МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ СССР
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КАБИНЕТ
ПО ЗАОЧНОМУ И ВЕЧЕРНЕМУ ОБУЧЕНИЮ
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
имени М. В. ЛОМОНОСОВА
Ю: И. МАНИН
ЛЕКЦИИ
ПО АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
ЧАСТЬ II
К-функтор в алгебраической геометрии
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1971

1
1
/
1-
i
1
!
1
!
i
i
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ СССР
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КАБИНЕТ
ПО ЗАОЧНОМУ И ВЕЧЕРНЕМУ ОБУЧЕНИЮ
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
имени М. В. ЛОМОНОСОВА
Ю: И. МАНИН
ЛЕКЦИИ
ПО АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
•' ЧАСТЬ II
К-функтор в алгебраической геометрии
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1971

Настоящее пособие печатается стереотипно на фоторотапринтах со статьи
в журнале АН СССР «Успехи математических наук», т. XXIV, вып. 5A49),
«Наука», 1969.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
Литературныеуказания 5
1. Группы Гротендика К. (X) и К' (X) 6
2. К(Х) и циклы 11
3. Самопересечение и внешние степени 14
4. Проективизированные расслоения 20
5. Вычисление К(Р (%)) и принцип расщепления 23
6. Вычисление К(Р ("&)) (окончание) 27
7. К(Х) как ковариаятный функтор 31
8. у-фильтрация кольца К'(Х) 36
9. Фильтрация и размерность 41
10. Связь между К (X) и Pic X 44
11. Классы Чженя и операции Адамса 48
12. Структура моноидальных преобразований 52
13. Поведение К(Х) при моноидальном преобразовании 55
14. Поведение К(Х) при моноидальном преобразованпп (продолжение) 61
15. Поведение К(Х) при моноидальном преобразовании (окончание) 64
16. Операции Адамса и гомоморфизм прямого образа ' .' 68
17. Пучок дифференциалов 75
18. Теорема Римана — Роха для вложений 80
19. Теорема Римана — Роха для проекции 82
Литература 86
Введение
В 1966—1968 гг. автор прочел на механико-математическом факультете
МГУ двухгодовой курс лекций.
Курс был задуман как виедение в алгебраическую геометрию; записки
его первой части [2] опубликованы годом раньше. Мне хотелось не только
представить список неноторых основных понятий теории схем, но также
показать, как они работают в более содержательных вопросах. Я полагал,
что удачным примером такой содержательной математики является теория
Гротендика колец К., приводящая в конце концов к доказательству теоремы

Настоящее пособие печатается стереотипно иа фоторотаприитах со статьи
в журнале АН СССР «Успехи математических наук», т. XXIV, вып. 5A49),
«Наука», 1969.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
Литературныеуказания 5
1. Группы Гротендика К. (X) и К' (X) 6
2. К(Х) и циклы И
3. Самопересечение и внешние степени 14
4. Проективизнрованные расслоения 20
5. Вычисление К(Р (%)) и принцип расщепления 23
6. Вычисление К(Р (%)) (окончание) 27
7. К(Х) как ковариантный функтор 31
8. v-фильтрация кольца К'(Х) 36
9. Фильтрация и размерность 41
10. Связь между К (X) и Pic X 44
11. Классы Чженя и операции Адамса 48
12. Структура моноидальных преобразований 52
13. Поведение К(Х) при моноидальном преобразовании '55
14. Поведение К(Х) при моноидальном преобразоваяпп (продолжение) 61
15. Поведение К(Х) при моноидальном преобразовании (окончание) 64
16. Операции Адамса и гомоморфизм прямого образа .' 68
17. Пучок дифференциалов 75
18. Теорема Римана — Роха для вложений 80
19. Теорема Римана — Роха для проекции 82
Литература 86
Введение
В 1966—1968 гг. автор прочел на механико-математическом факультете
МГУ двухгодовой курс лекций.
Курс был задуман как введение в алгебраическую геометрию; записки
его первой части [2] опубликоианы годом раньше. Мне хотелось не только
представить список некоторых основных понитип теории схем, но также
показать, как они работают в более содержательных вопросах. Я полагал,
что удачным примером такой содержательной математики является теория
Гротендика колец К., приводящая в конце концов к доказательству теоремы

Римана — Роха. С одной стороны, она позволяет продемонстрировать техни-
технику вычислений с когерентными пучками, не требуя слишком детального
изучения локальных свойств морфизмов или проблем представимости функ-'
торов (на что у меня не было времени). С другой стороны, она наиболее
близка к классической проблематике и явно открыта для дальнейшего
прогресса. Будучи фундаментом «численных методов» в алгебраической гео-
геометрии нётеровых схем, isT-теория доставляет необходимый аппарат для
исследования структуры колец Чжоу, задач об алгебраичности циклов или
проблем бирациональной геометрии. Эта теория представлена в предлагае-
предлагаемых записках лекций второго года. Читатель, для которого лекции [2]
окажутся недоступными, сможет понимать эти записки, ознакомившись
с литературой, указанной в п. а) (см. в особенности [31, [4]).
Все же идейно обе части курса составляют единое целое. Я хотел изло-
изложить весь материал с подробными и полными доказательствами; к сожале-
сожалению, этот идеал не был достигнут. Первую часть следовало бы дополнить
некоторыми сведениями из теории размерности, гомологической алгебры
и теории регулярных колец; в лекциях Серра о кратностях пересечений
[5] есть все необходимое. Во второй части опущены некоторые технические
яодробности, в основном из второй главы «Оснований» Гротендика [1].
Кроме предлагаемых записок, сейчас существует три изложения К-тео-
зии Гротендика в контексте схем.
Первое из них — статья Бореля — Серра (см. [7]). Второе — неопубли-
неопубликованный препринт Гротендика [8], датированный 1957 г. и дающий, другой
эграант доказательства теоремы Римана — Роха, годный лишь для характе-
::г2тики нуль, но приводящий к более точным результатам. Наконец, этой
:•;¦:¦ рии был посвящен семинар Гротендика 1966—1967 гг. (SGA 6) в Инсти-
"з зысшях исследований [9J.
Первые два изложения относились к случаю проективных неособых
многообразий над полем. В семинаре теория была значительно обобщена.
С'зяогные зе результаты распространены на нётеровы схемы, не обязательно
зегулярные, В отчете Бореля—Серра два главных момента требуют изменений-'
а, Определение колец Чжоу, которые служат областью значений теории
зрактериетичесхих классов.
Действительно, теория колец Чжоу для нётеровых схем не построена.
о) Определение кольца К (X).
В замом деле, если отбросить условие регулярности схемы, то группы
:-:" построенные для категории всех когерентных пучков и подкатегории
"¦каль'зо свободных пучков перестают совпадать. Это немедленно приводит
л затруднениям, зсли мы одновременно хотим, чтобы К (X) было кольцом
з обладало структурой ковариантного функтора. Определение умножения
::саошо вводится для «локально свободной» группы К, а прямой образ —для
¦игогеревтной» группы.
В семинаре Гэотендика первое затруднение обходится следующим обра-
образом: роль кольца Чжоу А (X) играет кольцо, присоединенное к К (X) отно-
относительно некоторой специальной гу-фильтрации» (см. раздел 8), Это • арав-
зявается тем, что для неособых многообразий над полем кольца А (X)
и GK (X) действительно изоморфны с точностью до кру*зяня. л теория
«характера Чнсеня» ch все равно убивает кручение.
Второе, гораздо более серьезное затруднение, преодолевает:;;! ззезенпем
нового определения К (X), использующего «производные хатагор;гп> ±?срлье
и связанную с ними новомодную гомологическую алгебру, ^зло.т-ггнзе
необходимой техники аЪ ovo потребовало бы по крайней мере удвоенья зСьемз
этих лекций. По этой причине я ограничился здесь рассмотрением регуляр-
регулярных нётеровых схем.
В остальном доказательства близки к тем, которые изложены з записках
[9], так что эту статью можно рассматривать как «дайджест» сзминара Гро-
Гротендика.
Два исключения, возможно, заслуживают быть отмеченными,
а) Вычисление Тог в разделах 3 ( теорема 3.5) и 13 (предложение 13.3)
производится прямым методом, без использования теоремы об умноже-
I ииях в Тог.
| б) При изучении фильтрации в К (X). ее поведения относительно дря-
| мого образа и в доказательстве теоремы Римана — Роха для вложения
I я пользуюсь операциями Адамса г|> вместо операций Гротендика %. В част-
частности, вместо гротендиковских kp (N, х) появляются «каннибальские харак-
характеристические классы» топологов 9Р (N) (раздел 18), что позволяет обозтлсь
без общей теория Я-колец и довольно значительно сокращает изложение.
Как и в первой части, я старался разбирать примеры и указывать могз-
вировки, чтобы помочь читателю ориентироваться в этом бравом новом iffipe.
Я глубоко признателен А. Вельскому за большую помощь при подго-
подготовке рукописи к печати.
Литературные указания
Прилагаемый в конце статьи список литературы никак не претендует на
полноту: отобраны работы, по возможности доступные и обобщающие .мате-
.материал. Приводимая в них библиография позволит читателю двигаться дальше.
а) О б щ л е сведения о схема х. К этому разделу относятся
работы Ml — [51. Работа [II — основной источник и справочник по георяи
схе.м: чрезвычайно подробный и объемистый. Для понимания наших лезший
^с избытком достаточно знакомства с двумя главами [11.
Лекции 3—10 из работы [3] также дают сжатый, но очень солерягатель-
солерягательный обзор почти всех фактов, которые необходимы для понимания настоящей
статьи.
В курсе лекций [5] нет упоминания о схемах, но локальная теория крат-
ностей пересечений, развитая в нем, послужила отправной точкой для вве-
введения колец К Гротендика.
б) Т е о р е ы а Римана — Роха. Сведения о теореме Риманк —
Роха читатель найдет в работах [6] — [9]. Заметим, что в книге [0J впервые
была доказана теорема Римана — Роха в алгебраической геометрии тштолого-
аналитическими средствами. В приложении, написанием Шварценберге-
ром, содержится обзор некоторых дальнейших результатов, в частности
по йГ-теории, возникшей после первой публикации книги Хирцеоруга.
1-2037

в) Топологическая К-т е о р и я. К этому разделу относятся j
лекции [10] и ill!. j
г) Другие варианты алгебраической А'-т е о р и и. ]
К этому разделу относятся работы [12] — [14]. Из них фундаментальная I
книга [12] подводит итог ряду исследований Басса м других авторов по
теории функторов Ко и К, на категории колец. Отметим, что для схем неиз-
неизвестно даже удовлетворительного определения Kt. В работе [13] содержится
попытка ввести алгебраический аналог надстройки и дать определение
функторов Кг для всех i на категории колен. Пока при i ;>2 нет общепри-
общепринятого определения. Еще один вариант определения К2 дан в записках
семинара Милнора, пока неопубликованных. Он связан с интересными
арифметическими вопросами; см., в частности, работу [14].
Группы Гротендика ЙГ. {.Т
si К.' (_T
i.i. В первой части этого курса ([2], 25) была введена группа Гро'тен-
дика К (X), где X — нётерова схема. Эта группа классифицирует «аддитив-
«аддитивные функции» от когерентных пучков. Ее изучение должно привести к луч-
лучшему пониманию специальной аддитивной функции — характеристики Эйле-
Эйлера — Пуанкаре.
Там же было доказано, что для проективного пространства над полем
группа К (Рг) порождена уже классами локально свободных пучков
(и настолько мала, что может быт:, эффективно вычислена).
Цель этого раздела — доказать аналогичное утверждение в более общей
ситуации. Попутно мы выяенпм, почему гоуппа К (Рг) оказалась кольцом
f[2L 25.12).
В дальнейшем все схемы, если не оговорено обратное, предполагаются
н-этеровыми.
..2. Пусть if — категория когерентных пучков на X, X — ее полная
."подкатегория локально свободных пучков. Обозначим через Z [if} (соответ-
(соответственно Z [X]) свободную абелеву группу, порожденную классами {3-\ (с точ-
точностью до изоморфизма) пучков JF и if (еоотвоственно X).
Для каждой точной последовательности
пучков лз if (соотзетсгеепно X)' образуем элемент [JF г[— [jFi] — [JFS] и рае-
eiiCTOaai подгруппу J (соответственно Jj), порожденную такими элементами
з Ъ \//} (соответственно Ъ [?})¦
3.3. О а р еделен и о.
1.4. Для любого пучка JF из if (соответственно X) обозначим через j
d,:F (соответственно cl'JF) его образ в К. (X) (соответственно К'(X)). j
Очевидно, cl, и cl'—аддитивные функции.
1.5. Предложение, а) Группа К'(X) является коммутативным
кольцом с единицей, в котором умножение определено формулой
б) Группа К_ (X) является К' (Х)-мрдулем с внешним умножением,
•определенным той же формулой.
Доказательство. Формула A) определяет структуру кольца
уже на Z [X], потому что объекты X (с точностью до изоморфизма) образуют
моноид относительно тензорного произведения. Этот моноид ассоциативен
и коммутативен.
Далее, подгруппа J4 образует идеал в Z[?]. потому что, если последо-
последовательность 0 —>-J^—>-^2—>- -Уз-*- 0 точна, a J^ локально свободен, то и после-
последовательность 0 -»- jF ® ,Fц -v JF ® JFi -*¦ JF ® JF3 -*¦ 0 точна. Поэтому
на К' (X) = Z lXl/3i переносится структура кольца.
Z [if] также является кольцом и Z [j? ]-модулем, но J, вообще говоря,
не выдерживает умножения на элементы из Z \if\.
Тем не менее
Z[X]J<=J, ,
Это устанавливается так же,, как то, что J4 — идеал. Поэтому Z {if ]/J =
— А".(Х) является К' (Х)-модулем.
1.6. Кроме описанных структур, К. (X) и К' (X) связаны естественным
отображением
г: К' (X) -+ К. (X): сГ ^ —*. cl..F, B)
которое является гомоморфизмом К' (Х)-лодулей.
Мы покажем сейчас, что при определенных условиях i есть изоморфизм.
Этих условий два: локальное и глобальное.
1.7. Определение. Схема X называется регулярной, если существу-
существует такое целое число п. что любой когерентный, пучок на X всюду локально
имеет свободную резольвенту длины <J п.
(Это свойство в [2], 25.9, называлось «гладкостью»; здесь4мы возвращаем-
возвращаемся к терминологии Гротендика.) Можно доказать, что регулярная схема
не имеет нильпотентов, а любая ее связная компонента неприводима.
Глобальные резольвенты позволяет в случае Р\ строить лемма Серра
([2], 22.3). Мы аксиоматизируем свойство пучка 0A), которое устанавливает
эта лемма.
1.8. Определение. Обратимый пучок X на н'етеровой схеме X
называется обильным., если для любого когерентного пучка JF наХсуществуют
целые числа т, р>0и эпиморфизм О\ -*¦ .F ® %®т {иначе говоря, JF ® х®т
порожден своими глобальными сечениями).
1.9. Те орем а. Пусть X — нётерова регулярная схема, на которой
есть обильный обратимый пучок. Тогда отображение B)
г: К' (X) ^ К. (X)
является изоморфизмом.

3 г том случае будем вместо К_ и К' писать просто К (X). Наоборот,
z>y.r. встречается обозначение К(Х), мы молчаливо считаем, что для X
_v . слненк предположения теоремы 1.9.
доказательство. Первый шаг: i — эпиморфизм. Для проверки
г:?': цготагочно показать, что всякий когерентный пучок F имеет (конеч-
.: ": :: ~ггк,~.г.-±ескую) резз^львенту, состоящую из локально свободных пучков.
Z "ijTv определения 1.8 существует эпиморфизм Ох —> SF ® Х®т —> О
для достаточно больших р и т, т. е. эпиморфизм (^®7П)Р —> J2" —> 0. Это
лесv н?грло локально свободной резольвенты; продолжив ее, построим резо-
.73?::i"?; тлины к, где п—число, фигурирующее в определения 1.7:
и —> гИ —>- *un-i —*¦ ¦ ¦ • —*¦ вС-о —> ?г. —> U.
Зле:2- У" г. оаределэнию—ядро последнего гомоморфизма. В силу регуляр-
iclti: ii" -„i,r зсэх х?Х слой' 5Гг является свободным ©.^-модулем. Пока-
j-i-ii. --::¦: Ш яокально свободен:
Птсгь z~Z, s^ . . ., sT?3?x — свободный базис ©^-модуля &?х\ Sj, ...
. ; . — оэчзняя Z над некоторым открытьш множеством U Э ж—продолжения
i... Построим дад ?7 гомоморфизм пучков Ох \и —* ^ Id. соответ-
:з":ощз? s., ..... s?.. Его ядро и коядро гризнальяы з точке .г-, потому они
"лзяальны е з некоторой окрестности V точки х. Это доказывает, что А" ло-
зльно :во6сдея.
3:: оог шаг: конструкция обратного отображения у. К,{Х)—>
-¦¦ К' •'?). Пусть .iF—когерентный пучок на X. Построим его локально.
;o6c.i::r~c резольвенту
> JJ71 —> <2>П-1 *¦ ¦ ¦ ¦ *" <JJQ ^ J *¦ " •
.:¦'."-вил з соответствие классу cl..lF вК.(Х) класс У_ (—l)lcl'(Xi) ,
и, =гто класс ,2(—1)'сГ
it отображение мпожеств
/¦• К. (X) ¦
акы две резольвенты
Qji) не зависит от выбора резольвенты.
> /Г (X).
¦¦,': . i, — комплексы пучков).
_,.>-~7стзм, что мы построили третью локально свободную резольвенту
if . л ге злЕморфизмы на первые две. Покажем, что тогда классы
_1 •—i'-Ci'(Xi) и2( — 1)гс^"(^0 совпадают в К'(X); этого, очевидно,
достаточно. В самом деле, if; =ker(j?" ^> XI) является локально свободным;
луч:коя .'п-Зо локально свободный фактор-модуль свободного модуля зыделя-
¦егся зрямкм слагаемым, а проективные модули над локальными кольцами
СБиботзы '[2], 28.11). С другой стороны, пучки <%i образуют комплекс
з прагем ацяклачный:
(ацикличность следует из точной последовательности когомологий для после-
последовательности комплексов 0 —> К. —> X", —+ X'. —*¦ 0 и ацикличности Х\
ж X".). Отсюда следует, что в группе К' (X) элементы У_(—1)' cl' (XX),
y_(—iycl- (Х\) совпадают, ибо V. (_ 1)* CV (XI— Х'$) = У (— \У cV (Кг)- .
Остается построить резольвенту X"¦ Будем строить Х'\ индукцией по i:
очередной член должен войти в коммутативную диаграмму
t
XI
i
t
Пусть ^i=
ржм диаграмму
1 I
Xt-г), аналогично определим 3}\, $'[. Рассмот-
t t
X'i
ч^.
\
i-I
Стрелки S\ —>¦ S\, 3$\ —> 381 определены в ней по коммутативности, если
(t — 1)-й член резольвенты X", уже построен.
Во-первых, можно считать, что эти стрелки—эпиморфизмы. Если эта
не так, то скачала изменим X'i~i- Именно, вместо Х'1-\ возьмем X"t~\@
@ Xt@ X\\ граничный гомоморфизм в X'i-г доопределим нулем на новых
слагаемых, а отображергия на X;-i n X[~i доопределим нулем на XI и Xi
соответственно и граничным гомоморфизмом резольвенты X (соответственно
X') на Xi (соответственно Х[).
Во-вторых, если уже верно, что №\ —> $\ и 38'[ —> .5?; зшшорфны,
достроим последовательно пучки и гомоморфизмы $;, '&[, Ли Х'1 следую-
следующим образом.
Положим c&i — Xi U n.S&'i1 , 9r'i-—iC'i \_jr:'i 'Ш\, а гомоморфизмы — проекции.
Положим далее й?; -=1gt= %t LJ гё\ (гомоморфизмы яроекщпт), а в качестве
XX возьмем локально свободный лучок с эпиморфизмом на „/;.
Этим закончено построение резольвенты Х"\ стало быть определение /
корректно.
Третий шаг. Уже построены отображения К' (X) ~Z1 К, (X). Из опре-
j
делений немедленно следует, что отображение Ц является тождественньиг.
Поэтому ядро г тривиально и, значит, i яв,;1яется мономорфизмом групп.
Это доказывает теорему.
Нам понадобится еще один технический результат о пучках.
0
о
1 Пусть М
Р, N —> Р— гомоморфизмы модулой; тогда М Up .V — {(т, л) <

10
1.10. П р о д л о ж е н и е. Пусть Y — нётерова схема и X a Y —
открытое множество, J^ — когерентный пучок на (X, ОТ \х). 7'огда существует
когерентный пучок JF' на Y такой, что .f-'x — JF. Более того, если JF' cz
С1.У|у, где  — пучок на Y, то можно считать, что ,f' cz >j.
Вот два полезных приложения:
1.11. Следствие. Пусть X — обильный пучок на Y; тогой X \х
обилен на X.
Действительно, пусть F когерентен на X; J-' его продолжение на Y.
Существует эпиморфизм (?%т)'' -*¦ JF'. Его ограничение на X дает эпимор-
эпиморфизм (? \Т'Т -+Jr.
Объединив это • с очевидным замечанием, что ограничение обильного
пучка на замкнутую подсхему обильно, мы получаем довольно большой
запас нётеровых схем, обладающих таким пучком. Например, все локально
замкнутые подсхемы РГА (где А — нётерово кольцо) имеют обильный обрати-
обратимый пучок.
1.12. Следствие. Пусть Z cz Y—замкнутая подсхема X = Y \ Z.
Существует последовательность групп
K.(Z) -> К. (Y) -* К. (X) -*¦ 0,
в которой первая стрелка индуцирована «.продолжением иулемъ пучков с Z
на Y, а вторая — ограничением пучков.с Y на X.
Эта последовательность точна.
Доказательство. Эпиморфность второго отображения сразу
следует из 1.10. Точность в члене Kw (Y) здесь нам не понадобится, и мы не
будем ее доказывать (см. Борель — Серр [7], предложение 7).
1.13. Доказательство предложения 1.10. Пусть
x?Y \ X; рассмотрим некоторую аффинную окрестность U точки х в Y. Если
мы сможем продолжить ,-f (сам по себе или как подпучок @) с X на X (J U, то
все будет доказано в силу нётеровости Y, потому что строго возрастающая
цепочка открытых мпожеств в Y конечна. В свою очередь достаточно про-
продолжать Jr с X П О на U, т. е. можно с самого начала считать, что
Y аффинная.
II е р в ы й ш а г. Покажем, что пучок jF на X порождается конечным
числом своих сечений, т. е. существует эпиморфизм Оj -> JF -»- 0.
Пусть У = Spec А; мы можем докрыть X конечным числом открытых
множеств D (/;) = Spec^ri, /; ^А. Ограничение зр на D (jt) порождено
конечным числом образующих нётерова А^.-модуля Г (D (/г), J5"); после умно-
умножения зх на надлежащую степень /; эти сечения можно продолжить до сече-
сечений 3^ над всем X; отсюда следует требуемое.
Второй шаг. Пусть К — ядро эпиморфизма О\ -*¦ JF ->¦ 0 на X.
Пучок (?х можно продолжить до Оу; покажем, что К можно продолжить до
подпучка К' d Оу. Если это сделать, мы сможем продолжить jF, потому что
можно положить J2"' = Оу/К'.
Следовательно, все будет доказано, если мы докажем второе утвержде-
утверждение предложения 1.10 в случае Y = Spec A.
11
Пусть М — ^4-модуль; М — соответствующий пучок на Y, К cz M и — рго
подпучок; нужно продолжить К до подпучка М на Y.
Положим X=[]D(ft) (кодечное покрытие}; Nt == Г (D (/,¦), А') с: л//..
Имеем, очевидно,
Определим M' = {m? M\ Vi, mfi/ft^Nt}.
Я утверждаю, что М' cz M является искомым продолжением uj-чка К.
Достаточно проверить, что М' \вцг) = К. |в(г.) пли, иначе, что M-f.=Nt. Вло-
Вложение M'ft cz Nt очевидно из определения; чтобы проверить обратное вклю-
включение, нужно доказать, что для любого / =р= i всякий элемент из Л"г можно
представить в виде m'/fi, где m'fi/fi^Nj. Действительно, возьмем элемент.
mlfi; имеем U(m/fi)/fie(Ni),J = (N})fl =^ 1]{тП-т') = 0. m'\^Nj, что
доказывает требуемое.
2. К (Ж) и циклы
2.1. Группа К (X) имеет интересную систему образующих «геометри-
«геометрического» происхождения:
Определение. Циклом на, X называется элемент свободной абе-
левой группы Z (X), порожденной замкнутыми приведенными неприводимыми
подсхемами X.
Подставим в соответствие циклу 2 «;У; элемент S <ц&_ (Оу{) ?
? К (X) {Оу продолжается нулем вне Y). Очевидно, это определяет гомо-
гомоморфизм группы циклов в Кт (X).
2.2. Теорема. Описанный гомоморфизм Z (Y) —>- К (X) является
эпиморфизмом.
Доказательство. Ограничимся случаем X = Spec А. Лгабоп
Л-модуль F имеет композиционный ряд, факторы которого изоморфны
Aipi, где р, cz А — простые идеалы ([21, 24.11). Это доказывает требуемое,
потому что Alp — структурный пучок -замкнутой, приведенной и неприво-
неприводимой подсхемы.
(В общем случае можно дать аналогичное доказательство, развнв пред-
предварительно формализм «точек, ассоциированных с когерентным пучком»).
В случае, когда К_(Х) = К'(X). чти мы бу.н-м предполагать дальше,
этот результат можно развивать в двух направлениях.
С одной стороны, он дает гомоморОшлл грушты циклов на .Y на коль-
кольцо К{Х). Следовательно, оп до.чволяот места в этой группе умножение
(по модулю некоторого соотношения .жвнвалс-тноеттт, которое нуждается
в уточнении). Сейчас мы увидим, что для цпк. юв «в общем положении» это
умножение совпадает с пересечепием. Таким образом, кольцо К (X) можно
рассматривать как некоторый аналог кольца гомологии X (точнее, под-
кольца, состоящего из алгебраических циклов).
С другой стороны, класс всякого локально свободного пучка в К (X)
¦можно представить линейной комбинацией циклов на X: это — причина

