Автор: Витвицкий П.М. Попина С.Ю.
Теги: прочность сопротивляемость механика физика твердого тела твердое тело
Год: 1980
Текст
АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
' ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
I
п. м. витвицкии,
С. Ю. ПОЛИНА
( ПРОЧНОСТЬ
И КРИТЕРИИ
ХРУПКОГО
РАЗРУШЕНИЯ
СТОХАСТИЧЕСКИ
ДЕФЕКТНЫХ
ТЕЛ
КИЕВ «НАУКОВА ДУМКА» 1980
УДК 539.4
Прочность и критерии хрупкого разрушения стохастически дефект-*
ных тел / Витвицкий П, М., Полина С. Ю. — Киев : Наук, думка,
1980.— 187 с. >
Книга посвящена разработке статистической теории прочности
и хрупкого разрушения тел, ослабленных случайными дефектами —
трещинами, жесткими включениями. На основе решений современной
детерминистической теории дефектов и методов теории вероятностей
изложен алгоритм расчета вероятностных характеристик прочности тел
с произвольным стохастическим распределением параметров дефектов
(размера, ориентации). Построены вероятностные критерии разрушения
таких тел в условиях сложного напряженного состояния. Рассмотрены
случаи изотропных и анизотропных по структурным свойствам материа-
лов, пластин, ослабленных сквозными и поверхностными дефектами*
Показано влияние дефектов, масштабного фактора, вида напряженного
состояния на прочность и критерии разрушения.
Предназначена для научных и инженерно-технических работников,
занимающихся проблемами механики, прочности и разрушения твердых
тел, а также для аспирантов и студентов соответствующих специально-
стей.
Ил. 58. Список лит.: 177—183 с. (130 назв,),
Ответственный редактор В, В* Панасюк
Рецензенты К, Я, Русинка» О* Я. Романне
Редакция технической литературы
В м”1”?)-»» 352.80. 2105000000
© Издательство < Нау ков а думка», 1980
От редактора
Проблеме прочности и хрупкого разрушения твердых тел
уделяется большое внимание. Это вызвано, с одной стороны, широким
использованием в технике современных высокопрочных материалов,
часто склонных к хрупкому разрушению; с другой — стремлением по-
строить физически обоснованную теорию прочности и процесса разруше-
ния. Построение такой теории возможно только на основе углубленного
изучения строения твердого тела и механизмов его разрушения. В про-
цессе потери прочности и разрушения важную роль играют дефекты
различного происхождения в строении тела, особенно трещины, остро-
конечные полости и инородные включения, вызывающие высокую кон-
центрацию напряжений.
I • Размер, ориентация, размещение и распределение дефектов в теле,
как правило, случайны. Дефекты в реальных телах понижают их проч-
ность, а случайность дефектности является причиной случайности зна-
чений прочности, ее разброса, зависимости средних значений прочности
от размера тела и т. п. Статистическая природа разрушения проявляется
и при термофлуктуационном механизме разрушения, поскольку процесс
тепловых флуктуаций стохастический.
Дефектность и случайность в структуре материалов — взаимосвязан-
ные, неотделимые явления. Совместный учет этих факторов при расчете
прочности и построении критериев разрушения твердых тел — актуаль-
ная проблема, особенно теперь, когда накоплены обширные сведения
по механике разрушения тел, ослабленных детерминированными дефек-
тами типа трещин, и налицо успешное применение вероятностно-стати-
стических методов в механике деформируемых тел, В литературе извест-
ны отдельные исследования в этом направлении.
Предлагаемая вниманию читателей монография — первая попытка
систематизированного Изложения и применения комплексного подхода,
основанного на положениях теории развития изолированных дефектов
типа трещин, и методах теории вероятностей, к построению теории проч-
ности и критериев хрупкого разрушения тел, ослабленных случайными,
не взаимодействующими дефектами (трещинами, остроконечными жест-
кими включениями). .
»* \ 3
В книге излагается общая схема расчета вероятности разрушения
и вероятностных критериев прочности тел при сложном однородном на •
пряженном состоянии или других внешних воздействиях и рассмотрен
ряд примеров ее применения к пластинчатым элементам конструкций,
находящихся под действием двухосного поля напряжений или тепло-
вого потока. В едином плане рассмотрены различные виды дефектов
(сквозные и поверхностные трещины, линейные жесткие включения),
различные типы вероятностного распределения параметров дефектов,
изотропные и анизотропные материалы.
Актуальность и новизна исследований позволяет надеяться, что
монография окажется полезной и будет способствовать дальнейшему
развитию статистических методов применительно к проблеме прочности
и разрушения твердых тел,
В, В, Панасюк
. *
Предисловие
В создании теории прочности и разрушения деформируемых
твердых тел в последнее время достигнут значительный прогресс благо*
даря более глубокому проникновению в природу реального твердого
тела и в физику процессов, которые подготавливают и сопровождают
разрушение таких тел/Установлено, что на прочность и разрушение
реальных твердых тел существенно влияют их неоднородность и дефект-
ность (структурные, технологические и деформационные повреждения).
Поэтому при расчетах на прочность возникает необходимость учета
микронеоднородности и дефектности материалов и изделий. Это особенно
необходимо для высокопрочных материалов, склонных к хрупкому раз*
рушению в результате развития трещин.” Среди различных дефектов
трещины, остроконечные полости и инородные включения играют осо-
бую роль, поскольку они вызывают значительную концентрацию
напряжений в деформируемом теле. Развитие таких дефектов в неустой-
чивую магистральную трещину приводит к локальному или полному
разрушению тела. Учет дефектности позволяет более адекватно предста-
вить механизм разрушения как процесс развития трещин, а также
объяснить большое расхождение между теоретическим и техническим
значением прочности реальных тел и значительные различия реальной
прочности наличием в реальных телах дефектов различной опасности.
В настоящее время появилось много работ, в которых исследуется
влияние остроконечных дефектов типа трещин на условия разрушения
тел с такими дефектами. Эти исследования составляют основу современ-
ной механики разрушения. В теории трещин и других остроконечных
дефектов получено немало результатов по определению предельного
состояния тела в зависимости от физико-механических свойств материа-
ла, условий нагружения, геометрии тела и параметров отдельных или
системы дефектов в нем.'При этом все эти факторы считаются заданными
(детерминированными), хотя могут быть и произвольными.
* Однако в действительности в реальных телах в условиях эксплуа-
тации указанные факторы изменчивы, обладают той или иной степенью
случайности. Особенно существенна стохастичность микронеоднород-
1 S
ности и дефектности хрупкого тела (физико-механических характеристик
элементов структуры, вида, размещения и размера дефектов в нем и т. п.).
Поэтому при исследовании предельного состояния реальных хрупких
тел, ослабленных дефектами, и построении на этой Основе физически
обоснованной теории их прочности и разрушения кроме детерминисти-
ческого необходим вероятностно-статистический подход. z
* Известно применение статистических методов в механике деформи-
руемых твердых тел, в частности при рассмотрении проблемы прочности
и хрупкого разрушения. Однако до недавнего времени в большинстве
случаев при статистическом подходе к теории прочности дефекту в
строении твердого тела явным образом не рассматривались. Расчет ве-
роятности разрушения и статистических характеристик прочности тела
в них проводился на основе задаваемого распределения пределов проч-
ности или напряженности элементов тела. Следует отметить, что и этот
подход дал возможность получить ряд интересных результатов, объяс-
нить разброс прочности внешне идентичных тел, влияние масштабного
фактора и других явлений, не объяснимых с позиций классической ме-
ханики твердого тела.
Таким образом, влияние на прочность и разрушение взаимосвя-
занных свойств реальных материалов — дефектность и стохастичность
строения — исследовались раздельно, различными методами. Новые^
возможности открывает совместное рассмотрение указанных свойств.
' Настоящая работа посвящена исследованию прочности и построе-
нию критериев хрупкого разрушения тела на базе комплексного подхода,
опирающегося на результаты современной детерминистической теории
развития отдельных дефектов и методы теории вероятности. Материал
тела рассматривается как среда, ослабленная случайными невзаимо-
действующими между собой дефектами (трещинами, жесткими включе-
ниями, определяющие параметры которых являются случайными вели-
чинами с известными законами их вероятностного распределения). Та-
кой подход несомненно имеет преимущества с теоретической точки
зрения, поскольку физические очаги и носители процесса разрушения —
дефекты структуры, при таком подходе представлены в явном виде.
В книге изложен алгоритм расчета статистических характеристик
прочности и критериев хрупкого разрушения тел с произвольным веро-
ятностным распределением параметров локальной прочности и дефект-
ности материала для общего случая однородного напряженного состоя-
ния и других внешних воздействий. Рассмотрены различные примеры
расчета вероятности разрушения, статистических характеристик раз-
рушающей нагрузки и построения критериев разрушения при плоском
напряженном состоянии стохастично дефектных пластинчатых элемен-
тов конструкций. Исследовано влияние на ^вероятность разрушения
и вид кривых предельного состояния сквознык и поверхностных трещин
6 !
