Автор: Половко А.М. Маликов И.М. Жигарев А.Н. Зарудный В.И.
Теги: электротехника сборник задач теория надежности
Год: 1972
Текст
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
Под редакцией
А. М. ПОЛОВКО и И. М. МАЛИКОВА
МОСКВА
«СОВЕТСКОЕ РАДИО»
1972
УДК 621.3.019.076
Сборник задач по теории надежности. Под ред. А. М. П о-
ловко и и. М. Маликов а. М., Изд-во «Советское радио»,
1972, 408 стр., т. 25 000 экз., ц. 1 р. 44 к.
Авторы: А. М. Половко, И. М. Маликов, А. Н. Жи-
гарев, В. И. Зарудный.
«Сборник задач по теории надежности» содержит задачи по
всем основным разделам теории надежности. В него включены
задачи по расчету надежности нсвосстанавливаемых и
восстанавливаемых изделий при основном и резервном соединении элементов,
а также задачи по оценке надежности изделий по данным об их
отказах, полученным по результатам испытаний или эксплуатации.
В каждой главе приведены краткие сведения из теории надежности,
иллюстрируемые типовыми примерами, а также большое число задач
с ответами. В отдельных случаях даны краткие указания,
позволяющие читателю найти наиболее простой путь решения. В сборнике
помещены как простые задачи, полезные читателю при
первоначальном изучении теории надежности, так и сложные, регления которых
будет способствовать углублению знаний теории и выработки
практических навыков.
Сборник задач рассчитан на широкий круг инженеров и
научных работников, занятых решением проблемы надежности
технических устройств различного назначения. Он также предназначен для
студентов высших и средних технических учебных заведений.
108 табл. 116 рис., библ. 20 назв.
Авторы
Л М. половко, и. М. МАЛИКОВ, л. Н. ЖИГЛРЕВ. в. и. ЗЛРУДНЫЙ
3-3-14
58-72 |М inrrr*'^"™"*'—*"
ПРЕДИСЛОВИЕ
Наилучшим методом изучения теории является
решение практических задач. Между т^м в отечественной и
зарубежной литературе еще нет задачника по теории
надежности — науке, имеющей большое практическое
значение.
Авторы решили восполнить этот пробел и составили
746 задач по основным разделам теории надежности.
Для облегчения решения задач приведены основные
сведения из теории, расчетные формулы,
вспомогательные таблицы и графики, а также 119 типовых «примеров
с решениями. К задачам 1приводятся ответы, а иногда
также указания, позволяющие читателю, найти наиболее
рациональный путь решения задачи.
Книга содержит пять глав. В каждой главе три
параграфа. В нер'вом из них даются сведения из теории и
расчетные формулы, во втором -типовые примеры с
решениями, а в третьем — задачи с ответами. Числовые
ответы являются приближенными, как правило,
полученными при расчетах .с помощью логарифмической линейки
и таблиц, приведенных в приложениях к сборнику
задач.
Цель «Сборника задач по теории надежности» —
помочь заинтересованному читателю изучить теорию
надежности и нриобресги навыки применения ее
результатов к решению различных прикладных вопросов.
Поэтому при (Подборе задач и методов их решения основное
внимание было обращено на прикладное содержание
книги. Решение примеров, формулировка задач и описа^
ние способов их решения осуществлены по методикам,
применяемым ib промышленных предприятиях,
конструкторских бюро и научно-исследовательских институтах.
Книга рассчитана на широкий круг инженеров,
занимающихся проектированием, созданием и эксплуатацией
различных технических устройств. Она также будет
полезной студентам высших и средних технических учебных
заведений. Так как в настоящее время учебные
программы различных учебных заведений существенно отлича-
• / ^ Г 3
ют€я ПО объему й содержанию, даже дЛя ЬДйнаковых
специальностей, то выбор конкретных задач для
студентов лежит 1на обязанностях 'преподавателей.
В книге помещены задачи различной трудности — от
простых до весьма сложных. Простые задачи могут
решаться студентами техникумов и вузов (при
первоначальном изучении теории надежности. К простым задачам
относятся задачи первой и второй глав, за исключением
тех, в которых используются неэкспоненциальные законы
распределения отказов и .преобразование Лапласа.
Сложные задачи, приведенные <в третьей и четвертой
главах, рассчитаны на читателя, Бладеющето основами
теории .надежности в объеме известных книг '[1—17]. Задачи
пятой главы не трудны. Однако они требуют знания
математической статистики, которая в необходимом объеме
в ряде вузов не изучается.
В «Сборнике задач >по теории надежности» имеются
трудные и весьма трудные задачи. К числу таких задач
относятся задачи, в которых требуется учигывать
последействия отказов, а также задачи с 'временной
избыточностью.
Задачник, конечно, не охватывает ©сех разделов
теории надежности. В нем не содержатся оптимальные
задачи, задачи контроля и технической диагностики,
оценки надежности систем по результатам испытания ее
компонентов.
Здесо также не описаны и не .применяются логикове-
роятностные методы и методы статистического
моделирования.
Сборник задач преследует учебные цели. Поэтому
примеры и задачи носят гипотетический характер.
В книге по просьбе издательства используется
терминология ГОСТа 13377—67. Однако авторы считают
неудачными термины «интенсивность отказов» и «параметр
потока отказов». Называть характеристику X{t)
интенсивностью отказов не следовало бы, так как Я(0
характеризует .поведение изделия до первого отказа и при ее
получении никакого «потока отказов, который можно
характеризовать интенсивностью потока, нет. Другое дело,
что K(t) численно равна интенсивности ^потока © частном
случае, когда потек отказов «простейший,
Невосстана'вливаемая система не допускает отказов,
но всегда имеется некоторая вероятность, отличная от
единицы, того, что в изделии возникнет отказ. Наиболее
удачным для X{t) был бы термин «опасность
возникновения отказа» или просто «опасность отказа». Тогда
(d(0 целесообраз.но называть не параметром потока,
а интенсивностью отказов, так как о>(/) является
характеристикой потока отказов восстанавливаемой системы
и совпадает с понятием интенсивности потока ъ теории
массового обслуживания.
В ГОСТе 13377—67 не отражена плотность
распределения .времени до отказа. Эта характеристика случайной
величины — времени исправной работы — Я1вляется
количественной характеристикой надежности. По мнению
авторов, ее было бы целесообразно называть частотой
отказов.
Авторы благодарны всем, кто способствовал изданию
настоящего сборника задач, и будут признательны
лицам, приславшим замечания о всех недостатках, имею-
ндихся в книге.
Особую благодарность мы выносим рецензентам
задачника профессорам И. А. Рябинину и Н. А. Шишон-
ку, чьи советы помогли улучшить первоначальную
редакцию, а в ряде случаев избежать неточностей и даже
ошибок.
Авторы
ГЛАВА ПЕРВАЯ
КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
НАДЕЖНОСТИ
§ 1.1. КРИТЕРИИ И КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ НАДЕЖНОСТИ
Критерием надежности назовем признак, мерило, по
которому оценивается надежность различных изделий.
К числу наиболее широко применяемых критериев
надежности относятся:
— вероятность безотказной -работы в течение
определенного времени P{t)\
— средняя наработка до первого отказа Гер;
— на1работка на отказ tcpj
— частота отказов a{t)\
— интенсивность отказов }^{t);
— параметр .потока отказов (о(/);
— функция готовности K\(t)\
~-^ — коэффициент готовности Кг-
Характеристикой надежности будем называть
количественное значение критерия надежности конкретного
изделия.
Выбор количественных характеристик надежности
зависит от вида изделия.
Основные критерии надежности можно разбить на две
группы:
— критерии, характеризующие надежность
невосстанавливаем ых изделий;
— критерии, характеризующие надежность
восстанавливаемых изделий.
Невосстанавливаемыми называются такие изделия,
которые в процессе выполнения своих функций не
допускают ремонта. Если происходит отказ такого изделия,
то выполняемая операция будет сорвана и ее
необходимо начинать вновь 'в том случае, если возможно устра-
6
иение отказа. К таким изделиям относятся как изделия
однократного действия (ракеты, управляемые снаряды,
искусственные спутники Земли, усилители -системы
подводной межконтинентальной связи и т. п.), так и изделия
многократного действия (некоторые системы
навигационного комплекса судового оборудования, системы ПВО,
системы уоравления 'воздушным движением, системы уп-
н.о/ f<-o. и.о. к,о,
а) о-— о -о . о-
tpi tpz tps
^ X 'X X X—X Х~
tnl ^п2
Рис. 1.1. Временкой график работы невосстанавливаемых и
восстанавливаемых изделий:
а — изделия невосстанавлииаемые (/^ — время непрерывной работы, Н. О. —
начало операции, К. О. — конец операции); б — изделия восстанавливаемые
равления химическими, металлургическими и другими
ответственными .производственными «процессами и т. д.).
Восстанавливаемыми называются т^кие изделия,
которые в процессе выполнения своих функций допускают
ремонт. Если произойдет отказ такого изделия, то об
вызовет прекращение функционирования изделия только н'а
период устранения отказа. К таким изделиям относятся:
телевизор, агрегат (пита.ния, станок, а-втомобиль, трактор
и т. п.
На рис. 1.1 представлен временной график работы не-
во'сстанавли'ваемых и восстанавливаемых изделий.
1. КРИТЕРИИ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ
ИЗДЕЛИЙ
U
Рассмотрим следующую модель испытаний.
Пусть на испытании находится Л^о изделий и пусть
испытания считаются законченными, если все они ютка-
зали. Причем вместо отказавших образцов
отремонтированные или новые 'не ставятся. Тогда критериями
надежности данных изделий являются:
— вероятность безотказной работы P{i)\
~ частота отказов ai(^);
7
— интенсивность отказов K{t);
— средняя наработка до первого отказа Гер.
Вероятностью безотказной работы называется
вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации
в заданном интервале времени или в 'пределах заданной
наработки не произойдет ни одного отказа.
^' Согласно определению
P{t)=P{T>t), (1.1)
где / — время, 'В течение которого определяется
вероятность безотказной работы; Т — время работы изделия от
его включения до .первого отказа.
Вероятность безотказной работы по статистическим
данным об отказах оценивается выражением
[^(/)='(Л^о-п(0)/Л^о, (1.2)
где No — число изделий в начале испытания;
n{t)—число отказавших изделий за время /; P{t) —cTaTHCTifqe-
ская оценка вероятности безотказной работы. При
большом числе изделий Л^о статистическая оценка B{t)
практически совпадает с вероятностью безотказной работы
P{t). На практике иногда более удобной
характеристикой является вероятность отказа Q{t).
Вероятностью отказа называется вероятность того,
что при определенных условиях эксплуатации в заданном
интервале времени возникнет хотя бы один отказ. Отказ
и безотказная работа являются событиями
несовместными и противоположными, поэтому
Qit)=PiT^t), Q{t)=n{t)/No, Q{t} = \-P(i). (1.3)
Частотой OTKai^oe называется отношение числа
отказавших изделий в -единицу времени к .первоначальному
числу испытываемых изделий при условии, что все
вышедшие из строя изделия не восстанавливаются.
Согласно определению
a{t)^n{M)INoM, (1.4)
\1
где n{/Sit) —число отказавших образцов в интервале
времени от /—Л//2 до /+(Д>//2.
У'^'^- Частота отказов есть плотность вероятности (или за-
\ кон распреде*ления) времени работы изделия до первого
I 8
отказа. Поэтому
t
a(t) = — P(t) = Q'(t), Q(t)=^a(t)dt,
о
t
P{t)=^l — \^ait)dL (1.5)
б
Интенсивностью отказов называется отношение числа
отказавших изделий в единицу времени к среднему
числу изделий, исправно работающих в данный отрезок
времени.
Согласно опоеделению
Y Ht) = n(M)l(N,^M), (1.6)
где A^cp='(A^i-f A/^i+i)/2 — среднее число исправно
работающих изделий в интервале Д/; Ni — число изделий,
исправно работающих в .начале интервала Д*; Ni+i — число
изделий исправно работающих в конце интервала Д1
Выражение (1.6) есть статистическое определение
интенсивности отказов. Вероятностная оценка этой
характеристики находится из выражения
X{t)=a{t)IP{t), (1.7)
Интенсивность отказов и вероятность безотказной
работы связаны между собой зависимостью
t
~ J > (О dt
P(f)=e ° (1.8)
Средней наработкой до первого отказа называется
математическое ожидание времени работы изделия до
отказа.
Как математическое ожидание, Тер вычисляется
через частоту отказов (плотность распределения времени
безотказной работы):
Ж[/1 = 7ер= Ua(t)dL (1.9)
—00
Так как t положительно и Р(0)=1, а Р(сх))==0, то
Uep=JP(0^^. (ЫО)
I
По статистическим данным об отказах средняя
наработка до '.первого отказа вычисляется по формуле
Tcp^l}lh]JN,, (1.11)
где ti — время безотказной работы i-ro образца; No —
число испытуемых образцов.
Как видно из формулы (1.11), для определения
средней наработки .до первого отказа необходимо знать
моменты выхода из строя jB€ex испытуемых элементов.
Поэтому для вычисления Тер пользоваться указанной
формулой неудобно. Имея данные о количестве вышедших
из строя элементов п^ в каждом г-т интервале времени,
среднюю наработку до первого отказа лучше определять
из уравнения
Гср-~[|'МсрЛ /No. (1.12)
В выражении (1.12) tcpi и т находятся ото
следующим формулам:
где ti^\ — время начала i-ro интервала; ti — время конца
i-ro интервала; tu — время, в течение которого вышли из
строя .все элементы; Д/=^г~1—U — интервал времени.
При изучении надежности технических устройств
наиболее часто применяются следующие законы
распределения времени безотказной работы: экспоненциальный,
усеченный нормальный, Релея, Гамма, Вейбулла, логариф-
м ически-iHopM а льный.
В табл. 1.1 1приведены выражения для оценки
количественных характеристик надежности изделий при
указанных законах распределения времени их безотказной
работы.
Из выражений для оценки .количественных
характеристик надежности видно, что ©се характеристики,
кроме средней наработки до первого отказа, являются
функциями времени. На рис. 1.2 приведены типичные
зависимости количественных характеристик надежности
изделий различного Ha3Ha4eHHii от времени.
Рассмотренные критерии надежности позволяют
достаточно полно оценить надежность невоостанавливае-
мых изделий. Они также позволяют оценить надежность
восстанавлишаемых изделий до первого отказа. Наличие
10
P(t) X
Mt)
л
\A
Рис. 1.2. Типичные зависимости количественных характеристик
надежности от времени:
я — экспоие^шиальный закон; б — усеченный нормальный закон; в — закон
Релея: г — Уамма-распределение: б — закон Вейбулла; е — логарифмически-
нормальный .закон.
п
<
<
S
n
n
s
M
Oh
!
g «
s I
Cd и;
!^ S
•^ Ф
X о
X *=i
Ф Ф
OQ P^
S 5
I
s
X
I
X
H
Ф
g
с
1 о
c>
CQ
^
О
С
§
f- го
s
к
^
a
^
^
и
OQ
О
i "
i
OQ
1 1
1 <y
1 «
TO
a.
«
о
1 Д
i
Is
J3
f"
ex
£
Л
^
§
g^
a;
Й "5
i^
i-
Sg
m «
Ь ^
f-
O
CO
^
Si J
gg.
1 rt c: к
о © Ш
a' m Ч
1 «1
-h
СЙ
с
О
li
*<
"
1
#<
1
Ф
^
s.
CfsK
я S
'-' CO
о
1 CT)
to
l«i~
^
(M
^1»
1
CD
« h
ul^
1
<u
h
•*-> 1 to
1
№
Ф
; »=3
•
-^1^
*^
1
л :
о
«^
1И1
^
'"'
1
1
■с»
О
j;<^
п::
3W1
о
1
Ф
1
о
f
ft
-•^
О
^
1
>а»
""^
о
К
CL^^
' US
1 ^
1 § S
«я^
(
-4
12
а
о
Ч
*^ Й
i^ ^
og
^ё
2 t-
«
^
ta
о
СГ)
1 ^
1 «^
1 ^
i
1
1 с
ь
к
S
1 «^
1 '-^
1 =s
1 с
1 5С
1 00
«
1 ь ^
о 2
1 £1 ь
1 о-> о
1 ^\о
1 «^
1 (->
1 о
1 ^
1 f^
^
S
1 -^
\ f-
1 ^
^
1 "^"^
1 к
1 «0 tt
1 ^о
1 rt й
1 f-
1 о
1 (Л
1 <и 1
1 S О)
1 з; О-
я с S
CQ о 3
с; rt SfJ
<У ^ •=»
= « Ч
• «о
I
1
1
-^ ^
+
1
tb
Сч
^u
^^
r<
1
1
е
f<
^
1
CU
**
т
ш
1
С^
•^^
VD
CD
OQ
(N
-k
1
f-, ICM
1
1
<1)
»
1
1" 1
, --
'^
Us
1 -i^
+
^
Ki
£4 1
^
Ф
-^-^ 1
s>»
1
1 t>
1 ^^
1 ti
IcN
V
I 1
1
1
"'"^ ^•
■"*"-
1
f-T
о
fT
^ \
1
КГ
> ^
^■^
1 51
b-
1
^
t
a
V
'l^)
^-^
о
>
ti.
^4
rS X
CD
a
о
J3
Oh
О
о:
1
-+L
■^
^
1
"-»
<N
i 1
1 1
8^ ^o
11 (^ 1
—
l<N
^
t> 1
1
::—.1
i
1
■^
_c
n
1
-
C"^"^ 1
с
1
1
i
"■ 1
\>
e 1
+
bO 1
о
1 ti 1
-*~* 1
1 13 1
:;^^j
-*-
^
1
3^
i
I
I
о ';
^'
- ' '1 1
+ 9
1 я
-"PI
'
1
^^
d-
i
_c
1 ^
4^
1
<D
-
'•-*
1 О 1
1 § ^»s
1 S О «Я 1
s
CO
SG
1
S
о
a
cr
CO
13
нескольких критериев вовсе не означает, что всегда
нужно оценивать надежность изделий по всем критериям.
Наиболее .1толно надежность изделий характеризуется
частотой отказов a{t). Это объясняется тем, что частота
отказов является плотностью распределения, а поэтому
несет 'В себе всю информацию о случайном явлении —
времени безотказной работы.
Средняя наработка до первого отказа является
достаточно наглядной характеристикой надежности.
Однако применение этого критерия для оценки надежности
сложной системы ограничено в тех случаях, когда:
— время работы системы гораздо 1меньше среднего
времени безотказной работы;
— закон распределения времени безотказной работы
не однопараметрический и для достаточно полной оценки
требуются моменты высших 1порядков;
— система резервированная;
— интенсивность отказов 'непостоянная;
— время работы отдельных частей сложной системы
разное.
Интенсивность отказов — наиболее удобная
характеристика надежности "простейших элементов, так как она
позволяет более просто вычислять количественные
характеристики надежности сложной системы.
Наиболее целесообраз'ным критерием надежности
сложной системы является вероятность безотказной
работы. Это объясняется следующим^и особенностями
вероятности безотказной работы:
— она входит в качестве сомножителя в другие, более
общие характеристики системы, «апример в
эффективность и стоимость;
— характеризует изменение надежности во времени;
— может быть получена сравнительно просто
расчетным .путем в процессе 1проектирования системы и
оценена в процессе ее испытания.
2. КРИТЕРИИ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ
ИЗДЕЛИЙ
Рассмотрим следующую модель испытания.
Пусть на испытании находится Л^ изделий и пусть
отказавшие изделия немедленно заменяются исправными
(новыми или отремонтированными). Испытания
считаются законченными, если число отказов достигает вели-
14
чины, достаточ'гюи для оценки надежности -с
определенной доверительной вероятностью. Если не учитывать
времени, по'пребного на восстановление системы, то
количественными характеристиками надежности могут
быть параметр потока отказов <о(0 и наработка на
отказ /ср.
Параметром потока отказов называется отношение
числа отказавших изделий в единицу времени к числу
испытываемых изделий при условии, что все вышедшие
из строя изделия заменяются исправными (новыми или
отремонтированными).
Согласно определению
ш{1) = п(М)((МЫ), (1ЛЗ)
где /г(Д'/) —число отказавших образцов в интервале
времени от /—At/2 до t~h{Alt/2; N — 'число испытываемых
образцов; At — интервал времени.
Выражение (1.13) Я1вляется статистическим
определением «параметра .потока отказов.
Параметр потока отказов и частота отказов для
ординарных потоков с ограниченным наследействием связаны
интегральным уравнением Вольтерра второго рода
t
^(t) = a{t) + [w('z)a{t^%)d'z, (1.14)
По известной a{t) можно найти все количественные
характеристики надежности невосстанавливаемых
изделий. Поэтому (1.14) является основным уравнен]9ем,
связывающим количественные характеристики надежности
невосстанавливаемых и восстанавливаемых изделий при
мгновенном восстановлении.
Уравнение (1.14) можно записать в операторной
форме:
^ ' 1 — л (s) ^ ' 1 + (О (s) ^ '
Соотношения i(l.I5) позволяют найти одну
характеристику через другую, если существуют преобразования
Лапласа функций a{s) и 0(5) и обратные
преобразования выражений (1.15).
Параметр потока отказов обладает следующими
важными свойствами:
15
1) для любого момента времени независимо от
закона распределения времени безотказной работы параметр
потока отказов больше, чем частота отказов, т. е. со'{/) >
>а(/);
2) независимо от вида функции a{t) параметр
потока отказов а>(/) при t—)-оо стремится к 1/Гср. Это
важное свойство параметра потока отказов означает, что при
длительной эксплуатации ремонтируемого изделия поток
его отказов независимо от закона распределения
времени безотказной работы становится стационарным.
Однако это вовсе не означает, что интенсивность отказов
есть .величина постоянная;
3) если X{t)—воз,растающая функция времени, то
h{t)>{}^{t)>a{t), если K{t)—убьввающая функция, то
4) ^при >ь(^) =7^const параметр .потока отказов системы
не равен сумме параметров потоков отказов элементов,
т. е.
i^c{t)^Y:,^{ty (1Л6)
Это -свойство параметра .потока отказов позволяет
утверждать, что при вычислении количественных
характеристик надежности сложной системы нельзя
суммировать имеющиеся в настоящее время значения интенсив-
ностей отказов элементов, полученные по
статистическим данным об отказах изделий в условиях
эксплуатации, так как указанные величины являются фактически
параметрами потока отказов;
5) tipn Л(/) ==^=const 'параметр потока отказов равен
интенсивности отказов <о(/) ='h{t) =Л.
Из (рассмотрения свойств интенсивности и параметра
потока отказов видно, что эти характеристики различны.
В настоящее время широко используются
статистические данные об отказах, полученные »в условиях
эксплуатации аппаратуры. При этом они часто обрабатываются
таким образом, что приводимые характеристики
надежности являются не интенсивностью отказов, а
параметром потока отказов to(/)- Это вносит ошибки при
расчетах надежности, В ряде случаев они могут быть
значительными.
Для получения интенсивности отказов элементов из
статистических данных об отказах ремонтируемых систем
необходимо воспользоваться формулой (1.6), для чего
16
необходимо знать предысторию каждого элемента
принципиальной схемы. Это может -существенно усложнить
методику сбора статист^шеских данных об отказах.
Поэтому целесообразно определять X(t) по параметру
потока отказов (О(О- Методика расчета сводится к
следующим вычислительным операциям:
— по статистическим данным об отказах элементов
ремонтируемых изделий и по формуле (1.13)
вычисляется параметр потока отказов и строится гистограмма
о)г(0;
— гистограмма заменяется кривой, которая
аппроксимируется уравнением;
— находится преобразование Лапласа (i)i(s) функции
о)г(0;
— по известной |(0г(5) ,на основании (1.15)
записывается преобразование Лапласа ai(s) частоты отказов,
— по известной ai{s) находится обратное
преобразование частоты отказов ai{t)]
— находится аналитическое выражение для интенсив-
'ности отказов по формуле
li{t) = ai{i) I [1 - ijai{t)dt\ (1.17)
— строится график Xi{t).
Если имеется участок, где Ki(t) ^'ki^'const, то
.постоянное значение интенсивности отказов принимается для
оценки вероятности безотказной работы. При этом
считается справедливым экспоненциальный закон
надежности.
Приведенная методика не может быть применена,
если не удается найти по a{s) обратное преобразование
частоты отказов a{t), В этом случае приходится
применять приближенные методы решения интегрального урав*
нения (1.14). Решение наиболее просто можно получить
сломощью ЭЦВМ.
\^ Наработкой на отказ называется среднее значение
'^времени между соседними отказами.
Эта характеристика определяется по статистическим
данным об отказах по формуле
< ?ср = [е"^Л/«: (1.18)
где ti — время исправной работы изделия между (t—1)-м
и /-M отказами; п—число отказов за некоторое время /.
2—1086 17
Из формулы (1.18) видно, что в данном случае
наработка на отказ определяется по данным
испытан^^я-одного образца изделия. Если на испытании находится
N образцов 'В течение времени t, то наработка на отказ
вычисляется по формуле
'^ср
=- S I^tiAnln,. (1Л9)
где tij — время исправной работы j-ro образца изделия
между (i—1)-м и /-М отказом; щ — число отказов за
время t j-TO образца.
Наработка на отказ является достаточно наглядной
характеристикой надежности, поэтому она получила
широкое распространение на практике.
Параметр потока отказов и наработка на отказ
характеризуют надежность ремонтируемого изделия и не
учитывают времени, потребного на его 1Восстановление.
Поэтому они не характеризуют готовности изделия к
выполнению своих функций в нужное ©ремя. Для этой
цели вводятся такие критерии, как коэффициент готовности
и коэффициент вынужденного шростоя.
Коэффициентом готовности называется отношение
времени исправной работы к сумме времен исправной
работы и вынужденных простоев изделия, взятых за один
и тот же календарный -срок. Эта характеристика
обозначается Кт-
Согласно данному определению
Kr^y{t^+tn), (1.20)
где fp —суммарное время исправной работы изделия;
tn — суммарное время -вынужденного -простоя.
Времена t^ и tn .вычисляются ino формулам
t^^ttpu t^=tu (1.21)
где /рг — Время работы изделия между (/—1)-м и i-u
отказом; tni — время вынужденного простоя шосле г-го
отказа; п — число отказов (ремонтов) изделия.
Выражение (1.20) является статистическим
определением коэффициента готовности. Для перехода к
вероятностной трактовке величины t^ и tn заменяются матема-
18
тйческими ожиданиями времени между соседними
отказами и времени восстановления соответственно.
Тогда
/(г-'М(^сф+1^в) (Ь22)
где /сгр — наработка на отказ; /в—среднее время восста-
новлен'ия.
1 Коэффициентом вынужденного простоя называется
отношение 'времени вынужденного простоя к сумме вре^
мен исправной работы и вынужденных простоев изделия,
^взятых за один и тот же календарный срок.
Согласно определению
Т Kn^iuKh+tn) (1.23)
или, переходя к средним величинам,
/(n='U(^c5) + :/B). (1.24)
Коэффициент готовности и коэффициент
вынужденного простоя связаны между собой зависимостью
Кп=\-Кг. (1.25)
При анализе надежности восстанавливаемых систем
обычно коэффициент готовности вычисляют по формуле
Кг-Гер/(Гер+'/в). (1.26)
Формула (1.26) -верна только в том случае, если
поток отказов гпростейший, и тогда ifcp=7'cp.
Часто коэффициент готовности, вычисленный по
формуле (1.26), отождествляют с вероятностью того, что
в любой момент времени восстанавливаемая система
исправна. На самом деле указанные характеристики
неравноценны и могут быть отождествлены при
определенных допущениях.
Действительно, вероятность «возиикновения отказа
.ремонтируемой системы в начале эксплуатации мала. С
ростом времени t эта вероятность возрастает. Это означает,
что вероятность застать систему в исправном состоянии
в -начале эксплуатации будет выше, чем по истечении
некоторого времени. Между тем на основании формулы
(1.26) коэффициент готовности «е зависит от времени
работы.
2* 19
Для -выяснения физического смысла коэффициента
готовности Кг за'пишем формулу для вероятности застать
систему в исправном состоянии. При этом рассмотрим
наиболее простой случай, когда интенсивность отказов п
интенсивность восстановления есть величины постоя-н--
ные.
Предполагая, что при / = 0 система находится в
исправном состоянии (Я(0) = 1), вероятность застать
систему В исправном состоянии определяется из выражений
P,(0 = ^r + (1-/Cr)e^''4 (L27)
где
-' ср ^в ^ ср "Г *в
Это выражение устанавливает зависимость между
коэффициентом готовности системы и вероятностью застать
ее в исправном состоянии в любой момент времени /.
Из (1.27) видно, что Яг(0—^^г при t—>-оо, т. е,
практически коэффициент готовности имеет смысл
вероятности застать изделие в исправном состоянии при
установившемся процессе эксплуатации,
В некоторых случаях критериями надежности
восстанавливаемых систем могут быть также критерии
надежности невосстанавливаемых систем, например:
вероятность безотказной работы, частота отказов, средняя
наработка до шервого отказа, и-нтенсивность отказов. Такая
необходимость возникает «всегда, когда имеет смысл
оценить «надежность восстанавливаемой системы до первого
отказа, а также в «случае, когда применяется
резервирование с восстановлением отказавших резервных устройств
в процессе работы системы, причем отказ всей
резервированной системы не допускается,
§ 1.2. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ РЕШЕНИЯ
Задачи, которые в-спречаются при определении
количественных характеристик надежности, могут быть
разбиты на следующие группы:
1) определение количественных характеристик
надежности по статистическим данным об отказах
изделия;
20
2) определение количественных характеристик
надежности изделия при известном аналитическом
выражении одной какой-либо характеристики.
При решении задач первой группы используются
статистические определения количественных характеристик
надежности, при решении задач второй группы —
вероятностные определения характеристик и аналитические
зависимости между ними.
В настоящей главе при определении количественных
характеристик надежности технических устройств по
статистическим данным об их отказах не учитывается
достоверность полученных результатов. По этой причине
иногда в примерах и задачах исходные данные о числе
испытуемых образцов и количестве отказов приводятсч
без учета требований достоверности получения
количественных характеристик надежности. Вопросы
достоверности результатов испытаний рассматриваются в пятой
главе.
Следует иметь в виду, что частота, интенсивность
отказов и параметр потока отказов, вычисленные по
формулам (1.4), (1.6) и (1.13), являются постоянными вдиа-
пазоне интервала времени Д^, а функции d{t), Х(/),
(о(0—ступенчатыми кривыми или гистограммами. Для
удобства изложения в дальнейшем при решении задач на
определение частоты, интенсивности и параметра потока
отказов по статистическим данным об отказах изделий
ответы относятся к середине интервала At. При этом
результаты вычислений графически представляются не
в виде гистограмм, а ib виде точек, отнесенных к
Середине интервалов Ati и соединенных плавной кривой.
Рассмотрим типовые 'примеры.
Пример 1.1. Допустим, что «а испытание поставлено
1000 однотипных электронных ламп типа 6Ж4. За
3000 час отказало 80 ламп. Требуется определить
вероятность безотказной работы и вероятность отказа эле1К-
тронных ламп в течение 3000 час.
Решение. По формулам (1.2) и (1.3) определяем
Q(3000)=^==-^^0,08
или
^(3000) = 1—Я (3000) = 1—0,92=0,08.
21
пример 1.2. На испытание было поставлено 1000
однотипных лам'п. За первые 3000 час отказало 80 ламп,
а за интервал времени 3000—4000 час отказало еще
50 лам:п. Требуется определить частоту и интенсивность
отказов электронных ламп в промежутке времени 3000-^-
4000 час.
Решение. По формулам (1.4) и (1.6) находим
«^(3500) ..^=^^,|^.=5.10- ^-L>
Я (3500) = дЙУёГ"^ 1000.(920 + 870)/2 ^ 5.6-10^» —;
пример 1.3. На испытание поставлено 7Vo=400
изделий. За время f=3000 час отказало A2(f)=200 изделий,
за интервал времени (Aif=100 час отказало п(Л/)==
= 100 изделий (рис. 1.3). Требуется определить Р(ЗООО),
Р(Я100). Р(3050), а (3050) Д(3050).
t'O t-5000 vac ^t = fOOvac
I
Щ^^ОО
n(t)-WO n(At)^WO t
' > , ^1^=200 N'i^f^WO
Pkc. 1.3. Временной график к примеру 1.3.
Решение. 1. По формуле (1.2) найдем вероятность
безотказной работы:
для ^н^==3000 час (начало интервала)
-Р (3000) = ^о-«^(3000) ^400-200^Q^g.
для 4==: 3100 час (конец интервала)
1Р(3100):^ А^.-Мзюо^ ^joo^o^^o.25.
Определим среднее число исправно работающих
образцов в интервале А/:
Число отказавших'^изделий за время ^ = 3050 чах;
/^ (3050) = iVe — ЛГср = 400 — 150 == 250,
22
тогда
р(3050) = А.О-М3050) ^^00-250^ о.375
400
2. По формуле (1.4) определяем частоту отказа:
й(3050)
_ п (Др
100
= 2,5.10-
1
AtNf, 100-400 '^ "" час
3. По формуле (1.6) определяем интенсивность отказа
Я130^0^ — ^ii^= ^^ '
У^^"^) — д^/v^p 100 (200 + 100)/2
-6,7 10~
час
Интенсивность отказа можно также определить по
формуле (1.7):
Я (3050):
а (3050) 0.0025
Р(3050) ~'0.375
= 6,7.10^
час
^^Meg L4^ На испытании находилось Л'о=1000.
образцов неремонтИ:руемой аппаратуры. Число отказов
гг(|Д!/) фиксировалось через каждые 100 «/ас «работы (Ai^=
= 100 час). Данные об отказах приведены в табл. 1.2.
Требуется вычислить количественные характеристики
надежности и построить зависимости характеристик ог
времени.
ТАБЛ_ИЦА 1.2
Данные об отказах к примеру 1.4
М^, час
0—100
100—200
200—300
300—400
400—500
500—600
600—700 1
700—800
800—900
900—1000
«(ду
50 1
40
32
25
20
17
16
16
15
14
А/^, час
1000—1100
1100—1200
1200—1300
1300—1400
1400—1500
1500—1600
1600-1700
1700—1800
1800—1900
1900—2000
«(A't)
15
14
14
13
14 1
13
13
13
14
12
A^j, час
2000—2100
2100—2200
2200—2300
2300—2400
2400—2500
2500—2600
2600—2700
2700—2800
2800—2900
2900—3000
«(ДУ
12
13
12
13
14
16
20
25
30
40
Решение. Аппаратура относится к классу невосста-
навливаемых изделий. Поэтому критериями надежности
будут P(/),a(.0,SO(0,7^cp.
23
о 0,5 to 1,5 2,0 2,5tj0 4ac
Рис. 1.4 Зазисимость Р от t (к примеру 1.4).
Вычислим P(t). На основании формулы (1.2) имеем
_ Л^о — п (100) _ 1000 — 50_
iP(100) =
^(200)= 1000
1000 — 90
1000
= 0,91,
0,95,
р (3000) =- ■^^to^o^^^- = 0,425.
^;Я,/^-^^
0.5 ко US 2,0 2,5 t^W^vac
Рис. 1.5. Зависимость л и Л от / (к примеру 1.4).
1% Для расчета характеристик a{f) я l{t) применим
формулы (1.4) и (1.6), тогда
^\^^)— д^ д^ —1000.100"
^^ =.0,5-10-^—,
^ час
^050) = f6^=0,4.10-^,
а (2950) =
40
= 04-10~^—•
1000.100 ^'^ *^ час'
Я(50) =
A^yVe|> 100 (1000 + 950)/2 — ^'^^^ ^^^ ,^^'
24
я (150) =
100(950 + 910)/2 ^'^ ^^ час'
Я (2950)= 100(465 + 425)72 0,9-10"^ —.
Значения P{t), a{t) и X{t), вычисленные для всех
i\tb приведены в табл. 1.3, а их зависимости от
времени—на рис. 1.4 и 1,5.
_ _ _ ТАБЛИЦ AI.3
Вычисленные значения P(t), a(t) и X (/) к примеру 1.4
А/^, час
0—100
100—200
200—300
300—400
400—500
500—600
G00—700
700—800
800—900
900—1000
1000—1100
1100—1200
1200—1300
1300—1400
1400—1500
1500—1600
1600—1700
1700—1800
1800—1900
1900—2000
2000—2100
2100—2200
2200—2300
2300—2400
2400—2500
2500—2600
2600—2700
2700—2800
2800—2900
2900—3000
Я(/)
0,950
0,910
0.878
0,853
0,833
0,816
0,800
0,784
0,769
0,755
0,740
0,726
0,712
0,699
0.685
0,672
0,659
0,646
0,632
0,620
0,608
0.595
0,583
0,570
0.556
0,540
0,520
0.495
0,465
0,425
a(t), 10--*-1/7ас
0.50
0,40
0,32
0,25
0,20
0.17
0.16
0,16
0,15
0,14
0,15
0.14
0,14
0.13
0,14
0,13
0,13
0,13
0,14
0,12
0,12
0,13
0,12
0.13
0,14
0,16
0,20
0,25
0,30
0,10
>(0, 10-S-1/X/OC
0,514
0,430
0,358
0,289
0,238
0,206
0,198
0,202
0,193
0,184
0,200
0,191
0,195
0,184
0,202
0,192
0,195
0,200
0,220
0,192
0,195
0.217
0,204
0.225
0,248
0,290
0,376
0,490
0,624
0,900
Следует иметь в виду, что в табл. 1.3 данные P{t)
приведены для концов интервалов Д/г, а данные для
a{t) и Х(/)—для середины интервалов Д/г. Поэтому
25
определение P(t) по формуле (1.7) и данным табл. 1.3
не даст значений P(t)y указанных в таблице.
Вычислим среднее время безотказной работы,
предположив, что на испытании находились только те
образцы, которые отказали.
По формуле (1.12), учитывая, что в данном случае
т=4/А^=3000/100=30 и No=575, имеем
-* CD '""^
2j ^i^cpi
(=1
_ 50-50+ 40-150+32-250+ ... +30-2850 +40-2950
~ 575 ~
= 1400^0^.
Полученное значение средней наработки' до пер-вого
отказа является заниженным, так как опыт был
прекращен после отказа 575 образцов из 1000, поставленных на
испытание.
Пример 1.5. В течение некоторого периода времени
производилось наблюдение за работой одного
экземпляра радиолокационной станции. За весь период
наблюдения было зарегистрировано 15 отказов. До начала
наблюдения станция проработала 258 час, к концу
наблюдения наработка станции составила 1233 час. Требуется
определить среднюю наработку на отказ /ср-
Решение. 1. Наработка радиолокационной -станции
за наблюдаемый период равна
t = t^ — t,:^\233 -^258 = 975 '^о^.
п
2. Принимая 5] ti=: 975 чаСу по формуле (1.18)" нахо-
дим среднюю наработку на отказ:
п
/=1 975 ^г
^со = = -гн-=65 час,
^^^ п 15
пример 1.6. Производилось наблюдение за работой
трех экземпляров однотипной аппаратуры. За период
наблюдения было зафиксировано ino первому экзем'пляру
аппаратуры 6 отказов, по второму и третьему—11 и
26
Ь отказав соответственно. Наработка первого экземпляра
составила 181 час, второго — 329 и третьего — 245 час.
Требуется определить наработку аиттаратуары на отказ.
Решение. 1. Определяем суммарную «наработку трех
образцов аппаратуры:
f, = 2 S ^а = 181 + 329 + 245 = 755 шс.
2- Определяем суммарное количество отказов:
yv
/Zj, = 5j /^ j = 6 4" 11 -j- 8 = 25 отказов.
3. Наход1Ш среднюю наработку на отказ по
формуле (1.19):
.V /7/
Пример 1.7. Система состоит из 5 приборов, причем
отказ любого одного из них ведет к отказу системы.
Известно, что пер'вый прибор отказал 34 раза в течение
952 час. работы, второй —24 раза в течение 960 час.
работы, а остальные лриборы в течение 210 час. работы
отказали 4, 6 и 5 раз соответственно. Требуется
определить наработку на отказ системы в целом, если оправед-
лив экспоненциальный закон надежности для каждого из
пяти 'приборов.
Решение. Для решения данной задачи
воспользуемся следующими соотношениями:
Л'
1
£=1
^^Р~ Ле
1. Определим интенсивность отказов для каждого
прибора:
^=-й= 0.0^7;!^. ^ = 1=0.025 ^.
>1з...5 210 ^'^'^^Ш-
27
2. Интенсивность отказов системы бyдet
N
^c = J^ Я, ^^ Я, + Яз + ^3.4.5 = 0,0357 + 0,025 +
+ 0,0714 = 0,1321 -^.
' час
3. Средняя наработка на отказ системы равна
Пример 1.8. За наблюдаемый период эксплуатации
в аппаратуре было зафиксировано 8 отказов. Время
восстановления составило: /i=12 мин; ^2=23 мин; U=--
= 15 мин; t^=9 мин; /5=17 мин; te=^28 мин; ti = 2b мин;
^8=31 мин.
Требуется определить среднее время восстановления
аппаратуры.
Решение:
«
-, _/=1 12 -I- 23 + 15 + ^ + 17 + 28 + 25 + 31 _
^»~ л ~ 8
=]^^2{) мин.
о
Пример 1.9. При эксплуатации системы было
зарегистрировано п=40 отказов. Распределение отказов по
группам элементов и время, затрачен-ное на восстановление,
приведены в табл. 1.4. Необходимо найти величину
среднего времени восстановления систем.
Решение. Определяем среднее время
восстановления аппаратуры по группам элементов.
Дл^ полупроводниковых приборов
«i 8
;_] /__t 600 „г
Аналогично:
— для резисторов и конденсаторов 76 мин;
— для реле, трансформаторов, дросселей ИЗ мин;
— для ЭВП 50 мин;
— для прочих элементов 120 мин.
28
ТАБЛИЦА 1.4
Количество зарегистрированных отказов по группам
элементов и время, затраченное на восстановление
аппаратуры (к примеру 1.9)
группа
элементов
ппп
Резисторы и
конденсаторы
Реле,
трансформаторы,
дроссели
эвп
Прочие
элементы
Количество
отказов по
группе п^
8
10
4
14
4
Вес отказов
по группе
«г
0.2
0,25
0,1
0,35
0,1
Время восста-
нсжления
t^, мин
80
59
ПО
91
45
43
99
73
61
73
1 91
58
44
112
82
\ 54
91
94
102
98
124
128
60
64
56
36
65
44
42
33
32
23
86
75
61
23
125 :
133 j
115
107
Суммарное
j время
восстановления по
группе t^, мин
600
760
452
.700
480
29
Рассчитаем среднее время Восстановления системы по
фармуле
т
'в с ^^^ 2шЛ '^ш^и
1=1
где ^вг — среднее время восстановления элементов i-\\
группы; Шг — вес отказов по группам элементов.
Подставляя значения данных в формулу, получим
?в с-0,2-75+0,25-76 + 0,1-113+0,35-50+
+ 0,1 -120 = 75 мин.
Пример 1Л0. Аппаратура имела среднюю наработку
на отказ ^ср=65 час и среднее время восстановления
/в =1,25 час. Требуется определить коэффициент
готовности.
Решение. По формуле (1.22) имеем
К =: ^ = 5 = ! =098
^^ tcv + t. \ + tJicv 1+0,019 ^'''''•
Пример 1.11. Пусть время работы элемента до отказа
подчинено экспоненциальному закону распределения
с параметром Я=2,5-10~^ IJHac.
Требуется 'вычислить количественные характеристики
надежности элемента P{t), a{t), Гер, если /,= 500, 1000,
2000 час.
Решение. Используем формулы для Р(/), ci{t) и
Гер, приведенные в табл. 1.1.
1. Вычислим вероятность безотказной работы:
Используя данные табл. П. 7.14, получим:
Р(500) = е""^'^'''"'^°°= е-'^-"'""^ 0,9875;
Р (1000) = е-^'^'°"-'"" = е-»-«''^ = 0,9753;
Р (2000) = е-''^'°"''°°° = е-».»* = 0,9512.
30
2. Вычислим частоту отказа:
а(500) = 2,5.10-.е-^'^'^-^-^^^ =
= 2,5.10-^.0,9875 = 2.469.10-^ ~.
а(1000) = 2,5.10-.е-^'^-^^"^-^^ =
= 2,5.10-^-0,9753 = 2,439.10-^ ^,
а(2000)= 2,5.10-^.е-^'^-^'^='^'' =
= 2,5.10-^-0,9512 = 2,378.10-^ ~
3. Вычислим среднюку наработку до первого отказа:
Гер ^ 4-=2Т5Л0^="^0 ^00 ''^•
Пример 1.12. Пусть время работы элемента до
отказа чюдчи'нено усеченному нормальному закону ю
параметрами Г1 = 8000 час,, а = 2000 час. Требуется вычислить
количественные характеристики надежности P{t), a(t),
Я(/), Гер для /-4000, 6000, 8000, 10000 час.
Решение. Воспользуемся формулами для P{t), ci{t),
^w(/), Тер, приведенными в табл. 1.1.
1. Вычислим вероятность безотказной работы:
По данным табл. П. 7.16 найдем:
, 8000 — 4000 >^
Р(4000) =.-^^^-±=.Щ^ЛЕ1^=.0,9772Б;
/8000 — 6000 \
Р(6000) = Л ^^ i-^fiilL^o 8413-
/8000 — 8000
Р(8000)^ ^ ~'f' )^_nOL^0^5>
F(4) -/-(4)
31
8000—10 000
(■
2 000 )
Р(10000)=-^ ущ L =
График Р (/), построенный по полученным данным,
показан на рис. 1.6.
2. Определим частоту отказа:
а It) = ^ г- ' e-(^-^^)V2-^.
Вычисления удобно производить, используя табл. П. 7.17
функции (f{x)z=-—e~^''^^. В нашем случае х=-^-^^
Имея в виду, что F(TJg) = F(8000/2000) = F(4)^\,
найдем а(0 = 9(^)/^. Тогда:
а (4000):
/4000 — ТЛ f 4000 — 8000
У(—^ ) ^ У'^ 2000
S "^ 2000
_у(-2)_у(2) ._0,05399_^ Щ-^ _L.
'~ 2000 ~" 2000 2Г00 ^«^ ' ^и ^^.,
^6000 — 8000 \
а(6000)^'^ '''' >>_у(-1)_уО) .
а ^оиии; _ ^боо 2ббб" "^2000"
2000 ' час'
/8000 — 8000 Л
Ч 2000 ) _у (0)_0.3989_
а (8000)=^ - ^оо' ^ -|^-W^=20-^0-' i'.
/ 10 000 — 8000
'^ V 2000
/7 ПОООО^- ^^ ^''''''' -у ^^^-12 1.10-^ -L
График а (О» построенный по полученным данным,
показан на рис. 1.7.
3, Рассчитаем интенсивность отказов >-(/).
Подставляя найденные значения а(/) и Р(/) в
выражение \{t) =a(t)/P{t), определяем:
32
StWwac
Рис. 1.6. Зависимость Р от /
(к примеру 1.12).
-5^
80 \
SO
40
20
О
^^ 1
/л
, ч
5 t, 10 час
Рис. 1.7. Зависимость а и X от
/ (к примеру 1.12).
Я(4000) =
Я (6000)
а (4000)
''г>Р(4000)
__ д(6000) _ 12.1-10'^
" Р(6000) ~ 0.8413
2.7-10-^^0^6 10-^ _L.
0.97725 ^'^'^ ^^ час'
14,4.10^
1
Я(8000)- ^^gQ^Qj - Q3 -"^^-1^ ;^'
Я(10000)-^^^^^^-^^'^-^^"-76 1 10-^
_1_
час*
График Я(/), построенный по полученным данным,
приведен на рис. 1.7.
4. Вычислим среднюю наработку до первого отказа:
7'ср = 7^.+
^2,„2
^_—.е-г,/2о =8000 +
i-^i
2000
■.е ^"^^^=^8000 +
2000 е-«
>(4) 1Л2^
- 8000,26 час.
Из графиков и найденных результатов видно, чг-)
В данном случае усеченный нормальный закон распреде-
пения близок к нормальному.
Пример 1.13. Пусть время работы до отказа
подчинено усеченному нормальному закону распределения с
параметрами 7^1 = 8000 час и <т=1000, 2000, 3000, 4000 час.
Требуется вычислить количественные характеристики
надежности Р(/), a[t), K(t), Гер для /=4000, 6000, 8000.
10000 час.
Решение. Июпользуя формулы табл. 1.1 и «порядок
решения, приведенный б-примере 1.12, сведем найденные
данные в табл. 1.5.
ТАБЛИЦА 1. ^
Вычисленные значения P(t), a(t), X (^) и Т^^
(к примеру 1.13)
Количественные
характеристики
p(t)
a(t),
I
10-5
час
I
10-5
час
^срс» *^^С
о, час
] ОСО
2С00
3 000
4 000
1 000
2 000
3 000
4 000
1 1000
2 000
3 000
4 000
1000
2 000
зсоо
4 000
/, час
4 OO'J 1
1
0,977
0,908
0,857
0,013
2,7
5,5
6,5
0,013
2,76
6,05
7,6
1
6 030
0,977
0,841
0,749
0,705
5.4
12,1
10,7
8,8
6,24
14,4
14,3
12,5
8 000
8000,26
8 035
8 220
^8 000
0,5
0,5
0,5
0,52
39,89
20
13,3
10
79,78
40
23.6
19,2
ЮООЭ
0.023
0,159
0,251
0,317
5.4
12,1
10,7
8.8
235
76
42,8
28.7
Графики P{t), построенные по полученным данным,
приведены на рис. 1.8, а графики a{t) и %{t)—на
рис. 1,9.
Из рисунков и данных таблицы можно сделать сле~
дуюш.ие выводы:
— надежность изделия до / = Г1 = 8(Ю0 час тем выше,
чем меньше Ои
— интенсивность отказов растет тем быстрее, чг\\
меньше ои что свидетельствует о более интенсивном
старении элементов;
34
Ю tjO час
Рис. 1.8- Зависимость Р от i (к примеру 1.13).
\6t^fD0Dvac
/ ЪОООчас
fOD
во
60
^0
20
^ 2 и 6 е Ю f2 tJO^wac
Рис. L9. Зависимость Г7 и X от ^ (к примеру 1.13).
— параметры 7и ст усеченного нормального
распределения не являются соответственно средней наработкой
до первого отказа и дисперсией 'подобно случаю
нормального закона распределения.
Пример 1.14. Время работы изделия до отказа
(например, некоторых электровакуумных приборов)
подчиняется закону распределения Релея. Требуется
вычислить количественные характеристики надежности
изделия Р(/), а(/), ;,(/), Гер для / = 500, 1000, 2000 час, если
параметр распределения а=1000 час,
о*
^ 35
Решение. Воспользуемся формулами, приведенйЫ-
ми в табл. 1.1. Для /=^500 час:
р. 500»
2а2 2-1000» . ,_ ^ оо
Р(500) = е =е =е-''^^^ = 0,88;
П 5Э0«
а(500) = ^е =:^е =.0,44-10--;
0^
Я(500)=.-^=^^= 0,5.10-3 ^;
Г,р=|/^ 0=}/"^ 1000 = 1253 час.
Для t = 1000 час:
I00U2
Р(1000) = е "'^^^е-'.^^ 0,606;
1000'
«OWO)=J^e--««'=0.606.10-^
Л(1000)=т^=10--^.
Для / = 2000 час:
Р(2000) = е ^'*'^'^ =6^^ = 0,1353;
2J002
/опппч 2000 ^ 2.1000» 1
а (2000)=^щ^ е ^ 0,27 -10
час
^(2000)='-S-=2-10-' '
1000'^ — - -- ^^^ •
Из примера видно, что данные электровакуумные
приборы имеют низкую надежность и практически могуг
работать ъ течение 'времени ^<:500 час.
Пример 1.15. Время безотказной работы элементов
подчинено экопоненциальному закону с Я^З^Ю^^ 1/час,
а время работы изделия /==20 000 час. Требуется
вычислить количественные характеристики надежности
резервированного изделия при общем иенагруженном
резервировании замещением с кратностью т = 3.
36
решение. Вычислим количественные
характеристики надежности по формулам, приведенным в табл. 1.1.
В нашем случае Яо = Х=3-10-5 Мчас, k = m-{-l=4. Тогда
вероятность безотказной работы будет
(Kty
P(0^e-^5]i^
/=0
Найдем вначале значение ?d:
Я^==3-10-^-2.10^ = 0Д
Подставляя это значение в выражение для P{i),
получим
Частота отказов будет
Подставляя численные значения в a{t), находим
a(20 000)=3.10-^-^g^^e-«.«= 5,4-10-^-^—.
Вычислим интенсивность отказов:
1
(20ooo)=ytS-^^f^^=6.io-.
Я(20 000) 0,908 ^ час '
Средняя наработка до первого отказа изделия будет
^<=Р=^=^--ЗЛ^-133000 шс.
Пример 1.16. Время безотказной работы
гироскопического устройства с шарикоподшипниками в осях
ротора гироскопа подчиняется закону Вейбулла с
параметрами /^=1,5 Хо=10-^ 1/час, а время его работы 1=100час.
Требуется вычислить количественные характеристики
надежности такого устройства.
Решение. Определим вероятность безотказной
работы по формуле (см. табл. 1.1)
37
Подставляя значения ^^^, t и k из условий задачи,
получим
Я(100) = е-"'-*'"^''=0,9.
Частота отказов определяется по формуле
Тогда
а{100)=10-^.1.5-100«'^.0,9=1,35.10-
час
1
я (100) 0,9 "*^ ' ^/дс •
Вычислим среднюю наработку до первого отказа по
формуле
//г
^cP=I^(^+l)/^o'
Вначале вычислим значение гамма-функции,
воспользовавшись таил. П.7.18.
В нашем случае x='(l/fe)+1 = (1/1,5) + 1^ 1,67, тогда
Г(л:) =0,9033. Подставляя в -выражение для Гер значение
гамма-функцип и параметры распределения Л и k,
получим
Гер = 0,9033/(10*^^^'^^418 IOC.
Пример 1.17. Допустим, что в результате анализа
данных об отказах а|Ппаратуры частота отказов получена
в виде
л (О = ^Ле~^''+^2 V^'^ •
требуется определить все количественные
характеристики надежности.
Решение. I. Определим вероятность безотказной
работы. На основании формулы (1.5) имеем
t г t
6 Lo
0 J L 0 '^ 0 J
= 1 - I-^,e-'^^ + c, - r,e-'^' + ^,1 =
- 1 - (^, + c,) + r,e-^'' + ^,e-'^' .
38
Вычислим сумму с,+с,. Так как ^a(t)dt^l, то
00
Тогда
2. Найдем зависимость интенсивнэсти отказов от
времени по формуле (1.7):
3. Определим среднюю наработку до первого отказа.
На основании формулы (1.10) будем иметь
Т
^ ср
О
4. Вычислим зависимость параметра потока отказов
от времени. Воспользуемся формулой (1.15), для чего
найдем преобразование Лапласа частоты отказов a{'t):
00 00
•^ a{s)= {a(t)e-''dt^[c,Ke-''''e-''dt +
"^ О о
со
О
Подставляя полученное значение в формулу (1.15),
находим
^'^ 1 - ^ (S) -s [s + X, (I - с) + К{\- с,)\
сДх -Ь С2А2 I
— S + X, (1-с,) + Хг(1-С2) ~^
I ^1^2
39
Для отыскания со(/) найдем обратное
преобразование Лапласа функции (о(5).
Корнями знаменателей будут
Тогда
со{t) = (с,Я, + с,1,)е~ ^^^ ^'-'^^ ^ '^^'-'^^^' +
р-(>, (1-е,) +?^2(1-Сг)1^
После преобразований окончательно получим
I
.(/):
К^2 + ^2^1
Пример 1.18. В результате эксплуатации Л^= 100
восстанавливаемых изделий получены статистические
данные об отказах, сведенные в табл. 1.6.
ТАБЛИЦА 1.6
Статистические данные об отказах восстанавливаемых
изделий (к примеру 1.U)
п
tt, 10^ час
со, \0-^-\;Час
46
2
23
40
2
20
36
2
18
32
2
16
30
2
15
28
2
14
26
2
13
24
2
12
24
2
12
22
2
11
22
2
1)
20
2
10
20
2
10
20
2
10
Необходимо найти среднюю наработку до первого
отказа изделия Гер, вероятность безотказной работы
P{i) и интенсивность отказов 'k{t).
Решение. 1. В нашем случае эксплуатируются
изделия восстанавливаемые, поэтому они работают в
режиме смены отказавших элементов. Основной
характеристикой таких изделий при условии мгновенного
ремонта является параметр потока отказов. Значения
оз(/), -вычисленные по формуле (1.13) и данным об
отказах, полученным из эксплуатации, приведены
в табл. 1.6, а гистограмма — на рис. 1.10.
49
X;co,fO-^-^
20
W
12
8
и
-
Я*
LJ
в
fZ
16
20
2^ tJO^uac
Рис. 1.10. FiicTOipaMMa o)(/) (к примеру 1.18).
2. Аппроксимируем кривую . o)(/), полученную в
результате сглаживания гистограммы рис. 1.10,
уравнением
(о(./)=а + Ье-Ч
Найдем значения коэффициентов а, b и k\
a)(0)=a + /? = 25-10-s 1/аде при / = 0,
(о(оо)=а=10~^ 1/</ас при t—>-оо,
тогда 6 = (о(0)—а=25-10-5—10-4= 15-10-5 Мчас.
Определить коэффициент k можно по любой точке
гистограммы. Выберем значение о при / = 9000 час\ по
кривой (О (9000) = 1,5-10-4 \\час. Тогда
1,5 • 10-4=а + Ье~'^»ооо= 10-*+ 1,5 • iQ-^e-'^^ow
Из этого равенства путем очевидных вычислений
получим yfe^l,22-10-^ \1час.
Таким образом, параметр потока отказов можно ап-
проксиМ)ировать уравнением
co(0=lO-'' + l,5•10-V•^^•'°"".
3. Вычислим среднюю наработку до первого отказа
изделия. Наиболее просто ее найти, используя
следующее свойство функции (о(/):
Итш(0=1/Гер.
/->оо
в нашем случае Итю(/) = а= 10~^ \\яас.
Тогда Гср=1/а-10 000 час.
41
4. Найдем вероятность безотказней работы как
функцию времени.
Чтобы рассчитать P{t) или любую другую
характеристику надежности, необходимо вначале найти ло
известной о)(/) частоту отказов a{t). Наиболее удобно
здесь воспользоваться выражениями (1.15):
оо
/ч г /А -st^/ 10-4 1,510-4
^a)(s) = jco(Oe "^^=-Т- + -7+Ь22.10-4'
и
Тогда
/ ч <^(s) _ 10-^ . 2.4-10 4
^1^)—I +o)(s) "" s +0,36-10-4 "Г 5 + 3,36-10-4 *
Обратное преобразование Лапласа
а (О = Ю-^е-^'^^-^^"^^ + 2,4.10^-е-'-'^-'^'"*'.
Вероятность безотказной работы изделия будет
P(t) = \ - ^a{t)dt= 1 - 10-^ L-'-'^-''-'^^
- 2,4-10- f е-'-^-'"""dt - 0.28е-"''^-'"'^' +
О
+ 0,72е"
о
-3,36-Ю-Н
5. Интенсивность отказов легко находится при
известных P(t) и a{\t) по формуле (1.7):
я(/, = -^(^)-
Р(0
IQ-5e-o.36-iQ-^^^2,4.10~4e-^-36-io-^^
^ 0,28е-«'3б-^^'^ + 0,72е-3'36->0~'^
Зависимость K{i) приведена на рис. 1Л0. Как видно
из рисунка, 03 (О и Л(^) не совпадают, а интенсивность
отказов на нормальном участке работы изделия, когда
приработка закончена, равна 0,36-10~* 1/</ас.
Пример 1Л9. Известно, что интенсивность отказов
?. = 0,02 1/час, а среднее время восстановления <в=
= 10 час. Требуется вычислить функцию и коэффициент
готовности изделия.
42
Решение. В нашем случае средняя наработка до
первого отказа Гср= 1Д= 1/0,02 = 50 час. Тогда
коэффициент готовности будет
^^" l\v + t.~ 50+10 -^^'^'*-
Функцию готовности легко вычислить по формуле
(1.27):
^г (О = ^г + (1 - ^г) е '^""^'" = 0,83 +
+ (1 — 0,83)е~'^"''^*'' = 0,83 + 0,17е-^-'^' .
§ 1.3. ЗАДАЧИ
В настоящем параграфе приведены задачи по расчету
количественных характеристик надежности, предлагаемые для
самостоятельного решения. Эти задачи легко решить, используя типовые примеры,
приведенные в предыдущем параграфе.
1.1. Допустим, что на испытание поставлено 1 000 однотипных
электронных ламп типа 6Ж4. За первые 3 000 час отказало 80 ламп.
За интервал времени 3 000—4 000 час отказало еще 50 ламп.
Требуется определить частоту и иитеисивность отказов ламп в
промежутке времени 3 000—4 000 час. _
Ответ: «(3 500) =5-Ю-з 1/час; Х(3 500) ^5,6-10-^ \1час.
1.2. Используя данные задачи 1.1, определить вероятность
безотказной работы и вероятность отказа электронных ламп за первые
3 000 час.
Ответ: Р(3 000) =0,92; (?(3 000) =0,08.
1.3. Используя данные задачи 1.1, найти вероятность
безотказной работы и вероятность отказа электронных ламп за время
4 000 час.
Ответ: Р(4 000) =0,87; (? (4 000) =0,13.
1.4. На испытание поставлено 100 однотипных изделий. За
4 000 час отказало 50 изделий. За интервал времени 4 000—4 100 час
отказало еще 20 изделий. Требуется определить частоту и
интенсивность отказов изделий в промежутке времени 4 000—4 100 час.
Ответ: а(4 050)=2-Ю-з \1час\ М4050) =5-10^3 xj^qc,
1.5. Используя данные задачи 1.4, определить вероятность без-,
отказной работы и вероятность отказа изделий за первые 4 000 час.
Ответ: Р(4 000)=0,5; 5(4000) =0,5.
1.6. Используя данные задачи 1.4, вычислить вероятность
безотказной работы и вероятность отказа изделий за время 4 100 час.
О т в е т: Р(4 100) =0,3; 5(4 100) =0,7.
1.7. В течение 1 000 час из 10 гироскопов отказало 2. За
интервал времени 1 000—1 100 час отказал еще один гироскоп. Требуется
найти частоту и интенсивность отказов гироскопов в промежутке
времени 1 000—1 100 час. _
Ответ: а(1050) = 10-з Цчас; Ml 050) = 1,3-10-з 1/час.
1.8. На испытание поставлено 400 резисторов. За время
наработки 10 000 час отказало 4 резистора. За последующие 1000 час
43
ТАБЛИЦ А 1.7
Задачи 1.10—1.100
Исходные данные
Ответы
t, час щ^с ^^^) " ^^^^
P(t)
7Г..лоП'^^)' Ч'^^)'
{/час
I /час
400
1 ООЭ
103
10
10
I 003
юээ
1Q00
10Э0
45
45
1000
ЮЭЭ
100Э
1 ОЭО
45
45
45
1 000
1010
1 ООЭ
1 ОЭЭ
1 ООЭ
1 000
1 ОЭО
1 000
1 ООЭ
1 ООЭ
1 000
1 000
1 000
I 000
1 ОЭЭ
1 ОЭЭ
45
45
45
45
1000
юэо
1 ОЭО
45
1 ОЭО
1 000
100)
45
45
45
1 000
1 000
100
100
ЮЭ
1 000
1 ОЭЭ
1000
100Э
1 000
1 000
1 000
1 000
зоэо
3000
8 000
1 000
1000
0
1000
2 000
0
75
0
5 ООЭ
4 000
ТОО
200
Ю
60
5
яоо
2 900
200Э
I 500
25 000
9 000
12 ОЭО
6 000
23 000
leooo
2800
400
юоэ
700
2 200
1 7Э0
20
0
30
70
7 000
22 000
13 000
30
500
t ЮЭ
60Э
50
10
35
8000
14 000
5 ОЭО
4 ООЭ
3 000
80Э
2300
1200
900
10 000
15 ООЭ
21 000
11 ООЭ
ЮЭ
1000
100
100
100
1 000
1 ОЭЭ
100.О
100
5
10
1 000
1 000
100
ЮЭ
10
10
5
100
100
100
100
1 000
1 ООЭ
1 000
1 000
1 ООЭ
1 000
ЮЭ
100
ЮЭ
100
100
100
ю
5
5
5
1 000
1 000
1 000
10
loo
loo
ЮО
10
5
5
юэо
1 000
100
2Э0
1000
100
100
100
100
1 000
юоэ
юээ
1 000
2Э0
80
50
3
3
0
2Э
45.
0
44
0
1б0
1зо
50
90
19
44
1
122
5Я5
380
315
980
340
45Э
210
925
бяо
5Э5
147
245
2Э0
405
341
32
0
27
41
250
890
5ЭЭ
40
1G7
23Э
184
43
6
31
2ЭЭ
54)
10
20
2Э
216
417
274
231
370
590
840
410
100
50
10
2
1
20
25
35
' 5о~"
1
19
50
30
40
32
13
1
5
25
40 1
12
13
2Э
30
оЭ
40
25
5Э
--^о
2Э
15
16
12 !
13
8
1
4
3
4)
35
40
3
17
14
16
1
8
3
5Э
5Э
10
2)
2Э
15
13
14
14
40
40 '
5)
40
0,5
0,92
0,5
0,7
0,7
1.0
0.9S
0.955
1.0
0.022
1,0
0.84
0.87
0.95
0.91
0,578
0.022
0.978
0.878
0,465
0.62
0.685
0,02
0.63
0.55
0.79
0,075
0,37
0.495
0.853
0.755
0.8
0.595
0,659
0.29
1.0
0.4
0,089
0,75
0,11
0,5
О.П
0.833
0.74
0,815
0,044
0.867
0,31
0.71
0.45
0.9
0,8
0.8
0.784
0,5S'i
10.723
0.769
0,63
0.41
0,16
0,59
0,25
0,87
0.4
0.5
0.6
0,9S
0,955
0,92
0.95
0
0.57b,
0.79
0,84
0.91
0,878
0.289
0
0,867
0,853
0,425
0,6Э8
0,672
0
0.6Э
0.5
0,75
0.05
0.32
0.465
0.833
0,74
0.784
0.5S3
0.64Q
0.11
0.978
0.31
0,022
0,71
0.075
0.46
0.044
Э.816
0,720
0,8
0.022
0,687
0,245
0,66
0.41
0.8
0.6
0,6
0,769
0,570
0,712
0.755
0,59
0,37
0,11
0,55
2,5-10-3
5.10-5
ЫО-з
2-10-3
1-10-3
0,2.10-4
0,25-10-*
0,35.10-»
0,5-10-3
4,44-10-3
4,22-10-а
5-10-5
3-10-5
0,4-10-8
3,2-10-^
2.89-10-а
0,22.10-»
22-10-3
2,5.10-^
0,4-10-3
0,12-10-8
1,3-10-4
2-10-3
р,-10-5
5-10-а
4-10-5
2,5-10-5
5-10-5
*!3-10-*
0.2-10-3
1,5-10-»
16-10-5
1,2-10-1
0,13-10-3
1.8.10-3
4,4-10-3
1,88-10-2
1,3-10-2
4-10-5
3.5-10-5
4-10-5
6,67-10-*
0.17-10-3
1,4-10-'
1,6-10-
0,002
3.5-1Э--
1,3-13-2
5-10-8
е-10-5
1-10-3
ЫО-з
2-10-*
0.15-10-3
0.13-10*«
1,4-10-*
0,14-10-3
4-10-5
4-10-5
5-10-=
4-10-5
6,7.10-3
5.6-10-5
2,22-10-3
3, аз-10-3
1,54-10-а
0,202-10-4
0.258-10-4
0,373-10-4
0,514-10-3
1 200-10-3
5,07-10-*
0.13-10-5
3,5.10-5
0,43-10-3
3.6-10-4
6,67-10-2
20-10-2
24-Ю-з
2,9-10-*
0,9-10-3
0,2-10-8
1,92-10-4
200-10-5
4,6-10-5
9.5-10-5
5,2-10-5
40-10-5
14,5-10-5
6,24-10-4
0.24-10-3
2-10-^
23-10-"
2-10-4
0.2-10-3
8,9-10-2
4,5-10-3
5,1-10-2
2.4-10-2
5.5-10-5
38-10-*
8,3-10-^-
5.7-10-2
0,21-10-3
1,9-П-4
1,98-10-»
0,067
4.6-10-''
4,8.1Г2
7,3-10-5
•11,5.10-5
1,18-10-3
1,43-10-3
2.86-10-»
0,193-10-3
0,225-10-3
1,95.10-4
0,184-10-3
6.55-10-5
Ю.3-10-5
37.10-6
7-10-5
44
Продолжение табл. 1.7
IS
Исходные данные
i, час
час
п (/) /г (А/)
Ответы
P(f) P{t+U)
Н'-^)- Ч'^^)'
If час
1/4 ас
1.71
1.72
1.73
1.74
1.75
1.76
1.77
1.78
1.79
1.80
1.81
1.82
1.83
1.84
1,85
1.86
1.87
1.88
1.89
1.90
1.91
1.92
1.93
1.94
1.95
1.96
1.97
1.98
1.99
1.100
1 ОЭО
I ООЭ
I ООЭ
45
45
45
10Э
10Э
100
ЮЭЭ
ЮОЭ
1 ООЭ
10
2Э
10 ООЭ
6Э
1 000
1000
1 000
1 000
100
100
10
10
1000
1 000
1000
5
20
1 ОЭО
1 300
1 9Э0
2 700
15
45
63
6 ОЭО
4 000
10 000
1 4Э0
2 400
17 0ЭЭ
3 000
8 ОЭО
5 000
ЗОЭО
20 ООЭ
1 800
2 600
19 000
1 ОЭО
100
100
1000
1 600
2 5Э0
18 000
ЮОЭ
1 000
2 100
10Э 288
10Э 36S
100 480
5 14
5
5
5Э0
1 ООЭ
1000
34
35
5Э
Ш
25
100 301
100 430
1 000 680
25
100
1 000
100
4
4
18
15
1 ООЭ 805
100 354
100 460
I 000 770
10 1 10
100 1
100
100
100 328
100 444
I ОЭО 720
100
100
I
16
100 392
13
12
25
2
т
3
20
6
5
14
14
40
2
4
2
5
35
14
20
35
10
1
2
13
16
5Э
2
2
13
0,712
0.632
0,52
0.687
0.245
0,223
0.5
0.9
0.75
0.69Э
0,57
0,32
0,6
0.8
0,9982
0.75
0.195
0,646
0.54
0.23
0,9
0,99
0,9
0,4
0,672
0.555
0.28
0.8
0.2
0,6Э8
0,699
0,62
0.495
0.643
0,223
0.155
0,3
0,84
0,7
0,685
0.556
0,28
0,4
0,6
0,998
0,667
0,16
0,6?2
0.52
0.195
0,8
0,98
0.8
0.2
0.659
0.540
0.23
0.4
0.1
0.595
1,3-10-*
1.2-10-*
2,5-10-*
8.9-10-3
4,44-10^3
13.3-10-3
4-10-*
6-10-5
5-10-^
0.14-10-а
0,14-10-3
4-10-5
8-10-3
2-10-3
2-10-7
0.83-10-3
3.5-10-5
0.14-10-3
0,2-10-3
3,5-10-5
1-10-3
Ы0-*
Ы0-'
2-10-3
0,13-10-8
О,16-10-3
5-10-5
4-10-8
ЫО-з
1,3-10-*
1,84-10-*
1,92-10-^
4.9-10-*
13.3-10-3
19-10-3
70,8-10-3
1 -10-3
6,9-10-5
6.9-10-5
0.2-10-а
0.25-10-3
13.3-10-5
16-10-3
2,86-10-3
2.04-10-7
1,18-10-3
19.7-10-5
0,22-10-8
0,38-10-3
16,4-10-5
1,18-10^3
1,015-10-*
1.17-10-3
6,67-10-3
0.195-10-3
0.29-10-3
19.6-10-5
6,67-10-3
6.67-10-»
2,17-10-*
отказал еще 1 резистор. Определить частоту и интенсивность
отказов резисторов в промежутке времени 10 000—И 000 час.
Ответ: g(IO 500) =0,25 • Ю-^ [/час; 1(10 500) =0,253 • 10-^ Цчас.
1,9. Используя данные задачи 1.8, найти вероятность
безотказной работы ивероятность отказа резисторов за время 10 000 час.
Ответ: Р(10000)-0,99; ^(10000) =0.01.
1.10—1.100. На испытание поставлено Л^о изделий. За время
t час вышло из строя n(t) штук изделий. За последующий интервал
времени At вышло из строя n{At) изделий. Необходимо вычислить
вероятность безотказной работы за время t и /+Д^ частоту отказов
и интенсивность отказов на интервале At.
Исходные данные для решения задачи и ответы приведены
в табл. 1.7.
1.101. Допустим, что на испытании находилось 1 000 однотипных
ламп 6Ж4. .Число отказавших ламп учитывалось через каждые
1 000 час работы. Данные об отказах ламп сведены в табл. 1.8.
Требуется определить вероятность безотказной работы, частоту отказов
и интенсивность отказов в функции времени, построить графики этих
функций. Необходимо также найти среднюю наработку до первого
отказа.
Ответ: P{i), a{t), I{t) см. табл. 1.9 и рис. 1.11 и 1.12; fcp=
= 12 895 час.
45
ТАБЛИЦА I .^
Данные об отказах к
А/^, час
0—1 СОО
1 000—2 000
2 000—3 000
3 000—4 000
4 000—5 000
5 000—6 000
6 000—7 000
7 000—8 000
8 000—9 000
«(Д^)
20
25
35
50
30
50
40
40
50
А/^, час
9 000—10 000
10 000—11 ССО
II 000—12 СОО
12 000—13 000
13 000—14 000
14 000—15 000
15 000—16 ОСО
16 СОО—17 000
17 000—18 000
задаче 1.101
n{At^)
30
40
40
50
40
50
40
50
40
А/^, час
18 СОО—19 000
19 000—20 000
20 000—21 000
21 СОО—22 000
22 000—23 000
23 000—24 ОСО
24 000—25 000
25 000—26 000
—
n{At^)
50
35
35
50
35
25
30
20
—
ТАБЛИЦА 1.
Вычисленные значения
Я (О» "^ (0. ^ (О к задаче 1.101
А^.
0—1 000
1 000—2 000
2 000—3 000
3 000—4 000
4 000—5 000
5 000—6 000
6 000 -7 СОО
7 000—8 000
8 000—9 000
9 000—10 000
10 000 II 000
11000—12 000
12 СОО—13 000
13 000—14 000
14 000—15 000
15 ОРО—16 000
16 000—17 ССО
17 000—18 000
18 000—19 000
19 000—20 000
20 000—21 000
21 000—22 000
22 000—23 000
23 000—24 000
24 000—25 000
25 000—26 000
Pit)
0,98
0.955
0,92
0,87
0.84
0,79
0,75
0.71
0,66
0.63
0,59
0,55
0,50
0,46
0,41
0,37
0,32
0,28
0,23
.Л. 195
0,16
0,11
0,075
0,05
0,02
0.00
2
2
3
5
3
5
4
4
5
3,0
4,0
4,0
4,0
5,0
02
58
73
6
5
15
2
5
3
65
55
2
2
3
5
3
6
5
5
7
4
6
7
9,5
8,3
11.5
10,25
14,5
13,3
19,6
16.4
19,7
37
38
40
85,7
200
Щ г —] р*
^ S 12 W 20tJ0^4Qc
Рис. 1.11. Зависимость Р от t
(к задаче 1.101).
^ 8 12 ie t,10\ac
Рис. 1.12. Зависимость а и X
от / (к задаче 1.101).
46
ТАБЛИЦА 1.10
Исходные данные к задаче 1.102
Д/^, час
0—5
5—10
10—15
15—20
20—25
25—30
«(Д^г)
1
5
8
2 !
5 ,
6
At^, час
30—35
35—40
40—45
45—50
50—55
55—60
n(Aii)
4 1
3
0
1
0
0
Л^^, час
60—65
65—70
70—75
75—80
—
—
n{At^)
3
3
3
1
—
—
1.102. В результате наблюдения за 45 образцами
радиоэлектронного оборудования получены данные до первого отказа всех 45
образцов, сведенных в табл. 1.10. Требуется определить вероятность
безотказной работы, частоту отказов и интенсивность отказов в
функции времени, построить графики этих функций, а также найти
среднюю наработку до первог^ отказа Т'ср.
Ответ: P(t), a(t), X(t) см. табл. 1.11 и рис. 1.13 и 1.14; fcp =
=31,7 час.
ТАБЛИЦА 1.11
Вычисленные значения
P(i). a(t), l(t) к задаче 1.102
^^i, час
0—5
5—10
10—15
15—20
20—25
25—30
30—35
35—40
40—45
45—50
50—55
55—60
60—65
65—70
70—75
75—80
pit)
0,978
0,867
0,687
0,643
0,531
0,4
0,311
0,245
0,245
0,223
0,223
0,223
0,156
0,089
0,022
0
а(0.
10-31/чос
4,44
22,2
35,5
8,9
22,2
26,6
17,8
13,3
0
4,44
0
0
13,3
13,3
13,3
4,44
МП,
10-31/час
4,5
24,1
45,7
13.3
37,7
57.1
50
48
0
19
0
0
70,8
109,1
240
1 2С0
1.103. в результате наблюдения за 45 образцами
радиоэлектронного оборудования, которые прошли предварительную 80-часовую
приработку, получены данные до первого отказа всех 45 образцов.
47
Т АВЛИЦА 1.12
Исходные данные к задаче 1.103
Д/j, час
0—10
10—20
20—30
1
19
13
8
Л^^, час
30—40
40—50
50—60
ni^fi)
3
0
1
Д^^, час
60—70
п(М^)
1
сведенные в табл. 1.12.
Необходимо найти вероятность безотказной
работы, частоту отказов и
интенсивность отказов в фуН'-кции
времени, шостроить графики этих
функций, а также найти среднюю
нара-ботку до первого отказа.
Ответ: P{t), a(t), X(t) см.
табл. 1.13 и рис. 1.15 и 1.16,
7^cp^-=l5,9 час.
a;Z,fO
WU
100
80
60
ио
20
И
•
\ •
<
у
щ/
X
"7
/
/
и
/°-
X
20 W 60 г.час
Рис. 1.13. Зависимость Р от t
(к задаче 1.102).
О 20 ^0 60 г.час
Рис. 1.14. Зависимость а
и X от / (к задаче 1.102).
ТАБЛИЦА 1.13
Вычисленные значения Р"(/). л (0.^(0 ^ задаче 1.103
А/^, час
0-^10
10—20
20—30
30—40
40—50
50—60
60—70
Я(0
0,578
0,289
0.111
0.044
0,044
0,022
0
а(0. 10'^ ^l^tcLC
4,22
2.89
1,78
0.667
0
0.222
0,222
Х(0. 10-м/VGC
5,07
6.67
8,89
5.71
0
6,67
20.0
48
60 t/iat
Рис. 1.15. Зависимость Р от t
(к задаче 1.103).
час
10
О 20 ^0 60t,4QC
Рис. 1.16. Зависимость а и Х
от / (к задаче 1.103).
^\г
щ^
— »^
1.104. На испытание поставлено N= 1 000 элементов. Число
отказов фиксировалось в каждом интервале времени испытаний Д/==
=500 час. Данные об отказах сведены в табл. 1.14. Требуется опре-
ТАБЛИЦА 1.14
Исходные данные к задаче 1.104
Д/^, час
0—500
500—1 000
I 000—1 500
1 500—2 000
2 000—2 500
2 500—3 ОСО
/г(Д/^)
145
86 1
77
69 1
62
56 1
Д/^, час
3 000—3 500
3 500—4 000
4 000—4 500
4 500—5 000
5 000—5 500
5 500-6 000
«(Д^)
51
45
41
37
33
35
Д/,.
6 000-
час
-6 500
6500—7 000
7 000-
7 500-
8 000-
-7 500
-8 000
-8 500
«(Д^г)
60
75
62
42
16
делить вероятность безотказной работы, частоту отказов и
интенсивность отказов в функции времени, построить графики этих функций
и найти среднюю наработку до первого отказа элементов.
Ответ: P{t), a(t) и Г(/) см. табл. 1.15 и рис. 1.17, 1.18; fcp =
=3562.5 час.
Р
to
08
O.h
а,гю
0 2^6 tJO час
Рис. 1.17. Зависимость Р от t
(к задаче 1.104).
4—1086
а
20
О 2^6 t,10\ac
Рис. 1.18. Зависимость а ц X
от i (к задаче 1.104).
49
таВлицА i.i6
Вычисленные значения P(t), Z{i), Л (/) к задаче 1.104
А^^, нас
0—500
500—1 СОО
1 000—1 500
1 500—2 000
2 000—2 500
2 500—3 000
3 000—3 500
3 500—4 000
4 000—4 500
Pit)*)
0,855
0,769
0,692
0,623
0,561
0,505
0.454
0.409
0.368
0(0.
10-5—
час
29
17,2
15.4
13.8
12.4
11,2
10.2
9.0
8,2
Mt).
10-5—
час\
31.3
21.2
21.1
21
21
21
21,3
20.9
21.1
Д/^, час
4 500—5 000
5 000—5 500
5 500—6 СОО
6 000—6 500
6 500—7 000
7 000—7 500
7 500—8 000
[ 8 000—8 500-
Р (0*)
0,331
0.298
0,263
0,203
0,128
0,066
0,024
0,008
Н(0.
10-5
час
7.4
6,6
7.0
12,0
15.0
12,4
8.4
3.2
Ш
10-5 —
час
21,2
21
25
51.5
90,7
127,8
186,7
200
*) /—конец интервала.
1.105. Имеются статистические данные об отказах трех групп
одинаковых изделий, приведенные в табл. 1.16. В каждой группе
ТАБЛИЦА 1.16
Исходные данные к задаче 1,105
Д/^, нас
0-25
25—50
50—75
75—100
100—150
150—2С0
200^250
250—300
300—400
400—550
I группа
4
8
6
3
5
4
1
2
3
5
II группа
6
9
5
4
5
3
3
2
4
-—
III группа
n{^i)
5
8
7
5
6
3
—
.—
.—
■—
Е«(Д/^)
15
25
18
12
16
10
4
4
7
5
было по 100 изделий и их испытания проводились по I группе
550 час, по II группе 400 час и по III группе 200 нас. Необходимо
вычислить количественные характеристики Р(/), a(t), }^{t) и
построить графики этих функций.
Ответ: P(t), a{t), Ц() см табл 1.17 и рис. 1.19 и 1.20.
50
0.1
0,2 0,3 0,4 t,W^sac
Рис. 1.19. Зависимость Р от t (к
задаче 1.105).
^^^^'^'^Ш
0,1 0,2 0,3 О, ^ 0,5 t^ 10 ^час
Рис. 1.20. Зависимость а и X от / (к задаче 1.105).
ТАБЛИЦА 1.17
Вычисленные значения
' Р(0, ^(/), Х(/) к задаче 1.105
Д^^, час
0—25'
25—50
50—75
75—100
100—150
150—200
200—250
250—300
300—400
400—550
P[t)
0,95
0,867
0,807
0,767
0,713
0,68
0,67
0,65
0.615
0,59
а(0, 10-3 1 у vac
2
3,3
2,4
1.6
Ы
0,67
0,40
0.40
0,35
0,33
>(0, 10-3 \\час
2,05
3.67
2.87
2,03
1,44
0,957
0,588
0,606
0.553
0.542
51
1.106—1.115. В течение времени At производилось наблюдение
за восстанавливаемым изделием и было зафиксировано п{[М)
отказов. До начала наблюдения изделие проработало ti [час], общее
время наработки к концу наблюдения
найти наработку на отказ.
Исходные данные для решения
в табл. 1.18.
составило tz [час]. Требуется
задачи и ответы приведены
ТАБЛИЦА 1.18
Задачи 1.106-^1.115
Номер
задачи
1.106
1.107
1.108
1.109
1.110
1.111
1.112
1.113
1.114
1.115
Исходные данные
ti, час
350
400
I 000
770
I 200
300
540
300
12
570
ts, час
1 280
1600
6 400
4 800
5 558
540
1 200
3 200
184
2 000
«(ДО
15
3
9
7
2
12
5
8
16
27
62
400
600
575
2 179
20
132
362.5
10,75
53
1.116—1.130. в течение некоторого времени проводилось
наблюдение за работой No экземпляров восстанавливаемых изделий.
Каждый из образцов проработал ti [час] и имел tii отказов.
Требуется определить наработку на отказ по данным наблюдения за
работой всех изделий.
Задачи
Номер
задачи
1.116
1.117
1.118
1.119
1.120
1.121
1.122
1.123
1.124
1.125
1.126
1.127
1.128
1.129
1.130
/2,
1
3
12
6
8
6
10
32
10
18
3
1
5
3
5
ii, час
300
90
960
144
176
144
1020
4 000
1020
2 700
720
300
1500
1650
72
/га
3
6
15
5
5
5
18
24
26
32
4
3
8
2
4
/а. час
600
270
1 112
125
150
125
2 700
3 480
3 120
4000
1 040
600
1920
1 200
60 1
Пз
2
4
8
3
4
3
26
16
24
24
2
6
3
4
'7
1
ts, час
400
140
808
80
112
80
3 120
2 080
3 480
3 480
500
2 300
180
2 300
92 1
/24
_
5
7
8
8
—
32
—
18
16
6
7
4
—
8 1
Исходные
/4, ''О^
230 1
1 490
176 1
216 1
—
4000
-—
2 700
2080
1 800
2 450
680
—
96
52
Исходные данные для решения задачи и ответы приведены
в табл. 1.19.
1.131—1.140. Система состоит из Л' приборов, имеющих разную
надежность. Известно, что каждый из приборов, проработав вые
системы ti [час], имел Пг отказов. Для каждого из приборов
справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти
наработку на отказ всей системы.
Исходные данные для решения задачи и ответы приведены
в табл. 1.20.
1.141—1.145. Электронная аппаратура состоит из k групп
элементов. В процессе эксплуатации зафиксировано п отказов.
Количество отказов в /-Й группе равно rzj; среднее время восстановления
элементов /-й группы равно tj. Требуется вычислить среднее время
восстановления аппаратуры.
Исходные данные и ответы приведены в табл. 1.21.
1.146—1.150. Изделие имеет_среднюю наработку на отказ Гер и
среднее время восстановления Гв. Необходимо определить
коэффициент готовности изделия.
Исходные данные и ответы приведены в табл. 1.22.
1.151. Интенсивность отказов изделия >^=0,82-10~^ l/4ac=const.
Необходимо найти вероятность безотказной работы в течение 6 час
полета самолета Я(6), частоту отказов а(100) при /=100 час и
среднюю наработку до первого отказа Гер-
Ответ: Я(б)=0,995; а(100) =0,75 • Ю-з х/час; Гср = 1220 час,
1.152. Вероятность безотказной работы автоматической линии
изготовления цилиндров автомобильного двигателя в течение 120 час
равна 0,9. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон
надежности. Требуется рассчитать интенсивность отказов и частоту
отказов линии для момента времени 120 час.
Ответ: >.=0,83-10-з Цчас; а(120) =0,747-Ю-з {/час- Тср =
= 1 200 час.
ТАБЛИЦА 1.19
1.116—1.130
данные
"5
3
5
24
—
5
3
4
/б. v"c
180
150
3 480
—
1 200
1 290
50
"б
~
4
16
—
2
2
3
tc, час
—
112
2 080
—
540
2 200
42
«7
—
8
—
—
4
10
6
^7» час
—
216
—
—
770
1500
78
Ответ ^
'ср, час
216
43
104
25,7
26
25
130
133
132
136
271
291
1 265
1 572
13.2
53
Задачи
Номер
задачи
1.131
1.132
1.133
1.134
1.135
1.136
1.137
1.138
1.139
1.140
Исходные
;v
5
3
4
5
5
3
4
3
4
3
/i, час
256
2 000
960
90
600
144
720
1650
120
1 4800
«J
6
6
12
3
45
6
3
3
1
9
/,, час
540
1860
1 112
270
600
125
1040
150
120
5 500
«а
8
4
15
6
2
5
4
5
2
3
/з. •'ОС
780
2 160
808
140
200
80
500
176
90
1 200
Задачи
Номер
задачи
1.141
1.142
1.143
1.144
1.145
Исходные
k
5
5
4
5
5
п
12
40
9
18
68
«1
1
5
2
3
14
/,, мин
20
15
37
72
18
«а
4
8
1
5
8
/д. мин
30
25
480
40
40
1Л53. Средняя наработка до первого отказа автоматической
системы управления равна 640 час. Предполагается, что справедлив
ТАБЛИЦА 1.22
Задачи 1.146—1.150
Номер
задачи
1.146
1.147
1.148
1.149
1.150
Исходные данные
7ср' «^^
230
556
556
430
143
7„. «о^
12
23
2,5
8
1,7
Ответ
^г
0,95
0,96
0,995
0,98
0,988
экспоненциальный закон надежности. Необходимо определить
вероятность безотказной работы в течение 120 час, частоту отказов для
момента времени 120 час и интенсивность отказов.
54
ТАЬлИЦА 1.20
l.l^l—t.
140
данные
«s
i 10
' 3
8
4
4
3
2
10
8
3
/<,, час
250
—
1 490
230
200
—
1800
.—
700
—
1 «4
4
—
7
5
6
—
6
—
1
—
h» час
900
—
—
180
200
—
—
—
.—
— ■
1 «5
12
—
—
3
2
—
—
_
—
—
1 Ответ
1 lev» *'Q^
12.5
153
24,6
8,2
7,25
8,4
65,4
10,9
8,7
203
1.141—1.145
ТАБЛИЦА 1.21
данные
«3
3
12
2
4
1 27
ta, мин
16
60
60
36
20
«4
2
6
4
2
6
t^, ми i
36
40
25
120
30
«5
2
9
—
4
13
^5, мин
40
20
—
60
15
Ответ
7в> ^лин
28,3
35,4
86
57,8
21,9
Ответ: Р(120)=0,83; а(120)-1,3- Ю-з 1/час; Я=1,56- Ю'^ 1/час.
1.154. Время работы изделия подчинено усеченному нормальному
закону с параметрами ^1 = 8000 час, ai=1000 час. Требуется найти
вероятность безотказной работы изделия в течение 8000 час.
Ответ: Я(8 000)=0,5.
1.155. Используя данные задачи 1.154, вычислить частоту
отказов для ^=6 000 час.
Ответ: о(6000)=5,4-10"^ 1/час.
1.156. Используя данные примера 1.154, определить
интенсивность отказов для ^=10 000 час.
О т в е т: ?i(10000) =2,35 • 10-^ Цчас.
1.157. Используя данные примера 1.154, вычислить среднюю
наработку до первого отказа.
Ответ: Гср=8000 час.
1.158. Время безотказной работы электровакуумного прибора
подчинено закону Релея с параметром а=1 860 час. Требуется
рассчитать вероятность безотказной работы электровакуумного прибора
в течение времени /=1000 час, частоту отказа д(1 000),
интенсивность отказов Х(\ 000) и среднюю наработку до первого отказа.
Ответ: Я(1 000) =0.87; о(1 000)-0,25 • Ю-^ 1/час; Х(1000)-
= 0,29- 10-3 \itiac-^ Гср = 2 320 час.
55
V'' vfc
1.6
0,8
0Л
0
Рис.
0,2 <7Л 0,6 t.W
1.21. Зависимость Я
(к задаче 1.159).
от /
1.15д. При проведении
форсированных испытаний изделия
получена зависимость Х(^), приведенная
на рис. 1.21. Необходимо найти
вероятность безотказной работы ©
течение /= 1 000 час, частоту отказов
для /= 1 ООО час и среднюю
наработку до первого отказа изделия.
Ответ: Р(1000) = 0,9;
с(1000) = 1,98-10-* Мчас; Тер-
= 2 680 час.
1Л<60. Вероятность
безотказной работы изделия в течение ^=
= 1000 час Р(1 000) =0,95. Время
исправной работы подчинено закону Релея. Требуется
определить количественные характеристики надежности ^(t), X(t), Тер.
Ответ: а(1 000) =0,95-10"* }/час; Ц\000) = 10'-^ 1/'шс; 7ср =
= 4 000 час.
1.161. Средняя наработка изделия до первого отказа равна
1 260 час. Время исправной работы подчинено закону Релея.
Необходимо найти его количественные характеристики надежности для
/=1000 час.
Ответ: Я(1000) =0,61; ?i(1000) = 10-3 {/нас; а(1000) =
= 0.61 • 10-3 \/час.
1.162. Время исправной работы изделия подчинено
гамма-распределению с параметрами ^ = 3 и %о=\,Ъ- \0-^ 1/час. Необходимо
определить вероятность безотказной работы изделия в течение
10 000 час.
