УДК 517.95
ББК 22.311
В57
Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения матема-
математической физики: Учебник для вузов. — 2-е изд., стереотип. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с. - ISBN 5-9221-0310-5.
Учебник — сокращенный и упрощенный вариант курса B.C. Владими-
Владимирова «Уравнения математической физики» E-е изд.; М.: Наука, 1985). Курс
читался автором в течение многих лет A964—1986) студентам Московского
физико-технического института. Основная особенность курса — широкое
использование понятия обобщенного решения краевых задач классической
математической физики, часто позволяющее придать строгий математи-
математический смысл формальным вычислениям. Одна из глав книги посвящена
теории обобщенных функций и действиям с ними.
Для студентов высших учебных заведений с повышенной математичес-
математической подготовкой.
© ФИЗМАТЛИТ, 2002, 2003, 2004
© В. С. Владимиров, В. В. Жаринов,
ISBN 5-9221-0310-5	2000, 2003, 2004

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	 10
Глава I
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§1.1. Некоторые понятия и предложения теории множеств, теории
функций и теории операторов	 13
1. Точечные множества в Rn A3). 2. Классы функций A5).
3. Пространство непрерывных функций С(Т) A7). 4. Интегра-
Интегралы типа потенциала A8). 5. Пространство функций C2(G) B1).
6. Ортонормальные системы B3). 7. Полные ортонормальные
системы B5). 8. Линейные операторы и функционалы B6).
9. Линейные уравнения B8). 10. Эрмитовы операторы C0).
§ 1.2. Основные уравнения математической физики	 32
1. Уравнение колебаний C2). 2. Уравнение диффузии C6).
3. Стационарное уравнение C8). 4. Уравнения газо-гидроди-
намики D0). 5. Уравнение Максвелла D0). 6. Уравнение Шрё-
дингера D2).
§ 1.3. Классификация квазилинейных дифференциальных уравнений
второго порядка	 42
1. Классификация уравнений в точке D3). 2. Выражение опе-
оператора Лапласа в сферических и цилиндрических координа-
координатах D5). 3. Характеристические поверхности (характеристи-
(характеристики) D6). 4. Канонический вид уравнений с двумя независимы-
независимыми переменными D7). 5. Пример. Уравнение Трикоми E3).
§ 1.4. Постановка основных краевых задач для линейных дифферен-
дифференциальных уравнений второго порядка	 54
1. Классификация краевых задач E4). 2. Задача Коши E6).
3.	Краевая задача для уравнений эллиптического типа E7).
4.	Смешанная задача E8). 5. Другие краевые задачи E9).

Оглавление
6. Корректность постановок задач математической физи-
физики F1). 7. Теорема Коши-Ковалевской F2). 8. Пример Ада-
мара F3). 9. Классические и обобщенные решения F4).
Глава II
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
J2.1. Основные и обобщенные функции	 65
1. Введение F5). 2. Пространство основных функций V F7).
3. Пространство обобщенных функций ТУ G0). 4. Носитель
обобщенной функции G2). 5. Регулярные обобщенные функ-
функции G4). 6. Сингулярные обобщенные функции G5). 7. Фор-
Формулы Сохоцкого G7). 8. Линейная замена переменных в об-
обобщенных функциях G8). 9. Умножение обобщенных функ-
функций G9). 10. Упражнения (81).
§2.2. Дифференцирование обобщенных функций	 81
1. Производные обобщенной функции (82). 2. Свойства об-
обобщенных производных (82). 3. Первообразная обобщенной
функции (85). 4. Примеры, п = 1 (88). 5. Примеры, п ^ 2 (92).
6. Упражнения (99).
] 2.3. Свертка обобщенных функций 	101
1. Прямое произведение обобщенных функций A01). 2. Оп-
Определение свертки обобщенных функций A04). 3. Свойства
свертки A08). 4. Существование свертки A10). 5. Уравнения
в сверточной алгебре Т>'+ A12). 6. Регуляризация обобщенных
функций A14). 7. Ньютоновы потенциалы — примеры свер-
сверток A15). 8. Упражнения A17).
]2Л. Обобщенные функции медленного роста	118
1. Пространство основных функций S A18). 2. Пространст-
Пространство обобщенных функций медленного роста S' A19). 3. При-
Примеры обобщенных функций медленного роста A21). 4. Струк-
Структура обобщенных функций с точечным носителем A23).
\ 2.5. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста 124
1.	Преобразование Фурье основных функций из S A24).
2.	Преобразование Фурье обобщенных функций из S' A26).
3.	Свойства преобразования Фурье A28). 4. Преобразо-
Преобразование Фурье обобщенных функций с компактным носите-
носителем A30). 5. Преобразование Фурье свертки A31). 6. Приме-
Примеры, п = 1 A32). 7. Примеры, п > 1 A36). 8. Упражнения A40).

Оглавление
Глава III
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ
\3.1. Фундаментальные решения линейных дифференциальных опе-
операторов 	142
1. Обобщенные решения линейных дифференциальных уравне-
уравнений A42). 2. Фундаментальные решения A44). 3. Уравнения с
правой частью A46). 4. Метод спуска A47). 5. Фундаменталь-
Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора с обык-
обыкновенными производными A50). 6. Фундаментальное решение
оператора теплопроводности A50). 7. Фундаментальное реше-
решение волнового оператора A51). 8. Фундаментальное решение
оператора Лапласа A52). 9. Фундаментальное решение опера-
оператора Гельмгольца A54). 10. Упражнения A55).
] 3.2. Волновой потенциал	156
1. Свойства фундаментального решения волнового операто-
оператора A56). 2. Дополнительные сведения о свертках A58). 3. Вол-
Волновой потенциал A61). 4. Поверхностные волновые потенциа-
потенциалы A63).
\ 3.3. Задача Коши для волнового уравнения	167
1.	Задача Коши для обыкновенного линейного дифферен-
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами A68).
2.	Постановка обобщенной задачи Коши для волнового урав-
уравнения A69). 3. Решение обобщенной задачи Коши A71). 4. Ре-
Решение классической задачи Коши A73). 5. Упражнения A74).
] 3.4. Распространение волн	177
1. Наложение волн и области влияния A77). 2. Распространение
волн в пространстве A77). 3. Распространение волн на плос-
плоскости A79). 4. Распространение волн на прямой A82). 5. Ме-
Метод распространяющихся волн A84). 6. Метод отражений. По-
Полубесконечная струна A87). 7. Метод отражений. Конечная
струна A89).
\ 3.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности	191
1. Тепловой потенциал A91). 2. Поверхностный тепловой по-
потенциал A94). 3. Постановка обобщенной задачи Коши для
уравнения теплопроводности A96). 4. Решение задачи Ко-
Коши A97). 5. Упражнения A98).

Оглавление
Глава IV
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
5 4.1. Метод последовательных приближений	202
1. Интегральные уравнения с непрерывным ядром B02). 2. По-
Повторные ядра. Резольвента B06). 3. Интегральные уравнения
Вольтерра B09). 4. Упражнения B11).
]4.2. Теоремы Фредгольма	212
1.	Интегральные уравнения с вырожденным ядром B12).
2.	Теорема Фредгольма для интегральных уравнений с вырож-
вырожденным ядром B15). 3. Теоремы Фредгольма для интеграль-
интегральных уравнений с непрерывным ядром B18). 4. Следствия из
теорем Фредгольма B22). 5. Упражнения B24).
] 4.3. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром	225
1. Интегральные операторы с эрмитовым непрерывным яд-
ядром B25). 2. Лемма Арчела-Асколи B26). 3. Интегральные
уравнения с эрмитовым непрерывным ядром B27).
] 4.4. Теорема Гильберта-Шмидта и ее следствия	230
1. Теорема Гильберта-Шмидта для эрмитова непрерывного яд-
ядра B30). 2. Билинейное разложение повторных ядер B34).
3.	Билинейное разложение эрмитова непрерывного ядра B35).
4.	Решение неоднородного интегрального уравнения с эрмито-
эрмитовым непрерывным ядром B37). 5. Положительно определенные
ядра B39). 6. Развитие теории интегральных уравнений B40).
Глава V
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
]БЛ. Задача на собственные значения	243
1. Постановка задачи на собственные значения B43). 2. Фор-
Формулы Грина B44). 3. Свойства оператора L B46). 4. Свойст-
Свойства собственных значений и собственных функций операто-
оператора L B47). 5. Физический смысл собственных значений и
собственных функций B51).
] 5.2. Задача Штурма-Лиувилля	252
1. Функция Грина B52). 2. Сведение задачи Штурма-Лиувил-
Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению B55). 3. Свойства собственных

Оглавление
значений и собственных функций B57). 4. Нахождение собст-
собственных значений и функций B58).
\ 5.3. Гармонические функции	261
1. Формула Грина B62). 2. Распространение формул Гри-
Грина B64). 3. Теорема о среднем арифметическом B66).
4. Принцип максимума B67). 5. Следствия из принципа
максимума B68). 6. Стирание особенностей гармонической
функции B69). 7. Обобщенно-гармонические функции B70).
8. Дальнейшие свойства гармонических функций B71). 9. Ана-
Аналог теоремы Лиувилля B72). 10. Поведение гармонической
функции на бесконечности B73). 11. Упражнения B75).
] 5.4. Метод Фурье для задачи на собственные значения	276
1. Общая схема метода B76). 2. Примеры B77).
] 5.5. Ньютонов потенциал	282
1. Объемный потенциал B82). 2. Потенциалы простого и двой-
двойного слоя B83). 3. Физический смысл ньютоновых потенциа-
потенциалов B86). 4. Поверхности Ляпунова B87). 5. Свойства по-
потенциалов простого и двойного слоя на поверхности S B88).
6. Разрыв потенциала двойного слоя B89). 7. Разрыв нормаль-
нормальной производной потенциала простого слоя B91). 8. Упражне-
Упражнения B93).
]Ь.6. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в прост-
пространстве 	294
1. Постановка основных краевых задач B94). 2. Теоремы
единственности решения краевых задач B95). 3. Сведение кра-
краевых задач к интегральным уравнениям B97). 4. Исследование
интегральных уравнений B99). 5. Решение задач Дирихле и
Неймана для шара C03).
] 5.7. Функция Грина задачи Дирихле	305
1. Определение и свойства функции Грина C05). 2. Примеры
построения функции Грина (метод отражений) C07). 3. Реше-
Решение краевой задачи с помощью функции Грина C10). 4. Фор-
Формула Пуассона C11). 5. Сведение краевой задачи к интеграль-
интегральному уравнению C12). 6. Свойства собственных значений и
собственных функций C14). 7. Упражнения C16).
] 5.8. Краевые задачи для уравнения Лапласа на плоскости	318
1. Постановка и единственность решения основных краевых за-
задач C18). 2. Логарифмический потенциал C20). 3. Разреши-
Разрешимость краевых задач C23). 4. Решение краевых задач для кру-
круга C26). 5. Функция Грина задачи Дирихле C27). 6. Решение

Оглавление
задачи Дирихле для односвязной области C29). 7. Упражне-
Упражнения C30).
Глава VI
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
^ 6.1. Метод Фурье	333
1. Однородное гиперболическое уравнение C34). 2. Неодно-
Неоднородное гиперболическое уравнение C36). 3. Параболическое
уравнение C38). 4. Уравнение Шрёдингера C39). 5. Эллип-
Эллиптическое уравнение C39). 6. Примеры C41). 7. Упражне-
Упражнения C47).
] 6.2. Смешанная задача для уравнения гиперболического типа .... 348
1. Классическое решение. Интеграл энергии C48). 2. Единст-
Единственность и непрерывная зависимость классического реше-
решения C50). 3. Функции, непрерывные в C2(G) C53). 4. Обоб-
Обобщенное решение C56). 5. Единственность и непрерывная за-
зависимость обобщенного решения C59). 6. Существование об-
обобщенного решения C59). 7. Существование классического ре-
решения C62).
§6.3. Смешанная задача для уравнения параболического типа .... 365
1.	Классическое решение. Принцип максимума C65).
2.	Единственность и непрерывная зависимость классичес-
классического решения C67). 3. Обобщенное решение C69). 4. Су-
Существование обобщенного решения C70). 5. Существование
классического решения C71).
Дополнение
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
] Д.1. Функции Бесселя 	373
1.	Определение и простейшие свойства функций Бесселя C73).
2.	Свойство ортогональности C76). 3. Рекуррентные соотно-
соотношения для функций Бесселя C77). 4. Корни функций Бес-
Бесселя C78). 5. Краевая задача на собственные значения для
уравнения Бесселя C80). 6. Неоднородная краевая задача для
уравнения Бесселя C81). 7. Полнота функций Бесселя C83).
8. Другие цилиндрические функции C84).

Оглавление
§ Д.2. Сферические функции	386
1. Определение сферических функций C86). 2. Дифферен-
Дифференциальное уравнение для сферических функций C88). 3. По-
Полиномы Лежандра C89). 4. Производящая функция C91).
5. Присоединенные функции Лежандра C93). 6. Сферические
функции C94). 7. Формула Лапласа C96). 8. Шаровые функ-
функции C97).
Список литературы	399

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предмет математической физики составляет построение и
исследование математических моделей физических явлений. Мате-
Математическая физика развивалась со времен Ньютона параллельно раз-
развитию физики и математики. В конце XVII века было открыто диф-
дифференциальное и интегральное исчисление (И. Ньютон, Г. Лейбниц)
и сформулированы основные законы классической механики и закон
всемирного тяготения (И. Ньютон). В XVIII веке методы математи-
математической физики начали формироваться при изучении колебаний струн
и стержней, а также задач, связанных с акустикой и гидродинами-
гидродинамикой; закладываются основы аналитической механики (Ж. Даламбер,
Л. Эйлер, Д. Бернулли, Ж. Лагранж, П. Лаплас). В XIX веке идеи
математической физики получили новое развитие в связи с задача-
задачами теплопроводности, диффузии, упругости, оптики, электродина-
электродинамики, нелинейными волновыми процессами и т. д.; создаются теория
потенциала и теория устойчивости движения (Ж. Фурье, С. Пуас-
Пуассон, К. Гаусс, О. Коши, М.В. Остроградский, П. Дирихле, Б. Риман,
С. В. Ковалевская, Д. Стоке, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунов, В. А. Стек-
лов, Д. Гильберт). В XX веке в математическую физику включаются
задачи квантовой физики и теории относительности, а также новые
проблемы газовой динамики, переноса частиц и физики плазмы.
Многие задачи классической математической физики сводят-
сводятся к краевым задачам для дифференциальных (интегро-дифференци-
(интегро-дифференциальных) уравнений — уравнений математической физики. Основны-
Основными математическими средствами исследования этих задач являются
теория дифференциальных уравнений (включая родственные облас-
области: интегральные уравнения, интегро-дифференциальные уравнения
и вариационное исчисление), теория функций, функциональный ана-
анализ, нелинейный анализ, теория вероятностей, приближенные методы
и вычислительная математика.
Изучение математических моделей квантовой физики потре-
потребовало привлечения таких новых областей математики, как теория
обобщенных функций, теория функций многих комплексных перемен-
переменных, геометрических, топологических, алгебраических и теоретико-

Предисловие	11
числовых методов.
С появлением ЭВМ существенно расширился класс математи-
математических моделей, допускающих детальный анализ; появилась реальная
возможность ставить вычислительные эксперименты. В интенсивном
взаимодействии теоретической физики и современной математики
создаются качественно новые классы моделей современной матема-
математической физики.
Среди задач математической физики выделяется важный класс
корректно поставленных задач, т. е. задач, для которых решение су-
существует, единственно и непрерывно зависит от данных задачи. Хотя
эти требования на первый взгляд кажутся совершенно естественны-
естественными, их тем не менее необходимо доказывать в рамках принятой ма-
математической модели. Доказательство корректности — это первая
апробация математической модели: модель непротиворечива (реше-
(решение существует), модель однозначно описывает физический процесс
(решение единственно), модель мало чувствительна к погрешностям
измерений физических величин (решение непрерывно зависит от дан-
данных задачи).
В этой книге изучаются в основном корректно поставленные за-
задачи для дифференциальных уравнений классической математичес-
математической физики. Однако в отличие от традиционных способов изложения
уравнений в книге широко используется концепция обобщенного ре-
решения. Обобщенные решения возникают при изучении интегральных
соотношений типа локального баланса. В свою очередь учет обобщен-
обобщенных решений приводит к обобщенным постановкам краевых задач
математической физики.
Точное определение обобщенного решения опирается на понятие
обобщенной производной и, как следствие, на понятие обобщенной
функции. Аппарат теории обобщенных функций является удобным
средством для исследования линейных краевых задач в обобщенной и
классической постановках. Поэтому специальная глава книги посвя-
посвящена изложению теории обобщенных функций.
Ряд разделов книги использует язык функционального анали-
анализа (на элементарном уровне), что позволяет значительно сократить
изложение.
В книге принята следующая схема расположения материала.
В главе I излагается постановка и классификация основных крае-
краевых задач математической физики, а также приводятся некоторые
необходимые для дальнейшего сведения из анализа.
Глава II содержит элементы теории обобщенных функций, вклю-
включая преобразование Фурье обобщенных функций.

12	Предисловие
В главе III строятся фундаментальные решения для дифферен-
дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами и исследуют-
исследуются обобщенная и классическая задачи Коши для волнового уравне-
уравнения и уравнения теплопроводности. Особенность изложения состоит
в том, что в обобщенной постановке задачи Коши начальные условия
учитываются как мгновенно действующие источники; это позволяет
построить решение задачи Коши в виде свертки источника с надле-
надлежащим образом выбранным фундаментальным решением.
Глава IV содержит теорию интегральных уравнений с непре-
непрерывным ядром. Формулируются теоремы Фредгольма, Гильберта-
Шмидта, Мерсера, некоторые из них доказываются.
В главе V рассматриваются задачи на собственные значения для
уравнений эллиптического типа, включая задачу Штурма-Лиувилля,
а также краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона.
В главе VI изучаются смешанные задачи для уравнений гипер-
гиперболического и параболического типов в обобщенной и классической
постановках. Излагается метод Фурье и дается его обоснование.
В дополнении излагается элементарная теория гармонических
функций, сферических функций и функций Бесселя.
Для более глубокого понимания теории ряд разделов книги ил-
иллюстрируется типичными задачами с полными решениями. Приво-
Приводятся также характерные задачи для самостоятельного решения; ряд
задач сформулирован в виде теорем. Для упражнений можно также
рекомендовать «Сборник задач по уравнениям математической фи-
физики» B.C. Владимирова, В. П. Михайлова, А. А. Вашарина, X. X. Ка-
римовой, Ю.В. Сидорова, М. И. Шабунина (М., Наука, 1982).
Данная книга является сокращенным и упрощенным вариан-
вариантом курса B.C. Владимирова «Уравнения математической физики»
E-е изд., М., Наука, 1985), который читался автором в течение мно-
многих лет A964-1986 гг.) студентам Московского физико-технического
института. Она рассчитана на студентов технических вузов с повы-
повышенной математической подготовкой. Авторы благодарны профес-
профессорам МФТИ Ю. В. Сидорову и М. И. Шабунину за конструктивную
критику, а также за предоставленные ими примеры и задачи с реше-
решениями.
В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

Глава I
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 1.1. Некоторые понятия и предложения
теории множеств, теории функций
и теории операторов
В этой книге мы будем широко пользоваться материалом, из-
изложенным в следующих книгах: СМ. Никольский «Курс математи-
математического анализа» [2], Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М. И. Шабунин
«Лекции по теории функций комплексного переменного» [3], Д. В. Бек-
Беклемишев «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры» [4]
и В. К. Романко «Курс обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений» [5].
Для полноты изложения мы приведем основные понятия теории
множеств, теории функций и теории операторов, заодно введя обо-
обозначения, которых мы будем придерживаться ниже.
Пусть А — произвольное множество. Если элемент а содержится
(не содержится) в множестве А, то это будем записывать так: a Е А
(а ^ А). Пусть В — другое множест-
множество. Обозначим А С В включение А в В,
А — В — совпадение А с В, A U В —
объединение А и В, АП В — пересече-
пересечение А и В, А\В — дополнение В до А
(рис. 1), А х В — произведение А и В
(множество пар (а, 6), a Е А, Ъ Е В), 0 —	Рис. 1
пустое множество.
1. Точечные множества в Ж™. Обозначим n-мерное вещест-
вещественное евклидово пространство через Мп, а его точки через х =
= (жьж2,...,жп), у, ? и т.д., где ж;, г = 1,2,...,п, — координаты
точки х. Символами (х,у) и |ж| обозначим скалярное произведение

14
Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
и длину {норму) в Жп:
(ж, у) =
|ж =
Таким образом, число |ж — у\ есть евклидово расстояние между точ-
точками ж и у.
Множество точек ж из Жп, удовлетворяющих неравенству |ж —
— жо| < R, называется открытым шаром радиуса R с центром в точ-
точке жо- Этот шар будем обозначать U(xo;R), Ur = U@;R).
Последовательность точек ж/. = {x\k->x2k-> ...,xnk), к = 1, 2,..., на-
называется сходящейся к точке ж в Жп (пишем ж/. —>- ж, & —>- оо), если
ж/. — ж| —> 0, когда /с —> оо. Последовательность ж/., /с = 1,2,..., назы-
называется сходящейся в себе в Мп, если \хк — хр\ -У 0, к -у оо, р ->• оо.
Пространство Мп полное, т.е. всякая сходящаяся в себе последова-
последовательность сходится к некоторой точке в Жп.
Множество называется ограниченным в Жп, если существует
шар, содержащий это множество. Точка жо называется внутренней
точкой множества, если существует шар U(Xq;s), содержащийся в
этом множестве. Множество называется открытым, если все его
точки внутренние. Множество называется связным, если любые две
его точки можно соединить кусочно гладкой кривой, лежащей в этом
множестве.
Связное открытое множество называется областью.
Точка Жо называется предельной точкой множества А, если су-
существует последовательность ж/., к = 1, 2,..., такая, что ж/. Е А, ж/, ф
/	7
—f— Jb Q • Jb Ъ? t Jb Q • l\i T C_XJ •
Если к множеству А добавить все его предельные точки, то по-
полученное множество называется замыканием множества А и обозна-
обозначается А; ясно, что А С А. Если множество совпадает со своим за-
замыканием, то оно называется замкнутым.
Замкнутое ограниченное множество
называется компактом.
Окрестностью множества А называ-
называется всякое открытое множество, содержа-
содержащее А] е-окрестностью А? множества А на-
называется объединение шаров U(x;e), когда
ж пробегает А: А? = \jxeAU(x;s).
Функция х(х)? равная 1 при ж G А и О
при ж ^ А, называется характеристической
Рис. 2	функцией множества А.

§1.1. Некоторые понятия и предложения	15
Пусть G — область. Точки из замыкания G, не принадле-
принадлежащие G, образуют замкнутое множество 5, называемое границей
области G, так что S = G \ G. Например, границей открытого
шара U(xo;R) является сфера \х — хо\ = R. Эту сферу будем обо-
обозначать S(xo;R), Sr = 5@; R). Ограниченная область G' называется
подобластью, строго лежащей в области G, если G' С G; при этом
пишут G' (е G. В силу леммы Гейне-Бореля существует такое чис-
число е > 0, что G'? (ё G (рис. 2).
2. Классы функции. Пусть а = [а\, «2,..., ап) — целочислен-
целочисленный вектор с неотрицательными составляющими с^ (мультииндекс).
Через daf(x) обозначаем производную функции f(x) порядка \а\ =
= а\ + «2 + ••• + «п:
_ dH/(xbx2x)
д=(д1,д2,...,дп), дг = ^—, г = 1,2,..., п.
Для низших производных мы иногда будем употреблять обозначе-
обозначения /ж., fxiXj, ...5 а Для одной переменной — обозначения //,///,.«.
... , /(п\ ... Мы будем пользоваться также следующими сокращения-
сокращениями обозначениями:
Множество (комплексных) функций /, непрерывных вместе с
производными daf(x), \а\ ^ р @ ^ р < оо), в области G, образует
класс функций CP(G). Функции / класса CP(G), у которых все про-
производные daf(x), \a\ ^ р, допускают непрерывное продолжение на
замыкание G, образуют класс функций CP(G); при этом под значени-
значением daf(x), х G 5, |а| ^ р, понимаем \imdaf(x') при ж; —> х, х' G G. Класс
функций, принадлежащих CP(G) при всех р, обозначим через C°°(G);
аналогично определяется и класс функций C°°{G).
Таким образом, класс C°(G) состоит из всех непрерывных функ-
функций в G, а класс C°(G) можно отождествить с множеством всех непре-
непрерывных функций на G. Для сокращения записи обозначаем C(G) =
= C°(G), C(G) = C°(G). Иногда аргумент G или G у класса Ср будем
опускать.
Пусть функция f(x) задана на некотором множестве, содер-
содержащем область G. В этом случае принадлежность / классу CP(G)
обозначает, что сужение / на G принадлежит CP{G). Например,

16	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
функция Н(х) = 0, х < О; Я(О) = 1/2; Н(х) = 1, х > О, принадле-
принадлежит классам С°°(ж ^ 0) и С°°(ж ^ 0), причем если Я рассматривается
как функция класса С°°(х ^ 0), то ее значение в О следует считать
равным О, а если Н — функция класса С°°(х ^ 0), то ее значение в О
следует считать равным 1 (в соответствии с определениями).
Введенные классы функций представляют собой линейные мно-
множества, т. е. из принадлежности функций / и g какому-либо из клас-
классов следует принадлежность этому же классу и любой их линейной
комбинации А/ + /лд, где Аи/i — произвольные комплексные числа.
Функция / называется кусочно непрерывной в W1, если сущест-
существует конечное или счетное число областей G/^, к = 1,2,..., без общих
точек с кусочно гладкими границами таких, что каждый шар покры-
покрывается конечным числом замкнутых областей {Gk} и / Е C(Gk), к =
= 1,2,... Кусочно непрерывная функция называется финитной, если
она обращается в нуль вне некоторого шара.
Пусть ip Е С(Жп). Носителем непрерывной функции ср называ-
называется замыкание множества тех точек, где ip(x) ф 0; носитель ip обо-
обозначаем spt (р.
Таким образом, функция ц>(х) финитна тогда и только тогда,
когда spt cp ограничен.
Функция /(ж), х = (xi,X2,...,xn), называется аналитической в
точке жо, если в некоторой окрестности этой точки она представля-
представляется в виде равномерно сходящегося степенного ряда
(точка хо может быть и комплексной). Если функция f(x) аналитич-
на в каждой точке области G, то говорят, что она аналитична в
области G.
Функция /(ж) называется локально интегрируемой в области G,
если она интегрируема (по Риману) в любой ограниченной подоблас-
подобласти G' (е G. Заметим, что в этом случае функция |/(ж)| тоже локально
интегрируема в G.
Будем говорить, что поверхность S принадлежит классу Ср, р^
^ 1, если в некоторой окрестности каждой точки xq E S она опреде-
определяется уравнением ооХо(х) = 0, причем gradcj^0(x) /Ои ооХо(х) Е Ср
в упомянутой окрестности. Поверхность S называется кусочно глад-
гладкой, если она состоит из конечного числа поверхностей класса С1.
Впредь мы будем рассматривать только области с кусочно гладки-
гладкими границами; через п = пх обозначим единичный вектор внешней

§1.1. Некоторые понятия и предложения	17
нормали к границе S в точке х Е S.
Пусть точка хо лежит на кусочно гладкой поверхности S. Ок-
Окрестностью точки хо на поверхности S называется та связная часть
множества S П U(xq\ R), которая содержит точку xq.
3. Пространство непрерывных функции С(Т). Пусть Т —
замкнутое множество, например замыкание G или граница S облас-
области G. Обозначим через С(Т) класс непрерывных и ограниченных на Т
функций. Снабдим класс С(Т) нормой, положив
\\f\\c = Sup\f(x)\, feC(T).	A)
хет
Легко проверяются следующие свойства, характеризующие
норму:
а)	ll/llc ^ 0; И/11с = ^ тогда и только тогда, когда / = 0;
б)	||А/||С = |А| ||/||с, где А — любое комплексное число;
в)	II/ + #llc ^ ll/llc "^ ll/llc (неРавенств0 треугольника).
Вообще всякое линейное множество, снабженное нормой, обла-
обладающей свойствами а)-в), называется линейным нормированным
пространством.
Таким образом, С{Т) — линейное нормированное пространство.
Последовательность функций //,, к = 1,2,..., из С{Т) называ-
называется сходящейся к функции / G С{Т) в пространстве С{Т) (пишут:
fk ->• /, к ->• оо, в С(Г)), если \\fk - f\\c ->• 0, к ->• оо. Очевидно, схо-
сходимость fk —У /, к —У оо в С(Т) эквивалента равномерной сходимости
последовательности функций fk(x), к = 1,2,..., к функции f(x) на
множестве Т:
fk(x)=lf(x), к^оо, хеТ.
Последовательность функций //,, к = 1, 2,..., из С(Т), называется
сходящейся в себе в С(Т), если ||Д — fp\\c —У 0, к —У оо, р —У оо.
Следующее предложение выражает свойство полноты прост-
пространства С (Г).
Теорема Коши. Для того чтобы последовательность функ-
функций из С (Г) сходилась в С (Г), необходимо и достаточно, чтобы она
сходилась в себе в С(Т).
Справедливы следующие полезные предложения.
Теорема Вейерштрасса. Если G — ограниченная область
и f G CP(G), то для любого г > 0 существует полином Р такой,
что
\\daf -даР\\с <г при всех \а\ ^ р.
2 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

18	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
Лемма Дини. Если монотонная последовательность непре-
непрерывных функций на компакте К сходится в каждой точке к непре-
непрерывной функции на К, то она сходится равномерно на К.
Ряд, составленный из функций Uk G С(Т), называется регулярно
сходящимся на Т, если ряд из абсолютных величин |г^(ж)| сходится
в С(Т), т.е. сходится равномерно на Т.
Множество Л4 С С(Т) называется равностепенно непрерывным
на Т, если для любого е > 0 существует такое число 5?, что при
всех / G М имеет место неравенство \f(xi) — /(#2)! < е-> как толь-
только |xi — Х2\<^е-> Ж1,Ж2 G Г.
Функция / G С(Т) называется непрерывной по Гёлъдеру на Т,
если существуют такие числа С>0иа, 0<а^1, что при всех x\ G
G Т и Х2 G Т справедливо неравенство
\f(x1)-f(x2)\^C\x1-x2\a;
если а = 1, то функция /(ж) называется непрерывной по Липшицу
на Т.
Пусть функции /(ж) и о;(ж) заданы в окрестности точки хо (ко-
(конечной или бесконечно удаленной). Будем писать
f(x) = О[о;(ж)] или /(ж) = o[cj(x)], х —у жо,
если отношение f(x)/uj(x) ограничено или стремится к 0 при х —у хо
соответственно.
4. Интегралы типа потенциала. Пусть функция р{у) ку-
кусочно непрерывна на ограниченной области G С W1. Интеграл
\, 0<а<п,
называется интегралом типа потенциала. Такие интегралы часто
встречаются в математической физике.
Докажем сначала справедливость оценки
У	^ Г< ТУП — OL	_ г- ТП)П	(е\\
¦R\x-y\a
Действительно, если |ж| ^ 2R, то \х — у\ ^ \х\ — \у\ > R при всех
\у\ < R, и поэтому

§1.1. Некоторые понятия и предложения
19
если же \х\ < 2R, то \х - у\ ^ \х\ + \у\ < 3R и
Г
Ju
dy
Здесь ап — площадь поверхности единичной сферы в W1. Оценка B)
доказана.
Из B) вытекает, что при всех R > 0 существует повторный ин-
интеграл
g	[Jur
\p(y)\dy.
Следовательно, интеграл 1(х) существует при всех х и представляет
собой локально интегрируемую функцию в W1.
Вне области G интеграл 1(х) есть бесконечно дифференцируе-
дифференцируемая функция и все ее производные получаются дифференцированием
под знаком интеграла
х У\
Докажем, что при всех /3
оо.
C)
Действительно, пусть G С Ur и |ж| > R; тогда \х — у\ ^ |ж| — \у\ ^ |ж| — R
при всех у G G. Отсюда, принимая во внимание оценку
х\х-у\а
(N-
при |ж| > R, получим
откуда и следует C) (см. п.З).
Теорема. Пусть функция р кусочно непрерывна, \р(у)\ ^ М
в G. Тогда интеграл I принадлежит СР(МП), где р — наибольшее
число такое, что а + р < п. Соответствующие производные функ-
функции 1{х) получаются дифференцированием под знаком интеграла.
Доказательство. Докажем, что 1(х) — непрерывная функция
в Жп. Фиксируем xq G W1 и возьмем произвольное г > 0. Тогда

20	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
Ш\
\хо-у\а \х-у\с
м
G\U(xo;r,)
\х0 -у\а \х-у\с
dy.
Первое слагаемое справа в силу оценки B) не превосходит 2MCaT]n a
и потому может быть сделано меньшим г/2 при достаточно малом г\.
Во втором слагаемом подынтегральная функция равномерно непре-
непрерывна по (ж,у) в области \х — хо\ ^ tj/2, \у — хо\ ^ ??, у G G, и обра-
обращается в нуль при х = жо; поэтому этот интеграл может быть сделан
меньшим е/2 при всех х G U(xo;S), если 5 достаточно мало, 5 ^ г]/2.
Итак, нашлось такое число ?, что |/(жо) — 1(х)\ < ?/% + ^/2 = ? при
всех |ж — xq\ < й. Это и означает, что функция 1(х) непрерывна в
(произвольной) точке Хо G Мп, т.е. / G С(МП).
Пусть а + 1 < п. Продифференцируем подынтегральное выра-
выражение в 1{х) по Xi, г = 1, ...,п, и рассмотрим функции
В силу оценки
рассуждение, полностью аналогичное тому, которое мы только что
проделали для интеграла /(ж), показывает, что функции Ii(x) непре-
непрерывны в W1.
Докажем, что
IXi(x) = /;(ж), г = 1,...,п.
D)
Имеем
['li(x)dxi= f'\f
Jx°	Jx° Ug
а 1
=Lpiy)lL°
, . . ., Xi_i, Ж°, . . ., Хп),

§1.1. Некоторые понятия и предложения	21
откуда, дифференцируя по ^, получим равенство D). Законность пе-
перемены порядка интегрирования в предыдущих равенствах вытекает
из существования повторного интеграла
/
Л?
\p(y)\dy
Здесь мы воспользовались оценкой B), предполагая, что G С Ur.
Таким образом, мы доказали, что / Е С1(МП) и допустимо диф-
дифференцирование один раз под знаком интеграла 1(х). Если же а +
+ 2 < п, то, применяя предыдущие рассуждения к функциям Ii(x),
установим, что / Е С2(МП) и допустимо дифференцирование два раза
под знаком интеграла 1(х) и т. д. Теорема доказана.
Пусть функции /С(ж, у), /Ci(x, у) и К,2(х, у) непрерывны на G x G.
Аналогично предыдущему устанавливается, что интегралы
Г К(х,у)	Г ]d(x,y')]C2(y',y) ,
JG\x-y\a У' JG\x-yl\ai\yl ~У\а2 У
непрерывны на G и G x G, если а<пиа1-\-а2<п соответственно.
Замечание. Все сказанное об интеграле 1(х) без существенных
изменений переносится и на интеграл типа потенциала вида
[
Js
\x-y\a
0<а<п-1,
где S — ограниченная кусочно гладкая поверхность и р — кусочно
непрерывная функция на S.
5. Пространство функции С^ (G). Совокупность всех функ-
функций /, для которых функция |/(ж)|2 интегрируема (по Риману) на
области G, обозначим через /^(G).
Множество функций /^(G) линейное.
Действительно, если / G C2{G) и g G ?2@), то из неравенства
вытекает, что и их любая линейная комбинация Л/ + \ig также при-
принадлежит CiiG)-
Справедливо важное неравенство (неравенство Коши-Буня-
ковского): если /,g G /^(G), то
f{x)g{x) dx
|/0r)|2 dx Jj l^a;) |2 dx.

22	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
Если G — ограниченная область и / Е /^(G), то функция f(x)
интегрируема на G.
Действительно, применяя неравенство Коши—Буняковского с
g = 1, получим
|/(ж)|2 dx a / dx < oo.
На множестве функций C(G) введем скалярное произведение и
норму по формулам
(/,<?) = / f(x)g(x)dx, II/H = л/СЛ7У= J [ \f(x)\*dx,
Jg	у J°
превращая тем самым /^(G) в (линейное) нормированное прост-
пространство. Здесь д{х) — функция, комплексно сопряженная с д{х).
Очевидно, введенное скалярное произведение обладает свойст-
свойствами
(/, 9) = Ш), (A/ + ng,h) = \(f,h)+n(g,h).
Кроме того, в терминах нормы и скалярного произведения неравенст-
неравенство Коши-Буняковского принимает вид
К/.5I< 11/111Ы1. f,geC2(G).
Из этого неравенства вытекает следующее неравенство Минковс-
кого:
II/ + д\\^ 11/11+ IMI, f,geC2(g).
Таким образом, норма || • || удовлетворяет условиям а)—в) из п. 3.
Последовательность функций //,, к = 1,2,..., из /^(G) называ-
называется сходящейся к функции / G ?2(G) в пространстве /^(G) (или в
среднем в G), если ||Д — /|| —>¦ 0; при этом будем писать
Последовательность функций //,, /с = 1,2,..., из /^(G) называется
сходящейся в себе в ?2(G), если ||Д - /р|| ->• 0, /с ->• oo, p ->• оо.
Множество функций C2(G) неполно. Пополним его подобно то-
тому, как пополняется множество рациональных чисел вещественными
числами. Для этого сопоставим каждой сходящейся в себе в /^(G)
последовательности функций //,, к = 1,2,..., «идеальный» элемент /
с нормой
11/11 = lim ИЛИ-
к—>-оо

§1.1. Некоторые понятия и предложения	23
При этом два «идеальных» элемента / и g считаем равными, если оп-
определяющие их последовательности Д, /2,... и g\,g^,... эквива-
эквивалентны, т.е. если «сплетающая» последовательность fi,g±, fi->9i-> •••
сходится в себе в /^(G). Пополненное таким путем наше пространст-
пространство ?2(G) будем по-прежнему обозначать через ?2(G). Можно дока-
доказать, что «идеальный» элемент / из /^(G) можно отождествить с
некоторой функцией f(x), определенной почти везде в G, такой, что
f(r)\2 dr
если интеграл справа понимать в более широком смысле (в смысле
Лебега).
Итак, всюду ниже ?2F?) — полное пространство, полученное из
исходного пространства с помощью пополнения.
Следующее предложение выражает свойство полноты прост-
пространства /^(G).
Теорема Рисса-Фишера. Если последовательность функций
fkj k = 1, 2,..., из /^(G) сходится в себе в /^(G), т. е. ||Д — fp\\ —У
—У 0, к —У оо, р —У оо, то существует функция / Е C2{G) такая,
что \\fk — /|| —У 0, к —У оо; при этом функция f единственна.
Пространство /^(G) относится к классу гильбертовых прост-
пространств.
Множество функций Ai С Cz(G) называется плотным в /^(G),
если для любой / G C2(G) существует последовательность функций
из Ai, сходящаяся к / в /^(G). Например, множество C(G) плотно
в ^2(G); отсюда следует, что и множество полиномов плотно в /^(G),
если G — ограниченная область (в силу теоремы Вейерштрасса;
см. п. 3).
Пространство /^(G) имеет дискретный аналог: линейное прост-
пространство I2, состоящее из всех последовательностей комплексных чи-
чисел а = (а\, CL2,...) с конечной нормой
к=1
и скалярным произведением (a, b) = J^^i акЬк, Для всех a, b G Ь-
6. Ортонормальные системы. Функции / и g из /^(G) на-
называются ортогональными, если (/, д) = 0; функция / из /^(G) назы-
называется нормированной, если ||/|| = 1. Система функций {tfk} из ?>2(G)
называется ортонормалъной, если (cpk^i) = Ski, где Ski — символ
Кронекера: Ski = О, к ф г, 8ц = 1.

24
Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
Всякая ортонормальная система {(fk} состоит из линейно неза-
независимых функций.
Всякая система ^1,^2? ••• линейно независимых функций из
jC,2(G) преобразуется в ортонормальную систему ^i,^2,--- следую-
следующим процессом ортогонализации Шмидта:
Пусть система функций ^, к = 1,2,..., ортонормальна в C2(G)
и / G C2(G). Числа (f,(fk) называются коэффициентами Фурье, а
формальный ряд
оо
Е<
— рядом Фурье функции / по ортонормальной системе
Если система функций ерь, к = 1,2,..., ортонормальна в ^(
то для каждой / G C2{G) и любых (комплексных) чисел ai, a2,...,
N = 1,2,..., справедливо равенство
N
к-1
N
F)
k=i
Из равенства F) вытекает неравенство
TV
k=l
N
f-
k=l
Далее, полагая в F) a^ =0, к = 1, 2,..., TV, получаем равенство
TV
f -
k=l
N
G)
fe=i
Из этого равенства вытекает неравенство
(X)

§1.1. Некоторые понятия и предложения	25
называемое неравенством Бесселя.
Из неравенства Бесселя и из теоремы Рисса-Фишера (см. п. 5)
следует, что ряд Фурье E) сходится в /^(G) к некоторой функции
из ?2F?) (но не обязательно к /).
Кроме того, из равенства G) и из теоремы Рисса—Фишера (см.
п. 5) вытекает такое предложение. Для того чтобы ряд Фурье E)
сходился к функции / в /^(G), необходимо и достаточно, чтобы было
выполнено равенство Парсеваля-Стеклова (уравнение замкнутости)
k=l
7. Полные ортонормальные системы. Пусть система функ-
функций {tfk}, к = 1,2,..., ортонормальна в /^(G). Если для любой / Е
Е ^2(G) ее ряд Фурье по системе {tfk} сходится к / в /^(G), то
эта система называется полной (замкнутой) в /^(G) (ортонормалъ-
ным базисом в C2(G)). Примером полной ортонормальной системы
в ?2@, 2тг) служит тригонометрическая система. Из этого определе-
определения и из результатов п. 6 вытекает
Теорема 1. Для того чтобы ортонормалъная система {(fk}
была полной в C2(G), необходимо и достаточно, чтобы для любой
функции f из C2(G) было выполнено равенство Парсеваля-Стек-
лова.
Справедлива также
Теорема 2. Для того чтобы ортонормалъная система {(fk)
была полной в C2(G), необходимо и достаточно, чтобы каждую
функцию f из множества ЛЛ, плотного в /^(G), можно было сколь
угодно точно приблизить в /^(G) линейными комбинациями функ-
функций этой системы.
Следствие. Если G — ограниченная область, то в C2(G) су-
существует счетная полная ортонормалъная система полиномов.
Действительно, множество полиномов с рациональными коэф-
коэффициентами плотно в C2(G) (см. п. 5), счетно и его можно сде-
сделать ортонормальным, используя процесс ортогонализации Шмидта
(см. п. 6).
Нам понадобится еще
Лемма. Пусть области G С W1 и D С W71 ограничены, систе-
система функций г!л(у), г = 1,2,..., ортонормалъна и полна в C2(D), и при
каждом г = 1,2,... система функций (fki(x), к = 1,2,..., ортонор-
ортонормалъна и полна в C2(G). Тогда система функций
Хы(х,у) = (ры(х)г1л(у), k,i = 1,2,...,

26	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
ортонормалъна и полна в C2(G x D).
Все сказанное о пространстве C2(G) переносится и на прост-
пространства C2(G%, р) или ?(S) со скалярными произведениями
f,g е
(/,</) = [ f(x)g(x)dS, f,geC2(S),
Js
где p G C(G), p(x) > 0, x G G, a S — кусочно гладкая поверхность.
8. Линейные операторы и функционалы. Пусть AdnAT —
линейные множества. Оператор L, преобразующий элементы мно-
множества Ad в элементы множества Л/', называется линейным, если для
любых элементов / и g из Л4 и комплексных чисел Аи/i справедливо
равенство
L(Xf + fxg) = XLf + /iL#.
При этом множество Л4 = .Ml называется областью определения
оператора L. Если Lf = / при всех / G Л4, то оператор L называет-
называется тождественным (единичным) оператором. Единичный оператор
будем обозначать через /.
Пусть на линейных множествах М. и N определены сходимос-
сходимости элементов с непрерывными линейными комбинациями, например,
если fk -»> / и дк -»> д, к -»> оо в Л^, то и АД + /^ ->• А/ + /хр, к -»>
—>¦ оо в jM. Линейный оператор L, переводящий Л^ в Л/', называется
непрерывным из .Л/f в Л/', если из сходимости Д —у /, А: —у оо в Л^
следует сходимость ЬД —>- L/, к —У оо в ЛЛ Из определения вытека-
вытекает: для того чтобы линейный оператор L был непрерывным из Ad
в Л/', необходимо и достаточно, чтобы 1/Д —>¦ 0, к —У оо в Л/', коль
скоро Д —у 0, & —>¦ оо в Ad.
Пусть А4 и N — линейные нормированные пространства с нор-
нормами || • \\м и || • \\j^ соответственно (например, АГ = С(Т), Ad = C2(G)).
Линейный оператор L, переводящий Ad в АГ, называется ограничен-
ограниченным из Ad в Л/', если существует такое число С > 0, что для любо-
любого / G Ad справедливо неравенство
Из этих определений вытекает: если линейный оператор L ограничен
из .Л/f в АГ, то он непрерывен из .Л/f в АГ.
Множество В линейного нормированного пространства А4 на-
называется ограниченным в А4, если существует такое число А, что
\\f\\M < А при всех / е В.

§1.1. Некоторые понятия и предложения	27
Пусть линейный оператор L переводит А4 в Л/i и линейный опе-
оператор К переводит Л/i в ЛЛ Линейный оператор KL, переводящий А4
в N по правилу: KLf = K(Lf), / G М, называется произведением
операторов К и L; в частности, #*7 = if (i^/) = ^^(Kf), К1 =
Частным случаем линейных операторов являются линейные
функционалы. Если линейный оператор / преобразует множество эле-
элементов .М в множество комплексных чисел N С С, то I называется
линейным функционалом на множестве ЛЛ. Значение функционала I
на элементе / (комплексное число If) будем обозначать через (/,/).
Таким образом, непрерывность линейного функционала I означает
следующее: если //, —у 0, к —> оо в А4, то последовательность комп-
комплексных чисел G, /д.), /с —>- оо, стремится к 0.
Будем говорить, что последовательность /]_, Ь5--- линейных
функционалов на Л^ слабо сходится к (линейному) функционалу /
на Л4, если она сходится к I на каждом элементе / из Л4, т. е. (/&, /) —>-
—У (/,/), fc —>¦ оо, для всякого / G Л4.
Линейный функционал I на множестве Л4 D Л4 называется про-
продолжением линейного функционала I, заданного на Л4, если (/,/) =
= (/, /) для всех / е М.
Примеры линейных операторов и функционалов.
а) Линейный оператор вида
Kf(x)= f K(x,y)f(y)dy, xeG,
Jg
называется интегральным оператором, а функция 1С(х,у) — его яд-
ядром. Если ядро 1С принадлежит С (G x G) и
/ |/С(ж,2/)|2 dxdy = С2 < оо,
JGxG
то оператор К ограничен (и, следовательно, непрерывен) из /^(G) =
= MbC2(G)=AT.
Аналогично, линейный оператор А, действующий из fa в fa (см.
п. 5) по правилу:
оо	оо
(Аз)к=^2Ама{, к = 1,2,..., ^ \Aki\2 = С2 < оо,
1=1	к,г=1
ограничен (и, стало быть, непрерывен), причем

28	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
б) Линейный оператор вида
Lf(x) = Y, aa(x)daf(x),	J2 1а«(жI ± °> т > °-
называется дифференциальным оператором порядка т, а функции
аа(х) — его коэффициентами. Если коэффициенты аа(х) — непре-
непрерывные функции на области G С W1, то оператор L переводит
Cm(G) = Л4 в C(G) = N. Однако, оператор L не является непрерыв-
непрерывным из C(G) в C(G). В самом деле,
fk(x) = \eik^^a) ^0 в
в то время как последовательность
не имеет предела в C(G). Отметим попутно, что оператор L определен
не на всем пространстве C(G), а лишь на его части — на множестве
функций Cm(G).
в) Линейный оператор
Lf(x)= Т
называется интегр о-дифференциальным оператором.
г) Пример линейного непрерывного функционала I на /^(G)
дает скалярное произведение: (/,/) = (/, #), где g — фиксированная
функция из С,2 [G). Линейность этого функционала следует из линей-
линейности скалярного произведения по первому аргументу (см. п. 5), а в
силу неравенства Коши-Буняковского он ограничен:
и, следовательно, непрерывен.
9. Линейные уравнения. Пусть L — линейный оператор с
областью определения Л4ь- Уравнение
Lu = F	(8)
называется линейным неоднородным уравнением. В уравнении (8)
заданный элемент F называется свободным членом (или правой

§1.1. Некоторые понятия и предложения	29
частью), а неизвестный элемент и из Ml — решением этого урав-
уравнения.
Если в уравнении (8) свободный член F положить равным нулю,
то полученное уравнение
Lu = 0	(9)
называется линейным однородным уравнением, соответствующим
уравнению (8).
В силу линейности оператора L совокупность решений однород-
однородного уравнения (9) образует линейное множество; в частности, и = О
всегда является решением этого уравнения.
Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (8) (если
оно существует) представляется в виде суммы частного решения щ
этого уравнения и общего решения и соответствующего линейного
однородного уравнения (9)
и = щ + й.
Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы решение
уравнения (8) было единственным в Ml-, необходимо и достаточно,
чтобы соответствующее однородное уравнение (9) имело только ну-
нулевое решение в Ml-
Пусть однородное уравнение (9) имеет только нулевое решение
в Ml- Обозначим через 1Zl область значений оператора L, т.е. (ли-
(линейное) множество элементов вида {?/}, где / пробегает Ml- Тогда
для любого F Е IZl уравнение (8) имеет единственное решение и Е
Е Ml, и5 таким образом, возникает некоторый оператор, сопостав-
сопоставляющий каждому элементу F из IZl соответствующее решение урав-
уравнения (8). Этот оператор называется обратным оператором к опе-
оператору L и обозначается через L, так что
и = L~XF.	A0)
Оператор L, очевидно, является линейным и отображает IZl
на Ml- Непосредственно из определения оператора L, а также из
соотношений (8) и A0) вытекает
LL~XF = F, Fe1ZL; L~xLu = u, и е MLj
т. е.
LL-1 = /, L~XL = /.

30	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
Если линейный оператор L имеет обратный L, то системы
функций {(fk} и {Lcpk} одновременно линейно независимы. (При этом,
естественно, предполагается, что все ipk принадлежат Л4ь-)
Рассмотрим линейное однородное уравнение
Lu = Хщ	A1)
где Л — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое реше-
решение при всех Л. Может случиться, что при некоторых Л оно имеет
ненулевые решения из Л4ь- Те комплексные значения Л, при которых
уравнение A1) имеет ненулевые решения из Л4ь, называются собст-
собственными значениями оператора L, а соответствующие решения —
собственными элементами (функциями), соответствующими этому
собственному значению. Полное число г, 1 ^ г ^ оо, линейно незави-
независимых собственных элементов, соответствующих данному собствен-
собственному значению Л, называется кратностью этого собственного зна-
значения; если кратность г = 1, то Л называется простым собственным
значением.
Если кратность г собственного значения Л оператора L конечна
и ui,...,ur — соответствующие линейно независимые собственные
элементы, то любая их линейная комбинация
ixo = c\U\ + C2U2 + ... + crur
также является собственным элементом, соответствующим этому
собственному значению, и приведенная формула дает общее решение
уравнения A1). Отсюда вытекает: если решение уравнения
Lu = Xu + /	A2)
существует, то его общее решение представляется формулой
A3)
k=l
где ix* — частное решение A2) и с&, к = 1,2,...,г, — произвольные
постоянные.
10. Эрмитовы операторы. Линейный оператор L, переводя-
переводящий Л4ь С C2(G) в ?2(G), называется эрмитовым, если его область
определения Л4ь плотна в /^(G) и для любых / и g из Л4ь справед-
справедливо равенство
(Lf,g) = (f,Lg).

§1.1. Некоторые понятия и предложения	31
Выражения (Lf, д) и (Lf, /) называются соответственно били-
билинейной и квадратичной формами, порожденными оператором L.
Для того чтобы линейный оператор L был эрмитовым, необ-
необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма
(L/,/), / Е M.L, гДе Ml плотна в C2(G), принимала только вещест-
вещественные значения.
Линейный оператор L, переводящий Ml С C2(G) в C2(G), на-
называется положительным, если .Ml плотна в C2(G) и
(Lfj)^o, feML.
В частности, всякий положительный оператор эрмитов.
Теорема. .Еслг/ оператор L эрмитов (положительный), то все
его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собст-
собственные функции, соответствующие различным собственным значе-
значениям, ортогональны.
Доказательство. Пусть Ао — собственное значение, а щ —
соответствующая нормированная собственная функция эрмитова
оператора L, Ьщ = Хощ. Умножая скалярно это равенство на щ,
получим
(Luo,uo) = (Xouo,uo) = Ао(^о,^о)Ао||^о||2 = Ао.	A4)
Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма
(Lf, f) принимает только вещественные (неотрицательные) значения,
и, стало быть, в силу A3) Ао — вещественное (неотрицательное)
число.
Докажем, что любые собственные функции щ и U2, соответст-
соответствующие различным собственным значениям Ai и А2, ортогональны.
Действительно, из соотношений
Lu\ — \\U\, LU2 = А21/2,
из вещественности Ai и А2 и из эрмитовости оператора L получаем
цепочку равенств
Х1(и1,и2) = (Xiu1,u2) = (Ьщ,и2) = (щ,Ьи2) = (щ,Х2и2) = А2(^ь^2),
т.е. Xi(ui,u2) = X2(ui,u2). Отсюда, поскольку Ai фХ2, вытекает, что
скалярное произведение (щ,и2) равно нулю. Теорема доказана.
Предположим, что множество собственных значений эрми-
эрмитова оператора L не более чем счетно, а каждое собственное зна-
значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные

32	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
значения: Ai,A2,..., повторя А/, столько раз, какова его кратность.
Соответствующие собственные функции обозначим через г^,!^,...
так, чтобы каждому собственному значению соответствовала толь-
только одна собственная функция г^:
Luk = \k,uk, к = 1,2,...
Собственные функции, соответствующие одному и тому же собст-
собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя про-
процесс ортогонализации Шмидта (см. п. 6). При этом опять получаются
собственные функции, соответствующие тому же самому собствен-
собственному значению. По теореме из п. 10 собственные функции, соответст-
соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Таким образом, если система собственных функций {и^ эрми-
эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонор-
мальной:
(Ьик,щ) = \k(uk,Ui) = XkSki-
Все сказанное в пп. 5-7,10 о пространстве /^(G) с очевидными
изменениями справедливо и для его дискретного аналога fa, и тем
более для всех конечномерных подпространств пространства fa.
§ 1.2. Основные уравнения математической физики
Математическое описание многих физических процессов при-
приводит к дифференциальным и интегральным уравнениям или даже
к интегро-дифференциальным уравнениям. Весьма широкий класс
физических процессов описывается линейными дифференциальными
уравнениями второго порядка (см. § 1.1, п. 8)
В этом параграфе мы рассмотрим характерные физические про-
процессы, сводящиеся к различным краевым задачам для дифферен-
дифференциальных уравнений.
1. Уравнение колебании. Многие задачи механики (коле-
(колебания струн, стержней, мембран и трехмерных объемов) и физики
(электромагнитные колебания) описываются уравнением колебаний
вида
д2и
di(d) -qu + F(x,t),	B)

§1.2. Основные уравнения математической физики
33
где неизвестная функция и(х, t) зависит от п (п = 1, 2, 3) пространст-
пространственных координат х = (xi,Ж2,...,хп) и времени ?; коэффициенты р, р
и q определяются свойствами среды, где происходит колебательный
процесс; свободный член F(x, t) выражает интенсивность внешнего
возмущения. В уравнении B) в соответствии с определением опера-
операторов div и grad
Продемонстрируем вывод уравнения B) на примере малых попе-
поперечных колебаний струны. Струной называется натянутая нить, не
сопротивляющаяся изгибу. Пусть в плоскости (ж, и) струна соверша-
совершает малые поперечные колебания около своего положения равновесия,
совпадающего с осью х. Величину отклонения струны от положения
равновесия в точке х в момент времени t обозначим через u(x,i),
так что и = и(х, t) есть уравнение струны в момент времени t. Огра-
Ограничиваясь рассмотрением лишь малых колебаний струны, мы будем
пренебрегать величинами высшего порядка малости по сравнению
с tga = ди/дх.
Так как струна не сопротивляется изгибу, то ее натяжение
Т(ж,?) в точке х в момент времени t направлено по касательной к
струне в точке х (рис.3). Любой участок струны (а, Ь) после откло-
с, О
нения от положения равновесия в рамках нашего приближения не из-
изменит своей длины:
ч:нм
3 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

34	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
и, следовательно, в соответствии с законом Гука величина натяже-
натяжения |Т(ж,?)| будет оставаться постоянной, не зависящей от ж и ?,
Т(ж,?)| = Tq. Обозначим через F(x,i) плотность внешних сил, дейст-
действующих на струну в точке ж в момент времени t и направленных
перпендикулярно оси х в плоскости (х,и). Наконец, пусть р{х) обо-
обозначает линейную плотность струны в точке ж, так что приближен-
приближенно р(х)Ах — масса элемента струны (ж, ж + Ах).
Составим уравнение движения струны. На ее элемент (ж, х +
+ Аж) действуют силы натяжения Т(ж + Дж,?), —Т(ж,?) (см. рис.3)
и внешняя сила, сумма которых согласно законам Ньютона должна
быть равна произведению массы этого элемента на его ускорение,
так что
Т(х + Ax,t) - T(x,t) + F(x,t) Axj=pAx
где единичный вектор j направлен вдоль оси и. Проектируя это век-
векторное равенство на ось и, на основании всего сказанного получим
равенство
д2и(х t)
Го ыпа\х+Ах - Го sma\x + F(x, t) Ax = р(х) Ах —т^~- C)
Но в рамках нашего приближения
tg а	ди
sin а =	: « tga = —,
у/1 + tg2 а	дх
а потому из C) имеем
d2u{x,t)	I \du(x + Ax,t) du(x,t)
дх
откуда при Аж —у 0 следует равенство
Это и есть уравнение малых поперечных колебаний струны. При F ф
Ф 0 колебания струны называются вынужденными, а при F = 0 —
свободными.
Если плотность р постоянна, р(х) = р, то уравнение колебаний
струны принимает вид
д2и 2д2и
+f	E)

§1.2. Основные уравнения математической физики	35
где / = F/p, а а2 = То/р — постоянная. Уравнение E) мы будем так-
также называть одномерным волновым уравнением.
Уравнение вида B) описывает также малые продольные колеба-
колебания упругого стержня
s
где S(х) — площадь поперечного сечения стержня и Е(х) — модуль
Юнга в точке х.
Из физических соображений следует, что для однозначного опи-
описания процесса колебаний струны или стержня необходимо дополни-
дополнительно задать смещения и и скорости щ в начальный момент времени
{начальные условия) и режим на концах {граничные условия).
Примеры граничных условий.
а)	Если конец хо струны или стержня движется по закону
/i(t), то
и\х=хо =М*)-
б)	Если на правый конец хо струны действует заданная сила
v(t), то
ди
v(t)
х=хо = "IT
Действительно, в этом случае
То —
дх
х=хо =v(t).
в) Если правый конец хо стержня закреплен упруго и а — ко-
коэффициент жестокости закрепления, то
ди
Е
, аи
ох
__ = О
в соответствии с законом Гука.
Аналогично выводится уравнение малых поперечных колебаний
мембраны
Если плотность р постоянна, то уравнение колебаний мембраны
д2и 2(д2и д2и\	2 Го	F
+	+/	/	(8)
(
2 Го
12)	р	р

36	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
будем называть двумерными волновым уравнением.
Трехмерное волновое уравнение
д2и 2 (д2и д2и д2и
описывает процессы распространения звука в однородной среде и
электромагнитных волн в однородной непроводящей среде. Этому
уравнению удовлетворяют плотность газа, его давление и потенци-
потенциал скоростей, а также составляющие напряженности электрического
и магнитного полей и соответствующие потенциалы (см. п. 5 ниже).
Мы будем записывать волновые уравнения E), (8) и (9) единой
формулой
?«« = /,	(Ю)
где Па — волновой оператор (оператор Даламбера),
А — оператор Лапласа,
д2 д2	д2
дх\ дх\ '" дх2п'
2. Уравнение диффузии. Процессы распространения тепла
или диффузии частиц в среде описываются следующим общим урав-
уравнением диффузии:
СУ11
р— = div(pgrad^) — qu + F(x, t).	A1)
Выведем уравнение распространения тепла. Обозначим через
u(x,t) температуру среды в точке х = (жьЖ2,жз) в момент време-
времени t. Считая среду изотропной, обозначим через р(х), с(х) и г(х) со-
соответственно ее плотность, удельную теплоемкость и коэффициент
теплопроводности в точке х. Обозначим через F(x, t) интенсивность
источников тепла в точке х в момент времени t. Подсчитаем баланс
тепла в произвольном объеме V за промежуток времени (?,? + At).
Обозначим через S границу У, и пусть п — внешняя нормаль к ней.
Согласно закону Фурье через поверхность S в объем V поступает
количество тепла
Q1= f k^dSAt= [ (kgi<idu,n) dS At,
Js c'n	Js

§1.2. Основные уравнения математической физики	37
равное в силу формулы Гаусса-Остроградского
Qi = / div(kgYdbdu) dx At.
Jv
За счет тепловых источников в объеме V возникает количество тепла
Q2= F(x,t)dxAt.
Jv
Так как температура в объеме V за промежуток времени (t, t + At)
выросла на величину
и(х, t + At) - и(х, t) ~ — At,
ot
то для этого необходимо затратить количество тепла
ср — dx At.
С другой стороны, Q% = Q\ + Q2, и потому
div(^gradix) + F - ср -^ Ыж At = О,
Ik
откуда в силу произвольности объема V получаем уравнение рас-
распространения тепла
ди
ср— = divOgrad?/) + F(x,t).	A2)
ОТ
Если среда однородна, т. е. с, р и к — постоянные, то уравнение
A2) принимает вид
ди 9 .	.	<> к „ F	..
— = a2Aix + /, a2 = —, /=—.	A3)
at	ср	ср
Уравнение A3) называется уравнением теплопроводности. Число п
пространственных переменных х\, Ж2,..., хп в этом уравнении может
быть любым.
Как и в случае уравнения колебаний, для полного описания про-
процесса распространения тепла необходимо задать начальное распреде-
распределение температуры и в среде (начальное условие) и режим на границе
этой среды (граничное условие).

38	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
Примеры граничных условий.
а) Если на границе S поддерживается заданное распределение
температуры щ, то
u\s = и0.	A4)
б) Если на S поддерживается заданный поток тепла ui, то
, ди
п
A5)
в) Если на S происходит теплообмен согласно закону Нью-
Ньютона, то
k — + h(u-uo)\s = 0,	A6)
где h — коэффициент теплообмена, щ — температура окружающей
среды.
Аналогично выводится и уравнение диффузии частиц. При этом
вместо закона Фурье нужно пользоваться законом Нэрнста для пото-
потока частиц через элемент поверхности AS за единицу времени: AQ =
= —Ddu/dn, где D(x) — коэффициент диффузии и u(x,i) — плот-
плотность частиц в точке х в момент времени t. Уравнение для плотнос-
плотности и будет иметь вид A1), где р обозначает коэффициент пористос-
пористости, р = D и q характеризует поглощение среды.
3. Стационарное уравнение. Для стационарных процессов
F(x, t) = F(x), u(x, t) = и{х) уравнения колебания B) и диффузии A1)
принимают вид
qu = F(x).	A7)
При р = const и q = 0 уравнение A7) называется уравнением Пуассона:
Au=-f, /=^;	A8)
при / = 0 уравнение A8) называется уравнением Лапласа:
Аи = 0.	A9)
Для полного описания стационарного процесса необходимо еще
задать режим на границе — одно из граничных условий A4)—A6).
Пусть в волновом уравнении A0) внешнее возмущение f(x,t)
периодическое с частотой со и амплитудой a2 f(x):
f(x,t) = a2f(x)e
iujt

§1.2. Основные уравнения математической физики
39
Если искать периодические возмущения u(x,t) с той же частотой и
неизвестной амплитудой и(х),
u(x,t) = u(x)eiuj\
то для функции и (х) получим стационарное уравнение
2
B0)
, .
называемое уравнением Гелъмголъца.
К краевым задачам для уравнения Гельмгольца приводят
задачи на рассеяние (дифракцию).
Например, пусть задана приходя-
приходящая (из бесконечности) плоская вол-
на егк(а>х\ \а\ = 1, к > 0, которая
подвергается изменению из-за нали-
наличия некоторого препятствия на грани-
границе S ограниченной области G (рис. 4).
Препятствие можно задавать, напри-
например с помощью условия и
= 0 или
е
дп
= 0. Это препятствие порожда-
порождаРис. 4
ет рассеянную волну г?(ж). Эта волна вдали от рассеивающих центров
будет близка к расходящейся сферической волне
oik\x\
I — 1ч
Поэтому при |ж| —у оо волна v(x) должна удовлетворять условиям вида
v(x)=O(\x
-1)
д\х
B2)
называемым условиями излучения Зоммерфелъда. Суммарное же воз-
возмущение и (х) вне области G складывается из плоской и рассеянной
волн:
и(х) =
B3)
Отметим попутно, что функция /(s), s = x/\x\, фигурирующая в B1),
называется амплитудой рассеяния; она зависит, кроме того, от па-
падающего импульса ка.

40	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
4.	Уравнения газо-гидродинамики. Рассмотрим движение
идеальной жидкости (газа), т.е. жидкости, в которой отсутствуют
силы вязкости. Пусть V(x,t) = (^1,^2?^з) — вектор скорости движе-
движения жидкости, p(x,t) — ее плотность, p(x,t) — давление, /(ж,?) —
интенсивность источников и вектор F(x, t) = (i^i, i^b? -^з) — интенсив-
интенсивность массовых сил. Тогда эти величины удовлетворяют следующей
(нелинейной) системе уравнений, называемых уравнениями гидроди-
гидродинамики (газовой динамики):
——Ь div(^V) = /,	B4)
dV	I
— + (V, grad)V + - gradp = F.	B5)
Уравнения B4) и B5) называются соответственно уравнением
неразрывности и уравнением движения Эйлера. Чтобы замкнуть эту
систему уравнений, необходимо еще задать связь между давлением и
плотностью:
Ф(р,р) = 0,	B6)
так называемое уравнение состояния. Например, для несжимаемой
жидкости уравнение состояния имеет вид р = const, а для адиабати-
адиабатического движения газа —
ср
рр = const, к = —,
где ср и cv — удельные теплоемкости газа при постоянном давлении
и постоянном объеме соответственно.
В частности, если жидкость несжимаема (р = const) и ее движе-
движение потенциально (V = — grad-и), то из уравнения неразрывности B4)
следует, что потенциал и удовлетворяет уравнению Пуассона A8).
5.	Уравнение Максвелла. Пусть в некоторой среде имеется
переменное электромагнитное поле.
Обозначим: Е(ж,?) = (Ei,E2,Es) — напряженность электричес-
электрического поля; Н(ж,?) = (i^i, i?2, ^з) — напряженность магнитного по-
поля; р(х) — плотность зарядов; г — диэлектрическая постоянная сре-
среды; \i — коэффициент магнитной проницаемости среды; 1(ж, t) =
= (/1,/2,/з) — ток проводимости.
Тогда эти величины удовлетворяют следующей (линейной) сис-
системе дифференциальных уравнений, называемых уравнениями Макс-
Максвелла:
div(sE) = 4тгр, div(/iH) = 0,	B7)

§1.2. Основные уравнения математической физики	41
где с = 3 • 1010 см/с — скорость света в пустоте.
Уравнение B8) выражает закон Фарадея, а уравнение B9) —
закон Ампера.
Частные случаи уравнения Максвелла.
а) р = 0, е = const, \i — const и I = ЛЕ (закон Ома), Л = const.
Применяя к уравнениям B8) и B9) оператор rot и пользуясь уравне-
уравнениями B7), для компонент векторов Е и Н получим так называемое
телеграфное уравнение
б) I = 0, е = const, \i — const. Вводя четырехкомпонентный элек-
электромагнитный потенциал (Aq, A), A = (Ai,A2,As), представим ре-
решение уравнений Максвелла в виде
E = gracUo-^, H=-rotA.	C1)
При этом компоненты электромагнитного потенциала должны удов-
удовлетворять волновым уравнениям
4тгс2
?а Ао =	—р, Па А = 0	C2)
? Ц
и условию Лоренца
с at
в) Если процесс стационарный, то уравнения Максвелла пре-
превращаются в уравнения электростатики
div(sE) =4тгр, rotE = О
и в уравнения магнитостатики
4тг
div(/iH) = 0, rotH= —I.
с
При е = const электростатический потенциал Aq удовлетворяет (в си-
силу C2)) уравнению Пуассона A8) с / = —D:ф/г)р.

42	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
При преобразовании уравнений Максвелла мы пользовались сле-
следующими формулами векторного анализа:
div grad = A, rot rot = grad div —A/, rot grad = 0, div rot = 0.
6. Уравнение Шрёдингера. Пусть квантовая частица мас-
массы то движется во внешнем силовом поле с потенциалом V(x).
Обозначим через ф(х,?) волновую функцию этой частицы, так что
\ф(х,?)\2Ах есть вероятность того, что частица будет находиться в
окрестности г?(ж) точки х в момент времени ?; здесь А — объем г?(ж).
Тогда функция ф удовлетворяет уравнению Шрёдингера
дгЬ	Н2
l	^ V^	C3)
где Н = 1, 054 • 10~27эрг • с — постоянная Планка.
Если энергия Е частицы имеет определенное значение, то та-
такое состояние ее называется стационарным. В этом случае волновая
функция ф(х,?) имеет вид
h
где волновая волна функция ф(х) в силу C3) удовлетворяет стацио-
стационарному уравнению Шрёдингера
Ь2
Аф + Уф = Еф.	C4)
2т0
При V = 0 (свободная частица) уравнение Шрёдингера C4) превра-
превращается в однородное уравнение Гельмгольца B0).
Как и для уравнения Гельмгольца, в задачах на рассеяние на
потенциале V необходимо требовать выполнения условий излучения
Зоммерфельда B2) на бесконечности (где к = ^2гпоЕН~1, Е ^ 0).
§ 1.3. Классификация квазилинейных
дифференциальных уравнений второго порядка
Прежде чем формулировать математические постановки крае-
краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго по-
порядка, необходимо классифицировать эти уравнения.

§1.3. Классификация квазилинейных дифференциальных уравнений 43
1. Классификация уравнении в точке. Рассмотрим квази-
квазилинейное (линейное относительно всех старших производных) диф-
дифференциальное уравнение второго порядка
я2
+$(d) =0	A)
qx.qx.
с непрерывными коэффициентами а^-(ж). Выясним прежде всего, по
какому закону преобразуются коэффициенты ац при произвольной
неособенной замене переменных у = у(х),
Уг = 2/;Oi,x2,...,xn), г = 1,2,...,п;
с2 в(УъУъ---,Уп\^^(дуЩ	B)
\жьж2,...,жпу	V ^ /
Так как D ф 0, то в некоторой окрестности можно выразить
переменные х через переменные у: х = х(у). Обозначим и{х{у)) = и (у);
тогда и{у{х)) = и{х). Имеем
ди ^-~\ ди ду\
dxi f-i дух dxi'
C)
д2и	д ( ди\ _ ^ д2й ду\ дуй ^ ди д2ух
\д~) = ^	+ ^
дхдх = дх \дх) ^	^
Подставляя выражения C) в уравнение A), получим
Е8	^^ ^ d
+ Ф* B/, и, grad и) = 0. D)
Обозначая теперь через Щк новые коэффициенты при вторых произ-
производных,
~ ( \ - Х^	( \дУ1 дУк	/гч
Щк\У) — / , aij{x) о о 5	v^J
перепишем уравнение D) в виде A):
П	о9~
JM=i	"Й

44	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
Фиксируем точку хо и обозначим у о = у(хо), аи = dyi(xo)/dxi
Тогда формула E) в точке хо запишется в виде
Полученная формула преобразования коэффициентов а^ в точке xq
совпадает с формулой преобразования коэффициентов квадратичной
формы
п
CLij(xO)piPj	(8)
при неособенном линейном преобразования
п
Pi = ^2 auQh det(an) ф 0,	(9)
переводящем форму (8) форму
п
^2 °>ik(yo)qiqk-	(Ю)
к,1=1
Итак, чтобы упростить уравнение A) в точке хо с помощью
замены переменных B), достаточно упростить в этой точке квадра-
квадратичную форму (8) с помощью неособенного линейного преобразова-
преобразования (9). В курсе линейной алгебры (см. [4]) доказывается, что всегда
существует неособенное преобразование (9), при котором квадратич-
квадратичная форма (8) принимает следующий канонический вид:
г	т
/2^ ~ а^ ^' тп ^п.	A1)
1=1	1=г+1
Кроме того, в силу закона инерции квадратичных форм целые числа г
и m не зависят от преобразования (9). Это позволяет классифициро-
классифицировать дифференциальные уравнения A) в зависимости от значений,
принимаемых коэффициентами ац в точке xq.
Если в квадратичной форме A1) m = п и все слагаемые одно-
одного знака (т.е. либо г = т, либо г = 0), то уравнение A) называется
уравнением эллиптического типа в точке хо; если т = п, но имеют-
имеются слагаемые разных знаков (т.е. 1 ^ г ^ п — 1), то уравнение A) —

§1.3. Классификация квазилинейных дифференциальных уравнений 45
гиперболического типа в точке хо (при г = 1 или г = п — 1 — кор-
малъно-гиперболического типа в точке жо); наконец, если m < n, то
уравнение A) — параболического типа в точке хо (при т = п — 1
и г = 1 или г = п — 1 — нормально-параболического типа в точке xq).
Подчеркнем, что приведенная классификация зависит от точ-
точки жо, так как числа гит зависят от xq. Например, уравнение Три-
коми
д2и д2и
— смешанного типа: при у < 0 — гиперболического типа, при у >
> 0 — эллиптического типа, а при у = 0 — параболического типа.
Пусть коэффициенты ац в уравнении A) постоянны, и пусть
преобразование (9) приводит квадратичную формулу (8) к канони-
каноническому виду A1). Тогда линейная замена независимых переменных
г=1
преобразует уравнение A) к следующему каноническому виду:
г п2~	m п2~
^-л О U ^-л О U 1L( ~ л~\
Примеры. Уравнение Лапласа — эллиптического типа, волно-
волновое уравнение — гиперболического типа и уравнение теплопровод-
теплопроводности — параболического типа.
2. Выражение оператора Лапласа в сферических и ци-
цилиндрических координатах. Для иллюстрации преобразований
из п. 1 приведем выражение трехмерного оператора Лапласа А (п =
= 3, ctij = Sij, Ф = 0) в сферических и цилиндрических координатах.
а) Сферические координаты:
х\ = г sin в cos ср, Х2 = г sin в sin ср, х% = г cos в,
I д ( 2д\	1 д ( . пд\	1 а2
дв) г2 sin в оср2
б) Цилиндрические (полярные) координаты:
M
А 1й/а\ ia2 a2
А = -— г— + -о д-о + о-о .	A5)
г or \ or J г2 дер2 oz2

46
Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
3. Характеристические поверхности (характеристики).
Пусть функция oj(x), х = (ж1,Ж2, . ..,жп), п ^ 2, класса С1 такова, что
на поверхности и;(ж) = 0, gradcj(x) /Ои
дсо(х)дсо(х)
= 0.
A6)
Тогда поверхность со(х) = О называется характеристической поверх-
поверхностью (или характеристикой) квазилинейного дифференциального
уравнения A), а уравнение A6) — характеристическим уравнением.
При п = 2 характеристическая поверхность называется характерис-
характеристической линией.
Предположим, что каждая поверхность семейства со{х) — С =
= 0, а < С < 6, есть характеристика уравнения A). Поскольку на
каждой характеристике grades ф 0, то это семейство заполняет неко-
некоторую достаточно малую область G, через каждую точку которой
проходит одна и только одна характеристика. Пусть со Е C2(G). Тогда
если в преобразовании B) взять у\ =со(х), то в силу E) и A6) коэффи-
коэффициент йц обратится в нуль в соответствующей области G. Поэтому
знание одного или нескольких семейств характеристик дифференци-
дифференциального уравнения дает возможность привести это уравнение к более
простому виду.
Примеры характеристик.
а) Волновое уравнение (см. A0) из § 1.2). Его характеристичес-
характеристическое уравнение имеет вид
Г+(х0, t0)
Поверхность
a2(t-t0J - \х-хо\2 = 0, A7)
0 Ж-	Jk *i
называемая характеристическим
конусом с вершиной в точке (жо,?о),
есть характеристика волнового урав-
уравнения.
Характеристический конус A7) является границей конусов
Рис. 5
Г+(хо,?о) = Ht-to
= {a(t-t0) < \х-хо\},
называемых соответственно конусами будущего и прошлого с верши-
вершиной в точке (xo,to) (рис.5).

