπ+δ«)
^Л(г)н.4ш'1/^ а-^ ~ '-, (14.119)
т. е. все составляющие функции характеризуются одной и той же фа-
зой рассеяния.
1
14.5. РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ ~ψ
НА БЕССПИНОВОЙ ЧАСТИЦЕ
Рассмотрим в качестве примера простейший случай рассеяния части-
цы со спином -у на бесспиновой частице (например, рассеяние нуклона на
бесспиновом ядре). Для частицы, имеющей спин -д- , оператор спина s
выражается через матрицы Паули σ:
* = -5-°» (14.120)
где
σ* = (? о)· Η? о)· аг = С-?)· <14·
121)
Собственные волновые функции квадрата спина и проекции спина
имеют вид
x_L_Le(nV Χ±-_·=(?ν (14·122)
2 2 "U/ 2 2 Η/
Падающий пучок частиц будем описывать матрицей плотности р,
которая в случае спина, равного -ψ, будет двухрядной. Так как лю-
бую двухрядную матрицу можно представить в виде линейной ком-
бинации матриц Паули и единичной матрицы, то матрицу плотности ρ
можно записать в виде
ρ = а\ + Ьа,
где постоянные а и Ь имеют простой физический смысл. Величина а
связана с плотностью частиц в пучке 1:
/ = Sp ρ = 2α,
а величина b, как нетрудно проверить, пропорциональна вектору по-
ляризации Р:
ρ _ Sp(gp) _ 2b
Spp / "
Т. о. матрицу плотности для произвольно поляризованного пучка
частиц можно записать в следующем виде
ρ = -ψ(\+Ρσ). (14.123)
236

Если пучок полностью поляризован в направлении оси г, то
Но о)'
Неполяризованный пучок, для которого Ρ = О, описывается матри-
цей плотности, совпадающей с единичной матрицей
/
Р = -2"·
В общем случае пучок частиц со спином -ψ характеризуется четырьмя
вещественными и измеримыми величинами I и Р.
" Матрица плотности рассеянного пучка р' выражается через матри-
цу плотности падающего пучка ρ и амплитуду рассеяния f, согласно
(14.84):
р'=М+. (14.124)
Амплитуда рассеяния ^так же, как и матрица плотности р, может быть
записана в виде линейной комбинации единичной матрицы и матриц
Паули
f = gl+ha, (14.125)
где величины g и h могут зависеть только от геометрии столкновения,
т. е. от начального и конечного импульсов А; и А;' и характера взаимо-
действия. Так как вид амплитуды (14.125) не должен зависеть от вы-
бора системы координат (т. е. амплитуда должна быть инвариантной
относительно поворотов и отражений системы координат), то величина
g должна быть скаляром, а величина h ■— псевдовектором (напомним,
что спин σ, подобно / = г X р, является псевдовектором в обычном
трехмерном пространстве). Поскольку из векторных величин /г и ft'
можно построить единственный псевдовектор ft X ft', то величину
можно представить в виде
h = hn,
где h-—скаляр и п-— единичный вектор, перпендикулярный к пло-
скости рассеяния
Таким образом амплитуда рассеяния частицы со спином -=- на бес-
спиновой частице окончательно может быть записана в виде
f = g + hna, (14.127)
где g и h ·— скалярные амплитуды (вообще говоря, комплексные),
зависящие от угла рассеяния, энергии частиц и характера взаимо-
действия.
Выразим скалярные амплитуды g и h через фазы рассеяния. Заме-
тим прежде всего, что в состоянии с определенным полным моментом /
Орбитальный момент / может принимать два значения I = j -\- -— и
237

/ = / ■ к-, отвечающие различным значениям четности. Поэтому,
если взаимодействие сохраняет четность, то матрица рассеяния (14.113)
по квантовым числам / и V принимает диагональный вид
(14.128)
ч
2
Если возможно только упругое рассеяние, то в силу унитарности
матрицы рассеяния имеем
Si=em'', (14.129)
где δ{ ■— вещественные фазы рассеяния в состояниях с определенными
значениями / и /. Если кроме упругого рассеяния открыты также дру-
гие каналы, то фазы δ{ будут комплексными.
Явный вид скалярных амплитуд g и h нетрудно найти, если вос-
пользоваться разложением амплитуды рассеяния / по парциальным
составляющим и учесть спиновую зависимость оператора рассеяния St.
Так как при фиксированном значении / возможны только два^значе-
ния /, то, введя операторы проектирования Π ( i и Π i на состоя-
, , 1 , 1
ния с/ = /+-2~ и/ = / 2"
можно записать
S, = si
1
Замечая, что
'+ 2П 1 +S'.
. , 1
(14.130)
la
I, /=/+-Г'
-(Л-1), / = / 5" .
где I = — in -щ-
тировання Π г
П
Отметим, что
— оператор орбитального момента, операторы проек-
и Π
! можно представить в виде
1~Т
_ l+1+Ισ
1+4-~ 2/+'
π , +п
\__L~ 2/+1
1.
/+т
I
(14.131)
(14.132)
Подставляя (14.130) в (3.48) и используя (14.131), таким образом ам-
плитуду рассеяния / приведем к виду (14.127), где g и h определяются
выражениями
;* + "
2/6' "
g (*) = -^-2 {2/+ 1 - (/ + 1) еш1 2 - le2i6i 2 } P,(cos*), (14.133)
/=0
*(*)=*—5Г Σ {*
! +
2_еЧ"
2
/=0
}~W Pt (cos*). (14.134)
238