Ответ: Р( 10000) =0,81-
1.163. Используя данные задачи 1.162, вычислить частоту отказа
для /=5 000 час.
Ответ: а(5 000) =3,75 • 10"* l/nac.
1.164. Используя данные задачи 1.162, найти интенсивность
отказа для /=5 000 час.
Ответ: ;i(5 000)=4 • 10"* Х/час.
1.165. Используя данные задачи 1.162, определить среднюю
наработку до первого отказа изделия.
Ответ: Гер с=2 ООО час.
1.166. Время исправной работы скоростных шарикоподшипников
подчинено закону Вейбулла с параметрами ^=2,6, ?vo= 1,65-10-^ Х/час.
Необходимо найти вероятность безотказной работы
шарикоподшипника в течение 150 час.
Ответ: Я(150)-О.92.
1.167. Используя данные задачи 1.166, вычислить частоту
отказов шарикоподшипников для времени /=150 час.
Ответ: а(150) = 11,9-10-^ i/час.
1.168. Используя данные задачи 1.166, рассчитать интенсивность
отказов шарикоподшипников для /=150 час.
Ответ: >.( 150) = 12,9• 10-^ 1/'шс.
1.169. Используя данные задачи 1.166, вычислить среднюю
наработку до первого отказа шарикоподшипников.
Ответ: Гер— 350 час.
1.170. Вероятность безотказной работы гироскопа в течение
/=150 час равна 0,9. Время исправной работы подчинено закону
Вейбулла с параметром ^=2,6. Необходимо определить опасность
56
отказов гироскопов для /=150 час и среднюю наработку до первого
отказа.
Ответ: Я(150)=а38- Ю'^ \/нас; Гср = 270 час.
1.171. Известно, что параметр потока отказов аппаратуры
выражается формулой оз(/) =0,2-10-3 (1_е"^'^-^^'^^). Необходимо найти
среднюю наработку до первого отказа аппаратуры.
Ответ: Гср = 5 ООО час.
1.172. Преобразование Лапласа параметра потока отказов
аппаратуры при раздельном резервировании с кратностью т=\
выражается зависимостью id(s) =2%^ls(s-{-3X). Требуется вычислить среднюю
наработку до первого отказа, если интенсивность отказов ^=
-1,5-10-3 \/час.
Ответ; Гср=1000 час.
1Л73, В результате анализа данных об отказах изделия
установлено, что частота отказов имеет вид л (/) = 2Хе~ " (1—е~).
Необходимо определить количественные характеристики надежности P{t),
Х(0. Гер, со(0.
От в ет:
lit)-
Гдр =
P{t)
= \(1-
= 3/2Х;
= 2е-
е-^')
ш(0
-«-е-
,/(,-
2
>
I
(1-е-
J
-3\l
)■
1.174. В результате анализа данных оо отказах изделий
установлено, что вероятность безотказной работы выражается формулой
р (t) = Зе~^— 3 е*"^^^ +е~^^ . Требуется найти количественные
характеристики надежности a{t), X{t)y со{/), Гср.
Ответ:
а (О == ЗЛ е~^^(1 — e-^V»
МО = ^ (1-е-^^)21 Л - е-^^+4* ^~''') •
1.175. Известно, чго частота отказов изделия аппроксимируется
формулой а (t) = 6Х е~~^^^ (I — е"~^'). Необходимо определить
среднюю наработку до первого отказа.
Ответ: Т^р — 5/бХ.
1.176. Интенсивность отказов изделия зависит от времени и
выражается функцией X (О =- /г (1 — е~*') / { 1 — "о" ^^*')'
Требуется
57
определить количественные характеристики надежности р (t), a{t),
<о(0. 7"ср-
Ответ:
Р (t) = 2 е-'^' — е-2л«; а (t) = 2^ e-'^< (1 — e"*^');
2 / \ 3
1.177. Интенсивность отказов изделия зависит от времени и
выражается функцией 'k(t)-=k4l(\+kt). Необходимо найти P(t).
Ответ: Р(1) = ^-^^(\Л^Ш).
1.178. Используя данные задачи 1.177, определить частоту
отказов изделия a(t).
Ответ: a(t)^k4e~^^.
1.179. Используя данные задач 1.177 и 1.178, найти среднюю
Наработку до первого отказа.
От в'ет: Гер=2/^.
1.180. Частота отказов изделия a(t)=k4e~^^. Требуется
определить параметр потока отказов (i)(t).
Ответ: ы(1) =^-^ О-~^'^^*)-
1.181. Интенсивность отказов Хс сложной восстанавливаемой
системы есть величина постоянная и равная 0,015 I/hqc. Среднее
время восстановления /в = 100 час. Необходимо вычислить
вероятность застать систему в исправном состоянии в момент времени
/=10 час.
Ответ: /(г(Ю) ^0,867.
1.182. Коэффициент готовности сложного восстанавливаемого
изделия /Сг=0,9. Среднее время его восстановления /в =100 час.
Требуется найти вероятность застать изделие в исправном состоянии
в момент времени /=12 час.
Ответ: /(г(12)=0»987.
^>'^'%
12
в
Ч
Рис. 1.22. Зависимость ^ от /
(к задаче 1.183).
Q ОЛ ОМ Ofi 0,Вг,10^час
1.183, В процессе эксплуатации 7^0=100 восстанавливаемых
изделий возникали отказы, которые фиксировались в интервалах времени
А/=100 час. Число отказов п за время эксплуатации в течение
1 000 час приведено в табл. 1.23, Требуется определить интенсивность
отказов и построить график.
Ответ: график 5^(0 рис. 1.22.
58
ТАБЛИЦА 1.23
Исходные данные к задаче 1.183
час
п
At,,
час
п
0—100
2
500—60'J
9
100—200
4
600—700
9
200—300
6
700—800
10
300—400
7
800—900
10
400-500
8
900—1 000
10
1.184, Используя данные задачи 1.183, определить вероятность
безотказной работы изделия в течение /=1 000 час.
Ответ: Я(1000)«0,4.
Глава вторая
РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ
НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ
ПРИ 0СН0ВН0Л1 СОЕДИНЕНИИ ЭЛЕМЕНТОВ
§ 2.1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
';^Если отказ технического устройства наступает при
отказе одного из его элементов, то говорят, что такое
устройство имеет осцовное соединение элементов. При
расчете надежности таких устройств предполагают, что
отказ элемента является событием случайным и
независимым.
Тогда вероятность безотказной работы изделия ъ
течение времен»и t равна произведению вероятностей
безотказной работы ее элементов в течение того же
времени. Так как вероятность безотказной работы элементов
в течение времени t можно выразить через
интенсивность отказов в виде (1.8), то расчетные формулы для
вероятности безотказной работы технического
устройства при основном соединении элементов можно
записать следующим образом:
)/ P,(/) = expf- [я,(/)^Нехр/'-|ЯЛО^^).-. (2.1)
- ^^Р ( ^ J ^N (О dl) = exp [ - X j ^г (/) dt^. j
Выражения (2.1) наиболее общие. Они позволяют
определить вероятность безотказной работы изделий до
первого отказа при любом законе изменения
интенсивности отказов во времени.
60
На практике наиболее часто интенсивность отказов
изделий является величиной постоянной. При этом время
возникновения отказов обычно -подчинено
экспоненциальному закону распределения, т. е. для нормального
периода работы аппаратуры справедливо условие К=^
= const.
в этом случае выражения для количественных
характеристик примут вид:
V
Р,(0 = е '''=.е "^'">\ Де=Е ^i'
(2.2)
^с \Ч — ^с^ » -* ср с —■ 1 /^с-
Если все элементы данного типа равнонадежны,
интенсивность отказов системы будет
Яе=-1; Л^Ач (2.3)
где Л^г — число элементов t-ro типа; г — число типов
элементов.
На практике очень часто приходится вычислять
вероятность безотказной работы высоконадежных систем.
При этом произведение Kcft значительно меньше
единицы, а вероятность безотказной работы P{t) близка к
единице. В этом случае, разложив е ^ в ряд и
ограничившись первыми двумя его членами, с высокой
степенью точности можно .вычислить P{t).
Тогда основные количественные характеристики
надежности можно с достаточной для практики
точностью вычислить 'ПО следующим приближенным
формулам:
Рс(0 - 1 -^ t Л^гЯг = 1 -Яе^ Я, = ^ Л^Л,
«=1 £=1
(2.4)
Tc^l t t^ih^ I/Яе, a{f)^ Ki\ -ЯсО-
Вычисление количественных характеристик
надежности 'ПО приближенным формулам не дает больших оши-.
бок для систем, вероятность безотказной работы
которых превышает 0,9, т. е. для ^^<0,1.
61
При рас*^етё йадежности систем часто приходится
перемножать вероятности безотказной работы
отдельных элементов расчета, возводить их в степень и
извлекать корни, при значениях Р(0, близких к единице, эти
вычисления можно с достаточной для -практики
точностью выполнять по следующим приближенным
формулам:
Ь p^^^t)=l-Nq,{t). (2.5)
где qi{t) —вероятность отказа /-го блока.
В зависимости от полноты учета факторов,
влияющих на работу изделия, различают прикидочный,
ориентировочный и окончательный расчет надежности.
; прикидочный РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ
Прикидочный расчет основывается на следующих
допущениях:
■— все элементы изделия равнонадежны;
— опасности отказов всех элементов изделия не
зависят от времени, т. е. Яг = const;
— отказ любого элемента приводит к отказу всего
изделия-
Прикидочный расчет надежности ^применяется в
следующих случаях:
1) при проверке требований 'по надежности,
выдвинутых заказчиком в техническом задании (ТЗ) на
проектирование изделия;
2) при расчете нормативных данных по надежности
отдельных блоков, устройств и приборов системы
(расчет норм надежности отдельных частей системы);
3) для определения минимально допустимого уровня
надежности элементов проектируемого изделия;
4) пр^и сравнительной оценке надежности отдельных
вариантов изделия на этапах предэскизного и эскизного
проектирования. ^
62
Прикид-очный расчет надежности позволяет судить
о inpnHUH'nna.TibHoft возможности обеспечения требуемой
надежности изделия.
Характеристики надежности рассчитываются по
формулам (2.2) или (2.4), при этом ?1с = Л^А.экв, где Кжв —
эквивалентное значение интенсивности отказов
элементов, входящих в изделие.
ОРИЕНТИРОВОЧНЫЙ РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ
Ориентировочный расчет надежности учитывает
влияние на надежность только количества и типов
примененных элементов и основывается на следующих
допущениях:
— все элементы данного типа равнонадежны, т. е/
величины интенсти'вности отказов (Кг) для этих
элементов одинаковы;
— все элементы работают в номинальном
(нормальном) режиме, предусмотренном техническими
условиями;
— интенсивности отказов всех элементов не зависят
от времени, т. е. в течение срока службы у элем-ентов,
входящих в изделие, отсутствует старение и износ,
следовательно, ^-(О = const;
— отказы элементов изделия являются событиями
случайными и независимыми;
— все элементы изделия работают одновременно.
Дли определения надежности изделия необходимо
знать:
1) вид соединения элементов расчета надежности;
2) типы элементов, входящих в 1изделие, и число
элементов каждого типа;
3) величины интенсивности отказов элементов ?if,
входящие -в изделие. Выбор Тц для каждого типа элементов
произ-водится по соответствующим таблицам.
Таким образом, -при ориентировочном расчете
надежности достаточно знать структуру системы,
номенклатуру 'Примененных элементов и их количество.
Ориентировочный метод расчета надежности
используется на этапе эскизного проектирования после
разработки принципиальных электрических схем изделий.
Этот- расчет 'позволяет определить рациональный состав
элементов изделий и наметить пути повышения
надежности изделия на стадии эскизного проектирования и
проводится по формулам (2.2) —(2.4).
63
РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ С УЧЕТОМ РЕЖИМОВ РАБОТЫ
ЭЛЕМЕНТОВ (ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ РАСЧЕТ)
Окончательный расчет надежности изделия
выполняется тогда, когда известны реальные режимы работы
элементов -после испытания 'в лабораторных условиях
макетов и основных узлов изделия или 'после
тщательного расчета схемы.
Элементы изделия находятся обычно в различных
режимах работы, сильно отличающихся от номинальной
величины. Это влияет на надежность как изделия в
целом, так и отдельных его составляющ«их частейх^Зыпол-
нение окончательного расчета надежности возможно
только при наличии данных о коэффициентах нагрузки
отдельных элементов и при наличии графиков
зависимости интенсивности отказов элементов от их
электрической нагрузки, температуры окружающей среды и
других факторов, т. е. для окончательного расчета
необходимо знать зависимости
>.с = /(/(н,Г«,....)."'
Эти зависимости приводятся в виде графиков либо
их можно рассчитать с помощью так называемых
«поправочных коэффициентов интенсивности отказов ^^к„*
АКту позволяющих учесть влияние различных факторов
на надежность изделия.
) Для определения надежности изделия необходимо
знать:
1) число элементов е разбивкой их по типам и
режимам работы;
2) зависимости интенсивности отказов элементов Ki
от электрического режима работы и заданных внешних
условий;
. . -3) структуру системы^
; В общем случае h зависит от следующих
воздействующих факторов: электрического режима работы
данного элемента; окружающей температуры;
вибрационных воздействий; механических ударов; линейных
ускорений; влажности; воздействия морской воды;
воздействия биологических факторов (грибок, 'плесень,
насекомые); давления; реактивного облучения и ряда других
возможных факторов.^
Знание зависимости интенсивности отказов кг от
воздействующих факторов является необходимым для пра-
Бильного использования элементов с целью получения
заданной вероятности испра-вной работы за время t.
Наиболее существенными воздействующими
факторами являются: окружающая температура и скорость ее
изменения; электрическая нагрузка; механические
перегрузки, вызванные вибрациями, ударами и линейными
ускорениями.
При разработке и изготовлении элементов обычно
предусматриваются определенные, так называемые
«нормальные» условия работы: температура +25±10Х-,
номинальный электрический режим, относительная
влажность 60 ±20%, отсутствие механических перегрузок и
т. д. Интенсивность отказов элементов в номинальном
режиме эксплуатации называется ном>инальной интен-
сивн-остью отказов Лш-
Интенсивность отказов элементов при эксплуатации
в реальных условиях Хг равна номинальной
интенсивности отказов >.ог, умноженной на поправочные
коэффициенты at и ki. Поправочный коэффициент интенсивности
отказов ai=^{f, /Си) учитывает влияние окружающей
тем'пературы и электрической нагрузки, по1правочный
коэффициент интенсивности отказов ki = f (/, ф-) — тип
воздействия, главным образом механические перегрузки
и относительную влажность окружающего воздуха.
Графики «г = f(^^^Cн) приведены в приложении 4.
Значения поправочных коэффициентов кг приведены
в табл. 2.1—2,3.
.Окончательный расчет надежности применяется на
этапе техН'Ического проектирования изделия^Он обычно;^
возможен тогда, когда на изделие заполнтаЛа так назы-
ТАБЛИЦА 2.1
Поправочные коэффициенты kt в зависимости от
воздействия механических факторов
на неамортизированную аппаратуру
Условия эксплуатации
аппаратуры
Лабораторные
Стационарные (полевые)
Корабельные
Автофургонные
Железнодорожные
Самолетные
Виб,>ац11я
h
1,0
1,04
1,3
1,35
1.4
1,46
Ударные
нагрузки
^2
1.0
1,03
1,05
1,08
1.1
1,13
Суммарное
воздействие
Л, ^2
1,0
1,07
К37
1,46
1,54
1,65
5—J086
65
ТАБЛИЦА 2.2
Поправочные коэффициенты
^3
Влажность,
%
60—70
90—98
90—98
Температура, 'С
20—40
20—25
30—40
Поправочный КОЭ(})-
фициент Аз
1.0
2,0
2,5
ТАБЛИЦА 2.3
Поправочные коэффициенты
Высота,
км
0—1
1—2
2—3
3—5
5—6
6-8
Поправочный
коэффициент ^4
1,0
1.05
1,1
1,14
1.16
1,2
Высота, км
8—10
10—15
15—20
20—25
25—30
30—40
Поправочный КОЭ(})-
фнциент ^4
1,25
1,3
1,35
1,38
1.4
1.45
ваемая ведомость (карта) режимов работы элементов.
Этот расчет ведется по известным характеристикам
надежности деталей, узлов, блоков, механизмов, приборов
и т. т., входящих .в изделие. Как правило, -при расчете
изделие расчленяется на отдельные конструктивно
самостоятельные части путем деления системы на приборы,
приборов на крупные узлы и блоки, блоков и крупных
узлов на более мелкие узлы и т. д. При этом расчет
«производится последовательно от простого к сложному.
Например, при расчете надежности системы следует
определить вначале количественные характеристики
отдельных приборов по известным количественным
характеристикам их узлов и деталей, затем вычислить
количественные характеристики системы по рассчитанным
количественным характеристикам отдельных приборов.
Будем называть каждое устройство, имеющее
количественную характеристику надежности, элементом
расчета надежности. Тогда элементами расчета надежности
могут быть детали (резистор, конденсатор,
электровакуумный прибор и так далее), узлы (электронный
усилитель, триггерная ячейка), блоки (приемник,
передатчик), приборы (вычислительный, счетно-решающий) и
даже системы, если вычисляется надежность комплекса
систем.
При расчетах полезно «применять интервальную
оценку характеристик надежности. При этом интенсивности
отказов элементов рассматриваются как случайные
величины, взятые из нормальной генеральной
совокупности. Тогда при доверительной вероятности у верхний
66
p„(i) и нижний Рн(0 доверительные т1ределы P{i)
находятся из равенств
/'в(0-'Ро(0 + 2г„.н1,/2«Ра). (2-6)
^„(0 = 'P.(0-^(,_,),2«p(t). (2-7)
где Po{it) — среяияя вероятность безотказной работы,
определяемая по средним значениям интенсивности
отказов элементов; Орщ—среднее квадратическое
отклонение; 2'р — квантиль уровня р нормального
распределения.
Для верхнего доверительного предела Pb=(1+y)/2>
для нижнего ри=(1—y)/2.
При Y=0,9 имеем:
Здесь о^ ='^£^19 где t^j — коэффициент вариации (0^
Аналогично находятся доверительные пределы и для
других характеристик надежности.
Таблицы величин интенсивностей отказов и
поправочные коэффициенты для некоторых элементов
приведены -в приложении 3.
В приложении 2 -приведены данные 'По интенсивности
отказов элементов, опубликованные © трудах
симпозиумов США.
Методика расчета надежности- как правило,
включает в себя следующие моменты:
— определение типа элемента и его характеристики;
— выбор метода расчета с последующим подбором
определенных номограмм, таблиц, графиков или
«поправочных коэффициентов;
— определение электрических нагрузок и влияния
внешней среды на каждый элемент;
— определение по соответствующей таблице или
графику интенсивности отказа каждого элемента;
— суммирование всех интенсивностей отказов для
определения интенсивности отказов всего изделия.
5* 67
При практическом определении интенсивности
отказов изделия данные об интенсивностях отказов
отдельных элементов рекомендуется заносить в определенном
порядке в так называемые рабочие таблицы, формы
которых приведены в приложении 5.
^Расчет надежности изделия целесообразно
проводить в следующем 'порядке//
1. Формулируется понятие отказа^
От «понятия отказа изделия зависит выбор числа
элементов, которые должны учитываться «при расчете
надежности. Часто в сложных системах имеются
элементы, выход из строя которых приводит лишь к
ухудшению некоторых характеристик системы (точности,
качества переходного процесса и т. д.). Выход из строя
других элементов пр'иводит к нарушению
работоспособности системы, т. е в смысле надежности эти элементы
системы не равнозначны. Поэтому необходимо
учитывать только те элементы, выход из строя которых
приводит к отказу. Таким образом, прежде чем inpnCTynnTb
к расчету надежности, необходимо четко
сформулировать, что следует понимать под отказом изделия, а затем
уже выбирать число элементов, которое должно быть
учтено при расчете вероятности исправной работы или
при расчете других количественных характеристик
надежности.
yJ2. Составляется схема расчета
надежности 7'
СхелТу расчета надежности удобно составить таким
образом, чтобы элементами расчета были
конструктивно оформленные блоки. Может оказаться, что в
расчетных блоках имеются элементы, работающие не все
время .в течение работы блока, а только некоторую часть
времени. В этом случае целесообразно такие элементы
распределить по времени их работы на группы и
образовать из этих групп самостоятельные элементы
расчета. На схеме расчета надежности целесообразно
указывать время работы каждого элемента расчета.
"^^З. Выбирается метод расчета
надежности
В соответствии с видом расчета вы-бираются
расчетные формулы и для определения интенсивности отказов
изделия по соответствующим таблицам определяются
величины интенсивности отказов элементов.
При наличии ведомостей (карт) режимов работы
68
элементов определяются коэффициенты нагрузки и по
графикам или -по .поправочным формулам вычисляются
%i для всех элементов.
Если Б течение 'времени работы аппаратуры элемент
имеет не -постоянную интенсивность отказов, но
существуют четко выраженные .временные интервалы, в
течение которых интенсивность отказов элемента в основном
постоянна, то для расчета надежности используется так
называемая эквивалентная интенсивность отказов эле-"^-
мента. Допустим, что интенсивность отказов элемента]
за период времени h равна ^i, за период /г равна Хг и(
т. д. Тогда интенсивность отказов такого элемента за
период времени / = /i+i/2+^3 + -.. будет
Х9кв= (Х1^1 + Ы2 + Мз+ -. .)lt. (2.9)
\4. Составляется таблица расчета
интенсивности отказов издeлия.J
Для расчета интенсивности отказов изделия обычно
используются формы таблиц, приведенных в
приложении 5, например: для ориентировочного расчета
надежности применяется табл. П. 5.1; для окончательного
расчета надежности в случае использования графиков Яг =
=!(КнуТ^)—табл. П. 5.2; для окончательного расчета
надежности 'при использовании ^поправочных
коэффициентов— табл. П. 5.3.
Интенсивность отказов данного типа элемента в
реальных условиях работы вычисляется по формуле
п
^2 = ^io<^i(^2 .. - Ctn = ^го Yi ^г» (2.10)
где Кго — интенсивность отказов элемента, работающего
в нормальных условиях при номинальной электрической
нагрузке; ai, аг, -. ., an ^поправочные коэффициенты,
зависящие от различных воздействующих факторов.
5. Рассчитываются количественные
характеристики надежно с т и.7
Данные расчета заносятся в Итоговые таблицы или
приводятся в виде графиков. \_Рзсчеты оформляются
в виде технического отчета.^
иОтчет должен содержать:
а) структурную схему надежности системы с
кратким объяснительным текстом;
•б) формулировку понятия отказа системы;
69
в) расчетные формулы для количественных
характеристик надежности;
г) расчет количественных характеристик надежности,
итоговые таблицы и графики;
д) оценку точности расчета; .-- ^
е) выводы и рекомендац-ии.'Т Ду- ^^ /у' ^^ /^
—J
§ 2.2. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ
Пример 2.1. Система состоит из 12 600 элементов,
средняя интенсивность отказов которых Аср=0;32-10""^
\1час.
Необходимо определить вероятность безотказной
работы 'В течение ^^БО час.
Решение. Интенсивность отказов системы по
формуле (2.3) будет
Яс=Лср//=0,32 • 10-е • 12 600=4,032 • Ю-^ Цчас.
Тогда на основании (2.2)
Р(50) = е"'"' = е-"-"^^'"-"-^ ^ 0,82.
Пример. 2.2 Используя данные примера 2.1,
вычислить среднюю наработку до первого отказа.
Решение. Средняя наработка до первого отказа
Тер с вычисляется по формуле (2.2). Подставляя в
формулу значение >ic, 'ИЗ 'примера 2.1 'получим
^^p^'^l^^ 4.032.10-* ^ ^^^ ^^^*
Пример 2.3. Система состоит из yV==5 блоков.
Надежность блоков характеризуется вероятностью безотказной
работы в течение времени /, которая равна: pi(0=0,98;
Р2(/)=0,99; рз(/)==0,97; ^^(0 =0,985; р5(^) ==0,975.
Требуется о'пределить вероятность безотказной
работы системы.
Решение. На основании формулы (2.1) имеем
/V \
Р^ (/) = JJ ;?,♦(/) = 0,98.0.99.0,97.0.985.0,975Л
70
Вероятности pi, рг,..., ps близки к единице, поэтому
вычисл'Ить pc(t) удобно, использовав приближенную
формулу (2.5).
В нашем случае ^i = 0,02; ^2=0,01; ^з=0,03; ^4=0,015;
95=0,025. Тогда
1=1 i~l
= 1 — (0,02 +;0.01 +;0,03:+[0,015 + 0,025) = 0,9.
пример 2.4. Система состоит из трех устройств.
Интенсивность отказов электронного устройства равна Ki =
=0,16-10"^ \/4ac = const Интенсивности отказов двух
электромеханических устройств линейно зависят от
времени и определяются следующими формулами:
^2-0,23-10-4^ 1/час, Яз-=0,0б-10-6/2.6 ij^ac.
Необходимо рассчитать вероятность безотказной
работы изделия iB течение 100 час.
Решение. На основании формулы (2.1) имеем
P,(0 = exp(-S \^?^i(t)dt\ =
= ехр Г-^ f?.J + 0,23- 10-"-J +
+ 0,06.10--!;^)].
Для /=100 час
Я^(100) = ехр Г- ('оЛб-10-'-100 + 0,23.10-^-^+
+0,06^|5g^. 10-Л I ^ 0,33.
Пример 2.5. Система состоит из трех блоков, средняя
наработка до первого отказа которых равна Ti=l60час,
7^2 = 320 час, Гз=б00 час. Для блоков справедлив
экспоненциальный закон надежности. Требуется определить
среднюю наработку до первого отказа системы.
71
Решение. Воспользуемся формулой (2.2) для
средней наработки до первого отказа системы. В нашем
случае
' 1 J 2 ' 3
Тогда
^ер-'=Х-^бЖГ^9* '''''^■
Пример 2.6. Система состоит из двух устройств.
Вероятности безотказной работы каждого пз них в течение
времени /=100 час равны: /7i( 100) =0,95; р2( 100) ==0,97.
Справедлив экспоненциальный закон надежности.
Необходимо найти среднюю наработку до первого отказа
системы.
Решение. Найдем вероятность безотказной работы
изделия: Рс(100) -pi(lOO) -^2(100) =0,95-0,97=0,92.
Найдем интенсивность отказов изделия, ъоопользо-
вавшись формулой
Р, (100) = 0.92 = е"'"'- e"'"^'* .
По табл. П. 7. 14 имеем
?.с • 100»0,083 или Хс = 0,83- 10"^ 1/час.
Тогда
Пример 2.7. Вероятность безотказной работы одного
элемента в течение времени / равна р(/) =0,9997.
Требуется определить вероятность безотказной работы
системы, состоящей из 7V = 100 таких же элементов. \
Решение. Вероятность безотказной работы систе/
мы равна Pc{t)=p''{t)=^ {0,9997)'^^. Вероятность PJt)
близка к единице, -поэтому для ее вычисления восп' Ьь-
зуемс5: формулой (2.5). В нашем случае q(t) = l—p(i) =
- 1—0,9997-0,0003. Тогда P^{t) ^ l~Nq{t) ^ 1 —ЮОХ
X 0,0003 = 0,97.
Пример 2.8. Вероятность безотказной работы
системы в течение времени t равна Pc.{t)=0,95. Система
состоит из Л/"—120 равнонадежных элементов.
Необходимо найти вероятность безотказной работы элемента.
72
решение. Очевидно, что вероятность безотказной
работы эл::мепта будет pi{t)=z-^ Р^(1). Так как p{t)
близка к единице, то вычислении р{() удобно выполнить
по формуле (2.5).
В нашем случае ^с (t)=\— Р^ {t) = \ — 0,95 = 0,05.
Тогда
Пример 2.9. В системах могут быть использованы
только элементы, интенсивность отказов которых равна
Кг=^10~^ I/час. Системы имеют число элементов A/'i=500
и 7V2 = 2 500. Требуется определить среднюю наработку
до первого отказа и вероятность безотказной работы
в конце первого часа Яс(1).
Решение. Интенсивность отказов систем
соответственно будет
Яс1 = Л^1Яг = 500-10-^=0,5-10-2 1/час,
Яс2-Л^2Яг = 2 500 • 10-5=0,025 1/час.
Тогда
Р,,=.е"'-' = е-^'^'^'""* =0,995;
Я,,:^е'-"''''-^ = 0,975;
^''р'^^^ХГ"^0,5-10-2 =200 4cw;
Задачу можно легко решить, используя номограмму
приложения П. 1. 1.
Пример 2,10. По аналогии с ранее разработанными
системами предположено, что сложность проектируемой
системы не должна превышать Л/с = 2 500 элементов.
Необходимо 'при обсуждении проекта технического
задания на новую систему выяснить, насколько реально
выполнимы «предъявленные требования без использования
специальных способов повышения надежности.
Допустим, что требуется определить, может ли быть
спроектирована система, к которой предъявлено требование
Tcxi с =120 час.
73
V
Решение. Пользуясь номограммой П. 1.1, на Левой
шкале находим риску 120 и восстанавливаем из нее
перпендикуляр. На верхней шкале, где указано количество
элементов в системе, находим риску 2 500 и опускаем из
нее второй перепендикуляр до пересечения с первым.
Точка 'пересечения обоих перпендикуляров на
номограмме показана кружком.
Уровень надежности элементов, соответствующий
точке пересечения перпендикуляров, может быть
определен методом экстраполяции. Пользуясь рисками шкалы
интенсивности отказов и проводя через н-их
дополнительные уровни, определим, что требуемая интенсивность
отказов элементов должна быть равна }^г^3,6 • 10~^ 1/</ас.
Если продолжить перпендикуляр, восстановленный
из точки 120 левой шкалы Т'срс до пересечения его
с правой шкалой, то на последней найдем, что
вероятность испраБной 'работы системы в конце шервого часа
будет равна
Рс(1)=99,17о.
Просматривая данные об интенсивности отказов
элементов, обеспечиваемых современным состоянием
промышленности, увидим, что предъявленные в данном
примере требования к надежности системы вьтолнимы.
Пример 2.11. В системе Л^с = 2500 элементов и
вероятность безотказной работы ее в течение одного часа
Рс(1)=987о. Предполагается, что все элементы равно-
надежны. Требуется вычислить среднюю наработку до
первого отказа системы Тер с и интенсивность отказов
элементов X.
Решение. На правой шкале номограммы П. 1. 1
находим риску 98 и 'проводим через нее перпендикуляр
до пересечения с перпендикуляром, опущенным из точки
2 500 верхней шкалы. На номограмме пересечение
перпендикуляров обозначено квадратиком с точкой в
центре. Тогда точке пересечения перпендикуляров будет
соответствовать интенсивность отказов элементов Х=8,4Х
Х10-6 If час. /
Продолжив перпендикуляр по горизонтали д</
пересечения с левой шкалой Тер с, найдем, что этому
значению параметров соответствует Гер с = 50 час.
Пример 2.12. Система состоит из пяти приборов,
вероятности исправной работы которых в течение времени
/= 100 час равны: pi(lOO) -0,9996; р2(100) =0,9998;
Рз{ 100)-0,9996; р4( 100) =0,999; р5( 100) =0,9998. Тре-
74
буется 01пределить частоту отказов системы в момент
времени /=100 час.
Предполагается, что отказы приборов независимы
и для них справедлив экспоненциальный закон
надежности.
Решение. По условию задачи отказы приборов
независимы, поэтому вероятность безотказной работы
системы равна произ-ведению вероятностей безотказной
работы приборов. Тогда по формуле (2.5) для случая
высоконадежных систем имеем
б
Яс (100) ^ 1—у; Q/ (100) = 1 —(0,0004+
^ 0,0002 + 0,0004 + 0,001 + 0,0002) = 0.9978.
Так как вероятность безотказной работы близка к
единице, то в соответствии с формулой (2.4) для P(t)
интенсивность отказов можно вычислить из выражения Я^ =
^^ ~". "^ . Подставляя значения Рс(100) и время f =
3= 100 час, получим
Тогда частота отказов в соответствии с формулой (2.4)
будет
а^ (t) ^ Яс (1 —ЯеО = 2,2-10-41 — 2,2-10-^-100) ==
= 2,195.10-^ \Ыас.
Пример 2.13. Изделие состоит из 14 маломощных
низкочастотных германиевых транзисторов, 4 плоскостных
кремниевых выпрямителей, 56 керамических
конденсаторов, 168 резисторов типа МЛТ мощностью 0,5 вт, 1
силового трансформатора, 2 накальных трансформаторов,
6 дросселей и 3 катушек индуктивности. Необходимо
найти вероятность безотказной работы изделия в
течение /=260 час и среднюю наработку до первого отказа
' ср с.
Решение. Для выполнения ориентировочного
расчета надежности составим и заполним табл. П. 5.1,
вычислив величину интенсивности отказов изделия. Третья
графа таблицы не за'полняется, так как при ориентиро-
75
вочном расчете можно осуществлять расчет без наличия
схемы. Значение интеноивностей отказов Xi элементов
(пятая графа) выбирается из таблиц приложения 3,
Заполненная табл. 2,4 приведена ниже.
ТАБЛИЦА 2.4
к примеру 2.13.
Наименование и тип
элемента
g G ^
\§&t
с 3u о
Количество
элементов
Л'*
Интенсивность от-
казгв,
IO-S ]/час
^"^г^
10-5 ijti
Примечание
Транзистор
маломощный низкочастотный
германиевый
Выпрямитель плос-
костный кремниевый
Конденсатор
керамический ^fj \ I S ' Acib
Резистор МЛТ,
0,5 бт
Трансформатор
силовой
Трансформатор на-
кальный
Дроссель
Катушка
индуктивности
т
'''
'".^^
\ih
\{"л
Ilm
14
4'-1
-^"
1^8
1
2
6
3
0,3
0,5
0J4/^'
0,05
0,3
0,2
0,1
0,05
22.
ж
8,4
0,3
0,4
0,6
Табл.
П. 3.5
Табл.
П. 3.5
Табл.
П. 3.3
Табл,
П. 3.1
Табл.
П. 3.7
Табл.
П. 3.7
Табл.
П. 3.7
Табл.
П. 3.7
S/Vt = 254 Ас=11л^Дг = 23,89.10-5 1/час
По данным таблицы- и формулам (2.2) находим
Ре (260) = е"'«' = е-23,89.10-260 ^ Q_94_ ^
Т ——=
^Р^~Лс 23,89-10-5
= 4170 час.
Пример 2.14. Все элементы электронного усилителя
работают в нормальный период эксплуатации, т. е. Х =
= const. Усилитель должен непрерывно работать в
течение 10 час. Из схемы известно, что усилитель состоит из
2 ламп, 8 резисторов и 6 конденсаторов; режимы
работы всех элементов известны и указаны в табл. 2.5.
Требуется рассчитать вероятность безотказной работы РсО^)
и среднюю наработку до первого отказа Гер ус.
76
10
ио
0,1
0,01
1 1 1
1 0,8.
0,
0,1.
'Ь
о W 80 120 T^'Z
Ркс. 2.1. Зависимость
интенсивности отказов объемного
резистора (1 бт) от окружающей
температуры и коэффициента
нагрузки.
120 Г^^'С
Ряс. 2.2. Зависимость
интенсивности отказов керамических
конденсаторов от окружающей
температуры при различных
коэффициентах нагрузки.
Решение. Определим интенсивность отказов
усилителя, для чего заполним таблицу расчета П. 5. 2.
На основании данных о режиме работы
электроэлементов определяем интенсивность отказов, «используя
зависимости h = f(Kn,T^) (рис. 2. 1 и 2.2). Значевие
интенсивности отказов записываем в соответствующую
графу таблицы расчета (табл. 2.5).
Вероятность безотказной работы усилителя в
течение 10 час непрерывной работы
Руе(10) = ехр
-^Ц iV^- ==
/=■1
= ехр(—10.19,32.10-^) = exp(-19,32.10-^ = 0,998.
Средняя наработка до первого отказа усилителя
равна
т
1
^р у^— Xv
1
19,32 10-
1
£=1
= 5000 час.
77
ТАБЛИЦА 2.5
Таблица расчета интенсивности отказов X к примеру 2.14
Наименование и тиг^
элемента
Резистор
Резистор
Резистор
Резистор
Конденсатор
Конденсатор
Конденсатор
Лампы
Обозначения по
'й^схеме
j ^1» ^2
^3» ^4
^5» ^6
R^y Rs
С It Сг
Сзэ С4
Q. Се
Ли Л^
Количество
элементов
^1
2
2
2
2
1 ^
2
2
2
Режим работы
Is
0,5
1 0,5
0,8
1,0
0,2
0,4
0,2
1,0
«о"
о.
а
С-
0)
с
40
80
60
: 50
50
60
80
Интенсив- 1
ность
отказов \^ ^ 1
10-5 \1час
0,09
0,12
0,10
i 0,10
0,03
0,13
0,09
9
!0-5 \j4aC
0,18
i 0,24
0,20
0,20
0,06
0,26
0.18
18
ш
&:
X
со
г
S
S
а
С
k
S^i=i6
i-\
к
ЦЛ^!^!
i=\
19.32.10-* \1час
Пример 2.15. Электронное устройство непрерывно
работает в течение 500 час. Число входящих в него
элементов и 1ИХ режимы работы приведены в табл. 2,6.
Необходимо вычислить вероятность безотказной работы
p{t).
Решение. Для определения надежности вычислим
интенсивность отказов элементов для заданных
температурных условий и в определенных электрических
режимах, используя графики, приведенные в
приложении 4.
Интенсивность отказов элементов с учетом
электрической нагрузки и температуры окружающей среды
определяется -выражением
Заполним табл. П. 5. 3 расчета интенсивности
отказов устройства. Значения Xoi взяты из таблицы
приложения 2, коэффициенты нагрузки электроэлементов — из
ведомости режимов работы, обычно прилагаемой к
техническому заданию на расчет надежности. Поправочные
78
<
X
<
CQ
s
s
Ф
H
X
s
CO
H
Ф
er
CO
lO
cd
H
I 4 .
о Й ^ P о v>
1 ?i 2 ^ £ г
^b^'t
1 «Q
1 ^: о
I « -, PC V* ^
s § 1 ^^^
Й о ^
»x
1 о <T> a:
1 CD о Si •**
о 2л
С a
1 2
1 fc
1 О
1 ю
1 m
1 ^
S p.
<u >^
Hp
№ ? «
о Si >*
^^§e-
1 •o — -
1 ^ ro S tS «0
\ l^s-^
1 2«
1 fQ /=i
1 о t*
1 OJ X -ca
P^
1 *^ a>
о t5
;<<?
1 о S Ё X
g-g"
CO
^
Ф
с
g
s
<u
в
B3
E 1
I.O
OO
CO
о
о
lO
CO
CO
о
о
f^
Г"-
о
о
^
^
ю
CD
о"
ю
о
о
'-
0"
«
s
X
^
о,
о
н
сз
о
о:
о
^
00
'^
см
о
о
о
о
о
о
00
о
о
Е—
00
о
ю
г-
о
о
'f
'о
•1-
о
о
а:
1
о
о
сз
о
о;
о
:^<
со
'ф
О
о
о
со
-ф
о
о
ю
СГ)
с'
•
h-
<£
to
^
о
о
•^
0?
ь
о
о
о,
CD
>>
О
о
О)
д.
cib
со
С£)
о
О
CD
СО
CD
С5
О
<N
—"
т
CD
О
СО
ю
о
о
'—•
1
о
к
СГ
к
со
о
с
о
о
ь
а
к
со
<D
D.»S
JQ
S
<N
CO
О
CM
CO
о
о
OO
о
к
t^
о"
-ф
о
о
о
L
с<
с
о
сз
Си
о
о
со J3
о
д
1Л
Г--
о
о
ю
(М
с:)
о
о
—
•
о
^
1Л
<м
о
о
со
«
5.
»s
2
1
а:
сз
сь
о
сз
S
сх
о
о
со
сх
н
"ф
CD
'"'
'sT
CD
^^
о
-^
к
с:)
^
'^
о
^
'-'
.^
9S
о
CQ
о
о
сх
о
н
СЗ
S
Си
о
-в*
сз
CU
н
-ф
о
^
о
о
о
1
1
к
1
1
'^
о
о
о
^
о
к
эк
сз 1
с
3»
79
a
о
Ф
H
H
Ф
sr
a
a
Oh
RJ
VO
RJ
H
- t>
Ч- <3
« S»
r< ^
1 -cif
^ 2
CO
2 ^
•■;^ w
1 -«^
1 о
r<
I '. f-
1 s- . к
О og
1 ^
о
1
s
tx
Do
'iqVodo ucl
-Ахвс1эикэ1
л и
з^'^
к 2 -г.
о <и о.
5 Ю "^ S ?■
Й c) 2 So
я о 2 о
S^^K ^
^yV HOiHaw
-Э1Г$ OffXD8riHirO>{
1=:
1 <^ ?
1 к cj
CO
о
VO
О
1 <^
H
ffi
о
s 1
К 1
CS1
^
о^
"*
о
CD
I-0
О
-
ю
1(5
.1
о^
S
со
Н
t=^
S
сх
о
ь
о
к
со
ф
р.
^1
1^
со
со
Oi
о
со
оо
ю
со
оо
о
ю
о
'^
в»
0::
0::
со
1Л
о
О-
о
н
о
ф
р.
vb
CS1
<N
ю
'^
о
'^
о
о
00
О
со'
ю
0?
о
S
«30
о
CQ
(Т)
а
о
н
о
S
(1)
а
оо
^
<N
оо
'^
<N
00
со
о
»о
оо
о
оо
\п
0?
S
со
с
U
о
н
о
(1)
р.
CS1
со
IJO
CD
t^
о
00
со
о
о
ю
со
о
с^
г^
•1-
1
to
а.
о
н
(1)
о
t^
,—,
со
сч
'—'
с^
ю
о
о
ю
ю
о
С<!
I
1
^ О)
О) ж
РЭ Ф
(1) СГ
S о
S Si
J3
^ S
оо
со'
^
со
10
С<!
ю
о
ю
_н
со
со
со
1
•1*
ь^
1
о
S
о
о^
о
н
СЗ
о-
о
о
а
та
Сь
^ (1)
РЭ
_
-ф
—*
'ф
^^
^
"^
со
00
о'
-
1
1
j
ф
о
о
о 1
о-
t^ 1
I
о
80
коэффициенты щ определены по графикам
приложения 4: рис. П. 4.8 для конденсаторов бумажных,
рис. П. 4. 12 — для слюдяных, рис. П. 4. 5 для
резисторов углеродистых, рис. П. 4.4 — для металлоиленочных
и рис. П. 4. 6. — для композиционных.
Рассчитанные !кс приведены в табл. 2.6.
Вероятность безотказной работы блока для i/ =
500 час будет
р (500) = ехр I —^ S Л/Л 1 = ехр {—500-2,22• 10-«) =
2 л/л-^
= 0,9989.
Пример 2.16. Блок питания состоит из элементов,
номенклатура и режим работы которых приведены
в табл. 2.7. Требуется определить среднюю наработку
до первого отказа и вероятность безотказной работы
в течение 240 час.
Решение. Определим эксплуатационные значен'ия
интенсивностей отказов элементов по формуле (2.10),
для чего номинальные значения интенсивностей отказов
Koi элементов возьмем из таблиц 'приложения 3: для
резисторов — из табл. П. 3. 1; для конденсаторов — из
табл. П. 3. 3; для полупроводниковых приборов — из
табл. П. 3. 5; для трансформаторов и дросселей — из
табл. П. 3. 7. Поправочные коэффициенты аг выберем из
табл. П. 3. 2, П. 3. 4, П. 3. 6 и П. 3. 9 соответственно.
Для .определения интенсивности отказов блока
питания заполним таблицу по форме П. 5. 3. Величины
интенсивности отказа блока питания 'приведены в тзбл.2.7.
По данным таблицы и формулам (2.2) находим
Ре (240) = е"'^' = ^-S9J7.2,0.Ю-е ^ p^gg^
§ 2.3. ЗАДАЧИ
В настоящем параграфе приведены задачи на расчет
надежности невосстанавливаемых изделий при основном соединении
элементов. Эти задачи легко решить, используя типовые примеры,
рассмотренные в § 2.2.
2.1. Аппаратура связи состоит из 2000 элементов, средняя
интенсивность отказов которых Лср=0,33-10~^ {[час. Необходимо опре*
делить вероятность безотказной работы аппаратуры в течение
/ = 200 час и среднюю наработку до первого отказа.
Ответ: /^(200) =0,27; Гер с-151,5 час.
6—1086 81
2.2. МевосстаиавлнваеМая b процессе работы маШина coctoHt
из 200 000 элементов, средняя интеисивиость отказов которых
А=0,2 • 10~^ {/час. Требуется определить вероятность безотказной
работы электронной машины в течение /=24 час и среднюю
наработку до первого отказа.
Ответ: /^(24) =0,383; Гер с =25 час.
2.3. Используя данные задачи 2.2, определить Р{24) и Тер с при
условии, что А=0,2- 10"'' l/nac.
Ответ: Р(24) =0,908; Гер с-250 час.
2.4. Система управления состоит из С 000 элементов, средняя
интенсивность отказов которых Аср=0,16-10"^ 1/час. Необходимо
определить вероятность безотказной работы в течение /=50 час и
среднюю наработку до первого отказа.
Ответ: /^(50) =0,953; Гсрс = 1040 час,
2.5. Невосстанавливаемая в процессе работы радиоаппаратура
сантиметрового диапазона состоит из 1 000 элементов. Требующееся
время непрерывной работы /=200 час. Определить вероятность
безотказной работы и среднюю наработку до пе^)вого отказа, если
:^=0,1 • 10--' \1час.
Ответ: /^(200) =0,82; Гер с = 1000 час.
2.6. Невосстанавливаемый портативный радиоприбор состоит из
500 элементов, средняя интенсивность отказов которых Аср =
=0,2 • 10-^ \/час. Найти вероятность безотказной работы в течение
200 часов и среднюю наработку до первого отказа.
Ответ: Р(200) =0,8187; Гер с = 1 000 час.
2.7. Система состоит «из 4 000 элементов, средняя интенсивность
отказов которых Аср=0,25-10-б [/час. Необходимо определить
вероятность безотказной работы в течение 5, 10, 20, 30 и 50 час и
среднюю наработку до первого отказа.
Ответ: Р(5) =0,995; Р(10)=0.99; Я(20)-0,98; Р (30) =0,97;
Р{50) =0,95; Гер с= 1 000 час.
2.8. Невосстанавливаемая в процессе работы аппаратура состоит
нз 2 000 элементов, средняя интенсивность отказов которых Аср=
=0,05» 10~^ 1/час. Время непрерывной работы аппаратуры /=200 чес.
Определить вероятность безотказной работы и среднюю наработку
до первого отказа.
Ответ: Р(200) =0,82; Гер с'= 1 000 час.
2.9. Аппаратура состоит из 3 000 элементов, средняя
интенсивность отказов которых Хер==0,5 • 10"^ 1/чсс. Необходимо найти
вероятность безотказной работы в течение 100 час и среднюю
наработку до первого отказа.
Ответ: /^(100) =0,86; Гсрс = 665 час.
2.10. Используя данные задачи 2.9, определить Р(100) и Гер с,
если Аср=0,5-10~' 1/час.
Ответ: Р(100) =0,985; Герс=6 6б5 час.
2.11—2.40. Изделие состоит из N элементов, средняя
интенсивность отказов которых Ас р. Требуется вычислить вероятность
безотказной работы в течение / и среднюю наработку до первого отказа.
Исходные данные для решения задачи и ответы приведены
в табл. 2.8.
2,41. Система состоит из Л^=20 приборов. Надежность приборов
характеризуется вероятностью безотказной работы в течение
времени /, которая равна: pi(/j=0,98; p2(t)==0y94; рз('/^=0,99; р4,5,б(^) =
=0,997; р7 8,9(/; =0,965; pio(/;=0,95; puf/; =0,997; pizf/; = 0,975;
Р1з(/)-0,985; pi4(/)=0,97; pi5.i6.i7(/)-0,96; pi8.i9(/)-0,995; p2o(/) =
82
ТАБЛИЦА 2.8
Номер
задачи
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
^27ГГ
2.19
2.20
2.21
2.22
2.23
2.24
2-25
2.26
2.27
2,28
2.29
2,30
2.31
2.32
2.33
2.34
2.35
2.36
2.37
2.38
2.39
2.40
К задачам 2.11—2.40
Исходные данные
Л^
5 200
3 600
2 500
2 500
1000
750
500
250
20 500
1000
2000
95 000
150 000
45 000
300 000
50 000
170 000
189 000
547 000
35
175
1750
21000
88 000
600 000
600 000
890
i 15-10«
1,5.10*
15-10*
>^ср' ^/"^"^
0,16-10-5
0,2-10-5
0,35-10-6
0,5-10-5
0,5-10-5
0,5-10-6
0,5-10-5
0,5-10-5
2-10-5
0,5.10-3
5-10-6
0,510-6
0,25-10-6
0,5.10-5
0,2-10-'
0,2-10-6
0,7-10-6
1,410-6
0,410-6
1-10-5
0,510-5
0,1.10-5
0,1-10-6
0,1-10-'
0,610-8
0,5-10-'
0,7-10-5
ыо-«
МО-*
1.10-7
t, час
200
50
100
100
100
100
100
100
2
0,5
10
2
4
2
8
5
3
2
2
1000
480
40
100
50
20
10
25
24
2
20
Ответ
Р it)
0,19 ..
SL^ms-
0,916
0,2865
0,6065
0,6873
0,7788
0,8825
0,44
0,7788
0,905
0,91
0,86
0,6376
0,953
0,95
0,7
0,59
0,С5
0,7
0,9588
0,93
0,81
0,957
0,93
0,74
0,86
0,6977
0,97
0,74
Т-ер. '^ас
120
139
I 143
80
200
266
400
800
2,44
2
100
21
26,7
4,4
166,7
100
8,4
3,8 •
4,57
2 860
1 143
571,4
475
1 136
278
33,3
1 160
1 66,7
66,7
66,7
—0,945. Необходимо определить вероятность безотказной работы
системы.
Ответ: Pc(t) =^0,595.
2.42. Аппаратура состоит из /V=ll блоков. Надежность блоков
характеризуется вероятностью безотказной работы в течение
времени t, которая равна: р1,2.зС0=Д997; pi,b6(t)=^0,96b\ Р7,в,9(0 = ^у^\
Pio,iif0=0»995. Требуется найти вероятность безотказной работы
аппаратуры.
Ответ: Pc(t)^0j8.
2.43. Прибор состоит из Л/=5 узлов. Надежность узлов
характеризуется вероятностью безотказной работы в течение времени t.
которая равна: pi(O=0,98; р2(/)=0,99; рзО)-=0.998\ р4(0=0,975;
pgfij=0,985. Необходимо определить вероятность безотказной
работы прибора.
Ответ: Рпр(/;=0,93.
6*
83
к задачам
Номер
задачи
2.46
2.47
2.48
2.49
2.50
2.51
2.52
2.53
2.54
2.55
2.56
2.57
2.58
2.59
2.60
2.61
2.62
2.63
2.64
2.65
2.66
2.67
2.68
2.69
2.70
Исходные
Л^
3
5
6
10
10
9
9
9
9
9
8
8
8
7
7
6
7
5
6
7
8
5
6
^^
8
PiU)
0.97
0,9996
0,998
0,9999
0,9998
0,996
0.95
0.9999
0.9994
0,998
0,992
0,986
0,98
0,97
0,995
0,945
0,922 -
0,922
0,95
0,98
0,984
0,992
0,922
0,95
0,9998
P2{t)
0,98
0,9998
0,98
0,9998
0,9998
0,996
0,95
0,9999
0,9994
0,998
0,992
0,986
0,98
0,97
0,995
0,945
- 0,-922
0,93
0,96
0,98
0,984
0,994
0,93
0,955
0,9998
РзИ)
0,99
0,9996
0.975
0,9996
0,9998
0,996
0,95
0,9999
0,9994
0,998
0,992
0,986
0,975
0,97
0,955
0,95
0,93
0,94
0,97
0,982
0,986
0,996
0,94
0,96
0,9996
p^iO
0,999
0,96
0,9994
0,996
0,994
0,955
0,9998
0,9992
0,996
0,99
0,984
0,975
0,965
0,955
0,955
0,93
0,945
0,97
0,982
0,986
0,998
0,945
0,965
0,9996
А (0
0,998
0,95
0,9992
0,996
0,994
0,955
9.9998
0,9992
0,996
0,99
0,984
0,97
0,965
0,^5
1 0,96
0,9V
0,95
0,975
, 0,984
0,988
0,999
0,948
0,97
0,9994
2.44. Изделие включает четыре устройства, надежность которых
характеризуется вероятностью безотказной работы в течение
времени t, равной: pif/)=0,94; р2(0=0,95; рзС0=0,97; p(,(t) =0,94Ь.
Пользуясь формулами (2.1) и (2,5), необходимо вычислить вероятность
безотказной работы изделия.
Ответ: P^2A)(t)=0fi2\ P(2.5)fO=0,805. *
2.45. Комплекс состоит из N=3 систем. НадежнСч.!о'отдельных
систем характеризуется вероятностью безотказной работы в течение
времени /, которая равна pif/)=0,78; pz(t)=0,93; рзС0~0,82.
Определить вероятность безотказной работы комплекса.
Ответ: /'«fО=0,595,
2.46—2.70. Изделие состоит из Л^ частей. Надежность каждой
части изделия характеризуется вероятностью pi(t) безотказной
работы R течение времени /. Необходимо найти вероятность безотказной
работы изделия.
Исходные данные для решения задачи и ответы приведены
в табл. 2.9.
84
ТАБЛИЦА 2.9
2.46 — 2.70
данные
Рб(0
—
0.94
0,999
0,996
0,994
0,955
0.9998
0,9992
0.996
0,99
0,982
0,97
0,96
0,95
0,96
0,94
—
0,98
0,984
0.988
—
0,949
—
0,9994
Pi(t)
—
—
0,998
0,998
0,992
0,960
0,9996
0,999
0,994
0,988
0,982
0,965
0,96
0,95
—
0,95
—
^ —
! 0,98
' 0,99
■—
' —
—
0,9992
Pb{t)
—
—
0,996
0,998
0,992
0,960
0,9996
0,999
0.994
0,988
0,982
0,965
—
—
—
—
.—
—
—
0,99
—
—
^-
0,9992
pAt)
—
—
0,994
0,998
0,992
0,960
0,9996
0,999
0.994
— *
—
—
—
—
—
—
■—
—
-
—
—
—
—
'
; /7.0 (0
0,992
0,994
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
■
Ответ Р^ (i)
0,94
0,996
0,82
0,977
0,976
0,956
0,661
0.998
0,993
0,974
0,923
0,875
0,797
0,783
0,772
0,747
0,617
0,693
0,822
0,873
0,904
0,978
0,685
0,815
0,996
2.71—2.75. Изделие состоит из N групп приборов. Отказы
приборов первой группы подчинены экспоненциальному закону с
интенсивностью отказов X, отказы приборов второй группы —
нормальному закону с параметрами Ti и с, отказы приборов третьей
группы — закону Вейбулла с параметрами %о и k. Требуется определить
вероятность безотказной работы в течение времени t.
Исходные данные для решения задач и ответы приведены
в табл. 2.10.
2.76—2,80. Изделие состоит из N групп приборов. Отказы
первой группы подчинены экспоненциальному закону с
интенсивностью отказов X, отказы приборов второй группы — закону Релея
с параметром о л отказы приборов третьей группы — закону
Вейбулла с параметрами Хо и k. Необходимо найти вероятность
безотказной работы в течение времени t.
Исходные данные для решения задач и ответы приведены
в табл. 2-11.
2.81. Система состоит из пяти приборов, средняя наработка до
первого отказа которых равна; 7^1 = 83 час; 72 = 220 час; 7э = 280 час;
85
ТАБЛИЦА 2.10
Номер
задачи
2.71
2.72
2.73
2.74
2.75
К
задачам 2.71—2.75
Исходные данные
Л^
групп
3
2
2
2
3
X.
10-<« 11 час
[
—
3,2
0,93
0,6
fi, час
7 200
16 000
—
8 000
4000
а, час
2 000
|4 000
—
3000
4 000
\>'
lO-fi Ijuac
0,1
0.3
0.2
—
0,16
k
1.5
1.5
1,3
—
1.4
t
100
iOOO
500
2 000
2 400
Ответ
P (t)
0,89
0,87
0.45
0.82
0,67
Г4=400 час; Г5=700 час. Для приборов справедлив
экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднюю наработку до
первого отказа системы.
Ответ: Гер с=41,5 час.
ТАБЛИЦА 2.II
К задачам 2.76--2.80
Номер
задачи
2.76
2.77
2.78
2.79
2.80
Исходные данные
групп
3
3
2
2
1 2
X. 10-3 \1цас
0,2
0,1
—
0,09
1 0,06
о. час
1000
, 1200
1000
—
1 800
Хо. 10-< }/час
0,1
0.03
1,6
1.3
1 —
k
1.5
1.5
1,3
1,3
, —
/. час
500
1000
500
120
1 200
Огвет
Pit)
0,7
0,54
0,53
0,93
0,96
2.82. Система состоит из двух блоков, средняя нпрабитка до
первого отказа которых равна Ti=200 час; То=40 час. Для блоков
справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо
определить среднюю наработку системы до первого отказа.
Ответ: Гер с = 33,3 час,
2.83—2.90. Система состоит из N блоков, средняя наработка до
первого отказа которых равна Tj. Для блоков справедлив
экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднюю наработку
до первого 0TKa3J системы.
Исходные данные для решения задачи и ответы приведены
в табл. 2.12.
2.91. Система состоит из трех устройств. Вероятность
безотказной работы каждого из них в течение времени ^=100 час равна:
pi(100)=0,95; р2(100)=0.96; рз(100)=0,97. Справедлив
экспоненциальный закон надежности. Необходимо вычислить среднюю
наработку до первого отказа системы.
Ответ: Гер с ==^^30 чао.
86
Т А Б ЛтдА 2.1
К задачам 2.83—2.90
Номер
задачи
2.83
2.84
2.85
2.86
2.87
2.88
2.89
2.90
Исходные данные
Л^
5
7
3
6
4
7
5
7
Л
2000
160
150
10 000
1600
600
20
75 000
Га
1850
320
750
18 000
1 800
800
30
80 000
Уз
1600
600
500
12 000
2 000
too
40
40 000
Г4
1 750
220
—
14 000
2 200
500
50
50 000
и
1 650
J 280
—
16 000
—
770
60
60 000
Гв
400
-—
15 000
—
870
—
87 000
Г,
700
—
—
—
625
—
1оо;ооо
-: Ответ
^срс-^^'^
352
50
100
2280
468
87,2
6,9
9175
2.92. Прибор состоит из пяти блоков. Вероятность безотказной
работы каждого блока в течение времени /=50 час равна: pi (50) =
=0,98; р2(50)=0,99; рз(50) =0,998; р4(50) =0,975; р5(50) =0,985.
Справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти
среднюю наработку до первого отказа прибора.
Ответ: Тер с =675 час.
2.93. Используя данные задачи 2.92, определить среднюю
наработку до первого отказа прибора, если время непрерывной работы
/ = 200 чаСу вместо 50 час, принятых в предыдущей задаче.
Ответ: Гер с=2 700 час,
2.94—2.100. Система состоит из N блоков. Вероятность
безотказной работы каждого блока в течение времени / равна pi(t).
Справедлив эксгюненциальный закон надежности. Необходимо найти
среднюю наработку до первого отказа системы.
Исходные данные для решения задачи и ответы приведены
в табл. 2.13.
ТАБЛИЦА 2.13
К задачам 2.94—2.100
Номер
задачи
2.94
2.95
2.96
2.97
2.98
2.99
2.100
Исходные данные
N
3
8
5
4
6
5
8
/, час
1000
100
240
10
50
120
500
Рг (0
0.97
0,90
0,9
0.94
0,7
0,99
0.9
Р.(/)
0,98
0.91
0.8
0.95
0.75
0,9
0,8
Рз(0
0.96
0.92
0,85
0,97
0.8
0,85
0,7
Ра (0
0.93
0,7
0.98
0.76
0.95
0.75
л(0
0.94
0.75
0,72
0,8
0.85
л(0
0,95
0,78
0.95
Рт(0
0.96
0.72
Рв(0
0.97
0.92
Ответ
т
срс»
час
10 640
185
210
62,5
29.5
218
312
87
2.101—2.110. Система состоит из N элементов. Вероятность
безотказной работы одного элемента в течение времени / равна Pi(t)'
Требуется определить вероятность безотказной работы системы.
Исходные данные для решения задачи и ответы приведены
в табл. 2.14.
ТАБЛИЦА 2.М
К задачам 2.101—2.110
Номер
задачи
2.101
2.102
2.103
2.104
2.105
Исходные
Pit)
0.999
0.9999
0.9998
0.9996
0,9995
данные
N
100
1000
50
100
75
Ответ
0.9
0,9
0,99
0.96
0.96 1
Номер
задачи
2.106
2.107
2.108
2.109
2.110
Исходные данные
Pit)
0,9997
0,99995
0.995
0.996
0.9997
/V
50
1 000
15
20
250
Ответ
P,it)
0,985
0.95
0,925
0,92
0.925
2.111—2.120. Вероятность безотказной работы системы в течение
времени t равна РсХО- Система состоит из N равнонадежных
элементов. Необходимо найти вероятность безотказной работы элемента.
Исходные данные для решения задачи и ответы приведены
в табл. 2.15.
ТАБЛИЦА 2.15
Номер
задачи
2.111
2Л12
2.113
2.114
2.115
К
Исходные
данные
Pit)
0,96
0,97
0,95
0,98
0,99
N
100
200
300
1000
120
задачам
Ответ
0,9996
0,99985
0,99983
0.99998
0,99992
2.111—2.120
Номер
задачи
2.116
2.117
2.118
2.119
2.120
Исходные
данные
Pit)
0,95
0,97
0,98
0,98
0,96
N
50
100
500
100
50
Ответ
^с<')
0,999
0,9997
0,99996
0,9998
0,9992
2.121—2.150. В изделии могут быть г Пользованы только те
элементы, средняя интенсивность отказов которых равна Яср. Изделие
имеет число элементов N. Требуется определить среднюю наработку
до первого отказа и веро$1Тность безотказной работы в конце первого
часа.
Исходные данные для решения задачи и ответы приведены
в табл. 2,16.
2.151. Необходимо выполнить ориентировочный расчет
надежности усилительного каскада, содержащего 2 маломощных
германиевых транзистора, 2 керамических конденсатора и 6 резисторов типа
МЛТ мощностью 0,5 вт. Требуется вычислить вероятность
безотказной работы каскада в течение /=1000 час и среднюю наработку до
первого отказа.
Ответ: Яс(1 000) =0,988; Гсрс=-85 000 час.
88
ТАБЛИЦА 2.16
Номер задачи
2.121
2.122
2.123
2.124
2.125
2.126
2.127
2.128
2.129
2.130
2.131
2.132
2.133
2.134
2.135
2.136
2.137
2.138
2.139
2.140
2.141
2.142
2.143
2.144
2 Л 45
2.146
2.147
2.148
2.149
2.150
К задачам 2.121—2.150
Исходные данные
\^. \1час
1-10-5
ыо-^
ыо-3
МО-*
1-10-5
Ы0-*
3,5-10-5
2-10-6
2-10-5
2.10-6
4-10-*
2-10-6
2-10-'
1-10-5
4-10-6
2,5-10-3
2,5-10-5
2.5-10-5
2,5-10-5
2,5-10-^
0,5-10-'
0,5-10-5
0,5-10-5
0,5-10-5
1 0,5-10-5
2-10-3
2,5-10-3.
1 5-10-5
2-10-5
2-10-3
л^
500
2 500
100
100
100
1 000
200
700
10 000
50 000
500
2 500
8 000
50
60
20
100
400
1 000
40
1 000
3 000
юосо
800
, 1 G00
30
: 10
1 800
250
80
Огоет
^с(')
0,995
0.975
0,905
0,99
0,999
0,905
0,993
0,9986
0,8187
0,905
0,8187
0,995
0,9984
0,9995
0,99976
0,95
0,9975
0,999
0,975
0,999
0,995
0,985
0,95
0,996
, 0,995
0,94
0,975
0,96
0,995
0,852
Г,р. ^шс
200
40
10
100
1 000
10
143
714
5
10
5
200
625
2 000
4 166
20
400
100
40
1 000
200
66,7
20
250
200
16,7
40
25
200
6,25
2.152. Необходихмо выполнить ориентировочный расчет
надежности изделия, содержащего 100 маломощных низкочастотных
германиевых транзисторов, 10 плоскостных кремниевых выпрямителей,
260 керамических конденсаторов, 1 350 резисторов типа МЛТ
мощностью 0,5 67, 1 силовой трансформатор, 2 накальпых
трансформатора, 6 дросселей и 3 катушки индуктивности. Необходимо найти
вероятность безотказной работы изделия в течение 360 час и
среднюю наработку до первого отказа.
Ответ: Яс(360) =0,6; Гер с = 715 час.
2.153. Требуется выполнить ориентировочный расчет надежности
телевизора, который согласно принципиальной электрической схеме
содержит следующие элементы: электровакуумные приборы [Xi —
= (0,08--0,11) • 10-3 \1час\- 20 шт.; приемная трубка {'кч^--
= 0,23-10-^ \1час) — 1 шт.; резисторы угольные (?.з== 0,35-10-5 ijnac) —
89
к задачам
Номер задачи
2.154
(2.186)
(2.206)
2.155
(2.187)
(2.207)
2.156
(2.188)
(2.208)
2.157
(2,189)
(2.209)
2.158
(2 Л 90)
(2.210)
2.159
(2.191)
(2.211)
Номенклатура и коли
[^Резисторы R
тип
МЛТ-0,25
МЛТ-0,5
ПКВ-2 1
МЛТ-0.25
ПКВ-2
ВС-0»25
ВС-0,5
ВС-1
ВС-0,25
МЛТ.1
МЛТ-2
МЛТ-0,5
МЛТ-1
МЛТ-0.25
МЛТ-0,5
МЛТ-1
IIJT.
13
10
2
25
5
20
6
3 j
16
10
3
24
8
22
12
6
Конденсаторы С
тап
Керамические
Танталовые
Керамические
Танталовые
Бумажные i
Керамические
Танталовые
Слюдяные
Танталовые
i
Керамические
Танталовые
шт.
18
3 1
•
27
6
8
6
6
1 ,^
1 ^^
8
14
Диоды D
тип
Точечные
германиевые
выпрямительные
Точечные
кремниевые |
Плоскост- 1
ные
выпрямительные
Точечные
импульсные
Плоскостные
выпрямительные
Плоскостные
выпрямительные
шт. 1
5
10
16
16
5
1 ^
90
2.154—2.173
ТАБЛИЦА 2Л7
1 чество элементов
Транз1к:торы Т
1 1
1 тип
Маломощные
низкочастотные
германиевые
Мощные
высокочастотные
германиевые
Мощные
низкочастотные
Маломощные
низкочастотные
германиевые
Маломощные
низкочастотные
кремниевые
Маломощные
низкочастотные
германиевые
LIT. 1
6
10
7
7
9
9
кол.|
2
4
3
1
1
^ 1
a> 1
1
ШТ.
3
3
4
3
1
L
11ГГ. 1
2
5
2
4
2
Электрические машины
тип
'
Двигатели
постоянного тока,
/г = 3 000
об/мин
1
шт.
Г
1
1
r3
со а.
f, »/ос
250 1
500
1000
320
260
300
Ответ
Я(/)
0,98
0.932
0,84
0,96
0,97
0,96
^ср."^"^
13 400
7 900
5 700
7700
8 300
8 700
91
Номер задачи
2.160
(2.192)
(2.212)
2.161
(2.193)
(2.213)
2.162
(2.194)
(2.214)
2.163
(2.195)
(2.215)
2.164
(2.196)
(2.216)
2.165
(2.197)
(2.217)
Номенклатура и коли
Резисторь
тип
ВС-0,25
ВС-0,5
ВС-1
МЛТ-0,5
МЛТ-1
МЛТ-2
МЛТ-0,25
МЛТ-1
МЛТ-0,5
МЛТ-1
МЛТ-2
ВС-0,25
МЛТ-0.25
МЛТ-0,5
МЛТ-1
МЛТ-0,25
МЛТ-0,5
МЛТ-1
СПО-2
ПЭВ-10
ПЭВ-25
р
LIT.
20
14
6
32
19
4
40
2
1200
300
140
500
21
5
3
8
^
2
1
3
2
Конденсаторы С
тип
Слюдяные
Танталовые
Керамические
Танталовые
Слюдяные
Керамические
Танталовые
Керамические
Бумажные
Слюдяные
Танталовые
Слюдяные
Бумажные
1 шт.
10
12
8
15
30
49
6
I 140
256
244
160
8
17
Диоды D
тип
Точечные
германиевые
выпрямительные
Точечные
германиевые
выпрямительные
Выпрямительные
плоскостные
Выпрямительные
плоскостные
Точечные
кремниевые
выпрямительные 1
Плоскостные
выпрямительные
шт.
1 ^
9 1
2 1
40 1
16 1
И 1
92
чество элементов
Транзисторы 7
тпп
Мощные
низкочастотные
Маломощные
низкочастотные
1 германиевые
Маломощные
низкочастотные
германиевые
Мощные
низкочастотные
Маломощные
низкочастотные
кремниевые
—
Маломощные
низкочастотные
1 кремниевые
Мощные
низкочастотные
тт.
5
4
11
4
10
7
8
кол.
1
2
2
12
5
3
1 ^
С-»
О
О-
• UJT.
1
2
—
40
2
2
Продолжение
L
IIJT.
2
4
40
—
Э.пектрпческпе машины
тип
Двигатели
постоянного тока,
/2 = 4 000
оо/мпн
.
Двигатели
постоянного тока,
/2—3000 об/мин
Сельсины
бесконтактные
U1T.
1
—
—
8
12
CQ о.
t, час
650
260
5 000
200
2 000
2 400 j
та бл
. 2.17
Ответ
Pit)
0.92
0,96
0,35
0.4
0.82 1
0,67 1
^ср.'^^^
8 100
6 500
4 700
218
10 000
6 200
93
Номер задачи
2.166
(2.198)
(2.218)
2.167
(2.199)
(2.219)
2.168
(2.200)
(2.220)
2.169
(2.201)
(2.221)
2.170
(2.202)
(2.222)
2.171
(2.203)
(2.223)
Нсй^нклатура и коли
Резисторы R
тип
МЛТ.0.25
МЛТ>0.5
МЛТ-1
МЛТ-2
МЛТ-0,25
МЛТ-0.5
МЛТ^1
МЛТ-0.25
МЛТ-0,5
МЛТ-1
МЛТ-0,25
МЛТ-0,5
ПКВ-2
МЛТ-0.25
МЛТ-0.5
МЛТ-1
МЛТ-0,25
МЛТ~0.5
МЛТ-1
МЛТ-^2
шт.
27 625
12 300
638
37
42
17
7
210
50
30
136
96
12
217.
123
64 1
2 760 1
1216
64
14
Конденсаторы С
тип шт.
Керамические
Бумажные
Слюдяные
Керамические
Танталовые
Керамические
Танталовые
Керамические
62 000
16
76
176
32
83
136
'1.
">
6 136
Диоды D
тип 1 шт.
Выпрямительные
точечные
германиевые
Точечные
кремниевые
выпрямительные
Точечные
кремниевые
выпрямительные
Точечные
германиевые
выпрямительные
Выпрямительные
плоскостные
Точечные
германиевые
выпрямительные
11 262
5 1
158
47
44
1 126
94
П родолжение
чество элементов
Транзисторы Т
тип
Маломощные
низкочас-
1 тотные
1
германиевые
Маломощные
низкочастотные
кремниевые
Маломощные
низкочастотные
германиевые
Маломощные
низкочастотные
германиевые
Маломощные
низкочастотные
германиевые
Маломощные
низкочастотные
германиевые
шт.
1637
21
73
63
93
164
St
кол.
16
7
il6
7
11
3
о
1
шт.
896
20
37
17
93
L
шт.
324
16
' 21
24
32
Электрические машины
тип
—
вращающиеся
трансформаторы
Асинхронные
короткозамкну-
тые двигатели
Двигатель
постоянного тока,
/2=3 000 об/мин
шт.
—
96
10
4
её
CQ О.
t, час
6
I 000
24
25
24
60
т а б л
. 2.1?
Ответ
P{t)
0.49
0,84
0,966
0.98
0,97
0.32
^ср.«^^
8.4
5 700
670
1370
820
53
%
Номер задачи
2.172
(2.204)
(2.224)
2.173
(2.205)
(2.225)
Номенклатура и коли
Резисторы R
тип
МЛТ-0,5
СПО-2
ПЭВ-10
МЛТ-0,5
МЛТ-1
UlT.
146
3
5
240
86
Конденсаторы С
тип
Бумажные
Слюдяные
Танталовые
ILIT.
176
53
13
Диоды
тип
Выпрямительные
кремниевые
повышенной
мощности
Плоскостные
выпрямительные
D
шт.
116
57
Примечание. Ответы Р (t) и Т даны для задач 2.154—2.173.
80 шт.; резисторы проволочные (Х4=1,25* 10~^ \/час)—4 шт.;
конденсаторы керамические (^5=0,23-10"^ \/час)—27 шт.;
конденсаторы бумажные {Хб = 0Л6*10-^ {/час)—25 шт.; конденсаторы
переменной емкости (Х7=1,86-10-^ {/час)—4 шт.; конденсаторы
электролитические (Л8 = 8,0-Ю^^ {/час)—8 шт.; конденсаторы
других типов [X9=(0,12-i-0,2) • 10-5 \/цас]—12 шт.; катушки
индуктивности lXio=(0,l-^0,15) • 10-5 {/час] — Ъ1 шт.; трансформаторы [Xti =
= (0,4-0,6)-10-М/час]—6 шт.; дроссели (Xi2= (0,1-0,15)-Ю-Ч^сс]—
6 шт.; плавкие вставки (Я,1з=1'10-5 {/час)—3 шт. Требуется
рассчитать зависимость P(t) и среднюю наработку до первого отказа
телевизора для минимального и максимального значений интснсив-
постей отказов, а также построить график P(t).
Ответ: Р (t) = е-^<2'*^^'^^>'^^ ^ ^cd с ^ ^-^ -^ '^^^ ^^<^<^
фик приведен на рис. 2.3.
срс
гра-
Р
0,6
ОЛ
Рмин
Рмакс
"~Т|11
0J
ол
0J 0,и
t, Ю^час
Рис. 2.3. Зависимость
вероятности безотказной работы от
времени телевизионного прием ни-
ка (задача 2.153),
^(3
продолжение табл. 2.17
чество элементов
Транзисторы Т
1 тип
Мощные
низкочастотные
Мошные
низкочастотные
IIJT.
86
69
о
н
5&
КОЛ.
32
4
<1)
с
шт.
27
L
шт.
47
Элег<тричесг<ие ма(лины
тип
'
шт.
CD Q-
/, час
240
26
Ответ
P(t)
QJ2
0,976
Т'ср.''^'^
740
1 100
2.154—2.173. Необходимо выполнить ориентировочный расчет
надежности системы, состоящей из N элементов различного типа.
Требуется вычислить вероятность безотказной работы системы в
течение времени t и среднюю наработку до первого отказа Гер с.
Расчет следует выполнять по данным о надежности элементов,
приведенным в приложении 3.
Исходные данные для решения задачи и ответы приведены
в табл. 2.17. X
2.174—2.185. Необходимо выполнить ориентировочный расчет
надежности системы, состоящей из N элементов различного типа.
Требуется вычислить вероятность безотказной работы в течение
времени непрерывной работы изделия t и среднюю наработку до
первого отказа, а также построить график P(t) для максимальных
и минимальных значений интенсивпостей отказов элементов до
значения P(t):^0,5. Расчет выполнить по данным о надежности
элементов, приведенным в приложении 2.
Исходные данные для решения задачи приведены в табл. 2.18.
2.186—2.205. Произвести окончательный расчет надежности
изделия, используя данные задач 2.154—2.173. Режимы работы
элементов указаны в табл. 2.19. Расчет выполнить по данным о надежности
элементов, приведенным в приложении 3. Номера задач указаны
в табл. 2.17 в скобках.
2.206—2.225. Произвести окончательный расчет надежности
изделия, используя данные задач 2.154—2.173. Режимы работы элементов
указаны в табл. 2.19. Расчет выполнить, используя данные о
значениях номинальных интенсивностей отказов, приведенных в
приложении 3 (табл. П.3.1, П.3.3, П.3.5, П.3.7, П,3.8), и графики для
поправочных коэффициентов, приведен^шхе в приложении 4. При расчете
7—1066 ^ 97
<
s
<
lO
00
J
CM
d
d
d
M
98
-OQBd jjoHHWdaduoH Bwa^g
Ю
и
Я)
g
1 о
ё
>,
*-^
1 «^
1 S
г
iqdoxKWcIo фэн utl j^
iqw^acBj
HiroxueoEKclgoadu
mcIiowohIj нз лоц
(iiuAdJ Х1ЧН1МВХНОН oir
-эиь) HiraiBhoiirMadau
HMinAiB)j
iiiraDDCxl'n'
ndoiedaH^j
Hir^iKJHeVodiMaifg
I4UO«D0dHJ
ИЕгахвьсмгмиа
HddciBci
^irad
iquiVBii* ai4HHodx3iaire
ndo-LOiieHKdx
nUcm^
Hd01U3H9VH0>|
iqdoionead
о
о
CN
^
--
CD
cm"
1
CD
CM
OO
о
CM
-
00
о
CD
05
о
CM
GO
о
CM
-
00
c^
Tf
00
о
о
CM
1
CD
CM
•^
1
CD
00
•^
о
OO
CD
CO
CM
OO
CM
CD
CD
CD
^f
1
1
CD
CM
СЧ
1
C>4
О с
CD •^-
CD
CM о
о
ю
CM
1 «^
1 1
1 1
1 §
CM
Ю CD
CM
CO CD
00
о
о
CD
о
^
1
1
1
ю
1
1
о
о
о
rf
1
1
1
1
1
"*
о
о
о
о
см
1
1
1
см
1
о
о 1
ю 1
1
1
1
1
^
1
CD
1 1 I "^ 1 1 I 1 1 1 1 1 1
1
CO
<N
ГТ
00
1 1
CM
CN
CO
00
1 ^
<N
CD
1
CM
1
cn
05
1
л
CO
о
CD
CM
Ю
CM
a>
1
CM
1
cn
1
OO
CM
CO
CO
00
CM
о
CM
Ю
CM
CD
CM
1
i
СЧ
CM
CD
1
1
CM
CO
CO
CD
00
CM
'«J^
CO
1
CM
CM
1
CD
OO
CM
CO
CD
00
CO
OO
CD
00
c^
1
1
1
1
CO
о
OO
CO
CD
00
CO
CO
CD
cn
CM
I 1Л
CM
2 1
О о
- 8
О
со о
со о
о
со
о о
со о
о
о
со
о ^
со 00
см см
1
1
1
1
1
со
1
1^
см
ю
CD
см
00
см
1
1
1
1
1
1
г^
CD
00
СП
см
со
00
см
1
i
1
—
1
1
о
см
00
^
00
см
1
'|
1
1-й 1
1
1
CD
со 1
** 1
со 1
ю
ю
00
см
ТАБЛИЦА 2.19
Режимы работы электроэлементов
Элементы
Режим работы
Коэффициент
нагрузки, К
Температура, 'С
Резисторы
Конденсаторы
Диоды
Транзисторы
МЛТ-0.25
МЛТ-0.5
МЛТ-1
МЛТ-2
ВС-0,25
ВС-0,5
ВС-1
ПКВ-2
СПО-2
ПЭВ-10
ПЭВ-25
Бумажные
Керамические
Слюдяные
Танталовые
Точечные германиевые
Точечные кремниевые
Плоскостные
Германиевые ^^
Кремниевые
Трансформаторы
Дроссели
Катушки индуктивности
Электрические машины
0.9
0.8
0,7
0,5
0,9
0,8
0,7
1 0.5
0.1
1 0.8
0.6
' 0.6
0,6
0.7
0.5
0.7
0.6
0.7
0.7
0.6
0,8
0.7 1
0,8
0,9
70
80
90
J 00
70
90
100
1 80
60
90
90
80
80
70
60
50
55
60
60
50
60
50
45
60
поправочные коэффициенты для трансформаторов, дросселей,
катушек индуктивности и электрических манпп! принять равным единице.
Номера задач указаны в табл. 2.17 в скобках.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ
xiqHHvaodHad3£3d хии[ЭУЯИ1ГЯ¥Н¥1Ээоазн
ИЗДЕЛИЙ
§ 3.1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Резе)р1вирО|ва'нны;м соединением ■изделий называется
такое соединен'ие, inpn котором отказ inacTyinaeT только
'после отказа основного изделия и ш'сех резарвлых
изделий.
На практике ттрименяются способы .резервирования,
приведенные «а рис, ЗЛ. Схемиые обозначения
различных способов резер1Виро(ва.ния Брт^ведены на р'ис. 3.2.
Общим резер|ВИр.01ва'Н1ие.м называется метод ^повышения
надежности, три котором резер'Бируется 'изделие в целом
(ри'с. 3.2,(2). Раздельным резервированием называется
Резервирование
Общее
С целой
кратностью
rzi
Посгпоянное
Резерв
нагр{/»<еи -
ныа
Резерв
облегченный.
Раздельное
С dpofffou
нратностью
Замещением
X
jr
Резерв
иеиагри)*<ен-^
ныа
Рис. 3.1. Способы резервирования.
100
в)
-I
e)
Рис. 3.2. Схемные обозначения различных способов резервирования:
а — общее постоянное с целой кратностью; б — раздельное постоянное с целой
кратностью; в — общее замещением с целой кратностью; г — раздельное за-
мещонием с целой кратностью; д — общее постоянное с дробной кратностью:
е — раздельное замещением с дроб1юй кратностью.
метод ^павышения надежности, при которо.м резер-виру-
ются отдельные «части изделия (рис. 3.2,6).
OciHOBHbiiM .параметром 1резер1вир.авания является его
кратность. -Под (кратностью резервир-ования т
понимается огнош-ение числа резервных 'изделий 'К числу
.резервируемых (|0С1нав1ных).
Различают резервирование с целой in дробной
кратностью. Схемные обоэначеиия обоих ©вдов
резервирования .при 1ПО1СТОЯНН0М 1В1Ключе1нии резерва одинаковы. Для
их разли'Ч'ия на схеме указывается ."кратность
резервирования т.
При резервироваиии с целой кратностью 1величи*на
т есть |целое 'число, при резервировании с дробной
кратностью величина т есть дробное несокращаемое
число. Напр'имер, т = 4/2 означает /наличие
резервирования с дробной кратностью, три котором «число резерв-
101
ных элементов равно четырем, 'число основных — двум,
а общее число элементов ра(вно шести. Сокращать дробь
нельзя, так 'как если т=4/2 = 2, то 'это означает, что
имеет 'М'бсто резервирование с целой кртностью,
три-котором число резервных элементов равйо двум, а общее
число элементов равно трем.
По способу [Включения резер|вир1аван'ие 1разделяется
на постоянное и /резереироваиие замещением.
Постоянное резерв'ироваиие—резервирование, при .котором
резервные изделия подключены -к основным в течение все- ^
го времени работы и находятся ib одинаковом с ними
режиме. Резер1ВИро;ваиие замещением —резервирование,
при котором резервные изделия замещают основные
после их отказа.
При -включении резерва по способу замещения
резервные элементы до момента включения (в работу
могут находиться в трех состояниях:
— нагруженном резерве;
— облегченном резер1ве;
— неналруженном резерве.
Приведем основные расчетные формулы для
указанных выше »видов (резервирования,
1. Общее резервирование с постоянно включенным
резервом и с целой кратностью (рис. 3.2,fl):
где pi{t) —вероятность безотказной работы i-ro
элемента в течение времени /; п —число элементов основной
или любой резервной цепи; т — число резервных цепей
(.кратность резер1В'иро1вания).
При экспоненциальном законе надежности, [когда
л (3.2)
J т т 4
i^O 1=0
п
где ^о=Л h — интенсивность отказов нерезервированной
системы или любой из т резервных систем; Гер о — сред-
102
нее еремя (безотказной ^работы иерезервированной
системы или любой из т резервных си'стем. При
резервировании неравнонадежных изделий
^с(о=1-:п 9/(0=1-ni^-'P^^')!' (3.3)
i=0 1=0
где 9i(0» Pi (О—вероятность отказов и вероятность
безогказиой работы е течение времени t i^ro 'изделия
соответственно.
2. Раздельное резервирование с постоянно
включенным резервом и с целой кратностью (.рис. 3.2,6):
^о(о=:П (1 -1^ - А (оГ'^-^Г (3.4)
—- £=1
где pi(t)—вероятность безотказной работы t-ro
элемента; гПг—'кратность резервирования 1-го элемента;
п — число элементов основной системы.
При экспоненциальном законе надежности, когда
/^с(0 = ПО-1^-^''^'Г'''}- (3.5)
/=|
При равнонадежных элементах и одинаковой кратности
их резервирования
- Рс(0=(1 чп -e-"]'»+^}^ (3.6)
00 т
7'ерс = |Яе(0^^=,-^^,5]^
iv<(vi + I)...(Vi + n—1)*
/=о
(3.7)
где vz=(t+l)/(m+l).
3. 06u{ee резервирование замещением с целой
кратностью (рис. 3.2,0):
6
где Pm+\(t). Pm{t)—вероятности безотказной работы
резервированной системы кратности /7z+1 и т
соответственно; P{t—х) —вероятность 'безотказной работы
основной системы в течение времени (t—т);
аш(х)—частота отказов резервированной системы кратности т в
■момент времени т.
103
Реку'рреитаая фOtpмyлa (3.8) .позволяет получить
-расчетные соотношения для у'Сгрой'СТ1в любой кратности
резервирования. Для (получеиия таких формул 1необход'имо
ры'пол'нпть 'Интегрирование в оравой части, подста.вив
вместо P{t—т) и Ош{х) их значения ъ (соответст-вни
с выбранным законо,м распределееия и 'состоянием
резерва.
При э.кспаненциальном законе надежности и йена-
груженно'М (СОСТОЯНИИ резерва
т
PeW-e-'-'V-^, (3.9)
Tcpc^'T,p,{m+\l (3.10)
где Xo, 'Л;ро — 'интенсивность отказов и средняя
(наработка до первого отказа основного (нерезервированного)
устройства.
При эьюпоненциальном законе и недогруженном
состоянии резерва
^с (О = е-'^' J 1 + ">^ ^_ (1 _- Г'' ) I, (3.11)
где аг = П ( / +^ ]; ^—4^; ^-1 —интенсивность отка-
зов резервного устройства до замещения.
При 'нагруженном состоянии резерва формулы для
Рс(0 'И Лрс совпадают с (3.2).
4. Раздельное резервировонис замещением с целой
кратностью (рис. 3.2,г):
) Pc{t) = f\Pi(t), (3.13)
где Pi{t) —вероятность безотказной работы системы
из-за отказов элехментов /-го типа, резервированных по
способу замещения. Вычисляется Л-(О ло формулам
общего резервирования замещением (формулы (3.8),
(3.9), (3.11)].
104
->о'
■* ср с
■ т 1
/77.
5. Общее резервирование с дробной кратностью и по^
стоянно включенным резервом (pirc. 3.2,d):
i—h
^'c(0 = S C\pi-^(f)Y, (- \yc[p[{t), (3.14)
/=0 /=0
l—h
T — —
ЬЪ^- ''•''»
где po(/) —вероятность безотказ-вой работы основного
HJTH любого .резервного элемента; / — общее число
основных и резервных систем; h—-ч'нсло систем,
необходимых для нормальной работы резервированной
системы.
В данном случае кратность резервирования
m^-{l—h)lh. (3.16)
6. Скользящее резервирование:
Рс (О - /* (О + rip^' -' (О (о (^) Р с " ^) d-c -Ь
о
+ п'р -' (О ^a{t)l f а(т,)Pit-т') d^, Ь/х + ... +
+ n"V -falx)/! л(х,)| f а(х,)...
//„x(Wo-2) X V N
-•| J «K.-i)/^(^--'"~Vv_i|..4^-.U-, (3.17)
где X =-c+i:,; 'с^ =т+х,+^,...; т:-^-! ^ ^^ ^ ^^ _^ ... ^
+ '^/„o_i; '^ — число элементов основной системы;
Шо—число резервных элементов; p{t — t^) — вероятность
безотказной работы одного элемента в течение времени t — tf,
ti^=^t,t — x,t — тГ^""" ; a (тг) — частота отказов одного из
основных элементов в момент времени т^-,
105
При экспоненциальном законе надежности
/'ao=e--[i+«A.+i^+...+^°J =
_ g-«v V (^ = е-^ V -Mi . (3.18)
Text с = Т^ср о (^0+ 1),
где Хо=пХ — интенсивность отказов нерезервированной
системы; X — интенсивность отказов элемента; п — число
элементов основной системы; Гс^о — среднее время
безотказной работы нерезервированной CHCT€iMbi; /По —
число резервных элементов.
В. этом случае кратность резервирования
т=то/п. (3.19)
Приведенные выше формулы {кроме 1выражений (3.8),
(3.11), (3.12)] могут быть попользованы только в тех
случаях, когда сцраведливо допущение об огсутсгвии
последействия отказов.
Последействие отказов имеет место практически
всегда при постоянном в-ключении резерва, а также
в случае резервирования замещением при
недогруженном «состоянии резерва.
Выражение (3.8) является основным при 'получении
расчетных фор|Мул ъ случае учета влия:ния
последействия отказав. При этом члены p{t—t) и ат{т) должны
быть записаны с учетом .последействия отказав, вида
резерв1^рования и его кратности.
Элементы резервированных устройств в ряде
случаев могут иметь два .вида отказов — «обрыв» и
«короткое замыкание». В этом случае вычислять вероятность
безот,каз1ной работы следует, суммируя ве1роятности всех
благопрнятных (не приводящих к отказу) гипотез, т. е.
Pc{f) = I^ Pi(t). (3.2С)
где Pj(/) —вероятность /-и благоприятной гипотезы,
вычисленной с учетом двух видов отказов; k — число
благоприятных гипотез.
106
при ■выч.и'слеииях pj{t) 'следует (иметь ib 1виду, что
для элементов сложной системы 'справедливы
'выражения
jt;(0 = exp|-|Я(0^Л, 9о + ?з = 1. (3.21)
где Х(0 —'интенсивность отказов элемента; фо, <рз —
вероятность 1Воз1НИ'Кнове1ния «обрыва» и «короткого
замыкания» соответстве'нно.
При экспоненциальном за-коне {надежности
р(0 = е-« 93=^^.%=-^. (3.22)
где Яо, Яз — интенсивность отказов элемента по «обрыву»
и «короткому замыканию» соответст:вен1но.
Остальные количест.венные характеристики
надежности в случае гнеобходимости ©ыч'исляются через Pr{t)
по из1вестньш аналитическим за-висимостяш,
'приведенным В1ГЛ. 1.
Расчет (надежности резерв'ировалных систем 'иногда
полезно выполнять, .используя схему «гибели» («чистого
размножения»). В соответствии с этой схемой
преобразование Лапласа вероятности возникновения // отказов
вычисляется по формуле
р /„ч ^pXiXg ... Х^_1 .о поч
^" ^^f - (s + \o)(s + l,)...{s + K) • ^^- ^^
при неравных корнях знаменателя обратное нреоб-
разование-Лапласа Pn(s) будет
Рп (О-V, ... я.-, 5] -^-(^^ (3-24)
В формулах (3.23) н (3.24) приняты обозначения:
Яо — 'интенсивность от.казо1В системы до выхода из строя
первого элемента; Я,1 — интенсивность отказов системы
в промежутке времени от момента отказа первого
элемента до второго; %2 — интенсивность отказов системы
'В (промежутке еремени от момента отказа второго
элемента до третьего н т. д.; п — число отказавших
'элементов; Sft=—Яй—й-й корень знаменателя ныражен'ия
(3.23); В'(5ft)—'Производная 'знаменателя в точке su.
107
т
-* ср с
при 10динак<)!вых опа^снюстях отказов Хг, т. е. Хо=
= Xi-=•... =Хп, расчетные формулы имеют вид
л/г
р is\ = - -^ Р (А —-iM^ е~^^^. (3.25)
Пр'и расчетах надежности по формулам (3.23) —
(3.25) следует 'ПОМ1нить, что ани не определяют ве^роят-
ности безотказной работы (или вероятности отказа)
резервированной системы, а определяют лишь
вероятность ^г-'го «состояния системы, т. е, вероятность того, что
в 1си]стеме отка^жут п элементов. Для .вычисления
.вероятности безотказной работы .необходимо !находить
вероятности О, 1, ..., м от.казов, .когда 'систена еще находится
в работоспособном оостойнии (исправна), in cyiMiMHpo-
вать полученные 'вероятности.
