ВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
А.Р0УЗ-ИНС
Е. РОДЕРИК
ВВЕДЕНИЕ
В ФИЗИКУ
СВЕРХПРОВОДИМОСТИ

INTRODUCTION
TO
SUPERCONDUCTIVITY
by
A. C. ROSE-INNES
Professor of Physics
and
Electrical Engineering
and
E. H. RHODERICK
Professor of Solid-State Electronics
University of Manchester Institute
of Science and Technology, U.K.
PERGAMON PRESS
OXFORD • LONDON • EDINBURGH • NEW YORK
TORONTO • SYDNEY • PARIS • BRAUNSCHWEIG
1969
А. РОУЗ-ИНС
E. РОДЕРИК
ВВЕДЕНИЕ
В ФИЗИКУ
СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
Перевод с английского	Под редакцией
канд. техн, наук	канд. физ.-мат. наук
Н. И. ГИНЗБУРГ	В. В. ШМИДТА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА
1972
УДК 537.312.62
Предлагаемая вниманию читателя книга
написана А. Роуз-Инсом и Е. Родериком,
известными английскими учеными, рабо-
тающими в области физики низких тем-
ператур.
Несмотря на небольшой объем, книга охва-
тывает все важнейшие направления физики
сверхпроводников. Первая часть книги
посвящена сверхпроводникам I рода, их
классическому феноменологическому и
(кратко) микроскопическому описанию. Во
второй части рассматриваются сверхпро-
водники II рода, их намагничивание, тепло-
емкость и проблема жестких сверхпро-
водников.
Книга написана простым и ясным язы-
ком, изложение сопровождается хорошими
иллюстрациями, математические выкладки
сведены к минимуму. Все это делает кни-
гу очень полезной тем, кто желает полу-
чить общее представление о данном воп-
росе: студентам, аспирантам, физикам,
работающим в смежных областях науки,
инженерам и техникам.
Редакция литературы по физике
Инд. 2-3-6
52-72
А. РОУЗ-ИНС, Е. РОДЕРИК
ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
Редакторы К. А. Кутузова и А. И. Власенко
Художник А. Г. Антонова. Художественный редактор П. Ф. Некундэ
Технический редактор Г. Б. Алюлина. Корректор Л. А. Брычкова
Сдано в набор 29/XI 1971 г. Подписано к печати 27/IV 1972 г.
Бумага № 1 84x1081/32=4,25 бум. л. 14,28 усл. печ. л.
Уч.-изд. л. 12,39. Изд. № 2/6310. Цена 1 р. 13 к. Зак. № 1205.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Московская типография № 16 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
Москва, Трехпрудный пер., 9
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
За последние 10—12 лет интерес к сверхпроводимо-
сти необычайно возрос, что, конечно, не случайно. В этот
период были поняты те процессы в металлах, которые
приводят к сверхпроводимости, т. е. была создана микро-
скопическая теория сверхпроводимости. За эти же годы бы-
ли изготовлены материалы, способные сохранять сверхпро-
водящее состояние (при температуре жидкого гелия)
в магнитных полях порядка нескольких сот килоэрстед
и пропускать сверхпроводящий ток, плотность которого
достигает миллионов ампер на квадратный сантиметр.
Такие материалы теперь применяются для сверхпроводя-
щих соленоидов — источников мощных магнитных полей.
Наконец, в сверхпроводниках были открыты квантовые
эффекты, которые сейчас успешно используются для созда-
ния приборов поистине фантастической чувствительности.
Перспективы еще более заманчивы. Если бы удалось
создать материал, сохраняющий сверхпроводимость при
температуре жидкого азота (не говоря уж о комнатной
температуре!), то это вызвало бы просто переворот в элек-
тротехнике. Ясно, что в такой обстановке многие желают
быстро получить какой-то минимум идей и знаний по
сверхпроводимости, чтобы потом перейти к изучению
более специальной литературы.
Таких читателей эта книга должна удовлетворить.
Она написана известными английскими учеными, которые
сами активно работают в области физики низких темпера-
тур. В небольшом объеме авторам удалось охватить глав-
ные направления физики сверхпроводников.
Книга разделена на две неравные части. Часть I
(бблыпая) посвящена сверхпроводникам I рода и состоит
6
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
из одиннадцати глав. В первых восьми главах содержится
классическое феноменологическое описание сверхпровод-
ников. Их электродинамика строится на базе уравнений
Лондонов. Дается описание поведения сверхпроводников
в магнитном поле, обсуждаются промежуточное состоя-
ние, проблема транспортного тока и критического магнит-
ного поля. В последних трех главах части I дается пред-
ставление о микроскопическом описании сверхпроводя-
щего состояния в рамках теории Бардина — Купера —
Шриффера; эти представления используются для объясне-
ния туннельных эффектов в сверхпроводниках, квантова-
ния магнитного потока и явления квантовой интерферен-
ции в сверхпроводящих цепях со слабыми участками.
Часть II посвящена сверхпроводникам II рода и состоит
из двух глав. В первой из них рассматриваются смешан-
ное состояние сверхпроводников II рода, их обратимое
и необратимое намагничивание и их теплоемкость; во
второй — проблема критического транспортного тока,
резистивного состояния, пиннинга и т. п., т. е. проблема
жестких сверхпроводников.
Содержание книги совершенно точно соответствует
ее названию. Это именно введение в физику сверхпроводи-
мости, книга для первого чтения, для общего ознакомле-
ния с вопросом. В ней почти нет математики, зато очень
много хороших рисунков. Кристальная ясность изложе-
ния и педагогическое мастерство авторов доставляют при
чтении книги просто эстетическое наслаждение.
Читателем книги может быть и студент старшего курса,
и аспирант, и физик, работающий в смежной области и
желающий быстро войти в круг идей физики сверхпровод-
ников , и инженер, и даже техник.
В. В. Шмидт
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга в значительной степени основывается на
лекциях, прочитанных студентам-выпускникам и аспи-
рантам. Нам хотелось, чтобы она была действительно
введением в сверхпроводимость, и материал для нее отби-
рался и интерпретировался, исходя именно из этого сооб-
ражения. Содержание нельзя рассматривать как полную
и законченную трактовку сверхпроводимости; этому посвя-
щено уже несколько работ, и авторы не стремятся соревно-
ваться с ними. Цель книги — как можно более четко
объяснить основные явления и идеи сверхпроводимости
в форме, доступной для тех, кто вообще не знаком со
сверхпроводимостью и имеет лишь скромные представле-
ния о физике твердого тела.
Книга посвящена в основном физике сверхпроводимо-
сти, хотя иногда кратко обсуждаются и возможные ее
приложения. Тем не менее можно надеяться, что этот
труд будет полезен как для «чистых» физиков, так и для
читателей, интересующихся практическими применения-
ми. С этой целью мы повсюду пользовались системой
единиц МКС. Большинство читателей, заинтересованных
в практическом применении сверхпроводимости,— инже-
неры, привыкшие к системе МКС, и, кроме того, исполь-
зование этой системы в физическом обучении непрерывно
возрастает. Нам казалось, что настало время сделать
решительный шаг и написать книгу о сверхпроводимости,
применяя систему МКС.
Обращение к этим единицам натолкнуло нас на неко-
торые соображения о значении В п Н в сверхпроводниках,
которые обсуждаются в приложении А,
s
ПРЕДИСЛОВИЕ
Конечно, материал заимствован из разных книг, посвя-
щенных сверхпроводимости, и в частности из классической
монографии Шенберга «Сверхпроводимость». Поскольку
настоящий труд служит лишь введением, мы не старались
дать полный список литературы, а привели только
основные труды, там где это представлялось уместным.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
В книге повсюду, где это возможно, применяются
постоянные обозначения. Ниже приводятся определения
большинства используемых обозначений.
а — полутолщина пластины
— коэффициент волновой функции </> (р/ф, —Рг|)
для волновой функции пары
А — магнитный вектор-потенциал, определяемый
соотношением В = rot А
Jk — площадь
В — плотность магнитного потока
Ва — плотность потока приложенного магнитного поля
(ГЛ. 2, § 1).
Вс — плотность критического потока (=р,0Яс)
Сп — теплоемкость нормальной фазы
Cs — теплоемкость сверхпроводящей фазы
Сэл — электронный вклад в теплоемкость
Среш — вклад, вносимый в теплоемкость решеткой
d — толщина диска
е — заряд электрона (величина отрицательная)
Е — энергия
Е — напряженность электрического поля
Eg — энергетическая щель сверхпроводника (=2Д)
gn — свободная энергия Гиббса на единицу объема
в нормальной фазе
gs — свободная энергия Гиббса на единицу объема
в сверхпроводящей фазе
Gn — свободная энергия Гиббса для образца в нор-
мальном состоянии
Gs — свободная энергия Гиббса для образца в сверх-
проводящем состоянии
Й — постоянная Планка, деленная на 2 л
hi — вероятность того, что состояние пары (pff, —р$ф)
заполнено в основном состоянии БКШ
Н — напряженность магнитного поля
10
ОБОЗНАЧЕНИЯ
На —- напряженность приложенного магнитного поля
(см. стр. 34)
Hi — напряженность поля внутри образца
Hi — напряженность поля, образуемого протекающим
током
Нс — напряженность термодинамического критиче-
ского поля
Н'с — возросшее критическое магнитное поле тонкого
образца
Но — критическое магнитное поле при 0 К
НС1 — нижнее критическое поле сверхпроводника
II рода
НС2 — верхнее критическое поле сверхпроводника
II рода
i — ток
ic — критический ток
I — намагничение (магнитный момент на единицу
объема)
I — ток
J — ток
J — ток на единицу ширины
7 — плотность поверхностного тока на единицу
длины
J — плотность объемного тока на единицу поверх-
ности
Jc — плотность критического тока
Jn — плотность тока, обусловленного нормальными
электронами
Js — плотность тока, обусловленного сверхпроводя-
щими электронами
к — постоянная Больцмана
к — эффективная восприимчивость плоского диска
[определяемая уравнением (8.4)]
1е — средняя длина свободного пробега электрона
в нормальном состоянии
L — самоиндукция
L — скрытая теплота
т — масса электрона
т — число витков в соленоиде на единицу его длины
М — взаимная индукция
М — полный магнитный момент образца
ОЁО^НАЧЁИЙЙ
ii
п — размагничивающий фактор [определяемый урав-
нением (6.2)]
п — целое число
ns — плотность сверхпроводящих электронов
^(е) — плотность состояний электронов с кинетической
энергией е
р — импульс электрона
р — давление
Pf — импульс Ферми [= ]/r2zneF]
Р — суммарный импульс куперовских пар
q — электрический заряд
q — импульс фонона
Rn — сопротивление образца в нормальном состоянии
R' — сопротивление, обусловленное движением маг-
нитного потока в сверхпроводнике II рода
в смешанном состоянии
5 — плотность энтропии
$ — скорость звука
Тс — температура сверхпроводящего перехода в нуле-
вом поле (или критическая температура)
и — внутренняя энергия на единицу объема
vs — скорость сверхпроводящих электронов
V	объем
V	— матричный элемент рассеяния
V	— разность потенциалов
W — кинетическая энергия
хп — толщина нормального слоя в промежуточном
состоянии
xs — толщина сверхпроводящего слоя в промежуточ-
ном состоянии
а — поверхностная энергия на единицу поверхности
а — параметр (==тп/р,07М2) (гл. 3)
у — константа теплоемкости Зоммерфельда [урав-
нения (5.6) и (9.11)]
Д — параметр поверхностной энергии (определяемый
из соотношения а = 1I2^qH2c\)
Д — параметр, равный половине энергетической щели
Д = 2AvLexp [-{JT (8F) V}-1]
Д (0) — половина энергетической щели при 0 К
е — кинетическая энергия электрона (=р2/2т)
— энергия Ферми
12
ОБОЗНАЧЕНИЙ
£ — характерная длина, на которой затухает волно-
вая функция туннелирующего электрона
т) — часть образца в нормальном состоянии [ =хп/(хп+
+ #«)]
т) — коэффициент вязкости текущего потока (гл. 13)
£ — длина когерентности (гл. 6, § 10)
£0 — длина когерентности чистого сверхпроводника
0 — угол
0 —- температура Дебая
н — параметр Гинзбурга — Ландау (гл. 12, § 3)
к — глубина проникновения [определяемая уравне-
нием (2.2)]
к — длина волны
— глубина проникновения при 0 К
KL — лондоновская глубина проникновения [опреде-
ляемая уравнением (3.13)]
р0 — проницаемость свободного пространства
(4л-10-7 Г/м)
рг — относительная проницаемость
v — частота
v0 — пороговая частота начала поглощения электро-
магнитного излучения
vq — фононная частота
— «усредненная» фононная частота
Р — удельное электросопротивление
р' — удельное сопротивление, обусловленное движе-
нием магнитного потока в смешанном состоянии
ро — удельное сопротивление при 0 К
а — электропроводность
X — магнитная восприимчивость
Ф (х, у, Z, р)
или
ф (р)
ф — фаза
Дф — разность
ф (*i, yi, zlt рп х2, у2, 22, р2Н — двухэлектронная
или	волновая функция
Ф (Рь Р2)	f невзаимодействую-
щих электронов с
„ импульсами pt и р2
— одноэлектронная волновая функция
невзаимодействующего электрона
с импульсом р
фаз
ОЙОЗЙАЧЁЙЙЯ
13
Ф — магнитный нотой
Ф' — флюксоид [уравнение (11.5)1
Фо — флюксон [уравнение (11.8)1
Ф (®1, Уь Zi, х21 Уг, z2)
или
ф (п, гг)
— двухэлектронная волновая
функция пары взаимодей-
ствующих электронов
[определяемая уравнени-
ем (9.4)]
Фр — волновая функция куперовской пары с полным
импульсом Р
Y — эффективная волновая функция Гинзбурга —
Ландау
VG (гь г2, . . ., гпв) — многоэлектронная волновая
функция, описывающая основное состояние
БКШ [уравнение (9.6)] и формально идентич-
ная с волновой функцией Гинзбурга — Ландау Т
л*<*
#й у-,...л
* *
* т А*** *г> *ЛйЛ*'\е*л*<ф
*А - u «v Л А Л * **<*?*
МА**а Л — ** - -
к\ •; <h.v^
IJL M
i

♦ ^*^*Л*чЙ
! • НМ;1;Ж
,V£W*
,w.w<
* *
'.•Л’.*ЛЛ
•/.’ЛЛ.'"’
к ♦ w* 4 »
< ч 4 «* ♦
♦ wV/i * ♦
:4>ЛЛ а
bt<
&
,-ta
1
Индивидуальные флюксоны в сверхпроводнике второго рода.
На фотографии изображена треугольная решетка флюксонов в сверхпроводнике
II рода (гл. 12). Эта решетка получена с помощью покрытия поверхности намаг-
ниченного образца (сплава свинца с индием) очень тонким (500 А) ферромаг-
нитным порошком. Частицы порошка скапливались в областях, где магнитный
поток пересекал поверхность. Фотография получена на электронном микро-
скопе. (В. Эссман и Г. Тройбл, Институт металлов им. Макса Планка.)
ВВЕДЕНИЕ
Сверхпроводимостью называют замечательное соче-
тание электрических и магнитных свойств, которое возни-
кает в некоторых металлах, охлажденных до чрезвычайно
низких температур. Такие температуры впервые стали
доступны в 1908 г., когда в Лейденском университете
Камерлинг-Оннесу удалось получить жидкий гелий
и, используя его, достичь температур вплоть до 1 К.
Одним из первых исследований, которые Оннес провел
в новой температурной области, было изучение зависимо-
сти электросопротивления металлов от температуры. Уже
много лет было известно, что при охлаждении металлов
ниже комнатных температур их сопротивление понижает-
ся, но никто не знал, каким будет предельное значение
сопротивления при приближении к 0 К. Проведя экспе-
рименты с платиной, Оннес обнаружил, что сопротивление
платины понижается при охлаждении до некоторой малой
величины, зависящей от чистоты образца. Одним из
наиболее чистых металлов была в то время ртуть,
и с целью исследования свойств очень чистых металлов
Оннес измерил ее сопротивление. Оказалось, что при
очень низких температурах сопротивление становится
неизмеримо малым. Само по себе это не было неожидан-
ным, но вскоре Оннес обнаружил (1911 г.), что исчезновение
сопротивления происходит совершенно неожиданным
образом. Вместо того чтобы постепенно уменьшаться
с приближением температуры к 0 К, сопротивление при
температуре около 4 К резко падало, и ниже этой темпе-
ратуры ртуть не обнаруживала никаких признаков сопро-
тивления. Более того, этот внезапный переход в состояние
без сопротивления происходил не только в чистом метал-
ле, но и в очень грязных образцах. Оннес обнаружил, что
ниже 4 К ртуть переходит в новое состояние с совершенно
неизвестными ранее электрическими свойствами, и это
16
ВВЕДЕНИЕ
новое состояние было названо сверхпроводящим.
Позже стало известно, что сверхпроводимость можно
разрушить (т. е. вернуть электросопротивление), если
приложить достаточно сильное магнитное поле. Оказалось,
что металлы в сверхпроводящем состоянии имеют совер-
шенно особые магнитные свойства, не похожие на свой-
ства при обычных температурах.
К настоящему времени найдено, что примерно полови-
на металлических элементов, а также ряд сплавов обла-
дают сверхпроводящими свойствами при низких темпе-
ратурах. Металлы, у которых при достаточном охлаждении
возникает сверхпроводимость, были названы сверх-
проводниками. В течение многих лет полагали, что свой-
ства всех сверхпроводников аналогичны. Теперь, однако,
стало известно, что существует два типа сверхпроводни-
ков — сверхпроводники I и II рода. Большинство сверх-
проводящих элементов является сверхпроводниками
I рода, а сплавы обычно обладают свойствами сверхпро-
водников II рода. Эти два типа сверхпроводников имеют
много общих свойств, но их магнитные свойства заметно
отличаются, причем различие достаточно существенно,
чтобы рассматривать каждый тип отдельно. Первая часть
книги посвящена сверхпроводникам I рода, во второй
части мы рассмотрим сверхпроводники II рода.
ЧАСТЬ I
СВЕРХПРОВОДНИКИ I РОДА
ГЛАВА 1
НУЛЕВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Электросопротивление всех металлов и сплавов пони-
жается при охлаждении. Чтобы понять, почему это про-
исходит, рассмотрим причины, вызывающие сопротивле-
ние. Ток в проводнике переносится электронами прово-
димости, которые свободно движутся внутри вещества.
Электроны, конечно, обладают волновыми свойствами,
и движущийся в металле электрон можно представить
как плоскую волну, распространяющуюся в том же
направлении. Металл имеет кристаллическую структуру,
и его атомы образуют периодическую решетку, а плоская
волна обладает свойством проходить через правильную
периодическую структуру, не рассеиваясь по другим
направлениям. Следовательно, электрон способен прохо-
дить через идеальный кристалл без потери импульса
в первоначальном направлении. Другими словами, если
через идеальный кристалл пропустить ток (это значит
сообщить электронам проводимости суммарный импульс
в направлении тока), он будет распространяться без
сопротивления. Однако любое нарушение периодичности
кристалла будет рассеивать электронную волну и при-
водить к появлению некоторого сопротивления. Идеаль-
ная периодичность кристаллической решетки нарушается
в результате двух причин. При температурах выше абсо-
лютного нуля атомы колеблются и при этом смещаются
на различные расстояния относительно их положения
равновесия. Кроме того, посторонние атомы или дефекты,
распределенные случайным образом, также нарушают
идеальную периодичность. Тепловые колебания, а также
любые примеси или дефекты рассеивают движущиеся
электроны проводимости и вызывают появление электро-
сопротивления.
2-1205
18
ГЛ. 1. НУЛЕВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Теперь понятно, почему при охлаждении металла или
сплава его электросопротивление падает. Когда темпера-
тура понижается, тепловые колебания атомов затухают
и электроны проводимости рассеиваются реже. Сопро-
тивление уменьшается линейно вплоть до температуры,
равной примерно одной трети температуры Дебая, харак-
теризующей данное вещество, после чего сопротивление
Фиг. 1. Зависимость сопротивления ме-
таллов от температуры.
изменяется как Т5. Для идеально чистых металлов, для
которых движение электронов задерживается только теп-
ловыми колебаниями решетки, сопротивление должно
приближаться к нулю с понижением температуры до О К.
Это нулевое сопротивление, которым бы должен был обла-
дать гипотетический «идеальный» образец при охлаждении
до абсолютного нуля, не является, однако, сверхпрово-
димостью. Любой реальный металлический образец не
может быть идеально чистым и содержит некоторые при-
меси. Поэтому электроны рассеиваются не только
в результате тепловых колебаний атомов решетки, но
и на примесях, причем это рассеяние на примесях более
или менее не зависит от температуры. В результате суще-
ствует некоторое «остаточное сопротивление» (р0, фиг. 1),
§ 1. ТЕМПЕРАТУРА СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО ПЕРЕХОДА
19
которое сохраняется даже при самых низких температу-
рах. Чем больше загрязнен металл, тем выше его остаточ-
ное сопротивление.
Некоторые металлы,
однако, обладают замеча-
тельными свойствами: при
охлаждении их электросо-
противление понижается
обычным образом, но при
достижении некоторой тем-
пературы (нескольких гра-
дусов выше абсолютного
нуля) это сопротивление
внезапно исчезает полно-
стью (фиг. 2). Тогда гово-
рят, что произошел пере-
ход в сверхпроводящее со-
стояние х). Переход в
сверхпроводящее состоя-
ние может произойти, да-
Температура
Фиг. 2. Исчезновение сопротив-
ления сверхпроводника при низ-
ких температурах.
же если металл настолько загрязнен, что в другом случае
должен был бы иметь большое остаточное сопротивление.
§ 1. Температура сверхпроводящего перехода
Температура, при которой сверхпроводник теряет
сопротивление, называется температурой его сверхпро-
водящего перехода или критической температурой. Эта
температура, обозначаемая Тс, различна для каждого
металла. В табл. I указаны температуры сверхпроводящих
переходов металлических элементов. Сверхпроводимость
была найдена не у всех металлов. Например, медь, железо
и натрий не проявляют сверхпроводимости при охлажде-
нии вплоть до очень низких температур. Конечно, проводя
эксперименты в более низкой температурной области,
г) В настоящей книге мы будем применять термин сверхпро-
водник яля. веществ, которые при охлаждении обнаруживают
сверхпроводимость. Прилагательное сверхпроводящий приме-
няется к веществу, когда оно находится в сверхпроводящем
состоянии, и нормальный — когда оно не проявляет сверх-
проводящих свойств (т. е. выше температуры его сверхпро-
водящего перехода).
2*
Таблица 1
Сверхпроводники в периодической системе элементов
(Число под элементом обозначает температуру сверхпроводящего перехода в К)
IA
0
2
3
11
ПА
4
Be
0,03
12
ША IVA VA VIAVIHA
5
6
7
8
9
10
ШВ IVB VB VIB VIIB
19
37
55
87
20
38
56
88
21
39
57
La*
а4,8
р5,9
89
22
Ti
0,4
40
Zr
0,75
72
23
V
5,3
41
Nb
9,3
73
24
25
26
VIIIB
27
28
IB IIB
29
Ш
?
Та
4,5
42
Мо
0,93
74
W
0,01
43
Tc
7,7
75
Re
1,7
44
Ru
0,49
76
Os
0,71
45
77
1г
0,14
46
78
47
79
30
Zn
0,88
48
Cd
0,5
80
Hg*
a4,2
p4,0
13
Al
1,2
31
Ga
1,1
49
In
3,4
81
Т1
2,4
14
32
50
Sn
3,7
82
РЬ
7,2
15
16
17
18
33
51
83
34
35
36
52
53
54
84
85
86
I i. тёмперАтуга Сверхпроводящего перехода
21
может быть и удастся обнаружить новые сверхпроводники,
но нет никаких фундаментальных оснований полагать,
что все металлы должны обладать сверхпроводимостью,
даже при абсолютном нуле. Известно, что сверхпроводни-
ками являются примерно половина металлических эле-
ментов и большое число сплавов.
Наиболее высокой температурой перехода (9,3 К) среди
элементов обладает ниобий, но некоторые сплавы и метал-
лические соединения сохраняют сверхпроводимость и до
более высоких температур (табл. II). Например, темпера-
Таблица 11
Температуры сверхпроводящих переходов некоторых
сплавов и металлических соединений по сравнению
с составляющими их элементами
	Та—Nb	Ph-Bi	3Nb—Zr	NbgSn
Тс, К	6,3	8	11	18
	Nb	Pb	Ta	Sn	Zr	Bi
Тс, К	9,3	7,2	4,5	3,7	0,75	He сверх- проводник
тура перехода для Nb3Sn превышает 18 К. В общем она
не очень чувствительна к малым количествам примесей,
но для нескольких металлов, таких, как иридий и моли-
бден, имеющих в чистом состоянии очень низкую темпе-
ратуру перехода, сверхпроводимость исчезает при нали-
чии в них минимальных количеств магнитных примесей.
Такие элементы поэтому проявляют сверхпроводимость
только в чрезвычайно чистом состоянии, и образцы этих
металлов обычной коммерческой чистоты не являются
сверхпроводниками.
Маттиас показал, что существуют определенные усло-
вия, которые, видимо, способствуют появлению сверхпро-
водимости; иными словами, проводники, для которых эти
22
i\rt. 1. ЙУЛЁЙОЕ СОПРО*ГИВЛЁНЙЁ
условия удовлетворяются, имеют сравнительно высокие
температуры перехода. Чтобы быть сверхпроводником,
металл или сплав должен иметь от 2 до 8 валентных
электронов на атом. В случае переходных металлов и их
сплавов особенно благоприятной является, по-видимому,
концентрация, составляющая в среднем примерно 3, 4,7
или 6,4 валентных электронов на атом, в то время как
концентрация 2, 4 или 5,6 неблагоприятна. Например,
I 15
§
hr
§ &
it
о
Л________I__•___________L_
Zr	Nb	Mo	Re
Состав
4	5	6	7
Фиг. 3. Зависимость температуры сверхпроводя-
щего перехода от среднего числа валентных электро-
нов на атом, указанного цифрами под символами
элементов (Хульм, Хайн, Гибсон и Бложе).
Средняя концентрация валентных электронов на атом.
цирконий имеет 4 валентных электрона на атом, а нио-
бий — 5 валентных электронов на атом. Комбинируя
различные количества циркония и ниобия, можно приго-
товить сплав со средней концентрацией электронов на атом
между 4 и 5. На фиг. 3 изображены температуры сверх-
проводящих переходов для ряда металлов и сплавов
с концентрацией валентных электронов, лежащей между
4 и 7. Видно, что максимум температуры перехода распо-
ложен примерно при концентрациях, равных 4,7 и 6,4
валентного электрона на атом, а минимум — примерно
при 5,6 электрона на атом.
Большой атомный объем, по-видимому, неблагоприятен
сверхпроводимости. Из фиг. 4 видно, что сверхпроводящие
элементы обладают относительно небольшими атомными
объемами. Ферромагнитные вещества не являются сверх-
§ 1. ТЕМПЕРАТУРА СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО ПЕРЕХОДА
23
проводниками. Сплавы могут быть сверхпроводящими,
даже если они составлены из двух металлов, не являю-
щихся сверхпроводниками (например, сплав Bi—Pd).
Если образец чист и физически идеален, переход
в сверхпроводящее состояние при охлаждении может
Атомное число
Ф и г. 4. Атомные объемы металлических элементов. Сверхпро-
водники обозначены символами и сплошными кружками.
Фиг. 5. Сверхпроводящий переход олова.
быть чрезвычайно резким. Например, для образца из
чистого галлия переход наблюдается в интервале темпе-
24
ГЛ. 1. НУЛЕВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
ратур, равном 10“5 градусов. Однако, если образец загряз-
нен или нарушена его кристаллическая структура, область
сверхпроводящего перехода может значительно расши-
риться. На фиг. 5 изображен сверхпроводящий переход
для чистого и загрязненного образцов олова.
§ 2.	Нулевое сопротивление
Даже в случае, когда переход происходит на значи-
тельном температурном интервале, сопротивление все рав-
но ниже определенной температуры исчезает полностью.
Естественно возникает вопрос, действительно ли оно
в сверхпроводящем состоянии равно нулю или только
снижается до очень малой величины. Невозможно, конеч-
но, экспериментально доказать, что сопротивление дей-
ствительно равно нулю; сопротивление любого образца
всегда может быть меньше чувствительности аппаратуры,
применяемой для его определения. Однако ни в одном
эксперименте не было обнаружено никаких следов сопро-
тивления в сверхпроводящем состоянии. Определить нали-
чие сопротивления очень легко — надо пропустить ток
через сверхпроводящую проволоку и следить за появле-
нием напряжения на чувствительном вольтметре, подсое-
диненном к концам проволоки. В более чувствительном
методе ток запускают в замкнутом сверхпроводящем коль-
це и затем наблюдают затухание этого тока за длительный
период времени. Предположим, что самоиндукция кольца
равна L; тогда если в момент времени t = 0 мы запускаем
по кольцу ток i (0) (способ, каким это делается, описан
в § 3), то за время t ток должен затухать по закону
(1.1)
где R — сопротивление кольца. Нельзя, конечно, вклю-
чить амперметр в цепь и измерять им ток, но можно изме-
рять магнитное поле, образованное циркулирующим
током, и таким образом определять затухание тока со вре-
менем. Измерение магнитного поля не приводит к потере
энергии в кольце, и поэтому можно увидеть, будет ли ток
циркулировать по кольцу бесконечно. Из (1.1) следует,
что чем меньше индуктивность кольца L, тем быстрее
затухает ток при данном сопротивлении R и тем чувстви-
§ 3. КОЙТУР ЁЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ
25
тельнее становится эксперимент. Куин и Иттнер [1]
запустили ток в маленьком полом сверхпроводящем свин-
цовом цилиндре с очень тонкими стенками и с самоиндук-
цией, равной лишь 1,44g-18 Г. Поскольку уменьшение
магнитного поля составило меньше 2% за 7 ч, они пришли
к выводу, что удельное сопротивление сверхпроводящего
металла меньше 4 40“26 Ом*м (т. е. по крайней мере
в 1017 раз меньше сопротивления меди при комнатной
температуре). Следовательно, вполне справедливо считать,
что сопротивление сверхпроводящего металла равно нулю.
§ 3.	Контур без сопротивления
Замкнутый контур, например кольцо, сделанное из
сверхпроводящего металла, обладает очень важным
и полезным свойством, которое является следствием того,
что его сопротивление равно нулю. Полный магнитный
Фиг. 6. Контур без сопротивления*
поток, пронизывающий замкнутый контур без сопротивле-
ния, не может измениться до тех пор, пока сопротивление
контура остается равным нулю. Пусть к металлическому
кольцу (фиг. 6, а), охлажденному ниже температуры его
сверхпроводящего перехода, приложено однородное маг-
нитное поле с плотностью потока Ва. Если площадь,
ограниченная кольцом, равна Jt, то поток, пронизываю-
щий кольцо, будет Ф ~ЛВа. Предположим теперь, что
приложенное поле изменило свое значение. По закону
Ленца при изменении поля в кольце индуцируются токи
26
Гл. 1. НУЛЕВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
и циркулируют в таком направлении, чтобы создать
внутри кольца поток, который стремится уничтожить
изменение потока, вызванное переменой приложенного
поля. Когда поле меняется, возникает электродвижущая
сила —JkdBJdt и индуцированный ток i равен
где R и L — полное сопротивление и индуктивность кон-
тура. В обычном контуре с сопротивлением наведенные
токи быстро затухают и пронизывающий кольцо поток
принимает новое значение. В сверх-
проводящем контуре, однако, Л=0 и
Фиг. 7. Сверхпро-
водящий соленоид.

так что
Li + ^Ва == const.	(1.2)
Но Ы + ЛВа есть полный магнит-
ный поток, пронизывающий контур.
Таким образом мы показали, что пол-
ный поток через контур без сопро-
тивления не может изменяться. Если
изменяется приложенное магнитное
поле, то в контуре индуцируется ток,
который создает поток, точно ком-
пенсирующий изменение потока при-
ложенного магнитного поля: Посколь-
ку сопротивление контура равно ну-
лю, индуцированный ток течет по-
стоянной первоначальный поток сохраняется бесконечно.
Даже если внешнее поле снижается до нуля, внутренний
поток сохранится благодаря циркулирующему индуци-
рованному току (фиг. 6, б).
Это свойство может быть использовано, когда солено-
иды, намотанные из сверхпроводящей проволоки, при-
меняются для создания магнитных полей. На фиг. 7
изображена схема, в которой ток для охлаждаемого
сверхпроводящего соленоида £, берется от источника
постоянного тока Р. После того как с помощью реостата R
устанавливается ток, необходимый для получения нужно-
§ 3. КОНТУР БЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ
27
го магнитного поля, сверхпроводящий выключатель XY
может быть закрыт. Теперь XY и S образуют замкнутый
контур без сопротивления, в котором магнитный поток
должен сохраняться постоянным. Таким образом, напря-
женность поля, генерируемого соленоидом 5, не изме-
няется со временем. При желании мы можем отсоединит^
источник питания, и поле будет поддерживаться током,
текущим без сопротивления по контуру XYS. Про сверх-
проводящий соленоид, действующий таким образом, гово-
рят, что он работает в незатухающем режиме.
Заметим, что хотя общая величина потока, заключен-
ного внутри контура без сопротивления, и остается
постоянной, плотность потока В в какой-либо точке
может измениться вследствие перераспределения потока
внутри контура. Так, на фиг. 6, б плотность потока
вблизи проволоки выше, а в центре контура ниже по
сравнению с однородным распределением потока на
фиг. 6, а. В обоих случаях, однако, полный поток один
и тот же и равен
BdA.
Мы видели, таким образом, что если замкнутый сверх-
проводящий контур охладить в приложенном магнитном
поле ниже температуры его сверхпроводящего перехода,
то заключенный внутри контура поток сохраняет постоян-
ную величину независимо от изменений поля. С другой
стороны, если этот же контур охладить в отсутствие
приложенного магнитного поля и в отсутствие начального
потока внутри контура, а затем приложить внешнее
поле, то результирующий внутренний поток останется
равным нулю, несмотря на наличие внешнего поля. Это
свойство дает возможность использовать полые сверх-
проводящие цилиндры в качестве экранов от внешних
магнитных полей. Экранировка идеальна только в случае
длинных полых цилиндров, внутри которых индуциро-
ванные токи создают компенсирующий поток с однородной
плотностью. Для других конфигураций, например для
короткого кольца, только лишь полный поток остается
равным нулю, а локальная плотность магнитного потока,
образованного индуцированным током, не постоянна внут-
ри кольца. Следовательно, плотность потока, вызываемо-
28
ГЛ. 1. НУЛЕВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
го незатухающими токами, будет в некоторых точках
выше, а в некоторых ниже плотности внешнего поля и не
везде точно обратится в нуль. Другими словами, хотя
сама В не обязательно повсюду равна
нулю. На практике, однако, сверхпроводящий экран
Фиг. 8. Разделение тока на
два параллельных пути.
создает очень хорошую защи-
ту от внешних магнитных
полей.
Посмотрим теперь, что
определяет распределение то-
ков в цепи из проводников
без сопротивления. Рассмот-
рим, например, простой кон-
тур, изображенный на фиг. 8.
Если сопротивление кольца
ABCD равно нулю, как раз-
делится ток i между ветвями
В и D? Ясно, что законы
Кирхгофа здесь непримени-
мы, так как сопротивления
обеих ветвей равны нулю, и второй закон Кирхгофа будет
выполняться для всех возможных делений тока Z. Однако,
хотя в обеих ветвях нет сопротивления, они вносят в кон-
тур индуктивности. Покажем, что разделение тока опре-
деляется этими индуктивностями. Разность потенциалов
между А и С равна

где LB и Ld — индуктивности ветвей В и D, a MBD — nx
взаимоиндукция. Перегруппировка приводит к выражению
(Lb-Mbd)^ = (Ld-Mbd)*£- ;
интегрируя его, получаем
(£в — MBd) — Mbd) Id + const.
Если iB = 0 = id при t = 0, to const — 0, и мы имеем
1в__Ld~Mbd
ip ' Lb~—Mbd
§ 4. СОПРОТИВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННОМУ ТОКУ
29
Видно, что разделение тока определяется индуктив-
ностями ветвей. Зачастую магнитная связь двух парал-
лельных ветвей мала, и их взаимной индуктивностью
можно пренебречь. В этих условиях можно сформулиро-
вать следующее правило: в сверхпроводящих контурах
токи, идущие по параллельным путям, обратно пропор-
циональны индуктивностям этих путей.
§ 4.	Сопротивление переменному току
Из отсутствия сопротивления в сверхпроводящем
металле следует, конечно, что при прохождении тока в нем
не возникает ни падения напряжения, ни потерь мощ-
ности. Это, однако, выполняется строго только для по-
стоянного тока. В случае переменного тока образуется
электрическое поле и некоторая мощность рассеивается.
Чтобы понять, почему это происходит, мы прежде всего
должны кратко рассмотреть некоторые особенности пове-
дения электронов проводимости в сверхпроводниках.
Большинство свойств сверхпроводников можно объяс-
нить, если предположить, что ниже температуры перехода
электроны проводимости делятся на два типа — одни
ведут себя как «сверхпроводящие» электроны, которые
могут проходить через металл без сопротивления (т. е.
не испытывая соударений), другие остаются «нормальными»
электронами, которые могут рассеиваться и испытывать
сопротивление точно так же, как электроны проводимости
в нормальном металле. По-видимому, количество сверх-
проводящих электронов уменьшается при повышении тем-
пературы и приближении ее к критической. При О К
все электроны проводимости ведут себя как сверхпрово-
дящие, но при повышении температуры некоторые из них
начинают вести себя как нормальные электроны, и при
дальнейшем нагреве количество нормальных электронов
увеличивается. В конце концов при температуре сверх-
проводящего перехода все электроны становятся нор-
мальными и металл теряет сверхпроводящие свойства.
Итак, сверхпроводник ниже его температуры перехода
как бы пропитан двумя электронными жидкостями: одна —
из нормальных, другая — из сверхпроводящих электронов.
Относительная плотность электронов обеих жидкостей
30
ГЛ. 1. НУЛЕВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
зависит от температуры. Такая «двухжидкостная модель»
возникла из термодинамических соображении, основанных
на результатах измерений теплоемкости сверхпроводников
и некоторых других исследований, которые будут обсуж-
даться в гл. 5.
В сверхпроводящем металле ток обычно может перено-
ситься как нормальными, так и сверхпроводящими элек-
тронами. Однако в особом случае постоянного, не изменяю-
щегося во времени тока весь ток переносится сверхпрово-
дящими электронами. Действительно, если ток остается
неизменным, то в металле не должно возникать и элек-
трического поля; в противном случае сверхпроводящие
электроны непрерывно ускорялись бы в этом поле и ток
неограниченно возрастал. Но в отсутствие поля ничто
не приводит в движение нормальные электроны, и поэтому
отсутствует ток нормальных электронов. Мы видим, таким
образом, что при постоянном значении общего тока он весь
переносится сверхпроводящими электронами. Сверхпро-
водящий металл подобен двум параллельным проводникам:
одному — с нормальным сопротивлением, другому — с со-
противлением, равным нулю. Мы можем сказать, что
сверхпроводящие электроны «замыкают накоротко» нор-
мальные электроны. Можно сказать и по-другому: если
внезапно к сверхпроводнику подключить источник напря-
жения, например батарею, ток будет стремиться увели-
читься до бесконечности, но в действительности будет
ограничен внутренним сопротивлением источника. Всякий
раз, когда изменяется ток, должно присутствовать элек-
трическое поле, ускоряющее электроны. Однако электроны
обладают малой массой, поэтому сверхпроводящий ток
возрастает не мгновенно, а лишь с той скоростью, с которой
электроны ускоряются в электрическом поле. Теперь
приложим переменное поле. Сверхпроводящий ток будет
отставать от поля в силу инерции сверхпроводящих элек-
тронов. Следовательно, сверхпроводящие электроны при-
водят к появлению внутреннего сопротивления (т. е.
обладают самоиндукцией) *), и, так как теперь присутству-
*) Это внутреннее индуктивное сопротивление, конечно, совер-
шенно отлично от обычной самоиндукции проводника, оп-
ределяемой его геометрией, и аддитивно с ней.
§ 4. СОПРОТИВЛЕНИЕ ЙЕЁЁМЁННОМУ ТОКУ
31
ет электрическое поле, часть тока будет переноситься
нормальными электронами. Следовательно, ток не пере-
носится исключительно сверхпроводящими электронами,
как в случае постоянного тока. Конечно, нормальные элек-
троны также имеют инерционную массу, но их результиру-
ющее индуктивное сопротивление полностью подавляется
сопротивлением, обусловленным их рассеянием в ме-
талле. Мы можем фактически выражать свойства сверх-
проводящего металла не только через сопротивление,
но и через идеальную самоиндукцию.
Часть тока, переносимого нормальными электронами,
рассеивает мощность обычным образом. Инерция элект-
ронов, конечно, очень мала, поэтому, пока мы не прибли-
зимся к предельно высоким частотам, лишь очень малая
часть тока переносится нормальными электронами и соот-
ветствующие потери энергии ничтожны. Тем не менее эта
ситуация отличается от абсолютного равенства нулю сопро-
тивления в случае постоянного тока.
Однако, если частота приложенного поля достаточно
высока, сверхпроводящий металл ведет себя так же, как
нормальный. Это происходит потому (гл. 9), что при
досточно высокой частоте приложенного поля сверхпрово-
дящие электроны, находящиеся в состоянии с более низкой
энергией, чем нормальные, возбуждаются фотонами элект-
ромагнитного поля и переходят в состояние с более высокой
энергией, где они ведут себя, как нормальные электроны.
Это происходит при частотах, больших чем —1011 Гц
(т. е. больших, чем частота очень длинной волны в ин-
фракрасной области). Свойства сверхпроводника при опти-
ческих частотах не отличаются поэтому от свойств нор-
мального металла, и не наблюдается, например, никаких
визуальных изменений в сверхпроводнике при его охлаж-
дении ниже температуры сверхпроводящего перехода.
Очень заманчиво предположить, что сверхпроводящие
электроны в сверхпроводнике ведут себя, как электроны
в вакууме. Электроны в пучке катодной трубки, например,
не имеют сопротивления в том смысле, что они пролетают
без каких-либо соударений. Имеется, однако, и сущест-
венная разница между этими двумя случаями. Вдоль
электронного пучка можно вызвать падение потенциала,
в то время как ток остается постоянным. Это происходит
32	ГЛ. ! НУЛЕВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
потому, что плотность электронов может не оставаться
постоянной, хотя ток и должен сохранять свое значение
вдоль всего пучка. В силу этого обстоятельства электроны
ускоряются от катода к аноду, и плотность электронов
у катода выше, чем у анода. Однако произведение плотно-
сти электронов на их скорость, т. е. ток, остается постоян-
ным вдоль пучка. Способность электронов ускоряться
позволяет поддерживать вдоль пучка электрическое поле.
В сверхпроводнике же условия иные. Металл повсюду
должен оставаться электрически нейтральным, и, посколь-
ку положение положительных ионов в кристалле фикси-
ровано, плотность электронов вдоль материала не может
меняться. Следовательно, чтобы ток в металле не затухал,
скорости всех электронов вдоль их пути должны быть
одинаковы. Электроны, следовательно, не ускоряются,
и электрическое поле не может существовать.
ГЛАВА 2
ИДЕАЛЬНЫЙ ДИАМАГНЕТИЗМ
§ 1. Магнитные свойства идеального проводника
В предыдущей главе мы видели, что сверхпроводник
при температуре ниже его температуры перехода,
по-видимому, не имеет сопротивления. Попытаемся теперь
вывести магнитные свойства такого лишенного сопротив-
ления проводника.
Предположим, что мы охладили образец, и ниже тем-
пературы его перехода он стал идеальным проводником.
Сопротивление по воображаемому замкнутому пути внутри
металла равно нулю. Вследствие этого, как показано
в предыдущей главе, величина магнитного потока, заклю-
ченного внутри этого пути, не может меняться. Это спра-
ведливо для любого воображаемого контура, но только
в том случае, если плотность потока в каждой точке внутри
металла не изменяется во времени, т. е.
в=о.
Следовательно, распределение потока внутри металла
должно оставаться таким же, как в момент исчезновения
сопротивления
Рассмотрим теперь поведение идеального проводника
в различных условиях. Предположим, что переход образца
происходит в отсутствие магнитного поля и что поле при-
кладывается лишь после исчезновения сопротивления.
Поскольку плотность магнитного потока в металле менять -
ся не может, она должна оставаться равной нулю даже
после приложения магнитного поля. Фактически внешнее
магнитное поле индуцирует незатухающие токи, которые
циркулируют по поверхности образца таким образом,
чтобы создать магнитный поток, плотность которого повсю-
ду внутри металла точно равна по величине и противопо-
ложна по знаку плотности потока приложенного магнитно-
3—1205
34
ГЛ. 2. ИДЕАЛЬНЫЙ ДИАМАГНЕТИЗМ
го поля х). В связи с тем что индуцированные токи не за-
тухают, суммарная плотность магнитного потока внутри
материала остается равной нулю. Это показано на фиг. 9, а:
поверхностные токи i создают магнитный поток с плот-
ностью В который повсюду внутри металла точно обраща-
а	б
Фиг. 9. Распределение магнитного потока вокруг идеаль-
но диамагнитного тела.
а — сплошная линия — поток приложенного поля; пунктирная
линия — поток намагниченности; б — суммарное распределение потока.
ет в нуль поток с плотностью Ва, создаваемый приложен-
ным магнитным полем. Эти поверхностные токи часто назы-
вают экранирующими токами.
Плотность потока, созданного незатухающими поверх-
ностными токами, конечно, не обращается в нуль на гра-
нице образца; линии магнитного потока образуют непре-
рывные замкнутые кривые, возвращающиеся через внеш-
*) Мы должны здесь точно определить, что мы подразумеваем
под «приложенным магнитным полем». «Приложенное» поле —
это поле, созданное каким-либо образом (с помощью соле-
ноида, постоянного магнита и т. д.) снаружи образца. Напря-
женность ЭТОГО ПОЛЯ Н„ и плотность магнитного потока Ва
измерены в отсутствие ооразца. В случае однородного прило-
женного поля его напряженность и плотность магнитного
потока остаются теми же и вдали от образца, т. е. там, где
влямутпятотпимп эффектами, связанными с магнитными свой-
ствами образца, можно пренебречь.
| 1. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ИДЕАЛЬНОГО ПРОВОДНИКА
35
нее пространство (фиг. 9, а). Хотя плотность этого потока
повсюду внутри образца равна по величине и противо-
положна по знаку магнитному потоку приложенного поля,
снаружи образца это правило не выполняется. Распределе-
ние суммарного потока после сложения магнитных потоков
образца и приложенного поля изображено на фиг. 9, 6.
Фиг. 10. Магнитные свойства идеального проводника,
а, б — сопротивление образца обращается в нуль в отсутствие
магнитного поля; е — к сверхпроводящему образцу приложено ма-
гнитное поле; г — магнитное поле выключено; д,е — сопротивление
образца обращается в нуль в приложенном магнитном поле; ж —
магнитное поле выключено.
Возникает ситуация, при которой образец как бы препят-
ствует проникновению в него магнитного потока прило-
женного поля. Если внутри образца, находящегося во
внешнем поле, магнитный поток равен нулю, то говорят,
что он проявляет идеальный диамагнетизм. Если теперь
3*
36
ГЛ. 2. ИДЕАЛЬНЫЙ ДИАМАГНЕТИЗМ
снизить приложенное магнитное поле до нуля, образец
останется в своем начальном ненамагниченном состоянии.
Все эти последовательные стадии изображены на
фиг. 10, а — г.
Рассмотрим теперь другую последовательность собы-
тий. Предположим, что магнитное поле Ва приложено
к образцу, который находится при температуре выше
переходной (фиг. 10, д'). Для большинства металлов (кроме
ферромагнетиков, таких, как железо, кобальт и никель)
значения относительной магнитной проницаемости очень
близки к единице, и поэтому плотность магнитного потока
внутри образца фактически равна плотности потока при-
ложенного поля. Охладим образец до низких температур,
чтобы его электросопротивление обратилось в нуль. Это
исчезновение сопротивления не оказывает влияния на на-
магниченность, и распределение магнитного потока не ме-
няется (фиг. 10, е). Теперь снизим приложенное поле
до нуля. Плотность магнитного потока внутри идеально
проводящего металла не может меняться, и на поверх-
ности образца возникают незатухающие токи, поддер-
живающие внутри магнитный поток, в результате чего
образец остается все время намагниченным (фиг. 10, ж).
Важно отметить, что в случаях в и е на фиг. 10 образец
находится при одной и той же температуре и в одном и том
же поле, но его намагниченность различна. Аналогично
в случаях г и ж намагниченность различна при одина-
ковых внешних условиях. Мы видим, что намагниченность
идеального проводника не определяется однозначно внеш-
ними условиями, а зависит от последовательности появле-
ния этих условий.
§ 2. Специфические магнитные свойства сверхпроводника
1. Эффект Мейсснера
В предыдущем параграфе мы вывели магнитные
свойства проводника без сопротивления с помощью про-
стых и хорошо известных фундаментальных принципов
электромагнетизма, и в течение 22 лет после открытия
сверхпроводимости считалось, что влияние магнитного
поля на сверхпроводник будет таким, как показано на
§ 2. СПЕЦИФИЧЕСКИЕ МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
37
фиг. 10. Однако в 1933 г. Мейсснер и Оксенфельд измерили
распределение потока вокруг оловянных и свинцовых
образцов, охлажденных в магнитном поле ниже температуры
их сверхпроводящих переходов г). Они обнаружили, что
ситуация, изображенная на фиг. 10, е, фактически не наб-
людается, а при температурах перехода образцы спонтанно
становятся идеальными диамагнетиками, и весь магнитный
поток внутри них исчезает, как на фиг. 10, в, даже если
образцы охлаждались в магнитном поле. Этот экспери-
мент впервые продемонстрировал, что сверхпроводники —
нечто большее, чем идеальные проводники; они обладают
дополнительным свойством, отсутствующим у металла,
просто лишенного сопротивления: металл в сверхпрово-
дящем состоянии никогда не позволяет магнитному потоку
проникнуть в его толщу. Другими словами, внутри сверх-
проводящего металла всегда
В = 0,
в то время как внутри металла только лишь с равным
нулю сопротивлением плотность потока может быть отлич-
ной от нуля или равной нулю в зависимости от обстоя-
тельств (фиг. 10). Когда сверхпроводник охлаждается
в слабом магнитном поле, то при температуре перехода
на его поверхности возникает незатухающий ток, который,
циркулируя, обращает в нуль внутренний магнитный
поток, аналогично тому, как это происходит при наложе-
нии магнитного поля после охлаждения металла (фиг. 11).
Это явление, заключающееся в том, что внутри сверхпро-
водника плотность магнитного потока всегда, даже во внеш-
нем магнитном поле, равна нулю, называется эффектом
Мейсснера (что несправедливо по отношению к Оксен-
фельду).
Для удобства мы называем гипотетический металл,
который просто не имеет сопротивления и ведет себя так,
х) Магнитное поле в таких экспериментах не должно быть
слишком сильным, поскольку, как будет показано в гл. 4,
металл теряет свои сверхпроводящие свойства, если прило-
женное магнитное поле становится выше некоторого опре-
деленного значения.
38
ГЛ. 2. ИДЕАЛЬНЫЙ ДИАМАГНЕТИЗМ
как показано на фиг. 10, идеальным проводником в про-
тивоположность сверхпроводнику, внутри которого, если
он находится в сверхпроводящем состоянии, плотность
магнитного потока всегда равна нулю (фиг. 11). Характер
Фиг. 11. Магнитные свойства сверхпроводника.
а, б — сопротивление образца обращается в нуль в отсутствие
магнитного поля; в — к сверхпроводящему образцу приложено
магнитное поле; г — магнитное поле выключено; д, е — образец
переходит в сверхпроводящее состояние в отсутствие магнитного
поля; ж — магнитное поле выключено.
намагниченности идеального проводника будет зависеть
от последовательности событий, ведущих к конечной тем-
пературе и конечному приложенному полю. Намагничен-
ность сверхпроводника зависит только от значений при-
ложенного поля и температуры и не зависит от пути,
ведущего к конечным условиям.
§ 2. СПЕЦИФИЧЕСКИЕ МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
39
2. Проницаемость и восприимчивость сверхпроводника
Пусть сверхпроводник находится во внешнем маг-
нитном поле с плотностью потока Ва 1). Чтобы можно
было пренебречь эффектами размагничивания (гл. 6),
рассмотрим длинный сверхпроводящий стержень, рас-
положенный параллельно приложенному полю. При нало-
жении магнитного поля с плотностью потока Ва в веще-
стве возникает магнитный поток с плотностью ргВа,
где |хг— относительная проницаемость вещества. Для ме-
таллов, отличных от ферромагнетиков, относительная
проницаемость очень близка к единице, т. е. |хг — 1, так
что плотность внутреннего потока, обусловленная при-
ложенным полем, равна Ва. Однако, как мы уже видели,
плотность полного потока внутри массивного сверхпро-
водника равна нулю. Этот идеальный диамагнетизм воз-
никает потому, что экранирующие токи, циркулирующие
по поверхности, образуют поток с плотностью В,, кото-
рый повсюду внутри металла обращает в нуль магнитный
поток внешнего поля, т. е. Bi = —Ва. Сверхпроводящий
образец в виде длинного стержня ведет себя поэтому как
длинный соленоид с циркулирующим током, создающим
магнитный поток, равный по величине и противоположный
по направлению потоку, обусловленному приложенным
магнитным полем. Чтобы создать магнитный поток с плот-
ностью —Ва, величина поверхностного циркулирующего
тока на единицу длины, согласно обычной формуле для
соленоида, должна быть равна | / | = Ва/|х0- Другими
словами, | j | — На, где На — напряженность приложенно-
го поля.
Мы можем, однако, иначе описать идеальный диамагне-
тизм. Поскольку нельзя действительно наблюдать поверх-
ностные экранирующие токи, возникающие при наложении
магнитного поля, можно предположить, что идеальный
диамагнетизм связан с неким особым магнитным свойством
массивного сверхпроводника, и описать идеальный диа-
магнетизм, просто приняв для сверхпроводящего металла
2) Как будет объяснено в приложении А, мы придерживаемся
точки зрения, что магнитное поле лучше всего характеризуется
плотностью потока.
40
ГЛ. 2. ИДЕАЛЬНЫЙ ДИАМАГНЕТИЗМ
р,г = 0, так что плотность внутреннего потока В =
становится равной нулю. Здесь мы не рассматриваем ме-
ханизм, приводящий к диамагнетизму; влияние экра-
нирующих токов включается в утверждение, что = 0.
Напряженность приложенного магнитного поля На равна
а плотность магнитного потока в магнитном веществе свя-
зана с напряженностью приложенного поля соотношением
В = Ио(Яа+7).
Здесь / — намагниченность вещества (иначе называемая ин-
тенсивностью намагниченности). Намагниченность сверх-
проводника, в котором В = 0, должна, следовательно, быть
равна
а магнитная восприимчивость, т. е. отношение намагни-
ченности к напряженности поля, должна быть
Х= —1.
