Автор: Павлов В.С. Ковтун В.В. Дорофеєв О.А.
Теги: машинобудування опір матеріалів матеріалознавство
ISBN: 966-95063-73-1
Год: 2002
Текст
'. В. Ковтун, В. С. Павлов, О. А. Лорофєєв
РОЗРАХУНКОВІ РОБОТИ
Вилавниитво «АФІША»
;
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАУКОВО-МЕТОДИЧНИЙ ЦЕНТР ВИЩОЇ ОСВІТИ
ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ПОДІЛЛЯ
,'rj
В. В. КОВТУН, В. С. ПАВЛОВ, О. А. ДОРОФЄЄВ
Г
Рекомендовано
Міністерством освіти і науки України
як навчальний посібник
для студентів вищих навчальних закладів
(лист заступника міністра від 01. 02. 2001 р. № 14/18.2—73)
;<х\ ';,•
.:•
•
.•"-
..•:•>
„'[.•
• ОПІР МАТЕРІАЛІВ.
РОЗРАХУНКОВІ РОБОТИ
Навчальний посібник
Технологічний університет Поділля
Бібліотека
362840
ЛЬВІВ
"
'
'
•
'
*
'
'
Афіша
2002
ББК 30.121
К 56
УДК 620.17
!
:
:
ПЕРЕДМОВА
•
;
и
ч
••>•*•
Рецензенти:
Огородніков В. А- — доктор технічних наук, професор, завідувач кафедри
опору матеріалів та прикладної механіки Вінницького державного технічного
університету.
Гришин В. А. — доктор технічних наук, завідувач кафедри опору
матеріалів та будівельної механіки Одеського державного морського
університету.
.
••'і
ISBN 966-95063-73-1
•
,- •• ' . / • :
.• •
© В. В. Ковтун, В. С. Павлов, О. А. Дорофеев, 2002
© ПТВФ «Афіша», 2002
••••' Поява в Україні вищих навчальних закладів різного рівня, розширення мережі спеціальностей, а також перехід до багатоступеневої
підготовки фахівців ставлять нові вимоги до методичного забезпечення
курсу «Опір матеріалів», що входить до навчальних планів усіх технічних
і ТеХНОЛОГІЧНИХ СПеЦІаЛЬНОСТеЙ.
. ..
•...•"
•
;
-
.
• . W i ; v 4 . ' •' •*<••
••"•
Багаторічний досвід викладання дисципліни «Опір матеріалів» показує, що найважче у студентів, особливо заочної форми навчання, формуються навички виконання розрахунків конструкцій. Разом з тим, придбання цих навичок вважається основною метою курсу. Вказана мета
досягається шляхом творчого поєднання практичних аудиторних занять
з самостійною роботою студентів. На допомогу в проведенні цих занять
і зорієнтовано в першу чергу даний посібник.
Посібник можна використати' при підготовці бакалаврів і фахівців
різних спеціальностей, оскільки кожний розділ містить всі дані для
розв'язання задач з обраної теми без посилання на інші розділи.
Структура посібника дозволяє легко змінювати об'єм та складність
задач і завдань, що розглядаються на практичних заняттях чи виносяться
на самостійну роботу.
Кожний розділ відповідає конкретній темі і містить: короткі теоретичні
відомості, необхідні для розв'язку задач; питання для перевірки засвоєння
основних теоретичних положень, понять і формул; приклади розв'язання
типових задач; задачі для самостійної роботи; завдання для можливих
розрахунково-проектувальних робіт (РПР) і приклади їх виконання. РПР
можуть входити до складу контрольних робіт студентів-заочників.
Нумерація рисунків, а також прикладів і задач у межах теми
наскрізна. При цьому перше число вказує номер теми, а друге — номер
рисунка чи задачі.
•ft/
•/•%»
v:-.
'І]М-
ПЕРЕДМОВА
Приклади розв'язання задач, задачі для самостійної роботи, склад РПР
частково розроблені авторами, а частково запозичені з методичної
і навчальної літератури, вказаної в кінці книги.
В додатку подано довідникові матеріали, що можуть бути використані
для підготовки та проведення практичних занять, у позааудиторній
самостійній роботі студентів, виконанні РПР, а також у практичній
інженерній діяльності.
Навчальний посібник написаний викладачами Технологічного
університету Поділля (м. Хмельницький): передмова, розділи І—IV, VI, VII
посібника написані авторами спільно; розділи V, VIII — В. В. Ковтуном;
розділи IX, X — В. С. Павловим. Суттєву роботу по підготовці і оформленню рукопису виконала технік-лаборант Т. І. Козловська, за що автори їй
щиро вдячні.
Автори висловлюють щиру подяку рецензентам — професорам
В. А. Огороднікову та В. А. Гришину за цінні поради та зауваження, що
були висловлені в процесі роботи над навчальним посібником, а також
редакторам О. В. Мельникову та Д. В. Василишин за допомогу, що була
надана при підготовці посібника до друку.
Автори будуть вдячні за зауваження та побажання, спрямовані на
покращення посібника, які можна надсилати за адресою: 79005, м. Львів,
вул. Костя Левицького, 4. ПТВФ «Афіша». ,t .> ^ ... , <
.:•••
. ..;=;.:.••. •• ,..е...;.,
'-",
. з
У 3 ! * - > ф
5 - А
•
і
' ! ' • • • & .
. '
'•'•.
;•>>=
: і -
•«*•?£?-<.•;;';.
•>••.•;
. o f ч ч '
' . ^ ' Я ^ - Л ' - Щ
>!?.:,1і'$!*з£«>
г
і..'-'--
J . 1 і-
'"..
' •'
• : , „ • • , '
і і - : - л ' і - І І , - .
•••:.
< ч < ; ' ; - 5 ? ' у О ••»•••' ;•;:• v
'''•
• • • ! -
.
• ,•
.-••^•'.
'
• • • • • : : •
•'•",
• ••'•
••-,•
• ; > ,•
.-.
.••
..•
••• •'.,
••>•
•
•
,
.
;
•
• -•'
.
'•••
_•,,.-.
.,:••
: і
.
,
.'•';
'•••*.
-- :
•.
•• • • • ' • ' . - - - • • „ . > • - • '
'
і
••}*;.• «г?
•О... Р о з д і л
РОЗТЯГ
1 -. .,.•;, • ^ / W - ^ s ^ •:•-•;'
і стиск
; «• !
РОЗТЯГ І СТИСК — одна з простих і найбільш поширених деформацій
бруса. Вона може виникати в елементах майже усіх машинобудівних
і будівельних конструкцій. На розтяг, наприклад, працюють троси, болти,
лопатки осьових турбін та компресорів; на стиск — колони споруд тощо.
На практиці зустрічаються також випадки складних навантажень, коли
розтяг (стиск) можна виділити як складову частину серед інших видів
деформацій. У самому загальному випадку навантажень всередині тіла
завжди можна виділити елементарний об'єм, що зазнає деформацій розтягу
або стиску в трьох взаємно перпендикулярних напрямках.
•..VrjU ;.;••.
1.1. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ. „-
.>
f
Розтяг або стиск бруса здійснюється зрівноваженими зовнішніми
силами, що діють уздовж його осі: Під дією цих сил у поперечних перерізах
бруса (стержня) виникає лише одне внутрішнє зусилля — поздовжня
(нормальна) сила N. її величина дорівнює алгебраїчній сумі всіх зовнішніх
осьових сил, що діють на стержень по одну сторону перерізу. Сили, направлені від перерізу, записують зі знаком «плюс», до перерізу — зі знаком
«мінус». Додатна сила N відповідає розтягу, від'ємна — стиску.
'„..
1.1.1. ПОБУДОВА ЕПЮР ВНУТРІШНІХ ЗУСИЛЬ
;і
•
•
>
>
.
.
'
•
'
.
.
Епюра — це графік зміни зусилля уздовж осі бруса. .
.' "і"~£-**
План побудови епюри.
L
1. Визначають всі зовнішні сили, в тому числі опорні реакції.
2. Визначають дільниці навантаження і їх границі. Дільниця навантаження — частина елемента, уздовж якої внутрішнє зусилля змінюється за
!
РОЗТЯГ І СТИСК
Розділ І
одним і тим же законом. Границі дільниць — торцеві перерізи; перерізи, де
прикладені зосереджені сили чи моменти, починається або закінчується розподілене навантаження. Переріз на границі дільниці називають характерним.
3. Записують для кожної дільниці вираз внутрішнього зусилля як функцію
абсциси перерізу і визначають величину зусилля на границях дільниці.
4. Будують епюру: паралельно осі бруса проводять базову (нейтральну,
нульову) лінію і в певному масштабі, перпендикулярно до базової лінії,
відкладають отримані числові значення зусилля. Як правило, додатні величини відкладають вгору або вправо, а від'ємні — вниз або вліво. На
полі епюри проставляють відповідний знак, <•+» чи «-». Епюру штрихують
тонкими лініями, перпендикулярними до базової. Кожна ордината епюри
в певному масштабі відображає величину внутрішнього зусилля.
1.1.2. ОСОБЛИВОСТІ ЕПЮРИ ПОЗДОВЖНІХ СИЛ
-"'Епюра JV на окремих дільницях навантаження обмежена прямими
лініями.
У місці прикладання зосередженої осьової сили на епюрі є стрибок
(розрив) на величину цієї сили.
Величина поздовжньої сили на дільниці постійна (N = const), за винятком
випадків врахування власної ваги вертикальних елементів конструкцій
(див. 1.1.6). При врахуванні власної ваги границями дільниць додатково
є перерізи, де змінюється площа перерізу або питома вага матеріалу.
1.1.3. ОБЧИСЛЕННЯ НОРМАЛЬНИХ НАПРУЖЕНЬ
У ПОПЕРЕЧНИХ ПЕРЕРІЗАХ БРУСА
Нормальні напруження в усіх точках
поперечного перерізу бруса однакові і визначаються за формулою:
Знак о відповідає знаку N (при розтягу — «+», при стиску — «-»).
Розмірність напруження — Па (паскаль), \Па = Н/м'\ МПа (мега2
2
паскаль), \МПа = МН/м \ кііа (кілопаскаль), \кПа = кИ/м ; Ікгс/см?,
ШПа=1ФкЛа=№Ла=\Н/мм1=
10і кН/ см'2= 10 кгс/см*.
1.1.4. ПОБУДОВА ЕПЮРИ НОРМАЛЬНИХ НАПРУЖЕНЬ (ЕПЮРИ о)
Епюра о — це графік зміни нормальних напружень о у поперечних
перерізах бруса уздовж його осі. Епюру а найчастіше використовують для"
визначення небезпечних перерізів, у яких виникає найбільше напруження.
План побудови епюри.
1. Визначають границі дільниць напружень. Дільниця напружень —
частина бруса, уподовж якої поздовжня сила N і площа А поперечного
перерізу постійні або змінюються за одними і тими ж законами. Границями
дільниць є торцеві перерізи і перерізи, де змінюється хоча б один з виразів
для N або А.
2. Записують для кожної дільниці вираз о як функцію абсциси перерізу і обчислюють значення напруження на границях дільниці.
3. Будують епюру. Стрибки на епюрі о виникають у точках прикладення зосереджених сил, а також у місцях, де ступінчасто змінюється площа поперечного перерізу.
1.1.5. СПІВВІДНОШЕННЯ ДЛЯ ОБЧИСЛЕННЯ ДЕФОРМАЦІЙ БРУСА
І ПЕРЕМІЩЕНЬ ЙОГО ПЕРЕРІЗІВ
Абсолютну деформацію дільниці — видовження при розтягу
(рис. 1.2, а) і скорочення при стиску (рис. 1.2, б) — в межах пружності
обчислюють за законом Гука:
М = И±,
ЕА
(12)
и г }
де І — довжина дільниці до деформації (рис. 1.2, а. б); Е — модуль пружності (модуль Юнга), одна з пружних характеристик матеріалу.
Рис. 1.1
де N — поздовжня сила в перерізі; А —
площа поперечного перерізу бруса (рис. 1 1)
Добуток ЕА називається жорсткістю перерізі/ при розтягу
(стиску).\
Розділ І
РОЗТЯГ 1 СТИСК
Дільницею деформації є частина бруса, в межах якої величний N, А
і Е постійні або змінюються за одними і тими ж законами. Границями дільниць
є торцеві перерізи і перерізи, де змінюється хоча 6 одна з цих величин.
Якщо брус мае п дільниць, то його абсолютна деформація дорівнює
алгебраїчній сумі деформацій всіх дільниць:
1.1.6. ВРАХУВАННЯ ВЛАСНОЇ ВАГИ БРУСА
У випадку вертикального розташування бруса (рис. 1.3, а)
поздовжню силу, нормальне напруження в перерізі г і переміщення цього
перерізу, спричинені власною вагою, обчислюють за формулами:
(1.6)
N,=y-A-z;
(1-9)
т ; = Y • г,
Переміщення 6 одного перерізу відносно другого дорівнює деформації
частини бруса між цими перерізами.
Відносна поздовжня деформація дільниці:
(1-4)
В межах пружності між напруженням а і відносною деформацією
існує залежність:
1
Відносна поперечна
<т=е-Я.
деформація:
(1.5)
€ =- — ,
0-6)
де у — питома вага матеріалу.
Епюри N, а і 8 показано на рис. 1.3, б, є, г.
В розрахунках на міцність власну вагу металічних стержнів (тросів,
висотних опор і т. п.Ьвраховують при довжині останніх у кілька десятків
метрів, будівельних конструкцій з цегли, каменю тощо — в кілька метрів.
1.1.7. ПОБУДОВА ЕПЮРИ ПЕРЕМІЩЕНЬ ПЕРЕРІЗІВ БРУСА (ЕПЮРИ 5)
а
де Да = а ~ а' — зміна поперечного розміру (рис. 1.2, а, б).
Залежність між відносними поперечного і поздовжньою деформзціями:
(1-7)
Є
(1.10)
Епюра 6 — графік лінійних переміщень поперечних перерізів бруса
уздовж його осі.
= -JA • Є,
Парабола
де ц — коефіцієнт Пуассона. Це пружна характеристика матеріалу.
Для ізотропних матеріалів 0 < ц & 0,5.
А!
Рис. 1.2
10
Рис. і.З
Розділ І
РОЗТЯГ І СТИСК
План побудови епюри.
1. Визначають дільниці деформацій і їх границі.
2. Обчислюють величину абсолютної деформації кожної з дільниць
за формулами (1.2), (1.10).
3. Обчислюють переміщення характерних (граничних) перерізів відносно нерухомого перерізу, шляхом послідовного підсумовування деформацій дільниць, починаючи від нерухомого перерізу.
4. Будують епюру.
Слід пам'ятати, що на епюрі 5 не може бути стрибків (розривів).
Кожна ордината епюри в прийнятому масштабі дорівнює переміщенню відповідного ординаті перерізу відносно нерухомого перерізу.
(1.14)
КГ
д є
°и Р ' амс — границі міцності матеріалу, відповідно, при розтягу і стиску;
foi] — коефіцієнт запасу міцності для крихких матеріалів. Як правило,
К З =2,5...3,0.
2. Нормативний і дійсний коефіцієнти запасу. Коефіцієнти [пт] і [пя]
беруть з норм проектування або призначають, Бонн називаються нормативними. Дійсний коефіцієнт запасу — це відношення граничного напруження для матеріалу до найбільшого робочого, що сприймає елемент,
1.1.8. РОЗРАХУНОК НА МІЦНІСТЬ
(1.15)
Для пластичних матеріалів а
1. Умова міцності:
З
(1.11)
де JV — поздовжня сила на дільниці з найбільшими нормальними
напруженнями; А — площа перерізу бруса на цій дільниці; [а] — допустиме
напруження для матеріалу.
Для пластичного матеріалу допустимі напруження на розтяг і стиск
однаковіі,
х
г
= а , для крихких а
f
т
гр
м
л. іри типи задач, що розвязуються за допомогою умов міцності.
І. Перевірка міцності. Обчислюють а т а і .і порівнюють з [а]:
N
(1.16)
Якщо amai < [ а ] , міцність елемента забезпечена.
II. Визначення вантажопідйомності бруса:
а) обчислюють допустиму величину поздовжньої сили:
[о + ] = [ст_] = [а].
;
M = rpp
(1.12)
де а т — границя текучості матеріалу; [n t ] — нормативний коефіцієнт
запасу міцності для пластичних матеріалів. У більшості випадків
[пт)= 1,4..1,6.
Для крихкого матеріалу [ст+] і [а_] різні. Тому записують умови
міцності для розтягнутої і стиснутої частин стержня окремо:
(1.13)
тпвк
12
= а
гр
с
А
^~
~
(1.17)
б) встановлюють залежність між величинами поздовжньої і зовнішніх сил і з цієї залежності визначають допустиму величину останніх
( [ Л або [q]).
III. Підбір поперечного перерізу. Потрібний розмір площі перерізу:
Л>
N
•
(1.18)
При визначенні розмірів геометрично подібного перерізу виражають
площу А через один з його розмірів. Прокатні профілі підбирають за
таблицями сортаменту.
13
1
Розділ 1
РОЗТЯГ І СТИСК
19. Що є граничним напруженням для пластичного і крихкого матеріалів?
20. Які три типи задач можна розв'язати, використовуючи умови міцності?
1.1.9. РОЗРАХУНКИ НА ЖОРСТКІСТЬ
В розрахунках використовують умову жорсткості:
(1.19)
де Д — дійсна деформація стержня або переміщення в конструкції;
[Д j — допустима їх величина, що призначається з умов нормальної експлуатації конструкції.
1.2. ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ
1.2.1. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
!. Коли виникає деформація розтягу або стиску?
2. Як обчислити величину поздовжньої сили в довільному перерізі
бруса?
3. Які знаки має поздовжня сила при розтягу і стиску?
4. Що таке епюра внутрішнього зусилля?
5. Як будують епюру внутрішнього зусилля?
6. Що є границею дільниці навантаження?
7. Як обчислити величину нормального напруження?
8. Як будують епюру нормальних напружень?
9. Що є границею дільниці напружень?
10. Як обчислюється абсолютна деформація дільниці в межах пружності?
11. Яка існує залежність між нормальним напруженням і відносною
поздовжньою деформацією в межах пружності?
12. Яка залежність між відносними поперечною і поздовжньою
деформаціями?
13. Які значення може мати коефіцієнт Пуассона для ізотропних
матеріалів?
14. Як визначити переміщення довільного перерізу стержня відносно
іншого перерізу?
15. Як будують епюру переміщень перерізів?
16. Що є границею дільниці деформації?
17. Як записують умови міцності і жорсткості?
18. Що таке нормативний і дійсний коефіцієнти запасу міцності?
14
1.2.2. ПРИКЛАДИ РОЗРАХУНКІВ НА РОЗТЯГ І СТИСК
Приклад 1.1. Побудувати епюру поздовжніх сил (епюру N) і перевірити
міцність сталевого стержня, розрахункова схема якого показана на рис. 1.4, а.
F,= 1 кИ; F, = 2 к.Н; Fs= 1 кН: А = 26 м,ч}. Допустиме напруження | о | = 160 МПа.
Розв'язання. І. Ппіїулокя спуіри N Спин 1.1.1).
1. Опорні реакції не визначаємо: стержень закріплений лише в лівому торцевому
перерізі, тому зусилля будемо визначати через відомі справі» сили, JV= ^^пр •
2. Визначаємо кількість дільниць. їх три: Г — ВС, П — CD, 01 — DK.
3. Визначаємо поздовжні сили N для кожної дільниці:
I. 0 <г < 300 мм,
Я, = F, = 1 кН;
II. 0<г< 200мм,
N2 - F} + Ff = 1 + 2 = 3 кН;
III. 0 < г < 2 5 0 л ш .
-
=
~7 = - 4
F
,
Отже, на дільницях І і II брус розтягнутий, а на III — стиснутий.
4. Будуємо епюру N (рис. І А, б).
II. Перевірка міцності бруса.
%
в
Матеріал бруса пластичний. Тому
обчислюємо {тіт]ач за абсолютною
величиною:
Ш
4
"'"
А
26-ІО" 2
2
= 15,38 кН/см = 153,8 МПа.
o m a v -153,8 МПа < \а\ =160 МПа.
Отже, умова міцності с < |а]
виконується, міцність бруса забезпечена.
Приклад 1.2. Визначити допустиму величину сили F, що сприймає
конструкція (рис. 1 5), з умови міцності
Рис. 1.4
15
Розділ І
РОЗТЯГ І СТИСК
П р и к л а д 1.3. Підібрати перерізи сталевих стержнів конструкції, що зображена на рис. 1.7, а. Стержні 1 і 2 — круглого перерізу, а стержень 3 складається
з двох рівнобоких прокатних кутиків: [сг! = 160 МПа.
Розв'язання Всі стержні мають шарнірні з'єднання Зовнішні сили між шарнірами відсутні. Тому стержні працюють на розтяг або стиск,
Підбір необхідної площі поперечного перерізу — це третій тип задачі
{див. 1.1.8, п. З, III).
Для визначення поздовжніх сил Аг використаємо метод перерізів: розріжемо
стержні вертикальною площиною і розглянемо рівновагу правої частини конструкції (рис. 1.7,6).
£
F
С
•
^
^
и
^
1.«
Ім
1 м
Ім
**-
Рж\ 1.6
Рис. 1.5
V
л
у, п і с п к п
,.
F-0.5
У тс = 0 =s- JVL • 0,4 - F • 0,5 = 0 => Л, =0,4__
1
сталевого стержня ЕС. Площа поперечного перерізу стержня А - 2см . допустименапруження матеріалу |ст] = 160 МПа.
Розв'язання. 1. Визначаємо допустиму величину розтягуючої поздовжньої
сили для стержня ЕС:
[ЛГ] = А-[<і] = 2-16 = 3 2 к Я .
2. Встановлюємо залежність між N і F. Для цього розглянемо рівновагу
бруса SO (рис. 1.6) і складемо рівняння статики:
„г„ „
= 250 кіі.
200
F
= 283
cos 45 я ~ 0,707
° - F = 0 =>
=0
200-0,5
=—
0,4„
K!I.
= 0 => -.V, - N.. cos 45" - Л'з = 0 => Л' 3 = -JVL - jV, cos 45" =
200
••cos 45" = - 4 5 0 к//.
cos 45"
= -250 - -
Отже, стержні 1 і 2 розтягнуті, а стержень 3 стиснутий.
Потрібні площі перерізів стержнів:
, ,
[ЛГ]
32
Отже, [F\= ~
= — = 16 кН1
Розмірність: А — см ; [а] —
. . JV,
250
[п]
16
«2
^
з:
о
Л
\
/
.
S\ 2
.
450
Розмірність: N—• кИ\ \с] — кН/см*.
Підбір перерізів полягає у визначенні необхідних діаметрів круглих стержнів
1, 2 і двох рівнобоких кутиків для стержня 3.
•
£•
і
F = 200 /с//
\
\
Г
0,5 л
- *
Р
= 4,47 см.
Стержень 1. А --
1
0 Ам
Приймаємо d, = 45 мм.
і
!
Фактична площа Д = — ^ — = 15,9 см > 15,7 см*.
Рис. 1.7
16
= 17,7сж г ,
кН/ся'.
ЛГ,
/
283
[ст] 16
Стержень 2.
2
Огц|і матеріалів
d, =
= 4,75
см.
17
РОЗТЯГ
Розділ І
Розв'язання. І. Побудова епюри JV (див. 1.1.1).
1. Опорні реакції не визначаємо: стержень закріплений лише у верхньому
Приймаємо d.j - 48 мм.
Фактична площа
А, = -
= 19,6 см*> 17,7 см1.
торцевому перерізі, тому N = 2_, FHnxtl .
4
Стержень 3 Площа перерізу одного кутика:
ді- = . 4 . = 28J = 1 4 О 5 смг.
2
2
За таблицею сортаменту (ГОСТ 8509-72) вибираємо кутик 90x90x8. Його
площа перерізу А = 13,9 см'.
Приймаємо два кутики 90x90x8, Я , = 13,9 2 = 27,8 см!.
Фактична площа дещо менша за необхідну
Нормальне- напруження в стержні 3:
= Ш = І ^ . = І6 19
Д
І С.ГНСК
27,8
Перенапруження складає — ^
2
= 161,9
2. Брус має дві дільниці: ВК і KM.
3. Знаходимо N для кожної дільниці:
а) 0 < г < l,9.w; NBK =FV= ЗОк// ;
б) 0 < г < 0,5 м; NK,t, = /• + F2 = ЗО + 50 = ШИ
.
4. Будуємо епюру Л'(рис. 1.8, б).
II. Побудова епюри а (див. 1,1.3).
1. Брус має три дільниці: BD, DK і KM.
2, Визначаємо ст на кожній дільниці.
[а] =160 МПа.
3 0
'
8-Ю
100% =1,19%, що допустимо. (Допуска-
ється перенапруження до 5 % ) .
Приклад 1.4. Для стержня ВМ (рис. 1.8, а), нижня частина якого довжиною
0,9 м мідна, а інша сталева, побудувати епюри поздовжніх сил (епюру N), нормальних
напружень (епюру а) і переміщень (епюру 8). Прийняти для сталі Еп= 2-10'МПа,
для міді £ = 110 і
(д)МПа
'00(8)^) у
8 0
0 < г < 0.5л;
Л яг
•Л
ли
Л
10,45
ЕСГ
Розмірність: N — к.Н; І — м; Е
30 • 0,9
1-Ю4 5
30 0,6
^
2-Ю 4 -5
30-0,4
2 10*-8
£ет-
18
= ЮОМЯя.
Розмірність: Л' — МН\ А — м2.
3. Будуємо епюру (т (рис. 1.8, в).
III. Побудова епюри & (див. 1.1.5).
1. Брус має чотири дільниці: ВС, CD, DK, KM.
2. Обчислюємо деформації дільниць.
Д/„
Рис. 1.8
' "
•'км
80 0,5
• А.
2 • 1О4•
= 2,510"4«.
кН/см1; А — см2.
19
РОЗТЯГ І СТИСК
Розділ 1
Тоді
3. Обчислюємо переміщення граничних перерізів:
Н
й,, = 0 ; 5 Л = 6 И + Д/ЙМ = 0 + 2,5-10-' = 2,5 1 0 Л І ;
8 D = 5* + Д ; М = ( 2 , 5 + 0,75)
1СГ' = 3,25-10 4 ,и;
S c = 5 О + Д ; С О =(3,25 + 1,8)
10 4 = 5,05
Йд = 5 С + Д і в е =(5,05 + 5,4)
10-4л(;
10 4 = 10,45-1CTV
4. Будуємо епюру S (рис. 1.8, г).
Переміщення перерізу S дорівнює абсолютній деформації всього стержня
Приклад 1.5. Визначити нормальне напруження в сталевій штанзі, її відносне
і абсолютне видовження під дією розтягуючої сили F = ЗО кН. Довжина штанги
І - Ім, площа поперечного перерізу А = 4 см2, границя пропорційності матеріалу
<тп!і= 250 МЛя, модуль пружності Е = 2-10 і МЯа.
Розв'язання. Нормальне напруження визначаємо за формулою {1.1):
N
F
30-10-* 7 Ґ . , „
<т = — = — =
т- = 75 МПа.
А
А
4 • 10~ 1
г
Розмірність: F — МИ: А — м .
а = 75 МПа < о п ц = 250 МПа. Отже, деформація пропорційна напруженню.
З формули (1.5) отримаємо відносне видовження:
є = 1 = JK
Е
л
2•10
= 3,75-10'.
L
Е-А
£-[Д]
J
Розмірність: F — Н; , І
2-Ю1' - 1 1 0 "
И/м2.
[ Д ] — м; Е —
Перевірка міцності о = — = ^ - ^ = 133,3 ff/W= =133,3 МПа.
А
15
а = 133,3 МПа < [ст] = 160 МПа. Міцність забезпечена.
Відповідь: А = 15 мм2.
Приклад і.7. Вертикальне переміщення перерізу В абсолютно жорсткого
бруса BD (рис. 1.10) не повинно перевищувати 2 мм. Визначити площу перерізу
сталевого стержня КС, що забезпечує виконання умов міцності і жорсткості.
Модуль пружності матеріалу Е - 2-Ю'МПа, |ст] = 160 МПа.
Розв'язання. Переміщення перерізу В залежить від деформації стержня КС,
що працює на розтяг. Після деформації брус займе положення DB'.
Записуємо умову жорсткості: Д < [Д]
Вданому випадку Д = Д в — переміщення перерізу В, а | Д | = 2 мм — допустима його величина.
З подібності трикутників BDB' і CDC встановлюємо, що
N-Lr
ВВ = 2 СС
Д в = 2 А = 2 Alrr. = 2
С
КС
Для обчислення величини поздовжньої сили N, шо виникає в перерізі стержня
КС, розглянемо рівновагу бруса BD. Складемо рівняння статики:
Для визначення абсолютного видовження використовуємо формулу (1.4):
а
At = є • / = 3,75 • 10"' - 2 = 7,5 • 10"' м.
К
N
Приклад 1.6. Переміщення перерізу І—І сталевого стержня BD (рис. 1.9) не
повинно перевищувати 1 мм. Визначити площу перерізу. Модуль пружності
прийняти Е - 2 1 0 І М Я Й , допустиме напруження |<т| = 160 МПа.
Розв'язання. Записуємо умову жорсткості (1.19):
V
1
И
)
С
Ц 1
В даному випадку Д — переміщення перерізу 1-І, [Д] = І мм —допустима величина
цього переміщення.
Е-А
20
ІЯ
О 1
в
-т В-
F=
Рис. 1.9
і м
Рис. 1.10
21
Розділ І
N = 2F = 2 • 6 = 12 кН
Тоді
Розмірність: N — Н; 2ft|_, [4] — м; Е — Н[м\
Перевірка міцності: ст = — =
— = 200 Н мм- = 200 МПа.
А
60
и = 200 МПа > ІстІ = 160 МПа. Умова міцності ст<[гт] не виконується. Тому визначаємо переріз А з умови міцності
А >— =
~ [ст]~
1 2
| р 3
160
• - 75 мм-.
2
• Розмірність: JV — Н; \а\ — Н/мм .
.Відповідь: А = 75 мм-.
1.2.3. ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ
1.1. Побудувати епюри поздовжніх сил і нормальних напружень, перевірити
міцність сталевого стержня (рис. 1.11). Допустиме напруження [о] = 200 МПа.
Відповідь: о т а , | = 200 МПа, Міцність забезпечена.
1
РОЗТЯГ
І СТИСК
1.5. Чавунна підставка (рис. 1.13) сприймає осьові сили F. Визначити допустиму величину сили, якщо [CTJ = 200 МПа.
Відповідь: 384,8 кИ.
1.6. З умови міцності визначити допустиму величину стискувальної сили
для дерев'яного стояка квадратного перерізу. Сторона квадрата 12 см, допустиме
напруження \и] - Ю МПа.
Відповідь: 144 кН.
2
1.7. До двох стержнів однакового поперечного перерізу А = 5 см підвішено
вантаж Р (рис. 1.14). Визначити допустиму величину вантажу, якщо допустиме
напруження для матеріалу стержнів [о] = 100 МПа.
Відповідь. 86,6 кН.
1.8. Для стержня, розрахункова схема якого показана на рис. 1.15, потрібно
побудувати епюри поздовжніх сил та нормальних напружень і підібрати площу
перерізу А. Допустиме напруження [ст] = 160 МПа.
2
Відповідь: 1,25 см .
1.9. Показаний на рис. 1.16 сталевий стержень має в нижній частині суцільний переріз діаметром D, а у верхній — кільцевий переріз з внутрішнім
діаметром d = 20 мм. Визначити діаметр D, якщо [о] = 160 МПа.
Відповідь: 25,3 мм.
1.10. Підібрати з умов міцності квадратні поперечні перерізи частин колони,
показаної на рис. 1.17, якщо F - 1000 кН, а допустимі напруження на стиск для
сталі [ст,]с= 140 МПа, чавуну [ст1 = 100 МПа, граніту [ o j r = 4 МПа, бутової кладки
[с ]Гі- 1,5 МПа, грунту (піску) | о . | = 0,5 МПа. Власну вагу не враховувати.
Відповідь: Розміри перерізів: сталі 10x10 см, чавуну 50x50 см, граніту 82x82 см,
бутового фундаменту 142x142 см.
1.2. Перевірити міцність троса, що складається з 60 сталевих дротинок
діаметром 1 мм. За його допомогою піднімають вантаж 10 кН. Допустиме
напруження [с] = 220 МПа.
F
Відповідь: атю - 212 МПа. Міцність забезпечена.
1.3. Визначити допустиму величину сили F з умови міцності сталевого
елемента ВС {рис. 1.12). Допустиме напруження [о1! = 160 МПа.
„
„
Відповідь: 87,06 кН.
А= 40 мм'
s /
А = 20 м-»2
1.4. Мідна трубка розтягується
/
осьовими силами, прикладеними в тор/
/ / '
^ , 10 кН
f.= 4«//
I
S -Лцевих перерізах. Визначити допус/ ,
тиму величину сили, якщо зовнішній
і внутрішній діаметри перерізу відповідно
дорівнюють 10 і 8 мм. Допус200
100
100
тиме напруження [о] = 100 МПа.
Рис. 1.11
Відповідь: 2,83 кН.
А
22
0 50
со
F
1
J370 я
Рис. 1.12
Рнс. 1.13
23
РОЗТЯГ І СТИСК
Розділ І
1.11. Підібрати з умов міцності квадратні поперечні перерізи ступінчастого
бетонного стовпа (рис. 1.18). Навантаження на стовп F = 300 кН. Допустиме
напруження для бетону прийняти [а] = 2 МПа. Об'ємна вага бетону 25 JC///V.
Побудувати епюри поздовжніх сил і нормальних напружень.
Відповідь: а, = 40 см. о 2 =41,3 см, а3= 42,7 см.
1.12. Жорстка конструкція ABCD підтримується стояками /, 2 і розкосом З,
з'єднаними шарнірно (рис. 1.19). Конструкція важить 800 кН і навантажена
боковою силою 200 кН. Підібрати перерізи стояків і розкосу з чотирьох рівнобоких кутиків кожен, якщо і<т] = 100 МПа.
Відповідь: стояк 1 —\ кутики 32x32x4 (перена вантаження 2,9%), стояк 2—4 кутики
80x80x8 (перенавантаження 1,63%) і розкіс 3—4 кутики 63x63x6 (ГОСТ 8509-72}.
1.13. Жорсткий брус ОС шарнірно закріплений у точках О і В і навантажений
рівномірно розподіленим навантаженням q (рис. 1. 20). З умови міцності підібрати
площу перерізу стержня АВ, якщо розмір ОА = 1,5 м, ОС - 4 м, q = 12 кН/м;
Н = 160 АШа.
Відповідь: 4,62 см1.
1.14. Сталева штаба прямокутного перерізу розтягується осьовими силами
F - 200 s # (рис. 1.21). Штаба ослаблена круглим отвором діаметром ЗО мм.
Визначити з умови міцності в небезпечному перерізі ширину штаби Ь, якщо її
товщина 10 мм; |ст] = 160 МПа.
Відповідь: 155 мм.
A
20C кН
1
yy / / /
\ ЛЬ ''
\N
в
800 idl
D
Рис. і.15
Рис. 1.14
Рис. 1.16
УУ
X
1 м
с
2
У///ЛУ/
1 л
Рис. 1.19
PRC.
1.20
Сталь
(=10
Чавун
Граніт
7771
777
Бутова кладка
777- 17/
~777~~
Рис. 1.17
24
777
Р
У/////////////
Рис. 1.21
Рис. 1.22
Рис. 1.18
25
Розділ 1
Відповідь:
І м.
- 1/2
1.15. Вантаж Р (рис. 1.22) утримується двома однаковими стержнями А = 5 см2,
з'єднаними за допомогою шарніра В. Визначити допустиму величину вантажу
і переміщення вузла б. Прийняти Ы - 100 МПа, Е-1- 10і МПа.
Відповідь: 50 кН\ 4,62 мм.
1.16. Сталевий болт довжиною 160 л л при затягуванні видовжився на 0.12 мм.
Модуль пружності матеріалу Е = 2- Iff ЛШ«. Визначити напруження в болті.
Відповідь: ISO МПа.
1.17. Круглий стержень діаметром d = 20 лої і довжиною 1 = 2 м при розтягу
силою F = 8 «Я видовжився на 0,5 лл*- Визначити модуль пружності £ матеріалу,
якщо відомо, що напруження в стержні не перевищувало граниш пропорційності.
Відповідь: 1.02І0 3 МПа.
1.18. Два круглих сталевих стержні, суцільний і порожнистий, під дією однакових осьових сил видовжуються, на однакову величину. Яким повинен бути
зовнішній діаметр dt порожнистого стержня (рис. 1.23. б), якщо його внутрішній
діаметр і діаметр суцільного стержня (рис. 1.23, а) однакові? Напруження в стержнях не перевищують границі пропорційності.
Відповідь: 1.41Й.
1.19. Циліндричний сталевий стержень довжиною ! = 200 мм під дією стискувальної сили скоротився на 0,2 мм Стержень порожнистий. Зовнішній діаметр
с/,= 40 мм, внутрішній d E H = 3 0 мм, Визначити стискувальну силу і напруження в стержні.
Відповідь: ПО кН\ 200 МПа.
1.20. Визначити повне переміщення шарніра В (рис. 1.24), якщо Е = 2 10і МПа.
Відповідь: 3,45 мм.
1.21. Абсолютні пружні деформації мідного і сталевого дротів однакового
діаметра під дією сили F рівні за величиною. Яку довжину повинен мати сталевий
дріт, якщо довжина мідного 0,5 м? Модулі пружності сталі Еп= 2 І(ї'МПа, міді
•
РОЗТЯГ І СТИСК
1м і
Рте. 1.25
Рис. 1.26
1.22. Деформація сталевого стержня {рис. 1.25) складає 0,2 мм. Визначити
величину сили F. Модуль пружності £ = 2-Ю'МПа.
Відповідь: 40 кИ.
1.23. Сталевий стержень квадратного поперечного перерізу з стороною а = 20 мм
розтягнутий силами F - 40 кИ. що прикладені до його торців. Визначити поперечні
розміри стержня після деформації, якщо Е = 210=МПа і коефіцієнт Пуассона |і = 0,25.
Відповідь: а = 19.9975 мм.
1.24. Сталевий стержень закріплений верхнім кінцем і перебуває під дією
власної ваги (рис. 1.26). Обчислити довжину стержня, при якій переміщення
його нижнього кінця становить 5 мм. £ = 2-103ІИЛо, у = 78 кН/мл. Визначити
переміщення перерізу /—/.
Відповідь: 160 м; 3,74 мм.
1.3. РОЗРАХУНКОВО-ПРОЕКТУВАЛЬНА РОБОТА
«РОЗРАХУНКИ НА МІЦНІСТЬ І ЖОРСТКІСТЬ БРУСА
ПРИ РОЗТЯГУ (СТИСКУ)»
Вертикальний стержень довжиною 1 = 4 м защемлений одним кінцем і перебуває під дією осьових сил.
Форма перерізу круг або кільце, dnu /da= 0,6. Потрібно:
1.) побудувати епюри поздовжніх сил:
2) визначити розміри перерізів стержня на всіх дільницях з розрахунків на міцність;
3) визначити розміри перерізу частини стержня довжиною а з умови жорст-
F=1Q0KH
Рис. 1.23
26
Рис. 1.24
кості: Д/я| S [Д/J =
' порівняти з розмірами, отриманими при виконанні п. 2,
2000
і прийняти більше значення;4)-побудувати епюри напружень і переміщень перерізів.
27
Розділ І
РОЗТЯГ І СТИСК
Власну вагу не враховувати.
Дані для розрахунку взяти з таблиць 1.1 і 1.2.
Коефіцієнти запасу міцності прийняти для пластичних матеріалів [п г | - і.5;
для крихких [raj = 2,8.
*
ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ РПР
(Варіант 300)
Вихідні дані: рядок № 3, схема 00:
F = 40 кН, F, = -20 кН, F = 30 кН, а = 2 м, b = 1.4 я;
матеріал: сталь 10, ст_= 210 МПа (додаток 1).
Розв'язання.
1. Викреслюємо розрахункову схему в масштабі (рис. 1.27, а). Оскільки
сила /^від'ємна, то її напрям протилежний показаному в табл. 1.2.
2. Будуємо епюру поздовжніх сил (див. 1.1.1):
а) опорні реакції не визначаємо — стержень"закрїплений лише в нижньому
торцевому перерізі;
- б) кількість дільниць — три: / — DC, И — СВ, III — ВК. Вони збігаються
з дільницями епюр напружень і переміщень перерізів;
в) обчислюємо поздовжню силу N для кожної дільниці:
I DC:
0 < 2 <, 1,4 м; Лґ, = -/• = -40 кН;
II СВ:
0 < z < 0 , 6 м; N, = -F, - F^ = -40 - 20 = -60 чИ;
III ВК;
0 < г <• 2,0 м; Л<~ = -/• - F3 + F3 = -60 + 30 = -30 кЯ;
г) будуємо епюру N (рис. 1.27, б).
3. Визначаємо розміри перерізів стержня на кожній дільниці з умови міцності:
Л , "
[о]
\
Сталь Ю пластичний матеріал, тому для визначення допустимого напруження
використовуємо формулу (1.12):
З умови міцності знаходимо площі поперечних перерізів і діаметри стержня:
Л'
[о]
4р_10^
140
= 2
N,
30 • 10
140
3
- 2 1 4 мм2,
Розмірність: N — Н; [ст| — И/мм2.
Приймаємо dt - 20 л л , d2 - 24 л*л.
Площі перерізів дільниць / і II: Ау = 314 мм2; Л ; = 452 мм2.
4. Визначаємо розмір поперечного перерізу частини стержня довжиною
а з умови жорсткості. Ця частина збігається з дільницею III. Записуємо умову
жорсткості: Д < [А].
В даному випадку Д — абсолютна величина деформації дільниці III.
Д = \Щ =
-І.
• [Д] —• допустима величина цієї деформації.
За умовою задачі
а
2
2000
2000
. ,„.,
м.
Тоді
Розмірність: N - Н\ Е — Н/мм2;
і , [Д] — м.
Величина dv обчислена з умови міцності, менша (16,5< 19,5). Приймаємо d3= 20 мм.
Площа перерізу дільниці /// А;= 314 мм2,
5. Викреслюємо стержень. Масштаби і діаметри різні (рис. 1.27, в).
6. Будуємо епюру нормальних напружень (див. 1.1.3):
а) дільниць три: / — DC, II — СВ, НІ — ВК;
б) обчислюємо величину нормального напруження для кожної дільниці:
/-DC:0
S z S
l , 4 - : * i = ^ = --~ M M 0 >
314
"і
II — СВ: 0 < г < 0 , 6 м ; Щ = -£• =
'*
N
^ " И "
28
60 • 10і
140
!
= -127,4 МПа; •
•
ІІІ — ВК: 0<г<2,0м; с 3 - 2± ІУг
= 16,5 ділі.
ds >
314
г
= -132,7 Н/мм = '132,7 МПа;
= -95,5 Н/мм1
= -95,5 МПа.
1
Розмірність: .V — Н; А — мм ;
в) будуємо епюру а (рис. 1.27, г).
29
і
Розділ І
7. Будуємо епюру переміщень перерізів (див. 1.1.5):
а) дільниці та їх границі ті ж самі, що й для епюр N і а;
6} за формулою (1.2) обчислюємо деформацію кожної дільниці;'
д
£-Д
м;
2-10° -452
2-10'-314
І СТИСК
=
2-10°-314
3
РОЗТЯГ
=
Б) обчислюємо переміщення граничних перерізів відносно нерухомого перерізу (А):
8Л. = 0 : 6 Л = SK + Д^ = -0,96 -10 '
*;
3
S c = 8 в + Д/г = (-0,96-0,4)-1<Г = - I . 3 6 - 1 0 " J ЛІ;
S o = 5 С + Д і, = (-1,36-0,89)-10- 3 = - 2 , 2 5 - 1 0 '
л.
г) будуємо епюру 5 (рис. 1.27, 3).
Переміщення перерізу D дорівнює деформації всього бруса:
б о - Л/ = -2,25
мм
Т а б л и ц я
Варіанти завдань
№
FUKH
0
70
1
F2, кН
F3,K#
ДО
а, м
Ь, ш
Матеріал
40
1,4
0.6
40Х
50
20
25
10
1.8
1.3
сталь 20
2
60
ЗО
-20
1.6
0,5
СЧ 18
3
40
-20
30
2,0
1.4
сталь 10
35
50
1,2
1,0
20Х
60
1,0
1,4
сталь ЗО
4
80
5
-зо
6
20
50
30
70
0,8
1,2
СЧ38
7
10
40
-so
І.1
0.9
50ХН
8
45
-20
65
1,3
0.7
СЧ24
9
65
10
45
1.5
0.8
стиль 45
ЗО
1.1
РПР 1.3
Зі
Розділ 1
Таблиця
1.2
Розділ
Ґ01
2
РОЗРАХУНКИ НА ЗРІЗ І ЗМИНАННЯ
///77777/
2F
p
о"
1
1
T
і
~~te
77/777777
ґіо2F,
Зріз — розчленування елемента на частини шляхом зсуву у вузькій зоні (рис. 2.1, а) під дією дотичних напружень.
Зминання — необоротна
деформація приповерхневого
шару елемента під дією нормальних контактних напружень (рис. 2.1, б).
На зріз і зминання розраховують, в основному, з'єднання деталей: болтові, заклепкові, шпонкові, зварні, паяні,
дерев'яні врубки тощо.
Міцність, надійність
с 2 1
і довговічність окремих вузлів і конструкцій часто визначаються характеристиками з'єднань. Тому їх конструюванню, розрахунку
і виготовленню завжди приділяють належну увагу.
////777//
2.1. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
2F.
0.5Л
3F.
Практичні розрахунки на зріз і зминання базуються на низці припущень.
1. В перерізі елемента, що працює на зріз, виникають лише дотичні
напруження.
2. Дотичні напруження в перерізі і зминальні нормальні напруження
по площі зминання розподіляються рівномірно.
3. Всі однотипні елементи з'єднання сприймають однакові зусилля.
О Опір тяте ріалів
33
Розділ 2
РОЗРАХУНКИ НА ЗРІЗ І ЗМИНАННЯ
Умова міцності при зрізі:
(2.1)
т< т
де т — розрахункове дотичне напруження в елементі; Ітзр]
напруження на зріз матеріалу елемента з'єднання.
F
де F — сила, що сприймається з'єднанням; А
всіх елементів.
Умова міцності при зминанні:
о <[о 1.
• допустиме
(2.2)
— сумарна площа зрізу
(2.4)
І. Розрахунок на зріз.
Площа зрізу:
(2.5)
де п — число елементів (болтів, заклепок); d — діаметр перерізу елемента;
k — число зрізів одного елемента (k дорівнює числу пар поверхонь
з'єднуваних деталей, взаємному переміщенню яких протидіє елемент).
Тоді умова міцності (2.1) набере вигляду:
34
Лобовий шов
(2.7)
Аш =ntd,
де л — число елементів; і — товщина
деталі; й — діаметр елемента.
Якщо товщини з'єднуваних деталей різні, то у формулу (2.7) підставляють t .
t = 0JK
К
П1ІП
Тоді умова міцності (2.3) буде
мати вигляд:
F
,- ,
а... =
,
J
L
IMJ.
Рис. 2.2
(2.0)
Допустиме напруження на зминання [ст J = (1,7...2,2)[а ], де [ а ] —•
допустиме напруження на стиск для того ж матеріалу.
В результаті розрахунку повинні задовільнятись обидві умови міцності
(2.6) і (2.8).