Среднее (время безотказной работы системы три
использовании схемы «гибели» вычисляется 'по формуле
, = 'jjj^, (3.26)
где Яг — интенсивность отказов системы до выхода из
строя i-ro элемента.
Пр'и схем1Н0Й реализации резервирования ib ряде
случаев конкретные технические решения 1не 'Приводятся к
логическим схемам расчета -надежности (рис. 3.2).
В этих случаях следует для получения
аналитических 'выражений для (кол'ичественных характер'истик
(надежности использовать метод перебора благоприятных
гипотез. Вероятность безотказной работы в этом случае
вычесляется .по выражению (3.20).
При анализе дадежиости резервированных устройств
на эта'пе проектирования [пр-ихоД'итс-я сравнивать
различные схемные решения. В ©том случае за критерий
качества резервирования оринимается шнипрьгш
надежности. Выигрышем надежности называется отношение
кол'ичественной характернсти.ки 'надежности
резервированного устройства к той же кол'ичественной хара-кте-
р1гстике нерезерв'прованного устройства или устройства
с другим видом резервирования.
Наиболее часто используются следующие критерии
качест1ва резервированных устройств: Gq(t) —выигрыш
надежности ib течение времени i но вероятности отказов;
108
Gpf^t)—выигрыш «надежности -в течение времени t по
верюятности безопказной работы; От — .вы'И'Гры.ш
надежности ,пю 1сред!нему 'времени безотказиой работы.
•Пр1и резе!р1вир.аван1ии элементов электроники (р€'31и-
сторов, 'конденсаторов, '.контактов реле, диодов и т. in.)
всегда 1произ1ведение интенсивности отказов элемента )на
время его работы знач'ительно -меньше един'ицы, т. е.
?J<1. Поэтому (при «вычислении Gq(t) и Gp{t)
целесообразно функции в-ида е'"'^^^ (акапоиенциальный случай)
разложить 'В ряд:
^-ш^ 1 — yfeZ/ + ^^^^ (при небольшом k).
Бели си'сте1ма направна пр'и отказе т элементов, то
необходимо брать ие менее чем т + 2 членов
разложения.
§ 3.2, ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ
Пример 3.1. Дана система, схема расчета
надежности 'Которой изображена на рис. 3.3. Необходимо (найти
вероятность безотказной работы системы при известных
Г ^ \^^—r'^'T-ji-^
I Si! \
Рис, 3.3. Схема расчета надежности (к примеру 3.1).
вероятностях безотказной работы ее элементов (зна-че-
ния вероятностей указаны на рисунке).
Решеиие. Из р'ис. 3.3 вид(но, что (система состоит
из д(вух (I и II) неравнонадежных устройств.
Устройство I состоит из четырех узлов:
а —дублирова-нного узла с !постоянно ©ключенныл^
резервом, причем каждая часть узла состоит из трех
последовательно соединенных (в смысле надежности)
элементов расчета;
109
б—дублирюваниюго узла то способу замещения;
в — узла с однвм нерезервированным элементом;
г — резер1ВирЮ1ва1нного узла ic кратностью т=1/2
(схема irpynn'HpoiBaHTiH).
Устройство II рредста»вляет собой нерезерв-ированиое
устрюйство, (надежБость которого из'вестна.
Так -как оба устройства неравнанадежны, то на
основании формулы (3.3) имеем
т
Pc(f)^'i-Yl\^-Mt)]=^-\i-Pimi-Pu(f)]-
Найдем вероятность pi{t). Вероятность безотказной
работы устройства I равна произведению вероятностей
безотказной работы «всех узлов, т. е. Pi^PaP^P^p^.
В узле а |Ч1гсло элементов основной и резервной цепи
/2 = 3, а .кратность резервироваа^ия т = 1. Тогда aia
основании формулы (ЗЛ)
3
Ра=\
1 — I] А (о] = 1 — П — 0,9«1^я^ 0.93.
В узле б (Кратность общего резервирования
замещением т=1, тогда на основашти формулы (3.9) имеем
£=0
^0,9(1+0.1) = 0,99.
В узле г нрименено резервирование с дробной
кратностью, .когда общее число основных и резер1вных систем
/=3, число систем, ."необходимых для нормальной
работы, Л=2. Тогда 1на основании формулы (3.14)
= Ър1.— 2р1 = 3 (0,9)« ~ 2 (0,9)^ = 0,972.
Вероятность безотказной работы устройства I будет
/7j = /;о/^д/;^/7, = 0.93.0,99.0,97.0,972 ^ 0,868.
ПО
Тогда верюятность гбезотказной работы
резервированной системы будет
P^^l_(l_pi)(l_pii) = l_(l—0,868) (1-0,9)-0,987.
Пример 3.2. Вероятность безотказной работы
преобразователя постоянного тока ib [переменный !В течение
/=1000 час равна 0,95, т. е. Р (1000)-0,95. Для
повышения надежности системы электроонабжения 1на
объекте имеется такой же преобразователь, который
включается .в работу 1П'ри отказе первого. Требуется рассчитать
верюятность -безотказной работы и -среднюю заработку
до nepiBoro отказа 'системы, состоящей из двух
преобразователей, а также построить зависимости от времени
частоты отказов adt) и интевсивности отказав Яс(0 'С'^"
стемы.
Решение. Из условия задачи видно, что имеет
место общее рез'ервирование замещением кратности т=\.
Тогда ,на основании формулы (3:9) имеем
т
Из условия задачи е~^^==0,95, тогда ^J ^ 0,05.
Подставляя значения Р(1000) и полученное значение ^о^
в выражение для Pc{t), (получ'им
Р^ {t) = е-^^ (1 + Я^/) я^ 0,95 (1 + 0,05) = 0,9975.
Средняя наработка до первого отказа системы на
основании формулы (3.10) будет
^ ср с ^ -* ср о (^?i + 1) ^2j CI) о-
Так как в течение времени /=1000 час Яо/ = 0,05,
. 0.05 0,05 ri г 1П-4 1 /
то Яо = —-—rrrr--^—-z==0,5-10 ^ [/час, а средняя
наработка до первого отказа нерезервированного преобразова-
теля Гер о = -^ = 0.5. !о-^ = 20 000 час.
Тогда средняя наработка до 'первого отказа
резервированной системы будет
Гс5)с=-2Гср 0 = 40 000 час,
ill
Для Построения графиков ar,(t) и Кс{^) найдем
аналитические выражения этих фун-вдий -по известной
вероятности безотказной работы 'системы:
v>
,—V
ае (О =- Р'с (О = ^ое~^ (1 +ЯеО - К^~^ =
= Я^^е-^^ 0,25^1 о-^/e-'''•^'"^
'^с \Ч — -БТТТГ —
Х^^
Pc(t)
e-V(i .f^XoO (^ +^оО
0,25-10-«/
1 +0.5.10-4/ •
Графики ac{t) и X^^{i) приведены на рис. 3.4.
Рис. 3.4. Зависимость а^ и Яс от t
(к примеру 3.2).
i^ff 3,2 и,6 ff^^t^fO^'vac
Пример 3.3. Система состоит из 10 равнонадежных
элементов, средняя (наработка |до .первото отказа Гер
элемента ра'вна 1000 час. Предполагается, что
'справедлив э.копонен'Ц'иалБНЫй закон надежности для элементов
системы и основная и резервная системы ра'В'нонадежны.
НеобхоДИ'мо найти среднюю наработку до 'первого
отказа Горе системы, а также частоту от^казов ас (О ^*
интенси(В1Ность отказов %c{t) в (момеит ©ремен-и /==50 час
в следующих случаях:
а) нерезер1В'ирова1Н.ной системы,
■б) дублированной системы npji постоян'но :включе.н-
ном резерве,
в) дубл'ированной системы (при включении резерва по
способу замещения.
Р е ш е.н и е. По условию задачи справедлив
экспоненциальный закон .надежности для элементов, поэтому
112
средняя заработка до 'пе-рбаго отказа Гер о основной
системы будет
^сро —^о — ^ — 10 10Х 10
1000 .^^
= —fQ— = 100 час.
Тогда на оюнован'И'и формулы (3.2) для средней
наработки до 'Первого отказа 'npii 'постоянно включе-нной
одной .реЗ'ер1В1Ной системе имеем
т
При Д'ублироваи'ии системы по методу замещения
Гсрс = Г,= (т+1)Геро = 2Гсро = 200 час.
В -случае нерезервированной системы интенсивность
отказов не зависит от ©ремен-и 'и ратана сумме интеноив-
ностей отказов элементов.
Найдем интенсивность и частоту отказов системы
в момент / = 50 час для случая а\
10 10
аа (50) = Я„ (50) Р (50) = Я„ (50) е-'-''''^''^
^О.Ше-^'^'-'^'^б-Ю-
час
В случае дублированной системы интенсивность и
частота отказов 1М0гут йыть найдены по известной
вероятности безотказной работы системы, В
рассматриваемом случае число элементов нерезервированной системы
^г=10, -кратность (резервирования т=\. Тогда на осно-
8—1086 113
вании формул (3.2) и (3.9) 1Ыеыл
//д (О = 1 —11 — е"*^ ]"»+»= ге-'"*— е-'^.
p^(0 = e-^'j;fiMi = e-^(l+^.0.
/=гО
10
где Я,= т-==0,01^,
Найдем частоту и интенсивность отказов для случаев
бив:
а, (О = - Р', (О = 2Я,е-^ (1 -- е-^
3 /л — "^^^^^ -- 2Хое-^У(1-е~У) __ 2ХЛ1 - е"^ )
Подставляя 'В |Получен1Ные (выражения исходные
данные, будем иметь:
а^ (50) ^4,8-10'^ 1/¥Ш7, Я^^ 5,7-10"^ \J4ac,
аД50) = 3.10-^ \Ыас, А^ = 3,33.10"* XJHac.
Пример 3.4. Для повышения надежности усилителя
все его элементы дублированы. Предполагается, что
элементы шодвержены лишь одному виду отказов 1И
'последействие отказов отсутствует. Необходимо найти
вероятность безотказной работы усилителя в течение
/=5000 час. Состав элементоБ «ерезервирова'нного
усилителя и данные 'По интенсивности отказов элементов
приведены в табл. 3.1.
Решение, В нашем случае имеет место раздельное
резервирование с кратностью тг = 1, число элементов
нерезервированного усилителя «=11. Тогда, используя
114
ТАБЛИЦА3.1
Данные по интенсивности отказов элементов
(к примеру 3.4)
Элементы
Транзисторы
резисторы
Конденсаторы
Дподы
KaryiUKH индуктивности
Количество
элементов
I
5
3
1
Интенсивность
отказов элемента X,
10-5 \}цас
2,16
0,23
0,32
0,78
0,09
да1вные табл. 3.1, на оснавании формулы (3.5) получим
Я, (5 000) = J] {1 _ [1 _ е'"'^''''']^}.
Так как Яг<1, то для приближенного вычисления
показательную функцию можно разложить в ряд и ограни-
читься первыми двумя членами разложения 1 — е %^
i^bOOOXi. Тогда
11 11
Рс (5000) ^ П 1^ — (бОООЯ,-)^] ^ 1 — S (5000Я,^ =
1=1 <=1
II
= 1 - 5000^ 2 ^^= 1 — 25- W [2Л6\+ 5-0,23^ +
/=■1
+ 3.0,32^ + 0,78^;+ 0,09^| 10-*« ^ 0,985.
Пример 3.5. Схема расчета надежности устройства
приведена на рис. 3.5. Предаолагается, что 1последейст-
Рис. 3.5. Схема расчета
надежности (к примеру 3.5).
Л
вне отказов отсутствует и все элементы расчета равно-
надежны. Интенсивность отказов элемента ?.= 1,35-10^'^
l/nac. Требуется определить наработку до *nepiBoro
отказа резервированного устройства.
8* 115
Решеиие. В да-нном «случае имеет ^мecтo раздельное
резервирование раенонадежных устройспв ic шостоянио
Еключеиным резервом. Для (вычисления сред'ней
наработки до первого отказа целесообразно 1во:спользоватьх:я
формулой (3.7). По условию задачи число элементов не-
резерв'ираванной системы п = 2, .кратность резереирова-
ния т=\. Тогда
т
"^^Р ^ "^ Л (/?г + 1) ^ Vi (vt + 1) ... Ы + п- 1) —
Так как
''' = пГ+1
2
ТО Vo = -2-» V,= l.
Тогда
^срс— 27^ [ 1Д.ЗД ^ 2 J 12Л ^-
';:^ 680 час.
11
12-1,3510-3
Пример 3.6. Схема расчета .надежности
резервированного устройства приведена на рис. 3.6. Интенсх^вно-
сти отказов элементов 'имеют 'следующ'ие зиачеМия:
|—Е}—I , , г-Е>-|
о 4 f—Н ^2 I—\ т о
L_QX7]—I '—I Яз I—I
Рис. 3.6. Схема расчета надежности (к примеру 3.6).
^1-0,23-10-3 1/ад^^ А2 = 0,5-10-^ 1/час, Хз = 0,4-10-М/аде.
Предполагаем, что последейств'ие отказов элеме1нто1в
отсутствует. Необходимо найти С1ред1нюю наработку до
первого отказа устройства и построить за1Виси1Мость иб-
тенсивности отказов устройства от времени.
116
Решение. Готовой формулы для (средней
"Наработки до aepiBoro отказа ъ ра'оомат.риваемом случае нет.
Поэтому необходимо воспользоваться соотношением
=.jp,(0^
ср с -
о
Найдем выражение для вероятности безотказной
работы Яс (О устройства. Очевидно, ^^c(0=/^j(0/^ii (О/^щ (О»
где p^(t)=l-[l-p, (t)]' = 2/7, (О-р] (О,
Рщ (О = 1 - [1 - /^3 (0]^ - 2/73 (О - р1 (t).
Тогда, подставляя значения /?j (/) и Pn^it) в
выражение для Pc{t), получим
^^с (О = [2а (О - р' (01А (О [2/^3 (О -р1 (01 =
= 4а (О А (О А (О - 2/7? (О А (О А (О - 2/7, (О А (О X
Х/7з(0 + /^1(0а(0/^з(0.
Так как /?, (/) = е~^^^ р, {t) = е''^''\ р, (t) = е~^'\ то
Р (А-_4е~^^'^^^^'^^ —2e~^^^'"^^'^^'^' _ 2e~^^'"^^■^^^'^^-^
, —(2>1+>2+2ХзК 4е~^'^^* ^^'^ 2е~^'^^' ^^'^
о - 1,08.10-3/ _ 1,ЗЫ0-з^
— 2е ^ ' + е '
оо
о
2 , I
^1 + К + 2Аз ' 2^1 + ^2 -Ь 2Аз
Подставляя в выражение для Гер с значение
интенсивности отказов из условия задачи, получаем
J. __ 4 2
ср с — iQ_3 (0,23 + 0,05 + 0,4) 10-3 (0,4G + 0,05 -f 0,40) "
10-3(0,23 + 0,05 + 0,8) ~ 10-3(0,46 + 0,05 + 0,8) ^
^ 2590 час.
117
Воспользовавшись соотношением (1.7), найдем
зависимость
P'c(t) _
Яс(0
Функция Хс(0 приведена на рис. 3.7. Заметим, что
интенсивность отказов резервированной системы при
/=0 равна 0,5-10"^ Цчас^ т. е. рав'на интенсивности
отказов Яг иерезервировалного элемента. При больших t
.^cjD-'4.
Рис. 3.7. Зависимость Яс от t
(к примеру 3,6),
RHTeiHCHiBH'OcTb отказов стремится (К (величине ^i4-?^2+-^3=
=6,8 10-* 1/час, т. е. к интенсивности отказав .нерезер-
вировашюй системы. Это свойсгао справедливо для
сколь угодно слож'ных систем с любьш 1ВИД0М
резервирования.
Пример 3.7. Радиопередатчик имеет интенсивность
отказов Яо = 0,4-10-3 \1час. Его дублирует такой же
(передатчик, 'находящийся до отказа основного в режиме
ожидания (в ледогружениом состоявии резерва). В этом
реж'име 'HfHTe'HCHB.HOcTb отказов передатчика ?ii =
0,06-10^^ XJHac. Требуется 1вычислить (вероятность
безотказной работы шередаюидей системы в течение
/=100 час, а также среднюю наработку до первого
отказа и интенсивность отказов, построив за1висимость
Решение. В нашем случае "кратность
резервирования т=1, тогда «а .основании формулы (3.11) для слу-
118
чая общего pesepiBHipoBaHun П'Р'И недогруженном 'С0с1^оя-
нии резерва имеем
= e-^'ll+a.(l-e-''')l.
где
или окончательно
Р, (О = е-''' г 1 + А. - ^ е-''').
Подставляя \ъ эту формулу значения «еизвестных из
условия задачи, получим
г 0,4-10-'
Pe(100)=e^^'^-^°""^°'(l+^
06-10-
Q,4'10"* —0.06-10-»-100 \ ri QQO
0.06.10-» ^ j—и,1^б.
На основании формулы (3.12) средняя наработка до
первого отказа будет
/=о
Так как k:=:XjXf^^ то окончательно
Подставляя .в эту формулу значения интенсивностей
отказов, получим
^ср с = 0.4 10-* [^ + 0.410-»'+0.06-10-^ ) "^ ^^^^ '^^'
Найдем зависимость интенсивности отказов системы
от времени, воопользова1вшись соотношениями (1.5),
(1.7):
119
; / А _ _ Р'с (i) Хо(1-с-^»^)
_ 0.4-10-^ (1—е
—0,06-10-3/.
1„0,87е~^»'
3.8. Зав11Симость /Хс от /
(к примеру 3.7).
Прафик функции Хс(/) пр-иведен на рис. 3.8. Из
рисунка 'В'идно, 'ЧТО 'П'ри t = 0 интенсивность отказов Яс = 0.
Это общее свойство всякого
резервирования и
объясняется ординариостью потока
•отказов элементов 'системы.
При '/—>-оо интенсивнасть
отказов системы стремится
•к величине 0,4-10-^ 1/час,
т. е., как и следовало
ожидать, к интенсивности
отказов нерезервированной
системы.
Пример 3.8. Цифровая
вычислительная машина
состоит из 1024 однотипных
ячеек и сконструирована так,
что имеется 1Возмож.ность заменить любую (ИЗ отказав-
Ш'их ячеек. В (Составе ЗИП имеется 3 ячейки, каждая из
которых пуюжет замеиить любую отказавшую. Требуется
0Пlpeдeл'итJ> вероятность -и средиюю наработку до .пер-
Еого отказа ЦВМ в течение 10000 час^ если 'известно,
что интенсив'ность отказав ячейки равна 0,12-10-^ \1час.
Под от(Каз'ОМ 1будем понимать событие, (когда ЦВМ но
может работать из-за отсутств'ия ЗИПа, т. е. когда весь
ЗИП израсходован и отказала еще одна ячейка «памяти
ЦВМ.
Реше-ние. Так как любая ячейка из состава ЗИПа
хможет заменить любую отказавшую ячейку ЦВМ, то
имеет место «скользящее» (резервирование. Вероятность
безотказ1ной 1работы может быть вычислена -по формуле
(3.18). ^
В нашеа! случае число элементов основной системы
п=1024, интенсивно'сть отказов нерезервированной
системы Я<)=лХ= 1024-0,12.10-^^1,23.10-4 ц^юс^ число
резервных элементов то=3. Подставляя полученные
120
давные в фор"мулу (3.18), находим
/^0
, (1,23-10-^-10^)^ , (1.23-10-^-10*)^ \ р
96.
Средняя наработка до первого отказа на основании
(3.18) будет
Т'ср с = Т'ср о (^0 + 1) = Т-(Ото + 1) ==
' (3+1) ^ 32 500 час.
1,23-10-*
Пример 3.9. Две аккумуляторные батареи работают
на €|дну налруаку. Интенсивногсть отказов .каждой 'ИЗ них
>. = 0,1 • 10"^ \/час. Пр'И повреждении (от1казе) одной из
батарей 1И!Нтен1СИ|В1Н01Сть отказов исправной возрастает
вследствие более тяжелых условий работы и равна
?^1 = 0,8-10-^ 1/час. Необходимо найти вероятность
безотказной работы системы в течение (Времени /=1000 час,
а также оред1нее время безот1каз1НОЙ работы.
Решение. Решим задачу двумя способами.
Способ 1. В нашем случае имеет место общее резер-
вирова.н'ие «с шостоянно 'включен;ны!м резервом. Так как
при отказе одной батареи .и<нгенсив1ность отказов другой,
исправной, из'меняется, то имеет место шоследействие
отказов. Дубл'Ированная система 'исправна .в течение
времени t .при следующих благоприятных ситуациях:
А — ни одна из батарей за время / не отказала;
Б — аккумуляторная батарея / отказала, проработав
время x<t, г батарея 2 оставалась исправной в течение
времени /;
В — аккумуляторная батарея 2 отказала, проработав
время т</, а батарея / оставалась исправной .з течееие
времени /.
121
Принимая указанные ситуанхии за гипотезы, можно
найти вероятность безотказной (работы системы Рс(/)
KaiK 'Сум(му (Вероятностен благоприятных 1ГИ1потез, т. е.
Гипотезы Аи Б одинаковы, поэтому p^(t)=^ p^(t),n тог.
да
Pc{t) = pAt) + 2p^{i).
Так 'как Ра(0 ^сть вероятность того, что за время t ни
одна из батарей .не откажет, то
Вероятность г/ипотезы Б можно вычислить, ©асполь-
зовавш'ись выражением
с
где а, ('c)rf'c — вероятность отказа первой батареи в
момент т (вернее, в течение малого промежутка rfx);
а, (т)=:Яе"'* — частота отказов первой батареи в момент х:
P2(t)—вероятность безотказной работы
аккумуляторной батареи 2 ,в течение :времени г, т. е. до отказа
первой батареи, очевидно, Р2(т)=е'~^^;
p2.{t—т)—«вероятность безотказной работы батареи 2 за П[ромежуток
времени от X до /. Так как ib этом 'промежутке
интенсивность отказов батареи равна %и то
Подставляя все значения вероятностей в илражение
для p^(t) и интегрируя, получаем
о
122
->,/
Тогда вероятность безотказной работы 1резервир0(ван-
ной -системы будет
?^|е-(2^-^.»'_11е-'''-
К,—2\
А., „-2М 2Х ^- г,(
С "^1 пЧ ^ ■
Подставляя iB эту формулу значения времени / и
значения интенсйвностей отказов «из условия задачи,
получаем
р ,,._ 0,8-10--^ -2.0,1.10-4.10» _ '
^cU; —Q 8.10-4 __ 2-0,1-10-4 ^
2-0,Ы0-* -0,8.10-4.10» ^^^^
е ^0,999.
0.8.10-4—2.0.1-10-*
Средняя наработка до первого 10тказа определяется
из соотношения
ОО 00
6 о
~ Л-2^ j'^^ — lx+ir*
Подставляя значения Я и Я, в эту формулу, имеем
^сРс = 2^0.l'^tO-^+.0.8•10-«=^^^^QQ *^-
Следует помнить, что нри вычислении Гг.рс нредно-
лагалось, что ?i=iconst. Если же окажется, что ib течение
времени ./<62500 интенсивность отказов непостоянна, то
наше решение неверно.
Способ 2, Используем для решения задачи схему
«гибели». В нашем случае интенсивность отказон
системы до «выхода из строя шереой батареи Хо=2А,=
= 0,2 • 10~'* 1/час; интенсивность отказов системы в
промежутке времени от момента отказа первой батареи до
второй >.1 = 0,8-10~4 11час.
Тогда -вероятность нозникновення отказа системы
равна вероятности вознииновення двух отказов. На осно-
123
ваиии формулы (3.23) преобразован'ие Ла'п<ласа
вероятности отказа 'будет
В нашем случае корни зна-ме-нателя равны 5о=—2Х]
Si = —Xi; 52 = 0. Тоща
B'{so)=2X{2%—Xi), B'(si)=iXi(Xi—2Х), B'{s2)=2hK
Подста'вляя зиачен'ия интенси/вностей отказов, корней^
Sji и производных B^{S],) в (3.24), получим
2
е
/^ЛО^ял^]^
4sk)
Г е~^^' е~^>^ I L_l-
="2^^^ Ы (2Х - ЛО + X, {к, - 2Х) "^"тГ J ~~
= 1 _ ^1 р-2^ _1 2^ р->1^
Так как вероятность безотказной работы Рс (О = 1 —
-PAth то
^cW— Х,-2Х ^ X,-2Х
ЧТО совпадает с решением, полученным по первому
способу.
Среднюю (наработку до шервого отказа можно
вычислить «по формуле (3.26). 'В 'нашем случае
/г—1 I
т — V-L=V-L=J—i-J-=J-4—L
^ ср с — ^ ^^ 2j Хг Хо ^ X, 2Х ^ Xj '
что совпадает с решением ino inepDOMy стюсобу.
Пример ЗЛО. Система электроснабжения 1постоянным
током состоит из грех 'HCto^hhikob напряжения:
промышленной сети с 'Преобразователем 'переменного 'гока в по-
стояиный, автономного «м^аломощного источнп-ка и
аккумуляторной 'батареи. Пр'и 'пспраюной 1промышленной
сети потребители питаются только от преобразователя.
При отказе 'промьгшленной сети 'или 1прео:бразователя
подключается автоном'ный (маломощный .источник
'совместно с |буфер.ной батареей.
124
,^
Система -электроонабжееия сне обеспечивает
.питанием 'потребителей в том случае, если в-се три источника
отказал'и -или отказала сеть и автовомный й'сточ-ник
(од'на аккумуляторная батарея не !может обеспечить
п'итанием потребителя). Необходимо найти (вероятность
безотказной работы -системы электроснабжения, если
известны следующие данные:
А.1 = 0,25-10-3 1/чаг —суммарная интенсивность
отказов :промышленной сети и 'преобраз10вателя;
?^2=0,8-10~з l/tiac — интенсивность отказов автоноси-
ното исто'чника при совместной 'параллельной работе
с аккумуляторной батареей;
Х'2=5,8- 10^3 \1час — интенсивность отказов aiBTOHOM-
ного щеточника 1при отказе аккумуляторной батареи;
Яз = 0,1 • 10~з 1 /час — И1Нтенсм1Бность отказов аккуму-
лятор.ной 'батареи лри параллельной работе с автоном-
НЫ1М источ'ником;
/=100 час—/необходимое время ие'пре;рЫ1Вной
работы системы электроснабжения (иотреб-ители долускают
•перерыв в работе лишь ^=^
на короткое время шод- »
ключения автономного
источника с
аккумуляторной батареей в случае
отказа сети). До включе!ния
в работу автономный ис-.
точник и аккумуляторная
батарея не расходуют «а-
дежность и отказать не
могут (Х2 = Ь='0).
Решение. Здесь
сложный случай резерви-
рова-ния источников элек-
троонабжевия, когда
невозможно привести схему
расчета к класси-ческим
случаям. Поэтому
составим 'Все благоприятные
ги'потезы, вычислим
вероятности их 'поя1вления и затем воспользуемся формулой
Благоприятные ситуации, не 'дриводящие к отказу
системы электроснабжения, следующие (рис. 3.9):
125
Л/
JLf
'Г
I
I Лг
I ^3 I
1 Лг
Лз I
PviC. 3.9. График
функционирования системы (к
примеру 3.10):
/ — промышленная сеть и
преобразователь; 2 — автономный источник;
3 — аккумуляторная батарея.
л—'Промышленная есть и 'преобразователь исправны
в течение времени t:
Б — 'Промышленная сеть или 'преобразователь
отказали в момент т, а в оставшееся 1вр€1мя /—т !исп1равны
автономный источник с аккумуляторной 'батареей;
Ъ—'промышленная сеть или преобразователь
отказали .в момент t, )В момент g>T отказала
аккумуляторная батарея, а в течение -времени /—т а>втоно1М|НЫн
источник HicnpaiBen. Принимая эти ситуации за
благоприятные *г,и'потезы, найдем вероят1ности их .появления.
Очевидно, что PA{t)=er ^. Так 'как момент отказа
промышленной сети есть событие случайное, то вероятность
Гипотезы Б можно определить !из выражения
t
о
где а, (х) = Я^ е"'^ — частота отказов промышленной сети
в момент 'с; /?2.s(^—^.j-.-g—<^а+^з) (/-^)—вероятность того,
что за время t—х не откажет ни автономный источник,
ни аккумуляторная батарея. Подставляя Cii{x) и
p2,3(t—т) в выражения для p^it) и интегрируя,
получаем
/
о
I
ht 0--V [J ^— (>а+>а—>i) /j
^2 + ^« ^1
По аналогии с гипотезой Б вероятность гипотезы В
можно получить из выражения
где Р2,з(^, t—т)—.вероятность того, что аккумуляторная
батарея в момент ^ откажет, а автономный источник бу-
126
лет работать .иопраено ib течелпе вр€1М'ен'И /—т. чЭта ве-
поятлость (МОжет 'быть .получена мз вьиражения
-U
Здесь ^3 (Е) = ^3 ^ — частота отказов аккумуляторной
батареи в момент Е; р^^ ^ — 5) = е""^*^^"^^ е~^''^^""^^
—вероятность того, 'ЧТО автан'омный источник исправен в
течение (Времени t—т при условии, что аккумуляторная
батарея отказала (в ^момент g.
Подставляя значения ПзЦ), р2(1, t—т) и /72,з(|, t—t)
в 1ВЫ|ражение для peit) и интегрируя, получаем
t t
Рв (О = J^i W рз (5) А (е, ^ - 5) rfWx =
о Z
t t
= f К е"^'' f ^3 е~^ ^'^'^ е^^'» ^' ~^' йЫх =
о т
к 2 —А.2 — Аз I
^2 ^1
\'2 — h—Хж
На с)сновании (3.20) вероятность 'безотказной работы
системы електроснабжения будет
Подставляя значения интенсивностей отказов в
выражения для /7^, Pj^ и р^ и делая очевидные^ вычисления,
получаем Рс (100) ^ 0,999.
Пример 3.11. Система электроснабжения состоит из
четырех генераторов, иоминальная мощность 1каждого
из которых W=18 К6Т. Безаварийная работа еще
(возможна, если система электроснабжения может
обеспечить потребителя мощностью 30 кет. Необходимо
определить вероятность безотказной работы системы
электроснабжения в течение времени / = 600 час, если интен-
CHBHqcTb отказов каждого из генераторов Х=
= 0,15 «10-3 1/час, Необходимо также найти среднюю
наработку до первого отказа системы электроснабжения.
127
Решен.и е. М-ощности Я'вух генераторов достаточно
для питан'ия потребителей, так как их суммарная
мощность -составляет 36 кет, а 'ПО условию задачи
достаточно лишь 30 кет. Это злачит, что отказ системы
электроснабжения еще ;не наступит, если откажут один или два
любых 'Генератора. Здесь имеет место случай резер)виро-
вания с дробной кратностью, 1когда общее число
устрой'Ств / = 4, число устройств, необходимых для
нормальной работы, /г = 2, а кратность резерБирования
т = 2/2. На основа1ни.и формулы (3.14)
PAt)^i,cy-\t)t (-1УС'Х(0-
_ б/;' -8/^+ ?>р1 = 6е-^'-^ - 8е-^^'^ + Se'^'^
Для данных задачи Я/= 0,15-10"'-600 = 0,09. Тогда
Р, (600) = бе-«.^^ — 8е-«'^^ + Зе"'"^'^^ 0,997.
Средняя наработка до первого отказа на основаеии
формулы (3.15) будет
2
1 ж^ 1 1 / 1 , I , I \ 13
7220 час.
13
'^ 12-0.15.10-^
Пример 3.12. Для повышения точности измерения
некоторой 1вел'ИЧ'Ины !Приме'нена схема 'Группирования 'Пр.и-
боров 'ИЗ пяти ,по три, т. е. результат из.мерения
считается 'верным по .показанию среднего (третьего) прибора.
Требуется найти вероятность 'и среднюю |наработку до
первого отказа такой системы, если интенсвеность
отказов каждого |При'бора Х^ОД-Ю"^ 1/час, •последейств'ие
отсутствует, а время, в течение которого система
измерения долж1на быть исправна, / = 500 час. Необходимо
также 'построить завиоимость интенсивности отказов
системы от времени.
Решение. Решим эту задачу тремя способами.
Способ 1. В данном случае измерительная система
отказывает .в тохМ (случае, если откал^ут из пяти
«приборов три и более, т. е. имеет место общее резервирование
дробной кратности, .когда общее число приборов / = 5,
число 'пр-иборов, необходимых для 'Нормальной работы,
Л = 3, а краг.ность резервирования т = 2/3.
128
Используя формулу (3.14), получаем
Р. (О = sV рГ' (О t (- ^У ^'Л (О=
/=;0 / =0
= S C>^-'(Oi: {-lyCX (О = бр^-15/^+Юр^.
5 ' О
Так как вероятность безотказной работы од'ного
прибора в течение времени ^ = 500 час будет
;,,(500)=e-^^^ = е-''^-^'"'''^'=ео.^-^0,82,
то
Рс (О = 6/7^— 15/7^+ 10/7^ =60,82^ — 15-0,82^ +
+ 10.0,82^^^0,95.
Средняя наработка до первого отказа 1систе.мы
вычисляется по формуле (3.15):
/—л 2
^ ср с —• •»
47 47
60Л GO-0,410-3
-=1958 яас.
Интересно отметить, что 'Прй рассматриваемом .'ВИде
резервирования средняя наработка до первого отказа
системы ниже, чем одного нерезервированного прибора
в 47/60 раза.
Способ 2. Благоприятными ситуациями в
рассматриваемом -случае являются следующие:
А — все пять прлбэров исправны, вероятность этой
гипотезы pj^{t)^p\(t)\
Б — один любой прибор отказал, а остальные
исправны; так как приборов пять и каждый может
отказать с равной вгролтностью 9о= 1 —Роу то p^{t)^=^
В — два любых прибора из пяти отказали (таких ситуа
Ций может быть С^—. 10), а остальные три исправны,
9-1Г8-5 129
вероятность этой гипотезы будет
Вероятность безотказной работы измерительной
системы 1на основании (3.20) будет
PAt) = PA{t) + Psit)-VPB(i)=-'
=:bpl(t)-\bpy)J^\Opl{t),
ЧТО совпадает с решением 'по формуле (3.14).
Средняя на1работка до лервого отказа вычисляется
в данном случае лутем интегрирования Рс(0 по всей
временной оси:
оо оо
rcv. = \PAt)dt = ^\^pl{t)-\bpl(t)Jr\Qpl(t)]dtr=
\ О о о
"Д 5 4 "^ 3 j Л ~ 60Х '
что совпадает с ответом, полученным 'при .первом
способе решения.
Способ 3. Воспользуемся схемой «гибели». В нашем
случае отказ системы 'наступит при отказе не меиее трех
приборов. Вычислим «вероятность отказов п=0, 1, 2
приборов.
В нашем случае -интенсивность отказов системы до
выхода из строя одного прибора Яо=5Я, в 'промежутке
времени от момента отказа первого прибора до второго
Xi-=4Ky а от момента отказа iBToporo .прибора до
третьего >l2=3)l.
Тогда на основании формулы (3.23)
P2KS)— (s + Х„) (S+Х.) (S + М •
130
Обрат.нбе €\рьо6р(\зова\ше Лапласа этих «вероятно-
Ст€Й на .основани'и (3.24) будет
р^ (О =^0^1 [ (X, - Х„) (Хг - К) + (К-К)(^2-К) +
. .±^ 1.
'Подставляя в эт.и выражения (вместо ?io. Xt и ^2 их
значения, .получаем
р, (О = е-'^', А W = -5 е-^'^ + Бе"^'^,
р, (О = Юе"^^'—20е-'^ + 10е^'^'.
Так KaiK отказа системы не «будет -при п = 0, 1, 2, то
вероятность безотказной работы системы равна сумме
вероятностей ро» Pi и рг, т. е.
Pc{t) = Po{t)+pAt) + PAt) =
= 6e-'''-15e-''Чl0e-''^
что совпадает с решением 'По первым двум способам.
Оредня1Я 1на1ра'ботка до первого отказа /на основании
фор(мулы (3.26) будет
/2—1 2
что совпадает с решееием, полученным первыл^и двумя
способами.
Построим зависимость 'kc{t), воопользовавш.И1СЬ
соотношением
Яс (О = — ^'^ <^^ - ^^^ ^' ~ ^"^^^'
Pc(t) 6e-2^-15e-^4l0
_ 0,012(1-e-Q-^-^^~^M'
g^-0,8.10-3/ _ ^^^_o,4.lO-3/_|, 10
131
Йа'виоим'Ость 'kcl^=](U) шршведена на ри-с. 3.10. Из
рисунка 'ВИДНО, что кривая >ic(0 'Начинает-ся с нуля,
а затем пересекает, ось Хс/Х = 1 и асимптотически
стремится к интенсивности отказов Хс = ЗХ нерезерви-
раваниой системы. Таким образом, интенсивность отка-
Рис. ЗЛО. Зависимскть iXc/X от Xt
(к примеру 3.12).
г 0,5 ио i,s г,о At
зов рсзергвированной системы при />т: выше, чем
нерезервированной.
Пример 3.13. Для повышения надежности
электронной схемы 'Все конденсаторы зарезервиро'ва'ны путем
иоследавателыного «их соединения, как 'показано (на
^нн^
Рис. 3.11. Схема соединения
конденсаторов (к примеру 3.13).
рис. 3.11. Необходимо найти вероятность безотказной
работы соединения и настроить .лрафик.и Рс(0 и
выигрыша надежности Gq(t) по вероятности отказов, если
известно, что интенсивность отказов кондеисатора
Л = 0,3-10~^ \1час, г вероятность «возникновения отказов
типа обрьш фо = 0,2. Предполагается, что электронная
схема .не критична к из1менению емкости цепи
конденсаторов и последействие отсутствует.
Решение. Благоприятные ситуа-ции, не .приводящее
к отказу схемы рис. 3.11, возникают в том случае, если:
А — не откажет ни один из конденсаторов;
Б—'пробит 'Цдин любой конденсатор, а два друг^^х
не откажут;
В—'Пробиты два любых конденсатора, а один
исправен.
Принимая эти ситуации за гипотезы, найде-м
вероятности их появления.
Вероятность того, что не откажет ни один из
'конденсаторов, будет равна произведению .вероятностей p{t)
132
безотказной работы всех трех конденсаторов, i\ е.
Верюятность того, что два конденсатора исправны,
а один пробит, равна p^q^. Но вероятность пробоя
конденсатора 9з ра-вна лроиз'ведению ,вероятиоспи того, что
отказ возник1Н€т, на вероятность того, что возникший
отказ будет типа пробоя, т. е. 9з=фз9.
Так как .в схеме три «конденсатора, то возможен
'пробой любого из них, поэтому вероятность гипотезы Б будет
р^{1) = 3/;^ (О <f,q{t) = Зъ/ (О \\-р (01-
Вероятность того, что пробиты два конденсатора, а один
исправен, равна pq^. Но так как по-прежнему q^T=^(p.q и
таких ситуаций в схеме рис. 3.11 возможно ровно С^ =
-=3, то
Ps (О = ^Р (О ?У (О == 39> (011-;^ (ОГ-
Суммируя вероятности всех гипотез, получим
= /7" (О+Sf.ffit) |1 - /7 (01 + 39> (t)[i~P {t)V-
Так как ifj = 1 — ?о = 1 — 0.2 = 0,8, а p{t) = е~", то
Р„ (О = е-'^'+2,4е-^" (1 — е"
-и.
) +
1,44е-'" + 1,92е
—X/
+ 1,92 е-"(1'^— е-^)^ = 0,52е-'^'
Выигрыш надежности по вероятности отказа будет
G,{t)
_1-Ре(0 1
- 0,52 е-"^^ + 1,44 е^^^ — 1,92 е^^^
1-/7(0
^—^^
Зависимости Pc{t) и Gq{t)^ а также /вероятность
безот'каз1Ной работы нерезерв1ированного конденсатора
при Х=0,3-10-в 1/«/ас приведены на рис. 3.12. Из рт^сун-
Рис. 3.12. Зависимость Gq и Рс
от t (к примеру 3.13).
^5
^^
^нерез ^
г
4
^
-^^
t,/i
7^vac
133
ка .виднС, Что |резер|Ви.рованйе .в Данном -случае выгодно
для любого epeiMeiHH работы 'схемы.
Пример 3.14. На рис. 3.13 изображены две схемы
резервирования диодов. Известно, что интенсивность
отказов диода >1=0,5-10"^ 1/час^ вероятность отказов типа
«пробой» фз=0,85, а^ время непрерььвиой работы схемы
/ = 5000 час. Предполагается, что ^последействие отказов
отсутствует. Необходимо выяснить, какая схема лучше и
какой вьгигрыш надежности -по -вероятности отказов она
дает.
РешС'Ние. Найдем вероятность безотказной работы
схем рис. 3.13. Благоориятные снтуа.цин схемы
рис. 3.13,а, |не приводящие к отказу, возеикают в
следующих случаях:
Л—iBce диады и^слра'виы; .вероятность этой гипотезы
равна р^('0;
Б — один любой диод отказал (либо обрыв, л<ибо
пробой), а остальные ncnpafBRbi; {вероятность гипотезы
равна 4q{i)p^{t)\
-CD-
- а) б)
Рис. 3.13. Схемы резервирования диодов:
■ последовательно-Параллельное соединение;
б--параллельно-последовательное cocA'KHCHife (к примеру 3.14).
В—один любой диод отказал по обрыву, а другой
по замьйканию, остальные два диода И'Спра.вны;
вероятность гипотезы будет 12фофз9^{^)р^(/);
Г — два диода отказали по обрыву, а остальные
исправны; вероятность гипотезы 29V (О Р^ (О'
Д — два диода отказали по пробою, а остальные
исправны; вероятность гипотезы iff — 2) 9^ cf [t) р^ (t) =
Е — один диод исправен, два отказали по обрыву,
а один — по пробою; вероятность гипотезы 4у^Уз^^(0 /^(0>
134
\f^ один диод исправен, два отказали по пробою,
а один —по обрыву; вероятность гипотезы в^о?^^^ (t) р (t).
С'У'ММ'ируя вероятности ги'потез, получим вероятность
безотказ.ной |работы диодной сх€"мы -рис. 3,13,а:
Ра (О = Р' W + 4? (О / (О + 12Ч^о?з9^ (О Р' (О +
+ 49y.cf (П р (О + 8Ч>о9У (О Р (О-
Подставляя з'лачен'ия фз и фо=1—фз='1—0,85=0,15,
получаем
Ра{^) = 0,5215р^—2,0995рз+ 1,6345р2 +0,9435/7.
Схема ри^с. 3.13,6 не откажет в тех же ситуациях,
что и схема рис. 3.13,а, только число гипотез Г, Д, Е
и Ж будет иное. Теперь ^вероятности этих ги'потез будут
иметь вид:
^\q^{t)p"{t) (гипотеза /^;
29^40^40 (гипотеза Д)\
^^1ыЧ^)р{^) (гипотеза £);
^То^з^МОу^Ю (гипотеза Ж)-
Тогда
Рс (О = Р' (О + 4? (О Р" (О +12fo%g- (О Р' (О +
+ V/- (О Р=^ (О + 29^^' (О Р' (О + 89>.д' (О Р (О +
4- 4<Ро?У (О Р (О = — 0,5215у9* — 0,3705/7^ +
+ 1,3055/4-0,5865/7.
Выигрыш надежности схемы рис. 3.1 3,й по сравнению
со схемой рис. 3.13,6 будет:
G, (0=
.QAt)^_
__ 1 — 0.5215jp* + 2.0995р^ — 1,6345^' — 0,9435р
1 + 0,5215/)^ + 0,3705р' — 1,3055/;= — 0,5865р "
Найдем 'Вероятность безотказной работы одного диода
в течение 5000 час работы:
р (5000) = е-'-^'°" = g-o.5.,o-fi.5ooo_ Q^gg^g^
135
Подставляя значение р(5000) в выражение для Gq{t)
и делая очевидные вычисления, «получаем 0^(5000)^0,5,
т. е. схема рис. 3.13,а более выгодна, чем схема
рис. 3.13,6, и число ее отказов в течение 5000 час будет
примерно в 2 раза меньше, чем схемы рис. 3.13,6.
§ 3.3. ЗАДАЧИ
3.1. Схема расчета надежности приведена на рис. 3.14.
Необходимо найти вероятность безотказной работы изделия, если известны
вероятности отказов элементов. \^
Ответ: Яс-1—[l~(l-^?^i) (i—^P=0,997.
3.2. Схема расчета надежности показана на рис. 3.15, .где
приведены данные о вероятностях безотказной работы элементов. Требует-
tr^f^^ 4^^0,1
Рис. 3.14. Схема расчета
надежности (к задаче 3.1).
р^^0,9 р^-0,в
"'{
Pi 1
"Т~|-
'^1 Н
r-m—1
l_£j
^'С
Рис. 3.15. Схема расчета
надежности (к задаче 3.2).
ся определить вероятность безотказной работы Р^ и вероятность
отказа Qc изделия.
Ответ: Яс = [1~(1—/7i)^][l—(1—/Э2)з]^0.991; Qc = l—Pc-0,009.
3.3. Схема расчета надежности показана на рис. 3.16.
Необходимо найти по известным вероятностям отказов элементов Qi и qi
вероятность безотказной работы изделия.
Ответ: Яо-=(1 — ^Ь (*-^2) = 0,95.
Рис. 3.16. Схема расчета
надежности (к задаче 3.3).
Рис. 3.17. Схема расчета
надежности (к задаче 3.4).
3.4. Схема расчета надежности показана на рис. 3.17, на
котором приведены вероятности безотказной работы элементов.
Требуется вычислить вероятность безотказной работы изделия.
Ответ: Pc=-l~(\—pip2)(\-psp^)-^0,9U,
136
3.5. Схема расчета надежности показана на рис. 3.18. Интснснб-
нести* отказов элементов имеют следующие значения: Xi = 0,3X
ХЮ-з \1час, ?12 = 0,7-10-3 \1час. Необходимо определить
вероятность безотказной работы изделия в течение времени /=100 час,
среднюю наработку до первого отказа, частоту отказов и
интенсивность отказов в момент времени /=100 час.
Ответ:
Яс (О ^ I — [^ — е~ ^^'"^^«^ *Y\
Лс (100) = 0,99; Гере
= 1500 час\
2 (К + К)
а^ (О — 2 (/.1 + Х2)е-~^^«+^>' [1 _ ^-i>^+\) t ];
Лс(100) = 1,8-10-4 [/ttac,
а(\Щ
Хе(100)= р^^щ ^^(1С0) = 1,8-10--* \1час.
3.6. Схема расчета надежности изделия показана на рис. 3.16.
Интенсивности отказов элементов имеют значения: >^i = 0,3-10~^ \1час,
>^2 = 0,7-10^ \1час. Требуется найти вероятность безотказной рабо-
Рис. 3.18. Схема расчета
надежности (к задаче 3.5).
7-_ I 1
Рис. 3.19. Схема расчета
надежности (к задаче 3.9).
ты изделия в течение времени /=100 час, среднюю наработку до
первого отказа, частоту отказов и интенсивность отказов в момент
времени /=100 час.
Ответ:
Яс (О = [1 - (l-e-V )Ц[\- (l_e-V )2j;
4.5
Яс (100) =^0.994: Г,р. = -(xT+l^)
-^(гх.-!
>
1760 час;
йе (О = 2е-<^'+^'> *\(1.,-\- К) (2 + е-'^-+^''>') •
- (2Х, + X,) е-'^'' - (X, + 2X2) е-''»'];
«e(IOO)=5feXc(IOO) = 0.108.10-» \/час.
137
3.7. Средние наработки до первого Отказа элементов схемы
рис. 3.18 равны Ti и Tz. Справедлив экспоненциальный закон
надежности для элементов. Необходимо пайти среднюю наработку до
первого отказа схемы.
Ответ: Гер с = 3^172/2(Гi +Га).
3.8. Средняя наработка до первого отказа схемы рис. 3.18
Гер с —1000 час и Ti = 2Tz. Необходимо найти вероятность
безотказной работы схемы в течение 100 час.
Ответ: Яс( 100)^0.98.
3.9. Средние наработки до первого отказа элементов схемы
рис. 3.19 равны Ti и Гг. Найти среднюю наработку до первого
отказа системы.
Ответ: Тер c = Ti + T2—TiT2l(Ti + T2).
3.10. Средние наработки до первого отказа элементов схемы
рис. 3.17 равны Ти Тг, Тз и Т^, Найти среднюю наработку до
первого отказа системы.
^ [£ .' TJ.TJ,
итвет. icpc— (Т, + Т^)(Т^ + Т^) с
где с=^Т^Т2(Тз+Т^)+ТзТ^{Т,-\-Т2).
З.И. Средние наработки до первого отказа элементов схемы
рис. 3.14 равны Ti и Гг. Найти среднюю наработку до первого
отказа системы.
Ответ: Гер с = 11Г1Г2/6(Г1 + Г2).
3.12. Средние наработки до первого отказа элементов схемы
рис. 3.15 равны Ti и Гг. Найти среднюю наработку до первого
отказа системы.
Ответ:
Гор 0 = ^1 ^1
3(g2 + 6a-f 11) 3 (4а^-\-12а + П) .
+ й) (2 + а) (3+а) (1 +2а) (2+2а) (З+^а)'
, 9a^ + \Sa+U 1
(1 + За) (2 + За) (3-f За)
где a=TilTz.
3.13. Схема расчета надежности изделия приведена на рис. 3.20.
Вероятность безотказной работы нерезервированного устройства
в течение 300 час равна 0,74, резерв ненагруженный и интенсивность
Рис. 3.20. Схема расчета надежности
(к задаче 3.13).
отказов устройств X=const. Необходимо найти его вероятность и
среднее время безотказной работы.
О т в е т: Рс (300) ^0,995; Т^З 000 час,
3.14. Изделие состоит из двух элементов, менее надежный
элемент дублирован путем замещения при ненагруженном состоянии
резерва. Средние наработки до первого отказа элементов равны
138
г :=100 час и 7^2=200 час. Найти среднюю наработку до первого
каза изделия, если для элементов справедлив экспоненциальный
закон надежности.
Ответ:
Гер с = 7,+72 = 300 час.
3.15. Предложено конструктором три варианта схем построения
изделия (рис. 3.21):
а) изделие нерезервировано и средние наработки до первого
отказа элементов равны 7i==72 = 300 час;
б) один элемент дублируется путем замещения при ненагружен-
ном состоянии резерва» а второй, как й в схеме ри^. 3.21,с, нерезер-
вирован, причем средние наработки до первого отказа
дублированного узла и нерезервированного элемента те же;
в) один элемент дублирован путем постоянно включенного
резерва, а второй нерезервирован, причем, как и в схемах рис. 3.21,а
и б, средние наработки до первого отказа дублированного узла и
нерезервированного элемента равны 300 час.
Какой из вариантов более предпочтителен с точки зрения
надежности, если надежность изделия оценивать средней наработкой до
первого отказа?
500
Ответ: Та =^ ISO час, Т^==—^^\67,Т^=\еь.
Лучшим вариантом является схема рис. 3.21,6, а наихудшим—'
схема рис. 3.21,а.
а)
iLr—lJi
i_rz:
ffj
Рис. 3.21. Варианты
построения изделия (к
задаче 3.15).
3.16. Интенсивность отказов изделия Я=0,016 \/час. Для
повышения Надежности имеется возможность либо облегчить режимы
работы элементов и тем самым снизить интенсивность отказов
изделия вдвое, либо дублировать изделие при постоянно включенном
резерве без облегчения режимов работы элементов.
Какой способ более целесообразен, если надежность изделия
оценивать средней наработкой до первого отказа?
Ответ: Более целесообразно облегчить режимы работы
элементов, Так как при этом среднее время безотказной работы изделия
возрастет вдвое, а при дублировании — только в 1,5 раза.
Г39
3.17. Используя -данные задачи 3.16, установить, какой способ
повышения надежности изделия из предложенных в задаче 3.16
более целесообразен, если надежность оценивать вероятностью
безотказной работы в течение времени непрерывной работы изделия
t = 20 час.
Построить график Pc(t) и объяснить, почему ответы в задачах
3.16 и 3.17 не совпадают.
Ответ: Более целесообразно дублировать изделие, так как при
дублировании вероятность безотказной работы Рс (20) =0,Ш, а при
облегченном режиме работы элементов Яс (20) ^0,85.
На рис. 3.22 приведены кривые Рс (О дублированного изделия
и с облегченными режимами работы элементов. Из кривой видно,
2 2
что при ^<:^62 час, точнее, при /<[ ~j~ \п~у^= , целесообразно
дублирование изделия, а при />62 час — облегченный режим
работы элементов. Площади под кривыми P(t) на всей временн<5й оси
являются средними временами безотказной работы. Этими
обстоятельствами и объясняется кажущееся противоречие в ответах задач
3.16 и 3.17.
3.18. Для повышения надежности изделия применена схема
группирования из трех по два (т^Уг). При каких значениях вероят-
/7/9
0,5
о,и
с
т^
^Дублирование
/ 1
/и ретиН\
0^^ о,бг ofi иг U6 ь.ю^яас
Рис. 3.22. Зависимос1Ъ Рс от t (к задаче 3.17).
ности р безотказной работы нерезервированного изделия схема
группирования приводит к повышению надежности?
Ответ: Яс=3р2—2р^, при р>0,5 схема группирования
приводит к повышению надежности.
3.19. Время непрерывной работы измерительной системы t^
= 100 час. Какова должна быть интенсивность отказов устройства,
чтобы схема группирования, примененная для повышения точности
измерения, также способствовала повышению надежности системы?
Ответ: Х<(In2)/100 Цчас.
3.20. При каких значениях вероятности р безотказной работы
схема группирования из пяти по три (т—^'/з) дает выигрыш в
надежности по сравнению с нерезервированным изделием?
Ответ: р>0,5.
3.21. Интенсивность отказов измерительного прибора Х=
=0,83-10~^ i/час. Для повышения точности измерения применены
две схемы: а — схема группирования из трех по два (m^Va), б —
140
схема группирования из пяти по три {т = '^1з). Необходимо
определить: 1) какая схема имеет большее среднее время безотказной
работы? 2) вероятность безотказной работы какой схемы выше, если
Бремя непрерывной работы измерительной системы /=100 час?
Ответ: 1) средняя наработка до первого отказа системы при
m=V2 равна 1000 час, а средняя наработка до первого отказа
системы при т=^1з равна 940 час.
2) ^m^2/3>^m=I/2-
3.22. Автомобильный двигатель имеет /=4 свечи зажигания, по
одной на каждый цилиндр. Интенсивность отказов свечи Я=10-з l/^^oc,
а длительность работы двигателя в течение всего путешествия
1=20 час. Предполагается, что автомобиль может ехать также при
одном неработающем цилиндре. Какова вероятность того, что
автомобиль доставит туристов в пункт назначения без замены свечей?
Ответ: Р^ (0=4 е^^^' -> 3 е^^^^ Р^ (20) ^= 0,9977. ^
3.23. Машина состоит из I 024 стандартных ячеек и множества
других элементов. В ЗИПе имеется еще две однотипные ячейки,
которые могут заменить любую из отказавших. Все элементы, кроме
указанных ячеек, идеальные в смысле надежности. Известно, что
интенсивность отказов ячеек есть величина постоянная, а средняя
наработка до первого отказа машины с учетом двух запасных ячеек
7'срс = 60 час. Предполагается, что машина допускает короткий
перерыв в работе на время замены отказавших ячеек. Требуется
определить среднюю наработку до первого отказа одной ячейки.
Ответ: Го=20480 час.
3.24. Система состоит из двух одинаковых элементов. Для
повышения ее надежности конструктор предложил два ^следующих
варианта (рис. 3.23): а — дублирование системы по способу замеще-
J t^4J
а) 6)
Рис. 3.23. Варианты резервирования (к задаче 3.24).
ния с ненагруженным состоянием резерва; б — скользящее^резерви-
рование при одном' резервном элементе, находящемся в ненагружен-
ном состоянии. Какой из. вариантов более целесообразен с точки
зрения надежности, если интенсивность отказов элемента X?
Ответ: P^(t) = Р- {t) = е""^^ (1 + 2Л/), т.е. вариантьГ
равноценны.
3.25. Система состоит из Л^ однотипных элементов, каждый из
которых имеет среднюю наработку до первого отказа, равную
7^экв=1Аэкв. Для повышения надежности применено скользящее
резервирование, при котором т резервных элементов находятся
в ненагруженпом режиме. Необходимо найти среднюю наработку
до первого отказа.
Ответ: Тс^^ c = T^nu{m+\)IN,
141
3.26. Предложены следующие три системы электроснабжения
промышленной сети:
л —один генератор мощностью ЗОН 000 кет;
б- -три генератора, каждый мощностью 100 000 кет;
е — пять генераторов, каждый мощностью 60 000 кет.
Какая система электроснабжения более надежна, если, она не
допускает восстановления и перерыва в работе и предназначена для
непрерывной работы в течение /=1000 час? Интенсивности отказов
генераторов растут пропорционально убыванию их мощности.
Интенсивность отказов генератора мощностью 300 000 кет Я=3- 10^^ 1/час.
Предполагается, что в системе электроснабжения б допустим отказ
одного генератора, а в системе электроснабжения в — двух
генераторов. Предполагается также, что последействие отказов отсутствует.
Ответ: Ра(\ 000) =0,97; Р^(1 000) =0,98; Р^ (1 000) =^0,981.
3.27. Какая из систем электроснабжения, указанных в задаче
3.26, боле^ надежна, если интенсивность отказов генераторов не
зависит от мощности и равна 3- 10~^ Х/час? Каков выигрыш в
надежности по вероятности отказов имеют резервированные системы по
сравнению с нерезервированными?
Ответ:
Ра (1000) = 0,97; Р^ (1000) = 0,997; Р^ -= 0,9997;
Если оценивать надежность по вероятности отказов, то вариант б
в 10 раз, а вариант е в 100-раз надежнее нерезервированной
системы электроснабжения.
3.28. Для повышения надежности схемы резисторы, имеющие
сопротивление R, решено резервировать путем параллельного их
соединения. Схема допускает изменение величины сопротивления не
более чем на 25%» поэтому для защиты схемы от одного отказа
параллельно приходится включать не менее четырех резисторов.
Необходимо определить выигрыш в надежности Gq схемы из четырех
параллельно включенных резисторов по сравнению с одним
нерезервированным резистором. Интенсивность отказов резистора %=
=0,25*1.0-^ 1/час, а время непрерывной работы схемы /=40, 400,
4 000 час.
Ответ: Gq(40) =^-^--lO-^; С/д(400)=^-^ -Ю"*; Gg (4000)=:^
3.29. По данным примера 3.28 построить функцию выигрыша
надежности от времени и сделать выводы о целесообразности
резервирования. Найти время работы схемы т, до которого целесообразно
Применять резервирование резисторов путем параллельного
включения четырех элементов.
Ответ: График Gg(О приведен на рис. 3.24; резервирование
целесообразно при Xt<1ii[6/(1 + VT3)] или прИ;^'с<;10« час. Так как
142
СПОК службы современных резисторов меньше чем т, то можно еде-,
лать вывод, что резисторы, у которых Х^0,25-10-^ \1час,
целесообразно резервировать по схеме с кратностью т=^1^ для всего времени
их срока службы.
Рис. 3.24. Зависимость Gq от t
(к задаче 3.29).
ко
0,5
О
1 у^(\\
~У\—Гм
/ \\Л
D,h 0,8 %г U6 г,Ю^час
3.30. Для повышения надежности схемы резисторы
резервированы путем параллельного их соединения. Схема допускает
изменение сопротивления на 33%, поэтому для защиты схемы от одного
отказа параллельно включено три резистора. Необходимо определить
выигрыш в надежности резервированной cyjtiAbi по сравнению с
надежностью нерезервированного резистора, если интенсивность
отказов резистора Л=0,25- 10~^ 1/чсс, а время непрерывноР! работы /=40,
400, 4 000 час. Предполагается, что последействие отказов
отсутствует.
1 1
Ответ: Gg (40) =-д--10-5;^^Gq*;(400) =-^.10-<^; Cgf(4000)=
= ^-10-^
3.31. По данным примера 3.30 установить условия, при которых
резервированная схема нецелесообразна по сравнению со схемой
с одним резистором.
Ответ: Резервированная схема нецелесообразна при условии
'?>104nJ6 час.
3.32. Предложены следующие две схемы резервирования
резисторов: а — три параллельно соединенных резистора; б — шесть \\г-
раллельно соединенных резисторов. Обе схемы допускают изменение
общего сопротивления на Vs.
Какая схема более надежна, если интенсивность отказов одного
резистора Я=0,5- I0-® \1час, а время непрерывной работы /=40, 400,
4 000 час> Сравнительную оценку провести по средней наработке до
первого отказа и вероятности отказа, предложив, что последействие
отказов отсутствует.
Ответ:
G, = .
37 .
Qf^ (П 4
^ ^^**0-* при /=40 чм.
Qa(t)
Gg (О = -^ -10- ^ при / = 400 тс.
G,{t) =
4
= -3-10
~2
при i = 4000 час.
143
3.33. По данным примера 3.32 построить зависимости Pa(t) и
^б(0- Из кривых найти область значений времени т, при которых
схема О более надежна, чем схема а. Объяснить, почему средняя
наработка до первого отказа схемы б всегда ниже, чем схемы а (см.
ответ задачи 3.32), а вероятность безотказной работы вьпие, если
/<т.
Отпет: Зависимости Pa(t) и f^cO) приведены па рис. 3.25.
Схема б более надежна до т<0,5-10б час. Средняя наработка до пер-
0,6
ол
L
|г=^,5
Рб
_ л
J'^\
^>
Рис. 3.25. Зависимость Ра и Р^
от i (к задаче 3.33).
0.Ч 0,8 U2 tJ0^4ac
вого отказа является интегральным критерием, она равна площади
иод кривой P{t) при изменении / от О до оо. Этим и объясняется
кажущееся противоречие в ответах задачи 3.32.
3.34. Конструктором предложено два варианта повышения
надежности резисторов в электронной схеме: а — облегчение режимов
работы резисторов вдвое; б — резервирование путем параллельного
включения трех резисторов (схема не критична к изменению
сопротивления цепи на 7з). Какой из вариантов целесообразно
использовать для повышения надежности электронной схемы, если
интенсивность отказов резистора до облегчения режима Х=0,5- 10~^ \1час,
ь'осле облегчения уменьшается вдвое, а время непрерывной работы
i=5 000 час> Задачу решить в предположении, что в
резервированной схеме последействие отказов отсутствует.
Ответ: Gg(5 000) =/7а(5 OOOj/^/^ISOOO) =^67, т. е. более
целесообразно резисторы резервировать.
3.35. Правильно ли поступил конструктор, решив выбрать
лучший из вариантов повышения надежности резисторов,
предложенных в задаче 3.34, оценивая надежность средней наработкой до
первого отказа?
Ответ: Средняя наработка до первого отказа схем будет
Га=4-10б час, Т^^==^Уз-\0^ час, т. е. Т^ <Та. Конструктор неверно
выбрал вариант повышения надежности. Это объясняется тем, что
он не учел времени непрерывной работы электронной схемы.
3.36. Для повышения надежности системы управления решено
создать две системы, основанные на разных физичес1Шх принципах,
и применить дублирование замещением при ненагруженном резерве.
Интенсивности отказов систем имеют значения: A,i=0,4-10~^ 1/час,
^2-^0,25- 10-2 \/цаСу а время непрерывной работы системы
управления /=100 час. Какая из систем должна быть основной, а какая
резервной, чтобы надежность всей резервированной системы
управления была максимальной?
Ответ: С точки зрения надежности оба варианта равноценны,
вероятность безотказной работы резервированной системы
управления равна примерно 0,995.
144
3.37. Схема расчета надежности изделия приведена на рис. 3.26.
Необходимо иапти интенсивность отказов Хс изделия при ^=0 и
Ответ:
Хз при / := О,
Ас =
lAj + ^2 + Хз при / -^ со.
о- -А Я;
Zrksr
Рис. 3.26. Схема расчета надежности (к задаче 3.37).
3.38. Схема расчета надежности изделия приведена на рис. 3.14.
Требуется определить интенсивность отказов изделия при /—100 час,
если интенсивности отказов элементов имеют следующие значения:
^1 = 0,23- 10-3 1/^^с, ^2 = 0,17- 10-3 i/tiac.
О г в е т:
r.~yi
К (О =-.-
ЗХе-^ (1 — е^^^)
1_(1„е-^^)
^^ д ; Xc(iOO) ^19.2.10-7 1/час,
3.39. Схема расчета надежности изделия приведена на рис. 3.16.
Необходимо построить график зависимости интенсивности отказов
изделия от времени, если известны интенсивности отказов элементов:
;^1=-0,3- 10-3 {/час, Х2 = 0,7- 10-3 ц^ас.
Ответ: График 'kc(t) изображен на рис. 3.27.
^р*У УЦС
Я^,/^ _ час
щ
0,4 \
оА
Off 0,8 1,2 1,6t,1D час
Рис. 3.27. Зависимость Яс от t
(к задаче 3.39).
D k 8 12 tjn^^^ac
Рис. 3.28. Зависимость %с от /
(к задаче 3.40).
3.40. Схема расчета надежности изделия изображена на
рис. 3.23,6. Требуется построить график зависимости интенсивкости
отказов изделия от времени, если известно, что интенсивность
отказов элемента Л=0,3-10"^ \1час.
Ответ: График 'kc(t) изображен на рис. 3.28.
3.41. Машина состоит из большого числа элементов, среди
которых имеется 512 однотипных ячеек. Интенсивность отказов ячейки
^=1,97'10-^ {(час. Предполагается, что машина допускает перерыв
в работе на короткое время замены отказавших ячеек, а ячейки не
I0--1086 145
восстанавливаются и при хранении не отказывают. Сколько
необходимо иметь запасных ячеек, чтобы вероятность безотказной
работы машины из-за отказов ячеек была не ниже 0,98 в течение
времени ^=100 час?
Ответ: Не менее трех ячеек.
3.42. Для повышения надежности системы, состоящей из Л/=
=5600 элементов, решено применить дублирование каждого
элемента с постоянно включенным резервом. Какова должна быть средняя
интенсивность отказов элемента, если требуется, чтобы вероятноег»>
безотказной работы системы в течение времени ^=300 час была не
ниже 0,99?
Ответ:
Кр = 1/300 1п [I— p/i_5500^o7^].
3.43. Система построена таким образом, что отказ одного любого
элемента не ведет к отказу системы, а отказ любых двух элементов
и более приводит к нарушению ее работоспособности. Известны
число элементов N, интенсивности отказов всех элементов и время t
непрерывной работы системы *. Требуется получить формулу для
вероятности безотказной работы системы.
Ответ:
где Яг — интенсивность отказов i-ro элемента.
3.44. Система электроснабжения самолета состоит из четырех
параллельно работающих однотипных генераторов. При отказе двух
и более генераторов наступает отказ системы электроснабжения,
так как мощности двух исправных генераторов недостаточно для
питания всех потребителей и часть из них отключается. Интенсивность
отказов генератора при всех исправных генераторах Х=0,25Х
Х10~^ \/час, а при отказе одного из них Я=0,5 • 10-2 {/цас.
Необходимо найти вероятность безотказной работы в течение времени
полета i=8 час и среднюю наработку до первого отказа системы
электроснабжения.
Ответ:
^о(0- 3--4ЛД1 ^ ^ 4 —ЗЛ,/Л ^
Р (8) = 0,995; ^ср с = ■4х"^ ~ЗЛГ" "" ^^^ '^^'
3.45. Для повышения надежности схемы резисторы
резервированы путем параллельного соединения. Схема допускает изменение
сопротивления на 1/3, поэтому параллельно включено три резистора.
Известно, что интенсивность отказов резистора при параллельном
соединении трех резисторов X—0.25* 10"* \/час, при отказе одного
из них интенсивность отказов каждого из исправных возрастает
вдвое, т. е. Xi=0,5-10'~* {/час. Интенсивность отказов одного нере-
* Подобная задача возникает при расчете надежности
электронных схем с дублированием всех элементов.
146
зервированного резистора также равна Л=0,25-10-6 Xhiac, а врехмя
непрерывной работы схемы /=3 500 чис. Необходимо определить
выигрыш в надежности резервирова1[110Й схемы по сравнению с не-
пезервированпой, если надежность оценивать вероятностью отказа
и средним временем безотказной работы.
Ответ:
1 — Щ,/(2\, — ЗЛ)] е-^^^- [ЗХ/(ЗХ— 2X0] е~^^'^ >
Gq (О = 1 _ ^-y,t •
Gg (3500) =^5.10-3; Gj = -^-
3-46. Для повышения надежности системы управления на
объекте установлены два прибора с разными физическими принципами
действия. Первый прибор имеет интенсивность отказов Ai. Второй
прибор состоит из двух одинаковых устройств, каждый из которых
имеет интенсивность отказов Лг; они образуют прибор с общим
постоянным резервированием (дублированием). Установить, какой из
двух приборов должен быть основным, а какой резервным, если
приме1И1ть резервирование замещением с ненагруженным резервом.
Ответ: Оба варианта равноценны, вероятность безотказной
работы в обоих случаях выражается формулой
Яс(0- Xi—Хз "^ 2X2 —X, "^(Хз —Х,)(2Х2—X,)*
3.47. Для измерения некоторой физической величины
используется схема из пяти однотипных приборов, результат измерения
выдается по показаниям среднего (третьего) прибора. Известно, что Х=
= 0,25» 10-2 1/час — интенсивность отказов каждого прибора при всех
исправных; Xi = 0,4«10-2 1/чсс — интенсивность отказов каждого из
исправных приборов, если один из пяти приборов отказал; ^2=
=0,65 • 10-2 \1нас — интенсивность отказов каждого из исправных
приборов, если два из них отказали; /=100 час — время
непрерывной работы схемы. Необходимо определить вероятность и среднюю
наработку до первого отказа схемы.
Ответ:
12Х,Х2е-^^^ 15ХХ,е-^^'^
tc[t)~ (4Xi — 5Х) (ЗХ2 — 5Х) "^(бХ —4Х,)(ЗХ2 —4Xi) ■*"
2QXX, е-^^^^
+ (5Х — ЗХ2) (4X1^3X2) '
Яс (100) -= 12,8 е-'2.5_ 19,8е-М + 8 ^-'^^^^\\
Тор с== -5^+4Х:"^"ЗХГ^ ^^^ ''''"•
3.48. Машина состоит из большого числа элементов, в том числе
она имеет 512 однотипных ячеек. Известно, что: >.=0,36- 10"* Мчас—
интенсивность отказов одной ячейки; .т=2---число запасных ячеек;
10* 147
Xi = 0,18-10-^ {/час — интенсивность отказов запасной ячейки прн
хранении; /=100 час — время непрерывной работы машины.
Предполагается, что машина допускает перерыв в работе на
короткое время замены отказавшей ячейки, но ремонт ячеек
невозможен. Требуется найти вероятность безотказной работы машины и
среднюю наработку до первого отказа машины нз-за отказов ячеек.
Ответ:
, 512Х /. 512Х> .. 1
Ре (100) ^0,4; ^срс=(1^у^) (\+2ку ^
512А
3.49. Система электроснабжения автомобиля состоит из
генератора и аккумуляторной батареи. Без аккумуляторной батареи езда
на автомобиле невозможна, так как нельзя запустить двигатель. При
отказе генератора езда возможна в течение очень короткого
времени (единиц часов). Известно, что интенсивность отказов генератора
>ч = 0,25 «10-2 {/час; интенсивность отказов аккумуляторной батареи
при параллельной работе с генератором Лг—0,15 • 10~^ 1/час, а при
отказе генератора Яз= 1,6-10-2 \/цас. Необходимо получить формулу
для вероятности безотказной работы Рс(0 системы
электроснабжения и вычислить эту вероятность при t=2 час.
Ответ:
3.50. Автомобилист-любитель для повышения надежности
освещения установил дополнительные фары. Известны следующие
исходные данные: ^i=0,35-10~2 Х/час — интенсивность отказов основных
фар; >^2=0,75'10-2 {/час—интенсивность отказов дополнительных
резервных фар во включенном состоянии; Лз=0,1 • 10-^ \/час —
интенсивность отказов дополнительных фар в выключенном
состоянии; t=5 час ^ время движения автомобиля со включенными
фарами.
Предполагается, что при /=0 все освещение исправно, а
дополнительные фары включаются только после отказа основных. Какой
выигрыш в надежности он получил, если надежность оценивать
вероятностью отказов и средней наработкой до первого отказа?
Ответ: Gq{t)^X3t; Сс;(5) =0,5 • 10-^; Gr^2,4.
3.51. Для повьцления надежности используется схема
группирования однотипных приборов из трех по два (т=1/2) с четвертым
таким же резервным прибором, находящимся в ненагруженном
режиме и могущим заменять любой из отказавших. Известно, что:
Л=0,2 • 10-2 \/час — интенсивность отказов одного прибора при
исправных приборах схемы группирования; Xi =0,36-10-^ Х/час —
интенсивность отказов одного прибора при работе схемы
группирования с одним отказавшим прибором; /=100 час — время непрерыв-
148
ной работы схемы. Найти вероятность безотказной работы схемы и
среднюю наработку до первого отказа.
Ответ:
t^<t{n~^ \^ (2Xi —ЗЛ)2 ^ 2Xi—ЗХу
+
9^^ ^^21,
2 . 1
Рс (100) =^0,7; 7'срс=^+-2Г'^^''2 '^^^^
3.52. Решить задачу 3.51 при условии, что четвертый резервный
прибор находится в нагруженном режиме и его интенсивность отка-
ю^ в этом состоянии равна Я.
Ответ:
^° ^^) — 2^1 — ЗХ "" 2Х, — 4Х "^ (4Х ~ 2Х,) (ЗХ«- 2Х,) '
7 1
Яс (100) ^0,62; ^сро = Т2Г"^Т2Х~'^^^* ^^^^•
3.53. Решить задачу 3.51 при условии, что четвертый резервный
прибор находится в облегченном режиме и в этом состоянии его
интенсивйость отказов Х2=0,1 • 10-^ 1/цас.
Ответ:
6ХХ.(ЗХ + Х,)е-<^^+^^>^ 2ХЛЗХ+Х,)е--з^^
"^ ^^ ~ ?^2 (ЗХ+Хг) (Ха+ЗХ — 2X0 >^2 (ЗХ — 2X0
I ЗХ (ЗХ + Ю^ ' ; р flnп^ ~ о fifi-
1 ,1,1
^орс= зх + х, +Ж+Ж"=^'^о ■''^^-
3.54. Решить задачу 3.26, исключив предположение об
отсутствии последействия отказов при следующих дополнительных исходных
данных: Ai=3-10~* 1/час — интенсивность отказов генератора
мощностью в 100 000 кет в режиме работы системы электроснабжения,
когда отказал один генератор; Х2 = 3-!0-'" {/час — интенсивность
отказов генератора мощностью 60000 кет в режиме работы системы
электроснабжения, когда отказал один генератор; Хз=10-з {/час—"
интенсивность отказов генератора мощностью 60 000 кет в режиме
работы системы электроснабжения, когда отказали два любых гене-
paicpa.
Ответ: Ра(1000) -0,97; Р^ (1000) =0,96; Р^ (1000) =0,94.
3.55. Решить задачу 3.26, исключив предположение об
отсутствии последействия отказов, при следующих дополнительных
исходных данных: интенсивность отказов генераторов не зависит от их
мощности и равна Х,=3-10-5 \/час; Xi=7,5,-10-^ 1/час
—интенсивность отказов генератора мощностью 100000 кет в режиме работы
149
системы электроснабжения, когда отказал один генератор; ^2=
=4*10~^ \1час—интенсивность отказов генератора мощностью
60О00 кет в режиме работы системы электроснабжения, когда
отказал один генератор; Лз^Ю"* {(час — интенсивность отказов
генератора мощностью 60 000 кет в режиме работы системы
электроснабжения, когда отказали два любых генератора
Ответ: РЛ^ОО) = 0,97; Р^ (1000)> 0,988; Я„ (1000)=0,993.
3.56. Решить задачу 3.32, сняв предположение об отсутствии
последействия отказов при следующих дополнительных исходных
данных: .?ii = 0,75'10~^ \1час—интенсивность отказов резистора в схеме
а при отказе одного любого из трех параллельно соединенных; ^2=
=0,6*10"^ \1час — интенсивность отказов резистора в схеме б при
отказе одного любого из шести параллельно соединенных; Хз=
= 0,75-Ю""^ \1час — интенсивность отказов резистора в схеме б при
отказе двух любых из шести параллельно соединенных резисторов.
Ответ:
Gj = Tg/T^ = OJb\ Gg= 1.6-10-* при t^mnac.
Gq= 1,6.10-3 при /=400 час, Gq= 1,6-10-2 при/-=4000 час.
3.57. Решить задачу 3.34, сняв предположение об отсутствии
последействия отказов. Известно, что интенсивность отказов резистора
в схеме б возрастает в 1,5 раза, если произойдет отказ одного из
трех параллельно соединенных резисторов
Ответ: Gg (5000) = q^ (5000)/q^ (5000) ^ 45. т. е.J резисторы
целесообразно резервировать.
3.58. Для повышения надежности конструктором предложено
два варианта схем резервирования резисторов:
а — параллельное соединение двух элементов;
б — параллельное соединение трех элементов.
Интенсивности отказов последних имеют следующие значения:
Х=0,3-10~^ [/час — интенсивность отказов резистора в схеме а
или б при всех исправных элементах схемы; %i — 2X—интенсивность
отказов исправного резистора в схеме а после отказа одного из двух
параллельно соединенных резисторов; А2=1,5Л — интенсивность
отказов любого из исправных резисторов в схеме б после отказа одного
элемента; Л.з=ЗА — интенсивность отказов исправного резистора
в схеме б после отказа любых двух резисторов.
Время непрерывной работы схемы /=5000 час. За критерий
целесообразности применения схемы следует выбрать выигрыш в
надежности по вероятности отказов в течение времени /. Какой из
вариантов следует принять, если схема не критична к измененш^
сопротивления цепи резисторов?
Ответ: Gq"(5000) -= q^ (bO00)/q^ (5000) = 296, т. е. следуег
принять вариант б.
8.59. Имеется дублированная система при общем
резервировании с постоянно включенным резервом Интенсивность отказов одной
системы !ки а другой Лг- При отказе первой системы интенсивность
отказов второй возрастает и становится равной %\>7^г, при отказе
второй системы интенсивность отказов первой также возрастает и
становится Х"^>%\. Требуется получить формулу для вероятности
безотказной работы системы Pc(t)*
150
Ответ:
3,60—3.73. Известны: К — интенсивность отказов конденсатора;
Ко, Яз=^1 — интенсивность отказов конденсатора соответственно по
обрыву и замыканию (пробою); (po = ^oy(^o + ^iJ—вероятность того,
что возникший отказ конденсатора произойдет из-за обрыва; t —
время непрерывной работы схемы. Предполагается, что последействие
отказов отсутствует. Найти вероятность безотказной работы схем
соединения конденсаторов (диодов, контактов реле), показанных
в табл 3.2.
Ответы приведены в табл. 3.2.
3.74—3.87. Найти среднюю наработку до первого отказа схем
соединения конденсаторов (диодов, контактов реле), лрлзе:1енных
в табл. 3.2, при исходных данных, указанных в задачах 3.60—3.73.
Ответы даны в табл. 3.2.
3.88. Найти условия, при которых параллельное соединение двух
конденсаторов (диодов, контактов реле) и последовательное
соединение двух конденсаторов (диодов, контактов реле) дает выигрыш
в надежности по сравнению с одним нерезервированным
конденсатором. Предполагается, что последействие отказов отсутствует и схе-
гма некритична к изменению емкости.
Ответ: Параллельное соединение двух конденсаторов
целесообразно, *^,сли (ро>0,5; последовательное соединение целесообразно,
если Kp3>0,5.
3.89. Определить условия, при которых параллельное
(последовательное) соединение трех конденсаторов целесообразно по
сравнению с одним нерезервированным конденсатором, если известно, что
вероятность безотказной работы конденсатора равна р и схема
некритична к изменению емкости.
Ответ:
. -3/ ^
Уо> Q(\ fj^ при параллельном соединении
конденсаторов;
тз ^ g /. г при последовательном соединении
конденсаторов.
3.90. Найти условие, при котором диодная схема рис. 3.13,с
более надежна, чем схема рис. 3.13,6, если последействие отказов
отсутствует.
Ответ: Диодная схема рис. 3:13,а более надежна при <рз><Ро.
3.91. Для повышения надежности реле его контакты
дублированы путем параллельного соединения. Интенсивность отказов
контакта Л=0,36-10-5 Xjuac, фо=0,1; 0,3; 0,5, а время
непрерывной'работы /=100 час. Предполагается, что последействие отказов отсутст-
151
~Зр+К12-
-Ър^
6(1-/.)
—3/7+1/12-
-3/?2
^1
со
t5
VD
CO
+
+
CM
I
J-
I
'<L>
:+
CM
CO
+
+
о
r<
7
+
+
о
CD
+
+
<N —
00
+
+
+
+
1'
1 ^
<NO ,
+
4-
CO
+
+
+
+
"^
1^
+
«<
Tt^
C^l
+
r<
<MO
r<
«
CD
coo
r<
'ф
+
<NO
1
e
CO
+
\
0)
/<
+
о
f<
C^G
f<
CO
СЧ
^
:^
T
a
i?
+
"^
+
^
CvJO
r<
1
1
COO
.<
O)
+
1
a
<M-^
r<
+
r<
о
lO
+
■^
rf
^
#<
1
^ '
<<
1
^_^
CO—•
+
COC)
^
J
1
1
f<
+
CM —
^
CN
s to
<u л
a: О
S h
QJ О
О да
о Л)
«St
?§
р - (
> 1
1
t
V
о-г
CD .
CD
CD •
CO -^-^
CD .
\Ъ2
CO
VO
CO
H
UJ
о
о
P-
a
2
1 •-
15
1 S
?
0;
6^
D.K
s s
og
X
nf»
+
1 ^2^
+ ^
1 «^ ^^
CNJ ^^
+ +
4
Oi
1 7
1
1 1
1 <u
1 t< '"^
й "^
+ +
1 !£
1- 1
+ 7
0 <i^
*-< ^-v
T' foo
+ +
' (NO
^' CM
d 1
X 1
1
^F*
-J"
юоГ
CDI--
CO CO 1
+
1 COCD
2 Й
(NO r<!
^ CO
CD '
CO '**■
^ 1
<30
■^
^
+ ^
Ф 1
(N? <^
'^ ,r^
1 Tr*
1
(NO 1
>—' "^O
(N—< '^
.< "—^
>—V CCO
JT *<
t<
+ +
1 '
I
I
I
T
coo"
CDOO
coco.
+
^
+ -
CI— .-<
f^ CO
(NO.
«< 4-
CO ^0
+ Й
coo 1^
CO
■^
^
J- и
(NO <1^
'< .—.
1 Tf 0
*<
1
^- 1
OJO '^
^ ^-'
"^ coo
^ «<
r<
+ +
^ +
1
г
Г"
t-- ^
CDOO
CO CO 1
+
*<
cop ^
r<: 4,
00 1^
CD ТГ—.
+ ^
СЧО '
^
Г+
^
CM
L 1
1 t 1
"? ^^ T
r< ,< 1
d 1 ^
^ ^^ 1
CM-. ,
+ €^1^5^
^ 1 1
r< 1 1
У CO —
t «^
+ es
CNO +
CD,
CM —
I
JL
I
T
00 c?
CDOO
COCO
153
со
о
о
Си
+ с
о. +
+ -^
00
+
+
+
c^^o
+
+
4<
00
г +
|1
б
^5
О *=1
со
+
I
+
+
CJ
со
+ Uo
- # "Г
" + ^°
+ S Т
+ +
>— <N—.
!± I
1 ■
СП со
«х: оо
I i
+
СМ
+
5^
с^ I ^
'^ + cS
'^^ ^ I
+
"^° I
I
+
Ю
+
+
+
iL'
СО —
+
Cf^ со—«
1_ в ^
I
^
+
+
+ .^
о '
СП ^to
+ d
со—• ,
сч
ОО
+
СО--
^ Г-
О Т^
+ ^
-< +
соо '
СО О Ч" . .
+ со 1
I со-- ^!fvp
о t^ ,<
соо с^- I
+ jb с<
сГС 7 +
со Ф ?^
ОО
I
Ю со —
т?
А
II
V
t-'OO
л
11
I Т
V
+ +
ОО
сч
+
+
ф
+
+
$1 п
см со
t-- 00
154
вует. Необходимо вычислить выигрыш в надежности Gq(t) t1^
сравнению с нерезервированными контактами.
Ответ:
Gq(\00) = 0,2 при <ро=0,1, Сд(100) = 0,6 при v>o = 0,3,
Cg{100)= 1 при ¥о = 0,5.
3.92. Для повышения надежности схемы диоды дублированы
путем их последовательного соединения. Интенсивность отказов
диода Я=О,25-10'^ {/час; (рз = 0,1; 0,25; 0,5, а время непрерывной
работы /=1000 час. Предполагается, что последействие отказов
отсутствует. Требуется определить выигрыш в надежности Gq(t) по вероят-
ности отказа по сравнению с нерезервированным диодом.
Ответ:
^я УЧ ^ I __ xt/2
(7^(1000) =0,2 при фз=0,1, С5(1000)=0,5 при (рз=0,25, Сгд(1000) =
= 1 при (рз=0,5.
3.93. Интенсивность отказов конденсаторов Л. настолько низка,
что для времени непрерывной работы порядка нескольких тысяч
часов всегда выполняется условие Xt^l. При этом условии
необходимо найти выигрыш в надежности Gq(t) схемы рис. 3.13,а по
сравнению со схемой рис. 3.13,6.
Ответ:
Gq (t) -
qa(t) ^З-^Уз^Уо-^УоУз
Яб (О 3-2^1-^1-б^оЪ
3.94. Для повышения надежности конденсаторы дублированы
путем последовательного и параллельного соединений. Известно,
что вероятность того, что возникший .отказ конденсатора будет типа
замыкания, равна 1фз. Требуется определить выигрыш в надежности
схемы От по средней наработке до первого отказа в сравнении
с одним нерезервированным конденсатором.
Ответ:
Gj=if^-]- -^ при последовательном соединении,
(jj.= ~^ <Рз — при параллельном соединении,
3.95. Для повышения надежности применены следующие две
схемы резервирования конденсаторов путем последовательного и
параллельного соединения трех конденсаторов. Известно, что
вероятность того, что возникший отказ конденсатора будет типа
замыкания, равна <рз. Необходимо найти выигрыш в надежности ехем по
среднему времени безотказной работы в сравнении с одним
нерезервированным конденсатором.
155
От RC Т;
I
Gj = -Q- + 0,5уз + <Рз — при последовательном с^оёдйнейий,
G-p = —F— — 2,5«рз + ¥з — ^Р*^ параллельном соединении.
3.96. Для повышения надежности контакты реле дублированы
путем их последовательного соединения. Известны следующие
данные: X — интенсивность отказов одной пары контактов; (рэ —
вероятность того, что возникший отказ контакта будет типа замыкания;
Xi — интенсивность отказов одной пары контактов после отказа
другой пары; t — время непрерывной работы реле. Требуется определить
вероятность безотказной работы дублированной схемы.
От вет:
2Х \ , 2Х
Pcit)
= е-2^'Л-
•)
^-\t
У'~ 2Х — Х, ^у ' 2Х-—ХГ
3.97. Для повышения надежности диоды дублированы путем
параллельного их соединения. Известны следующие данные: Я —
интенсивность отказов диода; ^i — интенсивность отказов
исправного диода после возникновения отказа типа обрыва в одном из
двух диодов; (ро — вероятность того, что возникший отказ диода
будет отказом типа обрыва; t — время непрерывной работы схемы.
Необходимо найти вероятность безотказной работы дублированной
схемы.
Ответ:
Pcit)
-2X/i
1
2Х
:2Х — X,
¥о
+
2?^
2Х — Х,
Уое
-IJ
3.98. Схема двухполупериодного выпрямления резервирована
так, как показано на рис. 3.29,с и б. Известны следующие данные:
X — интенсивность отказов диода; (ро, фа — вероятности того, что
Рис. 3.29. Схемы- двухполупериодного вьи1рямле^ия (к задаче 3.98).
156
возникший отказ п диоде будет соответственно tHtia «обрыв» иШ
типа «замыкание» (пробой); / — время непрерывной работы схемы.
Предполагается, что последействие отказов отсутствует, а отказ
схемы наступает при отказе любого одного плеча. Требуется
получить формулы для вероятности безотказной работы схем.
Ответ:
Ра (О = е-^^' {Ь + е-^^ (а — гЬ) + e-^^ (4 -^ 2а +Щ +
+ е~^^^ (а — Ь — 3)]*;
Ръ (О == ^"^^ [d + с-^' (с — Щ + е-2^ (4~2с + М) +
л == 2 (1 + Уз + 3fo¥3); (^ = ЦоЪ (1 — ¥з);
г = 2 (1 + уо + 29о9з); ^ = 4уо¥з (1 — ¥о).
3.99. Известно, что все элементы равнонадежны, имеют два типа
отказов (обрыв и короткое замыкание) н последействие отсутствует.
Известны также следующие данные: р — вероятность безотказной
работы элемента; фо, фз — вероятности возникновения отказов эле-
^тентов соответственно типа «обрыв» и «замыкание». Необходимо
найти формулу для вероятности безотказной работы
резервированной схемы рис. 3.2,а.
Ответ:
^а = {1-^[(]-<Ро)(1~р)]-Г + *-{1-[1-фо(1-р)]-Г+*.
3.100. Необходимо получить формулу для вероятности безотказ>
ной работы резервированной схемы рис. 3.2,6, если известны те же
д л иные, что II в задаче 3.99.
ГЛАВА ЧETBE^TAЯ
РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ
ИЗДЕЛИЙ
§ 4.1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
К 'восстанавливаемым относятся такие изделия,
которые шосле отказав могут быть отремонтированы и снова
вы^полнять свои функции. Басстановление возможно
с 1Прекращенпем выполнения изделием своих функций и
без нарушения вышолнения своих функций.
При [разработке сложной электронной аппаратуры,
цифровой техники и систем автоматического управления
практически •В'стречаются следующие случаи
восстанавливаемости изделий.
1, Резервирование ic восстановлением, т. е. такое
резервирование, когда отказавшие блоки
восстанавливаются и «снова включаются в состав резервированной
группы. Существенной особенностью конструкции аппаратуры
является возможность осуществлять ремонт отказавших
блоков во время выполнения аппаратурой своих
функций.
2. Изделия с временной избыточностью, т. е. изделия,
располагающие для выполнения .поставленной задачи
резервом времени.
Основной круг задач, (рассматриваемых при расчете
надежности восстанавливаемых изделий, относится к
следующей ситуации. Исправное изделие начинает
эксплуатироваться в момент |/=0 и, «проработав случайное время
Xi, выходит из строя. На ремонт т^ребуется случайное
время Yi, Этот процесс 'продолжае'1Ч:я в течение всего
срока службы изделия, причем величины Xi и Yi (t = l,
2, ...) независимы. В случайные или заранее
установленные моменты времени tj (/=1, 2,...) могут
проводиться профилактические работы случайной или
постоянной длительности Zj, Этот процесс усложняется в основ
ном последующим причинам:
158
— наличие резервных устройств и, как следствие
этого, наличия переходов из одного уровня избыточности
на другой;
— дискретность работы изделия с заранее
запланированными или случайными «моментами начала и окончания
работы;
— ограниченность числа восстановлений (например,
в тех случаях, когда вооста-новление заключается в
простой замене, а запасных устройств конечное число);
— наличие очереди на обслуживание;
— наличие ложных восстановлений исправных
изделий из-за отказа схемы, контроля;
— невозможность начать восстановление изделия
сразу же после его отказа из-за неполноты схемы контроля.
Рассмотрим наиболее распространенные эффективные
методы |расчета надежности восстанавливаемых изделий.
А. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ
КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Рассмотрим основные положения этих методов.
Если любые отказы непрерывно работающей системы
устраняются 'Мгновенно (все Уг = 0), «профилактика
отсутствует, Ч1ГСЛ0 восстановлений неограниченно, а все Xi
являются «езависимыми одинаково распределенными
случайными величинами с одной и той же «плотностью
распределения
fi{x)4(x)=F'{x), (4.1)
ТО моменты отказов образуют (простой .процесс
восстановления.
Частным «случаем простого процесса восстановления
является пуассоновский процесс, для которого
f (JC) = Я е~^^ F(x) = \— е-^^ Я > 0. (4.2)
Если все условия для простого 1процесса
восстановления вы'полнены за исключением того, что длительность
от начала работы до 'первого отказа имеет плотность
распределения
и{х)Ф!{х), (4.3)
159
го такой процесс называется общим процессом
восстановления. Общий процесс восстановления, для которого
f/. (X) = \\~F (X)] / Jxf (X) dx, (4.4)
называется стационарным процессом восстановления.