§1.3. Классификация квазилинейных дифференциальных уравнений 47
Обозначим Г^ = Г±@,0). Волновое уравнение имеет и другое
семейство характеристических поверхностей — семейство касатель-
касательных плоскостей к характеристическим конусам
at + (ж, Ь) = С,	A8)
где Ъ = (bi, 62, •••? ^пM bk ж С — любые вещественные числа, при-
причем |Ь| = 1.
б)	Уравнение теплопроводности (см. A3) из § 1.2). Его характе-
характеристиками, очевидно, является семейство плоскостей t = С.
в)	Уравнение Пуассона (см. A8) из § 1.2). Оно не имеет (вещест-
(вещественных) характеристик, ибо из характеристического уравнения
=0 на и =
следует grades = 0 на uj = 0, что невозможно.
4. Канонический вид уравнении с двумя независимыми
переменными. В п. 1 рассмотрен способ приведения квазилинейно-
квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка к каноническому
виду в каждой отдельной точке, где задано это уравнение. В связи
с этим возникает вопрос: нельзя ли одним и тем же преобразовани-
преобразованием B) привести уравнение A) к каноническому виду A3) в какой-
либо окрестности данной точки? Чтобы такое приведение можно бы-
было сделать для любого уравнения, необходимо, чтобы число условий
щк=0, 1фк, /,fc = l,2,...,n,
аи = ?/йц, / = 2,3, ...,п,
аи ф О,
где е — 0,=Ы, не превосходило числа неизвестных функций yi, I =
= 1,2,...,п:
п{п- 1)
	hn-l^n,
т.е. п ^ 2.
Покажем, что для п = 2 (и, очевидно, для п = 1) такое приведение
всегда можно сделать.
Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение вто-
второго порядка с двумя независимыми переменными
д2и oL д2и д2и (	ди ди

48	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
причем предполагаем, что коэффициенты а, Ъ и с принадлежат клас-
классу С2 в некоторой окрестности и нигде в ней не обращаются в нуль
одновременно. Для определенности можно считать, что а/0 в этой
окрестности. Действительно, в противном случае может оказаться,
что с ф 0. Но тогда, меняя местами жи|/, получим уравнение, у кото-
которого а ф 0. Если же а и с обращаются в нуль одновременно в какой-
либо точке, то Ъ ф 0 в окрестности этой точки. В таком случае после
деления на 2Ъ уравнение A9) уже будет иметь канонический вид B6).
Переходя к новым переменным
<^U0, B0)
приведем уравнение A9) к виду
д2й ~ д2й ^.д2и ~Л _ ди ди\ п
drf \	<9? дг\)
где в силу E)
\дх)	дхду \ду) '
Потребуем, чтобы функции ?,(х,у) и rj(x,y) обращали в нуль
коэффициенты а и с, т.е. в силу B2) удовлетворяли уравнениям
дхду \ду]
Так как а ф 0, то уравнения B3) эквивалентны линейным уравнениям
где
Ai = 	, A2 = 	, A2 — Ai = —-—, d = b2 — ac. B5)

§1.3. Классификация квазилинейных дифференциальных уравнений 49
Согласно классификации, изложенной в п. 1, возможны следую-
следующие три типа уравнений A9).
I. Гиперболический тип, если d > 0.
П. Параболический тип, если d = 0.
III. Эллиптический тип, если d < 0.
Рассмотрим отдельно все три случая.
I. Гиперболический тип, d > 0. В этом случае уравнение A9)
приводится к каноническому виду
U + Ф = 0.	B6)
Отметим, что замена переменных р = ? + 77, о = ? — г\ приводит
уравнение A9) к другому, эквивалентному, каноническому виду
do	oS>
+ ф1 = 0-	B7)
Для доказательства представления B6) установим существова-
существование хотя бы одной пары решений ?,77 уравнений B4), удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям B0). Отметим, что Ai, A2 G С2. Установим сначала связь
этих решений с характеристиками уравнения A9).
Предположим, что существуют решения уравнений B4) такие,
что grad? ф 0 и grad?7 Ф 0 в рассматриваемой окрестности. Тогда по
определению (см. п. 3) кривые
&х,у)=Си ф,у)=С2	B8)
определяют два семейства характеристик уравнения A9).
Для дальнейшего нам понадобится следующая
Лемма. Пусть функция оо(х, у) класса С2 такова, чтодоо/дуф
Ф 0. Для того чтобы семейство кривых оо(х,у) = С давало харак-
характеристики уравнения A9), необходимо и достаточно, чтобы выра-
выражение ьо{х,у) = С было общим интегралом одного из обыкновенных
дифференциальных уравнений
| = А, (*,„), ! = Аа(*>Р).	B9)
Уравнения B9) называются дифференциальными уравнениями
характеристик данного уравнения A9).
4 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

50	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
Доказательство. В силу теоремы о неявной функции уравне-
уравнение ои(х,у) = С при условии дио/ду ф 0 определяет неявную функ-
функцию у = (р(х, С), причем
dy _ dip _ I duo
~дх~
ду)'
Далее, согласно определению A6) функция uj{x,y) — С является ха-
характеристикой уравнения A9), если справедливо уравнение
C0)
т. е. если
т. е. если
т.е. когда ср(х,С) есть решение либо уравнения dy/dx = Xi(x,y),
либо уравнения dy/dx = \2(х,у). Последнее условие и означает, что
выражение ои(х,у) = С есть общий интеграл одного из указанных
дифференциальных уравнений.
На основании доказанной лем-
леммы общие интегралы уравнений B9):
?(х,у) = С\ и г)(х,у) = С2 такие, что
?,77 Е С1, д?/ду /0и дц/ду ф 0, опре-
определяют два семейства характеристик
уравнения A9). Как доказывается в об-
общей теории обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений (см. [5]), такие
Рис. 6	интегралы существуют в, возможно,
меньшей окрестности. Поскольку при
этом А; е С2, то ?,77 е С2, и в силу B9) и B5)
9
х,у/ ох ду ду ох дуду	а дуду
Таким образом, семейства характеристик B8) образуют се-
семейства координатных линий (рис. 6), и функции f;(x,y) и rj(x,y)

§1.3. Классификация квазилинейных дифференциальных уравнений 51
можно принять за новые переменные. При этом в уравнении B1) бу-
будет а = с = 0,ив силу B2) и B9)
- 6(Ai + Л2) + сЬ^тг =	1Г1Г
Разделив уравнение B1) на коэффициент 2Ъ ф О, получим уравнение
в канонической форме B6).
П. Параболический тип. Пусть d = 0 в некоторой окрест-
окрестности. Тогда уравнение A9) приводится к каноническому виду
В этом случае в силу B5) Ai = А2 = b/a G С2, так что дифферен-
дифференциальные уравнения B4) совпадают и сводятся к одному уравнению
ох а ду
Поэтому имеется одно семейство ?(ж, у) = Ci характеристик урав-
уравнения A9), определяемое в силу леммы общим интегралом уравне-
уравнения dy/dx = b/a таким, что д^/ду ф 0; при этом ? G С2. В качестве
второго семейства координатных линий выберем прямые х = G2. В
результате замена переменных
дает в силу B2) и B3)
a = 0, 6 = а-^- + 6-^- = 0, с = а.
ох оу
Разделив уравнение B1) на коэффициент с = афО, получим уравнение
в канонической форме C2).
III. Эллиптический тип, d < 0. Пусть коэффициенты а,Ь и с
уравнения A9) — аналитические функции переменных х,у в окрест-
окрестности некоторой точки (см. § 1.1, п. 1). Тогда это уравнение приво-
приводится к каноническому виду
ё+^+ф=0-	C4)

52	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
В этом случае в силу B5) коэффициенты Ai и Л2 уравнений B4)
есть аналитические функции, причем \\(х,у) = ^(х^у) при вещест-
вещественных ж, у. Из теоремы Коши—Ковалевской вытекает (см. § 1.4, п. 8
далее), что в достаточно малой окрестности существует аналитичес-
аналитическое решение uj{x,y) уравнения
? + \Л*,у№ = 0,	B4')
дх	ду
удовлетворяющее условию доо/ду ф 0. Положим
_ u(x,y) + oj(x,y)	_ oj(x,y) -u(x,y)
2	> V —	2i	;
где oo = ? — if] — функция, комплексно сопряженная с оо = ? + ir\\ она
удовлетворяет второму из уравнений B4):
— + Л2(ж,2/)—- = 0.
Функции ?, ту принадлежат С°°, и в силу C5) и C1) их якобиан отличен
от нуля:
доз
~ду~
И а ду ду
Поэтому функции ? и г) можно взять за новые переменные. Посмот-
Посмотрим, какой вид примет уравнение A9) в этих переменных. По по-
построению функция оо удовлетворяет уравнению
I ~л\ 2h——-\- ( — 1 -О
Отделяя здесь вещественную и мнимую части и пользуясь C5), полу-
полудх дх \дх ду ду дх) дуду
Принимая во внимание формулу B2), заключаем отсюда, что
а = с и 5 = 0 в переменных ?, т]. Далее, так как d < 0 и д^/ду ф 0,
то а = ? ф 0. Разделив уравнение B1) п& а = с ф 0, приведем его к
каноническому виду C4).

§1.3. Классификация квазилинейных дифференциальных уравнений 53
5. Пример. Уравнение Трикоми. Как отмечалось в п. 1,
уравнение Трикоми
д2и д2и
дх2 ду2
A2)
принадлежит к смешанному типу: при у < 0 оно гиперболического
типа, а при у > 0 — эллиптического типа, поскольку d = —у. Уравне-
Рис. 7
ние Трикоми представляет интерес для газовой динамики, причем в
области гиперболичности оно соответствует сверхзвуковому движе-
движению, а в области эллиптичности — дозвуковому движению.
При у < 0 уравнения характеристик B9) принимают вид
dy =± 1
dx	\f-~y'
Поэтому кривые (рис. 7)
2 х + л/-?/3 = Съ - ж - л/-?/3 = Сг
являются характеристиками уравнения Трикоми. Преобразование
<з	/	^	о	i	т
приводит уравнение Трикоми к каноническому виду
92й	1 (ди ди"
Если же ^/ > 0, то в соответствии с рассуждениями из п. 4
= -х-гл/у

54	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
и подстановка типа C5)
приводит уравнение Трикоми к каноническому виду
д2и д2и 1 ди
д?2 дг]2 377 drj
§ 1.4. Постановка основных краевых задач
для линейных дифференциальных уравнений
второго порядка
В этом параграфе мы сформулируем математические модели
для ряда характерных физических процессов, которые сводятся к
различным краевым задачам для линейных дифференциальных урав-
уравнений второго порядка.
1. Классификация краевых задач. Как было показано в
§ 1.2, линейное дифференциальное уравнение второго порядка
д2и
di(d) -qu + F(x,t)	A)
описывает процессы колебаний, уравнение
ди
р — = div(p grad и) — qu + F(x, t)	B)
О L
описывает процессы диффузии и, наконец, уравнение
+ qu = F(x)	C)
описывает соответствующие стационарные процессы.
Пусть G С W1 — область, где происходит процесс, и S — ее
граница, которую считаем кусочно гладкой поверхностью. Таким об-
образом, G есть область изменения аргументов х в уравнении C) — об-
область задания уравнения C). Областью задания уравнений A) и B)
будем считать цилиндр Цт = G х (О, Т) высоты Т с основанием G. Его
граница состоит из боковой поверхности S х [О, Т] и двух оснований:
нижнего G х {0} и верхнего G х {Т} (рис. 8).
Будем предполагать, что коэффициенты р, р и q уравнений A)-
C) не зависят от времени ?; далее в соответствии с их физическим
смыслом будем считать, что р{х) > 0, р{х) > 0, q{x) ^ 0 при х G G. На-

§1.4- Постановка основных краевых задач
55
цТ
Рис. 8
конец, в соответствии с математическим смыслом уравнений A)-C)
необходимо считать, что р е C(G), p G CX(G) и q e C(G).
При этих предположениях согласно классификации § 1.3 урав-
уравнение колебаний A) — уравнение гиперболического типа, уравне-
уравнение диффузии B) — параболического
типа и стационарное уравнение C) —
эллиптического типа. Таким образом,
различие в типах рассматриваемых урав-
уравнений тесно связано с различием физи-
физических процессов, описываемых этими
уравнениями.
Как отмечалось в § 1.2, чтобы пол-
полностью описать тот или иной физический
процесс, необходимо, кроме самого урав-
уравнения, описывающего этот процесс, за-
задать начальное состояние этого процесса
(начальные условия) и режим на границе
той области, в которой происходит этот
процесс (граничные условия). Математи-
Математически это связанно с неединственностью решения дифференциальных
уравнений. Действительно, даже для обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений n-го порядка общее решение зависит от п произволь-
произвольных постоянных. Для уравнений же в частных производных решение,
вообще говоря, зависит от произвольных функций; например, общее
решение уравнения ди/дх = 0 в классе функций, зависящих от двух
переменных ж, у, имеет вид и(х, у) = /(?/), где / — произвольная функ-
функция класса С2. Поэтому чтобы выделить решение, описывающее ре-
реальный физический процесс, необходимо задавать дополнительные
условия. Такими дополнительными условиями и являются краевые
условия: начальные и граничные условия. Соответствующая задача
называется краевой задачей. Различают, таким образом, следующие
три основных типа краевых задач для дифференциальных уравнений.
а)	Задача Коти для уравнений гиперболического и параболи-
параболического типов: задаются начальные условия, область G совпадает со
всем пространством Мп, граничные условия отсутствуют.
б)	Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задают-
задаются граничные условия на границе 5, начальные условия, естественно,
отсутствуют.
в)	Смешанная задача для уравнений гиперболического и па-
параболического типов: задаются и начальные, и граничные условия,

56	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
Опишем подробнее постановку каждой из перечисленных крае-
краевых задач для рассматриваемых уравнений A)-C).
2. Задача Коши. Для уравнения колебаний A) (гиперболи-
(гиперболический тип) задача Коши ставится следующим образом: найти функ-
функцию u(x,t) класса C2(t > 0) DC1(t ^ 0), удовлетворяющую уравне-
уравнению A) в полупространстве t > 0 и начальным условиям при t = +0
—
= щ(х).	D)
t=0
При этом необходимо, чтобы F е C(t > 0), и0 е С1^), щ е C(Rn).
Для уравнения диффузии B) (параболический тип) задача Коши
ставится так: найти функцию u(x,t) класса C2{t > 0) f)C(t ^ 0), удов-
удовлетворяющую уравнению B) в полупространстве t > 0 и начальному
условию при t = +0
При этом необходимо, чтобы F G C(t > 0), щ G
Приведенная постановка задачи Коши допускает следующее
обобщение. Даны квазилинейное дифференциальное уравнение вто-
второго порядка гиперболического типа
д2и х~^	д2и х~^ д2и	(	ди	ди ди\
, I/, U/,	, . . . ,	,	I ,
iUJbj		vjbivu	у	С/Ж1	OXn Ui J
vij — -¦-	2^1
F)
кусочно гладкая поверхность Е = {t = cr(x)} и функции ixo и wi на S
(данные Коши). Задача Коши для уравнения F) состоит в нахожде-
нахождении решения u(x,t), определенного в некоторой части области t >
> (т(х), примыкающей к поверхности Е, и удовлетворяющего на Е
краевым условиям
ди
= «1,	G)
Е
где п — нормаль к Е, направленная в сторону возрастающих t
(рис.9).
В задаче Коши F), G) важно, что поверхность Е ни в одной
точке не касается характеристической поверхности (см. §1.3, п. 3)
уравнения F). В противном случае задача Коши может или вовсе не
иметь решения, или иметь неединственное решение.

§1.4- Постановка основных краевых задач
57
Для доказательства сказанного приведем
Пример. Рассмотрим задачу Коши для уравнения uxt = 0 с дан-
данными на характеристике t = 0:
u\t=o = uo(x), ut\t=o = ui(x)-
Если решение поставленной задачи существует, то из уравнения
и второго начального условия вытекает необходимое условие разре-
х
у
/ \
t >
К
\
\ .
/ \
\ >
у
У
х
—^
\ /
\/
/\
fjn \
\ /
\/
А
\ /
\/
\/
А
/ \
>
1
1
Рис. 9
шимости и[(х) = 0. Таким образом, решение задачи может сущест-
существовать лишь в случае щ(х) = const = а. При этом если щ G С2, то
решение действительно существует и, как легко убедится, дается
формулой
и(х, t) = щ(х) + at + с(?),
где с(?) — любая функция класса C2(t ^ 0) удовлетворяющая услови-
условиям с@) = с;@) = 0. Решение не единственно.
3. Краевая задача для уравнении эллиптического типа.
Краевая задача для уравнения C) (эллиптический тип) состоит в на-
нахождении функции и{х) класса C2{G) DC1(G), удовлетворяющей в об-
области G уравнению C) и граничному условию на S вида
аи
-
= v,
A4)
где а, /3 и v — заданные кусочно непрерывные функции на 5, при-
чем а ^ 0, Р ^ 0, а + /3 > 0.
Выделяют следующие типы граничных условий A4):
граничные условия I рода (а = 1, /3 = 0)
u\s =
A5)

58	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
граничные условия II рода (а = 0, /3 = 1)
ди
дп s
l;	A6)
граничные условия III рода (/3 = 1, а ^ 0)
—	Ь au\q = U2-	A7)
Соответствующие краевые задачи называются краевыми зада-
задачами I, II и III рода.
Для уравнений Лапласа и Пуассона (см. § 1.2, п. 3) краевая зада-
задача I рода
Аи = -/, u\s = щ	A8)
называется задачей Дирихле, а краевая задача II рода
Агг - /, дп ^ - Ul	[W)
называется задачей Неймана.
Аналогично ставятся краевые задачи для уравнения C) и во
внешности ограниченной области G (внешние краевые задачи). От-
Отличие состоит в том, что, помимо граничного условия A4) на 5, за-
задаются еще условия на бесконечности. Такими условиями, например,
могут быть: условия излучения Зоммерфельда B2) из § 1.2 для урав-
уравнения Гельмгольца или Шрёдингера (см. § 1.2); условия вида
и(х) = 0A) или и(х) = оA), |ж| —у оо,	B0)
для уравнения Пуассона; принадлежность ф к /^(М ) для собствен-
собственных функций уравнения Шрёдингера D0) из § 1.2 и другие.
4. Смешанная задача. Для уравнения колебаний A) (гипер-
(гиперболический тип) смешанная задача ставится следующим образом:
найти функцию u(x,t) класса С2(Цт) П С1 (Цт), удовлетворяющую
уравнению A) в цилиндре Цт, начальным условиям D) при t = 0, х G
G G (на нижнем основании цилиндра Цт) и граничному условию
аи + р —
дп
= v	A4')
s

§1.4- Постановка основных краевых задач	59
(на боковой поверхности цилиндра Цт)- При этом необходимо долж-
должны быть выполнены условия гладкости
F е С(ЦТ), и0 е CX(G), Щ е C(G), veC(Sx [0,Г])
и условие согласованности
—-
дп
= Ч=о ¦	B1)
s
Аналогично для уравнения диффузии B) (параболический тип)
смешанная задача ставится так: найти функцию u(x,i) класса
С2(Цт) Г\С(Цт), gr&dxu Е С(Цт), удовлетворяющую уравнению B)
в Цт, начальному условию E) и граничному условию A4).
Замечание. Решения поставленных краевых задач с глад-
гладкостью С1 вплоть до границы области задания уравнения существуют
не всегда. Поэтому иногда приходится отказываться от требования
такой гладкости и требовать, например, чтобы решение было только
непрерывным вплоть до границы области. Эта постановка является
естественной в задачах, не содержащих первых производных в крае-
краевых условиях, например, для уравнений B) и C) с граничным услови-
условием I рода. Если же в краевые условия входят первые производные, то
в каждом конкретном случае необходимо указывать, в каком смысле
должны быть выполнены эти краевые условия. Например, для сме-
смешанной задачи для уравнения A) выполнения второго из начальных
условий D) можно требовать в смысле /^(G):
ди
0, t^ +0.	B2)
Для задачи Неймана для уравнения Лапласа выполнения граничного
условия A6) можно требовать в следующем смысле:
ди(х')
ov J 4щ(а;), xeS, x'^x, x'eG, x' G -nx.	B3)
dnx
5. Другие краевые задачи. Сформулируем еще две краевые
задачи, часто встречающиеся в математической физике.
а) Задача Гурса. Пусть дано линейное дифференциальное урав-
уравнение гиперболического типа с двумя независимыми переменными в
каноническом виде (см. § 1.3, п. 4)
д2и ди ди
дхду дх ду

60
Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
с непрерывными коэффициентами а, Ъ и с в замкнутом прямоуголь-
прямоугольнике П, П = @,ж0) х @,2/0).	_
Требуется найти функцию и(х,у) класса С1(П) П С(П), гаЖ2/ G
Е С(П), удовлетворяющую уравнению B4) в прямоугольнике П и при-
принимающую на его сторонах у = 0, 0 ^ ж ^ жо и ж = 0, 0 ^ у ^ уо
(рис. 10) заданные значения
B5)
При этом должны быть выполнены
условия гладкости
/еС(П),
Рис. 10
и условие согласованности
Отметим, что в задаче Гурса задается одно краевое условие на
двух пересекающихся характеристиках уравнения B4).
б) Задача Трикоми для уравнения Чаплыгина. Уравнение Чап-
Чаплыгина имеет вид
„, ,д2и д2и
где
и0
К@) = 0, К1 (у) > 0, у^О.
При К (у) —у уравнение B6) превращается в уравнение Трико-
Трикоми (см. § 1.3, п. 5).
Пусть односвязная область G в
плоскости (ж, у) разделена параболи-
параболической линией у = 0 уравнения Три-
Трикоми на две части: эллиптическую
G±(y > 0) и гиперболическую G^y <
< 0). Предположим, что область G\ в
у > 0 ограничена кусочно гладкой кри-
кривой So, которая оканчивается в точ-
точках х\ и Ж2, х\ < Х2, на оси ж, а
область (?2 в у < 0 ограничена двумя
пересекающимися характеристиками
1.3, п. 5), проходящими соответствен-
соответственРис. 11
Si и S2 уравнения B6) (ср.
но через точки х\ и Ж2 на оси ж (рис. 11).

§1.4- Постановка основных краевых задач	61
Требуется найти функцию и(х,у) класса C2(Gi U G2) П CX(G) П
flC(G), удовлетворящую уравнению B6) в областях G\ и G2 и прини-
принимающую на дуге So и на одной из характеристик, например, на Si,
заданные значения
u\Sq = uOj u\Si = if.	B7)
При этом необходимо, чтобы щ Е С (So), tp G С (Si) и uo(xi) = ip(xi).
6. Корректность постановок задач математической фи-
физики. Так как задачи математической физики представляют собой
математические модели реальных физических процессов, то их пос-
постановки должны удовлетворять следующим естественным требова-
требованиям.
а)	Решение должно существовать в каком-либо классе функ-
функций Adi.
б)	Решение должно быть единственным в каком-либо классе
функций М-2-
в)	Решение должно непрерывно зависеть от данных задачи (на-
(начальных и граничных данных, свободного члена, коэффициентов
уравнения и т. д.).
Непрерывная зависимость решения и от данных задачи D озна-
означает следующее: пусть последовательность данных D/,, к = 1, 2,..., в
каком-то смысле стремится к D, к —>- оо, иг^, & = 1,2,..., — соот-
соответствующие решения задачи; тогда должно быть Uk —> и, к —> оо
в смысле надлежащим образом выбранной сходимости. Например,
пусть задача приводится к уравнению Lu = F, где L — линейный опе-
оператор, переводящий Ad в Л/', где Ad и N — линейные нормированные
пространства. В этом случае непрерывная зависимость решения и
от свободного члена F будет обеспечена, если оператор L сущест-
существует и ограничен из N в Ad (см. §1.1, пп.8,9). Требование непре-
непрерывной зависимости решения обусловливается тем обстоятельством,
что физические данные, как правило, определяются из эксперимента
приближению, и поэтому нужно быть уверенным в том, что решение
задачи в рамках выбранной математической модели не будет сущест-
существенно зависеть от погрешностей измерений.
Задача, удовлетворяющая перечисленным требованиям, назы-
называется корректно поставленной (по Адамару), а множество функ-
функций ,A/fin.A/f2 называется классом корректности. Задача, не удовлет-
удовлетворяющая хотя бы одному из условий а)-в), называется некорректно
поставленной.
К некорректно поставленным задачам часто приводят обрат-
обратные задачи математической физики: по некоторой информации о

62	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
решении прямой задачи восстановить некоторые неизвестные физи-
физические величины, определяющие эту задачу (источники, краевые ус-
условия, коэффициенты уравнения и т. д.).
В этой книге мы устанавливаем корректность поставленных ос-
основных краевых задач для линейных дифференциальных уравнений
второго порядка в том или ином классе, а также изучаем качествен-
качественные свойства решений и методы построения (точных или приближен-
приближенных) решений этих задач.
7. Теорема Коши—Ковалевской. В этом пункте мы выде-
выделим довольно общий класс задач Коши, для которых решение сущест-
существует и единственно. Прежде всего введем определение (мы используем
обозначения, введенные в § 1.1, пп. 1,2).
Система N дифференциальных уравнений с N неизвестными
ФУНКЦИЯМИ U\ , U2 , • • •, Ujy
^^ = Ф^х,^,^1,^2,...,^,...,^°а>,-,...), г = 1,2,. ..,7V, B8)
называется нормальной относительно переменной ?, если правые час-
части Ф1 не содержат производных порядка выше ki и производных по t
порядка выше ki — 1, т. е.
а0 + ai + ... + ап ^ ki, а0 ^ к{ - 1.
Например, волновое уравнение, уравнение Лапласа и уравнение
теплопроводности нормальны относительно каждой переменной х;
волновое уравнение, кроме того, нормально относительно t.
Для нормальной относительно t системы уравнений B8) поста-
поставим следующую задачу Коши: найти решение г&1, г&2, • • •, ujy этой сис-
системы, удовлетворяющее начальным условиям при t = to
дкщ
dtk
= <pik(x), к = 0,1, ...Л - 1, г = 1,2, ...,7V, B9)
t=t0
где ifik (x) — заданные функции в некоторой области G С W1.
Теорема Коши-Ковалевской. Если все функции (fik(x) ана-
литичны в некоторой окрестности точки хо и все функции
Фг(х,г,...,щаоа1...ап,...) аналитичны в некоторой окрестности
точки
то задача Коши B8), B9) имеет аналитическое решение в некото-
некоторой окрестности точки (жо,?о), и пРитом единственное в классе
аналитических функций.

§1.4- Постановка основных краевых задач	63
Приведем идею доказательства. Решение и\, 1x2,..., ujy в окрест-
окрестности точки (жо,?о) иЩется в виде степенных рядов
C0)
Из начальных условиях B9) и из уравнений B8) последователь-
последовательно определяются все производные d^°d^Ui в точке (жо,?о). Доказы-
вается равномерная сходимость рядов C0) в некоторой окрестности
точки (жо,?о). Единственность построенного решения в классе ана-
аналитических функций следует из теоремы единственности для анали-
аналитических функций.
8. Пример Адамара. Теорема Коши-Ковалевской, несмотря
на ее общий характер, полностью не решает вопроса корректности
постановки задачи Коши для нормальной системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Действительно, эта теорема гарантирует существо-
существование и единственность решения лишь в достаточно малой окрест-
окрестности, или, как говорят, в малом; обычно же эти факты требуется
установить в наперед заданных (и отнюдь не малых) областях, или,
как говорят, в целом. Далее, начальные данные и свободный член
уравнения, как правило, оказываются неаналитическими функция-
функциями. Наконец, может вовсе не быть непрерывной зависимости решения
от начальных данных Это показывает пример, впервые построенный
Адамаром.
Решение задачи Коши
т
ut\t=o = т sin fear
для уравнения Лапласа
д2и д2и
есть
/	shkt
Uk{x,t) = —— sin fear.
Если к —У +оо, то ^ sin кх =4 0 по ж; тем не менее при х ф jtt,
, ч shkt
ик (ж, t) = —^— sm кх -» 0, к —у оо.
к1

64	Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
Таким образом, задача Коши для уравнения Лапласа поставлена
некорректно (в смысле определения из п. 6).
9. Классические и обобщенные решения. Изложенные в
предыдущих пунктах постановки задач характеризуется тем, что ре-
решения их предполагаются достаточно гладкими и они должны удов-
удовлетворять уравнению в каждой точке области задания этого уравне-
уравнения. Такие решения мы будем называть классическими, а постановку
соответствующей краевой задачи — классической постановкой.
Таким образом, классические постановки задач уже предпола-
предполагают достаточную гладкость входящих в задачу данных. Однако в
наиболее интересных задачах эти данные могут иметь довольно силь-
сильные особенности. Поэтому для таких задач классические постановки
уже оказываются недостаточными. Чтобы поставить такие задачи,
приходится отказываться (частично или полностью) от требований
гладкости решения в области или вплоть до границы, вводить так на-
называемые обобщенные решения. Но тогда встает вопрос о том, какие
функции можно называть решениями уравнения. Чтобы сделать это,
необходимо существенно обобщить понятие производной и вообще
понятие функции, т.е. ввести так называемые обобщенные функции.
Изучению этого вопроса целиком посвящается следующая глава.

Глава II
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Возникновение обобщенных функций связано с именами мно-
многих математиков и физиков. Простейшая обобщенная функция —
знаменитая ^-функция — использовалась Д. Максвеллом A873 г.) в
работах по электродинамике, О. Хевисайдом A899г.) — в работах
по операционному исчислению, П. Дираком A926 г.) — в работах по
квантовой механике. Ненапрасно ^-функция носит имя Дирака. Ос-
Основы математической теории обобщенных функций были заложены
С. Л. Соболевым A939г.) и Л. Шварцем A950г.). В дальнейшем
теория обобщенных функций интенсивно развивалась многими мате-
математиками. Быстрое развитие теории обобщенных функций стимули-
стимулировалось главным образом потребностями математической физики, в
особенности теории дифференциальных уравнений и квантовой физи-
физики. В настоящее время теория обобщенных функций далеко продвину-
продвинута вперед, имеет многочисленные применения в физике и математике
и прочно вошла в обиход математиков, физиков и инженеров.
§2.1. Основные и обобщенные функции
1. Введение. Обобщенная функция является расширением
классического понятия функции. Это обобщение, с одной стороны,
дает возможность выразить в математической форме такие идеали-
идеализированные понятия, как, например, плотность простого или двой-
двойного слоя, интенсивность мгновенного точечного источника, интен-
интенсивность силы, приложенной в точке, и т. д. С другой стороны, в
понятии обобщенной функции находит отражение тот факт, что ре-
реально нельзя, например, знать плотность вещества в точке, а можно
измерить лишь его среднюю плотность в достаточно малой окрест-
окрестности этой точки и объявить ее плотностью в данной точке; грубо
говоря, обобщенная функция определяется своими «средними значе-
значениями» в окрестностях каждой точки.
5 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

66	Гл. П. Обобщенные функции
Чтобы пояснить сказанное, попытаемся определить плотность,
создаваемую материальной точкой массы 1. Считаем, что эта точка
находится в начале координат.
Чтобы определить эту плотность, распределим массу 1 равно-
равномерно внутри шара U?. В результате получим среднюю плотность
о,
х\ < г,
х\ > е.
Примем сначала в качестве искомой плотности (мы ее обозна-
обозначим через 8{х)) поточечный предел последовательности средних плот-
плотностей f?(x) при г —У 0, т.е.
ХГ \	V *( \	/+00' еСЛИ Х = 0'	/14
8(x) = \\mfe(x) = \	A)
г-ю	10, если х ф 0.
От плотности S естественно требовать, чтобы интеграл от нее по
любому объему V давал массу вещества, заключенного в этом объеме,
т. е.
1, если 0 G У,
I
S(x) dx = ,
v	[0, если О^У.
Но в силу A) интеграл слева всегда равен нулю. Полученное противо-
противоречие показывает, что поточечный предел последовательности f?(x),
г —У 0, не может быть принят в качестве плотности 6(х).
Вычислим теперь слабый предел последовательности функций
f?(x), г —У 0, т. е. для каждой фиксированной непрерывной функции ср
найдем предел числовой последовательности / f?(x)(p(x) dx при г —У 0
(см. §1.1, п. 8). Покажем, что
lim / f?(x)(p(x)dx =
Действительно, в силу непрерывности функции (р(х) для любо-
любого г) > 0 существует такое го > 05 что \(р(х) — (р@)\ < rj, коль скоро |
< го (см. [2]). Отсюда при всех г ^ го получаем
fe(x)<p(x)dx-<p@)
x\<?
[ф) - у>@)] dx
?
J\X\<?

§2.1. Основные и обобщенные функции	67
что и утверждалось.
Таким образом, слабым пределом последовательности функций
f?(x), е —У 0, является функционал, сопоставляющий каждой непре-
непрерывной функции if(x) число ip@) — ее значение в точке 0. Вот этот-то
функционал и принимается за определение плотности 6(х); это и есть
известная 6-функция Дирака.
Итак, f?(x) —У 6(х), г —У 0, в том смысле, что для любой непре-
непрерывной функции if(x) справедливо предельное соотношение
f?(x)if(x)dx -+F,<p), e^ 0,
где символ F, if) обозначает число ip@) — значение функционала 6
на функции if.
Чтобы восстановить теперь полную массу, нужно подейство-
подействовать функционалом (плотностью) 6(х) на функцию if(x) = 1: F,1) =
= 1@) = 1.
Если в точке х = 0 сосредоточена масса т, то соответствующую
плотность следует считать равной тб. Если масса т сосредоточена
в точке жо, то ее плотность естественно считать равной т6(х — хо),
где (т6(х — хо),ср(х)) = гтр(хо). И вообще, если в различных точ-
точках Xk сосредоточены массы т/., к = 1, 2,..., N, то соответствующая
плотность равна
N
к=1
Таким образом, плотность, создаваемая материальными точка-
точками, не может быть описана в рамках классического понятия функции,
и для ее описания следует привлекать объекты более общей математи-
математической природы — линейные непрерывные функционалы (обобщен-
(обобщенные функции).
2. Пространство основных функции Х>. Уже на приме-
примере й-функции видно, что она определяется посредством непрерыв-
непрерывных функций как линейный непрерывный функционал на этих функ-
функциях (см. §1.1, п. 8). Непрерывные функции, как говорят, являются
основными функциями для E-функции. Эта точка зрения и берется за
основу определения произвольной обобщенной функции как линей-
линейного непрерывного функционала на пространстве достаточно «хоро-
«хороших» (основных) функций. Ясно, что чем уже пространство основных
функций, тем больше существует линейных непрерывных функциона-
функционалов на нем. С другой стороны, запас основных функций должен быть

68
Гл. П. Обобщенные функции
достаточно велик. В этом пункте мы введем важное пространство
основных функций V.
Отнесем ко множеству основных функцийD = Т)(Жп) все финит-
финитные бесконечно дифференцируемые в Жп функции. Сходимость в D оп-
определим следующим образом. Последовательность функций <pi, <^2 ? • • •
из V сходится к функции ip из V, если: а) существует такое чис-
число R > О, что sptpk С Ur; б) при каждом а = («1,^2, •••¦)ап)
х е
к —У оо.
В этом случае будем писать: ip^ —у ip в V, к —У оо.
Линейное множество V с введенной в нем сходимостью называ-
называется пространством основных функций V.
Операция дифференцирования (р(х) \-У д^ср(х) непрерывна из V
bV.	_
Действительно, если срк —У 0 в Т>, к —У оо, то: a) sptcpk С Ur при
некотором R > 0 и всех к = 1,2,...; б) при каждом а
арк(х)^О, xGln, к ^оо.
С Ur для всех & = 1, 2,...; б) при каждом а
^0, xGln, к -> оо,
сое(х>
Тогда: a)
а это в силу определения сходимости в 2) означает, что д^срк —У О
в D, ^ -)• оо. Это и значит, что
оператор <9^ непрерывен из ?>
bD (см. §1.1, п. 8).
Аналогично, операции
неособенной линейной замены
переменных ср(х) \-У (р(Ах + Ь) и
умножения на функцию а(х) G
G С°°(МП), <р(ж) ^ а(х)ф),
непрерывны из V в V.
Совокупность основных
функций, носители которых
содержатся в данной области G,
обозначим через T>(G); таким
образом,
Рис. 12
V(G) CD(En) =V.
В связи с приведенным определением возникает вопрос: сущест-
существуют ли основные функции, отличные от тождественного нуля? Яс-

§2.1. Основные и обобщенные функции
69
но, что такие функции не могут быть аналитическими в W1 (см.
§1.1, п. 1). Примером основной функции, отличной от нулевой, яв-
является «шапочка» (рис. 12)
\х\ < е,
О,
Постоянную Се выберем так, чтобы / to?(x)dx = 1, т.е.
Легко поверить, что
—
Следующая лемма дает другие многочисленные примеры основ-
основных функций.
Лемма. Для любой области G и любого числа г > 0 существу-
существует функция r\ G С°°(МП) такая, что
О ^ rj(x) ^ 1; rj(x) = 1 при х G G?; rj(x) = 0 при х ? G%?.
(График функции rj(x) при G = (а, Ь) изображен на рис. 13.)
а-Зе а-еа
Ъ Ь+г b+Зг х
Рис. 13
Рис. 14
Доказательство. Пусть х(х) — характеристическая функция
множества G^e (т.е. х(х) = 1, ж G G^e и х(х) = 0, ж ^ G^e)- Тогда
функция
'nix) = / xiy)ueix-y)dy

70	Гл. П. Обобщенные функции
обладает требуемыми свойствами. Действительно, так как ио? Е Т>,
0 ^ ш?(х), sptou? = U?, / со?(х) dx = 1, то (рис. 14)
ф)= f oo?(x-y)dyeCOG(Wl);
JG2?
О^ф) ^ fue(x-y)dy = l, хеЖп.
Далее, если х G Gve и \х — у\ < е, то у = х -\- у — xG G^e-, и, стало
быть, х(у) = 1? если же х ^ G%? и \х — у\ < е, то у = х -\- у — х ^ G^e-,
и, стало быть, х(у) = 0- Поэтому
l-ue(x-y)dy=
Лемма доказана.
Из доказанной леммы вытекает
Следствие. Если область G ограничена и G' (e G, то сущест-
существует функция r\ G T>(G) такая, что 0 ^ г\ ^ 1 г/ 7у(ж) eI, xgG'.
Можно показать, что запас основных функций достаточно ве-
велик. Например, множество T>(G) плотно в C2{G) (см § 1.1, п. 5).
3. Пространство обобщенных функции D'. Обобщенной
функцией называется всякий линейный непрерывный функционал на
пространстве основных функций 7). В соответствии с обозначениями
§ 1.1, п. 8 значение функционала (обобщенной функции) / на основной
функции ер будем записывать (/, ср). Обобщенную функцию / будем
также формально записывать в виде /(ж), подразумеваемая под х
аргумент основных функций, на которые действует функционал /.
Расшифруем определение обобщенной функции /.
1)	Обобщенная функция / есть функционал на Т>, т. е. каждой
основной функции if G V сопоставляется (комплексное) число (/, ср).
2)	Обобщенная функция / есть линейный функционал на Т>, т. е.
если (^^gPh A,/i — комплексные числа, то
3) Обобщенная функция / есть непрерывный функционал на V,
т. е. если ерь —У 0 в Т>, к —У оо, то (/, cpk) —У 0, к —У оо.

§2.1. Основные и обобщенные функции	71
Обозначим через V = V'(W) множество всех обобщенных
функций.
Множество D1 линейное, если линейную комбинацию А/ + \±д об-
обобщенных функций / и д определить как функционал, действующий
по формуле
(А/ + fig, if) = Л(/, if) + fi(g, ip), (peV.
Проверим, что функционал А/ + \ig линейный и непрерывный
на Т>, т. е. принадлежит V. Действительно, если аи C — комплексные
числа, то по определению
(А/ + fig, а<р + (Зф) = Л(/, а<р + (Зф) + fi(g, а<р + (Зф) =
, ф) + »(д, if)} + /3[\(f, ф) + /i(^, ^)] =
= а(А/ + /i^, у?) + ^(А/ + ^, ф),
и потому этот функционал линейный. Непрерывность его следует из
непрерывности функционалов / и д: если cpk —У 0 в Т>, к —> оо, то
(А/ + /i^, (рк) = А(/, у?Л) + fi(g, (рк) -^ 0, fe ->> оо.
Определим сходимость в Х^ как слабую сходимость последо-
последовательности функционалов (см. § 1.1, п. 8): последовательность обоб-
обобщенных функций /i, /2,... из V сходится к обобщенной функции / G
G Р7, если для любой ip G V числовая последовательность (fk,p) схо-
сходится к (/, ф), к —у оо. В этом случае мы будем писать Д-^/вР',^
—У оо. Линейное множество Р; с введенной в нем сходимостью назы-
называется пространством обобщенных функций V.
Замечание. Линейные функционалы на V не обязательно долж-
должны быть непрерывными на V. Однако в явном виде не построено ни
одного линейного разрывного функционала на V; можно только тео-
теоретически доказать их существование, используя аксиому выбора.
Весьма важным является свойство полноты пространства Т)'.
Теорема. Пусть последовательность /ь/г,... из V такова,
что для каждой ip G V числовая последовательность (fk,(f) сходит-
сходится при к —У оо. Тогда функционал / на V, определенный равенством
также является линейным и непрерывным на V, т. е. / G V.
Мы не будем доказывать эту теорему. Заинтересованный чита-
читатель может найти доказательство ее в книге [1].

72
Гл. П. Обобщенные функции
4. Носитель обобщенной функции. Обобщенные функции,
вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее
можно говорить об обращении в нуль обобщенной функции в области.
Говорят, что обобщенная функция / равна нулю в области G,
если (f,(f) = 0 для всех ср Е D(G). Этот факт будем записывать так:
f = 0, х Е G, или /(ж) = 0, х Е G. В соответствии с этим определе-
определением обобщенные функции / и д называются равными в области G,
если / — д = 0, х Е G; при этом пишем: / = д, х Е G. В частности,
обобщенные функции / и д называются равными (/ = д), если (/, ср) =
= (д, if) для всех ср G W1.
Пусть обобщенная функция / равна нулю в области G. Тогда
она, очевидно, равна нулю и в окрестности каждой точки этой об-
области. Справедливо и обратное.
Лемма. Если обобщенная функция f равна нулю в окрестности
каждой точки области G, то она равна нулю во всей области G.
Доказательство. Сделанное выше замечание позволяет
нам считать окрестности шарами.
Нужно доказать, что (/, ф) = 0 для
всех ср G T>(G). Фиксируем какую-
либо функцию ср из T>(G). Компакт
spt cp содержится в области G. По-
Поэтому по лемме Гейне-Бореля (см.
§ 1.1, п. 1) spt cp можно покрыть ко-
конечным числом шаров U(xk\ rк), к =
= 1,2,..., JV(<p), в которых / равна
нулю. Возьмем уменьшенные шары
и(хк',г'к), г'к < г к, все еще покры-
покрывающие spty? (рис.15). По следствию из леммы из п. 2 существуют
основные функции hk(x) такие, что
Рис> 15
hk(x) = 1,
Положим
х е и{хк',г'к),
С 17(хк;гк).
N
По построению h(x) ^ 1 в окрестности spt ср. Поэтому
N
<р(х) =
к=1

§2.1. Основные и обобщенные функции	73
Отсюда
N v	N
)
k=l	k=l
Лемма доказана.
Пусть / GP'. Объединение всех окрестностей, где / = О, об-
образует открытое множество (9/, которое называется нулевым мно-
множеством обобщенной функции /. По лемме / = 0 в каждой области,
содержащейся в Of] далее, Of есть наибольшее открытое множество,
в котором / обращается в нуль. Носителем обобщенной функции f
называется дополнение Of до Жп] носитель / обозначим spt/, так
что spt / = Мп\(9/ — замкнутое множество. Если spt / — ограничен-
ограниченное множество, то обобщенная функция / называется финитной.
Из этих определений выводим:
а)	в любой области, лежащей вне spt/, обобщенная функция /
обращается в нуль, т.е.
(/,</>) = 0, (/?eD, spt /П spt у? = 0;	B)
б)	носитель / состоит из тех и только тех точек, ни в какой
окрестности которых / не обращается в нуль.
Доказанная лемма допускает следующее обобщение. Пусть / Е
Е V и G — область в W1. Тогда / индуцирует линейный функцио-
функционал fo на V{G\ действующий по формуле
(/о, ?>) = (/,?»), <ptV(G).
Функционал fa непрерывен на T>(G): если ^ -^ 0 в D, к —>- оо, и
spt(p/. С G' (е G, то (fc^k) —>¦ 0, /с —>- оо. Функционал /^ назовем
локальным элементом обобщенной функции / на G (сужение / на G).
Таким образом, всякая обобщенная функция индуцирует в каж-
каждой области свой локальный элемент. Справедливо и обратное: из вся-
всякой совокупности согласованных локальных элементов можно «скле-
«склеить» единую обобщенную функцию. Точнее, справедлива следующая
Теорема «о кусочном склеивании». Пусть семейство об-
областей {Go} покрывает Жп и для каждого а задан линейный непре-
непрерывный функционал fa на V(Ga), причем если Ga П Gp Ф 0, то fa =
= //з, х G GaHGp. Тогда существует единственная обобщенная функ-
функция /GP', имеющая обобщенные функции fa своими локальными эле-
элементами на Ga при всех а.

74	Гл. П. Обобщенные функции
5. Регулярные обобщенные функции. Простейшим при-
примером обобщенной функции является функционал, порождаемый ло-
локально интегрируемой в Жп функцией f(x) (см. § 1.1, п. 1)
(x)<p{x)dx, v>ev.	C)
Из линейности интеграла следует линейность этого функционала:
(/, Хер + fit/;) = j f(x)[\<p(x) + iul>(x)\ dx =
= \J f{x)ip{x) dx + vj /(х)ф(х) dx = A(/, ip) + /i(/, ф),
а из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла следует
его непрерывность на V:
= f(x)<pk(x)dx
JuR
если ifk —> 0 в Т>, к —У оо. Таким образом, функционал C) определяет
обобщенную функцию из V.
Обобщенные функции, определяемые локально интегрируемы-
интегрируемыми в W1 функциями по формуле C), называются регулярными обоб-
обобщенными функциями. Остальные обобщенные функции называются
сингулярными обобщенными функциями.
Далее нам понадобится следующая
Лемма (Дюбуа-Реймон). Для того чтобы локально интегри-
интегрируемая в G функция f(x) обращалась в нуль в области G в смысле
обобщенных функций, необходимо и достаточно, чтобы f(x) = 0 в G.
Доказательство. Достаточность условия очевидна. Необходи-
Необходимость условия следует из основной леммы вариационного исчисления
(см. [5]).
Всякая локально интегрируемая функция в Жп определяет по
формуле C) регулярную обобщенную функцию. Из леммы Дюбуа-
Реймона следует, что всякая регулярная обобщенная функция оп-
определяется единственной локально интегрируемой в Жп функцией.
Следовательно, между локально интегрируемыми в Жп функциями
и регулярными обобщенными функциями существует взаимно одно-
однозначное соответствие. Поэтому мы будем отождествлять локально
интегрируемую функцию f(x) и порождаемую ею по формуле C) об-
обобщенную функцию — функционал (f,ip).

§2.1. Основные и обобщенные функции	75
Из леммы Дюбуа-Реймона вытекает также, что для непрерыв-
непрерывной функции f(x) носитель в смысле определения из § 1.1, п. 2 совпада-
совпадает с носителем порождаемой ею регулярной обобщенной функции C)
в смысле определения из п. 4.
Наконец, отметим, что если последовательность /&(ж), k =
= 1,2,..., локально интегрируемых функций в W1 сходится равно-
равномерно к функции /(ж) на каждом компакте, то она сходится к /(ж)
Действительно, для любой ср Е V имеем
(fk,<p)= fk(x)^p(x)dx^ f(x)(p(x)dx = (f,(p), k^oo.
Будем говорить, что обобщенная функция / принадлежит клас-
классу CP{G), / E CP{G), если в области G она совпадает с функцией jq
класса CP(G) (см. § 1.1, п. 2), т. е. для любой ip E V(G)
= / fG(x)tp(x)dx.
Если к тому же fo E CP{G), то будем говорить, что / принадлежит
классу Cp(G) (см. §1.1, п. 2).
6. Сингулярные обобщенные функции. В соответствии
с определением, данным в предыдущем пункте, сингулярную функ-
функцию нельзя отождествить ни с какой локально интегрируемой функ-
функцией. Простейшим примером сингулярной обобщенной функции яв-
является ^-функция Дирака (см. п. 1)
(8,ф) = ^@), ср Е 2).
Очевидно, S Е V, 5(х) = 0, х ф 0, так что sptS = {0}.
Докажем, что S — сингулярная обобщенная функция. Пусть,
напротив, существует локально интегрируемая в W1 функция f(x)
такая, что для любой функции ср Е V
/ f(x)ip(x)dx = (р@).	D)
Так как х\ф(х) Е V, если ip E V, то из D) вытекает
/ f(x)x1ip(x)dx = [хцр(х)]\х=0 = 0 = (x!f,<p)
при всех ip E V; здесь х\ — первая координата х. Таким образом,
локально интегрируемая в W1 функция x\f{x) равна нулю в смысле

76	Гл. П. Обобщенные функции
обобщенных функций. По лемме Дюбуа-Реймона x±f(x) = 0, и, ста-
стало быть, f(x) = 0. Но это противоречит равенству D). Полученное
противоречие доказывает сингулярность ^-функции.
Пусть оо?(х) — «шапочка» (см. п. 2). Докажем, что
и?(х)^5(х) в ?>', г^+0.	E)
Действительно, по определению сходимости в V соотноше-
соотношение E) эквивалентно равенству
lim / oj?(x)ip(x) dx = (f@), if G V.
По непрерывности функции (р(х) для любого rj > 0 существует та-
такое го > 0, что \(р(х) — ip@)\ < rj, коль скоро |ж| < Sq. Отсюда, пользуясь
свойствами «шапочки» ои?(х), при всех s ^ ?q получаем
/ и?(х)ф(х) dx - (р@) ^ / и?(х)\(р(х) - (p@)\dx < rj / u?(x) dx = 77,
что и утверждалось.
Естественным обобщением ^-функции является простой слой на
поверхности. Пусть S — кусочно гладкая поверхность и fi(x) —
непрерывная функция, определенная на S. Зададим обобщенную
функцию fi5s правилом
= / fi(x)(p(x)dS,
Js
Очевидно, fi5s G V] fi5s(x) = 0, x ^ 5, так что sptfiSs С S.
Обобщенная функция fi5s называется простым слоем на поверх-
поверхности S С ПЛОТНОСТЬЮ \1.
ЗАМЕЧАНИЕ. Локально интегрируемые функции и й-функции
описывают распределения (плотности) масс, зарядов, сил и т. д. (см.
п. 1). Поэтому обобщенные функции называются также распределе-
распределениями (Л. Шварц). Если, например, обобщенная функция / есть плот-
плотность масс или зарядов, то выражение (/, 1) есть полная масса или
заряд соответственно (если / имеет смысл на функции, тождествен-
тождественно равной 1; эта функция не принадлежит ?)); в частности, (#, 1) = 1
и (/, 1) = / f(x) dx, если / — (абсолютно) интегрируемая функция
наЕп.

§2.1. Основные и обобщенные
77
1
7. Формулы Сохоцкого. Введем линейный функционал Vjj;,
действующий по формуле
= lim
dx,
Докажем непрерывность этого функционала на V. Пусть ср^ —у О
в V, к -у оо, т.е. срк(х) = 0, |ж| > R и da(pk(x) =4 0, fc ->• оо. Тогда
Vp
2R max |^
0, fc ^ оо.
Таким образом, т\ G Х>'.
Обобщенная функция Р^- совпадает (в смысле п. 5) с функ-
функцией 1/х при ж /0. Она называется конечной частью или главным
значением интеграла от 1/ж.
Установим теперь равенство
lim / ^- dx = -гтпр(О) + Vp / ^ da;, ^ G Р.
е^+оу x + is	x J	J х
Действительно, если (р(х) = 0 при |ж| > Л, то
/(п(х^) Г х	is
	dx = lim / —	 (fix) dx =
x + is e^+o J_R x2 +s2 y
F)
— is
dx =
-r
- dx.
= -г7гу?@) + Vp
Соотношение (б) означает, что существует предел последова-
последовательности 1/(х + is) в V, s —> +0, который мы обозначим 1/(х + гО),

78	Гл. П. Обобщенные функции
и этот предел равен — т8(х) Л-V^. Итак,
1 =-m6(x)+V-.	G)
ж + гО	ч ' х
Аналогично,
—!—=ш6(х)+Г-.	(Г)
х — гО	х
Формулы G) и G') называются формулами Сохоцкого A873 г.).
Они широко используются, например, в квантовой физике.
8. Линейная замена переменных в обобщенных функци-
функциях. Пусть f(x) — локально интегрируемая в Жп функция и х = Ау +
+ 6, det А ф 0, — неособенное линейное преобразование пространст-
пространства Жп на себя. Тогда для любой ср G V получим
(f(Ay + Ь)МУ)) = I f(Ay + Ь)<р(у) dy =
Это равенство мы и примем за определение обобщенной функции
f(Ay + b) для любой /(ж) е V:
Так как операция ц>(х) —У (р[А~г(х — Ь)] линейна и непрерывна из V
в V (см. п. 2), то функционал f(Ay + 6), определяемый правой частью
равенства (8), принадлежит V.
В частности, если А — вращение, т. е. А' = А, и Ъ = 0, то
если А — подобие (с отражением при с < 0), А = с/, с ф 0 и 6 = 0, то
а если А — /, то

§2.1. Основные и обобщенные функции	79
Обобщенная функция f(x + b) называется сдвигом обобщенной
функции f(x) на вектор Ъ. Например, 5(х — хо) — сдвиг 5(х) на век-
вектор —хо — действует по формуле
E(х - хо),<р) = E, <р(х + хо)) = ip(x0).
Изложенное позволяет определить сферически-симметричные,
центрально-симметричные, однородные, периодические, лоренц-ин-
вариантные и т. п. обобщенные функции.
Например, обобщенная функция / называется инвариантной
относительно группы Лоренца (лоренц-инвариантной), если f(Ax) =
= f(x) для всех преобразований А из группы Лоренца (т.е. для всех
линейных преобразований А в W1, сохраняющих квадратичную фор-
форму х\ -х\ - ... -xl).
Непосредственно из определения (8) вытекает, что операция ли-
линейной замены переменных линейна и непрерывна из D1 bD':
(А/ + /ig)(Ay + Ъ) = Xf(Ay + Ъ) + /ig(Ay + Ъ), f,ge V-
b)^O в V'\ к ->• оо, если /&->• 0 в V'\ к ->• оо.
9. Умножение обобщенных функции. Пусть f(x) — ло-
локально интегрируемая в W1 функция и а(х) G С°°(МП). Тогда для лю-
любой if G V справедливо равенство
(af,(p) = / a(x)f(x)(p(x)dx = (f,cup).
Это равенство мы и примем за определение произведения а/
обобщенной функции /gD'h бесконечно дифференцируемой функ-
функции а:
(af,(p) = (f,cup), ipeV.	(9)
Так как операция умножения на функцию a G С°°(МП) линейна и
непрерывна из D в D (см. п. 2), то функционал а/, определяемый
правой частью равенства (9), принадлежит D''.
Из определения (9) вытекает, что операция умножения на функ-
функцию a G С°°(МП) линейна и непрерывна из V в V:
а(Л/ + /i<?) = Л(а/) + /i(a#), /,g e V;
afk^O в V\ к -»> оо, если Д -»> 0 в Р;, fe -»> оо.

80	Гл. П. Обобщенные функции
Если / G Р', то справедливо равенство
/ = Vf,	(Ю)
где г) — любая функция класса С°°(МП), равная 1 в окрестности но-
носителя /.
Действительно, для любой ср Е V носители / и A — rj)cp не имеют
общих точек, а потому в силу B)
(/ " rifM = (/, A - V)<p) = 0.
Примеры.
а)	а{х)8{х) = а@)8(х), так как при всех ср Е V
(a6,ip) = F,aip) = a@)ip@) = (a@N,ip).
б)	xVtj; = 1, так как при всех ср G V(M})
=Vp J ?^dx = J<p(x)dx = A,<р).
Возникает вопрос: нельзя ли определить произведение любых
обобщенных функций так, чтобы это произведение опять было об-
обобщенной функцией? Отметим, что произведение двух локально ин-
интегрируемых функций не обязательно должно быть локально интег-
интегрируемым (например, (|ж|~1//2J = |x|-1 в Ж1). Подобное имеет место
и для обобщенных функций: Л. Шварц показал, что на множестве
всех обобщенных функций нельзя определить произведение, которое
было бы ассоциативно и коммутативно. Действительно, если бы оно
существовало, то, пользуясь примерами а) и б), мы имели бы проти-
противоречивую цепочку равенств:
0 = 0V- = (xS(x))V- = 6(х) (хТ-\ = 6(х).
X	X	\ XJ
Чтобы определить однозначно произведение обобщенных функ-
функций / и д, достаточно, чтобы они обладали, грубо говоря, сле-
следующими свойствами: насколько / «нерегулярна» в окрестности
(произвольной) точки, настолько д должна быть «регулярной» в ок-
окрестности этой точки, и наоборот. Например, естественно считать
8{х — аM(х — Ь) = 0, если а^Ь,и а(х)8(х) = а@)8(х), если функция а(х)
непрерывна в окрестности точки 0.

§2.2. Дифференцирование обобщенных функций	81
10. Упражнения.
а)	Доказать, что функции
— ^	5 — sin —, 	~	~, —~ sin —
2yJ-KS	тгж г	тг х1 + е1	кх1 г
стремятся к 5(х) в Т)' при е —У +0.
б)	Доказать предельные соотношения в Т)' при t —у +оо:
0,
0,
ж + гО	ж + гО
^meixt _^ q^ ттг ^ 0, tO(x)eixt —у iS(x).
в)	Доказать, что ряд
(X)
к= — сю
сходится в V при любых а/..
г)	Доказать, что SsR(x) —У 0 в Р;, Л —у оо.
д)	Доказать, что р?2|М _>. о в ^(М1), /с ->• оо, где
cos кх \ Т7 f00 cos/еж
7	, (z? = Vp / 	ipix) ax.
е)	Пусть a G ?>(МП), а ^ 0, / а(ж) б?ж = 1. Доказать, что
¦> й(ж) в Р;, г -)> +0.
ж) Доказать равенство
(ж + Л) = а(х + /г)/(ж + Л), а G С°°(МП), / G P7
§ 2.2. Дифференцирование обобщенных функций
Обобщенные функции обладают рядом удобных свойств. На-
Например, при надлежащем обобщении понятия производной любая
обобщенная функция оказывается бесконечно дифференцируемой,
сходящиеся ряды из обобщенных функций можно почленно диффе-
дифференцировать любое число раз.
6 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

82	Гл. П. Обобщенные функции
1. Производные обобщенной функции. Пусть / Е Ср(Жп)
(см. § 1.1, п. 2). Тогда при всех а, \а\ ^р, и^ЕР справедлива формула
интегрирования по частям
= (-1I-11 !{х)даф) dx = (-i)N (/,
Это равенство мы и примем за определение (обобщенной) производ-
производной да f обобщенной функции / G Р':
Проверим, что да / Е V. Действительно, поскольку /GD', то
функционал да f', определяемый правой частью равенства A), линей-
и непрерывный:
если y?jfe —У 0 в Р, к —> оо, поскольку в этом случае и с^^ —> 0 в ?>, к
->> оо (см. §2.1, п. 2).
В частности, при / = S равенство A) принимает вид
Обозначим через {daf(x)} классическую производную (там, где
она существует). Из определения обобщенной производной вытекает,
что если обобщенная функция / принадлежит CP(G), то
daf = {daf(x)}, xeG, \а\^р
(в смысле определений из § 2.1, пп. 4, 5).
2. Свойства обобщенных производных. Операции диффе-
дифференцирования обобщенных функций обладают следующими свойст-
свойствами.

§2.2. Дифференцирование обобщенных функций
83
а) Операция дифференцирования да линейна и непрерывна
из V в V:
dafk -^ 0 в ?>', к -у оо, если fk -у 0 в ?>', к -у оо.
Докажем непрерывность. По определению производной при всех
if Е Т> имеем
(dafk^if) — (~1) (fk,da(p) —У 0, /с —у оо,
что и означает, что dafk —>¦ 0 в V, fc —у оо (см. § 2.1, п. 3). Линейность
доказывается аналогично.
В частности если uj?(x) — «шапочка» (см. §2.1, п. 2), то
даи?(х) -+да5(х) в V, г^О.
Соотношение B) вытекает из соотношения E) из §2.1.
B)
со'(х)
Рис. 16
Например, ьо'?{х) —У S'(x) в V, г —У +0. Последовательность^(ж),
г —у +0, изображена на рис. 16.
б) Каждая обобщенная функция бесконечно дифференцируема.

84	Гл. II. Обобщенные
Действительно, если / G D', то тр- G D'; в свою очередь
в) Результат дифференцирования не зависит от порядка диф-
дифференцирования. Например,
d2{d1f) = d{1^f, /6D'.	C)
В самом деле, для любой ip Е V получаем
откуда и вытекают равенства C) (см. §2.1). И вообще,
= dC(daf).	D)
г) Если / eV и a G С°°(МП), то справедлива формула Лейбница
дифференцирования произведения а/ (см. §2.1, п. 9). Например,
Действительно, если ip — любая основная функция, то
d(af) \	( д<р\	/ fl^\	(,д{шр) да
'dxj У дХ1
9а
9а
откуда и вытекает равенство E) (см. §2.1).
д)	Если обобщенная функция / = 0, х G G, то да/ = 0, ж G G,
другими словами, spt<9a/ С spt/.
В самом деле, если ip G T>(G), то и 9а(р G T>(G), а потому
(аа/,^) = (-i)iai(/,a» = o, <pe v(G),
что и означает да f = 0, х G G (см. § 2.1, п. 4).
е)	Если ряд
к=1

§2.2. Дифференцирование обобщенных функций	85
составленный из локально интегрируемых функций Uk(x), сходится
равномерно на каждом компакте, то его можно почленно дифферен-
дифференцировать любое число раз (как обобщенную функцию), и полученные
ряды будут сходится в D''.
В самом деле, поскольку при любом R > О
V
Sp(x) = ^2uk(x) ^ S(x), \х\ < R, р->оо,
к=1
то Sp ->• S в V, р ->• оо (см. § 2.1, п. 6). Но тогда в силу а)
v
к=1
что и утверждалось.
Отсюда, в частности, вытекает: если
то тригонометрический ряд
к= — оо
сходится в Df(M}). Действительно, в силу F) ряд
!
F)
(m
сходится равномерно в Ж1; следовательно, ряд, представляющий его
производную порядка т + 2, сходится в Vf(M}) и совпадает с ря-
рядом G).
3. Первообразная обобщенной функции. В этом пункте
считаем п = 1. Всякая непрерывная функция /(ж) имеет (единствен-
(единственную с точностью до аддитивной постоянной) первообразную
Равенство /^"^ = / мы и примем за исходное для определения пер-
первообразной произвольной обобщенной функции /.

86	Гл. П. Обобщенные функции
Обобщенная функция /(-1) из Vf(M}) называется первообразной
обобщенной функции / из ^'(М1), если /(-1) = /, т.е.
(/(-i),^') = -(./», ^G^M1).	(8)
Равенство (8) показывает, что функционал /(-1) задан не на
всех основных функциях, а только на их первых производных. На-
Наша задача — продолжить этот функционал на все Т)(Ш}) (в смысле
определения §1.1, п. 8), причем так, чтобы продолженный функцио-
функционал /(-1) был линейным и непрерывным на V(M}), и выяснить степень
произвола при таком продолжении.
Предположим сперва, что /(-1) — первообразная / — существу-
существует. Построим ее. Пусть ср — произвольная функция из V(M}). Пред-
Представим ее в виде
t,	(9)
где оо?(х) — «шапочка» (см. §2.1, п. 2) и
ф(х) = jX ]^p{rj) - ue{rj)j <Ж) #] df].	A0)
Докажем, что ф е V(R1). Действительно, ф G СОО(М1) и ф{х) =
= 0, х < — тах(Д,е), если ip(x) = 0, |ж| > R. Далее, при х >
l? = 0
ф(х) = / (p(rj) drj — / co?(r])dr]
J— oo	J— oo	J — с
в силу нормировки «шапочки». Таким образом, ф(х) = О,
> тах(Д,е). Следовательно, ^ G ^(М1).
Применяя функционал f^~^ к равенству (9), получим
т.е., учитывая (8),
A\	J	(и)
где обозначено С = (/^~1\ uj?)- Итак, если /("^ — первообразная / —
существует, то она выражается равенством A1), где ф определена
формулой A0).

§2.2. Дифференцирование обобщенных функций	87
Теперь докажем обратное: при любой постоянной С функцио-
функционал /(-1), определенный равенствами A1) и A0), дает первообраз-
первообразную /.
Действительно, функционал f^-1\ очевидно, линеен. Докажем
его непрерывность на Т>(Ш}-). Пусть (рь —> 0 в ^(М1), к —> оо, т.е.
ifk[x) = 0, |ж| > R, и ср^ (х) =4 0, к —У оо. А тогда по доказанному
Фк(х) = / \4>к(л) -и?(г)) / cpkiOdndr] = 0, |ж| > max (Л,г),
«/-оо L	«/	J
и, очевидно, ф[а\х) =4 0, /с ->• оо, т. е. грк ->• 0 вР(М1), к ^ оо. Поэтому
в силу непрерывности / на ^(М1) имеем
k@ d^ —> 0, к —у оо,
что и утверждалось. Следовательно, f(~^ G ^'(М1). Осталось про-
проверить, что /(-1) является первообразной /. В самом деле, заменяя
в A0) (р на cpf и учитывая, что / (р'(?) d? = 0, получим ф = ip, и тогда
из A1) вытекает равенство (8), что и требовалось.
Таким образом, доказана следующая
Теорема. Любая обобщенная функция f имеет единственную
(с точностью до аддитивной постоянной) первообразную, и всякая
ее первообразная /(-1) выражается формулой
(/i-1),^) = -(/,ф) + (C,tp), (р G V(W),	A2)
где ф определяется равенством A0) и С — произвольная посто-
постоянная.
Доказанная теорема утверждает, что решение дифференциаль-
дифференциального уравнения
U =¦ j)	j E и [К J,	v-'-'jJ
существует в Vf(M}) и его общее решение имеет вид и = /^"^ + С,
где /(-1) — некоторая первообразная и С — произвольная постоян-
постоянная. В частности, если / — непрерывная функция, то всякое реше-
решение в Vf(M}) уравнения A3) классическое. Например, общее решение
уравнения и' = 0 в Df(M}) есть произвольная постоянная.
Аналогично определяется и первообразная /(~п) порядка п об-
обобщенной функции /: /(~п) = /. Применяя доказанную теорему к
рекуррентной цепочке для первообразных f(~k^ порядка к:

Гл. П. Обобщенные функции
заключаем, что первообразная /( п) существует и единственна с точ-
точностью до произвольного аддитивного полинома степени п — 1.
4. Примеры, п = 1.
а) Вычислим плотность зарядов, соответствующих диполю с
электрическим моментом +1 в точке х = 0 на прямой.
Этому диполю приближенно соответствует плотность зарядов
i S(x — г) — ^ S(x), г > 0. Переходя здесь к пределу в V при г —>¦ +0:
<5(ж - е) - I фО, ^ = I Ь(?) - ^@)] ^ ^'@) = F, <р') = -(б1, ф),
заключаем, что искомая плотность равна —8'(х).
Проверим, что полный заряд диполя равен 0:
а его момент равен 1:
(-ё',х) = (ё,х') = (ё,1) = 1.
б) Пусть функция f(x) такова, что / G С1 (ж ^ хо) и / G С1 (ж ^
^ жо) (рис. 17). Покажем, что (рис. 18)
/' = {/'(*)} + [/Ц *0* - ^о),	A4)
где [f]XQ — скачок /(ж) в точке х$\
Действительно, если ср G Т>, то
)<Р' dx = [f(x0 + 0) -
+ J{f'(x)Mx) dx = ([f]xo S(x - xo) + {f(x)}, ф)).
[ 0 x < 0
В частности, если 0 — функций Хевисайда: в(х) = < ' ^ ' то
^ 1, х > U,
в'{х) = S(x).	A5)

§2.2. Дифференцирование обобщенных функций
В теории электрических цепей функция Хевисайда называет-
называется «единичной ступенькой», а ^-функция — «единичным импульсом».
Рис. 17
Рис. 18
Формула A5) утверждает, что «единичный импульс» есть производ-
производная от «единичной ступеньки».
Замечание. Первообразная й-функции есть в{х) + С, где С —
произвольная постоянная (см. п.З). Таким образом, в(х) восстанав-
восстанавливается как первообразная своей обобщенной производной S(x); с
другой стороны, в(х) не восстанавливается как первообразная своей
классической производной {О'(х)} = 0, х ф 0.
в) Если же функция f(x) имеет изолированные разрывы пер-
первого рода в точках {xk} и {f'(x)} — кусочно непрерывная функция
на М1, то формула A4) естественно обобщается:
/' = {fix)} + ? [f\Xh S(x -
A6)
Формулу A6) удобно получать локально в окрестности каждой
точки Xk с использованием формулы A4) и теоремы «о кусочном скле-
2
0
-271
1

Рис. 19
|2тс
ивании» (см. замечание из §2.1, п. 4). В частности, если

90	Гл. П. Обобщенные функции
— 2тг-периодическал функция (рис. 19), то
оо
/о = "^+ Е S(x-2k7r).	A7)
k= — oo
Мы видим, таким образом, что обобщенные и классические произ-
производные, вообще говоря, не совпадают.
г) Докажем формулу
1 сю	оо
_ ? е<**= ? в(х-2кж).	A8)
k= — oo	k= — oo
Для этого разложим 2тг-периодическую функцию
(функция /о определена выше), в равномерно сходящийся ряд Фурье:
/"
Jo
б
Согласно п. 2, е) этот ряд можно почленно дифференцировать в V
любое число раз. Дифференцируя его дважды и учитывая A7), полу-
получим
a I	-L	X "^ г- /	^ -f \	-L X "^ ihrn
А;= —оо	кфО
что и требовалось. Отметим, что левая часть равенства A8) есть ряд
Фурье 2тг-периодической обобщенной функции Х^-оо ^(х ~ 2^тг).
д) Покажем, что общее решение уравнения
хти = 0	A9)
в Т>'(М}) дается формулой
га — 1
и =^2 Ск${к)(х),	B0)
где Ck — произвольные постоянные.
Поскольку при всех ср G Т> и /с = 0,1,..., ш — 1

§2.2. Дифференцирование обобщенных функций	91
то
и, следовательно, обобщенная функция B0) удовлетворяет уравне-
уравнению A9).
Докажем, что всякое решение уравнения A9) в Df дается фор-
формулой B0). Пусть rj(x) — основная функция, равная 1 в окрестности
точки х = 0 (по лемме из § 2.1, п. 2 такая функция существует). Тогда
любая функция ср Е V имеет представление
(р(х) = rj(x) 2^ —7П— хк + хТПф(х),	B1)
к=0
где
тп-1
Функция ф принадлежит Т>, так как она финитна и имеет про-
производные всех порядков; существование производных в точке х = 0
следует из формулы Тейлора
k=m
справедливой в некоторой окрестности (где г) — 1) точки х — 0 при
всех N.
Следовательно, если и G ТУ — решение уравнения A9), то в си-
лу B1)
(и, <р) = (и, ф) J2
т — 1 (к){г\\	т—1
скE(к\ <р), ск = ^р (и,ф)хк),
к=0
что и требовалось доказать.

92
Гл. П. Обобщенные функции
Замечание. Справедливо более общее утверждение: всякая
обобщенная функция, носитель которой есть точка, представляется
в виде конечной линейной комбинации ^-функции и ее производных
в этой точке (см. §2.4, п. 4).
Отметим, что в классе локально интегрируемых функций урав-
уравнение A9) имеет единственное решение и = 0.
е) Проверим, что функция ?{t) = 6(t)Z(t), где Z(t) — решение
однородного дифференциального уравнения
LZ = ZK J-\-ai{t)Zy ' + ... + am{t)Z = (J,
удовлетворяющее начальным условиям
Z@) = Z'@) = ... = Z(m~2)@) = 0, Z(m~1}@) = 1,
есть решение уравнения L? = S(t).
Действительно, пользуясь формулой A4) и начальными условия-
условиями, получаем
?'(t)=O(t)Zf(t), ..., ?(m-1}(?):
откуда
L? = 0(t)LZ
=5(t),
что и утверждалось.
5. Примеры, п ^ 2.
а) Многомерным обобщением обобщенной функции — 5f(x) яв-
является двойной слой на поверхности.
Пусть S — кусочно гладкая двух-
двухсторонняя поверхность, п — нормаль к S
(рис. 20) и г/(х) — непрерывная функция,
заданная на S.
Зададим обобщенную функцию
правилом
Рис. 20
Очевидно,
-±ш
V, spt[- —
С 5.

§2.2. Дифференцирование обобщенных функций	93
Обобщенная функция —4?-(yfis) называется двойным слоем на
поверхности S с плотностью v(x), ориентированным по нормали п.
Эта обобщенная функция описывает плотность зарядов, соответст-
соответствующую распределению диполей на поверхности S с поверхностной
плотностью момента v(ж) и ориентированных вдоль нормали п на 5
(ср. п.4, а)).
б) Пусть область G имеет кусочно гладкую границу S и функ-
функция / принадлежит С1^) П C^Gi), где G± = W1 \G. Тогда
= {Й} + W008^)*	г = 12п	B2)
где п = пж — внешняя нормаль к S и [f]s — скачок функции / при
переходе извне через поверхность S:
lim fix1)- Hm f(x') = [f]s(x), xeS.
x'^x,x?Gi	x'^x,x'?G
Для вывода формулы B2) используем формулу Грина и опреде-
определение простого слоя (см. §2.1, п. 6):
= I { Щ^-} Ф) dx + js [fls (x) coS(nXi)<p(x) dS =
ш
= ({ш;}+ [f]s cos(nXi^6s> ^)' "pe v-
в) Пусть в условиях примера б) функция / принадлежит С2 (G) П
HC2(Gi). Тогда
B3)
Для вывода формулы B3) продифференцируем равенство B2)
по Xj и при дифференцировании функции < JK ' > воспользуемся
опять формулой B2):

94	Гл. II. Обобщенные
Полагая в B3) г = j и суммируя по г = 1,2,..., п, получаем
г1	г
B4)
Принимая во внимание равенства
Е ^?№ ««(пяО^) = ^([/]s *5),	B5)
5' Bб)
перепишем формулу B4) в виде
]86s + lLMs*s)-	B7)
Докажем формулу B5). При всех ср G V имеем
п я
E(W@^)
^
l
г=1 ^^	г	<*S	г=1
Формула B6) устанавливается аналогично.
Полагая в формуле B7) / = 0 при х G Gi, получим
А/ = {А/}-^5-|^(/ад.	B8)
Это есть вторая формула Грина, записанная в терминах обобщенных
функций. Применяя B8) к основной функции ip, получим эту формулу
в обычной записи:
j{d?^)S.	B9)
Если G — ограниченная область, то формула B9) справедлива
для всех ip G C2(G).