2.1.1. РОЗРАХУНОК БОЛТОВИХ І ЗАКЛЕПКОВИХ З'ЄДНАНЬ
nknd
Фланговий шов
II. Розрахунок на зминання.
(2.3)
де F — сила, що сприймається з'єднанням; Н з и — сумарна розрахункова
площа поверхні, що зминається. У випадку циліндричної або кульової
поверхні Аш дорівнює проекції цієї поверхні на площину, нормальну до
напрямку F. Наприклад, якщо кулька вдавлена в деталь (рис. 2.1, б), то
Аш дорівнює площі круга діаметром ямки d.
A=nk-
-г F
Розрахункова площа зминання:
де а ч ч — розрахункове напруження; [аш] — допустиме напруження на
зминання менш міцного матеріалу.
°™=^->
Допустиме н а п р у ж е н н я на
зріз при статичних навантаженнях
[•£,.,] = (0.6.. Д8)[о ], де [а] — допустиме
нормальне напруження на розтяг для
того ж матеріалу. Інколи [т, ] задають
у залежності від граниш текучості матеріалу HJ = (0,25...0,35)o t .
2.1.2. РОЗРАХУНОК ЗВАРНИХ З'ЄДНАНЬ
Кутові шви, флангові і лобові (рис. 2.2, а), розраховують на зріз.
Розрахункова площа зрізу дорівнює сумі площ бісекторних перерізів
усіх швів:
А^ = 0,7 KLf,
(2.9)
де К — катет шва (рис. 2.2, а, б); L — загальна розрахункова довжина
швів; 0JK — найменший розмір перерізу кутового шва (рис. 2.2, б).
35
РОЗРАХУНКИ НА ЗРІЗ І ЗМИНАННЯ
Розділ 2
Умова міцності:
т=
OJ KL
< т..
(2.10)
Допустиме напруження металу шва [тшв] залежить від електродів
і властивостей металу зварюваних деталей.
Фактичну довжину кожного шва приймають на 10 мм більшу розрахункової у зв'язку з можливим непроваром:
; = /р + 10лш.
(2.11)
Лобових швіе, особливо при динамічних навантаженнях, потрібно
уникати. Вони більш жорсткі І працюють у гірших умовах, порівняно
з фланговими.
2.1.3. РОЗРАХУНОК З'ЄДНАНЬ ДЕРЕВ'ЯНИХ ДЕТАЛЕЙ
Розрахунок полягає у визначенні розмірів з'єднання (наприклад,
а,Ь,с — рис. 2.3), що забезпечують
його міцність. У розрахунках використовують формули (2.1) та (2.3).
Особливість розрахунків визначається анізотропністю матеріалу.
Найбільші граничні напруження (нормальні і дотичні) відповідають перерізам, що перпендикулярні до волокон, тобто поперечним, найменші — перерізам, що
Рис. 2.3
паралельні волокнам. Це стосується і відповідних допустимих
напружень. В інших перерізах вони мають проміжне значення.
Величину допустимого нормального напруження для довільного
похилого перерізу наближено можна визначити за емпіричною формулою:
(2.12)
36
;:е [aj і [а д а .| — допустимі напруження для поперечного А і поздовжнього
/l[jn. перерізів відповідно; a — кут між поперечним А і похилим А
перерізами.
2.2. ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ
2.2.1. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1. Що таке зріз і зминання?
2. Які ви можете навести приклади деталей та з'єднань, що розраховуються на зріз і зминання?
3. Які допущення роблять при розрахунках на зріз і зминання?
4. Як записують умови міцності при зрізі і зминанні?
5. Як обчислюється сумарна площа зрізу при розрахунку болтових
і заклепкових з'єднань?
6. Як обчислити розрахункову площу при зминанні у випадку циліндричної або кульової поверхні?
7. Як визначають необхідну кількість елементів у болтових І заклепкових з'єднаннях?
8. Як записують умову міцності для зварного з'єднання з кутовими
швами?
9. Як визначається розрахункова довжина зварного шва?
10. Чому потрібно уникати лобових швів?
11. Чим визначається особливість розрахунку з'єднань дерев'яних
деталей?
12. Як обчислити величину допустимого напруження для похилого
перерізу дерев'яного бруса, якщо величини допустимих напружень для
поперечного і поздовжнього перерізів відомі?
2.2.2. ПРИКЛАДИ РОЗРАХУНКІВ НА ЗРІЗ І ЗМИНАННЯ
Приклад 2.1. Перевірити міцність заклепкового з'єднання (рис. 2.4).
Розтягу вальна сила F= 125 кН, товщина штаб ї( = 10 мм, товщина накладок t2 - 6 мм,
ширина Ь- 100 мм, діаметр заклепок d-20 мм, допустимі напруження (а) = 16ОМ/7а,
|тар] - 100 МПа, [aj = 300 МПа.
37
РОЗРАХУНКИ
РоШл 2
Розв'язання. 1, Перевіримо міцність штаб на розтяг {t, < 2t2). Обчислимо
3. Перевіримо міцність з'єднання на зминання. За формулою (2.8)
нормальні напруження в ослаблених перерізах 1 — 1 і 2—2. На кожній стороні
F/3
стику розміщені 3 заклепки. Тому кожна заклепка сприймає зусилля N
Поздовжнє зусилля в п&рерізі І — 1 Ntl=F. В перерізі 2—-2 воно зменшується
на величину зусилля W3, яке сприймається першою заклепкою, N,2= 2 / 3 F.
о, , = ^=L = /
Д.,
tx(b-d)
s
=- ,
'
= 156.3Я/лмс'= 156,3 ЛІ/7о.
ч
10(100-20)
Розмірність: F — Н; lr b, d — мм.
Умова міцності виконується: (і ь 1 < [о| (156,3 < 160).
3
^^
^ JVa-2 _ 2/3f
_
2-125-10
Л,_,
(,(u-2d)
3-10(100- 2 20) -~
2
= 138,9 МПа.
°м < М •
Отже, міцність штаб і накладок забезпечена.
2. Перевіримо міцність заклепок на зріз. На кожній стороні стику три
'заклепки {п = 3); кожна із заклепок зрізається по двох перерізах (k = 2). За
формулою (2.6)
7
т=
nknd1
3-2-71-20'
т < [т, р ](66.3 < 100).
= 66,3 МЯа.
НА ЗРІЗ І ЗМИНАННЯ
F
F
125-І0
л
3-10-20
2
- 208,3 Н/мм =
208,3
о„ <[<!,.•] (208,3 < 300).
Висновок:
міцність з'єднання забезпечена.
Приклад 2.2. Стержень / і труба // з'єднані штифтом ///. З'єднання
навантажено розтягуючими силами F = 30 кН (рис. 2.5). Визначити розміри d, D,
(Іиі, с, є з'єднання, якщо [о\= 120 МПа, h; \-ЮМПа, |о з м ] = 240 МЛа.
Розв'язання. 1. Визначаємо діаметр штифта з умови міцності на зріз (2.6):
де dm_ — діаметр штифта; п - 1 (штифт /); k = 2 (зріз може відбутись по двох
перерізах).
Тоді
d... >
"
4F
і/і-2-к-[т,]
4 •3 0 • 1 0 і
V 2-71-80
= 15,5мм.
Приймаємо d, = 16 мм.
2. Визначаємо діаметр d стержня / з умови міцності на розтяг по ослабленому
штифтом перерізу (рис. 2.5):
94.2rf2 - 1920rf - 30 • 10а > 0
НІ
Приймаємо d = ЗІ мм.
Розмірність: F — Н; [а] — И/мм2; d, d^ — мм.
Визначаємо зовнішній діаметр D труби
// з умови міцності на розтяг. Небезпечним
є переріз, ослаблений двома отворами для
штифта (рис. 2.5).
•<[<,]:
Рис. 2.4
38
• 94,2D' -192D - 61 • І0 3 > 0 =* D > 37,7 мм.
39
РОЗРАХУНКИ
Розділ 2
Приймаємо D = 38 мм.
Розмірність: F ~ И; [а] — Н/мм2; d, dat— мм.
4. Перевіряємо достатність розміру D з умови міцності (2.8) при зминанні.
(У... =
F
пій
ЛМШІАШШ
2. Розрахункова довжина швів для приварюиання одного кутика:
30-10 3
• = 2 6 8 Я / л ш 2 = 2 6 8 МПа.
(38 - З і) 16
\{D-d)da,
о=и>[(тіч| (268>240). Умова міцності не виконується.
Визначаємо діаметр D з умови міцності (2.8) при зминанні:
ЗО -1O3 + 31 -16 -240
16-240
D>
Остаточно приймемо D - 39 мм.
Розмірність: F — H;d, dm_— мм; [и J — Н/ммг.
5. Визначаємо розмір С з умови міцності на зріз нижньої частини труби //:
F
2С (D - d)
3 0 • ІО 3
C>
= 23,4 мм.
Приймаємо С - 24 мм.
Розмірність: F — И; D. d — мм; Ітз ] — Н/мм1.
6. Визначаємо розмір є з умови міцності (2.1) на зріз верхньої частини,
стержня /:
<к,
ІІЛ ЗРГ.І І
Лінія дії сили F проходить через центр ваги перерізу кутика, тобто на різних віддалях від лівого
і правого швів. Тому доля сили, що приходиться
на кожного з них. обернено пропорційна віддалям
до швів г 0 і (і — z 0 ). В такій же пропорції потрібно
розподіляти довжини швів / i | r i l2r:
b-z0
=
zQ
"
6 - 1,78
1,78
= 2,37 =* і
=2,374„
(2)
Сумісне розв'язання рівнянь (1) і (2): І, - 167,4лл;
/,( = 70,6 мм.
За формулою (2.11):^= 167,4+ 10= 177,4мм;
/ г = 7 0 , 6 + 10 = 80,6 мм.
Приймаємо /, = 18 см; / 2 = 8 см.
Приклад 2.4. Визначити розміри a, f, с \ s
(рис. 2.7) дерев'яного вузла. Кроква сприймає силу
F = 70 к.Н, кут нахилу покрівлі а = 30", розміри
перерізу бруса 6 = 1 5 см. ft = 20 см. Допустимі
напруження на зминання уздовж волокон
Рис. 2.6
ЗОЮ3
= 6,05 мм.
" 2-31-80
Гт. і
Приймаємо (t = 6 мм.
Розмірність: F — Ні d — мм; [тзі] —
Н/мм2.
Приклад 2.3. Стержень з двох рівнобоких кутиків 63x63x6 (ГОСТ 8509-72)
сприймає зусилля F - 200 кИ (рис. 2.6). Визначити довжини /, і t2 флангових
швів, що прикріплюють стержень до фасонного листа. Катети швів прийняти
К = 6 мм, допустиме напруження на зріз для металу швів [тіав1 = 100 МПа.
Розв'язання. 1. Визначаємо розрахункову довжину всіх швів з формули (2.10):
F
200 - 10а
Розмірність: F — Н; К — мм; [тшв] —
40
- = 476 мм.
Н/мм2.
Рис. 2.7
41
РОЗРАХУНКИ НА ЗРІЗ І ЗМИНЛИНЯ
Розділ 2
[ c a j = 8 МПа, на зминання поперек волокон Іо м .] = 2,5 МПа і на сколювання
уздовж волокон [т] = 1 МПа.
Розв'язання. 1. Розкладемо силу F на складові Ft і Fr
Ці сили зрівноважуються реакцією опори R = Ff і розтягувальним зусиллям
в затяжці N = F s .
2. Визначимо розмір s з умови міцності при зминанні затяжки силою R по
площі sb:
3 5 • 10 3
R
"»% fe n^J-- & |--^]- 1 5o.2,5
Розмірність: R — H; b — мм; іо е т ] —
Приймаємо s = 10 см.
= 93,3 мм.
2.2.3. ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ
2.1. Перевірити міцність заклепкового з'єднання, якщо діаметр заклепка
(І = 20мм (рис. 2.8), Н = 1 6 0 М Я а , | т ! р | = ПОЛШа, [ o j - 320 МПа.
Відповідь: о = і 5 6 , 3 МПа; т і 1 ( = 99,5 МПа; (т_,™= 312,5 МПа. Міцність
•л єднання забезпечена.
2.2. З умови рівноміцності визначити розміри головки D і h стержня, показаного на рис. 2.9, при допустимих напруженнях: [о] = 140 МПа; [т ] = ІООЛІЯа;
| я J = 250 АШа.
Відповідь: D = 42 мм; h = 11 мм.
Н/мм2.
3. Розмір а, з умови рівноміцності дорівнює s {Fy - R). Конструктивно він
приймається більшим.
4. Розмір / визначимо з умови міцності при зминанні по площі fb у місці
контакту торця крокаи із затяжкою. Волокна крокви зминаються під кутом а = 30°,
затяжки — уздовж волокон. З умови міцності на зминання крокви маємо:
F = 250 кН
За формулою (2.12):
МПа.
Рис. 2.8
Тоді
60,62-10'
' ~ 150-6,27
- 64,45мм.
h
Розмірність: Fj — Н; b — мм; [сг^.] = Н/мм2.
Приймаємо / = 7 см.
f
CM
5, Розмір с кінця затяжки визначимо з умови міцності прн сколюванні уздовж
волокон по площі cb:
Л
II
•о
г
,
Л
60,62-103
= 404 мм.
v///
1
Розмірність: F2— H; b — мм; [т] — Н/мм .
Приймаємо с = 41 см.
42
Рис. 2.9
Рис, 2.10
43
РОЗРАХУНКИ НА ЗРІЗ І ЗМИНАННЯ
Розділ 2
2.3. Дві штаби товщиною t = 10 мм з'єднані нахлистом шістьома болтами
діаметром d - 20 мм (рис. 2.10). Визначити допустиму величину сил F і необхідну
ширину листа Ь при допустимих напруженнях: \а\ = 120 ЛІЯа; |тч | = 72 МЯо:
[ o j = 320 МЯа.
Відповідь: [F] = 135,7 «Я: Ь = 153 лш.
2.4. В сталевому листі товщиною 10 мм (рис. 2.11) потрібно продавити
отвір діаметром 18 мм. Визначити, яку необхідно прикласти силу до пуансони,
якщо границя міцності матеріалу листа на зріз т и = 350 МПа.
Відповідь: 198 кН.
2.5. Перевірити міцність штаби (рис. 2.12) і визначити необхідну кількість
заклепок діаметром 10 мм, за допомогою яких штаба кріпиться до косинки.
якщо F — ЗО кН, 6 = 50 мм, ( = 5 мм. Допустимі напруження [о] = 160 МПа,
і т р ] = Ю0ЛіЯа,[а і р і ] = 280МЯа.
Відповідь: а — 150 МПа < [а]; 4 шт.
018
Рис. 2.12
2.6. Визначити контактні напруження, що виникають між головкою стержня
і іптабою {рис. 2.13), якщо нормальні напруження в перерізі стержня 100 МПа.
Діаметр стержня d = 10 мм, діаметр головки D = 36 мм.
Відповідь: 44,6 МПа.
2.7. Стержень з двох рівнобоких кутиків розтягується силою F - 300 кН.
Він прикріплений до фасонки (рис. 2.14) товщиною 12 мм заклепками діаметром 20 мм. Підібрати профіль кутиків і визначити необхідну кількість заклепок,
якщо Істі = [АОМПа, [тар] = 100 МПа, \aj = 280 МПа.
Відповідь: 2 кутики 80x80x8 (ГОСТ 8509-72). 5 шт.
2.8. Вал передає обертовий момент Т = 300Им. Визначити напруження зрізу
в шпонці і напруження зминання між шпонкою і маточиною колеса {рис. 2.15).
Відповідь: т - 20,8 МПа; о зм = 62,5 МПа.
2.9. Стояк ферми, що складається з двох швелерів № 12, сприймає зусилля
F = 420 кН (рис. 2.16). Визначити необхідні розрахункову і фактичну (проектну)
довжини флангових швів І, якщо катет шва К= 10 мм; допустиме напруження
на зріз металу шва [тшв] = 100 МПа.
Відповідь: 1„= 15 см; І- !6 см.
60
Л-А
Рис. 2.14
Рис. 2.13
Рис. 2.15
45
\
Розділ 2
РОЗРАХУНКИ НА ЗРІЗ І ЗМИНАННЯ
2.10. З умови ріаноміцності зварного
з'єднання визначити довжину флангових
швів / (рис. 2.17), якщо [а]= 160 МПа,
[ т ш | = 110 МПа. Катет шва прийняти рівним товщині штаби,
K-t.
Відповідь: 11,4 см.
2.11. Визначити проектну довжину
флангових швів (: і (,, що прикріплюють
нерівнобокий кутик 100x63x8 (ГОСТ 851072) до фасонки (рис 2.18). Розтягувальні
напруження а стержні 140 МПа. Катет шва
прийняти К- 8 мм, допустиме напруження
на зріз для металу шва ІТшв] = 110 МПа
Відповідь: ^ = 2 0 . 1 7м; І,г = 10,5 см.
2.12. Соснові підкоси / (рис. 2.19)
торцевими поперечними перерізами опираються на дубові подушки 2. Яким повинен бути кут, щоб виконувалась умова рівкоміцності по напруженнях зминання? ДоРис. 2.16
пустимі напруження на зминання прийняти:
для дуба уздовж волокон і Д = 15 МПа. поперек волокон | o w ] = 4,8 МПа, для
сосни уздовж волокон [а ,= 12 МПа.
Відповідь: =30°.
2.13. Два бруси прямокутного перерізу розмірами b - 12 см і h - 18 с.и з'єднані
прямим зубом глибиною с =ft/4(рис. 2.20). Визначити величину допустимої розтягувальної сили F і розмір а при допустимих напруженнях: на розтяг |о] = 10 МЛа;
\/////////l
Рнс. 2.18
Рис. 2.19
на сколювання уздовж волокон [т] = 1 МПа і зминання уздовж волокон [o a j = 8 МПа.
Впливом стягувальних врубку болтів нехтувати.
Відповідь: \F\ = 43,2 кН; а - 36 см.
2.14. Трубчастий палець 7 (рис. 2,21) з'єднує деталі 2 і 3, по ЯКИХ прикладені
сили F. Визначити з умови міцності пальця на зріз допустиме значення сили F.
При знайденій силі визначити необхідні значення розмірів Б і Ь, якщо допустиме
напруження на зминання між деталями / і 2 дорівнює 1оэы]2, а між деталями / і 3 —
[а і м ] 3 . Дані взяти з таблиці 2.1.
F
З
=10
Рис. 2.17
46
Рис. 2.20
47
Розділ 2
Таблиця
2.1
Варіанти завдань до задачі 2.14
Р оз д іл З
Задані величини
Варіант
d
d
*
К)
1
2
3
40
ЗО
42
32
44
32
4
46
34
5
IS
36
50
36
7
48
32
8
9
46
34
42
34
10
4-1
32
6
Kh
i<a
ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРЕРІЗІВ
МПа
мм
80
85
170
190
165
185
90
95
90
80
75
75
70
65
160
180
165
160
150
170
140
175
155
185
160
190
1Є5
185
175
ISO
Міцність і жорсткість бруса при заданих матеріалі і довжині залежать
під розмірів і форми перерізу. Для кількісної оцінки цієї залежності
служать геометричні характеристики (ГХ) перерізів.
У випадку розтягу і стиску характеристикою перерізу, незалежно
від його форми, є площа. Але при згині, крученні, складних деформаціях
цієї характеристики недостатньо.
Вміння визначати необхідні геометричні характеристики є необхідним
для розрахунків брусів на міцність і жорсткість при різних видах деформацій.
3.1. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
3.1.1. ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ,
ЩО ВИКОРИСТОВУЮТЬСЯ В ІНЖЕНЕРНИХ РОЗРАХУНКАХ
1. Площа перерізу (рис. 3.1):
= \dA.
(3.1)
2
Розмірність площі — [L ].
2. Статичний момент площі
= J xdA = хсА
(3,2)
А
д е
-V Л ~ статичні моменти; xz, ус — координати центра ваги площі А
відносно осей у і х відповідно.
4 Опір матеріям
49
ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Розділ З
Статичний момент може бути як додатним, так і від'ємним. Відносно центральної
осі він дорівнює нулю.
Розмірність статичного моменту — [L3].
Статичні моменти складного перерізу:
Рис. 3.1
де А. — частина площі складного перерізу,
координати центра ваги х. і і/, якої відносно
осей х і у відомі.
Визначення координат центра ваги складного перерізу виконується за формулами:
(3.4)
Якщо переріз має дві осі симетрії, то центр ваги знаходиться на
їх перетині. Якщо переріз має одну вісь симетрії, то центр ваги знаходиться
на цій осі, і для визначення його положення потрібно знайти лише одну
координату.
3. Моменти інерції перерізу.
а) Осьові моменти інерції перерізу відносно осей х, у (рис. 3.1):
;
]у=\хЧА.
в) Відцентровий момент інерції перерізу відносно осей х, у (рис. 3.1):
dA.
А
Він може бути додатним, від'ємним і рівним нулю. Якщо хоча б одна
з двох взаємно перпендикулярних осей є віссю симетрії, то відцентровий
момент інерції перерізу відносно таких осей дорівнює нулю.
Розмірність моментів інерції — [L4].
3.1.2. ЗАЛЕЖНІСТЬ МІЖ МОМЕНТАМИ ІНЕРЦІЇ
ВІДНОСНО ПАРАЛЕЛЬНИХ ОСЕЙ, ОДНІ З ЯКИХ ЦЕНТРАЛЬНІ
Якщо моменти інерції ^,,^ц,-Кл відносно центральних осей xL, yc
(рис. 3.2) відомі, то моменти інерції відносно осей х, у, що паралельні
центральним, визначають за формулами:
2
Jx = JXs + a A- Jg = / а < + й М ,
(3.9)
ч!І
У
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Отже, при повороті координатних осей сума осьових моментів інерції
залишається незмінною.
Осьові і полярні моменти інерції завжди додатні.
50
•
ч=Кь + a b A
(З- 1 0 *
У виразі (3.10) потрібно врахувати знаки координат а і Ь центра
ваги С
]
де р — відстань від полюса до елементарної площинки dA (рис. З . І ) .
Якщо полюс збігається з початком координат, то
'„ = Л + V
(3.8)
J1,=jxydA.
б) Полярний момент інерції відносно точки (полюса), що лежить
в площині перерізу:
s
ПЕРЕРІЗІВ
Рис. 3.2
Рис. 3.3
51
ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРЕРІЗІВ
Розділ З
3.1.3. ОБЧИСЛЕННЯ МОМЕНТІВ ІНЕРЦІЇ СКЛАДНИХ ПЕРЕРІЗІВ
Моменти інерції складного перерізу обчислюють як суму моментів
інерції його простих частин:
^ Х ^ ; ',= 1 4 : / Ч = Х С
(зло
Величини J',, Гг Г^ визначають за формулами (3.9), (3.10).
Якщо в перерізі є отвір, його зручно вважати частиною фігури
з «від'ємною» площею. Наприклад, переріз, показаний на рис. 3.3, можна
розбити на дві прості фігури:
/ — прямокутник bxh і // — круг діаметром d з «від'ємною» площею. Тоді
J.=J'.-J'J.
Моменти інерції перерізу відносно осей
xvyy повернутих на кут а від початкових осей
х, у (рис. 3.4):
]. = і, cos 2 а + /, sin 2 a-J
sin2ctl
Jv = Jx sin s a + Jy cos 2 а + Jxj/ sin 2cc
/
Рис. 3.4
I —S
=-i 2
; (3.12)
(3.13)
Додатним напрямком відліку кута вважають напрямок проти ходу годинникової стрілки.
3.1.5. ГОЛОВНІ ОСІ І ГОЛОВНІ МОМЕНТИ ІНЕРЦІЇ
Головними називаються ортогональні осі, відносно яких відцентровий
момент інерції дорівнює нулю, а осьові моменти інерції набувають екстремальних значень.
52
tg2cc0 =
2/,..
(3.14)
Моменти інерції відносно головних осей називаються головними мо•птами Інерції і обчислюються за формулою:
(3.15)
Одна з головних осей нахилена на кут с^ до осіл(|а„| < 4 5 ° ] , друга —
3.1.4. ЗМІНА МОМЕНТІВ ІНЕРЦІЇ
ПРИ ПОВОРОТІ КООРДИНАТНИХ ОСЕЙ
У,
Кут a n , що визначає положення головних осей, обчислюють за
.•нрмулою:
перпендикулярна до неї. Вісь з найбільшим моментом інерції «ближча»
до тієї з осей (х або у), відносно якої момент інерції більший (Угабо / ).
Практичне значення мають головні осі, що проходять через центр
наги перерізу. Вони називаються головними центральними
осями.
Л моменти інерції відносно цих осей — головними
центральними
моментами інерції. їх і використовують у розрахунках.
3.1.6. ЧАСТКОВІ ВИПАДКИ ВИЗНАЧЕННЯ
ПОЛОЖЕННЯ ГОЛОВНИХ ЦЕНТРАЛЬНИХ ОСЕЙ
1. Переріз має одну вісь симетрії — одна з головних центральних осей
і" віссю симетрії, друга проходить через центр ваги перпендикулярно до першої.
2. Переріз має дві осі симетрії — головними центральними осями
і осі симетрії.
3. Переріз має дві осі симетрії і моменти інерції відносно них рівні —
псі центральні осі є головними і моменти інерції відносно них рівні.
4. Переріз має більше двох осей симетрії (круг, кругове кільце,
правильні многокутники) —- довільна центральна вісь є головною. Всі
головні центральні моменти такого перерізу рівні між собою.
Поняття про інші ГХ перерізу дано у відповідних розділах.
53
Розділ З
ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ
3.1.7. ВИЗНАЧЕННЯ ПОЛОЖЕННЯ ГОЛОВНИХ ЦЕНТРАЛЬНИХ ОСЕЙ
І ВЕЛИЧИНИ ГОЛОВНИХ ЦЕНТРАЛЬНИХ МОМЕНТІВ ІНЕРЦІЇ
Порядок розрахунку,
1. Викреслюють переріз у масштабі.
2. Розбивають переріз на прості частини, ГХ яких відносно власних
центральних осей легко визначити або вони відомі. Проводять для кожної
частини прямокутну систему центральних осей х., ус Додатний напрямок
паралельних осей усіх частин однаковий. Обчислюють ГХ перерізів
простих частин відносно власних центральних осей. ГХ перерізів профільного прокату беруть з таблиць сортаменту. Для простих геометричних
фігур можна скористатись таблицею 3.1 посібника.
3. Проводять довільну систему прямокутних осей і за формулами
(3.4) визначають центр ваги перерізу. Візуальна перевірка правильності
визначення центра ваги: а) при двох простих частинах він знаходиться на
відрізку, що з'єднує центри ваги простих перерізів; б) при наявності більше
двох простих частин він знаходиться в межах площі, обмеженої відрізками,
що сполучають центри ваги простих частин.
4. Проводять початкову систему центральних осей хс, ус, паралельних
осям xt, у.. В системі осей хс, г/с визначають координати центрів ваги
простих частин. Виконують остаточну перевірку правильності знаходження
центра ваги: статичні моменти перерізу відносно центральних осей хс, у с
повинні дорівнювати нулю.
5. За формулами (3.9)—(3.11) визначають осьові (JIs, / А ) і відцентровий
/щ,( моменти інерції всього перерізу відносно початкових центральних осей.
6. За формулами (3.14) і (3.15) визначають положення головних центральних осей х, у і величину головних центральних моментів інерції /., / .
7. Виконують перевірку правильності обчислень. Для цього перевіряють постійність суми
ПЕРЕРІЗІВ
Таблиця
Прямокутник
У
Ук
3.1
Трикутник
(прямокутний
А = bh;
с
12
"
/ =.
36
12
36
ь
^
-т—
Круг
-4 =
Кругове кільце
1
nd
,4
X
= ^ -
J.-J
'
'
64 •
4
32
Напівкруг
Еліпс
A = nab
Л=
mt'
' = O.OO686rf'
L=
3
nab
4
126
Паралелограм
Трикутник
^ + 4 = / , + . / , = const.
(3.16)
а також знаходять за формулою повороту осей (3.13) значення відцентрового моменту інерції Jr відносно головних осей х, у. Зрозуміло, що значення
повинно наближатись до нуля (різниця складає похибку обчислень):
(3.17)
54
55
ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Розділ З
3.2. ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ
3.2.1. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1. Навіщо потрібні геометричні характеристики перерізів?
2. Що таке статичний момент? Як він обчислюється і які значення
може приймати?
3. Як обчислюють статичний момент складного перерізу?
4. Де використовують ггоняття статичного моменту?
5. Які моменти інерції ви знаєте?
6. Яка залежність між полярним і осьовими моментами інерції?
(Полюс — в початку координат).
7. Які значення може приймати відцентровий момент інерції?
8. Яка залежність між моментами інерції відносно паралельних осей,
одні з яких — центральні?
9. Як обчислюють моменти інерції складних перерізів?
10. Як змінюються моменти інерції при повороті координатних осей?
11. Які осі називаються головними і як визначають ЇХ положення?
12. Що таке головні моменти інерції і як їх визначають?
13. Що таке головні центральні осі і головні центральні моменти інерції?
14. Які ви знаєте часткові випадки визначення положення головних
центральних осей?
. 15. Записати формули моментів інерції для простих перерізів (прямокутного, трикутного, круглого, кругового кільця).
16. Як визначають геометричні характеристики прокатних профілів?
17. В яких одиницях вимірюють статичні моменти і моменти інерції?
ПЕРЕРІЗІВ
Площа Л = Д - 2 Л - 6 • А - 2 тій2/4 = 16 - 9 - ге • 5^/2 = 104,7 см1.
Js, 1 — головні центральні моменти інерції, тому що осі х, у є головними
центральними як осі симетрії.
Обчислюємо власні моменти інерції простих частин. Згідно з табл. 3.1:
— для прямокутника
11
12
12
•
— для круга I'l =l'l=n-
'"
12
12
4
d*/64 - к - 5 /б4 = ЗО, 7 см\
За формулами (3,9) обчислюємо моменти інерції частин відносно осей х і у.
Ґх = l'h = 3072 см* (осі х і хх збігаються):
І" =Ji +а Ч = 30,7 + 4 г • л • 52/4 - 344,9 си«;
Уг' =І'Я =$72 CM*;
J" = / , " =30,7 С ж 1 (осі у, у, і ^збігаються).
За формулами (3.11) обчислюємо головні центральні моменти інерції:
/, = 5[ - 2J'J = 3072 - 2 • 344,9 - 2382,2 см*;
l,=K-2I>
= 9 7 2 - 2 - 3 0 , 7 = 910.6 см*.
При відсутності отворів площа збільшиться на
1
І1І1^І.100% = 3715%;
3.2.2. ПРИКЛАДИ ОБЧИСЛЕННЯ МОМЕНТІВ ІНЕРЦІЇ ПЕРЕРІЗІВ
Приклад 3.1. Обчислити площу і головні центральні моменти перерізу
(рис. 3.5). Як зміняться площа і моменти інерції при відсутності отворів? Прийняти
Ь = 9 CM, h = 16 см, d = 5 см, а = 4 см.
Розв'язання. Переріз можна представити як складну плоску фігуру, що
складається з трьох простих частин: прямокутника bxh і двох кругів діаметром
d «від'ємної* площі.
56
Рис. 3.6
57
ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРЕРІЗІВ
Розділ З
Розіб'ємо переріз на прості частин — прямокутники /та //та визначимо
. площі і власні моменти інерції:
момент інерції ^збільшиться на:
Л, = а (Я - h) = 4 (16 - 4) = 48 см>;
а/уна
VL. 100% =
910,6
= 16-4 = 6 4 t « 3 ;
Аг=Ь-к
. 100% = 6,7%.
Ч-h'f
/ •
Приклад 3.2. Визначити головні центральні моменти інерції перерізу (рис. 3.6).
Розв'язання, Переріз складається з чотирьох простих частин: двох швелерів
і двох штаб. Положення головних центральних осей відоме. Це осі симетрії х і у.
Виписуємо з таблиці сортаменту (додаток 6) необхідні геометричні характеристики і розміри швелера № 14.
А, ~ 15,6 CM2; z o = 1,67СЛІ; /Г] = 45,4 см*; Jgl ~ 491 см*. При виборі характеристик потрібно звернути увагу на позначення осей. Так, у таблиці відповідно до
позначень осей / = 491 CM4, J = 45.4 смА.
Обчислюємо площу і власні моменти інерції перерізу штаби:
4(16-4)*
= .
(H~k)
12
12
• = 64 см";
12
,„
hb3
її =
12
Рис. 3.7
4-163
12
= 1365, З е
Знайдемо координату у. центра ваги перерізу відносно початкової осі х0. За
ормулою (3.4):
"12
12
12
12
За формулами (3.9) обчислюємо моменти інерції простих частин перерізу
відносно головних центральних осей х і у:
А
H +h
16 + 4
3[ = І\ + of Д = 45,4 + (17/2 - 1,67)г -15.6 = 773,12 см4;
'," = ^ + N 4 =1.25 + (14/2 + !/2)2 • 15 = 845.0 см\
= Д + А; = 4 8 + 64 =
Обчислюємо головні центральні моменти інерції за формулами (3.1!):
48 .10+ 64-2
= 5,43 см.
112
У, =2Ґ,+2Ґ,' =2(773.12 + 281,25) = 21О8,7сж*;
It = 1l[ + 2J'J - 2 (491 + 845) = 2672,0 см\
\
Приклад 3.3. Визначити положення головних центральних осей
і величину головних центральних моментів інерції перерізу (рис. 3.7). Розміри
перерізу:
різу: b
b =Н
Н = 16 CM;
; a = h — 4 см.
Розв'язання. Переріз — складна плоска фігура. Положення однієї з головних
центральних осей відоме — це вісь симетрії. Скористаємося порядком розрахунку,
наведеним у 3.1.2.
Проведемо другу головну центральну вісь х і знайдемо ординати о, і а 2
центрів ваги простих частин:
ft =У Ч -(/ с = 1 0 - 5 , 4 3 = 4,57 сл;
а2 = уч
- ус = 2 -5,43 = -3,43СЛІ.
Визначимо за формулами (3.9) моменти інерції простих частин відносно осей х і у:
і
К =К, + " М = 576+ 4,57 а -48 = 1578,5 сж4;
/(' = 1^ = 64с« 4 ;
*4: К' =J'J = 1365,3 ел 4 .
59
ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Розділ З
Розбиваємо переріз на прості частини — прямокутники / і //, обчислюємо їх
площі і власні моменти інерції:
^
Визначимо головні центральні моменти інерції перерізу:
= }>f + і1' = 64 +1365,3 = 1429,8
ПЕРЕРІЗ/В
of.
Д, = М =
Приклад 3.4. Визначити положення головних центральних осей і величину
головних центральних моментів інерції перерізу (рис. 3.8). Н = 16 см, Ь= 10 см,
,
= 2 см.
Розв'язання. Переріз не має осей симетрії. Розрахунки будемо виконувати1 1
згідно з планом, який наведено в п. З.1.2.
'
a(H-kf
2(16-2)"
І2
12
a~h
,
3
аЧН-h)
2 (16 - 2)
) - 9,
= \12 ' - \ 12
=
= о.
Осі x L , ^ ( — головні для прямокутника / як осі симетрії.
Уг
У,
/
457,
„
bh3 _ 10 • 23
•=
'-> ^ 12 " 12
\
а
,„
\У
6.7.
2-Ю 3
fib*
Осі J:J, уг— головні для прямокутника // як осі симетрії.
Знайдемо координати центра ваги перерізу в системі координатних осей xv
уу За формулами (3.4)
\
с,
•
А
\
b a
де, = 0 ; ^ = - - - = 5 - 1 =
\
j;
\
л
\
V
II
с,
\
ъ"
Рис. 3.8
60
h
=
2
H
„
T " 8 СЛі;
X
о
о*
+
..
X
28-0 + 20-4
28 + 20
= 1,67 см;
см;
и
Sc
28-8 + 20-0
28 + 20
= 4,67 см.
Нанесемо положення центра ваги (точка С) на рисунок. Центр ваги перерву
знаходиться на відрізку CtCr Отже, обчислення виконано вірно.
Проводимо початкову систему центральних осей хг, ус. Визначаємо в цій
системі координати центрів ваги простих частин:
С, : « , = ! / , - & = 8 - 4 , 6 7 = 3,33 с«; 6, = ~хе =-1,67 см;
С2 : (ц = -ус = -4,67 см; Ь2 - х2 - хс - 4 - 1,67 = 2,33 СЛЇ.
За формулами (3.9)—(3.11) визначаємо осьові і відцентровий моменти
перерізу відносно осей хс, у :
^
1
"
= К + J" = Л', + а,г А + /^ + а^ А, - 457,3 + 3, ЗЗ г • 28 + 6,7 +
г
4
+ ( - 4 , 6 7 ) • 20 = \210,7 см ;
61
ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Розділ З
J, + 6і А + / Й + ^ Ч = Я 9 + (-1,67)' 28+ 166,7 + 2,33*20 =362.7™';
',* = 4* + С = 4 , + а>ь>А>+ С
+
°А4=
= 0 + 3,33(-1,67)- 28 + 0 + ( 4 , 6 7 ) - 2,33 -20 = -373,3 см\
Визначаємо положення головних центральних осей і величину головних
центральних моментів інерції.
За формулою (3,14)
362,7-1210,7
=
а а 8 0 2
= 4і°2О'
3.2.3. ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ
3.1. Обчислити головні центральні моменти інерції перерізу (рис. 3.9).
Відповідь: Іх - 1726.32 см."\ J:j = 87 см'.
3.2. Обчислити головні центральні моменти інерції перерізу (рис. 3.10).
Відповідь: ] - 6818 см'; J - 1403,5 см\
3.3. Як зміняться площа і моменти інерції Jt, J перерізу, показаного на
рис. 3.11, а, якщо замінити один отвір діаметром 200 мм двома отворами діаметром
100 мм кожний, як показано на рис. 3.11, б?
Відповідь: збільшаться: плоша А на 38,7%, 7 на 25,7%. Іґ зменшиться на 4,3%.
Центральні осі JCC, у займуть положення головних осей х, у, якщо їх повернути
проти ходу годинникової стрілки на кут а0 = 20°40'"
За формулою (3.15)
зо
р
УУУ
о
1
X
200
= /
К =Jl+Jl
о
СО
УУ/,
ГОСТ 8509-86
?
'™„ = ^ = 86,7 - 564,9-221,8 елі'.
я к
в і с ь х
'щи ~ Л «ближче» нахилена до осі я с , відносно якої момент
інерції більший {J,c > 7jr ).
Перевірка:
*) ^
+ /
ї т
J,+Jt
Рис. 3.9
Рис. 3.10
=1210,7 + 362,7^1573,4 см*;
=1351.6+ 221,8 = 1573,4 cV.
\ r
^
2) Іц = '
n
і
140
Л.» = К = ? 86,7 + 564,9 = 1351,6 см\
т а к
ПЕРЕРІЗІВ
- /
s
,
n
1210,7- 362,7 А С С6 6А0„2
^ sin 2aD + / l t i r cos 2а„ =
g —
°-
+
+ (-373.3). 0,7513 = 279,925 -280,561 --0,636 см\
Отже, J^ + /JL = 7Д + /^, а відносна похибка при обчисленні відцентрового
o,636.ioo
моменту
складає
27д
62
=
a 2 6 % < 2 %
Рис. 3.1 і
63
ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРЕРІЗІВ
Розділ З
3.4. Обчислити момент інерції /л перерізу (рис. 3.12).
1
Відповідь: 227 771,3 см .
3.5. Обчислити головні центральні моменти інерції перерізу (рис. 3.13),
Відповідь: 27 732 см"\ 9222 см'
3.6. Обчислити головні центральні моменти перерізу (рис. 3.14).
Відповідь: 142,7 см*; 218,2 см\
3.7. Яке співвідношення між площами і максимальними головними центральними моментами перерізу, показаного на рис. 3.15, і двотавра № 18а?
Відповідь: А/А - 1 , 7 9 ; /
//
=2,54.
'
ДЕ
'
та*'
та* ЦЕ
'
3.8. Визначити розмір а, що забезпечує рівність моментів інерції відносно центральних осей перерізу (рис. 3.16). Впливом з'єднувальних елементів знехтувати.
Відповідь: 11,37 см.
3.9. Визначити осьові / , Ja і відцентровий моменти інерції перерізів (рис. 3.17).
І
*<«)
bhs
з
ї(
"*
3 '
Jsl
"1
4
-?1
24
"19' '
3.10. Визначити головні центральні моменти інерції перерізу (рис. 3.18).
Відповідь: Угаа]і= 1,2917а4; / т п = 0,81 \Ьа*.
>
№20
ГОСТ 8240-72
Рис. 3.16
Рис. 3.17
На
і/
а
/А///////)
Рис. 3.12
W \\\\\\М
2а
Рис. 3.14
64
Рис. 3.18
Рис. 3.15
5 Опір матеріали
Рис-. 3.19
65
ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Розділ
3.11. Найти величину відцентрового моменту інерції JK рівнобокого кутика
140x140x10 (ГОСТ 8509-72) відносно центральних осей х, у, паралельних полицям
(рис. 3.19). Як зміниться Jti, якщо повернути переріз навколо горизонтальної
осі х на 180°?
Відповідь: -301 см!1; знак зміниться на додатний.
3.12. Порівняти головні центральні моменти інерції перерізів брусів, виготовлених з двох швелерів № 24 (ГОСТ 8240-72) двома способами (рис 3.20, я
і рис. 3.20, 6); /, = 2900 см*\ /„, = 208 сді4; А = 30,6 см\
Відповідь: У ф ) = / і ( 6 ) = 5800 си 4 ; / ^ , / / „ ^ = 3065,7/774,4 = 3,96.
<*,)
ПЕРЕРІЗІВ
3.13. Знайти положення головних центральних осей і визначити величину
головних центральних моментів інерції перерізу (рис. 3.21).
= а;«„=40'16'.
Відповідь: xt =%a;yc
& \ і
—•
-а .
6
6
3.14. Визначити величину головних центральних моментів інерції перерізу
(рис. 3-22).
Відповідь: Ja,iX= 2Q2,7a': / m l i i = 50,7Q'.
3.3. РОЗРАХУНКОВО-ПРОЕКТУВАЛЬНА РОБОТА
«ДОСЛІДЖЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПЛОСКИХ ПЕРЕРІЗІВ»
Для заданого перерізу визначити положення головних центральних осей
і величини головних центральних моментів інерції. Дані для розрахунку взяти
з табл. 3.2 і табл. 3.3.
Г77777Л7/
2,42
ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ РПР
Вихідні дані: схема 00: рядок № 3: штаба 240 х 10; кутик рівнобокий
І Ю х 110x8, швелер № 2 0 .
Розв'язання. Порядок розрахунку викладено в п. З.1.2.
1 .Викреслюємо переріз у масштабі і проводимо через центр ваги кожної із
простих його частин горизонтальні і вертикальні координатні осі xr yt; ху (/,; xv
у3 (рис. 3.23).
Рис. 3.20
2. Обчислюємо і виписуємо з таблиць сортаменту ГХ простих частин.
Штаба: площа Л,= 24-1 = 2 4 см2;
94 • І
3
3
24 • 1
елі4; / =
- = 1152 см'\
12
•"
12
Кутик 110x110x8 (ГОСТ 8509-72): площа А.2= 17,2 см!,
моменти інерції: /
моменти інерції:
Рис. 3.21
66
-2
1^ = /^ = 198 см': / г а а ч = 315 см*; 7 ^ = 81,8 см 4 ;
Рис. 3.22
67
ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Розділ З
Відносна похибка
Швелер 20 (ГОСТ 8240-72): площа Л 3 = 23,4 см'1:
моменти терції: 1^ = 1520 ся*; 1^ - 113 см 4 ; ]х
0,01
-0.
3. Вибираємо допоміжні осі хд І уд так, щоб весь переріз знаходився
в першій чверті (так робити не обов'язково, але зручно, оскільки при такому
виборі допоміжних осей координати центрів ваги складових частин перерізу
мають додатні значення) і визначаємо за формулами (3.4) положення центра
ваги перерізу відносно цих осей:
' А. -г. +А, -х, + А, -х-,
А, + А,г + ,
24-12 + 17,2 - 3+• 23,4 • 21,93 _ ,
24 + 17.2 + 23,4
Рис. 3.23
ПЕРЕРІЗІВ
•100% = 0 . 0 0 1 % < 2 % .
818,765'
Умова (3.1 7) також виконується: /1(г = 0 .
Це свідчить, що обчислення зроблено вірно.
Варіаяти завдань до РПР
Номер
рядка
Т а б л и ц я 3.2
Елементи перерізу
двотавр
(швелер)
кутик рівнобокий
(нерівнобокий)
штаба
товщина, им
ширина, мм
йЗбхїоохцГ)
18
200
12
14
80x80x8
14
130
150
20
18
110x110x8
56x56x5
10
16
6
7
27
63x40x8
70x45x5
80x50x6
Є
9
22
Розміри
Q
В CM
1
2
3
4
ш>
10
24
40x25x4
50x32x4
,
L
240
20
140
180
22
24
170
160
26
30
190
С£цй
Т а б л и и я 3.3
Види перерізів для РПР 3.3
Розділ
4
КРУЧЕННЯ
На кручення працюють багато елементів машин і механізмів: вали,
рами автомобілів, окремі частини станин металорізальних верстатів, фрези,
свердла тощо.
4.1. ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
4.1.1. ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ
При деформації кручення в поперечному перерізі бруса виникає
одне з внутрішніх зусиль — крутний момент М к .
Величина М у довільному перерізі бруса дорівнює алгебраїчній сумі
скручувальних моментів, прикладених по одну сторону перерізу. Скручувальний момент, що діє за ходом годинникової стрілки (якщо дивитись
з торця бруса), записують зі знаком «+». проти — зі знаком *-».
Дільниця навантаження при крученні — частина бруса, на якій
Мл змінюється за одним і тим же законом. Як правило, на дільниці
величина ЛІ постійна Ш = const). Границями дільниць є торцеві перерізи
і перерізи, де прикладені скручувальні моменти.
При розрахунках часто використовують залежності між величиною
скручувального моменту Т, потужністю Р і кутовою швидкістю (а або п):
"
Р
ш
-
.],
(4.1)
де Р — число ват; (і) — кутова швидкість в с"1
7-=9551-[н-м1,
п
(4.2)
73
КРУЧЕННЯ
Розділ 4
д е
р _ число кіловат; п — число обертів за хвилину;
(4.3)
= 7026-[Н-м],
п
де Р — число кінських сил; п — число обертів за хвилину.
У більшості випадків бруси, що працюють на кручення, мають круглий
переріз, суцільний або кільцевий.
—
4.1.2. ОСНОВНІ ЗАЛЕЖНОСТІ ПРИ КРУЧЕННІ КРУГЛИХ БРУСІВ
У поперечних перерізах при
крученні бруса круглого перерізу
виникають тільки дотичні напруження.
Величина дотичного напруження прямо пропорційна віддалі р від центра ваги перерізу
(рис. 4.1) І обчислюється за
формулою:
x
fl
~
(4.4)
де / — полярний момент інерції
перерізу.
Для круглого суцільного
Рис. 4.1
перерізу:
32
(4.5)
Для кільцевого перерізу:
32
(4.6)
(4.8)
Де тпіаі — найбільше дотичне напруження, що виникає в небезпечному
перерізі
бруса; Мк — крутний момент у небезпечному перерізі бруса,
рр
\
М =\М кр т а *J' "Wр — полярний момент опору перерізу; (т] —• допустиме
напруження при крученні.
п
Ы=О,5...О,6[а].
Для суцільного перерізу:
16
(4.7)
(4.9)
Для кільцевого перерізу:
«7 = ^ ( l - C 4 ) = 0 X ( l ~ C 4 ) .
