/
Текст
МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР
Научно-исследовательский институт школ
М. ТКАЧЁВА
ДОМАШНЯЯ. МАТШАТИКА
(учебное пособие по математике для учащихся
6 классов и их родителей)
Москва-1989
Домашняя математика. Учебное пособие по математике для учащих-
ся 6 классов и их родителей.
М.: Изд. НИИ школ МНО РСФСР, 1989, с.286.
Посвящаю моим родителям.
Книга для семейного чтения призвана помочь школьнику и его
родителям при совместных занятиях математикой. Помимо помощи в
изучении программных вопросов, материал книги способствует фор-
мированию и поддержанию интереса школьника к математике. Глава
"Математика в жизни” может быть не без интереса прочитана уча-
щимися разных возрастов.
Книга предназначена учащимся 6 классов и их родителям,
учителям, методистам и студентам педагогических институтов.
Научный редактор: чл.-корр. АПН СССР, проф. Ю.М.Колягин.
Рецензент: старший преподаватель кафедры математического ана-
лиза МШИ им.В.И.Ленина Б.Н.Кукушкин.
© Научно-исследовательский институт школ
Министерство народного образования РСФСР
(НИИ школ МНО РСФСР), 1989.
3
Предисловие для школьников
Уважаемые ребята!
Перед вами необычная книга по математике. С одной стороны-
названиями параграфов первых двух глав, она напоминает учебник.
С другой стороны, написана она совсем не как учебник: много ре-
шенных примеров» много занимательных задач и шуток, много ри-
сунков. Да.и параграфы третьей главы имеют совсем.необычные на-
звания (прочитав их, можно научиться многому полезному для жиз-
ни) .
Для чего эта книга тебе будет нужна? .
Чтобы получить ответ на этот вопрос, реши для себя честно-
как ты относишься к математике и причисли себя к одной из сле-
дующих, групп:
I группа: "Люблю математику, нравится решать задачи, нра-
вятся строгие, рассуждения". - .
2 группа: "Равнодушен к математике, занимаюсь ею только
...... когда нужно выполнить задание учителя".
3 группа: "Не люблю или боюсь математики" (причины, могут
быть разные - тяжело даётся, запустил материал
из-за болезни или лени и т.п.).
Теперь прочтите, чем будет полезна эта книга для каждой
группы - ребят- .
Для- ребят I группы. В книге, помимо обычных эцдач по. алгеб-
ре и-геометрии, вы найдете в конце каждого параграфа заниматель-
ные математические задачи, рассуждения, исторические сведения,
практические советы. Вам будет интересно и полезно прочесть па-
раграфы третьей, главы. Книга поможет углубить и расширить ваши
знания по математике, а также увидеть интересные применения ма-
тематики в жизни.
Вы вполне сможете прочесть эту книгу самостоятельно. Одна-
ко будет неплохо, если интересные ее страницы вы прочтете вме-
сте с родителями или товарищами,, обсудите спорные вопросы.
Для ребят 2 группы. Ваше равнодушие к математике, скорее
всего, объясняется тем, что вы не видите от нее никакой пользы.
Или все-таки чего-то. недопонимаете .(при решении задач, в дока-
зательствах теорем)..Неприятно.заниматься делом без удовольст-
вия, похоже на "отбываловку".
. Давайте попробуем изменить ваше отношение к математике..
Начните с чтения .третьей главы "Математика в жизни".-Думаю* что
каждый из вас наЦцет там для себя интересные и полезные сведе-
ния. ............................................ ... - ....
Если у вас в течение учебного года, возникали-или. возника-
ют трудности с ,усвоением математики^ читайте, и разбирайте па- .
раграфы I и П г л ав.книги. .В. л их вы найдете.-решения основных
типов задач, которые, встречаются вучебниках..алгебры и геомет?
рии.дляб класса.-Найдёте, образцы-решадия контрольных работ по
основным темам алгебры .и геометрии.-Прорешайте их, проверьте,
как вы усвоили..ту или. иную-тему курса-математики.... - ;.
... . На.страницах.книги разбросаны интересные-задачи, для реше-
ния которых чаде всего н^ркны не особые знания, а здравый смысл
и чувство логики. - . _ ... ;.. .. ..... ..
Попробуйте разобрать \ решения задач,/предложенных, на ."За-
нимательных страницах" после-каждого параграфа^-Есяи-что-то не..
будет получаться - обратитесь к старшим или учителю за помошью.
у
• Главное - сделайте усилив над собой и постарайтесь про -
йесть всю или почти всю книгу. Результат не замедлит сказаться
Не только в улучшении у вас отметок в журнале, но и в изменении
вашего взгляда на обыденные вещи и явления, в появлении интере-
са к математике.
Для ребят 3 группы. Перед вами сейчас стоят две проблемы.
Первая: устранить пробелы в знаниях и научиться решать задачи,
хотя бы так, чтобы контрольные работы не вызывали страха и за-
труднений. Вторая проблема: попробовать подружиться с матема-
тикой. Причем решение каждой проблемы поможет решению другой.
Первую проблему нужно решать так. Самостоятельно или с по-
мощью товарищей, родителейи учителя старайтесь разбирать при-
меры. расположенные слева на страницах книги. После того, как
примеры под определенным номером понятны, переходите к самосто-
ятельному выполнению заданий под этим же номером. Так продвигай-
тесь до конца параграфа.
Когда будете уставать от решений задач, переключайтесь на
рисунки и чтение параграфов i главы "Математика в жизни”• Там
все должно быть доступно вашему пониманию. Там вы найдете инте-
ресные и полезные советы, в разных жизненных явлениях увидете
математические закономерности.
Предисловие для родителей
Уважаемые товарищи! Вы, конечно, прежде всего прочли пре-
м дисловие, обращенное к вашим детям. Наверное, основная цель кни-
ги стала ясной - помочь ребятам, интересующимся математикой,
поддержать и развить интерес к ней, а ребятам, у которых мате-
матика вызывает те или иные затруднения - помочь понять и полю-
бить ее. ~
6
Вам, как людям, изучавшим в свое время математику, а сей-
час еще и имевшим жизненный опыт, будет легче сориентироваться
в структуре книги и организовать занятия вашего ребенка по ней.
Особое внимание следует уделить ребятам, которые отнесли
себя к 3 группе. Они, возможно, не смогут воспользоваться ука-
заниями предисловия и начать работать самостоятельно.
Наберитесь терпения и регулярно, по 0,5 - I ч. в день за-
нимайтесь с вашим ребенком по этой книге, если она понравится
вам. Либо повторяйте с ее помощью уже пройденный в школе мате-
риал, либо в какие-то моменты .опережайте школьные задания (что-
бы ребенок на уроки приходил подготовленным к восприятию объяс-
няемой учителем темы). Книга поможет правильно решать задачи
домашнего задания по математике.
Варианты контрольных работ предлагайте сначала решать ре-
бенку самостоятельно, а потом проверяйте решенное вместе с ним
по образцу, который предложен после контрольной работы.
Внимание уставшего ребенка переключайте на решение занима-
тельных, нетрудных задач, на чтение параграфов третьей главы.
Помните, что "пик интереса" у детей к математике приходит-
ся, на 12-13 лет, и наша с вами задача - пробудить его, развить
и удержать.
Предисловие для учителей . у
Уважаемые коллеги! Данное пособие может'помочь вам органи-
зовать: - .........
- индивидуальные и дополнительные занятия с различными по
уровню подготовленности учашимися; .
- домашние занятия учашихся с помошью их родителей;
1
- кружковые и дофакультативные занятия (используя матери-
алы "Занимательных страниц" и главы "Математика в жизни").
Наличие в пособии главы Ш "Математика в жизни" призвано
в основном:
I) послужить основой для совместного досуга родителей и
их детей, а также для организации целенаправленных их совмест-
ных занятий математикой; .
2) показать на понятных примерах применение уже имеющихся
у детей математических знаний в практической и повседневной
жизни (§§ 14,15,19,21); ‘
3) дополнить математический багаж учащихся на пропедевти-
ческом уровне умением собирать и обрабатывать поступающую ин-
формацию и составлять элементарные частотные характеристики
(§5 12,13); умением строить графы (§§ 16,17,18); знанием начал
комбинаторики (§ 16); решением задач на оптимизацию (§ 17); то-
пологическими навыками (§ 20); алгоритимечской культурой (§§ 14,
15,16,17,18,21).
Планируется написание еще двух частей книги, объединенных
общими идеями с данной частью пособия и предназначенных для
учащихся двух последующих классов и их* родителей.
.. Прошу, все замечания и пожелания по совершенствованию дан-
ной части пособия, дополнения к ее содержанию присылать автору
по адресу: 4O9OW, Москьа, , НИЦ ujkoji ,
лаборатория обучения математике. Тлачевои МЬ.
Условные обозначения, встречающиеся в тексте:
А и А ставятся в начале и в конце рассуждения,решения зада-
чи доказательства утверждения.
3
Выражаю искреннюю признательность Кукушкину Борису Нико-
лаевичу за ряд ценных замечаний и дополнений к содержанию ру-
кописи.
Автор.
9
I* Повторим _Д_е_й_с_т_в_и_я_______________________с
обыкновенными .Л_Р_о_б_я_м_и.
I, Основное свойство дроби:
величина дроби не изменится» если числитель и знаме-
натель дроби разделить на одно и то же» отличное от
нуля» число:
(числитель)^—*- А
знаменатель
Примеры I.
I. Привести
дробь к зна-
менателю 20.
Л а _ A^L- _L
° 5Г ~ 5** ZO
„ А: ©
и -----~----—
Задания I*
I. Привести
дроби 4? И 3
к знамена-
телю 6.
2. Записать число 3 в виде
дроби со знаменателем 7.
Л ° 1 ' 1-1 % ж
3. Сократить дробь ~ .
' л - JL.
ZO " 2JD-Z Ю
2. Записать число в виде дроби
со знаменателем 5.
3. Сократить дроби
г ц . jz . 1£
4н > J 65* *
Но желательно сокращать
дробь на наибольший общий
делитель числителя и знаме-
ю
нателя (в данном случае -
это число 4): «
=Г~
3)
4)
Примеры 3 .
Выполним действия:
D 5 5 5 5 ’
р) X. 'L. • JL + 4- i-
г) G ъ G 3-Я/ <=> Ь
Т) S. . — - = jL ’
2) .9^ - И . 20 _
- _ €8_ X-
О) А г _ 9 Д _ 13 А9
2rg - 2. 3-5 5*3 иди
а 12. >
S л 8
4Л о - 45L - 12.- 15 а л J-
*' ’8'3 8 8 ч
п 2 л^.-
8 4 М0~ 8 АО * 40
AOvS2 G2 3£ jiL
40 ~ НО ” 20 ” 20
А
3. Умножение дробей: .
2. Сложение _и вычитание дробей:
Выполним действия:
Задания 2.
Выполнить
действия:
t)2L_-L .
2) — •
5 J
«. -Л
•^АХ ° АХ '
Зщащал
Выполнить
действия:
х' «• А5" >
2)5f •
О if |
и
4» Деление дробей;
П.
Примеры 4.
Выполним действия:
Задания 4.
Выполнить дей-
11 $
2) 8- •
AS •
Ч ' ЛА-2 ЧЛ. >
Л1__8. . ’О -
3 3 - AS
^2- 2L
t0 я-S
ствия:
I)-2L>2L-
2>14
Как разрезать данною
• 0 на две одц*
накоьых у а) на
3 одинаковых сриг^ры ,
на А одинаковых «Ригуры?
Действия _с_ .десятичными
g £ о б я м и аналогичны действиям с
целыми числами.
Примеры 5.
I. Вычислить
2,055-А 4485.
Д 2.0 55
4,4483
0,2864. Л
2. Вычислить 5,*t51 ••201Ц'.
, 3,*iS4.....3 АиакаПдч
. 'яо.ч---- Онак-Г»
13804
09 о г
ц-о чооч------Узнала**4
Задания 5•
Вычислить (1-6):
1^^34+^0267;
2. 19
3. 0^3-2.,04 f
4. • 2,3,
5. Л ’• °? 4 >
6. 1G, ВnG ' ;
7^ Перевесам в обыкновенные
1г
3, Вычислить: 2^,36-‘4,2.
Д 2Л(5Ь’. 4,2.=
24 3.6 1-- —
24 • *
36
3 6
О
следующие десятичные дроби:
0,05;
1,12. ;
12,б5\
4, Записать десятичную
дробь \®Ч5 в вине
обыкновенной * Q
Д ’+,0ч5 » ^он2^о' А.
ш.
П о в т о р им действий
2 JLM_c_3LaJiLlL £ -°j^Mj<_ajc_o_Bjbijej<_ 2
Ё S 2 И « ” ® _3.-н-®_к_а_м_и±
I. Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, \
нужно сложить их абсолютные величины ив ре- J
зультате поставить ихо<5щ,ий знак.
Примеры 6.
Вычислим:
I) ^4=
2) С"ЧХ(-<) =-(4И)^
можно записывать так:
-4-4 ^-ST
(опуская знак "плюс") .
Задания 6.
Вычислить устно:
I) ;
2)
3) -54-4В;
4) —40+
2, Чтобы сложить два ч^сла с разными знаками, нуж-
но из большей абсолютной величины вычесть мень-
шую и в результате поставить знак числа, имеюо^е-
^^го большую абсолютную величину.
13
Примеры 7.
Вычислим:
I) -< + 4* ♦(‘•-0*3;
2)-4 + 1~-(ч-д)=-2>-
5)
Ч-Ъ> Ч .
Задания 7.
Вычислить:
2) -42-*%;
3) 15-Z0;
4) АХ-АЗ.
ТТГГГП 1нц Н1П/ПППЛПННПТПИП л>п I м II Н17/ ГГГГГТТТГГ^Т^
Подумайте, иллюстрац.иеи
какого правила и конкрет-
но какого примера могли
Ын послахмть следующие
рисунки:
3. Чтобы умножить (разделить) одно число на дру-х
гое, нужно перемножить (поделить) их абсолют- 1
ные величины и, если числа имеют одинаковые ]
знаки* - поставить в результате знак "плюс*;/
дели разные - знак "минус" __________________
Примеры 8.
I) 2‘Ъ=6,
2) еО<2>>6,
3) = -6,
4)
5) 8.
Задания 8.
I) W \ 2)иегЛ ;
3) d Г (-1) ,
4) -1.:
6)-52,: (-13).
1У. Числовые _и_ алгебраические
выражения
Числовые выражения состоят из чисел, знаков арифмети-
ческих действий и скобок. Например:-^*2^ :(цбг-(з,г*ч|'£)).
Чтобы найти значение числового выражения, нужно знать
порядок выполнения действий:
I. Сначала (в установленном в следующих пунктах по-
рядке) выполняются действия в скобках (если они есть). Ес-
ли скобок несколько - сперва выполняются действия, во внут-
ренних скобках. ...........
2. Выполняются по порядку следования действия второй
ступени (умножение и деление).
3. Выполняются По порядку следования действия первой
ступени (сложение и вычитание).
4. Если выражение записано в виде дроби, то находят
значения числителя и знаменателя дроби, затем значение /
числителя делят на значение знаменателя. У
П2ИЙ§Е__2- Задания 9-
Найдем значение Вычислить:
числового выраже-
ния (над знаками
действий в круж-
ках укажем порядок вы-
полнения действий):
3)
15
Выполним действия
D • z~
= H = fl
, 2)-3,s-*s£
» Xz
В нашем горо
де живёт маль-
чик, которого все
Знакомые и род-
ные счмтакл- ма-
темАтическим «ре-
иоменом, Ему 15 лея но
несмотря на это он со*
веРшенно не умеет счи-
тать.
3) 5 4 :0,06-540:6^90
4) 4-90^-83
5) -33-г--85*.
Ответ: - 85.
^Алгебраические выражения состоят из чисел и букв, соеди-
ненных знаками арифметических действий (алгебраическое
выражение может содержать и скобки). Например:
асъ+Вг:с).
’ . что числовое выражение - это частный случай ал-
гебраического выражения.
Числовое значение алгебраического выражения * это число,
которое получается в результате вычислений при замене
\букв определенными числами.
Пример Ю.
Найти числовое
значение выра-
жения' 2 О.- 5afe+3
при CL=~1 и Ь-0,2, -
Ь 2-(-i)-S(H)0,2*3=
= -2, +1^-2.. Л
Задания 10.
Найти значение
выражения: ~X+-Sxy-
при
I) х=о, а=-Ч
2) Х=-< ^=0;
3) ^-2.
16
Пример II.
Куплено X тетра- >тгг
дей по 3 копейки
и У стержней
для ручек по 8
копеек. Записать
формулу для на-
Задание II.
В первый день ту-
рист шел CL ча-
сов со скоростью
5 км/час. Во вто-
рой день он шел Ь
чесов со скоростью
хождения стоимости $ всей по-
купки. Сколько стоит покуп-
ка», -если куплено 20 тетра-
дей и 3 стержня?
д <,= ЗХ t >
При эс- 2.0 и ^-5
4-24-84 (к ). А
4 км/час. Записать формулу для
нахождения пройденного за два
дня пути £-> . По форму-
ле найти числовое значение пути
S ,если (Х-8х } (b-S^c.
........;_________1
Сочетательные законы:
&•
I.
/< С помошью букв удобно записать основные законы сложения
и умножения любых чисел:
Перемес тител ьные э аконы:
2.
Распределительный закон*
Примеры 12.
Вычислить .
рационально:
Задания 12.
Вычислить,исполь-
зуя законы сложе-
ния и умножения
чисел):
IT
I) (*•/* i >
2)
2) A5%..%«0S*^yi«
= ASA + к. 4 =10? ¥4 = 109. A
i) Of +о,98)+о,ог;
2) Сч^з* ;
3) 400^2,25-0/S').
Правила раскрытия скобок:. \
I. Если перед скобками стоит знак ’’плюс” (в начале выра-
жения знак ”плюся обычно не паяется), то скобки можно
опустить, сохранив знаки всех членов выражения, стоя-
ших в скобках. Например: 2си+ (€>-с)=2л+6-С;
(а-5б)-Л= а-Ъ6-е1.
2. Если перед скобками стоит знак "минус", то скобки мож-
но опустить, поменяв знаки всех членов выражения на
противоположные. Например: - (&~ €) = -CL+& у .
ч га-(г>в-с*<1)=га.-ъ&¥с-с1 J
Примеры 13.
I. Раскрыть
скобки в выра-
венки -12.х- (2-у х)•
д -tix-Ov’*)*
2. Раскрыть скобки;
го.+ (2.а6-(5&-гс)).
Л 5а.+(гав -(5^-2.^))=
= М. + (2л€ - S’g + 2.С)
2.0и€А
Задания 13.
Раскрыть скоб- с *={ s’ \ \
ки в выражениях:
I. ъа-»(-2ечов)
2. 1,ЧХ-(3£-»-6<)5
з. -02а6 * € ) - 0 CL^ 8<L6 yd.;
4. 2Ах-(ЗД-(2.Ях^ t k)).
Пример 14.
Написать фор-
мулу для вы-
числения пло-
щади Д зашт-
рихованной на
рисунке I фигуры.
Д S-m.n,-x2-x^|. А
rv
Задание 14.
Написать фор-
мулу для вы-
числения пло-
щади £ зашт-
рихованной на
рисунке 2 фигуры.
Рис.1 . - Рис.2
Алгебраическая сумма состоит из числовых и алгебраи^4
ческих. выражений,.соединенных знаками ”+” и Поэтому вы-
ражение» например, такого видг^как мы можем называть сум-
мой алгебраической суммой), имея в виду, что (ХЛ (•
Примерный вариант контрольной работы II по
теме :_"Числ орые и алгебраические выражения” >
I. Найти значение числового выражения
а)|-^б)^ЧЬв)1+±--,г)Ю^Ц-
2. Вычислить
а) М, ^04-19,931S; б) 0,2.81 • 30,2 ;
в) 21,76г : з,1 .
49
3. Вычислить
аР^-гл; б)-4 + 32, вМЧ + (-49), г)-^-а£-д) 6б:(-з)-
.>-ч1;6.
4. Найти значение выражения
-5-,12 * ,8 :о, 16 -(ъI - : £У (-о,г)•
5. Найти числовое значение алгебраического выражения
при Х= 2^ , ^-О.Ц.
2.
б),0,2_М
30,2
~ 56?
$чз
8.4 & € 2,
Возможное оформление решения контрольной работы № I.
1 1 % ц>б'*-н '«-ал 15 "ЛГ ” ал >
-а Я?*.£- ум«•<•» _ Аб»а _ А9 .
$ > 34. 2>6 Л 36 >
г) 10^ “<2.*'ii~a<^8=122
а)_ЯЛЛот-
i ,2>6 9 5
в) i< чр2. | .М—
к"» '^,02
. 62
f>.Z
о
3. а)45-21=г6; б)-Ч’-Ь2«2Я> вМ%*(-4в) = -66;
Г,)-Ь'1Ь'2; д) e)-4 (-t8)«4-2) аО-'а-.б»-*.
® Ф t ® ^?f-o 2Л= од Ц2.
4. - 5,»2 *4,3 • 0,16-(3^-Zlf •£ )
Tt /»ь . 1 .-АА . « я2Тб А^. г.
I) *>( • а" ч *х> 2) 2s "jc Т х 'о АО
3) 4,3:0,16=480:16=30; •'i)-2.>(-o.2-)s0.‘,fe; 5)-5|A%•tэ6^
а 24,88 ; б) 24,88-0,46=2-4,42 .,
w
’’ Ч v 8* ~ 28
- л 41 ~ 4
ч1 1
_ . w _ сгДД
13 ~
г>)-
144-ьЧ
28
Занимательные страницы.
действия с разными, знаками)..
Играть может, любое количество, человек. Мок-?-
но играть на улице, начертив на земле несколько
присвоив центрально му.кругу и каждому кольцу оп-
и
окружностей
ределенное число, (но, желательно, чтобы встречались и положи-
тельные, и отрицательные числа, и число 0) как например, на
рисунке 3.
или
по одинаковому количеству бит
все свои.камни и, в зависимо-
сти
ных
Все игравшие набирают себе
камней. . ..
Первый (по. жребию) бросает
от попадания в то или иное кольцо, считает сумму набран
им очков (в нашем случае это:-8*А-9-8).
Затем то же проделывает второй и другие игроки.
21
Победит тот, кто не только наберет большее количество оч-
ков, но и не ошибется при подсчете их количества.
В эту игру можно играть и дома, начертив аналогичные кру-
ги циркулем на большом листе бумаги. Тогда на этом же листе
нужно начертить прямую линию (см.рис.4) и за ней выстроить
фишки (ими могут служить, например, пуговицы,монеты,шашки),ко- .
торые полчками нужно направлять в круги.
(^Составим квадрат разме-
ром 10 х 10 клеток нату- ,
ч ральных чисел от I до 100,за-
писав их по порядку, как пока-
зано на рисунке 5.
Г X 3 м 5 6 1 8 3 Ю
11 13 1*1 15 14 IS. 19 го
м’ аг аз 24 is гь 21 28 29 ъо
31 за ъъ 34 36 34 33 39 40
41 42 чъ ЧЧ 4S 46 48 49 50
51 52 $з 54 55 56 58 59 W
41 62 65 ЬЧ и> 68 69 40
71 12 >3 14 %* 16 *8 79 £0
81 Й. S3 аг 16 88 19 9о
91 92 33 34 95 96 94 За 99 IOO
Рис.5 :
Выберем внутри этого квадрата любой квадрат 2x2, напри-
мер, выделенный на рисунке 5 квадрат
3S
4S %
противоположных углах
в
Сравним суммы чисел, записанных
этого квадрата: 55**46 = 4Sv 56
81 81
Будут ли обладать этим же свойством аналогичные суммы в
любом другом квадрате 2x2?
А £ассуж,кени е.Число , расположенное в левом
верхнем углу любого квадрата 2x2, взятого из исходного квад-
рата 10 х 10, обозначим буквой Yl. Тогда нетрудно вцпеть, что
остальные числа этого квадрата 2x2 через ft выразятся следую-
шим образом (рис. 6)к
Суммы чисел, расположенных в противо-
положных углах такого квадрата, будут
одинаковы:
%
П.Н0
Задание:
Рассмотрите теперь квадраты 3 х 3, 4 х 4, и т.д{нАрис.5).
Найдите, расположение групп чисел в этих квадратах, суммы кото-
рых будут одинаковы. Например, в любом квадрате 4x4 суммы
чисел в заштрихованных и в черных квадратах одинаковы (рис.7).
Щ Щ Докажите это и аналогичным обра-
. \ зом заштрихуйте другие группы
чисел, обладающих таким же свой-
~ ством.
15
Допустим, что е> янвлре е>дм подарили пару новорожденной кроли-
ков»- Червь два месяц* они рождают новую ПАру кролцкоь. Каждая новая па-
на чвреа два месяц а после
рождения Рождлет новую
пару . Старая пара кроли-
коъ рождает новую па-
ру ухе каждый ме-
сяц. Сколько пар
кроликов у ВАС
будет ь деклв-
+ ре ?
X. ЯНЬАрр
Е- сребраиь - -
исходная
пара
4g)
Запишем следующий pan чисел: I» I» 2, 3, 5, 8, 13, 21,
34, 55... Эти числа облапают таким свойством: кащпое из них (на-
чиная с третьего) равно сумме двух предыдущих. Числа, получен-
ные таким образом, называются числами Фибоначчи.
Сложим все числа этого ряда. Получим 143. Число 143 можно
получить, если 13 (седьмое по порядку число в этом ряпу) умно-
жить на II. Случайно ли это? Подумайте. .
Задания: ...
.мцсел^
Продолжите еще на 3 члена предложенный выше рдтгФибоначчи.
Если бы в качестве первых двух чисел мы взяли другие, а
последующие составляли бы по тому же правилу (сумма двух преды-
дущих), то получили бы другой ряд чисел, также называемых чи-
слами Фибоначчи.
.Обозначив первые два числа буквами С1 и 6 .запишите 10 по-
следовательных чисел Фибоначчи.
м
§ 2, СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
Степенью числа Л с натуральным показа-
телем 'К, большим I, называется произведение И
множителей, каждый из которых равен CL:
s YV
Степенью числа 0L с показателем I называется само число О.:
0? = <Х. • . _-------------—>
степень
оказатель степени .
основание степени^/ ..
Пр]Г нахождении значения выражения сначала выполняются
/действия возведения в степень» затем все остальные действия в
^известном. порядке.
Примеры I .-
1< Основание4сте-
пени 5Э равно
5»показатель
этой степени $
' равен Зг ; .
нование и
показатель
степени:
Задания I» ..
I» Назвать ос-
2• Здпишем произведение в
. 1 вине степени:
3. Вычислим, • 1
•; -5Ъ esAM'5:
; . iX-5y=es) ^)“;25*; •
2. Записать произведение в виде
степени:
1Н5М5‘45М5--15‘'
3. Вычислить Р- (Л)у-
• (Л
4« Найдем значение выражения:
-('О,Ъ-)(О,Ъ> 16-(-125). К -
- 00$= *6 + 2,0-0,09 =
« Ъ5\$*.
гг
4. Найти значение выражения
I) (in
з)(-А)ъ(-0ь-(1У-^)г- .
5. Запишем числа 8; 16; 64
в вцпе степени с основа
нием 2:
6Ч.2-а-2-г-2-2,«2‘.
Записать числа 3; 9; 81 в ви-
де степени с основанием 3.
5
z of- читается * О, в квадрате" или "квадрат числа 0- *
читается "О.в кубе" или "куб числаО.".
Примеры 2.
Запишем:.
I) квадрат разно-'
сти чисел &и
6..? (ои-а)2')
разность квад-
ратов чисел- 0L и
6 : аМх;
ЪоьЬедм ' ь кьадРат чмсла^
. 35. и; 99 . Посмотри * чей м
мк отличаются полученные
числа ?
Г7?‘П I г гI 1111 winn I п ^ггу
Записать!.
I) квадрат, сум-
мы чисел Ни У
- tf-4.
2) сумму, квадрв'
. трв чисел, X и
б; ' П/. '
Va
3) куб суммы чисел X и 8: 3) куб разности чисел 2 и 3j
4) сумму кубов чисел X и 8: 4) разность кубов чисел Ct и 7.
Х^З3. !
Пример 3.
Ребро куба
, равно.
х см. Запи-
Задание 3.
Найдите плопьадь заштри-
Ч ~ р хованной сригуры (рис.З):
V и площадь
поверхности £> .
д' V= Xs,
S=6x2. ▲
d
Рис. 8
ял
Пример 4.
Запишем произве-
дение в виде
степени:
D(-5)2-(-5)H3)2=4u}
з)х-л-Л = *;
4) (а.т&)ь(ол fe)s (<ь+6 У*.
оЛ:
Lm>n; О>О
ведение в виде.
Задание 4
Записать произ-
степени:
I) г3 г45У
_ < t 1 \ч.
лч
4) Л • ОЛ CL .
Ч^обы поделить степени с одинаковы-
ми основаниями, нужно основание оста-
вить прежним, а из показателя делимо-
го вычесть показатель делителя*
Примеры5.
Запишем частное в виде сте-
Зедения 5.
Записать частное в вине степе- ‘
ни:
I)
пени:
I) АЧ8: щ3 -
2)
Чтобы возвести степень в степень, нуж>
но основание оставить прежним, а по
Примеры б. Задания б« .
I.Запишем в виде степени 1*3аписать число (2s)5 в.виде
с основанием Q.: степени с основанием 2.
2.Запишем в виде степени с 2.Записать число (Х15"в виде сте-
показателем 2: Xl*Xff* пени с показателем 3. ж
3. Представим числа 16; 64;
128 в виде степени с ос-
нованием 2:
ьч = а2- = (2?)г= Яь;
1Z8 = Z-G4=Z-Z6^Z\
3. Представить числа 9; 81; 243
в виде степени с основание 3.
Чтобы возвести произведение в сте-
пень, нужно, в эту степень возвести
каждый множитель,________________—
Примеры?.
I. Возведем
в степень
произведе-
ние:
2)(^Л(хТ(^)Ч=
= хг^ч= x’V1;
3)(-^V<-44^)W=
= j rvs ит,'г= wsm?2
Задания 7.
I. Возвести
в степень
произведе-
ние:
2)(р7-?
з)(-яхг^)\
2. Запишем произведение в
виде степени:
I) •
2)
3) -16 n vn.t0- Чг
rAn.MTV5)*' •
4)-^чь=чЖ)Ц<^Т-
3. Вычислим:
I) (ол)'°/ЧоЛ^14ОН,
2. Записать произведение в виде
степени:
I) z) -1- 62;
з) ЗаЧ1*,
'olx'V*,
5)-гчх\ e)-a.Q%'z.
3. Вычислить:
гэ
з> (?)’ V‘-
Чтобы возвести дробь в степень, ну-
жно в эту степень возвести числи-
тель и знаменатель дроби.
/ <5г \Ч_ (<5*)**
\(а-6)3> (Са‘Чь)‘' ~
_ <5*
~(CL-6)U
2. Запишем дробь в виде
степени:
«^=(444)4-^
з) 11*2!-( г* f-/
? (с>а)г W
3. Вычислим:
/2. Vs (ЯЛ5! & 5s _
Vs/ ' кг/ " 5* "гТ ~
5* 5' 53- if ri.
5J. Zs ' iL~ Ч - Ч ’
1 Xх
2. Записать дробь в виде сте-
пени: 5'
1)^ lur '
?>0
Задания 9.
I; Как изменится пло
рона увеличит-
ся в 2 раза;
в & раз; в 11 раз.
Д I) Пусть Хсм- длина
стороны^ квадрата, тогда его
плошадь - Хг.
После увеличения стороны
квадрата .в 2 раза (2ХсиГ,
плотадь нового квадрата
будет
После увеличения стороны
квадрата в 2 раза егопло-
шадь квадрата,
если его сто-
рону увели-
чить в 3 ра-
за?Уменыпить
в 2 раза?
2. Как изменится объем куба, ес-
ли его ребро увеличить в 2
раза; в З раза; в It раз?
3« Ответь . последовательно на
следующие вопросы:
I) Как периметр квадрата от-
личается от" суммы периметров
квадратов,на которые его раз-
резали (попробуй ответить на
ведь увеличится в 4 раза:
S," xi
этот вопрос,для начала разрезав
любой квадрат на- 4 одинаковых .
. квадрата)?
? 2) Как поверхность куба (это
сумма площадей всех его гра-
ней) отличается от суммы по-
верхностей кубов,на которые
его распилили?
3) Почему в противогаз поме-
щают дробленый активированный
уголь,а не один кусок угля то-
го же веса?
2) Если сторону квадрата увеличить в В раз (5х ), T0^2 (5х)* S*X* С2 S, “ х*- ’ • х*- ‘ ’ 3) Если сторону квадрата увеличить вУ1 раз (^Х), Т°^2._ (лх)г_ мЛа* х sr"5r- х1г- Таким образом,при увеличении- стороны квадрата в Уь раз его плошадь увеличивается в пЛ раз. А HJJLLjULZZzz, Ч ВОТ ВАМ Три ТАБлетКЙ,-р Л СКАЗАЛ ДОКТор - ПрИНИМАЙ” V- 4 те их чёреь пол часа ♦” t 'Х На кАКОе ы*емя хелтщ £ пропиСАННых/доктором 3 тлвлеток ? А
Примерный вариант контрольной работы у ,2
по теме ^Степень с натуральным показателем1
I/Вычислить:
a>(t-)4 4 б) (^г)% Ы)?} г) (’1О)\
2, Найти значение выражения:
а) - *< • (-ч )» j 6М X15:1ZAi ; в) (?-*/,
3. Возвести в степень:
а^абЧ<)гГб)^^У)\ -
: 4. Записать выражение в виде степени и найти значение по-
лученного выражения:
5. Вычислить значение выражения: : " 1
п₽и 4.