существования теории характеристических классов, которой мы займемся
позже.
2.3. Теорема. Пусть fu j?2 с: Ох — когерентные пучки идеалов.
Y'ь Yz— соответствующие замкнутые подсхемы X со структурными пуч-
пучками OYi = Oxlfi- Тогда, если Yit Yz находятся w общем положении», то
cl(OYl)cl(Oy2) = cl(Oyiny2).
Вот точные определения:
Определение 1. OYiry2 = O/ (fi + f г).
(Множество решений объединения двух систем уравнений является
пересечением множеств решений каждого из них.)
Определение 2. Замкнутые, подсхемы, Yt, Y2 с; X называются
«находящимися в общем положении», если для каждой точки х ? Y\ f) Yz-
существует ее аффинная окрестность х ? U = Spec А и системы образующих
(fi, . . ., fr), (gi, . . ., gs) идеалов T(U, ft) cz A, T(U, fz) а А соответ-
соответственно, такие, что (/), (g) и (f, g) являются А-регулярными последователь-
последовательностями.
(Напомним, что последовательность элементов/!, . . ., fr ? А называется
Л-регулярной, если fi+i mod (/ь . . ., /,-) не является делителем нуля
в Al(fi, . . ., ft) для всех г.)
Геометрическое значение этих условий менее очевидно.
Рассмотрим в качестве примера случай когда А — кольцо многочле-
многочленов над полем, а ft, gt— линейные формы. Набор линейных форм составляв!
^-регулярную последовательность, если и только если он линейно незави-
независим (проверить!), откуда легко получить, что два линейных многообразия
Yi, У2 в аффинном пространстве А' находятся в общем положении, если
и только если они не пересекаются при dim У, + dim Y2 < dim X или
пересекаются по подпространству размерности dim X — dim YL — dim У2
в противном случае. Это соответствует геометрической интуиции.
Отметим еще, что условие определения 2 наложено не только на взаим-
взаимное расположение У( и У2. но и на каждую из них отдельно (в окрестности
точек пересечения). Может оказаться, что Y в окрестности некоторой точки
вообще нельзя задать Л-системой. Это, однако, всегда можно сделать, если
в этой точке X и Y регулярны.
2.4. Доказательство теоремы 2.6 затруднено следующими обстоятель-
обстоятельствами. Пока мы умеелг вычислять умножение лишь для классов локально
свободных пучков. Следовательно, для вычисления ci(OYz)- с1(Оу„) нужно
знать резольвенту хотя бы одного из пучков Оу{. Но у нас имеются только
локальные сведения об этих пучках (и даже в окрестности не всех точек).
Мы могли бы вычислить cl.(OYl \u)-cl(Orz |f;) для некоторых открытых
множеств U, но это не дает ответа в К(Х), даже если {6',} образуют покры-
покрытие X: ядро гомоморфизма К (X) —>-UA"(?/j) может быть нетривиально-
и даже совпадать со всем К (X) (функтор К (X) очень плохо локали-
локализуется).
Поэтому нам понадобится более тонкая конструкция, позволяющая
вычислить произведения локально.
13
2.5.- Гомологическая интерпретация умноже-
умножения в К(Х). Пусть &, & — два пучка на X. Рассмотрим локально сво-
свободную резольвенту одного из них:
О -* Хп -* ¦ ¦ ¦ -* Хо-+ &-+ 0.
В силу определений имеем
г=0 '
так что
)еЦ9) = ^(-1УеЦХ1®9) A)
(в самом деле, cl(X)cl(S) = cl(X ® 3), если даже только X, а не оба
цучка локально свободны по предположению 1.5).
С другой стороны, рассмотрим комплекс пучков, получающийся
из резольвенты пучка $¦ тензорным умножением на &:
С: 0 -> Хп ® 3 -* Xn-i ® $-+...-+ Хо®3 -+ & ®3 -*0.
По стандартному свойству аддитивных функций находим
.2
B)
где Hi (С)—г-й пучок гомологии комплекса С
Теперь мы имеем следующий -результат:
2.6. Предложение, а) Пучки Ht (С) не зависят от выбора
резольвенты X, точнее, Hi (С), построенные для разных X, канонически изо-
изоморфны.
' Положим Hi (С) = Tor?*(g, JF) (или просто Тогг (.F, $)).
б) Тогг (JF, ®) является ковариантным функтором по 3F и &; он кано-
канонически изоморфен Тог,(^, §). ' 'г ,"
в) Тог, {JF, &) как функтор любого из аргументов при фиксированном
другом является i-м производным функтором от тензорного произведения.
В частности, имеются обычные точные последовательности Тог, свя-
связанных с точными тройками 0 —>• J^i -*¦ JF -*¦ ,?Fг -*- 0.
Набросок доказательства. В книгах Картам — Эйлен-
берга и Маклейна имеется теория Тог для модулей над кольцом А.
В этой теории свойство а) следует из того, что для любых двух резоль-
резольвент L, L' модуля F существует гомоморфизм /: L ->¦ L', продолжающий тож-
тождественный изоморфизм F, и два таких гомоморфизма гомотопны. Поэтому /
индуцирует канонически определенный изоморфизм между модулями гомо-
гомологии комплексов L ® G и U ® G.
Совпадение Тог^ (F, G) с F ® G получается прямым вычислением,
потому что тензорное умножение точно справа. Канонический изоморфизм
Тог; (F, G) и Тог^ (G, F) строится сравнением гомологии комплексов L ® G,
F ig) L' и L ig) U, где L — резольвента F, a L'— резольвента G.
Возможность перенести все эти конструкции с модулей на квазикоге-
квазикогерентные пучки основана на том, что локализация сохраняет точные после-

14
довательности и тензорные произведения: если F, G—Л-модули, S czA —
мультипликативная система, то из точности последовательности Л-модулей
О —*¦ Ft —*¦ F —.> F2 —> 0 следует точная последовательность ^-модулей
О -* (^i)s -* (F)8 -* (F2)s —» 0 и (F®G)s = Fs® Ga. Отсюда вытекает,
A As
что для всех i
Torts(Fs, Gs)*=
, G))B,
так что вся теория Тог локализуется.
Из этого предложения и формул A), B) получаем следующий результат.
2.7. Теорема. Для любых двух когерентных пучков JF,& на X имеем
^
2.8. Доказательство теоремы 2.3. Достаточно установить, чт»
в условиях теоремы
Тог0 (OYv ОУг) = OYl ® ОГг ~ ОХ1 (J, + J2),
°
uyv OY3) = U при i>\.
Первое утверждение верно вне зависимости от предположений. Второе'
достаточно проверить локально.
Если x$Yi Г) Y2, то либо (OYJx = 0, либо (Оу2)х — {), так что в окрест-
окрестности таких точек Tor^Oy^ 0у2)=О. <
Пусть теперь г 6 У] П Y2. Пользуясь тем, что У4, У2 в общем положе-
положении, сведем дело к аффинному случаю: F = А/ (/,, ..., /r), G = J/ (glt ..., g'T).
Комплекс Кошуля КА (/) доставляет свободную резольвенту Л-модуля F
([2], 21.6):
Q-+K?(j) Л...Л^(/)-*^(/)-*0,
где
^ К Л • • • Л «О = Л (-D
ft+1
u Л • • • Л % Л ¦ • • Л
Тензорно умножая эту резольвенту на G = A/(gi, . . ., g>), получаем'
комплекс Кошуля ,ЙГА/« (/ mod (g)), который тоже ацикличен, ибо по усло-
условию / mod (g) составляет ^/(^-последовательность. Отсюда вытекает тре-
требуемое.
3. Самопересечение и внешние степени
3.1. В предыдущем разделе мы вычислили произведение в К(Х) клас-
классов структурных пучков подсхем Yit У2, находящихся в «общем положе-
положении». Сейчас, пользуясь теоремой 2.7, мы вычислим (cZ(Oy)J. Это — другой:
крайний случай: Y, очевидно, никогда не находится в общем, положении
по отношению к самому себе. Все же нам придется наложить на У некоторое
условие регулярности, аналогичное тому, которое фигурировало в определе-
определении общего положения.
15
3.2. Определение. Замкнутая подсхема Y d X называется
регулярно вложенной, если для каждой точки у ?Y существует такая аффин-
аффинная окрестность U = Spec А, что идеал J ci, определяющий Y в U,
порождается некоторой А-регулярной последовательностью.
3.3. Пусть Y — замкнутая подсхема X, Ог = OX1J,. ПучОк J/J2 отли-
отличен от нуля лишь на Y; его можно рассматривать как когерентный пучок
Оу-модулей. В дифференциально-геометрической модели J/J2 \Т играет роль-
«ненормального расслоения» на Y. Его локальные сечения являются линей-
линейными частями функций на Xh равных нулю на У; каждый касательный к X
в точке у 6 Y вектор можно рассматривать как функцию на этих линейных
частях, и эта функция тождественно равна нулю, если вектор каса-
касается У.
3.4. Предложение. Пусть У d X — регулярно вложенная замк-
замкнутая подсхема и Ог = 0х13- Тогда Ог-пучок J/J2 |г локально свободен
и ранг его в точке у 6 У равен локальному числу уравнений, определяющих Y
в окрестности этой точки.
Доказательство. Очевидно, вопрос является чисто локальным.
г
Пусть А—некоторое кольцо, (Д, ... /г)—^-последовательность, 1= 2 -4/(-
Покажем, что Л/7-модуль ИР свободен ранга г. Очевидно, элементы
fi = fi mod / являются его образующими; достаточно проверить, что онк
независимы. Проведем индукцию по г.
При г = 1 из того, что af = 0, где а = a mod Af, следует, что af = б/2
для некоторого Ь?А, откуда /(а—bf)=O и, так как / не является делите-
делителем нуля в A, a = bf, т. е. а=0.
Пусть предложение доказано для ^-последовательности (fu ..., /г_4).
v
Допустим, что 2 aifi = О В Шг, где at == at mod I, ai?A. Можно считать,
что 2<Zj/i = 0 в А: иначе 2аг/г = 2и;/;, utfl, и можно заменить а; на а; — Ui,
не изменив at.
Так как fT не является делителем нуля в кольце Л/(/4, ...,/г_4),
г-1 г-1
из равенства ar/r+ S а;/г = 0 следует, что справедливо аг= 2 &*/*>
i=i . t=i
r-l
откуда 2 (ai + bifr)fi = 0. Из предположения индукции находим
г1
+ &г/г6 2 -4/i (i= 1. ..., г— 1), так что
для всех г, т. е. аг = 0,
что завершает доказательство.
3.5. Теорема. Пусть Y—регулярно вложенная замкнутая подсхема
в X, Oy — OxI31 3~—локально свободный пучок Оу-модулей, тривиально
продолженный на X. Тогда
Torf
Or) =

-16
Следствие. В группе К(X) имеем
el (JF) cl (Or) = 2 (-IIc
i=0
в AL(J/J2}).
0 *
Полагая здесь & = Ог, получаем обещанную формулу для «самопересе-
«самопересечения» Y, т. е. для сЦОуJ- С ней связаны следующие интуитивные пред-
представления.
В дифференциально-геометрической модели для вычисления самопере-
самопересечения нужно «сдвинуть» Y. Это можно сделать локально, не выходя
за пределы некоторой трубчатой окрестности. В свою очередь трубчатая окре-
окрестность Y определяется нормальным расслоением к нему, если Y достаточно
регулярно. В нашей ситуации это проявляется в появлении пучка J/$2.
3.6. Пример (индекс самопересечения диагонали). Несколько забегая
вперед, мы можем дать красивое приложение этой теоремы.
Пусть X — регулярное проективное многообразие над полем, Ах сг
сХхХ — диагональ. Ненормальный пучок к диагонали — это пучок
дифференциалов Qx (см. раздел 17). В стандартных обозначениях Л'(йх) =
= Q\ — пучок г-мерных внешних дифференциальных форм на X.
Далее, dim (X X X) = 2dimX, так что естественно предположить
(и можно доказать), что cl (АхJ представлен линейной комбинацией пучков
с нульмерными носителями. Тогда с классом «самопересечения»- диагонали
(в К (X)) можно связать некоторое целое число «индекс самопересечения».
Как вычислить его? В случае, когда Y\, Y2 с X нахедятся в общем положе-
положении и пересекаются по конечному числу замкнутых точек, естественно
назвать их индексом пересечения число
deg (Yt П Y2) = dim #° (X, Oylflya) = % @у1Пт,).
Так как %—аддитивная функция, это определение годится и здесь: приме-
применяя его, находим
dim .Г
i=0
dimX
¦QU = У (—
dimZ
i){ 2 (-
2 dim .Г
_ у
р=0
-lydimff'fl, Qx) =
(-l)"dim( © Я'(ЛГ
i+i=P
17
Пусть Л —коммутативное кольцо, (Д, ..., /г)—^-последовательность,
/—идеал, порожденный аго.
Построим комплекс Кошуля if. {/); стандартный гомоморфизм К, (/) —>
_* АН превращает его в свободную ./1-резольвенту модуля АН. Из явной
формулы для дифференциала з К, (/) легко получается, что все дифферен-
дифференциалы комплекса К, (/) ® АН нулевые, так что группа его г-мерных гомо-
гомологии, изоморфная Tori (All, A/I) является свободным ^//-модулем раата
('".)¦ Мы определим такие изоморфизмы
Если X определено над полем комплексных чисел, по известной теореме
Де Рама — Дольбо—Серра сумма © Н](Х, Ох) изоморфна пространству р-
г+3=Р
мерных сингулярных когомологий X с коэффициентами в С, так что индекс
самопересечения диагонали Д,т равен обычной эйлеровой характеристике,
как и должно быть.
3.7. Доказательство теоремы 3.5. Мы снова можем рассматри-
рассматривать чисто локальную ситуацию; нужно лишь позаботиться о том, чтобы
получить канонический изоморфизм Tor°*@r, OY) с AloY(J/J2), упомяну-
упомянутый в наброске доказательства предложения 2.6, — иначе мы не сможем
склеить эти изоморфизмы в один глобальный.
(справа стоит комплекс с нулевыми дифференциалами), что для любой дру-
другой ^-последовательности (glt ..., gr), порождающей / (в силу предложения
3.4 она состоит из того же числа элементов), и для любого гомоморфизма
комплексов ф: К, (g) —* К, (/), продолжающего тождественное отображение
АН —> АН, следующая диаграмма коммутативна:
A)
Тогда они определяют канони-
канониК. (/)
Допустим, что мы построили такие
ческий изоморфизм
Toif-(A/I,
совместимый с локализацией, что доказывает первое утверждение теоремы.
Второе немедленно следует отсюда, ибо для любого свободного ^//-модуля F
имеем
Тог,А (АН, f) = ff,(K. (/) ®F) = Ht ((К. (/) ® A/I) ®F = AA/I (IIP) ® F,
A A A/I A/I
где все равенства означают канонические изоморфизмы, совместимые с лока-
локализацией.
Остается определить фу. Пусть Кр (/) = © Aeh Д .., Д eip, Kp (f) ® АН =
= © A/Ieh Д ... Д et . Положим
Ь (еч Л • • • Л %) = К Л • • -.Л/у
где ft = ft mod 1г 6 ИР- В силу предложения 3.4 ty является изомо!?физмом.
Коммутативность диаграммы A) достаточно проверить для какого-нибудь
одного гомоморфизма резольвент фг: К. (g) —> К, (/), ибо остальные ему
гомотопны. Его можно построить следующим образом. Пусть gt =
= .2 aufh ацЕЛ, и пусть
Ф К Л • • • Л %) = (.S auj
е'ч Л • • • Л e'i • Положим
) л • • • л B *„л) •
2-2687

¦is
Следующее вычисление показывает, что это гомоморфизм комплексов:
ф (d (el, /\ • • • Л %) = Ф B (-1)*+1 gi/h Л • • • Л е\ Д • •¦ • Л %) =
= 2 (- i)"+1^ft ( 2 ailjej) Л • • • Л 2 Л • ¦ • Л B ai.i^) =
t j=i * i=i p
= 2(-i)"+
(.2 ж
л • • ¦ л
л • • • л
(,2
(у
учесть, что
= У} «
у
/;)-
Еще одно вычисление, столь же простое, показывает коммутатив-
коммутативность A):
^ Л • • ¦ Л
- B *i
г
Л ¦ ¦ • Л ( 2 %
2
Л gip =
«ii Л • • • Л
= К Л
Это завершает доказательство теоремы 3.5.
3.8. Теорема 3.5 показывает важность операций внешней степени.
Покажем сейчас, что их можно перенести на К' (X). Нетривиальность задачи
объясняется тем, что хотя эти операции определены на образующих группы
Z(S?), они заведомо нелинейны, так что продолжить их по аддитивности
нельзя.
Вот пример: если X = Spec к, то К' (X) С^ Z, где изоморфизм дости-
достигается сопоставлением каждому линейному пространству над к его размер-
размерности, и Л* (и) = ( п J . Дело спасается красивым приемом, который при-
придумал Гротендик.
3.9. Предложение. Пусть О -*- JF \ —*¦ JF -*¦ jF2 -*- 0 — точная
последовательность локально свободных пучков конечного ранга над произ-
произвольной схемой X. Тогда для всех п^Ов группе К(Х) имеет место тож-
тождество
с1-(\п(Ж)) = Jj сГ (Л{(^,))-сГ (Ап-Ц^г)).
Доказательство. Пусть сначала X -; Spec А и пучки Si соответ-
соответствуют свободным модулям Ft. Введем в модуле Л" (F) убывающую фильтра-
фильтрацию, обозначив через Л? (F) подмодуль, порожденный элементами вида
«1 Л • • • Л ai Л bi+i Л • • ¦ Л ьп, где аь . . ., at e F>.
Очевидно,
Л" (F) = Л? (F) zd Л? (F) zd .. . zd Л? (/) .^ Л" (/',).
Удобно еще положить Л^+4 (F) --¦¦ 0. Построим изоморфизм
19
Для этого выберем сечение s: Рг —*¦ F, определяющее прямое разложение
F-=Fi-\-s(F2), и положим
Ф ((a-i Л • • • Л at) ® (*i Л ¦ • • Л ьп-0) =
= «1 Л • • • Л ai Л s F,) Л • • • Л « (Ьп-0 mod Л?+1 (/').
В действительности ф не зависит от выбора s, потому что Im (s — s') ? ^t
для любых двух сечений s, s'. To обстоятельство, что ф — изоморфизм,
легко проверить, выбрав свободные базы Ft и F2- Так как способ конструк-
конструкции совместим о локализацией, получаем отсюда формулу для классов пучков
cV (An (JF)) = 2 сГ (Л? (^)/Л1+, (jF)) = 2 сГ (Л'./"!
i=0 г=0
которая доказывает требуемое.
»3.10. Теорема. Для любой схемы X существует и однозначно опре-
определена серия отображений
V: К- (X) -> К • (X) (i=0, 1, 2, ...),
удовлетворяющая условиям
для любого когерентного локально свободного ОА--МОДУЛЯ &•' ¦
Доказательство. Рассмотрим группу по умножению 1 + ХК' (X)
формальных степенных рядов с коэффициентами в кольце К' (X) и опреде-
определим гомоморфизм
Xt: Ъ\Х\ -* l + tK-(X)Ut]\,
положив
Я.» (^) = 1 + 2 cZ- (A1 (JF)) t1
для локально свободных пучков JF и доопределив Xt на Ъ\Х\ по аддитив-
аддитивности. Из предложения 3.9тогда следует, что подгруппа в Ъ\%\, порожденная
элементами [JF\-^> [jFJ —> [J2^] для точных последовательностей 0-^> ^"j—>
—> J^ —> ^ —*¦ 0> принадлежит ядру Xt, так что А.^ можно определить
на К' (X). Положим для любого элемента х?К'(Х)
A,,(z)=l+ 2 ^^ fi'
Это устанавливает существование операций А.1; единственность очевидна.
Имеем, в частности, Х° (х) = 1, X1 (х) = х для всех х.
3.11. Пример. Рассмотрим проективное пространство Рг над некото-
некоторым полем. Кольцо К (Рг) было вычислено ранее ([2], 25.11): полагая
/ = cl (ОрГ A)), имеем
K{W)~Z[X\l{{i — Z)n+1),
где изоморфизм ставит в соответствие X > I.
Гомоморфизм Xt легко вычислить, потому что х — класс обратимого
пучка, так что Xt (I1) — i +Pt. Отсюда находим
r r
*•« B a^0 = П
i=0 i=0

4. Проективизировашше расслоения
¦4.1. В первой части этого курса было вычислено кольцо К(Рь), где
к — поле. Цель ближайших трех разделов — обобщить этот результат на
случай, когда вместо к рассматривается произвольная регулярная нётерова
схема, имеющая обильный пучок.
Этот фундаментальный результат подобен теореме периодичности Атья —
Ботта.
Нам придется провести некоторую подготовительную работу, чтобы
определить понятия, входящие в формулировку основной теоремы,
4.2. Прежде всего, проективное пространство Р^ = ?roj к 1Т0, . . . , Тг\
мы обычно записывали с «выделенной системой координат» (То, ¦ ¦ ¦ , Тт).
В бескоординатной форме ?\ = Proj S^ (Е), где Е — (г -j- 1)-мерное линей-
линейное пространство над к, a Sh (E) — его симметрическая алгебра над к
с естественной градуировкой. Аналогично Р^ = Proj SA (E) для любого
кольца А и любого свободного Л-модуля Е.
Заменив кольцо А на произвольную схему X, а свободный А -модуль Е
на локально свободный пучок Щ над X, мы можем аналогично построить
схему, которая будет обозначаться через Proj So ($) или Р ($). Проще
всего описать ее явно, выбрав такое аффинное покрытие X = U Ut, U{ —
= Spec.^, что Ш тривиален на всех ?/г. Тогда мы можем построить схемы
Р{ ¦= Proj SA. (T(Ui, §)). Ограничение Pt над Utfl Uj склеивается с огра-
ограничением Pj на Ui П Uj очевидным образом; морфизмы Pt -*- Ut склеиваются
в морфизм Р (?) —s- X.
Важно заметить, что обратимые пучки Ор. A), определенные на каждом
из Pit также естественно склеиваются и дают обратимый пучок Op i<g\ A)
на Р(#).
4.3. Мы часто будем пользоваться следующими фактами, которые
оставим без доказательства:
а) Если X регулярна, то Р ($) регулярна.
б) Если на X есть обильный пучок j?, то и на Р (Ш) есть обильный
пучок: X ® OV(v.(ri) обилен для п > п0 ([1], гл. II, предложение
°
4.6.13 (ii)).
Схема Р (Ш), построенная для данного локально свободного пучка % на
X, и будет для нас заменой проективного пространства; мы вычислим коль-
Ответ, очевидно, должен зависеть от К (X); эта зависимость отражается
в существовании гомоморфизма колец К (X) —>- К (Р (?)), индуцированного
морфизмом схем P(g)—*-Х. Мы построим сейчас этот гомоморфизм в об-
общем случае.
4.4. Предложение. Для любого морфизма схем /: X -*¦ Y можно
определить канонический гомоморфизм, колец /*: К' (Y) -*- К' (X), так
что X ~—> К' (X) превращается в контравариантный функтор из категории
нётеровых схем в категорию колец.
F, где ..4 рассма::и-а-
Набросок а, о к а г з, г з л ь с т з а. Пусть /: X -> У — морфазм
j;:eM, JF — зогерентяый пучок на У. Тогда определен когерентный пучок
^ iJF) ш JF — «обратный эбраз;> пучка .F. Она однозначно определяется
следующими свойствами:
а) Если /—открытое злозкезне X в У (т. е. отождествляет X с откры-
открытым подмножеством f (X) в У. а Ох — а OY\nx), то /* (J5") = J2" |~.
б) Если /: Spec .4—> Spec .5—морфизм аффинных схем, отвечающий г;-мс-
морфизму колец ц>: В —»• А, а .?¦ = F, то
вается :<ак 5-алгебра относительно ор.
в) \f"g)* = 8*°f*-
г) /* есть ковариантный функтор S>7-*-o>x, который в случае б) совпа-
совпадает с обычной заменой кольца.
Мы опускаем доказательство существования «обратного образа», которое
сводится к проверке различных совместимостей. Вот доказательство един-
единственности и заодно метод вычисления: пусть V czY, U с f'1 (V) — аффин-
аффинные открытые множества. Из диаграммы вложений i, j и ограничения f
на U, V
и3
v
и
находим, пользуясь свойствами а), б), з):
Г {U, j*/* (.F)) = Г (U, g*j* (&)) =
= Г (U, Ojj) ® Г(F. /* (jF)) = Г -Ь", Off) ® Г (F, J^ U).
Стало быть, сечения пучка /* (F) однозначно опс-вцеленн для достаточно
мелких открытых подмножеств U с X; так же лике определить отображе-
отображения ограничения.
Из локального описания вытекают следующие факты: во-первых, если
jF локально свободен, то /* (,#г) локально свободен и имеет тот же ранг; во-
вторых, /* переводит короткие точные последовательности локально свобод-
них пучков в точные последовательности; в-третьих, для таких пучков
Отсюда следует, что /* индуцирует некоторый гомоморфизм колец
К' (У) —> К' (X), который мы обозначим также /*. Равенство (fg):' = g*f*
следует из в).
Отметим, что f*Xl = Vf*: это также немедленно следует за локального
описания /*.
Теперь мы можем сформулировать основной результат:
4.5. Теорема. Пусть X — связная регулярная нётерова схема
с обильным пучком, % — локально свободный пучок ранга г + 1 на ней, Р (g) —
схема, описанная в п. 4.1, X = Ор ^ A) — стандартный обратимый пучок
на ней.
2Х-2037