(4.10)
Дільниця максимальних напружень — частина бруса, де величина т т а і
змінюється за одним і тим же законом. Як правило, на дільниці т тз „ = const.
Границями дільниць є торцеві перерізи і перерізи, де прикладені скручувальні моменти або змінюються розміри чи форма перерізу.
Взаємний кут повороту торцевих перерізів дільниці деформації називається її кутом закручування. Дільниця деформації — це частина
бруса, де величина Мк і розміри перерізу (полярний момент інерції перерізу
У ) змінюються за одними і тими ж законами, а матеріал бруса (модуль
зсуву G) один і той же. Границями дільниць є торцеві перерізи і перерізи,
де прикладені скручувальні моменти або змінюються розміри чи форма
перерізу, з також межі різних матеріалів. Кут закручування дільниці визначають за формулою:
Lrfz
^—[радіан],
Тут
74
• д е d3 і <1вн, відповідно, зовнішній і внутрішній діаметри кільця.
• Умова міцності:
(4.11)
де / — довжина дільниці.
Добуток GJt називається жорсткістю перерізу при крученні.
75
КРУЧЕННЯ
Розділ 4
При М - const і Jt= const кут закручування дільниці обчислюють
за формулою;
1, Еліптичний переріз (рис. 4.2):
Р^-паЬ1(а>.
Кут закручування частини бруса, що знаходиться між двома перерізами,
дорівнює алгебраїчній сумі кутів закручування дільниць, що знаходяться
між цими перерізами.
_ гіф
Відносний кут закручування 0 - ~г-.
а +Ь
Вподовж довільного радіуса напруження розподіляються за лінійним
законом і паралельні дотичній до контуру в точці перетину радіуса з контуром. Максимальні дотичні напруження t m a j l = xm діють на кінцях малої осі.
Напруження на кінцях великої осі:
Для дільниці з постійними крутним моментом і жорсткістю
t
GL
т_ =
(4.13)
[рад/м].
(4.14)
= ^ K - s [el,
"max
Ґ*
і
(4.19)
2. Прямокутний переріз (рис. 4.3):
(4.20)
Умова жорсткості:
Є
(4.17)
(4.12)
Ф =
L J'
де Л^,,— максимальна величина крутного моменту.
(4.21)
Тут h — розмір більшої, zb — меншої сторони прямокутника. Максимальні
напруження т ^ діють посередині більших сторін. Дотичні напруження
посередині меншої сторони прямокутника:
T . = V W
(4.22)
4.1.3. КРУЧЕННЯ БРУСІВ НЕКРУГЛОГО ПЕРЕРІЗУ
При крученні брусів некруглого перерізу максимальне дотичне
напруження і відносний кут закручування обчислюють за формулами:
т-
=¥=-:
GL
• '
(4.15)
(4.16)
Тут W H — момент опору перерізу при крученні, має розмірність [L3];
Ік-— момент Інерції перерізу при крученні, має розмірність [L4].
Нижче наведено значення WJ / в для деяких перерізів.
76
Рис. 4.2
Рис. 4.3
77
КРУЧЕННЯ
Розділ 4
Коефіцієнти а, (3 і у залежать від співвідношення сторін h і b і наведені
в табл. 4.1.
При h/b>\0 приймають а = |3= 1/3 і №; = \/3hb2; / к = 1/3 Лй3.
т а бл
А/Ь
1
1,75
1,5
2,0
2,5
3,0
4,0
8,0
6,0
иц я 4.1
де ш — площа, обмежена середньою лінією профілю; 5 — товщина стінки
а місці визначення т.
Максимальні дотичні напруження виникають в місцях, де стінка профілю має мінімальну товщину:
10,0
а 0.208 0.231 0,239 0,246 0,256 0,267 0,282 0.299 0,307 0,313 0,333
Р 0,И1 0,1% 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333
Т 1,000 0,859 0,820 0,795 0,766 0.753 0.745 0,743 0,742 0,742 0,742
т
(4.24)
У практиці знаходять широке
застосування тонкостінні профілі:
прокатні профілі (кутик, двотавр, швелер), тонкостінні труби, гнуті та зварні
профілі різної форми. Вони можуть
бути замкненими і відкритими,
А. Замкнеш профілі (рис. 4.4).
Напруження в довільній точці
тонкостінного замкненого профілю
обчислюють за формулою Бредта:
78
т
=
М.
2ш6'
'
(4.27)
6=
5'
(4.28)
де ds — елемент середньої лінії профілю, інтегрування виконується по
всій довжині s середньої лінії профілю:
}
=
403 і
jt
ds
(4.29)
Якщо 5 = consi, то
4.1.4. КРУЧЕННЯ ТОНКОСТІННИХ ПРОФІЛІВ
Рис. 4.4
є
К = 2ш6ті„.
Найбільші дотичні напруження виникають посередині сторін.
Аналогічні формули отримані для інших правильних многокутників.
Вони наведені в довідниках.
Середня
(4.26)
л
де 5 ^ — найменша товщина стінки.2ш5„,„
(4.23)
46,2
=
Відносний кут закручування обчислюють за формулою:
3. Рівносторонній трикутник (а — його сторона):
W =—
* 20'
max
(4.25)
4Gw 2 S'
J. =
(4.30)
(4.31)
Для тонкостінного круглого кільця (при відношенні товщини стінки
до середнього діаметра Dt кільця — < 0,1):
<D =
4
s = пД.
(4.32)
(4,33)
79
Розділ 4
КРУЧЕННЯ
4.1.5. РОЗРАХУНКИ НА КРУЧЕННЯ ПРЯМИХ БРУСІВ
Б. Відкриті профілі.
Довільний відкритий профіль можна представити як суму вузьких
прямокутників (рис. 4.5).
Відповідно:
'.=£ft-S,-5?.
(4 34)
де S/\ Ь: — більша і менша сторони прямокутника; рг — коефіцієнт, що
визначається за табл. 4.1;
(4.35)
W.. =
Р.-8,
ct.
де p. і а. — коефіцієнти, визначені за табл." 4.1.
Якщо S/S,> 10 і 5 = const, то а = 3 = 1/3 і
З
ЗЛ-L
/
™-
S-S*
1. Перевірний розрахунок. За відомими крутним моментом, розмірами
лерерізу бруса і механічними характеристиками матеріалу обчислюють
максимальні дотичне напруження та відносний кут закручування і порівнюють ЇХ 3 допустимими значеннями, т <->[т], Э <-»[Є] (приклад 4.1).
ft. Визначення вантажопідйомності бруса. Переріз відомий. З умов
і, , = Іт] і 0,па = [0] обчислюють допустиме значення крутного моменту
\МК ] (приклад 4.4). Допустима величина скручувального моменту
Т\ = [М ] і є вантажопідйомністю.
(4.36)
Ш. Проектувальний розрахунок, 3 умов міцності і жорсткості визначають необхідні розміри перерізу. Остаточно приймають більші розміри,
що задовільняють обидві умови (приклад 4.2).
(4.37)
При крученні брусів некруглого і тонкостінного профілів зустрічаються, в основному, задачі типу І і II.
G • S • 53
де 5 — довжина середньої лінії відкритого профілю.
Для профільного прокату:
- Л=П^£$8?-
Круглі бруси, що сприймають обертові або скручувальні моменти,
1,-івжди розраховують на міцність і часто — на жорсткість. Зустрічаються
гри типи задач.
(4.38)
Коефіцієнт т) дорівнює:
1,00 — для кутнкового перерізу;
1,20 — для двотаврового перерізу;
1,15 — для таврового перерізу;
1,12 —для швелерного перерізу.
4.1.6. РОЗРАХУНКИ ЦИЛІНДРИЧНИХ ГВИНТОВИХ ПРУЖИН
З МАЛИМ КРОКОМ
Умова міцності пружини з дроту круглого перерізу при розтягу або
стиску:
= К•8WJ-SM,
(4.40)
де F — навантаження, що діє по осі пружини; D — середній діаметр
пружини; d — діаметр дроту; К — коефіцієнт, що враховує вплив нахилу
та кривизни витків і поперечної сили, залежить від відношення D/d.
Для пружини з прутка квадратного перерізу:
(4.39)
Рис. 4 5
80
де 5 гтіаі — найбільша з товщин
прямокутників, що утворюють
переріз.
-
F
°
*M,
(4.41)
де К) — коефіцієнт, що залежить від відношення середнього діаметра D
пружини до сторони b перерізу витка.
Ь Оиір ма
81
КРУЧЕНИЯ
Розділ 4
4.2. ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ
Значення коефіцієнтів К і Я\ наведені в таблиці 4,2.
4.2.1. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
Т а б л и ц я 4.2
"
D 0
d' b
К
_
—_
•—[
4
5
6
S
10
12
1.37
1.29
1,24
1.17
1.14
1.11
1.33
1,26
1,21
1,16
1,13
1,10
Коефіцієнт а = 0,208 (табл. 4.1).
Зміну довжини пружини (видовження при розтягу або осадку при
стиску) з круглого дроту обчислюють за формулою:
(4.42)
А —
Gd*
де п — робоче число витків пружини; G — модуль зсуву.
Для пружини з квадратного дроту:
FD3nn
.
А =
(4.43)
д е р = 0.141 (табл. 4.1).
Осадка пружини повинна бути такою, щоб не було закриття зазорів
між витками.
Потенціальна енергія деформації пружини:
..
V
1 _.
FK
AF2D3n
^ '~G^Об'єм пружини V. необхідний для поглинання заданої
енергґі" Т = U, при умові, що т s = [т]:
AGT
Ій
...
( 4 4 4 )
величини
V=
Жорсткість пружини:
(4.45)
дегі — діаметр круглого дроту; Ь — сторона квадратного перерізу; (3 = 0,141.
82
Кручення стержнів різних перерізів, розрахунок циліндричних гвинтових пружин з малим кроком
1. Коли виникає деформація кручення?
2. Як визначити величину крутного моменту в довільному перерізі?
3. Які залежності між величиною скручувального (обертового) моменту, потужністю і кутовою швидкістю?
Кручення круглих стержнів
4. Як обчислити дотичні напруження в довільній точці перерізу?
Який вигляд має епюра розподілу дотичних напружень по діаметру
перерізу?
5. Як обчислити полярні моменти інерції перерізу і полярні моменти
опору круглих суцільного і кільцевого перерізів?
6. Як записують умову міцності?
7. Як обчислити абсолютний І відносний кути закручування? Які їх
розмірності?
8. Як записують умову жорсткості?
9. Що таке дільниці навантаження, максимальних дотичних напружень і деформацій? Що є їх границями?
10. Як обчислити кут повороту частини бруса між двома перерізами?
11. Які перерізи є характерними?
Кручення брусів некруглого перерізу
12. Як обчислити максимальне дотичне напруження?
13. Як обчислити моменти опору при крученні еліптичного і прямокутного перерізів?
14. Як обчислити відносний і абсолютний кути закручування?
15. Як обчислити моменти інерції при крученні еліптичного і прямокутного перерізів?
16. Як обчислити момент опору і момент інерції при крученні перерізу
у вигляді рівностороннього трикутника?
Замкнені профілі
17. Який вигляд має формула Бредта? Який фізичний зміст величин,
що входять у формулу?
~.
83
КРУЧЕННЯ
Розділ 4
18. Як обчислити максимальні дотичні напруження в поперечному
перерізі тонкостінного замкненого профілю?
19. Як обчислити відносний кут закручування стержня, що має тонкостінний замкнений профіль? Який зміст величин, ідо входять у формулу?
20. Який вигляд має формула для обчислення відносного кута
закручування стержня при постійній товщині стінки профілю?
Відкриті профілі
21. Як обчислити момент інерції перерізу при крученні тонкостінного
відкритого профілю?
22. Де виникають максимальні дотичні напруження?
23. Як обчислити максимальні дотичні напруження?
24. Як обчислити відносний кут закручування?
25. Як обчислити момент інерції і момент опору перерізу тонкостінного
відкритого профілю при крученні?
Розрахунок циліндричних гвинтових пружин з малим кроком
26. Як обчислити максимальне дотичне напруження в перерізі витка
пружини з круглого дроту?
27. Як обчислити максимальне дотичне напруження в перерізі витка
пружини з квадратного дроту?
28. Як обчислити видовження або осадку пружини з круглого дроту?
29. Як обчислити видовження або осадку пружини з квадратного дроту?
30. Як обчислити потенціальну енергію деформації пружини?
31. Як обчислити об'єм пружини, необхідний для поглинання заданої
величини енергії?
32. Що таке жорсткість пружини? Як її обчислити?
а) Визначаємо дільниці. їх три:
і—ВС. II—CD, III—DE.
б) Обчислюємо величину крутного моменту для кожної дільниці:
/— ВС:0<г,<40 см.
84
z
7 = 7 кИм
yh
її—CD. 0<г3<30 см.
Ш—DE: 0йг3<20 см.
в) Будуємо епюру Мк[і (рис. 4.6, б).
2. Побудова епюри кутів закручування.
Обчислюємо кути повороту характерних перерізів А С, В відносно
нерухомого перерізу Е.
Кут закручування дільниці обчислюємо за формулою (4.12):
ф =
4,24
Жорсткість G/,no всій довжині
вала постійна. Тому дільниці деформацій збігаються з дільницями навантаження.
Рис. 4.6
4
Ttd
32
Полярний момент інерції J р
Тоді
п
4
6
4
0
10
:70 -10 " IS = 188574 Н-м г
Ь - ^ - 8 S- 10
32
32
4.2.2. ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ
Приклад 4.1. До сталевого бруса, розрахункова схема якого показана на
рис. 4.6, а. прикладено скручувалькі моменти Ту Т„, Ту
Побудувати епюри крутних моментів Мл і кутів повороту ер перерізів,
перевірити міцність і жорсткість бруса, якщо діаметр d~70 мм, модуль зсуву
G = 8-10'МЯс, допустиме напруження [х] = 70 ШІа, допустимий відносний кут
повороту | 6 ] = 1,5 град/м.
Розв'язання.
1. Побудова епюри крутних моментів.
= 7 кНм Т,= 7 кН.ч
Фо = Ф Е
ф с == ф й + ф « о ,
фн^
МІГ і,
+ Ф«й= 0 +
= -4,24-1О"
GJa
3
3
^Фс+Фмо = 0,53-10" +
<„
+
< • ' ,
О/,
4- 10s- 20- 1 0
" - - 4 24 10"
18Ї1574 — — — 4 , Z 4 •
-4,24- 10"
3
^0,53- КГ1
3
ріid.
3- Ю3 -ЗО-ІО"3
-- 0,531 0 а pad.
188574
2- 103 -40-10-2
- 4,77 •
10"3 рад.
188574
85
КРУЧЕННЯ
Розділ 4
2
Розмірність: G — Н/м ; М ^ — Нм; d, 1 — м.
За отриманими даними будуємо епюру ір (ряс 4.6, в).
3. Обчислюємо т.. и і В ^ за формулами (4.8). (4.14) і перевіряємо виконання
Приклад 4.3. Порівняти вагу суцільного і пустотілого валів, спроектованих
за умови, що вони сприймають однакові крутні моменти. Внутрішній діаметр
пустотілого вала складає 0.8 від зовнішнього.
\ Розв'язання. Відношення ваг валів дорівнює відношенню площ їх перерізів.
умов міцності і жорсткості.
ш.
V,
16-4 10я ( 7 0 10
э
г
= 59,4 • 10* Н/м
т
= 59,4 М/7а.
Q2
л
А,
4 '
*
4
^
'
^
Тоді
яі~ 59>4 ЛШй<[т] = 70 ЬАЇЇа. Умова міцності виконується.
0
т
а
, ^ Н
Ыъ
^
2 , 1 2 Ю ,
188574
6 mj , = 1,22 град/' м <І0] = 1,5 град/м.
Розмірність: Ми
Співвідношення між діаметром d суцільного вала і зовнішнім діаметром ^пустотілого вала визначимо з умови рівності максимальних дотичних напружень.
я
Умова жорсткості виконується.
— Нм; d — м, GJ — Им .
Приклад 4.2. Сталевий вал передає потужність Р - 70 к. с. при кутовій
швидкості п = 1000 об/хв. Визначити діаметр вала, якщо допустиме дотичне
напруження для матеріалу вала Ы = 80 МПа, а допустимий відносний кут закручування |Є| = 1 град/м, С = &-\<УМПа.
Розв'язання. 1. Визначення діаметра вала з умови міцності (4.8):
t
ИГ
W. -
Ttrf 3
16
16
Тоді
Q,
-1,95.
їм.
так
Відповідь: т г = 1,95.
Тоді
V л-80-10 і ' 1000
п[т]п
"'""
2. Визначення діаметра вала з умови жорсткості (4.14):
,
nd"
,,.
?•
Тоді
32-7026-7О-180
М...
г
4
6
я -8-Ю -L0 -1000
Розмірність: [т], G — Н/м2.
Приймаємо: d - 44 мм.
86
К
2
пга<
Приклад 4.4. Як зміняться кут закручування
і вантажопідйомність бруса, якщо круглий поперечний переріз замінити квадратним? Квадрат
вписаний в круг (рис. 4.7).
Розв'язання. 1. Обчислення відношення кутів
закручування перерізів квадратної фив і круглої ф
форм:
G1.
= 4,352-1
32
GL
-о*
=0,141- — .
4
Рис.
4.7
87
КРУЧЕННЯ
Розділ 4
При т ^ - [т] крутний момент Мк = [Мі ].
(1)
Із (4.26) і (1) випливає, що [М^ ] - [т]2{і)Й]іш.
Площа <л = nab, де а і Ь — півосі еліпса, а = 8 0 / 2 = 40 мм; Ь = 2 6 / 2 = 13 мм
Тоді СЙ = лх40х13 =Е 1633,6 ммг і
Тоді
nd*-4
32-0.141rf
т
= 2,785.
2. Обчислення зміни вантажопідйомності бруса.
Вантажопідйомність бруса визначається допустимою величиною крутного
моменту. Тому її зміна
[іИ, р ] = 100 • 2 1633.6 • 1,5 = 490 • 10а Нмм
=э [ М к р ] = 490Н-м.
Розмірність: [т] — Н/мм2.
2.Визначення [Мкрі з умови жорсткості.
Товщина стінки перерізу постійна. Тому відносний кут закручування можна
обчислити за формулою (4 30):
Максимальні дотичні напруження в обох випадках однакові і дорівнюють
допустимому:
При Є — J0]
(П)
и=
Із (4.30) і Ш) випливає, що [ М ! р ] = [0]
Довжина середньої лінії s = Л П , 5 ( Й + 6 ) - -Jab ! —периметр
= M.M
3
- aft ft* [т] = 0,208а [і] = 0.20вГ-^ j [t]
Тоді s = ті (і, 5 (40 +13) - л/40 • 13) = 178,1 мм, і
L
T]
*pJ
180-10 3
L
178,1
pJ
Розмірність: [9] — рад/мм; С — Н/мм2.
Отже, допустима величина крутного моменту визначається жорсткістю стержня.
Відповідь: ІМ ] - 377 Им.
16
Відповіді}-, кут закручування збільшиться в 2,785 рази, а вантажопідйомність
зменшиться на 62.5%.
Приклад 4.5. Середня лінія поперечного перерізу сталевого тонкостінного
стержня є елілс, осі якого 80 мм і 26 мм. Товщина стінки S = 1,5 мм. Визначити
допустиму величину крутного моменту, якщо максимальні дотичні напруження
і відносний кут закручування не повинні перевищувати, відповідно, 100 МПа
і 3 град/м; G = З І О Ш / Ь .
Розв'язання. І Визначення \М ] з умови міцності.
Максимальне дотичне напруження в брусі з тонкостінним замкненим профілем визначають за формулою (4.26):
т_,„ =
'і'
Приклад 4.6. Сталевий стержень довжиною 1,5 м. поперечний переріз
якого є рівнобокий кутик 80x80x6 (ГОСТ 8509-72) (рис. 4.8), скручується двома
моментами Т - 180 Им, прикладеними в його торцевих перерізах.
Визначити максимальні дотичні напруження, що виникають у поперечному
перерізі, і кут закручування стержня; С = 810'ЛІЯа.
Розв'язання. Максимальні дотичні напруження в тонкостінних відкритих
профілях визначають за формулою (4.15):
т
=
•
= Т= 180 Н-м.
89
Розділ 4
КРУЧЕННЯ
Згідно з (4.38), (4.39).
Тоді:
0,6 • л • 7 5 ; • 8 • 6 0 а
* • • = / > •
4
Gd
4 8104124
Розмірність: р , G — tf/лш*; D,, D, d — мм.
З вцразів (1) і (2) маємо:
Для кутового профілю ї| = 1,5m31 = б, = 5.
Тоді
т и
лХ
s
$
I • 2 • (80 - 3) • 6'
0/
т
.
=
(2)
К
-
"І
=
GJ,
3
п -%76п
*.,= 2,76-16 = 44 лс«.
Використовуючи формулу (4.16). обчислюємо кут закручування стержня:
ф
4
Л - 1,29 (табл. 4.2).
а
.
З-180-10 • 1.5 -10
,пл
.
, , , „ . 180°
. , л„
л
Тоді <р = —
: 5— = 0,304pa<J = 0,304..
- = 17,4 .
8-Ю 4 • 2 77 • б3
л
Розмірність: Mt — И-мм; s,l, d — мм; G — H / мм1.
Відповідь: 97.4 МП а; 17.4 град.
т
т
™, = Л" -
•79-8D
-= л -
fid-79
Відповідь: п = 16; X = 44 ,чл; т
8_1_10М2_79
= 541 МЯд.
л - 6 0 ' 16
=541 МПа.
1
П р и к л а д 4.7. Запобіжний клапан закриває отвір діаметром D t = 7 5 мм
(рис. 4.9). Клапан повинен відкриватися при тиску пари р - 0,6 МПа. Діаметр
сталевої пружини D = 60 мм. діаметр дроту d- VI мм. Крок пружини (віддаль
між осями витків у вільному стані) ( = 17 MM: G = 8-10чЛШо.
Потрібно: 1) знайти необхідне число витків пружини п, вважаючи, що запас
пружини на стиск (від початку відкриття клапана до дотикання витків} X = 35 мм;
2) визначити початкову осадку пружини \\ 3) визначити напруження т ш і при
повному відкритті клапана.
о
Розв'язання. Повна осадка пружини:
Л. = A.t + A.-, = ( f - d ) - f i .
(1)
Початковій осадці пружини А, відповідає сила F, що зрівноважує силу тиску
пари на клапан:
_ \
3
80
= <Л і = Р •
Жорсткість пружини:
8D'/i'
90
Рис. 4.8
Рис. 4.9
91
Розділ 4
КРУЧЕННЯ
4.2.3. ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ
4.1. Вал передає потужність Р- 40 к.с. при 600 об/хв. Визначити діаметр
вала, якщо допустиме напруження для матеріалу вала [т| = 80 МПа, а допустимий
кут закручування |б] = 0,6 град/м; С - 8-Ю4 МПа,
Відповідь: 49 мм.
4.2. На вал насаджені ведучий і два ведених шківи. Ведучий передає потужність
60 кВт, а ведені сприймають 36 кВт і 24 кВт при кутовій швидкості 300 об/хв.
Визначити діаметр вала для двох варіантів розміщення шківів:
1) ведучий шків знаходиться між веденими;
2) ведучий шків є крайнім.
Діаметр вала постійний по всій довжині; [її = 80 МПа.
Відповідь: 42 мм; 50 мм.
4.3. Вал діаметром d = 90 мм передає потужність Р = 90 к. с Визначити
допустиме число обертів вала, якщо [т] = 60 МПа.
Відповідь: не менше 74 об/хв.
4.4. Як зміниться діаметр вала, якщо кутова швидкість збільшується у 20
разів? Всі інші параметри незмінні.
Відповідь: зменшиться у 2,71 рази,
4.5. З умови рівноміцності визначити Катет К зварного шва, з допомогою
якого приєднується фланець до труби, що передає обертовий момент (рис. 4.10).
Допустимі дотичні напруження-для матеріалу труби і допустимі напруження на
зріз для матеріалу шва однакові.
Відповідь: 3,4 мм.
4.6. Два вали однакової довжини, один з яких пустотілий, виготовлені
з одного матеріалу. Визначити відношення кутів закручування цих йалів при
умові, що вони передають однакові крутні моменти М і мають однакові максимальні дотичні напруження т т а > .
при крученні, якщо зовнішній діаметр перерізу d = 280мм, а внутрішній d^- 210 мм.
Вважати, що до моменту руйнування матеріал перебуває в пружному стані.
Відповідь: 3,05 МПа.
4.9. Сталевий вал вертикального гідрогенератора довжиною L = i 2 м
можна виготовити в двох варіантах: а) суцільним: б) пустотілим з розмірами
перерізу d.~ 1000 мм, d н = 400 мм. Вважаючи міцність вала на кручення
однаковою в обох випадках, визначити, вал якого варіанта легший і на скільки;
Y=7,8-104#/V.
Відповідь: пустотілий вал легший на 10,5-10' И.
4.10. Найбільші дотичні напруження в поперечному перерізі вала 1 ^ = 80 МПа.
Визначити величину дотичних напружень на відстані й / 4 від поверхні вала.
Відповідь: 60 МПа
4Л1. Як зміниться площа поперечного перерізу бруса, що передає скручувальний момент, якщо квадратний переріз замінити на прямокутний з відношенням
сторін 2:1? Максимальні дотичні напруження в обох випадках однакові.
Відповідь: збільшиться на 12,7%.
4Л2. Як зміниться площа поперечного перерізу вала, якщо замінити круглу
форму на квадратну? Максимальні дотичні напруження і крутний момент в обох
випадках однакові.
Відповідь: збільшиться на 22,5%.
4 . І З . Сталевий тонкостінний стержень має коробчастий профіль (рис. 4.12).
Чому дорівнює розмір h профілю, якщо скручувальний момент т — 1920 Им
спричиняє в перерізі дотичні напруження f - 80 МПа}
Відповідь: 60 мм.
4Л4. До торців сталевої тонкостінної труби з середнім діаметром перерізу
D = 97,5 мм прикладені скручувальнчі моменти т — 6 1 0 і Им. Якою повинна
бути товщина стінки труби, щоб дотичні напруження не перевищували 80 МПаї
Обчислити абсолютний кут закручування ір. Довжина труби 1 л*; G = 8-Ю1 МПа.
Відповідь: 5 мм; 1,18 град.
Відповідь: ^L = -±.
4\,s
d
4.7. Порівняти вантажопідйомність двох валів, площі поперечних перерізів
яких рівновеликі (рис. 4.11). Внутрішній діаметр кільцевого перерізу дорівнює
діаметру суцільного вала. Довжина валів і максимальні дотичні напруження
в поперечних перерізах однакові.
М'
Відповідь:-%• = 2,12.
К
4.8. При випробуванні опорного ізолятора на кручення було встановлено, що
порцеляна руйнується при М = 910 а Н-м. Визначити границю міцності порцеляни
92
К
Рис. 1.10
Рис. 4.11
93
КРУЧЕННЯ
4.15. Порівняти дотичні напруження і відносні кути закручування двох
тонкостінних труб, що сприймають однакові скручувальні моменти. Відмінність
між трубами: в одному випадну перерізом є замкнений профіль, а в другому —
відкритий (рис. 4.13, о, б). Д = 50лш; 8 = 2,5 мм.
Відповідь: — - - г — 60; -— , = 1200.
о
и.
о
4.16. Брус довжиною 2 м з двотавра № 20 (рис. 4.14) скручується двома
моментами 7 = 400 Н-м, прикладеними в його торцевих перерізах.
Обчислити кут закручування бруса і максимальні дотичні напруження
в поперечному перерізі; G =810* МПа.
Відповідь: 10,5 град; 72,3 МПа.
4.17. Визначити діаметр дроту сі і число виткій п пружини з середнім
діаметром D ~ 40 мм, якщо стискувальна сила Г = 1000 Я спричиняє максимальні
дотичні напруження т = 480 МПа і осадку пружини А. = 30 мм. Модуль зсуву
1
С = 8-10 МЛа,К= ІД™
Відповідь: 6 мм; 6.
4.18. В механізмі контактора на подолання сил опору руху контактів затрачується робота W= 30 Им. Визначити хід L (рис. 4.15) каретки механізму
швидкодії, при якому в трьох сталевих однакових пружинах накопичується енергія,
що па 20% більша роботи сил опору; d = 3,5 мм; D ~ 24,5 ли; п - 28, G = 8-10*Afffa.
Початкове зусилля в кожній пружині f n = 40 И.
Відповідь: 71,5 мм.
4.19. Визначити кількість енергії Т, що може поглинути буфер (рис. 4.16). Хід
штока IX - 20 мм, попередній стиск сталевої пружини \- 28 мм. Середній діаметр
пружини D — 34 мм; діаметр дроту d - 4 мм, кількість витків п = 10; G - ІУО'МПа.
Відповідь: 4*95 Нм.
4.20. До торців сталевого бруса довжиною 4 м прикладені скручувальні
моменти Т =600 Нм. Обчислити найбільше дотичне напруження і кут закручування бруса. Поперечний переріз бруса зображено на рис. 4.17.
Відповідь: 76,4 МПа; 11,7 град.
100
сч
5,2
f
Рис. 4.14
Рис. 4.15
25
105
и>
сч
о 10- №
4—
зо
Рис. 4.12
94
Рис. 4.13
Рис. 4.16
Рис. 4.17
95
Розділ 4
4.3. РОЗРАХУНКОВО-ПРОЕКТУВАЛЬНА РОБОТА
«РОЗРАХУНОК ПРЯМИХ БРУСІВ НА КРУЧЕННЯ»
До сталевого бруса змінного перерізу (рис. 4.18, а, б) прикладено скручувальні
моменти Т1 і Тг.
З умови жорсткості і міцності визначити розміри поперечних перерізів
бруса. Розмір d округлити до найближчого більшого парного або кратного п'яти
цілого числа (мм). Інші розміри округлити до цілого числа. Прийняти: І — 0,1 м;
Т- 100 Им; z~ 160ЛІ/7о; С = 810 4 ЛШа; інші величини взяти з табл. 4.З.
Обчислити кут повороту торцевого перерізу.
ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ РПР
d
a
Дало: схема б; ~f- = 0,80;
d,
- = 1,3;
L
L
I,
7 = 1.5; ~= 2,4; ~ =
l
l
bi
ї - = _ 1 , о Д = 2,5:[0] = 2,а град/м;
!
-2-
пт = 2,А.
Розв'язання. І. Записуємо числові значення заданих величин.
;,= 1,5 / = ОД 5.x; / s =2,4-( = 0.24 ж; !3= 1,2-1 = 0,12 лі; Г, = - Т = - 1 0 0 Им;
7;= 2 , 5 7 ^ 2 5 0 Им;
К
2,4
Таблиця
№.
рядка
Схема
0.60
0,65
a
0.70
6
0.75
а
0,80
б
0,60
а ... . 0,65
б
0,70 _
а
0,75
6
0.80
1
s
2
б
3
4
5
6
7
8
9
0
а
"rfT
и
!
2,1
г,
1,1
1.2
1.1
-2,1
2,2
1,5
-1,2
2,2
2,4
1,6
1,3
-2.3
2,6
1,7
-1,4
2;i
2,8
1.8
1,5
1.5
-2,5
3,0
1.9
1,6
-1,6
2.6
3,2
2,0
1,7
1,7
-2,7
3,4
2,1
1.8
-1.8
2,8
3.6
2,2
/
1.1
1.2
1,1
1,2
1,3
1.3 .
2,3
1,4
м
2.4
1,3
1.4
1.5
2.5
1.6
1.6
2,6
1,7
1,7
2,7
1.8
1,8
2,8
1.5
2,2
мЛ
h
ъ
I
Т
г,
т
град/м
1,9
1,9
2.9
1,9
1,9
-2,9
3,8
2,3
2,0
2,0
3,0
2,0
-2,0
3,Р
4,0
2.4
Рис. 4.18
c
96
n
i
—
КРУЧЕНИЯ
Розділ 4
Е
м
НІ
'
тг
D
г,
0.24 м
0,12 м
100
Н-м
0.15
І 150
Рис. 4.20
4. Визначаємо розміри поперечного перерізу для кожної дільниці з умови
міцності:
/VI
- Й С : - ^ < [ т 1 . М ; = 100
= 67 МЛа;
16
I6-100-1Q'
Г37
Г"~Г\ ~ ЛЛ MM.
<>
РОЗМІРНІСТЬ: М — Н-мц; [т] —
// — CD:
Тоді ^ > з
V
і[т]
,16-150-10* о о с
= '——_—
= 22,5мм.
л-67
Я/ —
|rj. \М£\ = 150 Нм, W, = а • ab~.
Рис. 4.19
3. Будуємо епюру крутних моментів М (рис. 4.20).
/ — ВС: М'^= Т= 100 Нм.
II — CD: М'1=ТГТ2=
100-250 = -150 Ял.
НІ — DE: •<' = М * - -150 Нм.
98
Визначимо величину коефіцієнта а при відношенні сторін а/й = 1 / 3 . використавши лінійну інтерполяцію:
а/Ь-
1,5=* а-0.231 (табл. 4.1).
0,231-0,208
2 = 0,222.
99
Розділ 4
КРУЧЕНИЯ
= 25,7 мм.
Тоді Є" =
Отже, розмір da визначається з умови міцності для дільниці НІ.
Приймаємо: d = 26 мм; <fBH= 0,8x26 => dtii-2\
мм
<
j
;
a-d = 2b мм;
-
^
=
= 2,97 град/м.
'Тг^
8Ю4-106-7,92-10-г.]0'|;(
Відносний кут закручування на третій дільниці більший допустимої величини:
0" = 2,97 град/я > [в] = 2,8 град/м.
6. Визначаємо розміри поперечних перерізів бруса з умови жорсткості:
5. Перевіряємо виконання умови жорсткості для кожної з дільниць:
/ — ВС:
]. l[в]
= 2,8Ґград/м ^2,8- — мЛ.
J
,180
J
32
32 • 100
Тоді — ~
G-7,92
8-10'-10в-я-264-10-|1(1-0,84)
0,0472 рад/м=
ш:
—І
г
= 2 , 6 4 - 1 0 " ^ - 26,4 мм.
/7,92-10- -8-10"-10 f i -2,8-7t
Розмірність: M — Им; G — Н/мг; (в]— м\
Остаточно приймемо: d. = a - 28 мм; dB = 0,828 =* dc = 22 мм;
Ь - а/1,3 - 28/1,3 =* Ь - 22 мм
7. Обчислюємо кут закручування торцевого перерізу. Він дорівнює алгебраїчній сумі кутів закручування на кожній з дільниць:
32-150
= 0,ОШрад/м = 2,4 град/м.
8-10 4 -10 6 -я-26 4 -1О-"
GL
М~ =150Я-,и;
7,9210" 2 G[e]
2
п-со-.е'-^.К-^К
\м:
М"
150-180
180
0,0472 — = 2,7 град/м. Є' < [0] = 2,8
ті
Розмірність: М[?— Им; G — Н/мг; d — м.
III — DE; Є" -
10 - ^ M
Фв = ФШІЛ + Фпт + Ф«л-
a_=d^_
= 0.174 • 28 - 2 2 М 0 " 1 2 =5,1877-10-'
~ 1,3 ~~ 1,3
Коефіцієнт р визначаемаза табл. 4.1, застосовуючи лінійну інтерполяцію:
при -- = 1
Ь
при
100
Р = 0,141,
- = 1,5
о
0 = 0,196
32
101
Розділ 4
Фв
1 ґ-150-0,15 -150-0,24 + 10^012 U
О-10-1
5,1877
6,0344
3,7346
"
1
-(-4,3372-5,9658 + 3,2132) =
8-!04-І0610
180°
Розмірність: М — И-м; І — м; G — Н/м'\
Розділ
5
ЗГИН
=-0,508°.
/ ( J? — м*.
Згин —• найбільш розповсюджений у природі і техніці вид деформації.
Немає області діяльності інженера, де б не виникала потреба кількісно чи
хоча б якісно оцінити міцність і жорсткість елементів, що працюють на
згин. Кожний з читачів цієї книги може навести сотні таких прикладів.
На згин працюють: олівець, яким ми креслимо; деталі столу, на який
опираємось; балкони І плити перекриттів будинків; більшість деталей
залізничних вагонів, матеріалооброблювальних верстатів, автомобілів,
стовбури дерев, стебла рослин та багато інших природних об'єктів.
5.1. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
5.1.1. ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ
Деформація згину характеризується викривленням осі бруса. При
цьому в поперечних перерізах бруса виникають згинальні моменти М.
При чистому згині в поперечних перерізах виникають лише згинальні
моменти. В практиці частіше зустрічаються випадки поперечного згину,
коли, крім моментів, діють і поперечні сили Q.
Найчастіше площина дії згинального моменту збігається з головною
площиною інерції бруса, що утворюється однією з головних центральних
осей поперечного перерізу і геометричною віссю бруса. Такий згин називають
прямим. Інші випадки згину представляють як сукупність прямих згинів.
Поперечну силу знаходять як алгебраїчну суму зовнішніх сил, що
діють ліворуч або праворуч вибраного перерізу перпендикулярно до осі
бруса. «Ліві» сили, направлені вгору, вважаються додатними. Для «правиха
сил знаки протилежні.
—
ЗГИН
Розділ 5
Згинальний момент визначають як алгебраїчну суму моментів зовнішніх сил, що діють по одну сторону перерізу відносно його центра ваги.
Моменти «лівих» сил вважаються додатними, якщо вони направлені за
годинниковою стрілкою. Для моментів «правих» сил знаки протилежні.
Розрахунки на згин повинні s першу чергу забезпечити міцність і жорсткість бруса. Для цього потрібно вміти будувати епюри поперечних сил
Q і згинальних моментів ЛІ, обчислювати величину напружень і переміщень.
— для перерізів, де діє зосереджена сила:
(5.3)
— для перерізів із зосередженим моментом:
М^ = М, ± т.
Q,=Q» + \;
5.1.2. ПОБУДОВА ЕПЮР ПОПЕРЕЧНИХ СИЛ
І ЗГИНАЛЬНИХ МОМЕНТІВ.
Ms = М„ + \ ,
Епюри поперечних сил і згинальних моментів — це графіки зміни
цих зусиль уздовж осі бруса.
Побудова епюр виконується, як правило, одним з трьох методів: аналітичним, за характерними точками, інтегральним.
В усіх випадках спочатку визначають реакції опор, які надалі враховують як зовнішні сили.
Методи відрізняються способом обчислення величин поперечних сил
і згинальних моментів у характерних перерізах, якими с граниш дільниць
І перерізи, де поперечна сила змінює знак у межах дільниці. Останнє
можливе при наявності розподіленого навантаження q.
Обчислення поперечних сил І згинальних моментів, а'також контроль
правильності побудови епюр виконується за допомогою нижченаведених
співвідношень і закономірностей, що з них випливають.
Поперечні сили Q і згинальні моменти М в обраному перерізі знаходять згідно з їх визначенням за формулами:
Л* = £«,=5Х.
(5.2)
В сингулярних перерізах, де діють зосереджені навантаження, на
епюрах виникають розриви (стрибки). Тому необхідно визначати зусилля
ліворуч і праворуч від перерізу. При цьому зручно користуватись такими
співвідношеннями:
_
(5.4)
У межах кожної дільниці функції Q і М не мають розривів, і зусилля
Q , Mt в кінці дільниці можуть бути обчислені через зусилля Qu, Л!гг на її
початку за допомогою інтегральних залежностей:
(5.5)
(5.6)
де А , А — площі епюр розподіленого навантаження q і поперечної
сили Q у межах дільниці.
Для полегшення побудови епюр Q і М і контролю їх правильності
використовують зазначені нижче закономірності. Частина з них випливає
з диференціальних залежностей Д. І. Журавського:
dQ
аг
n
dM
dz
де г — абсциса перерізу.
1. У перерізі, де прикладена зосереджена сила, на епюрі Q виникає розрив
(стрибок) на величину цієї сили. Епюра М у цьому місці має злом.
2. У перерізі, де діє зосереджений момент т, на епюрі М є розрив
(стрибок) на величину т. На епюрі Q це не позначається.
3. На дільницях, де відсутнє розподілене навантаження q, поперечна
сила постійна, а епюра М обмежена прямими лініями.
4. На дільницях, де діє рівномірно розподілене навантаження, Q змінюється за лінійним законом, епюра М обмежена параболою, випуклість
якої направлена назустріч навантаженню q.
5. При додатній епюрі Q момент М зростає (зліва направо), при від'ємній — зменшується.
6. В перерізі, де Q в межах дільниці змінює знак з «плюса» на «мінус»,
на епюрі згинальних моментів — максимум, якщо знак змінюється
з «мінуса» на «плюс» — мінімум.
Для побудови епюр аналітичним методом послідовно виконують
такі операції.
105
ЗГИН
Розділ 5
Для кожної дільниці записують вирази Q(z), М(г) як функції абсциси
перерізу. Обчислюють величини Q і М у характерних перерізах, підставляючи у відповідні вирази значення абсцис цих перерізів. Будують епюри
з врахуванням характеру функцій Q(z), Міг) і наведених вище закономірностей. Якщо в межах дільниці сила Q змінює знак, то з рівняння
Q(z) = 0 знаходять значення абсциси перерізу, де Q = 0, і обчислюють
екстремальне значення моменту в цьому перерізі.
Більш детально аналітичний метод розглянуто в прикладі 5.1.
При побудові епюр за характерними точками обчислюють значення зусиль Q і М в характерних перерізах за формулами (5.1), (5.2) або
(5.3)...(5.6) і будують епюри, враховуючи їх закономірності на кожній
дільниці. У випадку, коли поперечна сила змінює знак в межах дільниці,
віддаль а від початку дільниці до перерізу, де Q = 0, зручно обчислювати
за формулою:
5.1.3. ОБЧИСЛЕННЯ НОРМАЛЬНИХ НАПРУЖЕНЬ
Величину нормальних напружень у випадку прямого згину обчислюють за формулою
а =^
Аналогічні операції виконують для обчислення значень згинальних
р
Лі і т .
'
моментів. При цьому використовують величини Л
Для обчислення величини екстремального моменту після побудови
епюри поперечних сил у перерізі, де Q = 0, проводять вертикальну лінію,
яку розглядають як додаткову границю дільниці.
Детальніше інтегральний метод розглядається в прикладі 5.3.
106
(5.7)
де ЛІ — згинальний момент у перерізі; у — віддаль точки, де обчислюють
напруження, до нейтральної осі перерізу (рис. 5.1); !х— момент інерції
перерізу відносно нейтральної осі.
Нейтральною віссю є головна центральна вісь перерізу, що перпендикулярна до площини дії згинального моменту. Вона ділить площу перерізу
на розтягнену і стиснену частини.
Нормальні напруження змінюються уздовж другої центральної головної
осі перерізу за лінійним законом (рис. 5.1).
Максимальні нормальні напруження в перерізі:
Я
де Qn — значення поперечної сили на початку дільниці.
Розглянутий метод використано при побудові епюр у прикладі 5.2.
Техніка розрахунків за інтегральним методом зводиться до виконання найпростіших обчислень згідно з співвідношеннями (5.3)...(5.6).
Для побудови епюри Q проводять горизонтальну лінію розрахунків
граничних значень Q і вертикальні лінії на границях дільниць. Над лінією
розрахунків на початку кожної дільниці записують значення зосереджених
сил ±F (знаки беруться, як для «лівих» сил), у кінці — значення площ під
розподіленим навантаженням А = ql. Далі «стовпцем» виконуються додавання, а сума використовується як доданок для наступного підсумовування.
Результати додавання записуються під лінією. Це і є значення, за якими
будують епюру Q.
.
^ = ~ ^ -
(5.8)
Якщо нейтральна вісь є віссю симетрії, то найбільші розтягувальні
і найбільші стискувальні напруження за величиною однакові: a j ^ = &к
Для їх обчислення використовують осьовий момент опору перерізу:
(5.9)
Тоді
М
(5.10)
Величини Wx і W для профільного прокату типу двотавр, швелер
наводяться в таблицях сортаменту. Для прямокутного перерізу (рис. 5.1):
(5.П)
Wx=^-,Wt^.
Для круглого перерізу:
W =
де d — діаметр круга.
32 '
(5.12)
107
ЗГИН
Розділ 5
5.1.4. РОЗРАХУНКИ НА МІЦНІСТЬ
Для кільцевого перерізу:
(5.13)
де d3 — зовнішній діаметр кільця; rfsii — внутрішній діаметр кільця.
Пластичні матеріали однаково опираються розтягу і стиску. Для них
допустимі напруження на розтяг і стиск однакові, [ а р ] = [о с ] = [о]. Тому
При розрахунках на міцність в абсолютній більшості випадків використовують умову міцності за нормальними напруженнями:
о_<[о].
(5.15)
Конкретну форму умови міцності записують у залежності від форми
перерізу і матеріалу.
раціональними для балок з пластичних матеріалів є симетричні відносно
Л. Переріз симетричний відносно нейтральної осі.
нейтральної осі перерізи.
Якщо нейтральна вісь не є віссю симетрії, то величини найбільших
розтягувальних і найбільших стискувальних напружень різні (рис. 5.2).
Такі перерізи використовують для балок з крихких матеріалів (наприклад,
чавуну), які краще опираються стиску, ніж розтягу [aj>la ]. Балку орієнтують
таким чином, щоб у перерізі з найбільшим згинальним моментом виконува> аЦи1 • Величини цих напружень обчислюють за формулами:
лась умова
1 — пластичний матеріал:
і™ =%^[а].
(5.16)
2 — крихкий матеріал, |о с J > [ c p j :
(5.17)
Б. Переріз несиметричний відносно нейтральної осі.
(5.14)
1 — пластичний матеріал:
- Уь
I
J'
(5.18)
де уъ —віддаль від нейтральної осі до найбільш віддаленої точки перерізу.
1
У
•—
Г
=
2 — крихкий матеріал:
І
тая
J
^
і
I
І-
ь
Рис. 5.1
108
Рис- 5-2
7/ х
У
(5.19)
,у^ — віддалі від нейтральної осі до найбільш віддалених точок
де
у розтягнутій і стиснутій частинах перерізу.
Аїгая> у формулах (5.16)...(5.19) — найбільша за абсолютним значенням величина М на епюрі згинальних моментів.
109
Роздія 5
ЗГИН
За допомогою умов міцності розв'язують три типи задач.
кутове переміщення — з рівняння:
I. Перевірний розрахунок. Відомі матеріал, переріз і значення максимального моменту. Для перевірки міцності обчислюють атаі і порівнюють
його величину з допустимим напруженням, с т м <-* [а] (приклади 5.2; 5.3).
II. Визначення вантажопідйомності балки. Переріз відомий. Обчислюють допустиму величину згинального моменту [.МІ. При визначенні
Мт> виражають його через невідомі зовнішні сили. З рівності Afmm= Ш]
визначають допустиму величину зовнішніх сил (приклад 5.4).
III. Проектувальний розрахунок. Форма перерізу і зовнішні сили
відомі. Обчислюють W або J. Далі за таблицями сортаменту вибирають
необхідний номер прокатного профілю або визначають відповідні розміри
перерізу (приклад 5.1).
EJ
(5.22)
3!£/
Прогин вважається додатним, якщо переміщення збігається з напрямком осі у. Додатний кут повороту відповідає повороту перерізу проти
годинникової стрілки.
В наведених виразах (рис. 5.3):
Уа, % — початкові параметри (прогин і кут повороту лівого торцевого
перерізу балки);
т
<> Fi> Я,— зовнішні зосереджені моменти, сили і розподілене
навантаження;
5.1.5, РОЗРАХУНКИ НА ЖОРСТКІСТЬ
Друга задача — оцінка жорсткості — зводиться до виконання умови
жорсткості
Д<[д].