Ьоэмо>кмоеоформление решения контрольной работы № 2.
ь
— в) ОГ» 0;
г)^о)'=-10.
2.
б) <11SA «*= <44
в)(гх)’^ЭА=Л сч .
3.
a)(^V)WW«‘‘W .
4.
5.
Ш//
Занимательные страницы,
@ Задача, Какая цифра, будет последней
в результате возведения числа 1989
в степень 1989 ? .
Д Проследим, какой цифрой будут окан-
>чиваться степени числа 1989. при воз-
ведении в натуральные степени (очевидно, последние цифры будут,
те же, что и при возведении1числа 9 в соответствующие степени):
55
I9891 * 1989,
I9892 = ...I;
I9893 = .. .9;
I9894 • ...I;
. Видно., что при возведении в натуральную степень числа, окан-
чивающегося цифрой 9, результат будет, оканчиваться' цифрой 9 -
при возведении в нечетную.степень и цифрой!-при возведении в
четную степень. (Наповдеим: четное число это число, делящее-
ся на 2, ,т.е. число вида 2w , где уь-натуральное число ;
нечетное число - это число,, не делящееся нацело на 2, т.е. чи-
сло вида 2vv+. I, где и- натуральное число).. ’
Таким образом, число 1989^^ будет окачиваться цифрой 9. А
Очевидно, что числа, оканчивающиеся цифройО; I; б; Апр-
еле возведения в натуральную степень дадут число доканчивающееся
той же цифрой, . :
Попробуйте йа}1ти способ нахождения последней цифры числа,
получаемого после возведения в. натуральную степень целого чис-
ла, на конце которого „стоит цифра 2; 3; 4; 7; 8.
а® Дочти _
, Попросите свойх близких задумать
, двузначное число,, возвести его. в
„третью степень и написать на бумаж-
ке для вас -только результат вычис-
лений. Взглянув на число, вы почти моментально сообщите, ка-
кое число было задумано.
Например, вам показывают число Ю3823. Через секунду вы
эм
можете сказать, что было задумано число 47.
Как вы поступаете и как нужно подготовиться к ’•фокусу"?
А Прежде всего нужно выписать и запомнить кубы чисел от
I до 10:
I3 = I; 23 = 8; З3 = 27; 43 = 64; 5Э = 125; 63 = 216;
73 = 343; 83 = 512; 93 = 729; Ю3 = 1000.
Замечаем, что кубы этих чисел все оканчиваются разными цифра-
ми. При этом кубы чисел I, 4, 5, 6, 9 и 10 оканчиваются той же
цифрой, что и возводимое в степень число.. У кубов чисел 2, 3,
7 и 8 последняя цифра равна разности десяти и. числа, которое^
возводилось в куб. Например, 73 = 343. Последняя цифра 3 может4
быть получена как 10- 7.
Таким образом, когда вам сообщили, число 103823, вы сразу
можете определить последнюю цифру задуманного двузначного чис-
ла - это .цифра 7.
Для того, чтобы определить первую цифру задуманного^ числа,
поступают следуюшим образом. Отбрасывают последние три цифры
у сообщенного вам числа и рассматривают оставшееся чичло (в на-
шем случае это ЮЗ). Определяют,между кубашкаких чисел оно на-
ходится (в нашем случае - между 4 и 5). Меньшее из этих двух
чисел даст первую цифру задуманного двузначного числа. Таким
способом и находится число 47., &
(ЗЦ) Историческая задача.
Когда индийский царь Шерам узнал об удивительной игре в
шахматы, он приказал позвать к себе ее изобретателя - ученого
Сету. - .• . - - -
Царь пообещал наградить бедного ученого тем, что тот сам
пожелает. Сета попросил, чтобы царь дал ему пшеницы за каждую
=55
из 64-х клеток шахматной доски таким, образом: за первую клет-
ку - одно зерно, за вторую - в два раза больше,.т.е. два зер-
на, за третью - в 2 раза больше предыдущего - т.е. четыре (2ХХ
за четвертую - восемь (2*Х за пятую-шестнадцать (2^) и т.д.
Царь подивился скромности ученого и велел слугам принести
Сете мешок требуемой пшеницы. Слуги ушли, но...выполнить при-
каз царя не смогли. Почему же? . ..
Д Подсчитаем, сколько всего зерен должны были выдать
Сете в награду за изобретение шахмат? Нужно найти сумму
& » J 4- 21 + 22 -I- 23 + 24 + ... г62 + 263 .
.64 слагаемых - ...........................
Можно непосредственно найти значение суммы. Это займет у
нас много времени. А можно попробовать оценить величину этой
суммы, сравнив ее с каким-нибудь числом. Очевидно, что сумма
$ больше, чем каждое из слагаемых, ее составляющих. Вот и да-
вайте считать, что JS больше последнего слагаемого 2 и найдем
значение 2^:
263 ж 260 . 23 -(glOjS. 8 = I0246 . 8 » (I0242)3. 8 »
» (I048576)3. 8 ° 9 223 372 036 854 775 808.
Но, может быть, такое количество зерен, действительно,
36
уместится в мешке (ведь зерно очень маленькое по размеру)?
Известно, что куб, ребро которого равно.I м (так называе-
мый "кубический метр") вмещает в себе около 16 миллионов зерен
пшеницы.
Теперь подсчитайте, сколько таких "кубических метров", за
полненных зерном, нужно поставить друг на друга, чтобы в них
поместилось требуемое количество зерен? Какова будет высота
этой "башни" (для сравнения скажем, что среднее расстояние от
Земли до Солнца равно 150 000.000 км)?
А теперь вспомните, что мы оценили величину только части
зерен, которые запросил Сета за свое изобретение. Сама сумма
еше больше. А
31
§ 3. ОдаСНЛЕНЫ И МНОГОЧЛЕНЫ
Алгебраические выражения»являющиеся v
произведением чисел, букв и их натураль-
ных степеней» называются одночленами.
Примеры одночленов: ЯаЧсу
Пример I.
В одночлене
выполним дейст-
вия умножения
так,чтобы числовой множи-
тель и каждая буква в его
записи встречались только
один раз. Для этого восполь-
зуемся переместительным и
Задание I.
Упростить:
I)
3) O.Sol&VclV;
4)-1Д и,!Чг^0,Ч U*
сочетательным законами умно-
жения:
-'3a-Za?gV€i= (-з-г)-(ааг>
Ч'бЧ^с^-баЧУ*.
Такой нид одночлена называ-
ется стандартным видом одно-.
члена. Числовой множитель од-
ночлена, записанного в стан-
дартном виде, называется
коэффициентом одночлена.
Дополнительное задание:
Подумайте, почему
именно такой вид <ш-
(2* J ночлена, который
был определен в при-
мере I. называется
стандартным видом?
Сообщим в качестве подсказки»что
слово "стандарт" произошло от
английского слова standard- нор -
ма,образец,принимаемый за исход-
ное для сопоставления с ним дру-
ъ8
гих подобных объектов#
Пример 2.
Умножим одночлен х-
на одночлен
Задание 2
Пример 3.
Возведем в степень с пока-
зателем 5 одночлен 2a?6cw:
(яаЧс^г^У^с’0)’
? зга^с®0.
Пример 4.
Выполним действия: .ч
0W(*W«
-±х”^а?. . . .
Найдем значение полученного
одночлена при X «
Се« 3;
ь о
ном виде:
Выполнив дейст-
сать в стандарт-
вие умножения и
результат эапи-
Задание 3>
Возвести в степень:
Задание 4.
Выполнить действия:
Найти числовое значение получен-
ного одночлена при 6» 1_
• Сколько н\жно
С Цу сделдть распило
У Д ЧТОБЫ РАСПИЛИТЬ
Ф БРеьно на Участи?
Ь9
Степенью одночлена называется сумма показателей
^степеней- входящих в него букв. .
Пример 5.
Сепень одночле-
1 2. Э
на
равна пяти (2+3=
5), степень одночлена
-О,5’а66с'г равна 19
(1+6+12=19).
Задание 5.
Определить
степень
одночлена -Q
0,04 .
Многочленом называется сумма одночленов.
Пример 6.
Степень много-
Одночлены, из. которых,.состоит многочлен, X.
называются членами многочлена. \
Наибольшая из степеней, одночленов,.состав-
ляющих многочлен, называется степенью много-
члена. <<
Например, 6-двучлен } частныв случаи
Например, 2>1 QaoL - & —трехчлен J членов У
члена
одно-
пени'
ОДНО— Одндчмц
МА^Н 4О’И
8-й стс- 9-й сте- степени
пени пени
Задание 6.
Определить
степень мно-
гочлена :
I) Zag*-
раана 40 > т-к- 40-наиболь-
шая степеней <^иночленое^ ft*o~
ДЯщих В *тьт многочлен.
2) +
40
Члены многочлена, имеющие одинаковую
буквенную часть, называются подобными членами.
Замена суммы подобных членов одночленом
называется приведением подобных членов.
Чтобы привести подобные члены, нужно сложить
их коэффициенты, оставив без изменения буквен-
ную часть. .X
< Примеры приведения подобных членов:
( Ш и Д - обозначение буквенной части одночлена)
I) S'® О ;
2) ~ И + *& = (Н--’)й * (-5*1) А =
Задания 7,
Записать
Примеры 7.
I.Приведем по-
добные члены
в многочлене
= 9,5-ax-z4-2.
в стан-
дартном
виде мно-
гочлен:
2)±afc-2>cr<ia6<-5c; '
3)-<5’a?& ♦2.la6s- a& +
*2.9a?6 -гьаб5.
После.приведения.подобных членов многочлен
имеет стандартный вид.
2. Приведем к стандартному
виду многочлен
м
^T\vix
+(ч-'?)х1^ *О-б)хА=
= -2-х О х2^ - 2. хь =
а-ЯХ-^-Лх*.
Примеры _8»
I.Найдем сум-
му многочле-
нов:
0 а.%Ш * 6г)г(-2^3аЬ-^=
' ^~Л1г+ За% =
= -5аЪЧа&-еЛ
Ь колесе 10
©
промежутков между
спицами ?
СПИЦ,. Сколько
Задания 8.
ГЛайти сум-
му много-
членов
я
~9хг-6х^+
2.Найдем разность Многочле-
нов: 0,5с)~
-(VC -Xcd%0AotM>
- ^d^ecL^^o.sc - 2»Sc *яс<£г-
-0t5d* + 3=> caTZe*3.
2.Найти разность многочленов:
8(V46-W8.
3.Представим иногочлен
6x^-3xS
в виде суммы, затем в виде
разности яаких-нибудь двух
многочленов:
Sx'u-dxSlx/.-V
s ( fexy) t-(-bZ-+2.x y - *i) у
<i>x-M-bxi + 2x'M2'-4 =
3. Представить многочлен
3*1 c^fe * За.-19 а&2+£ л
в виде суммы,а затем в зцпе
разности любых Двух многочле-
нов.
Как из» пяти к^с-
кое» цепи по три
к ^е»СНА ь каждом со-
(5) брать цепь иъ AS
зьеньеъ, сделдъ
ТОЛЬКО 3 pACnuKAjL
Чтобы умножить много-
I член на одночлен, нужно каж-
I дый член многочлена умно- *
жить на этот одночлен и по-
лученнне произведения сло-
жить:
Задания 9«
I«Записать
Примеры 9.
I.Найдем произве-
дение многочле-
на и одночлена:
= 2Q.6t£a.(-3c?)«-
* %а-2,0.6 = 2,0.6-
- баЛ-^сЛб,
произведение
в виде много-
члена в стан-
дартном виде:
I) - Зх 8^*
2 .Найдем значение выражения
(бх-З'у) i|Xz-5xa^x»^)
при , ^•=“2.4 .
Д (5 а -2>^ )-4 У?- 5 х^Н х+у)г
2«Найти значение выражения .
при X - 0 5 у, = St •
Вынесение_общего множителя за„скобки осу-
ществляется на основании распределительного
закона: dC + 8с = 8 ) с
Пример IQ
Разложим много-.
член на множите-
ли с помошью вы-
несения общего множителя за
скобки:
I) Zafe &(Х<х+Зс);
2) 8х-6хг= +Jlx-(-3x>
У
3) ‘i fta-
можно заметить, что одно-
члены 4 а2 и - 12 а^имеют
и другой общий’ множитель
т.е. можно записать:
<-a (-ila?)*
-CL^CL-iXO?). Однако
на .множи-
тели много-
Задания 1О>
Разложить
член:
I)
2) 41O*+8j
3)
4)-4о.&а'+ ZOd^ у
5) их4- ZU-J.+ Зх3?
6) 8xi^\6x2'ip-'l6x^*)
7) il t^-Z4 Ах-бС Pu*
8) - U +
+ *<8a's&‘*
Обычно за скобки выносят одночлен, коэффициент которого 4 \
равен наибольшему общему делителю всех коэффициентов одночле-
нов. При этом в скобках от каждого слагаемого остается такой ,
одночлен, который при умножении на вынесенный за скобки мно- i
житель дает исходный член. I
Из буквенных множителей за скобки выносятся те, которые /
имеютсяво всех членах, причем в наименьшей из встречающихся /
4).
«1'4 х^х ч - Я-6 • х* л ^г~
- 1<3 ХЛ^Ч2’-
- 2.х'у’(<|Х^-(>х-|Э^г£г).
Убедимся в верности вынесе-
ния общего множителя
- аЛЧх^+(zx^X-C х) •$'><’£)•
Такую проверку при вынесении
общего доодтедя за скобки
делать не надо» однакояесли
сомневаетесь в верности ре-
зультата, проверьте себя
(устно или письменно).
ЗАПИСАТЬ
кдхдое нАТ^рАльное.
чцсло <от 1 ДО 9 с
помощью -только це-
Tbipex „четвёрок" f
Знаков АРисрметм-
ческих деист ъм и
И скобок.
НДпример;
2,* * S’:
3- ?
QS?
Чтобы умножить многочлен не многочлен.
нужно умножить каждый член одного много-
члена на ка^ый член другого ^«огочлена и
полученные произведения сложить:
•ь -ь
MS’
Примеры II. Г/оСс дЛ
Выполним умноже- ^ГТТУ
ние многочленов: \J\J
D (Sa-^X-jKb2* в
Ч-2в>Ч^<-2^>
=Н2л^-ЗхйМ&Х2'-2.65';
Я) (зх-3>цл4%ХЗх -5Ч^=
- -\\Г-' ’
= 9хг-9х^_+А1зс-*.-
• ~ AS-^xt <5^-20^-
. « 9хг-2Ах^+ +
у
з)
= (6as- аб
= Ala.5-- Z.a.4 <42.«.V-2afc
- G6*aW-feagM*
Зад.анил..п. /г-Л)
Записяг ь произ- / £X
ведение в фор-
ме многочлена А~<^\ £z\
в стандартном
ВИДО (выполнить >множ«~ ч
ние и привести подобные, члены);
1>О-з)0гг)>
2).(2.х *<)р>-‘<'й');
•3) (а-5)(<Ь-О;
4) (ч+го€)(^-з),
5)(х-2^4-5)0х-^);
6) (-х+Ц)(2.хг-А^ ^-8);
7)(гаъ+е-сХ9а.г-^),
8) (5-а.Ч -2a&0<-a-<-3fe45),
9) (3a-2)(U"'tXa’5€Z; •
Ю) (-Хг+5^Ххг-?)(^-1).
। J / Ltj tjj- *
> у<
Пождрнмк Погоде АО ft U.K
Ъо бремя учёбы сорьлл^я t
*10-метровом лестницы и Л
клался Лишь лёгким ис- V
. Погорелов ПК, упал к
эи ступеньки лестницы, х'
. Н{>
_______^ттп> / г^гггГТГтгг г •
Некоторые многочлены можно разложить на
.множители способом группировки..
Примеры 12.
I.Разложим много-
член а6-Зси-2£-б !
на множители,объе-
динив отдельные члены в груп-
пы и вынося обилие множители
за скобки:
оА~ 5 du + -6 —
= (а€-За.)*(1Й-€) =
= а(€-3) + 1(в-3) =
= ^-з)(а+г).
2.Разложим на множители спо-
собом группировки многочлен
xV*xv^*xb-
^способ:
ЧсЧ/ЧсЧ
х(Хг^)(^-х).
2) аг+ ай-Ча-Чв‘-
3) 1а8-ЗЙ-<8а + 2Л;
4) 8ай - 1 A 1ft?- Safe)
5) а3-ай * 5cl + аВ-g?-r 38,
6) Чх-х^а^-Ч^х^-^)
7>XVXVX+XV^"^
8) -Ъху-бх1^ -йа. v2.k|+35.
2.Найти значение выражения:
I)
"О, ?’О|1 >
2)
-1,3 •1,4-/
з)
_ з . И •
ч ъ >
4^2.,l-o)’>f +2.1-OJ-
-О/Ь-оХ-ОД-О^-О^-О I .
3«Разложим на множи-
тели многочлен:
аВг-лс+В5-6е -dBa’+olc,=
=(аВг-> 6%-1Ьг)+(-ас.-Ьс.н/с)а
- Вь(ои+В-с1)+е(-&.-В+с1)=
=. &г(а+€ -ct)-c(a+€-ol) =
«(а+6-<1)(&*-с).
Машина имеет 5* колее
(одно ЪАПАСное), Чтобы по- /
крышки СНАШИВАЛИСЬ \
номерно, водитель nepuo- ]
дически меняет ко лё с а I
так , как показано схе-}
ме, Чере*> 50 000км ока-/
Ъалось , что &се КОЛёСА ено-'
сились ОДИНАКОВО- Сколько
километров ..прошло*
колесо ?
4 .Найдем значение выраже-
ния ;
П.У-Я.Ъ-!.5-5,Ч *11,5-5,4-1,5-2,3=
®(м,г-2,ь -1,5-2,з) + («,5- 5,4-
- 1,5 5.4) s 2,Ъ(11,5-1,5)+-
+ 5,И(u,S’ - 1,5) ®01,5-1,5)(2Л+5;
= 1О-Чу1 = 'Н. |
Примерный вариант контрольной работы > 3
по теме "Одночлены и многочлены"
I, Записать произведение в форме одночлена в
стандартном виде:
а) (га€\2>(-^аЧсу);
2. Выполнить действия и результат записать в
каждое
форме многочлена в стандартном вцие (привести подобные члены):
а) (0,5col1-'Ьсга +A^,d)-(A,5cV-0,%cd.\t 5dL),
б) ol(cu-SB )
48
B)(xi-t^h5'. г) (Зси-ЧХ«-2хи)7
3. Разложить на множители многочлен:
а) 2,0-С + С§ <- lad * Gd;
б) +1х2-6^-3> .
Ьозможвое оформление решения контрольной
работы Д 3.
I. а)(ха.&ъс1Х-ч о.г8е?Л-
>-£аН'с’;
<>W?(WU,>¥-
|ху=5ху.
2.a)(o(5cd-3c2d+ Aid)-(i,5c*d-
~ O/cd'+A.^d) ^0,5~сХ- 2>JcL
-<>eU *05^-1^* i,3cdM,5&L.
б) 4a.(d-5t)=4aa + 4aesG)=
« ЧаЛ-£Оо.Ь.
в) (хг-П^)ху= х’-Н-ух5'.
г) Оои-Ч)(8- 2-<\) = За- 8 + 2>а(-га) - Ч-Я - 4<-Яо_) х.
«14 а —6 аг- 56Ч -< 4 а. — зя&.-бо?’—5"6
д) (а-&)(За-5-0,+ ?>)= За1-5&а+8а -5afe + 5e>-8g ;
в) -бх^-Зх -Gx^C-s^-^x^-
- -5^а.
3. a) lac*efe>iad-»-Bd=(lac^$lad)+-^€*-ed)=
= da(c-d)«- b(c+d) « (c+d)(2«u*€ );
б) *1У--6и-Зх.
=1 x(ly + ху-3(-г^ v х)<^* х)(1х-ъ),
№
Занимательные страницы
f(J)Докажем, что сумма трех последова-
, НАТ’арА^ьНЫЫ
тельньб^чисел делится на 3.
А Если первое число.обозначить бук-
вой , то два следующих за ним нату-
ральных числа будут равны П+ I и
irt+ 2. Однако, при рассмотрении каких-
либо свойств последовательных натуральных чисел обычно через
Yt обозначают не первое, а среднее из рассматриваемых чисел.
При таком обозначении три последовательных натуральных числа
будут иметь вид
п-1 ? п,.
Их сумма: (А-*)* w+V ~ bvv .
Число За делится на 3, т.к. Зп—произведение двух множителей,
один из которых равен 3. А
Задание I: Докажите, что
I) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится
на 5;
2) сумма трех последовательных четных чисел делится на 6.
Задание 2: Выясните, на какое число делится сумма трех
последовательных нечетных чисел.
(£^Если число записано некоторыми цифрами, обозначетаыми^
например, буквами Q., В , С, cL, то чтобы не спутать это число с
произведением qBccI, принято обозначение QBcot.
Докажем, что если Cl+fe делится на 7, то число оВоь делит-
ся на 7.
Д Число O0d представим в виде суммы разрядных слагаемых:
Па» 1ооа+ или оба» ioicu юВ . '•— - -(*)
$0
Запишем условие задачи о том» что О,+ 8 делится на 7, та-
ким образом:
(1 + 8= 7гъ,где w - натуральное число, откуда 6 » 7п-0.
В равенство (*) вместо 8 подставим его выражение (Ч*-0):
оБ&= Ю1 а + iocu-q) = ioia+ TOrv- юа»
= 9ICL+ 70w« 7.(I3a + lOrt),
а такое число, очевидно» делится на 7.А
Попробуйте.аналогичным образом доказать, что число fcad.
разделится на 7, если сумма.его цифр (6+ 2 а.) делится на7.
□ Фокус с отгадыванием зачеркнутой цифры.
Попросите вашего товарища задумать какое*
, Т| $ ф С нибудь трехэначное число. Пусть найдет сум-
му цифр этого числа, и отнимет ее от задуман*
Л I, Д ного числа* После этого попросите, в получен*
ной разности зачеркнуть любую одну цифру и
сообщить вам две оставшиеся. Теперь вы сразу сможете назвать
зачеркнутую цифру.
Секрет фокуса:
А Пусть задуманное число afec.
абс. = 1ооа+ 106 + с.
Сумма цифр задуманного числа равна а + 8 + с. Отнимем от
задуманного числа сумм^Чдефр: 100 а + 106 + С- (а+8 + с)» 990.
+ 98=9(11(1+6).
Число 9(Па+В) делится на 9, значит при вычитании из
задуманного числа суммы его цифр всегда получится число,деля*
адееся нацело на 9.
51
После сообщения вам двух оставшихся после зачеркивания
цифр» вы их в уме суммируете и подыскиваете такое число, ко-
торого недостает этой сумме до ближайшего числа, делящегося
на 9.*^ Это число и определит зачеркнутую цифру.
Например, пусть задумано число 589*. 589 - (5 + 8 + 9) =
589 - 22 « 567. Допустим, что зачеркнули цифру 6, тогда оста-
нутся цифры 5 и 7.„Сумма 5 + 7 = 12. До ближайшего числа, де-
лящегося на 9 (до 18), не хватает 6. Как видно, это число и
определяет зачеркнутую цифру.
В том случае, когда после суммирования двух оставшихся
цифр получается число, делящееся на 9, значит, была зачеркну-
«Р^ифра О, либо цифра 9. Л
Можно ли продемонстрировать аналогичный фокус с другими
многозначными (четырёхзначными, пятизначными и т.д.) числами?
э*) *
Вспомните признак делимости на 9: "Если суша цифр числа
делится на 9, то и само число делится на 9".
51
§ 4. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО
УМНОЖЕНИЯ
(ol>6)(ol-€) = оЛ-ЕЛ (l)
Примеры I.
Представим произ-
ведение в виде
многочлена :
2) (^-'y)(’>x + y)«(sx)-yx=
=9XX-V,
з)(е>+сХс-е>са'-б2')
Задания I»
Представить
произведение
в виде много-
члена:
2) (ff-2.ou)(54-Xa-X
3) +
4) (О.-И)(86-Ю-У,
в) + ^>уп')(т
б)(-гй.-о^в)(о5-в-хв);
7)
8) (SounU5X«fe’*-5'o-',X
Ответь не считая ;
к п Какой цифрой окАнчиЬАется
© пройыъеденце первых семи
‘ О II
натуральных чисел f
53
Примеры?. ВычислимСустно) I) 47-33 = (40 + S7Tr +7)-(40-7) = 00 „ 402 - 72 = 1600 - 49 = « 1551; 2) 0,95-1,05 = (I-0.05MI+ +0,05) = I2 - (0.05)2 » I - 0,0025 « 0,9975. . Примеры 3. Упростим выраже- . ние: :'ИНН= кА/ = -(хг--у2)-2^г = = -х2*^-Цг—х2-^.4 2)(аЧ)(а.+Ь)(аЧСг =(aM2)(aM> = (о-г)г-(бТа^-^- Примеры 4. Разложим на мно- жители I) пг.г-р = [т]г-Аг = = (иг- 3)(ш- ♦ 2>3 > Задания 2. ' Вычислить: y77_/v , С ' I) 58-42; 2)99’101; хСа гА 3)0,97-1,03; 4)0,999-1,001 . Задания 3. , Упростить выре- z (Г**^ \ \ женил: ПМХН)-За2; ХаАА 2)0х^Х51г 44^4 -2х)+ Мхь ) 3)(А^)(к^ух-^)? > <] аМ‘-М)М)]| Задания4л Разложить на множители: I) 2)4^4; 3) 4€сь - )
2) -0,64 =
4) К-ч*1)
(^-o,sx)(|vo,u),
5) 0,04 0?-0,01 6й ;
6) 9(?-А6 66 ,
7) &ЦаЧ4-49сМ'0,
(0-+ё>)г= О? < 2.0.6* 6г [
(а-Ь)г=аг-2а&*6ъ Г
ss
Примеры 5. Г7Ь^агГ\ Представим квад- рат двучлена в </Ч/ вице многочлена: !)(©*&)= 2) (х-о,ц )*= Лх-Ч4»+ *(о,4)г= х^-ОЛХ’-ОЛб) з) (хх*ъ^У-(гхУчде.^ ч х2-* -i|»v+vv»i-^iv+wx} 5) (_пх-И)г= (-(•»♦«))» и) = («.-> «)г® = Yn.% 2-wvH * U- = y^+O.lwu-t 4XV, 6)^лЛ7-Ж?' • Ча! +(*<?)=9а-ч2.«- + > Ц9о.’. Примеры 6. Возведем в квад* рат число 1,01: \J\J , 1,01s = (I + 0,01)2 = I2 + 2-1-0,01 + 0,0I2 = I 4 0,02+ + 0,0001 = 1,0201. Для вычисления квадрата чи- сла, близкого к I, в практи- ческих расчетах пользуются формулой 1 * 2юС ' Задания 5« /"** Представить в форме к, многочле- — на стандарт- j ного вида: 1)(Ъ-аУ- 2) (е+сСУ, 3)(-х*и)\ 4) (х*Х^ , 8> (л'гЛ г б) (гси-ъй)*/ 7)(-4x-S)\ 8)(fTxX-*y, 9) 10) (-^х4*^1/- Задания 6. >- Найдите приближен- ное значе- \ ние квадра- та *числа , * Д-~ I) 1,02^ t 3) .4,004; 4) 0,998 ,
S(,
(отбросив значение квадрата числа cL,которое мало): пользуясь формулой Q+d^l+Za.
I) 1,012'=(i + 0I0l)%sl +
+ 2'0,01 = 4 + 002 = 1,02,
2) 0,99*4 *(1-0,005)’'-» а 4-2-0,005= 1-0,006=- /Л а% 2ав+6г = (а*в)г аг-2а& + Вг*Со--8)г
= 0,994 ______________
<3 O2UOA+Z\* = (О*Д)г fl
Примеры 7. Представим выраже- ние в вине квадра- та одночлена: D 9oS (ш)2, .Цтгг 1)х’°=(хэТ, UU Задания?. Представить р выражение в виде квадра- \ Г> та одночлена: I) 9 X2; Z— 2) О-42;
з) 1? *V, 4) 0,25 аЧ\ 5) 0,0001 „ч 64 лг£б«ао б) 87 0- € с .
Примеры 8. Представим одночлен в виде удвоенного произведения: Задания 8. Представить одночлен в виде удвоенного произведения:
I) Go.6 * Х-5а6; 2) = i . DlOxij, 2) IS’агё, 3) "5 0-^ , 4)|ху.
SI
XL-U.
ЛИФТА И аце
z\ лестнице до евреи
Примеры 9,
Представим трехчлен в вине
Х/> > < LI I I
Один человек f ьоз-
ицаясь с работы домой, \
гддый ? каждый день А
хнимдлся ь лифте до с
к t ълтем выходил из |
5 ЭТАЖА ПОДНИМАЛСЯ ПО /
квартиры. Почему
ПОСТУПАЛ ?
**Т7 J "С**4
ttv ",u
Задания 9.
Представить трехчлен в виде
квадрата двучлена:
I)
2) tn.*>6wv*9®
= ®г+2® & =
3) ^аЛ-хоав *%5&2=
=(io,y-2.‘la-se *(58)гг
чг.зд1.
квадрата двучлена:
2) 1f»v - Zv«»v -t- vi •
3) оЛ-Чбь+й;
4) ft6z*6fec.-* C2-,
6) ‘ioJ-iiaC +U2;
6) V‘*x^ *гх;
7) h
8) 9сЛ + А6 А’- 2Л c4A’.
Q□ь^(а^д)(р£>
^□ь-ДЧа-ДХаг+Р'Д*Д\)1> <J^-^(^ОСо-^аВ^2) 0
Примеры II.
Задания II.
Разложим на множители:
I) П-СЧ •?=> 5э-(Чх)3г
=(3->1х)(зМ Чх +(9хЛ^
=(ЗИх)(9+ <2-Х А€>Х2 \j
2)тЬп'6+ 2 *^=(1^)+
+ (1WV )3=: + 2-*’*•) ‘
Разложить на множители:
I) x'-V, 5
2) ,
з)^г-8б3
4) 2.46 х6-^
б) 0,'^В )
б) *х9- ^ХА-
Примеры _I2.
Представим выра- ,
жение в виде
двучлена: - r^F}
I) (*♦ Vfc UU
«$ег+2Л?
2) (*х-^)(9Л24х<^Ц$£>
3) (<№-Ъс^о№+ Ъо№+ 9о->
=(aV) - (за)5*
S9
Задания 1Я»
Представить
произведение
в вцае двучле- •
на:
2) (X- 5)(%г4 54 + 25_);
3')(2«. - сЛ Ga« +5exJ
4) (авэ+агбХаЧ6- a’g .
ьо
Пример 13
Вычислим:
П ЗМЬ-2Л8
W1 2 * *» 344-2.48 *Я.48Х
_(зи4-218)(зч<х зжги ->хиг) в
З44,*3‘ки8г2.18г-
=344-218 = 4 23;
2) 38*-2-38 <8-48* _
38х-гх1"
- С38-<8)* _ 2Оа _
"(м-иХм+гх) ~ 46-60
_ 5ag-^o'* _ _5_
" ~ <г
, я ъ
Пример 14.
Найдем значение
выражения
(а+2)(оЛ-2.<х+4) -
- о.(а-зХ<ьлъ)
при а=-3:
^.+2а+ч)- а(а-з)(а+ъ)=
=(о?+1ъ)-а(а*-Зг)*
S ^+S-X+9a.= 8 +9а,
8<-9(-Ь)х8-П--|<3.
при Л* 12;
2)f2a-6)(^a\2ft8+&i) +
<- (Ха+ + 6г)
при (1= 7, 6= 84 9*41 .
Примерный ВДрИДнТ КОНТРОЛЬНОЙ ре>В<7ГЫ Ц
СшМ по теме п°РЬрмуль) сокрАш,енного умножения"
I. Записать е> А»орме многом ленд вс-гаи-
ыЙКп ддртном виде:
аКЛ 5>(а«5)*- ЦСч*-^)2-.
шШгА Jt. Разложить нд множители ;
< -«Д а.) аг-с5 3)х2-<б^6.
Тп. Представить в. виде квадрата дь^чпена
~ о-) хг-2-Хт| > S) Ча?+ 42ав.^9 €г ., ,= . .
jyt Разложить на множители : . , ,
л-К-1-
V. Ндмти энАчемив выражения
(а^й)(аг+авт6г)-а(л^6Ха*.®>) ПРИ
УУТЮТ?
Возможное oepopMAeHugr [тетания
• . контрольной,'|paSoTt>i\j4 : ' .'
Т. а.)(3-хХ‘Ь+х')=.31г-Хг«.9-Хг;
S) (««-бУвс^тЯ'а^тз^аЧюсог^
К. (й а- сг= (л -сУа-ьсу.
V iff. а)’х*Х*^*^’»‘(х-^)х.’
'. <5) Нагтаав+9«>г <ЯА^/гЯа-Звт(^)г«
2 , «(1ал5в)г., ... .. , :.
л) .
Ча-4
=
' =<1*-^ , _ .