в пластине и жестких линейных включений, а также влияние различных
типов вероятностного распределения размеров (длины, глубины) дефек-
тов и их ориентации в случае изотропных и анизотропных по структур-
ным и прочностным свойствам материалов.
С тех же позиций исследованы вероятностные характеристики пре-
дельного теплойого потока в теплоизолированной стохастично дефект-
ной пластине. '
В работе дан анализ излагаемых результатов, отмечены механиче-
ские эффекты, которые позволяют описать применяемый подход (на-
пример, влияние вида напряженного состояния на вероятность разру-
шения и интенсивность масштабного эффекта и др.).
Рассмотрен также вопрос о влиянии стохастичных отклонений от
прямолинейной формы трещины в пластине на величину предельной
нагрузки на пластину.
Авторы благодарят академика АН УССР В. В. Панасюка за внима-
ние к исследованиям в рассматриваемой области теории прочности
и хрупкого разрушения^ а также признательны С, И, Кутйюза помощь
в подготовке рукописи»
Глава I
ДЕТЕРМИНИСТИЧЕСКИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ
АСПЕКТЫ В ТЕОРИЯХ ПРОЧНОСТИ
И ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
Классические методы расчета на прочность (ра-
ботоспособность) деталей конструкций основаны на резуль-
татах механики сплошных микрооднородных сред с полной
детерминированностью свойств материала, изделия и внеш-
них воздействий на него. Полученные на их основе резуль-
таты достаточно хорошо соответствуют действительности
при условии, что исследуемые закономерности определяются
процессами, охватывающими значительные объемы материа-
ла, например при статическом деформировании пластичных
металлов.
Однако известны случаи, когда зависимости, получен-
ные на основе гипотез о сплошности, микрооднородности
и детерминированности свойств материала и изделия, на-
ходятся в явном противоречии с результатами эксперимен-
тов и практики. Это относится в первую очередь к явлениям
хрупкого и усталостного разрушения, когда наблюдается
существенный разброс (дисперсия) характеристик разруше-
ния (пределов прочности и усталости, долговечности) внеш-
не одинаковых образцов и элементов конструкций при оди-
наковых условиях испытаний и эксплуатации; влияние на
эти характеристики размеров тела (масштабный эффект)
и вида напряженного состояния в теле; заметна связь ха-
рактеристик разрушения с параметрами структуры материа-
ла, ее неоднородности. Эти явления не находят объяснения
в классической механике деформируемого твердого тела.
Имеющиеся в литературе данные показывают, что в ука-
занных случаях закономерности разрушения связаны с ло-
кальным характером протекания процесса. Характеристики
локализированных процессов разрушения определяются не
усредненностью на больших объемах, а местными де-
фектами и флуктуациями свойств материала. Дефекты
9
и микронеоднородности структуры в локализированных
процессах приобретают фундаментальное значение (дефекты
являются источниками разрушения).
С другой стороны, дефектность и микронеоднородность
реальных тел имеют не детерминированный, а случайный
характер. Реальное тело представляет собой статистический
ансамбль взаимосвязанных элементов со случайными физи-
ко-механическими свойствами и случайной дефектностью.
Чем больше объем тела, тем больше вероятность наличия
в нем более опасного дефекта. В конечном итоге это приво-
дит к случайности прочностных свойств тела, к их зависи-
мости от размера тела и другим явлениям, которые могут
быть объяснены с позиций структурного и статистического
анализа.
Таким образом, дефектность и случайность — два взаи-
мосвязанных свойства строения реальных тел, не отделимые
от сущности процесса их разрушения. Инструментом иссле-
дования влияния случайных факторов на прочность служат
методы теории вероятностей и математической статистики.
Теории прочности и разрушения, в которых используются
эти методы, наиболее часто называют статистическими.
Необходимо отметить, что применение вероятностных
(статистических) методов в механике твердых тел не огра-
ничено только явлениями хрупкого или усталостного раз-
рушения. В реальных ситуациях деформирования тел
случайные факторы в определенной мере всегда имеют место.
Было бы полезно построение общей статистической меха-
ники твердых тел, способной по статистическим характери-
стикам входных случайных факторов дать с единых позиций
вероятностное описание напряженно-деформированного со-
стояния и процесса исчерпания несущей способности эле-
ментов конструкций. В этом направлении уже имеются
определенные результаты.
Существенная роль случайных факторов в процессе
хрупкого разрушения и большая практическая значимость
проблемы послужили стимулом к поиску специфических
путей построения статистичской теории разрушения. Для
современных статистических подходов к проблеме разруше-
ния характерно стремление к более полному использованию
результатов детерминистических теорий влияния дефектов
на прочность и условий распространения трещин.
ю
1. Элементы теории вероятностей
Имеется много работ, в которых рассматриваются
положения теории вероятностей и математической статисти-
ки, а также их приложения (15, 27, 28, 83, 91]. Приведем
некоторые сведения из теории вероятностей, используемые
в дальнейшем.
Вероятность случайных событий
В теории вероятностей аксиоматически прини-
мается, что каждому случайному событию В соответствует
определенное число Р (В), удовлетворяющее условию О
Р (В) 1 и называемое вероятностью этого события
(под случайным событием понимается всякий факт, который
в результате опыта может произойти или не произойти).
Вероятность достоверного события (событие, которое в ре-
зультате опыта непременно должно произойти) равна еди-
нице, а вероятность невозможного события равна нулю.
На практике вероятность случайного события может
быть найдена из опытов по относительной частоте появле-
ния события, т. е. отношения числа опытов, в которых со-
бытие произошло, к общему числу опытов. Согласно закону
больших чисел с увеличением числа опытов относительная
частота стремится к некоторому неслучайному пределу,
который принимается за вероятность случайного события.
Если несколько событий могут происходить вместе, то
они называются совместными; совместное появление собы-
тий называется их произведением. Вероятность произведе-
ния двух событий В и С
Р (ВС) = Р (В) Р (С/В) « Р (С) Р (В/С), (1.1)
где Р (В/С) и Р (С/В) — условные вероятности: Р (В/С) —
вероятность появления события В при условии, что про-
изойдет событие С.
События В и С называются статистически независимыми,
если Р (С/В) = Р (С), Р (В/С) Р (В). Для таких событий
Р (ВС) = Р (В) Р (С).
Аналогичная формула для любого числа независимых
событий:
р (В& ... Вп)~Р (Вх) Р (В,) ... Р (Вп). (1.2)
Событие, состоящее в том, что может произойти событие
В или событие С, называется суммой этих событий В + С.
11
Вероятность суммы событий
P(B + Q = P(B) + P(Q—P(BQ. (1.3)
Для несовместимых событий Р (ВС) == 0 и
Р(В + С) = Р(В) + Р (С). (1.4)
Два несовместимых события В и В, для которых
Р (В + В) — 1, называются противоположными. Вероят-
ность противоположного события Р (В) = 1 — Р (В).
Если событие С может появиться вместе с каким-либо
одним из событий Bft (k = 1, 2,..., п), то его полная (без-
условная) вероятность
п
P(C) = ^P(ClBk)P(Bk). (1.5)
fe=i
Случайные величины
и их вероятностные характеристики
Одно из основных понятий теории вероятно-
стей — понятие о случайной величине. Случайной величи-
ной называется величина, которая в результате опыта мо-
жет принять то или другое значение (реализацию), неиз-
вестное заранее.
Случайные величины, принимающие только отделенные
друг от друга значения, которые можно заранее перечис-
лить, называются дискретными случайными величинами.
Существуют случайные величины, возможные значения ко-
торых непрерывно заполняют некоторый промежуток
(конечный или бесконечный).Такие случайные величины име-
нуются непрерывными случайными величинами. В дальней-
шем будем рассматривать в основном непрерывные слу-
чайные величины. Для обозначения случайных величин
используем большие буквы латинского алфавита, для воз-
можных значений — малые.
Вероятностные свойства случайной величины X пол-
ностью характеризуются при помощи функции распределе-
ния F (х), равной вероятности события X < х:
F(x) = P(X< х). (1.6)
Функция F (х) неотрицательная, неубывающая, причем
ДЛЯ X < Хтщ Имеем F (X) = О, ДЛЯ X > Хщах — F (х) = 1
(Xmin, Хщах — соответственно наименьшее и наибольшее воз-
можные значения случайной величины X).
12
Первая производная от функции распределения назы*
вается плотностью вероятности
При помощи функции f (х) вероятность события jq < X <
< ха будет
Р (х1 < X < xj == р (x)dx = F (хг)— F (xj. (1.8)
По известной плотности вероятности вычисляется функ-
ция распределения:
к
F(x)~P(xmia<X<x)~ J f(x)dx, (1.9)
*mln
Плотность вероятности прихтт х Хтах есть неотри-
цательная функция (f (х) > 0), удовлетворяющая условию
*тах
нормировки J f (х) dx « 1. При X < Хт|п, X > Xmax f (х) ?=- 0.