' Тогда кольцо К(?(Щ), как К (Х)-алгебра, имеет вид
г+1
1=0
еде е =
r+i
2
+
Г mod B ( —1)'Г«-' (е) Г) = l=cl (X) <= К (Р (Щ).
В частности, К (Р (Щ) является свободным К{Х)-модулем ранга r + i.
Пример. Пусть % свободен: §=@Ж)"+1, X — k-схема, где к некото-
некоторое поле. Тогда e = r+i, X1 (е) = ('"I) ; с другой стороны, P(g) = Х x Р*.
Отсюда
При & = С, г = 1 этот результат аналогичен теореме (комплексной)
периодичности Ботта (в формулировке Атья — Ботта) для топологического
^-функтора, потому что прямая Рс гомеоморфна римановой сфере S2.
Доказательство. Мы должны установить следующие утверж-
утверждения:
г+1
' 4.6. Утверждение. 2 ( — II/* {У+1~{ (<?)) /' = 0, где /:P(g)_^X—
естественная проекция.
4.7. Утверждение. Элементы I1 (i = Q, . .., г) линейно независимы
над К(Х).
4.8. Утверждение. Элементы I1, s?Z, порождают К (Х)-алгебру
К(?(Ш)).
Пункты 4.9 и 4.10 будут посвящены доказательству утверждения 4.6;
раздел 5 — доказательству утверждения 4.7, наконец, раздел 6 — доказа-
доказательству 4.8.
Для доказательства 4.6 нал понадобится одно вспомогательное пред-
предложение, представляющее самостоятельный интерес.
4.9. Предложение. Пусть % — локально свободный пучок на
схеме X; /: Р (#) —*¦ X — естественное отображение. Тогда существует кано-
канонический эпиморфизм
/•(») — Орда A)-»о.
Доказательство. Пусть сначала Х= Spec А, Ш~Е, где ?"—сво-
?"—свободный ^4-модуль. Тогда в обозначениях ([2], 23) имеем
Г.(Р(в), Ор(Я)A)) = 5л(?)A).
(Напомним, что Р {Ш) = Proj SA (E), а функтор Г» ставит в соответствие
квазикогерентному пучку 3- на Р(§) градуированный SA (?)-модуль
@Г(Р(8), ^(л».)
п=0
23
Кроме того, имеется очевидный гомоморфизм модулей
Е ® SA (E) -> SA (E) A),
е®/—->«/.
Он эпиморфен, потому что Е порождает SA (E). Так как Г» есть экви-
эквивалентность категории пучков с категорией модулей, этому гомоморфизму
отвечает эпиморфизм пучков
Совместимость таких отображений с локализацией по А легко проверяется.
Это доказывает требуемое в общем случае.
(На самом деле здесь не обязательно пользоваться общим результатом
об эквивалентности категорий, ибо наше утверждение гораздо более элемен-
элементарно и легко проверяется с помощью явного вычисления групп сечений.)
* 4.10. Доказательство утверждения 4.6. Из доказан-
доказанного предложения следует, что существует эпиморфизм
Пусть а — класс ядра этого эпиморфизма. Так как ядро является локально
свободным пучком ранга г, имеем Я*а=0 при i>r+l.
Далее, в обозначениях п. 4.5,
Применим к обеим частям этого равенства оператор Xt (см. п. 3.10):
"S ^ (f(e) Z-i) tl = A + t) ( S V (a) f).
i=0 i=0
Положим здесь t——1 и учтем, что для любого пучка JF и оСратимого
пучка X имеем Л1 C^ ® X) с^ t
r+i
или
г+1
2(-i
i=0
откуда соотношение 4:6 получается заменой i на r+i — i.
5. Вычисление К(Р(Щ) и принцип расщепления
5.1. В этом разделе мы докажем утверждение 4.7. Для этого нам
понадобятся некоторые сведения о прямых образах пучков.
Пусть /: X —> Y—морфизм, JF — квазикогерентный пучок на X. Пучок
/* {З') на У определяется своими сечениями над любым открытым мно-
множеством U cY
Он квазикогерентен.
Отображение 3-——>/» (J^) является ковариантным функтором из кате-
категории квавикогерентных пучков на X в категорию таких пучков на Y. Если

X = SpecA, y=Spec В, <p: В ->- А — гомоморфизм колец, то,1, соответству-
соответствует функтору, который каждому 4-модулю F ставит в соответствие 5-модуль
Лф], совпадающий как группа с F; действие В на Z:,Cj определяется так:
Ь, = ш (b)s для всех b ? В, b ? В, s ? F.
3 случае, когда У = Spec А, А—поле, ямэем
Уте показывает, что функтор /„, вообще говоря, неточен. На самом деле,
за, как л Г точен слева; его правые производные функторы обозначаются
Я1/,.., пучки Rxi..{JF) иногда называются высшими прямыми образеихи нуч-
Пучок Rlf,s (jF) ассоциирован с предпучком на Y
дри i > 0 этот яредпучок, вообще говоря, не является пучком.
Следующая формула связывает прямые и обратные образы.
Пусть /: X—> Y—морфизм, 2F — локально свободный пучок на Y,
§¦—квазикогерентный пучок на X. Тогда существует естественный изомор-
изоморфизм пучков
(Так как результат локален по Y, достаточно рассмотреть случай, когда
Y = Spec А и J?" = OrY. Из определения /* немедленно получается, что
/* (jF) = Ox, и требуемое равенство становится очевидным.)
В частности, при фиксированном JF функтор g~_^./„,(/*
A)
точен слева и его производные совпадают с производными функтора 3
—*¦ JF ® /„, (&), которые просто равны 3F ® Л'/« (^)> ибо умножение на
сохраняет точные последовательности.
Следовательно,
#*/* (/* (&) ® ^) = ^ ® Л1/. (*') Для всех i > 0.
Наконец, нам понадобится следующий факт.
Пусть X—нётерова схема, Ш—локально свободный пучок на ней,
f:P (Ш) —>Х — морфизм, описанный в предыдущем разделе. Тогда для лю-
любого когерентного пучка jF на Р (f) все пучки Л4/» {$*) когерентны.
В самом деле, они квазикогерентны по определению и имеют локально
конечный тип по теореме Серра ([2], 22.1).
5.2. Лемма. Пусть 3F, S—когерентные пучки на Р(§). Если
cl(&r) = clC)?K(P($)), то для всех п>щ имеем
'Hf,* (*)) = cl(f,C (n))?K (X),
где
& (п) = JF ® Х\ ? = Ор т A). B)
(§)
Доказательство. Из равенства cl
S)] имеем
= cl C) следует, что в группе
где пучки под знаком суммы связаны точными последовательностями: 0 —.-
,_^ »/; _^. 7/'"i —i-fi—1-0 (мы пишем пучки вместо их классов с точностью до
изоморфизма). Так как тензорное умножение на X сохраняет все точные
последовательности, имеем для всех п. равенство в группе Z iS-p^g)!
JF (n) —S (Л) = S Щ (^:- (И) + П («) - # ' ((И)),
откуда в группе Z i<JYj
/, (-9" (»))-/¦ ^ (л)) = S л, (/, (<И« (л) + U (Ti (п) - U (W, (л)).
Из теоремы Серра ([2], 22.1) следует, что при «>«0 Для достаточно мел-
мелких U cz X имеем
RHtHV), <м,(в)) = о, *>i.
Поэтому
УгЛ*/Л^(«)) = 0 при п>и0,
так что последовательности
о -> /, см, (л» -* и т (л)) -»/. (г, (л)) -»о
точны на X, что доказывает равенство
cHf,(#r(n)) = cl(f.(§(n)).
5.3. Лемма. Предположим, что в К (Р (§)) имеет место соотношении
Тогда, полагая ол (е) = cl (Sn (Щ) ? К (X) (Sn (?)—га-я симметрическая сте-
пеньI имеем для всех п>п0 в К {X)
2
г=0
а"+* (е) = 0.
Доказательство. Пусть xl = cl{&rl) — cl{&:'d в ЛГ(Х), где .F, J^' —
локально свободные пучки на X; положим
i==0
' = ©/• (J^i @).
i=0
Из условия леммы следует, что в К(Р(Щ) имеем
Согласно предыдущей лемме
cl (/, (аМ (п)) = с/ (/. {<М' (и)), и > л0,
т. е.
сг [©
t=0
с/ [© /.
i=0
Так как J2";, ^"J — локально свободные пучки, замечание в конце п. 5.1
показывает, что
С другой стороны, из теоремы ([2], 23.6) вытекает, что

26
Следовательно,
откуда и получается утверждение леммы.
5.4. Лемма. Длл всея га>1 в кольце К (X) имеет место соотношение
0
где по определению а'(е) = 0 при /<0.
Доказательство. Определим для любого р, 1<р<г+1, гомомор-
гомоморфизм пучков Ох-модулей
dp: Apg ® S (g) -* Л13 (g) ® Я (g),
полагая для всякого открытого множества С/ = Spec -4 с X, над которым |?
тривиален:
dP ((/, Л • • • Л /Р) ® s) = 2 (-1)* (Л Л • • • Л Л Л • • • Л U) ® (Л ® *),
где ft6T(U,g), g?T{U,S(%)).
Без труда проверяется, что такие гомоморфизмы существуют и что
dp-i °dp~0. Обозначим еще через g естественную проекцию S (Ш) —> Ох
пучка градуированных алгебр на компоненту нулевой степени; получается
комплекс 0^-модулей
0-> Ar+!g ® S (g) -» Arg ® 5 (g) -» ... -> AJg ® S (ё)Лох -» 0.
Этот комплекс ацикличен. Действительно, над всяким открытым мно-
множеством U = Spec А, над которым % тривиален и соответствует /4-модулю Е,
комплекс сечений является комплексом Кошуля, построенным для симмет-
симметрической алгебры SA (E) и SA (^-последовательности, состоящей из какого-
нибудь базиса Е.
Так как dp отображает' ЛРШ ® Sq (g) в Л"-1^ ® 59*1 (g), мы можем раз-
разбить этот комплекс в прямую сумму, получив для каждого и>1 точную
последовательность
О _> лг+1| ® 5"-г-1 (I) -*...-> Л1^ ® б-1^ -» 5 (g) -> О,
где 5'(g)=0 при ;<0.
Это доказывает лемму.
г
5.5. Доказательство утверждения 4.7. Пусть 2 /*B() I1 =0
г=0
г
в кольце К(Х). Из леммы 5.3 следует, что тогда 2 »jan+t (е) = 0 при и > п0.
Иначе говоря, в кольце JsT(#)[[?]] степенной ряд
(У г fr-i\ (у
1=0 i=O
является на самом деле многочленом.
B)
27
С другой стороны, лемма 5.4 дает тождество
со Г+1
B о1 (е) tl) ( 2 (—1)'Я* (е) tl) = i. C)
i=0 1=0
Поэтому, умножая B) на X_t (e), поручаем
г г-М
/ i чО i i = Г I 4 1 / | I — - 11 Л IС 1 ? .
i=0 1=0
Так как старший коэффициент Яг+1 (е) обратим, сравнение степеней много"
членов слева и справа показывает, что такое тождество возможно лишь при
р (t) = 0, так что xt = 0 при i = 0, .... г.
Отметим одно важное следствие из уже доказанных результатов: так
называемый «принцип расщепления».
5.6. Предложение. Пусть X — нётерова регулярная схема
¦с обратимым пучком, % — локально свободный пучок ранга г -\- 1 на ней.
Тогда существует такой морфизм Y —> X, где Y — нётерова и регулярна,
и такие обратимые пучки Xi, ¦ ¦ ., XT+i Ha Y, что выполнены следующие два
условия:
а) Гомоморфизм колец /*: К (X) —>- К (Y) является вложением.
б) f(e) = li+...-\-lT+i, где
Доказательство. Согласно предложению 4.9 у пучка Щ, под_
нятого на Р (g), имеется обратимый фактор-пучок; поэтому в К (Р (g) класс
у* (е) распадается в сумму классов обратимого пучка и локально свободного
пучка на единицу меньшего ранга. Итерируя эту конструкцию, получаем
требуемое; мономорфность /* следует из утверждения 4.7.
6. Вычисление К{?{Щ)) (окончание)
Здесь мы докажем утверждение 4.8, опуская проверку ряда техниче-
технических фактов. Доказательство будет разбито на несколько шагов.
6.1. Первый шаг. Цель его — свести задачу вычисления К (Р (Щ))
к некоторой задаче о пучках на X. Для случая X = Spec k этот шаг состоит
в сопоставлении каждому когерентному пучку на Р? некоторого градуиро-
градуированного модуля над однородным координатным кольцом проективного про-
пространства, т. е. градуированного линейного пространства над к. В общем
случае появляются пучки градуированных модулей над пучком алгебр
S (Щ. Нам нужны также функториальные свойства этого соответствия,
формализующие то обстоятельство, что «при рассмотрении градуированных
объектов конечным числом однородных компонент можно пренебречь» (ср.
12), 23).
Начнем с точных определений.
6.2. Определение категории ®aM<g. Объекты, аМ категории
&aM<g — локально свободные над X пучки градуированных S (?)-модулей
конечного типа.

28
Точнее говоря, <М задается, во-первых, набором своих однородны::; ком-
компонент:
<Л — © aMi, аМ'j=0 при i<zio(M),
где э#,- — локально свободные когерентные пучки на X, я, во-вторых внеш-
внешний законом композиции
Si [Ш) X oMj -* 3#ш, ?г, /tZ,
который должен удовлетворять обычным аксиомам действия градуирован-
градуированного кольца на градуированный модуль.
т
Объекты вида @ S (&) (га,-) называются свободными; напомним, что
(S (Ш) (в)),- = 5n+1 (в); закон композиции определяется законом умножения
з зучке алгебр S(&).
По определению, <Л имеет конечный тип, если существуют такие целые
числа г'о^ц, что естественный гомоморфизм пучков градуированных • S (&)-'
модулей
®M 51 g © в
i
является эпиморфизмом. В этом случае объекты @ аИц имеют конечный
. Пусть <Ж, i/V*-—'Два объекта из <Эо#^;
тип для всех п0.
Морфизмы категории
по определению
где справа от знака lim стоит группа однородных гомоморфизмов пучков
градуированных модулей над пучком Б(Щ.
Композиция гомоморфизмов определяется очевидным образом.
Из этого определения следует, что объекты <М, JT в категории ®Л%
изоморфны, если пучки S Щ)-модулей © в#,, © JT t изоморфны для некото-
рого п0. Пучки еМ, jf с такими свойствами называются TN-изоморфными.
Так как во всем последующем будут важны лишь классы пучков с точ-
точностью до rJV-изоморфизма, мы для краткости будем иногда считать объек-
объектами категории ®<М<$ также все пучки, lW-изоморфные описанным в начале
этого пункта.
Теперь мы можем сформулировать основной результат первого шага
доказательства.
6.3. Предложение. Пусть jFV— локально свободный когерентный
пучок на P(|j). Положим
©/,(()) @
71=0 П=0
Тогда a. (JF) TN-изоморфек объекту категории
29
Отображение у- » а (& ) является ковариантным функтором, который
устанавливает эквивалентность категории Xniv^ локально свободных коге-
когерентных пучков на Р(<?) с некоторой полной, подкатегорией категории
<§аМ (в), замкнутой относительно расширений.
Замечание. В этой формулировка неявно содержится утвержде-
утверждение о том, что если & локально свободен на Р (§), то Д (JF (п)) локально сво-
свободен на X при всзх п ^ п0. Пучки, обладающие последним свойством
допускают полную характеризацию: это в точности пучки, плоские над X.
Нам этот факт не понадобится.
8.4. Второй шаг. Для применения результата 8.3 нам нужно
знать, накяе объекты в ®М^ соответствуют пучкам вида /* (JF) (?), где 3~
когерентный локально свободный пучок на X. В силу 5.1, 5.2 ямеем
а (Г
@) = © U
п=0
0) = ©
п=0
=& ®S(i).
(Мы можем рассматривать 3F как градуированный пучок, для которого
^0=^". ^« = 0, г>0.)
6.5. Мы выведем теперь утверждение 4.8 из следующего результата.
Предложение. Для всякого объекта Ж в категории ®ВМ% суще-
существует резольвента вида
0_>Ег_>=5!?г->...->^0-»вЛ_»0, A)
где X t (i = 0, . . ., г) — прямые суммы пучков вида 2F ®ох S (Ю (/') (^ коге-
когерентен и локально свободен на X), а %г имеет конечный убывающий ряд гра-
градуированных подпучков, факторы которого изоморфны прямым суммам пучков
вида & ® ох 3{Ш) (/).
Действительно, пусть этот результат доказан.
Пользуясь предложением 6.3 и вычислением в п. 6.4, находим, что для
всякого локально свободного пучка J27 на X существует резольвента, в кото-
которой все пучки, кроме последнего, являются прямыми суммами пучков
/* (@) (t), а у последнего есть композиционный ряд с факторами такого
же вида. Переводя это утверждение на язык группы К (X) и учитывая, что
в обозначениях п. 4.5, немедленно получаем требуемое.
6.6. Третий шаг. Он будет состоять в доказательстве предложе-
предложения 6.5.
Пусть аМ — произвольный объект из @о#«. Так как он конечного типа,
существует эпиморфизм
а? о —> &№ —=> О,
где Хй—конечная прямая сумма пучков вида
Однородные компоненты ядра этого гомоморфизма, очевидно, локально
свободны на X; из нётеровости X легко следует, что это ядро имеет конечный
тип. Поэтому оно принадлежит категории <Зо'Ж$, и мы можем продолжить

30
резольвенту такого типа как угодно далеко. Остановимся на r-м члене и обо-
обозначим через Zr ядро отображения ?т^>- XT-i-
Мы хотим доказать, что у %т есть фильтрация с факторами описанного
типа. Сначала установим, что локально Sr изоморфен прямей сумме пучков
вида S (<?) (/'). Для этого нам потребуется следующее обобщение теоремы
Гильберта о сизигиях ([2], 25.10).
6.7. Лемма. Пусть А — нётерово кольцо, В = А [То, ¦ ¦ • , Тг],
М — В — модуль конечного шипа, проективный над А. Тогда у М есть
резольвента, состоящая из проективных В-модулей, длины г -f- 1.
Чтобы не нарушать последовательность изложения, доказательство
этой леммы отнесено в последний пункт.
6.8. Вернемся к пучку %г.. Для любой точки х ? X существует аффинная
окрестность U = Spec А, над которой пучок Щ свободен; пусть Ш = Ё,
где Е — свободный .4-модуль. Сечения однородных компонент %г над U
являются проективными 4-модулями конечного типа; поэтому N = Г (U, Sr)
как А -модуль проективен. Кроме того, N является градуированным • моду-
модулем конечного типа над кольцом SA (Е). Окрестность V можно считать
настолько мелкой, что над ней все пучки X; из резольвенты A) изоморфны
прямым суммам пучков вида S (Е) (к). Поэтому сечения^ A) образуют точную
последовательность градуированных SA (Зз)-модулей:
0-+N-+Lr-* ... ^L0->M->0,
где Li свободны.
В силу леммы 6.7, примененной к М и В = SA(E), SA (?")-модуль N,
рассматриваемый без градуировки, проективен и имеет конечный тип.
Отсюда следует, что А -модуль А ® N проективен и конечного типа.
в
(Здесь А рассматривается как 5-алгебра относительно пополнения е: В —*-
—*-А; е (Е) =0.) То же верно относительно его однородных компонент,
лишь конечное число которых ненулевые.
Поэтому окрестность V можно еще уменьшить так, чтобы над ней
А ® N стал свободен. Пусть U уже удовлетворяет этому условию.
в
Я утверждаю, ' что тогда N свободен как градуированный модуль над
SA (E).
Действительно, поднимая до N элементы однородного свободного А-би-
зиса модуля А ® N, находим гомоморфизм Д-модулей
в
L-+M,
где L — свободный градуированный Д-модуль. Пусть К, С—ядро и коядро
этого гомоморфизма. После тензорного умножения на А над В он становится
изоморфизмом. Поэтому, обозначая /= @ Sa(E), имеем 1К=К, 1С=С,
откуда следует, что К = С = t), ибо степени ненулевых однородных компо-
компонент К и С ограничены слева («градуированная лемма Накаяма»,
ср. [21, 26.18).
31
6.9- Предыдущий пункт показывает, что пучок Zr локально над X изо-
изоморфен прямой сумме пучков вида S (Е) (к). Покажем, что любой объект М
в категории @в#$ с таким свойством допускает фильтрацию, факторы кото-
которой изоморфны прямым суммам пучков JF ® S (Щ) (к).
Так как т% конечного типа, существуют такие целые числа i0 ^ г, что
all порожден над S ($) своими однородными компонентами степеней от i0 до ij..
Бели i0 = ц = i, то, очевидно, М изоморфен аЖ( ® S ($): это следует из
локального свойства <М, о котором мы говорили.
В общем случае индукция по разности i0 — ц немедленно показывает
требуемое: из локальных соображений следует, что гомоморфизм
a^i0 ® S (Ш) —> о/И
не имеет ядра, а фактор по нему удовлетворяет условиям, в которых выпол-
выполнено индуктивное предположение.
6.10. Доказательство леммы 6.7. Напишем резольвенту
L длины г модуля М, состоящую из свободных Д-модулей конечного ранга
и обозначим через N ядро последней стрелки. Для доказательства того, что
N проективен, достаточно проверить, что для всех простых идеалов Q cz В
локализация Nq является Bq — свободным модулем.
Рассмотрим BQ как Лр-алгебру (где Р = А П Q) АР и .бр-нётеровы
локальные кольца; пусть Р, Q—их максимальные идеалы; к=АР1Р. Лока-
Локализуя Д-резольвенту модуля М по Q, мы получим ^^-резольвенту L, ® Bq
q. Но так как все модули Lt ig> Bq, а также модули циклов
модуля M
и границ Лр-проективны, то, умножая L
Bq тензорно на к над Ар
в
получим (ациклическую) BQ (g ^-резольвенту модуля MQ <g) к.
Поскольку Bq (g к является локализацией кольца к [То, •. ¦, ТТ\, поль-
пользуясь теоремой Гильберта о сизигиях получаем, что модуль Nq ® к свобо-
свободен над Bq ® к.
Таким образом, достаточно рассмотреть следующую ситуацию. Дан
локальный гомоморфизм нётеровых локальных колец АР—>Bq и ^-модуль
N конечного типа; N ® к свободен над BQ ® к (где к — поле классов выче-
Ар
тов Ар); требуется доказать, что N свободен над Bq.
Поднимем элементы свободного базиса Nq ® к над Bq ® к до элементов
из N и рассмотрим соответствующий гомоморфизм Bq—>Nq. Пусть К, С—
его ядро и коядро соответственно.
Из леммы Накаяма легко следует, что С=0; из точной последователь-
последовательности Тог вытекает, что К = 0.
7. К(Х) как ковариантный функтор
7.1. Пусть X — проективная нётерова схема над полем к, ,<F — коге-
когерентный пучок на ней. Напомним, что его характеристика % (•^г) опреде-
определяется формулой
X
= Д (-1I dim Я* (X, JF).
A)