§2.2. Дифференцирование обобщенных функций
95
г) Пусть п = 2. Вычислим А1п|ж|.
Функция In |ж| локально интегрируема
в М2. Если х ф О, то In |ж| Е С°°, а поэтому
<9а1п|ж| = {<9а1п|ж|} (см. п.1).
Следовательно, переходя к полярным
координатам, получаем (см. § 1.3, п. 2, 6))
. (зо)
Рис. 21
Пусть (/) G Р, spt(^ С С/д. В этом случае получим следующее:
(А1п|ж|,(^)= /
JU
In
) dx = lim
In
) dx.
Применяя формулу B9) при / = In |ж| и G = {е < \х\ < R} (рис. 21)
и учитывая C0), получим
= lim I /	Aln\x\dx+ / +
Js<\x\<R	\JS?
^
In
.dip д\п \х\
an	an
dS =
= lim
^l-^ + ^-i- ) ^5= lim - / cpdS =
ld\x\ *\x\J	e^oeJ
= lim (- [ [<p(x) - <p@)] dS + 2^@)^ = 2тг(^@) = Bтг6, ф).
?^° \? Js?	)
Таким образом,
А1п|ж| =
Аналогично, при п ^ 3 получим
п = 2.
C1)
C2)
где an — площадь поверхности единичной сферы в Жп,
а» = j^ dS = fp)'

96
Гл. П. Обобщенные функции
Г — эйлеров интеграл (гамма-функция),
Г» = / e~Hz-1 dt.
Jo
д) Проверим, что функции
?{х) = -
ргк\х\
4тг|х|'
при п = 3 удовлетворяют уравнению
?(х) = -
o-ik\x\
4тг|ж
C3)
C4)
А? + к2? = 5(х).
Действительно, так как функции cosfc|x| и \х\~г smk\x\ бес-
бесконечно дифференцируемы, то при дифференцировании функции
|ж|-1ег/г|ж| МОЖНо пользоваться формулой Лейбница (см. п. 2, г)). Учи-
Учитывая равенства
dxi \x\
д
oik\x\ _
v гьХ j
и пользуясь формулой C2) при п = 3, получаем
l, grad -^-] + -^-
	1	1	1 рг/с1ж1 = _
Ы2 |ж|2 |ж| |ж
что и утверждалось.
е) Пусть
?(хЛ) = 	^=—ехр
_И1\
4аЧ}'
Докажем, что
C5)
Функция ?(x,t) локально интегрируема в Mn+1, поскольку f = О,
t < 0; 5 ^ 0, ? ^ 0, и при ? > 0
/1
f (ж, t) dx = 	==—
[
ехр <
dx =
& = 1.
C6)

§2.2. Дифференцирование обобщенных функций
97
Если t > 0, то ? € С°°, а поэтому
д?__(
~di ~ \4a2t2
п
д?
д2?
~ ^ ' ' ~dx~i~ ~2aH ' ~dxj ~
4- ~ а2^? =
dt
п
2t
C7)
Пусть (р G P(Mn+1). Учитывал равенство C7), получаем
da: dt =
= -/" f?(x,t)(^ + a2A
/ 5(ж, ?) ( -^ + а2
= lim f" /" ?(x, е)ф, s)dx+ f / (? - «2
= lim ?(x,e)(p(x,0)dx + lim ?(x,e)[(p(x,e) — (p(x,O)]dx =
= lim / ?(x,s)cp(x,0)dx, C8)
так как в силу C6)
/ ?(x,e)[ip(x,e) — ц>(х, 0)] dx ^ Кг / ?(х,е) dx = Ife.
Докажем теперь соотношение
?(x,t) =
Действительно, пусть ср(х) G V. Тогда, учитывал, что
C9)
±аЧу
DтгаН)п/
7 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

98
Гл. II. Обобщенные
в силу C6) получаем при t —у +0 соотношение C9):
(?(x,t),<p) = j ?(x,t)<p{x)dx =
?(x, t)dx + j ?(x, t)[<p(x) - v@)} dx -+ <p@) = E, ip).
Теперь формула C5) следует из соотношений C8) и C9). Отме-
Отметим, что предельное соотношение C9) справедливо и на ограничен-
ограниченных функциях, непрерывных в точке 0.
ж) Пусть х = х\ и
at = —x
1
^Ж' ^ ~ 2а
Докажем, что
Da?1=S{x,t).
D0)
Функция Е\ локально интегри-
интегрируема на М2 и обращается в нуль вне
замыкания конуса будущего Г (рис. 22).
Пусть <реТ>. Тогда
(?а Si, ср) = (?i, Па ф) = / (?i(ж, t) Па (р(х, t) dx dt =
1 Г°° Г°° д2иэ	а Г°° fat <92cp
= — / / -z-rdtdx-- / T--^dxdt =
2а J-oo J\x\/a dt2	2 Уо y_at дх2
дср(х,\х\/а)	a f°° \d(p(at,t) d(p(—at,t)
m
2а Уо
--Г
О/'/ /
dt
dcp(at,t)
dx
dt-
a^(-a;,|a;|/a) , , а [°° d<p(-at,t)
2У0
¦dt =
= _1 Г
2 Л
[ dt
dx
dt-

§2.2. Дифференцирование обобщенных функций
99
1	Г
2	Jo
dy(-at,t) d<p(-at,t)
dt
dt
1 [°
2j0
дх
d<p(-at,t)
dt
что и доказывает равенство D0).
з) Пусть Ssr — простой слой на сфере |ж| = г (см. §2.1, п. 6).
Докажем соотношение (формулу Пицетти)
0.	D1)
Действительно, для всех <р € 2? при г —>• 0 имеем
=^L
k,i=l
ds ->•
так как
поскольку
s2kds=
= 0,	/ skSi ds = Sm / s2kds = —Ski,
=-	(sl + sl +... + s2n)ds= -	ds = —;
П Js"-i	П Js"-i	П
величина ап определена в г).
6. Упражнения.
а) Доказать, что
dx
х	dx х	x1	dx x ± гО
xz

100
Гл. П. Обобщенные функции
где
б) Показать, что стоящие справа обобщенные функции являют-
являются общими решениями в V(M}) уравнений
хи' = 1, и = с\ +
хи' = V — , и = с\ +
X
х2и' = Р-, и = ci + с20(ж
X
хи = sgnx, ix = сй(
оо
(smx)u = 0, IX = N
+ In
— ,
X
X
(ж — йтг),
где
Обратим внимание на то, что классические решения дифференциаль-
дифференциальных уравнений первого порядка содержат лишь одну произвольную
постоянную.
в) Доказать равенство
а(хN'(х) = -а'@Щх)+а@N'(х),
a G
г)	Доказать: если / G V и /(ж) =0, х < жо, то существует
единственная первообразная /^~г\ обращающаяся в нуль при ж < х$.
д)	Доказать равенство
Л) =
Л),
е)	Доказать: если обобщенная функция инвариантна относи-
относительно всех сдвигов, то она постоянная.
ж)	Доказать, что система обобщенных функций да5(х), \а
= m, m = 0,1,..., линейно независима.
з)	Доказать, что ряд
к=1

§2.3. Свертка обобщенных функций	101
СХОДИТСЯ В V При ЛЮбыХ CLk-
и) Доказать, что общее решение в V уравнения жпг^т) = 0,
п > т, есть
га — 1	п—1	га — 1
где Ck и dk — произвольные постоянные.
§ 2.3. Свертка обобщенных функций
Важным инструментом математической физики является опера-
операция свертки. Для локально интегрируемых в W1 функций /(ж) и д{х)
их свертка f * д определяется интегралом
(/ * д){х) = / f{y)g{x -y)dy= / g{y)f{x -y)dy = (g* /)(ж) A)
при условии, что этот интеграл существует и определяет локально
интегрируемую в W1 функцию (f*g)(x). Наша задача — распростра-
распространить это определение на обобщенные функции.
1. Прямое произведение обобщенных функции. Снача-
Сначала определим произведение обобщенных функций с различными ар-
аргументами (прямое произведение). Для локально интегрируемых
функций /(ж) в1пи^(у)в W71 их произведение f{x)g{y) будет локаль-
локально интегрируемой функцией в Rn+m. Эта функция определяет (ре-
(регулярную) обобщенную функцию, действующую на основные функ-
функции (р(х, у) Е V по формулам
о) = / f(x)g(y)(p(x,y)dxdy =
= / /(ж) / g(y)ip(x, у) dy dx = (/(ж), (g(y),ip(x, у))), B)
?) = / g(y)f(x)(f(x,y)dxdy =
f	f
—	I /7G/1 I T \ ПГ\( П\ ПГ 7/1 ППГ П11 '^Z. 1/717/1 I I (T* i (nil* 7/111 1^1
—	/ У\У) I J \хLJ\tL-> У) ах аУ — \У\У)•> \J \х)•> V-4X5 У)))• \^ )
J J
Эти равенства следуют из теоремы о совпадении повторных ин-
интегралов с кратным (см. [2]). Равенство B) мы и примем за опреде-
определение прямого произведения /(ж) • д(у) обобщенных функций /(ж) G
eV'(Rn) ид(у) eVf(Rm):
(f(x) • д(у),<р) = (/(ж), Ш,Ф,У))), V е P(Mn+m). C)

102	Гл. П. Обобщенные функции
Это определение корректно, т. е. правая часть равенства C)
определяет линейный непрерывный функционал на Т>(Жп+т). Дейст-
Действительно, можно проверить, что функция ф(х) = (д(у), (р(х,у)) при-
принадлежит 2)(МП), так что правая часть равенства C), равная (/, *ф),
определяет функционал на 2)(Мп+т) для любых обобщенных функ-
функций / и д. Линейность этого функционала следует из линейности
функционалов / и д. Можно доказать, что этот функционал и непре-
непрерывен на ?>(Mn+m), так что /(ж) • д(у) е V'(Rn+m), т.е. является об-
обобщенной функцией на Rn+m.
Перечислим свойства прямого произведения.
а) Операция прямого произведения f(x) • д(у) линейна и непре-
непрерывна по / (из Vf(Rn) в ?>'(Rn+m)) и по д (из ?>'(Rm) в ?>'(Mn+m)),
например:
[Ai/iOr) +А2/2(а0] .д(у) = \i[fi(x) ¦ д(у)] + \2[f2(x)
fk{x)-g(y)^0 в V'{Rn+m), если Д^О в2?'(Еп), k ->¦ оо.
б) Ассоциативность прямого произведения: пусть / G 1?'(ЖП),
д е V'(Rm) nhe V'(Rk), тогда
f(x)-[g(y)-h(z)] = [f(x)-g(y)}-h(z).	D)
Действительно, если ip € ^(М™""*), то
h(z)],v) = (f(x), (g(y) ¦ h(z), tp)) =
= {f{x) ¦ g(y), (h(z),ip)) = ([f{x) ¦ g(y)] ¦ h{z),<p).
в) Коммутативность прямого произведения: пусть f(x) € ViW1)
и g(y)GV'(Wn); тогда
f(x)-g(y) = g(y)-f(x).	E)
Действительно, в соответствии с формулой C) прямое произве-
произведение д(у) • f(x) определяется равенством
(9(y)-f(x),<p) = (g{y),(f(x)Mx,y))), ^eV(Rn+m). C')
На основных функциях ср вида
N
ф,у) = 5><0Ф<B/)> т ^ V№n), Vi е V(Rm), F)
г=1

§2.3. Свертка обобщенных функций	103
справедливость равенства E) проверяется непосредственно:
, N	\	N
(f(x).g(y), <p)=lf, J>;(<^) = X)(/>^)@^) =
^ г=1	'	г=1
г=1
С помощью теоремы Вейерштрасса (см. §1.1, п. 3) можно доказать,
что множество основных функций вида F) плотно в 2)(Мп+т). В си-
силу непрерывности прямого произведения отсюда следует справедли-
справедливость равенства E) на всем ?>(Mn+m).
г) Дифференцирование прямого произведения:
dax[f{x)-g(y)]=daf{x)-g(y).	G)
В самом деле, если ср е T>(Rn+m), то (см. §2.2, п. 1)
daf(x),if)) = (daf(x)-g(y), if).
д)	Умножение прямого произведения: если a G С°°(МП), то
a(x)[f{x)-g(y)]=a{x)f{x)-g{y).	(8)
Действительно, пусть ip G P(Mn+m), тогда (см. §2.1, п. 9)
(a(x)[f(x) • д(у)], ^) = (/(ж) • д(у), ар) =
= (f(x), (g(y),a(x)(p(x,y))) = (/(ж), а(х)(д(у),(р(х,у))) =
= (a(x)f(x), (g(y),ip(x,y))) = (a(x)f(x) • д(у), if).
е)	Сдвиг прямого произведения:
(f ¦ д)(х + h,y) = f(x + h) ¦ д(у).
В самом деле, если <р G Т>(Шп+т), то (см. §2.1, п.9)
((/ -д)(х + h, у), tp) = (f(x) ¦ д{у), <р(х - h, у)) =
= Ш, U(x + Н),ф,У))) = (f(x + h) ¦ д(у), у).

104	Гл. П. Обобщенные функции
ж) Говорят, что обобщенная функция не зависит от ?/, если
она имеет вид f(x) • 1(у). В этом случае в силу E)
для всех if e
Таким образом,
( f	\ Г
( /0*0, / V(x,y)dy) = / (f(x),<p(x,y))dy,
f eV(Rn), ip+
2. Определение свертки обобщенных функции. Для ло-
локально интегрируемых в Жп функций /(ж) и д{х) их свертка f * д
определяется формулой A). Если интеграл A) есть локально интег-
интегрируемая в Жп функция, то свертка f * д определяет регулярную об-
обобщенную функцию, действующую на основные функции ср Е Т>(Жп)
по правилу
f	f \ f
(/ * 9, Ф) = / (/ * flO(fMf) d? = / / g(y)f(€ - у) (
J	J [J
= / 9(у) \ /(? - У)ф(О dndy= / g(y) / f(x)ip(x + y) dx\ dy,
т. e.
(f*9,<p)=JJf(x)g(y)<p(x + y)dxdy, ip€V(Rn). A1)
Отметим, что мы воспользовались здесь теоремой о переста-
перестановке порядков интегрирования и о равенстве повторных интегралов
кратному (см. [2]). Применимость этой теоремы будет заведомо обос-
обоснована, если мы предположим, что свертка |/| * |^|(ж) локально интег-
интегрируемых в Ж71 функций |/0*0| и |#(жI есть локально интегрируемая
в Жп функция
Цх) = |/| * \д\(х) = [ \f(y)\ \д(х - у)\ dy e ?1ос.	A2)

§2.3. Свертка обобщенных функций	105
При этом будет справедливо неравенство
\(f*g)(x)\^h(x).	A3)
Отметим три случая, когда приведенное выше условие выполне-
выполнено и, стало быть, свертка / * д существует.
1) Хотя бы одна из функций /, д финитна, например sptg С Up:
f h(x)dx= [ \д(у)\ f \f(x-y)\dxdy^
JuR	Jup	JuR
<C f \g(y)\dy f
Jup	Ju
Формула A) принимает вид
|/@| ? oo.
uR+p
(f*9)(x)= [ g(y)f(x-y)dy.	A4)
Jup
2)	Функции / и д обращаются в нуль при х < 0 (п = 1):
pR	pR px
h(x)dx= / \g(y)\\f(x-y)\dydx =
-R	JO JO
= [ Ш\1 \f{x-y)\dxdy^ [ \g(y)\dy f |/(?)| #< oo.
Jo	Jo	Jo	Jo
Формула A) принимает вид
(f*9)M= [ g(y)f(x-y)dy.	A5)
Jo
3)	Функции / и д интегрируемы на Жп:
h(x) dx = I \g(y)\ \f(x -y)\dxdy = I \g(y)\ dy j №)\d?. < oo,
так что в этом случае свертка / * д интегрируема на Жп.
Будем говорить, что последовательность \j]k} основных функ-
функций из ViW1) сходится к 1 в Мп, если:
а)	для любого компакта К найдется такой номер JV, что г)(х) = 1
при х G К и k ^ N;
б)	функции {г]к} равномерно ограничены в W1 вместе со все-
всеми производными, \dar]k(x)\ < Caj x G Mn, к = 1,2,..., а любое.

106	Гл. П. Обобщенные функции
Возможный график функций последовательности {щ(х)}, к = 1, 2,...,
приведен на рис. 23.
Рис. 23
Отметим, что в силу леммы из §2.1, п. 2 такие последователь-
последовательности всегда существуют.
Докажем, что равенство A1) можно переписать в виде
(f*g,<p)= lim (f(x)-g(y),Vk(x,у)<р(х +у)), ^D(I"), (И')
к—юо
где щ(х, у), к = 1, 2,..., — любая последовательность, сходящаяся к 1
в!2п.
Действительно в силу условия A2) функция \f(x)g(y)ip(x + у)\
интегрируема на М2п для любой ip Е P(Mn). Поэтому, применяя тео-
теорему о предельном переходе под знаком интеграла (см. [2]), получим
/ 1{х)д(у)ч>(х + у) dx dy = lim / /(х)д(у)щ (ж, у)<р(х + у) dx dy,
что в силу A1) эквивалентно равенству A1').
Исходя из равенств A1) и A1;) примем следующее определе-
определение свертки. Пусть обобщенные функции / и д из V'CMJ1) таковы,
что их прямое произведение f(x) • д(у) допускает продолжение (см.
§ 1.1, п. 8) (/(ж) • д(у), <р(х + у)) на функции вида <р(х + у), где <р —
произвольная функция из 2)(МП), в следующем смысле: какова бы ни
была последовательность {г]к} функций из 2)(М2п), сходящаяся к 1
в М2п, существует предел числовой последовательности
lim (/(ж) -д(у),Г1к(х,у)(р(х + у)) = (/(ж) -д(у), <р(х + у)). A6)
Отметим, что при каждом к функция щ(х,у)(р(х + у) принадлежит
U(M?n), так что наша числовая последовательность определена; кро-
кроме того, предел A6) этой последовательности не зависит от выбора
последовательности {г]к}-
Сверткой f * д таких обобщенных функций / и д называется
функционал

§2.3. Свертка обобщенных функций	107
(/ *9,<р) = (/О) • д(у), Ф + у)) =
= Km(f(x).g(y),m(x,yMx + y)), ipeV(Rn). A7)
k—>-oo
Докажем, что функционал / * д принадлежит Т>г(Жп). Для это-
этого в силу полноты пространства Т>г(Жп) (см. §2.1, п. 3) достаточно
установить непрерывность линейных функционалов
(/(ж) • д(у), щ(х, у)ф + ?/)), к = 1,2,...,	A8)
на V(Rn). Пусть ^^0в ?>(МП), г/ -^ оо. Тогда
поскольку щ G Р(М2п). Отсюда в силу непрерывности функциона-
функционала /(ж) • д(у) на 2)(М2п) (см. п. 1) получаем
, f]k(x,y)(pu(x-\-y)) -^ 0, г/ ^ оо
что и доказывает непрерывность функционала A8) на
Заметим, что функция ф(х + у) не принадлежит 2)(М2п) (она не
финитна в Ж ), так что правая часть равенства A7) существует не
для любых пар обобщенных функций / и д, и, таким образом, свертка
существует не всегда.
Например, свертка локально интегрируемых функций /(ж) = 1
и д(х) = 0(ж) не существует в V(M}), поскольку для всякой у? G
должно быть
A*0, ф) = lim @B/), щ(х,у)(р(х + у)) =
к—>-оо
/•ОО /»ОО
= lim / / r}k(x,y)ip(x +
k^oo J_oo Jo
а последний предел не существует (иначе он был бы равен / ip(x) dx x
/•ОО
х / ей/, где первый интеграл всегда конечен, а второй расходится).
^°
Свертка любой обобщенной функции / с й-функцией сущест-
существует и равна /:
f*8 = 8*f = f.
Действительно, пусть ср G Т>(Жп) и {т]к} — любая последователь-
последовательность функций из 7)(Ж2п), сходящаяся к 1 в М2п. Тогда
к ^оо,

108	Гл. П. Обобщенные функции
и поэтому
lim (/(ж) •(%), г)к(х,у)<р(х + у)) = lim (/(ж), щ(:
к—уоо	к—уоо
Отсюда в силу определения A7) следует, что свертки / * S и S * /
существуют и равны /, что и утверждалось.
3. Свойства свертки.
а) Линейность свертки. Свертка f * д — линейная операция
из V в V относительно / и д в отдельности, например,
(Ai/i + А2/2) * 9 = Ai(Л * д) + А2(/2 * я), Л, /2,$ G ?>',
при условии, что свертки Д * g и /2 * g существуют.
Это свойство свертки непосредственно следует из определе-
определения A7) и из линейности прямого произведения /(ж) • #(?/) относи-
относительно f и д в отдельности (см. п. 1, а)).
Отметим попутно, что свертка /*#, вообще говоря, не является
непрерывной операцией из Т)' в Т)' относительно / или д, например,
8(х — к) —> 0 в V(M}), к —> оо, но
б) Коммутативность свертки. Если свертка /*# существует,
то существует и свертка д * / и они равны:
f*9 = 9*f.	A9)
Это утверждение вытекает из определения свертки и из комму-
коммутативности прямого произведения (см. п. 1):
(f* 9, Ч>) = ;lim (/О) '9(у),
= lim (рB/) -/(ж),
B0)
в) Дифференцирование свертки. Если существует свертка
то существуют и свертки <9а/ * д и / * <9ад, причем
Это утверждение достаточно доказать для первых производ-
производных dj, j = 1, ...,п. Пусть ip G P(Mn) и щ(х,у), к = 1, 2,..., сходится
к 1 в М2п. Тогда последовательность ?7^ + -^- также сходится к 1
3

§2.3. Свертка обобщенных функций	109
в М2п. Отсюда, пользуясь тем, что свертка f *д существует в Т>г(Жп)
(см. п. 2), получим следующую цепочку равенств:
= - lim
1КХ 'УУ dXj
(x + у)] дщ , ч| =
x) • g(y), (vk + |g
- lim (f(x) • g(y), щ(р(х + у)) =
= 7lim (9jf(x) • g(y), r)kv(x + y)) + (f*g,<p)-(f*g, Ф) = (djf *g,<p),
откуда и следует первое равенство B0) для dj. Второе равенство сле-
следует из первого и коммутативности свертки:
dj(f *g) = dj(g *f) = djg*f = f
Из равенств B0) вытекают равенства
daf = da5*f = 5* daf, f e V.	B1)
Отметим, что существования сверток daf * д и / * dag, \a\ ^
^ 1, недостаточно для существования свертки f *д и справедливости
равенства daf * ^ = / * 9а^, например, в' * 1 = S * 1 = 1, но в * 1; =
= # * 0 = 0. Другими словами, операция свертки, вообще говоря, не
ассоциативна:
(в * S') * 1 = в' * 1 = 1, в * (<*' * 1) = в * 0 = 0.
г) Сдвиг свертки. Если свертка /*# существует, то существует
и свертка f(x + h)*g(x), причем
/(х + К) * <?(ж) = (/ * д){х + Л), h е Жп,	B2)
т. е. операции сдвига и свертки коммутируют.
Действительно, пусть щ(х,у), к = 1,2,..., — любая последова-
последовательность, сходящаяся к 1 в М2п. Тогда при любом h G W1 последова-
последовательность rjk{x — h, у), к = 1, 2,..., также сходится к 1 в М2п. Теперь,

110
Гл. П. Обобщенные функции
пользуясь определениями сдвига (см. §2.1, п. 9) и свертки (см. п. 2),
при всех (р е V(Rn) получаем
((/ * 9){х + Л), ф) = (/ * д, ф - Л)) =
= lim (/(ж) -д(у), г)к(х-1г,у)ф-]1 + у)) =
к—>-оо
= lim (f(x + h) -д(у), т(х,у)ф+ у)) = (f(x + h) *g(x),
/с)оо
что и требовалось. Здесь мы воспользовались формулой (9) для сдви-
сдвига прямого произведения.
4. Существование свертки. Установим достаточные усло-
условия (помимо приведенных в п. 2) существования свертки в V.
Теорема 1. Пусть / — произвольная, ад — финитная обоб-
обобщенные функции. Тогда свертка f *g существует в V и представ-
представляется в виде
(/ * 9, Ч>) = (f(x) ' 9(у), 'П(У)Ф + 2/))» Ч>
B3)
где г) — любая основная функция, равная 1 в окрестности носите-
носителя д. При этом свертка непрерывна относительно f и д в отдель-
отдельности:
1)	если fk —У 0 в V, к —У оо, то fk * g —У 0 в ?>', & —у оо;
2)	ес./ш #fc —>¦ 0 в ?>', к —У оо, причем sptgk С С/д, где R > 0 не
зависит от к = 1, 2,..., то / * ^ ч 0 в Р;, & —>¦ оо.
Доказательство. Пусть sptg С Ur, г] — функция из ?>(МП),
равная 1 в окрестности sptg, spt 77 С Ur (по лемме из §2.1, п. 2 та-
такая функция существует). Пусть, далее, ср — произвольная функ-
функция из Т>(Жп), spt if С Uа и Щ (х, у), к =
= 1,2,..., — последовательность, схо-
сходящаяся к 1 в М2п (см. п. 2). Тогда при
всех достаточно больших к
f](y)f]k (х, у)ф + у) = т](у)Ф + 2/)-
B4)
Для доказательства равенства
B4) следует проверить, что функция
Рис. 24	rj(y)ip(x + у) принадлежит V(R2n). Но
это вытекает из того, что она беско-
бесконечно дифференцируема и ее носитель лежит в ограниченном мно-
множестве (рис. 24):
х,у):
А,
UA+R x UR.

§2.3. Свертка обобщенных функций	111
Учитывал теперь соотношение B4) и равенство д = щ (см. A0) из
§2.1), убеждаемся в справедливости формулы B3):
(f*9, Ч>) = ;lim (/О) '9(у), т(х,у)ф(х + у)) =
= lim (/(ж) -г](у)д(у), rjk(x,y)<p(x + y)) =
к—юо
= lim (/(ж) •#(?/), rj(y)rjk(x,y)(p(x + y)) = (/(ж) •#(?/), rj(y)(p(x+ у)).
к^оо
Непрерывность свертки f * д относительно f и д вытекает
из представления B3) и из непрерывности прямого произведения
/(ж) • д(у) относительно / и д в отдельности (см. п. 1, а)). При этом
условие sptg/. С Ur позволяет выбрать вспомогательную функцию rj,
единую для всех д^. Теорема доказана.
Дадим еще одно условие существования свертки. Обозначим че-
через V'+ совокупность всех обобщенных функций из V (Ж1), обращаю-
обращающихся в нуль при t < 0.
Теорема 2. Пусть f,g E Т>+. Тогда их свертка f * g сущест-
существует в V'+ и представляется в виде
U*9i4>) = (f(t)'9(r), *71(*ЫтМ* + т)), ip G ^(М1), B5)
где 771,772 — любые функции класса Р00^1), равные 1 в окрестности
полуоси [0, оо) и 0 при достаточно больших отрицательных t. При
этом свертка непрерывна относительно / и g в отдельности, на-
например, если fk G Т>'+ и fk —>¦ 0 в V, fc —>¦ 00, mo //. *g —>¦ 0 в Р;, fc —>¦ 00.
Доказательство. Доказательство аналогично доказательству
теоремы 1. Наметим его. Пусть cp{t) G ^(М1) и rjk(t,r) сходится к 1
в М2 (см. п. 2). Тогда при всех достаточно больших к справедливо
равенство
Учитывая это равенство и равенства / = 771/, g — щд (см. A0) из
§2.1), убеждаемся в существовании свертки / * д в Vf(M}) и в спра-
справедливости формулы B5):
(/ *д,(р)= lim (/(«) • д(г), %(«, т)^(« + г)) =
k—too
= lim (тШ(*)-гц(т)д(т), щ(Ь,тМЬ + т)) =
к—>-оо
= lim
к—>-оо

112	Гл. П. Обобщенные функции
Из представления B5) следует, что / * д = 0 при t < 0 (т.е. / * д Е
Е Т>'+), и остальные утверждения теоремы.
Представление B5) влечет
Следствие. Свертка обобщенных функций из V'+ коммута-
коммутативна и ассоциативна:
f*9 = 9*f, f*(9*h) = (f*g)*h, f,g,heV'+.
Определение. Линейное множество Л называется алгеброй,
если на нем определена операция умножения, линейная относитель-
относительно каждого сомножителя в отдельности. Алгебра Л называется
коммутативной, если ху = ух для всех х,у Е Л, и ассоциативной,
если x(yz) = (xy)z для всех x,y,z Е Л.
Теорема 2 и следствие из нее утверждают, что ТУ_^_ образует
коммутативную ассоциативную алгебру, если в качестве умножения
взять операцию свертки *; поэтому Т>'+ называется сверточной ал-
алгеброй. Единицей в Т>'+ является ^-функция, поскольку 8 * / = / для
всех / е Т>\.
5. Уравнения в сверточной алгебре ^>^_. В алгебре Т>'+
рассмотрим уравнение
а * и = /,	B6)
где аи/ — известные, а и — неизвестная обобщенные функции
из Т>'+. Решение уравнения B6) при / = 8, если оно существует, на-
называется фундаментальным решением сверточного оператора а* и
обозначается а. Другими словами, а — обратный элемент к а в
алгебре V'+, а * а~х = 8; отметим, что в этом случае и а~х * а = 8,
поскольку алгебра V'+ коммутативная.
Теорема. Если а~х существует в V'+, то для любой f из V'+
решение уравнения B6) в V'+ существует, единственно и выража-
выражается формулой
и = оГ1 * /.	B7)
Доказательство. Действительно, свертка а * / принадле-
принадлежит Т>'+ и удовлетворяет уравнению B6):
а * (а * /) = (а * а) *f = 5*f = f.
Так как однородное уравнение а * щ = 0, соответствующее уравне-
уравнению B6), имеет только нулевое решение:
оГ1 * (а * щ) = (а * а) * щ = 8 * щ = щ = оГ1 * 0 = О,

§2.3. Свертка обобщенных функций	113
то решение уравнения B6) единственно в V'+ (см. § 1.1, п. 9).
Доказанная теорема сводит задачу решения уравнения B6) при
произвольной / из ТУ_^_ к решению его при конкретной / = #, т.е. к
нахождению а.
Следующее предложение весьма полезно при построении фун-
фундаментальных решений в алгебре Т>'+: если а^1 и а^1 существуют
в Т>'+, то
(ai *a2)~1 =dz1 * af1.	B8)
Действительно,
(ai * 0,2) * (a^1 * ^Г1) = ai * (a2 * а2~1) * ai1 = ai * Й * a^1 = a\ * a^1 = Й.
В качестве полезного примера определим в алгебре V'+ операто-
операторы дробного дифференцирования и интегрирования. Для этого вве-
введем обобщенную функцию fa из Т>'+, зависящую от вещественного
параметра а:
fa(x) = { Г (а
Проверим, что
/а*//3=/а+/3-	B9)
Действительно, если а > 0 и /3 > 0, то (см. A5))
ya~1(x-y)l3~1 dy =
в(х)ха+C-1
Г(а)Г(/?)
_ в(х)ха^-1
Jo
причем мы воспользовались известной формулой
В(а,р) =
Jo
Если же а ^ 0 или /3 ^ 0, то, подобрав натуральные числа т > — а
и п > — C, получим
/? 	 г\ГП)	?\п) 	 ( ?	?	\{rH-\-Tl) 	 гуТП-\-П)		 /»
а * 1C — Ja+m * //3+n "~ \Ja+m * JC+n)	— Ja+p+m+n — Ja+Ci
8 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

114	Гл. П. Обобщенные функции
что и требовалось доказать.
Рассмотрим сверточный оператор /а* в алгебре Т>+. Так как
/о = 5, то из B9) следует, что фундаментальное решение j~x опе-
оператора /а* существует и равно /_а, т.е. J = /_а. Далее, при це-
целых п < 0 имеем /п = ?(п), и потому fn*u = S^ * -u = ?/n), т. e. /n* —
оператор п-кратного дифференцирования. Наконец, при целых п > О
(/п * ^)(П) = f-n * (/п * и) = (/_п * /п) * U = E * U = IX,
т.е. fn * и — первообразная порядка п обобщенной функции и (см.
§2.2, п.З). Поэтому оператор /а* называют оператором дробного
дифференцирования при а < 0 и дробного интегрирования при а > О
(а также оператором Римана-Лиувилля).
6. Регуляризация обобщенных функции. Пусть / — об-
обобщенная функция и^ — основная функция. Поскольку ф финитна,
свертка / * ф существует по теореме 1 из п. 4. Докажем, что
(х-у))?С°°(Жп).	C0)
Действительно, в силу B3) при всех ср G Т> имеем
ф,ф) = (f(y) ¦ ф@, v(ZMv + 0) =
где вспомогательная функция rj G Т> равна 1 в окрестности носите-
носителя ф. Замечая теперь, что функция (р(х)ф(х-у) принадлежит 2)(М2п),
и пользуясь равенством A0), получаем равенство C0):
Жх ~y))dx = ((f(y)Mx -v))Mi V^V.
Бесконечная дифференцируемость правой части равенства C0) уста-
устанавливается стандартным образом.
Пусть оо?(х) — «шапочка» (см. § 2.1, п. 2). Тогда бесконечно диф-
дифференцируемая функция
fe(x) = / * UJ? = (f(y), U?(X - у))
называется регуляризацией обобщенной функции /.

§2.3. Свертка обобщенных функций	115
В § 2.1, п. 6 было доказано, что и? -у S(x), ?4+0в V. Отсюда,
пользуясь непрерывностью свертки относительно ио? (см. теорему из
п. 4), получаем
fe(x)^f(x) в ?>', г^+0.	C1)
Итак, всякая обобщенная функция есть слабый предел своих
регуляризации.
Пользуясь этим утверждением, установим более сильный
результат.
Теорема. Всякая обобщенная функция есть слабый предел
основных функций, т. е. множество D плотно в D1.
Доказательство. Пусть f?(x) — регуляризация / и %, г —>
—у +0, — последовательность основных функций, равных 1 в ша-
шаре U\j?. Тогда последовательность основных функций rj?(x)f?(x), e —>¦
—У +0, сходится к / в V, поскольку для любой ip Е V в силу C1)
имеем
efe,4>)= lim(f?,rj?ip)=
?—^ + 0
что и утверждалось.
Замечание. Из полноты пространства V (см. §2.1, п.З) выте-
вытекает обратное утверждение: всякий слабый предел локально интегри-
интегрируемых функций есть обобщенная функция из V. Поэтому теорию
обобщенных функций можно строить, исходя из слабо сходящихся
последовательностей обычных функций.
7. Ньютоновы потенциалы — примеры сверток.
а) Пусть р — обобщенная функция из Т>'(Жп), п = 2, 3, и
У3 = -Д- * р, п = 3, V2 = In -^ * р, п = 2.	C2)
\х\	\х
Тогда Vn называется ньютоновым потенциалом (V2 называется так-
также логарифмическим потенциалом) с плотностью р.
Если р — финитная обобщенная функция, то потенциал Vn су-
существует вР'и удовлетворяет уравнению Пуассона
ДУз = -4тг?, AV2 = -2тгр.	C3)
Существование потенциала Vn следует из теоремы 1 из п. 4.
Пользуясь формулами B0) из п. 3 и C2) из § 2.2, заключаем, что, на-
например, при п = 3
ДУ3 = А ( —г * р) = Д—г * р = -4тп5 * р = -4тгр.
\ \х\ J	\х\

116
Гл. П. Обобщенные функции
Аналогично разбирается случай п = 2.
б)	Если р — (абсолютно) интегрируемая функция в ограничен-
ограниченной области G С W1 и р = 0 вне G, то потенциал Vn называется объ-
объемным потенциалом (V2 называется также потенциалом площади).
Объемный потенциал Vn — локально интегрируемая функция
в W1, причем
ВД = [ -^- dy, V2(x) = [ р(у) In -^Ц dy. C4)
Jg \Х-У\	Jg	\x-y\
Эти представления вытекают из формулы A4) для свертки финитной
интегрируемой функции р с локально интегрируемой функцией -р-
(п = 3) и -1п|ж| (п = 2).
в)	Пусть S — ограниченная кусочно гладкая поверхность в Ж3
или ограниченная кусочно гладкая кривая в!2 с выбранным направ-
направлением нормали п на ней, а \± и v — непрерывные функции на S.
Пусть [лбs и —T7-(v5s) — соответственно простой и двойной
слои на 5 с поверхностными плотностями \i и v (см. §2.1, п. 6 и
§2.2, п.5, а)). Порождаемые ими ньютоновы потенциалы
У3@) = т^- *
\х
V2i0) =\n^-
C5)
называются соответственно поверхностными потенциалами просто-
простого и двойного слоя с плотностями \± и v.
Поверхностные потенциалы Vn и Vn — локально интегрируе-
интегрируемые функции в W1, причем
= f
Js
x — У\
C7)
C8)
У
Докажем, например, формулу C8) для потенциала V^1J. Пользу-
Пользуясь представлением B3) для свертки и определением двойного слоя,
получаем

§2.3. Свертка обобщенных функций	117
= - (^0"Ш). v(y) (щ,<p(v
= / 1/B/) / <р(х)-	-dxdSy = / <р(х) / ^B/) о—1	-.dSydx
Js J	дп\х-у\	J	Js дпу\х-у\
для любой ср ЕТ>, что и требовалось доказать.
Дифференцирование под знаком интеграла здесь обеспечивает-
обеспечивается теоремой из § 1.1, п. 4, а перемена порядка интегрирования законна
(см. [2]).
8. Упражнения.
а)	Доказать равенство
—1—	*- = 5(хг)... 5(хп).
ОХ\ . . . ОХп
б)	Доказать: spt [/(ж) • д(у)] = spt / х sptg.
в)	Доказать: для того чтобы обобщенная функция f(x) не зави-
зависела от Xi, необходимо и достаточно, чтобы -^- = 0.
г)	Доказать: для того чтобы обобщенная функция f(x) не зави-
зависела от Xi, необходимо и достаточно, чтобы она была инвариантной
относительно всех сдвигов по Х{.
д)	Доказать:
spt(/ * g) С {х: х = у + г, 2/ G spt /, 2: G spt #}.
е)	Доказать: если обобщенная функция / не зависит от ж^, то
таким же свойством обладает и свертка / * д. (Указание: использо-
использовать в) или г).)
ж)	Пользуясь е), доказать: если свертка /*1 существует, то
она совпадает с постоянной.
з)	Проверить равенства:
S	a > 0;
2^2'	>0-
тг а1 + х1

118	Гл. П. Обобщенные функции
и) Доказать, что
в(х
где *fk = /*...*/ (к раз).
к) Пользуясь формулой B9), показать, что функция
и(х) =
есть решение интегрального уравнения Абеля
л) Доказать равенство
eaxf*eaxg = eax(f*g), f,gET>'+.
м) Доказать: если / Е ^'(М1), / * ip Е ?>+ при всех у? Е ?>(ж > 0),
то / е V\.
н) Обозначим через ?' пространство финитных обобщенных
функций со сходимостью fk —У 0, к —У оо, в ?', если: 1) fk —У 0 в V]
2) существует R > 0 такое, что spt fk С Ur при всех & = 1,2,...
Доказать теорему: для того чтобы оператор L, действующий
из ?' в V, представлялся в виде свертки Lf = д * /, где g G V, необ-
необходимо и достаточно, чтобы он был линейным и непрерывным из ?'
вР'и коммутировал с операцией сдвига (см. п. 3, г)). При этом эле-
элемент д единственный и д = LS.
§ 2.4. Обобщенные функции медленного роста
Одним из мощных средств решения задач математической фи-
физики является метод преобразования Фурье. Естественным образом
преобразование Фурье действует на пространстве обобщенных функ-
функций медленного роста, к изучению которых мы приступаем.
1. Пространство основных функции S. Отнесем к мно-
множеству основных функций S = <S(Mn) все функции класса С°°(МП),
убывающие при |ж| —у оо вместе со всеми производными быстрее лю-
любой степени l^l. Сходимость в S определим следующим образом:

§2.4- Обобщенные функции медленного роста	119
последовательность функций ср±, if 2 •> • • • из 5 сходится к функции ср Е
Е <S, ifk —У ц>, к —у оо, в 5, если для всех а и /?
хРда<рк(х)=1хРдаф), хеЖп, к^оо.	A)
Очевидно, 5 — линейное пространство. Легко проверить, что
V С 5 и из сходимости в ?> следует сходимость в S. Однако S не сов-
совпадает с V. Например, функция е~х принадлежит 5, но не принад-
принадлежит V. Тем не менее, V плотно в 5, т.е. для любой ср Е S найдется
последовательность ^G^,fc = l,2,..., такая, что срк —У (р, к —у оо, в S.
Действительно, последовательностьсрк(х) = cp(x)r](^) G Т>, к = 1, 2,...,
где ?7 G ?> и ?7(ж) = 1, |ж| < 1, сходится к у? в S.
Операции дифференцирования даср(х) и неособенной замены пе-
переменных (р(Ау + Ь) непрерывны из S в S. Это вытекает из опреде-
определения сходимости в S.
С другой стороны, умножение на бесконечно дифференцируе-
дифференцируемую функцию может вывести за пределы множества 5, например,
е-х2ех* = 1^5.
Обозначим через ©м множество всех функций a G С°°(МП), рас-
растущих на бесконечности вместе со всеми производными не быстрее
полинома:
\даа(х)\^СаA + \х\)т(аК	B)
Операция умножения на функцию a G ©м непрерывна из S в S.
Действительно, из неравенства B) вытекает: если ср G 5, то сир G
G 5, и если <^fc —>¦ 0, к —у оо, в 5, то при всех а и /?
)) =4 0, xGln, fe ^00,
т. е. cupk —>¦ 0, к —у оо, в S.
2. Пространство обобщенных функции медленного рос-
роста S'. Обобщенной функцией медленного роста называется всякий
линейный непрерывный функционал на пространстве основных функ-
функций S. Обозначим через Sf = ^(M71) множество всех обобщенных
функций медленного роста. Очевидно, Sf — линейное множество (ср.
§ 2.1, п. 3). Сходимость в Sf определим как слабую сходимость после-
последовательности функционалов: последовательность обобщенных функ-
функций /i,/2,... из 5' сходится к обобщенной функции / G S' (пишем:
fk -У /, к -у оо, в 5'), если (Д,у>) -У (/, ф), к -у оо, для любой <р eS.
Линейное множество S' с введенной таким образом сходимостью на-
называется пространством обобщенных функций медленного роста S'.

120	Гл. П. Обобщенные функции
Из этих определений непосредственно вытекает, что S' С V и
из сходимости в S' следует сходимость в V.
Действительно, если / Е S', то / Е ТУ, так как D С S и из сходи-
сходимости в ?> следует сходимость в S (см. п. 1). Далее, если //, —>¦ 0, к —У оо,
в5',то (fk,p) ->• 0, fc ->• оо, при всех <р из ?>, и, стало быть, Д ->• 0, fc ->•
-^ 00, В Р7.
Теорема (Л. Шварц). Для того чтобы линейный функционал /
на S принадлежал S' (т. е. был непрерывным на 5), необходимо и
достаточно, чтобы существовали число С > 0 и целое число р ^ О
такие, что
|(/,?>)|^С|М1р	C)
для любой if G 5, где
|MIP= sup A + |Ж|Г|5Хж)|.
Доказательство. Достаточность. Пусть линейный функ-
функционал / на S удовлетворяет неравенству C) при некоторых С > О
и р ^ 0. Докажем, что / G 5;. Пусть (р/, —>¦ 0, fc —> оо, в 5. Тогда ||^^||р —>¦
—У 0, к —У оо, а потому |(/, ^)| ^ С ||^^||р —У 0, к —У оо. Это и значит,
что / — непрерывный функционал на S.
Необходимость. Пусть / е S'. Докажем, что существуют чис-
числа С > 0 ир^ 0 такие, что для любой ср G S справедливо неравенст-
неравенство C). Пусть, напротив, указанных чисел Сирне существует. Тогда
найдется последовательность функций ^i,^25 ••• из 5 таких, что
1Ы1*-	D)
Последовательность функций
(ж)	к-12
К - 1,Z,...,
сходится к 0 в 5, ибо при к ^ \а\ и к ^ \/3\
Отсюда и из непрерывности функционала / на S следует, что
(/, фь) -^ 0, к ^ оо. С другой стороны, неравенство D) дает
\A,фк)\= I

§2.4- Обобщенные функции медленного роста	121
Полученное противоречие доказывает теорему.
Доказанная теорема утверждает, что всякая обобщенная функ-
функция медленного роста непрерывна относительно некоторой нормы
|| • \\р (или, как говорят, имеет конечный порядок).
3. Примеры обобщенных функции медленного роста.
а) Если /(ж) — локально интегрируемая функция медленного
роста на бесконечности, т. е.
оо
при некотором т ^ 0, то она определяет регулярную обобщенную
функцию медленного роста из Sf по формуле C) из § 2.1
(/, (р) = / f(x)(p(x) dx, (р e S.	E)
Конечно, не всякая локально интегрируемая функция определяет об-
обобщенную медленного роста, например, ех ^ ^(М1).
С другой стороны, не всякая локально интегрируемая функ-
функция, принадлежащая S', имеет медленный рост. Например, функция
(cose^y = — ех s'mex не является функцией медленного роста, но тем
не менее задает обобщенную функцию медленного роста по формуле
((cosex)',cp) = - / cosexcp'(x) dx,
Замечание. Пользуясь теоремой Л. Шварца (см. п. 2), можно
доказать, что всякая обобщенная функция из S' является производ-
производной (в смысле обобщенных функций) от непрерывной функции мед-
медленного роста. Этим и объясняется название пространства S'.
б) Если / — финитная обобщенная функция из V, то она
единственным образом продолжается на S как элемент из S' по фор-
формуле
где j]^Vhj] = 1b окрестности носителя /.
Действительно, линейный функционал (/, rjip), стоящий в правой
части равенства F), непрерывен на S: если ерь —У 0, к —У оо, в 5,
то r](pk —У 0, к —У оо, в Т>, и потому

122	Гл. П. Обобщенные функции
Единственность продолжения функционала / на S следует из плот-
плотности V в S (см. п. 1). В частности, продолжение F) не зависит от
вспомогательной функции rj.
в)	Если / G 5', то и каждая производная да/ принадлежит S1.
Действительно, поскольку операция дифференцирования даср непре-
непрерывна из S в S (см. п. 1), то правая часть равенства
(daf, <р) = (-1)Н(/, а»
есть линейный непрерывный функционал на S (ср. § 2.2, п. 1).
г)	Если / е S' и det А ф 0, то f(Ay + b) е S'.
В самом деле, поскольку операция преобразования ср[А~1(х — Ь)]
непрерывна из S в S (см. п. 1), то правая часть равенства
есть линейный непрерывный функционал на S (ср. § 2.1, п. 8).
д)	Если / е S' и а е 0м, то a/ G S'.
Действительно, поскольку операция умножения на функцию a G
G ©м непрерывна из S в 5 (см. п. 1), то правая часть равенства
(а/, (р) = (/, а<р)
есть линейный непрерывный функционал на S (ср. § 2.1, п. 9).
е)	Так же, как и в §2.3, п. 1, определяется прямое произведе-
произведение f(x) • g(y) обобщенных функций f(x) G S'(Rn) и g(y) G S'(Rm),
причем /(ж) -g(y) e S'(Mn+m).
Все свойства прямого произведения, перечисленные в § 2.3, п. 1,
сохраняются и в этом случае, в частности, прямое произведение ас-
ассоциативно и коммутативно, а формула A0) из § 2.3
г	\ г
/(ж), / <p(x,y)dy) = /
(f(x),<p(x,y))dy	G)
справедлива при всех f eS'(Rn) И(р е <S(Mn+m).
ж) Как и в § 2.3, п. 2, определяется свертка f * g обобщенных
функций /, g G е>;, причем все свойства свертки, перечисленные в
§ 2.3, п. 3, сохраняются. В частности, свертка / * g обобщенной функ-
функции медленного роста / G Sf с финитной обобщенной функцией g G ?'
существует, / * g G S' и сохраняется представление B3) из § 2.3 для
всех ip G S.
Множество обобщенных функций S+ = Т>'+ C\S', где Т>'+ — свер-
точная алгебра, определенная в § 2.3, п. 5, образует сверточную ал-
алгебру — подалгебру алгебры V'+.

§2.4- Обобщенные функции медленного роста	123
4. Структура обобщенных функции с точечным носи-
носителем.
Теорема. Если носитель обобщенной функции f есть точка
{0}, то она имеет единственное представление
т
f(x) = Y1 Сада6(х).	(8)
Н=о
Доказательство. Так как обобщенная функция / имеет носи-
носитель {0}, то / G S' (см. п.З), и в силу A0) из §2.1 / = f](kx)f при
всех к > 0, где rj(x) — основная функция, равная 1 в окрестности
точки 0 и равная 0 при |ж| > 1.
Пусть п = 1. По теореме Л. Шварца (см. п. 2) справедливо нера-
неравенство
\(xNf,ip)\ = \(f,xNrj(kx)ip)\^C\\xNrj(kx)ip(x)\\m, ipeS, (9)
при некоторых С > 0 и m ^ 0, не зависящих от ср, N и к. Положив N =
= т + 1, получим оценку
\\хт+1т](кх)ф)\\т = sup A + \х\т) \да[хш+1фх)ф)]\ <: ^-,
где С\ не зависит от к. Отсюда, переходя в неравенстве (9) к пределу
при к —У оо, приходим к выводу, что обобщенная функция / удовлет-
удовлетворяет уравнению
Следовательно, в силу формулы B0) из § 2.2 / имеет представле-
представление (8).
Докажем единственность представления (8). Пусть
fix) = Y, С'ада6(х)
С'да
\а\=0
— другое представление /; тогда
Са " С'а)да6(х) = 0.
\а\=0
Применяя это равенство к моному ar, \/3\ ^ m, получаем

124	Гл. П. Обобщенные функции
0= ^ ^
\а\=О
\а\=О
\\
.е. Ср = Ср. При п > 1 доказательство аналогично. Теорема дока-
докаана.
т
зана
§ 2.5. Преобразование Фурье
обобщенных функций медленного роста
Замечательное свойство класса обобщенных функций медлен-
медленного роста состоит в том, что на нем определено преобразование
Фурье.
1. Преобразование Фурье основных функции из S. Для
основной функции if G S положим (см. [2])
j
интеграл справа определен для всех (Gln, поскольку ср(х) абсолютно
интегрируема на W1. Функция F[(^](?) называется преобразованием
Фурье функции ср(х). Очевидно, F[(^](?) непрерывна и ограничена
в Жп. Поскольку (р(х) убывает на бесконечности быстрее любой сте-
степени l^l, ее преобразование Фурье можно дифференцировать под
знаком интеграла любое число раз:
c^dx = F[(ix)a<p(x)}@,	A)
так что i^[y](?) E Соо(Жп). Далее, такими же свойствами обладает
всякая производная даср, а потому интегрирование по частям дает
= /\даур(х))е1&х) dx = (-i?)aF[(^](?).	B)
Наконец, из формул A) и B) получаем
C)
Из равенства C) вытекает, что при всех а и /3 функции
равномерно ограничены по ? на W1:
D)

§2.5. Преобразование Фурье обобщенных функций	125
Это означает, что F[cp] Е S (см. §2.4, п. 1). Итак, преобразование
Фурье переводит пространство S в себя.
Отметим, что преобразование Фурье не переводит пространст-
пространство основных функций D в себя, поскольку преобразование Фурье фи-
финитной функции есть аналитическая функция и, стало быть, не может
быть финитной (см. [3]).
Так как преобразование Фурье F[cp] основной функции ср Е S
есть интегрируемая и непрерывно дифференцируемая функция на Мп,
то согласно общей теории преобразования Фурье (см. [2]) функция ср
восстанавливается по F[cp] операцией обратного преобразования
Фурье F:
ф) = F-^FMix) = FlF^Mix),	E)
где
Из формул E) и F) следует, что всякая функция ср Е S есть
преобразование Фурье функции ф = F^] e S, ip = F[ip], причем,
если F[(p] = 0, то и ip = 0. Другими словами, преобразование Фурье F
взаимно однозначно отображает S на S.
Лемма. Операция преобразования Фурье непрерывна из S в S.
Доказательство. Пусть ерь —> 0, к —> оо, в S. Применяя оцен-
оценку D) к функциям cpk при данных а и /3, получим
/
I dx ^
dx
откуда следует, что
т. е. F[cpk] —>¦ 0, к —> оо, в S (см. § 2.4, п. 1). Лемма доказана.
Аналогичными свойствами обладает и операция обратного пре-
преобразования Фурье F.

126	Гл. П. Обобщенные функции
2. Преобразование Фурье обобщенных функции из S'.
Пусть сначала f(x) — (абсолютно) интегрируемая функция на Жп.
Тогда ее преобразование Фурье
F[f№ = / №е'&х) dx, \F[f](O\ ^ I \f(x)\dx,
есть непрерывная, ограниченная в Жп функция, и, следовательно, оп-
определяет обобщенную функцию из Sf:
Используя теорему о перемене порядка интегрирования (см. [2]),
преобразуем последний интеграл:
= I f(x) (| vttY^) ddj dx = J f(x)F[p](x) dx,
т. е.
Равенство G) мы и примем за определение преобразования Фу-
Фурье обобщенной функции медленного роста / Е S''.
Проверим, что правая часть равенства G) определяет линейный
непрерывный функционал на 5, т.е. что F[f] Е Sf. Действительно,
так как F[cp] Е S для любой ср Е S (см. п. 1), то (f,F[cp\) есть функ-
функционал (очевидно, линейный) на S. Пусть срк —У 0, к —У оо, в S. По
лемме из п. 1 F[cpk] -У 0, к -у оо, в 5, и потому (/, F[ipk]) -у 0, к -у оо
(напомним, / G 5;), так что функционал (f,F[ip\) непрерывный на S.
Таким образом операция преобразования Фурье F переводит
пространство S' в S'.
Более того, F — линейная и непрерывная операция из 5' в 5'.
Линейность F очевидна. Докажем ее непрерывность. Пусть
fk —У 0, к —У оо, в Sf. Тогда в силу G) при всех ср G S имеем
Это и означает, что F[fk] —У 0, к —У оо, в S'.
Введем на S' еще операцию F~1:
(8)

§2.5. Преобразование Фурье обобщенных функций	127
Проверим, что операция F является обратной к операции преобра-
преобразования Фурье F, т. е.
[f]} = f, feS'.	(9)
Действительно, из E)-(8) для любой ср Е S имеем
откуда и следуют формулы (9).
Из формул (9) вытекает, что всякая обобщенная функция / G S'
есть преобразование Фурье обобщенной функции д = F~x[f] G 5;, / =
= F[g], и если F[f] = 0, то и / = 0. Таким образом, мы доказали, что
преобразование Фурье F отображает Sf на Sf взаимно однозначно и
взаимно непрерывно.
Пусть f(x,y) G S'(Rn+m), где ж G Mn, 2/ G Mm. Введем преоб-
преобразование Фурье Fx[f] по переменным х = (xi,...,xn), положив для
n+m)
(F,[/],^) = (/,Fc[H)-	(Ю)
Как и в лемме из п. 1, устанавливается, что
и что операция F^ [ip] непрерывна из <S(Mn+m) в 5(Mn+m), так что фор-
формула A0) действительно определяет обобщенную функцию Fx[f](?,y)
Пример. Покажем, что
F[6(x - хо)№ = еК'*°1	A1)
Действительно,
(F[S(x - хо)],ф) = (S(x - xo),F[<p](x)) = F[<p]{x0) =

128	Гл. П. Обобщенные функции
Полагал в A1) хо = 0, получим
F[S] = 1,	A2)
откуда
так что
F[l}@ = Bж)п6(О-	A3)
3. Свойства преобразования Фурье.
а) Дифференцирование преобразования Фурье. Пусть / G 5',
тогда
daF[f]=F[(ix)af(x)].	A4)
Действительно, пусть ip Е «S, тогда в силу B)
= {-l)M(f(x),(-ix)aF[<p]{x)) =
= ((ix)af(x),F[<p\) =
откуда и следует формула A4).
В частности, полагая в A4) / = 1 и пользуясь формулой A3),
получим
F[xa] = (-i)H<9aF[l] = Bтг)п(-г)Н<9аE.	A5)
б) Преобразование Фурье производной. Пусть /G5', тогда
F[d°M) = (-ЮаПМ)-	A6)
В самом деле, пользуясь формулой A), при всех ср G 5, получим
откуда и следует формула A6).
В частности, полагая / = 5 и пользуясь формулой A2), получим

§2.5. Преобразование Фурье обобщенных функций	129
в) Преобразование Фурье сдвига. Пусть /G5', тогда
F[f{x-xo)){O=ei(x^)F[m)-	A8)
Действительно, при всех ср Е S имеем
(F[f(x-xo)№MO) =
= (f(x),F[p](x
откуда и следует формула A8).
г) Сдвиг преобразования Фурье. Пусть /G5', тогда
A9)
В самом деле, пусть ср G 5, тогда в силу A8)
откуда и следует формула A9).
д) Преобразование Фурье подобия (с отражением). Пусть / G
G е>;, тогда при всех вещественных с ф О
B0)
Действительно, при всех ср G S имеем (см. § 2.4, п. 3, г)
(F[f(cx)],<p) = (f(cx),F[p](x)) = ^ (f(x),
= (f(x),F[<p(cn)]) =
e) Преобразование Фурье прямого произведения. Пусть / 6
9 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

130	Гл. П. Обобщенные функции
F[f(x)-g(y)]=Fx[f(x)-F[g](r1)} =
= Fy[F[f}(,0 ¦ 9(У)} = F[f](,0 ¦ F[gM- B1)
Действительно, при всех ^p(?,,f]) E <S(Mn+m) имеем
(F[f(x)-g{y)],v) = (f(x)-g{y),F[ip]{x,y)) =
= (f(x),(g(y),FvF&](x,y))) = (f(x),(F\g](v),Fd<p](x,v))) =
= (f(x)-F\g](v),Fi[f](x,v)) = (Fx[f{x)-Fmri)]{OMbv)) =
откуда и следуют равенства B1).
ж) Аналогичные формулы справедливы и для преобразования
Фурье Fx. Например, пусть f(x,y) G 5/(Mn+m), тогда
B2)
4. Преобразование Фурье обобщенных функции с ком-
компактным носителем.
Теорема. Если f — финитная обобщенная функция, то ее пре-
преобразование Фурье принадлежит классу ©м и имеет представление
F[f№ = и(*)МФчм),	B3)
где г\ — любая функция из V, равная 1 в окрестности носителя /.
Доказательство. Учитывая равенства F) из § 2.4 и A6) из п. 3,
для любой if G S имеем
(daF[f],<p) = (-l)^
Замечая теперь, что
и пользуясь формулой G) из § 2.4, получаем
(x), J ф)Aх

§2.5. Преобразование Фурье обобщенных функций	131
Далее, из предыдущих равенств выводим равенство
из которого вытекает, что
daF[f](O = У(х),ф)(м)аеК'х)).	B4)
При а = 0 отсюда следует формула B3).
Из представления B4) следует (см. §2.3), что daF[f] e С(МП),
так что F[f] Е С°°(МП). Далее, по лемме Л. Шварца (см. § 2.4, п. 2) су-
существуют С > 0 и целое р ^ 0 такие, что справедливо неравенство C)
из §2.4. Применяя это неравенство к правой части равенства B4),
получим оценку
\\р
= С sup |A + \х\)рд%[ф)хае'&х)]\ ^ СаA +
для всех f Е W1, из которой и вытекает, что F[f] Е ©м (см. § 2.4, п. 1).
Теорема доказана.
5. Преобразование Фурье свертки. Пусть / Е S', д — фи-
финитная обобщенная функция. Тогда
F[f*g} = F[f}F[g].	B5)
Действительно, в силу § 2.4, п. 3, ж) свертка / * д принадлежит
S' и представляется в виде
где r\ Е Т>, г\ = 1 в окрестности носителя д. Учитывая это представ-
представление, для всякой if G S имеем
(	f (	\
(F[f *g],<p) = (f*g,F[if\) = ( /(ж), (g(y),r](y) / y?(f)еЧж+3/'^ df) 1.
\	j	J
Принимая во внимание, что по теореме из п. 4 F[g] G ©м, и пользу-
пользуясь формулами G) из § 2.4 и B3), преобразуем полученное равенство:

132
Гл. П. Обобщенные функции
= (f(x
), J
= U,F[F\9M) =
откуда и вытекает формула B5).
6. Примеры, п = 1.
а) Легко проверяется равенство
f
F[0(R-\x\)](O = /
J-
R
-R
б) Имеет место равенство
Действительно,
B6)
B7)
= Г е~а2х2+*х dx = - fexpla2+i^a\da =
а
Осталось доказать, что линия интегрирования Im? = ?/Ba) в пос-
последнем интеграле может быть сдви-
= а + 11
л+
нута на вещественную ось, т. е. при
всех a G Ш.
О
Рис. 25
2
d(=
2
da =
B8)
По теореме Коши при любом R > 0 имеем (см. [3])
Г e~c2dC = O, ( = а + гт,	B9)
JcR
JcR
где контур Cr = c'R U 1д U dfR U Z^ изображен на рис. 25. Но на отрез-

§2.5. Преобразование Фурье обобщенных функций	133
ках /^ = {0 ^ т ^ а, а =
а потому справедливо равенство
lim
откуда в силу B9) следует равенство B8):
lim / e~^ d( = lim I / + / I e~^ d( =
«/-00	J T=ia
в) Имеет место равенство
C0)
Действительно, из сходимости несобственного интеграла (ин-
(интеграла Френеля)
/ е1у dy = Vtt ехр <^ — >
J-oo	I 4 J
вытекает равномерная сходимость по ? на каждом конечном интер-
интервале несобственного интеграла
r +чж (ia; = lim
-оо	M,N^o
N
Г0
/
У-оо
fN ( ( ?\2 г 1
= lim / ехр \\ x + ^ - - (?\dx =
= exp<--?} lim /	eiydy =
{ 4 J M,7V^oo7_M+c/2

134	Гл. П. Обобщенные функции
Итак, мы доказали равенство C0) поточечно при условии, что
преобразование Фурье понимается как несобственный интеграл. До-
Докажем справедливость этого равенства в5'. В силу доказанного при
всех ip G V, spty? С (—Д, Д), имеем
= (e**a,F[<p](x)) = J eix*FM(x) dx =
= lim
= lim
rR
= / V(t
J-R
rN
1 eix2
) lim
M,N—>-oo
fR
J <
Г
J-M
pN
J — M
At
eix
eix
откуда следует справедливость равенства C0) на основных функциях
из V. Но V плотно в S (см. § 2.4, п. 1), так что это равенство справед-
справедливо на всех основных функциях из S (обратим внимание на то, что
правая часть C0) определяет непрерывный функционал на S).
г) Справедливы равенства
C1)
C1')
iV.
Действительно, при всех а > 0 имеем
F[6(x)e-ax}@ = / е-ах+*х dx = ——.	C2)
Jo	f + га
Так как
в(х)е-ах -+ в(х) в 5;, а -+ +0,
то, переходя в формуле C2) к пределу при а —у +0 и пользуясь непре-
непрерывностью преобразования Фурье (см. п. 2), получаем
Применяя теперь формулу Сохоцкого A0) из § 2.1, получаем равенст-
равенство C1). Равенство C1;) устанавливается аналогично.

§2.5. Преобразование Фурье обобщенных функций	135
д) Имеет место равенство
(O = -2tf-21n|a	C4)
где С — постоянная Эйлера,
_, f1 1-cosw , [°° cos и 7
С = 	аи - 	аи,
Jo и	J1 и
и обобщенная функция VtK определена в § 2.2, п. 6, б).
\х\
Действительно, при всех ср Е S имеем
X
1 F[<p](x) - F[<p]@) ^ , [ F[<p](x)
= Г F[<p](x) - F[<p]{0) ^ | Г
J-i	\х\	]\3
х\>1 \Ц
f p(O ? x =
\x\>l \x\ J
= / Л / <Р@ {eixi -l)d?dx+ Г ±- f <p(Oe
J-I \x\ J	J\x\>l \x\ J
= 2 <p(?)	^	d^dx + 2 I tpiH)	4
JoJ	x	J\ J	x
= 2 Гv@ f1 ^^dxdt-2 Г[m^
J	Jo	x	Ji J	x
J	Jo	и	J	Ji x2
'^ cosix- 1 , d
откуда и следует формула C4).
е) В §2.2, п. 4, г) было установлено равенство
1 ^
Тж ? ^-	C5)
fe= —оо

136	Гл. П. Обобщенные функции
Нетрудно проверить, что ряды слева и справа сходятся в S'.
С помощью формулы A1) перепишем равенство C5) в виде
ОО
2тг
к= — оо
Применяя это равенство к ср Е 5, получим
• оо	\	оо
2тг( Y^ 8(x-2irk),tp(x)) =2тг ^ (й(ж - 2тгк),tp(x)) =
т. е.
оо	оо
2тг ^2 ^B7Г&) = ^2 ^М(^)-	C6)
к= — оо	к= — оо
Равенство C6) называется формулой суммирования Пуассона.
Полагая в формуле C6)
{?}	^{Щ t>o,
получим
±"
±<-"=fit-*{-?¦}
fi{?}¦
Формула C7) применяется в теории эллиптических функций.
7. Примеры, п > 1.
а) Пусть квадратичная форма
п
^2 dijXiXj = (Ах,х), А = (a,ij),
вещественна и положительно определена:
(Ах,х) ^ сг|ж|2, а > 0.

§2.5. Преобразование Фурье обобщенных функций
137
Тогда
C8)
Для доказательства формулы C8) с помощью неособенного ве-
вещественного преобразования х = By приведем квадратичную фор-
форму (Ах, х) к диагональному виду:
(Ах,х) = (АВу,Ву) = (В'АВу,у) = \у\2,
так что
А'1 = BBf, det A (det ВJ = 1.
Отсюда с помощью формулы B7) получаем
F[e-(Ax'x>]@ = f е-(^»)+'«•») dx = | det B| f
= -yL= Г e-M'Wt'ri dy = -yL= ff
л/Не11:У	л/НеТлД
,ву) dy =
б) Аналогично, пользуясь формулой C0), получим
C9)
в) Пусть ^5Н(Ж) — простой слой на сфере Sr в М3 (см. § 2.1, п. 6).
Тогда
D0)
Действительно, учитывая, что 5sR — финитная обобщенная
функция, и применяя формулу B3), получим
JsR
х) dSR =

138
Гл. П. Обобщенные функции
= R2 f eiR&°Us = R2 Г[ ^
Jsi	Jo Jo
г) Пусть п = 2. Введем обобщенную функцию
ложив
W из <S'? п0"
x\<l
x\>l
Тогда
где постоянная
D1)
п fl-Joiu). Г Join) .
Со = / 	-^ du — —-^ du,
Jo	и	Ji и
Jo — функция Бесселя (см. ниже § Д.1).
Действительно, при всех ср G S справедлива цепочка равенств
= г
J\x\<l
Г
x\<l \х\
\x\>l \х
\x\>l \Х
= 2тг/ -
Jo r
= [ ~ [<Р(О f [
Jo r J	Jo
/OO -j p	p
Г- [
Ji r J

§2.5. Преобразование Фурье обобщенных функций
139
= -27Г
о + In |
что и требовалось доказать.
д) Пусть опять п = 2, тогда
Je{R-\x\)
- х
(О = 2тг-
D2)
Действительно,
9(R-
VR2 -
х\
X
)
2
«-jL
еН
:б?Ж =
= / . Г	/ eircosed0dr = 2тг /
Уо V Д2 - г2 Jo	Jo
f1
= 2ttR / J(i^|Ch
io
/Д2 - г
Ldr =
^1-
где мы воспользовались формулой 6.554, 2) из известного справочни-
справочника И. С. Градштейна и И. М. Рыжика.
е) Пусть п = 3, тогда
D3)
Действительно, поскольку функция |ж| 2 локально интегрируе-
интегрируема в Ж3, для всякой ip G 5 имеем цепочку равенств
= lim
= lim
= lim f
uofrr
] J Jo Jo Jo
R />тг />2тг г|^|рcos 6»
n%
= 2тт lim
f	fR f1 ¦
im / ip(?)	e
-^°° J	Jo J-i

140
Гл. П. Обобщенные функции
/•«sir
Jo -
Так как
Г°8т
JR
R
-Г
Jr
. D4)
dp_2
то возможен предельный переход при R —У оо под знаком интеграла
в последнем члене равенств D4). В результате, учитывая, что
f
Jo
2'
получим
откуда и следует формула D3).
8. Упражнения.
Используя C1), (ЗГ) и равенство VX
п. 6, а)), показать, что:
а)	F[sgnx] = 2гР|, F \р\\ =
б)	[^\
в)	^
г)	Доказать, что ряд
оо
Y, ak8{x-k),
(см. §2.2,
сходится в S' (Ж1) и
[оо	-|	оо
J2 ak6(x-k)\ =
k=-oo	-I
д) Пользуясь теоремой из §2.4, п. 4, доказать: если / G V(Rn)
сферически симметрична (т.е. f(Ax) = f(x) для всех вращений А
в W1) или лоренц-инвариантна (см. § 2.1, п. 9) и spt / = {0}, то /(ж) =
= Р(АM(х) или /(ж) = Р(Ш)E(ж) соответственно, где Р — некоторый
полином.

§2.5. Преобразование Фурье обобщенных функций	141
е) Пусть / Е V(M}), spt/ С [—а, а], и пусть г) — произвольная
функция из V(M}), равная 1 в окрестности носителя /. Доказать, что
функция комплексного переменного z = х + iy
f(z) = №)М№**)	D5)
не зависит от 77, целая и при некотором т ^ 0 удовлетворяет оценке:
для любого г > 0 найдется С? > 0 такое, что
\f(x + iy)\ <: Сее^а+е^A + \х\)т.	D6)
Обратно, если целая функция f(z) удовлетворяет оценке D6) с неко-
некоторым т ^ 0, то существует (единственная) функция / G T>f(M}),
spt / С [—а, а], для которой имеет место представление D5) (теорема
Пейли-Винера-Шварца).

Глава III
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ
И ЗАДАЧА КОШИ
В этой главе теория обобщенных функций применяется к по-
построению фундаментальных решений и к решению задачи Коши для
волнового уравнения и для уравнения теплопроводности. При этом
задача Коши рассматривается в обобщенной постановке, что позво-
позволяет включить начальные условия в мгновенно действующие источ-
источники (типа простого и двойного слоя на поверхности t = 0). Таким
путем задача Коши сводится к задаче о нахождении такого (обоб-
(обобщенного) решения данного уравнения (с измененной правой частью),
которое обращается в нуль при t < 0. Последняя задача решается
стандартным методом — методом суммирования возмущений, по-
порождаемых каждой точкой источника, так что решение ее представ-
представляется в виде свертки фундаментального решения с правой частью.
§3.1. Фундаментальные решения
линейных дифференциальных операторов
Для построения фундаментальных решений линейных диффе-
дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами применя-
применяется метод преобразования Фурье. Этим методом, естественно, мо-
могут быть получены только фундаментальные решения медленного
роста.
1. Обобщенные решения линейных дифференциальных
уравнении. Пусть
3 аа(х)даи = f(x), f G V,	A)
\а\=0

§3.1. Фундаментальные решения	143
— линейное дифференциальное уравнение порядка т с коэффициен-
коэффициентами аа Е С°°(МП). Вводя линейный дифференциальный оператор
т
L(x,d)= Y^ а*(х)да,
\а\=0
перепишем это уравнение в виде
L(x,d)u = f(x).	(V)
Обобщенным решением уравнения A) в области G называется
всякая обобщенная функция и Е T>'(G), удовлетворяющая этому урав-
уравнению в обобщенном смысле, т. е. для любой ср Е T>(G) (см. § 2.1, п. 2)
{L(x,d)u,<p) = {f,<p).	B)
Равенство B) равносильно равенству
(u,L*(x,<p)) = (f,<p), v>eV(G),	B')
где
т
J2-l)Mda(aa<p).	C)
\а\=0
Действительно,
/ т	\	т
(L(x,d)u, if) = f 2^ аадаи, ср ) = 2^ (аадаи, ср) =
^|а|=О	^ |а|=О
т	т
= > (даи, CLryLp) = > f—D'^'Cia, da(cLrvtp)) —
\ot\=0	\ot\=0
щ JT (-1)\а\да(аа<р)) = (щ L*(x,d)ip).
l«l=o	J
Ясно, что всякое классическое решение является и обобщенным
решением. Обратное утверждение сформулируем в виде следующей
леммы.
Лемма. Если / Е C(G) и обобщенное решение и(х) уравнения A)
в области G принадлежит классу Cm(G), то оно является и клас-
классическим решением этого уравнения в области G.

144	Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
Доказательство. Так как и е V'(G) nCm(G), то классические
и обобщенные производные функции и до порядка т включитель-
включительно совпадают в области G (см. §2.2, п. 1). Поскольку и — обобщен-
обобщенное решение уравнения A) в области G, то непрерывная в G функ-
функция L(x, д)и — / обращается в нуль в области G в смысле обобщенных
функций. По лемме Дюбуа-Реймона (см. § 2.1, п. 5) L(x, д)и — / = 0 во
всех точках области G, так что и удовлетворяет уравнению A) в об-
области G в классическом смысле. Лемма доказана.
2. Фундаментальные решения. Пусть L — дифференци-
дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, аа(х) = аа,
т
ь{д) = J2 а«да> L*W = L(~d)-	D)
Фундаментальным решением (функцией влияния) оператора
L(d) называется обобщенная функция Е G ?>'(МП), удовлетворяющая
в W1 уравнению
Ь(д)? = 6(х).	E)
Фундаментальное решение Е(х) оператора 1/(9), вообще говоря,
не единственно; оно определяется с точностью до слагаемого
?о(х), являющегося произвольным решением однородного уравнения
Цд)?0 = 0.
Действительно, обобщенная функция ?(х) +?о(х) также являет-
является фундаментальным решением оператора L(d):
L{d){? + ?0) = L{9)? + L(d)?0 = S(x).
Лемма. Для того чтобы обобщенная функция ? из Sf была
фундаментальным решением оператора L(d), необходимо и доста-
достаточно, чтобы ее преобразование Фурье F[?] удовлетворяло урав-
уравнению
L(-iOF[S] = 1,	F)
где
но =
Доказательство. Пусть ? е S' — фундаментальное решение
оператора Ь(д). Применяя преобразование Фурье к обеим частям ра-
равенства E), получим
F[L(d)?] = F[6] = 1.	G)

§3.1. Фундаментальные решения	145
В силу формулы A6) из § 2.5 имеем
F[L(d)?\ = F
\а\=0
га
= Е ^(-iOaF[?] = L(-iS)F[?]; (8)
\а\=0
отсюда и из G) вытекает, что F[?] удовлетворяет уравнению F).
Обратно, если ? Е S' удовлетворяет уравнению F), то в си-
силу (8) ? удовлетворяет уравнению G), откуда следует, что ? удов-
удовлетворяет уравнению E), т.е. является фундаментальным решением
оператора L(d). Лемма доказана.
Доказанная лемма сводит задачу построения фундаментальных
решений медленного роста линейных дифференциальных операто-
операторов с постоянными коэффициентами к решению в S1 алгебраических
уравнений вида
Р(ОХ = 1,	(9)
где Р — произвольный полином.
Как видно из уравнения (9), всякое его решение из V (если та-
таковое существует) должно совпадать с функцией _L. вне множест-
множества Np нулей полиномов
Отсюда следует, что если Np ф 0, то решение уравнения (9) не единст-
единственное: разные решения отличаются друг от друга на обобщенную
функцию с носителем в Np. Например, различными решениями урав-
уравнения ^Х = 1 являются обобщенные функции
отличающиеся друг от друга на выражение вида S(?) (см. формулы
Сохоцкого G) и G;) из §2.1).
Если функция , . локального интегрируема в!п,то она (точ-
(точнее, определяемый ею регулярный функционал) является решением
в S' уравнения (9). Если же функция ~^ не является локально ин-
интегрируемой в W1, то возникает нетривиальная задача о построении
10 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

146	Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
в S' решения уравнения (9). Л. Хёрмандер доказал, что уравнение (9)
всегда разрешимо в S*', если Р(?) ^ 0.
Обозначим через reg ~L. какое-либо решение из S' уравне-
уравнения (9). Построение этого решения существенно зависит от структу-
структуры нулей множества Np и может быть проведено для каждого кон-
конкретного полинома Р.
Таким образом, уравнение F) всегда разрешимо в S*',
F[?]=Teg-±—.
Следовательно, всякий линейный дифференциальный оператор
L(d) с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное реше-
решение медленного роста, и это решение дается формулой
3. Уравнения с правой частью. С помощью фундаменталь-
фундаментального решения ?{х) оператора L(d) можно построить решение урав-
уравнения
L(d)u = f{x)	A1)
с произвольной правой частью /. Точнее, справедлива следующая
Теорема. Пусть f E V такова, что свертка ? * f существу-
существует в V. Тогда решение уравнения A1) существует в V и дается
формулой
u = ?*f.	A2)
Это решение единственно в классе тех обобщенных функций из V,
для которых существует свертка с ?.
Доказательство. Пользуясь формулой дифференцирования
свертки (см. B0) из §2.3) и учитывая равенство E), получим
L(d)(?*f)= 5] aada(?*f)= (
\а\=0	\а\=0
= (L(d)?) *f = 6*f = f.
Поэтому формула и = ? * / действительно дает решение уравне-
уравнения A1).
Докажем единственность решения уравнения A1) в классе тех
обобщенных функций из V', для которых свертка с ? существует в V.

§3.1. Фундаментальные решения	147
Для этого достаточно установить, что соответствующее однородное
уравнение
Ь(д)и = О
имеет только нулевое решение в этом классе (см. § 1.1, п. 9). Но это
действительно так, поскольку
и = и*5 = и* (L(d)S) = (L(d)u) * ? = 0.
Теорема доказана.
Следствие. Если и Е V и свертка и * ? существует в V', то
справедливо равенство
и = (Ь(д)и)*?.	A3)
Физический смысл решения и = ? * /. Представим источник
f(x) в виде «суммы» точечных источников f(?)S(x — ?) (см. замечание
в конце § 2.3, п. 3):
В силу равенства E) каждый точечный источник f(?)S(x — ?) опре-
определяет влияние f(?)?(x — ?). Поэтому решение
есть наложение (суперпозиции) этих влияний.
4. Метод спуска. Рассмотрим линейное дифференциальное
уравнение с постоянными коэффициентами в пространстве перемен-
переменных (x,t) EMn+1
L (д, щ)и = f{x) • 6(t), / Е V'(Rn),	A4)
где
q=l
и Lq(d) — дифференциальные операторы по переменным х.
Пусть обобщенная функция и из V'iW1^1) допускает продолже-
продолжение на функции вида ip(x) • l(t), где ip E P(Mn), в следующем смыс-
смысле: какова бы ни была последовательность основных функций f]k(t) E
Е ^(М1), к = 1, 2,..., сходящаяся kIb!1 (см. § 2.3, п. 2), существует
предел
lim (щф)щ(г)) = (щф)Щ)	A5)
к—>-оо
10*

148	Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
(этот предел не зависит от последовательности {щ}).
Обозначим функционал A5) через щ,
(uo,ip) = (и,ф)Щ) = ^(иМФкШ V е V(Rn). A6)
Очевидно, при всяком к функционал (u,ip(x)rjk(i)) линейный и
непрерывный на Т>(Жп), т.е. принадлежит Т>'(Жп). Поэтому по тео-
теореме о полноте пространства ТУ(Жп) (см. §2.1, п. 3) и предельный
функционал ixo принадлежит 7)'(Жп).
Приведем два примера на построение продолжения щ.
а)	Пусть u(x,t) — функция такая, что функция / Щж,?)| dt ло-
локально интегрируема в Жп. Тогда щ(х) — локально интегрируемая
функция в Жп и представляется интегралом
/•ОО
ио(х) = / u(x,t)dt.	A7)
•/—оо
Действительно, в этом случае функция u(x,t) локально интег-
интегрируема в Mn+1 и предел A5)
Hm (u,cp(x)rjk(t)) = Hm / u(x,t)cp(x)rjk(t) dxdt =
k—>-oo	k—>-oo J
= / u(x,t)ip(x) dx dt = / <р(ж) / u(x,t)dtdx
J	J	J —oo
при всех ip G Т>(Жп) существует. Отсюда в силу A6) и вытекает фор-
формула A7).
б)	Пусть и = /(ж) • ?(?), где f eW(Rn). Тогда u0 = /, поскольку
(uo,ip) = Hm (u,ip(x)r]k(t)) = Hm (/(ж) • S(t),ip(x)f]k(t)) =
(
>-оо
= lim (/(Ж),^(а;)
К—>-ОО
Теорема. Если решение и GP'(ln+1) уравнения A4) допускает
продолжение A6), то обобщенная функция щ из V'CMJ1) удовлетво-
удовлетворяет уравнению
L0(d)u0 = f(x).	A8)
Доказательство. Пусть r]k(t), k = 1,2,..., — последователь-
последовательность функций из V(M}), сходящаяся к 1 в I1. Тогда при g = 1, 2,...

§3.1. Фундаментальные решения	149
последовательности функций % (?) + щ* (?) также сходятся к 1 в Ж1,
и, следовательно, при всех ip из ?>'(МП) (ср. §2.3, п. 3, в))
lim (uMx)r№\t)) = lim (щфПтЮ+чРШ -
к^-оо	к^-оо
- lim (u,(p(x)rjk(t)) = (ио,(р) - (ио,(р) = 0. A9)
к—>-оо
Учитывая A9), проверим, что обобщенная функция г&о удовлетворяет
уравнению A8):
(Lo(d)uo,<p) = (uo,Lo(-d)(p) = lim (u,L0(-d)(p(x)r)k(t)) =
L L0(-dMx)m(t)
gf=l
= lim (гх, I/(-9, -— ) if{x)r]k{t) ) =
k^oo \ \	dtj	)
= lim (ь(д, — )и, <p(x)rjk(t)) =
= lim (f(x)-6(t),<p(x)Vk(t)) = lim (f(x)Mx)Vk@)) = (W-
к—>-оо	к—>-oo
Теорема доказана.
Изложенный метод получения решения г^о(ж) уравнения A8) с п
переменными через решение u(x,t) уравнения A4) с п + 1 переменны-
переменными называется методом спуска по переменной t.
Метод спуска особенно удобно использовать для построения
фундаментальных решений. Действительно, применяя доказанную
теорему при / = 5(х), получим: если ?(x,t) — фундаментальное ре-
решение оператора L Id, -^-J — допускает продолжение ?о(х) вида A6),
то обобщенная функция
,	B0)
есть фундаментальное решение оператора Ь$(д); в частности, ес-
если ?(x,t) такова, что функция / \?(x,t)\dt локально интегрируема
, то
/•ОО
?0(х)= / ?(x,t)dt.	B1)
Фундаментальные решения ?q и ? удовлетворяют соотношению
= ?*[6(x)-l(t)].

150	Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
Физический смысл этой формулы состоит в том, что ?о(х) есть (не
зависящее от t) возмущение от источника S(x)-l(t), сосредоточенного
на оси t (ср. п.З).
5. Фундаментальное решение линейного дифференци-
дифференциального оператора с обыкновенными производными. Рас-
Рассмотрим уравнение
dn? dn~1?
LS +	+ + s
В § 2.2, п. 4, е) было показано, что фундаментальное решение этого
оператора выражается формулой
?{t) = 6(t)Z(t),
где Z(t) удовлетворяет однородному уравнению LZ = 0 и начальным
условиям
Z@) = Z'@) = ... = Z^n~2^ = 0, Z^
В частности, функции
?(t) = e(t)e~at,	B2)
B3)
а
являются соответственно фундаментальными решениями операторов
d	d2	2
dt	dtl
6. Фундаментальное решение оператора теплопровод-
теплопроводности. Рассмотрим уравнение
^-a2A? = S(x,t).	B4)
В § 2.2, п. 5, е) было показано, что решение уравнения B4) выражается
формулой
и, следовательно, эта функция является фундаментальным решением
оператора теплопроводности.