*min
(В дальнейшем для сокращения записи плотность и функ-
цию распределения вероятностей будем указывать только
на области возможных значений случайной величины, всег-
да подразумевая, что вне этой области плотность равна
нулю, функция распределения слева от области равна нулю,
а справа — единице.)
В теории вероятностей и ее приложениях применяется
большое число различных числовых характеристик случай-
ных величин. Здесь мы приведем формулы для их вычисле-
ния, необходимые в дальнейшем. Математическое ожида-
ние (среднее значение, момент первого порядка) случайной
величины определяется по формуле
хтах
(Х) = $.xf(x)dx, (1.10)
*min
Укажем некоторые общие свойства математического
ожидания.
^Математическое ожидание детерминированной (неслу-
чайной) величины с равно этой же величине: (с) с.
Неслучайный множитель выносится за знак математиче-
ского ожидания: (сХ) m с (X).
13
Математическое ожидание суммы случайных величин
равно сумме их математических ожиданий: (X + Y) —
= (X) 4- (Г>.
Для оценки разброса значений случайной величины
около ее среднего значения используется несколько число-
вых характеристик, важнейшей из которых является дис-
персия. Дисперсия (центральный момент второго порядка)
определяется как математическое ожидание квадрата от-
клонения случайной величины от ее математического ожида-
ния:
D(X)= j (x-(X))2f(x)dx. (1.11)
*min
Формула (I. Н) легко приводится к виду
D (X) = J x*f (x)dx — (ХД (1.12)
xmin
Отметим следующие свойства дисперсии.
Дисперсия неслучайной величины с D (с) = 0.
Детерминированный множитель выносится за знак дис-
персии в квадрате: D (сХ) =ы caZ) (X).
Величина D (X) называется средним квадратическим
отклонением (стандартом).
Как относительная характеристика рассеивания случай-
ной величины используется коэффициент вариации (измен-
чивости), определяемый по формуле
ш(Х)=»-£^-. (i.i3)
(л;
Значение хт случайной величины, при котором его плот-
ность максимальна, называется наиболее вероятным (модой);
значение х», вероятность непревышения которого равна
заданному числу р, называется ^-процентным квантилем.
Квантиль удовлетворяет уравнению
FW-I». (1.14)
Система случайных величин
Кроме отдельной случайной величины рассмот-
рим систему п случайных величин Хи ...» Х„ с областями
возможных значений: Л4>ацп ^xi^x> .inax> I 2, /I.
И
Функцией распределения системы случайных величин
называется вероятность совместного выполнения п нера-
венств вида Xi < xt (произведения событий):
F (*!> Х%, • » • , Хп) = Р (^1 < ^1» < Х2, « « • , Хп < Хп).
(1.15)
Совместная плотность вероятности определяется по
формуле
н*»*........
Условие нормировки для системы случайных величин
имеет вид
х1,тах *л,тах
У • • • § f (^i> ^*2» ♦ • • > хп) dXjdXj ... dxn — 1.
*l,tnin *n,min
Следует отметить, что совместная плотность вероятно-
сти — неотрицательная функция: f {хъ х2>..., хп) 0.
Совместная плотность вероятности величин Хг, ...
Хт из системы Хх, Х2, ...» Хт, Хп
f (^1> ^2» • • • » ^ш) =
= У ... У f (хх, х2, . •, xn) dxm . . dxn (1.17)'
Lx Lx
т п
(интегрирование ведется по областям LX(n, Lxm+l, .... Lxn.
реализаций величин Хт, ...» Хп).
По аналогии о формулой (1.1)
f (^1» *^2» • • • » %п) в
= f (хр Х2, • • •> XnJXm-i-Ъ • * • > ^в) f (^/п+1» • • •» ^п)»
где f (Xj, Х2, .... Хп/Хт+1, ...» xn) — плотность условного рас-
пределёния величин .........Хт при условии, что другие
принимают заданные значения хт, ..., хп.
Плотность вероятности безусловного (полного) распре-
деления по аналогии с формулой (1.5) имеет вид
f(xb .... хт) =
~ У * * * У f ^1» • • ’ • Хщ/Хщ+h • • •» Хп) f (Xm-f-l, . • •
£*m+l
• • • > Xfi) dXm-^i . • • dXf^t (1,19)
15-
Статистическая (корреляционная) связь между случай-
ными величинами Xt, Xt в системе характеризуется корре-
ляционными моментами
К (х/^/) = j J (xt — (Х{)) (xf — (Xj)) f (xi, xt) dxidxf.
L*t (1.20)
Для среднего значения и дисперсии случайной величины
Х{, входящей в систему, имеют место такие выражения:
ж1|Гпах */ijinax
~ У • • • J x^f (Xj, • • • 9 Xn) dXi • • • dXfi)
*l,max *л,тах
D (?Q ss У •»♦ У (X/ — (X^f (xy .. ♦, xn) dx1 •. •
...dxn. (1.21)
При изучении систем случайных величин мы будем рас-
сматривать также независимые случайные величины. Слу-
чайные величины Xlt ...» Хп называются независимыми,
если закон распределения (функция распределения, плот-
ность вероятности) каждой из них не зависит от того, какое
значение приняла другая. Для независимых случайных ве-
личин имеют место соотношения
/ (xlt х2, •.., хп) fi (Xj)fi (Ха) . •. fa (Хд); .j 22j
F (Xj, x2, ... xn) Fi (Xj) Fa (Xa) ... Fn (xn).
Для независимых случайных величин корреляционные
моменты равны нулю.
Функции случайных величин
Важным является вопрос об отыскании функции
распределения и плотностей вероятности функций от слу-
чайных величин. Пусть случайные величины гк представ-
ляют собой функции случайных величин Х2,..., Х„:
zk е ф* (Xj, ха, • • •, Хд) (k 1, 2, • • •, tn), (1,23)
Тогда функция F fa, «а» •••» %») совместного распреде-
ления zlt г2,гт вычисляется по формуле
F (^i, Za, ...» 2а) =*
e f ‘ f / (^i> ^8» • • •» %п) dXidxt «• • (1Хц) (1,24)
я
16
Здесь интегрирование осуществляется по «-мерной об-
ласти возможных значений случайных величин Хх, Х2, ...
..., Хп, для которой справедливы неравенства (хх, х2, ...
...» х„) < г* (k = 1,2.m).
Допустим, что т = п и соотношения (1.23) имеют един-
ственное решение относительно величин х1г х2, ...»хп:
xt == ht (zb гг, .... z„) (i = 1, 2.п).
Тогда плотность вероятности /х (zlt zit ..., z„) представ-
ляется выражением dht dzx Jhn_ dzt ’ ”
fl (^1> ^2» ♦ • •» *п) e f (^1> ^2> • • • > Ьп) dhi дг2 dha " dhn dz2 dzt 9
dhj дгп dht dhn ten ' * te2
(1.25)
где f (х1( хг, ..., хп) — плотность вероятности системы слу-
чайных величин Хх, Х2, ..., Хп.
Некоторые распределения случайных величин
1. Нормальное распределение (рис. 1).
Плотность вероятности такого распределения
... I Г (х-ах)« 1 —оо < х < оо, Д > О,
f(x)~ д/ЙГ еХР1 2Д» ]’ —оо<ах<оо. (1.26)
Функция распределения
F (х) = Ф ( . — оо < х < оо, (1.27)
X
где Ф (х) — функция Гаусса, Ф (х) = j е 2 dt.
При этом среднее значение и дисперсия случайной вели-
чины X (X) = ах, D (X) = А2.
Нормальное распределение играет важную роль в тео-
рии вероятностей и статистике. Им описываются случайные
величины, которые формируются под действием большого
числа независимых факторов, влияние каждого из которых
мало.
2 102 <17
2. Степенное распределение (рис. 2).
Плотность этого распределения имеет вид
(s— 1) а3-1
(x + a)s
s> 1, а> 0, 0 х < оо. (1.28)
Рассмотренное распределение представляет собой двух-
параметрическую статистическую модель (s — параметр
формы, а — параметр масштаба) для случайных величин,
изменяющихся в интервале от нуля до бесконечности. Чем
больше параметр s, тем меньше вероятность больших зна-
чений величины X.
На основании выражений (1.9) и (1.28) формула для
функции распределения запишется
F (х) = 1
0s-’
(х-Fa)8-1
О < оо.
(1.29)
Вычисляя по формулам (1.10), (1.12) среднее значение
и дисперсию D (X), имеем
(X> = ^-,s>2; D(X>- J, s > 3.
3. Обобщенное p-распределение.
18
Плотность этого распределения имеет вид
Г(/ + Р) / х-dp \!~Ч 1
Г(/)Г(₽) \ / \
dQ^.x^.d,
i>0, Р>0,
х-4,
d-da I ’
(1.30)
где Г (у) — Г-функция,
00
г (у) = J t^e^dt.