32
Эта сумма имеет смысл, потому что dim Я* (X, 3-) < со и #' (X, SF) — {0}
при г > dim X (теорема Серра).
Попытаемся обобщить это определение. Пусть сначс ~а X = Proj R,
где R — градуированная нётерова .4-алгебра {А — нётерово'кольцо, заме-
заменяющее поле к). Тогда естественная замена A) получится, если в альтерни-
альтернированной сумме вместо dim #' (X, &) рассмотреть ер (Я1 {X, $•)), где ср —
произвольная аддитивная функция на категории нётеровых .4-модулей.
(Здесь снова теорема Серра обеспечивает нётеровость Н1 ш конечность суммы).
Так как существует универсальная аддитивная функция cZ_ со значениями
в группе К_ (X), есть и «универсальная» эйлерова характеристика. Мы можем
записать ее в виде
. (У).
B)
где Н' (X, 3F) — пучок на У = Spec А, модуль глобальных сечений которого
совпадает с Я*(Х, JF).
Наконец, сумму B) можно переписать еще иначе, если заметить, что
структура .4-алгебры на R определяет некоторый морфизм /: X = Proj R —э>
—> Spec A — Y и что в обозначениях п. 5.1 имеем
Тем самым сумма B) имеет вид
У). - C)
i=u
Это выражение немедленно обобщается иа случай морфизма /: X -*¦ У,
где У не обязательно аффинная схема. Чтобы оно имело смысл, однако, ло-
локально над У строение / должно допустить применение теоремы Серра.
Такие морфизмы можно описать следующим образом, обобщая конструк-
конструкцию P(g) в п. 4.2.
7.2. Пусть X — нётерова схема, J? — квазикогерентный пучок нётеро-
нётеровых градуированных Ох -алгебр над ней. Для каждого открытого аффинного
множества U — Spec A cz X определена нётерова градуированная Л-алгебра
R = Г (U, М), ее проективный спектр Proj R и морфизм Proj R —>- U. Все
эти проективные спектры и морфизмы естественно склеиваются над раз-
разными U, и определяют морфизм
/:ProjJ?-*X.
Пусть, кроме того, М как .^-алгебра порождена пучком J?f; тогда
на каждой из схем Proj Г (U, М) определен обратимый пучок О A) и все вместе
они склеиваются в пучок, который мы будем обозначать Оу A), где У = Proj M.
Пучок алгебр J? восстанавливается с помощью пучка ОуA) с точностью
до конечного числа компонент: в силу теоремы Серра существует гомомор-
гомоморфизм алгебр
«: © U{°x{n))->M,
однородные компоненты а„ которого являются изоморфизмами при п ^ п0.
33
• X, описанные в 7.2, назы-
= S (<F). Можно проверить, что
7.3. Определение. Морфизмы /: Y ¦
ваются проективными морфизмами.
7.4. Примеры. Морфизм Р (g) -*. X, определенный в п. 4.2, проек-
Более общо, пусть .F—произвольный когерентный пучок на X Обо-
Обозначая через Sn (&) п-ю симметрическую степень пучка & над Ох, построим
пучок градуированных алгебр JjS"
он нётеров. Тем самым определен проективный морфизм
Proj S {&) -> X.
Наконец, пусть J cz Ox—когерентный пучок идеалов на X Мы можем
тогда рассматривать степени J» внутри пучка Ох„ ж образовать пучок
алгебр J) J". Его проективный спектр вместе с морфизмом на X называется
моноидальным преобразованием X с центром в пучке J (или в подсхеме Y
OY = OX/J). Несколько позже мы будем подробно изучать структуру таких
морфизмов и поведение К (X) относительно них.
Теперь мы воспользуемся формулой C), чтобы для всякого проективного
морфизма /: Y -+- X определить гомоморфизм групп К (Y) -> К 'X)
обобщающий эйлерову характеристику. Для проверки корректности нам
нужен следующий легкий вариант теоремы Серра.
7.5. Л е м на. Пусть /: У -+ X - проективный морфием нётеровых
схем, и пусть на X есть обильный^пучок, Р_когерентный пучок на Y т^а
R'jt .f- — когерентные пучки на X и R%& = 0 при i > i0.
Доказательство. Прежде всего, можно свести' все к сл-«а~
когда У_Р(§), где % - некоторый локально свободный пучок на ^
Действительно, пусть У = Proj J?, где т порождена над Ох пучком ч'
Гак как на X есть обильный пучок, существует эпиморфизм % -*. М '% \о
кально свободен), определяющий замкнутое погружение У
*бЛ7УЧКа ^ С°
Поскольку определение R%^ и свойство пучка быть когерентным
локально по X, мы можем считать далее, что X = Spec A ~ аффинная
схема, и % = Е, где Е - свободный 4-модуль; а в этом случае утверждение
леммы прямо следует из теоремы Серра. (Нётеровость базы обеспечивает
существование общего г0, начиная с которого R{f & = 0)
7.6. Теорема.. Пусть /: Y-+X - проективный морфизм X -
гладкая квазипроективная схема. Тогда отображение
\является аддитивной функцией на категории когерентных пучков на Y со
{значениями в группе К. (X) и, следовательно, определяет гомоморфизм групп
не путать /„ с прямым образом пучка\).

34
Доказательство теоремы 7.6 очень просто и в сущности повторяет дока-
доказательство аддитивности эйлеровой характеристики, поэтому мы его не
приводим.
7.7. Пример. Пусть У = Р(?), l = cl. (От A)) ? Я (У). Все необходи-
необходимое для вычисления / (Р), i > 0, нам известно (теорема Серра):
Rkf,(O{i)) = 0 при
Отсюда
/.(/') = a* (Z), i>0.
Упражнение. Пользуясь вычислением когомологий пучка О (г)
на Рл при г < 0, вычислить /„ (/*) для отрицательных г.
7.8. Пример. Пусть i: У—>Х—замкнутое вложение. Легко видеть,
что это—проективный морфизм:
(i—вспомогательная «градуирующая» переменная).
Далее, г4 {$-) есть «продолжение нулем», так что it — точный функтор.'
Поэтому I
Упражнение. Вычислить it для линейного вложения проективных;
яространств над полем: Р? —* Р?, зная явный вид К. !
Теперь мы можем установить основные свойства /„,, являющиеся!
новыми по сравнению со свойствами эйлеровой характеристики: \
7.9. Теорема. Пусть Z—>У—>Х—два проективных морфизма^
и на X есть обильный пучок. Тогда морфизм fg тоже проективен и \
Набросок доказательства. Мы опустим доказательство того
что fg—проективный морфизм (см: [1], гл. II, предложение 5.5.5 (Щ
и предложение 4.6.13 (И)). j
Доказательство второго утверждения опирается на следующую лемму.
7.10. Лемма. В условиях теоремы 7.9 пусть 3F—когерентный пу-\
чок на Z. Тогда существует когомологическая спектральная последовав
телъность, для которой \
сходящаяся к Rn (fg)..
Доказательство. Мы применим общую теорему Гротендика
о спектральной последовательности произведения функторов (Гротендик!
О некоторых вопросах гомологической алгебры, гл. И, теорема 2.4.1)|
Ситуация следующая: даны три абелевых категории—квазикогерентны
пучков на Z, У, X ж два функтора #"z —5- еС7 —> ofx. Во всех этих кате
гориях достаточно много инъективных объектов, оба функтора точны слева
Поэтому для применимости теоремы Гротендика достаточно проверить
при д>0
(L)(g*),
если 3—любой инъективный пучок на X.
Пучок {RqU){gt,d) связан с предпучком на X
поэтому достаточно доказать, что этот предпучок является нулевым. С дру-
другой стороны, группы когомологий можно вычислить по. Чеху. Пусть (F,) —
конечное аффинное покрытие f (U) на У; тогда
Но комплекс Чеха Cq ((Щ, gtj), как легко видеть, изоморфен комплексу Чеха
Cq (g-1 (V,y, d)
покрытия (g^CVi)) некоторого открытого множества в Z с коэффициен-
коэффициентами в J.
Ограничение пучка J на Ug-1 (Vt) = (/у)-* (U) является по-прежнему
инъективным пучком. (Это легко следует из определения инъективности
и возможности продолжения пучков.)
Поэтому для доказательства леммы достаточно установить следующий
результат: пусть J — инъективный пучок на схеме Z, (Ut) — произвольное
конечное покрытие Z; тогда Hq{{Ui), J) = 0 при g>0.
Для этого достаточно показать, что комплекс Чеха имеет вид
Cq{(Ut), J)=Hom(C9, J), где (С,) — некоторый комплекс пучков на Z, аци-
ацикличный в размерностях >0.
Действительно, обозначим через 3 пучок, связанный с постоянным
предпучком /; пусть U — переменное открытое множество; положим
где штрих указывает, что мы рассматриваем лишь симметрические коцепи.
Определим далее дифференциал обычной формулой. Тогда ацикличность С
получается с помощью известной гомотопии.
7.11. Доказательство теоремы 7.9. Утверждение теоре-
теоремы следует теперь из леммы 7.10 с помощью обычных соображений «сохране-
«сохранения характеристики Эйлера в спектральной последовательности».
Точнее говоря, пусть
— такая фильтрация пучка Rn (fg) (jF), что ее р-й фактор изоморфен пучку
??,' "~р в спектральной последовательности, для которой Е$ " = Л"/ (Rig .f)
Тогда

36
С другой стороны,
g, №.{&))= 2 (-l)qcl.(R"g*
5=0
= 2 (-
= 2 (
p=0
= 2 (-l
2
4=0
- 2 (-i)" 2
0
Но так как комплекс (i?r+i) является комплексом гомологии для (Е'г), имеем
2 (-1)"сг.(^2)= 2 (-1)"с/.(ЯЗ)- ¦•¦= 2 (-
0
2
n=D
что я доказывает требуемое.
7.12. Если К, —К' —К, то гомоморфизм групп /„: К (Y)-
зсобще говоря, не является гомоморфизмом колец, как легко убедиться
хотя бы на примере Y = Р", X = Spec к. Однако следующее частичное свой-i
ство мультипликативности справедливо и часто используется, особенно;
з случае, когда К, = К'.
7.13. Предложение («Формула проекции»). Пусть /: X—>Y—-;
¦гроективннй морфием, х?К.(Х), у?К' (Y). Тогда
Доказательство. В силу аддитивности обеих частей по х, у доста-
гзчно считать, что y — cl'iJF), где :Э*—локально свободный пучок на Y
я s=ci, (@). Тогда, пользуясь доказанным в разделе 5 равенством ;
R% (Г (-П ® в) = >F ® R% (@), :
).- S (- 1Г d. (Л V.
= S
i
8. у-фильтрация кольца йТ {J
3.i, Определение. Операции yi: К' (X) —> К' (X) (i=0, 1, 2,
определяются формулой
..)
=* * (*) =
8.2. Следующие свойства операций уг немедленно получаются из опре-
определения:
a) yt(x + y)=ft{x)-yt(y), т. е.
= 2 ?'(*)'У (У)!
37
в) Пусть Z —класс обратимого пучка; тогда
8.3. Определение. Введем в кольце К'(X) фильтрацию, полагая
F4C (X) = Кег (Г (X) A Z),
где е — гожолор^мзл, ставящий в соответствие классу локально свободного
пучка на X ранг его слоя (X считается связным), и
Z—модуль, порожденный элементами y'^Xi . . . у^хь,
где xttFW (X), Vr,>n.
(Мотивировка определения см. ниже, п. 8.12.)
8.4. Без труда проверяется, что {FlK'(X)}—действительно фильтрация
кольца; в частности, FXK' (X)—идеалы, потому что
Y> V?») + () ( •)
и первый член в этой сумме принадлежит Ft+1K (X).
Нашей ближайшей задачей будет подробное изучение этой фильтрации.
Начнем с простейшего случая.
8.5. Предложение. Допустим, что аддитивная группа кольца
К' (X) порождена классами обратимых пучков на X. Тогда
Доказательство. Пусть (lt)—классы обратимых пучков. Так как
(/,-1) . .. (Z,-l) =vl(*i-l) • • • y4li-i),
то всегда (FXK' {X)I cz FlK' (X). Для доказательства обратного включения
достаточно проверить, что yi (х) ? (F1K' (X)I при всехг>1, x^F1K(X).
В силу формулы 8.2а) можно ограничиться случаем, когда х=±A—1),
а этот случай вытекает из формул 8.2а).
8.6. Пример. FlK' (Y'h) = ((l— IL), где / = А@A)). Следующий резуль-
результат верен в общем случае.
8.7. Предложение. Пусть на X есть обильный пучок. Тогда
Р-К' (X) является нильрадикалом кольца К' (X).
Доказательство. Из принципа расщепления E.6) легко следу-
следует, что достаточно установить нильпотентность элементов вида 1—1, где
/ — класс обратимого пучка.
Так как на X есть обильный пучок Ох A), относительно которого опре-
определена операция скручивания, для достаточно большого целого числа п
существует число т и точная последовательность вида
3-
2037

:38
откуда
® ?( )х
Пусть Z, =cl. (Ох A)), тогда ядро последнего гомоморфизма локально сво-
свободно ранга т—1, откуда в К' (X) имеем
0 =
"— 1)=
Наконец,
A — /)=--- i—«г™ -f- г (/Г™—1),
и оба слагаемых нильпотентны, если п достаточно велико.
Следствие. Если х 6 FXK (X), то у, (х) является многочленом.
(Действительно, это верно для х = ± (?—1) в силу формул 8.2в) и дока-
доказанного предложения; принцип расщепления дает результат в общем случае.
Вычислим теперь фильтрацию в кольце К(Р(@)).
8.8. Теорема. Пусть % — локально свободный пучок ранга г-f-l на X,
x=cl(OH%)(i)) — l. Тогда
FkK(P(g)) = S Fh-iK{X)xi.
i=0
Доказательство, а) Сначала мы установим, что
FkK (Р (%)) = 5 Fh-{K (X) х\
i=o
Обозначим группу, стоящую справа, через ФкК (Р(%)). Очевидно, {Фк}
является некоторой фильтрацией кольца К(Р(Щ), причем Фк (К (Р (§)) с:
с; FkK (P (е)). Для доказательства обратного включения поэтому достаточно
установить, что
для всех &> 1 и всех у из некоторой системы образующих аддитивной
группы FlK (P (Щ)). В качестве такой системы образующих возьмем семей-
семейство элементов вида
л(Г—1), Ь,
где а?К(Х), l — x + i, m>l, b^F1K(X). (Мы отождествляем К (X) с под-
кольцом К (Р(<?).) (Проверьте, что это действительно система образующих!).
Включение у'1 (К (X)) cz ФиК (Р (Щ) очевидно; поэтому достаточно уста-
установить, что
у" (а (Г — l))cz<Dk(K(P($)).
Пусть вообще lt, /2 — классы двух обратимых пучков на некоторой
схеме. Положим xi=li — 1, х-, = 1г—1, xa = hh—1- Тогда имеем, поль-
пользуясь 8.2в) и тем, что xtz — л^хг + xt -\- х2:
у • (xtx2) = у'1 (xi2—xi—x2) =, 2
-2 Pi,*(¦<¦>)
39
где ненулевой младший член многочлена Pth имеет степень > к — с. Пусть
теперь а = 2 D* — 1). Полагая x[i} = 1^ — 1, имеем тогда, пользз'ясь 8.2а)
i
я предыдущей формулой:
2
1=0
где Qt — симметрический многочлен от {х[л}, у которого младшая ненуле-
ненулевая однородная компонента имеет степень > к — i. Пусть Sn — п-я элемен-
элементарная симметрическая функция от х[^; приписывая ей вес п, получаем;
что Q\ (x^) можно представить в виде многочлена if; (Sn), каждый ненуле-
ненулевой одночлен которого имеет вес >&—L Но по 8.2а)
поэтому
2
4=0
-1I,
где Ri(y1a, ..., ука, .. .)?Fk~*K(X). В силу принципа расщепления это же
верно для любых элементов а?К(Х), представленных классами ,f — rk f
в Z [of], где ^ локально свободен. Достаточно рассматривать лишь такие а,
потому что они порождают всю аддитивную группу К (X). Поскольку
к тому же
Aт — 1)' = х1 (Г- '+••• + 1)' = хЧ (х),
где /—многочлен с целыми коэффициентами, получаем равенство A).
б) Теперь мы должны установить, что
21 Fh~iK{X)xi= 2 Fk~iK(X)xi.
i=0 4=0
Для этого, конечно, нужно воспользоваться тем, что х над К (X) удовле-
удовлетворяет некоторому полиномиальному соотношению. Оно приведено в п. 4Л1
для I; здесь мы несколько преобразуем его.
г+1
8.9. Лемма 2 ( — 1)V («—r~l)^r+1-4 = 0.
i=0
Доказательство. Напомним, что e = cl(%). Имеем
так что yt (в—г—1) — многочлен степени
Поэтому
2* f (е-г-1) Г+'-« = f уi/t (e-r-1) = 2 Я' (е) (t
1=0 i=0
Подставляя сюда t = l — /=—х, получаем
в силу соотношения п. 4.6, что и доказывает лемму.

40
Отсюда немедленно следует, что для всех к > г +1 имеем
Ji-i
и, значит, тривиальной индукцией по к—г:
10
Теорема доказана.
8.10. Следствие. /„ (FkK (P(g))) cr Fk~TK{X).
Доказательство. Так как («формула проекции», п. 7.13)
/.(/v *')=»/. (Л
имеем
Отсюда и из теоремы следует требуемое.
8.11. Дополнение к принципу расщепления 5.6. В обозначения.): п. 5.6
Y можно выбрать так, что дополнительно будет выполнено условие
в) V» r(FiK(X)) = rK{X)^\FiK(Y).
В самом деле, если схема У получается последовательной конструкцией
проективиаированных расслоений, то условие в) выполнено для нее в силу
теорем 8.8 и 4.5.
8.12. Заме-чания. у-фильтрация была придумана Гротендиком
в качестве замены более естественной топологической фильтрации груп-
группы Кш(Х), в которой i-я фильтрационная подгруппа порождена классами
пучков с коразмерностью носителя ~^.i.
Эта топологическая фильтрация имеет два недостатка:
а) Она переносится на К' (X) лишь в случае совпадения Кт — К'.
б) Даже в этом случае неясно, совместима ли она с умножением (поло-
(положительный ответ известен лишь для многообразий над полем).
К у-фильтрации приводит следующий ход мыслей.
Пусть X —обратимый пучок на X, s?T(X, Ж) — его ненулевое
сечение. Обозначим через Y cz X «дивизор нулей» сечение s. Это замкнутая
подсхема X, которая локально в окрестности любой точки х определяется
главным идеалом fx = Ох q> (sx) cz Ох, где <р: Ж—%¦ Ох — любой изомор-
изоморфизм. Идеал fx, очевидно, не зависит от выбора ф.
Тогда имеет место точная последовательность
О_*0$_>?-».0у->О,
так что
yl(cl(Z)— l)=clOY.
С другой стороны, любая подсхема, локально задающаяся одним урав-
уравнением, не делителем нуля, является нулем сечения некоторого обратимого
пучка. Классы структурных пучков таких подсхем порождают некоторую
подгруппу первой топологической фильтрационной'группы в К(Х). Поэто-
Поэтому можно считать Р-К (X) подходящей заменой этой группы в общем случае.
После этого группы F"K (X) практически однозначно определяются, если мы
хотим совместимости определений с /• и с умножением.
41
В самом деле, нужно воспользоваться принципом расщепления, чтобы
представить элемент а 6 Р-К(Х) в виде 2 (h—!)• Тогда k-я симметрическая
функция от lt—1 должна попадать в F''K(X). Операции у — лишь удобное
алгебраическое оформление этих соображений.
В следующем разделе связь у-фальтрации с размерностью будет изучена
более подробно. Однако топологическая фильтрация, которую мы введем,
будет определяться более сложно, что позволит установить ее совмести-
совместимость с умножением.
9. Фильтрация и размерность
Наша ближайшая цель — доказательство следующей теоремы.
9.1.Теорем а. Пусть X — регулярная нетерова схема размерности d
с обильным пучком. Тогда Fd+1K (X) = 0.
Для доказательства нам придется сначала ввести другую фильтра-
фильтрацию —«топологическую»— F\apK (X). Для нее утверждение, аналогичное
теореме 9.1, получается «но определению». Затем мы сравним две фильтрации.
9.2. Определение. Flt0VK (X) — множество элементов х ? А" (X),
обладающих следующим свойством.
Для всякого замкнутого подмножества Y а X существует такой конеч-
конечный комплекс X локально свободных пучков на X
что
codimy (supp IF (X) П У) > i,
где supp//' (X) = U supp W (X).
i
9.3. Предложение. {F\0VK (X)}—фильтрация кольца К (X). для
которой Ft^>lK(X) ----0.
Доказательство. Напомним, что для любого топологического
пространства Y и неприводимого замкнутого подмножества Ъ a Y коразмер-
коразмерность codimyZ определяется как верхняя граница длин цепочек замкнутых
неприводимых множеств, содержащих Z. Если Z = (JZ;, где Z; — неприво-
неприводимые компоненты, то по определению
codimr (Z) = inf codimr (Z,).
Легко проверить, что последняя формула тогда остается сираведлишш,
даже если не предполагать, что Zt неприводимы.
Отсюда немедленно следует, что F\OVK (X) — группы. Действительно,
пусть дано замкнутое множество У с X и элементы
х,
х2?К(Х). Если
*i. Хг~комплексы, удовлетворяющие условиям 9.2 соответственно для
.г(, х2 и У, то Xi®X% годится для xt + T2. Докажем теперь, что если
2i(:F\0nK (X), х-, f FLOK (X), то

Пусть Уст А' — замкнутое множество. Найдем такой комплекс Х\, что
Xi^cl(Xi) и
codimy (supp Н (Xi)f\Y)>i.
Далее, найдем такой комплекс Хг, что х2 = с1(Х2) и
codimsuppH{xiY,Y (suppН (Хг) П (supp (XJ П У)) > 7-
Нетрудно видеть, что
ад, = cl (Xi <g> Х2)-
Предположим, что мы докажем включение
supp H (L, ® Lz) cz supp Н (Lt) П supp H (Li).
Тогда, пользуясь тривиальными неравенствами, верными для YtciY2ci У3:
codimy3 Yi > codimy3 У2
codimy,, У, > codimy2 Yt + codimy3 У2,
найдем
codimy (supp H (Xt ® Хг) П Y) >
> codimy (supp H(Xi) П Н (Xz) П Y) >
> codimy (supp H(Xi)[\Y) +
+ codimsupp жJS,,r\Y) (M) > i + j,
где
M = supp H(Xi) П supp H (Х2) П У.
Остается, следовательно, проверить лемму.
9.4. Лемма supptf(?, ® X2) cz supp Я ^0 f|supp#(.22).
Д о.к азательство. Достаточно проверить, что для всякой точки
-х 6 X, в которой комплекс (^С2)х ацикличен, комплекс (?1 <g> ^Сг)ж так^се
ацикличен.
Так как (Хг)х ~~ комплекс, состоящий из свободных модулей над локаль-
локальным кольцом Ох, он распадается в прямую сумму комплексов вида
X: 0 —» Охег Д 0^6!;+, -^ О,
где dei~ei+u dege(=t, Аппе; = Annei+1 = {0}.
Достаточно, следовательно, проверить, что Xi® X ацикличен. Можно
-считать даже, что ?=0. Имеем
(dlt-t + (-iy
Элемент Zje0 + h-iSi является циклом, если
Тогда
lte0 + i,_iei = (-1I+
_,e, = (-1)'
что и доказывает лемму.
Тем самым умножение в кольце К (X) совместно с F\0VK (X). Намонец,
утверждение
43
яолучается прямо из определения, если применить его к Y = А' и учесть
что всякий комплекс Х-, для которого
codim^ (supp H' (X.)) > d -j- 1
ацикличен, так что сЦ<5?.) = 0. Предложение 9.3 этим доказано.
9.5. Лемма. Пусть 1и 1г—классы обратимых пучков на квазипроек-
квазипроективной схеме конечного типа X. Тогда
(ср. п. 8.12).
Прежде, чем доказывать эту лемму, выведем из нее теорему 9.1.
9.6. Доказательство теоремы 9.1. Пусть ^]ij> d-\-i; мы хотим
доказать, что
= 0
для любых x1(:F1K(X).
Согласно принципу расщепления существует морфизм /: Y —>- X такой,
что все элементы /* (xj) 6 К (Y) содержатся в подкольце К (Y), которое поро-
порождено конечным числом классов обратимых пучков на Y. Пусть х =
= y{1xi.. .y%hxk; лемма 9.5 и простое рассуждение, как и в п. 8.5, показы-
показывают, что
(Учесть, что группы /'top образуют фильтрацию кольца.)
Заметим теперь, что У получается из X конечным числом шагов,
каждый из которых состоит в построении схемы Р (Щ для некоторого
локально свободного пучка % над предыдущей схемой. Если %—пучок
ранга г + 1 над X, то dim Р (Щ — dimZ = r. Кроме того, К {Р (Ш)) является
свободным К (X)-модулем и существует базис К (Р (Щ) над К (X), содержа-
s
щий элемент вида [j (U — 1), где 1-, — классы обратимых пучков. (Напри-
мер, можно взять U = cl {Ор,щ A)) для всех г). Отсюда следует, что К (У)
является свободным К (^)-модулем и что существует элемент базиса этого
s
модуля, имеющий вид [] (lt — 1), где s --— dim У — dimZ — dimX — d.
г=1
Но /•(*)
= 0. Поэтому Г (г) =
н х = 0, что и требовалось доказать.
9.7. Доказательство леммы 9.5. а) Установим прежде
всего следующее вспомогательное утверждение: пусть xt, . .., хг ? X —
конечное число замкнутых точек: X — обратимый пучок на X. Существует
такое d, что для всех достаточно больших п, делящихся на d, существует
сечение s ? Г (X, X (и)), не обращающееся в нуль в точках хъ . . ., х,. (скручи-
(скручивание, как обычно, определяется с помощью фиксированного обильного
пучка 0A)).
Начнем с частного случая: X = Spec А. Тогда Ох, очевидно, обилен.
Проверим наше утверждение для X и Ох. Пусть X ~ L, f с Ох —