§3.1. Фундаментальные решения	151
Выведем формулу B5) методом преобразования Фурье. Для это-
этого применим преобразование Фурье Fx (см. § 2.5, п. 2) к равенст-
ву B4):
^ -a2Fx[A?]=Fx[6(x,t)],
и воспользуемся формулами B1) и B2) из § 2.5:
Fx[6(x,t)} = Fx[6(x) ¦ 6(t)} = F[6}@ ¦ 6(t) = 1@ ¦ S(t),
В результате для обобщенной функции ?(?,?) = Fx[?](^t) получаем
уравнение
a2\t\2?(?,t) = l(O-e(t).	B6)
dt
Пользуясь формулой B2) с заменой а на &2|?|2, заключаем, что
решением в S' уравнения B6) является функция
Отсюда, применяя обратное преобразование Фурье F^1 и пользуясь
формулой C8) из §2.5, получаем равенство B5):
S(x,t) =F~l[?](x,t) =
" ехР \ ~ Т^7 Г •
7. Фундаментальное регнение волнового оператора.
Рассмотрим уравнение
Применяя к равенству B7) преобразование Фурье Fx и действуя, как
в предыдущем пункте, вместо уравнения B6) для обобщенной функ-
функции F^[(?n] = ?n{^t) получим уравнение
lP} + a2\^\26n{^t) = 1@ ¦ S(t).	B8)

152	Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
Пользуясь формулой B3) с заменой а на а|?|, заключаем, что реше-
решением в S' уравнения B8) является функция
Следовательно,
?n(x,t) = F^[6n]{x,t) = O^Ff1 \^Ш\.	B9)
L all J
L al
Пусть п = 3. Тогда из формулы D0) из § 2.5 выводим
fsin^l= 1
^ [ а\€\ J 4тга2?
Отсюда и из B9) получаем
причем обобщенная функция fз действует по правилу
dt
1 Г°° 1 С
1Г^2 7 <p(x,t)dSxdt, <peS(R4). C1)
Ажаг Jo t JSat
Аналогично, пользуясь формулами B6) и D2) из § 2.5, получим
(ср. §2.2, п. 5, ж))
^lxl)	C2)
\х\2
Для получения фундаментальных решений Еъ и Е\ можно также
воспользоваться методом спуска (см. §3.2, п. 4).
8. Фундаментальное решение оператора Лапласа. Рас-
Рассмотрим уравнение
А?п = 6(х).	C3)
В § 2.2, п. 5, г) было показано, что функции
?2(х) = ^Ы\х\, ?n(s) = __J__|a:|-»+2, n ^ 3, C4)

§3.1. Фундаментальные решения	153
являются фундаментальными решениями оператора Лапласа. Вычис-
Вычислим эти фундаментальные решения методом преобразования Фурье.
Применяя преобразование Фурье к равенству C3), получим
C5)
-r-rr
§2.5, п. 7, г)) удовлетворяет уравнения C5). Действительно,
Пусть п = 2. Проверим, что обобщенная функция —V-r-rr (CM-
для любой ер € S. Следовательно, в соответствии со схемой из п. 2
можно положить
Отсюда, пользуясь формулой D1) из § 2.5, получаем
ад=F~l [-vw\=~hF [vw\ = ^1п|ж|+Ь C6)
Так как постоянная функция удовлетворяет однородному урав-
уравнению Лапласа, то, отбрасывая в C6) слагаемое тр-, убеждаемся,
что фундаментальное решение ?2 (ж) можно выбрать равным — In |ж|.
Пусть теперь п ^ 3. В этом случае функция —1?|~2 локально
интегрируема в!п,и потому в соответствии с п. 2
Отсюда при п = 3, пользуясь формулой D3) из § 2.5, получаем
Аналогично вычисляется ?п{х) и при п > 3.

154	Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
Особенно просто ?п(х) строится методом спуска по перемен-
переменной t (см. п. 4) из фундаментальных решений оператора теплопровод-
теплопроводности или волнового оператора. Например, пользуясь формулой B1),
из B5) при а = 1 получаем формулу C4):
4тгп/2	(п - 2)сгп
9. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца.
Рассмотрим уравнение
(А + к2) ?п = S(x).	C8)
В § 2.2, п. 5, д) было показано, что
gik\x\			g — гк\х\
?ч (ж) ^	Sч (ж) ^		С39)
— фундаментальные решения оператора Гельмгольца при п = 3. Фор-
Формулы C9) справедливы и при комплексных к.
Метод преобразования Фурье сводит уравнение C8) к алгеб-
алгебраическому уравнению
Прямые вычисления показывают, что в случае п = 2 фундамен-
фундаментальные решения оператора Гельмгольца суть функции (см. § Д.1, п. 8)
?2(х) = ~Н^(к\х\), ?2(х) = 1-н12)(к\х\).	D1)
Аналогично, в случае п = 1 фундаментальными решениями опе-
оператора Гельмгольца являются функции
СУ (т\ —	ггк\х\	~с ( \	 р-гк\х\
tl[X)~2ik	' tl[X)~ 2ik	•

§3.1. Фундаментальные решения
155
10. Упражнения.
а) Пользуясь формулой B9), показать, что обобщенные функ-
функции
1 d
1/1 d
(п-3)/2
2тга \тга2 d(t2)
S(a2t2 — \x\2), n ^ 3 нечетное,
' 0(at-\x\)
-., n ^ 2 четное,
являются фундаментальными решениями волнового оператора Па.
б) Доказать, что обобщенные функции
Dr(x0,x) =
x|)
Ji(moV^o-kF)
xo ~ \х
и Da(xQ,x) = Dt(—xq,x) являются фундаментальными решениями
оператора Клейна-Гордона-Фока Di + m2,; здесь п = 3, хо = t, x =
= (ж1,Ж2,жз), Л —функция Бесселя (см. §Д.1, п. 1).
в) Доказать, что обобщенные функции
D+(xo,x) =
D-(xo,x) = -
-ml)},
-ml)]
удовлетворяют уравнению Клейна-Гордона-Фока и соотношению
Обобщенные функции Dr, Da, D+ и D~ играют важную роль в кван-
квантовой теории поля.
г) Пользуясь формулой C9) из § 2.5, показать, что функция
^гтг/4 / гп	Г Vrn^
ехР i ТГ7ГЖ
^(Ж'^~ ^ ft V 2тгй*"
является фундаментальным решением одномерного оператора Шрё-
дингера
in— П2 ^
dt 2тпо дх2
д) Показать, что функция
(-l)fer(n/2-fc)
есть фундаментальное решение интегрированного оператора Лапла-
Лапласа Ак при 2к < п.

156
Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
§ 3.2. Волновой потенциал
1. Свойства фундаментального решения волнового опе-
оператора. Фундаментальными решениями волнового оператора при
п = 1,2,3 являются (обобщенные) функции (см. формулы C2) и C0)
из §3.1)
2а
?2(x,t) =
— х
зЛх) = 5{а^ \х?).
Функции Е\ и (?2 локально интегрируемы, а обобщенная функция ?%
действует на основные функции ip G Р(М4) по формуле C1) из §3.1:
Носители функций Е\ и Еъ совпадают с
замыканием конуса будущего Г (см.
рис.22), а носитель обобщенной функ-
функции ?з совпадает с границей {at = |ж|}
этого конуса.
На рис. 26-28 схематически изобра-
изображены фундаментальные решения ?]_, Е<±
и (?з в момент времени t.
2na2t
at
Рис. 27
«я*
0
1
4na2t
0
at	\x\
Рис. 28
Пусть f(x,t) e X>'(Rn+1) и (р(х) е V(Rn). Введем обобщенную
функцию (f(x,t),ip(x)) G V(M}), действующую по формуле
B)

§3.2. Волновой потенциал	157
Из этого определения вытекает следующая формула:
к = 1,2,...	C)
Действительно, при всех ф Е V(M}) имеем
откуда и следуют равенства C).
Будем говорить, что обобщенная функция f(x,t) принадлежит
классу Ср, 0 ^ р ^ оо, по переменной t в (а, Ь) (соответственно на [а, Ь]),
если для любой основной функции ip Е P(Mn) обобщенная функция
(f(x,t),cp(x)) принадлежит классу Ср{а,Ъ) (соответственно Ср{[а,Ъ]))
(см. §2.1, п. 5).
Лемма. Фундаментальные решения Sn(x,t), n = 1,2,3, принад-
принадлежат классу С°° по переменной t в [0, оо) и при t —У +0 удовлетво-
удовлетворяют предельным соотношениям
?n(x,t)^O, ^ф^^б(х), дЧп^ ^Q в V'(Rn). D)
Доказательство. Пусть п = 3 и ср е Т>(Ж3). Из A) выте-
вытекает, что
(S3(x, t), ф))
= Л- Г ф) ds=°-^- f <p(atx) ds. E)
J Sat	** S±
Так как правая часть равенства E) бесконечно дифференцируема по t
в [0, оо) в смысле § 1.1, п. 2, то, следовательно, ?з принадлежит клас-
классу С°° по t в [0, оо). Кроме того, из E) вытекает, что
Далее, пользуясь формулой C) при / = ?3 и fc = 1,2из формулы E)
получим при t —У +0
d Г t

158	Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
= — / ip(atx)ds + ——ip(atx)ds^>ip@) = F,ip), G)
4тг JSl	4тг dt J
d2?3(x,t) Л d2 \t
поскольку функция
/ ip{atx) ds = / cp(-atx) ds
JSt	JSt
четная бесконечно дифференцируемая по t, а поэтому ее первая
производная при t = 0 равна нулю. В силу произвольности ip G Т>(М?)
предельные соотношения F)—(8) эквивалентны соотношениям D)
при п = 3.
Пусть теперь п = 2,1 и (р е V(Rn). Тогда при t > О
= — /
t С1
О)
1 r	t С
(?г(х,г),ф)) = — / <p(x)dx = - / <p(atx)dx.	A0)
Отсюда, как и при п = 3, вытекают все утверждения леммы.
2. Дополнительные сведения о свертках. Установим еще
один признак существования свертки.
Теорема. Пусть обобщенные функции f ug изР'Aп+1) тако-
таковы, что f(x,t) = 0, t < 0, и sptg С Г . Тогда свертка f * g сущест-
существует в P/(Mn+1) и при всех ср G P(Mn+1) представляется в виде
(/ *9,<Р) = №,t) ¦ 9(У,т)МЫт)г]{а2т2 - Ы2М? + y,t + т)), A1)
где tj(t) — любая функция класса СОО(М1), равная 0 при t < — S и 1
при t > —е E и s — любые числа, S > е > 0). При этом свертка / * g
обращается в нуль при t < 0 и непрерывна относительно f и g в
отдельности:
1)	если fk -^0 eVr(Rn+1) при к -^ оо, Д = 0, t < 0, то fk*g^O
в ?>'(Rn+1) npuk^ оо;
2)	еслг/ ^ ->• 0 в P/(Mn+1) npn & ->• оо, spt^ С Г , ш
)
в ?>'(Rn+1) npuk^ оо.

§3.2. Волновой потенциал	159
Доказательство. Пусть (p(x,t) — произвольная функция из
+1), причем sptip С Uа, и %(?,?; 2/, т), к = 1,2,..., — последова-
последовательность функций из 2)(М2п+2), сходящаяся к 1 в М2п+2 (см. §2.3,
п. 2). Тогда при всех достаточно больших к
y,t + r)=ip. A2)
Для доказательства равенства A2) достаточно установить, что
функция ф принадлежит 2)(М2п+2). Но это следует из того, что она
бесконечно дифференцируема, а множество
{(?,t,y,T):t,T> S; а2т2 - \у\2 > -6; \у + ?\2 + (t + гJ < А2},
в котором содержится ее носитель, ограниченно, поскольку оно со-
содержится в ограниченном множестве
6; \у\ ^ у/а?(А + 8f + 6;
По построению rj(t) = 1 в окрестности носителя /(^, t) и г](т)г](а2т2 —
— \у\2) = 1 в окрестности носителя д(у,т). Следовательно (см. A0) из
§2-1),
№, t) = Ф)№, t), д(у,т) = фЫа2т2 - \у\2)д(у,т).
Учитывая теперь эти равенства и равенство A2), убеждаемся в спра-
справедливости формулы A1):
(/ *9,ф)= Нт
к—уоо
= Нт (/(?, t) • д(у,г), фк) = (/(?, ?) • д(у,т),ф), (р <
Докажем, что / * ^ = 0 при ? < 0. Пусть ip(x,t) e V(Wl+1), spt (^ С
С {? < 0}. Так как носитель ip — компакт в Mn+1, то найдется такое
число Si > 0, что spt ip С {t ^ — Ei}. А тогда, выбирая S < ?i/2, получим
77(?O7(т)т7(а2т2 - |2/|2)(р(^ + у, t + г) = 0,	A3)
откуда в силу A1) получим (/ * д, ф) = 0, что и утверждалось.
Непрерывность свертки / * д относительно / и д следует из
представления A1) и из непрерывности прямого произведения

160	Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
/(?,?) • g(y,r) относительно / и д в отдельности (см. §2.3, п. 1, а)).
При этом вспомогательную функцию rj можно выбрать не зависящей
от к. Теорема доказана.
Докажем следующее: если д(х, t) G V(W+1), spt д С Г , а и(х) G
g*[u(x)-6(t)]=g(x,t)*u(x),	A4)
причем обобщенная функция g(x,t) * u(x) действует по правилу
(g(x,t) *u(x),<p) =
= (g(y,t) • 1/@, V(a2t2 - \y\2My + S,t)), V G P(Mn+1). A5)
Действительно, полагая в формуле A1) / = и(х) ¦ S(t), при всех
ip e X>(Kn+1) получим
(д * [и(х) ¦ 6(t)}, <р) =
) ¦ и@ ¦ S(t), фШ^т2 - \у\2
и@, фЫЫа2т2 - \y\2)(e(t),
= (д(у, г) ¦ «(О, пШа2т2 - \у\2Ыу + ?, г)). A6)
Поскольку носитель д(у,т) содержится в полупространстве т ^ 0, то
в силу A0) из § 2.1 д = rj(r)g. Далее,
Поэтому, продолжая равенства A6) и учитывая A5), получим ра-
равенство A4):
(д * [и{х) - S(t)], if) = {т]{т)д{у, т) • ЦО, vtfr2 ~ \у\2Ыу + ^ г)) =
= (д(у,т)-и(?), f](a2r2 - \у\2Му + ^т)) = (g(x,t) *и(х), ф).
Здесь последнее равенство получено в силу теоремы 1 из § 2.3.
Пользуясь теперь формулой A4) и правилами дифференцирова-
дифференцирования прямого произведения (см. § 2.3, п. 1, г)) и свертки (см. § 2.3, п. 3,
в)), при всех к = 1,2,... получаем равенства
д * [и(х) ¦ 6^ (*)] = ^[д(х, t) * и(х)] = ^^^ * и{х).	A7)

§3.2. Волновой потенциал	161
3. Волновой потенциал. Пусть обобщенная функция f(x,t)
из Т>г(Жп+1) обращается в нуль в полупространстве t < 0. Обобщенная
функция
Vn = ?n* /,
где ?п — фундаментальное решение волнового оператора, называется
волновым потенциалом с плотностью /.
Так как spt ?п С Г , то по теореме из п. 2 волновой потенциал Vn
существует в P/(Mn+1) и представляется в виде
(Vn,<p) = (?п(у,т) -/К,г'), ф)ф'Ыа2т2 - \у\2Му + ^т + О),
1)
где rj(r) — любая функция класса СОО(М1), равная 0 при т < — 5 и 1
при т > —г; 5 и г любые, 5 > г > 0. Кроме того, по той же теореме
волновой потенциал Vn(x, t) обращается в нуль при t < 0 и непрерывно
зависит от плотности / в D1'(Mn+1). Наконец, по теореме из § 3.1, п. 3
этот потенциал удовлетворяет волновому уравнению
?a Vn = /.	A9)
Дальнейшие свойства волнового потенциала Vn существенно за-
зависят от вида плотности /.
Если / — локально интегрируемая функция в Mn+1, то Fn —
локально интегрируемая функция в Mn+1, причем
, ' „	<%,	B0)
U(x;at)	\х ~ S|
{(? т\ П? Пг
=^7?. B0')
-j pt px+a{t — r)
Vi(x,t) = — / /	f(S,T)d?dT.	B0")
^а JoJx-a(t-r)
Докажем формулу B0). Пусть ip G P(M4). Так как / — локально
интегрируемая функция в М4, то, учитывая, что / = 0 при t < 0, и
принимая во внимание формулу A), из представления A8) получаем
11 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

162
Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
= Г^з(У
,г), т?(г)г/(а2г2-|у|2) [ f(x-y,t-T)<p(x,t)dxdt\ =
f(x-y,t- \y\/a)
\У\
dy dx dt.
Это значит, что потенциал Уз — локально интегрируемая функ-
функция в!4 и представляется в виде
^4/^^^*
B1)
Совершая в этом интеграле замену переменных х — у = ?, получаем
формулу B0).
Аналогично, с соответствующими упрощениями, выводятся
формулы B(У) и B0") для потенциалов V^ и V\.
Сопоставим каждой точке (x,t), t > 0, открытый конус
Г~(ж,?) = T~(x,t) П {0 < т < t}
с вершиной (ж, ?), основанием U(x; at) и боковой поверхностью B(x,t)
(рис.29); здесь T~(x,t) — конус прошлого (см. § 1.3, п.З).
(x,t)
B(x,t)
S(x; at)
Рис. 29
Теорема. Если f e C2(t ^ 0) в случае п = 2,3 и f e C1^ ^ 0) в
случае п = 1, то потенциал Vn принадлежит C2(t ^ 0) и удовлетво-

ряет оценке
§3.2. Волновой потенциал	163
t
2 B(x't)
начальным условиям
dV7
Уп
t=O
= 0.	B3)
t=o
Доказательство. Докажем теорему для п = 3. Замена пере-
переменных у = at??, t > 0, преобразует формулу B1) к виду
• B4)
Так как / G C2(t ^ 0) и подынтегральное выражение в B4) имеет ин-
интегрируемую особенность, то V3 G C2(t ^ 0) (см. § 1.1, п. 4). Из пред-
представления B4) следует также оценка B2) для потенциала Уз
.О	П	7	,9
|Уз(ж,^)| ^ — max |/(^,r)| / — = — max |/(^,т)|.
Так как Уз G C2(t ^ 0), то из оценки B2) вытекают начальные усло-
условия B3).
Пусть теперь п = 2. Замена переменных ? = ж + а??7, т = t — at,
t > 0, преобразует представление B(У) для потенциала У2 к виду
27r JoJu
из которого непосредственно и вытекают требуемые свойства этого
потенциала.
Свойства потенциала V\ следуют из представления B0"). Теоре-
Теорема доказана.
4. Поверхностные волновые потенциалы. Если / = щ(х) •
• S(t) или / = щ(х) • S'(t), где щ и щ — произвольные обобщенные
функции из V'CMJ1), то соответствующие волновые потенциалы
V^=?n*[Ul(x)-6(t)},	V^=?n*[uo(x)-6'(t)],	n = 1,2,3,
и*

164	Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
называются поверхностными волновыми потенциалами {простого и
двойного слоя с плотностями и\ и щ соответственно).
В силу формул A4) и A7) из п. 2 волновые потенциалы Vn
n представляются в виде
_[
B5)
B6)
причем обобщенная функция ?n(x,t) *u(x) действует в соответствии
с формулой A5).
Лемма. Поверхностные волновые потенциалы Vn uVn при-
принадлежат классу С°° по переменной t в [0, оо)) и при t —> +0 удов-
удовлетворяют начальным условиям
B7)
V^\x,t)^uo(x),	gf ^° e V'(RH)- B8)
Доказательство. По лемме из п. 1 обобщенная функция ?п(х, t)
принадлежит классу С°° по переменной t в [0, оо). Далее, при каж-
каждом t > 0 носитель ?n(x,t) содержится в шаре Uat и? следовательно,
равномерно ограничен в W1 при t —> to ^ 0. Поэтому, пользуясь теоре-
теоремой из §2.3, п. 4 о непрерывности свертки в V, заключаем, что при
всехср е V(Rn)
Отсюда в силу равенств C) и A7)
'0* ,
^i(x)],
'dk?n(x,t)
dtk
выводим, что (?п(x,t)* u\ (x), ф) G С°° [0, оо). Это и значит в силу B5),
что потенциал С°° принадлежит классу С°° по t в [0, оо). Заменяя щ
на ixo, выводим из B6), что таким же свойством обладает и потенци-

§3.2. Волновой потенциал	165
Докажем предельные соотношения B7). Учитывал предельные
соотношения D) и пользуясь непрерывностью свертки ?n(x,t) *ui(x)
в ?>'(МП), получаем
Vn@)(M) = ?n(x,t) * i/i(ж) -> 0 * ^(х) = О,
<9Vn(O)(x,t) Я	<9?n(
^ОМ) ()]
*u1(x)
от= т^пОМ) * г*1 (ж)] =
при М+Ов ?>'(Rn).
Аналогично устанавливаются и предельные соотношения B8).
Лемма доказана.
Дальнейшие свойства поверхностных волновых потенциалов
Vn и Уп существенно зависят от вида плотностей щ и щ.
Если i^i — локально интегрируемая функция в Еп, то поверх-
поверхностный потенциал Vn — локально интегрируемая функция в Mn+1,
выражающаяся формулами
Ss^	B9)
- \х -
t) = m	Ul{OdC	B9»)
^ft Jx — at
Установим формулу B9). Так как функция щ локально интег-
интегрируемая в М3, то, пользуясь формулами B5), A5) и A), при всех ср G
G и(Ж4) получаем
1 f°° fi(Q) f f
= -—^ / —— / / ui(x-y)<p(x,t)dxdsydt =
4iraz Jo t JSat JR3
откуда следует, что V3 локально интегрируема в!4 и представля-
представляется в виде (ср. с формулой C4) из § 2.3)

166
Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
Совершал в этом интеграле замену переменных х — у = ?, получим
формулу B9). Аналогично, с соответствующими упрощениями, вы-
выводятся формулы B9') и B9") для потенциалов V^ и Vy .
Теорема. Если щ е С3(МП), щ е С2(Жп) при п = 3,2 г/ гл0 G
Е С2(М1), щ G С1(М1) прг/ п = 1, то потенциалы Vn и Vn принад-
принадлежат классу C2{t ^ 0) и удовлетворяют оценкам
\V3io)(x,t)\^t max
S(x;at
S(x;at)
j \
U(x;at)
\Ul@\,
C0)
C0')
\V^\x,t)\
max
S(x;at)
uo(?)\+at max | gradia0@1»
S(t)
S(x;at)
_ |
U(x;at)
j |
U(x;at)
| grad u0 (f) I,
г/ начальными условиями
*=0
= 0.
C1")
C2)
C3)
Доказательство. Пусть п = 3. Совершая в формуле B9) заме-
замену переменных х — ? = ats, ? > 0, получим представление
Vз@)(ж, ?) = ^ / щ(х- ats) ds,
47Г y^i
C4)
из которого следует, что У3 удовлетворяет оценке C0) и принадле-
принадлежит классу С2(? ^ 0), поскольку ^i G С2(М3). Дифференцируя форму-
формулу C4) по t и пользуясь формулой B6), получим представление для
У :
потенциала
V* (x,t) = 	 / щ(х — ats) ds	 / (gi8idx щ(х — ats), s) ds.
47Г JSi	47Г JSt
Отсюда вытекает, что У3 удовлетворяет оценке C1):

§3.3. Задача Коши для волнового уравнения	167
— ats)\+at max\(gra,dx щ(х — ats),s)\ ^
l*l=1
^ max \uo(t;)\ + at max | gradu0(?)|,
S(x;at)	S(x;at)
(
и принадлежит классу C2(t ^ 0) (поскольку щ Е С3(
При п = 2 замена переменных ? = ж — а??7, ? > 0, преобразует
представления B9;) и B6) для потенциалов V2 ^ и У2 к ВИДУ
^(t)t ^ ui(x — atrj)
ат].
-atvU)d7]}
откуда и вытекают требуемые свойства гладкости и оценки C(У)
и CV) для потенциалов У2 и У2 , например,
max
- atr,)\ f -y=U
_
U(x;at)
Соответствующие свойства потенциалов V± и У/ следуют из
представлений B9/;) и B6), например,
^iA)(M) = ^[^о(ж + at) + щ(х - at)}.
Теперь установим справедливость начальных условий C2) и
C3). В силу B7) и B8) эти условия выполнены в смысле сходимос-
сходимости в пространстве V'iW1). Но по доказанному функции Vn и \п
принадлежат классу C2(t ^ 0). Следовательно, эти функции удовлет-
удовлетворяют условиям C2) и C3) в обычном смысле. Теорема доказана.
§ 3.3. Задача Коши для волнового уравнения
В этом параграфе мы будем применять теорию обобщенных
функций к решению (обобщенной) задачи Коши для волнового урав-
уравнения.

168	Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
1. Задача Коши для обыкновенного линейного диффе-
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Прежде всего решим задачу Коши для обыкновенного дифференци-
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
Lu = им + ащ^-^ + ... + апи = /(?), t > О,	A)
uW@)=uk, & = 0,1,...,п-1,	B)
где/ eC(t^O).
Пусть u(t) — решение задачи Коши A), B). Продолжим функ-
функции u(t) и /(?) нулем на t < 0. Обозначая продолженные функции
через и и / соответственно и пользуясь формулами A4) из § 2.2 и
начальными условиями B), получим
k-i
~(к) = {w(*)(j)} + ^Wj.j(*-j-i)(^)j fe = 1,2, ...,n.
Отсюда и из уравнения A) заключаем, что
Lu = {L2(t)} + M(n-1) (t) + (ац/о + ^i)E(n-2) (t) + ...
n-l
= f(t) + J^ c^(fe) (t),
где
со = an-iuo + ... + a\un-2 + wn_i, ..., cn_2 = ai^o + Щ, cn_i = ix0.
Таким образом, функция и в обобщенном смысле удовлетворяет в Ж1
дифференциальному уравнению
п-1
L2 = /(t) + ^c,^)(t).	C)
k=o
Построим решение уравнения C). Функция ?{t) = O(t)Z(t), где
LZ = 0 и
Z@) = Z'@) = ... = Z^n-2\0) = 0, ^^-^@) = 1,	D)
есть фундаментальное решение оператора L (см. § 3.1, п. 5). Посколь-
Поскольку ? и правая часть уравнения C) принадлежат сверточной алгебре
обобщенных функций V'+ (см. §2.3, п. 5), то по теореме из §3.1, п. 3

§3.3. Задача Коши для волнового уравнения	169
решение уравнения C) существует и единственно в V'+ и выражается
сверткой
п—1	\	п—1
Е с**(л)) =? * / + Е c*f(A0 (*) =
к=0	'	к=0
= 0(t) f Z(t-T)f(r)dT + e(t)J2ckzW(t). E)
Jo	к=о
Здесь мы учли равенства
^	fe = 0,1,..., п - 1,
справедливые в силу D) (см. §2.2, п. 4, е)).
Таким образом, решение u(t) задачи Коши A), B), будучи про-
продолжено нулем на t < 0, удовлетворяет уравнению C), решение кото-
которого единственно в алгебре V'+. Поэтому формула E) при t > 0 дает
искомое решение задачи Коши A), B)
u(t)= f Z(t-r)/(r)dr + ^cfczW(t).	F)
В частности, формула F) для задач Коши
u' + au = f(t), u@)=uo,	G)
и" + а2и = /(t), и@) = ио, и'(О)=ии	(8)
принимает соответственно вид
= [ e-a^
u(t) = [ e-a^f(T) dr + ще-а\	(9)
/ \ If* f \ r/ \ i	sin at
ixft) = - / sin a(t — r)/(r) ar + г^о cos at + i^i	.	A0)
ay0	a
2. Постановка обобщенной задачи Коши для волново-
волнового уравнения. Схема для задачи Коши, изложенная в предыдущем
пункте для обыкновенного линейного дифференциального уравнения
с постоянными коэффициентами, применяется для решении задачи
Коши для волнового уравнения
Dau = f(x,t),	A1)

170	Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
dt t=o
Считаем, что / Е C(t ^ 0), и0 Е С1^) и щ Е С(МП).
Предположим, что существует классическое решение u(x,t) за-
задачи Коши A1), A2). Это значит, что функция и класса C2(t > 0) П
ПС1^ ^ 0) удовлетворяет уравнению A1) при t > 0 и начальным ус-
условиям A2) при t —>¦ +0 (см. § 1.4, п. 2).
Продолжим функции и и / нулем при ? < 0, положив
~ 1 0, ? < 0,	1 0, t < 0.
Покажем, что функция и(х, t) удовлетворяет в Mn+1 волновому урав-
уравнению
Dau = f(x,t) +uo(x) -6'(t) +щ(х) -6(t).	A3)
Действительно, при всех ip G P(Mn+1) имеем цепочку равенств
(Пай, ф) = (и, Па(р) = / / u\Jaipdxdt =
Jo Jun
f°° f fd2cp	\
= lim / / -—-r— a A(p \ dxdt —
= lim [ Z00/" ^ _ a2Auj y, dx dt -
= /7 fvdxdt-f Щ^±и(х,0)с1х+ [ ф,0
JO JRn	JRn	Ot	JRn
= / iff dxdt— / г^о(ж)—^—б?ж + / ui(x)(p(x,0) dx =
= (f + uo(x)-e'(t)+u1(x)-e(t),(p),
откуда и вытекает равенство A3).
Равенство A3) показывает, что начальные возмущения щ и щ
для функции u(x,t) играют роль источника щ(х) • S'(t) + и\{х) • S(t),

§3.3. Задача Коши для волнового уравнения	171
действующего мгновенно при t = 0; при этом начальному возмуще-
возмущению ixo соответствует двойной слой щ(х) • 5f(t), а начальному воз-
возмущению и\ — простой слой и\(х) - 8{t) на плоскости t = 0. Далее
классические решения задачи Коши A1), A2) содержатся среди тех
решений уравнения A3), которые обращаются в нуль при t < 0. Это
дает основание назвать задачу об отыскании (обобщенных) решений
уравнения A3), обращающихся в нуль при t < 0, обобщенной задачей
Коши для волнового уравнения. Но в таком случае в уравнении A3)
правую часть можно считать обобщенной функцией.
Итак, введем следующее определение. Обобщенной задачей Ко-
Коши для волнового уравнения с источником F Е Т>г(Жп+1) назовем за-
задачу о нахождении обобщенной функции и Е Т>г(Жп+1), обращающейся
в нуль при t < 0 и удовлетворяющей волновому уравнению
Dau = F(x,t).	A4)
Уравнение A4) эквивалентно следующему (см. §3.1): для лю-
любой (р е V(Wl+1) справедливо равенство
(u,Ua<p) = (F,<p).	A40
Из уравнения A4) следует, что необходимым условием разреши-
разрешимости обобщенной задачи Коши является обращение в нуль F при t <
< 0. Сейчас будет показано, что это условие является и достаточным.
Замечание. При выводе уравнения A3) мы фактически дока-
доказали равенство
\3аи = {\Jau(x,t)} + u(x,+0) -5f(t) +iAi(ar,+O) •<*(*), A5)
справедливое для любой функции и G C2(t > 0) П C1(t ^ 0), обращаю-
обращающейся в нуль при КО и такой, что Па и G C(t ^ 0).
3. Решение обобщенной задачи Коши.
Теорема. Пусть F е ?>'(^п )> причем F = 0 при t < 0. Тогда
решение соответствующей обобщенной задачи Коши существует,
единственно и представляется в виде волнового потенциала
u = ?n*F.	A6)
Это решение непрерывно зависит от F в V.
Доказательство. По условию правая часть F уравнения A4)
обращается в нуль при t < 0. Поэтому по теореме из § 3.2, п. 2 сверт-
свертка F с фундаментальным решением Еп волнового оператора сущест-
существует в P^(Mn+1) и обращается в нуль при t < 0. По теореме из

172	Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
§3.1, п. 3 решение уравнения A4) существует и единственно в классе
обобщенных функций из P/(Mn+1), обращающихся в нуль при t < О,
причем это решение выражается сверткой A6).
Непрерывная зависимость построенного решения и = ?п * F от
F в P/(Mn+1) вытекает из непрерывности свертки (см. теорему из
§3.2, п. 2). Теорема доказана.
Следствие 1. Всякая функция u(x,t) класса C2(t > 0) DC1(t ^
^ 0), обращающаяся в нуль при t < 0 и такая, что \I\au Е C(t ^ 0),
представляется в виде
u(x,t) = Vn(x,t)+V(°\x,t) + vV(x,t),	A7)
где Vn — волновой потенциал с плотностью {Паи}, Vn и Vn —
поверхностные волновые потенциалы простого и двойного слоя с
плотностями щ(х,0) ии(х,0) соответственно.
Действительно, функция и(х, t) удовлетворяет уравнению A5) и,
следовательно, по теореме из п. 3 представляется в виде суммы A7)
трех волновых потенциалов с указанными плотностями.
Следствие 2. При F = щ(х) • S(t) +uo(x) • S'(t) решение u(x,t)
обобщенной задачи Коши принадлежит классу С°° по переменной t
в [0, оо) и удовлетворяет начальным условиям A2) в смысле слабой
сходимости:
u(x,t)^uo(x), <9^(М) _^М1(д.) в ?>'(irM *->+0. A8)
Действительно, по лемме из §3.2, п. 4 потенциалы Vn и Vn
принадлежат классу С°° по t в [0, оо) и удовлетворяют начальным
условиям B7) и B8) из §3.2. Следовательно, их сумма Vn + Vn ,
являющаяся в силу A6) решением обобщенной задачи Коши при F =
= щ(х) • S(t) + щ(х) • S'(t), принадлежит классу С°° по t в [0, оо) и
удовлетворяет начальным условиям A8).
Пример. Обобщенное решение задачи Коши
ии = а2ихх+в(х) -6'(t)
дается формулой
и(х,t) = d?l^ * в(х) = \в{х- at) + \в{х + at).
На этом примере видно, что разрывы у начальных данных (или
у их производных) распространяются вдоль характеристик. Это яв-
явление наблюдается у всех уравнений гиперболического типа (см., на-
например, формулы A9), A9;), A9") далее).

§3.3. Задача Коши для волнового уравнения	173
4. Решение классической задачи Коши. Из теорем из § 3.2,
пп. 3,4 и из теоремы п. 3 при F(x, t) = /(ж, t) + и\ (х) • S(t) + щ (х) • 5f (t)
вытекают следующие утверждения о разрешимости классической за-
задачи Коши для волнового уравнения.
Пусть / G C2(t ^ 0), и0 Е С3(МП), щ G С2(МП) при п = 3, 2 и / G
G С1^ ^ 0), щ G C2(M1), ixi G С^М1) при п = 1. Тогда классичес-
классическое решение задачи Коши A1), A2) существует, единственно и выра-
выражается:
при п = 3 формулой Кирхгофа
u(x;at)	\Х ~ ^I
^^[ /	l; A9)
/S(x;at)	47Га- Ul [? JS(x;at)
при п = 2 формулой Пуассона
C/(:c;ai) у/пЧ2 - \x - ^|2 2тГО 9i
A9')
при n = 1 формулой Даламбера
1 г* r*4t-r)
v,t) = — / /	f{^r)d^dr-\-
*a JoJx-a(t-r)
¦t rx+at	i
H	/ ^i(?) ^ H— [^о(ж + at) -\- щ(х — at)].
^a Jx — at	^
Это решение непрерывно зависит от данных /^щищ задачи
Коши в следующем смысле: если эти данные изменяются так, что
(последнее неравенство нужно только при п = 3, 2), то соответствую-
соответствующие решения и и й в любой полосе 0 ^ t ^ T удовлетворяют оценкам:
Г2
ж,?) -ix(x,t)| ^ —-s + Tsi +е0 + аТе'о, п = 3,2;

174	Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
Т2
\и(х,t) — и(х,t)\ ^ —e + Tei+So, n = 1.
Резюмируя, можно сказать, что задача Коши для волнового
уравнения поставлена корректно (см. §1.4, п. 8), причем C2(t > 0) П
П С1^ ^ 0) — класс корректности классической задачи Коши и
2У(МП+1) — класс корректности обобщенной задачи Коши (см. тео-
теорему из п. 3).
5. Упражнения.
а)	Пользуясь фундаментальным решением оператора Клейна-
Гордона-Фока (см. § 3.1, п. 10, б)), показать, что решение задачи Ко-
Коши для уравнения Клейна—Гордона—Фока выражается формулой
и = Dr(xo,х) * и\{х) -\	—-— * uq{x).
б)	Показать, что решения смешанных задач
?а и = 0, u\t=o = ut\t=o = 0» 0 < ж, t < оо,
с граничными условиями:
(где функции фо и ф\ непрерывны в [0, оо) и обращаются в нуль
при t < 0), задаются соответственно формулами:
u(x,t) = -2a2 _	,_ ,_ а
rt-x/a
2) u(x,t) = -2a2E1{x,t)
в)	Пользуясь фундаментальными решениями B2) и B3) из § 3.1,
установить, что задачи Коши
и + аи = ри, u\t=o ~ ^°' Р ^ ^(^ ^ ^)'
и11 -\-а2и — ри1 u\t=§~u®-> u'\t=o~Ul^
эквивалентны соответственно следующим интегральным уравне-
уравнениям:
u(t)= f e-a^-^
Jo

§3.3. Задача Коши для волнового уравнения
175
1 Г"'
(*) = -/ si
а Jo
sin a(t — т)р(т)и(т) dr + щ cos at +
sin at
a
г)	Пусть обобщенная функция F финитна. Доказать, что реше-
решение u(x,t) соответствующей обобщенной задачи Коши для волнового
уравнения в М4 обладает свойством: для любой ограниченной облас-
области G С М3 существует такое число Г = T(G), что u(x,t) = 0 при х е
eG,t>T.
д)	Пусть / = 0 и функции и0 G С3(М2) и щ е С2(М2) финитны.
Доказать, что соответствующее решение u(x, t) задачи Коши для вол-
волнового уравнения в Ж3 обладает свойством: для любой ограниченной
области Gel2 существует постоянная К = K(G) такая, что
u(x,t)\ ^ —, х G G, t > 0.
е)	Показать, что частные решения n-мерного волнового урав-
уравнения Uiu = 0 (см. § 1.2, п. 1) вида /(-рт) определяются дифференци-
дифференциальным уравнением
= 0,
В частности:
u(x,t) = ci In
t-
1 +
ж
ж
¦c2, i—
-L + W—--1 +C2, -4
n = 2;
+ с2, ж/0, n = 3.
ж) Доказать, что задача Гурса (см. § 1.4, п. 5, а))
иху + аих + buy + cu = f(x,y), 0 ^ х ^ ж0, 0
где / — непрерывная функция и <^i и (/?2 — непрерывно диффе-
дифференцируемые функции, удовлетворяющие условию

176
Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
эквивалентна системе интегральных уравнении
ГУ
и(х, у) = y?i (ж) + / w(x, и') dy1,
Jo
ГУ
у(х,у) = (р[(х)+ / (f-av-bw-cu)(x,y')dy',
Jo
w(x,y) = <pr2(y) + / (/ - av -bw - cu)(xr,y)dxr.
Jo
з) Показать, что уравнение Лиувилля
utt-uxx=geu, g>0,
имеет решение
8ip'(x + t)ip'(x - t)
u(x,t) = In
д[ф
где (риф — произвольные функции класса С3, удовлетворяющие ус-
условиям if' > 0, ф' > 0.
и) Показать, что уравнение Sin-Гордона
= -gsmu,
имеет решение
u(x,t) = 4arctgexp <
к) Доказать, что функция
u(x,t) =
х — at
—=
6(at- \x\)
4тга2\х
есть решение задачи Коши
utt — а2Аи + в{х) • S(t), х = (xi,Х2,%з),
удовлетворяющее начальным условиям
u(x,t) —> 0, Ut(x,t) —> 0 при t —> 0 для всех ж/0.

§3.4- Распространение волн	111
§ 3.4. Распространение волн
В этом параграфе будет дана физическая интерпретация реше-
решений волнового уравнения, полученных в § 3.3.
1. Наложение волн и области влияния. Пусть задан ис-
источник F(x,t), обращающийся в нуль при t < 0. Решение u(x,t) обоб-
обобщенной задачи Коши для волнового уравнения с источником F(x,i)
согласно формуле A6) из § 3.3 имеет вид и = ?п * F.
Физический смысл этой формулы (см. § 3.1, п. 3) состоит в том,
что возмущение u(x,t) в точке х в момент времени t представляет
собой наложение (суперпозицию сумму) элементарных возмущений
порождаемых точечными источниками
F(?,T)8(x-O-5{t-T),
когда точки (?, г) пробегают множество, где сосредоточено возму-
возмущение F. В этом состоит принцип наложения волн (см. §3.1, п. 3).
Из принципа наложения волн следует, что возмущение и от ис-
источника F, сосредоточенного в множестве Т (т.е. spt С Т), может
достичь лишь тех точек полупространства t ^ 0, которые состоят из
объединения носителей ?п(х — ?, t — г), когда точка (?,т) пробегает
множество Т. Полученное таким путем множество М(Т) называется
областью влияния множества Т,
М(Т)= |J
Ясно, что вне множества М(Т) будет покой, другими словами,
spt и С М(Т), если spt F С Т. Конкретная реализация принципа супер-
суперпозиции существенно зависит от структуры носителя фундаменталь-
фундаментального решения ?п(х, t) и, стало быть, от числа п пространственных пе-
переменных (см. § 3.2, п. 1). Это в свою очередь определяет особенности
в характере распространения волн в пространстве, на плоскости и на
прямой.
2. Распространение волн в пространстве. Из выражения
для фундаментального решения трехмерного волнового оператора
0(t)	0(t)
?(М) =	^{x) =	S(a2t2 - |ж|2), х = (Ж1,ж2,ж3),
12 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

178
Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
вытекает, что возмущение ?з(х, t) от точечного, мгновенно действую-
действующего источника 5(х) -S(t) к моменту времени t > 0 будет сосредоточе-
сосредоточено на сфере радиуса at с центром в точке х = 0 (рис. 30 и рис. 28). Это
значит, что такое возмущение распространяется в виде сферической
волны \х\ = at, движущейся со скоростью а, причем после прохожде-
прохождения этой волны опять наступает покой. В этом случае говорят, что
в пространстве имеет место принцип Гюйгенса.
Отсюда в силу принципа наложения волн (см. п. 1) вытекает,
что возмущение и от произвольного источника F, сосредоточенного
в Т, может достичь лишь тех точек, которые состоят из объединения
границ a(t — т) = \х — ?| конусов будущего Г+(?,т), когда их верши-
М(Т)
Покой	Покой
М(Т)
\ W
Покой
Рис. 30	Рис. 31
ны (?,т) пробегают множество Т (рис.31), так что
М(Т)= II
При этом возмущение u(x,i) при t > 0 полностью определяется
значениями источника F(^r) на боковой поверхности B(x,i) кону-
конуса Г^~(ж,?) (см. §3.2, п. 3 и рис.29). В этом состоит математическая
формулировка принципа Гюйгенса.
В частности, если возмущение F сводится к начальному возму-
возмущению вида
A)
F(x,t)=uo(x)-e'(t)+u1(x)-e(t),
то u(x,t) при t > 0 полностью определяется значениями щ(?) и
на сфере S(x;at), т.е. в точках границы основания конуса T~(x,t).

§3.4- Распространение волн
179
Пусть теперь возмущение A) сосредоточено в компакте К плос-
плоскости t = О, т.е. spt ^о, spt i^i С К. В силу сказанного в точку х ^ К
возмущение придет в момент времени to = d/a и будет действовать в
этой точке в течение времени (D — d)/a, где d и D — минимальное и
максимальное расстояния от точки х до точек множества К (рис. 32).
При t > D/a = t\ в точке х снова наступает покой. Таким об-
образом, в момент времени to через точку х проходит передний фронт
волны, а в момент времени t\ через эту точку проходит задний фронт
волны. При этом в момент времени t передний фронт будет внешней
огибающей сфер S(?;at), когда ? пробегает К, а задний фронт —
внутренней огибающей этих сфер (рис. 33).
Покой
Рис. 32
Рис. 33
Другими словами, к моменту времени t > 0 возмущение рас-
распространяется на область, заключенную между передним и задним
фронтами. Рассматривая эту картину при всех t ^ 0, заключаем, что
в пространстве Ж4 переменных (ж, t) это возмущение будет сосредо-
сосредоточено на объединении границ \х — ?| = at конусов будущего Г+(?, 0),
когда их вершины (?,0) пробегают компакт К (в плоскости т = 0),
т.е. на М(К).
3. Распространение волн на плоскости. Из формулы для
фундаментального решения двумерного волнового оператора
0(at- \x\)
х = (жьж2),
вытекает, что возмущение ^(ж,^) от точечного, мгновенно дейст-
действующего источника 8{х) • 5(t) к моменту времени t > 0 будет сосре-
сосредоточено в замкнутом круге радиуса at с центром в точке х = 0
12*

180
Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
(рис.34). Таким образом, наблюдается передний фронт волны |ж| =
= at, движущийся на плоскости со скоростью а. Однако, в отличие от
пространственного случая, за передним фронтом возмущение наблю-
наблюдается во все последующие моменты времени, так что задний фронт
волны отсутствует. В этом случае говорят, что на плоскости имеет
место диффузия волн. При этом принцип Гюйгенса, очевидно, нару-
нарушается.
Чтобы понять, почему происходит диффузия волн на плоскос-
плоскости, заметим, что фундаментальное решение ?2 (ж, ?)? рассматриваемое
как функция четырех переменных (x,xs,t), представляет собой воз-
возмущение от мгновенного источника 6(х)-1(хз)-6(?), сосредоточенного
на оси жз (см. § 3.1, п. 7),
?2(x,t)=?3*[6(x)'l(x3)'6(t)].
От такого источника в Ж3 возмущение распространяется в виде ци-
цилиндрической волны \х\ ^ at, передний фронт которой |ж| —at движет-
движется со скоростью а перпендикулярно оси жз (рис.35). После прохож-
прохождения переднего фронта возмущение сохраняется бесконечно долго.
\ Покой
uat \
Ъаг X
Рис. 34
Покой
/
х2
41TNIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
4JIIIIII
К,
0
/
-Кг
Рис
А
1
. 35
А.
л\\\\\\\
Покой
at X|
Действительно, в силу принципа Гюйгенса (см. п. 2) в точку
(xq ,0) G I3 в момент времени t > 0 возмущение от источника
5(х) • 1(ж3) • S(t) будет приходить из тех точек сферы \х — хо\2 + х\ —
— a2t2, которые лежат на оси жз, т. е. из точек (рис. 35)
±Aat = {0,
Отсюда следует, что при t < \xo\/a = to в точке (жо, 0) будет по-
покой; в момент времени to через эту точку пройдет передний фронт

§3.4- Распространение волн
181
волн (возмущение придет из точки х = 0); во все последующие момен-
моменты времени t > to в эту точку будут приходить одинаковые возмуще-
возмущения из точек =ЬАа?, и, стало быть, в ней будет наблюдаться отличное
от нуля суммарное возмущение (задний фронт волны отсутствует).
Из наличия диффузии волн на плоскости в случае точечного
начального возмущения 5(х) • 5(t) следует, что диффузия волн наблю-
наблюдается и для произвольного возмущения F(x,t), F = 0 при t < 0.
Действительно, в силу принципа наложения волн (п. 1) возмуще-
возмущение и от источника F, сосредоточенного в Т, может достичь лишь
тех точек, которые лежат в объединении замыканий Г (?, г) конусов
будущего Г+(?,т), когда их вершины (?,т) пробегают множество Т
(рис. 36), так что
М(Т)=
Здесь при t > 0 возмущение и(х, t) полностью определяется зна-
значениями источника F(?, т) на замыкании конуса Г (х, t) (см. рис. 29).
Покой
Рис. 36
В этом состоит математическое содержание понятия «диффузия
в олн».
В частности, если F — начальное возмущение вида A), то и(х, t)
при t > 0 полностью определяется значениями щ(х) и щ(х) в кру-
круге U(x;at), т.е. на основании конуса Го (ж,?). Поэтому если началь-
начальное возмущение сосредоточено на К, то к моменту времени t > 0
возмущение u(x,t) распространится на область, представляющую со-
собой объединение кругов U(x;at), когда их центры ? пробегают К

182
Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
(рис.37). Таким образом здесь наблюдается передний фронт и от-
отсутствует задний фронт волны.
В соответствии со сказанным областью влияния М(К) компак-
компакта К является объединение замкнутых будущих световых конусов
Г (?, 0), когда их вершины (?, 0) пробегают К в плоскости т = 0 (см.
§3.2, п.З и рис. 36).
4. Распространение волн на прямой. Из вида фундамен-
фундаментального решения одномерного волнового оператора
Si(x,t) = —6(at—\x\), x = xi,
вытекает, что возмущение Si(x,t) от точечного, мгновенно дейст-
действующего источника S(x) • S(t) к моменту времени t > 0 будет сосредо-
сосредоточено на отрезке —at ^ x ^ at (рис. 26). В этом случае наблюдаются
два передних фронта х = at и х = —at, движущихся со скоростью а на-
направо и налево соответственно. Как и в плоском случае, за фронтом
волны наблюдается возмущение (здесь оно постоянно и равно ^),
т. е. имеет место диффузия волн.	Za
Чтобы понять это явление, дадим трехмерную интерпретацию
фундаментальному решению Si(x,t). Это решение представляет со-
собой возмущение от мгновенного источника S(x) • 1(^2, хз) • S(t), сосре-
сосредоточенного на плоскости х = 0:
^t) = S3 *[S(x) • 1(х2,х3)
де плоской волны \х
Покой
Покой
От такого источника в М3 возмущение распространяется в ви-
виat, передний фронт которой |ж| = at дви-
движется со скоростью а, перпенди-
перпендикулярной плоскости х = 0. Отме-
Отметим, что здесь передний фронт
состоит из двух плоскостей, х =
= at и ж = —at, движущихся со
скоростью а направо и налево
соответственно относительно
плоскости х = 0 (рис.38). После
прохождения переднего фронта
волны возмущение сохранится
навсегда.
Действительно, в силу прин-
принципа Гюйгенса (см. п. 2) в дан-
данную точку (жо,0,0) G М3 в момент времени t > 0 возмущение от ис-
Рис- 38

§3.4- Распространение волн	183
точника 5(х) • 1(^2, жз) * S(t) будет приходить из тех точек сферы \х —
— жо|2 + х\ + х\ — a2t2, которые лежат на плоскости х = 0, т.е. из
точек окружности (рис. 38)
Aat = {х\ + Х3 = ft2^2 - ЖСп Ж = О}'
Отсюда следует, что при t < \xo\/a = to в точке (жо, 05 0) будет покой;
в момент времени to через эту точку пройдет передний фронт волны
(возмущение придет из точки 0); во все последующие моменты вре-
времени t > to в эту точку будут приходить одинаковые возмущения из
точек окружности Aat, и, стало быть, в ней будет наблюдаться от-
отличное от нуля суммарное возмущение (задний фронт отсутствует).
Из наличия диффузии волн на прямой в случае точечного на-
начального возмущения S(x) -S(t) следует, что диффузия волн наблюда-
наблюдается и для произвольного начального возмущения щ(х) • S(t).
Рассмотрим теперь мгновенный точечный источник вида
S(x) -S'(t). По теореме из §3.3, п. 3 этот источник порождает воз-
возмущение
Отсюда видно, что возмущение ?i(x,t) в момент времени t > 0 будет
сосредоточено только в двух точках х = ±а?, так что после прохож-
прохождения фронта волны |ж| = at снова наступает покой. В этом случае
имеет место принцип Гюйгенса.
Для произвольного начального возмущения вида щ (х) • 5f (t) воз-
возмущение u(x,t) при t > 0 полностью определяется значениями щ(?)
в точках х ± at, т. е. в точках границы основания конуса Fq~ (ж, t) (см.
рис. 29). Это возмущение дается формулой
и = ?i(x,t) * [г^о(ж) • S'(t)] = ?i(x,t) * г^о(ж).
Отсюда, учитывая равенства B), при t > 0 получаем
и(х, t) = - 5(at - \х\) * ио(х) = -uo(x + at) + - ио(х - at). C)
z	z	z
Физический смысл формулы C) состоит в том, что начальное
возмущение г^о(ж) • S'(t) при t > 0 как бы распадается на два подобных

184
Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
возмущения щ(х ± at), каждое половинной интенсивности (рис.39).
lu(x, t)
-at
О
Рис. 39
at
= -at+b
\
М(К)
x = at+c
В соответствии со сказанным области влияния отрезка К = [a, b]
для начальных возмущений щ(х) • S(t) и щ(х) • Sf(t) имеют вид, ука-
указанный на рис. 40 и рис. 41.
Таким образом, на пря-
прямой для начального возмуще-
возмущения щ(х) • S(t) имеет место
диффузия волн, а для началь-
начального возмущения Uo(x)-Sl(t) —
принцип Гюйгенса. Для про-
произвольного возмущения F,
F(x, t) = 0, t < 0, могут иметь
место либо принцип Гюйген-
Гюйгенса, либо диффузия волн, либо их наложение. Физические интерпре-
Покой
V
о
ь к
Рис. 40
х = -at + Ъ
\
Покой
х = -at + с х = at + Ъ х = at + с
Покой
' /
Покой
0	Ъ К с	х
Рис. 41
тации и геометрические построения аналогичны рассмотренным в
п. 2 и п. 3 соответственно.
5. Метод распространяющихся волн. Изложим другой ме-
метод — метод распространяющихся волн решения классической зада-
задачи Коши для одномерного однородного волнового уравнения
D)

§3.4- Распространение волн	185
Ч=о = ио(х),	ut\t=0 = щ(х).	E)
Прежде всего докажем следующую лемму.
Лемма. Для того чтобы функция u(x,t) класса С2 была реше-
решением волнового уравнения D) в некоторой области, необходимо и
достаточно, чтобы в этой области она имела представление
и{х, t) = /(ж - at) + g(x + at),	F)
где /(?) и g(rj) — функции класса С2 в соответствующих интерва-
интервалах изменения переменных ? и г).
Доказательство. Функция F) удовлетворяет уравнению D),
так как
^ = a2f"(x - at) + a2g"(x + at) = a2^.
Обратно, пусть функция u(x,t) класса С2 удовлетворяет урав-
уравнению D) в некоторой области. Представим уравнение D) в канони-
каноническом виде. В соответствии со сказанным в § 1.3, п. 4 его дифферен-
дифференциальные уравнения характеристик имеют вид
dx	dx
dt	dt
и, следовательно, замена переменных
? = х — at, г) = х + at	G)
приводит уравнение D) к каноническому виду
Интегрируя это уравнение по ?, получим
дй
где х — некоторая функция класса С1. Интегрируя теперь полученное
уравнение по г\, запишем функцию и в виде
«(?, v) = f x(v') drf + f@ = f@ + g(v),
(8)
где / и g — некоторые функции класса С2. Переходя к старым пере-
переменным х и t по формулам G), выводим из (8) представление F) для
решения u(x,t). Лемма доказана.

186	Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
Физическая интерпретация решения F). Функция f(x — at) опи-
описывает возмущение, которое из точки хо в момент времени t = 0 при-
приходит в точку х = Хо + at в момент времени t (рис. 42). Поэтому эта
х0 - at	х0	х0 + at	x
Рис. 42
функция представляет собой волну, двигающуюся направо со ско-
скоростью а. Аналогично, функция д{х + at) представляет собой волну,
двигающуюся налево со скоростью а.
Общее решение F) волнового уравнения D) есть наложение этих
двух волн.
С помощью представления F) общего решения волнового урав-
уравнения D) классическое решение задачи Коши D), E) строится сле-
следующим образом.
Предположим, что решение u(x,i) этой задачи существует. Тог-
Тогда по лемме из п. 5 это решение представляется в виде F) с функция-
функциями/и д класса С2(Ж1). Для того чтобы решение и(х, t) удовлетворяло
начальным условиям E), необходимо, чтобы функции / и д удовлет-
удовлетворяли соотношениям
/О) +д(х) = ио(х), -af'(x) -\-ag'(x) =щ(х),
т. е.
КО + д@ = МО, д@ - КО = - [ М?) <% + с, (9)
a Jo
где С — некоторая постоянная. Решая уравнения (9) относительно
неизвестных функций / и д, найдем
^ Г

§3.4- Распространение волн	187
Подставляя полученные выражения для / и д в формулу F), получаем
формулу Даламбера (см. § 3.3, п. 4)
u(x,t) = -[uo(x + at) +uo(x-at)] + — / u^) d?.	A0)
2	2a Jx-at
Непосредственной проверкой убеждаемся, что формула Даламбе-
Даламбера A0) действительно дает классическое решение задачи Коши D),
E), если ixo E С2 (Ж1) и щ е С1 (Ж1). Это решение единственно (см.
§3.3, п. 4).
6. Метод отражении. Полубесконечная струна. Изло-
Изложенный в предыдущем пункте метод распространяющихся волн ре-
решения задачи Коши для уравнения D) позволяет решать некоторые
смешанные задачи для этого уравнения. Для определенности рассмот-
рассмотрим смешанную задачу (см. §1.4, п. 4), описывающую колебание по-
полубесконечной струны х > 0 с закрепленным левым концом
«1*=о = 0-	(И)
Предварительно докажем, что всякое классическое решение u(x,i)
уравнения D) в квадрате х > 0, t > 0, удовлетворяющее условию A1),
представляется в виде
и(х, t) = д(х + at) - д(-х + at), g e С2(Ж1).	A2)
Действительно, по лемме из п. 5 решение u(x,t) представляется
в виде F), где /(?) G С2 (Ж1) и g(rj) G С2(т] > 0). Отсюда, учитывая
условие A1), получим
O = f(-at)+g(at),
откуда и вытекает представление A2).
Физическая интерпретация решения A2). Это решение пред-
представляет собой наложение двух волн: волны д[х + at), движущейся со
скоростью а налево, и волны —д{—х + at), движущейся с той же ско-
скоростью направо. Пусть волна д(х + at) движется по полубесконечной
струне х > 0, закрепленной в точке х = 0. Тогда волна —д(—х + at)
будет двигаться по полуоси х < 0 навстречу волне д(х + at) (рис. 43).
В некоторый момент времени эти волны встретятся в точке х = 0 и,
накладываясь друг на друга, дадут нулевое возмущение в этой точ-
точке. При дальнейшем движении волна g(x-\-at) окажется за пределами
струны, в то время как волна —д(—х + at) перейдет на струну. В ре-
результате на струне будет наблюдаться отражение волны д(х + at) от
конца струны х = 0 с изменением знака (рис.44).

188
Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
Построим теперь решение смешанной задачи D), E), A1). Вся-
Всякое классическое решение u(x,t) этой задачи в силу A2) допускает
g(x + at)
-g(-x + at)
Рис. 44
нечетное продолжение u(x,t) по х класса С2(М2), и это продолжение
удовлетворяет уравнению D) в М2 . Отсюда и из условий E) вытекает,
что решение и(х, t) удовлетворяет начальным условиям
ut\t=o = u
A3)
где щ и и± — нечетные продолжения функций щ и и± соответст-
соответственно. Но решение такой задачи Коши единственно и представляется
формулой Даламбера A0) с заменой щ на щ и щ на щ, если щ G
G С2(Ж1) и и\ G С1 (Ж1). Последние условия будут выполнены, если
е С2(х ^ о),
е сх
о),
= о.
A4)
Итак, если выполнены условия A4), то решение задачи D), E),
A1) существует, единственно и задается формулой
1	~	1 fx+at
u{x,t) = - [щ(х + at) +щ(х - at)] + — /
2	2а Jx-at
x ^ 0.
A5)
Пусть х — at ^ 0. Тогда
йо(х - at) = щ(х - at),
и формула A5) принимает вид
ж - at ^ 0,
2
at)] + — /
ж ^ at.
A6)

§3.4- Распространение волн
189
Пусть теперь х — at ^ 0. В этом случае
щ(х — at) = — щ(—х + at), ui(^) = —u\{-
и формула A5) принимает вид
• at) — uq(—x + at)] +
rx-\-at
x - at
0,
2« У-
O^x^at. A7)
— x-\-at
Как видно из формулы A7), в точку (x,t), 0 ^ х ^ at, прихо-
приходят две волны: прямая волна из точ-
точки (х + at, 0) и один раз отраженная
волна из точки (at — x,0) (совпадаю-
(совпадающая с прямой волной из фиктивной
точки (х - at, 0); рис. 45).
Аналогично рассматривается
смешанная задача для полубеско-
полубесконечной струны х > 0 со свободным х -at
концом:
их\х=0 = 0.
Здесь также имеет место отражение волн от конца струны х = 0, но
уже без изменения знака.
7. Метод отражении. Конечная струна. Применим метод
отражений, изложенный в предыдущем пункте, для решения смешан-
смешанной задачи для конечной струны 0 ^ х ^ I с закрепленными концами
0	at -х х + at x
Рис. 45
,-п = uL-i = 0.
A8)
Сначала докажем, что всякое классическое решение u(x,t) вол-
волнового уравнения D) в полуполосе 0 < х < I, t > 0, удовлетворяющее
условиям A8), представляется в виде
и{х, t) = д{х + at) - д{-х + at), д{^ + 21) = д(?), д G С2^1). A9)
Действительно, по лемме из п. 5 решение u{x,t) представляется
в виде F), где /(?) G С2(? < /) и #G7) G С2(г] > 0). Отсюда, учитывая
условия A8), получим
f(i-0 =-
B0)

190
Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
Эти соотношения дают продолжения функций / и g на всю ось с
сохранением класса С2. В самом деле, равенство д(?) = —/(—?) рас-
распространяет функцию д на интервал (—/,оо). А тогда второе из
равенств B0), записанное в виде f(rj) = —gBl - rj), распространяет
функцию / на интервал (—оо, 3/), и т. д. В результате такого продол-
продолжения функции / и д будут принадлежать клас-
t	су С2 (Ж1) и удовлетворять соотношениям B0).
Отсюда вытекает представление A9) и 2/-пери-
одичность функции д:
2/
x~at	Решение A9) показывает, что имеет мес-
место отражение от обоих концов ж = 0иж = 1с
изменением знака. Отсюда следует, что движе-
движение струны периодическое по времени с перио-
^ дом 21/а (рис. 46).
Построим теперь решение смешанной за-
задачи D), E), A8). Если классическое решение
u(x,t) этой задачи существует, то в силу A9)
оно допускает 2/-периодическое нечетное продолжение и(х, t) no x
относительно точек х = 0 и х = /, и это продолжение принадлежит
классу С2(М2) и удовлетворяет уравнению D) в М2. Отсюда и из ус-
условий E) вытекает, что функция и(х, t) удовлетворяет начальным
условиям A3), в которых функции щ и и\ — соответственно 2/-пе-
риодические нечетные продолжения функций щ и щ относительно
точек х = 0 и х = I.
Рассуждая теперь, как в предыдущем пункте, заключаем, что
если функции щ и щ удовлетворяют условиям
х0	I
Рис. 46
и0 е C2([o,i]), «о(о) = <@) = «о@ = <(/) = о,
B1)
то решение смешанной задачи D), E), A8) существует, единственно
и дается формулой
x+at
0 ^ х
B2)

§3.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности
191
Пусть точка (ж, t) расположена так, как показано на рис. 47. Тог-
Тогда формула B2) в этой точке принимает вид
u(x,t) = l-
B3)
Действительно, согласно правилу отражений йо(Ь) = 1x0GM
йо(с) = —uo(/3) и
= f
J1
= f
J1
Отсюда и из B2) вытекает формула B3). Она показывает, что в
точку (ж, t) приходят две волны: одна волна из точки /3 (один раз
11
Ъ -I
отраженная от конца х = /), другая из точки 7 (по одному разу от-
отраженная от концов х = I и х = 0) (см. рис. 47).
§ 3.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности
Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности строит-
строится методом, аналогичным методу, изложенному в § 3.3 для решения
подобной задачи для волнового уравнения.
1. Тепловой потенциал. В §3.1, п. 6 было показано, что
функция
?(x,t) =
0{t)	f \х\2 \
Bал/тгг)п I 4а2 J

192
Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
является фундаментальным решением оператора теплопроводности.
Эта функция неотрицательна, обращается в нуль при t < О, беско-
бесконечно дифференцируема при (ж, t) ф (О, 0) и локально интегрируема
в Mn+1. Более того, (см. § 2.2, п. 5, е)),
?(x,t)dx = l, ?>0;
>6(x) в V'(Rn), t-
A)
B)
График функции ?(x,t) при различных t > 0 (t\ < ?2 < h) по-
построен на рис. 48.
Фундаментальное решение ?(x,t) дает распределение темпе-
температуры от точечного мгновенного источника 5(х) • S(t). Посколь-
Поскольку ?(x,t) > 0 при всех t > 0
и х G Мп, то, стало быть, тепло
распространяется с бесконеч-
бесконечной скоростью. Но это проти-
противоречит опыту. Следователь-
Следовательно, уравнение теплопроводности
недостаточно точно качествен-
качественно описывает механизм пере-
передачи тепла. Тем не менее это
уравнение дает хорошее коли-
количественное согласие с опытом
(например, при больших х и ма-
Рис. 48	лых t величина ?(x,t) чрезвы-
чрезвычайно мала, и ею можно пренеб-
пренебречь). Более точное описание процессов переноса (тепла, частиц)
дает уравнение переноса.
Пусть обобщенная функция / G P/(Mn+1) обращается в нуль
при t < 0. Обобщенная функция V = ? * /, где ? — фундаментальное
решение оператора теплопроводности, называется тепловым потен-
потенциалом с плотностью /.
Если тепловой потенциал V существует в P/(Mn+1), то в силу
теоремы из § 3.1, п. 3 он удовлетворяет уравнению теплопроводности
—
f(x,t).
C)
Из теоремы 1 из §2.3, п. 4 следует, что если / — финитная
обобщенная функция и обращается в нуль при t < 0, то тепловой
потенциал заведомо существует в 2)/(Мп+1). Выделим еще один класс

§3.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности	193
плотностей /, для которых тепловой потенциал существует. Пусть
А4 — класс функций, обращающихся в нуль при t < 0 и ограничен-
ограниченных в каждой полосе 0 ^ t ^ Т.
Теорема. Если / G М, то тепловой потенциал V с плот-
плотностью / существует в классе Л4 и выражается формулой
2(i-r)J
d?dr. D)
4a2
Потенциал V удовлетворяет оценке
E)
начальному условию
V(x, t) =* 0, ж G Mn, t -)> +0.	F)
cvce функция f G C2(t ^ 0) г/ все ее производные до второго по-
порядка включительно ограничены в каждой полосе, то V G C2(t > 0)П
Доказательство. Так как функции ? и / локально интегри-
интегрируемы в Mn+1, то их свертка
S*f=
существует и локально интегрируема в Mn+1, если функция
h(x,t)= [
локально интегрируема в Mn+1 (см. § 2.3, п. 2). Проверим, что это ус-
условие выполнено. Так как h = 0 при t < 0, то достаточно установить,
что h удовлетворяет оценке E) при t > 0. Это следует из равенст-
равенства A):
= t sup |/(?,t)|, t>0. G)
Таким образом, тепловой потенциал V = ?*f представляется форму-
формулой D). Так как |У| ^ /i, то этот потенциал обращается в нуль при t <
< 0 и в силу G) удовлетворяет оценке E). Это значит, что V G Л4.
Из оценки E) следует, что V удовлетворяет начальному условию F).
13 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

194	Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
Совершал в формуле D) замену переменных интегрирования ? =
— х — 2ал/ву, т — t — s, представим ее в виде
У(ж> *) = -^ Ц
> * - s)e-\^dy da.	D')
Пусть функция / Е C2(t ^ 0) и все ее производные до второго порядка
включительно содержатся в классе А4. Тогда, пользуясь теоремами
о непрерывности и дифференцируемости интегралов, зависящих от
параметра (см. § 1.1, п. 5), из формулы D') и из равенства
выводим, что функции У, VXi, Vt, VXiXjJ VXit непрерывны при t ^ 0, а
функция Vu непрерывна при t > 0. Теорема доказана.
2. Поверхностный тепловой потенциал. Тепловой потен-
потенциал у(°) с плотностью / = щ(х) • S(t) называется поверхностным
тепловым потенциалом (простого слоя с плотностью щ),
у(°) = ? * [щ(х) • S(t)] = ?(х, t) * щ(х).
Если ixo финитна в 1П, то поверхностный тепловой потенциал V^
заведомо существует в 2У(МП+1) (см. §2.3, п. 4).
Следующая теорема описывает важный класс тепловых потен-
потенциалов и его свойства.
Теорема. Еслиио(х) — ограниченная функция в W1, то поверх-
поверхностный тепловой потенциал V^ существует в М., принадлежит
классу C°°(t > 0), представляется интегралом Пуассона
i (8)
и удовлетворяет неравенству
М0\, *>о.	(9)
Если к тому же функция щ(х) непрерывна в Мп, то потенци-
потенциал 1/(°) принадлежит C(t ^ 0) и удовлетворяет начальному условию
Vi0)\t=0=u0.	A0)

§3.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности	195
Доказательство. Так как функция
обращается в нуль при t < О, а при t > 0 в силу A) удовлетворяет
оценке (9):
h(x,t)
sup \uo(O\ [?(x-Z,t)d?= sup \uo(Ol
Сем™	J	^еигг
то эта функция локально интегрируема в Mn+1. Следовательно, по-
поверхностный тепловой потенциал у(°) = ?(x,t) * щ(х) представляется
формулой (8) (см. §2.3, п. 2):
J-?,*)<%,	(8')
обращается в нуль при t < 0 и в силу неравенства |у(°)| ^ h удовлет-
удовлетворяет оценке (9). Значит, V^ G A4.
Далее, из формулы (8) следует, что V^GC°°(t > 0) (см. § 1.1, п. 4).
Пусть теперь щ — непрерывная ограниченная функция в Жп.
Докажем, что потенциал V^ принадлежит C(t ^ 0) и удовлетворяет
условию A0).
Пусть (ж,?) ->• (жо,0), t > 0 и е > 0 — произвольное число. В
силу непрерывности щ(х) существует такое число 5 > 0, что |t*o(?) ~
— г^о(жо)| < ? при |? — хо\ < 26. Поэтому если \х — хо\ < S и \у < \5, так
что \х — у — хо\ < 2Й, то в силу A) и (8;) при t > 0 имеем
(ж - ^, t) d? =
= / \uo(x-y)-uo(xo)\?(y,t)dy+	\uo(x-y)-uo(xo)\?(y,t) dy ^
•/|3/|<5	./|3/|>5
2^. A1)
\Z\>5/BaVt)
Второе слагаемое в A1) также можно сделать < г за счет t —у 0, так
что при некотором Si ^ S
|У@)(М) " Мхо)\ < 2е, |ж - хо| < S, \t\ < Sl
Теорема доказана.
13*

196	Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
3. Постановка обобщенной задачи Коши для уравнения
теплопроводности. Схема решения задачи Коши, изложенная в
§ 3.3, п. 1 для обыкновенного линейного дифференциального уравне-
уравнения, применяется и для решения задачи Коши для уравнения тепло-
теплопроводности
^=a2A + /(x,t),	A2)
t=0
A3)
Считаем / Е C(t ^ 0) и щ Е С(МП). Предположим, что существует
классическое решение u(x,t) этой задачи. Это значит, что и ?C2(t >
> 0) f)C(t ^ 0) удовлетворяет уравнению A2) при t > 0 и начальному
условию A3) при t ->• +0 (см. § 1.4, п. 2).
Продолжая функции и и f нулем при ?_< 0, как и в § 3.3, п. 2,
заключаем, что продолженные функции и и / удовлетворяют в Mn+1
уравнению теплопроводности
Равенство A4) показывает, что начальное возмущение щ для функ-
функции и(х, t) играет роль мгновенно действующего источника uo(x)-S(t)
(типа простого слоя на плоскости t = 0) и классические решения за-
задачи Коши A2), A3) содержатся среди тех решений уравнения A4),
которые обращаются в нуль при t < 0. Это дает основание ввести
следующее обобщение задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Обобщенной задачей Коши для уравнения теплопроводности с
источником F E P/(Mn+1) назовем задачу о нахождении обобщенной
функции и Е P/(Mn+1), обращающейся в нуль при t < 0 и удовлетво-
удовлетворяющей уравнению теплопроводности
Уравнение A5) эквивалентно следующему (см. §3.1, п. 1): для любой
основной функции if E P(Mn+1) справедливо равенство
-(F,<p).	A5;)
Из уравнения A5) следует, что необходимым условием разрешимости
обобщенной задачи Коши является обращение в нуль F при t < 0.

§3.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности	197
4. Решение задачи Коши.
Теорема. Пусть F(x,t) = f(x,t) +щ(х) -S(t), где f е М, щ —
ограниченная функция в W1. Тогда решение соответствующей об-
обобщенной задачи Коши существует и единственно в классе Ad и
представляется формулой Пуассона
4a2(t-r
Решение и непрерывно зависит от f и щ в следующем смысле:
если
|/ -/| ^ г, \и0 -йо\ ^ в0,
то соответствующие решения и и и в любой полосе 0 ^ t ^ T
летворяют оценке
u(x,t) -u(x,t)\ ^ Гг + г0-
.Ё/слг/ ?с тому же / G С2(? ^ 0), все ее производные до второ-
второго порядка включительно принадлежат классу Ad и щ G С(М1), то
решение и(x,t) классическое.
Доказательство. В силу условий теоремы свертка ? с пра-
правой частью F уравнения A5) существует в Ad и представляется в
виде суммы A6) двух тепловых потенциалов V и V^°\ и эти потен-
потенциалы выражаются формулами D) и (8) соответственно (см. теоре-
теоремы из пп. 1,2). Таким образом, по теореме из § 3.1, п. 3 формула A6)
дает решение обобщенной задачи Коши для уравнения теплопровод-
теплопроводности, и это решение единственно в классе Ad. Непрерывная зави-
зависимость решения и от данных задачи / и щ вытекает из оценок
E) и (9).
Если функции /и^о удовлетворяют дополнительным условиям
гладкости, приведенным в теореме, то по теоремам из пп. 1,2 по-
построенное обобщенное решение и принадлежит C2(t > 0) П C(t ^ 0) и
удовлетворяет начальному условию A3). По лемме из § 3.1, п. 1 и(х, t)
удовлетворяет уравнению A2) в области t > 0. Поэтому и — класси-
классическое решение задачи Коши A2), A3). Теорема доказана.

198	Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
Подводя итоги, можно сказать, что задача Коши для уравне-
уравнения теплопроводности поставлена корректно (см. §1.4, п. 6), причем
C2(t > 0) П C(t ^ 0), даи G М, \а\ ^2, — класс корректности класси-
классической задачи Коши и Ad — класс корректности обобщенной задачи
Коши.
Замечание. Единственность решения задачи Коши для урав-
уравнения теплопроводности можно установить в более широком классе,
а именно в классе функций, удовлетворяющих в каждой полосе 0 ^
^ t ^ Г оценке
ИМ)| ^ Ceal*l2, С = С(Г), а = а(Г).
5. Упражнения.
а) Показать, что решениями смешанных задач
щ = а2ихх, u\t=0 =uo(x)
с граничными условиями:
1) «L=o=^(*)> 2) «*L=o
являются соответственно функции:
дЕ(х
1) u(x,t) =?(x,t)*uo(x) -2a2iL
ox
2) u(x, t) = f (ж, t) * г^о(ж) - 2a2?(x, t) *
a fb ф(т)	f	ж2 ) ^
	^ / , exp <	—	 > ат.
V^ Jo л/^Т P\ 4a2(i-r)j

§3.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности	199
Здесь ixo Е С([0, оо)) ограничена, щ и щ — ее нечетное и четное
продолжения соответственно и ф Е С([0, оо)), ф = 0, t < 0.
б)	Пусть функция г^о(ж) ограничена в!" и обладает шаровым
предельным средним
lim 	 / щ(х) dx = а.
R^oo GnRn J\X\<:R
Доказать, что решение u(x,i) соответствующей задачи Коши для
уравнения теплопроводности стабилизируется к а при t —> оо, т.е.
u(x,t)^a, \x\ ^ R, t ->• оо, R любое.
в)	Пользуясь фундаментальным решением оператора Шрёдин-
гера (см. § 3.1, п. 10, г)) показать, что задача Коши для одномерного
уравнения Шрёдингера (см. формулу C3) из § 1.2) сводится к интег-
интегральному уравнению
г) Показать, что задача Коши для (нелинейного) уравнения
Бюргегса
щ + иих = а2ихх, u\t=0 = ио(х),
с помощью замены и = —2а2срх/ср сводится к задаче Коши для урав-
уравнения теплопроводности
Hi=O=exP {—Z-o
д) Показать, что нелинейное уравнение Шрёдингера
гщ + ихх + и\и\2и = 0, v > О,

200	Гл. III. Фундаментальное решение и задача Коши
имеет решение
u(x.t) = \ —
v	chy/a(x-at)
при любых вещественных а и а > 0.
е) Показать, что уравнение Кортевега-де Фриза
щ + 6иих + иххх = 0
имеет решение
^2\^\	a>0.

Глава IV
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Интегральными уравнениями называются уравнения, содержа-
содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла.
Многие задачи математической физики сводятся к линейным
интегральным уравнениям вида
A)
\х)	B)
относительно неизвестной функции ip(x) в области G С W1. Уравне-
Уравнения A) и B) называются интегральными уравнениями Фредгольма
первого и второго родов соответственно. Известные функции /С(ж, у)
и /(ж) называются соответственно ядром и свободным членом интег-
интегрального уравнения; Л — комплексный параметр.
Интегральные уравнения Фредгольма первого рода здесь рас-
рассматриваться не будут.
Интегральное уравнение B) при / = О
K(x,y)ip(y)dy	C)
G
называются однородным интегральным уравнением Фредгольма вто-
второго рода, соответствующим уравнению B). Интегральные уравне-
уравнения Фредгольма второго рода
[ IC*(x,y)tl>(y)dy + g(x),	B')
g
[ K*{x,y)il>(y)dy,	C')
g

202	Гл. IV. Интегральные уравнения
где /С*(ж,у) = /СB/,ж), называются союзными к уравнениям B) и C)
соответственно. Ядро 1С*(х,у) называются эрмитово сопряженным
(союзным) ядром к ядру /С(ж, 2/).
Мы будем записывать интегральные уравнения B), C), B') и
C') сокращенно, в операторной форме:
ip = XKip + /,	у? = Alf <?,
ф = \К* +д,	ф = \К*ф,
где интегральные операторы К и К* определяются ядрами К(х,у)
и /С* (ж, ^/) соответственно (см. §1.1, п. 8):
(Kf)(x)= / K(x,y)f(y)dy, (K*f)(x)= / IC*(x,y)f(y)dy.
Jg	Jg
К интегральным операторам и уравнениям применимы все оп-
определения и факты, изложенные в §1.1, пп. 8-10. Кроме того, ока-
оказывается полезным следующее определение: комплексное значение Л,
при котором однородное интегральное уравнение C) имеет ненуле-
ненулевые решения из /^(G), называется характеристическим числом яд-
ядра /С(ж,2/), а соответствующие решения — собственными функциями
этого ядра, отвечающими этому характеристическому числу. Таким
образом, характеристические числа ядра К(х,у) и собственные зна-
значения оператора К взаимно обратны, а их собственные функции сов-
совпадают.
§4.1. Метод последовательных приближений
1. Интегральные уравнения с непрерывным ядром. Для
простоты изложения ограничимся случаем одной переменной. В ка-
качестве области G в интегральном уравнении B) возьмем интервал
@, а). Предположим, что функция / непрерывна на отрезке [0,а] и
ядро К,(х,у) непрерывно при 0 ^ х,у ^ а. (Такие ядра будем назы-
называть непрерывными.)
Напомним определением норм в пространствах С^ @, а) и С([0, а])
и скалярного произведения в ?2@, а) (см. § 1.1, п. 3 и п. 5):
па
A,9) = /
Jo
f(x)g(x)dx, f,g e С2@,а),

§4-.1. Метод последовательных приближений	203
||/||с = max |/|, feC([0,a}).
О^х^а
Лемма. Интегральный оператор К с непрерывным ядром
/С(ж, 2/) переводит ?2@, а) в С([0,а]) {следовательно, С([0,а])
в С([0,а]) и ?2@, а) в ?2@, а)) г/ ограничен, причем
f
f
fe
G
G
С
C2@,a),
С([0,а]),
¦г@, а),
D)
E)
F)
где
М = max |/С(ж,2/)|-
Доказательство. Пусть / g ?2@, а). Тогда / — абсолютно ин-
интегрируемая функция на @, а) (см. § 1.1, п. 5), и поскольку ядро К(х,у)
непрерывно на [0, а] х [0, а], функция Kf непрерывна на [0, а]. Поэтому
оператор К переводит ?2@, а) в С([0, а]) ив силу неравенства Коши-
Буняковского ограничен:
II-K7IU = max \(Kf)(x)\ = max
x<a	0<x<a
\ K(x,y)f(y)dy
Jo
max
Аналогично, и даже проще, доказываются неравенства E) и F). Лем-
Лемма доказана.
Для того чтобы интегральный оператор К с непрерывным яд-
ядром /С(ж, 2/) был нулевым в ?2@, а), необходимо и достаточно, что-
чтобы /С(ж, ^/) = 0, 0 ^ ж, ^/ ^ а.
Достаточность условия очевидна, а необходимость вытекает из
леммы Дюбуа-Реймона (см. §2.1, п. 5).
Таким образом, мы установили взаимно однозначное соответст-
соответствие между непрерывными ядрами и соответствующими им интег-
интегральными операторами.
Аналогично доказывается такое утверждение: если (Kf,g) = 0
при всех /, g G ?2@, а), то К = 0 и, стало быть, К(х,у) = 0.