V.(й-«Ха^а0т&г)-<а-ЙХА*в) х
=j^C г » ав2- Ь 5,
з (-г)а-(-л)ь= ?> *«>;
61
Занимательные страницы
(iT) Докажем., что число Лъ~>г,где w- нату-
ральное число, делится на 6,
Д n5-Yv = n(vv-<) = Yv(Yv--t)(n_+
Заданное число есть произведение трех последовательных
натуральных чисел, из которых одно обязательно делится на 3 .
и хотя бы одно делится на 2 (убедитесь в этом самостоятельно)
Если произведение делится и на 3, и на 2, то оно делится.на 6
(т,к, числа 3 и 2 взаимно простые), Л 1 ~ * (
Задания:
l) . Попробуйте доказать, что число уЛ- 17 vv при любом на-
туральном W также делится на 6. */'
(Указание^ представьте I7K в виде 18гигъ),
2) Докажите, что при любом натуральном уь число
иЛ-STw + Ц Уи делится на 120,
3) . Разложите на три множителя многочлен х**-Х**1.
(Указание^ представьте Хч в виде
4} Разложите на два множителя двучлен 4.’ 5
(Указание2 добавьте и вычтите из данного двучлена одно-
член 4 rt1).
(^Докажем, что какое бы натуральное число мы ни возвели
в квадрат,, результат не будет оканчиваться-ни на -II, ни на 91
А Квадрат числа оканчивается цифрой I, если само число
оканчивалось на I или 9. В об^ем виде такие числа можно запи-
сать кйк IOkl-f I и 10ru 9, где то- натуральное число (напри-
мер, 3441 =» 10.344 + I; 589 = 10-58 + 9).
Рассмотрим квадраты этих чисел и попробуем в них опреде-
лить предпоследнюю цифру:
I) 400rv + W*v +1 ~4OOn?/4O-2.Yv + 4 ;
. 2) (<0иЛ9)г= 400лЛ + UOyu + S4 « 180 kv +
4~ 80+ 4 10OVV +4O(48yv + 8)*' 4 -
- 40Q»v>40- г(9и.+1/) + 4 .
По такой записи чисел видно, что первое слагаемое в них
оканчивается двумя нулями, второе - одним нулем и последняя
цифра равна I. Таким образом, предпоследняя цифра квадратов
исходных чисел будет равна, последней цифре числа 2и(в первом
случае) и 2(9)1+ 4) (во втором случае) • Но числа 2 К и
2(9 и+ 4) четные, значит, и предпоследние цифры квадратов ис-
ходных чисел четные, т.е. не могут быть равны ни I, ни 9. А
$ 5. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ОДНИМ НЕИ5ВЕСТНЫМ
равенство.
Задания I (устно) / ‘
Установить: Л
I)является
ли число 7
Уравнение^^ это равенство, содержа
ujee неизвестное число» обозначенное бук-
вой.
Корень уравнения- это Число,которое при
подстановке его в уравнение вместо неизвестного» обращает
уравнение в верное числовое
, Решить уравнение - это значит найти все его корни или ус-
тановить» что их нет.
Примеры I.
I) Число 6 яв-
ляется корнем •
уравнения.
,т.к.
6-2 = 4
1 4 = 4.
2) Число 3 не яв-
* ляется корнем
уравнения ^Х» I
т.к. .
.....
корнем урав-
нения Х+5=12;
2)является ли чис-
ло - 5 корнем урав-
нения £-5Х =" 5
3) является ли чи-
ело ~ корнем урав-
нения 4х- I = 2’>
из чисел - 3; 6; 12 яв-
4)какое
ляются корнем уравнения 6-^-2, ?
I. Любой член уравне-
ния модно перенести
из одной частя в
другую с противопо-
ложным знаком.
2. Обе части уравнения
можно, разделить или
умножить на одно и
. то же число,отлич-
ное от нуля.
Уравнение вида (Хх=В,где а - неизвестное^
&и6 т заданные;числа, а также уравнения,
приводимые к этому виду» называются линей-
ными уравнениями с одним неизвестным.
Примеры 2.
Решим линейные
уравнения:
I) х-2=3,
х=3+2,
х=5.
2) 17-х=20,
17-20=х,
- 3=х .
Задания 2.
Решить линей-
ные уравнения
I) х-4=5;
2) хчЗ=8;
3)12+х=3;
4)х-1,5=2,5;
5)20-х=13;’
6)7-х=8;
7)1'Х=1;
8)|-х-
66
. Решение * урАЪнёнмя нлчнтг с группировки в оКнон *
. частц урАьмения всех мленае», соде ржа щи х иеиь-
\ вестнбе, а ъ другом части уравнсния — всех членов
\<не соде^ждцих неизвестное
' Примеры 3.
‘ . Решим .уравнения
. I) 2.x = А
Хг.Ю'.Х,
.
Задания 3«
Решить‘урав-
нения: (
1)Ъх«Ч2;
b-sx»1»*;
3)
4) -ix = -^,
5) |х«3;
б)-^х=:Ь;
Vr6’ 7
< 3) 5.&.М -О,
v •, ,хгО-5Л
' J
4) 0^л«-А9
Х-е.-ч%:оЛ,
.- .; Х’-ЧО.
8) 1^='й;
9)-О,9^ = -Эй;
10) - LZX = О,Z4 ,
64
Примеры 4.
Решим уравнения
I)
15х=9+1
15эсМ0,
х « лои^
о* —
Ъ >
Задания 4.
Решить урав-
нения:,
t)
2) Зх«-8“ Н;
3) 3x-ff=IO-x
4) 8Х-(>Х*8)«9,
2) 4JLAj*'j>w4'ty-4- ,
5^-НО,
^«-10*5",
V'2- •>
5) 8^-0*-5"=42.'p5~S'\j
6) 4+8Х •‘-S-’ZX-IO-'Px-t-g
7) 5(8X-1)-4(^Vm)+8(%-^=c^
8) tofaxraj-s^xvxys^-iix)-^.
68
Примеры 5.
Решим уравнения:
(умножаем обе части уравне-
ния на 15) ?
5эс + -г>х=А<О,
8х=Д%о,
Х=110гв/ Х=45";
3. '
2) . _-5х-Ь._ l-2'f
6 “г ’ 8 ’
Задания 5.
Решить урав-
нения:
ХрХ 6* X ,
“’-s'- ъ >
оч НХ-6Г1 4^-Зх _ .
d) ---------------- х ?
4) X - . 9х И л
2| g Я-
(умножаем обе части уравне-
ния на 24),
2Л X + 2.8 gA А5х +9,
X-ST. ЪЗ/
xs£.
х ъь
Примеры 6. Задания 6.
Найдем неизвестный размер
детали (рис. ,8а) Г' ‘
' д <50 4 х =
хх
х= 41S. -
Найти неизвестные размеры
деталей (рис, 86,в).
Рис, За
69
Ж "
Примеры 7.
Решим следую-
щие задачи:
1)3найка заду-
мал число. Ес-
ли это число
умножить на
4, к произведению прибавить
8 и полученную сумму-разде-
лить на 2,то получится 14.
Какое число задумал Знайка?
A X - число «задуманное
Знайкой, тогда
* Jit* s ц,
h X = W
Х=5\
Задания 7.
Решить
задачи:
1)Незнай-
ка заду-,
мал число,
отнял от
него 3,затем разделил результат 7
на 2 и к полученному частному
прибавил 6. В результате получи-
лось задуманное число.
Какое число задумал Незнайка?
Рис.8 В
40
2) Моторная лодка шла по те-
чению реки 2 часа,затем про-
тив течения 4 ч.
Найти скорость лодки в стоя-
чей воде, если она
об^вй сложности 48
рость течения реки
3 км/ч.
А " ЭСкм/ч - скорость
(х*3)км/ч. -, скорость лодки
по течению,
(х-Ъ)км/ч - скорость лодки
против течения,. Из условия:
Цх+зУ+^х-з^'Ча
2) По всей границе прямоугольно-
го участка вырыли ров. Ширина
участка 150 м. ДлинеГ^Зва I км.
Найти длину участка.
6г = ^, ,
х = ^‘.б>7
.х=- 9(км/ч).
лодки,
прошла в
км»а ско-
равна
’ V
ПУТ?) -(Скорость)
АЛА/
5 = v • i
СХ-2>)К%
2>*м/ч " ~
скорость течения
'Л
4
3)Моторная лодка шла по течению
3) Я задумал число,прибавил к
нем*/ 5,результат Умножил на З^рекиЗ часа и против течения* 5
после чего получил число в 2
раза больше задуманного. *
Какое число я задумал?,
Путь, Пройденный лодкой по;тёче->
нию, оказался на.7 км длиннее пу-;
‘ ‘ * J- v . I* 'i
ти,пройденного против течения.
Найти скорость лодки в стоячей \
воде,’если скорость течения реки/
4 км/ч.
44
Примерный вариант контрольной работы № 5
по теме "Линейные- уравнения с одним
неизвестным".*
I. Выяснить, какое из чисел - 2; 0; 3,5
является.корнем уравнения I-Xs - 2,5.
2. Решить уравнение:
а) = б) ?>х-АЗ=О,
. г) Чх-4=5;
д) <Ь^*Ъ=^-1г-г е) <х-г)-5(ч*х)-2(х-3>19.
3. Одна сторона треугольника в 2 раза больше другой, а
третья - на 4 см меньше большей из нюр Найти стороны треу-
гольника, если его периметр равен 21 см.
Воъмржное оформление решения контрольной
работы » 5
.--.г. I. <-(-z)*-z,S >
V- о *-г,5?- '
Отврт: Число 3,5 является корнем
уравнения .
2. а) х-23=-1Ч,
Х = -14-23,
Х = 6.
в) «О, д) <3/4 + 3-3^-14
x-°-g' Чх.6 ' ю» Am -
Х-О. - ..КЦ,'.
б) Зх -<8~0,
х = 48’.3/
X - G .
*1Х-8-1Х~Зх-7Ц-»-6*Ц% ,
-Х=-5\
х xS.
3. X см - одна сторона треугольника,
Яхсм - вторая сторона треугольника,
(1х-ч)см - третья сторона треугольника.
Х + %х * ,
х*2.х-г2х-Ч *2\
1>х - 2Л-Н
2,5“
Хг 5“(см)
О.-5'= Ю(см)
50-Ц»6(см)
Ответ :5 см, 10 см, 6 см.
х----.. Занимательные страницы
(((($(((/ Числовые ребусы.
у''' ,7| В предложенных ниже числовых ребусах нужно .
С вместо точек поставить цифры так, чтобы.данные :
примеры не содержали ошибок. Фактически, реше-
[ Л ) ние числового ребуса сводится к решению своеоб-
разно увязанной группы уравнений.
Решим сначала,рассуждая вместе, следуилций реб?/с:
•4/
• О П . *
А Сложение "столбиком” начинается с последнего разряда :
(разряда единиц): + В;
•’ ' - - • / J?;
Очевидно, вместо точки может быть поставлена только циф-
ра 3, т.к. 8 + 3= II. После сложения единиц в разряд десят-
ков "переносится” цифра I ("один в уме").
J.
•*5
Складываем десятки: . •
JL
К какому однозначному числу нужно прибавить 4 и приба-
вить I (перенесенное из разряда единиц), чтобы получилось ли-
бо число 4, либо 14 ? Очевидно, число 4 получить от сложения
X + 4 + I не удастся. Значит, нужно решить уравнениеX+4+1 «
«14, откуда X » 9,(Единица перейдет в разряд сотен).
Переходим к сложению сотен: Ч
• ^0
Решаем уравнение 7 +.Х + I ж 10 (вместо точки в разряде
тысяч может стоять только цифра единица,"перенесенная"
из предыдущего разряда), откуда X = 2.
Таким образом, предложенный пример сложения выглядит так:
498
*
1041 . 4
Решите (расшифруйте), самостоятельно следуюшие числовые ре-
буры:
I) ♦ о- 2) • . . 3) 36-8> 4)_ • • • 43
* +5Х9-Ч 41 8 5-
Ч УЧ ) ( • * • г t • 3 802. И I • 9
• 1 •«., J
5) .5. * -8 6) „ г-.з 8)_V5- • • ’ • □
+ Х-ЬЧ 4 ’ * * 22 • • • *
1 з- * • • • «- 90- ~ч*
• 418- ’ • ‘ ОЗ, • ‘ 1 56 • • • ; 0 .
(2^) Фокусы с отгадыванием чисел.
Пример I. Объяснение:
Задумай число. -------------► х
Умножь его на 2. ------------- 2х
Прибавь к результату 7.------- 2х+7
Прибавь задуманное число.—► Зх+7
Отними I.-------------------* Зх+6
Раздели на 3.---------------► х+2
Сообщи результат.-----------* Пусть в результате получилось
«число. т.е. х+2= а, значит
"^задуманное число х«а-2 (задуман-
ное число на 2.меньше того, кото-
рое сообщили).
Пример 2. Объяснение:
Задумай число. ------------—> х
Прибавь к нему 3.......... х+З
Результат умножь на 2.—:—* 2х+6
Прибавь 4. ........-.......* 2х+Ю
Отними задуманное число.----* х-*10
Прибавь 5.------------------- х+15
Отними задуманное число.------»~15
У тебя получилось 15.
Задание. Придумайте новые фокусы с отгадыванием чисел.
Орфизм - последовательность высказываний, содержащая
скрытую ошибку, засчет чего удается сделать неверный
вывад. Обычно в математических софизмах скрыто вы-
полняются запрещенные действия или нарушаются условия
применения правил или теорем. Задача обычно заключает-
ся в том, чтобы найти ошибку в рассуждениях.
чг
Например, попробуем доказать, что 5 = 4.
А Пусть тогда Зх = I.
Представим Зх как 15 х - 12х , а I как 5-4, тогда вместо
равенства Зх= I можно записать
. 15X - 12х = 5-4.
Решим это уравнение:
I5X-5=12Х-4,
5(3х- 1)«4(3х- I).
Разделим обе части равенства на
(Зд- I) и получим ? *
,5 = 4.
Где в рассуедениях мы допустили ошибку?
Ошибку мы допустили в том шаге рассуждений, где обе ча-
сти равенства 5(3х- I) » 4(3х- I) разделили на (Зх- I). По на-
шему предположению,сделанному в начале рассуждений, ,т.е.
3>« I или Зх о; 1=0» То есть обе части уравнения мы разделили
на 0, чего делать нельзя. А
Предлагаем вам еп>е один софизм:
( Док&жвм* ч*0 I s 2.
А Пусть данное числовое равенство
6 ** С1
(Пусть 01 и 6 не равны нулю).
Умножим обе части равенства на (1: ciE-Ou'.
От обеих частей отнимаем В : at- fc - си-£г.
Разложим на множители левую и правую части равенства:
Разделим обе части этого ааьёнстьа на (а-6): & - <Х^8 7
D Л О п * ^В(пс>сльа>.-.ьс)
откуда т.е.ь=2ь или,' после деления обеих частей ра-
венства на 6 40, пояччмм
1 = 2. А Где была допу чека ошибка?
(4^) Задачи, решаемые с помощью уравнений.
А Задача . *- г ’
- Бабушка, сколько лет твоему
внуку? '
- Моему внуку столько месяцев,
сколько мне лет. А вместе
нам. 65 лет.
- Сколько же лет бабушке,и вну-
ку? „
2\ Старинная задача.
Некто^согласился работать с условием, что по истечении
года ок получит одежду и 9 флорйнов.<По истечении У месяцев
он прекратил работу и получил одежду и4 флорина. Во сколько
была оценена одежда?
Игра ”18 спичек”. —
Из имеющихся 18 спичек (или любых других предметов) каж-
дый из двух играющих по очереди берет спички,.За один раз мож-
но брать одну, две,три,четыре спички. Выигрывает тот, кто бе-
рет последнюю спичку. Рассчитайте* сколько спичек должен брать
начинаюший игру, чтобы выиграть. . < ,
Д Секрет игры прост. Чтобы.взять последнюю спичку (или
спички), необходимо, чтобы партнер должен был перед этим взять
свои спички из оставшихся 5 спичек (топка он вынужден будет
чч
тебе оставить I, 2, 3 или 4 спички, которые ты и заберешь
последним) .Так, рассуждая "от последних.ходов к первым’*, мы
придем к заключению, что для того, чтобы выиграть, начиная иг-
ру первым, необходимо взять сперва 3 спички, а затем после
каждого своего хода противнику оставлять число спичек, деляпюе-
ся на 5. А
(б^) Когда произведение равно нулю.
Очевидно, для того, чтобы произведение нескольких сомно-
жителей равнялось нулю, нужно, чтобы хотя бы один из сомножи-
телей равнялся 0.
Например, I) 0, когдаX « 0 или = 0, т.е. решени-
ями такого уравнения будут -X ж 0, ж 0;
2)Х (х- 1)= 0 при Х = 0 или X - I = 0, т,е. при X = О
илиХ ж I»
Решим уравнение Зхъ~2х-12х+Я=О , разложив предваритель-
но его левую часть на множители ,
6 Ъх(\-Ч )-Я.(х-ч) = Сх-чХ3х-2)-=
= С**гХх *2-Х^х'2-5 •
Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде
(х-гХх<2Хъ-х-г) = О.
Его решения находятся из решений уравненийX- 2 = 0, х+ 2 =0,
ЗХ-2 = 0.
Ответ: Х = 2, X = - 2, хЦ . А
Решите уравнения, разложив предварительно на множители
его левую часть:
I) ~А = О; 2) х £х -Ч =О;
3) (з-'ЧУ'-ч s о, 4)
б) Х^- Чх +i2. = O; 6) Хг-Ч-Х ♦ 1С =О-
7) Ч?-Х»о.
Примеры I.
I) Укажем коор-
динаты точек
АЛЛДЛЛ
К Л >0(рис.9а):
Рис. Ю
80
2.Построим отрезки Ми-ЬЙпо
координатам их концов
l") , N('lj)
(рис.96 ) . .
2.Построить треугольник Л ЬС по
координатам его вершин Л(3;4);
В (0;- 5), С(3; 0).
Найти значения координат точек
пересечения сторон треугольника
Рис .95'
Запишем координаты точек
пересечения отрезков ЛЬ и
ЛЛ с осями координат:
С (-2; 0); (1(0; 2);
?(0; - 1)/й(2; 0)
с осями координат.
Переменная называется функцией переменной X,
если каждому значению X из некоторого числового
множества соответствует единственное значение пи. /
81
Чтобы подчеркнуть зависимость от х,
часто пишут (х), при этом х называют
независимой переменной (или аргументом
функции), a называют зависимой пере-
менной (или функцией).
Примеры 2.
I. Площадь квад-
рата есть функ-
ция длины его Г7\есЛ\
стороны X : дТд '
х\ Q\J
При длине стороны
квадрата 3 единицы, площадь
его равна 9 квадратным еди-
ницам.
Можно записать:
Аналогично можно найти по
формуле значение
площади квадрата при других
значениях длины стороны.На-
пример, ^)= 361 (4^49
И т.д.
2.Найдем значение Функции
зад энной Формулой
^(х)=х5-х ♦ 1
при > = О', -2у 3 : .
д1) ^(°>Os-02+ V
Задания 2.
I.Объем куба
V есть функ-
ция длины
его ребрах:
Найти значе-
ния объема куба V(x) прйх=1см;
5см; 1,2дм; 0,8м.
2. Найти значение функции
I) ^(Х)-хг-А
при Х=-2;. О; 1 , Z ,
2) Oi(x)= хг+х
при X. - - А, О t Z ;
ал
3) *)(*)= 35- 3+1 ,<fc(s>2;-5»4,
Ш=25"- Ж
3.Найдем значение аргумен-
та, при котором значение
функции
равно - 5:
-5=1(2>Л-ч),
-(о= г»-а ,
х=-ъ,
таким образом
3) =
при х =-S;0; S; 10 ,
4)
2,5.
3.Найти значение аргумента, при
котором функция
^ = г>0-гх)
принимает значение, равное 6;
0; I; 5.
Задания 3
Функция -
S(>) зада-
на табли-
Функция мокет быть задана формулой,
таблицей, графиком или словесным
рдисанием.
Пример 3,
Зависимость
пути к•прой-
денного те-"
лом при сво-
бодном паде- .
нии,от времени падения t вы-
ражена таблицей (см, ниже*.
зъ
в верхней строке указаны определенные значения вре- мени ’t,а под ними - соответ- ствующие значения пройден- ного телом пути к. за это время): Определить: I) значение функции при значении аргумента, равном 2; 4; 9; 2) при каком значении аргумента функция принимает значение, рав- ное I; 5; 9; 21.
0 0,5 I 2 3 4 5 6
Нм 0 1,25 5 20 45 80 125 180
По таблице можно,например,оп-
ределить, что •
I) через 2с тело прошло путь
20м;,через 5 с - 125 м;
2) путь в 180 м тело прошло
за 6 с, путь в 5 м - за I с. __________________
t График функции - это множество всех точек
координатной плоскости,абсциссы которых
равны значениям аргумента, а ординаты - со
ответствующим значениям функции.
Пример 3.
На рисунке П
изображен
график не-
которой
функции. С
этот рисунок, заполните таблицу:
его помощью
можно заполнить таблицу:
л - 4 - 2 0 I 2 3
84
Рис. II
Для этого нужно по гра-
фику найти точки, абсцис-
сы которых равны значени-
ям, указанным в таблице, и
определить значения орди-
нат этих точек. Например,
абсциссу - 4 имеет точка
Д,ее ордината равна 2,5
(это число и заносим в таб-
лицу под числом 4) и т.д.
X - 4 - 2 0 I 2 3
я -2,5 2 I 0 -I -1,6
Пример 4.
Функция
^(х) за-
дана графи-
ком (рис. 13).
85
По графику найти
^(0); ^4)^(5)/
2) значения аргумента, при кото-
рых функция принимает значение,
равное 2;
3) несколько значений аргумента,
при которых функция принимает
положительные значения; отрица-
тельные значения; значения,рав-
ные нулю.
По графику можем определить,
что
I)^(-2,5)«-I,<g(0)x3,
^(1,5)=4, ^(4М ;
2) значение функции ^(х) ра-
вно 2 при X «-1; . 3 *, S' )
3) значения функции 0) (ос) по-
ложительны,например,приХ=
=-1; 2,8; 5.(Все значениях,
при которых данная функция
принимает положительные зна-
чения, вцпелены на рис, 13
штриховкой над осью ОХ).
4) значения функции (х) от-
рицательны, например, при Х=
=-3,7; - 2,5.
«6
(Все значениях,при которых
данная функция принимает от-
рицательные значения, вьщеле-
ны штриховкой под осью ОХ).
5) njC*) =0 при Х=-2.
Пример 5.
Показание
термометра,
следящего
через каж-
дый час у больного измеряли темпе-
ратуру и показания заносили в
за темпера-
турой возду-
ха ‘на улице
в течение суток,заносили
через каждый час втаблицу:
Хч 0 I 2 3 4 5 6 7 8 9 таблицу,часть которой мы приво-
к 0 -I -2 -3,Е -4 -3,Е -2,Е -х 4 дим:
1О 44 42 44 47 4G 14 42
0 4’ 1 3 G 5, S !>
20 1% 24
Ч 3 2 0 -I
{час II 12 13 14
т°с 38,5. 38,7 39 38,8
15 16 17 18 19 20
38,7 38,5 38,3 38,2 38,1 37,9
Построим график зависимос-
ти от X ( I клетка на оси
ОХ соответствует I часу,1
клетка на оси ОУ соответст-
вует 1°С).Дяя этого отме-
тим на координатной плоско-
сти 25 точек,координаты ко-
Постройте график зависимости
T(-t), считая, что температура ме-
нялась плавно• Откладывайте по ,
оси абсцисс значения времени су-
ток (I час**! клетка или i см),,
а по оси ординат-значения темпе-
ратуры тела (О^СЧ клетка или
81
торых указаны в таблице.
Считая, что температура из-
менялась плавно«соединим
полученные точки плавной ли-
нией (рис.15).
I см)«приняв за начало отсчета
момент: -Ь = 10 часов,Т = 37,5°
(назовите это "условным нулем").
Рис. 15
По графику можно легко уви-
деть «например, что самая вы-
сокая температура в течение
суток была равна 6° в 16 ча-
сов, а самая низкая- —4° в
4 часа ночи; что после 4 часов
и до 16.часов температура по-
вышалась, а от 0 часов до 4
часов утра и в промежутке .
от 16 часов до полуночи тем-
пература воздуха понижалась.
as
Функцию вида =kx, где И -.постоянное число, не \
равное Нулю, называют прямой пропорциональностью.
Число к называют коэффициентом пропорциональности.
Графиком функции прямой пропорциональности явля-
ется прямая, проходящая через.начало координат. /
Примеры 6. Задания б.
I.Построим I. Построить
график функ- график
ции при функции
к=|, т.е. DnpZx;
график функ- 2) ^-1*,
3>
А Так как графиком функ- И 1 X
ции является прямая линия,то
будем строить ее по любым двум
несовпадающим точкам.
9 качестве первой можно
выбрать начало координат,вто-
рую точку выберем,например,
с абсциссой,равной 2
При Л =2 аЧ*'1
Координаты точек,
по которым будем 5
строить график
функции, можно
заносить в таб^
л ицу:
. Попробуйте сделдтм
из плотной бумаги
.7 V игрушку ДЛЯ МЛ^Д-'
исго -друга. Для это- ~
го на выбранном листе бумаги начертив р
.ЪыкроиКу* игрушечного кота таку»о же t ь
на следующей странице, Ъы^ежьте t
ьыкроику по сплошнъма линиям и согните к
ПО <\унКЛНрНЫ1А . РиСунОК на iTOU ЗЛр&ННЦС /
подскажет - что должно подучиться .
83
Сначала проденьте усы
отверстия под носом , а
потом раъи»ежътв. их
на полоски J
Танграм - головоломка, изобретённая
ь Лр^ьнем Китае . Пэ семи частей
квадрата (W- 4) Даётся
сложить самые разнообраз-
ные «АРиГуры t
На рисунке 2 показано,
как. сложена сриг^ра бе-
гущего человека ♦
Попробуйте сделать из
Бумаги свой тамграм
ц пооч вреди сло-
жить фигуры t изо-
бражённые на
рисунках
so
X 0 2
0 1
Отметим на координатной
плоскости точки (0; 0),
(2; 4) и через них про-
ведем прямую, которая и
будет графиком функции
» 2х(рис.1б).
2. На рисунке 17 изобра-
жены графики функций
Vх' -у = -х,
v3x, «у—5х,
На рисунке вцдно,что гра-
фики функций вида « кх
при положительных значе-
ниях к. расположены в
I и Ш координатных четвер-
тях, при отрицательных -
во П и 1У четвертях.
Рис.16
Рис.I?
94
/ Линейной функцией называется функция
\jBHna , где к и заданные числа.
(рафиком линейной функции является прямая.
Примеры 7.
I.Построим график
Выберем, два про-
извольных значения
функцию, найдем соответствующие
Задания 7.
значения^.
Всегда для вычислений
5)^^
6) V ^х* 4,5--
I.Построить гра-
фик функции
I) V**2 '
2) =
3)
4)^ = -5»-Z(
удобно в качестве одного .из
значений зс. брать х «О
При Х*0
^-2*0^3^
ПриХ«3 ?>=-З -
Вычисления можно былр произ-
вести устно, а результаты для
наглядности желательно эане-
7) \
8) ^- = -2-.
2'. Не строя графика функции
I) а.х*6 ,
2) = ,
3) w
найти координаты точек пересе-
чения его с осями координат.
сти в таблицу. -
X 0 3
л 3 , -3
По точкам (0; 3) и (3;-3)
строим график функций
9%
По рисунку 18 можно найти
точки пересечения графика
функции ^--Дм+Зс осями коор-
динат:
Л (0; 3) и В(1,5; 0).
Эти точки можно было найти из
формулы: I) так как в точке
пересечения графика с осью ОХ
абсцисса ее равна нулю,(т.е.
Х=0), то ординату надаем
из уравнения ^=-2-0*3 »
(точка (0; 3));
2) хак как в точке пересече-
ния графика с осью ОУ ордина-
РисЛ8
та ^=0» то значение абсциссы
найдем из уравнения
На рисунке 19 изображены > графики функций вида у-Ку+6 при
К=0 и различных значения 6 = 3; з 0; -2, т.е. графики функций , 2 ^=3; ty=0;^»-2. 1 'М-О .
-1 0 •1 ’ Ос
'2
Пример 8.
\ Не строя графи-
ка функции =
опреде-
лим, какая из точек Р(4;3),
М (-4; 6), принадлежат гра-
фику этой функции.
Д I) Если точка Р(4; 3) при-
надлежит графику функции
'у = -£х+5’,то должно выпол-
ниться равенство
Равенство верное (3=3),зна-
чит точка Р принадлежит гра-
фику функции.
2) Если точка М 64; 6). при-
надлежит графику функции
Рис.19
Задание 8.
Не строя графика
функции ^зЛх-13,
определять , какие
из точек Л (0; 13),
Ь (-1; - 20), С (1;-6)хД(2;-1)
принадлежат графику этой функ-
ции.
94
X +-S ,то должно вы-
полниться равенство
Равенство неверное (6/7).зна-
чит точка М не принадлежит
графику функции, А
Примерный вариант контрольной работы Д 6.
по теме "Линейная функция".
I. Функция зциана формулой х3-*2ха‘~ /(.
Найти значение функции приХ =0,х=-2;Х«3
2. При Хаком значении аргумента функция
-5х * принимает значение .равное
3?
3. Построить график функции
По графику найти значение функции при Х«- 4.
По графику определить.при каком значении X функция прини
мает значение, равное 0. ,
4. Не строя графика функции-8Х+ 13, определить, какая из
точек А(-2; 29), В>(3; 10) принадлежит графику этой функции.
Дюзможмре оформление решения контрольной работы # 6.
I. ^(0)«05+ZO4-1=.-<;
= -8*8 =дД;
^(5)-- 3S«2-£l =
9S
2. ^(*)=3 ,
5"x- .
5x -~Zg_. >
x*-l|•5 ,
При oc x-4 ^=1»
^=0 при X =-8 •
4. й| =-8x+ 13 . Рис.§0
I) A (-2; 29): 29=-8<-2)+I3,
29=29.
Точка А принадлежит графику функции
«-8-Х +13 .
2) Ь(3; 10): 10/ -8*3+13,т.к* 10/ ЛЬ Тцчка В
не принадлежит графику функции .
Занимательные страницы.
Игра ^Морской бойк(способствует закреп-
лению навыков нахождения точки координат-
ной плоскости по ее координатам и наобо-
рот - нахождению координат определенной
точки).
96
Правила: играют двое. Каждый на листе бумаги в клетку
чертит два квадрата размером 10 на 10 клеток.
Нумеруют клетки буквами и числами так, как это показано
на рисунке 21. Затем, в тайне друг от друга в первом квэчра-
те располагают по клеткам корабли:
1
- — -
-
- >
1
один линкор. I III | (четыре клетки),
два крейсера I I I I (три клетки),
три эсминца ПЛ (две клетки),
четыре катера □ .(одна клетка).
Причем, по уговору корабли могут либо касаться, либо не
касаться друг друга и бортов отведенного поля. На рисунке 21(1)
дан один из вариантов расположения кораблей.
’’Стреляют" игроки по очереди, называя клетку второго по-
ля - поля противника (рис.21(2)) и ставя в этой клетке точку(на-
пример, "84). Партнер должен ответить "попал” или "не попал"
стреляющий по его кораблю (в случае попадания в одноклеточный
корабль говорится слово "потонул"). В случае попадания клетка
зачеркивается крестом (нападающим - в его втором квадрате ,на-
97
пример, клетка "еЗ", а обороняющимся - в его первом квадрате).
При попадании нападающий имеет право на внеочередной "выстрел",
и так поступает до тех пор, пока не промахнется. Если партнер
сообщит, что его корабль "потонул", то нападающий снова имеет
право на "выстрел". После промаха в нападение переходит вто-
рой играющий.
Проигрывает тот, кто первым потеряет все свои корабли.
СП) Задача. Крабовцпная туманность в созвездии Тельца
расширяется со скоростью 1500 км/с. На какую величину расши-
ряется туманность за минуту; за час?
(jO Задача. Медиками установлено, что для нормального раз-
вития ребенок или подросток, которому Т лет (Т меньше 18
лет),должен спать в сутки “t часов:
t-iv х •
Найти *t(2), t(i3), "t (14) .
@§адача. Волосы на голове человека растут,примерно, со
скоростью 0,4 мм в сутки. Определите, как часто мальчики ва-
шего класса должны посещать парикмахерскую, если они не хотят .
носить волосы короче 3 см, а волосы длинне 5 см причиняют ряд
неудобств?
(К) 0 dr/нкциях, заданных описанием.
Некоторые функции задаются не формулой, а описанием. На-
пример, каждому числу х поставим в соответствие его целую часть
т.е. ближайшее число целое, не превосходящее данное:
числ?/ 2,? -------- число 2,
числу 5 ------------ число 5,
числу (-3,2)------* число (-4)
(мы не ошиблись: число - 3 превосходит число - 3,2).