Оба описания полностью эквивалентны, поскольку, как
показано в приложении А, величина I равна соответствую-
щей плотности поверхностного тока /.
Подведем теперь итоги двух альтернативных путей
рассмотрения идеального диамагнетизма.
а)	Диамагнетизм за счет экранирующих токов.
Вещество сверхпроводника, подобно другим металлам,
немагнитно, и приложенное магнитное поле генерирует
в металле поток плотностью Ва. Однако экранирующие
токи создают внутренний магнитный поток, плотность
которого повсюду точно равна по величине и противопо-
ложна по знаку плотности внешнего потока, и, следова-
тельно, суммарная плотность потока равна нулю.
б)	Диамагнетизм массивного сверхпроводника.
Можно считать, что относительная проницаемость ве-
щества = 0, так что плотность магнитного потока,
созданного в нем приложенным магнитным полем, всегда
равна нулю. Вещество ведет себя в магнитном поле таким
образом, как будто в его толще возникает отрицательное
намагничение I = —На-
§ 3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ТОКИ
41
В приложении А показано, что эти оба пути рассмот-
рения идеального диамагнетизма полностью эквивалентны.
Мы будем пользоваться обоими описаниями, выбирая
наиболее удобное из них в каждом конкретном случае.
§ 3. Поверхностные токи
Свойство сверхпроводящего металла выталкивать
магнитный поток из своего объема существенно влияет
на любые текущие по нему электрические токи; они
не могут проходить внутри массивного сверхпроводника,
а могут течь лишь по его поверхности. Чтобы понять,
почему это должно быть так, рассмотрим сверхпроводник,
описываемый приведенными выше соотношениями
(стр. 40). Будем считать, что вещество имеет такую же
относительную магнитную проницаемость, как обычный
металл, т. е. = 1. В любой точке вещества с проницае-
мостью, равной единице, соотношение между магнитным
потоком и током согласно уравнению Максвелла равно
rotB = p0J.	(2.1)
Если металл—сверхпроводник, поток В внутри него равен
нулю и rot В также должен быть равен нулю г). Таким
образом, из уравнения Максвелла следует равенство нулю
плотности тока J внутри сверхпроводника при равном
нулю В. Но нет никаких причин считать В вне сверхпро-
водника равным нулю, и потому, если ток возникает,
он должен протекать по поверхности металла. Это отно-
сится как к токам, идущим по сверхпроводнику от внеш-
него источника типа батареи (мы называем эти токи про-
ходящими токами или токами «переноса»), так и к диа-
магнитным экранирующим токам. Всякий проходящий
ток будет течь по всей поверхности металла и создавать
поток, но не внутри проводника, а вокруг него. В при-
ложенном магнитном поле диамагнитные экранирующие
токи, стремящиеся уничтожить магнитный поток внутри
сверхпроводника, также циркулируют по поверхности.
х) Как будет сказано в приложении А, мы считаем, что J свя-
зано с В, а не с Н. Поэтому из равенства нулю В не обяза-
тельно следует равенство нулю Н.
42
ГЛ 2. ИДЕАЛЬНЫЙ ДИАМАГНЕТИЗМ
Существует интересная и полезная аналогия между
распределением тока на поверхности сверхпроводящего
металла и распределением электростатического заряда
в проводящем теле. Рассмотрим участок поверхности за-
ряженного проводника, изображенный на фиг. 12, а.
В состоянии равновесия внутри проводника Е = 0, но
Линии
_	поля
Лип 1 / пптаи! Г/ /ГУ J1L 7
Фиг. 12. Аналогия между распределением электро-
статического заряда и поверхностного тока.
+ + Ч---электрические заряды; • • • — ток, текущий пер-
пендикулярно плоскости рисунка; а — заряженная поверхность;
б — идеальный диамагнитный ток.
Линии магнитного потока
если имеется поверхностный заряд, он будет создавать
вокруг проводника электрическое поле. Компонента элект-
рического поля, параллельная поверхности, 2?ц, непрерыв-
на вдоль всей поверхности, и, поскольку внутри проводни-
ка Е — 0, то Яц должно быть равно нулю и снаружи вблизи
поверхности. Линии электрического поля должны, таким
образом, пересекать проводник под прямым углом. Сама
поверхность эквипотенциальна, и линии электрического
поля ортогональны этой поверхности. Можно видеть,
что линии поля сходятся ближе в тех местах, где на поверх-
ности имеются выпуклости, так что электрический заряд,
пропорциональный нормальной компоненте поля, будет
концентрироваться в этих местах. На фиг. 12, б изображен
участок сверхпроводящего металла, несущий ток в направ-
лении, перпендикулярном плоскости рисунка. Внутри
идеального диамагнетика В — 0, но если ток течет по по-
верхности, снаружи должен существовать магнитный по-
ток. Компонента В, нормальная к поверхности, непрерывна
вдоль всей границы, так что вблизи поверхности провод-
§ Поверхностные тонн
43
ника все линии потока должны располагаться параллельно
ей. Плотность этого потока пропорциональна плотности
поверхностного тока. Фактически внешнее магнитное поле,
созданное поверхностным током, имеет ту же форму, что
эквипотенциалы, созданные поверхностными зарядами
(фиг. 12, а). Магнитные силовые линии сгущаются вблизи
выпуклых участков, так что в этих местах плотность поверх-
ностного тока должна быть наибольшей. Таким образом,
можно ожидать, что распределение поверхностного тока
на идеально диамагнитном теле аналогично распределению
электрического заряда на заряженном проводнике такой
же формы. Это можно также доказать с помощью чисто
математического анализа.
1. Полый сверхпроводник
В следующих главах нам придется рассматривать
свойства сверхпроводника со сквозной полостью. Хотя тело
сверхпроводника идеально диамагнитно, внутри полости
может существовать магнитный поток.
Рассмотрим, например, длинное полое тело, изобра-
женное на фиг. 13. Это тело образует замкнутый контур.
Мы уже обсуждали свойства замкнутого контура с рав-
ным нулю сопротивлением в § 3 гл. 1. Однако, когда тело
является сверхпроводником, мы должны принять во вни-
мание идеальный диамагнетизм самого вещества.
Предположим прежде всего, что тело, изображенное
на фиг. 13, охлаждено ниже его температуры перехода
в отсутствие внешнего магнитного поля и что после того,
как возникла сверхпроводимость, приложено магнитное
поле с плотностью потока Ва (фиг. 13, а). Вследствие иде-
ального диамагнетизма сверхпроводящего материала плот-
ность магнитного потока внутри него должна быть равна
нулю. Идеальный диамагнетизм сверхпроводящего мате-
риала обусловлен токами циркулирующими по его
внешней поверхности и уничтожающими магнитный поток
в толще металла. Однако поток, созданный этими диамаг-
нитными экранирующими токами, уничтожает также маг-
нитный поток, образованный приложенным полем в поло-
сти, так что в этом случае магнитный поток в ней равен
нулю, и свойства сверхпроводящего тела не отличаются
44
ГЛ. L ИДЕАЛЬНЫЙ ДЙАМАГНЕМгЗМ
от свойств тела с сопротивлением, просто равным нулю;
В обоих случаях ток, индуцированный на внешней поверх-
ности приложенным магнитным полем, уничтожает магнит-
ный поток в полости.
Рассмотрим теперь другую ситуацию, когда поведение
сверхпроводника отличается от поведения тела без сопро-
тивления (т. е. идеального проводника). Предположим, что
магнитное поле приложено до охлаждения тела ниже его
Фиг. 13. Полый сверхпроводник.
а — магнитное поле приложено, когда материал на-
ходится в сверхпроводящем состоянии; б — материал
переходит в сверхпроводящее состояние в приложен-
ном магнитном поле.
температуры перехода. При температурах выше темпера-
туры перехода магнитный поток проходит как через мате-
риал, так и сквозь полость. В случае идеального проводни-
ка такое распределение потока не изменится, когда сопро-
тивление тела обратится в нуль, и никаких токов на поверх-
ности не возникнет. Сверхпроводник, однако, ведет себя
иначе. Ниже температуры сверхпроводящего перехода
вещество станет идеальным диамагнетиком, но, несмотря
на отсутствие магнитного потока в веществе, поток в поло-
сти останется (фиг. 13, б). Циркулирующие токи должны
поддерживать эту разность плотности магнитного потока.
i 4. ГЛУБИНА ПРОНИКНОВЕНИЯ
45
Как мы только что видели, диамагнитные поверхностные
токи id, уничтожающие магнитный поток в сверхпроводя-
щем материале, должны также уничтожить и магнитный
поток в полости, так что, если магнитный поток в ней суще-
ствует, он должен создаваться токами ip, циркулирующими
в противоположном («парамагнитном») направлении по пе-
риферии полости. Таким образом, мы пришли к выводу,
что магнитный поток сквозь полость или сквозь пронизы-
вающую сверхпроводник нормальную область всегда свя-
зан с токами, циркулирующими по границе между этой
областью и сверхпроводником.
Заметим, что суммарный циркулирующий ток ip — id
равен по величине току, создающему магнитный поток,
плотность которого равна разности между плотностью
потока в полости и плотностью потока вне сверхпроводя-
щего тела.
Как мы видели в гл. 1, магнитный поток, пронизываю-
щий любой контур с равным нулю сопротивлением, не мо-
жет изменяться. Следовательно, поток, установившийся
в полости сверхпроводящего тела, а также связанные с ним
циркулирующие токи ip будут сохраняться, даже если
напряженность приложенного магнитного поля изменится
или снизится до нуля.
§ 4. Глубина проникновения
В § 3 гл. 3 мы видели, что идеальный диамагнетизм
сверхпроводника препятствует протеканию электрических
токов через толщу материала. С другой стороны, токи не
могут быть заключены только в поверхности, поскольку
в этом случае токовый слой не имел бы толщины и плот-
ность тока была бы бесконечной, что физически невозможно.
Фактически токи протекают в очень тонком поверхностном
слое, толщина которого порядка 10“б см, хотя точное зна-
чение изменяется для различных металлов. Мы увидим,
что, несмотря на свою малость, эта толщина играет весьма
существенную роль, определяющую свойства сверхпровод-
ника.
Когда сверхпроводящий образец находится в прило-
женном магнитном поле, экранирующие токи, уничтожаю-
щие внутренний поток, должны протекать в этом поверх-
46
ГЛ. 2. ЙДЁАЛЁЙЁ1Й ДЙАЙАЁЙЁТЙЗМ
ностном слое. Следовательно, плотность магнитного потока
не падает резко до нуля на границе металла, а спадает на
протяжении области, в которой циркулируют экранирую-
щие токи. По этой причине толщина слоя, по которому
текут токи, называется глубиной проникновения, поскольку
она соответствует глубине, на которую проникает поток
Фиг. 14. Проникновение магнитно-
го потока в поверхностный слой сверх-
проводника.
внешнего магнитного поля. Таким образом, хотя мы и гово-
рим, что сверхпроводник является идеальным диамагнети-
ком, на самом деле магнитный поток слегка в него прони-
кает, и плотность потока снижается от поверхности вглубь,
как это показано на фиг. 14. (Это несколько напоминает
«глубину скин-слоя», на которую высокочастотные поля
проникают в нормальный проводник.) Рассмотрим границу
полубесконечной пластины, изображенной на фиг. 14.
Если на расстоянии х в глубь металла плотность потока
спадает до величины В (х), то глубина проникновения X
определяется соотношением
оо
j	-(2.2)
О
где В (0) — плотность магнитного потока на поверхности
металла. Другими словами, та же величина магнитного
§ 4 ГЛУБИНА ПРОНИКНОВЕНИЯ
47
потока получалась бы, если бы плотность магнитного
потока оставалась постоянной до расстояния % в глубь
металла.
Из теории сверхпроводимости Лондонов, которую мы
обсудим в следующей главе, следует, что в образце, толщи-
на которого много больше глубины проникновения, плот-
ность магнитного потока спадает экспоненциально при
удалении в глубь металла от его поверхности, т. е.
В (х) = В (0)
Однако при простых вычислениях часто достаточно прибли-
женно считать, что плотность потока В (0) приложенного
поля остается постоянной до расстояния % в глубь металла,
после чего резко падает до нуля.
Поскольку глубина проникновения очень мала, мы не
замечаем проникновения потока при магнитных измерени-
ях на образцах обычных размеров х), и кажется, что они
ведут себя как идеальные диамагнетики с В = 0. Для удоб-
ства мы будем продолжать считать достаточно большие
сверхпроводники идеально диамагнитными и при этом
предполагать наличие очень слабого магнитного потока
у поверхности. Проникновение магнитного потока ста-
новится, однако, заметным, если измерения производить
на маленьких образцах (таких, как порошки или тонкие
пленки), размеры которых сравнимы с глубиной проник-
новения. В этих случаях в металле наблюдается магнитный
поток достаточной плотности; он уже не является идеаль-
ным диамагнетиком, и его свойства отличаются от свойств
массивного сверхпроводящего металла. Особые свойства
образцов малых размеров мы рассмотрим в гл. 8.
1. Зависимость от температуры
Глубина проникновения не является постоянной ве-
личиной, а изменяется с температурой, как показано на
фиг. 15. При низких температурах % почти не зависит от
температуры и имеет значение Ао, характерное для каждо-
го металла (табл. III). Выше примерно 0,8 значения тем-
пературы перехода глубина проникновения быстро
х) Методы, с помощью которых производятся такие измерения,
будут обсуждаться в § 4 гл. 4.
48
ГЛ. 2. ИДЕАЛЬНЫЙ ДИАМАГНЕТИЗМ
возрастает и стремится к бесконечности при приближении
температуры к точке сверхпроводящего перехода.
Фиг. 15. Зависимость глубины проникновения в
олове от температуры [2].
Было найдено, что зависимость глубины проникнове-
ния от температуры с хорошей точностью определяется
соотношением
где t — приведенная температура, t = Т!ТС.
Таблица III
Некоторые значения глубины проникновения
при О К
Элемент	In	Al	Pb
Ю”6 см	6,4	5,0	3,9
Таким образом, образцы вблизи их температуры пере-
хода не являются идеальными диамагнетиками. Однако
глубина проникновения так быстро падает при понижении
температуры ниже Тс, что наблюдать сильные отклонения
от идеального диамагнетизма в массивных образцах очень
трудно, так как очень трудно поддерживать достаточно
постоянную температуру во время измерений. Например,
§ 4. ГЛУБИНА ПРОНИКНОВЕНИЯ
49
чтобы наблюдать глубину проникновения порядка 1 мм,
нужно, согласно (2.3), поддерживать температуру образца
только на 10-7% ниже температуры его сверхпроводящего
перехода! Более того, нужен образец, настолько чистый
и однородный, чтобы переход в сверхпроводящее состояние
происходил в температурном интервале, меньшем 10-7%
температуры сверхпроводящего перехода. Эксперименталь-
ное соотношение (2.3) было получено при наблюдениях
относительно малых изменений глубины проникновения,
когда сверхпроводящий металл нагревался до температу-
ры сверхпроводящего перехода. В одном из экспериментов
[2] на стержень из чистого сверхпроводника плотно нави-
вался соленоид. Когда температура металла снижалась
и он переходил в сверхпроводящее состояние, магнитный
поток в металле мог существовать только в тонком слое
вблизи поверхности, по толщине равном глубине проникно-
вения. Поскольку соленоид очень плотно обвивал стер-
жень, его самоиндукция сильно зависела от глубины про-
никновения. К концам соленоида подключалась емкость,
образуя промежуточный контур осциллятора с частотой
около 100 кГц. Когда с изменением глубины проникнове-
ния изменялась самоиндукция, в осцилляторе наблюдался
частотный сдвиг. Частоту можно было измерять с большой
точностью на прецизионном частотомере.
В экспериментах Шавлова и Девлина частотный сдвиг,
равный 0,1 Гц, был эквивалентен изменению глубины про-
никновения в металлическом сердечнике на 4*10-8 см.
Эксперимент требовал очень тщательных измерений, так
как паразитные эффекты, не связанные с изменением глу-
бины проникновения, могли вызвать изменение резонанс-
ной частоты соленоида и емкости. Температурная зависи-
мость глубины проникновения в олове, найденная в этих
экспериментах, изображена на фиг. 15. Очень быстрый
рост глубины проникновения при приближении к темпе-
ратуре сверхпроводящего перехода находится в хорошем
согласии с (2.3).
В настоящей книге, если это специально не будет ого-
ворено, под глубиной проникновения мы будем понимать
величину Хо, к которой стремится X, когда температура
металла становится заметно ниже температуры его сверх-
проводящего перехода.
4—1205
ГЛАВА 3
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
В этой главе мы получим уравнения, описывающие
свойства магнитных полей и электрических токов в сверх-
проводниках.
§ 1. Свойства, вытекающие из равенства нулю сопротивления
Сверхпроводящие электроны не испытывают сопро-
тивления при движении в сверхпроводнике; поэтому если
в веществе сохраняется электрическое поле Е, то под дей-
ствием этого поля электроны равномерно ускоряются:
Tnvs = eE.	(3.1)
Здесь vs — скорость сверхпроводящих электронов, а т и
е — их масса и заряд1). Если в единице объема находится
п8 сверхпроводящих электронов, движущихся со скоростью
v5, то плотность сверхпроводящего тока равна
Js = nsevs.
Подставляя это выражение в (3.1), мы видим, что элек-
трическое поле вызывает непрерывный рост тока со ско-
ростью
Л = -^-Е.	(3.2)
Чтобы получить уравнение для магнитных полей,
вспомним, что магнитное поле связано с электрическим
полем и током уравнениями Максвелла:
В= — rotE	(3.3)
ij В этой книге символ е обозначает заряд электрона, включая
и знак минус; е = -1,602-10-19 Кл.
$ 1. СВОЙСТВА В б^СУ'ГСТВЙЕ СОЙРОТЙЁЛЕЙЙЙ
51
и
rotH = J + D.	(3.4)
В настоящей главе мы хотим получить уравнения,
связывающие в явном виде поля в сверхпроводниках с те-
кущими по ним токами. Будем придерживаться точки зре-
ния, обсужденной уже в § 2 гл. 2, что массивный сверхпро-
водящий металл, как и все остальные неферромагнитные
металлы, немагнитен, т. е. = 1, так что всякий магнит-
ный поток в этом металле обусловлен текущими по нему
токами. Мы будем также считать (приложение А), что
от токов, текущих в металле, зависит В, но не зависит Н,
и поэтому внутри сверхпроводника уравнение (3.4) можно
заменить на
rot В- р,0 (J54-D).
Здесь Js — плотность тока внутри металла.
Далее, если поле не очень быстро изменяется во вре-
мени, ток смещения Dпренебрежимо мал по сравнению с Js.
Следовательно, для области внутри сверхпроводника мы
можем записать уравнения Максвелла в виде
В = — rotE,	(3.3а)
rotB = p,0Js.	(3.4а)
Подставляя (3.2) в (3.3а), получаем
В=—М
Теперь исключим Js с помощью (3.4а):
Для краткости обозначим постоянную m/p,onse2 символом а;
тогда последнее уравнение примет вид
В = — a rot rot В.	(3.6)
Теперь
rot rot В = grad • div В — V2B,
4*

fJi. 3. ЗЛЕкТкадййАМйкА
но поскольку из уравнений Максвелла div В = О, выра-
жение (3.6) запишется в виде
B = aV2B
или
V2B = —В.
a
(3.7)
Мы получили дифференциальное уравнение, которому
должно удовлетворять В. Чтобы понять смысл этого урав-
Ф и г. 16. Магнитное поле,
приложенное параллельно
границе сверхпроводника.
и для этого случая (3.7)
нения, рассмотрим плоскую гра-
ницу сверхпроводника в одно-
родном магнитном поле, парал-
лельном этой границе (фиг. 16).
Предположим, что плотность
потока вне металла есть Ва, и
направление, нормальное к гра-
нице, обозначим через х. По-
скольку приложенное магнитное
поле однородно, направление В
повсюду одинаково, так что (3.7)
можно рассматривать как ска-
лярное уравнение. Далее, поле
не имеет градиентов в направ-
лении, параллельном границе,
переходит в
= 1 D
дх* “ а ”
(3-8)
Решение этого уравнения имеет вид1)
В(х) = Вае~х/^,	(3.9)
где В (х) — плотность магнитного потока внутри металла
на расстоянии х от границы, а Ва — значение В вне ме-
талла. Это означает, что при углублении в сверхпровод-
ник В падает по экспоненте. Другими словами, изменение
плотности потока происходит только у поверхности, так
х) Существует альтернативное решение Ва exp (+я/“1/а), но оно
стремится к бесконечности с ростом х.
J 2. ТЕОРИЯ ЛОНДОНОВ
55
что на достаточной глубине внутри металла она постоянна,
и значение ее не меняется во времени независимо от того,
что происходит с приложенным полем.
§ 2. Теория Лондонов
Выше мы вывели некоторые свойства с помощью при-
менения обычных законов электродинамики к проводнику
с равным нулю сопротивлением. Однако, хотя уравнение
(3.9) полностью описывает магнитные свойства идеального
проводника, оно не может адекватно описать поведение
сверхпроводника. Эффект Мейсснера показал, что внутри
сверхпроводника плотность магнитного потока не только
постоянна, но его значение всегда равно нулю. Поэтому
не только В, но и само В должны быстро спадать при уда-
лении от поверхности. Ф. и Г. Лондоны [3] предположили,
что уравнение (3.7) может правильно описывать магнитные
свойства сверхпроводящего металла, если применить его
не только к В, но и к самому В, т. е. написать
V2B = J-B.	(3.10)
Если это так, то плотность магнитного потока будет
падать внутри металла так же, как В, т. е., согласно (3.9),
В(х) = Вае~х/^.
Проверка аргументов, с помощью которых мы вывели
(3.7), показывает, что (3.10) можно получить, заменив
всюду В на В. Теперь и (3.5) примет более сжатую форму:
В=—^rotJs.	(3.11)
Это уравнение совместно с уравнением (3.2)
js = -^E,
описывающие электродинамику сверхпроводящего тока,
известны как уравнения Лондонов. Уравнение (3.2) отра-
жает свойство сверхпроводника, связанное с равенством
нулю его сопротивления, т. е. отсутствие электрического
54
ГЛ. 5. ЭЛЁЙТЁОДЙЙАМЙЙА
поля в металле до тех пор, пока не изменился ток, а урав-
нение (3.11) описывает диамагнетизм.
Отметим, что эти уравнения не выведены из фунда-
ментальных свойств и не «объясняют» появление сверх-
проводимости. Уравнения Лондонов — это ограничения,
наложенные на обычные
Фиг. 17. Изменение плотности
магнитного потока вблизи грани-
цы сверхпроводника.
уравнения электромагне-
тизма и введенные с тем,
чтобы свойства, получен-
ные на основании этих за-
конов, согласовывались с
результатами эксперимен-
та.
Уравнения Лондонов
приводят нас к замене (3.7)
на (3.10). Используем те-
перь последнее уравнение
для описания распределе-
ния магнитного потока
внутри сверхпроводника,
когда он находится в одно-
родном магнитном поле с
плотностью потока Ва, при-
ложенном параллельно поверхности металла (фиг. 17).
Тогда можно использовать уравнение (3.10) для одномер-
ного случая
д*В
дх*
iE">-
где В (х) — плотность потока внутри металла на расстоя-
нии х от поверхности. Это уравнение имеет решение
B(x) = Bae-*f^,	(3.12)
где Ва — плотность потока приложенного поля на поверх-
ности. Из уравнения (3.12) следует, что плотность потока
экспоненциально убывает внутри сверхпроводника и на
расстоянии х = У а достигает значения, равного Не от ве-
личины плотности на поверхности. Это расстояние назы-
вают лондоновской глубиной проникновения %l- Если теперь
заменить а на т/цоп8е2, то лондоновская глубина проник-
§ 2. ТЕОРИЯ ЛОНДОНОВ
55
новения становится равной
= <ЗЛЗ>
Подставляя вместо т и е обычные значения для массы и за-
ряда электрона и принимая ns равным примерно 4-1028 м-3
(т. е. обычной концентрации электронов в металле — около
одного электрона проводимости на атом), получаем для
лондоновской глубины проникновения значение, равное
10-6 см.
Теперь мы можем записать (3.12) в виде
В(х)=Вае~х,кь.	(3.14)
Следовательно, уравнения Лондонов предсказывают очень
быстрое экспоненциальное затухание плотности магнитно-
го потока у поверхности сверхпроводника. В гл. 2 мы с по-
мощью (2.2) определили обычную глубину проникновения,
не зависящую от того, по какому закону падает плотность
магнитного потока (по экспоненте или как-нибудь иначе).
Подстановка (3.14) в (2.2) показывает, что лондоновская
глубина проникновения определяемая уравнением (3.13)
и приводящая к экспоненциальному закону (3.14), удов-
летворяет этому общему определению глубины проникно-
вения.
В предыдущей главе отмечалось, что всякий ток в сверх-
проводнике должен течь вблизи поверхности. Для случая,
когда однородное магнитное поле приложено параллельно
поверхности в направлении z (фиг. 16), уравнение (3.4а)
переходит в
дВ Т
Из (3.14)
дВ
дх
Теперь получаем
дх г и у
Вп —
что можно записать в виде
Jv^=Jae~x/KL.
Итак, мы видим, что любой ток протекает вблизи поверх-
ности в слое, ограниченном глубиной проникновения.
56
ГЛ. 3. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Мы уже упоминали, что, согласно двухжидкостной моде-
ли сверхпроводимости (§ 4 гл. 1), концентрация сверх-
проводящих электронов ns уменьшается с повышением
температуры, падая до нуля при температуре сверхпро-
водящего перехода. Согласно уравнениям Лондонов, глу-
бина проникновения обратно пропорциональна т№ [урав-
нение (3.13)] и поэтому должна увеличиваться с температу-
рой, стремясь к бесконечности при приближении к тем-
пературе сверхпроводящего перехода. Как мы уже видели
в § 4 гл. 2, именно это и наблюдается экспериментально.
Теперь мы можем записать уравнения Лондонов (3.11)
и (3.2) в виде
rot Js=----U- в,
js = -4^E.
Роль
Важно отдавать себе отчет, что уравнения Лондонов
не заменяют уравнений Максвелла, которые, конечно, оста-
ются справедливыми для всех токов и всех образованных
этими токами полей. Уравнения Лондонов — это допол-
нительные условия, которым подчиняются сверхпроводя-
щие токи.
В более общем случае полный ток J равен сумме нор-
мального и сверхпроводящего токов
J = Jn 4“ Js*
Нормальный ток должен подчиняться лишь уравнениям
Максвелла и закону Ома
Jn = o'E,
где о' —электропроводность, связанная с нормальными
электронами. Мы можем теперь собрать вместе все урав-
нения, которые описывают сверхпроводящий металл:
J 	Jn -|~ Js, Jn = o'E,	(3.15) (3.16)
rot Js=	7Г в, |Х0ЛЬ	(3-17)
Js	2 E. Но^ь	(3.18)
§ 2. ТЕОРИЯ ЛОНДОНОВ
57
Из этих уравнений мы можем в принципе получить рас-
пределение полей и токов в сверхпроводящих телах, нахо-
дящихся в различных условиях.
В стационарном состоянии, когда поля и токи не изме-
няются во времени, по сверхпроводнику течет только сверх-
проводящий ток, т. е. Зп = 0, нам необходимы лить урав-
нения Лондонов (3.17) и (3.18). Это приводит к уравнению
V*B=4-B
(3.19)
Нужно заметить, что форма (3.10), введенная для опи-
сания распределения плотности магнитного потока внутри
сверхпроводника, была только лишь догадкой, основанной
на известных свойствах сверхпроводников, и мы не должны
ожидать, что выведенные на основе (3.10) уравнения Лон-
донов будут очень точны. Фактически эти уравнения явля-
ются лишь приближениями, хотя они достаточно верны
для многих случаев. Например, уравнения Лондонов пред-
сказывают маленькую глубину проникновения, что и
и наблюдалось экспериментально, однако величина ее ока-
залась вдвое или более выше предсказанной. В гл. 8 мы
обсудим ограничения теории Лондонов и рассмотрим более
совершенную теорию Гинзбурга — Ландау.
1. Применение теории Лондонов
Мы можем в принципе с помощью уравнения (3.19)
найти распределение плотности потока в сверхпроводя-
щем теле, используя при решении этого уравнения гранич-
ные условия, налагаемые формой сверхпроводника и ха-
рактером приложенного магнитного поля. В качестве при-
мера вычислим распределение плотности потока внутри
сверхпроводящей пластины конечной толщины с плоско-
параллельными поверхностями, находящейся в однородном
магнитном поле, направленном параллельно этим поверх-
ностям (фиг. 18). Эта конфигурация еще понадобится нам
в гл. 8. Пусть толщина пластины равна 2а, ось х перпен-
дикулярна плоскостям пластины и начало координат на-
ходится в центре пластины. Поскольку приложенное поле
58
ГЛ. 3. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
однородно,
дВ_(}_ дВ
ду	dz '
и мы можем записать (3.19) в виде
Решением этого уравнения будет
В (х) = Bie+x,KL+В2е"х/Хь	(3.20)
Значения постоянных В{ и В2 получаются из соображений
симметрии: изменения В в обе стороны ( + # и —х) долж-
ны быть одинаковы. Поэтому В^ — В2. Далее, когда
Фиг. 18. Сверхпроводящая пластина в
параллельном магнитном поле.
я=±л, плотность потока равна плотности потока при-
ложенного поля В (±а)=Ва. Теперь (3.20) принимает
вид
5(ж) = йггтг-гсЬ-5Г--	(3-21)
v ' ch(a/XL) Al	v ’
Следовательно, плотность магнитного потока изменяется
как ch (x/%l)’ Ширина образцов обычно много больше глу-
бины проникновения XL, и потому плотность потока очень
низка, за исключением области вблизи поверхностей,
где | х | -> | а |.
ГЛАВА 4
КРИТИЧЕСКОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Как мы увидим в гл. 9, для того чтобы металл оста-
вался в сверхпроводящем состоянии, суммарный импульс
сверхпроводящих электронов не должен превышать неко-
торого определенного значения. По этой причине сущест-
вует предельная плотность тока в любой области проводни-
ка без сопротивления. Назовем эту плотность критической
плотностью тока Jc данного металла. Эта критическая
плотность тока относится как к токам, текущим по образ-
цу от внешнего источника, так и к экранирующим токам,
защищающим образец от внешнего магнитного поля. Мы
покажем, что в результате существования критической
плотности тока сверхпроводящий металл переходит в нор-
мальное состояние, если его поместить в достаточно высо-
кое магнитное поле.
Как мы уже видели, идеальный диамагнетизм сверх-
проводника возникает в силу того, что в приложенном маг-
нитном поле поверхностные токи, текущие без сопротивле-
ния, циркулируют таким образом, чтобы уничтожить маг-
нитный поток внутри сверхпроводника. При повышении
напряженности приложенного магнитного поля экранирую-
щие токи также должны возрастать, чтобы сохранить идеаль-
ный диамагнетизм. Если приложенное поле станет доста-
точно сильным, экранирующие токи достигнут своего кри-
тического значения, и металл потеряет сверхпроводящие
свойства. При этом экранирующие токи исчезают и маг-
нитное поле проникает в металл х). Существует, таким
Переход из сверхпроводящего состояния с идеальным диа-
магнетизмом в немагнитное нормальное состояние является
обратимым. Экранирующие токи, исчезая, не рассеивают
энергии и не генерируют тепла в материале. Фактически,
как мы увидим из термодинамического рассмотрения (§ 2 гл. 5),
если магнитное поле разрушает сверхпроводимость тепло-
изолированного образца, то его температура падает.
60
ГЛ. 4. КРИТИЧЕСКОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
образом, предел напряженности внешнего магнитного поля,
в котором образец остается сверхпроводящим. Это разру-
шение сверхпроводимости достаточно сильным магнитным
полем является одним из наиболее важных свойств сверх-
проводника.
В каждой точке сверхпроводника имеется определен-
ная взаимосвязь между плотностью сверхпроводящего
тока Js и плотностью магнитного потока, хотя их значения
заметны только на глубине проникновения. Эту взаимо-
связь можно получить из уравнений Лондонов (гл. 3).
Ток на поверхности достигает своего критического зна-
чения, когда плотность потока приложенного магнитного
поля (т. е. плотность потока у поверхности) повышается
до определенного значения. Мы можем назвать его «кри-
тической плотностью потока» Ве. Однако плотность потока
вне металла всегда равна |л0#> где Н — напряженность
магнитного поля, так что мы равным образом можем гово-
рить о напряженности критического магнитного поля
Нс = ^с/Но- Вопреки нашей точке зрения, что В в боль-
шей степени, чем Я, является основной магнитной вели-
чиной (приложение А), в литературе обычно говорят о кри-
тическом магнитном поле Нс, а не о критической плотности
магнитного потока Вс. Здесь мы также будем следовать
этому правилу и пользоваться критическим магнитным
полем Нс, помня, однако, что оно всегда связано с кри-
тической плотностью магнитного потока соотношением
Не = .8С/[1О.
§ 1. Свободная энергия сверхпроводника
Как мы выяснили в § 2 гл. 2, намагниченность сверх-
проводника зависит только от значений приложенного
магнитного поля и температуры, а не от последовательно-
сти стадий при достижении этих внешних условий. Это оз-
начает, что независимо от наличия внешнего магнитного
поля сверхпроводящий переход в термодинамическом смыс-
ле является обратимым. Можно поэтому прибегнуть к тер-
модинамическому рассмотрению сверхпроводника, исполь-
зуя температуру и напряженность магнитного поля в ка-
честве термодинамических переменных.
§ 1. СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ СВЕРХПРОВОДНИКА	61
Можно получить некоторые данные о критическом маг-
нитном поле при рассмотрении характера влияния при-
ложенного поля на свободную энергию сверхпроводящего
образца. Нас интересует свободная энергия, поскольку
для любой системы стабильное состояние — это состояние
с наинизшей свободной энергией. При рассмотрении кри-
тического магнитного поля сверхпроводника нас интере-
сует свободная энергия Гиббса, так как мы хотим сравнить
магнитные вклады, вносимые в свободную энергию обеими
фазами — сверхпроводящей и нормальной, когда они нахо-
дятся в одном и том же внешнем поле (т. е. при постоянном
значении интенсивной термодинамической переменной).
Рассмотрим сверхпроводящий образец в форме длинно-
го стержня. (На этой стадии мы выбираем длинный стер-
жень с целью уменьшения до пренебрежимо малой вели-
чины эффектов размагничивания, связанных с концами
образца; эти эффекты будут рассмотрены в § 2 гл. 6.) Когда
образец охлаждается ниже его температуры перехода,
он становится сверхпроводящим. Поэтому ниже темпера-
туры перехода свободная энергия сверхпроводящего со-
стояния должна быть меньше свободной энергии нормаль-
ного состояния, ибо в противном случае металл оставался
бы нормальным. Предположим, что при температуре Т
и в отсутствие приложенного магнитного поля (На = 0)
гиббсовская свободная энергия на единицу объема в сверх-
проводящем состоянии равна gs (Т, 0), а в нормальном
состоянии —• gn (Т, 0) (фиг. 19). Теперь приложим маг-
нитное поле напряженностью На параллельно длине стерж-
ня. В каждом веществе, которое в магнитном поле На при-
обретает намагниченность I, свободная энергия на еди-
ницу объема изменяется на величину х)
На
Ag(^0)=-Ho j IdHa.	(4.1)
о
Таким образом, если поле вызывает положительную на-
магниченность, т. е. намагниченность, совпадающую по
направлению с полем, свободная энергия понижается.
[Из (4.1) следует, что когда вещество намагничивается
внешним магнитным полем, его свободная энергия изме-
х) См. приложение Б.
62
ГЛ. 4. КРИТИЧЕСКОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
няется на величину, пропорциональную площади под кри-
вой его намагничивания (I от На). Этот общий результат
мы будем неоднократно использовать ниже.] В случае
сверхпроводящего образца наложение магнитного поля
вызывает отрицательное намагничивание, которое (если
Фиг. 19. Зависимость свободной энер-
гии Гиббса в нормальном и сверхпро-
водящем состояниях от приложенного
магнитного поля.
пренебречь проникновением поля) уничтожает поток, соз-
данный приложенным полем, так что I = —Н. Свободная
энергия на единицу объема возрастает в связи с этим до
величины
На
ge(T,tf)=ge(r,O) + Ho j \T\dHa.
о
Фактически |1|= Я, так что магнитное поле увеличивает
плотность свободной энергии до
^(Т,Я) = ^(Г,О) + Ио^-.	(4.2)
Таким образом, если мы приложим внешнее магнитное
поле к сверхпроводнику, его свободная энергия благодаря
намагниченности возрастает до величины (4.2) (фиг. 19).
Однако нормальное состояние по существу немагнитно
и приобретает пренебрежимо малую намагниченность во
внешнем магнитном поле. Следовательно, наложение маг-
§ 2. ЗАВИСИМОСТЬ КРИТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ 63
нитного поля, увеличивая свободную энергию сверхпро-
водящего состояния, не изменяет свободной энергии нор-
мального состояния.
Если достаточно увеличить магнитное поле, свободная
энергия сверхпроводящего состояния превысит свободную
энергию нормального состояния, и металл перейдет в нор-
мальное состояние. Это произойдет, когда gs (Г, Н) >
> gn(T. 0), что вместе с (4.2) дает
я2
Но^-> кп(Л 0)-gt(T, о)].
Существует, таким образом, максимальная напряженность
магнитного поля, в котором сверхпроводник может оста-
ваться в сверхпроводящем состоянии. Эта критическая
напряженность магнитного поля, выведенная из термо-
динамических соображений, равна
Нс(Т)^ (Г, 0)-*(Г, 0)]}1/2	(4.3)
и совпадает с критическим полем, полученным при обсуж-
дении критической плотности тока (стр. 59).
Напряженность критического магнитного поля можно
очень просто измерить, если поместить сверхпроводящую
проволоку в магнитное поле, параллельное ее длине, и наб-
людать, при какой напряженности поля в ней появляется
сопротивление.
§ 2. Зависимость критического поля от температуры
Измеряя магнитное поле сверхпроводника, можно
видеть, что оно зависит от температуры (фиг. 20), умень-
шаясь от некоторого значения HQ при очень низких тем-
пературах до нуля при температуре сверхпроводящего
перехода Гс. Кривую на фиг. 20 можно назвать фазовой
диаграммой сверхпроводника. Металл будет находиться
в сверхпроводящем состоянии при любой комбинации тем-
пературы и приложенного магнитного поля, дающей точку
(например, точку Р), лежащую внутри заштрихованной
области. Как указывают стрелки, металл можно перевести
в нормальное состояние, увеличивая либо температуру,
либо магнитное поле, либо и то и другое одновременно.
64
ГЛ. 4. КРИТИЧЕСКОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Значение Яо для каждого сверхпроводящего металла
различно; металлы с низкими температурами перехода име-
ют низкие критические поля при абсолютном нуле. Таким
Фиг. 20. Фазовая диаграмма сверхпровод-
ника, показывающая зависимость критиче-
ского магнитного поля от температуры.
Температура, К
Фи г. 21. Критические поля некоторых сверх-
проводников.
образом, все сверхпроводники имеют различные фазовые
диаграммы (фиг. 21). Экспериментально было обнаружено,
§ 2. ЗАВИСИМОСТЬ КРИТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ 65
что критические поля уменьшаются примерно как квадрат
температуры и кривые критических полей достаточно хоро-
шо аппроксимируются параболами типа
где Но — критическое поле при абсолютном нуле и Тс —
температура сверхпроводящего перехода. Каждый сверх-
проводник характеризуется своими собственными значе-
ниями Hq и Гс, и, зная их, мы можем с помощью (4.4) найти
критическое поле при любой температуре. В табл. IV при-
ведены значения Яо и для сверхпроводящих элементов.
Таблица TV
Сверхпроводящие элементы
Элемент	тс, к	Я0	
		104 А/м	Ге
Алюминий	1,2	0,79	99
Кадмий	0,5	0,24	30
Галлий	1,1	0,41	51
Индий	3,4	2,2	276
Иридий	0,1	—0,16	-20
Лантан { р	4,8 4,9	—	—
Свинец	7,2	6,4	803
Ртуть { р	4,2 4,0	3,3 2,7	413 340
Молибден	0,9	—	—
Ниобий	9,3	Второго рода (гл. 12)	
Осмий	0,7	-0,5	-63
Рений	1,7	1,6	201
Рутений	0,5	0,53	66
Тантал	4,5	6,6	830
Технеций	8,2	—	—
Таллий	2,4	1,4	171
Торий	1,4	1,3	162
Олово	3,7	2,4	306
Титан	0,4	—	—.
Вольфрам	0,01	—	—
Уран	0,6 1,8	—	
Ванадий	5,3	Второго рода (гл. 12)	
Цинк	0,9	0,42	53
Цирконий	0,8	0,37	47
5-1205
66
ГЛ. 4. КРИТИЧЕСКОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Мы должны заметить, что нет никакого фундаменталь-
ного объяснения параболической зависимости критическо-
го поля от температуры. Просто экспериментально было
обнаружено, что ее можно с точностью до нескольких про-
центов описать параболической кривой. Эксперименталь-
ные кривые фактически не являются правильными пара-
болами, и, чтобы описать их точно, необходим полином.
Для большинства вычислений, однако, достаточно исполь-
зовать параболическую зависимость (4.4).
Криотрон
Существование критического магнитного поля исполь-
зуется в управляющих выключателях, называемых крио-
тронами (фиг. 22). Ток J, которым нужно управлять,

Управление
(Nb)
Фиг. 22. Криотрон из тантала и ниобия.
течет по прямой танталовой проволоке, называемой «кла-
паном». Вокруг него навита ниобиевая проволока, не име-
ющая контакта с танталом. Эта проволока образует одно-
слойную катушку, называемую «управление». В жидком
гелии при температуре 4,2 К обе проволоки —- и танта-
ловая и ниобиевая —- становятся сверхпроводящими,
и ток О протекает по клапану, не встречая сопротивления.
Однако, если через управляющую катушку проходит ток Zc,
он создает вдоль ниобиевого клапана магнитное поле, и,
если управляемый ток достаточно велик, клапан под дей-
ствием этого поля переходит в нормальное состояние,
а появившееся сопротивление снижает ток J. Управляю-
щая катушка, однако, остается сверхпроводящей, так как
критическое поле ниобия значительно выше критического
поля тантала. Итак, ток J, текущий через клапан, можно
контролировать меньшим током в управляющей катушке;
§ 3. НАМАГНИЧЕННОСТЬ СВЕРХПРОВОДНИКОВ
67
такое устройство работает по принципу реле. Маленькие
криотроны использовали сначала в качестве быстродей-
ствующих выключателей в счетных машинах. Большие
криотроны можно использовать для управления токами
в сверхпроводящих магнитных контурах (§ 3 гл. 1).
§ 3. Намагниченность сверхпроводников
Обсудим теперь характер изменения намагниченно-
сти сверхпроводящего образца, к которому приложено уве-
личивающееся магнитное поле. Рассмотрим сверхпрово-
дящий стержень, находящийся в магнитном поле, парал-
лельном его длине. На фиг. 23, а показано, как изменяется
Фиг. 23. Магнитные свойства сверхпроводника.
плотность магнитного потока В внутри образца при возра-
стании напряженности приложенного поля. Нормальные
металлы (за исключением ферромагнитных металлов, та-
ких, как железо) фактически немагнитны, и поэтому плот-
ность магнитного потока В внутри них пропорциональна
напряженности приложенного поля В = р,0Яа (пунктир-
ная линия на фиг. 23, а). Сверхпроводник, однако, идеаль-
но диамагнитен (если пренебречь глубиной проникновения),
поэтому при возрастании магнитного поля плотность пото-
ка внутри образца остается равной нулю. Но когда напря-
женность приложенного поля достигает критического зна-
чения Яс, сверхпроводник переходит в нормальное состоя-
ние и магнитный поток внутри сверхпроводника, создан-
ный полем, уже не обращается в нуль. В полях выше кри-
5*
68
ГЛ. 4. КРИТИЧЕСКОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
тического сверхпроводник ведет себя как нормальный ме-
талл. Для чистого образца это свойство обратимо; если
магнитное поле понижается, образец вновь переходит
в сверхпроводящее состояние при поле Нс, ниже которого
магнитный поток внутри образца равен нулю.
Можно описать магнитные свойства сверхпроводника
и другим способом. Мы видели, что внутри металла, нахо-
дящегося в сверхпроводящем состоянии, магнитный поток
равен нулю, так как поверхностные токи, циркулируя,
создают в образце намагниченность /, точно равную по
величине и противоположную по знаку приложенному
полю, так что J ** —На. На фиг. 23, б показано, как изме-
няется намагниченность сверхпроводника в магнитном
поле. Когда напряженность магнитного поля достигает
значения Нс, сверхпроводник переходит в нормальное
состояние и отрицательная намагниченность исчезает.
При более высоких полях сверхпроводник, как и другие
нормальные металлы, по существу не намагничивается.
На фиг. 23 изображены, конечно, две эквивалентные кар-
тины, отражающие одни и те же свойства. Нам в дальней-
шем понадобятся обе кривые, поскольку иногда удобно
рассматривать внутренний магнитный поток, а иногда —
намагниченность.
1.	Неидеальный образец
Рассмотренные до сих пор магнитные свойства относи-
лись к идеальным образцам, т. е. к образцам, не содержа-
щим примесей или дефектов кристаллической структуры.
Любой реальный образец, однако, не является идеальным,
и его свойства до некоторой степени будут отличаться от
рассмотренных нами. Тем не менее при очень большой тща-
тельности возможно изготовить образцы, столь близкие
к идеальным, что их свойства будут также очень близки
к идеальным. Однако чем выше степень всяких неоднород-
ностей, тем больше отклонение свойств образца от идеаль-
ных.
Для идеального образца существует строго определяе-
мое значение критического поля, и кривая намагничива-
ния полностью обратима. На фиг. 24 изображена кривая
намагничивания неидеального образца. Видно, что уже
§ 3. НАМАГНИЧЕННОСТЬ СВЕРХПРОВОДНИКОВ
69
не существует строго определенного значения критического
поля: переход из сверхпроводящего состояния в нормаль-
ное «размыт» на некотором интервале поля.
Кроме того, намагниченность теперь необратима; при
уменьшении полей кривые не совпадают с исходными кри-
выми, полученными при увеличении поля. Это явление
называется гистерезисом. Наконец, когда приложенное
Фиг. 24. Магнитные свойства неидеального сверх-
проводника.
поле уменьшается до нуля, в образце может остаться неко-
торая положительная намагниченность, выражающаяся
в остаточном магнитном потоке с плотностью ВТ и намаг-
ниченности 1Т. Мы говорим, что образец «захватывает
поток». В таких условиях сверхпроводник напоминает
постоянный магнит.
Итак, мы видим, что неидеальный образец может обла-
дать следующими свойствами:
1)	не определяемым четко значением критического маг-
нитного поля;
2)	магнитным гистерезисом;
3)	захваченным потоком.
Эти три отклонения от свойств идеального образца не
обязательно встречаются одновременно. Например, обра-
зец может не обладать четко выраженным критическим по-
лем и обнаруживать гистерезис, но не иметь захваченного
потока. Дефекты, включающие большое число атомов, так
же как частицы других веществ или цепи смещенных ато-
мов (дислокации), приводят к возникновению гистерезиса
70
ГЛ. 4. КРИТИЧЕСКОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
и захваченного потока, в то время как атомы примесей
и неравномерность состава сплава снижают резкость кри-
тического поля.
Вопрос о том, почему различные примеси и неодно-
родности вызывают различные отклонения от идеальных
свойств, очень сложен и полностью пока неясен, поэтому
мы не будем обсуждать его подробнее. Однако все эти эф-
фекты очень существенны в практическом применении
сверхпроводников, и мы снова вернемся к ним в гл. 12.
§ 4. Измерение магнитных свойств
Техника, используемая для измерения магнитных
характеристик сверхпроводников, принципиально не отли-
чается от техники для подобных измерений обычных маг-
нитных веществ, таких, как ферромагнетики, за исклю-
чением того, что она должна быть пригодна для работы
при очень низких температурах. Экспериментальные ме-
тоды можно разделить на две группы: те, в которых магнит-
ный поток В измеряется в образце, и те, в которых изме-
ряется намагниченность образца I (фиг. 23). Каждый из
этих методов обеспечивает получение полной информа-
ции о магнитных свойствах образца, но, смотря по обстоя-
тельствам, можно выбрать тот или другой из них. Для маг-
нитных измерений применяется разнообразная аппаратура
с различной степенью сложности в зависимости от чувст-
вительности, степени автоматизации и т. п. Однако в осно-
ве всей этой техники лежат простые методы, на которых
мы сейчас остановимся.
1. Измерение плотности магнитного потока
Эти измерения очень просты и не требуют примене-
ния в низкотемпературной части прибора никаких дви-
жущихся частей. Принцип заключается в измерении маг-
нитного потока, возникающего в образце при наложении
магнитного поля. На образец X (фиг. 25) наматывается
измерительная катушка С, состоящая из нескольких сот
витков тонкой проволоки. Концы этой катушки соединятся
с баллистическим гальванометром G, находящимся вне
низкотемпературной аппаратуры. Магнитное поле Я,
Фиг. 25. Измерение плотности магнитно-
го потока в сверхпроводнике.
Эрстеды
Фиг. 26. Экспериментальные результаты бал-
листических измерений магнитного потока
в сверхпроводнике (тантал при 3,7 К).
Небольшое фоновое отклонение 6' обусловлено маг-
нитным потоком, создаваемым приложенным магнит-
ным полем в нормальной проволоке измерительной
катушки (Роуз-Инс).
72
ГЛ. 4. КРИТИЧЕСКОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Фиг. 27. Установка для
измерения намагниченно-
сти.
параллельное оси образца, создается соленоидом S. Ког-
да при замыкании цепи включается магнитное поле, бал-
листический гальванометр показывает отклонение, про-
порциональное магнитному потоку через измерительную
катушку С, т. е. отклонение, пропорциональное магнитно-
му потоку В. Следовательно, включая последовательно
увеличивающееся магнитное поле, мы можем определить
зависимость В от Н. На фиг. 26 приведена полученная
таким методом зависимость В от Н. Четко видно критиче-
ское поле #с, при котором обра-
зец перестает быть идеальным
диамагнетиком.
В случае неидеального об-
разца произойдет захват неко-
торого потока, и обратное откло-
нение гальванометра при вы-
ключении поля уменьшится.
Поэтому необходимо регистри-
ровать отклонения гальваномет-
ра как при включении, так и при
выключении поля с целью опре-
деления величины захваченного
потока.
2. Измерение
намагниченности
В этом методе образец вво-
дится в измерительную катушку,
соединенную с баллистическим
гальванометром, и выдергивает-
ся из нее. Отклонение гальва-
нометра будет пропорционально
магнитному потоку, пронизы-
вающему образец, а этот поток
пропорционален намагниченно-
сти образца. Схема прибора изображена на фиг. 27. Образец
X укреплен на конце скользящего стержня R и может пере-
мещаться из верхней измерительной катушки А в нижнюю
катушку В. Катушки А и В одинаковы и намотаны про-
тивоположно друг другу. Для измерения намагниченности
§ 4. ИЗМЕРЕНИЕ МАГНИТНЫХ СВОЙСТВ
73
включается устойчивое магнитное поле требуемой напря-
женности, создаваемое соленоидом 5, и образец быстро
передвигается из катушки А в катушку В. В случае диа-
магнитного образца магнитный поток через катушку А
увеличится, а поток через катушку В уменьшится. Так как
катушки намотаны в противоположных направлениях,
наведенные в них э. д. с. сложатся и баллистический галь-
ванометр покажет отклонение, пропорциональное намагни-
ченности образца. Измерения повторяют в постепенно
повышающемся поле, и в результате можно построить гра-
фик намагниченности образца как функцию напряжен-
ности приложенного магнитного поля. Поскольку катуш-
ки 4 и В намотаны в противоположных направлениях,
ягсбая э. д. с., возникающая при неожиданных флуктуа-
циях внешнего поля, будет уничтожаться, и гальванометр
не будет ее регистрировать.
Одной из черт, характерных для измерений на сверх-
проводниках, является их самокалибровка. При внешних
полях, меньших критического, производная dlldH всегда
равна —1.
Интегрирующий метод
В этом методе (фиг. 28) снова используются две изме-
рительные катушки А и В, намотанные в противоположных
направлениях, но здесь образец неподвижно укрепляется
в одной из катушек. Ток в соленоиде S постепенно и плав-
но повышается, и непрерывно увеличивающееся магнитное
поле воздействует на измерительные катушки. В каждой
из катушек возникает э. д. с., пропорциональная скорости
изменения магнитного потока, пронизывающего эти катуш-
ки, но поскольку в одной из катушек расположен обра-
зец, суммарная э. д. с. % обеих катушек пропорциональ-
на скорости изменения намагниченности образца, т. е.
или
®~dt'
Эта э. д. с. подается в электронное интегрирующее
устройство — контур, в котором выходное и входное
74
ГЛ. 4. КРИТИЧЕСКОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Фиг. 28. Интеграционный метод измерения
намагниченности.
напряжения связаны соотношением Увых — j VBXdt. Таким
образом, на выходе интегрирующего устройства имеем
t
^вых~ ~dtdt = I,
0
т. е. в любой момент времени выходное напряжение инте-
грирующего устройства пропорционально намагниченно-
сти образца.
Преимуществом этого метода измерения намагниченно-
сти является отсутствие необходимости передвигать обра-
зец, но электронное оборудование более сложно, чем аппа-
ратура для первых двух методов.
ГЛАВА 5
ТЕРМОДИНАМИКА СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО
ПЕРЕХОДА
В предшествующих главах мы время от времени
использовали термодинамические соображения для выво-
да некоторых свойств сверхпроводников. В частности, мы
смогли больше узнать о критических магнитных полях,
рассмотрев характер изменения свободной энергии сверх-
проводника при наложении магнитного поля. В настоящей
главе мы обсудим некоторые термодинамические свойства,
которых не будем касаться в других главах книги.
§ 1. Энтропия сверхпроводящего состояния
В гл. 4 мы выяснили, что, хотя плотность свободной
энергии gn металла в нормальном состоянии не зависит
от напряженности приложенного магнитного поля, плот-
ность свободной энергии gs металла в сверхпроводящем
состоянии при наложении магнитного поля возрастает
на величину	Критическое поле Нс — это такая
напряженность поля, которая требуется для увеличения
свободной энергии сверхпроводящего состояния до сво-
бодной энергии нормального состояния. Таким образом,
во внешнем магнитном поле с напряженностью На раз-
ность между свободными энергиями нормального и сверх-
проводящего состояний равна
gn-gs(Ha)=^0(Hl-ITa).	(5.1)
Как показано в приложении Б, свободную энергию маг-
нитного тела можно записать в виде
G = U - TS+ pV-iiQHaM,
где U — внутренняя энергия, S — энтропия, р — дав-
ление, V — объем, На — приложенное магнитное поле
76
ГЛ. 5. ТЕРМОДИНАМИКА СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО ПЕРЕХОДА
и М — магнитный момент. Если давление и напряжен-
ность магнитного поля постоянны, а температура изме-
нится на величину dT, то свободная энергия изменится
следующим образом:
dG = dU —Т dS - S dT+p dV — pJia dM.