Эти же выражения можно получить из (14.112) с помощью (14.128)
и (14.129), если учесть, что центральная часть амплитуды g описы-
вает рассеяние без изменения ориентации спина частицы, а спиновая
часть h описывает рассеяние с изменением ориентации спина час-
тицы.
Если падающий пучок неполяризован, то матрица плотности ρ
сводится к единичной матрице. В этом случае матрица плотности рас-
сеянного пучка выражается только через амплитуду рассеяния
p'=tf+- (14.135)
Дифференциальное сечение рассеяния равно отношению шпура ма-
трицы плотности рассеянного пучка к шпуру матрицы плотности па-
дающего пучка
σ(θ)=-|^1· (14Л36>
Используя (14.135) и (14.127), т. о. найдем
σ(θ) = |β(0)Ρ + 1Λ(*)|». (14.137)
Поляризация частиц, возникающая при рассеянии, определяется вы-
ражением
Р = _^р1. (14.138)
Подставляя в (14.138) матрицу р' в виде (14.135), нетрудно убедиться,
что вектор поляризации Ρ направлен вдоль вектора п:
Р = Рп, (14.139)
а величина поляризации определяется выражением
P = WF· ^4-140)
Так как поляризация представляет собой интерференционный эффект,
то она исчезает, если одна из амплитуд g или h обращается в нуль.
Поляризация отсутствует также в том случае, если одна из амплитуд g
или h вещественна, а другая чисто мнима. Согласно (14.139), поляри-
зация частиц при рассеянии возможна только вдоль направления,
перпендикулярного к плоскости рассеяния.
Если падающий пучок характеризуется определенной поляриза-
цией Р0 и матрица плотности падающего пучка имеет вид
ρ = -^-(1+Ρ0σ), (14.141)
то формулы для сечения рассеяния и поляризации рассеянных частиц
усложняются по сравнению с (14.137), (14.139) и (14.140). Подставляя
(14.141) в (14.124) и учитывая (14.127), матрицу плотности для рас-
сеянного пучка запишем в виде
Р' = 4" & + Аяст) <* + Ро°) (8* + Λ*ησ)· (14· Ι42>
Дифференциальное сечение рассеяния определяется шпуром (14.142).
239

При вычислении шпура от (14.142) удобно воспользоваться
равенством
(ао) (Ьа) = (аЬ) + Ца х Ь)а, (14.143)
вытекающим из перестановочных соотношений для матриц Паули.
Замечая, что шпур от слагаемых в (1.142), содержащих произведение
нечетного числа матриц σ, равен нулю и что
Sp (μα) (Ьа) = 2ab,
получим следующую формулу для дифференциального сечения рас-
сеяния произвольно поляризованных частиц со спином —^- на бес-
спиновых частицах
о (О, φ) = (| g P + I h I2) (1 + P0P), (14.144)
где Ρ — вектор поляризации, которая возникла бы при рассеянии
в случае неполяризованных падающих частиц. Вектор Ρ определяется
формулами (14.139) и (14.140).
Первый множитель в (14.144) совпадает с дифференциальным се-
чением рассеяния для неполяризованных падающих частиц (14.137).
Второй множитель в (14.144):
(1 + Р0Р) = (l+P0P cos φ),
где φ ·— угол между направлением поляризации падающих частиц
и направлением нормали к плоскости рассеяния, определяет азиму-
тальную асимметрию, возникающую при рассеянии поляризованных
частиц. Величину
е = Р0Р (14.145)
обычно называют коэффициентом азимутальной асимметрии. Зная
поляризацию падающих частиц Р0, по величине азимутальной асим-
метрии можно определить поляризацию Р, возникающую при рас-
сеянии неполяризованных частиц.
Поляризация частиц после*рассеяния, если первоначально их по-
ляризация характеризовалась вектором Р0, определяется формулой
Р' = T + ffp ' <14Л46>
где %Р0 ■— скалярное произведение некоторого тензора X на вектор Р0:
*р0=>р0- lgp + |fti»ip°-(po»)"} + T7FTT7TF" х Р°- (14Л47)
Если вектор поляризации падающих частиц Р0 лежит в плоскости
рассеяния, то вектор %Р0 также лежит в той же плоскости. В этом
случае нормальная к плоскости рассеяния составляющая вектора Рг
не зависит от величины Р0.
Р'п = Р. (14.148)
Если вектор поляризации падающих частиц Р0 перпендикулярен к
плоскости рассеяния, то
ХР0 = Р0.
240

В этом случае вектор поляризации рассеянных частиц (14.146) также
перпендикулярен к плоскости рассеяния
Поляризацию Р, возникающую при рассеянии неполяризованных
частиц на бесспиновой мишени, можно измерить с помощью двойного
рассеяния. Первоначально неполяризованный пучок при рассеянии
на первой мишени поляризуется, затем при повторном рассеянии на
второй мишени возникает азимутальная асимметрия, по измерению
которой и можно определить поляризацию, возникающую при рас-
сеянии.
Пусть пучок, в состав которого входят частицы с импульсами k,
падает на первую мишень. Если пучок неполяризован, то матрица
плотности сводится к единичной матрице
/
Р = Т-,
где / ·— плотность частиц в пучке. Рассмотрим рассеяние под опре-
деленным углом #! и обозначим импульс частиц после первого рас-
сеяния через kx. Амплитуду, описывающую рассеяние на частицах
первой мишени, запишем в виде
fi = gi+Ai»i°, (14-150)
где gx и И.г ■— скалярные амплитуды, зависящие от k, kx и ftt, и пг ·—
единичный вектор, перпендикулярный к плоскости первого рассея-
ния. Частицы, рассеянные под углом ^.образуют рассеянный пучок,
характеризуемый матрицей плотности
Pi = fiPft,
которую можно представить в виде
Ρ1 = Χ(Ι^|2+|Λ1|2)(1+^1θ). (14.151)
где Рг ·— вектор поляризации, возникающей при рассеянии частиц
на первой мишени
2 Re ρΛΙ
Дифференциальное сечение рассеяния на первой мишени равно
oim = \gi? + \hl\* (14.153)
и характеризуется азимутальной симметрией.
Обозначим импульс частицы после повторного рассеяния на час-
тице второй мишени через k2, угол между векторами k2 и Ъх (угол рас-
сеяния на второй мишени) обозначим через #2. Амплитуду, характе-
ризующую рассеяние на второй мишени, запишем в виде
k = #2 + Λ2«2σ. (14.154)
гДе §2 и ^2'— скалярные амплитуды, зависящие от величин kx и k^
и угла #2- Щ'—единичный вектор, перпендикулярный к плоскости
16 5-614
241