(5.20)
У цій умові Д — лінійне чи кутове переміщення перерізу, яке для
забезпечення нормальної експлуатації конструкції не повинно перевищувати допустимої величини (Д].
Допустиме переміщення [д] в розрахунках вважається відомим. Величину ж дійсного переміщення А можна обчислити одним з відомих методів,
наприклад, методом початкових параметрів.
Лінійне переміщення (прогин) за цим методом знаходять з універсального рівняння:
у = у0 + Qoz +
У»,
тт
m,
2\EJ
4!ЄУ
НО
<V aF, aq, a* — абсциси перерізів, де прикладено моменти, сили, починається і закінчується розподілене навантаження;
EJ — жорсткість перерізу балки;
г — абсциса перерізу, де визначають переміщення.
3\EJ
(5.21)
Рис. 5.3
НІ
ЗГИН
Розділ 5
Правила користування універсальними рівняннями
1. Початок координат вибирають у лівому кінці осі балкн.
2. При обчисленні переміщень конкретного перерізу враховують тільки ті навантаження, що діють зліва від перерізу.
3. Знаки перед доданками приймають такі ж, як при обчисленні згинальних моментів «лівих* сил.
Для обчислення переміщень за формулами (5.21) і (5.22) необхідно
попередньо визначити початкові параметри уй\
% . Найпростіше вони
визначаються для консольних балок. Балку орієнтують так, щоб защемлення
було зліва. Тоді У 0 =0, О0 = 0. Дія однопролітної jшарнірно обіпертої по
9. Як обчислюють граничні значення Q і М при побудові епюр
інтегральним методом?
10. Як записують умову міцності при згині для пластичних матеріалів?
11. Як записують умову міцності при згині для крихких матеріалів?
12. Які форми перерізів є найбільш раціональними для балок, що
виготовлені з пластичних І крихких матеріалів?
13. Які види переміщень перерізів виникають при згині?
14. Що таке початкові параметри? Як їх визначають для різних схем
балок?
15. Як записують універсальне рівняння для знаходження прогинів?
16. Як записують універсальне рівняння для знаходження кутів
повороту?
кінцях балки у0 = 0. Значення О0 знаходять з універсального рівняння (5.21),
використовуючи умову: при z = І (права опора) yt= 0. Для балки з двома
консолями 6„ і yv визначають з умови рівності нулю прогинів на обох
опорах. Отримавши систему з двох рівнянь, розв'язують її відносно Qo і у0.
5.2.2. ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ
Приклад 5.1. Для балки, схема якої зображена на рис. 5.4, побудувати
епюри Q і М аналітичним методом і визначити необхідний з умови міцності
діаметр круглого поперечного перерізу, [ст] = 160 МПа.
Розв'язання- 1. Визначаємо реакції опор з умов рівноваги:
5.2. ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ
= 0 ; - Я , -4
РОЗРАХУНКИ НА МІЦНІСТЬ І ЖОРСТКІСТЬ
ПРИ ПРЯМОМУ ЗГИНІ БРУСА
5.2.1. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1. Що таке поперечний згин? Який згин називається прямим?
2.. Як визначають поперечну силу і згинальний момент у заданому
перерізі?
3. Які правила знаків для доданків, що входять у вирази поперечної
сили і згинального моменту?
4. Які ви знаєте диференціальні залежності Д. І. Журавського?
5. Що таке епюри поперечних сил, згинальних моментів? Для чого
будують епюри?
6. Які основні особливості епюр Q і М?
7. Які операції виконують при побудові епюр аналітичним методом?
8. Які операції виконують при побудові епюр за характерними точками?
-_
л =0;
«7-З"-3-т =
= Q; RB =
= 3,5
= 2,5
Н.
К
Перевірка: £ У =0 ; 3,5 + 2 , 5 - 3 - 2 - 0 .
Реакції знайдено вірно.
2. Записуємо вирази функцій 0(г), Л1(г) для кожної дільниці і знаходимо
значення функцій на границях дільниць.
Балка має три дільниці.
1.0<,г<2м
Q' = ff, - 17г = 3,5-3z — рівняння прямої;
%щ
=3,5«W; Q (; ., } = 3 , 5 - 3 - 2 = -2,5хЯ.
JW = ЙЛ -г~ц—
= 3,5г-],5з — рівняння параболи.
ЛІ(г=„, - 0 ; М І г , ? 1 = 3 , 5 - 2 - ] , 5 - 2 г = 1к//-л.
Опір матеріалів
113
1
Розділ S
III. 2 £ г < 3 м
W = Д д - ? - 2 = 3,5-3-2 =-2,5 К Я= const.
ЛЇ" = Дл -z -<?-2(г-1) = 3,5г - 6 ( z - l ) — рівняння прямої.
Л ^ _ „ - 3 , 5 - 2 - 6 ( 2 - 1 ) = 1 *№*; Лї„^ = 3,5-3- 6 ( 3 - 1) = -Ъ5кН-я.
III. 3 < г < 4 «
0'" =-Д в = -2,5 к я = const.
М'" = Л в ( 4 - г ) = 2,5(4-г) — рівняння прямої.
М{гж3) =2,5(4-3) = 2,5кЯ-л; Л1(„4] - 0 .
ЗГИН
3. Будуємо епюри 0 і М, враховуючи, що на дільницях, де діє навантаження q,
епюра М — парабола, орієнтована випуклістю проти навантаження. На інших
дільницях епюра М обмежена прямими. Як видно з епюри, максимальний момент
виникає в перерізі г = 9 м, М = 218 кНм.
4. Перевіряємо міцність балки двотаврового профілю. Для двотавра №50
з таблиць сортаменту (ГОСТ 8239-72) знаходимо його момент опору W= 1589 смл.
Перевіряємо виконання умови міцності:
и
-М™> - 2 1 8 - | Q " 3 _ 1 3
™ W
1589 • ІО"6
ffl
Розмірність: Мтп—МН-м; W — м3.
Міцність балки забезпечена.
Приклад 5.3. Для чавунної балки, розрахункова схема якої показана на
рис. 5.6 і поперечний переріз на рис. 5.7, потрібно:
1) побудувати епюри Q і ЛІ інтегральним методом;
2) раціонально орієнтувати балку відносно навантаження;
3) перевірити ЇЇ міцність, якщо [ п р ) = 40 МПа, \ в„ ] = 80 МПа.
Розв'язання. 1. Визначаємо реакції опор:
RA =
=0;
Йа =
З-
= 8 кН\
•3-2-3-2-1
= 0;-3-2+ 8-3 +І =0.
Перевірка:
Реакції знайдено вірно.
2. Визначаємо зусилля Q і М на границях дільниць. Балка має чотири
дільниці. Проводимо вертикальні лінії по їх граннцях.
Для обчислення значень Q проводимо горизонтальну лінію розрахунків.
Над лінією на початку дільниць записуємо значення зосереджених сил
F(0;8;-3;O), в кінці дільниць — значення Д, (-6; 0; 0; 0), Для дільниці /
-1,5
Рис. 5.4
114
А, = -q • 2 - -3 • 2 = -6 кН. На інших дільницях q відсутнє, тому для них А, = 0.
Далі виконуємо додавання відповідно ло співвідношень (5.3), (5.5):
117
згин
Додавання ведемо зліва направо «стовпцем*. Результат, що є значенням
поперечної сили, записуємо під лінією розрахунків {0; —6; 2; 2; - 1 : —1; - 1 ; - 1 ;
0) і використовуємо як доданок для наступного додавання (рис. 5.6).
Для обчислення значень моментів повторюємо операції аналогічно попереднім,
за винятком того, що зверху лінії розрахунків у кінці дільниць записують площі
епюр Q, а на початку дільниць — значення зосереджених моментів, що прикладені
на границях. Наприклад, у кінці першої дільниці перед вертикальною лінією
записана площа трикутника на епюрі Q:
0,5(-6)-2 = - 6
кНм,
а на початку другої дільниці після вертикальної лінії — нуль, бо в перерізі А нема
зосередженого моменту.
3. Будуємо епюри Q і М (рис. 5.6). Як видно з епюри М, максимальна
величина додатних моментів М = 2 кНм. від'ємних М - -6 кИ'М.
4. Перевіряємо міцність чавунної балки таврового перерізу (рис. 5.7). Попередньо балку раціонально орієнтуємо.
Тавровий переріз несиметричний відносно нейтральної осі. Найбільші за
модулем напруження виникають у найбільш віддалених від нейтральної осі крайніх
волокнах стінки. Так як чавун краще працює на стиск (і ас ] > [ стр ]), у цих волокнах
повинні виникати стискувальні напруження. В найбільш навантаженому перерізі
виникає від'ємний момент М - -6 кИ-м, який викликає стиск нижніх волокон.
Отже, балку потрібно повернути на 180° навколо її осі. Тоді стінка буде
знизу, і найбільші за модулем напруження будуть стискувальними.
Перевіряємо міцність раціонально зорієнтованої балки.
Записуємо умови міцності для розтягнутої і стиснутої зон перерізу:
Визначаємо геометричні характеристики перерізу (рис. 5.7).
Координата центра ваги (х 0 — початкова вісь):
А
A, + Аг
12-3-1.5+3-6- 6
= 3 см.
12 3 + 3 6
119
ЗГИН
Розділ 5
Через центр ваги С проводимо центральну вісь х і знаходимо момент інерції
/, перерізу:
• 36 + —
2
+ З • 18 = 324см*.
Тоді
а"
=
с
П
л
™
3. Записуємо універсальне рівняння зігнутої осі балки для визначення
прогинів (рис. 5.8):
6-10"^ -3-Ю" = 35,5 МПа < [о.,] = 40 МПа;
324-10*
_ 6 I Q - S -6-1С
~
324-Ю" 6
Розмірність: М — МНм; ylai,
</*и — м, J — л 4 .
Отже, обидві умови міцності виконуються, міцність балки забезпечена.
Приклад 5.4. Знайти з умови міцності допустиму величину сили F. якою
навантажена на вільному кінці консольна балка з двотавра № 2 4 . Виліт консолі
Розв'язання. Максимальний момент у защемленні М т „ = F'•/'. з цього виразу
F =M
2 Визначаємо реакції (силу і момент) в защемленні. Реакція R = F — 600 //
діє вгору. Реактивний момент т = F-1 = 600-0,1 = 60 Нм діє проти годинникової
стрілки.
0
'
% E l z +
°
R
3!
M
.
2!
4. Початкові параметри для консольної балки уо= 0; 9 0 = 0.
5- Максимальний прогин знайдемо з універсального рівняння, підставляючи
значення г = / = 0,1 м;
6
2
6
2
Момент інерції поперечного перерізу різця:
1
= 12,і5
= 3375-и^ - 3,375-Ю-9 м\
Жорсткість:
EJ = 2 • 10" • 3,375-10-" = 6,75-10' И-м\
/І.
Vat'
Допустимий момент знаходиться з умови міцності (5.16) при omsp = {crj:
З таблиць сортаменту (ГОСТ 8239-72) для двотавра № 24 знаходимо момент
опору 5^=289 см\
Допустимий момент:
[М] = 160 • 289 • 1СГ6 = 4.624 1О'Э МНм.
Допустима сила:
[F] = [М]/1 = 4.624 • 10"73 = 1.54 • 10"' МН - 15,4 кН.
Ґ = 600Я
Розмірність: \М] — МНм; [п\ — МПа; і — м.
Приклад 5.5. Знайти максимальне відхилення (прогин) різця при обробці
деталі на токарному верстаті. Величина сили різання, що діє перпендикулярно до
осі різця, F ~ 600 // Розміри різця вказані на рис. 5.8, а: Е = 2-Ю'1 Па.
Розв'язання 1. Складаємо розрахункову схему. Різець працює як консольна
балка, що навантажена на вільному кінці зосередженою силою (рис. 5.8, 6).
120
Рис. 5.Ї
121
ЗГИН
Мл uv и малини й прогин:
2 = 2% 10
У*
=
6 7
5 .
1 0
'
~' ' " * = -°'296
*
*
кН
ггт
•
Знак 8—s означає, що кінець різця відхиляється вниз.
Розмірність: z, І •— м; J — лг; Е — Па.
з.*
І1 п
м
II
•ції
гкн
З.И
^_
1 «
3
м
ft
МИ 1
3 лі
1 м
5.2.3. ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ
5.1. Для балок, схеми яких показані на рис. 5.9, побудувати епюри Q і М
у загальному вигляді. Записати вирази для згинальних моментів у небезпечних
перерізах у вигляді формул.
Відповідь: a) -F-1; б) -SL;
в) т ; г) ^ ; д) ^ ;
є)
ж =6
? =2
~ .
5.2. Для балок, схеми яких показані на рис. 5.10, побудувати епюри Q і М
яким завгодно методом. Підібрати номер стандартного двотаврового перерізу;
[а\= ібОМЯа.
Відповідь: а) № 27; б) № 16; в) № 16; г) № 10; д) № 18; є) № 10 (ГОСТ
8239-72).
т
=8
ТГП
'/}//.
1м
2 лі
1 .«
п
1л
І .«
2-м
ттгп
2м
Рис. S.I0
№ 16
(ГОСТ 8239-72)
І
4
і/2
д
Рис. 5.9
122
Рис. 5.11
123
Розділ 5
ЗГИН
5.3. Відтворити навантаження, що відповідає показаним на рис. 5.11 епюрам
Перевірити міцність сталевих балок вказаного перерізу; [с] = 160 МПа.
Відповідь: а) міцність забезпечена; Wu- і 00 смі < W a = 109 см 3 .
б) міцність не забезпечена; Wa-2b см3> УГ(= 21,2 см3.
5.4. Знайти в загальному вигляді кутові переміщення вказаних на рис. 5.12
перерізів і записати їх у вигляді формул.
П„ -—;0,
=
"
Е!
1
5.5. Знайти лінійні переміщення (прогини) перерізів Л (рис. 5.13) і записати
їх у вигляді формул.
Відповідь:
Відповідь: а) — ;
б)
)
)
ІЇ
F
ЕІ
Ж
ЕІ
У'.
Ш
1/2
І
Рис. 5.12
А
1/2
5.3. РОЗРАХУНКОВО-ПРОЕКТУВАЛЬНА РОБОТА
«РОЗРАХУНОК СТАТИЧНО ВИЗНАЧУВАНИХ БАЛОК
НА МІЦНІСТЬ»
Побудувати епюри поперечних сил і згиіцільних моментів та визначити з умов міцності
fcнеобхідні розміри поперечних перерізів балок,
розрахункові схеми яких показані в табл. 5 2
Для консольної балки (схема а), що виготовлена з крихкого матеріалу, епюри побудупати аналітичним методом з записом виразів
для Q і М у загальному вигляді.
Розміри поперечного перерізу таврової форми
(рис. 5.І4) визначити з умов міцності для розтягнутої і стиснутої зон. Балку попередньо раціонально зорієнтувати, враховуючи знак максимального згинального моменту, (див. приклад 5.3).
Для однопролітпої сталевої шарнірно
3.
обіпертої балки (схема б) епюри побудувати за
характерними точками. З умови міцності визнаРис. 5.14
чити номер стандартного прокатного двотаврового профілю, (див, приклад 5.1).
В і
ламі взяти з табл. 5.1.
Приклади розв'язання задач, що включені до РПР. розглянуто в розділі 5.2.
ЕІ
Таблиця
\Р
F.
кИ
І
т,
Ь,
Ц,
Допустиме напруження.
МПа
схема (а)
схема (6)
с.
d.
1,0
0,8
0.6
1.2
120
0.6
115
175
1,2
1,0
110
105
170
165
190
0,8
1,0
100
95
160
155
180
165
кН м кН/м
ICTJ
і
И І П І ! III И
і
І
-т
Рис 5.13
124
пиихппи
5.1
Варіанти завдань до РПР 5.3
0
1
2
3
4
5
G
7
8
9
10
9
8
7
6
20
18
16
14
12
5
6
10
7
8
9
8
6
4
2
10
12
14
16
18
14
16
18
20
22
0,6
0,8
180
м
200
195
1,2
1,0
1.0
0,3
0,8
1.2
1.2
0,6
1,0
0,6
0,8
150
160
1.2
0,8
1.2
0.6
90
1,0
85
145
і 55
0,8
0,6
1,0
1,2
1,2
0.6
80
140
150
0,8
1,0
75
145
145
0.6
0.8
1.2
1.0
0,6
185
125
i і П
T a 6 .1 и ц я 5.2
Розрахункові схеми балок
мттт
У/.
"ІЛ
ІШП
Ч
AL"
v
1
•'ими
0
a
F b
ГПТЛ
b
т
р
2c
ЗЬ
б)
2а
6)
\
• F
2b
Конструкції та їх елементи можуть руйнуватись у результаті втрати
початкової форми пружної рівноваги — втрати стійкості. Це супроводжується раптовими значними деформаціями, що змінюють форму пружної
рівноваги. Стиснуті стержні належать до таких елементів.
Напруження, при якому центрально стиснутий прямолінійний стержень
нтрачає стійкість, може бути значно меншим граниш міцності матеріалу,
з якого він виготовлений. При втраті прямолінійної форми в перерізах
стержня виникають додаткові напруження згину, що спричиняє його
руйнування. Тому стиснутий стержень після розрахунку на міцність
потрібно перевірити І, при потребі, розрахувати на стійкість.
ППП
У/.
2a
ff_
а)
6
а
1
птп
.TU
XL
F Ь
^
61X
Зо
2а
'2с
6.1. ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
Ш.Ш
ШЫШ
•/•
Ь
2b
6.1.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ
2b
FKf — критична сила. Це сила, незначне збільшення якої зумовлює
втрату стійкості. І. Формула Ейлера для визначення F : '
/\.„ =
Л
( 6 Л Ї
б)
ЩІІ
126
СТІЙКІСТЬ СТИСНУТИХ СТЕРЖНІВ
2с
б)
IL
6
тттгп
«
A*
а)
ііГіі|птттп
Розділ
la
2а
2b
де / m i i l — мінімальний момент Інерції перерізу стержня; Ц — коефіцієнт
приведення довжини, що враховує характер закріплення стержня.
Значення коефіцієнта |і беруть з довідників. Його величина для деяких
випадків закріплення наведена в табл. 6.1.
127
Розділ 6
СТІЙКІСТЬ СПІСІІУІИХ
Таблиця
6.1
Залежність коефіцієнта приведення довжини стержня
від характеру закріплення кінців стержня
ІПГЖІІІІІ
'.'.. Емпірична формула Ясинського-Тетмайєра для визначення критичних напружень і межі її застосування.
В загальному випадку формула має вигляд:
aw = a-b\
(6,6)
+ cX'.
Для пластичних матеріалів найчастіше приймають с = 0 і формула
і іфшцується:
У/,
оч =а-Ьк.
В наведених формулах а, Ь, с — дослідні коефіцієнти, що мають розмірність напруження. Ці формули застосовують для стержнів, гнучкість
иких знаходиться в межах:
аі
Формула Ейлера справедлива за умови, що критичне напруження не
перевищує границю пропорційності матеріалу: гсьр < о лц .
о1Ф-Оз.-!?! 2 < ат
" А ~ X
~
'
(6.2)
де Л — плоша перерізу стержня; ~к — гнучкість стержня,
(6.3)
—'
А "
Таблиця
Зваченна коефіцієнтів і гнучкостей в залежності від матеріалу
Матеріал
а.МПа
Ь.МЛа
с.МПи
К
К
Сталь Ст.З
310
1,14
0
бі
100
Сталь Ст.5
350
1.15
0
57
90
Дюралюміній Д16Т
406
3,63
0
30
53
Чавун
776
12
29,3
0,194
10
—
SO
Сосна
0,053
0
(6.4)
Як правило, умову застосування формули Ейлера виражають через
гнучкість:
(6.5)
70
Критична сила визначається через напруження а к як для осьового
стиску стержня:
^ = аф-Л.
(6.8)
3. Питомий радіус інерції перерізу.
В розрахунках на стійкість іноді зручно використовувати питомий
радіус інерції р:
—
де X — гранична гнучкість стержня з даного матеріалу,
128
6.2
Примітка: сталі Ст. З приблизно відповідає сталь 20, а Ст. 5 — сталь 35.
У формулі (6.3) ( ^ — мінімальний радіус інерції:
mm
А<* \ — гнучкість, при якій о дорівнює граничному напруженню а..
Для пластичного матеріалу а дорівнює границі текучості а7, а для крихкого
— границі міцності при стиску а^. Для гнучкостей А<А0 о к = о г , в цьому
ішпадку стержні на стійкість можна не розраховувати.
Б табл. 6.2 наведено значення коефіцієнтів а, Ь, с і гнучкостей Ао
і А. для деяких матеріалів.
п»п
•JA
9 Опір матеріалів
А
(6.9)
129
СТІЙКІСТЬ
Розділ 6
[rtfr] приймають: для сталі — 1,8..,3,0;
для чавуну — 5,0...5,5;
для деревини — 2,8...3,2.
Дійсний коефіцієнт запасу стійкості:
Питомий радіус інерції характеризує форму перерізу і не залежить від
його розмірів. Цю геометричну характеристику використовують для оцінки
раціональності форми перерізу: чим більший р, тим більша вантажопідйомність стиснутого стержня при рівновеликій площі. В таблиці 6.3
наведено значення рдля деяких перерізів.
А. Розрахунки за коефіцієнтом поздовжнього згину.
Умова стійкості:
(6.10)
/і
де [а] — основне допустиме напруження на стиск; ф — коефіцієнт
поздовжнього згину, що залежить від гнучкості стержня і матеріалу.
За допомогою формули (6.10) можна розв'язати три типи задач.
I. Перевірка стійкості стиснутого стержня.
Всі дані для цього є. За табл. 6.4 знаходять коефіцієнт ф, що відповідає
обчисленому X, і виконують порівняння:
ст = - < - > ф [ а ] .
II. Визначення допустимого значення сили F (вантажопідйомності)
З формули (6.10):
(6.11)
Величини А і ф знаходять за відомими розмірами стержня, [а] дано.
Примітка. Якщо задано нормативний коефіцієнт запасу стійкості
[я.,], то
"KT
(612
>
критичної сили, обчислена за формулами (6.1) або
s — величина
де
(6.8), залежно від гнучкості стержня.
130
III. Підбір розмірів поперечного перерізу стержня (проектувальний
розрахунок).
Відомі: сила F, основне допустиме напруження на стиск [а] і форма
перерізу. Визначити розміри поперечного перерізу стержня безпосередньо
і умови (6.10) неможливо, оскільки невідомі як площа перерізу А. так
і коефіцієнт ф, ідо залежить від розмірів перерізу. Тому розрахунок
никонують методом поступових наближень.
У першому наближенні задаються (pj= 0,5...0,6. З умови (6 10) визна-
І
*—
.Х| = - г — . З таблиць (наприклад, табл. 6.4) знаходять ф[, що
*ПіІІІ
шдповїдае X,. Якщо ф( і ф[ суттєво відрізняються, в наступному наближенні задаються новим значенням
ф
V
j)
Якщо умова (6.10) виконується, стійкість стержня забезпечена.
[F1
(6.13)
чають відповідну площу Д > F/{<ft [a]). Далі послідовно знаходять Jmm,
Обчислюють фактичне напруження а = — , гнучкість стержня X. = -і— .
[F] = y[a\-A.
пс=^,
•іг F — величина сили, яку сприймає стержень.
6.1.2. РОЗРАХУНКИ НА СТІЙКІСТЬ
о = — <<р[ст],
сгт.иуіпх
- Фі + Ф»
2
і повторюють обчислення. У випадку геометрично подібних перерізів
для останнього наближення фактичне напруження о і величина ф[а] не
повинні відрізнятись більше, ніж на 3 % .
Б. Розрахунки за питомим радіусом інерції р.
Цей спосіб розрахунку використовують для підбору розмірів геометрично подібного перерізу. (Площу такого перерізу можна визначити за
одним із його розмірів).
Умова стійкості;
(6.14)
де F — стискувальна сила; [о] — основне допустиме напруження.
131
1'іімІИ ft
СТІЙКІСТЬ СТИСНУТИХ
Для підбору розмірів перерізу за формулою (6.14) обчислюють п
1 за табл. 6.4 знаходять відповідні ер і /.. Оскільки ф і А стають відомими,
розміри перерізу визначають за площею <4>/у(ф[о]} або за радіусом
інерції ітт=ц-і/Х.
Т а б л и ц я 6.3
Значення р для перерізів
П е р е р і з
Трубчастий
id
\
С = -^- = 0.95...0.8
(і
1.246 ..0.602
Трубчастий (С = 0.7...0,5)
0,4S2...0,364
Кутиковий
Двотавровий
Швелерний
Квадратний
Круглий
Прямокутний
0.5...0,3
ОД]...0,27
0,41...0,29
0,289
0.2S3
0.204
6.2. ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ
РОЗРАХУНОК СТИСНУТИХ СТЕРЖНІВ НА СТІЙКІСТЬ
СГКІ'МНШ
9. Що таке питомий радіус інерції перерізу?
10, Що є мірою раціональності форми перерізу стиснутого стержня?
11. Як записують умову стійкості при розрахунках за коефіцієнтом подовжнього згину? Які типи задач можна розв'язати з допомогою цієї умови?
12, Як перевіряють стиснутий стержень на стійкість?
13. Як визначають вантажопідйомність стиснутого стержня?
14, Як підбирають поперечний переріз стиснутого стержня методом
поступових наближень?
15. Як підбирають поперечний переріз стиснутого стержня за питомим
радіусом?
6.2.2. ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ
Приклад 6.1. Перевірити на стійкість
гвинт домкіїата вантажопідйомністю 0,6 МИ
(рис. 6.1, а), визначити величину критичної
сили і коефіцієнт запасу стійкості. Розміри
гвинта: / = 800 MM. d = 80 мм; матеріал —
сталь Ст.5, [<т] = 180 МПа. Впливом нарізки
нехтувати. Вважати, що верхній кінець
гнинта може вільно переміщатись.
Розв'язання Представляємо розрахункову схему (рис. 6.1, б).
і. Перевірка стійкості.
Записуємо умову стійкості (6.10):
6.2.1. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1. Що таке втрата стійкості?
2. Які причини руйнування стиснутого стержня при втраті стійкості?
3. Як записують формулу Ейлера для критичної сили?
4. Що таке коефіцієнт приведення довжини стержня?
5. Які межі застосування формули Ейлера для критичної сили?
6. Що таке мінімальний радіус інерції і гнучкість стержня?
7. Як записують формулу Ясинського-Тетмайера? Які межі її застосування?
8. Як визначити критичну величину стискувальної сили, якщо
гнучкість стержня менша граничної?
132
Рис. 6.1
Знаходимо величини А і (р.
4
4
Для знаходження <р обчислимо гнучкість гвинта:
т - (JZ.
З табл 6.4 знаходимо ф = 0,67.
' •4
d , 2-800 ОҐЛ
• , = —; А =
— ли.
64-nrf
4
80/4
133
г.,.,1м л
СТІЙКІСТЬ СТИСНУТИХ СТЕРЖНІВ
F
Іиучкості Х = 86,5 відповідає ф = 0,415 (за табл. 6.4).
Отже,
0,6
= 119,37 M/7a.
3
о, 027-10"
ф[о] = 0,67 ISO = 120,6 МПа.
[F] - 0,415 -
— = 119,37 МЯа<ф|ст] = 120,6/ИЯс.
А
Умова стійкості виконується.
F =
2. Визначення величини критичної сили
А.и<л = 80<i*.r|i; \ , = 57. л г | ] =
(табл. 6.2).
1
Тому обчислюємо спочатку а за формулою (6.б)
с ^ =а-ЬХ
1
+ с'А =350-1,15-80 + 0 = 253 МПа:
;
/ ^ = п > р • А = 258 • 5,027 • 10" - 1,297 МН.
3. Визначення коефіцієнта запасу стійкості за формулою (6.13):
=
""
f-Ф
ґ
=
Ц
8
(0,5 400)'-12
,
= 84.22
Відповідь: [F] = 26,56 к/-/; Р г [ = f s | = 84,22 кЯ.
Приклад 6.3. Підібрати переріз підкосу АВ (рис. 6.3, а) з двох рівнобоких
кутиків. Матеріал — сталь Ст. З, fa] - 160 МПа.
Розв'язання. Визначимо зусилля, що сприймає підкіс АВ. Розглянемо рівновагу
вузла .4 (рис. 6.3, б):
£ У = 0 = * jV-sin30° ~F = 0 => N = 2 ґ -100 « я .
Підкіс працює на стиск. Тому підберемо переріз з умови стійкості (6.10):
1,297
0,6
Відповідь: умова стійкості виконується, F = 1,297 М//, п г .= 2,16.
Приклад 6.2. Визначити допустиму \F] і граничну Fr величини стискувальної сили для дерев'яного стояка довжиною і — 4 м, обидва кінці якого защемлені.
Переріз стояка —• квадрат із стороною а - 8 см. Матеріал — сосна; границя
Підбираємо поперечний переріз стержня способом поступових наближень.
Площа поперечного перерізу стержня А - 2А1 (рис. 6.3, s). Мінімальний радіус
інерції
міцності на стиск я м і = 45 МПа; Е = 103 МПа.
• Коефіцієнт запасу міцності [я| = 4,5.
Розв'язання. Представимо розрахункову
схему (рис. 6 2)
Обчислимо гнучкість стержн'я:
По
= 0,289о;
\
= 0.5
У7777Л
Рис. 6.2
134
2
= 26,56-10 МН - 26,56 кН.
0,289 -8
\ - 70 (табл. 6.2), тому допустиму силу
визначимо з умови стійкості, а граничну — за
формулою Ейлера.
За формулою (6.І1) 1
Рис. 6.3
135
СТІЙКІСТЬ СТИСНУТИХ
Розділ 6
mln
V А
\2Л'-
Приклад 6.4. Підібрати розмір d кільцевого поперечного перерізу штовхачів
(рис. 6.4, б) пневматичного пристрою для затискування деталей при їх обробці
(рис, 6.4. а).
Тиск у циліндрі р - 2 МПа; матеріал — сталь 20, [а] = 160 МПи.
Розв'язання. Визначимо зусилля в стержнях ВС і ВК. Розглянемо в ршноназі
вузол В (рис. 6 4, в). Вісь у є віссю симетрії. Тому зусилля ,\ГВ(_= Nsy= N.
'
Перше наближення. Залаємось ф,= 0,5:
N
_ 100
~ ф, И ~ 0,5-16 "
2
La
УТ = 0=> -F-2Nsm\bu
=0 => і\ = —
2 sin 1Ь
Отже, стержні сприймають стискувальні зусилля.
1
Вибираємо 2 кутики 70x70x4,5; Л -2
6,2= 12,4 см ; £ = 2,16 см.
F = p-A = p
-16
Розмірність: Л' — К.М; ]а] — кН/см1;
Розмірність: р —• Н/MM2;
І, івіа— см.
а. + ф |
2-0,2588
0,5 + 0,667
. _
„г
о
2
1,94
= -30.33 кН.
0І1Ю
0,58-16
Вибираємо 2 кутики 6 3 x 6 3 x 5 ; Л ! = 2 - 6 , 1 3 = 12,26 сл г ; ('" =! .
^ 15.7 1QJ // - 15,7 «://.
~ = 2-ll'i®0
4
'1
d — мм.
15,7
Друге наближений.
^ ' 2
СТЕРЖНІВ
9 4 см
-
= 8,16 кН/сжг = 81,6 МЛа.
Ф;-0т576.а = — =
Л 12.26
ф£ [о] = 0,576 • 160 = 92,2АІ/7а.
Недонавантаження:
92,2-81,6
92,2
h
0
/
5
%
Перевіряємо найближчий кутик.
2 кутики 5 6 х 5 6 х 5 , - Л = 2-5,41 = 10,82 см!, £-= 1.72 сл.
і
=
100
- 9,24 кН/см2
10,82
200 = j J
1,72
6
з _,
І
0476.
= 92,4 МПа; ф [о] = 0.476 • 160 = 76,2 МПа.
с>ФІ<т]. Умова стійкості не виконується.
Залишаємо 2 кутики 63 х 63 х 5.
Відповідь: 2 кутики 63 х 63 х 5 (ГОСТ 8509-72).
136
Рис. 6.4
137
СТІЙКІСТЬ СТИСНУТИХ СТЕРЖНІВ
Розділ 6
Таблиця
Визначимо діаметр d з умови стійкості. Переріз геометрично подібний, тому
використовуємо метод питомого радіуса. Умова стійкості (6.14):
Значення коефіцієнтів ] і величини ',
Гнучкість
Питомий радіус р визначаємо за формулою (6.9). Для кільця (рис. 6.4, б):
'
О,364\30,33
З таблиці 6.4 за величиною >./,/ф=119,7 знаходимо <р = 0,641.
З умови стійкості (6.10) визначаємо площу перерізів стержнів
JV
, П
»
JV
30,33
_ < и \и\
=> А > —т—t =
. п.
,
= 2,96 см'.
4Л
п(\-Сґ)
Ф
0
10
20
30
40
50
1,00
0,99
0,97
0,95
0,92
0,89
0,86
0,81
0,75
0,69
0,60
0,52
0,45
0,40
0,36
0,32
0,29
0,26
0,23
0,21
0,19
0,17
0,16
60
70
80
90
110
4-2,96
120
^л(і-0,52
130
140
Приймаємо: d = 23 мм.
Перевірка:
N
150
30
= 9.74кН/см* = 97,4 МЯа.
л-2,35(і-0,5!)
160
170
180
190
200
210
220
Із (6.9) випливає:
= 0,
Ф
0
1.00
0,98
0,96
0,93
0,89
0,85
0,80
0,74
0,67
0.59
0,50
0,43
0,37
0,32
0,28
0,25
0,23
0,21
0,19
0,17
0,15
0.14
0,13 '
А/Л/Ф"
Ф
0
1,00
0,97
0,91
0.81
0,69
0,57
0,44
0,34
0,26
0,20
0,16
10,10
20.41
31,11
42,40
54,23
67,08
81,37
97,74
117,2
141,4
167,8
197,3
229,8
264.6
300,0
333,6
371,0
413.0
460,8
516,4
561,3
610,2
Деревина
Ф
Ф
0
10,15
20,97
33.33
48,15
66,23
90,45
120,15
156,9
20 1,3
250,0
1,00
0.99
0,97
0,93
0,87
0.80
0,71
0,60
0,48
0,38
0,31
0,25
0.22
0,18
0,16
0,14
0,12
0.11
0,10
0,09
0,08
Сталі 14Г2,
15ГС, 10Г2С,
15ХСНД
0
1,00
10,05
20.31
31,11
42,88
55,90
71,21
90,37
115,5
146,0
179,6
220,0
255,8
306.4
350,0
400,9
461,9
512.6
569,2
633,3
0,98
707.1
0,95
0,92
0,89
0,84
0,78
0,71
0,63
0,54
0.46
0,39
0,33
0,29
0,25
0,23
0,21
0,19
0,17
0,15
0,13
*А/Ф
0
10,10'
20,52
31,28
42,40
54,56
67,93
83,08
100,8
122,5
147.4
176.1
208,9
241,4
280.0
312,8
349,1
390,0
436,6
490,6
555,1
І - 0,5 ) / 4 = 0,28d .
ф[сї] = 0,661-160 = 105.
138
*А/Ф
10.05
20,31
30,78
41,70
53,00
64,70
77,78
92,38
108.4
129.1
152,5
178,9
205.6
233,3
265,2
297.1
333.4
375,3
414,6458.8
509,3
550,0
Чавун
Сталь Ст.5
г
X=!Li = l ' 6 0
= 93,17 =» ф = 0.661.
U,
0,282.3
с<ф[ст], умова стійкості виконуЕться.
Відповідь: 23 мм.
Сталі
Ст.З і Ст.4
Я
100
Тоді
6.4
6.2.3. ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ
6.1. Перевірити на стійкість стержень довжиною І = 60 см з діаметром перерізу d - 2 см, один кінець якого шарнірно обіпертий, а другий кінець защемлений.
Величина стискувальної сили F = 40 кН. Матеріал, сталь 25. |гт] = 180 МПа.
Відповідь: стержень недонавантажений на 2.5%.
139
СТІЙКІСТЬ СТИСНУТИХ СТЕРЖНІВ
Розділ 6
6.2. Перевірити на міцність і стійкість СОСНОІІИЙ СТОЯК, ослаблений отворами
(рис. 6.5); \а} = \0МПа
Відповідь: 1) перенапруження по міцності 4%; 2) недонавантаження по
стійкості 4%.
6.3. Визначити допустиму величину стискувальної сили для чавунної пустотілої
колони висотою 8 л*. Зовнішній діаметр перерізу колони D- 24 см, товщина стінки 2 см,
Е - і.2ІСНЛ)Яа. Обидва кінці шарнірно закріплені. Коефіцієнт запасу стійкості \nz_] = 5.
Відповідь: 312 кН.
_ 6.4. Визначити допустиме навантаження на стержень (рис. 6.6). Матеріал —
сталь S; £ = 2,1 10'МПа. Коефіцієнт напасу стійкості ln t .] = 3.
5 = 10
F = 200 nil
У
t; )
1
1
1
1
Відповідь: 101 кЯ.
:
Примітка: характеристики перерізу двотавра за ГОСТ 8239-72.
6.5. Розв'язати попередню задачу, якщо нижній кінець стержня защемити.
Відповідь: 145.5 кН.
6.6. Підібрати двотавровий переріз стержня довжиною 5 м, що стискається силою
F — 300 к!і. Обидва кінці стержня защемлені Матеріал —• сталь 3; | о | = 160 МПа.
Відповідь: даотавр № 22а (ГОСТ 8239-72): недонавантаження 4.7%.
6.7. Використаній умову попередньої задачі, підібрати кільцевий переріз з відношенням діаметрів С — d^/d = 0,0. Порівняти площі перерізів двотавра і кільця.
Відповідь: d = 122 мм, d f- 110 мм. Відношення А /Ак= 1,5.
6.8. Підібрати квадратний переріз соснового стояка довжиною І = 3 м, що
стискається силою 60 кН. Обидва кінш стержня защемлені; І с | - 10 МПа.
Відповідь: сторона квадрата а - 9 см; перенапруження — 1 %.
6.9. Підібрати чотири рівнобокі кутнки перерізу стисненого стержня {рис. 6.7).
Кутикн жорстко з'єднані між собою. Матеріал — сталь 3; [а] = 160 МПа.
Відповідь: 4 кутнки 63 х 63 х 5 (ГОСТ 8509-72), недонавантаження 17,6%.
120
№ 16
L
W//T////,
Рис. 6.5
.НО
X
L
Рмс. 6.6
Ї
1
Ряс. 6.7
6.10. Підібрати діаметр стального (Ст. 5) стержня довжиною / = 70 см,
стиснутого силою 120 кН. Обидва
кінці стержня шарнірно обіперті;
Відповідь: 32,6 мм.
6.Н. Знайти розмір а (рис. 6.8);
що забезпечує рівностійкість стояка
в головних площинах інерції. Визначити для такого стояка допустиму величину стискувальної сили. 2 швелери
№ 20 (ГОСТ 8240-72). Матеріал —
сталь 3; |о] = 160 МПа.
Відповідь: 11,4 см: 587 кН.
6.12. Стержень прямокутного
поперечного перерізу стиснутий силами F (рис. 6.9, а). Визначити розміри
його перерізу. Стержень повинен бути
рівностійким у головних площинах
інерції. Розрахункова схема показана на
рис. 6.9, 6. Матеріал — сталь 3;
|ст]= ібОЛіЛо.
Відповідь: b = 53,2 мм;
• h= 106,4 мм.
і
й
Рис, б.й
F = 400 к!I
3,75 м
Рис. 6.9
141
Розділ 6
СТІЙКІСТЬ СТИСНУТИХ СТЕРЖНІВ
6.3. РОЗРАХУНКОВО-ПРОЕКТУВАЛЬНА РОБОТА
«РОЗРАХУНОК СТИСНУТИХ СТЕРЖНІВ НА СТІЙКІСТЬ»
Згідно з варантом підібрати перерізи стиснутого стержня.
Варіанти перерізів стиснутого стержня представлені в табл. 6.6.
Матеріал прокатних профілів сталь 20, [ о ] = 160 МПа.
Прийняти: модулі пружності для вуглецевої сталі Е~ 210іМПа, для чавуну
£ = ї,2-[0іМПа; коефіцієнт запасу міцності для чавуну [ n j = 3.
Інші дані взяти з табл. 6.5.
Підбір перерізу з профільного прокату за методом поступових наближень
з використанням коефіцієнта поздовжнього згину показано на прикладі 6.3.
Підбір розмірів геометрично подібного перерізу за методом питомого радіуса р
показано на прикладі 6.4.
1а
'У////.
\
Т а б л и ц я 6.5
№
п/п
F,
к.Н
м
0
200
2,0
1
210
220
2.1
2.2
2
3
0.5
1,0
Сталь 25
Сталь 35
<з ,МПа
—
—
230
2,3
0.7
СЧ-12
—
500
4
240
2,4
СЧ-15
650
5
250
260
2,5
2,6
1,0
0,5
СЧ-18
700
2,0
СЧ-21
750
6
7
2,0
Марка
Сталь 20
270
2,7
0,7
280
2,8
1.0
Ст.З
Ст.4
—
8
Э
290
2,9
0,5
Ст,5
—
а,, МПа
250
280
а
2,0
320
2.1
2,2
—
2,3
—
—
2,4
1,5
1,6
220
1.7
240
1,6
1,9
2Э0
\
1
Матеріал геометрично подібних
перерізів
Т а б л и ц я 6.6
Варіанти перерізів
а
ю
ч
'/7777\
Продовження
т э б л. 6.6
Розділ
7
ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ
У ПРУЖНИХ СИСТЕМАХ
Переміщення, спричинені деформаціями елементів конструкцій,
необхідно знати для перевірки їх жорсткості. Крім цього, визначення переміщень є важливим етапом розрахунків систем нз дію динамічних навантажень, а також розрахунків статично невизначних конструкцій.
7.1. ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
7.1.1. ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ
При деформації стержневої конструкції поперечні перерізи її елементів одержують лінійні Д і кутові 0 переміщення. Величини цих
переміщень у пружних системах при будь-якому навантаженні можна
визначити за допомогою інтеграла переміщень Мора-Максвелла збо його
графоаналітичних інтерпретацій.
7.1.2. ІНТЕГРАЛ ПЕРЕМІЩЕНЬ МОРА-МАКСВЕЛЛА
ДОВІДКЗ.
Інтеграл, переміщень в узагальненому вигляді:
!. Півкруг
С — центр взги
( = 0.00(58
2. Еліпс (я>й)
144
де 5 — функції внутрішніх зусиль A', Q, М або ЛТв на кожній дільниці від
дії фактичного зовнішнього навантаження; S" — функції внутрішніх зусиль
т
Л , Q", М" або iVP i на тих самих дільницях від дії безрозмірної одиничної
сили, що умовно прикладена в перерізі, переміщення якого визначають;
С — жорсткість ЕА. GA, EJ, GJp, що відповідає, зусиллям N, Q, M, Лїир.
] 0 Опар маи*рі(ШВ
145
Розділ 7
ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ В ПРУЖНИХ СИСТЕМАХ
В плоских системах крутні моменти М к не виникають. Для рам
І балок впливом поздовжніх JV І поперечних Q сил при обчисленні переміщень можна нехтувати. Тому в інтеграл переміщень для балок і плоских
рам входять тільки функції згинальних моментів М:
- •
(7.1)
Інтегрування виконують у межах кожної дільниці і результати додають.
Переміщення за допомогою інтеграла Мора-Максвелла обчислюють
у такій послідовності.
1. Для кожної дільниці балки, рами чи криволінійного бруса записують
вирази вантажних згинальних моментів М як функції координат перерізу.
2. В перерізі, де визначають лінійне переміщення Д, прикладають одиничну силу F0 = 1 в напрямку переміщення і знаходять від її дії одиничні
реакції. Якщо визначають кутове переміщення Э (кут повороту поперечного перерізу), прикладають одиничний момент тп =\.
3. Для кожної дільниці записують вирази згинальних моментів М°
від дії прикладених одиничної сили F°= 1 чи одиничного моменту т"= 1.
4. Записують інтеграл переміщень (7.1), виконують інтегрування
в межах кожної дільниці і додавання результатів інтегрування по всіх
дільницях системи.
Отримана величина дорівнює переміщенню.
Якщо результат додатний, то фактичний напрямок переміщення збігається
з напрямком прикладеної одиничної сили чи моменту. При від'ємному результаті — напрямок переміщення протилежний напрямку одиничної сили.
Метод інтеграла Мора-Максвелла є єдино можливим для обчислення
переміщень у випадку криволінійних брусів, а також у випадку плавної
зміни жорсткості вподовж бруса.
Для балок і рам зручніше використовувати графоаналітичний метод,
який одержав назву «правила Верещагіна».
Для визначення переміщень за цим методом будують епюри згинальних моментів м, М°\ обчислюють переміщення за формулою
(7.2)
EJ '
де ш - площа фігури, що' обмежена криволінійною чи прямолінійною
вантажною епюрою М; М°с~ ордината прямолінійної одиничної епюри
в перерізі, що збігається з центром ваги вантажної епюри.
Таблиця 7.1
Фігура
Площа (о
Абсциса .
«=-«,
И
с
з'
7.1.3. ГРАФОАНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД
Графоаналітичний метод використовують для обчислення переміщень
у конструкціях, що складаються з прямолінійних елементів постійної
в межах дільниці жорсткості.
146
=
10'
1
!47
ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ В ПРУЖНИХ СИСТЕМАХ
Розділ 7
Вирази для площ і абсцис центрів ваги деяких фігур наведені
в табл. 7.1.
Обчислення переміщень за правилом Верещагіна виконують у такій
послідовності.
1. В перерізі, де визначають переміщення, прикладають одиничні силу
чи момент.
2. Будують вантажну і одиничну епюри внутрішніх зусиль.
3. На кожній дільниці визначають площі ю вантажних епюр, а також
ординати Л1° лінійних одиничних епюр під центрами ваги вантажних епюр.
4. Значення площ w і ординат М° с лінійних епюр підставляють
у формулу (7.2) і після додавання результатів обчислень по всіх дільницях системи одержують величину переміщення. Додатний знак переміщення означає, що його напрямок збігається з напрямком прикладеної
одиничної сили.
Для можливості використання виразів, що наведені в табл. 7.1, складні
епюри М необхідно розкласти на прості, які одержують від дії кожного
окремого навантаження.
Описаний алгоритм можна використати для знаходження переміщень
5, що спричинені дією одиничної сили F n = 1 чи моменту т°= 1. В цьому
випадку замість вантажної епюри будують одиничну і у вираз (7.2) підставляють площу ю одиничної епюри.
7.І. ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ
7.1.1 КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1. Які види переміщень поперечних перерізів бруса ви знаєте, як їх
повивчають?
2. Як записується інтеграл переміщень Мора-Максаелла в узагальненому ВИГЛЯДІ?
3. Як записується інтеграл переміщень для балок чи плоских рам?
4. В якій послідовності виконується обчислення переміщень за
інтегралом Мора?
5. Як записується вираз для обчислення інтеграла Мора графоаналітичним методом (за правилом Верещагіна)?
148
6. В якій послідовності виконується обчислення переміщень за
правилом Верещагіна?
7. В яких випадках можна користуватися правилом Верещагіна для
обчислення інтеграла Мора?
8. Що означає від'ємний результат при обчисленні переміщень?
7.2.2. ПРИКЛАДИ ОБЧИСЛЕНЬ ПЕРЕМІЩЕНЬ
ЗА ДОПОМОГОЮ ІНТЕГРАЛА МОР А-МАКСВЕЛЛА
Приклад ІЛ. До криволінійного бруса
постійної жорсткості EJ, що має форму
півісільця радіусом /?, прикладена вертикальна
сила F, як показано на рис. 7.!, о. Визначити
з загальному вигляді за допомогою інтеграла
Мора-Максвелла горизонтальну складову
повного переміщення перерізу Л.