9S
Для сокращения описания задания такой функции прцкума-
ли символ [х] ♦ который и означает, что рассматривается целая
часть числа х . Таким образом, j2,?3 ®2» К1« 5; «
» - h •
Попытаемся построить график функции*у= {х},
Рассмотрим, например, числа от 0 до 1. Целая часть каж-
дого из них (не включая I) равна 0, т.е. для всех ©тих чисел
0. Построим график функции у =[х]на участке от 0 до I
(рис.22). Им будет горизонталь-
ный отрезок с концами в точках 0 и I,
которому, однако, не будет при-
надлежать точка I, т.к. ужеЩх
= I (этот факт отметим „пустым круж-
ком" на правом конце отрезка на 7£ Tj $
рис.22). -1
Рассмотрим теперь числа от -г
* 5с
I до 2, не включая число 2, Целая
частБ^йзних будет равна I. То
Рис.22
есть, на этом участке функция примет вид ^«1. На рисунке 23
эта часть графика изображена отрезком (без правого конца) пря-
. мой tyxl для X от I до 2.
Рис.23
Рассуждая аналогичным образом, можно построить график
функции для любых X (рис .24).
между, самим числом и его целой частью и обозначается символом
{xj. То есть •
... ,{xVx-W'
. Например, {2,53Ji. 2,53 ~[2,53]= 2,53- 2 - 0,53; .
{-13} = - 13 13]= - 13- (=13)- - 13 +
•ч 13 = О; -.' •.
{-7,б}«-7,6г[-7,б]=-7,б-(-8)=-
+ 8 = 0,4. ' . • ' .
?»6
Попробуйте построить график функции ^=£х|.
ЛОО
§ 7. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСК
НЫШ
Системой двух,л^еД^у, ^двдений \
Q двумя неизвестными называется си-
стема вида
(*)
< = ct
где Сч’О^Ь^.Са. - заданные числа,
X и - неизвестные. .
/Решением системы уравнений (х) называют пару таких>
чисел X Hlj, которые при подставновке в эту систему
обращают, каждое ее уравнение в верное равенство.
Решить систему уравнений - это значит найти все ее \
^решения или показать, что их нет.;/
Примеры I.
I.Проверим,явля-
ем исел
ется ли параУ"
3>=Ю и^= 15
решением систе-
V 5-
Задания I.
I«Является ли
пара чисел
Х=~2^^ =1.
решением сис-
темыГЪх-у = 7,
С-л*л= 3?
Д 10+15=25, верное равенство;
2*10-15 = 5.верное равен-
стьо.
2. Какая пара чисел:
I)X= 4,^= - I;
2)х= - I, у= I;
3) т= 4, I.
\о\
Пара чисел Ха I и ^«15 яв-
ляется решением данной си-
стемы уравнени. Ь
2. Покажем, что пара чисел
X =0 и - 2 не являет-
ся решением . системы
уравнений
С"^Х"Ч = ~Х .
является решением системы урав-
нений .
f-£x-5^ = S
( х-2^« г ?
Л< 5-0 + ±.(-2) . - I
.верное равенство (- I =1);
- 3-0-(-2) = - 2 - невер-
ное равенство (2 4 г 2).
Пара чисел Х=0 и- 2 не
является решением данной
системы» к
Примеры.2/ .
.Решим систе-
му УРавНейий
нм fx+*v%
способом подстановки,
Поступим следующим образом:
I) Из одного уравнения вы-
разим одну неизвестную че-
рез другую. В данном случае
удобнее из первого уравне-
ния X -г fopT выразить
Задания 2.
Решить сле-
дукя^ие систе
мы уравнений
способом
подстановки:
I) f : ’
2) [ х
Vх*ч^=1'
3) Г I'X-XyzxS,
L
402,
ос через 4)
2) Во второе уравнение
подставляем вме- 5)
сто неизвестной ее выраже-
ние из первого уравнения: 6)
44-540-^^.
3) Решаем полученное линей-
ное уравнение с одной неиз-
вестной:
-'5ТгГ1,’2Ь
V
2Х *5^ = S;
Ух*1^ =-2Л.
4) Найденное значение неиз-
вестной (^=1) подставим в
выражение для другой неиз-
вестной в пф
Х=7-5*1=2‘.
Найденная пара чисел х«2, .
является решением данной
системы.
Короче это решение можно
записать так:
д х^Ч-5^
V>x-2^;
2>(Ч-^У2^=Ц/
1А-А5^-2^=у
Решите, цислоаои
ргб^с; .
. • Ч
S-
• О •- з
• 1 •
5 •
• 1
4O2>
>=V-SM «£.
Ответ: х=2, ^=1. А
2. Решим систему
Г 1х ,
2^=-Э
способом подстановки .
A ^Lx-H^ -
Из первого уравнения
х = йз;
х.иьгмЗ, !
X«4. + i-y,
Подставляем это выражение
вместо X во второе уравне-
ние:
- 3(7+2^)ч2^=- 9 ,
- 21-6^ л2^ = - 9 ,
- 4<^ =21-9 , • • \
- 4^= 12 ,
^=12:(-4) • -
у-3,Х=7^г<-3),
X=.'iL . ’ '
Ответ:Х» I,*g •- 3. А
104
Примеры 3.
I.Решим систе-
му уравнений:
С Чэс^Зу’5,
способом сло-
Задания 3.
I.Решить си-
стемы спосо-
бом слот, ния
D
жения;
Поступим следущим образом:
I)Коэффициенты при одной из
f А ,
неизвестных,например, при
X «сделаем числами, равны-
*)
*Х 5^ - 2L$y
2>х -
ми по модулю, но противопо-
ложными по знаку.
Для этого, например; обе ча-
сти второго уравнения умно-
жим на -2:
[1X^=5 V(-2-T;
получим систему
f Ц5,
Ч) ( -2.x *
(_ Нх •
6х ♦ 8^ = -2,
5Х - = АО t
'Iх' ^-'1'*,
X - .
2) Сложим почленно оба урав-
нения (чтобы исключить неиз-
вестную х):
йх^’5-
V-A_.
405*
3) Найденное значение подста.-
мм в одно из уравнений исход-
ной системы, например, во вто-
рое Их+^=3 ♦ и найдем зна-
чение X:
ах.«у , . .
х»х.
Пара чисел х«2м являет-
ся решением исходной.системы
уравнений. . . ’
2. Запишем кратко решение си-
стемы уравнений
i3x -Х<у =5^,
*<Х+2>'^=-4Ъ
способом сложения: '
А . Г ^x-Z-ui -5 . l-i
[ 4х+^---1Ь |-1
L+ See - Gru = 6
r8X + G^-U
t4x. --17-, откуда
Л хя-i.
t»(-0^ = 3;
-э-^ = 3
Л=’6'
s Ответ: X * - 4, s ~ b • A ,
^/ьан
Относительные. ’
размеры планет
Солнечной системы:
П л угон—О.
Сатурн-
Йпмтёр^
V* Луна (спугни*
Земля — О ъемлц^-
Венера О
< Меркурии—о ' ‘
’ * * ' ъ '' ' * ’ ' <•
>*^В^рх ность с^*
Система (от греческого слова sys-tF-
пхх-целое, составленное из частей)—
- множество элементов, находящихся
Ъ отношениях и связях Друг с дру - /:
гом, образующих определенную це-
лостность, единство.
Какие ещё. системы (мроме
Солнечной системы и систем
уравнении у ъы ънаете ?
/Графиком линейного уравнения с двумя неиз- J
; вестными ах*€^е называется множество
точек 11 (х;*у) координатной плоскости, коорг
динаты которых X и'ОД при подстановке в это
уравнение обращают его в верное равенство.
Гр^иком л^ейногр уравнения р двумя, неиз- у
Уместными является прямая* ________
Примеры 4
I.Построим гра-
фик уравнения
Выразим из этого уравнения
Л| черезX: Ц-*>х.Л
Так как полученное к исходное
уравнения выражают одну и ’
ту же зависимость, то стро-
им. график «функции = Ъх- Ц
(рис.25): {
2. Построим графики уравне-
НИЙ - t
I) 2^=5; Г
2) i
Д I)2.’j=5',откуда
(рис.26) ч
'ЗвивмдД» г >
Построить гра- ,
фйк^уравнения:
1)-2ос+^«ц-
2) 5Ьс'-^ = г2; •
3). Зх.»2у2;
I. 4)-x-2^»6j
404
2) 1х-г=Р
Txs 2-.
X«4 (рис.26a}
Рис.26
з
Рис.ёба.
Пример 5. .
ьРешим графичес-
ким способом
Систему уравне-
ний ‘ <
-1;
Зх-z^ *о.
Поступим’следующим образом:
I) Построим в одной системе
координат график каждого
уравнения системы.
Для этого, из каждого уравне-
ния выразим через X:
Задание 5
• Решить графи-
чески систему \
уравнений:
I)
2) f x+z^=<o,
3) Сбх*5^=-Ь,
[-1Х+^= "5"у
4)
юз
рис. 23-
Зх-г^в-о,
-Х^хЗОС,
.... V'l*‘
2) По графику (рис.27) находим
координаты точки пересечения
графиков» которые и являются
решением исходной системы урав-
нений : х «2, *3._____________
Система линейных уравнений с двумя неизвест-\
ными может: . \
I) иметь одно решение (см.рис.28):
Ьш<28
Система <
ра-^-З
]1х*^ = 4
имеет одно
решений; ..
а-0^; ^=г
<09
\ не иметь решении Гем. 29) ;
Рис,29
3) иметь бесконечное множество решений (см.рис.30):
Система
СХх+ч^^ I
имеет бесконеч-
ное множество
решении
Рис.30
ио
Примеры 6.
Задача I.
Найти два чи-
сла, сумма ко-
торых равна
22,а разность
между удвоенным первым чи-
слом и вторым-равна 2.
А Пусть х- первое .число,
второе число,
тогда из условия следует,что
С Xt'tj- 2.2.,
Решаем систему способом
сложения ;
X+Aj = XX
Ьх ЭД,
х = 8 >
Ответ: 8’и 14. А
Задача 2.Расстояние между
двумя пристанями реки равно
75 км. Это расстояние катер
проходит по течению реки за
3 ч, а против течения - за
5 ч.Найти скорость движения
катера и скорость течения
реки.
Задания 6....
ifTT^Ja I.Найти два
чис л а, раз-
yQ НОСТЬ КОТОч.
равна
3, а сумма
первого и удвоенного второго
числа равна 15.
2. Туристы проплыли на моторной
лодке вниз по течению реки 48
километров,а затем на 24 км
поднялись вверх (против течения
реки) на этой же лодке»
На преодоление расстояния по
течению реки туристы затратили
4 часа, а против течения - 3
часа.
Какова собственная скорость
лодки и какова скорость течения
реки?
3. Двое рабочих заработали 513
рублей,первый работал 20 дней, .
а второй--21 день.
Сколько получают в день каждый
из этих рабочих, если первый
за 3 дня работы получает на Ю
рублей больше,чем второй за 2
дня?
ш
Д X км/ч - скорость кате-
ра в стоячей воде,
у км/ч - скорость тече-
ния реки,
тогда
СХ+у) км/ч - скорость кате-
ра по течению,
(X-у) км/ч - скорость кате-
ра против течения реки.
(Х+у)°3 км - расстояние,
пройденное катером по те-
чению реки за 3 часа.
По условию:
(х+^)-3^= 75.
(Хир-б км - расстояние,
пройденное катером против ‘
течения реки за 5 часов.
По условию задачи соста-
4. Две бригады за июль изгото-
вили 1320 деталей. В августе
первая бригада увеличила вы-
пуск деталей на 10%, а вторая-
на 8%, поэтому в августе две
бригады вместе изготовили
1438 деталей. Сколько деталей
изготовила каждая бригада в ию-
ле?
О понятии „ п£<м£емт
смотри на следую-
щей странице.^^
вим систему уравнений и ре-
шим ее.
f(x+g)-3 = 75,
(.(х-тр’б * 75 ,
Зх+ 3^= 75 -5
5х_ бу = 75 • 3
+15х-г 15 у = 375
J5T- 15у - 225
30х= 600,
600:30,
Х= 20,
3’20 + 3^ = 75,
3.^= 75 - 60,
3^=15,
V5’
Ответ: Скорость катера 15 км/ч.
скорость течения реки 5 км/ч.А
Напомним: >
/ Один процент (1%) - это сотая часть числа.
/ vt% от числа А находятся так:
А • <г #
\ 100 Дд., g
\ Например, 5% от числа 520 равны ——= 2.6.
Примерный вариант контрольной работы # 7
по теме "Системы двух линейных уравнений
с двумя .неизвестными*1.
al. Решить способом подстановки систему урав-
нений ( х -^ = 2 ,
12X45^=11 .
2. Решить способом сложения систему уравнений
1)(Зос-^= 7, 2)(5х+3^= - I,
. t2x + lj= 3; цЗх+г^О;
3. Решить графически систему уравнений
( х^.1.
L 2х-1|= - 4.
нз
4. Если от удвоенной ширины прямоугольника отнять 2 см, то
получится длина этого прямоугольника. Периметр этого прямо-
угольника равен 44 см.
Найти длину и ширину прямоугольника.
Всъма*ное. оформление решения контрольной работы У ..?•
Ответ:х= 3, I.
4 7
а-чр-ч,
-V-5,
V S’ •
Ответ: 'Х = 4, *vj = 5.
2)1'5Х+ 3^= - I,
_3х+ 2-1|= = О
Юх+ 6^ = - 2
- 9х— 6^ = 0
• 2
• (-3)
X = - 2
г>(-я)+1!у.= о>
-<о + 2-ч = о,
Ответ: X = - 2, = 3.
ИЧ
|Х| О з
3.(х+^= I, I -х Ы-1.1~г
b^j=-4, tj=2x+4 l^hlp
Ответ:X = -!,%[= 2 (рис.30 )
Рис.30
4. ПустьХсм - ширина прямоугольника, тогда
(2х- 2)см - длина прямоугольника,
периметр прямоугольника равен 44 см:
С Периметр Р прямоугольниках 2Х+ 2(2х-2) = 44,
со сторонами Хи ё находит-И2х+ 4х-4 = 44,
ся по формуле Р« 2а+ 2&Z/ 6Х--4 » 44,
6Х= 44+4,
6х= 48
Х= 8(см), 2*8-2= 14 (см) .
Ответ: ширина 8 см, длина 14 см*
Занимательные страницы
бь) Диофантовы УРавнения. Как мы знаем,
графиком линейного уравнения 0/х*8^-С
с двумя неизвестными является прямая \
-иг
линия* Пары чисел-координаты каждой точки х и'у. этой прямой
есть решения данного линейного уравнения* То есть каждое ли-
нейное уравнение имеет бесконечное множество решений. Уравне-
ние с несколькими неизвестными называется неопределенным,
В математике существует класс зццач, занимающихся решени-
ем неопределенных уравнений в целых числах. Заслуга рассмотре-
ния в алгебре решений уравнений в целых числах принадлежит
знаменитому александрийскому математику Диофанту (П-Ш в.н.э.),
поэто14у такие уравнения часто называют "диофантовыми*. Но и
теперь еще нет общих методов решения таких уравнений. Может
быть их когда-нибудь найдете вы.
Например, уравнение 2х-^= 0 имеет и среди целых чисел
бесконечное множество решений (для нахождения его решений до-
статочно взять вместо х любое число, тогда будет равен чи-
слу, в два раза большему:^® 2х).
Однако, ряд практических задач на нахождение решений ли-
нейного уравнения с двумя неизвестными имеет по ряду причин
либо ограниченное число решений, либо единственное. Рассмот-
рим примеры таких задач.
Задача I. Допустим,.что у вас имеются только пятирубле-
вые и трехрублевые купюры. Как, не получая сдачи, с помошыо
имеющихся денег заплатить сумму в размере 35 рублей?.
Д Пусть X - количество пятирублевых, а - количество
трехрублевых купюр. По условию:
5х + 3t| ж 35,
откуда
5х= 35 - З'у ,
х= = х =
□ 5 S J
Очевидно, что хи целые неотрицательные числа, поэ-
тому в последнем соотношении должен принимать только такие
значения, при которых будет целым числом, причем не боль-
5
шем 7.
Такие значения можно найти, перебирая подряд числа I;
I; 3,...Ю,П. Перечисленным условиям удовлетворяют значения
= 5 и. Aj= 10. Зная, чтох= 7-5Я, находим = 4, х^= I.
Ответ:1)4 пятирублевых и 5 трехрублевых купюр;
2)0дна пятирублевая и 10 трехрублевых купюр.
Задача 2. Найти двузначное число, первая цифра которого
равна разности между этим числом и числом, записанным теми же
цифрами, но в обратном порядке.
А Пусть <х- первая цифра, & - вторая цифра числа. По
условию:
Ои-Кб'-'Еои или
а.=(<0ал$)-(40в*а-) ?
а. - АОа*^ - а. , О=8а.-9б.
Для удобства рассмотрения соотношения между неизвестны-
ми, выразим одну из них через другую:
96= 8 си
. = -
Полученное уравнение имеет бесчисленное множество реше-
ний среди целых чисел (достаточно в качестве Q- брать числа,
делящиеся нацело на 9). Однако предложенная задача имеет един-
ственное решение. В условии задачи имеется денное, enje не ис-
пользованное нами при решении. Это то, что числа &и - од-
нозначные (в двузначном числе они служат цифрами). Тогда решений
становится очевидным: GL= 9» = 8. Искомое число.;. 98. ▲
Задача 3. Нашей учительнице в 1979 году исполнилось столько
лет, какова сумма цифр года ее рождения. В каком году она ро-
дилась?
А Пусть учительница родилась в 19осу году. Тогда из условия:
1+9+ х, чу=1979-19х[|, или
10+х + у =1979-( 1900+Юх t
10+ х+у =79-I0x-^ ,
Пх+2^ =69,
х = (69-2у):11.
Для решения последнего уравнения учитываем, что
1)х и - однозначные числа, 2) выражение 69 - 2^
должно нацело делиться на II.
Можно, конечно, перебрать в качестве все натуральные
числа от 0 до 9. это тоже не трудоемкая работа. А можно рас-
суждать так: "Самое большое значение может быть равно 9,
2-^=2 • 9 = 18, 69- 18= 51. Между 51 и 60 только два числа
делятся нацело на II - это 55 и 66, значит, 2^ могут быть рав-
ны либо 14, либо 3 (69-2^= 55 или 69-2^= 66). Но 2^ не мо-
гут равняться трем, т.к. должен быть целым, значит, 2гр
• 14, откуда 7. Тогда Х= (69-14):11 = 5. Дата рождения
учительницы 1957 год". А
Подумайте, а не могла ли учительница родиться в прошлом
веке (пожилой человек на пенсии может работать)?
Решите следующие. задачи самостоятельно:
Задача 4. Трехзннчное число оканчивается цифрой 7. Если пере-
ставить эту цифру на первое место, то получится число, в два
раза и ещд на 21 единицу большее первоначального. Определите
и
ока
та-
и
ЯВЛя-
это число.
Задача 5. В комнате было несколько обыкновенных стульев
табуреток на трех ножках. После того, как их все заняли,
залось, что ног у сидягцих людей и ножек у всех стульев
буреток 49. Сколько было стульев и табуреток?
(jO Графиком уравнения с двумя переменными., служат все
точки координатной плоскости, координаты которых (х;^)
ются решениями данного уравнения.
Так как в уравнении с двумя переменными неизвестные .Хи
вообще говоря, могут встречаться и в любых степенях, и под
знаками модуля и т.д», вид графиков уравнений может быть са-
мым разнообразным. . Например:
I) Графиком уравнения является окружность с центром
в начале координат и радиусом График уравнения 9
( К=3) изображен на рисунке 31.
Рис.31
2) График уравнения х~^г«0 изображен на рисунке 32.
£
Очевидно, в обоих случаях зависимости переменной у от пе-
ременной X ,заданные уравнениями, не являются функциями, т.к.
не каждому значению х соответствует единственное значение .
Попробуйте построить график уравнения 0.
Выясните, является ли зависимость определяемая
данным уравнением, функцией?
Решить следующие задачи с помощью составления уравне-
ний и систем уравнений:
I) У мальчика столько сестер, сколько и братьев, а у его сес-
тры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько сестер и брать-
ев в этой семье?
2) Летели галки,
Сели на палки.
Сели по одной -
Галка лишняя,
Сели по две-
палка лишняя.
Сколько было галок?
И сколько было палок?
no
3) Отец говорит сыну: ”10 лет назад я был в 10 раз старше те-
бя, а через 22 года я буду только в 2 раза старше тебя” «Сколь-
ко сейчас лет отцу и сыну?
4) На один рубль купили 40 почтовых марок: I-копеечных,4-ко-
пеечных и 12-копеечных. Сколько куплено марок кевдого досто-
инства?
ГЛАВА П. ГЕОМЕТРИЯ
Геометрий (ОТ слов г££.-ъенл> и., меткий) ьоъниод е> глъ
пот^иостем люден & измерении ъемеп, V
н»х эчаеткоъ . Строгое, посгро^нн-е геометрии *с&к Систг-
м»>* предложении (т«о^егч ) , пос редсвлте льнО бь^одниих
определений и немногочисленных сонатин и ис-
*,прииимА«мых AonabaTexbcTib^axcvioM,),
было дано в Дреьмен Греции при-
мерно & ЗоОгоду до кечиеи *рь»
§ 8. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПЛАНИМЕТРИИ
JF пп. Назва- ние геоме- триче- ской фигу- ры Рисунок и обоз- начение на ри- сунке Возмож- ные обозна- чения. в тексте Пояснения к обозначению Определения и свойства
я £ . S в
I. Точка •л л, ь,с,... большими бук- вами латин- ского алфави- та
2. Прямая Взаим- ное распо- ложе- ние то- чек и прямых: пара- ллель- ные прямые пересе- кающие- ся пря- мые /ъ о/Л С \е> У' -^Ил\ CL, ль а all 6 С*о1 = я малыми буква- ми латинского алфавита или по двум точкам, лежащим на этой прямой точки В и лежат на пря- мой 6 (или: прямая В про- ходит через точки Ь и 50); точка С не ле жит на прямой прямая О- па- раллельна прямой g; прямые с и J пересекаются в точке А Свойство: Через любые'Две точки можно провести прямую, при том только одну. Свойство: Две пря- мые либо не имеют общих точек,либо имеют только одну общ\ю точку.
3. ta 1 О к малыми буква- ми латинско- го алфавита Определение. Лу- чом называется
аг
1 2. г ч в
ОА или по двум точкам,лежа- щим на луче, первая из. которых - начало луча» часть прямой, огра-’ ниченная с одной стороны точкой. Свойство: Любая
точка делит пря- мую на два луча. Определение. До-
ft, k/o допол- нитель- ные лучи ОАи ОЬ
полнительными на-
зываются два луча с общим началом и расположенные на одной прямой. .
4. Отрезок А ЛЬ по двум точкам-кон- цам отрезка Определение. От-
* резком называемся часть прямой,огра- ниченная двумя точками." Определение .Конца-
ми отрезка наЗыв5-
ют точки,ограничи- вающие отрезок.
5. Угол. Ъ'Л .. м 0 Л / Ви4 ui , Л АЦП» -9ГЛА 4 ЛОВ 40 4*"К O-bet»- шина vena, ОЛ иОЬ- - стороны угла при ..обозна- чении тремя буквами-вто- рая буква. должна, обоз- начать вер- шину угла . Определение. Углом
называется геомет- рическая фигура,со- стоящая из точки и двух лучей,исходя- щих из нее. ,
Развер- нутый угол h О *—М —• Определение. Угол
называется развер- нутым. если его стороны являются дополнительными лучами . -
6. i Трв- уголь- ник В Л С дМс; Л,ВиС- верши- ны; /А или ZMC, /&или /лае, Л или Z&CA углы T^ej Г Определение. Тре-
угольником-на"5ыва-
ётся геометричес- кая фигура,состоя- щая, из. .трех отрез- ков,каждый два из которых имеют об- щий конец.
из
' 4 г 3> ц г 6
голь- ника; Л&.ВС и сл- сторо- ны треу- голь- ника •
7. Юность (^м (0;г) или ' (0;0М) центр окру- •жно- сти;. г-ра- дГ;. диа- метр; 3CJV - дуга окру- жно- сти на перлом Несте ъ скоб- ках етс^ центро*. ясности, на Второ »А (после точки с ъапя- tvv») - МЛ кус Определение♦Окру- жностью называет- ся геометрическая фигура,состоящая из всех точек плоскости,распо- ложенных на за-. данном расстоя-. нии от одной точ- ки плоскости,назы- ваемой центром окружности. Определения* 1) Радикс -отре- зок,соединяющий центр с точкой ок- ружности; 2) Хорда - отре- зок, соединяющий две точки одной окружности; 3) Диаметр - хор- да,проходящая че- рез центр окруж- ности; 4) Дуга - часть ок- ружности ,ограни- ченная двумя точ- ками .
8.Сравнение геометрических фигур
Две плоских геометрических фигуры0^, и4*1
называются равными, если их можно совместить
наложением. Записывают .
12Л
Пример I.
Среди фигур
рисунка 33:
I)окружности
с центрами
О л и Ог равны;
2) отрезки ЛЬ иДМрав-
Переведите на каль-
ку треугольники с
рисунка 34,вырежь-
те их.Найдите рав-
ные треугольники#
Рис/33
Рис.34
Из двух отрезков-меньшим считается- тот,
который при наложении на второй отрезок
так, чтобы конец одного совпал с концом
другого, составляет его часть.
Например* на рис .35 отрезок С меньше отрезкаЛВ>
ч^эаписывают: илиДО>ЛС)
ns
Л- рие. *5
На рисунке
36:
Рис<36
Рис.37
Определение* ............. . .
Серединой, отрезка .называется тохаха.
делящая его на два равных отрезка.
Б
Л
гАХ~ середина отрезка ЛВ.
Примеры 3.
Задание 3.
Из двух углов меньшим считается тот,кото-
рый при наложении составляет часть другого
угла (при наложении нужно совместить верши-
ны углов и по одной стороне каждого утла.
так» чтобы внутренние области располагались
по одн^^сягббщей стороны). Например» на ри-
сунке 40 Л^ЛС<2^М(или Z^ZU >£ЬЛС).
Рис.40
ш
Задание 4.
Л
О
С
ч)
г
Рис .41
Сравнить
/ДОС и £ЛО£> ,
ZCOK и ZFOD ,
/Кб© и Z?O£
(рис.41).
Пример 4.
На рисунке
ГдЧ /лоь^/лое
Z.£O6>£602>.
Определение. Луч, выходящий из вершины
угла и делящий его пополам, называется
биссектрисой.
В»
Например, 82>-биссектриса углаЛБС
Примеры 5. Задания 5,
I. Луч с - биссектриса Zl =Z2 =/3 =/4 =Z5 */6
Угла об (рис .42)
(рис.44).
I) назвать биссектрисы углов ЬОС,
ХОЪ;
2) биссектрисой каких углов являет
ся луч ОЕ?
9. Измерение отрезков
х^^Длина^отреэкаэто положительное число,
| которое- показывает, сколько раз единица изме-
х^ения укладывается в измеряемом отрезке.
№
/ Соотношения между основными единицами длины:
<) В I сантиметре 10 миллиметров: I см = 10 мм,
1мм = 0,1см.
г) В I метре 100 сантиметров: I м » 100 см,
I см » 0,01 м.
ь)В I километре 1000 метров: I км = 1000 м,
\1м » 0,001 км.
Примеры 6.
1)НаЙдем .
длину отрез-
ка ЛЬ (рис.
45): '
2см 6 мм.
Задания 6
Найти длины отрез-
ков AW и 8У(рис.47)
if> W
». Рис.45 ,
2) Найдем длину отрезка
CSX рис .46):
2,7 см. .
Рис.Al
4Ъ0
О 4
-1
Переложите одна \
спичка таким об^а- \
ьом, чтобы полами-
лось верное Равенство
Правило округления* Если первая из отбрасывае-
мых цифр больше или равна 5,_то последняя» ос-
таюгщаяся, цифра.увеличивается на I, если пер-
вая из.отбрасываемых цифр меньше 5, то послед-
няя остающаяся-цифра не меняется* ..
Напримерокруглим до десятых долей числа:
2,34^2,3; 2,371^2,4; 2,35^2,4;
8,9499^8,9; 8,97^9,0.
^-<^ивойства длин отрезков----------------------
/ I. Равные отрезки имеют равные длины*
‘ , 2* Меньший отрезок имеет-меньшую длину».
... За Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина
.всего отрезка равна сумме длин этих отрезков.
Примеры 7.
I.JB.2.4 см,
ВС=0,9 см
(рис .48)
Задания 7.
Л Ь- е
Рис.48
Найдем АС.:
А JOAB+BC,
ДС= 2,4-Ю,9=3,3(см).А
2. JM/в 7 см
IJ/b 4,4 см (рис .49)
М-?
A J1N= JU-K+Kh/,
Л К. N
. , Рис .49
откуда
7 см- 4 см »•
« 2,9 см- А .. •
3. На-прямой отмечены точки
1, Ь , С и t) (рис.50).
А ' ь с. 5D.
Рис-50
НайтиАС,еслиС9=1,5 см;
АЬ= 8 см,ОД= 3,5 си.
Рис.52.
2. Найти СЭ, если ЙО = 23 см, АВ»
в 8 см, ВС » 4 см (рис.53) .
Л Ь о ®
. . Рис .53
3. Найти ХМ^если
К,М3 18,5 см, К^= 15 см,ХМ> 4см
(рис.54);
Л . X Л J/
РисЛ4
А Отметим на рисунке 51
отрезки с заданной длиной.
= «о ьс =
чЧ8см
«ЭД-С® = 3,5 см-1,5 см =
= 2 см,
ЛС= Всм + 2см=*10 см. А
Пример 8.
На прямой точ-
ка В лежит
между точками
Л и С.
Яе>= 12см, 8см.
Найти расстояние между
серединами отрезков и
ЬС.
Д X- середина Лв,
и/- середина fcC (рис.56),Ь- середина отрезка К.У
Задание §.
На прямой точка К
лежит между точка-
ми № и (рис.57)
Рис.57
Л - середина отрезка К >
Л Ь
VC tV
7.
Л Л 6 и/ С
е •"« » * -*—•
Рис.56
Нужно найти длину J1J/.
ЛД-Д®.1-АЬ -1.12см -
»6 см;
&У=Ж=16С = | .8см=4см;
** «с
ju,x= Мч-р>л/ = 5смЛсм-10см
Л
Найти длину отрезка ЛУ
Ъо в»р£м?ч летних
кани<ч)л Саша д£ка~|
р\)жнл v\a забытом ос-
следы человека
у которого 6 ног,
j следи ног утого че-
J лое»е*<а у С f что ।
у однч Oapvj ног можно отнести
Ч к - 'с
а 'третье - к У
10. Измерение углов
\ЪЪ
I За единицу измерения углов обычно принимают градус -
угол, равный —• части развернутого угла.
Положительное число, показывавшее, сколько раз
градус укладывается в данном угле, называется
градусной мерой (величиной) j/гла♦
£ часть градуса называется минутой;в I градусе
60 минут (пишут: 1§60').
часть минуты называется сенуцдой;
BI минуте 60 секунд (пишут: Г-= 60")
Рис .58 *
Z.A09> » 45°; Z>0C= 120°;£АОГ>= 180°(развернутый угол).,
/^^7 Свойства величин (мер) углов-
I. Равные углы имеют равные градусные меры.
2. Меньший угол имеет меньшую .градусную меру.
З. Меранфвывернутого угла меньше 180°. .
4. Если луч делит угол на два угла, то градусная
\ мера всего угла равна сумме градусных мер
Хч^_углов) его составляющих-;____________________
Определение, Два угла называются смежными,
если в них одна сторона общая, а две дру-
гие являются дополнительными лучами, ..
Сумма смежных углов равна 100° (рис.59).
Мглы СОА и ЯОВ> -
смежные
е»
О
. Рис ,59.
Определение, Два угла называются вертикаль-
ными, если стороны одного-угла являются до-
полнительными лучами сторон другого угла.
Вертикальные углы равны (рис.60), >
и -вертикальные
/5 u/4 - вертикальные
ДЛ-ДЧ .
Рис.60
Примеры 9. Луч ОЮде- лит уголЛОЬ X V A v> ' на два угла. CAJ Найти: I)/Донесли Z.AOCD = 37°, Z^Ob ж63°; 2)Z*Ob ,если Z*OD« 21°48, Д&ОЬ * 34°53'; 3)£>АО^ ,если/АОВ« ^73°tZpOB»83o7 4)Z*>OB>, если ZAOB« I»°«)Ua<«>*45^30 ♦ В каждом случае указывать каков искомый угол:тупой, прямой,острый,развернутый А Из условия следует (рис .60й, что * ДЛ0& = £А°Ф + 2^ОЬ- 1)^Л0В«37оч€3°в100о/ 180°< 100°< 90?, значит тупой; 2)£Л0В»21°48+34°53^ »55°I0l' « 56°4IZ; J ^4? бб^Г'х 90?, значит /АО£> _ острый; Задания 9. /G.^\\ Дуч ОС делит, угол \ ЛОВ на два угла. 7'"^-' Найти: ,если£Л0С» s 48°» ^£>«64°; ?.)гЛОЬ ,если2сол =13°7^соь . 29°58{ . 3)^00. .если/ЛОВ=145°, £СОЬЖ .» 39°; 4)ZC0& ,если/е>0А.=58014,/ /СОЛ »17°4е/. Д<сТх ^no^ /<WVY\ *»>чм ve^ \ ‘ // Г 7 u ‘ || рис.бОо.