Согласно первому закону термодинамики,
dU = Т dS - р dV + Но На dM,
откуда
dG=—SdT, и	.
\dT)PtH
Энтропия на единицу объема равна
Подставляя сюда выражение (5.1), мы получаем для сверх-
проводника1) (так как На не зависит от Т)
Sn-Ss= -ИоЯс^.	(5.2)
Далее, критическое магнитное поле всегда уменьшается
с повышением температуры, так что dHJdT всегда отри-
цательно, и правая часть уравнения (5.2) должна быть по-
ложительной. Следовательно, с помощью простых термо-
динамических рассуждений, примененных к известной
зависимости критического поля от температуры, мы смогли
прийти к заключению, что энтропия сверхпроводящего
состояния ниже энтропии нормального состояния, т. е.
х) На не входит в (5.2) и, так как мы предполагали, что нор-
мальное состояние немагнитно (т. е. его свойства не зависят
от магнитного поля), это уравнение означает, что энтропия
сверхпроводящего состояния не зависит ни от какого внеш-
него магнитного поля. Это строго выполняется, если мы пре-
небрегаем магнитным потоком в тонком поверхностном слое,
равном глубине проникновения. В уравнении (5.1), из кото-
рого получено (5.2), не учтено проникновение потока в сверх-
проводящем состоянии. Уравнение (5.2) применимо к мас-
сивным образцам, т. е. к образцам, размеры которых много
больше глубины проникновения.
§ 1. ЭНТРОПИЯ СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО состояния
77
что степень упорядочения в сверхпроводящем состоянии
выше, чем в нормальном. Это находится в согласии с мик-
роскопической теорией Бардина, Купера и Шриффера
(БКШ) (гл. 9), согласно которой электроны в сверхпро-
воднике «сконденсированы» в сильно коррелированную
систему электронных пар.
Критическое поле Нс падает до нуля, когда темпера-
тура достигает Тс, поэтому, согласно (5.2), разность энт-
ропий между нормальным и сверхпроводящим состояния-
ми при этой температуре обращается в нуль. Кроме того.
Фиг. 29. Энтропия нормального и
сверхпроводящего олова (Кеезом и ван
Лир).
Точки Tt и Т2 относятся к процессу адиабати-
ческого намагничивания, описанного в § 2 гл. 5.
согласно третьему закону термодинамики, sn должно быть
равно $$ также при Т = 0. Пример зависимости энтропии
от температуры изображен на фиг. 29.
Из того факта, что энтропии сверхпроводящего и нор-
мального состояний равны при Т = 0, мы с помощью (5.2)
можем заключить, что dHJdT должна обращаться в 0 при
0 К, поскольку критическое поле Нс 0. Это согласуется
с экспериментальным наблюдением, что для всех сверх-
проводников производная dHJdT (фиг. 20) обращается,
видимо, в нуль при приближении температуры к 0 К.
78
ГЛ. 5. ТЕРМОДИНАМИКА СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО ПЕРЕХОДА
§ 2.	Теплоемкость и скрытая теплота
Понимание свойств сверхпроводников было в значи-
тельной степени почерпнуто из результатов, полученных
при измерении их теплоемкости. Сплошная кривая на
фиг. 30 дает температурную зависимость теплоемкости
типичного сверхпроводника I рода в отсутствие приложен-
ного магнитного поля. На основании формы этой кривой
Температура, К
Фиг. 30. Теплоемкость олова в нормаль-
ном и сверхпроводящем состояниях.
можно сделать несколько выводов, особенно если сравнить
ее с аналогичной кривой для этого же металла в нормаль-
ном состоянии. Такую кривую можно получить, проводя
измерения во внешнем магнитном поле, достаточно высо-
ком, чтобы перевести сверхпроводник в нормальное
состояние.
1.	Переходы первого и второго рода
Форму кривых теплоемкости можно предсказать
из термодинамических соображений.
В силу того что при температуре перехода sn — ss
и s = ~~ (dg/dT)Pt на (см. выше), для перехода из сверх-
§ 2. ТЕПЛОЕМКОСТЬ И СКРЫТАЯ ТЕПЛОТА
79
проводящего в нормальное состояние при Тс имеем
(|) .= (ж) .
\д1 Jn \дТ / s
Фазовый переход, удовлетворяющий этому условию (т. е.
непрерывна не только g, но также и dgldT), называется
фазовым переходом второго рода. Фазовый переход вто-
рого рода характеризуется двумя важными особенностя-
ми: отсутствием скрытого тепла при переходе и скачком
теплоемкости 1). Первое свойство следует немедленно из
того факта, что dQ = Tds и что, как мы видели, при
температуре сверхпроводящего перехода sn = ss. Следо-
вательно, когда происходит переход, энтропия не изме-
няется, а поэтому нет скрытой теплоты. Второе условие
следует из факта, что теплоемкость вещества равна
С =	(5-3)
где и — объем на единицу массы. Таким образом, разность
теплоемкостей сверхпроводящего и нормального состояний
можно получить из (5.2):
С,-Сп = vT^H^ + vT^ (ф)2.	(5.4)
В частности, при температуре перехода Яс=0, и для
перехода в отсутствие внешнего магнитного поля имеем
(^-Сп)тс = рТсИо(^)^.	(5.4а)
Это известная формула Рутгерса, которая предсказывает
величину скачка теплоемкости сверхпроводника при тем-
пературе перехода. Необходимо подчеркнуть, что хотя
в формулу (5.4а) входит член, зависящий от Яс, она
определяет разность теплоемкостей в нулевом поле. Про-
изводная dHJdT определяется свойством самого вещества,
и ее значение не зависит от наличия магнитного поля.
С другой стороны, уравнение (5.4) дает разность тепло-
емкостей в присутствии магнитного поля, когда темпера-
тура сверхпроводящего перехода уменьшается от Тс до Т.
!) О фазовых переходах второго рода см. в [4].
80
ГЛ. 5. ТЕРМОДИНАМИКА СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО ПЕРЕХОДА
Выражения (5.4) и (5.4а) дают возможность сопоставить
экспериментальную кривую критических полей с термо-
динамическими свойствами сверхпроводника. Мы можем,
например, определить величину скачка теплоемкости при
Тс по измерению наклона кривой критических полей.
Кроме того, мы можем получить подтверждение правиль-
ности экспериментально полученных величин, проверив,
удовлетворяют ли они этим уравнениям.
Хотя при сверхпроводящем переходе в отсутствие
внешнего магнитного поля нет скрытой теплоты, в присут-
ствии магнитного поля возникнет скрытая теплота пере-
хода. Скрытая теплота перехода L между двумя фазами
а и Ъ определяется соотношением L = vT (sa — sb), так
что из (5.2) получаем
£=-1>ТИоЯс^.	(5.5)
В отсутствие магнитного поля сверхпроводящий переход
происходит при температуре сверхпроводящего перехода и
Нс = 0, но при наличии магнитного поля сверхпроводя-
щий переход происходит при более низкой температуре Т,
где Нс > 0. Скрытая теплота образуется в силу того,
что при температурах между Тс и 0 К энтропия нормаль-
ного состояния больше энтропии сверхпроводящего
состояния, и для перехода при постоянной температуре
необходима дополнительная теплота. Поэтому в присут-
ствии внешнего магнитного поля переход из сверхпрово-
дящего в нормальное состояние является переходом пер-
вого рода (хотя g непрерывно, dgldT претерпевает разрыв).
2.	Адиабатическое намагничивание
Очень интересное следствие вытекает из того факта,
что при температурах ниже Тс имеется скрытая теплота,
и энтропия нормального состояния больше энтропии
сверхпроводящего состояния. В обычном магнитном мате-
риале приложение магнитного поля уменьшает энтропию,
так как в поле происходит упорядочение атомных диполей.
Это уменьшение энтропии с увеличением напряженно-
сти магнитного поля лежит в основе хорошо известного
метода понижения температуры с помощью «адиабатиче-
§ 2. ТЕПЛОЕМКОСТЬ И СКРЫТАЯ ТЕПЛОТА
81
ского размагничивания», когда температура теплоизоли-
рованного образца падает при понижении приложенного
магнитного поля. Однако приложение достаточно сильного
магнитного поля к сверхпроводящему металлу переводит
его в нормальное состояние, и при данной температуре
его энтропия будет больше энтропии в сверхпроводящем
состоянии. Если образец теплоизолирован, никакое тепло
к нему не подводится, и скрытая теплота перехода должна
поступать от тепловой энергии кристаллической решетки.
Вследствие этого температура падает. Таким образом,
в противоположность парамагнетикам сверхпроводник ох-
лаждается при адиабатическом намагничивании. Ожидаемое
падение температуры можно вывести из графика зависи-
мости энтропии от температуры, аналогичного изобра-
женному на фиг. 29. Если первоначально сверхпроводник
находится при температуре адиабатическое разруше-
ние сверхпроводимости магнитным полем переведет мате-
риал из точки 1 в точку 2, и его температура упадет до Т2-
Хотя Мендельсон и его сотрудники продемонстрирова-
ли, что этим методом можно добиться понижения темпе-
ратуры, он практически не применяется, поскольку по
сравнению с другими методами получения очень низких
температур он обладает рядом недостатков.
3.	Решеточная и электронная теплоемкости
Удельная теплоемкость металла состоит из двух
частей. Нагрев повышает температуру и кристаллической
решетки, и электронов проводимости. Поэтому мы можем
записать теплоемкость металла в виде
С — C*peni Ц- Сэл.
Однако, как мы увидим в гл. 9, свойства решетки (кри-
сталлическая структура, температура Дебая и т. д.) не
изменяются, когда металл становится сверхпроводящим,
и поэтому теплоемкость Ср2Ш должна быть одинакова
как в нормальном, так и в сверхпроводящем состояниях.
Следовательно, разность между значениями удельной
теплоемкости в сверхпроводящем и нормальном состояни-
ях связана только с изменением электронной теплоем-
6-1205
82
ГЛ. 5. ТЕРМОДИНАМИКА СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО ПЕРЕХОДА
кости, т. е.
Св ~	л) S (£*Эл) П •
Вблизи температуры сверхпроводящего перехода при Т <
< Тс теплоемкость в сверхпроводящем состоянии больше,
чем в нормальном. Из этого следует, что при охлаждении
металла в сверхпроводящем состоянии вблизи Тс энтро-
пия его электронов проводимости уменьшается с темпера-
турой быстрее, чем это могло бы происходить в нормаль-
ном состоянии [см. (5.3)]. Следовательно, при охлаждении
сверхпроводника при температуре перехода должна воз-
никать некоторая форма дополнительного упорядочения
электронов, кроме обычного понижения энтропии электро-
нов проводимости, происходящего при охлаждении нор-
мального металла. Это дополнительное упорядочение
повышается при понижении температуры и вносит поэто-
му добавочный вклад в dS/dT, а следовательно, увеличи-
вает и удельную теплоемкость. Как мы видели, сверхпро-
водящий переход в нулевом поле является фазовым пере-
ходом второго рода без скрытой теплоты и без скачка
энтропии при температуре перехода. При температуре
сверхпроводящего перехода происходит лишь изменение
скорости понижения энтропии с ростом температуры.
Двухжидкостная модель была основана на вышеприве-
денных рассуждениях в предположении, что при темпе-
ратуре перехода некоторые электроны проводимости пре-
вращаются в высокоупорядоченные сверхпроводящие
электроны, и их количество приближается к 100% при
понижении температуры до 0 К. Природа этого упорядо-
ченного состояния электронов в сверхпроводящем металле
обсуждается в гл. 9.
Из фиг. 30 видно, что при температурах, которые
существенно ниже температуры перехода, теплоемкость
сверхпроводящего металла падает до очень малой вели-
чины, становясь даже меньше теплоемкости нормального
металла. Как мы видели, разность удельных теплоемко-
стей в сверхпроводящем и нормальном состояниях являет-
ся результатом изменения электронной теплоемкости. Что-
бы определить эту разность удельных теплоемкостей,
нужно выделить величину электронной теплоемкости из
экспериментально измеренных значений полной удельной
§ 2. ТЕПЛОЕМКОСТЬ И СКРЫТАЯ ТЕПЛОТА
83
теплоемкости. Это можно сделать следующим образом:
удельная теплоемкость нормального металла при низких
температурах имеет вид
Сп— С'реш4" (Сэл)п—4“ 7 ^4	(5*6)
где А — постоянная, имеющая для всех металлов одно
и то же значение. Температура Дебая 0 решетки и посто-
янная Зоммерфельда у, являющаяся мерой плотности
электронных состояний на поверхности Ферми, изменяют-
ся от металла к металлу. Мы можем определить вклад
Среш, вносимый в теплоемкость решеткой, следующим
образом. Уравнение (5.6) можно переписать в виде
T“(4')7'2 + V'
так что график зависимостей экспериментально определен-
ных значений CJT от Т2 должен дать прямую линию
с наклоном А/03, отсекающую на оси отрезок, равный у.
Следовательно, проводя измерения на сверхпроводнике
в нормальном состоянии, т. е. в приложенных полях
больших Нс, мы можем определить удельную теплоем-
кость решетки С^ш = А (770)3. Теплоемкость решетки
одна и та же для нормального и сверхпроводящего состоя-
ний, так что, вычитая значение Среш из полной теплоемко-
сти Cs сверхпроводящего состояния, мы можем определить
электронный вклад (Сэл)8.
Трудно получить экспериментально точные значения
удельных темплоемкостей сверхпроводников, так как при
низких температурах удельные теплоемкости очень малы.
Однако в результате тщательных измерений было обнару-
жено, что при температурах, много меньших температуры
сверхпроводящего перехода, электронная теплоемкость
металла в сверхпроводящем состоянии изменяется с тем-
пературой по экспоненциальному закону, а именно
(Сэл)з^
где а и b — постоянные. Такая экспоненциальная зави-
симость свидетельствует о том, что при повышении темпе-
6*
84
ГЛ. 5. ТЕРМОДИНАМИКА СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО ПЕРЕХОДА
ратуры электроны возбуждаются над энергетической
щелью, отделяющей возбужденные состояния от основно-
го. Число электронов, возбужденных над такой щелью,
будет экспоненциально изменяться с температурой. Мы
увидим в гл. 9, что теория сверхпроводимости БКШ
предсказывает существование такой щели в энергетических
уровнях электронов. Теория БКШ также показывает, что
хотя энергетическая щель практически постоянна при
очень низких температурах, она уменьшается при прибли-
жении к температуре сверхпроводящего перехода, обра-
щаясь в нуль при Т = Тс. Это быстрое сужение энергети-
ческой щели вблизи Тс объясняет быстрое увеличение
удельной теплоемкости сверхпроводящего металла при
приближении температуры к Тс.
§ 3.	Механические эффекты
Экспериментально было обнаружено, что темпера-
тура сверхпроводящего перехода и критическое магнитное
поле сверхпроводника слегка изменяются при механиче-
ском напряжении материала. Многие механические свой-
ства сверхпроводящего и нормального состояний термо-
динамически связаны с их свободными энергиями, и мы
видели, что напряженность критического магнитного поля
зависит от разности свободных энергий обоих состояний.
Следовательно, если известно, что критическое поле слег-
ка меняется, когда материал напряжен, из термодинами-
ческих соображений следует, что механические свойства
в сверхпроводящем и нормальном состояниях должны
быть слегка различны. Например, когда нормальный
материал становится сверхпроводящим, происходит очень
малое изменение его объема. Коэффициент теплового рас-
ширения и объемный модуль упругости должны быть
также слегка различными в сверхпроводящем и нормаль-
ном состояниях. Можно вывести выражение для этих
эффектов с помощью прямых термодинамических пре-
образований х), но величины эффектов крайне малы,
и в этой книге мы их рассматривать не будем.
!) См., например, [5].
§ 5. ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ
85
§ 4.	Теплопроводность
Когда металл переходит в сверхпроводящее состоя-
ние, его теплопроводность изменяется. Большая часть
теплового потока вдоль нормального металла, находящего-
ся при температурном градиенте, переносится электронами
проводимости. Однако в сверхпроводящем состоянии
сверхпроводящие электроны уже не вступают во взаимо-
действие с кристаллической решеткой и не обмениваются
с ней энергией, поэтому они не могут переносить тепло
из одной части образца в другую. Следовательно, когда
металл переходит в сверхпроводящее состояние, его тепло-
проводность понижается. Этот эффект может быть очень
заметен при температурах значительно меньше крити-
ческой, когда остается очень мало нормальных электро-
нов, способных переносить тепло. Например, при 1 К
теплопроводность свинца в сверхпроводящем состоянии
примерно в 100 раз меньше теплопроводности металла
в нормальном состоянии.
Однако если сверхпроводимость разрушается прило-
женным магнитным полем, теплопроводность восстанавли-
вается, достигая своего значения в нормальном состоянии.
Следовательно, теплопроводностью сверхпроводника мож-
но управлять с помощью магнитного поля, и этот эффект
используется в «тепловых выключателях», когда при
низких температурах устанавливается и прерывается
тепловой контакт между образцами, соединенными сверх-
проводящим звеном.
§ 5.	Термоэлектрические эффекты
Как экспериментально, так и теоретически было
найдено, что в сверхпроводящем металле не возникает
термоэлектрических эффектов. Например, в контуре,
состоящем из двух различных сверхпроводников, не воз-
никает никакого тока, если оба контакта находятся при
разных температурах, лежащих ниже точек их сверхпро-
водящих переходов. Если бы возникали термо-э. д. с.,
сложилась бы странная ситуация, при которой ток увели-
чивался бы до своего критического значения при сколь
угодно малой разности температур. Из соотношений Том-
86
ГЛ. 5. ТЕРМОДИНАМИКА СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО ПЕРЕХОДА
сона следует, что при отсутствии в сверхпроводящем кон-
туре термо-э. д. с. коэффициенты Пельтье и Томсона долж-
ны быть одинаковы для всех сверхпроводящих металлов;
фактически они равны нулю.
Поскольку термоэлектрические постоянные всех сверх-
проводящих металлов одинаковы, сверхпроводники можно
в принципе использовать в качестве эталонов, по сравне-
нию с которыми можно определять постоянные других
металлов. Абсолютные значения термоэлектрических коэф-
фициентов нормальных металлов можно измерять в конту-
ре, состоящем из данного металла и из любого сверхпро-
водника.
Термоэлектрические эффекты отсутствуют лишь у сверх-
проводников, рассматриваемых в части I настоящей
книги, т. е. у сверхпроводников I рода. В сверхпроводни-
ках II рода могут наблюдаться термоэлектрические эффек-
ты (часть II книги).
ГЛАВА 6
ПРОМЕЖУТОЧНОЕ СОСТОЯНИЕ
До сих пор, рассматривая переходы из сверхпрово-
дящего в нормальное состояние, происходящие под влия-
нием магнитного поля, мы ограничивались случаями,
когда краевые эффекты несущественны. Мы считали, что это
условие будет выполнено для образцов в форме длинных
тонких стержней. В настоящей главе мы обсудим, что
произойдет, если снять это ограничение и считать форму
образцов произвольной.
§ 1.	Размагничивающий фактор
Рассмотрим сверхпроводящую сферу, помещенную
в однородное магнитное поле На. Как мы видели, линии
магнитного потока выталкиваются из сферы диамаг-
нитными экранирующими токами (фиг. 9). Покажем
теперь, что значение напряженности магнитного поля
внутри сферы Hi превышает значение На, которое суще-
ствовало бы в отсутствие сферы.
Предположим, что поле На создается соленоидом
(фиг. 31). Одно из основных свойств вектора магнитного
поля Н заключается в том, что его контурный интеграл
по любой замкнутой кривой равен числу ампер-витков,
охватываемых этой кривой (приложение А). Если приме-
нить это правило к замкнутому пути ABCDEF, то полу-
чим H-dl = Ni, где N — полное число витков соленои-
да, a i — ток через каждый виток. Мы можем написать
<^Н.(й= j Hrdl+ J He.dl = 2Vi,
AB	BCDEFA
88
ГЛ. 6. ПРОМЕЖУТОЧНОЕ СОСТОЯНИЕ
где Hj —поле внутри сферы и Не —поле в любой точке
вне сферы. Если теперь удалить сферу, контурный инте-
грал по-прежнему будет равен Ni, и
= j Ho.<fl+ J	B'e-dl — Ni,
AB	BCDEFA
где поле между А и В в отсутствие сферы по определе-
нию есть На, а Щ — поле в любой точке вне АВ, когда
удалена сфера. Следовательно,
j Hrdi+ j нв.л= j Ha.di+ j н;.д. (6.1)
AB	BCDEFA	AB	BCDEFA
Теперь, сравнивая He и Н'е в точке X на оси соленоида
(фиг. 31), видим, что Не, безусловно, меньше Н'е, так как
Фиг. 31. Сверхпроводящая сфера в соленоиде.
Напряженность поля в точке X вблизи сферы меньше напря-
женности, которая была бы в отсутстзие сферы, а напряжен-
ность поля в точке У, удаленной от сферы, по существу не ме-
няется. Контурный интеграл Н вдоль пунктирной линии не за-
висит от присутствия сферы, так что напряженность поля вну-
три сферы должна превышать приложенное поле На.
влияние экранирующих токов распространяется за пре-
делы сферы и искажает магнитные силовые линии (ср.
с фиг. 9). Но в точках, удаленных от сферы, таких, как У,
эффект присутствия сферы пренебрежимо мал и Не =
= Н’е. Следовательно, Не повсюду меньше или равно
Н'е, а из (6.1) следует, что Hi должно быть больше, чем На.
Другими словами, хотя внутри сферы плотность магнитно-
§ 1. РАЗМАГНИЧИВАЮЩИЙ ФАКТОР
89
го потока равна нулю, в силу наличия экранирующих
токов напряженность магнитного поля внутри сферы
превышает напряженность приложенного поля На.
Это частный случай хорошо известной проблемы магне-
тостатики, а именно: каким образом магнитное тело про-
извольной формы намагничивается в однородном магнит-
ном поле. Если не говорить о длинном тонком теле или
тороиде, поле внутри тела отличается от приложенного
поля. В случае диамагнитного тела, как, например, сверх-
проводника, внутреннее поле превышает приложенное
поле, а в случае парамагнитного тела — внутреннее поле
меньше приложенного поля. Эта разница существенна
только для сильно намагничивающихся тел, таких, как
сверхпроводники и ферромагнетики. Поскольку истори-
чески изучение ферромагнетизма предшествовало изуче-
нию сверхпроводимости, это явление рассматривалось
как размагничивание, и говорят, что намагничивание тела
создает размагничивающее поле.
Для тела произвольной формы распределение поля
сложно, но для эллипсоида оно принимает простую форму.
Частный случай эллипсоида — сфера — рассмотрен в боль-
шинстве учебных пособий по электромагнитной теории
(см., например, [6]). В случае эллипсоида вращения
с осью вращения, параллельной приложенному полю На,
внутреннее поле однородно, параллельно приложенному
полю и определяется соотношением
(6.2)
где I — намагниченность и п — размагничивающий фак-
тор тела. Для вытянутого эллипсоида
где е — эксцентриситет. В случае сферы п = х/3. Можно
также показать, что для бесконечно длинного цилиндра
с осью, перпендикулярной На, п = х/2, а если ось парал-
лельна Нв, то п = 0. Стержень, длина которого не очень
велика по сравнению с диаметром, находящийся во внеш-
нем поле, параллельном его оси, а также плоский диск,
перпендикулярный приложенному полю, можно вполне
удовлетворительно аппроксимировать вписанным в них
90
ГЛ. 6. ПРОМЕЖУТОЧНОЕ СОСТОЯНИЕ
эллипсоидом. В частном случае сверхпроводника I =
= — Hi и (6.2) принимает вид
На поверхности сверхпроводника тангенциальная ком-
понента Н непрерывна, и, поскольку внутреннее поле
параллельно приложенному полю, напряженность внеш-
него поля на экваторе вблизи поверхности равна напря-
женности внутреннего поля Hi. Поэтому внешнее поле
у экватора больше приложенного поля (фиг. 31) и равно
HJ{i — п). В случае сферы напряженность внешнего
поля у экватора равна 3/2Яа, а в случае длинного цилин-
дрического стержня в поперечном поле она равна 2На
(этот случай мы рассмотрим в гл. 7).
§ 2.	Переход в магнитном поле при п =/= 0
Посмотрим, что произойдет со сверхпроводящей сфе-
рой при постепенном повышении На. На первый взгляд
можно предположить, что, когда На достигнет значения
Н'с, равного (1 — п) Яс, при котором внутреннее поле Hi
станет равно критическому полю Яс, сфера перейдет
в нормальное состояние. Но если бы это имело место,
I должна была бы обратиться в нуль, так как в нормаль-
ном состоянии восприимчивость равна нулю, и мы полу-
чили бы Hi = На = Нс, что меньше, чем Нс- Возникла бы
невозможная ситуация полностью нормального тела
в поле, меньшем Нс- Этот парадокс можно разрешить,
допустив, что, когда Hi становится равным Нс, возможно
равновесное сосуществование сверхпроводящих и нор-
мальных фаз аналогично тому, как жидкость может
сосуществовать со своими парами, если давление равно
давлению насыщенных паров. Для упрощения предполо-
жим, что, когда Hi достигает значения Нс, сфера рас-
щепляется на нормальные и сверхпроводящие слои,
параллельные приложенному полю (фиг. 32). Некоторые
линии магнитного потока огибают сферу, а другие прохо-
дят через ее нормальные области. Если окажется, что
свободная энергия Гиббса конфигурации, изображенной
на фиг. 32, ниже обеих свободных энергий — чисто сверх-
§ 3. ГРАНИЦА МЕЖДУ ОБЛАСТЯМИ
91
проводящего и чисто нормального состояний, то такая
система из чередующихся сверхпроводящих и нормаль-
ных областей (или какая-либо подобная конфигурация)
будет находиться в равновесии при Н'с< На< Нс. Мы
увидим, что в данном случае это действительно так и что
во всей этой области полей Hi остается равным Нс. Подоб-
ная конфигурация из нормальных и сверхпроводящих
Фиг. 32. Расщепление сферы в магнитном поле на нор-
мальные и сверхпроводящие слои.
областей известна как промежуточное состояние и являет-
ся характерной особенностью переходов в магнитном поле
любого тела, размагничивающий фактор которого не равен
нулю. Принятая нами модель, в которой нормальные
и сверхпроводящие области являются плоскопараллель-
ными слоями, предельно упрощена. В общем случае тело
расщепляется на нормальные и сверхпроводящие слои
очень сложным образом. Тем не менее эта простая модель
выявляет неожиданным образом большую часть основных
свойств промежуточного состояния.
§ 3.	Граница между сверхпроводящей и нормальной
областями
Прежде чем перейти к детальному обсуждению про-
межуточного состояния, рассмотрим условия, возникаю-
щие при наличии стационарной границы между нормаль-
ной и сверхпроводящей областями. Предположим, что
напряженность магнитного поля в нормальной области
есть Я, так что плотность магнитного потока В в нормаль-
ной области равна ррЯ. Фундаментальное свойство векто-
92
ГЛ. 6. ПРОМЕЖУТОЧНОЕ СОСТОЯНИЕ
ра плотности магнитного потока В состоит в том, что его
компонента, перпендикулярная любой границе между
двумя средами, непрерывна, а две фазы играют в данном
случае роль двух сред, поскольку речь идет о их магнит-
ных свойствах. В сверхпроводящей области вектор В
повсюду равен нулю; следовательно, в нормальной области
не может быть компоненты вектора В, перпендикулярной
границе, и со стороны нормальной фазы векторы В и Н
должны быть направлены параллельно границе. Другими
словами, границы между нормальными и сверхпррводЯ’
щими областями должны располагаться параллельно ло-
кальному направлению магнитного поля.
Имеется также существенное ограничение величины
напряженности магнитного поля на границе. Компонента
вектора Н, параллельная какой-либо границе между двумя
различными магнитными средами, должна быть непре-
рывна, а мы показали, что фактически Н параллельна
границе со стороны нормальной области. Следовательно,
величина Н должна быть одинаковой с обеих сторон
границы. На границе величина Н должна быть равна Нс.
Если бы эта величина была меньше Яс, материал с нор-
мальной стороны мог бы снизить свою свободную энергию,
перейдя в сверхпроводящее состояние. С другой стороны,
напряженность поля на границе не может превысить Нс,
иначе материал со сверхпроводящей стороны перейдет
в нормальное состояние. Мы видим, таким образом, что
стационарная граница может существовать только в ме-
стах, где напряженность поля точно равна Яс. Там где
возникает такая стационарная граница, плотность маг-
нитного потока со стороны нормальной фазы будет равна
р0Яс. (Ниже мы увидим, что это ограничение величины Н
должно быть слегка видоизменено, если существует
«поверхностная энергия», связанная с границей между
нормальной и сверхпроводящей областями.)
§ 4.	Магнитные свойства промежуточного состояния
Рассмотрим теперь магнитные свойства тела, рас-
щепившегося на нормальные и сверхпроводящие области
таким образом, как это изображено на фиг. 32. Прежде
всего необходимо знать эффективное значение В внутри
§ 4. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ПРОМЕЖУТОЧНОГО СОСТОЯНИЯ 93
такого тела. Пусть тело имеет эллипсоидальную форму,
так что его размагничивающий фактор равен п. Эффектив-
ное значение В равно плотности магнитного потока,
усредненной по области, размеры которой велики по
сравнению с поперечным сечением нормальных и сверх-
проводящих слоев. Другими словами, эффективное значе-
ние В, которое мы обозначим как В, есть просто полный
поток, проходящий через эллипсоид, разделенный на
площадь его максимального поперечного сечения. По-
скольку плотность магнитного потока в сверхпроводящих
областях равна нулю, то 5 =«= т)Вп, где Вп — локальная
плотность потока в нормальных областях и т) -* часть
поперечного сечения, относящаяся к нормальным обла*
стям. Из фиг. 32 видно, что
Т]==-^—.
ХП~{~Х8
Кроме того, в нормальных областях Вп = р0Нь где
Hi — внутреннее поле, так что В = rjpoB^. Если считать,
что эллипсоид обладает эффективной относительной вос-
приимчивостью рг, так что В = ргр0Яь то р = т]. Пусть
средняя намагниченность эллипсоида I = В/р0 — Ht.
Тогда
Ht = Ha-nI^Ha-n (--Hi} =
\Ро /
= Яо-п(П-1) Ht,
или
тг ___ на
1 l + n(T)-l)-
(6-3)
Мы уже отмечали, что нормальная и сверхпроводящая
фазы могут сосуществовать только в том случае, если
магнитное поле равно Яс; поэтому предположим, что тело
расщепляется таким образом, что 1Ц = Нс. Если Hi =
= Нс, то из (6.3) можно получить т] для любого значения
Яд, лежащего между Н'с и Нс. Для всех значений На1
лежащих в этой области, величина т), полученная с по-
94
ГЛ. 6. ПРОМЕЖУТОЧНОЕ СОСТОЯНИЕ
мощью (6.3), дает значение В. а следовательно, и значе-
ние /, которое как раз соответствует случаю, когда Нг
равно Нс, так что равенство Hi — Нс является самосогла-
сованным.
Полезно построить график зависимости т), В и I
от напряженности приложенного поля На. Эти зависимо-
Ф и г. 33. Зависимость от приложенного магнитного
ноля:
а — напряженности внутреннего магнитного поля; б — отно-
сительной эффективной проницаемости; в — эффективной плот-
ности потока; г — интенсивности намагниченности.
сти изображены на фиг. 33. График а, изображающий
зависимость I от На, особенно важен для практических
целей, так как полный магнитный момент тела, который
часто определяют в экспериментах, равен VI.
§ 5.	Свободная энергия Гиббса в промежуточном состоянии
Чтобы найти функцию Гиббса G для промежуточного
состояния, положим сначала На ~ 0, так что G (0) = Vgs (0),
и используем результат dG— — \j^MdHa, где M = VI —
§ 5. СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ ГИББСА В ПРОМЕЖУТОЧНОМ СОСТ. 95
полная намагниченность тела1). Следовательно,
На
=	р0М(Ша.
о
Нужно рассмотреть три области интегрирования:
1)	0<Яа<(1-п)Яс.
В этой области напряженностей поля сфера полностью
сверхпроводящая, и/- — Следовательно,
С(Я.) = Гй(0) + ^)-
2)	(1 —п)Яс<Яо<Яс.
Сфера находится в промежуточном состоянии, и 1 =
= B/nQ — Hi.
Следовательно,
7=(п-1)Я<=(п-1)Яс
В этой области
G (На) = Vgs(0) +	[Яа (2—g*-) -Яс (1 -п)].
3)	Яа>Яс.
Сфера полностью находится в нормальном состоянии,
и 1 = 0. Здесь
G (На) = Vgs (0) + 4	= Vgn (0).
Из зависимости G от На, показанной на фиг. 34, ясно
видно, что при Н'с < На < Не промежуточное состояние
(для случая простой модели плоскопараллельных слоев)
имеет более низкую энергию, чем чисто сверхпроводящее
или чисто нормальное состояние.
Нужно отметить, что, поскольку компоненты магнит-
ного поля, параллельные границе между двумя средами,
одинаковы по обе стороны границы и поскольку к тому же
х) Заметим, что в выражение для dG входит dH„, а не dH:
(см. [4], стр. 26).
96
ГЛ. 6. ПРОМЕЖУТОЧНОЕ СОСТОЯНИЕ
Hi однородно и равно Нс при (1 -п)Нс<На< Нс,
внешнее поле у экватора (АА' на фиг. 32) равно Нс всякий
раз, когда сфера находится в промежуточном состоянии.
Некоторые авторы вводят промежуточное состояние,
аргументируя это тем, что образец не должен находиться
Фиг. 34. Зависимость свободной энергии
Гиббса от На для тела с коэффициентом
размагничивания, отличным от нуля.
в чисто сверхпроводящем состоянии, когда напряжен-
ность внешнего поля у экватора становится равной Нс.
Эта точка зрения отличается от использованной выше,
но мы предпочитаем подход, связанный с отысканием
наинизшей свободной энергии.
§ 6.	Экспериментальное наблюдение промежуточного
состояния
Доменная структура в промежуточном состоянии
была экспериментально обнаружена многими исследова-
телями. Первыми из них были Мешковский и Шальников,
которые с помощью очень маленького висмутового датчи-
ка изучали распределение магнитного поля в узком зазоре
между двумя оловянными полусферами диаметром 4 см
(сопротивление висмута очень чувствительно к магнитно-
му полю). В непосредственно прилегающей к нему области
полусферы висмутовый датчик измерял локальное значе-
ние В, которое равнялось нулю в сверхпроводящих доме-
нах, а в нормальных доменах было равно Получен-
ные результаты изображены на фиг. 35, где нормальные
§ 6. НАБЛЮДЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНОГО СОСТОЯНИЯ
97
области заштрихованы. Оказалось, что нормальные обла-
сти состоят частично из радиальных слоев и частично
из почти цилиндрических нитей, т. е., как можно было
предположить, принятая в § 3 гл. 6 ламинарная модель
слишком проста.
В других методах для наблюдения промежуточного
состояния использовалось либо свойство ферромагнитных
о 1см
I, I I I I I I I. UAJ
Фиг. 35. Структура промежуточного состояния
оловянной сферы (Г = 2,85jK, На = 0,7Яс).
Заштрихованы нормальные области (Мешковский).
порошков скопляться в областях с высокой плотностью
магнитного потока, а сверхпроводящих (диамагнитных)
порошков собираться в областях с низкой плотностью
магнитного потока, либо способность парамагнитного
стекла вращать в магнитном поле плоскость поляризации
поляризованного света (эффект Фарадея). Большинство
экспериментов по наблюдению промежуточного состояния
было выполнено на пластинках, которые имеют в перпен-
дикулярном поле значение и, очень близкое к единице.
Аппроксимируя круглую пластину радиусом а и толщиной
t вписанным в нее эллипсоидом, можно показать, что
п ж 1 — t/2a, так что поле, равное Нс (1 — п), является
очень низким полем, и почти любое значение На достаточ-
но для перевода пластинки в промежуточное состояние.
Одна из прекрасных фотографий промежуточного состоя-
7—1205
98
ГЛ. 6. ПРОМЕЖУТОЧНОЕ СОСТОЯНИЕ
ния, полученных Фабером на алюминиевых дисках, изо-
бражена на фиг. 36. Диски покрывались оловянным
порошком, и сверхпроводящее олово скапливалось в обла-
стях с низкой напряженностью магнитного поля, т. е.
Фиг. 36. Промежуточное состояние алюминиевого диска толщи-
ной 0,47 см в магнитном ноле, перпендикулярном поверхности
(Я = 0,65Яс, Т = 0,92Тс).
Покрытые оловянным порошком темные линии соответствуют сверхпроводя-
щим областям (Фабер).
на участках, прилегающих к сверхпроводящим алюми-
ниевым доменам. Видна слоистость структуры нормальных
доменов, причем слои не являются плоскими, а образуют
характерную конфигурацию.
§ 7.	Абсолютный размер доменов ц роль поверхностной
энергии
Из простого анализа, проведенного в § 4 гл. 6,
видно, каким образом соотношение ширины сверхпрово-
дящих и нормальных областей зависит от приложенного
§ 7. АБСОЛЮТНЫЙ РАЗМЕР ДОМЕНОВ
99
магнитного поля, но для рассмотренной модели ничего
не известно об абсолютном размере этих областей, посколь-
ку функции Гиббса зависят только от полного количества
нормального или сверхпроводящего материала, т. е. от
отношения xjxn.
Для обсуждения факторов, определяющих абсолютное
значение xs или хп, необходимо ввести новую концепцию
о возможности существования поверхностной энергии меж-
ду нормальной и сверхпроводящей фазами. Другими сло-
вами, мы рассмотрим возможность того, что для образо-
вания границы между двумя фазами может понадобиться
дополнительная энергия. Такая концепция весьма обычна
в физике; поверхностное натяжение, существующее на
границе между жидкостью и ее парами, является очевид-
ным тому примером, и хорошо известна роль поверхно-
стного натяжения, определяющего равновесный размер
маленьких капелек. Предположим сейчас, что такая энер-
гия существует, и отложим до § 9 вопрос о том, каким
образом она возникает. Качественно легко видеть, как
такая поверхностная энергия может определять структуру
промежуточного состояния. Поверхностная энергия вне-
сет в энергию Гиббса добавочный вклад, пропорциональ-
ный общей площади границы между нормальной и сверх-
проводящей фазами. Бели этот вклад положителен, то
свободная энергия уменьшится за счет того, что площадь
границы между фазами станет по возможности наимень-
шей, т. е. образуется всего несколько толстых доменов.
С другой стороны, если поверхностная энергия отрица-
тельна, т. е. если при образовании границ между фазами
освобождается некоторая энергия, то для тела энергетиче-
ски выгодно расщепиться на большое число тонких доме-
нов, чтобы площадь границы была как можно больше.
Фактически если поверхностная энергия отрицательна,
то сверхпроводник в магнитном поле будет стремиться
расщепиться на нормальные и сверхпроводящие области
даже в отсутствие размагничивающих эффектов без про-
явления истинного эффекта Мейсснера. Именно наличие
эффекта Мейсснера в таких чистых сверхпроводниках,
как свинец или олово, привело Лондона к предположению,
что у этих сверхпроводников должна существовать поло-
жительная поверхностная энергия^
7*
100
ГЛ. 6. ПРОМЕЖУТОЧНОЕ СОСТОЯНИЕ
Энергия на единицу площади границы между сверх-
проводящими и нормальными областями обозначается
обычно через а, и математические выкладки часто упро-
щаются, если поверхностную энергию выражать через
характеристическую длину А, такую, что а ^^(ЛоЯ^Д.
Точный анализ доменной структуры промежуточного
состояния является трудной теоретической задачей, и мож-
но пытаться решить ее, только сделав некоторые пред-
положения о форме доменов. Случай плоского диска
в перпендикулярном поле был рассмотрен Ландау и Купе-
ром в предположении ламинарной структуры доменов.
Оба они нашли, что отношение толщины сверхпроводящих
областей xs к толщине диска d будет порядка (Д/й)1/»//^
где h = HJHC. На практике для таких сверхпроводников,
как свинец или олово, было найдено, что Д 5*10“5 см,
так что для диска толщиной 1 см в перпендикулярном
магнитном поле, величина которого близка к критическо-
му, отношение xsld « 10~2, или х8 л 10~2 см. Если напря-
женность поля составляет г/10 напряженности критическо-
го поля, то х8 & 10-1 см. Экспериментальное наблюдение
размеров доменов в промежуточном состоянии послужило
одним из первых способов измерения поверхностной энер-
гии.
§ 8.	Восстановление сопротивления проволоки в поперечном
магнитном поле
Как мы видели в гл. 4, сопротивление в длинном
сверхпроводящем цилиндре, находящемся в магнитном
поле, параллельном его оси, восстанавливается внезапно:
когда приложенное поле достигает значения Нс, и при
благоприятных обстоятельствах этот переход может быть
очень резким. Если поле приложено перпендикулярно
оси цилиндра, зависимость сопротивления от поля будет
совершенно иной; типичный пример такой зависимости
изображен на фиг. 37.
Остановимся на трех существенных моментах:
1.	Сопротивление начинает восстанавливаться, когда
На слегка превышает 0,5Яс. Это понятно, поскольку
проволока переходит в промежуточное состояние, что
в случае цилиндра происходит при полях, больших 0,5Яс.
Мы должны предположить, что домены представляют собой
§ 8. ВОССТАНОВЛЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРОВОЛОКИ
101
что-то вроде слоев, перпендикулярных оси проволоки, так
что не возникает непрерывного сверхпроводящего пути
от одного конца проволоки до другого.
Неизменное появление сопротивления в полях, слегка
превышающих 0,5Яс, можно понять, если учесть суще-
ствование поверхностной энергии. Из анализа (§ 5 гл. 5),
в котором пренебрегали поверхностной энергией, следует,
На/Нс
Фиг. 37. Восстановление сопротивления
проволоки поперечным магнитным полем.
что промежуточное состояние должно устанавливаться
при На = (1 — п) Нс. Если имеется положительная по-
верхностная энергия, то в промежуточном состоянии
в свободную энергию Гиббса будет вноситься дополни-
тельный вклад, и поэтому только в поле Яо, большем,
чем (1 — п) Яс, свободная энергия промежуточного состоя-
ния станет ниже свободной энергии чисто сверхпроводя-
щего состояния х).
х) При приложенном поле, большем (1 — п)Нс, напряженность
внутреннего поля превышает Яс. На первый взгляд это проти-
воречит утверждению, сделанному на стр. 92, что на границе
между сверхпроводящей и нормальной областями локальное
значение напряженности магнитного поля всегда равно Нс. Та-
кое противоречие можно разрешить, если учесть, что наличие
поверхностной энергии изменяет значение напряженности ло-
кального магнитного поля у стационарной границы. Эффект
аналогичен увеличению давления паров, находящихся в рав-
новесии с маленькой каплей жидкости, когда учитывается
поверхностное натяжение на границе пар — жидкость. Если
102
ГЛ. 6. ПРОМЕЖУТОЧНОЕ СОСТОЯНИЕ
2.	Сопротивление плавно возрастает с полем На,
достигая значения полного сопротивления нормального
состояния, когда На становится равным Яс. И опять это
можно понять, если слои располагаются перпендикулярно
оси, поскольку в промежуточном состоянии т) является
линейной функцией Яо.
3.	Точная форма кривой R как функции Н зависит от
величины измерительного тока. Это не видно непосред-
ственно, поскольку слоистая модель слишком груба.
В действительности сверхпроводящие области соединяют-
ся сверхпроводящими нитями, которые могут проводить
небольшой ток. При увеличении тока эти нити переходят
в нормальное состояние, и сопротивление увеличивается.
§ 9. Понятие когерентности и происхождение поверхностной
энергии
Чтобы объяснить происхождение поверхностной
энергии на границе между нормальными и сверхпроводя-
щими областями, необходимо ввести очень важное поня-
тие, сформулированное Пиппардом [7] в 1953 г.,— понятие
длины когерентности. Вернемся к идее рассмотрения
сверхпроводящего состояния как состояния с высокой
степенью упорядочения. Как видно из § 2 гл. 5, при
охлаждении сверхпроводника ниже температуры его сверх-
проводящего перехода возникает некое упорядочение в
системе электронов проводимости. В § 4 гл. 1 была
высказана идея, что сверхпроводник можно рассматривать
как бы состоящим из двух взаимно проникающих элек-
поверхностная энергия положительна, равновесное значение
напряженности магнитного поля на границе сверхпровод-
ник — нормальный металл равно
я=лс(1+А),
где Д — введенная на стр. 100 величина, определяемая
из соотношения а = х/г роЯсД, а г — радиус кривизны
границы. Если нормальные области являются плоскими
слоями, г будет бесконечным, и мы получим Н—Нс. Прак-
тически домены никогда не являются плоскими слоями,
а всегда обладают какой-либо кривизной, так что, если г
положительно, Н > Яс.
§ 9. ПОНЯТИЕ КОГЕРЕНТНОСТИ
103
тронных жидкостей — из нормальных и сверхпроводящих
электронов. Сверхпроводящие электроны в некотором
отношении более упорядочены, чем нормальные электро-
ны, и можно считать, что степень упорядочения сверх-
проводящей фазы идентична плотности сверхпроводящих
электронов ns. Рассматривая различные аспекты поведе-
ния сверхпроводников, Пиппард пришел к выводу, что
п& не может быстро изменяться с положением, а может
изменяться заметным образом лишь на расстоянии, кото-
рое для чистых сверхпроводников имеет величину поряд-
ка 10-4 см. Это расстояние он назвал длиной когерентно-
сти
Очень существенно, что важным свойством длины коге-
рентности является ее зависимость от чистоты металла,
причем указанное значение, равное К)-4 см, отвечает
чистым сверхпроводникам. При наличии примесей длина
когерентности снижается, и в случае очень загрязненных
образцов, характеризуемых очень короткой длиной сво-
бодного пробега электронов Ze, становится примерно
равной 1ег). Длина когерентности идеально чистого сверх-
проводника обозначается обычно через £0 и является
характеристикой самого металла. Длина когерентности
в загрязненном металле или сплаве обозначается через £.
Существуют некоторые соображения, в основном кос-
венного характера, которые приводят к понятию коге-
рентности. Вероятно, наиболее простой и непосредствен-
ный аргумент основывается на очень большой резкости
сверхпроводящего перехода в нулевом поле. В случае
чистых, хорошо отожженных образцов ширина сверхпро-
водящего перехода может быть меньше 10-5 градуса,
и это дает возможность предполагать наличие очень боль-
шого числа «скооперированных» электронов, так? как
в противном случае статистические флуктуации от точки
к точке привели бы к уширению перехода. Идея коге-
рентности может показаться при таком объяснении весьма
неопределенной и неясной, и эти неопределенность и
и неясность имели место с самого начала. Когда мы будем
х) Это не совсем правильное утверждение. Как показал Л. П.
Горьков [25], Длина когерентности в загрязненном ме-
талле § =	Прим. ред.
104
ГЛ. 6. ПРОМЕЖУТОЧНОЕСОСТОЯНИЕ
обсуждать в гл. 9 микроскопическую теорию сверхпро-
водимости, то увидим, что концепцию когерентности мож-
но более четко сформулировать на квантовой основе. Она
согласуется также с предсказаниями теории Гинзбурга —
Ландау, которую мы обсудим в § 5 гл. 13.
Другой аргумент в пользу идеи когерентности — это
то, что с ее помощью можно просто объяснить происхожде-
ние поверхностной энергии, что мы сейчас и покажем.
Рассмотрим сверхпроводящую область, прилегающую
к нормальной. Как видно из § 3 гл. 6, такая ситуация
возникает только в присутствии магнитного поля напря-
женностью Яс. На границе нет резкого перехода от пол-
ностью нормального к полностью сверхпроводящему со-
стоянию. Магнитный поток проникает на расстояние^
в глубь сверхпроводящей области, и в соответствии
с концепцией когерентности в сверхпроводящей области
число сверхпроводящих электронов п8 на единицу объема
медленно повышается на расстоянии, примерно равном
длине когерентности £ (фиг. 38, а).
Теперь рассмотрим свободную энергию на границе.
Если граница стабильна, то сверхпроводящие и нормаль-
ные электроны должны находиться в равновесии, т. е.
их свободные энергии на единицу объема должны быть
одинаковы. Свободная энергия сверхпроводящей области
меняется относительно свободной энергии нормальной
области в результате двух обстоятельств. Благодаря нали-
чию упорядоченных сверхпроводящих электронов плот-
ность свободной энергии сверхпроводящего состояния
понижается на величину gn — g$, и, кроме того, посколь-
ку сверхпроводящая область обладает намагниченностью,
уничтожающей внутренний магнитный поток, существует
положительный «магнитный» вклад в плотность ее сво-
бодной энергии, равный г/2 (цо^с)- При равновесии
х/2 (р-о#?) = gn — gs, так что внутри сверхпроводящей
области оба вклада уничтожаются и плотность свободной
энергии такая же, как в прилегающей нормальной обла-
сти. Однако на самой границе степень упорядочения (т. е.
число ns сверхпроводящих электронов) повышается посте-
пенно на расстоянии, определяемом длиной когерентно-
сти £, поэтому спад свободной энергии, связанный с уве-
личением упорядочения электронов, происходит на том
§ 9. ПОНЯТИЕ КОГЕРЕНТНОСТИ
105
же расстоянии (фиг. 38, б). С другой стороны, «магнитный»
вклад в свободную энергию возрастает на расстоянии
порядка глубины проникновения Л. Вообще говоря, | не
равно %, так что оба вклада не обращаются в нуль вблизи
границы. Если (как на фиг. 38) ° длина когерентности
Нормальная	Сверхпровод,
область	область
Число
сверхпроводящих
электронов
Плотность I
свободной
энергии I
Фиг. 38. Происхождение положительной поверхностной
энергии.
а — глубина проникновения и длина когерентности на границе;
б — вклады, вносимые в свободную энергию; в — полная свобод-
ная энергия.
больше глубины проникновения, полная плотность сво-
бодной энергии вблизи границы возрастает; это значит,
что существует положительная поверхностная энергия.
Из фиг. 38, б можно видеть, что значение этой поверх-
ностной энергии равно приблизительно т/2 (Но^с) ($ — А,)
на единицу площади поверхности. Это становится оче-
видным, если заменить две кривые на фиг. 38, а прямо-
106
ГЛ. 6. ПРОМЕЖУТОЧНОЕ СОСТОЯНИЕ
угольниками, в которых плотность магнитного потока
и ns резко изменяются на расстояниях соответственно
К и % от края нормальной области, поэтому длина Д,
введенная в § 7, отождествляется с разностью £ — X,
а так как определение размеров доменов в промежуточном
состоянии позволяет измерить Д, это дает и величину
£ — X. Как видно из § 7, для типичного чистого сверх-
проводника, такого, как свинец или олово, значение Д
примерно равно 5-10"5 см, что приблизительно в 10 раз
больше, чем X, и очевидно, что в этом случае Д
« 5‘10"5 см. Это явилось фактически одним из аргумен-
тов, которые позволили Пиппарду определить порядок
величины £0.
Когерентность является весьма фундаментальным свой-
ством сверхпроводников. Мы увидим, например, что длина
когерентности играет важную роль при определении
свойств сверхпроводников II рода, которые будут рас-
смотрены во второй части книги.
ГЛАВА 7
ТОКИ ПЕРЕНОСА
В СВЕРХПРОВОДНИКАХ
§ 1. Критические токи
Первые исследователи сверхпроводимости скоро
обнаружили, что существует максимальный ток, который
может протекать по массивному сверхпроводнику без
возникновения сопротивления. Мы называем этот ток
критическим током данного сверхпроводника. Если он
превышает эту критическую величину, возникает сопро-
тивление.
Теперь мы покажем, что критический ток связан
с напряженностью критического магнитного поля Яс.
В гл. 3 мы видели, что все токи в сверхпроводнике проте-
кают вблизи поверхности в тонком слое, равном глубине
проникновения, причем плотность тока уменьшается от
некоторой величины Ja на самой поверхности. В гл. 4
отмечалось, что сверхпроводимость разрушается, когда
плотность сверхпроводящего тока превышает определен-
ную величину, которую мы назвали критической плот-
ностью тока Jc.
Вообще могут быть два вклада в ток, текущий по
поверхности сверхпроводника. Рассмотрим, например,
сверхпроводящую проволоку, по которой течет ток от
некоторого внешнего источника, скажем, батареи. Мы
называем этот ток «транспортным током» или «током
переноса» (transport current), так как он переносит заряд
по проволоке. Если проволока находится в приложенном
магнитном поле, экранирующие токи циркулируют в ней
так, чтобы уничтожить магнитный поток внутри металла.
Эти экранирующие токи складываются с токами переноса,
и в каждой точке плотность тока J можно рассматривать
как сумму компоненты J$, обусловленной током переноса,
и компоненты JH, связанной с экранирующими токами:
J = Jf + Jh-
108
ГЛ. 7. ТОКИ ПЕРЕНОСА В СВЕРХПРОВОДНИКАХ
Можно ожидать, что сверхпроводимость разрушится, если
величина полной плотности тока J в каждой точке пре-
вышает критическую плотность Jc.
Согласно уравнению Лондонов (3.17), в каждой точке
существует связь между плотностью сверхпроводящего
тока и плотностью магнитного потока, и именно эта
взаимосвязь позволяет определить, является ли сверх-
проводящий ток током переноса, экранирующим током
или комбинацией их обоих. Итак, когда по сверхпровод-
нику протекает ток, на поверхности возникает плотность
магнитного потока В и соответствующая напряженность
поля Н (= 2?/р,0), связанная с плотностью поверхностного
тока Ja.
Если полный ток, текущий по сверхпроводнику, доста-
точно высок, плотность тока на поверхности достигнет
критического значения Jc, и связанная с ним напряжен-
ность магнитного поля на поверхности будет равна Яс.
И наоборот, магнитное поле напряженностью Нс на
поверхности всегда связано с плотностью поверхностного
сверхпроводящего тока Jc. Это приводит к следующей
общей гипотезе: в сверхпроводнике возникает сопротивление,
когда в любой точке поверхности полная напряженность
магнитного поля, обусловленного током переноса и прило-
женным полем, превышает напряженность критического
поля Нс. Максимальный ток переноса, который можно
пропускать через сверхпроводник без возникновения со-
противления, мы называем критическим током данного
сверхпроводника. Очевидно, чем сильнее приложенное
магнитное поле, тем меньше критический ток.
Если внешнее поле отсутствует, а существует лишь
магнитное поле, вызванное током переноса, критическим
будет ток, создающий на поверхности проводника крити-
ческое магнитное поле Нс. Это частный случай общего
правила, приведенного выше, известен как гипотеза Сильс-
би [8], которая была сформулирована прежде, чем было
определено понятие критической плотности тока. Будем
называть более общее правило для критического тока
«обобщенной формой» гипотезы Сильсби.
Как мы видели в гл. 4, напряженность критического
магнитного поля Нс зависит от температуры, уменьшаясь
с повышением температуры и достигая нуля при темпера-
§ 1. КРИТИЧЕСКИЕ ТОКИ
109
туре перехода Тс. Это значит, что плотность критического
тока зависит от температуры аналогичным образом, т. е.