Если в условиях простого процесса восстановления
величины УгФО и распределены одинаково с плотностью
распределения
g(0 = G'(0, (4.5)
ТО такой процесс называется процессом восстановления
с конечным временем восстановления.
В рассматриваемых случаях большую роль играет
среднее число отказов за время /, называемое функцией
восстановления, или среднее число замен H(t), причем
для всех .приведенных выше случаев имеем
Я(0 = ЁФп(0- (4.6)
При п=\ получим:
— для простого процесса восстановления
Ф,{t)=F,{t)==F{t)■ (4.7)
— для общего процесса восстановления
Ф
,{t) = F,{t) = [U^dz. (4.8)
б
При мгновенном восстановлении и п^2
Фп (/) = F,,{t) = J/^, ^At-^)dF (г). (4.9)
6
В частном случае для стационарного процесса
H{t) = t Jxf {X) dx^ t I M [x\, (4.10)
Из (4.6) следует, что при простом процессе
восстановления H{t) удовлетворяет интегральному уравнению
Вольтерра 2-го рода
H(t) = F{()^[H(t-x)dF{xY (4.11)
6
160
Переходя к лреобразованию Лапласа, -получаем
H(s)^P{s)/il-sF{s)l (4.12)
где
00 00
H{s)= \^e'^W{t)dt; F(s) = ^^-^^F (fjdt.
6 0
ВаЖ'Ную роль играет функция плотности
восстановления, имеющая вид
h(t)^H^(0= f Ф'n{t)=f, fn(t). (4.13)
При 'Простом 'процессе 'восстановления из (4.11)
следует, что
t
h (О = Н' (О = f (О + J л {t~^)\ И dx, (4.14)
о
В теории надежности эта функция называется
/параметром inoTOKa отказов, т. е. /г(0=о>(0.
Вероятность безотказной работы системы на участке
t, t+At 'при М—>^0 равна
P(f, /+1Д/) = 1—/i(0Af+O(A0. (4.15)
Таким образом, h{t) [приблизительно равна
безусловной 'Вероятности отказа за единицу времени (t{t), а
интенсивность отказов
4t)^f{t)l[l-F{t)-\ (4.16)
равна условной вероятности отказа за единицу времени
при условии, что до момента t отказов не было.
В частности, для стационарного процесса
восстановления
/й(/,)=Л(/)=€0П51. (4.17)
Известно, что если f{t)—>^0 -при t—>-оо, то
lim/i(/) = I/7ep, (4.18)
т. е. с течением времени (процесс восстановления
становится стационарным.
При нахождении h(t)) через /(/) можно
воспользоваться приведенным «в гл. 1 уравнением связи между лре-
И--1086 161
образованием Лапласа для частоты отказов и средней
частоты отказов, т. е.
h{s)=f{s)l[l-f{s)].
(4.19)
В случае конечного времени восстановления
Ф„ (t) = JF„'(^ - 2) rfG„ (г). (4.20)
где
Gn(t) =
G(t),
п=\.
5g„_,(^ —г)£/0(г), n>2.
(4.21)
Из (4.20) с учетом (4.9) и (4.21) следует, что
где
<Р„ (О = Ф'„ (О = J и {t - X) ёп {>i) dx, (4.22)
б
fn(О = f'n(t) = ^fn.г{t-x)f (х) dx; (4.23)
О
gn (О = G' (О = ^gv {t-x)g (X) dx. (4.24)
Используя теорему нахождения преобразования Лапласа
свёртки функций, получаем
?п (S) = J9n (О е-«' Л = fn is) gn is), (4.25)
О
где
fn is) = Jf, (0 e-^rf^ = f,_, is) f (s)= [f (s)l-; (4.26)
0
gn (s) = Jgn {t)e--4t =--g„_, (s) g(s) = [g(s)I". (4.27)
6
Различные предельные выражения для ^процесса
восстановления мож'но иайти, используя теорему Смита, со-
162
гласно которой
lini fQ {t — X) dil (x) = 4"f^ (•^) ^•^' ^"^-^^^
где Q(x) —любая невозрастающая, интегрируемая
функция на участке (О, оо).
Изложенные элементы теории (позволяют найти
функцию готовности /Сг(/)-,^5авную, то определению,
'вероятности того, что в момент t система исправна.
Система будет исправна ъ момент t; 'при
осуществлении одного из следующих несовместимых событий:
1) за время t система не отказала;
2) за время ^ система отказывала и
восстанавливалась ровно п раз {/г=1, 2,...), причем последний ремонг
произошел на участке х, х+Ах (x^it) и за оставшееся
время /—X система больше не отказывала.
Вероятность первого события равна
' P(t) = l-F{t),
а второго — (Порядка
Ф'п {Х) AxP{t—x) =<р^г {Х) АхР (t—x) .
Устремим Лл: к нулю и 'просуммируем то всем л: от О
до / и ПО всем /г от 1 до оо. В итоге получаем, что
вероятность безотказной работы систегы в момент / .при
наличии отказов и ремонтов равна
t 00 t
^P(t —^)$] (f,, (х) rfx=JP {t — x)h {X) dx, (4.29)
0 /2=1 0
oo
где h{x)=^Yi 9n {^) есть плотность процесса,
образование!
ного моментами
Следовательно,
Кг (О = я (/) + ^P{t —x)h {х) dx. (4.30)
о
и* 163
Стационарное значение функции готовности (коэффй'
циент готовности) можно найти с помощью теоремы
Смита.
Так как Mm P{t)=0, а математическое ожидание Т
t -^00
случайной величины Xn + Yn (расстояние между
соседними точками рассматриваемого случайного процесса)
при любых п равно
00 ОО
7^ == J xdF (х) + ^ydG (у) = Тер + т,.
о о
то по теореме Смита имеем
t ОО
Kr = lm[P{t — x)h{x)dx = ^^^—{P(t)dt= ^ ^^ .
/^00 J ^ ср i- "Св ) ^ ср -h '^в
О О
(4.31)
Диалогично определяется вероятность'Я(^, т) того, что
система проработает безотказно на заданном участке (/,
t-\-x). Имеем
t
P{f, 1) = Р{(-\-^)+ {P{t + z — x)h(x)dx. (4.32)
о
• В стационарном случае
со
^ст (т) = lim Р (t, х) = -j^^ f Р (х) dx =
т
со
= Кг4-{Р i^) dx- (4.33)
Рассмотрим очень важный для теории надежности
случай, когда
F (О = 1 - е-". / (О = F' (О = Яе-",
(4.34)
G (О = 1 - е'"^. g (О = G' (О = f^e"'''.
где |д. — интенсивность восстановления.
164
в данном случае
00
f(s) = ^Xe-''e-stdt=^,
(4.35)
оо
g(s) = j'tie-'^'e-'rf^ = ^.
О
Тогда, используя (4.13), (4.25)— (4.27), получаем
оо оо
h (s)= j h (О e-^tdt = Jj <Pn (s) =
0 n=l
/!=l
Аналогично, из уравнения (4.30) следует:
Кг (s) =^P{s) + P (s) h{s)=^P is) \\+h (s)]. (4.37)
Так как P{t) = l—F{{) = e"'^', то
ОО
P(s) = Je'-«e-'rf^=^,
0
Отсюда
Положив в (4.33)
Я (/ + т) = e~^ (^+^) = е-^^'Я (О,
получаем, что вероятность безотказной работы на
заданном участке {t, t+r) равна
При t—)-оо (получаем стационарное значение этой
вероятности:
^'стац(^) = /С.е-^^ (4.41)
165
При решении большого класса задач удобно исходить
из вероятностей нахождения системы в том или ином
состоянии. В общем случае число таких состоялий будет
больше двух, но 'при (решении задач теории надежности
обычно 1приходит1ся иметь дело с конечным или по
меньшей мере со счетным числом состояний.
Пусть IB момент / система находится в состоянии L
Если вероятность Pij{t, т) .перехода системы за 'время т
из состояния i в состояние / не зависит от 'поведения
системы до момента tj то такой случайный процесс
называется марковским !процессом. Если эта вероятность не
зависит также от момента t, то имеет месте однородный
марковский нроцесс.
Для этого случая можно найти характеристики
надежности .путем решения различны:?^ интегральных,
дифференциальных и интегро-дифференциальных ураннений.
Например, пусть по-прежнему требуется найти
коэффициент готовности /Сг(0' Если система исправна, будем
говорить, что она находится в состоянии «О», если
неисправна и носстанавливается — в состоянии «1».
Обозначим вероятности нахождения системы в момент / в этих
состояниях через Яо(/) и Pi{t) соответственно.
Естественно, что
Po{t)+Pdt) = L (4.42)
При экспоненциальном законе распределения еремени
безотказной работы F{t) = l—е^" и произвольном
законе распределения времени восстановления G{t)
вероятность P\{t) можно представить в виде
Р^ (/) ^ Я f Р, (^ _ JC) [1 — G (л)] dx, (4.43)
6
Подставляя (4.43) в (4.42), получаем
t
P«(0 + ^JPo(^-^)ll-G(x)]dx==l
о
или
Так как Яо(0=/Сг(0» ^о выражение (4.44)
принципиально позволяет вычислить /(г(О лри любом законе рас-
пределения времени восстановления.
166
при 1произвольном законе распределения времени
безотказной работы F(t) и экспоненциальном законе
распределения времени восстановления G(t] = l—е^"^
вероятность Po{t) 'МОЖНО .представить'В виде
I
P,{f)=.l-^F{t)+i^^PAt-x)[l-F{x)]dx, (4.45)
о
Заменяя -в (4.45) Pi{t—х) на 1^Ро(^—х) и атереходя
к преобразованию Лаозла'са, получаем
p^(,)^(i+g[i-^;i^)]. (4.46)
Если в (4.44) и (4.46) .подставить G(5) = 1/5—l/(s +
+ [i) и F{s) = l/s—l/{s+k) соответственно, получим уже
из'вестное выражение (4.38).
При экспоненциальном законе распределения и
наличии ряда исправных состояний наиболее
распространенный метод нахождения Kr{t) состоит »в составлении и
решении дифференциальных уравнений. Методика их
составления описана б разделе Б. Однако нри неэкснонен-
циальном законе распределения сложность решения
задач резко возрастает. В этих случаях на практике в
основном нашли .применение методы, связанные с решением
интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.
Вероятность P?n+i(0 безотказной работы
восстанавливаемой системы, состоящей из основного и т ненагру-
женных резервных устройств, может быть |вычислена
путем решения следующего уравнения:
Р„^, (О = Р^ (t) - f <Р„ it - X) dPrr. (х\ (4.47)
О
где 'ф^Д/—к) при т==1, 2,... есть функция,
удовлетворяющая интегральному уравнению Вольтерра 2-'го рода:
t
^ш (О = Фт-. (О - f G {X) Т^ {t - X) dTm^. W . (4.48)
Значение вероятности P„7+i(0» к^к видно из (4.47) и
(4.48), находится рекуррентно. При этом <pti(/)=A(0 =
=P{t) —1вероятность безотказной работы одного
устройства; G(x) ^функция распределения времени
восстановления.
167
При выводе (4.48) предполагалось, что время
восстановления не зависит от того, сколько проработало
устройство.
При отсутствии 1воостановления
=Ф^(0 =<Pm-i(0 = ... —фйСО =Л(0 =P{t)^ (4.49)
В случае дублирования (т=1) и экспоненциального
закона распределения, г. е. при
Р^ (t) г_. ^-^, G (О = 1-е-«^', (4.50)
функция (pi(0 удовлетворяет дифференциальному
уравнению
ф|^+(2Я+[х)ф'1+С^>1=^0. (4.51)
Решая это уравнение три начальных условиях ф1(0) =
— Фо(0) = 1, ф»'1(0) =ф'о(0) =—А, получаем
Ь (О = -^^ [(Я + X,) е^^^ - (Я + X,) е^^^]. (4.52)
где
Подставляя (4.52) в (4.47), получаем
В общем случае решение уравнений (4.47) и (4.48)
возможно лишь приближенными методами с
применением цифровых вычислительных машин-или шутем
представления в 'виде бесконечного ряда.
В практически важном частном случае, когда т=1
(дублирование), а средняя наработка до первого отказа
(Т'ср) и время восстановления (тв) устройства
удовлетворяют соотношению
Тв/Гср<1, (4.54)
величину p2(t) можио найти по приближенной формуле
PЛO^e-""^ (4.55)
где
оо
a = -\^\\-G(t)]dPAty (4.56)
о
168
в частности, при выполнении (4.50) и (4.54),
получаем
a^Aje-^e dt=-^^ ~; Т, = ^,
О
Т G*
РЛО'^е-'^"<'^+'>^е-^"/^- '^ (4.57)
В общем случае расчет надежности резер'вированных
восстанавливаемых систем лри экспоненциальном законе
распределения времени безотказной работы и времени
восстановления рекомендуется проводить методами,
изложенными ниже в разделах Б и В.
Однако в различных случаях временной избыточности
составление интегро-дифференциальных и интегральных
уравнений даже при экспоненциальном законе
распределения, как (Правило, является основным способом
нахождения количественных характеристик надежиости.
При 'Временной избыточности, 1когда допустимы inepe-
рьквы в функционировании на постоянное время т,
'вероятность 'выполнения доставленной задачи P{t, т) можно
искать или в виде
P{t, x)=f ЯЛ^, '^)Gn{^). (4.58)
Аг-О
или
P{t, ^):^\-F{t-'C) +
t—T
+ [dF{x)^P[t-x^-y.z]dG{y), f>T, (4.59)
0 0
где Ph{i, t)—вероятность того, что за время t будет
ровно k отказов, при условии, что длительность
восстановления Б каждом случае была меньше т; F{x)
—функция распределения Бремени безотказной работы; G{x) —
функция распределения времени восстановления.
При мгновенном восстановлении и экспоненциальном
законе распределения времени безотказной работы
f (х) = 1—е-^Л (4.60)
вероятность Pk(t, 0) подчиняется закону Пуассона
Р,(^0) = -^е-". (4.61)
1С9
Зависимостью (4.61) можно воспользоваться и при не
со
мгновенном восстановлении, если / > т, ^ > Тв= f [1 —
о
— G(x)\iix, а 1/Я есть величина того же порядка, что
и t. Тогда
Рк {t. -с) - Р. {t, 0) = -^ е~^. (4.62)
С учетом (4.62) из (4.58) получаем
Р (^ т) ^ е-^^ V l^^^P^ = е-^^'-^ '^^1. (4.63)
В частности, если
G(t)=1—е-'^\ (4.64)
то
Я(/, т)^е-''^"^\ (4.65)
В случае выполнения и (4.60), и (4.64) точное
значение вероятности Я(/, т) проще искать в виде
Pit,x)^Po{t,r)+P^t,r),
где Po{t, т), Pi{t, т)—условные вероятности того, что
в момент / система 'Соответственно функционирует или
находится на восстановлении три условии, что за ^ремя
t длительность каждого 'восстановления не превышала т.
Вероятности Poit, г) и Pi{t, г) при />т находятся путем
решения -численными методами системы интегро-диффе-
ренциаль'ных уравнений:
P'o{t)=-^Po{t) + l^PAt),
^ (4.66)
Р, (О = Я f Ро {i — ^) е~^^ dx.
о
Аналогичная система уравнений может быть
составлена и »при сочетании этого вида временной
избыточности с аппаратурной.
Средняя наработка до первого отказа может быть
найдена из соотношения
00
О
170
в частности, интегрируя от О до оо обе части системы
(4.6G), получаем
^срс = (4-+^)е'Ч—^- (4.67)
В случае временной избыточности, связашюй с а^али-
чием излишка времени, расчетные соотношения зависят
от характера влия-ния отказа на результаты проделанной
работы.
Если после -восстановления работу приходится
начинать сначала, то Бероятность P{t, х) того, что задача,
требующая для своего выполнения непрерывной работы
изделия в течение т, будет решена за время t>x,
определяется выражением
P{t, т:) =
О, t<x,
l-^'W + J J P{t-x-y, ^)dF{x)dG(y),
' t<^<2t, (4.68)
1-^W+J J ""Pit-x-y, z)dF{x)dG{y),
d 0
В «практически важном частном случае, когда
избыток времени не очень велик (т^'/^2т), значение Р(/, т)
проще искать из 'выражения
I /2—1
_[1_/.(,)]{1+Я(^-п:)}, (4.69)
где Фп("/—т) определяется из выражения (4.20); H{t—
—^т) —функция восстановления.
Если отказ 1вызы1вает задержку в выполнении задачи,
равную длительности восстановления изделия, то задача
будет 'выполнена, как только суммарная полезная
наработка достигнет заданной величины т. Обозначим эту
наработку в произвольный момент времени t через S^
Тогда "Вероятность P{t, т) того, что задание длительностью
171
т будет выполнено в течение времени /^т, вычисляется
из соотношения
(4.70)
где Gn{t—т), Gn+i(^—t) и /^n(t) лри /г^1 определяются
выражениями (4.9) и (4.21), а Go^)^—T)=Fo(t)^l.
При экспоненциальном законе распределения, когда
имеем
P{t, -=)= 1 _е-^'^+^<'~^" V^ V Л^(^-^)^^ (4.71)
При больших ^ 'величина 5^ независимо от законов
распределения асимптотически нормальна со средним
St=[TJ{T:+T,)]t (4.72)
И дисперсией
4=^ PvFAP ' ^^-^^^
где 7i, o^ — среднее время наработки до первого отказа
и его дисперсия; Т^, о^—среднее время восстановления
и его дисперсия.
Следовательно, при больших t
Б. МЕТОД, ОСНОВАННЫЙ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ
ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Метод состоит -в следуюш.ем:
1) составляются уравнения массового обслуживания;
2) выбираются начальные условия решения задачи;
3) определяются Бероятности застать изделие в ис-
172
правном состоянии в любой момент 'времени и ^вероятно-
сти безотказной работы;
4) определяются в случае необходимости другие
количественные характеристики надежности 'по
аналитическим зависимостям, приведенным в гл. 1.
Составление уравнений массового обслуживания
Перенумеруем возможные состояния изделия. В шро-
стейшем случае таких состояний будет два: изделие
исправно («состоящие «О») и изделие неисправно
(состояние «1»). При т-1^ратном общем резервировании изделия
число 'ВОЗМОЖНЫХ состояний равно т+2. Будем говорить,
что имеет место i-e состояние, если неисправны i
изделий (/='0, I, 2,.-.,m+'l).
Для составления искомых уравнений должны бы1ь
заданы: Яг-i, г — интенсивность перехода из (/—1)-го
состояния в i-e\ [Яг, г-1 — интенсивность обратного перехода
из /-Г0 состояния IB (i—1)-е.
Для краткости будем в дальнейшем писать
^г—1, г=Л/г—Ь М-г, г—1=^ Иг-
Пусть pi(t) — вероятность того, что -в момент t имеет
место t-e состояние. Сравнивая эти состояния 'в (моменты t
и /+Д4 'ПО формуле полных вероятностей (Получаем
Рг {t + ДО = Рг-. (Oil- е"'*-'-''] + Pi (О [е~'*''е~''*''] +
+ A+.(0ll-e~''*-''"l+O(A0 =
= А_, (О [^i-г^t + О (Д01 + Рг (О [1 - (^ + R)A^+0 (Д01+
+ A4..[R+.A< + О (АОЦ-О (АО-
Здесь через О (At) обозначены величины второго йо-
рядка малости по сравнению с At.
В 'Пределе 'при At—>-0 приходим к системе
дифференциальных уравнейий:
;7'Л0 = -Я.А(0 + ^/*,(^.
Р'г (О = ^-,А-. (О - {к + R) Pi (О + \4+.Pi+r (t)
{i~\, 2,...,m).
Pm+.(0= in,Pm{t)-'Vn,^,P,n*Ai)-
(4.75)
173
Процесс изменения состояний рассматриваемой
системы изделий можно 'Проиллюстрировать с помощью
графа, представленного на рис. 4.1. Узлам графа
'соответствуют состояния системы (О, 1, 2, ...,т + 1), а ©етвям —
возможные переходы из одного состояния в другое.
Искомая система дифференциальных уравнений
может быть €0<:та'влена с !памощью графа совершенно
механически. Для этого необходимо три всех
значениях / слева написать производную
от вероятности pi{t)^ а справа отросумми-
ровать вероятности состояний, из
которых возможен переход в i-e состояние,
•предварительно умножив их соответствен-
•но на интенсивности этих переходов, и
отнять вероятность Pi{t), умноженную на
сумму интенсивностей .переходов из /-го
состояния во все другие.
Приведенный на рис. 4.1 граф есть
простой неветвящийся граф. Примером
простого ветвящегося графа состояний
^0
и
л,
Р)
ш I
м
ф*$
Рис. 4.1. Граф переходов системы
при.т-кратном общем
резервировании.
системы массового обслуживания может служить граф,
приведенный на рис. 4.2, где приняты обозначения:
Кгу — интенсивность перехода из t-ro состояния в
состояние /; [iji — интенсивность обратного перехода из /-го
состояния в состояние /.
Тогда система дифференциальных уравнений
массового обслуживания будет иметь ©ид:
Р'о (О = — hiPo if) + tijo/?i if).
p\ (0 = KPo (0 — (^.2 + ^13 + Ы p. (0 + H».! A(0 + \^z.pM
(4.76)
.174
Так как при любом t сумма •бероятйостей всех
(возможных состояний системы равна единице, то сумма
членов правых ча-стей систем (4.75) и (4.76) должна
равняться нулю.
Система дифференциальных ура-внений ти.па (4.75) и
(4.76) может
использоваться при определении
следующих 'показателей:
— вероятности
безотказной работы
(резервированных восстанавливаемых и не-
восстаиавливаемых
ремонтируемых систем;
— функции и
коэффициента готовности
восстанавливаемых резервированных
и -нерезервированных систем
при различных способах
обслуживания;
— вероятности нахождения в данный момент времени
на восстановлении k элементов;
— 'Среднего времени пребывания системы б любам
состоянии.
Рис. 4.2. Простой ветвящийся
граф переходов системы.
Выбор начальных условий решения задачи
. Надежность восстанавливаемого изделия, как прави-
ло, определяется 'Дри условии, что )в момент включения
все элементы исправны. Тогда
I о, 1фО,
(4.77)
В общем случае в момент ^ = 0 изделие может
находиться в некотором состоянии у.
Тогда
I. « = /,
(4.78)
175
Определение вероятности застать изделие в исправном
состоянии в любой момент времени
Вероятность застать (изделие в исправном состоянии
в любой момент времени находится путем решения
уравнений типа (4.75) и (4.76). Ограничимся рассмотрением
системы типа (4.75).
При заданных начальных условиях эта система имеет
единственное решение, лричем для любого начального
состояния существуют пределы
m+l
/m+1
lim рг (О = Pi = 0г / S ^i^ (4.79)
где
- Искомая вероятность К^ (t) находится из выражения
Кг (0= Saw (4-81)
гдеп—последнее исправное состояние изделия (n^m).
При т=0 (резервирование отсутствует) решение
системы (4.75) (Приводит к уже «siBecTHOMy -выражению
(4.39), полученному ранее с 1ПОмощью функции
«восстановления.
Часто число состояний, в которых изделие
неисправно, меньше, чем число состояний, -в которых изделие
исправно. В этом случае удобно «вначале находить
вероятность застать изделие в неисправном состоянии /Сп(Й) по
формуле
^■„(0= 2 Pi it), (4.82).
а затем — функцию готовности из (выражения
/Cr(0 = l-/Cn(/i). (4.83)
176
Если изделие считается отказа^вшим только при
нахождении егов состоянии ш.-1-l, то
т
/С, (О = S Pi (О = 1 - Рш+, (О- (4.84)
Коэффициент готовности находится из (^.81) как
установившееся значение Kr{t), т. е.
Кг = УтКА^)' (4.85)
Определение вероятности безотказной работы
и средней наработки до первого отказа
Вероятность безотказной работы находится 'путем
решения системы дифференциальных уравнений типа (4.75)
и (4,76) при заданных начальных условиях. При этом
в системах (4.75) и (4.76) исключаются в правой части
те члены, которые содержат интенсивности переходов
из отказовых состояний.
На 1Практике иногда целесообразнее находить
вероятность отказа изделия, так как отказовых состояний
обычно меньше, чем иоправных. Далее по известной
'вероятности отказов находят вероятность безотказной работы.
Ограничимся рассмотрением системы (4.75) лри
условии, что отказ наступает при выходе из строя всех m+'l
устройств. В этом случае в системе (4.75) необходимо
положить [Ят+1='0, а искомая вероятность безотказной
работы есть вероятность того, что рассматриваемый
случайный процесс изменений состояний изделия за время f,
ни разу не окажется гв иоглощающем состоянии m+'l.
Обозначим )решение этой новой системы уравнений через
Si{f). Тогда
т
Ре (О = Е ^ г (О = 1 - S' „+. (О- (4.86)
1=0
Если в начальный момент времени система находится
в состоянии /^ = 0, то средняя наработка до первого
отказа есть среднее время перехода из нулевого состояния
в состояние m+'l и определяется выражением
т / k \
7^cpc--S Хвг/ЯА . (4.87)
k=^0 \/=0 /
12^1086 177
в ряде 'Прикладных заДач теорий надё^йостр! Ёербят-
ность безотказной работы системы довольно точно
определяется через Гсрс по приближенной формуле
/'с(0«е"''^*'Р". (4.88)
В. МЕТОД, ОСНОВАННЫЙ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ
ТЕОРИИ ГРАФОВ
Не составляя и не решая дифференциальных или
интегральных уравнений, можно 1П0лучить количественные
характеристики надежности восстанавливаемых
резервированных ycTpoHdiB.
Непосредственно по известному графу состояний
записываются выражения для установившегося значения
коэффициента готовности, а также выражения в
«преобразованиях Лапласа для вероятности безотказной работы
и вероятности застать устройство в иопраБНОм состоянии
в любой момент времени.
Рассмотрим эту методику на частном примере.
Пусть дано некоторое устройство (элемент, узел,
блок, система и т. п.), для (повышения надеж'ности
«которого 'Применено общее '-постоянное резервирование.
Известны:
— интенсивности перехода устройства из i-ro
состояния в состояния г—1 и «+1;
— необходимое !время работы устройства;
— кратность резервирования;
— число обслуживающих бригад.
Необходимо вычислить вероятность безотказной
работы P{t) в течение времени i и вероятность Кг(0 того,
что резервированное устройство будет исправно в любой
момент 1времени t
Решение. Сделаем следующие допущения:
— длительность безотказной работы и .время
восстановления отдельных элементов подчиняются
экспоненциальному закону;
— при отказе одного из устройств оно сразу же
отправляется на восстановление и ожидает очереди на
обслуживание, если все ремонтные бригады заняты, или
178
немедленно начинается процесс восстановления, если
очереди на обслуживание нет.
При указанных выше допущениях функционирование
резер^вированного устройства можно представить уже
известным графом, изображенным на рис. 4.1.
В дальнейшем для конкретности (Шредположим, что
кратность резервирования т = 2, все устройства ра-вно-
Рис. 4.3. граф переходов
системы при двухкратном
общем резервировании.
^^0/ ~ ^0 ~ЗХ
^12'^1'2Х
^гз " ^2 '^
(^
Л м
10
-л^^я
н
0
^zr-^z'^^
^3Z^^^^^
надежны, каждое из них имеет интенсивность отказов >i,
а при отказе любого из устройств надежность
исправных не меняется. Предположим, что резервированная
система обслуживается одной бригадой, а интенсивность
восстановления равна ^i. Топда граф рис. 4.1
преобразуется 'В граф, 1показан'Ный на рис. 4.3.
Из нулевого состояния (все устройства исправны)
возможен переход .в состояние 1, когда одно устройство
отказало и отправлено в ремонт, а два других исправны.
Интенсивность перехода будет >ioi=ft.o = 3>i. Из состояния
1 возможен переход либо \в состояние О с интенсивностью
восстановления [Л1о='^х, либо в состояние 2 с
интенсивностью отказов >ii2=«>ii=2>?i. В состоянии 2 одно
устройство испра/вно, одно ремонтируется и одно ожидает
ремонта.
Из состояния 2 вновь возможны два перехода: в
состояние 1 с интенсивностью восстановления fX2i=[^ (так
как имеется только одна ремонтная бригада) и ib
состояние 3 с Интенсивностью .перехода Л2з='Я2=1?с. В состоянии
\2*
179
с^
Л(7/ - «5Л,
•^w^-^
3 все устройства отказали, поэтому возможен переход
только (В состояние 2 с интенсивностью восстановления
Если имеется несколько бригад обслуживания, то вид
прафа не меняется, а изменяются лишь интенсивности
перехода \xji^ Так, например, если имеется две бригады
обслуживания, то \iio=\i, \i2i = \i3i^2\x. Если число бригад
fe=3, то [110= \1у \\i2i=2\x, ^^lз2=3^x- Вид графа также не
изменяется, если имеет место резервирование замещением.
В этом случае Л.1о=Я21='Яз1=Л. (в предположении, что
интенсивности отказов резервных устройств до включения
в работу равны нулю).
Если отказ одного из устройств вызывает изменение
интенсивности отказов устройств, оставшихся
исправными, то вид графа вновь не изменяется. В этом случае
Яю1=ЗЯ, Xi2=2A(^), Х2з=Л,(2\ где Л — интенсивность отказов
любого из устройств, когда все
они исправны; Х^^^ —
интенсивность отказов каждого из
исправных устройств при отказе любото
одного; Я(2)—интенсивность
отказов исправного устройства нри
отказе двух любых устройств.
Рассмотрим, -как
деформируется приведенный на рис. 4.3 граф
в случае резервирования по
схеме группирования (с дробной
•кратностью, когда т=1/2). Так
как отказ наступает, э^огда
отказывают любые два устройства, то
'при одной бригаде обслуживания
Яо1 = ЗЯ, А.12 = 2Я, ^23=^ О, \iio=
= fX2i=M', pis2=0. Очевидно, что
в этом случае граф будет иметь
вид, показанный на рис. 4.4.
Независимо от вида графа ясно, что для нахождения
количественных характеристик надежности 'Перечисленных в
нашемнримере случаев достаточно было бы получить
формулы для вычисления вероятностей состояний
устройства в зависимости ot интенсивностей переходов Xij и jxji*
Получим расчетные формулы для коэффициента го*
тоЁностй, вероятности застать систему в исправном -со*
стоянии в любой момент времени и вероятности безш-
казной работы системы.
^iP-Z^
л
Z1
W
Рис. 4.4. Граф
переходов системы при общем
резервировании с
кратностью т='Ч2.
IBQ
Составим систему дифференциальных уравнений,
описывающих поведение такого устройства:
(4.89)
di
^ = КгР. it) - (Я,, + 1х,„) р^ it) + i^,,p, (О,
Начальные условия: /?о(0) = 1; /?i(0)=/?2(0) =рз{^) =0.
Решая эту систему уравнений с помощью
(преобразования Лапласа, приходим к следующей системе линейных
алгебраических уравнений:
{S + >^oi) Ро is) — li.oPi (S) = Ь
— КРо {s) + {s + Я^2 + ii,o) Р, (s) — V^2iP2 (s) =^ 0.
— K2P1 (S) + (5 + Я,з + fi^,) P2 (5) — ^ХззРз (S) = 0,
— KzP2[{s) + (S + P^as) Pa C^) = 0'
где рИ^)—преобразования Лапласа вероятности /?г(0*
Правило Крамера дает нам решение такой системы
в виде
/?г(5)'=Дг7Д,
-н-ю о о
^12 •^+^23+^»^l ~-t^23
(4.90)
Д=.
о
о
(4.91)
' (4.92)
где А—главный определитель системы; Ai — частный
определитель, который находится из (4.92) заменой £-го
столбца коэффициентами, стоящими в правых частях
уравнений (4.90).
Раскрывая Д по степеням s, получаем
Д = ^ [5' + (К + ^12 + Ks +>10 + 1^21 + 1^.2) ^V' +
+ V-i»V-»iV-n + Kv-nV-*» + ^Ф,^«»«-м + ^.1^..^|] • (4.93)
161
Анализируя вид коэффициентов в определителе А,
можно заметить, что они построены следующим образом.
Свободный член равен 0. Это является необходимым
условием существования стационарных решении для
pi {s), так как
Рг (оо) "= ПШ spi {s) = const.
Коэффициент при s^ равен 1. Коэффициент при s^
представляет собой сумму всех -интенсивностей переходов
графа рис. 4.3. Коэффициент при s^ есть -сумма попарных
произведений интенсивностей переходов, за исключением
произведений вида l.ij\iji и i^i, i+il^i, i-i. Наконец,
коэффициент (при S есть сумма д-роизведений интенсивностей
'переходов, взятых по три, за исключением тех, в которых
встречаются те же произведения ^lijjXji и Хг, г+1|Яг, i-i, т. е.
остаются только произведения интенсивностей 'переходов
из каждой крайней точки графа состояний в данную
{щу^2Щ — 'В точку о, ?1о|Я2|Яз — в точку и ^^2^t3—^^в точку 2,
'kihikz — в точку 3).
в нашем случае имеется только одно отказовое
состояние— состояние 3. Поэтому вероятность рз ^ть
вероятность простоя /Сп, 'Причем
Кп(5)=Рз(5)-Аз/А,
где
(4.94)
Из выражения для Лз видно, что этот определитель
представляет собой произведение интенсивностей переходов
из всех возможных исправных состояний в неисправное
состояние 5.
Таким образом, для нашей задачи вероятность
пребывания резервированной системы в состоянии 3 или
вероятность простоя в преобразовании Лапласа будет
иметь вид
+ ЯЛ|*. + Я,|*,|*з)1}-^ (4.95)
182
3 =
^s + Хо,
Xqi
0
0
— p-l
S + Хгг+Н-ю
-^ Х,2
0
0
— ^-21
5+^23 + fJ.21
^28
1
0
— ^•32
5 + ^-82
Если известно Kn{s), то (Вероятность застать систёМу
в исправном состоянии находится из выражений
/Cr(^J = l—/Сп(0, Kr{s) = lls-Kn(s) =
= 1М^Аз/|Д. (4.96)
Установленное нами правило для системы, граф
состояний которой icooTBeTfCTByeT рис. 4.3, оказывается
.справедливым для системы с произвольным числом
состояний, граф которой изображен на рис. 4.1, т. е.
A = As'^ + 4s^*' + -+As, (4.97)
где
Д = 1; Д =5] Хг,г+г + S l^i+u^l
Ai (i=3, 4,.. .,ft) — сумма произведений интенсивностей
переходов, взятых по /—1, за исключением тех членов,
в которых содержатся произведения вида Хг, i+i, |Хг+1, г и
Яг,г+1, |Яг.г-1 (/ = 0, 1, 2, . . ., k—2),
Afe = 11 ^г.г+1-
Доказать сформулированное «выше правило легко
методом математической индукции.
Граф состояний резер1Вирова'нной восстанавливаемой
системы может иметь более сложный вид, чем
показанный на рис. 4.1. Сложные ветвящиеся графы лолучаются
при раздельном резервировании, учете двух характеров
отказов, отсутствии контроля моментов отказов
отдельных устройств резервированной системы, резервировании
неравнонадежных устройств и т. in.
В этих случаях может быть несколько отказовых
состояний. Тогда вероятность того, что резервированная
система будет неисправна « любой момент времени /,,
равна
Лп(0 = 1а(0. (4.98)
^А^ Pi{t) —вероятность того, что система в момент
времени t находится в г-и отказовом состоянии; N — число
отказовых состояний.
183
Очевидно, что шреобразование Лапласа для pi{t)
находится из выражения
Piis)^Ai(s)/A{s), (4.99)
где A(s) =51Ло5^~^+Л15^-2+ ... +Л/г_1] — главный
определитель системы; Ai{s) =Bos^+Bis^~^-\-... H-fin — частный
определитель; п-—число, зависящее от уровня отказового
состояния; k — число состояний системы.
Нами установлено, что независимо от вида графа
резервированной восстанавливаемой системы
коэффициенты А{ определителя A{s) находятся по указанному выше
правилу.
Оказывается, что число п и коэффициенты Вг
частного определителя Aiis) легко находятся непосредственно
из графа и выражений для коэффициентов А при
соответствующих степенях 5 определителя Д. Степень
полинома числителя определяется из выражения
Аг=А—1—/,
где k — число состояний устройства, равное числу узлов
графа; / — номер уровня f-ro отказового состояния,
численно равный количеству неисправных устройств резер-
вированной системы, находящейся в отказовом
состоянии /.
Коэффициент Bi определителя Ai{s) находится
непосредственно из коэффициента Аг при той же степени s
определителя A{s). Оказывается, что Bi содержит те
члены коэффициента Ai, в ^которых имеются
произведения всех интенсивностей переходов из состояния О (все
элементы иоправны) ^в отказовое состояние i ino кратчай-
uieiMy пути, т. е. без .восстановления.
Описанная методика .позволяет особенно легко найти
установившееся значение функции готовности —
коэффициент готовности. Так как
Kn^UmsKAs). Kr^^msKris). Kr=-l—K^, (4.100)
TO очевидно, что
= Hm
B.S" + B,s-> + ... + B„ __ B„
184
Для нашего примера
^01^12^28 + ^01^l2t^82 + ^lP*2ll*'32 + 1^101^121^32
По известной функции готовности легко также нантн
вероятность безотказной работы. Очевидно, что в графе
состояний теперь будут отсутствовать переходы из отка-
зовых состояний всего устройства в исправные. Тогда для
отыскания гпреобразования Лапласа вероятности отказа
достаточно в выражении для Kn{s) вычеркнуть члены,
которые содержат интенсивности переходов из отказо-
вых состояний системы «в и^справные во всех
коэффициентах Аг и Bi, В нашем примере необходимо вычеркнуть
члены, в которых содержится коэффициент \i32- Тогда из
выражения для Kn{s) получим
Q(5) = ЯoЯЛ{5[5^ + (Яo + я, + я, + ^ + ^x,)5^ +
+ (Мо + Va + КК + 1^11^2 + ^«1^2 + ^А) ^ + ККК} '\
+ Kplj + Л0Л2 + Х1Х2 + XotXg + tJ^i^g + t^^2
^ + (К"^! + "^oh + ^1>^2 + ^oH*2 + V^lh + H'll*'2) 5 + Xo^, h'
Зная P{s), легко найти среднюю наработку до первого
отказа. Так как
00
P(s)==[P(f)e~^4t, (4.101)
то
Р(0)==?Р(0^^ = Гер. (4.102)
т. е. для определения средней наработки до первого
отказа достаточно найти преобразование Лапласа P{s) и
затем, 1Подставляя в него 5 = 0, записать выражение для
средней наработки до первого отказа.
Для нашего примера из выражения для P{s) имеем
185
Описанный метод расчета надежности
резервированных восстанавливаемых устройств (Позволяет найти
расчетные соотношения непосредственно из графа состояний
системы, не составляя и не решая уравнений массового
обслуживания. Его недостаток ib том, что для
определения Kr{t) и P{t) необходимо находить обратные
преобразования Лапласа от функций Kt(s) и P{s),
-представляющих собой дробно-рациональные функции.
§ 4.2. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ
Пример 4.1. Резервирование осущеатвлено по -методу
замещения с ненагруженным резервом. Время 1работы до
отказа работающего канала описывается
экспоненциальным законом с параметром %, а микромодульный
усилитель заменяется после отказа всех m каналов.
Предполагается, что переключающие устройства идеальны -в
смысле надежности. Требуется найти за время t среднее
число замен микромодульного усилителя, состоящего из
основного и т—1 резервных каналов.
Решение, Так как число замен за в|ремя t равно
количеству отказов, то, по определению, среднее число
замен есть функция восстановления H(t).
Воспользуемся выражением (4.12):
His)=F{s)f\[lsF{s)l
где F{s) —есть преобразование Лапласа закона
распределения суммы т независимых случайных величин с
законом распределения 1—е~~ ^ каждая.
Преобразование Лапласа от плотности распределения
этой суммы определяется соотношениями (4.26) и (4.35)
и равно
Z
Так как f (г) = f / {х) dx, то
6
Следовательно,
Я (s) = X'^/s \{s + Я)" — Я'"].
т
Отсюда Н (i) равййется Сумме вычетой функции
Я^е^7^ К^ + ^Г' — '^''"l по полюсам s = 0 и s = Sfe =
= Я(е'^ —1), k = 0, l....,/7Z—1, где е^е^''^^'^, i=y^ZI\^
Так как s^ = О, то полюс s = О есть полюс второго
порядка. Следовательно, Н (s) можно представить в виде
-л—I
H(s) = X^ls' Y[(s-s^),
По правилам перехода от изображения к оригиналу
имеем
H{t) = ^'"li,^
т—\
m—I
* ds\ ^-i I "^
.0 L ^^=1 Л=о
S — Sj
Л=1
V
m—l
Заметим, что {s-\-X)^ — Я^ = 5 ГГ (s—s^). Следовательно,
га—1
П (« - ^.) 1 s=o = lim ii + ^)p=^ = ;„Я'"-.
Л=1
Аналогично,
s^O
П(^~^^)
Lft^l
rfs [(5 + Л)^~Л"^ J^^o
\s=0
Так как
1
s — s^
m~\
m~l
187
а So = О, то
m—1
можно представить в виде
1
s
1 1
m-1
-^[(s + V)^-'^'^]
1
Подставляя полученные значения в выражение для
H{t), получаем
я(о =
я^
т — I
m-l
1=1
_И (е/—I)
— 1
Среднее число замен в единицу времени равно
пример 4.2. По условиям предыдущего примера
найти среднее число замен усилителя за время /ив единицу
времени при т=1 и экспоненциальном законе
распределения длительности замены усилителя с параметром
^ = 0,5 1/час. Интенсивность отказов работающего
канала равна 0,01 1/час, t = 50 час.
Решение. По определению (см. формулу 4.6),
среднее число замен есть
где согласно (4.7), (4.9), (4.20) и (4.21)
Ф„(0=[^п(^-г)^е„(2);
iP{t)
я= 1.
Рп(О-UF^_,{t-z)dP^(г), п-^2;
lG{t), я=1.
G„(0 = |jG^_^(^_^)^<5„(z), п^2.
188
При решении предыдущего примера было показано,
'-по функция распределения безотказной работы
дублированного усилителя F{t) подчиняется закону Эрланга:
t
F (О = J f (Оrf^= I — е^^' (1 + Xty
о
Так как Р^ (s) =^ F^ -1 (s) sF {s) = 5^^ ~ ^F"^ (s), имеем
Аналогично, если G (^) = 1 — e~*^^ то G^ (s) = |x^/s (s + fi)'^.
По теореме нахождения преобразования Лапласа
свертки функций получаем
оо
Так как Я(0 = 1] Фп(0. то
/г—1
оо
1 XY
H(s)^УФAs) =
«^ ^с L >\г /с _L ii.\ I 1 —
(s + A)Ms + H-)[i-(jqr75?^qr^
Vii.
5Ц.-;'' + (2К + 1^)8 + \^ + 2Щ ■
По формулам перехода от изображения функции к ее
оригиналу находим
X {12Я' + IJ^' + (2Я + ti) 1Л}л'' —4Я11] ^-^^^^^^т—
— [2Я" + iJ^" — (2Я + V) Vv^' — ^M е- "^1^^=^'/2).
Отсюда
X {[2Я + fj. + Kfj."—4Я1х1 ei^i*"^=W '/2 _
— 12Я + jj^ — iV —4Я,.1 е- '^•^'^^'/'}.
189
Подставляя исхоДйые Данные из условия зада^!^.
Получаем: Я (50 час) ^0Д56 замен, ft (50 час) ~
«0,0033 замен/аде.
Пример 4,3. Длительность безотказной работы
каждого устройства и суммарная длительность
восстановления обоих устройств подчиняются экспоненциальному
закону с параметрами К и [i соответственно.
Необходимо определить функцию готовности дублированной
системы с ненагруженным резервом, восстанавливаемой
после отказа основного и резервного устройства.
Решение. Воспользуемся выражением (4.37),
связывающим/Сг (5) ch{s):
Kr{s)=p{s)n+h{s)l
Как было показано в гл. 3, вероятность безотказной
работы дублированной системы с ненагруженным резервом
равна
/'(о=:е~"(1+яо.
Следовательно,
P{s) = 1/{s+;K)+XI(s+'K)^.
При нахождении h{s) воспользуемся результатами
примера 4.2. Было показано, что
H{s) ='Х^фЦ_5^+ {2К+р)8+к^+2Хц].
Так как h(t)=H'(t), а Я(0)=0, то
h(s) =5Я(5)—Я(0) =Я2|л/Ф^+ (2Х+ц)5+Я2+2Яц].
Подставляя найденные значения p(s) и ft(s) в
выражение для Kt{s), получаем
s(s + X) [s''' + (2Х -Ь» S -f Х2 -Ь 2Щ '
Х>
" S (S + Х)2 [s2 + (2Х -Ь JJ.) S + Х2 + гХн-]
Отсюда
Ху (s, + 2Х) sj
S2 (Su + Х)= (S. - S2)
, = [— (2Я + (л) =t Kl^' — 4Я1л]/2,
190
пример 4.4. По условиям предыдущего примера найти
вероятность безотказной работы на участке (■/, ^+т).
Определить стационарное значение этой вероятности.
Решение. Воспользуемся выражением (4.32).
Имеем
t
Pit. / + x) = /7(^ + x) + J/7(^,+ x-x)/i(^:)rf^.
о
Здесь p{i-hr) —вероятность безотказной работы
дублированной системы с ненагруженным резервом в течение
времени /+т, т. е.
/. (f +-с) = е-^<'+^>[1+Я(^+ -.)].
Плотность восстановления h(x) для данного случая
была определена в примере 4.2 и имела вид
^ ' А + 2ix I Si (Si — Sz) S2 (Sj — 52)
где
_[~{2K + ^)±Vl^^--il^]
^Ь2 2
Подставляя найденные значения /?(^+t), /?('/+т—х) и
h{x) в исходное выражение, после интегрирования и
алгебраических преобразований получаем
Pit, ^ + .) = е--{,-^.(2 + Я.):+^-^^^^,^!^Х
Vг ^'+^^ I 1x1 е*'* >-> V
Х[Ш+Я^]е^''^
/
Стационарное значение искомой вероятности имеет вид
/'стад Ь) = lim p{t,t-\-i) = е-^^ j^ (2 + Хг).
Значение /?стац('с) можно найти, не зная вероятности
P{ty t-^i) из выражения (4.34):
со
19J
где в рассматриваемом случае
J» 2 т^ . ^ср 2/Х 2^
Следовательно,
оо
А^схац ('^) = j^ -^ [ е-^' (1 + Хх) dx ^ е-'^ ^^ (2 + Ях).
Пример 4.5. Основным ненадежным элементом
непрерывно работающей следящей системы является
усилитель. Восстановление устройства заключается в простой
замене усилителя из числа имеющихся т запасных-
Время работы до отказа и время замены усилителя
распределены по экспоненциальному закону с параметрами
>1 и [х соответственно. Требуется найти вероятность
застать систему в момент / в исправном состоянии.
Исследовать поведение этой вероятности при fi—>^оо.
Решение. Решение поставленной задачи связано
с рассмотрением случайного процесса x{t) состояний
системы с конечным временем восстановления. Пусть ti и
fi есть соответственно моменты г-го отказа и /-го
восстановления, причем по условию после наступления m-hl
отказа (вышли из строя основной и все резервные
усилители) система не восстанавливается. Система будет
исправна в момент / в тех случаях, когда момент t
находится на интервале (fu ^г+О^ где t=0, 1, ..., m, а fo=0.
Следовательно, искомую вероятность можно 'получить
в виде
т
Кг (О=s ^ (^ (О ес^'ь ti-,.)) =>""+
f=0
+si
где Фг(х)—функция распределения случайной
'величины t'u определяемая с помощью рекуррентного
соотношения (4.20), т. е.
t
О
192
Законы Fi{x) и Gi{x) определ51ЮТся через исходные
законы Рг (л:) = 1 — е~^^ и G{x)=:^l — е"*^"^ с помощью
выражений (4.9) и (4.21). Испэльзуя преобразованное
Лапласа, получаем
^^(^)-dl-^t^^''''^'^^
S -
1 = 1
S (S + иЛ
1 I 1^ C^y
Переходя от изображен:^я к оригиналу, находим
т i + \
1=0 k=\
т I
Д-V \^ R ■ (Milll^p-i^'
(=1 ft=i
где
(-1)" 'q;^_2.
^^.г— (/^-1)! c/5'-4 {5 4-l^045=-> (^^•-^)
_i _d}^^ Г 1 I ^ (-i)^-^q^,.
/^ft.I =
При [x—>-oo (мгновенная замена) остаются только те
члены первой двойной суммы, которые соответствуют /?--^
^ 1. При этом в пределе имеем
KAt) =
^^^(Щ^
(0 = e-5]i^
t=0
13-1086 193
что совпадает с ^выражением для вероятности
безотказной работы при т-кратном ненагруженном резерве. .
Пример 4.6. Система состоит из основного и
резервного усилителей. Восстановление отказавшего усилителя
сводится к (Простой его замене на запасной.
Длительность восстановления постоянна и равна г. Требуется
определить вероятность безотказной работы -системы
в случае ненагруженного резерва.
Решение. Принципиально решение может быть
найдено с помощью выражений (4.47) и (4.48), где G{x) = l
при л:^тг и G{x) =OinpH х>х.
Однако 'При этом возникают большие трудности,
связанные с отысканием ф1(0- Значительно проще задача
решается с помощью изложенных методов составления
дифференциальных уравнений массового
обслуживания.
Действительно, для того чтобы в момент t + At
система была исправна, необходимо выполнение одного из
следующих несовместимых событии:
1) в течение времени •/ система была исправна и
в промежутке t, t+At отказо!в не было;
2) в течение времени t—т система была исправна,
в промежутке времени от /—г до / отказов не было,
а в промежутке t, t-\-At работающий усилитель отказал.
Если обозначить искомую вероятность через p{t), то
с точностью до бесконечно малых о {At) второго порядка
малости по сравнению с At вероятность первого события
есть p{f){\—М/), а вероятность второго события равна
ЯА/е'^Х^ —т).
Следовательно,
p(t-\-At)^p (/) (1 — ХЫ) + Ше-'^^р (^ — -с) + о (Д/).
При At—Ю 'приходим к -следующему дифференциально-
разностному уравнению:
/?Ш = - Я/? (О + Яе-^/7 {t - т).
Будем искать решение в виде
/7(^ = е-Л(0.
Подстановка этого выражения в искомое
дифференциальное уравнение дает
u'{t)=^Xu{t—x).
194
Так как .при O^i^^.r восстановление невозможно, то
p{t) определяется по известной форхмуле для
дублированной системы с ненагруженным резервом:
p(f) = e''^{l-Xt),
т. е. при O^i/^t n(t) = l+Xt. Следовательно, при
«(/—t)=H-9i(/—t), «'(0=Ш+Я(/—т)].
Интегрируя последнее уравнение по / от t до t,
получаем, что при T^rf^.2t
w(0 = w('c) + яf[l+Я(JC —x)lrfx=
Л>=0
Методом полной индукции можно доказать, что inpn
любом п>0 «а отрезке {п—l)x^i^nx имеет место
равенство
.(o==|;'^"--g-'>-'>'.
Таким образом.
/^(0 = е-^5]
_ 'В. '
Пример 4.7. Каждый комплект оборудования имеет
интенсивность отказов ^=0,02 \/час, интенсивность
восстановления |ji=l 11час, систему обслуживает одна
бригада, а в начальный момент времени все комплекты
исправны. Для обеспечения непрерывности работы
резерв должен быть нагруженным. Необходимо, чтобы
система управления и контроля имела высокую
надежность для .всего 1периода своей работы. Сколько
резервных ком1Плектов оборудования т потребуется для
достижения вероятности безотказной работы системы pm+i (rf) >
^0,98 'В течение ./=360 час?
Решение. Рассматриваемая задача сводится к
изучению однородного марковского 1процесса с т+2
состояниями. Обозначим «через pk{t) «вероятность того, что
в момент / неисправно k комплектов оборудования (си-
13* 195
стема находится гв состоянии к). Состой1нйё т+1
является поглощающим. Для решения шоставленной задачи
воспользуемся системой дифференциальных уравнений
(4.75):
Р\ (О =^-гРк-г (О — i^h + Ы Ph (О + V'h- гРк + г (t),
/г = 0, 1,..., т + 1.
где
h{fn-['l—k)X, /г = 0, 1,..., /7г + 1;
Р'?1 = Р'=1/'Сб, ^=1, 2,..., т;
Так как система исдравна, если работает хотя бы
один комплект, то
т
р {t, т) = 5] Pi, (О = 1 — Рт^, (/).
Рассмотрим последовательно случаи т = 0, 1, 2, ...
При т = 0 (резервирование отсутствует)
р, (О = е ,
/;^ (360) = е~'''^''^= е-''-^ ';^ 0,0007466,
т. е. при отсутствии резервирования надежность системы
не удовлетворяет заданным требованиям.
При m^l воспользуемся методикой, изложенной
в разделе В, и графом, 1при.веденным на рис. 4.1. Было
показано, что преобразование Лапласа от вероятности
Pm+i имеет вид
Рт + ЛЧ— д(5) — ^,д^(5) »
где Ao(s) = s'^-i + Axs^-^ + ... + Аи-х, ^m+i(s) = s"" +
+ BiS^-i-b ...+Bri, A^—число состояний системы; n =
= ^—1—/; / — количество неисправных устройств
системы, находящейся в отказовом состоянии m-f-l.
В нашем случае Л = т+2, /=m+l; п = т~\-2—1—(т +
+1) ==0. Следовательно,
Пользуясь изложенными пра-вилами нахождения
коэффициентов А и В через интенсивности переходов,
получаем, что
Bo = A^+i= (m+ 1)>. .ml.,.K= (m+1) !Л^'+^
196
Таким образом, преобразование Лапласа Для
вероятности безотказной работы равно
Р (S) = — —/?7П+1 {S) =
Можно показать, что в случае нагруженного резерва
уравнение До(5)=0 имеет т+1 различных
действительных (отрицательных) корней 5i, Ss, ..., Sm+u т. е. Ao(s) =^
= (s—Si) {S—S2) ... (s—Sm+i)- Отсюда
m+l ,
P(t)= Sc/^ .
где Ci={ssi)p{s) \sr=s^.
Ta>K как Лгг7+1 = 51, S2, ..., s^ii+i (из теории
алгебраических уравнений), а
Si Si
получаем
т + \ -
1=1
Таким образом, задача определения p{t) свелась
к нахождению корней уравнения Ao(s)=0. Пусть т=1.
Тогда
^ois)=s^+AiS+A2 = 0.
Согласно доказанному в § 4.1 правилу Ai есть сумма
всех интенсивностей переходов, т. е.
Следовательно,
__ — (ЗХ + яО + /Х^ + бЛи. + У-"
■^1.2 — 2
Подставляя заданные значения Я, и [i, получаем si^^
^—0,000755, 52^ — 1,059245, ps(360) ^1,000713 e-^-^yis^
^0,7626, что также меньше требуемой величины
0,98.
197
Пусть т~2. Тогда
Согласно доказанным правилам имеем:
Л4=ЗЯ,+2?1+Л+1м.+"|А=2(ЗЯ,+!ц),
После оодстановки численных значений % и ц находим:
si«=—0,00004820, S2«—0,86185268,
S3-—1,25809912, .
/7,(360) =
«2*»
^360s,
= 0,9829,
^
(52 —5,) (5, —5,)
ЧТО больше заданного значения 0,98.
Следовательно, необходимая кратность
резервирования т=2.
Пример 4.8. Имеется непрерывно работающая двух-
канальная линия передачи информации. Восстановление
отказавшего канала требует выключения всей линии.
Доля информации, те|ряемой в единицу 'времени лри
простое г каналов (/ = 1, 2), равна hr. Время безотказной
работы и время
восстановления канала имеют
экспоненциальное
распределение с параметрами %
и [I соответственно.
Требуется найти, при каком
количестве отказавших г
каналов остановка линии
на восстановление будет
обеапеч№вать минимум
•потерь информации?
При остановке линии
♦после отказов обоих
каналов рассмотреть
случаи:
а) ;каналы
восстанавливаются шоочередно;
б) одновременно
могут восстаиавлИБаться
два канала.
2Х
^
«)
Рис. 4.5. Графы состояний линии
передачи информации (к примеру
4.8).
198
Решение. Составим граф состояний линии. Если
г=1, то линия может находиться только в двух
состояниях: «О» — оба канала работают; «1» — оба канала
-простаивают, но восстановления требует только один.
Следовательно, искомый граф будет иметь вид, приведенный
на рис. 4.5,а.
При г=2 линия может находиться в трех состояниях:
«О» —оба канала работают; «I» — один канал работает,
второй простаивает; «2» —линия .простаивает до
окончания восстановления обоих каналов.
Граф состояний линии представлен на рис. 4.5,6.
Обозначим среднее время пребывания линии в /-м
состоянии через Ti^r (/=0, 1, 2). Тогда средняя
продолжительность цикла работы до возвращения в исходное со-
г
стояние равна $] Г/, г, г = 1, 2.
Величины Тг,г легко находятся с помощью
приведенных графов. Действительно, так как из каждого
состояния возможен переход только в одно последующее, то
за исключением 7^2,2 значение Т'г.г есть просто величина,
обратная интенсивности перехода из i-vo состояния, т. е,
гр ^^ гр 1 ггч I ^ гр I
Величина Г2,2 зависит от числа шерсонала, шроизводяще-
го восстановление. Если отказавшие каналы
восстанавливаются поочередно, то в среднем длительность
восстановления каждого канала но условию равна l/|i, т. е.
т =JL+JL=A
Если отказавшие каналы восстанавливаются однов,ре-
менно, то интенсивность ремонта равна 2fx, пока не-.
исправны оба канала, и jn — с момента завершения
ремонта одного из каналов.
Следовательно.
т -± JU-L=A
2,2 — 2н. ~ р. 2н.'
Найдем 1величину потерь информации Япот за один
цикл работы. Так как 1при нахождении линии в г-м со-
199
стоянии {i=\, ,.., г) в единицу времени теряется hi^r
единиц информации, то
Япот^Т'м/^М при Г=1,
HnoT=Ti^2hi,2-\-T2,2h2,2 при Г = 2,
где из условия задачи следует, что hi^i=-h2,2=h2, hi^2=hi.
Рассмотрим неравенство
^1,2^1 ~f~ ^2,2^2 -v.^ М.1^2
^0,2 + ^1,2 ~h ^2.2 ^0,l+7j,l
В левой части неравенства стоит ожидаемая средняя
величина потерь информации в единицу времени при
г=2, в 1Правой — то же самое при г^ 1.. Подставляя сюда
значения Г^, г и решая относительно .Х/|Ь1, получаем
если каналы восстанавливаются поочередно, и
р. ^ 2>hJ2k, — 2 '
если одновременно могут восстанавливаться оба канала.
При соблюдении указанных неравенств остановка
линии на восстановление после отказа одного из каналов
обеспечивает минимум потерь информации.
Пример 4.9. Имеется непрерывно работающая
система, которая производит автоматическую обработку
поступающей информации и-запись результатов. Контроль
и профилактика системы осуществляются через
определенные промежутки времени Т, после каждого
возвращения системы в исходное состояние. ДJтитeльнocть
профилактики исправной системы равна to, неисправной Ть
Во время профилактики и от момента отказа до начала
профилактики информация теряется.
Необходимо определить оптимальный период
контроля Гопт, при котором теряется минимум информации,
если интенсивность отказов 'системы X постоянна.
Вычислить Гопт при 1Д=50 час, то=1 час.
Решение. Ищем вначале коэффициент готовности
Кт в виде отношения М(Х]/М[У], где
ЩХ]—математическое ожидание времени работы системы за период
между двумя последовательными моментами
профилактического обслуживания, а М|[У] — математическое ожидание
200
длительности интервала между двумя п(х:ледавательны-
ми моментами профилактического обслуживания.
По определению, математическое ожидание
т т
М [Х]= Г xf (х) dx + Т^-^' = Я Г jce"^"^ dx + Ге~^^=
о
^J
О
+Ге-''"=
4-(1-е--).
Так как интервал между двумя последовательными
моментами профилактического обслуживания состоит из
периода Т и случайной длительности профилактики, то
Отсюда
К
М m = 7 + че-^'+ . Л1 - е-'").
М[ЛЧ_ 1^^--"")
___п— ;i
^^^''-=0 = ле'^^ [7 + т^е-^^ + -^i (1 — е"'^)] —
- (1 - е-'^) [1 _ Я^,е-'^ + Ях,е-'^^1.
Величина Тот находится путем решения (графически
или численными методами) уравнения
е-'^(;.Г + Ят, + 1)=1.
при А=0,02 \1час и то=1 час имеем Гопт —9,7 аде.
Пример 4.10. Восстанавливаемая система состоит из
п основных и одного нагруженного резервного приборов.
При переходе на резе1р)в допускается перерыв в работе
на постоянное время Тдоп одного из основных приборов.
При отказе резервного и одного из основных приборов
система считается отказавшей независимо от
длительности пребывания в этом состоянии.
Найти среднюю наработку до первого отказа 7ср,.
при экспоненциальном законе распределения временг!
безотказной работы прибора, времени восстановления
и длительности перехода на резерв с параметрами X, и
и Y соответственно. Рассмотреть случай я = 2, Х=-
201
= 0,1 {/час, ^1=1 I/час, y==JO I/час, Гдоп=5 мин й
сравнить со случаем мгновенного «перехода на резерв.
Решение. Составляем систему интегро-дифферен-
циальных уравнений типа (4.66). В момент / система
считается исправной, если она находится в одном из
следующих состояний: «О»—.исправны все приборы;
«1» — неисправен одни из основных прибо;ров; резервный
еще не подключен, а с момента отказа -прибора прошло
время меньше г; «2» — неиоБравен тарибор, 'находящийся
в резер'Ве.
Обозначим условную вероятность нахождения
системы в i-M состоянии (i=0, 1, 2), 'При условии безотказной
работььв течение времени /, через Pi{t).
Сочетая методы составления уравнений массового
обслуживания типа (4.75) и интегральных уравнений
типа (4,43), (4,45) 'Цри />т, получаем:
p'oit) =—{n + iyXpd{t) +^\xp2{t).
р^ (t) = яЯ f р, (t — X) е-<'^^+^> ^dx.
о
/?'Л/)=яа(0+та(0-(^^+к.)а(0-
Искомую величину Гер© согласно (1Л0) можно искать
в виде
о
Интегрируя обе части системы уравнений от О до оо
(при /<т необходимо в написанном уравнении для pi{t)
заменить т на /), находим
-1=-(Аг + 1)ЯГ, + ^1Г,.
О — ^^ п р—(«^+т) ^ 1 г т
^— nX + Y ^ ^ *^ **
Решая полученную алгебраическую систему -по нрави-
лу Крамера, получаем
Гс=(Ао+1А'1+А2)/А.
202
где
При заданных значениях п, к, ji, у и Тдоп имеем:
До=—1,2 1/адг,Л1^—0,01346 1/час;
Л2—0,2122 1/чл^; Л^—0,1477 1/час; Гсрс-9,6 аде.
При мгновенном .переходе на резерв (у—>-оо) имеем;
До=—(^jt+nX); .Ai=0; A^= — {n+l)K A=—n{n+l)k^.
Следовательно,
срс п(п-\-\)Х^
Пример 4-11. Цифровая вычислительная машина
имеет экспоненциальное раопределение времени работы
без сбоев с параметром Х=0,06 [/час. Найти вероятность
p{t, т) того, что задача длительностью т=10 час будет
решена за время ^=15 час, если при сбое .машины
решение приходится начинать сначала. Длительностью
устранения сбоя можно пренебречь.
Решение. Из выражения (4.69) находим
р{^х) = е-'^11+Я(/-х)1.
Так как восстановление мгновенное, то для нахождения
H{t—т) можно воспользоваться выражением (4.12):
H(s)=F{s)Al-sF{s)l
где в нашем случае F{s)=^K/s(s + l). Отсюда H{s)^=
Следовательно,
p{t,t)^Q-^^l^X{t — x)], /?(15,l0) = e-'*-l,3s^0,713.
203
§ 4.3. ЗАДАЧИ
4.1. Имеется дублированная система с ненагруженным резервом.
Каждая из подсистем состоит из двух последовательно соединенных
приборов с постоянными интенсивностями отказов Xi=l-10-2 {/час
н Я.2—3-10~^ \/час^ Система восстанавливается после отказа обеих
подсистем. Длительностью восстановления можно пренебречь.
Требуется вычислить среднее число отказов за время /=100 час.
Построить график зависимости среднего числа отказов в единицу
времени от времени работы.
Ответ:
X/
Я(100)=-2"
1
1
-2И .
:2,75 о1казов.
где X = X, Н-Хз.
Зависимость h (t) = —^ (1 — е~ ) от времени работы приведена
на рис. 4.6.
4.2. По условиям задачи 4Л найти среднее число восстановлений
за время t при экспоненциальном законе распределения суммарной
Ь'Ю
2
15
2
0,5
ш I
0,5
to Я t
fi Ю
f.Si
1
щ
Рис. 4.6. Зависимость h от X/
(к задаче 4.1).
О 20 40 г,час
Рис 4,7. Зависимость h от t
(к задаче 4.2).
длительности восстановления обеих подсистем с параметром [1=
= \ \J4ac, Построить график зависимости среднего числа восстанов-
лелии в единицу времени от вреА1ени работы.
Ответ: Я(100)л^1,70 восстановлений. Зависимость h(i) от
времени работы приведена на рис. 4.7.
4.3. По условиям задачи 4.1 определить среднее число
восстановлений за время /ив единицу времени при экспоненциальном законе
распределения длительности восстановления каждой подсистемы
с параметром ^.= 1 Xjnac, если подсистемы восстанавливаются пооче-
редно-
204
о т в е т: ^
" I') — о /i -L .lA Л (1 J- ,1X2 "*
X[i.
2(Х + ,х)
-I-IX)- h_ZAt^ _л(х ,x + и ' +
e.sjt
X + (x) Sj (sj + X + (J.)
]■
где
s, .2 = [- (X+ (0.) ± KX2 - 6?^ + р>2 ]/2;
//(100)=^ 1,65 восстановлений;
h (100) ^0,0192 восстановлений/vac;
Mo=2rairf'
^^ '^ .-<^->']4-^^^X
у г
L Si (Si + X + \y)
^sJ
4.4. По условиям задачи 4.1 рассмотреть случай двух резервных
подсистем. Построить зависимость среднего числа отказов в единицу
времени от времени работы.
Ответ:
Я (О = -|- 1^(К + X,) /- 1 + е-^ <^'+^^> '/2 ^
Г (X, + X,) t УЪ . I (X,+Х,)^ГЗ U
X[cos ^ + 17Г'^" 2 \\
h(t)
^1 + ^2 /,
(x,-^x^)tV3
+ К 3 sin 2 J ('
При /=100 час, Xi = \0-''' \1час и Х2==3- Ю-^ 1/чш:, H(t)^\
отказ, /ifO ^0,0133 отказ/час.
Зависимость h(t) от времени приведена на рис. 4.8.
Рис. 4.8. Зависимость h от t
(к задаче 4.4).
5Я fjK 1Ш i^
205
4.5. Найти среднее число восстановлений за врем^ i и в
единицу времени при скользящем резервировании двух основных
устройств двумя ненагруженными резервными. Интенсивности
отказов основных устройств постоянны и равны Л=у2,5 • 10-^ 1/час,
t=40 час, а восстановление начинается после отказа трех устройств.
Длительностью восстановления можно пренебречь.
Ответ:
ЖО = — [2Х/ — 1 + е-^^ (cos X/J^r+ w^ sin 'ktVT)],
H (400) ^0,34 воссгановлений,
h (t) = -^- [1 — e-3^^ (cos It Кз +]/Tsin Xt УЪ )J,
h (500) ^ 0,0154 восстановлений/час.
4.6. Вычислить функцию готовности и коэффициент готовности
при скользящем резервировании п однотипных усилителей одним
ненагруженным резервным, если восстановление проводится n'jcjie
отказа двух усилителей. Суммарная длительность восстановления
подчиняется экспоненциальному закону с параметром [г.
Интенсивность отказов каждого усилителя постоянна и равна Я=0,0005 XJHac,
jx=40X=0,2 \1час, /=30 час, л=Ю.
Ответ:
8 /1 , nkt\
/С.(0=-9-+(-9-+-з-)^
-з«х/
• Кг (30) ^ 0,8956, К^ = 8/9.
4,7. По условиям задачи 4.6 найти функцию готовности и
коэффициент готовности при экспоненциальном законе распределения
длительности ремонта каждого усилителя с параметром р., если
усилители ремонтируются поочередно. Рассмотреть случай произвольных
значений Я, [л, / и п.
Ответ:
^'^^^-/гХ + ^х ^ 2р.(/2Х + {х) ^ ^
■ n^XV(s,+/^Х) ^^t_
■^«1 (S, + rikY (s, + лХ + rt (5, - s^) ^
п^Х^Н»^ (52 + nk) ^^
«2 («2 + /2X)2 (52 + ЛХ + /J.) (5, — 52) ^ *
где
— (/^X + i^)± Vn^X^ -^ 6AiX[x + p2 .
5i,2 — 2 *
Kr^^(nk + i^).
4.8. По условиям задачи 4.7 вычислить функцию готовности в
момент /=10 ЧАС для трех случаев:
1) лХ=0.475 Мчас; [1=1 1/час;
2) пХ=ц=0.157 Иное;
206
Ответ:
1) K,(0=^^.999l;
2) Кг (t) = — [1 + e-"^^ cos^]. /C, (10) = 0.5;
2 Л. ]/■§" 3 ]/"2'~ 4 - 2 (2+ V2) «W
3)КЛ0 = —^1 + 4—^ +
4.9. Найти среднее число восстановлершй изделия за время t
и в единицу времени при экспоненциальном законе распределения
времени безотказной работы с параметром Л и постоянной
длительности восстановления т.
Ответ:
«(O-Jj (k—\)\ ^
k=\ 1=0
где п — целое положительное число» удовлетворяющее неравенству
nx<t^(n-\'\)i.
4.10. По условиям задачи 4.9 рассмотреть случай, когда время
безотказной работы подчиняется закону Эрланга вида
f if) = \Ч^-^,
Ответ:
MQ^e~M^-..)V^-(^-/.^)->
Л=1
2^—1
Я(0=«-5]е-М'-*^)2]^
где rt — целое положительное число, удовлетворяющее неравенству
4.11. По условиям задачи 4.3 найти вероятность безотказной
работы системы на участке {t, t+r) при t=5 час. Вычислить
стационарное значение этой вероятности.
207
Ответ:
где
4.12. Время работы до отказа подчиняется закону Бейбулла
г / V -^ —1/2 —>^l^Jc~
с плотностью распределения / (х) —-g"-^ ^ • ^ длительность
Еосстаковления описывается логарифмически-нормальным законом с
плотностью распределения
где Я=0,1 1/«/ас, о=0»4, а~0,5 и ас. Требуется определить
стационарное значение вероятности безотказной работы системы Рстац(т)
при т=0,25 час.
Ответ:
/ 2 . e:'''l^r'2(\-\-KVxj -^^^
/^схацИ=|^7Г + -^; Х^ е
Рсхац (0.25) ^0,988.
4.13. Найти функцию готовности изделия, длительность ремонта
которого постоянна и равна т, а длительность безотказной работы
подчиняется экспоненциальному закону с параметром X.
Ответ:
где z—{tlr] — целая часть отношения t/x*
4.14. Непрерывно работающая система допускает перерывы
в функционировании на постоянное время т, необходимое для под-
включения резерва. Во время срабатывания переключающий автомат
208
может отказать\с вероятностью 1—«. Найти вероятность безотказной
работы системы \при (х=1 и среднюю наработку до первого ее
отказа при т-кратпом неиагруженпом резерве и экспоненциальном
законе распределения\ длительности безотказной работы отдельной
подсистемы.
Ответ:
Яе(0-
1,
/<(m-f 1)х,
/—о
k=G
4.15, По условиям предыдущей задачи найти Pc(t) и Т'ср с npi'
однократном нагруженном резерве и а =7^1.
О 'I в е т:
f.
/<х.
Pc(0=j L J
e -M'-n + a e -^«-2х)Г , ^ ^ (^ _ 2x) - e"^" 1, <>2i;
f CP С =
4.16. По условиям предыдущей задачи определить Гер с при
т-кратном нагруженном резерве. Контроль за состоянием резерва
отсутствует, поэтому при замене может быть подвключена
неисправная подсистема, что приводит к отказу системы в целом.
Ответ:
am e-m(m + 1) >'i/2
(m + \)]
4.17. По условиям задачи 4.14 найти 7ср с при двукратном
нагруженном резерве при условии, что система контроля позволяет
подключать из резерва только исправнные подсистемы.
Ответ:
14—108С
26&
4.18. Для повышения надежности прибора используется Btopou
резервный прибор, работающий в нагруженном рубжидме.
Длительность безотказной работы и время восстановление! прибора
подчиняются экспоненциальному закону с параметрами/Л, и \i
соответственно. При каких значениях Л, и fx для фиксированного t будет
обеспечена требуемая вероятность безотказной работы 0,98?
Ответ: TJ^Ofil \ifX.
4.19. По условиям задачи 4.18 найти связь между к п р. при
ненагружеином состоянии резервного прибора.
Ответ: Xt^Ofi^iifX.
4.20. Для повышения надежности п однотипных следящих систем
используется резервный усилитель, который может быть мгновенно
подключен вместо любого отказавшего основного усилителя, пока
тот не будет заменен из числа имеющихся г запасных. Построить
граф изменений состояний системы в целом, если время работы до
отказа и время замены усилителя распределены по
экспоненциальному закону с параметрами к и [i соответственно.
Ответ: См. рис. 4.9.
n.f^n п^О.п n,f,r*-1 n.O^t
п,0,1
ОтнаъоВое
состояние
Рис. 4.9. Ответ к задаче 4.20.
На рисунке символы п, f, / означают, что имеется п основных,
/ резервных (i==0,il) и / запасных (/=0, 1, ...,'') усилителей.
4.21. Применительно к условиям задачи 4.20 найти вероятность
застать систему в момент t в исправном состоянии, если г=2.
Ответ:
1 2
где
/'«.п.(0 = е-<''-')>';
\t)
(гг+1)Х i^ri^x) м (^ + 1)А. („14.ц> f.
^-~\
V'-X
210
/'я.ы (О =f [ ^_х (К--Х)' J
/'»..., (О-[ (^_x)2 (я^-Х)» J^ ^
Г(«+1)'Х>< 2(«+1)^Ху-1 ,„х+^,),.
+ [ (^_x)2 + (^_Х)» J**
_ Г(п+1)'ХУ<^ 2(/г+1)^ХУ< 3(п+1)^Х>°] w
/7n.i.0 V) — у 2! (я- — X)2 (и. — Х)« "^ (К- — Х)" J '^
Pr,.o.o (О = (n + О* I е-»"- [ 2!^^^-X)^ +
. X[x2 (H- - 3X) < tx° (tx°- 4Xh^ + 6X') I _f„.„u f ,
+ ((x_Xr + ([x-X)« J^ "^
Г XV XM4H—X) 1 ,„x+^) a
4.22. применительно к условиям задачи 4.20 найти среднюю
наработку до первого отказа системы и сравнить со случаем
неограниченного числа запасных усилителей.
Ответ:
при г -► со
(2п+1)Х + 1*
■* OD О
**»«*- /2(/г+1)Х2
4.23. Длительность безотказной работы каждого из устройств
подчиняется экспоненциальному закону с параметром X, а
длительность восстановления отказавшего устройства постоянна и равна т.
Найти вероятность безотказной работы системы, состоящей из
основного и резервного устройства в нагруженлом режиме.
Н» 211
k=o о
__ ^-2>/^ 12е^-Х(/--И]^ _^
Ответ: i
/2-1 X
+ ^"'' 5] T^ J ^'' ^'""'"'^ [^ (^ - ^x - x)]Mx ^
n—1
S'
+ e-^' Vj 2^+»[p2fc+2 (2>^^ — 2Ux) — р2к+2 (2X^ — 2^^ — 2Xt)],
a
Ah+2 (^) = 2h+ »M I y^^~~^ dy — интегральная функция xw-квад-
0
рат распределения с 2/г + 2 степенями свободы; п — целое число,
удовлетворяющее неравенству (п — 1) т ^ ^ «^ п%.
4J24. По условиям задачи 4.23 и примера 4.6 сравнить
вероятность безотказной работы невосстанавливаемой и восстанавливаемой
системы для случая Х=0,\ {/час, т=1 час, t=2 час.
Ответ:
Резерв- нагруженный: Яс (2) =0,96714 — без восстановления,
Яс(2) =0,97481 — при восстановлении.
Резерв ненагруженный: Яс (2) =0,98247 — без восстановления,
Рс (2) = 0,98657 — при восстановлении.
4.25. Имеется вычислительная машина, состоящая из п блоков
с интенсивностями отказов %и ^2, ..., Яп и интенсивностями
восстановления liu (Xz* - • -. М-^* Найти коэффициент готовности, если во
время восстановления одного из блоков остальные находятся в
нагруженном режиме и также могут отказать. Количество персонала
неограниченно.
Ответ:
где
«,-П(х^)-
4.26. Определить коэффициент готовности непрерывно
работающей радиолокационной станции, если после каждого второго отказа
проводятся капитальные ремонты с интенсивностью iLi2.
Интенсивность отказов после капитального ремонта равна ki, а после
простого ?i2 (^2>Xi). Интенсивность восстановления простого ремонта
равна |Lli (|Lll>|ll2).
Ответ:
'^^ -1 + x,Aj + х./н-, +.x,/jx2 ■
212
4.27. По условиям предыдущей задачи определить, при каких
соотношениях Хь Яг, p^i и (Xz предпочтительнее проведение
капитального ремонта после каждого отказа.
Ответ: При условии, что (Я1Д2) (ibii/ji2)<l.
4.28. Радиопередатчик радиолокационной станции может или
понизить свою мощность до 50% от номинальной (с интенсивностью
отказов >ii), или отказать полностью (с интенсивностью отказов Яг).
В первом случае потребуется на его профилактику в среднем l/fbii
часов, во втором — на ремонт l/jbiz часов.
В каких случаях следует проводить профилактику, если при
работе радиопередатчика на номинальную мощность вероятность
обнаружения цели есть ho, а при работе на пониженной мощности она
равна hi?
Ответ: Профилактику следует проводить, если Pi ]> Рг» где
Pi = .—г—I л ..—7-^ ho — есть вероятность обнаружения цели в
Г1Г2 -Г '^lt^2 -Г A.'J^i
^ Р-2 (Мо + Я,/г,)
случае проведения профилактики; Ро^ тГТ:—i ^ , ■> /-^—j—^-т —есть
f^2^2 -1-^:1^2-1-^2 {f^i -т ^2)
вероятность обнарул<енкя цели пр:-! отсутствии профилактики.
4.29. По условиям задачи 4.48 сравнить Pi и Pz, если:
а) Xi=0,05 \1час, Л2=0,01 11час, M'i=:2 \1час, ji2=l \1час, ho=
=0,99, hi=0,70;
б) Xi=Xz=K 1^,1 = 112 = II.
Ответ:
а) Pi = 0,957, ^2-0,75, т. е. Р1>Рг.
б) Pi>P2, если ii/{[i-\~2X)->hilho.
4.30. Имеется система, конструктивно выполненная в виде двух
приборов: счетно-решающей части и устройства ввода — вывода. Для
повышения надежности применено раздельное дублирование,
причем каждая группа приборов восстанавливается своей ремонтной
бригадой. Как распределить отношение Х1\х между приборами, чтобы
коэффициент готовности cncTejvibi Кг был не менее, чем /Со?
Ответ:
к.
(Xj
1
<
К ^1-^^o+K1-K2^
1 + 2Х,/н.. - /Со (I - 2Х,/(х, + 2?^2/^2)+
2Ко (1 + 2Х,/н., +
+ |/ 1 4- 2Х,/^, + 2^2 /j,2
+ 2Х? /(х?)
4.31. Информационная система допускает непрерывный контроль
по сигнальным лампочкам без отключения системы для проверки.
Система контроля может дать ложный сигнал с интенсивностью от-
213
казов Хи гогда как интенсивность отказов самой системы есть Аг.
Найти коэффициент готовности системы, если интенсивности
восстановлений ложных и действительных отказов есть соответственно \1\
и fLl2.
Ответ:
1
4.32. По условиям предыдущей задачи определить область
допустимых значений отношений Xi/jii и kzlpz, при которых
коэффициент готовности Кт не меньше заданного Ко-
Ответ:
Н-1 1^2 Ко
4.33. Вычислить коэффициент готовности и среднюю наработку
до первого отказа дублированной системы, допускающей
непрерывный контроль, если резерв нагруженный, а в остальном сохраняются
условия задачи 4.31. При нахождении коэффициента готовности
рассмотреть случаи двух и одной восстанавливающих бригад, причем
в последнем случае обслуживание идет в порядке наступления от-
каза.
Ответ:
_ (Х, + >^2 + l^i) ih + ^2 + 1^2) + 2А, (Л, + X, + М+
+ 2Л.(А,+Х2-Ь K'l)
При одной восстанавливающей бригаде
1 + 2Х,/К'т+2Л2/к.9
/^,=
K-i [^ ;j.J [х^ «
При двух восстанавливающих бригадах
^- - 1 + 2Х,/1х, + 2Х,/1х, + (X,/fx, + Хг/Л!)»*
4.34. По условиям задачи 4.33 рассмотреть случай пенагружен-
ного состояния резерва.
Ответ:
„ (Л. Ч- ^2 + t^.) (А. + >^г + !>•;) + X, (?^. 4- Хг + К-г) +
^«• - (X, +М Р^г е^.' + h'+ V-2) +
+'Хг(Х.+Аг+К..)
-*+х,(Х,-|-х,н-(*,)]'
214
При 6Д1ЮЙ восстанавливягощей бригаде
>^lt^l + ^2t^2 + 1^11^2
1^2 (>^lH'l + ^21^2 + l^jb^s)
При двух восстанавливающих бригадах
1 + КМа + \1^2
Кг =
1 + К/1^г + hMz + 2 (h/2i^.,+K,/2^s.,y^
+
4.35. По условиям задачи 4.33 найти область допустимых
значений отношений Xi/m-i и >.2/|А2, при которых коэффициент готовности
Кт не меньше заданного Ко*
Ответ: При одной ремонтной бригаде
При двух ремонтных бригадах
1
где « — тг" — 1 -
^ 4.36. По условиям задачи 4.34 найти область допустимых значе-
НИИ отношений Xi/fii и Kzlii2, при которых коэффициент готовности
Лг не меньше заданного Ко, если имеются две ремонтные бригады.
Ответ:
где с=(1/А:о)—I.
4.37. Аппаратура встроенного контроля радиолокационной
станции (РЛС) сигнализирует об отказе только в 10(>у7о случаев. Не-
выявленные отказы устраняются после выхода из строя
контролируемых элементов или средств контроля и после полной проверки
станции специальной аппаратурой, при этом РЛС и средства
контроля восстанавливаются поочередно. Требуется составить граф
возможных состояний РЛС и систему дифференциальных уравнений.
215
позволяющих найти функцию готовности РЛС при экспонепциальиых
законах распределения времени работы до отказа и времени
восстановления РЛС и контрольного устройства с параметрами X, Хл. jli
и jXfe соответственно. Длительность ложной проверки исправной
станции описывается экспоненциальным законом с параметром tj.
Ответ: Система дифференциальных уравнений имеет вид:
P'o(t)^~~(l+Xh)po(t)-\'[ipi(t)-^Y\pi(t),
P'2(t)=(\-\)'kp^(4)^(y>^+U)p2(t).
p'3(t)=^'KkPo(t)^likpa{t),
P'^^(t)=-^p3(t)~r]Pu(t),
p'5(t) = XhP2(t)~llf,p5(t),
P'6{t)=4ihP6(t)—qpG(t).
граф состояний РЛС приведен на рис. 4.10
Рис. 4.10, Граф состояний РЛС (к задаче 4.37).
4.38. Имеется одноканальная стабилизирующая система
летательного аппарата, позволяющая компенсировать параметрические
отказы канала с помощью блока самонастройки. Найти вероятности
возможных состояний системы, если поток параметрических отказов,
поток внезапных отказов канала и блока самонастройки и поток
автоматических восстановлений канала являются простейшими с
параметрами Xi, Х2, ?1з и |Li соответственно.
Ответ:
fy /f\ _ ^ р— (Ха + >з) ^ 4
^« .-(\ +>а + >з + Н.)^
^' (^) - хП^.
К
h (>^2 + >^3 + I^)
Xi+ix
{\ + Xa + Хз + jx) '
^'^^^~ Ck,+h)(K+^2 + >^Z~\-l^)
216
A»
.-(>8+Хз)/
,-(>1 + Х2+Хз + Р.)^
P^ *'^ - (Л2 + -кг) (К + k, + \, + ^)^
"*" (Хз + XsV (X. + Xs + Хз + нО'
. Х,Хз(^^. —Xg —Хз) ^^х. + Х,и .
^(Х2 + Хз)ЧХ,+1^) ^
^,X3(2X^+X, + X3 + f^0 ^~а.-цХ, + ^--^>^^
^(Xi + X2 + Xa+[^)(X,+K')
,,. Х2 (Х2 + Хз + рО _
pan- (Х2 + Хз)(х,+Х2 + Хз + 1х)
X2l^
(Х2 + Хз) (X, + ^)
Х,Х2
(Х,+Х2 + Хз + >^0(Х1+К')
-(>я + >з)< _
.^-{Х, + >а + >^з + Н')^,
где роСО — вероятность того, что в момент / система исправна;
pi(t) — вероятность того, что в момент t имеет место
параметрический отказ; p2(t) — вероятность того, что в момент t отказал блок
самонастройки; рзСО — вероятность того, что в момент / имеет
место параметрический отказ и отказ блока самонастройки; Pi.(t) —
вероятность того, что в момент / система отказала.
4.39. По условиям задачи 4,38 найти вероятность застать систему
в момент t в исправном состоянии, если мгновенное значение
параметра потока параметрических отказов после каждого
восстановления
Рассмотреть случай; Хо=24,91 Х/час; Х2=0,01 \1час; Хз=
=0,005 \1час; |ii=100 {/час; f-10 час.
Ответ:
(>, + >з)/ f 2^о1^ , (^;+Р-)(^2 + 2Х,)
е^а^-
.(^з4-^(^з + 2Хо)
Ss (52 — S3)
где
-(2Xo4-t^)±V'j^'^ + 4Xotx
52,3 — 2
Ро (10) ^0.765.
4.40. Электроэнергетическая система питания состоит из пяти
одновременно работающих турбогенераторов. При отказе любого из
турбогенераторов начинается его восстановление с постоянной
интенсивностью [1. Длительность безотказной работы турбогенератора
подчиняется экспоненциальному закону с параметром X,
Необходимо найти вероятность безотказной работы системы и среднюю
наработку до первого отказа, если один из турбогенераторов является
резервным,
217
Ответ:
^0 (О == Х2~Х, f^^^""*' "" ^^^''''l'
— (9^ + Р-) ± »^А" + 1вЛ^х + Н-^
'«* х,Х2 20?l2 •
4.41. Для повышения надежности системы используется
резервный прибор, работающий до отказа основного в облегченном
режиме. Имеется устройство контроля и переключения, отказ которого
приводит к одной из следующих ситуаций:
— производится ложное переключение (с постоянной
интенсивностью т]); если при этом резервное устройство уже
восстанавливается или проверяется, то происходит отказ системы;
— выдается ложный сигнал о неисправности резервного прибора
(с постоянной интенсивностью g);
— не будет подключен резерв при действительном или ложном
отказе основного прибора (с постоянной вероятностью 1—а).
Найти вероятность безотказной работы системы и среднюю
наработку до первого отказа, если интенсивность отказов прибора
в основном и резервном режимах постоянна и равна Xi и Хг
соответственно, интенсивность восстановления постоянна и равна jxi*
интенсивность проверки после ложного переключения или ложного
сигнала о неисправности резерва постоянна и равна [Лг-
Ответ:
р ... _ Х2Хд — (\ + Tga)7Xltt + >-2 + 'У3« + ^) xyt^
^*^^'^~ (Х2-Х,)(хз-Х0 ^
__ XiX3 — (Х| + тух) (Х,а + Ха + т^о^ + S) ^^t
(Х2 — X,) (Хз —Хг) ^ ~'~
_■ Х,Х2 — fii + -¥) (Xitt + Хг + T^g + ^) х^
^ (xi-X2)(a;,-Xi) ^ '
где X,, Xg, Хз есть корни уравнения
X' + Х^ (2Xi + 3Yja + 5 + \,о. + Xg + JX, + tX2) +
+> [(^1 +'ff' + V*i) {К +-^1^ + ^-2) + (^a + 6) (2Xi + 27ja + p..) +
+ (Xia + X2) (2Xx + 27;a + jx^)] + (X, + Tja) [(Tja + £) X
X (^1 + чдл + b^i) + (K^ + Ю 0^1+^10, + ^)] = 0;
I (^1 + -Tjfi) (Кг + тда + t^i) (Xi + тд« + 1^2) 1
(•yja + 6) (Xi + Tja + ^,) + (X^a + Xg) (X^ + vja -)- jx^) f
218
4.42. По условиям предыдущей задачи вычислить Тер с при про*
извольных законах распределения времени восстановления и
времени проверки с функциями распределения Fi(x) и F2(y)
соответственно.
Ответ:
aXi + Х2 + TQ« + fe — (">^i + h) ^1 — (-^ + ^) ^2
где
CO 00
b, = j* e~ <^'^+ ^«>-^ dF, (X); ^2 = 5 e" <^' + ^"> UF^ (y).
0 0
4.43. По условиям задачи 4.42 найти Гер с, если ?ii=^2=0,i i/час,
Т1='^=0,01 [/час, а=1, а времена восстановления и проверки
постоянны и равны соответственно Ti=30 мин и Т2=15 мин.
Ответ:
bi = е'"^^^ + '3*>''»r=e-o.o55s^0.9465, 62 = е"-<^«+ '>**>"^ =
= е-М275^0,9732. Геро^175 «^ас.
4.44. По условиям задачи 4.42 определить Гер с, если
вероятность того, что отказ резервного устройства будет обнаружен сразу
же после его возникновения, равна ,р (резервный прибор
контролируется неполностью).
Ответ:
"^ «А,+^2 + >р + ер- («X, + рхг) й, - (тд« + ре) ь^ /'
00 00
где Ь, = j е-^^^^-^^ ^ dF, (х); Ь^ = J е-<^'+'^^> ^ rfF2 (1/).
4.45. По условиям задачи 4.44 найти Гер е при проведении
профилактических проверок резервного прибора с интенсивностью Y-
Длительность проверки описывается функцией распределения Fz(z)*
Проверка заканчивается после выяснения истинного состояния
резервного прибора.
Ответ:
^«1"'- X.+Tja I'
+
1 +
«А.+Хг+1)а+5р+Т (1-6.)-{«Х,+рХ2) Ь,-{гр+Щ Ь^-
JX,
X
а1-р)ЬЛ ['
219
^дё
6о 6й
Ьз= Je-('-+i')^rfF3(2).
4.46. По условиям задачи 4.45 выяснить оптимальную частоту
профилактики уопт, максимизирующую 7'ср с Выяснить, при каких
условиях проведение профилактики дает увеличение Тер с
Ответ:
Yonx
/Х,(1-р)Мз(Х,+7^а)
Профилактика с любой частотой дает увеличение Тер с только тогда,
когда
К +'^^ bibz
4,47, По условиям предыдущей задачи определить оптимальную
частоту профилактики, если /", (х) == 1 — е"*^'"^, F^ (г) — 1 — е""'^^^.
Ответ:
4.48. Структурная схема расчета надежности автопилота
самолета представлена на рис. 4.И. Найти вероятность Pc(nt) безотказ-
I I ^г ] i I 1 -^г I -1
Т—ГХ71 J L_fT71 '
Рис. 4Л1. Схема расчета надежности (к задаче 4.48).
ной работы автопилота при п ^полетах длительностью t каждый и
среднее время б€аотказ1^й работы Гер с для случаев:
а) восстановление* отсутствует;
б) проводится проверка и восстановление отказавших узлов
после каждого полета.
Ответ:
а) Рс {Ш) = е-"^»' (2е-"^' — ^-^''^'^)\
4 4 1
^^Р ° ^ пХ, + 2/?Л, /гХ, + ЗпХ^ '^ пК + 4пЛ2 '
'лЛ = Гр—^i' /9р—V _ р—2V
б) Рс («О = [е -* (2е"
2/г
S
2rt
Т^срс— ^ лЛ, + (2/г +/^) ^2 *
220
4.49. Имеется неП|)ерЫбно работающая треХкайаЛьйая лийия
передачи информации. Ремонт отказавшего канала требует
выключения всей линии. Необходимо определить, при каком количестве
отказавших каналов г остановка линии на ремонт будет обеспечивать
минимум потерь информации, если доля информации, теряемой
в единицу времени при простое г каналов (г=1, 2, 3), равна Лг.