3)/ЛОЬ«/ЛОВ-/ЯОВ =
- 173о-83°«90°,
ДДОЮ - прямой;
4)£00Ь «/Лоа -/ло» =
«J2^°20'-45°30=
IKftl0 t
»II9°80,-45o30»74o50/.
74°50 < 90°, значит
/роь - острый. А
Пример 10.
Луч &S .
делит угол ,
ЛВС на две
части так,
что угол ДЬ® на 10°
меньше угла ©ВС .Найти
угол Qe>C ,если £ЯЬс =
»68°.
'Д Пусть/©БС» х°
(рис.61), тогда/АЬХ)«
« х°-Ю°, но
/АМ)+ 2®И>С = Z.Abe .
Задания Ю.
1.Луч М JLMW*
f угол две
части .таким обра-
Г/^4 зом, 4ToZKmw=x
=53°, а угол Х41ЭС
на 20° больше угла К-Л^,
Найти угол
2 Луч ОС делит угол Лоь на две
части так, что угол СОО> на 33°
меньше угла АОС .Найти угол ДОС,
если /АО В «124°.
^SHbtfiMgrO^-^
решения гео-
метрических га* »
дач - Q^ reCpgkL- •
Чвс КЦЙ /е пойлами уРлВ - J
~ нении)
<5%
Решим уравнение
X -Ю+х=68,
22=68+10,
П=78,
Х=78:2,
х=39,
/юе>с=39°.
Пример II.
ОС де-
' •пит Угол
fj| 1 на два угла
так, что угол ЛЮС в 2
раза больше угла СОВ .
Найти угол ЛЮС .если
ZJtoB «120°.
А Пусть/ЛОС«х°(рис.62),
Задания II.
1Луч Отделит
угол Л/ОК на два
угла таким образом
что угол Л/Одл в 3
раза меньше угла'
ДОК.Найти угол ДОК. .если
АЖ «168°.
2 Лучи- ОС я OD разделили угол
ЛОВ на 3 части (рис .63) так,что
Рис.62
тогда /СОВ « ~ »
но/ЛОВ = /Л^С + /СОВ
Решим уравнение ;
ZCOQ =2ZAO£> ,
/СОЬ =3 /ЛОЗ) ,
Найти .если АЛОВ =96°.
120= х + у ;
Az
lift
X =120,
X =I20:l£,
MO ^'1
X=^- =80,
s 1
/ЛОС=80°. Л
Пример 12*
Угол ЛОЬ лу-
чом ОС разбит
на два угла
(рис.64).
Найдем угол,образованный
биссектрисами этих двух
Задание 12.
Произвольный луч,
г? исходящий из верши-
ны развернутого уг-
ла,разделил его на
. / \fy/\ 2 угла.
Найти угол между биссектрисами
углов,считая, что мера
угла ЛОв равна
образовавшихся двух углов. Поль-
зуясь выводом примера 12, можно
сразу дать ответ, но лучше попро-
буйте аналогичные рассуждения про-
вести еи$е раз самостоятельно.
Рис.64
После проведения бис-
сектрис полученных углов
(OJU иОл/) на рисунке отве-
тили одинаковым количест- : <
**)Цасто при решении задач в общем виде (без числовых данных)
для обозначения величин,мер углов используют буквы греческо-
го алфавита: cL (читается "альфа”), е> (читается "бета”), Ъ
(читается "гамма”).
АЪЭ
вом "дужек" и одинаковы -
ми буквами р> и К равные
углы.Угол меаду биссектри-
сами равен р + гг .
Выразим его через угол К
Очевидно, что
к)-
т.е. угол между биссектри-
сами углов, на которые
разбит угол cL произвольным
лучом, выходящим из его
вершины,равен половине уг-
ла ot . А
Пример 13»
Найдем смеж-
ные углы Uk
и kt,если.
ДЮс*Мг2:3
(рис.65)(меры углов kк и
й kt пропорциональны чис-
лам 2 и 3).
Рис.65
ходят два луча,делящие разверну-
тый угол на 3 угла,величины кото-
рых пропорциональны числам 1,4,7.
Найти эти углы. л.
Важный тип ъадач :
на пропорциональность
величин
w
Д Если две величины(лю-
бые, не обязательно меры
углов) находятся в задан-
ном отношении, значит в
каждой из них содержится
одна и та же величина .
(обозначим ее через х )
указанное количество раз.
В нашем случае в угле ИЛ
величина х содержится 2
раза, а в углек£- 3 раза,
т.е./ЬА =2х, 1№ =3х.
Так как углы Vvk и kt смеж-
ные, их сумма равна 180°:
2х+ Зх-180.
Решая это уравнение,получим:
бх=180,_
Х = 180:5,
... Г =36°.
Значит Z.U =2х= 2«36°s=72°,
М =3х= 3.36°=108°.Д
Отношение масс пла-
нет
Меркурия,
Ьенеры>
Земли t
Марса ,
Юпитера,
—. - Ссьтурна t
Кентона
(ими из двести планет Сол-
нечной системы ) следующее:
ООН : 0 8 : 1 : 0 1 :Ъ13: 95’: 17 .
I z «в ’
Масса Земли S'SSO.....ООтэнг
4$ кулеч
При желании , ислольъул
отношение масс планет моле,
но определить млсс^ к аж- f
из планет, й можно
X схаъАТь- е>о с сольно риз
каждая из планет легче /-
или
тяжелее Земли.
Пример J4.
При пере-
сечении.,
двух пря-
мых обра-
зовались
Х.При пересечении
двух прямых обра-
зовались четыре
угла,причем сумма
двух из них равна
четыре угла (рис.66).Най-
136°. Найти меры всех образовав-
ти каждый из этих углов, шихся углов.
если /2=122°. 2. Найти каждый из четырех углов
Aj)Z.A-ZZ е>еРги-в (рис.6б)«если
чайные), ъначит /«.МП; ^-^1=25°,
б) /2 = 2-/3.
2)/I + /2=180° (как смежные
углы), значит/1=180°
=180°-122°=58%
3)/3 sLl (как вертикальные
углы), значит/3=58°. А
Примерный вариант контрольной работы № 8
по теме "Основные понятия геометрии"
I. Найти &С,если $й=29 см, ЯВ=5 см,СЯ>=7см
(рис.66а).
С
Рис.66а
2. Один из смежных углов равен 25°25'.Найти второй
угол.
3. На рисунке 666/1' =148°. Найти углы 2,3 и 4.
4» Луч ОС де л ит угол ЛОВ на две части таким образом, что
угол ЛОС на 32° больше угла СОВ. Найти угол СОЬ ,если/А0В«
» 172°.
Возможное оформление- „
решения контрольной работы Ж 8
I. Дано: А® *29 см,
ЛВ = Ь см?
. . СФ « 7 см
...рис. 66а)
Найти': ЬС............
Решение: J-Я) = АВ+ВС ,
откуда ВС «М)-М-С£),
&С«-29см-5см~7см=17 см
Ответ: ВС«17 см .
2. Сумма смежных углов равна 180°, поэтому второй угол
равен 18О°»25о2б'» 154°35'. - ... _
3. Дано: L\ «48° (рис.666)
Найти: /2./3./4
Ответ:/2« 132° </3»48°,
Z4=I320.
Решение: 1)/1^ « 180°(как
смежные углы),значит /2«18Оо-
~48°«132°; ...
2)/3=/1как вертикальные,
3)/4»Z2t /4» 132°.
143
4.Дано:/АО&= 172°,угол
АоО на 32° больше
угла СОВ.
Найти: ZpOB> •
Решение:
Сделаем чертеж по условию
задачи (рис.ббв)
Пусть/СОВ =Х°> тогда
ДАОС* (Хч32)°.
По условию:
х +(Х432)«Г72,
X +Х-*32»Х72,
2x=:I72-32t
2x^140,
Х=70.
Ответ :/СОВ «70°.
Занимательные страницы
(l)B квкУю сторону откладываем?
Задача!. .Три точкиЛ , В> и С лежат на од-
ной, прямой, причем ЛВ=5см, &С»8см.Ка-
кова длина-отрезка-ЯС? „ .
Д Ответ хочется дать сразу: ”13 санти-
метров”. ..
(Л&+ ВС =5см + 8 см = 13 см).
<44
Отложим на прямой CL от произвольной точки А вправо
отрезок см. Отрезок от точки Ь мы можем отложить
в ту же сторону и получить отрезок Арис.67), но можем от-
ложить и в левую сторону, т.е. получить отрезок ЬС2(рис.67)4
Рис.67
В последнем случае длина отрезкаЛС(т.е. отрезка АСг) будет
равна не сумме, а разности длин отрезковбСи ЛВ:
ЛС «8см-5см - Зсм.
Таким образом, задача имеет два различных решения.
АС =8см илиАС=Зсм. А
. -Задача 2. Z*OB= 45°, ISM =60°. .
Найти угол ЛОССдля каждого возможного случая сделать чертеж).
(2) Измерительные инструменты всегда при тебе.«.
>1» Для измерения больших расстояний полезно знать дли-
ну своего шага.. С ее помощью, подсчитав количество шагов,
можно определить пройденный путь. - . .
......Длина каждого твоего шага немного отличается от длины •-
других твоих ле шагов. Однако, в среднем, человек делает ша-
ги приблизительно одной длины. • -
-• -Как определить поточнее длину своего шага? Для этого
нужно;.
I) знать расстояние между двумя какими-нибудь неблизки-
145“
ни предметами (например, между двумя телеграфными столбами);
либо с помощью рулетки (тут уж не обойтись без достаточно
точного измерительного прибора) отмерить на дороге,например,
20 м и поставить в начале и в конце отмеренного отрезка вехи;
2) пройти обычным своим шагом путь известной длины X >
считая при этом свои шаги (пусть их получилось *v);
3) разделить X на п,,определив тем самым среднюю длину
своего шага»
Вопросах. Для чего эта долгая процедура с отмериванием
большого расстояния, ходьбы, подсчета шаго^? Не проще было
бы просто сделать на песке один шаг и измерить его длину?
Вопрос_2Л Теперь, зная длину своего шага, вы можете оп-
ределить любое пройденное вами расстояние. Как вы это сдела-
ете?
2. Для обмера^полезно знать,что:
- ширина ладони вместе с прижатым к ней большим пальцем
примерно равна 10 см:
- расстояние между концами раздвинутых до предела сред-
него и указательного пальцев у разных людей колеблется от 5
см до 8 см:
4UG
- расстояние между концами раздвинутых большого и ука-
зательного пальцев (в народе называют "четвертью"),примерно,
равно 18 см (6 четвертей, отложенных последовательно,дают
расстояние,примерно, равное метру):
- расстояние между концами пальцев вытянутой горизон-
та льйо руки и плечом другой руки близко к I м:
Для измерения предметов средней величины удобно "обмер"
произвести сперва любой веревкой (или ниткой), затем, положив
ровно веревку на гладкую поверхность, измерить ее, восполь-
зовавшись известными вам по длине частями своего тела.
3. Ддя^змвр^ия jfpgwerpg> малой ^лины хорошо знать ка-
кой-нибудь размер маленького предмета, который у вас всегда
с собой. С этой целью полезно знать, что:
- ширина вашего ногтя,примерно,равна I см,
- диаметр однокопеечной монеты равен 1,5 см,
- диаметр пятикопеечной монеты равен 2,5 ся,
Для измерения маленьких длин лучше всего произвести "об-
мер" ,например,, с помощью полоски бумаги, а затем уже полоску
измерить имеющимися у вас средствами.
@ Будь внимателен.
I) На отрезке ЯВ отмечены точки Л и V (рис .68). Сколько
Л получилось отрезков? Если вы
видите только .три отрезка
вы ошибаетесь.
14S
А отрезки М , А В , АЪ?
Теперь подсчитай, сколько
отрезков изображено на рисун-
ке 69?
©
Ь
A
Рис.69
2) Прямоугольник А6СО разделен прямыми Ми 6# на ча-
сти (рис.70), Сколько получилось разных прямоугольников?.Не
торопитесь с ответом, их намного больше четырех. Перечисли-
те их.
Л
L
«в
3) Сколько треугольников изобра-
жено на рисунке 71?
У
Рис.70
...... .......Рис.71
* (Q Задача. Две каменные лестницы* обе имеющие высоту
I м и основание 2 м, покрыты ковровыми дорожками. Однако,
первая лестница имеет 4 ступеньки,
а вторая - 6.Какова длина.
ковровых дорожек,покрывающих
каждую из этих лестниц?
(рис.72).
Рчс.чг
449
Длина спички
й^см. Как иъ
спичек сло-
жи ть меть 7
Очевидно, провести 3 отрез-
ка, проходящие через четыре за-
данные точки, не отрывая каран-
даш от бумаги - просто (рис.73).
Рис.73
Несколько сложнее» также не отрывая карандаш от бумаги,
провести 4 отрезка так, чтобы они прошли через заданные 9
точек (рис.74). Попробуйте таким же образом"соединить" 16
точек (рис.75) шестью отрезками*
Рис.74 .. .. . Рис.75
(б7)Исчезновение отрезка (фокус).
Начертите на прямоугольном листе бумаги пунктиром линию,
соединяющую противоположные углы листами десять вертикальных
отрезков одинаковой длины на одинаковых расстояниях друг от
Друга, как это показано на рисунке 76.
<50
Разрежьте лист по пунктирной линии
и передвиньте нижнюю половину вниз
влево на величину расстояния между
соседними отрезками (рис.77). Под-
считайте, сколько теперь отрезков?
Их.стало 9. Подумайте, куца "делся*
один отрезок?
?исЛ6
© Почти шифровка.-
Пожалуй, только посвященные в "секрет" поймутчто. в
данной окружности (рис.78) начерчены не произвольные отрезки,
а написаны определенные слова. Для прочтения написанного нуж-
но посмотреть на лист бумаги так, как показано на, рисунке 79,,
после этого можно повернуть лист на 90°.в плоскости рисунка'
и прочесть тем же способом другие слова.
Рис.78 .... Рис.79
Чем объяснить такой способ чтения ^длинных" букв? '
В11ЖН>
A 54
§ 9. ТРЕУГОЛЬНИКИ
Л
С. fi
Л А&С в Д -А, ВдС <
/I. В^равных треугольниках против
равных сторон лежат равные углы.
2. В равных треугольниках поотив
равных углов лежат равные сто-
s____
Чтобы построить треугольник» равный данному,
нужно уметь строить:
I) отрезок, равный данному;
2) угол, равный данному*
Конечно, это можно сделать с помощью линейки
с делениями и с помощью транспортира. Однако,
в математике требуется умение выполнять пост-
роение , используя только .циркуль линейку
бел делений.
t5Z
Пример I.
На рисунке
81 показан
порядок пост-
роения отрез-
' ка рав-
ного отрезку в кружках
Задание I.
Построить с помо-
шыо циркуля и ли-
нейки без делений
отрезок рав-
ный CTopoHevfge-
уголышка ЛвС(ряс.82).
обозначены номера этапов
Разберитесь самостоятель-
но: какие элементы фигур и
какие по величине строятся
на каждом этапе. Это помо-
Рис.82
жет осмысленно запомнить по-
рядок построения. I
Пример. 2. . ,
На рисунке 83 показан по-
рядок построения углаЛ^
равного углу Я (с помо-
щью циркуля и линейки).
Задание. 2.
Построить с помощью циркуля и ли-
нейки угол Ь,, равный углу Е> тре-
угольника ЛВС (рис.82).
<55
Первый признак равенства треугольников
Ь
Вл
J\}
аАЪОаДЬА
сл
Если две стороны и угол
между ними одного треу-
гольника соответственно
равны двум сторонам и
углу между ними другого
треугольникак-то такие
треугольники равны
(рис.84,).
риС.
Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними ’
Дано Требуется построить Построение
g, G л '« с (Т) , sb' л ® ..в Л А и л в zJ—тм.—У л е
л 6 ?с
А5Я
дЛВС=аЛДСд
Рис.85
Второй признак равенства треугольников
в
Если сторона и два прилежащих кней
угла одного треугольника соот-
ветственно равны стороне и двум
прилежащим к ней углам другого
треугольника, то такие треуголь-
ники равны (рис.85).
Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам
Дано Требуется построить Построение
g в © i с (3) хЬ две.
Л е
с
ASS'"
С
дЛВС-
Рис.86
Третий признак равенства треугольников
iB
Если три стороны одного
треугольника соответствен-
’ но. равны трем сторонам дру-
гого треугольника, то та-
кие треугольники равны
(рис.86).
f В математике рассуадения, с помощью которых устанавли-
вается справедливость того или иного утверждения, называет-
усядоказательством. .
Рассмотрим конкретные задачи на построение треугольни-
ков по известным трем элементам (с применением измерительных
инструментов):
Приметы 3. (На построение 7\1 треугольников гЧ(Ц по заданным V элементам). I.Построить дКХН.если ХК=Зсм,ХД =4см,/Х« =35°. А Прежде чем выполнить построение,проведем ана- лиз условия задачи. Сделаем "от руки"чертеж треугольника RJXА .Предпо- ложив, что мы его верно по- строили, отметим те эле- менты, которые заданы в условии (рис. 87).. Вадим, что сможем постро- итьдКХД,т.к.в нем. изве- стны две стороны и угол между.ними. Построение: (рис.88) I)Z«JU=35°, 2) ХК =3 см, 3) КО» =4см, 4) . К.Д Доказательство: дКХД— искомый, т. к. «35°, Задания 3. I.Построить дЛВС,ес- vVlc ли АВ =4,5 см, ВС» =4см,ДВ=75°. Построить дС£)£,у которогоФС «3,3см, Ъ8=5»1см,/?> =115°. 3 .Построить Д£КХ ,у которого КХ» «2,5cM,ZK«l7°,ZX»520. 4 .Построить д>ВС,если АС «6,1см, £А «125°,ZC =20°. . 5 .Построить треугольник,стороны которого имеют длины 5см;4,5см и 6 см. 6 «Построить д КХД, если КХ =1,бсм, ХА»2,Зсм, КА»0,02 м. к, \ —Д ‘‘С“ JL Рис47 uV Рис.88
154.
«Зсм, Xlt=4 см. При решении задач на построение
Исследование: Построение < после выполнения построения не-
угла можно было на- обходимо'.доказать, что построен-
чать от любого луча плос- ная фигура - искомая, а затем
кости и построить бесчис- провести исследование результа-
ленное множество треуголь- та построения (выяснить, в каких
ников по заданным элемен- ' случаях решение существует,сколь-
там. Но все они были бы । ко решений имеет задача)..
равны по I признаку равен- Таким образом,решение зщгачи на
ства треугольников. В та.-*( ^построение осуществляется по че-
ком случае говорят, что [ 'тырем этапам (некоторые из них
задача имеет единствен- ) можно выполнить устно):
ное решение. А / I) Анализ.
2. Построить дЯВС.если / 2) Построение.
Л В =4,5см,/Л =40°, ДВ = ) 3) Доказательство.
=55°. \ 4) Исследование.
А _н а л и з (см. рис.
89): Построение треу- гольника Л-ГЪС возможно по стороне и двум прилежа — Шим к ней углам. Построение (рис.90): I) Яв =4,5см, ьательстао 2)/й -40° гог^что аАВС-ис- zz-Jt -чи , ксмщй ц неслабо - 3)415 =55° не решения / • проведите са- Z 4) Точка С мостоятельно А /ц д С х. Рис.&9 5V Л / \ Рис.90 0° ii Ч Г.лл Pi
45g
3.Построить .если
ФЕ «2,5см, «Зсм, ,Tfc>=
-4см.
А на л и з (см.рис.91):
Построение будем вести по
схеме построения треуголь-
ника по трем сторонам.
Рис.91
Построение (рис.92):
^2 «Зсм.
2)l Окружность с центром в
точке 9- и радиусом %, =4см.
3) . Окружность с центром в
точке £. и радиусом Х=
=2,5см.
Точкаф
5) У».
Рис.92
ятель но?
ZA и Z.B
za и а
6>
Дока^тельство м исследс-
ьдннв проведите са моего-
-А почему ьсетреу^
гольники мы строим
по трём элементам /
Может бьпъ достаточно
энагь всего лишь Z элемента;
CL и С
©
л
Л
дев
в, в,
— Потому/что по двум заданным эпемемтаЛч
можно построить много различных (не раьних) \
—-— треугольников» Посмотри ниже^у
A 59
страницы)*
I.Периметр рав-
ностороннего
треугольни-
ка равен 48 в
см.Каковы
длины его сторон?
Д Пусть в равностороннем
Задания 4.
I.Найти (устно)
периметр равно-
стороннего тре-
угольника» если
длина его сто-
роны 21 см.
2.Найти (устно)
сторону равно-
треугольнике все стороны
равны (Ь ,периметр (сумма
длин сторон) треугольника: >
а+<1+а« 48,
За, ₽ 48,
6Ь » 48:3,
0.» 16(.см).
Ответ: каждая сторона треу-
гольника имеет длину 16 см.Д
стороннего треугольника,пери-
метр которого равен 114 см.
3 «Боковая сторона равнобедрен-
ного треугольника на 3 см боль-
ше основания» Найти стороны
этого треугольника,если его пе-
периметр равен 27 см.
1ьо
2. В равнобедренном треу-
гольнике основание в 3 раза
меньше боковой стороны. Най-
ти стороны треугольника,если
его периметр равен 35 см.
Д Пусть X см - длина ос-
4. Основание равнобедренного
треугольника в 2 раза длиннее
его боковой стороны.
Найти стороны такого треуголь-
ника* если периметр его равен
64 дм.
нования треугольника,
тогда 3 X см - длины боко-
вых сторон треугольника
(рис.93). Периметр треуголь-
ника-это сумма длин его сто-
рон : 3 X + 3 х + X ** 35.
Решим составленное уравнение:
7х« 35,
X = 5(см),тогда
ЗХ хЗ-5
Ответ:
15 см,
15(см)
стороны
15 см, 5
треугольника
см. А
Рис. 93
Подсчитайте J
\м) сколько всего
треугольников
изображено
g
А сколько квадратов
изображено на рисинке
Вииэм ?
464
Пример 5.
рисунке 94
М равные отрезки
ПП отмечены оди-
наковыми штрихами. Нужно до-
казать, что ДЙОЬ=дС02),
Задание 5.
1.На рисунке 98
отмечены рав-
ные отрезки.
Доказать, что.
«дД(Ж
. . Рис.94
Д Доказательство:
DZftOB = /COS как вертикаль-
ные,
2)дЛ0Ь«дС0рпо I прийаку
равенства треугольников (по
двум сторонам и углу между
ними). А
2. На рисунке 95/1 » /2,Л
Доказать, чтоДСФ&.
Рис .98
2. На рисунке 99/Ь= /3,/2 «/4.
Доказать, что/5 «/б.
З.На рисунке 96 Jfc=6C,W« ЛС .
Доказать, что/У)Л& « /ЛЬС .
4. Дано: треугольник ЛВС
(рис.9ft) - равнобедренный (АВ«
«ьс).
Доказать, что A© .
Доказательство:
Сторона для треугольников
АВ© и $СВ- общая.
дЛВ© = дФС0> по 2 признаку
равенства треугольников (по
стороне и прилежащим к ней
углам). А
3. На рисунке 96 А© = be ,
<РЬ = АС .
Доказать, что/б^С =МС£>.
Л Доказательство:
I) д A CD а дЬСФ по 3 признаку
равенства треугольников (по
трем сторонам; сторона Фв
у них. общая) •
2) В равных треугольниках
АС© и ВС© против равных сто-
рон 6С и Л9 лежат равные углы:
Z№C= ДАСЯ> .А
4. На рисунке 97 А6« ЪС и
С© = Е© .
Доказать,.что Z.6AC «ZClSb.
А Доказательство:
I)ZBAC = Z^CA как углы при ос-
новании равнобедренного треу-
гольника АЬС .
2)ZdCA =/2С© как вертикальные.
3)£tc© как углы при ос-
новании равнобедренного треу-
гоЛьника СФЕ .
4)/ЬАС х ДСезо как углы, каж-
дый из которых равен верти-
кальным углам ЬСА и . А
Используя 3-при-
знак равенства
треугольников,
можно обосно-
вать предложен-
ное ниже построение биссек-
трисы угла с помощью циркуля
и линейки.
1. Построите биссектриса
угла Ь (рис. 400):
Задания 6.
РисЛОО
2. .Докажите,поче-
му луч ОС .по-
лученный на 3-м
этапе построе-
ния (см.схему
построения биссектрисы угла Ж»),
действительно является биссек-
рисой углаЛОй
Построение биссектрисы угла
Дано: Требуется построить Построение:
о ’ 0 (D 0 0 е> 2^' 0 &
Как с помощью одной спички,
не ра-ьлам^аяя -её f ньоБРа^ить
н а сто ле тре у г© льн и к ?
А с noMoupvo а&ух спимек-
к.ьадрат ?
464
Теоремы, о соотношениях между сторонами
И углами треугольника:
I. В треугольнике, против большей стороны лежит
больший угол (рис.101):
если АС>ВС#
то > £А •
"Рис.101
2. В треугольнике против большего угла лежит
большая сторона (рис.102):
Рис. 102
олли ZB>ZAy
то АС > ВС
3. Если в треугольнике два угла равны» то
такой треугольник равнобедренный (рисЛОЗ):
Рис. 403
Примеры 7.
В
~ Рис.104
CL<
4. Неравенство треугольников:каждая сторона
треугольника меньше суммы двух других сторон
(рис .104):
^Существует ли
треугольник сс
сторонами 2см,
3 см, 6 см?
Д Не существует,т.к. 6 см>
> 2см{Зсм(каждая сторона
треугольника должна, быть
меньше суммы двух других
сторон по ’’неравенству Тре-
угольников”). ▲
2 .Найти третью сторону рав-
нобедренного треугольника,
если известны две его сторо-
ны 6 см и 2 см.
А Третья сторона должна
быть равна либо 6 см, либо
2 см(т.к, треугольник равно-
\us
С 4 <1*6 .
Задания 7
В
1.Даны длины трех
отрезков:
1)3 см;2 см»3
2)2 см;12см*б
3)4 см; 6см»Ь
см;
см;
см.
каком из этих случаев можно
построить треугольник,приняв
данные отрезки за стороны тре-
угольника?
2.Известны длины 4 см и 3 см
двух сторон равнобедренного тре
угольника, найти третью его сто
рону.
Внешний угол треугольника. >
Определение. Угол, смежный
с углом треугольника, на-
зывается внешним углом
го треугольника.
Z< и2Я~
Z3 и^-
/Г и$-
это-
внешние углы
вершине Л *
углы
В,
внешние
вершине
внешне
вершине
при
при
углу
при
Теорема. Внешний угол
каждого угла
с ним.
треугольника -больше
треугольника, не смеж-
Например, /I >Д& и /I > ZP «
бедренный) «Но 2 см она не
может быть равна,т.к.
всм> 2см+2см, т.е.треуголь-
ника с такими сторонами не
существует.
<Ь4
Если же принять «что
неизвестная сторона
равна 6 см, то мевду
сторонами треуголь-
ника 6см, 6см и 2 см
выполняется соотноше-
ние неравенства треуголь-
ников.
Ответ ? 6 см, ±
Примерный вариант контрольной работы У 9
по теме ^Треугольники1*
I. Построить дЛВС'всли:
1)АЬ»4см, ЬС «3,5см, Z& =65°;
2)J№>«5cm, Z.A «30°, ZB «90°;
3)АЬ»3,5см>ВС«Зсм/ ЛС «4,5см .
2. Известно, чтоЛЬ*= Z&AC «ZMC
(рис.105), Доказать, чтодАВС
3. Построить биссектрису угла КОД (рис. 106).
Рис. *06
О
1(b$
^с^можное оформление решенид
контрольной работы У 9.
Примечание: описание этапов
построения, а также доказа-
тельства и исследования от
учап^ихся на денном этапе
обучения можно не требовать;
достаточно правильно выпол-
нять сами построения.
I. I) Дано: АЬ =4 'см,
ЬС =3,5см,
де> =65°
Построить: д ЛЪС
• ZA =30°
де>«90°
Построить: Д АЬС
Рис.107
DZft =65°;
' 2) ВА «4см;
3) ЬС «3,5см;
4) АС;
дАфС - искомый.
Построение: (рис.108)
I) ЛЬ »5см;
2)£А ₽30°;
3)/&«90°;
! АА6С -искомый.
ie>9
3) Дано: AB> =3,5см,
e>c «зам,
AC «4,5см
Построить &JWSC
2. Дано: Aft »ABf ,
ZBAC « 4В|АС
Требуется доказать:
ДА&С- = лАВ^С
3. Дано: угол . КОД.
Требуется достроить:
биссектрису угла КОД.
. Построение (рис.109):
1)АЬ «3,5см;
2) охр. ( В; Зсм);
3) охр, (А ; 4,5см);
4) С - точка пересечения ок-
ружностей;
6) АС;
6) е>с.
а АВС - искомый.
Доказательство (см.рис.105).
аАЬС»дАВцС- по I признаку
равенства треугольников:
АВ «АВ< по.условие,
АС - обцая,.
Z.BAC по условию,
Что и требовалось доказать.
Построение (рис.НО):
I) окр. (О-ОА);
2) охр. (в;ОА);
3) окр. (А ;ОЛ)
С« окр.(В;ОА)х окр.(А-;<w)
4) луч ОС- искомая биссектри-
. са.
Занимательные страницы
(7^) Устно докажите по рисункам III
равенство треугольников (равные
элементы отмечены одинаковыми
значками).
Рис.III
(2^) Задача. Нужно построить
чтобы она проходила через точку
прямой к(рис.П2).
окружность радиуса так»
А, а ее центр лежал бы на
R.
Рис.112
Д Построим сперва окружность с центром в точке А за-
данного радиуса (С(рис.ИЗ). ^
Эта окружность пересечет прямую
в точках Ви С (случай,когда
окружность не пересечет пря- L
мую,рассматривать не будем).
ПА
Но ШИнужно построить окружность, которая проходила бы через
точку Л ,а центр ее лежал бы на прямой .
Дальнейшие рассуждения и построение проведите самостоя-
тельно... А
@ Знание признаков равенства треугольников может ока-
заться полезным на практике. Например, .с их поморю, произве-
дя определенные построения, и измерения» можно определить рас-
стояние до недоступного объекта. - >
На рисунке 114,показаны построе-
ния, с помопрью которых можно оп-
ределить ширину реки Л&.
' Исследуйте . чер-
теж. , найдите равные углы и отрез-
ки. Длина, какого,доступного из-
мерению, отрезка равна ширине ре-
ки?
Р (*•) Задачи на' построение с применением алгебры..
Задача I. Построить треугольник со сторонами U, и С,
если даны три отрезка, длины которых равны CL»2&+С и 2О.+ С.
Д I) На прямой или луче отложим последовательно два от-
резка длиной Сь, получим отрезок длиной 2 0.;
2) уменьшим длину третьего данного отрезка 2 сь + с на
2 а, останется отрезок, длиной £; ...
- 3).уменьшим длину второго отрезка 26+ с на с,полу-
чим отрезок длиной 26 ;.
4) разделим полученный отрезок 26 пополам (позже мы
m
покажем способ деления отрезка пополам с помошью циркуля и
линейки без делений* а пока будем считать, что пополам отре-
зок можно разделить, например, с помощью мерной линейки или
перегибания листа бумаги до совмещения концов отрезков).
Таким образом, отрезок ct нам был. уже дан, отрезок 6
мы нашли на 4 шаге решения задачи, а отрезок е - на 2^то.
есть имеем все три стороны треугольника. Способ построения ,
треугольника по трем сторонам нам известен. А
Задача 2. Построить треугольник со сторонами а, 6 иС,
если даны. три. отрезка,-длины которых равдыа+в, 4 + С ий+С.
(Т) Головоломки со спичками.
I. Из спичек выложите фигуру, состоящую
из 9 равных треугольников, как ©то по-
казано на рис.Пб. Уберите 5 спичек
так, чтобы остались б треугольников.
На рисунке 116.показано одно из ре-
шений этой головоломки.
Теперь самостоятельно, вернувшись
к рисунку Пб, уберите 6 спичек так,
чтобы не осталось ни одного треуголь-
ника,
II? показана фигура, выложенная из спичек
И-состоящая из 6 разносторонних тре-
угольников. Переложите 4 спички так,
чтобы получились 3 равносторонних
треугольника. Рис. II?
Рис.I15
Рис.116
. 2. На
Пз>
Гб?) Четвертый признак равенства треугольников?
Мы знаем три признака равенства треугольников. Но мы не
ставили вопроса о том, что, может быть, существует еще, хотя
бы один, признак, устанавливающий равенство треугольников.
Например, по двум сторонам и углу, не лежащему между ними.
Давайте.рассмотрим
дАЬСи дАОД,у которых
8>,С, и£А«
«ZAt* (рис.П8).
Попробуем доказать их
равенство.способом "при-
кладывания* :.вершина Ь
совместилась с вершиной
вершина С - с вершиной Сt у
а вершина А и оказались по разные стороны от прямой ВС
. Рис.II» .
Возможны три случая расположения дАвСябАД^;
11Ц
I) луч AA< проходит внутри угла ЬДС^(рис. 119 а),
2) луч АА^ проходит через стороны АС‘иАД(рис.Ц9 б),
3) луч АА< проходит вне угла ЬС (рис.П9 в).
Рассуждения проведем для случая I (рис.119 а), для 2 и
3 случаев рассуждения будут аналогичны.