204	Гл. IV. Интегральные уравнения
Будем искать решение уравнения B) методом последовательных
приближений, положив ip(°\x) = /(ж),
tpb) (x)=X f Цх, у)^р-г) (у) dy + f(x) = ХК^-^ +f, p = 1,2,...
Jg
G)
Докажем, что
<р(р) =J2\kKkf, p = 0,l,...,	(8)
k=0
где Kk — степени оператора К (см. § 1.1, п. 8).
Действительно, при р = 0 формула (8) верна: ср^ = /. Предпо-
Предполагая эту формулу верной при р и заменяя в рекуррентной последо-
последовательности G) р на р + 1, получаем формулу (8) при р + 1:
J2 xkRkf + f =
k=0
Таким образом, формула (8) верна при всех р.
Функции (Kpf)(x), p = 0,1,..., называются итерациями
функции /.
По лемме итерации / непрерывны на [0, а] ив силу E) удовлет-
удовлетворяют неравенствам
J ПС ^
^(MaJ\\KP-2f\\c^...^(May\\f\\c, p = O,l,... (9)
Из этой оценки следует, что ряд
ОО
называемый рядом Неймана, мажорируется числовым рядом
к=0

§4-.1. Метод последовательных приближений	205
сходящимся в круге |А| < 1/(Ма). Поэтому при таких А ряд A0) схо-
сходится регулярно (см. §1.1, п. 3) по х G [0,а], определяя тем самым
непрерывную на [0, а] функцию (р(х). Это значит в силу (8), что после-
последовательные приближения (р(р) (х) при р —У оо равномерно стремятся
к функции (р(х):
оо
(р№(х) =$ ф) = ^2\k(Kkf)(x), же [0, а], р-Уоо, A2)
причем в силу A1) справедлива оценка
IMIc «S т^кг--	A3)
Докажем, что функция (р(х) удовлетворяет интегральному урав-
уравнению B). Действительно, переходя к пределу при р —у оо в рекур-
рекуррентном соотношении G) и пользуясь равномерной сходимостью
последовательности ip(p\x) к (р(х) на [0, а], получаем
ф) = lim ^р\х) = Х [ К(х,у) lim ^-^ (у) dy + f (x) =
= Л / /С(ж, 2/)у?B/) dy + /(ж).
io
Докажем единственность решения уравнения B) в классе
?2@, а), если |А| < 1/(Ма). Для этого достаточно показать, что од-
однородное уравнение C) имеет только нулевое решение в этом клас-
классе (см. §1.1). Действительно, если сро G ?2@, а) — решение уравне-
уравнения C), сро = \К(ро, то по лемме
\\<ро\\ ^ |А|Ма||у?0||,
откуда в силу неравенства |А|Ма < 1 следует \\(ро\\ = О, т«е. сро = О,
что и требовалось установить.
Резюмируем полученные результаты в следующей теореме.
Теорема. Всякое интегральное уравнение Фредголъма B) с
непрерывным ядром 1С(х,у) при |А| < 1/(Ма) имеет единственное
решение ip в классе С([О,а]) для любого свободного члена / G С([О,а]).
Это решение представляется в виде регулярно сходящегося на [0, а]
ряда Неймана A2) и удовлетворяет оценке A3). Другими словами,
в круге |А| < 1/(Ма) существует и ограничен обратный оператор
A-ХК)-\

206	Гл. IV. Интегральные уравнения
Отметим, что методом последовательных приближений мож-
можно пользоваться для приближенного решения интегрального уравне-
уравнения B) лишь при достаточно малых |А|.
2. Повторные ядра. Резольвента. Предварительно убедим-
убедимся в справедливости равенства
(Kf,g) = (f,K*g), f,ge?2@,a).	A4)
Действительно, если /, д Е ?2@, &), то по лемме из п. 1 Kf, K*g Е
Е ?2@, а), и поэтому
(Kf, g) = j\Kf)gdx = jy\(x,y)f(y)dy\g(x)dx =
= Г f(y)\ Г K(x,y)g(x)dx]dy= Г fWg)dy = {f,K*g).
Jo	L/o	J	</o
Лемма. Если Ki, i = 1,2, — интегральные операторы с непре-
непрерывными ядрами Ki(x,y), то оператор К% = К^К\ интегральный с
непрерывным ядром
/C3(s,2/)= fa!C2(x,yt)IC1(yt,y)dyt.	A5)
Jo
При этом справедлива формула
(К2К1)*=К*К*.	A6)
Доказательство. При всех / е ?2@,а) имеем
(K3f)(x) = {К2К^)(х) = Г Ых1У') Г Kl{y',y)f{y)dydy' =
Jo	Jo
= loilo
откуда и вытекает формула A5). Очевидно, ядро /Сз(ж, у) непрерывно
при 0 ^ х,у ^ а.
Принимая во внимание равенство A4), при всех /, g E ?2@, а)
получаем
и,К;9) = (K3f,g) = {К2К^,д) = {Kyf,K*2g) = (f,K*K*g),
т. е.

§4-.1. Метод последовательных приближений	207
(f,K;9-K*K*g)=0,
и, следовательно, К? = К^К^ что и эквивалентно равенству A6).
Лемма доказана.
Из доказанной леммы следует, что операторы Кр = К(КР~1) =
= (КР~1)К, р = 2, 3,..., интегральные и их ядра JCp(x, у) непрерывны
и удовлетворяют рекуррентным соотношениям JCi(x,y) = JC(x,y),
JCp(x,y)= [ lC(x,y')lCp-1(yl,y)dyl= f ICp-1(x,y')IC(yl,y)dyl.
Jo	Jo
A7)
Ядра K,p(x,y) называются повторными ядрами ядра К(х,у).
Из рекуррентных соотношений A7) вытекает, что повторные
ядра удовлетворяют неравенству
\ p=l,2,...	A8)
Из оценки A8) следует, что ряд
(X)
^А*/С*+1(ж,2/), 0^х,^^а,	A9)
к=0
мажорируется числовым рядом
(X)
k=0
сходящимся в круге |А| < 1/{Ма). Поэтому ряд A9) сходится регуляр-
регулярно при х,у Е [0, а], |А| ^ 1/(Ма) — г при любом г > 0. Следовательно,
его сумма непрерывна при 0 ^ х,у ^ а, |А| < 1/(Ма) и аналитична
по А в круге |А| < 1/(Ма). Обозначим сумму ряда A9) через 7Z(x, у; А):
оо
7Z(x,y;\) = У^ Afe/Cfe+i(x,^/).
Функция Л(х,у;\) называется резольвентой ядра К,(х,у).
Теорема. Решение ip интегрального уравнения B) с непрерыв-
непрерывным ядром К(х,у) единственно в классе С([0,а]) при |А| < 1/(Ма) г/
любого / G С([0, а]) представляется через резольвенту 7Z(x, у; А)
эа К(х,у) по формуле
ф) = f(x) + \ [ Щх, у; \)f(y) dy.	B0)

208	Гл. IV. Интегральные уравнения
Другими словами, справедливо операторное равенство
(I - ХК)-1 = I + XR, |A|<-J-,	B1)
Ma
где R — интегральный оператор с ядром TZ(x,y;X).
Доказательство. По теореме из п. 1 решение ср уравнения B)
единственно в классе С([0, а]) при | А| < 1/(Ма) и для любой / Е С([0, а])
представляется в виде равномерно сходящегося ряда Неймана A2).
Подставляя в этот ряд выражения итераций Kk / через повторные
ядра 1Ск(х,у) и пользуясь равномерной сходимостью ряда A9) для
резольвенты 7?(ж,2/; А), получаем формулу B0):
ф) = / А X] Afe/C,+1 (х, у) f(y) dy + f{x) =
к=0
= А
Теорема доказана.
Докажем, что повторные ядра (JC*)p(x,y) и резольвента 1Z* (ж,
у] А) эрмитово сопряженного ядра /С* (ж, у) выражаются через повтор-
повторные ядра 1Ср(х, у) и резольвенту исходного ядра И(х, у; А) по форму-
формулам
AС*)р(х,у) = К;(х,у), р=1,2,...,	B2)
1
П*(х,у;\)=П(у,х;\), |А| < —.	B3)
Равенство B2) следует из формулы A6), согласно которой
Так как \К*(х,у)\ = |/С(^/,ж)| ^ М, то по доказанному ряд A9)
для резольвенты Л*(х,у; А) ядра /С*(ж, 2/) сходится при 0 ^ ж, 2/ ^
^ а, |А| < 1/(Ма). Отсюда, пользуясь равенством B2), получаем фор-
формулу B3):
; А) =
\ ]Ck+i(y,x) =H(y,x;\).
к=0	к=0

§4-.!. Метод последовательных приближений
209
Из B3) получаем
" = 7г*(ж,?/;А), |А| < —
и, следовательно, в силу B1) справедлива формула
- -1	-	1
(/ — ХК ) = / + XR , А < Т1—-	B1 )
3. Интегральные уравнения Вольтерра. Пусть ядро /С(ж, 2/)
обращается в нуль в треугольнике 0 ^ ж < у ^ а (рис.49). Такое яд-
ядро называется ядром Волътерра. Интегральные уравнения A) и B)
с ядром Вольтерра принимают вид
/ lC(x,y)<p(y)dy = /(ж),
Jo
ж) = Л / /С(ж, y)ip(y) dy + f(x)
Jo
B4)
<p(x) =
и называются интегральными уравнениями Волътерра первого и вто-
второго рода соответственно.
Интегральные уравнения Вольтерра первого рода дифференци-
дифференцированием сводятся к уравнениям второго рода
Цх, х)ф) + f
если Цх,у) и Кх(х,у) непрерывны при 0 ^
^у^х^а,Цх,х) /0,^G [O^/e^QO,^)
и /@) = 0.
Интегральные уравнения Вольтерра
первого рода здесь рассматриваться не
будут.
Предположим, что в интегральном
уравнении B4) / G С([0, а]) и ядро /С(ж, у) неп-
непрерывно в замкнутом треугольнике 0 ^ у ^ ж ^ а (см. рис. 49). В та-
таком случае \Цх,у)\ ^ М и интегральный оператор
а х
Рис. 49
(Kf){x)= Г K{x,y)f{y)dy
Jo
переводит С([0,а]) в С([0,а]).
14 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

210	Гл. IV. Интегральные уравнения
Как и для уравнения Фредгольма (см. п. 1), определим последо-
последовательные приближения ср^ по формулам
~1}+/, р = 1,2,... B5)
к=0
Итерация Kpf принадлежит С([0,а]) и удовлетворяет оценке
)р
B6)
Докажем оценку B6) по индукции по р. Для р = 0 оценка B6)
верна. Предполагая ее верной при р — 1, докажем ее для р:
\(КР {\(т\\ — I К(КР~Х {\(т\\
Jo
цР-1
Г K(x,v)(K»-lf)(y)dy
Jo
Из оценки B6) вытекает, что ряд Неймана A0) мажорируется
на [0, а] сходящимся числом рядом
Т,Щ^	B7)
к=о	/е<
и потому сходится регулярно по х на [0, а] при любом Л, определяя
непрерывную функцию ц>(х). Таким образом, в силу B5) последова-
последовательные приближения ср^ при р —у оо равномерно стремятся к функ-
функции ip:
\k(Kkf)(x), xe[0,a], p^oo. B8)
k=o
При этом в силу B7) справедлива оценка
B9)
Переходя к пределу при р —У оо в рекуррентном соотноше-
соотношении B5) и пользуясь равномерной сходимостью последовательнос-
последовательности (р(р) к if на [0, а], заключаем, что построенная функция ц>(х) удов-
удовлетворяет интегральному уравнению B4).

§4-.1. Метод последовательных приближений	211
Докажем единственность решения уравнения B4) в классе
С([0, а]) при любом Л. Для этого достаточно показать, что соответст-
соответствующее однородное уравнение имеет в этом классе только нулевое
решение (см. § 1.1, п. 9). Действительно, если сро — решение однород-
однородного уравнения B4) сро = ХКсро, то
(ро = XK(Xip0) = \2K2ip0 = ... = \рКр(р0, р= 1,2,...
Применяя к этим равенствам оценку B6):
и устремляя р к оо, получаем (fo(x) = 0, х Е [0, а], что и утверждалось.
Сформулируем полученные результаты в виде следующей тео-
теоремы.
Теорема. Всякое интегральное уравнение Волътерра B4) с
непрерывным ядром К(х,у) при любом А имеет единственное реше-
решение ip в классе С([0, а]) для любого свободного члена / Е С([0, а]). Это
решение представляется регулярно сходящимся рядом Неймана B8)
и удовлетворяет оценке B9).
Следствие. Непрерывное ядро Волътерра не имеет характе-
характеристических чисел.
4. Упражнения.
а)	Доказать, что резольвента 7Z(x,y;X) непрерывного ядра
К,(х,у) удовлетворяет интегральному уравнению Фредгольма при
|А|Ма< 1:
Щх,у]Х) = А / К(х,у')П(у',у;Х)о1у' + К(х,у).
Jo
б)	Пусть ядро /С(ж, у) интегрального уравнения Фредгольма B)
принадлежит С,*}(@, а) х @, а)). Пользуясь оценкой ||if/|| ^ С||/|| (см.
§1.1, п. 8), доказать сходимость в ?2@, а) метода последовательных
приближений для любой / G ?2@, а), если |А|С < 1.
в)	Доказать, что резольвента ядра Вольтерра аналитична во
всей плоскости комплексного переменного А (целая функция).
г)	Пусть /С G С(х ^ 0), /С(ж) = 0, х < 0. Доказать, что обобщенная
функция
оо
?{х) = 5(х) + 7?(ж), 1Z = /^/С * /С * ... * /С
&—1	/с раз
14*

212	Гл. IV. Интегральные уравнения
есть фундаментальное решение оператора E — /С)* в алгебре V'+ (см.
§2.3, пп.4,5). При этом ряд для IZ(x) сходится равномерно в каж-
каждом конечном промежутке и удовлетворяет интегральному уравне-
уравнению Вольтерра
(х) = Г Цх -
Jo
П(х)= Цх-у)П(у)Aу
J
Функция lZ(x — у) является резольвентой ядра /С(ж — у) при Л = 1.
д) Доказать, что при |А| < 1 интегральное уравнение Милна
4>(х) = \\ K(x-y)ip(y)dy, Щ) = - e-—dt,
Jo	l J\i\ г
/о	z J\i\
имеет единственное решение ср = 0 в классе ограниченных функций
на [0, оо).
е) Доказать, что при Л < 1/2 решение интегрального уравнения
Ф) = А Г
J — С
единственно в классе ограниченных функций и выражается формулой
Л
ф) = f(x)
§ 4.2. Теоремы Фредгольма
В этом параграфе для интегрального уравнения Фредгольма
(p = \K(p + f	A)
с непрерывным ядром 1С(х,у) и союзного к нему уравнения
ф = \К*ф + д	A')
будут доказаны теоремы разрешимости Фредгольма.
1. Интегральные уравнения с вырожденным ядром.
Ядро
N
)C(x,y) = Y,fi(x)9i(y),	B)
1=1

J..2. Теоремы Фредголъма	213
где /i,#i ? С([О,а]), называется вырожденным ядром.
Можно считать, что системы функций {/^, 1 ^ г ^ N} и {^, 1 ^
^ г ^ N} линейно независимы. Действительно, если это не так, на-
например,
fN(x) = ci/iO) + ... + cjv-i/jv-i(s),
то ядро B) принимает вид
7V-1	JV-1	N-1
Цх,у) = ^ М*ЫУ) + Е *fi(x)9N(y) = Е fiWiv).
г=1	г=1	г=1
Действуя подобным образом, через конечное число шагов добьемся
того, что в представлении B) системы функций {/^} и {^} окажутся
линейно независимыми.
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма с вырожден-
вырожденным ядром B)
ф) = X Е fifr) / 9i(yMy) dy + f{x)	C)
= X Е fifr) / 9i(yMy) dy + f{x)
и союзное к нему уравнение
N
_ N	а _
=\^9&)
C0
Решения ip и ф интегральных уравнений C) и C;) будем искать
в классе С([0, а]).
Покажем, что эти уравнения сводятся к системам линейных ал-
алгебраических уравнений и поэтому могут быть исследованы и реше-
решены известными методами линейной алгебры (см. [4])
Перепишем уравнение C) в виде
N
ф) = \^ъЬ(х) + Нх),	D)
где
= / 4>(y)9i(y)dy = (<р,^)	E)
Jo

214	Гл. IV. Интегральные уравнения
— неизвестные числа. Умножая равенство D) на дк (х), интегрируя по
отрезку [0, а] и пользуясь E), получаем следующую систему линейных
алгебраических уравнений для неизвестных чисел q:
N	pa	pa
ск = \У2сЧ 9k(x)fi(x)dx+ gk(x)f(x)dx.	F)
г=1 ^°	^°
Полагая
pa	pa
CM i • zz. I tli i T* i T • (T* i П1* zz (tli T i	П i zz I tli i T* i f I Ti /70^ ^^ i /7/ Г i
^/сг — / Ук\х)Ji\x) ad" — \yki J i)i	ak — / Ук\х)J \x) ad" — \Ук-> J )•>
Jo	Jo
G)
перепишем систему F):
TV
fafe, k = l,...,N	(8)
Вводя матрицу А и векторы с и а:
Л = (аы), с = (cb...,Civ), а = (ai,...,aiv),
представим систему (8) в матричной форме:
с = ХАс + а.	(9)
Докажем, что интегральное уравнение C) и алгебраическое
уравнение (9) эквивалентны.
Действительно, если ср G C([O,a]) — решение уравнения C), то,
как мы только что показали, числа q = ((^,^), удовлетворяют систе-
системе (8). Обратно, если числа q, i = 1,..., JV, удовлетворяют системе (8),
то функция (р(х), построенная по формуле D), непрерывна на [0, а] и
в силу G) удовлетворяет уравнению C):
N	„а	N
ф) - X У2 fi(x) / gi(y)ip(y) - /О) = А У2 Cifi(x) + /О) -
г=1	^°	г=1
Л^	па	г N
N ,	TV
= А ^ f q - А ^ ckoiik -Q>%\ =0.
г=1 ^	Л=1

J..2. Теоремы Фредголъма	215
Обозначим через D(X) определитель системы (9):
D(X) = det(/-AA),	A0)
и через Мм(Х) — алгебраические дополнения матрицы / — ХА. Ясно,
что D(X) и Мм(Х) — полиномы по Л, причем D(X) ^ 0, ибо D@) =
= det(/) = 1.
Пусть (комплексное) число Л таково, что D(X) ф 0. По теореме
Крамера решение алгебраической системы (9) единственно и выра-
выражается формулой
1 N
ск = ^Y,Mki(\)ai, к = 1,...,7V.	A1)
Подставляя найденное решение A1) в формулу D) и вспоминая
определение чисел а^, получим решение интегрального уравнения C)
при D(X) /Ов виде
A N
i,k=l
/ gk(y)f(y)dy + f{x). A2)
С другой стороны, по теореме из §4.1, п. 2 при достаточно ма-
малых Л (тогда D(X) ф 0) это решение выражается через резольвен-
резольвенту И(х,у;Х) по формуле B0) из §4.1. Следовательно,
1 N
Е Mik(\)Mx)gk(y).	A3)
Таким образом, резольвента 7Z(x,y; Л) вырожденного ядра есть
рациональная функция Л и, стало быть, допускает мероморфное про-
продолжение на всю плоскость комплексного переменного Л.
2. Теорема Фредгольма для интегральных уравнении с
вырожденным ядром. В предыдущем пункте мы построили в яв-
явном виде решение интегрального уравнения с выраженным ядром.
Здесь мы продолжим исследование таких уравнений и установим ус-
условия их разрешимости.
Как и уравнение C), приведем союзное к нему уравнение C;) к
эквивалентной системе линейных алгебраических уравнений. Имеем
N
<Кх)=А^>^(х) + <?(х),	D0

216	Гл. IV. Интегральные уравнения
где di = (ip, fi) — неизвестные числа. Соответствующая система ли-
линейных алгебраических уравнений, эквивалентная уравнению C'),
имеет вид
N
г=1
где
hi = [ajk(x)gi^)dx = aik, bk = (gjk).	G')
Jo
Таким образом, система (8') союзная к системе (8):
d = L4*d + b,	(9')
где
А* = (/ад = (aik) = A\ d = (di,...,dN), b = (Ьь...,Ьлг).
Из курса линейной алгебры известно (см. [4]), что определите-
определители и ранги матрицы и ее транспонированной совпадают. Поэтому в
силу A0)
det(/ - ЛА*) = det(/ -XA) = det(/ - \А') = ()
		A4)
rang(/ - ЛА*) = rang (/ - XAf) = rang(/ - ХА) = qf.
Могут представиться два случая.
1.	D(X) ф 0. Тогда q = N, т системы (9) и (9;) однозначно раз-
разрешимы при любых а и Ь. Следовательно, уравнения C) и C;) также
однозначно разрешимы при любых / и д, и эти решения даются фор-
формулами D) и D;) соответственно.
2.	D(A) = 0. Тогда q < TV, и в силу A4) однородные системы (9)
и (9;) имеют ровно по N — q линейно независимых решений
(s) _ / («)	(в)\	J(e) _ (As)	,(в)ч	-,	/V- Г7
С	— VC1 5 • • • 5 САГ / 5	Q	— \а1 5-a7V/5	S— l,...,iV	q.
Однородные интегральные уравнения C) и C;) будут также иметь
ровно по N — q линейно независимых решений, определяемых форму-
формулами D) и D;) соответственно,
N	N
^(Ж) = A 5><s)/*(*), ф.(х) =\Y,4e)9i(x), s = l,...,N-q.
г=1	г=1
A5)

J..2. Теоремы Фредголъма	217
Докажем линейную независимость полученных систем решений
{cps, l^s^N— q}n {ф8, 1 ^ s ^ N — q}. Пусть найдутся такие
числа ps, s = 1,..., N — q, что
N-q
^ pscps(x) =0, x e [0,a],
8=1
т. е. в силу A5)
TV	N-q
i=l	8=1
Отсюда в силу линейной независимости системы функций {/^, 1 ^
^ i ^ N} вытекают равенства
N-q
8=1
Поскольку система векторов {с^, 1 ^ s ^ N— q] линейно незави-
независима в M.N, то из последних равенств вытекает ps = 0, s = 1,..., TV— q,
что и доказывает линейную независимость системы решений {^s}.
Аналогично устанавливается линейная независимость системы реше-
решений {<ф8}.
Далее, для разрешимости системы (9) при D(X) =0 необходимо
и достаточно выполнение следующих условий ортогональности*):
N
(a,dW)=E«^s)=0, s = l,...,N-q.	A6)
г=1
Условия A6) эквивалентны условиям
х)<1х = 0, s = l,...,N-q,
[
Jo
поскольку в силу A5) и G)
f(x)ips(x) dx = \J2 [J f(*Mx) dx\ d\s) =
*) Это есть геометрическая форма теоремы Кронекера-Капелли (см. [4]).

218	Гл. IV. Интегральные уравнения
N
г=1
Итак, доказаны следующие теоремы, называемые теоремами
Фредголъма.
Теорема 1. Если D(X) ф 0, то уравнение C) и союзное к не-
нему уравнение C') однозначно разрешимы при любых свободных чле-
членах fug.
Теорема 2. Если D(X) = 0, то однородные уравнения C) и C')
имеют одинаковое число линейно независимых решений, равное N—q,
где q — ранг матрицы I — ХА.
Теорема 3. Если D(X) = 0, то для разрешимости уравнения C)
необходимо и достаточно, чтобы свободный член f был ортогона-
ортогонален ко всем решениям ф8, s = 1,..., N— q, союзного однородного урав-
уравнения C').
Из теорем 1 и 2 следует, что характеристические числа вырож-
вырожденного ядра совпадают с корнями полинома D(X) и, следовательно,
их конечное число. Далее, из формулы A3) для резольвенты вытека-
вытекает, что характеристические числа вырожденного ядра совпадают с
полюсами его резольвенты.
Может оказаться, что функции /j и ^ в представлении B) вы-
вырожденного ядра зависят от комплексного параметра Л, а именно:
пусть fi(x;X) и gi(x;X) непрерывны по (ж, Л) в [0, а] х иш, Uu =
= {|Л| < cj}, и аналитичны по А в круге 11Ш.
В этом случае теоремы Фредгольма 1-3 остаются справедливы-
справедливыми при условии, что A G GШ, причем определитель D(X) — аналити-
аналитическая функция в круге С/^, отличная от тождественного нуля.
Действительно, элементы матрицы А, вычисляемые по форму-
ле G),
= / gk(x;X)fi(x;X)dx
Jo
— аналитические функции в круге Uu. Поэтому в силу A0) D(X) —
аналитическая функция в этом круге, причем D(X) ^ 0.
3. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнении с
непрерывным ядром. Доказанные в предыдущем пункте теоремы
Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром до-
допускают распространение на интегральные уравнения с произволь-
произвольным непрерывным ядром. Идея доказательства состоит в том, что
непрерывное ядро представляется в виде суммы вырожденного яд-
ядра и достаточно малого непрерывного ядра. Это дает возможность,

J..2. Теоремы Фредголъма	219
пользуясь результатами §4.1 о разрешимости интегральных уравне-
уравнений с малым ядром, свести соответствующее интегральное уравне-
уравнение к интегральному уравнению с вырожденным ядром, для которо-
которого теоремы Фредгольма уже установлены. Отсюда будет следовать
вывод о справедливости теорем Фредгольма для интегральных урав-
уравнений с непрерывными ядром на отрезке.
Итак, пусть ядро К(х,у) непрерывно при 0 ^ х ^ а. По теореме
Вейерштрасса (см. §1.1, п. 3) его можно приблизить сколько угодно
точно полиномами, т. е. для любого г > 0 существует такой полином
N
V(x,y)= Y, а1кх1у\	A7)
г,к=О
ЧТО
\IC(x,y) -V(x,y)\ < г, 0 ^ х,у ^ а.
Таким образом, ядро К,(х,у) представляется в виде
K(x,y)=V(x,y) + Q(x,y),	A8)
где V(x,y) — вырожденное ядро (полином) и Q(x,y) — малое непре-
непрерывное ядро, \Q(x,y)\ < ?, 0 ^ х,у ^ а.
В силу A8) интегральное уравнение Фредгольма принимает вид
ip = ХР^р + XQtp + /,	A9)
где Р и Q — интегральные операторы с ядрами V(x,y) и Q(x,y)
соответственно, причем Р + Q = К.
Покажем, что при |А| < 1/(еа) в классе С([0, а]) интегральное
уравнение A9) эквивалентно интегральному уравнению с вырожден-
вырожденным ядром. Для этого введем новую неизвестную функцию Ф(х) по
формуле
ф = <р - \Qcp.	B0)
По теореме из §4.1, п. 2 функция ср однозначно выражается через Ф
по формуле
tp = {I- XQ)-1® = (/ + АД)Ф,	B1)
где R — интегральный оператор с ядром 7Z(x,y;\) — резольвентой
ядра Q(x,y). В силу B0) и B1) уравнение A9) принимает следующий
эквивалентный вид:
Ф = АР(/ + ХЯ)Ф + / = АГФ + /,	B2)

220	Гл. IV. Интегральные уравнения
где
Г = Р + XPR.	B3)
Вспомним, что резольвента И(х, у; А) непрерывна по (ж, у; А) при
0 ^ х,у ^ а, |А| < 1/(ш), и аналитична по А в круге |А| < 1/(еа)
(см. §4.1, п. 2). Отсюда, принимая во внимание лемму из §4.1, п. 2,
заключаем, что оператор Т интегральный с непрерывным ядром
Г (ж, у; А) = V(x, 2/) + А Г V(x, у')П(у',у; A) dy1.
Jo
Далее, из A7) вытекает, что ядро Т(х,у; А) вырожденное и аналити-
аналитическое по А в круге |А| < 1/{еа).
Теперь преобразуем союзное интегральное уравнение {!'). В си-
силу A8) К* = Р* + Q*, и поэтому уравнение A;) принимает вид
{I-\Q*)il) = \P*il) + g.	A90
Применяя оператор (/ - AQ*) к уравнению A9;) и пользуясь ра-
равенством B1;) из §4.1, п. 2,
(/-AQ*)-1 =/ + AiT, |А| < —,
га
приведем его к эквивалентному уравнению
+ д) = (I + Ш*)(\Р*ф + д) =
= \(Р*+\В,*Р*)ф + A + \В?)д. B4)
Полагая
gi = (I + \R*)g, g = (I-\Q*)gi,	B5)
и учитывая, что согласно формулам A6) из §4.1 и B3),
Р* + AiTP* = (Р + XPRY = Г*,
перепишем уравнение B4) в виде
ф = ХТ*ф + 91.	B2')
Таким образом, при |А| < 1/{еа) в классе С([0,а]) интегральное
уравнение A) эквивалентно интегральному уравнению B2) с вырож-
вырожденным ядром Т(х,у; А), аналитическим в круге |А| < 1/(ш), а союз-
союзное к нему уравнение A;) эквивалентно уравнению B2;), союзному

J..2. Теоремы Фредголъма	221
к уравнению B2). Но для уравнений B2) и B2') справедливы теоре-
теоремы Фредгольма 1-3, и определитель D(X) — аналитическая функция
в круге |А| < \/{еа) (см. п. 2). Отсюда, пользуясь эквивалентностью
этих уравнений исходным уравнениям A) и A'), получаем следующие
теоремы Фредголъма для интегральных уравнений с непрерывным
ядром. Совокупность этих теорем называется альтернативой Фред-
Фредголъма.
Альтернатива Фредгольма. Если интегральное уравнение
A) с непрерывным ядром разрешимо в С([0,а]) при любом свободном
члене / Е С([0,а]), то и союзное к нему уравнение (V) разрешимо
в С([0, а]) при любом свободном члене g Е С([0,а]), причем эти реше-
решения единственны (первая теорема Фредгольма).
Если интегральное уравнение A) разрешимо в С([0, а]) не при
любом свободном члене /, то:
1)	однородные уравнения A) и (V) имеют одинаковое (конеч-
(конечное) число линейно независимых решений (вторая теорема Фред-
Фредгольма) ;
2)	для разрешимости уравнения A) необходимо и достаточно,
чтобы свободный член f был ортогонален ко всем решениям союз-
союзного однородного уравнения A') (третья теорема Фредгольма).
Доказательство. При А = 0 альтернатива Фредгольма, оче-
очевидно, справедлива. Поэтому считаем А^Оив предыдущих построе-
построениях выберем г < 1/(|А|а).
Пусть уравнение A) разрешимо в С([0, а]) при любом / Е С([0, а]).
Тогда эквивалентное ему уравнение B2) с вырожденным ядром также
будет разрешимо в С([0, а]) при любом /. Отсюда, применяя теорему 3
из п. 2, заключаем, что D(X) ф 0. А тогда, по теореме 1 из п. 2, урав-
уравнение B2) и союзное к нему уравнение B2') однозначно разрешимы
при любом / и g\ Е С([0,а]). Но функции д\ и д взаимно однозначно
выражаются по формулам B5). Следовательно, эквивалентные урав-
уравнения A) и A') однозначно разрешимы в С([0,а]) при любых / и д.
Первая теорема Фредгольма доказана.
Если уравнение A) разрешимо в С([0,а]) не при любом /, то и
эквивалентное ему уравнение B2) с вырожденным ядром также раз-
разрешимо в С([0,а]) не при любом /. Отсюда по теореме 1 из п. 2, за-
заключаем, что D(X) = 0. Но тогда, по теореме 2 из п. 2, однородные
уравнения B2) и B2') имеют одинаковое (конечное) число линейно
независимых решений в С([0,а]). Поскольку функции Ф и ip связа-
связаны соотношениями B0), то и эквивалентные им однородные уравне-
уравнения A) и A;) имеют одинаковое (конечное) число линейно независи-
независимых решений в С([0,а]) (см. §1.1, п. 9). Вторая теорема Фредгольма

222	Гл. IV. Интегральные уравнения
доказана.
Далее, по теореме 3 из п. 2, для разрешимости уравнения B2)
при D(X) = 0 необходимо и достаточно, чтобы свободный член /
был ортогонален ко всем решениям союзного однородного уравне-
уравнения B2/). Но решения ф эквивалентных однородных уравнений A')
и B2'), равно как и правые части / эквивалентных уравнений A)
и B2), одни и те же. Следовательно, для разрешимости уравнения A)
в рассматриваемом случае необходимо и достаточно, чтобы свобод-
свободный член / был ортогонален ко всем решениям союзного однородного
уравнения A'). Третья теорема Фредгольма доказана.
Справедлива еще одна теорема.
Четвертая теорема Фредгольма. В каждом круге |А| ^ R
может находиться лишь конечное число характеристических чисел
ядра /С(ж, 2/).
Доказательство. Выберем г = a/(R+1). Тогда при |А| < R +1
будет |А| < 1/(ш). Поэтому при |А| < Д+1 однородные уравнения A)
и B2) эквивалентны. Следовательно, в круге |А| < Д+1 характеристи-
характеристические числа ядра К(х,у) совпадают с корнями уравнения D(X) = О
(см. п. 2). Поскольку ядро Т(х,у;Х) аналитично по А в круге |А| <
< R+ 1, то D(A) — аналитическая функция в этом круге. Отсюда по
свойству единственности аналитических функций (см. [3]) заключа-
заключаем, что в круге | А| ^ R может находиться лишь конечное число корней
уравнения D(X) = О, а значит, и ядро 1С(х,у) может иметь только ко-
конечное число характеристических чисел. Теорема доказана.
4. Следствия из теорем Фредгольма. Из четвертой теоре-
теоремы Фредгольма следует, что множество характеристических чисел
непрерывного ядра не имеет конечных предельных точек и, значит,
не более чем счетно. (Это множество может быть и пустым, как,
например, для ядра Вольтерра; см. §4.1, п. 3.)
Далее, из второй теоремы Фредгольма вытекает, что кратность
каждого характеристического числа конечна.
Следовательно, все характеристические числа ядра /С(ж, у) мож-
можно перенумеровать в порядке возрастания их модуля:
|Ai|^|A2K...,	B6)
повторяя в этом ряде А/, столько раз, какова его кратность. Со-
Соответствующие собственные функции обозначим через y?i, у?2?	5 и
каждому характеристическому числу А/, из B6) сопоставим собст-
собственную функцию cpk-
ifk=XkKipk, k = 1,2,...	B7)

J..2. Теоремы Фредголъма	223
По второй теореме Фредгольма Ai, A2,... — все характеристи-
характеристические числа ядра 1С*(х,у), причем кратности А/, и А/, одинаковы.
Соответствующие собственные функции обозначим через фк-
фк=ХкК*фк, к = 1,2,...	B7')
Собственные функции if к и фк непрерывны на [0, а].
Докажем, что если А/, ф А^, то
(<Pk,ipi) = O.	B8)
Принимая во внимание равенство A4) из §4.1, из B7) и B7')
получаем
откуда в силу А/, ф \ и следует равенства B8).
Отметим, что А^ и срк, к = 1, 2,..., — характеристические числа
и соответствующие собственные функции повторного ядра Кр(х,у).
Это утверждение вытекает из равенств B7), согласно которым
(рк=\ркКр(рк, А: = 1,2,...	B9)
Можно доказать и обратное утверждение: если \± и ср — характе-
характеристическое число и соответствующая собственная функция повтор-
повторного ядра /Ср(ж, у), то по крайней мере один из корней Aj, j = 1,...,р,
уравнения Хр = \± является характеристическим числом ядра 1С(х,у).
Переформулируем теперь альтернативу Фредгольма в терми-
терминах характеристических чисел и собственных функций.
Если А ф А/., к = 1, 2,..., то интегральные уравнения A) и A;)
однозначно разрешимы при любых свободных членах.
Если А = А/., то однородные уравнения
ip = XkKip, ф = \кК*ф
имеют одинаковое (конечное) число r& ^ 1 линейно независимых ре-
решений — собственных функций ^, ipk+i, •••? ^fe+rfc-i ядра JC(x,y) и
собственных функций фк,фк+1,---,Фк+гк-1 ядра /С*(ж,?/), соответст-
соответствующих характеристическим числам А/, и А/, (г^ — кратность А/,
и Aft).
Если А = А/., то для разрешимости уравнения A) необходимо и
достаточно, чтобы
=0, i = 0,l,...,rfc-l.	C0)

224	Гл. IV. Интегральные уравнения
Замечание. Изложенный процесс сведения интегрального
уравнения A) к интегральному уравнению B2) с вырожденным яд-
ядром указывает на следующий способ приближенного решения урав-
уравнения A) при любых Л:
1)	ядро /С(ж,2/) приближается полиномом V(x,y) (или другим
каким-либо вырожденным ядром);
2)	для малого ядра Q(x,y) = JC(x,y) —V(x,y) методом из §4.1,
п. 2 приближенно строится резольвента 7Z(x, у; А);
3)	составляется интегральное уравнение B2) с вырожденным
ядром Т(х,у)\
4)	методом из п. 1 строится решение Ф уравнения B2);
5)	по формуле B1) находится решение ср уравнения A).
5. Упражнения.
а) Доказать, что если /С(?) — непрерывная 2тг-периодическая
функция и
K(t)eiktdt фО, к целое,
то
л	1	Л / \	-ikx
K{t)eiktdt
— характеристическое число и соответствующая собственная функ-
функция ядра /С(ж — у), —тг ^ ж, у ^ тг.
б) Доказать, что если /С(?) — (абсолютно) интегрируемая функ-
функция на Ж1 и ее преобразование Фурье JC(/jl) Ф 0, то
вд
— характеристическое число и соответствующая собственная функ-
функция ядра /С(ж — у), —оо < ж, у < оо.
в) Доказать, что Л = у^/тг — характеристическое число яд-
ядра cos(xy), 0 < ж,у < оо, и ему соответствуют собственные функции
/2 Г
tp(x) = /(ж) + у - / софу) f (у) dy,
где /(ж) — любая функция из ?2@, оо).
Отметим, что для интегральных уравнений с ядрами приме-
примеров б) и в) теоремы Фредгольма не справедливы (области интегри-
интегрирования в них неограничены).

-3- Интегральные уравнения с эрмитовым ядром	225
§ 4.3. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром
Ядро /С(ж, у) называется эрмитовым, если оно совпадает со сво-
своим эрмитово сопряженным ядром, /С (ж, 2/) = /С* (ж, 2/)- Соответствую-
Соответствующее интегральное уравнение
ф)=Х [JC(x,yMy)dy + f(x)	A)
JO
при вещественных Л совпадает со своим союзным, ибо К* = К. Это
уравнение удобно рассматривать в пространстве ?2@, а).
1. Интегральные операторы с эрмитовым непрерыв-
непрерывным ядром. Пусть К — интегральный оператор с эрмитовым непре-
непрерывным ядром /С(ж, 2/). Этот оператор переводит ?2@, а) в ?2@, а)
(см. § 4.1, п. 1) и эрмитов (см. § 4.1, п. 2 и § 1.1, п. 10):
(Kf, g) = (/, Kg), f,geC2@,a)=MK.	B)
Обратно, если интегральный оператор К с непрерывным яд-
ядром /С(ж, 2/) эрмитов, то это ядро эрмитово.
Действительно, равенство B) влечет эрмитовость ядра /С(ж, у) =
= К*(х,у) (см. §4.1, п. 1).
Из формулы B2) из § 4.1 следует, что все повторные ядра /Ср(ж, у)
эрмитова непрерывного ядра /С(ж, 2/) эрмитовы:
/С* (ж, 2/) = (/С*)р(ж,2/) = )Ср(х,у).
Лемма. Интегральный оператор К с непрерывным ядром
/С(ж, 2/) переводит всякое ограниченное множество из ?2@, а) во
множество, ограниченное в С([0,а]) г/ состоящее из равностепенно
непрерывных*) функций на [0,а].
Доказательство. Пусть 5 — ограниченное множество из
?2@,а): II/H ^ А, / е В. По лемме из §4.1, п. 1 оператор К пере-
переводит множество В во множество, ограниченное в C([0,a]): ||lf/||c ^
^ Мл/аА, f G В. Далее, так как ядро /С(ж, 2/) равномерно непрерывно
на [0, а], то для любого е > 0 существует такое число 5 > 0, что
^	|а;' - х"\ < 6, 0 < х', х", у ^ а.
*) Определение множества равностепенно непрерывных функций см. в
§1.1, п.З.
15 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

226	Гл. IV. Интегральные уравнения
Отсюда с помощью неравенства D) из §4.1 с заменой /С(ж, 2/)
на JC(x',y) — 1С(х"\у) при всех / Е В получаем
\{Kf){x') - (Kf)(x")\ = \?[K{x',y)-K{x",y)]f(y)dy
как только \х' — х"\ < S, 0 ^ х',х" ^ а. Это и значит, что множест-
множество {(Kf)(x), / G В} состоит из равностепенно непрерывных функций
на [0, а]. Лемма доказана.
2. Лемма Арчела—Асколи. Если бесконечное множество В
ограниченно в С (К), где К — ограниченное замкнутое множество
в Жп, и состоит из равностепенно непрерывных функций на К, то
из него можно выбрать сходящуюся в С (К) последовательность.
Доказательство. Как известно, множество точек с рациональ-
рациональными координатами счетно. Поэтому все такие точки множества К
можно перенумеровать: Ж]., Ж2,... По условию множество чисел {/(xi),
/ G В} ограничено. Могут представиться два случая.
1. Это множество бесконечно. Пользуясь теоремой Больцано-
Вейерштрасса (см. § 1.1, п. 1), из него выберем сходящуюся последо-
последовательность /^ (xi), k = 1, 2,...
2. Это множество конечно. В этом случае найдется последова-
последовательность функций /^ (ж), к = 1, 2,..., принимающих в точке х\ оди-
одинаковые значения.
Далее, поскольку множество чисел {/^ (жг), к = 1,2,...} огра-
ограничено, то из него выберем описанным выше способом сходящуюся
подпоследовательность /^ (жг), к = 1,2,..., и т.д.
Рассмотрим теперь диагональную последовательность fk(x) =
= /^ (ж), к = 1,2,..., функций множества В. Для любой точки xi
числовая последовательность fk(xi), к = 1, 2,..., сходится, ибо по по-
построению при к ^ г эта последовательность содержится в сходящейся
последовательности /^ (ж«), к = 1,2,...
Докажем теперь, что последовательность fk(x), к = 1, 2,..., схо-
сходится равномерно на К. Пусть г > 0. Поскольку последовательность
состоит из равностепенно непрерывных функций на К, то найдется
такое число 5 > 0, что при к = 1,2,...
|/*0«0-Л(а;')|<|, \х-х'\<6, х,х'€ К.	C)

§4-3- Интегральные уравнения с эрмитовым ядром	227
Так как К — ограниченное множество, то из множества то-
точек х\, Х2,..., можно выбрать конечное число их х\, х<±,..., х\, I = 1(е),
так, чтобы для любой точки х Е К нашлась точка Х{, 1 ^ i ^ /, такая,
что \х — Xi\ < S. Вспоминая, что последовательность /&(#), к = 1, 2,...,
сходится на точках Ж1,...,ж/, заключаем, что найдется такое чис-
число N = N(e), что
\fk{xi) - fp{xi)\ < |, &,p^7V, i = l,...,L	D)
Пусть теперь х — произвольная точка множества К. Выбирая
точку Xi, 1 ^ г ^ I, такую, что \х — Xi\ < й, в силу C) и D) получаем
\fk(x) - fp(x)\ ^
< |Л(ж) - Л(^)| + \fk(xi) - fp(Xi)\ + \fp(Xi) - fp(x)\ <
причем N не зависит от х. Это значит, что последовательность fk(%),
к = 1,2,..., сходится в себе в С(К). По теореме Коши (см. §1.1, п. 3)
эта последовательность сходится в С (К) к некоторой функции из
С (К). Лемма доказана.
Замечание. Лемма Арчела-Асколи выражает свойство ком-
компактности любого ограниченного в С (К) множества, состоящего из
равностепенно непрерывных на К функций. Лемма из п. 1 утверж-
утверждает, что интегральный оператор с непрерывным ядром переводит
всякое ограниченное множество из ?2@, а) во множество, компактное
в С([0,а]). Всякий оператор, обладающий таким свойством, называ-
называется вполне непрерывным из ?2@, а) в С([0,а]).
3. Интегральные уравнения с эрмитовым непрерывным
ядром. Не всякое ядро, отличное от тождественного нуля, имеет
характеристические числа; например, как было показано в §4.1, п. 3,
ядра Вольтерра не имеют таковых. Тем не менее справедлива сле-
следующая
Теорема. Всякое эрмитово непрерывное ядро К(х,у) ф 0 име-
имеет по крайней мере одно характеристическое число, и наименьшее
по модулю характеристическое число Ai удовлетворяет вариацион-
вариационному принципу
1ГТ= sup Т7Г-	E)
lAi| fec2(o,a) 11/11
15*

228	Гл. IV. Интегральные уравнения
Доказательство. Обозначим через v точную верхнюю грань
функционала ||if/|| на множестве функций / из ?2@, а) с единичной
нормой:
"= sup \\Kf\\.	F)
Из оценки F) из §4.1 вытекает, что на функциях этого мно-
множества ||if/|| ^ Ма, а потому v ^ Ма. Кроме того, очевидно, v ^ 0.
Докажем, что v > 0. Действительно, если v = 0, то в силу F) мы имели
бы ||if/|| = 0, т.е. Kf = 0 при всех / Е ?2@, а), и потому К(х,у) = 0
(см. §4.1, п. 1), вопреки предположению.
Из определения точной верхней грани v вытекает существова-
существование последовательности //,, к = 1,2,..., такой что
^v, к ^оо;	G)
кроме того, справедливо неравенство
Kf
\\K2f\\ =
К
\\Kf\\^u\\Kf\\, /G?2@,a). (8)
№f\\.
Докажем теперь, что
K2fk-v2fk^0 в ?2@,a), к ^оо.	(9)
Действительно, пользуясь B), (8) и G), получаем
\\K2fk - v2fk\? = (K2fk - v2fk, K2fk - v2h) =
= {K2h,K2fk) + vHfkJk) ~ v2Uk,K2fk) - v2{K2fk,h) =
= \\K2fk\\2 + И - 2u2(Kfk,Kfk) < v2\\Kfk\\2 + v4 - 2v2\\Kfk\\2 =
*22^0, к ^00,
что и эквивалентно предельному соотношению (9).
По лемме из п. 1 последовательность функций Kfk, к = 1,2,...,
ограничена в С([0, а]) и состоит из равностепенно непрерывных функ-
функций на [0, а]. А тогда по лемме Арчела-Асколи (см. п. 2) существует
подпоследовательность ф^ = Kf\Zi, i = 1,2,..., сходящаяся в С([0, а]) к
функции ф G С([0, а]). Отсюда, пользуясь оценками D) и E) из §4.1 и
соотношением (9), получаем
\\К2ф - р2ф\\с ^ \\К2{ф - фг)\\с + v2 \\ф - ^||с + \К2^ - р2фг\\с ^

§4-3- Интегральные уравнения с эрмитовым ядром	229
<С Ма \\К(ф - фг)\\с + v2 \\ф - ^||с + \\K{K2fki - v2fki)\\ <С
«С (М2а2 + v2) \\ф - ^||с + M^\\K2fki - v2fki || ->¦ 0, г ^ оо,
и, следовательно,
К2ф = у2ф.
Докажем, что ф ф 0. Из предельного соотношения (9) следует,
что
Kil>i-iy2fki^0 в ?2@,a), i ^oo,
и, следовательно, ||-К"^г|| —>¦ г/2, г —>- оо. С другой стороны, из лем-
леммы §4.1, п. 1 вытекает, что ||ifr/^|| —> Ц^^Ц? ^ —>¦ оо. Таким обра-
образом, Hi^ll = ^2 > 0, откуда и следует, что ф ф 0.
Итак, построенная функция ф является собственной функцией
ядра /С2(ж,2/), соответствующей характеристическому числу 1/г/2. А
тогда по крайней мере одно из чисел =Ы/г/ является характеристичес-
характеристическим числом ядра /С(ж, 2/) (см. §4.2, п. 4). Таким образом, построенное
характеристическое число Ai по модулю равно \jv и, стало быть, в
силу F) удовлетворяет вариационному принципу E).
Осталось установить, что Ai — наименьшее по модулю характе-
характеристическое число ядра /С(ж, у). Действительно, если Ао и сро — харак-
характеристическое число и соответствующая собственная функция
равна сро, то в силу E)
1= ч	||^/||	=
Ai /е?2(Ро,0) 11/11 " ll^oll |Ао|'
и потому |Ai| ^ |Ао|. Теорема доказана.
Как было установлено в п. 1, интегральный оператор К с эрми-
эрмитовым непрерывным ядром /С(ж, у) эрмитов. По теореме из § 1.1, п. 10
характеристические числа ядра К(х,у) вещественны, а собственные
функции, соответствующие различным характеристическим числам,
ортогональны. Кроме того, по четвертой теореме Фредгольма мно-
множество характеристических чисел не более чем счетно, а по второй
теореме Фредгольма кратность каждого характеристического числа
конечна. Поэтому система собственных функций оператора К не бо-
более чем счетна, и эту систему можно выбрать ортонормальной (см.
§1.1, п. 10).
Принимая еще во внимание доказанную теорему и теоремы
Фредгольма (см. §4.2, п.З), для интегральных уравнений с эрмито-
эрмитовым непрерывным ядром К(х,у) ^ 0 получаем следующие утверж-
утверждения.

230	Гл. IV. Интегральные уравнения
Множество характеристических чисел {А/.} не пусто, лежит на
вещественной оси, не имеет конечных предельных точек; каждое ха-
характеристическое число имеет конечную кратность, система собст-
собственных функций {(fk} может быть выбрана ортогональной,
Если Л ф Xk, к = 1, 2,..., то уравнение A) однозначно разрешимо
при любом свободном члене / Е С([0,а]). Если Л = А/., то для разре-
разрешимости уравнения A) необходимо и достаточно, чтобы
(f,<Pk+i) = O, i = 0,l,...,r*-l,	(И)
где ipk, <?fc+i, •••? фк+гк-\ — собственные функции, соответствующие
характеристическому числу А/., и г/. — кратность А/..
Многие задачи математической физики сводятся к интеграль-
интегральным уравнениям с вещественным эрмитовым ядром К(х,у). Такие
ядра называются симметричными; они удовлетворяют соотношению
1С(х,у) = /С (?/, ж).
Собственные функции симметричного ядра можно выбрать ве-
вещественными.
Действительно, если ср = cpi + i(f2, Ц>\ ф 0, (f2 ф 0, — собственная
функция симметричного ядра К,(х,у), соответствующая собственно-
собственному числу Ао:
то в силу вещественности ядра К(х,у) и числа Ао заключаем, что ве-
вещественная ipi и мнимая ц>2 части функции ip также являются собст-
собственными функциями, соответствующими Ао:
§ 4.4. Теорема Гильберта—Шмидта и ее следствия
1. Теорема Гильберта—Шмидта для эрмитова непре-
непрерывного ядра. Пусть Ai,A2,... — характеристические числа эр-
эрмитова непрерывного ядра К(х,у) ^0, расположенные в порядке воз-
возрастания их модуля, |Ai| ^ |А2| ^ ... и (^1,(^2,-.. — соответствующие
ортонормальные собственные функции, (ipkiVi) — ^г-

§4-4- Теорема Гильберта-Шмидта и ее следствия	231
Как мы знаем, характеристические числа А/, вещественны, а
собственные функции (fk(x) непрерывны на [0, а]; при этом множест-
множество {А&} либо конечно, либо счетно; в последнем случае \Хк\ —у оо, к —>
—У оо. Далее, в силу теоремы из §4.3, п. 3 справедливо неравенство
:щ Il/H, feC2@,a).	(l)
Отметим еще неравенство *)
ОО | / \ 12	POL
Е\Шк\Х)\	I	о
k=i Xk	Jo
(В п. 2, будет показано, что в неравенстве B) фактически имеет место
знак равенства.)
Неравенство B) при фиксированном х G [0, а] представляет со-
собой неравенство Бесселя (см. § 1.1, п. 6) для функции /С(ж, у), коэффи-
коэффициенты Фурье которой по ортонормальной системе {(рк(у)} есть
_	Га_ _		 1 _
(К,(рк)= / K(x,y)(pk(y)dy = Kipk = —ч>к(х).
JO	Ak
Введем последовательность эрмитовых непрерывных ядер
г=1	Xi
Соответствующие интегральные эрмитовы операторы К^ действу-
действуют по формуле
K(p)f = Kf-J2 {-^ ^ / G ?2@, а).	D)
Докажем, что Ap+i, Ар+2? ••• и ^p+i^p+2, ••• образуют все ха-
характеристические числа и собственные функции ядра ^
В самом деле, в силу D) имеем
*) Если ядро JC(x,y) имеет конечное число характеристических чи-
чисел Ai,..., Адг, то будем считать А^ = сю, к > N.

232	Гл. IV. Интегральные уравнения
так что А/, и (р/,, & ^ р+1, — действительно характеристические числа
и собственные функции ядра К№(х,у). Обратно, пусть Ло и сро —
характеристическое число и соответствующая собственная функция
ядра К,(р\х,у), т.е.
Отсюда при к = 1,..., р получаем
р /	\/
(<Po,<Pk) =
л V^l^Ch^i) г	Ао ,	ч Ао .	\ п
- Ао > —	oik = т-(<Аь <Ы - т-(^о,^) = О,
^ A	Л	A
а поэтому в силу E) сро = Aoi^o- Таким образом, Ло и сро — ха-
характеристическое число и соответствующая собственная функция
ядра /С(ж, ^/). Поскольку у?о ортогональна ко всем собственным функ-
функциям (fi, ...,(fp, то Ло совпадает с одним из характеристических чи-
чисел Ap+i, Лр+2, •••? и ipo можно считать равной cpk при некотором к ^
Таким образом, Ap+i — наименьшее по модулю характеристи-
характеристическое число ядра /С^(ж,2/). Применяя неравенство A) к этому ядру
и учитывая D), получаем неравенство
г—1
F)
/е?2@,а), р=1,2,...
Пусть эрмитово ядро /С(ж, 2/) имеет конечное число характерис-
характеристических чисел Ai,...,Ajv- По доказанному эрмитово ядро Ks-N' не
имеет характеристических чисел, а потому по теореме из § 4.3, п. 3
K,(N\x,y) = 0, так что
т.е. ядро /С(ж,2/) вырожденное.
Отсюда, вспоминая, что вырожденное ядро всегда имеет конеч-
конечное число характеристических чисел (см. §4.2, п. 2), выводим такой

§4-4- Теорема Гильберта-Шмидта и ее следствия	233
результат: для того чтобы эрмитово непрерывное ядро было вырож-
вырожденным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело конечное число
характеристических чисел.
Будем говорить, что функция /(ж) истокообразно представима
через ядро /С(ж, 2/), если существует функция h Е ?2 @, а) такая, что
/(ж) = / ]C(x,y)h(y)dy,
Jo
О ^ ж ^ а.	(8)
Теорема Гильберта-Шмидта. Если функция f(x) истокооб-
истокообразно представима через эрмитово непрерывное ядро К(х,у), / =
= Kh, то ее ряд Фурье по собственным функциям ядра К(х,у) схо-
сходится регулярно (щ значит, равномерно) на [0, а] к этой функции:
k=l	k=l Хк
Доказательство. Так как / = Kh, h e C2@,a), то по лемме
из §4.1, п.1 / Е С([0, а]) и коэффициенты Фурье функций / и h по
собственным функциям {(fk} ядра 1С(х,у) связаны соотношением
(/, <рк) = (Kh, <рк) = (Л, К<рк) = 1^*1.	(Ю)
Если ядро /С(ж, ^/) имеет конечное число характеристических чи-
чисел, то в силу G)
N /7	ч
f(x) =Kh = 2_^	(рк(х),
к=1 Лк
и теорема Гильберта-Шмидта доказана.
Пусть теперь ядро /С(ж, у) имеет бесконечное число характерис-
характеристических чисел. В этом случае |Л^| —у оо, к —> оо. Поэтому в силу F)
и A0) ряд (9) сходится к / в ?2@,а):
|HK
Осталось доказать, что ряд (9) сходится регулярно на [0,а].
Пользуясь неравенством Коши-Буняковского и неравенством B), при
всех р и q получаем

234
Гл. IV. Интегральные уравнения
к=р
k=p
1/2 г q ,
k—p
1/2 г pa	"I 1/2
Щх,у)\Чу\
0	J
1/2
2 1 1/2
а. A1)
В силу неравенства Бесселя
правая часть неравенства A1) стремится к 0 при р, q —у оо. Это и
означает, что ряд (9) сходится регулярно на [0, а]. Теорема доказана.
Приведем некоторые следствия из теоремы Гильберта-Шмидта.
2. Билинейное разложение повторных ядер. Докажем,
что повторное ядро /Ср(ж, у) эрмитова непрерывного ядра /С(ж, у) раз-
разлагается в билинейный ряд по собственным функциям этого ядра:
1Ср(х,у) =
оо
Е
к=1
К
A2)
регулярно сходящийся при 0 ^ ж, у ^ а.
В силу формулы A7) из §4.1 при каждом у G [0, а] ядро 1Ср(х,у)
истокообразно представимо через ядро /С(ж, 2/), а потому по теоре-
теореме Гильберта—Шмидта оно разлагается в регулярно сходящийся ряд
Фурье по собственным функциям этого ядра:
1Ср(х,у) =
к=1
Так как ядро 1Ср(х,у) эрмитово, то
AСр(
х,у),<рк)= K,p(x,y)cpk(x)dx = / K,p(y,x)cpk(x)dx =
Jo	Jo
= (KP<pk)(y) = ™,
A3)

§4-4- Теорема Гильберта-Шмидта и ее следствия	235
Таким образом, равенство A2) доказано и ряд в A2) сходится
регулярно по х Е [0, а] при каждом у Е [0, а].
В частности, полагая в формуле A2) р = 2, х = у и учитывая,
что в силу A7) из §4.1
га
/С2(ж,ж)= / K(x,yf)K(yf,x)dyf =
Jo
= Г КМЩх^йу1 = fa\lC(x,y)\2dy,
Jo	Jo
получаем равенство
*=i
= Г \ЦХ,у)\Чу.	A4)
Из леммы Дини (см. §1.1, п. 3) следует, что ряд A4) сходится
равномерно на [0, а]. Отсюда, используя неравенство Коши-Буняков-
ского
,п Л.Л12 1 V2
хрк	\Xi\ К xl
к=1	к	' i!	lk=l	k k=l
хрк	\Xi\p-2 К- xl
к	' i!	lk=l	k
заключаем, что ряд A2) сходится регулярно на [0, а].
Интегрируя равномерно сходящийся ряд A4) почленно и учиты-
учитывая нормировку собственных функций, получаем формулу
Етг = / / \lC(x,y)\2dxdy.	A5)
к=1 Ак Jo Jo
3. Билинейное разлолсение эрмитова непрерывного яд-
ядра. Изучим сходимость ряда A2) при р = 1, а именно докажем, что
эрмитово непрерывное ядро К,(х,у) разлагается в билинейный ряд по
своим собственным функциям:
ti Xk
сходящийся в ?2@, а) равномерно по у Е [0, а], т.е.
4 0, О^у^ а, р-^оо. A7)
к=1

236	Гл. IV. Интегральные уравнения
Равенство A3) при р = 1 показывает, что при каждом у Е
Е [0, а] коэффициенты Фурье ядра /С(ж, у) по ортонормальной системе
{ifk(x)} равны Трк(у)/\к. Поэтому, применяя формулу F) из § 1.1, по-
получаем равенство
v
Цх,у)-У
к=\
*.
откуда в силу равномерной сходимости ряда A4) заключаем о сходи-
сходимости билинейного ряда A6) к ядру К(х,у) в смысле A7).
Для билинейной формы (Kf, д) докажем формулу
ti Xk
Действительно, поскольку / G ?2@, а), то по теореме Гильбер-
Гильберта—Шмидта
p
k=i k
причем этот ряд сходится равномерно на [0, а]. Умножая этот ряд на
функцию ~д из ?2@, a) (и, следовательно, абсолютно интегрируемую
на [0, а]; см. § 1.1, п. 5) и почленно интегрируя его по [0, а], получаем
формулу A8):
(Kf,g)=
f
f; (/р) Г Ш dx =
*=1 Хк Jo
*=1 Хк
Полагая в формуле A8) / = д, получим представление квадра-
квадратичной формы (Kf, /) в виде
A9)
fc=l	Afc
Формула A9) представляет собой обобщение формулы приведе-
приведения к главным осям квадратичной формы с конечным числом пере-
переменных.

§4-4- Теорема Гильберта-Шмидта и ее следствия	237
4. Решение неоднородного интегрального уравнения с
эрмитовым непрерывным ядром. Построим решение неоднород-
неоднородного интегрального уравнения
^ = \К<р + /	B0)
с эрмитовым непрерывным ядром 1С(х,у).
Если Л ф А/., к = 1,2,..., и / е С([0,а]), то (единственное) ре-
решение ер интегрального уравнения B0) представляется в виде равно-
равномерно сходящегося на [0, а] ряда (формулой Шмидта)
т+Пх).	B1)
*=1Хк -Л
Действительно, при Л ф А/., к = 1,2,..., решение интегрально-
интегрального уравнения B0) существует и единственно в С([0,а]) при любом
свободном члене / G С([0,а]) (см. §4.2, п.З). По теореме Гильбер-
Гильберта-Шмидта функция К ер разлагается в равномерно сходящийся ряд
Фурье по собственным функциям ядра 1С(х,у). Поэтому
^*)^ + /.	B2)
к=1 Ак
Вычислим коэффициенты Фурье (^, ^). Из уравнения B0)
имеем
так что
D>4>)	к
Хк ~ л
откуда в силу B2) вытекает формула Шмидта B1).
По теореме Гильберта-Шмидта
(Kf)(x) =
k=i
причем ряд сходится равномерно на [0, а]. Поэтому формула Шмид-
Шмидта B1) принимает вид

238	Гл. IV. Интегральные уравнения
ti
= х[\(х,
Jo
(x). B3)
Далее, из регулярной сходимости билинейного ряда A2) при р
2 следует равномерная сходимость билинейного ряда
и его сумма есть непрерывная функция по (ж, у) при 0 ^ ж, у ^ а,
мероморфная по Л с простыми полюсами Л^. Следовательно, при Л ф
^А^, fc = l,2,...,B формуле B3) можно поменять порядок суммиро-
суммирования и интегрирования, в результате чего получим
ф) = A jT [ЦЖ, g) + A g ^[^^ ] /Ы dy + /(»). B4)
С другой стороны, по теореме из § 4.1, п. 2 при малых Л решение
уравнения B0) выражается через резольвенту И(х,у;\) ядра 1С(х,у)
по формуле B0) из §4.1. Следовательно,
Щх9 у; Л) =
-Л)
Таким образом, резольвента И(х,у;\) эрмитова непрерывного
ядра /С(ж, 2/) допускает мероморфное продолжение на всю плоскость
комплексного переменного Л с простыми полюсами А/, и вычетами
Vk+i(xOpk+i(y),	B6)
г=0
где ifk, ...,(fk+rk-i — собственные функции ядра 1С(х,у), соответст-
соответствующие А^, тк — кратность \к.
С помощью равенства A6) перепишем формулу B5) в виде
n(X,y;X) = ±^_f\	B7)
к=1	к

§4-4- Теорема Гильберта-Шмидта и ее следствия	239
причем билинейный ряд сходится в ?2@, а) равномерно по у Е [0, а]
(см. п. 3).
Замечание. Формула B1) остается справедливой и при Л = Aj,
если в соответствии с теоремой Фредгольма
(f,<Pj+i) = °> г = 0,...,г, - 1.
В этом случае решение уравнения B0) не единственно, и его общее
решение согласно формуле A3) из §1.1 дается формулой
00 (f )	rj~1
Ф) = А,- ? Х^ГФ) + /(Ж) + ^ <W+<(*)>	B8)
k=i,xk^\j k i	i=o
где Ci — произвольные постоянные.
5. Положительно определенные ядра. Ядро К(х,у) назы-
называется положительно определенным, если соответствующий опера-
оператор К положителен (см. § 1.1, п. 10), т.е.
(Kf,f)^0, /e?2@,a).
Всякое положительно определенное ядро 1С(х,у) эрмитово.
Действительно, поскольку оператор К эрмитов (см. § 1.1, п. 10),
то и его ядро /С(ж, 2/) эрмитово (см. §4.3, п. 1).
Для того чтобы эрмитово непрерывное ядро 1С(х,у) было поло-
положительно определено, необходимо и достаточно, чтобы все его ха-
характеристические числа А/, были положительными.
Действительно, если все А/, больше нуля, то в силу A9) (Kf, /) ^
^ 0, так что ядро К{х,у) положительно определенное. Обратно, если
ядро /С(ж, у) положительно определенное, то
— = (К<рк,<рк) ^0,
т.е. Хк > 0.
Если К(х,у) — положительно определенное непрерывное ядро,
то справедлив следующий вариационный принцип:
Afe /€?2@,a)
B9)
причем верхняя грань в B9) достигается на любой собственной функ-
функции, соответствующей характеристическому числу А/..

240	Гл. IV. Интегральные уравнения
Действительно, пользуясь формулой A9) и учитывая неравенст-
неравенство Xi ^ А/. > 0, i ^ к, получаем
та, я 1
при всех / G ?2@, a) таких, что (/, cpi) =0, i = 1,..., /c — 1. Стало быть,
в силу неравенства Бесселя справедливо неравенство
(KfJ) 1
" Хк
2 ^-	C0)
С другой стороны, при f = (ff. имеем
II 112	Л •	C1)
\Wk\\	Aft
Неравенство C0) и равенство C1) влекут вариационный принцип B9).
Полагая в B9) к = 1, получаем
!_ „.„ та. я
Ai "
Нам еще понадобится
Теорема Мерсера. Если эрмитово непрерывное ядро 1С(х,у)
имеет конечное число отрицательных характеристических чисел,
то его билинейный ряд сходится равномерно при 0 ^ ж, у ^ а. В част-
частности,
Т±= JC(x,x)dx.
=ifc 7о
Для доказательства следует воспользоваться результатами из
пп. 2, 3 и леммой Дини (см. § 1.1, п. 3). Подробное доказательство при-
приведено в [1].
6. Развитие теории интегральных уравнении. Вся пре-
предыдущая теория, изложенная в §4.1—4.4, относилась к одномерным
интегральным уравнениям с непрерывным ядром. Без существенных
изменений эта теория переносится на многомерные интегральные
уравнения A) и B) с непрерывным ядром при условии, что область
G CW1 ограничена. Все оценки остаются справедливыми, если в них
число а заменить на объем V области G. Вся теория переносится и на

§4-4- Теорема Гильберта-Шмидта и ее следствия	241
многомерные уравнения с более общими, чем непрерывные, ядрами.
Ядро
^'^ = ^3^' Ж'^С, "<".	C3)
где %{х, у) — непрерывное ядро на G x G, называется полярным] если
же а < п/2, то оно называется слабо полярным.
Для полярных ядер в силу оценок §1.1 все повторные ядра, на-
начиная с некоторого, будут непрерывны. Поэтому вся теория, изло-
изложенная в §4.1-4.3 для эрмитовых ядер сохраняется.
Что касается теории Гильберта-Шмидта, изложенной в § 4.4 , то
она переносится без существенных изменений на интегральные урав-
уравнения со слабо полярным эрмитовым ядром (для этого ядро 7-L(x,y)
в C3) должно быть эрмитовым). Действительно, условие а < п/2
в C3) обеспечивает принадлежность ядра /С к пространству C^iG x
х G). Подробности изложены в [1].
Теория Фредгольма (§4.2) и результаты §4.1 и §4.3 остаются
справедливыми и для интегральных уравнений с полярным ядром на
ограниченной кусочно гладкой поверхности S (см. § 1.1, п. 1):
Ф) = А [ т^1^ Ж) dSy + fix), a<m,	C4)
Js \x ~ У\
где ядро %{х, у) непрерывно на S и m — размерность поверхности S.
Теория же Гильберта-Шмидта сохраняется для интегральных урав-
уравнений C4) со слабо полярным (а < т/2) эрмитовым ядром (Н(х,у) =
Теория Гильберта-Шмидта и результаты § 4.3 распространяют-
распространяются и на некоторые интегральные уравнения с неэрмитовыми ядрами.
Например, интегральное уравнение с эрмитовым ядром К,(х,у)
ф) =\ Г р(уЩх, уЫу) dy + /(ж), х е G,	C5)
JG
где р — положительная непрерывная функция на G, с помощью за-
замены ф = л/р^р неизвестной функции ср сводится к интегральному
уравнению с эрмитовым ядром у/р(х)р(у)К,(х,у)
ф(х) = Х [ у/р(х)р(у)Цх,у)ф(у)а1у + v^)f(x), x e G. C6)
JG
16 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

242	Гл. IV. Интегральные уравнения
Многие задачи математической физики сводятся к интеграль-
интегральным уравнениям с положительным полярным ядром 1С(х,у) > 0, х Е
€ G, у е G.
Справедлива следующая теорема.
Теорема Ентча. Наименьшее по модулю характеристическое
число положительного полярного ядра К(х,у) положительное и
простое, а соответствующая собственная функция может быть
выбрана положительной в G.
Заметим, что аналогичная теорема справедлива и для матриц с
положительными элементами; в этом случае она называется теоре-
теоремой Перрона.
Доказательство теоремы Ентча в случае симметричного поло-
положительного ядра приведено в [1].

Глава V
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
В этой главе изучаются краевые задачи для уравнений эллипти-
эллиптического типа, в частности, теория потенциала для уравнений Лапласа
и Пуассона в пространстве и на плоскости и для уравнения Гельм-
гольца в пространстве.
Если не оговорено особо, то область G предлагается ограничен-
ограниченной, а ее граница S — кусочно гладкой поверхностью. Обозначим
через d внешность G, d = W1 \ G, G U d = W1.
§ 5.1. Задача на собственные значения
1. Постановка задачи на собственные значения. Рас-
Рассмотрим следующую линейную однородную краевую задачу для урав-
уравнения эллиптического типа (см. § 1.4, п.З):
— div(pgrad^) + qu = Хи, х G G,	A)
ди
au + f3— = 0 на S.	B)
Предполагаем (см. § 1.4, пп. 1,3), что
p(x)>0, q(x)>0, xeG;
aeC(S), PeC(S), a(x)^0, P(x) ^ 0,	C)
a(x) + /3(x) > 0, x G S.
Пусть So — та часть 5, где а(х) > 0 и j3(x) > 0 одновременно.
Задача A), B) состоит в нахождении функции и(х) класса
C2(G) nC1(G), удовлетворяющей уравнению A) в области G и гра-
граничным условиям B) на границе S. Очевидно, задача A), B) всегда
16*

244 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
имеет нулевое решение. Это решение не представляет интереса. По-
Поэтому задачу A), B) необходимо рассматривать как задачу на собст-
собственные значения (см. § 1.1, п. 9) для оператора
L — — div(pgrad) + q.
К области определения ЛЛь оператора L (см. §1.1, п. 8) отнесем все
функции /(ж) класса C2(G)nC1(G), удовлетворяющие граничному ус-
условию B) и условию !/(/) Е /^(G). По лемме из § 2.1, п. 2 V(G) плотно
в /^(G), a T>(G), очевидно, содержится в ML. Поэтому JV[L плотно
в C2(G).
Итак, задача A), B) состоит в нахождении тех значений Л
(собственных значений оператора L), при которых уравнение
Lu = Xu	D)
имеет ненулевые решения и{х) из области определения Ml (собст-
(собственные функции, соответствующие этому собственному значению).
Замечание. Собственные функции гладкости С1 (б?) существу-
существуют не всегда. Поэтому в некоторых задачах требование гладкости
ослабляется. Это естественно для краевых задач I рода (не содержа-
содержащих ^; см. §1.4, п.З). Для остальных краевых задач под ^ на S
понимают так называемую правильную нормальную производную (см.
§ 1.4, п. 5, замечание и § 5.3, п. 2).
2. Формулы Грина. Если и G C2(G) ПС^б?) и v G C^G), то
справедлива первая формула Грина
Г г л [ ^ dv ди
/ vLu ах = / р > -— -— ах -
Jg	Jg ~[ 9xi dxi
— / pv—dS+ / quvdx. E)
Js on	JG
Для доказательства формулы E)
возьмем произвольную область G' с ку-
Рис. 50	сочно гладкой границей 5;, строго ле-
лежащую в области G (рис.50). Так как
и G C2(G), то и G C2(G'), и, следовательно,
/ vLudx = / v[— div(pgrad'u) + qu] dx =
JG'	JG1

§5.1. Задача на собственные значения	245
= — / divfjwgrad'u) dx + / Р/^т;—т;—dx + \ quvdx.
Jg>	Jg> ~[ oxi oxi	Jg>
Пользуясь теперь формулой Гаусса-Остроградского (см. §1.2, п. 2),
получаем
f	f v-^ dv ди 1 f ди ,_,. f
/ vLudx — I py -—-—dx — I pv-^—db + / quvdx.
JG'	Jg' ~[ dxi dxi	Js, dn	JG,
g' ~[
Устремляя в полученном равенстве G' к G и пользуясь тем, что и и v
принадлежат (^(G), заключаем, что предел правой части существу-
существует, и, следовательно, существует предел левой части и справедливо
равенство E). При этом интеграл слева в E) *) следует понимать как
несобственный.
Если и и v принадлежат C2(G) П (^(G), то справедлива вторая
формула Грина
f*	f* / О	О \
/ (vLu — uLv) dx = р [ и-	v-^— I dS.
Jg	Js V <9n dnj
F)
Для доказательства формулы F) в первой формуле Грина E)
поменяем местами и и v:
f T 7 f v-^ ди dv 1 f dv iri f
/ uLvdx— py ——-^—аж — / vu-— db + / qvudx,
Jg	Jg f^dxidxi	Js dn	JG
и вычтем полученное равенство из равенства E). В результате полу-
получим вторую формулу Грина F).
В частности, при р = 1, q = 0 формулы Грина E) и F) превра-
превращаются в следующие (ср. с формулой B9) из §2.2):
л	f \-^ dv ди 1 [ ди 1Г1	. ч
vAudx = - / \——dx+ / v—dS,	G)
(8)
(vAu-uAv)dx = / A;-^ -и—- ) d5.
Л/	Js\ 9n dnj
*) Здесь и ниже предполагается, что последовательность кусочно глад-
гладких поверхностей Sf —>¦ 5 выбрана так, чтобы выполнялось предельное соотно-
соотношение / fpj dS' -> / /|^ dS для любых / G C(G) и w G C1^).

246 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
3. Свойства оператора L. Оператор L эрмитов:
(Lf,g) = (f,Lg), f,geML.	(9)
Действительно, так как функции / и ~д лежат в ЛЛь, то Lf E
Е C2{G) и Lg = Lg E /^(G), и вторая формула Грина F) при и = /
и v = g принимает вид
/ (<?L/ — /Ьд) dx = (L/, g) — (/, Lg) = p I f —	#тг~ ) dS. A0)
Далее, функции / и <? удовлетворяют граничному условию B):
af + C—— = 0, а<7 + /3— = 0 на 5.	A1)
По предположению C) а + /? > 0 на 5. Поэтому однородная систе-
система линейных алгебраических уравнений A1) имеет ненулевое реше-
решение (а,/3), и, значит, ее определитель равен нулю, т.е.
f UL
о- — /т;	~Я~^~ — 0 на S-
77 ^Р	an an
9 dz
Учитывая полученное равенство, из формулы A0) получаем равенст-
равенство (9), которое и означает, что оператор L эрмитов (см. § 1.1, п. 10).
Пусть / Е М.ь- Полагая в первой формуле Грина E) и = f vlv = /
и учитывая, что Lf E ?2F?), получаем
С	if df	f 2
(L/,/)= / I grad/| Gte- / pf—dS+ / <?|/| da;. A2)
Jg	Js an Jg
Из граничного условия B) следует, что
^ = -?/> если ^(ж)>°. x^S'i
/ = 0,	если Р(х) =0, х е S.
Подставляя эти соотношения в равенство A2), получаем выражение
для квадратичной формы
/ p^\f\2dS, f € ML, A3)
p

§5.1. Задача на собственные значения	247
где So — та часть 5, где а(х) > 0 и /3(х) > О.
Квадратичная формула (L/,/), / Е М,Ьч называется интегра-
интегралом энергии.
В силу предположений C) в правой части A3) все три слагаемых
неотрицательны. Поэтому, отбрасывая второе и третье слагаемое и
оценивая снизу первое слагаемое, получаем неравенство
/ p|grad/|2dx ^ тшр(х) / | grad/|2
Jg	xeG J
т. e.
(L/,/)^0|||grad/|||2, f&ML,	A4)
где po = minp(x) > 0 в силу непрерывности и положительности функ-
функции р(х) на G.
Из неравенства A4) вытекает, что оператор L положительный
(см. §1.1, п. 10), т.е.
(L/,/)^0, feML.	A5)
Отсюда, в частности, опять следует эрмитовость оператора L (см.
§1.1, п. 10).
4. Свойства собственных значении и собственных
функции оператора L. Все собственные значения оператора L
неотрицательны.
Это утверждение вытекает из положительности оператора (см.
§1.1, п. 10).
Собственные функции оператора L, соответствующие различ-
различным собственным значениям, ортогональны.
Это утверждение вытекает из эрмитовости оператора L (см.
§1.1, п. 10).
Собственные функции оператора L можно выбрать веществен-
вещественными.
Это утверждение вытекает из вещественности оператора L (ср.
§4.3, п.З). Действительно, пусть Ло — (вещественное) собственное
значение и щ — соответствующая собственная функция оператора L,
Ьщ = Ло^о, Щ G Ml-	A6)
Отделив в равенстве A6) вещественную и мнимую части, убедим-
убедимся, что отличные от нуля вещественная и мнимая части собственной
функции щ = щ + Ш2 также являются собственными функциями,
соответствующими собственному значению Ло, Luj = XqUj, j = 1,2.

248 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Лемма. Для того чтобы Л = 0 было собственным значением
оператора L, необходимо и достаточно, чтобы q = О и а = 0. При
этом Л = О — простое собственное значение, а щ = const — соот-
соответствующая собственная функция.
Доказательство. Необходимость. Пусть Л = 0 — собст-
собственное значение оператора L и щ — соответствующая собственная
функция, так что Ьщ = 0, щ Е Ml- Применяя к функции щ форму-
формулу A3), получаем
0= (Ьио,ио) = / О| graded2 +q\uo\2)dx+ / p^\uo\2dS,
Jg	Jso P
откуда, учитывая предположения C), выводим
= 0, quo = О, х е G,
т. е. ixo = const ф 0 и q = 0. Из граничного условия B) и равенст-
равенства ixo = const следует, что а = 0. Необходимость условий доказана.
При этом установлено, что щ = const — единственная собственная
функция, соответствующая собственному значению Л = 0, т. е. это
собственное значение простое.
Достаточность. Если д = 0 и а = 0, то в силу C) /3 > 0 и
задача A), B) превращается в следующую:
ди
¦ div(pgradix) = Xu, —
= 0,
s
для которой щ = const есть собственная функция, соответствующая
собственному значению Л = 0. Лемма доказана.
При п ^ 2 будем считать, что в граничном условии B) /3 = 0
либо /3 = 1, т. е. это условие имеет вид
ди
u\Q = 0 либо ——\-au\Q = 0.	A7)
Тогда если граница S области G — достаточно гладкая поверхность,
а коэффициенты р>0, д^Оиск^О — достаточно гладкие функции,
справедлива следующая
Теорема 1. Множество собственных значений оператора L
не имеет конечных предельных точек; каждое собственное значение
имеет конечную кратность. Всякая функция из Ml разлагается в
регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям опера-
оператора L.