Время безотказной работы и время восстановления канала имеют экспо-
неяциальное распределение с параметрами Л. и .и соответственно.
Рассмотреть случаи:
а) каналы восстанавливаются поочередно;
б) одновременно могут восстанавливаться два канала;
в) одновременно могут восстанавливаться три канала.
Ответ:
а) г ^ 1, если
г ==2, если
JL/ ^^'^^
F^ ^ 1 -3/z,//z3
\-^hJh^ "^ Р- "^ 7+3/г,//7з—12V/i8
- 3, если
Л Shz/hs — Shu'hs
б) г= К
г ^ 2, если
^ ^ 7 + 'ShJIh- \2hjh^
^x <• 2 —3/;,//гз
hjh^ Л Whz/hs — bhjhs
<^<
2 —3/г,//7з ^ Р- ^ 13 + 3/Zi/7z3—ISV'Za'
в) г = 1, если
Р- < 2 —3/;,//гз '
г = 2, если
2 —3/2i///3 ^ Р- "^ 22 + ЗЛ1//23 — 27V/Z3 *
г = 3, если
Л ^ 3(5hjh^^3h,j%)
>
i-: ^ 22+ 3/г,//гз —27/12/^3 '
4.50. В дублированной восстанавливаемой системе длительность
подключения ненагруженного резервного устройства взамен
отказавшего основного есть случайная величина, распределенная по
экспоненциальному закону с параметром у. Система считается отказавшей,
если длительность перехода на резерв превысит допустимое время т
или одновременно будут неисправны оба устройства. Требуется
найти среднюю наработку до первого отказа системы при
экспоненциальных законах распределения времени безотказной, работы и
времени восстановления устройства с параметрами К ii ii
соответственно.
221
о т в е t:
4.51. По условиям предыдущей задачи вычислить Тер с, если
Л—0,1 {/час» |х==1 J/'foc, Тдоп=ОЛ «шс, а переход на резерв может
осуществляться автоматически (1/\=0,02 час), нолуавтоматически
(1/Y=0,04 час) и вручную (1/y=0,1 час).
Ответ:
7'срс = 112 час—автоматический переход; Гер с=66 час —
полуавтоматический переход; Гер с=25 час — ручной переход.
4.52. По условиям задач 4.50 и 4.51 вычислить Гер с если
длительность допустимого перерыва в работе есть случайная величина,
распределенная по экспоненциальному закону с -параметром г{=
= 10 {/час.
Ответ:
^ (A + ;^)(X + Y + ^) + ?^Y
'ере- M^(Y + ^)+I^TQl
Гер с =«44 час — автоматический переход; Гере = 30 час —
полуавтоматический переход; Гер с ='19 час — ру^шой переход.
4.53. Требуется- исправная работа прибора в течение 20 час. При
этом допускается бднократный перерыв в работе на время не более
чем т=1 час. Какова вероятность того, что задание будет
выполнено, если интенсивность отказов прибора постоянна и равна X—
=0,01 {/час, а интенсивность восстановления также постоянна и
равна |li= 2 1/час,
Ответ:
Ре (20,1)=:^ 0,962.
4.54. Цифровая вычислительная машина должна выполнить
большой объем вычислительных работ за время /=400 час. При отказе
результаты предыдущей работы сохраняются. Какова вероятность
Pc(i, т) того, что задача будет выполнена, если при отсутствии
отказов работа была бы закончена за время г=350 час? Законы
распределения времени безотказной работы и времени восстановления
ЦВМ являются экспоненциальными с параметрами Л=0,1 {/час и
|и=1 {/час соответственно.
Ответ: P(t т)«0,96.
4.55. По условиям предыдущей задачи найти искомую
вероятность при постоянном времени восстановления Тв = 1 час.
Ответ: Я(400, 350)«0,9935.
4.56. Имеется машина, перерабатывающая в час 10 кг
некоторого сырья. За время /=12 час требуется переработать 100 кг сырья.
Какова вероятность того, что машина справится с поставленной
задачей, если время работы до отказа машины и длительность
восстановления подчиняются экспоненциальному закону с параметрами
Л=0,1 {/час и fx=I {/час соответственно?
Ответ: Яс(/)«0,606.
222
4.57. По условиям задачи 4.56 определит»», сколько в среднем
потребуется времени на переработку всего сырья?
Ответ:
100/ X N
?ср = 70"И +~|Г j"^^^ «^Д^-
4.58. Цифровая вычислительная машина имеет экспоненциальное
распределение времени безотказной работы с параметром Х=
— 0,06 Х/час и экспоненциальное распределение времени
восстановления с параметром fx=l \/час. Найти вероятность Pc(t, т) того, что
задание длительностью т—10 час будет решено за время ^=15 час,
если допускается только одно восстановление, после которого
решение приходится начинать сначала.
Ответ:
Pcit, ^)
1 р. — X р. — X J
Яс(15. 10)^^0,667.
4.59. По условиям предыдущей задачи вычислить Pc(t, т), если
восстановление мгновенное. Сравнить со случаем отсутствия
временной избыточности.
Ответ:
Яс (^ *=) = е--^^ [2 — е-*^ (^-'»)],« Я^ (15, 10) ^ 0,691. Если / = т, то
р^(т) = е-^^:;;^ 0,549.
4.60. При значениях X и т, приведенных в задаче 4.58, выяснить,
что выгоднее: параллельное решение поставленной задачи двумя
ЦВМ при отсутствии временной избыточности или решение той же
задачи одной ЦВМ при наличии избытка времени t—т=10 час.
Ответ: При простом дублировании
р^ (t) = 1 — (1 — е-^У =5ь 0.796.
При временнбй избыточности одной ЦВМ
PoiU '1:) = е-^М1+Я(^-т)]=^0,878.
4.61. Исследуется надежность блока питания, состоящего из
понижающего трансформатора, дросселя и двух конденсаторов с ин-
тенсивностями отказов Хтр = Х1=9 • 10"^ \/час, Хдр = Х2=0.2Х
Х10~^ 1/час, Хс = Хз=5'10~^ Х/час и средними временами замены
Т1=Ттр=1,5 час; Т2=Тдр=1 час и тз=Тс=0,5 час. Пробой любого
из конденсаторов приводит к перегоранию трансформатора. Для
повышения надежности блока конденсаторы зарезервированы путем
последовательного подсоединения к каждому из них еще одного
конденсатора, при этом из-за уменьшения нагрузки по напряжению
вместо Хс имеем Х'з=?^'^с=0,ЗХс. Блок обслуживает один человек.
Конденсатор может отказать только из-за пробоя.
Найти Pc(t), Тер с* Т^ и Кг, если /=2000 час, ремонт может
начаться только после отказа всего блока в целом и ведется до
полного восстановления блока.
223
Ответ:
р, (О = е-<>-+>=>' {.^^^ е—5,^#^ е ->^\
Яс (2000) = е-0.0276 (2,5е-0.009 _ l,5e-o.oi5) :;s_ 0,9727.
^ f ^s у 1 4ЛзХ^
^ ер с - ^ у,^ _ 2Х'з ^ Л, + Л2 + 4Х'з (Хз - 2Л'з)2 ^
X
1 . / 2Х'з ,2 1
Xi + ^2 + Лз + 2Х'
7'срс = 92 320'^ас,
X^t,+Х2т:2 4XiX^ (т. +-Сз) + 4Х2Х% (ta + т^э) .
" ~ X, + Xg + 4Х'з "*" (X, + Х^ + 4Х'з) (X, + Хз + 2Х%^+ Хз) "*"
■ вХ, (Х%)^ (X, + 2t3) + 8Х, (Х%)^ (t, Ь 2тз)
^ (X, + Хз + 4Х%) (X, + Хг + 2Х'з + Хз) (X, + X, + 2Хз) "^
[8ХзХ% (X, + X, + 2Хз) + 12Х| (Х^ + X,)] ч
+ (X, + Хз + 2Х'з + Хз) (X, + Хз + 4Х'з) (X, + Хз + 2Хз) '
Кг = Гер ATcv с + Т^)^ 0,99998.
4.62. Восстановление отказавшего прибора, состоящего из п
равноиадежпых блоков, ведется путем поочередной замены каждого
блока новым до тех пор, пока не будет обнаружен неисправный
блок. Длительность замены блока постоянна и равна т. Требуется
вычислить вероятность р^ того, что придется заменить k блоков и
ожидаемое время восстановления Тр.
О т в е т: /7^ = —, -с^ = т Jj^^Ph = 2 '
k=\
4.63. По условиям предыдущей задачи прибор состоит из блоков
разной надежности. Вероятность отказа прибора из-за отказа /г-го
блока есть qh, а длительность замены ^-го блока постоянна и
равна Tfc. Найти такую стратегию восстановления прибора, при которой
ожидаемое время восстановления будет минимальным, и вычислить
для этой стратегии ph и Тц-
Ответ: Необходимо проверять блоки поочередно,
предварительно занумеровав их таким образом, чтобы выполнялось условие
— ^<-;; » ^= 1, 2, ... , /г— I;
п
224
4.64. По условиям предыдущей задачи /i=2, qi = OJ, ^2=0,3,
ti = 30 мин, T2=I0 мин. Найти оптимальную очередность замен
блоков и вычислить для этой очередности Тв. Сравнить со случаем,
когда очередность замен не устанавливается и равновероятна замена
любого блока.
Ответ: В первую очередь заменяется второй блок, при этом
Xb = S\ мин. При равновероятной замене любого блока имеем
4==^ [^t^i + ^2 (-с,!+ ^2)] + -2~ [^2'=2 + Qi ih + -^2)1 = 32 мин,
4.65. Система, состоящая из Л^ одинаковых блоков, считается
исправной, если в ней отказало не более п блоков. Считается, что
отказы блоков независимы, время безотказной работы каждого
блока распределено по закону f(t), во время профилактики все
отказавшие блоки мгновенно заменяются, а моменты th надо выбирать
так, чтобы вероятность отказа блока на каждом участке равнялась
одной и той же величине. Выбрать моменты профилактики /|</2<
<^з<-• •<^ft<-. • таким образом, чтобы вероятность безотказной
работы системы на участке времени между соседними профилактиками
равнялась заданной величине 1—р.
Ответ: Моменты tk находятся путем решения системы
уравнений
Яс(и + « 11я(/^~/г)=1-а, т = ]. 2....,
где Pc(tm)=l—F(tm), а — вероятность отказа каждого блока на
участке между соседними профилактиками.
Значение а определяется из выражения
k~n-\-1
4.66. По условиям задачи 4.65 можно доказать, что с течением
времени система войдет в стационарный режим, т. е. ^—ti-i=h—
= const при любых достаточно больших i. Найти приближенное
выражение для К если вероятность отказа блока а мала, а средняя
наработка до первого отказа блока равна Гер»
Указание. Найти точное выражение для вероятности
безотказной работы блока на участке между профилактиками как сумму
вероятностей благоприятных событий, после чего вычислить
приближенно
Тср= jVc(/)^
б
используя формулу трапеций.
Ответ:
Л^аГср/(1—а/2).
15^1086
ГЛАВА П 51 ТА Я
ОЦЕНКА И КОНТРОЛЬ НАДЕЖНОСТИ
ТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ
ИХ ИСПЫТАНИЙ
§ 5.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
ВЫБОРОЧНЫХ ИСПЫТАНИЙ
Испытания технических устройств на надежность
.производятся 1С целью определения реального уровня их
надежности. Естественно, что испытаниям подвергается
выборка из генеральной совокупности. По результатам
испытаний выборки судят о надежности всей
генеральной совокупности.
Для устройств, работающих дискретно,
непосредственно из опыта определяется вероятность безотказной
работы (вероятность отказа) по методике описанной
ниже.
Исчерпывающей характеристикой надежности
устройств с непрерывным характером работы служит
закон распределения времени безотказной работы. Если
известен вид закона и его параметры, то легко
определить любую, интересующую нас характеристику
надежности. Статистическое определение закона
распределения времени безотказной работы связано с большими
затратами сил и средств. Техническая сторона этого
вопроса хорошо описана в учебной литературе, лосвящен-
ной испытаниям, и поэтому в данной книге не
рассматривается.
В ряде случаев вид закона распределения времени
безотказной работы бывает известен. В та'ком случае
опытным (Путем находятся оценки параметров закона и
затем необходимые характеристики надежности, в
частности вероятность безотказной работы как функция
распределения, т. е.
■pi{t)'=^F{t,T„ %,...), (5.1)
226
где Р(/)—оценка веройтйости безотказной работы зД
время /; Gi, 02 ... — оценки параметров распределения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ИСПРАВНОЙ РАБОТЫ
(.ВРЕМЕНИ ДО ОТКАЗА)
В результате испытаний можно получить точенные
значения оценки параметра (которые будем обозначать
теми же символами, что и математические ожидания, но
с черточкой сверху, например 6) и интервальные
оценки. При интервальных оценках определяется, какой
интервал оценок с заданлой доверительной вероятностью
а накрывает математическое ожидание оцениваемого
параметра. Границы такого интервала называются
доверительными границами. Можно записать
а=Вер(ен^в<,вв), (5.2)
где вн, вв — нижняя и верхняя доверительные границы
параметра 6.
Вероятность того, что значение 6 выйдет из интервала
[Он, вв], называют уровнем значимости р.*
р-вер (•ее>!е>'ев) = i—а. (5.з)
Наиболе часто значения дове]рительных вероятностей
принимают равными 0,90; 0,95; 0,99 или уровни
значимости соответственно 0,10; 0,05; 0,01.
Доверительная вероятность а, определяемая
соотношением (5.2), характеризует степень достоверности
результатов двусторонней (т. е. с определением двух
границ) оценки. Но часто в практических целях достаточно
установить одну из границ интервала, нижнюю или
верхнюю, отвечающих доверительным вероятностям ai, или
а2. Тогда
<Х1=Вер(в^вн), (5.4)
'а2=Вф(6^Юв). (5.5)
Вероятности а, ai и а2 связаны между собой
уравнением
a=iai Ч-1а2— 1. (5.6)
Первоначально рассмотрим определение вида закона
распределения.
15* 227
Наиболее рйспространенньши зйконйми
распределения отказов изделий являются:
— экспоненциальный;
— усеченный .нормальный;
— логарифмически-нормальный;
— Вейбулла;
— гамма.
Поэтому при определении вида закона
распределения 1рекомендуется аппроксимировать эксперименталь-
ные характеристики этими законами в тон последова-
тельности, которая указана выше.
При выявлении закона распределения целесообразно
соблюдать следующий порядок:
— подготовка опытных данных;
— построение гистограммы какой-либо
количественной характеристики надежности;
— проверка допустимости предполагаемого закона
распределения отказов, используя определенные
критерии согласия (Колмогорова, Пирсона и. др.).
Подготовка опытных данных включает выборку
исходных результатов из отчетных документов,
составление вариационного ряда и заполнение таблицы
отказов.
При составлении вариационногс ряда исследуемого
времени безотказной работы (или времени
-восстановления) это время за'писы'вается в ^порядке возрастания
величин, причем одинаковые значения не исключаются,
а повторяются друг за другом. По полученным данным
заполняется таблица, образец которой «приведен в виде
табл. 5.1. В ней 'приняты следующие обозначения: Xt —
значение члена вариационного ряда (наработка до
отказа, наработка между соседними отказами); щ — число
ТАБЛИЦА 5.1
Таблица исходных данных для олределения
графическим способом закона распределения
^г
1
'Ч
2
^г
3
4
5
228
наблюдаемых однозначных Отказов /"-го интервала
времени; 1.щ — общее число отказов; Hi—накопленное чис-
(0
ло отказов, являющееся суммой rij отказов второго
столбца, начиная с первого числа п^ и кончая i-m
числом Пи Hi/Hrii — частость отказов.
(О
Приведенная таблица предназначена для
определения закона распределения графическим способом при
помощи координатной сетки. При таком способе вид
закона распределения оценивается, как это следует из
табл. 5.1, по виду кривой вероятности безотказной
работы
с-"■■/,? "■■>
Координатные сетки для различных законов
распределения приведены в приложении 6.
Если вид закона распределения оценивается не
графическим способом, то удобно применять табл. 5.2, в
которой обозначено: А/г — длина /-го интервала времени;
ТАБЛИЦА 5.2
Таблица исходных данных для озределения
закона распределения аналитическим саосэбом
л/
•^^г
1
/г(3/,.)
2
^''>--'f
3
nlt\ —
^^~ Л'еА/,
4
5
n(/!^ti) —число отказов на участке Д^ь Л^о—число
образцов, первоначально установленных на испытание; Л^ср —
среднее число исправно работающих элементов в
промежутке Д^г; P(t), ^(0» ^('0—вероятность безотказной
работы, частота отказов, интенсивность отказов
соответственно.
По данным табл. 5.2 строятся гистограммы для
количественных характеристик надежности (либо Я(/), либо
^{t), либо А(0] и аппроксимируются кривой, по виду
которой можно установить ориентировочно закон
распределения отказов путем сравнения с соответствующими
теоретическими кривыми.
Проверка допустимости принятого закона
распределения отказов осуществляется по критериям согласия.
Наиболее употребительными критериями являются
критерий у^ Пирсона и критерий Колмогорова.
При использовании критерия у^ Пирсона вычисляется
вероятность следующего вида:
Р(Х^<Л<оо)= J/e,(w)d«. (5.7)
где А — мера расхождения; х^—функция плотности
распределения, вычисляемая из «выражения
п — общее число опытов; Pi=niln — частость /-го
интервала статистического ряда; k — число интервалов
статистического ряда;
k^(u)^Ji—-—^ • (5.9)
г=Л—1—число степеней свободы распределения»
Для вычисления вероятности (5.7) используются
таблицы.
Если вероятность P(x^^A<^) <0Д» то следует
считать неудачным выбранное теоретическое расшределение.
В противном случае следует считать, что взятое нами
теоретическое распределение согласуется с
экспериментальным и может быть принято.
На основании критерия согласия Колмогорова
экспериментальное распределение согласуется с выбранным
теоретически, если выполняется условие
D>T<1, (5.10)
где D — наибольшее отклонение теоретической кривой
распределения от экспериментальной; k — общее
количество экспериментальных точек.
После установления вида распределения можно
приступить к определению его лараметров. Законы
распределения могут быть однопараметрические и
многопараметрические.
Рассмотрим методы оценки параметров различных
законов распределения отказов.
230
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Экспоненциальное распределение характерно для
внезапных отказов элементов и систем. Плотность
вероятности экспоненциального распределения задается
уравнением
/(0 = ЯеЛ (5.И)
где % — интенсивность отказов есть величина, обратная
средней наработке до отказа 'к^МТ.
Оценки параметра Я экспоненциального
распределения могут быть получены по формулам,
соответствующим -планам испытаний [3] и приведенным в табл, 5.3. Во
втором столбце этой таблицы располагаются усло-вные
трехбуквенные обозначения планов, которые расшифро-
вы'^аются следующим образом:
первая бука п означает объем выборки,
подверженной испытаниям;
второй буквой Б или В обозначены !планьт без
восстановления выборки или с восстановлением ее
'соответственно;
третья буква (п, или t^, или d) в условном
обозначении плана указывает на (признак окончания испытан^тя.
Планы, предусматривающие испытания до отказа всех
испытываемых элементов выборки, обозначены буквой /г;
планы с окончанием испытаний через заданное время
обозначены буквой U\ буквой d обозначены ^планы
с окончанием испытаний после появления
установленного числа d отказов.
Таким образом, символом fn, В, /о], например,
обозначен -план с 'восстановлением выборки объема п и
окончанием испытаиий по истечении времени U, Символ [/г, Б,
rf] относится к плану без восстановления выборки с
окончанием испытаний после d отказов. Кроме указанных
выше символов в таблице приняты также следующие
обозначения:
ta — 'Время от начала испытаний до rf-ro отказа;
К—суммарная наработка.
Формулы, содержащиеся в табл. 5.3, удобно
обозначать двузначными числами, у которых первая цифра —
номер строки (план), а вторая — номер столбца.
Например, в таблице формула, обозначенная номером (14),
записывается в виде Х=:= nft^,
231
ID
<
H
cu
S
kJ
rt
e
s
о
t^
Ф
tj
о
Pi
e
о
kJ
О
(^
о
з:
л
со
=^
S
о
с
а
о;
KJ
5Р
>>
в:
«
а;
н
.3
*5
232
1 '^
г<
ГС
К
Сь
с:
Сс
X
О.
1 "^
§
О,
i
у о
"" о
1 о; о
1 '''
1 ^
а
К
1 tc
1 ^
Б.
и
1 ^
со
ю
ГГ
со
<м
г»
см
е
см —
сч
s:e|^'
=^>1 J!
^5
см!
-Г
СЧ)
см •>-
см
м
СЧ
-^1^''
о
'а'
1
+
с
ч
.»h-
о
1
о
'^ II
го
см
см
Т|
^ 1
log
см
I-J
1
7-
^5
^
см
+
см
см!
см
1
см--
•х^|-^^
о
о
5
ю
см
: СМ£
СМ
т
t3
СЧ
с^
>•
•в
о:)
Для определения до^верительных грани-ц X при d#0
необходимо пользоваться таблицей квантилей хи~квгл-
рат распределения (табл. П.7.1), в которой «параметрами
являются вероятность Я(1—^ai или <Х2) и число степеней
свободы k. равное 2п, 2d или 2d+2, в зависит\1ости от
пла«а.
Для определения Хв при d=0 в плане [п. Б, t] нужно
определить коэффициент го по табл. П.7.8.
Учитывая, что при экспоненциальном распределении
получим:
Р(0 = е-", гТ = ^
(5.12)
Для этих целей можно воспользоваться и
непосредственно табл. 5.3.
В том случае, когда число степеней свободы k {2п
в планах |/г. Б, п] или 2d в других планах) более 100.
формулы для определения доверительных границ,
приведенные в табл. 5.3, не могут быть реализованы ввиду
ограниченности табл. П.7.1. При таких объемах
испытаний выборочная оценка средней наработки на отказ
распределена нормально и поэтому могут быть
использованы формулы для границ Т при нормальном
распределении време«и безотказной работы, в соответствии с
которыми
7^в.н= 5^~^f«(«_,)S/(//7. (5.13)
Получение значения S при этом может оказаться
затруднительным и в ряде случаев невозможным. Тогда
следует воспользоваться свойством экспоненциального_рас-
пределения, у которого с=Т, а следовательно, S^T.
При планировании объема испытаний для случая
экспоненциального закона распределения времени
безотказной работы необходимо определить, сколько
экземпляров и сколько времени нужно испытывать, чтобы
получить из опыта интенсивность отказов с ошибкой, не
превосходящей заданную. Если заданная предельная
233
Сшибке выражена в процентах и равна &, то можйо за-
пи?сать
хН^ + Ш^'^- ^'-^^^
Тогда для плана [я, ^, я] имеем
^ = 2я/х;._,.,,^^, = г.. (5.15)
Это соотношение три заданных k и ai позволяет
определить объем испытаний п с помощью табл. П.7.1. Для
удобства решения этой задачи составлена табл. П.7.2
для значений Гх^=к, ъ которой входами являются rf=n и
a=ai. Табл. П.7.2, очевидно, может быть использована
для определения п в планах {п. Б, п].
При ^планах [л, Б, Ц объем испытаний -определяется
величинами п и /о- При испытаниях регистрируется
число отказов d. Очевидно, что :Между d и ta -существует
неявная связь. Поэтому по величине k=Ri, пользуясь
табл. П.7.3, составленной для вероятности •а=0,95,
находим d. Затем «по числу d и заданному значению
доверительной вероятности определения объема испытаний
ао с помощью табл. П. 7.4 находим коэффициент гз и по
формуле получаем примерный объем испытаний
nto=drs/Xoy (5.16)
где )ю — ожидаемое значение X. Если п или to задается
заранее, то из произведения nto легко определить
искомое.
Для планов [л, Б, d] объем испытаний определяется
значениями л и cf. Число отказов d можно определить по
табл. П.7.2, исходя из заданного k=ri и доверительной
вероятности ai. Величина п влияет только на
длительность испытаний: чем больше п, тем скорее будет
достигнуто число отказов d и, следовательно, время испытаний
будет меньшим;
В случае !Планов типа [п, б, /о) испытанию подлежат
п объектов в течение времени /о- В.ремя to косвенно
связано с числом отказов d при испытаниях, которое
определим 1П0 табл. П.7,2 для заданных k и ai. Для того
чтобы по числу d найти необходимые п и to с
вероятностью ао, воспользуемся вспомогательным
коэффициентом Гз, определяемым из табл. П.7.4 по известным d и .оо-
234
Наконец, уста'новив предполагаемое значение ао,
находим по формуле (5.16) произ-ведение nto.
Для шланов типа [дг, В, d] объем испытаний
определяется величинами п и d, которые находятся так же, как
и в 1случае .планов типа [п, Б, d].
УСЕЧЕННОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Нормальный закон распределения наиболее часто
используется для оценки 'Надежности изделий .при
наличии 'постепенных отказов. Плотность 'вероятности
нормального распределения задается уравнением
где Т — средняя 'наработка до отказа; ст — среднее квад-
ратическое (стандартное) отклонение времени
безотказной работы.
Так как при нормальном распределении случайная
величина может принимать любые значения от —оо до
+ 00, а время безотказной работы может быть только
положительным, нужно рассматривать усеченное
нормальное ра-спределение с 'плотностью
где с — 'нормирующий множитель.
Нормирующий миожитель с определяется из
выражения
, оо
с
о
И равен
^f\t)dt=l (5.19)
о
где f |-J-jz=:— I е~^^^^ dx — табулированная интеграль-
—00
ная функция нормального распределения; Ф© (~^ J"^
^^■gr \ ^~ ^-^ — нормированная функция Лапласа,
о
235
Средняя наработ/ка до отказа и параметр Ti усечбн-
ного нормального ра1С1П'раделен.ия связаны зависимостью
При Т/о^2, что имеет место 'в абсолютном
большинстве случаев пр1И оценке надежности устройств с
нормально распределенными отказами, коэффициент с мало
отлп'чается от единицы и усеченное нормальное
распределение достаточно точно а^тпроксимируется обычным
нормаль'ныл! законом.
При 'иапытании -выборки объемом в п изделий с
наработкой ti, /2, ..., in шараметры распределения Г и о
оцени1вак>т1ся по формулам
7=(У^ ^г] п, (5.22)
j/,7^1 <'.-')
=■ = ^=1/ ;7zrr >('.-?)"• (6-23)
С целью экономии времени и уменьшения ошибок
пр'И 'подсчетах S, -когда п велико, а ti — 'большие или
нецелые числа, следует использовать тождество
Доверительные границы Т определяются по
уравнениям:
— 5
Гн =■ Т — t^^ ^^^_,^ —гг=-^ нижняя граница, (5.25)
— 5
Гв = Т +1^^ („_,) Y=^""^^Р^ня^^ граница, (5.26)
где ^„ („__!) — квантиль распределения Стьюдента для
вероятности а или уровня значимости р=^ 1 —а и числа
степеней свободы / = /г — 1; величина t^i^_^. находится по
табл. П.7.5.
В случае двустороннего определения доверительных
границ
Р. = Р2 = (1-а)/2.
236
Доверительные границы о определяются с помощью
формулы
<--')^^ <а-<-<^-'^^' . (5.27,
^(1-3/2) (гг-1) Х(р/2) (п-1)
где Хп_э/2)(«-1) — квантиль xw-квадрат распределения при
вероятности р=^\ — р/2 и числе степеней свободы k =
= /г —1; /(р/2)(„_1)—'ГО же для вероятности /7 = р/2.
Значения yf,, , находятся по табл. П.7.1.
Бели время безот1казной работы устройств имеет
нормальное распределение, то оценка вероят!насти
безотказной работы за время t определяется по формуле
, ^Р(0=1-[Фо(-^) + Фс(^)], (5.28)
где Фо{г) —Аор'мированиая функция Лапласа,
полученная по П.7.13:
Z
ФЛг)-^^ fe-^^'Vv. (5.29)
О
При этом следует учитьгвать, что «функция Фо
нечетная, т. е.
Фи(—г)=—Фо(^).
Нижняя доверительная 1гран1ица для P{i) может быть
приближенно найдена по формуле
/'н(0^^'(0-«.^-, (5.30)
где а^ — квантиль нормального распределения (при Г = 0
и а=1), определяемый по табл. П.7.7; а_ — оценка стан-
р
Дартного отклонения оценки Р (t)\
V-^[»Vi(^/), (5.31)
^ = 0.4ехр[-^(^^У]. (5.32)
237
Бели .раюсматраваются шостепенньте отказы т
надежность определяется вероятностью того, что выходная
характеристика У не выйдет за допустимые пределы Уц,
Ув, иначе Уц^У^Ув, то оценка P{Y) производится по
формуле
Я(У) = Фо (-^—)-Фо(-^^^^^). (5.33)
Нижняя доверительная граница P{Y) прибл1иженио
определяется 'пю фо}рмуле, аналогичной (5.30), iho диоттер-
сия оценки находится при шомощи ура'внения
?
где
~2k,k,(l+-^kA)\ (5.34)
ki = OAexpf—-2%
z,=(Yi-Y)/S
при /=1; 2.
Часто при оценке надежности устрюйств с
нормальным распределением отказов требуется определить
границы ((Пределы) 1И|Нтервала, в котором будет находиться
нормалыно раопределенная случайная величина с
данной вероятностью Р. Границы Ур и Ув и интервалы
часто называются толерантными (допустимьши
[пределами).
Толерантные пределы запишутся следующими
выражениями:
верхний предел Ув—
[—оо, T+kSl (5.35)
нижний предел Уп—
fy_/feS, +оо], (5.36)
двусторонний интервал
{Y—kS^ Y+kSl (5.37)
где У — ©Ы'борочиое юредяее случайной величины; S —
оценка стандартного отклонения.
238
Так как толерантные^П'реде^пы определ-яются на осж)-
>ве выборочных да1Н1НЫх У и 5, то оии устанавливаются
с ©ароятностью а.
Константа А, являющаяся функцией объема «выборки
/1, вероятности Р и довергительной вероятности а,
приближенно выражается формулой
где Zp и и^ определяются 'Из табл. П.7.6 для р=Р и
для р = а'соответственно.
Полученные таким ooipasoM толерантные пределы
будут более широкими, чем их точ-ные зиачеиия,
вычисление 'котарых громоздко и .поэтому здесь (не
приводится.
Объем !И|0Пытан1ИЙ для определения Т с ошибкой не
более 8 часов с доверительной (вероятностью а 1пр(ибли-
женно 'МОжет быть шолучен три ш-омощи уравнения
n^{ZpGo/s)\ (5.39)
где Zp'—квантиль нормального распределения,
определяемый по табл. П.7.6. для вероятности р = а\ ао
—ориентировочное значение о.
В случае усеггенной выборки, когда 'в результате
испытаний объектов получены г возрастающих значений
наработки {r<zn) для отказавших объектов /i, /2, ..-, U,
а п—г объектов по 1истечении некоторого (времени to'^tr
остались исправными, параметры Т и а можно оценить
по (методу квантилей следующим образом.
Считаем, что за в!ремя t,i вероятность ;выхода -из строя
испытываемых объектов составляет pi = i/n. Для этой
вероятности ;по табл. П.7.6 определяем квантили Up и
составляем г уравнений:
• /7_
(5.40
Полученную систему уравнений решаем по методу
наименьших квадратов, для чего умножим левую и правую
части каждого из уравнений системы (5.40) на и
"^^,..., и соответственно и все г уравнений сложи
в результате -получим первое, так называемое
нормальное уравнение
тiu^^ + ^t^^X = tu^t,. (5.41)
/г=1 /^1 £=^1
Второе 1нар'мальное уравнение получим суммиро'вани-
ем уравнений системы (5.40):
Tr + ^t%=^t',ti- (5-42)
У1ра1внения (5.41) и (6.42) решаем от1Носительно не-
из'веспных Г и а и «находим, таким образом, их оценки.
Точность 1Получе.нных значений Т ц а может быть
оценена с помощью уравнений
^4T)^^fAk), (5.43)
^4^)^^fAk), (5.44)
где k=(T—io)/a\ f2(k) и [з(^)—вспомогательные
функции, определяемые по табл. П.7.7.
ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Данное распределение в 'практике оценки надежво-
сти тех!ничес-к<их устройств имеет большое значеиие, так
как В'ремя безотказной работы систем с не-нагруженным
резервам, 1каждый компонент которых имеет
экспоненциальное распределение от1казо1в, 1п0дч'иняется этому
закону. С помощью га'мма-распределения можно также
оценить наработку /при определенном числе отказов
восстанавливаемых устройств.
Плотность ;вероят.ности наработки в случае гамма-
раопределения имеет 1вид
И') = |^е-», (5.45)
где т — параметр формы распределения; Я —
масштабный параметр.
Обычно параметр т известен как число компонентов
' резервированном устройстве или как число отказов во
S
23t
время испытании устройств с э^К1ап.оненцйальнЫ'М расп-ре-
делением. В таком случае, в результате испытаний
•необходимо оценить параметр Я, /который в данной
интерпретации гамманра]0П1ре.деления является интен-сивностыо
отказов. Параметры т .и К легко определить методом
моментов, исходя из того, что
M{t) = T=-^^{y]ti]jn, (5.46)
^(0 = ^-l2J(^^-^Tl/(«-l), (5.47)
где ti — наработка до m-.ro отказа при одио-м иопыта-нии;
п — чи'сло HCinbiTbi'BaeMbix устройств.
Соеместное решение уравнений (5,46) и (5.47)
/позволяет получить оценки т 'И X. При известном т оценкой
параметра л является опытное значение X, определяемое
по уравнению
Х = тп Yi ^i' (5-48)
Доверительные границы для %, отвечающие довери-
тельным вероятностям ai и «2, определяются по
уравнениям
Я„ = Ях^,_„^,^,„.^,/2т«, (5.49)
где х^._ и X/ ч — квантили распределения хг/-квадрат
С 2т!1 степенями свободы для вероятности I —а, и а^.
Учитывая уравнение (5.48), можио (5.49) и (5.50)
записать в более удобном виде:
Я.-/-0_,.)(2.п)/2^^- (5-51)
Следовательно, при определении довер'ительных
границ % нужно пользоваться таблицей л'«-квадрат
распределения (табл, nj.l).
16—1086 241
в том случае, .когда иопытываюпся п однот)й(Пйых
ус1>ройст.в, наработка которых подчиняется гамхма-рас-
пределению с одинаковым параметром К, но
различными известными 1параметра)ми /Пг, оценка napaiMeTpa Л
П]роиз1вод'ится по ф|Ор1муле
Я = 5] Шг
i-1
S ti. (5.53)
/=i
При этом уравнения для определения доверительных
пра'нии. X остаются в силе 'При условии
i=\
Оценка вероятности безотказной работы устройств
с га-мма-раепределением отказов пpoиз^вoд'ИTlCя .по
формуле
.p^t)=.l-J]m^, (5.54)
k=m
где Я и т — оценки масштабного пара1метра и
параметра вида закона соответственно.
Для подсчета P{t) можно использовать таблицы
суммарных значений функции Пуа1СС0на (табл. П.7.9). В тех
случаях, когда т ine Я(вляется целы-м числом, нуж1Н0
прибегать к 1интер1поли:рова.нию.
При отсутствии таблиц для малых, но больших
единицы значений /п, а также при значениях ?i/.<0,l можно
воспользоваться формулой
W-1
:р(0 = 5]
J^e-". (5.55)
л=о
Для определения доверительных границ P{t) при
га.мма^раюпределбнии нет пр,иемлемо1Го для .практики
решения.
Объем испытаний п для оценки параметра % при
из^вестном параметре т мож'но оп1редел:ить, если задана
242
относительная ошибка б (в проц'ентах). Обозначив через
''^ = ^+тбб=1;г'
находим то табл. П.7.2 для заданного ri и до1вер.итель-
ной ■вероятно1ст1И а'=(14-а)/2 (а — вероятность
доверительного интервала) число степеней свободы mn=k.
Тогла
n=k/m.
НЕПОСРЕДСТВЕННАЯ ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ
БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ (ВЕРОЯТНОСТИ ОТКАЗА)
Если 1п,ри 'Испытаниях ■невоз'мож'но или яецелесообраз-
но р'егмстр'ирювать наработку испытываемых объектов,
но могут быть зарегистрированы факты отказов, то
оценка вероятности безотказной работы (вероятности
отказа) ори Безаырои'мых испытаниях производится neino-
средствевно с помощью частоты^по фор.мулам
P={n-~d)/n, Q=dln (5.56)
где Р и (> —оценка вероятяасти безотказиой работы и
вероятностд^ отказов соответственно; п —объем
выборки; d—Ч1ИСЛ0 зарели1Стри1рова1Н1НЫх отказов.
В большинстве случаев удобнее лер1вона1чально
оценивать вероятность отказа, а затем, при необходимости,
определять вероятность безотказной работы.
Доверительные лрани^цы вероятности отказа
вычисляются 1П0 ^следующим формулам:
Q„ = Xo_50jM) ^ (5.57)
2/1 — rf + 1 + ^ Х(1_а,) (2i)
Q3 = ^<"'' <f+'> , (5.58)
2л — d + -^ Х(а^) (2i+2)
(
А
^^^ X(i_ccj) (2(/)—квантиль распределения лгм-квадрат с k=
=2с/ степенями свободы для вероятности а,; /1 > (2^+2) —
квантиль того же распределения с fe = 2(rf+I) степенями
свободы для вероятности а^.
Значения xj,^„,) ^2d) " Х?»,) (2^+2) определяются по
табл. П.7.1.
16* 243
П'ри определе-н-ии двустороннего дов-ерителыного
интервала € вероят1ностью а иужно 'исходить 1из уравнении
а=ш + а2—1. (5.59)
При ai = a2 = a'
«=2а'—1. (5.60)
Бели число отказав d = 0, то
Q^l/(/7 + l), Q„ = 0, Q3=l-j/nr^. (5.61)
При ограниченных генеральных совокупностях Ш'ри-
веденные выше -формулы дают хорошие результаты при
условии
n/iV<'0,l, (5.62)
где Л^ — число экземпляров устройств в испытываемой
партии (объем !ге!нераль'ной совокупиости).
Объем потребных испыта'ний п для оценки Q с
'предельной а1боолютной ош'и-бкой е (Пр.и доверительной веро-
япности а приближенно находится из уравнения
n = ^Qo{i-Qo). (5.63)
где Qo — ориентировочное значение вероятности отказа.
Величину z^ длн р=^а находим из табл. П.7.6.
Если иапытьиваются 'недаоль'ко выборок из одной и
той же генеральной совокупности, то оценка
вероятности отказа 1про1из1водит1ся по формуле
Q^-t^ili ni = djn^, (5.64)
где г — Ч1И1СЛ0 (выборок.
Доверительные границы определяются та.кже ио
формулам (5.57) и (5.58), «о и для определения квантилей
л:г/-к!вадрат ра-определения нужио 1брать 1следующ1И€ чи1с-
ла 'стешеней свободы: k=2d^ —для БИЖ1ней границы,
k^Q (d^+\) —для верхией {гра'ницы.
(Зснов'ньш .критерием надеж(НОсти устройств с
циклическим характером работы является «вероятность отказа
до (вероятность безотказной работы ро=1—qo) в
каждом отдельном 'ЦИ1кле, -которая определяется по формуле
(5.56) три rf^O, где п — число циклов работы при
испытаниях, а rf —число циклов с отказами. Когда d=0,
оценка Q .произво1дится ino фо1р1муле (5.61).
244
Производными KpiHTepHHMH ют Qq Я1Вляются:
i) вероятность п.олучен.ия т последовательных
циклов безотказной работы
2) вероятность отказа на т-м цикле
Q,=.-. = (l-9or-4o; (5.66)
3) 'Вероятность т и более /последовательных циклов
безотказ'ной работы
т
'■ ^^,n = l-S(l-'7.H'7o; (5.67)
4) среднее число (|математи'ческое ожидание) циклов
безотказной работы
5) среднее число циклов r-sro отказа
восстанавливаемых устройств
M^^,,=ri^». (5.69)
Оценки этих ,кр'итер',иев могут быть получены ino
приведенным выше формулам с подстановкой Бм-есто ^о его
оценки до, получ€!нной опытным путем.
КОНТРОЛЬ НАДЕЖНОСТИ
Контроль надежности н-меет своей целью проверить
гипотезу о том, 'Что надежность не ниже установленного
уровня. При этом 1К0нечным результатом, ка-к нрд«вило,
является одно из двух решений: принять партию, считая
надежность изделий удовлетворителдаой, или
забраковать контролируемую партию изделий как ненадежную.
Так .как контроль надежности произ(водится на
основе испытаний выборки, то нри принятии решений
возможны два 1В'ида ошибок:
а) ошибка первого рода — когда хорошая партия
бракуется;
6) ошибка второго рода — 1колда плохая .партия
принимается.
245
Вероятность ошибки первого рода называется риском
поставщика и обозначается буквой а. Верюятность
ошибки второго рода называется риском заказчика и
обозначается бук-вой р.
Существуют три основных статистических метода
контроля надежности:
— метод однократной выборки (одиночный
контроль) ,
— метод двукратной выборки (двойной контроль),
— 'последовательный 1метод.
Каждый из этих методов имеет свои достоиисгва и
недостатки и может быть оптимальньш ъ том или илом
конкретном случае.
Контроль по методу однократной выйорки легче
планируется 1и осуществляется. Однако это наименее эко-
Н'Оми'чгный метод, так как он требует относительно
большого объема контроля, особенно для партий с •вьюо.кой
или .низгкой надежностью.
Контроль по методу двукратной выборки более
экономичен, чем одиночный. Но это его главное
(Преимущество проявляется лишь при контроле больших партий
с очень низкой или о-чень высокой 1на!деж1нюстью. Пр'и
промежуточном уровне надежности нет (выигрыша в по-
треб;ном объеме выборки. Расчеты, связанные с
осуществлением Д1В0ЙНОТО контроля, более сложные, -чем при
одиночном контроле. Кроме того, увеличивается время,
потребное для контроля. Поэтому метод двукратной
выборки нр-именяется для целей контроля надежности
крайне редко.
Самым экоН'Омичным методом контроля надежности
является последовательный метод. Средний объем
выборки обычно составляет 50—65% объема при
одиночном .контроле для /партий с высокой надежностью.
Техническое осуществление последовательного контроля не
связано с какими-либо трудностями. Единственный
недостаток этого метода заключается в большем времени
контроля, чем iripn предыдущих методах. Однако этот
недостаток можно свести к минимуму рациональной
ор1ганиза'Ц1ией испытаний.
В связи с тем, что в практике контроля надежности
пользуются главным образом одиночным и
последовательным метода-ми, рассмотрим лишь эти два метода.
Совокупность условий испытаний контролируемых
изделий и нравнл принятия решений называется плааюм
246
контроля. Под совокупностью условий иапытаййй
понимаются условия браковки и П'риемки, заданные значения
аир, установленный объем испытаний .и др. Правила
принятия решений определяются методами 1К'ОНТ1роля. Так
как число сочетаний различных условий испытаний и
правил принятия решений может быть значительным, то
и количество различных планов весьма большое.
По целевому назначению планы статистического ашн-
троля надежности можно подразделить на две группы:
— планы контроля вероятности отказа (вероятности
безотказной работы) или числа дефектных изделий
в партии;
— планы контроля уровня парамет1ров законов
распределения отказов.
КОНТРОЛЬ НАДЕЖНОСТИ ПО МЕТОДУ ОДНОКРАТНОЙ
ВЫБОРКИ
Метод однократной выборки заключается в том, что
из контролируемой партии объема N изделий берется
одна случайная >выборка, объема п экзем1пляров. Исходя
из Л^, л и а или р устанавливаются оценочные
нормативы Ао и All если выборочное значение контролируемого
параметра меньше или равно Ло, то партия признается
надежной; если больше или равно Ai, то партия
бракуется.
Если контролируется число дефектных изделий
(вероятность отказа) в партии объема N изделий и при
наличии в ней Do дефектных изделий [qa^DolN),
надежность партии считается высокой, а при наличии Di
дефектных изделий {qi = Di/N)—низкой, то нри заданных
а н (3 оценочные нормативы Ло и At устанавливаются из
соотношений
р'=У,
Л\—^ f^d f^n-^d
(5.71)
^ CI
где d — число дефектных изделий в выборке; а' — риск
поставщика; близкий к заданному а; Р' — риск
заказчика, близкий к заданному р.
247
в общем случае (х^^а и р'^р и5-за диокрётности
гипер геометрического расшределения, используемого
в формулах (5.70) и (5.71). Велич1ины сочетаний,
применяемые в этих формулах, могут быть взяты из
табл. П.7.10.
Практическое использование формул (5.70) и (5.71)
при я>100 'Весьма затруднительно. При 9o<0,l и q\<
<0,1 хорошее приближение к (5.70) и (5.71) дают
формулы
Ао
а' ^ 1 - S C'^J'' (l-n''""^ (5.72)
где f^n/N.
Соотношения (5.72) и (5.73) целесообразно
использовать для шартий объемом Л/^500.
Когда объем парти'и Л^>500, а также пр'И
испытаниях воостаиавлшваемых изделий или когда /г^О,Ш,
можно пользоваться биномиальным законом распределения,
в соответствии с которым
а'=1-1] С^^оО-^о)"-", (5.74)
P' = ^S C^i'd-^.r-"- (5-75)
Для подсчета Ао и Ai при n^50 молшо пользоваться
табл. П.7Л1.
Если соблюдаются условия
п<0,Ш; ^о<0,1, 91<0Л;
то, пользуясь распределением Пуассона, -получим
«'=1; 4^~" (5.76)
d=:Ao+\
где CLQ^qon\ Qi^qin.
248
Ошибка, возникающая при замене биномиального
раогределения распределением Пуассона, имеет шорядок
q^n. Формулы (5.76) и (5.77) целесообразно
использовать для 1кантр'0ля належиости ;к<ру1П1Н0се1р'ИЙ'НЫх (п^БО)
высоконадежных устройств. Для облегчения
определения Ло И Ai служит табл. П.7.9.
Очень удобной таблицей для построения лланов
контроля, оюнованБых на распределении Пуассона, является
табл. П.7.12, с помощью "котарой .при задаеных а или р
и Ао или Ai можно определить ао = пдо или ai^nqx. При
это'М легко определить объем выборки, если «известны qo
ил'и Qu 2 та-кже решить обратную задачу — найти 9o(^i)
пр'и заданном п.
При .контроле больших -партий (50^п^0,Ш) со
сравнительно невысокой надежностью (по^о>4) мож1но
пользоваться шриближенньими формулами
а, = 0,Ъ-фЛ^--ЩЩ\ (5.78)
Р'=.0.5-фЛ"-^^^^^1. (5.79)
где Фо — функция Лапласа, значения которой находятся
по табл. П.7.13.
Контроль 1наделшости по наработке сводится к
сравнению средней наработки до отказа со значениями
доверительных границ, определенных с вероятностями
ai=-l—а и а2=1—р.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ МЕТОД КОНТРОЛЯ НАДЕЖДЮСП]
Последовательный .метод контроля не
предусматривает предварительного определения объема выборки.
Информация о надежности испытываемых устройств
на-капливается пр'И последователь1но возрастающе^г
объеме иопытаний (т). На каждом этапе испытаний
отношение •правдоподобия Un сравнивается с заранее
определенными оценочными норматн!вами
Л^(1-р)/а, (5.80)
B = ^i(\--a), (5.81)
При этом «могут быть приняты три решения:
249
■если Im^B — партия еринтша^тся;
если /т>>4 — партия бракуется:
если В<:/?п<>4 ^испытания продолжаются.
При послеловательном методе контроля возможны
два способа контроля — контроль числа дефектных
изделий и -контроль 1ПО наработке.
Контроль числа дефектных изделий
В том случае, котда необходимо произвести контроль
числа дефектных из1дел|ИЙ © малосерийной партии,
состоящей из Л^ экзем'пляров, 1т можно подсчитать jno
формуле
I ^^» ^-У-^. ^ (5.82)
где dm — ЧИСЛО дефектных изделий в выборке объемом
в т экзем!Пляров; Do — чи'сло дефектных изделий jb
-партии хорошей надежности, Di — -число дефектных
изделий в 1партии 'ПЛОХОЙ надежности.
Формула (5.82) практически может быть иопользо{ва-
на только для очень т^алых партий (iV^150). Но и при
этих условиях расчеты 1т fГpoмoздки, что усложняет '
контроль.
Более удобной и достаточно точной является
формула
'-^ffl-^V. (5-83)
где с=С^»; с^ = С^;:;;-. r=A-D..
Для облегчения процедуры контроля молшо заранее
подсчитать для определенных аначений dm=0, 1, 2, 3, ...
приемочные (АПпр) и браковочные (Шбр) объемы иапы-
таиий:
m^^^N\\-{c^Blcf% (5.84)
m,^<N{\-{c^Alcy% (5.85)
Рассчитанный таким образом план контроля может
быть представлен в табличной или графической форме.
На рис. 5.1 показан график контроля, где область Я,
лежащая ниж^ линии /,-—область приемки, область Б,
250
ле',ащая выше линии 2, — область браков'кй, область
/7Я, заключенная между линиями У, 2 и осями
координат, — область 'Продолжения испытаний.
Графики контроля можно строить 'ПО трем
характеристическим точкам:
a)rf„ = 0. w.= yV(l-B"');', 1
б) d„-Z).. ni=N \1-{А{сГ\1 (^'S6)
Для 1Контрюля надежности больших .партий изделий
(yV^lOOO), а также восстанавливаемых изделмй целе-
Рис. 5.1. График контроля.
к^гл
Ll—
пи
^.^""^
--"^
1
1
J 1 :^
N /77
сообразно пользоваться биномиальными планами, по-
луча-емыми из соотношения
/„
nt—d
(5.87)
где .^0 — вероятность отказа в ка>вдом одиночном
испытании для партии с хорошей надежностью; qi — то же
для партии с плохой надежностью.
Из (5.87) вытекают формулы для приемочных (dnp)
и браковочных (^бр) чисел дефектных изделий из числа
т и'апытаний:
где
^чр ^ Л, + ms, 4р ^ ^2 + ms.
(5.88)
]
I (5.89)
I
)
Приемоч1ные и браковоч!Ные числа для ряда значений
^1 могут быть подсчитаны заранее и представлены в виде
таблиц «плана. Для практических целей удобнее пред-
251
ставЛять плай контроля в виде графика {\рпс. 5.6). Из
(5.'88) следует, что 'П'рлемочйые (dnp) и браковочные
(^бр) Ч'исла линейно зависят от объема иопытаиий, (пр'и-
чем hi >1 hz определяют отрезки на оаи ординат, as —
тангенс угла наклона пря'мых -к ост абоцикх:. Бели
величина риска поставщика а и (риска заказ'Чика р равны,
то /ii = /i2. При построении графика плана полезно о(пре-
dmi
Рис. 5.^. План контроля.
делить млнимальное число топытаний, три котором
можно принять партию, когда число отказов d = 0. Из
(5.88) получае(м
то = —hi/s.
(5.90)
Вычислив то, можно построить график плана по трем
хара'ктер'истическим точкам:
а) ^т = 0» /По = —Л,/5;
б) d^ = h,, т = 0;
в) d^^=^h^, m = 0. '
(5.91)
Если контролируется надежность болвшой партии
изделий (N^\ 000) или издел'ий, вО'Сстаиавливаемых
в процессе контроля, нтри условии 9i^0,l, то, исходя из
распределения Пуассона, имеем
/nz =
-т
(Qt- Яох
(5.92)
252
Тогда Исходные велйч1ьны Дл-я построения графш<й
контроля определяются ооотношен'иям'и
В'се остальные положения последователыного
контроля остаются такими же, как и в биномиальном плане.
Контроль по наработке
Последовательный кон-лроль надежности по
наработке в случае экопюнанциального распределения (времени
безотказной гработы изделий осуществляется в
соответствии с ■п<ра1вилами:
— (партия принимается, если
t^^K-\-d^s^. (5.94)
— партия бракуется, если
t^<^K + d^s; (5.95)
— испытания продолжаются, если
/i, + d^s</,</z,+d,,5, (5.96)
где t^ — суммарная наработка всех испытываемых изделий;
/i,=.-2,303(lgB)/(2,-2,);
h,^ — 2,303 (Ig A)j{K - Яо); [ (5.97)
5 = 2,303(lg^^^(A,-2,);
Ло — интенсивность отказов на(дежной партии; %i —
интенсивность отказов ненадежной партии.
■Следует отметить, что при неусеченных
последовательных иопытаииях невосстанавливаемых устройств на
каждом этапе испытаний
t.^ = Y^tu (5.98)
где ti — наработка до отказа /-то экземпляра.
253
•При однов-рем-енйом испытании Л^ невасстаиавлййае-
мых экземпляров на каждом этапе испытаний,
отмеченных временем ij*,
t^-=tk-{-(N^d^)t*. (5.99)
Если (На испытании находится N восстанавл.И!ваемых
устройств, замана которых осуществляется пра'ктически
мгновенно, то на каждом этапе
К = ЫГ. (5.100)
Очевидно, что при (иопытаниях © (5.99) и (5.100)
можно взять постоянным ^*, а N подледователыно
увеличивать, что удобно в приемочном последовательном
контроле.
График последовательного контроля наработки из>о-
бражен |на рис. 5.3. Ха1рактерйстическими точ1ка1Мй
графика являются:
б) d^ = 0, /, = А,; [ (5.101)
Контроль наработки устройств с нормальным
распределением времени безотказной работы при извест-
t^ ,
Рис, 5.3. График последовательного контроля.
НОМ среднем мвадратичеоком отклонении
осуществляется с помощью следующих усло;вт1Й:
— партия принимается, если
— бракуется, если
/j, ^ Л, -f* ^^»
(5.102)
(5.103)
254
где
— испытания продолжаются, если
/Zj + ^'^ > ^Е > /^2 + ^^»
т
(5.104)
(5.105)
То-Т, •
fZo —' — ^.ouo -'1^ 7г,— I
^ Т^ — 1^'
5 = (Г. + 7'.)/2
Го — 'Средняя наработка до отказа в партии с хорошей
над€Ж.ностью; Ti —средняя (Наработка до отказа /в
партии с «плохой 1На1Д€Ж.НОСТЬЮ.
Характермстичеокие точки графика плана:
а) т = — hjs, t,, = 0;
б) m = 0, .,.—.„
в) /72 = 0, /^=:=Aj.
(5.106)
График контроля соответствует рис. 5.4.
Следует отметить, что иногда точное построение
графи-ка плама только по характеристическим точкам за-
Рис. 5.4. График контроля.
труднительно. В raiWTvr сл>^ае следует воспользоваться
дополнительно одной или двумя точками, лежащими на
продолжении линии, «ли увеличить масштаб графика.
255
§ 5.2. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ РЕШЕНИЕ
Задачи, которые ©спречаются при юценке надежности
по результатам иепытаиий могут быть разб'нты на
следующие шруш'пы:
— определение вида и параметров з-аконов растре-
деления времени iwanpaieiHой. работы ('времени до
отказа);
— определение количественных характеристик
надежности;
— 'контроль .надежности =на €Оот1ветствие техническим
условиям;
— определение числа испытуемых изделий и
времени испытания для (получения xapaiKTepHCTHK !наде/кност1и.
Р.аоомютрим ти1ПИ'Ч1ные .примеры в указанной
последовательности.
Пример. 5.1. В результате опыта получен следующий
вариац1иоН|НЫй ряд BpeMien ис1пра<в,иой работы изделия
в ча'сах:
2;
7;.
13;
20;
37;
86;
3
8
15
21
53
98
3;
8;
16;
25;
'56;
119.
5;
9;
17;
28;
69;
6
9
18
35
77
Требуется установить закон распределения -времени
безотказной работы.
Решение. 1. Иопользуя данные и вычислив 1!пг =
(О
=28, заполняем табл. 5.4 но фарме табл. 5.1.
2. Проверяем соглаоие экапер'иментального
распределения с экапонен'циальным распределением. Наносим
экспериментальные данные на (координатную сетку
(рис. П.6.1). Получаем располо'жеяне точек, показанное
на ,р1ис. 5.5.
3. Проводим через отмет-кн прямую линию таким
образом, чтобы отклонения точек от прямой были
минимальными. Убеждаемся в -возможности линейной
интерполяции. Находим и снимаем наибольшее отклонение.
В нашем случае D^0,09.
4. Рассчитываем критерий согласия Колмогорова:
0,48 < 1,00.
256
ТАБЛИЦА 5.4
Таблица экспериментальных
данных к примеру 5.1
ТАБЛИЦА 5.5
Исходные! данные к
вримеру 5.2
'*
2
3
5
б
7
8 '
9
13
15
16
17
18
20
21
25
28
35
37
53
56
69
77
86
98
119
«i
1
2'
^i
1
3 1
4 i
5 1
6
8
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Hi. 1
0.04
0,11 1
0,14
0,18
0,21
0.29
0.36
0.39
0,43
0,47
0.50
0.54
0.57
0,61
1 0.64
0,68
0.72
0.75
0.79
0,82
0,86
0.89
0,93
0,96
1,00
1 "'
0,96
0,89
0,86
0,82
0,79
0.71
0.64
0,61
0.57
0.53
0,50
0.46
0,43
0.39
0,36
0,32
0,28
0.25
0,21
0,18
0,14
0,11
0,07
0.04
0.00
h
115
232
328
368
393
404
421
457
483
511
527
540
544
572
598
605
619
633
660
681
736
791
942
«f
1
^i
1
2 1
3
4 >
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
0,04 0,96
0,08
0,12
0,16
0.21
0,25
0,29
0,34
0,39
0,44
0,50
0,54
0.58
0,62
0.66
0,70
0.74
0,78
0,83
0,87
0,91
0.95
-1.00
1
0,92
0,88
0,84
0.79
0.75
0,71
0,66
0,61
0,56
0.50
0,46
0,42
0.38
0,34
0,30
0,26
0.22
0,17
0.13
0,09
0,05
0,00
J
В соответствии с формулой (5.10) считаем, что закон
распределения времени безотказной работы не
противоречит экспоненциальному.
Пример 5.2. В результате опыта получен следующий
вариационный ряд времен безотказной работы изделия
в часах:
368; 393;
483; 511;
572; 598;
660; 681;
Нужно определить закон распределения времени
безотказной работы.
17—1066 257
115;
404;
527;
605;
736;
232;
421;
540;
619;
791;
32в;
457;
544;
633;
942.
^'-а
ПП7
UfUO
ппц
UfUO
(wy
ору
П7П
ппи
РКП
0,80
ЬОО
ш
•J}
J^
11-
X
К
Жу
\l)^0^9
<v.
X
ж
X —
—■ -
V W 20 30 ио 50 60 70 80 90 100 г.час
Рис. 5.5. График к примеру 5.1.
щ
0S5
0.75
0^5
0,55
0,45
0,35
0,15
0,15
0,05
X
к\
\*
\
\
J
\o-'Oyi
L
7j
10 20 30 *^0 SO 60 70 80 90 100 t,*^ac
Рис. 5.6. график к примеру 5.2,
258
решение 1. Испо.льзуЯ даИнме, Заполняем Табл. 5.5,
предварительно вычислив значение ^ гц = 23.
(О
2. Проверяем согласие эк!ап€!рИхМ-ентальН'Ого раопре-
делешш с Э(Кюпонанциаль:ны1М распределением. В
результате оровер'ки получен отридательный ответ. Проверяел!
согла-си-е экапериментального раапределен'ия с усечен-
ньш 1Н0рмальны]М распределением. Наносим
экспериментальные данные на координатную сетку (рис. П.6.2).
Получаем расш-оложеиис отметок, показанное на рис. 5.6.
3. Проводим через отметк'и 1пря1мую линию и
убеждаемся .в возможн'0|сти лин-ейной интерполяц'ии. Находим
и снимаем .Н'а.ибольше€ отклонен'ие: D = 0,03.
4. РаюочитьгваехМ юрите^рий согласия:
D|/^= 0,03 )/23= 0,14, 0,14>1,00.
В соответстозии с фор-мулой (5.10) считавхМ, что
.исследуемый закон распределения .времени исшравной
работы 'Подчиняется усеченному нормальному.
Пример 5.3. В результате опыта получен следующий
вариа'Ц'ионный ряд времеи восстановления jb минутах:
10;
35;
45;
60;
75;
20;
35;
53;
70;
■85;
35;
35;
60;
70;
85
35;
45;
60;
70;
90,
35
45
60
75
95
Требуетюя 'устаноаить закон
восстановления.
Решение. 1.
Используя данные, заполняем
табл. 5.6.
2. Нанесем
экспериментальные данные на
координатную сетку (рис.
П.6.1). Получаем
расположение отметок,
(показанное на рис. 5.7. Из
рисунка кидно, что
линейная интеполяция
невозможна. Это
свидетельствует о том, что
экспериментальные данные не
подчиняются
экспоненциальному закону.
17*
распределения времени
ТАБЛИЦА 5.6
Исходные данные к
примеру 5.3
h
10
20
35
45
53
60
70
75
85
90
95
«г
1
1
6
3
1
\ 4
3
2
2
1
1
^г
1
2
8
11
12
16
19
21
1 23
1 24
1 25
0,04
0,08
0,32
0,44
0,48
0,64
0,76
0,84
0.92
0,26
1,00
0,96
0,92
0,68
0,56
0,52
0,36
0,24
0,16
0.08
0,04
0,00
159
Проверка на -соотбетств-ие экспериментального
распределения усеченному нормальному также не дает по-
лолштельного -результата. Тогда .в соот1ветст!В1ии с
.принятой последовательностью законов П|роиз(ВО|Дим проверку
подчи-нен1ия Э(кспе1р|име.нтального расоределейия логариф-
м'И'чески-нор'мальному закону. Для этого наносим
экспериментальные данные на 'коордииатную сетжу
(р.нс. П.6.3). Получаем распололсение отметок,
-показанное на рис. 5.8.
3. Проводим через отметки прямую линию и
убеждаемся в возможности линейной 'интерполяции.
Находим и снимаем наибольшее отклонение: D=^0,07.
4, Рассч1иты'ваем критерий согласия:
£)/^ = 0,07 У'гб^ 0,35;
0,35 < 1,0.
В соответствии с формулой (5.10) сч1итаем, что ис-
ТАБЛИЦА 5.7
Исходные данные к
примеру 5.4
следованный закон
распределения времени восстановления
подчиняется логарифмически-
нормальному.
Пример 5.4. Используя
данные примера 5.1 путем
построения гистограмм и их
аппроксимации аналитическими
выражениями, установить закон
распределения времени
исправной работы.
Решение. 1. Заполняем
табл. 5.7 по форме табл. 5.2.
2. Ст!ро/им гистограмму А.(/) (рис. 5.9).
3. Находим среднее значение Яср и наибольшее от-
М^, час
0—20
20—40
40—60
60—80
80—ICO
100—120
пЩ^)
16
5
2
2
2
1
\J4ac
0,0400
0.0263
0,0167
0,0250
0,0500
—
клонение:
;
ср-
0,0400 + 0,0263 + 0,0167 + 0,0250 + 0,0500
= 0,0316-
час
D=: 0,0184.
4. Проверяем ^соответствие закона *по иритер.ию
согласия Колмогорова
D/^ = 0,01841^28 = 0,097 <1.
260
1^Й7>
т^^
v,os
0,07
opt)
его
'МО
у
Z. а
'
,^
^
\ 1
^
^
г
^*
у
X
X
/
)
~х ■
^'l'
>'
X
у
^
^
)
г
X
:
^ ^ 2 5 4f 5- ^ 7 5 ^ fC? t.vfltr
Рис. 5.7. График к примеру 5.3 (экспоненциальный закон).
'^ i S 10 50 500 1000 t, *Jac
Рис. 5.8. График к примеру 5.3 (логарифмически-нормальный).
261
и,/
0
[
1
5;^
20 ^0
6P
80
Ю0 t^uoc
Рис 5.9. Гистограмма X(Ati) (к приме|ру 5.4).
В ооот^ветств1ии с формулой (5.10) сч'итаем, что
закон раооределения эксп'онен'циальный. *
Пример 5.5. При испытании десяти механических
элементов, отказы которых ра<::предел€1ны нормальню,
получены следующие значения времени безотказной работы
в часах: /i=l50, 4=100, ^2=70, /4=200, /5=100, /б=100,
/7=150, /8=200, /9=80, /10=150.
Требуется оценить Г и а и определить для них
двусторонние доверительные интервалы с вероятностью а=
= 0,90.
Решение. I, По формуле (5.22) определяем Т:
f = -j!^ (150 + 100+ 70 + 200 + 100 + 100 + 150 +
+ 200 + 80 + 150) = 130 час.
2. Для определения S 1произ1вод1И1М предварительные
ТАБЛИЦА 5.8
предварительные вычисления для определения S
(к примеру 5.5)
h-T
(ti-TY
20
400
30
900
60
3600
70
4900
30
900
30
900
20
400
7€
4900
50
2500
20
400
вычисления, сведенные в табл. 5.8, и суммируем
квадраты раз1ностей U—f:
10
XI (/, —7^ = 19800.
/^1
262
Подставляя полученную величину в уравйение (5.23),
получаем
3. Чтобы определить доверительный интервал для Т,
под<:ч1итьвваем
^ ^L- = 14.8.
С помощью табл. П.7.5 находим ^^^^ ^^_j^ = /(j^^^5)(g) =
= 1,83.
Воспольз'овавшись уравнениями (5.25) и (5.26),
получаем
Тн= 130 -1.83 .14,8= 130—27= 103,
Гв=130 + 27=157.
Следовательно, можно утверж1дать с вероятностью не
ниже чем 0,9, что интервал времени 103—157 час на-
крьшает шараметр Т.
4. Для оп'редеЛ"е1шя доверительного 'интервала о по
табл. П.7Л находим
Х(?/2) (/2-1) — Ао.ОбХэ)"" ' '
Х(1_Э/2) (лг-1) — >^Чо,95) (9) "^ ^'
В соответстви:! с формулой (5.27) получаем
9-47^ ^ ^ 9-472
16.9 "^^ "^ 3,3
ИЛИ 1100<7'<5660.
Откуда
33,5 'шс<с5<^75 *iac.
Пример 5.6. В результате испытаний 15 экземпляров
электрохим1Ических злементов были .получены
следующие эначения наработки в часах: 10,2; 12,3; 17,1; 18,4:
20,3; 22,7; 23,1; 25,5; 26,4; 28,9; 30,3; 32,5; 33,3; 38,1;^1,0,
Определим оценку средней наработки до отказа \т) и
дисперсию (сг^), а также нижнюю границу Г и верхнюю
границу 0 с вероятностью а = 0,95.
263
Решение. 1. Находиш
п
Т = ± JJ^<,_^ (10,2 4-12,3 4-17.1+ 18,4 +
+ 20,3 + 22,7 +;23,1 + 25,5 + 26,4 + 18,9 + 30,3 +
+ 32.5+^33.3 + 38.1 +41,0)=^—.380,1 =25,34 час.
2. Опре.д€Л1яем S^, и-апользуя тождество (5.24), для
чего значения наработки возводим ib ивадрат и
суммируем:
п
Yit\= 104,04+151,29+292,41 + 338,56 + 412,09 +
+ 515,29 + 533,61 + 650,25 + 696,96 + 835,21 +
+ 918,09 + 1056,25 + 1108,89 + 1451,61 +
+ 1681,00=10745,55;
^ (L'')'=TV-380.n=^'=9631,73;
п
Y, {и — If = 10745,55 — 9631,73 = 1113,82.
По формуле (5.23) находим S^ и затем S:
S' =-1^^.1113,82 = 79,56; S = 8,92 час,
3. Для определения нижней границы Т подсчитываем
величину
5 8,92 _2 3
к по табл. П.7.5 находим квантиль раопределеиия Стыо-
дента для вероятности 0,95 и числа степеней свободы
/=14:
^(0,95) (14)= 1,76.
По формуле (5.25) -.находим
Гп=25,34— 1J6 - 2,3 - 25,34—4,05=21,29 4W.
264
Следовательню, можно утверждать с вероятностью
0,95, что средняя наработка до отказа будет не менее
21,29 час.
4. Ворхняя граница а определяется 1из соотношения
, (n~-\)S^
о <• 2 •
По табл. П.7.1 находим Х^о os) (м) ^ ^*^^' тогда
0^ < ^^ТъТ ^^ 69,50; а < 13 час.
г
пример 5.7. Определить приближенно объем п
испытаний для «оценки средней наработки до отказа с
ошибкой е не более 25 час ,при вероятности а=0,90, если оо
ориентировочно равно 50 час.
Решении е. По табл. П.7.6 для а = 0,9 находим 2^=
= 1,64.
Из уравнения (5.39) находим
п=^ '-t"^ \'^и.
Пример 5.8. Испытания 100 ламп накаливания
продолжались /х)=500 час. За время иапытаний вышло из
строя 5 лам(п с наработкой до отказа в часах
соответственно /i = 50, ^2=150, /з=-250, 4=300 и ^5=450.
Определить среднюю наработку до отказа ламп и среднее
квадрати'ческое отклонение, полагая, что ср-ок службы
лам1п подчиняется нормальному закону.
Решение. Для вероятностей 0.01; 0,02; 0,03; 0,04;
0,05 по табл. П.7.6 находим квантили и :
«^^ = 2,33; м^^= —2,05; ц^^ = —1.88;
r/^^=-l,75 и а^^=-1,64.
оставляем уравнения:
7- —2,33з = 50,
Г —2,05а =150,
Т—1,88о = 250,
; 7"—I,7&j = 300,
Г —1,64<г=450.
265
Для решения данной системы уравнений складьшаем
их и получаем 5Г—9,65а=1 200,
Затем, ум'ножая исходные уравнения на коэффиц'И-
енты при о и суммируя, 'Получаем 9,657—^18,90а=2 160.
Решая нормальные уравнения, находим Т^\ 140 час,
а = 465 час.
Для оценки точности полученных значений Г и S = a
определяем
, 1140 — 500 , QC
^=^ 465 = *'^^-
По табл. П.7.7 находим /2(1,38) =23,65, /з(1,38) =9,11.
Тогда
Откуда .а(Г) =230 час, g(g) =45 час.
Как аидию, точность определемия параметров
распределения в условиях данного 'примера невысокая.
Доверительные интервалы величиной ±2а, что cooTiBeTCTByeT
вероятности приблиаительно 95%, в данном случае
составляют
Г±2<т(Г) = 1 140±2-230=1 140±460 час,
ст±|2ст((т)=465±2-45=465 час±90 час.
Пример 5.9. План [п. Б, п]. При испытании п=10
устрюйств до выхода их из строя получены следующие
значения наработки в -часах: /i=30, ^2=35, ^з=50, fe=85,
4-100, 4=150, 4=250, 4=300, 4=400, ^до=600.
Т|рббует1ся определить:
1. Оценку К интенсивности отказов Х.
2. Верхнюю доверительную граиицу ^в ^
доверительной вероятностью а2=0,90.
3. Двусторонний доверительный идтервал для X при
а=0,90ир1=р2=0,05.
4. Оценку средней наработки до отказа Т и его
нижнюю границу с 1вер10ятностью 0,90.
266
Решение. На оанозании табл. 5.3 имеем:
10
t^=^^ ti = 2000 час;
2 Х(0.9) (2Э)
»"^ 2-2000 •
Пользуясь табл. Г1.7.1, определяем
Ч0,9)(20)
Х?„.и,„> = 28.4.
Тогда
28,4
^000
Яв= ^^=7,1.10--» 1 шс.
Из табл. 5.3 следует, что
2 Х(0,95) (2Э) , 3 Х<0,05) (20)
^"^ 4000 ' и~^ 4000
Пользуясь табл. И.7.1, находим
yf ,, , = 31,4 xf w ,= 10,9.
'-(0.95X20) '40,05) (20)
Тогда
^«=1Ш-^2.72-10-' Ыас.
Учитывая соотношения Г=1/Я и Гн=1/Яв, определяем
Пример 5.10. План [п, Б, U]. За время испытаний по
плану (п=бО, Б, /о=500 час] отказало d=6 устройсто,
причем отказавшие устройства проработали до выхода
из строя соответственно 50, 150, 200, 300, 350, 450 час.
Требуется определить оценку X и двусторонний
доверительный интервал для а=0,8 при pi=P2=0,10.
267
Решен.и е. На основании табл. 5.3 (шлан № 2)
имеем
б
^ = 11 ^' + (50 —6)-500 = 50+150 + 200 + 300 + 350 +
+ 450 + (50 — 6). 500 = 1500 + 22000 ■= 23500 час\
^^=-Т ==2^0=2,55. lO-M/.o.;
2 2
2 ^(0.9) (12) . 3 X(0,1Q) (12)
2-23500 ' « 2-23500
Из табл. П.7.1 находим
.2 ,о г. ^2
у >, =: 18,5; у, .. . = 6,3.
'^<0,»)(l2) ' ' ^40.10)(l2)
Тогда
Яв = ^^ = 3,95.10-^ \\яас\'
^я=4Ш=^34..20-М/.а..
Пример 5.11. План \п^ Б, U]. При испытаниях /г=50
У'стрюйств в течение времени /о=500 час не зарегистри-
равано ни одного отказа. Определить верхнюю
доверительную границу ицтенсивности отказов К с
вероятностью 02=90.
Решение. Суммарная наработка под-считьтаетсжпо
формуле (см. табл. 5.3)
t^ = nio=50 • 500=25 000 час.
Для определения Яв воспользуемся формулой
Лц = Го/tj,.
Из табл. П.7.8 для а=0,90 определяем /"0=2,3. Тогда
Пример 5.12. План [п, Б, d]. При испытаниях по
плану [п=50, £, rf=6J получены следующие значения
наработки отказавших устройств: 50, 150, 200, 300, 350
и 450 час. Отказавшие устройства не восстанавливаются.
268
Требуется найти оценку л и доверительный интервал
с вероятностью а=0,90 при Pi=P2 = 0,05.
Решение. Подсчитаем суммарную наработку всех
испытываемых устройств (см. табл. 5.3):
6
^v = S и + (50 — 6).450 = 50 + 150 + 200 + 300 +
+ 350 + 450 + (50 — 6) • 450 = 1500 + 19800 = 21300 час.
Определием Я:
^ = ^-Trk-2.35-10-l/w.
Значения Я^ и Я^ будут:
2 2
5 _ Х(1—0,95)(12) о Х(0,95)(12),
« ^ 2-21300 ' «"^ 2-21300
Пользуясь табл. П.7.1, находим
Х(1-0,95)(12) .^^ ^у^^\ Х(о,95)(12) "^ ^1»0.
Тогда
^"=^=4.95.10-4/.а..
пример 5.13. План [п, В, /о]- При испытаниях п=100
устройств в течение времени /о=100 час
зарегистрировано 5 отказов. Отказавшие устройства мгновенно
заменяются исправными. Требуется определить оценку
интенсивности отказов, верхнюю доверительную границу Я
с вероятностью 0,99 и доверительный интервал для X
с а=0,90 при pi = p2=0,05.
Решение. Для оценки к воспользуемся формулой
Суммарная наработка определяется по формуле
t^ = nt^ = 100.100 = 10000 час.
Тогда
269
Односторонняя верхняя доверительная граница будет
Из табл. П.7.1 определяем
v^ = 26 2
/-(0,99)(12) ^^»^»
Для получения доверительного интервала воспользуемся
формулами табл. 5.3:
2 2 -
п __ Х(0.05)(10; ; l^z=z X(0,93)(i2)
»■"' 2СО0О 20000'
Из табл. Г1.7,1 находим
у2 —3 94- v^ —2100
Таким образом,
Ян- ^--1,97.10-МЛш^; Я, = 1^=10,5.10-^1/-/от.
Пример 5.14. План [/2, В, d\. При иопытаниЯ|Х /2=
= 100 устройств до rf=10 отказов отмечено время /d =
= 90 час десятого отказа.
Необходимо определить оценку интенсивности
отказов и верхнюю доверительную границу Лв с вероятностьп
а2 = 0,95.
Решение, Оценка Я производится по формуле
где согласно табл. 5.3 (план № 6) /j, =/2/^= 100-90 =
= 9000 шс.
Следовательно,
^ 10—1
9000
'=:^\Л0'Ч1час,
Верхняя доверительная граница определяется по
формуле
;, X(0,95)(g0)
^~ 2-9000
270
По табл. П.7.1 находим для
v^ 41 4
Пример 5Л5. При эксплуатации 240 невосстанавли-
ваемых объектов в течение года с общей наработкой
4SOO0O час выбыло из строя 80 объектов. Найги верхнюю
границу интенсивности отказов с вероятностью а- = 0,95,
если известно, что отказы распределены по экспонен
циальному закону.
Решение. В данном случае имеет место план
[п. Б, to]. Определяем
^ к ^ 4800С0 ^^^^^
Затем, предполагая 5~Г и определяя по табл. П.7.5
^95)(79)= 1,665, находим по формуле (5.13)
г„=бооо—1,665--^^^^=.4900 v^.
Откуда Ав = 2,04- 10-^ Цчас.
Пример 5,16. Испытания контрольно-измерительной
аппаратуры проводились по плану {^=20, В, to= 1000 час].
За время испытаний зарегистрировано 62 отказа,
которые немедленно устранялись. Оценить К и найти ее
двусторонний интервал с вероятностью 0,90, если
распределение отказдв аппаратуры экспоненциальное.
Решение. Находим Я, используя формулы табл. 5.3
(план № 5):
^ ^ d _е2
^ = -=^==2оЛобо= 31. Ю-П/час.
Для определения доверительного интервала нельзя
воспользоваться формулами табл. 5.3, так как число
степеней свободы 2n=124>l00, а табл. П.7.1 рассчитана на
число степеней свободы 100 и менее, поэтому
воспользуемся формулой (5.13), для чего по табл. П.7.5 находим
^(0,90X61)= 1,295. _
Определив Т= 1/'к=323час и положив S^T, получаем
Гв,н « 323 dt 1,295 ^^= 323 ± 51 час.
323
Кб2
Тв^374час, 7^^272 час. Откуда Я,^ (2,7-3,7) . 10-з 1/час.
271
Пример 5.17. Для плана [п, Б, п] определить объем
испытаний, если необходимо оценить X с ошибкой, не
превосходящей 257о от истинного значения с
вероятностью 00 = 0,90.
Решение. По формуле (5.14) находим ft = ri=l,25.
Пользуясь табл. П.7.2, для ri = l,25 и ао = 0,90 находим
Пример 5.18. Для плана [п, Б, to] найти объом
испытаний с вероятностью ао = 0,80, если требуется оценить .Я
таким образом, чтобы действительное значение не
превышало с вероятностью а=0,95 более чем в 2 раза
нижнюю ее границу; если предполагаемое значение ?U)=
= 2,5-10-4 1/адс.
Решение. По табл. П.7.3 для k = Ri = 2 определяем
d = S. Для ао = 0,80 и d = 8 по табл. Г1.7.4 определяем
коэффициент /-3=0,78. Затем, предполагая Хо=2,5Х
Х10"^ 1/</ас, по формуле (5.16) находим
8»0,78
2,5.10-*
^^о=?Г^-177ТГ = 2,5 10^ IM.
Пример 5.19. По плану [п. Б, d] необходимо
организовать испытания таким образом, чтобы с вероятностью
а=0,90 истишюе значение к не превышало опытное
более чем в 2 раза.
Решение. Для k = 2 и а=0,95 по табл. П.7.2
находим d=8.
Пример 5.20. Для плана (п, В, to] необходимо оценить
объем испытаний с вероятностью ао=0,9 при условии,
что истинная к не должна превышать опытную более
чем в 2,5 раза с а=0,95, если ориентировочно Хо =
-5-10-4 Мчас.
Решение. Для /е = 2,5 и а=0,95 по табл. П.7.2
определяем d==5. Затем из табл. П.7.4 для d=5 и ао=0,90
находим Гз=0,б2. Предполагая Яо=5-10-^ 1/час по
формуле (5.16) находим
/г^о= 510-^ =6200 час.
Пример 5.21. Известно, что число компонентов в
системе гп=3, а а=0,9. Необходимо определить
потребный объем испытаний аппаратуры с
гамма-распределением отказов для оценки параметра с относительной
зшибкой не более 50%.
272
Решение. Определяем ri= 1+50/100.
По табл. П.7.3 для г, = 1,5 и а^^^-^^1^=0.95
находим число степеней свободы й = 20. Отсюда /г =
20 „
=5-^?«7 экз.
Пример 5.22. При испытаниях 5 электрогенераторов
с отказами, имеющими гамма-распределение,
зарегистрированы значения наработок до отказа 100, ПО, 130,
160 и 200 час. Оценить параметры т и К.
Решение. По формулам (5.46) и (5.47) определяем
5
ml_i=i _700_..^
5
^ i^i—-^ = 1650.
Л2 ~ 4
Откуда получаем Я =0,0851/^0^, т=11,8.
Пример 5.23. Шесть экземпляров резервированной
системы с двукратным ненагруженным резервом и
идеально надежными переключающими устройствами
испытывал ись до наступления отказов. В результате
испытаний получены следующие наработки систем в часах: 200,
250, 300, 450, 600 и 780. Требуется оценить параметр X
и найти его доверительный интервал с вероятностью
а=0,90, исходя из экспоненциального распределения
отказов основного и резервных компонентов системы.
Решение. Из условия задачи вытекает, что
наработка до отказа резервированной системы имеет гамма-
распределение с т=3. Оценку параметра X производим
по формуле (5.48):
Ли
Пользуясь табл. П.7.1, для
0.9+1 ^р.-
18—1086 273
и числа степеней свободы /e = 2w//=2-3-6 = 36 находим
^н = 1ж=4,5.10-1Лас.
Я, = -g5i_ = 9,9.10-Ч/f^ш:.
Пример 5.24. Испытания 8 электронных устройств
производились до 5 отказов каждый. Суммарная
наработка всех устройств составила 4 600 час. Оценить
среднюю наработку до отказа Гер, если закон распределения
отказов испытываемых устройств экспоненциальный.
Решение. В соответствии со свойством
экспоненциального закона и формулой (5.48)
гр 1 /=| 14600 ..г-
Пример 5.25. В ходе эксплуатации 3 однотипных
вычислительных устройств: первое устройство до 3-го
отказа наработало 85 час, второе до 5-го отказа наработало
15 час и третье до 2-го отказа — 40 час.
Наработка данных вычислительных устройств до т-го
отказа имеет гамма-распределение. Оценить параметр Л.
и найти его верхнюю доверительную границу с
вероятностью 02=0,95.
Решение. В соответствии с формулой (5.53)
находим
^— 85+115 + 50 —^50~-^ ^^ ^1^^'
По табл. П.7.1 для а = 0,95 и й=2-10=20 находим
Y^ =31 4
/.(О,95)(20) *-'*»^'
Пользуясь формулой (5.52), определяем
Яв-|^---6,28.10-П/«^ас.
Пример 5.26. При испытаниях 10 объектов «по плану
[л, Б, п] определено Г=50 час. Оценить P(t) для
/==100 час и найти верхнюю границу с вероятностью
а-0,90.
274
Решение. 1. Определяем
t _ 100 _о
f — 50 -^ ^'
Пользуясь табл. 11.7.14, находим Р (100) = ОД353.
2. Для получения ^^(100) по формуле P^{t)=^
= е " необходимо найти Я^. В соответствии с табл. 5.3
Яц определяется по формуле
Я„ =
Х{1^а){2п)
и ~ 2/,
2
Из табл. П.7Л находим X(o.io)(2j) "^ ^^'^- Значение
/j, ищем как Тп, Таким образом,
Ян ==-^51:^=0,0124 1/час.
Для W = 0,0124-100=1,24 Яв(100) на основании
табл. П.7.14 будет Рв(100) =0,2894.
Пример 5.27. При испытаниях 12 экземпляров
аппаратуры по плану [п. Б, to] получена суммарная наработка
t^ = 1 500 час при отказе 6 экземпляров. Требуется
оценить время, в течение которого аппаратура будет
работать безотказно с вероятностью а = 0,95.
Решение. По формуле Т = tjd находим
f = -1^=250 тс.
Исходя из условия задачи и учитывая, что P{t) =
= е~^' ?« 1 — It у получаем 0,95 == 1 — ^/250, откуда t =
= 12 час.
Пример 5.28. Было испытано ряд электродвигателей,
наработка которых имеет гамма-распределение, и
получены оценки параметров: т=11,8, Я=0,085. Нужно
оценить вероятность безотказной работы электродвигателей
для времени /=100 час.
Решение. Для .Х/=0,085-100=8,5 и Л = т=11,8 по
табл. П.7.9 при помощи интерполирования находим
сумму в соответствии с формулой (5.54): 2^=^0,17. Тогда
^W« 1—0.17=0,83.
18' Щ
пример 5.29. После испытания партии устройств
£ двойным ненагруженным резервом подсчитано, что
>1 = 0,007. Требуется оценить P(t) для времени / = 50 час.
Решение. В данном случае т = 3, а Х/ = 0,007-50 =
= 0,35. Для определения P(t) воспользуемся
формулой (5.55):
^(0=^5]
/г! ^
k~0
По табл. П.7.14 находим е"°'^^=0,705.
Тогда
Р (50) = 0.705 М + 0,35 +-^^W 0,706.1,411 = 0.995.
Пример 5.30. При испытаниях механических деталей
с нормальным распределением отказов получены
следующие оценки параметров распределения: 7'==2 500ча^;
S=l 000 час. Определить вероятность безотказной
работы за время /=500 час.
Решение. 1. Находим
500 — 2500 _^, 2500 _р ^
А ^2 1ППП ^'*^'
' 1000 ' 2 1000
2. По табл. П.7.13 определяем Фо(2,5) =0,494;
Фс (-2) =0,477.
3. По формуле (5.28) получаем Р= 1—0,017 = 0,983.
Пример 5.31. Используя данные примера 5.30,
определить 907о-ную нижнюю доверительную границу P(t),
если дополнительно известно, что испытывалось п=^
= 100 изделий.
Решение. 1. Определяем коэффициент k по
формуле (5.32):
й = 0,4е-2=0,054.
2. По формуле (5.31) получаем
откуда о- = 0,0093.
3. Из табл. П.7.6 определяем Wo,9o= 1,282 и, пользуясь
(5.30), окончательно находим
Яд=0,977~1,282 • 0,0093=0,965.
276
Пример 5.32. По техническим условиям рабочее
напряжение генератора должно составлять 220 в ±107о.
После испытания 10 шт. генераторов получены значения
среднего У = 230 ей 5 = 20 е. Оценить вероятность
выполнения технических условий работы генератора и
найти нижнюю доверительную границу для P(y) са = 0,90.
Решение. I. По формуле (5.33) и табл. П.7.13
находим
^ /242-230>^_ф /198-2304
^(У) ^о\^ 20 J \ 20 )
= Ф. (0,6) — ФД_ 1,6) = 0,226 + 0,452 = 0.678.
2. Для определения доверительной границы вычисляем
198 — 230 , с 242 — 230 ^„
1,6; ^2 = —57i— = 0,6;
—2
а.
20 — '•"' 2 20
/fe. = 0,4 exp^-i^W 0.11;
/г,=.0,4exp^--^^) = 0.33;
— 2-0,11-0,33 А+-1-0,11.0,33^1=0,009.
3. в соответствии с формулой (5.30) находим
р^^=0,678— 1,28 - 0,09 = 0,563.
Пример 5.33. При испытании /2 = 25 химических
источников тока получены выборочное среднее рабочего
напряжения й = 24,5 в и стандартное отклонение 5 = 0,5 в.
Определить с доверительной вероятностью а=0,95
границы двустороннего толерантного предела,
накрывающего 907о (Я = 0,90) значений рабочего напряжения всей
генеральной совокупности.
Решение. I. Из табл. П.7.6 определяем
2:p=;i.645; м^ = 1,645.
2. Применяя (5.38), получаем
* = >-645(l + ^ + ^i^±J^)=2,H.
277
3. в соответствии с формулой (5.37) находим
толерантные пределы
и„„=^24,5±2,14-0,5 = 24,5+1,07,
Wb-25,57; г/н = 23,43.
Пример 5.34. Испытано /2 = 32 вала двигателя и
получены оценки средней наработки до отказа 7^=800 час,
стандартного отклонения S = 50 час. Найти нижний
толерантный предел времени работы вала, при котором
вероятность безотказной работы Р будет не менее 0,98 и
достоверность решения а = 0,90.
Решение. Соблюдая последовательность решения
примера 5.33, находим
1. гр = 2,33, ц^ = 1,280;
3. ^й = 800 —2,8-50 = 660 ^аг?.
Пример 5.35. При испытании п = 50 предохранителей
отказало 4. Оценить вероятность отказа Q и найти
доверительные границы с вероятностью а = 0,95.
Решение. 1. По формуле (5.56) получаем Q =
= 4/50=0,08.
2. Для определения Qu и Qb из табл. П,7.1 находим:
для pi=l—a= 1—0,95=0,05 и k=2d==8
для
А = 0,95 и fe = 2(rf + l) = 2(4+l)=10
Хо%5=18,3.
3. По формулам (5.57) и (5.58) получаем
^«"^ 2.50-4+1+0,5-2,73 =0,028,
о z= ^-^ =0 174
Следовательно, с вероятностью а=2 • 0,95— 1 == 0,90
имеем Q-0,028+0,174.
278
Пример 5.36. При испытании п==40 электронных ламп
на ударную нагрузку не произошло ни одного отказа.
Найти доверительные границы для вероятности отказа
при а = 0,90.
Решение. Qh = 0. Для определения Qb формулу
(5.61) преобразуем к виду
lg(l-Q.)=4-^ё(l-^•2)-
Отсюда Ig(l-QB) =1,975; Qb = 0,066.
Пример 5.37. Ориентировочно вероятность отказа
исследуемого типа устройств Qo=0,l- Определить
примерный объем испытаний, при котором с вероятностью
а = 0,90 предельная ошибка оценки е составит 0,03.
Решение. По табл. П.7.6 находим го,9о= 1,645.
Пользуясь уравнением (5.63), получаем
А7. = ^Ь^0Л(1-0.1) = 270.
Пример 5.38. Неудачная попытка запуска дизельной
электростанции в ограниченное время расценивается как
отказ. В процессе эксплуатации г^З электростанций
были получены следующие данные запусков:
1) удачных — 28, неудачных — 3;
2) удачных — 64, неудачных — 5;
3) удачных — 57, неудачных — 2.
Нужно оценить вероятность отказа дизельной
электростанции при запуске в установленное время и
определить доверительные границы с ai = 0,90 и а2=0,99.
Здесь /21 = 31, «2=69, /гз=59, rfi = 3, ^2=5, йз=2.
Решение. 1. По уравнению (5.64) находим
3 + 5 + 2 _ 10 3
2. Для определения Q„ и Q^ из табл. П.7.1 находим
квантили лги-квадрат распределения для Pi = l—а, =:
= 1—0.90 = 0,10; k, = 2d^==20 и для р^^а^ = 0,99,
^, = 2(rf,4-l) = 2(10+l) = 22:
^(0,I0)(20) ^^ ^^'^ ^ У-(0.99)(22) ^^ 7^,0.
279
3. По формулам (5.57) и (5.58) находим
Q„= ^^i—^ --^=0.039.
2.159—10+1+"2" ^2»^
Q.= '^ -^-^=^о.т.
2.159-10 + -^ 40,3 '
Пример 5.39. В результате испытаний шасси
самолетов при 99 посадках не произошло ни одного отказа.
Оценить вероятность отказа при каждой посадке, а
также найти оценки критериев надежности, выраженных
формулами (5.65) — (5.68), если т=10.
Решение. 1. По формуле (5.61) определяем
= 0,01.
^ 99+1
2. Пользуясь формулой (5.65), находим вероятность
безотказной работы на 10-й посадке: P{\i=lO) =
= (1—0,01)10=0,904.
3. Определяем вероятность отказа на 10-й посадке,
пользуясь формулой (5.66):
Q^^^^^ = (l —0,01)«. 0,01 =0,009.
4. Вероятность того, что шасси выдержит не менее
10 циклов вычислим по формуле (5.67):
10
^1x^10) = 1 - S (1 - 0,01)^' 0,01 = 0,956.
5. Среднее число циклов безотказной работы
определяем по формуле (5.68):
^^ 0,01 =^^'
пример 5.40. При испытании прерывателя тока на
10 000 циклов 8 циклов было с отказами. Найти среднее
число циклов безотказной работы при двух ремонтах.
1. По формуле (5.56) определяем .
2. По формуле (5.69) находим М при г = 0:
^ = ^'^>Ю-4 *-^^ fe.lo-4 =:3750 циклов.
280
пример 5-41. Партия изделий, надежность которой
нужно проконтролировать, состоит из 50 экземпляров.
Партия считается хорошей, если в ней содержится не
более 107о дефектных изделий, и плохой — при
содержании 207о дефектных изделий. Риск поставщика и риск
заказчика приняты равными и составляют а='Р = 0,10.