Распределение представ-
ляет важную статистиче-
скую модель для случайных
величин, значения которых
ограничены конечным ин-
тервалом. В зависимости
от значений параметров /
и 0 распределение имеет
различный вид. Распреде-
ление с постоянной или монотонно убывающей плотностью
вероятности имеет место при / = 1 и р = 1 + г (г > 0)
(рис. 3). В этом случае
г>0. (1.31)
Тогда интегральная функция распределения
С I x—d V+I
F (х) = Jf (х) dx « 1 -(1 - • (1.32)
«п
Среднее значение и дисперсия случайной величины с рас-
пределением (1.31) имеют вид
(Х\- d« + d . П(Х\- (d-d0)Hr + l> ,
w — г + 2 ----(г 4-2)» (г 4-3)
При г = 0 распределение превращается в равномерное
/(*) = d-d, ' d^x^d. (1.33)
Все значения случайной величины с равномерным рас-
пределением равновероятны в пределах интервала [d0, d].
При г > 0 распределение может быть использовано для
описания случайных величин, вероятность встречи которых
2*
19
тем меньше, чем больше значение величины. При г = 1
имеем полутреугольное (линейно убывающее) распределе-
ние. Чем больше г, тем больше вероятность встречи случай-
ных величин, близких к наименьшему значению и тем
меньше вероятность встречи больших значений случайной
величины (см. рис. 3).
4. Распределение минимальных значений случайных
величин.
Пусть имеется п значений xlt х2, ..., хп случайной ве-
личины X с функцией распределения F (х). Для функции
распределения Fn (х) величи-
ны tin = min {х„ х2, ..., х„}
известно соотношение
Fn (х) = 1-—(1 — F (х)|л.
(1.34)
Большое значение имеет
асимптотическое представле-
ние функции распределения
F„ (х) при п -> оо, посколь-
ку его можно использовать
для приближенной оценки
Fn (х) при конечных, но до-
статочно больших п. Если
функция F (х) удовлетворяет условиям
„ ( 0, х<х0,
f(X)=>0 х>х- П-35)
lim —(*° + е) = с; с> 0, m > 0, (1.36)
е-»+0 в"1
то для функции распределения минимальных значений
Fn (х) имеет место соотношение
lim Fn (х) — 1 —exp [— сп (х — х0)т|, х > х0. (1.37)
Л«*со
Отсюда следует приближенная формула
F„ (х) = 1 — ёхр [—сп (х—хв)т], х > х0, (1.38)
которая выполняется тем точнее, чем больше п.
Отметим, что параметры с, гц не зависят от п.
Для определения значений этих параметров служит
соотношение (1.36). Функция распределения F (х), удов-
летворяющая условиям (1.35), (1.36), дана в выражениях
20
(1.37), (1.38) посредством параметров с, т. Распределение
вида (1.38) при х0 = 0 введено В. Вейбуллом [130]. Плот-
ность его имеет вид
fn (х) = F' (х) = men. (х—х0)т~' exp [— сп (х — х0)т],
х>х0. (1.39)
Среднее значение и дисперсия для распределения (1.39)
(X) = х0 + ; (1-40)
(cn)m
г(1+ —) — р(1+—)
D (X) = —-------от-< 1• (1.41)
(сп)т
Отметим некоторые свойства функции /п (х) (рис. 4).
При т > 1 функция достигает минимума в точке х — х0
(fn М — 0)- Для 1 < т < 2 плотность распределения
(х) имеет в точке х = х0 вертикальную касательную (при
т = 2 — наклонную касательную).
В случае т 1 функция убывает при любых х. При
т > 1 функция достигает максимума в точке
1
(Mt 1 \ m
^г) • <'-42>
Случайные функции
Случайной функцией X (0 неслучайного аргумен-
та t называется функция, которая в результате опыта может
принять тот или иной конкретный вид, неизвестный заранее.
В результате каждого опыта (реализации) случайная функ-
ция превращается в обычную неслучайную функцию X (/).
Случайная функция X (/) при фиксированном значении ар-
гумента t превращается в обычную случайную величину.
Будем называть ее сечением случайной функции, соответ-
ствующим заданному t.
Несколько сечений в различных точках tlt t2, ..., tn об-
разуют систему случайных величин X (0), X (tj, ..., X (tn).
Для описания случайной функции недостаточно знать ее
плотность f (X (0), зависящую от t, как от параметра.
21
Существенное значение имеет статистическая связь между
сечениями случайной функции, поэтому ее можно описать
«-мерными плотностями вероятности системы сечений
f [х (4), .... х (tn), /„]. Случайную функцию можно
описать и характеристиками, аналогичными числовым ха-
рактеристикам системы случайных величин. Математиче-
ским ожиданием случайной функции X (/) называется не-
случайная функция (X (f)), которая при каждом значении
аргумента t равна математическому ожиданию соответ-
ствующего сечения случайной функции. Дисперсией этой
функции X (0 Называется неслучайная функция D [X (/)],
значение которой для каждого t равно дисперсии соответ-
ствующего сечения случайной функции.
Кроме этих характеристик необходимо знать систему
корреляционных функций, описывающих статистическ}ю
связь (корреляцию) между различными сечениями случайной
функции:
Kxx(t^ Q = (X(/1)XO;
К XXX (tt, /2, /3) = (X &) X (4) X (/3)) и т.д.
Особенно важное значение имеет корреляционная функ-
ция второго порядка Kxx(tlt /8), которая при tx — t2 превра-
щается в дисперсию случайной функции X (t), если (X (/)) =
= 0.
Хорошо изученным классом случайных функций яв-
ляются стационарные случайные функции. Функция X (0
называется стационарной, если все ее вероятностные харак-
теристики не меняются при любом сдвиге аргументов, от
которых они зависят, по оси t. Корреляционные функции
стационарной случайной функции зависят лишь от интер-
валов между сечениями t2 — — т, t3 — 4 = Я и ,т. Д-
Например, Кхх (tu t2) = Кхх (t2 — 4) = Кхх (т) (Кхх (т) —
четная функция).
Стационарные случайные функции обладают свойством
эргодичности, согласно которому осреднение по множеству
реализаций можно заменить осреднением одной реализации
по ее аргументу на достаточно большом интервале.
Для стационарной случайной функции X (t), заданной
на промежутке (—/, I), имеет место такое разложение:
оо
Х(0 = (Х(0>+ S M„cos -f-t + Ba sin -f-f), (1.44)
/1=0 '
где Ап, Вп — некоррелированные случайные величины,
удовлетворяющие условиям
(Ап) = <Вп) = 0; D (Ап) = D (Вп) = Dn. (1.45)
Используя разложение (1.44), нетрудно получить для дис-
персии стационарной случайной функции выражение
D [X (0) = s Dn. (1.46)
л=0
Корреляционная функция может быть представлена
в виде
Kxx(t)= S £>nCOS -S—t (1.47)
л=0 л
Нормально распределенная стационарная случайная
функция колеблется относительно своего среднего уровня.
При этом среднее число пересечений процесса с этим уров-
нем на единичном интервале изменения аргумента опреде-
ляется по формуле (941
N = ~ У--------’ Кхх ® & (1-48)
2. Некоторые сведения
из механики разрушения тел
с дефектами типа трещин
Хрупкое твердое тело разрушается в результате
развития трещин. При разрушении могут увеличивать раз-
меры уже имеющиеся в теле начальные структурные и тех-
нологические дефекты типа трещин и узких сплющенных
полостей, а также могут зарождаться и развиваться трещины
около других дефектовuспособных вызывать большую кон-
центрацию напряжений (например, около остроугольных
инородных включений). При зарождении трещин опреде-
ленную роль могут играть и термофлуктуационные про-
цессы и механизмы (33, 78].
Остановимся на некоторых сведениях о детерминистиче-
ских условиях развития начальных трещин или зарождения
трещин в окрестности жестких включений, полученных
с позиций линейной механики разрушения (в статической
постановке без учета времени протекания процесса).
23
Как известно, Гриффитсу [118), исходя из”1 допущения
о наличии в теле начальных трещин, удалось объяснить
большую разницу между теоретической прочностью твер-
дого тела (прочностью межатомного взаимодействия) и низ-
кой прочностью реальных (технических) материалов. Со-
гласно этому длина трещины 2/ в бесконечной пластине и раз-
рушающие напряжения р, приложенные далеко от трещины
iiiiiijiiiiii и перпендикулярно к ней, свя-
IHIHHIHH заны соотношением
- ”= ’ <1л9)
X где Т — поверхностная энергия
♦ * материала; £ — его модуль Юнга.
-<-? у 9 * Как видим, чем больше раз-
* 'уС X меР трещины, тем меньше раз-
-* —. рушающая нагрузка. Работа
11М А и и 111* Гриффитса [118] заложила осно-
~ вы теории трещин, механики
рис. 5 хрупкого разрушения твердого
тела с заданными дефектами.
В последние десятилетия появилось очень много работ
о напряженно-деформированном и предельном состоянии
тел с дефектами (трещинами, включениями) [63, 64, 68, 69,
77, 97, 125], в которых рассмотрены различные случаи
геометрии тел и дефектов при различных нагрузках. При-
ведем результаты для случаев, используемых в данной
работе.