Розв'язання В поперечних перерізах
бруса від дії прикладеної сили F виникають
поперечні сили Q, поздовжні сили N
і згинальні моменти М. Впливом на переміщення зусиль Q і Лг нехтуємо і при обчисленні переміщення А'А враховуємо тільки дію
згинального моменту М.
1. Записуємо вираз вантажного моменту М для довільного перерізу А', що визначається поворотом радіуса R на кут (р (рис. 7.1, а):
К
Put. 7.1
M = F-BA = F-(R- ficostp) = F « (I - cos<p).
2. Прикладаємо одиничну силу F°= 1 в точці А по напрямку переміщення
а
(рис, 7.1. б) і записуємо вираз згинального моменту М від дії цієї ОДИНИЧНОЇ СИЛИ:
М° = F" •ffsintp= й*іп<р г
3. Підставляємо функції М і М 'в інтеграл переміщень (7.1) і з урахуванням,
що dl — Rdip, одержуємо:
., __ гЛШ"
Ї^Д(і-со5ф)Лзіпф „ .
EJ
FR3 "
EJ
FJ
3
Відповідь:
2FR
EJ
149
Розділ 7
z
El
:
-—
ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ В ПРУЖНИХ СИСТЕМАХ
П р и к л а д 7.2. Визначити
вертикальне перегліщення (прогин)
вільного кінця бруса змінної жорсткості (рис. 7.2, a); F = 50 кН\
а =0,2,«; жорсткість EJ = 100 кИ-м2.
Розв'язання. Жорсткість першої І другої дільниць балки різна,
а згинальні моменти описуються
одними і тими ж функціями.
1. Записуємо вираз вантажного
моменту (рис. 7.2, а):
2Е1
1
=—:і
п
I
а = Ъ,2м
а = 0,2
F
I
М, = М„ = -Fz.
2. Прикладаємо вертикальну
одиничну силу F°= 1 до вільного
кінця балки (рнс. 7.2, б) і записуємо
вираз згинального моменту від дії
цієї одиничної сили:
Рис. 7.2
М° = М,1 - -F° - z - -г.
3. Підставляємо функції М і Л1°в інтеграл переміщень (7.1) і обчислюємо
прогин вільного кінця бруса:
М°
"
2EJ
-Р
ES
А
Д=
2EJ
3 50-0,2*
2EJ
М"г
Рис. 7.3
Я Ї Т Я ф о р м у л и MHвизначення площ м [положень
, ,п_3
= 6-10 м = 6 мм
2 100
Відповідь: Прогин вільного кінця бруса складає А = 6 мм.
7.2.3. ПРИКЛАДИ О Б Ч И С Л Е Н Ь П Е Р Е М І Щ Е Н Ь
ГРАФОАНАЛІТИЧНИМ МЕТОДОМ (ЗА ПРАВИЛОМ ВЕРЕШДГІНА)
Приклад 7.3. Визначити за правилом Верещагіна вертикальне переміщення
вільного кінця консольної балки, схема якої показана на рис. 7.3, a. F = 1 кИ;
9 = 3 кИ/м; а = 2 м; EJ- 2 АІЯ-,н! = 2000 кИм2.
Розв'язання. На вільному кінці балки прикладаємо вертикальну одиничну
силу за напрямком переміщення, що визначається (рис. 7.3, г).
1. Будуємо вантажні М (рис. 7.3, б, в) і одиничну №' (рис. 7.3, д) епюри.
Епюри М будуємо віл кожного виду навантаження окремо, що дає можливість
__
3. Визначаємо переміщення за формулою (7,2). Знак добутку шМ0 вважаємо
додатним, бо обидві епюри (М і АР) знаходяться по одну сторону від осі.
6
2000
4
2000
151
ВИЗНАЧЕННЯ
Розділ 7
ПЕРЕМІЩЕНЬ В ПРУЖНИХ
СИСТЕМАХ
2
q = 1 кіі /м
А
EJ
2^J
'EJ
777?.
-
І с.
1 ' I1
1 1 1
Лі"
м
1 1
СИ
L. <u"
Рис. 7 4
Розмірність' м — кН'М ;
М»—м; ЕІ — кН-мК
Відповідь: Прогин вільного
кінця балки становить Д = 1,8 см.
Приклад 7.4. Знайти ,за
правилом Верещагіна кут повороту
перерізу А консольної рами, схема
якої показана на рис. 7.4, а
Розв'язання. 1. В перерізі А
прикладаємо одиничний Момент
т ° = 1 (рис, 7.4, б).
2, Будуємо вантажну М
(рис. 7.4, в) і одиничну М°
(рис. 7.4, г) епюри. При цьому
• краще обходити раму від вільного
кінця до защемлення.
3. На кожній дільниці рами
визначаємо площі <и вантажної
епюри і ординати № одиничної
під центрами ваш вантажної (формули наведені в табл. 7.1):
Рис. 7,5
Рис. 7.6
7.2. Знайти кут повороту перерізу
А криволінійного бруса постійної жорсткості ЕІ (рис. 7.6). Радіус кривизни бруса
R. Впливом поздовжніх Л' і поперечних
Q сил у розрахунках нехтувати.
Відповідь:
G=
2FR'
EJ
7.3. Визначити горизонтальне переміщення рухомої опори арки (точки А).
Схема арки показана на рис. 7.7.
F= 10 кН; Д = 1,5 м.
Рис, 7.7
1
и' = - 2 - 2 = -
.';о," = 2 - 2 = 4 кЯл* ! ; Лі,", = М% = 1.
4. Визначаємо кут повороту перерізу Д за правилом Верещагіна (7.2):
£
шД^
= і
_
(
,
^Ґ4
Л
_16_
Відповідь: Кут повороту перерізу Д становить в = — — кНмь,
53
кИ-м3.
2Е1
EJ
7.4. Обчислити прогин перерізу С балки (рис. 7.8) за допомогою інтеграла Мора.
Відповідь:
&.'А -
Відповідь:
Д. =
FR
10
кИ-м3.
3£У
7.5. Визначити кут повороту перерізу В балки (рис. 7.9) за допомогою
інтеграла переміщень,
Відповідь: ©„ =
24£/
36
. кИ-м3.
FJ
7.2.4. ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ
1111
7Л. Визначити за допомогою інтеграла переміщень Мора-Максвелла
вертикальну складову переміщення перерізу А криволінійного бруса, схема якого
показана ма рис. 7.5. Брус окреслений по дулі кола радіуса R. Жорсткість бруса
при згині £ / = const. Впливом поздовжніх ,V і поперечних Q сил нехтувати.
о-я
-А
Відповідь:
152
,
1-nFR'
АА - — •
2 Е!
ЕІ
Рис. 7.S
Ґ
|
=4
1 ' If 1
Л- - ,
= 6 ,0 ,м
-І
Рис. 7.9
153
ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ В ПРУЖНИХ СИСТЕМАХ
Розділ 7
7.6. За правилом Верещагіна знайти величину прогину середини балки, схема
якої показана на рис. 7 10.
п і
-і
.
18
З а т
, , ,
Д,. =
= — кИм .
1
2EJ
ЕІ
7.7. Визначити графоаналітичним методом кут повороту переріау А сталевої
балки (рис. 7 11). Е =2- 10 s МЯо; F = 20 кИ\ q = 30 кИ/м; а~ 1 ЛІ; ( = 4 л ;
/ = 3 , 5 - 105л4.
Рекомендація. Вантажну егаору краще будувати від кожного навантаження окремо.
Відповідь: в л =І 0.0062 радіан.
7.8. Знайти вертикальне переміщення правого кінця балки, схема якої показана
Відповідь:
на рис. 7.12.
7
в-л
-л
Відповідь:
2
9
л = — -<?''
u і
Д,
— = ' 5 к.Нм'.
в
24 £ /
Я/
7.9. Визначити кут повороту перерізу С рами {рис. 7.13) за правилом Верещагіна.
2mb
Відповідь:
2
,
т =3 ийк
т =3
ІПІІГІІПІГ
7.10. Знайти за правилом
Верещагіна прогин середини
прольоту балки змінної жорсткості
(рис. 7.14).
F = 3 кН
ЕІ
с
=
I1J
J
*
768 3£/
1 Л<
/ = 4 .н
Рис. 7.14
7.3. РОЗРАХУНКОВО-ПРОЕКТУВАЛЬНА РОБОТА
«ОБЧИСЛЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ
У ПРУЖНИХ СИСТЕМАХ»
7.3.1. Для схем криволінійних брусів, балок і рам, що показані в табл. 7.3,
визначити вертикальне переміщення і кут повороту перерізу А за допомогою
інтеграла переміщень Мора-Макспелла або правила Верещагіца.
Дані для розрахунків пзнти з табл. 7.2. Порядок визначення переміщень за
допомогою інтеграла Мора наведений у розділі 7.1.2, за правилом Верещагіна —
в розділі 7.1.3.
Приклали визначення переміщень брусів, рам і балок розглянуті в розділах
7.2.2 і 7.2.3.
Таблиця
Номер
рядка
Рис. 7.11
26 = 2 *
|
|
Рис. 7.12
154
F.KH
q, кН/м
0
1.0
10,0
5,0
20.0
!
1,1
11,0
6,0
21,0
1,2
13,0
7,0
22,0
1,3
13.0
8,0
23.0
4
14.0
15.0
9,0
24,0
5
М
1,5
10,0
25.0
6
1.6
16.0
11,0
26.0
ЕІ
7
1.7 •
17,0
12,0
27.0
1 = 1,5 м
8
1,8
28,0
1,9
18,0
19,0
13.0
9
и.о
29,0
L
)
= 1.5 м
ПІ, КҐІ М
\
£У
ЕІ
т = 3 кН-м
" і
7.2
РПР 7.3
2
с
-
2,0 кН/м
1
Ь, н
До
3
'
[
1 л
3,25
ЕІ
Варіавти завдань
Рис. 7.10
V
•
С
Відповідь:
д
2£У
\
Рис. 7.13
155
Розділ 7
Розділ
8
РОЗРАХУНКИ НА МІЦНІСТЬ
У ЗАГАЛЬНОМУ ВИПАДКУ НАВАНТАЖЕННЯ БРУСА
(СКЛАДНИЙ ОПІР)
Довільне навантаження бруса може спонукати появу в його перерізах
всіх шести внутрішніх зусиль: поздовжньої сили N, поперечних сил (2s
і Q^, крутного моменту Мгі, згинальних моментів M x і М^. Кожне л них
відповідає певній простій деформації. Наявність двох і більше внутрішніх
зусиль свідчить, що брус зазнає складної деформації, що спричиняє складний
опір. Наприклад, наявність N і ДІк показує, що брус працює на розтяг
і кручення. Більшість елементів конструкцій працюють в умовах складного опору.
8.1. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
8-М. ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ
В розрахунках використовують принцип незалежності дії сил;
складний опір представляють як сукупність простих опорів. Для кожного
зусилля визначають спричинені ним напруження незалежно від дії інших
зусиль. Результати підсумовують.
Міцність матеріалу вважається забезпеченою, якщо розрахункове
напруження в небезпечній точці, спричинене всіма внутрішніми зусиллями,
не перевищує допустимої величини:
Якщо в небезпечній точці перерізу внутрішні зусилля спричиняють
появу лише нормальних напружень, то а дорівнює їх алгебраїчній сумі.
При наявності, крім нормальних, дотичних напружень о
обчислюють за
однією з гіпотез міцності.
157
СКЛАДНИЙ ОПІР
Розділ 8
Щоб виявити небезпечну точку, спочатку визначають ймовірно небезпечні перерізи. Для цього будують епюри всіх наявних внутрішніх зусиль.
Потім розглядають розподіл напружень по ймовірно небезпечних перерізах
від кожного внутрішнього зусилля. Небезпечною є точка, де розрахункове
напруження має найбільше значення.
Нижче наведено особливості розрахунків і формули, притаманні окремим випадкам складного опору, що найчастіше зустрічаються в практиці.
8.1.2. КОСИЙ ЗГИН
Ознака косого згину: площина згинального моменту не збігається
з головною площиною інерції балки. Головна площина утворюється віссю
балки 2 і однією з головних центральних осей (х чи у) перерізу.
Косий згин представляють як сукупність двох прямих згинів.
Нормальні напруження в довільній точці перерізу обчислюють за
формулою
М,
-I
В.2)
-
Положення нейтральної лінії визначають за формулою:
tga = — —^ = —
•'gq>.
(S.3)
де ф — кут між площиною повного згинального моменту і віссю у;
а — кут між нейтральною лінією і віссю х.
Нейтральна лінія проходить через центр ваги перерізу, не перпендикулярна до площини повного згинального моменту і перетинає ті квадранти,
які не перетинає силова площина.
Умова міцності для пластичного матеріалу:
о.*.*N.
J.
J
(8.4)
де Afv, M — згинальні моменти в небезпечному перерізі; хи, ун —
координати небезпечної (найбільш віддаленої від нейтральної лінії) точки.
Для визначення небезпечної точки паралельно нейтральній лінії проводять дотичні до перерізу. Точки дотику є найбільш віддаленими від
нейтральної лінії точками перерізу. На рис. 8-1 небезпечною є точка D,
Умови міцності для крихкого матеріалу:
M
де всі величини (Мх, М — згинальні моменти; Jt, J — моменти інерції
перерізу; х, у — координати точки) визначають відносно головних центральних осей перерізу.
Якщо напрямки осей х, у вибрати таким чином, що у 1-му
*i
квадранті обидва згинальні моменти спричиняють розтяг, то
знаки доданків у формулі (8.2)
збігаються зі знаками координат
точки. Наприклад, при визначенні
.напруження в точці В {рис. 8.1)
перший доданок у формулі (8.2)
додатний, другий — від'ємний.
Ш
Величина нормального напруО (х у
ження пропорційна віддалі точки
до нейтральної лінії, що ділить переріз на розтягнуту і стиснуту зони.
*L,^,
М.
+ 7
(8.5)
Де Уг
х
р і yt. xa — координати найбільш віддалених від нейтральної лінії
точок розтягнутої і стиснутої зон (точки С і О на рис. 8.1); [ a p ] , [ o j —
допустимі напруження на розтяг і стиск.
Якщо переріз має дві осі симетрії і точки, що одночасно найбільш
віддалені від обох головних осей (наприклад, прямокутник, двотавр), то
умову міцності можна записати у вигляді:
о
= •
Wx ' Wt
L
J
" '
(8.6)
де Wx, Wy— моменти опору перерізу.
Для крихкого матеріалу замість [а] підставляють [а• J.
159
СКЛАДНИЙ ОПІР
Розділ
8.1.3. ПОЗАЦЕНТРОВИЙ РОЗТЯГ І СТИСК БРУСІВ
ВЕЛИКОЇ ЖОРСТКОСТІ
Позацентровий розтяг або стиск найчастіше виникає під дією сили F,
паралельної осі бруса і прикладеної поза центром ваги перерізу (рис. 8.2. а).
Брус великої жорсткості — цс такий брус, коли в розрахунках межна
нехтувати додатковим моментом, що виникає а результаті згину бруса.
Після переносу сили F на вісь бруса в довільному перерізі z
(рис. 8.2, а) виникають поздовжнє зусилля N = F і згинальні моменти
М = F • о..та М = F • х...
Всі параметри визначають відносно головних центральних осей перерізу х, у. їх напрямки вибирають таким чином, щоб точка прикладення
гили F знаходилась у 1-му квадранті. При цьому знаки доданків у формулі
(8.7) збігаються із знаками координат точки. Так. при визначенні напруження в точці С {рис. 8.2, б) один доданок {з координатою *у») додатний,
а ІНШИЙ (з координатою «х*) від'ємний.
Знак «+» у формулі (8.7) відповідає розтягувальній силі F, знак «-» —
стискувальній.
Напруження пропорційні віддалі точки до нейтральної лінії. Рівняння
нейтральної лінії «у відрізках* має вигляд:
Напруження в довільній точні перерізу визначають за формулою:
(8.8)
a.
(8.7)
де /-" — позацентрово прщладена сила; А — плота перерізу бруса;
х
:-< Уг~~ координати точки прикладення сили F (ексцентриситети);
х, у — координати точки, в якій визначається напруження;
і = , Ь ц і = . Ц - — радіуси інерції перерізу.
* VА
\ А
z
0
•(fm
де ас, а„ — координати точок перетину нейтральної лінії з осями х і у.
Є
X,
а
=
- •
(8.9)
>;••
Нейтральна лінія може перетинати переріз або проходити за його
межами. Якщо нейтральна лінія перетинає переріз, то вона ділить його нз
стиснуту і розтягнуту зони.
Питання про міцність бруса, що працює, на позацентровий розтяг або.
стиск, розв'язується аналогічно випадкові косого згину. Визначають положення
нейтральної лінії за формулами (8.8), (8.9). Паралельно їй проводять дотичні
до контуру. Точки дотику є небезпечними (на рис. 8.2, б це точки D і Е).
Напруження в небезпечних точках обчислюють за формулою (8.7). Для
крихкого матеріалу використовують умови міцності о|;ИЇ ^[cf p l І о^ а ї < [ a j .
У випадку пластичного матеріалу досить перевірити міцність у точці, де діє
максимальне за модулем напруження.
Визначення розмірів перерізу виконують методом поступових наближень.
0
8.1.4. СУМІСНА ДІЯ ЗГИНУ З КРУЧЕННЯМ
IV
Рио. 8.2
160
У випадку сумісної дії згинального і крутного моментів у небезпечній'
точці перерізу бруса діють, як правило, нормальне о і дотичне т напруження.
Матеріал бруса знаходиться в спрощеному плоскому напруженому стані —
І 1 Омг]і матеріал]и
І61
СКЛАДНИЙ ОПІР
Розділ 8
по площинах, перпендикулярних до попереднього перерізу, нормальні напруження дорівнюють нулю. Розрахункове напруження обчислюють як еквівалентне за однією з гіпотез міцності. Для пластичних матеріалів використовують третю або четверту гіпотезу, для крихких — гіпотезу Мора-Кулона,
А. Розрахунок бруса довільного перерізу.
< [а],
(8.10)
де а і т — нормальне і дотичне напруження в небезпечній точці.
Умова міцності за IV-ю гіпотезою:
(8.11)
Умова міцності за гіпотезою Мора-Кулона:
1+К
а Ш.)
точка С, в якій виникають дотичне напруження т с = ут.гагї і нор-
Умова міцності за Ш-ю гіпотезою:
7
і нормальне напруження:
(8.12)
мальне напруження ос =
W_ ' •*
Коефіцієнти а і у залежать від
відношення h/Ь. їх знаходять
за таблицею 4.1.
В точці А матеріал перебуває у лінійному напруженому стані, і умова міцності має
Рис. 8.3
вигляд: с д =ст т ! х < [ а | .
-Ы
Розрахункові напруження в точках В і С потрібно обчислити як
еквівалентні за формулами (8.10), (8.11) або (8.12). Умова міцності для
де К =
Нормальне о і дотичне т напруження в небезпечній точці визначають
за формулами, що застосовуються для обчислення напружень при простих
деформаціях агину І кручення. Треба пам'ятати, що нормальні напруження
а від дії згинального моменту можуть бути визначені за формулами опору
матеріалів для перерізу будь-якої форми. Дотичні ж напруження т від дії
крутного моменту можуть бути визначені аа формулами опору матеріалів
тільки для круглого перерізу.
Б. Розрахунок бруса прямокутного перерізу.
В прямокутному перерізі є три ймовірно небезпечні точки (рис. 8.3): точка
А, де виникають найбільші нормальні напруження від обох згинальних моментів
цих точок: а„ а < [ а ] .
В. Розрахунок бруса круглого перерізу.
Умова міцності за третьою гіпотезою:
М
о 7 " = fUs- < Гаї
(8.13)
ДЭ.Л^пр — приведений момент у небезпечному перерізі за Ш-ю гіпотезою
міцності: W — осьовий момент опору перерізу.
Для суцільного перерізу W = - г — ; для кільцевого W = — - { \ - С Л ,
. о-
•_ 4 « .
а дотичні напруження дорівнюють нулю; точка В, в якій виникають
максимальне дотичне напруження від дії крутного моменту М кр
т
162
= W,
2
ahb
Приведений момент за Ш-ю гіпотезою:
(8.14)
163
СКЛАДНИЙ ОПІР
Розділ 8
де М^, Mv — згинальні моменти у двох взаємно перпендикулярних
площинах; М — сумарний згинальний момент; М — крутний момент.
Умова міцності за четвертою гіпотезою:
луг
чі.
(8.15)
де М„р — приведений момент у небезпечному перерізі за IV-ю гіпотезою
міцності.
Приведений момент М™ визначають за формулою:
<
^
^
.
(8.16)
При використанні умови міцності (8.12) нормальні і дотичні напруження
обчислюють за формулами:
(8.17)
а=W
(8.18)
т=
де М^, М ¥ , Мко — моменти в небезпечному перерізі; W — полярний
•
ТІ
•
•
!V/
n
r
f
S
момент опору перерізу. Для суцільного перерізу wp = —~ ; для кільцевого
Практичні задачі на згин з крученням зустрічаються, в основному,
двох типів: перевірка міцності бруса і підбір розмірів перерізу бруса.
8.2. ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ
8.2.1. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1. Які внутрішні зусилля можуть виникати в перерізі бруса в загальному випадку навантаження?
__
2. Яка ознака складного опору? •
3. Який принцип використовують у розрахунках при складному опорі?
4. Як записують умову міцності в загальному вигляді?
5. Як обчислюють розрахункове напруження при різних видах напруженого стану?
6. Як визначають небезпечний переріз?
7. Як визначають небезпечну точку в небезпечному перерізі?
Косиіі згин
8. Коли виникає косий згин?
9. Як визначають нормальне напруження в довільній точиї перерізу?
10. Як вибирають напрямки головних центральних осей перерізу?
11. Як визначають положення нейтральної лінії?
12. Як визначають небезпечні точки перерізу?
13. Як записують умову міцності у випадку пластичного матеріалу?
14. Який вигляд мають умови міцності у випадку крихкого матеріалу?
15. Який вигляд має умова міцності, якщо переріз має дві осі симетрії
і найбільш віддалені точки від цих осей одні і ті ж?
Позацентровий розтяг або стиск бруса великої жорсткості
16. Коли виникає позацентровий розтяг або стиск?
17. Що таке брус великої жорсткості?
18. Які внутрішні зусилля виникають при позацентровому розтягу
або стиску?
19. Як визначають напруження в довільній точці перерізу?
20. Що таке радіус інерції перерізу?
21. Як вибирають напрямки головних центральних осей?
22. Який вигляд має рівняння нейтральної лінії "у відрізках"?
23. Як знаходять положення нейтральної лінії?
24. Як визначають небезпечні точки?
25. Який вигляд мають умови міцності для крихкого матеріалу?
26. Як перевіряють міцність бруса з пластичного матеріалу?
Згин з крученням
27. Як записують умову міцності за різними гіпотезами при довільному
перерізі бруса?
28. Які точки можуть бути небезпечними в прямокутному перерізі?
Як обчислити в цих точках розрахункове напруження?
29. Який вигляд має умова міцності за Ш-ю гіпотезою міцності для
круглого бруса?
_
СКЛАДНИЙ ОПІР
Епюра Q показана на рис, 8.4, б.
30. Як обчислюють приведений момент за Ш-ю гіпотезою міцності?
31. Який вигляд має умова міцності за IV-ю гіпотезою міцності для
круглого бруса?
32. Як обчислюють приведений момент за IV-ю гіпотезою міцності?
33. Як обчислити нормальні і дотичні напруження в небезпечній
точці круглого перерізу?
8.2.2. ПРИКЛАДИ РОЗВ ЯЗАННЯ ЗАДАЧ
Приклад 8.1. На рис. 8.4, сі показана розрахункова схема балки двотавривого профілю № 20. Стінка двотавра нахилена до площини навантаження, що
проходить через вісь балки, під кутом ф = 5° (рис. 8.4, є).
Потрібно: 1) визначити положення нейтральної лінії в небезпечному перерізі
(кут а); 2) обчислити напруження в небезпечній точці; 3) порівняти їх з найбільшими напруженнями в тій же балці прн умоаі, що те ж навантаження діє
в головній площині балки уг.
Розв'язання. Силова площина не збігається з головною площиною інерції
балки. Отже, балка працює на косий згин.
Виписуємо геометричні характеристики перерізу двотавра № 20. За ГОСТ
8239-72 /=1840 см'; / = 1 1 5 елі4; «7 = 184 см*; W = 23,1 см\
1. Визначаємо положення нейтральної лінії. Так як зовнішні сили діють
в одній площині, то силова лінія і вісь «у* утворюють кут <р в усіх перерізах.
Знаходимо кут нахилу нейтральної" лінії до осі х.
За формулою (8.3):
tga = -j- tg<p .
= 0 ;М
обчислюємо за формулою (8,6):
2 2
8
Епюра М показана па рис. 8.4, в. Небезпечним є переріз з абсцисою
% = 1/2 = 2-м,
де
М =М
f
Для знаходження згинального моменту М в небезпечному перерізі будуємо
епюри поперечних сил Q і згинальних моментів М. Опорні реакції V - R — qi/2 .
Балка має одну дільницю: 0 < г < 1 •
166
=
12 -
= 24 кНм.
8
Максимальне напруження при косому згині визначаємо за формулою (8.6).
де Мг= Af-cosa, М = Af-since
24-10 2 -cos5°
_х
184
24 -10* - sin S"
= 22 кЯсм2=220М/7а.
23,1
Розмірність: М — кН-см; Wt, W — смл.
3. Якщо навантаження буде діяти
в головній площині гу, то згин буде
прямим і
д л
24 • 102
=
(84
•= 1 3
Відношення максимальних напружень при косому і прямому згинах
буде складати:
ҐЇ Я
x
= o.
Знайдемо М^,Максимальний момент пиникає посередині прольоту в перерізі г е = 1/2 , де Q = 0.
а
2. Напруження в небезпечній точці
=SL.l-ql-
С
220
І3
°
З порівняння видно, яке велике
значення має точність монтажу балок,
перерізи яких мають різко відмінні
моменти опору. •
Ряс. 8.4
і 67
Розділ 8
Відповідь:
рази більші.
СКЛАДНИЙ ОПІР
1) u = 54,46°; 2) <т пи = 220 МПа; 3) о ^ при косому згині в 1,69
Приклад 8.2. Підібрати розміри прямокутного поперечного перерізу сталевої балки, розрахункова схема якої показана на рис. 8.5, а Сили F \ q перпендикулярні
до осі бруса; Г = &кН;т = 9 кЦ-м;ц = & кН/м;<р = 30°; й/<> = 2; І<т] = 160 МПа.
Розв'язання. Зовнішні сили діють у різних площинах, що проходять через
вісьбруса. Отже, макмо випадок косого згину.
Для підбору розмірів перерізу використаємо умову міцності (8.6):
ь
Fx
Щоб визначити величини згинальних моментів Mt і Ми у небезпечному
перерізі балки, будуємо епюри Q і М в обох головних площинах інерції балки.
Розкладаємо силу F на складові F<\ Fа.
t Г*"
т-9
Площина гу Розрахункова схема показана на рис. 8.5, б, епюри Q \ Мх —
на рис. 8.5, в, г.
Площина zx. Розрахункова схема показана на рис. 8.5, д, епюри Qx і /VI —
На рис. 8.5, є, ж.
Абсциса г„ перерізу, де Q = О, а М - М,„„:
f^
=
4
=
=
6
q
I м
6.93
і м.
2
З
М,,ц
=
кН-м
= 6,93 кН
М
6.93
кИ
(Приріст моменту дорівнює площі епюри Q).
Ймовірно небезпечними є перерізи К і С. Обчислимо t*ma!(R кожному з них
у загальному вигляді.
Переріз К.
к
F^
Ж'
Ft = F-smtp = 8-sin30° = 4 кН; Fy - F-cos(p = 8 -cos ЗО" = 6 , 9 3 к Я .
2(1
h
f
V*-
' ^ .
2,07:
кН-м
М ,.,
4,86
"О
q=6
W,
= 6,93 - | = 4,62 кН-м;
кН
2ftЗ
4,62
-"
1,33
6
10,92
кНм.
-і'-
1,33
ж
KH'M
Рис. 8.5
163
169
СКЛАДНИЙ ОПІР
Розділ 8
6
'93
13,4
Нейтральна лінія перетинає поперечний переріз (рис. 8.6 б). Зліва від нейтральної лінії стиснута частина перерізу, а справа — розтягнута (заштрихована).
Визначаємо небезпечні точки і за формулою (8.7) обчислюємо діючі в них
напруження:
кИ-м.
Отже, небезпечним є переріз С.
Визначаємо розміри перерізу.
13,4 10 2
13,4 - 10а
16
Приймаємо: і» = 44 мм; Л = 88 мм. Розмірність: Іо] —
4,37 см.
Знак «-» відповідає стискувальній силі. В даному випадку Ур= 0.
Небезпечними є точки сторони KN перерізу колони, де діють максимальні
кН/см'.
стискувальні напруження <т*т , і точки сторони LM, де діють найбільші розтягу-
Відповідь: 44 х 88 м/я.
Приклад 8.3. Перевірити міцність нижньої частини бетонної колони прямокутного поперечного перерізу (рис. 8 6, а). Допустиме напруження на розтяг
Іо р ] = 0,7 МПа, на стиск [етс] = 7 МПа.
Розв'язання. Сила F діє паралельно осі
нижньої частини колони і прикладена пола
центром ваги її перерізу. Отже, маємо
випадок позацентрового стиску.
Проводимо головні центральні осі перерізу (рис 8.6. б), х — вліво, у — вгору (щоб
координати точки В прикладення сили F були
додатними). Координати точки В.
Хв ^-XF=
260-—•
= 160мм;
200-180^
2
- -9 ( 7-10"' кН/ям
1
160 100-3
10
- -0,97 МПа;
(, 16О-(-10О)-З
1+
~
—
100
Визначаємо положення нейтральної
лінії. За формулами (8.9) обчислюємо відрізки, які вона відтинає на осях координат:
= 6,3 • 10 н кН/мм? = 0,63 МПа
Відповідь: міцність забезпечена. Максимальні стискуючі і максимальні розтягувальні
напруження менші допустимих:
*
У,
0
Отже, нейтральна лінія паралельна
осі *(/».
і
&щ„ = 0,97 МПа < [ас ] = 7 МПа;
•і _ 3JL - ISO 2OO
'*~~А~
'*
" А ~ 12 180 200
170
о, = о_„ =
—100 мм).
200 180^
а, - --
Рис. 8.6
вальні напруження с ^ , .
Обчислимо напруження в точках К (хк= 100 мм) і L (х^
З
._!!?
= -2 08 см
З 160
< „ -0,63 МПа <[сг р ]= 0,7 МПа.
Приклад 8.4. Стояк у вигляді швелера
№ 16 завантажений в точці В силою F (рис.
8.7). Визначити допустиму величину сили F
.і умови міцності швелера, якщо [п| = 160МПа.
Розв'язання. Сила F прикладена поза центром ваги перерізу стояка паралельно його осі.
Отже, маємо випадок поз а центрового стиску.
Рис. 8.7
171
СКЛАДНИЙ ОПІР
При розрахунку вала за Щ-ю гіпотезою міцності використаємо формулу (8.13):
Використаємо умову міцності при стиску:
<-*[«.] = К
Максимальні стискувальні напруження виникають у крайніх правих точках
стінки швелера (наприклад, у точці D). Використаємо формулу (8.7):
j
B
Виписуємо потрібні в даному випадку геометричні характеристики перерізу
швелера № 16 (ГОСТ 8240-72):
А= 18,1 см7, і ~ 1,87 см, хо= 1,8 см.
Тоді xr=xs=x0+
10= 1.8+ 10= 11,8 см;
18,1
• d,,, £ а
Приведений момент за ІІІ-ю гіпотезою міцності обчислимо за формулою (8.14):
А|1Т"
-u.
on =
м;
= 15,62 кН-м,
= етп
д е ,F--
- < [сг] => Г, >
1.87і
1+
11.8 1,8
1.87а
Розмірність: [а] — кН/см1.
Відповідь: IF] = 40,9 кН.
Приклад 8.5. В небезпечному перерізі круглого сталевого вала діють крутний
момент М = 10 кИм і згинальний момент М= 12 кН'м. Користуючись IV-ю
гіпотезою міцності, визначити необхідний діаметр вала, якщо І<т] = 80 МПа. Який
діаметр мав би вал. якби використали ІП-ю гіпотезу міцності?
Розв'язання Вал працює на згин з крученням.
При розрахунку круглого вала за IV-ю гіпотезою міцності використовуємо
формулу (8.1а):
Приведений момент за IV-ю гіпотезою міцності обчислимо за формулою
= 10-{/1,989 =12,58 см.
п-8
Приймаємо d — 126 мм.
Відповідь: dlv= 124 мм; dw= 126 мм.
Приклад 8.6. Обчислити найбільше розрахункове напруження в сталевому стержні АВ круглого поперечного перерізу, завантаженому двома однаковими
вантажами F = 1 кН (рис. 8.8). Чому буде дорівнювати найбільше напруження
в стержні, якщо один із вантажів буде знятий? Використати IV гіпотезу міцності.
Розв'язання. При наявності обох вантажів навантаження буде симетричним
відносно стержня АВ, який буде зазнавати деформації прямого згину силою 2 F.
Максимальний згинальний момент буде в защемленні.
М = 2F400 = 2 • 1 • 400 • 10"1 = 80 кНсм.
Максимальне напруження MB обчислимо за формулою:
32-80-1
' nd3/32
тс 4 3
= 12,73 кН/см*= 127,3 МПа.
Розмірність: d — см; Мт>к— кНсм.
Обчислюємо розрахункове напруження від дії тільки одного з вантажів. У небезпечному перерізі В діє згинальний момент
і крутвдй момент
M,,= F x 1000х 10"'= 1 х 1000 х 1 0 ч = \00
За формулами (8.15), (8.16)
кНсм.
(8.16):
+ 0 , 7 5 / 1 ^ = ^ 2 г + 0 , 7 5 - 1 0 Т = 14,8 кНм.
W.
Тоді
я-8
Розмірність: М% — кН-см; Is] —
Приймаємо d = 124 мм.
172
кН/см?.
= 151,8 МПа.
Розмірність: d — см.
Відповідь: 127.3 МПа; 151,8 МПа.
Рис. 8.8
І 73
СКЛАДНИЙ ОПІР
Розділ 8
8.2.3. ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ
8.1. При монтажі балки двотаврового профілю № 50 була допущена похибка,
в результаті якої площина дії зовнішніх сил утворила із стінкою балки кут <р = 2°.
Обчислити пов'язане з ним збільшення (в %) максимального напруження в балці.
Відповідь: 45%.
8.2. Двотаврова балка шарнірно обіперта на дві опори. Посередині прольоту
( - 3 м вона завантажена силою F = 10 кЯ. Площина дії сили складає з площиною
стінки двотавра кут <р = 30°. Підібрати номер профілю. Прийняти [сі = ібОіИЯа.
Відповідь: двотавр №22; атш= 159,1 МПа.
8.3. Підібрати розміри прямокутного перерізу консольної дерев'яної балки
(рис. 8.9). Сили Fji F, перпендикулярні до осі балки. Відношення сторін перерізу
h/b = 2. Допустиме напруження прийняти [о! ~ 10 МПа.
Відповідь: 118 мм; 236 мм.
8.4. Підібрати розміри прямокутного перерізу консольної чавунної балки
(рис. 8.10). Сипя F = 3,0 к//діє в площині торцевого перерізу; ф = 20°, h/b - 0,8.
Матеріал СЧ 18. Коефіцієнт запасу міцності прийняти [я] = 3.
Відповідь: 64 мм; 80 мм.
8.5. Перевірити міцність двотаврової балки № 16 (рис. 8.11). Площина навантаження складає 45" з площиною стінки двотавра, q = 0,8 кїі/м, F = 1,2 кН. / = 3.«,
а = 0,5 м. Прийняти [о] = 160 МПа.
Відповідь: стгааі= 149.2 МПа < [о] = 160 МПа
8.6. Дерев'яна" балка прямокутного 8 х 12 см поперечного перерізу завантажена
розподіленим навантаженням (рис. 8.12). Визначити максимальні напруження в балці.
якщо плгаішна дії навантаження складає з площиною більшої грані балки кут ф = 15°.
Відповідь: 7,93 МПа.
8.7. Визначити найбільше значення сили F. яку можна прикласти до балки
(рис. 8.13), якщо ф = 30°. Прийняти [о]= 160 МПа.
Відповідь: 4,05 кН.
8.8. Визначити необхідну товщину штаби шириною 200 мм, що розтягується
/івома паралельними її осі силами F = 100 кП, прикладеними на відстані 60 мм від
краю штаби посередині її товщини. Допустиме напруження прийняти |а] = 140 МПа.
Відповідь: не менше 7,86 мм.
8.9. Порівняти напруження в перерізах І—І і II—-ТІ штаби (рис. 8.14).
Відповідь: <!„_![= 1.25 (!,_,.
8.10. Сталева штаба товщиною t - 10 мм і шириною 100 мм розтягується
центрально прикладеними силами F = 60 кИ (рис. 8.15). Якої глибини а може
<>ути зроблена в штабі одностороння виточка з умови міцності? Концентрацію
напружень у виточці до уваги не брати. Прийняти [<т] = 160 МПа.
Відповідь: 25 мм.
Рис. 8.10
Рис. 8.9
q=4кИ/м
F
ҐПП
Т7ГТТТ7
•Аг,
•7VT.
(/2 = 1 л
1= 2 *
Рнс. 8.11
174
Рис. Є. 12
Рис. 8.13
Рис. 8.14
175
Розділ 8
СКЛАДНИЙ ОПІР
8.її. Чавунна колона таврового перерізу (рис. 8.16) сприймає вертикальну
силу F, прикладену в точці В поза перерізом. Визначити допустиму величину
сили F, якщо допустимі напруження на розтяг і стиск відповідно дорівнюють
| О ] = 7 0 Л 1 Я Й і [ o j = 250
ЛШа.
Р
Відповідь: Ш 5 , 6 кН.
8.12. Під час випробування стержня прямокутного поперечного перерізу
25x50 мм на розтяг зосередженого силою F за допомогою тензометрів було
виявлено, що при певному значенні сили напруження уздовж менших сторін
перерізу постійні і складають +30 МПа і +120 МПа. Обчислити величину сили
і координати точки її прикладання.
Відповідь: 93.75 кИ; 0,5 см. 0.
5.13. Порожниста колона з різностішш поперечним перерізом (рис. 8.17)
стискується силою, прикладеною в точці Д. Як зміниться найбільше стискувальне
напруження в колоні, ЙКЩО товщина стінок буде однаковою і дорівнюватиме 60 мм}
Відповідь: збільшиться на 14.6%.
8.14. Порожнистий трубчастий сталевий вал, внутрішній діаметр якого
повинен складати 0,8 зовнішнього, в небезпечному перерізі зазнає дії згинального
моменту М = 8,0 кНм і крутного моменту Мт= 14,0 кН-м. Обчислити зовнішній
і внутрішній діаметри вала при допустимому напруженні [о| - 160 МПа. Використати четверту гіпотезу міцності.
Відповідь: 116 мм; 93 мм. Перенапруження 1%.
8.15. Порожнистий трубчастий чавунний вал, зовнішній діаметр якого
160 мм І внутрішній 100 мм, передає обертовий момент 28 кН-м. Відстань між
• шорними підшипниками 1,2 м. Посередині цієї відстані перпендикулярно до
осі вала прикладена сила 60 кН. Обчислити розрахункове напруження в небезпечній точні за гіпотезою міцності Моря-Кулона. Прийняти [п ] = 70 МПа
/7
Відповідь: 61,8 МПа.
8.16. Сталевий колінчастий стержень закріплений в перерізі А (рис. 8.18).
Частина АВ має круглий поперечний переріз діаметром 125 мм. У точці К
перпендикулярно до площини креслення прикладена сила 20 кН. Обчислити
і1 перерізі А розрахункове напруження в небезпечній точці за четвертою гіпотезою міцності.
Відповідь: 75 МПа.
Рис 8.15
Рис. 8.17
176
Рис. 8.16
8.17. Кулачок (рис. 8.19) завантажений силою F - 3,2 кИ. Діаметр круглої
тастини кулачка 50 мм. Обчислити головні і розрахункове напруження в небезпечній точці перерізу І—І. Використати четверту гіпотезу міцності.
Відповідь: ст, = 33,4 МПа; и , = -10 МПа; с ^ = 39.4 МПа.
Рис. 8.18
Рис. 8.19
12 ОпЕр матеріалів
Рис. 8.20
177
СКЛАДНИЙ ОПІР
Розділ 8
8.18. На валу, що приводиться в рух двигуном, насаджено шків вагою Q = 5 кН і діаметром D = 1200 мм (рис. 8.20). Віддаль між опорами 1 - 1,6 м. Обидві вітки паса на шківі горизонтальні. Натяг ведучої вітки 6 кН, ведомої —
З пН. Визначити діаметр вала, якщо [а\ = 80 МПа.
Використати третю гіпотезу міцності.
4. Побудувати епюри поперечних сил і згинальних моментів у обох головних
площинах балки
5. Визначити небезпечний переріз балки. Раціонально зорієнтувати переріз
балки відносно її головних площин.
6. З умови міцності визначити розміри поперечного перерізу балки.
7. Визначити положення нейтральної лінії в небезпечному перерізі І побудувати просторову епюру нормальних напружень.
Відповідь: 83 мм.
8.19. Визначити розрахункове напруження в небезпечній точці стояка дорожнього
знана (рис. 8.21). Стояк — труба, зовнішній
і внутрішній діаметри якої відповідно дорівнюють
100 і 80 мм. Тиск вітру на знак складає 1 КПа.
Використати третю гіпотезу міцності.
Відповідь: 47,8 МПа.
Таблиця 8.1
Дані іля РПР 8.3.1
№
рядка
8.3. РОЗРАХУНКОВО-ПРОЕКТУВАЛЬНІ РОБОТИ
Для сталевої консольної балки, розрахункова схема якої показана а табл. 8.2,
3) побудувати епюру розподілу нормальних напружень по контуру небезпечного перерізу.
Прийняти [о] = 160 МПа, Е = 2 х ЮъМПа.
Дані взятії з табл. 8 1.
Сили F і ц в табл 8.2 перпендикулярні до осі балки.
Порядок виконання РПР 8.3.1
і. Виписати дані з табл. 8.1 у відповідності з шифром.
2. Вибрати розрахункову схему з табл 8.2 і представити її в масштабі.
3. Визначити сили, що діють у кожній з головних площин балки.
178
10
. 6
1
11
7
2
12
8
3
7
9
10
4
6
5
5
6
7
8
9
9
потрібно:
1) побудувати довільним способом епюри поперечних сил і згинальних
моментів у головних площинах балки;
2) раціонально зорієнтувати поперечний переріз відносно головних площин
балки і підібрати з умови міцності розміри сторін h і b прямокутного перерізу: .
F.
кИ
0
6
7
8
8.3.1. РОЗРАХУНКИ НА МІЦНІСТЬ ПРИ КОСОМУ ЗГИНІ
"і.
кН я
11
12
10
8
6
1.
кН/м
В
6
4
7
8
9
8
6
/.
м
а/і
с/1
h/b
2,0
0,6
0,9
2,0
, 2,1
0.7
0,8
2,1
1,2
0,8
0,7
2,2
1.3
0.3
0,4
0.5
0.6
0,7
0,8
0,9
0,6
2.3
0.5
2,4
1.4
1.5
1,6
1,7
5
1,8
10
1,9
0,4
1,5
0,5
1.6
0,6
1,7
0,7
1,8
0,8
1,9
Ф.
град
20
25
30
35
40
45
55
60
65
70
Приклад виконання РПР 8.3.1
Розрахункову схему балки показано на рис. 8.22, а.
Вихідні дані: т - 10 к Ям; F = 6 кН; q = S кН/м; 1 = 2,0 м; а/1 = 0,6;
с/1 = 0,9; h/b = 2; <р = 20°.
1. Визначаємо сили, що діють у головних площинах балки.
Площина гу:
F = Fco$.cp = б cos20° - 5,64 кН; q = 8 кИ/м.
Площина zx:
^ = Fsimp = 6 sin20" = 2,05 кЯ; т = 10 кН-м.
2. Будуємо епюри поперечних сил і згинальних моментів за характерними
точками.
а) Площина гу {рис. 8.22, 6).
12
179
СКЛАДНИЙ ОПІР
Епюра Q :
0/ =Gf =5,64 «Я; Q ° = 5,64-8-1,2 = -3,96 к/7.
Епюра Мх:
Лі* = 0 ; Л£ = 5,64- 0,8 = 4,512 кЯ-л; Л|? = 5,64 • 2 - 8 •—- - 5,52
5,64
£ + ^=4.512 + ^5,64.^;^.
= О,7О5Л.
Aif = 4,512 + і 5,64 - 0,705 - 6,
б) Площина гх (рис. 8.22, в).
Епюра Q,. Q, =2,05кН.
Епюра М„:
= 0 ; АІ= , = 2 , 0 5 . 0 . 8 = 1.64
Aff = 2,05(0,8+ 0,705)-10 =6,915
З.ЗепюрЛї л іЛГ у (рис. 8.22, б, в) видно, що ймовірно небезпечними є перерізи
(.' і Е. В обох випадках М >Мt. Тому більша сторона перерізу (А> повинна бути
паралельною горизонтальній осі х (рис. 8.23).
Обчислимо напруження в небезпечних точках перерізів С і Е. Використаємо формулу (8.6):
а
-
Виразимо осьові моменти опору Wti Wyчерез розмір Ь перерізу:
= U- W -bh
-1^^±L
6
-с
та*
6
3 • '
*
6
_ М . ^ Л 1 ' _ 4,512^8,36
~™
-,,,
'
" '''
w:.
™
,
т
Д
26,076
—
„•——
'
кН-м;
з
6,5
m;
3
з
29, S 7
2
з
кН м
a
'-
Небезпечним є переріз E (a^ a j > а^„
181
СКЛАДНИЙ ОПІР
Розділ 8
4. З умови міцності за нормальними напруженнями визначаємо розміри перерізу:
Розмірність: JW* , 'Mt£ — кНсм; Ь — см.
о д ) = -ак
16
= -161,
г
Розмірність: М — кИсм; |а] —- кИ/см .
Приймаємо: b = 57 мм; h - 114 лш.
Перенапруження складає:
5,72 а -5,7
5,7'
а, =
•100% = 1%,
що допустимо ( 1 % < 5%).
5. Визначаємо положення нейтральної лінії в небезпечному перерізі І будуємо
просторову епюру нормальних напружень.
Вибираємо напрямки головних центральних осей такими, щоб моменти М^
і Му у 1-му квадранті спричиняли розтяг. Якщо дивитись уздовж осі г з початку
координат (рис. 8.22, а), то це буде нижня права чверть. Отже, вісь х направляємо
вправо, вісь у — вниз (рис. 8.23).
Нейтральна лінія проходить через II і IV чверті. Кут сс, який вона утворює
з віссю х, визначимо з допомогою формули (8.3):
С
hb*
6,915
а = 14,89°.
К . Li _ 12 Л1
6,5
6,5
М,
12
Для побудови просторової епюри нормальних напружень обчислимо напруження в кутових точках К, L, М, N (рис. 8.24).
М. . М.
Mf , Щ _ 3-6,5-10^ 3-6,915-10'
*, и
5.73
2 -5, Г
'= 49,3 Л)/7д.
o v = - o t - - 4 9 , 3 МЯа.