Определить приемное (Ло) и браковочное (^i) числа
дефектных изделий в выборке объемом п = 20
экземпляров.
Решение. Так как партия малая (Л^<100), а
относительный объем выборки велик {n/N = 04), то контроль
нужно осуш.ествлять, исходя из гипергеометрического
распределения.
1. Число дефектных изделий при 107о дефектных
изделий в партии составляет Do=Nqo=50-0,\0=5\ при
207о дефектных изделий Di = A^^i = 50-0,20= 10.
2. Для определения приемочного числа дефектных
изделий воспользуемся формулой (5.70), суммирование
вероятностей гипергеометрического распределения
производим до тех пор, пока накопленная вероятность не
приблизится к 1—а, т. е.
R{d^Ao) ^ 1^а= 1—0,10=0,90.
Таким образом,
п(^_^0\_^ ^5 ^sti __Ь31С)9870830126_^^
/< ^fiT _ uj — 20 - 471292122433G0 ~ ^^^^-
Величины сочетаний (биномиальные коэффициенты)
определяем с помощью табл. П.7.10:
^ V" — и — ^2Э — 471292122439G0 '^''
у^2 /г-,20—2
г)М—9\— ^5- <-5о-5 _ 10-1715884494940. _ ^ ^^^
K^a — Z)— — 47129212243960 ^^^^^^^
Г) /^ _ Q\ _ ^5-<^50~5 _ 10-1103068603890 _ ^ ^^.
/<(а —^)— 47129212243960 — ^'^^^'
R(d<3) = 0,067 + 0,258 + 0,364 + 0,234 = 0,923.
Полученная величина близка к 1—а=^0,90, т. е.
фактический риск поставщика близок к принятому: а' —
= 1—0,923-0,077.
Поэтому приемочное число можно взять равным трем
(Ло=3). Если принять Ло = 2, то риск поставщика стал
281
бы неприемлемо велик: а^=1—(0,067-j-0,258 +0,364) =
= 1—0,689 = 0,311.
3. Аналогичным образом может быть рассчитано
браковочное число Ai. Для этого по формуле (5.71)
накапливаем вероятности R до тех пор, пока выполняется
условие p' = /?(rf<i4i)^'P:
п/^_/л\— ^1*0• ^.^-?о _ 1 - 13784G528820 _ ^ ^^о
/< ^а — Uj — 3 — 47129212243960 ~^ ^'^^'^'
п/^_1ч_ ^10-^0-10 10.131282408400_^^^д
Н(й — \) — -20 =17129212243960 — "'^"^^^
Г) /^ _ оч _ ^10'^50-10 _ 45'113380261800 _ ^ ^^^
/< ^а — Zj ^ 47129212243960 ~ ^»^У^'
7?(d<2) =0,003+0,028 + 0,096 = 0,127.
Следовательно, с риском р'=0,127, близким к
первоначально установленному (р = 0,10), при di = 2
дефектным изделиям в выборке партию можно принять, а при
t/i = 3 дефектным изделиям — нужно браковать.
В данном примере приемочное и браковочное числа
получились одинаковыми Ло=^1 = 3. Это значит, что
одиночный контроль не может производиться одновременно
в интересах поставщика и заказчика.
Защита интересов потребителя может привести
к требованию браковочного числа меньшего, чем
приемочное число при контроле в интересах поставщика.
Обоюдно малый риск при браковочном числе, на единицу
превышающем приемочное, может быть получен в том
с.гучас, когда Di существенно больше Do, в чем можно
убедиться при решении задач данного параграфа.
Пример 5.42. Контролю надежности подлежит партия
и'< /V = 200 изделий. Необходимо определить приемочное
(Ли) и браковочное (Ai) числа дефектных изделий в вы-
б«фке из п~40 изделий. Партия считается хорошей, если
в ней содержится 57о, и плохой — если 107о дефектных
изделий. Риск поставщика принят равным 0,20, а риск
заказчика — 0,10.
Решение. Учитывая относительно большой объем
контролируемой партии и небольшие значения доли де-
фск^тных изделий, целесообразно производить решение,
исходя из /-биномиального распределения, в
соответствии с формулами (5.72) и (5.73).
i. Рассчитываем величины /, Do и fii:
2. Приемочное число Aq определяется суммированием
вероятностей /-биномиального распределения
[формулы (5.72)] до величины а\ близкой к а:
Rid^Ao) = 1—а= 1—0,20=0,80.
Выч1исляем вероятности R{d) и суммируем их:
;?(rf^O) = CJo.O,2«.(l—0,2)^^= 1.1.0,107 = 0,107,
/?(rf=l) = Cfo-0,2^.(l—0,2)^ = 10.0,2.0,134 = 0,268,
/? (d = 2) = С^о.0,2-(1—0.2)^ = 45.0,04.0,168 = 0,320,
/?(d = 3) = C^,.0,2^.(1—0,2)'= 120.0,008-0,210 = 0.202,
/? (rf < 2) = 0,107 + 0,268 + 0,320 = 0,695,
/? (rf < 3) = ОЛ 07 + 0,268 + 0,320 + 0,202 = 0,897.
Таким образом, можно принять приемочное число
Ло = 2 с риском поставщика .а'=1—0,695=0,30 или Ло=3
с риском поставщика а^=1—0,897 = 0,10.
Если требуется фактический риск приблизить к
заданному, то это можно сделать при постоянных объеме
партии и доле дефектных изделий в ней, варьируя
объемами выборки и приемочными числами.
3. Браковочное число Ах определяется аналогично
приемочному числу, с той лишь разницей, что в данном
случае нужно руководствоваться формулой (5.73) и
суммировать вероятности f-биномиального распределения
до величины |i^^0,10.
Итак,
/? (d = 0) = С^.0,2°.(1—0,2)^^= Ы.0,010 = 0,010,
/? (d = 1) = С2о-0,2-0,8^« = 20.0,2.0,0144 = 0,058,
/?(rf= 2) = С|,.0,2^.0,8^^=190.0,04.0,18 = 0,137,
Так как
1^ (d< I) - 0,010+0,058 = 0,068,
/?(rf<2) =0,010+0,058+0,137 = 0,205,
283
то, очевидно, целесообразно считать брако1вочным чйсЛоМ
Л1=2, тогда риск заказчика будет более близким к
установленному.
Пример 5.43. С целью контроля надежности
проведены испытания 20 (п = 20) восстанавливаемых объектов,
при этом зарегистрировано 2 отказа. Необходимо решить,
принять партию или забраковать, если контроль
производится в интересах заказчика. Партия считается
плохой, когда вероятность отказа в каждом одиночном
испытании составляет 9i>0,10. Решение должно быть
принято с риском р = 0,08.
Решение. Исходя из условия задачи, контроль
может быть произведен по биномиальному плану с
помощью формулы (5.75).
Процедура решения сводится к накапливанию
вероятностей до тех пор, пока кумулятивная вероятность не
станет близкой к заданному риску. Сравнение числа
отказов rf, полученных при испытании, с вычисленным
браковочным числом Ai позволит принять решение:
если d<iAu то партию можно принять;
если d^Au то партию нужно забраковать.
Вычисления в значительной степени облегчаются при
использовании табл. П.7.11, параметрами которой
являются объем выборки /2, заданная вероятность q (в
данном случае qi) и число дефектных изделий d.
Для /2 = 20, ^ = 0,10 и d = 2 по табл. П.7.11 находим
(^' = 0,68, что значительно превышает заданный риск,
следовательно, партия должна быть забракована.
Из этой же таблицы видно, что при /2 = 20, ^i = 0,10
при d = 0 вероятность составляет 0,12. Значит, принимая
партию при d = 0, риск приемки плохой партии будет
равен 0,12.
Пример 5-44. Из неограниченно большой партии
изделий извлечена выборка'^Ъбъемом /г = 50 изделий, которая
испытана с целью контроля надежности в интересах
поставщика. Партия может быть принята с риском
а = 0,15, если вероятность отказа каждого изделия
составляет ^0=0,05.
Определить приемочное число Aq.
Решение. Так как партия неограниченно большая,
то испытания независимы, это позволяет пользоваться
биномиальным законом распределения и определять Ло
по формуле (5.74) или табл. П.7.11.
284
Пользуясь таблицей, определяем, что при /г = 50,
^=^0=0,050 вероятность 3 или меньшего
количества дефектных изделий составляет 0,76, а для rf^4—
0,90. Следовательно, приемочное число можно взять
Ло = 3, при этом риск поставщика составит а'=1—0,76 =
= 0,24, или взять у4о = 4, тогда а'= 1—0,90=0,10.
Пример 5.45. Определить, какой объем выборки в
биномиальном плане нужно испытать в интересах
заказчика, чтобы забраковать партию с вероятностью
безотказной работы каждого изделия 0,85 и менее, если
браковочное число Ai=l, а риск заказчика ориентировочно
равен 0,10.
Решение. С помощью табл. П.7.11 определяем, что
при 9 = ^1 = 0,15 и d=-0 объем выборки п=15, при этом
[5^ = 0,09.
Пример 5.46. Из большой партии изделий (iV>1000)
извлечена выборка в 60 экземпляров с целью контроля
надежности в интересах поставщика. Предполагаемая
вероятность отказов изделий, при которой партия
должна быть признана хорошей, составляет ^о=0,02.
Определить приемочное число Ло с риском а=0,10.
Решение. По условиям данного примера для его
решения целесообразно воспользоваться распределением
Пуассона, отраженного в формуле (5.76). Реализацию
этой формулы удобно произвести с помощью табл. П.7.9.
Для этого определяем
W = ao=^o/2 = 0,02-60=I,2.
В соответствии с табл. П.7.9 при m = d==^3 суммарная
вероятность составляет 0,120. Следовательно, Ао=2.
Пример 5.47. Установлены следующие параметры
плана контроля. Приемочное число Ло=0, риск
поставщика а=0,10 и вероятность безотказной работы ^о=0,01.
Определить объем выборки, потребный для
осуществления контроля по плану, основанному на распределении
Пуассона.
Решение. 1. По табл. П.7.12 для Ло=0 и а=0,10
находим а = 0,10536.
2. По формуле n=a/qo и заданному до определяем
объем выборки
0,10536 ti
285
Пример §.48. Для контроле пйдежностй в интересах
заказчика выделена выборка объемом /2=^40
экземпляров. Установлены значения -р = 0,05 и браковочное число
Ai = 2. Определить верхнее значение вероятности отказа
в случае приемки партии при d= 1.
Решение. 1. По табл. П.7.12 для Ai = 2 и р = 0,05
определяем а = 4,74.
2. По полученному значению а и заданному п
находим
Пример 5.49. Партия проверяется в интересах
поставщика с допустимым риском а = 0,10. Приемлемая
вероятность отказов изделий до составляет 0,15. В результате
испытаний получено J=8 отказов. Требуется произвести
контроль большой партии изделий, выборка из которой
объемом в /2=100 экз. составляет незначительную долю
(/|/Л^<0,1),
Решение. Для определения пригодности партии
в данном примере можно воспользоваться формулой
(5.78), полученной исходя из нормального закона.
Подсчитаем величину г, подставив в формулу (5.78).
значения d вместо Aq:
d — nqt,+ 0.5 _ 8—1000,15+0,5 _ . ^g
~V~ngJ^~qo) К1€0.0.15Т"1^^^"0Л5)
С ПОМОЩЬЮ табл. П.7,13 определяем значение
функции Лапласа для 2: =—1,85: Фо( 1,85) =—0,468.
По формуле (5.78) находим а'=0,5+ 0,468=0,968.
Следовательно, при i4o = rf=8 браковка партии
приводит к риску поставщика, значительно превышающему
данный. Для уменьшения риска нужно брать Ло^8, т. е.
при d = 8 в данном примере партия может быть принята.
Нетрудно подсчитать (см. пример 5.51), что Ло=20,
Пример 5.50. Объем испытаний п=200, верхняя
граница вероятности отказа ^i = 0,10, а браковочное число
^1=15. Определить риск заказчика, исходя из
нормального распределения числа дефектных изделий в выборке.
Решение. Исходя из условий задачи, для опреде
ления р' воспользуемся формулой (5.79).
Определяем
___пд,А-0.^—Л^ _ 200-0,1+0,5^15 _ 5,5 _ - „
~^ Ynq, (1 — q,) V 200-0.1 (1 —0,1) 4.25 ~ '
286
По табл. П.7.13 находим значение функции Фо(1,28),
тогда р'-0,5 -0,4 = 0,10.
Пример 5.51. Испытаниям подвергнута опытная
партия подъемных механизмов, для которых
удовлетворительной вероятностью безотказной работы в каждом
цикле считается Ро = 0,98. Требуется найти приемочное
число отказов Ло с допустимым риском а—0,05 при
объеме испытаний А1 = 500 циклов.
Решение. Учитывая большой объем выборки,
решим данный пример с использованием нормального
закона распределения частостей, т. е. применим
формулу (5.78).
Так как заданная величина риска поставщика
составляет 0,05, то нужно получить
Из табл. П.7.13 определяем для Фо(г) = 0,45, -г=1,6.
Следовательно, можно записать равенство
1 fi_ Ио —500-0,02 + 0,5 _У1о —9,5
500-0,02-0.98 3,14
откуда Ло=15.
пример 5.52. Последовательному контролю
надежности подлежит партия, состояш^ая из Л^=100 невосста-
навливаемых изделий. Партия считается хорошей при
доле дефектных изделий ^0=0,05 и плохой— при ^i = 0,10.
Риск поставш^ика равен риску заказчика и составляет 0,1.
Требуется определить приемочные (Шщ^) и
браковочные (АПб1э) числа испытаний при числе дефектных
изделий dm=0, 1, 2, 3, 4 и 5, а также построчить график
контроля по характеристическим точкам и принять решение
в случае появления четырех отказов при 25 испытаниях.
Решение, Так как общий объем исследуемой
совокупности мал, необходимо осуш^ествлять контроль по
/-биномиальному плану. Для определения приемочных
и браковочных чисел и построения графика контроля
необходимо произвести следующие вычисления.
1. Определяем число дефектных изделий в партии
при нулевой и альтернативной гипотезах:
/)q= 100-0,05 = 5, Di-100.0,10-10.
287
2. Находим значения оценочных нормативов А и В:
0.11.
0.10
10
3. Для определения характеристических точек графика
плана подсчитьюаем сиг (используется табл. Г1.7.10):
^ = С^^=С'о=252; г = Д — Do= 10 —5 = 5.
4. Приемочные числа определяем по формуле (5.84),
в которую подставляем постоянные величины Л^^ В, с, г
и переменную для каждого числа дефектных изделий
величину.
Таким образом,
rf = 0; ^^ = С^-^о = 252;
т
Ир
т
^.= l;c„ = C^i, = 126;
252-0,11 \'/5
ор
'«'[■-(^^П=
44
и т. д.
4 Д*^^ подсчета браковочнык чисел используется
формула (5.85). Очевидно, что эта формула имеет смысл при
^^<:^-^=—g-=i28,|, что в соответствии с таблицей
биномиальных коэффициентов имеет место при rf^>3. Для
_^-з о..-.„ ^t^r, / 252-9 \1/5
:3<;„
^, -.2UT^.<I00[l-(^)"']=7 „
Т. д.
После расчета всех приемочных и браковочных чисел
таблица плана может быть представлена в виде табл. 5.9.
Т А Б_]Л,И Ц А 5.
Расчет плана к [примеру ^5.52
dm
АИпр не менее
т^ не более
0
36
—
1
44
—
2
53
—
3
61
7
4
69
27
5
78
49
2^1
5. Определяем характеристические точки графика
плана:
а) d^ = 0, /n,= N(l — B"')= 100(1—0,ll'") = 36;
б) rf^ = D„ = 5, m = N[l-f-4-y''j=.
в) ((^^Щ^=Ц^==7,5; m=N=m.
Для построения графика плана (рис. 5.10) строим
прямоугольные оси координат с ординатами rfrn=04-lO
^0 ^0 60 во юо т
Рис. 5.10. График контроля (к примеру 5.52).
и абсциссами т=0-^100 и отмечаем точки а, б и е.
Затем точку в соединяем с точками а и б.
Заданная по условию примера рабочая точка d=4,
т = 2Ъ (на рис. 5Л0 отмечена крестиком) попадает
в область браковки. Следовательно, партию можно
забраковать и испытания прекратить.
Правильность решения можно проверить по правилу
браковки:
С этой целью подсчитаем
\ft 252
^-= t^ - -^)'^=^(1 -0,25)^ =
14,9.
Так как 14,9>9, то партия бракуется.
Пример 5.53. Партия считается хорошей при ро=0,99
в одном цикле, а плохой — при /7i = 0,88. Контроль
должен осуществляться с риском а=0,08 и р = 0,06.
Требуется построить план последовательного контроля вероят-
19-1086 289
ности безотказной работы восстанавливаемых изделий
в табличной и графической формах до dm.= 10. Принять
решения для трех рабочих точек: d=l, m=46; d=4,
m = 50; d = 5, m-100.
Решение. Учитывая независимость испытаний,
строим биномиальный план, пользуясь формулами
(5.88), (5.89), (5.90) и (5.91).
1. Для построения плана нужно предварительно
определить оценочные нормативы Л и В и константы
плана hi, h^ и s;
- 1 —В 1—0,06 11 7с R Р ^'ОС пплг;
0,08 —**"^'^— 1—а 1—0,08
Ig 0,065
0,12 0,99
— 1,187
h — ^g^ Ig 0,065
1,079 + 0,051
-=-1,050,
^^2— ^, l-^o" M30 "1.130"^*^^^'
. ^ - Я.
s^- _Aij:Jl_= 0^^0,045.
Ig -^ f Ig rirv
2. Для вычисления таблицы плана используем
формулы (5.88), которые лучше представить в следующем виде:
, т^р^—-—
Тогда при d = 0
_—h, _ 1,05 _^^
'^^^Р-' 5 ~ 0,045 ""^'^^
— ^2 —0,95 о-, ^
/Пбр = —^=^ ^ p^.g = — 21 — браковка не
осуществляется,
при d =^ 1
2,05 ,г,
1—0,95 .
290
Результаты расчета могут быть представлены в виде
табл. 5.10,
ТАБЛИЦА 5.10
Расчет плана к примеру 5.53
dm
m„p не менее
/й^Р не более
0
23
—
1
45
1
2
67
23
3j
91
45
4
112
68
5
134
90
6
156
112
7
179
134
8
201
156
9
228
179
10
245
201
3. График плана (рис. 5.11) наиболее просто
строится по трем характеристическим точк-ам:
а) ^т = 0, то = 23;
б) d^==/i^ = —1,05, m = 0;
в) ^^ = ^2 = 0,95, w=-0.
4. Точка d=l, m = 46 определяет приемку партии;
точка flf = 4, г/2 = 50 позволяет принять решение о браков-
dm
8
6
А»
2
в -
б ^
'
-
-
г^'
а
Х^Х^
^^i
50
б^'
^у^п
\
too
^•'Г^ \
J
1^0^
1
200 т
Рис. 5.11. График плана контроля (к примеру 5.53).
ке и точка d = 5, m=100 соответствует правилу
продолжения испытаний.
Пример 5.54. Для контроля надежности большой
партии (iV>2 000) телевизоров требуется построить
в табличной (до d=10) и графической формах план
последовательного контроля с риском поставщика а = 0,05
и риском заказчика (3 = 0,10. Надежность партии
считается высокой при 9о=0,02 и низкой при ^1 = 0,10. Принять
решения для трех рабочих точек: fi(=0, m = 40; d=3,
m = 20; d=2, m=100.
Решение. По условию примера построение
последовательного плана возможйо с применением
распределения Пуассона, Решение примера производим в той же
последовательности, что и предыдущего.
19*
291
1, Определяем Л, В, hu h2 и S.
А =
1—0,10
0.05
18; В =
0,10
_ ig ^ __ igo,oi
1—0,05
-2
=0,01;
ig
-it.
0,10
0.699
=^ — 2,88;
*g 0,02
ig 1Н._ К255
0,699 ~" 0,699"
1,80;
^ ^ 0,4343 (д, - д,) ^ 0,4343-0,08 _^q q^
, ^1 0,G99 " *
^0
2. Вычисляем таблицу плана (табл. 5.11) по формулам:
ni^v>
d — h, _. d + 2.
^бр<-
s
0,05 '
rf—1,80
.s
0,05
3. Графики плана (рис. 5.12) строятся по
характеристическим точкам:
а) ^==0, ^w = 58;
б) d = A, = —2,88, !'m=-0;
в) dr=h,= l,80, im = 0.
ТАБЛИЦА 5.11
d
fjijip не менее
mgp не более
Расчет
0
58
—
1
28
—
плана к
2
98
4
3
118
24
примеру
4
138
44
5
158
64
5.54
6
178
84
7
198
104
8
218
124
9
238
144
10
258
164
4. Из таблицы и графика видно, что при положении
рабочей точки rf^O, m = 40 испытания нужно
продолжать, при положении точки d = 3; т = 20 партию'следует
браковать, при положении точки d=2; m=100 —
принимать.
Пример 5.55. Надежность электронных
преобразователей, выпускаемых большой серией, считается высокой
при интенсивности отказов Ло=2-10~^ Х/час и низкой —
292
Рис. 5.12. График плана контроля (к примеру 5.54).
при Ai=l • 10~^ 1/час. Риск заказчика и поставщика
одинаков и составляет а=р = 0,05. Требуется рассчитать
последовательный план выходного контроля надежности
таких преобразователей. План контроля необходимо
представить в табличной и графической формах до d =
= m=lO. Принять решения для трех рабочих точек:
d=О, /, =5000 час; d^l, t^= 5000 час;Ч У = 2,
^, = 300 час.
Решение. I. Для построения плана необходимо
определить его константы, для чего вычисляем:
Ь-0,05
0,05
19,/?:
0,05
1—0.05
-0,053;
А, = _ 2,303,-
IgB
к ~ к
+ 2-303 (Щг|лог-,=0,367.10^
/г, = — 2,303г^^^ - 2,303.,-';f^„., = —0,367-10";
Х.1 — 1^
(10—2).10-*
s = 2.303
'Sir
2.303.0.699
Xi — ^0
8-10-4
=-2.10\
2. Таблицу плана вычисляем исходя из формул (5.94)
и (5.95). Так, минимальная величина наработки при
соответствующем числе дефектных изделий для приемки
293
и браковки подсчитывается по соотношениям
соответственно
t^ >Ai+d«.s = 0,367. lO^+fifm • 2.10^
^</^2+^ш5 = —0,367.10^+2- lO^r...
Подсчитанные по этим формулам данные заносятся
в табл. 5.12.
ТАБЛИЦА 5.1
Расчет плана к примеру 5.55
d
т
не менее
не более
6
3 670
-
1
5И70
-
2
7 670
330
3
9 670
2 330
4
11670
4 330
5
13 670
6 330
е
15 670
8 330
7
17 670
10 330
8
19 670
12 330
9
21 о70
14 330
10
23 670
10 330
3. График плана (рис. 5.13) можно построить с
помощью полученной таблицы или по трем
характеристическим точкам:
а) d^=._^=|g^^l,83, /,=0;
б) rfn. = 0,
в) d^=0,
/г^=_3670;
К = 3670.
Для точного построения графиков по вычисленным
точкам необходимо выбрать соответствующие масштабы
для dmH tf
Рабочей точке d=0,yt^ =5000 час соответствует
решение о приемке контролируемой партии преобразователей.
Рис. 5.13. График плана
контроля (к
примеру 5.55).
^ t,vac
294
Если рабочая точка имеет положение d=\, /v =5000 час,
го испытания нужно продолжить. При d==2 и /j,=
= 300 час принимается решение о браковке.
Пример 5.56. В эксплуатации находится 50
непрерывно и одновременно работающих восстанавливаемых
технических устройств, замена которых при отказе
производится практически мгновенно. Надежность устройств
считается высокой и доработка не требуется при средней
наработке до отказа Го=400 час, а при наработке Ti=
= 200 час необходима доработка. Закон распределения
отказов принят экспоненциальным. Для выявления
необходимости доработки эксплуатируемых технических
устройств нужно осуществить контроль их надежности
по наработке. Решение должно быть принято со
значениями риска а==0,05 и p = 0,10. План контроля нужно
представить в табличной форме.
Решение. Так как распределение отказов
исследуемых устройств экспоненциальное, то Яо=1/?'о= 1/400 =
= 2,5.10-3 1/^ас\ Ai-1/7^1= 1/200 = 5.10-3 1/час,
Контроль производится по правилам, описанным
формулами (5.94), (5.95). Но имея в виду
одновременную работу N=50 устройств и возможность их
восстановления, целесообразно строить таблицу и график
плана с учетом времени эксплуатации /*, которое
определяется из формулы (5.100):
t^ = tJN.
Константы плана Ль hz я s находятся по формулам
(5.97), для чего предварительно нужно определить А, В,
iifiko и их логарифмы:
^= 0.05 =^^^ ^= i-o;o5=Q>^Q5>i7-
5-10-3
""2.5.10-3 ~^'
Ig Л =1,255; Ig В == — 0,979; Ig 2 = 0,301;
>^==-2'3^=^=900; /., = ^2,3,^^1^=-1160;
^=-2>3^-j^^=276.
295
Пользуясь формулами (5.94) и (5.95), а также
учитывая (5.100), составляем таблицу плана, округляя время
эксплуатации до часа (табл. 5.13).
ТАБЛИЦА 5.13
Расчет плана к примеру 5.56
rfm
^*ир» час не менее
^gp, час не более
0
18
1
24 ~
2
^9~
3
35
4
40
5
45
4
Пример 5.57. На испытание поставлено Л/^ —20
экземпляров, Яо=7,5.10-4 \1час, Я1-=2-10-з 1/ад(;; а=0,10;
р = 0,03. Требуется составить план контроля надежности
по наработке невосстанавливаемых устройств до d=5
и принять решения в случаях, когда:
а) произошло два отказа при наработках
отказавших экземпляров /i = 55 час, ^2=100 час и испытания
приостановлены;
б) после отказов, указанных в пункте а, все
остальные устройства продолжали работать до момента
контроля '/* = 250 час\
в) после трех отказов устройства наработали 5, 15
и 20 час.
Решение. План контроля в данном случае
определяется так же, как и в примере 5.55:
Хо ~7.5.10-» —АО/,
lgЛ = 0,987; lgi3==. 1,476; Ig-^--0,426;
1,476
0,987
0,426
:2,3
12,5-10'*
=785.
По полученным данным строится табл. 5.14.
Для определения положения рабочей точки и
принятия решения в процессе контроля необходимо подсчиты-
296
t*aC4et йлан£1 к примеру 5.57
Таблица б.и
dm
^inp» ^^^ "^ менее
/j;gp, час не более
0
2 720
—
1
3 505
—
2
4 290
~
3
5 075
495
4
5 860
1 280
5
6 645
2 065
вать наработку по формуле (5.99). Так, для первой
рабочей точки
d
т
t=.[ /г + (Л^ — ^т)^* = 55 + 100 + (20 —2)100 =
1=1
= 1955 < 4290.
В соответствии с условием (5.96) испытания нужно
продолжить. Для второй рабочей точки наработка
составляет
f^ := 155 + 18.250 = 4655 > 4290.
В соответствии с условием (5.94) партию нужно
принять. Для третьей точки:
^,=5 + 15 + 20 + (20 —3).20=380 <495.
По условию (5.95) испытания прекращаются и партия
бракуется.
Пример 5.58, В процессе приемки изделий завода
представителями заказчика проверяется их
функционирование в течение /*=20 час. Необходимо использовать
информацию, получаемую при контроле
функционирования, для контроля наработки, если^ как и в предыдущем
примере. Лю=7,5.10-^ 1/час; Xi==20-10-4 1/адс; а=0,10;
р==0,03. Изделия после отказа не восстанавливаются.
Требуется принять решение в случае, когда испытано
Л^=125 изделий, из них отказало 5 с общей наработкой
отказавших изделий
5
J^ti= 75 час.
/=1
Решение. Для построения таблицы и графика
применяются планы, рассмотренные в примере 5.55.
Наработка в процессе контроля определяется по формуле
297
(5.99), но Ё качестве /* берется установленное время
функционирования.
5
Так, для /*=20, N=125, J=5 и ^ f^ ==75 определяем
1=1
/^ = 75 + (125 — 5) 20 = 2475 час.
Обращаемся к таблице плана (см. пример 5.57) и
устанавливаем, что при d=5 полученная наработка
больше требуемой для браковки и меньше требуемой для
приемки, т. е. 2 065<2 475<6 645, что соответствует
условию продолжения испытаний.
Пример 5.59, Надежность устройств с нормальным
законом распределения отказов считаетря высокой при
средней наработке до отказа Го > 150 час и низкой при
T^ir^lOO час. Требуется рассчитать план
последовательного контроля средней наработки до отказа, если
стандартное отклонение известно и составляет 0=20 час.
Риск поставщика равен риску заказчика и
составляет 0,05.
Решение. 1. Для расчета констант плана
воспользуемся формулами (5.105):
0.05
o^lgB _
L204g-j_o^()5
/г, —— 2,3 ^^_j,^ ——^^^—т-^ш —23.6;
1—0.05
_ .ngA 204g-o;0^
Л, _ — 2,3-jr—у-— — 2,3—jfg^—j^g—_ — 23,6;
Tq + T, ._150+100_.ос
2. Характеристические точки графика плана
определяются по (5.106):
а) ^ = —^=-^=0,198, f,=0;
125
б) т = 0, f^ = /z, = —23,6;
в) /я = 0, ^^ = Л, = 23,6.
3. Таблица плана строится по соотношениям (5.102)
и (5.103).
298
§ 5.3. ЗАДАЧИ
В настоящем параграфе приведены задачи на оценку и контроль
надежности технических устройств по результатам их испытаний,
предлагаемые для самостоятельного решения.
Задачи легко решить, используя типовые примеры, приведенные
в § 5.2.
5.1. В результате обработки данных по испытаниям получен
следующий вариационный ряд значений времени безотказной работы
изделия в часах: 2; 2; 3; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 9; 13; 15; 16; 17; 18; 20; 21;
25; 27; 35; 38; 53; 56; 69; 77; 86; 98; 120. Требуется выявить закон
распределения времени безотказной работы.
Ответ: Экспоненциальный.
5.2. В результате проведения испытания системы получен
следующий вариационный ряд времени безотказной работы в часах:
60; 100; 150; 170; 240; 300; 430; 650; 1100. Требуется установить
закон распределения времени безотказной работы.
Ответ: Экспоненциальный.
5.3. В результате обработки экспериментальных дагщых получен
следующий ряд времени безотказной работы аппаратуры при
ускоренных испытаниях в час: 12; 25; 34; 34; 34; 34; 34; 34; 45; 45; 45; 53;
61; 61; 61; 61; 69; 69; 69; 75; 75; 84; 84; 92; 95. Требуется выявить
закон распределения времени безотказной работы.
Ответ: Логарифмически-нормальный.
5.4. Обработкой исходных данных получен следующий
вариационный ряд времен восстановления изделия в минутах: 1; 3; 3; 6; 6;
7; 8: 12; 12; 14; 17; 18; 21; 23; 24; 26; 27; 28: 32; 34; 37; 37; 44: 47.
Требуется выяснить закон распределения времени восстановления.
Ответ: Логарифмически-нормальный.
5.5. На испытаниях получены следующие времена безотказной
работы изделия в часах: И: 34; 35: 62; 63; 77: 86; 124; 129; 148; 178:
182; 213; 235; 241; 264; 275; 281; 323; 340: 372; 372; 443; 478.
Требуется установить закон распределения впемени безотказной работы.
Ответ: Логарифмически-нормальный.
5.6. В результате обработки данных на испытаниях получен
следующий вариационный ряд значений времен безотказной работы
однотипных изделий в часах: 22: 31: 35: 50; 67; 74: 80: 84; 91; 93;
138: 152: 166; 171. Необходимо выявить закон распределения
времени безотказной работы.
О т в е т: Экспоненциальный.
5.7. В результате проведения испытаний изделий получен
следующий вариационный ряд iBpeMCH безотказной работы в часах:
82; 89; 116; 124; 132; 197; 431; 1027. Требуется установить закон
распределения времени безотказной работы.
О.т в е т: Экспоненциальный.
5.8. На испытаниях произведено 15 замеров вр'емени
восстановления, значения которых в минутах равны: 1; 3; 4; 6; 7; 12; 13; 15;
18; iI8; 23; 24; 26; 32; 44. Нужно установить закон распределения
времени восстановления.
Ответ: Логарифмически-нормальный.
5.9. В результате опытной эксплуатации однотипных систем
получены данные по отказам, которые сведены в следующий вариа-
пионный ряд: 3; 4; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 9; 10; 10; 11; 12; 12; 12;
12; 12; 14; 14; 15; <15; 15; 16; 17; 18; 20; 20; 20; 21; 21; 22; 22; 23;
299
29; 30; 32; 33; 37; 38; 40; 40; 40; 42; 45; 46; 48; 49; 50; 53; 55; 55;
73; 86; 90; МО; 129. Необходимо выяснить закон распределения
времени безотказной работы систем рассматриваемого типа.
Ответ: Экспоненциальный.
5.10. В результате испытания партии трансформаторов получен
вариационный ряд времени безотказной работы 19; 28; 28; 32; 36;
36; 50; 51; 71; 124; 126; 138; 163; 231; 246; 260; 300; 302; 320; 341;
380; 384; 468; 477; 603: 807; 895; 920; 937; Требуется установить
закон распределения времени безотказной работы изделия.
Ответ: Экспоненциальный.
5.11. В результате испытания двигателей постоянного тока
получен вариационный ряд времени безотказной работы в часах: 15;
28; 29; 29; 54; 61; 71; 73; 76; 77; 91; 102; 103; 117; 145; 150;а70; 196;
200; 204; 245; 249. Необходимо выявить закон распределения
времени безотказной работы изделия до первого отказа.
Ответ: Логарифмически-нормальный.
5.12. В результате испытания партии электромеханических
сравнивающихся устройств получен следующий вариационный ряд
времен безотказной работы до первого отказа в часах: 19; 62; 92; 102;
121; 193; 200; 200; 215; 229; 245; 384; 385; 462; 486; 538; 576; 631;
680; 715. Нужно выявить закон распределения времени безотказной
работы изделия до первого отказа.
Ответ: Логарифмически-нормальный.
5.13. При испытании партии датчиков импульсного питания
получен вариационный ряд наработки до первого отказа и:^делия в
часах: 117; 18; 57; 134; 160; 160; 174; 198; 200; 225; 279; 370; 420.
Требуется выявить закон распределения отказов.
Ответ: Нормальный.
5.14. В результате испытания партии часовых механизмов
получен следующий вариационный ряд наработки до первого отказа
изделия в часах: 61; 64; 92; 149; 150; 150; 178; 179; 200; 200; 250; 252;
255; 255; 312; 340; 341; 359; 362; 378; 600; 600. Необходимо выявить
закон распределения наработки до первого отказа.
Ответ: Нормальный.
5.15. В результате обработки данных по отказам изделий,
полученных из эксплуатации, составлен следующий вариационный ряд
наработки до первого отказа в часах: 699; 724; 794; 799; 810; 935;
997; .1115; 1120; 1174; 1190; 1300; 1353; 1500; 1534; 1573; 1800; 1800;
1900; 2000; 2166; 2278; 2301; 2400; 2444; 2447; 2500; 2700; 2700;
2850; 2950. Нужно выявить закон распределения наработки до
первого отказа.
Ответ: Экспоненциальный.
5.16—5.25. В результате исследования пульта контроля с
высокой плотностью информации осуществлялся контроль комплекса
параметров путем считывания показаний со шкал пульта. При
считывании стократно фиксировалась длительность операции контроля
в секундах. Требуется на основании полученного вариационного ряда
длительности операций контроля выяснить соответствие полученных
данных определенным законам распределения.
Исходные данные для решения задач и ответы приведены
в табл. 5.15.
5^6. В результате опытной эксплуатации однотипных изделий
получены данные по отказам в часах, которые сведены в следующий
300
Задачи
ТАБЛИЦА 5.5
Номер
задачи
5Л6
5.17
5.18
5.19
5.20
Исходные данные
Длительность операций /^.
п^—число операций равной длительности
1 (2); 1,8; 2,1; 2,2 (3); 2,3; 2,4; 2.5;
2,6; 2,8 (6); 3,0 (2); 3,2 (4); 3.4 (4);
3,6 (2); 3,7; 4,0 (3); 4.1; 4.2 (3); 4,4 (3);
4,6 (4); 4.7; 4,8 (2); 5.0 (6); 5,2 (4);
5.4 (3); 5.5 (3); 5.6 (2); 5,7 (2); 5.8 (5);
6,0 (2); 6,1 (2); 6,2 (2); 6.6; 6,8; 7,0 (2);
7.2 (2); 7.4; 7.8; 7.9; 8.0; 8.1; 8,7; 8.8;
10.8; 11.0; 11,4; 11,8; 12,0; 13,2; 13.4;
14.1; 18.8
4.6; 7,8 (2); 9,7 (2); 10,4 (4); 11,2;
11.4 (3); 11,5 (3); 11,8; 12 (3); 12.6(5);
13,2; 13,6 (2); 13.8 (2); 14,0 (3); 14.2 (4);
14.7 (3); 15,6 (3); 16,2 (2); 16,4 (5);
16.8 (4); 17,9 (3); 18,4 (3); 18,9 (3);
19.4 (2); 19,6 (4); 19.9 (3); 20,6 (3);
21.3 (4); 22,4 (2); 23.5 (3); 24,2 (2);
25.5 (2); 26.3 (4); 27.2 (4); 30,2; 31.8;
35.6; 39.0
4,7 (2); 6,4; 7,3 (3); 8,4 (2); 9.6 (2);
10,0 (2); 10,4 (2); 10,7 (3); 11,2 (7);
11.8 (2); 12,0 (4); 12,3 (3); 13,0 (5);
13,6 (6); 14,2 (5); 14,8 (2); 15,6 (8);
16,5(2); 17,4 (5); 18,0 (3); 18.4 (3);
19,0 (3); 20,2 (3); 20,7 (2); 22,5 (2);
23,4 (2); 24,6 (2); 25,0 (3); 25,8; 26,4;
28,3; 29,6; 31.9; 32,6; 34,0; 37,0; 37,9;
42,6; 52,6
1 1.9 (4); 3,4 (3); 4,3 (5); 4,8 (4); 5.5 (7);
6,2 (4); 6,7 (4); 7.2 (7); 7.8 (8); 8.2 (4);
8,6(4); 9,5(8); 10,5(3); 11,5(5); 12.0(4);
12.2 (4); 13,4 (3); 14,7; 15,5 (2); 16.2;
17,6; 18,5 (3); 20,1; 22,2; 24,0; 26,4(2);
27,2 (2); 31,6; 36,0; 45,3; 57,0
1 6,6; 8,0; 10.7 (2); 11,3 (3); 12.4 (4);
13.2 (3); 13,8 (2); 14.3 (6); 15,0 (3);
15,8 (3); 16,0 (4); 16,3 (4); 16,8 (2);
17.7 (3); 18,6 (4); 18,8 (2); 19.0 (2);
19,4 (3); 19,8 (3); 20,4 (5); 21,2 (4);
21.8 (3); 22,2 (3); 22,4 (4); 22,8; 23,6;
24,4; 24,6 (2); 26,3 (3); 27.5 (2); 28,7;
29.3 (2); 30,2 (2); 31,6; 35,2; 36,4; 41,8;
42,0; 45,4; 49,4; 53,2; 54,0; 60,8; 79,2
Огвет
ски-нормальный
ски-нормальный
Логарифмиче-
ски-нормаль-
1 ный
Логарифмиче-
скн-нормаль-
ный
ски-нормальный
301
продолжение табл. 5.15
Номер
задачи
5.21
5.22
5.23
5.24
5.25
Исходные даыыые
Длительность операций t^,
«^ —число операций равной длительности
1,8; 2,2 (2); 2,7 (2); 3,2; 3,8 (3); 4,2 (6);
4,7 (2); 5,6 (4); 6,0 (2); 6,3 (6); 6,8 (3);
7,0 (3); 7,4 (6); 7,7 (4); 8,1 (4); 8,2 (7);
8.3 (3); 9.3 (4); 9,8 (4); 10,3 (3); 10,8 (2);
11,6; 12,4 (4); 13,4 (3); 14,4 (3); 15,4 (2);
16.5 (3); 17,4 (2); 19,4 (2); 20,8 (2); 22,4;
23,6 (2); 24,6; 27,0; 32,4
2,5; 3,7; 4,8 (2); 5,6; 6.7; 7.1 (3);
8.3 (4); 8,7 (4); 9,2 (5); 10,0 (4); 10,4 (7);
10,8 (6); 11,4 (9); 11,8 (4); 12,1 (4);
12,6 (7); 13,4 (3); 14,1 (7); 14,6 (5);
15,4 (4); 16.1 (3); 17,4 (2); 18,4; 19.0;
19,4 (3); 19,8; 21,0; 25,2; 26,0; 30.2;
31.8; 40,4; 51,6
4,9; 5,8; 6,0; 6,2; 7,7; 8,9; 9,4; 10,2;
12.4; 12,6; 12,7; 13,0; 14,4; 15.2; 15,4;
16,0 (3); 16,8 (2); 17,2 (2); 17,4; 18,2 (2);
18,4; 18,6 (2); 19,8; 20,0(2); 20,8; 22,0;
22,2(3); 22,6(2); 23,2; 23,4; 23,6; 24.6 (2);
1 25,0 (2); 25,6; 26,0; 26,6; 29.0; 30,3;
31,2; 31,8; 33,0; 33,2; 33,6; 33,8 (2);
34.7 (3); 38,6 (5); 40,2 (2); 42,4; 43,5 (3);
44,9; 47.2 (5); 49,6 (2); 50,8; 52,5 (2);
53.8 (2); 57.6 (2); 61,3 (3); 64,7 (4);
70.2 (2); 73,1 (2); 74,2; 76,2; 85,1
0.6 (3); 1,5 (6); 2.3 (9); 3,1 (4); 3.5 (10);
3,8 (5); 4.1 (8); 4,2 (6); 4.6 (9); 5,4 (9);
6,5 (7); 7,2 (6); 7,7 (4); 8,8 (2); 9.1 (2);
10,3 (2); 11,8; 12,6; 14,4; 15,4 (2);
16.2; 22.6; 37,0
0,5 (2); 1,2 (3); 1,8 (4); 2,3 (3); 2,6 (3);
3,2 (6); 4,1 (6); 4,5 (9); 4,9 (3); 5.4 (5);
5,7 (2); 6,2 (10); 6,8 (7); 7,6 (9); 8.0 (3);
1 8,6 (3); 9,1 (3); 9,9 (2); 11,1 (2); 11,7 (2);
12,3(4); 13,1 (2); 14.4(2); 15,6; 16.5(2);
1 21,0; 24.4
0[вет
Нормальный
Нормальный
Нормальный
Нормальный
Нормальный
302
еариационный ряд: 200; 232; 328; 36в; 393; 404; 421; 457; 4ЙЗ; 511;
527; 540; 544; 572; 598; 605; 619; 633; 660; 681; 736; 791; 942.
Необходимо выяснить закон распределения времени безотказной работы
изделий рассматриваемого типа.
Ответ: Вейбулла.
5.27. В результате проведения испытаний изделия получен
следующий вариационный ряд времени безотказной работы в часах
780; 2000; 3000; 4273; 4474; 4500; 5000; 5100; 5200; 5300; 5395:
5900; 5940; 6000; 6320; 6390; 6600; 6760; 6870; 7250; 7500; 7550:
7655; 7870; 8100; 8520; 8600; 9000; 91€0; 9110; 9200; 97О0; 9730; 9760
9860; а0130; 10870; 12400; 12550; 12840; 13870; 15350 (п=42).
Требуется установить закон распределения времени безотказной работы.
Ответ: Вейбулла.
5.28. В результате обработки данных по испытанию изделий
получен следующий вариационный ряд времен безотказной работы
в часах: ПО; 260; 460; 520; 520; 530; 665; 945; 965; 995; 1050
1115; 1255; 1315; 1315; 1320; '1370; 1455; 1500; 1540; 1540:
1565; 1565; 1580; 1650; .1700; 1705; 1725; 1730; 1755; 1820; 1860. 1875
1900; 1925; 1935; 2000; 2070; 2130; 2180; 2210; 2230; 2300; 2335; 2430:
2460; 2520; 2540; 2540; 2545; 2545; 2560; 2720; 2800; 3040; 3040; 3050:
3385; 3385; 3515; 3520; 3540; 3545; 3580; 3635; 3705; 3845; 3870; 3970
4015; 4060; 4605; 4705; 5030; 5700 {п=75). Нужно выявить закон
распределения времени безотказной работы.
Ответ: Вейбулла.
5.29. В результате обработки экспериментальных данных
получен следующий вариационный ряд времени наработки до первого
отказа в часах: 3; 5; 7; 10; аЗ; 25; 38; 42; 51; 52; 72; 80; 85; 90; 105;
120; 123; 128; 136; 160; 170; 187; 195; 195; 205; 215; 225; 235; 245;
245; 265; 275; 280; 280; 282; 285; 305; 310; 310; 315; 315; 345; 355; 365
372; 378; 390; 390; 395; 418; 418; 428; 428; 436; 436; 440; 465; 470:
475; 490; 495; 495; 515; 535; 560; 575; 595; 610; 625; 645 (п=70).
Необходимо выявить закон распределения наработки до отказа.
Ответ: Вейбулла.
5.30. На испытаниях получена следующая наработка до отказа
изделия в часах: 10; 16; 30; 35; 40; ПО; 118; 122; !135; 150; 165; 230
240; 240; 275; 300; 325; 350; 355; 370; 395; 460; 490; 495; 540; 555:
565; 575; 620; 620; 675; 680; 730; 760; 780; 785; 785; 805; 810; 810
825; 825; 870; 880; 890; 905; 910; 945; 985; 1040; 1045; 1050; 1075:
1090; 1115; 1120; 1140; 11175; 1105; 11205; 1-225; 1235; 1245; 1260; 1270:
1270; 1330; 1345; 1345; 1365; 1410; 1420; 1430; 1445; 1525; 1540
1635; 1660; 1745; 1760; 1795; '1855; 2095; 2095 {п=Щ. Требуется
установить закон распределения наработки до отказа.
Ответ: Вейбулла.
5.31. В результате испытаний восьми электродвигателей на
долговечность получены следующие значения наработки до отказа в
часах: 156; 201; 348; 370; 400; 480; 520 и 605. Нужно определить
оценки средней наработки до отказа и стандартного отклонения,
предполагая закон распределения отказов нормальные. Найти также
доверительные интервалы для Т и о с вероятностью а=0,80.
3080
Ответ: r=.-g-=385 час, S=153 чос, 7^=308,5 час, Тв =
=461,5 час, 117<'а<241 час.
5.32. Выборка объемом 25 экземпляров из партии механических
устройств подверглась испытаниям с целью определения доверитель-
303
ного интервала для средней наработки до отказа. По результатам
испытаний найдены Т=1 000 час и 5=100 час. Найти доверительные
границы для доверительной вероятности а=0,99, если закон
распределения отказов принят нормальным.
Ответ: Г„=944 час, /в = 1056 час.
5.33. После испытаний десяти экземпляров аккумуляторных
батарей короткого срока службы определено среднее время разряда
Г==35 мин и дисперсия времени разряда а=25 мин.
Определить нижнюю доверительную границу математического
ожидания времени разряда Т^ для доверительной вероятности «i =
==0.95 и доверительный ийтервал для Т с той же вероятностью.
Ответ: 7^ = 32,1 мин; 31,4 М1Ш<Т<38,6 мин.
5.34. Испытано на надежность 9 гироскопических узлов до
износа, при этом зарегистрированы следующие значения наработки
в часах: 5; 10; 25; 50; 75; 100; 125; 150; 160.
Нужно определить Т, S и нижнюю границу для Т с
вероятностью а—0,99, считая распределение наработки нормальным.
Ответ: Г=77,8 час; 5=95 час. Доверительные границы не
могут быть определены, так как предположение о нормальном
распределении отказов неверно.
5.35. Известно, что распределение наработки до отказа
нормальное с ао==150 час. Требуется оценить объем испытаний
изделий, необходимый для оценки средней наработки до отказа с
ошибкой не более 75 час при доверительной вероятности а=0,80.
(Сравните результат решения с условием и решением примера 5.5.)
Ответ: п^7.
5.36. Известно, что ожидаемая дисперсия равна 10 000 час.
Оценить объем испытаний, потребный для оценки средней наработки
до отказа с ошибкой, не превосходящей 50 час при доверительной
вероятности а-=0,99. (Сравните результат решения с условием и
решением примера 5.6.)
Ответ: п~22.
5.37. Ориентировочно известно, что в среднем наработка
составляет около 1 000 час, закон распределения отказов нормальный и
коэффициент вариации v^T/g составляет приблизительно 0,1.
Определить ориентировочно минимальный объем испытаний для точной
оценки параметров закона распределения износовых отказов щеток
электромашин. Относительная ошибка при оценке 7' и о не должна
превышать 5% с доверительной вероятностью равной 0,99.
Ответ: п=22.
5.38. Из 50 (п=50) гироскопических узлов, испытанных в
течение 100 час С^о=100) отказало 4 штуки. Наработки отказавших
узлов в часах составили: 51, 74, 90, 95. Предполагается, что отказы
распределены нормально. Нужно оценить параметры закона
распределения с доверительной вероятностью не ниже 0,95.
Ответ: Г=227 час±\34 час, а=88 час±Ы) час.
5.39. При испытании 8 дизельных электростанций по плану [п,
Б, п] получены следующие значения наработки в часах: 8; 9; 15; 28;
36; 54; 102 и 148. ПредБОлагается экспоненциальный закон
распределения отказов. Необходимо определить X и верхнюю границу %п
при доверительной вероятности «2=0,95.
Ответ: ?^=2-'10-2 [/час; Хв=3,3-10-2 х/^^ас.
5.40. Испытанию были подвержены 15 трансформаторов. В
результате испытаний, при которых не было замены отказавших
экземпляров, получены наработки в часах: 2; 5; 8; 16; 19; 25; 43; 67;
304
94; 116; 159; 201; 532; 400 и 418. Определить AByctopOHHHH дойери-
тельный интервал для интенсивности отказов с доверительной
вероятностью а=0,99.
Ответ: Л= (0,364^ 1,41)-ЯО-^ 1/час.
5.41. По плану '[п. Б, п] испытано 12 изделий с общей наработ-
кой 1464 час. Требуется оценить среднюю наработку до отказа и
определить ее нижнюю границу с вероятностью oi—0,9, исходя из
предположения о экспоненциальном законе распределения отказов.
Ответ: ^=122 час; Ги=88 час.
5.42. По плану {п. Б, п] испытано 10 изделий с
экспоненциальным законом распределения отказов. Суммарная наработка
испытанных изделий составляет 8 000 час. Определить с вероятностью
а=0,97 доверительный интервал для средней наработки до отказа,
причем нижняя доверительная граница должна быть определена
с вероятностью Oi=0,995.
Ответ: 7'=400-^1480 час.
5.43. За время испытаний 10 изделий (п=10) по плану [п. Б, U]
отказало 4 изделия, наработки которых были 50, ilOO, 150 и 200 час.
Испытания продолжались 250 час. Нужно оценить интенсипность
отказов и определить ее доверительный интервал с вероятностью а=
=0,95.
Ответ: .>v=2 • Ю-з 1/уас; Л=(5,5-:-44) • 10"* \/час.
5.44. При испытаниях 100 электродвигателей по плану [п. Б, to]
в течение 1 000 час отказало 8 шт. Суммарная наработка составила
92 400 час. Оценить среднюю наработку до отказа и найти ее
нижнюю доверительную границу с вероятностью ai=0,99, исходя из
экспоненциального закона распределения отказов.
Ответ: Г= М 500 час; Ги~5 775 час.
5.45. На испытания поставлено 50 невосстанавливаемых изделий.
Время испытаний ограничено 1 000 час. За это время отказало 10
экземпляров изделий, которые показали следующую наработку в
часах: 4; 27; 69; 118; 182; 222; 293; 385; 602; 887. Определить верхнюю
доверительную границу интенсивности отказов с доверительной
вероятностью 02=0,99 и двусторонний доверительный интервал с
вероятностью 10=0,95.
Ответ: Лв=0,44.10-з Цчас; Я= (0,11ч-0,40) • Ю'^ 1/час.
5.46. При испытаниях 50 изделий по плану In, Б, to] в течение
I 000 час отказов не было. Необходимо найти верхние доверительные
границы интенсивности отказов с доверительной вероятностью ai=
==0,99 и 02=0^5.
Ответ: Яв=^0.92-10-* 1/час и Яв=-0,60-10"* Х/час.
5.47. По плану {п. Б, /о] было испытано 20 редукторов в
течение 1 500 час. За время испытаний отказов не было. Определить
нижнюю границу средней наработки до отказа с вероятностью щ—
=0,95, исходя из предположения о экспоненциальном законе
распределения отказов.
Ответ: Гн=^|10000 час.
5.48. При испытаниях п==60 двигателей по плану t'^. Б, d] до
11-го отказа, происшедшего на 40-м часу работы, зарегистрированы
следующие значения наработки отказавших экземпляров в часах:.
I; 2; 4; 8; 10; 22; 28; 29; 32; 40. Требуется оценить Я, Г и найти их
доверительные 21нтервалы с вероятностью 0,95.
Ответ: ?^-4,57.10-« Х/час; Г-218 час; Я.= (2,29н-7.8)Х
ХЮ-з \/цас; Г=а28-^456 час.
20--1086 305
5.49. По плану [п. Б, d\ было попытано м-30 изделий до Ь-го
отказа, наступившего через 50 час после начала испытаний.
Наработка остказавших изделий в часах составила: 7, 13; 26; 30; 36; 38
и 50. Требуется определить нижнюю доверительную границу Т с
вероятностью ai = 0,999 и его выборочную оценку.
Ответ: Т^=Ю час; Z=280 час.
5.50. По плану '[^, Б^ d] испытано 50 редукторов. После 10-го
отказа наработка отказавших экземпляров составила 1 000 час.
Десятый отказ произошел па 200 час с начала испытаний. Найти
доверительный интервал для интенсивности отказов с вероятностью а=
= 0,95.
Ответ: Х= (0,53ч-1,9) • 10~з \/нас.
5.51. За 500 час эксплуатации 15 генераторов произошло 7
отказов, отказавшие генераторы немедленно заменялись, время
отказов не регистрировалось. Оценить среднюю наработку до отказа
генераторов и найти его нижнюю границу с вероятностью ai=0,99.
Ответ: Г=1070 час; Тп=470 час,
5.52. Испытано 8 экземпляров цифровой вычислительной
машины по плану [п. В, to]. Испытания продолжались /о=100 час и при
этом зарегистрировано 8 отказов. Отказы машин мгновенно
устранялись. Найти доверительный интервал значений интенсивности
отказов с доверительной вероятностью для нижней границы ai=0,90
и для верхней а2=0,995; определить доверительную вероятность для
двустороннего интервала.
Ответ: Х= (0,58-^2,33) • 10-2 1/час; «=0,895.
5.53. В эксплуатации находилось 29 связных радиостанций. За
год круглосуточной эксплуатации произошло 249 отказов, которые
устранялись в короткое время. Оценить наработку до отказа (Т)
и найти ее нижнюю границу с вероятностью «1=0,95.
Ответ: Г= 1 000 час; Гп=900 час.
5.54. По плану [п. В, d] были испытаны 20 электродвигателей.
После 6-го запланированного отказа, наступившего через 180 час
после начала испытаний, испытания приостановлены. Требуется
оценить интенсивность отказов и найти ее верхнюю границу с
вероятностью 02=0,95.
Ответ: >!^1,39-Ю-з {{час; 7.в-=2,92-10-^ Цчас.
5.55. При осуществлении плана (п=50, ^=101) испытаний
электронных приборов 101-й отказ наступил через 696 час испытаний,
время наступления предыдущих отказов не регистрировалось.
Определить среднюю наработку до отказа и найти его нижнюю границу
с доверительной вероятностью ai=0,99, исходя из экспоненциального
закона распределения отказов.
Ответ: Г=348 час; Гп-=266 час.
5.56. Для осуществления испытаний по плану fn. Б, п]
необходимо ориентировочно установить количество объектов, которое нужно
подвергнуть испытаниям, чтобы с вероятностью 0,95 истинное
значение X отличалось от оценки не более чем на 507о-
Ответ: п=20.
5.57. Определить количество изделий, которые нужно испытать
по плану {п. Б, м], если нужно оценить X так, чтобы оценка не
превышала математическое ожидание более чем в 2,3 раза с
вероятностью а=0,99.
Ответ: п«13 шт.
306
5.58. Установить объем испытаний для плана {м. Б, п] так, чтобы
оце.чка средней наработки до отказа с вероятностью 0,975 не
отличалась от верхней доверительной границы более чем в два раза.
Ответ: n='10.
5.59. Найти объем испытаний с вероятностью ао=0,80 для пла-иа
[Пу В, to], если предполагаемая интенсивность отказов составляет
3-10-3 1/час. .Полученная оценка не должна превышать нижнюю
границу с вероятностью 0,95 более чем в 3 раза.
Ответ: п/о=1000 час.
5.60. Для осуществления испытаний для оценки среднего
времени безотказной работы по плану {п , Б, /о] определить объем
испытаний с вероятностью 0,90, 'при котором оценка не должна отли-
чаться от верхней границы с вероятностью 0,95 'более чем в два
раза, если предполагается, что Го^=^'1000.
Ответ: nto ^ 4800 час.
5.61. Для организации испытаний по плану [м, £>, 4\ нужно
найти d так, чтобы оценка Я не отличалась от нижней границы более
чем 1,5 раза с вероятностью 0,90.
Ответ: ^=15. _
5.62. Испытание для определения Т предполагается производить
по плаау '[п, Б, с1]. Р^ужно определить d так, чтобы оценка Т не
отличалась от математического ожидания с вероятностью а=0,95
более чем в два раза.
Ответ: d = S.
-5.63. При планировании испытаний типа [п, 5, ^о] с целью
оценки X нужно <: ::о==0,95 определить ориентировочный объем
испытаний nto, 'При котором с вероятностью а=0,90 оценка не будет
отличаться от нижней границы более чем на 40%, если ориситировоч^но
Хо='10-2 \1час.
Ответ: п/о=1400 час.
5.64. Рассчитать ориентировочно с вероятностью а=0,80, за
какое .время эксплуатации можно оценить интенсив-ность отказов 15
объектов' восстанавливаемой электронной аппаратуры, если
предположительно Яо=1-10-^ \1час. Точность оценки должна быть такова,
чтобы она с вероятностью 0,99 не отличалась от нижней границы
более чем в 3 раза.
Ответ: ^о=ЗбО час.
5.65. Для организации испытаний 20 двигателей внутреннего
сгорания ло плану {п. В, d\ необходимо оценить d так, чтобы оценка
X не превышала истинного значения с вероятностью 0=0,9*5 более
чем в два раза.
Ответ: d—S.
5.66. Для оценки средней наработки до отказа с ошибкой не
более 50% пр.и доверительной вероятности 0,99 определить
ориентировочное количество отказов, которое ттотребуется для испытания
«=50 восстанавливаемых изделий.
Ответ: cf=30.
5.67. По 'плану [п. Б, to] испытано гг=100 изделий в течение
времени /о = 100 час. При этом возникло 48 отказов. Оценить нижнюю
доверительную границу средней наработки до отказа с вероятностью
ai=0,95, используя формулы табл. 5.3 и формулу (5.13).
Ответ: Гн=158 час.
5.68. При испытаниях по плану {п. В, d] п=200 изделий 50-й
запланированный отказ .произоцгел через td= 100 час испытаний.
20* 307
Определить с вероятностью ai = 0,95 -нижнюю границу средней нара«
ботки до отказа по табл. 5.3 и формуле (оЛЗ).
Ответ: Тп^32Ъ час; Гр-360 час.
5.69. Испытано 6 экземпляров электронных усилителей, отказы
которых подчинены гамма-распределению. Время безотказной работы
усилителей в часах следующее: 215; 95; 360; 260; 370 и 500. Оценить
параметр in и %^
Ответ: ?.= 1,62• Ю'М/час; m=4,85.
5.70. При испытаниях 10 электродных ламп получены следующие
результаты: математическое ожидание времени безотказной работы
М(/) = 1000 час, дисперсия Х)(/) = 10^ час. Оценить параметры
распределения, исходя из -предположения о гамма-распределении
отказов.
Ответ: ^=1-Ш-^'1/час, ш=10.
5.71. ПрИ'Няв в условии задачи 5.70 D{t) = 10^ час, оценить ?^-
и т.
Ответ: Х=11 • 10~^ 1/час, т=1, т. е. распределение отказов
экспоненциальное, что согласуется с равенством стандартного
отклонения математическому ожида-нию.
5.72. Определить примерно необходимое количество k за^пасных
блоков на каждый находящийся в эксплуатации блок, с тем чтобы
обеспечить наработку в среднем по 1000 час, если интенсивность
отказов X составляет 4 • 10"^ Х/час.
Ответ: ^=3.
5.73. На испытания поставлено 8 экземпляров резервированной
аппаратуры с трехкратным ненагружен-ным резервом и идеально
надежным переключающими устройствами. Все устройства работали до
полного отказа, показав наработку в часах: 156; 184; 201; '252; 302;
366; 405 и 503. Наработка имеет гамма-распределение. Нужно
оценить параметр X и найти его верхнюю границу с доверительной
вероятностью а2=0,99.
Ответ: Я= 1,35-10-2 Х/час; Хп = 2,2-10-2 \1час.
5.74. Двадцать экземпляров однотипной резервированной
аппаратуры с гамма-распределением наработки до отказа при
испытаниях наработали в сумме 5100 час, В аппаратуре применено
однократное ненагруженное резервирование с практически безотказными
переключающими устройствами. Требуется найти с вероятностью
0,95 нижнюю доверительную границу средней наработки на отказ
основного компонента системы.
Ответ: Ги=100 час.
5.75. Десять экземпляров электронных преобразователей тока
многократно испытывались на наработку с восстановлением после
отказов. Количество испытаний гПг распределилось по экземплярам
следующим образом: 3, 1, 2, 4, 3, 1, 4, 3, 2, 2. Общая наработка
составила 2500 час. Оценить среднюю наработку на отказ и найти ее
доверительный интервал с вероятностью 0.90, исходя из
гамма-распределения Haj)a6oTKn до т-го отказа.
Ответ: Г=100, Гн=74 час, Гв = 144 час.
5.76. Четыре экземпляра цифровой вычислительной машины
испытывались до 10-го отказа каждого экземпляра и показали
наработку 210; 240; 250 и 300 час. Оценить пара-метр К, исходя из гам-
Tvi а-распределения наработки.
Ответ. Х=0,04 {/час.
308
5.77. В паспортных данных 5 поверочных установок, .на-правлеч-
^ых в ремонт, указаны следующие величины чисел отказов и
наработок за время предшествующей эксплуатации:
1-й экземпляр — 6 отказов с общей наработкой 323 час;
2-й экземпляр — 5 отказов с общей наработкой 441 час;
3-й экземпляр — 8 отказов с общей наработкой 948 час;
4-й экземпляр—2 отказа с общей наработкой 352 час;
5-й экзем'пляр — 4 отказа с общей наработкой 511 час.
Оценить интенсивность отказов и найти ее верхнюю гра-ницу
с вероятностью !а2=0,95, если предположить гамма-распределение
наработки до т-го отказа.
Ответ: Я.=9уЫ0-з Цчас; ?^в = 1,Э1 • 10-2 Ццас.
5.78. Определить примерное количество экземпляров аппаратуры,
необходимое для испытаний, чтобы оценить параметр К с
относительной ошибкой пе 'более 30% при доверительной вероятности а=
=0,8, если отказы этой аппаратуры имеют гамма-распределение
с известным 1параметром т=2.
Ответ: п=\5.
5.79. Определить, до какого числа отказов (т) .нужно
испытывать каждый из пяти экземпляров аппаратуры с постоянной инте:-1-
сивностью отказов, чтобы оценить X с относительной ошибкой не
более 30% "При доверительной вероятности <х=0,8.
Ответ: т = 6,
5.80. Найти объем (тп) испытаний восстанавливаемых устройств
с постоянной интенсивностью отказов, потребный для оценки % с
относительной ошибкой не более 257о с доверительной вероятностью
а=0,95.
Ответ: mn=100.
5.81. Известно, что 1= 1,03-10-^ Цчас, Хв = 1,96-Ю-з Цчас,
Ян==0,68« 10~з [/час. Оценить вероятность безотказной работы в
течение /-=20 час и найти доверительный интервал.
Ответ: Р(20) =0,979; Рн(20) =0,961; Рв(20) =0,986.
5.82. При испытаниях надежности партии изделий получена
оценка средней наработки до отказа 7'=120 час. Оценить по точным
и лриближеиным формулам P{t) и найти абсолютную и
относительную ошибку при приближенных расчетах для времени наработки
50, 30 и 20 час.
Ответ: См. табл. 5.16,
ТАБЛИЦА Г).16
Ответ к задаче 5.82
t
Р (t) (точное)
Р (t) (приближенное)
ЛЯ
АР, 0/^
5Э час
0,657
0,585
0,072
11
30 час
0,779
0,750
0,029
3.8
20 час
0,845
0,833
0,012
1.4
5.83. В результате испытаний 15 экземпляров аппаратуры по
плану {п. Б; п] получена суммарная наработка t^ =1200 час. Оценить
309
P{t) при ^=10 час и найти .нижнюю границу для вероятности а=
-0,99.
Ответ: />(10) =0,883; Р„(10)-0,8М.
5.84. В результате испыта1ний .по плану {п=50, 5, ^о=500]
получена суммарная наработка ^^=20000 час при отказе 5 изделий..
Найти доверительный интервал P{t) для ^=240 час, если а=0,90.
О т в ет: Р„=0,895; Яв = 0,976.
5.85. При испытаниях по плану Jn, 5, d] и Ю запланированных
отказах (f/=l0) лолучена суммарная наработка t^ =1890 ча(\ Оценить
P{t) при ^=60 нас и 'иацти верхнюю границу с вероятностью а=
-0,99.
Ответ: Р(60)-0,655; Рв'(60) ^^ 0,88.
5.86. В результате испытаний 30 изделий в течение 100 час не
отмечено ни одного отказа. Определить нижнюю доверительную
границу с вероятностью а=0,95 для P(t) за время f=90 час.
Ответ: Рн(90)-=0,91.
5.87. В ходе .испытаний по плану [п=20, Б, /6=100 час] отмечено
9 отказов. Оценить P(t) и найти нижнюю границу с вероятностью
а=0,95 для времени работы t=S час.
Ответ: Р(8) =0,964; Рн(в)-0,942.
5.88. В результате испыта<ний по плану {п, Б, d], где d=15,
суммарная наработка составила 52 000 час. Требуется оценить P{t) за
время f=100 час и найти доверительный интервал с 'а=0,90.
Ответ: P(il00) =0,973; Р„=956; Рв=0,991.
5.89. В ходе эксплуатации контрольно-измерительной
аппаратуры установлено ее среднее время между отказами (наработка на
отказ) 7'ср='120 час. Определять, в течение какого времени
аппаратура будет работать безотказно с вероятностью Р(/)=0,99.
Ответ: /=1,2 час.
5.90. Верхняя граница вероятности отказа аппаратуры за время
/=iIO час должна быть 0,02 с .вероятностью а=0,95. Найти верхнюю
границу интенсивности отказов аппаратуры.
Ответ: Яв=2- 10-^ 1/час.
5.91. Испытание надежности радиоламп с j'aM'Ma-pacnpeделением
отказов дало следующие результаты: т==1,5; Л=10~* 1/чсс, Оценить
вероятность безотказной работы радиоламп для времени /=
= 1000 «^ас.
Ответ: Pfl000)=0,95.
5.92. В результате испытаний аппаратуры с
гамма-распределением отказов получены следующие оценки параметра распределения:
дп=2; Л=10"^ \1час. Нужио оценить время, при котором
вероятность безотказной работы будет равна 0,95.
Ответ: /=4 • 10^ час.
5.93. Резервированная аппаратура с однократным ненагружен-
ным резервом имеет интенсивность отказов Л=2'10~^ \1час.
Определить вероятность отказов за /=500 час.
Ответ: Р(500) =0,9999, _
5.94. Интенсивность отказов Я,=5-10-* \1час, а требуемая
вероятность безотказной работы за 1000 час «не менее 0,98. Найти
кратность невосстанавливаемого ненагруженного резерва аппаратуры.
Ответа 1П—2.
5J5, Испытано на изксс 200 шт. шарикоподшипников
гироскопов и «случено 1=1240 час, S=180 час. Оценигь вероятность без-
310
Отказной работы подшип'Ников на протяжении 1000 час и
определить 'НИЖНЮЮ границу с доверительной вероятностью а=0,99.
Ответ: Р=0,9'1; Рн=0,86.
5.96. В результате испытаний 100 ламп накаливания получены
значения выборочной средней наработки до отказа Т^2000'час и
стандартного отклонения 5=400 час. Найти ннЖ'Нюю доверительную
границу вероятности безотказной работы для / = 800 час и а=0,999.
Ответ: Рн=0,995.
5.97. При входном контроле партии резисторов испытана
выборка и получены следующие результаты: выборочное среднее R=
= 5050 ом, стандартное отклонение 5 = 60 ом. Оценить долю
резисторов в партии, у которых «парамет.р выйдет за установлепные
допуска 5000±2%, что равносильно отказу.
Ответ: 1"Р=21%.
5.98. Измерительный прибор не имеет систематических ошпбос,
а случайные ошибки распределены нормально. После ряда
измерений 'лолучеиь) оценки измеряемой величины Л; ='10,57 и стандартного
отклонения а=2,05. Определить вероятность надежности измерений,
заключающейся в том, что абсолютное значение ошибки в
определении истинного значения измеряемой величины не превысит 20%
от X.
Ответ: Р = 68%.
5.99. Исполнительный орган системы работает надежно при
выходном сигнале 100+20 мв. В результате 80 измерений получены
оценки среднего значения сигнала_и стандартного отклонения: Т=
= 105 же; S=\10m6. Найти оценку Q и с доверительной вероятностью
а=0,99 верхнюю границу вероятности отказа исполнительного
органа за счет_входного сигнала.
Ответ: (?=0,074; .QB=0,r21.
5.100. В результате старения при годичном хранении среднее
значение выходной характеристики аппаратуры У составляет 85 мв.
Стандартное отклонение осталось неизменным и составило 5=6 мв.
Эти данные получены в результате проверки 16 экземпляров
аппаратуры. Найти оценку вероятности "безотказной работы аппаратуры
после годичного хранения и ее нижнюю границу с вероятностью
ai=0,95, если аппаратура считается исправной при выходной
характеристике У=75-^100жв.
Ответ: Р=0,946; Рн = 0,885.
5.101. Исходя из условия задачи 5.95, найти гарантийное время
безотказной работы (нижний толерантный предел)
шарикоподшипников с гарантийной вероятностью «а=0,90 и достоверностью расчета
Р=0,99.
Ответ: 910 час.
5.102. Исходя из условия задачи 5.96, найти гарантийное время
безотказной ра-боты ламп с гарантийной вероятностью Р=0,996 и
а=0,999.
Ответ: 550 час.
5.103. При-испытании на износ п=ЬО шт. редукторов получено
f=1500 час, 5=1100 час. Найти нижний толерантный предел
времени безотказной работы с вероятностью Р=0,95 при доверительной
вероятности а=0,90.
Ответ: 1270 час.
5.104. В результате переменных факторов выходная
характеристика системы подвержена флюктуации и имеет среднее значение
У=200 мв и стандартное отклонение 5=15 мв. Эти данные полу-
311
ЧёнЫ по 100 измерениям. Определить тблерантиЫе пределы
изменения выходной характеристики при Я —0,98 и а=0,95.
Ответ: ¥^=160 мв\ ¥^ = 240 мв.
5.105. Из партии сухих электробатарей, находившихся «на
хранении, взята выборка 60 шт. и т1роверено напряжение. Установлено,
что среднее выборочное м=24,22 в и стандартное отклонение 0,31 в.
Найти с достоверностью а=0,995, в каком диапазоне будет
"находиться напряжение у 95% изделий.
Ответ: Кн=23,4 в; Wd='25 в.
5.106. Проведено л=500 испытаний механизмов
катапультирования и зарегистрировано d=2 отказа. Определить верхнюю
доверительную границу вероятности отказа .Mexaimswa катапультирования
€ доверительной вероятностью «2 ==0,975.
Ответ: Qb = 0,014.
5.107. При испытании на ударную нагрузку п=65 блоков элек-
тронной аппаратуры отмечено 5 отказов. Найти двусторонний
доверительный интервал вероятности безотказной работы с а=0,95.
Ответ: Р=0,830-0,975.
5.108. Испытано 4 экземпляра поверочной аппаратуры
циклического характера работы:
1-й экземпляр в 118 циклах имел 6 отказов;
2-й экземпляр в 87 циклах имел 5 отказов;
3-й экземпляр в 121 циллах имел 4 отказа;
4-й экземпляр в 59 циклах имел 1 отказ.
Определить оценку вероятности безотказной работы аппаратуры
в одном цикле и нижнюю границу с доверительной вероятностью
ai = 0,99. '_
Ответ: Ро=0,958; Рн^0,928.
5.109. При испытании 12 подъемных -механизмов по 50 циклов
работы каждого не зарегистрировано ни одного отказа. Оценить
ь доверительных гра-ницах с вероятностью «=0,95 вероятность
безотказной работы подъемного механизма в одном цикле.
О тает: Рв=1; /^н=0,995.
5.110. Предполагается, что вероятность отказа затворов около
0,01, а ошибка при ее оценке € ие должна превышать 0,001 с
вероятностью 0,95. Найти примерный требуемый объем .испытаний
затворов.
Ответ: /г=38000.
5.111. Предельно допустимая ошибка в оценке вероятности
отказа составляет 0,01 с вероятностью а=0,96 и предполагаемая
вероятность отказа равна 0,01. Определить примерный объем испытаний.
Ответ: п=380.
5.112. Из партии изделий объемом в 7V=40 экземпляров
извлечена выборка, объем которой равен 10 экземпляров. При
испытаниях выборки с целью контроля надежности, в интересах заказчика,
обнаружено 2 дефектных изделия. Следует решить, можно ли
принять партию с риском а«0;12, если при числе дефектных изделий
в партии Di^S партия должна быть забракована.
Ответ: Партия бракуется.
5.113. В эксплуатации находится 20 невосстанавливаемых
объектов и 30 таких же объектов хранится на складе. К заданному сроку
эксплуатации 1 объект вышел из строя. Допустимая доля дефектных
изделий всей партии за данное время эксплуатации составляет 6%.
Определить с риском 0,20 возможность дальнейшей эксплуатации
изделий без профилактических мер.
312
Ответ: Профилактика должна быть произведена.
5.114. ЗaвoдOiM изготовлено 45 специальных автомашин.
Допустимое число неисправных машин в партии £>о = 4 шт. Найти
приемочное число Ао, если испытаниям будет подвергнуто 15 машин.
Решение должно быть принято с риском, не превышающим 0,10.
Ответ: Ло=2; а'=0,098.
5.115. Заводом изготовлена серия автоматов в количестве 120 шт.
Для выходного контроля .выделено 20 автоматов. Для признания
серии надежной в ней должно быть не более 5% дефектных
изделий. Определить .приемочное число с риском а ^0,05.
Ответ: Ло-^2; «t'=0,06.
5.116. На складе хранится 200 изделий однократного действия.
При испытании 50 изделий, взятых из общего числа случайным
образом, зарегистрировано 2 отказа. Требуется найти с риском 0,20
соответствие требованиям к надежности всей партии изделий, если
допустимая вероятность безотказной работы должна быть не менее
0,95.
Ответ: Партия должна быть забракована, так как At = L
5.117. Для контроля надежности в интересах заказчика взята
выборка п=30 из Л^ = 300 устройств однократного действия.
Контролируемая партия устройств допускает максимальную вероятность
отказов менее 0,12. Определить браковочное число с риском Р = ОЛС.
Ответ: Ai=2.
5.118. Для выборки п=\0 изделий из партии yV^lOO шт. уст'^.-
новлено приемочное число Ао=1. Найти риск поставщика лри tyo —
=0,05 с использованием формул гипергеометрического и
/-биномиального распределений.
Ответ: При гипертеометрическом распределении а'=0,077; при
/-биномиальном а'=0,€81.
5.119. Из партии объемом Л^=1000 изделий взята выборка п=
= 100 экземпляров. Установлены -приемочное и браковочное числа:
Ао = Зу Л 1 = 4. Определить риск поставщика и риск заказчика, если
^0=0,02, а ^1=0,2, с использованием формул гипергеометрического
и /-биномиального распределения.
Ответ: Для гипергеометрического распределения а'=0,131;
Р'=0,030; для /-биномиального распределения а'=0,133, Р'=0,035.
5.120. Используя условия задачи 5.119, найти риск поставщика
и риск заказчика, исходя из биномиального распределения.
Ответ: ■а'=0,141; р'=0,037.
5.121. Используя условия задачи 5.118, пользуясь биномиальной
аппроксимацией, определить риск поставщика. Сравните с ответом
задачи 5.11'-8.
Ответ: а'=0,086.
5.122. По условию задачи 5.115 вычислить приемочное число и
риск поставщика; исходя из би<номиальпой аппроксимации, сравнив
результат с ответом задачи 5.115.
О т в е т: Ло = 2; а'=0,075.
5.123. Для контроля надежности в интересах заказчика
проведено 50 испытаний восстанавливаемой электронной аппаратуры,
вероятность отказов которой должна, быть меньше 0,10. При
испытаниях зарегистрировано 2 отказа. Найти риск заказчика.
Ответ: р'=0,112.
5.124. Вычислить объемы выборок биномиального плана контрп
ля надежности в интересах заказчика при браковочном числе Ai=-\
при рисках р^0,05; 0,10; 0,20; и qi = 0,05; О.Ю-
313
Ответ: Сь/
^1 =0,05
^, = 0,10
. табл. 5.17.
Ответ к
м==50
р' = 0,077
/2 = 30
Р' = 0,042
задаче 5.124
/2 = 40
р' = 0,128
л = 20
Р'=122
ТАБЛИЦА 5.17
П = 30
р' = 0,215
/2=15
р' = 0,206
5.125. Рассчитать браковочные числа при испытании выборки
объемом 50 изделий с целью контроля в интересах заказчика, если
установить qi равным 0,04; 0,08 и 0,15, а ^^0,10.
Ответ: См. табл. 5.18.
ТАБЛИЦА 5.18
Qi
Аг
Р'
Ответ к задаче 5.125
0,04
1
0,130
0,08
2
0,083
0,15
5
0,112
5.126. Для выходного контроля надежности заводской проду1^ции
взята .выборка /г^ЮО экз. невосстанавливаемых устройств. Изделия
считаются надежными при ^о^0,02. Найти приемочное число с
риском изготовителя а ^0,10 и фактический риск, исходя из
распределения вероятностей по закону Пуассона. Сравнить результат с
условием и ответом задачи 5.119.
Ответ: Ло=3; а'=0,143.
5.127. Выборка объемом n^^lOO устройств 'подлежит испытанию
в интересах заказчика. Браковочное число принято i4i=4, а <7i=0,08.
Определить риск р', исходя из распределения. ^Пуассона, и сравнить
результат с ответом задачи 5.119.
Ответ: -Р'-0,042.
5.128. При контроле надежности с применением распределения
Пуассона установлено: приемочное число Ло=1, риск поставщика
а=€,05 .и З'Начения вероятности ^©=0,01; 0,02; 0,03 и 0,05. Вычислить
объемы испытаний для соответствующих значений до-
Ответ: См. табл. 5.19.
ТАБЛИЦА 5.19
Яо
п
Ответ к задаче
0,01
35
0,02
18
5.128
0,03
12
0,05
7
314
S.i29. Для Выходного контроля заказчиком продукции заводе
установлен риск •р^0,10, вероятность отказа ^i=0,05. Рассчитать
потребные объе.мы выборок 'при браковочных числах от 1 до 10.
Ответ: См. табл. 5.20.
ТАБЛИЦА 5.20
А,
п
1
60
2
95
3
126
Ответ%|^задаче 5.129
4
155
5
183
6
210
7
223
8
263
9
289
10
301
5.130. При .испытании устройств многократного действия в
течение 10000 циклов, требуемая вероятность безотказной работы
которых составляет Ро=0,995, решено установить приемочные числа
Л0=50 или Ло = 60. Определить риск изготовителя в том и другом
случае.
Ответ: При Ло=50, «'==0,472; при Ло=60, а'=0,056.
5.131. Вероятность отказов стартерного механизма дизеля
должна быть менее 0,08. Найти браковочное число А\ с риском
заказчика р = 0,10 при 1000 заттусков двигателя.
Ответ: ^i=70.
5.132. Система зажигания двигателя внутреннего сгорания испы-
тывалась в течение 2000 «циклов, »при этом отмечено 40 отказов.
Определить, можно ли принять да-нную систему, если число отказов
считать приемочйым числом при риске р=0,05 и преде.льной
вероятности отказа ^ = 0,02.
Ответ: 'р'=0,532. Следовательно, -партия не может быть
принята.
5.133. Построить /-биномиальный график последовательного
контроля, исходя из параметров Ы^ОШ\ ^о=0,03; ^i=0,08; «==0,10;
Р=^0,05. Принять решение при положениях рабочей точки d=4\ ^т=
=40; d=^?>\ -m=60; ^=0; m=58. Проверить решение сравнением
отношения правдоподобия Im с оценочными «нормативами Л и jB.
Ответ: Характеристические точки графика:
а) ^=0, т=50;
б) с?=6, т=98;
в) d=\\\, лг=200.
Положение рабочей точки с/=4, т=40 соответствует браковке
/='13>Л=9,5. Положение рабочей точки Л=3, т=б0 соответствует
правилу продолжения испытаний В=0,056</ш=0,79<Л=9,5.
Положение рабочей точки d=^, m='S2 соответствует приемке, так как
то=50-
5.134. Для партии объемом <JV=100 изделий, когда риск
поставщика равен риску заказчика и составляет 'а=1р=ОД0, а число
дефектных изделий в партии при «улевых гипотезах (Do) составляет
6, 4, 2 шт., число дефектных изделий при альтернативных
гипотезах одинаково и составляет Di=ilO шт. Требуется .рассчитать
таблицы /-биномиального последовательного плана контроля доли
дефектных изделий.
315
Ответ: Civ^.. табл. 5.2L
Ответ к задаче 5J34
ТАБЛИЦА 5.:21
Номер
плана
I
II
HI
Do
6
4
2
Приемочные и
браковочные числа испытаний
/?2пр не менее
/?2бр не более
Wnp не менее
г/г^р не более
/;7пр не менее
wzgp не более
0
42
28
26
1
49
41
38
2
56
50
53
18
(1
3
64
61
18
—
4
70
11
72
75
5
78
32
—
—
6
87
54
—
.
5.135. Определить константы /zi, /гг и S пЛана периодического
последовательного контроля надежности ттолупроводниковьтх
приборов при ИХ" серийном производстве, если за заданное время
испытаний ^о=<1 • 10-S qi = o- 10-*; а=р=0,05.
Ответ: /zi=—1,83; /22= 1,83; S=2,5-I0-^
5.136. Известны ^0=2-10-^ (/1-12.10-^, а=0,02, р=:0,01.
Вычислить константы плана контроля неограниченно большой партии
изделий.
Ответ: /zi^—2,58; /22=3,46; 5-0,56.10"^
5.137. Используя условия примера 5,53, определить константы
плана, применяя закон Пуассона; составить таблицу -плана li
сравнить ее с табл. 5.10 примера 5.53,
Ответ: /zi = —1,10; fi2 = 0,99; 5=^0,044 и см. табл, 5.22.
ТАБЛИЦА 5.22
Ответ к задаче 5.137
т
d
0
25
1
48
2
71
23
3
94
46
4
116
69
5
138
92
6
164
114
7
185
136
8
207
158
9
230
181
10
253
204
5.138. Рассчитать константы биномиальных планов
'последовательного контроля вероятнос^ти отказов при а=р=0,10 и данных, тю-
мещенных в табл. 5.23.
ТАБЛИЦА 5.23
Исходные данные к задаче 5.138
Номер плана
^1
I
0.06
0,10
II
0,05
0,11
III
0,04
0,12
[V
0,03
0.13
V
0,02
0,14
316
Ответ: См. табл. 5.24.
Ответ к задаче 5.138
tABлЙцA 5.24
Номер плана
h,
S
I
—4
4
0-,071
II
-2.6
2.6
0,069
III
-1.9
1,9
0,073
IV
—1,4
1,4
0.067
V
—1,06
1.06
0.063
5.139. Для контроля доли дефектных изделий в партии объемом
yV=1000 изделий построить таблицы ги'пергеометрического и
биномиального последовательных планов при а = р = 0,10; i)i = 10 (^i = 0,10)
и Do=5; 4 и 2 ((/о = 0.05; 0,04 и 0,02). Сравнить эти «планы с
эквивалентными /-биномиальными (см. пример 5.52 и задачу 5.134).
Ответ: См. табл. 5.25.
ТАБЛИЦ \ 5.25
Ответ к задаче 5.139
Номер
плана
I
II
III
Do
(<7о)
5
(0,05)
4
(0.04)
2
(0.02)
План
Гилергео-
метрмческий
Бикомиаль-
к.ып
Гиьергео-
метрический
Биномиальный
Гипергео-
метрнческий
Биномиальный
Приемочные
и брлковочные
числа
испытаний
/?7пр не
менее
/77бр не
менее
/Лцр не
менее
/??бр не
более
/;?пр не
менее
/7?бр не
более
Wnp ье
менее
/Ибр не
более
/7?пр не
менее
/Лбр не
более
/Лпр не
менее
1Щр не
более
d
т.
0
33
46
29
33
22
26
1
42
61
39
48
37
46
2
51
77
50
62
53
19
65
14
3
60
8
92
60
20
78
И
4
69
27
107
16
71
42
92
26
5
78
50
122
31
—
—
317
S.l40. Определить плай «последовательного контроля
интенсивности отказов невосстанавливаемых устройств в табличной и
графической формах до ^=8, если Ло==0,5ч10-2 \1час, Xi = 3-10"'^ \1час
и а=р=0,10.
Ответ: 1) Та-блица плана (см. табл. 5.26).
2) Характеристические точки графика -плана:
а) rf^=l,22,
б) rf^ = 0,
и
0;
: —88;
в) с?^==0, fv-88.
Ответ к задаче 5Л40
ТАБЛИЦА 5.26
dm
ts^^ час не менее
^1бр» ^^^ "^ более
0
84
~
1.
160
—
2
232
56
3
304
128
\
376
200
5
448
272
6
520
344
7
592
416
8
664
488
5.141. Определить план последовательного контроля и.нтенсивно-
сти отказов, изменив в условии задачи 5.140 величины риска
поставщика и заказчика, приняв их равными 0,05.
Ответ: I) Таблица пла'на (см. табл. 5.!27).
2) Характеристические точки "плана:
а) d^^ 1,63, ^j; = 0;
б) с?^ = 0, ^j,=/z2 = —118;
в) rf^ = 0, ^j, = fi, = 118.
Ответ к задаче 5.141
ТАБЛИЦА 5.27
dm
^vjjD» ^^ не менее
^гбр' *^^^ "^ более
0
118
—
1
190
~
2
262
26
3
334
98
4
406
170
5
478
242
6
550
314
7
622
386
8
794
458
5.142. На испытания одновременно (поставлено yV=-ilOO изделий,
восстановление которых производится практически мгновенно.
Требуется осуществить контроль ийтенсивиости отказов при условии,
что партия испытываемых изделий может быть принята, если >.о =
— 3-10"^ 1/час, и должна быть забракована при Xi^9-10~^ \1час.
Риск поставщика и риск заказчика составляет a=ip==0,03. План
контроля нужно 'Представить в табличной и графической формах в виде
зависимостей времени испытаний от числа отказов при
максимальном количестве отказов cf='20.
318
Ответ: 1) Таблица плана (см. табл. 5.28)\
2) Характеристические точки плана:
а) dm= 1,92, t*=0;
б) c?m = 0, /* = —345;
в) drn = 0, ^* = 345.
Ответ к задаче 5.142
ТАБЛИЦА 5.28
d
i* „, час не ме-
пР
нее
/* час не более
d
т
/* час не
менее
L_, час не более
бР
0
345
—
1
525
—
И
2 325
1635
2
705
15
12
2 505
1 815
3
885
195
13
2 685
1995
4
1 0G9
375
14
2865
2175
5
1245
655
15
3045
2355
6
1425
735
16
3 225
2 535
7
1605
915
17
3 405
2 715
8
1785
1095
18
3 585
2 895
9
1965
1275
19
3 765
3 075
10
2 145
1455
20
3 945
3255
5.143. Представителем заказчика проверяется в течение ^* =
=^10 час функционирование каждого экземпляра выпускаемой
заводом аппаратуры. Возникающие при этом отказы устраняются
практически мгновенно путем замены функциональных блоков. Известно,
что отказы исследуемой аппаратуры подчиняются экспоненциальному
закону. 'По техническим условиям при средней наработке до отказа
Го = 200 час надежность аппаратуры считается хорошей и не
требуется никаких изменений в технологии производства; при ^1 =
='100 час надежность аппаратуры считается плохой и технология ее
производства должна быть улучшена. Риск заказчика установлен
в размере р = 0,05, а риск поставщика а = 0,20. Требуется
использовать испытания па функционирование для контроля надежности по
наработке. План представить в табличной и графической формах до
Указание к решению задачи. В данном случае при
наработке /^ =t^'N время испытаний ^* является постоянным, а
число испытываемых объектов Л^—переменным. Поэтому таблица и
график плана должны отражать зависимость Л^ от d. Все остальные
действия аналогичны примеру 5.57.
Ответ: 1) Таблица плана (см. табл. 5.29).
Ответ к задаче 5.143
Т АБЛ ИЦА 5.29
d^
А^пр не менее
Л^бР не более
0
55
—
1
69
—
2
83
—
3
97
11
4
111
25
5
125
39;
6
139
53
7
153
^67
8
167
81
319
2) Характеристические lo-iKn:
а) rfm-2,21, Л/=0;
б) rf^-0, Л/=—31;
в) dm-=0, Л/=55.
5.144. В двух орга11пзащ1ях находятся в эксплуатации
однотипные изделия, не подлежащие восстановлению после отказа. В
первой организации из 56 изделий за ШО час эксплуатации отказало
3 изделия с общей наработкой 120 час. Во второй организации из
74 изделий за 140 час эксплуатации отказало 7 изделий с общей
наработкой 508 час. Надежность изделий считается хорошей, если
средняя наработка до отказа Го = 3000 час, и плохой, если средняя
наработка Ti=2000 час. Составить план последовательного контроля
надежности эксплуатируемых устройств для а=0,03 и Р=0,06 и
принять решение о целесообразности дальнейшей эксплуатации
рассматриваемых устройств.
Ответ. Л^ = 16650; h^=. — 20 600; 5 = 243С; {^ ^ 15588.
Решение не может быть принято, так как при d=10
3700<15588<40300.
5.145. При приемке заказчиком продукции завода каждое
изделие проверяется на функционирование и соответствие параметроо
установленным нормам в течение t*~2 час. Изделия поспе отказ:i
не восстанавливаются. Составить таблицу последовательного плана
контроля надежности по наработке до 10-го отказа, если Яо—0,002;
>11=0,005; а=0,10; р=0,05, и принять решения в трех случаях:
1. Испытано 1000 устройств, из них отказало при (Проверке ич
футпсционирование 4 экземпляра с общей наработкой 5 час.
2. Испытано 500 устройств, из них ни одно не отказало.
3. Испытано 250 устройств, из которых 5 отказало с общей па-
работкой 6 час.
Ответ: Таблица плана (см. табл. 5.30).
ТАБЛИЦА 5.30
Ответ к задаче 5,145
d
т
<цр» час не
менее
/gp, час не
более
0
91)5
-
1
1 270
—
2
1575
—
3
1 880
165
4
2 185
470
5
2 490
775
6
2 795
I 080
7
3 то
1 385
8
3405
*1б90
9
3 700
1995
10
4 015
2 30
Для рабочей точки N = 1000, d—4 решение не может быть
принято, так как
775<5Н-996-2<2490.
Для рабочей точки Л'=500, d—i) принимается .решение о
соответствии надежности требованиям, так как
500 • 2>965.
Для рабочей точки /V=250, rf=5 принимается решение о
браковке, так как
6+245.2<775.
320
5.146. Вычислить константы плана последовательного контроля
средней наработки до первого отказа устройств с нормально
распределенными отказами при условии: 7о = 1000 час, 71 = 750 час, а—
= 100 час, а='Р=0,03.
Ответ: /2i = 139; /Z2=139; s^S7S.