второго рассеяния. Так как на вторую мишень падают поляризован-
ные частицы, характеризуемые матрицей плотности (14.151), то мат-
рица плотности после второго рассеяния р2 будет равна
Р2 = Ш+- (14.155)
Дифференциальное сечение после второго рассеяния найдем, взяв
отношение шпура р2 к шпуру рх. Таким образом получим
σ2 (#2, Φ) = (I ft I2 + I h212) (1 + ΡΛ), (14.156)
где Р2 есть вектор поляризации, которая бы возникла при рассеянии
на второй мишени, если бы рассеивался неполяризованный пучок
2 Re g2fc2
^imf^· <14157>
Согласно (14.156), сечение рассеяния на второй мишени характери-
зуется азимутальной асимметрией, поскольку оно зависит от угла
между векторами Р2 и Р1г т. е. от угла между плоскостями первого и
второго рассеяния. Вектор поляризации частиц после второго рас-
сеяния Р2 определяется выражением
где Х2 зависит от g2, h2 и «2. В отличие от (14.152) вектор поляризации
после второго рассеяния Яг может иметь и продольную составляющую,
т. е. составляющую вдоль импульса &2.
Если частицы первой и второй мишеней одинаковы, то, выбирая
Ф2 = -&ъ величины Р2 и Рг можно сделать приблизительно равными.
(Равенство Р2 = Рг может быть только приближенным вследствие
потери энергии рассеиваемой частицы на отдачу). Предполагая далее,
что первое и второе рассеяние происходят в одной плоскости, диф-
ференциальное сечение рассеяния можно записать в виде
o2=(|g|2 + |fc|2)(l±e), (14.159)
где знак плюс или минус зависит от того, являются ли векторы п1
и п2 параллельными или антипараллельными, т. е. происходит ли
второе рассеяние вправо или влево от направления импульса kx.
Из этой лево-правой асимметрии е можно определить поляризацию
e = ^f^r = P1Pt. (14.160)
Если условия опыта подобраны так, что Pt = Р2, то из (14.160) не-
посредственно находим
Ρ =V~e. (14.161)
Заметим, что аналогичным образом описывается рассеяние частиц
1
со спином -ψ на неполяризованных частицах с произвольным спином.
В частности сечение рассеяния и поляризация, возникающая при рас-
сеянии, определяются выражениями типа (14.137), (14.139) и (14.140).
242

14.6. РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1
НА БЕССПИНОВОИ ЧАСТИЦЕ
В заключение рассмотрим еще рассеяние частицы со спином 1 на
бесспиновой частице (например, рассеяние дейтрона на бесспиновом
ядре) [56— 58].
В случае спина, равного единице, спиновая волновая функция
имеет три составляющие, а спиновые матрицы являются трехрядными.
В представлении, задаваемом значениями квадрата спина и проекции
спина на ось z, матрицы спина имеют вид
'О 1 0\ /0 — I
-7-1' ° "
О . (14.162)
В соответствии с возможными значениями проекции спина характе-
ристическое уравнение для спиновых матриц St (i = х, у, z) имеет вид
|St — λ|| = λ(λ+ 1)(λ— 1) = 0. (14.163)
Так как матрица является корнем своего характеристического урав-
нения, то из (14.163) следует, что произведение трех спиновых матриц
всегда может быть сведено к комбинации квадратичных произведений
и линейной комбинации проекций спина
S.SiS, = 4 (e*AS* + ei«S,S, + вдоЗД + 4~(δ;Λ + 6iySft), (14.164)
где Bijk·—полностью антисимметричный тензор третьего ранга. По-
этому полный набор трехрядных матриц можно составить из единич-
ной матрицы 1, трех матриц спина S,- и квадратичных произведений
матриц спина, образующих симметричный тензор в обычном простран-
стве Sij, сумма диагональных компонент которого равна нулю
St, = 4- (SfS, + S,S£) - 4 δ4. (14.165)
(Тензор Si, имеет пять независимых компонент.)
В качестве другого полного набора трехрядных матриц можно взять
компоненты спин-тензоров Tim при /=0, 1,2и·— /<М</.
Обозначим матрицу плотности падающего пучка частиц со спи-
ном 1 через р. Матрица плотности рассеянного пучка р' определяется
равенством
p' = fpf+, (14.166)
где /■—амплитуда рассеяния, являющаяся для частиц со спином 1
трехрядной матрицей.
Дифференциальное сечение рассеяния равно
c=ff. (14.167)
Поляризация рассеянных частиц будет определяться средними зна-
16* 243