Епюра а показана на рис. 8.24.
Відповідь:
а) розміри перерізу Ь х А = 57 х 114 «х;
б) більші грані балки повинні бути горизонтальними.
8.3.2. ВИЗНАЧЕННЯ ВАНТАЖОПІДЙОМНОСТІ
ПОЗАЦЕНТРОВО СТИСНУТОГО СТЕРЖНЯ
ВЕЛИКОЇ ЖОРСТКОСТІ
Чавунна колона стискується силою F, позацентрово прикладеною в точці В
поперечного перерізу (рис в табл 8.3).
Потрібно:
1) визначити допустиму величину сили F;
2) побудувати просторову епюру нормальних напружень по контуру перерізу.
Дані взяти відповідно до шифру з таблиць 8.3 і 8.4.
Прийняти: Ь - 0,8 а; с — 0,6 a\d- 0,4 а; п = 0,2 а; коефіцієнт запасу міцності
Ія] = 3.
= 16,13 кН/см*= 161,3 МПа
Порядок виконання РПР 8.3.2
h.
м
1
^
III
II
IV
І
N
в. я
2. Знайти центр ваги перерізу, провести головні центральні осі і визначити
координати точки прикладення сили F в цих осях.
3. Обчислити головні центральні моменти інерції перерізу.
4. Визначити положення нейтральної лінії і небезпечні точки перерізу.
5. Визначити допустиму величину сили F.
X
і
1
Рис. 8.23
182
1. Виписати дані з таблиці 8.4 і накреслити в масштабі поперечини переріз
у відповідності з таблицею 8.2.
К
Рис. 8.24
6. Обчислити напруження в характерних точках перерізу і побудувати епюру
нормальних напружень.
183
Розділ 8
Т а 6 л и ця 8.2
Варіанти р о ара лункових схем зо РПР 8.3.1
184
П р о д о в ж е н н я т а б л и ц і 8.2
СКЛАДНИЙ ОПІР
Розділ 8
Та 6 л и и я 8.3
Варіанти розрахункових схем до РПР 8.3.2
У///////Ш////////.
Сх є ма на ва н таженн п
03)
ґой
"І
\
в
У/у
с
4
186
•-
* -
Продовження таблиці 8.3
СКЛАДНИЙ
Розділ 8
Таблиця S.4
Дані для РПР 8,3.2
№
Матеріал
а,м
рядка
р
Ои
Марка чавуну
.МПа
а^
.МПа
0
0.5
СЧ 12
120
500
1
0,1
СЧ 15
150
650
СЧ 18
180
700
СЧ21
210
750
240
850
280
1000
2
3
0,3
0,5
СЧ24
4
0,4
5
0,3
СЧ28
6
0,5
СЧ 32
.
320
1100
1200
7
0.4
СЧ35
350
8
0,3
СЧ38
380
1400
9
0,5
СЧ 18
180
700
Проводимо головні центральні осі х і у. Додатні напрямки осей вибираємо
такими, щоб точка прикладання сили F (точка В) була в 1-му квадранті.
Координати точки прикладання сили в осях х—у.
Хе
;
,
8 . ( а і .
в
в
3. Обчислюємо головні центральні моменти перерізу.
12
12
,
,„
18-12
3
12 -4 3
- 2 5 2 8 см\
12
4. Визначаємо положення нейтральної лінії і небезпечні точки перерізу.
За формулами (8.9) обчислюємо координати точок перетину нейтральної
з осями х і у.
ш
,
',
] 2
=—'-• а
а
Приклад виконання РПР 8.3.2
4
= - ^ .
4
4
P03MipV
Q
V/
1. Переріз чавунної колони показано на рис. 8.25. Сила F прикладена
в точці В. [о р ] = 40 МПа, [ c j = 180 МПа.
2. Визначаємо положення центра ваги С перерізу. Він знаходиться на осі
симетрії. Визначаємо ординату ус центра ваги відносно початкової осі хв.
Складну плоску фігуру, якою є переріз, можна представити як таку, що складається
з двох простих: великого прямокутника із сторонами 12 і 18 см (фігура І) і малого
прямокутника (вирізу) із сторонами 4 і 12 см (фігура II). Скористаємось формулою:
(л ®
\
з
31
\
-с\
С
чде S',r ~ Аіуі — статичний момент простої фігури; А. — її площа.
Л,= 1 2 x 1 8 = 2 1 6 c A t ! M 2 = 4 x l 2 = 48cjK*.
- 4 8 - 168 с я ! .
ол
СО
©
II
Зі
1
Віддаль до осі ^ ц е н т р а ваги фігури І У\ - — ~= $см. ВІДЛОЙЇДНО, у2 = 18 --—- =
1
цг
Ус
188
168
•
/
/ / / /
У/У/л
щ
В
\
-•1
216-9-4812
O 1 J
=—
= 8,14 см.
ОПІР
_,
1
1
X
і
Риє. 8.25
189
7
Розділ 8
О5СЖІ.
168
168
27,98
...
Ч С 1
15,05
a, =
=
-2,51
см;
a,
=
—
=
-3,14см.
—66
8,14
*
8,14осях і проводимо через них
Знаходимо положення точок на відповідних
нейтральну лінію.
Проводимо дотичні до контуру, паралельні нейтральній лінії.
Небезпечними є точка В {хв= 6 см,ув= 8,14 см), де діє найбільше стискувальне
напруження, і точка D (ха= —6 см, уа= —9,86 см), де діє найбільше розтягувальне
напруження.
5. Визначаємо допустиму величину сили з умов міцності на розтяг і стиск.
За формулою (8.7) обчислюємо напруження в точках D і S.
1^
СКЛАДНИЙ ОПІР
A
--0.
27,98
Л
6-2
8,14 (-9.S6)
[
15,05
27,98
15,05
+
27,98
15,05
1+ -
YJn
_Є)
8,14(-9,86)
15,05
27,98
6(
= -4,92Л1/7а;
15,05
[
15,05
=-22,72 МПа;
= 40 М/7а;
27,98
27,98
j
Відповідь: допустима величина стискувальної сили [F] - 157,7 кН.
б)
[<*,}• А
1+
18 168
= 525 кИ.
6-6
8,14-8,14
+
15,05
27,98
D
Розмірність: [ о р ] , [ о е ] — кН/см1.
Приймаємо \F\ = [Fp] = 157,7 кИ.
6. Обчислюємо напруження в характерних точках і будуємо епюру нормальних напружень (рис. 8.26):
(Х 6 см; Y
т. В (Хв= 6 см; Y = 8,14 с * ) ;
т. С (Хсс = 6 см; Y = -9,86 см);
т.
К
{Х
= 2 см; Y = 2,14 ел);
я
т. Е (Х = 2 см; Yc= -9,86 см);
= -9,86 см);
т. М (Хм= - 2
т L (Х = -2 см; У, = 2,14 см);
см);
т.
N
..=
6
<
т. D (Хо= - 6 см; Уо = - 986
9 , см);
157,7
О,
6-6
8.14-8.14V
=—7
= -0,93869(1 + 2,392 + 2,368) - -5,407 K///CJU 2 =-54,O7 МПа;
190
Рис. 8.26
191
Розділ 8
СКЛАДНИЙ ОПІР
8.3.3. РОЗРАХУНОК НА МІЦНІСТЬ КРУГЛОГО ВАЛА
ПРИ СУМІСНІЙ ДІЇ ЗГИНУ І КРУЧЕННЯ
Сталевий вал трансмісії обертається з кутовою швидкістю <о і передає
потужність Р через момент Т на шків (табл. 8.6). Нехтуючи впливом поздовжньої
сили і втратами потужності в підшипниках, визначити діаметр вала. Використати
третю гіпотезу міцності.
Коефіцієнт запасу міцності прийняти |п] = 2. Дані взяти з таблиці 8.5.
Вказівка. Силові навантаження на шків обчислити за формулами:
1) колова сила F - 2T/D;
2) радіальна сила Fr - F • igct, де а = 20° — кут зубчастого зачеплення з евольвентним профілем;
3) осьова сила F. — — — . Якщо на схемі сила F не показана, прийняти F - 0.
v
cos8°
"
1. Виписати відповідно до шифру дані а таблиці 8.5.
2.Зобразити згідно з варіантом розрахункову схему в масштабі.
3. Обчислити обертовий момент Т, що передає вал.
0
Р.кВт
100
для РЛР 8 3.3
Матеріал
Ш, рад/с
D.MM
а,м
160
2.0
сталь 40
50
60
1
90
ИО
1,8
сталь 45Х
2
80
120
1,6
сталь 45
48
70
60
100
1,4
сталь 40Х
120
1,2
сталь 40ХН
50
60
70
НО
1,0
сталь 40
150
2,0
сталь 45Х
160
1.6
сталь 45
180
1,4
сталь 40Х
24
20
16
12
32
36
200
1,2
сталь 40ХН
40
3
4
5
6
7
8
9
192
80
90
,
1.Вихідні дані:
т = 50 1/с; варіант
2. Зображаємо
3. Обчислюємо
Приклад виконання РПР 8.3.3
Р = 100 кВт; D= 160 мм; а = 2,0 м; матеріал — сталь 40;
«00».
розрахункову схему в масштабі (рис. 8.27, а).
обертовий момент Т:
Розмірність: D — м.
Т а б л и ц я 8.5
№ зп.
і шотезу міцності.
ш
50
І 'озмірнїсть: Р — ват, <о — 1 / с .
4. Визначаємо силові навантаження на шків:
План виконання РПР 8.3.3
ДИБІ
4. Визначити силові навантаження на шків: колову F і радіальну F сили.
Показати ці сили на розрахунковій схемі.
5. Побудувати епюру крутних моментів,
6. Побудувати епюри згинальних моментів у вертикальній І горизонтальній
мищинах.
7.Побудувати епюру сумарних згинальних моментів.
8. Визначити небезпечний переріз вала і його діаметр, використавши третю
Fr=F-lga
D
0,16
9,!
= 25 tg20° = 9,1 кИ; Fc
= 9.19*//.
cos 8°
cos 8°
5. Будуємо епюру крутних моментів (рис. 8.27, б):
Дільниця КС; Mt - 0;
Дільниця СА; АГ= -Т = -2 кН-м.
6. Будуємо епюри згинальних моментів у вертикальній і горизонтальній площинах.
А. Вертикальна площина (рис. 8.27, в).
В перерізі С діють зосереджена сила F =9,1«Я. зосереджений момент
Р„-£)/2 = 9,19-0.08 = 0,735вЯ-л І осьова 'сила Fj= 9,19 кИ.
Визначаємо опорні реакції:
й й = 2,905 кН;
£ , п л = 0 = » - K / i - I + m + /v-0,6 = 0=» VB = 6 ,
Перевірка: %Y = VB~ F + RB= 6,195 - 9,1+ 2,905 = 0.
Опір натеріалін
і УО
СКЛАДНИЙ ОПІР
Розділ
Т а б л и ц я Ні)
П р о д о в ж е н н я т а б л . 8.6
Варіанти розрахункових схем до РПР 8.3.3
х
0,2 а
0,1 а
0,3 а
т
s~
0.5Г
0,4 а
0,1 а
0,15 а
0.1 а
0,3 а
0,15 а
0,15 а
0,1 а
0,5 а
0,1
0,2 о
0,4 а
0,2 а
0,5 F
0,5 T
0,15 а
0,2 а
0,2 а
0.5
1
0,4 а
0.3 а
0,1а
0,3 а
14
F
(06
и
У
/
X
0,2 а
194
t
0,4 а
0.15 а
0,2 о
0,3 а
0,5 а
ІЗ
0,1 а
F,
.г\
0,3 а
0.1 а
0,5.
Т
0.2 а
У
Q
0.4 а
0,4 а
195
Розділ 8
СКЛАДНИЙ ОПІР
Обчислюємо згинальні моменти в характерних перерізах:
М\ = М\= 0;
Щ:,) = і-'в - 0,4 = 6,195 • 0,4 - 2,478 кНм;
M'w = М"с(з) - т = 2,452 - 0,735 = 1,743 кНм; М'к = 0.
Будуємо епюру М„ (рис. 8.27. г).
Б. Горизонтальна площина (рис. 8.27, д).
В перерізі С діє зосереджена сила F - 25 кН.
Визначаємо опорні реакції:
£ z = O=s. Wr =0;
0,4+Я, 1 =
=O=>-F-0,6-V r -l =
г
=-10кН;
=-15 к//.
Перевірка; ZX= V+F + R=-\5 + 25- 10 = 0.
Обчислюємо згинальні моменти в характерних перерізах:
М'А =
0; Mi^Vr-0A
= -15-0,4 = -6 кН-м;
=0.
Будуємо епюру (МДрис. 8.27, є).
7.Будуємо епюру М сумарних згинальних моментів.
Сумарні згинальні моменти в характерних перерізах обчислюємо за формулою:
М = JM? + М].
=Ме =0;
ІРІ
-%,r-
= 6,492
Л1Я = 0 .
Будуємо епюру М (рис. 8.27, ж).
8.Визначаємо небезпечний переріз вала і його діаметр. З епюр М^\ М
Видно, що небезпечним є переріз, що знаходяться зліва від перерізу С, в якому
діють крутний момент Мк= Э кНм і згинальний момент М = 6,492 кН-м.
Визначаємо діаметр вала, виходячи з третьої гіпотези міцності. За формулою
(8.13)
196
Розділ 8
Обчислюємо < ' і [о]. За формулою (8.14)
В додатку І знаходимо: для сталі 40 стг= 340 МПа.
Тоді [а] = 340/2 = 170 ШПа.
М'"
Розділ
9
РОЗРАХУНКИ КОНСТРУКЦІЙ
НА ДИНАМІЧНІ НАВАНТАЖЕННЯ
6.793-10*
3(8.13) =*W, >-ДРозмірність: ЛС - к№с*; [о] -
— =
кН/см\
d=
32
Відповідно до ряду діаметрів приймаємо d - SO мм.
Динамічним називають навантаження, частково або повністю спричинене силами інерції.
9.1. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
9.1.1. ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ
Для розрахунку конструкцій на міцність і жорсткість потрібно вміти
инзначати величину напружень і деформацій (переміщень) при дії динамічних навантажень.
Динамічні внутрішнє зусилля 5^, напруження рд (нормальне о й чи
,етичне т,), деформацію (переміщення) Дл можна представити у вигляді
двох складових: одна з них залежить від статичної дії зовнішніх сил,
.і друга — від сил інерції.
Рз = Рп + Р.
(9.1)
Постійну складову (S c r , р^, Д п ) визначають звичайним способом, зац'жно від виду деформації.
Спосіб визначення складової, спричиненої силами інерції ( 5 , pt, &•),
і.ілежить від виду динамічного навантаження.
9.1,2. ВИДИ ДИНАМІЧНИХ НАВАНТАЖЕНЬ
В опорі матеріалів розрізняють три види динамічних навантажень:
І) постійне; 2) ударне; 3) повторно-змінне.
199
РОЗРАХУНКИ КОНСТРУКЦІЙ НА ДИНАМІЧНІ
Розділ 9
9.1.4. УДАРНЕ НАВАНТАЖЕННЯ
9.1.3. ПОСТІЙНЕ ДИНАМІЧНЕ НАВАНТАЖЕННЯ
До цього класу задач належать задачі динаміки, в яких величина
прискорення стала. Вона відома або може бути обчислена за вихідними даними.
При визначенні динамічного внутрішнього зусилля Se використовують
принцип Даламбера. За цим принципом рухоме тіло можна розглядати
в стані миттєвої рівноваги, якщо до нього прикласти, крім зовнішніх сил,
силу інерції.
Силу інерції направляють протилежно прискоренню. Ґі' величину
обчислюють за формулами:
або
НАВАНТАЖЕННЯ
-a = (y/g) • V • a
якщо кожна точка має однакове прискорення.
У формулах (9.2) т — маса; V — об'єм; а — прискорення; g —
прискорення сили земного тяжіння; р — густина матеріалу; у — питома
вага матеріалу.
При розрахунку стержневих систем зручно користуватись поняттям
інтенсивності сили інерції або погонної сили інерції (сили, що припадає
на одиницю довжини елемента).
Якщо всі точки поперечного перерізу мають однакове прискорення,
Прискорення і сила інерції тіла, що спричиняє удар, зростають, не
иішюючи напрямку, від нуля до кінцевого значення.
Удар може бути поздовжнім (рис. 9.1, а), поперечним (рис. 9.1. 6),
• кручувальним (для стержня АВ, рис. 9.1, є). (Вісь стержня на рис. 9.1, а, б
находиться в площині напрямку удару, на рис. в — перпендикулярна до
1
неї, а —• кут між напрямком удару і вертикаллю).
В опорі матеріалів використовують наближену теорію удару, за допомогою якої визначають максимальні значення напружень рд і переміщень
Лг], спричинених ударним навантаженням.
Розрахункову схему вибирають у вигляді системи з одним ступенем
цільності. Довільне переміщення в такій системі цілком визначається однією
міординатою центра мас системи, що умовно зосереджена в точці удару.
Рівняння балансу енергій системи (ударяюче тіло — конструкція)
• к.ладають для моменту найбільшого відхилення точки удару від положення
рівноваги.
KL + fT = U,
(9.6)
in- /Г.— кінетична енергія системи в момент безпосередньо після дотику;
// — зміна потенціальної енергії ударяючого тіла від моменту дотику до
максимального переміщення точки удару; U — потенціальна енергія
пружної деформації конструкції.
то
ql=dFi/dt
= p-A-a
= {y/g)-A-a,
(9.3)
де Л — площа поперечного перерізу стержня.
У випадку вертикального руху вантажу з прискоренням а динамічні параметри можна визначити за допомогою коефіцієнта динамічності К„.
(9.4)
K=l+a/g.
(9.5)
Рис. 9.1
200
20!
1
Розділ 9
Розв'язок рівняння (9.6) можна отримати у вигляді;
РОЗРАХУНКИ КОНСТРУКЦІЙ НА* ДИНАМІЧНІ НАВАНТАЖЕННЯ
1 *-
Д, = ^ - Д с т .
0.7)
де Д^ — найбільше динамічне переміщення в напрямку удару; &ti — I I
переміщення точки удару від статичної сили, що дорівнює вазі Р = mg
ударяючого тіла; Ка— коефіцієнт динамічності.
Аналогічно визначають найбільші динамічні внутрішнє зусилля і напруження:
St=K,- Sc,;
(9.8)
11
1
ft = Ка •
ft,,
(9.9)
де SCT, р ! т — найбільші внутрішнє зусилля і напруження в конструкції від
статично прикладеної в точці удару сили," що дорівнює вазі Р = mg ударяючого тіла.
В загальному випадку коефіцієнт динамічності можна визначити за
формулами В. С. Павлова:
2К
К* = ± cos a + cos а +
II
;
-35
Н
р
'//////Л
'
"з
4
я-
^
1/2
Р
і3
" 140
-а
1
t
в
Рис. 9.2
Для попередніх і наближених розрахунків у багатьох випадках масу
•а: конструкції можна не враховувати.
Ннжче наведено значення коефіцієнтів динамічності для ряду
'..ірактериих випадків при нехтуванні масою конструкції2
1. Вертикальний удар: a = 0 => cosa = cos a = 1.
(9.10)
«fl=±U.|l
2K
"IS "Ах
(9.12)
.100
або
К, = ±cosa+
(9.13)
v-
cos a
g-K,
(9.11)
т
де a —• гострий кут між вертикаллю і напрямком удару; знак «+* перед
cosa ставлять при ударі зверху вниз, «-» — при ударі знизу вгору;
Я =
кінетична енергія ударяючого тіла в момент дотику; V —
швидкість ударяючого тіла в момент дотику; т — маса ударяючого тіла;
тг — маса конструкції, що сприймає удар; Р — коефіцієнт приведення
маси конструкції до точки удару.
Для окремих випадків величина коефіцієнта р вказана на рис. 9.2, а, б, в.
Якщо маса конструкції зосереджена в точці удару, то (3 = 1.
202
2. Удар вільно падаючим тілом: V2=2gA. - (9.14)
'' h — висота падіння (рис. 9.2).
3. Горизонтальний удар: а = 90° => cos a. = cos2 a = 0.
(9.15)
.ігїо
(9.16)
203
РОЗРАХУНКИ КОНСТРУКЦІЙ НА ДИНАМІЧНІ
Розділ 9
Максимальні динамічне переміщення і силу інерції у випадку горизонтального удару можна визначити безпосередньо:
(9.17)
(9.18)
і
де 8 = 5 ( і — податливість конструкції в напрямку удару (переміщення
від статично прикладеної в точці удару одиничної сили f ° - 1).
Формули (9.17), (9.18) справедливі для будь-якого удару, якщо
в рівнянні (9.6) балансу енергій можна нехтувати зміною потенціальної
енергії П порівняно з величиною кінетичної енергії Кс.
4. Скручувальний удар обертовим тілом.
Динамічні кут повороту фг! і скручувальний момент Та маховика М
при раптовому гальмуванні шківа Ш (рис. 9.3) можна обчислити (без
врахування маси вала), використавши формули (9.17), (9.18):
(9.19)
(9.20)
Рис. 9,3
де 5 = 5,. — переміщення (кут повороту) від одиничного скручу вального
моменту яі°= 1, статично прикладеного в місці кріплення маховика;
К — кінетична енергія маховика.
НАВАНТАЖЕННЯ
•ї- t — час; Н і ш — амплітуда
і частота збурювальної сили.
Під дією збурювальної сиі ІІ відбуваються
вимушені
коливання механічної системи
(конструкції і вантажу).
Вирішальний вплив на величину напружень pt і перемінь Д, спричинених збурюваль11'по силою, має співвідношення частот вимушених ш і власних а>0 коливань.
Власні коливання відбуваються під дією сил інерції і сил пружності
меля усунення причини, що вивела систему з рівноваги.
При визначенні частоти ю0власних коливань розрахункову схему, як
і при ударі, вибирають у вигляді системи з одним ступенем вільності.
Масу ms конструкції приводять до центра мас m вантажу.
•В_ інженерній практиці зустрічаються дві основні задачі:
1} вїдстройка конструкції від резонансу;
2) знаходження максимальних переміщень і (або) напружень.
Відстройка від резонансу вважається досягнутою, якщо відношення
і,істот вимушених^ власних коливань знаходиться поза областю резои.інсу: 0,7 < ю/ш0 < 1,3.
Тобто, умова відстройки від резонансу має вигляд:
(9.22)
<Й0
9.1.5.1. Поздовжні й поперечні коливання
9.1.5. ПОВТОРНО-ЗМШНЕ НАВАНТАЖЕННЯ. КОЛИВАННЯ
Повторно-змінне динамічне навантаження спричиняється відцентровою
силою при обертанні тіла навколо осі, що не проходить через центр мас тіла.
На рис. 9.4 показана відцентрова сила Н, що виникає при обертанні
незбалансованого ротора електродвигуна. В напрямку дії ваги P=mg
двигуна (вантажу) складова сили Н (збурювальна сила) змінюється за
гармонічним законом:
Я ( 0 = Я-созш*,
(9.21)
204
Частоту власних поздовжніх і поперечних коливань системи «конгрукція-вантаж» обчислюють за формулою:
1
(9.23)
и1 5 = 5 ( 1 — переміщення від одиничної сили F°= 1, статично прикладеної
•
'• центрі мас у напрямку коливань; т — маса вантажу; /и^ —маса конструкції;
205
РОЗРАХУНКИ КОНСТРУКЦІЙ НА ДИНАМІЧНІ НАВАНТАЖЕННЯ
Розділ 9
j3 — коефіцієнт приведення маси конструкції до центра мас. Длядеяки\
випадків його значення вказано на рис. 9.2; Д.г — статичне переміщення
центра мас від ваги Р вантажу.
.Якщо масою тк конструкції можна знехтувати, то формула (9.23)
набуває вигляду:
(9.24
Найбільше динамічне переміщення в напрямку дії сили тяжіння вантажу обчислюють 33.(9.4):
Тут Д г т — переміщення від статичної скли, що дорівнює вазі Р вантаж\
Коефіцієнт динамічності:
з
р
і,
(9.25).
1
1- ш
Pa =KfP,.,де р с т — найбільше статичне напруження в конструкції від статичної дії
ваги Р вантажу.
9.1.5.2. Крутильні коливання
Частота власних крутильних коливань системи «невагомий вал —
маховик» (рис. 9.5):
206
(9.28)
<pd = Ф - Л .
(9.29)
р и с 9 5
.
•
(9.2G)
Тобто коефіцієнт наростання коливань завжди додатний. Назва коефіцієнта пов'язана з тим, що величина Д.встановлюється через деякий проміжок часу, необхідний для «розгойдування» конструкції.
Найбільше динамічне напруження за (9.4):
(ft, =
М^=Т.Ц;
GJ
іс Т — амплітудне значення збурювального моменту; <р —-кут повороту
під статично прикладеного моменту Т.
Коефіцієнт наростання коливань Г| при виконанні умови відстройки
•ч.'і резонансу обчислюється за (9.26).
де Т) — коефіцієнт наростання коливань.
При виконанні умови (9.22) відстройки від резонансу
¥1 =
1
и 5 = 5 И —• переміщення (кут пово• >гу) від одиничного моменту т ° = 1.
• ідтично прикладеного в місці кріпн-ння маховика; JH— момент інерції
маси маховика.
При наявності збурювальної сині — скручувального моменту, величина якого змінюється за гармонічним
=
иконом П О Tcos (at, — максимальні динамічні крутний момент і кут
повороту маховика можна обчислити
и формулами:
(9.27)
9.2. ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ
9.2.1. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1. Наведіть приклади з вашої майбутньої спеціальності, де конструкції
працюють на динамічні навантаження. Чому ці навантаження називають
і.іпамічними?
2. Чим принципово відрізняються статичне і динамічне навантаження?
3. Які види динамічних навантажень ви знаєте?
4. Сформулюйте принцип Даламбера. В яких випадках цей принцип
"і'іпосередньо використовують при розв'язанні динамічних задач?
5. Як визначаються за величиною і напрямком зосереджені та погонні
.їли інерції?
6. Що таке коефіцієнт динамічності?
7. Як визначаються зусилля, напруження та переміщення при ударі?
—.
РОЗРАХУНКИ КОНСТРУКЦІЙ НА ДИНАМІЧНІ
8. Як визначається коефіцієнт динамічності при ударі з врахуванням
маси конструкції, що розподілена по довжині елемента або зосереджена
.'[инамічне напруження в канаті:
_ N, _ 10,396
СТй=
в точці удару?
9. Запишіть формулу для коефіцієнта динамічності при ударі без
врахування маси конструкції. Як змінюється величина коефіцієнта
динамічності, якщо нехтувати масою конструкції?
10. Які інженерні задачі виникають при механічних коливаннях?
11. Який вигляд має формула для коефіцієнта динамічності у випадку
вимушених коливань?
12. Запишіть умову відстройки від резонансу. На які параметри си
стеми слід впливати, щоб забезпечити виконання цієї умови?
9.2.2. ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ
НАВАНТАЖЕННЯ
Відповідь:
А
=
~ЇГ
- 6,93 кИ/см2=
69,3 МПа.
crtl = 69T3 МПа.
Приклад 9.2. Сталевий брус, розміри якого вказані на рис. 9.7. о, піднімається
с горизонтальному положенні з прискоренням a-2g-
19,62 м/с*. Знайти мак-
• .імальні напруження. Прийнятії густину матеріалу р = 7,8 • 103 кг/м3.
Розв'язання.
Вантаж рухається з прискоренням вертикально вгору. Отже, для визначення
максимальних динамічних напружень, що виникають у брусі, можна використати
поняття коефіцієнта динамічності /Г,:
Коефіцієнт динамічності обчислимо за формулою {9.5):
Приклад 9.1. Тіло вагою Q ^ I O кИ піднімається за допомогою каната
з площею поперечного перерізу Л = 1,5 с,и5по похилій площині з прискоренням
а - 5 м/сЧрис. 9.6). Визначити напруження в перерізі каната, якщо кут а = 20".
коефіцієнт тертя тіла з похилою площиною / = 0.2.
Розв'язання. Канат працює на розтяг.
При русі з прискоренням н перерізі каната виникне динамічна поздовжня сила
Qsln и
JV,, Для її визначення використаємо прин- І
цип Даламбера.
Тіло знаходиться в стані миттєвої
рівноваги під дією показаних на рис. 9.6
снл. Сила інерції Ft - та = — а напрачё
лена протилежно прискоренню; сила тертя
Рис. 9.6
FT = f Q • cos а направлена протилежно
руху тіла.
Записуємо'рівняння рівноваги тіла:
Q-
F -F. = 0 = * N . =
9,81
208
= 10.396 кЯ.
Рис. 9.7
14 Опір ма
209
РОЗРАХУНКИ КОНСТРУКЦІЙ ЯЛ ДИНАМІЧНІ НАВАНТАЖЕННЯ
Розділ 9
Визначимо <*„,-„. Брус можна розглядати як балку на двох опорах, наванта
жену власною вагою у вигляді розподіленого навантаження q (рис. 9.7, б):
= p
A
g=
В шй формулі Д ; і — переміщення точки удару (верхнього торця бруса) при
• татичній дії стискупальної сили Р. Знайдемо ці величини за законом Гука.
РІ
\/м) = 765 Н/м,
7,8- 10і -0,1' -9,81 - 765 (кгм
"
100-1
Ю 4 -10 6 -10-
Е/\
д" = IL + £L = Ц і. + А.} = Ж
Ґ
Максимальний згинальний момент виникає в перерізі г - 1/2 (рис. 9.7, є):
„
2
• bhl
8
2 2
8
'
10 1 0 1 10 3
, /-.\<1
1(Г
*'
Мі
І
0,325-Ш
3
°?,™, = ко • <„.» = 46 • 10і /7я=4.6 МПа;
2. Удар.
д
При ударі а£,„ = Kd • с",.-
210
ЛІ
Максимальні напруження при ударі:
100
Коефіцієнт динамічності А"^ знайдемо за
спрощеною формулою (9.14) без врахування
мас брусів:
У/////////.
Рис. 9.8
Л,
8-О, I 3
Приклад 9.3. Визначити максимальні напруження, що виникають у двох
дерев'яних брусах від статичного прикладення сили Р - 100 Я, а також у випадку
падіння вантажу Р — 100 Я з висоти h - 0,05м.
Перший брус має однакову площу поперечного перерізу Л,= 10~3 м2 по всій висоті,
другий — таку ж саму площу Л, у верхній
о_
о і
частині і більшу площу А = 4-1О"3л<!в нижній
частині (рис. 9.8). В розрахунках прийняти
а модуль пружності матеріалу Е - 101Л1/7д.
Розв'язання. І. Розглянемо випадок статичного навантаження: <
У//.
Г - ] і і
Кі =1 + .1 +
= 27,Bi МПа.
І
Г-4
Коефіцієнти динамічності:
°* m » = 3 - 9 , 1 8 = 27,54 МПа.
Відповідь:
Г"!
*,=! +
°»г.а* = Кд • (i^jj-a., = 79- 10 і Па=7,9
МПа.
Відповідь: aj i r u j l =4.6ЛШа; o j / m i , =7,9^М/7о.
Таким чином, при рівних статичних напруженнях динамічні напруження
у другому випадку в 1,72 рази вищі.
Розглянутий приклад дозволяє зробити виснопок, що для зниження напружень при ударі потрібно зменшувати
жорсткість конструкцій, проектувати їх
більш податливими.
Приклад 9.4. Згідно з проектом, на
балці двотаврового профілю № 5 0 прольотом 1-им повинен бути змонтований
електродвигун масою т. = 2000 кг
(рис. 9.9, а). Швидкість обертання вала
двигуна п = 970 об/хв. Перевірити, чи
виконується в цьому випадку умова відстройки від резонансу. Задачу розв'язати
з врахуванням і без врахування маси
балки. Маса одного метра балки 78,5 кг.
Розв'язання. Під дією незбалансованої маси двигуна виникають вимушені
коливання балки з частотою
to.
14
Рис. 9 9
211
т
Розділ 9
Запишемо умову Ыдстройки від резонансу:
РОЗРАХУНКИ КОНСТРУКЦІЙ НА ДИНАМІЧНІ
1
Знайдемо частоту си вимушених коливань
_ пп = ті - 970
= 101,5с-'.
Ш
~ ЗО "
ЗО
1. Розв'язання задачі без врахування маси балки.
Частота власних коливань без врахування маси балки визначається за формулою {Э.24):
1
Що =
-ІтЬ '
У формулу входить маса двигуна т і одиничне переміщення 8 центра мас
(переміщення середини балки під дією сили Р = 1). Знайдемо 8 за правилом
Верещагіна. Одинична епюра моментів АГ показана на рис. 9.9, 6.
Е!
= 89с-'.
. 2000(і + — • — ]
[
35 2000J
5.67-
— < 0,7 або .— > |
НАВАНТАЖЕННЯ
101,5
= 1,14.
89
Як видно, врахування маси конструкції мало впливає на величину шо, і умова
відстроики від резонансу також не виконується. Відношення частот знаходиться
в області резонансу 0,7<1.14<1,3.
Відповідь: умова відстроики від резонансу не виконується в обох випадках.
Приклад 9.5. Обчислити частоту власних поздовжніх і крутильних коливань
конструкції із диска постійної товщини вагою Р - 40 кГ і сталевого ступінчастого
стержня (рис. 9.10). Нижня частина 1 стержня має кільцевий переріз із внутрішнім
діаметром 40 мм. Масою стержня нехтувати.
Прийняти Е-2 10і МПа, G = 8-104 МПа.
Розв'язання Конструкція є системою з одним ступенем вільності.
Частоту власних поздовжніх коливань обчислимо за .формулою (9.24):
Ц = Q 2 = І--1,5-3 = 2,25м 2 ; Ж*. = Ж°, = - - 1 , 5 = 1л;
Я = 2-10 3 Л!/7а; ^ = 39727 с.4^3,97-10-1 лс1 (за таблицею сортаменту);
S =2
2
І^-^
г = 5,67 • ІО- ж/М//=5,67-1О2-10'-3,9-1О ч
1
'Що =
Відношення
—
93,1
а
м/И.
Д и = А/, + &L. = - ^ І - + - ^ І - .
^ ^ ^
W, = Л/2 = Р = 40 кг; І, = і, ^ 50 елі;
04
І
°
1
^2000-5,67-Ш
= 93,9 с- .
5
£, = £ , =2-1О'ЛІЯа=2 Ю Ч г / с ж ;
= 1,09; 0,7<1,09<1,3.
4
Умова відстроики від резонансу не виконується.
2. Розв'язання задачі з врахуванням маси балки. Частоту власних коливань
знайдемо за формулою (9.23):
1+
Н Є
Маса балки т , = 6 л(-78,5 кг/л( = 471 кг. Коефіцієнт приведення маси
(згідно з рис. 9.2, 6>В= 17/35.
212
Переміщення від статичної дії вантажу дорівнює поздовжній деформації стержня:
4
"
4
4
= 19,63-12,56 = 7,07 см>\
Тоді
_ 40 • 50 (
1
" ~ 2-Ю 6 [7,07
1
12,56
= 2,21-10-'с.«:
Рис. 9.10
213
РОЗРАХУНКИ
Розділ 9
КОНСТРУКЦІЙ НА ДИНАМІЧНІ НАВАНТАЖЕННЯ
9,81
= 1487 с"1.
(2,21
-10-*)
г
Частоту власних крутильних коливань обчислюємо за формулою (9.27):
ні? =
J
Переміщення від одиничного скручувального моменту т" - 1. статично прикладеного в місці кріплення маховика.
= 8
Рис. 9.11
Рис. 9.12
+5, =
=
p
n • 4
тЦ _
32
32
32
nd
"
32
1
32
4
- =61,36-25,13= 36.23c.tf;
п•4
32
= 25,13c.vf>;
1
= 4,21-10
'
8-10^36.23
25,13
Момент інерції маси диска:
' = 4.21•
1
PD
4'
о , с , п-2 г
=—
- = 40 • 0І ,—
= 8,15-10
кГ-м-с2:з
8g
8-9,81
1
л/4,2110 * -8.15 10-2
Відповідь:
(00 = 1487 с"1; 0)^=171 с" 1 .
9.2.3. ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ
9.1. Вантаж вагою Q = 1500 Я піднімається рівноприскорено за допомогою
троса перерізом А = 20 мм' по похилій площині (рис. 9.11). Перші 2 лі вантаж
перемістився за 0,5 с Визначити напруження в поперечному перерізі троса.
Коефіцієнт тертя / = 0,15.
Відповідь: 169,6 МПа.
9.2. Вантаж вагою Q = 1000 Н (рис. 9.12) переміщається рівноприскорено
по горизонтальній площині за допомогою буксира у вигляді стержня діаметром
d = 5 мм. Визначити напруження в поперечному перерізі стержня, якщо прискорення
о = 10 м/tr і коефіцієнт тертя / = 0,5.
Відповідь: 77,4 МПа.
214
WW////////////////M
9.3. Вантаж вагою Q- 10 кН опускається з постійною швидкістю V- \2 м/с
(рис. 9.13). Визначити напруження, що виникають при екстреному гальмуванні
в перерізі троса площею А-3
см*. Гальмівний пристрій забезпечує зупинку
протягом 2 с при постійній величині сил F.
Відповідь: 53,7 МПа.
9.4. Визначити напруження в перерізі буксира причепа при .гальмуванні
автомобіля, що рухається ^ постійною швидкістю 60 км/год (рис. 9.14). Гальмівний
шлях автомобіля при постійній силі опору складає [2 м, маса причепа т - 2000 кг.
Буксир — труба із зовнішнім діаметром d - 40 мм і товщиною стінки 2,5 мм.
Відповідь: 78,6 МПа.
9.5. Під дією постійної сили F - 200 Я
стержень довжиною /- і площею поперечного перерізу А -Б см- (рис. 9.15) рухається з прискоренням.
Визначити величини зусилля і напруження в перерізі, що знаходиться на відстані і / 4 від точки, де прикладена сила.
Врахувати, що ці величини не залежать ні
від матеріалу, ні від довжини L стержня.
Відповідь: N - 150 Я; а - 30 Н/см2.
Рис. 9.13
А
F
L/A
L
Рис 9.14
Рис. 9.15
215
РОЗРАХУНКИ
Розділ 9
50
u
(1)
В
0
\
0 10
—^
w
КОНСТРУКЦІЙ НА ДИНАМІЧНІ
НАВАНТАЖЕННЯ
ження в небезпечному перерізі балки, а також величину
максимального прогину. Масу балки не враховувати.
Відповідь: 88,7 МПа; 1,48 см..
9.9. Перевірити міцність балки двотаврового профілю № 14, на яку з висоти А = 5 с.ч падає вантаж
масою ffi = 50 кг (рис. 9.19); (о]= 160 ЛЇ/7«. Задачу
розв'язати у двох варіантах:
1) без врахування маси балки;
2) з врахуванням маси балки, розподіленої по
довжині (коефіцієнт приведення маси (Ї = 33/14О)_
Відповідь: міцність балки забезпечена. о,„ =
= 158,1 МПа; о„. - 153.2 ЛШа.
9.10. Порівняти напруження, що виникають у круглому поперечному перерізі сталевого стержня діаметром
rf = 2 см (рис. 9.20), у випадках статичної дії сили
Рис. 9.20
F = 300 Я, раптовогоЇЇприкладення, а також падіння вантажу
масою т ~ F/g з висоти h - 10 см. Масою стержни нехтувати.
Відповідь: а с т = 0,955 МПа; а= 1,91 МПа; а = 309,9 МПа.
9.11. Підібрати масу т вантажу, що падає на двотаврову балку Кя 20
з висоти Л = 0,2 м (рис. 9.21) з умови, що переміщення точки С удару (прогин
балки) буде Дй= 5 мм. Д.ія спрощення розрахунків коефіцієнт динамічності можна
€
Рис. 9.17
Рис. 9.16
9.6. Відцентровий регулятор, схема якого показана на рис. 9.16, рівномірно обертається навколо осі вала 00 з кутовою швидкістю ы = ЗО рад/сек. Визначити найбільше напруження в сталевому стержні ВС під дією відцентрової сили інерції'. Масу
стержня ВС не враховувати. Маса кульки т ~ Ікг. Вважати, що стержень жорстка
закріплений в перерізі В і під дією горизонтальної сили інерції працює на згин.
Відповідь: 149,9 МПа.
9.7. Сепаратор (рис. 9.17) складається з верхнього і нижнього круглих
дисків, до яких вздовж кола діаметром 1 м за допомогою шарнірів прикріплені
вертикальні сталеві стержні діаметром d - 20 мм. Які максимальні напруження
виникають у стержнях при обертанні сепаратора навколо вертикальної центральної
осі зі швидкістю п - 200 об/хв? Густина сталі г= 7,810 J ice/w 3 .
Відповідь: 85,5 МПа.
9.8. На балку двотаврового профілю № 18 прольотом L = 6 м з висоти h = 5 см
падає вантаж масою т= 100 кг (рис. 9.18). Знайти максимальне нормальне напру-
обчислювати за наближеною формулою К#
Відповідь: 50,9 кг.
9.12. Визначити найбільші динамічні нормальні напруження в сталевому
стержні при його падінні з висоти h = 20 см таким чином, що залишаючись
вертикальним, він ударяється нижнім торцем до жорсткої площини (рис. 9.22),
Питома вага матеріалу у = 78-Iff Я / л 3 ; Е = 2Л0" Па.
Відповідь:
=136,8МПа.
0 20
О
-є
Z./2
І м
1
L= 1 м
Рис. 9.18
216
Рис. 9.19
Рис. 9.21
Рис. 9.22
217
РОЗРАХУНКИ
Розділ 9
0.6 ж
Рис. 9.23
0,3 м
L=1,5JK
НА ДИНАМІЧНІ
НАВАНТАЖЕННЯ
9.18. Куля масою т = 5 кг, що рівномірно котиться по горизонтальній площині
si швидкістю V- 2 м/с, ударяє посередині сталевого стержня на двох опорах
(рис. 9.29). Переріз стержня — квадрат зі стороною Ь = 4 см.
Визначити найбільше напруження в стержні, вважаючи, що центр кулі і вісь
стержня знаходяться в одній площині.
Відповідь: 150 МПа.
Рис. 9.24
9.13. Визначити частоту власних поперечних коливань сталевого вала діаметром d = 60 мм, на який насаджено диск масою 120 кг (рис. 9.23}. М а с о ю вала
нехтувати.
• '•*1
Відповідь:
294,4 с " .
9.14. На кінці консольної балки з двотавра № 36 встановлено електродвигун
масою 3 m (рис. 9.24). Знайти частоту власних коливань системи без врахування маси балки.
Відповідь: 88,2 сЛ
9.15. Визначити частоту власних крутильних коливань системи із суцільного
диска постійної товщини вагою Р — 60 кг, діаметром D - 50 см і сталевого стержня
діаметром d - 40 мм і довжиною. І- \ м (рис. 9.25).
Відповідь: 102,6 с н .
9.16. Маховик М постійної товщини і шків Ш закріплено на сталевому валу
(рис. 9.26). Система рівномірно обертається з кутовою швидкістю п = 600 об/хв.
В місці кріплення маховика і шківа переріз
вала має форму квадрата, вписаного в круг
діаметром d (рис. 9.27).
Потрібно визначити: 1) максимальні напруження при раптовому гальмуванні шківа;
2) як зміняться вага вала і максимальне динамічне напруження, якщо вал буде мати квадратний переріз по всій довжині?
Відповідь- 1) 168,9 МПа; 2) зменшаться;
вага — в 1,57 рази, напруження — в 1,67 рази.
9.17. Торсіон системи підвіски (рис. 9.28)
сприймає удар а кінетичною енергією 24 Нм.
Маса ударяючого тіла m = 100 кг. Вважаючи
елемент ВС абсолютно жорстким, визначити
максимальне напруження в стержні АВ.
Рис 9.25
Відповідь: 159,2 МПа.
218
КОНСТРУКЦІЙ
і
'
т
1—
о
,Ш
ш. Г*
М
II
"^
(1)
t = 2л
Рис. 9.26
Рис. 9.28
Р = 60 кг
Рис. 9.27
Рис 9.29
219
РОЗРАХУНКИ КОНСТРУКЦІЙ НА ДИНАМІЧНІ НАВАНТАЖЕННЯ
Розділ 9
2. Знаходимо максимальне напруження при ударі по балці з жорсткими
опорами. Для цього використовуємо поняття коефіцієнта динамічності Кд:
9.3. РОЗРАХУНКОВО-ПРОЕКТУВАЛЬНА РОБОТА
«РОЗРАХУНОК СТЕРЖНЕВИХ КОНСТРУКЦІЙ
ПРИ УДАРНИХ НАВАНТАЖЕННЯХ»
Коефіцієнт динамічності без врахування маси балки знаходимо за формулою
(9.14):
ЗМІСТ РПР 9.3
На балку двотаврового поперечного перерізу, що закріплена за допомогою
шарнірних опор, з висоти h падає вантаж Р.
Необхідно:
1. Знайти найбільше нормальне напруження в небезпечному перерізі балки
при статичній дії вантажу Р.
2.Знайти максимальне напруження при ударі.
3. Знайти Значення максимального напруження при падінні вантажу на балку
у випадку, коли на опорах вмонтовано амортизатори з податливістю 5 (податливість — це переміщення, що припадає на одиницю сили).
Варіанти схем балок показано в таблиці 9.2. Необхідні для розрахунків вихідні
дані взяти з таблиці 9.1. В розрахунках прийняти Е~ 2-Ю'МПа. Вагою балки нехтувати
І
"І
ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ РПР 9.3
Вихідні дані: схема (рис. 9.30, а); двотавр № 30а: L = 2,5 м\ Р~ 13 кН;
h = 0,05 м; 5 = 0,025 м/кН.
Розв'язання:
1. Знаходимо найбільше нормальне напруження в небезпечному перерізі
балки при статичному навантаженні:
За таблицями сортаменту для дпотавра № 30а W= 518 см3.
Максимальний згинальний момент виникає в перерізі С
Для його визначення за допомогою рівнянь рівноааги знайдемо реакції
і побудуємо епюру М (рис. 9.30, б):
5>
$>
й
л
=0
; - Я , -2,5 + Р - 0 , 5 = 0 = > Я л =0,2Я = 0,2-ІЗ = 2,6кЯ;
=0
; RB-2,5-P-2,O
= O=*Re
jj
1
кНм
= 0.8Р = 0,8-13 = 10,4*//.
Перевірка: £ У = 0; 2 . 6 + 1 0 , 4 - 1 3 = 0.
Епюра М на дільницях лінійна, з переломом в точці С
МА - 0; Мв = 0;
Мс =
Максимальне напруження:
52О
W
220
° ^- = 10-10*/7я=10ЛІЯа.
518-10
Рис. 9.30
221
Розділ 9
РОЗРАХУНКИ КОНСТРУКЦІЙ НА ДИНАМІЧНІ
Переміщення точки удару від статично прикладеної сили Р (прогин перерізу СІ
визначаємо графоаналітичним методом за правилом Верещагина. Для цього буду0
ємо одиничну епюру ЛІ (рис 9.30, є).
Реакції від дії одиничної сили F°знаходяться гак само, як від дії сили Р:
Rl =0.2F° =0,2;
R'l ^O.S/
70
= 0,8.
Ордината епюри МГі в точці С:
М° = ^ - 2 , 0 = 0.2-2,0 = 0 . 4 ^
Статичне переміщення точки удару визначаємо з врахуванням податливості
р
опор:
t
де Д с — переміщення точки С, спричинене деформацією компенсаторів.
З рис. 9,30, г:
5
Дй =
'
= 2,5 • Ю '
2
1О^«;
л
г
Ю,4-10 =26-1О" л;
3
г
Д с = 6,5 -10- + 1(26-10" - 6,5 • 10" ) - 22,1 • 10"%.