Предельное равновесие пластины с произвольно ориен-
тированной трещиной при двухосном напряженном состо-
янии.
Пусть бесконечная изотропная пластина толщиной Н
ослаблена прямолинейной сквозной трещиной длиной 21
и подвергнута растяжению — сжатию однородными вне
зоны влияния трещины напряжениями р и q (q — тр),
действующими во взаимно перпендикулярных направле-
ниях, при этом напряжения р направлены под углом а
к плоскости трещины (плоскость трещины нормальна к
плоскости пластины) (рис. 5).
В сплошной пластине (без трещины) нормальные к ли-
нии трещины напряжения
оп « р sin2 a + q cos2 а.
(1.50)
24
При оп > 0 в процессе деформации пластины берега тре-
щины не будут контактировать и такую трещину назовем
открытой. В случае ап < 0 при деформации пластины берега
трещины соприкасаются по всей ее длине и такую трещину
назовем закрытой. Очевидно, что при р > 0, <? > О трещина
всегда будет открытой. Для р >• 0, q 0 на основании вы-
ражения (1.50) можно записать, что ап 0 при 0 | а |
< а® = arctg V —и и а„ > 0 при | а / > а0.
В окрестности вершин трещины компоненты тензора
упругих напряжений <тг, ар, тгр в полярной системе коорди-
нат г, Р (см. рис. 5) определяются такими формулами [63):
1 г*, /е 3 зр \ .
~ 4/27 ^(^COS 2 cos2) +
+ Л, (-5 sin 4- + 3 sin #-')]+ 0(1);
ч =7y^h(3cosl +cos"¥_) “
— ЗЛ2 (sin 4 + sin -$-)] + 0 (1);
\ Z Z f J
t'! = 77f |4sin4 + slnTr) +
(i.6i)
+ kt (cos 4 + 3 cos + 0 (1),
где 0 (1) — ограниченная часть компоненты тензора напря-
жений при г -> 0.
Величины ki и А:г, называемые коэффициентами интен-
сивности напряжений, представляются различными анали-
тическими выражениями в зависимости от знака ап [63].-
kx = р (sin2 а + т] cos2 а); k2 = -у (1 — т|) Vl sin 21 а |,
(1.52)
Лх = 0; 1^=грУ1 [-у (1 —»|)sin2|a| + psignp(sin2a +
(1.53)
где р — коэффициент трения берегов трещины.
Отметим, что формулы (1.51) имеют место в малой ок-
рестности (г /) вершины трещины.
25
Для определения предельных приложенных напряже-
ний к пластине с трещиной существует ряд подходов.
Под предельными (разрушающими) понимаются напря-
жения, при достижении которых трещина начинает распрост-
раняться. В. В. Панасюк и Л. Т. Бережницкий [651,
Г. П. Черепанов [95], Эрдоган и Си [106] предложили для
определения предельных напряжений р*, q* условие
lim [/7 <$(r, ₽#)J = - (1.54)
Здесь Кс — постоянная, характеризующая сопротивле-
ние материала развитию трещины; ор (г, — напряже-
ния ор (г, Р) при р = р* и q = q*; угол р = р*, определяю-
щий начальное направление распространения трещины,
находится из уравнения
lim [/7 ft ] =0. (1.55)
На основании выражений (1.52) — (1.54) найдены фор-
мулы [63] для определения величины предельных напряже-
ний р*, q* = ЛР*, которые для открытых трещин (о„ > 0)
имеют вид
рф = —^=- sec2 [cos -О*- (sin2 a -f-cos2 a) —
Ул/ * [ *
—Y 0— n) sin 2 |a | sin-b-j ;
P.=2arctg ;
а для закрытых трещин (ал < 0)
(1 -—T))sin2|a|
sin2 а + T] cos2 а
(1.56)
IР* I = 1(1 — г)) sin 21 а | + 2p sign p (sin2 а +
у л/
* + г] cos2 а)]-1. (1.57)
Отметим, что формула' (1.56) при одноосном растяжении
получила хорошее экспериментальное подтверждение [66].
В. И. Моссаковский и М. Т. Рыбка [56], основываясь
на энергетических соображениях Гриффитса [118], пред-
ложили критерий для вычисления предельных напряжений
26
из условия экстремума свободной энергии тела:
4-(ДП-(/) = 0, < (1.58)
где ДП — уменьшение потенциальной энергии тела при
увеличении трещины; U — энергия, затрачиваемая на об-
разование новых свободных поверхностей.
При этом предполагается, что трещина распространяется
в своей плоскости. В результате получена следующая фор-
мула [56] для предельных напряжений:
|р#| = —Ф(а, n); x = <L59)
где
ф (а, т]) =
(sin2 а + т|2 cos2 а) 2 , стп>0;
2[(1—я)sin2|аЦ—|, <тп^0.
(1.60)
В зависимостях, полученных в работе 156], не учитывает-
ся трение берегов трещин.
П. А. Павлов и Н. Е. Никулина [58] предложили для
вычисления предельных напряжений уравнение
lim []/7 (аг + стр)*]р=р, = К» (1-61)
г->0 ь
где (ст, + стр) * — значение суммы ст, + стр при р — р*,
Я = <?*•
Угол 0* находится из уравнения
lim [/г(ст, + стр) р=р, = 0. (1.62)
На основании соотношений (1.51), (1.61), (1.62) в работе
[58] получена следующая формула для предельных напряже-
ний:
|рф| = _^ф(а, п, р); А=-^- (1.63)
Функция ф (а, tj, р) имеет различные аналитические пред-
ставления фь ф2 в зависимости от типа трещины (открытая
или закрытая):
_ 1
Ф1 (a, n) ==(sin2a + t]2cos2a) 2 , ст„>0;
Фа (а> Л> Р) = 2 [(1 — т|) sin 21 а | + 2р sign р (sin2 а +
' + г] cos2 а)]”1, ст„<0.
27
Заметим, что формулы (1.56), (1.57) также могут быть пред-
ставлены в виде (1.63) с той лишь разницей, что аналитиче-
ские выражения функции <р (а, я» р) будут другими.
Для ап > 0 или ап < 0, р = 0 зависимости (1.63), (1.64)
совпадают с результатами работы [561. При оп < 0 формула
(1.63) отличается только числовым множителем от соответ-
ствующего соотношения (1.57).
При ап < 0 и р > 0для предельных напряжений анало-
гичное выражение получено в работе [96]. Все приведенные
здесь формулы для определения предельных напряжений
дают результаты, мало отличающиеся между собой и хоро-
шо согласующиеся с экспериментальными данными [591
в случае двухосного растяжения (р > 0, q > 0). При растя-
жении — сжатии соответствие теоретических данных экс-
периментальным [59] существенно зависит от принятой ве-
личины коэффициента трения берегов трещин.
Рассмотрим область допустимых значений а для функ-
ции <р2 (а, л, Р) при р > 0. Согласно выражению (1.63)
функция ф2 (а> Я» Р) не может принимать отрицательные
значения. Поэтому при р > 0, q < 0 эта функция определе-
на в области | а | а0. При | а | трещина раз?
виваться не может (предельные напряжения бесконечны).
Значение at определяется из условия обращения в нуль
знаменателя функции ф2 (a, t), р) при а > 0, т. е. ах —
положительный корень уравнения (1—ц) sin 2а 4-
4- 2р (sin2a 4- Я cos2a) = 0.
28
Отсюда
«. = arctg —1 + Л + К 0,—. (1.65)
Из формул для предельной нагрузки непосредственно
следует, что развитие трещин в своей плоскости (без искрив-
ления) неустойчиво и приводит к полному спонтанному
разрушению пластины.
Пластина с трещиной под действием теплового потока.
Рассмотрим случай, когда пластина находится под действием
установившегося однородного далеко от трещины теплового
потока qit направленного под углом а к трещине (рис. 6).
Поверхности пластины и берега трещины будем считать
теплоизолированными. Возникающие в пластине термоупру-
гие напряжения могут вызвать рост трещины. Это происхо-
дит при предельной величине теплового потока, определяе-
мой формулой [39] ___
= (1.66)
I2 |sina|
где at — коэффициент линейного температурного расшире-
ния материала пластины.
Формула (1.66) получена на основании критерия (1,54).
Поверхностная трещина в пластине. Рассмотрим плас-
тину, ослабленную не сквозной, а поверхностной трещиной,
простирающейся только на некоторую глубину I. Как преж-
де, плоскость трещины будем считать нормальной к поверх-
ности пластины и образующей угол а с направлением дейст-
вия напряжений р (рис. 7, а). Если длина трещины на по-
верхности превосходит ее глубину, то ее развитие, как
известно [97], происходит в первую очередь в глубь пласти
ны. При произвольном угле а в окрестности фронта трещи
ны, ограничивающего ее глубину, под действием рассмат-
риваемых напряжений имеют место деформации нормаль-
ного разрыва и продольного сдвига [97]. Обычно принимают,
что продвижение трещины в такой ситуации является ре-
зультатом нормального разрыва, который вызывается нор
мальными к ее плоскости напряжениями о„, определяемыми
по формуле (1.50). Трещина может развиваться при оп > 0,
т. е. при всех а (любой ориентации трещины), если р >• 0,
9 > 0; при | a | > «о, если р > 0, q < 0; в случае р < 0,
q < 0 (двухосное сжатие) трещина любой ориентации не
может развиваться.