чениями компонент спин-тензора Tim'-
{Тш)= ^У* , -/<М </, / = 0, 1, 2. (14.168)
Разложим амплитуду рассеяния / по полному набору трехрядных
матриц 1, Si и Sn: _, ^
! = Α + ΣΒ^1 + Σθ1βΙΙ. (14.169)
Коэффициенты разложения A, Bt и Cit зависят от геометрии столкно-
вения, т. е. от векторов k и k', и от характера взаимодействия.
Для дальнейшего рассмотрения удобно ввести три взаимоперпен-
дикулярных единичных вектора
"-тШт· р=^Шт' *=гах*· (14Л7°)
При обращении времени векторы пир изменяют свой знак, в то время
как вектор q остается неизменным.
Будем предполагать, что взаимодействие инвариантно относитель-
но поворотов и отражений в пространстве и инвариантно относитель-
но обращения времени. Аналогичным свойством инвариантности долж-
на характеризоваться и амплитуда (14.169). Из инвариантности ам-
плитуды относительно поворотов и отражений следует: что величина А
должна быть скаляром, который может зависеть только от модулей k
и k' и от угла рассеяния ■&; что величина Bt должна быть псевдовекто-
ром, который из векторных величин k и k' можно построить единствен-
ным образом в = Вп (14ЛЛ)
где В — скалярная величина, зависящая от модулей йий'и угла рас-
сеяния ■&; и что величина Сц должна быть симметричным тензором,
инвариантным относительно пространственных отражений и обраще-
ния времени. Используя определение единичных векторов (14.170),
тензор с указанными свойствами можно построить следующим образом
Су = Сгщп1 + CrftPi + Сдд,, (14.172)
где Clt C2 и С3 —скалярные коэффициенты. Поскольку, однако, век-
торы (14.170) образуют ортогональную систему, то
ЩЩ + PiPi + <?,<?/ = Ьц. (14.173)
Поэтому в (14.172) имеется только две независимые комбинации, и,
следовательно, С,·,- можно выбирать в виде
Ctj^cpM + dqa, (14.174)
где end-— скалярные коэффициенты, зависящие от модулей k и k'
и угла рассеяния Ь. Взамен амплитуд end удобнее пользоваться их
линейными комбинациями
C=-^-(c + d), D=-i-W-c). (14.175)
В системе координат, в которой ось х направлена вдоль вектора #,
ось у направлена вдоль вектора η и ось г направлена вдоль вектора р,
амплитуда рассеяния (14.169) имеет вид
f = A + BSy + (C + D) (Si §-) + (С- D) (Si- -|·) · (14.176)
244

Скалярные амплитуды А, В, С, D, входящие в (14.176), могут быть
выражены через фазы рассеяния б/, δ^, &3 и коэффициенты смешива-
ния ε':
А = -^- Σ W + 2) ар1 + (21 + 1) а\ + (/ - 1) ω,'"1 +
+ (l+l)b'l+l + lb'ri]Pl(cos-d·),
в - -я-Дйт^ ~Ша>-^г1 + ^ -***р] (cos*>■
С = -i-Щ [(/ + 2) ai+1 + (21 + 1) ω? + (/ - 1) а1ГХ -
— 2 (I + 1) b\+l — 2lb\~x\ Pt (cos *) +
со
+ 3g[TTT^+1-^rV Q' +±<l]P'(cosi»}, (14.177)
— 2(1 + 1) b\+1 — 2lblr1] Pt (cos θ) —
- Σ[τττ ^+1 - -wrw a<+-τ c'i p<<cos *)} ·
где PT1 (cos θ) = sinm ft Pt (cos θ) и введены следующие обо-
(d cos fly
значения:
ωΓ'+1 = α' cos2 ε' + β'" sin2 ε'' + - J- jZ-q^- (α' — β') sin 2ε'",
6Γ'+1 =s α'' cos2 ε'' + β7' sin2 ε'' L ]/~ ±±± (α! — β') sin 2ε';
at1'1 = α'" sin2 ε'' + β'" cos2 ε'' + ~ ]/-Щ- (α'" — β') sin 2ε',
Ь'Г1-1 = a' sin2 ε' + β'' cos2 ε'' — -i- ]/'-τ-jL- (α' — β'") sin 2ε''; (14.178)
α' = sin δ{ε6\ β'' = sin fifc'4
(если / = О, то ε° = 0, δ? = 0 и 6° = δ (3Ρ0);
ω5 ==sin63£ 3.
Если падающие частицы неполяризованы, то дифференциальное
сечение равно
а(^ = |Л|2 + |-|В|2 + -|-|С|2 + -?-|£>12· (14.179)
Средние значения компонент спин-тензора Тш, характеризующие
245

поляризацию рассеянных частиц, в указанной системе координат
равны
<TW) = О,
<ТЦ> = tS-- Яе(А Lc) В*,
(T2a) = 1^){ReA(C-3D)* + ReCD*~±\B\*-±\C\z + ±:\D\z},
(Тл) = - ,-2 а1 Im BD*, (14.180)
<T^=T^r{ReA(C+D)*~^ReCD*~^lBl2+
+ 4|C|2-4-|D|2}.
Векторная поляризация частиц Я, согласно (14.54), непосредствен-
но определяется составляющей (Ти):
Re(A ~с)в*
р = 4 шг1—"· (14Л81)
Если падающий пучок поляризован и начальная матрица плот-
ности ρ равна
Ρ =4- ΣΣ<ΤΤμ)0ΤΙΜ, (14.182)
-3 /=о м
где (Tmi)o — заданные средние значения спин-тензоров, характери-
зующие поляризационное состояние падающего пучка, то дифферен-
циальное сечение рассеяния определяется выражением
2
σ (*, φ) = σ (0) 2 Σ <Ι%)ο <Тш), (14.183)
/=о м
где сечение а (Щ и поляризация (Тш) определяются формулами
(14.179) и (14.180), относящимися к случаю рассеяния неполяризован-
ных частиц.
В заключение приведем формулу для дифференциального сечения
рассеяния частиц со спином 1 в случае двойного рассеяния. Нетрудно
видеть, что сечение при двойном рассеянии будет непосредственно
определяться формулой (14.183), если под (7ш)о понимать поляри-
зацию (Т]м)\, возникающую при первом рассеянии, а под(Гш) ■—по-
ляризацию, которая возникла бы при втором рассеянии (Tmh, если
бы падающие на вторую мишень частицы были неполяризованными.
Если разложение для сечения при двойном рассеянии (14.183)
записано в системе координат (рис. 28), в которой ось z направле-
на вдоль вектора k', а ось у вдоль вектора «2, то (Tjm)i необходи-
мо выразить через спин-тензор (Тш)и определяемый формула-
ми (14.180) в системе координат, в которой ось z направлена вдоль
к + к-, ·
—к—2- и ось у вдоль nlt a (Tjm)2 необходимо выразить че-
246