§5.1. Задача на собственные значения	249
Эта теорема будет доказана для двух частных случаев: для за-
задачи Штурма-Лиувилля (см. §5.2) и для задачи Дирихле (см. §5.7).
На основании приведенной теоремы и предыдущих утвержде-
утверждений все собственные значения оператора L можно перенумеровать в
порядке возрастания их величины:
О ^ Ai ^ А2 ^ ..., Хк -> оо, к -> оо,	A8)
повторяя А& столько раз, какова его кратность. Соответствующие
собственные функции обозначим через Х\, Х2,..., так что в A8) каж-
каждому собственному значению А/, соответствует собственная функ-
функция Хк,
А: = 1,2,..., Хк е ML.
При этом собственные функции Хк можно выбрать вещественными
и ортонормальными (см. § 1.1, п. 10), так что
(LXk,Xj) = \k(Xk,Xj) = \k6kj.	A9)
Далее, всякая функция / из Л4ь разлагается в ряд Фурье по орто-
нормальной системе {Х&}:
f>Xk)Xk,	B0)
к=1
и этот ряд сходится регулярно на G. Поскольку Л4ь плотно в
(см. п. 1), в силу теоремы из § 1.1, п. 7 справедлива
Теорема 2. Система собственных функций оператора L полна
в C2{G).
Пусть / G Л4ь- Умножая ряд B0) скалярно слева на Lf и учи-
учитывая, что Lf G ?2@), получаем формулу для интеграла энергии
(Lf,f) =
k=l	k=l
ОО
5]^,Х,)|2. B1)
Теперь установим следующий вариационный принцип (ср. § 4.4,
п. 5):
feML у ll/lr
B2)

250 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
причем нижняя грань в B2) достигается на любой собственной функ-
функции, соответствующей собственному значению А/..
Действительно, пользуясь формулой B1) для квадратичной фор-
формулы (L/, /) и учитывая неравенства A8) Л^ ^ А/. ^ 0, г ^ &, при
всех / Е Л4ь таких, что (/, Xi) = 0, i = l,...,& — 1, получаем
г=А;	г=к
Но в силу теоремы 2 справедливо равенство Парсеваля (см. § 1.1, п. 6)
г=1
и потому
С другой стороны, при / = Xk в силу A9) имеем
(ЬХк,Хк) _	_
Этим установлена справедливость вариационного принципа B2).
Полагая в B2) к = 1, получаем, в частности,
Ai = inf
fii2 '
Применяя формулу B1) к функциям
rjp = / — 2^(f,Xi)Xi, p=l,2,...,
г=1
из Ml и учитывая, что
^	[(f,xk), fe =
получаем
(LVp,Vp)=

§5.1. Задача на собственные значения	251
Отсюда и из сходимости ряда B1) следует, что
r]p) ->0, р^оо.	B3)
Применяя неравенство A4) к функциям г]р и учитывая B3), получаем
при р —у оо
р
At \V* T^ AV	/ !
grad/— > (/,Aj)gradAj ^ —
Полученное соотношение означает, что
оо
grad/(ж) = 2_^(fi Xk) grad Х^ (ж),	B4)
причем ряд B4) сходится к grad/ в /^(G).
Итак, установлена следующая
Теорема 3. .Еслг/ / е .Ml, то Р-яд B0) можно дифференциро-
дифференцировать почленно по х^ г = 1,...,п, об?г/к раз, и полученные ряды B4)
будут сходиться к тр- в /^(G).
5. Физический смысл собственных значении и собст-
собственных функции. При р = 1 и /3 = 0 задача на собственные значе-
значения A), B) принимает вид
—Аи + q(x)u = A-u, г&|5 = 0.	B5)
Собственные значения задачи B5) определяют уровни энергии
квантовой частицы, движущейся во внешнем силовом поле с потен-
потенциалом
у(ж) = !^ж)' xeGj
У } \+оо, xed.
Соответствующие собственные функции являются волновыми функ-
функциями стационарного оператора Шрёдингера (см. § 1.2, п. 6).
Как будет показано в § 5.4, собственные значения оператора L
определяют собственные частоты колебаний ограниченных областей
(объемов, мембран, струн, стержней и т.д.), а соответствующие
собственные функции — амплитуды гармонических колебаний.

252 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
§ 5.2. Задача Штурма—Лиувилля
При п = 1 задача на собственные значения A), B) из § 5.1 назы-
называется задачей Штурма-Лиувилля,
Lu = -{pa')' + qu = Хи, 0 < х < Z,	A)
/цЦ0) - h2u'@) = О, Нт{1) + Н2и'A) = 0.	B)
В соответствии с условиями C) из §5.1 считаем
р е Сх([0,/]), q е С([0,/]), р(х) > 0, q(x) > 0,
/ib/i2,ЯЬЯ2 ^ 0, /ii+/i2>0, Я1+Я2>0.
Напомним, что область определения Ml оператора L состоит из
функций и(х) класса С2@,1) ПС1([0,/]), и" G ?2@,/), удовлетворяю-
удовлетворяющих граничным условиям B).
Выражение A3) из §5.1 для квадратичной формы (L/,/), / G
G Ml, принимает следующий вид:
j)= f (p\f
Jo
(Lf
(последние слагаемые выпадают при /i2 = 0 или Я2 = 0 соответст-
соответственно).
1. Функция Грина. Предположим, что Л = 0 не есть собст-
собственное значение оператора L; это значит в силу леммы из §5.1, п. 4,
что либо q ^ 0, либо hi ф 0, либо Hi ф 0.
Рассмотрим краевую задачу
Lu = -{pa')' + qu = /(ж), и G ML,	C)
где / G С@,1) П ?2@, I). Так как Л = 0 не есть собственное значение
оператора L, то решение краевой задачи C) в классе Ml единственно
(см. § 1.1, п. 9). Построим решение этой задачи.
Пусть ^и^ — ненулевые (вещественные) решения однородно-
однородного уравнения Lv = 0, удовлетворяющие условиям
hiVi@) - h2v[@) = 0, Hiv2(l) + H2v'2(l) = 0.	D)
Из теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
следует (см. [5]), что такие решения всегда существуют и принадле-
принадлежат классу С2([0,1]). Решения vi и v2 линейно независимы. Действи-
Действительно, в противном случае i?i (ж) = cv2(x), и, следовательно, в силу D)

§5.2. Задача Штурма-Лиувилля
253
решение v\ удовлетворяет и второму граничному условию B). Это
значит, что i?i является собственной функцией оператора L, соот-
соответствующей собственному значению Л = 0 вопреки предположению.
Поэтому определитель Вронского
w(x) =
vi(x) v2(x)
v[(x) v'2(x)
xe[0,l].
Кроме того, имеет место тождество Остроградского-Лиувилля
(см. [5])
p(x)w(x) = p@)w@), x G [0,1].
E)
Будем искать решение задачи C) методом вариации произволь-
произвольных постоянных,
и(х) = CiOKO) + C2(x)v2(x).	F)
В соответствии с этим методом функции С[ (х) и С2 (х) должны удов-
удовлетворять системе линейных алгебраических уравнений
CV+C7V =-*-
11	2 2	р
C'2v2 = 0,
7)
с определителем w(x) ф 0. Решая эту систему и пользуясь тождест-
тождеством E), получим
W
w
О
-f/p
-f/p
f{x)v2{x)
p@)w@) '
/ОКО)
p@)w@) '
(8)
Чтобы удовлетворить граничным условиям B), положим С2@) = 0,
С\{1) = 0; тогда в силу D) и G)
- h2u'@) =
;i @) + C[
2 @)^
+ C2
С2 @)г;2 @)] =
и аналогично для х = I. Интегрируя (8) при условиях С\ (I) = С2@) = О,
имеем
р(О)г

254 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Подставляя полученные выражения в F), находим искомое ре-
решение задачи C) в виде
\ f(y)v2(y)dy
ИЛИ
где
G(x,y) = -
и(х) = / G(x,y)f(y)dy,
Jo
V!(x)v2(y), 0 ^ X ^ у,
(9)
A0)
x = y
Функция G(x,y) называется функцией Грина краевой задачи C)
или оператора L.
Итак, доказан следующий результат.
Лемма. Если X = 0 не есть собст-
собственное значение оператора L, то реше-
решение краевой задачи C) существует,
единственно и выражается форму-
формулой (9).
Перечислим свойства функции Гри-
Грина G(x,y), вытекающие непосредственно
из формулы A0).
1) Q вещественна и непрерывна в
замкнутом квадрате П = [0,1] х [О, I] и
принадлежит классу С2 в замкнутых треугольниках (рис. 51)
2) Q симметрична:
G(x,y) = G(y,x),
(х,у) G П.
3) На диагонали х = у скачок производной Qx равен
-1/р(у), т.е.
дв(у
дх
д6(у-0,у)
дх
р{уУ

§5.2. Задача Штурма-Лиувилля	255
4)	Вне диагонали х = у Q удовлетворяет однородному уравне-
уравнению
LxQ[x,y) = 0, хфу, (х,у) ей.
5)	На боковых сторонах квадрата П Q удовлетворяет гранич-
граничным условиям B):
hiG(O,y) - h2^^- = Нгд{1,у) + H2^L =0, у G [0,1].
ПРИМЕР. Функция Грина краевой задачи
-и" = /(ж), и@) =иA) = 0
имеет вид
nt ч (хA-у), О^х^у,
G(x,y) = <
{A -х)у, у ^ х ^ 1.
Физический смысл функции Грина. Из свойств 1), 3) и 4)
вытекает, что при каждом у G @,/) функция Грина G(x,y) удовлет-
удовлетворяет в обобщенном смысле (см. §3.1, п. 1) уравнению
LxG(x,y) =6(x-y), хе @,1).
Поэтому G(x,y) есть возмущение, порождаемое точечным источ-
источником интенсивности 1, находящимся в точке у. Таким образом,
функция Грина Q(x,y) является естественным обобщением фунда-
фундаментального решения (см. §3.2, п. 2) на уравнения с переменными
коэффициентами при наличии граничных условий (описывающих
процессы в неоднородных ограниченных средах).
2. Сведение задачи Штурма—Лиувилля к интегрально-
интегральному уравнению. Покажем, что задача Штурма-Лиувилля сводится
к интегральному уравнению Фредгольма с вещественным, симмет-
симметричным и непрерывным ядром Q(x,y).
Теорема. Краевая задача
Lu = \u + f, ueML, /eC@,Z)n?2@,Z),	(И)
при условии, что X = 0 не есть собственное значение оператора L,
эквивалентна интегральному уравнению
и{х) = \ [ g(x,y)u(y)dy+ f g(x,y)f(y)dy, ueC([0,l]), A2)
Jo	Jo

256 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
где Q(x,y) — функция Грина оператора L.
Доказательство. Если и(х) — решение краевой задачи A1),
то, применяя лемму из п. 1 с заменой / на Хи + /, получим
и{х)= / д(х,у)[Хи(у) + f(y)]dy,
Jo
т.е. и(х) удовлетворяет интегральному уравнению A2).
Обратно, пусть функция ио(х) Е C([O,Z]) удовлетворяет интег-
интегральному уравнению A2). Рассмотрим краевую задачу
Lu = Хио + /, и е Ml-
По лемме из п. 1 единственное решение этой задачи дается формулой
_ Г1
Jo
откуда следует, что и принадлежит Ml и удовлетворяет уравнению
Ьщ = Хщ + /,
т.е. ixo есть решение краевой задачи A1). Теорема доказана.
При / = 0 краевая задача A1) превращается в задачу Штурма-
Лиувилля, и, следовательно, задача Штурма-Лиувилля A), B) эквива-
эквивалентна задаче на собственные значения для однородного интеграль-
интегрального уравнения
и(х) = Х G(x,y)u(y)dy, ueC([0,/]),	A3)
при условии, что А = 0 не есть собственное значение оператора L.
Теперь освободимся от предположения, что А = 0 не есть собст-
собственное значение оператора L. Заметим, что, в силу леммы из § 5.1, п. 4
\i — 0 не есть собственное значение задачи Штурма-Лиувилля
-(ри'У + (q + l)u = /ш,	A4)
hiu(Q) - h2u'@) = HlU(l) + h2u'(l) = 0.	A5)
Ho A4l — A^Lu и поэтому задача A4), A5) эквивалентна задаче A),
B) при /1 = А + 1.
Следовательно, задача Штурма—Лиувилля A), B) эквивалентна
интегральному уравнению
и(х) = (А + 1) Г Qx (x, y)u(y) dy,	A6)
Jo
где Gi(x,y) — функция Грина оператора L\.

§5.2. Задача Штурма-Лиувилля	257
3. Свойства собственных значении и собственных
функции. Таким образом, установлена эквивалентность задачи
Штурма—Лиувилля A), B) задаче на собственные значения для од-
однородного интегрального уравнения A6) с симметричным (и, стало
быть, эрмитовым) непрерывным ядром Qi(x,y). При этом собствен-
собственные значения Л задачи A), B) связаны с характеристическими чис-
числами \i ядра Q(x,y) соотношением \i — А + 1, а соответствующие им
собственные функции совпадают. Поэтому для задачи Штурма-Лиу-
вилля справедливы все положения теории интегральных уравнений с
симметричным непрерывным ядром, развитые в § 4.3 и 4.4. В част-
частности, множество собственных значений {А/.} этой задачи не пусто
и не имеет конечных предельных точек; собственные значения ве-
вещественны и конечной кратности; собственные функции {Хк} можно
выбрать вещественными и ортонормальными; Х^ Е С2([0,/]).
Но задача Штурма-Лиувилля имеет ряд специфических свойств.
Отметим некоторые из них.
1)	Собственные значения неотрицательны.
Это утверждение доказано в § 5.1, п. 4.
2)	Множество собственных значений счетно.
Действительно, если бы это множество было конечным {Ai,...
... , Адг}, то ядро Q\ (ж, у) имело бы представление (см. § 4.4, п. 1)
k=l
Ho Xk G C2([0, l]), и поэтому представление A7) противоречит свойст-
свойству 3) функции Грина Q\ (ж, у). Полученное противоречие и доказывает
наше утверждение.
3) Каждое собственное значение простое.
В самом деле, пусть Xi m Х2 — собственные функции, соот-
соответствующие собственному значению Ао- Это значит, что эти функ-
функции удовлетворяют уравнению A) при А = Ао и граничным услови-
условиям B). Из первого граничного условия B)
ftiXi(O) - h2X[@) = 0, h1X2@) - h2X^@) = 0
вытекает в силу предположения hi + h2 > 0, что
Хг@) Х[@)
Х2@) Х'2
= 0,
х2(о) -х'2г - '"* "'
17 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

258 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
т.е. определитель Вронского для решений Х\ и Х<± уравнения A)
при Л = Ло в точке х = 0 обращается в нуль. Поэтому эти решения ли-
линейно зависимы (см. [5]). Это и значит, что Ло — простое собственное
значение задачи Штурма—Лиувилля A), B).
Теорема (В. А. Стеклов). Всякая функция f из Ml разлага-
разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функци-
функциям {Xk} задачи Штурма-Лиувилля:
_	I.	A8)
k=i
Доказательство. Так как / е Ml, to Li/ = Lf + f = h E
E C(O,Z) П?2@,/). Ho A^Li = Ml, и потому / E MLl- Таким обра-
образом, функция / является решением краевой задачи
причем по построению (см. п. 2) А = 0 не есть собственное значе-
значение оператора L\. Обозначим через Gi(x,y) функцию Грина операто-
оператора L\. По лемме из п. 1 функция / выражается интегралом
f{x) = / Gi{x,y)h{y)dy,
Jo
т. е. истокообразно представляется через эрмитово непрерывное яд-
ядро Gi(x,y). По теореме Гильберта-Шмидта (см. §4.4, п. 1) функция /
разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным
функциям ядра Gi(x,y). Но собственные функции ядра Gi(x,y) сов-
совпадают с собственными функциями оператора Li, которые в свою
очередь совпадают с собственными функциями {Xk} оператора L.
Теорема доказана.
Таким образом, для задачи Штурма-Лиувилля верна теорема 1
из §5.1, п. 4 и следствия из нее. В частности, система собственных
функций задачи Штурма—Лиувилля полна в ?2@,/).
4. Нахождение собственных значении и функции. Изло-
Изложим процесс вычисления собственных значений и собственных функ-
функций задачи Штурма-Лиувилля A), B). Пусть ui(x;X) и U2(x;X) —
решения уравнения A), удовлетворяющие соответственно начальным
условиям
гц@;А) = 1, ui@;A) = 0; u2@;A)=0, ^@;А) = 1.

§5.2. Задача Штурма-Лиувилля	259
Тогда функция
и(х; А) = Н2щ(х; А) + hiu2(x; A)	A9)
удовлетворяет уравнению A) и первому из граничных условий B).
Чтобы удовлетворить второму из граничных условий B), необходимо
положить
Hih2ui(l;X) +Hihiu2(l]\) + H2h2u[(l; A) + H2hiu'2(l] X) = 0.
Корни Ai,A2,... полученного трансцендентного уравнения и дадут
все собственные значения задачи Штурма-Лиувилля A), B). Соот-
Соответствующие собственные функции Хк определяются по формуле A9)
при А = \к:
Хк(х) = и(х;Хк) = h2ui(x;\k) + hiu2(x;Xk), к = 1,2,...
ПРИМЕР. Вычислим собственные значения и собственные функ-
функции задачи Штурма-Лиувилля при р = 1, g = 0, h2 = H2 =0:
-и" = Хщ Ц0) = Ц/) = 0.	B0)
Для этого выпишем общее решение дифференциального уравне-
уравнения B0):
и(х) = С\ sin уХх + С2 cos л/Аж,
и подберем произвольные постоянные С\ ш С2 ш параметр А так,
чтобы удовлетворить граничным условиям B0) и условию нормиров-
нормировки \\u\\ = 1. Условие и@) = 0 дает С2 = 0, а условие иA) = 0 дает y^Xl =
= ктг, к = =Ы, ±2,..., так что
л fkir^
А = I — I , и(х) = Сл sin
V ^
Из условия нормировки
имеем С\ = у2/1, и, следовательно,
A*=(yJ' ^(^) = /fsin^, fc = l,2,... B1)
17*

260 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Из построения следует, что других собственных функций задача B0)
не имеет. Система собственных функций B1) полна в ?2@,/) (см.
п.З). Графики собственных функций Х&(ж), к = 1,2,3, изображены
на рис. 52.
Х2(х)	Х3(х)
Рис. 52
Задача. Найти асимптотику при А/. —у оо собственных значений
и собственных функций краевой задачи (к ф 0)
- и" + к6(х)и = Хи, \х\<1, Ц±1)=0, иеС([-1,1]). B2)
Решение. Положим и@) = с и перепишем уравнение B2) в виде
—и" + кс — Хщ
тогда его общее решение при А ф 0 запишется в виде
и[х) — acosyXx + bsmyXx -\——.
А
Условие и@) = с дает а = A — х/А)с, а условие г&(±1) = 0 принимает
вид
sin л/А = 0.
Рассмотрим два случая.
1) с = 0. В этом случае остается условие Ъ sin у/Х = 0, условие и
Ф 0 дает b ф 0, так что sin л/А = 0, и мы получаем
= 1,2,...
,2,.
2) с 7^ 0. Здесь A - х/А) cos \/~Х + к/Х = 0, и мы получаем транс-
трансцендентное уравнение для нахождения собственных значений А/.
со8лЛ=^-, /с = 1,2,...	B3)
к — А

§5.3. Гармонические функции
261
В общем случае sin у/\п ф О, так что Ъ = 0. Далее, при к —У оо А/. —>
—у оо, и уравнение B3) принимает асимптотический вид cos л/Xk ~ О,
откуда л/Хк&7г/2 + тгк, к -у оо. Поправка % = л/Хк-7г/2-тгк -у 0, fc ->•
—>¦ оо, и удовлетворяет уравнению
S1I177A; =
к = 1,2,...
Последнее уравнение имеет асимптотическое решение
7Г2к2 '
к —У оо,
так что
7Г 7 (~1)кХ
—- +7Г/СЧ	2^2—,
ТГ	7
COS I - + ТГЙ
2^2
°°-
§ 5.3. Гармонические функции
В этом параграфе изучаются основные свойства гармонических
функций.
Вещественнозначная функция и{х) класса C2{G) называется
гармонической в области G, если она удовлетворяет уравнению
Лапласа Аи = 0 в этой области. При п = 1 гармонические функ-
функции сводятся к линейным функциям, и потому их теория интере-
интереса не представляет. Поэтому в дальнейшем будем считать п ^ 2.
Нетривиальным примером гар-
гармонической функции при х ф 0 явля-
ется фундаментальное решение опера-
тора Лапласа (см. § 3.2, п. 8)
(n - 2)an'
= 2;
-"+2, n > 3.
График функции ?п(х) изобра-
изображен на рис. 53.
х\
Рис. 53

262 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
1. Формула Грина. Пусть и Е C2(G) и и(х) = 0, х Е G\\ тогда
при х ? S справедлива следующая формула Грина:
Ф) = --{—^—/ 1	т^гт^ +
(п- 2)ап JG \х-у\п-2
ди(у)
1	/[ 1
(n-2)anjs [\х-у\п-2 дп
г)	1	1
- U(y^~Qn~\x _ ln-2 dSV	^^3,
п = 2.
Другими словами, в области G функция и{х) представляется в
виде суммы трех ньютоновых (логарифмических) потенциалов:
и(х) = Vn(x) + V^\x) + V^(x), xGG,	B)
где (считаем для определенности п ^ 3)
Vn(х) = ?п * {А^} = - ( * / , AU{^ 2 dy
(п-2)ап JG \x-y\n~2
— объемный потенциал с плотностью —
(п - 2)ап L J
\дп J (n-2)crn Js \x-y\n~2
— потенциал простого слоя на 5 с поверхностной плотностью
1 ди.
(п-2)ап дп'
VV(x) = -?п * ^-
дп
(\ [ и(у)^.rr^dSy
(n-2)anjs дпу \х - у\п~2
— потенциал двойного слоя на 5 с поверхностной плотностью
~(n-2)anU-
Докажем формулу Грина A) при п = 3. Применяя формулу B7)
из §2.2 к функции и и учитывая, что [us] = ~u\s^ я> = "" я>
получим
получим
C)

§5.3. Гармонические функции	263
Так как функция и финитна, то ее свертка с фундаментальным ре-
решением ?п оператора Лапласа существует (см. §2.3, п. 4). Поэтому,
применяя формулу A3) из § 3.1 и пользуясь равенством C), для функ-
функции и получаем представление
и = ?3 * Аи = ?з * {Aix} - ?3 * (-^-$s ) - ?з * -^-
\дп )	an
1 Г 1 ГА , 1 (duz \ 1 9 , . Л (А,
4тг [ И	И V^n / ж| an J
Отсюда, пользуясь определением ньютоновых потенциалов и форму-
формулами C4), C5) и C7) из § 2.3, получаем формулу Грина A) при п = 3.
Случаи п = 2 и п > 3 рассматриваются аналогично.
Формула Грина A) справедлива и для функций и класса C2(G) П
nC1(G), если в ней интеграл по области G понимать как несобствен-
несобственный (ср. §5.1, п. 2). (Этот интеграл может сходиться не абсолютно.)
Для доказательства применим формулу Грина A) ко всякой под-
подобласти G' (е G с кусочно гладкой границей и перейдем к пределу
при G' —ь G. Пользуясь предположенной гладкостью функции и, убе-
убедимся в справедливости формулы Грина A) и в этом случае.
Для гармонической в области G функции и класса ^(G) фор-
формула Грина A) принимает следующий вид:
«(*)= - ' ¦ - ди{у)
(n-2)anjs[\x-y\n-z On
r\	-j	"I
Ully \X y\	J
E)
1 f Г 1 ди(у)	д	1
2тг У5 |_ |ат — 2/| <9п	9% \х-у\
Поверхностные потенциалы Vn nVn можно непрерывно диф-
дифференцировать вне 5 под знаком интеграла бесконечное число раз, и
эти потенциалы — гармонические функции вне S. Отсюда и из фор-
формулы E) вытекает, что всякая гармоническая функция бесконечно
дифференцируема (и даже аналитическая; см. § 1.1, п. 1).
Замечание. Формула Грина E) выражает значение гармони-
гармонической функции в области через ее значения и значения ее нормаль-
нормальной производной на границе этой области. Эта формула аналогична
формуле Коши для аналитических функций. Легко заметить также
аналогию между формулой Грина в форме B) и формулой A7) из § 3.3
для волнового уравнения.

264 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
2. Распространение формул Грина. Пусть граница S об-
области G — поверхность класса С1 (см. § 1.1, п. 1) и функция и при-
принадлежит (^(G). Будем говорить, что функция и имеет правильную
нормальную производную*) на 5, если равномерно по всем х Е S су-
« du(xf)	,	,
ществует предел нормальной производной —^—- при х —у ж, х Е — пж;
UYlx
rin	ди(х)
этот предел обозначаем ^ = ^v \ так что
ди(х') ди(х)
дпх
дпх '
х G 5,
Из этого определения следует, что если правильная нормальная
производная существует, то она непрерывна на 5 и является обыч-
обычной нормальной производной. Далее, равномерно по всем х Е S су-
существует предел и(х') при х' —у х. Этот предел обозначим и(х), так
что и е C(S) и
и(х') =4 и(х), х Е 5, х' —У ж, х' Е —пж.
Доопределенная таким образом функция и(х) будет непрерыв-
непрерывной на G, т.е. и е C(G).
Действительно, пусть х'к —У х G
G 5, xj. G G. Точка xj. лежит на нор-
нормали —пХк к некоторой точке хк G 5,
т.е. ж'д, = ж^ + 4пЖй (рис.54) и^-У
->• 0, fc ->• оо. Пользуясь непрерыв-
непрерывностью функции и на S и равномер-
равномерной ограниченностью
Рис. 54
<с,
получим
-f |^(xfe) -u(x'k)\
; G G,
к
оо,
Очевидно, для функции класса
производная всегда существует.
¦» 0, fc ->• оо.
правильная нормальная
*) Этот термин введен А. М. Ляпуновым.

§5.3. Гармонические функции	265
Пусть 5 — поверхность класса С2. В каждой точке х Е 5 отло-
отложим по внутренней нормали — пх отрезок постоянной длины 5. Мно-
Множество концов х' этих отрезков описывается уравнением
х' = х — 5пх.	F)
В силу леммы Гейне-Бореля (см. § 1.1, п. 1) при достаточно малом S
это множество образует некоторую замкнутую поверхность клас-
класса С1, которую обозначим через S$ и назовем поверхностью, парал-
параллельной поверхности 5 (см. рис.54).
Нормаль пж/ в точке х' = х — 5пх Е S$ направлена вдоль норма-
нормали пж, х Е 5, если 5 Е С2.
Действительно, пусть х — произвольная точка на 5 и х = ж(?),
t ^ 0, — произвольная кривая класса С1 на 5, проходящая через точ-
точку х = ж@). Тогда ж;(?) = ж(?) — 5nx(t^ t ^ 0, — кривая класса С1
на 5E, проходящая через точку ж; = х @). Дифференцируя по t оче-
очевидное тождество \x{t) — х'{t)\2 = S2 (см. рис.54), получим
dr'
1 аХ
откуда, полагая ? = 0 и учитывая, что касательная к кривой в точке х
ортогональна к нормали пх, выводим
/ с1хЩ\ ( dx@)\
\	at J \ at )
(8)
Это означает ввиду произвольности выбранной кривой, что нормаль
пх ортогональна к касательной плоскости поверхности S$ в точке ж',
т.е. пх = пж/, что и утверждалось.
Лемма. Пусть граница 5 области G — поверхность класса С2
и функция и Е 0^@) имеет правильную нормальную производную тр1
на 5. Тогда для любой / Е C(G) справедливо равенство
lim / f{x)—	dSx> = / f{x)—	dSx,	(9)
s^oJSs	dnx>	Js	dnx
где Ss — поверхность, параллельная S.
Доказательство. Так как нормали пх и пж/ в точках х е 5
и ж; = ж — йпж Е 5E направлены одинаково, то
х Е 5, х' ->• ж, ж; Е —пж,

266 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
в силу определения правильной нормальной производной и непрерыв-
непрерывности функции / на G. Из предельного соотношения A0) и вытекает
равенство (9). Лемма доказана.
Из этой леммы следует, что для поверхностей S класса С2 и
для функций, имеющих правильную нормальную производную на 5,
остаются справедливыми следующие формулы Грина:
1)	формула E) из § 5.1, если и е C2(G), Lu e ?2(G), тр сущест-
существует и г; eC1(G)nC(G);
2)	формула F) из §5.1, если u,v G C2(G), ^ и ^- существуют;
3)	формула A), если и G C2(G) и ^ существует.
Действительно, применим перечисленные формулы Грина к лю-
любой подобласти, ограниченной поверхностью Ss, параллельной S. Пе-
Переходя в этих формулах к пределу при 5 —> 0 и пользуясь предель-
предельным соотношением (9), убедимся в справедливости формул Грина при
сформулированных предположениях.
3. Теорема о среднем арифметическом. Предварительно
заметим, что из первой формулы Грина G) из §5.1 при v = 1 выте-
вытекает следующее утверждение: если гармоническая в области G функ-
функция и G ^(G) (или если тр существует на S и S G С2), то
п
(И)
Теорема о среднем арифметическом. Если функция и(х)
гармоническая в шаре Ur и непрерывная в замыкании Ur, то ее зна-
значение в центре шара равно среднему значению по сфере Sr:
w(°) = 1 i / <х)dS = — f u(Rs^ds'
VnR71'1 JsR	°n JSl
Доказательство. Применяя формулу Грина E) для х = 0 к
произвольному шару Up, р < R, и пользуясь формулой A1), при п ^ 3
получим равенство A2):
@)	\
(n - 2K
Так как функция и(х) непрерывна на замкнутом шаре Ur, to ра-
равенство A2) сохраняется и при р —>¦ R. Случай п = 2 рассматривается
аналогично. Теорема доказана.

§5.3. Гармонические функции
267
4. Принцип максимума. Пользуясь теоремой о среднем
арифметическом, установим следующий принцип максимума для гар-
гармонических функций.
Теорема. Если функция и(х) Ф
Ф const гармоническая, в ограниченной
области G и непрерывна на G, то она
не может принимать свои минималь-
минимальное и максимальное значения внутри
области G, т. е.
< и(х) < max u(
A3)
Рис. 55
Доказательство. Пусть, напротив, функция и(х) принимает
свое максимальное значение М в некоторой точке xq Е G:
М = и(хо) = тахи(х).
A4)
Так как xq — внутренняя точка области G, то существует шар
U(xo;ro) наибольшего радиуса го, содержащийся в G (рис.55). До-
Докажем, что
и{х) = М, х е U(xo;ro).
Из A4) следует
и(х) ^ М = и(х0), х е U(xo;ro).
A5)
A6)
Если бы в некоторой точке х' Е ?/(жо;го) было и(х') < М, то по
непрерывности неравенство и(х) < М имело бы место и в некоторой
окрестности Ых< точки х'. Но тогда, применяя к сфере Sp, где р =
= \х' — жо|, формулу среднего арифметического A2) и пользуясь нера-
неравенством A6) и неравенством и{х) < М, х Е Ых^ получаем
и(хо) =	—г /	и(х) dS <
ап9П JS(xn:p)
м
dS = M,
что противоречит A4). Итак, тождество A5) установлено.
Возьмем теперь произвольную точку х\ Е G, лежащую на грани-
границе шара U(xo] го) (см. рис. 55). По доказанному и{х\) = М. Применяя
предыдущие рассуждения к точке xi, заключаем, что и(х) = М в наи-
наибольшем шаре U{x\]ri) С G, и т. д. В силу леммы Гейне-Бореля за

268 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
не более чем счетное число шагов таким путем исчерпывается вся
область G, и, значит, и(х) = М, х Е G, вопреки предположению.
Полученное противоречие показывает, что первоначальное пред-
предположение неверно; поэтому функция и(х) не может принимать свое
максимальное значение в области G. Отсюда, заменяя и на —и, за-
заключаем, что функция и (х) не может принимать свое минимальное
значение в области G. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы вытекает, что гармоническая функция
не может иметь внутри области ни локальных максимумов, ни ло-
локальных минимумов.
5. Следствия из принципа максимума.
а) Если функция и(х) Е C(G) гармоническая в G, то
\и(х)\
max |
х eG.
A7)
В частности, если u\s = 0, то и(х) = 0, х Е G.
Это утверждение следует из неравенства A3):
±и(х)
х G G.
Будем говорить, что (обобщенная) функция и(х) непрерывна на
бесконечности и принимает там значение а, и(оо) = а, если она
непрерывна вне некоторого шара и и(х) —>
->• а при |ж| ->• оо.
б) Если функция и Е C(Gi) гармоничес-
гармоническая в области G\ — W1 \ G и u(oo) = 0, то
\и(х)\
A8)
В частности, если u\s = 0 и г^(оо) = 0, то
и(х) = 0, ж G G.
Рис. 56
Действительно, пусть шар Ur содер-
содержит G. Тогда S U Sr есть граница облас-
области Qr = Gi C\Ur (рис. 56). Применяя к этой области неравенство A7),
получаем
и(х)\ ^ max Щ?)| ^ тах|г^(^)| + max |гх(
Так как г^(оо) = 0, то
Qr.
Д-
00.

§5.3. Гармонические функции	269
Поэтому, переходя в полученном неравенстве к пределу при R —у оо,
получим неравенство A8).
в) Если последовательность функций 1x1,1x2,..., гармонических
в области G и непрерывных на G, равномерно сходится на границе 5,
то она равномерно сходится и на G.
Это утверждение вытекает из неравенства A7):
ир(х) - uq(x)\ ^ max|up(f) - uq(?)\ -У 0, х е G, p, q-у оо. A9)
Аналогичное утверждение справедливо и для области G\ при
условии, что Uk(oo) —У 0.
6. Стирание особенностей гармонической функции.
Для гармонических функций справедлива следующая теорема о сти-
стирании особенностей, аналогичная соответствующей теореме для ана-
аналитических функций (см. [3]).
Пусть область G содержит точку 0.
Теорема. Если функция и(х) гармоническая в области G \ {0}
и удовлетворяет условию
u(aO=o(|?n(a;)|), x ->¦ 0,	B0)
где Еп — фундаментальное решение оператора Лапласа, то она гар-
гармонически продолжается в точку х = 0.
Доказательство. Пусть Ur <e G. Введем функцию й(ж), рав-
равную и(х) в Ur и нулю вне Ur. Эта функция локально интегрируема,
и в силу C) из п. 1 функционал
обращается в нуль на всех основных функциях, равных нулю в окрест-
окрестности точки х = 0. Это значит, что обобщенная функция B1) либо
равна нулю, либо ее носитель есть точка х = 0. Тогда по теореме из
§2.4, п. 4, эта обобщенная функция представляется в виде конечной
комбинации производных от S(x), т.е.
Д« = ^6Sr + ^-(u6Sr) + Т сада5.	B2)
дп	дп	щ=ъ
Так как функция и финитна, то ее свертка с фундаментальным реше-
решением ?п существует (см. §2.3, п. 6). Поэтому, применяя формулу A3)
из §3.1, из B2) получаем представление

270 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
и = Еп * Ай = Еп * ( ^-$sR ) + ?п * ^-	V"
Van )	an
4	У
\a\=0
Так как поверхностные потенциалы Vn и Vn — гармонические
функции в шаре Ur (см. п. 1), то из B3) и из условия B0) вытекает,
что все са равны нулю, так что функция
гармоническая в шаре Ur. Теорема доказана.
7. Обобщенно-гармонические функции. Вещественно-
значная непрерывная функция и(х) называется обобщенно-гармони-
обобщенно-гармонической в области G, если она удовлетворяет в этой области уравне-
уравнению Лапласа, т.е.
(Аи, ф)= f и(х)Аф) dx = 0, tpe V(G).	B4)
Очевидно, всякая гармоническая функция является обобщенно-гар-
обобщенно-гармонической. Справедлива и обратная
Теорема. Любая обобщенно-гармоническая функция и(х) в об-
области G бесконечно дифференцируема щ следовательно, гармонична
в этой области.
Доказательство. Ввиду локального характера теоремы мож-
можно считать, что и G C(G). Продолжим функцию и нулем вне G, и
пусть и — продолженная функция. Применяя формулу A3) из §3.1,
получим представление
и = Аи* ?п,	B5)
где Еп — фундаментальное решение оператора Лапласа. Так как
Аи = Аи = 0, х е G, и Аи = АО = 0, х е G\, то spt Аи С S. Поэтому по
теореме из § 2.3, п. 6 для свертки Аи * ?п имеет место представление
(Аи * ?п, ф) = (Аи(у) • ?n(f), vivMy + 0) =
= (Au(y),r](y)J?n(x-y)^(x)dx\ veV(Rn), B6)

§5.3. Гармонические функции
271
где г) — произвольная функция из 2)(МП), равная 1 в окрестности S.
Пусть G' <е G. Выберем в B6)
с
вспомогательную функцию т\ такую,	?
что spt т]ПС = 0 (рис. 57). Поскольку	^«з^Ш^з/ sPtrl
фундаментальное решение ?п(х—у) —
бесконечно дифференцируемая функ-	лШ^^^ G' А
ция при х ф у, то при выбранной rj и
всех if e V(Gr)
T](y)Sn(x-y)if(x)eV(R2n).
Применяя теперь к правой части ра-
равенств B6) формулы A0) из § 2.3, по-	Рис- 57
лучаем
(Аи * ?п, ф)= I ф)(Ай(у), ri(y)?n(x - у)) dx, if G V(G'),
откуда в силу B5) следует равенство
и(х) = (Ай(у),г)(у)?п(х -у)), х G G'.
В силу этого представления функция и принадлежит C°°(G'). Отсюда
ввиду произвольности области G' (e G вытекает, что и G C°°(G). По-
Поэтому функция и(х) удовлетворяет уравнению Лапласа в области G
в классическом смысле (см. § 1.4, п. 10), т.е. является гармонической
в G. Теорема доказана.
8. Дальнейшие свойства гармонических функции. Уста-
Установим два следствия, вытекающих из установленной в п. 7 эквива-
эквивалентности понятий обычной гармоничности и обобщенной гармонич-
гармоничности.
а) Если последовательность u\,U2,--- гармонических в об-
области G функций слабо (в частности, равномерно на каждом
компакте К С G или монотонно) сходится к функции и G C(G), т.е.
/
dx
/ u{x)if{x)dx,
cpeV(G), B7)
то и — гармоническая функция в G.
Действительно, каждая функция последовательности {uk} удов-
удовлетворяет интегральному соотношению B4). Но тогда в силу B7)
и предельная функция и(х) из C(G) также будет удовлетворять ра-
равенству B4), т.е. является обобщенно-гармонической и, следователь-
следовательно, гармонической функцией в области G.

272 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
б) Для того чтобы функция и Е (G) была гармоничной в об-
области G, необходимо и достаточно, чтобы для любой точки хо Е G
существовали ее окрестность UXo С G и число г о = То(хо) > 0 такие,
что при всех г < Го выполняется условие среднего арифметического
1 Г
и(х) = 	—г / и(х - у) dSy, х Е UXo.	B8)
1 Г
=	^Т /
апГ	Jsr
Необходимость приведенных условий уже доказана в п. 3. Дока-
Докажем их достаточность. Без ограничения общности можно считать,
что и Е C{G). Пусть и — продолженная нулем вне G функция и. Вы-
Выберем произвольную точку хо Е G и составим свертку:
Ш = (^ТГ ^ - ^) *5, г < го,	B9)
где ?sr — простой слой на сфере Sr (см. §2.1, п. 6). Используя фор-
формулу C7) из § 2.3, перепишем свертку B9) в виде
~/	\ in	й(х)
Отсюда в силу B8) следует fr(x) = 0 при всех х G UXo и г < г0. С
другой стороны, пользуясь предельным соотношением D1) из § 2.2 и
непрерывностью свертки (см. §2.3, п. 4), из B9) получаем
fr(x) -^ — АE*й= — Аи в V'(Rn), r^O,
2п	2п
и, следовательно,
(Ай,(р) = (Аи,(р) = 0, ^ G ^(^о),
так что функция и(х) обобщенно-гармоническая и, значит, гармони-
гармоническая в UXo (см. п. 7). Ввиду произвольности окрестности UXo G G,
функция и (х) гармоническая в G.
9. Аналог теоремы Лиувилля. Для гармонических функций
во всем пространстве Жп справедлива следующая теорема, аналогич-
аналогичная теореме Лиувилля для аналитических функций (см. [3]).
Теорема. Если и(х) Е S' удовлетворяет уравнению Лапласа во
всем пространстве W1, то и(х) — полином.
Доказательство. Применяя к равенству Аи = 0 преобразова-
преобразование Фурье (см. §2.5, п. 3, б)), получим — |?|2^М(?) = 0, откуда выте-
вытекает, что F[u] = 0 при ? ф 0, т. е. либо F[u] = 0, либо носитель F[u]

§5.3. Гармонические функции
273
есть точка х = 0. По теореме из § 2.4, п. 4 F[u] представляет в виде
\а\=0
откуда следует, что и{х) — полином. Теорема доказана.
Следствие. Если функция и{х) гармоническая в W1 и удовлет-
удовлетворяет неравенству
х е
т ^ 0,
то и(х) — (гармонический) полином степени ^ т.
10. Поведение гармонической функции на бесконечнос-
бесконечности. Пусть точка х лежит вне шара Ur.
Совершим преобразование инверсии
R2
х =
_ д2 *
X — . ,п X
C0)
Точки жиж* называются симмет-
симметричными относительно сферы Sr. Сим-
Симметричные точки удовлетворяют соотно-
соотношению
\х\\х*
C1)
Рис. 58
и поэтому преобразование инверсии вза-
взаимно однозначно преобразует внешность шара Ur на С/д\{0} (рис. 58).
Пусть функция и(х) гармоническая вне шара Ur. Функция
п-2
R2
г* 2 е
C2)
называется преобразованием Кельвина функции и(х).
Докажем, что при преобразовании Кельвина гармоничность со-
сохраняется, т.е. функция и*(х*) гармонична в Ur \ {0}.
Докажем это для п = 3 (для п ф 3 доказательство аналогич-
аналогично). Для этого перейдем к сферическим координатам (см. § 1.3, п. 2).
Пусть х — (г, в, ср) и и(х) = u(r,6,ip). Тогда в силу C0) и C1) х* =
= (р,в,<р), р = R2/r, и в силу C2)
Р V 9
18 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

274 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Поэтому
л */ *ч I д ( 2дй*\	1 д ( пдй*\	1 д2й*
9 О Г о i i 9 • Л О/1 I ал i	i о • 9 /^ О 9
/г С7/9 \ др ) pz sm в дв \ дв )	р2 sm ^ otpz
г5 Г92й 2 92 1 д ( Ж\	1 92й1
— sm(9-—
гдг г2ътвдв\ дв) г2 sin2 в dip
г5
откуда и следует требуемое утверждение.
Теорема. Пусть функция и(х) гармоническая вне шара Ur и
при х —у оо и(х) = оA) (п ^ 3), и(ж) = 0A) (п = 2). Тогда
даи(х) = О (NJ2+H) , М ^ с»,	C3)
еслг/ п ^ 3. .Еслг/ cvce n = 2, то
НтЦж) = а, |ж| -У оо,	C4)
И->°° (Н^1).	C5)
Доказательство. Совершал преобразование Кельвина C2), по-
получим функцию IX*(ж*), гармоническую в С/д\{0} и удовлетворяющую
при |ж*| —у 0 условию
1 [oil). если п > 3,
*(*)	J
т. е. в обоих случаях
и*(х*)=о(\?п(х*)\), \х*\^0.
По теореме о стирании особенностей гармонической функции (см.
п. 6) заключаем, что функция и*(х*) гармоническая в шаре Ur. Со-
Совершая обратное преобразование Кельвина, для функции и(х) полу-
получим представление
R \п~2	2
из которого и вытекают результаты C3)-C5). Теорема доказана.

§5.3. Гармонические функции
275
Аналогично для п = 2 доказывается (ср. п. 5): если и(х) — гар-
гармоническая в области G\ функция, непрерывная на Gi, и и(х) = 0A),
х\ ->• оо, то
и(х)\
х е G\.
C6)
11. Упражнения.
а) Пользуясь теоремой о среднем арифметическом (см. п. 3), до-
доказать следующую модификацию этой теоремы: если функция и(х)
гармоническая в шаре Ur и непрерывна на Ur, to
щи) =
Ur
Рис. 59
б)	Пользуясь а), доказать теорему Лиувилля: если функция и{х)
гармоническая в!п и ограничена сверху или снизу, то и{х) = const.
в)	Доказать следующий аналог принципа симметрии Римана-
Шварца: пусть граница области G со-
содержит открытое множество Е, лежа-
лежащее в плоскости хп = 0, функция и (х)
гармоническая в G, непрерывная в G U
U Е и обращается в нуль на Е; тогда
нечетное продолжение функции и(х) в
область G, симметричную к G относи-
относительно плоскости хп = 0, есть гармо-
гармоническая функция в области G U E U G
(рис.59).
г)	Доказать теорему: если и — линейный непрерывный функ-
функционал на T>(G) (см. § 2.1, п. 4) и удовлетворяет уравнению Лапласа в
области G, то и — гармоническая функция в G.
д)	Пользуясь г), доказать: если обобщенная функция и удов-
удовлетворяет условию Коши-Римана тр = 0 в области G С М2, то она
аналитична в G (см. [3]).
е)	Пользуясь методом п. 9, доказать теорему Лиувилля для ана-
аналитических функций.
ж)	Доказать формулу Грина E) для функций, гармонических
в G\ — W1 \G, имеющих правильную нормальную производную на S Е
е С2 и Цоо) = 0.
18*

276 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
§ 5.4. Метод Фурье
для задачи на собственные значения
Для определения собственных значений и собственных функций
многомерных эллиптических операторов, допускающих разделение
переменных, применяется метод Фурье.
1. Общая схема метода. Разобьем независимые переменные
на две группы: х = (жь...,жп) и у = (уъ ...,2/т), и пусть Gcln-
область изменения х и D С Мт — область изменения у. Обозначим
через S и Г границы областей G и D соответственно. Тогда (S х D) U
U (G х Г) — граница области G x D С Жп+т.
В области G х D рассмотрим следующую краевую задачу на
собственные значения для уравнения эллиптического типа:
Lu
SxZ)
+ Ми =
0, 7
Xu,
и +
ди
ей
GxT
= о,
A)
B)
ди
дп
где L и М — эллиптические операторы, не зависящие от у т х соот-
соответственно; функции а, /3 не зависят от у, а функции j, S — от х.
Будем искать собственные функции задачи A), B) в виде про-
произведения
u(x,y)=X(x)Y(y).	C)
Подставив это выражение в уравнение A), получим
Y(y)LX(x) + X(x)MY(y) = \X(x)Y(y),
откуда
LX(x) _ MY (у)
X{x)	Y(y) •	[ >
Левая часть равенства D) не зависит от у, а правая — от ж. Сле-
Следовательно, эти выражения не зависят ни от ж, ни от у, т.е. равны
некоторой постоянной \±. Положив v = Л — /i, получим два уравнения:
LX = /iX,	E)
MY = vY.	F)

§5.4- Метод Фурье для задачи на собственные значения	277
Таким образом, уравнение A) расщепилось на два уравнения,
E) и F), или, как говорят, переменные разделились] при этом допол-
дополнительно появился неизвестный параметр \±.
Для вывода граничных условий для функций Х{х) и Y(y) под-
подставим произведение X(x)Y(y) в граничные условия B). В результате
после сокращений получим
= 0,	G)
s
—
on
= 0.	(8)
Г
Итак, краевая задача A), B) расщепилась на две краевые за-
задачи, E)-G) и (б)-(8), с меньшим числом независимых переменных.
Обозначим через /i/., Хк(х), к = 1,2,..., и z/j, Yj(y), j = 1,2,..., все
собственные значения и собственные функции операторов L и М со-
соответственно. В силу C)
\kj = Vk + Vj, ukj(x,y)=Xk(x)Yj(y), kj = 1,2,..., (9)
суть собственные значения и собственные функции исходной краевой
задачи A), B).
Замечание. Пусть ортонормальные системы собственных
функций {Хк} и {Yj} полны в /^(G) и C2(D) соответственно (см.
§5.1, п. 4). Тогда по лемме из §1.1, п. 7 система собственных функ-
функций {X&lj} ортонормальна и полна в L^iG x D). В этом случае фор-
формулы (9) дают все собственные значения и собственные функции за-
дачи A), B).
2. Примеры.
а) Рассмотрим краевую задачу на собственные значения для
прямоугольника П = @,1) х @, т) с границей L (рис. 60)
В соответствии с общей схемой метода Фурье эта задача распадается
на две одномерные краевые задачи:
-X" = цХ, Х@) = ХA) = 0;	A1)
-Y" = uY, Г@) = Y{m) = 0.	A2)

278 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Собственные значения и собственные функции этих краевых задач
вычислены в § 5.2, п. 4:
= ( — I , Xk(x) = dj sin —-,
J7T
771
A3)
A4)
Из A3) и A4) в соответствии с формулами (9) получаем собст-
собственные значения и собственные функции задачи A0):
A5)
Так как построенные ортонормальные системы собственных
функций {Xk} и {!}} полны (см. §5.2, п.З), то в силу замечания
из п. 1, других собственных значений и собственных функций за-
Рис. 60
Рис. 61
дача A0) не имеет. Отметим, что собственные значения А^- могут
повторяться, т.е. Л^- = \kojo при некотором наборе номеров (k,j).
Количество таких повторений, равное числу решений в натуральных
числах диофантова уравнения
h2 i2 h2
__ _l ]__ — zo. i
I2 m2 I2
i2
дает кратность собственного значения Xkojo • Например, при I = т = 1
кратность Л = Л47 = А74 = Ai8 = A8i равна 4 D2 + 72 = 72 + 42 = I2 +
12 =65).
82 =

§5.4- Метод Фурье для задачи на собственные значения	279
б) Рассмотрим краевую задачу на собственные значения для
круга Ur (рис. 61)
-Аи = \и, u\Sr = 0.	A6)
Эту задачу будем решать в полярных координатах х = г cos cp,
у = г sin(^, 0 ^ г < Л, 0 ^ ср < 2тг. В этих координатах задача A6) для
функции й(г, if) = и (г cos if, r sin ip) принимает вид
К граничному условию при г = R необходимо добавить гранич-
граничное условие при г = 0. Это условие состоит в том, что функция и
должна быть ограниченной в окрестности точки г = 0. Далее, функ-
функция й, очевидно, должна быть 2тг-периодической по переменной ср.
Применяя к задаче A7) метод Фурье, для функции и = Л(г)Ф((р)
получаем две одномерные краевые задачи:
-Ф"=//Ф, Ф(<р) = Ф((р + 2тг);	A8)
г(гП')' + (Лг2 - ц)П = 0, |?г@)| < оо, ЩК) = 0. A9)
Собственные значения и собственные функции задачи A8) легко вы-
вычисляются (это тригонометрические функции):
^	А; = 0,1,...	B0)
у/2тг
Далее, уравнение A9) есть уравнение Бесселя (см. § Д.1). Огра-
Ограниченное в нуле решение lZ(r) этого уравнения при \± — к2 выража-
выражается функцией Бесселя Jk(VXr). Чтобы найти собственные значе-
значения Л, воспользуемся вторым граничным условием A9), Jk(vXR) =
= 0, т.е. л/Аг = fij , где /ij , j = 1,2,..., — положительные корни
функции Бесселя J^(/i). Отсюда следует, что
i = 1,2,..., B1)
— собственные значения и собственные функции краевой задачи A9)
при \i = к2. Выбрав нормирующие множители cj-j так, чтобы

280 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
получим ортонормальную и полную систему {Hkj} в ^[@, Д);г] (см.
§Д.1,п.7).
Из B0), B1) и B2) получаем, что
B3)
суть собственные значения и собственные функции задачи A7), а
значит, и задачи A6).
По лемме из § 1.1, п. 7 система собственных функций {X^j} орто-
нормальна и полна в /^(С/д)? и поэтому других собственных значений
и собственных функций задача A6) не имеет.
в) Рассмотрим краевую задачу на собственные значения для
трехмерного шара Ur
-Аи = Хи, u\Sr = 0.	B4)
Эту задачу будем решать в сферических координатах (г, 0,<р),
0 ^r < R, О^#^тг, 0^(?<2тг. В этих координатах задача B4) для
функции u(r,6,ip) = u(rsm6 costp, r sin в sin cp, r cos в) принимает вид
(см. §1.3, п. 2)
1 д ( 2ди\	1 д ( . ди
—2— r —	Y~-	sm# —	r^	 = ^? B5)
|й@,^, (p)| < oo, u(R,6,(p)=0, u(r,6,ip) =u(r,6,ip+ 27г).
B6)
В соответствии с общей схемой метода Фурье собственные функ-
функции задачи B5), B6) ищем в виде произведения 7Z(r)YF, ф). Разделяя
переменные, для функций Y и 1Z получим краевые задачи
зтвдв V дв) sin2
(г27г')' + (Лг2 - /гOг = 0, |7г@)| < оо, ЩВ) = 0. B8)
При fi = 1A + 1), I = 0,1,..., задача B7) имеет решения, и этими
решениями являются сферические функции Y™, т = 0, ±1,... ± I (см.

§5.4- Метод Фурье для задачи на собственные значения	281
§ Д.1, п. 6). При /л = 1A + 1) уравнение B8) для функции Q(r) = y/rTZ(r)
превращается в уравнение Бесселя (см. § Д.1, п. 1)
r2Q" + rQ1 + \\r2 -
В результате ограниченным в нуле решением уравнения B8) является
функция
П(г) = —J/+1/2(VAr).	B9)
Чтобы удовлетворить граничному условию 1Z(R) = 0, положим
л/XR = /1- , где ц-	— положительные корни функции Бессе-
Бесселя J/+i/2(aO. Итак,
Г (/+1/2I2
- L j	-I	V, . (гЛ - Clim L . . ,. Л,(/+1/2) ^\ ym^ ^
/ = 0,1,..., j = 1,2,..., m = 0,zbl,...,±Z,
C0)
— собственные значения и собственные функции краевой задачи B4).
Положим (см. формулы C5) из § Д.1 и C3) из § Д.2)
R ртт />2тт
cljm	у ^0 JO JO
= R
(l+l/2
2/
Учитывая ортогональность и полноту функций Бесселя в ?2[@, R); г]
(см. § Д.1, п. 7) и сферических функций в ?2(Si) (см. § Д.2, п. 6), с
помощью леммы из § 1.1, п. 7 убеждаемся, что система собственных
функций C0) ортонормальна и полна в C2(Ur). В частности, других
собственных значений и собственных функций задача B4) не имеет.
Аналогичным образом рассматривается и краевая задача
ди
—Аи = Хи, ——Ь au\Q =0, а > 0.
an	R

282 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
§ 5.5. Ньютонов потенциал
Этот параграф посвящен более детальному изучению свойств
ньютонова потенциала в трехмерном пространстве (см. §2.3, п. 7).
Этот потенциал определяется как свертка обобщенной функции р
(плотности) с функцией | ^т | 1:
V = —г * р = -4тг?3 * Р-
\х\
Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона
AV = -4тгр.
A)
B)
Основы классической теории потенциала заложены A.M. Ляпу-
Ляпуновым в конце прошлого века.
1. Объемный потенциал. Если р — (абсолютно) интегрируе-
интегрируемая функция на G и р(х) = 0, х Е G\ — Ж3 \ G, то ньютонов потенци-
потенциал V, называемый объемным потенциалом, выражается интегралом
V (х) =
-у\
dy
C)
и представляет собой локально интегрируемую функцию в М3 (см.
§2.3, п. 7, б)).
Если р G C(G) и G — ограниченная область, то объемный по-
потенциал V принадлежит классу С1(М3), гармоничен в G\ и
00.
Действительно, так как G — ограниченная область и р G C(G),
то по теореме из §1.1, п. 4 интеграл
C) принадлежит С1(М3) и в силу фор-
формулы C) из §1.1 удовлетворяет при-
приведенной оценке на бесконечности.
При х G G\ потенциал V(x) допуска-
допускает непрерывное дифференцирование
под знаком интеграла в C) бесконеч-
бесконечное число раз, так что V G C°°(Gi).
Отсюда и из уравнения B) вытека-
вытекает, что AV = 0, х G G\, т. е. потенци-
потенциал У — гармоническая функция в области G\ (по лемме из § 2.1, п. 5).
Рис. 62

§5.5. Ньютонов потенциал	283
Если р G C1(G)nC(G), то V е C2(G).
Для доказательства возьмем подобласть G'(eGc кусочно глад-
гладкой границей S1 и внешней нормалью п' (рис. 62). При этом потенци-
потенциал V разобьется на сумму двух объемных потенциалов V\ и V2, V =
= Vi + V2, где
По доказанному Vi G C^M3), V2 G С00^'). Дифференцируя по-
потенциал Vi как свертку, получим (см. §2.3, п. 3, в))
grad Vi = grad ( -— * рх j = г— * grad/Oi, /ох = /O0G'.	D)
Так как pi G (^(G ), то по формуле B2) из § 2.2
- priSs>.
Подставляя полученное выражение в D) и пользуясь формулой C)
для объемного потенциала и формулой C7) из § 2.3 для потенциала
простого слоя, получим
1	1
grad Vi(x) = —г * {grady^i}	 * pn fe/ =
x\	x\
Jg> \Х~У\	Js> \x-y\
E)
Первое слагаемое в правой части E) как объемный потенциал с плот-
плотностью grad/я G C(G ) принадлежит классу С1(М3), а второе — клас-
классу C°°(Gf). Следовательно, gradVi G C^G7), т.е. Vi G C2(Gf). Но тог-
тогда V = Vi + V2 G C2(G;) и (ввиду произвольности G1 <й G) V G C2(G),
что и требовалось доказать.
2. Потенциалы простого и двойного слоя. Пусть S — ог-
ограниченная кусочно гладкая двухсторонняя поверхность *), п — выб-
выбранное направление нормали к ней, \± и v — непрерывные функции
на S. Ньютоновы потенциалы
*) Та сторона поверхности S, к которой примыкает нормаль п, считает-
считается положительной, а противоположная сторона — отрицательной (см. рис. 62 и
рис.63).

284 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
называемые потенциалами простого и двойного слоя соответствен-
соответственно, выражаются интегралами
(б)
G)
x-y\
пу
х-
и представляют собой локально интегрируемые функции в R3 (см.
§2.3, п. 7, в)). Эти потенциалы удовлетворяют уравнению Пуассона:
= -4n/j,6s,
г^-
an
(8)
Фиксируем точку хо на S, и пусть по — нормаль к S в xq. Диф-
Дифференцируя формулу F) при х ? S по направлению по и пользуясь
равенством
з
= V^ cos (
д
<9п0 \х - у\
Уг— Х{ _ COS фху
-у\3
У\3 \х-у\2''
где грху — угол между вектором у — х и нормалью по (рис. 63), полу-
*** +++ S
Рис. 64
чаем выражение для нормальной производной потенциала простого
слоя
дп0
-I.
s дпо\х-у\
Js
\х-у\ъ
A0)

§5.5. Ньютонов потенциал	285
Аналогично, в силу равенства
Л Al = ?coe(n*0-^ = ^L,	(И)
где (ржу — угол между вектором х — у и нормалью п (см. рис. 63),
формула G) для потенциала двойного слоя V^ принимает вид
Потенциалы у(°) и V^ — гармонические функции вне поверх-
поверхности 5, у(°) еС(ж3) и
\х\ ->• оо.
Эти свойства выводятся из представлений F) и A2) и из урав-
уравнений (8) подобно тому, как это делалось для объемного потенциала
(см. п. 1).
Теперь покажем, что потенциал двойного слоя V^ с плотностью
v — 1 равен
Г-4тг, x€G,
аоу = <	Aо)
[О, xeGi,
если 5 — граница области G.
Пусть х G G, и шар С/(ж, го) <е G. Граница области G\U(x, rо) со-
состоит из поверхностей S и 5(ж,го) (рис. 64). Поскольку функция |ж —
—	2/I гармоническая при ж/у, то, применяя к области G \ С/(ж,го)
формулу A1) из §5.3, получим
-^—г ^ + /	-^--^—.dSy = 0.	A4)
~У\	Js(x,r0)dny\x-y\
Принимая во внимание A1) и учитывая, что cos(pxy = 1 на сфере \х —
—	у\ = го, из A4) выводим первое из равенств A3):
Пусть теперь x G Gi. Так как функция \х — у\~г гармоническая
в G, то, применяя формулу A1) из §5.3, имеем
/ I l ,dSv = 0,	A5)
dny\x-y\

286 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
что в силу A1) и доказывает вторую из формул A3).
Замечание. Формулы A3) можно обобщить на случай произ-
произвольной поверхности S, не обязательно являющейся границей какой-
либо области (Гаусс): если х (? 5, то потенциал V^ с плотностью v = 1
равен телесному углу, под которым поверхность S видна из точки х
(с учетом знаков сторон поверхности).
3. Физический смысл ньютоновых потенциалов. Потен-
Потенциал V = -К * р с произвольной (финитной) плотностью р удовлет-
х\
воряет уравнению Пуассона AV = — 4тгр. Поэтому V есть ньютонов
или кулонов потенциал, создаваемый массами или зарядами, распре-
распределенными в пространстве с плотностью р. В частности, непрерывное
распределение масс или зарядов создает объемный потенциал; если
же массы или заряды сосредоточены на поверхности, то они создают
(ньютонов или кулонов) потенциал простого слоя; если на поверхнос-
поверхности сосредоточены диполи, то создаваемый ими кулонов потенциал
есть потенциал двойного слоя.
Для примера вычислим (кулонов) потенциал V^(x;l), созда-
создаваемый диполем с моментом +1 в точке 0, ориентированным в на-
-С
С
Рис. 65
Рис. 66
правлении 1, |1| = 1. Этот потенциал создается распределением (см.
§2.2, п. 4, а))
lim 7 6(х ~ 1е) - 7 6(х) = -37 s(x)
(рис. 65), и поэтому
д
д\
д
COS if
2 '
A6)
где if — угол между векторами ж и 1. На рис. 66 изображены поверх-
поверхности уровня потенциала V^(x;l) (эквипотенциальные поверхнос-
COS Ш	| \
ти —rf- = die).
хГ

§5.5. Ньютонов потенциал
287
Из формулы A2) и A6) следует, что потенциал двойного слоя
представляет собой «сумму» элементарных потенциалов
-2/;n) = г/(у)
COS ifxy
х-у\2''
создаваемых диполями на поверхности S с плотностью момента г/(у)
и ориентированных по нормали п.
4. Поверхности Ляпунова. Дальнейшие свойства потенциа-
потенциалов простого и двойного слоя устанавливаются в предположении, что
S — поверхность Ляпунова. Замкнутая ограниченная поверхность S
класса С1 называется поверхностью Ляпунова, если в каждой точ-
точке х Е S существует нормаль пж, непрерывная по Гёльдеру на 5, т. е.
существуют числа С>0и0<о;^1 такие, что
пх -пу
С\х -
х,у G S.
Из этого определения
вытекает, что поверхности
Ляпунова принадлежат клас-
су С1; с другой стороны, вся-
всякая ограниченная замкнутая
поверхность класса С2 есть
поверхность Ляпунова (при
а = 1).
Перечислим без доказа-
доказательства некоторые свойства
поверхностей Ляпунова, ис-	^^
пользуемые в дальнейшем.	^*
(Углы (рху, грху, (рх'у и грх'у
изображены на рис. 63 и
рис. 67.)
1) Существует постоянная К такая, что
Рис. 67
/.
х е
2)	Справедливо равенство
<Рху = ФУх, x,yeS.
3)	Существует постоянная Со такая, что
\ = | COS^I ^ СО\Х -у\а,
A7)
5,
A8)
A9)
B0)

288 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
С0\х' -у\а,
x' е ±пх, B1)
где а — число из неравенства A7).
5. Свойства потенциалов простого и двойного слоя на
поверхности S. Предполагая границу S области G поверхностью
Ляпунова, установим некоторые свойства потенциалов у(°) и V^
на S. Имеют место равенства
B2)
Для доказательства равенств B2) в силу A3) осталось рассмот-
рассмотреть случай х Е S. Выбрасывая из S окрестность Ых = S П С/(ж;го)
точки ж, получим
-dSy. B3)
ls\ux \л-УГ	Jux \л-УГ
Так как х ? G \ U(x;r0) (рис. 68), то применяя формулу A1) из §5.3
к области G \ U(x]ro) и функции \х — у\-1 и действуя, как и в п. 2,
получим
cos^_	1 [
	— йОу =	2 /	^^*
Iх ~ У\	r0 JGnS(x;r0)
Поэтому при стягивании Ых в точку х (го —У 0) первый интег-
интеграл справа в B3) стремится к —2тг (см. рис. 68). Второй же интеграл
Six; r0)
Щх; г0)
Рис. |
Рис. 69
справа в B3) в силу оценки A9) сходится абсолютно и поэтому стре-
стремится к нулю при Ых —У х (см. § 1.1, п. 4). Поэтому, переходя в C1) к
пределу при Ых —У ж, получим формулу B2) при х G S.

§5.5. Ньютонов потенциал	289
Потенциал двойного слоя V^ — непрерывная функция на S.
Действительно, в силу неравенства A9), справедливого на по-
поверхности Ляпунова 5, потенциал V^1), определяемый формулой A2),
есть интегральный оператор с полярным ядром
COS ifxy
х G 5, у Е 5,
а поэтому переводит всякую функцию v E С(S) в функцию V^ E С(S)
(см. §1.1, п. 4).
Докажем теперь, что интеграл
— aby	B4J
есть непрерывная функция от х на S (фХу — угол между вектором
у — х и нормалью пж).
Действительно, из оценки A9), как и для потенциала V^1), сле-
следует непрерывность интеграла B4) на S.
В соответствии с формулой A0) обозначим интеграл B4) че-
рез
Js к '\х-у\2	Js
дп	Js к '\х-у\2	Js 'дпх\х-у\
B5)
Функция — v J называется прямым значением нормальной произ-
производной потенциала простого слоя на поверхности S; по доказанному
она непрерывна на S.
Отметим еще, что потенциал простого слоя V^ — непрерывная
функция на 5, поскольку V^ G С(М3) (см. п. 2).
6. Разрыв потенциала двойного слоя.
Теорема. Если S — поверхность Ляпунова и v G СE), то по-
потенциал двойного слоя V^ принадлежит C(G) П C(G\) и его пре-
предельные значения VJ_ и V_ на S выражаются формулами
V^\x) = 2тг!/(я) + VA)(s) = 2тпу(х) + [ и (у) C0SV*v dSy,	B6)
Js х У\
= -2жи(х) + f v{y)^^dSv. B6')
Js \x-y\
19 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

290 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Доказательство. Введем функцию
W(x', ж) = [ [v(y) - 1у(х)] C°S(A*72 dSy, x' eR3, же S.
Js	\х ~ У\
Функция W(x',x) при х' = х Е S в силу B2) равна
Щж,ж) = [ v(y)
B7)
Функция W(x,x) непрерывна на 5 в силу непрерывности плотности v
и потенциала V^ на S (см. п. 5). Докажем, что
W(x',x) ^ W(x,ж), ж
х.
B8)
Пусть е > 0. Так как функция v равномерно непрерывна на 5,
то существует число 6 = 8? > 0 такое, что при всех ж G S справедливо
неравенство
\и(у) - и(х)\ <-^, yeUx=SnU(x;6),	B9)
где К — постоянная из неравенства A8). Оценим разность
|И^(ж/,ж)-И^(ж,ж)| ^
\Jux Js\ux)
-v(x)
\x-y\*
dSy. C0)
В силу неравенств B9) и A8) первый интеграл справа в C0) не пре-
превосходит г/2:
Jux
	cos ipxy
\x'-y\2 \x-y\2
cos фХ1Ъ
dSy <
-f(
	 Icos^yl
x'-y\2 \x-y\2
e
4K
Далее, подынтегральная функция в C0) как функция пере-
переменных (ж,ж',?/) равномерно непрерывна при |ж — ж'| ^ S/2, ж G 5,
у G S \UX, и обращается в нуль при х' = ж. Поэтому найдется такое
6' ^ 8/2, что при всех х' G U(x; S') второй интеграл справа в D0) будет
меньше е/2. Следовательно,
\W{x\x)-W{x,x)\<S- + ?-=e, x'eU(x;S'), x e S,

§5.5. Ньютонов потенциал	291
что и доказывает предельное соотношение B7).
Считая х' Е G\ и пользуясь формулой B2), представим потен-
потенциал V<yl\x') в виде
[	^^dSy = w(x',x). Ci)
Переходя в этом равенстве к пределу при х' —У х Е 5, х' Е Gi, и учи-
учитывая предельное соотношение B8), получаем
Vw =* W(x,x) = VI}(x), x G 5,
откуда следует, что V^ G C(Gi), и в силу B7) справедливо равенст-
равенство B6).
Равенство Bб;) рассматривается аналогично. Теорема доказана.
Из формул B6) и Bб;) следует соотношение
4тпу(х) = V^\x) - V^ix), xeS.	C2)
Замечание. Формулы B6) и Bб;) аналогичны формулам Со-
хоцкого G) и G;) из §2.1.
7. Разрыв нормальной производной потенциала просто-
простого слоя.
Теорема. Если S — поверхность Ляпунова и \i G СE), то по-
потенциал простого слоя V^ имеет правильные нормальные произ-
¦> fdV{0)\ fdV{0)\	о
водные I ^—1 и I ^—1 извне и изнутри на Ь, причем
C3)
C3')
Доказательство. Пусть У^1^ — потенциал двойного слоя на S
с плотностью \i. Введем функцию
W^x'.x) = °\ К ] + VW(X'), х1 iS, xeS,
19*

292 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
и докажем, что при х' —у х Е 5, х' Е пж,
W^') 4 W()	;
xeS.	C4)
По доказанному (см. п. 5) функция Wi(x, x) непрерывна на S. Пользу-
Пользуясь формулами A0) и A2), представим функцию W\ в виде интеграла:
w / / \	Г ( sCO8il>x>y+COS <рх>у
W1(xf,x)= / ц{у)	-^	y-dSy.
Js	\х — У\
Зададим е > 0. Оценим разность (Ых = S П С/(ж; ?))
G
s\ux
COS ?/у ^ +СО8(^ж/у COS ^жу + COS (^ж
C5)
В силу оценок B0) и B1) первый интеграл справа в C5) не превосхо-
превосходит (абсолютно) сходящегося интеграла
и будет < е/2 при достаточно малом 8 = 8?. Далее, подынтегральная
функция в C5) как функция переменных (х,х',у) равномерно непре-
непрерывна при \х — х'\ ^ й/3, х G 5, у G S\UX, и обращается в нуль при х' =
= х. Поэтому найдется такое число S' ^ S/S, что при всех х' G ?7(ж; 8')
второй интеграл справа в C5) будет < е/2. Следовательно,
\Wi{x',x)-Wi{x,x)\<s, х' е U(x]5'), х'епх, х е 5,
что и доказывает предельное соотношение C4).
По теореме из п. 6 V^ G C(G) и
Поэтому предельное соотношение C4) при х' -у х G 5, х' G пж, при-
принимает вид
x?S,
дп '

§5.5. Ньютонов потенциал	293
fdV{0)\
откуда заключаем, что правильная нормальная производная ( ^— )
V an /_|_
извне на S существует (см. §5.3, п. 2), причем в силу формулы B5)
справедливо представление C3).
Второй случай рассматривается аналогично. Теорема доказана.
Из формул C3) и C3') следует соотношение
8. Упражнения.
а) Показать, что потенциал простого слоя для сферы Sr с плот-
плотностью \i = 1 равен
|ж| ^ R.
б) Пользуясь а), показать, что объемный потенциал для ша-
шара Ur с плотностью \i — 1 равен
\х\ 2 R,
\ \x\^R.
в)	Показать, что для шара Ur объемный потенциал с плот-
плотностью /(|ж|) равен
V(x) = --IГ f(p)p2dp, \x\2R.
х\ Jo
г)	Пользуясь в), показать: если / f(p)p2 dp = 0, то
j о
V(x) = —^- / f{p)pAdp.
з Jo
д)	Доказать, что если поверхность Ляпунова S ограничивает
выпуклую область, то постоянную К в оценке A8) можно взять рав-
равной 4тг.

294 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
§ 5.6. Краевые задачи
для уравнений Лапласа и Пуассона
в пространстве
1. Постановка основных краевых задач. Будем изучать
следующие краевые задачи I и II родов для трехмерного уравнения
Лапласа (см. § 1.4, п.З). Считаем область G такой, что G\ = М3 \ G
есть область.
Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую в области G
функцию и Е C(G), принимающую на границе S заданные (непрерыв-
(непрерывные) значения и^ .
Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в области G\
функцию и, принимающую на S заданные (непрерывные) значения Uq
и обращающуюся в нуль на бесконечности.
Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в области G
функцию и, имеющую на S заданную (непрерывную) правильную
нормальную производную щ .
Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в области G\
функцию и Е C(Gi), имеющую на S заданную (непрерывную) пра-
правильную нормальную производную uf и обращающуюся в нуль на
бесконечности.
Аналогичные краевые задачи ставятся и для уравнения Пу-
Пуассона
Аи = -/,	A)
причем требуется, чтобы и Е C2(G) P\C(G) для внутренних задач и
и G C2{G\) П C(Gi), и(оо) = 0, для внешних задач.
Подстановка
= ±- f /^dy,	B)
47Г Jg \х -У\
сводит внутренние краевые задачи для уравнения Пуассона к соот-
соответствующим внутренним краевым задачам для уравнения Лапласа,
если / eC1(G)nC(G).
Действительно, в этом случае объемный потенциал V принад-
принадлежит C2(G) nC1(G) и удовлетворяет уравнению Пуассона A) (см.
§ 5.5, п. 1). А тогда в силу B) функция v должна удовлетворять урав-
уравнению Лапласа и соответствующему краевому условию.