29
Если длина трещины значительно превосходит ее глу-
бину I, то тогда условие развития трещины вглубь сводится
к условию роста краевой трещины длины I в полосе ширины
Н (равной толщине пластины) под действием растягивающих
напряжений ап (рис. 7, б). В этом случае коэффициент ин-
тенсивности напряжений определяется следующей аппрок-
симирующей численные результаты зависимостью [97]:
/ i \*
_ 1,11 + 5 -п- , ,
= ап V -------------1—~> 0 (~ff~ 0,5) •
Рис. 8
щины в этом случае (0* =
Для не слишком глубоких
трещин эту формулу можно
упростить, пренебрегая вели-
чинами высшего порядка ма-
лости:
kr = 1,1 lo„ X
Согласно соотношениям (1.51),
(1.54) условие развития тре-
сводится к виду
= Кс. (1.68)
Учитывая формулы (1.50) и (1.67), найдем на основании
этого условия предельную величину напряжений (р > 0)j
р* =------------- (sin® а + п cos2 а)”1 ,
1,11 Л/ я/(1 + 2 Jj-)
» \ п /
sin2 а+ 11 cos2 а >0. (1.69)
Для очень неглубоких трещин эта формула
еще упрощается.
Пластина с жестким прямолинейным включением. Пусть
пластина вместо сквозной трещины содержит тонкое пря-
молинейное абсолютно жесткое включение длины 21, ориен-
тированное под углом а к линии действия напряжений р
30
(рис. 8). В работе [67] показано, что в малой окрестности
концов включения компоненты тензора напряжений в мест-
ной полярной системе координат (выбранной так же, как
и около конца трещины) определяются формулами
ог = —^=- Гб cos 4- + (2х 4- 1) cos JLI + О (I);
У г L z 2 J
ар = |зcos -|— (2х + 1)cos -y-j 4- О(1);
trp = [sin ----------(2х 4-1) sin -^-1 4-0 (1),
У f I А |
(1.70>
з__v
где х = } v ; v — коэффициент Пуассона материала плас-
тины.
Величина й4 представляется выражением
k =-P^L
4 8/2 х
Мр-(х—1) 4-(1 — П) cos2a , q=-£-.
z p
(1.71)
Следует отметить, что формулы (1.70) соответствуют слу-
чаю, когда стержневое включение не удерживается от пово-
рота под действием внешних усилий.
В работах [3, 4] ответственным за возникновение хрупко-
го разрушения композита принимается напряжение аг,
поскольку из формулы (1.70) следует, что в окрестности
вершины включения ог > ар. При этом считается, что проч-
ность контактного слоя между включением и матрицей выше
прочности матрицы.
В соответствии с этим в работах [3, 4] по аналогии с тео-
рией трещин в качестве критерия разрушения предложено:
условие
шахр Фх (р, т), a, Р, х, /) = Ко, (1.72)
где Ф4 = lim(]/7a,); шахрФ1 — максимальное значение
функции Фх по аргументу Р; /0 — постоянная материала^
характеризующая его сопротивление зарождению трещины.
В работе [3] даны выражения только для тахаФх и
таха.р Фх, поэтому здесь найдем значение тахр Ф1( на осно-
вании которого, а также условия (1.72) получим выраже-
ния для предельных напряжений пластины с жестким стерж-
невым включением ориентации а.
31
Функция Фх в развернутом виде запишется
ф1 = /X* [ ‘ тр- (х - 1) + (1 - П) cos 2а] х
8У2 X I * J
X [5cos4 + (2х + 1) cos -f~] . (1.73)
В зависимости от значений параметров р, т), х, а функция
достигает максимума при различных 0 (— л 0 л).
Из формулы (1.73) видно, что для k4 > 0 функция Фх дости-
гает максимального значения по 0 при 0 = 0;
шахр Фх = (х — 1) + (1 — л) cos2а] х
8У2 х L z J
Х(2х + 6). (1.74)
Это выражение представим в виде
шахр Фх = р УТ (фз 4- ф4 cos 2а). (1.75)
где
(i + n)(xrz!)(3±>0_ _а±цуз±х) 176
™ 8/2 х 4 4/2 х v '
Нетрудно определить, что для случая k4 < 0 величина
Ф] достигает максимального значения по 0 при 0 =
= arccos [-----3(£+4i)-] * Причем
шахрФ1 = — рУТ (Ф8 + Фе cos2а), (1.77)
где
_ (1 ч-т1) (х— 1) 1Г (Зх—I)8 .
’*’» “ 12х V 12 (2х + 1) ’
w - 1/ С3*-1)3 .
(₽e— 6х V 12(2x4-1)
(1.78)
Остается, исходя из выражения (1.71), определить усло-
вия, при выполнении которых имеет место k4 > 0 или
k4 < 0. Заметим, что в дальнейшем будем рассматривать
случаи нагружения, для которых р > q, т. е. р > 0, т) 1
и р < 0, т| > 1.
з__х
В случае р > 0, -г-г— г] 1 имеем k4 > 0 для все-
1 “j* X
возможных ориентаций [а^-у"' Нижний предел изме-
32
14-n
нения параметра л определяется из соотношения —-j—*- х
X (х — 1) — (1 —п) > 0. При р > 0, t] < условие
kt > 0 эквивалентно неравенству
JL+2L (х — 1) + (1 — n) cos 2а > 0. (1.79)
Отсюда имеем
lai а. а = — arccos (1+л) (1~Х) •
I а | <. Oj, а2 = g arccos 2 (1 — я)
1 + х
Для р < 0, 1 Y) 3_-и неравенство kt < 0 имеет мес-
то при любых |а|^-у-« Верхний предел изменения па-
J —L. <п
раметра определяется из соотношения —-^-L- (х — 1) 4-
] -l—
4- (1 —т|) > 0. В случае р < 0, < оо условие
kt < 0 эквивалентно неравенству (1.79). В данном случае
этому неравенству удовлетворяют значения | а | > а8.
На основании критерия (1.72), выражений (1.75), (1.77),
а также сказанного выше относительно величины kt запи-
шем формулы для вычисления предельных напряжений р.
В случае р > 0, л 1 получим
Р — Кп1 2 (<Рз + <p4cos2a)-1, ' I*" 2 11 14-х
(“Kos.
Р = —К91 2 (<р8 4-Фе cos 2а)“’ , |а|>а2, •
1 “Г X
(1.80)
Для р < 0, т] > 1 имеем
_ _ # о 1 & О Л
P- — K.J (ф54-ф,cos2а) ,
ч>-зй-:
P-KJ 1 (ф, + ф.cos2а)~', [И|<еч, n>4±i-.
(Ь81)
3 102
33
Полученные формулы можно, представить одним выра-
жением:
_ 1
р = ко1 2 ф? (а, П» «)• (1.82)
Здесь аналитический вид функции ф? (а, т], х) зависит
от значений аргументов а, г], х.
Выше рассмотрены случаи, когда дефект характеризует-
ся двумя геометрическими параметрами — размером и уг-
лом ориентации. В случае не слишком мелкой поверхност-
ной трещины во внимание следует принять и толщину
пластины. Аналогично в случае сквозных дефектов в не-
больших (ограниченных) пластинах на величину предель-
ных напряжений будут влиять линейные размеры пластины.
Дополнительные размеры войдут и при рассмотрении не
одного дефекта в теле, а нескольких. В последнем случае
будет учитываться взаимодействие дефектов.
В общем случае нагружения тела с каким-либо дефек-
том условие предельного состояния может быть записано
в виде
Ф (аи а* ..., а„, К„ pi, р*ъ Рз) = 0, (1.83)
где а1г а* ..., ап — геометрические параметры, определяю*
щие тело и дефект (его размер и размещение); pi, р?, рз —
предельные значения параметров нагрузки.
При однородном трехосном напряженном состоянии пре*
дельные значения главных напряжений можно представить
в виде
Р*\ = Ф (Л. 01, .......ап, Ке), pi = ЛРь Рз - 1р*\. (1.84)
Конкретный вид функций Ф и ф определяется решением
соответствующей задачи.
3. Статистические подходы
в теориях прочности
и хрупкого разрушения
Применение методов теории вероятностей и ма-
тематической статистики к задачам механики деформируе-
мых твердых тел началось Сравнительно недавно, тем не
менее уже имеется немало работ, посвященных данной
проблеме. Это объясняется увеличением роли вероятност-
ных (статистических) методов как средства научного про-
34
гноза в условиях возрастающего использования новых
материалов и конструкций с небольшим опытом их эксплуата-
ции, поведение которых часто зависит от ряда слабоизучен-
ных и трудноконтролируемых случайных факторов (неод-
нородности и дефектности структуры материала и, как.