рез (Гм)2, заданный в си-
стеме координат, в которой
kt + k2
ось z направлена вдоль- g—
и ось у вдоль и2. Переход
от {Тш)г к {Тш)\ связан с
поворотом системы координат
на углы Эйлера -у^ и φ
(φ .— угол между плоскостя-
ми первого и второго рассе-
яния):
{Тш)\ = JL Dmm' Χ
ЛГ
Χ (θ, 4~*ь <p)(7W>i,
(14.184)
а переход от (Тш)2 к (ТШУ*
связан с поворотом на угол
Ъ '
Рис. 28
(Tim)2=^D1mm"(0, -i-*s, θ)(Γ/ΛΓ}2
(14.185)
,= ν
Μ"
Таким образом дифференциальное сечение после второго рассея-
ния можно записать в виде
2
σ(#* Φ) = σ(θ2) V V D'utrio, -^-, φ) Χ
X D'mmt (θ, А-, θ) (7^)i (7ш->я, (14.186)
или /замечая, что d'mm· (0, -^-, φ) = еш^а'мм' [—^Л . и используя
явные выражения для olmm- (Щ и б&лг (ft))
σ (fl2, φ) = σ (ftj (a + b cos φ + c cos 2φ), (14.187)
где а = 1 + (}/"-§- sin2 A- (7^ - ]/-f sin *x (T2lh +
■&,
3 cos2 — 1
2
(^■(l/'l-sin'A-iT^-
— 3cos2-^- —1 .
- J/ -§- sin ft2 (T21)2 + {тюЦ,
247

b = 2 (Ttih (Tnh + ~ (sin flx (Га),. - 2 cos *2 (Г21), -
- Y\ sin *! (Τηλ) · (sin fl2 (Γ22)2 -
— 2 cos fl2 (Тп)я — Y~ sin fl2 (Γ»),,), (14.188)
С = ±- (i±|»iL (Г,,), - sin ^ (7^ + /4 -^f^- (7^) X
X (l±f£it (Г22)2 - sin i>2 (Г21>2 + /4 -^f^- (Г20)2) .
Заметим, что в отличие от случая частиц со спином -~- в случае рас-
сеяния частиц со спином 1 сечение рассеяния содержит слагаемые не
только пропорциональные cos φ, но и пропорциональные cos 2φ. Коэф-
фициенты при cos φ и cos 2φ могут быть непосредственно определены
из опыта по наблюдаемой азимутальной асимметрии.
Задачи
1. Найти общий вид амплитуды упругого рассеяния при взаимо-
действии двух частиц, имеющих спин -~- [53J.
Очевидно, амплитуда рассеяния должна зависеть от начального и
конечного импульсов относительного движения k и k' и от спинов
взаимодействующих частиц аг и σ2. Функциональный вид амплитуды
f {k, k'\ аг, σ2) будет определяться симметрией взаимодействия.
Инвариантность взаимодействия относительно вращений в про-
странстве приводит к требованию, чтобы амплитуда рассеяния
/ (k, к'; аи σ2) была скалярной функцией k, k', аг и σ2. Из инвариант-
ности взаимодействия относительно инверсии пространства следует,
что должно выполняться условие
f(k,k'; alta2) = f(-k, -k'; ab σ2). (14.189)
И. наконец, из условия инвариантности взаимодействия относительно
обращения времени следует, что
f(k,k'; oltoJ = f(-k', -k; -au -σ2). (14.190)
Указанные соотношения позволяют найти в явном виде зависимость
амплитуды рассеяния f(k, к'; ог ио2) от Oj и о2. Вследствие перестано-
вочных свойств матриц Паули амплитуда рассеяния / (k, k'\ σΧ, σ2) в
самом общем случае может быть только линейной функцией о1 и σ2.
Поэтому амплитуду рассеяния f (k, k'\ σ„ σ2) всегда можно предста-
вить в виде
f(k,k'; olf aJ = A + Bolt (14.191)
где А скаляр и /?·— псевдовектор, являющиеся линейными функция-
ми σ2. Кроме того величины А и В могут зависеть от векторных вели-
чин k и к', а также от псевдовектора k X k', который можно построить
из А; и k'.
248

Обычно при записи амплитуды используют систему трех единич-
ных взаимно ортогональных векторов
*=|Шт· т=т^т-' в=ятШч· (14Л92)
Заметим, что при обращении времени орты / и η изменяют свой знак,
а орт т остается неизменным. Удобство системы (14.192) определяется
тем, что в лабораторной системе координат ее орты в случае частиц
с равными массами параллельны импульсам обеих частиц после рас-
сеяния и нормали к плоскости рассеяния.
Очевидно, скалярную величину А, линейно зависящую от о2,
в самом общем случае можно записать в виде
Α = α + αησ2, (14.193)
где коэффициенты α и α могут зависеть только от энергии и угла рас-
сеяния.
Псевдовекторную величину В удобно разложить по системе ортов
/, т и и:
B = bl + cm + dn, (14.194)
при этом в силу векторного характера / и т и псевдовекторного харак-
тера и коэффициенты b и с будут псевдоскалярами, а коэффициент
d ■— скаляром. Псевдоскалярные величины Ъ и с, являющиеся линей-
ными функциями σ2, с учетом требования инвариантности амплитуды
относительно обращения времени имеют вид
Ъ = εΙσ2, с = Ьта2, (14.195)
где ε и δ могут зависеть только от энергии и угла рассеяния. Анало-
гично, скалярная величина d может быть представлена в виде
d = d'+P«o2, (14.196)
где d' и β также могут зависеть только от энергии и угла рассеяния.
Подставляя (14.193) и (14.194) в (14.191) с учетом (14.195) и (14.196)
и вводя обозначения
d' + a = 2iy, d' — a = 2iy',
окончательно получим следующее выражение для амплитуды рассея-
ния двух частиц, имеющих спин -^-:
f (k, k'\ аи Og) = а + $пог · ησ„ + iyn (аг + σ2) + iy'n (σΧ — σ2) +
+ Ьтаг - та2 + &1ог ■ lo2. (14.197)
Это выражение является наиболее общим представлением для ампли-
туды рассеяния, совместимым с требованиями сохранения четности и
инвариантности относительно обращения времени. Заметим, что в
(14.197) амплитуда рассеяния f{k, к'; аь σ2), являющаяся четырех-
рядной матрицей, выражена только через десять независимых четырех-
рядных матриц:
1, аи а2, па1 ■ па2, та1 · та2, 1о1 ■ 1а2.
Коэффициенты разложения по шести другим независимым четырех-
рядным матрицам в силу указанных требований симметрии оказы-
ваются равными нулю.
249