с повышением температуры плотность критического тока
уменьшается. И наоборот, если по сверхпроводнику про-
текает ток, температура его сверхпроводящего перехода
понижается.
1. Критические токи в проволоках
Рассмотрим цилиндрическую проволоку радиусом а.
Если в отсутствие какого-либо внешнего поля пропускать
через проволоку ток i, на поверхности возникнет магнит-
ное поле, напряженность Hi которого определяется соот-
ношением
2naHi — i.
Тогда критический ток равен
гс = 2лаЯс.	(7.1)
Это соотношение для критического тока может быть
проверено измерением максимального тока, который мо-
жет протекать по сверхпроводящей проволоке без появле-
ния в ней сопротивления. Было найдено, что в отсутствие
какого-либо внешнего магнитного поля уравнение (7.1)
предсказывает правильное значение тока.
В нулевом или слабом приложенном магнитном поле
критические токи сверхпроводников могут быть весьма
высокими. В качестве примера рассмотрим свинцовую
проволоку диаметром 1 мм, охлажденную в жидком гелии
до 4,2 К. При этой температуре критическое поле свинца
равно примерно 4,4 • 104 А/м (550 Гс), и в отсутствие какого-
либо внешнего магнитного поля по проволоке может
протекать без сопротивления ток до 140 А.
Теперь посмотрим, до какой степени снизится крити-
ческий ток в присутствии внешнего магнитного поля.
Предположим сначала, что приложенное магнитное поле
с плотностью магнитного потока Ва и напряженностью
На = 5a/|i0 параллельно оси проволоки (фиг. 39, а).
Если по проволоке течет ток г, он образует вокруг нее
поле, напряженность которого на поверхности проволоки
равна Hi == $/2ла. Вектора этого поля и приложенного
110 '
ГЛ. 7. ТОКИ ПЕРЕНОСА В СВЕРХПРОВОДНИКАХ
поля складываются, и, поскольку в данном случае они
ортогональны, напряженность Н результирующего поля
на поверхности равна
(Нга + Н1)^ или Я2 = Я*+(^-)2.
у &Л 1(4 /
Ток достигает своего критического значения ic, когда
Н становится равным Яс:
Я2— Я2 |	-С-
4я2а2 .
(7.2)
Величина Нс постоянна, и, таким образом, это уравнение,
выражающее зависимость ic от На, является уравнением
Фиг. 39. Зависимость критического тока ic от на-
пряженности приложенного магнитного поля На,
а — продольно приложенное поле; б — поперечно приложен-
ное поле (ток переноса течет перпендикулярно плоскости ри-
сунка от наблюдателя).
6
эллипса. Поэтому график, изображающий уменьшение
критического тока при повышении напряженности внеш-
него продольного магнитного поля, имеет форму квадран-
та эллипса (фиг. 39, а). При такой конфигурации плот-
ность магнитного потока на поверхности проволоки одно-
родна и линии магнитного потока располагаются по спи-
рали.
§ 2. ТЕПЛОВОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ
111
Рассмотрим другой случай, когда приложенное маг-
нитное поле перпендикулярно оси проволоки (фиг. 39, б).
(Здесь мы предполагаем, что приложенное поле недоста-
точно высоко, чтобы перевести сверхпроводник в проме-
жуточное состояние.) В этом случае плотность суммарного
потока на поверхности проволоки неоднородна; плотности
магнитных потоков складываются по одну сторону про-
волоки и вычитаются по другую ее сторону. Максималь-
ная напряженность поля возникает вдоль линии L. Здесь
вследствие размагничивания (см. конец § 1 гл. 4) поле,
равное 2На, складывается с полем Hh в результате чего
полное поле будет равно
Н=2На+Н^2На + ^.
Из обобщенного правила Сильсби следует, что сопротивле-
ние возникает, когда полная напряженность магнитного
поля в какой-либо части поверхности становится равной Яс.
Таким образом, критический ток равен
гс = 2ла(Яс-2Яа).	(7.3)
В этом случае, следовательно, критический ток линейно
уменьшается с увеличением напряженности приложенно-
го поля, падая до нуля при
Нужно подчеркнуть, что критический ток образца
определяется как ток, при котором сопротивление пере-
стает быть равным нулю, а не как ток, при котором сопро-
тивление восстанавливается полностью. Величина сопро-
тивления, появляющегося, когда превышается критиче-
ский ток, зависит от целого ряда обстоятельств, которые
мы рассмотрим в следующем разделе.
§ 2. Тепловое распространение
Зависимость критического тока от приложенного
магнитного поля, предсказываемая уравнениями (7.2)
и (7.3), была подтверждена экспериментально, хотя изме-
рить критические токи не всегда легко, особенно в слабых
магнитных полях, где эти токи могут достигать высоких
значений. Чтобы понять, почему возникают эти трудности,
112
ГЛ. 7. ТОКИ ПЕРЕНОСА В СВЕРХПРОВОДНИКА
исследуем процессы, благодаря которым восстанавливает-
ся сопротивление в проволоке, когда ток превышает свое
критическое значение. Рассмотрим, например, сверхпро-
водящую проволоку круглого сечения. Практически кусок
Фиг. 40. Тепловое распространение нормаль-
ной области.
б — температурное изменение в области А, связанное с
ростом тока, изображенным на а; в — восстановление
сопротивления проволоки при распространении нормаль-
ной области от участка А.
проволоки не может быть идеально однородным по всей
длине, и в силу случайных вариаций ее состава, толщины
и т. д. значение критического тока может слегка изменять-
ся от точки к точке. Следовательно, в проволоке будет
существовать какая-либо точка с наинизшим значением
критического тока. На фиг. 40 такой областью является
§ 2. ТЕПЛОВОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ
ИЗ
участок А, где проволока немного утончается. Теперь
предположим, что мы пропускаем по проволоке ток, уве-
личивая его величину до тех пор, пока на участке А ток
не превысит своего критического значения ic (Л)
(фиг. 40, а). Этот маленький участок теперь будет иметь
сопротивление, и, хотя остальная часть останется сверх-
проводящей, в проволоке появится небольшое сопротивле-
ние г. В области А ток течет теперь по материалу с сопро-
тивлением, в результате чего здесь выделяется тепло
со скоростью, пропорциональной г2г. Следовательно, тем-
пература в А растет, и тепло уносится из А вдоль металла
и в окружающую среду со скоростью, зависящей от уве-
личения температуры в А, от теплопроводности металла,
от скорости тепловых потерь на поверхности и т. д. Тем-
пература в А будет расти до тех пор, пока скорость,
с которой уносится тепло, не сравняется со скоростью i2r
образования тепла. Если скорость выделения тепла мала,
температура в А возрастает лишь незначительно, и про-
волока может бесконечно долго оставаться в таком состоя-
нии. Однако, если тепло генерируется с высокой скоростью
либо в силу большого сопротивления Л, либо из-за боль-
шой величины тока i, температура в А может подняться
выше критической температуры проволоки (фиг. 40, б).
Наличие тока практически снизило температуру сверх-
проводящего перехода проволоки от значения Тс до более
низкого значения Тс (i). Если в результате нагрева участ-
ка А области, примыкающие к А, нагреваются выше
Тс (i), они переходят в нормальное состояние. Теперь
ток &, протекая через эти вновь образовавшиеся нормаль-
ные области, выделяет тепло, которое переводит в нор-
мальное состояние прилегающие к ним области. Итак,
даже если ток i остается постоянным, нормальные области
распространяются от А до тех пор, пока вся проволока
не перейдет в нормальное состояние и ее сопротивление
Rn не восстановится полностью (фиг. 40, в). Такой про-
цесс, когда нормальная область может разрастись из
зародыша с сопротивлением, называется тепловым рас-
пространением. и мы видим, что он, вероятнее всего,
может происходить при больших критических токах или
при высоких удельных сопротивлениях в нормальном
состоянии (т. е. в сплавах).
8—1205
114
ГЛ. 7. ТОКИ ПЕРЕНОСА В СВЕРХПРОВОДНИКАХ
В связи с тепловым распространением могут возникать
трудности при измерении критического тока образца,
особенно в слабых или нулевых магнитных полях, где
величина тока может быть высока. Рассмотрим сверхпро-
водящий образец однородной толщины, изображенный
на фиг. 41, а. Попытаемся измерить критический ток,
следя за появлением напряжения при увеличении тока.
Фиг. 41. Измерение критического тока.
а — неправильно; б — правильно.
Если ток меньше критического, никакого падения напря-
жения вдоль образца наблюдаться не должно и никакого
выделения тепла в нем не происходит. Однако токовые
подводы к образцу обычно делаются из несверхпроводя-
щего металла, и, когда по ним проходит ток, выделяется
тепло. Следовательно, концы образца в местах контакта
с токовыми вводами будут слегка нагреваться, и их кри-
тический ток будет ниже критического тока самого образ-
ца. При увеличении тока концы переходят в нормальное
состояние при токе, который меньше истинного крити-
ческого тока образца, и в результате теплового распро-
странения нормальные области могут разрастись на весь
образец. Следовательно, появление напряжения будет
§ 3. ПРОМЕЖУТОЧНОЕ СОСТОЯНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТОКА
115
наблюдаться при значениях тока, меньших истинного
критического его значения. Чтобы уменьшить возмож-
ность распространения тепла от контактов, используют
как можно более толстые токоподводы, чтобы в них воз-
никало меньшее количество тепла. Желательно также
делать концы сверхпроводящего образца толще той его
части, на которой измеряется критический ток. В этом
случае мы подойдем к критическому току измеряемой
секции раньше, чем начнется тепловое распространение
от ее концов (фиг. 41, б).
Свидетельством восстановления сопротивления бла-
годаря тепловому распространению является появление
полного нормального сопротивления в результате распро-
странения нормальной области по всему образцу после
того, как было превышено некоторое определенное значе-
ние тока.
§ 3. Промежуточное состояние при наличии тока
Если не возникает теплового распространения, пол-
ное нормальное сопротивление не появляется при строго
определенном значении тока, а восстанавливается на
протяжении значительного токового интервала. Рассмот-
рим цилиндрическую сверхпроводящую проволоку с на-
пряженностью критического поля Яс. Если радиус прово-
локи равен а, ток i создает на ее поверхности магнитное
поле напряженностью Как мы видели, наибольший
ток, который может проводить проволока, полностью
оставаясь в сверхпроводящем состоянии, равен ic — 2паНС1
потому что, если ток превысит это значение, напряжен-
ность поля на поверхности будет больше, чем Не.
Мы можем сначала предположить, что при токе ic
внешний цилиндрический слой проволоки переходит
в нормальное состояние, а ее центральная часть остается
сверхпроводящей. Однако это невозможно, и мы сейчас
это покажем. Представим себе, что наружный слой пере-
шел в нормальное состояние, а сердцевина проволоки
радиусом г все еще сверхпроводящая. Тогда весь ток
будет протекать по этой сердцевине, и напряженность
магнитного поля, созданного этим током на поверх-
ности сердцевины, будет равна Нса!г, Поскольку эта
8*
116
ГЛ. 7. ТОКИ ПЕРЕНОСА В СВЕРХПРОВОДНИКАХ
величина больше Яс, сверхпроводящая сердцевина долж-
на уменьшить свой радиус. Этот процесс будет продол-
жаться до тех пор, пока радиус не обратится в нуль,
т. е. пока вся проволока не перейдет в нормальное состоя-
ние. Однако проволока не может быть при токе ic пол-
ностью нормальной, так как в этом случае распределение
тока по поперечному сечению проволоки было бы одно-
родным и величина магнитного поля внутри прово-
локи на расстоянии г от центра была бы меньше, чем
критическое поле, и, значит, материал не мог бы быть
полностью нормальным.
Очевидно поэтому, что при критическом токе проволо-
ка не может быть ни полностью сверхпроводящей, ни
полностью нормальной и что такое состояние, при кото-
ром нормальный слой окружает сверхпроводящую сердце-
вину, нестабильно. Действительно, при критическом токе
проволока переходит в промежуточное состояние с чере-
дующимися сверхпроводящими и нормальными слоями,
каждый из которых занимает полностью поперечное сече-
ние проволоки [9]. Ток, проходящий вдоль проволоки,
будет теперь протекать через нормальные области, так
что при значении тока, равном критическому, сопротивле-
ние скачком перейдет от нулевого значения к некоторой
части полного сопротивления проволоки. Эксперименты
показали, что значительная часть сопротивления появ-
ляется скачкообразно, когда ток достигает критического
значения (фиг. 42), причем сопротивление при этом дости-
гает от 0,6 до 0,8 полного нормального значения. Точная
величина скачка сопротивления зависит от таких факто-
ров, как температура и чистота проволоки. При дальней-
шем росте тока сопротивление плавно приближается к
своему значению в нормальном состояния.
Лондон предположил, что, когда ток увеличивается
выше критического значения ic, промежуточное состояние
сосредоточивается в сердцевине, окруженной нормальной
оболочкой, толщина которой растет с увеличением тока.
Таким образом, проходящий ток разделяется между обо-
лочкой с полным сопротивлением и сердцевиной с частич-
ным сопротивлением (фиг. 43, б). Такая модель предска-
зывает плавное возрастание сопротивления с током при
f jc.
§ 3. ПРОМЕЖУТОЧНОЕ СОСТОЯНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТОКА
117
Детали конфигурации из нормальных и сверхпроводя-
щих областей, которая должна возникать при токе выше
критического, еще не были определены экспериментально,
Фиг. 42. Восстановление сопротивле-
ния проволоки током.
Фиг. 43. Предполагаемое поперечное се-
чение цилиндрической проволоки, по кото-
рой течет ток, превышающий критический
(Бейрд, Мукхержи и Лондон).

а получение этой конфигурации из теоретических рас-
смотрений является сложной задачей т). Вариант, изобра-
г) Эта задача была решена А. Ф. Андреевым [23*].— Прим. ред.
118	ГЛ. 7. ТОКИ ПЕРЕНОСА В СВЕРХПРОВОДЦИКАХ
женный на фиг. 43, а, был недавно предложен на основе
теоретического рассмотрения.
Внезапное появление сопротивления в результате как
теплового распространения, так и возникновения проме-
жуточного состояния может сделать эксперимент по изме-
рению критического тока сверхпроводящей проволоки
ненадежным. При увеличении измерительного тока выше
ic в образце внезапно возникает сопротивление R. В образ-
це при этом выделяется мощность и, если ток ic боль-
шой, а сопротивление R также не очень мало, нагрев
может вызвать плавление проволоки (если не удается
очень быстро понизить ток). Фактически сверхпроводя-
щие проволоки могут работать в качестве очень эффектив-
ных плавких предохранителей со строго определенным
током сгорания.
ГЛАВА 8
СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СВОЙСТВА ОБРАЗЦОВ
МАЛЫХ РАЗМЕРОВ
Как было отмечено в гл. 2, глубина проникновения
X очень мала, и размеры большинства сверхпроводящих
образцов много больше X.
Однако иногда ситуация меняется, как, например,
при использовании тонких пленок и проволок, у которых
хотя бы один из размеров становится сравнимым с %.
В настоящей главе мы увидим, что сверхпроводящие
свойства таких образцов довольно существенным образом
отличаются от свойств образцов больших размеров.
§ 1.	Влияние проникновения на критическое магнитное поле
В гл. 4 мы видели, что образец сверхпроводящего
металла в однородном внешнем магнитном поле На пере-
ходит в нормальное состояние, когда На увеличивается
до критической величины Нс. С термодинамической точки
зрения это происходит потому, что свободная энергия
Гиббса сверхпроводящего образца в приложенном поле На
На
изменяется на величину — j [iQMdHa. где М — инду-
о
цированный магнитный момент.
В сверхпроводящем состоянии момент М отрицателен,
так что свободная энергия возрастает. Если это возраста-
ние достаточно для того, чтобы свободная энергия сверх-
проводящего состояния превысила свободную энергию
нормального состояния, образец становится нормальным.
Магнитный момент М равен J IdV, где V — объем образ-
ца и I — интенсивность намагниченности, определяемая
120
ГЛ. 8. СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СВОЙСТВА МАЛЫХ ОБРАЗЦОВ
из соотношения
B =	(8.1)
В гл. 4 предполагалось, что повсюду внутри сверхпровод-
ника В = 0, так что I = — Н и М = — HV*, другими
словами, магнитный момент на единицу объема не
зависит от формы и размера образца. Из этого следует,
что критическое магнитное поле дается соотношением
LpQH* = gn — gs [см. (4.3)],	(8.2)
где gn и gs — свободные энергии на единицу объема нор-
мальной и сверхпроводящей фаз в нулевом магнитном
поле. Величина Нс	не должна зависеть от размера
образца.
Эта аргументация должна быть изменена, если учиты-
вается проникновение поля. Как мы видели в гл. 2, В не
падает резко до нуля на поверхности образца, а умень-
шается с расстоянием х в глубь образца приблизительно
по закону' где X — «глубина проникновения» равна
для большинства сверхпроводников примерно 5*10-6 см.
Следовательно, вблизи поверхности В не равна нулю,
и в этой области значение 7, определяемое из (8.1), уже
не равно —Я. Теперь величина I растет от нуля на поверх-
ности до значения Н в глубине образца, в результате чего
величина магнитного момента М становится меньше, чем
в случае % = 0. Следовательно, для данного значения На
магнитный вклад в свободную энергию, равный
На
— j ^QMdHa или —
также становится меньше того значения, которое он имел
бы в отсутствие проникновения магнитного поля. Поэтому
внешнее магнитное поле превысит поле, определяемое
из (8.2), прежде чем сможет произойти переход в нор-
мальное состояние. Другими словами, в результате про-
никновения магнитного потока критическое магнитное
поле повышается. Величина превышения критического
поля зависит от уменьшения намагниченности 717, что
в свою очередь зависит от размеров образца относительно
§12. КРИТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ 121
глубины проникновения X. Эффект становится ощутимым
только тогда, когда объем, заключенный в поверхностном
слое толщиной X, становится сравнимым с полным объемом
образца.
§ 2.	Критическое поле плоскопараллельной пластины
Влияние проникновения магнитного потока на вели-
чину критического поля образца легче всего проиллю-
стрировать на плоской пластине, помещенной в магнитное
Фиг. 44. Сверхпроводящая пластина толщиной 2а
в магнитном поле, параллельном ее поверхностям.
Предполагается, что длина и высота пластины много больше
2а; пунктирными линиями обозначено направление экрани-
рующих токов.
поле На, приложенное параллельно поверхности пласти-
ны. Предполагается, что длина пластины в направлении
поля и ее ширина значительно больше толщины пластины
(фиг. 44). Это частный случай геометрии выбран частично
из-за его практического значения, частично потому, что
распределение магнитного потока внутри пластины можно
легко вычислить с помощью уравнений Лондонов.
Если выбрать за ось х направление, нормальное пло-
скостям пластины, то зависимость плотности магнитного
потока от х, согласно уравнениям Лондонов, имеет вид
(§ 1 гл. 3)
(8.3)
122
ГЛ. 8. СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СВОЙСТВА МАЛЫХ ОБРАЗЦОВ
где х измеряется от центра пластины, толщина которой
равна 2а. Как показано в § 2 гл. 3, в случае больших
образцов зависимость В от я, согласно уравнениям Лондо-
нов, такова, что Хь удовлетворяет общему определению %
(2.2). Мы пренебрежем поэтому различием между Хь и X
-а	О	а
х
Фиг. 45. Распределение ф’внутри
пластины (поперечное сечение пла-
стины толщиной 2а > X).
Заштрихованная площадь пропорциональ-
на магнитному моменту и магнитной сво-
бодной энергии. |
Фиг. 46. Распределе-
ние В внутри пластины
(поперечное сечение пла-
стины	толщиной^ 2а,
а -X).
и выразим решение уравнений Лондонов через X. График
зависимости В от х для случая, при котором толщина
пластины много больше X, изображен на фиг. 45. Посколь-
ку значение напряженности магнитного поля во всей
пластине равно На т), интенсивность намагниченности
равна 2?/р,0 — Яа, а магнитный момент (равный j I dV)
и магнитный вклад в свободную энергию (равный
На
— j [х0Мс?Яа или — Чг^МНа) пропорциональны заштри-
0
хованной части площади поперечного сечения. Для слу-
чая, изображенного на фиг. 45, эта площадь отличается
от значения, которое было бы при X = 0, только на два
небольших боковых кусочка. Однако, если а ~ X, ситуа-
ция изменяется (фиг. 46). Очевидно, что уменьшение
х) См. приложение А.
§ 2. КРИТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ 123
заштрихованной площади по сравнению с величиной,
которую она имела бы при % = 0, теперь стало очень
значительным. В каждой точке намагниченность I (х) —
== [В (я)/|л01 — На, так что величина магнитного момента
М на единицу поверхности пластины равна
м= I	j RIS ~’К=
-а	О
= -2«Я.(1-Мь|).
Удобно написать М = — 2акНа, где
Благодаря проникновению магнитного потока, эффек-
тивная восприимчивость пластины равна не —1, а —к.
Заметим, что к положительно и к = 1, если X = 0. Маг-
нитный вклад в свободную энергию Гиббса на единицу
площади пластины равен
— у 110МНа = роакН2а,
так что критическое магнитное поле определяется из соот-
ношения
р>цакНа = G-л Gg = 2а (gn gs) •
Здесь Gn и Gs относятся к единице площади пластины,
a gn и gs — по-прежнему к единице объема. Если мы через
Hfe обозначим критическое поле пластины толщиной 2а
при глубине проникновения X, причем при X = 0 крити-
ческое поле ее равно Яс, то вместо (8.2) получим
=	(8.5)
Следовательно,
Н'е = к-^нс = Яе (1 -1 th |) -1/2,	(8.6)
т. е. при учете проникновения потока критическое поле
растет. Мы обозначали через Нс критическое магнитное
поле при проникновении поля, равном нулю, но поскольку
124 ГЛ. 8. СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СВОЙСТВА МАЛЫХ ОБРАЗЦОВ
в (8.6) входит отношение а/%, мы с тем же основанием
можем считать Нс критическим магнитным полем беско-
нечно большого образца. По этой причине Нс обычно
называют «критическим полем массивного образца» (the
bulk critical field).
Уравнения (8.6) можно упростить для двух случаев,
когда а % или а %.
Если а %, то
и
(8.7)
что имеет следующую простую физическую интерпрета-
цию. Если а %, то выражение (8.4) принимает вид к «
1 — Ма, так что М & — 2 (а — %) Яа. Это соответ-
ствует случаю, когда интенсивность намагниченности
остается равной —На во всей пластине, но толщина ее
становится равной 2 (а — %), т. е. каждая поверхность
пластины как бы сдвигается вглубь на расстояние %.
Это находится в согласии с феноменологическим опреде-
лением % (2.2).
Для другого экстремального случая а <С X имеем
4 — — th — ы а2
так что
Н'С^УЗ^НС.	(8.8)
Важно получить некоторое представление о порядке вели-
чины возрастания критического поля, связанного с про-
никновением магнитного потока. Как мы уже видели
(§ 4 гл. 2), глубина проникновения подчиняется соотно-
шению
где %0 для большинства чистых металлов равна примерно
500 А (т. е. 500-Ю-10 м). Уравнение (8.7) теперь означает,
§.4 ОГРАНИЧЕНИЯ ТЕОРИИ ЛОНДОНОВ
125
что при температурах, не очень близких к температуре
перехода, увеличение Не будет значительным (скажем
на 10% или больше) только при толщине пластины поряд-
ка 5000 А или меньше, т. е. если мы имеем дело с тонкими
пленками. Для очень тонких пленок толщиной порядка
100 А из (8.8) следует, что Н'с может превышать Нс на
порядок величины, особенно при температурах, близких
к Тс.
§ 3.	Случаи с более сложной геометрией
Здесь основные физические принципы остаются таки-
ми же, как в случае прямоугольной пластины. Однако
вычислить влияние проникновения потока на магнитные
свойства цилиндра или сферы значительно труднее. В слу-
чае цилиндра необходимо, например, прибегнуть к функ-
циям Бесселя. Когда размеры образца много больше %,
мы можем опять использовать простую аргументацию
[поясняющую формулу (8.7)], согласно которой влияние
проникновения магнитного потока таково, как если бы
во всем образце намагниченность оставалась равной —На,
но поверхности цилиндра должны были бы при этом углу-
биться на расстояние X. С помощью таких представлений
можно легко показать, что критическое магнитное поле
длинного цилиндра радиусом а, находящегося в прило-
женном поле, параллельном его оси, равно
я;=я.(1+|).
Для случая а X можно показать (см., например,
[10, стр. 234]), что
§ 4.	Ограничения теории Лондонов
Из (8.6)—(8.8) ясно, что, если % по порядку величи-
ны равна 10-5 см, влияние проникновения потока будет
слишком мало, чтобы вызвать заметное изменение крити-
ческого магнитного поля, если речь не идет о случае
тонких пленок, когда образец, расположенный под пря-
126
ГЛ. 8. СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СВОЙСТВА МАЛЫХ ОБРАЗЦОВ
мым углом к полю, имеет один из размеров порядка
5000 А или меньше.
Как можно видеть из фиг. 47, критическое магнитное
поле тонких пленок сильно зависит от их толщины! Кри-
тические поля этих пленок определялись по восстановле-
нию сопротивления магнитным полем, параллельным
поверхности пленок. Для пленки толщиной 1000 А кри-
тическое магнитное поле вблизи критической температуры
Ф и г. 47. Зависимость параллельного критического
поля от приведенной температуры для оловянных
пленок различной толщины (Д —1000 А; 0—2000 А;
V — 5000 А; О — Ю 000 А).
Нанесены также точки, полученные в результате вычислений
из эффективной глубины проникновения, введенной
Иттнером (X — 2000 А) (Родерик).
больше чем на порядок величины выше критического поля
массивного образца. Увеличение по сравнению с крити-
ческим полем массивного образца особенно заметно вблизи
критической температуры, так как, согласно эксперимен-
ту, глубина проникновения изменяется примерно как
[1 - (Т/Тс)*] и стремится к бесконечности при прибли-
жении Т к Тс (гл. 2).
Предсказания теории Лондонов, выражаемые уравне-
нием (8.6), находятся в хорошем качественном соответ-
§ 4. ОГРАНИЧЕНИЯ ТЕОРИИ ЛОНДОНОВ
127
ствии с экспериментальными данными; провести же коли-
чественные сравнения не очень легко. Можно, конечно,
предположить, что (8.6) справедливо, и, используя это
уравнение, вычислить эффективное значение % из экспе-
риментально найденных Яс, Н'с и а. При этом, однако,
важно, чтобы полученная таким образом величина X
согласовывалась с величинами, полученными из данных
о намагничении массивных образцов, и обладала бы той
же температурной зависимостью. Только таким способом
можно проверить справедливость теории Лондонов. Необ-
ходимо помнить, что значения X, полученные из экспери-
ментов по намагничиванию массивных образцов (гл. 2),
связаны не с каким-либо частным законом проникновения,
а зависят только от определения X:
со
ж В (0) j В
0
где х отсчитывается от поверхности. Как отмечалось выше,
выражение (8.7) согласуется с этим определением.
Однако (8.6) выводится из уравнения (8.3), которое
является законом проникновения, предсказываемым тео-
рией Лондонов. Следовательно, подтверждение пригодно-
сти уравнения (8.6) для определения критических полей
пленок любой толщины с использованием значения %,
полученных из измерений на массивных образцах, экви-
валентно подтверждению правильности закона проникно-
вения потока (8.3).
Попытки таким образом скоррелировать теорию
и эксперимент удались лишь частично. На фиг. 47 нанесе-
ны также точки, которые соответствуют вычисленным
значениям для пленки толщиной, 2000 А с использованием
для X (0) значения, равного 520 А (получено из магнитных
измерений на массивных образцах), в предположении,
что X изменяется с температурой по закону
МТ)=М0)[1-(£)4]-1/а.
Видно, что теоретические точки ложатся выше экспери-
ментальных.
128 ГЛ. 8. СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СВОЙСТВА МАЛЫХ ОБРАЗЦОВ
Чтобы найти причину такого несоответствия, вспомним,
как создавалась теория Лондонов. Эта теория по существу
феноменологическая*, она была предложена как теория,
дающая хорошее описание эффекта Мейсснера. Важно то,
что мы не должны придавать теории Лондонов такое же
значение, как, скажем, уравнениям Максвелла, которые
выражают нерушимые законы физики. Одно из очевидных
ограничений теории Лондонов заключается в том, что она
является по существу классической теорией, где электро-
ны рассматриваются как классические частицы, хотя
можно предполагать, что квантовые эффекты играют
в сверхпроводимости существенную роль. В теории Лон-
донов были сделаны два важных предположения: что
глубина проникновения не зависит от напряженности
приложенного магнитного поля и размеров образца. Нас
не должно удивлять, что первое из этих предположений
не оказалось строго справедливым. Как можно видеть
из (3.13), независимость от поля эквивалентна пред-
положению, что эффективное число сверхпроводящих
электронов не зависит от приложенного поля. Известно,
однако, что наложение магнитного поля существенно
изменяет поведение электронов. Можно ожидать, что под
влиянием магнитного поля эффективное число сверхпро-
водящих электронов меняется на величину такого же
порядка. Пиппард экспериментально показал, что глубина
проникновения в приложенном поле действительно увели-
чивается, хотя в массивных сверхпроводниках этот эффект
невелик, за исключением температурной области вбли-
зи Тс. Поэтому теория Лондонов по существу является
теорией слабого поля. Влияние такой зависимости % от
магнитного поля состоит в том, что магнитный момент
пленки М изменяется не пропорционально На, как это
следует из (8.3а) при % — const, а растет медленнее.
График зависимости М от На теперь нелинеен (фиг. 48),
и свободная энергия сверхпроводящего состояния стано-
вится равной свободной энергии нормального состояния
при больших значениях На\ следовательно, Нс увели-
чивается.
Второе из упомянутых выше предположений, согласно
которому глубина проникновения не зависит от размеров
образца, кажется менее уязвимым. Трудно просто объяс-
§ 5. тёоёия гйнзбуЩа — Ландау
129
длина когерентности.
Фиг. 48. Кривая намагничива-
ния тонкого сверхпроводника.
Сплошная линия — предполагается,
что % не зависит от На; пунктирная ли-
ния — предполагается, что X увеличи-
вается с Н„.
а
нить, почему это предположение несправедливо. Достаточ-
но сказать, что поведение сверхпроводящих электронов,
как мы видели в гл. 6, не полностью независимо друг от
друга. В этой системе сверхпроводящих электронов суще-
ствует «дальний порядок», который распространяется на
расстояние, известное как	“
размеры образца меньше
10~4 см, значение £ понижа-
ется и изменяются различ-
ные свойства сверхпровод-
ника (в том числе и глуби-
на проникновения).
Иттнер, Тинкхам и дру-
гие исследователи пыта-
лись «приладить» теорию
Лондонов к рассмотрению
критических полей тонких
пленок, включая в нее за-
висимость глубины про-
никновения от поля, тем-
пературы и размеров, ко-
торая вытекала из более
поздних теорий, таких,
как микроскопическая теория БКШ (гл. 9). Эти попытки
не привели к существенным результатам, поскольку тео-
рия Лондонов объединялась в них с чуждыми ей новыми
чертами. По-видимому, гораздо предпочтительнее восполь-
зоваться, например, теорией Гинзбурга — Ландау, в кото-
рой уже содержится необходимая нелинейная зависимость
М от Н и зависимость X от размеров образца.
§ 5.	Теория Гинзбурга — Ландау
Теория Гинзбурга — Ландау [11] является альтер-
нативой теории Лондонов. В какой-то мере эта теория
также является феноменологической. В теории прини-
маются определенные предположения, доказательством
которых служит то, что они правильно описывают фазовый
переход в нулевом поле. В отличие от теории Лондонов,
которая является чисто классической, в теории Гинзбур-
9-1205
130 ГЛ. 8. СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СВОЙСТВА МАЛЫХ ОБРАЗЦОВ
га — Ландау для предсказания эффектов магнитного поля
привлечена квантовая механика.
В теории Гинзбурга — Ландау много вычислений,
и полное ее описание вывело бы нас далеко за пределы
настоящей книги. Однако мы попытаемся кратко оста-
новиться на содержании теории и на наиболее важных
из ее предсказаний.
Первое предположение теории Гинзбурга — Ландау
заключается в том, что поведение сверхпроводящих
электронов можно описать с помощью «эффективной вол-
новой функции» Ч11, причем | Т |2 равно плотности сверх-
проводящих электронов. Далее предполагается, что сво-
бодная энергия сверхпроводящего состояния отличается
от свободной энергии нормального состояния на величи-
ну, которая может быть записана в виде степенного ряда
по | ¥ |2. Вблизи критической температуры достаточно
сохранить только два первых члена этого разложения.
Гинзбург и Ландау полагают, что, если по какой-то при-
чине функция Y не постоянна в пространстве, а имеет
градиент, это приводит к появлению кинетической энер-
гии. Происхождение этой кинетической энергии аналогич-
но появлению члена (й2/2тп) V2AF в уравнении Шредингера
для частицы с массой т. Чтобы учесть это обстоятельство,
к выражению для свободной энергии сверхпроводящего
состояния добавляют член, пропорциональный квадрату
градиента Т. Влияние магнитного поля вводится
с помощью теоремы из классической механики, которая
утверждает, что действие силы Лоренца (gv X В) на
движение заряженной частицы в магнитном поле В можно
полностью учесть х) при замене импульса р (когда он
появляется в выражении для кинетической энергии) на
выражение р — дА. Здесь А — вектор-потенциал, опре-
г) Это можно видеть из следующих простых рассуждений.
Предположим, что частица с зарядом q движется в свободной
от поля области со скоростью Vi и что магнитное поле прикла-
дывается в момент времени t = 0. Поле может возрастать толь-
ко с конечной скоростью, и при его изменении индуцируется
электрическое поле, удовлетворяющее уравнению Максвелла
rot Е = —-В. Если А — вектор-потенциал, то rot Е = —
— rot А, а интегрирование по пространственным координа-
там дает Е = —dA/dt, без учета постоянной интегрирования,
§ 5. ТЕОРИЯ ГИНЗБУРГА — ЛАНДАУ
131
деляемый из выражения В = rot А. Для перехода к кван-
товой механике р заменяется на оператор — 1И grad. Пол-
ный магнитный вклад в свободную энергию сверхпрово-
дящего состояния равен поэтому
^^•(igrad + ^JW,
где интеграл берется по всему объему V образца.
Центральной проблемой в подходе, развитом Гинзбур-
гом и Ландау, является нахождение функций Т (ж, у, z)
и А (ж, у, z), которые соответствуют минимальной сво-
бодной энергии при соответствующих граничных условиях.
В случае слабых магнитных полей проблема легко решает-
ся и сводится к уравнениям, аналогичным уравнениям
Лондонов. В случае сильных магнитных полей существуют
только лишь численные решения. Для бесконечно толстой
пластины в поле, параллельном ее поверхности, полу-
чается, что в толще пластины | Т |2 постоянно, но умень-
шается при приближении к поверхности на величину,
которая растет с ростом внешнего магнитного поля.
Поскольку глубина проникновения, как и в теории Лондо-
нов, зависит от числа сверхпроводящих электронов на
поверхности, т. е. от | Т* |2, мы сразу получаем зависящую
от поля глубину проникновения. В случае тонкой пленки
вследствие граничных условий изменение Т с х зависит
от толщины пленки, и, поскольку % зависит от | Т |2,
глубина проникновения является функцией толщины плен-
ки. Таким образом, два обстоятельства, отсутствующих
в теории Лондонов, автоматически учитываются в теории
Гинзбурга — Ландау. Критическое магнитное поле мож-
которая нас не интересует. Следовательно, импульс в момент
времени t равен
t	t
dA
qEdt= mNi — q I	dt=mvi—qA.
0	0
Таким образом, тпу2 + qA = wVi. Следовательно, вектор
p = ту + qA не изменяется в присутствии магнитного поля,
и его можно рассматривать как эффективный импульс. Однако
кинетическая энергия 8 зависит только от т7, и если, прежде
чем приложено поле, в = f (znv), то в поле должно быть
е = / (р — дА),
9*
132
ГЛ. 8. СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СВОЙСТВА МАЛЫХ ОБРАЗЦОВ
но вычислить обычным методом, приравнивая свободную
энергию пленки в сверхпроводящем и нормальном состоя-
ниях. Общее выражение для Н'с довольно сложно, но оно
упрощается для двух особых случаев.
1) а > А.
В этом случае
д;=я.(1+4).
где 2а — толщина пленки, А — глубина проникновения
в слабом магнитном поле и а — коэффициент, очень близ-
кий к единице. По существу этот результат совпадает
с лондоновским.
2) а <С А».
В этом случае Y примерно постоянна по всей пленке
и Нс = (Кб Ма) Нс. Этот результат отличается от лондо-
новского уравнения (8.8) на множитель К2- Неожидан-
ным образом из теории Гинзбурга — Ландау следует, что
для этого частного случая V постепенно падает до нуля
при приближении Н к Н'с, т. е. сверхпроводящий переход
является фазовым переходом II рода. (Напомним, что для
массивных сверхпроводников переход является фазовым
переходом II рода, если он происходит в отсутствие поля,
и фазовым переходом I рода, если он происходит в магнит-
ном поле.) Характер перехода определяется неравенством
а У 5 А/2. Это теоретическое предсказание было пол-
ностью подтверждено Дугласом с помощью туннельной
методики (гл. 10).
Величины критических магнитных полей, вычислен-
ные на основании теории Гинзбурга — Ландау, для пре-
дельных случаев очень толстых и очень тонких пленок
не сильно отличаются от лондоновских. В промежуточном
случае, где решения должны быть получены численным
методом, теория Гинзбурга — Ландау не приводит
к существенно лучшему согласию с экспериментом, чем
теория Лондонов, если используются значения А, полу-
ченные из измерений на крупных образцах. Большим
успехом теории Гинзбурга — Ландау явилось правильное
предсказание изменения характера фазового перехода
при уменьшении толщины пленки, что не было достигнуто
теорией Лондонов.
§ 6. КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ
133
В теорию Гинзбурга — Ландау были внесены различ-
ные усовершенствования с целью улучшения количе-
ственного согласия с экспериментом. Однако теорети-
ческая интерпретация данных о критических полях тонких
пленок все еще остается не вполне удовлетворительной.
§ 6.	Краевые эффекты
Зависимость критического магнитного поля пленки
от ее толщины приводит к тому, что резкость сверхпро-
водящего перехода пленки в магнитном поле очень сильно
связана с состоянием ее краев. Как правило, пленки
___
Фиг. 49. Типичное поперечное сечение напылен-
ной пленки с утончающимися краями.
Правый край отрезан для получения правильной пря-
моугольной геометрии.
изготавливаются в форме полосок испарением сверхпро-
водящего металла на основу из изоляционного материала
(или подложку), закрытую специальным шаблоном с про-
резями. Поскольку шаблон никогда не соприкасается
с подложкой, а также из-за того, что атомы металла
способны передвигаться по подложке, прежде чем оконча-
тельно остановятся, края пленки не бывают резкими,
а обычно постепенно утончаются (фиг. 49). Края, более
тонкие, чем сама пленка, имеют более высокие критиче-
ские поля. При испытании на сверхпроводимость, когда
через пленку пропускают ток, следя за появлением паде-
ния напряжения между ее концами, края пленки остаются
сверхпроводящими после того, как сама пленка перешла
в нормальное состояние. Это приводит к двум последстви-
ям. Во-первых, напряженность магнитного поля, при
котором возникает разность потенциалов, может значи-
тельно превышать истинное критическое поле пленки,
и, во-вторых, поскольку края пленки не идеально одно-
родны по длине полоски, переход от нулевого до полного
сопротивления может продолжаться в довольно большой
134 ГЛ. 8. СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СВОЙСТВА МАЛЫХ ОБРАЗЦОВ
области значений магнитного поля. Для получения резко-
го перехода по сопротивлению при истинном значении
Фиг. 50. Влияние отрезания краев
тонкой пленки на сверхпроводящий
переход по сопротивлению.
критического поля края пленки обычно отрезают, как
показано на правой части фиг. 49. Влияние такой обра-
ботки пленки изображено на фиг. 50.
§ 7.	Переходы в перпендикулярных магнитных полях
До сих пор мы ограничивались рассмотрением слу-
чаев, когда магнитное поле было приложено параллельно
поверхности пленки. Поскольку толщина пленки всегда
мала по сравнению с двумя другими ее размерами, она
является по существу «длинным тонким образцом» (гл. 6),
размагничивающие эффекты которого пренебрежимо малы.
Однако, если магнитное поле приложено перпендикулярно
поверхности пленки, размагничивающие эффекты стано-
вятся весьма существенными. Если пленка имеет форму
сравнительно узкой полоски, ширина w которой много
меньше ее длины, но много больше ее толщины d, то мы
можем аппроксимировать такую полоску эллиптическим
цилиндром с осями поперечного сечения w и d. Размагни-
чивающий фактор такой фигуры п ж 1 — d!w. В соответ-
ствии с гл. 6 можно ожидать, что в перпендикулярном
магнитном поле пленка перейдет в промежуточное состоя-
ние при Нс (1 — п) ж Нс (d/w). Типичные величины, встре-
чающиеся на практике, равны w ~ 10-1 см и d « 10”5 см,
§ 8. КРИТИЧЕСКИЕ ТОКИ ТОНКИХ ОБРАЗЦОВ	135
так что d/w ~ 10-4. Поэтому можно было бы ожидать,
что пленка перейдет в нормальное состояние в бесконечно
слабом магнитном поле; фактически более чем достаточ-
ным для этого должно быть уже земное магнитное поле.
Однако практически это не так, поскольку теория проме-
жуточного состояния, в общих чертах описанная в гл. 6,
неприменима, когда толщина пленки становится сравни-
мой с глубиной проникновения. Это связано главным
образом с тем, что понятие поверхностной энергии, рас-
смотренное в гл. 6, нуждается теперь в существенной
модификации. Подробное обсуждение этого вопроса заве-
ло бы нас далеко за пределы целей и задач настоящей
книги. Согласно Тинкхаму, промежуточное состояние
в тонких пленках напоминает смешанное состояние
в сверхпроводниках второго рода (гл. 12) и может быть
описано с помощью вихревых токов.
Экспериментально было обнаружено, что в поперечных
магнитных полях тонкие пленки переходят в нормальное
состояние при значительно более низких напряженностях
поля, чем в параллельных полях, но все же не при таких
низких, как указанные в предыдущем параграфе. По этой
причине при проведении экспериментов с тонкими плен-
ками в параллельных магнитных полях необходимо
обеспечивать строгую параллельность пленки приложен-
ному полю, чтобы не возникала компонента поля, пер-
пендикулярная поверхности пленки. В случае наблюдения
сверхпроводящих переходов по сопротивлению это очень
легко обеспечить. Нужно установить магнитное поле
таким образом, чтобы восстанавливалась половина нор-
мального сопротивления, после чего поворачивать магнит
(или образец) до тех пор, пока не будет достигнут минимум
сопротивления, что соответствует максимальному значе-
нию критического поля.
§ 8.	Критические токи тонких образцов
Как мы уже видели, критический ток массивных
образцов можно вычислить из критического магнитного
поля с помощью правила Сильсби. Это означает, что
в отсутствие приложенного магнитного поля критическим
136
ГЛ. 8. СВЕРХПРОВОДЯЩИЙ СВОЙСТВА МАЛЫХ ОБРАЗЦОВ
является ток, который создает на поверхности образца
магнитное поле, равное критическому полю Нс. К сожа-
лению, это простое правило неприменимо к случаю образ-
цов, один или больше размеров которых сравнимы с X.
Если бы даже каким-то образом удалось приспособить
правило Сильсби к этому случаю, мы не знали бы, какое
критическое поле нужно использовать — критическое
поле массивного образца Нс или истинное критическое
поле маленьких образцов Н'с. Этот вопрос сложен и зави-
сит, кроме всего прочего, от распределения тока в пленке.
Поэтому нужно каким-либо образом вычислить распре-
деление тока, и мы для простоты будем следовать теории
Лондонов, несмотря на ее ограничения, о которых мы
упоминали выше. Полностью адекватная теория крити-
ческих токов тонких образцов еще не создана, но теория
Лондонов достаточно корректна для некоторого каче-
ственного описания ожидаемых эффектов.
Еще одна трудность связана с тем, что мы не можем
использовать простой термодинамический подход, при-
равнивая свободные энергии в сверхпроводящем и нор-
мальном состояниях, потому что, когда по образцу течет
ток переноса от какого-либо внешнего источника, сверх-
проводящий переход становится необратимым вследствие
непрерывной диссипации энергии в нормальном состоянии.
К счастью, Г. Лондон нашел выход из этого затруднитель-
ного положения. Он заметил, что в массивном сверхпро-
воднике критическое поле Нс можно рассматривать как
поле, создаваемое критическим током с плотностью Jc
(гл. 4). Чтобы проиллюстрировать этот принцип, рас-
смотрим частный случай, когда сверхпроводящая пласти-
на толщиной 2а находится в магнитном поле, параллель-
ном ее поверхностям (фиг. 44). Предположим, что ось х
направлена вдоль толщины пластины, поле приложено
по оси z и что размер пластины в направлении z много
больше 2а. Чтобы вытолкнуть поток из толщи пластины,
экранирующие токи должны течь параллельно оси у, как
и показано на фиг. 44. Мы уже видели, что решение урав-
нения Лондонов дает
В & = сЬ(а/Л) ^°#°’
§ 8. КРИТИЧЕСКИЕ ТОКИ ТОНКИХ ОБРАЗЦОВ
137
где х измеряется от середины пластины. Плотность тока
можно найти из уравнения Максвелла1) rotB = p,0J, кото-
рое для выбранной геометрии упрощается и имеет вид
т ____________________На 8М*Д)
Ро дх % ch(a/X)
График зависимости В и J от х приведен на фиг. 51.
Заметим, что, хотя направление В одинаково по всей
пластине, плотности тока в двух половинах направлены
Фиг. 51. Зависимость В и J от х
для пластины толщиной 2а в одно-
родном приложенном поле На.
в противоположные стороны. Плотность тока максимальна
на поверхности пластины, где ее значение равно
(Яа/%) th (а/%). Согласно постулату Лондонов, пластина
переходит в нормальное состояние, когда плотность тока
на поверхности достигает критического значения Jc. Одна-
ко мы знаем, что в случае толстых образцов (а %) пла-
стина переходит в нормальное состояние, когда На ~ Н<>,
и в этом случае th (а/%) -> 1, так что соотношение между
критической плотностью тока Jc и критическим магнитным
полем будет
(8.9)
х) Заметим, что мы записали это уравнение в терминах В,
а не в обычных терминах Н. Это сделано потому, что
J является плотностью не «свободного» тока ( приложение А),
а тока, индуцированного намагничиванием.
138 ГЛ. 8. СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СВОЙСТВА МАЛЫХ ОБРАЗЦОВ
Теперь предположим, что, вместо того чтобы прикла-
дывать к пластине внешнее магнитное поле Яа, мы про-
пускаем в направлении у ток величиной J на единицу
ширины пластины в направлении z. Плотность магнитного
потока 5, обусловленная этим током переноса, появится
как внутри, так и снаружи пластины. Из соображений
Фиг. 52. Зависимость В и J от л для
пластины толщиной 2а, несущей ток У
на единицу ширины.
симметрии очевидно, что в обеих половинах пластины
плотность тока переноса имеет одно и то же направление,
но В направлена противоположно. Необходимо поэтому
искать решение уравнений Лондонов в виде
В(х)~ -В(-х) и /(£) = /(-£).
Таким решением является
7(ж) = /(а)-Щ^
' 7	4 ' сп(а/л)
и
В=-цД“го1/=-|лД>^-
= -нЛЧ«)^.	(8.10)
Графики функций В (х) и J (х) изображены на фиг. 52.
Функция J (а) связана с током «7, приходящимся на единицу
§ 8. КРИТИЧЕСКИЕ ТОКИ ТОНКИХ ОБРАЗЦОВ
139
ширины, следующим соотношением:
а
J = j J (ж) dx = 2V (а) th (£) .
—а
Здесь опять плотность тока максимальна на поверхности,
и если мы, как и прежде, предположим, что пластина
начинает переходить в нормальное состояние, когда J (а)
достигает значения /с = Яс/%, то критический ток J'c
на единицу ширины пластины будет равен
J'c = 2VcthY = 2ffcthv.	(8.11)
Л	Л/
Если а %, то th(a/%)	1, и критический ток на единицу
ширины становится равным Jc = 2Не. Для этого случая
из (8.10) следует, что плотность магнитного потока на
поверхности равна [IqHc, т. е. напряженность магнитного
поля равна Яс, что согласуется с правилом Сильсби. Дру-
гими словами, для пластин толщиной, значительно пре-
вышающей 1, разрушение сверхпроводимости критическим
током плотностью Jc во всех отношениях эквивалентно
разрушению сверхпроводимости критическим магнитным
полем Нс. Заметим, что критический ток на единицу шири-
ны пластины не зависит от ее толщины, что и можно было
ожидать, поскольку все токи концентрируются у обеих
поверхностей в тонком слое, равном глубине проникнове-
ния.
В случае когда а сравнима с %, критический ток на
единицу ширины, согласно (8.11), равен
Х =	=	(8.12)
так что критический ток уменьшается на множитель
th(a/%), а критическое магнитное поле, наоборот, увели-
чивается. Если а %, то th(a/X) (а/%), и пропор-
циональна толщине пленки, что и можно было ожидать,
так как в этом случае ток почти однородно распределен
по поперечному сечению пленки.
Интересно вычислить магнитное поле на поверхности
пленки, когда сверхпроводимость разрушается током.
На основании уравнения (8.10) напряженность поля опре-
140
ГЛ. 8. СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СВОЙСТВА МАЛЫХ ОБРАЗЦОВ
деляется из | Н (а) | = V (a) th(a/%), и если J (а) —
— Jc — HJK, то
Я (а) «Яс th-2-.
Л
Поскольку th(a/X) < 1, мы видим, что при разрушении
сверхпроводимости током напряженность магнитного поля
на поверхности, которую мы обозначим через Hi, не только
меньше Н'с — величины внешнего поля, необходимого
для разрушения сверхпроводимости в отсутствие тока,—
но даже меньше критического поля Нс массивного образца.
Таким образом, здесь правило Сильсби ни в какой форме
не выполняется. Если а X, то Hi ж а мы уже
знаем из (&8), что в этом случае Н'с = V%HJJa, так что
HiH'c = YЗН%. Из теории Гинзбурга — Ландау полу-
чается по существу та же взаимосвязь между Hi, Н'еъ Нс,
но с множителем 4/3 вместо У"3.
§ 9. Измерение критических токов
Получить надежные данные о критическом токе тон-
ких пленок очень нелегко по двум причинам. Во-первых,
сложно изготовить образцы специальной геометрии и, во-
вторых, трудно предотвратить влияние джоулева тепла,
которое вносит неопределенность в полученные резуль-
таты.
При обсуждении, проведенном в § 7, предполагалось,
что ширина пленки в направлении z бесконечна, так что
плотность тока не зависит от и. Для пленки конечной шири-
ны это уже неверно. Если толщина пленки велика по срав-
нению с X, распределение тока на поверхности будет точно
таким же, как распределение заряда в проводнике с такой
же геометрией в электростатике (§ 3 гл. 2). Хорошо извест-
но, что заряд стремится сконцентрироваться в местах с наи-
большим радиусом кривизны, поэтому в случае прямо-
угольной сверхпроводящей пластины плотность тока будет
максимальной на ее краях.
Если толщина пластины сравнима с X, аналогия с элект-
ростатикой уже неполная, но по-прежнему плотность тока
максимальна на краях пластины (или пленки). В связи
с этим критический ток будет очень чувствителен к гео-
§ 9. измерение критических токов
141
метрической правильности пластины, а как мы видели в § 5,
трудно получить идеально правильные края, даже если
обрезать края пленки.
При измерениях критических токов тонких пленок ча-
сто возникают осложнения, связанные со «слабыми места-
ми» пленок — с областями, которые оказываются либо уже,
либо тоньше остальной пленки, либо имеют несколько
иные металлургические свойства. Эти слабые места могут
перейти в нормальное состояние при токах, меньших
истинного критического тока пленки, и нормальная об-
ласть в результате теплового распространения может
разрастись по всей пленке (§ 2 гл. 7). Этой трудности
можно избежать, если пользоваться токами в виде корот-
ких импульсов (скажем, 1/10 мкс или меньше), во время
которых тепло не успевает заметно распространиться.
Можно также напылять пленки на подложки с высокой
теплопроводностью, которые находятся в хорошем тепло-
вом контакте с жидким гелием.
Наиболее тщательные эксперименты по измерениям кри-
тических токов тонких пленок были, по-видимому, прове-
дены Гловером и Коффи, которые вычисляли распределе-
ние тока с помощью уравнений Лондонов и полагали, что
пленка переходит в нормальное состояние, когда плот-
ность тока на краях узкой полосы достигает значения Jc.
Их результаты согласуются с существованием критиче-
ской плотности тока, и найденное ими значение Jc для
олова при 0 К равно примерно 2 *107 А/см2.
ГЛАВА 9
МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
До сих пор мы рассматривали сверхпроводимость
с чисто феноменологической точки зрения, т. е. мы пред-
полагали, что некоторые электроны становятся сверхпро-
водящими и в отличие от нормальных электронов обладают
таинственным свойством двигаться по металлу без каких-
либо помех. Затем мы обсудили, какие ограничения накла-
дывают на коллективные свойства электронов законы элект-
ромагнетизма и термодинамики. В настоящей главе мы
копнем несколько глубже и попытаемся объяснить с микро-
скопической точки зрения, каким образом возникает это
свойство сверхпроводящих электронов. Полная микро-
скопическая теория сверхпроводимости исключительно
сложна и требует хорошего знания квантовой механики.
В рамках настоящей книги мы можем лишь дать краткий
обзор лежащих в ее основе физических принципов.
§ 1.	Краткий обзор свойств сверхпроводящего состояния
Чтобы получить некоторые представления о природе
сверхпроводимости, полезно вновь перечислить наиболее
важные свойства сверхпроводников.
1.	Нулевое сопротивление
Как мы видели в гл. 1, сопротивление сверхпровод-
ника равно нулю как при постоянном токе, так и при пере-
менных токах не очень высокой частоты. С другой стороны,
сверхпроводник отражает и поглощает видимое излуче-
ние одинаково в сверхпроводящем и нормальном состоя-
ниях (сверхпроводник не изменяет своего вида при охлаж-
§ 1. СВОЙСТВА СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО СОСТОЯНИЯ
143
Частота 1 Гц
Фиг. 53. Коэффициент отра-
жения различных металлов в
инфракрасной области при
1,3 К (Ричардс и Тинкхам).
Значения по ординате пропорцио-
нальны разности между коэффи-
циентами отражения в сверхпрово-
дящем и нормальном состояниях.
дении ниже его температуры перехода). Поскольку опти-
ческие свойства уравнениями Максвелла связаны с сопро-
тивлением, мы заключаем, что на оптических частотах
сопротивление в сверхпрово-
дящем и нормальном состоя-
ниях одинаково.