44
наибольший пучок идеалов, определяющий замкнутое множество U
h
Тогда эпиморфизм пучков
U
h-i
индуцирует эпиморфизм групп сечений. Но, как нетрудно видеть, пучок
XI fX сосредоточен на Ц хк, и Г (X, XlfX)~ © к(хк). Рассмотрим сече-
*=i k=i
ние, равное единице во всех точках х„, и поднимем его до сечения пучка X.
Оно удовлетворяет нужным условиям.
Перейдем теперь к общему случаю.
В силу [1], гл. II, 4.5.4 можно найти такое d0, что есть сечение / f
€ Г (X, О (d0)) со свойствами 1)хг а ?>+(/) и D+(f) — аффинное множество.
Пользуясь уже установленным частным случаем, найдем сечение s ?
6 Г (Z)+ (/), X), не обращающееся в нуль в точках хи . . ., хк. По лемме Сер-
ра есть такое число dt, что сечение t = /®^ ® s ? Г (D + (/), ?' (dodt)) про-,
должается на все X. Положим d = do^.
Имеем fdl 6 Г (X, OY (d)) =Ф * <g fdl <Е Г (X, О.т {(к -{- 1) d)) для всех к > 0..
Это и есть сечение, которое нам нужно.
б) Будем доказывать теперь, что /, — Iz?.F\OqK {X). Пусть Ус X—
замкнутое подмножество: У 4 (г -= 1, ..., г) — его неприводимые компоненты,
xi?Yi — замкнутые точки. Тогда для достаточно большого п имеются
сечения
(где It,— cl{Xi)), не обращающиеся в
Складывая получающиеся комплексы
0—>Ох( — га)-»#,-» О и 0-
находим комплекс
класс которого (в смысле определения 9.2) в кольце К (X) равен I, — U.
С другой стороны, этот комплекс ацикличен в точках хи поэтому носитель
его гомологии не содержит ни одной из неприводимых компонент множест-
множества Y и, значит, его пересечение с Y имеет в Y коразмерность > 1. Это
завершает доказательство леммы и теоремы 9.1.
10. Связь между К(Х) и Pic А'
10.1. Группа PicZ изучена значительно лучше, чем К(Х). Между этими
двумя объектами существуют тесные связи, которые мы используем в этой,
лекции для получения дополнительной информации о каждом из них. Pic X
и К (X) связаны двумя фундаментальными отображениями. Первое из них
i: Pic X —>- К (X) ставит в соответствие классу обратимого пучка X в Pic X
его же класс в К (X). Оно является гомоморфизмом PicX в мультипликатив-
мультипликативную группу обратимых элементов К (X).
45
Второе отображение det: К (X) -*¦ Pic X является гомоморфизмом адди-
аддитивной группы К (X) в мультипликативную группу Pic X и строится менее
тривиально. Рассмотрим свободную группу Z[X], порожденную классами
локально свободных пучков на X (см. 1.2) и определим ее гомоморфизм
в PicX, задав его на образующих так: класс лучка е переходит в класс Лг§,
где г = гЩ. Для любой точной последовательности 0 —»- %i —>- % —>- Щ2 —*- 0
в силу предложения 3.9 имеем Л" f ~ Л
> ЛгЛ 2|2- Отсюда следует,
что элементы % — % — S2 лежат в ядре этого гомоморфизма, так что он
индуцирует гомоморфизм Z(X)-vPicX, который мы и обозначим det.
10.2. Предложение. 1) Рассмотрим К (X) и PicX как контра-
вариантные функторы от X; тогда i и det определяют лорфизмы этих
функторов.
2) Отображение i: PicX—> К(Х) является мономорфизмом, a det:
/v(X)-^Pic X—эпиморфизмом.
Доказательство. Первое утверждение немедленно следует
из' определения операции обратного образа дучка. г мономорфно, потому что
(det-г) (V) = I для всех I ? PicX, по этой же причине det — эпиморфизм.
10.3. Упражнение. Доказать, что для любых локально свободных
пучков Еи #2 равгов rt. r2 соответственно имеет место изоморфизм
Пользуясь билинейностью, вывести отсюда формулу, доказывающую пове-
поведение det относительно умножения в кольце К (X):
det (ху) — {det (х))а " (det (y'ff .
10.4. Тзорема. В условиях п. 4.5 отображение
Ф: Pic X X Z -> Pic (P (I)), ш (х, п) = х ¦ ln, x t Pic X, / - cl (Рц%) A)),
является изоморфизмом группы PicX x Z с PicP(^).
Доказательство. Сначала покажем, что ц> — мономорфизм.
Действительно, если xln = 1 в PicP(S), то а силу предложения .10.2 то же
равенство имеет место з К (Р (Ш)) (мы отождествляем Pic с яодмкожеством К
с помощью i). Умножая обе части этого равеяства на I' а пользуясь леммой 5.3,
получаем, что для всех Г> г0 имеет место соотношение в К (X):
где е=с!.(Ш). Но при п=^=0 это невозможно, ибо ранги пучков Sn+l (Ш)
и о' (Ш) не могут совпадать для всех г>/0. а если л = 0, то x=i, откуда
и следует мономорфность <р.
Эпиморфность ф следует из того, что класс всякого обратимого пучка
г
и PicP(g) имеет вид det {2 «^') (гДе r&g=r+l). Действительно,
г=0
det ( 2 aJ) = П det (а'1*) — ( U det ад lii
{мы воспользовались результатом упражнения 10.3).

44
наибольший пучок идеалов, определяющий замкнутое множество \j x,,~
Тогда эпиморфизм пучков
X —+ JLI f X —»-0
индуцирует эпиморфизм групп сечений. Но, как нетрудно видеть, пучок
XlfX сосредоточен на [} тк, и Г(Х, XlfX) си © к(хк). Рассмотрим сече-
ние, равное единице во всех точках xh, и поднимем его до сечения пучка X.
Оно удовлетворяет нужным условиям.
Перейдем теперь к общему случаю.
В силу [1], гл. II, 4.5.4 можно найти такое d0, что есть сечение / ?
€ Г (X, О (d0)) со свойствами \jxt с D + (f) и D+(f) — аффинное множество.
Пользуясь уже установленным частным случаем, найдем сечение s ?
6 Г {D + (/), X), не обращающееся в нуль в точках хи . . ., хк. По лемме Сер-
ра есть такое число dk, что сечение t = /»«i ® s 6 Г (D+(f), X (dodi)) про-
продолжается на все X. Положим d = do^.
Имеем fdl е Г (X, От (d)) => г ® /*dl е Г (X, ОЛ- ((к -f1) <*)) для всех к > ()..
Это и есть сечение, которое нам нужно.
б) Будем доказывать теперь, что Z4 — 12?F{OVK (X). Пусть ГсХ-
замкнутое подмножество: Уг (г = 1, ..., г) —его неприводимые компоненты,
XiEYi — замкнутые точки. Тогда для достаточно большого п имеются
сечения
.., j-r
(где /j = c/(jfj)), не обращающиеся в нуЛ, в х{,
Складывая получающиеся комплексы
находим комплекс
0—*Ох( — я)-О
класс которого (в смысле определения 9.2) в кольце К (X) равен 1,—12.
С другой стороны, этот комплекс ацикличен в точках хь поэтому носитель
его гомологии не содержит ни одной из неприводимых компонент множест-
множества Y и, зцачит, его пересечение с Y имеет в У коразмерность > 1. Это
завершает доказательство леммы и теоремы 9.1.
10. Связь между К(Х) и PicX
10.1. Группа PicX изучена значительно лучше, чем К(Х). Между этими
двумя объектами существуют тесные связи, которые мы используем в этой
лекции для получения дополнительной информации о каждом из них. PicX
и К (X) связаны двумя фундаментальными отображениями. Пергое из них
i: Pic X —>- К (X) ставит в соответствие классу обратимого пучка X в Pic X
его же класс в К (X). Оно является гомоморфизмом Pic X в мультипликатив-
мультипликативную группу обратимых элементов К(Х).
45
Второе отображение det: К (X) —>- Pic X является гомоморфизмом адди-
аддитивной группы К (X) в мультипликативную группу Pic X и строится менее
тривиально. Рассмотрим свободную группу Z[X\, порожденную классами
локально свободных пучков на X (см. 1.2) и определим ее гомоморфизм
в PicX, задав его на образующих так: класс яучка © переходит в класс АГШ,
где г = гЩ. Для любой точной последовательности 0 —»- %i —*¦ % -*~ $2 —*¦ 0
в силу предложения 3.9 имеем Л I ~ Л & ® ЛгА 212. Отсюда следует,
что элементы % — % — % г лежат в ядре этого гомоморфизма, так что он
индуцирует гомоморфизм 2?(Х) —>-PicX, который мы и обозначим del.
10.2. Предложение. 1) Рассмотрим К (X) и PicX как контра-
вариантные функторы от X; тогда i и det определяют морфизмы этих
функторов.
2) Отображение i: PicX—*¦ К(Х) является мономорфизмом, a det:
К{Х) —>• Pic X—эпиморфизмом.
Доказательство. Первое утверждение немедленно следует
я.з' определения операции обратного образа лучка, i мономорфно, потому что
(det -г) (I) = I для всех I 6 PicX, по этой же причине det — эпиморфизм.
10.3. Упражнение. Доказать, что для любых локально свободных
пучков Ei, ?2 рангов гг.  соответственно имеет место изоморфизм
Пользуясь билинейностью, вывести отсюда формулу, показывающую пове-
поведение det относительно умножения в кольце К (X):
det (хи) = (det (x)fv) (det (y)fx).
10.4. Тэорзма. В условиях п. 4.5 отображение
ф: Pic X X Z-» Pic (Р (I)), а> (.,>¦, п) = х- Г, х t Pic X, I =- el (РР{%) (i)),
является изоморфизмом группы PicX X Ъ с PicP (if).
Доказательство. Сначала нояажем, что ср — мономорфизм.
Действительно, если xln = 1 в PicP(I), то з силу предложения 10.2 то же
равенство имеет место а К (Р {%)) (мы отождествляем Pic с подмножеством К
с помощь» г). Умножая обе части этого равенства яа I1 и пользуясь леммой 5.3,
лолучаем, что для всех i > г0 имеет место соотношение в К (X):
_где e=cl($). Но при пфО это невозможно, ибо ранги пучков 5n+1 (§)
и <5" (Щ ае могут совпадать для всех г>?'о, а если я = 0, то x-—i, откуда
и следует мономорфность q>.
Эпиморфность ф следует из того, что класс всякого обратимого пучка
г
в PicP(g) имеет вид det ( 2 а*Г) (где r&g=r + l). Действительно,
г=0
det ( У atl1) = [7 det (агЛ = ( П det at) lt l
{мы воспользовались результатом упражнения 10.3).

46
Так как классы двух обратимых пучков в Pic Y (и, следовательно,
в К (Y)) совпадают, если и только если эти пучки изоморфны, получаем
10.5. Следствие. Всякий обратимый пучок на Р(Л) изоморфен
пучку вида /* (X) (га), где X — некоторый обратимый пучок на базе Х-
10.6. Предложение. Ядро гомоморфизма det: К (X) -*¦ Pic X
совпадает с Z + F*K (X^
Докааате1^' з о. Покажем сначала, что Z + F2K (X) ? Кег det.
Относительно первого слагаемого это очевидно.
Из результата Ю.Зясно, что достаточно проверить равенства det (уг (х)) ~
= 1 при г ~^>, 2. Так как по теореме 10.4 естественное отображение /*: PicX—>-
->-PicP($) мономорфно, можно воспользоваться принципом расщепления
и считать, что х является линейной комбинацией классов одномерных пучков.
k
Но тогда угх является суммой одночленов вида ± [] (lt — 1), k^ r, lt обра-
обратимы, а каждый такой одночлен можно представить в виде произведения
двух элементов из FlK(X). Поэтому из 10.3 следует требуемое.
Наоборот, пусть det х = 1, е (х) = 0. Тогда х = e4 — е%, где ег — клас-
классы локально свободных пучков одинакового ранга г. Из доказательства
леммы 8.9 видно, что
det et =\Тег = ?i (et — r) = et — r + 1 modF*K (X).
Так как det x = detei/dete2 = 1» отсюда следует, что
х = ех—е2 == dete, — dete2 == 0 mod F^K (X),
что доказывает предложение.
10.7. Мы можем переформулировать этот результат несколько более
удобным образом.
Пусть Z[PicX]—групповое кольцо группы Пикара схемы X. Гомо-
Гомоморфизм i определяет по универсальности гомоморфизм колец
Z[PicZ]^.^T(Z).
Вообще говоря, он не является ни вложением, ни эпиморфизмом. Однако,
обозначая через I с: Z [Pic X] идеал — ядро пополняющего отображения
2 а^* —>• 2 аь—и пользуясь формулами 8.2в), находим, что этот гомомор-
гомоморфизм переводит 1п в FnK(X), индуцируя тем самым отображения
Z [Pic ХУГ-ьК {X)IFnK (X)
и
© /*//"+1 _». GK (X) = © FhK {ХIРк*гК (X).
feiO ft=0
Из предложения 10.6 легко следует
10.8. Теорема. Отображение
i: Z [Pic X]/P ->¦ К (X)/F*K (X)
является изоморфизмом колец.
Следствие К (X)lF* {X) ~Z@PicZ {прямая сумма аддитивных групп,
в которой PicX—идеал с нулевым умножением). В частности,
47
Доказательство. Мы построям гомоморфизм колец, обратный к ц.
Для всякого элемента х?К(Х) положим
Имеем
/ (* + »)—/ (*)—/ (У) = A-detx) A-det у) ?Р.
Поэтому / определяет гомоморфизм аддитивных групп
K(X)-+Z[PicX]/P.
Из 10.6 очевидно, что F*K(X) находится в ядре этого гомоморфизма,
ак что он определяет отображение, которое мы обозначим той же буквой /:
/: К {X)IF*K (Xy-* Z [Pic X]/P.
Равенство / ° ц = id очевидно из определений, a it о j = id следует
из доказательства предложения 10.6:
i о / (е) = в (в) — 1 + Хте s e mod F*K (X).
10.9. Замечания, а) Предыдущий результат показывает, в частности,
что еели dim X — 1, то
K(X)=Z@PicX.
Пусть X — гладкая проективная кривая над алгебраическим замкну-
замкнутым полем к; PicX, как известно, естественно изоморфна группе Ахгочек
некоторой групповой схемы над к, размерность которой равна 1 — % (Ох) =
= g. Тем самым при g^,i К (X) является «недискретным» кольцом. Только
при g = 0, когда X ~ Р1, имеем ФК (X) ~ Z.
К сожалению, характер групп G*K (X) при ?>2 в общем случае
совершенно неизвестен. В частности, неизвестно, для каких поверхностей X,
даже над полем комплексных чисел, G2K (X) ~ Z. Старая гипотеза Севери
сформулированная, впрочем, для несколько другого объекта) утверждает,
что это должно быть верно лишь для поверхностей, бирационально экви-
эквивалентных проективной плоскости.
б) Хотя структура GdK (X) для d-мерной проективной схемы над полем
и неизвестна, эйлерова характеристика определяет гомоморфизм
Им можно воспользоваться для конструкции скалярных произведений
{хи а^)-*х(*Л).
Легко видеть, что если жь х2 — классы структурных пучков двух подсхем
Хи Х2 с: X, находящихся в «общем положении» и таких, что их пересече-
пересечения нульмерно, % (хи хг) дает «индекс пересечения» Xi и Хг (ср. 3.6).
В кольце GK(X), в частности, можно определить подгруппу элементов
тисленно эквивалентных нулю (ядро формы x(xit x2)). Они образуют идеал;
соответствующее фактор-кольцо служит заменой «кольца классов циклов
с точностью до численной эквивалентности».

48
в) Отметим, наконец, «теорему Риманаъ для гладких кривых X; полагая
для класса обратимого пучка I ? К (X)
находим
Равенство, конечно, является тавтологическим; наименее тривиальные
моменты состоят в то:.:, что, во-первых, deg (Zb l2) = deg /( -f- deg l-> и, во-вто-
во-вторых, что degl можно интерпретировать как «степень дивизора» (ср. 8.12).
11. Классы Чженя и операции Аданса
11.1. Определение. Пусть $—локально свободный пучок ранга
rk? на схеме X. Положим
а(Щ=~-у{ (с1(Ш) — гк ё) mod Fi+1 К (X)?GlК (X), i>l.
Элемент ct (Ш) ? GlK (X) называется i-м классом Чженя пучка ©(г>1).
11.2. Мы перечислим, сейчас ряд свойств классов с;, показывающих,
что обычный формальный механизм теории характеристических классов
работает и в нашем случае.
A1.2.1). Пусть X—обратимый пучок на X. Тогда
1B) —i mod F°-K(X), i---A,
0
A1.2.2), Для любого морфизма Y
mi X имеем
X и локально свободного пучка
{где G}*: GK (X) —» GK (У) индуцирован гомоморфизмом колец /*, который
совместим с у-филътрацией).
A1.2.3). Положим
Тогда для любой точной последовательности 0—> §4 —э- g -
MS) = *(*!)•* (8,).
A1.2.4). Имеем
0 имеем
где элемент х —
1 mod F^K (P (g) удовлетворяет уравнению
(Доказательство немедленно получается из, теоремы 8.8 я Леммы 8.9.)
A1.2.5). Ci(g) = O при i>rk%.
Для доказательства воспользоваться принципом расщепления и свой-
свойством A1.2.1).
49
A1.2.6). Отображение %—>ct(E) продолжается до гомоморфизма групп
i
(следует из A1.2.3)).
11.3. Определение. Характером Чженя локально свободного пучка %
на X называется элемент
который формально определяется выражением
где at (Ш) находятся из тождества
ctW =
11.4. Предложение. Существует гомоморфизм колец
ch: К (X) -»• GK (X) ® Q,
однозначно определяемый условием
для всех локально свободных пучков Щ конечного ранга на X.
Доказательство. Из свойства A1.2.3) следует, что для любой
точной последовательности 0 —>¦ %х —»• % —> %г —>¦ 0 имеем
Из принципа расщепления и A1.2.1) следует, что в обозначениях 11.3
П A + «I (*i® &) *) = П A + («I (»0 + я* (*i)) *),
откуда
cA(§1®g2)=cA(f1)-cA(S8)-
Отсюда результат получается с помощью стандартных рассуждений.
11.5. Замечание. Те же рассуждения показывают несколько более
точный результат: можно определить гомоморфизм
ch:
где d=dimX. Действительно, из теоремы о симметрических функциях легко
следует, что 2 а' (<?)h 6 FkK (X), поэтому
ft=0
(ибо Fd+1K (X)—0). Нежелательность «лишних» знаменателей очевидна
из-за того, что GK (X) может иметь большое кручение хотя бы потому, что
G'K (X) = Pic X.
11.6. Теорема. Пусть FiK(X) = 0 для достаточно больших L
Тогда характер Чженя индуцирует изоморфизм колец
ch: K(X)®Q-^GK(X) ® Q.

11.7. Для доказательства этой теоремы нам понадобится определение опе-
операций Адамса, которые мы затем используем, чтобы построить отображение,
обратное к ch.
Введем отображение
формулой
Следующие свойства операций it1 проверяются без труда:
A1.7.1) tf(x + у)= V (х) + V (у), i > 0.
A1.7.2) \рг (I) = 1г, где / — класс обратимого пучка.
A1.7.3) г|)*;-/* = /*. \Ьг для любого морфизма"/: X ->-Y. (Из принципа
расщепления легко следует, что эти три свойства однозначно определяют
операции ip1.)
(Применить A1.7.2), A1.7.3) и принцип расщепления.)
A1.7.5) г|)'--ф" =г|)';\
(Принцип расщепления и A1.7.2).)
Несколько менее тривиально поведение ib относительно ^-фильтрации.
11.8. ПрвдложвЕне. Пусть х ? FnK (X), тогда
Иначе говоря, операции i|j* переносятся на GK (X): ц>г на GnK (X) действует
как умножение на г".
Доказательство. При я=0 результат очевиден из определений.
Даяв'Э легко видеть, что достаточно проверить утверждение для элементов
зз-.т7 .; = -fy, где у пробегает некоторый базис аддитивной группы X. Рас-
•;:::.г.:зая в качестве у классы локально свободяых пучков и применяя
л
д~^:.ЗсЗ "асщвплания ж теорему 8.8, сводим всэ к случаю х— \< A\—1),
.?д? -I; — классы обоатимых пучков. В этом случае
¦)= П с*—1) П (ГЧ •¦•+!)¦
i=l k=l
.. + l = Jmod/'1A:(X).
а|5* (г) = г"л mod JPn+1ir (Z).
11,9. Следствие. Обозначим через Vm подпространство К (X) ® Q,
соответствующее собственному значению im оператора ib* (г>2). Тогда,
если Fd+1K(X) = 0, имеем
и Vт не зависит от i.
Но,
Отс:,
очевидно,
та следует,
>ж; —
что
Па
51
Доказательство. Из предложения 11.8 следует, что
П (V -«¦") = о,
»г=0
как оператор на К (X),. поэтому тождественный оператор на К (л) & Q
разлагается в прямую сумму попарно ортогональных проекторов
i=2 П (t-imwn-n.
Образ m-го проектора и есть Vm.
Чтобы проверить независимость от г, обозначим временно Ут через
Vm, (. Из предложения 11.8 следует, что
для любого натурального к; поэтому Fm, ,• с; 7m, fcl откуда по симметрии
11.10. Теперь мы следующим образом определим гомоморфизм колец,
совместимый с пополнением:
g: GK(X)®Q-+K(X)® Q
для всякого ненулевого элемента х ? GmK (X) ® Q, яг > 1 обозначим через
# (.г) 6 К (X) ® Q такой элемент g (х) ? /™-ЙТ (X) ® Q, что
(То, что это — гомоморфизм колец, следует из однозначности g (x).)
11.11. Доказательство теоремы 11.6. Мы проверим сей-
сейчас, что ch и g являются взаимно обратными гомоморфизмами. Все наши
конструкции совместны с гомоморфизмами /*, поэтому можно применить
принцип расщепления, т. е. ограничиться рассмотрением элементов х, лежа-
лежащих в подкольце К {X) (соответственно GK (X)), порожденном классами
обратимых пучков.
Пусть х = I — 1 mod F2K(X) ? G*K (X), где I — класс обратимого
пучка. Я утверждаю, что
Действительно, очевидно, что х = g(x) mod F2K (X); кроме того,
\р'1пA+A — 1))= In [1 + (*г —l)l---i ln-ll + (/—!)]•
С другой стороны, по определению (см. 11.3 и A1.2.1))
ch(l — I) -=ex — leGK(X) ® Q.
Это показывает, что
g°ch(l — 1) = I—1, cho g(x)=x,
и ввиду сделанного выше замечания доказывает теорему 11.6.