Дополнительные требования симметрии могут только упростить
вид амплитуды (14.197). Так, в случае рассеяния тождественных ча-
стиц амплитуда должна быть симметричной относительно перестанов-
ки спинов частиц аг и σ2, поэтому для тождественных частиц в (14.197)
следует положить у' = 0.
2. Выразить коэффициенты, входящие в амплитуду рассеяния
для двух тождественных частиц со спином -~-, через фазы рассеяния 6^
и параметры смешивания е) [54].
В системе двух тождественных частиц, имеющих спин -γ-, возмож-
ны синглетное (S =0) и триплетное (S = 1) состояния, переходы
между которыми запрещены. В синглетном состоянии орбитальный
момент I совпадает с полным моментом /, поэтому при заданном зна-
чении / рассеяние описывается единственной фазой δ'ο. В триплетном
состоянии при заданном значении / возможны значения орбитального
момента / = /«— 1, / = / и I = / + 1. Состояния с / = / и / = / +1
характеризуются противоположной четностью. Если орбитальный
момент принимает значения / = / <— 1 и / = / + 1, то рассеяние в
системе описывается двумя собственными фазами рассеяния 6{ и δ|
и параметром смешивания ε^. Если же / = /, то рассеяние описывается
единственной фазой, которую обычно обозначают 6^.
Коэффициенты α, β, γ, δ и ε, входящие в амплитуду рассеяния для
двух тождественных частиц со спином половина (14.197), определяю-
тся выражениями:
со
α = -i-Σ [(/ + 2)ω5+1 + {21 + l)ai+ (/ — 1) α!-1 +
+ (/ + 1) b'r1 + lblrl + (21 + 1) с,] Pt (cos Щ,
P = -jS-(2jl<'+ l)i>!+' + "i - (21 + lKJftfcos»)-
CO
(14.198)
+ (/ — 1) ct1) (cos * - 1) + (/ + 1) b1^ + lblrx -
- (2/ + 1) с, cos θ1 Pt (cos #) + ~ V Ι -γψγ a'i+l ~
-.^L+^ai + ^a^yi+cos^Pffcos^j,
250

со
+ (/ — !) а'Г1) (1 + cos θ) — (Ζ + 1) b'i+l — lb\~x —
— (21 + 1)CjCosi
P,(cosfl)+-^-V]
2 -J L /+ 1
ω!+1-
- ifiV *' + -f ai-'] (cos * - 1) ^? (cos θ)},
где величины α{ и Ъ\ для триплетных состояний (S = I) определяются
выражениями (14.178), а величины с/ для синглетных состояний (S = 0)
равны .
ci=i = sin б£е' °.
3. Вывести интегральное соотношение унитарности для амплитуды
упругого рассеяния частиц, обладающих спинами [59].
Будем предполагать, что в системе возможно только упругое рас-
сеяние, которое будем описывать матричной амплитудой рассеяния
f (k, k'). Используя условие унитарности S-матрицы, можно показать,
что и при наличии спинов у частиц матричная амплитуда рассеяния
будет удовлетворять интегральному соотношению, подобному (5.9):
f (к, k') - f+ (к', k) = ~^\ do"f+ (*', k") f (k, k"). (14.199)
В случае k ■— к' из (14.199), помимо оптической теоремы, следует ряд
соотношений, связывающих неисчезающие при k' -ν k элементы
матричной амплитуды рассеяния со спиновыми характеристиками
системы.
Рассмотрим подробнее интегральное соотношение унитарности
(14.199) в случае рассеяния двух тождественных частиц, имеющих
спин -γ Матричная амплитуда рассеяния в этом случае имеет вид
(14.197) с у' = 0. Домножая равенство (14.199) на инвариантные спи-
новые матрицы, по которым произведено разложение амплитуды
(14.197), из (14.199) нетрудно получить 5 независимых интегральных
соотношений для коэффициентов разложения α, β, γ, δ и ε.
В частности, если k = k',то из векторных величин аиσ2 и I =—г-
можно построить только три независимые скалярные матрицы:
1, ?σ1·«σ8, —^(σ^ — ΙσΧ ■ laj. (14.200)
(Для удобства приведенные матрицы нормированы одинаковым об-
разом). Домножая равенство (14.199) на одну из матриц (14.200) и
беря шпур от левой и правой частей равенства, получим три незави-
симые соотношения:
doa (в) = -ip Ima (0), (14.201)
a(fl)SrrSp/7+ = |a|2 + |P|2 + 2|Vp + |6p + |e|2;
251
s