5.147. Требуемое значение средней .наработки до первого отказ!
партии подшипников должно составлять не .менее 25 000 час при
дисперсии, равной 1 • 10^ час. Если оно окажется равным 20 000 час
и менее при той же дисперсии, то партия должна быть забракована.
Определить константы плана контроля с риском -поставщика а==0,10
и риском заказчика р=0,20.
Ответ. /21=302; Л^^—416; 5=22500.
5.148. Испытания изделия закончены на отказе. Общая
наработка 798 час. Количество отказов я =28. Известно, что закон
распределения отказов зкспонентгтальный. Определить доверительные
границы средней наработки до отказа.
Ответ: 21,9 час<Т<37,3 час.
5.149. Испытания изделия закончились спустя некоторое время
после отказа. Общая наработка 815 час. Количество отказов п=28.
За-кон распределения отказов экопоненциальпый. Требуется
определить доверительные границы средней ■наработки до отказа.
Ответ: 22,4 час<Т<37,5 час.
5.150. На испытаниях не было отказов образцов. Общая «ара-
ботка 4000 час. Закон распределения отказов изделий данного типа
экспоненциальный. Определить доверительные границы средней
«наработки до отказа.
Ответ: Г>1740 час.
5.151. При испытаниях общая наработка изделия составляет
12160 час. Количество отказов п=23. Закон распределения отказов—
усеченный нормальный. Требуек^я определить доверительные
границы средней наработки до отказа Т.
О т в е т: 477 час<Т<Б8\ час.
5.152. Используя данные задачи 5.5, определить доверительные
границы средней наработки до отказа.
Ответ: 159,4 чсс<Г<350,8 час.
5.153. Используя данные задачи 5.151, найти доверительные
границы средней наработки до отказа изделия, считая закон
распределения 'Неизвестным.
Ответ: 432 час<Т<626 час.
5.154. Используя данные задачи 5.149, определить доверительные
границы для интенсивности отказов.
Ответ: 2,67-10-2 I/час<>'к<4А7• 10~^ i/час.
5.155. Используя данные задачи 5.150, определить
доверительную границу для интенсивности отказов.
Ответ: Я<5,74 • IQ-^ \/час,
5Л56. Используя данные задачи 5.151, определить иптепсивност.ч
отказов для времен 100 и 500 час.
Ответ: >i(100)-2,4 • 10-« Х/час, Л(500)-5,4-10"з \/час.
5.157, Используя данные задачи 5.5, определить интенсивностч
отказов для времен 100 и 300 час.
Ответ: Я(100) =6,0-10-^ Цчас, Я(ЗОО) =3,3-10-з {/час.
5.158. Используя данные задачи 5.149, определить доверительные
границы вероятности безотказной работы при временах работы 2,
10 и 15 час.
21—1086 321
От«ет: 0,915<Р(2)<0.948; 0,€25<Я('Ш)<0,763; 0,549</^(15)<
<0,670.
5.159. Используя данные задачи 5.160, определить нижнюю
доверительную границу вероятности безотказ-ной работы за время
работы 100 час.
Ответ: Р(100) =0,945.
5.160. Используя данные задачи 5J51, определить доверительные
границы вероятности безотказной работы за время работы 100, 200
и 300 час.
Ответ: 0,999>Р(100) >0.974; 0,999>Р(200) >0,924; 0,991 >
>Р(300)>0,821.
5.161. Используя данные задачи 5.5, определить доверительные
границы вероятности безотказной работы за время работы 50 и
300 час.
Ответ: 0,970>Р(50) >0,732; 0,352>Р(300) >0,209.
5.162. В результате обработки данных испытаатия изделий
получены следующие значения времен безотказной работы в часах: 2;
3; 3; 5; 6; 7; 8; 8; 9; 9; 13; 15; 16; 17; 18; 20; 21; 25; 28; 35; 37;
53; 56; 69; 77; 86; 98; 120. Требуется определить доверительные
границы вероятности безотказной работы изделия данного типа за
время работы 5 и 20 час^ считая закон распределения неизвестным.
Ответ: 0,7<Р(50) <0,95; 0,27<Р('20) <0,6.
5.163. На испытаниях изделие проработало без отказов по Ъчас
более 25 раз. Определить нижнюю доверитель-ную границу
вероятности безотказной работы в течение 5 час работы. Закон
распределения отказов неизвестен.
Ответ: Р(5)>0,832.
5.164. В процессе испытаний пропзведено 14 замеров времен
восстановления изделия, значения которых в минутах равны: 22; 31; 35;
50; 67; 74; 80; 84; 91; 93; 138; 152; 166; 171. Известно, что они
подчиняются экспоненциальному закону распределения. Требуется
определить доверительные границы среднего времени восстановления.
Ответ: 62 мин<Хср<\?>2 мин,
5.165. Используя данные задачи 5.8, найти доверительные
границы среднего времени восстановления.
Ответ: И -^ии<Тср<34 мин,
5.166. В тактико-техническом задавши дано значение средней
наработки до отказа Г=20 час. На испытаниях получено 25 отказов
(tt=25) при суммарной наработке изделия /j = I000 час. Испытания
закончились спустя некоторое время после отказа. Известно, что
отказы подчинены экспоненциальному закону распределения. Требуется
определить, удовлетворяет ли 1предъявлен1ному требованию среднее
время безотказ'ной работы.
Ответ: Испытанное изделие предъявленному требованию
удовлетворяет.
5.167. В технических условиях задано Г==500 час. По
результатам испытаний получено: средняя наработка до первого отказа Г* =
=727 час, 0т = 146 час и число отказов п=22. Известно, что отказы
подчинены нормальному закону распределения. Установить
удовлетворяет ли предъявленному требованию средняя наработка до
первого отказа.
О т в е т: Испытанное изделие предъявленным требованиям
удовлетворяет.
5.168. В ТТЗ задано Р(2)=0,92. На испытаниях получено: /v =
= 800 час, /г=20. Испытания закончились на отказе. Имеет место
322
экспоненциальный закон. Требуется определить, удовлетворяет ли
предъявленному требованию вероятность безотказ-ной работы
изделия?
О т в е т: Ислытанное изделие предъявленному требоБЗНшо
удовлетворяет: Р(2)-=0,935>0,92.
5.169. В ТТЗ задано Р(100)=0,95. На испытаниях получено:
f=529 час\ а=145 час\ /г=23. Имеет место нормальный закон.
Установить удовлетворяет ли предъявленному требованию верояг-
ность безотказ'ной работы изделия?
Ответ: Испытанное изделие 'предъявленному требованию
удовлетворяет: Р(100)=0,972>0,950.
5.170. В результате наблюдения за эксплуатацией 5 экземпляров
оаиопшной аппаратуры было зарегистрировано 11 отказов за время
суммарной наработки 6475 час. Требуется определить доверительный
интервал средней наработки на отказ с доверительной вероятностью
l-~tt=0,9.
Ответ: 382</ср<Ю53 час.
5.171. В ходе эксплуатации 25 образцов однотипной аппаратуры
были найдены значения средней наработки на отказ для каждого
образца. Затем определено значение средней наработки на отказ для
всей группы, равное 48 час. 'При этом среднее квадратическое
отклонение равно 7,35 час. Требуется определить доверительный
интервал, .в котором с вероятностью 1—«=0,9 находится средняя
наработка на отказ аппаратуры данного типа.
Ответ: 45,49<f<50,51 час.
2V
ЛИТЕРАТУРА
1. Лстафьев А. В, Окружающая среда и надежность
радиотехнической аппаратуры. Изд-во «Энергия», 1965.
2. Вентиель Е. С, Теория вероятностей. Физматгиз, 1968.
3. Г н е д е н к о Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д.
Математические методы в теории надежности. М. Изд-во «Наука», 1965.
4. Г л у 3 м а и Г. Л., П а д е р н о И. П. Надежность установок и
систем управления. Изд-во «Машиностроение», 1966.
5. Д р у ж и н и н Г. В. Надежность систем автоматики. Изд-во
«Энергия», 1967.
6. Кузнецов В. А. Основные вопросы надежности
радиоэлектронной аппаратуры. Изд-во «Энергия», 1965.
7. Маликов И. М., П о л о в к о А. М. Количественные
характеристики надежности. Изд-во ЛДНТП, 1968.
8. М а л и к о в И. М., П о л о в к о А. М., Романов Н. А.,
Ч у к р е е в П. А. Основы теории и расчета надежности. Судпромгиз,
1960.
9. Маликов М. М. Надежность судовой электронной
аппаратуры и систем автоматического управления. Изд-во «Судостроение»,
1967.
iO. М а л и к о в И. М., За й д е н б е р г М. Г., П а н т е л е е в П. М.
Организация работ по расчетам надежности. Изд-во ЛДНТП, 1966.
П. Маликов И. М, Надежность элементов электронной
аппаратуры. Изд. ЛЭТИ, 1967.
12. По л ОБ ко А. М. Основы теории надежности. Изд-во
«Наука», 1964.
13. С отек ОБ Б. С. Основы теории и расчета надежности
элементов и устройств автоматики и вычислителыгой техники. Изд-ьо
«Высшая школа», 1970.
14. Рябинин И. А. Основы теории и расчета надежности
судовых электроэнергетических систем. Изд-во «Судостроение», 1967.
15. Широков А. М. Основы надежности и эксплуатации
электронной аппаратуры. Изд-во «Наука и техника», Минск, 1965.
16. Шй тонок Н. А., Репкин В. Ф., Барвинский Л. Л.
Основы теории надежности и эксплуатации радиоэлектронной
техники. Изд-во «Советское радио», 1964.
17. Шор Я- Б. Статистические методы анализа и контроля
качества и надежности. Изд-во «Советское радио», 1962.
18. Ш о р Я. Б., Кузьмин Ф. И. Таблицы для анализа и кон-
троля надежности. Изд-во «Советское радио», 1968,
19. Я н к о Я. Математико-статистические таблицы. Пер. с чешек.
Госстатиздат, 1964.
20. Я н к о е., Э м д е Ф. Таблицы функций с формулами и
кривыми. Гостехиздат, 1948.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
НОМОГРАММА ДЛЯ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ
W^ 2500
\б0,65
уг.вд
^77^68
\6U67
\8%37
_\87,вГ
^ 90,^8
96,12
96,75
97,53
98^02
96,^1
98^61
99^005
99,10
99,50
99,67
99,75
93,80
99,83
99,68
99,90
99,86
99,99
99,999
Рис. П. 1.1. Номограмма, определяющая зависимость вероятности и
среднего времени исправной р^^боты от сложности системы и
величины интенсивности отказов элементов.
327
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ИНТЕНСИВНОСТИ ОТКАЗОВ И УСЛОВНЫЕ ДОЛГОВЕЧНОСТИ
ИЗДЕЛИЙ [12, 9]
(по данным седьмого, восьмого и девятого симпозиумов США)
ТАБЛИЦА П.2.1
Интенсивность отказов
Изделия
Автопилоты
Аккумуляторы
Акселерометры
Акселерометры тензометрические
Амортизаторы кольцевые
Амперметры
Антенны
Антенные переключатели
Антенны следящие
Арматура осветительная
Батареи:
— заряжаемые
— одноразовые (сухие)
— кислотно-свинцовые
Вентиляторы вытяжные
Вибраторы:
— разные
— несинхронные
•— синхронные
Воздуходувки
M-f\JJln\jDKJJJj:il.
— гибкие
— жесткие
Выводы:
— высокочастотные
— электрические
Выключатели:
— быстродействующие
— автоматические
— рычажные типа «Тумблер*
— автоматические тепловые
Выпрямители:
— разные
— селеновые
Интенсивность отказов X.
максимальная
30,11
19,3
7.5
21.4
0.057
—
3.25
5,38
10.04
0,71
14,29
300
12,1
9.0
' 1.6
1.84
0,8
3,57
4,54
1,92
4.22
0,08
2,1
0,4
0,123
0,50
0.75
Ь6
10-« 1/4GC
средняя
18.38
7.2
2.8
8.0
0.037
0,29
0,36
4,0
5,7
0,1
1.40
30
1.1
0.295
0,875
1,15
0,5
2.4
2,64
1,1
2,63
0,045
0.4
0.1375
0,06
0,30
0.6
0,76
минимальная
7.35
0.35
0.35
1,00
0.002
•—
0.2
3,23
1.36
0,04
0,50
10
0,5
0,21
0,2
0.92
0,4
0,342
1,133
0.59
1,131
0,02
0,09
0,045
0.015
0.25
0,20
0,26
328
Продолмсение табл. П.2Л
Изделия
Генераторы:
— звуковой частоты
— опорные
— постоянного тока
—переменного тока
Гироскопы:
— высокоскоростР1ые
— компасные
— особо точные (эталонные)
Гнезда (на один контакт)
Головки записи (магнитные)
Двигатели:
— асинхронные
— вентиляторов
— гидравлические
— синхронные
— шаговые
Держатели плавких предохранителей
Детекторы кристаллические
Диоды:
— германиевые
— кремниевые
— кремниевые карбидные
— селеновые
— мощные
Дифференциалы
Дроссели:
— анодные '
— высокой частоты
■— низкой частоты
— с насыщением
— зарядные
Зажимы
Изоляторы
Искатели линейные проверочные
Кабели
Клапаны:
— поплавковые
— сервомеханизлтов
Катуилки:
— дроссельные
— обмоток моторов
— высокой частоты
— настроечные
— индуктивности
Интенсивность отказов >.
макси•
мяльная
0,56
2,5
6,27
2,94
11.45
—
25
0.02
0.26
11,2
5,5
7,15
6.25
0,71
0,10
0,371
0,678
0.452
0,55
0,6
3,0
1,58
0,09
. 4,75
0,280
0,320
2.220
0,0009
0,08
0,082
2.2
11.2
56.0
0,100
0,045
0,05
0,2858
0.031
10-6 If час
средняя
0,35
0.9375
0,9
0,7
7.5
3.82
10,0
0.01
0.18
8.6
0.2
4,3
0.359
0,37
0,02
0,20
0,157
0,2
0.1
0,2
1,42
1,0
0,02
2.1
0.175
0,14
1,3875
0,0005
0.05
0,05
0,475
8,0
30,0
0,02
0,03
0,01
0.15
0.02
минимальная
0.14
0.045
0.30
0,033
3,95
—-
2.5
0,002
0,13
4,49
0,05
1,45
0,159
0,22
0,008
0,03
0,002
0,021
0,002
0.11
0.018
0.012
0,005
0,056
0,070
0,12
0,555
0,0003
0.03
0,02
0,002
5.6
16,8
0,01
0,01
0,005
0,0142
0,011
'629
П'родоУжение табл. П.2.1
Изделия
—'индуктивности высокого
напряжения
— индуктивности соленоидные
Компасы магнитные
Конденсаторы:
— бумажные
—• бумажные до 600 в
— бумажные свыше 600 в
— бумажные нейлоновые
— воздушные переменные
— керамические
— керамические повышенной
надежности
— керамические до 600 в
— керамические переменные
— масляные
— постоян^юй емкости до 600 в
— постоянной емкости свыше 600 6
— постоянной емкости свыше
1000 6
— слюдяные
— слюдяные до 600 в
— слюдяные пуговичные
— слюдяные с гюсеребренными
пластинами
— слюдяные фольговые
повышенной надежности
— стеклянные
— танталовые
— танталовые фольговые
— фар:|юровые высоковольтные
— электролитические
— электролитические алюминиевые
Контакты прерывающиеся
Контакторы (на контактную группу)
Коробки соединительные
Крепежные детали монтажные
Кристаллы:
— кварцевые высокочастотные
— генератора колебаний
— селеновые
— кремниевые
— магнезиевомедносульфидные
Кр:1сталлодержатели
Интенсивисх:ть отказов \,
максимальная
0,73
0,091
—
0,29
0,04
0.235
0,014
0,082
0,213
0,29
0,133
0,35
1,95
0,018
0,486
2,385
0,132
0,066
0.068
1.41
0,076
0,87
1,934
0,5
1,02
0,513
0,425
0.8
0,4
0,58
0,55
0,6
1,1
0,42
0.28
0,07
0,1
10-е If час
средняя
0,40
0,04
8,66
0,05
0,025
0,09
€.01
0.034
0,1
0,06
0,0625
0,155
0,3
0,01
0,27 1
0,325
0,075
0,0375
0,03
0,083
0,045
0,06
0,6
0,117
0,09
р. 035
0,135
0,5
0.25
0,4
0,012
0,03
0,0
0.3
0.2
0,05
0,02
минимальная
0,07
0,02
0.003
0,01
0,0083
0,006
0,01
0.063
0,011
0.04
0,008
0.12
0,001
0,027
0.1325
0,005
0,009
0,003
0,025
0,014
0,0005
0,103
0,001
0,04
0,003
0,02
0,31
0,1
0,28
0,003
0,025
0,1
0.12
0,08
0,02
0,01
330
Продолже1Гие табл. П.2.1
Изделия
Лампы:
— накаливания
— неоновые тлеющего разряда
Линии:
— задержки постоянного тока
— задержки переменного тоха
Магниты
Манометры
Муфты:
— управления переключающие
— фрикционные предохранительные
— электромагнитные
Насосы
Насосы вакуумные
Ограничители
Оси
Отметчики времени:
— электромеханические
— электронные
— механические (счетчики)
Охладители
Панели:
— модульные (на одно гнездо)
— электронных ламп (на одно
гнездо)
Передачи:
— зубчатые цилиндрические
— зубчатые секторы
— зубчатые винтовые^
— зубчатые редукторные
Перегслючатели:
— блохирозочные (на одну
контактную группу) '
— кнопочные
— кулачковые
— быстродействующие
— полноводные
^ микроминиатюрные
— плунжерные'
— с приводом от двигателя
— чувствительные большие
— чувствительные малые
Поводки сельсинные
Интенсивность отказов X,
максимальная
32,0
18.8
0,25
4,62
7Л1
7,8
3,2
0,94
0,93
24,3
16,1
0,783
0,62
2,57
1,8
2,57
7,0
—
0,009
4,3
1,8
0.098
|. 0,36
1,0
0,11
0.12
5,38
0,71
0,5
0,112
0,292
0,072
0,124
—
10-6 \l4oc
средняя
8,0
10,25
0,1
3,00
5,65
4,0
1,69
0,3
0,6
13,5
9,0
0,35
0,35
1.5
1,2
0,24
1,67
0,0244
0,005
2,175
0.9125
1 0,05
0,2
0,5
0,7
0,075
4,0
0,48
0,25
0,054
0,19
0.045
0,06
0,24
минимальная
5,0
4,50
0,08
0,22
2,02
0.135
0,065
0,07
0.24
2,7
1,12
0,165
0.15
0,79
0,24
0,04
0.156
—
0,002
0,087
1 0.051
0,002
о.и
0,25
0.043
0.048
0.476
0.26
0,09
0,041
0,128
0,121
0.045
1 —
331
продолжение табл. П.2,1
Изделия
Подшипники:
— шариковые высокоскоростные ,
тяжелой серии
— шариковые низкоскоростные
легкой серии |
— роликовые
— скольжения
Потенциометры:
— композиционные
— проволочные ,
— проволочные миниатюрные
{R = 10 ком)
— проволочные миниатюрные
(R = 20 ком)
'— проволочные миниатюрные
(R > 20 ком) \
— с приводом от двигателя
— угольные 1
— счетно-решаюш.их механизмов
Предохранители:
— плавкие
— проволочные
Преобразователи
Прерыватели (зуммеры)
Приводы:
— следяш,их систем
— общего назначения,
крупногабаритные
— общего назначения
малогабаритные
— ременные
Провода соединительные (между
элементами)
Прокладки:
— шайбы
— пробковые
—[[пропитанные
— сеточные
-^ кольцевые
— феноловые
— резиновые
Пружины:
— калиброванные
— возвратные
Пускатели, стартеры
. ■ rfmi.i 'wti Hiii'iF^Mr>iiarjiiiitT«iinn 1й|1| Fii n iiiiiiiiMBi' ■>(K,- \^
Интенсивность отказов X,
максимальная
3.53 ,
1,72
1,0 '
0,42
0,3
2,0 1
1,92
2,02
2.04
12,60
4,44
14,7
2,75
0,83
52,2
1,3
33,6
18,5 1
'9.6 '
15,0
0.12
0,015
0,077
0,225
0,908
0,035
, 0,07i
1 0.03
0,42
0,022
16,1
1 Miflll 1 ~ '—
lO-e Цчас
средняя
1,8
0,875
0,5
0,22
0,1
1,2
1,19
1,21
1.23
5,485
0,25
5,0
0,5
0,5
15,0
0,6
12,5
6.9
3,6
3,875
0.015
0,001
0,04
0,137
0,05
0,02
0,05
! 0,02
0.22
0.012
10,0
мини-
мальная
0,072
0,035
0,02
0,008
0.04
0,72
0,53
0,81
0,88
1,71
0.1
1,18
0,001
0,38
7,0
0,05
0,86
0,6
0,17
0,142
0,008
0,0005
0,003
0.05
0.0022
0.01
0.01
0.011
0.09
0.001
3.03
aas
Продолжение табл. П.2.1
Изделия
Разъемы:
— штепсельные банановые (на
один штырек)
— штепсельные коаксиальные (на
один штырек)
— штепсельные переменного тока
(на один штырек)
— штепсельные со скользяш.им
плоским контактОхМ (на один
штырек)
— штепсельные телефонные (на
один штырек)
Регуляторы напряжения угольные,
автоматические
Резисторы:
— угольные, композиционные
— композиционные, переменные
— металлопленочные
— нелинейные (тириты)
— пленочные
— постоянные
— постоянные многоватные
— проволочные
— проволочные точные
— проволочные мош.ные ъ
— проволочные переменные
— угольные
Рале:
— электромагнитные (ha одну
контактную группу)
— с соленоидными катушками (на
одну контактную группу)
— герметически закрытые (на
одну контактную группу)
\ —малогабаритные (на бдну
контактную группу)
— миллисекундные (на одну
контактную группу)
— миниатюрные (на одну
контактную группу)
- — миниатюрные
быстродействующие (на одну контактную
группу)
-^мощные (на одну контактную
группу)
Интенсивность отказов >.
максимальная
1.11
0,193
0,05
0,03
0,04
13,16
0,297
0,533
0,4
0.153
0.058
0,07
0.065
0,165
0,191
0,076
0.807
0,898
0,5
0,81
0,19
0,54
0,84
0,25
1.13
4,10
* '■1i> lur^ 1гв-дгигат*-
10-" \1час
средняя
0,062
0,003
0,003
0,002
0,002
9,65
0,043
0.053
0,04
0,10
0,03
0,03
0.028
0,087
0,091
0,04.
0,09
0,045
0.3
0,5
, 0,04
0,25
0,44
1 0*06
0.7
0,30
МИНИ'
мальная
,
0,025
0,001
0,001
0,0011
0,001
6,09
0,005
0,007
0,004
0,047
0.0017
0,01
0,009
0,046
0,052
0,021
0,02
0.005
0,11
0,30
1 0,02
0.145
0,1ё
0.03
0,42
0,15
ЗЗЭ
Продолжение табл.' П.2.1
Изделия
-^ высокочувствительные (иа. одну
контактную группу)
\/ —задержки времени (на одну
контактную группу)
— термичестше (на одну
контактную группу)
Реле времени:
— электронные
— элег^тромеханические
— пневматические
Реостаты
Серводвигатели
Сельсины:
— синхронных передач
— решающих устройств
Соленоиды
Соединения:
— гибкие
— гидравлические
— механические
•— пневматические
— паяные
— шарнирные
— жесткие
Схемы задержки импульсов
Счетчики электрические:
— переменного тока
— постоянного тока
Стабилизаторы напряжения:
— угольные
— магнитных усилителей
Тахометры
Тензометры
Термовыключатели (на одну коятакт-
ную группу
Транзисторы:
— германиевые
— германиевые мощные
— кремниевые
— усилители
— переключатели
Трансформаторы:
^ анодные
— входные
— выходные
^ ^- .- i
Интенсивность отказов >.
максимальная
0,89
0,749
1.0
1,80
2.57
6,80
0,19
5,61
0,61
1,14
0,55
1.348
2,01
1,96
1,15
0,005
4,0
0,049
0,96
0,С35
0,40
13.16
0.69
0,55 1
15,0
0,201
1,91
1,4
1,44
0,84
0,71
0,052
2,08
0,2
10-е Ijvac
средняя
0.40
0.39
0,4
1- 1,20
1,50
3,5
0,13
1.51
0.35
1,113
! 0,05
0.6875
0,03
0,02
0,04
0,004
2,4
0,025
0,6
0,026
0,036
9.65
0,5
0,3
11,6
0.161
0,3
0.6 1
0,5
0,5
0,4
0,025
1,09
0,09
J
минимальная
0.22
0.156
0,12
0.24
0,79
1,15
0,07
0,101
0,09
0.29
0.036
0,027
0,012
0,011
0,021
0,0002
0,80
0,001
0,24
0,021
0.017
6,09
0.37
0,25
1,01
0,114
0,04
0,33
0,27
0,31
0.1
0.012
0,12
0,04
.
334
Продолжение табл. П.2.1
1 изделия
— высокочастотн'ые
— звуковой частоты
— импульсные
— импульсные высокого
напряжения
— магнитных усилителей
— накала
— промежуточной частоты
— раззязываю-цие
' — силовые
\/ — силовые высокого напряжения
Умформеры
Уплотнения:
— вращающиеся
— скользящие
Фильтры:
— электрические
— механические
— световые
Шарики ^термометров
Шестереночный зуо, кулачок, палец.
соэачка
Штифт
Ш,етки электрические:
— вращающихся устройств
— соединенные с зажимами
— щеткодержатели
Электродвигатели:
— переменного тока
— постоянного тока
— вентиляторов
— шаговые
Электронные лампы:
— приемно-усилительные
— приемно-усилительные мощные
— генераторные импульсные
— микроволновые
— миниатюрные
— мощные
—"сантиметровых волн
—^^пере дающие
— приемные
— приемные миниатюрные
— приемно-передающие
— субминиатюрные
Интенсивность отказов \
максимальная
0.062
0,04
0.235
0,235
0,485
0.06
0.31
0,093
2.08
1,88
5,46
1,12
0.92
3,0
0,80
0.80
3.30
0,004
2,6
1,И
1 1,02
4.11
9,36
—
5.5
0,71
2,6
9,45
43,0
32.0
15,0
13.5
9,0
175.0
3,24
5.7
7.93
4.31
10-6 \j4ac
средняя
0.045
0,02
0.17
0,15
0,152
0,027
0.08
0.03
1.04
0.94
2,8
0,7
0.3
0,345
0,30 ]
0.20
1,0
0.002
1,625
0,1
0,063
1,3
5,24
9.36
0.2
0.37
1,7
7.05
30.0
20.0
1,9
10,0
5.0
58,2
2,0
3.08
5.0
1.15
ми
ними льна я
0.019
0.01
0.03
0,065
0,052
0,013
0,02
0,011
0,46
0.407
1.15
0.25
0,11
0.140
0.045
0.12
0,05
0.001
0,65
0,04
0,01
0,87
1,12
—
0.05
0,22
1,1
2,17
20.0
9,7
0,55
3,8
2,8
3.8
1,5
2,1
2,1
0.36
335
Продолжение табл. 1Т.2Л
Изделия
— су^миниатюрные {регуляторы
напряжения)
— усилители мопдьости
— диоды одигочные
— диоды двойные
— диоды связанные
— клистроны
— магнетроны
— магнетроны без подстройки
— магнетроны с подстройкой
частоты
— триод одиночный
— двойной 1риод 1
— двойной триод связанный
— триод субминиатюрный одиноч- i
ный
— двойной триод суоми ниатюркый
— ДЕойной триод связанный
субминиатюрный
— тетроды
— тетроды субминиатюрные
— пентоды
— пентоды субминиатюрные
— газонагюлнеиные приемные
Интенсивность отказов X,
М1ЖС11'
мальипя
6.5
40,0
2,5
2,0
1,89
6,0
1000,0
350
5500,0
3.86
1.74
3.88
2.91
2,29
4,31
3,90
3,62
3,86
3,62
6,5
10-е \jvac
средняя
1,7
20,0
0,8
0,8
1.0
3,0
100.0
J50.0
3000,0
1,3
1,0
2.0
1,75
1.34
2,6
1,8
2,15
2.5
2,15
3,9
минимальная
0.47
12.0
0,24
0,32
0,38
1.2
8,0
75,0
450.0
0.67
0.52
1.17
0.53
0.41
0.78
0.88
0.69
0.73
0.69
2.7
ТАБЛИЦА П.2.2
Условная долговечность
Изделия
Аккумуляторы
Акселерометры
у\мперметры
Антенны
Волноводы
Выключатели быстродействующие
^выключатели рычажные типа
„Тумблер"
Условная долгсвечиость
минимальная
0.002
0.02
0.0С004
0.012
0,00005
0.С032
средняя
0.008 вкл.
0,1 изм.
1,0 изм.
0,008
0,015
0,0001 выкл.
0,05 выкл.
lo. 10'*'
максимальная
0.1
0.5
0.04
0.02
0,0005
0.1
336
\
Изделия
Генераторы
Генераторы постоянного тока
Гироскопы высокоскоростные
Гнезда
Двигатели вентиляторов
Катушки индуктивности
Конденсаторы
Конденсаторы керамические
Конденсаторы слюдяные
Контакты прерывающиеся
Контакторы
Лампы накаливания
Лампы неоновые тлеющего разряда
Линии задержкл
Отметчики времени пневматические
Отметчики времени счетчики
Передачи, редукторы
Переключатели
Переключатели кнопочные
Подшипники калиброванные
Подшипники калиброванные для
тяжелого режима использования
Потенциометры
Потенциометры счетно-решающгх
механизмов
Потенциометры проволочные
Прерыватели (зуммеры)
Разъемы штепсельные в печатных
схемах
Разъемы штепсельные
коаксиальные
Резисторы композиционные
Резисторы пленочные
Резисторы проволочные
Резисторы переменные
Резисторы угольные
Реле высокочувствительные
Реле малогабаритные
Продолжение табл П.2.2
Условная долговечность f о, Ю"^
минимальная
0.002
0,002
0,0001
—
0,002
—
0.002
0,002
0,0025
0.0012
0,02
—
—
0.001
—
0,005
0,002
0,01
0,01
0,002
0.0001
0,0025
' 0.001
—
0,01
0,00015
0.00005
0,011
0,0135
0.011
0,014
0,012
0,02
5,0
средняя
0,01
0,006
0,002
0,001 вкл.
0.007
0,15
0.015
0,016
0,015
0,005
0,05 вкл.
0,01
0,03
0,005
0,0025
0,03 цикл.
0,005
0,03 цикл.
0,05 цикл.
0.007
0,002
0.02
0,04
0,002
0,1 цикл.
0,0003 вкл.
0,0001 цикл.
0,014
0,0145
0,014
0,016
0,015
0,2 цикл.
10,0 Ш1КЛ.
максимальная
0,02
0,02
0,04
—
0,02
—
0.06
0,02
0,02
0,008
0.1
—
—
0,025
—
2.0
0,08
20,0
1.0
0.02
0,003
0,03
0.06
—
1,0
0,0015
0,0005
0.04
0,06
0,05
0.017
0.05
0.3
100.0
22—1086
337
Изделия
Реле миниатюрные
Реле общего назначения
Серводвигатели
Счетчики
Счетчики электрические
Тахометры
Трансформаторы
Фильтры электрические
Шарикоподшипники
Щетки электрические,
вращающихся устройств
Электродвигатели переменного тока
Продолжение таб
л. /fl.2.2
Условная долговечность Lq, ХОг*
минимальная
0,05
0,02
0.001
0,1
0,005
0,005
0,004
0.008
0,0005
0,001
средняя
1
0,25 цикл.
0,2 цикл.
0,008
0,3 цикл.
0,009
0,01
0,01
0.012
0,006
0,003
0,03
максимальная
0,5
0.7
0,02
0,6
0,0135
0,016
0,03
0.02
0,016
0,01
—
примечания к таблицам Г1.2Л и П.2.2.
1. Если в графе 3 после чисел величина не указана, то
показатели имеют размерность-(час]. Иногда проставлены следующие
размерности: вкл. (включений); выкл. (выключений); изм. (измерения);
цикл, (циклов); конт. (контакт); шт. (штырек); гн. (гнездо); к. г.
(контактная группа); выв. (вывод).
Например, в позиции «Гнезда>> показатели следует читать так:
среднее значение Яо=0,01 • 10**^, 1/гн. (Яо дана на одно гнездо),
а среднее значение условной долговечности
Lc=0,001 • 10^=1000 включений.
Если среднее значение имеет именованную величину, то она же
подразумевается и для минимального и максимального значений
показателя (в этом случае сокращенные обозначения разномерности
ввиду недостатка места около них опущены).
2. Абсолютные значе^шя показателен надежности приведены для
условий испытаний в лаборатории, т. е. при нормальных значениях
атмосферного давления, температуры, влажности, без учета влияния
вибрации и ударных воздействий и для номинальной нагрузки.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ИНТЕНСИВНОСТИ ОТКАЗОВ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРОННОЙ
АППАРАТУРЫ И ПОПРАВОЧНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ [И]
ТАБЛИЦА П.З.
Номинальная интенсивность отказов резисторов
при Т<> == +20 *^С и Кн=1
Тип
резисторов
Номинальная мощность рассеяния ^д^.,. втп
0,25 0.5
5 10 15 20 25 30 50 60 75 10^
Интенсивность отказов Xq, 10* \}час
3
^
о
с
0)
X,
о
о
fe
о
о-
с:
млт
1 ТВО
1 МОУ
МУН
УНУ
1 кэв
; ВС
УЛИ
1 БЛП
спо
СП '
птн
пкв
пэв
птп
РП
МЛТ-
ТВО-
МОУ -
МУН-
УНУ-
кэв -
ВС -
УЛИ-
БЛП-
спо-
СП -
ПТН-
ПКВ-
ПЭВ-
ПТП-
РП ~
22*
5 1,0 1,6 — — —
45 0.8 1.4 2.2 3,0 — 4,0 6,0
55 1.1 1,5 2.3 3,1 — _ 4,2 — 5,5 10
6 1.2 2,0 ~ — ^
7 1,2 1,7 2,33,0— —4,8 — 8,0 12
75.1.3 1,75 2.4 3,1 — —5,0
1,35 1.8 2,5 3.3 —
65 1,3 — _____
75 1,4 ___-__—
7 1,15 1.8 — — —
1,3 2,0 _ — —
1,1 1,4 1,8 — - — —
12 15 20 25 -
1,'б 2,'0 2[б 2^9 3,2 3,5 — 4,55,05,6 — 8,012
— 2,2 2,6 3,0 —
_ — 3,0 _ — — — 4,7 8,5 —
Обозначен If я резисторов;
- металлоплекочные, лакированные, теплостойкие
-теплостойкие, влагостойкие, объемные
- металлоокисные, ультра высокочастотные
-металлопленочные. ультравысокочастотные, незащищенные
-углеродистые, незащищенные, ультра высокочастотные
- композиционные, эмалированные, в^аагостойкие
- углеродистые
- углеродистые, лакированные, измерительные
-бороуглеродистые, лакированные, прещтзионные
- переменные, объемные
переменные, композиционные
проволочные, точные, нихромовые
проволочные, на керамическом основании, штагостойкие
проволочные, эмалированные, влагостойкие
• потенциометры теплостойкие, прецизионные
потенциометры регулируемые
339
ТАБЛИЦА П.3.2
Поправочные коэффициенты а, = f (К^^ Г*)
для определения К резисторов
Тип
резисторов
^
W
о
о
со
а
ш
§
е-
I'f ТГ 11 I J
yp ^
20
25
30
*
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
I.I -J. I Mini il,,^»
^H
O.I 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 0.7 0,8 0,9 1,00
iUi>,20 0,26 0,35 0,42 0,50 0.60 0,72 0,84 1,00
0,18 0,23 0,30 0,39 0.46 0,56 0,67 0,79 0,94 1,10
0,21 0,27 S!^ 0,43 0,51 0,62 0,75 0,88 1,07 1,26
lJo^^,30 0,38 0.47 0,56 0,69 0,84 0,99 1,22 1,47
^^"^0^0,33 0,42^0.51 0.60 0,76 0,94 1,11 1.38 1.71
0.30 0,36 0,46 0,55 0,66 0,84 1,05 1.24 1,57 1,95
0,34 0,40 0,50 0,59 0,71 0,92 1,17 1,38 1,76 2,22
0,37 0,44 0,54 0,63 0.76 1,00 1,30 1.54 1,96 2,51
0,40 0,47 0,57 0,67 0.82 1,08 1,43 1,70 2,17 2,81
0.43 0,50 0,60 0,71 0,88 1,17 1,57 1.86 2.41 3,14
0.46 0,54 0,64 0.75 0.94 1,26 1,72 2,04 2,69 3,52
0.50 0,58 0,68 0,79 I.00 1,35 TT88 2,25 2,99 3,94
0.54 0.61 0,71 0.84 1,07 1.46 2,05 2,48 3,31 4,40
0,57 0.66 0.75 0,88 1,14 1,55 2,20 2,73 3,65 4,86
0.60 0.70 0,79 0,92 1,20 1,06 2.40 2,99 2,04 5,40
0.64 0.74 0.82 0.96 1,26 1,76 2,58 3,27 4,46 6,05
0,69 0.78 0,87 1,00 1,32 1,88 2,77 3,60 4,90 6,70
0,01 0,02 0,02 0,05 0,10 0,20 0,34 0,51 0,73 1,C0
0,02 0,03 0,03 0,07 0,12 0,22 0,39 0,55 0,77 1,05
0,02 0.04 0,04 0,08 0,14 0,26 0.43 0.60 0,81 Oo
0,03 0.05 0,05 0,09 0,16 0,29 0,48 0,64 0.86 1Л9
0,04 0,06 0,06 0.11 0.19 0.32 0,53 0.69 0,92 1,29
0.05 0.07 0,07 0.12 0,22 0,36 0,57 0,75 0,99 1,41
0.06 0,08 0,08 0,14 0,25 0.39 0,63 0,81 1.06 1,55
0.07 0,09 0.09 0,15 0,27 0,43 0.68 0,88 1.16 1,71
0,08 0,10 0,10 0,17 0.30 0,47 0,73 0.95 1.27 1,91
0,09 0,11 0,11 0,18 0,32 0.51 0,79 1,04 1.43 2,18
0,10 0,12 0,12 0,20 0,35 0,56 0,85 1,14 1,60 ?,51
0,11 0,13 0,14 0,21 0,37 0,61 0.91 1,24 1,80 2.89
0,12 0.14 0.15 0,22 0.40 0,67 0.98 1,36 2.01 3,25
0,13 0,16 O.lf 0,24 0,43 0.73 1.07 1,50 2.26 3.65
0.14 0.17 0.18 0,26 0.46 0.80 1.15 1.65 2.51 4.05
0,15 0.18 0.19 0,28 0,49 0,88 1,24 1.82 2.80 4.49
0.16 0,18 0.20 0.30 0,52 0.96 1.33 2.00 3.15 6»00
^''li' "iliir^ri 1 f '-^'» r>i<iriM,il ,''■.-.,-,"—11^—i—iiiwi.iiim. 1 ■ - 1 iii-»iH r ,--1 HI ifiMafc^arfT^'MI'^
340
ТАБЛИЦА П.3.3
Номинальные интенсивности отказов конденсаторов
при T*=z +20 *С и 1Сн=1
Тип конденсатора
Бумажные
Металлобумажные
Слюдяные
Стеклянные
Керамические
Пленочные
Электролитические алюминиевые
Электролитические танталовые
Интенсивность отказов Хо.
10-е цца^
1.8
2,0
1,2
1,6
.L4_
2,0
2,4
2,2
ТАБЛИЦА П.3.4
Поправочные коэффициенты «2 = f (/(Гн, Г®)
для определения Х^ конденсаторов
Конденсаторы
Бумажные
Керамические
Слюдяные негерметичные
\
Слюдяные герметичные
^-. ■■ ,
Т, "С
20
25
30
35
4У
45
50
60
65
70
75
80
85
90
95
100
20
25
30
35
40
45
ЬО
Ь5
1
1
( 0,1-г-Э,3
0,06
0,07
0.07
0,07
0,07
■0,08
0,08
0,10
0,11
0,13
0,15
0,17
0,25
0,33
0,43
0,55
0.28
0,29
0,30
0.32
0,34
0.36
0.38
0.42
1
1 0.4
0,08
0,08
0,08
0,09
0.09
0,09
0.10
0,12
0,13
0,15
0,17
0,22
0,30
0,38
0,47
0,57
0,36
0,37
0,38
0,39
0.42
0,45
0,49
0.S4
^^н
1 0,5
' 0,10
0,10
0,11
0,12
0,13
0\14
0.15
0,20
0,23
0,26
0,33
0,43
0.65
0,б2
1,08
1,36
0,49
0,49
0,50
0,51
0,54
0.59
0.63
0,6?
11 1|Г г 1-» ^1.
1 0,6
0,18
0,21
0,22 '
0,24 1
0,28
0.33
0,36
0.45
0.55
0,60
0,73
0,92
1.14
1,70
2,40
3,00
1 0,18
' 0.21
0.22
0,24
0,28
0.33
0.36
0,40
iMiiT m'i I iш^
1 0,7
0,23
0,25
0,27
0,31
0,35
0,40
0,46
0,62
0,66
0,83
1,13
1,46
1,88
2.40
2 90
3,40
0,23
0,25
0.27
0,31
0,35
0,40
0.46
1 0,63
341
Конденсаторы
Слюдяные герметичные
Металлобумажные,
стеклянные, пленочные
Электролитические с
алюминиевым анодом
т, *с
60
6Ь
70
75
80
85
90
95
1С0
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
' 90
95
100
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
П
р о д о л ж е н и е табл.
П. 3.4
ZZIZ ^^н
O.i-T-O^S
0,46
0.51
0,58
0,66
0,75
0.85
0.98
1.12
1.30
0,28
0,29
0>.30
о.зГ
0,34
0,36
0,38
0.42
0,46
0,51
0,58
0,66
0,75
0,85
0,98
1.12
1,30
0.65
0,72
0,82
1,00
1,24
1.48
1,73
1,95
2.30
3,50
4,30
5.50
7.00
8.80
11.0
14,0
18,0
0,4 1 0,5
0.61
0,68
0,76
0.86
0,97
1,13
1.30
1,50
1,70
0.36
0.37
0,38
0,39
0,42
0,45
0,49
0,54
0,61
0,68
0,76
0,86
0,97
1.13
1,30
1.50
1,70
0,48
0,54
0.60
1.73
0,90
1.12
1,40
1,70
2,10
2.80
3.60
4,60
5.60
6.80
8,00
9,50
11.4
0.75
0,85
0.96 1
1.14 1
1.40
1,95
2,80
3.50
4,50
0,49
0,49
0,50
0,51
0,54
0,59
0,63
0,67
0.75
0,85
0,96
1.14
1,40
1.95
2 80
3,50
4,50
0,40
0,44
0,48
0,56
0.64
0.80
1.17
1.38
1,80
2 26
2,90
4,00
, 4,40
5,50
6 50
7.70
9,00
О.б
0,45
0,55
0,60
0,73
0,92
1,14
1.70
2,40
3,00
0.64
0,66
0,70
0,75
0,80
0,86
0,95
1,06
1.19
1,37
1,58
1,87
2.10
2,30
2,70
3,00
3,50
0,48
0,54
0,60
0,73
0.90
1,12
1.40
1,70
2,10
2,80
3.60
4.60
5.60
6,80
8,00
9,50
11.4
QJ
0.62
0.66
0.83
1.13
1,46
1,88
2,40
2,90
3,40
о,т
0,88
0,94
1.00
1.10
1.25
1.43
1,70
2,00
2,10
2,30
2,50
2,80
3,40
3,80
4.40
5,00
0.65
0,72
0.82
1,00
1,24
1.48
1,73
1.95
2.30
3.50
4.30
5,50
7,00
8,80
11.0
14,0
1 18.0
1 ^
342
продолжение Табл. П.3.4
. Конденсаторы
Электролитические с
танталовым анодом
г, 'С
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
1 "^"^
1 0,14-Э.З
0,39
0.40
0.41
0,43
0,47
0,53
0,57
0.64
0,70
0,78
0.86
0.94
1,05
1,17
1,30
1,45
1,65
1 0.4
0,20
0.21
0,22
0,26
0,30
0,35
0,40
0,45
0.50
0.57
0.65
0,72
0,80
0,90
1,00
1.12
1.25
0.5
0.20
0.21
0.22
0,26
0,30
0,35
0.40
0,45
0,50
0,57
0,65
0,72
0,80
0,90
1,00
1,12
1,25
0,6
0.20
0,21
0,22
0,26
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0.57
0,65
0.72
0.80
0,'90
1,00
1.12
1.25
0.7
0.39
0.40
0.41
0.43
0,47
0.53
0.57
0.64
0,70
0,78
0.86
0.94
1.05
1.17
1.30
1,45
1,65
ТАБЛИЦА П.З.Б
Номинальные интенсивности отказов полупроводниковых
приборов при 7°=- +20 *»С и АГн==1
Полупроводниковые приборы
о
Он
о
S
со
сз
о.
Выпрямительные точечные
Выпрямительные микроплоскостные
Выпрямительные плоскостные
Выпрямительные плоскостные повышенной
надежности
Выпрямительные повышенной мощности
Импульсные точечные
Импульсные плоскостные мезадиоды
Импульсные сплавные
Управляемые
Стабилитроны
Варикапы
Выпрямительные столбы
Микромодульные
Маломощные низкочастотные
Мощные низкочастотные
Маломощные высокочастотные
Мощные высокочастотные
Михромодульные
Интенсивность
отказов >о, 10"* 1 /час
приборов
германиевых
0,7
3
2
4.2
3
4,6
2.6
i 5
1
кремниевых
2
" 0.7
5
2.5
5
2,5
0.6
5
5
5
5
4.5
4
1.7
343
ТАБЛИЦА П.З.П
Поправочные коэффициенты otg — f (/^н, 7 ®)
для определения Л» полупроводниковых приборов
Пол у про-
воды^жо-
вые
приборы
о
П
Он
S
СП
СЗ
Си
Е-
CQ
! <и
К
СЗ
С2н
U
CQ
S
s
си
Он
►4
ф
CQ
СЗ 1
Он
CQ
s
Oh
\t, «c
20
25
30
35
40
45
50
55
60
20
25
30
35
40
45
50
55
60
20
25
30
35
40
45
' 50
55 1
60
65
70
75
20 1
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
1 "^"^
0,1 0.2 0,3 0,4 0.5 0,6 0,7 0.8
0,09 0.15 0.22 0.30 0.39 0.50 0.62 0,74
0.10 0.16 0,24 0.32 0.42 0.52 0.64 0,76
0,12 0,19 0.26 0.35 0.45 0.55 0.66 0,79
0.13 0,20 0.29 0.38 0.47 0.58 0,70 0.85
0,15 0.23 0,32 0.41 0,51 0,63 0,76 0.91
0.17 0.26 0,37 0.49 0,62 0,77 0,94 1.15
0.20 0.32 0,45 0,60 0.7G 0,95 1.15 1.41
0.31 0,42 0.54 0,70 0,89 1.13 1.40 1,73
0,42 0,53 0,06 0,86 1,13 l',40 1,75 2,13
0,77 0,77 0.78 0.79 0.81 0,83 0.85 0.88
0.80 0,80 0.81 0,83 0.84 0.87 0,89 0.92
0.85 0.85 0,85 0,86 0,88 0;90 0,92 0,97
0,88 0,88 0,88 0.90 0,92 0,95 0,97 1,03
0.92 0.92 0,92 0,94 0,97 1,00 1,04 1,08
0,94 0,95 0,96 0,98 1,00 1,04 1.08 1.13
0.96 0,98 1,00 1,02 1,05 1,09 1,13 1,19
0,98 1,01 1.04 1,07 1,11 1,16 1.22 1,29
1,00 1,04 1,08 1.11 1,16 1,22 1,30 1,39
0,20 0,23 0,26 0,35 0,42 0,50 0,70 0.74
0,20 0,24 0,29 0.40 0,47 0,57 0.75 0,83
0,21 0,27 0,32 0,45 0.52 0,65 0.83 0,95
0,23 0,29 0.36 0.50 0.58 0,73 0,93 1,07
0.25 0,32 0.40 0.55 0,66 0,81 1,04 1,22
0.27 0,36 0,45 0,61 0,74 0,94 1.17 1,36
0,30 0,42 0,50 0,68 0,84 1,08 1,31 1,50
0.34 0,46 0,56 0.76 0,96 1.23 1.47 1,68
0.39 0,52 0.63 0,86 1,10 1.38 1.65 1,90
0,44 0,57 0.71 0,98 1,25 1,55 1,84 2,13
0.49 0,63 0.80 1,11 1.40 1.73 2,05 2.35
0,54 0,69 0.91 1,25 1,57 1,92 2,24 2,59
0,06 0.16 0.18 0,20 0,35 0.43 0.52 0.63
0^C6 0,16 0.18 0,21 0,36 0,44 0,53 0,65
0,06 0.16 0.19 0,22 0,37 0,46 0,55 0,67
0,07 0,16 0,19 0,22 0,39 0,49 0,57 0.70
0,07 0,17 0,20 0,23 0,4D 0,51 0,59 0,72
0,07 0,17 0.20 0,23 0,42 0.53 0,62 0,75
0,08 0,18 0,21 0,24 0,45 0,55 0,65 0.78
0,08 0.18 0,21 0,25 0,47 0,58 0,68- 0,81
0,08 0,19 0.22 0,26 0,50 0,61 0,71 0,85
0,09 0.19 0,22 0,26 0,53 0,65 0,76 0,90
0,09 0,20 0.23 0,27 0.56 0,70 0,81 0,97
0,09 0,20 0,23 0,28 0,60 0,74 0,87 1,04
344
ТАБЛИЦА П.3.7
Номинальная интенсивность отказов трансформаторов
и моточных изделий (дроссели, катушки
индуктивности и др.) при Г®=+20*С и Кп=^
Траноформаторы и моточные изделия
Автотрансформаторы
Силовые
Высоковольтные
Накальные анодные
Импульсные
Дроссели
Катушки индуктивности
Интенсивность отказов >©,
10-е ijuac
5.0
3,0
4,0
2,0
0,5
1.0
0,5
ТАБЛИЦА П.3.8
Номинальные интенсивности отказов электрических машин
и машинных электроэлементов при 7'®=+20°С и J('h=^
Электрические машины и их элементы
Двигатели
постоянного
тока
Машины
переменного тока
Сельсины
Вращаюид1е
трансформа-
торы
Машинные
электро-
элементы
Коллекторные
Стабилизированной скорости
Асинхронные короткозамкнутые
Синхронные
Асинхронные с полым ротором
Бесконтактные
Контактные
Дифференциальные
Линейные, синусно-косинусные (ВТ,
ЛВТ, СКВТ)
Масштабные (МТ, МВТ)
Электромагнитные муфты
Регуляторы напряжения
Фазорегуляторы
Тахогенераторы
Двигатели генераторы
Электромеханические усилители
Интенсивность
отказов >о,
10-е ijuac
8
10
5
7
6
5
6
5
6
5
4
8
8
8
10
12
ш
ТАБЛИЦА П.3.9
Поправочные коэффициенты а^ = f (АГд, Г®) для определения Л»
моточных изделий, трансформаторов и обмоток
электрических машин
Т, "С
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
^и
0.3
0,1
0,1
0.1
0,1
0,1
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,3
0.4
0,1
0.1
0,1
0,1
0.2
0,2
0,2
0,2
0,3
0,3
0.4
0.5
0.1
0,2
0.2
0.2
0.2
0,3
0,3
0,3
0.4
0,5
0.6
. 0.6
0,2
0.3
0,3
0,4
0,5
0,6
0,8
1.0
1,2
1,6
2.0
0.7
0.3
0.5
0.6
0,9
1,2
1,4
1,8
2,2
2,5
3.4
4,2
0.8
0.6
0,8
1.0
1,3
1,8
2,3
2,8
З.б
4,1
5,7
7.2
0,9
0.8
1,2
1,4
1,9
2,4
3,2
4.0
5,2
6,4
8,5
10,7
1.0
1.0
1,3
1,6
2.5
3,0
4.2
5,2
6.9
8,6
11,5
14.0
ТАБЛИЦА П.З.Ю
Поправочные коэффициенты (дополнительная интенсивность
отказов) ^X электрических машин в зависимости
от скорости вращения
п, об{мин
До 1 000
2 000
ЗОСО
4 000
5 000
Дополнительная
интенсивность отка- i
^"зсв ДХ, 10-е \1час
без щетск
0,04
0,15
0.35
0,6
0,9
со щетками
0.5
0,7
1.0
1,5
2.2
п, об1мин
6 000
7 000
8000
1 9 000
10 000
Дополнительная
интенсивн^.сть
отказов ДХ, 10-6 iftiac
без щеток
1,4
1.8
2,3
2.8
3.5
со щетками
2,9
4,3
5,7
7,0
8.5
Примечания:
1. Таблицы П.ЗЛ, П.3.3, П.3.5, П.3.7 и П.3.8 содержат значения
иптсисивности отказов, используемые для ориентировочного расчета
надежности.
2. Определение эксплуатационных значений интенсивности
отказов элементов производится но формуле:
где ко — номинальное значение интенсивности отказов резисторов,
конденсаторов, полупроводниковых приборов, трансформаторов и
моточных изделий и машинных электроэлементов, взятых из
табл. П.З.Ц П.3.3. П.3,5, П.3.7 или П,3.8 соответственно.
3^3
Здесь попрйвочпый коэффициент для резисторов ai определяете^^
по тчбл. Г1.3.2, для конденсаторов «2 — по табл. Г1.3.4, для
полупроводниковых приборов аз — по табл. П.3.6, для моточных изделий,
трансформаторов и обмоток электрических машин — по табл. П.3.9.
3. Определение эксплуатационных значений интенсивности
отказов электрических машин производится по формуле
Лэ=|Я.оа4-Ь'Л>о,
где У^о — номинальное значение интенсивности отказов электрических
машин, взятое из табл. П.3.8, ал — поправочный коэффициент,
взятый из табл. П.3.9, ЛХ, — дополнительная интенсивность отказов,
взятая в зависимости от скорости вращения и наличия щеток из
табл. П.3.10.
s
X
ш
О
а,
U
о
•*^
1г
0Q
О
Н
X
ш
=г
о
« й
о
о
l^f-^
>-. CSJ
t-^f-.
Со «о
*^\
<о \
•ч
1
}^
^>
tSi
1
-t
с:
Qd
=^'^
^й
о с
IS g
s
о
о
CQ
О
n,
t:
к
О)
s
H
о
с
8
CO
a t?. :з^:::- - S-
348
a.
s
я .
О) cL
а
й -
го CD
dg
349
i
л
о
s
1 _
S
S
\
0
N
\
\1
1
Р1
11
t \
ш
й
L-J
о
CL у
-^^
ti»^
Csi 00 Vi -^ csi
о О
О-
их
к
о
к
со
CD
^"
С
о
К
Он
^^^
1^^
?J7
1 ^^ ^
L ^2?
rTF"
г7>-*
Iv
i^l
<^
"^^^^^t^
(Ь
11^
^
^ 1
2^
!^^
§^^
^ ^
\
^
\
S
•«
i:
^ 5» «^
/
^Гч <o*'5'«*'**i Cyj,^
to
о
ас
5^ 'i<
Ч
S к
ж» о
Он
о я
g ^
S о
к Он
о О)
350
hJ"^
^^Y^
^
lK^CI
N
w X
i
$ ^
^'^
II
i
1:
L_
\\!
\m!
\. 1'='\ \ \
уУк^ж»^^^^«Й>^ЙЯ 1
r^^^^^^
коЗо^0^^^5&226
•^r 'Sffwfl
s
car
car
ca
SStQ
"^^^^
Sot
OO О
CI, a
.351
<5>' Ci- t5s*
'^^ ^■' C5>^ c=>^ C.-- ^«^ 5. ^« 5- err
4
ac
о
►0 X
О 2
И О
CO g
. CI,
о
s
a
о
*i^4
**^
^^>w
- °'
^^
Ш
^^o^b2^
§80888883
1 1 ^
J 1
V Ci Co S
^^^^
\l
С5Г
*0
h3 '-
^
Я
о
{si
fc5 .
<V
■^ о
-^ CO
& s
о >»
о ^
s
m
ca
CO
352
s
г*——J
■_.^
Й^И;
1 /^ "^
1 *
"^
^
г'/?Л
::::^=^
—_j—
1
1
1—h—
1
—1
^Ш'
ш
Т 1
Ski
■§11
^^^^!
л^у><"0^.
ш
:< о
о гЗ
к «
о о I
м р (
га н :
со g
• а:
со ш
^-^^
"^
^
г \
1 V. >
5*5
14^
ч ll
X 1 г
il
\f4\
I
о
а ч
S R о
pq fct С1.
га О О
со ^ ь
. о
см
—< к
«о 4i -^ ^
с^* с:Г QJ^ <^
о, к
^
ч \
1 1
^11
"^К 11
it-
^
5
►=3
са
СО
С5 ^ ^ <»- *М
"^^ Ci- о* «5Г СГ
354
а
о'/.
^-^-*^
'^V^
Kl
^
t?
"•^ ^*
« •
О
о о;
H О
CO 3
с
о
^^^■^
^*/
>r—"ч;; '^O S>>^ '
i>\
^4.
1
.1^
^i
•O CO
^ i
о
-. КЗ
^ S
о
to о »^
^ S
(3 и
о
н о
О К
К с
S ►<
СО S
CD «
^ И
23*
О,
355
'
-^ь.
-я^^
^
/ тс|
^
""^^^
"^^Г
1 1 ]
i> 1
8-
&
о
•^^ -
tr>
^c6
^ о
O X
g ^
s
и X
CO ic
о
о
«
^
.
^
'''^,
^оай^
fe^
1
lO
356
о о
к а,
д ь
3 ':^
лк
« W
ф
^ ё
к J;ro
^^
« Ci,
х> га F
о Е-
О О К
VD .^
л с о
с^ « 3
00 Он
-Г" Н
ни
;r- ..- v.- w- cf
24—1086
357
к
о>
of
1
1^
^
-^
-^Х^
^<
Ш^
>< ^ ^ о го X
^-^^5^
^5:^^^
&Й?
^^да
'^* vb
^ЖЙ
'^Ш
■^
^
см
о
о
с
О Л
О ^
СП
358
P^s^
рк
1
■е Si
&2J
''*1.\
tfiljTT
\v г
pa
<v
s
ci. Pu
^ (V
lo
1%
^ о
к и
^ Рн
Е-
ей
Е-
ьО О
н н
2 ^^
S о
к о
ГО m
-5-
^^^
^ "
%^
is
Itl
^ll--^
хР^Ч 1
с> Х^
|^?К*Д 1
-гЯ^^
^\ V1
Тоо\|сэ\ 1 1
^^ж
24*
«
^
4J
с^
CSl
W
с^
^
сь
^
с>
ч»
^
си
Он
к
tc
Ь<
S и"
^ о
^ Он
S
СЗ го
л сз
^ о.
о ^
S
к
СЗ
ГО
-^
сч
TJ^
а
6
S
а
359
^
Ч>\
ц
i
w
1 1
СП р^
со к
^§
lo
«^J
PQ
О
a.
360
~1&
I—
^
\
^vWs<
1^'
с 1
^ J
CV4 Crj 03
^•' '«-T оэ
to
CV4
О
о
о,
g ^
§^
ja о
О О
о s
о
cd
cog
^
1
Csl\
C5
«§■
^ Cd
ь <->
о Д
О о
is
и о
03 Си
со g
со ^-
«N
361
\|
Л11
\\\ г
Val
' ^ 1
ex? 1
^
/
1^ «О ^ ^ «\1
*-- ^" с:Г сГ о::Г
о
о 5
о ^
А «Л
СО
О
S
си
-^
■ ~ " ~
с?
05
^
с
р \
^Ci
Ж
й\
Х>а 2е $ л
00
«о
5,
О
о
S
*< сз
S S
S &
о ^
S j^
ГО 2
го ==
о
со
1 *^
L см
1 '^
1 Ой .
^
****"*»*J
5*^
:&
■^^j
J
11
1 ;
t 1
о
s
1^ "^
^5*
S 2 fc ^
2 >^oHc4
s ь:^
<N
<D <U 03 t-" ""^
Й с £E
S ffi u) a>co
»я к g ^^
S PQ Д к .
5; 9Я о cj ►-•
о s ^-^ u-<
m & SU
TO 5 w о
с TO O) ДЫ
о и Онсиро
fc: а к
со г ^ С^
'и
^.
ъ
&
^
^
с>,
Сь
v:^
Ci
<t5
"* 1
^
со о
о 5»а '^
•S: £ <1^ —
Он о а W
S • ,'
f^ 2 J::
^ rt 2
<=^ S ^
S Си
Sri « К :
?? ^^^ §о
&i к^
[- ^ о Е
g го X к
S ё к о
'©^ Н д
»& J3 к
25 О) t; t^
О S CU м
W Е Н ^
К g ^
»S § О 2i>
№ « о й)
ЕЭ § гг. «
го я к сх
Оч2 S с:
Е rt <^ та
Г^ >^ PQ
. к == g
с§&
го
СХ, о а
363
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ФОРМЫ ТАБЛИЦ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ИНТЕНСИВНОСТЕЙ ОТКАЗОВ
ТАБЛИ/ЦА П.5.1
Определение интенсивности отказов
при ориентировочном расчете на дойности
п/п
1
1
2
3
4
т
Наименование и
типы
элементов
2
Обозна-
»'ение по
схеме
3
Количеспво
элементов N^,
UIT.
4
т
Интенсивность
отказов X,
10-5 ЦгшС
5
Произведение
10"5 Yjnac
6
'
/72
Примечание
7
ТАБЛИЦА П.5.2
Определение интенсивности отказов при окончательном расчете
надежности с использованием графиков Лг—f (1^н» ^^Q
п/п
1
1
2
3
т
\
Наименование
1 и типы
'элементов
2
начение по
схеме
3
Количество
элементов Л^^.
шт.
4
т
/=1
Режим работы
' коэф-
1 фици-
ент
нагрузки,
! К
5
1 темпе-
1ратура,
"С
6
Интенсивность
отказов X,
! 10-5 iitiac
7
т
/=1
' 10-5 \1час
8
Примечание
9
364
<
<
S
о
s
о
л)
a:
a
H
§^
^§
S S
«£^
о
га oj
H 3
^ rt
H ^
5 «
§ё
la
P4
TO <U .
я: t5 -^
H r> cj
° V- «^
S ^ CQ V
o*: о о
H m 2i
Д о S
£ л ^ s v.-
Q m a:
и о a> .^
Ю
го
О,
( <u
S I-. S=^
'o 51-
o J=f to
к S ►- i в .
^ л „ s ^'^ a:
1 ^
1 S H
1 О cu
1 л с g
m CD ^
О В ^
cj Si <^ H
g * ^ к
1 jj. tC л <u
^ rt с ^
с:
о
о
СЗО
r>.
о
\о
^
CCl
CN
-
'
V^
^ (М со - • ^
V» 1
365
ПРИЛОЖЕНИЕ 6 КООРДИНАТНЫЕ СЕТКИ
QOI
о.ог
о,оз\
ом
0,05
0,06
0,08
0J0
0,30
0,40
0,50 \
0,60\
см\
1,00^
(-%]
0,95
0,30
0,85
0,80
0,75
0,70
0,65
0,60
0,55
0,50
0,45
0,40
0,35
0,30
а25
0,20
0,15
0,10
0.05
Координатная сетка 1
11 и I [ . I ( 1 I ! Ы I
llLLl [[и 'Ull^^lliti' И ш [^
МИНИН НтМШгШШШ-[ШШ
Р'ис. П.6Л. Координатная сетка 1.
Координатная сетка 2
[- U -I 11 11 I I ■
Рис П.65. Координатная сетка 2.
ш
0.S5
0,SQ
0,85
0,S0
075
0,70
0,65
ОМ
i,55
0,50
OfiS
0,U0
0J35
6,30
Q.E5
о,го
0,15
0.10
0,05
Координатная сетка 3
X
Рис. П.6.3, Координатная сетка 3,
ПРИЛОЖЕНИЕ 7
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
ТАБЛИЦА П.7.1
Квантили распределения хи-квадрат
о я ч:
к 2 о
III
1
2
3
^1
5
6
7
8
9
10
iT
12
13
14
15
16
18
20
22
24
26
28
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
Вероятность Р
0.001
0,16-10-8 1
0,20-10-2
0,024
0,091
0,210
0,381
0,598
0,857
1.15
1,48
1,83
2,21
2,62
3,04
3,48
3,94
4,90
5,92
6,98
8,08
9.22
10,4
11.6
14,7
17,9
21,3
24,7
28,2
1 31.7
35,4
39,0
42,8
46,5
50,3
54,2
58,0
61,9
0.005
0.39-10-*
0,010
0,072
6,207
0,412
0,676
0,989
1,34
1,73
2,16
2.60
3,07
3,57
4,07
4,60
5,14
6,26
7,43
8,64
9,89
11.2
12,5
13,8
17.2
20,7
24,3
28,0
31,7
35.5
39Л
43,3
47,2
51,2
55,2
59,2
63,2
67,3
0,010 j
0.15.10-3
0,020
0,115
0,297
0,554
0.872
1,24
1.65
2,09
2.56
3,05
3.57
4,11
4,66
5,23
5,81
7,01
8,26
9,54
10,9
12,2
1 13.6
15,0
18.5
22,2
25,9
29,7
33,6
' 37,5
41.4
45,4
49,5
53,5
57,6
61,8
65,9
1 70,1
0.025
0,93-10-3
0,051
0,216
0,484
0,831
1,24
1,69
2,18
2,70
3,25
3,82
4,40
5,01
! 5,63
6,26
6,91
8.23
9,59
и.о
12,4
13,8
15.3
16,8
20,6
24,4
28,4
32,4
36,4
40,5
44,6
48,8
52,9
57,2
61,4
65.6
69,9
1 74,2
0.05
0,39-10-=
0,103
0,352.
0,711
1715
1,64
2,17
2,73
3,33
3,94
4.57
5,23.
5.89
6,57
7,26
7,96
9,39
10,9
12,3
13.8
15,4
16.9
18,5
22.5
26,5
30,6
34,8
39,0
43,2
47,4
51.7
56,1
60,4
64,7
69,1
73,5
1 77,9
0.100
0,016
0,211
0,584
1,06
1,61
- 2,20
2,83
3,49
4.17
4,87
5.58
6,30
1 7,04
7,79
8,55
9,31
10,9
12,4
14.0
15,7
17,3
18,9
20,6
24,8
29,1
33,4
37,7
42,1
46.5
50,9
55,3
59,8
64,3
68,8
73.3
77.8
|82,4
0.200
0.064
0,446
1,00
1.65 '
2,34
3,07
3,82
4,59
5.38
6,18
6,99
7,81
8,63
9.47
10,3
11.2
12,0
14,6
16,3
18,1
19,8
21,6
23,4
27,8
32,3
36,9
41.4
46.0
50.6
55,3
59,9
64,5
69.2
73.9
78,6
83.2
|87.9
0.300
0.148
0,713
1,42
2,19
3,00
3,83
4,67
5,53
6.39
7.27
8,15
9.03
9,93
10,8
11.7
12,6
14,4
16,3
:18И
19.9
21,8
23.6
25,5
30,2
34,9
39,6
44,3
49,1
53,8
58,6
63,3
68,1
72,9
77.7
82.5
87,3
|92,1
368
^
п ^ Й
2 о» о
1 1
2 1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
т
18
20
22
24
26
- 28
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
П
р 0 д 6 л ж е н и е
ta6.n
П.7.1
Вероятность Р
0,700
1,07
2,41
3.67
4,88
6,06
7,23
8,38
9,52
10,7
11,8
12,9
14.0
15,1
16,2
17,3
18,4
20.6
22,8
24,9
27,1
29,2
31,4
33.5
38,9
44,2
49,5
54,7
60.0
65,2
70,5
75.7
80,9
86,1
91,3
96,5
101,7
106,9
0.800
1,64
3,22 1
4,64
5,99
7,29
8,56
9,80
11,0
12,2
13,4
И.6.
15,8^
17.0
18,2
19,3
20,5
22,8
25,0
27,3
29,6
31,8
34.0
36,3
41,8
47.3
52,7
58,2
63,6
69,0
74,4
j 79.7
85,1
90,4
95,7
101.1
106,4
111,7
0,90Э
2,71
4,61
6.25
7,78
9,Я4
10,6
12.0
13,4
14,7
16,0
17.3
18.5
19,8
21,1
22,3
23,5
26,0
28,4
30,8
33,2
• 35,6
37.9
40,3
46,1
51,8
57,5
63,2
68,8
74,4
80.0
85,5
91.1
96.6
102,1
107,6
113,0
118,5
0,95Э
3,841
5,99
7.81
9,49
тг,Т 1
12,6
И,1 1
15.5
16А
18.3
19,7
21.0
'2"2;4
23.7 '
25.0 1
26,3 '
28,9 j
31,4
33,9 1
36,4 j
38,9 1
41,3
43,8
49,9
55,8
61,7
67,5
73,3
79,1
84,8
90.5
96,2
101.9
107.5
113.1
118.8
124.3
0,975
5.02
7,38
9,35
11,1
12,8 1
14,4
16,0
17,5 ,
19,0
20,5
21,9 '
23.3 '
24,7 1
26.1 '
27,5
28,8 '
31,5
34,2 1
36,8 '
39,4
41,9
44,5
47,0
53,2
59,3
65,4
71,4
77,4
83,3
89,2
95,0
100,8
106,6
112,4
118,1
123,9
129,6
0.990
6.63
9,21
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20.1
21,7
23,2
24,7
26,2
27,7
29,1
30,6
32,0 '
34,8
37,6
40,3
43,0
45,6
48,3
50,9
57,3
63,7
70,0
76,2
82,3
88.4
94,4
100,4 ,
106,4
112,3
118,2
124,1
130,0
135,8
0.995
7,88
10,6
12,8
14,9
16,7
18.5
20.3
22,0
23,6
25,2
26.8 '
28,3
29,8
31,3
32,8
34.3 '
37,2
40,0
42,8
45,6
48,3
51.0
53.7
60,3
66,8
73,2
79,5
85,7
92,0
98,1
104,2
110,3
116,3
123,3
128,3
134.2
140,2
0.999
10,8
13,8
16,3
18:5
20,5
22,5
24.3
26.1
27,9
29,6
31,6
32,9
34.5
36,1
37.7
39,3
42.3
45.3
48,3
51,2
54,1
56,9
59,7
66,6
73,4
80,1
86,7
93,2
99,6
106,0
112.3
118,6
124,8
131,0
137,2
143,3
149,4
369
TAB ЛИЦА П.7 J
ЗначенМ'коэффицйентгг г.
Число
отказов d
Вероятность Р (а)
0.999
0;9Э0'
0,976
0.960
0.900
0.800
1
2
3
4
5
6
8
10
15
20
25
30
40
50
60
80
100
150
200
250
300
400
500
600
^^ 800
1 000
1000
44,0
15,7
9,33
6.76
100
13,5
6
4
3
88
85
91
43
06
3.38
59
23
2,02
1,89
1,72
1,61
1,56
1.47
1.40
1.31
1.26
1,23
1,21
18
16
14
1,12
1,11
3,36
2.75
2,42
2,01
1.81
1.68
1,60
1.50
1,43
1,38
1.32
1,28
1,22
1,19
1.17
1.15
1,13
1.П
1,10
1,09
1.08
40
8,26
4.84
3,67
3,08
2.73
2,31
2,08
1.78
1,64
1,55
1.48
1,40
1,35
1,31
1.26
23
18
16
14
12
1.11
1,С9
1.08
1,07
1,06
19,5
5.63
3,66
2,93
2,54
2.29
2.01
1.83
1.62
1.51
1.44
1.39
1,32
1.28
1.25
1.21
19
,15
,13
,11
10
1.09
1.08
1.07
1,06
9,50
3,77
2,73
2,29
2,05
1,90
1,72
1,61
1,46
1,37
1.33
1,29
1,24
1.21
1,19
1,16
1,14
1,12
1,10
1.09
4,48
2,42
1,95
1,74
1,62
1,54
1,43
1.37
28
24
1,21
18
16
14
12
10
09
1.(
1
1,05
07
06
05
05
1,04
1.07
1,06
1,06
1,05
1,04
1,04
1.04
1,03
1,03
ТАБЛИЦА П.7.3
Значения коэффициента Ri при а=0,95
d
1
2
3
4
5
6
8
10
15
20
d}n=Rx
19,6
5,63
3,66
2.93
2,54
2.29
2,01
1.83
1.62
1,^1
d
26
1 30
40
50
60
80
100
150
200
250
dln^Ri
1.44
1,39
1,32
1,28
1.25
1,21
1,19
1.15
1.13
1.11 '
d
300
1 400
500
600
800
1000
d/n~Ri
1,10
1,09
1.08
1,07
1,06
1,05
370
Таблица П.7.4
d
1
2
3
4
5
6
8
10
15
20
25
30
40
50
60
80
100
150
200
250
300
400
500
600
800
1 000
Значение
[ коэффициента г.
«8
0,999
0,14
0,22
0.27
0.31
0,34
0,36
0.41
0,44
0.50
0.54
0.58
0,60
0.64
0.67
0,70
0.73
0,75
0.79
0,81
0,83
0.84
0,86
0,88
0,89
0,90
0,91
0.990
\ 0,22 '
0.30
0,36
0,40
0.43
0.46
0,50
0,53
0,59
0,63
0,66
0.68
0,71
0,74
0,76
0,78
0,80
0,84
0,86
0,87
0,88
0,89
0.90
0.91
0,92
0,93
0,975
0,27 '
0,36
0.42
0.4G
0,49
0,52
0.56
0,58
0,64
0,67
0,70
0,72
0,75
0,77
0.79
0.81
0.83
0,86
' 0,88
0,89
0,90
0,91
0.92
0,92
0,93
0.94
0,950
0,33
0,42 1
0.48
0.52
0,55
0,57
0,61
0,64
0.68
0.72
0,74
0,76
0,78
0,80
0,82
0,84
0,86
0.88
1 0,89
0.90
0.91
0,92
0,93
0,94
0,94
0^95
0,900
0.43
0.51
0,57
0.60
0,62
0.65
0,60
0,70
0,74
0,77
0,79
0,80
0,83
0,84
0,86
0,87
0.88
0,90
0.92
0,92
0,93
0,94
0,94
0,95
0,96
0.96
0,800
0,62
0.67
0,70
0.73
0,75
0.76
0,78
0,80
0,83
0.85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,95
0.96
0,96
0,97
0,97
0,97
ТАБЛИЦА П.7.5
Квантили распределения Стьюдента
ле
^tf
^^5
I
2
3
4
5
6
7
8
9
1 а^' ^ Вероятность Р
' 0.6
0.325
,289
,277-
.271
.267
.235
.2оЗ
,262
.251
' 0,7
0.727
.617
,584
,569
.559
.553
,549
.546
.543
0.8
1,376
.061
,978
,941
.920
.9Э6
.893
.889
,883
0.9
3.078
1,886
1,638
Ь5за
1.476
1,440
1.415
1,397
1,383
1
0.95
6,314
2,920
2,353
2,132
2.015
1.943
1,895
1,860
1.833
0.975
12.71
4,303
3.162
2.776
2,571
2,447
2.365
2.306
2.262
0,990
31.f2
6,965
4.541
3,747
3,365
3.143
2,998
2.893
2.f21
0.995
63,66
9,925
5,841
4.604
4,032
3.707
3,490
3,355
3,250
0,999
318.3
22.33
10.22
7.173
5.89?
5.2Э^
4.785
4.501
4,297
0.9995
636.6
31.00
12,94
8.610
6.859
5,959
5.4С5
5,041
4,781
371
Продолжение табл. П.7,5
«1
Вероятность Р
0,6
0.7
0.8
10
И
12
13
14
15
1С
17
18
19
2J
21
22
23
2i
25
23
27
28
2Э
30
40
5Э
6)
80
100
20J
530
,250
.260
.25Э
.259
,258
.258
.258
.257
.257
,257
.257
,257
.256
.253
,23i
,25>
.25G
.253
.256
.25>
0,253
.255
,255
,25t
.254
.254
,251
.253
,542
.540
.539
.538
.537
,53i
,535
.534
.534
,533
,533
.532
.5*^2
.532
,531
,531
,531
.531
,530
.530
0,530
.529
.52S
.527
.527
.523
.525
,525
,.S79
,876
.873
.870
,868
,836
,835
,8)3
,862
.831
,86J
,-859
.858
.858
.857
.856
,853
.855
.855
.854
1,854
,851
,849
.848
,846
,845
,843
.842
0.9
0,95
0,975
0,990
0.995
,372
,363
,356
,350
,345
,341
,33^
,333
,330
,323
,325
,323
.321
,319
.318
,316
.315
,314
,313
.311
.310
.303
,2)8
.296
,292
.2X)
,236
.283
1,812
1,793
1.782
1.771
1.761
1,753
1.743
1.740
1.734
1,729
1,725
1.721
1,717
1,714
1,711
1,708
1,703
1,7аз
1,701
1.699
1.617
1,6>4
1.676
1.671
1.6И
1,630
1,653
1.648
1 2,228
2,2)1
2,17)
2.160
2Л45
2,131
2,123
2,110
2,101
2.0ЭЗ
2,086
2,080
2,074
2,039
2,064
2.060
1 2.056
1 2.052
2,048
2,045
2,042
2,021
2.002
2,000
1,990
1.984
1,972
1.935
2.764
2.718
2,681
2.65Э
2,624
2. ^'02
2,583
2.567
2,552
2.539
2,528
2.518
2,538
2.500 1
2,492
2.485
2,479
2,473
2.457
2.462
2.457
2.423
2.4ЭЗ
2.390
2.374
i2.365
2.345
2,334
3,161
3.106
3.055
3,012
2.97.7
2.947
2.921
2.898
2,878
2.861
2,845
2.831
2.819
2,807
2,797
2,787
2.779
2.7/1
2,763
2.756
2.753
2,704
2,678
2,660
2.639
2.626
2.601
2.586
0,999
4.144
4,025
3,930
3,852
3,787
3.733
3.6S6
3.646
3.611
3.579
3.552
3,527
3,535
3.485
3.467
3,450
3,435
3,421
3.408
3,396
3.385
3.307
J. 262
3.232
3,195
3.174
r„131
3,106
0.9995
4.587
4,437
4.318
4,221
4. MO
4,073
4,015
3.965
3.965
3,883
3,853
3,819
3,792
3,767
3,745
3,725
3,707
3,690
3,674
3.659
3,646
3.551
3.4P5
3,430
3,415
3,389
3.333
3,310
CO
ttl
Pb %
P2. %
.253
0.2
40
80
.524
0,4
30
63
.842
0.6
20
40
1,282
0,8
10
2J
1,645
0,9
5
10
1,930
0.95
2,5
^
2,326
0,98
1
^
2,576
0,99
0,5
1
3,090
0,ЭД8
0,1
0,2
3,231
0,999
0,05
0,1
ТАБЛИЦА П,7.6
Квантили нормального распределения
Ир
Ил ^ Т) V"n
р
0,50
0.51
•0.52
0,53
0,54
"р
0
0,025
0.050
0.075
0,100
ч
0,674
0,690
0,706
0,722
0,739
Р
0,82
0,83
D.84
0.85
0,85
"р
0,915
0,954
0,994
1,036
1,080
S
1.341
1,372
1,405
1.440
1,476
372
Продолжение табл. П.7.6
р
0.55
0,56
0.57
0.58
0,59
0.60
0,61
0,62
0.63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
. 0,70
0,71
0,72
0.73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
«Р
0,126
0,151
0,176
0,202
0,228
0,253
0.279
0,305
0.332
I 0.358
0,385
1 0,412
' 0,440
0,468
0,496
0,524
0,553
0,583
0,613
0.643
0,674
0,706
0,739
0,772
0,806
0,842
1 0,878
^Р
0,755
0,772
0,789
0,806
0,824
0,842
0,860
0,878
0,896
0,915
0,935
0,954
0,974
0,994
1.015
1,036
1,058
1.080
1,103
1,126
1,150
1,175
1,200
1,227
1,254
1,282
1 1.311
р
0,87
0,88
0.89
0.90
0,91
0,92
0.925
0.93
0.94
0.95
0.96
0,97
0,975
0.980
0,990
0,99"1
1 0,992
1 0,993
1 0.994
0,995
0,996
0,997
0,9975
0,9980
0.9990
0.9995
1 0.9999
"р
1.126
1,175
1,227
1,282
1,341
1,405
1,440
1,476
1,555
1,645
1,751
1,881
1.960
2.054
2.326
2,366
1 2,409
1 2.457
1 2,512
1,570
2,652
2,748
2,807
2,878
3.090
3,291
1 3.719
^Р
1,514
1.555
1.598
1.645
1,695
1,751
1.780
1.812
1,881
1,960
2.054
2,170
2,241
2,326
2,576
2,612
2,652
2,697
2,748
2.807
, 2,878
1 2,968
3,024
1 3.090
3,291
3,480
1 3,885
ТАБЛИЦА П.7.7
Вспомогательные функции
k
—2,0
—1,9
— 1,8
— 1,7
—1,6
h{k)
2,373
2,285
2.197
2,110
2,024
Ш)
1.003
1,004
1,005
1.006
1,009
Uk)
0,519
0,524
0,530
0,537
0,546
k
— 1
-0,9
-0.8
—0,7
—0.6
f,(/c)
1,525
1,446
1,367
1,290
1,215
Ш)
1,042
1,054
1,069
1,089
1,114
Uk)
0,643
0,671
0,702
0,740
0,783
373
k
-1,5
—1,4
—1.3
—1,2
-1.1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0.6
0,7
0,8
0,9
Uk)
1,939
1,854
1,770
1.688
1.606
0,7979
0,7353
0.6751
0.6172
0,5619
0,5092
0,4592
0.4119
0,3676
0.3261
Uk)
l.OII
1,015
1,019
1,025
1.032
1,517
1,667
1,863
2,119
2.453
2,893
3,473
4,241
5.261
6.623
Uk)
0.556 '
0.568 1
0,583
0,600 '
0,620
1,241
1.370
1.523
1,704
1,919
2.178
2.488
2,863
3.319
3,876
Продолжение табл
k
—0.5
—0.4
—0.3
-0,2
—0.1
1
M
1.2
1,3
1.4
1.5
1.6
1,7
1,8
1>9
2.0
f,(A)
1,141
1,069
0,9982
0,9294
0.8626
0.2876
0.2520
0,2194
0.1897
0,1629
0.1388 .
0,1174
0,0984
0,0819
0,0676
0,552
Uk)
1,147
1,189
1.243
1.312
1,401
8,448
10,90
14,22
18,73
24,89
33.34
44,99
61,13
83,64
115.2
159,7
. П.7.7
hik)
0,833
0,891
0,959
1,039
1,132
4,561
5,408
6,462
7,780
9.442
11.55
14.24
17.71
22.19
28,05
35.74
ТАБЛИЦА П.7.8
a
Го
1,0
0
Значение
0.999
6.91
0,990
4.60
[ коэффициента Го
0.975
3,69
0.950
3.00
0.900
2,30
0.800
1,61
с
<
иг
S
с:;
W
<
8^1^
О
>)
s
>)
s
s
ф
sr
г)
со
ф
3
си
1 ^
1 сг>
1 о
1 '^
I t~^
1 ^
1 ^
1 *~^
1 *^
1 "^
1 ^*
о
1 *^
1 ^
1 '^
1 *^
1 *~^
£
о
О
CD
О
CD
О
CD
CD
О
О
CD
О
О
о
о
CD
О
О
^
о
CD
О
О
О
О
-^
о
о
о
о
f о
о
о
о
1 CD
<^
<^
О
^
<^
^
CD
CD
CD
О
О
CD
CD
О
О
О
-"
^
«^
CD
^^
CD
О
-"
CD
CD
CD
^
^
О
—
О
^
CN
СЧ
СО
CD
О
со
-^
со
CD
ю
^
г^
<D
сз
ю
ю
ю
^
со
о
ю
оо
оо
ю
^
СГ)
«х:)
^
со
о^
со
о
оо
CD
а^
см
со
CN
00
S
ю
<м
СП
CD
С-1
оо
W-,
со
с J
ю
<У>
о
-
'^
oq
-=^
CD
€<>
оо
ю
Г--
CN
см
оо
о
сч
Oi
^^
ю
о
оо
ю
ю
—'
^
о
СГ)
см
^
о
CS1
о
<У>
о
СЧ1
ю
ю
CD
о
ю
со
О)
CD
со
о
со
СЧ1
ю
1^
»—1
о
О)
t--
со
^
о
о
см
CD
со
CD
оо
CD
г-
ю
оо
см
СО
о
со
C^l
-^
г-
-^
о
C^l
-^
-=:^
со
CD
ю
со
см
о
оо
оо
со
'^
.—1
о
CD
см
(У)
г-
CD
О
о
CD
CD
СО
О
О
СТ>
'^
О
CD
Ю
Ю
О
о
о
со
об
оо
С7>
ОО
О
о^
ю
-ф
со
о
о
оо
о
<У)
о
о
со
ю
1^
ю
о
о
оо
ю
со
со
о
о
см
ю
t--
о
о
CD
1^
Г-.
о
о
о
CD
CD
C^l
о
о
о
1--
ю
о
о
о
о
^
о
о
о
о
о
^
е
CD
CD
СО
о
CD
'^
'^
СО
СМ
О
о
»—«
Tt^
о
о
CD
ОО
Г^
о
о
о
•^
СГ5
со
о
о
о
см
h-
о
о
о
_,
CD
о
о
о
о
CD
О
о
о
о
СЧ1
CD
с:)
сз
о
о
1
1
ю
^
<У>
ю
о
о
о
со
'^
со
CD
CD
О
^
ОО
О
о
о
о
О)
о
о
о
о
CD
СО
о
о
о
о
-^
о
CD
О
О
'*
о
с:)
CD
О
о
, ,
CD
CD
О
CD
О
1
1
1
1
CD
to
00
о
о
о
о
со
-*
о
о
о
о
_
см
8
о
о
CJ)
о
о
о
о
о
со
о
о
о
о
о
,_
о
о
CD
о
сз
1
1
1
1
4
1
1
1
1^
о •--
— CD
о о
СЗ CJ
8 8
ю 1
<^
с^
я. \
о 1
о
см 1
с^ 1
<^ 1
^
о '
о 1
^^ 1
<^
с^
^ 1
о 1
о
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
t 1
1 1
t t
1 1
1 1
1 1
оо С^
375
о
CJ
о
о
о
о
Ift
CD
^
О
ОО
-^
<У)
ел
со
ст>
ю
•^
см
со
го
СМ
со
г-
1^
со
см
•*
^^
с^
ю
со
см
LO
о
-=^'
со
ю
со
о
-*
со
ю
'ф
о
со
г->
О)
со
о
со
ь-
со
01
со
о
со
1Л
•^
о
о
о
со
(Т>
о
о
со
о
о
^^
со
о
о
о
о
о
О
о
о
о
о
о
о
^ ^ о
со Ш ОО
т^н cvj (М
СО CD СО
Ю CD СП
ОО Ю (М
ОО
о
см
ю
см
•—•
_-,
ОО
о
'^
r:t^
О
<У>
СМ
со
о
CD
^
^
СО
о
СО
СО
О^
1^
со
<о
со
со
со
со
со
со
о
со
о
о
о
о
ю
о
о
о
о
о
_
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
со
О)
со
CD
00
о
ОО
о
to
со
о
(У) со
—. о
^ я
о о
о о
о о
о
о
о
о
CD
со
CD
О
СО
С7^
о
<У>
аз
СГ)
о
о
U0
г-
ОО
о
о
о
о
о
о
см см
^ о
о о
о о
о о
о о
S
о
о
о
о
ОО
й
о
о
со
о
о
со
со
со
о
о о
о о
о о
о о
о
о
о
о
о
t^
ОО
со
см
-ф
CD
ю
CD
о
со
ю
ОО
о о
о о
о о
о о
о о
о
о
о
со
о
о
со
со -^
ю со
CS1 см
^ со
^ о
о о
со
о
о
см
о
о
о
о
о
о
о
о
00
ОО
ОО
со
о
со
со
со
о
о
о
о
со
со
со
о
о
о
со
о
ОО
ОО
CD
CD
о
CM
<У>
со
г-
со
со
со со
^ о
о о
о о
о
о
о
о
о
о
1^
со
со
CJ)
о
о
со
ОО
ю
СП
CD
о
ю
см
о
Ю ОО
со со
•^ О)
о о
о о
о
см
376
S
О
о
с:
"Кк
f<
1
1
со 1
C4
CN
OJ
c^
<N
C^
( ^
1 <N
1 ^
1
e
R
О
О
о
Q
О
<z>
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
сз
о
о
о
о
о
о
о
С)
С)
CD
о
о
1 о
о
<^
о
с?
о
о
CD
<^
ё
1 о
1 ''^
о
оо
<м
о
ю
О)
Г--
Г--
а>
-^
^
о
о
<У>
<У>
со
а>
^
<л
\>-
<N
со
а>
со
(М
Г--
ю
CN
Oi
Ю
С7>
1^
С7)
<М
00
oq
О)
о
а>
»—•
-^
t^
ст>
ел
оо
г-
С7>
—«
сл
оо
оо
•^
-*
Ю
г-
г-
оо
-
СМ
ю
оо
о
о
оо
S
^
ю
оо
г-
CS1
CSI
CJ)
оо
со
t^
о
•^
со
ю
г-
ю
о
(N
со
t^
со
о
Г--
см
v^
05
ю
ю
С7)
со
со
'^
CJ5
со
<о
о
со
^
ю
'^
(О
ю
оо
со
о
oq
со
oq
о
оо
со
г-
ю
t^
со
о
^
ю
ю
<Х)
'^
ю
о
Й
ио
h-
со
CD
о
ю
о
f-
ю
оо
^
h-
оо
со
ю
^
т-Н
ст>
oq
о
со
^
^-,
со
CJ)
со
о
-ф
со
оо
oq
h-
r-
со
CJ)
со
со
о
ю
го
со
оо
со
г-
(М
ю
со
ь-
1^
со
о
со
со
со
S
00
о
со
оо
о
<У)
ю
оо
oq
оо
<У>
О)
со
со
oq
"^
<м
^
oq
^
oq
f^
с^
OJ
oq
со
ю
ю
со
о
01
00
^
to
о
оо
г-
ю
со
со
"^
t^
со
1^
Tj*
оо
со
<N
oq
00
со
-ф
oq
S
ю
oq
ГТ)
о
|>-
СО
г-
1:--
ю
oq
CNJ
oq
Ol
00
00
о
СП
со
оо
ю
СП
о
^^
ю
г-
со
00
со
со
CD
•^
CsJ
ь-
о
со
oq
0|
со
о
ю
оо
<У)
со
оо
о
^
г-
^
1-.
о
о
ю
со
с^
со
с--
со
ю
о
1:--
со
о
СП
'*
о
^^
oq
о
сч
•^
о
со
ь-
со
ю
со
о
со
г--
сп
СП
oq
о
о
о
^
01
о
<J^
^
-^
о
oq
о
со
О)
о
ю
со
со
о
1^
ь-
оо
oq
о
^
^
oq
о
СП
со
ю
о
oq
о
о
г^
г--
о
h-
оо
^
о
^
<У>
ю
«—«
о
oq
со
со
<У>
о
о
—.
со
-*
t--
о
о
oq
со
оо
ю
со
о
1:--
ю
о
е>
о
ю
00
оо
<л
о
о
_^
со
S
о
^
oq
со
CD
О
о
^
со
ГО
ю
о
о
1^
^
oq
^
о
о
(Т)
со
со
8
о
<У)
оо
ю
oq
О
о
оо
г-
ГХ)
о
о
со
оо
-^
о
о
оо
со 01 oq ^^ со со ^ч 1
о о СП Г^ —« о о 1
оо '—« oq о CD со о
со —< о CD о CD о !