Д Итак, на рисунке 119 а дАЬА~равнобедренный (Аь » А<Ь по
условию), значит равны углы при основании:
ДЬААа =двача>
Далее: ДСАА< = ДА - ДвАА< , Lc^ s ДА< - Z&A4A , но T.K. L* «
« ДА1 и ДбАА^ДСА.А ,то ZCAA^cZ£AjA.
Это значит, что A ACA< - равнобедренный, т.е. AC = А,С . I
. - Имеем в треугольниках АЬС и ВС по три соответственно I
равные стороны, а такие треугольники равны (по третьему при- I
знаку равенства, треугольников). Л ............ I
Что же получается?..Существует ефе один признак равенст- I
ва. треугольников - по двум сторонам и углу, не лежавшему между I
этими сторонами? |
Нет, такого признака нет,хотя в некоторых случаях два тре- I
угольника будут равны и по только что названным элементам. Но
это будет не всегда. Попробуйте выяснить, с какими оговорками I
суцастэует названный нами "четвертый признак равенства тре- I
угольников14 (по двум сторонам и углу, не лежащему между жми). I
В качестве подсказки предлагаем рассмотреть на рисунке I
120 два треугольника: .в I
дАЬСи »WD). I
\ / \ I
А -———=-Z........-А л I
ю е I
Рис.120 I
I
№ I
- • I
бл) Задача. На земельном участке, имеющем форму треуголь-
никам; указанными на рисунке 121 размерами, нужно по перимет-
ру посадить деревья так, чтобы каждые соседние два были друг
от друга на расстоянии не менее 5 м.
Сколько можно посадить де-
ревьев на этом участке?
Не ошибитесь - ьадама
с подвохом.
SO м
Рис.121
§10. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ
ПРЯМЫЕ
fUc.
12Z
ъ
Определение. Две пересе-
кающиеся прямые называ-
ются взаимно перпендику-
лярными (перпендикулярными)
если они образуют четыре пря-
пых угла.
На рисунке 122 прямая АЬ перпендикулярна прямой С£> (обо
значают: АЫСФ).
А
Перпендикуляр, проведенный
из точки к прямой, меньше любой
наклонной, проведенной из той же
точки к этой прямой (рис.123).
иэ тоцки А
прямой Ou
н
М
Я&о&диие
НЛКАОНИОЯ
ндклоннзя
иъ тонки А
к прямой а
Рис.
<АН
от точки А до
прямой си
Н CL
Рис.124
. Определение.Длина перпендикуляра, проведенного из точки
к прямой* называется расстоянием от этой точки др прямой ,
(рис. 124). ~ ~--------------
m
Х.Точки Л и Д/
Пример I.
L Тонки А и Ь
лежат по одну
сторону от пря-
мой Л* (рис.125)
Перпендикуляры
ЛС и 6® равны. Найти угол
Зодания I
лежат по одну
сторону от пря-
мой m. Я₽1
lm(pHC.I281zMs
если ZBC©=38°.
Доказать, что «и/Р,
Рис.125 -
Д «д£Я)Спо I признаку
равенства треугольников:
ЛС «Е©по условию,
С/Е) - общая сторона,
/АСЯ <£><££ «90°.
В равных треугольниках против
равных сторон АС и Ь® лежат рав-
ные углы:
Z.A5DC « ДЬСФ 38° » Л
£. Из точки А к прямой IX
проведены перпендикулярен и
наклонные АД и АЯ (рис. 126).
Доказать утверждение, обрат-
ное утверждениюпримера_1(2);
если НМ «НЯ ,toAI4«AN.'
Сделайте общий вывод.
Примечание: обратное утвер-
ждение от прямого отличается
2. Из точки А к прямой CL
проведены перпендикуляр АН
и наклонные AM и AN .
(рис.126). Доказат^что если
AM*An t то HM«HN.
М и N
Рис.126
/\ Доказательство:
aJJAV- равнобедренный по
условию AM =АЮ, значит
4AMH=£ANH.
Докажем, что ДАЦН =дАЫН»
Для этого приложим треуголь-
ники друг к другу равными
сторонами АН и AN (рис. 127),
причем AH^AHj,.» АН..
дНМНр равнобедренный, зна-
чит /МдЛ =^Нч А .
Тогда/М^Щ-ЛМН^.т.к. каж-
дый. из них равен разности
прямого угла и равных углов
Н^А и И^А.Тогда дН.МНх*
равнобедренный, т.е. HVM «
»НгЦ,или, возвращаясь к ри-
сунку- 126, UM = HN. Д
тем, что условие прямого утвер-
ждения становится требованием
обратного и требование, прямого
становится утверждением обрат-
ного.
Например, если в прямом утвер-
ждении дано высказывание А ,
а требуется доказать высказыва-
ние В , то в обратном будет да-
но В , а доказать нужно Утвер-
ждение А ♦
Вывод: Равным наклонным,прове-
денным из одной точки к прямой,
соответствуют равные проекции. .
Пример 2. [Задание 2
Докажем,что ес-
. чере^
лежащие на пря-
мой а, прореки
перпендикуляр-
нЕЗ^прямые^о они не пересе-
каются, перпендикуляр.
Методом от про-
тивного дока-
зать,что из
точки к прямой
можно провести
только один
Два Дома одинаково
удалены от Берега ^еки.^
Где нужно сделать при-
чал для лодок? ЧТОБЫ
он был одинаково
удалён от обоих до-
моб ?
Д Доказательство.прове-
дем так .называемым методом
от противного.. Вот его суть:
I) Допустим, что верно ут-
верждение, противоположное •
тому, которое нужно доказать,
нашем случае допустим, что
перпендикуляры, проведенные
через две точки А и Ь нря-.
мой CL пересеклись в точке С(р*<с.129).
Рис. 129
uo
2) Исходя из этого предполо-
жения, путем рассуждений при-
дем к противоречию с ранее
доказанными теоремами (или
заранее верным утверждением).
Это позволит нам утверждать,
что противоположное предполо-
жение неверно, и тем самым
доказано прямое предположе-
ние.
В нашей задаче: из предпо-
ложения, что перпендикуляры
пересеклись в точке С.имеем
дАВС.у которого два угла пря-
мые, что невозможно.
Это доказывает утверждение о
том, что перпендикуляры, про-
веденные через две точки од-
ной прямой, не пересекаются.А
Определение»Биссектрисой треугольника называет-
ся отрезок биссектрисы угла треугольника, сое-
диняющий его вершину с точкой противоположной
стороны.
На рисунке . ' 129а изображены биссектрисы
Рис.129а
Определение. Медианой треугольника называется
отрезок, соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны.
На рисунке 130 изображены медианы
треугольника А ВС< Q
Рис.130
Определение. Высотой треугольника называется
отрезок перпендикуляра, соединяющий вершину
треугольника и точку на противоположной сто-
роне.
На рисунке 131 изображены высоты треуголь-
В равнобедренном треугольнике медиана/'Л
биссектриса и высота, проведенные к основа-.
нию, совпадают (рис.132).
Примеры 3.
медина ДМ» Докажем, что пе-
риметры треугольников АЬМ и
АСМ равны.
Л Доказательство:
1)СА=Авпо условию, т.к.
ьАЬС- равнобедренный (рис.
133). а
Задание 3.
I.Найти медиану
xVz радаобвд₽вннор°
го треугольника,
\ проведенную к
/его основанию,
если периметр этого треугольни-
ка равен 40 см, а периметр каж4
дого из треугольников, на кото,
рые разбила медиана исходный
треугольник, равен 28 см.
. \ь.
Рис. 133.
2)СЛхЛЬ ,т.к. AM- медиана.
3) ЛМ в треугольниках АЬН и
АС1/ _ обитая сторона. .
4) Периметр треугольника
обозначим буквой Р с указа
нием индексом треугольника,
2. В равнобедренном треугольни-
ке АЬС с основанием АС проведена
медиана ЬМ. AMе 6 см,
ZAW4x 25°,/ЬАС=65°.
Найти/6, ZC ,/Ьме, АС ♦
о периметре которого.идет речь:
= Ав + М6 +ам ,
п " хч
«дасм + CM +АМ»
откуда следует, что
183
РаА6И ’ РлАСЧ - А
2, В равнобедренном треу-
гольнике АЬС с основанием
АО проведена биссектриса
ЬЪ.
№/*‘Л СМ,/Ле0»210. Найти
A5t>/Z*ec,Z.e®e,
Д В равнобедренном треу-
гольнике АВС £©- биссектри-
са, высота и медиана (рис.134),
поэтому
^ЧАСш£,к“6<см>’
ZA&C =2/АВ2 -• 2-21°«42°,
ZW9O90”. А
Рис.135
Определение^ Серединнымперпендикуляром
отрезка, называется прямая, проходявдо < 7’
через середину этого отрезка и перпенди-
кулярная к нему.
, На рисунке 135 Ь-серединный перпен
дикуляр отрезка А8
UH
I. Каждая точка серединного перпендикуляра
отрезка равноудалена от его концов
(рис.136).
А
Рис.136
I 2. (Обратна^) Каящая точка, равноудаленная
\ от концов отрезка, лежит на его серединном
^^перпендикуляре (рис. 136). _____
> — Построение серединного перпендикуляра отрезка и нахождение середины отрезка с помощью циркуля и линейки
Дано Требуется построить Построение ?
А Ь © - X \ \ © - / \ 1 \ /1 \ / 1 \ L I 1
А ’ * 3 А /В ✓- Л\ 1 г \ 1 /
185-
Построение перпендикуляра к прямой из точки, не лежащей на этой прямой, с помощью циркуля и ли- нейки
Дано Требуется построить Построение
Р. с © р. \ z (D р. ® р{
CL 6Ь а " х CL X. а. ч—
Построение перпендикуляра к прямой из точки, лежащей на этой прямой, с помощью циркуля и линейки
Дано Требуется построить Пост роение
с / \ -7—4- © © ! six I Т 1
бь р л. Р «-Х Р / х / аД |Р ' 1
Пример 4.
Серединный пер-'
пендикуляр сто-
роны АВ равно-
бедренного тре-
угольника АВС с
основанием AC ,
Задание 4
Серединный пер-
пендикуляр сторо-
\ ны КМ треугольни-
ка КХМ пересека-
ет сторону ХМ в
точке А . Найти
равным 16 см,пересекает сто-
рону ЬС в точкеS&. Найдите
периметр треугольника АВС,
если А©=18см, а периметр
треугольника АС®равен 66 см.
А Построим по условию за-
дачи чертеж и отметим извест-
ные элементы (рис.137).
1)ДАОЭ«ДВ>ОЭ по первому при-
знаку равенства треугольников
(АО =ОЬ по условию, ОФ- обитая
сторона, ZAO£)==90°), от-
сюда ЬФ = АФ =18см.
2) Так как =66см, А5Ь =
«:18см, ФЬ «18см, то
АВ =66см - (18см 4J8cm)«30cm.
3)Ь*АЬС: 6С=АЬ= 30см.
«AB+feC+СА^Осм +
+ 30см + 15см « 75см.
UM,если КД «8см, SLA =3см.
Дополнительно к трем известным признакам
равенства треугольников для прямоугольных
треугольников существуютепда два признака
равенства:
I. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного
треугольника соответственно равны гипотенузе и ост-
. рому углу другого треугольника, то такие треуголь-
ники равны (рис.138).
1W-
д Аьс» д
Рис.138
2. Если гипотенуза и каТет одного прямоугольного
треугольника соответственно равны гипотенузе
и катету другого треугольника, то такие треуголь-
Построение прямоугольного треугольника по гипо- тенузе и острому углу
Дано Требуется построить П ост роение •
$ © с © С ©
Пример 5.
Попробуйте до-
казать обратное
утверждение:
"Любая точка
Доказать
свойство
биссектрисы
угла:"Любая
139
точка биссектрисы неразвер-
нутого угла равноудалена от
его сторон”. —
Д Цусть Ь£> - биссектри-
са угла АЬС, It- произволь-
ная точка на биссектрисе, Ж
и ДйС- перпендикуляры, про-
веденные из точки -Ab к лучам
ВА и 6С(рис.14О). Таким обра-
зом,нам нужно доказать, что
дбКЛ яДЬХЛ как прямоуголь-
ные по гипотенузе и острому
углу (ВЛ- обитая гипотенуза,
£КВДяДХЬЛ,т.к. ВЛ-бис-^
сектриса угла АВС) .Следова-
тельно, ЛЛ - JUiX как стороны,
лежащие против равных углов п
равных, треугольниках. А
Примеры 6.
“.Построить
точку, рав-
ноудален-
ную ото
всех сторон треугольника.
А Очевидно,что все точ-
ки биссектрисы А К угла А
тРеугольника АВС равноудалены
находящаяся внутри развернуто.
го угла и равноудаленрая от
его сторон, лежит на биссектри-
се этого угла”.
Рис.140
никд. Воспользуйтесь свойством
серединного перпендикуляра от-
резка.
190
от сторон АВ и АС, (по свой-
ству биссектрисы). См.рмсЛМ.
Все точки,лежащие на
биссектрисе bZ угла В рав-
ноудалены от сторон ЬА и ВС
(рис.141).
После построения сделайте вы-
вод относительно местоположение
точки, равноудаленной от всех
вершин треугольника.
Эта задача могла быть сформули-
рована и на языке практики .На-
пример: "Где нужно копать коло-
дец,чтобы он был равноудален
от трех домов,расположенных не
на, одной прямой?"
Значит точка 0 (точка пересе-
чения биссектрис ВХ и АК ),ле-
жащая как на биссектрисе bXt
так и на биссектрисе АК рав-
ноудалена от сторон АВ, АС,
ВС,т.е. от. всех трех сторон
треугольника. А
. Таким образом, точка пе-
ресечения биссектрис углов
треугольника равноудалена от
трех сторон треугольника.
Докажите смостоятельно,
что биссектриса угла С треу-
гольника АВёл^акже пройдет
через точку О ,т.е. бирсектри-
ды углов треугольника пересе-
каются в одной точке.
<9t
Попросите начертить каждую
иъ предложенных qpurjp z не отрывая
карандаш от <5^маги ц не проводя
по одной линии 'дважды.
Е.Слц выполнить задание
не сдастся ; то подсквъч) вы
найдёте прочитав» §20 этой книги.
tvv гп‘i <
Примерный вариант контрольной работы № 10
по ,теме “Перпендикулярные прямые".
al. Даны: прямая CL и точка Д,не лежа-
щая на ней. С помощью циркуля и ли-
нейки постройте прямую перпенди-
кулярную к прямой 01.
2.В треугольника ЛВС (А «100°, Zb =50°.
Серединный перпендикуляр стороны АВ
Пресекает сторону ВС в точке К.Найти уголКАС.
3. Доказать, что *А6С= дАДСресли/С *90°, = и
высоты СН и е«И< равны.
Возможное оформление решения контрольной
работы № 10*
I. Дано: СкЛД (рис.142)
Требуется построить:
JU/±CL
ZA = МО0,
= 50°,
Мк - серединный. перпендикуля$
стороны БД (рис. 143)
Построение: I) окр. (Д;ДА);
2) окр.(А ;МА); ,
3) одр/(6;МА); J
4)N= окр. (А;ИД)х окр. (Б;МА);
5) - искомая прямая. .
Решение:
I. КВ=КА,т.к.точка К
лежит на серединном
перпендикуляре отрез-
каАВ .значит дБКА- \
.равнобедренный.
2./К8А=ДКАЦ как углы
при основании равно- /
бедренного треугольна
ка ВКА.
195
3.ZkAC=ZBM-ZxAM=I00°-50° =50* *.
Ч100° &8A=50°
Ответ ;2КАй=50°.
З.Дано: аДВО
(рис.144)
ZC=ZC,=90°,
е>С = В1С1, СН1АВ> э СД1А,е>, ,
ен =c,nv
Доказать :М6С= Д А,&ЧС,
Доказательство:.
I. л.Снв х= как прямоуголь-
’ные (ZCHb =/С1нлВ4=90°) по гипотенузе
(ев=С.Д) и катету (CHst^);
2.£НВС= ДНОДкак углы, лежащие против равных сторон
(СН » с, ьц ) в равных треугольниках (дСНВ = дС4нлв{);
3.аАВС«дАДС^как прямоугольные (ZC =4С{=900) по кате-
ту (СВ=С4В^) и острому углу (2не>с=/н1В1сч).
Что и требовалось доказать.
Занимательные страницы
(b)Задачи на построение.
* jr Задача I. Построить треугольник по
Чио
двум сторонам и медиане к третьей
ГЛ ) стороне.
Д Пусть-даны три отрезкаЛС и ЛМ,являю!циеся соот-
ветственно двумя сторонами и медианой треугольника, который
Нужно построить (рис. 145).
194
j --------------e
л,(л>-------*---------- ь
Л/а)’-------*--------
Рис.145 .
Сделаем "от руки” чертеж какого-нибудь треугольника и
отметим на нем элементы:отрезкиАЬ, АС и АН ,по которым нам
нужно было его построить (рис.145а). Л
Неважно, что,пока они отличаются / \
от заданных отрезков, по длине. /
Рассуждаем так: в треуголь- /\
никах АВС, АВИ и АДСизвестно J1
только по две стороны, значит никакой из
них только по этим элементам пост- Рис. 145а ..
роить не сможем. Однако, в наших рассуждениях мы пока не ис-
пользовали enje одно условие задачи: отрезок АН - медиана тре-
угольника. Подумаем, как можно воспользоваться этим (зная,что
треугольник мы умеем строить в трех.случаях.: если известны
I) две стороны и угол между ними; 2) сторона и два прилежа-
ших к ней угла; 3) три стороны).
В условии задачи фактически нам даны три отрезка. По ним
или отрезкам, которые можно получить от этих отрезков (деля
их не части или увеличивая их длину в несколько раз), можно
построить треугольник по трем сторонам. Делить . это нужно
с той целью, чтобы потом стало возможным построить искомый
треугольник.
<95“
Ничего не поделаешь - готового рецепта для решения мно-
гих задач нет, нужно его искать.
Попробуем продолжить медиану АН за пределы треугольника
на длину, равную длине AM ,т.е. построим отрезок АЪ = 2АМ.
(рис.146).
Соединим точки и С
и рассмотрим треугольники
Лв>.П и SbHC : МА - по по-
строению ;ЬП=МСт.к.AM- ме-
диан и М - середина от-
резка &С ; Z^ma х/СМф как вер-
тикальные. Таким образом,
лАвМ’гдФМС по первому признаку равенства треугольников, от-
куда А6 «ФС.
Таким образом, в дАвС известны длины трех сторон: АС
(дана по условию), СФ«АЬ(Авдана по условию), 2 AM(AM
дана по условию). дА5ЬС ,а следовательно, и дАЬС теперь смо-
жем построить. . _
После проведенного анализа условия задачи и способов
построения намечаем пут; построения треугольника по заданным
элементам и выполняем его построение.
Построение (рис.147): * х\
I. АС;
2. окр. (С ;AR>);
3. окр. (А;2AM); отмечаем
точку пересечения ок-
ружностей;
4. Aft;
49G
5. S1- середина A®;
6. прямая СД;_
7. отрезокДВ ;ЛВ =СД ;
8. треугольник АВС . А
Задача. 2.
Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней уг-
лу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого
угла.
(2^ Расстояния до реки.
Задача I. Представьте ситуацию: вы находитесь в доме
(точка А на рис.148). Вам нужно дойти.до реки, зачерпнуть ве-
дро воды и сходить полить саженцы
Хточка В» на рисунке). Конечно, при
этом хотите, чтобы расстояние, кото-
рое вы преодолеете (АО+ОВ), было на-
именьшим. Где должна быть расположена
такая точка _ (0) на берегу реки?
Рис. 148 ► Д Рассуждаем так: допустим., что дом
и саженцы расположены по разные сторо-
ны реки (а река узкая, вы ее можете перейти вброд, поэтому
на рисунке 149 мы реку изобразим прямой (L). Очевидно, что ва-
шим маршрутом будет отрезок АВ
(кратчайшее расстояние между двумя
точками - длина отрезка, их сое-
диняющего).
Теперь вернемся к исходному
условию задачи и переведем"ее ус-
ловие на математический язык:
Рис.149
"Точки А и В> расположены по одну сторону от прямой Л .
Найти точку О ,лежащую на прямой & ,такую, чтоАО + ОВ будет
наименьшим".
Решение: Через точку А проведем прямую AM 1а(рис. 150).
На прямой AM отложим от точки М отрезокМ/Ц такой, чтоМАд=АМ.
Соединим точки А4 и Ь отрезком А<В.
Отрезок А4В пересекает прямую Си в иско-
мой точке 0.
Для доказательства того, что найден-
ная таким образом точка 0 - искомая
Рис.150
(и зная, что между точками А< и & крат-
чайшее расстояние - длина отрезка АЛВ),
соединим точки А и О . аМАО«дМА4Опо пер-
вому признаку равенства треугольников (AM =MAt,M0- обожая сторо-
Ha,ZAMO«/A|MO==90°), значит АО = А4О .Таким образом, АО +ОВ»
= А40 +ОВ « Atb , т.е. точка 0 - искомая. А
Задача .Я. На одном и том же берегу реки (на разных рас-
стояниях от нее) расположены два села А и £> . Где нужно стро-
ить мост через эту реку, чтобы он находился на одинаковом рас-
стоянии от обоих сел?
(?) Упражнения с. листом бумаги.
Применив смекалку, можно определенными перегибаниями вы-
резанных из бумаги треугольников выполнить то, что на чертеже
обычно делается с помощью циркуля и линейки (бумагу для этого
можно брать обыкновенную, но лучше цветную двухстороннюю). На-
пример: I) на рисунке 151 показано, как перегибаниями можно
"образовать" биссектрису угла В треугольника АЬС ; 2) завязав
узел-из полоски бумаги и придавив его,получите правильный
пятиугольник.
Рис.151
предварительно из
Попробуйте самостоятельно (заготовив
бумаги несколько произвольных треугольников) перегибаниями
образовать: I) серединный перпендикуляр стороны треугольника;
2) медиану треугольника; 3) высоту треугольника; 4) точку пе-
ресечения медиан (биссектрис, высот). .
Из листа бумаги произвольной формы линиями перегибов об-
разуйте равнобедренный треугольник. ..
(4^) Осевая симметрия и ее.применение при построениях с
препятствиями и ограничениями. .
а) Симметрия относительно прямой (осевая симметрия).
Если через произвольную точкуА плоскости проведем пря-.
мую, перпендикулярную к определенной прямой С >затем на, этом
перпендикуляре А0(рисЛ52) отложим отрезок 0Аотакой, чтоОА^»
« О А ,то получим точку А 4, которая будет наэыватьсясимметрич-
ной^точке А относительно прямой t ( L называют осьр симм^т-
Рис. 152.
199
Чтобы построить фигуру симметричную фигуре Ф отно-
сительно прямой £ .строят точки, симметричные каждой точке
фигуры Ф относительно оси £. (рис. 153).
Осевую симметрию называют еще зеркальным отражением от-
носительно прямой. Заметим, что точкой, симметричной точке$
лежащей на оси симметрии, является сама эта точка.
Свойства симметричныхточек:
I. При осевой симметрии расстояние между точками фигу-
ры сохраняется (рис.154).
2. При осевой симметрии точки, лежишей на прямой, пере-
ходят в точки, лежащие на прямой (рисЛЬч)
2,00
3. При осевой симметрии угол переходит в равный ему
угол (рис.155).
Т
Рис.155
Существуют геометрические фигуры, а также фигуры и тела
в жизни и практике, которые называют симметричными фигурами
и телами.
Осьх?сим^трии фи^ называется прямая, разбивающая
данную фигуру на две фигуры, симметричные относительно этой
прямой. . .
Фигура, имеющая ось симметрии, называется снмуетридрой
фигурой* • • -
Перечислим некоторые, знакомые уже нам, симметричные фи- ;
гуры и укажем их оси симметрии:. ,
I) осью симметрии отрезка является его серединный перпен-
дикуляр; u
2) осью симметрии угла является его биссектриса; '
3) осью симметрии равнобедренного треугольникажляется ме-
диана, проведенная к основанию (а также биссектриса, высота,
проведенные к основанию); ,
4) осями симметрии окружности являются прямые, проходя-
щие через ее центр (их бесконечное множество).
На практике симметричными -фигурами, например, являются
листья деревьев, фасады, многих зданий и т.п.
На данном этапе знакомства с осевой симметрией и ее ис-
пользованием при решении задач, нам нужно будет уметь строить,
в основном, точки, отрезки, лучи и прямые, симметричные дан-
ным относительно заданной оси:
I) Как построить точку, симметричную данной,относитель-
но прямой, - . описано в начале этого пункта»
2) Для построения отрезка А4ВОсимметричного отрезку АЬ ,
относительно прямой L, нужно
метричные концам* отрезка АВ ,
отрезка (рис. 156, а, б X.
построить ТОЧКИ и - СИМ-
они и будут концами искомого
А
Рис.156
%ог
3) Длят построения луча к< .симметричного лучу к .от-
носительно оси t .нужно построить точку А4 .симметричную на-
чалу луча Д .относительно оси Ъ , и точку .симметричную
любой другой точке В .лежащей на луче к . Луч А^В^ будет
искомым лучом к • В качестве точки Ь можно взять точку пе-
ресечения луча (если она имеется) с осью £ - эта точка от-
разится сама на себя (рис.156.в).
4) Для построения прямой симметричной прямой Л .от-
носительно оси V д нужно построить точки К{ и ^.симметрич-
ные любым двум точкам К и 5С прямой Ои относительно И, »-
и через них провести искомую прямую (рис. 156. г).
(5 ) . Задачи на построение.
Задача I. ВершинаУФреугольника А ВС не уместилась на
чертеже. Построить основенж высоты* проведенной из вершины С.
А На чертеже уместились части сторон АС и ВС (рис.157),
Построим Д АС<Ь .симметричный ‘ •
треугольнику АВС относительно
прямой АЬ. Основание. К высоты
треугольника АСЛВ .проведенной из.
вершины С< .будет также основани-
ем высоты треугольника АЬС .про-
веденной из недоступной вершины
С . *
Обосновать справедливость
построения можно с помощью
свойств симметричных точек фивДб^Д
Следуюи$ие задачи решите самостоятельно.
Задача 2, Вершина А треугольника АЬС не уместилась на
Z0£
листе бумаги (рис.158) Построить основание биссектрисы угла
Д треугольника ЛВС.
Рис.158
Задача 3. Вершина угла С недоступна. Точкам цопав-
шая на чертеж, - внутренняя точка угла С (рис. 159). Найти
способ построения луча С/&.
--------——
<£*
----------------(S)
- Рис.159
Задача 4. В треугольнике, одна из вершин которого недог
ступна, провести медианы.
гоч
Отрезки и лучи называются
параллельными, если они лежат
на параллельных прямых.
§ II. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Определение. Две прямые на
плоскости называются парал-
дельными* если они не пере-
секаются (рис.160).
, CLII6
(прямая Q.
Рие.460 ' .
и 5,
Определение.Прямая С называется секущей прямых
СЬи В ,если она пересекает их в двух разных,
точках (рИС.161), ¥гдыл образованные пересечением
<наэ»наак>тся
прямым ct и 8 ^накрест лежащие углы:
4 и 6;
^односторонние углы: 4
3 и 6;
^соответственные утлы:
4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.
Рйс.161
3
и
I
5,
и 5,
Признаки падалдельности и свойства
параллельных прямых (прямые и обратные
теоремы)
№ пп I. Сл< ст- ВИ Признак(прямая тео- рема) Рисунок Свойство(обратная тео- рема)
Если при пересече- нии двух прямых секущей накрест ле- жащие углы равны, то прямые параллель- ны. Например, если Zl«Z2, то 0И1&. эд- Если две прямые перпендикулярны з одной и той же прямой, то они , параллельны» (Если ale и 81с , то a h 6.) с/ — г/ Если две параллельные прямые пересечены секу- щей, то накрест лежащие углы равны. Например, если аиб,то д Ь=/2. Если прямая перпендику- лярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к $сли°оМ и с1а,тос16.}
С о б"
2. Если при пересече- нии двух прямых секущей соответст- венные углы равны, то прямые параллель- ны» Например, если л ZI= 42, то ahfe. С/ Если две параллельные прямые пересечены секу- щей, то соответственные углы равны. Например,если cull в ,то /I а /2.
3. Если при пересече- нии двух прямых секущей сумма одно- сторонних углов рав- на 180°,.то прямые . параллельны.- Например, если л Ц +IZ =180°, то 01(8 \с 4/ О, Если две параллельные прямые пересечены секу- щей, то сумма односто- ронних углов равна 180 . Например, если ail В,то [I I80O,
Пример I» Докажем признак первый, т.е, до- рЧЙГ кажем, что если 1/U /1а Z2 (рис. 162), TO CL h 8. А Доказательство проведем методом от противного. Задания I. I.Пользуясь первым признаком парал- лельности, дока- жите следствие из него’Г т.е. докажите, что ес- ли ale и &jL с ,то a 1)6.
м
Допустим,что прямые и $
не параллельны. Тогда они
пересекутся^в некоторой точ-
ке М^ГСЙразовался треуголь-
ник АМЬ .один из его углов-
угол I, угол 2 т- внешний
угол этого треугольника.
По теореме о внешнем угле
треугольника/2 >/1. Но это
противоречит условию £2 »
<1. . - - - •
Значит наше предположение о
том, что прямые Cl и & не
параллельны, неверно. Следо-
вательно, прямые CL и € па-
раллельны. ▲
2. Доказать второй признак па-
раллельности прямых» пользуясь
свойством равенства вертикаль-
ных углов и первым признаком,
3. Доказать третий признак па-
раллельности прямых, пользуясь.
первым признаком и тем, что сум-
ма смежных углов равна 180°.
Примеры 2.
/уОгч 1Лано:А6.6С
(рис.163),
гФ) /6ДС. »ДСА®.
Доказать:
е>с U Ача .
Задания 2.
1.На рисунке 165.
ЛЬ = ЬС,С£>.®Е .
Доказать, что
АЬНаЬ .
20*
Рис.165
2. В треугольнике ЛВС/А»
а внешний угол в(>& равен
Доказать, что биссектриса угла
ВСЕ параллельна прямой АВ.
Д Треугольник AbC- равно-
бедренный, значит ZBA'CxZBQA.
Тогда ZB^A =ZCAB> (т.к.пот-
рознь они равны углу ВАС).
Но углы В.СА и САЗЕ)- накрест
. 8 е
лежащие равные углы*
Тогда по первому признаку
параллельности прямые ВС и
Mb параллельны. Л
2. В треугольнике А ВС ZAS
«80°, ZB. ® 50?.. Черва верши-
ну В проведена прямая В© ,
так что луч ВС- биссектриса
угла АВ©.
Доказать, что ACIIВ©.
Д Выполним чертеж по усло-
вию задачи (рис.164).
Рис.164
ZA8^ = 50°450°=100°,
208
/ЬАС +ZAb®=80° + 100°=
= 180°, но/ЛАС и ZA65D_
односторонние углы при пересе-
чении прямых АС и Ь© секуфей
Ab, значит (по 3 признаку)
прямые АС и ЭД) параллельны. Л
Тйл t)\il -иптт1' '
. г^мях
пд гранях
каждая фигура
нарисована
только один раь.
На рисунках сле-
ва показан Kyd
в трёх равных
. поаичнях . t,
О прежде лить
какие сригуры £
расположены на
параллельных
Z09
Примеры 3.
Х.Найти все
Sjfrr углы,образо-
IAJ вавшиеся при
пересечении двух парал-
лельных прямых третьей,
если один иэ углов на 30°
больше другого,
А При пересечении двух па-
раллельных прямых третьей
образуются либо равные углы
(накрест лежащие или соот-
ветственные), либо углы,
сумма которых равна 180°
(односторонние). В условии
задачи,очевидно, речь идет
об односторонних углах. \
Пусть х° - величина одного
из односторонних углов,тог-
да по условию (х+ 30 )*- \
величина другого угла. Их
сумма равна 180°:
X+(хц-30)»180,.
2 X «180-30, \
2х«150, *
Х«75 .
Хч30«105‘. . ;
Ответ; ббразовавшиеся углы
равны 75° и 105°. А
Задания 3
если один иэ
I.Найти углы,об-
разованные при
пересечении
двух прямых
сй!$ секущей С
углов равен 45°.
ВОГО
момента пер-
удара 4©я ча-
сое> и до 5-го
удара прошло, ое-
кунды. Сколько се-
кунд пройдет от
начала боя ? когда
часьг ударят !де-*
СйТый раа ?
w
2. Доказать, что если бис-
сектриса внешнего угла тре-
угольника параллельна его
стороне, то такой треуголь-
ник равнобедренный.
Д Пусть А к» - биссектриса
внешнего угла ЬАМ треуголь-
ника ABC(ZI х/2) и Акпье
(рис.166).
Прямую АЬ можно рассмат-
ривать как секущую двух
параллельных прямых АК и
ЬС .Тогда£2» £3 как на-
крест лежащие (рис.166).
Прямую СМ можно также рас-
сматривать как секущую
этих же параллельных пря-
мых АК и ВС. Тогда /1= /4
как односторонние (рис.166).
Таким образом /3» /4,
т.к. каждый из них равен
одинаковым по величине уг-
лам 2 и I. Тогда дАВС-
равнобедренный (углы при
основании равны).
2. Докажите, что прямая» парал-
лельная основанию равнобедренно-
го треугольника, отсекает от не-
го также равнобедренный треуголь-
ник.
м
А с
Рис. *66
ж
Задание 4
Пример 4.