J doPu (#) * — Im ε (0), (14.202)
P„ (*) в Sp {(id · laj ff+] = 2 Re [αε* - βδ*}
4π
J do/>« (θ) = -|i-Im {β (0) + δ (0)}, (14.203)
Ptt (θ) ^ Sp {(θ1σ2 - ΙσΧ · to2) //+} =
= 2{Re(a-e)^ + 6)* + lvl2}·
Первое соотношение, являющееся обобщением оптической теоремы
(5.8), связывает мнимую часть центральной части амплитуды рассея-
ния на нулевой угол с полным сечением рассеяния. Второе и третье
соотношения связывают мнимые части нецентральной части амплитуды
рассеяния на нулевой угол с компонентами поляризационного тен-
зора, характеризующего поляризацию, возникающую при рассеянии.
4. Показать, что если применимо первое борновское приближение
и взаимодействие инвариантно относительно обращения времени,
то поляризация при рассеянии неполяризованного пучка на неполя-
ризованной мишени отсутствует [5J.
Обозначим матричную амплитуду рассеяния частицы со спином st
на частице со спином *2 через / (ft, ft'; sus2). Если взаимодействие ин-
вариантно относительно обращения времени, то амплитуда / (k, к'; slt s2)
удовлетворяет условию
/(ft, ft'; Sl, aj=f(-k', -k; -el, -s'2), (14.204)
где/.— транспонированная матрица.
Действительно, согласно (6.50), имеем
(WI f (ft. *': *i, «J I Xm) = (Ms» I/(- k', - ft; аъ s2) | SX^),
(14.205)
где R ·— оператор обращения времени
R = WK, W+ = W~\ (14.206)
причем
*; = RsJT1 = WsaW-1 = - *α· (14-207)
Подставляя (14.206) в (14.205), имеем
(WI f (ft, ft'; «!, *2)| κ5μ) = (XsV I w~V (- ft', - ft; *i, *2) И7 Ι £μ·> -
= (С I f (- ft', - ft; №-Чи7, ^~'*2U7) | xs* μ.) =
= (С I f (- ft', - ft; - St, - *2) Ι X,V> =
= < WI A— ft'; - ft; - «I. - *31 ^)·
Откуда и следует условие (14.204).
Покажем теперь, что если амплитуда удовлетворяет условию
(14.204), то имеет место следующее соотношение
Sp {*«/ (ft, ft'; e^g) f1" (ft, ft'; *lt *2)} =
= Sp Kf^ft, ft', «lf Of (ft, ft'; «j, s2)}, a = 1, 2. (14.208)
252

Заметим, что величина Sp {saf (ft, ft'; slt s2) /+ (ft, ft'; slt s2)}, являющая-
ся аксиальным вектором, может зависеть только от векторов ft и ft',
из которых можно построить единственный псевдовектор А; X ft'.
Поэтому (14.208) можно представить в виде
Sp{*a/(ft, ft'; slt *2)/+(ft, ft'; 8U *2)} = ft X ft'^a (ftft'), (14.209)
где Fa (ftft')·— вещественная функция, зависящая только от скаляр-
ного произведения ftft'. Очевидно, функция Fa (ftft') инвариантна
относительно преобразований
ft-^ — ft, k'-+ — k'\
м. *--*. (14'210)
Воспользуемся (14.207) и запишем
ft X ft'F« (ftft') = - Sp {r*>~V (*, Λ'; βΑ) /+ (ft, ft'; «!, «J},
или
ft X ftT„ (ftft') = - Sp {# (ft, ft'; - s\, - si) f+ (ft, ft'; - «I, - si)}.
(14.211)
Учитывая (14.210), равенство (14.211) можно переписать в виде
ft X k'Fa (ftft') =
= Sp {s*J (— ft', —ft; — el, — *2)/+(—ft', —ft; — *i, — si)},
откуда, используя (14.204), и получим соотношение (14.208).
Если применимо борновское приближение, то матрица перехода t
равна потенциалу взаимодействия V. В случае эрмитовского потен-
циала V, матрица перехода t также эрмитова и поэтому
/(ft, ft'; 5!,^)=^(ft', ft; Sl,s2). (14.212)
Поляризация частиц a (a =1, 2) при рассеянии неполяризованного
пучка на неполяризованной мишени определяется выражением
Ра - SP {SJC] ■ (Н.213)
Sp(//+)
Из условия (14.212) следует
Sp {saf (k, k'\ sl7 s2) Z4" (ft, ft'; su s2)} =
= SpK/+(ft', ft; elte,)f (ft', ft; «!,*,)}. (14.214)
Так как правая часть равенства (14.209) изменяет знак при переста-
новке t" И ft', ТО
Sp Kf1" (ft', ft; *i, *2) f (ft, ft'; *i, *г)} =
= -Sp{sJ+(ft, ft'; sl,s2)f(k,k'; Sl,s2)). (14.215)
Сравнивая (14.215) и (14.208), мы видим, что поляризация Ра равна
нулю. Таким образом мы доказали, что если взаимодействие инва-
риантно относительно обращения времени, то поляризация частиц при
рассеянии в первом борновском приближении отсутствует.
253

ПРИЛОЖЕНИЕ
Приведем явные выражения для функций dlMM, (p) и ^дш' W» использованные
при выводе формул (14.188).
имм·
(0)
КМ' 1
—1
Μ
1
—1
— (l+cos#)
1 ■ ч.
V'2 """
-— (1 — cos ■&)
1 ,:„ Λ
^2
cos ■&
— sin #
/2
— (1 — cos #)
1 ■ я.
/2
— (1 +cos#)
"мм·
(<►)
M'
2
—i —
—2
— (1 +cosfl·)2
4
— -£-sin#(l +cos#)
|/^Xsm»#
2~ sin #(1 — cos #)
— (1—cosfl·)2
4
sin # (1 ~\- cos #)
— (l + cos#)(2cos#—1)
— 1/ — sin # cos #
— (1— cos #)(2 cos # + 1)
— _L sin #(1— cos ■&)
2
j/ -g- sin2 ■&
1/ -^- sin # cos #
1
— (3cos2#_ 1)
2 '
— 1/ -=- sin ■& cos ■&
]/-j|-sin2fl·
—1
— sin 0· (1 — cos #)
1
— (1— cos #) (2 cos # + 1)
1/ -jr- sin ■& cos ■&
1
— (l+cos#)(2cos#—1)
p- sin fl· (1 + cos β)
—2
1
—-(1 — cosflf
1
— sin#(l — cosfl·)
|/^-sin2#
-— sin # (1 + cos #)
(1 +cosfl·)2
254