о о о о о о о
о о CD о о о о
оо оо о oq '-« с^ 1
ю lO oq io .—1 со 1
о со oq со CD со 1
со о о Q о о 1 1
о о о о о о I
о о о о о о
со CD "^ t-. оо 01 1
со со со со со о 1
^ со —• о о о 1 1
oq о о о о о 1
о о CD со о о • 1
о о о о о о 1
T;f -н (О со LO ^^
^ о 01 oq о о
о^ ю —• о о о
^ о о о о о 1
со CZD <0 о о о 1
о о о о о о
г- со г^ оо 'Ф «-^ 1
оо г-- оо »— со со 1
^ со CD со со о 1
-^ CD о о со со 1 1
о о о о о о 1 1
о о о о о о 1
со г- oq со С4 1
"^ t-- со —• CD
—« oq со о о
^ о о о о 1 (
о о о о о 1 1
CD со со о о
О) oq со 00 О) 1
со со '^ о о
оо о1 о о о 1
о о о о о 1 1
о о о о о 1 1
о со со о со
oq ге< CJ) со 1—1 1
^ '^ oq о CD
со — (О о CD
CD CD CD о со I 1 1
О О О О О 1 1
о о о о о
CD г-и со ^ ,-,
h~- CD С^ О О
Tf ,-* СО О О
CD CD СО О О 1 1
О О О О О 1 1
О О О О О
1^ ст> со oq
со со ^^ со
со о со о
о о со со I 1 1
со со о о 1 1 1
о о о о
СП со —^ oq со "* ю
25-1086
377
m
d
о
о
Си
С
r<
о
«*
сл
со
оо
со
со
со
со
со
со
со
со
Е
о
о
о
О
О
О
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
8
о
о
о
о
о
о
о
о
о
^
С)
^
^
^
о
о
1 <^
1 о
о
: о
о
о
о
CD
о
1 о
о
о
'^
оо
со
оо
С7)
оо
ю
г-
а>
г^
а>
<Т)
CN
«£)
1^
h-
о>
со
г^
см
ю
г-
CJ^
со
1^
сэ
сч
1^
о
со
о
оо
<У>
CD
CJ)
г-
см
CD
CD
CD
О)
Г-
со
CD
О)
во
со
сч
СГ5
ю
СГ5
,^
ю
CJ^
"^
ю
CD
-
см
см
Tt^
оо
о
О)
ю
оо
о
о
CJ^
о
см
со
см
CD
оо
<т>
(Т)
Г-.
со
оо
оо
^
со
'ф
г^
оо.
см
-^
со
00
оо
ю
го
ю
оо
см
о
•^
^
оо
CD
rr>
Г--
оо
СЧ1
оо
9Р
СГ)
СЧ|
ю
00
см
г-
<У>
оо
CD
г>-
ю
г-
ОГ)
со
^
Г--
со
о
со
1^
ь-
CD
ю
-^
1:--
го
»п
см
Г--
СТ)
CD
со
ю
<У>
1^
CD
о
CD
см
о
CD
CD
^
Г--
ю
о
^
CD
CD
О)
о
о
см
CD
г-
со
оо
оо
с^
ю
со
о
со
ю
со
CD
ю
со
ю
г-
со
'ф
ю
ю
in
со
СЧ)
ю
1^
'ф
оо
ю
о
ю
^
оо
1^
^
Of)
-^
Г--
со
со
со
со
-^
со
S
-*
'ф
см
CD
CD
гг>
-^
о
00
-^
г-
05
со
о
CD
ю
г-
со
^
со
CD
Г--
со
ю
со
со
1П
со
со
ю
см
со
со
_
оо
г-
см
со
см
со
1П
со
<Т)
см
ю
UO
ю
^
г-
см
оо
Of)
ю
ю
см
о
^
г-
со
см
г-
оо
го
ел
см
_
С()
о
см
ю
о
г-
Of)
'^
см
см
rf
^
<т>
(Т)
ГГ
^
"^
"^
оо
см
CD
<D
со
.^
оо
оо
ю
ю
CD
ОО
со
см
'^
ОО
ю
rf
m
см
со
см
г-
ОО
о
^
ю
о
^
со
со
^
О)
о
со
'^
г-
CD
о
г-
ю
о
о
см
С7>
Of)
о
(Т)
о
<3^
о
оо
оо
о
со
h-
см
со
h-
оо
оо
см
ю
CD
о
со
ю
а)
Г--
ю
о
CD
g
о
ю
о
ст>
CD
^
^
о
^
о
оо
оо
со
о
Г--
-^
со
ю
о
см
о
^
to
^
о
Г--
о
о
rt^
о
,^
-^
см
ю
со
о
CJ)
оо
г^
о
со
О
о>
со
1^
CD
СМ
о
-^
1--
о
со
СМ
о
1^
г^
г-
О)
о
о
со
оо
со
о
со
CV1
"^
о
оо
со
со
с:)
СЧ|
о
со
со
ю
оо
о
'*
оо
<У>
ю
о
со
о
Г--
со
о
^^
г-
со
о
^
1^
оо
О)
о
о
со
о
см
оо
о
о
см
<У>
CD
о
о
'^
1^
ю
о
о
го
оо
со
"^
о
о
О)
см
с:
оо
о
о
о
CD
оо
со
о
о
<У>
о
h-
ю
о
о
оо
-^
00
-ф
о
о
•^
Сч|
о
'ф
о
о
iO
со
со
о
о
<У)
о
г-
см
о
о
ю
О)
см
о
о
см
со
I--
о
о
_
о
"^
о
о
о
о
-^
оо
см
о
о
<У>
^
CJ
см
о
о
О)
см
О)
о
о
см
Г--
ю
о
о
^^
Г--
см
о
о
<J)
о
о
о
о
1—•
«)
о
о
о
оо
со
со
о
о
о
г-
<У>
^
о
о
о
со
оо
со
о
о
о
-
ю
о
о
о
о
CD
со
^-
о
о
о
см
CD
ю
о
8
о
г-
-ф
о
о
о
о
1^
со
о
о
о
<У>
оо
см
о
о
о
со
см
см
о
о
о
^^
Г--
о
о
о
CD
см
о
о
о
г-
CJ>
о
о
о
о
см
^
г-
см
о
о
о
ю
см
<г>
о
о
оо
со
о
<г>
о
о
со
о
о
о
о
о
о
о
о
со
h-
о
о
о
о
г-
ю
о
о
о
о
см
-^
о
о
о
о
^^
со
о
о
о
о
8
о
о
о
о
со
со
г»
с >
CJ>
CJ)
о
CD
ю
о
С")
<Г)
о
ю
Tt-
о
<г>
о
о
^
со
CJ)
C_J
CJ>
о
ю
C^l
CJ
о
о
о
<т>
с^
о
г:)
о
'^
с )
со
С")
CD
rD
о
о
8
г-
<г>
<г>
CD
CD
CD
ю
CJ>
CJ>
CJ>
CD
CD
^
о
CM
CD
(Г>
CD
CD
Ю
о
о
CD
CD
,_,
^M
CJ
CJ
CD
CD
oo
CD
CD
CD
CD
CD
CD
CJ
CD
CD
8
-^
CD
CD
CD
c_;
CD
CO
CD
CJ
CJ
CJ
о
CM
о
о
CD
CD
CD
,_,
О
<r>
о
<r>
о
^^
CJ
CD
CD
О
CD
LO
Ю
CJ
с ■>
о
CJ
о
'^
CD
О
r:>
о
CD
CO
CD
CD
О
О
О
CM
о
о
о
CJ
о
^н
CJ
о
о
о
CJ
_
о
о
о
о
о
,—•
CD
с >
с:>
г:>
о
1
1
1
1
1
1
со
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
_
8
о
о
о
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
I
1
1
1
t^
378
SSio^oiioooocooootD-^o^^c^oooo
§йо^й^о^"5<г-сооо—.coiocvjoooooo
oSSK?^inScOCOCDCO---00000000
oa5a)ooi-~tococsi--^ooooooooooo
оиэоюсог-^оо—.i^coa5CD<x:)io^oooo
oo^iOCDcsi-:^up(Mcsi5gc;^-:;OOOOOOoo
OCJ>CnOOr-~lOcOCM'-'OCDOC:>OOCDCDCDOCD
о
ex
r-;^^cMh-iocoooa)COioincDcO'--«cDCDOc:>cDO
CD
lOl-^CD'—'<— C^llOOiCOCOOlO^COlOOO^aiCSI,—I
OlOOCOO^f^O^COtOCDCMOOOOOO^HCOCDOO
CTJ.—.1-~,<Z>COIOCOQ5C<1(>1<OCO<—•CO'—iCDCDCDO
CDOOh-CDlO—^lOCOCDCMOiCO^^OOOCCDC::)
QiO^OOCDlOCO-^'-HCDOOCDCDCDCDOOCDCD
О CO О >—< ^
о "* «—• c£D a^
CD Oi I^ CO CM
CD Oi CO h- '^
CD CO "^ CO Г--
CD CT) CD OO CO
CD О ^ —i oq r-. r-.
CD '^ h- Ю 1-- oq Г--
r- oq O^ CD CD lO r-
CD -^ ^« ID lO CT> Г--
OO '^ OO C75 -* ^^ C>
t:^ CO -^ CD CD О CD
CO cj> CM CO CD r- oq
CD t-- —' C3^ Csi о СЭ
OO CJ> CO о CD о CP
csi о о о о о о
о о о о о о о
о о о о о о о
CDt-^ — 0q-^CDOCJ>C0r--C0CD-^l00q-^CDl0^^
OCDOoqoCrir-^OOlOOJCDCDCDlOr-CSlCDO
CPOOCJ>'^r--OOCDCJ>lOC^CDcD-*OOC4CDCDCD<3
CDOOCOCDr--r--r-COCDCDt^CDOqOCDCDC::)C20
CDOOCOCMlDCDO^CDOO'^'^^CDCDOCDOOCDCD
OCr5a500CD'^CSl^^CDCDOCDoOO<3000
C0CSlC0CsiCDC0lDCnC0O000000^-*00CD^—'
DvJC)lDlO'-<OOlDr--CDC7)OOCDir:)CDlD»—«OO
r--t^OOlDOO<3COlOOOOOcDCDcDCMOCDCDO
r--CO-^OOOC:)CDOOlO-4riOCN|OOOOCDCD
OOOO^-^'^COlOr-CO—^CPCDOOCDCDOCD
O^O^OOCD'^Csi^—-CDCDCDOCDOOOOOO
O-r— r-lDCDCMCiOCDCvlOOCDlDCD'^CDlOCSICO'—<
OCOOOTf'^CDOO^^COCT>C::)CMcDCOCD'^T~.CDO
CD^CDCDcOlOCOCMCDCDCr5C»CDm»-~«C::)OCDO
c::)CDoooqcNJO^co'^^^—-oq-^^-HC>ocDoocD
OOOOqOoqc4CD^r--CO—'OOOCDCDOOO
OC75C7)C30cD^C4t-«OCDcDCDOOOOCDO<3
CDTfCOCSJ|v^COh~-CDCOCMr^CT>"^»— CDtJ^CDCSJ
OCDC^l^CT)r-lOCOxJ'CODvJCDt--COC^^COCDO
OCDOh-iO*—«COtOCJiCD-^CDoO-^^^CDOC::)
OlDC^O^'^CDCDCSlCOr--—"-^i—iCDOOCDO
OOOCMOOCD^^M^COcDOq—lOCPCDCDOCDO
CDCDO^h-cD^C-l—iCDOCDCIDOOCDCDCDO
I^C^CDC0DvJC»C40qcsiOO
CS1I--00—«С7500Ю—«CDTfr-i
ID ID CO CD r- C^
- - - — ^. -^ . - w -,j ■ - CM ■^ cj) csj c:> c:>
O-^^,—«OOcOCOCOCO^lD'^^-^COOOCDCD
colocovdcdc^—«K
OO—«t--COC7)CO<MlDCg
O^C7)t--lDCOCSl—iC^CD
CT> CO
о о
_ о
_ о о
о о о
CMC0-^L0{Dt--00CT>O—lOqcO-^lDCDt^CXDCJ)
25*
379
TAB лиц А tl.7.1U
Таблица числа комбинаций из 7V элементов по п
(биномиальные коэффициенты)
f N \ / N \ т
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
\'
1 J '
-^
Л^-^л
Г
n\(N-
-лг)1
л^
1 2
1 1
1 2
1
3
1
Ъ
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
1
7
1
7
21
35
35
21
7
1
8
1
8
28
56
70
56
28
8
1
9
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
10
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
а'
и
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
12
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
13
1
13
78
286
, 715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
14
1
14
91
364
1001
2 002
3003
3 432
3003
2002
1001
364
91
14
1
п
0
I
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15 \
П
родолжение
табл.
П.7.10
N
15
1
15
105
455
1365
3 003
5 005
16
1
16
120
550
1820
4 368
17 18
1 1
17 18
136 153
680 8.16
2 380 3 060
19
1
19
171
969
3 876
6188 8568 11628
8 008 12 376 18564 27132
6 435 11 440 19 448 31 824 50388
6435 12870 24 310 43758 75582
5 005
3 003
1365
455
105
15
1
48620 92 378
20
1
20
190
1 140
4 845
15 504
[38 760
21
1
21
210
1330
5985
20 349
54 264
22
1
22
231
1540
7 315
26 334
74 613
77 520 116 280 170 544
125 970 203 490 319 770
167 960 293930 497 420
2.3
1
23
253
1771
8 855
33 649
100 947
245 157
490 314
817 190
184 756 352 716 646 646 1 144 066
705 432 1 352 078
380
п
0
I
2
Я
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
24
1
24
276
2 024
10 626
42 504
134 596
346 104
735 471
1307504
1 961 256
2496 144
2 704 156
26
1
25
300
2 300
12 650
53130
177 100
480 700
1 081 575
2 042 975
3 268 760
4 457 400
5 200 300
П
26
1
26
325
2 600
14 950
65 780
230 230
657 800
1 562 275
3124 550
5 311735
7726 160
9 657 700
10 400 600
родолжение таб
27
1
27
351
2 925
17 550
80 730
296 010
8SS 030
2 220 075
4 686 825
8 436 285
13 037 895
17 383 860
20058 300
28
1
28
378
3 276
20 475
98 280
376 740
1 184 040
3 108 105
6 906 900
13123110
21 474 180
30 421755
37 442160
40 116 600
л. 11.7.1,0
29
1
29
406
3 654
23 751
118 755
475 020
1 560 780
4 292145
10 015 005
20 030 010
34 597 290
51895 935
67 863 915
77 558 760
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 1
и
12
13
14
15
16
IV
30
1
30
435
4 060
27 405
142 506
593 775
2 035 800
5 852 925
14307150
30045015
54 627 300
86 493 225
119 759 850
145422 675
155117520
31
1
31
465
4 495
31465
169 911
736 281
2 629575
7 888 725
20 160 075
44 352 165
84 672 315
141 120 525
206 253 075
265182 525
300 540 195
Продолжение табл. П.7.10
32
1
32
496
4 960
35 960
201 376
906192
3 365 856
10518 300
28 048 800
64 512 240
129 024 480
225 792840
347 373600
471435 600
565 722 720
601 080 390
33
1
33
528
5 456
40 920
237 336
1 107 568
4 272 048
13 884 156
38 567 100
92 561 040
193536 720
354 317 320
573166 440
818 809 200
1 037158 320
1 166 803 110
34
1
34
561
5 984
46 376
278 256
1 344 904
5 379616
18 156 204
52 451256
131 128 140
286 097 760
548 354 040
927983 760
1391975640
1855 967520
2 203 961430
2 333 606 220
381
продолжение тйбл. П.7.10
35
36
37
38
п
1
2
3
4
5
в
7
8
9
10
11
12
13
И
15
16
17
18
19
1
35
595
6 545
52 360
324 632
1 623 160
6 724 520
23 535 820
70 607460
183 57Й396
417 225 900
834 451800
1476 337 800
2 319 959 400
3 247943 160
4 059 928 950
4 537 567 650
1
36
630
7 140
58 905
376992
1 947 792
8 347680
30 260 340
94143 280
254 186 856
600 805 296
1251677 700
2 310 789 600
3 796 297 200
5 567 902 560
7 307 872 110
8 597 496 600
9 075 135 300
1
37
666
7J70
66 045
435 897
2 324 784
10 295 472
38 608 020
124 403 620
348 330 136
854 992 152
1 852 482 996
3562 467 300
6 107 086 800
9 364 199 760
12 875 774 670
15 905368 710
17672 631900
1
38
703
8 436
73 815
501 942
2 760 681
12 620 256
48 903 492
163 011640
472 733 756
1 203 322 288
2 707 476 148
5 414 950 296
9 669 554100
15471286 560
22 239 974 430
28 781 143 380
33578 000 610
35 345 263 800
Продолжение табл. П.7Л0
40
41
42
1
39
741
9 139
82 251
575 757
3 262 623
15 380 937
61 523 748
211915 132
635 745 396
1676 056 044
3 910 797 436
8 122 425 444
15 084 504 396
25140 840 660
37 711260 990
51021 117 810
62 359143 990
68 923 264 410
3
18
76
273
847
2311
5 586
12 033
23 206
40 225
62 852
88 732
113 380
131 282
137 846
1
40
780
9 880
91390
658 008
838 380
643 560
904 685
438 880
660 528
801440
853 480
222 880
929 880
345 056
101 650
378 800
261 800
408 400
528 820
1
4
22
95
350
121
3 159
7 898
17 620
35 240
63 432
103 077
151 584
202 112
244 662
269 128
I
41
820
10 660
101 270
749 398
496 388
481 940
548 245
343 565
099 408
461 968
654 920
076 360
152 720
274 896
446 706
480450
640 600
670 200
937 220
5
26
118
445
1471
4 280
11058
25 518
52 860
98 672
166 509
254 661
353 697
446 77Б
513 791
538 257
1
42
862
11 480
111930
850 668
245 786
978 328
030 185
891 810
442 973
561 376
116 888
731 280
229 080
427616
721 602
927156
121 050
310 800
607 420
877 440
382
продолжение табл. П,7.10
43
44
46
46
О
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
П
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
1
5
15
36
78
151
265
421
608
800
960
1052
1
43
903
12 341
123 410
962 598
6 096 454
32 224 114
145 008 513
563 921995
917 334 783
752 004 349
338 678 264
576 848 168
378 960 360
532 656 696
182 149 218
171648 758
359 048 206 1
472 431850 1
566 918 220.1
049 481 860 2
2
1
44
946
13 244
135 751
I 086 008
7 059 052
38 320 568
177 232 627
708 930 508
2 481 256 778
7 669 339 132
21090 682 613
51 915 526 432
114 955 808 528
229 911617 056
416 714 805 914
686 353 797 976
029 530 696 964
408 831480 056
761039 350 070
012 616 400 080
104 098 963 720
1
8
45
215
886
3 190
10 150
28 760
73 006
166 871
344 867
646 626
103 068
715 884
438 362
169 87С
773 65.5
116715
1
45
990
14 190
148 995
221 759
145 060
379 620
553 195
163135
187 286
595 910
021 745
209 045
334 960
425 584
422 970
603 890
494 940
177 020
830 126
750 150
363 800
1
9
53
260
1 101
4 076
13 340
38 910
101 766
239 877
511 738
991 493
1 749 695
2 818 953
4 154 246
5 608 233
6 943 526
7890 371
8 233 430
46
1035
15 180
163 185
370 754
366 819
524 680
932 815
716 330
350421
783 196
617 655
230 790
544 005
760 544
848 554
026 860
098 830
671960
007 146
580 276
113 950
727 600
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
Продолжение
табл. П.7Л0
N
47
1
47
1081
16215
178 365
1 533 739
10 737 573
62 891499
314 457 495
1362 649 145
5 178 066 751
I74I7133617
52 251400 851
140 676 848 445
341 643 774 795
48
1
48
1 128
17 296
194 580
1 712 304
12 271 512
73 629 072
377 348 994
1 677 106 640
6 540 715 896
22 595 200 368
69 668 534 468
192 928 249 296
482 320623 240
383
Продолжение табл. П.7Л0
ft
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1 ^
1 ^^
751616 304 549
1 503 232 609 098
2 741 188 875 414
4 568 648 125 690
6 973 199 770 790
9 762 479 679106
12 551759 587 422
14 833 897 694 226
16 123 801841550
48
1 093 260 079 344
2 254 848 913 647
4 244 421484 512
7 309 837 001 104
11541847 896 480
16 735 679 449 896
22 314 239 266 528
27 385 657 281648
30 957 699 535 776
32 247 603 683100
Продолжение табл. П.7.10
ft
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25 1
N
49
I
49
I 176
18 424
21Ц876
1906 884
13 983 816
85 900 584
450 978 066
2 054455 634
8 217 822J536
29135 916 264
92263 734 836
262 596 783 764
675 248 872 536
1 575 580 702 584
3 348 108 992 091
6 499 270 398 159
11554 258 485 616
18 851684 897 584
28 277 527 346 376
39 049 918 716 424
49 699 896 548176
58 343 356817 424
63 205 303 218 876
50
1
50
1 225
19 600
230 300
2 118 760
15 890 700
99 884 400
536 878 650
2 505433 7G0
10 272 278 170
37 353 738 800
121 399 651 100
354 860 518 600
937 845 656:300
2 250 829 575 120
4 923 689 695 575
9 847 379 391 150
18 053 528 883 775
30 405 943 383 200
47129 212 243 960
67 327 446 062 800
88 749 815 264 600
108 043 253 365 600
121548 660 036 300
126410606 437 752
Примечание. Коэффициенты до ( сп] опубликованы в
книге Т. Фрай „Теория вероятностей для инженеров", ОНТИ, 1934.
334
as
< S
s
CO
<
g
p
о
X
к
a
s
о
§
w
в
s
л
H
о
о
s
Ш
i
s
Pi
43
О
5
о
CO
СЧ
to
о
CT>
00
t-
to
lO
*Q
O-
O'-H
CM 00
^ oo
oo
00 CN
OO)
СП CD
oo
-Ф CD
OO)
OO
CO h-
cno
o'o
csi oo
oa>
00 en
cno)
o^o"
ooo)
oo
о
о •
о •
о
о
о"
о
со .
О) . 1
о"
о
^ .
о ♦
о"
о
ю •
О) •
о'
о-^
о
о
о"
О'-и (М
CDOOCO
со i-hcd
oo О^ <D
о" о" о'
Ю t^ ОО
CD СТ5 ел
oo С7) СТ)
о о о*"
К— ОСТ)
СГ) о CTi
о^оо
СОСГ) •
о'о"
h-OO •
Tt СП •
СПСТ5 •
0*^0"
со со
ОО) •
OJ СП •
0*^0"
COh-
cocn •
o'o"
01--.
t-"Cn .
0*^0"
C£>00
ООСГ) •
OC71 •
cTo"
CO 00
cocr> •
0*^0
OCT)
COO^ •
00 en .
o"o
C£>0^ j
CCCJ) •
00C7) •
o*"©"
0»-^<M
CM
0
0
0' 1
0—" CM CO
cocncrxji
00 CO t^ 0*)
t--. r- en en
1^ CD 0^ en
<£<£cDc£
COOOO^CT)
00 CM OOC75
^^ 00 en C75
00 CD cr» en
0000
^ -^ Ю
000:) •
CO CD CD •
: OOCD CD •
cTcDo
CM»-" t^
1 00 COCD •
, 00 CD CD •
OOCn CD •
Oo'cD
0 lOCD
•^ lOCD •
0 CD CD •
Oi CD en •
о"с:Го
CDlOC?5
t-- b. CD •
CM CD CD •
CD CD cn •
cTcDCD
^05
^ 00 . .
lOCD . .
CDCD • •
o^o"
10 en . .
lOCD . .
CD CD . .
o'^o*
t--.co
OCD . .
cOcn . .
CDCD . •
0*^0"
lOlO
lOCD . .
tr>cn . . j
CDCD . •
CDcT
^ CO i
OCD . . 1
h- CD • .
CDCD . .
o^o"
CM 00
lOCn • .
t--. CD • .
CDCD • •
ocT 1
o—'CMco
о
о" 1
C>^ t<itO^
0 COCM^ CD
LO 0 COOO CD
0 »—' 00 O^cn
cl: 0^ CD 0^ en
Oo'cDo'o'
CD COlOCO
en CD CM CD '
CO CO CD 02 •
CO 0:) cn CD •
O'^CDO'CD
t-- CD h- 00
CD CO COCD •
CO CD en 0*) •
, t^ Oi Qi Ql
o'o'^oo'^
OOC^l OCD
t^ '^ 00 en •
t--. r-CD CD •
t^ CD Qi Q5
CO cT CD CO
t--ScD • •
.—100 cn • •
00 CD CD • •
o'o'o"
^^ CO
OOCD • •
e:) G*) CD • •
OOCDCD • •
o^o^o"
^ Г-- CD
Tt ЮCD • •
0 CD cn • •
CD CD CD • •
o"o"o'
lOCOCD
cocoen • •
^^ cDen • •
CD cn CD • •
CDo'cO
h- COCD
CM t-CD • •
CMCDCD • •
CD a:) en • •
o"o"o"
^0
CMOO • • •
COCD • • .
OJCD • • •
CDO*^
1ЛЮ
^00 • • •
^ CD • • •
O^CD • • •
CDcT
00
^CD . . .
lOCD . . .
CDCD . . .
o^o'
O*—• CM CO ^
0
CD
0 ^-< CM CO -^ UO CO
I CM 00 CO C^) 00 Ю CD
Tf 10 ^^ CM CO Q) CD
CO CO CM 00 en CD CD
CO t^ Oi CD CD C) CD
<Э CD CO CO 0" o''<I^
t-io coooooo^
LO CD -^ —• 00 CD •
Tj^ CD 1С CD CD 0 •
-^ 00 0^ CD CD en •
CO cd" CD CD со" CO
lOlOCOr-* h-
LO cn 00 t-- CD • -
■^ 1^ t^ CD C:) • •
LOOO CD CD CD ' •
cocococoo"
LOTf 00 CO CD
CO'—t CDOO CD • •
0—t OOCD cn • •
CO CD CD CD CD » •
COCOCOCDCD
CO'—' C3^ -4}* 1
1^ 0 СЧ1 Ci .
CO "^ CD 05 ♦ . .
COCD CD CD . . .
o^o'^o^o"
CO!-- 000
CO"^ r-CD • . .
CO CO CD en . . .
t^ Oi 0^ CD •
CO^CDCDCD^
-HOO-^
h- COCD • • • •
-^OOCD • ' . ♦
OOCD en • • • •
CDCDO*^
r-CD-Ф
CO CO CD • . . .
COOOCD • - . .
00 CD CD • . . .
0*0" 0'
00 Г-'СО
О CD CD • . . .
LO OOCD • . . .
00 en cn . . , .
CD OCD
— ^ b-
OOCM CD . . . .
coo^ en . . . .
00 CD CD . . . .
cTo'^o"
oocooo
10 '"Ф CD • • . .
COCD CD • • . -
00 0 CD • • . -
o"o"o" 1
OiCMo^
S5 CO 0:) • • • •
Oobcn . • • .
CD CDCD • • • •
OCDCD
CD 1—1 CM CO Tj< Ю CO
C^l
0 1
CD 1
385
о
о
Cu I
о -^ ОЮ Tj- Ю CD l-^
O»-<CSlC0Tfl0C0t^00
о -^ Cvi CO -v^- 1/5 CO
—.С000СМ<МСОГ0СГ)
OOlOOt>-cOCDCT>Cni
.— ю^оооослспсл
ОООООООСЭ
t-- ю CM со со oo со
LO »-• C^l 00 со со СП -
СТ) со ОО '•-О ел CJ) CD •
см со 00 Сз ел Oi CJ3 •
Oo'cD ОСэ'о о
о —' СП -м от оо
^ со спсооосл • •
о !•-- со 00 С7) С7> • •
Ti' 1-- СЛ <Л СЛ CD • •
OCDCDO'CDCD
CDOOoocgcn
t-- ОО CM со CD ел • •
со CM о ел CD СГ) • •
•^ ОО CD С^ CDO^ • •
оооооо
оо см о со 1^
со о CD tN- СГ> •
•"vl^ со 1^ CD CD •
Ю ОО CDCh CD •
ооооо
со о со d CD
СО Ь- OObCD
со см CD CD CD
CO CD CD СТ) CD
о"сГо C^CD
-4f LOCM Ol
CO CO CDCD •
t^ CD O^ CD •
CvlOOOCJ^
O—• CO CD
COt^CDO^
l^ CD Qi CT3
OcTcDO
t^ t^ coa^
CO h^OO O^
OCI^CDC^
b- O^ CD СЛ
OCDCDO
OOCMCD •
OOOCD •
OOCDCD •
О lO Ю
CO Ь, CD
COoO C75
00 CD CD
OO-^CD
ЮСЛ CD
OOCTJCD
O-HCMCOT^LOCDtN-
CDlOt-CDOCO^CMCD
CD<ZЭCOCD^^ЮCOCDCD
C-lC:)t-.COLOOOCDCDCD
1—i-^COOOCDCDCDCDC^
ooooooooo
TJ^OUOCMCZ^-^OOO
Ю '—• lO 1Л CD 1Л 05 CD •
CD CM CO O-l Г-- CD CD CD •
T-HLOt~-(JiCDO^CDCD •
осэсГс^ооосэ
CD C^l —• Tf t^ CD CD
CO —« CO CD CO C30 CD • •
C7^ CO OO 'sO O:) CD CD - •
CI CO OO CD CJ^ CD O^ • •
CD CD CD О CO CO О
•^OOLOLOCMCO
о to CO CO t-- CD • • •
CO CVD CM 00 CD CD • • •
CO t-- CT> CD CD CD • • «^
OCDO'CDCDO
О CO !—• CO CDCD
CMO CDCMO^CD • • •
'^*—ilOO^CDCD • • •
Tj< 00 CD O^ CD CD • • ♦
О OOOOO
»—I CD b- CO CO
CM CO CD t^ CD
"^ OO t-. 05 CD
Ю 00 CD CD CD
O^CDo'o'o'
OOOOoO CO
'^ ^^ OO O) •
CO^CDCJ) •
COCD CD CD •
o'cDcTcD
1Л CM lO t--
CM СМЮСТ) '
O^ Ю O^ CD •
COCD CDCD •
-^f CD CD OO
—.-^ COCD
CM COCD C75
1^ CD CD 05
"^ CO О CD
^ О 00 CD
LO t^ CD (75
t^ CD (Ji CD
h- ^ 00
CM 00 00
CO t-^ CD
t^-CDO)
^ CM-^J*
Ю lOCJi
1— OOCD
OOOJCD
O»—'CMCO'^UDcOt^t^O
О
о"
о
CD
CD ^ Ю^ ^ CM CM
CO CD О CO CO CM OO
Г-- l^ •* CO CD CO OO
C^ CM LO t-- OO CD CD
О OO OO OO
Ю »-• b-oo о ^^ CO
CiO CD CO «—' C-1 CO CO
C^ a> t^ CO LO C30 CD
^^ CO CO OO CD CD CD
О О О CD О O^o'
CO LO CM C^■l •vJ' h- ^
>5^ CO CM CD "^ CO CD
^— Ю 1—' CO OO C:) CD
CM Ю OO CD CD CD CD
CD CO'O CD О CO О
T^ -^ CD CD a; 00 ОС
1-- CM CM LO CM OO CJ)
t-- -^ b- CO CD CD CD
CM CO 00 CD CD CD C?5
cSc^CDCD cTcO CT
LC OO Ю — ^ t^
OO LO ^ '^ t-CD •
lO CO CM (30 CD CJ) •
CO t-^ CD CD CD Q-^ •
o'cDCDCDo'o'
COO OOIO^ CD
CO CD CO -"nI^ CD O) •
CO CM CO CD CD (J-3 •
Tf OOCD CD O^ CD •
cdo^o cdcdc?
^-. CD ЮО CD
OO CO 00 (Ji CD • *
CD '—« OO (Ji O^ • *
LO CD CD (^ СТЭ • •
CDOO'OO
CM OOCO "*
OOO^CD • • •
CO C^ 05 CD • • •
COCD CD CD • • •
ocToo
T:f OOCM CO
COCM ^ CD • • •
CO "^ CT> CD • • •
COCDCD CD • • •
CD cT CO CD
CO CO CM 00
OOIOCDCD • • •
CD Ю О O^ • • •
CO CD CD CD • • •
«— CM 00(35
lOt^ t^CD
CO COCD CD
b- CD OCD
CD CD CD CD
OO^ 00
cob-oo •
t-«CD CJ^ •
О —« C^l CO ^ Ю CD
386
d
X
о
о
Он I
а
O^CMCOTtlOtOt^OOCTiO
OOCMOO
G^ о <yi
(Ji (Ji (Ji
Oi
c^
c^
c^
8
O-^tNCOTfLOCDr-.OO
COOCMCOCD"^—-COCOCOOO
ooooooooooo
•* cr> to CN о Cr> о t^ O^ (Ji ♦
oo a^ to 00-H c£> o:> o:» en o:» •
о (N Ю b-O^ en СГ) СГ) СГ) (Ji *
o^o о о о о о'о^о'о
tOlOCMb^OOCMOOO^ ♦ • •
LO Ю го (Ti to СП О^ СП ♦ • •
t—I-* ь, 00 о^ (Ti ел о^ ♦ • •
оооооооо
»—il-O'—«'^OOO^CTiCn
СЧ1ЮООО^О^СПСГ)СГ)
^н lO о о -^ ^^ о:»
oOLO'—« ^ а>о^ •
Oi to со ь-с^) а> сг> •
см со 00 О^ О^ СП О^ •
о" о' о' о^ о^ о" о^
со 00 О^ С£> to 00
LO со <N о:» со CTi • •
CTi t^ ^ ОО С^ C7i • •
со t^ сг) a-i с^ ст) • •
OOOO^OCD
С£>^ см ООО
OOC^J—« со ел • • •
со сооо СП о:» • • •
юооо^сп о^ • • •
О^ о о CD CD
о CM CM Ь'СП
со CM tooocn • ♦ •
t^ оооо^сп • • •
LO (75 СП O^ O^ • • •
o"oo"cDo"
to 00^ CO
СЛОО O^ • • • •
о CMO^O^ • ♦ • •
tocno^cn ♦ • • ♦
о o'o'co
in CM t- о
ООООСОСП • • • •
-^f coo:»o:» • • • •
СОСП СП СП • • • ♦
CD OCD CD
C^^ CM 00
o^^ too^ ♦ • • •
coinc^c^
tocn o^o^ • • • •
СОООООСП • ' • •
CO СОСП a^ • • • •
t^ СП a^ o^ • • • •
oooo
CDLOOOb-OOb-Ob-
COCOOCMO:»LO.—'OOCM
CMCMt— COCMCO'^b-O:»
Oi—iCOlOb'OOCnO^Cn
ooooooooo
cn«—чль-соспсмсмю
TtOCMCO^i—'O^OO
юсмсоо:»ю^ооо:»сп
осм^соооо:»спспсп
o^o^o'o о о о о о
•^^t^Ob-OO»—'СМО:»
соо:»оою'^сосоо:»о:»
,—itO'^^'^OOCnO^O^
1—icocoooo^cncno^o^
о'о^ О^ CD о" CD со О^ о'
OCOCD-^COLOt-OO
со о^ со со см со оо о^ •
со со-* о Ь'о^ о^ СП ♦
»—«"^Ь-О^О^СПО^О^ •
о' о' о о" о" о' о" о'
см СП о о^ со ^^ ь,
Tf со СП см о:» оо о:» • •
со оо со ю со СП а> • •
см LO 00 СП о:» о:» о:» ♦ •
O^O^CDCDCDo'cD
Ь^ ОО'-• LO см
rococo h- см Ь- о:» • • •
со^^ ооспо^ • • •
со t>- о^ с^ <yi <yi ♦ • •
о" CD о' о" о' о"
о со 1^ -^ Ь'
Tf со --^ со СП - • • •
оо -^ tr^ <yi <yi • • • •
Tf ОО СП О^ СП • • • •
OCD CDCD CD
Tt О^'— Г--00
о см о:» t^ о:» • • • •
см Ь' г- спо^ ♦ • • •
LO со CTJ СП О^ • ♦ • •
ооооо
сою со г- СП
о:» со lO 00 о:»
1-0 О^ 00 СП О^
Ю со СП СП О^
о'сооо'о^
t- t^ coco
^ оооо^ •
о .-^о^о^ ♦
соспо^о^ •
ОСМ CMt--
ь- о:» '«*' о:» •
Tt^ со спел •
СОСПСП СП •
1Л Ь- СОО:»
CD О^ СП СП
о—«СМС0'«^10С0Г^00СПО
(О
о
O^^<NC0^sf^CC0^^00
387
1^
ю
о
а
о
^1
о
со ^ ст>
Qi С75 о
0)0)
o»-«<NcOTMccct^ooo)0—.см
' CS со ^ Ю 'sD t^
LOCO сою
^н аоОА СЧ
00<N Tj«
00000<М'***"**^С0 1ЛО)
CJ)^^-^5^C0tJ^06O)O)
С^О)О)Ю00О)О)О)О)
С0Ь.00О)О)0)0)О0)
о о о сЗ о о о о о о о о о
Ю0)0)0
со lOCDO
O-r-iC0<£)
00 со*Ф со соооо
CD со С<1 N. «£> о О)
ООО со 00 О) 0>0>
1^ О) о О) О) О^ 0>
о CD о о о о о о о о о
О00-фСч»С£>1^00О«ЭО^
см 1Л ю •ч;}^ см о'-< 00 О) с: •
00O:>CDC0^^r--O)OlOiO> •
о см Ю t^ CJ) О) О) О) CJ) О) •
С5ооос^сэсгэ"ос:эсэ
■^|^000)Oit^C>lioCJ)
'^-5f'CD-*T}Ht^t>Cr>a)
CMC7)t--C£)LOooO)CJ)Oi
^^COCDOOCJXDCDCJXT)
0*0 сГо CD <3 o'er о"
l^CJ)0)Tj^t^CNl'«*»O
00 CD l>-о'—• CD CJ) O) •
OO »-^ OO CM C30 O) о O) •
»—<L0t^0)0)O)0)0) •
о CD CD о CD^o'o'o"
CO t^ CD t^ о CO Cr>
CD 0> 1^ CM Ю CD O) . •
CO Ю 00 O) O) O) CJ) • •
<M CD 00 O) CD СГ) O) • •
c^ cT cd'cT cd'cT cT
>*»^ CDCSJ r;^
^ OJ CD '4f CD • • . •
CO —• iOO)CD • • . .
'^OOCDCDCD • • • •
с^с^сГсТсэ"
CM t-- OJ COIN-
CM—. CD COCD . . . .
N» Tj* 1^ O) Oi . . . •
Tj' OO CD CJ) <J) . . . •
о cTcTcDo
CiCvjCDCJOO)
CO OCX) N.CD • • • •
»-^ l^t^OO) • • • •
ID 00 CDO^O) . . . •
o'o'o'cDcD
00 rf OOOO^
N-I^CDCOO) ....
ЮО)00О)О^ ....
IOOOCDCDO> • • • •
cTcDo'c^CD
CD(M-4 0)
о C^CDCD
CDCD O) CD
—« CDIOOO
CDlOinCD
10-^0)0)
CDCD CD CD
О C>q 1/.^ CO r- CM -«i^ CM
^ CO OON-tv^OcO
OIDCDCOCMO-'^'CM
OO'-'COliOt-OOO)
CDOOOOOOO
OO-^CMCOlD^OO
COTrO>CDOCOCDlD
CM»—«000*-«ЮС01^
O*-<C^l0l>.0CCDCD
о о о сГо сГс^сгГ
1—«COlClOCMO)OOCD
CDTfL0N--H*-«4f40
ЮСООО—*r«-1000CD
OCM'^b-OOO^OCD
О О О CD cTcd'cD CD
CDCDCOCD^OCCCJ)
Г*- OO CD CD *-« CD ••^ QO
g}CMO—icOb-oocD
OCOCDOOOCDCDCD
О О О о'о^о'сГо"
CDCD'^I^OCMI^OO
^-^ —COO»-*COOOCD
lOlOCOOI^aJCDCD
♦—iTft^CDO)O^OCD
О CD CD о''CD^ сГ CD* сГ
OiC-" —^ OONOO
CO CO CO о T-« oO CD •
^ о ID CD C7) O) CD '
CO CD 00 O) O^ CJi CD •
О О О CD о cTcD
^ CDO C^ О CD
00 -* CD'—' CD CD • •
CJ) r^ r}< CD CD CD . •
CO r>- CD CD O) O) • •
OCDCDCDOO
CD 00 ID CM LQ
t—OOO^ -^ CJ> • • •
<M О lO CDCD . • •
^OOCD CDO) . • •
cTo^o^o^o'
CO CO ^^ CD N-
OCO^ CDCD . . •
t-" Tj< l-~ CD CD • • •
rj* 00 CD CDCD • • •
CDCDO'CS^O'
OO LO t^ CM CD
CD -^ О GO CD • • •
<-« N. OO CDCD • . •
Ю OO O) CD CD • • .
o'cDO^o'cD
CD 00 CO CO
r^ -* OO CD . . . •
CDOOOCD . . . •
LiO CD Oj CD . • ■ •
OCDN N
^;^oq COCD
CO CO CD CD
CDCD 0> <T)
N
О
О'—COCOri*LOCDNoOCDO'-^CO
O-^C<lC0^u:iCDN
s
388
а:
о
П :
О
О- 1
\ 00 ел О^ CNCO
О — C^cO^lC^t^COO^Ot-HCNCO'^
!>. Ь-Ю 00 ел о
о 00 <7i О^ О^ О^
О^ О^ О^ О^ СГ> О^
оооооо
О^ О^ О^ С75 • •
О^ О^ О^ 05 • •
ООО
0)0)
О) О)
о" о"
ОО
О) •
О) •
О) •
о
CN00l^c0<M^HC<IO)*-«iOCD00Ot>-O
ЮСО-^О—«CDOr-C^lCOcDOOO^
OC3--H(M'^CDt--.0)0^0^0)0^0^0^0>
ооооооооооооооо
ooioo0'-*ot--ii:)i—1ЮО)Юсоо^
^ ОСЧСОО>СОООО^ ^ ООО^ СП) • •
^^ ОО <М см <М СП о LO 00 О^ СТ5 ел 05 • •
<::> со» c<i ^ ^а t>-о^ о^ G^ Oi о^ а^ (Л • •
о"ооооо"оосГсГо"осГ
-^b-'^-^l-OOOCSICslOlOO»
см со ^ г-^ to т}н c>g 00 О) 05 . . . -
'^ 00 ^-н'^t» см <М t^ О) О) о» Oi . . . .
0»-«rJ<(LD.OOC^O)05C7i050i • • • •
о сГсГо о"о"о о"о о о
ООСМ'-^СГХОСОЮГ^ЮСЛ
'—•— r--CQCMCDOr--.C7lOi
h-t--COCDC3COO>C7lC7lC7i
OCML0t^Cr>CTi05O)0505
ОООСЭОООООО
cjOt--aiC3oot--cDtDO)
-^—|СГ)Г:--Юоог^слсл
C<ia5t-,CDl00005C75Cr)
^^00^0000)0)050)0)
ел о О) со -^ ОО 1^
Ю О) LO '^ t^ t^ О)
о '^ —« тГ ОО ел О)
см ю ОО О) ел ел ел
о о ОО ОО о
оооо i-HCM со
8
о
ь-»—< 00 CN "^ ел
ОО to ел t^ ОО 05
'^ со см 00 ел ел
со t^ ел ел ел ел
о о» осГсэ^о»
■^ ОО о г- ^-* ел
ь- ^ t-- ^-^ ел ел
ОО t-- '*' О) О) О)
со 1> ел еУ) О) ел
о'о'о'с^сэо
LO ^н ело со
о со —11Л ел •
со'—' соо)ел •
■^ ОО ел ел ел •
о"о с^о о"
со со со со ОО
сэо о '^ ь- ел ■
1^ ио t^ ел ел •
■чф ОО ел О) ел •
о о'о ОО
'^ г- c<j г^ел
1—1 LO -* ОО 05 •
СО ОООО ел ел •
юООО)О)ел •
о о> о» о о
ООО—lO)
О) '—• 05 0>
LO 05 05 ел
ооо^о
О'—•«NcO'^J'iOCDt—OOd^O^—.СМСО-ч^-
о
СО ел см
ООО
LO—iCO
ооЗ
с:ГсГс:Г
со О'*
ь-оо—<
о ^ ю
оо^
см ^ 1^
t--co со
^^ слю
oocq
ООСОСЛ
ООЮ-*
со ь^о
-^ сосм
Ь-ОО^
ОО'—СЭ
осою
O5C0CN
СО'^ о
сл'* см
^м ЮОО
-^СЛ05
сослю
смюсо
ЮСМОО
см b-Tt^
Г--ЮСЛ
см со СО
SCO см
toco
СМ'— см
со t--05
t-,COCM
со t^o>
eDOO
t^CM-*d*
c^ujco
-ФС0|>
-^OOO)
ООСЭ
12
о
389
с
s
о
о
CO'^lOcr»r--OOCr>0'-^<NcO'^lCCOI>.00
tDCNOJ'—«OOOO^^Ot^CTiCD-^OOCDaiaJ
O'-4CNC0L0t0t^00C7iCJiCr>CT>0^Cncna>
cTooo ooooooooooocT
CO CD CO о LO c^ CO t--00 CTi en o) en ■ • •
^^ cN-* CD t--oo en a> о o) oi CT5 CT5 • • •
СЭ cTo о о сГсГо'сз о"<э <z> <!:>
t^lOcD'^CNCNCO'—<<NOO
(NCN^H-ThCOt^Cncncncn
COLOl^C30CJ)OCn<J5C)Cn
>-c/
^^^^LOiOioocniLoai
^^CNoOOTl'CNr-Cncn
t--C!OCOCOt^O>CncnCT)
'^СОоОСЛО^О^СПО^СТ)
CO о czTo o'o'czTo"o
r-cjj csi GO "^ oo en
■^ CM CO t^ о cji en
CD 00 (J3 Qi 0> O^ CD
o'cDoo'o'oo
t--CO <N'^'^ O^
CM OO CO CD en en
(N CO 00 O) en a>
OO CD O^ 05 O^ CJ)
о о"о"о'сэ о
о-—« CDO>
ООСЭОО
lOOi СП о
Qi CJ) о <J5
о"<=Гсэ"сГ
CD'^ СП
CD CTi 0>
СП CJ> <J>
CD -нОО
<ji ел (Л
CD со о
t--CX)<J5
с» СП СП
<л ел <л
сл<л
О) CD
00 CD
CD CD
CD CD
CO "^ lO
CO r- ЮО
1—' Ю oo oO
oooo
ooooo
'—• Ю en Ю CD CO
CZ>i—' t-'OO Ю»—»
CZ> о о Cv| f^ CD
oo oo о ^
CDCO^cToczTcD
CM LOCSI t-- C^LO
0'~< '^ СЧ ЮСЯ
СЗО O^ CN'^
со'^ c^ о t--1--
CO t-- СЭО "^ о CD
о O^ CD CO C^ ^^
о о о СЧ -^ CD
сГсГо о сГо"
ю оа-н Tf со сч
^^ СП CD 1—• CD Tf"
^ CD С:> »->н (N о
ОО (М -^ CDOO
о" о" о" о" сГ о"
CN—' OC<J 00 О)
Ю t--00 ОО Ю 00
со CD CD "^ со со
о —* со CDtXDO
o'o'o'oCDo"
'^ 00 00 —< СЧ CD
ь- ю i^cn t^co
о t-- t^ t-CD<D
^^ со CD 00 <DCD
C^ CN CSl '.^^ -^ CD
'^ CD 00 T*^ <Z> CO
CO CO CO .—I oo CD
^^ "^ t^ 0> CD O^
о oo <£cScD
CO CO CD t-. CD 00
t- CO CO CO CDOO
CDO CD Tf 00 O^
»-H LO l^ CD CD CD
о о о о <z> cT
1-- t^ о t-. со со
CD CD CN CD Ю CD '
о t^ Ю CD CD CD
СЧ lOOO CDCD CD
оо"сГсГсГсГ
^ ^ T^ О'* CD
(N Ю ^ COOO CD
CDtOO OO CD CD
СЧ CO en CD CD CD
о'осГсз'о'о
|>.СО^^ со t--
t^ l-- СЧ со <D •
(N CO Tf CDCD •
CO t^ (J> CD CD •
ooooo
CO'«fLOCDt^OOCDO^^(NcO'*lOCDt^<XD
<::» ^-* cs CO '^ lO
о
csj
390
о
<
о
Си I
OCTio^oo-^-^oococoooaiOiCDo^a)
l-H.—<COT**LOt-0000QJ)CnCTiCDCDCJiCT)CT)
oooooooooooooooo
to t-. CO —r Ci CQ to о (N t-CD CD a> ' • •
CO CO a> CO CO-^ lo oo oi cr> C7i a> cj> • • •
cvj Tit* Lo t-CO O) a> CD СГ) cr> cj> CT> cj> • • •
о о о'сГсГсГо о о о'о"с:Го
OoOCOC7>'^LOCT>^^OOa>
г-о—'OO^oci^cDcnai
о сг> t^ со ь-CD а> сг> СП сг)
to t-00 а> СП С7> СТ> СП СП СП
о'сГо о о о о о о о^
о осо од "^ ооспсп
00 CD ю 00 О) СП а> СП
t-00 СП CJi (J) СП СП СП
сГ о" сГ сГ о" о'о" сГ
со СП о "^ 'Ф СП
cob-ot^cncn
'—<CD(j)O^CnO^ • •
05 СП СП СП СП О^
сГосГоо'сГ
05 00 СМО
*—1Ю05СП
оо а> CD СП
05 СП CJ5 05
-HCD
OiCD
СП СП
CJ5 СП
о" о"
<J5 •
О)
<Ji
сГ
CD
CD
СП
CD
CD
CDt^OOa)O^^C<JCO'^lOCOr--oOCDO^^
391
ТАБЛИ}(( Л n.T.lr,
Значения a^=nq дЛй заданных вероятностей распределения
Пуассона /
Ао
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
И
Аг
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 ,
^^
12
13
14
15
а '
J
0,01
1 0,05
1 0,10
1 0.90
0,95^
1 0,99
^
0,99
0.01005
0.14856
0.43604
0,82324
1,2791
1.7853
2,3302
2,9061
3,5075
4,1302
4,7712
5,4282
6.0990
6.7824 1
7,4768 1
1 0.95
0,05129
0,35536
0,81770
1,3663
1.9702
2,6130
3,2853
3,9808
4,6952
5,4254
6,1690
6,9242
7.6896
8,4640
9,2463
0.90
1 0,10536
0.53181
' 1,1021
1 1,7448
i 2,4326
3,1519
3,8948
4,6561
5,4324
6,2213
7,0208
7.8294
8.6460
9,4696 i
10,300 1
0,10
' 2,3026
! 3,8897
5,3223
6,6808
7,9936
8,2747
10,532
11,771
12,995
14,206
15,407
16,598 1
17,782
18,958
20,128
1 0.05
2,9957
4,7439
6.2958
. 7,7536
9,1535
10,513
11,842
13,148
14,435
15.705
16,962
18,208
19,443
20,669
21,886
0,01
4,6052
6.6384
1 8.4060
1 10.045
, 11,605
13.108
14,571
16.000
17.403
18.783
20.145
21.490
22.821
24.139
25,446
ТАБЛИЦА П.7.13
Нормированная функция Лапласа
^•'<^)=71гЬ'''"
'
Z
• 0.0
.0.1
щ^^
0.3 ,
. 0,4
0,5
0,6
0,7
Сотые доли для г
0
0,0000
398
793 '
0.П79
554
915
0.Ш7 1
580
1 1
1 040
438
«32
217
591
\950 ,
291
611
1 ^
080
478
871
255
628
'985
324
642
3
1 120
517
910
293
664
019
357,;
673
1
4
' 160
557
948
331
700
054
389 1
703
1
S
' Щ
596
368^
736
088 1
422
734
1 ^
^тл
636^
N026
'406
772
123
МАЛ
764
1 7 1 8
fii^'
675
064
443
808
157
486 1
1
319
714 1
103
480
844
190
517
823]
1 ^
359
753
141
517
879
224
549
852
392
П родол ж ение та б л. П,7.13
2
0,8
0,9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2,2
2,3
2.4
2.5
2.6
^>|
2,8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
26—108(
Сотые доли идя г
1 0 12
881
0,3159
413
643
849
ГР,$032
152
332
452
554
641
713
772
821
860
966
892
918
' 025
937^
903
0.4953
388
965
330 1
910
186
437
065
869
049
207
345
463
564
649
719
778
826
864
474
895
920
' 237
939
634
954 '
729
966
358
974 975 1
449 229 1
981
342
986
501
990
324
993
129
995
166
5
981
929
986
939
212
461
686~
888
066
222
357
474
573
656
726
783
830
867
906
1 898
922
397
941
323
956 1
035
967
359 1
975
988
982
498
987
938 361 1
990 990 1
646
993
363
995
335
L
{ 3 { 4
967
238
485
708
907
^
236
370
484
582
664
732
.788
' 834
' 871
263
900
924
506
942
969
957 '
308 1
968.
333
976
726
983
052
987
772
991
957 260 1
993
590
995
499
993
810
995
1
995
264
508
729
925
099
251
382
\^)
Гбш
671
738
793
838
874
545
903
926
564
944
574
958 1
547 1
969
280
977
443
983
589
988
171
991
553
994
024 1
995
658 811 1
1 1
1 ^
023
289
583
749
944
115
265
394
505
599
678
744
798
842
877
755
906
928
572
946
139
959 1
754
970
202
978
140
984
111
988
558
991
836
994
230
996
959
G
051
315
554
770
962
131
279
406
515
1 ''
078
340
577
790
980
147,
292
418'
525
608 1 616
686 1 693
750
803
846
880
894
908
930
531
947
664 1
960
930
971
099
979
818
984
618
988
933
992
112
994
429
996
103
1 ^
Г"
106
365
599
810
997
162
306
429
535
625
699
756 761
808 812
850 1 854
883
962
911
932
493
949
151
962
074 j
971
972
979
476
985
ПО
989
297
992
378
994
623
99^
242
L
886
962
913
934
309
950 i
600
963
189
972
821
980
116
985
588
989
650
992
636
994
810
996
376
1 ^
133
389
^ 621
830
015
[ 177
319
441
545
633
706
767
1 el7] W
857
889
893
915
936
128
952
012
964
274
973
646
980
738
986
051
989
992
992
886
994
991
996
505
393
z
3.4
3,5
3,6
.#,7
3.8
3,9
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
5,0
0
966
631
997
674
998
, 409
: 998
922
999
274
999
519
999
683
999
793
999
867
999
915
0,.^9
946
999
966
999
997
I 1 2
996
752
99z:;
1 759
1 998
469
998
964
999
305
999
539
999
696
999
802
999
872
999
918
999
948
999
968
996
869
)997
842
998
527
999
004
999
333
999
557
999
709
999
811
999
878
999
922
999
951
999
969
П p 0 Д 0 л ж eji и e т a 6 л. J
Сотые доли для z
ZJ
996
982
997
992
1 998
1 583
999
043
999
359
999
575
999
721
999
1 819
, 999
883
999
925
' 999
1 953
1 999
971
4
997
091
997
999
998
637
999
080
999
385
999
593
999
735
999
826
999
888
999
929
999
955
999
972
5
997
197
998
074
998
689
999
116
999
409
999
609'
999
744
999
834
999
893
999
932
999
957
999
973
_i_
997
299
998
146
998
739
999
150
999
433
999
625
999
755
999
841
999
898
999
935
999
959
999
974
_!__
997
398
998
215
998
787
999
184
999
456
999
641
999
765
999
848
999
902
999
938
999
961
999
976
}
f
k
997
493
998
282
998
834
999
216
999
478
999
655
999
775
999
854
999
907
999
841
999
963
999
977
"1.7.13
9
997
585
998
347
998
879
999
247
999
499
999
670
999
784
999
861
999
911
999
943
999
964
999
978
Примечание» В таблице заданы лишь три последних
десятичных знака из четырех; первый из них записан в графе „О" данной
строки или выше данной. Если перед последними тремя десятичными
знаками стоит точка, то это означает, что первый десятичный знак
надо смотреть в графе „0"^ следующей строки. Например, для
2=0.53 имеем ф^ (0.53) = 0,2019 (а не 0,1019).
Для значения 2,2^2:^50 под основными четырьмя десятичными
знаками функции Ф© (z) даются еще три десятичных знака. Например,
при 2 = 3,51 находим (3,51) = 0,4997, т. е. ф^ = 0,4997759
Пример. Требуется определить вероятность того, что
нормально распределенная нормированная величина z имеет значение в
интервале от О до 3.28. Имеем P(0<z<3.28), Фо (3,28) =0,4994810.
394
<
иг
S
с:
<
0<NT**00(>Jt^COOOOr^
сГоосГооооо*сГ
CT>00t^CDlOTrC0CSl^^O
О О О О О О сГо o"o
оо"о о о о*осГс:>о
0-^СОС001Л»->ООСОЮ
сГо'сГсГо о* о" о сГо
S
S
CJ
X
в»
с&
со
cd
s
ю
0--<COtOC5LO'--'l>-lO'*
lOLOLOLOCDCDl^l>-OOCT>
OOOOOOOOOCZ5
oo"oooocDOoo'
CDOOI>-CDLO'^COCN CSTi.-^
o^cTo cTo^o о о сГо
O'-^CNLOOOCOCntOCO'^
OOOOOOOOOOOiCnO'—CN
o'oo'o^ooo'oo'o
O'-hC<1l000(M0010<NO
oooooocTocTo
ООСЧ'^ООСМОО'*—'O^
OOOOO^—'-^CNCOCO
-H cTcTo o'o^o о о cd"
0»-нС<1СО-^ЮС£?1-~000>
oooooooooco
сГ сГ о сГ сГ сГ о о" сГ сГ
о
о"
CD
о
со
о
о
о
о со—• со
00 t^ CD CD
со OO СП 00
ЮЮ со (X)
СОЮОО'—•
00 t- со со
сгГсГс^ГсГ
coco о ю
г*^ СОО^СЧ
00 t^ со со
^^1--СО
см—• !>.—I
LO t-- О) со
00 t- coco
t--00 г-со
ООО^ Г^
<£)Г-ОСО
OOt- t>- со
'Ф СОООО
СП со—« Tf
со ОО—« т*^
00 t-- t-- CD
00 т** со о
t-cn»-' ю
00 t- ь- со
ою-< о
со см со 1^-
со о см ю
00 00 t--со
cocoti- 1--
ю о со со
о ^^ со со
00 00 I- со
сГо'сГсГ
00 Ь- 00 со
тЮО ОО
СП 001>- со
сГосГсГ
26*
395
d
s
4
о
Ч
о
о.
396
со CD 00 t^
т*^ ^СОО
05 ОО'Ф 00
а> CD оо **
юг^о о
ю—«соа>
CD »-« CD «—»
с>^ СП tv-oq
'-X CD t-. со
сГооо"
05 о "<** "^
COCNCSlt^
t- CN t^ cq
о о'о'о"
ЮСО-^Г-
СЧ l>-f-^M
00 (М t^ со
LO Ю "^ т*^
COCD а> о
00 CN ^^ CD
00 со оо со
ю cji оо Tt*
"^ 1^ CDO
05 со OOrf
Ю Ю -^ Tj^
О о" о" о"
Ю '^ CD 05
О СО-^ Tt*
О ^ 05 Tt^
CD Ю т** т1*
ЮООСОСО
CD 00 CD 05
О "^ 0> '^
юсог^оо
оо
о
1--
о
о
о*
со
о
о
о'
CDCMCSlCO^^'^OilOO'—'Г-Г--СО
—<CD'*iOO5lOC0'^l>.'—<CDCO^^
t--COOt--^(MOOOCDlOCO<NO
COCOCO(M<N(N<N—H1-H,—i^^^^^-.
О o^o о <эсэс:> c^cz) о o'o о
COCDCOOCDcDO^ CDCD^—iO>C0
iOO>t--00-^l^CDCD00Cs|00'^<M
t^COOr--lO<>JC:>C30CDlOCO<NO
COCOCOCN(N<MCN-^»-«'——H^—<
О О О О о'о сГо^о сГо о о
—«O'^OO'-HOOfNCO—ЧОСМСО
O^COOO^O>00000'^0)CDCO
t--'^^.-«OOiO(>1000l>-iOcO(NO
rococo СМСЧ<МСЧ*-'»—''-«-^»-«1—«
о сГо о о сГо'о'о о о о о
OiLOtOb-t^Csl-Ti^^Qt^OJLO'^
tMCDCOCOtOCMOOC^lOOt^^
ОО'^^-ООЮСО'—'0)t^LOTf«C<lO
COcOCOCMCNCMtN'—"»—"—<—-—^1^
оо<^оооооооооо
t^O5CDlOCNcr)GvlO00CSlC0t^'^
COOJCDCDO'^CNCSJcor^CNOOlO
00tJ^'-'0010C0^-'O5I>.10^<NO
COCOCOCMCNC^C^)—t^^*— — »-x^^
ooooooooooooo
CDLOOO'^OOCl'^OlOOOl^Ol^
OC00>0>^^<0'^'*Il0C0C0OCD
OilO'—•OOCDCO'—05t>.L0^C0O
COCOCOCNCNC^Oq^-^^^t--.^^^
0 0 0C500O0O0O0O
COOOCOIOCOLOOCO'^'-^COLO
'^I>.C0CN'*O5CDl0t-.Ol0»-nt^
Oil0<Na>CDc0'-^O>l^C0'*C0O
СОСОсО(МСМ<МСМ~«^^»--<-н,--|^н
сГо o"o о сГо'сГо сГо сГо
lOCOC0CSl^^t^l--O^ ^^О CD 1^ CD
OOOCDlOt-^-^OOt^OJCvlCDCNOO
OJCDC^OICD"^»—«Olt^lCD-^COO
COCOCOCMC4<N(N-^ ^^i-4 ^^ ,—. ,—I
OOOOOOOO OiO о о о
ss
JCNCDOJOO—^0)a>05t^-^0t-
'^05000)'^OO^OCOOOTfO>
OCDC<IO^CO'^<NO>OOCO'^COO
Tl*cOCOCN<N<N(N'—^'-i*-^^
o'o'o czTo o'cTo'o'o^o o"o
C0005C4lLOCO'-«0>t>-COCDCOOO
CDt--(N—«CSjCDCO^(NLOOilOO
OCDCOOC>.T**<NOOOCD'^CO—«
Tr'cOC0COC«}oq<NCS|t-».-«^^*-r
cTo cT o^o cT cT cT О o^ cT cTcT
0>0«—'СасО-ч^ЮСОС^-ООО^ОСЧ
сГ—^^-^—^^^ ^»^—Г^^сГс^
N.
с:
0>
as
Ф
ч
о
О
1=:
X
о
о^
1=
о^
ю
о
о
^-
о
о
о"
*"-!
о
><
to СТ> О СП т*< CD со
^^ <М Ю t^ ^-^ Ю О
СП ОО t^ to to LO Ю
о о о <o о о о
о о о <з о о с:>
CD t^ со CD о ^^ 00
<М СО Ю ОО СЧ CD СЗ
СП СО 1>- CD CD Ю Ю
О О О с:> О О О
о о о о о о о
Ш CD Ю со h- Г- ГО
СО tJ^ CD СП СМ CD »—»
СП 00 1^ CD СО LO Ю
О О О О О О О
о о о о о о о
т*^ "^ со СП со со 00
'^ Ю 1>- СП со t^ ^^
СП со 1>- CD CD Ю LO
о с:> о <о о о о
о о о о о о о
^ со ^ 1-- 05 00 со
1Л CD со о со t- С^
С^ ОО г- Г^ CD Ю Ю
о о о о о о о
о о о о о о о
со (N СП Ti^ со -Ф Oi
CD г- ОО -^ ^ 00 Cq
СП ОО t-^ Г^ о LO Ю
о о о о о о о
о о о о о о о
со о Ь- —н (N о -^
t- со СП CS1 LQ СП со
о 00 1— 1-- CD Ю Ю
о о о о о о о
о о о о о о о
со СП Ю СЗО CD ее CD
00 ОО о CN Ю СП со
О^ ОО ОО Г^ CD LO Ю
о о о о о о о
о о о о о о о
со ОО со Ю Ю CQ Ю
а> о> »—' со со о -^
С7> ОО ОО t^ со со Ю
о о о о о о о
о о о о о о о
со |>- ^ со са 00 с:>
о с:) сч ^ г-- о LO
с:> ст> ОО t^ со со ю
^ о о о о о о
о о о о о о о
со Tf Ю со Г^ 00 05
CS см CSJ С>1 СЧ С^ CS
о>
о
00
о
г^
о
со
о
m
о
-ф
о
со
о
cs
о
*-<
о
о
о
о
Cv^
о
о
'^
сч
сч
о
о
t--
Tj^
cq
о
о
со
|>-
CSJ
о
о
CSI
о
со
о
о"
т*^
со
со
о
о
00
CD
со
о
о
ОО
о
^
о
о
о
ю
^
о
о
00
а>
-^
о
о
со
-^
г-
о
о
о
CSI
ОО
о
о
о
^
О")
о
о
о
,
о
о
о
.
*—»
о
о
со
сч
о
о
CD
CJ
'—»
о
о
о
ю
о
о
со
со
о
о
со
(X)
о
о
-^
г^
см
о
о
о
о
с:
о
о
о
со
со
о
о
о
1^
со
о
о
о
.
^
8
о
ю
'^
о
о
о
о
ю
8
о
ю
ю
о
о
о
со
о
о
о
Г--
со
8
о
ю
о
о
о
о
„
8
о
см
о
о
о
'^
о
о
о
1С
»-м
о
о
о
t^
о
о
о
00
о
о
о
о
см
о
о
о
(N
(N
о
о
о
ю
сч
о
о
о
CD
Tt* «—
о о
о о
о о 1
о^ о
'^ СЧ
о о
о о
о о
о о^
ю сч
8 8
о о
о* о'
Ю С<1
о о
о о
о о
о" о
со сч
о о
о о I
о^ о
о о"
со сч
о о
о о
о о
о о
г- сч
о о
я <=^
о о
о" о
1^- сч
о о
о о
о о
о о"
00 со
о о
о о
о о
о о
о> со
о о
о о
о о
о о
Г^ 00
397
Степени некоторых
X
1
2
4
5
6
7 1
8
9
10
20
30
40
50
100
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
100
Р""
0,999
0,99800
0,99700
0.99601
0,99501
0,99401
0,99302
0,99203
0,99104
0,99004
0,98019
0,97043
0,96077
0,95121
0,90479
0,9975
0,99461
0,99192
0,98924
0,98657
0,98391
0,98125
0,97860
0,97596
0,97333
0,94736
0,92209
0,89750
0,87356
0,76310
0,90
0,8100
0,72900
0.65610
0,59049
0.53144
0,47830
0,43047
I 0,38742
0,34868
0,12158
0,04239
0,01478
0,00515
0,00003
0,995
0,99002
0,98507
0,98015
0,97525
0,97037
0,96552
0,96069
0,95589
0,95111
0,90461
0,86038
0,81832
0,77831
0,60577
0,89
0,7921
0,70497
0,62742
0,55841
0,44698
0,44231
0,39366
0,35036
0,31182
0,09723
0,03032
0,00945
0,00295
0,00001
0,99
0,9801
0,97030
0,96060
0,95099
0,94148
0,93207
0,92274'
0,91352
0,90438
0,81791
0,73970
0.66897
0,60501
0,36603
0,88
0,7744
0,68147
0,59970
0,52773
0,46440
0,40868
0,35963
0,31648
0,27850
0,07756
0,02160
0,00602
0,00168
0,98
0,9604
0,94119
0,92237
0,90392
0,88584
0.86813
0,85076
0,83375
0,81707
0,66761
0,54548
0,44570
0,36417
0,13262
0,87
0,7569
0,65850
0,57290
0,49842
0,43363
0,37725
0,32821
0,28554
0,24842
0,06171
0,01533
0,00381
0,00095
0,86
0,7396
0,63606
0,54701
0,47043
0,40457
0,34793
0,29922
0,25733
0,22130
0,04897
0,01084
0,00240
0,00053
0,97
0,9409
0.91267
0,88529
0,85873
0,83297
0,80798
0,78374
0,76023
0,73742
0,54379
0.40101
0,29571
0,21807
0.04755
0,85
' 0,7225
i 0,61412
0,52201
0,44371
0,37715
0,32058
0,27249 1
0,23162 (
0,19687
0.03876
0.00763
0.00150
0,00030
ТАБЛИЦА П.7. 1
лейятиЧных дробей
X
]
2
3
4
5
6
7
3
9
10
20
30
40
50
100
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
100
Р"
0.96
0,9216
0,88474
0,84935
0,81537
0,78276
0,75145
0,72139
0,69253
0,66483
0,44200
0,29386
0,19537
0.12989
0,01687
0,95
0,9025
0,85738
0.81451
0,77378
0.73509
0.69834
0,66342
0,63025
1 0.59874
0.35849
0,21464
0,12851
0,07694
0.00592
0,94
0,8836
0,830458
0,78075
0,73390
0.68987
0,64848
0,60957
0,57299
0,53862
1 0.29011
0,15626
' 0,08416
0,04533
0.00205
П)
0.93
0,8649
0.80436
0,74805
0.69569
0.64699
0,60170
0,55958
0,52041
0,48398
0,23424
0.11337
0,05487
0,02656
0.00071
0,92
0,8464
0,77869
0.71639
0,65908
0,60636
0.55785
0.51322
0,47216
0,43439
0,18869
0.08197
0,03561
0.01547
0,00024
0.91
0,8281
0.75357
0,68575
0,62403
0,56787
0,51676
0,47025
0,42793
0,38942
0,15164
0,05905
0,02300
0.00896
0,00008
)одолжение табл. П.7.15
рх
0,84
0,7056
0.59270
0.49787
0,41821
0,35130
0,29509
0,24788
0,20822
0.17490
0,03059
0,00535
0.00094
0.00016
0,83
0,6889
0.57178
0.47458
0,39390
0,32694
0,27136
0.22523
0,18694
0,15516
0,02407
0,00374
0.00058
0,00009
0,82
0,6724
0,55137
0,45218
0,37074
0,30401
0,24929
0,20441
0.16762
0,13745
0.01889
0,00260
0,00036
0.00005
0,81
0,6561
0,53144
0,43047
0,34868
0,28243
0,22877
0.18530
0,15009
0,12158
0,01478
0.00180
0,00022
0,00003
0.80
0.6400
0,51200
0.40960
0,32768
0,26214
0,20972
0,16777
0,13422
0,10737
0,01153
0,00124
0.00013
0,00001
0,79
0.6241
0.49304
0.38950
0,30771
0,24309
0.19204
0.15171
0,11985
0.09468
0,00896
0.00085
0.00008
0,00001
399
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 1
20
30
40
50 1
1 ^^ 1
0,78
0,6084
' 0,47455
0,37015
0,28872
. 0,22520
0.175GG
' 0,13701
0,10687
0,08336
0,00695
0,00058
: 0,00005
0,77
0,5929
1 0,45653
0,35153
0,27068
0,20842
0,16049
0,12357
0,9515
0,07326
0,00537
0,00039
0,00003
0,76
0,5776
0,43898
0.33362
0,25355
0,19270
0,14645
0,11130
0,08459
0,06249
0,00390
0,00024
0,00002
0,75
0,5625
0,42188
0,31641
0,23730
0,17798
0,13348
0,10011
0,07508
0,05631
0,00317
0,00018
0,00001
0,74
0,5476
0,40522
0,29987
0,22190
0,16421
0,12151
0,08992
0,06654
0,04924
0,00242
0,00012
0,00001
0,73
0,5329
0,38902
0,28398
0,20731
0,15133
0,11047
0,08065
0,05887
0,04298
0,00185
0,00008
::: 1
X
1
2
3
-4
5
6
7
8
9
10
20
30
1 X 1
г ^
0,66
0,4^56
0,28750
0,18975
0.12523
0,08265
0.05455
0,03600
0,02376
0,01568
0,00025
• • '
0,65
0,4225
0,27462
0,17851
0,11603
0.07542
0,04902
0,03186
0,02071
0,01346
0,00018
. . .
0,64
0,4096
0,26214
0,16777
0,10737
0,06872
0,04398
0,02815
0,01801
0,01153
0,00013
. . .
0,63
0,3969
0,25005
0,15753
0,09924
0,05252
0,03939
0,02482
0.01553
0.00985
0,00010
• - .
0,62
0,3844
0,23833
0,14776
0,09161
0,05580
0,03522
0.02183
0,01354
0,00839
0,00007
• • •
0,61
0,3721
0,22698
0,13846
0,08446
0,05152
0,03143
0,01917
0,01169
0,00713
0,00005
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
г
0,54
; 0,2916
0,15746
0,08503
0,04592
0,02479
0,01339
0,00723
0.00390
0,00211 .
. . .
0,53
0,2809
0,14888
0,07890
0,04182
0.02216
0,01175
0,00623
0,00330
0,00175
. . .
Продолжение табл. П.7.15
р
0.52
0.2704
0,14061
0,07312
0.03802
0,01977
0,01028
0.00535
0,00278
0,00145
0,51
0,2601
0,13265
0,06765
0.03450
0,01760
0,00897
0,00458
0,00233
0,00119
0,50
0,2500
0,12500
0,06250
0,03125
0,01562
0,00781
0.00391
0,00195
0.00098
. . .
Примечание. Многоточие указывает на то, что значение /?*
MeHbuje 0,00005.
400
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
1 50 1
0,72
0.5184
0,37325
0.26874
0,19349
0.13931
0.10031
0,07222
0.05200
0.03744
0.00140
0.00005
> • •
. . .
0,71
0.5041
0.35791
0.25412
0.18042
0.12810
0.09095
0,06458
0,04585
0.03255
0,00106
0.00003
• > ■
. . .
0,70
0.4900
0,34300
0.24010
0.16807
0.11765
0.08235
0,05765
0.04035
0,02825
0,00080
0.00002
• «
. . . ■
Продолжение табл. П.7.15
0.G9
0,4761
0,32851
0.22667
0,15640
0,10792
0.07446
0.05138
0.03545
0.02446
0,00060
0,00001
• . •
. . .
0,68
0.4624
0.31443
0.21381
0.14539
0.09887
0.06723
0.04572
0,03109
0.02114
0,00045
0.00001
. . .
0,67
0.4489
0,30076
0.20151
0.13501
0.09406
0,06061
0,04061
0.02721
0.01823
О.ОСОЗЗ
0.00001
. . .
Продолжение табл. П.7.15
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
Р'
0,60
0,3600
0.21600
0.12960
0.07776
0,04666
0,02799
0,01680
0,01008
0,00605
0,00004
0.59
0,3481
0,20538
0,12117
0,071449
0.04218
0.02489
0.01468
0,00866
0,00511
0.00003
0.58
0.3364
0.19511
0,11316
0.06564
0.03807
0.02208
0.01281
0,00743
0,00431
0,00002
0,57
0,3249
0,18519
0,10556
0.06017
0.03430
0,01955
0,01114
0.00635
0,00362
0.00001
0,56
0,3136
0.17562
0.09834
0.05507
0.03084
0,01727
0,00967
0,00542
0.00303 1
' 0.55
0.3025
1 0,16638
\ 0.09151
. 0,05033
0,02768
0,01522
0.00837
0,€04б1
0,00253
0,00001 0.00001
Значения функции F© (х)
ТАБЛИЦА П.7Л6
X
0.0,
0.1
0.2
0.3
0.4^
0.5
0.6
0.7
0»8
0,9
1.0
ы
1.2
1.3
1.4
1,5
Ь6
1.7
Ь8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3-3
3.4
3.5
3.6
3»7
3.8
3.9
4.0
4.1
4.2
4,3
4.4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5,t
5.2
5.3
5.4
5.6
5.6
5.7
5,8
5,9
6.0
0.
0.
0.
0.
0.
0,
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0,
0.9
0.9
0,9
0.9
0.9
0.9
0.9
0,9
0.9
0.9
0.9
0.99
0.99
0.99
0.99
0.99
0,99
0,99
0.93
0,93
0.93
0,93
0.93
0.93
0.93
0.^4
0.9»
0,94
0.9*
0.9*
0.95
0,95
0,9»
0.?)5
0,9*
0.9»
0,9» ^
0,0в
0,9в
0,9'
0,9^
0,9'
0,9'
0,9'
0,9в
0.98
0,9«
0.9»
0
б 000
5 398
5 793
6 179
655t
6 915
7 257
758)
7 881
8 159
8 4J3
8 643
8 849
0 320
1924
3 319
4 52Э
5543
6 407
7 128
7 725
8 214
8610
8 928
1 802
3 790
5 339
6 533
7 445
8 134
8 650
0 324
3 129
5 166
6 631
7 674
8 409
8 922
2 765
5 ISO
6 833
7 934
8665
1460
45S8
6 602
7888
8 699
2 067
5 2Э8
17 134
|8 302
004
421
667
810
893
40
67
82
90
1
5 040
5 438
5832
6 217
6 594
16 950
7 291
7611
7910
8 186
8 438
8665
8 869
0 490
2 073
3 448
4 630
5 637
6 485
7 193
7 778
8 257
8 645
8 953
2 024
3 963
5 473
6636
7 523
8 193
8 694
0646
3 363
5 335
6/52
7 760
8 469
8 964
3 052
5385
6 964
8С22
8 723
1837
4 832
6 759
7 987
8 761
2 454
5 446
7 278
8 389
056
452
685
821
899
44
69
83
2
5 080
5478
5 871
6255
6 028
6 985
7 324
7 642
7 939
8 238
8 461
8686
8888
0658
2 220
3 574
4 738
5728
6 562
7 257
7 831
8 300
8679
8 983
2240
4 132
5603
6 736
7 599
8250
8 736
0^57
3 590
5 499
6 869
7 842
8 527
9 0J4
3 327
5 573
7090
8 ЮС
8 778
2 198
5 065
6 908
8 081
8 821
2 8^2
5 673
7 416
8 472
105
481
702
831
906
47
71
84
3
5120
5 517
5 910
6 293
6 664
7 019
7 357
7 673
17 967
18 212
8 485
8 708
8 907
0 824
2364
3 699
4 855
5 818
6 637
7 320
7 882
8 341
8 713
9010
2 451
4 297
5731
6 833
7 673
8 305
8 777
1260
3 810
5 658
6 982
7 922
8583
9 043
3 593
5753
7211
8 186
8832
2544
5 288
7 051
18 172
18 877
|3 173
5 888
7 548
18651
152
509
718
840
1 910
50
72
85
4
5 160
5 557
5948
6 331.
6 700
7 054
7 389
7 704
7 995
8 264
8 508
8/29
8 925
0 988
2 507
3 822
«,959
5 907
6 712
7 381
7 932
8 382
8 745
9 036
2 656
4 457
5 855
6 928
7 7-Ч
8 359
8 817
1553
4 022
5811
7 091
7 999
8 637
9 080
3848
5 926
7 327
8 264
8 882
2 876
5 502
7 187
8 258
8 931
3 508
6 094
7 672
8 626
197
539
734
849 !
915
53
74
86
5
5 199
5 596
5 987
6 368
6 736
7 088
7 422
7 734
8 023
8 389
8 531
8 749
8 944
1 149
2 647
3 943
5 053
5 994
6 784
7 441
7 982
8 422
8 778
9 061
2 657
4 614
5 975
7 020
7 814
8411
8 856
1836
4230
5 959
7 197
8 074
8 689
9 116
4 094
6 092
7 439
8 338
8 931
3 193
5 706
7 318
8 340
8 983
3 827
6 289
7 791
8 698
240
560
748
857
920
55
75
87
6
5 239
6 536
6 026
6 406
6 772
7 123
7 454
7 764
8 051
8 315
8 554
8 770
8 9^2
1 308
2 785
4 062
5154
6 080
6 856
7 500
8 030
8 461
8 809
9086
3 053
4 766
6 093
7 110
7 882
8462
8 893
2 112
4 429
6 103
7 299
8 146
8 739
9 150
4 331
6 252
7 546
8 409
8 978
3 497
5902
7 44*-^
8 419
9 032
4 131
6 475
7 904
8 765
280
584
762
865
924
58
77
87
7
5 279
5675
6 064
6 443
6 808
7 157
7 486
7 794
8 078
8 340
8 577
8 790
8980
1 466
2 922
4 179
5 254
6 164
6 926
7588
8 077
6 500
8 840
9 111
3 244
4 915
6 2J7
7 197
7 948
8 511
8 980
2 378
4 623
0 242
7 398
8 215
8 787
9 184
4 558
6 406
7 649
8 477
9 023
3 788
6 089
7 561
8 494
9 079
4 420
6 652.
8 011
8 830
318
606
775
873
929
60
78
88
8
5 319
5 714
6 103
6 480
6 844
7 190
7 517
7 823
8 106
8 365
8 599
8 810
8 997
1 621
3 056
4 295
5 352
6 246
6 995
7 615
8 124
8 537
8 870
9 134
3 431
5 Обо
6 3l9
7 282
8OI2
8 559
8 966
2 636
48I0
6 37б
7 493
8 282
8 834
9 216
4 777
6 554
7 748
8 542
9 066
4 066
6 268
7 675
8566
9 124
4 696
6 821
8 ИЗ
8 891
354
628
787
880
933
63
79
89
9
5 359
5 753
6 141
6 517
6 879
7 224
.7 549
7 852
8 133
8 389
8 621
8 830
9 015
1774
3 189
4 408
5 449
0 327
7 062
7 670
8 169
8 574
8 899
9 158
3 613
5 201
6 427
7 365
8 074
8 605
8 999
2 886
4 991
6 505
7 585
8 347
8 879
9 247
4 988
6 696
7 843
8 606
9 107
4332
6 439
7 784
8634
о 166
4 958
6 981
^210
g949
^388
648
799
886
936
65
81
90
40?
ТАБЛИЦА П.7.17 ^
Значения функции ^ W= jTl^^'^^'^^
X
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4 1
0,5
0,6
0,7
0,8
0.9
1,0
1»1
1.2
1,3
1.4
1,5
1.6
1,7
1,8
1,9
2,0
2 Л
2,2
2,3
2.4
2.5
2.6
2,7
2,8
2,9
3.0
3.
4.
5.
0,
0.
0.
0.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0.
0.
0.
0,
0,
0,
0,0
0,0
0.0
0,0
1 0,0
0,0
0.0
0.0
0,0
0.0
а.о
0,00
0,00
0.00
0.00
0,03
0.05
0
3 989
3 970
3910
3 814
3 683
3 521
3 332
3 123
2 897
2 661
2 420
2 179
1 942
1 714
1497
1295
1 109
9 405
7 895
6562
5 399
4 398
13 547
2 833
2 239
1 753
1 358
1 042
7 915
5 952
4 432
4 432
1 338
|l487
1
3 989
3 965
3 902
3 802
3 6С8
3 503
3 312
3 101
2 874
2 637
2 396
2 155
1 919
1 691
1476
1 276
1 092
9 246
7 754
6 438
5 292
4 307
13 470
2 768
2 186
1 709
1324
1014
7 696
5 782
4 301
3 267
0 893
2
3 989
3 961
3 894
3 790
3 053
3 485
3 292 1
3 079
2 85Э
2 613
2 371
2 131
1 895
1 669
1 456
1257
1 074
'9 089
7 614
6 316
5 186
4 217
1 3 394
2 705
2 134
1 667
1289
0 987
7 483
5 616
3
3988
3 956
3 885
3 778
3 637
3 467
3 271
3 056
2 827
2 5S9
2 347
2 107
1872
1647
1435
1238
1057
8 933
7 477
6 195
5 082
4 128
3 319
2 643
2 083
1 625
1256
0 961
7 274
5 454
4
3 980
3 951
3 876
3 765
3 621
3 448
3 251 1
3 034
2 803
2 555
2 323
3 083
1 849
1 626
1415
1219
1 040
8 780
7 341
|б077
4 980
4 041
3 246
2 582
2 033
1585
1223
0 935
7 071
6 296
5
3 984
3 945
3 867
3 752
3 605
3 429
3 230
ЗОИ
2 780 1
2 541
2299
2 059
1825
1 604
1 394
1 200
1023
8 628
|7 206
5 959
4 879
3 955
3 174
2 522
1984
1545
1 191
0909
6 873
5143
4 173 1 4 049 1 3 928 1 3 810
2 384 1 723 1232 0 873
6
3 982
3 939
3 857
3 739
3 589
3 410
3 209
2 989
2 756
2 516
2 275
2 036
1 804
1 582
1374
1 182
1 006
8 478
|7 074
6 844
4 780
3 871
3 103
2 463
1936
1506
1 160
0 885
6 679
4993
3 695
0 612
0 589 0 385 0 249 0 160 1 0 101
0 897 |0 536 |0 317 | 0 186 10 108 |0 062
7
3 980
3 932
3 847
3 725
3 572
3 391
3 187
2966
2 732
2 492
2 251
2012
1 781
1651
1354
1 163
0 989
8 329
6 943
1 5 730
4682
3 788
3 034
2406
1888
1468
1 130
0 861
6 491
4 847
3584
0 425
0 064
0 035
8
3 977 1
3 925
3 836
3 712
3 555
3 372
3 166
2 943
2 709
2468 !
2 227
1989
1758
1539
1334
I 145
0 973
8 183
6 814
15 618
4 586
3 706
2 965
2 349
1842
1 431
1 100
0 837
6 307
4 705
3 475
0 292
0 040
0020
9
3 973
3918
3 825
3 697
3 538
3 352
3 144
2 920
2685
2 444
2 203
1965
1 736
1 518
1315
1 127
0 957
8 038
6 687
5 508
! 4 491
3 626
2898
2294
1 797
1 394
1 071
0 814
6 127
4 567
3 370
0199
0 024
ООП
ТАБЛИЦ^А П.7.18
Значения гамма-функции
X
1.00
1 '
2
3
4
1,05
6
7
8
9
Г(Х)
1,00000 '
0,99433
0,98884
0,98355
0.97844
0,97350
0,96874
0,96415
0,95973
0,95546
1,25
6
7
8
9
1,30
, 1
2
3
4
' Г{х)
0,90640
0,90440
0,90250
0.90072
0,89904
0,89747
0,89600
0,89464
0,89338
, 0,89222
X
1,50
1
2
3
4
1,55
1 6
7
8
9
Т{х)
0,88623
0,88659 '
0.88704
0.88757
0,88818
0,88887
1 0,88964
0,89049
0,89142
0.89243
1
X
1,75
6 '
7
8
9
1,80
1
2
1 3
4
Т{Х)
0,91906
0,92137
0,92376
0,92623
0,92877
0,93138
0,93408
0,93685
0,93369
0,94261
403
продолжение табл. П.7Л8
X
1.10
1
2
3
4
1.15
6
7
8
9
1.20
1
2
3
4
Г(л:>
0,95135
0.94740
0,94359
0,93993
0,93642
0,93304
0,92980
0.92670
0.92373
0.02089
0.91817
0.91558
0,91311
0.91075
0.90852
X
1,35
6
7
8
9
1.40
1
2
3
4
1.45
6
7
8
9
Г(ЛГ>
0.89115
0.89018
0.88931
0,88854
0.88785
0,88726
0.88676
0,88036
0,88604
0,88581
0,88566
0.88560
0,88563
0,88575
0.88595
X
1.60
1
2
3
4
1.65
6
7
8
9
1.70
1
2
3
1 4
Г(>:)
0.89352
0,89468
0,89592
0,89724
0.89864
0,90012
0.90167
0,90330
0.90500
0.90678
0.90864
0,91057
0,91268
0.91467
0,91683
X
1.85
6
7
8
9
1.90
1 1
2
3
4
1.95
6
7
8
9
2,00
г (л:)
1
0.94561
0,94869
0.95184
0.95507
0,95838
0.96177
0,96523
0.96877
0,97240
0,97610
0,97988
0,98374
0.98768
0,99171
0,99581
1,000С0
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие , . . ^ . . . 3
^ Глава первая
' Количественные характеристики надежности 6
§ 1.1. Критерии и количественные характеристики надежности
§ 1.2. Типовые примеры и их решения ....... 20
^ 1.3. Задачи 43
г
Глава вторая
3
Ч
'Расчет характеристик надежности невосстанавливаемых
изделий при основном соединении элементов
§ 2.1. Методы расчета . . ^ 60
§ 2.2. Типовые примеры 70
§ 2.3. Задачи 81
Глава третья
Расчет характеристик надежности невосстанавливаемых
резервированных изделий
§ 3.1. Методы расчета ... 100
§ 3.2. Типовые примеры . . ^ . 109
§ 3.3. Задачи ... ... 136
Гл ава четвертая
Расчет надежности восстанавливаемых изделий
§ 4.1. Методы расчета . 158
§ 4.2. Типовые примеры 186
§ 4.3. Задачи ... . -. 204
^^^ Глава пятая
^ Оценка и контроль надежности технических устройств
по результатам их испытаний
§ 5.1- Основные положения выборочных испытаний .... 226
§ 5.2. Типовые примеры и их решение 256
§ 5.3. Задачи 299
Литература . . . . .... 324
Приложение I. Номограмма для расчета надежности 326
Приложение 2. Интенсивности отказов и условные
долговечности изделий (12, 9] 328
Таблица П.2.1. Интенсивность отказов 328
Таблица П.5.2. Условная долговечность 336
Приложение 3. Интенсивности отказов элементов
электронной апапартуры и поправочные коэффициенты [11] 339
405
Таблица П.ЗЛ. Номинальная интенсивность отказов резисторов
при 7^=+20^С и Ки=У 339
Таблица П.3.2. Поправочные коэффициенты ^^^(/Сн, 7^°) для
определения К резисторов 340
Таблица П.3.3. Номинальные интенсивности отказов
конденсаторов при Г°=+20^С и Ки=\ 341
Таблица П.3.4. Поправочные коэффициенты <12=^(/Сн, 7^°) для
определения Хэ конденсаторов 341
Таблица П.3.5. Номинальные интенсивности отказов
полупроводниковых приборов -при Т°=-\г20^С я Кп=\ - - - 343
Таблица П.3.6. Поправочные коэффициенты аз=/(/Сп, 7^°) для
определения Хэ полупроводниковых приборов . . . 344
Таблица П.3.7. Номинальная интенсивность отказов
трансформаторов и моточных изделий (дроссели, катушки,
индуктивности и др.) при 7°=+20°С и Ки=1 . • 345
Таблица П.3.8. Номинальные интенсивности отказов
электрических машин и машинных электроэлементов при Т°=
= +20°С и /Сн = 1 345
Таблица П.3.9. Поправочные коэффициенты а4=/(/Сн, 7^°) для
определения ^э моточных изделий, трансформаторов и
обмоток электрических машин 346
Таблица П.3.10. Поправочные коэффициенты (дополнительная
интенсивность отказов) АХ электрических машин в
зависимости от скорости вращения 346
Приложение 4. Графики поправочных коэффициентов ш —
=/(^°С, Кп) [10] 348
Приложение 5- Формы таблиц для определения интенсив-
ностей отказов 364
Таблица П.5.1. Определение интенсивности отказов при
ориентировочном расчете надежности 364
Таблица П.5.2. Определение интенсивности отказов при
окончательном расчете надежности с использованием
графиков Xi=-f(Ku. f'C) 364
Таблица П.5.3. Определение интенсивности отказов при
окончательном расчете надежности с использованием
графиков ш=1{Ки. ^^С) . . . 365
Приложение 6. Координатные сетки ... 366
Приложение 7. Математические таблицы 368
Таблица П.7.1. Квантили распределения хи-квадрат . . . 368
Таблица П.7.2. Значения коэффициента r^ 370
Таблица П.7.3 Значения коэффициента Ri при а = 0,95 . . 370
Таблица П.7.4. Значения коэффициента Гз .... 371
Таблица П.7.5. Квантили распределения Стыодента . . 371
Таблица П.7.6. Квантили нормального распределения «i~p =
=~Up : : 372
Таблица П.7.7 Вспомогательные функции 373
Таблица П.7.8. Значения коэффициента го 374
Таблица П.7.9 Суммарные значения функции Пуассона
S^-" •■■ ^^
т
406
Таблица П.7Л0. Таблица числа комбинаций из Л^ элементов
по п (биномиальные коэффициенты („]^^(а/ 1=
_ т
~~n\(N--n)l ^^
Таблица П.7..11. Вероятность d или меньшего количества
дефектных изделий для биномиальных распределений . . 385
Таблица П.7Л2. Значения a=nq для заданных вероятностей
распределения Пуассона 392
Таблица ГиЛЗ. Нормированная функция Лапласа
1 f ^~2
ФоИ = -;7=^\е dz 392
о
Таблица П.7Л4. Таблица значений функции е--^ . . 395
Таблица П.7Л5. Степени некоторых десятичных дробей . 398
Таблица П.7Л6. Значения функции Fq(x) 402
Таблица П.7Л7, Значения функции Ц>(^)= ^-—■■ е~ ^^^^ . . 403
Таблица П.7Л8. Значения гамма-функции 403
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
Под редакцией
А. М. Половко и И. М. Маликова
Редакторы А. А. Александрова, Э. М. Горелик
Художественный редактор 3. Е. Вендрова
Технический редактор Г. 3. Кузнецова
Корректоры: И. М. Давыдова, И. М. К у х т я е в а
Сдано в набор H/I 1972 г. Подписано в печать 15/IV 1972 г. T-05I62
Формат 84x108/83 Бумага типографская машииомелованная
Объем 21,42 усл. п. л. Уч.-изд. л. 22,744
Тираж 26000 экз. Зак. 1086 Цена 1 р. 44 к.
Издательство .Советское радио", Москва, Главпочтамт, п/я 693.
Московская типография Ns 10 Главполнграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР,
Москву, Шлюзовая иаб.. 10.