Сопротивление начинает
появляться при частотах, со-
ответствующих микроволно-
вой или далекой инфракрас-
ной области спектра. На
фиг. 53 показана зависимость
от частоты разности коэффи-
циентов отражения сверхпро-
водника в сверхпроводящем и
нормальном состояниях для
трех типичных металлов. Все
кривые примерно аналогичны
по форме с плавным падением
до нуля, начинающимся при
частоте v0, которая меняет-
ся от металла к металлу.
Значение v0 данного металла
зависит от температуры и
стремится к нулю с повышением температуры до кри-
тической, что несколько напоминает температурную зави-
симость критического магнитного поля. Существенно ниже
критической температуры v0 практически постоянна и рав-
на для индия 3*10п Гц.
2.	Кристаллическая структура
Изучение кристаллической структуры сверхпровод-
ников с помощью рентгеновской кристаллографии пока-
зало, что при охлаждении металла ниже его критической
температуры не происходит никаких изменений ни в сим-
метрии кристаллической решетки, ни в ее параметрах.
Оказалось также, что свойства, зависящие от колебаний
кристаллической решетки, такие, как температура Дебая 0
и решеточный вклад в теплоемкость,— одни и те же в нор-
мальной и сверхпроводящей фазах. Поэтому вполне оче-
144 ГЛ. 9. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
видно, что сверхпроводимость не связана с каким-либо
изменением свойств кристаллической решетки.
3.	Электронная теплоемкость
Как мы видели в гл. 5, теплоемкость нормального
металла при низких температурах имеет вид
Сп = ^)3 + тТ,
где первый член соответствует теплоемкости решетки,
а второй — теплоемкости электронов проводимости. Одна-
ко, если сверхпроводник охлажден ниже его критической
температуры в отсутствие магнитного поля, ситуация изме-
няется. Во-первых, происходит очень заметный скачок
теплоемкости без появления скрытой теплоты; это указы-
вает на то, что сверхпроводящий переход является фазо-
вым переходом II рода. Во-вторых, при очень низких тем-
пературах теплоемкость определяется выражением типа
Св = А (^34-ае-ьмт.
Значение коэффициента А не изменяется при разрушении
сверхпроводимости магнитным полем, что еще раз под-
тверждает постоянство теплоемкости решетки. Однако
вклад, вносимый в теплоемкость электронами проводимости,
сильно меняется. Из этого следует, что сверхпроводящее
состояние связано с какими-то коренными изменениями
поведения электронов проводимости. 4
4. Дальний порядок
Из различных источников получены веские доказа-
тельства в пользу того, что сверхпроводящие электроны
обладают неким дальним порядком. Например, из суще-
ствования положительной поверхностной энергии (гл. 6)
следует, что граница между нормальной и сверхпроводя-
щей областями не может быть резкой и что свойства между
этими областями меняются постепенно на расстоянии,
§ 1. СВОЙСТВА СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО СОСТОЯНИЯ
145
которое для сверхпроводников I рода составляет пример-
но 10-4 см. Используя представления двухжидкостной
модели (гл. 1), можно сказать, что концентрация сверх-
проводящих электронов не может резко упасть до нуля на
границе между сверхпроводящей и нормальной областями,
а снижается постепенно на расстоянии названном Пип-
пардом длиной когерентности. Для чистых металлов эта
длина порядка 10~4 см. Фигурально выражаясь, сверхпро-
водящие электроны каким-то образом чувствуют сущест-
вование таких же электронов, расположенных на расстоя-
нии примерно 10"4 см, и соответственно меняют свое пове-
дение. По этой причине сверхпроводимость часто назы-
вают кооперативным явлением. Как мы увидим в гл. 11,
существуют еще более удивительные интерференционные
явления, которые свидетельствуют о том, что сверхпрово-
дящие электроны сохраняют некую фазовую когерент-
ность на макроскопически больших расстояниях — порядка
метров.
б. Изотопический эффект
Другим экспериментальным результатом, давшим
существенный толчок к созданию теории сверхпроводимо-
сти, было открытие, сделанное в 1950 г. Максвеллом и не-
зависимо Рейнольдсом, Серином, Райтом и Незбиттом.
Они обнаружили, что сверхпроводящие образцы, изготов-
ленные из различных изотопов данного элемента, облада-
ют различными критическими температурами. Во многих
случаях критическая температура оказывается обратно
пропорциональной корню квадратному из массы изотопа.
Таким образом, хотя при сверхпроводящем переходе
и не наблюдается каких-либо изменений в самой атомной
решетке (см. п. 2 настоящего параграфа), тем не менее она
должна играть весьма существенную роль в изменении
свойств электронов проводимости.
6. Эффект Мейсснера
Со многих точек зрения эффект Мейсснера является
наиболее фундаментальным свойством сверхпроводников;
действительно, существование нулевогр сопротивдениц
10-
146 ГЛ. 9- МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
с необходимостью следует из этого эффекта, поскольку диа-
магнитные экранирующие токи постоянны во времени и не
затухают в неизменяющемся приложенном поле.
Микроскопическая теория, к изложению которой мы
собираемся приступить, объясняет эффект Мейсснера.
Трудно, однако, изложить это объяснение в рамках на-
стоящей книги, и оно несущественно для элементарного
понимания сверхпроводимости.
§ 2. Понятие энергетической щели
Читатель, имеющий некоторое представление о полу-
проводниках, мог заметить сходство между кривыми на
фиг. 53 и соответствующей кривой поглощения инфракрас-
ного излучения в полупроводниках. Общие свойства обеих
кривых почти идентичны, но с той существенной разницей,
что в случае полупроводников «край» поглощения (т. е.
резкий скачок в поглощении) наблюдается при частотах,
примерно на три порядка больших, чем в случае сверхпро-
водников.
Поглощение излучения в полупроводниках теперь объ-
яснено полностью. В энергетическом спектре полупровод-
ников существует «энергетическая щель», отделяющая
верхнюю границу заполненной валентной зоны электрон-
ных энергетических уровней от нижней границы незапол-
ненной зоны проводимости. Если частота приходящего
излучения достаточно высока, чтобы энергия фотона hv
превысила энергетическую щель, фотоны могут перебро-
сить электрон из валентной зоны в зону проводимости,
в то же время поглощаясь при этом процессе.
Естественно предположить, что нечто подобное про-
исходит и в случае сверхпроводника: излучение сильно
поглощается, когда энергия фотона достаточно велика для
переброса электронов через некоторую энергетическую
щель. Поскольку в сверхпроводниках поглощение начи-
нается на частотах, больших 1011 Гц, энергетическая щель
должна быть порядка 10“4 эВ. Если выразить ширину
щели через кТ, то оказывается, что Т должно быть поряд-
ка 1 К, что по порядку величины соответствует кри-
тическим температурам сверхпроводников. Важность этого
вывода станет ясна ниже»
§ 2. ПОНЯТИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ЩЕЛИ
147
Другие доказательства в пользу существования какого-
то вида энергетической щели в электронном спектре при-
носят данные о теплоемкости. Как отмечалось выше, при
очень низких температурах вклад, вносимый в теплоем-
кость электронами проводимости в сверхпроводящем со-
стоянии, пропорционален е~ъ?кт. Такую именно зависи-
мость нужно ожидать при наличии энергетической щели.
Когда температура повышается, электроны в результате
теплового движения возбуждаются над щелью, при этом
каждый из них поглощает количество энергии, равное
величине энергетической щели Eg. Из простых соображе-
ний статистической механики следует, что при темпера-
туре Т число электронов на энергетических уровнях над
щелью пропорционально e-Ezf2hT, где к — постоянная
Больцмана. Тепловая энергия, поглощаемая при возбуж-
дении электронов проводимости, пропорциональна, таким
образом, Ege~Egf2hT. Теплоемкость, связанная с этим про-
цессом, пропорциональна производной энергии по тем-
пературе, т. е. (1/Г2) e~Ez/2kT. Член Т~2 изменяется с тем-
пературой медленнее, чем экспонента, так что зависимость
теплоемкости от температуры должна быть почти экспонен-
циальной.
Можно также показать, что факт существования щели
в энергетическом спектре электронов проводимости при
определенных условиях объясняет эффект Мейсснера,
но обоснование этого утверждения не укладывается в рам-
ки настоящей книги. Другие эксперименты, такие, как
туннелирование (гл. 10), дают дополнительные доказа-
тельства в пользу существования энергетической щели
в сверхпроводящем состоянии, и мы можем теперь считать
эту концепцию полностью установленной х).
*) Нужно, однако, отметить, что существует особая категория
сверхпроводников (например, индий, содержащий около 1%
примеси железа), которые не обнаруживают энергетической
щели при туннельных экспериментах (гл. 10). Предполагают,
что в этих сверхпроводниках фактически существует не щель,
а минимум в плотности состояний на поверхности Ферми.
Эти «бесщелевые» сверхпроводники не типичны; все сверх-
проводники, являющиеся элементами периодической системы,
и большинство сплавов обнаруживают существование четко
выраженной энергетической щели.
10*
148	^Л. 9. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
§ 3. Теория Бардина — Купера — Шриффера
1.	Постановка задачи
Итак, любая удовлетворительная микроскопическая
теория сверхпроводимости должна быть способна объяс-
нить следующие факты:
а)	Сверхпроводимость связана по существу с какими-
то глубокими изменениями в свойствах электронов прово-
димости. Эти изменения проявляются в возникновении
дальнего порядка и энергетической щели величиной около
10-4 эВ
б)	Свойства кристаллической решетки никак не меня-
ются, но она тем не менее должна играть важную роль
в установлении сверхпроводимости, поскольку критиче-
ская температура зависит от массы атома (изотопический
эффект).
в)	Сверхпроводящий переход является фазовым пере-
ходом второго рода.
Существование дальнего порядка означает, что элект-
роны должны взаимодействовать друг с другом. Конечно,
уже давно известно, что электроны в металле сильно взаи-
модействуют друг с другом в результате кулоновского
отталкивания, и удивительно поэтому, что обычная теория
свободных электронов для металлов и полупроводников,
которая пренебрегает этим отталкиванием, приводит
к таким хорошим результатам. Трудно, однако, поверить,
что кулоновское отталкивание ответственно за сверхпро-
водимость, поскольку неясно, каким образом такое оттал-
кивание может привести к появлению энергетической
щели. Даже если бы кулоновское взаимодействие заклю-
чалось в притяжении, а не в отталкивании, оно все равно
слишком велико для образования наблюдаемой очень
маленькой энергетической щели. Кажущееся отсутствие
какого-либо механизма слабого притяжения являлось
в течение некоторого времени камнем преткновения
на пути создания микроскопической теории сверхпроводи-
мости.
2.	Электрон-фононное взаимодействие
Электроны можно представить в виде волн, и по
идеальной кристаллической решетке без тепловых коле-
баний (т. е. охлажденной до абсолютного нуля) эти волны
§ 3. ТЕОРИЯ БАРДИНА — КУПЕРА — ШРЙФФЕРА
149
будут свободно распространяться без затухания таким же
образом, как электрические волны могут проходить без
затухания через идеальный периодический фильтр. Одна-
ко если тепловые колебания нарушают идеальную перио-
дичность решетки, она ведет себя как периодический
фильтр, в котором значения какой-либо компоненты (емко-
сти или самоиндукции) флуктуируют случайным образом.
Это приводит к частичному отражению волны. Аналогич-
ным образом при встрече электрона с каким-то отклоне-
нием кристаллической решетки от идеальной периодич-
ности существует некоторая вероятность его рассеяния
или отражения. Мы говорим, что электрон взаимодей-
ствует с решеткой, и называем это взаимодействие элект-
рон-фононным взаимодействием. Именно это электрон-фо-
нонное взаимодействие определяет удельное сопротивле-
ние чистых металлов и полупроводников при комнатных
температурах. Поскольку и энергия, и импульс при рас-
сеянии электрона должны сохраняться, в процессе рас-
сеяния должно возбуждаться одно из нормальных коле-
баний решетки. Это колебательное движение квантуется,
поэтому мы говорим об излучении (или поглощении)
фонона. Фонон имеет то же отношение к звуковой волне,
что и фотон — к световой.
Первый шаг на пути создания микроскопической тео-
рии сделал в 1950 г. Фрёлих, который отметил, что элек-
трон-фононное взаимодействие может связать вместе два
электрона таким образом, что между ними возникает пря-
мое взаимодействие. В постулированном взаимодействии
один электрон испускает фонон, который немедленно погло-
щается другим электроном. Фрёлих показал, что при опре-
деленных условиях это испускание с последующим погло-
щением фонона будет приводить к слабому притяжению
между электронами, которое может обусловить появле-
ние энергетической щели с величиной необходимого поряд-
ка. Можно считать, что взаимодействие между электрона-
ми осуществляется через фононы х).
х) Макроскопический процесс, в котором взаимодействие между
двумя частицами возникает в результате их обмена третьей
частицей, можно рассматривать следующим образом. Пред-
положим, что один конькобежец бросил мяч другому конь-
150	9. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
Взаимодействие Фрёлиха можно изобразить схемати-
чески, как это сделано на фиг. 54, где прямые линии соот-
ветствуют траектории электрона, а волнообразная линия
изображает фонон. В процессе испускания фонона импульс
сохраняется, поэтому для электрона, испускающего фонон,
можно написать
Pi = Pi + q-
(9-1)
Фиг. 54. Схематическое
изображение электрон-
электронного взаимодей-
ствия, передаваемого фо-
ноном.
Здесь pi — импульс до рассеяния, р'А — импульс после
рассеяния, a q — импульс фонона, величина которого рав-
на q = hvq/s, где vq — частота фо-
нона и 5 — скорость звука. (Это
аналогично выражению для им-
пульса фотона.) Таким же образом,
когда второй электрон поглощает
фонон, импульс его изменяется от
р2 до р', так что
p2+q=P2-
Из (9.1) и (9.2) получаем
Р1+Р2-Р'1 + Р2,
(9-2)
(9-3)
что означает, как и следовало ожи-
дать, сохранение импульса в на-
чальном и конечном состояниях.
С другой стороны, несмотря на не-
обходимость сохранения энергии
при переходе от начального к конечному состоянию, она не
должна сохраняться при переходе от начального к проме-
жуточному состоянию (т. е. такому состоянию, в котором
первый электрон уже испустил фонон, а второй электрон
еще его не поглотил) или при переходе от промежуточного
к конечному состоянию. Такое несохранение энергии воз-
можно в силу соотношения неопределенности между энер-
кобежцу. Тогда в силу сохранения импульса в процессе бро-
сания и поимки мяча каждый конькобежец получит импульс,
который заставит его отдалиться от своего партнера. Между
конькобежцами возникнет отталкивание, несмотря на то что
непосредственно они не взаимодействуют. Мы можем превра-
тить это взаимодействие в притяжение, заменив мяч буме-
рангом, если первый конькобежец кидает его в направлении
от своего партнера.
§ 3. ТЕОРИЯ БАРДИНА — КУПЕРА — ШРИФФЕРА
151
гией и временем, которое имеет вид ~ Ji. Если вре-
мя жизни промежуточного состояния &t очень мало, то
возникнет большая неопределенность AF в энергии, так
что эта энергия не обязательно должна сохраняться в про-
цессах испускания и поглощения. Такие процессы, в кото-
рых не сохраняется энергия, известны как виртуальные
процессы, и виртуальное испускание фонона возможно
только тогда, когда существует второй электрон, способ-
ный его немедленно поглотить.
Из подробного квантовомеханического рассмотрения
процесса следует, что если	< hvq, где 81 и ej -
энергии первого электрона до и после виртуального ис-
пускания фонона, то результатом процессов испускания
и поглощения будет притяжение между двумя электрона-
ми. Кроме этого, конечно, между электронами действует
кулоновское отталкивание. Будет ли суммарное взаимодей-
ствие притяжением, зависит от того, превышает вызванное
фононом притяжение кулоновское отталкивание или нет.
Предположение Фрёлиха о том, что взаимодействием,
ответственным за сверхпроводимость, является взаимодей-
ствие с участием колебаний решетки (или фононов), дало
ему возможность предсказать изотопический эффект, преж-
де чем он был открыт экспериментально. Связь сверхпро-
водимости с электрон-фононным взаимодействием объяс-
няет также, почему сверхпроводники являются плохими
проводниками в нормальном состоянии. Например, сви-
нец, обладающий одной из наиболее высоких критических
температур, должен иметь весьма сильное электрон-фо-
нонное взаимодействие, и в результате этого он плохо про-
водит при комнатных температурах. Благородные же ме-
таллы золото и серебро, которые являются очень хороши-
ми проводниками при комнатной температуре, должны
характеризоваться слабым электрон-фононным взаимодей-
ствием и не становятся сверхпроводниками даже при самых
низких температурах, достигнутых в настоящее время.
3.	Куперовские пары
Теперь подытожим свойства электронов проводи-
мости в нормальных металлах. Почти во всех случаях
можно пренебрегать взаимодействием между электронами
152 ГЛ. 9. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
в нормальном состоянии и считать, что каждый электрон
имеет индивидуальную энергию 8 и импульс р. Поскольку
волновая функция электрона должна удовлетворять опре-
деленным граничным условиям, в данной области энер-
гий существует конечное число собственных состояний,
каждое из которых имеет
1}о
О	£
Фиг. 55. Вероятность того,
что квантовое состояние с ки-
нетической энергией е заполне-
но электроном (случай нор-
мального металла при абсо-
лютном нуле).

энергию & и импульс р, опре-
деленные с точностью, допу-
скаемой соотношением не-
определенности. Вероятность
того, что данное собственное
состояние заполнено электро-
ном, определяется тогда рас-
пределением Ферми — Ди-
рака
/ (6) = е(8-8г)/ЛТ+1 >
где 8р — энергия Ферми.
При абсолютном нуле функ-
ция Ферми — Дирака принимает вид ступенчатой функ-
ции, которая изображена на фиг. 55. Точки, соответст-
вующие импульсам электронов в трехмерном импульсном
пространстве, образуют сферу радиусом известную
как сфера Ферми, где
Pf — V” 2?718р.
Вслед за предположением Фрёлиха, что электрон-электрон-
ное взаимодействие может осуществляться с помощью
фононов, следующий шаг к созданию микроскопической
теории был сделан Купером [12]. Он рассмотрел, что
происходит, когда к металлу при абсолютном нуле добав-
ляются два электрона, которые вынуждены в силу прин-
ципа Паули заполнить состояния с р > Pf (фиг. 56).
Купер смог показать, что, если между электронами суще-
ствует притяжение, но слабое, они могут образовать свя-
занное состояние, и их полная энергия будет меньше 2ер.
Чтобы понять, как это происходит, воспользуемся эле-
ментарными представлениями квантовой механики, не при-
бегай к строгим выкладкам.
§ 3. ТЕОРИЯ БАРДИЙА — КУЙЁРА — ШРЙФФЁРА
153
Рассмотрим сначала случай двух невзаимодействующих
электронов с импульсами pi и р2.
В этом случае волновая функция двух электронов
ф Уь 2Ь pi, х2, у2, z2, р2), определяющая вероятность
того, что электрон с импульсом pi находится в точке
(#i, У1, Zi), в то время как электрон с импульсом р2 на-
ходится в точке (я2, у2, z2), является просто произведе-
нием двух одноэлектронных волновых функций ф (а?!,
Фиг. 56. Задача Купера: два электрона взаимо-
действуют над заполненным «морем Ферми».
На диаграмме, представляющей собой часть импульсного
пространства, изображены импульсы электронов. Электроны
проводимости в нормальном металле имеют импульсы, рав-
номерно распределенные внутри сферы радиусом рр. Два
добавочных электрона имеют импульсы рх и р2, изображен-
ные точками за пределами сферы. Результирующий момент
Р сохраняется в процессе рассеяния, в котором индивидуаль-
ные моменты изменяются от р1э р2 до р{, рг.
i/i, 2i, pi) и ф (х2, у2, z2, р2). Считая, что зависимость
от пространственных координат известна, напишем для
краткости х)
Ф(Р1> р2)=(Р1) *ф (р2) 
Функции ф будут просто плоскими волнами, или, точнее,
волновыми функциями Блоха. Если между парами элек-
х) Читатель, немного знакомый с квантовой механикой, заме-
тит, что правая часть этого равенства должна была бы пред-
ставлять собой соответствующим образом антисимметризо-
ванную сумму произведений пространственных и спиновых
волновых функций, но это привело бы к усложнению, в на-
стоящей книге не оправданному.
154 ГЛ. 9. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
тронов существует взаимодействие, вызывающее рассея-
ние электронов с последующим изменением их импульсов,
это приводит к «смешиванию» волновых функций. Поэтому
двухэлектронные волновые функции превращаются в сум-
му волновых функций, отвечающих широкому интервалу
импульсов:
Ф (xif У!, Zt, х2, уг, z2) = 3 (рь р,) =
г, Э
== 3 «г/Ф (Pi) “Ф (Р>)-	(9.4)
г, i
Волновую функцию Ф можно интерпретировать как функ-
цию, соответствующую многократному рассеянию двух
электронов друг на друге, с постоянным изменением их
индивидуальных импульсов, причем |а^ |2дает вероятность
обнаружения в любой момент времени электронов с инди-
видуальными импульсами и р7-. При каждом рассеянии
полный импульс двух электронов сохраняется, поэтому
должно выполняться условие рг- + р7- = const = Р. В про-
цессе рассеяния электроны взаимодействуют друг с дру-
гом, и, если это взаимодействие отвечает притяжению,
результирующая потенциальная энергия будет отрица-
тельной. Следовательно, за период времени, в течение
которого происходит многократное рассеяние, энергия
двух электронов уменьшается на эту усредненную по вре-
мени отрицательную потенциальную энергию1). Вели-
чина этого уменьшения пропорциональна числу проис-
ходящих актов рассеяния, т. е. числу способов, которыми
можно выбрать два члена из волновой функции Ф. Ока-
залось, что достаточно хорошим приближением является
предположение, что при каждом рассеянии в потенциаль-
ную энергию вносится один и тот же вклад, равный
—У. (На языке квантовой механики —У есть «матричный
элемент» взаимодействия, связывающего двухэлектронные
состояния с одним и тем же полным импульсом, и мы пред-
г) Здесь по существу дано образное описание квантовомехани-
ческой теории возмущений. Строго говоря, возмущенная вол-
новая функция Ф отвечает стационарному состоянию,
и мы не должны говорить об усреднении по времени. Однако
для наших целей такое описание вполне пригодно.
§ 3. ТЕОРИЯ БАРДИНА — КУПЕРА — ШРИФФЕРА
155
полагаем, что V не зависит от индивидуальных импульсов
электронов.)
Мы пока еще ничего не сказали о природе взаимодей-
ствия, кроме требования, чтобы оно являлось притяже-
нием. Если взаимодействие будет таким, как описано
в п. 2 § 3, т. е. будет обусловлено] виртуальным испу-
сканием и поглощением фонона, то из детальной теории
следует, что вероятность рассеяния будет значительна,
только если разность энергий в начальном и промежу-
точном состояниях (е'4 + hvq — в обозначениях, вве-
денных в п. 2 § 3) мала, т. е если 8i — е' hvq. Если
рассматривать металл при абсолютном нуле с добавлен-
ными к нему двумя электронами, то все собственные состоя-
ния с энергиями до &F будут заполнены и, чтобы не нару-
шался принцип Паули, 81 и е' должны быть больше &F г).
Наименьшие значения £i и е4, превышающие &F и в то же
время удовлетворяющие условию 81 — е' hvq, лежат
в интервале hvL около &F, где vL — «средняя» частота
фононов, типичная для решетки,— равна примерно поло-
вине дебаевской частоты. Поскольку е = р2/2тп, это
ограничение разрешенных значений 84 и е' означает,
что pi и р\ должны лежать в интервале Др = mhvLlpF
вблизи импульса Ферми pF. Все пары со значениями pt
и ру, входящие в волновую функцию Ф, должны удов-
летворять условию + р; = Р; разрешенные значения Р
можно найти из схемы, изображенной на фиг. 57. Все эти
импульсы начинаются или кончаются в кольце, поперечное
сечение которого заштриховано. Число таких пар про-
порционально объему этого кольца и имеет очень острый
максимум при Р = 0, когда кольцо становится полной
сферической оболочкой толщиной Др. Таким образом,
наибольшее число разрешенных процессов рассеяния, при-
водящих к максимальному понижению энергии, получается,
когда электроны с равными и противоположно направлен-
ными импульсами образуют пары. Из детального кван-
товомеханического рассмотрения следует также, что ма-
тричный элемент V будет максимальным, а понижение
х) Здесь и впоследствии через 8 обозначаем кинетическую энер-
гию р2/2т. Сюда не входит потенциальная энергия, возни-
кающая при электрон-фононном взаимодействии.
156 ГЛ. 9. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
энергии — наивысшим, если два электрона имеют проти-
воположные спины. Этот результат, получающийся при
рассмотрении пространственной симметрии волновой функ-
ции, аналогичен тому факту, что основное состояние
молекулы водорода также имеет противоположно направ-
ленные спины.
Таким образом, чтобы волновая функция Ф представ-
ляла два электрона с наинизшей возможной потенциаль-
Ф и г. 57. Две оболочки радиусом pF л толщиной
Др = mhvLlpF, центры которых расположены на рас-
стоянии вектора Р. (Диаграмма обладает аксиальной
симметрией относительно вектора Р.) Все пары с им-
пульсами pj и р7«, удовлетворяющими соотношению
Pi + Р; = Р, можно образовать, как показано на фи-
гуре. Число таких пар пропорционально объему в р-
пространстве кольца, поперечное сечение которого за-
штриховано. Этот объем имеет острый максимум при
Р = 0 (Купер).
ной энергией, существенно, чтобы она состояла из вол-
новых функций типа ф (pf) ф (“Р|), где первый член
описывает электрон с импульсом р и со спином, направ-
ленным вверх, а второй член соответствует электрону
с импульсом —р и со спином, направленным вниз. Теперь
уравнение (9.4) принимает вид
Ф(^1> Pi. х2, y2,z8) = 3 (Pi t > — Pi4).	(9.5)
где
Ф (р* t»— Pi!) = 4(pd)4(—Pj|),
и вместо ац мы пишем а^ Волновая функция (9.5) опи-
сывает так называемые куперовские пары. Чтобы получить
§ 3. ТЕОРИЯ БАРДИНА — КУПЕРА — ШРИФФЕРА
157
полную энергию двух электронов, мы должны к их потен-
циальной энергии добавить полную кинетическую энергию,
связанную с их импульсами. Она равна
^ ?№(£)
Поскольку единственными разрешенными для двух элек-
тронов являются состояния с р > pF, а также в силу сле-
дующего из нормировки Ф условия, что S | at |2 = 1,
кинетическая энергия должна превышать величину
2p*F!2m = 2ър. Наиболее важный результат анализа, про-
веденного Купером, заключается в том, что при образо-
вании пары из электронов с равными и противоположно
направленными импульсами понижение потенциальной энер-
гии, обусловленное взаимодействием, превышает величину
разности между кинетической энергией и 2ек. Следова-
тельно, если два электрона приходят в состояние, описы-
ваемое волновой функцией Ф, в котором они постоянно
рассеиваются между состояниями с равными и противо-
положно направленными импульсами, лежащими в интер-
вале А/? = mhvL/&F, то полная энергия системы будет
меньше энергии, которая имелась бы, если бы электроны
перешли в состояния с импульсами, расположенными в
в бесконечно малом интервале над pF, но при этом не
взаимодействовали между собой.
4. Сверхпроводящее основное состояние
Рассмотренная Купером задача несколько нереальна,
поскольку в ней взаимодействуют лишь два электрона.
В кубическом сантиметре металла содержится около
1023 электронов проводимости, и если учет взаимодей-
ствия двух электронов явно улучшает теорию, которая
игнорировала взаимодействие между ними, то почему
не пойти дальше? Не нужно ли учесть взаимодействия
между тремя и более электронами? Огромным достиже-
нием в развитии микроскопической теории сверхпрово-
димости была появившаяся в 1957 г. теория Бардина,
Купера и Шриффера [13], которые смогли обобщить про-
стые результаты Купера на случай многих взаимодей-
ствующих электронов. Фундаментальное предположение
158 ГЛ. 9. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
теории Бардина — Купера — Шриффера (БКШ) заклю-
чается в том, что единственными существенными для
сверхпроводимости взаимодействиями являются взаимо-
действия между двумя любыми электронами, которые
образовали куперовскую пару. Влияние остальных элект-
ронов на любую пару заключается лишь в том, что вслед-
ствие принципа Паули число состояний, в которые могут
рассеиваться взаимодействующие пары, ограничено, по-
скольку некоторые из состояний уже заполнены.
Описанные выше результаты Купера относятся к слу-
чаю, когда два электрона добавлены к металлу, находя-
щемуся при абсолютном нуле. Однако эти результаты
в равной степени применимы в ситуации, когда два уже
принадлежащих металлу электрона с импульсами, мень-
шими pF на бесконечно малую величину, превращаются
в куперовскую пару с равными и противоположно на-
правленными импульсами [этой паре отвечает волновая
функция Ф (9.5)]. Возникающее в результате взаимодей-
ствия понижение потенциальной энергии пары превышает
увеличение ее кинетической энергии (по отношению к 2ер).
Следовательно, если вначале металл находится при
абсолютном нуле с распределением электронов, анало-
гичным изображенному на фиг. 55, можно образовать
состояние с более низкой энергией, удалив два электрона
с импульсом р, немного меньшим, чем и разрешив им
соединиться в куперовскую пару. Если это можно так
сделать для одной пары, то можно сделать и для многих
пар, еще больше понизив энергию. Это возможно, посколь-
ку одной и той же волновой функцией Ф в форме (9.5)
может быть представлена более чем одна пара электронов.
В этом случае все сверхпроводящие электроны можно
представить с помощью многоэлектронной волновой функ-
ции TG, которая является произведением волновых функ-
ций пар 1)
(гп Г2, . . . , Гп8) = Ф (Ti, Г2) Ф (г3, Г4) . . . Ф (r„s_!, ГПв).
(9.6)
Здесь ns/2 — полное число пар, гп означает координаты
(хп, Ут zn) и-го электрона и функции Ф справа одинаковы
для всех пар.
Примечание на стр. 153 об антисимметрии здесь также уместно»
§ 5. ТЕОРИЯ БАРДИНА — КУПЕРА — ДЩИФФЕРА

Необходимо помнить, что, хотя для ясности мы и не
включили координаты в правую часть уравнения (9.5),
функции <р содержат эти координаты в неявном виде,
как отмечалось на стр. 153. Действительно, поскольку
функции ф, введенные на стр. 153, являются плоскими
волнами, пропорциональными exp(fp-rM), каждая ф-
функция в правой части (9.5) есть функция от rn_i — гп.
Многоэлектронная волновая функция (9.6) дает веро-
ятность отыскания электрона в точке гь в то время как
другой электрон находится в г2, и т. д. независимо от их
импульсов. Тот факт, что мы можем записать такую вол-
новую функцию, в которой все индивидуальные пары
представлены функциями (9.5), показывает, что число
куперовских пар, которые могут быть представлены вол-
новыми функциями типа (9.5), неограниченно, и мы можем
рассматривать каждую пару как сложную частицу, к ко-
торой принцип Паули в своей простейшей форме непри-
меним. Другими словами, пару можно рассматривать
как частицу, подчиняющуюся статистике Бозе — Эйн-
штейна. Итак, все куперовские пары находятся в одном
и том же квантовом состоянии с одинаковой энергией;
как мы увидим позже, это их свойство окажется очень
существенным.
На первый взгляд может показаться, что число эле-
ктронов, которые могут из состояния с импульсом р<Рг
образовать куперовские пары с одновременным пониже-
нием полной энергии, неограниченно и что в конце концов
все электроны могут иметь р > pF\
Однако это очевидный абсурд, и нетрудно доказать,
почему. Чтобы электронная пара могла рассеиваться из
(Pit, —Pit) в (рЛ ~Р/4), состояния (р^ф, — должны
быть заполнены, а состояния (р>f, —рД) должны быть
незаполнены. По мере того как все больше и больше
электронов образует куперовские пары с р > pF, вероят-
ность нахождения незаполненного состояния (р,f, —ру|)
становится все меньше и меньше, так что число процессов
рассеяния уменьшается с последующим понижением ве-
личины отрицательной потенциальной энергии. В конце
концов создаются условия, при которых понижение потен-
циальной энергии уже недостаточно для преодоления
увеличения кинетической энергии, и дальше понизить
160 м. 9. МИЙРОСЙОЙЙЧЁСКАЙТЁОЁЙЯ СВЁРХЙЁОЁОДЙМОСМ
полную энергию электронов за счет образования купе-
ровских пар становится невозможно.
Должны существовать оптимальные условия, при ко-
торых общая энергия будет «наинизшей», и эти условия
можно характеризовать вероятностью hi того, что состоя-
ние пары (р<f, — Ргф) в волновой функции заполнено.
Фиг. 58. Сплошная линия вероятность того, что
двухэлектронное состояние (p$t, — р$1) заполнено в
волновой функции основного состояния БКШ.
Пунктирная линия — вероятность того, что одноэлектронное
состояние с импульсом | р. | заполнено в нормальном металле
при абсолютном нуле. Заметим, что в сверхпроводящем основном
состоянии даже при абсолютном нуле существуют вакансии с
р$ < Рр и заполненные состояния с р^ >Рр>
Эта вероятность связана с коэффициентом входящим
в (9.5). Принцип Паули в применении к парам требует,
чтобы соблюдалось условие Согласно теории БКШ,
hi имеет вид
А1=4{!
______&j—	_____
[(ег-ер)« + Д«]1/4
(9-7)
где &i = pi/2m и квадратный корень берется с положи-
тельным знаком. Оказалось, что А, имеющая размерность
энергии, является очень важной величиной и равна
А = 2hvL exp { - ЦТ (8р) УГ1}.	(9.7а)
Здесь vL — средняя фононная частота, введенная в п. 3
§ 3 настоящей главы; —У — матричный элемент взаимо-
действия, ответственного за рассеяние, и ЛГ (ер) — плот-
ность состояний электронов на поверхности Ферми (без
учета спина) для нормального металла.
§ з. ТЕОРИЯ БАРДИНА — КУПЕРА ШРИФФЕРА
161
На фиг. 58, согласно теории БКШ, изображена вероят-
ность hi в зависимости от рь когда волновая функция Тс
соответствует состоянию с наинизшей общей энергией,
которое обычно называют основным состоянием. На фиг. 58
изображена также вероятность того, что в нормальном
металле при О К одноэлектронное состояние с импульсом pi
заполнено. Здесь существенным является то обстоятель-
ство, что даже при абсолютном нуле распределение импуль-
сов электронов в сверхпроводнике не имеет разрыва в отли-
чие от случая нормального металла.
Таким образом, состояние с наинизшей энергией (основ-
ное состояние) возникает, когда все электроны с импуль-
сами, лежащими в области Др — mhvLlpF вблизи pF,
образуют куперовские пары с противоположно направ-
ленными импульсами и спинами. Это состояние часто
называют сконденсированным состоянием, поскольку свя-
занные вместе электроны образуют состояние с наинизшей
энергией аналогично тому, как атомы газа при конденсации
образуют жидкость. Важно подчеркнуть, что все спарен-
ные электроны, описываемые волновой функцией Ч^,
должны принадлежать к одному и тому же квантовому
состоянию и иметь одинаковую энергию, так как все они
непрерывно рассеиваются между одноэлектронными состоя-
ниями с импульсами внутри области Др. Полная энергия
взаимодействующих электронных пар постоянна, несмот-
ря на беспрерывное изменение их импульсов. Таким обра-
зом, все зависящие от времени коэффициенты, на которые
нужно умножить каждый член в правой части уравнения
(9.5), чтобы получить зависящую от времени волновую
функциюх), осциллируют с одинаковой частотой. По-
скольку временные факторы имеют одинаковую частоту,
их фазы должны быть определенным образом связаны
друг с другом, и поэтому все а^ в (9.5) являются комплекс-
ными. В связи с этим часто говорят, что сверхпроводящее
основное состояние является когерентной смесью
одноэлектронных волновых функций ф (р/).
х) Все упомянутые до сих пор волновые функции не зависели
от времени. Чтобы получить зависящие от времени волновые
функции, нужно каждую из не зависящих от времени функ-
ций умножить на e~iEi/h, где Е — полная энергия.
11—1205
162 ГЛ. МЙКРОСКОПЙЧЕСКАЙ ТЕОРЙЯ СЙЕРХЙРОВОДЙМОСФЙ
б. Свойства основного состояния БКШ
Корреляции
Как мы видели в гл. 6, граница между сверхпрово-
дящей и нормальной областями характеризуется дли-
ной равной по порядку величины 10-4 см и названной
Пиппардом длиной когерентности. Длина когерентно-
сти — кратчайшее расстояние, на котором могут проис-
ходить существенные изменения в степени упорядочения
Фиг. 59. Вероятность Р (г) отыскания элек-
трона с импульсом —р и со спином, направленным
вниз, в объеме dx2, расположенном на расстоянии г
от объема dti, содержащего электрон с импульсом р
и со спином, направленным вверх.
Для нормального состояния (пунктир) вероятность Р (г) по-
стоянна и равна п8/4, где п — электронная концентрация.
Для сверхпроводящего состояния Р (г) выше» чем п8/4 в об-
ласти £	10~* см.
(или в концентрации сверхпроводящих электронов). Мож-
но показать, что пространственная протяженность волно-
вой функции (9.5) одной пары равна примерно 10~4 см,
так что куперовские пары можно весьма приближенно
рассматривать как некие большие молекулы такого раз-
мера. Естественно поэтому отождествить пространствен-
ную протяженность волновой функции с длиной коге-
рентности £.
Более точное определение £ можно дать, если поста-
вить вопрос: какова вероятность отыскания электрона
с импульсом —р и спином, направленным вниз, в эле-
§ 3. ТЕОРИЯ БАРДИНА — КУПЕРА ШРИФФЕРА
163
менте объема dx2 на расстоянии г от элемента объема dxi,
содержащего электрон с импульсом р и спином, направ-
ленным вверх? В нормальном металле корреляции отсут-
ствуют, так что вероятность не зависит от г, и ответом
на поставленный вопрос является величина, равная
l/4n2dxtdx2, где п — плотность электронов. В сверхпро-
водящем состоянии при больших г получаем ту же вели-
чину 1/4n2dxidx2, но при малых значениях г вероятность
возрастает. Отсюда следует, что спаренные электроны
предпочитают находиться близко друг к другу (фиг. 59).
Протяженность области с этой возросшей вероятностью
составляет примерно 10~4 см в случае чистых сверхпро-
водников I рода, и опять это расстояние отождествляется
с длиной когерентности. Это подтверждает интерпрета-
цию £ как пространственной протяженности волновой
функции пары (9.5). Заметим, что внутри объема £3 лежат
центры масс примерно 107 других пар, так что волновые
функции пар сильно перекрываются.
Энергетическая щель
До сих пор мы рассматривали лишь основное состоя-
ние сверхпроводника, т. е. состояние с наинизшей энергией,
или состояние сверхпроводника при абсолютном нуле.
Зададим теперь следующий вопрос: что произойдет, если
сверхпроводник перейдет в возбужденное состояние, на-
пример, в результате повышения температуры или при
освещении его светом с соответствующей длиной волны?
Как мы видели в п. 1 § 1, поглощение инфракрасного
излучения наступает внезапно при частотах выше опре-
деленной пороговой частоты. В § 2 было высказано пред-
положение, что это явление может быть связано с суще-
ствованием какой-то энергетической щели. Теперь мы пока-
жем, как это можно объяснить в рамках теории БКШ. <
Если куперовской паре сообщается энергия,гнапример,
с помощью света, можно думать, что это увеличение энер-
гии происходит за счет возрастания импульсов, входящих
в волновую функцию Ф [см. (9.5)]. Однако волновая
функция Ф уже содержит смесь всех значений импуль-
сов в области Др = mhvLlpF, подчиняясь единственному
ограничению, что полный импульс должен быть равен
И*
164 ГЛ. 9. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
нулю. Поэтому нельзя увеличить энергию пары, просто уве-
личив импульс электронов, в то же время сохранив усло-
вие, что их импульсы равны и противоположно направлены.
Однако может случиться, что пара разрушится и электро-
ны уже не будут иметь импульсы, равные по величине
и противоположные по направлению. В этом случае они
не смогут принимать участие в таком большом количестве
рассеяний, в которых участвует куперовская пара, и воз-
никающая в результате их взаимодействия отрицательная
потенциальная энергия будет теперь почти пренебрежимо
мала. Они будут вести себя почти как свободные электроны,
и по этой причине их называют „квазичастицами“. Бессмыс-
ленно говорить об импульсах отдельных электронов до
разрушения пары, поскольку, как подчеркивалось выше,
индивидуальные импульсы электронов, описываемых вол-
новой функцией пары Ф, не могут быть определены. Однако
имеет смысл говорить об импульсе электронов после
разрушения пары, так как теперь эти электроны ведут
себя почти как свободные электроны с совершенно опре-
деленными импульсами. Можно поэтому спросить, какое
количество энергии необходимо для разрушения пары
с образованием двух электронов, или, точнее, квазича-
стиц, с импульсами и р7. (Когда мы говорим о квази-
частицах с импульсами р^| и р;|, то подразумеваем, что до-
полнительные состояния —р4 и —рД не заполнены, т. е.
квазичастицы не имеют партнеров для образования купе-
ровских пар.) Согласно теории БКШ, требуемое количество
энергии равно
Е = Et + Ej = [(Bi - ег)2 + A2]1/2 +	+ А2]1/г, (9.8)
где	и квадратные корни берутся с положи-
тельным знаком. Величина А определяется выражением
(9.7а). Следовательно, минимум требуемой энергии равен
2А и наблюдается при pt — pj = pF или 8^ = е7- = 8F.
Таким образом, в спектре возбуждений сверхпроводника
имеется энергетическая щель шириной 2А, и излучение
с частотой v поглощается, только если hv > 2А.
Существование этой энергетической щели обусловлено
двумя причинами. Во-первых, расщепление пары на элек-
троны, не имеющие более равных и противоположно направ-
ленных импульсов, приводит к уничтожению их энергии
§ 3. ТЕОРИЯ БАРДИНА — КУНЕРА — ШРИФФЕРА
165
связи аналогично тому, как нужно затратить энергию
при расщеплении молекулы на составляющие ее атомы.
Во-вторых, если состояние pf занято электроном, а состоя-
ние —р| не занято, то оставшиеся куперовские пары не
могут переходить в парное состояние (pf, — pf), так что
число актов рассеяния, в которых они могут участвовать,
уменьшается с соответствующим понижением их энергии
связи, Следовательно, полная энергия всей системы элек-
тронов, о которой идет речь, повышается еще больше.
Важно подчеркнуть, что под «квазичастицей с импуль-
сом рр> подразумевается электрон в состоянии с импуль-
сом Pif, причем дополнительное состояние —pff не за-
полнено. Величина pt может быть больше или меньше pF.
В основном состоянии, когда все электроны вблизи pF
образуют куперовские пары, вероятность того, что состоя-
ние с импульсом pt будет заполнено, равна (фиг. 58).
Если в результате расщепления пары образуется квази-
частица в состоянии pi, то это состояние, безусловно,
заполнено, хотя до расщепления вероятность его запол-
нения была равна Если pi > pF, то вероятность hi
мала, и можно сказать, что после расщепления пары,
безусловно, существует электрон в состоянии pi, которое
до этого, скорее всего, было не заполнено. Мы можем
поэтому рассматривать квазичастицу в состоянии pi
как электрон. С другой стороны, если pi < pF, то вероят-
ность hi близка к единице, и состояние pff, безусловно,
заполнено (а состояние —р$| не заполнено), в то время
как предварительно оба эти состояния были, по всей
вероятности, заполнены. Теперь можно рассматривать
квазичастицу с импульсом pi как вакансию или «дырку»
с импульсом —pi. Эта идея, рассматривать квазичастицу
как электрон, если Pi > pF, и как дырку, если pt < pF,
может показаться несколько искусственной при pt ж pF,
но если pi далеко удалено от pF, такое представление оче-
видно *).
*) Предупреждаем читателя, что в литературе по сверхпро-
водимости термин «дырка» используется просто для обозна-
чения незаполненного состояния. Оно не имеет дополни-
тельного значения вакантного состояния с отрицательной
эффективной массой вблизи верха заполненной зоны, как
это обычно употребляется в применении к полупроводникам.
166 ГЛ. 9. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
6.	Макроскопические свойства сверхпроводников
согласно теории БКШ
Критическая температура
В предыдущем разделе мы имели дело с основным
состоянием сверхпроводника, за исключением тех слу-
чаев, когда происходило расщепление куперовских пар
на две квазичастицы, например, под действием излучения.
Если температура поднимается выше абсолютного нуля,
пары разрушаются в результате теплового возбуждения,
и при каждой данной температуре число квазичастиц
определяется законами статистической механики. Воз-
никает, однако, одно осложнение; энергетическая щель
непостоянна, сужается с повышением температуры. Легко
понять, почему это происходит. Как мы видели в преды-
дущем разделе, электрон в состоянии (pf) не может обра-
зовать парного состояния (pf, —р|) без партнера в состоя-
нии (— р|), и энергия взаимодействия пар уменьшается, так
как уменьшается число актов рассеяния, в которых они
могут участвовать. Это понижение энергии взаимодействия
пар означает и сужение энергетической щели. При повы-
шении температуры растет число квазичастиц и энергетиче-
ская щель продолжает уменьшаться до тех пор, пока на-
конец температура не достигнет значения, при котором
энергетическая щель обратится в нуль. Это критическая
температура Тс, выше которой электроны не могут быть
описаны волновой функцией типа (9.5), обеспечивающей
корреляцию. Зависимость энергетической1 щели Eg = 2А
от температуры, предсказанная теорией БКШ, изобра-
жена на фиг. 60. Форма этой кривой была подтверждена
экспериментально. Теория предсказывает также, что кри-
тическая температура связана с энергетической щелью
при абсолютном нуле простым соотношением
Её (0) = 2А (0) = 3,5/сТс,	(9.9)
где к — постоянная Больцмана. Экспериментальная про-
верка этого соотношения приводится в табл, V, где зна-
чения А (0) взяты из измерений инфракрасного поглоще-
ния, выполненных Ричардсом и Тинкхамом. Ошибка в каж-
дом случае составляла ±0,20. Экспериментальные значе-
$ 3. ТЕОРИЯ БАРДИНА — КУЙЕРА — ШРИФФЕРА
167
Таблица V
Отношение энергетической щели сверхпроводника
при абсолютном нуле к величине кТс
Сверхпроводник	2A(0)/feTc (эксперимент)
Индий Олово Ртуть Ванадий Свинец	4,1 3,6 4,6 3,4 4,1
ния близки к теоретическим, но отклонения превышают
ошибку эксперимента Это можно отнести за счет приня-
Ф и г. 60. Зависимость Д от температуры.
тых в теории упрощений, например таких, как предполо-
жение, что матричный элемент V не зависит от изменения
импульса в процессе рассеяния.
Подставляя в (9.9) в качестве А выражение (9.7а),
получаем в явном виде выражение для Тс
3,5кТе = 4hvL exp { - [jfC (sf) 7]“(9.10)
Эта формула объясняет изотопический эффект, поскольку
vL пропорциональна М-1/2, где М — масса изотопа.
Зависимость типа М~1/2 часто обнаруживают в экспери-
ментах, но она не является универсальной; отклонения
от этого закона можно объяснить кулоновским взаимо-
действием между электронами.
168 ГЛ. 9. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДЙМОСТЙ
Скрытая теплота
Согласно кривой, изображенной на фиг. 60, при тем-
пературах ниже 0,6Тс энергетическая щель фактически
не зависит от температуры. Следовательно, чтобы разру-
шить куперовскую пару, требуется постоянное количество
энергии 2А (0), и число пар, расщепляющихся при тем-
пературе Т в этой области, пропорционально е-д(°)Ж.
Это приводит к электронной теплоемкости, пропорциональ-
ной е-Д(0)/ь?\ что и было найдено экспериментально при
низких температурах (см. п. 3 § 1 и § 2 настоящей главы,
а также гл. 5).
При температурах, близких к Тс, теплоемкость растет
с температурой быстрее, так как Д (Т) становится меньше.
Выше Тс, где электроны ведут себя, как в обычном металле,
исчезает вклад в теплоемкость, обусловленный расщеп-
лением пар, так что при критической температуре проис-
ходит резкое падение теплоемкости при нагреве. При при-
ближении температуры к Тс энергетическая щель плавно
снижается до нуля, поэтому полная энергия электронов
вблизи Тс одинакова при нагреве и при охлаждении.
Следовательно, при переходе нет скрытой теплоты, в ре-
зультате чего нет изменения энтропии. Эта комбинация
разрыва теплоемкости с отсутствием скрытой теплоты
характерна для фазового перехода II рода.
Можно считать, что критической является та темпе-
ратура, при которой энергия электронов начинает изме-
няться (благодаря возникновению энергетической щели),
а не температура, при которой эта энергия претерпевает
резкий скачок. Этот переход заметно отличается от фазо-
вого перехода I рода, например замерзания жидкости,
когда возникает скачкообразное изменение внутренней
энергии, сопровождающееся выделением скрытой теплоты.
Критическое магнитное поле
Как мы видели в гл. 4, критическое магнитное поле
удовлетворяет соотношению
*2 с gn “““ gst
3. ТЕОРИЯ БАРДИНА—КУПЕРА—ШРИФФЕР А
169
== 3,5ЛТС,
(9.11)
где gn и gs — плотности свободной энергии Гиббса в нор-
мальной и сверхпроводящей фазах. При абсолютном нуле
величина gn — gs просто равна разности между плотностя-
ми внутренней энергии в нормальном и сверхпроводящем
состояниях (пренебрегая разницей в объеме между двумя
фазами), и, согласно теории БКШ, она равна полной энер-
гии связи куперовских пар по сравнению с нормальным
металлом, в котором пары не образуются. Это можно
вычислить, и в результате получаем
4 Но^о = (gn - gs)T=o	(ер) [Л (О)]2.
Но А (0) связано с Тс соотношением 2А (0)
так что
Я? _ 0,47?
П ~ Ио ’
где у = 2/(бр) к2 — коэффициент при Т в выражении
для теплоемкости в нормальном состоянии (гл. 5 и п. 3
§ 1), a — плотность состояний на поверхности Фер-
ми в нормальном металле.
Таким образом, существует закон соответственных
состояний в том смысле, что если две из трех величин Яо,
Тс и у известны, то третью можно предсказать. Точность,
с которой удовлетворяется соотношение (9.11), ограни-
чена точностью формулы (9.9). Важно отметить, что
в (9.11) нет свободных параметров, и одним из ярких успе-
хов теории БКШ было то, что, несмотря на огромное раз-
нообразие свойств металлов в нормальном состоянии,
различные сверхпроводники действительно с хорошей
точностью подчиняются такому закону соответственных
состояний.
Критерий сверхпроводимости
Естественно задать вопрос: все ли металлы обнару-
живают сверхпроводимость, если их охладить до доста-
точно низких температур? Из теории БКШ следует,
что это не обязательно. Металлы являются сверхпровод-
никами в том случае, если суммарное взаимодействие
между электронами, возникающее в результате комбц-
170 ГЛ* 9- МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
нации фононного и кулоновского взаимодействий, поло-
жительно. По этой причине хорошие проводники вроде
серебра и меди, которые обладают слабым электрон-
фононным взаимодействием, не обнаруживают сверхпро-
водимости (по крайней мере до наинизших температур,
которые достижимы в настоящее время).
7.	Состояния с током
Мы пока не касались явления, которому сверхпро-
водимость обязана своим названием, а именно явления
исчезновения сопротивления. Оба состояния — и основ-
ное, и возбужденное — обладают идеально изотропным
распределением электронов в импульсном пространстве,
т. е. в различных направлениях перемещается одинаковое
число электронов, и никакого тока не возникает. Можно,
однако, представить такую ситуацию, когда каждая купе-
ровская пара вместо того, чтобы иметь полный импульс,
равный нулю, имеет результирующий импульс, равный
Р и одинаковый для всех пар. В этом случае состояния,
которые образуют волновую функцию пары, имеют
импульсы вида
вместо импульсов (pff, —как в уравнении (9.5).
Общее распределение импульса сдвигается в импульсном
пространстве на величину Р/2 (фиг. 61). Электронные
пары все еще могут принимать участие в большом коли-
честве процессов рассеяния, сохраняющих полный импульс.
Эти процессы можно формально описать как рассеяние
из состояния
[(p,+^)l. (-P,+J)t]
в состояние
[(»>+> (-P,+W
Для наблюдателя, движущегося со скоростью Р/2тп,
картина неотличима от уже обсужденной ситуации, когда
полный импульс равен нулю* Полная энергия электронов
§ 3. ТЕОРИЯ БАРДИНА—КУПЕРА—-ШРИФФЕРА
171
в этом случае та же самая, лишь увеличивается на допол-
нительную кинетическую энергию nsP2ISm, где ns — пол-
ное число сверхпроводящих электронов. (Мы рассматри-
Ф и г. 61. Распределение импульсов в сверхпровод-
нике с током.
Векторы импульсов равномерно распределены в сфере радиу-
сом рр, центр которой X смещен на вектор Р/2 относитель-
но 0 (заштрихованная сфера). Вектор Р есть полный импульс
куперовской пары. В отсутствие тока центр сферы совпадает с
точкой 0. Выше определенной плотности тока энергетически воз-
можно расщепление пары на две квазичастицы с импульсами,
изображенными точками А и В.
ваем здесь картину при абсолютном нуле, когда нет ква-
зичастиц и все электроны спарены.) Волновая функция
куперовской пары теперь имеет вид х)
фр = фе<Р- (Г14-Г2)/2Л,	(9.12)
где Ф — функция пары, описываемая выражением (9.5),
а экспоненциальный член соответствует движению центра
масс пары с полным импульсом Р. Если через г обозначить
положение центра масс пары, то г = (ri + г2)/2, и (9.12)
принимает вид
фр = ф^Р-г/\	(9.12а)
В этом случае ток переносится парами электронов,
имеющих полный импульс Р. Когда ток течет в обычном
х) Это разделение волновой функции на волновую функцию Ф,
описывающую относительное движение электронов, и на мно-
житель, описывающий движение центра масс, не всегда
возможно, но оно, по-видимому, справедливо для интере-
сующих нас случаев.
172 ГЛ. 9. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
проводнике — нормальном металле или полупроводнике,
неизбежно наличие сопротивления, поскольку носители
тока (и электроны, и дырки) могут рассеиваться с изме-
нением импульса, и их свободное ускорение в направлении
электрического поля замедляется. Это рассеяние может
происходить на атомах примесей, на дефектах решетки
или тепловых колебаниях. В сверхпроводнике электроны,
образующие куперовскую пару, постоянно рассеивают
друг друга, но поскольку при этом их полный импульс
сохраняется, ток не изменяется. Ток может снизиться
лишь в процессе рассеяния, в котором меняется полный
импульс пары в направлении тока, а это может произойти
только при разрушении пары. Однако для разрушения
пары требуется энергия в количестве минимум 2А, поэтому
рассеяние может произойти только в том случае, если
эту энергию^можно где-то почерпнуть. При низких плот-
ностях тока нет способа сообщить парам электронов такую
энергию, а потому процессы рассеяния с изменением сум-
марного импульса пары полностью запрещены, и сопро-
тивление отсутствует х).