12. Структура моноидальных преобразований
12.1. Напомним (см. 7.4, а также [2], 12.4), что для любой схемы X
и когерентного пучка идеалов f с; Ох можно построить схему' X' =
= Proj ( ® fn) it канонический морфазм /: X' -*¦ X. Морфизм / называется
71 = 0
моноидсиышм преобразованием X с центром в пучке 'f (или в замкнутой
подсхеме У С—*- X такой, что ?„ (OY) = Oxlf). В этом разделе мы начнем
изучать структуру люрфизма / и поведение К (X) и Щ(Х') по отношению
к этому морфизму в предположении, что подсхема У регулярно вложена
(определение 3.2). Технические результаты, которые мы получим, будут
занимать центральное место в изучении гомоморфизма «прямого образа»
и в доказательстве теоремы Римана—Роха. Кроме того, они представляют
самостоятельный интерес с точки зрения бирациональной геометрии, в кото-
которой моноидальнсе преобразование играет исключительную по важности роль.
12.2. Предложение. Пусть У* CZ-*. X — регулярное вложение '
замкнутой подсхемы, N = I* (tylty2) — ненормальный пучок на У (где ^ — '
пучок идеалов, соответствующий У). Пусть /: X' —*¦ X — моноидалъное пре-
преобразование с центром У; У = У х X' — прообраз У на X' (в категории
х
:хем); /': У d ?. X' — каноническое вложение, g: Y' —*-Y — ограничение
морфизма } на У. Тогда справедливы следующие утверждения:
(а) ограничение f на (X' \ У) —*• (X \ У) является изоморфизмом схем;
(б) морфизЛ g: Y' -+Y шоморфен каноническому морфизму Р (N) -*- У;
(в) /: Y' —*¦ X' —¦ регулярное вложение коразмерности единица, и ко-
кормалъный пучок в У = Р (N) в X' изоморфен Op(N) A).
Кроме того, если X и У регулярны и на X есть обильный пучок, то и X'
регулярна и обладает обильным пучком (доказательство мы опускаем).
Неформально говоря, этот результат означает, что X' получается из X
«¦раздуванием» (blowing up) замкнутой подсхемы У до дивизора. Геометри-
чески эго можно представлять себе следующим образом. Вне У ничего
не меняется, а каждая точка у ? У заменяется целым проективным про-
отранством, точкам которого соответствуют «направления подхода к у по нор-
нормали :; '/¦:> (направление понимается в проективном смысле). В частности.
если Y — замкнутая точка, то У — проективное пространство, размер-
размерность которого за единицу меньше, чем у X.
Дивизоры, которые получаются с помощью моноидальных преобразо-
затш ез схем коразмерности >,1, называются исключительными. Мы про-
продолжим обсуждение их свойств ниже в п. 13.5.
Доказательство. Все утверждения можно проверять локально
по X. покрыв X такими малыми открытыми аффинными множествами, в ко-
которых if порожден регулярной: системой параметров. Поэтому можно считать,
чтй X = Spec A, f = I, где / = (Д, ..., fr) ? А; (/;)]— регулярная система.
Так лак f \x\r = Ох \х\у, утверждение (а) становится очевидным, ибо
Рго}(@ Л4П) = Spec л. (в окрестности точек, не содержащихся в У).
0
53
Далее, X' = Proj (©/"), У = X' ® All =- Proj ( © ГПп^. В самом деле,
умножая тензорно точную последовательность 0—* /—> А—*¦ АН—^-0 на 1п
над А, находим / ® Г-^171-^- АН ® /"—> 0. откуда АН ® /" ~ Г/Г+1
А А А
Определим эпиморфизм колец
if: SA/I (IIP) -+ © /"//"+!
следующим образом: пусть at= агтой12, at^I, i=l, ..., п; тогда
у (аи . .. ап) = а, . . .ап mod ГЧГ*1.
Корректность определения и совместимость с локализацией по базе про-
проверяется без труда.
Утверждение (б) будет установлено, если мы докажем следующую лемму.
12.3. Лемма. В условиях предыдущего пункта гомоморфизм
Tp:SA/i(I/P)-> © Г77П+1
71=0
является изоморфизмом градуированных АН-алгебр.
Доказательство. Полагая / = (/i, •••, /г), проведем индукцию по
числу регулярных образующих г.
Пусть г=1. По предложению 3.4 IIP является свободным ^4//-моду-
лем ранга 1 с образующей /, = /, mod P. п-я симметрическая степень IIP
является также свободным ^//-модулем ранга 1 с образующей /™. По опре-
определению ijj(/i) = /™mod/n+1. Поэтому для доказательства того, что \р—изо-
\р—изоморфизм, нужно лишь проверить, что если а/™?/71+1, то а ?7. Но если
a/j' = 6/j+1, то а=й/(, ибо /4 не является делителем нуля в А, что и дока-
доказывает требуемое.
Пусть теперь /<j=(/i. • ¦•. /r-i), и пусть лемма доказана для идеала 70.
Из доказательства предложения 3.4 следует, что
где fr = /г mod Р — свободный элемент над А/1. Поэтому
© Slit A0/(П + /г/о))" fr
й0
(в очевидных обозначениях).
Далее снова по предложению 3.4
(справа а слева стоят свободные ^//-модули ранга г — 1 и они канонически
изоморфны). Поэтому
йл/1AоЦ11 + Ш =¦&/!. (hUl) ® АН.
А
По предположению индукции, 1J) устанавливает изоморфизм

54
Кроме того,
Отсюда
С
А/7
fc=O
Если Ker 1|> 7*= 0, то для некоторого ;i в S\n (///2) найдется элемент,
принадлежащий этому ядру и имеющий вид
2 *ft• /?. **е/Г"/(Г-^4 -г /гС"*). з* *= о-
Л0
¦ Пусть
n—/l-i-i i i i-n—ft\
1+
+ /r/""?, т. е. что
Мы достигнем противоречия, показав, что х
xt — 0, вопреки предположению.
i _
Принадлежность 2 *л/* ЯДРУ Ф» как нетрудно видеть, означает, что
/0
2
/!=0
г. е. учитывая, чтг x
2 *»/?€/.
ft=0
lna~h, /n+1 cr f'~i+l + fV~lA:
Так. как, по предположению индукции, /"//"+1 = 5л/;0 (Ia/Il), а /0//„ сво-
свободный ^4//0-модуль, fr не является делителем нуля относительно /"//" и,
значит, также относительно А;10 для всех Л>1.
Поэтому из включения
т. е. из включения
следует, что
n-i+l
" l
откуда у •/,€/""' (ибо .г 6/""'), так что y?l" l и,, наконец, ^?7" г+1 +
Лемма доказана.
12.4. Остается проверить последнее утверждение предложения 12.2.
Это тоже достаточно сделать локально по базе. Имеем: X' = Proj ( @ lntn) =
Ti=0
= U D+(fit) (здесь г—вспомогательная переменная степени 1, отмечающая
однородные компоненты).
Далее D+(ftt)--= Spec (© Ptn)a.t). Кольцо (© Intn)an, как нетрудно
видеть, изоморфно подкольцу А Г-^-, ...,-?-! кольца Aiv порожденному
элементами иида а/1 (а ? А) и gji = fjifi (j?*i)-
55
Действительно, пусть At а Аг—два кольца, S a At—мультипликатив-
At—мультипликативное подмножество. Тогда канонический гомоморфизм Аи s—^A2:S является
вложением. Применяя этот результат к случаю А{= © Intn, A2 = A[t],
jS = {(/;i)n} и ограничиваясь рассмотрением компонент нулевой степени,
получим требуемое.
Идеал, определяющий У внутри D+(ftt), порожден элементами fj/1,
т. е, элементами /;/1 и gjift (]ф[). Следовательно, он порожден /;/!.
Очевидно, что /г/1 не является делителем нуля в А \~, ..., ~1 ,
L /г ti J
потому что в Aft этот элемент обратим.
Стало быть, У"' С—». -У—регулярное вложение коразмерности 1.
Это же вычисление показывает, что если /'—пучок идеалов, опреде-
определяющий Y' внутри X', то ]*{Г1Г%) ~ОР(Л0A) (более того, Г = ОХ- A)
в обозначениях п. 7.2).
Предложение 12.2 полностью доказано.
13. Поведение Ж (Ж) при моноидальном преобразовании
13.1. В этом и двух последующих разделах мы займемся вычислением
Ж {X'), где X' — результат моноидального преобразования, примененного
к X. Прежде всего нам понадобится гомологический метод вычисления /*:
характер результата и доказательство аналогичны теореме 2.7. Мы бо-
боремся о той же трудностью: /* легко вычисляется на классах локально сво-
свободных пучков; нужно перенести метод вычисления на все когерентные
иучки.
13.2. Теорема. Пусть /: X' -*- X — проективный морфизм, X —
регулярная нётерова схема с обильным пучком, F — когерентный пучок
па Ж. Тогда
' (e
Vd (Тог?
(Определение Tor» z (JF, Ох-) см. ниже.)
Доказательство. Пусть
—конечная локально свободная резольвента ^ на I. Тогда
/B ()(,)) 2 (.)Р,® *)
i=0 t=0 О Y
(Мы пишем f* (?)¦=% ® О^.; см. определение /* в п. 4.4). На схеме X'
пучки гомологии комплекса
...->Xn'
0

56
изоморфны Torix {JF, Ох'), откуда
f*(cl(JF))= S (_i)*cz(Tori0*(.F, О*.)),
что и доказывает требуемое.
13.3. Теперь мы возвращаемся к обозначениям предложения 12.2: мы
рассматриваем диаграмму схем и морфизмов
У Л X'
'ill*
Y -* X,
в которой / — морфизм моноидального преобразования X с центром в регу-
регулярной подсхеме i (Y). Через JT обозначается конормальный пучок на Y,
а через N — его класс в К (Y). Все эти обозначения будут закреплены.
Мы докажем ряд тождеств относительно гомоморфизмов А, и h* (где
h — один из морфизмов i, /, /, g) и их композиций.
Заметим, что поскольку g изоморфен проекции Р (N) -*¦ Y, поведе-
поведение К относительно g нам уже хорошо известно.
13.4. Предложение. Для любого элемента у ? К (Y) имеем
Г-»". (У) = У*м(#).
Доказательство. В силу регулярности Y и аддитивности i*-it
достаточно рассмотреть случай, когда у = с1(Щ, где %—локально свободный
пучок на Y. По теореме 13.2
*••«¦, (с* (*))=¦ 2 (-1Iс1(Тот°х(Ог, %)).
i=0
С другой стороны, по теореме 3.5
Tor°x (Or, 8) = Л1О_(^П®8.
°*
Это доказывает требуемое.
13.5. Следствие. Для любых двух элементов yt, y2?K(Y)
i* (Уд ¦г* (Уг) = i* (У\ ¦ Уг ¦ Ь-i (Щ).
Доказательство. Подставим в правую часть вместо yi'k-i(N)
выражение t* • г» (Уг) и воспользуемся «формулой проекции» 7.13.
Заметим, что результаты 13.4 и 13.5 можно применять и к морфизму /,
гак как он также является регулярным вложением: У локально определен
одним уравнением.
Так как конормальный пучок N' к У изоморфен OP(lv) A), имеем Я,_4 (N) =
= 1 — /, где I — класс /V в К (У), и, в частности,
7.A)* = ./. (*-*)¦ (!)
Стало быть, класс самопересечения У внутри X, ограниченный на У,
равен 1 — 1. Рассмотрим случай, когда Y — замкнутая точка в X. Тогда
У — проективное пространство Р, а класс его самопересечения совпадает
с классом
1— с1(ОР ({))=— сЮЕ,
где Е а Р — некоторая «гиперплоскость» в Р, т. е. нуль сечения пучка ОР A)
(см. п. 8.12).
Здесь замечателен знак минус! Его можно интерпретировать как пока-
показатель «жесткости», «недеформируемости» исключительного дивизора У.
В самом деле, если бы существовала подсхема Y" внутри X, класс структур-
структурного пучка, который совпадал бы с классом Оу, и находящаяся в общем
положении с У, то
11 A) = d (OY.y- =
) = а (оу.п
(см. теоред1у 2.3). Но легко проверить (скажем, в случае, когда X — про-
проективное многообразие над полем), что — cl(OE) =^= cZ(Oypy»), потому что
и Е, и У (] Y" — подсхемы. Действительно, индекс пересечения Ы (Оу^у-)
с классом линейного подпространства дополнительной размерности поло-
положителен, а для — el (OE) он отрицателен. Стало быть Y" не существует.
Частный случай этого результата показывает, что если X — поверх-
поверхность над полем к, то моноидальное преобразование с центром в А-точке х
заменяет ее на проективную прямую, индекс самопересечения которой
равен —1. Классическая теорема Кастельнуово—Энриквеса утверждает, что
неприводимые исключительные дивизоры яа регулярных поверхностях
характеризуются этим свойством.
В общем случае у нас есть лишь необходимые условия: для того чтобы
дивизор У с: X' был исключительным, он должея иметь вид Р (J"), а его
самопересечение должно даваться формулой A).
В какой мере они являются достаточными, отчасти" выясняют недавние
глубокие результаты Б. Мойшезона и II. Гриффитса.
13.6. Сейчас мы проведем аналогичные вычисления для гомоморфиз-
гомоморфизма /*-гд. Они будут длиннее, потому что вычисление соответствующих Тог
придется провести отдельно.
Введем еще одно обозначение. Так как У = Р (,./*), в силу предложе-
предложения 4.9 существует канонический эпиморфизм пучков на У: g* (,j'") -*-
->- Оу A) —>- 0. Пусть JF — ядро этого эпиморфизма, локально свободный
пучок на У, <t F — его класс в К (У).
13.7. П р е д л о н; е н и е. Для всякого элемента у ? К (Y) имеем
/*•».(?) =/•(?*(?) •*-(Л-
Доказательство. Полагая у~с1(Ш), где %—локально свободный
пучок на Y, как выше, находим
Г-Ч(У) =.| (-l)'d (Torf*(Ox,,. В)).
Поэтому требуемый результат будет установлен, если мы докажем
следующий аналог теоремы 3.5.
13.8. Предложение. Пучок Тог; х(Ох', Ш), г>0 сосредоточенна
У м, как пучок Оу-жодулей, изоморфен Л* (JF) 0 g* ($).
Оу
5-2037

58
Доказательство. Первый шаг. Вычислим Toifх(Ох-, 0Y).
Прежде всего, из точной последовательности пучков О^-модулей
умножая ее тензорно на Ох- и учитывая, что Тотчл (Ох, Ох-) ~ 0, (>1,
находим
О —>¦ Тог?* (Ox-, О?) —> f ® 0*- -» Ох- —> 0у -» 0.
Согласно вычислению, проведенному в п. 12.4, образ ^ ® Ох- в Ол- равен
A), так что для вычисления Тог^ получаем точную последователь-
последовательность
О -» Тог0*
f
0.
Так как '$¦' — локально свободный пучок, а Тог"х@д--, Оу) является пучком
Фх'/'^'-модулей, эту точную последовательность, можно умножить тензорно*
за Ох'/ф-', не нарушив ее точности и не изменив первого члена. Имеем
°
Ox-)
откуда
_т-, Or)
0.
A)
показывает, что
* @л-
-за. определение JF в п. 13.8). (Совпадэниэ гомоморфизма g* (JT)—^'f'l'f''2
¦.'. даконическим гомоморфизмом g* (jf)—>-O(i) предоставляется проверить
Зторой шаг. Проведем теперь локальные вычисления Тог*. Пусть
j-jec; -4 — аффинная открытая подсхема з X, (ft, ...,fT)czA — регулярная
.¦гу?ваа элементов, порождающая пучок 1 ='f над ней,~i=(/1, ..., fr).
Как в п. 12.4, прообраз Spec_4 относительно / покрывается аффинными
i-t.-hum?. Spec Bj, где
5; = ^ I -г1, • - •.
77
;ечеаия пучка f' зад 3oe::3j эбраауют ядеап /;• 3j — 1).
Рассматривая .;г-;ения точной соследоватеиьности над Spec Bj, яаходим
0--»Toi^ [B<, All) -* BjU'j ф л IP -» iyiy^-0.
/j -^ /; mod /a, // — /,/1 mod i J2,
Тогда, очевидно,
Si
J (8) IIP есть свободный -В/^-модуль, порожденный
элементами 1 ® Д (i = 1, ..., г), а /у//^2 — свободный модуль, порожденный
элементом fj. Значение и на этих образующих легко вычисляется:
и A ® /1) = фгД,-.
Отсюда немедленно следует, что модуль Кегк = Tor^ (All, B<) свободно
порожден элементами
1 ® ft — Vu ® /; (г= 1, 2, . .., г; г ф j). B)
Третий шаг. Пользуясь этим локальным вычислением Тогь мы
достроим сейчас локальные изоморфизмы
Т:опж(Ох; От)^ АЬх(Тот°х(ОЖ; О?)),
или, точнее,
Тог?(Я,-, АН) ^ Л^(Кеги). C)
Конструкция будет зависеть от выбора образующих (fit . .., fT); следую-
следующий шаг покажет независимость гомоморфизмов от этого выбора.
Чтобы построить изоморфизм C), напишем комплекс Кошуля
К(А,Д, . . ., /г) — резольвенту ^-модуля АН, и умножим ее тензорно
на Bj над А. В стандартных обозначениях получим комплекс, гомологии
которого дают Tor^Ej, A):
¦¦¦®Sjeit/\.../\eiri Л BJetih.../\ein_i-> ... ,
<*КЛ • • • Л«О = fcS (-^fiJi^A • • ¦ Л %А ¦ • -Лч-
Чтобы вычислить эти гомологии, сделаем замену образующих et,
Легко видеть, что тогда
положив
Следовательно,
2n (Bj ®К(А, /)) = © Bjei /\...Ae't
я„E^ ® л: (л, /)) = //1-2» (д, ® л: (л, /)).
А
Теперь построим изоморфизмы
%: Я„ E,- ® К (А, /)) =? Л" (Тог,А (A/I, Bj)),
отображая класс цикла е\ Д ... Д el в элемент
ftA Gift® I — 4>ihi®fj)
(ср. с B)).
если /=гА.
D)
E)

Четвертый шаг. Мы должны теперь показать, что при замене
Ifi, . . ., /,) на другую систему регулярную систему образующих (gt, . . ., gr)
идеала / локальные изоморфизмы E) седут себя согласованно п склеиваются
в глобальные изоморфизмы Тог.
Рассуждение аналогично приведенному в н. 3.7; дополнительные техни-
технические детали связаны с тем. что замена (/;) на (g;) меняет также покрытие
/-1 (SpecЛ), в терминах которого .мы проводим локальные вычисления:
Г1 (Spec Л) = у Spec .4 [77. • • •¦ 77] = U SpecA[jt' '" '' "Й '
Поэтому нужно рассмотреть общее измельчение этих покрытий:
Г1 (Spec A)r-. у Spec Я/л,
где
d л г и ил о __ л ГSi grl
Все конструкции предыдущего шага проходят, если заменить в них
В] на BJk.
Аналогично, применяя их к Вь} п (§ь . . ., gr) вместо BJk и (/ь ..., /г),
построим изоморфизм
tfo = Нп (BhJ ® А' (.4, g)) -* Л" (Torf (Л/7, Д^)).
Как в п. 3.7, мы должны проверить, что ^ и to коммутирует с гомо-
гомоморфизмами резольвент К (A, g)—*K{A, /).
Пусть
и пусть
Определим, как в п. 3.7, гомоморфизм комплексов А'(Л, g)—> К {Л, /):
_ п г
е, А ... Д ein -* А B o.imiei) ¦
1 m=l 1=1
Обозначим через ф гомоморфизм, который индуцирован этим отображением
на гомологиях комплексов A" <S> В:
Ф: Н. (Bkj ®K(A. g)) -» H. (Bjh ® К (А, /)).
Нужно проверить коммутативность следующей диаграммы
Нп (Bjh ® К (А, /)) -^ У^
Я„ (В^ ® AT (Л, g)) -^ А" (Тог, {
Это делается прямыми вычислениями. Положим
<?i=7z — /лЯ. ~/.ij-=gi'!gj?Bbh {1фЬ)
Тогда (мы пишем под знаком t|3g, i|?/i Ф Для краткости цикл вместо класса
гомологии):
где
С другой стороны, ф(е{)=класс B auei — gilgj S aftzez), откуда
г г
b°4>(e'i)= S auei—gi/g
что и доказывает коммутативность.
Отсюда следует, что
Тог°х(ОХ; Оу)~ЛЬх,
Пятый шаг. Наконец, укажем кратко, какие изменения нужно
провести в предыдущих рассуждениях, чтобы получить изоморфизм
Тот°х(Ох-, ?)~Л>
для любого локально Oj-свободного пучка % вместо От.
Они не сложны: нужно заменить в конструкция третьего шага резольвент}'
А\(А, /)_*Л//-*0
на резольвенту
представив свободный Л/7-модуль Е сечений пучка I над Spec А в виде
прямой суммы модулей АН.
Все последующие построения проходят с очевидными видоизменениями,
что приводит к изоморфизмам
1oxt(Bhh Ehj) ^ А1 (Тог?(Bhj, All)) ® EhJ.
Независимость их от выбора первоначального представления Е — ©А/1
проверяется немедленно.
Доказательство закончено.
14. Поведение К(Х) при моноидальном преобразовании
(продолжение)
14.1. Мы сохраним обозначения раздела 13: диаграмма, описывающая
моноидальное преобразование
8l i I'
Y-^X,
приводит к диаграмме, состоящей из групп А", в которой число морфизмов
увеличивается до восьми:
K(Y')i±K(X')

В предыдущей лекции были доказаны два результата, выясняющие, л какой
мере эта последняя диаграмма коммутативна, т. е. сравнивающие морфизмы
групп К. которые получаются, если проходить по двум разным путям этой
диаграммы с общим началом и кондом:
г*-г* (У) = jA-i-ZV (предложение 13.4),
t*-i,(v) = h(g*(V)b-iF) (предложение 13.7).
Роль появляющихся здесь корректирующих множг влей X_jiV и X^tF
можно интуитивно объяснить,, пользуясь представлением о «деформации
внутри трубчатой окрестности», подобно п. 3.6.
Сейчас мы добавим еще три утверждения подобного же типа, которые
будут использованы потом для вычисления К (X').
14.2. Предложение, (а) /„/•: К (X) -*¦ К (X) есть тождествен-
тождественное отображение'
(в) если у ? Кег/„ с: К (У), то у = g*g)f
14.3. Доказательство 14.2 (а). Прежде всего заметим, что*
достаточно проверить тождество /„ A) = 1. Действительно, если оно верно,
то, пользуясь формулой проекции, находим для любого элемента у ? К (Y)
/,/• От) =/. (НУ)-!)-У •/.(!) = У-
Имеем далее
Поэтому все будет доказано, если мы установим, что
Ох при i — О,
О при i > 1.
Так как пучок идеалов ^'~O.y-A), определяющий У в X', обратим
(см. п. 12.4), умножая тензорно на Ох- (п) точную последовательность
г
получаем точную последовательность
О -» Ох- (и +1) -» Ол- (л) -» 7. (Оу- (га)) -» 0.
Применим к ней функтор /«. Для вычисления производной точной последо-
последовательности заметим, что /„/„ = itgt и что функторы »„ и /„ точны, так что
Л'7,=0, Др/. = 0 при р>1. Поэтому
Л7. (/.Оу (и)) - Л» (/.;,) (Оу (га)) -
Г 1»(^п«уГ)прир = 0,
= л- (irfj {оУ. (И), ijt"g. {oY. (И)) ^ { 0 цри р> 4_
(Мы пользуемся тем, что У =Р (.Л"), и результатом примера 7.7.) Отсюда
при р > 1 и любом га > 0 находим точную последовательность
0 -» Д"/«Ол" (и + 1) -> Л"/«^л- (п) -» 0.
Но так как, по теореме Серра Л'1 },Ох- (га-f 1) =0 при достаточно больших га,
это верно и при всех я>0. Тем самым R''f,Ox'~0-
63
Далее, при р = 0 получаем для любого п > 0 точную последовательность
0 -» /. (Ох- (га + 1)) -» /, (Ох- (га)) -> i, E"^Г) -> 0.
Так пак X' = Proj (® jtn), существуют канонические гомоморфизмы пуч-
п=0
ков на X: а*'"—»/, (Ох-(л)), которые приводят к коммутативной диаграмме
0 -* U (Ох- (и + 1)) -¦ /, (Ох- (га)) -¦ i, (Sn JT) -+ 0
t -t t
0_* f»+i —* ^" > fn/fn+1 -> 0.
Левая вертикальная стрелка является изоморфизмом для п.>га0 в силу
теоремы Серра, а правая—изоморфизм для любых га по лемме 12.3. Индук-
Индукцией вниз по га отсюда находим, что средняя стрелка является изоморфиз-
изоморфизмом при всех га>0, что завершает доказательство.
14.4. Доказательство 14.2F). Распространим отображение gt
ттиффициентно на множество 1 -\-К (Y) [[*]]. Пользуясь тем, что
F g" (N) — I, где l = cl(Op(tt) A)), и учитывая формулу проекции, находим
gt (hf) = g, (Xt (g*N)-lt (-l))=Xt (N) (fj (-1)V, (P) tl) = Ъ(N) tr-t (N) = 1
i=0
в силу пп. 5.4 и 7.7.
14.5. Доказательство 14.2(в). Так как },(у)=0, имеем
Q = i*ie(y) = yb-i(N') = y(i-i),
где l=cl(Oy(i)) (применить предложение 13.4 к / вместо i). С другой
стороны, по теореме о структуре К (У) = К (Р {JT)) имеем однозначное
представление
*_. - % -/ ' -' *- О " \л /»
i=0
где г +1 = tAjV и где элемент Z — 1 удовлетворяет соотношению
г+1
2 (_ i)'-+i-y+i-* (N—г—1) (г— 1)* = о.
(см. лемму 8.9). Сравнивая это соотношение с уравнением
уA-1)= 2 a«-i(i-l)'=0,
находим
откуда
г+1
у=«гB (-1
г=1
г-1) (I-1)-1) =
= (— l)rar7r (Л' —r— I) - (— D'V/У (/-'— ?¦) ( — 1)'яД -i (/•'

fi4
(Тождество y'(F —г)-Х^(Р) было получено в ходе доказательства
леммы 8.9.)
Это равенство доказывает требуемое, потому что из тождества
и равенства g* (A_t (F)) = 1 следует, что
гак что
15. Поведение К (Л') прв моноидальном преобразовании
(окончание)
15.1. Теперь мы сможем доказать основной результат о структуре
кольца К (К'). Сначала введем некоторые объекты, фигурирующие в фор-
формулировке этого результата.
Кольца К (Y)x и К (Y')N. Сохранив аддитивную структуру коль-
ца Кг, введем в нем новый закон умножения, положив
К (Y)n—коммутативное, ассоциативное кольцо без единицы. Аналогично
определим кольцо К (Y')n- о законом умножения у[ * y'z = y'jj^l^N' — у[у'2 A —I).
Кольцо К (X) © К (Y')jv. Аддитивная группа этого кольца—прямая
сумма групп К (X) и К (Y')tf', умножение в К (X) обычно, а в К (Y')n'
совпадает с определенным выше; наконец,
(х, 0)-@, у') = @, g4*(x)y').
Гомоморфизм а: К(Y)N—>K(X)©K(Y')n-- Положим
Это, очевидно, гомоморфизм групп. Совместимость с умножением следует
из тождеств
a (j/i * у2) = a. (yiVJ^N) = (г, N
и
потому что Х_4 (/¦) A — 0 = ^* (A^jiV).
Кроме того, образ ос является идеалом в кольце К (X) © К (Y')n-:
(х, у') а (у) - (,г, у') (г, (у), -«• (у) X.{F) =
= (л" • п (У), — Г«* И ** (У) ^--^ + fi'i, (У) У' —
— в*(У) jr'A-i^(i — 0) = (*. (*в(*)¦ У). -**('* (з
Из этой формулы, кроме того, видно, что
(а) Образ а. и К (Y')tf ортогональны, относительно умножения,
(б) а является не только гомоморфизмом колец, но и гомоморфизмом
К (Х)-алгебр.
(в) Гомоморфизм групп а': К (X) @К (Y')jv—>%¦(?):
а'(х, y') = —gm(y')
обладает свойством
Поэтому идеал а (К (Y)) выделяется прямым слагаемым (как аддитивная
подгруппа).
Гомоморфизм колец fS: K(X)@K (Y')N--> К (X1). Положим,
Р(*. Л = /'(*)+ 7,(У') •
Совместимость с умножением внутри подгрупп элементов вида (х, 0) и @,*у!)
очевидна; совместимость с умножением «крест накрест» следует из того, что
Р ((*, 0) @, »')) = Р@. ?•*• (х) У') = и (f-i* (x) У') =
= и (ГГ (х) у') = Г (х) 7, (у1)=р (х, 0) р @, г/').
15.2. Теорема. Последовательность
0-»К (У)к -^К(Х)@К (У V -^ ^ (^"') -¦ 0
точна.
Доказательство. Мы проверим точность в каждом члене в отдель-
отдельности.
а-вложение. Действительно, пусть а(у) = 0. Тогда, в частности,
*• (У) *м (*¦) = <),
откуда
0=*. (*' (У) b-i (^)) = У8, №) =У-
E-эпиморфизм. Достаточно проверить, что для любого элемента
х'?К{Х') имеем
Можно ограничиться случаем х' = с1(Щ). Тогда имеем
В сумме справа пучки ij4/* (iJ3/* (§)) сосредоточены на У, если i + 7>l,
потому что / является изоморфизмом вне У. Поэтому
где г" принадлежит подгруппе, порожденной классами пучков, сосредото-
сосредоточенных на У.
Покажем, что к этой же подгруппе принадлежит разность cl ($) — с//*/, (g).
Действительно, вне У пучки g и /*/„§ естественно изоморфны. Вложим
% I .Г'\у диагонально в пучок (Я? © /*/« (§)) | х-\у и продолжим получив-
получившийся подпучок до подпучка ea$@f*f,($) на всем пространстве X'
(см. п. 1.13).