§5.6. Краевые задачи в пространстве	295
Для внешних краевых задач поступаем аналогично (если объем-
объемный потенциал с плотностью / существует и обращается в нуль на
бесконечности).
Отметим, что преобразование Кельвина (см. § 5.3, п. 10) позво-
позволяет сводить внешние краевые задачи для уравнения Лапласа к внут-
внутренним, и наоборот.
Наконец, обратим внимание на то, что для задач Неймана (внут-
(внутренних и внешних) необходимо предположить, что S Е С1; далее, су-
существование у решения правильной нормальной производной на S
влечет ее непрерывность на G или G\ соответственно (см. § 5.3, п. 2).
2. Теоремы единственности решения краевых задач.
Докажем теоремы единственности решения поставленных краевых
задач.
Теорема 1. Решение уравнения Пуассона во всем пространст-
пространстве единственно в классе обобщенных функций, обращающихся в нуль
на бесконечности.
Доказательство. Достаточно установить, что уравнение Лап-
Лапласа имеет только нулевое решение в классе обобщенных функций,
обращающихся в нуль при |ж| —у 0. Но это так в силу аналога теоре-
теоремы Лиувилля (см. § 5.3, п. 9).
Теорема 2. Решение внутренней или внешней задачи Дирих-
Дирихле единственно и непрерывно зависит от граничного значения Uq
uauUq соответственно в следующем смысле: если \и^ — й^\ ^ г на 5,
то соответствующие решения и и и удовлетворяют оценке
\и(х)-и(х)\^е, xeG (xgGi).	C)
Доказательство. Применяя неравенства A7) и A8) из §5.3,
п. 5 к гармонической функции и — и:
\и(х) -и{х)\ ^ max|ix±(^) -2^I, х е G (x е Gi),
получим утверждение теоремы.
Будем говорить, что поверхность Ляпунова S достаточно глад-
гладкая, если для нее справедлива формула Грина G) из §5.1 для функ-
функций и Е C2(G)nC(G), имеющих правильную нормальную производную
на S и Аи G C2(G), и для функций v G (^(G) П C(G).
В силу сказанного в §5.3, п.2 и §5.5, п.4 ограниченные замкну-
замкнутые поверхности класса С — достаточно гладкие поверхности.
Теорема 3. Если S — достаточно гладкая поверхность, то
решение внутренней задачи Неймана определено с точностью до

296 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
произвольной аддитивной постоянной. Необходимым условием раз-
разрешимости этой задачи является равенство
[ щ(х) dS + [ /(ж) dx = 0.	D)
Js	Jg
Доказательство. Если и и и — два решения внутренней за-
задачи Неймана, то их разность г\ = и — и Е C(G) — гармоническая
функция в G и имеет нулевую правильную нормальную производную
на S. Применяя формулу Грина G) из §5.1 при и = v = 77, получим
откуда следует, что grad/y = 0, х G G, так что г\ = и — и = const.
Необходимость условия D) разрешимости внутренней задачи
Неймана вытекает из формулы (8) из §5.1 при v = 1, согласно ко-
которой
[ UidS= [ ^dS= [ Audx = - [ fdx,
Js	Jsdn	JG	J
если и — решение этой задачи. Теорема доказана.
Физический смысл условия D) состоит в том, что стационарный
поток тепла (несжимаемой жидкости, напряженности электрическо-
электрического и магнитного полей) через замкнутую поверхность S равен сум-
суммарной величине всех источников (зарядов), находящихся внутри S
(закон сохранения).
Теорема 4. Если S — достаточно гладкая поверхность, то
решение внешней задачи Неймана единственно.
Доказательство. Пусть и и и — два решения внешней зада-
задачи Неймана. Тогда их разность г] G C(G\) — гармоническая функ-
функция в G\, имеет нулевую правильную нормальную производную на S
и 77@0) = 0. По теореме из § 5.3, п. 10 функция г\ удовлетворяет нера-
неравенствам
С	Сл
\г)(х)\ < —г, |gradr/(x)| < —, \х\ -> оо.	E)
х\	\х\
Применяя формулу Грина G) из § 5.3 при и = v = 77 к области Qr (cm.
рис. 56), получим
/ |grad»?|2«to= f V^dS+ f v^dS= f Vp-dS. F)
GR	Js dn	JSr dn	JSr dn

§5.6. Краевые задачи в пространстве	297
Из оценок E) вытекает, что при R —у оо
f v^Lds
JsR °n
Устремляя R к оо, получаем
[	5<^/ dS = 4тгС-^.
sR	ti JSr	К
/ I grad^2 dx = 0,
откуда следует grad?? = 0, т. е. rj(x) = const, xGGi. Так как 77@0) = О,
то г\ — и — и = 0, х Е G\. Теорема доказана.
3. Сведение краевых задач к интегральным уравнени-
уравнениям. Запишем формулу Грина E) из § 5.3 при п = 3:
= ± f
4тг Js
\х —
x e G. G)
Формула G) справедлива для функций и Е C(G), гармонических в G
и имеющих правильную нормальную производную на S, если S —
достаточно гладкая поверхность (см. п. 2).
Из теорем единственности для задач Дирихле и Неймана (см.
п. 2) следует, что, вообще говоря, не существует гармонической функ-
функции и с произвольно заданными значениями и и т^- на S. Поэтому
формулу Грина G) нельзя непосредственно использовать для реше-
решения поставленных краевых задач, подобно тому как мы это делали
для решения задачи Коши (см. §3.4, п. 3 и §4.2, п. 4). В этом состо-
состоит существенное различие между краевой задачей для эллиптических
уравнений и задачей Коши.
Пользуясь теорией ньютонова потенциала, сведем задачи Ди-
Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа к интегральным уравнениям
Фредгольма с полярным ядром (§4.2 и §4.4, п. 6). Затем, используя
теорию интегральных уравнений, докажем разрешимость этих крае-
краевых задач.
Пусть S — достаточно гладкая поверхность. Ищем решение за-
задач Дирихле (внутренней и внешней) в виде потенциала двойного
слоя
где v — неизвестная непрерывная плотность на S. Функция V^
гармоническая в G и Gi, принадлежит классам C{G), C{G\) и С(S)

298 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
и У^^оо) = 0 (см. §5.5, пп. 2,5,6). Поэтому, чтобы потенциал V^
давал решение внутренней или внешней задачи Дирихле, необходимо
и достаточно, чтобы соответственно были выполнены равенства
V±1)(x)=v*(x), x&S,	(8)
где V^ ' — предельные значения потенциала V^ на S изнутри и
извне соответственно. По теореме о разрыве потенциала двойного
слоя (см. § 5.5, п. 6) равенства (8) принимают вид
х-у\2
Равенства (9) представляют собой интегральные уравнения Фред-
гольма относительно неизвестной плотности v.
Вводя вещественный параметр Л и ядро
перепишем интегральные уравнения (9) в единой форме:
)v(y)dSy + f(x), xeS.	A1)
Здесь для внутренней задачи Дирихле Л = 1 и / = —и^/Bтг), а для
внешней задачи Дирихле Л = — 1 и / = и^ /Bтг).
Аналогично, решение задач Неймана (внутренней и внешней)
ищем в виде потенциала простого слоя
где \i — неизвестная непрерывная плотность на S. Функция V^ гар-
гармоническая bGhGi, непрерывная в Ж3, имеет правильные нормаль-
нормальные производные ( ^—J изнутри и извне на 5 и у(°)(оо) = 0 (см.
§ 5.5, пп. 2, 7). Поэтому чтобы потенциал V^ давал решение внутрен-
внутренней или внешней задачи Неймана, необходимо, чтобы соответственно
были выполнены равенства
/~л — ,.Т/'Г\ гр а с	(л <~л
\Jb I — (Х-| \JL I.	Ju \Z. iJ«	I -L Z/ )

§5.6. Краевые задачи в пространстве	299
По теореме о разрыве нормальной производной потенциала простого
слоя (см. §5.5, п. 4) равенства A2) записываются как интегральные
уравнения Фредгольма
±2/*0с) + Ку) I	^§ dSv =uf(x), xe S,	A3)
Js Iх ~ У\
относительно неизвестной плотности \±.
Из равенства фху = (рух, х,у Е S (см. A9) из § 5.5) и из A0) сле-
следует, что ядро интегральных уравнений A3) равно /С(?/, х) = /С*(ж, у),
так что уравнения (9) и A3) союзные друг другу. Вводя параметр Л,
перепишем интегральные уравнения A3) в единой форме:
fi(x) = Л / /С*(х, y)fi(y) dSy + g(x), xeS.	A1')
Js
Здесь для внутренней задачи Неймана Л = — 1 и g = г^/Bтг), а для
внешней задачи Неймана Л = 1 и g = —и^/Bтг).
Для поверхности Ляпунова 5 функция cos^^ непрерывна на
S х 5 и согласно оценке B0) из § 5.5 удовлетворяет оценке
|cos(^| ^ С0\х-у\а, а>0.
Поэтому в силу A0) ядро /С(ж,2/) непрерывно при х,у G 5, ж ^ У, и
удовлетворяет оценке
и, следовательно, является полярным ядром (см. §4.4, п. 6). Таким
образом, для интегрального уравнения A1) и союзного к нему урав-
уравнения A1;) применимы все положения теории Фредгольма (см. §4.2
и §4.4, п. 6).
4. Исследование интегральных уравнении. Докажем сна-
сначала, что Л = 1 не есть характеристическое число ядра К*(х,у).
Пусть, напротив, Л = 1 — характеристическое число этого ядра и
/л* — соответствующая собственная функция,
A4)
Собственная функция /i* принадлежит C(S) (см. §4.4, п. 6). По-
Построим потенциал простого слоя V^ с плотностью /i*. Функция V^

300 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
гармонична вне 5, непрерывна в М3 и у(°)(оо) = 0 (см. §5.5, п. 2).
Далее, в силу формулы C3) из § 5.5 и уравнения A4) ее правильная
нормальная производная на S извне равна нулю. Отсюда по теореме 4
из п. 2 о единственности решения внешней задачи Неймана следует,
что V^\x) = 0, х Е Gi, и, в частности, у(°) s = 0. Но тогда по тео-
теореме 2 из п. 2 о единственности решения внутренней задачи Дирихле
У(°)(ж) = 0, х е G. Итак, V^°\x) = 0, х е М3. Отсюда, пользуясь фор-
формулой C6) из § 5.5, выводим, что /i*(x) = 0, х Е S.
Таким образом, Л = 1 не есть характеристическое число яд-
ядра К*(х,у). Отсюда по второй теореме Фредгольма Л = 1 также не
есть характеристическое число ядра К(х,у). А тогда по третьей и
первой теоремам Фредгольма интегральные уравнения A1) и A1')
при Л = 1 однозначно разрешимы при любых непрерывных / и д.
Следовательно, справедлива
Теорема 1. Внутренняя задача Дирихле и внешняя задача
Неймана разрешимы при любых непрерывных данных и$ и uf, и их
решения представляются потенциалами двойного и простого слоя
соответственно.
Теперь из формулы B2) из § 5.5
следует, что Л = — 1 есть характеристическое число ядра /С(ж, у) и v =
= 1 — соответствующая собственная функция. Докажем, что это
простое характеристическое число. Для этого в силу второй теоремы
Фредгольма достаточно показать, что Л = — 1 — простое характерис-
характеристическое число ядра /С*(ж, у). Пусть /io — соответствующая собствен-
собственная функция,
До (ж) = - / K,*(x,y)/jo(y)dSy = -— /	ху nv(y)dSy. A5)
Собственная функция /io принадлежит С(S) (см. §4.4, п. 6). Рассмот-
Рассмотрим потенциал простого слоя с плотностью /io
= ( J!^Ldsy.	A6)
Js \x-y\
Функция у(°) гармонична вне 5, непрерывна в М3 и у(°)(оо) = 0 (см.
§ 5.5, п. 2). Далее, в силу формулы D3;) из § 5.5, п. 7 и уравнения A5)
ее правильная нормальная производная на S изнутри равна нулю.

§5.6. Краевые задачи в пространстве	301
Отсюда по теореме 3 из п. 2 о единственности решения внутренней
задачи Неймана V^°\x) = С = const, х е G.
Докажем, что С ^ 0. Пусть, напротив, V(°) = 0, х Е G. В частнос-
частности, у(°) 1=0. Тогда по теореме 2 из п. 2 о единственности решения
i »ь
внешней задачи Дирихле V(°) (х) = 0, х е G\. Итак, V(°) (х) = 0, х е Ж3.
Отсюда в силу формулы D6) из §5.5 следует, что fio(x) = 0, х Е 5,
что невозможно.
Пусть До — ДРУгая собственная функция ядра К*(х,у), соот-
соответствующая собственному числу Л = — 1. По доказанному потенциал
простого слоя у(°) с плотностью До равен постоянной С ф 0 на G. Но
тогда потенциал простого слоя ^V^ — V^ с плотностью ^/io — До
равен нулю на G, откуда следует, что эта плотность тождественно
равна нулю, т.е.
С
До (ж) = —до (ж), ж G 5.
о
Поэтому Л = — 1 — простое характеристическое число ядра К*(х,у)
и, стало быть, ядра К(х,у).
Нормируем собственную функцию до так, чтобы
= 1, xeG.	A7)
ЩЛЗу 1, xeG.
В этом случае потенциал простого слоя V^ с плотностью до назы-
называется потенциалом Робена.
Физический смысл потенциала Робена: это есть потенциал, соз-
создаваемый зарядами на проводящей поверхности 5, а его плотность
есть плотность зарядов, которая устанавливается на этой поверхнос-
поверхности. При этом полный заряд
dS
называется емкостью проводящей поверхности S.
Вернемся к уравнениям A1) и A1;) при Л = — 1. По третьей тео-
теореме Фредгольма интегральное уравнение A1;) при А = — 1 разреши-
разрешимо тогда и только тогда, когда свободный член g ортогонален к 1.

302 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Итак, справедлива
Теорема 2. Внутренняя задача Неймана разрешима при любой
непрерывной функции и^, удовлетворяющей условию ортогональ-
ортогональности
[ Uv(x)dS = 0,	A8)
Js
и ее решение представляется потенциалом простого слоя.
Далее, для разрешимости уравнения A1) при Л = — 1 необходи-
необходимо и достаточно, чтобы свободный член / был ортогонален к [1q.
Таким образом, внешняя задача Дирихле имеет решение, представи-
мое потенциалом двойного слоя при любой непрерывной функции щ,
ортогональной к плотности /io потенциала Робена
[
Js
A9)
Условие разрешимости A9) возникло за счет того, что реше-
решение внешней задачи Дирихле мы искали в виде потенциала двойного
слоя, и, следовательно, от решения требовалось убывание О(|ж|~2)
при |ж| —У оо. Однако в постановке этой задачи от решения требуется
лишь обращение в нуль на бесконечности. Чтобы учесть и такие ре-
решения и тем самым избавиться от условия A9), поступим следующим
образом.
Считаем О Е G. Ищем решение внешней задачи Дирихле в виде
суммы потенциала двойного слоя VK } с неизвестной плотностью v
на S и ньютонова потенциала а/|ж| от заряда в точке х = 0 неизвест-
неизвестной величины а:
Соответствующее интегральное уравнение A1) принимает вид
x,y)u(y)dSy + ?^--^r, x€S.	B1)
По доказанному для разрешимости интегрального уравнения B1)
необходимо и достаточно, чтобы
¦)-т-\ Vo(x)dS = 0.	B2)
Так как 0 Е G, то в силу A7)
I.
\У\

§5.6. Краевые задачи в пространстве	303
и условие разрешимости B2) принимает вид
а= [ u+(x)fjLo(x)dS.	B3)
Js
Таким образом, справедлива
Теорема 3. Внешняя задача Дирихле разрешима при любой
непрерывной функции и^, и ее решение представляется в виде сум-
суммы потенциала двойного слоя и потенциала
-^JsU+(y)n0(y)dS.
Замечание. Пусть выполнены условия разрешимости A8) и
B3). Тогда общие решения интегральных уравнений B1) и A1') при
Л = — 1 содержат по одной произвольной постоянной С\ и С соот-
соответственно: у{х) + Ci, /jl(x) + C/io(x). Отсюда в силу формул B2) из
§ 5.5 и A7) опять получаем, что решение внешней задачи Дирихле
единственно (и, значит, не содержит произвольной постоянной С),
а решение внутренней задачи Неймана определено с точностью до
аддитивной постоянной С\.
5. Решение задач Дирихле и Неймана для шара. Постро-
Построим решения задач Дирихле и Неймана (внутренних и внешних) для
шара Ur.
Пусть / — заданная непрерывная функция на сфере Sr. Тог-
Тогда f(Rs) разлагается в ряд Фурье по сферическим функциям
(X)
р ( ту \ 	 х ЛУ /\	/—СУ	/О/1\
j{Rs) = 2_^Yi{s)i sGbi,	B4)
/=о
где в силу D1) из § Д.2
Ряд B4) сходится в /^(^я) (см. §Д.2, п. 6). Предположим, что этот
ряд сходится в C(Sr). Тогда
(?)	r<R,	B5)
— решение внутренней задачи Дирихле с Uq = /;
г<д' B6)
i=i

304 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
— решение внутренней задачи Неймана с щ = f при условии, что
Yo = h JSl f{Rs'] ds'= *b? Lf{x) dS=0; B7)
Sl	*b? L
Y,[-) Ш<Р), r>R,	B8)
=o ^ r '
— решение внешней задачи Дирихле с г^ = /;
)
— решение внешней задачи Неймана с щ = /.
Действительно, ряд B5) состоит из гармонических полиномов
(см. § Д.2, п. 8) и по предположению сходится в C(Sr). Поэтому этот
ряд сходится в С{Ur) (см. § 5.3, п. 5), определяя функцию и, гармони-
гармоническую в Ur (см. §5.3, п. 8), непрерывную на Ur и принимающую в
силу B4) значения / на Sr. Это и значит, что ряд B5) дает решение
внутренней задачи Дирихле для шара Ur с Uq = /.
По признаку Абеля (см. [2]) ряд
1=1
сходится вместе с рядом B4) в C(Sr). Отсюда, повторяя предыдущие
рассуждения, заключаем, что ряд B6) сходится в C(Ur) и определяет
функцию и, гармоническую в Ur и непрерывную на Ur. Далее, этот
ряд можно почленно дифференцировать по г,
дг	_
поскольку ряд C0) в силу признака Абеля сходится в C(Ur). Наконец,
сумма ряда C0) на Sr согласно B4) совпадает с /, если функция /
удовлетворяет условию B7) разрешимости внутренней задачи Ней-
Неймана (см. п. 4). Это и значит, что ряд B6) дает решение внутренней
задачи Неймана для шара Ur с щ = / при выполнении условия раз-
разрешимости B7).
Аналогично доказывается, что ряды B8) и B9) определяют ре-
решения соответствующих внешних задач.

§5.7. Функция Грина задачи Дирихле
305
§ 5.7. Функция Грина задачи Дирихле
1. Определение и свойства функции Грина. Функцией
Грина (внутренней) задачи Дирихле для (ограниченной) области G
называется функция G(x,y), % ? G, у Е G, обладающая следующими
свойствами:
1) при каждом у Е G представляется в виде
G(x,y) =
1
4тг\х -у\
A)
где функция д(х,у) гармоническая в G и непрерывная на G по х;
2) при каждом у Е G удовлетворяет граничному условию
Из условий 1) и 2) вытекает, что функция G(x,y) гармоническая
по ж в области G\ {у}, непрерывная в G\ {у}, обращается в нуль на S
и стремится к +оо при х —У у. Отсюда в силу принципа максимума
(см. § 5.3, п. 4) следует, что G(x, у) > 0, ж, у G G. Далее, гармоническая
функция д(х,у) удовлетворяет граничному условию
д(х,у) = --
1
х е 5, yeG,
C)
откуда следует, что д(х,у) < 0, х Е S, у Е G. Но тогда в силу прин-
принципа максимума это неравенство сохранится и в
области G, т.е. д(х,у) < 0, ж Е G, 2/ E G. Итак	Лп
в силу A) функция Грина удовлетворяет нерав-
неравенствам
о<д(х,у)
4тф:-з,|'
у G G,	Ж ^
D)
Из единственности решения задачи Дирих-
Дирихле (см. § 5.6, п. 2) вытекает, что функция Гри-	Рис. 70
на G(x,y) единственна (если она существует).
Физический смысл функции Грина: из определения функции
Грина G(x,y) следует, что при каждом у G G она удовлетворяет в
обобщенном смысле уравнению Пуассона
AxG(x, у) = -5(х -у), х G G,
20 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

306 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
и обращается в нуль на границе 5; поэтому функцию G(x,y)
можно интерпретировать как кулонов потенциал (см. §5.4, п.З), по-
л	1
рождаемый внутри заземленной поверхности Ь зарядом +-^, нахо-
дящимся в точке у Е G (рис. 70).
Функция д(х,у) непрерывна по совокупности переменных (х,у) Е
eGxG.	_	_
Пусть х0 Е G, уо Е G и (х,у) -»• (жо,2/о), х ? G, у е G. Пользу-
Пользуясь непрерывностью функции д{х,у) по ж, принципом максимума и
равенством C), получаем
|0(жо,2/о) -#0,2/I ^ |#Оо,2/о) -0(я,2/о)| + |#0,2/о) -р(ж,2/)| ^
х —
s 4тг
1
\х'-у\
что и доказывает непрерывность функции д в точке (жо?2/о)-
Теорема. .Еслг/ 5 — достаточно гладкая поверхность, то
функция Грина Q(x,y) существует, имеет правильную нормальную
производную У^'У) на S при всех у G G и симметрична:
G(x,y)=g(y,x), xeG, yeG.	E)
Доказательство. Достаточно установить существование сим-
симметричной функции д(х,у), обладающей при каждом у G G следую-
следующими свойствами по х: гармоническая в G, непрерывная на G, удов-
удовлетворяет граничному условию C) и имеет правильную нормальную
производную на S.
Фиксируем у G G. Функция — -тЦж — з/!, ж Е Gi, есть, очевидно,
решение внешней задачи Неймана с граничной функцией
uf(x,y) = - — -—:	г, х Е S.	F)
4тгдпх\х-у\
С другой стороны, по теореме 1 из §5.6, п. 4 это решение представ-
представляется в виде потенциала простого слоя
с непрерывной плотностью /л(у',у) по у' Е S. Поэтому в силу единст-
единственности решения внешней задачи Неймана (см. теорему 4 из § 5.6,
п. 2),
V@Hx,y) = -—^	г, xed.	G)

§5.7. Функция Грина задачи Дирихле	307
Потенциал у(°) гармоничен в G и непрерывен в Ж3 (см. § 5.5, п. 2) и
в силу G) удовлетворяет граничному условию C); так что
= / (*(y/'y) dSy., xeG.	(8)
is \x-y'\
Отсюда по теореме из §5.5, п. 7 следует, что функция д(х,у) имеет
правильную нормальную производную (изнутри) на 5, которая в силу
формул C6) из § 5.5 и F) равна
Осталось доказать симметрию функции д(х,у). Применяя фор-
формулу Грина A3) из §5.6 к функции д(х,у) и пользуясь граничными
условиями C) и (9) и формулой (8), при всех х,у G G получаем
[ 9(y',y) \ШЛ-^(У',Х)] dSy, =
s	I dny>	J
, Лдд(у',у)
-4тг / g(y
Js
= [[g(yf,y)Ag(yf,x)-g(yf,x)Ag(yf,y)]dyf+ [ ^Щ- dSy, = g(y,x).
Jg	Js \У ~ У
Теорема доказана.
Из симметрии функции д(х,у) вытекают ее следующие дополни-
дополнительные свойства: она непрерывная по (ж, у) bGxG; при каждом х G G
гармоническая по у в G; принимает значение — — \х — у\~1 при у G 5;
имеет правильную нормальную производную ^ж'^ на S.
2. Примеры построения функции Грина (метод отра-
отражении). Для построения функции Грина для области с достаточно
широкой симметрией весьма эффективным оказывается метод от-
отражений. Продемонстрируем его на ряде примеров.
а) Шар Ur. Пусть у е UR, у ф 0 и
20*

308 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
— симметричная точка относительно сферы Sr при преобразовании
инверсии (см. § 5.3, п. 10).
Ищем функцию Грина в виде
а
(И)
-"'»' 4ф-у\ 4п\х-у*
где — а/Dтг) — неизвестный заряд в симметричной точке у*. Функция
а
д(х,у) = -
4тг|ж — у*
гармоническая в Ur и принадлежит классу C°°(Ur). Подберем а так,
чтобы функция Q(x,y) обратилась в нуль на Sr. Для этого заметим,
что при \х\ = R треугольники Оху* и Оху подобны: один угол у
них общий, а прилегающие стороны в силу A0) пропорциональны
(рис. 71). Поэтому при |ж| = R справедливо соотношение
R
\х-у*
и, следовательно, в силу A1) необходимо положить а = R/\y\. Итак,
1	R	_ 1	Щу\
G(x,y) =
4тг|ж — у\ 4тг\у\\х — у*\ 4тг|ж — у\ 4тг\х\у\2 — yR?\
A2)

§5.7. Функция Грина задачи Дирихле
309
есть функция Грина для шара. Формула A2) справедлива и при у = 0:
1	1
Q(x,Q) =
4тг|ж|
б) Полупространство хз > 0 *). Пусть точка у = (у\, у2, Уз) лежит
в этом полупространстве, уз > 0. Точка у — B/1,2/2? —2/з) называется
симметричной с точкой у относительно плоскости хз = 0 (рис.72).
Нетрудно проверить, что функция Грина для полупространст-
> 0 определяется формулой
?(*.») = тг^-л-тг^Ц~г	A3)
ва
4тг|ж — у\ 4тг|ж — у\
в) Полушар \х\ < R, хз > 0. Пусть точка у лежит в этом полуша-
полушаре; у* — точка, симметричная с у относительно сферы Sr, У и у* —
хх0х2
у
J
У
0
,хъ
у
у
Рис. 73
Рис. 74
точки, симметричные с у и у* относительно плоскости хз = 0 (рис. 73).
Функция Грина дается формулой
г( \	1	Д	1 , Д	,1/П
О(ж 1/) ^		 	~Ь	 A4)
4тг|ж — у\ Агк\у\\х — у*\ 4тг|ж — у\ 4:7г\у\\х— у*\'
г) Двугранный угол Х2 > 0, Жз > 0. Пусть точка 2/ = B/ъ2/2?2/з)
лежит в этом двугранном угле, ?/2 > 0, ?/з > 0; У и 2/' — точки, сим-
симметричные с ^/ относительно плоскостей хз = 0 и Х2 = 0 соответст-
соответственно; я/7 — точка, симметричная с у относительно плоскости хз = 0
*) Эта область неограничена (см. также пример г)). Функция Грина в этом
случае должна удовлетворять дополнительному условию G(x,\
—>¦ сю, у ? G.
0 при

310 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
(рис. 74). Функция Грина имеет вид
^Ж'^ = 4ф-2/| 4тг|х - у\ 4тг|х-^| + 4тг|х-^|*
Аналогично строится функция Грина и для двугранного угла
раствора тг/n, где п — натуральное число ^ 3.
3. Решение краевой задачи с помощью функции Грина.
В этом пункте будем считать, что S — достаточно гладкая поверх-
поверхность (см. §5.6, п. 2). Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле для
уравнения Пуассона
Au = -f, u\s = u0, ueC2(G)nC(G),	A6)
где / Е C2{G) П C(G) и щ Е C(S). Как доказано в § 5.6, п. 2, решение
этой задачи единственно.
Теорема. Если решение и(х) задачи A6) имеет правильную
нормальную производную на S, то оно представляется формулой
и(х) = - [ d6^yh0(y)dSy+ [ G(x,y)f(y)dy, xeG. A7)
Js uny	JG
Доказательство. По условию решение и е C2(G) nC(G) имеет
правильную нормальную производную на 5 и Аи = —/ Е C2{G) П C{G).
Применяя к функции и{х) формулу Грина A) из § 5.3 при п = 3 и учи-
учитывая A6), получим
/ Г^	„„а,)	1 dSy
4тг Js [ дпу \х-у\	дпу \x-y\\
4тг JG
x-
Далее, при каждом х Е G функция д(х,у) гармоническая по у в G,
непрерывная по у на G и имеет правильную нормальную производ-
производную ^ ' на S (см. п. 1). Применяя к функциям и(х) и д(х,у) фор-
мулу Грина (8) из §5.1, получаем равенство
0= / \^g(x,y)-uo(y)??p^]dSy+ [ f(y)g(x,y)dy, xeG.
Js l ощ	any J	JG
Прибавляя это равенство к равенству A8) и пользуясь A) и C), по-
получаем A7). Теорема доказана.

§5.7. Функция Грина задачи Дирихле
311
4. Формула Пуассона. Вычислим теперь нормальную про-
производную функции Грина для шара Ur на сфере Sr. Пользуясь
представлением A2), получим
yesR д\у\[4ф-у\
1
Щу\
\y\=R
]__
4тг~др
л/\х\
р2 —
R
\x\2p2 - 2R2\x\pcosj
2-R2
p=R
\x\2-R2
\х\2 - 2R\x\ cos7K/2 4тгЛ|ж - y\3
Формула A7) для шара Ur при / = 0 принимает вид
R2 -\x
=R \Х~У\3
¦uo(y)dSy,
х\ < R.
yesR
A9)
Это и есть формула {интеграл) Пуассона. Она аналогична фор-
формуле Коши для аналитических функций.
Докажем, что формула Пуассона A9) дает решение внутренней
задачи Дирихле для шара Ur
U Q =
B0)
для любой непрерывной на Sr функции щ.
Действительно, решение и(х) этой задачи существует и единст-
единственно для любой непрерывной функции щ (см. § 5.6). Во всяком мень-
меньшем шаре Up, p < Rj функция и{х) является решением задачи Дирихле
с граничным значением u\s и принадлежит классу C°°(Uр). Поэтому
по теореме из п. 3 это решение представляется интегралом Пуассо-
Пуассона A9), т.е.
1 Г
^P J\y\ =
\у\=р
x-y\2
Переходя в этой формуле к пределу при р —>¦ Rm пользуясь непрерыв-
непрерывностью и(х) на Ur и граничным условием B0), получим представле-
представление A9), что и требовалось.

312 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
5. Сведение краевой задачи к интегральному уравне-
уравнению. Рассмотрим в области G краевую задачу для уравнения Пуас-
Пуассона
B1)
Предварительно докажем следующую лемму.
Лемма. Если / Е C(G), то функция
V(x)= [ g(x,y)f(y)dy	B2)
Jg
гармоническая в области G.
Доказательство. Так как функция д(х, у) непрерывна по (ж, у)
в G х G и гармонична по х в G (см. п. 1), то V Е C(G) и для любой ср G
G T>(G) справедливы равенства
V(x)A(p(x)dx = / | / g(x,y)f(y)dy\A(p(x)dx =
= j f(y) jg{x,у)Аф) dx\dy = 0,
так как д удовлетворяет уравнению Лапласа. Поэтому функция V{x)
обобщенно-гармоническая и, значит, гармоническая в области G (см.
§ 5.3, п. 7). Лемма доказана.
Теорема. Если f e CX{G) nC(G), то {единственное) решение
задачи B1) выражается формулой
и(х
0= [ G(x,y)f(y)dy	B3)
Jg
и имеет правильную нормальную производную на S.
Доказательство. Докажем, что формула B3) дает решение
задачи B1). Пользуясь A), перепишем B3) в виде суммы двух сла-
слагаемых:	_
u(x)=V(x)+V(x),	B4)
где V — объемный потенциал с плотностью //Dтг) и функция V
определена равенством B2).
По предположению / G CX{G) f)C(G). Поэтому объемный потен-
потенциал V принадлежит C2(G) C\C1(G) и удовлетворяет уравнению Пу-
Пуассона B1) (см. §5.5, п. 1). По лемме функция V{x) гармоническая в

§5.7. Функция Грина задачи Дирихле
313
области G. Итак, функция и принадлежит C2(G) и в области G удов-
удовлетворяет уравнению Пуассона B1).
Докажем, что и принадлежит C(G) и обращается в нуль на S.
Для этого достаточно показать, что
\u(x')\=tO, x&S,
X,
B5)
Пусть е > 0. В силу оценок D) найдется подобласть G' (sG такая,
что (см. § 1.1, п. 4 и рис. 75)
I/ g{x',y)f{y)dy ^ / ]iM.dy<e х>еа. B6)
\Jg\G'	47Г Jg\G' F -У\	2
Функция д(х',у) равномерно непрерывна по (х',у) на G x G (см.
п. 1). Поэтому в силу A) функция
Грина Q(x',y) равномерно непрерывна
по (х',у) на (G \ G") x G\ где G" —
любая подобласть такая, что G' (e G" (е
(е G (см. рис.75). Учитывая, что
функция Q(x' ,у) обращается в нуль при
х' G 5, у G G , заключаем, что найдет-
найдется достаточно близкая к G подобласть
G" <е G такая, что
g(x',y)f(y)dy
x'eG\G".
Рис. 75
Отсюда и из неравенства B6) вытекает следующее неравенство:
г г
и (х1 =
( G{x',y)f{y)
JG
dy
справедливое при всех x'gG\ G". Это и доказывает предельное со-
соотношение B5).
Докажем, что функция и(х) имеет правильную нормальную про-
производную на S. Так как V Е С1(М3) (см. § 5.5, п. 1), то в силу B4) для
этого достаточно установить, что функция V{x) имеет правильную
нормальную производную на S. По доказанному V Е C(G) гармони-
гармоническая в G и удовлетворяет граничному условию V\s = — V\s-
Построим потенциал простого слоя V^ с непрерывной плот-
плотностью, решающий внешнюю задачу Неймана с uf = — ^- (см.

314 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
§5.6, п. 4). Объемный потенциал —V(x) также является решением
этой задачи (см. §5.5, п. 1). Поэтому в силу единственности реше-
решения внешней задачи Неймана (см. § 5.6, п. 2) заключаем, что V°\x) =
= —V(x), x G G\. В частности, F^|s = —^|s- Отсюда по теореме о
единственности решения внутренней задачи Дирихле (см. § 5.6, п. 2)
получаем, что V(x) = V^°\x), х Е G. Поскольку потенциал простого
слоя V(°) имеет правильную нормальную производную (изнутри) на S
(см. §5.5, п. 7), то и У обладает этим свойством. Теорема доказана.
Теперь проверим, что краевая задача
B7)
эквивалентна интегральному уравнению
и(х) = f G(x, у)[Хи(у) + f(y)] dy, и е C(G),	B8)
JG
если / eC1(G)nC(G).	_
Действительно, пусть функция и G C(G) есть решение интег-
интегрального уравнения B8), т.е. в силу A)
dy+IG9{х'у)[Щу)+f{y)]dy- B8#)
Первое слагаемое справа в B8;) есть объемный потенциал и потому
принадлежит классу С1 (Ж3) (см. §5.5, п. 1), а второе слагаемое есть
гармоническая функция в области G (см. лемму). Поэтому и G (^(G)
и, следовательно, Хи + / G (^(G) П C{G). По только что доказанной
теореме функция и{х) есть решение краевой задачи B7).
Обратно, если функция и\(х) есть решение задачи B7), то она
является (единственным) решением краевой задачи B1) с заменой /
на Хщ +/. Так как A-ui +/ G C1(G)nC(G), to по теореме это решение
выражается интегралом B3) с заменой / на Хи± + /, т. е. функция и±
удовлетворяет интегральному уравнению B8). Этим доказана экви-
эквивалентность задач B7) и B8).
6. Свойства собственных значении и собственных
функции. Дана однородная краевая задача на собственные значе-
значения (внутренняя задача Дирихле)
Au + Xu = 0, u\s = Q' ueC2(G)nC(G).	B9)
В п. 5 было показано, что задача B9) эквивалентна задаче на
собственные значения для однородного интегрального уравнения
и{х) = \ [ G(x,y)u(y)dy, и е C(G),	C0)
JG

§5.7. Функция Грина задачи Дирихле	315
с симметричным (и, стало быть, эрмитовым) ядром G(x,y) (см. п. 1).
Докажем, что ядро G(x,y) слабо полярное (см. §4.4, п. 6). Для
этого функцию д(х, у), заданную и непрерывную на (G x G) U (G x G)
(см. п. 1), продолжим на G x G, полагая в соответствии с C)
При таком продолжении функция д(х, у) непрерывна на G x G, кроме
точек х = у, у Е S. А тогда в силу A) функция Грина G(x,y) непре-
непрерывна при ж, у Е G, ж ф у, и, стало быть, в силу D) ядро ?/(ж, у) слабо
полярное (а = 1, п = 3).
В частности, для уравнения C0) справедливы все положения
теории интегральных уравнений с симметричным слабо полярным
ядром (см. §4.3, 4.4). Но собственные значения и собственные функ-
функции краевой задачи B9) совпадают с характеристическими числами
и собственными функциями ядра G{x,y). Это позволяет для краевой
задачи B9) полностью доказать теоремы из §5.1, п. 4, а также уста-
установить и некоторые дополнительные свойства этой задачи.
Теорема. Множество собственных значений {А/.} краевой за-
задачи B9) не имеет конечных предельных точек, причем все А/, боль-
больше нуля] каждое собственное значение А& имеет конечную крат-
кратность. Наименьшее собственное значение Х± простое, а собственная
функция Х\ может быть выбрана положительной в G. Собствен-
Собственные функции Xk принадлежат C2(G) flC(G) и их можно выбрать ве-
вещественными и ортонормалънымщ они имеют правильную нормаль-
нормальную производную на S. Всякая функция f из Л^д *) разлагается в
регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям {Xk}.
Доказательство. Отсутствие конечных предельных точек у
множества {А/.} и конечная кратность каждого собственного значе-
значения А& следует из теорем Фредгольма (см. §4.2). Из вещественности
и эрмитовости ядра G(x,y) вытекает, что собственные функции Х^
можно выбрать вещественными и ортонормальными (см. §4.3, п. 3 и
§4.4, п. 6).	_
Каждая собственная функция Xk G C2(G)nC(G) и является реше-
решением краевой задачи B9) и интегрального уравнения C0). Поэтому
по теореме из п. 5 X^ix) имеет правильную нормальную производ-
производную на S. Отсюда и из формулы Грина G) из § 5.1 при и = v = Xk
) То есть / е C2{G) ПС1^), A/ G C2(G) и f\s = 0 (см. §5.1, п. 1).

316 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
вытекает, что
А/с = Xk(Xk,Xk) = -(AXk,Xk) = / \gididXk\2dx >0.
Jg
Простота Ai и положительность Xi вытекают из теоремы Ентча (см.
§4.4, п. 6), так как в силу D) ядро G(x,y) положительное.
Пусть / Е М.А- Тогда функция /(ж) является (единственным)
решением краевой задачи
где h = -A/ G C(G) n?2(G). По теореме из п. 3 функция f(x) истоко-
истокообразно представима через ядро G(x, у), и, следовательно, по теореме
Гильберта—Шмидта (см. § 4.4, п. 6) она разлагается в регулярно схо-
сходящийся ряд Фурье по собственным функциям Хк. Теорема доказана.
Таким образом, для краевой задачи B9) верны теорема 1 из
§ 5.1, п. 4 и следствия из нее. В частности, система собственных функ-
функций {Хк} этой задачи полна в /^(G).
7. Упражнения.
а) Пользуясь формулой Пуассона A9), доказать неравенство
Гарнака
R(R-\x\) /ГЛЧ , ч R(R+\x\) /ГЛЧ . .
шши{0) *и{х) < wм@) |ж| к д
справедливое для любой функции и(х) ^ 0, гармонической в шаре Ur
и непрерывной на Ur.
б)	Пользуясь неравенством Гарнака, доказать теорему: всякая
возрастающая последовательность гармонических функций в облас-
области G сходится (равномерно на каждом компакте К С G) или к гар-
гармонической в G функции, или к +оо.
в)	Доказать равенство
R2-
1,	|ж|<Д,
\=R \Х-У\3	I	м kl >^«
г) Пользуясь в), доказать, что интеграл Пуассона
-х	п	|9
Ж > Л,

§5.7. Функция Грина задачи Дирихле	317
дает решение внешней задачи Дирихле для шара Ur.
д)	Показать, что n-мерный интеграл Пуассона
If R2 - \х\2
—Б	~\	^ruo(y)dSy> \x\<R,
°nRJ\y\=R \x-y\n
дает решение внутренней задачи Дирихле для шара Ur С W1.
е)	Показать, что решение задач Дирихле и Неймана для полу-
полупространства жз > 0 представляется соответственно формулами
ио(у)	J_ [ щ(у)
*y|3 У' 2Wl*y| *'
если и0 = О(|2/Г"е), Ul(y) = ОЦу]-1-6), \у\ ^ ос, е > 0, у = B/1,2/2,0).
ж) Пусть G — выпуклая ограниченная область в Ж3. Доказать,
что краевая задача для стационарного уравнения переноса
(s,gradi/j) + аф = Xh(x)cp(x) + /(ж),
1 f
ip(x) = — i/j(x,s')ds', i/j(x,s)=0, x е 5, 0,пж)<0,
47Г Js1
эквивалентна интегральному уравнению Пайерлса
ф) = [ Щх - у\)[ХН(уЫу) + /B/)] dy, Щ) = " ^
JG
где hje C(G), h(x) > 0, а > 0.
з) Пользуясь ж) и теоремой Ентча (см. § 4.4, п. 6) доказать: все
характеристические числа А/, однородного уравнения Пайерлса по-
положительные, Ai простое, соответствующая собственная функция ср±
положительная, система собственных функций {(fk} полна в /^(G; К).
и) Доказать следующий принцип максимума: если функция и G
G C2(G) П C(G) удовлетворяет в ограниченной области G дифферен-
дифференциальному неравенству
Ьи = — div(p(x) grdbdu) + q{x)u ^0, р > 0, q ^ 0,
то либо и ^ 0 на G, либо и принимает свой (положительный) макси-
максимум на G на границе S.
к) Пользуясь и), доказать: если функция и{х) G C2{G) П C(G)
есть решение краевой задачи
-Au + q(x)u = F(x), u\s = v(x),	C1)

318 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
то справедливо неравенство
— WFWc(G)
M
c(S)
WWc(G) \Mc(S) ' ?
л) С помощью к) доказать единственность решения задачи C1)
в классе C2(G) P\C(G) и его непрерывную зависимость от F и v в
норме С (при условии qo > 0).
м) Доказать, что решение краевой задачи
п ди
Lu — j, аи + р —
дп s
= V,
единственно в C2(G) П C^G), если q ^ 0 или а ^ 0.
н) Пусть L — положительно определенный оператор, т.е.
(Ьи,и) > 0, и G М,Ьч иф{). Доказать: для того чтобы функция щ G
G Л4ь была решением уравнения Li^o = /, / G ?2@), необходимо и
достаточно, чтобы она давала в .Ml минимум функционалу
(Lu,u)-2Re(f,u);
решение щ единственно в
§ 5.8. Краевые задачи для уравнения Лапласа
на плоскости
Для точки (ж, у) плоскости М2 будем применять обозначения z =
= х + iy или ~z = х — гу. Считаем, что G — ограниченная область в М2
с кусочно гладкой границей S.
Большинство результатов, полученных в §5.5-5.7 для краевых
задач в пространстве, переносится и на плоские краевые задачи с за-
заменой фундаментального решения ?з(х) = — . , на фундаменталь-
фундаментальное решение ?<i(z) — -k- In \z\. Однако в постановках и решениях этих
задач возникают некоторые различия, связанные с поведением фун-
фундаментального решения ?2 на бесконечности.
1. Постановка и единственность решения основных
краевых задач. Основные краевые задачи для уравнения Лапла-
Лапласа на плоскости ставятся так же, как и соответствующие задачи в
пространстве (см. § 5.6, п. 1), за исключением того, что для внешних
задач требуется лишь ограниченность решения при \z\ —> 00 (а не
обращение в нуль). Предполагаем, что G\ = М2 \ G — область.

§5.8. Краевые задачи на плоскости	319
Из результатов § 5.3, пп. 5,10 следует: если функция u(z) гармо-
гармоническая в Gi, непрерывная и ограниченная на Gi, то
limu(z) = a, \z\ —У оо,	A)
gra,du(z) = О( —- ), И-юо,	B)
\u(z)\ ^ max \u(z% z^Gx.	C)
Линия Ляпунова и достаточно гладкая линия определяются так
же, как и соответствующая поверхность в пространстве (см. § 5.5, п. 4
и § 5.6, п. 2); неравенство A8) из § 5.5 в этом случае принимает вид
А,
Справедливы следующие теоремы единственности для основных
краевых задач для уравнения Лапласа.
Решение внутренней или внешней задач Дирихле единственно и
непрерывно зависит от граничных данных и^ или Uq соответственно.
Если S — достаточно гладкая линия, то решение внутренней или
внешней задачи Неймана определено с точностью до произвольной
аддитивной постоянной, причем
•1 (z) dS или f uf (z) dS = 0	D)
s	J s
— необходимое условие разрешимости соответствующей задачи.
Доказательство этих утверждений подобно доказательству тео-
теорем 2,3 и 4 из §5.6, п. 2. Некоторое отличие возникает в связи с по-
появлением необходимого условия разрешимости внешней задачи Ней-
Неймана. Докажем это.
Пусть u{z) — решение внешней задачи Неймана с граничной
функцией uf на S. Так как и гармонична в G\ и имеет на S пра-
правильную нормальную производную, равную —uf, то, применяя фор-
формулу (8) из § 5.1 при v = 1 к области Qr (см. рис. 56), получим
- / ut(z)dS+ / ^dS = 0.
Js	JsR дп
Переходя в этом равенстве к пределу при R —У оо и пользуясь оцен-
оценкой B), получим условие D).

320 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
2. Логарифмический потенциал. Логарифмический потен-
потенциал определяется как свертка обобщенной функции р с функцией
-In |*| (см. §2.3, п. 7):
V = - In \z\ * р = -2тг?2 * Р-	E)
Логарифмический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона
AV = -2тгр.	F)
Частными случаями логарифмического потенциала являются:
потенциал площади
V(z) = [ р(С) In —Ц- d?dri, С = S + Щ	G)
Jg \z ~ ^\
потенциал простого слоя
V(о) {z) =]nl.*fJbSs= [ МО In —Цг dSc;	(8)
^1	J	\z Ц
(9)
потенциал двойного слоя
Эти потенциалы обладают следующими свойствами.
Если р G C(G), то потенциал V G С1(М2) гармоничен в G\ и
У	oo. (ю)
Если, кроме того р G C^G), то У G C2(G).
Если /i е СE), то потенциал У^0^ G С(М?) гармоничен вне S и
oo.	A1)
Если 5 — линия Ляпунова, то потенциал V^\z) имеет правиль-
fdV{0)\ fdV{0)\
ные нормальные производные ( ^— ) и I ^— 1 извне и изнутри
на 5, причем
\z - si
A2)

M.8. Краевые задачи на плоскости
321
<9n
/.
*-C\
dSc. A2')
Если г/ € СE), то потенциал V^ гармоничен вне 5 и
00.
Если S — линия Ляпунова, то
COS ifzQ
A3)
A4)
Потенциал V^ принадлежит C(G) ПСE) flC(Gi), и его предель-
значения V+ и V_ извне и изнутри на S имеют представления
A50
Доказательства этих свойств аналогичны соответствующим до-
доказательствам для трехмерного случая (см. §5.5). Некоторые разли-
различия имеются лишь в доказательстве оценок A0) и A1). Докажем,
например, оценку A0).
Согласно определению G)
V(z) - [ р(С) d? dri In — = [ р(С) In -r^— d? dri.
Jg	z\ Jg	\z ~ ^\
A6)
Пусть G лежит в круге Ur и \z\ > 2R. Тогда при всех ( G G справед-
справедливы неравенства
	Г ^ 1П-
+ R
\z-C\
2R
\z\-R^ \zV
A7)
Отсюда и из A6) следует оценка A0):
V{z) - f
Jg
Jg
In-
-ci
21 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

322 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Физический смысл фундаментального решения ?2(z).
Вычислим электростатический потенциал V(z,xs), создаваемый за-
u	1
рядами, лежащими на оси жз, с линейной плотностью — -^, т. е. с рас-
4тг
пределением р(г,х%) = — j^S(z)-l(xs). Метод спускало переменной жз,
изложенный в §3.1, п. 4, здесь не проходит. Несколько модифицируя
этот метод, определим потенциал V(z,xs) как предел при N —у оо
потенциалов Vn{z,xs), создаваемых зарядами, лежащими на отрез-
отрезке |жз| ^ N оси жз, с линейной плотностью — -^, т. е. с распределением
4тг
= -?-6(z)-0(N-\x3\).
4тг
A8)
Этот потенциал есть свертка
ная постоянная сдг *):
с —4?Г(?з (см. § 5.5) плюс произволь-
произвольVN(z,x3) = -
- \x3\)] +cN =
J
- 4
JV
-JV
4тг
N
2 + (x3 - NJ
2 + (x3 + TVJ
+ cN. A9)
Чтобы обеспечить существование конечного предела Vn при
N —)• оо, положим в A9) сдг = ^lnBiV). В результате получим
V(z,x3)= lim
7V^o
жз) = — 1г
Z7T
Таким образом, фундаментальное решение ?<i(z) — -^- In Izl есть
электростатический потенциал, создаваемый зарядами, лежащими на
оси жз, с линейной плотностью —-^- (ср. §3.1, п. 4).
*) В классе функций, обращающихся в нуль на бесконечности, потенци-
потенциал V(z,xs) не существует. Поэтому и потенциалы Vn(z,xs) будем выбирать из
более широкого класса функций (в данном случае — ограниченных на бесконеч-
бесконечности).

§5.8. Краевые задачи на плоскости	323
3. Разрешимость краевых задач. Предположим, что гра-
граница S области G — достаточно гладкая линия и G\ — М2 \ G —
область.
Как и § 5.6, п. 3, решение внутренней задачи Дирихле ищем в
виде потенциала двойного слоя
VW{z)= HC)^?dS(, ueC(S);	B0)
Js \z — Cl
решение внешней задачи Дирихле — в виде суммы потенциала двой-
двойного слоя V^ и неизвестной постоянной а; решение задачи Неймана
(внутренней или внешней) — в виде потенциала простого слоя
B1)
Для неизвестных плотностей v и \i и числа а в силу формул A2),
A2'), A5) и A5') получаем интегральные уравнения
v(z) = \ [ Цг, CMC) dSc + f(z), z G S,	B2)
Js
H(z) =\ f JC*(z,CMC)dS( + g(z), z G S,	B2')
Js
с полярными (союзными друг другу) ядрами
Здесь Л = 1, / = —Uq/тг соответствует внутренней и Л = — 1, / = (г^ —
— а)/тг — внешней задачам Дирихле, Л = — 1, g = г^/тт — внутренней
и Л = 1, g = —и^/тг — внешней задачам Неймана.
Пусть \i — непрерывное решение уравнения B2;) при Л = 1 и g —
= —и^/тт. Интегрируя его левую и правую части по кривой S и поль-
пользуясь B3) и A4), получаем
= - f pt(C)dS-- f u+(z)dS,
Js	ж Js
21*

324 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
т. е.
' +{z)dS.	B4)
Г
Js
27Г
Докажем, что Л = 1 не есть характеристическое число ядра
/С* (?,?). Пусть, напротив, Л = 1 — характеристическое число это-
этого ядра и /i* — соответствующая собственная функция,
/**(z) = ? /С*(z, С)Ц*(С) dSC = lf у=$И*(О dSc, zG S. B5)
Тогда /л* Е С(S) и, в соответствии с B4) (при uf = 0)
ti*(z)dS = O.	B6)
[
s
Рассмотрим потенциал простого слоя V^ с плотностью /л*.
Функция У(о) е С(М2) гармонична вне 5 и в силу B6) и A1) у(°)(оо) =
= 0. Далее в силу A2) и B5) ее правильная нормальная производная
извне на S равна нулю. Отсюда, пользуясь единственностью реше-
решения внешней задачи Неймана и внутренней задачи Дирихле (см. п. 1),
как и в §5.6, п. 4, заключаем, что V^°\z) = 0, z G М2, и, следова-
следовательно, fji*(z) = 0, z G 5, что противоречит определению собственной
функции.
По теоремам Фредгольма уравнения B2) и B2;) при Л = 1 одно-
однозначно разрешимы в С(S) при любых непрерывных / и д. При этом
для решения \i уравнения B2;) при Л = 1 и д — —и^/тг справедливо
соотношение B4). Поэтому если выполнено условие D), то в силу A1)
у(°)(оо) = 0. Итак, доказана
Теорема 1. Внутренняя задача Дирихле разрешима при лю-
любой Uq E С(S). Внешняя задача Неймана разрешима при любой
и^ Е СE), удовлетворяющей условию разрешимости D).
Из формулы A4) вытекает, что Л = — 1 есть характеристическое
число ядра /С(ж, () и v = 1 — соответствующая собственная функция.
По второй теореме Фредгольма Л = — 1 — характеристическое число
союзного ядра ]C*(z,?). Пусть /ig — соответствующая собственная
функция,
/io(z) = - [ 1С*(z, 0/хо(С) dS( = -- f C^frмо(С) dSc, ze S.
Js	к Js z-Q
B7)

§5.8. Краевые задачи на плоскости	325
Мы знаем, что /io ? C(S) (см. §4.4, п. 6). Докажем, что
>(z)dS = C^0.	B8)
Пусть, напротив, G = 0. Рассмотрим потенциал простого слоя
с плотностью /jlq (потенциал Робена):
V@\z) = J^0(C)lnj-^dSc.	B9)
Функция у(°) Е С(М2) гармонична вне S и в силу условия G = 0
у(°)(оо) = 0 (см. п. 2). Далее, из A2') и B7) вытекает, что ее правиль-
правильная нормальная производная изнутри на S равна нулю. Отсюда, так
как решение внутренней задачи Неймана единственно с точностью до
аддитивной постоянной, заключаем, что V^°\z) = const = Gi, z G G.
Но тогда в силу единственности решения внешней задачи Дирихле
(см. п. 1) V^°\z) = Gi, z G Gi, и, следовательно, /io = 0, что противо-
противоречит определению собственной функции.
Таким образом, G^0. Отсюда, рассуждая, как и в § 5.6, п. 4, вы-
выводим, что Л = —1 — простое характеристическое число ядра /С* B, Q
и, стало быть, ядра JC(z, С).
Нормируем собственную функцию /io так, чтобы G = 1. По до-
доказанному соответствующий потенциал Робена V(°) B) = const, z ?G.
По третьей теореме Фредгольма интегральные уравнения B2)
и B2;) при А = — 1 разрешимы тогда и только тогда, когда их сво-
свободные члены / и g ортогональны к собственным функциям [Iq и 1
соответственно. Для внешней задачи Дирихле это условие принимает
вид
- [[u+(z)-a]iio(z)dS = 0,
т. е. в силу B8) (С = 1) оно всегда может быть удовлетворено за счет
надлежащего выбора постоянной а,
а
= f u+(z)iM>(z)dS.	C0)
Js
Итак, справедлива следующая
Теорема 2. Внешняя задача Дирихле разрешима при любой
и^ G С(S). Внутренняя задача Неймана разрешима при любой и^ G
G C(S), удовлетворяющей условию разрешимости D).

326 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
4. Регпение краевых задач для
круга. Для окружности Sr интегральные
уравнения B2) и B2') легко решаются и да-
дают решения соответствующих краевых за-
дач в явном виде.
Действительно, в силу соотношения
(рис. 76)
ICI = я,
C1)
Рис. 76
получаем
Поэтому интегральные уравнения B2) и B2') принимают единый вид
f
J\c\=r
Решая это уравнение (см. §4.2, п. 1), получаем:
v{z) = -1 «о (г) +
_
«о (С) dS
C2)
C3)
при Л = 1, / = —Uq/тг (внутренняя задача Дирихле);
v{z) = - и+ (z) - -\- [ u+(()dS, a = -L [ и+ (С) dS,
C4)
при Л = — 1, f = и^/тг — а/тг (внешняя задача Дирихле);
ф) = -щ(г),	f u^(C)dS = O,	C5)
71	J\C\=R
при Л = — 1, / = г^/тг (внутренняя задача Неймана);
H(z) = --u+(z), f u+(()dS = O,	C6)
ж	J\C\=R
при Л = 1, / = —uf/n (внешняя задача Неймана).

§5.8. Краевые задачи на плоскости
327
Подставляя C3) в потенциал двойного слоя B0) и пользуясь
формулами A4) и C1), получим решение внутренней задачи Дирихле
u(z) =
\(\=R	F-^Г
т. е. это решение представляется формулой (интегралом Пуассона)
: R. C7)
u(z =
Аналогично, подставляя C4) в сумму V^
шение внешней задачи Дирихле
^) + а, получим ре-
реu(z) =
Наконец, подставляя C5) и C6) в потенциал простого слоя B1),
получим соответственно решения внутренней и внешней задач Ней-
Неймана
In
u(z) = - [ щ
* J\C\=R
u(z) = - f u+(C) In —^
dSc + С,
^5C + C,
R,
C9)
D0)
5. Функция Грина задачи Дирихле. Функцией Грина
(внутренней) задачи Дирихле для (ограниченной) области G назы-
называется функция G(z,?), обладающая свойствами (ср. §5.7, п. 1): при
каждом ( G G она представляется в виде
z-Q
D1)

328 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
где функция g(zX) гармоническая в G и непрерывная на G по z и
удовлетворяет граничному условию
Q(z,Q\zeS = 0.	D2)
Из принципа максимума вытекает, что функция Грина удовлет-
удовлетворяет оценке
где D — диаметр области G. Функция Грина G(z,C) обладает и ос-
остальными свойствами, установленными в § 5.7, п. 1.
Пусть теперь G — односвязная область, ограниченная кусоч-
кусочно гладкой кривой 5, и w =
(w)	=w(z) — функция, конформ-
конформно отображающая область G
на единичный круг \w\ < 1
(рис. 77). Тогда функция
D4)
Рис. 77
конформно отображает об-
область G на единичный круг \и\ < 1, причем точка ? G G переходит в
нуль. Поэтому эта функция при каждом ? G G представляется в виде
D5)
где функция гр(гХ) аналитическая по z в области G,
zeG, иф eC(G) (см. [3]).
Проверим, что функция
Z7T
D6)
есть функция Грина задачи Дирихле для области G.
Действительно, из D5) вытекает, что функция D6) представля-
представляется в виде D1), причем функция
гармонична в G как вещественная часть аналитической функции
In гр(г, Q, i>(z. С) Ф 0; и непрерывна на G. Далее, в силу равенства \оо\ =
= 1, 2 G 5, функция D6) удовлетворяет и условию D2).

M.8. Краевые задачи на плоскости
329
Для примера построим функцию Грина для круга \z\ < R.
Функция
У J R2-z(
отображает круг \z\ < R на единичный круг \оо\ < 1, причем точка
переходит в нуль. Поэтому в силу D6)
R2 -
R(z - С)
2тг
D7)
V J
есть функция Грина для круга \z\ < R.
6. Регпение задачи Дирихле для односвязнои области.
Метод конформных отображений позволяет получить представление
для решения задачи Дирихле для любой односвязнои области. Это
представление является обобщением формулы Пуассона.
Сначала, пользуясь равенством
R2-
I	/4 9 — j-v,^	,
\z-(\2	C-z
запишем формулу Пуассона C7) в виде
ICI = Д,
D8)
Пусть функция ixo непрерывна на границе S односвязнои облас-
области G. Пусть функция z = z(w) конформно отображает круг \w\ < 1
на область G и w = w(z) — обратное отображение (см. рис. 77). Тог-
Тогда z G С(?/]_); предположим, что w G (^(G). При этом отображении
функция uo(z) перейдет в функцию uo[z(w)], непрерывную на окруж-
окружности \w\ = 1. По формуле D8) построим решение задачи Дирихле
для круга \w\ < 1 с граничной функцией uq[z(w)]:
U(w) =
1 Г u + wdu
= Re—-	uo[z{lj)\	.
27гг J\u\ = l	UJ-W U
\ =
Переходя в этой формуле к старым переменным z и (°, w = w(z), и =
= w(?), получим искомое решение задачи Дирихле для области G с
граничной функцией щ:
u(z)
2тгг Js
w(C)+w(z)w'(C)
w(() — w(z) w(()
zeG.
D9)

330 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Замечание. Читатель уже обратил внимание на то, что в этом
пункте мы использовали элементы комплексного анализа. Это не слу-
случайно. Как известно (см. [3]), вещественная и мнимая части анали-
аналитической функции являются гармоническими функциями. Обратно,
если функция u(z) гармоническая, то, добавив сопряженную функ-
функцию
получим аналитическую функцию f(z) = u(z) + iv(z), у которой ве-
вещественная часть есть исходная функция u(z). Это позволяет актив-
активно использовать мощный аппарат теории аналитических функций
при решении и изучении краевых задач для гармонических функций
на плоскости.
7. Упражнения.
а) Пользуясь формулой B2) из § 2.2 и фундаментальным реше-
решением ^ оператора Коши-Римана тр, вывести формулу Коши-Грина:
если и е CX(G) ПС(С), то
(	2т
z-( д( ъ ' 2т
б) Пользуясь а), доказать: если и принадлежит С1 (б?) P\C(G) и
удовлетворяет условиям Коши-Римана, тр = 0, z Е G, то u(z) — ана-
аналитическая функция в области G и справедлива формула Коши
— I
2niJs
eG,
GGi.
в) Показать, что потенциал простого слоя для окружности \z\ =
= R с плотностью /i = 1 равен
|z - (| dSc = <	, ,
Icti-r	— 2ттД1пЫ, \z > Д.
г) Пользуясь в), показать, что логарифмический потенциал пло-
площади для круга \z\ < R с плотностью р = 1 равен
R.

M.8. Краевые задачи на плоскости
331
д) Проверить, что следующие функции являются функциями
Грина задачи Дирихле*):
2тг
J-ln
2тг
2тг
2тг
z — (
z-C
(z - C)
(z — C)(
z2-C
ez~t - 1
ez-{ _
- ]
z-V)
L
L
для полуплоскости у > 0;
для полукруга \z\ < R, у > 0;
для четверти плоскости х > 0, ?/ > 0;
для полосы 0 < у < тг.
е) Показать, что решения задач Дирихле и Неймана для полу-
полуплоскости у > 0 имеют представления
- Г
7Г J.o
(ж - ?J + ^/2
если «о(О = Od^l1), Ul(O = Od^l-5), Ifl ->¦ oo, e > 0.
ж) Пусть функция ipF) разлагается в равномерно сходящийся
ряд Фурье на [0,2тг],
= а0
sin kO).
k=i
Доказать, что:
u(z) = а0
|
/г cos
— решение внутренней задачи Дирихле для круга \z\ < R с Uq = ср;
u(z) = а0 + ^ ( |— ) (ал cos fefl + Ьк sin fe0)
*) Напомним (см. § 5.7, п. 2, примечание), что в случае неограниченных об-
областей мы добавляем условие убывания функции Грина на бесконечности.

332 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
—	решение внешней задачи Дирихле с и? = (р;
00 \z\k
u(z) = Y, гУп(а* cos^ + bk sin^) + C
—	решение внутренней задачи Неймана с и± = ср при условии а$ = 0;
u(z) = - Y^ ТГТг{ак cos fe0 + ^ sin кв)
*-^ k\z\K
к—1
—	решение внешней задачи Неймана с щ = ср при условии clq = 0.

Глава VI
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
В этой главе будет рассмотрена смешанная задача для уравне-
уравнений гиперболического и параболического типов и дано обоснование
метода Фурье (метода разделения переменных).
§6.1. Метод Фурье
Одним из наиболее эффективных методов решения многомер-
многомерных краевых задач является метод Фурье (разделения переменных).
В § 5.4 этот метод был применен к краевым задачам на собственные
значения. В этом параграфе метод Фурье формально применяется
к решению краевых задач для уравнений различных типов. Обосно-
Обоснование метода Фурье для решения смешанных задач для уравнений
гиперболического и параболического типов будет дано в следующих
параграфах этой главы.
Пусть оператор L определяется дифференциальным выраже-
выражением
Lu = — div(pgrad'u) + qu, x G G,
и граничным условием
Fin,
= 0,
ди
аи
s
где функции р(х), q(x), a(x) и /3(х) удовлетворяют условиям C) из
§ 5.1. Пусть задан вес р е C(G), р(х) > 0, х е G.
Предполагаем, что собственные значения Хк оператора L поло-
положительны, 0 < Ai ^ A2 ^ ..., а соответствующие собственные функ-
функции Хк с весом р,
LXk = \крХк, Хк G M.L, к = 1,2,...,
вещественны и образуют полную ортонормальную систему в прост-
пространстве C^iG'ip) со скалярным произведением {f,g)p с весом р.

334	Гл. VI. Смешанная задача
1. Однородное гиперболическое уравнение. Рассмотрим
в бесконечном цилиндре Ц^ = G х @, оо) смешанную задачу для од-
однородного уравнения гиперболического типа (см. § 1.4, п. 4)
ди
b=o=uo(x), —
ди
дп
= О, ? ^ 0.	C)
s
Сущность метода Фурье состоит в следующем: строится доста-
достаточное количество решений уравнения A), представляемых произве-
произведением
T(t)X(x)	D)
и удовлетворяющих граничному условию C); из этих решений со-
составляется линейная комбинация, удовлетворяющая начальным усло-
условиям B); при некоторых условиях естественно ожидать, что полу-
полученная линейная комбинация будет удовлетворять уравнению A) и
граничному условию C), т. е. будет построено решение задачи A)-C).
Итак, ищем решение уравнения A) в виде произведения D), при-
причем от функции Х(х) потребуем, чтобы она удовлетворяла гранич-
граничному условию C). Подставляя выражение D) в уравнение A) и деля
его на рТХ, получим
T"(t) = LX(x)
T(t)	p{x)X{x)'	K }
Левая часть равенства E) не зависит от ж, а правая от t. Следо-
Следовательно, каждая из этих величин не зависит ни от ж, ни от ?, т. е.
является постоянной величиной. Обозначая эту постоянную через —Л
(ср. §5.4, п. 1), из равенства E) для неизвестных функций Т и X и
параметра Л получим уравнения
LX = \рХ,	F)
Т" + ЛГ = 0.	G)
Следовательно, уравнение A) распалось на два уравнения, F) и G),
с меньшим числом независимых переменных, т.е., как говорят, пере-
переменные разделились.

§6.1. Метод Фурье	335
РешенияХ (ж) уравнения F) должны удовлетворять граничному
условию C). Поэтому в качестве X и Л можно взять собственные
функции Хк и собственные значения Хк оператора L. Общее решение
уравнения F) при X = Хк имеет вид
Тк (t) = ak cos л/X^t + Ьк sin y/X^t,	(8)
где ак и Ък — произвольные постоянные.
Таким образом, в силу D) и (8) построено счетное число част-
частных (линейно независимых) решений уравнения A)
Tk(t)Xk(x) = (akcosy%t + bksmy%t)Xk(x), к = 1,2,..., (9)
удовлетворяющих граничному условию C) и содержащих произволь-
произвольные постоянные ак и Ък Всякая конечная сумма решений (9), естест-
естественно, также будет удовлетворять уравнению A) и граничному усло-
условию C).
Составим формальный ряд:
ОО	ОО
Tk(t)Xk(x) = ^2(ak cos л/Л^ + Ък sin ^/X~kt)Xk{x). A0)
k=l	k=l
Коэффициенты ак и Ък выберем такими, чтобы ряд A0) формально
удовлетворял начальным условиям B):
(X)	(X)
^акХк(х) =ио(х), ^2л/ХкЬкХк(х) =щ(х),
к=1	к=1
т.е. в силу полноты ортонормальной системы {Х&} в L^iG'tp) *)
ак = (ио,Хк)р= / pu0Xkdx, Ък = —=(ииХк)р. A1)
JG	У*к
Итак, для решения u(x,t) смешанной задачи A)-C) получено
формальное разложение по собственным функциям Хк оператора L
оо
u(x,t) = y^(afecos л/Xkt + bksmy/XkfjXkfe).	A2)
*) Считаем Х^ вещественными (см. §5.1, п. 4).

336	Гл. VI. Смешанная задача
Этот ряд назовем формальным решением смешанной задачи A)-C);
k-ik член ряда A2), равный
Tk(t)Xk(x) = NkXk(x) sin (y/x^t + ak
где
= —, cosak = —,
представляет собой так называемое гармоническое колебание с
собственной частотой y/Xk и амплитудой NkXk(x). Последователь-
Последовательность чисел л/^ъ V^2j • • • называется спектром собственных частот
колеблющейся системы.
2. Неоднородное гиперболическое уравнение. Изложим
другой, более общий вариант метода Фурье, пригодный для построе-
построения формального решения смешанной задачи также и для неоднород-
неоднородного уравнения гиперболического типа
СУ 11
p— = -Lu + F(x,t).	A3)
При каждом t > 0 разложим решение u(x,t) задачи A3), B), C) в ряд
Фурье по собственным функциям Хк оператора L:
оо
u(x,t) = Y,Tk(t)Xk(x), Tk(t) = (щХк)р.	A4)
k=l
В силу B), A4) и A1) неизвестные функции Tk(t) должны удовлетво-
удовлетворять начальным условиям
2М0) = / p(x)u(x,O)Xk(x)dx = (uo,Xk)p = ak,
0)	A5)
—Xk(x)dx = (щ,Хк)р = y\khk.
Составим дифференциальное уравнение для функций Tk(t). Ум-
Умножая скалярно уравнение A3) на Хк и производя формальные вы-
выкладки, получим
Г д2и	-d2[	-d2(
JG P dt2 k	dt2 JG pU	dt2 1
= -(u,LXk) + (F,Xk) = -Хк(щХк)р + (F,Xk),

§6.1. Метод Фурье	337
т.е. в силу A4) функции Тк удовлетворяют уравнениям
г? + а*гл = <*(*), fc = i,2,...,	A6)
где
ck(t) = (F,Xk) = / Xk(x,t)Xk(x)dx.	A7)
Jg
Решив задачу Коши для уравнения A6) с начальными условия-
условиями A5), получим (см. §3.3, п. 1)
1 Гь
Тк(i) = ак cos \/\kt + Ьк sin y/Xkt + -= / ск(г) sin \/Xk(t - т) dr.
улк Jo
A8)
Подставляя выражение A8) в ряд A4), получим формальное решение
смешанной задачи A3), B), C)
ОО
/\t b sin
ОО г
и(х, t) = 2_^ ак COS y\kt ¦
ik(r) sin y/\^(t - t) dr\xk{x). A9)
Отметим, что первые два слагаемых в ряде A9) в силу A2) дают
формальное решение смешанной задачи при F = 0; третье слагаемое
есть решение этой задачи при щ = щ = 0.
Пусть «о = wi = 0 и
F(x,t) = Csinutp(x)Xi(x).	B0)
Тогда
ак = bk = 0, ck(t) =
и, следовательно, в силу A8)
C8ik f
—== \ sir
V^k JO
Tk(t) = -j^ I sinutsin
= _CSik ( и
i
22 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов
sin yXit — sin out j.

338
Гл. VI. Смешанная задача
Поэтому формальный ряд A9) сводится к единственному слагаемому
(
u{x,t) =
^( 7^
B1)
которое действительно является решением задачи. При uj —у л/Xi ре-
решение B1) принимает вид
B2)
О
Рис. 78
Из формулы B2) следует,
что под действием периодичес-
периодического внешнего возмущения B0) с
частотой, равной одной из собст-
собственных частот y/Xij амплитуда
колебаний неограниченно воз-
возрастает при t —у оо, т. е., как говорят, имеет место явление резонанса
(рис.78).
3. Параболическое уравнение. Рассмотрим в цилиндре
Доо = G х @, оо) смешанную задачу для уравнения параболическо-
параболического типа (см. § 1.4, п. 4)
ди
u\t=o =
\t=o
х е G,
аи
ди
—-
дп
= 0,
B3)
B4)
B5)
Для построения формального решения смешанной задачи
B3)-B5) используем метод Фурье в форме, данной в п. 2. В соот-
соответствии с этим методом решение u(x,t) ищется в виде ряда A4).
Для функций Tk(t) получим задачу Коши
T'k+\kTk=ck{t), Тк{0) = ак, А: = 1,2,...,
B6)
где Ck(t) и dk определяются равенствами A7) и A5) соответственно.
Решая задачу Коши B6), получим (см. §3.3, п. 1)
Tk(t) =
[ сА(
Jo
т) йт,
B7)

§6.1. Метод Фурье
339
и, следовательно, формальное решение смешанной задачи B3)-B5)
дается рядом
u(x,t) =
fe=l
B8)
4. Уравнение Шрёдингера. Смешанная задача для уравне-
уравнения Шрёдингера (см. § 1.2, п. 6)
xeG,
дп
= 0,
B9)
C0)
C1)
рассматривается так же, как и смешанная задача B3)-B5). Для функ-
функций Tk(t) имеем следующую задачу Коши:
ihT'k - \кТк = 0, Тк@) =ак = (фо,Хк), к = 1,2,..., C2)
откуда
l~XktV	C3)
и, следовательно, формальное решение смешанной задачи B9)-C1)
выражается рядом
C4)
где Хк — собственные функции оператора L при р = /i2/Bmo), g = У
vi р = 1.
5. Эллиптическое уравнение. Рассмотрим в конечном ци-
цилиндре Ц\ = G х @, V) краевую задачу для уравнения эллиптического
типа
4=0
=l=ui(x),
аи +,
ди
Ihl
= 0,
C5)
C6)
C7)
22*

340	Гл. VI. Сметанная задача
Формальное решение этой задачи ищем в виде ряда A4). Неиз-
Неизвестные функции Тк (t) должны удовлетворять уравнениям
T'k'-\kTk = ck{t), к = 1,2,...,	C8)
и граничным условиям
Тк@) = (ио,Хк)р = akj Тк{1) = (щ,Хк)р = Ък;	C9)
функции ck(t) определяются равенством A7).
Построим решение краевой задачи C8), C9). Функции
(Л т /,ч sh УЛ^(/ - t)
vk(t)=Tk(t)-ak g
удовлетворяет уравнению C8) и граничным условиям vk@) = vk(l) =
= 0. Поэтому эта функция выражается формулой (см. § 5.2, п. 2)
vk(t) = - / Gk(t,T)ck(r)dr,	D0)
Jo
где
Gk(t,r) =
— функция Грина краевой задачи (см. § 5.2, п. 1)
-v" + Xkv = -ck(t), v@) = v(l) = 0.
Следовательно,
Tk(t) = afeShf^-7 f) + 6fc^ - / gk(t,r)ck(r) dr. D1)
Таким образом, формальное решение граничной задачи C5)-C7)
записывается рядом
u(x,t) =
sh л/Xkl	sh
-j Gk(t,T)ck(r)dr^Xk(x). D2)

§6.1. Метод Фурье	341
6. Примеры.
а) Колебание закрепленной струны. Эта задача сводится к ре-
решению смешанной задачи в полуполосе (О, V) х @, оо) для одномерного
волнового уравнения (см. § 1.2, п. 1)
?а и = О, u\t=o = uo(x), ut\t=o = ui(x), и\х=о = и
х=1 = °*
D3)
Соответствующая задача на собственные значения есть задача
Штурма—Лиувилля
-а2Х" = XX, Х@) = ХA) = 0.
Поэтому (см. §5.2, п. 4)
/ктга\	/2 ктгх
Хк=1—— 1, Хк(х) = Wysin——, к = 1,2,...,
и формальное решение задачи D3) дается рядом
, ч 2 v-^ (	ктга . . ктга \ . ктгх	, л л.
и{х, t) = j 2_^ I ak cos —— t + Ьк sin —— t 1 sin ——,	D4)
1 к=Л l	i j i
где
ak = uo(x) sin —— dx, bk = -— / u\(x) sin —— dx.
Jo	l	ктга Jo	I
Каждое гармоническое колебание
Tk(t)Xk(x)=" /2
sm f
образует стоячую волну с собственной частотой ^у^1 и амплитудой
/2"
Нули ^/, п = 0, ...,fc, амплитуды называются узлами, а ее точки
экстремума "^ Z,n = 0, ...,fc — 1, — пучностями этой стоячей вол-
ны (рис. 79).
Гармоническое колебание Т\Х\ с наименьшей собственной час-
частотой v^i" называется основным тоном; остальные колебания Т2Х2,

342
Гл. VI. Смешанная задача
Т3Х3,... с частотами л/^г"? л/^з"? • • • образуют ряд последовательных
обертонов.
Решение D4) складывается из отдельных тонов (основного тона
и обертонов), и их суммарное действие приводит к созданию тембра
звука, издаваемого струной.
к = 2
к=\
б) Распространение тепла в ограниченном стержне. Рассмот-
Рассмотрим смешанную задачу для одномерного уравнения теплопровод-
теплопроводности
щ = а2ихх, u\t=0 = ио(х), и\х=0 = и\х=1 = 0. D5)
Формальное решение задачи D5) выражается рядом
2 ^л	Г к2тг2а2 1 . &7гж
4=1	I /2 J	г
D6)
Ограничиваясь первым членом ряда D6), получаем приближенное ре-
решение задачи D5)
/ ^ч 2ai
u(x,t) « —-
о о
тг а
тгж
t > sin —-.
в) Колебания закрепленной мембраны. Задача сводится к реше-
решению смешанной задачи для двумерного волнового уравнения
ut\t=o=u1(x), u
D7)
Соответствующая задача на собственные значения имеет вид

§6.1. Метод Фурье
343
Для прямоугольника @,1) х @,т) (см. §5.4, п. 2)
'к2 i j2 \	_ ,	2 . ктгх .
^2^2
m
и формальное решение задачи D7) выражается двойным рядом
ХГ^
mz
где
+ Ьь- sin тга\/ — + At t) sin —— sin ^-^, D8)
У I2 m2 J	I	m
fl fm	/	4	^^	J71"?/ 7	7
= / / /uo(?,2/)sm—— sm	ax ay,
JoJo	I	m
Im	[1Г	. ктгх . J7T2/ . ,
= 	/?9 9 .979 / / ^i(ж,2/) sin-—sin	dard?/.
тгал/к2т2 + j2l2 JoJo	l	m
Для круга Ur (cm. § 5.4, n. 2)
где
fc = 0,l,..., J = 1,2,...,
ij — положительные корни уравнения Jk(fi>) = 0 (см. § Д.1, п. 2).
Формальное решение задачи D7) выражается двойным рядом
cos
R
sin
ii
"Ш
,е'*у, D9)
где
/ *

344	Гл. VI. Смешанная задача
г) Формальное решение смешанной задачи для двумерного урав-
уравнения теплопроводности
щ = а2 Аи, u\t=0 = uo(x,y), u\s = 0	E0)
имеет вид:
к J
Н
4оо с / 1 о •9\>\ 7
v~^ I ?? ( к J \ \ &тгж З^У
и(х, y,t) = — у akj ехр <^ -тг а —- Н	 ]t > sin —— sin
k,j=i
E1)
для прямоугольника @,/) x @,m);
E2)
для круга Ur.
д) Колебание шарового объема. Рассмотрим смешанную зада-
задачу D7) для трехмерного шара Ur. Соответствующие собственные
значения и собственные функции вычислены в §5.4, п. 2, в), форму-
формулы C0) и C1). Формальное решение задачи выражается рядом
1	СЮ СЮ / г
о,(^ л —	У^ У^ V^	A+1/2) а?
1=0 7 = 1 т=-1 '"
^
„
н)?Г("^ E3)
где
v>o(x)Ji+i/2 (/Л	— jY™F, cp)r3'2 dr sin6 d6 dtp,
h	R
Oljm ~ (/+1/2)
ail) ' }
Ylm{0,if)rz/2 drsmOdOdif.

§6.1. Метод Фурье
345
е) Формальное решение смешанной задачи E0) для трехмерного
шара Ur выражается рядом
-j	ОО ОО	/
V.t) =	—-pz / / / Q>lim
v /=0 j = l m=—l
B/ + l)(/-|m|)!	1
¦)]¦
E4)
ж) Смешанная задача для уравнения Шрёдингера в шаре Ur:
Ф\ь=0=Фо(х), Ф\3а=0, E5)
с потенциалом У, зависящим только от |ж|. Соответствующая задача
на собственные значения принимает вид
или, в сферических координатах,
}_д_ ( 2
2 9 V
2m0 [r2
+ V(r)X =
1 д ( . дХ
Эг ) + г2 sin в дв Vm Эв
д2х
г2 sin2 I
\X(O,6,<P)\<°°, X(R,6,<P)=O. E6)
Собственные значения и собственные функции краевой задачи E6)
определяются методом разделения переменных. Полагая
и действуя по общей схеме, получим
lj' i	-^Ijmy^) —
= 0,1,..., j = 1,2,..., m = 0,±l,...,±/,

346	Гл. VI. Смешанная задача
где Xij и IZij (r) — собственные значения и собственные функции од-
одномерной краевой задачи
r2 '- ' h2 V
Формальное решение задачи E5) дает ряд
оо оо т
и(х, t) = — У^ У^ У^ aijm exp < --Atj
Z_^
где
о7Т /»2?Г
BZ+ !)(/-
Ш_П.(г)ут,в ) E7)
Jo Jo Jo
,(р)г dr sin 0 dO d^.
Собственные значения A/j определяют уровни энергии кванто-
квантовой частицы; индексы I и m называются соответственно орбиталь-
орбитальным (азимутальным) и магнитным квантовым числами.
з) Формальное решение задачи Дирихле
А^ = 0, и\х=0 = и\х=а = 0, и|3/=0 = гхо(ж), и\у=1=щ(х),
E8)
в прямоугольнике @, а) х @,1) выражается рядом
и(х,у) = -V (aA.shfc7r^^ + bA.sh^) 8Ш 7^7 ,	E9)
где
к7ГХ л
ах.
fl	• klTX	fl	• klT
ak = / Uo{x) sin	ax, bk = / ^/(xjsm —
Jo	a	Jo	a
и) Задача Дирихле в трехмерном цилиндре Ur x @, ft):
А^ = 0, ^|5д=^0B:), гх|;г=0 = гл|;г=Л = 0.	F0)
В цилиндрических координатах (г, ip, z) решение и(х, у, z) = и (г, z) не
зависит от угла ip, и поэтому задача F0) принимает вид
- -7—^ = 0, u(R, z) = uo(z), u(r, 0) = u(r, ft) = 0.
Fi)

§6.1. Метод Фурье	347
Решал краевую задачу F1) методом разделения переменных, u(r, z) =
= TZ(r)Z(z), для функций 1Z и Z получаем краевые задачи
Z" + XZ = О, Z@) = Z{h) = 0,
п" + -тг' - лтг = о, |?г(о)| < оо.
Решение этих краевых задач легко находится:
/
= W -sin
я/	V h h
где /о — функция Бесселя мнимого аргумента (см. § Д.1, п. 8).
Формальное решение задачи F1) и, стало быть, задачи F0) вы-
выражается рядом
/0 (ктгг/h) . brz
sm—,	F2)
где
= / H0B)sin--—
7. Упралснения.
а)	Доказать: если <' G ?2@,/), гхо@) = uo(l) = <@) = u%(l) =
= 0, i^i G ?2@, 0? г*1 @) = и\{1) = 0, то ряд D4) представляет класси-
классическое решение задачи D3).
б)	Доказать: если u'o G ?2@,/), г^о@) = г*о@ = 0, то ряд D6)
представляет классическое решение задачи D5).
в)	Доказать: если щ,щ G C2(G), щ\3 = щ\3 = 0, то ряд
^	sh VAfc/	sh лД^/ J
дает решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в цилиндре
G х @,0
о2
СУ 11
Аж^+л~Т = 0' ^1у=о = ио(х), и\у=1=щ(х), u\s = 0.

348	Гл. VI. Смешанная задача
§ 6.2. Смешанная задача
для уравнения гиперболического типа
В этом параграфе будет рассмотрена смешанная задача для
уравнения гиперболического типа (см. § 1.4, п. 4):
д2и
Р~к~2 = div(pgrad и) — qu + F(x, t) = — Lu + F,	, .
(x,t) e Цоо =G x @,oo);
du
пди
аи + р —
дп
= i/i (ж), xGG;	B)
o
= 0, ? ^ 0.	C)
s
Предполагаем, что функции р, р, q, а и /3 удовлетворяют условиям
§ 6.1; G — ограниченная область и ее граница S — кусочно гладкая
поверхность, So — та часть 5, где а (ж) > 0 и /3(х) > 0 одновременно.
1. Классическое решение. Интеграл энергии. Классичес-
Классическим решением смешанной задачи A)-C) называется функция и(х, t) G
G С2(ДОО)ПС1(ДОО), удовлетворяющая уравнению A) в цилиндре Доо,
начальным условиям B) на нижнем основании и граничному усло-
условию C) на боковой поверхности этого цилиндра.
Для существования классического решения задачи A)—C) необ-
необходимо, чтобы выполнялись условия гладкости
и условие согласованности
= 0.
s
При изучении краевых задач для гиперболических уравнений
весьма эффективным оказывается метод интегралов энергии. Пусть
u(x,t) — классическое решение задачи A)-C). Интегралом энергии
называется величина
г (ж
представляющая собой сумму кинетической и потенциальной энергий
колеблющейся системы в момент времени t.