ЛИТЕРАТУРА
1. Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М., Физматгиз, 1963.
2. Давыдов А. С. Квантовая механика. М., Физматгиз, 1963.
3. Мэтьюс П. Релятивистская квантовая теория взаимодействий элементарных час-
тиц. М., ИЛ. 1959.
4. Мотт Н. и Месси Г. Теория атомных столкновений. М., ИЛ, 1951.
5. Гольдбергер М., Ватсон К. Теория столкновений. М., «Мир», 1967.
6. Де Альфаро В., Редже Т. Потенциальное рассеяние. М., «Мнр», 1966.
7. Блатт Дж., Вайскопф В. Теоретическая ядерная физика. М., ИЛ, 1954.
8. Балдин А. М., Гольданский В. И., Розенталь И. Л. Кинематика ядерных реак-
ций. М., Физматгиз, 1959.
9. Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции н распады
в нерелятивистской квантовой механике. М., «Наука», 1966.
10. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. М., «Мнр», 1969.
11. Rodberg L., Thaler R. Introduction to the Quantum Theory of Scattering. Academic
Press, N. Y., 1967.
12. Heisenberg W. Zs. f. Phys., 1943, 120, 513; 673.
13. Dyson F. J. Phys. Rev., 1949, 75, 486; 1736.
14. Lippmann В. A., Schwinger J. Phys. Rev., 1950, 79, 469.
15. Osborn T. A. Ann. of Phys., 1970, 58, 417.
16. Снтенко А. Г. Укр. физ. журнал, 1959, 4, 152.
17. Glauber R. Lectures in Theoretical Physics. Vol. 1, p. 315, Interscience Publishers,
N. Y., 1959.
18. Друкарев Г. Ф. ЖЭТФ, 1949, 19, 247.
19. Бабиков В. В. Метод фазовых функций в квантовой механике. М., «Наука», 1968.
20. Калоджеро Ф. Метод фазовых функций в теории потенциального рассеяния.
М., «Мнр», 1972.
21. Gerjuioy E. Math. Phys., 1965, 6, 993; 1396.
22. Wigner E. P. Göttingen Nashrichten, 1932, 31, 546.
23. Jost R. Helv. Phys. Acta, 1947, 20, 256.
24. Ma S. T. Phys. Rev., 1947, 71, 195.
25. Друкарев Г. Ф. ЖЭТФ, 1951, 21, 59.
26. Bargmann V. Rev. Mod. Phys., 1949, 21, 488.
27. Wigner E. P. Phys. Rev., 1955, 98, 145.
28. Jost R., Kohn W. Phys. Rev., 1952, 87, 977.
29. Levinson N. Danske Videnskab. Selskab, Mat.-fys. Medd., 1949, 25, 9.
30. Khuri N. N. Phys. Rev., 1959, 107, 1148.
31. Фаддеев Л. Д. ЖЭТФ, 1958, 35, 433.
32. Lehmann H. Nuovo Cimento, 1958, 10, 579.
33. Blankenbecler R., Goldberger M. L. Phys. Rev., 1962, 126, 766.
34. Regge T. Nuovo Cimento, 1959, 14, 951; 1960, 17, 947.
35. Newton R. G. J. Math. Phys., 1962, 3, 867; 1342.
36. MandelstamS. Phys. Rev., 1958, 112, 1344; 1959, 115, 1741; 1759.
37. Blankenbecler R., Goldberger M. L., Khuri N. N., Treiman S. B. Ann. of Phys.,
1960, 10, 62.
38. Ширков Д. В., Серебряков В. В., Мещеряков В. А. Дисперсионные теории силь-
ных взаимодействий при низких энергиях. М., «Наука», 1967.
39. Марченко В. А. ДАН СССР, 1955, 104, 695.
40. Агранович 3. С, Марченко В. А. Обратная задача теории рассеяния. Харьков,
Изд. X .рьковс. университета, 1960.
255

41. Ситенко А. Г., Харченко В. Ф. Успехи физич. наук, 1971, 103, 469.
42. Weinberg S. Phys. Rev., 1963, 131, 440.
43. Jost R., Pais A. Phys. Rev., 1951, 82, 840.
44. Фаддеев Л. Д. Труды матеы. ин-та им. В. А. Стеклова, том 69. М.— Л., 1963.
45. Фаддеев Л. Д. ЖЭТФ, 1960, 39, 1459.
46. Sitenko A. G., Kharchenko V. F. Nucl. Phys., 1963, 49, 15.
47. Скорняков Г. В., Тер-Мартиросян К. А. ЖЭТФ, 1956, 31, 775.
48. Osborn Т. А., Bolle D. Phys. Rev., 1973, С8, 1198.
49. Wolfenstein L., Ashkin J. Phys. Rev., 1952, 85, 947.
50. Blatt J. M., Biedenharn L. С Phys. Rev., 1952, 86, 399.
51. Simon A., Welton T. Phys. Rev., 1953, 90, 1036.
52. Simon A. Phys. Rev., 1953, 92, 1050; 1954, 93, 1435.
53. Wolfenstein L. Ann. Rev. Nucl. Sei., 1956, 6, 43.
54. Godberger M. L., Nambu Y., Oehme R. Ann. of Phys., 1957, 2, 226.
55. Вигнер Е. П. Теория групп. М., ИЛ, 1961.
56. Lakin W. Phys. Rev., 1955, 98, 139.
57. Stapp H. P. Phys. Rev., 1957, 107, 607.
.58. Ситенко А. Г., Тартаковский В. К. Укр. физ. журнал, 1960, 5, 581.
S9. Пузиков Л. Н., Рындин Р. М., Смородинский Я. А. ЖЭТФ, 1957, 32, 592.