следствие этого, неоднородности деформационных и проч-
ностных его свойств, отклонений размеров и форм конструк-
ций, изменчивости внешних воздействий на них).
Случайность входных параметров при расчетах kohct^s
рукций на прочность неявным образом учитывается коэф-
фициентами запаса прочности. На необходимость статисти-
ческого подхода к назначению этих коэффициентов указал
Майер [123].* Именно в таком аспекте статистические методы
впервые нашли применение для решения задач механики
твердых деформируемых тел. В дальнейшем диапазон при-
L
менения вероятностных методов в механике твердого тела
постепенно расширялся, охватывая как более сложные проб-
лемы механики, так и более сложный аппарат теории вероят-
ностей (не только случайных величин, но и случайных про-
цессов и полей, т. е. случайных функций одного и несколь- ।
ких переменных).
' Из разработанных или разрабатываемых в указанном
плане проблем механики в общем можно выделить такие:
обоснование нормативных расчетов статистическими мето-
дами; изучение деформирования и устойчивости элементов
конструкций под воздействием случайных сил или других
факторов; решение задач о деформации твердых тел со слу-
чайными отклонениями их геометрии; прогнозирование мак-
роскопических физико-механических свойств составных (ком-
позитных) тел со стохастической микроструктурой; создание
теории деформации стохастически структурно-неоднородных
тел; исследование влияния случайной неоднородности тел
на условия пластичности; разработка статистической теории
накопления повреждений и исчерпания несущей способности
твердых тел при длительном статическом и циклическом
нагружении; построение статистических критериев проч-
ности кратковременного и хрупкого разрушения твер-
дых тел.
Здесь не будем подробно рассматривать перечисленные
вопросы, кроме последнего, к которому непосредственно
примыкает настоящая работа. Эти вопросы отражены в
работах [2, 6—12, . 14, 25, 26, 32, 33, 36—38, 40, 48—
52, 55, 70, 72, 79—82, 84, 92—94, 100, 101, 116, 117, 127].
3»
35
Остановимся более детально на исследованиях по опреде-
лению статической кратковременной прочности и критериев
хрупкого разрушения тел, выполненных с использованием
вероятностно-статистических методов. Их часто кратко на-
зывают исследованиями по статистической теории прочности
и хрупкого разрушения тел. Обзоры ранних работ по этой
теории содержатся в ряде монографий и статей 18, 72, 87,
98, 99].
Указание на связь прочности образцов с вероятностными
представлениями имеется в работе А. П. Александрова
и С. Н. Журкова [1], где экспериментально обнаружено
значительное рассеяние пределов прочности, а также мас-
штабный эффект-явление уменьшения среднего значения
предела прочности образцов с увеличением их размеров
при разрушении стеклянных кварцевых нитей. Эти явления
авторы связывают с вероятностью встречи наиболее опас-
ного дефекта (трещины) на поверхности нити. Идея о стати-
стической природе хрупкого разрушения, высказанная
А. П. Александровым и С. Н. Журковым, была развита
многими авторами.
Статистическая теория прочности исследована в работах
В. Вейбулла [130], Т. А. Конторовой и Я. И. Френкеля
[42], а также Н. Н. Афанасьева [2]. Впоследствии разра-
ботка статистической теории прочности и хрупкого разру-
шения привлекла к себе внимание других исследователей.
Существующие в настоящее время статистические под-
ходы к построению теории прочности можно разделить на
две основные группы, в которых принимается следующее:
тело состоит из элементов различной (случайной) проч-
ности, не изменяющейся в процессе взаимодействия эле-
ментов и деформирования тела (прочность тела в целом оп-
ределяется прочностью его наиболее слабого элемента);
тело является микронеоднородной средой, и его проч-
ность определяется относительным числом (величиной ве-
роятности) разрушенных микроэлементов по определенно-
му сечению или по всевозможным направлениям в некоторой
«физической» точке.
Имеются и другие варианты построения статистической
теории прочности. Рассмотрим указанные подходы.
Статистические подходы первой группы вполне прием-
лемы для достаточно хрупких тел, для которых в первом
приближении можно пренебречь взаимодействием элемен-
тов, составляющих тело. Исследования, базирующиеся на
36
этих подходах, можно разбить на такие, в которых источ-
ники разрушения — дефекты структуры — явно не учиты-
ваются или учитываются.
Подходы,! явно не учитывающие дефектность. Указав
на случайность прочности одинаковых образцов, изготов-
ленных из одного и того же материала, Вейбулл*! 130] ста-
вит задачу определить вероятность разрушения образцов
заданного объема V и их среднюю прочность, если известно
вероятностное распределение прочности элементарных об-
разцов (брусков) единичного объема, т. е. известна вероят-
ность Рг (о) разрушения брусков при напряжениях, не
превышающих заданного значения а. Рассмотрев образец
объемом V как соединение V элементарных брусков, Вей-
булл принял, что величины прочности элементов независи-
мы (взаимодействие элементов от способа их соединения не
учитывается), и считает, что образец разрушается, если
разрушится хотя бы один его элемент. При сделанных
предположениях вероятность разрушения образца объемом
V, если напряжения не превышают величины о, будет
Ч (а) = 1 -11 - Рг (a)]v. (h f) (1.85)
Эта формула станет очевидной, если учесть, что 1 —
— Pi (о) означает вероятность неразрушения бруска еди-
ничного объема, а [1 — Pi (ст)]и согласно теореме умноже-
ния независимых событий (1.2) дает вероятность неразру-
шения V таких брусков, т. е. вероятность неразрушения
тела 1 — Ру (о).
Таким образом, Вейбулл по существу принял гипотезу,
что прочность хрупкого тела целиком определяется проч-
ностью его наиболее слабого элемента, считая, что разру-
шение этого элемента вызывает разрушение тела в целом.
Функцию Рх (а) распределения прочности элементов
Вейбулл. принял в виде д >)
V Pl(<j) = 1 — ехр^---, 0<а<оо, (1.86>
где <у0 и т —• некоторые константы, причем т должна ха-
рактеризовать неоднородность материала элементов (чем
больше т, тем материал более однороден).
Тогда вероятность разрушения образца объемом V
имеет вид ,
Ру (о) » 1 — exp [- V (-^-)т] » 0 < а < оо. (1.87)
37
Среднее значение разрушающего напряжения (прочности)
образца согласно формуле (1.40)
о«г(1 + 4“
(*> =------L_ «
(1.88)
' Как видно из последних формул, вероятность разруше-
ния тела с ростом его объема увеличивается, а среднее зна-
чение прочности уменьшается. Таким образом, эти зависи-
мости описывают масштабный эффект при хрупком разру-
шении. Однако следует указать, что формула (1.88) дает
слишком сильную зависимость прочности тела от его раз-
мера.
Вейбулл обобщил полученные результаты для неодно-
родного напряженного состояния, разбив тело объемом
V на элементарные объемы ДУЛ, в которых напряженное
состояние можно считать однородным. Вероятность нераз-
рушения такого объема, как следует из формулы (1.87),
1 — Рди. (о) « ехр | — Д Vk). Вследствие независимости
* у Uq /
прочности элементарных объемов по формуле умножения
вероятностей (1.2) вероятность неразрушения всех элемен-
тарных объемов, составляющих .тело, т. е. вероятность
неразрушения тела, будет 1 —Ру (а) = ехр(— S —
Переходя к пределу при Д Vk -*• 0 для вероятности разру-
шения тела при напряжении, меньшем или равном о (в оп-
ределенной точке тела), получаем
Ру (а) = 1 - ехр Г- J dvl • (1.89)
При этом среднее значение разрушающих напряжений
определяем по формуле
(/ h
dvlda. (1.90)
При чистом изгибе образца прямоугольного поперечного
сечения среднее значение максимальных разрушающих
Y «
38
напряжений
— / t
e0(2m + 2)m ГП+ —
(Стах) -----------------------
ут
!Д-
(1.90а)
При кручении круглого стержня аналогично получаем ,
Z« + 2\"
М—т—/ i 1 \
(Тщах) = (Отах) e — 4" ) • (1,906)
у т
Формулы (1.88), (1.90а), (1.906) для средней прочности
образцов при растяжении, изгибе и кручении показывают,
что при одном и том же объеме образцов, несмотря на то
что разрушение во всех случаях вызывается максимальными
растягивающими напряжениями, средняя прочность образ*
цов зависит от вида напряженного состояния: прочность
образцов при однородном напряженном состоянии меньше
прочности образцов при неоднородном напряженном состоя-
нии. Из указанных формул (ораст): (окр): (°н>г) = 1 :
, 2_
: ( 2 ) :(2т + 2)т - 1 : 1,35 : 2 при т - 3. Чем
меньше т (более неоднородный материал), тем больше раз;
ность прочностей при различных видах нагружения. Как
известно, все эти выводы согласуются с экспериментальны-
ми данными.