EJ
EJ
і
=2,5-10- -2.6 10 = 6,5
Переміщення:
д.=
НАВАНТАЖЕННЯ
де ta l f ш 2 —площі епюри ЛІ;
Коефіцієнт динамічності:
2
щ = і - 5 2 0 0 - 2 , 0 = 5200 //•-«-; ш, = -Г>200 -0,5 = 1300 Н-м .
2
'
2
W° . Af° — ординати одиничної епюри під центром ваги йідпові.гної вантажної площі;
1
1,12-Ю" +22,1-ІО"
2
= 2,2.
Максимальні динамічні напруження:
М Ї = М ° = - 0 , 4 = 0,267-w.
Момент інерції двотавра за таблицею сортаменту:
І -7780
с,«4 = 7 , 7 8 10"'л*.
Таким чином, використання амортизаторів зменшує величину максимальних
напружень при ударі в 13,2 рази.
Статичне переміщення:
,
52000.267 + 13000,267
Д,= —
^
"
:
] 1 (
,,п.4
=1,12-10
М.
2-Ю" -7,78-10"'
Коефіцієнт динамічності:
2 • 0,05
= 29,9.
=1 + . 1 +
1,12-Ю"1
Максимальне динамічне напруження:
3. Знайдемо максимальне динамічне напруження для випадку, коли на опорах
вмонтовано амортизатори.
Задача відрізняється від попередньої тільки величиною коефіцієнта динамічності:
222
варіанта
№
схеми
Д а в і для РПР 9-3
Ns двотаврового
профілю балки
Таблиця 9.1
Р,кИ
Іг,м
5, 1(TS,
м/Н
0
1
20
2.3
3
0,020
1
2
20а
2.4
4
0,040
2,2
2
3'
22
2,6
5
0,010
3
4
2,3
22а
2,8
6
0,015
2,4
4
5
*6
' 24
3,0
7
0,025
2,5
8
0,030
2.6
7
27
ї,2
3.6
0,035
7
2,7
8
27а
J
3,8
10
0,045
2,8
S
9
ЗО
4,0
11
0,050
9
10
2.9
30а
4,2
12
0,055
3,0
5
6
24э
2,1
223
1
Розділ 9
Таблиця 'J :'
Розділ
Варіанти розрахункових схем для РПР 9.3
10
РОЗРАХУНКИ НА МІЦНІСТЬ
ПРИ ЗМІННИХ НАПРУЖЕННЯХ
Деталі машин і механізмів по-різному опираються дії постійних напружень і напружень, що з часом змінюються. Руйнування може відбутись при
суттєво меншому змінному напруженні порівняно з постійним. Тому робота
деталей машин при дії змінних напружень потребує окремого вивчення.
10.1. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ П О Л О Ж Е Н Н Я
10.1.1. ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ
-
Руйнування під дією змінного напруження відбувається протягом певного часу. Кожного разу, коли напруження досягає граничного значення,
деяка кількість зв'язків між окремими частинками матеріалу розривається.
Процес поступового руйнування матеріалу в результаті
Лперіод)
накопичення пошкоджень, зародження і розвитку тріщин під
дією змінних напружень називається втомою. Здатність матеріалу протистояти втомі на-
зивається витривалістю.
Змінні напруження р (о чи
т) мають, як правило, циклічний
характер. Тобто через деякий час,
що називається періодом, величина і знак напруження повторюються. Сукупність усіх напружень за час одного періоду називається циклом напружень.
224
І Ь Ошр натер і а-! т
((час)
Рис. 10.1
225
РОЗРАХУНКИ НА МІЦНІСТЬ ПРИ ЗМІННИХ НАПРУЖЕННЯХ
Розділ ІО
Як свідчать результати випробувань, на витривалість мало впливе
закон зміни напруження. Тому досліди проводять при найпростіше вщтво
рюваиому синусоїдальному циклі. Такий цикл показано на рис. Ш.і.
Параметри циклу:
1. рта—
максимальне напруження;
2 о 1 ""— мінімальне напруження;
3. ра— амплітудне напруження:
р
А =
~Р
Характерні цикли: симетричний (г= -1), віднульовий (г = 0).
При симетричному никлі | l c m m | = P n a i ; р а - p m j I ; p,.— 0 (рис. 10.2, а).
При віднульовому циклі ртіп~ 0; р = рс= ртм/2
(рис. 10.2, б).
Найбільше значення максимального напруження циклу, яке матеріал
може витримати як завгодно довго не руйнуючись, називається границею витривалості. Границя витривалості позначається pt (с^або х), де
г — коефіцієнт асиметрії циклу.
Деталі сучасних машин і механізмів виготовляють переважно з пластичнихметалів і сплавів, в основному із сталей. Надалі всі викладки
стосуються саме цієї групи матеріалів.
(10.1)
піа
*2
;
4. р — середнє напруження:
_ Ра\ш
Рс
+
"inіл . -
(10.2)
10.1.2. ВИЗНАЧЕННЯ ГРАНИЦІ ВИТРИВАЛОСТІ МАТЕРІАЛУ
ПРИ СИМЕТРИЧНОМУ ЦИКЛІ
2
5. г — коефіцієнт асиметрії циклу:
(10.3)
Ptnm
г =
.
Pmas
6. р _ характеристика циклу:
(10.4)
Між параметрами напруження існують прості залежності:
(10.5)
(10.6)
Рс
Цикли з однаковими характеристиками (або коефіцієнтами асиметрії)
називаються подібними.
]
Границя витривалості рч при симетричному циклі є основною характеристикою матеріалу в розрахунках на міцність. Вона найменша з границь витривалості p.. Величину p_t визначають експериментально, за
результатами випробувань лабораторних зразків.
• Якщо відома границя витривалості pt при коефіцієнті асиметрії циклу — 1 <г<0, то /J_J можна визначити аналітично.
_
Рг
(v + р)
(10.7)
1+р
де р — характеристика циклу, обчислена за (10.4); \j/ — коефіцієнт чутливості матеріалу до асиметрії циклу.
Значення \[і для сталі наведено в додатку 17.
Значення p_j (а_, я при розтягу-стиску, а., при згині, T_J при крученні)
можна знайти в довідниках. Для деяких сталей і чавунів вони наведені
в додатках 1 і 2.
Якщо даних про витривалість немає, то використовують емпіричні
залежності. Для сталей вони мають такий вигляд:
0_ І р =О,28а„;т._, =0,22о„;
ст_| = (0.4...0,45) а ч — вуглецева сталь;
(10.8)
а | = 0,35а и + (7О...І2О)уИ/7а — легованасталь,
Рис. Ю.2
226
де о ч — границя міцності матеріалу.
15
227
Розділ 10
РОЗРАХУНКИ НА МІЦНІСТЬ ПРИ ЗМІННИХ НАПРУЛКЕННЯХ
Більші значення коефіцієнта (0,4...0,45) і доданку (70...120) МПа
приймають для міцніших сталей.
1О.І.З. ВПЛИВ РІЗНИХ ФАКТОРІВ НА ВИТРИВАЛІСТЬ ДЕТАЛІ
Витривалість деталі залежить не лише від властивостей матеріалу,
з якого вона виготовлена, виду деформації, асиметрії циклу, а й від особливостей конструкції, розмірів, технології виготовлення, умов експлуатації.
Кількісно вплив фактора оцінюється відповідним коефіцієнтом. Його
величину визначають за результатами випробувань при симетричному циклі.
Концентрація напружень, тобто локальне їх збільшення, виникає,
в місцях різкої зміни поперечних розмірів, форми, порушення суцільності
матеріалу у вигляді різних виточок, пазів, отворів і т. п. На рис. 10.3
показано розподіл напружень при розтягу в поперечних перерізах пластини з отвором і без нього.
Вплив концентрації напружень враховується ефективним коефіцієнтом концентрації К (Ка чи К т ). Чисельно він дорівнює відношенню
границі витривалості стандартного зразка до границі витривалості такого
ж зразка з концентратором:
К=
Р-1А
Рис. 10.4. Графіки ефективних коефіцієнтів концентрації напружень „ „
ступінчастих брусів при згині: підношення D/d = % d = 30-50 «А.
/ - для сталі з а = 1200 МПа; 2 - м„ с т а л і \ а = 5 0 0 МПа
(10.9)
Величину К {Kg, К) визначають за графіками або беруть з таблиць.
Такі графіки показано на рис, 10.4,..10.6. Якщо відношення діаметрів
бруса D/d<2, то коефіцієнти можна обчислити за формулами:
(10.10)
де £ — поправковий коефіцієнт, що
визначається за графіком рис. 10.7;
К ,„,, К ,„,— коефіцієнти, знайдені
за графіками рис. 10.4—10,6.
Якщо є табличні дані, то їм необхідно надати перевагу. Значення Кв
і Кг для різних випадків наведено
с 10.3
228
Рис. 10.5. Графіки ефективних коефіцієнтів концентрації напружень для
ступінчастих брусів при крученні: відношення D/d = 2- d = 30 50 мм
І - для стаЛ1 з ая= 1200 МПа; 2 - для ста лі э о =, 500 МПа
229
Розділ
РОЗРАХУНКИ НА МІЦНІСТЬ ПРИ ЗМІННИХ НАПРУЖЕННЯХ
ІО
Розміри деталі. Збільшення розмірів супроводжується зменшенням границі витривалості деталі. Цей вплив враховують масштабним
коефіцієнтом, що дорівнює відношенню границі витривалості зразка даного діаметра до границі витривалості лабораторного зразка:
(10.11)
Р-І
Його величина залежить від матеріалу. Більш міцні сталі чутливіші
до масштабного ефекту. На рис. 10.8 показано графіки залежності є від
діаметра деталі для вуглецевої і легованої сталей. Значення цих коефіцієнтів наведено в додатку 15. В додатку 18 наведено дані про величину K/t
при наявності напресованих деталей.
0,1
0,2
0,3
А"
0,4
0,5
'0.6
r/d
>'
Рис. 10.6, Графіки ефективних коефіцієнтів концентрації напружень для ступінчастих брусів при розтягу-стиску: Відношення
D/d = 2;d = 30—50 мм. 1 — для сталі з о. = І200 МПа; 2 — для сталі
з а_= 800 МПа; 3 — для сталі"з с„= 400 ЛШн
Якість обробки поверхні. Вплив стану і якості поверхні враховується коефіцієнтом якості обробки поверхні, що дорівнює відношенню
границі витривалості зразка з даним станом поверхні до границі витривалості стандартного лабораторного зразка:
Р-х
(Р<0.
(10.12)
0,75
0,5
0,5
0,25
1,25
D/d
Рис. 10.7. Графіки поправкових коефіцієнтів на
відношення D/d (до рис.10.4...10.6): / — ЗГИІІ
і розгяг-стиск: 2 •— кручення
230
Рис. 10.8. Графіки масштабних коефіцієнтів:
/ — вуглецева сталь; 2 — легована сталь
231
РОЗРАХУНКИ НА МІЦНІСТЬ ПРИ ЗМІННИХ НАПРУЖЕННЯХ
Розділ 10
На рис. 10.9 показано графіки залежності р від границі міцності
для сталей з різним станом поверхні.
Величина 1 / р наведена в додатку 16.
Сукупний негативний вплив зазначених вище та інших можливих
факторів (корозії, гальванічного покриття, поверхнево-активних речовин,
температури тощо) на витривалість деталі оцінюють загальним коефіцієнтом зниження границі витривалості деталі при симетричному циклі:
а, - а , •... • а „
з факторів.
Якщо вплив факторів позитивний (наприклад, зміцнення поверхні),
то коефіцієнти а і у. поміняються місцями.
Найбільше статистичних даних накопичено про вплив трьох факторів: концентрації напружень, розмірів деталі і якості обробки поверхні.
Вплив цих факторів оцінюється, відповідно, коефіцієнтами /С. є і р.
Р
0,8
—
-
2
-
Ч
(10.14)
Залежно від виду деформації в (10.14) замість, величин Ка, К, є
потрібно підставити: при розтягу-стиску або згині Ка , Ка, ЁЗ, при крученні —
К.К.в.
І'
t
Вважають, що у випадку пластичного матеріалу вплив фактора проявляється лише на змінній частині (ра) напруження і не позначається на
постійній його частині (рс).
Максимальне напруження в небезпечній точці деталі:
P,_=*.-fc+fc.
(10.15)
Номінальні амплітудне і середнє напруження pj\ p обчислюють за
формулами відповідно до виду деформації без врахування впливу різних
факторів.
.
При симетричному циклі (р = 0):
'
10-1.4. ВИЗНАЧЕННЯ КОЕФІЦІЄНТА ЗАПАСУ
—=—~
"
-
•
•——•—і_
—
—
•
Визначення коефіцієнта запасу міцності (надалі «коефіцієнта запасу») деталі є важливим етапом розрахунку на витривалість.
Спосіб його визначення залежить від виду напруженого стану
в небезпечній точці деталі.
- .
—
0.6
0,4
—
—
А. Лінійний напружений стан і кручення
5
Коефіцієнт запасу визначають як відношення максимальних напружень граничного і робочого подібних циклів:
0,2 h
600
800
1000
1200
я ,МПа
Рис. 10.9. Графіки коефіцієнтів
впливу якості обробки поверхні для сталі:
/ -— полірування; 2 — шліфування; 3 — тонка токарна
обробка; 4 — груба токарна обробка; 5 — наявність окалини
232
К, =
ТЕ
де а > 1 , у.<\ — коефіцієнти, що враховують негативний вплив кожного
~
Ці коефіцієнти найчастіше використовують у практичних розрахунках.
ЯкщоЯ>1,є<1,р<1,то
л = -£е~.
-
(10.17)
У випадку симетричного циклу р = р_х, і коефіцієнт запасу:
п=
9-%
(10.18)
233
РОЗРАХУНКИ НА МІЦНІСТЬ ПРИ ЗМІННИХ НАПРУЖЕННЯХ
Розділ 10
При асиметричному циклі граничним напруженням р г може бути
границя витривалості ргабо границя текучості р . Тому визначають коефі
цієнти запасу по відношенню до границі витривалості і до границі теку
чості. За коефіцієнт запасу приймають менше з двох значень.
Вид формули для визначення коефіцієнта запасу по відношенню до границі витривалості залежить від асиметрії циклу в небезпечній точці деталі.
Коефіцієнт запасу обчислюють за формулою Гафа і Полларда:
, -
І
При Ка • р > 1
Р-І
— .
(10.19)
V P. + V • A
Характеристику p обчислюють за (10.6), коефіцієнт К — за (10.13)
л. =
У».
де ngi nt— коефіцієнти запасу, відповідно, по нормальному і дотичному
напруженнях.
Коефіцієнти nj п^ визначають за формулами (10.18)...(10.22), використовуючи принцип незалежності дії' сил. Тобто, при обчисленні пв не
враховують дотичні напруження, а при обчисленні пт — нормальні.
10.1.5- РОЗРАХУНКИ НА МІЦНІСТЬ
або (10.14), коефіцієнт у? визначають за додатком 17.
При 1 > Кж • р > 0
«о*»
де р и —• границя міцності матеріалу; у — коефіцієнт, що знаходиться за
формулою:
(10.21)
Р-і
Коефіцієнт запасу по відношенню до границі текучості:
(10.22)
Рт.
де р т а 1 — максимальне номінальне напруження в деталі.
Залежно від виду простої деформації у формули (10.18)...(10.22) потрібно підставити відповідні величини.
При розтягу-стиску або згині: o_t або а_,, о н , а т , а в , о с , Ков> ч/п, у,При крученні: т ,,т , т , т ' л , Л" , V.Y-
Б. Складний напружений стан
Найчастіше зі складним напруженим станом зустрічаються при розрахунку брусів, що працюють на згин і кручення; розтяг або стиск
і кручення; розтяг або стиск, згин і кручення. В таких випадках у небезпечній точці виникає плоский напружений стан.
Вважають, що нормальне о і дотичне т напруження в небезпечній точці
знаходяться у фазі, тобто,, одночас но досягають найбільшого значення.
234
В розрахунках використовують умову міцності; дійсний коефіцієнт
запасу повинен бути не меншим нормативного (або заданого),
п>[л].
(10.24)
Величина нормативного коефіцієнта запасу [п] залежить від виду
і призначення деталі, стабільності механічних показників матеріалу, точності розрахунку. В машинобудуванні для сталевих деталей приймають,
як правило, In] = 1,3...3,О.
Дійсний коефіцієнт запасу п обчислюють у небезпечній точці деталі
за наведеними в п. 10.1.4 формулами.
Перевірка міцності спроектованої або готової деталі полягає в обчисленні дійсного коефіцієнта п і порівнянні його з нормативним \п\. При
виконанні умови (10.24) міцність забезпечена (приклад 10.1).
Допустиму величину яавантаження визначають, прирівнюючи дійсний і нормативний коефіцієнти запасу. При цьому номінальні амплітудне
і середнє напруження виражають через зовнішню силу (приклади 10.2,
виконання РПР 10.3).
У випадку проектувального розрахунку на витривалість використовують метод поступових наближень. Спочатку з умови міцності визначають попередні розміри деталі, задавшись величиною К — загального коефіцієнта зниження границі витривалості при симетричному циклі. При
виборі /^враховують наявність концентраторів у вигляді технологічних
або конструктивних отворів, пазів, різкої зміни форми або розміру. Після
визначення попередніх розмірів обчислюють дійсний коефіцієнт запасу
п і коректують розміри перерізу, якіцо потрібно, відповідно до величини
\п]/п (приклад 10.4).
235
РОЗРАХУНКИ НА МІЦНІСТЬ ПРИ ЗМІННИХ
Розділ 10
10.2. ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ
10.2.1. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1. Як ви уявляєте процес руйнування матеріалу під дією змінних
напружень?
2. Що таке втома і аитривалїсть матеріалу?
3. Що називають періодом і циклом напруження?
4. Які параметри характеризують цикл напруження?
5. Які цикли називаються подібними?
6. Які ви знаєте характерні цикли? Які їх параметри?
7. Що таке границя витривалості матеріалу? Як її позначають?
8. Як позначається границя витривалості матеріалу при симетричному циклі? Яка її особливість?
9. Коли аналітично можна обчислити границю витривалості при симетричному циклі? За якою формулою?.
10. Які емпіричні залежності існують між границями витривалості
сталі при симетричних циклах і її границею міцності?
П. Як оцінюють вплив різних факторів на витривалість деталі?
12. Як визначають ефективний коефіцієнт концентрації напружень?
13. Як визначають масштабний коефіцієнт?
14. Від чого залежить коефіцієнт якості обробки поверхні? Як його
визначають?
•.
15. За якими формулами обчислюють загальний коефіцієнт зниження границі витривалості деталі при симетричному циклі?
16. За якою формулою обчислюють максимальне напруження в небезпечній точці деталі?
17. Що таке номінальне напруження?
18. Що називають коефіцієнтом запасу при лінійному напруженому
стані і крученні? Який вигляд формули для його обчислення?
19. За якого формулою обчислюють коефіцієнт запасу при симетричному циклі?
20. Як визначають коефіцієнт запасу при асиметричному циклі?
21. За якою формулою визначають коефіцієнт запасу по відношенню до границі текучості?
22. Від чого залежить вибір формули для визначення коефіцієнта
запасу по відношенню до границі витривалості?
236
23. За якими формулами обчислюють коефіцієнт запасу по відношенню до границі витривалості?
24. За якою формулою обчислюють коефіцієнт запасу при плоскому
напруженому стані?
25. Як обчислюють коефіцієнти запасу по нормальних і дотичних
напруженнях при плоскому напруженому стані?
26. Який вигляд має умова міцності?
27. Як перевіряють міцність спроектованої або готової деталі?
28. Як визначають допустиму величину навантаження?
29. Як виконують проектувальний розрахунок?
10.2.2. ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ
Приклад 10.1. В небезпечному перерізі осі, що рівномірно обертається, діє згинальний момент М = 350 Нм, а діаметр зменшується від 40 до 36 мм. Радіус галтелі
г = 2 мм (рис. 10.10). Перевірити міцність осі, якщо fn] = 1,5. Матеріал — сталь 40
з показниками міцності: стм= 580 МПа, a_t— 240 МПа. Поверхня осі шліфована.
Розв'язання. При обертанні осі матеріал у небезпечній точці перерізу сприймає нормальне напруження, що змінюється за симетричним циклом.
Записуємо умову міцності (10.24):
п > [п].
Коефіцієнт запасу при симетричному циклі обчислюємо за формулою (10.18):
Амплітудне (максимальне) напруження при згині:
м
=
°° w-
< а)
Осьовий момент опору круглого суцільного перерізу:
'-£•
(6
>
Загальний коефіцієнт зниження границі витривалості деталі при симетричному циклі за {10.14)
Рис. 10.10
237
РОЗРАХУНКИ НА МІЦНІСТЬ ПРИ ЗМІННИХ НЛІІІ'УЖНІПІНХ
Розділ 10
Враховуючи (1)...(4), отримаємо:
/с. =
(в)
Обчисливши величини D/d. r/d, за додатком 9 визначаємо ефективний
коефіцієнт концентрації К\
D/d = 4 0 / 3 6 = U l ; " r/d ^ 2/36 = 0,056 => К я = 1,64 (<ім= 580 МПа).
Масштабний коефіцієнт є о = 0,83 (додаток 15);
Коефіцієнт якості обробки поверхні р = 0.95 (рнс. 10.9).
Враховуючи (а), (б), (в), отримаємо:
240 • я • 36 а • Q. 83 • 0.95
п=
К.
/Ґ • 32 •
1.64-32'350-103
_
( в t
Розмірність: о., — Н/MM1; d — мм: М — Имм.
Відповідь: Міцність забезпечена; п>\п) (1,51>1.5).
Приклад 10.2. Визначити допустиме значення сили, що періодично розтягує
і стискує шатун у межах від +F до -F. Переріз стержня шатуна круглий, діаметр
40 ми. Матеріал — сталь 45 з показниками міцності: о„= 610 МПа; <т_,р= 200 МПа.
Коефіцієнт запасу і/і| = 2. Поверхня стержня шліфована, форма циліндрична без
концентраторів напружень.
Розв'язання. Шатун сприймає змінне навантаження: симетричний розтягстиск. Записуємо умову міцності (10.24):
nTtln].
(1)
Коефіцієнт запасу при симетричному циклі обчислюємо за (10.18):
а
п=
,,-А
*™-М
200п-402-0,810,95
4-1-2
Розмірність: (!_! — И/ммг: d — мм.
Відповідь: \F\ = 96,7-103 Я.
•є
• 0
4-VW.
= 96,7- 10я Н.
Приклад 10.3. Визначити коефіцієнт запасу клапанної пружини з хромованадієвого дроту (тг= 950 МПа; т м = 4 5 О МПа; G - S104 МПа). Розміри пружини: середній діаметр D - 60 мм: діаметр дроту d = S мм; число робочих витків
п = 6. Попередня затяжка пружини Л,= 22 ЛІЛІ, найбільший хід клапана к;- 19 мм.
Розв'язання. Пружина сприймає змінне навантаження. Вона завжди стиснена. Отже, дотичні напруження в небезпечній точці завжди додатні, змінюючи
свою величину від т.фіп до т ш і , Цикл асиметричний.
1. Визначаємо вид формули для обчислення коефіцієнта запасу п по відношенню до границі витривалості. Для цього обчислюймо добуток рЛ т д .
За (10.6) характеристика циклу р = xj\c.
Максимальні дотичні напруження в перерізі витка за (4.40)
т
K-&FD
= •
nd"
При D/d = 60/8 = 7,5. К= 1,195 (табл. 4.2).
Осадка пружини за (4.42)
(2)
Із (а) і (б) маємо:
Визначаємо амплітудне напруження, виразивши його через силу F;
F
(2)
т =
KGd
(3)
Тобто, між т і X існує лінійна залежність.
Тоді
Площа перерізу
(3)'
За формулою (10.14)
(4)
-
K G d
і - '•'95-8-10' -8
nD n
71-60 -6
Розмірність: С — МПа; d, D, Xt — мм.
т™, = т т Ь • V і - = 248 • ^ t l ® = 462 МПа;
К= 1 (концентратори відсутні); Е П = 0,81 (дод. 15); Р = 0,95 (рис. 10.9).
238
239
РОЗРАХУНКИ НЛ МІЦНІСТЬ ПРИ ЗМІННИХ НАПРУЖЕННЯХ
Розділ 10
Т г =
^_Г^ =
Матеріал —• сталь 40Х з показниками міцності: о = 1000 МПа, а = 800 МПа,
п_І(,= 250 МПа.
Розв'язання. Штанга сприймає періодичний розтяг — стиск. Цикл асиметричний.
1. Записуємо умову міцності (10.24):
462-248 _
1 П 7 , Ш п .
-тИ
2
= oao
' " ' " ' • у ~355
Розміри деталі (діаметр дроту) співрозмірні з розмірами лабораторкого зразка''
Et= 1), концентратори напруження відсутні (К^= 1). Тому можна прийняти Кт = 1,
Отже, рК^= 0,301 •!<!, і коефіцієнт запасу потрібно обчислити за (10.20):
п£[п].
- 2. Обчислюємо величину p-/fm — критерій вибору формули для обчислення
коефіцієнта запасу л^по відношенню до граниш витривалості.
За (10.6) характеристика циклу р = —-.
2. Обчислюємо коефіцієнт запасу пт по відношенню до границі витривалості,
попередньо визначивши невідомі величини, що входять у праву частину формули.
Границя міцності т ц = 0,5о^.
За (10.8) т ,= О , 2 2 а ч ^ . а " - т ,/0,22.
т,= 0.5-т_,/О,22 =0,5-450/0,22 = 1023 МПа.
Згідно з (SG.21)
™
Y, =
04
1023.
450
1023
я г =1,85.
Тоді пг =
107-1-1,84 + 355
З- Обчислюємо коефіцієнт запасу по відношенню
до границі текучості, За (10.22)
'
«
95
°
2Д
2А
> + (-М)_75
~п—"ТкЯ
75/Л
Задаємось величиною Л . За (10.14) К
-
К
Ре
Як видно з додатку 11, ефективний коефіцієнт Ко концентрації напружень при
наявності концентратора у вигляді поперечного круглого отвору дорівнює в середньому 2. Враховуючи вплив розмірів деталі і якості поверхні, можна прийняти
^ П І - 2,5. Тоді Р'Кт— 2,2 • 2,5 = 5,5>1. Отже, потрібно використати формулу (10.19):
^ па
«2
Отже, я,<п,О,85< 2,06).
Відповідь: п = 1,85.
240
.
0,2Б)-1 = 1.84
Х
Рис. 10.11
А
+ ^.
24
Т о д |
Використавши дані додатку 17, за інтерполяцією можна прийняти yt~ 0,25.
А
=
Коефіцієнт чутливості матеріалу до асиметрії циклу ч/ п =0.15 (дод.17).
3. З умови міцності аг>\п\ визначаємо попередні розміри площі А небезпечного перерізу і діаметра d.
Приклад 10,4. Кругла з'єднувальна штанга має
поперечний отвір діаметром 4 мм (рис. 10.11) і навантажується циклічною осьовою силою, що змінюється від максимального значення 240 кН при розтягу до 90 кН при стиску. Визначити діаметр d перерізу. Коефіцієнт запасу [п\ - 2.
К„
'
\Ь Опір матеріалів
165 • 10 3
I0 J (Km -165+ч/ и • 75)
75-10 3
(1)
241
РОЗРАХУНКИ НА М/ЦНІСТЬ ПРИ ЗМІННИХ ІІЛІІРУЖИІІНиХ
Розділ 10
із (3) випливає:
Мі):
3
А>
8
3
10 (Кп • 165 + V a • 7 5 ) - Н _ 10 (2.5-165 + 0.15-75)
250
2
=
3390
Мм
2
Розмірність: ст_1р— Н/мм : а о . ог — Н/А.
Площа поперечного перерізу:
!
Л = nrf /4 - 4-d (рис. 10.11):
Приймаємо dt- 80 мм.
6. Визначаємо А та /ґ вд при d-SO мм І обчислюємо п .
Згідно з (2),
Із {2):
А =
її
'-;Ч: Гт
7t
ІҐ8>|+4^638=79і6і
_ 4 - 80 =
Відношення діаметра отвору до діаметра штанги:
4
Підставивши у (3) значення А, отримаємо:
80
= 0,05 => К„ = 2,15 (додаток 11); е„ = 0,68 (додаток 15);
р с. Ю.9).
Приймаємо d = 70 мм4 Визначаємо Д та Кт при d = 70 мм і обчислюємо коефіцієнт запасу.
!
Згідно з (2), А = і г 7 0 7 4 - 4 • 70 = 3568 м .
Обчислимо відношеннн діаметра отвору до діаметра штанги:
4 / 7 0 = 0,057 => К„ = 2,15 (додаток 10);
є п =0,69 (додаток 15); р - 0,93 (рис. 10.9).
Тоді Kw= 2,15/0,69 0,93 = 3,35.
Коефіцієнт запасу, враховуючи (1):
250•3568
.,й
п =•
—- = 1,58.
'
1 0 3 ( 3 , 3 5 і 6 5 + 0,15-75)
Умови міцності не виконуються:
п, = 1 , 5 8 < [ л ] = 2.
Тоді Ка = 2.15/0,68 0,93 -3,40.
Коефіцієнт запасу, враховуючи (1),
250-4706
'
п = 3 _ = °т
4706
= " т - ^ = 800
F
°™«
<«,JA
Z7™,,
240-10 3
Умова міцності виконується: пт- 15,7>[п] = 2.
Відповідь: d = 80 мм; п = 2,06^
Приклад 10.5. Визначити коефіцієнт запасу ступінчастого вала, в небезпечному перерізі якого діють циклічні згинальний І крутний моменти.
™
і уточнюємо величину площі А і розміру d.
•Ы = - ^ - = 1,266.
п,
1,58
.Враховуючи можливе зростання Кт при збільшенні А і d, приймаємо нове значення площі:
А = 1, ЗА = 1,3 • 3568 = 4638 мм2.
242
'
Умова міцності виконується: п - 2,06>{я] = 2.
7, Обчислюємо коефіцієнт запасу при d = 80 мм по відношенню до границі
текучості. За (10.19).
М
" 5. Обчислюємо відношення —
103 (3,4-165 + 0,15
- ± 2 2 5 Я - л ; Л1к „„, = ±125 Им. Небезпечний переріз збігається з переходом
від діаметра D - 60 мм до d = 40 мм. Радіус галтелі г = 4 мм.
Матеріал вала — сталь 30 з такими характеристиками міцності: а = 500 МПа;
сг_,= 216 МПа; т_ = 128 МПа.
Розв'язання. Наявність згинального і крутного моментів вказує на те, що
матеріал у небезпечній точці знаходиться в умовах плоского напруженого стану.
Вважаємо, що згинальний та крутний моменти і, відповідно, нормальне
о і дотичне т напруження знаходяться у фазі. Тобто одночасно досягають найбільшого значення.
16
243
РОЗРАХУНКИ НА МІЦНІСТЬ ПРИ ЗМІННИХ НАПРУЖЕННЯХ
Розділ 10
В такому випадку коефіцієнт запасу обчислюють за формулою (10.23):
Напруження ст і т змінюються за симетричним циклом. Тому коефіцієнти запасу
п по нормальному і п по дотичному напруженнях обчислимо за (10.18):
Визначаємо номінальні амплітудні напруження а о і то:
о. - о„„ -
JW_
At-
W
псі3,
п • ІО3
ЛІ,,™,
AT,
16-125 10і
32-225-103
= 36 Я/.«.«^= 36 МЯа;
?
ті • 4 0 3
= 10 МЯо.
Розмірність: Мтю, Млрт^— Имм; d — л я .
Загальні коефіцієнти зниження граниш, витривалості деталі при симетричному циклі обчислимо за (І0.14):
К.. -
_
^
За додатками 9, 15, 16 при r/d = 4/40 = 0,1; D/d = 60/40 - 1,5 і ом= 510 МПа;
знаходимо: 1) К = 1,53; К= 1,24; 2) E e =e t =0,8I; 3) 1/р = 1. Такі ж значення
коефіцієнтів отримаємо, користуючись графіками, показаними на рис. 10.4—10.9.
Тоді К = 1,53/0,81-1 = 1,89; Кт= 1,24/0,811 - 1,53.
о,
216
т
п. =^—'•—
—36
= 3,17; п, = К,
Kah • и„= -.--1,89 •
1
-
1 2 8
1,53-10
=8.36.
Розмірність: a_t, т_|Р Оо,Та —МПа.
Відповідь: п - 2,96.
10.2.3. ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ
10.1. Обчислити коефіцієнт запасу в поперечному перерізі (рис. 10.12) привідного кінця вала асинхронного двигуна потужністю Р= 14 кВт при п = 1500 об/хв.
Напрямок обертового моменту Т час від часу змінюється, зростаючи кожного
разу від нуля до 1,47ипц (номінальної величини). Матеріал вала — сталь 35.
Поверхня вала шліфована.
Відповідь: пт=6,8.
244
10.2. В ступінчастій сталевій осі виникає
12
згинальний момент М, що змінюється за симетричним циклом. Характеристики міцності матеріалу: о и = 600 МПа, а_~ 215 МПа. Визначити допустиму величину М, якщо необхідно забезпечити коефіцієнт запасу \п] = 1,6 при D- 60
MM, d = 55 мм, радіус галтелі г = 2,5 мм і шорсткість поверхні осі И 0,32.
Відповідь: \М\ «°1020 Нм.
10.3. Вал з галтеллю сприймає крутний
момент, що змінюється від М
до 0 5М
Матеріал вала — сталь 45 з показниками міцРис. 10.12
ності о н = 650 МПа. т = 230 МПа, х_= 160 МПа.
Визначити допустиму величину крутного моменту, якщо D — 58 MM; d = 52 мм; г = 2,5 мм; шорсткість поверхні вала Яо0,63;
коефіцієнт запасу [п\ - 2.
Відповідь: [Мв 1 = 3170 Им.
10.4. Вал з виточкою (рис. 10.ІЗ) сприймає симетричний згинальний момент М = ±320 Им і пульсуючий крутний момент, М
= 1500 Им. Матеріал
вала — сталь 40ХН. Шорсткість вала Й^О.16. Визначити коефіцієнт запасу вала
в небезпечному перерізі.
Відповідь: п = 2.7.
10.5. Ступінчастий сталевий вал з галтеллю працює на кручення за несиметричним циклом. Найбільше значення крутного моменту М
= 800 Им, найменше
AtKp= —200 Пм. Визначити запас міцності, якщо радіус галтелі г—2 мм в місці
переходу від більшого діаметра D = 50 мм до меншого d = 40 мм; а - 610 МПа,
т,т= 220 МПа, т_,= 150 МПа.
Відповідь: л = 2,1.
10.6. Порожнистий вал з зовнішнім діаметром d3- 70 мм і внутрішнім
den= 35 мм в небезпечному перерізі, ослабленому отвором (d - 3 мм) для
змащування, сприймає симетричний згинальний момент М - ±1500 Им. Одночасно
вал скручується змінним моментом,
Мирпіа,= 1800 Н-м, коефіцієнт асиметрії якого
г =-0,25. Матеріал — сталь45(о,= 700МПа,
а = 4І0 МПа, тт = 250 МПа, а.= 300 МПа,
т_,= 180 МПа). Поверхня вала шліфована.
Визначити запас міцності вала.
Відповідь: п~ 1,9.
10.7. Круглий стержень з вуглецевої сталі з окалиною на поверхні сприймає осьову
Рис. 10,13
245
РОЗРАХУНКИ НА МІЦНІСТЬ ПРИ ЗМІННИХ НАПРУЖЕННЯХ
Розділ 10
циклічну силу F = ±1 т. Концентратори
напружень відсутні. Визначити діаметр
стержня. Коефіцієнт запасу міцності
[гс] = 2. Механічні характеристики мате-,
ріалу: а и = 6 5 0 МПа, о = 360 Mlfa,\
а , - 2оо"МПа.
-]
Р
Відповідь: d = 16 мм.
10.8. Кронштейн (рис. 10.14), виготовлений з хромонікелевої сталі у вигляді суцільного циліндра, защемлений
на одному, кінці і з рукояткою на друго-,
му. До рукоятки прикладена циклічна
Рис. 10.14
сила F, величина якої змінюється від 2 т
. до 1 т. Нехтуючи впливом концентрації
напружень, визначити коефіцієнт запасу міцності для циліндричної частини, якщо
о и = 1000 МПа, а = ШМПа, а_= 410 МПа, у = 0,2 (згин). т т = 420 МПа, т_,= 240
МПа, \\і = 0,1. Поверхня циліндричної частини шліфована.
Рис. 10.15
4.3 умови міцності при згині і крученні визначити [F] (допустиму величину
сили F).
5.Обчислити коефіцієнт запасу вала.
Дані взяти з табл. 10.1.
Відповідь: і = 1,9.
10.3. РОЗРАХУНКОВО-ПРОЕКТУВАЛЬНА РОБОТА
«РОЗРАХУНОК ВАЛІВ НА ВИТРИВАЛІСТЬ
ПРИ ЗГИНІ З КРУЧЕННЯМ»
ЗМІСТ РПР 10.3
Ступінчастий вал, що обертається на двох опорних шарикопідшипниках
(рис. 10.15). сприймає постійну силу F і циклічні скручувальні моменти Т
з коефіцієнтом асиметрії:
ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ РПР 10.3
Вихідні дані: матеріал — сталь 40ХН; І - 100£м; \\ = 50 см\ а = 0.4; 0 = 0,35;
Y = 0,4; d = 45 мм; D = 70 мм; г,= 9 мм; г2- 5 мм; [« я ] = 1пт] = 2.5; г= -0.4; шорсткість Д0.32.
Розв'язання.
Підготовча робота.
Записуємо показники статичної і циклічної міцності сталі 40ХН, використавши додатки 1 І 17: а,= 1000 МПа; о.= 800 МПа; т - 390 МПа; о = 400 МПа;
т.,= 240 МПа; ч/о= 0,15; у т = 0,075.
Знаходимо максимальну і мінімальну величини с кручу вальних моментів:
L » = f - n = f -50сл: Ттш =r.Tm3l
:
Якість поверхні характеризується величиною шорсткості.
Потрібно:
1.Накреслити розрахункову схему вала.
2. Побудувати епюру згинальних моментів і визначити ймовірно небезпечні
перерізи.
3. Обчислити згинальні моменти в ймовірно небезпечних перерізах.
246
= (-0,4)-50 = -20F -см.
Далі роботу проводимо у такій послідовності:
!. Креслимо розрахункову схему вала згідно з вихідними даними (рис. 10.16, а).
2.Будуємо епюри згинальних моментів І визначаємо ймовірно небезпечні
перерізи вала.
Визначаємо опорні реакції (рис. 10.16, б):
247
РОЗРАХУНКИ НЛ МІЦНІСТЬ ПРИ ЗМІННИХ НАПРУЖЕННЯХ
СЧ
о
о
о
a "a:
oo
?
[^-
да
чї
О
1
чо •
1
т
о
1
сч
о
ГО
-
P11P1
к
k
г~
СО
?
'М
ID
чо
о
DO
-a
—
(О
-ч-
о
о
о"
ю
о
да
I--
<м
„
со
о%
о
Я
«
О
|~-
О
я
СО
"5
о
о
о
О
о
о
ГО
го
го
со
ГО
со
о
со
О
о
о"
да
ГО
о
S
in
о
3
сч
«
ҐП
S
со
S
in
Us
о
in
«
о
из
-з-
S
s;
со
А
<J
О
31
о
СП
о
о
о
48
CD.
О
a
о
8
о
-г
in
о
о
о
о
о
о
W
32
£
CQ
?
о
о
о
о
о"
^га^. = 0 => -K-100+f-60 = 0 => K = 0.6F.
Перевірка: X ^
= l /
-
f
+
^
=
0
.6F
М3 = tfr МА = V • 40 см = 24Ґ • сх; М с = 0
Будуємо епюру ЛІ за характерними точками (риє. 10.16, в).
Крутні моменти по довжині вала в кожний момент часу однакові. Тому
ймовірно небезпечні перерізи визначаємо, орієнтуючись на розрахункову схему
вала і епюру згинальних моментів (рис. 10.16, а, в). Такими є перерізи L і Е: при
да
58
го
го
СО
56
СО
xu
со
о
СО
т*
= 0 => Я • 100 - ґ • 40 = 0 => Д = 0,4F;
^тв
Визначаємо згинальні моменти в характерних перерізах:
тГ
•©
СО
о
г>4
гм
СО
о
•G
CN
100
E
<о
ю
*N
t J
n
о
сч
ю
ГО
сч
32
да
ю
a. «- s
о " *
63
32
Розділ 10
го
S
S
1^
К
га
U
О
248
lire
го
6
_
и
М
X
й
125
•
о
120
^
о
1
ІМА
3
-
115
s
3
X
X
СО
СО
Рис. 10.16
249
РОЗРАХУНКИ НЛ МІЦНІСТЬ ПРИ ЗМІННИХ НЛІІГУЖНШІЯХ
Розділ 10
Із (1) і (2) отримаємо:
наявності концентраторів напруження у вигляді ступінчастої зміни діаметри
тут діють згинальні моменти, близькі до максимального.
3. Обчислення згинальних моментів у ймовірно небезпечних перерізах.
Переріз L:
400 • 10 і
'"
=* [F]Ln = 3720 И.
ЛІЛ = K-35 = 0,6F-35 = 2 1 f - c * .
Переріз Е:
МЕ = Я-40 =0,4F -40 =
1,83-2,347-2,5
Розмірність: о., — И/'мм2;
\6F-CM.
4. Визначаємо [F]. Знаходимо | Я ^ І І Я е — величину допустимої сили для
кожного ймовірно небезпечного перерізу. Менша з них і буде [F].
и^ —
F/MM'1.
П. Знаходимо [Flfc — допустиму величину сили F з умови міцності при крученні:
Переріз L. І. Знаходимо {F]^ — допустиму величину сили F з умови міцності
Матеріал у небезпечній точці сприймає асиметричний цикл дотичних напру-
при згині:
«.*[«.].
жень. Тому визначаємо допустиме значення сили н ],(,] з умови втомної міц-
(0
Нормальне напруження в небезпечній точці перерізу при обертанні вала зміню-,
єтьея за симетричним циклом Тому коефіцієнт запасу обчислимо за (10.18):
ності і сили [F]t(,) — статичної міцності
а) Знаходження И , ( г ) . Записуємо умову втомної міцності " ^ > [пт]. Визнача-
Амплітудне напруження а а = с ^ = M/W .
Осьовий момент опору перерізу вала W= Kd3/32 = 7t4,53/32' = 8,946 см3,
ємо вид формули для обчислення коефіцієнта запасу ",(г) по відношенню до граниш
і
витривалості. Для цього обчислюємо добуток р • /Є,1,. Характеристика
р = т о /т с .
Тоді
W
т... =
см'
8,946
Загальний коефіцієнт зниження границі витривалості деталі при симетричному
циклі знайдемо за (10.14):
Т
+т
і Г Af
M
-
Полярний момент опору перерізу вала:
Пои
— = — = 1 5 6 - — = — = — = 0,2
Р
d
45
' ' d
d
45
Wp = ^ - = 2 Г = 2 • 8,946 = 17,892 см1;
J6
і ст = 1000 МПа коефіцієнти концент-
рації напружень К^ =1,38; К^ =1,24 (додаток 9). Ео= Е,= 0,755 (додаток 15).
Ь
- ~~
При шорсткості /?оО,32 і / р = 1 (додаток 16).
Тоді
0.755
250
0,755
'
2V.
2-17,892
2 17,892
T c =0,838F/ C ^p = I 4 l ^ = 2.33.
251
РОЗРАХУНКИ НА, МІЦНІСТЬ ПРИ ЗМІННИХ НЛНҐУЖІЇНННХ
Розділ 10
Так нк величина добутку p-f-f, = 2,33-1,64 > 1. то для обчислення коефіцієнта
'"
запасу використовуємо формулу (10.19). Тоді
t,
V)=-
. , п
240
г К]
0,755
0,755
Із (а) і (б) маємо:
•>2,5
400
2,15(і,789/ 7 /і0 г }
=j, \F]
=
^'>
240 10-
-
400-10 2
[Ft. = 2970 И.
*
(1.64-1,956 + 0,0750,838)2,5
Розмірність: т_, — Н/ мм1; \, т. — Р./мм*.
Розмірність: a_t— И/мм1;
б) Знаходження [F] ф)- Записуємо умову статичної міцності:
,
Коефіцієнт запасу по відношенню до границі текучості обчислюємо за (10.22):
2,151,789-2,5
а^ —
>2,5
=4160 Я.
F/мм'.
Обчислюємо [F]t при асиметричному крученні.
Критерій Р-А^д =2,33-1,8 :> 1, і коефіцієнт запасу по відношенню до граниш
витривалості обчислюємо за (10.19).
Тоді
240
>2,5 =»
(д)
2
т „ = т. + г = (1956 + 0,838) F/ см = 2,894F / см\
Враховуючи (в)...(д), отримаємо:
390
- >2,5 => FL ч =
— ;
1
2,894-2,5
2,894^/10
0'
^г>
З порівняння величин
L
//.
'J
робимо висновок, що для перерізу L допустима величина сили \F]
Переріз Е. Виконуємо обчислення, аналогічні для перерізу L.
W
8,946
Визначаємо коефіцієнти /fn, і К , д .
^»
= 5390 Я.
t=
ma>
[ /
Амплітудні т о і середні т. напруження в перерізах L і Е однакові. Тому
[Fl - 3720 Я; [ Р £ ( , , = 2970 Я; К , г ) = 5390 Я
І. Знаходимо [F] .
(1.8.1,956 + 0,075.0,838)2,5 =*
2970 Н.
Як видно з порівняння [ f j . [ ^ ^ і [^],(т), для перерізу Е допустима величина сили [F]B= 2680 И.
От?Ке, допустима величина сили F для вала визначається втомною міцністю
матеріалу в небезпечній точці перерізу Е. [F] - [F\E= 2680 Н.
5. Обчислення коефіцієнта запасу.
При плоскому напруженому стані коефіцієнт запасу визначають за формулою (10.23):
При — = ™ = 1,56; — = ^- = — = 0 , Н і о =
d
45
d
d 45
'* = 1,62; К? = 1,36; £„ = є т = 0,755; 1/J3 = 1.
252
Обчислюємо п для кожного ймовірно небезпечного перерізу. Менша величина є коефіцієнтом запасу вала.
253
Розділ 10
Як зазначено вище (п. 4, І, її), коефіцієнт запасу па по нормальному напруженню обчислюється в небезпечній точці перерізів L і Е за (10.18), а я т по
дотичному напруженню — за (10.19).
ДОДАТКИ
Додаток І
L
Переріз L. n
n
Механічві характеристики коїіструиційних сталей
= —•-• , ;
к
"
er|; =2,347 [F]/
а
10
400
/ С а • т„ + ч>г -т (
(1,64 • 1,956 + 0,075 • 0.Щ[Р]/см*
240
а
10
З,48 • 2,74
nt
^•=2,74.
%nL =2,15.
Переріз Е- п„ = ---,
of =1.
400
47,9-2,15
/if = 3,88.
Оскільки величина \F\ визначена з умови міцності матеріалу в небезпечній
точці перерізу Е при крученні, то
< • <
'
3,88 -2,5
Значить, коефіцієнт запасу вала п = п Е = 2 , 1 .
Відповідь:
ВІДНОСНІ'
видовженії я
не менше
Ударна
в'язкість
КС,
2
кДж/м
Границя витривалості, МПа
Згин.
Розтягстиск.