66
Проекции §'—>¦§ и §'—>/*/*§ являются изоморфиамами вне У.
Отсюда следует, что с1(%') — с1(Ш) и с/(g') — d (/•/«(§)). а стало быть,
и разность этих элементов, принадлежит подгруппе в К (X ), порожденной
классами пучков, сосредоточенных на У.
Но эта подгруппа содержится в образе /, {К (У)), так как у каждого
такого пучка есть конечный ряд подпучков, факторы которого аннули-
аннулируются J', т. е. являются Оу-модулями.
Р о ос = 0. Действительно,
Р°сс (у)'=ft.(v)-J. (*• (у) k^F) =0
а силу предложения 13.7.
Kerpdlma. Пусть (х, у') ? Кег E. Тогда
Мы аотим доказать существование такого элемента у, что
Первому равенству легко удовлетворить: действительно, по 14.2(а)
так что достаточно положить у=— g9(y').
Остается доказать, что этот элемент удовлетворяет и второму равенству,
т. е. что
»'-Л.(У')^(Л-0.
Сразу же получается несколько более слабый результат
U (У') -/* (U. (У')) = 7. (в**. B/') ^)
(см. предложение 13.7), откуда
У. (у'-*'*, (у') МЧ =о.
Теперь применим предложение 14.2(в) к элементу
у=у'-л. an *-!*¦•
Получим
у' -Г**, (г/') W = ?*?« (у'-Л. (г/') ^> *-»*•=
= *•(*.»'-*. (у') *.М))^
ибо g, (A.-j.F) = 1. Теорема доказана.
15.3. Теперь покажем, как доказанные результаты позволяют
новить кольцо К(Х') и связанные с ним гомоморфизмы, пользуяс
мацией о вложении Y —» X. Начнем с аддитивной структуры этог
Задание следующих структур определяет группу К (X'):
(а) Группы К(Х), К (Y) и гомоморфизм
i.:K(Y)-*K(X).
(б) Класс ненормального пучка N?K(Y), его внешние степени XlN
и произведения этих элементов на элементы из K(Y).
Действительно, вычисление группы А'(Х') проводится тогда следующим
образом.
Первый шаг.
gi; К (У)-* К (Г).
Положим формально
67
Конструкция группы К (У) и гомоморфизма
!=0
где g* — вложение К (Y) на слагаемое K(Y)l°.
(Здесь Iй = 1, I, ..., 1Т— формальные индексы, нумерз'ющие компо-
компоненты прямой суммы г + 1 экземпляра групп К (Y).)
Второй шаг. Конструкция гомоморфизма a : К (Y) -> К (X) @>
© К (У). Положим
Для конструкции ос нужно знать, кроме г,, еще гомоморфизм
т. е. уметь умножать на
в кольце K(Y'). Но
Ям(Л= 23 v^(JV —г —1)A —О*.
г=0
Поэтому достаточно уметь умножать отдельно на степени I и на элементы
yr-г (JV — г — 1). Первое сводится ко второму, потому что уГ~* (N — г — 1)—
коэффициенты полиномиального уравнения, которому удовлетворяет I.
В свою очередь эти коэффициенты линейно над Z выражаются через X'N.
Третий шаг. Вычисление группы К (X')
K(X') = (K(X)@K(Y'))/a(K(Y)).
15.4. Для вычисления умножения в К (X') нужно энать, в дополнение
к перечисленным в п. 15.3, следующие структуры:
(в) Умножение в К{Х) и K(Y).
(г) Гомоморфизм колец i* : К (X) -*¦ К (Y).
Действительно, тогда кольцо К (У) вычисляется так:
(образ ?* — это элемент Г в обозначениях предыдущего пункта). Определе-
Определения п. 15.1 позволяют построить кольца К (Y)N, K(X)@K(Y')N> и гомо-
гомоморфизм ос. Кольцо К (X') восстанавливается тогда как ядро ос.
Следует отметить, что для вычисления gf нужно пользоваться фор-
формулой
а a* (N) можно представить в виде целочисленных линейных комбинаций
элементов Я,1 (N), пользуясь формулой
Xt(N)a.t(N)=i.
15.5. В диаграмме, приведенной в п. 14.1, кольцо К (X') является нача-
началом или концом четырех стрелок: /*, /,,, /'* и /„,. Покажем, что описанной
информации достаточно также для вычисления этих гомоморфизмов. Точ-
Точнее говоря, все они некоторым каноническим образом поднимаются до

68
гомоморфизмов кольца К (X) © K(Y')N-, которые мы будем обозначать той
же буквой с чертой наверху.
Именно, следующие четыре диаграммы коммутативна
К (X) ® К (У V "^ К (X') К(Х)фК (У V
-К(Х)
—-С ^.ЙГ(Х)
t - t"
I ? К(Г)
где
/¦»=(*, 0),
Наконец, полезно отметить тождества
16. Операции 'Адамса и гомоморфизм прямого образа
16.1. Цель этого раздела и добавления к нему — дополнить утвержде-
утверждение теоремы 15.2 результатами о поведении у-фильтрации относительно
гомоморфизмов а и р, что позволит доказать вариант этой теоремы для колец
GK (X) ® Q. Так как по ходу доказательства мы все равно утратим возмож-
возможность следить за кручением (по крайней мере частично), ограничимся рас-
рассмотрением операций Адамса typ (см. раздел И) вместо V и у", что техни-
технически значительно проще, потому что if являются гомоморфизмами колец.
Точнее говооя, мы введем на кольцах К (Y)N и К (X) © К (Y')n- такой
набор операций г|)р, что гомоморфизмы аир будут коммутировать с ними
с точностью до кручения. (При этом мы, естественно, хотим, чтобы на К (X)
и К (Y) эти новые операции совпадали со старыми.) Начнем с интуитивного
объяснения новых операций.
Первая задача состоит в том, чтобы попытаться угадать вид новых опе-
операций г|$ на кольце К (Y)N. Так как умножение в К (Y)N отличается от умно-
умножения в К (Y) корректирующим множителем X _1ЛГ, попробуем положить
где 0 б Я (Y)N— некоторый новый корректирующий множитель, и выясним,
как отразится на выборе 9 требование о том, чтобы отображение г|з^ было
эндоморфизмом кольца К (Y)N. Должно быть выполнено соотношение
Yn(Vi * Уг) =¦ 1?n Ш * Yn Ы. Уи
69
Y (j/ly2A-1JV)9 = у» (У1) -ф» (уг) X_tN ¦ 9*.
Если бы в кольце К (Y) не было делителей нуля, из равенства следовало бы,
что 8 = ф*1 (X -1iV)/A._1jV. На самом деле не только этот вывод неверен, но
и само равенство не имеет смысла, потому что X .tN 6 F1 K(Y), и, следо-
следовательно (предложение 8.7), знаменатель нильпотентен!
Все же посмотрим на простейший случай, когда N — обратимый пучок.
Тогда Y (X -tN) = г|)р A — N) — 1 — N", и имеется большой соблазн поло-
положить г})" (X -iNyk^N = 1 + N + ... + А"' в этом случае. Естественно,
возникает идея воспользоваться -затем для продолжения этой операции на
все iV принципом расщепления, потребовав совместимости этой операции
с гомолЮрфизмами /* и выполнимости «функционального уравнения»
(в конце концов числитель и знаменатель в отдельности этому уравнению
удовлетворяют!).
Эта идея проходит вполне гладко.
16.2. Определение-лемма. Пусть К (Х)+ — полугруппа клас-
классов локально свободных пучков на X по сложению, а К (X)* — полугруппа
всех элементов кольца по умножению. Тогда можно единственным способом
определить для всех схем X гомоморфизмы полугрупп 9Р : К (Х)+ —»-
->К(Х)*, р ~^> 1, так, чтобы выполнялись следующие условия:
A6.2.1) 9"°/*=/* о 9" для всех морфизмов f:X-+Y.
A6.2.2) 9'' (Г) = 1 -f I -\- ... -\- Р'1, если I — класс обратимого пучка.
Доказательство. Единственность Qv немедленно следует из
принципа расщепления. Существование получается следующей прямой
конструкцией. Пусть Xi, ...Xr — независимые переменные, Yt(i—i,...
г) — i-я элементарная симметрическая функция от (Хг). Определим
многочлен ИРзГ (Уь ..., Yr) ? Z [Yu ..., Yr] формулой
ПР,Г(У1. ...,Гг)= D (i + Хъ + ...+ХГ1)
и для любого класса N локально свободного пучка ранга г положим
9"(iV)-np,r(XW, ..., VN).
г
Все свойства 9'' проверяются немедленно, если учесть, что для N= 2 h
(k—классы обратимых пучков) XhN есть k-я элементарная симметрическая
функция от (U).
16.3. Замечание. Из определения Пр, г очевидно, что
Поэтому элементы 9Р (N) обратимы в К (X) ® Q, откуда немедленно сле-
следует, что 9'' однозначно продолжается до гомоморфизма групп
К(Х)->(К(Х)®§)*.

70
16.4. Свойст ва 0" (N). В дополнение к перечисленным в 16.2 опе-
операция 8" удовлетворяет следующим двум тождествам:
A6.4.1) (
A6.4.2) 8
Оба они немедленно получаются из принципа расщепления, если заме-
заметить, что левые и правые части их мультипликативны по N и совпадают
на классах обратимых пучков.
Теперь мы можем ввести операции i|)jv на кольце К (Y)N.
16.5. Определени е-л е м м а. Положим для любого элемента у ? .
Тогда т|)дт для всех натуральных р является эндоморфизмом кольца К (Y)n
в, кроме того, ^^ ° "Флг = ty?t-
Доказательство. Тривиальная проверка с помощью формул A6.4.1)
и A6.4.2) показывает, что наша машина делает в точности то, ради чего
она была построена:
Vn (ft * Уг) = V (jM«) X-iNQv (N);
*R Ш * 1* (й) = V (уд ер (Ю V Ш в' (Щ %-tN = г (ухУ2) х., (лп) э* (N);
4>n (Ч* (У)) = V (f (У) в9 (N)) Q» (N) = ^ (у) 9м (N) = г$в (у).
Теперь мы установим гораздо более тонкий результат: коммутирование
(с точностью до кручения) наших операций 1$ с гомоморфизмами прямого
образа.
16.6. Теорема. Пусть 1: Y—> X — регулярное вложение с классом
ненормального пучка N?R(Y). Тогда
Р1 (*.*& (У) —Ч>" («•(»))) = 0.
Доказательство. Назовем пару (г, у), состоящую из иорфизма г
и элемента y?K(Y) «хорошей», если для нее
Мы разобьем доказательство на несколько шагов, которые доставят нам
много хороших пар; но когда естественные способы получать хорошие пары
исчерпаются, придется ввести искусственный прием, который и приведет
к лишнему множителю р2 в формулировке теоремы. Я не знаю, можно
ли от него избавиться совсем или уменьшить его, скажем, до р.
Первый шаг. Пара (i, у) является хорошей, если пара (], g* (у) X^F)
хороша (обозначения трех последних разделов). Действительно, так как
ftf* = id, /* является вложением, так что (i, у) — хорошая пара, если
(у) =}, if (Vn (у)) ь-tb = и (Y (g*y) ep
@)=
71
(Мы пользуемся последовательно предложением 13.7, формулой g*N =.F-\-l
ж тождеством A6.4.1), примененным к F.) Далее
Г(Г «. (у))) = Г (П* (у)) = V (и (g* (v) WO).
чем завершается первый шаг.
Второй шаг. Если у' ?lmj*, то пара (;, у') хороша. Действительно,
пусть у' = ]* (х). Тогда
U (*? (у1)) = /. (*" (/' {*)) A +1 + ¦ ¦ ¦ + г"-1)) = Г (х) ¦ и A +1 + • • • + г1),
V (/. (у1)) = V (иГ (х)) = V (xj, A)) = фщ V (/, A)).
Поэтому достаточно проверить, что
*р (MU) = 7. (! + *+•••+'")-
Положим L = Ox-(l), тогда l = j*(L) и /*A) = 1 — L. Поэтому /,(/') =
= ].r(Li) = Lljm(i) = Li(l—L'), так что
что доказывает требуемое.
Заметим теперь, что в силу первого шага нам нужно проверять пары
(/,!/'), в которых элемент у' имеет очень специальный вид: у' = g* (у) X-iF.
Третий шаг. Все пары Q, g* (у) X^F) хороши, если Хг (N—2)=0
при i>r—2, где r = e(N).
В самом деле, если у'=у"'A — I), то у' =j*U (y")€ Im ]*¦ Поэтому доста-
достаточно проверить, что при выполнении нашего условия X^F делится на 1 — I.
Действительно,
i0
а А/A — I) делится на 1 — 1 при ;>1.
Собярая вместе результаты первых трех шагов, получаем: все пары
U, у') хороши (в частности, теарема 16.6 верна даже без множителя рг)>
если Xl{N—2) = 0 при i>e(N) — 2.
Лемма 21 статьи Бореля — Серра показывает, что это условие для
многообразий X, Y выполнено, например, если е (N) ~^. сУтУ -\- 2, т. е. если
2 dimY -j- 2 ^ dimZ: вложение доляшо быть достаточно «глубоким»; тогда
¦ф& переходят в г|)р. j
Мы не будем пользоваться этой леммой, а вместо нее применим следую-
следующий искусственный прием. Вложим X регулярно в некоторую схему
2(s : X ->- Z) так, чтобы конормальный пучок X a Z был тривиален ранга 2.
Геометрически естественно ожидать (и будет доказано ниже), что в индуци-
индуцированном вложении У в Z конормальный пучок будет N -f- 2. По результа-
результатам первых трех шагов, все пары (s о i, у) и (s, x) будут хорошими. Отсюда
для всех пар (г, у) автоматически получится утверждение теоремы.
Приступим к выполнению этой программы.

72
16.7. Лемма. Пусть Y —» X —» Z — цепочка регулярных вложений.
Обозначим через JT (Y, X) ненормальный пучок вложения Y в X; аналогично
jV (Y, Z), Jf (X, Z). Тогда s о i является регулярным вложением и имеет
место точная последовательность
0-> VJT (X, Z) -> JT (У, Z) -> JT (У, X) -> 0.
Чтобы не прерывать связности изложения, отнесем доказательство
этой леммы в конец. Приняв ее, продолжим доказательство теоремы 16.6.
16.8. Четвертый шаг. Конструкция вложения s и некоторые
его свойства.
Положим Z = Р (Ох) = Proj (Ох 1Т0; Тг; Т2]), где То, Ти Г, - три
независимых сечения Oz A). Подсхема Z, заданная уравнениями То =
= Ti = 0, очевидно, канонически изоморфна X; обозначим через s : X -*¦ Z
соответствующее вложение, а через р : Z —»- Х-каноническую проекцию,
так что р о s = id. Легко проверить, что класс конормального пучка к X
в Z равен 2. Нам понадобится еще следующий факт: Кег«„, = 0. Он немед-
немедленно следует из' того, что p,se (а;) = х.
16.9. Пятый шаг. Окончание доказательства теоремы 16.6.
По лемме 16.7 класс конормального пучка к Y в Z равен Лг -f- -- Следо-
Следовательно, все пары (s о i, у) хороши, т. е.
Y (V, (У)) = («)«fPv+2 (У) = Р2 (sO.'Cfv (У).
С другой стороны, класс конормального пучка к X в Z равен 2, гак что
все пары (s, x) хороши, в частности,пара (s, г, (у)):
Ч>" (v* (у)) = «,1» (*. (г/)) = рЧ^С" («* (г/))-
Сравнивая эти два равенства, получаем
что доказывает теорему, потому что, как было доказано на предшествующем
шаге, ядро sf тривиально.
16.10. Доказательство леммы 16.7. Рассмотрим локальную
ситуацию, когда все схемы аффинные. То, что s о i регулярное вложение,
очевидно из определений. Пусть Z= Spec Az, X=Spec Az/Ix,z< аналогич-
аналогичный смысл имеют кольца Ах, Ат и идеалы IY, z,
последовательность -42-модулей
О —*¦ Ix, z —> Iy, z —*¦ 1т, х
п п п
' Y, Х-
Имеет место точная
'X.Z .
Умножим ее тензорно на Ах над Az. Это дает точную последовательность
'x,z
'Г, Z (
¦О.
Теперь умножим эту точную последовательность тензорно на Ат = AXI1Y, x
над Ах. Получим точную последовательность ^4у-модулей
1х, z
/Л. z ® Аг -* It, xll
\, z
1т,
0.
73
(При вычислении среднего члена воспользоваться ассоциативностью и тем,
что АХ%АТ = Ау.) Она является последовательностью сечений последо-
А,-
вательности, выписанной в формулировке леммы 16.7. Нуль слева можно
поставить, не нарушая точности, потому что все фигурирующие здесь пучки
локально свободны на У и ранг среднего равен сумме рангов двух крайних
(Напоминаем: ранг конормального пучка к Y равен числу элементов регу-
регулярной системы уравнений, локально задающих Y, что делает аддитив-
аддитивность очевидной.)
Теперь, пользуясь доказанной теоремой, выясним поведение -р-филътра-
ции относительно гомоморфизма гв. Положим Kq = К <g> Q.
16.11. Лемма. Пусть р>2—фиксированное целое число, y?Kq(Y).
Следующие два утверждения равносильны:
а) еРКрг)
> Ь уже доказана (даже
цр)
б) r(y)-pkW)e-Fh+1K<i(Y).
Доказательство. Импликация а
в кольце К (Y)) в предложении 11.8.
Наоборот, пусть выполнено условие б). Пусть т — самое большое целое
число, для которого у ? f^Kq (Y). Покажем, что предположение т <.к
приводит к противоречию. Действительно,
откуда при т<С.к
я, значит у?Fm+1K(^(Y), в противоречие с определением т. Лемма доказана.
16.12. Предложение. В прежних обозначениях пусть FdKq(Y)=0
при достаточно больших d. Тогда
+гКа (X),
где г — коразмерность вложения Y —* X.
Доказательство. Согласно предыдущей лемме
hK (Y) Г (у) - phy e Fh^KQ (У) =>
=>i|>" (у) 9" (JV)—р
Ео Qp(N) — preF1K(i(Y). Поэтому
pyi<i(Y).
Применим теперь убывающую индукцию по к. При достаточно больших к
предложение тривиально в силу предложения об обрыве фильтрации (оно,
впрочем, несущественно, и его можно было бы обойти, слегка изменив дока-
доказательство). Пусть предложение верно для к--\- 1. Тогда
(X),
=>*" («. (у)) -ph+Th (v)
откуда it(y)^Fh+rK<i{X) в силу леммы 16.11.

74
16.13. Теперь мы можем объяснить план дальнейшей работы. Пусть
Y—* X—регулярное вложение коразмерности г. Так как i, (FkKq (У)) a
¦cz Р*+гКц(Х), можно определить гомоморфизм градуированных групп'
повышающий степень на г (здесь GKq (У) = @FhKq(Y)!FK+1KQ (У)).
повышащ
Тем самым по категории (гладких, нётеровых, с обильным пучком) схем и ре-
регулярных вложений есть два ковариантных функтора: Kq и GKq. С другой
стороны, для каждой схемы X определен изоморфизм, ей: Kq (X) -*¦ GKq (X)
{см. теорему 11.6). Оказывается, однако, что ch не определяет морфизм
функторов, потому что он не коммутирует с ?„. Нашей главной.целью будет
выяснить правило коммутирования: оно составляет содержание «теоремы
Римана — Роха — Гротендика» для вложения.
В действительности мы можем проследить за поведением фильтрации
и, значит, группы GKq при гомоморфизмах прямого образа не только для
регулярных вложений, но и, например, для проекций на базу проективи-
зированных расслоений (см. следствие 8.10). Это открывает возможность
расширить введенную выше категорию, рассматривая морфизмы, которые
являются итерациями регулярных вложений и проекций расслоений на базу.
{Нужно, однако, проверить, что сдвиг градуировки относительно /„ не зави-
зависит от способа разложения / в произведение вложений и проекций). При
этом самую существенную роль в сравнении /4сйи cho/^ будут играть кока-
сательные пучки (или пучки дифференциалов), которые вводятся в следую-
следующей лекции.
Отметим, наконец, что для гладких квазипроективных многообразий
над полем любой проективный морфизм разлагается в произведение регу-
регулярного вложения и проекции.
Добавление. Рассмотрим точную последовательность теоремы
15.2. Введем операции "ф^г на среднем члене этой точной последовательности,
положив
Нетрудно проверить, что \j)&< являются гомоморфизмами кольца:
г|& [(г, 0) @, у')] =а$. @, g*-i* (х) у') = @, f> {g*i* (x) у') A-F)),
tfN, (х, 0) г$. @, у') = @, Y (х0)) (О, Г (у') A - Р)) =
= @, g*¦ Г ¦ (V (го) V (У')) A - '"))•
Я утверждаю, что с точностью до кручения гомоморфизмы а и ji пере-
перестановочны с операциями т|з. Проверка опирается на теорему 16.6; для р
она тривиальна, для а—состоит из следующих вычислений (все равен-
равенства— с точностью до кручения):
(«(у)) = V (*• (г/). -8* (у) ь-f) = (V (к (г/)). -V (в* (у) *-& 9" @).
(9)) = « (Г (У) 6р (N)) = (I, (Г (у) 9' (N)), -g* (Г (у) 6' (Щ X^F),
75
я требуемое сведение получается из-за того, что
g* F" (N)) = Qp(F + l) = 6" (F) 6" (О,
Qp{F)X.l(F)=r^-iF).
Теперь мы можем установить градуированный вариант "теоремы 15.2.
Кольцо GKq (У) (T')cr(iv)- Аддитивная группа этого кольца градуи-
градуирована:
Умножение в нем определяется с помощью умножения «начальных форм»
и поправочного множителя (см. 15.1):
сг (N) ¦--= уг (N—r) mod F'^Kq (У).
(Напомним, что X_t7V = yr (N — г).)
Кольцо GKq(Y') A)С1<лг)- Определение совершенно аналогично.
Гомоморфизм Ga (соответственно GP) получается из гомомор-
гомоморфизма а (соответственно Р) тензорным умножением на Q и рассмотрением
«начальных форм».
16.14. Теорема. Имеет место точная последовательность градуи-
градуированных колец
0 -> GKq (У) (r)er(W) -^ GKq (X) © GKQ (У) A)C1(W., ^> GKq (X') -» 0.
Доказательство оставляется читателю (воспользоваться следствием 11.9).
17. Пучок дифференциалов
17.1. Пусть А, В —кольца, В — А — алгебра. Обозначим через 1 = 1в/а
ядро гомоморфизма умножения:
р: В®В->В, р(&! ® Ъ2) = bib2.
А
Группа I/P имеет естественную структуру В ® В/1 = В-модуля. Обозначим
А
этот ZJ-модуль через Qb/a-
Геометрическая интерпретация соответствующего пучка над Spec В
следующая. Схема Spec (В ® В) канонически изоморфна Spec В X Spec В,
A Spec A
а гомоморфизм р соответствует диагональному отображению
Д: Spec В —* Spec В X Spec В.
Spec A
Пучок ///2 поэтому является конормальным пучком к диагонали при этом
вложении. Поэтому его естественно рассматривать как кокасательный пучок
к Spec В вдоль слоев морфизма Spec В —-г-Spec A
Определим отображение
d = dB/A : В—*-Qb/a
формулой
d (b) = (b ® 1 — 1 <g> A) mod Л.