На рисунке
168 alie ,ellcl,
/I ®40°.
Найти углы 2,3 и
А.
На рисунке 169
аН6 , оИ<£,/2 =
. =70°.
Найти углы 1,3
и 4.
А Все углы на рисунке
168 - это углы с соответ-
ственно параллельными сто-
ронами :
Рис.168
Z 2= Zi=4o°,z3=ieo°-/i=
»180- 40° =140°, Z4 =Z3
= 140°. ' А ____________
Все точки каждой из двух параллельных
прямых удалены от другой прямой на одина-
новое расстояние. .
Определение. Расстоянием ме^у двумя пара л-
ле л ьными прямыми называется расстояние от
произвольной точки одной прямой до другой
прямой.
Пример 5*
Построить
прямые,па-
раллельные
прямой й и
удаленные
от нее на
Задание 5.
Построить.хотя
бы одну точку,
удаленную от дру
гой прямой CL на
Я см, а от пря-
мой & на 1,5 см
на
2 см.
А Имеем прямую Ct (рис.
170).
. Рис. 170
Возьмем на прямой & произ-
вольную точку А и проведем
через нее прямуюVI,перпенди-
кулярную прямой. CL . Затем на
прямой, vt от точки А отложим
отрезки АФ< =2см.
Через точки**) и
проведем прямые.,
р и , перпендику-
лярные. прямой 7V.
Эти прямые и будут
искомыми.
Доказательство и иссле-
дование построения про-
ведите самостоятельно.
Указание^ Построить сначала пря-
мую, удаленную от прямой на
2 см, затем прямую, удаленную
от прямой 8. на 1,5. см.
Проведите исследование получен-
ного решения*
Задача. Уь верши-
ны угла ь ^5° тре-
угольника проведан
луц? раьвиъающ.ии
зууОТ ГО-ПЬН НК
р&ННЫХ тр<угольнц_*
кеи Найти углы
исходного Т|зеу- F
гольника,, ' F
/’’^КЛЬАНие*. ЙСПОЛЬУ*иТ< то ято Г
(Сумма углов tpBwfoatАйка
. ..равна 1&О*) .
Сумма углов треугольника равна 180°.
Примеры 6, Найти угол ЛУА*-®Г\1 ~ ' А треугольни- fj|j ка АЬС ,если £6 »45°,ZC= «100°. Д ZA+Zb+ZC =180°, откуда ZA »I80°-(Z& +ZC ), /А =180°-(45о+100°) =180°- 145°*35°. Ответ: ZA =35°. А 2, Дан равнобедренный тре- угольник А ЬСс основанием АС .Найти: , a)ZB ,если/А =40°, б)2А ,если/Ь«70°. . Д . а)/А «/С «40° (рис. 172). А . -Рис.172 значит Zb «I80°-(Zft +2С)« . -1800-'(4С°+«)0)» »180о-80°=100°; Задания 6. I «Найти углы \ i И Jr ПО ^^^^^^^^рисунку 174. Рис.174 . - 2. Устно доказать, что каждый- . угрл равностороннего треугольни ка равен 60°. 4 •
Z\5
6)ZA+Z.C=I80°- -
.ieo°-7o°>iio0,
но ZA = ДС- t значит
ZA = 4 -ПО^бб0. ▲
X/
3^. В равнобедренном тре-
угольнике АЬС с основанием
АС проведена биссектриса
А К. Найти угол А КВ ,если
£С=70°.
ДВыполним чертеж по условию
задачи (рис.173).
I) Так как дАЬС-равнобед-
ренный,toZA =ZC=70°.
2)АК- биссектриса угла А ,
значит/ВАК = ^70° « 35°.
3) в дАве/а=180°- (zA +
+ДВ)=180о-(70%70°)»
е180°-140°=40°. \
4) ВдАЬК ZAK6=I80°-(Z.Bt
*£ЬАК)зх18О°-(4О°+350) «
Ч80°-75о=105°.
3. Один из внешних углов равно-
бедренного треугольника равен
140°. Найти углы треугольника.
Сколько решений имеет задача?
4. В равнобедренном треугольни-
ке КХД с основанием КМ проведе-
ны биссектриса КЬ и высота КН
(рис.175).
Найти утлы треугольника КВН,ес-
1А6
Ответ: ZAK6= 105°. А
Свойства прямоугольных треугр л_ шиков
I. Сумма острых углов прямоугольного треугольника
равна 90° (рис.176).
Рисц176
2. Катет прямоугольного треугольника» лежащий
против угла в 30°, равен половине гипотенузы
(рис.177).
Примеры ?.
.В прямоуголь-
ном треугольни-
ве Ae>eZc=9o°,
ZA=30°. Найти
гипотенузу АВ,
если катет ВС «Лем. ’
Д Против угла в 30° в пря:
£.B прямоуголь-
: ном треуголь-
, нике. КХМ /К=
=90°,/X =30°.
r^TW\ Найти КМ,если
ХЦ =13 см.
моугольном треугольнике ле-
жит катет, равный половине
: ; Рис.178 .
ЪС= £* Ab, откуда
АВ«2*ВС,т.е.
Ад=2*2 см=4 см. .А _
В прямоугольном треуголь-
нике АЬС Z?-«90o, ДЬ «60° и
ЬС *АВ«15 см. . . .
Найти гипотенузу треуголь-
ника АЬС (рис.179).
2. В прямоугольном треугольнике
КХМ ZX -90°, ZX ^0°, а удво-
енная сумма длин меньшего ката-.
та и гипотенузы равна 36 см.Най-
ти меньший катет треугольника КХИ.
Рис. 179
I) В прямоугольном тре-
угольнике АЬС(рцсД79)
/А */6=90°, откуда
/А =90°- Д6 =90°-60о=30°. .
2) Против угла А. лежит катет»
равный половине гипотенузы.
Пусть . тогда ЛВ=2Х.
Из условия задами
ЬС+Д6«15 см, или........../
X + 2х « 15. Решим ето урав-
нение:
х + 2х -15,
Зх «15,- ’
X =15:3,
X ^5 (см)
АЬ= 2х = 2-5=Ю(см).
Отьет : Аб« до см . ▲
-Скажи f
киел нельзя лц^ _______
В листе агиу
1ном из школьной тст-
||р>едки, проделать
[Дыру а ъ которую про-
улезет человек. ? " У
— Можно! Согни
УГоТ ЛИСТ ПОПОЛАМ
как показанона рисчн-
кв? и сделай Ножин-
цаиц надьеаы по на-
черчен^ым линиям»
Tfenept» раэ&ернц лист.
ПЭ
3. Медиана М), проведенная
к основанию равнобедренного
треугольника А6С,разделила
его на части, каждая из ко-
торых равна половине боко-
вой стороны. Доказать, что
треугольник АЬОравносторон-
ний.
Д По условию задачи
А© «чье =jAb (рис.180).
3. Высота» проведенная к основа-
нию равнобедренного треугольни-
ка, равна 13 см, а боковая сто-
рона этого треугольника равна
26 см. Найти углы треугольника.
. Рис.180'
Но в равнобедренном треуголь -
нике медиана, проведенная к
основанию, является также и ;
высотой треугольника, значит
Z&bb«90°. ,
В прямоугольном треугольнике
дадь /ЛФЬ=90° и , .
А5Ь» £• АЬ ;откуда следует, .
что/ДЬЗ =30°. Тогда ZSA5B «
» 9О°-ЗО°«бО0.' Д,
Но в равнобедренном треуголь
нике.ДВС£»ЛА ,т.е. ZC«6O0.,
хэд
Тогда ZB=I80°-(ZA +ZC)=I8O°-
- (60°+60°) = I80°-I20°=60°.
В треугольнике ЛЬСвсе углы рав-
ны, .значит равны его стороны,
следовательно он равносторонний.
А
4. Обосновать построение прямо- 4. Построить прямоугольный
угольного треугольника по гипо- треугольник, если его гипоте-
тенузе и острому углу.
Л Зная, что сумма углов
нуза равна 3,5 см, а один из
острых углов 15°.
треугольника равна 180°, или,
что сумма острых углов прямо-
угольного треугольника равна
90°, легко найти второй ост-
рый угол. Зная гипотенузу и
два острых угла, т.е. два уг-
ла, прилежащих к гипотенузе,
можно построить треугольник
"по стороне и прилежащим к
ней углам”. А
Примерный вариант контрольной работы № II
по, теме *Цара л лея ь ные прямые”.
/А I. В равнобедренном треугольнике угол при
основании в раза больше угла, противоле-
ишИ жащего основанию. Найти углы этого тре-
угольника.
2.Построить прямоугольный треугольник,ги-
потенуза которого равна 5 см, а один из углов 20°.
w
3. Отрезок АК - биссектриса треугольника АВС .Из точки К
проведена прямая, пересекающая сторону АВ в точке X так,
что АХ = ХК. Доказать, что КХНАС .
Образец оформления решения контрольной работы № II,
Ь
I. Дано: ДАЬС (рис.181)
АВ=ЬС,
/А = 2'Z₽>
Найти: /а , Z.B ,4е- .
Рис.181
Решение:
Пусть /Ь = Х°,
тогда /А =2.0 =2х°.
Сумма трех углов треугольника равна 180°:
X +2Х +2Х =180,
5Х=180,
.. X =180:5,
X =36 ,ZB=36°, ZA = Z.C =2»36°=72°.
Ответ: 72°,36°,72°.
2. Дано:/С=90°,
5 см,
ZA = 20°.
• Анализ (рис.182):
р«с. «аг
Z.E» = 9ов-го°=
известны 1
ДЬ - 5см ,
/А = 20*
ze> ~ то*
таким образом ;
д АЬО можно построить по сто-
роне ЛЬ и прилежащим к ней уг-
лам А и Е>.
Построение (рис.183):
1.АВ=5см
2. ZMAB’«20°.
3. £KBA=7Q°........
4. С - точка пересечения лучей
Можно считать удовлетворительно выполненным^если ученик вер-
но выполнит построение,не приводя при этом никаких обосно-
ваний.
Х1Ъ
ЬК и АН, д АСЬ - искомый.
Доказательство:
дАС5 - прямоугольный (ZA *.Zb«
=90°). ЛЬ =S см, ZA =20°,т.е.
дАСВ- искомый.
Исследование:
Задача имеет единственное реше-
1)дДХК- равнобедренный, т.к. АХ«ХК по условию, зна-
чит/ХЛ К « Z£KA . < ...../ /, Л
2)/ХАК<КАС по условию (АК.-биссектриса),
/ХАК » £ЖА по доказанному в п.1), значит .
/ХКА чЛКАС (т.к.они оба равны, углу Х4К). -
3)/ХКА и. Лк АС-, накрест лежащие при пересечении прямых.
ХК й АС секу^ей АК ,яо .если.накрест лежащие углы равны, , то
прямые ХК и АС- Параллельны, что и требовалось доказать.
1
22Ц
Занимательные страницы
Вывод формулы суммы углов тре-
угольника с помодыо перегиба-
ния листа.
Вырежьте из бумаги (желатель-
но.цветной двухсторонней) про-
. извольный треугольник и,выпол-
няя перегибание его как показано на рисунке 185, убедитесь,
что сумма углов треугольника равна развернутому углу, т.е.180°,
________ 'Рис. 185 ....
(^) Построения с помощью циркуля и линейки некоторых
углов ‘.
Строить прямой угол с помощью циркуля и линейки мы умеем
(см.построение перпендикуляра к прямой). '
Делить угол пополам с помощью циркуля и линейки мы тоже
умеем (см.'построение биссектрисы угла). Значит, угол, равный
zzs
половине прямого, т.е. угол в 45°, мы построим. Построим й
угол, равный половине угла в 45° - угол, величиной 22°30г;
сможем построить и угол П°15*(половина от 22°30’) и т.д. Умея
строить угол, равный данному (см. начал о § 9), очевидно, нетруд-
но построить, например, угол в 67°30’ (для этого нужно постро-
ить угол в 45° и к нему "прибавить” угол в 22°30*).
Мы можем построить прямоугольный треугольник по катету и
гипотенузе. Если катет будет в 2 раза меньше гипотенузы, то
острый угол, лежащий против такого катета, равен 30°(второй
острый угол в треугольнике равен 60°). Таким образомуглы в .
30° и 60° мы также можем построить с помопдо.циркуля и линей-
ки. С помощью построения биссектрисы угла сможем построить •
угол, равный половине, четверти, одной восьмой и т.д. угла в .
30°. ' г . / 7:^ ; ' ./ =
Задание. Постройте угол, равный 75°; Ю5°; 135°; 120°;
150°; 166°; 37°30f; 82°30г; 3°45ж. Объясните построение.
(^^Геометрическое место точек (будем писать сокращенно
г.м.т.) - это множество всех точек, обладавших определенным
свойством. Например: . . • ; ;
I) биссектриса угла - этог.м.т., каждая иэ которых оди-
наково удалена от сторон этого угла;, ; \ ,
2) прямая, параллельная данной - это г.м.т., равноудален-
ных отданнойпрямой; \ \ г
3) окружность - это г.м.т. плоскости, равноудаленных от
одной точки.(от центра окружности);
4) сфера - это г.м.т. пространства, равноудаленных от од-
ной точки -.центра сферь# J
5) серединный перпендикуляр ж отрезку г г.м.т.,равноуда-
ленных от концов этого отрезка; серединный перпендикуляр к
отрезку (за исключением точки пересечения перпендикуляра от-
резком) можно считать также геометрическим местом точек, явля-
ющихся вершинами всех равнобедренных треугольников, основани-
ем которых служит заданный отрезок.
Интерес представляют задачи "на пересечение геометричес-
ких мест точек". Приведем примеры таких задач.
Задача I. Найти точку, равноудаленную от трех заданных
точек, не лежаших на одной прямой (сравните с заданием 6 из
§ Ю).
А Пусть даны точки А, В и С ,не лежащие.на одной пря-
мой (рис.186)
/
/
уо
7\"-
Рис.186
.Геометрическим местом точек, равноудаленных от точек А
и В, является серединный перпендикуляр к отрезку АВ (на рисун-
ке 186.это-прямая В ). -
Геометрическим местом точек, равноудаленных от точек В и
'.С .является серединный перпендикуляр к отрезку ВС (на рисун-
ке 186 это прямая тъ ). Точка О = t х rv лежит как на прямой t,
так и на прямой VU ,т.е. равноудалена от точек А и В, avqt то-
чек В и С , значит от всех трех точек. Таким образом, точка
О - искомая.
То, что точка О - единственная, следует из того, что две
различные прямые (какими и являются прямые t и П )на плоско-
22А
сти либо параллельны, либо пересекаются д Та^ .
как П непараллельны (докажите этот факт методом от против-
ного), значит у них одна обшая точка (точка О ). А
Отметим попутно, что точка О .найденная описанным спосо-
бом, является центром окружности, проходящей через три точки
А , 5 и С ,не лежащие на одной прямой. Радиус этой окружно-
сти R sOAxOBsOC.
Задача 2. Найти точку, удаленную от точки А на расстоя-
ние CL, а от точки Ь- на расстояние В . Сколько таких точек
существует (рассмотрите все возможные случаи)?
Задача 3. Найти точку, удаленную от прямой Ь, на расстоя-
ние а , а от прямой на расстояние 8.
Задача 4. Внутри угла задана точка Л. , Найти точку, рав-
ноудаленную от сторон угла и удаленную от точки ЛЬ на задан-
ное расстояние <
Всегда ли можно найти такую точку? Рассмотрите возможные
случаи.,
. Задача 5. На "Занимательных страницах* предыдущего пара-
графа с помощью осевой симметрии мы учились строить части вы-
соты и биссектрисы, проведенных из вершины треугольника, если
эта вершина не уместилась на листе бумаги. При этом мы допус-
кали, что треугольник, симметричный данному относительно пря-
мой, содержащей его основание, умещается на отведенном листе
бумаги. А если не умещается? Как построить часть биссектрисы
угла 2иг, не выходя за пределы отведенного листа бумаги (рис.
187)?
1М
(^Математический софизм wBce треугольники равнобед-
ренные” < . х • / . Л
... Напомним, что софизмами называют рассуждения, кажупртеся
правильными и приводящие к неверному, заключению. Задача за-
ключается в том, чтобы, проверяя чертеж и шаг за шагом все
высказывания рассуждения, найти в них. ошибку. - - ' -
7; . Ниже мы приводим ’’доказательство” того, что все треуголь-
ники равнобедренные. . С . _ _
- Д Пусть дАВ»С- произвольный (начертим неравнобедренный
11JJ
Проведем биссектрису угла А и серединный перпендикулярно
отрезка ВС до пересечения с биссектрисой угла А в точке О .
Из точки О опустим перпендикуляры О5Г и 08 на стороны АЬ и
АС .
i) дАО^ « аАО£ как прямоугольные по гипотенузе ( АО - об-
и$ая гипотенуза) и острому углу (Z£4O «ZMO ,т.к. АО - биссек-
триса угла А )» следовательно А? «А8.
г) д£>О?=;аС0£ как прямоугольные по гипотенузе ( &о х.со т.к.
точка О , лежавшая на серединном перпендикуляре ОЪ к отрезку
разноудалена от его концов) и катету (о? = OS как сто-
роны против равных углов ?Д0 и АОЕ в равных треугольниках
АО? и AOS ),значит ФВ = 2С.
А так как А? « А£ и ?В» 8С ,то
ЯУ + ТВ « АЯ.+ 8С ,т.е. АВ «АС •
Значит треугольник АВС- равнобедренный. А
Найдите ошибку, которая привела, нас к выводу о том, что
все треугольники (мы рассматривали произвольный аАВС) равно-
бедренные.
оо
п
Глава Ш.|МАТЕМАТИКА В ЖИЗНИ Щ#!
§ J2. УЧЕТ РАСХОДОВ СЕМЬИ НА ПИТАНИЕ
Почти все мальчики и девочки помогают родителям делать
пок/пки в магазине или на рынке. У некоторых ребят покупка
хлеба» молока, спичек, мыла и т.п. - их постоянная,обязан-»,
ность. Не за горами время, когда мальчики и девочки сами ста-
нут взрослыми и им придется делать все покупки д.магазинах,. f
так,'как сейчас делают их родители. _
За купленные товары .платят заработанными деньгами. Чтобы
денег хватало на необходимые приобретения (и.какую-то,часть
из них можно было откладывать на покупку крупных вещей, на
отдых и т.д.), нужно уметь разумно их тратить. Для этого .
нужно* знать,во-первых, сколько денег в месяц (или за неделю)
тратит семья на питание. Это постоянная часть расхода каждой
семьй (есть еще обязательные ежемесячные расходы: пл^та за
квартиру, за электроэнергию, за газ, воду и т.п. - обы^о их
называют платой за коммунальные услуги). ОчевиднбТУ^сё эти
расходы не должны превышать дохода семьи.
Поучимся сами, а заодно - поможем родителям вести учет
покупок в продуктовом магазине. Для этого можно использовать
обыкновенную ученическую тетрадь за 2-3 копейки (лучше в клет-
ку). Двойной лист следует разграфить так, как показано в таб-
лице I. Если какие-то покупки семья никогда не делает, не
включайте их в таблицу (например, если овощи вы выращиваете
на своем огороде).
Таблица I
ПП Дата или дни •^недели Понедельник Втор- ник Среда Четверг Пят- ница Суббо- та Воскре- сенье Стой- . мость покупок за неделю
коли-, чест- во кг, ШТУК цен er 1кг, 1шт СТОИ- МОСТЬ поку- пки
la Хлебные изделия 0-23
2. Молочные продукты 1л In ' 0-32 0-28
3. Оводи, фрукты, зелень Зкг 2кг 0-10 1-50 0-30 3-00
4. Мясные и рыбные продукты, яйце 1,5кг 2-00 3-00
5. Крупы, мука 1кг 1кг 0-56 0-88
6. Сахар,сладости In 1-04
7. Напитки(чай,ко- фе) ,специи,соль Итого: In 0-72 10-33 (сумма неделю}
IP
В таблице I для примера заполнена графа покупок в поне-
дельник. В самой нижней строке ’’Итого* вы суммируете (можно с
помощью калькулятора) все стоимости покупок в столбцах по днэд
недели. Затем полученные семь сумм в конце недели складываете
и получаете расход денег на питание за неделю. Конечно» этот
расход приближенный, т.к. в следующие недели вы можете потра-
тить больше или меньше денег. Но уже, умножив полученную сум-
му на 4 (в месяце 4 полных недели), вы можете представить се-
бе расход на питание семьи за месяц. А для большей точности
(не поленитесь!) проследите за покупками в течение всего меся-
ца.
Из заполненных таблиц можно извлечь много полезной инфор-
мации. Например:
. I) узнать, сколько крупы,сахара и других нескоропортяп^их-
ся продуктов тратится семьей за месяц, и закупить их сразу на
месяц (чтобы не ходить.в магазин лишний раз);
2) если покажется, что расход на питание очень большой,
можно подумать-какие продукты из дорогостоящих можно частично
заменить другими;
3) подсчитать, сколько тратится в месяц денег на хлеб,мо-
локо или любой другой,обязательный в ежедневном рационе, про-
дукт в отдельности.
Разность между.зарплатой и тратами на питание и комму-
нальные услуги - это те деньгиу которые родители могут потра-
тить на книги, походы в кино, одежду,обувь, игрушки, спортив-
ное снаряжение, поездку на. отдых и т.п. Решение о .том - кому
из членов семьи в первую очередь и что именно необходимо ку-
пить, лучше всего принимать на семейном совете.
ггз
§ 13. ТАБЛИЦА ИГР ЧЕМПИОНАТА СССР ПО ФУТБОЛУ
Почти каждый мальчик и некоторые девочки "болеют" за ту
или иную футбольную команду. Тот, кто регулярно следит за мат-
чами, наверное, знает, как составляется таблица игр и как с
ее помощью определяется победитель. Для тех, кто хочет с этим
познакомиться поподробней, а заодно поучиться систематизиро-
вать поступающую информацию и делать определенные выводы по
ней, предлагаем вместе с нами проделать следующее.
Составим таблицу игр чемпионата СССР по футболу за 1988
год и внесем в нее некоторые "результаты" игр (их мы придумаем
а вы поможете пользоваться настоящими результатами встреч на
чем пи он ат^ГгОТй'другого года и заполнить таблицу полностью).
В левом столбце под номерами записаны команды первой ли-
ги. В самой верхней строке записаны только номера этих же ко-
манд. Каждая команда играет с каждой.
На пересечении строки и столбца,соответствующих двум ко-
мандам, ставят счет завершившегося матча. Например, сыграли
команды "Спартак" и "Жальгирис". "Спартак" выиграл у "Жальги-
риса" со счетом 3:1 (см_.таблицу 2), т.е. "Спартак" забил в во-
рота "Жальгириса*, 3 мяча, а "Жальгирис" "Спартаку-I мяч. В
таблицу в строке I "Спартак" в том месте, где она пересекает-
ся со столбцом 3 (соответствующего "Жальгирису") мы пишем
счет 3:1. Одновременно в строке 3 "Жальгирис"’ на пересечении
со столбцом Ксоответствующего "Спартаку") ставим счет 1:3.
То есть в строках счет записывается таким образом, что на пер-
вом месте стоит число забитых мячей, а после двоеточия стоит
число пропущенных мячей.
Таблица 2
м пп Команды I 2 3 4 5 6 7 8 • 9 10 II 12 13 14 15 16 1 !оч- >ки мя-|ме- чи |ста
I. Спартак (~у 2:0 3:1 3:0 2:0 2:2 1:0 3:0 4:1: 3:1. 4:0 3:1 2:0 3:0 3:0 3:1 30 44:7 I
2. Днепр; 0:2 О 3:2 2:2 2:1 1:2 2:0 3:2 2:1 3:1 2:0 2:0 3:1 4:2 3:2 3:0 25 35:18 ш
3. Жальгирис 1:3 2:3 0 25 34:15 п
4. Торпедо (М) 0:3 2:2
5. Динамо(М) 0:2 1:2
6. Динамо (К) . 2:2 2:1 0
7. Шахтер 0:1 0:2 О
8. Арарат 0:3 2:3 О
9. Нефтчи 1:4 1:2
10. Динамо(Минск 1:3 1:3 О
п< Металлист 0:4 0:2 0
12. Кайрат 1:3 0:2 о
13. Динамо (Тб) 0:2 1:3 О
14. Зенит 0:3 2:4 О
15. Черноморец . 0:3 , 2:3
16. Локомотив 1:3" 0:3 15:41 . 1
После того, как все матчи сыграны и таблица заполнена
(мы договорились, что вы ее заполните сами), начинается вы-
явление победителя и расстановка команд по местам.
Главным признаком выявления победителя является количест-
во набранных командой очков. Количество набранных очков запи-
сывается в строке каждой команды, а подсчитывается оно таким
образом: за каждую победу 2 очка, за ничью I очко, за прои-
грыш - 0 очков. Так, например, в таблице 2 команда "Спартак”
набрала 30 очков.
Если все команды набрали разное количество очков, то ме-
ста на чемпионате определяются просто: чем больше очков, тем
выше место. *
Если же в таблице имеются команды с равным количеством
набранных очков, то в силу вступает следующий признак,- раз-
ность забитых и пропущенных мячей.
С этой целью в строке каждой команды записываются суммы
забитых и пропущенных мячей. Так, в нашей таблице команды
"Днепр" и "Жальгирис" набрали по 25 очков, но у "Днепра” раз-
ность между забитыми и пропущенными мячами 35-18=17, а у "Жаль-
гириса" 34-15»19. Предпочтение при занятий более высокого ме-
ста отдается той команде, у которой такая разность больше
(19 >17). Поэтому в нашей таблице между первыми тремя команда-
ми места распределились следующим образом: I - "Спартак”, П -
"Жальгирис”, Ш - "Днепр".
Обычно этих двух признаков хватает для выявления претен-
дентов на каждое место чемпионата. Но может оказаться, что
есть в таблице две доманды, у которых одинаковы количество оч-
ков, а также разность между забитыми и про пенными мячами.
Тогда в силу вступает третий признак. Из двух таких команд на
более высокое место поднимается та, которая имеет большее ко-
личество забитых мячей. Ну, а уж если и здесь оказалось равен-
ство в числе мячей, тогда победитель в личном первенстве меж>
ду такими двумя командами поднимается на более высокое место.
Интересны способы проверки правильности заполнения турнир-
ной таблицы. Тем, кто пользуется микрокалькулятором, это сделать
будет совсем просто, но можно провести подсчеты при проверке
и обычными способами: в уме или на бумаге.
I проверка. Если просуммировать выигрыши по всем коман-
дам, то их число должно быть равно сумме всех проигрышей.
2 проверка. Сумма всех разностей забитых и пропущенных
мячей должна быть равна нулю (не удивляйтесь, ведь если коли-
чество мячей команды за чемпионат, например, 15:41, то раз-
ность забитых и пропущенных мячей есть число отрицательное:
15-41=-2б).
§ 14. ВОЗДУШЫЙ змей
Многие ребята с удовольствием за городом запустили бы
в небо воздушного змея. А чтобы его сделать, нужны самые про-
стые материалы и знания азов геометрии.
Расскажу, как делал, змея еще в 20-е годы мой отец, буду-
чи мальчишкой.
Хорошей бумаги не было.. Газета была лучшим материалом, на
который, приклеивались клейстером (из муки) рейки из. сухого ка-
мыша, тростника (можно было брать и тонкие деревянные рейки,
из дранки - однослойной фанеры, но тростник был легче)*
Попробуйте сделать змея сами, используя наши советы и со-,
вершенствуя предложенную конструкцию и технологию изготовления»
Итак, перечислим основные необходимые материалы:
I. бумага - газетная, писчая, из школьной тетради, каль-
ка, тонкий пергамент.
2. ?9Фси_ - деревянные (потоньше); сухие камышины, рас-
цепленные вдоль на 6-8 частей.
3. Клей для дерева, бумаги.
4. Нитка толстая, желательно суровая.
5. Тряпки(старые) для хвоста змея или мочало,.
Изготовление:
I. Из бумаги вырезается прямоугольник, стороны которого
находятся, примерно, в отношении 1:1,6 (такое отношение длий
в математике и архитектуре называется "золотым сечением”), То
есть, если меньшая сторона прямоугольника равна 30 см, то боль
шая должна быть равна 30 см . 1,6 = 48 см.
2. Нарежьте рейки так, чтобы ими можно было обклеить змей
по периметру и две рейки пустить по диагоналям. Длина реек
должна быть чуть больше (на 0,5-1 см), чем соответствующий
размер листа бумаги (лишний материал после изготовления мо-
дели можно будет убрать).
3. Положите лист бумаги на стол или на пол (подстелив
предварительно под него ненужную бумагу, газету), приготовьте
рейки и клей. а.
4. Поочередно смазывая одну плоскость реек клеем, накла-
дывайте их на заготовленный бумажный лист "край в край” (луч-
ше, чтобы рейка чуть выступала за лист, чем наоборот).
Порядок наложения реек: сначала поперечные (меньшие по
длине), затем продольные и последними - диагональные (см.рис.
кед).
В углах будут.три слоя реек. Очевидно, у самых углов прямо-
угольника большие и диагональные рейки не будут касаться бу-
маги, т.е. склеены с бумагой они там не будут ...
5. Иглой с суровой ниткой проколите бумажную часть змея
в углах и в центре и свяжите аккуратно бумагу и крестовины
реек конструкции»
6. Суровую нитку, закрепив ее за крестовины в углах А и
Ь ,натяните так, чтобы рейка АЬ немного выгнулась. В ©том по- *
ложении и зафиксируйте нить (рис. 189(2)). Такая выпуклость нуж-
на, чтобы в воздухе змей был устойчив, не крутился вокруг своей
оси.
7. Положите змея на ровную поверхность выпуклой частью
вверх. Привяжите к углам А и Ь и середине диагоналей О нити
равной длины SA = SB = SO и скрепите их в точке (рис. 189(3)).
Длина каждого из ©тих отрезков чуть больше половины диагонали
АО прямоугольника А&С&Длина нитей SA, Sb и SO влияет на высо-
ту подъема змея.
8. Хвост привязывается к точкам й и С (рис. 189(4)).
9. Нить, за которую вы будете вести змея, наматывается
на палочку или карацдаш. Лучше всего наматывать нить "вось-
меркой1* (рис. 189(5)).
§ 15. КУЛИНАРНЫЕ РЕЦЕПТЫ
^Ь)Для того, чтобы пользоваться кулинарными рецептами
и производить перерасчет продуктов по ним, порой требуется
знать, что такое отношение, пропорциональность.
Рассмотрим конкретный пример.
Овощная икра.
Репчатый лук, соленые огурцы и морковь
берутся в весовом отношении 3:4:4,
Вымытые, очиненные и нарезанные ове^и
перемешиваются с небольшим количеством
томатной пасты и 15 минут тушатся на ог-
не. Подают к столу в холодном виде.
1
гчо
В зависимости от того, на какое количество людей или на
какой срок хранения вы будете готовить овощную икру, нужно
брать разное количество продуктов. Например, для одной семьи
можно использовать no I кг огурцов и моркови. Сколько же лу- ।
ка нужно взять? Огурцы и морковь входят в блюдо в объеме 4-х
весовых частей. Значит одна единица веса составит I кг:4=
=1000 г:4=250 г. А лук по рецепту составляет 3 весовых части,
т.е. 250 г • 3 = 750 г.
Итак, для приготовления овощной икры можно взять 750 г
репчатого лука, I кг соленых огурцов и I кг моркови (эти веса I
находятся в отношении 3:4:4).
Подсчитайте, количество продуктов на приготовление икры,
если за основу вы хотите взять 1,5 кг лука.
(£) В рецептах кулинарных книг чаще всего указывают не ве-
совое отношение, а конкретное количество продуктов. Но нам бы-
вает нужно сделать перерасчет количества продуктов, если мы
хотим получить меньший или больший объем готового блюда. Рас-
смотрим конкретный пример.
Омлет. На 2 яйца - 20 г молока, 20 г сливочного
масла.
У/ Выпущенные в миску яйца посолить, влить
молоко (если его нет, можно влить такое
-----же количество воды) и взбить вилкой. Яич-
ну» массу вылить на горячую сковороду с
) с
маслом и жарить на сильном огне, вначале
помешивая ее для равномерного прогревания.
Как только омлет начнет густеть, завернуть
его края с двух сторон к середине ножом,
припав омлету форму продолговатого пирожка.
24 4
Если вы будете готовить омлет, например, из 5 яиц, то ко-
личество всех продуктов увеличивайте в 5:2=2,5 раза. Если; на-
пример, готовится омлет из I яйца, то, естественно, количество
всех продуктов уменьшается в 2 раза.
Ребятам, которым понравится готовить пищу, нужно знать,
каков вес того или иного количества продуктов, умещающегося в
одном стакане или в одной столовой ложке. Объясняется это тем,
что взвешивать каждый продукт не всегда бывает возможным, а
на кухне под рукой всегда есть стакан и ложка - мерные ёмкости.
Таблица веса и меры некоторых продуктов
№ пп Название продукта Вес в граммах
стакан (250см3) столовая ложка чайная ложка I шт.