Кручеїлш,
t - 3,48 ;
(1,64 • 1,956 + 0,075 - 0,838) • 2680
Тоді и* =
Марка
сталі
МПа
Тоді V- = •
1,83-62,9
1
т.
о.
н/мм2=Ь2,9МПа.
|F] - 2680 И; п = 2,1.
л е -2,10.
10
20
25
30
35
40
45
50
55
60
20Г
ЗОГ
5ОГ
20Х
40Х
45Х
ЗОХМ
35ХМ
40ХН
50ХН
40ХФА
38ХМЮА
12ХНЗА
20ХНЗА
ЗОХНЗА
40ХНМА
ЗОХГСА
310
420
460
500
540
580
610
640
660
690
460
550
660
"800
1000
1050
950
1000
1000
tioo
900
1000
950
950
ГООО
1000
1100
210
250
280
300
320
340
360
3S0
390
410
280
320
400
650
800
850
750
850
800
900
750
850
700
750
800
950
850
140
160
—
170
190
—
220
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
390
—
—
—
400
—
—
—
—
31
25
23
21
20
10
16
14
13
12
24
20
13
11
10
9
11
12
11
9
10
14
1!
12
10
12
10
2400
—
900
S00
700
600
500
400
—
—
—
800
400
600
600
500
800
800
700
500
900
900
900
1000
800
1000
500
160—220
170—220
190—250
200—270
220—300
230—320
250—340
270—350
—
310—380
220—320
290—360
380
350—380
400—500
310—410
470—510
400
550
380—490
420—550
390—470
430—450
520—700
500—700
510—540
120—150
120—160
—
80—120
і 00—130
170—210
170—220
180—240
190—250
200—260
110—140
130—180
140—190
150—200
160—210
220—280
.
180—220
_
—
—
250
—
—
170—320
225
370
—
230
.
290
240
—
—
270—320
300—320
—
—
220—260
2-15—255
320—400
270—380
220—245
500—535
П р и м і т к а . При використанні сталей за ГОСТ 380-71 необхідно врахувати приблизну відповідність марок: Ст. З відповідає сталі 20; Ст. 4 — сталі 25; Ст. 5 — сталі 35; Ст. 6 — сталі 45.
254
255
ДОДАТКИ
ПОДАТКИ
Додаток 2
Гран иод міцності, МПа
Марка
чавуну
СЧ 12
СЧ 15
СЧ 18
СЧ2І
СЧ24
СЧ28
СЧ32
СЧ 35
СЧ38
ГШИ
П.РИ
розтягу
стиску
120
150
180
210
240
280
320
350
ВЧ 40—10
380
400
ВЧ50—1,5
500
ВЧ60—2
600
500
650
700
750
850
1000
1100
1200
14О0
1600—
1700
1860—
2000
20402290
при
згині
Твердість
при
крученні
Границя витривалості.
по
Бринелю
НВ
Тил з'єднання
Напруження на зріз, МПа
Заклепкове:
Згин а_,
Кручення
Основні елементи із сталі 20
100
— заклепка в розсвердлених отворах (клас В);
140
100
—
—
— заклепка в протиснених отворах (клзс О
70
—
100
120
140
140
160
150
250—280
50
—
Зварне:
560
600
—
240
—
280
300
350
390
400
460
480—510.
143—229
163—229
170—229
173—241
187—217
170—241
187—255
198—269
207—269
156—197
—
740—790
187—255
200—220
280
320
360
400
440
4S0
520
—
80
100
ПО
ПО
115
115
198
— зварювання ручне, електроди з тонкою обмазкою
80
— зварювання ручне, електроди з товстою обмазкою
ПО
— автоматичне зварювання
ПО
Додаток
Матеріал
660—810
197—269
170—230
150—160
Допустимі напруження, МПа
Матеріал
Чавун сірий
Сталь: Ст, 2
Ст. 3
маши небудівельна (конструкційна)
— вуглецева
маши но будівельна (конструкційна)
— легована
Мідь
Латунь
Бронза
Алюміній
Алюмінієва бронза
Дюралюміній
Текстоліт
на розтяг
на стиск
120—150
28—30
140
160
,
60—250
100—400 і більше
30—120
70—140
60—120
30—80
80—120
80—150
30—10
Модуль пружності, МПа
Е
Чавун сірий, білий
—
5
Модулі пружності і коефіцієнт Пуассона
170—210
Додаток З
Орієнтовні значення основних допустимих напружень на розтяг та стиск
256
Д ОДN t и К
Допустимі напруження на зріз для заклепкових та зварних з'єднань
Механічні характеристики чавуну
Чавун ковкий
Сталі вуглецеві
Сталі леговані
Мідь прокатана
Мідь холоднотягнута
Мідь лита
Бронза фосфориста катана
Бронза марганцевиста катана
Бронза алюмінієва лита
Латунь холодно тягну і з
Латунь катана
Дріт алюмінієвий тягнутий
(1.15-l,6O)xlO
1,55х105
4.5x10*
—
0,23—0,27
—
(г.о-а.імо*5
(2,і—г.гмо
(8,0—8,1 М О 4
(8,0—8,1 )x 10*
0,24—0,28
1,1x10*
1,3x105
4.0x10*
4,9x10*
_
0.84x10*
1.15x10*
І.ІХІО5
1,06x10*
(0,91— 0,99 )х! О5
1,0x10s
Дюралюміній катаний
Цинк катаний
0.7x10s
OJlxlO*
0.84x10*
Свинець
О.17ХІ05
Скло
Граніт
Каучук
Текстоліт
Гетинакс
\ 7 Опір ча
G
s
Коефіцієнт
Пуассона, ц
4,2x10*
4.0x10*
4,2x10'
(3,5—3,7)x|0*
—
—
0.25—0,30
0,31—0,34
—
—
0,32—0,35
0.35
—
0,32—0,42
2,7x10*
0,36
—
—
3,2x10*
0,27
0,42
0,56x105
0,4.9x10s
0,70x10»
22x10*
—
0.00008x10=
(0.06—0,0x10=
—
—
0,47
(0,1—0,17)х 10s
—
—
0,25
257
У
t
l
•
\
Додаток 6
Балкв двотаврові (за ГОСТ 8239-72»
J
r—
-і
5
4—
л
X
b-s
,
h — висота балки;
/ — момент інерції;
Ь — ширина полиці;
W—
s — товщина стінки;
і — радіус інерції;
( — середня товщина полиці;
момент опору;
S, г— статичний момент половини перерізу
.
r
У
b
Номер
профілю
10
Площа
Розміри, мм
h
100
b
55
s
t
CM1
4,5
7,2
12,0
14,7
17,4
20,2
12
120
64
4,8
14
140
73
4,9
7,3
7,5
• 7,8
Jt,
К
Маса
'.•
їм.
кг
CM'
CM
CM
23,0
17,9
6,49
1,22
33,7
27,9
8,72
1,38
5,73
46,8
41,9
11,5
1,55
13,7
6,57
62,3
58,6
14,5
1.70
15,9
18.4
CM 3
CM
CM'
198
39,7
4,06
350
58,4
4,88
572
81,7
873
109
CM'
1
9,46
11,5
16
ІБ0
81
5,0
18
180
90
5,1
8,1
23,4
1290
143
7,42
81,4
82,6
18,4
1,88
18a
180
100
5,1
8,3
25,4
1430
159
7,51
89,8
111
22,8
2,12
19,9
20
200
100
5,2
8,4
26,8
ІЄ40
184
B,28
104
115
23,1
2,07
21,0
20з
200
110
5,2
8,6
28,9
2030
203
8,37
114
155
28,2
2,32
22,7
Продовження
лолатка 6
см'
см
Маса
їм,
кг
157
28,6
2,27
24,0
143
206
34,3
2,50
25,8
9,97
163
198
34,5
2,37
27,3
317
10,1
178
260
41,6
2,63
29,4
5О10
371
11,2
210
260
41,5
2,54
31,5
43,2
5500
407
11,3
229
337
50,0
2,80
33,9
10,2
46,5
7080
472
12,3
268
337
49,9
2,69
36,5
6,5
10,7
49,9
7780
518
12,5
292
436
60,1
2,95
39,2
140
7,0
11,2
53,8
9840
597
13,5
389
419
69,9
2,79
42,2
360
145
7,5
12,3
61,9
13380
743
14.7
423
519
71,1
2,89
48,6
40
400
155
8.3
13,0
72.6
19062
953
16,2
545
667
86,1
3,03
57,0
45
450
160
9
14,2
84,7
27696
1231
18,1
708
808
101
3,09
66.5
50
500
170
10
15,2
100
39727
1589
19,9
919
1043
123
3,23
78.5
55
550
180
11
16,5
118
35962
2035
21,8
1181
1366
151
3,39
92,7
60
. 600
190
12
17,8
138
76806
2560
23,6
1481
1725
182
3,54
108
Номер
профілю
Площа
перерізу,
Розміри, мм
У,,
см"
Щ,
см'
/,.
см
см*
І.
$
>1
Ь
s
22
230
ПО
5,4
5,'4
30,6
2550
'232
9,13
131
22а
220
120
5,4
8,9
32,8
2790
254
9,22
24
240
115
5,6
9,5
34,8
3460
289
24а
240
125
5,6
9,8
37,5
3800
27
270
125
6,0
9,8
40,2
27а
2?0
135
6,0
10,2
30
300
135
6,5
30а
300
145
33
330
36
CM2
V
i
і ,
У
Додаток 6а
Балки швелерві ( з а ГОСТ 8240-72)
h — висота балки;
W — момент опору;
Ь — ширина полиці;
і — радіус інерції;
s — товщина стінки;
5 — статичний момент половини перерізу;
t — середня товщина полиці;
/ — момент інерції;
z n — віддаль від центра ваги до зовнішньої грані стінки
Номер
профілю
Площа
перерізу,
см1
Розміри, мм
V
V
Маса
1л,
кг
-•см'
CM*
см*
CM
см
1,92
5,59
5.61
2,75
0,954
1,16
4,84
15.0
2,54
9,0
Б,?
3,68
1.08
1,24
5.90
89,4
22,4
3.16
13,3
•Ї2.8'
4,75
1,19
(j,3i
7,05
10,9
174
34.8
3.99
20,4
20,4
6,46
1,37
1,44
8,59
7,8
13,3
304
50,6
4,78
29,6
31,2
8,52
1.53
1,54
10,4
4,9
8,1
15,6
491
70,2
5.60
40,8
45,4
11,0
1,70
1,67
12,3
4,9
8,7
17,0
545
77,8
5.66
45,1
57,5
13.3
1,84
1,87
13.3
CM*
см'
k
b
s
5
50
32
4,4
7,0
6,16
22,8
9,1
6,5
65
36
4.4
7,2
7,51
48,6
8
80
40
4,5
7,4
8,98
10
100
46
4,5
7.S
12
120
52
4,3
14
140
58
На
140
62
1
CM
П р о д о в ж е н н я д о д а т к а ба
Номер
профілю
•
Розміри, мм
Площа
перерізу,
си'
см*
см
IS, 1
747
19,5
20,7
Я
см
%
см3
93,4 -
6,42
823
103
1090
121
Маса
Wл
*»•
1-й,
см"
см%
см
54,1
63,3
13,8
1,87
1,80
14,2
6,49
59,4
78,8
•16,4
2.01
2,00
15,3
7,24
69,8
86
17,0
2,04
1,94
16,3
см
h
ь
5
16
160
64
5,0
8,4
16а
160
68
5,0
9,0
18
180
га
5,1
8,7
18а
180
74
5,1
9,3
22,2
1190
132
7,32
76,1
105
20,0
2,18
2,13
17,4
20
200
76
5,2
9,0
23.4
1520
152
8,07
87,8
113
20,5
2,20
2,07
18,4
20а
200
80
5,2
9,7
25,2
1670
167
8,15
95.9
139
24,2
2,35
2,28
19,8
22
220
82
5,4
9,5
26,7
2110
192
8.89
ПО
151
25,1
2,37
2,21
21,0
220
87
5,4
10,2
28,8
2330
212
8,99
121
187
30,0
2,55
2,46
22,6
24
240
90
5,6
10,0
30,6
2900
242
9,73
139
208
31,6
2,60
2,42
24,0
24а
240
95
5,6
10,7
32,9
3180
265
9,84
151
254
37,2
2,78
2,67
25,8
27
270
95
6,0
10,5
35,2
•1160
308
10,9
178
262
37,3
2,73
2,47
27,7
300
100
6,5-
--40,5
5810
387
12,0
" -224--
JL84
2,52
31,8
33
330
105
7.0
11,7
46,5
7980
484
13,1
281
410
51,8
2,97
2,59
36.5
36
360
ПО
7,5
12,6
53,4
10820
601
14,2
350
513
61,7
3,10
2,68
41,9
40
400
115
8,0
13,5
61.5
15220
761
15,7
444
642
73,4
3,23
2,75
48,3
22а
t
-
:>
кг
Додаток 7
to
N3
Кутики рівнобокі (за ГОСТ 8509-72)
b — ширина полиці;
У»
\
d — товщина полиці;
-г..
і — радіус інерції;
2 0 — віддаль від центра ваги до зовнішньої грані полиш;
/ — момент Інерції
b
Номер
т
2,5
?5
2,8
28
3?
а
4
3,2
3,6
л
А
Я
3
4
3
36
X- -X
см'
мм
2
Довідкові величини для осей
Площа
перерізу,
d
4
1,13
1,46
1,43
1,86
1,62
1,86
2,43
2,10
2,75
1
/,,«.'
і , см
0,40
0,50
0,81
1,03
1.16
1,77
2,26
2,56
0,59
0,58
0,75
0,74
0,85
0,97
0,96
1,10
1,09
3,29
*0-х„
0,63
0,78
1,29
1,62
1,84
2,80
3,58
4,06
5,21
V у
•
і
0,17
0,22
0,34
0,44
0,48
0,74
0,94
0,75
0,73
0,95
0,93
1,07
1,23
1,21
1,39
1,38
1,06
1,36
1
ЙОГЇ1ІП
0'
см
, СМ
0,39
0,38
0,49
0,48
0,55
0,63
0,62
0,71
0,60
0,64
0,73
0,76
0,80
0,89
1,15
1,12
1,46
1,27
0,89
0,94
0,99
1,46
1,91
1,65
0,70
1,04
2,16
Продовження
Ь
Номер
профілю
4
d
мм
40
3
4
5
4,5
45
3
4
5
5
50
3
4
5
5,6
56
4
5
6,3
7
63
4
70
5
6
4,5
5
6
7
7,5
75
8
5
6
7
8
9
Довідкові величини для
Площа
перерізу,
см2
2,35
3,08
3,79
2,65
3,48
4,29
2,96
3.89
4,80
4,38
5,41
4,96
6,13
7,28
6,20
6,86
8,15
9,42
10,70
7.39
8.78
10,10
11,50
12,80
)СЄИ
V
X—X
',, см
3,55
4,58
5,53
5,13
6,63
8,03
7,11
9,21
11,20
13,10
16,00
18.90
23,10
27,10
29,0
31,9
37,6
43,0
48,2
39,5
46.6
53.3
59,8
66,1
'
1,23
1,22
1,20
1,39
1,38
1,37
1,55
1,54
1.53
1,73
1,72
1,95
1,94
І Q4
2,16
2,16
2,15
2,14
2,13
2,31
2,30
2,29
2.28
2,27
'join!*'
5,63
7,26
8,75
8,13
10,50
12,70
11.30
14,60
17,80
20,60
25,40
29,90
36,60
42.90
46,0
50,7
59,6
68,2
76,4
62,6
73,9
84,6
94,6
105,0
CM
1,53
1,54 .
1,75
1,74
1,72
1,95
1,94
1,92
2,18
2,16
2,45
2,44
2J3
2,72
2,72
2,71
2,69
2,68
2,91
Э, 90
2,89
2,87
2,86
/, )г]іп , см'
1,47
1,90
2,30
2,12
2.74
3,33
2,95
3.80
4,63
5,41
6,59
7,81
9.52
11,20
12,0
13,2
15,5
17,8
20,0
16,4
19,3
22,1
24,8
97.5
Маса 1 м
профілю,
юдатка 7
Маса 1 м
у
см
'к» mill'
0,79
0,78
0,79
0,89
0,89
0,88
1,00
0,99
0,98
1,11
1,10
1,25
1,25
1,24
1,39
1.39
1,38
1.37
1,37
1,49
1,48
1,48
1,47
1,46
C
M
1,09
1,13
1,17
1,21
1.26
1,30
1,33
1,38
1.42
1,52
1,57
1,69
1,74
1,78
1,88
1,90
1,94
1,99
2.02
2,02
2,06
2,10
2,15
2,18
профілю,
кг
1,85
2,42
2,97
2,08
2,73
3,37
2.32
3,05
3,77
3,44
4,25
3,90
4,31
5,72
4,87
5,38
6,39
7,39
8.37
5,80
6,89
7,96
9,02
10.10
b
Номер
профілю
8
d
мм
80
Э
90
10
100
Площа
перерізу,
си'
5,5
6
7
8
6
7
8
9
6,5
7
8
8,63
9,38
10,80
12,30
10,60
12,30
13,90
15,60
12,80
13,80
15,60
• 12
22,80
26.30
29,70
15,20
11
no
12,5
125
14
140
додатка 7
20,
Маса І лі
профілю.
ДОВІДКОЙІ величини для ocef
у
X - -X
0
і,, см
1х.см<
52,7
57,0
65,3
73.4
82,1
94,3
106,0
118,0
122,0
131,0
147,0
2,47
2,47
2,45
2,44
2,78
2,77
2,76
2,75
3,09
3,08
3,07
/ffj—1
3,00
2,98
3,40
3,33
" 3,87
3.86
3,85
3,82
3,80
3,78
4,34
4,33
4,31
Л
'о
'и
1
/,„„._.,,, CM
21,8
3,11
23,5
3,11
27,0
3,09
3,08
30.3
34,0
3,50
38,9
3.49
43,8
ЗЛ8
48,6
3,46
50,7
3,88 •
54,2
3,38
,60,9
3,87
3,S4
~~Т4О_;
3,61
3,78
99,3
'[12,0
3,74
72,7
4,29
128.. _ ..-S-ijS _
122
4,87
135
4,86
149
4,84^
174
4,82
200
4,78
224
4,75
192
5,47
211
5,46
248
5,43
83,6
90,4
104,0
116,0
130,0
150,0
168,0
186,0
193,0
207,0
233,0
" "2S4T0
1
331.0
375,0
416,0
279,0і
— -.315,0
467
520
571
670
764
853
739
814
957
здГ"
237,0
264,0
176,0
S_——1L2U— _ 196,0
294
19,7
8
327
22,0
9
360
24,3
10
28,9
422
12
482
33,4
14
539
37.8
16
24,7
466
9,
512
27.3
10
602
32,5
12
14
-16
7
Продовження
, см
1,59
1,58
1,58
1,57
1,79
1,78
'1,77
1,77
1,99
1,98
_L9JL^
СМ
2,17
2,іЬ
2,23
2,27
2,43
2,47
2.51
2,55
2,68
2,71
2,75
6,78
7,36
8.51
9.6S
8,33
9,64
10,90
12,20
10,10
10,80
2.83І ~Т5ДЇГ}
1,9Ь . " ї ~1кп~
1,94
2,99
1,94
3,06
2,19
2,96
-2,18 _
3,00
2,49
3,36
2,48
3.40
2,47
3,45
2,46
3,53
2,45
3,61
2.44
3,68
2,79
3,78
2,78
3,82
2,76
3,90
20,60
23,30
11.90
13,50
Ї5.5
17.3
19,1
22,7
26,2
29,6
19.4
21,5
25.Е
Продовження додатка 7
Номер
профілю
16
О)
Q1
Ь
й
MM
160
18
180
20
200
22
220
25
250
10
11
12
14
16
18
20
11
12
12
13
14
16
20
25
30
14
16
16
18
20
22
25
28
ЗО
Площа
перерізу.
см1
31,4
34,4
37,4
43.3
49,1
54.8
60,4
36,8
42,2
47,1
50,9
54,6
62,0
76,5
94,3
111,5
60,4
68,6
78,4
87,7
97,0
106.1
119,7
133,1
142,0
Довідкові величини для осей
V -К
X--X
см
і„.см
774
844
913
1046
1175
1299
1419
1216
1317
1823
1961
2097
2363
2871
3466
4020
2814
3175
4717
5247
5765
6270
7006
7717
8177
4,96
4,95 ..'.
4,94 '
4,92
4.89
4,87
4,85
5,60
5,59 .
6,22
6.21
6,20
6,17
6,12
6,06
6.00
6,83
6,81
7,76
7,73
7,71
7,69
7.65
7,61
7,59
і
1229
1341
1450
1662
1866
2061
2248
1133
2093
2896
3116
3333
3755
4560
5494
6351
4470
5045
7492
8337
9160
9961
і 1125
12244
12965
6,25
6,24
6,23
6,20
6,17
6,13
6,10
7,06
7,04
7,84
7,83
7,81
7.78
7.72
7,63
7,55
8,60
8,58
9,78
9,75
9,72
9,69
9.64
9,59
9,56
319
348
376
431
. 485
537
589
500
540
749
605
861
970
1182
1438
1688
1159
1306
1942
2158
2370
2579
2887
3190
3389
ппмі
, см
3,19
3,16
3,17
3.16
3,14
3,13
3,12
3,59
3,58
3,99
3,98
3,97
3,96
3,93
3,91
3,89
4,38
4,36
4,98
4,96
4,94
4,93
4.91
4,89
4,89
4,30
4,35
4,39
4,47
4,55
4,63
4,70
4,85
4,89
5,37
5,42
5,46
5,54
5.70
5,89
6,07
5,93
6,02
6,75
6,83
6.91
7,00
7.11
7.23
7.31
Маса 1 м
профілю.
Кг
24,7
27,0
29.4
34.0
38.5
43,0
47.4
30.5
33!
37.D
395
42*
45"
-
gі.
Ч
Додаток 8
to
О)
Кутнкя нерівнобокі (ГОСТ.8510-72)
о
і.
В — ширина більшої полиці;
Ь — ширина меншої полиці;
d — товщина полиці;
,-
1 — момент інерції;
і — радіус інерції;
х у — віддаль віл центра ваги до зовнішніх граней полиш.
В
Номер
профілю
2,5/1,6
3,2/2
Ь
мм
25
32
16
3
20
3
4
3
4
4/2,5
40
25
4,5/2,8
45
2В
5/3,2
d
50
32
3
4
3
А
Доиілкові величини для осей
Площа
перерізу,
см1,16
1,49
1,94
1,89
2,47
2,14
2,80
2,42
3,17
Y-Y
V
Л — -X
Jt.
см'
0,70
1,53
1,93
3,06
3,93
4,41
5,68
6,17
7,98
Іл,
CM
0,78
1,01
1,00
1,27
1,26
1,43
1,42
1,60
1,59
;
'\
см*
см
см'
0,22
0,46
0,57
0,93
1,18
1,32
1,69
1,99
2,56
0,44
0,55
0,54
0,70
0,69
0,79
0,78
0,91
0,90
0,13
0,28
,
0,35
0,56
0,71
0,79
1,02
1,18
1,52
'drain'
CM
0,34
0,43
0,43
0,54
0,54
0,61
0,60
0,70
0,69
\
X
CM
CM
0,42
0,49
0,53
0,59
0,63
0,64
0,68
0,72
0,86
1,08
1,12
1,32
1,37
1,47
0,76
1.51
1,60
1,85
Кут
нахилу
осі tgu
0,392
0,382
0,374
0.385
0,38i
0,332
0,379
0,403
Маса
1м
профілю,
кг
0,91
1,17
1,52
1,48
1,94
1,68
2,20
1,90
0,401
Продовження додатка
В
Номер
профілю
5,6/3,6
6,3/4,0
7/4,5
7,5/5
Ь
Площа
перерізу,
си-
см'
CM
см'
І ,
У
CM
4
3,58
11,40
1,78
3,70
1,02
5
4,41
13,80
1,77
4,48
1,01
4
5
4,04
16,30
2,01
5,16
4,98
19,90
2,00
6
5,90
23,30
8
5
5
7,68
29,60
5,59
6
мм
56
63
70
75
36
40
45
50
Довідкові величини для осей
й
X-X
Y—Y
\
см
2;19, 0,78
0,84
1,82
0,406
2,81
2,66
0,78
0,88
1,86
0,404
3,46
1,13
3,07
U87
0,91
2,03
0,397
3,17
6,26
1,12
3,72
0,86
0.95"
2,08
0,396
3,91
1,99
7,28
1,11
4,36
0,86
0,99
2,12
0,393
4,63
1,96
9,15
1,09
5,58
0,85
1,07
2,20
0,386
6,03
27,80
2,23
9,05
1,27
5,34
0,98
1,05
2,28
0,406
4.39
6,11
34,80
2,39
12,50
1,43
7,24
1,09
1,17
2,39
0,436
4,79
7,25
40,90
2,38
14,60
1,42
8,48
1,08
1,21
2,44
0,435
5,69
8
9,47
52,10
2,35
18,50
1,40
10,90
1,07
1,29
3,52
0,430
7,43
7,58
1,09
1,13
2,60
0,387
4,99
6,88
so
50
5
6,36
41,60
2,56
12,70
1,41
49,00
2,55
14,80
1,40
90
56
6
5,5
7,55
9/5,6
7.86
65,3
2,88
19,7
1,58
6,0
8,54
70,6
2,88
21,2
8,0
11,18
90,9
2,85
27,1
6,0
9,59
98,3
3,20
7,0
11,10
113,0
11/7
100
ПО
63
70
Маса
1 н
профілю,
кг
см
>>•
8/5
10/6,3
Кут
нахилу
осі Iga
'umbi'
CM1
CM
1,08
1,17
2,65
0,386
5,92
11,8
1,22
1,26
2,92
0,384
6,17
1,58
12,7
1,22
1.28
2,95
0,384
6.70
1,56
16,3
1,21
1.36
3,04
0,380
8.77
30,6
1,79
18,2
1,38
1,42
3,23
0,393
7.53
3,19
35,0
1,78
20,8
1,37
1,46
3,28
0,392
8.7С
8,0
12,6
127,0
3,18
39,2
1,77
23,4
1,36
1,50
3,32
0,391
9.S"
10,0
15,50
154,0
3,15
47,1
1,75
28,3
1,35
1,58
3,40
0,387
2.і:
6,5
11,40
142,0
3,53
45,6
2,00
26,9
1,53
1,58
3,55
0,402
9.Й
8,0
13,90
172,0
3,51
54,6
1,98
32,3
1,52
1,64
3,61
0,400
і aw
П р о д о и ж е іня д о д а т к у 8
СП
со
В
Номер
профілю
Ь
Довідкові величини для осей
d
v
Л—
Площа
перерву,
см-
мм
X
КCM
см*
12,5/8
80
125
14/9
90
140
16/10
160
18/11
180
20/12,5
200
25/16
250
160
2,29
43,4
1,76
1,80
4,01
0,407
11,00
1,84
4,05
0,406 .
12,50
256,0
100
83,0
2,28
48,8
312,0
3,98
100,0
2,26
59,3
1,74
1,92
4,14
0,404
15,50
12,0
23,40
~Жо~ 3,95
117,0
2,24
G9,5
1,72
2,00
4,22
0,400
18,30
8,0
18,00
364,0
4,49
120,0
2,58
70.3
1,98
2,03
4,49
0,411
14,10
10,0
22,20
444,0
4,47
146,0
2,56
85,5
1,96
2,12
4,58
0,409
17,50
5,15
186,0
2,85
110,0
2,20
2.23
5.19
0,391
18,0
0,390
19,80
606,0
10,0
25,30
667,0
5,13
204,0
2,84
іг'і.о
2,19
2,28
5,23
12,0
30,00
784,0
5,11
239,0
2,82
142.0
2.18
2,36
5,32
0,388
23,60
14,0
34,70
897,0
5,09
272,0
2,80
162,0
2,16
2,43
5,40
0,385
27,30
10,0
28,30
952,0
5,80
276.0
3,12
165.0
2,42
2,44
5,88
0,375
22,20
3,10
194.0
2,40
2,52
5,97
0,374
26,40
12,0
33,70
1123
5,77
324,0
11
34,9
1449
6,45
446
3,58
264
2,75
2,79
6,5
0,392
27,4
12
14
37,9
1568
6.43
482
3,57
285
2,74
2,83
6,54
0,392
29,7
43,9
1801
6,41
551
3,54
327
2,73
2,91
6,62
0,390
34,4
16
49,8
2026
6,38
617
3,52
367
2,72
2,99
6,71
0,388
39,1
3,54
3,53
7,97
0,410
37,9
49,9
12
48,3
3147
8,07
1032
4,62
604
16
18
63,6
4091
8,02
1333
4,58
781
3,50
3.69
8,14
0,408
71,1
4545
7,99
1475
4,56
866
3,49
3,77
8,23
0,407
55,8
20
78,5
4987
7,97
1613
4,53
949
3,48
3,85
8,31
0,405
67,7
.-
а
о
О
о о о
о
О1
to
о.
О
о о
о о п
О
02
05
сл
о.
ІЛ
со
,70
,28
,20
го
,16
.00 "
,64
,37
81
,47
35
30
91
53
38
33-
•5
73,7
19,70
о о с. о о
Й Сл о о
— и
г,
CM
1,05
3
о
CM*
15
20
з
CM
см
16,00
05
о о О о
Q
о
о
CM
см'
10,0
1,25
Сл
'ап-V
Маса
1 м
профілю,
кг
1,75
22,90
4,01
V
Кут
нахилу
осі tgct
14,10
9,0
125
227,0
\
7.0
8,0
100
по
Y - і-
СП
О
о
о
.
•о
•<
СО
СО
800
1,57
1,33
1,23
1,20
2,24
1,70
1,42
2,68
1,97
1,54
1.40
1,32
2,06
1,61
1,44
ГО LO
Л I—
Q I
". о-
-&m
r
о
з:
ГИНІ
.05
,36
,25
,22
,40
її
IV
»
О
1000
•*-
,33
,20
о
,09
,07
о
,62
,48
,32
,24
,16
,62
.29
.24
оо
ы
в з
о
•I:
а
о
1
800
,29
,10
,08
,06
СО
апружень п
СЛ
"О
...
500
,06
Ю
,52
0= Ю
о
w
ІЛ
,16
о —
47
о
,25
,12
о
75
45
10
о
,73
,45
,27
Ю
о
,64
.40
,13
56
.32
.25
j
60
J
.15
.09
48
24
19
CO
43
38
о
о
ГО Со
000
IV
с» а>
X
г
%
— я
3
*
цаплі мі
)•'
Додаток 10
Ефективні коефіцієнти концентрації напружень
для циліндричних деталей з поперечними отворами
Ефективні коефіцієнти концентрації напружень
для сталевих валів з виточками
W
Характер
навантаження
Згин
t/r
r/d
Коефіцієнт концентраті
напружень при згнні Ка
я,, МПа
£500
Коефіцієнт концентрації
напружень при крученні Л,ам,
Додаток І]
6
Границя міцності о^, МПа
a/d
0,05—0,10
0,15—0,25
0,05—0,25
500
600
800
1,90
1.74
1,75
1,95
1,77
1,78
2,05
1,86
1,83
1000
2,15
1,95
1,92
МПа
800
> 1000
<500
800
> 1000
0,5
0,02
0,05
0,10
0,15
0,20
1,77
1,72
1,59
1,45
1,37
2,02
1,87
1,69
1,53
1,41
2,22
1,98
1,77
1,59
1.45
1,46
1,43
1,36
1,27
1,22
1,61
1,52
1,42
1,32
1,25
1.73
1,60
1,46
1,36
1,27
1,0
0,02
0,05
0,10
0,15
0,20
1,85
1,80
1,65
1,50
1,45
2,12
1,96
1.76
1,58
1,48
2,35
2,10
1.85
1,65
1.50
1,51
1,48
1,39
1,30
1,27
1,67
1,58
1,47
1.35
1,29
1,81
1,66
1,51
1,39
1.30
2,0
0,02
0,05
0,10
0,15
0.20
1,92
1,86
1,70
1,54
1.48
2,21
2,03
1,82
1,63
1,52
2,46
2,19
1,92
1,70
1.54
1,56
1,51
1,42
1,33
1,29
1,73
1,62
1,50
1,38
1,30
1,87
1.71
1,56
1,42
1,32
270
Кручення
32
І ІІПІІ
Ефектнвні коефіцієнти концентрації напружень
для сталевих валів зі шпоночнини канавками
v
-
32
Ш1
16
Характер
навантаження
Згин Кп
Кручення Kt
Додаток 12
2rf
bt{d-tf
2d
Границя міцності о , МПа
500
600
700
800
900
1000
1.5
1,4
1.6
1,5
1,72
1,6
1,8
1.7
1,9
1,8
2,0
1,9
271
f
ДОДАТКИ
ДОДАТКИ
Д о д з т о к 13
Ефективні концентратори напружень К,
для різьбового з'єднання типу «болт—гайка»
Вуглецева сталь
Тип різьби
Легована сталь
Д о д а т о к 14
Ефективні концентратори напружень К
для сталевої штаби з поперечним отворим
с„. МПа
РОІТЯГ
Згин
400
800
1200
1,4
1,8
2,0
1,3
1.6
1,8
F
А
; а=
М
3,4,5
6,7.8
9, 10
,
К
сти, МПа
350—520
V,
0
0
•
<30
20
Вуглецева сталь
в„= 400—500 МПа
0,98
0,92
Вуглецева і легована сїаль
а„= 500—800 МПа
0,97
Легована сталь
аа= 800—1200 МПа
Легована сталь
,1 = 1200—1400 МПа
272
зо
40
50
70
100
200
0,38
0,85
0,82
0,76
0,70
0,63
0,89
0,35
0,81
0,78
0,73
0,68
0,61
0,95
0,86
0,81
0,77
0,74
0,69
0,65
0,59
0,94
0,83
0,77
0,73
0,70
0,66
0.62
0,57
Н7
(56)
Н7
<к6)
=Et при d.MM
10
500
700
900
1200
Обдирання
Обточування
Шліфування
1,2
1,05
1,0
1,25
1,1
1,0
1,35
1,15
1,0
1,5
1,25
1,0
520^-720
720—1000
1000—1200
1200—1400
Д05
0
0,1
0,05
0,2
0,1
0.25
0,15
,
Додаток 18
Коеф ЦІЄНТ
при згин І /Тує, при крученні
для сталевих валів біля країв напресованих деталей
# „ А „ при о к , ЛТ/7а
К / Е , при rrv МПа
Діаметр Посадвала, мм
ка
50
60
7 0 ' 80
90 100 50
60 70 80
90 100
Д о д а т о к 15
Значення коефіцієнта впливу абсолютних розмірів (£„=£,)
у залежності від діаметра деталі й матеріалу
Матеріал
20; 10; 5
2,5; 1,25, 0.63
0,32:0,16
а я . МПа
Спосіб
оброблення
Д о д а т о к 17
Коефіцієнти vfa і i|rt чутливості сталі до асиметрії циклу
'— = 0,05...0,30, В — ширина штаби, о — діаметр створу.
В
Номінальні напруження:
о =
Позначення
ка,мкм
Клас шорсткості поверхні
4—5
4—5,5
3—4
3—4,5
Різьба метрична
Різьба Вітворта
Додаток 16
Значення величини 1/^ для сталевих деталей
в залежності від способу оброблення
50
Н7
(h6)
Н7
(s6)
Н7
2.50 2,75
3,25 3.50 3.75
1,90
2,05 2.20 2,35 2,50
2,65
1,88
2,06 2,25 2,44 2,63 2,82
1,58
1,64 1,75 1,86
1.98
2,09
1,63
1,79 1,95 2,11 2,38 2,44
1,38
1,47 1,57 1,67
1,77
1,86
3,05 3,36 3,66 3,96 4,28 4,60 2,23 2,52 2,60 2,78 3,07 3,26
2,28
2,52 2.75 2,97 3,20 3,45
1.87
2,03 2,15 2,28 2,42
2,57
1,98 2,18 2,38 2,57 2,78 3,00
1,60
1,71 1,83 1.95 2,07
2,20
3,29
3,60 3,94 4,25 4,60 4,90
2,37 2,56 2,76 2,95 3,16
3,34
2,46
2,70 2,96 3,20 3,46 3,98
1,88
2,04 2,18 2,32 2,48
2,80
2,13 2,34 2,56 2.76 3,00 3,18
1,68
1,83 1,94 2,06 2,20 2,31
<к6)
Н7
(h6)
Н7
> 100
1 8 Опір мате;
Н7
(кб)
Н7
<Н6)
3,0
273
ЗМІСТ
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Бардзиловский В. П. Прикладная механика: Сборник задач. — К.: Вища
Передмова
.,
Р о з д і л 1. Розтяг і стиск
1.1. Основні теоретичні відомості
1.1.1. Побудова епюр внутрішніх зусиль
1.1.2. Особливості епюри поздовжніх сил
1.1.3. Обчислення нормальних напружень у поперечних перерізах бруса
1.1.4. Побудова епюри нормальних напружень (епюри а )
1.1.5. Співвідношення для обчислення деформацій бруса і переміщень його
перерізів
1.1.6- Врахування власної ваги бруса
1.1.7. Побудова епюри переміщень перерізів бруса (епюри 5)
1.1.8. Розрахунок на міцність
1.1.9. Розрахунки на жорсткість
1.2. Практичні заняття
1.2.1. Контрольні запитання
1.2.2. Приклади розрахунків на розтяг і стиск
1.2.3. Задачі для самостійного розв'язання
1.3.
Розрахунково-проектувальна робота «Розрахунки на міцність і жорсткість бруса при розтягу (стиску)»
,
Приклад виконання РПР
.-
школа, 1986.
' 2. Беляев Н. М. Сопротивление материалов. — М.: Физматгиз, 1962.
3. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов, — М.: Высшая
школа, 1965.
4. Сборник задач по сопротивлению материалов / Под ред. В. К. Качурина. —
М.: Наука, 1970.
5. Коллинз Дж. Повреждение материалов в конструкциях. — М.: Мир,
1984.
• 6. Ободовский Б. А., Ханин С. Е- Сопротивление материалов в примерах
и задачах. — Харьков: Изд-во Харьковского университета, 1968.
7. Писаренко Г. С, Квітка О. Л., Уманський Е. С. Опір матеріалів. — К.:
Вища школа, 1993.
8. Посацькип С. Л. Опір матеріалів. — Львів, 1973.
9. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. Т. 1—2, — М.: Наука. 1965.
10. Трощенко В. Т., Сосновский Л- А. Сопротивление усталости металлов
и сплавов: Справочник. Часть 1—2. — К.: Наукова думка, І987.
11. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. — М.: Наука, 1970.
Р о з д і л 2. Розрахунки на зріз і зминання
2.1.
Основні теоретичні відомості
2.1.1. Розрахунок болтових і заклепкових з'єднань
2.1.2. Розрахунок зварних з'єднань.
2.1.3. Розрахунок з'єднань дерев'яних деталей
2.2. Практичні заняття
2.2.1. Контрольні запитання
2.2.2. Приклади розрахунків на зріз І зминання
2.2.3. Задачі для самостійного розв'язання
ін
5
7
7
7
8
8
9
9
11
11
І2
!4
14
14
15
22
27
28
33
33
.," 34
.35
36
37
37
...37
43
ЗМІСТ
Р о з д і л 3. Геометричні характеристики перерізі
3.1. Основні теоретичні відомості
3.1.1. Геометричні характеристики, що використовуються в інженерних
розрахунках
3.1.2. Залежність між моментами інерції відносно паралельних осей, одні
з яких центральні
3.1.3 Обчислення моментів інерції складних перерізів
3.1.4. Зміна моментів інерції при повороті координатних осей
3.1.5. Головні осі і головні моменти інерції
3.1.6. Часткові випадки визначення положення головних центральних осей
3.1.7. Визначення положення головних центральних осей і величини
головних центральних моментів інерції
3.2. Практичні заняття
3.2.1. Контрольні запитання
3.2.2. Приклади обчислення моментів інерції перерізів
3.2.3. Задачі для самостійного розв'язання
3.3. Розрахунково-проектувальна робота «Дослідження геометричних
характеристик плоских перерізів^
Приклад виконання РПР
Р о з д і л 4. Кручення
4.1. Теоретичні відомості
4.1.1. Загальні поняття
4.1.2. Основні залежності при крученні круглих брусів
4.1.3. Кручення брусів некруглого перерізу
4.1.4. Кручення тонкостінних профіліи
4.1.5. Розрахунки на кручення прямих брусів
4.1.6. Розрахунки циліндричних гвинтових пружин з малим кроком
4.2. Практичні заняття
4.2.1. Контрольні запитання
4.2.2. Приклади розв'язання задач
4.2.3. Задачі для самостійного розв'язання
4.3. Розрахунково-проекту вальна робота «Розрахунок прямих брусів
на крученняв
Приклад виконання РПР
Р о з д і л 5. Згин
5.1. Основні теоретичні відомості
5.1.1. Загальні поняття
5.1.2. Побудова епюр поперечних сил і згинальних моментів
5.1.3 Обчислення нормальних напружень
276
аміег
49
49
5.1.4.
5.1.5.
5.2.
5.2.1.
5.2.2.
5.2.3.
5.3.
49
51
52
52
52
53
Р о з д і л 6. Стійкість стиснутих стержнів
127
6.1. Теоретичні відомості
127
6.1.1. Основні поняття
.,
127
6.1.2. Розрахунки на стійкість
'.....
130
6.2. Практичні заняття
132
6.2 1. Контрольні запитання
132
6.2.2. Приклади розв'язання задач
133
6.2.3. Задачі для самостійного розв'язання
139
6.3. Розрахунково-проектувальна робота «Розрахунок стиснутих стержнів
на стійкість»
і42
54
56
56
56
63
67
67
73
73
73
74
76
78
81
81
83
83
84
92
96
96
103
103
103
104
107
Розрахунки на міцність
109
Розрахунки на жорсткість
110
Практичні заняття
112
Контрольні запитання
112
Приклади розв'язання задач
113
Задачі для самостійного розв'язання
12^
Розрахунково-проектувальна робота «Розрахунок статично инанвчуваних балок на міцність*
12G
1
Р о з д і л 7. Визначення гіереміщень у пружних системах
145
7.1. Теоретичні відомості
145
7.1.1. Загальні поняття
145
7.1.2. Інтеграл переміщень Мора-Максвелла
145
7.1.3. Графоаналітичний метод
146
7.2.
Практичні заняття
148
7.2.1. Контрольні запитання:
148
7.2.2. Приклади обчислень гіереміщень за допомогою інтеграла МораМаксвелла
149
7.2.3. Приклади обчислень переміщень графоаналітичним методом
(за правилом Верещагіна)
150
7.2.4. Задачі для самостійного розв'язання
152
7.3. Розрахунково-проектувальна робота «Обчислення переміщень у пружних системах»
155
8. Розрахунки на міцність у загальному випадку навантаження бруса (складний опір)
157
8.1.
Основні теоретичні відомості
157
8.1.1. Загальні положення
157
:
8.1.2. Косий згин
158
Розділ
277
шит
8.1.3.
8.1.4.
8.2.
8.2.1.
8.2.2.
8.2.3.
8.3
8.3.1.
8.3.2.
Позацентровий розтяг і стиск брусів великої жорсткості
Сумісна дія згину з крученням
".
Практичні заняття
Контрольні запитання
Приклади розв'язання задач
Задачі для самостійного розв'язання
,
Роз рахунково-проекту вальні роботи
Розрахунки на міцність при косому згині
Визначення вантажопідйомності позацентрово стиснутого стержня
великої жорсткості
8.3.3. Розрахунок на міцність круглого вала при сумісній дії згину І кручення
Розд
9.1.
9.1.1.
9.1.2.
9.1.3.
9.1.4.
9.1.5.
9.2.
9.2.1.
9.2.2.
9.2.3.
9.3.
160
161
164
164
166
174
178
178
183
192
і л 9. Розрахунки конструкцій на динамічні навантаження .... 199
Основні теоретичні відомості
...".
199
Загальні поняття
199
Види динамічних навантажень
199
Постійне динамічне навантаження
200
Ударне навантаження
201
Повторно-змінне навантаження. Коливання
204
Практичні заняття
-..
207
Контрольні запитання
207
Приклади розв'язання задач
208
Задачі для самостійного розв'язання
214
Розрахунково-проектувальна робота «Розрахунок стержневих конструкцій при ударних навантаженнях»
220
Р о з д і л 10. Розрахунки на міцність при змінних напруженнях ....225
10-1.
Основні теоретичні положення
~
225
10.1.1. Загальні поняття
225
10.1.2. Визначення границі витрийалості матеріалу при симетричному циклі... 227
10.1.3. Вплив різних факторів на витривалість деталі
228
10.1.4. Визначення коефіцієнта запасу
233
10.1.5. Розрахунки на міцність
236
10.2.1. Контрольні запитання
236
10.2.2. Приклади розв'язання задач
237
10.2.3. Задачі для самостійного розв'язання
244
10.3. Розрахунково-проектувальна робота «Розрахунок валів на витривалість при згині з крученням»
246
Приклад виконання РПР 10.3
247
Додатки
Список літератури
Зміст
__
255
274
275
Відтворення усієї книги або будь-якої її частини
заборонено без письмової згоди видавництва.
Будь-які спроби порушення авторських прав
будуть ітереслідунлтися у судшюму морилку
Володимир Степанович Павлов
Віталій Василїйович Ковтун
Олександр Анатолійович Дорофеев
ОПІР МАТЕРІАЛІВ.
РОЗРАХУНКОВІ РОБОТИ
Навчальний посібник
Редактор Мельников О. В.
Технічний редактор Василишин Д. В.
Коректор Василишин Д. В.
Комп'ютерне верстання Руда Н. О,
Свідоцтво про внесення до державного реєстру
Д К № 618 від 02.10.2001 р.
Підписано до друку 1.02.2002 р. Формат 60x84 / 16.
Папір газетний. Гарнітура «Антікаа». Друк офсетний.
Умови, друк. арк. 16.27. Облік.-вияавн. арк. 16,24.
Наклад 1000. Замовлення J * 30.
Повне товариство — видавнича фірма «Афіша»
79005 м. Львів, вул. Костя Левиїіького. 4
Тел./факс: (0322) 97-05-37. 96-61-75. 76-22-02
Віддруковано в типографії ПТВФ «Афіша»
79005 м. Львів, вул. Костп Левицького, 4.
К5б
Ковтун
В. В., Павлов В, С, Дорофеев
О. А.
О п і р м а т е р і а л і в . Р о з р а х у н к о в і р о б о т и . Навчальний посібник. —
Львів: Афіша, 2002. — 2S0 с
ISBN 96&-95063-73-1
У навчальному посібнику на типових прикладах показано порядок розрахунку
бруса на міцність і жорсткість при простих деформаціях. Складний опір представлений
косим згином, позацентровим розтягом-стиском, згином з крученням. В останньому
випадку використано основні гіпотези міцності. Розглянуто визначення геометричних
характеристик перерізів різної складності, особливості розрахунку елементів нероз'ємних з'єднань сталевих і дерев'яних конструкцій. Наведено два способи розрахунку
стиснутих стержнів на стійкість: методом поступових наближень і з використанням
питомого радіуса інерції' перерізу. На ряді прикладів проілюстровано метод МаксвеллаМора визначення переміщень у пружних системах. Значний об'єм книги присвячено
розрахунку конструкцій при дії динамічних навантажень і змінних напружень.
Кожний розділ містить у собі приклади розв'язання задач, задачі для самостійної
роботи, завдання для розрахунково-проектувальних робіт та приклади їх виконання.
Посібник розрахований на студентів вищих технічних навчальних закладів,
у першу чергу на підготовку бакалаврів за фахом «Інженерна механіка».
ББК 30.121
УДК 620.17