76
17.2. Лемма. 1) Отображение d является дифференцированием,
т. е. удовлетворяет тождествам.
d(f(a))=Q, а?А,
где f: A—>B—структурный гомоморфизм.
2) Пусть (bt)—некоторая система образующих А-алгебры В. Тогда
(dbt) составляют систему образующих В-модуля Qb/a-
Доказательство. Первое утверждение проверяется без труда; огра-
ограничимся тождеством для d (b^y.
ьа® 1 — 1 ®ьф2 = ь{® 1(б2® 1 — 1 ® ь2) +1 ® ъ2 (bi ® 1 — 1 ® bi).
(Учесть, что умножение в Qg/A на Ъ индуцировано умножением на b ® 1
или на i ® b в В ® В.)
Для доказательства второго утверждения заметим сначала, что
A
= S bi ® ь\ - 2 ъгь\ ® i = о = 2 h ® l (i ® ъ\ -ь; ® i).
Отсюда следует, что Q^/a как 5-модуль порожден элементами вида db при
всех b ? В. Так как d —• дифференцирование, обращающееся в нуль на
образе А. то отсюда легко получается требуемое.
17.3. Пример. Пусть В = А [Г,, . . ., ТТ\. Тогда Q\/a— свободный
,3-модуль, свободно порожденный элементами dTi.
17.4. Предложение. Для любого дифференцирования d': В -*¦ М.
лэглца В в В-модуль М, обращающегося в нуль на образе А, существует един-
единственный гомоморфизм В-модулей /: Qjs/a -*¦ М, для которого d' = /°^в/а-
Доказательство. Единственность / немедленно следует из
того, что а'Ь = / {db) для всех Ъ ? В, так что / однозначно определен на
системе образующих Qb/a-
Для доказательства существования определим сначала гомоморфизм
групп
q>: В ® В-
¦ м.
со F ® Ъ')= —bd'b'.
положив
А
Гомоморфизм обращается в нуль на Р. Действительно, прежде всего,
гомоморфизм т является гомоморфизмом 5-модулей, если действие В на
В ® В определить через Ь—>b ® 1. Далее, как было показано выше, эле-
А
менты 6 ® 1 — 1 ® & порождает U-модуль 1. Поэтому попарные произведе-
произведения (Ь1 ® 1 — 1 ® 6j) (?>2 ® 1 — I ® о2) порождают 5-модуль Р. Следова-
Следовательно достаточно проверить, что q> обращается з нуль на них. Дейст-
Действительно,
1 — 1
(&а ® 1 — 1
d'bi—d' (Ьфг) =0.
77
Поэтому ф индуцирует некоторое отображение /: IIP —> М. Имеем
f(db)=y(b® 1 — 1 <g>6)=d'fc,
что завершает доказательство.
17.5. Следствие. Пусть SczB—мультипликативное множество.
Тогда отображение
f: QlBs/A -* (ffB/A)e: / (d {Ьу1Ьг)) = (b2 db, - 6, «MtyfiJ
определено и является изоморфизмом Bs-модулей.
Доказательство. Сквозное отображение
является дифференцированием. Поэтому оно проводится через некоторый
гомоморфизм JS-модулей
который в свою очередь индуцирует гомоморфизм 58-модулеи
Элементарная проверка показывает, что этот гомоморфизм и отображение /,
построенное в формулировке следствия, взаимно обратны.
17.6. Теорема. Пусть /: X -*¦ Y — морфием схем. Тогда на X
существует однозначно определенный пучок О^зг/г. обладающий следующим
свойством: для любых двух открытых аффинных подсхем Spec В = U cz Z,
Spec Л = У a Y таких, что / (U) cz V
Доказательство состоит нз формальных проверок совместимости с лока-
локализациями, основанных на предыдущем результате, и мы его опускаем.
17.7. Рассмотрим теперь следующую ситуацию. Пусть г: Y -*¦ X —
замкнутое вложение схем. В дифференциально геометрической модели при
соблюдении некоторых условий регулярности ограничение на Y касатель-
касательного пучка к X содержит касательный пучок it У, а фактором является
нормальный пучок к Y. Мы хотим выяснить, в какой мере это переносится
на случай схем.
Начнем с рассмотрения локальной ситуации.
Пусть В — некоторая 4-алгебра, / — JS-идеал. Тогда В/1 также является
А -алгеброй, н мы имеем относительные (над Spec А) кокасательвые пучки
к Spec В и Spec B/I, представленные модулями Q^/л я Щв/1)/а- С другой
стороны, ненормальный пучок вложения Spec BII ->- Spec В представлен
^//-модулем IIP. Двойственное к классическому утверждение выглядит так:
17.8. Предложение. Существует точная последовательность
В/1-модулей
IIP Л ВЦ ® Qi,M Д Щвт/л -*¦ 0;т
гомоморфизмы 6 и и совместимы с локализацией по В.

78
Доказательство. Определение гомоморфизма
6. Пусть е ? ИР представлен элементом е ? I; положим
Ье- 1 ® dB/Ae.
Результат не зависит от выбора е, потому что если е = 0, т. е. е ? ^а. то-
de ? Id bia.1, так| что 1 ® d В/Ае = 0. То, что б является гомоморфизмом
групп, очевидно; совместимость с действием В/Г следует из того, что для
любого элемента Ъ = Ь mod / имеем
1 = 1 ® (edb + bde) =Ъ ® de = bb(ё).
в ' в в
Определение гомоморфизма и. Отображение d': B-
для которого
d'b= diB/I)/A(b-mod I)
очевидно, является дифференцированием над А. Поэтому (п. 17.4) его можно
пропустить через некоторый однозначно определенный гомоморфизм 5-мо_
дулей Qfe/л -*- Q(b/a)/a- Так как второй модуль аннулируется умножением
на /, этот гомоморфизм определяет гомоморфизм 5//-модулей:
который по определению и есть и. Легко видеть, что
и A ® dB/Ab) = d(B/r)/A (b mod /),
в
и, следовательно, и является эпиморфизмом.
Проверка тог о, что м°б = 0:
и о б (е) = и A ® de) = d (e mod I) = 0.
Точность в среднем члене. Построим гомоморфизм
такс", что и я v будут взаимно обратны. С этой целью положим для
b = b mod /
v (db) = 1 ® d6 mod Im S.
Независимость от выбора b следует из того, что 1 ® de ? Im о при е ? /.
Так как
и о у (<й>) = db,
v о м A® db mod Im б) = 1 ® db mod Im б,
а и является гомоморфизмом модулей, отсюда следует требуемое.
Глобализация нашего результата дает
17.9. Предложение. Пусть i: Y -*¦ X — замкнутое вложение
5-схем, где S — некоторая базисная схема (Spec А в предыдущем предложе-
предложении). Пусть J — пучок идеалов на X, определяющий Y. Тогда существует
точная последовательность
i* (J/J2) Л. i* (Q)c,g)
0.
79-
17.10. Определение. Вложение i: Y -*¦ X называется правиль-
правильным (над S), если выполнены следующие два условия:
а) i — регулярное вложение,
б) Кег 6 = 0.
17.11. Пример регулярного, но неправильного вложения.
Пусть X = Spec Z, Y = Spec Z/pZ, где р — простое число; S = Spec Z.
Тогда Qjt/s = 0 и Q^/s = 0; между тем V* (J/J2) представлен одномерным
линейным пространством на Z/pZ.
В этом примере проявляется «невозможность дифференцировать в ариф-
арифметическом направлении».
В заключение мы вычислим- пучок Q1 на проективизированном расслое-
расслоении. Пусть X — некоторая неприводимая схема, § — локально свободный:
пучок конечного ранга на X.
17.12. Предложение. Пусть /: Р (g) ->- X — стандартная
проекция. Тогда существует точная последовательность , ;
в которой гомоморфизм /* (Ш) (—1) ->- Ov (%) получается скручиванием из-
гомоморфизма, определенного 4 предложении 4.9.
Замечание. Этот результат проясняет роль пучка 3? на У в теории,
моноидального преобразования (а. 13.6):
^ = ЙЬу(-1)-
Доказательство. Построим интересующую нас точную после-
последовательность локально по базе: совместимость со склеиваниями проверяется
без труда.
Пусть X = БтресА, % = Е, где Е—свободный -4-модуль, свободно поро-
порожденный элементами То, .. .,ТТ?Е. Пусть
/• (Г,) € Г (Р (»,/•(«))
их прообразы над P(g). Полагая
имеем
)= U .
1=0
г), кото-
котоU, = 1>+ (ГО = Spec A [ti0, tiu ..., tir].
Пучок f*(S)\ui порождается сечениями f*(Tj)\u. (/ = 0,
рые склеиваются очевидным образом.
Пучок Ovi%)(—i)\ut изоморфен Ор{%) \и.. Пусть st ?Ор{%) (— 1) \v.—
прообраз единичного сечения структурного пучка. Известно, что локальные-
изоморфизмы можно выбрать таким образом, что
Положим теперь
Тц = /*
st?T(Uit f*(Ш) (-1)).,
/=0 г.

Пучок /*(!)( — 1) \ut порожден этими еечениями; склёитаются они
за ~Ui[\Uh с помеЩью отождествления
Тц \utnuk = UbTkj \uknut (/ = 0, ..., г)-.
Стандартный гомоморфизм /* (g) ( — 1)—»О в) на U, переводит сечение' Ttj
з itj. Отсюда следует, что его ядро-лсад Ut свободно порождено сечениями
¦"! цгуГой стороны, ограничение пучка Йр^/я на Ut свободно порождено
1;эчеьиями dttj, ]Ф1. Определим локальный изоморфизм
заложив <Pi(dtij)=Ttj—tijTtt. Покажем, что на Uif)Uk гомоморфизмы
а фй согласованы. Действительно,
fi (dttj) \uinuk =
¦С другой стороны,
— tijTu \utr\uk = iiftAj
k.jdtht\
сравним коэффициенты при Т в правых частях двух последних формул.
При Thj они совпадают, потому что ^,- = ^Й- При Ты — потому что
Наконец, при Tku- коэффициенты справа и слева равны нулю. Предло-
жшш& доказано.
18. Теорема Ржмана—Рояа для вложений
13.1. Пусть U Y -*¦ X — регулярное вложение коразмерности г. В этой
ле::щиа будет доказано, что s, коммутирует с ей с точностью до поправоч-
логз аношителя по аналогии с результатом теоремы 16.6. Этот поправочный
¦цгзожазадь определяется следующими свойствами.
18.2. Определение-лемма. Можно однозначно определить
3*ш. зегх схел X отображения
Td: K(X)->GKq(X)
.тгда, чтобы выполнялись следующие условия:
A8:2.1) Td@=B(-l)'-^) \ х = с,@ для классов обратимых
лучков I,
A8.Л2) Tdo/* = f<.Td для всех морфизмов /: X-*Y,
/18.2:3) Td (x, + х2) = Td (itj) Td (ж2).
Доказательство стандартное (ср. п. 16.2), и мы оставляем
его читателю.
81
18.3. Напомним теперь, что отображение ch: Kq (X) -*¦ GKq (X) уста-
устанавливает изоморфизм этих колец, с помощью которого различные струк-°
туры можно перенести из одного кольца в другое.
В частности, можно определить операции i|>p: GKq (X) -*¦ GKq (X),
полагая if" (etix) = e/nj)p (x). Из определения и ранее доказанных результа-
результатов немедленно следует, чтеф" действует на ОгК{± (X), как умножение на р1.
Мы можем указать теперь связь операции Td («класс Тодда») с опера-
операцией 8Р.
18.4. Лемма. сА9р (iV) = pr-TdiV(TdjV))-1, где N — класс пучка, двой-
двойственного к JT; r = e(N).
Доказательство. Обе части равенства мультипликативны и пере-
перестановочны с /*. Поэтому достаточно проверить, что они совпадают на клас-
классах обратимых пучков I. Действительно, при р>1
) = ch(l + l+...+ Р) = 1 + ех + е2Х + ..
где x~ci(l). С другой стороны, Td Г1 получается подстановкой —х в сте-
степенной ряд -.—zx, так что правая часть интересующей нас формулы
получается подстановкой х в ряд
1 — е — РЛ
что доказывает требуемое. _^
18.5. Теорема Риман а—Р оха для вложения. Пусть
i: Y -*¦ X — правильное вложение коразмерности г, N ? К (Y) — класс конор-
мального пучка. Тогда для любого элемента у ? К (У) имеем
18.6. Замечание. Предположим, что для некоторой базисной схемы S
вложение i является правильным над S (см. п. 17.10). Положим
Из предложения 17.9 следует тогда, что N=i*(ux—fur, откуда
Td (- N) = Td coy (i* Td ax)-\
По формуле проекции
j» (chy ¦ Td йг (i* Tdfflx)) = i,(chy ¦ Td mr) (Td йх)~\
откуда, пользуясь теоремой 18.4, получаем следующий ее вариант для
правильных вложений:
ch (i, (у)) Td шх = i, (chy ¦ Td co"r)-
18.7. Доказательство. Положим T = ch'1 (Td (— N)) и у = Тх.
Тогда формула, которую мы хотим доказать, приобретает вид
(* A,(*Г~1)) =
Прежде всего заметим, что Т = 1 mod F'XK (X). Далее, если ch х — chmx +
¦j-chm+lx + .. ., где chix(_GiK(X), имеем
chrnx = (х— е (х)) mod /""+1Д (X).

82
Это немедленно следует из определения ch для классов обратимых пучков
и из принципа расщепления в общем случае. Поэтому, если x^LFmK(X)r.
имеем по меньшей мере сравнение
ch {i, (XT'1)) = i, (chx) mod ( © GlK(X)).
i=m+l
Для того чтобы доказать точное равенство, достаточно ограничиться слу-
случаем, когда элемент chx однороден, chx?GmK (X). Тогда it(chx) также
однороден степени m + r и точное равенство будет установлено, если мы
докажем, что и элемент ch (i, (хТ'1)) однороден степени тга + г.
Иначе говоря, нужно доказать следующую импликацию:
V (chy) = pmchy =ф Г (ch (i. (j/Г-1))) = pm^ch (i.
или равносильную импликацию
Г У = РШУ =Ф ^ («. (г/7)) = pm+r (
Имеем по теореме 16.6
V V. (У?-1)) =«. (tP (itf1) 9' (Л)) = pmi, (^р (
Поэтому все будет доказано, если мы установим, что
а это немедленно следует из леммы 18.4, если применить к обеим частям
равенства гомоморфизм ch и учесть, что
chT = Td(—N).
19. Теорема Римана—Рояа для проекции
19.1. Мы продолжаем осуществлять программу, набросок которой былг
приведен в конце раздела 16.
Пусть g — локально свободный пучок ранга г -(- 1 над связной
схемой X, g: Р [Щ) -*• X — стандартная проекция. Докажем теорему-
Римана — Роха для морфизма g. Нуждается в вычислении гомоморфизм!
Gg,: GKq (P (g)) -v GKq (X); так как (следствие 8.10)
мы определим GgM как гомоморфизм, присоединенный к gt и понижающий1
степени на г.
Теперь мы можем сформулировать результат, аналогичный теореме 18.5.
19.2. Теорема Римана —Роха для проекции. Для;,
любого элемента у ? К (Р ($¦)) имеем
chgt (у) = Ggt (chy •
где
Доказательство. Прежде всего, левая и правая части фор-
формулы 19.2 аддитивны по у. Далее, из формулы проекции немедленно сле-
следует, что если теорема верна для у, то она верна для любого элемента вида
g* (х)-у, где х ? К (X). Поэтому ее достаточно проверить для какой-нибудь.
83
системы образующих К(Х)-модуля К(Р (%)), например для элементов
1\ -г < * < 0, где I = d (От) A)).
Вычислим отдельно левую и правую части основной формулы для этой
системы образующих.
Вычисление левой части. Имеем по определению
я. (ih) = |о (-
|о
) (k)).
Согласно теореме Серра при к < 0 все члены этой суммы нулевые, а при
А; = 0 отличен от нуля лишь член cl(gt (Op(^})) = 1. Следовательно,
0 при —г<А--<—1,
:
Вычисление правой части. а) Вычисление кольца
GK (Р (%)). Рассмотрим формальное разложение многочлена Чжена пучка g
(см. п. 11.3):
г+1 >'-М
ct(*) = S Ci (*)»*= 0 (i+<4t).
i=0 »=1
Положим еще x = cl(l) = l—lmouF2K<i(P('e))?G1K(i(F(g)). Так как эле-
элемент I удовлетворяет тождеству (п. 8.9)
г+1
2 ( — l)V(e—г —1)A — 1)г+1-;=0,
г=0
где е = с1(Ш), то элемент х в кольце GK (P (if)) удовлетворяет тождеству
2 (-iIc,(«)*r+1-'=o,
i=0
т. е.
г+1
Д(х-а,)=0.
В силу теоремы 8.8 находим отсюда, что кольцо Gif(P(g)) изоморфно
фактор-кольцу
г+1'
GK{X)\T\I{\\
г+1
где Тmod IT (T — at) отождествляется с х.
б) Вычисление Tdcop(^)/X. По предложению 17.12
Поэтому в силу формулы из доказательства предложения 11.4
г+1
откуда
TdcL
г+1
И
1-е

84
в) Вычисление Gg№. В силу аддитивности и линейности относи-
относительно умножения на элементы из g*(GK(X)) достаточно вычислить Gg
на элементах зг, 0<А<г.
Результат следующий:
0 при 0<А<г,
1 при к = г.
Действительно, g, снижает степень на г, а х* принадлежит в точности
GZ(P(g)) в силу теоремы 8.8. Поэтому при к < г утверждение очевидно.
При 4 = г в силу определения g, имеем
Так как
i=0
1=0
сумма 2 (— 1)* (i) (ij Равна коэффициенту при f в разложении j—— ,
i=0
т. е. 1.
Собирая вместе результаты вычислений, получаем
Справа стоит коэффициент при жг разложения величины е** {| но степеням х.
Поэтому, для того чтобы проверить формулу Римана — Роха для мор-
физма g, достаточно установить следующую чисто формальную лемму.
r+i
19.3. Лемма. Рассмотрим кольцо Q[[Аи ..., Ar+l\] [T]/( [J (Т— At)), где
~1^
(Ai), T—независимые переменные. Класс формального ряда ект JJ
в этом кольце представлен некоторым однозначно определенным многочленом
от Т степени г с коэффициентами в Q[[.4i, ..., .Aj+i]].
Тогда старший коэффициент этого многочлена равен 0 при —г ^ к < О
и 1 при А: = 0.
К сожалению, я не знаю прямого доказательства этой леммы в общем
случае.
В семинаре Гротендика она доказана следующим окольным путем: сна-
сначала устанавливается утверждение, более слабое, чем лемма 19.3. Из него
непосредственно следует теорема Римана — Роха для проекций g: P (g) -*• X,
где % — свободный пучок. Комбинируя затем уже.доказанные формулы Рима-
Римана — Роха для вложения и проекции, устанавливается полная ее форма для
алгебраических схем над полем, откуда затем легко получится лемма 19.3
в полной общности.
Мы ограничимся проверкой частного случая.
85
Ослабление леммы 19.3, которое легко доказать непосредственно, ф<?р-
мулируется так:
19.4. Лемма. Утверждение леммы 19.3 верно по модулю идеала
{Аь . . ., AT+i).
(Иначе говоря, вместо коэффициента при хг мы рассматриваем лишь
его свободный член.)
Доказательство. Мы можем положить А^ = Аг = .. . = AT+i = 0
в формулировке леммы. Тогда придется рассматривать формальный ряд
( г
и ег0 представителя в кольце
). Иначе говоря,
нужно доказать, что коэффициент при V у этого ряда равен 0 при —?•<
< к < 0 и 1 при к = 0.
ekTdT
Этот коэффициент равен вычету при Г = 0 дифференциала з= .
A-е J)r+1
Подстановка и = 1—е~Т превращает этот дифференциал в -—1-~1 , для
которого результат очевиден.
19.5. Следствие. Теорема 19.2 верна, если ct (Щ = 1 (в частности,
если % — свободный пучок Ох1)-
Теперь сформулируем теорему Римана — Роха для композиция регу-
регулярного вложения и проекции: это и будет ее самый общий вид.
19.8. Теорема Римана — Роха. Пусть /: Y -*• X — мор-
% Я.
физм, который представляется в виде Y—s- P (j?)—^ X, где i — регулярное
вложение, а, % — локально свободный пучок. Если формула Римана — Роха
верна для g, то для всех- у ? К (Y) имеем
ehf, (у) = Gf, (chy-Ti (F (ap(i)iX) -N)),
где N—класс яонормалъного пучка ж Y в Р(е).
Доказательство. Подставив в формулу
элемент z — iv{y). Тогда получим
сА/. (У) = Gg* (chi, (у) ¦ Td ip(8)/i) = Gg, (Gi, (chy ¦ Td (-N)) ¦ Td up
= G (g,i.) (chy ¦ Td (-N) ¦ Td i^n%)!X) = Gf4 (chy ¦ Td (i*
N)),
что и требовалось доказать.
Частный с л у ч а й. Пусть X. Y — проективные алгебраические
многообразия над полем А, /: Y -> X — проективный морфизм. Тогда его
всегда можно представить в виде произведения Y -*¦ Р (§) -¦¦ X, где '§ —
свободный пучок над X, например подходит разложение
Рп
I * 1 /; *¦ А ,
где i: У—> Рг—какое-нибудь замкнутое вложение У, а р2 — проекция.
19.7. В формулировке теоремы 19.6 правая часть априори зависит
от разложения / в произведение вложения i и проекции g. Эта зависимость
проявляется в двух местах: в определении элемента i* (а>р(^)/^)—N и в

86
определении гомоморфизма G/,, точнее, сдвига градуировки, которым мы долж-
должны пользоваться для вычисления ?/„. В действительности ни то, ни другое
от выбора разложения не зависит. (Достаточно проверить независимость
г* (ci>p(?)/2) — N, потому что градуировка сдвигается в точности на ранг
этого элемента.) Мы не станем этого проверять, ибо для всех практических
надобностей формулировка 19.6 достаточна.
ЛИТЕРАТУРА
II1 A. Grothendieck, en collaboration avec J. Dieudonne, Elements de Geometrie
Algebrique, Publications Mathematiques de IHES, гл. I, № 4 A960); гл. II, № 8
A961), гл. Ill, 1-я часть, № 11 A961); гл. Ill, 2-ячасть, J\fi 17 A963), гл. IV, 1-я часть,
№ 20 A964) и т. д.
[2] Ю. И. М а н и н, Лекции по алгебраической геометрии, изд. МГУ, 1968.
[3] Д. Мамфорд, Лекции о кривых на алгебраической поверхности, М., «Мир»,
1968.
[4] Дж. Дьедонне, Алгебраическая геометрия, Сб. перев. «Математика» 9: 1
A965), 54—126.
15] Ж. П. С е р р, Локальная алгебра и теория кратностей, Сб. перев. «Математика»
7 : 5 A963), 3—94.
[6] F, H i r z е Ь г и с h, Topological methods in algebraic geometry, Berlin, Springer,
1966.
[7] А. Бореи, Ж. П. С e p p, Теорема Римана — Poxa, Сб. перев. «Матема-
«Математика», 5 : 5 A961), 17—54.
[8] A. Grothendieck, Classes de faisceaux et theoreme de Riemann—Roch (pre-
(preprint), 1957.
[9] Theorie globale des intersections et theoreme de Riemann—Roch, Seminaire dirige
par P. Berthelot, A. Grothendieck, L. Jllusie (SGA 6 A966—1967), IHES).
[10] M. А т ь я, Лекции по Х-теории, М., «Мир», 1967.
[11] Р. Б о т т, Х-теория, Сб. перев. «Математика», 11 : 2A967), 32—56; 11 : 3 A967),
3-36.
[12] Н. Bass, Algebraic tf-theory, Benjamin, 1968.
[13] A. N о Ь i 1 e, 0. E. V i 11 a m а у о r, Sur la X-theorie algebrique, Ann. Sci.
Ecole Norm. Sup., 4 серия, 1 A968), 581—616.
[14] J. T a t e (redigee par J. R. Joly), Sur la premiere demonstration par Gauss de la
loi de reciprocite, Universite de Grenoble, Colloque de Mathematiques pures, 1968.
ПОДП. К ПЕЧАТИ 8/1-71 Г. Л-115002. ф. 60x90/18
БУМ. ОФС. № 2. ФИЗ.П.Л. 5,5. УЧ.-ЙЗД. Л. 8,0.
ЗАКАЗ 2037. ТИРАЖ 2500. ЦЕНА 18 КОП.
ОТПЕЧАТАНО НА РОТАПРИНТАХ В ТИП. ИЗД. МГУ
МОСКВА, ЛЕНГОРЫ.