I. Мука пшеничная 160 25 ю —
2. Сахарный песок 200 25 10 -
3. Масло 245 20 5 -
4. Молоко 250 20' . - -
5. Томат-паста - 30 10 -
б. Соль 320 30 10 -
7. Крупа гречневая 210 25 - —
8. Рис 230 20 - -
9. Морковь средняя - - - 75
Ю. Картофель средний - - - 100
II. Огурец средний - — - 100
Таким образом, в рецепте приготовления омлета можно было
записать: "йа 2 яйца - I ст.ложку молока,! ст.ложку масла".
zhz
(з^Чап^е всего сложность в приготовлении того или иного
блюда (в рецепте которого указано, сколько и какого продукта
нужно взять), заключается в строгом соблюдении последовстель-
ности выполнения тех или иных операций.
Порядок (последовательность) выполнения операций (дейст- .‘
вий) для решения какой-нибудь задачи называется алгоритмом
решения задачи. Задача может быть и не математической, а прак-
тической. Например, описанный в нашей книге порядок изготовле-
ния воздушного змея можно назвать алгоритмом его изготовления.
Сейчас вы прочтете рецепт приготовления торта иНаполеоня.
Попробуйте по пунктам (по шагам) расписать алгоритм ваших дей-
ствий для изготовления такого торта.(Первый раз готовить та-
кой торт лучше всего вместе с кем-нибудь из взрослых.)
Торт "Наполеон". Тесто: 500 г муки, 300 г маргарина
или масла,! яйцо, 4/5 стакана воды,
1/2 чайной ложки соли, I чайная ложка
уксуса.
В муку положить охлажденное масло, на-*
резанное на кусочки, и рубить его ножом,
перемешивая с мукой до получения крупо-
видной массы. Собрать в пирамиду,сде-
лать лунку, в которую влить соленую
воду, яйцо и уксус. Из всего этого за-
месить тесто, сделать шар и поставить
в холодильник минут на 40. После этого
шар разделить на 8-9 частей,каждую
часть раскатать в круг как можно тонь- .
ше,положить на противень, смазанный ?
гчь
маслом, проткнуть тесто во многих местах
вилкой и поставить выпекаться в раскаленную
плиту на 3-5 минут (выпекать коржи до зо-
лотистого цвета).
Крвм: 300 г масла, 3/4 стакана молока,
1,5стакана сахарного песку, 2 яйца,ва-
ми л ин.
Сахар растереть с яйцами, добавить моло-
ко и варить до закипания на слабом огне,
помешивая. Охладить. Масло растереть до-
бела и добавить в него охлажденную смесь.
Размешать, добавив ванилин.
3) Между испеченными коржами равномерно
распределить крем. Придать торту желае-
мую форму, срезав ножом лишнюю часть кор-
жей (ею можно посыпать торт сверху). На-
крыть торт полотенцем и оставить его на
12 часов при комнатной температуре.
5 16. ВЫБОР ВАРИАНТОВ
fl?) Способы создания групп.
Допустим, продаются три сорта мороженого в стаканчиках:
молочное (м), сливочное (с) и фруктовое (ф). Вы хотите попро-
бовать разные сорта мороженого, а денег хватает только на по-
купку любых двух видов. Сколькими способами вы можете сделать
задуманную покупку?
Давайте все возможные варианты покупки перечислим с по-
мошью условных коробок, в которые мы будем укладывать по два
Разных мороженых (рис.190). Оказывается, совершить яоиупк/
2ЛЧ
вы могли тремя различными спосо-
бами. То, что других вариантов
покупки нет, лучше видно на схе-
ме (рис.191).
Рис.190. Рис.191
Здесь линиями, связывающими кружки, обозначены варианты
объединения сортов мороженого в пары. Таких линий между тре-
мя кружками три, значит и способов объединения трех сортов
в группы по два сорта - три.
Усложним задачу. Продается четыре различных сорта моро-
женого: молочное См), сливочное (с), фруктовое (ф) и шоколад-
ное (ш). Вы.опять можете купить только два сорта мороженого.
Сколькими различными способами вы могли бы. это сделать?
. Можно "укладывать" все возможные пары в коробки,- умещаю-
щие два мороженых, а затем подсчитать количество коробок. Но
нагляднее и быстрее определить возможные пары с помощью схемы,
аналогичной схеме на рисунке 191. Этим способом пользуйтесь и
в дальнейшем при решении аналогичных задач.
Изобразив каждый сорт мороженого кружком с первой буквой
названия сорта (рис.192), соединим линиями каждый кружок с
каждым* Количество связующих
линий (а их 6) и определяет
количество возможных пар.
Рис.192
24S
Задачи такого типа часто приходится решать в жизни. На-
пример, сколькими способами можно выбрать для игры двух парт-
неров из четырех ребят? Шестью различными способами.
Задача. Подсчитайте, сколькими способами можно выбрать
двух партнеров для игры первой партии в настольный теннис,
если собралось 5 ребят и, конечно, каждый хочет играть в
первой партии? •
Установить порядок (последовательности).
.Сколько различных двузначных чисел можно записать с по-
мощью двух цифр I и 2, используя каждую цифру по одному разу?
Очевидно, только два: 12 и 21.
Сколько различных трехзначных чисел можно записать с по-
мощью трех цифр 1,2 и 3, используя каждую цифру в записи один
раз? Пожалуй, сразу не ответишь на этот вопрос. Нужно взять
бумагу и ручку и попробовать записать все эти числа: 123,132,
231,321,213,312. Не упустили ли мы какое-нибудь число? Для то-
го, чтобы в этом не сомневаться, нужно придумать способ выпи-
сывания всех возможных комбинаций из заданных трех цифр. Это
можно сделать, например, с поморю схемы, изображенной на ри-
1 этап
X этап
Рис.193
Mb
Как мы строили эту схему? Написали одну под другой три
цифры 1,2 и 3, каждая из которых может стоять на первом месте
в числе. Затем от каждой цифры провели по две линии вправо,
т.к. на втором месте может стоять каждая из двух оставшихся
цифр. От второй цифры провели одну лини», т.к. на третьем ме-
сте может стоять уже единственная,оставшаяся из неиспользован-
ных цифра. Справа от схемы мы написали все возможные трехзнач-
ные числа, составленные указанным способом. Их оказалось шесть.
Задача. Сколькими различными способами можно установить
порядок дежурства по классу (дежурят по очереди по одному че- ,
ловеку в день) между четырьмя учениками класса Антоном (А),
Борисом (В), Верой (В) и Галей (Г)?
§ 17. ЗАДАЧИ ДЕД(ВОГО ЧЕЛОВЕКА
(ПРИНЯТИЕ РАЗУМНОГО РЕШЕНИЯ)
(ь)Больше времени на любимое дело.
Мы все хотим.оставить побольше..времени на любимое заня-
тие: спорт,чтение, выпиливание лобзиком, шитье и т.п.Су каж-
дого есть свое.любимое дело). Но в жизни . всегда приходится
выполнять ряд обязанностей, которые не всегда приносят радость,
но делать которые необходимо. Нужно ежедневно убирать помете- ;
ние, в котором живешь, мыть посуду, ходить в магазин, ухажи-
вать за животными и т.д. Эти дела тоже нужно делать хотя бы
потому, что дело, сделанное, плохо, "заставит* тебя трудиться
вдвое больше или причинит какой-нибудь вред (например^нена-
кормленное животное может заболеть, и нужно будет потратить
время, чтобы его вылечить; в неубранном пыльном помещении '•
легко размножаются возбудители различных болезней и заболеть
можешь ты сам или твои близкие).
2ЛТ
А лучше всего, если ты просто из уважения к себе как к
добросовестному человеку, все дела, за которые берешься, бу-
дешь делать хорошо и качественно. Это должно стать твоим прин-
ципом, , .
. Рассмотрим пример. Ты пришел из школы и нужно сделать сле-
дующие дела (с каждым делом рядом запишем.время, которое тре-
буется на его добросовестное выполнение):
I» Пообедать - 20 мин.
2. Помыть посуду - 20 мин.
3* Выучить уроки - 2 часа .
4, Покормить животных,убрать у них - 30 мин.
5. Подмести,вымыть или пропылесосить пол - 30 мин.
6. Сходить в магазин за хлебом - 30 мин.-
7. Сварить картошку - I час .
8. Узнать из газет или по радио новости дня - 30 мин.
9. Сходить в прачечную - 30 мин.
Если сложить промежутки времени, которые требуются на вы-
полнение каждого дела в отдельности, то получится больше 5 че-
сов. Не так уж много тогда до конца дня останется времени ИД
занятия тем, чем тебе хочется.
Но можно, время на выполнение обязательных дел сократить»
если делать их в разумной последовательности и совмещать неко-
торые дела.
В предложенном списке прекрасно совмещаются такие дела,
как обед и прослушивание новостей по радио; поход в булочную
и поход в прачечную; варка картофеля и уборка квартиры (ты № не
будешь после того, как почистишь картошку, полчаса смотреть,
как она варится). Вот тебе и "сэкономленные” пара часов!
ms
Могу подсказать, что выучивание стихотворений и формул
из домашнего задания можно начинать еде за обедом, а затем
поглядывать в книгу, когда моешь посуду, убираешь квартиру
(однако, нельзя заглядывать в книгу,например, по дороге в ма-
газин!). Если в доме есть магнитофон, то можно записать на
плёнку стихи и формулы и прослушивать их в то время, когда де-
лаешь механическую работу.
Задание. Попробуй распределить предложенные ниже дела
в разумном порядке их выполнения и указать дела, которые мож-
но без ущерба для их качества делать одновременно.
За какой наименьший промежуток времени можно сделать все
эти дела?
I. Пообедать - 20 мин.
2. Вымыть посуду - 20 мин.
3. Сделать уроки - 2 часа.
4. Постирать с помощью стиральной машины - 1,5 часа.
5. Купить в магазине молоко - 40 мин.
" 6. Починить стул - 30 мин.
7. Забрать младшего брата из сада - 40 мин.
8. Рассказать брату о своих делах в школе.
^2^ Выбор маршрута.
Нередко мы можем до одного и того же места добраться раз-
ными маршрутами, дорогами, различными видами транспорта йли
пешком.
Делая выбор, какой дорогой нам ехать или идти, мы руко-
водствуемся порой разными соображениями. Если у нас мало или
вовсе нет денег, то небольшое расстояние мы преодолеваем пеш-
ком. Когда нужно куда-то срочно попасть в пределах города и
у нас есть деньги, мы пользуемся такси. Если нужно попасть в
отдаленную часть страны, то обычно приходится лететь самолетом
(или долго ехать поездом).
Нередко приходится выбирать маршрут и средства передвиже-
ния при учете того, что на пути следования обязательно придет-
ся пересаживаться на другой вид транспорта. Например, если на
пути следования оказывается водная преграда и ее преодолеть
можно на судне. Рассмотрим конкретный ^приме^
Из города А в город <50 (рис. 194) можно попасть так:
...Рис. 194
I) из города А до пристани Ь доехать по железной дороге по-
ездом или по автостраде автобусом или,такси; 2) от пристани Ь
до пристани. С можно доплыть.катером; 3) от пристани С до
города чО доехать либо поездом, либо автобусом. ..
Чем же обычно. руководствуются, когда выбирают маршрут
следования средства передвижения (транспорт)?
Обычно руководствуются двумя критериями: I) временем в
пути ( t ), 2) стоимостью проезда (S ).
Вернемся к нашем/ примеру (рис.194). Изобразим возможные
маршруты схематически и укажем на каяуюм участке пути время
движения и стоимость проезда (см.рис.195).
%50
Рис,195
Сравним время и стоимость поездки по каждому из возмож-
ных маршрутов:
=6+1+5=12(4),
=6+1+6= 13(ч),
t =8+1+5=14(4),
t =8+1+6= 15(ч)
=4+1+5=10(ч),
QA)-l =4+1+6=И(ч),
S =7+1+6= I4(p.)
5 =7+I+4,5=I2,5(p)
$=6+1+6=I3(p) '
S=6+1+4,5=11,5(p)
=80+I+6=87(p.)'
S =80+1+4,5' =85,5(p).
Теперь нужно принять решение — каким маршрутом ехать.
Если мы хотим добраться как можно скорее (сэкономить время), то
• очевидно, нужно выбрать маршрут Т-К-П, преодолеваемый за 10
часов и заплатить за дорогу 87 рублей. Если же мы хотим сэко-
номить деньги, то нужно выбрать маршрут А-К-А и заплатить за
проезд II р.50 к.,затратив на дорогу при этом 15 часов (самый
большой из возможных промежутков времени).
Обычно же в жизни выбирают маршрут разумный одновременно
по времени и по затраченным средствам, не самый продолжитель-
ный по времени и не дорогой (оптимальный). Это маршрут П-К-П
25 A
ИЛИ П-К-А.
(4^) Обед в кафе.
Когда вы обедали в столовой, буфете или кафе, наверное,
приходилось из нескольких первых, вторых и третьих блюд выби-
рать по одному, руководствуясь либо вкусовыми качествами про-
дукта. либо его стоимостью.
Попробуйте из предложенного меню составить обед, который
был бы не дорогим по стоимости и соответствовал бы вашему вку-
су. Давайте договоримся, что обед должен стоить не дороже 70
копеек и состоять из трех блюд.
Меню:
I. Первые_блюдaj
Борд - 25 коп.
Молочный суп - 12 коп.
Окрошка - 40 коп.
П. Вторые^блюда^
Рыба жареная - 25 коп.
Люля-кебаб - 70 коп.
Ш.' Третьи_блю£а:
Компот - 8 коп.
Чай - 3 коп.
Мороженое - 30 коп.
Наверное, вы и сами понйли, что в жизни задачи обычно
имеют не одно решение. И нужно набрать определенный опыт,что-
бы лучше ориентироваться в жизненных ситуациях и поменьше при-
нимать ошибочных решений. А умениям правильно расс?/ждать,ана-
лизировать, подсчитывать в большой мере способствуют занятия
математикой.
zsz
§ 18» АЗБУКА МОРЗЕ
Азбука Морзе - это телеграфный код, в котором каждая бук-
ва алфавита, цифра или знак представлены своей собственной
комбинацией коротких (точка) и длинных (тире) сигналов (см.
таблицу 3,).При посылке сигналов между двумя соседними буквами
слова делается небольшая пауза, между двумя словами - пауза
побольше.
Таблица 3
I 2 3 4
Буквы Знаки ко- да Морзе Буквы Знаки ко- да Морзе Буквы Знаки кода Морзе Цифры Знаки ко- да Морзе
"А М — — ’ ц I • — —ч- **
Б- —* • • > Н — « ч ——— • 2 • • — — —
В • — — 0 — — — ш —— — — 3
Г «м» *** 4» п • — •*— • щ 4
д — • • р ы —* — — 5 • * • * •
Е ♦ с ю • • — —• 6
Ж • * * т — я 7
3 — — • • У • • — Й • — — 8 — — — • •
и - • ф * * < ь,ъ — • • — 9 — — — •
к •—- • —' t X • * • * э — •• 0 — —
л 1
Посылать сообщения с помощью таблицы 2 не сложно: нахо-
дишь нужную букву слова и передаешь ее код. Гораздо сложнее
с помощью этой таблицы принимать сообщения (пока найдешь по-
сланную тебе букву, успеют прцпти несколько следующих. Оста-
ются два пути: либо выучить азбуку Морзе на память "в обе сто-
роны* (т.е.по букве указывать ее код и наоборот - по коду оп-
ZS5
ределять букву), либо составить удобную для приема сигналов
схему.
Для составления схемы приема сигналов воспользуемся Тем
фактом, что каждый сигнал, из которых состоит буква или цифра,
имеет всего два значения: "точка (•)" или "тире (-)".
Допустим, первым пришел сигнал "точка". Если дальше сле-
дует пауза, т.е. буква передана, то одна точка обозначает бук-
ву Е(см.таблицу 3). Если следует второй знак для передачи од-
ной буквы, то это может либо"точка", либо "тире". При первом
сигнале "точка".и втором тоже "точка" имеем букву И, если же
вторым было "тире", то передана буква А. Наши рассуждения лег-
ко было бы проследить по схеме (рис.196):
Рис. 196 .. „ ....
Далее, если за вторым сигналом следует для передачи.буквы
третий сигнал, то схема I может быть продолжена с целью, опре-
деления "трехзнаковой", буквы (см.схему на. рисунке 197) и т.д.
для "четырехзнаковой" и "пятизнаковой" буквы и цифр.“
С * Р ь
Рис.197
Теперь возьмите большой лист бумаги и начертите схему
приема любой буквы алфавита или цифры (не забудьте про бук-
вы, первым сигналом которых было "тире*). Удобно,если всегда
переход к "точке" будет направлен "налево-вниз", а к"тире* -
"направо-вниз". .
.Для контроля проверьте по своей схеме, так ли у вас рас-
положен, например, маршрут к цифре 7(см.схему на рисунке 198).
....§ 19.. ВЫРЕЗАНИЕ ИЗ БУМАГИ. . .
. В нашей книге с помощью перегибаний листа бумаги мы
обосновывали .некоторые геометрические свойства фигур. Выреза-
ли по клеткам игрушечного кота, отверстие для „пролезания’’через
...... Теперь попробуйте из цветной бумаги вырезать украшение
на новогоднюю елку, закладку в книгу, салфетку на стол.
За основу, возьмите квадратные листы. Так к как перед вы-
резанием их.придется определенным образом складывать, дого-
воримся, что на рисунках края листабудут изображены сплош-
ными линиями, а места сгиба - пунктирами. Сплошными линиями
будут также показаны места, по которым нужно аккуратно сде-
лать разрезы ножницами (рисунки 199).
Рис.199
§ 20. НЕ ОТРЫВАЯ КАРАНДАШ ОТ БУМАГИ
В нашей книге на с. вы встречались уже с задачей, в
которой требовалось, не прерывая линию (не отрывая карандаша
от бумаги) и не проводя по одной линии дважды, начертить "от-
крытый конверт" (рис.200(D).
Рис.200
Наверное, вы делали много попыток,, чтобы найти точку, с
которой нужно начинать рисунок, и направление вычерчивания.
Оказывается, для решения задач ., подобных этой, суп^ест-
вуют признаки, по которым заранее не сложно „установить, можно
ли данную фигуру начертить одним росчерком или нет? Если мож-
но, то с какой точки следует начинать вычерчивание? Мы эти
признаки просто.перечислим, а обоснование их вы можете найти
ц книгах по топологии (топология - раздел математики, изучаю-
щий такие свойства фигур, которые не меняются при любых дефор-
мациях, производимых без разрывов и склеиваний; с точки зрения
топологии, например, круг, овал, квадрат, треугольник - по су-
ти одна и та же фигура).
Договоримся называть тачки, в которых сходится четное
число линий "Четными", а точки, в,.которых сходится нечетное
число линий - "Нечетными". Так, на рисунке 200(1) точка О
четная, а точка SD - Нечетная.
zsi
Теперь перечислим признаки возможности вычерчивания фи-
гур одним росчерком:
I. Если нечетных точек в фигуре нет, то ее можно начер-
тить одним росчерком, начиная вычерчивать с любого места (та-
кова, например, на рисунке 200 фигура 2).
2. Если в фигуре две нечетных точки*\ то ее можно на-
чертить одним росчерком, начав вычерчивание в одной из нечет-
ных точек и закончив в другой (таковы, например, на рисунке
200 фигуры I и 3).
3. Если в фигуре более двух нечетных точек, то ее нельзя
вычертить одним росчерком (такова, например, на рисунке 200
фигура 4, имеющая четыре нечетных точки).
Попробуйте самостоятельно определить, какие из фигур ри-
сунка 201 можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги (и
не проводя по одной линии дважды). Нарисуйте те из фигур,’ко-
торые можно начертить одним росчерком.
^Всегда: если фигура имеет одну нечетную точку,то она и^еет
и вторую нечетную точку.
Приобретенные только что вами знания имеют порой любопыт-
ное применение»
Великий математик Л.Ьйлер в 1736 г. занимался решением
своеобразной зщхачи, которую он формулировал так: "В Кениг-
сберге*^ есть остров, называемый Кнейнгоф. Река, омывающая
его, делится на два рукава (рис.202), через которые перекину-
то семь мостов. Можно ли обойти все эти мосты, не побывав ни
на одном из них более раза?”
С
Рис.202
Очевидно, в задаче размеры острова и мостов значения не
имеют. Важно, что часть мостов выходит в область А .часть в
Е> ,часть в С и часть в область *30 . Для наглядности можно за-
менить точками те области, в которых встречаются пути обхода.
Тогда рисунок 202 будет схематически выглядеть так, как зто
показано на рисунке 203 (мосты превратились в линии, соединяв-
шие точки области).
На рисунке 203 мы видим фигуру, у которой четыре нечет* / ных точки. По сформулированному нами 3’ признаку такую фигуру Теперь г.Калининград (областной центр) Рис.203
159
нельзя начертить одним росчерком, т.е. нельзя, переходя к
исходной задаче, пройти по всем мостам Кенигсберга, побывав
на каждом из них только по разу.
Для самостоятельного решения предлагаем вам решить ана-
логичную по условию и требованию задачу с 9 мостами (рис.204).
Рис.204
§ 21. БЫСТРЫЙ СЧЕТ ЕЮ КАЛШЖШРА
Некоторые приемы быстрого устного счета вам. знакомы, не- 1
которые будут новы для вас» Но в любом случае хорошо уметь
ими пользоваться, т.к, микрокалькулятор или бумага ,с ручкой
не всегда бывают под рукой»
Умножение и деление на 4.
Чтобы число умножить на 4, его дважды удваивают.' Напри-
мер: 213-4 =(213-2) *2 » 426-2= 852.
Чтобы число разделить на 4, его.дважды делят на 2. Напри-
мер: 124:4 = (124:2) Ь 2 • 62:2 « 31.
1G>O
Умножение на5.
Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на ~~ ,т.е.
умножить на 10 и разделить на 2 (ча^е удобнее бывает сначала
разделить на. 2, затем умножить на 10). Например:
138-5 х (138-10):2 = 1380:2 = 690.
@ Деление на 5.
Чтобы разделить число на 5, нужно умножить его на 0,2,
т.е. в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю
цифру. Например:
345:5 = 345*0,2 = 69;
71:5 = 71-0,2 = 14,2.
61?) Умножение на 25.
Чтобы умножить, число на 25, нужно его умножить на ,
т.е. умножить на 100 и разделить на 4. Например:
348-25 х 34800:4 = 8700.
(5^) Умножение на 1,5.
Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу
прибавить его половину. Например:
24-1,5 = 24+12 = 36;
129-1,5 = 129ч64,5 = 193,5.
(б^) Умножение на 9.
Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают ноль и от-
нимают исходное число. Например:
241-9 = 2410-241 = 2169.
(V?) Ук4ножецие на II.
Чтобы умножить число на II, к нему приписывают ноль и
прибавляют исходное число. Например:
241-II х 2410 4 241 х 2651.
ZG1
(8?) Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся
цифрой 5.
Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5
(например, 65), умножают число его десятков (6) на число де-
сятков, увеличенное на I (на 6ч-1=7), и к полученному числу
приписывают 25 (6-7=42. Ответ: 4225).
Примеры: I) 952 = 9025
9-10=90.
2) I252 = J5625
12-13=156.
3) 9952 = 990025
99-100=9900.
Обоснование алгоритма возведения таких чисел в квадрат
можно дать с помощью алгебры.
Д Число, оканчивающееся цифрой 5, записывается в виде
ДОп,+ 5, где Vv- число десятков. Тогда (10п,+ 5)2 = (10п)24*
+ 2-10И/-5 + 52 = ЮОгъ2 + 100Hz + 25 ='100^(п+ I) + 25. А
число число
десят- десят-
- . ков . ков +1
(9^ Возведение в квадрат чисел по формулам. .
Этот прием удобен больше всего для чисел, оканчивающих-
ся цифрами 1,9,6 и 4. Из примеров будет понятно, почему:
3I2=(30+I)2=302+2-30-I+I2=900+60+I=96I;
292=(30-I)2=302~2-30-I+I2=900-60+1=841;
962=(95+I)2= '952+2'95-1+1=9025+190+1=9216;
см."Возведение в квадрат
чисел,оканчивающихся цифрой5 .
942=(95-I)2=952- 2*95*1+1=9025-190+1=8836.
(10) Умножение по формуле _(<У~&); jft+fe) =
Этой формулой мы уже пользовались в § 4 данной книги.
Напомним на примерах еще раз суть ее.использования.
Примеры: I) 98-I02=(l00-2)(I00+2)=l602-22=I0000+=9996;
2) 43•3'7=(40+3)(4р-3)=402-32= 1600-9= 1591;
3) 94-9M95-I) (95+i)=952-I2=9025-I=9024.
@ Умножение двузначных чисел, Низких к XQO.
Если нужно перемножить два числа, близких к 100 (напри-
мер, 92 и 97), то: I) найди недостатки множителей до сотни и
запиши их под соответственными числами 92 и 97
t + + а
8 3
2) вычти из одного множителя недостаток второго до сотни
(92-3=89);
3) к результату припиши двумя цифрами произведение недо-
статков множителей до сотни (8924)
8-3=24)’
Примеры:
I) 86-98; 86-2=84; 14-2=28; от₽ет:8428;
14 2
+1
2) 88-91; 88-9=79; 12-9=108; ответ; 7908 =8008 (к 79 при-
* + +
12 9
писали две последние цифры числа *108, а I добавили к разрлпу
сотен). ч •
Обоснование алгоритма дадим-с помощью алгебры.
А Пусть нужно перемножить 'числа х и .близкие к 100. За-
пишем эти числа так: ?
£63
х = 100-сь , где <Ь- недостаток числа X до 100,
= 100- В ,где fe- недостаток числа до 100.
Тогда Х’у =(I00-O) (100-8 )=( 100-cl)-100-dOO-OJ. В « ' (
=(Ю0- х) •100-КЮ 8 +а8 =( 100-и- В). 100+аВ =
= (х-6)- 100 '*
разность ; произведение - ”
одного мно- недостатков
жителя и до сотен
недостатка
второго до . ,
Упражняясь в вычислениях, вы можете сами, составить другие
алгоритмы ускоренного и упрочненного счета. Попробуйте, напри- .
мер, изобрести '
I) алгоритм <возведения в квадрат двузначных чисел,*
близких к 100; i . *
2) алгоритм возведения в квадрат чисел, близких к 50;
3) алгоритм возведения в квадрат-трехзначных чисел,
близких к 100;
' 4) алгоритм: сложения чисел, близких к круглым.
ин
Ответы к задачам
с о зн аком t Ф м
Правила деи-
©
стами с числами с одинаковыми и раънымц знаками •.
, Ч-А~ 3 > Ч *-А = S' t -Ч-Н « ~2э. Ь этот день ро-
дилась тройня. (д) На час. (V) Три-. аф|4=> «ли два:
11 I * (б) • (7) Распилить каждое звено одного кус-
ка и оставшиеся четыре куска последовательно соединить
С помощью т|>ёх распиленных ььеньев. (V) 3~(4+Ч*4)'Чу
4= ^ + (4-4)’Ч ? У=(Ч-Ч ТЧ)’. Ч f 6х (4Н):^+Ч , Ч=Ч-Ч‘.Ч +ЧУ
8^Ч-Ч-Ч-Ц , Э-Ч^Ч+Ч. (5) 24 000 км . @ Нулём, т.к. ’
В произведении есть сомножители
(н^Из второго стакана перелить воду ъ ^-ыи стакан,
Человек бь!Л маленького роста и Дотягивался лишь
до кнопки 6-то этажа . Дв&. чертеже 3.
@ Cm.phc.ZO5 < (£) 16 кг. @А. ©x^i, 1=3.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебраическая сумма- <з
Алгебраическое выражение -15
Биссектриса - 124
внешний ^гол треугольника- 166
Геометрическое место точек-225
График линейного уравнения-юб
График функции - 33
Диофантовы уравнения - А14
Законы сложения и умножения
чисел - 16
Корень уравнения - &<
Линейная функция - 91
Линейное уравнение -65
Луч - Л*1
Многочлен - 39
Одночлен - 34
Окружность - 123
Осевая симметрия - 19g
Отрезок - 121
Параллельные прямые -2ov
Перпендикулярные прямые — 1^6
Правила действий с десятич-
ными дробями - <1.
Правила действий с обыкно-
венными дробями - 3
Правила действий с числами
с одинаковыми и разными
знаками - IX «
Правила раскрытия скобок-14
Подобные члены - 4о
Прямая -
Прямая пропорциональность.- 88 '
Расстояние между двумя парадель-
ными прямыми - 2 <2
Решение системы уравнений
- графическим способом -<04
- способом подстановки - Ю1
- способом сложения - *<№
Секуи^ая прямая - 2,04
Серединный перпендикуляр- '$3
Система двух линейных уравнений
с двумя неизвестными - 1оо
Система координат - 4S
Софизм математический - 44
Стандартный вид многочлена *
Стандартный вцдопночлена -34.
Степень одночлена -
Степень с натуральным пока-
зателем . - 24
Степень многочлена - 39 .
Сумма углов треугольника -
Точка - <21 .
Треугольник - *zz '
Угол - /22
Уравнение -64
Уравнения Диофантовы - 1Л4
Фибоначчи числа - ^2>
Функция -Во.
Числа Фибоначчи - аз
Числовое выражение - 14
Числовое значение алгебраи-
ческого выражения -16*
ЛИТЕРАТУРА
» <• i
1. Алгебра .Учебник для бкласса средней школы /Под ред. Т?. пя-
ловского С.А. - М., (987 .
Z. Алимов Ш.А. ц Др. Алгебра. Пробный учебник дл>( G класса сред-
ней школыМ., (985 . - ’ ’ е
$. Атанасян Л.С. и др. Геометрия . Пробный учебник Дл> 6класса
средней школы . — М.( (983^
ц. Балк М.В., Балк. Г.Д. Математикд после уроков- — М;у 1971.
£*• Барр Ст. Россыпи головоломок.— М., 1978 . -
6, Березина А.Ю. Граеры и их применение,— №., 1979.
у, Воробьев Н.Ц. Признаки делиности.— М.,1988,
Я. Гарднер М, Креетикц-нолики. — М.? 198$,
3. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. — М 198G.
<°. Дьюдени Г.Э. Пятьсот ДВадцдть головоломок. — Му 1975\
и. Занимательное физике и математике. ^ибяиотемкА
мКвант‘\ Выпуск. 50. —М.,1987.
<2, йгнатьев E.VU В царстве смекалки.- М., (979 .
|Ъ, Кордекскци Б. А., Ахадов А А. Удивительный мир чисел , —
М., rtse.
U, Кордемекыи 6.А. Увлечь школьников мАтематикои — И., 1924,
<5\ Лангдон Степп Ч. С матенатикок в путь, — М., 1927.
<G. Мшаник А.Д. Реши сам,— Минск, i960.
П. Нагибин % Я?. Канин Е.С. МАтемдтимескАЯ шкатулка,—
м./т,
U. Олехник С-Н» и др. Старинные занимательные задачи , —
М./Ш . '
19, Перельман Живая математика.-т М.? 1978 .
ДО, Перельман Я,М. Занимательная алгебра М.? (9У54.
2Л, Перельман Я.И. Занимательные задачи и опыты, — М./972,
2.1. Погорелов А.В. -Геометрия. Учебное пособие ,для
классов средней куколы. М., (92Ц.
ДЬ. Фридман ММ., Турецкий .В.Н. Как научиться решать
задачи ? - М? (9В9 . • ‘
Л67
Оглавление
Предисловия ___________ ____________________________________3
Глава I. Алгебра
§ I. Числовые и алгебраические выражения____________________9
§ 2. Степень с натуральным показателем______________________М
§ 3, Одночлены и многочлены_______________________________
5 4. Формулы сокращенного умножения------------------_______£2,
§ 5. Линейные уравнения с одним неизвестным---------_ _
§ 6. Линейная функция ----______ _________________________3<5
§ 7. Системы линейных уравнений с двумя неизвестными -----1РО
Глава П, Геометрия
§ 8. Основные понятия геометрии----------------_ —---------1.2Л
§ 9. Треугольники----------______ ______ —-----------------
510. Перпендикулярные прямые—-------_ _ „--------------— -J?6
§11 . Параллельные прямые ______ --------------_ _ _-------
Глава,Ш. Математика в жизни
§12 . Учет расходов семьи, на^ питание ~ .-:— -----------—2^0
§13, Таблица игр чемпионата; СССР щг футболу--------------233
§14 . Воздушный змей —’ ~ J-L _ \--------------------2^6
§15 . Кулинарные рецепты---— - — — ------------------------
§16 . Выборы вариантов1-— — ' — — -—__ —
§17 . Задачи делового-человека __
§18 . Азбука Морзе ~ - — - ,т~ ZSZ
§19, Вырезание из бумаги L’ __ _ __ —u _ -Л t
§20. Бе .отрывая карандапгот бумаги - —: >----
§21 . Быстрый счет без калькулятора - —--------.-----------
Ответы к задачам со знаком Jo - — —-------------- - —
Предметный указатель ---------— —--------------— -
Литература---------— — — — — — — — ~
Оглавление — — — — — - - —--------_ 2_ -2,67
Мария Владимировна Ткачёва
ДОМАШНЯЯ МАТЕМАТИКА
(учебное пособие по математике для учащихся 6 классов и
их родителей)
Москва, Министерство народного образования РСФСР, научно-иссле-
довательский институт школ
Подписано в печать QT09 9Q* Заказ 5913L__________
Объем 1Z уч.-изд.л. Тираж 1500экз. Цена 2 руб.
Изд. НИИ школ МНО РСФСР, 109044, Москва, Крутицкий вал, 24.
Загорская ; типография Упрполиграфиздата Мособдшсполкома."