Импульсы пар связаны с плотностью тока j выраже-
нием j = гп8Р/2тп, где ns — полное число сверхпрово-
дящих электронов и е — заряд электрона. При увеличе-
нии j распределение импульса, изображенное на фиг. 61,
все больше и больше смещается, пока наконец для купе-
ровской пары не станет энергетически выгодно расще-
питься на две квазичастицы, импульсы которых соответ-
ствуют таким точкам А и В на поверхности смещенной
сферы, которые расположены ближе всех к центру исход-
ной сферы (точка 0). Это можно понять, если в качестве
равной нулю энергии взять энергию сверхпроводника,
полностью составленного из пар (без квазичастиц), и в от-
сутствие тока (Р = 0). Относительно этого нуля энергия
х) Ясно, что такое объяснение отсутствия сопротивления непри-
годно в случае «бесщелевых» сверхпроводников (см. при-
мечание к стр. 147). Считается, что для этих сверхпровод-
ников рассеяние пар запрещено не наличием энергетической
щели, а сильно коррелированной природой волновой функции
пары. Если это правильно, то, по-видимому, такой меха-
низм должен также быть существен и для сверхпроводников
с энергетической щелью.
$ 3. ТЕОРИЯ БАРДИЙА-КУПЕРА-ШРЙФФЕРА
1?3
сверхпроводника с током, но без квазичастиц равна
что является дополнительной кинетической энергией п$
электронов, каждый из которых имеет импульс Р/2.
Если по сверхпроводнику не течет ток, но в нем раз-
рушилась одна из пар, минимум требуемой для этого энер-
гии возбуждения равен 2Д, и это произойдет, когда квази-
частицы имеют импульс pF [см. (9.8)]. Предположим, что
векторы импульса этих квазичастиц направлены влево
(фиг. 61) и что все распределение смещено на величину
Р/2 вправо, так что импульсы квазичастиц соответствуют
точкам А и В. Теперь энергия сверхпроводника относи-
тельно выбранного нами нуля равна
л
W2 = 2^+{ns-2)^ + 2[^=-^-—^1.
Здесь первый член — энергия, требуемая для расщепления
пары, второй — дополнительная кинетическая энергия
ns — 2 спаренных электронов, а третий — изменение
кинетической энергии квазичастиц. Расщепление пары
энергетически выгодно, если W± > т. е. если
-^->2А, или	(9.13)
т	рр	4	'
Поскольку импульс Р пропорционален плотности тока,
это условие означает, что будет существовать критическая
плотность тока, выше которой может произойти рассея-
ние, сопровождаемое изменением полного импульса (т. е.
рассеяние, приводящее к разрушению пары). Выше этой
критической плотности тока возникает сопротивление.
Комбинируя выражение для ] с условием (9.13), получаем
=
В гл. 8 мы установили, что критическая плотность
тока для олова при абсолютном нуле равна примерно
2-107 А/см2. В выражении (9.14) наиболее неопределен-
ной величиной является ns, и если мы А заменим на 1,80кТс
(табл. V), a pF — значением, соответствующим vF =
174 ГЛ- МЙКРОСКОЙЙЧЕСКАЯ ТЁОРЙЙ СВЕРХПРОВОДЙМОСТЙ
== 6,9 • 107 см/с, то получим ns = 8 • 1021 см~3. Это значительно
меньше одного электрона на атом, что не кажется бес-
смысленным, если учесть сложную зонную структуру
олова.
При температуре, отличной от нуля, некоторые пары
распадаются на квазичастицы даже при токах ниже крити-
ческого. Квазичастицы ведут себя во многих отношениях
как нормальные электроны; они могут рассеиваться или
возбуждаться, и, если они переносят ток, возникает сопро-
тивление. С другой стороны, оставшиеся пары сохраняют
свойства электронов при абсолютном нуле и не могут рас-
сеиваться, пока нет в наличии энергии, равной 2А. Эти спа-
ренные электроны и есть «сверхпроводящие электроны»,
о которых мы говорили выше. Таким образом, можно
считать, что в сверхпроводнике имеются две почти неза-
висимые жидкости из нормальных и сверхпроводящих
электронов (мы уже пользовались такой концепцией
в гл. 1).
8.	Волновая функция пары: когерентность дальнего
порядка
В предыдущем разделе мы видели, что если куперов-
ская пара обладает полным импульсом, она может быть
описана волновой функцией
ФР = Фе* ”7*,	(9.12а)
где Ф — волновая функция уравнения (9.5). Мы знаем
также из § 3, что Ф характеризуется длиной когерент-
ности (~Ю“4 см), которая представляет собой расстоя-
ние, внутри которого существует пространственная кор-
реляция между электронами с равными и противоположно
направленными импульсами. Если рассматривать пару,
как некую связанную молекулу (это очень грубое при-
ближение), то Ф описывает внутреннее движение этой
молекулы, а £ — ее пространственную протяженность.
Экспоненциальный член в (9.12а) представлет собой
бегущую волну, соответствующую движению центра масс
пары, и длина этой волны равна Л/Р, т. е. длине волны
де Бройля для частицы с импульсом Р.
§ з. ТЕОРИЯ БАРДИНА—КУПЕРА—ШРИФФЕРА	175
Фазовая когерентность этой бегущей волны прости-
рается на неопределенно большие расстояния, много боль-
шие, чем В случае незатухающего тока, циркулирую-
щего в кольце, протяженность этой когерентности пре-
вышает сантиметры, а в случае соленоида, навитого из
сверхпроводящей проволоки,— даже километры! В гл. 11
мы обсудим последствия когерентности такого дальнего
порядка.
ГЛАВА 10
ТУННЕЛИРОВАНИЕ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ЩЕЛЬ
В этой главе мы остановимся на разработанной Геве-
ром в 1960 г. методике непосредственного измерения энер-
гетической щели в сверхпроводящем металле с помощью
изучения туннелирования электронов в металл через
очень тонкую пленку из изолятора. Создание этой мето-
дики вскоре после опубликования теории БКШ внесло
огромный вклад в понимание сверхпроводимости, посколь-
ку оно дало легкий способ экспериментального измерения
энергетической щели.
§ 1.	Процесс туннелирования
Чтобы представить себе методику, рассмотрим сна-
чала две пластины, сделанные из нормального металла,
разделенные очень узкой щелью. Схема энергетических
зон такой системы изображена на фиг. 62, а. При обычных
условиях электрон в каждой пластине не может покинуть
металл, так как его энергия значительно меньше потен-
циальной энергии свободного электрона во внешнем ваку-
уме. Но если щель между пластинами становится беско-
нечно тонкой, электрон может перейти из одного металла
в другой в результате квантовомеханического явления,
известного как туннелирование. В процессе туннелиро-
вания электрон вне металла описывается экспоненциально
затухающей стоячей волной, амплитуда которой падает
по закону а не обычной бегущей волной, описываю-
щей электрон внутри металла. Типичное значение для
длины £ порядка 10~8 см, т. е. волна затухает очень быст-
ро. Однако, если щель очень узкая (порядка 10-7 см),
имеется небольшой, но весьма важный шанс, что электрон
может преодолеть потенциальный барьер, разделяющий
§ 1. ПРОЦЕСС ТУННЕЛИРОВАНИЯ
177
пластины, и тогда становится возможным обмен элек-
тронами между двумя металлами. Такой процесс «тунне-
лирования» возможен также, если два электрода разде-
лены очень тонкой изоляционной пленкой, например
пленкой окиси, которая часто образуется на поверхности
Фиг. 62. Туннелирование между нормальными металлами.
Одиночная штриховка обозначает незаполненные состояния, двойная — за-
полненные состояния. При абсолютном нуле без смещающего напряжения
между пластинами (а) туннелирование полностью запрещено в силу принципа
Паули. Если к правой пластине приложить положительное напряжение (б)
таким образом, чтобы уровни Ферми перестали совпадать, против незаполнен-
ных состояний правой пластины окажутся заполненные состояния левой пла-
стины, и возникнет туннелирование, обозначенное стрелками.
находящихся в атмосфере металлов, и именно этот случай
важен для практического использования.
Кроме очевидного условия малости расстояния между
металлами по сравнению с длиной затухания £ волновой
«туннельной» функции, для возникновения туннелирова-
ния необходимо выполнение еще двух условий. Во-первых,
в процессе туннелирования должна сохраняться энергия,
т. е. полная энергия системы, включающей металлы по обе
стороны изоляционной пленки, должна быть одной и той
же до и после туннелирования. Во-вторых, туннелирова-
ние возможно только в том случае, если состояния, в кото-
рые туннелируют электроны, не заполнены, ибо в про-
тивном случае процесс запрещен принципом Паули. В ка-
честве примера рассмотрим ситуацию, изображенную ца
12—1^05
178
ГЛ. 10. ТУННЕЛИРОВАНИЕ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ЩЕЛЬ
фиг. 62, а, где для простоты предполагается, что металлы
разделены вакуумом. Здесь при абсолютном нуле тунне-
лирования быть не может, так как все состояния, удовле-
творяющие первому условию, заполнены с обеих сторон.
Однако если между металлами создать небольшую раз-
ность потенциалов (скажем, с левой стороны отрицатель-
ную по отношению к правой части), то энергетические
уровни сместятся друг относительно друга (фиг. 62, б).
Теперь справа, против верхней части левой области с за-
полненными состояниями, возникнут состояния неза-
полненные, и туннелирование может происходить слева
направо. Число возникших таким образом состояний
пропорционально разности потенциалов, и если вероят-
ность туннелирования постоянна, как это имеет место
при очень маленьких напряжениях, результирующий ток
будет линейно зависеть от напряжения.
Можно рассмотреть ряд ситуаций с использованием
сверхпроводников. Например, сделать один электрод из
сверхпроводника, а другой из нормального металла, или
оба электрода изготовить из одного и того же сверхпровод-
ника, или сделать электроды из двух разных сверхпровод-
ников. Во всех случаях возникает зависимость тока от при-
ложенной разности потенциалов, характерная для данной
комбинации металлов.
§ 2.	Схема энергетических уровней сверхпроводника
Чтобы уяснить, чем отличается туннелирование меж-
ду нормальными металлами от туннелирования между
сверхпроводниками, рассмотрим разницу между схемами
их энергетических уровней. Рисуя схему энергетических
уровней нормального металла (фиг. 62), мы изображаем
область энергий для отдельного электрона. Электроны
не зависят друг от друга, так что энергия отдельного
электрона не зависит от того, заполнен или не заполнен
другой уровень. В случае сверхпроводника это уже не так.
Электроны в конденсированном состоянии не являются
независимыми друг от друга, и вклад, вносимый ими в об-
щую энергию, очень сильно зависит от наличия партнера
С равным и противоположно направленным импульсом
§ Й. СХЕМА ЭНЕРГЕ^ЙЧЕСкИХ УРОВЙЕЙ
179
Поэтому для их энергетических уровней нельзя нарисовать
обычную схему. Как уже отмечалось, все пары имеют оди-
наковую энергию, так как все они описываются одной
и той же волновой функцией Ф [уравнение (9.5)]. Мы можем
изобразить одиночный уровень, как на фиг. 63, соответ-
ствующий средней энергии на электрон (или половине
энергии на куперовскую пару) в конденсированном состоя-
нии. Такой уровень может соответствовать лишь спарен-
ным электронам. Этот уровень может содержать множество
пар, поскольку принцип Паули в своей обычной форме
к куперовским парам неприменим (п. 2 § 3 гл. 9). Если
какая-либо из пар расщепляется, то, согласно уравне-
нию (9.8), энергия системы увеличивается, а именно
Et + Е} = [(8< - ек)2 + Д2]х/* + [(в, -	+ Д2]1/2.
Таким образом, можно считать, что возникающая квази-
частица вносит в энергию вклад, равный [(s — eF)2 +
+ А2]1/*, где е = р2/2тп. Свойства квазичастиц почти
не отличаются от свойств не-
зависимых электронов, поэто-
му разрешенные значения их
энергии можно представить
в виде континуума уровней,
отделенных расстоянием А
от энергетического уровня
пар (фиг. 63). (Заметим, что
величина, которую мы назы-
ваем энергетической щелью,
равна 2А. Поскольку квази-
Возбужденные
квазичастицы
частицы возникают в резуль-
d
г Сконденсированные
пары
Фиг. 63. Схема энергетиче-
ских уровней сверхпроводни-
ка.
тате расщепления пары, все-
гда образуются две квазичастицы. Путем туннелирования
можно, однако, инжектировать одиночную частицу, и в
этом случае минимальная добавленная к системе энергия
будет равна А.)
При абсолютном нуле квазичастиц нет, и континуум
состояний не заполнен. При температурах выше абсолют-
ного нуля континуум уровней частично заполняется в соот-
ветствии с законами статистической механики.
12*
180
ГЛ. 10. ТУННЕЛИРОВАНИЕ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ЩЁЛЬ
§ 3.	Туннелирование между нормальным металлом и сверх-
проводником
Рассмотрим сначала туннелирование между нор-
мальным металлом и сверхпроводником при абсолютном
нуле. Схема энергетических уровней для этого случая
Сверх- Нормальный
проводник металл
Фиг. 64. Туннелирование между нормальным ме-
таллом и сверхпроводником при 0 К.
а — в — энергетические уровни при изменяющейся разно-
сти потенциалов V между сверхпроводником и нормальным
металлом. Разность потенциалов V считается положитель-
ной, если сверхпроводник заряжается положительно отно-
сительно нормального металла. Одиночная штриховка обо-
значает незаполненные состояния, двойная — заполненные
состояния; г — соответствующая вольт-амперная (1 — У)
характеристика.
изображена на фиг. 64, а. Если потенциал пластин оди-
наков, уровень Ферми в нормальном состоянии совпа-
дает с уровнем, соответствующим сконденсированным
парам в сверхпроводнике (фиг. 64, а). Таким образом, тун-
нелирование невозможно, если между пластинами нет
разности потенциалов.
§ 3. ТУННЕЛИРОВАНИЕ: НОРМ. МЕТАЛЛ - СВЕРХПРОВОДНИК 181
Если к сверхпроводнику приложена положительная
разность потенциалов, равная V вольт, все его энергети-
ческие уровни понизятся г) ниже уровней нормального
металла, но процесс туннелирования невозможен, пока V
не достигнет значения Д/е, т. е. когда нижний уровень
континуума энергетических уровней квазичастиц совпа-
дает с поверхностью Ферми нормального металла
(фиг. 64, б). Теперь электрон из нормального металла может
туннелировать в состояния квазичастиц, и число таких
электронов постепенно растет с увеличением разности
потенциалов, а потому возникающий при этом ток моно-
тонно увеличивается с V, как показано на фиг. 64, г.
Если к сверхпроводнику приложена отрицательная раз-
ность потенциалов, так что все его энергетические уровни
поднимаются выше уровней нормального металла, тунне-
лирование не возникает, пока напряжение не станет рав-
ным —А/е, когда станет возможным совсем новый процесс,
связанный с расщеплением куперовских пар. Необходимо
принять во внимание, что, если в переходе принимает
участие только один электрон, единственными процессами
с сохранением энергии будут процессы, в которых элек-
трон движется на схеме энергетических уровней горизон-
тально между состояниями с одинаковыми энергиями.
Однако если в переходе участвуют два электрона, то воз-
можно сохранение полной энергии за счет того, что один
из электронов приобретает энергию, потерянную другим
электроном. Такой процесс изображен на фиг. 64, в.
Здесь происходит расщепление куперовской пары, и один
из электронов туннелирует в незаполненное состояние
около поверхности Ферми нормального металла с потерей
энергии Д, в то время как второй электрон, потеряв своего
партнера, превращается в квазичастицу и заполняет
наинизшее возбужденное состояние сверхпроводника с при-
обретением энергии Д. Таким образом, полная энергия
всей системы перед переходом, отмеченным стрелками,
равна полной энергии после перехода, а потому процесс
разрешен. Число пар, которые могут расщепиться таким
образом, увеличивается с ростом напряжения, так как
А) Увеличение электростатического потенциала снижает потен-
циальную энергию, так как заряд электрона отрицателен.
182
ГЛ. 10. ТУННЕЛИРОВАНИЕ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ЩЕЛЬ
все больше квазичастичных состояний и состояний в нор-
мальном металле становятся доступными для перехода
и результирующий ток растет с ростом —V (фиг. 64, а).
Таким образом, величина А непосредственно определяется
напряжением, при котором неожиданно возникает тун-
нельный ток между сверхпроводником и любым нормаль-
ным металлом. При температурах выше абсолютного нуля
в области напряжений ±Ые может течь небольшой ток,
так как имеется небольшое число электронов, возбуж-
денных выше поверхности Ферми нормального металла.
Эти электроны при положительном напряжении могут
туннелировать в квазичастичные состояния. Кроме того,
образуются незаполненные состояния ниже поверхности
Ферми нормального металла, в которые может туннели-
ровать одна из частиц пары при отрицательном напряже-
нии. Однако при V= ± А/е все равно будет наблюдаться
резкое возрастание туннельного тока.
§. 4. Туннелирование между двумя одинаковыми сверхпро*
водниками
Схема энергетических уровней двух одинаковых
сверхпроводников без приложенной разности потенциалов
изображена на фиг. 65, причем предполагается, что тем-
пература системы выше абсолютного нуля, вследствие
чего квазичастичные состояния частично заполнены. Ква-
зичастица может туннелировать в обоих направлениях,
поскольку состояния, в которые она может туннелировать,
не полностью заняты, но при равной нулю разности потен-
циалов ток, обусловленный туннелированием слева на-
право, равен току справа налево, так что суммарного тока
не возникает.
Теперь предположим, что потенциал левого электрода
положителен относительно правого и равен V. Это озна-
чает, что левая схема энергетических уровней сместится
относительно правой вниз на величину eV, как показано
на фиг. 65, б. Возникнет поток электронов, перемещающих-
ся справа налево, так как для левых квазичастиц с наи-
низшей энергией нет незаполненных состояний справа,
в которые они могут туннелировать, в то время как все
квазичастицы правой части могут туннелировать влево.
§ 4. ТУННЕЛИРОВАНИЕ: 2 ОДИНАКОВЫХ СВЕРХПРОВОДНИКА 183
Ток увеличивается с ростом V до тех пор, пока заполнен-
ные квазичастичные состояния слева не станут ниже дна
континуума состояний справа, так что квазичастицы
не смогут больше туннелировать слева направо. Это явле-
ние наступает, когде eV « кТ или V « 10-4 В, поскольку
-ее-----ее-
ее----ее-
б
Фиг. 65. Туннелирование между одинаковыми сверх-
проводниками.
а— в—энергетические уровни. СО обозначает куперовские пары,
• — квазичастицы; г — соответствующая вольт-амперная
(I — V) характеристика.
все квазичастицы лежат внутри слоя шириной кТ около
наинизшего уровня. Если V продолжает расти, ток остает-
ся более или менее постоянным, поскольку ни одна
из левых квазичастиц не может туннелировать, а число
правых частиц, способных туннелировать, постоянно.
Однако, когда V достигает величины 2Д/е, возможно воз-
никновение дополнительного процесса, связанного с рас-
щеплением куперовских пар (фиг. 65, в). Один из элек-
тронов пары туннелирует цалево, заполняя нацнизщее
184
ГЛ. 10. ТУННЕЛИРОВАНИЕ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ЩЕЛЬ
квазичастичное состояние. Этот процесс сопровождается
потерей энергии, равной А. Второй электрон, потеряв
своего партнера, превращается в квазичастицу и заполняет
наинизшее возбужденное состояние справа, и его энергия
возрастает на величину А. Таким образом, полная энергия
сохраняется, и процесс является разрешенным. В резуль-
тате этого процесса дополнительные электроны начинают
перемещаться справа налево, и ток увеличивается. Если V
становится больше 2А/е, процесс может продолжаться,
но теперь квазичастицы не переходят на наинизшие воз-
бужденные состояния. Возникает большое число ком-
бинаций возбужденных состояний, которые могут играть
роль конечных состояний, в связи с чем туннельный ток
быстро возрастает (фиг. 65, г).
§ 5. Аналогия с полупроводниками
Мы предупреждали читателя, что существует другой
способ представления энергетических уровней сверхпро-
водника, широко используемый в литературе. Энергетиче-
ские уровни изображаются в виде двух зон, одна из кото-
рых при абсолютном нуле заполнена полностью, а другая
совсем не заполнена, как в полупроводнике. Ширина
щели между зонами равна 2А, а не А, как это было на
фиг. 63. Мы увидим, однако, что оба представления экви-
валентны.
Чтобы понять, каким образом возникла такая модель,
рассмотрим сверхпроводник при температуре выше абсо-
лютного нуля, когда в нем присутствуют квазичастицы,
и предположим, что к нему добавлен единичный электрон.
В этом случае может случиться одно из двух. Этот допол-
нительный электрон может перейти в состояние с импуль-
сом pf, причем состояние —р| остается незаполненным.
В этом случае он ведет себя как возбужденная квазича-
стица. Другая возможность заключается в том, что элек-
трон соединится с другим неспаренным электроном и обра-
зует куперовскую пару. В отличие от первого случая
здесь полная энергия уменьшается по крайней мере на 2А.
Поскольку в обоих случаях сверхпроводник до добавле-
ния электрона находится в одном и том же состоянии,
энергия дополнительного электрона до вхождения в сверх-
$ 5. АНАЛОГИЯ С ПОЛУПРОВОДНИКАМИ
185
проводник должна быть во втором случае понижена по
крайней мере на 2А (для сохранения энергии). Поэтому
можно считать, что дополнительный электрон принад-
Ф и г. 66. Туннелирование между сверхпроводником
и нормальным металлом при О К.
а, б — изображение с помощью возбужденных квазичастиц;
а, а — изображение, принятое для полупроводников; д — со-
ответствующая вольт-амперная (I — V) характеристика.
лежит к одной из зон, разделенных энергией 2Д. При
условии сохранения энергии электрон может войти в сверх-
проводник только в том случае, если перед этим его
энергия была выше дна верхней зоны или ниже верх
186	±*Jt. io. т?уййёййёоёаййе й эйёргётйчёская щёлё
нижней зоны. Таким образом, эти зоны определяют энер-
гию электрона, необходимую для его туннелирования
в сверхпроводник. Важно подчеркнуть, что в этой модели
обе зоны являются зонами одиночных электронов. Не надо
думать, что уровни верхней зоны соответствуют квази-
частицам с р > а уровни нижней зоны — квазича-
стицам с р < pF\ в каждой зоне имеется полный набор
значений импульсов.
Такую модель полупроводникового типа легко проил-
люстрировать при рассмотрении туннелирования между
нормальным металлом и сверхпроводником. На фиг. 66, а,
б этот процесс изображен с помощью возбужденных ква-
зичастиц аналогично тому, как это было выполнено на
фиг. 64, а. На фиг. 66, в, г приводится модель полупро-
водникового типа. Физическая сущность процесса выри-
совывается яснее при использовании квазичастиц. Пре-
имущество полупроводниковой модели заключается в том,
что разрешенные переходы всегда соответствуют гори-
зонтальным стрелкам, изображающим переходы одиноч-
ного электрона, что несколько облегчает подробную
интерпретацию явления туннелирования. Вероятно, по
этой причине в литературе гораздо чаще используется
вторая модель. Необходимо отметить, что электрон может
присоединиться к нижней зоне только в том случае, если
существует квазичастица, с которой он может образовать
куперовскую пару, поэтому число незаполненных состоя-
ний в нижней зоне равно числу квазичастиц в верхней
зоне, так же как в истинном полупроводнике. Однако
механизм таких зон совершенно отличен от механизма,
ответственного за зонную структуру полупроводников,
и это представление нужно использовать для сверхпро-
водников с большой осторожностью. Различие между
обеими моделями было обсуждено Шриффером [14] и Адкин-
сом [15].
§ 6. Другие виды туннелирования
Существуют и другие, более сложные, виды тунне-
лирования. Например, если взять два разных сверхпро-
водника, то получим, характеристику, показанную на
фиг. 67. Здесь между V — (Дг — Д1)/^ и V = (Д2 + Д±)/^
§ 6. ДРУГИЕ ВИДЫ ТУННЕЛИРОВАНИЯ
187
существует область отрицательного сопротивления. Появ-
ление этой области отрицательного сопротивления связано
с характером зависимости от энергии плотности состоя-
ний в зоне квазичастиц, и здесь мы обсуждать этого воп-
роса не будем. Подробное обсуждение читатель может
найти в оригинальной работе
Гевера и Мегерле [16].
Возможно также, что при
использовании двух различных
сверхпроводников два электро-
на будут туннелировать как
пара, т. е. при пересечении щели
импульс пары будет сохранять-
ся. Такой процесс, известный
как эффект Джозефсона, возмо-
жен в силу того, что сверхпро-
водящее основное состояние мо-
жет содержать много пар. Про-
цесс возникает при строго опре-
деленных условиях, а именно
при необычайно тонком изоли-
рующем слое (<10~7 см). Эф-
фект Джозефсона, значение ко-
торого обсуждается в следующей
Фиг. 67. Туннелирование
между двумя сверхпровод-
никами с энергетическими
щелями Ai и Д2 (Аг > Ai).
главе, возникает, когда
между сверхпроводниками нет разности потенциалов, так
что текущий ток не сопровождается падением напряжения.
Можно назвать такой ток туннельным сверхпроводящим
током. Этот сверхпроводящий ток имеет критическую
плотность 7С, которая является характеристикой туннель-
v
ного контакта.
Если плотность тока Джозефсона превышает значе-
ние /с, то на контакте возникает разность потенциалов V,
и могут возникнуть два процесса. Электроны могут либо
туннелировать индивидуально с вольт-амперной (Z — V)
характеристикой, изображенной на фиг. 65, г или 67
(в зависимости от того, какие взяты сверхпроводники —
разные или одинаковые), либо они могут продолжать
туннелировать парами. В последнем случае конденсиро-
ванные состояния на схеме энергетических уровней уже
не располагаются друг против друга, и пары не могут
сохранять свою энергию при туннелировании из одного
188
ГЛ. 10. ТУННЕЛИРОВАНИЕ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ЩЕЛЬ
конденсированного состояния в другое. Энергетический
баланс сохраняется в результате излучения кванта
электромагнитного поля (фотона) с такой частотой v,
чтобы hv = 2eV. Возникновение множителя 2 объясняет-
ся или тем, что можно рассматривать пару как частицу
с зарядом 2е, или тем, что в переходе участвуют два элек-
трона, каждый из которых имеет заряд е. В любом случае
для восстановления энергетического баланса нужна энер-
гия, равная 2eV. Такой процесс, в котором происходит
испускание излучения, известен как эффект Джозефсона
на переменном токе. Обычно напряжение V порядка
10“3 В, поэтому излучение происходит в короткой микро-
волновой части спектра. Такое излучение от очень тонких
туннельных контактов было зарегистрировано Ланген-
бургом, Скалапино и Тейлором х).
§ 7. Детали эксперимента
В большинстве туннельных экспериментов со сверх-
проводниками использовались пленки двух металлов,
полученные методом испарения. В типичном эксперименте
тонкая пленка одного из металлов наносилась на стеклян-
ную пластинку (например, на предметное стекло микро-
скопа) в форме полоски шириной порядка миллиметра.
Затем эта пленка окислялась на воздухе или в атмосфере
кислорода до тех пор, пока на ее поверхности не возникал
слой оксидной пленки толщиной в несколько десятков
ангстрем. После этого наносилась пленка второго металла,
обычно в форме полоски, пересекающей первую под пря-
мым углом, так что площадь туннельного контакта состав-
ляла несколько квадратных миллиметров. Затем к плен-
кам подводились электрические контакты, как правило,
припаянные индиевым припоем, так что можно было сни-
мать вольт-амперные (/ — У) характеристики. Энергети-
ческая щель определялась по напряжению, при котором
происходило резкое изменение наклона кривой I (7).
Это напряжение равно Д/е при туннелировании между
сверхпроводником и нормальным металлом и 2Д/е при
*) Впервые такое излучение наблюдали И. К. Янсон, В. М. Сви-
стунов и И. М. Дмитриенко [24].— Прим, ред.
§ 7. ДЕТАЛИ ЭКСПЕРИМЕНТА
189
туннелировании между двумя сверхпроводниками (фиг. 64,г
и 65,г).
Если приложено напряжение порядка 10~3 В, туннель-
ные токи обычно бывают меньше 10“3 А, так что электри-
ческие измерения должны производиться весьма тщатель-
но. Обычно, кроме приложенного к «сэндвичу» постоянного
напряжения У, накладывают небольшую переменную
Фиг. 68. Зависимость от температуры энергетиче-
ской щели свинца, олова и индия, полученная из
экспериментов по туннелированию (Гевер и Ме-
герле).
О — индий, Д — олово, • — свинец.
составляющую; тогда ток содержит переменную компо-
ненту, пропорциональную величине дифференциальной
проводимости dlldV. Эта компонента переменного тока
может быть усилена с помощью резонансного усилителя.
Таким способом можно проводить очень чувствительные
непосредственные измерения наклона кривой I (У).
На фиг. 68 изображена зависимость энергетической
щели индия, олова и свинца от температуры. Данные были
получены Гевером и Мегерле, которые изучали туннелиро-
вание из этих металлов в нормальный металл. Они полу-
чили вполне хорошее согласие с температурной зависимо-
стью, предсказываемой теорией БКШ. Мы не должны
ожидать от теории БКШ предсказаний абсолютного зна-
чения энергетической щели и температуры сверхпроводя-
щего перехода, поэтому авторы строят зависимость отно-
шения энергетической щели при температуре Т к энерге-
тической щели при О К от отношения Т!Тс. Полученная
190
ГЛ. 10. ТУННЕЛИРОВАНИЕ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ЩЕЛЬ
таким образом кривая должна быть одинаковой для всех
сверхпроводников.
Один из наиболее выразительных примеров огромных
возможностей методики туннелирования — ее использова-
ние для измерения зависимости энергетической щели от
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,3 0,7 0,8 0,9 1,0
(Магнитное
Фиг. 69. Зависимость от магнитного поля
энергетической щели алюминия для пленок
толщиной 3000 А (приведенная температу-
ра 0,774; d/X = 3,5) и 4000 А (приведенная
температура 0,745; d/X = 1,9) (Дуглас).
приложенного магнитного поля. Как было показано в гл. 5,
переход из сверхпроводящего состояния в нормальное,
происходящий в магнитном поле, является фазовым пере-
ходом первого рода. Это означает, что, когда поле разру-
шает сверхпроводимость образца, энергетическая щель
должна резко уменьшаться до нуля. Это подтверждают
данные (фиг. 69, кружки), полученные для энергетиче-
ской щели алюминиевой пленки толщиной 4000 А мето-
дикой туннелирования в сверхпроводящий свинец. Энер-
гетическая щель при поле Я, близком к Яс, мало отличает-
ся от той величины, которую она имела при Н = 0.
Такое небольшое уменьшение энергетической щели с уве-
§ ДЕТАЛЙ ЭКСПЕРЙМЁЙТЛ
личением магнитного поля можно объяснить так же, как
объясняется зависимость от поля глубины проникновения
(§ 4 гл. 8). Однако для пленки толщиной 3000 А (фиг. 69,
треугольники) энергетическая щель линейно падает до
нуля при приближении Н к Нс. Это постепенное исчез-
новение энергетической щели указывает на фазовый пере-
ход второго рода и убедительно подтверждает предсказание
Гинзбурга и Ландау о том, что для пленок, толщина кото-
рых ниже некоторого определенного значения, сверхпрово-
дящий переход в магнитном поле должен стать фазовым
переходом второго рода.
ГЛАВА 11
КВАНТОВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
§. 1. Волны электронных пар
Мы видели, что ток, текущий без сопротивления
по сверхпроводнику, связан с движением электронных
пар. При описании тока каждую пару можно рассматри-
вать как одиночную «частицу» с массой 2тп и зарядом 2е;
скорость частицы определяется скоростью центра масс
пары. Как и в случае обычных частиц, эти носители тока
можно описать с помощью волны. Мы называем эту волну
волной электронной пары. Из гл. 9 следует [уравнение
(9.12а)], что пару можно описать волновой функцией,
которая обычно может быть записана в виде
фр==ФеЯР*)/л,
где Р — суммарный импульс куперовской пары с центром
масс в точке г. Член е{(₽-р)/л соответствует бегущей волне
и описывает движение центра масс пары. Именно этот
член мы будем называть волной электронной пары Т’р,
причем
^р = ^(рг)/л.	(Ц.1)
Как мы видели в § 3 гл. 9, эта волна сохраняет когерент-
ность фазы на бесконечно больших расстояниях. В на-
стоящей главе мы остановимся на некоторых явлениях,
происходящих в результате этой когерентности дальнего
порядка. Соответствующие эффекты, аналогичные интер-
ференции и дифракции обычных электромагнитных волн,
являются проявлением квантовых свойств в макроскопи-
ческом масштабе. Поэтому они известны под общим назва-
нием «квантовая интерференция».
Все куперовские пары в сверхпроводнике характери-
зуются волнами одинаковой длины (§ 3 гл. 9), т. е. при
однородной плотности тока описываются одной и той же
§ 1. ВОЛНЫ ЭЛЕКТРОННЫХ ПАР
193
волной пары Тр. В нормальном металле электроны прово-
димости часто претерпевают рассеяние, сопровождаемое
сильными изменениями фазы, и поэтому их электронные
волны когерентны только на очень коротких расстояниях.
Куперовские пары в сверхпроводнике не рассеиваются,
и волны электронных пар остаются когерентными на сколь
угодно больших расстояниях.
1. Фаза волны электронной пары
Запишем волну электронной пары в виде х)
Tp = sin2n (у —
(для простоты мы рассматриваем одномерную волну).
Предположим, что частота волны v связана с полной энер-
гией куперовской пары Е известным соотношением Е = hv
и что длина волны X связана с импульсом Р центра масс
пары соотношением де Бройля = h.
Рассмотрим отрезок сверхпроводника, проходящий че-
рез точки X ts.Y, Если между точками X и Y не протекает
ток, то импульс Р электронной пары равен нулю и длина
волны % бесконечна. Следовательно, фаза волны электрон-
ной пары в точках X и Y одинакова.
Теперь предположим, что между точками X и Y течет
ток без сопротивления. Тогда электронные пары имеют
импульс Р, и длины волн электронных пар конечны и рав-
ны % = h/P. Следовательно, между точками X и Y будет
существовать постоянная во времени разность фаз (Дф)^у.
Разность фаз между двумя точками, мимо которых бежит
плоская волна, равна
у л
(Дф)хт = фх — фу = 2л
х
Здесь х — единичный вектор в направлении распростра-
нения волны и dl —- элемент линии, соединяющей точки X
х) В соответствии с обычным правилом в выражении для волно-
вой функции (11.1) был опущен зависящий от времени осцил-
лирующий множитель
13-1205
1Й4
ГЛ. И. КВАНТОВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
и У. (Хотя по определению х параллелен направлению
распространения волны, сама волна не обязательно долж-
на распространяться прямолинейно. Ниже в настоящей
главе нам придется рассматривать волны, распространяю-
щиеся по замкнутому контуру.) Теперь для волны элек-
тронной пары X == WP, и импульс пары Р = 2mv, где v —
скорость пар, обусловленная наличием тока. Скорость и
связана с плотностью сверхпроводящего тока Js соот-
ношением
т 1 о
где п$ — плотность сверхпроводящих электронов, а —
плотность электронных пар. Следовательно, длина волны
равна
Л== 2^77’
и разность фаз между точками X и Y, обусловленная
током, равна
(н.2)
X
поскольку вектор х параллелен Js.
Поскольку волны электронных пар сохраняют свою
когерентность по всему сверхпроводнику, они способны
обеспечивать интерференцию дальнего порядка, и должны
наблюдаться эффекты, аналогичные хорошо известной
оптической интерференции, например дифракция Фраун-
гофера и дифракция на решетке.
Как мы увидим, такие эффекты в сверхпроводниках
можно продемонстрировать экспериментально, и это убе-
дительно свидетельствует в пользу рассмотрения сверх-
проводящих электронов как волн с когерентностью даль-
него порядка.
2. Влияние магнитного поля
Внешнее магнитное поле может сильно влиять на
фазу волн электронных пар. Как мы видели в § 5 гл. 8,
в присутствии магнитного поля импульс р частиц с заря-
§ 1. ВОЛНЫ ЭЛЕКТРОННЫХ ПАР
195
дом q принимает вид ту + #А, где А — магнитный вектор-
потенциал, определяемый соотношением rot А = В. В слу-
чае электронных пар Р = 2ту + 2еА. Зная импульс Р,
мы по-прежнему можем получить длину волны % с помощью
соотношения % = h/P. Используя такую же аргументацию,
которая привела к уравнению (11.2), находим, что в при-
сутствии магнитного поля разность фаз между двумя
точками X и Y равна
+ J A«dl.	(11.3)
X	X
Первый член в правой части дает разность фаз, обус-
ловленную током, второй— дополнительную разность фаз,
связанную с наличем магнитного поля. Поэтому можно
написать
(Аф)ху = [(Аф)ху]? + [(Аф)ху]в>
где [(A^)xy]i —разность фаз, возникающая при любом
токе, а [(А0)ху]в —разность фаз, создаваемая любым при-
ложенным магнитным полем. Следовательно,
у
=	( Js-dl	(И.За)
s X
и
У
[(Дф)«ъ=^ jA.dl. (11.36)
X
Поскольку разность фаз между двумя точками зависит от
приложенного магнитного поля, изменение магнитного
поля оказывает на волны электронных пар влияние, грубо
говоря, эквивалентное влиянию, которое изменение пока-
зателя преломления среды оказывает на распространяю-
щиеся в ней оптические волны. Разность фаз, которая
может возникнуть в присутствии магнитного поля, играет
очень важную роль в явлениях, к описанию которых мы
переходим.
13*
196
ГЛ. 11. КВАНТОВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
§ 2. Флюксоид
Фиг. 70. Сверхпроводник,
содержащий несверхпрово-
дящую область.
Рассмотрим теперь случай, когда сверхпроводящий
ток циркулирует по замкнутому контуру. Выводы, полу-
ченные в настоящем параграфе, существенны для понима-
ния следующей главы.
На фиг. 70 изображен сверхпроводник, включающий
несверхпроводящую область N. Предположим, что внутри
N имеется магнитный поток плотностью В, созданный
циркулирующими вокруг нее
сверхпроводящими токами (§ 3
гл. 2). Такая ситуация возни-
кает, когда область N предста-
вляет собой отверстие в сверх-
проводнике или в случае спло-
шного сверхпроводника, когда
имеется нормальная область, су-
ществование которой поддержи-
вается циркулирующим сверх-
проводящим током.
Рассмотрим замкнутый кон-
тур, обозначенный на фиг. 70
пунктиром, окружающий нор-
мальную область. Между любыми двумя точками на кон-
туре возникает разность фаз, обусловленная как наличи-
ем магнитного поля, так и циркулирующим током. Как
мы уже видели, разность фаз между точками X и Y, со-
гласно (11.3), равна
(Аф)ху
4л т Г
hnse J
X
3sdl
j А.Л.
X
Рассмотрим теперь изменение фазы, возникающее для
замкнутого пути, скажем пути XYZX. Полное изменение
фазы равно
Согласно теореме Стокса,
(В А-(й =
j j rotA-dS,
§ 2. ФЛЮКСОИД
197
где dS —элемент площади, а поскольку rot А = В,
написать	можно
$ A«(Z1= j f B-dS,
s'
и полное изменение фазы принимает вид
д+-ёН,--'я+-т-Пв-'в-
8
Далее мы можем рассуждать следующим образом: если
сверхпроводящие электроны должны описываться волной,
эта волна в любой точке в любой момент времени может
иметь лишь одно значение. Следовательно, изменение фазы
Дф вокруг замкнутого пути должно быть равно 2лп, где
п — целое число. Мы будем называть это условие «фазовым
условием» или «квантовым условием» х). Таким образом,
имеем
-ёИ1--‘я+т1Ив-‘в=2“п'
8
что можно записать в виде
8
Ф. и Г. Лондоны назвали величину, входящую в левую
часть этого уравнения, флюксоидом, ограниченным кри-
вой XYZX. Флюксоид обозначается символом Ф' в отли-
чие от магнитного потока Ф:
ф' =	J J B.dS. (11.5)
8
Мы видели, что в силу однозначности волновой функции
флюксоид всегда равен целому числу «квантов» h/2e
ф' = п^.	(11.6)
х) Вследствие этого же условия происходит квантование элек-
тронных орбит в атоме Бора.
198
ГЛ. 11. КВАНТОВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
Заметим, что иногда удобно записывать флюксоид в экви-
валентном виде
А-д-
Ограниченный замкнутой кривой флюксоид тесно свя-
зан, хотя и не полностью идентичен, с ограниченным этой
же кривой магнитным потоком. Первый член в правой части
уравнения (11.5) содержит контурный интеграл плотности
тока вдоль кривой XYZX, но поскольку глубина проник-
новения мала, почти весь циркулирующий ток будет фак-
тически концентрироваться вблизи границы нормальной
области 7V, и этот член будет пренебрежимо мал, если
не рассматривать кривую, значительная часть которой
проходит очень близко от N. Второй член в правой части
(11.5) — это магнитный поток через область N и слой
вокруг этой области, равный глубине проникновения.
Таким образом, если замкнутая кривая не располагается
очень близко к границе 7V, флюксоид, ограниченный этой
кривой, равен практически потоку через область, огра-
ниченную этой же кривой.
Итак, мы видим, что любой магнитный поток (точнее
говоря, флюксоид), содержащийся внутри сверхпровод-
ника, должен быть равен целому числу квантов — флюк-
сонов Фо, причем
Фо = -^- = 2,О7-1О~15 Вб.	(11.8)
Можно видеть, что величина флюксона чрезвычайно мала.
Она была измерена экспериментально и оказалась равной
предсказанному значению, т. е. постоянной Планка,
деленной на двойной заряд электрона. Это доказывает,
что сверхпроводящий ток переносится парами электронов.
В экспериментах измеряется магнитный поток, а не
флюксоид, но, как мы видели, в большинстве случаев они
неотличимы, и вместо более точного выражения «кван-
тование флюксоида» часто пользуются выражением «кван-
тование потока». Например, были проведены измерения
магнитного момента длинного полого сверхпроводящего
цилиндра, который неоднократно охлаждался ниже тем-
пературы его сверхпроводящего перехода в очень слабом
продольном магнитном поле х). Толщина стенки цилиндра
См., например, [17, 18].
§ 2. ФЛЮКСОИД
199
была мала по сравнению с диаметром центрального отвер-
стия (но велика по сравнению с глубиной проникновения),
и, следовательно, магнитный момент цилиндра был про-
порционален потоку, захваченному в отверстии. Изме-
рения показали, что цилиндр может захватывать только
лишь поток, величина которого соответствует целому
числу флюксонов.
Предположим, что кольцо или полый цилиндр перехо-
дит в сверхпроводящее состояние в приложенном магнит-
ном поле. Мы уже видели, что после перехода в сверхпро-
водящее состояние магнитный поток, пронизывающий
отверстие, может быть равен только целому числу флюк-
сонов т&Ф0. Однако, вообще говоря, приложенное поле
не обязательно должно быть таким, чтобы созданный им
магнитный поток через отверстие был точно равен целому
числу флюксонов, хотя благодаря малости флюксона
разница будет очень небольшой. Когда кольцо переходит
в сверхпроводящее состояние, сила циркулирующего тока,
возникающего на внутренней поверхности для сохранения
магнитного потока в отверстии, точно равна силе тока,
соответствующего ближайшему целому числу флюксонов.
Например, если приложенное поле создает в отверстии
магнитный поток (п + V4) Фо, то в сверхпроводящем состо-
янии поток в отверстии станет равным пФ0. Однако если
напряженность приложенного поля такова, что в отвер-
стии возникает магнитный поток, равный (п + 3/4) Фо,
то после перехода в сверхпроводящее состояние величина
циркулирующего тока будет такова, чтобы созданный ею
поток был равен (п +1) Фо (доказательства см. в [19]).
Квантование потока является специфическим свойством
сверхпроводников и не возникает в нормальных металлах
по причине, рассмотренной в § 1. Мы увидим, что флюксо-
ны играют важную роль для сверхпроводников II рода,
которые будут обсуждены во II части книги.
1. Флюксоид внутри сверхпроводящего металла
В предыдущем разделе мы рассматривали замкну-
тую кривую, окружающую несверхпроводящую область,
например отверстие. Пронизывающий отверстие магнитный
поток сопровождается током, текущим вокруг отверстия
200
ГЛ. И. КВАНТОВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
(§3 гл. 2). Ограниченный этой кривой флюксоид будет
равен целому числу п флюксонов, но п равно нулю в слу-
чае отсутствия в отверстии магнитного потока. Однако
если мы рассматриваем замкнутую кривую, окружающую
сверхпроводящую область, п всегда равно нулю. Это будет
выполняться даже в том случае, если кривая проходит
вблизи границы сверхпроводника, где на глубине проник-
новения ни плотность потока В, ни плотность тока 3S
не должны быть равны нулю. Величины и направления В
и J8 повсюду таковы, что при интегрировании вдоль
кривой оба члена, вносящие вклад в флюксоид [правая
часть уравнения (11.5)] в сумме дают нуль.
Утверждение, что флюксоид внутри любой замкнутой
кривой, окружающей сверхпроводящую область, равен
нулю, является более точным проявлением идеального
диамагнетизма сверхпроводящего материала, поскольку
это утверждение справедливо для всего металла, включая
глубину проникновения.
§ 3.	Квантовая интерференция
1.	Слабые звенья
Рассмотрим два сверхпроводника Р и полностью
изолированные друг от друга. Фазы волн электронных
пар в Р и Q не связаны между собой. Предположим теперь,
что зазор, разделяющий оба сверхпроводника, постепенно
уменьшается до нуля. Когда зазор станет очень узким,
электронные пары смогут через него туннелировать и вол-
ны электронных пар в Р тл. Q становятся связанными.
При приближении Р и Q друг к другу возрастает взаимо-
действие между их электронами, вызванное туннелирова-
нием, и взаимосвязь фаз волн в обоих кусках становится
все более и более сильной. Наконец, когда Р и Q соприкос-
нутся и образуют один кусок металла, то при данных
внешних условиях должна установиться определенная
взаимосвязь между фазами в Р и Q.
Прежде чем сверхпроводники коснутся друг друга,
возникает взаимодействие, связанное с распространением
йолн электронной пары через зазор между сверхпровод-
никами, т. е. туннелирование электронных пар из Р в Q
§ 3. КВАНТОВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
201
и обратно. Туннелирование электронной пары означает,
что два электрона после пересечения зазора остаются
«спаренными». Мы уже встречались с таким туннелирова-
нием в предыдущей главе, где оно называлось эффектом
Джозефсона. Если зазор тонкий, туннелирование элек-
тронных пар через него становится вероятным, и может
возникнуть заметный ток, текущий без сопротивления.
Причем и в этом случае, как для обычного сверхпроводни-
ка, существует критический ток. Когда через такой зазор
течет ток электронных пар, возникает разность фаз между
волнами электронных пар по обе стороны зазора. Можно
показать, что если i есть сверхпроводящий ток, то
i = ic sin	—	(И .9)
где ф^ и фР — фазы с каждой стороны зазора. Сверхпро-
водящий ток максимален, когда разность фаз равна л/2,
т. е. когда i равен критическому току зазора гс.
Важно отдавать себе отчет, что поскольку разность фаз
в (11.9) не ограничена интервалом от 0 до л/2, она не
определяется однозначно для данного значения Z, но
может принимать одно из двух альтернативных значений
Дф или л — Дф х).
Существуют и другие формы слабого контакта между
сверхпроводниками, имеющие свойства, аналогичные тун-
нельным контактам Джозефсона. Сверхпроводящий ток
может протекать через очень узкую перемычку или через
точечный контакт между двумя сверхпроводниками (фиг.
71), причем между ними сохраняется разность фаз. Мы
объединим все такие конфигурации под общим названием
«слабые звенья». Слабым звеном является область, которая
имеет критический ток, значительно более низкий, чем
соединяемые ею сверхпроводники, и в которую может
проникать магнитное поле.
Кроме таких слабых звеньев, мы рассмотрим сверхпро-
водники, по которым текут очень слабые токи (т. е. токи
значительно слабее критических).
В связи с низкой плотностью тока импульс куперовских
пар мал, и соответствующие волны электронных пар имеют
*) Разность фаз может также принимать значения 2лп + Дф
или 2л (п + 1) — Дф, но они физически не отличаются
от вышеприведенных значений.
202
ГЛ. И. КВАНТОВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
очень большую длину. Поэтому разность фаз между раз-
личными частями сверхпроводника очень мала, и мы будем
предполагать, что ею можно пренебречь. Следовательно,
Фиг. 71. Слабые сверхпроводящие звенья.
а — туннельный контакт; б — утончение; в — точечный
контакт.
в отсутствие магнитного поля фаза одинакова во всем
сверхпроводнике, за исключением слабого звена.
В результате при прохождении слабого тока через
цепь сверхпроводников в отсутствие приложенного маг-
нитного поля заметная разность фаз возникает лишь на
слабых звеньях.
2.	Сверхпроводящий квантовый интерферометр
Рассмотрим в качестве примера интерференции меж-
ду волнами электронных пар устройство, аналогичное
оптическим щелям Юнга. На фиг. 72, а изображено сверх-
проводящее кольцо с двумя отводами Р и Q- Критические
токи ic двух аналогичных слабых звеньев XZ и YW зна-
чительно ниже критического тока остальной части кольца.
Рассматривая свойства такой конфигурации, восполь-
зуемся двумя результатами, полученными выше. Во-пер-
вых, если приложить магнитное поле перпендикулярно
плоскости кольца, оно вызовет изменение фазы волны
электронных пар между точками X и Y и между точками W
и Z (мы предполагаем, что слабые звенья XZ и YW так
§ 3. КВАНТОВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
203
коротки, что изменение фазы на них, вызванное внешним
полем, пренебрежимо мало). Во-вторых, если вдоль
какой-либо ветви кольца протекает слабый ток, он создает
значительное изменение фазы на слабых звеньях [соглас-
но (11.9)1 и пренебрежимо малое изменение фазы вдоль
толстых сегментов XPY и WQZ.
Предположим теперь, что кольцо охлаждено ниже
температуры его сверхпроводящего перехода в отсутствие
Фиг. 72. Квантовый интерферометр,
а — в отсутствие приложенного магнитного поля; б — в
приложенном магнитном поле.
приложенного магнитного поля, т. е. в отверстии нет
магнитного потока, и что по кольцу от Р к Q течет ток I.
Для простоты мы рассматриваем симметричное кольцо,
в котором через части XZ и YW течет одинаковый ток,
равный 1/21- Из соображений симметрии очевидно, что
сдвиг фазы вдоль PXZQ равен по величине и противополо-
жен по знаку сдвигу фазы вдоль QWYP, и до тех пор, пока
слабые звенья остаются сверхпроводящими, фазовые усло-
вия автоматически удовлетворяются. Итак, пока I < 2tc,
где ic — критический ток слабого звена, вся система сверх-
проводящая, и между Р и Q не возникает падения напря-
жения. Если увеличивать ток Z, разность фаз через XZ
и YW будет увеличиваться до тех пор, пока не достигнет
своего критического значения л/2, и тогда, как показано
в § 1, появится падение напряжения. Значение Z, при
204
ГЛ. И. КВАНТОВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
котором возникает напряжение между Р и Q, называют
критическим током 1С кольца.
Теперь покажем, что в результате когерентности даль-
него порядка волн электронных пар величина критическо-
го тока кольца снижается, если приложенное магнитное
поле перпендикулярно плоскости кольца. Характер зави-
симости критического тока от напряженности магнитного
поля ярко иллюстрирует свойства волн электронных пар.
Чтобы вывести выражение для критического тока 1С
кольца в приложенном магнитном поле, рассмотрим сна-
чала случай, когда через кольцо не течет ток. Если в коль-
це нет слабых звеньев, внешнее поле должно индуцировать
ток i (фиг. 72, б), который начнет циркулировать таким
образом, чтобы уничтожить магнитный поток в отверстии г).
Для полного уничтожения магнитного потока в отверстии
величина i циркулирующего тока должна быть такой,
чтобы
1л = Фа,	(11.10)
где L — индуктивность кольца, Фа = ЛВа {Л — площадь
отверстия, ограниченная кольцом, и Ва — плотность маг-
нитного потока приложенного поля).
Наличие слабых звеньев создает два эффекта.
1. Звенья имеют очень низкий критический ток, и по-
этому, если плотность потока Ва не очень мала, циркули-
рующий сверхпроводящий ток будет недостаточен для
полного уничтожения магнитного потока в отверстии,
т. е. уравнение (11.10) не может удовлетворяться и маг-
нитный поток внутри кольца не равен нулю.
2. Циркулирующий ток вызывает изменение фазы на
каждом слабом звене.
Рассмотрим сначала случай, когда индуктивность коль-
ца достаточно мала и магнитный поток, генерируемый
максимальным циркулирующим током, много меньше
даже одного флюксона, т. е. Lic^ Фо- Наличие‘ слабых
звеньев означает, что поток в отверстии уже не обязательно
г) Строго говоря, «экранирующий ток» i течет с наружной
стороны кольца (гл. 2). Однако этот ток оказывает пренебре-
жимо малое влияние в толстых сегментах, и поэтому его
распределение в этих сегментах несущественно. Удобно было
изобразить его таким образом, как показано на фиг. 72.
§ 3. КВАНТОВАЯ ИНТЁРФЁРЕНЦЙЯ
205
должен быть равен целому числу флюксонов. Однако кван-
товое условие, что полное изменение фазы на любом замк-
нутом пути должно быть равно 2пп, все еще может удов-
летворяться, поскольку циркулирующий ток, неспособный
создать даже один флюксон, может все-таки вызвать зна-
чительное изменение фазы на каждом слабом звене. Рас-
смотрим замкнутый путь, обозначенный на фиг. 72, б
пунктиром. Этот путь был выбран таким образом, чтобы
он повсюду, кроме слабых звеньев, располагался на рас-
стоянии от поверхности, большем глубины проникновения,
так что плотность тока вдоль него равна нулю везде, за
исключением слабых звеньев. Полный сдвиг фазы вдоль
кривой ZXYWZ (создаваемый наличием магнитного поля
и протекающим по кольцу током) равен
Аф = (A^)zx + (Аф)хт +	(A^)vrz-
Для краткости обозначим разности фаз на слабых звеньях
через а и р, т. е.
а= (A<f>)zx>
Р = (Аф)у^,
и напишем
Аф =а+ (A<£)zr + P + (A<£)wz,
или, используя уравнение (11.36),
у.	z
A<£ = a + ^p J A-dl + p + ^ j A-dl.
X	w
Поскольку слабые звенья очень коротки, можно написать
у	z
(а.Д+j A-dl = ф A-dl
X	w
и
Дф = а+₽+^фА.<й.
Далее, f A-dl есть магнитный поток Фа, создаваемый
в кольце приложенным магнитным полем (магнитный по-
ток Li, создаваемый циркулирующими токами, много
206
Гл. И. КВАНТОВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
меньше, чем Фо), и h/2e равно флюксону Фо. Таким
образом,
Дф = а + Р + 2л^.