§6.2. Смешанная задача для уравнения гиперболического типа 349
Теорема. Пусть u(x,t) — классическое решение задачи A)-C)
и F Е С(ДОО). Тогда справедливо соотношение
JoJg
где
= о / (Pui
1 Jg
+qul)dx+ -
t ^ 0,
—
P
D)
Доказательство. Для доказательства возьмем произвольные
число е > 0 и область G' (е G с кусочно гладкой границей S'. Умножая
уравнение A) на ^, интегрируя по цилиндру G' х (е,Т) и пользуясь
первой формулой Грина (см. §5.1, п. 2), получим
/	F— dxdt=	—¦ /о -^-2- + Lu) dxdt =
/¦ [T дид2и 1 1 fT[duT11 If fdu
— I PI ~^~ ~^~rr dtax+ / -t^Lu ax at = — p —-
Jg> Js dt dt2	J? JG, dt	2jGIH\dt
1
dx +
du
диди
ди
диХ
/
1 Т 7 ГТ Г диди
dx - / р—тг
Переходя здесь к пределу при ечОиС'чби пользуясь тем, что и G
G С1(ДТ) и F G С(ЦТ), получаем равенство
0и
. ГГ диди
dx-	p——
-LFs*A E)
Из граничного условия C) вытекают соотношения ^- = —Щ:и на
там, где /3 > 0; и = 0 на 5 там, где /3 = 0. Поэтому
a du.Q.+ I
— u — dSdt=-
P dt	2
a
dS;

350
Гл. VI. Смешанная задача
отсюда и из E), заменяя Т на ?, получаем формулу D). Теорема до-
доказана.
Следствие. При F = 0 равенство D) принимает вид
J2(t) = J2@),
F)
Физический смысл равенства F) состоит в том, что полная энер-
энергия колеблющейся системы при отсутствии внешних возмущений
не меняется со временем (закон сохранения энергии).
2. Единственность и непрерывная зависимость класси-
классического решения. Применим метод интегралов энергии для дока-
доказательства единственности и непрерывности зависимости классичес-
классического решения смешанной задачи A)-C).
Дифференцируя равенство D) по ?, получим
2J(t)J'(t)= f F(x,t)^§^-dx,
Jg	dt
t > 0.
G)
Применяя к правой части равенства G) неравенство Коши-Буняков-
ского, выводим неравенство
2JJ' <: \\F\\
ди
(8)
Учитывая теперь, что р{х) > 0, р G C(G), и, стало быть, р{х)
oj Ро > 0, получаем цепочку неравенств
т. е.
ди
~dt
2 <J
^ P
[ Г
о Jg
ди
~dt
Ро
(9)
Аналогичным образом убеждаемся в справедливости оценки
Po
A0)
где ро = minxeGp(x), р0 > 0.
Подставляя неравенство (9) в неравенство (8) и сокращая на J,
выводим неравенство
1
J'(t)
\\П,
t > 0.

§6.2. Смешанная задача для уравнения гиперболического типа 351
Интегрируя полученное дифференциальное неравенство, получим
оценку
^j= f\\F\\dr.
V2A) Jo
Из оценок (9), A0) и A1) выводим оценки
A1)
,		A2)
Ро	Ро Jo
|| | gracb| || <C ./A J@) + —= f \\F\\ dr, t > 0. A3)
V PO	\fpoPo Jo
Теперь оценим функцию \\u\\. Дифференцируя равенство
и2 Г 2(
J
по ?, пользуясь неравенством Коши—Буняковского и учитывая нерав-
неравенство A2), получаем
2 |Ы| |Ы|'= 2 / u^da;<2|M
ди
~dt
т.е., после сокращения на
If
Po Jo
'— J@) + —
Po	Po Jo
t > 0.
Интегрируя это дифференциальное неравенство, имеем
N1 ^ Illl +	/@)*+ / /
— «/@)*+— / /
Ро	Ро JoJo
где ||ia||0 — значение функции ||г&|| в точке t = 0, т.е.
|H|g= f u2(x,0)dx=
Jg
[
Jg	Jg
Меняя порядок интегрирования в последнем интеграле, получим ис-
искомую оценку
\Ы\ + \ —
Ро
- f\t-r)\\F\\(r)dr, t>0. A4)
Po Jo

352	Гл. VI. Смешанная задача
Теперь, пользуясь оценками A2), A3) и A4), докажем следую-
следующую теорему.
Теорема. Классическое решение задачи A)-C) единственно и
непрерывно зависит от щ, щ и F в следующем смысле: если F, F Е
j\\F-F\\^e, O^t^T, ||«o-«o|lc^eo,
[ || |gradixo -graded || ^ ?0> ll^i ~^ill ^ ?ь
то соответствующие {классические) решения и(x^t) uu(x,t) удов-
удовлетворяют при 0 ^ t ^ T неравенствам
\\и -й\\^С (е0 + Тг0 + Те'о + Тех + - Г2г j ,	A6)
и - grad^ и\ \\ ^ С(г0 + е'о + si + Гг),	A7)
4 + si + Те),	A8)
причем число С не зависит от щ, щ, F, t и Т.
Доказательство. Для доказательства единственности доста-
достаточно установить, что классическое решение u(x,t) однородной за-
задачи A)-C) (при ixo = щ = 0 и F = 0) единственно, т.е. u(x,t) =
= 0, (x,t) Е Доо (см. § 1.1, п. 9). Но это вытекает из неравенства A4),
поскольку ixo = 0, J@) = 0 и F = 0.
Для доказательства непрерывной зависимости составим раз-
разность rj — и — и. Функция г\ является классическим решением зада-
задачи A)-C) с заменой F, щ и щ на К = F — F, г?о = щ — щ и v\ —u\— u\
соответственно. Пользуясь неравенствами A5) для решения ??, оценим
величину интеграла энергии J @):
2J2@)= / [pv\ +р | graded2 + qvl] dx + / p—v^dS^
Jg	JSn P
a
a
Утахр(ж) г2 + V тахр(х)(г'оJ + Утахд(ж) + а тахр тт(ж)
где У — объем области G, a — площадь куска So и С\ — число,
большее, чем числа V, V max/?, V maxp и Vmaxg + cr maxp ^. Таким
образом, получена оценка

§6.2. Смешанная задача для уравнения гиперболического типа 353
Применяя теперь к решению г) неравенство A4):
\Ы\ + \[^
V Ро
— f\t - r)\\K\\ dr,
Ро Jo
и пользуясь неравенствами A5) и A9), получим при всех t Е [0,Т]
оценку A6)
— / (t - г) d
Ро Jo
у/Ро
so W + 4 c ( + + ) +
при надлежащем выборе постоянной С
Аналогично, с помощью неравенств A2), A3) и A9) устанавли-
устанавливаются и неравенства A7) и A8). Теорема доказана.
Доказательство существования классического решения задачи
A)-C) наталкивается на значительные трудности. Чтобы обойти эти
трудности, как и для задачи Коши введем понятие обобщенного ре-
решения этой задачи; существование же обобщенного решения устанав-
устанавливается более простыми средствами. Прежде чем приступить к этой
программе, изучим более подробно функции из ?2F?), зависящие от
параметра.
3. Функции, непрерывные в C2(G). Пусть при каждом t G
G [а, Ь] функция u(x,t) принадлежит /^(G). Функция u(x,t) называ-
называется непрерывной в ?2@) no переменной t на [а, 6], если для любо-
любого t G [а, Ъ]
u(x,tf) -+u{x,t) в C2{G), t'->t.
Из этого определения вытекает: если функция u(x,t) непрерыв-
непрерывна в C2{G) no t на [а, 6], то норма ||^(-,t)|| непрерывна по t на [а, 6];
для любой / G C2{G) скалярное произведение {и{ • ,t),/) непрерывно
по t на [а, Ь]; и G CiiG x (а, 6)), если интервал (а, Ь) конечен.
Действительно, непрерывность \\u\\ следует из неравенства
III«(-,OII-IK-.*)III^N-,*')-«(•,*I1.
вытекающего из неравенства Минковского. Непрерывность (и, /) сле-
следует из неравенства Коши—Буняковского
23 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

354	Гл. VI. Смешанная задача
Принадлежность и к L^iG x (a, b)) следует из конечности (а, 6), непре-
непрерывности \\u\\ и равенства
\ \ \u(x,t)\2dxdt = / \\u(-,t)\\2dt.
JaJG	Ja
Последовательность функций Uk(x,t), к = 1,2,..., называется
сходящейся к функции u(x,t) в /^(G) равномерно по t на [а, 6],
если
|К(-,?) -Ц-,*)|| =4 0, fe ^oo, te [а, Ь];
в таком случае будем писать
Uk ^ и, к ->• оо, в >C2(G), te[a,6].
Из этого определения следует, что
Uk ^ и, к —у оо, в
Лемма 1. Если последовательность функций
к = 1,2,..., непрерывных в /^(G) no t на [а,6], сходится к функ-
функции и(х, t) в /^(G) равномерно по t на [а, Ь], то и(х, t) — непрерывная
в /^(G) no t на [а,Ь] функция.
Доказательство. Пусть задано произвольное е > 0. Сущест-
Существует такое число т = т?, что
\\ит(- ,t) - и(-,t)\\ < -, t e[a,b].
По условию функция ит(х, t) непрерывна в C2(G) по t G [а, Ь]. Поэтому
существует такое число 5 = 5?, что
Следовательно, пользуясь неравенством Минковского, получаем
\\u(-,t')-u(x,t)\\^
^ \\U( -,t')- Um{ ¦ , t')|| + \\Um( •,*')- «m( • , *)|| + \\Um( " , *) - «( • , t)|| ^
e e e
при всех ?;, t G [a, Ь], \t' — t\ < S. Лемма доказана.

§6.2. Смешанная задача для уравнения гиперболического типа 355
Последовательность функций uk(x,t), к = 1,2,..., называется
сходящейся в себе в ?2(G) равномерно по t на [а, 6], если
ик — Up =4 0, &,р—)-оо, в ?2(G), ?е[а,6].
Лемма 2. .Еслг/ последовательность функций uk(x,t),
к = 1,2,..., сходится в себе в ?2(G) равномерно по t на [а,6], то
существует функция u(x,t), непрерывная в ?2(G) no t на [а,Ь] и та-
такая, что
ик =4 и, к ->• оо, в ?2(G), ?е[а,6].
Доказательство. По теореме Рисса-Фишера (см. §1.1, п. 5)
при каждом ? G [а, Ь] существует функция u(x,t) G ?2(G) такая, что
ик ^ и, к -»> оо, в C2(G).	B0)
Далее, можно выбрать подпоследовательность г^(ж,?), г = 1,2,...,
такую, что
|Ki+1(.,?)-^(.,?)|| < -, ?G [а,Ь].	B1)
Но в силу B0) при каждом t G [а, 6]
U = lirn^ ^р = Ufc. + (lAjfe. + 1 - lAjfe. ) + (lAjfe.+2 - Uki + 1) + ...,
и потому в силу B1)
\\и - Uki || ^ \\uki + 1 - Uki || + \\Uki+2 - Uki + 1 || + . . . <
отсюда следует, что подпоследовательность {uki} сходится к и в
?2(G) равномерно по t G [а, 6]. А тогда из неравенства
\\ик - и\\ ^ \\ик - uki\\ + \\uki - и\\
заключаем, что последовательность {ик} сходится к функции и
в ?2(G) равномерно по t на [а, Ь]. По лемме 1 функция u(x,t) непре-
непрерывна в ?2(G) no t на [а, Ь]. Лемма доказана.
23*

356	Гл. VI. Смешанная задача
4. Обобщенное решение. Пусть существуют последователь-
последовательности функций Fk Е С(ДОО), ико Е ^(G) и ик\ Е C(G) такие, что:
1)	при к ->• оо
Fk^F в ?2(G), ? G [О, Г], при любом Г > О,
ик0 ^ и0 в C(G), gradг^0 ->• gradщ в C2(G),	B2)
Ukl —bU\ В >C2(b-J;
2)	при каждом к = 1,2,... существует классическое решение
uk{x,t) смешанной задачи
Р	= —Luh + Fh,	(lf)
',	B;)
= о.
аик +Р^—
Докажем, что существует функция u(x,t), непрерывная в
по t на [0, оо) и такая, что при любом Т > О
B3)
Г2
- upl\\ + — max ||Ffc - Fp\
Функцию u{x,t) назовем обобщенным решением задачи A)-C).
Действительно, применяя неравенство A6) теоремы из п. 2 к
разности ик —ир, при всех t G [0,Т], Т > 0, получаем
IK ~up\
откуда в силу B2) следует, что последовательность {ик} сходится в
себе в C2(G) равномерно по t на [О, Т]. По лемме 2 из п. 3 существует
функция u(x,t), непрерывная в C2(G) no t на [0,Т] и такая, что при
любом Т > 0 справедливо предельное соотношение B3).
Из определения обобщенного решения вытекает, что всякое
классическое решение задачи A)-C) является и обобщенным реше-
решением ее, и для существования обобщенного решения необходимо вы-
выполнение условий: F непрерывна в C2(G) по t на [0, оо), щ G C(G),
gradixo eC2(G) hwi e C2(G).

§6.2. Смешанная задача для уравнения гиперболического типа 357
Установим теперь дополнительные свойства обобщенных
решений.
а) Обобщенное решение u{x,t) задачи A)-C) удовлетворяет
уравнению A) в обобщенном смысле, т.е. для любой ср Е ?>(Доо) вы-
выполнено интегральное соотношение
u(x, t) ( р —^ + L(p) dxdt= / F(x, t)(p dx dt.	B4)
Действительно, пусть ip G ?>(Доо); тогда spt ip С Цт при некото-
некотором Т > 0. Умножая уравнение (]/) на функцию ср и интегрируя по
цилиндру Цт, получим
Г Г /-J	"I	r
/ \Р~жГ ~ div(pgrad^fe) + quk lipdxdt = / Fkcpdxdt.
В интеграле, стоящем в левой части этого равенства, интегри-
интегрированием по частям перебросим операцию дифференцирования на
основную функцию ср (см. F) из §5.1). Поскольку ср обращается в
нуль в окрестности границы цилиндра Цт, внеинтегральные члены
при этом исчезнут и в результате получим
г	Г ?j2	~\	г
\ Uk И°"я72" ~ div(pgrad(p) + q<p\ dx dt = / Fkcpdxdt.
Учитывая теперь, что в силу B3) и B2)
ик ^ и и Fk -»> F, к^оо, в ?2(Цт),
и переходя в последнем равенстве к пределу при fc —>¦ оо, получим
интегральное соотношение B4).
б) Обобщенное решение u(x,t) обладает первыми (обобщенны-
(обобщенными) производными щ, grad-u, непрерывными в C2{G) no t на [0, оо),
причем при всех Т > 0
^~dt'	к^оо, в ?2(G), te[0,T]. B5)
^ =4 gradix,
Действительно, применяя неравенство A8) теоремы из п. 2 к
разности ик - ир при всех t G [0,Г], Г > 0, получим

358	Гл. VI. Смешанная задача
~di dt
C(IKo - ир0\\с
\\ukl-upl\\+TmaxT\\Fk-Fp\\),
откуда в силу B2) следует, что последовательность производных ^S
к = 1,2,..., сходится в себе в /^(G) равномерно по t на [0,Т] при
всех Т > 0. По лемме 2 из п. 3 существует функция й(х, ?), непрерыв-
непрерывная в C2(G) по t на [0, оо) и такая, что при всех Т > О
^^й, * ^оо, в ?2(G), tG[O,T].	B6)
С другой стороны, из B3) следует, что Uk —>¦ и, к —у оо, в Р;
(функции Uk w и считаем продолженными нулем вне цилиндра Ц^)-
Отсюда, пользуясь непрерывностью в V операции обобщенного диф-
дифференцирования (см. §2.2, п. 2, а)), заключаем, что
дик ди	,
~^Г -> ^7' к^ °°' в Р •
at at
На основных функциях у? из Р(Доо) с учетом B6) имеем
Uifdxdt^r- \ -—^
у dt
00,
откуда вытекает равенство (см. § 2.1, п. 5)
щ =й, (x,t) G Доо-
Таким образом, в силу B6) доказано первое предельное соотноше-
соотношение B5). Второе соотношение B5) доказывается аналогично.
в) Обобщенное решение u(x,i) удовлетворяет начальным усло-
условиям B) в следующем смысле:
\\и-ио\\^0, || \gididx(u - ио)\ || -»> 0, ||г^-iii||-> 0, t-> Q.
B7)
Для доказательства перейдем к пределу при к —у оо в нера-
неравенстве
|Кж,0) -ио(х)\\ ^ ||^(ж,0) -ик(х,0)\\ + \\ико(х) -ио(х)\\,

§6.2. Смешанная задача для уравнения гиперболического типа 359
используя предельные соотношения Uk(x, 0) —> и(х, 0) и Uko(x) —У щ(х)
в C2(G). В результате получим и(х,0) = щ(х). Отсюда в силу непре-
непрерывности функции u(x,t) в C2(G) по t Е [0, оо) убеждаемся в спра-
справедливости первого соотношения B7). Аналогично, используя свойст-
свойство б), получим и остальные соотношения B7).
Вопрос о том, в каком смысле обобщенное решение u(x,t) удов-
удовлетворяет граничному условию C), подлежит дальнейшему вы-
выяснению.
5. Единственность и непрерывная зависимость обоб-
обобщенного решения. Докажем, что оценки A2), A3) и A4) остаются
справедливыми и для обобщенного решения u(x,t) задачи A)-C).
Действительно, пусть Uk(x, ?), к = 1, 2,..., — последовательность
классических решений задачи A/)-C/), сходящаяся к обобщенному
решению u(x,i) в смысле B3). Применяя к решениям Uk неравенст-
неравенство A4), получим
IKII ^ Noll
P^Jk(O)t + — f (t - r)\\Fk\\ dr, t > 0, B8)
Po	Po Jo
где
Пользуясь тем, что в силу B3) и B2) (см. п. 4) при к —У оо для любо-
любого Г > О имеем
= o / (wli +p\g™duk0\2+qu2k0)dx + - / p^u2k0dS. B9)
2 Jg	l Jso P
1Ко -ио\\с ->0> ||| graded || -^ || |gradixo| II,
и переходя к пределу в B8) и B9), убедимся в справедливости оцен-
оценки A4).
Оценки A2) и A3) устанавливаются аналогично с помощью пре-
предельных соотношений B5).
Из оценок A2), A3) и A4), как и для классического решения,
вытекают единственность обобщенного решения задачи A)-C) и его
непрерывная зависимость от щ, щ и F в смысле теоремы из п. 2.
6. Существование обобщенного решения. В §6.1, п. 2 бы-
было построено формальное решение задачи A)-C) в виде ряда Фурье
по собственным функциям Xj оператора L
оо
x)>	C°)

360	Гл. VI. Смешанная задача
где
1 Г*
Tj (t) = dj cos л/Xj t + bj sin л/Xj t -\	¦= I Cj (r) sin \f\)(t — r) dr,
VЛ/ Jo
C1)
a, = (uo,Xj)p, bj = -={uuXj)p, Cj(t) = (F,Xj). C2)
A
Возникает задача обоснования метода Фурье, т. е. выяснения
условий, при которых ряд C0) сходится и дает обобщенное или клас-
классическое решение.
Предположим, что щ G М,Ьч ui ^ ?-2(G) и F непрерывна в C2(G)
по t на [0, оо). Докажем, что при этих условиях ряд C0), представ-
представляющий формальное решение задачи A)—C), сходится в ?2F?) рав-
равномерно по t на [0, Т] при всех Т > 0 и определяет обобщенное реше-
решение u(x,t) этой задачи.
Действительно, пользуясь теоремами разложения 1-3 из §5.1,
п. 4 (см. замечание), представим функции щ, grad-uo, Щ и F/р в виде
рядов Фурье по собственным функциям Xj оператора L:
C3)
(X)
= ^ %• grad X^ (ж), ^(ж) = ^2^bjXj(x), C4)
rr),	C5)
где aj, bj и Cj(t) определены формулами C2), причем функции Cj(t)
непрерывны на [0, оо) (см. п. 3). При этом ряд C3) сходится в C(G), a
ряды C4) сходятся в /^(G).
Докажем, что ряд C5) сходится в /^(G) равномерно по t на [0, Т]
при любом Т > 0. Действительно, при каждом t G [0, 00) для функ-
функции F(x,t)/p(x) справедливо равенство Парсеваля-Стеклова (см.
§1.1, п. 8)
= / —т^-dx.	C6)
Jg p{x)
Каждый член ряда C6) есть неотрицательная непрерывная функ-
функция с2(?), и этот ряд сходится к непрерывной функции (см. п.З). По

§6.2. Смешанная задача для уравнения гиперболического типа 361
лемме Дини (см. § 1.1, п. 3) ряд сходится равномерно на любом конеч-
конечном промежутке [0,Т]. Отсюда, оценивая остаток ряда C5) в /^(G),
3=к
j,l=к
j=k
равномерно по t Е [0,Т]
заключаем, что этот ряд сходится в /^
при любом Т > 0.
Обозначим через г^, г^о, Uki и F/, частные суммы рядов C0),
C3), C4) и C5) соответственно, например,
uk(x,t) =
к = 1,2,...
Так как
= \jpXj,
т,-еС2([0,ос)),
= 0, Xj GC2(G)HC1(G),
то функции и^ принадлежат C2(Z(OO) (^(^^^(Доо), удовлетворяют урав-
уравнению A'):
3=1	3=1
граничному условию C') и начальным условиям B'):
к	~	к
з=1
t=0
Таким образом, построена последовательность Uk(x,t),
к = 1, 2,..., классических решений задачи A/)-C/) таких, что справед-
справедливы предельные соотношения B2). В п. 4 было доказано, что такая

362	Гл. VI. Смешанная задача
последовательность (и, стало быть, формальный ряд C0)) сходится
в C2(G) равномерно по t на [0, Т] при всех Т > 0 к обобщенному реше-
решению u(x,t) задачи A)-C). Построенное обобщенное решение u(x,t)
обладает свойствами а), б) и в), установленными в п. 4.
Итак, доказана следующая
Теорема. Если щ Е Л4ь, Щ е jC2(G) и F непрерывна в C2(G)
по t на [0,оо), то обобщенное решение задачи A)-C) существует и
представляется рядом C0) — формальным решением этой задачи.
Замечание. При п = 1 справедлива теорема вложения: если
/'е?2@,0, то/еС([о,г])и
Действительно, из равенства
f(x) = f(xo)+ Г f'(?)<%, х0€[0,1\,
следует, что / Е C([O,Z]). Выбирая точку хо Е [0,/] так, чтобы
и пользуясь неравенством Коши-Буняковского, получим (*):
[	[
JO	JO
/i% xe[Q,l].
\f(x)\ < \f(xo)\ + Г
Jxo
Пользуясь этой теоремой и неравенствами A3) и A4), можно
усилить результаты пп. 2,4-6. В частности, последовательность
Uk(x, t), к = 1, 2,..., сходится равномерно на любом ЦТ = [0,1] х [0,Т]
к обобщенному решению u(x,t), непрерывному на Ц^.
7. Существование классического решения. Возникает за-
задача: выяснить, при каких условиях обобщенное решение C0) зада-
задачи A)—C) является классическим решением. Нетрудно убедиться, что
ряд C0) представляет классическое решение этой задачи, если он и
ряды, полученные однократным дифференцированием по всем аргу-
аргументам, сходятся равномерно в любом конечном цилиндре Цт, а ря-
ряды, полученные двукратным дифференцированием, сходятся равно-
равномерно на любом компакте из Доо. Доказательство же возможности

§6.2. Смешанная задача для уравнения гиперболического типа 363
почленного дифференцирования ряда C0) в общем случае представ-
представляет значительные трудности. Поэтому мы ограничимся рассмот-
рассмотрением смешанной задачи с двумя переменными (ж, t) в полуполо-
полуполосе Доо = @,0 х @,оо)
д2и д ( ди\
{)	C7)
ut\t=o = ui(x)i O^x^l,	C8)
- h2ux\x=0 = HlU + H2ux\x=l = 0, t ^ 0.	C9)
(Считаем, что все А/, больше нуля; см. условия из § 5.2.)
Собственные функции задачи Хк образуют полную ортонор-
мальную систему в С2@,1) (см. §5.2, п. 3) и удовлетворяют интег-
интегральному уравнению (см. § 5.2, п. 2)
rl
Хк(х) = Хк g(x,y)Xk(y)dy,	D0)
Jo
где G(x, у) — функция Грина оператора L (см. § 5.2, п. 1). По теореме
Мерсера (см. §4.4, п. 5)
E^kVx	П( \	(АЛ\
'-—-—*- = д(х,х),	D1)
к=1
причем ряд D1) сходится равномерно на [0,1].
Докажем равномерную на [0,1] сходимость рядов
,421
Равномерная сходимость первого ряда вытекает из интеграль-
интегрального уравнения D0)
/о
равенства Парсеваля—Стеклова (см. § 1.1, п. 6)
fc=l

364	Гл. VI. Смешанная задача
и леммы Дини (см. § 1.1, п. 3). (В силу свойств функции Грина Q(x,y)
последний интеграл есть непрерывная функция на [О, I].) Равномерная
сходимость второго ряда D2) вытекает из равномерной сходимости
первого ряда D2), ряда D1) и дифференциального уравнения
Для задачи C7)-C9) выпишем ряд C0), представляющий обоб-
обобщенное решение этой задачи (см. п. 6):
(X)
u{x, t) = ^2(ак cos л/Xkt + Ък sin л/Xkt),	D3)
^"	D4)
Сначала докажем: если щ Е ЛЛь и щ Е ?2@,/), то ряд C0) схо-
сходится равномерно на Ц^ (к непрерывной на Ц^ функции u(x,t)).
Действительно, так как г^о G Л4ь, то Ьщ G ?2@,/) и
Хк(щ,Хк) = (uo,LXk) = (Luo,Xk).
Отсюда, используя обозначения D4), в силу равенства Парсеваля-
Стеклова (см. § 1.1, п. 6), получаем
к=1	к=1
Применяя к ряду D3) неравенства Коши-Буняковского и учитывая
равномерную сходимость ряда D1) и сходимость рядов D5), убедимся
в регулярной сходимости ряда D3) на Ц^:
к=1	к=1
\
к=1
\
Теперь докажем теорему о существовании классического реше-
решения задачи C7)-C9).
Теорема. Если щ, Ьщ, и щ принадлежат Л4ь, то ряд C0)
представляет классическое решение задачи C7)-C9), причем и G

§6.3. Смешанная задача для уравнения параболического типа 365
Доказательство. В силу условия теоремы, как и в D5), полу-
получаем
D6)
к=1	к=1
Из сходимости рядов D6) и из равномерной сходимости рядов D1)
и D2) следует регулярная сходимость на Ц^ ряда D3) и всех рядов,
полученных почленным дифференцированием его по х и t один и два
раза. Теорема доказана.
Первое строгое обоснование метода Фурье для двух переменных
было доказано В. А. Стекловым.
§ 6.3. Смешанная задача
для уравнения параболического типа
В этом параграфе будет рассмотрена смешанная задача для
уравнения параболического типа (см. § 1.4, п. 4)
ди
р—= div(pgradu) -qu + F(x,t) = -Lu + F, (x,t) E Доо5 A)
u\t=o=uo(x)> xeG;	B)
аи + р —
дп s
= v(x,t), (x,t) e S x [0,oo);	C)
в условиях § 6.1 (здесь Ц^ = G х @, оо)).
1. Классическое решение. Принцип максимума. Клас-
Классическим решением смешанной задачи A)—C) называется функция
u(x,t) Е С2(ДОО)ПС(ДОО), gY&dxu Е С(ДОО), удовлетворяющая уравне-
уравнению A) в цилиндре Доо, начальному условию B) и граничному усло-
условию C).
Для существования классического решения задачи A)-C) необ-
необходимы следующие условия гладкости:
F е (Доо), ^о Е C(G), veC(Sx [0, оо)),
и условие согласованности
auo + fi—^- =v(x,Q).
дп s

366	Гл. VI. Смешанная задача
При изучении краевых задач для уравнения параболического ти-
типа весьма полезным является следующий
Принцип максимума. Пусть функция u(x,t) класса C2(G x
х (О,Г])ПС(ДТ) удовлетворяет уравнению A) в цилиндре Цт и
F(x,t) О б Цт- Тогда либо и ^ 0 на Цт, либо (положительный)
максимум функции u(x,t) на цилиндре ЦТ достигается на нижнем
основании G х {0} или на боковой поверхности S х [0,Т] его, т. е.
и(х, t) ^ max [0, max г&(?, т), max и(^,т)], (ж,?)еДт. D)
Доказательство. Предположим противное, т.е. функция
u(x,t) принимает положительные значения в некоторых точках ци-
цилиндра Ит-> н0 не достигает своего (положительного) максимума ни
на его нижнем основании G х {0}, ни на боковой поверхности S х
х [0,Г]. Это значит, что найдется точка (жо,?о), х0 е G, 0 < t0 ^Т,
такая, что
u(xo,to) > max [0, max г&(?, т), max и(?,т)] = М ^ 0. E)
Положим
e = u(xo,to) - М > 0	F)
и рассмотрим функцию
г Т — t
v(x,t) =u(x,t) + -^y~'
Тогда
v(x,t) ^i/(rr,t) + |, (x,t) eTfTJ
и в силу F) при всех (ж, t) e G х {0} U 5 х [0, Г] имеем
^Оо, t0) ^ ^(ж0, t0) = г + М ^ г + и(х, t) ^
Отсюда следует, что функция г? также принимает свое (положитель-
(положительное) максимальное значение на Цт в некоторой точке (ж',^), ж; G
G G, 0 < t' ^ Г, причем
^(ж7,^) ^v(xo,to) ^? + M.	G)

§6.3. Смешанная задача для уравнения параболического типа 367
Выпишем необходимые условия максимума функции v в точ-
точке О',?'):
Из этих условий, а также из неравенства G) вытекает, что в этой
точке
ди
р — — div(pgrad'u) + qu — F =
= Р ~Ж ~ PAV (d	d) +F+^(
г (р T-t'\	/ T-t'\ ер
что противоречит уравнению A). Это значит, что неравенство E)
неверно и, следовательно, справедливо противоположное неравенст-
неравенство D), что и требовалось установить.
Заменяя и на —и и F на —F, из принципа максимума получим
Принцип минимума. Если функция и класса C2(G х @,Г]) П
ПС(ЦТ) удовлетворяет уравнению A) в Цт и F ^ 0 в Цт, то спра-
справедливо неравенство
г^(ж,?) ^ min[0, min u(^r), min Ц?,т)].	D;)
2. Единственность и непрерывная зависимость класси-
классического решения. Применим принципы максимума и минимума
для установления единственности и непрерывной зависимости клас-
классического решения смешанной задачи A)-C) I рода, т. е. когда в гра-
граничном условии C) а = 1 и /3 = 0:
u\s = v(x,t), (x,t) e Sx [0,oo).	Ci)
(Требование grad^, и G С(ЦТ) для краевых задач I рода излишне; см.
замечание из § 1.4.)
Пусть u(x,t) — классическое решение задачи A), B), Ci) и F G
G С(ДОО). Фиксируем Т > 0 и положим
>	Ml = Nlc(Sx[0,T])>	M0
Рассмотрим функцию
м
%(ж, t) = Цж, t)	t, po = min ^о(ж) > 0.	(8)
A)	^gg

368	Гл. VI. Смешанная задача
Функция х является классическим решением смешанной задачи
A), B), Ci) с заменой F и v на F - -j^M - j^Mt и v - j? t соот-
соответственно. Учитывая, что
F-^-M-^Mt^O, (x,t)eIJT, v- — t^Mu (x,t)eSx[0,T\,
Po Po	Po
и пользуясь неравенством D), получим оценку
X ^ max(M0,Mi),
т. е. в силу (8)
u(x,t) ^ — T + max(M0,Mi), (x,t) G ~ЦТ.
Po
Аналогично, вводя функцию
М
Xi{?,t) = u{x,t) H	t
Po
и пользуясь неравенством D;), получим противоположную оценку
М	—
u(x,t) ^	Г - max(M0,Mi), (x,t) G Цт.
Po
Итак, если u(x,t) — классическое решение задачи A), B), Ci)
и F G С(ДОО), то при любом Т > 0 справедлива оценка
Г
\\и\\с(цт) ^ m^[\\uo\\c(G)' WvWc(Sx[o,T])] + —
Пользуясь полученной оценкой, докажем следующую теорему.
Теорема. Классическое решение задачи A), B), Ci) единст-
единственно и непрерывно зависит от щ, v и F в том смысле, что если
\F-F
\\V ~ ^\
\c(Sx[0,T])
A0)
то соответствующие классические решения u(x,i) и u(x,i) удов-
удовлетворяют неравенству
Т
\\и ~ и\\с(п ) ^ max (?o, ^i) H	е.	A1)
y^TJ	Po

§6.3. Смешанная задача для уравнения параболического типа 369
Доказательство. Единственность решения вытекает из того,
что в силу оценки (9) однородная задача A), B), Ci) (при щ = 0, v =
= О, F = 0) имеет только нулевое классическое решение (см. § 1.1, п. 9).
Для доказательства непрерывной зависимости составим раз-
разность г) = и — и. Функция г) является классическим решением зада-
задачи A), B), Ci) с заменой F, щ и v на F — F, щ — щ и v — v со-
соответственно. Применяя неравенство (9) к функции г\ и пользуясь
оценками A0), получим оценку A1). Теорема доказана.
3. Обобщенное решение. Как и для уравнения гиперболи-
гиперболического типа, введем понятие обобщенного решения краевой зада-
задачи A)-C).	_
Пусть существуют последовательности функций Fk G С(ДОО),
uko eC(G) и^е C(S x [0,oo)), k = 1,2,..., такие, что:
1)	при к —> оо для любого Т > О
Fk -> F в С(ЦТ), vk -+ v в C(S х [О,Г]), ик0 -+ и0 в C(G); A2)
2)	при каждом к = 1,2,... существует классическое решение
смешанной задачи
-Fk;	(V)
iko;	B')
= vk.	C')
s
Предположим, что существует функция u(x,i) непрерывная на
цилиндре Цъо и такая, что при любом Т > О
ик ^ и, к -»> оо, в С(ЦТ).	A3)
Функцию u(x,t) назовем обобщенным решением задачи A)-C).
Из определения обобщенного решения задачи A)-C) следует
(ср. §6.2, п. 4): всякое классическое решение этой задачи является
обобщенным решением ее; для существования обобщенного решения
необходимо выполнение условий F G С(ДОО), щ е C(G), v G C(S x
x [0, оо)); обобщенное решение удовлетворяет начальному условию B);
обобщенное решение удовлетворяет уравнению A) в обобщенном
смысле, т.е. для любой ср G 2)(Доо) выполнено интегральное соот-
соотношение
u[-p^ + L(p)dxdt= Fcpdx dt.	A4)
V ot	J	J
24 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

370	Гл. VI. Смешанная задача
Докажем, что для краевой задачи A), B), Ci) последователь-
последовательность {ик} равномерно сходится на любом Цт.
Действительно, применяя неравенство (9) к разности ик — ир,
при всех Т > 0 получаем
\\ик ~ Ы\с(Цт) ^
т
^ тах[||г^0 - ир0\\с(^^ \\vk - %ИсEх[о,т])] "•	Н^ ~ Fv\\cm у
Ро	т
откуда в силу A2) следует, что последовательность {ик} сходится
в себе в С(ЦТ). Поэтому существует функция u(x,t), непрерывная
на Ц^ и такая, что последовательность {ик} сходится к и в С(ЦТ)
при любом Г > 0 (см. § 1.1, п. 3).
Докажем, что оценка (9) остается справедливой и для обобщен-
обобщенного решения u(x,t) задачи A), B), Ci).
Действительно, пусть ик(х, ?), к = 1, 2,..., — последовательность
классических решений задачи A), B), Ci), равномерно сходящаяся к
обобщенному решению u(x,t) на любом цилиндре Цт. Применяя к
решениям ик оценку (9), при всех Т > 0 получаем
Г
Ро
Учитывая предельные соотношения A2) и A3) и переходя к пределу
в неравенстве A5) при к —> оо, убедимся в справедливости оценки (9).
Из оценки (9) вытекают единственность обобщенного решения
задачи A), B), Ci) и его непрерывная зависимость от щ, v и F в том
же смысле, что и в теореме из п. 2.
4. Существование обобщенного решения. Существование
обобщенного решения докажем для смешанной задачи A)-C) при F =
= 0 и г; = 0
\\ик\\С(Цт) ^ max[IKo||C(G0> \\vk\\C(Sx[0,T])]
ди	.	, ч	_ди
—- = -Ьи, и\1=о = ио(х), au + f3—-
= 0. A6)
s
В §6.1, п. 3 было построено формальное решение задачи A6) в виде
ряда Фурье по собственным функция Xj оператора L:
(X)
и(х, t) = J2 а,-е-Л'-%(а:), % = («0) Xj)p.	A7)

§6.3. Смешанная задача для уравнения параболического типа 371
Предположим, что щ Е Л4ь- Докажем, что при этом условии
ряд A7), представляющий формальное решение задачи A6), сходит-
сходится равномерно на Ц^ и определяет обобщенное решение u(x,t) этой
задачи.
Действительно, пользуясь теоремой разложения 1 из §5.1, п. 4
(см. замечание), представим функцию щ в виде регулярно сходяще-
сходящегося на G ряда Фурье по собственным функциям оператора L:
оо
uq{x) = 2_,ajXj(x).	A8)
3=0
Обозначим через щ и що частные суммы рядов A7) и A8) соответст-
соответственно. Функции Ukj к = 1,2,..., являются классическими решениями
задачи A6) с заменой щ на г^о, причем Uko —> Щ в C(G). Посколь-
Поскольку все А/, больше нуля, то ряд, составленный из абсолютных величин
членов ряда A7), мажорируется на Ц^ равномерно сходящимся на G
рядом
Поэтому последовательность {и^ сходится равномерно на Ц^ к об-
обобщенному решению u(x,t) задачи A6).
Итак, установлена
Теорема. Если щ е Ml-, то обобщенное решение задачи A6)
существует и представляется регулярно сходящимся на Ц^ ря-
рядом A7) — формальным решением этой задачи.
5. Существование классического решения. Как и в §6.2,
п. 7, ограничимся рассмотрением смешанной задачи с двумя перемен-
переменными (ж, t) в полуполосе Доо = @,1) х @, оо)
ди д ( ди\	,1П.
at ox \ ох)
Ч=о = ^о (ж), (Кж^,	B0)
hxu - h2ux\x^ = Щи + Н2их\х=1 =0, t ^ 0	B1)
(при условиях из § 6.2, п. 7).
Теорема. Если щ е M-l, то ряд A7) дает классическое ре-
решение u(x,t) задачи A9)—B1), бесконечно дифференцируемое по t
при t > 0.
24*

372	Гл. VI. Смешанная задача
Доказательство. По теореме из п. 4 и е С(ДОО). Далее, поль-
пользуясь равномерной сходимостью рядов D1) и D2) из § 6.2 и сходи-
сходимостью первого ряда D5) из § 6.2, как и в § 6.2, п. 7, устанавливаем
регулярную сходимость рядов
^|М = ?а.е-А^«(ж))	o<:x<:i, t>0, к = 1,2;
ч	ОО
^—- — V^ п ¦(— \ ЛкР~Хз1 Y .(гА П < т < 1 i>P h — Л *)
ik — 2 Jaj{ лз) e ^j\x)? и ^ ж ^ t, i ^ t, k — i,z,...
(при любом г > 0). При этом нужно учесть, что величины X^e~Xjt
равномерно ограничены при j = l,2,...,t^s. Теорема доказана.

Дополнение
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
§Д.1. Функции Бесселя
Функции Бесселя возникают при решении уравнений, связанных
с оператором Лапласа А на плоскости,
-Д«(ж, у) = --^--^ = Хи + f(x, у).
Действительно, в полярных координатах (г,ср),
х — т cos if, у = г sin ip,
это уравнение принимает вид
1 д ( ди\ 1 д2и ^ ~ ч	„, ч
Если решение и (г) не зависит от (р, то последнее уравнение при / = О
принимает вид
и" (г) + -и'(г) +\и(г) =0
г
и является частным случаем уравнения Бесселя
2и"
х2и
^ + (ж2 - г/2Iх = 0.	A)
Всякое решение уравнения Бесселя, не равное тождество нулю,
называется цилиндрической функцией.
1. Определение и простейшие свойства функции Бессе-
Бесселя. Рассмотрим функцию

374
Дополнение. Специальные функции
зависящую от параметра v Е (—00,00). Эта функция представима в
виде
где fu(C) — целая функция,
оо
Л (С) = У"
к=0
C)
D)
Действительно, по признаку Даламбера [2] ряд D) сходится рав-
равномерно на всяком компакте плоскости комплексного переменного ?,
и поэтому определяет целую функцию.
В частности, Ju(x) — однозначная аналитическая функция при
v = О, =Ы,... и многозначная аналитическая функция при v ф О, =Ы,...;
в последнем случае мы выделяем ту ветвь ее, где xv > 0 при х > 0.
Проверим, что Jv(x) удовлетворяет уравнению A). Пользуясь
соотношением T(z + 1) = zT(z), получим
= ?¦
к=0
+ i/)B& + v - 1) + 2A; + v - v2} /x-fk+»
(f)
V2/ "
k=l
(If+"=
= —Ж
к=0
что и утверждалось.
Цилиндрическая функция «Л, (ж) называется функцией Бесселя
порядка v.
В частности,
(-i)A
= W — sin ж,
7ГЖ
COS Ж.
E)

§ДЛ. Функции Бесселя	375
Если v не целое число, то функции Jv{x) и Yv{x) — J-V{x) ли-
линейно независимы, поскольку согласно B)
, х^О, !/#±1,±2,... F)
Если же v = п — целое число, то
J-n(x) = (-l)nJn(x),	G)
так что функция Jn(x) и J_n(x) линейно зависимы.
Докажем равенство G). Учитывая, что Г(—к) = оо, к = 0,1,...,
из B) имеем
к2к-п
^пГ(к-п + 1)Г(к + 1) V2,
Отметим, что если v — п — целое неотрицательное число, то
второе линейно независимое решение Yn(x) уравнения Бесселя A) об-
обладает свойством
(П[ + ()],	^,
Yn(x) = {	х -+ 0,	(8)
[1[ <эA)], п = 0,
при некоторых постоянных сп ф 0.
Это утверждение вытекает из формулы Остроградского—Лиу-
вилля (см. [5]) при р(х) = ж,
Y^(x)Jn(x) - Yn(x)J'Jx) = ^, ап ф 0,
откуда
так что
Y(x)-J(x)\b -а Г-*-1
Выбирая жп достаточно малым и пользуясь асимптотикой F), из (9)
получаем (8).

376	Дополнение. Специальные функции
2. Свойство ортогональности. Если \±\ и \±2 — веществен-
вещественные корни уравнения
М=0, а^О, р^О, а + /3>0, A0)
то при v > — 1
/ xJv(ii1x)Jv(ii2x)dx = 0, Mit^mL	A1)
Г xJ^x) dx = 1 [J'M]2 + I Л - 4) ^2(^i).	A2)
Доказательство. Пусть /ii и /i2 — любые вещественные числа.
Функции Jv(nix) и Ju(fi2x) удовлетворяют в силу A) уравнениям
d Г б?Л(^хI / 2 г/2\	.
^~ Г	^^ + \^х	М»гх) =0, г = 1,2.
ах [ ах J \	х у
Первое из этих уравнений умножим на «ЛД/хгж), а второе на Jv{
затем вычтем почленно одно из другого и проинтегрируем по интер-
интервалу @,1). В результате получим
f1 d Г ( 7 / dJv(fiix)	dJv([i2x)\~\
Jo ®x \_ \	ax	ax J J
I / xJ1y(/iiix)J1y(iii2x)dx,
Jo
— (lA —
/	x. A3)
io
Но из B) при х ->• +0 имеем (ср. F))
и поэтому
O(x2z/+2),	X ->• +0.

§ДЛ. Функции Бесселя	377
Таким образом, в силу условия v > — 1 левая часть равенства A3)
обращается в нуль при х = 0 и мы получаем
A4)
Если теперь \i\ и \i^ — корни уравнения A0),
olJv{\l\) + PfjLiJKfjLi) = 0, aJv{ii2) + P^JК1Л2) = 0,	A5)
а числа аи^не равны нулю одновременно, то определитель линейной
системы A5) равен нулю:
H2)J'v(Hl) — 0.
Отсюда и из A4) следует свойство ортогональности D).
Пусть \i\ — корень уравнения A0). Переходя в равенстве A4)
к пределу при \i^ —У \i\ и пользуясь правилом Лопиталя и уравнени-
уравнением A), получим формулу A2):
dx = lim —	2 [Mi^(^2)^(^1) - А*2«/1/(
3. Рекуррентные соотношения для функции Бесселя.
Справедливы следующие рекуррентные соотношения:
Jl(x) = J,_i(x) - - Л (ж), J^(x) = -Jv+1(x) + - Л (ж). A6)
X	X
Действительно, согласно определению B)
J'V(X) - Ъ-!(Х) =
(-l)*Bfe + I/)(~
+ v)T{k
+ 1)J V2/

378	Дополнение. Специальные функции
и левая формула доказана. Аналогично проверяется и правая фор-
формула.
Формулы A6) можно переписать в виде
[xvJv(x)]' = xvJv^(x), [x-vJv(x)]' = -x~vJv+1(x).	A7)
Отсюда получаем
lx±UMx)] = (±Vmx±u-mJl>Tm(x), m = 0,l,... A8)
В частности, из формул E) и A8) при m = 0,1,... имеем
т ,М-( Г)тА[2 rm+i/2
xdx, „	(ig)
COS Ж
Наконец, вычитая формулы A6) друг из друга, получаем еще одно
рекуррентное соотношение:
Л+iO) - — Л (ж) + Л-iO) = 0.	B0)
х
4. Корни функции Бесселя. Докажем следующие свойства
корней уравнения A0) при v > — 1. (При /3 = 0 это уравнение опреде-
определяет корни функций Бесселя.)
Теорема. Корни уравнения A0) при v > — 1 вещественные,
простые, кроме, возможно, 0; они симметрично расположены от-
относительно точки 0 и не имеют конечных предельных точек.
Доказательство. Вещественность корней. Из формулы B) в
силу вещественности Г(?) при вещественных ? получаем Jv{x) =
= Jv(x), так что при вещественных а и /3
Поэтому, если \i — корень уравнения A0), то Д — также его корень.
Если /j2 ф]12, то, применяя формулу A1) с \i\ — \i, /12 — ~Р, получим
противоречие:
0= / xJv{nx)Jv{nx) dx = /
Jo	Jo
= I x\Jv{jix)\ dx.

§ДЛ. Функции Бесселя	379
Поэтому /i2 = /i2, т. е. либо \i вещественное, либо \i-ia — мнимое чис-
число, а/0 вещественное. Но последний случай невозможен, поскольку
в силу B) и Г(?) > 0, i > О
Симметрия корней и отсутствие конечных предельных точек
следуют из представления (см. C))
и из того факта, что нули целой функции не могут иметь конечных
предельных точек (см. [3]).
Докажем простоту корней. Пусть /ig > 0 — корень уравне-
уравнения A0) кратности ^ 2, так что
-\-PfJLoJKfJio) =0,
- — ) Л(/х0) + ск^(^о) = 0
в силу уравнения D).
Из системы B1) заключаем:
а)	либо Л(^о) = Jl(fJ>o) = 0;
б)	либо ее определитель а2 + Р2(^о — v2) = 0.
Случай а) невозможен в силу теоремы единственности решения
уравнения A), поскольку точка /io не особая для него. Докажем, что
случай б) также невозможен. Для реализации б) необходимо /3 > 0 и
0</i0 ^ М-
Подставляя это выражение в первое из равенств B1) и возводя в квад-
квадрат, получим
4
что в силу A2) приводит к противоречивому равенству
I
,dx = 0.
о

380	Дополнение. Специальные функции
Теорема доказана.
На основании установленной теоремы положительные корни
уравнения A3) можно перенумеровать, располагая их в порядке воз-
возрастания
fi[u) < /4^ < • • •	B2)
Приведем для примера первые три корня Jo(x):
/40) = 2,4048, /40) = 5,5201, /4°} = 8,6537.
Выпишем без доказательства асимптотику функции Ju(x):
- -v - -) + О(ж~3/2), х -)> оо. B3)
2 4/
Отсюда вытекает приближенная формула для корней Jv[x)
Н -Х+2г/ + ^'
5. Краевая задача на собственные значения для уравне-
уравнения Бесселя. Пусть v ^ 0. Рассмотрим краевую задачу на собст-
собственные значения
V2
Lvu = -(хи'У Н	и = Ххи, 0 < х < 1,	B4)
Цж) = 0(ж7), ж -)> 0, аглA) + /Зи'A) = 0,	B5)
где 7 = min(z/, 1), а ^ 0, ^ ^ 0, а + /? > 0. К области определения Mlv
оператора Lv отнесем функции и{х) класса С2(@,1]), удовлетворяю-
удовлетворяющие граничным условиям B5) и условию: x~xl2Lvu G ?2@,1); Л4ьи
плотно в ?2@,1).
Из определения Мь„ непосредственно вытекает: если и G
G М.ь„, то
L1/ueC2@,l), xu'(x)^0, х^О.	B6)
Оператор Lv положительный (и, стало быть, эрмитов; см. § 1.1,
п. 10), причем
Г1 /,9	9 Г1 Ы\2	а , Ч19
(LjyU^u) = / хи\ dx + v I LJ— dx + — иA)\ ^0, и G .Ml
Уо	Jo х	Р
B7)

§ДЛ. Функции Бесселя	381
(при /3 = 0 последнее слагаемое в B7) выпадает).
Действительно, B7) следует из B5) и B6):
f1	f1	f1 М2
(Luu,u) = / [Lvu)udx = — / (xu')'udx + is2 / -—— dx =
./о	«/о	«/о ж
= / x\u\ ax — xuu\0 +v I 	dx =
= Г x\u'\2dx + v2 f'^dx+^
Jo	Jo x	P
Каждое собственное значение Л оператора Lv неотрицательное
и простое. Для того чтобы Л = 0 было собственным значением опера-
оператора Lj,, необходимо и достаточно, чтобы v = а = 0; ему соответст-
соответствует (единственная) собственная функция и(х) = const.
Действительно, из неотрицательности квадратичной формы
(LjyU, и) следует неотрицательность собственных значений Л; при
этом, как и в §5.1, п. 4, устанавливаем, что Л = 0 — собственное
значение тогда и только тогда, когда v = а = 0, и ему соответствует
собственная функция и{х) = const. Простота Л доказывается так же,
как и в § 5.2, п. 3.
Пусть /io — корень уравнения A0). Тогда из уравнения Бес-
Бесселя A) и из F) следует, что Ло = /ig — собственное значение и
Jv(Hox) — соответствующая собственная функция оператора Lv. Об-
Обратно, пусть Ао — (положительное) собственное значение и uv(x) —
соответствующая собственная функция оператора Lv. Тогда (см. п. 1)
uv{x) — C\Jv{\f\^x) + C2Yv{\/\)x).
Но из первого граничного условия B5) и из F) и (8) следует, что С<± —
—	0. А тогда uv{x) — CiJv(\/\ox), и из второго граничного усло-
условия B5) следует, что /io = л/^о есть корень уравнения A0).
Таким образом,
А^ = [^]2, U№x), k = 1,2,...,	B8)
—	все собственные значения и собственные функции оператора Lv.
6. Неоднородная краевая задача для уравнения Бесселя.
Пусть Л = 0 не есть собственное значение оператора Ь„, т.е. либо
v > 0, либо v — 0, а > 0. Пользуясь методом из § 5.2, п. 1, построим
функцию Грина Gu(x,y) оператора Lv.

382
Дополнение. Специальные функции
Пусть v > 0. Легко проверить, что xv и x~v — линейно неза-
независимые решения уравнения Lvu — 0. При этом функция v\{x) — xv
удовлетворяет первому граничному условию B5), а функция
г?2(ж) = axv + х
а =
—	,
удовлетворяет второму граничному условию B5). Поэтому в соот-
соответствии с формулой A0) из §5.2 функция Qv{x,y) имеет вид
cvxv(ayv + у'"), 0 ^ х ^ у,
cvyv{axv +x~v), y^x^l,
B9)
при некотором cv ф 0.
Пусть v — 0 и а > 0. Функции 1 и In ж — линейно независимые
решения уравнения Lqu = 0. Можно положить v\[х) = 1, v^[x) = — ^ +
+ In ж и
.») =
hi"
Решение краевой задачи
со (	Ыпз/ ), 0 ^ ж
C0)
единственно и выражается формулой
= / gv{x,y)f{y)dy.
Jo
C1)
C2)
Это утверждение устанавливается так же, как и в § 5.2, п. 2.
Единственное различие связано с первым граничным условием B5).
Проверим его выполнение. Пусть v > 0. Тогда, пользуясь B9) и нера-
неравенством Коши-Буняковского, получаем
\и(х)\ =
v) Г yvf(y)dy + cvx» f (ayv
JO	Jx
O(xv)
2v+1
dy Jj

§ДЛ. Функции Бесселя	383
\f{y)?j = 0{xv) + 0(x) = 0(х-<)
при x —> О, что и требовалось. Аналогично, и даже проще, рассмат-
рассматривается случай v = 0.
7. Полнота функции Бесселя. Введем пространство
?2 [@,1);ж] — функций со скалярным произведением и нормой
= /
./о
В силу результатов предыдущего пункта, как и в § 5.2, п. 2, за-
заключаем, что если А = 0 не есть собственное значение оператора Ь„,
то задача на собственные значения B4), B5) эквивалентна задаче на
собственные значения для однородного интегрального уравнения
f1
Jo
Переходя к новой неизвестной функции v{x) = у/хи(х), приведем
интегральное уравнение C3) к эквивалентному виду (ср. § 4.4, п. 6)
v(x)=\f y/xyGv(x,y)v(y)dy, veC([0,l\).	C4)
Jo
В силу B9) и C0) ядро ^/ху Qv{x,y) вещественно, непрерывно и сим-
симметрично. Поэтому к интегральному уравнению C4) применима тео-
теория Гильберта-Шмидта (см. §4.3 и §5.1). В частности, существу-
существуют собственные значения Ajj. и \fxJv (у Ajj. ж) — соответствующие
собственные функции, к = 1,2,..., ортогональные в ?2@,1) (см. п. 5).
Таким образом, мы доказали, что краевая задача B4), B5) име-
имеет собственные значения А^ < А^ < • • • ? являющиеся квадратами
положительных корней /Д уравнения A0); соответствующие собст-
собственные функции Jv{fi^ х) образуют ортогональную систему в
/^2[@,1); ж], причем в силу A2)
1 / И 2
2
Справедлива следующая
Теорема. Если и е M.lv-, то функция л/хи(х) разлагается в
регулярно сходящийся ряд Фурье по системе функций

384	Дополнение. Специальные функции
к = 1,2,...:
~	' *	' *	¦• C6)
k = l
Л
Доказательство. Доказательство следует доказательству тео-
теоремы Стеклова (см. §5.2, п.З). Если и Е M.lv-> то Lvu = /, где / Е
Е С(@,1]), ж/2/ Е ?2@,1) (см. п. 5). По доказанному (см. п. 6) функ-
функция и(х) выражается через ядро Qv(x,y) по формуле C2), т.е.
Г ( \ С 1—п ( \HV) j
Jo	у/У
Таким образом, функция ^/хи(х) истокообразно пред ставима через
вещественное непрерывное симметрическое ядро <sJxyQv(x,y). По
теореме Гильберта-Шмидта (см. § 4.4, п. 1) эта функция разлагает-
разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям
\ZxJv(il?x) этого ядра.
Если же Л = 0 есть собственное значение оператора Lv (т. е.
при v — а = 0; см. п. 5), то, как и в §5.2, достаточно рассмотреть
задачу
— (хи')' + хи = (Л + 1)хи, и(х)=ОA), х —у 0, и'A) = 0.
Теорема доказана.
Множество функций {у/хи(х), и Е M.lJ\ плотно в ?2@,1). По
теореме каждую функцию вида л/хи(х), и Е Mlv> можно сколь угод-
угодно точно приблизить в ?2@,1) линейными комбинациями ортогональ-
ортогональной системы функций y/xJy^ii^ ж), к = 1, 2,... Отсюда по теореме из
§ 1.1, п. 7 следует, что эта система полна в ?2@,1).
Итак, система собственных функций Jv{n\ x), к = 1, 2,..., пол-
полна в пространстве ^[@,1); ж].
8. Другие цилиндрические функции. Наряду с функциями
Бесселя Jv (x) большое значение для приложений имеют другие типы
цилиндрических функций. К их числу относятся:
функции Ханкеля первого рода
ije	j—l/\<x)\, v 7= /7,,
Sin 7Г1У
я«(Ж) = их) + i [^) _ (_1Г^М1

§ДЛ. Функции Бесселя	385
функции Ханкелл второго рода
^	^	v{x)e™v - J-V(x)],
функции Неймана
(х) =	 [Jv (х) COS 7Г1У - J-v [х)\, V ф П,
Sill 7Г1У
"v ' * L аи ^' dv Av=n
функции мнимого аргумента
Iv(x) = ехр I --vi \jv(ix), Kv{x) = — exp I -vi \н?
Таким образом,
)v{),
)-iNv{x).
Пользуясь асимптотикой B3) для Jv{x), получим при х —У +оо
Н^{х) = ^ ехр {г (х - \ v - J) } + О(х~^),	C8)
Н^{х) = ^А ехр|-г (х- \v- 1)} +О(Ж/2), C9)
N,(x) = J2- Sin (x - J v - Ж-\ + О(х~3/2),	D0)
V тгж V 2 4/
,	D1)
-x[l + O(x-%	D2)
Аналогично, пользуясь F), получим при х —У +0
Щ'(х) =	In —Ь ...,	Щ'(х) = — In —h ...,	D3)
2 1	1
7Г X	X
25 В. С. Владимиров, В. В. Жаринов

386	Дополнение. Специальные функции
§ Д.2. Сферические функции
Сферические функции возникают при решении уравнения Лап-
Лапласа в пространстве
. , ч д2и д2и д2и ^	,	ч	/Л.
Аи(х) = -д~2 + ^-2 + ^т = °' х = (Ж1?ж2,жз).	A)
КУ JU 1	КУ JU О	КУ JU О
Действительно, в сферических координатах (г,0,(р),
xi = г sin 0 cos (р, Ж2 = г sin 0 sin (р, жз = г cos в,
уравнение Лапласа (см. A4) из §1.3) для функции й(г,0,(р) =
= u(xi,X2,xs) принимает вид
г2 дг
B)
Если решение и искать в виде и = rxY(в, ср), то функция Y@,(p) долж-
должна удовлетворять уравнению
Ниже мы увидим, что решения уравнения C), бесконечно диф-
дифференцируемые на двумерной единичной сфере S2 пространства М3,
существуют при целых значениях Л = I = 0,1,... Такие решения на-
называются сферическими функциями.
1. Определение сферических функции. Сферической функ-
функцией {сферической гармоникой) порядка I = 0,1,... называется всякий
однородный гармонический полином степени /, рассматриваемый на
двумерной единичной сфере S2 = Si трехмерного пространства М3.
Такое определение сферических функций можно сформулиро-
сформулировать для любого числа переменных, в частности на окружности S1
(одномерной единичной сфере на плоскости).
Таким образом, между сферическими функциями У/(з), s G S2,
порядка I и однородными гармоническими полиномами щ(х), х G М3,
степени I равенство

§ Д.2. Сферические функции	387
устанавливает взаимно однозначное соответствие.
Сферические функции У\ и Yy различных порядков ортогональ-
ортогональны в /^(S2),
(YhYi,)= f Yl(s)Yl,(s)ds = 0, 1ф1\	E)
Действительно, применяя формулу Грина (8) из §5.1 для ша-
шара U\ к гармоническим полиномам
[ X \	I [ X \
щ(х) = \x\lYi[ —г , uv{x) = \x\l Yv[-r—A,
\\х\ J	\\х\ J
получаем
Yl(s)Yl,(s)ds = (l-l') f Yl(s)Yv(s)ds,
1	JS2
S2 [ dr	dr \ r=1
что и требовалось установить.
Для примера вычислим все сферические функции У\ на окруж-
окружности S1. Это удобно делать в полярных координатах (г, у?). Приме-
Применяя к гармоническому полиному
щ(х) = г1Щ(р)	F)
оператор Лапласа (см. A5) из § 1.3), для сферической функции Yi(ip)
получаем дифференциальное уравнение
У/' + fYi = О,
откуда
Yi(ip) = щ cos lip + bi sin l(p, I = 0,1,...	G)
Итак, сферические функции на окружности — это тригонометричес-
тригонометрические функции. При этом в силу F) и G)
щ (ж) = г1 (a/ cos Icp + bi sin lip) = сц Re zl + bilmz1, z = x\ + ix^,
дает общий вид однородного гармонического полинома степени
1в12.
Наша задача — вычислить все сферические функции YiF,ip),
I = 0,1..., на сфере S2.
25*

388	Дополнение. Специальные функции
2. Дифференциальное уравнение для сферических
функции. Выведем дифференциальное уравнение для сферических
функций на сфере S2. Применяя к гармоническому полиному
u,(x)=rlYtF,<p)	(8)
оператор Лапласа, получаем дифференциальное уравнение C) при
А = /
S^S^S	o.	,9,
sin030V дв) ' sin20cV2 ' v
Решение уравнения (9) будем искать в классе С°°E2).
Для того чтобы функция У/ была сферической функцией по-
порядка I, необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала клас-
классу С°°E2) и удовлетворяла уравнению (9).
Необходимость условий уже доказана. Докажем их достаточ-
достаточность. Пусть функция Y\ Е С°°E2) есть решение уравнения (9). Тогда
функция щ, построенная по формуле (8), удовлетворяет уравнению
Лапласа в сферических координатах и, значит, гармонична при х ф
Ф 0. Кроме того, эта функция ограничена в окрестности точки х =
= 0. По теореме о стирании особенностей гармонической функции
(см. §5.3, п. 6) функция щ гармоническая в М3. Далее, эта функ-
функция однородная степени I. Отсюда, используя теорему Лиувилля (см.
§ 5.3, п. 9), заключаем, что щ — однородный гармонический полином
степени I. Это и значит, что функция У\ есть сферическая функция
порядка I.
Для нахождения решений уравнения (9) применим метод Фурье.
В соответствии с общей схемой этого метода (см. §5.4 и §6.1) ищем
решение Y\ уравнения (9) в виде произведения
(ю)
Подставляя выражение A0) в уравнение (9) и деля его на
РФ
. 2 /о ПОЛУЧИМ
sm2 в' J
V{cosO)	'
Левая часть равенства A1) не зависит от в, а правая от (р. Следо-
Следовательно, каждая из этих величин не зависит ни от в, ни от ср, т. е.
является постоянной величиной. Обозначая эту постоянную через г/,

§ Д.2. Сферические функции	389
из равенства A1) для неизвестных функций Ф и V и параметра v
получаем уравнения
ф" + г/ф = 0,	A2)
1 d Г „dP(cos в)
г—г sin<9
sin OdO	dO
sin
Чтобы функция A0) была однозначно определена на сфере S2,
необходимо, чтобы Ф была 2тг-периодической функцией. Но такие ре-
решения уравнение A2) имеет лишь при v = т , т = 0,1,..., и тогда
Ф(<р) = е*го«\	A4)
Таким образом, задача нахождения сферических функций
свелась к уравнению A3) при v = т , ттг = 0,1,... Совершая в этом
уравнении замену переменной \i — cos#, для функции V{\i) получаем
уравнение
-[A - ц2)Г'}' + -^L. v = l(l + l)V.	A5)
1 /I
Решения уравнения A5) в точках =Ы должны принимать конечные
значения ^(±1I < оо.
3. Полиномы Лежандра. При т = 0 уравнение A5) прини-
принимает вид
[A - И2)Р']'+ 1A + 1)Р = 0.	A6)
Проверим, что полиномы
W = ^y|^2-l)', / = 0,1,...,	A7)
называемые полиномами Лежандра, удовлетворяют уравнению A6).
Равенство A7) называется формулой Родрига.
Действительно, полагая W/ = (/i2 — 1)' и дифференцируя тож-
тождество
(/i2 - i)w; - 2ifiWi = о
+ 1 раз, получаем
(ц2 - V)Wll+2) + 2Й1У1{1+1) - 1A + l)Wll) = 0.

390	Дополнение. Специальные функции
Таким образом, функция И^ и, следовательно, полином Т\ удовлет-
удовлетворяют уравнению A6).
Выпишем первые четыре полинома Лежандра:
Го(ц) = 1, V^p) = ц, V2 = -n2--, РзЫ = g »* ~ 2 ^
Из формулы A7) непосредственно следует, что
ПA) = 1.	A8)
Полином Лежандра Р/ — единственное линейное независимое
решение уравнения A6) в классе С2([—1,1]).
Действительно, для всякого решения V Е С2 ([—1,1]) уравне-
уравнения A6) в силу формулы Остроградского-Лиувилля (см. [5] и E) из
§ 5.2) при р(/л) = 1 — [г2 справедливо соотношение
) т^2, И
1 /Jj
Поскольку левая часть ограничена на [—1,1], равенство возможно
лишь при а = 0. Поэтому определить Вронского для решений Т\ и V
обращается в нуль тождественно, и, следовательно, решения Т\ и V
линейно зависимы (см. [5]).
Полиномы Лежандра образуют ортогональную систему в
?2(-1,1).
В самом деле, так как полином Лежандра Vi{p) удовлетворя-
удовлетворяет уравнению A5) при m = 0, то в силу A4) и A0) Vi(cos6) при-
принадлежит С°°E2) и удовлетворяет уравнению (9). Следовательно,
Vi{cosO) — сферическая функция порядка I (см. п. 2). Но сферичес-
сферические функции различных порядков ортогональны в /^(S'2) (см. п. 1).
Поэтому
2тг / Vi(n)Vi>(/i)d/i= / Vi(cos0)Vv(cosв) sinOdOd(p = 0, 1ф1'.
J — 1	./0 «/0
Замечание. Полином Лежандра Р/ является собственной функ-
функцией оператора —[A — /J?)Vf]f, соответствующей простому собствен-
собственному значению Л = 1A + 1). Роль граничных условий здесь играют
условия конечности решения V(/jl) в точках =Ы. Отметим, что функ-
функция 1 — /J2 обращается в нуль на концах основного интервала (—1,1)
и потому не удовлетворяет условиям из § 5.2.

§ Д.2. Сферические функции	391
4. Производящая функция. Пусть х = (г, #, ф) и у = @, 0,1).
Разложим функцию
1	1	1
A9)
\х-у\ л/1 - 2rcos(9 + r2
в ряд по степеням г:
1	^
	= V a/ (cos 0)rl.	B0)
Vl-2rcos6> + r2 ^
Ряд B0) сходится при \г\ < 1 и # Е [О,тг], и его можно почленно
дифференцировать по г и # бесконечное число раз, причем получен-
полученные ряды будут сходиться равномерно по (г, в) на —го ^г^го,0^#^
^ тг, при любом го < 1. Применяя к равенству B0) почленно оператор
Лапласа и учитывая, что функция A9) гармонична в шаре |ж| < 1,
при всех 0 < г < 1 получаем с учетом B)
Отсюда следует, что каждое слагаемое в последней сумме обра-
обращается в нуль, и, следовательно, функции a/(/i) удовлетворяют урав-
уравнению A6), поэтому a/(/i) = CiTi(n) (см. п. 3) и разложение B0) при-
принимает вид
оо
— = У СгVi (cos 6>У.	B1)
2 ^
Для определения постоянных С\ положим в = 0 и воспользуемся ра-
равенством Р/A) = 1. В результате получим
/=о /=о
откуда следует, что С\ — 1.
Итак, справедливо разложение
/1
V1 "
Функция A — 2r\i + г2)~1/2 называется производящей функцией
для полиномов Лежандра.

392	Дополнение. Специальные функции
Из формулы B2) легко получить рекуррентные соотношения
между полиномами Лежандра
ivi-m = о, B3)
B1 + 1)П{ц) = V'l+1 М - VU(м).	B4)
Для этого, дифференцируя тождество B2) по г и \± и умножая
затем на 1 — 2r\i + г2, получим тождества
оо
J2"
- г) JT ЩрУ = A - 2г/х + г2)
1=0	1=0
(X)	(X)
/=0	/=0
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г, получаем со-
соотношения B3) и
vi+м-	B5)
Дифференцируем равенства B3):
- B1 + 1)Щц) - B1 + WM + Щ-М = 0.
Исключая из этого соотношения и соотношения B5) произведение
fiPKfji), получим равенства B4).
Докажем формулу
' = ?"?<""*'= 5ПТ
B6)
Для этого одни из множителей Т\ подынтегральной функции
выразим через Т\-\ и V\-i по формуле B3). Пользуясь ортогональ-
ортогональностью полиномов V\ и V\-2-> получим
ц2 _ f1 B1-1	1-1 \ _ 21-1 Г1
Выражая теперь произведение \iV\ по формуле B3) и пользуясь ор-
ортогональностью полиномов V\-\ и P/+i, получим

§ Д.2. Сферические функции	393
откуда и вытекает формула B6):
Й-1Я-3 1 2	2
11^||
2Z + 1 2Z-1'M " 2Z + 1'
Система полиномов Лежандра Vi, I = 0,1,..., полна в С^^—1,1).
Это утверждение вытекает из теоремы 2 из § 1.1, п. 7 и из теоре-
теоремы Вейерштрасса (см. § 1.1, п.З), согласно которой множество поли-
полиномов, а следственно, и множество линейных комбинаций полиномов
Лежандра плотно в ([—1,1]) и, значит, в >Сг(—1,1).
Таким образом, всякая функция / Е Ci{—1,1) разлагается в ряд
Фурье по полиномами Лежандра
00 21 + 1,
/=о
сходящийся в >Сг (—1,1) (см. § 1.1, п. 7).
5. Присоединенные функции Лежандра. Проверим, что
функции
V{n(p) = (l-H2)m/2vlm)(p), 1 = 0,1,..., т = 0,1,...,1, B7)
называемые присоединенными функциями Лежандра, удовлетворяют
уравнению A5).
Действительно, производя в уравнении A5) замену
для функции z получим уравнение
A - n2)z" - 2/а(т + l)z' + (I2 + I - т2 - m)z = 0.	B8)
С другой стороны, дифференцируя уравнение A6) т раз, убедимся,
что производная v\ удовлетворяет уравнению B8). Следователь-
Следовательно, присоединенные функции Лежандра VJ71 удовлетворяют уравне-
уравнению A5).
Умножая уравнение B8) на A — /i2)m, перепишем его для z =
= V[m) в виде
[A - pi)m+1vlm+1)]' = -(I - т){1 + т + 1)A - ii2)mv\m). B9)
При каждом т ^ 0 система присоединенных функций Лежанд-
Лежандра 73™, I = т,т + 1,..., ортогональна в ?г(-1,1), причем
НР< II -(Г^О!2ГЬ1-	C0)

394
Дополнение. Специальные функции
Это утверждение верно при т = 0 для полиномов Лежандра
Т\ — V® (см. пп.3,4). Отсюда, пользуясь определением функции VJ71
и формулой B9) с заменой m на m — 1, получаем
гп} -р™) = Г VPVIJ1 d/л = ГA - /*2)тоР,(тO>,(,т) d/л =
m-
- f1
J-l
m) f1 (
-m
-m
m)\ 2
что и требовалось установить.
При каждом т ^ 0 система присоединенных функций Лежанд-
Лежандра V]71, I = 7тг,7тг + 1,..., полна в С^^—1,1).
Действительно, возьмем произвольную функцию / класса
?>(-1,1), плотного в ?2(-1,1) (см. § 1.1, п. 7). Тогда
По теореме Вейерштрасса (см. §1.1, п. 3) функцию ф можно сколь
угодно точно приблизить в С([—1,1]) полиномами и, следовательно,
линейными комбинациями производных V\¦ , I = т,т + 1,... От-
Отсюда следует, что функцию / можно сколь угодно точно прибли-
приблизить в /^2(—1,1) линейными комбинациями функций системы V]71, I =
= т,т+1,..., что в силу теоремы 2 из §1.1, п. 7и доказывает полноту
этой системы.
6. Сферические функции. В силу A0), A4) и B7) получена
следующая совокупность решений уравнения (9):
™(cos в) cos rmp, ш = 0,...,/,
\т\
^ (cost') sm \т\ср, т = —1,...,—/,
= 0,1,-.-,
C1)

§ Д.2. Сферические функции	395
или, в комплексной форме,
'•••' C1,}
Эти функции, очевидно, принадлежат классу С°°E2). Поэтому
Ylrn@,cp) — сферические функции (см. п. 2).
Сферические функции YJm, т = 0,±1,...,±/, порядка I линейно
независимы, их линейные комбинации
/
Yi = 2_^ ai Yi \s)	у62)
с произвольными коэффициентами а^ также являются сферически-
сферическими функциями порядка I.
Сферические функции Y™ образуют ортогональную и полную
систему в /^(S2), причем
м^.^мо 4тг (I -
т\)\'
(зз)
Действительно, тригонометрическая система {егт(/?, т = 0,
=Ы,...} ортогональна и полна в ?2@, 2тг), и при каждом т = 0,1,...
система присоединенных функций Лежандра {VJ71^), l = m,m+l,...}
ортогональна и полна в С^^—1,1) (см. п. 5). Отсюда легко доказать,
что система функций
ортогональна и плотна в ?[(—1,1) х @,2тг)], и, следовательно, систе-
система сферических функций {YJm(#,(^)} ортогональна и полна в C2(S2).
Формула C3) вытекает из C0):
rip-/'/"
Jo Jo
Полнота ортогональной системы сферических функций {l^m}
означает, что всякая функция / G /^(S2) разлагается в ряд Фурье по
этим функциям:
(X) /	(X)
/(*) = Y,H «/(wV(s) = Er'(s)'	C4)
/=0 т=-1	1=0

396
Дополнение. Специальные функции
сходящийся в ?2(S2). В соответствии с C3) коэффициенты а^ ря-
ряда C4) вычисляются по формуле
C5)
Пусть Qi(s) — произвольная сферическая функция порядка I.
В этом случае (Q/,1//) = О, I ф V (см. п. 1), и в разложении C4) для
функции Qi остается только одно слагаемое У/, так что Qi =1/.
Итак, доказано: сферические функции Y™ исчерпывают все ли-
линейно независимые сферические функции; формула C2) дает общее
выражение для сферической функции порядка I.
Замечание. Сферические функции Fzm, т = 0, ±1,..., ±1, явля-
являются собственными функциями оператора Бельтрами
1 д
— I sin в —— |	—?
d2Y
sin 0 30V Зв Sm2 в
Y
соответствующими собственному значению Л = 1A + 1) кратности
2/ + 1.
7. Формула Лапласа. Пусть Y/(s) — сферическая функция
порядка /. Применяя формулу Грина E) из §5.3 для шара U\ к гар-
гармоничному полиному rlYi(s), получим при г < 1
1
dnf \x — x'
7Г7 1	77 И ds>- C6)
dn' \x-x'\) \x,=8,
Но в силу B2)
1
х — х'
л/г2Ог(я ,
C7)
\х — х1
д
др л/г2 - 2rp(s, a') + р2
Р=\
l)Pk((s,s'))rk, C8)
р=1

§ Д.2. Сферические функции	397
причем ряды C7) и C8) сходятся равномерно по (s, s') при каждом г <
< 1 (см. п. 4). Подставляя выражения C7) и C8) в формулу C6) и
производя почленное интегрирование, получаем
г'Г, (я) =
Отсюда ввиду произвольности г вытекает следующая важная
интегральная формула для сферических функций:
-ЩзN1к.	C9)
Применяя формулы разложения C4), C5) к функции f(s') =
= Vi((s,s')) и учитывая формулу C9), получим формулу сложения
для полиномов Лежандра
^ -(S)W)-	D0)
т\)\ 1 у ' ' у г
Заменим в равенстве C4) s на s'. Умножая это равенство на
Vk((s,s'))j интегрируя его почленно по s' Е S2 и пользуясь форму-
формулой C9), получаем формулу
Yk(s) = 4^ / f(s')Vk((s,s'))ds'.	D1)
Формула D1) сразу дает все коэффициенты в сферической функ-
функции Yk из разложения C4) функции / G /^(S2). Она называется фор-
формулой Лапласа.
8. Шаровые функции. Построим решения уравнения Лапла-
Лапласа Аи = 0в Е3 методом разделения переменных в сферических коор-
координатах (г, в, ср). В этих координатах уравнение Лапласа имеет для
функции и вид B):
}_д_(г2ди\	1 д (dnO9u\	1 д2и _
г2 дг \ дг ) г2 sin в дв \ дв ) г2 sin2 в дер2

398	Дополнение. Специальные функции
В соответствии с общей схемой метода Фурье ищем решение и
уравнения D2) в виде произведения
и{г,в,ч>)=П{г)Пв,ч>).	D3)
Подставляя это выражение в уравнение D2), для функций 1Z и Y
получаем уравнения
(г2П'У - »П = 0,	D4)
+My = O,	D5)
2
дв \ дв ) sm2 в дер2
где /i — неизвестный параметр. Здесь Y G С°°E2).
При /л = 1A + 1) уравнение D5) имеет решения класса С°°E2),
и этими решениями являются сферические функции Y™ (см. п. 6).
Уравнение D4) при \i — 1A + 1) имеет два линейно независимых ре-
решения: г1 и г~1~1.
Таким образом, в силу D3) уравнение Лапласа имеет следующий
набор линейно независимых решений:
г%т(в,ф), r~/-1F/m(i9,(p), / = 0,1,..., m = 0,±l,...,±m, B6)
где rlYim — гармонический полином степени I и r~l~1Y\ — гармо-
гармоническая функция в I3 \ {0}- Функции D6) называются шаровыми
функциями; они широко используются в математической физике.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Владимиров В. С Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. — М.:
Наука, 1985.
2.	Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.: Физмат-
лит, 2000.
3.	Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функ-
функций комплексного переменного.—Изд. 3-е. — М.: Наука, 1989.
4.	Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгеб-
алгебры.— Изд. 8-е. — М.: Физматлит, 2000.
5.	Р о манко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного ис-
исчисления.— М.: Лаборатория базовых знаний, 2000.

Учебное издание
ВЛАДИМИРОВ Василий Сергеевич
ЖАРИНОВ Виктор Викторович
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Редактор Е.Ю. Ходан
Оригинал-макет А.А. Черепанова
ЛР №071930 от 06.07.99.
Подписано в печать 31.10.02. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная №1. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 25. Уч.-изд. л. 27,5. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru
http://www.fml.ru
Отпечатано с диапозитивов
в РГУП «Чебоксарская типография № 1»
428019 Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15