Сдвиг фазы Аф должен быть равен 2лп, следовательно,
а + В 4- 2л = 2лп,
а»о
или

(11.11)
Это соотношение должно удовлетворяться всегда, пока
кольцо является сверхпроводящим.
Предположим теперь, что через кольцо от Р к Q про-
пускается ток I (фиг. 72, б). Если кольцо симметрично,
ток в каждой ветви равен 1/21. Величины а и Р зависят
от полного тока, проходящего через контакты, и, когда
через кольцо пропускается ток Z, циркулирующий ток г
складывается с ним таким образом, чтобы удовлетворялось
условие (11.11).
В отсутствие тока I разности фаз на обоих слабых зве-
ньях должны быть одинаковыми, т. е. а = Р = л (и —
— Фа/Ф0), однако при включении тока /аир становятся
различными, поскольку ток через ZX понизился, а через
YW повысился; но сумма а + Р должна оставаться неиз-
менной. Поэтому, если ток течет в направлении от Р к Q,
а = л	—S,
\ Фо/ >
(11.12)
где S зависит от тока Z. Токи через слабые звенья ZX и
YW, измеренные в направлении по часовой стрелке, равны
соответственно i — 1121 и I 4- х/21. Изменение фазы на сла-
бом звене, обусловленное протекающим током, определи-
§ 3. КВАНТОВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
207
ется уравнением (11.9), так что для звеньев ZX и У И7 име-
ем -1)
Z —4-7 = icsin Гл (п——б~|,
f г \ У J (И-13)
f + |z = icsin[n (п-^)+б].
С помощью вычитания получаем
= 2Zccos £л (п —	J sin 6.
Теперь посмотрим, что происходит, если ток I пропускать
в направлении, показанном на фиг. 72. По определению
ток в этом направлении положителен, так что члены послед-
него уравнения, содержащие функции cos и sin, должны
иметь один и тот же знак, т. е. должны быть либо оба поло-
жительны, либо оба отрицательны. Поэтому всегда можно
написать
7 = 2гс|созл 11 sin б |.	(11.14)
Чтобы кольцо оставалось сверхпроводящим, когда по нему
протекает ток 7, циркулирующий ток должен быть таким,
чтобы б удовлетворяло уравнению (11.14). Но | sin б |
не может быть больше единицы, а потому (11.14) может
удовлетворяться и кольцо оставаться сверхпроводящим
только тогда, когда
7<2/Jcos л (п—•
I \ фо/ I
Следовательно, критический ток кольца определяется
уравнением
7С = 2jc| cos л (n—	|
-1) Строго говоря, уравнение (11.9) применимо только к тун-
нельным контактам Джозефсона. Однако другие типы слабых
звеньев имеют качественно аналогичную периодическую зави-
симость тока i от изменения фазы, и использование (11.9)
для всех слабых звеньев дает разумное приближение.
208
ГЛ. 11. КВАНТОВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
ИЛИ
7е = 2гс|созл^|.	(11.15)
Отсюда видно, что при наложении магнитного поля кри-
тический ток кольца зависит от напряженности поля перио-
Напряженностъ приложенного магнитного
поля, На
Фиг. 73. Интерференционная картина для
сверхпроводящего квантового интерферо-
метра, содержащего два параллельных
слабых звена (ые < Фо).
А обозначает площадь отверстия.
дическим образом, достигая максимума, когда магнитный
поток Фа через кольцо равен целому числу флюксонов
(фиг. 73).
Циркулирующий ток i можно найти, складывая два
уравнения (11.13). Это дает
i = ic sin £л {п—j cos 6.
Мы показали, что сверхпроводимость разрушается, если
ток I возрастает до такого значения, при котором
| sin 6 | = 1, т. е. 6 = ± л/2. Следовательно, когда между
Р и Q возникает сопротивление, циркулирующий ток
равен нулю, а ток через каждое слабое звено должен быть
равным 1/2ZC- Уравнение (11.15) показывает что =
= ie | cos л (Фа/Фо) |, т. е. только когда напряженность при-
ложенного поля такова, что Фа = пФ0 (т. е. когда 1С
достигает своего максимального значения), полный ток
§ 3. КВАНТОВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
209
через каждое слабое звено достигает ic, и между Р и Q воз-
никает сопротивление. Вообще говоря, сверхпроводимость
разрушается, когда невозможно удовлетворить фазовому
условию Аф = п2л, а это не идентично условию, что ток
через слабое звено равен гс. В самом деле, если приложен-
ное поле таково, что Фа/Ф0 = п + х/2, то 1С = 0, и, когда
сверхпроводимость разрушается, ток через слабые звенья
не течет.
График, изображенный на фиг. 73, показывающий пери-
одическую зависимость критического тока от напряжен-
Напряженность приложенного магнитного
поля На
Фиг. 74. Интерференционная картина
сверхпроводящего квантового интерферо-
метра (ьгс>Ф0).
ности приложенного магнитного поля, называют «интер-
ференционной картиной» сверхпроводящего квантового
интерферометра.
Для получения такой зависимости (фиг. 73) критиче-
ский ток звеньев и площадь отверстия должны быть малы,
чтобы Ыс < Фо и наведенный в кольце ток не мог суще-
ственным образом экранировать отверстие от внешнего
поля. Часто, однако, критические токи слабых звеньев
и размер отверстия могут быть достаточно велики, так что
Lic > ^гФо, и возникает значительная экранировка отвер-
стия. В последнем случае глубина модуляции критического
тока снижается до значения Д7С = Фо/£ (фиг. 74).
14-1205
210
ГЛ. И. КВАНТОВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
3. Дифракционные эффекты
Волны электронных пар могут также обнаружи-
вать дифракционные эффекты аналогично дифракции элек-
тромагнитных волн на препятствии. Например, хотя маг-
нитное поле, как мы видели, вызывает пренебрежимо малое
изменение фазы на слабом звене, оно тем не менее оказы-
вает существенное влияние на его критический ток ic.
Можно показать, что ток ic является периодической функ-
цией напряженности приложенного магнитного поля и до-
стигает минимума, когда проходящий через слабое звено
магнитный поток равен целому числу флюксонов. Из сооб-
ражений, аналогичных высказанным в предыдущем разде-
ле о фазах волн электронных пар в окрестностях контакта,
следует, что х)
ic — ic (0)
| sin лФ,/Ф0 I
лФу/Фо
где Фу — магнитный поток приложенного поля, проходя-
щий через площадь слабого звена. Эта формула имеет
такой же вид, как в случае оптической дифракции Фраун-
гофера на щели.
Оптические интерференционные картины в случае не-
скольких щелей модулируются по амплитуде вследствие
дифракции, возникающей на каждой щели. Аналогично
интерференционная картина, возникающая в сверхпрово-
дящем интерферометре, модулируется «дифракцией», про-
исходящей на слабых звеньях. На фиг. 73 и 74 мы прене-
брегли этими дифракционными эффектами. Истинная ин-
терференционная картина, получаемая на квантовом интер-
ферометре, изображена на фиг. 75. Видна четкая модуля-
ция интерференционной картины, возникающая в резуль-
тате дифракции на слабых звеньях.
Очень трудно сделать сверхпроводящий квантовый
интерферометр, в котором оба слабых звена имели бы одну
и ту же площадь поперечного сечения. Следовательно,
интерференционные картины модулированы обычно с дву-
мя периодами, в результате чего возникает сложная мно-
гопериодическая картина.
х) Подробные вычисления см. в работе [20].
§ 3. КЁАНТОЁАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
211
Квантовую интерференцию в сверхпроводниках можно
различными способами использовать на практике. В боль-
шей части практических устройств используется свойство
сверхпроводящего интерферометра реагировать на очень
малые изменения напряженности магнитного поля. Мы ви-
дели, что критический ток в устройстве совершает полный
Критический
ток
Магнитное поле (Милпигауеоы)
Ф иг. 75. Интерференционная картина для квантового интерфе-
рометра.
Показана модуляция интерференции в результате дифракции.
цикл, когда магнитный поток в отверстии изменяется на
один флюксон. Поскольку флюксон равен примерно лишь
2*10-15 Вб (2’10"7 Гс-см2), можно наблюдать очень ма-
ленькие изменения напряженности магнитного поля по
изменению критического тока. На основе этого принципа
было сконструировано несколько приборов, например
высокочувствительный вольтметр и магнетометр.
14*
ЧАСТЬ II
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ II РОДА
ГЛАВА 12
СМЕШАННОЕ СОСТОЯНИЕ
В течение многих лет считали, что свойства, описан-
ные в части I настоящей книги, характеризуют все сверх-
проводники. Отмечалось, конечно, что определенные сверх-
проводники, особенно сплавы и грязные металлы, не про-
являют ожидаемых свойств, но обычно их аномальное пове-
дение объяснялось влиянием примесей; они не считались
объектами, представляющими научный интерес, а сле-
довательно, и не делалось попыток их серьезного изучения.
Однако в 1957 г. Абрикосов опубликовал теоретическую
работу, в которой заметил, что может существовать другой
класс сверхпроводников с совершенно иными свойствами,
и теперь очевидно, что аномальные свойства определенных
сверхпроводников являются не просто проявлением влия-
ния примесей, а внутренне присущи этому другому типу
сверхпроводников, известных теперь как сверхпровод-
ники II рода.
Одним из характерных свойств сверхпроводников I ро-
да является эффект Мейсснера, т. е. выталкивание магнит-
ного потока из толщи сверхпроводника в результате нало-
жения внешнего магнитного поля. Как упоминалось в § 7
гл. 6, наличие идеального диамагнетизма связано с суще-
ствованием поверхностной энергии на границе между
нормальной и сверхпроводящей областями металла. Эта
поверхностная энергия играет весьма существенную роль
при определении свойств сверхпроводника; от нее, напри-
мер, зависит, является данный материал сверхпроводни-
ком I или II рода.
Рассмотрим сверхпроводящее тело, помещенное в маг-
нитное поле с напряженностью, меньшей его критического
значения Нс, и предположим, что внутри вещества возни-
кает нормальная область с границами, параллельными
ГЛ. 12. СМЕШАННОЕ СОСТОЯНИЕ
213
направлению приложенного магнитного поля. Появление
такой нормальной области должно изменить свободную
энергию сверхпроводника. В это изменение свободной
энергии вносит вклад как сама нормальная область, так
и поверхность между фазами. Как мы видели в гл. 4,
в приложенном магнитном поле с напряженностью На
свободная энергия на единицу объема в нормальном состоя-
нии больше той же энергии в сверхпроводящем, идеально
диамагнитном состоянии на величину 1/2Цо (Hl — На)-
Кроме того, имеется поверхностная энергия, связанная
с наличием границы между нормальной и сверхпроводя-
щей областями (гл. 6). Для сверхпроводников I рода эта
поверхностная энергия положительна. Следовательно, если
внутри сверхпроводника возникает нормальная область,
то свободная энергия должна увеличиться как за счет
нормальной области, так и за счет ее границы. По этой
причине возникновение нормальной области энергетически
невыгодно, и сверхпроводники I рода во внешнем маг-
нитном поле с напряженностью, меньшей Нс, остаются
полностью сверхпроводящими.
Предположим, однако, что в некоторых металлах по-
верхностная энергия между нормальной и сверхпроводя-
щей областями не положительна, а отрицательна (т. е.
при образовании границы происходит выделение энергии).
В этом случае возникновение нормальной области будет
понижать свободную энергию, если рост ее, связанный
с самой нормальной областью, будет меньше, чем падение
за счет поверхностной энергии. Для образца пониже-
ние его полной свободной энергии более выгодно энерге-
тически, а потому, если отрицательная поверхностная
энергия достаточно велика, можно ожидать, что в об-
разце при наложении магнитного поля возникнет большое
число нормальных областей, стремящихся свести к ми-
нимуму свободную энергию. Вещество распадется на не-
кую смесь из мелких сверхпроводящих и нормальных
областей, границы которых параллельны направлению
приложенного поля, поскольку такая конфигурация обес-
печивает максимальную площадь границ по отношению
к объему нормального материала. Мы будем называть
такое состояние смешанным состоянием. В следующем
параграфе будет показано, что в некоторых сверхпровод-
214
ГЛ. 12. СМЕШАННОЕ СОСТОЯНИЕ
никах поверхностная энергия отрицательна. Эти металлы
могут поэтому переходить в смешанное состояние и явля-
ются сверхпроводниками II рода.
Очень важно отличать смешанное состояние сверхпро-
водников II рода от промежуточного состояния сверхпро-
водников I рода. Промежуточное состояние возникает
в сверхпроводниках I рода с фактором размагничивания,
отличным от нуля, и зависит от формы тела. Смешанное
же состояние является внутренним свойством сверхпро-
водников II рода и возникает даже в теле с фактором раз-
магничивания, равным нулю (например, в длинном стерж-
не, находящемся в параллельном поле). Кроме того,
структура промежуточного состояния относительно груба,
и ее можно увидеть невооруженным глазом (фиг. 35
и 36). Структура же смешанного состояния, как мы уви-
дим, значительно мельче с периодичностью меньше 10“б см
(см. фото на фронтисписе).
§ 1. Отрицательная поверхностная энергия
В § 9 гл. 6 мы видели, как в результате существова-
ния глубины проникновения и длины когерентности воз-
никает поверхностная энергия, связанная с границей
между нормальной и сверхпроводящей фазами. Было по-
казано, что, если длина когерентности больше глубины
проникновения, как в большинстве чистых металлических
элементов, полная свободная энергия возрастает вблизи
границы (фиг. 38), т. е. в этом случае поверхностная энер-
гия положительна.
Относительные значения длины когерентности £ и глу-
бины проникновения X для различных материалов различ-
ны. Как отмечалось в гл. 6, у многих сплавов и у неболь-
шого числа чистых металлов область когерентности сильно
уменьшена. С помощью аргументов, аналогичных исполь-
зованным в § 9 гл. 6, можно показать, что, если длина
когерентности короче глубины проникновения, поверхно-
стная энергия отрицательна (фиг. 76), и в этом случае
сверхпроводник будет принадлежать к сверхпроводникам
II рода. Для большинства чистых металлов значение длины
когерентности £0 составляет примерно 10~4 см. Это значи-
тельно больше глубины проникновения, равной примерно
§ 1. ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТНАЯ ЭНЕРГИЯ
215
5Л0-6 см, поэтому в таких металлах поверхностная энер-
гия положительна и они являются сверхпроводниками
I рода. Длина когерентности понижается, если уменьшить
длину свободного пробега электронов (§ 9 гл. 6). Следо-
вательно, в загрязненных металлах и сплавах длина коге-
Нормалъный Сверхпроводящий
Плотность
магнитного
потока
Плотность
свободной
энергии
Число сверх-
проводящих
электронов
Магнитный
вклад
Вклад от
.упорядочения
электронов
Плотность
свободной
энергии
в
Фиг. 76. Отрицательная поверхностная энергия; длина
когерентности меньше глубины проникновения (ср. с
фиг. 38).
а — глубина проникновения и длина когерентности; б — вклады,
вносимые в свободную энергию; в — полная свободная энергия.
рентности снижается. Если длина свободного пробега
электронов становится значительно короче £0, длина коге-
рентности становится равной средней длине свободного
пробега, который легко может стать меньше глубины про-
никновения. Поэтому сплавы или достаточно загрязненные
металлы обычно являются сверхпроводниками II рода.
216
ГЛ. 12. СМЕШАННОЕ СОСТОЯНИЕ
§ 2. Смешанное состояние
Как мы видели, сверхпроводнику с отрицательной
поверхностной энергией между нормальной и сверхпро-
водящей областями энергетически выгодно перейти в сме-
шанное состояние, когда к нему приложено магнитное поле.
Конфигурация нормальных областей, проходящих через
сверхпроводящий материал,
должна быть такой, чтобы от-
ношение поверхности нормаль-
ного материала к его объему
было максимально. Оказывает-
ся, благоприятной в этом отно-
шении является такая конфигу-
рация, в которой сверхпровод-
ник пронизан цилиндрами из
нормального материала, распо-
Ф и г. 77. Смешанное со- латающимися параллельно при-
стояние.	ложенному магнитному полю
(фиг. 77). Мы будем называть
эти цилиндры нормальными сердцевинами. Эти сердцевины
образуют правильную конфигурацию — плотно упакован-
ную треугольную решетку (см. фиг. 77 и фото на фронти-
списе).
Можно ожидать, что нормальные сердцевины должны
иметь очень маленький радиус, поскольку чем меньше
радиус цилиндра, тем больше отношение его поверхности
к объему. Из всего вышесказанного можно составить себе
следующее представление о смешанном состоянии.
Материал в своей толще диамагнитен, и магнитный
поток, создаваемый приложенным полем, уничтожается
диамагнитными поверхностными токами, циркулирую-
щими по периметру образца. Этот диамагнитный мате-
риал пронизан нормальными сердцевинами, расположен-
ными параллельно внешнему магнитному полю. Внутри
каждой сердцевины существует магнитный поток, совпа-
дающий по направлению с приложенным магнитным полем.
Магнитный поток внутри каждой сердцевины образуется
вихрем незатухающего тока, циркулирующего вокруг серд-
цевины с направлением вращения, противоположным
направлению диамагнитных поверхностных токов (мы ви-
§ 2. СМЕШАННОЕ СОСТОЯНИЕ
217
дели в § 3 гл. 2, что вокруг всякой окруженной сверх-
проводящим материалом нормальной области, содержащей
магнитный поток, должен циркулировать такой ток).
Фиг. 78. Смешанное состояние.
Нормальные сердцевины окружены сверхпроводящими
вихрями. Вертикальные линии изображают пронизыва-
ющий сердцевины магнитный поток. Поверхностный
ток обеспечивает общий диамагнетизм сверхпроводника.
Конфигурация токов и возникающих в результате их цир-
куляции магнитных потоков изображена на фиг. 78.
1. Некоторые детали смешанного состояния
Приведенная выше картина смешанного состояния
с тонкими цилиндрическими нормальными сердцевинами,
пронизывающими сверхпроводящий материал, является
для многих целей достаточно хорошим приближением, но
недостаточно точно описывает детали структуры. Во-пер-
вых, границы сердцевин четко не определяются. Как мы
видели в § 9 гл. 6, между сверхпроводящей и нормальной
областями не может существовать резкой границы; переход
между ними размыт на расстоянии, примерно равном длине
когерентности £. Кроме того, магнитный поток, связанный
с каждой сердцевиной, проникает в окружающий материал
на расстояние, равное примерно глубине проникновения %.
Подробное рассмотрение свободной энергии смешан-
ного состояния, которое мы здесь не приводим, показывает,
что нормальные сердцевины должны иметь ^необычайно
малый радиус. Однако, если размер нормального цилиндра
218
ГЛ. 12. СМЕШАННОЕ СОСТОЯНИЕ
приближается к становится все труднее и труднее точно
определять его радиус вследствие размытости границ.
Поскольку невозможно точно определить объем и площадь
поверхности такой маленькой сердцевины, мы не можем
должным образом разбить ее свободную энергию на две
Фиг. 79. Смешанное состояние
во внешнем магнитном поле, на-
пряженность которого несколько
выше ЯС1.
а — решетка из нормальных сердцевин
с вихрями; б — зависимость концен-
трации сверхпроводящих электронов от
координаты; в — изменение плотности
потока.
полем плотность магнитного
части — вклад, вносимый
объемом, и вклад, вноси-
мый поверхностью, — и
должны рассматривать сво-
бодную энергию в целом.
Подробное рассмотрение
свободной энергии приво-
дит к следующей структу-
ре смешанного состояния.
Свойства материала пе-
риодически меняются с ко-
ординатами. При прибли-
жении к центру в каждом
вихре концентрация сверх-
проводящих электронов п8
падает до нуля, так что
центр каждого вихря пред-
ставляет собой очень тон-
кую сердцевину (строго
говоря, линию) нормаль-
ного материала (фиг. 79, б).
Ширина области падения
концентрации сверхпрово-
дящих электронов равна
примерно двум длинам ко-
герентности. Создаваемая
приложенным магнитным
потока достигает макси-
мальной величины в нормальных сердцевинах, а на рас-
стоянии, равном примерно % от центра сердцевины
(фиг. 79, в), понижается до небольшой величины. Полный
магнитный поток, образуемый в каждой сердцевине окру-
жающим ее токовым вихрем, равен одному флюксону
(§ 2 гл. 11).
Покажем теперь, что, если к сверхпроводнику II рода
приложено магнитное поле, возникновение описанных
§ 3. ПАРАМЕТР ГИНЗБУРГА — ЛАНДАУ
219
выше сердцевин приводит к понижению свободной энергии.
Число сверхпроводящих электронов ns в каждой сердце-
вине понижается, а для расщепления пар необходима
энергия. Приближенно можно рассматривать каждую серд-
цевину как цилиндр из нормального материала радиусом £.
Таким образом, возникновение нормальной сердцевины
будет приводить к локальному увеличению свободной
энергии, равному	на единицу длины серд-
цевины, обусловленному понижением упорядочения элек-
тронов. Однако на расстоянии порядка % материал не явля-
ется диамагнитным, и локальное понижение его магнитной
энергии равно примерно л%2	на единицу длины,
где На — напряженность приложенного поля. Чтобы
получить в сумме понижение свободной энергии, при
образовании сердцевины должно выполняться условие
(12.1)
Согласно этому соотношению, для появления смешанного
состояния в приложенных полях, меньших Яс, должно
соблюдаться соотношение £ < А, (условие На < Нс являет-
ся необходимым, так как в противном случае приложен-
ное поле перевело бы весь сверхпроводник в нормальное
состояние еще до установления смешанного состояния).
Такое же соотношение мы получили при выводе отрица-
тельной поверхностной энергии. Итак, согласно простой
аргументации, приведенной на стр. 213, смешанное
состояние при наложении магнитного поля возникает
в тех сверхпроводниках, которые имеют отрицательную
поверхностную энергию между сверхпроводящими и нор-
мальными областями.
§ 3. Параметр Гинзбурга — Ландау для металлов и сплавов
Обозначим отношение глубины проникновения %
к длине когерентности g через постоянную к
X
г
Постоянная х различна для различных сверхпроводников,
и ее называют параметром Гинзбурга — Ландау данного
220
ГЛ. 12. СМЕШАННОЕ СОСТОЯНИЕ
материала г). Этот параметр играет существенную роль,
так как его величина определяет некоторые свойства сверх-
проводника. Например, принадлежность сверхпроводника
к I или II роду зависит от того, больше или меньше едини-
цы параметр х.
Из более подробного рассмотрения следует, что знак
поверхностной энергии и возможность образования сме-
шанного состояния, строго говоря, зависят не от того,
больше или меньше единицы значение х, а от того, больше
или меньше оно чем l/j/^2; иными словами,
х < 0,71 —поверхностная энергия положительна
(сверхпроводники I рода),
х > 0,71 — поверхностная энергия отрицательна
(сверхпроводники II рода).
Это точное критическое значение х, однако, не очень суще-
ственно отличается от единицы, которая была получена
из простых рассуждений.
В § 1 отмечалось, что в сплавах и загрязненных метал-
лах длина когерентности короче, чем в чистых металлах.
Следовательно, значение х может быть велико, и эти
материалы обычно являются сверхпроводниками II рода.
Однако даже чистые металлы могут быть сверхпроводни-
ками II рода. Можно показать, что сверхпроводники с вы-
сокими температурами перехода могут иметь относительно
короткую длину когерентности, а три сверхпроводящих
металла (ниобий, ванадий и технеций) действительно имеют
*) Параметр % возникает в теоретическом рассмотрении сверх-
проводимости Гинзбургом и Ландау, которое является обоб-
щением теории Лондонов и в явном виде включает поверх-
ностную энергию между нормальной и сверхпроводящей
областями. В рассмотрении Гинзбурга — Ландау х опре-
деляется как
__1/~ё) 2лЛ2ро2?с
Фо ’
где Фо — квант магнитного потока (§ 2 гл. 11). Если средняя
длина свободного пробега электрона очень мала, X возрастает,
и, таким образом, в сплавах параметр % должен быть боль-
шим. Для наших целей, однако, удобнее считать, что х
равен отношению глубины проникновения к длине когерент-
ности.
§ 4. НИЖНЕЕ И ВЕРХНЕЕ КРИТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ
221
% больше чем 0,71 даже при отсутствии примесей. Эти
сверхпроводники можно назвать истинными сверхпровод-
никами II рода. Для чистых ниобия, ванадия и технеция
значения х равны соответственно 0,78, 0,85 и 0,95 1).
Однако обычно сплавы относятся к сверхпроводникам
II рода, а чистые металлы — к сверхпроводникам I рода.
Параметр х растет, если в результате высокой кон-
центрации примесей уменьшается средняя длина свобод-
ного пробега электронов в сверхпроводнике, что приводит
также к увеличению его электросопротивления в нормаль-
ном состоянии. Таким образом, для данного металла пара-
метр х увеличивается с ростом сопротивления в нормаль-
ном состоянии, и, как было показано в [21],
X = х0 + 7,5 /10 • 105//2р.
Здесь х0 — значение х для чистого металла, у — постоян-
ная Зоммерфельда в выражении для электронной тепло-
емкости в Дж/(м3«К2) и р — удельное сопротивление в нор-
мальном состоянии в Ом«м.
§ 4.	Нижнее и верхнее критические поля
1.	Нижнее критическое поле НС1
Мы видели, что когда сверхпроводник II рода нахо-
дится во внешнем магнитном поле, для него может ока-
заться энергетически более выгодным перейти в смешанное
состояние. Однако этот переход сверхпроводника II рода
в смешанное состояние может произойти лишь при опре-
деленной минимальной напряженности приложенного поля.
х) Фактически у истинных сверхпроводников II рода и у раз-
бавленных растворов к слабо зависит от температуры, повы-
шаясь с понижением температуры. У ванадия, например,
при температуре сверхпроводящего перехода (5,4 К) н = 0,85,
но при 0 К х = 1,5. Аналогично для сплава Pbo,99Tlo,oi
х—0,58 при Т = Тс (7,2 К), т. е. при температуре сверхпро-
водящего перехода этот сплав является сверхпроводником
I рода. Однако при охлаждении до 4,3 К х становится рав-
ным 0,71, и ниже этой температуры сплав является сверх-
проводником II рода.
222
ГЛ. 12. СМЕШАННОЕ СОСТОЯНИЕ
Это легко видеть из соотношения (12.1), которое является
условием понижения свободной энергии при возникно-
новении смешанного состояния. Для данной величины
связанной с % (вспомним, что в сверхпроводниках II рода
£ < X), На должно быть больше определенной части Яс.
Поэтому для перевода сверхпроводника II рода в смешан-
ное состояние требуется некоторая минимальная напря-
женность приложенного поля, известная как нижнее кри-
тическое поле Нсг Можно видеть, что связанное с Нс
значение ЯС1 уменьшается с увеличением х (=A,/g). Под-
робное вычисление ЯС1 для сверхпроводников II рода
с различными значениями х довольно сложно. Было най-
дено, что весьма приблизительно ЯС1 = Яс/(х]/2)0-65 [22].
2.	Верхнее критическое поле Нс2
Итак, сверхпроводник II рода, находящийся в посте-
пенно растущем внешнем магнитном поле, переходит
в смешанное состояние при «нижнем критическом поле»
ЯС1, которое меньше, чем Яс. В сверхпроводнике I рода
Яс — это поле, при котором магнитная свободная энергия
сверхпроводника повышается до такого значения, что для
сверхпроводника становится энергетически выгодно перей-
ти в нормальное состояние. Однако сверхпроводник Ирода,
находящийся в смешанном состоянии во внешнем магнит-
ном поле, имеет более низкую свободную энергию, чем
идеально диамагнитный сверхпроводник I рода. Следова-
тельно, можно ожидать, что для перевода сверхпровод-
ника II рода в нормальное состояние понадобится поле,
более сильное, чем Яс. (В § 1 гл. 8 мы пользовались ана-
логичной аргументацией, чтобы показать, что критическое
поле тонкого сверхпроводника выше критического поля
массивного материала.) Кроме того, заметим, что на осно-
вании соображений, аналогичных тем, что были выска-
заны на стр. 218, 219, видно, что в полях выше Нс сме-
шанное состояние может иметь более низкую свободную
энергию, чем полностью нормальное состояние. Напря-
женность сильного магнитного поля, до которого может
сохраняться смешанное состояние, называется верхним
критическим полем НС2.
§ 4. нйжнёе и Верхнее критические поля
223
При нижнем критическом поле ЯС1 сверхпроводник
II рода переходит из полностью сверхпроводящего в сме-
шанное состояние с образованием решетки из параллель-
ных нормальных сердцевин. G увеличением напряженности
поля выше На решетка из сердцевин уплотняется, и, по-
скольку каждая сердцевина связана с определенной вели-
чиной магнитного потока, средняя плотность потока В
х
Фиг. 80. Смешанное состояние при напря-
женности приложенного магнитного поля
несколько ниже ЯС2.
в сверхпроводнике увеличивается. При достаточно высо-
ком значении приложенного магнитного поля нормальные
сердцевины соединяются, и средняя плотность магнитного
потока в материале, обусловленная сердцевинами и поверх-
ностными диамагнитными токами, приближается к плот-
ности потока pQHa приложенного магнитного поля (фиг. 80).
При верхнем критическом поле НС2 плотность магнитного
потока становится равной р,0Яа, и материал переходит
в нормальное состояние.
Итак, сверхпроводники I рода могут существовать
в одном из двух состояний —• в сверхпроводящем или
в нормальном, а сверхпроводники II рода могут нахо-
диться в одном из трех состояний— в сверхпроводящем,
224
Гл. 12. СМЁШАЙНОЁ СОСТОЯНЙЁ
смешанном или нормальном. Фазовые диаграммы двух
типов сверхпроводников приведены на фиг. 81. Чем выше
Нормальное
состояние

< Сверхпрово^.
/ дящее состояний
О	Тс т
Сверхпроводник Iрода
Сверхпроводник Ирода
Фиг. 81. Фазовые диаграммы сверхпроводников I и II рода.
у сверхпроводников II рода значение х, тем меньше НС1
и тем больше ЯС2 по сравнению с критическим полем Яс.
3.	Термодинамическое критическое поле На
Как мы видели в гл. 4, критическое поле сверхпро-
водника I рода равно
(12-2)
где (gn — &?) — разность плотностей свободных энергий
нормального и сверхпроводящего состояний в отсутствие
приложенного магнитного поля. Мы можем определить
критическое поле для всех родов сверхпроводников с помо-
щью (12.2), которое в равной степени применимо к сверх-
проводникам как I, так и II рода, поскольку для каждого
сверхпроводника должна существовать в отсутствие внеш-
него магнитного поля характеристическая разность энер-
гий (gn — gs) между полностью сверхпроводящим и пол-
ностью нормальным состояниями. Поле Нс является мерой
этой разности энергий, и, чтобы отличать его от верхнего
и нижнего критических полей, можно называть его тер-
модинамическим критическим полем. Только в случае
§ 4. НИЖНЕЕ И ВЕРХНЕЕ КРИТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ
225
сверхпроводников I рода материал переходит в нормальное
состояние в поле
Когда мы говорим, что верхнее или нижнее критическое
поле сверхпроводника II рода имеет определенные значе-
ния относительно термодинамического поля Яс, мы можем
приблизительно считать поле Нс критическим полем,
которое характеризовало бы эквивалентный сверхпровод-
ник I рода, т. е. сверхпроводник с той же температурой
перехода *). Как мы увидим в § 5 настоящей главы, зна-
чение Нс для сверхпроводника II рода можно определить
из экспериментально измеренной кривой намагничивания.
4.	Значение верхнего критического поля
Можно показать, что верхнее критическое поле
сверхпроводника II рода равно
ЯС2 = /2%ЯС,	(12.3)
так что материал с высоким значением и остается в сме-
шанном состоянии и не переходит в нормальное до тех
пор, пока к нему не приложено сильное магнитное поле.
Способность сверхпроводников II рода с высокими
значениями и не переходить в нормальное состояние в силь-
ных магнитных полях очень важна в технике, особенно
при конструировании сверхпроводящих соленоидов, созда-
ющих высокие магнитные поля. В то время как критиче-
ские поля сверхпроводников I рода при 4,2 К лишь в не-
сколько раз превышают 104 А/м (т. е. составляют несколько
сотен гаусс), критические поля сверхпроводников II рода
могут превышать 10е А/м.
В табл. VI помещены типичные примеры сверхпровод-
ников II рода.
i) Мы видели в гл. 9, что теория БКШ предсказывает закон
соответственных состояний для различных сверхпроводников,
из которого следует, что сверхпроводники с одинаковыми
критическими температурами должны иметь одинаковые зна-
чения Нс при любой температуре. Этот закон соответствен-
ных состояний хорошо выполняется на практике.
15-1205
226
ГЛ. 12. СМЕШАННОЕ СОСТОЯНИЕ
Таблица VI
Верхнее критическое поле НС2 при 4,2К, параметр х
и температура сверхпроводящего перехода некоторых
сплавов — сверхпроводников II рода — по сравнению со свинцом
(сверхпроводник I рода)
		HC2(4,2K)		И	Тс. К
		А/м	Гс		
	( МозКе	6,7-105	8 400	4	10
Сверхпроводник II	Ti2Nb	-8-106	-100 000	20	9
рода	1	1 Nb3Sn	-1,6-107 нс (4,2К)	-200 000	34*	18
Сверхпроводник I рода {РЬ		4,4-104	550	0,4	7,2
* Значение указано неточно. Действительно, из известной формулы
Фо = 2л легко находим 40 А; с другой стороны, к для NbgSn^
о	С 2
» 2900 А, откуда х = Х/£ « 72.— Прим. ред.
5.	Парамагнитный предел
Можно задать вопрос: существует ли предел напря-
женности магнитного поля, переводящего сверхпровод-
ник II рода с бесконечно большим х в нормальное состоя-
ние? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим материал
с высокой температурой сверхпроводящего перехода и с
большим значением %. При температурах много ниже тем-
пературы сверхпроводящего перехода термодинамическое
критическое поле будет довольно высоким, и поэтому при
таких температурах значение ЯС2, согласно (12.3), будет
очень большим. Например, при 1,2 К сплав, состоящий
из 60 ат. % титана и 40 ат. % ниобия, должен иметь верхнее
критическое поле ЯС2, равное примерно 20 *106 А/м. Однако
эксперименты показывают, что у материалов, для которых
теория предсказывает очень высокие значения НС2, сопро-
тивление возникает в значительно более слабых полях.
В случае сплава титан — ниобий нормальное состояние
восстанавливается магнитным полем напряженностью 10 х
X 106 А/м, что составляет около половины теоретически
предсказанного значения НС2- Это понижение критического
поля связывают с парамагнетизмом, обусловленным
§ 4. НИЖНЕЕ И ВЕРХНЕЕ КРИТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ
227
спинами электронов проводимости. Если нормальный
металл находится во внешнем магнитном поле, то спины
электронов вблизи поверхности Ферми стремятся повер-
нуться в направлении поля (парамагнетизм Паули).
В полях со средней напряженностью степень упорядо-
чения и результирующее понижение свободной энергии
невелики, поэтому до сих пор мы ими пренебрегали и рас-
сматривали нормальный металл как немагнитный. Но
в очень сильных полях магнитная свободная энергия может
значительно понизиться, если спины электронов ориен-
тируются параллельно магнитному полю. Однако такое
упорядочение несовместимо со сверхпроводимостью, при
которой спины электронов в каждой куперовской паре
должны быть антипараллельными.
Следовательно, в достаточно сильном магнитном поле
для металла может оказаться энергетически более
выгодно перейти в нормальное парамагнитное состояние,
в котором спины электронов вблизи поверхности Ферми
поворачиваются параллельно полю, чем оставаться
в сверхпроводящем состоянии со спаренными электронами,
спины которых антипараллельны.
Согласно вычислениям Клогстона, сверхпроводник дол-
жен переходить в нормальное состояние в результате
электронного парамагнетизма, если напряженность при-
ложенного поля превышает	равное примерно
1,4 «106 ТсА/м. Следовательно, смешанное состояние в сверх-
проводниках II рода не может сохраняться в полях,
напряженность которых выше этого значения, как бы ни
был велик параметр х.
Такое же ограничение должно налагаться на повышаю-
щееся критическое поле очень тонкого образца из сверх-
проводника I рода. Из уравнения (8.8) следует, что кри-
тическое поле тонкой пленки может быть сколь угодно
большим, если пленка достаточно тонка. Фактически,
однако, критическое поле не может подняться выше Нр.
Нужно помнить, что это влияние парамагнетизма нор-
мальных электронов существенно лишь для сверхпровод-
ников с очень высоким верхним критическим полем —
порядка 5-106 А/м или выше. В сверхпроводниках, нахо-
дящихся в сравнительно слабых магнитных полях, эффект
парамагнетизма электронов пренебрежимо мал.
15*
228
ГЛ. 12. СМЕШАННОЕ СОСТОЯНИЕ
§ 5. Намагничивание сверхпроводников II рода
Рассмотрим теперь магнитные свойства сверхпровод-
ников II рода. В приложенном магнитном поле с напря-
женностью На < НС1 сверхпроводник II рода ведет себя
точно так же, как сверхпроводник I рода, обнаруживая
идеальный диамагнетизм и намагниченность, равную —На
Приложенное магнитное
поле
Фиг. 82. Намагничивание сверхпроводников II рода.
(фиг. 82). Когда напряженность приложенного поля дости-
гает Яср на поверхности возникают нормальные сердце-
вины с окружающими их вихрями, которые распростра-
няются по всему материалу. Пронизывающий вихри маг-
нитный поток по направлению совпадает с потоком, созда-
ваемым внешним магнитным полем, так что поток в мате-
риале уже не равен нулю, и величина намагниченности
неожиданно возрастает (фиг. 82). В полях между ЯС4
и Яс2 число вихрей, заполняющих образец, определяется
тем фактом, что вихри отталкивают друг друга. Число
нормальных сердцевин на единицу площади при данной
напряженности внешнего магнитного поля таково, что
понижение свободной энергии материала, связанное с суще-
ствованием каждой недиамагнитной сердцевины, уравно-
вешивается взаимным отталкиванием между вихрями.
С увеличением напряженности приложенного поля повы-
шается плотность нормальных сердцевин, поэтому средняя
§ 5. НАМАГНИЧИВАНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКОВ II РОДА
229
плотность потока в материале возрастает, а величина на-
магниченности плавно падает с увеличением На. Вблизи
верхнего критического поля НС2 плотность потока и намаг-
ниченность изменяются линейно с напряженностью прило-
женного поля. При НС2 происходит разрыв производной
плотности потока и кривых намагничивания, и выше НС2
Приложенное
магнитное поле
Фиг. 83. Термодинамическое критическое поле Яс сверх-
проводника II рода.
Площадь пунктирного прямоугольного треугольника равна за-
штрихованной площади, ограниченной кривой намагничивания.
материал находится в нормальном состоянии с плотностью
магнитного потока, равной |х0Яа, и с намагниченностью,
равной нулю.
Как отмечалось в § 1 гл. 4, полная площадь, ограни-
ченная кривой намагничивания, всегда равна разности
между Gn и Gs, т. е. равна	и это остается спра-
ведливым для сверхпроводников II рода. Фиг. 83 иллю-
стрирует связь между полем НС2 и термодинамическим
критическим полем. Отношение между НС2 и Нс должно
быть таким, чтобы площадь, ограниченная пунктирной
кривой, равнялась площади, ограниченной кривой намаг-
ничивания.
1.	Определение параметра х
Значение х сверхпроводника II рода можно опре-
делить, если известна кривая его намагничивания. Если
измерить площадь под кривой намагничивания, то с помо-
щью графика, изображенного на фиг. 83, можно опре-
230
ГЛ. 12. СМЕШАННОЕ СОСТОЯНИЕ
делить отношение НС2 к Нс. Затем из формулы (12.3)
получаем
Кроме того, было показано, что производная кривой на-
магничивания при На = НС2 равна
LdHa]HC2 1,16(2x2-1)’
Таким образом, и можно определить также по наклону
экспериментально измеренной кривой намагничивания.
Заметим, однако, что этот способ определения х допустим
только при обратимых кривых намагничивания (т. е.
когда получается одна и та же кривая в растущем и в умень-
шающемся полях). Как мы увидим в следующем разделе,
намагничивание часто необратимо, и чем больше гистере-
зис, тем менее точны значения х, определенные по кривым
намагничивания.
2.	Необратимое намагничивание
Если сверхпроводник II рода идеально однороден,
его намагничивание обратимо, т. е. кривые на фиг. 82
одинаковы как при увеличении поля На от нуля, так и при
его уменьшении от некоторого значения, большего НС2.
Однако магнитные характеристики реальных образцов
обычно в той или иной степени необратимы (фиг. 84).
Необратимость объясняется тем, что пронизывающие сверх-
проводник нормальные сердцевины могут «зацепляться»
(«пиннинг») за неоднородности материала, в результате
чего они не могут свободно передвигаться. Следовательно,
при увеличении напряженности магнитного поля от нуля
неожиданного проникновения потока при НС1 не проис-
ходит, так как образовавшиеся на поверхности нормальные
нити не могут свободно передвигаться в глубь сверхпро-
водника. Аналогичным образом при снижении напряжен-
ности приложенного поля от значения, превышаюшего НС2,
возникает гистерезис, и магнитный поток остается захва-
ченным в образце, так как некоторые нормальные сердце-
вины в результате пиннинга не могут выйти из сверх-
§ 5. НАМАГНИЧИВАНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКОВ II РОДА
231
проводника. Механизм, который заставляет нормальные
сердцевины зацепляться за неоднородности, еще не понят
полностью. По-видимому, почти любые неоднородности
с размерами, равными или большими длины когерентности,
могут задерживать нормальные сердцевины. Например,
длинные цепи дефектов кристаллической решетки, назы-
ваемые дислокациями, а также частицы химических при-
месей, например окислов, могут приводить к магнитной
Приложенное магнитное	Приложенное магнитное
поле	поле
Фиг. 84. Необратимые кривые намагничивания сверх-
проводника II рода.
необратимости. У тщательно приготовленных и очищен-
ных сверхпроводников II рода, в которых отсутствуют
такие дефекты, необратимость очень мала, и их кривые
намагничивания почти «идеальны», как на фиг. 82. Однако
обычно образцы содержат некоторые неоднородности и их
кривые намагничивания обнаруживают некоторую необра-
тимость и постоянно существующий захваченный поток.
В следующей главе мы увидим, что пиннинг нормальных
сердцевин на дефектах играет очень важную роль при опре-
делении критических токов в сверхпроводниках II рода.
3.	Сверхпроводящая губка
Мендельсон уже давно отметил, что необратимое на-
магничивание может быть вызвано механизмом, отличаю-
щимся от описанного выше. Предположим, что сверхпро-
водящий материал не однороден, а имеет внутри некую
губчатую структуру из материала с более высоким кри-
232
ГЛ. 12. СМЕШАННОЕ СОСТОЯНИЕ
тическим полем, чем окружающий ее массивный образец.
Когда внешнее магнитное поле уменьшается от значения,
превышающего его критическую напряженность, губчатая
структура становится сверхпроводящей при более высоком
поле, чем окружающий ее материал. При дальнейшем
понижении поля вокруг пор губки начинают циркулиро-
вав незатухающие токи, которые стремятся сохранить
проходящий через материал магнитный поток. В резуль-
тате возникает гистерезис и захваченный поток.
Необходимо отметить, что в настоящее время (1968 г.)
еще не пришли к полному пониманию процессов, вызы-
вающих гистерезис и захват потока. Вероятно, наиболее
общей причиной необратимости намагничивания у сверх-
проводников II рода является пиннинг нормальных серд-
цевин на дефектах, однако не исключено, что в особых
случаях работает губочный механизм Мендельсона.
§ 6. Теплоемкость сверхпроводников II рода
Обычно при нагреве сверхпроводника I рода проис-
ходит скачок теплоемкости в момент перехода металла
из сверхпроводящего в нормальное состояние (§ 2 гл. 5);
величина скачка определяется выражением (5.4). Если
нагрев происходит при постоянном значении внешнего
магнитного поля На, переход из сверхпроводящего состоя-
ния в нормальное является фазовым переходом I рода с по-
глощением скрытой теплоты.
Сверхпроводники II рода имеют, однако, два критиче-
ских поля, НС1 и НС2. Поэтому можно ожидать, что при
нагреве образца в постоянном магнитном поле На (напри-
мер, от А до В на фиг. 85) произойдет два изменения тепло-
емкости — сначала при затем при ТУ
При температуре Ti металл переходит из сверхпрово-
дящего в смешанное состояние. Из фиг. 86 можно видеть,
что при этом переходе на кривой теплоемкости возникает
узкий пик. Согласно предложенной Абрикосовым модели
сверхпроводников II рода, кривая намагничивания имеет
в точке HCi бесконечную производную (фиг. 82), откуда
можно показать, что в точке Ti энтропия непрерывна,
но в смешанном состоянии ее производная по температуре
бесконечна. Отсутствие разрыва энтропии отвечает фазово-
фиг. 85. Нагрев сверхпроводника II рода
в магнитном поле.
Фиг. 86. Теплоемкость сверхпроводника II рода (ниобия), изме-
ренная в постоянном внешне^м поле (Мак-Конвилль и Серии).
234
ГЛ. 12. СМЕШАННОЕ СОСТОЯНИЕ
му переходу II рода, а при бесконечной производной по
температуре на кривой теплоемкости должна возникать
аномалия «Х-типа». Острый пик, наблюдаемый при тем-
пературе Т\ (фиг. 86), согласуется с такой аномалией.
При температуре Т2 образец переходит из смешанного со-
стояния в нормальное. Согласно приведенному в § 4
описанию смешанного состояния, мы должны ожидать,
что вблизи точки Т2 смешанное состояние становится
близким к нормальному. Поэтому нет оснований предпо-
лагать внезапное увеличение энтропии при нагреве
металла с переходом через температуру Т2, однако можно
ожидать, что при приближении температуры к Т2 энтропия
смешанного состояния будет приближаться к энтропии
нормального состояния. Следовательно, этот переход в точ-
ке Т2 также должен быть фазовым переходом II рода,
и поэтому при Т2 должен происходить скачок теплоемко-
сти, аналогичный скачку, наблюдаемому в сверхпровод-
никах I рода в отсутствие внешнего поля. Как видно из
фиг. 86, при температуре Т2 наблюдается как раз такой
скачок теплоемкости.
ГЛАВА 13
КРИТИЧЕСКИЕ ТОКИ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ
II РОДА
Вопрос о критических токах в сверхпроводниках
II рода представляет большой практический интерес.
Мы уже упоминали, что электромагниты, способные созда-
вать сильные магнитные поля, можно навивать проволо-
кой из сверхпроводников II рода, и очевидно, что чем
выше ток, который может проходить через витки элек-
тромагнита, не вызывая сопротивления, тем сильнее
будет магнитное поле, не сопровождаемое выделением
тепла.
Как мы знаем из гл. 7, для образцов, размеры которых
много больше глубины проникновения, критический ток
в сверхпроводниках I рода успешно предсказывается
правилом Сильсби, т. е. при сохранении нулевого сопро-
тивления полная напряженность магнитного поля на по-
верхности образца (обусловленная и током, и внешним
магнитным полем) не должна превышать Нс. В случае
сверхпроводников II рода ситуация усложняется, по-
скольку изменение состояния материала происходит дваж-
ды — при напряженностях поля НС1 и ЯС2, а не в един-
ственном поле Нс.
Заметим, что в настоящее время (1968 г.) свойства
критических токов в сверхпроводниках II рода еще дале-
ки от полного понимания. Мы обсудим поэтому только
общие идеи о допускаемых токовых нагрузках, не
пытаясь детально рассмотреть вопрос, так как сущест-
вующие в настоящее время взгляды неизбежно изменятся
в будущем.
§ 1.	Критические токи
В магнитном поле, напряженность которого меньше
НС1, сверхпроводник II рода находится в полностью сверх-
проводящем состоянии и ведет себя так же, как сверхпро-
236 ГЛ. 13. КРИТИЧЕСКИЕ ТОКИ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ II РОДА
водник I рода. Однако в полях, больших Hcv сверхпро-
водник переходит в смешанное состояние. Ниже мы уви-
дим, что вопреки ожиданию в смешанном состоянии сопро-
тивление не обязательно равно нулю. Поэтому можно
предполагать, что, до тех пор пока само приложенное
магнитное поле недостаточно, чтобы перевести материал
в смешанное состояние, критический ток сверхпроводни-
ка II рода должен определяться критерием, сходным с пра-
вилом Сильсби (§ 1 гл. 7) для сверхпроводников I рода,
но с заменой Нс на НС1. Это значит, что сопротивление
металла остается равным нулю, пока магнитное поле,
создаваемое токами переноса, не приведет к тому, что
полное поле на поверхности превысит НСг
Эксперименты показывают, что это модифицированное
правило Сильсби выполняется в слабых магнитных полях
только для совершенно идеальных образцов с обратимыми
кривыми намагничивания. Если поле приложено под
прямым углом к проволоке из чистого сверхпроводника
II рода, критический ток проволоки падает линейно с повы-
шением напряженности поля, как и следовало ожидать
(ср. кривую а на фиг. 87 с кривой в на фиг. 39). Однако
критический ток не падает до нуля при поле, равном
1/2ЬгС1 — небольшой критический ток остается. Даже в по-
лях выше ЯС1, где сама напряженность поля достаточно
велика, чтобы перевести металл в смешанное состояние,
по сверхпроводнику II рода некоторый ток все еще течет
без сопротивления. Кривая а на фиг. 87 показывает, что
этот небольшой критический ток сохраняется почти до
поля ЯС2. Однако в большинстве случаев образцы не явля-
ются совершенными, и тогда критический ток сильно воз-
растает в полях как выше, так и ниже НС2 (кривая б
на фиг. 87).
В настоящей главе мы будем в основном рассматривать
случаи, когда внешнее магнитное поле перпендикулярно
текущему току. Такая конфигурация особенно интересна,
так как именно она имеет место в электромагнитах. В соле-
ноиде, например, создаваемое поле перпендикулярно вит-
кам. Кривые критического тока, изображенные на фиг. 87,
относятся именно к такому случаю. Форма кривой б
с простирающимся до поля НС2 плато характерна для
§ 1. КРИТИЧЕСКИЕ ТОКИ
237
несовершенных сверхпроводников II рода х), и маловероят-
но, чтобы такая зависимость могла быть предсказана пра-
вилом Сильсби в какой бы то ни было форме. Было обна-
ружено, что критический ток сверхпроводника в смешан-
ном состоянии почти полностью контролируется совер-
шенством образца: чем неоднороднее материал, тем больше
Поперечно приложенное магнитное
поле Нп
Фиг. 87. Типичные зависимости критических
токов проволок от поперечного магнитного поля
для очень совершенных (а) и несовершенных (&)
сверхпроводников.
критический ток, т. е. тем выше и четче становится плато
(фиг. 87). Сильно несовершенные проволоки могут прово-
дить токи плотностью 105 А/см2. И наоборот, у достаточно
совершенных образцов критический ток в смешанном сос-
тоянии низок, порядка нескольких миллиампер на квад-
ратный сантиметр. Эта зависимость критического тока
х) Когда мы говорим о «совершенстве» материала, мы имеем
в виду отсутствие как «химических» примесей (т. е. посто-
ронних атомов), так и «физических» примесей (дефекты
в периодичности атомов кристаллической решетки).
238 ГЛ. 13. КРИТИЧЕСКИЕ ТОКИ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ II РОДА
от совершенства материала играет важную роль в тех-
нике, так как для сверхпроводящих магнитов требуется
проволока, допускающая высокие токовые нагрузки без
появления сопротивления.
Иногда во внешних полях большой напряженности
критический ток возрастает с увеличением напряженно-
сти поля, достигая максимального значения вблизи
поля НС2. Это явление называют пик-эффектом. Однако
причина возникновения этого эффекта пока неясна, и мы
не будем его здесь рассматривать.
§ 2.	Сопротивление течения потока
Прежде чем пытаться объяснить причины, опреде-
ляющие величину тока, способного течь без сопротивления
по сверхпроводнику II рода в смешанном состоянии, оста-
Ф и г. 88. Вольтамперная (I — У) ха-
рактеристика сверхпроводника II рода,
снятая в поперечном магнитном поле
(ЯС1<ЯО<ЯС2).
новимся на весьма существенном экспериментальном ре-
зультате. Предположим, что к куску проволоки из сверх-
проводника II рода приложено перпендикулярное магнит-
ное поле Яа, достаточно высокое, чтобы перевести мате-
риал в смешанное состояние. Пропустим по проволоке
ток и будем наблюдать, как изменяется напряжение V
на концах проволоки с изменением величины тока i
§ 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ ПОТОКА
239
(фиг. 88). Пока ток меньше своего критического значе-
ния ic, никакого напряжения нет, но когда он превышает ic,
появляется напряжение, которое при токах, несколько
больших £с, линейно растет с током. Нужно отметить, что
возникающее напряжение значительно меньше того напря-
жения, которое наблюдалось бы, если бы проволока
Фиг. 89. Вольт-амперные (I — V) характеристики трех
проволок из одного и того же сверхпроводника, снятые
в поперечном магнитном поле.
Кривые А, В и С относятся к образцам с понижающейся степенью од-
нородности.
была в нормальном состоянии. На фиг. 89 изображены
вольт-амперные характеристики, снятые при одной и той
же напряженности приложенного магнитного поля для
трех проволок равного диаметра, сделанных из одного
и того же сверхпроводника II рода, но с разной степенью
несовершенства материала. Проволоки имеют различные
критические токи; чем чище и однороднее проволока,
тем ниже критический ток, но наклон кривых для всех
трех образцов одинаков. Мы видим, таким образом, что,
хотя величина критического тока образца зависит от со-
вершенства материала, скорость возрастания напряжения
при возрастании тока выше критического является харак-
теристикой данного материала и не зависит от степени
его совершенства.
Значение производной dV/dt при токах значительно
выше критического называют сопротивлением течения
потока R' образца (основания для такого названия будут
240 ГЛ. 13. КРИТИЧЕСКИЕ ТОКИ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ II РОДА
ясны из дальнейшего). Удельное сопротивление течения
потока р' материала, из которого сделан образец, можно
определить с помощью формулы R' = р'ЦУк, грр I —
длина образца и — площадь его поперечного сечения.
Было найдено, что для поля заданной напряженности
удельное сопротивление течения потока пропорционально
нормальному удельному сопротивлению металла. Кроме
Лиг
Фиг. 90. Влияние напряженности прило-
женного поперечного магнитного поля на
вольт-амперную (/ — V) характеристику
сверхпроводника II рода в смешанном
состоянии (Нс	Яс ).
того, сопротивление течения потока растет с ростом на-
пряженности магнитного поля (фиг. 90), приближаясь
к значению сопротивления в нормальном состоянии, когда
внешнее поле приближается к значению НС2*
§ 3.	Течение потока
1. Сила Лоренца и критический ток
Итак, сверхпроводник II рода в смешанном состоя-
нии способен проводить некоторый ток без сопротивления,
и критический ток нельзя определить с помощью модифици-
рованного правила Сильсби. Кроме того, характер появле-
ния напряжения при достижении критического тока
совершенно иной, чем в сверхпроводниках I рода. Что
определяет величину критического тока сверхпроводни-
ков II рода в смешанном состоянии и какова природа
$ 3. ТЕЧЕНИЕ ПОТОКА
241
Фиг. 91. Сверхпровод-
ник 11 рода, несущий
ток в смешанном со-
стоянии.
Для стационарных сердце-
вин сила Лоренца пер-
пендикулярна осям сердце-
вин и направлению тока
плотностью J.
напряжения, появляющегося при токах, превышающих
критический?
Токопроводящие свойства сверхпроводников II рода
можно качественно объяснить, если предположить, что
ток в сверхпроводнике, находящемся в смешанном состоя-
нии, течет не по поверхности, как
в сверхпроводнике I рода, а по всей
толще металла.
Рассмотрим отрезок сверхпро-
водника во внешнем поперечном
поле с напряженностью больше
НС1 (фиг. 91). Если по образцу те-
чет ток, то через каждую точку
будет протекать ток переноса с
определенной плотностью J («То-
ком переноса» мы называем ток, те-
кущий вдоль образца. Мы поль-
зуемся ^таким названием, ^чтобы
отличить это движение электронов
от вихревых токов, циркулирую-
щих вокруг нормальных сердце-
вин.)
Однако, поскольку металл на-
ходится в смешанном состоянии,
его пронизывает магнитный поток,
связанный с нормальными сердце-
винами. Поэтому между этим по-
током и током должна действовать
электромагнитная сила (сила Ло-
ренца). Когда говорят о силе
Лоренца, действующей на движущийся заряд со стороны
магнитного поля, то фактически имеют в виду силу взаимо-
действия между движущимся зарядом и источником магнит-
ного поля. Поэтому в нашем случае сила действует между
электронами, несущими ток переноса, и вихрями, создаю-
щими магнитный поток в нормальных сердцевинах. Сле-
довательно, на каждый вихрь будет действовать сила
Лоренца FL, перпендикулярная направлению тока пере-
носа и направлению магнитного потока.
Предположим, что по образцу длиной I и площадью
поперечного сечения Jb течет ток i и что направление
16-1205
242 ГЛ. 13. КРИТИЧЕСКИЕ ТОКИ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ II РОДА
внешнего магнитного поля составляет угол 0 с направ-
лением тока. Если плотность потока магнитного поля
есть В, то действующая на образец сила Лоренца равна
И В sin 0. Однако каждый вихрь содержит поток вели-
чиной Фо, и поэтому средняя плотность потока В = пФ0,
где п — число вихрей на единицу площади, перпендику-
лярной 5. Следовательно, сила Лоренца равна Ип Фо sin0.
Полная длина всех вихрей, проходящих через образец,
равна п1Л, так что средняя сила на единицу длины вихря
составляет (f/<4) Фо sin 0. Хотя [плотность тока изме-
няется от сердцевины к сердцевине, средняя плотность
тока J есть и сила Лоренца на единицу длины каж-
дого вихря должна быть равна
FL = <ADosin0.	(13.1)
В особом случае, когда внешнее магнитное поле пер-
пендикулярно направлению тока, 0 = 90°, и сила Лоренца
равна
#Ь-/Фо-	(13.2)
В предыдущей главе мы говорили о том, что нормальные
сердцевины могут зацепляться за неоднородности мате-
риала. Следовательно, если сила Лоренца не очень велика,
сердцевины неподвижны. Не все сердцевины закреплены
на неоднородностях материала, но взаимодействие между
вихревыми токами достаточно, чтобы обеспечить жест-
кость решетки из нормальных сердцевин, и поэтому, даже
если закреплены лишь несколько сердцевин, вся конфи-
гурация неподвижна. Существенной поэтому является
средняя сила пиннинга на сердцевину. |Пусть средняя
сила пиннинга на единицу длины сердцевины будет рав-
на Fp. Пока создаваемая током переноса J сила Лоренца
на единицу длины сердцевины меньше, чем Fp, решетка
из сердцевин неподвижна, т. е. конфигурация стабильна,
если
/ФО<^Р.
Однако когда ток переноса растет и сила Лоренца стано-
вится больше Fp, решетка из сердцевин может передви-
§ 3. ТЕЧЕНИЕ ПОТОКА
243
гаться. Если возникает движение сердцевинх) и если
этому движению противодействует некоторая сила вяз-
кости, для сохранения движения необходимо затратить
работу. Эта работа может совершаться только лишь током
переноса, и поэтому при его течении через материал долж-
на расходоваться энергия. Другими словами, если ток
вызывает движение сердцевин и если это движение тормо-
зится, вдоль материала должно возникать падение напря-
жения. Это движение нормальных сердцевин (совместно
с флюксонами) через материал называют «течением потока»,
и оно служит причиной сопротивления течения потока,
наблюдаемого при токах больше критического.
Механизмы, ответственные за силы вязкости, противо-
действующие движению сердцевин по металлу, сложны,
и мы не будем их здесь обсуждать. Одна из причин появ-
ления вязкости связана с тем, что сердцевины содержат
магнитный поток, движущийся вместе с ними по металлу.
Это движение магнитного потока создает э. д. с., которая
гонит ток через сердцевины, причем ток возвращается,
проходя через окружающий сверхпроводящий материал.
Можно рассматривать эти токи как возникающие при
движении потока вихревые токи. Поскольку сердцевина
нормальна, при прохождении через нее тока расходуется
работа, и это является одной из причин затраты энергии
при движении сердцевин.
Необходимо подчеркнуть, что причины возникновения
напряжения в сверхпроводниках I и II рода различны.
В сверхпроводниках I рода, если ток выше критического,
напряжение обусловлено током переноса, который прохо-
дит через нормальные области, заполняющие весь образец.
Когда же в сверхпроводнике II рода возникает течение
потока, материал продолжает оставаться в смешанном
состоянии и в нем сохраняются пронизывающие его сверх-
проводящие пути.
Критическим будет ток, создающий такую силу Лорен-
ца, которая отрывает сердцевины от центров пиннинга,
т. е. критическая плотность тока Jc определяется выра-
1) Когда сердцевины движутся, на них действуют уже другие
силы. Скорость и направление движения сердцевин будут
рассмотрены в следующем разделе.
16*
244 ГЛ. 13. КРИТИЧЕСКИЕ ТОКИ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ II РОДА
жением
Jс® О “ Р*
Теперь мы видим, почему неоднородные образцы имеют
более высокие критические токи: чем больше в образце
неоднородностей, тем большая часть сердцевин будет за них
зацепляться и тем больше будет средняя сила пиннинга
на сердцевину.
В предыдущей главе мы видели, что наличие центров
пиннинга приводит к необратимости намагничивания несо-
Напряженность приложен- .
ново магнитного поля*ННА/м
Напряженность приложен-
ного магнитное о поля,*10 9А
Фиг. 92. Намагниченность и критический ток неоднородного
(а) и почти однородного (б) сверхпроводников II рода (сплав из тан-
тала с ниобием, исследованный при 4,2 К) (Хитон и Роуз-Инс).
вершенных сверхпроводников II рода. Если приведенное
выше объяснение природы критического тока правильно,
то критический ток в смешанном состоянии должен быть
больше для тех материалов, у которых необратимость кри-
вых намагничивания более ярко выражена. Именно это
и обнаружено на практике. На фиг. 92 изображены кривые
§ 3. ТЕЧЕНИЕ ПОТОКА
245
намагничивания и кривые критических токов для проволо-
ки из сверхпроводника II рода (сплав тантала с ниобием)
до и после очистки г). На верхних графиках изображены
намагниченность и критический ток проволоки после
протяжки из слитка. Проволока в результате протяжки
содержит много неоднородностей. Кривая намагничивания
сильно необратима, а на кривой критического тока имеется
плато, соответствующее высокому критическому току,
сохраняющемуся до поля ЯС2. Нижние кривые показы-
вают свойства того же куска проволоки после тщательной
очистки и снятия внутренних напряжений в результате
отжига в высоком вакууме в течение нескольких дней.
Как можно видеть, намагничивание стало почти пол-
ностью обратимым, и, несмотря на сохранение смешан-
ного состояния до поля ЯС2, способность пропускать высо-
кий критический ток исчезла.
Если критическим током является ток, создающий силу
Лоренца, способную сдвигать вихри с центров пиннинга,
то он должен сильно зависеть от угла между магнитным
потоком и током. Если 9 — угол между приложенным
магнитным полем и током, то, согласно (13.1), критический
ток должен быть обратно пропорционален sin 9.
На фиг. 93 приведены результаты экспериментальной
проверки этого соотношения. Можно видеть, что, за исклю-
чением случая, когда внешнее поле почти параллельно
току, величина, обратная критическому току, изменяет-
ся как sin 9 в соответствии с вышеприведенной моделью.
Если бы величина, обратная критическому току, изме-
нялась как sin 9 при всех значениях 9, то критический ток
стремился бы к бесконечности при повороте магнитного
поля в положение, параллельное току. Ясно, что крити-
1) Отметим, что многие эксперименты, используемые для иллю-
страций свойств сверхпроводников II рода, были выполнены
на сплавах тантала с ниобием и ниобия с молибденом, потому
что эти два сплава — одни из немногих сплавов сверхпро-
водников II рода, которые можно приготовить в действи-
тельно чистом .состоянии с обратимыми кривыми намагни-
чивания. Хотя существует много сплавов, являющихся сверх-
проводниками II рода, большинство из них в силу метал-
лургических Причин4 пельзй приготовить в совершенном виде.
246 ГЛ. 13. КРИТИЧЕСКИЕ ТОКИ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ II РОДА
ческий ток не может быть бесконечным и достигает своего
максимального значения при поле, параллельном току.
-20-100 10 2030W 50 60 70 во 90 юо о
> 0,5	1,0
Ориентация внешнего	sin 9
магнитного поля 0, град
Фиг. 93. Зависимость критического тока полоски из Nb>Sn в сме-
шанном состоянии от ориентации приложенного магнитного поля
(Коди и Сул лен).
Однако причины, ограничивающие величину критического
тока в параллельно приложенном поле, пока неясны.
2.	Течение потока
Мы связывали напряжение, возникающее когда ток
переноса превышает критическое значение, с работой,
затрачиваемой на движение сердцевин в металле. Для
данной величины тока напряжение не зависит от времени,
откуда можно заключить, что решетка из нормальных
сердцевин не ускоряется действующими на нее силами,
а движется с постоянной скоростью. Это означает, что
по отношению к движению сердцевины металл ведет себя
как вязкая среда. Мы видели, что электрическое сопро-
тивление течения потока не зависит от чистоты сверхпро-
водника, так что каждый материал можно описать с помо-
щью такой «константы вязкости» т), чтобы при суммарной
силе У7, действующей на единицу длины сердцевины, эта
сердцевина сохраняла скорость v = F/ц.
Рассмотрим теперь, как движутся вихри, отрывающие-
ся от центров пиннинга, когда ток переноса превышает
критическое значение. Важно понимать, что величина
§ 3. ТЕЧЕНИЕ ПОТОКА
247
и направление сил, действующих на движущиеся сердце-
вины, отличны от тех, что имеют место при стационарном
состоянии. Рассмотрим особый случай, когда приложен-
ное магнитное поле перпендикулярно току переноса.
Если сердцевины неподвижны, относительная скорость
между сердцевинами и несущими ток переноса электрона-
ми имеет определенное значение, и существует сила Ло-
ренца, стремящаяся оторвать вихри от центров пиннинга.
Эта сила перпендикулярна и току переноса, и осям серд-
цевин. Однако, когда возникает движение сердцевин,
относительная скорость между ними и электронами, несу-
щими ток переноса, изменяется так, что изменяется и дей-
ствующая на них сила. Нужно помнить, что вихри, окру-
жающие сердцевины, представляют собой циркулирую-
щие сверхпроводящие электроны. Это круговое движение
накладывается на прямолинейное движение, создаваемое
током переноса, и при отсутствии каких-либо других сил
он должен переносить вихри со скоростью равной ско-
рости его электронов (фиг. 94, а). Если бы это было так,
не возникало бы движения вихрей относительно несущих
ток электронов и на вихри не действовала бы сила Ло-
ренца. Как мы видели, однако, появление напряжения
указывает на то, что движение вихрей в металле встречает
сопротивление, в результате которого у вихря возникает
компонента скорости, перпендикулярная току переноса.
Поскольку при движении вихрей в металле возникает
вязкое торможение, они не смогут двигаться со скоростью
электронов, несущих ток переноса, и их скорость vi < У/.
Другими словами, в направлении тока переноса сущест-
вует относительная скорость между вихрями и электрона-
ми, несущими ток. Следовательно, теперь на магнитный
поток, пронизывающий вихри, должна действовать сила
Лоренца, что приводит к появлению компоненты скоро-
сти vt, направленной поперек проводника. Результирую-
щая скорость вихрей v составляет с направлением тока
переноса угол а (фиг. 94, а).
Можно найти направление движения вихрей с помощью
следующих самосогласованных аргументов. Если в ста-
ционарном состоянии вихри движутся по металлу со ско-
ростью v = const, то действующие на них силы? должны
находиться в состоянии равновесия. При движении вихрей
248 ГЛ. 13. КРИТИЧЕСКИЕ ТОКИ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ и РОДА
возникает вязкое трение и имеется сила Fo, действующая
в направлении, противоположном скорости вихрей v:
Fo=—Tjv.	(13.3)
Теперь скорость электронов тока переноса относительно
сердцевины вихря равна (v^ — v), что приводит к появ-
Ф и г. 94. Диаграммы скоростей и сил для вихревого
движения в смешанном состоянии.
v- — скорость электронов, переносящих ток i, a v — скорость
вихря в материале. Приложенное магнитное поле направлено
перпендикулярно плоскости рисунка от наблюдателя (Вольгер,
Стасс и ван Вейфейкен).
лению силы Лоренца Fb, направленной под прямым углом
к вектору (vj — v). Эта сила создает движение вихрей
в направлении вектора v (фиг. 94, б). Величина силы Fi,
равна
Fl — \ vt — т|п,еФ0,	(13.4)
где пг—число сверхпроводящих электронов на единицу
объема. Чтобы скорость вихрей была постоянна, FL долж-
13. ТЕЧЕНИЕ ПОТОКА
249
на быть равна — Fp, а потому из (13.3) и (13.4) получаем
и угол а между направлением движения вихрей и тока
переноса равен
a = arctg—.
Итак, чем больше вязкое трение (т. е. чем больше ц), тем
ближе к прямому углу приближается а. Измерения, про-
водимые на сверхпроводниках II рода, показали, что
угол а близок к 90°. (Этот результат был получен из изме-
рений эффекта Холла. Угол Холла равен 90°	а.) Из того
факта, что а равен примерно 90°, можно сделать вывод,
что вязкое трение велико, и при течении потока вихри
движутся почти под прямым углом к направлению тока
переноса.
3.	Э. д. с., возникающая при движении
нормальных сердцевин
Итак, если достаточно сильный ток i течет по сверх-
проводнику в смешанном состоянии, он заставляет нор-
мальные сердцевины двигаться, и мы предположили, что
при движении сердцевин по металлу они испытывают вяз-
кое трение. Энергию для поддержания движения сердцевин
может обеспечить только ток, а это означает, что независимо
от механизма этого процесса для поддержания тока необ-
ходимо затратить работу. Другими словами, на концах
образца появится разность потенциалов V, и в самом
образце возникнет сопротивление. Если Р — мощность,
требуемая для поддержания движения сердцевин, т. е.
мощность, рассеиваемая в образце, то напряжение будет
равно V = P/i.
Вышеприведенные рассуждения о причинах возник-
новения напряжения при токах выше критического носят
общий характер и не дают никакого представления о ме-
ханизме, ответственном за это явление. Фактически напря-
жение может быть связано с индуцированной э. д. с.,
250гл- 13- КРИТИЧЕСКИЕ ТОКИ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ II РОДА
возникающей в результате движения магнитного потока
в перемещающихся сердцевинах. Рассмотрим, например,
контур, изображенный на фиг. 95, где М — сверхпровод-
ник II рода, переведенный в смешанное состояние магнит-
ным полем, приложенным перпендикулярно плоскости
рисунка. Если возникает движение сердцевин поперек
образца в результате силы Лоренца, создаваемой теку-
щим по образцу током, или по какой-либо другой причине,
то вольтметр зарегистрирует разность потенциалов V.
Это напряжение возникает в результате движения магнит-
ного потока, заключенного в нор-
мальных сердцевинах. Скорость,
с которой поток пересекает об-
разец между контактами вольтмет-
ра, равна пФог^ d, где п — число
сердцевин на единицу площади,
Фо — магнитный поток внутри
каждой сердцевины (т. е. флюксон),
vt — поперечная скорость движе-
ния сердцевин и d — расстояние
между контактами. Измеряемое
напряжение равно
Ф и г. 95. Возникнове-
ние э. д. с. в результате
течения потока в сме-
шанном состоянии.
V = пФо^й.
Это «наведенное» напряжение совпадает с «напряжением
на сопротивлении», связанным с прохождением тока i.
Если появление э. д. с. в смешанном состоянии связано
с движением флюксонов, то эта э. д. с. должна возникать
всякий раз, как начинается движение сердцевин, неза-
висимо от причины, приводящей к этому движению. Что это
именно так и происходит, было продемонстрировано
Лоуэллом, Муньёзом и Суса, которые смогли вызвать
движение флюксонов в образце из сплава ниобия с молиб-
деном, нагревая один конец образца (по образцу не про-
ходил никакой ток переноса). Из температурной зависи-
мости кривой намагничивания сверхпроводников II рода
видно, что в однородном магнитном поле в горячих частях
образца плотность флюксонов выше, чем в холодных.
Следовательно, при температурном градиенте в силу вза-
имного отталкивания флюксонов возникает сила, застав-
$ з. течейие Потока
251
состоянии может
Фиг. 96. Э. д. с., возни-
кающая в результате дви-
жения флюксонов, обусло-
вленного температурным
градиентом.
ляющая флюксоны перемещаться из горячих частей в хо-
лодные. На фиг. 96 изображена такая ситуация. Когда
между концами образца устанавливается температурный
градиент, вольтметр регистрирует появление напряже-
ния V. Поскольку ток переноса равен нулю, напряжение
не может быть «омическим». При изменении направления
поля Н на 180° напряжение меняет знак. Этот эксперимент
является наиболее убедительным доказательством того,
что движение флюксонов в сме
генерировать э. д. с. Такой экспе-
римент можно проводить только
на очень совершенных образцах,
так как в противоположном слу-
чае движение флюксонов будет
нарушаться в результате пин-
нинга на неоднородностях мате-
риала.
Мы можем резюмировать си-
туацию в отношении протекания
тока в смешанном состоянии
следующим образом. Предпола-
гается, что в сверхпроводнике
II рода, находящемся в смешан-
ном состоянии, ток протекает
по всей толще металла. Ток со-
здает силу Лоренца, которая
воздействует на проходящие через металл нормальные
сердцевины. Эти сердцевины могут быть закреплены на неод-
нородностях, но если ток превышает определенную вели-
чину (критический ток), в материале может возникнуть
движение сердцевин. Когда возникает такое «течение
потока», то перпендикулярно направлению движения
потока возникает напряжение, и в материале генерируется
тепло.
Необходимо отдавать себе отчет, что к настоящему
времени (1968 г.) эти процессы еще далеки от полного
понимания. В частности, неясно, почему происходит пин-
нинг сердцевин на неоднородностях, а также не находит
нужного объяснения форма зависимости критического тока
от напряженности приложенного магнитного поля (см.,
например, фиг. 87).
252 №. 13. КЁИТЙЧЁЁКИЁ ТОКИ В СЁЁРкЙРОВОДНЙКАХ 11 ЁОДА
§	4. Поверхностная сверхпроводимость
Из фиг. 87 можно видеть, что, несмотря на быстрое
падение критического тока, когда напряженность внеш-
него магнитного поля в сверхпроводниках II рода превы-
шает 77с2, материал тем не менее может проводить неболь-
шой, быстро затухающий ток без сопротивления в полях,
больших НС2. Это удивительно, так как в полях выше НС2
металл должен находиться в нормальном состоянии, что не-
совместимо с протеканием по нему тока без сопротивления.
В течение ряда лет предпринимались попытки объяс-
нить эту и ей подобные аномалии, исходя из неоднород-
ности материала. Могла бы, например, существовать сетка
из областей с критическим полем, более высоким, чем
в остальном материале. Однако недавно пришли к выводу,
что эти «аномалии» являются проявлением свойства, кото-
рым обладают даже идеально чистые и однородные сверх-
проводники. Это свойство — поверхностная сверхпрово-
димость.
В 1963 г. Сан Жам и Де Женн на основании теорети-
ческих рассмотрений пришли к выводу, что сверхпрово-
димость может сохраняться вблизи поверхности сверх-
проводника, находящегося в контакте с изолятором (в том
числе и с вакуумом), даже в магнитном поле с напряжен-
ностью, достаточной для перевода массивного образца
в нормальное состояние.
Этот сверхпроводящий поверхностный слой может воз-
никать в материалах, у которых параметр Гинзбурга —
Ландау х превышает 0,42. Поверхностная сверхпроводи-
мость не является специфическим свойством сверхпровод-
ников II рода (х > 0,71), а может также наблюдаться
в сверхпроводниках I рода, у которых значения х лежат
в области между 0,42 и 0,71. Однако, поскольку эти эффек-
ты обычно наблюдаются у сверхпроводников II рода,
мы отложили их рассмотрение до настоящей главы.
Поверхностный сверхпроводящий слой г) может сохра-
няться в приложенном магнитном поле вплоть до опреде-
1) Этот поверхностный слой часто называют сверхпроводящей
«оболочкой». Мы, однако, предпочитаем называть его сверх-
проводящим поверхностным «слоем», чтобы подчеркнуть, что
он может возникнуть только на части поверхности (это будет
показано ниже) и не обязательно окружает весь образец.
§ 4. ПОВЕРХНОСТНАЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
253
ленной максимальной напряженности, которую мы обо-
значим через ЯСз. Величина НСз зависит от угла между
внешним магнитным полем и поверхностью и достигает
максимума, когда приложенное поле параллельно поверх-
ности. В последнем случае НСз = 2,4 иНс (т. е. 1,7ЯС2 для
сверхпроводников II рода). Если увеличивать угол между
О ю 20 30 40 50 60 70 80 90
Направление (ф) приложенного
магнитного поля, градусы
Фиг. 97. Зависимость поля ЯСз от угла между при-
ложенным магнитным полем и поверхностью сверх-
проводника.
направлением поля и поверхностью сверхпроводника,
величина ЯСз уменьшается (фиг. 97) и достигает минималь-
ного значения, равного ]Л2х Яс (т. е. значения ЯС2в слу-
чае сверхпроводников II рода), когда поле перпендику-
лярно поверхности.
Мы можем нарисовать диаграмму (фиг. 98), которая
показывает, как зависит природа сверхпроводника от зна-
чения параметра Гинзбурга — Ландау х. При х < 0,42
сверхпроводник является сверхпроводником I рода и мо-
жет существовать в одном из двух состояний — сверхпро-
водящем или нормальном — в зависимости от того, выше
или ниже напряженность магнитного поля термодинами-
ческого критического поля Яс. Однако, если х превышает
значение 0,42, на поверхности может существовать тонкий
сверхпроводящий слой в полях до ЯСз. Когда х больше 0,71,
сверхпроводник является сверхпроводником II рода и мо-
жет существовать в четырех возможных состояниях —
254 ГЛ. 13. КРИТИЧЕСКИЕ ТОКИ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ П РОДА
сверхпроводящем, смешанном, нормальном с поверхност-
ной сверхпроводимостью и в полностью нормальном.
В предыдущей главе мы отмечали, что у чистых метал-
лов х слегка зависит от температуры, увеличиваясь с ох-
лаждением. Следовательно, металл может менять характер
сверхпроводимости. У свинца, например, значение х при
7,2 К равно примерно 0,37, но при охлаждении до 1,4 К х
Нс3П
1пН
Х=0,42 х=О/71
1пх----►
Фиг. 98. Зависимость свойств сверхпроводника
от параметра Гинзбурга — Ландау х.
— значение предельной напряженности поля для по-
верхностной сверхпроводимости, когда поле параллельно по-
верхности.
возрастает до 0,58. Коэффициент х становится равным 0,42
при температуре 5,8 К, так что при температурах ниже
5,8 К на поверхности свинцового образца может суще-
ствовать тонкий сверхпроводящий слой.
Поверхностная сверхпроводимость возникает только
на границе между сверхпроводником и диэлектриком
(включая вакуум) и не может существовать на границе
между сверхпроводником и нормальным металлом. Сле-
довательно, поверхностная сверхпроводимость исчезает,
если покрыть поверхность образца слоем нормального
металла. Можно, например, определить, связаны ли какие-
то наблюдаемые свойства с поверхностной сверхпроводи-
мостью. Нужно для этого проверить, сохраняются ли
эти свойства после покрытия образца слоем меди.
§ 4. ПОВЕРХНОСТНАЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
255
Обычно только часть поверхности образца параллельна
внешнему магнитному полю, и, следовательно, в магнитном
поле с напряженностью между НС2 и Нсз сверхпроводящий
слой будет покрывать только эту часть поверхности.
На фиг. 99 изображен важный случай цилиндрического
поперечном магнитном поле.
стержня или проволоки в
Когда напряженность при-
ложенного поля равна ЯС2,
сверхпроводящий слой
простирается по всей по-
верхности, но при увели-
чении поля этот слой стя-
гивается в две полосы А
и 4', расположенные по
бокам образца. Когда по-
ле приближается к Ясз,
эти полосы стягиваются к
нулю вдоль двух линий LL
и L'L', где поверхность па-
раллельна полю. Именно с
этими сверхпроводящими
полосами связан неболь-
Фиг. 99. Полосы поверхностной
сверхпроводимости, образующие-
ся вдоль цилиндрического образца
в поперечном магнитном поле.
шой ток, текущий без сопротивления по сверхпроводнику
II рода в приложенном поле, большем НС2.
Существуют доказательства, что сверхпроводящий по-
верхностный слой существует также в полях, меныпих НС2,
когда сверхпроводник находится в смешанном состоянии.
Если бы сверхпроводник II рода был абсолютно чистым
и однородным и не содержал бы центров пиннинга, ток
в направлении, перпендикулярном внешнему магнитному
полю, не мог бы по нему протекать без сопротивления,
так как малейшая сила приводила бы в движение нормаль-
ные сердцевины (см. выше). Однако было обнаружено, что
проволоки даже из очень чистого материала способны
в перпендикулярном внешнем поле проводить некоторый
ток без сопротивления. Полагают, что на части поверхно-
сти, почти параллельной магнитному полю, возникает
сверхпроводящий слой и что в очень чистых образцах
критический ток в значительной степени определяется
величиной тока, текущего без сопротивления через эти
поверхностные области.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ЗНАЧЕНИЕ ПЛОТНОСТИ МАГНИТНОГО
ПОТОКА В И НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО
ПОЛЯ Я
Для того чтобы получить должное представление
о магнитных свойствах сверхпроводника, важно ясно
понимать значение В и Я. Это важно потому, что при ис-
пользовании системы единиц МКС возникает несколько
новый подход к магнетизму, чем в системе единиц СГСМ
и СГСЭ.
§ 1. Определение В
Современный подход заключается в отказе от идеи
свободных магнитных полюсов и в рассмотрении магне-
тизма только с точки зрения взаимодействия между токами.
С этой точки зрения вектор плотности магнитного потока В
является основной магнитной величиной в таком же смысле,
как вектор электрического поля Е является фундамен-
тальной величиной в электростатике. Если проводник,
несущий ток £, поместить в магнитное поле, то на провод-
ник будет действовать сила. Плотность магнитного пото-
ка В поля определяется соотношением
dF = fdlxB,	(А.1)
где dF — сила, действующая на элемент тока id\. Это ана-
логично определению Е как силы, действующей на еди-
ничный заряд, что подтверждает фундаментальный харак-
тер величины В.
Магнитные поля образуются токами, и плотность маг-
нитного потока, связанная с данной геометрией токов в сво-
бодном пространстве, можно определить из закона Био
и Савара
rfB== ’ (А-2)
где JB — вклад, вносимый в плотность потока в точке Р
элементом тока id\\ г — расстояние от точки Р до эле-
ПРИЛОЖЕНИЕ А
257
мента dl; г — единичный вектор в направлении г и р,0 —
проницаемость свободного пространства. Это выражение
для В соответствует выражению для электрического поля
(А.З)
Здесь dq — заряд, образующий поле, и е0 — проницае-
мость свободного пространства. Используя закон Био
и Савара, можно показать, что в свободном пространстве В
удовлетворяет закону Ампера в виде
§ В-Л = HoJ,	(А.4)
где контурный интеграл В сЛ берется вдоль любого
замкнутого контура, a J — суммарный ток через этот
контур.
Применив закон Ампера (А.4) к бесконечно длинному
соленоиду, можно легко показать, что плотность потока
внутри соленоида однородна и определяется выражением
5 =	(А.5)
где т — число витков на единицу длины и i — ток через
каждый виток. Кроме того, плотность потока снаружи
соленоида равна нулю.
§ 2.	Влияние магнитного материала
Все вышеприведенные выражения, кроме (А.1), спра-
ведливы только для свободного пространства. Чтобы учесть
влияние магнитного материала, рассмотрим длинный пара-
магнитный цилиндр внутри бесконечно длинного соле-
ноида (фиг. 100). Парамагнетизм материала связан с нали-
чием в нем элементарных атомных диполей, которые стре-
мятся ориентироваться вдоль поля соленоида, так что
они устанавливаются главным образом в направлении
поля. Вспомним, что существование атомных диполей
связано не со свободными магнитными полюсами, а с цир-
кулирующими токами, создаваемыми или спином элек-
трона, или орбитальным движением электронов внутри
атомов. Направление этих циркулирующих токов обо-
17-1205
258
ПРИЛОЖЕНИЕ А
значено стрелками на фиг. 101, а (в плоскости, перпендику-
лярной оси соленоида). В силу упорядочивающего влияния
Соленоид
Фиг. 100. Стержень из магнитного материала
(с намагниченностью I) в бесконечно длинном
соленоиде.
Интегрирование производится по контуру ABCD, обозна-
ченному пунктирной линией.
поля все эти токи циркулируют в одном и том же направ-
лении. Степень намагниченности материала можно описать
Фиг. 101. Эквивалентность упорядоченных токовых диполей
поверхностному току (направление поля от наблюдателя).
а — все замкнутые атомные токи, создающие магнитные диполи, циркулируют
в одном направлении благодаря упорядочивающему действию поля; б — сред-
няя плотность магнитного потока, создаваемого этими замкнутыми токами
внутри материала, равна средней плотности потока, который создавался бы
воображаемыми поверхностными токами плотностью I А/м.
с помощью его интенсивности намагниченности I (обычно
ее называют просто намагниченностью). I есть вектор,
направленный вдоль намагничивания и имеющий вели-
чину, равную результирующему магнитному моменту
диполя на единицу объема.
Полная плотность потока внутри цилиндра склады-
вается из плотности потока, созданного соленоидом,
и плотности потока, образованного атомными токами.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
259
Ясно, что В внутри железа не будет однородной, а будет
флуктуировать от точки к точке с периодичностью атомной
решетки. Однако будет существовать средняя плотность
потока В, и можно показать (см., например, [6]), что
если намагниченность магнитного материала равна I,
то эта средняя плотность В строго совпадает с плотностью,
которая возникала бы в результате существования вооб-
ражаемых токов, текущих по периферии цилиндра в пло-
скостях, перпендикулярных его оси (фиг. 101, б), с плот-
ностью поверхностного тока, равной I А/м. Намагничен-
ность парамагнитного материала эквивалентна поэтому
воображамому соленоиду, несущему ток, равный I А/м,
и дополнительная плотность потока, образованного соле-
ноидом, согласно (А.5), равна
Вт — |101.
Плотность потока, образованного этим воображаемым
соленоидом, просто складывается с плотностью потока,
образованного реальным соленоидом, так что величина
плотности полного магнитного потока внутри материала
равна
В =	+ p0Z.	(А.6)
В литературе пользуются для I двумя разными раз-
мерностями. В большинстве книг по электромагнитной
теории, как и в настоящей книге, дается I в амперах на
метр (А/м). В книгах, описывающих магнитные свойства
твердых тел, приводят, однако, намагниченность Z, имею-
щую ту же размерность, что и В, и тогда (А.6) принимает
вид
В=^т1-\~1'*	(А.6а)
Каждое из этих определений имеет свои преимущества, но
определение Z, согласно (А.6), больше согласуется с при-
нятой нами идеей о параллелизме магнетизма и электро-
статики.
§ 3.	Напряженность магнитного поля
Если взять контурный интеграл В вдоль пути ABCD
на фиг. 100, где АВ = CD = х, то из (А.6) получим
17*
260
ПРИЛОЖЕНИЕ А
(помня, что вне соленоида В = 0)
(^> B-g?1 = (цотш t-|10Z) х.	(А.7)
ABCD
Это можно записать в виде
=	+	(А.8)
где Jy = xmi есть полный ток, проходящий через витки
соленоида, охватываемые путем ABCD, и = lx —
полный поверхностный эффективный ток, эквивалентный
намагниченности I. Величину Jy часто называют «свобод-
ным» током. Таким образом, закон (А.4) остается спра-
ведливым только при условии, что J = Jy + Это соот-
ношение, однако, не очень пригодно, поскольку, зная Jy,
мы обычно не знаем Jm. Удобно поэтому ввести новый
вектор, называемый напряженностью магнитного поля Н,
определяемый соотношением
B = ix0H + p,0I,	(А. 9)
так что из (А.6) получаем
Н = тш,	(А.10)
а (А.7) принимает вид
=	= 3f.	(A.ll)
Теперь в закон Ампера входит только истинный или
«свободный» ток Jy, и нет никакой зависимости Н от при-
сутствия магнитного материала. Этот важный вывод делает
Н полезной величиной.
Недостатком системы МКС является то, что фундамен-
тальное различие между В и Н [см. (А.8) и (A.ll) 1 стано-
вится неявным благодаря наличию в (А.8) коэффициента ц0,
которого нет в (A.ll).
Для многих материалов (не считая железа) было най-
дено, что внутри образца намагниченность I пропорцио-
нальна напряженности магнитного поля, так что в самом
материале I — %Н, где % — восприимчивость. Таким обра-
зом,
В = |ХО (Н +1) = (1 + %) НоН = НгНоН,
где |1г = 1 + X — относительная проницаемость, которая
ПРИЛОЖЕНИЕ А
261
является числовым коэффициентом. Для ферромагнети-
ков или парамагнетиков % положительна и > 1, но для
диамагнетиков восприимчивость % отрицательна и |АГ < 1.
Итак, в случае длинного тонкого стержня намагничен-
ность материала вносит вклад в плотность магнитного пото-
ка В внутри стержня и не влияет на напряженность маг-
нитного поля Н. В этом случае напряженность магнитного
поля внутри стержня равна напряженности поля в отсут-
ствие стержня.
§ 4.	Случай сверхпроводника
Вышеприведенные рассуждения применимы также
в случае сверхпроводника I рода (или для сверхпровод-
ника II рода в полях ниже НС1), но с одной существенной
разницей. Плотность потока внутри сверхпроводника
равна нулю, если пренебречь эффектами проникновения;
и этот идеальный диамагнетизм обеспечивается истинными
токами, циркулирующими по периферии сверхпроводника
(экранирующие токи, рассмотренные в гл. 2).
При рассмотрении В и Н в случае сверхпроводника
можно идти двумя путями. Можно сконцентрировать вни-
мание на экранирующих токах и рассматривать их как
истинные токи, не отличающиеся по своей природе от тока,
текущего по виткам соленоида. При такой точке зрения
тело сверхпроводника считается немагнитным, и удобно
записать (А.6) в виде
5 = fx0(7nZ + /s),	(А. 12)
где js — поверхностная плотность экранирующих токов
на единицу длины в направлении, параллельном оси.
Обращение внутри сверхпроводника плотности потока В
в нуль связано с тем, что члены в скобках в выражении
(А. 12) равны и противоположны. В этом случае для замк-
нутого пути получаем
=	+	(А.13)
где — полный ток через витки соленоида, охватывае-
мые контуром интегрирования, и — полный экрани-
рующий диамагнитный ток, охватываемый этим же кон-
262
ПРИЛОЖЕНИЕ А
туром. Хотя экранирующие токи, безусловно, «истинные»,
мы, однако, не можем их измерить с помощью амперметра,
и будем по-прежнему определять напряженность магнит-
ного поля Н так, чтобы	всегда был равен «сво-
бодному», или поддающемуся измерению, току «7/. Это
означает, что можно сохранить выражение
H = mi.	(АЛО)
так же как в случае парамагнитного материала, и что
экранирующие токи изменяют В внутри материала, но
не изменяют Н.
Альтернативно можно считать, что истинные токи, теку-
щие по поверхности сверхпроводника, эквивалентны вооб-
ражаемым диполям, однородно распределенным в теле
сверхпроводника. (Поскольку сверхпроводник диамагни-
тен, направление этих воображаемых диполей будет про-
тивоположно направлению истинных диполей в ферро-
магнитных и парамагнитных образцах.) С этой точки
зрения можно говорить об интенсивности намагничен-
ности I сверхпроводника и рассматривать ее либо как
магнитный момент на единицу объема эквивалентных
диполей, либо как плотность поверхностных экранирую-
щих токов в амперах на метры. На практике I определяется
как обусловленный поверхностными токами полный маг-
нитный момент образца, деленный на объем образца. Интен-
сивность намагниченности I равна величине js. входящей
в (А.12), и имеет ту же размерность. В соответствии с (А.6)
можно написать
В = р,0 (mi + I),
где член цот — плотность потока, обусловленная солено-
идом, и	—плотность потока, связанная с воображае-
мыми эквивалентными диполями. Как и прежде, можно
написать
В = ИоН+Ио1,	(А.9)
и обращение в нуль В означает, что внутри сверхпро-
водника напряженность поля Н должна быть равна —I.
так что % = —1 или |1г = 0, т. е. тело сверхпроводника
идеально диамагнитно.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
263
Независимо от выбранной аргументации получаем
<§>H.dI =	в.а	(А.Иа)
и значение Н внутри длинного тонкого сверхпроводника
такое же, как если бы сверхпроводник отсутствовал.
(Фактически величину Н мы называем приложенным полем
На-) Независимо от принятой точки зрения мы говорим,
что в глубине сверхпроводника В — 0, но в присутствии
внешнего магнитного поля Н не обращается в нуль х).
В большинстве случаев более удобен второй подход,
так как он позволяет применять к сверхпроводнику такие
понятия, как энергия намагничивания и размагничиваю-
щее поле, которые были введены впервые для обычных
магнитных материалов. Например, проведенное в гл. 6
рассмотрение промежуточного состояния было бы очень
затруднено, если бы нужно было учитывать в явном виде
экранирующие токи.
Существуют, однако, случаи, когда особенно интересно
пространственное распределение плотности потока (и экра-
нирующих токов) вблизи поверхности сверхпроводника.
Таким примером являются исследования уравнений Лон-
донов (гл. 3). В этом случае удобно использовать первый
подход и учитывать существование истинных поверхност-
ных токов, циркулирующих вокруг образца из немагнит-
ного материала. Различие между В и Н выявляется теперь
выражениями (А.Иа) и (А.13), которые в дифференциаль-
ной форме имеют вид
rotH = J/ и rotB— р,0 (J/ + Js).
Внутри сверхпроводника J/ = 0, так что rot Н = 0.
Оба подхода встречаются в литературе, и читатель
должен привыкнуть к каждому из них.
1) Эта точка зрения не всегда принята в литературе. Многие
авторы считают, что повсюду внутри сверхпроводника В —
— ЦоН. Если В = 0, то полагают, что и Н = 0. Но тогда
нет смысла вводить две разные величины В и Я, если они
всегда лишь пропорциональны друг другу. При таком под-
ходе возникают трудности при объяснении эффектов раз-
магничивания и, кроме того, становятся неприменимыми
обычные граничные условия, связанные с непрерывностью
тангенциальной компоненты Н на границе между двумя
средами (гл. 6).
264
ПРИЛОЖЕНИЕ А
§ 5. Эффекты размагничивания
До сих пор мы ограничивались рассмотрением длин-
ных тонких образцов, в которых несущественно влияние
концов. Теперь мы покажем, что соотношение В —
= ц0 (Н + I) нужно интерпретировать несколько иначе,
если длина образца невелика по сравнению с его шириной.
Рассмотрим сферу из парамагнитного материала, поме-
щенную в однородное магнитное поле, образованное,
скажем, длинным соленоидом. Можно показать, что на-
магниченность Z, определяемая как магнитный момент
на единицу объема', однородна внутри сферы и параллельна
оси соленоида. Также можно показать (см., например,
[6]), что связанная с намагниченностью плотность маг-
нитного потока будет такая же, как плотность, создаваемая
поверхностными токами с постоянной плотностью I на
единицу длины, измеренную параллельно оси. Плотность
магнитного потока, обусловленная таким распределением
поверхностных токов на поверхности сферы, равна 2/3[i0Z,
так что внутри сферы плотность магнитного потока одно-
родна и равна
2
Bi =	+ "з М-	(А.13)
Сравнивая это выражение с (А.6) и (А.9), согласно кото-
рым для длинного тонкого образца
В = [iQmi + р0/ = РоН 4- p0Z,
можно попытаться определить напряженность магнитного
поля из выражения
Б = роЯ4-ароЛ
где а — численный коэффициент, зависящий от геомет-
рии образца, равный 1 для длинного тонкого образца
и 2/3 для сферы. Если это сделать, то и для длинного тон-
кого образца, и для сферы напряженность поля внутри
образца должна быть равна mi. Однако в отличие от слу-
чая длинного тонкого стержня поверхностные токи в слу-
чае сферы изменяют плотность магнитного потока (а сле-
довательно, и напряженность поля, поскольку В = ц0Я)
снаружи сферы. С помощью рассуждений, аналогичных
проведенным в § 1 гл. 6, можно показать, что теперь
уже выражение ф H-dl = неверно. Если мы хотим
ПРИЛОЖЕНИЕ А
265
сохранить выражение Bhdl = Jy для любого замкну-
того контура, где Jy — полный ток в витках соленоида,
пересекающих контур, мы должны также сохранить в ка-
честве определения напряженности магнитного поля внут-
ри сферы выражение (А.9), т. е.
Bi = p,0Hz + p,0I.	(А.9')
Но, согласно (А.13),
2
+-3 fi(/-
Оба эти уравнения удовлетворяются только при условии
= — ~ J,
т. е. напряженность магнитного поля внутри сферы отлич-
на от значения zni, которое было бы в отсутствие сферы
и которое мы называли приложенным полем На. Следо-
вательно, для сферы
яг=яа-А/,
а для тела произвольной формы
Hf = Ha — тг1,	(А.14)
где п — коэффициент размагничивания, равный для сферы
Vg. В случае сверхпроводника, если не принимать во вни-
мание экранирующих токов, а рассматривать тело сверх-
проводника как идеальный диамагнетик, получаем
Вг = р,оЯг + |1о/ = О,
так что
а из (А.14) Hi~Ha+ nHt, т. е. напряженность поля внутри
образца возрастает до значения Hi ^На/(1 — п). В общем
случае можно написать
В$= Ро (На — nl	+ I ).
приложенное размагничивающее намагниченность
поле	поле
внутреннее поле Нг
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ТЕЛА
Предположим, что тело объемом V однородно намаг-
ничено приложенным магнитным полем На, так что его
магнитный момент равен М. Поле теперь возросло до зна-
чения На + dHa, что приводит к изменению магнитного
момента на dM. Необходимая для такого увеличения при
постоянной температуре полная энергия (создаваемая,
например, батареей, питающей соленоид) равна (см.,
например, [4])
Отполи = v d (у Но#2) + Но#а dM.
Первый член в правой части соответствует работе,
затраченной на повышение напряженности приложенного
поля в объеме, заполненном телом; эта работа должна
производиться независимо от присутствия тела. Второй
член, ^QHadM, есть энергия, необходимая для увеличения
магнитного момента тела. Обозначим эту энергию через
dWM, т. е.
dWM = [i0HadM.
Сравним эту энергию с работой, которую совершает внеш-
нее давление р для бесконечномалого изменения объема
тела dV, т. е.
dWv = — pdV.
Мы видим, что это выражение совпадает по форме с выра-
жением для работы, затрачиваемой на намагничивание
тела, если предположить, что ЦоЯв соответствует р, а М со-
ответствует —V х).
1) Знаки различны потому, что энергия должна сообщаться
телу, чтобы увеличить его намагниченность, а работа про-
изводится телом, когда его объем увеличивается при наличии
внешнего давления.
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
267
Теперь свободная гиббсовская энергия тела в отсут-
ствие магнитного поля равна
G = U-TS+pV,
где U и 5 — внутренние энергия и энтропия. Из сказан-
ного выше следует, что
G = U - TS + pV-pQHaM.
Малые изменения условий вызовут следующее измене-
ние G:
dG = dU-TdS-SdT+pdV+Vdp-
— |л0Яо dM — |i0M dHa.
Если приложенное поле На и магнитный момент М изме-
няются при постоянных температуре и давлении (dT =
z=zdp = 0)i имеем
dG = dU — Т dS-\- pdV ~pQHadM — dHa.
Но для магнитного тела, находящегося в таких условиях,
dU = Т dS - р dV + НоЯа dM
к-___________________/
производимая работа
Следовательно, dG = — |i0M dHa, и изменение свободной
энергии тела, намагниченного до магнитного момента М
полем напряженностью Яо, равна
На
С(Я)-С(0)=-Но \мша.
о
ЛИТЕРАТУРА
1.	Quinn D. J., Ittner W. B., Journ. Appl. Phys., 33, 748 (1962).
2.	Schaivlow A. L., Devlin G. E., Phys. Rev., 113, 120 (1959).
3.	London F., London H., Proc. Roy. Soc. (London), A155, 71
(1935).
4.	Pippard A. B., Classical Thermodynamics, Cambridge Uni-
versity Press, 1961.
5.	Lynton E. A., Superconductivity, Methuen, London, 1964.
(См. русский перевод: Линтон E. А., Сверхпроводимость,
изд-во «Мир», 1971.)
6.	Kip A, F., Fundamentals of Electricity and Magnetism,
McGraw-Hill, 1962, p. 385.
7.	Pippard A. B., Physica, 19, 765 (1953).
8.	Silsbee F. B., Journ. Wash. Acad. Sci.,_J5, 597 (1916).
9.	London F., Superfluids, vol. I, Dover Publications Inc., New
York, 1961.
10.	Shoenberg D., Superconductivity, Cambridge University Press,
1962.
11.	Гинзбург В. Л., Ландау Л. Д., ЖЭТФ, 20, 1064 (1950).
12.	Cooper L. N., Phys. Rev., 104, 1189 (1956).
13.	Bardeen У., Cooper L. A”., Schrieffer Y. R., Phys. Rev., 108
1175 (1957).
14.	Schrieffer У. Я., Rev. Mod. Phys., 36, 200 (1964).
15.	Adkins С. У., Rev. Mod. Phys., 36, 211 (1964).
16.	Giaever I., Megerle K., Phys. Rev., 122, 1101 (1961).
17.	Doll R., Nabauer M., Phys. Rev. Lett., 7, 51 (1961).
18.	Deaver B. S., Fairbank W. M., Phys. Rev. Lett., 7, 43 (1961).
19.	Byers N., Chang C. N., Phys. Rev. Lett., 7, 46 (1961).
20.	Jaklevic R, C., Lambe J. J., Mercereau J. E., Silver A. H.,
Phys. Rev., 140A, 1628 (1965).
21.	Goodman В. B., IBM. Res. Develop., 6, 63 (1962).
22.	Goodman В. B., Reports on Progress in Physics, 29, pt. II (Inst,
of Physics and the physical Society, London, 1966, p. 462,
fig. 10).
23*.A«dpe*? А, Ф., ЖЭТФ, 54, 1510 (1968).
2k*	. Я неон И. К., Свистунов В. М., Дмитренко И. М., ЖЭТФ,
48, 976 (1965).
25*.Горькое Л. П., ЖЭТФ, 37, 1407 (1959).
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА	5
ПРЕДИСЛОВИЕ	7
ОБОЗНАЧЕНИЯ	9
ВВЕДЕНИЕ	15
ЧАСТЬ 1	
СВЕРХПРОВОДНИКИ 1 РОДА	17
ГЛАВА 1	
НУЛЕВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ	17
§ 1. Температура сверхпроводящего перехода	19
§ 2. Нулевое сопротивление	24
§ 3. Контур без сопротивления	25
§ 4. Сопротивление переменному току	29
ГЛАВА 2	
ИДЕАЛЬНЫЙ ДИАМАГНЕТИЗМ	33
§ 1. Магнитные свойства идеального проводника	33
§ 2. Специфические магнитные свойства сверхпровод-	36
ника 1. Эффект Мейсснера (36). 2. Проницаемость и восприимчивость сверхпроводника (39).	41
§ 3. Поверхностные токи	
1. Полый сверхпроводник (43).	45
§ 4. Глубина проникновения	
1. Зависимость от температуры (47). ГЛАВА 3	
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА	50
§ 1. Свойства, вытекающие из равенства нулю сопро-	
тивления	50
§ 2. Теория Лондонов	53
1. Применение теории Лондонов (57). ГЛАВА 4	
КРИТИЧЕСКОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ	59
§ 1. Свободная энергия сверхпроводника	60
§ 2. Зависимость критического поля от температуры	63
§ 3. Намагниченность сверхпроводников	67
1. Неидеальный образец (68).	
§ 4. Измерение магнитных свойств	70
1. Измерение плотности магнитного потока (70).
2. Измерение намагниченности (72).
270
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 5
ТЕРМОДИНАМИКА СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО ПЕРЕХОДА 75
§ 1. Энтропия сверхпроводящего состояния	75
§ 2, Теплоемкость и скрытая теплота	78
1. Переходы первого и второго рода (78).
2. Адиабатическое намагничивание (80). 3. Реше-
точная и электронная теплоемкости (81).
§ 3.	Механические эффекты	84
§ 4.	Теплопроводность	85
§ 5.	Термоэлектрические эффекты	85
ГЛАВА 6
ПРОМЕЖУТОЧНОЕ СОСТОЯНИЕ	87
§ 1.	Размагничивающий фактор	87
§ 2.	Переход в магнитном поле при	п Ф 0	90
§ 3.	Граница между сверхпроводящей и нормальной
областями	91
§ 4.	Магнитные свойства промежуточного состояния 92
§ 5.	Свободная энергия Тиббса в промежуточном со-
стоянии	94
§ 6.	Экспериментальное наблюдение промежуточного
состояния	96
§ 7.	Абсолютный размер доменов и роль поверхност-
ной энергии	98
§ 8.	Восстановление сопротивления проволоки в попе-
речном магнитном поле	100
§ 9.	Понятие когерентности и происхождение поверх-
ностной энергии	102
ГЛАВА 7
ТОКИ ПЕРЕНОСА В СВЕРХПРОВОДНИКАХ	107
§ 1.	Критические токи	107
1.	Критические токи в проволоках (109)
§ 2.	Тепловое распространение	111
§ 3.	Промежуточное состояние при	наличии тока	115
ГЛАВА 8
СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СВОЙСТВА ОБРАЗЦОВ
МАЛЫХ РАЗМЕРОВ	119
§ 1.	Влияние проникновения на критическое магнит- 119
ное поле
§ 2.	Критическое поле плоскопараллельной пластины 121
§ 3.	Случаи с более сложной геометрией	125
§ 4.	Ограничения теории Лондонов	125
§ 5.	Теория Гинзбурга — Ландау	129
§ 6.	Краевые эффекты	133
§ 7.	Переходы в перпендикулярных магнитных полях 134
§ 8.	Критические токи тонких образцов	135
§ 9.	Измерение критических токов	140
ОГЛАВЛЕНИЕ
271
ГЛАВА 9
МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ	142
§ 1.	Краткий обзор свойств сверхпроводящего со- стояния 1.	Нулевое сопротивление (142). 2. Кристалличе- ская структура (143). 3. Электронная теплоем- кость (144). 4. Дальний порядок (144). 5. Изото- пический эффект (145). 6. Эффект Мейсснера (145). § 2.	Понятие энергетической щели § 3.	Теория Бардина — Купера — Шриффера 1.	Постановка задачи (148). 2. Электрон-фононное взаимодействие (148). 3. Куперовские пары (151). 4.	Сверхпроводящее основное состояние (162). 5.	Свойства основного состояния БКШ (162). 6.	Макроскопические свойства сверхпроводников согласно теории БКШ (166). 7. Состояния с то- ком (170). 8. Волновая функция пары: когерент- ность дальнего порядка (174).	142 146 148
ГЛАВА 10 ТУННЕЛИРОВАНИЕ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ЩЕЛЬ	176
§ 1.	Процесс туннелирования § 2.	Схема энергетических уровней сверхпроводника § 3.	Туннелирование между нормальным металлом и сверхпроводником § 4.	Туннелирование между двумя одинаковыми сверх- проводниками § 5.	Аналогия с полупроводниками § 6.	Другие виды туннелирования § 7.	Детали эксперимента	176 178 180 182 184 186 188
ГЛАВА 11 КВАНТОВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ	192
§ 1.	Волны электронных пар 1.	Фаза волны электронной пары (193). 2. Влияние магнитного поля (194). § 2.	Флюксоид 1.	Флюксоид внутри сверхпроводящего метал- ла (199) § 3.	Квантовая интерференция 1.	Слабые звенья (200). 2. Сверхпроводящий кван- товый интерферометр (202). 3. Дифракционные эффекты (210).	192 196 200
272
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ II
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ II РОДА	212
ГЛАВА 12
СМЕШАННОЕ СОСТОЯНИЕ	212
§ 1.	Отрицательная поверхностная	энергия	214
§ 2.	Смешанное состояние	216
1.	Некоторые детали смешанного состояния (217).
§ 3.	Параметр Гинзбурга — Ландау для металлов
и сплавов	219
§ 4.	Нижнее и верхнее критические поля	221
1.	Нижнее критическое поле HCi (221). 2. Верхнее
критическое поле НС2 (222). 3. Термодинамическое
критическое поле Нс (224). 4. Значение верхнего
критического поля (225). 5. Парамагнитный
предел (226).
§ 5.	Намагничивание сверхпроводников II рода 228
1. Определение параметра х (229). 2. Необратимое
намагничивание (230). 3. Сверхпроводящая губка
(231).
§ 6.	Теплоемкость сверхпроводников II рода	232
ГЛАВА 13
КРИТИЧЕСКИЕ ТОКИ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ
II РОДА	235
§ 1.	Критические токи	235
§ 2.	Сопротивление течения потока	238
§ 3.	Течение потока	240
1.	Сила Лоренца и критический ток (240). 2. Тече-
ние потока (246). 3. Э. д. с., возникающая при
движении нормальных сердцевин (249).
§ 4.	Поверхностная сверхпроводимость	252
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ЗНАЧЕНИЕ ПЛОТНОСТИ МАНИТНОГО ПОТОКА В
И НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И	256
§ 1.	Определение В	256
§ 2.	Влияние магнитного материала	257
§ 3.	Напряженность магнитного	поля	259
§ 4.	Случай сверхпроводника	261
§ 5.	Эффекты размагничивания	264
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ТЕЛА	266
ЛИТЕРАТУРА	268