Зависимость средней прочности образцов от объема и
вида напряженного состояния объясняется, как это видно
из предыдущих формул, зависимостью вероятности раз-
рушения от этих факторов. Чем крупнее тело, тем больше
вероятность обнаружить первичный элемент низкой проч-
ности и тем ниже прочность тела в целом. При неравномер-
ном распределении напряжений существенное значение
приобретает та часть объема тела, где напряжения относи-
тельно велики (в свою очередь величина той части объема
тела.связана с градиентом напряжений). Эти.выводы вполне
согласуются с физическими представлениями. В настоящее
время распределение Вейбулла (1.87) широко применя-
ется „для определения вероятности разрушения хрупких
39
материалов. Методика экспериментального определения
параметров о0 и т описана в работе (72]. *
Т. А. Конторова и Я. И. Френкель [42], рассматривая
задачу об определении прочности при растяжении образца
объемом V, исходили из следующих предположений: ^ис-
точником разрушения являются микротрещины или другие
дефекты структуры; в материале имеется множество дефек-
тов различной опасности, причем закон вероятностного
распределения опасности этих дефектов известен; тело
разрушается, если напряжение в нем достигает величины
прочности дефектного элемента с наиболее опасным дефек-
том. В качестве параметра, характеризующего степень
опасности каждого дефекта, авторы выбирали величину
хрупкой прочности, которую имел бы образец, если бы ис-
точником его разрушения был данный дефект. Другими ело»
вами, каждый дефект (дефектный элемент) характеризуется
величиной критического напряжения о, при достижении
которого дефект начинает развиваться (элемент разру-
шается).
Для решения задачи авторы использовали аналогию
прочности хрупкого тела при сделанных предположениях
с прочностью цепи, состоящей из п звеньев, прочность ко-
торых является случайной величиной, распределенной по
закону Pi (о). Ясно, что прочность цепи — случайная ве-
личина, определяемая случайной прочностью ее наиболее
слабого звена. Средняя прочность таких цепей — это сред-
няя прочность наиболее слабых звеньев цепей. Вероятность
разрушения при напряжении о цепи, состоящей из п
звеньев, определяется формулой 7 у
Pn(a)= 1-(1-Л (а)!". (1.91)
аналогичной формуле (1.85). Считая, что в теле объемом
V имеется п — n0V дефектных элементов (п0 — среднее чис-
ло дефектов в единице объема), играющих роль звеньев
цепи, Т. А. Конторова и Я. И. Френкель определили вероят-
ность разрушения тела при некотором напряжении и наибо-
лее вероятное значение прочности тела, а также предполо-
жили, что распределение прочности дефектных элементов
подчиняется нормальному закону со средним значением
прочности ае и дисперсией А. В результате Т. А. Конторова
й Я. И. Френкель нашли, что при больших объемах тела
наиболее вероятное значение прочности от определяется
40
формулой /. /
®т = ^-1/ 2Д1ПУ + 2Д1П—• (1.92)
В работе (41] определено значение ат в случае малых
объемов тела: ,, /,
a„I«a+4-(aeC‘~JT-’ Ьа=(L92a>
Для образцов малого объема, как видно из выражения
(1.92а), зависимость их прочности от объема оказывается
более резкой, чем для образцов большого объема (1.92).
Это обстоятельство согласуется с опытными данными.
Отметим, что формулы (1.92) и (1.92а) противоречивы.
При выводе первой объем предполагался достаточно боль-
шим, однако для больших объемов она может дать отрица-
тельное значение ат, что абсурдно. Вторая формула допус-
кает беспредельное увеличение прочности малых объемов,
тогда как из постановки задачи она не может быть больше
ое (наиболее вероятное значение наиболее опасных дефек-
тов, встречающихся в образцах, не может превышать сред-
него значения прочности дефектов).
В работе [41] рассмотрено обобщение подхода для неод-
нородного напряженного состояния тела.
Рядом исследователей было замечено [8, 72, 98], что из-
ложенные статистические теории хрупкой прочности, хотя
и отличаются подходом (способом аргументации) к обосно-
ванию теории, основываются по существу на одних и тех
же предпосылках — на гипотезе «наиболее слабого звена».
Как в теории Вейбулла, так и теории Конторовой — Френ-
келя принимается, что прочность тела в целом определяется
прочностью наиболее его слабого первичного элемента
в совокупности статистически распределенных первичных
элементов различной прочности. Физическая причина раз-
личной прочности первичных элементов материала для
построения математической теории здесь не играет сущест-
венной роли. Вейбулл почти не выяснял эти причины;
Т. А. Конторова и Я- И. Френкель объяснили различную
прочность первичных элементов материала наличием дефек-
тов (трещин) различной опасности.
Математически задача сводится к отысканию функции
распределения прочности образца объемом V по известной
.функции распределения прочности первичных элементов
41
Поскольку прочность образца в целом определяется (со-
гласно гипотезе) прочностью наиболее опасных элементов
с наименьшей прочностью, то фактически, как отмечается
в работах 18, 72, 87, 114], мы приходим к задаче о распре-
делении минимальных значений случайной величины (проч-
ности) в выборке из достаточно большой (генеральной)
совокупности, описываемой распределением (о). Дейст-
вительно, каждый образец объемом V можно рассматривать
как случайную выборку определенного числа первичных
элементов материала, из которого состоит образец. В обра-
зец попадут элементы с различной прочностью, среди них
будет какая-то наименьшая прочность (для каждого образ-
ца она может быть другой). Функция распределения этих
наименьших значений дается формулой (1.34), принимаю-
щей в рассматриваемом случае вид (1.90). Считая число п
элементов в образце пропорциональным объему V, получим
формулы Вейбулла и Конторовой — Френкеля. Формула
(1.91) основная во всех статистических теориях хрупкой
прочности, основанных на гипотезе наиболее слабого звена.
По вероятности (1.91) определяется среднее или наиболее
вероятное значение прочности образцов. Разница в резуль-
татах различных авторов объясняется тем, что они берут
в различных видах функцию (а) распределения пер-
вичных элементов и в ходе решения задачи делают различ-
ные упрощения.
Т. А. Конторова и Я- И. Френкель принимают нормаль-,
ный закон распределения прочности дефектов, который ши-
роко применяется в теории вероятностей и ее приложениях.
Ън хорошо изучен и удобен в. вычислениях, однако допус-
кает некоторую вероятность отрицательной прочности, что
приводит к противоречиям. Вейбулл принял функцию рас-
пределения прочности первичных элементов в виде (1.86),
который допускает только положительные значения проч-
ности, однако достаточно ее не обосновал.
Желая дать физическое обоснование результатов Вей-
булла с позиций теории Конторовой — Френкеля, Чечу-
лин 198] показал, что формулу Вейбулла (1.88) можно
получить аналогично Т. А. Конторовой и Я. И. Френкелю,
если принять распределение опасности дефектов в виде
Ха — распределения Пирсона 128].® ♦
G другой стороны, было выяснено [8, 72, 114], что рас-
пределение Вейбулла (1.87) является асимптотическим пред-
ставлением распределения минимальных значений (1.38),
42
когда число п первичных элементов (число дефектов) в об-
разце очень велико и значения прочности ограничены
снизу. Асимптотическое представление распределения ми-
нимальных значений, как известно, одно и то же для доста-
точно широкого класса функций распределения прочности
(о) первичных элементов, т. е. конкретный вид функции
Pi (о) не играет роли. Таким образом выявляется фунда-
ментальная роль распределения Вейбулла.
Распределение Вейбулла (1.87) имеет место, когда мини-
мальное значение прочности <rmin — 0. Асимптотическое
представление распределения минимальных - значений дает
возможность обобщить результаты Вейбулла для случая,
когда omin > 0. Такое обобщение дано в работе В. В. Бо-
лотина [8], который также делает попытку обобщить теорию
Вейбулла для сложного напряженного состояния, вводя
понятие приведенного напряжения, определяемого через
компоненты сложного напряженного состояния. Его под-
ход состоит в следующем. Пусть в теле возникает напря-
женное состояние с главными напряжениями Pi > р4 > р3-
Предполагается, что прочность в каждой точке тела зави-
сит от приведенного напряжения р4, вычисляемого на основе
гипотезы прочности Мора или гипотезы наибольших отно-
сительных удлинений: р, = р3 — aps, ps = рг-— v (р,—р3),
где а — константа в гипотезе Мора.
Величина напряжения р4, при котором тело разрушается,
принимается за предел прочности. Считая тело объемом V
состоящим из n0V первичных дефектных элементов и заме-
тив, что распределение прочности тела является распределе-
нием минимальных значений в совокупности n0V случай-
ных величин, а число дефектов в образце n0V весьма велико,
В. В. Болотин использует асимптотическую формулу для
распределения (1.38) и получает v
Pv (ps) = 1 — exp [— СП<У (ps — Omin)/nJ (ps > tfmln). (1-93)
где Omin — минимальное значение прочности первичных
элементов; с и т — константы.
Вводя «эталонный объем» Уо (например, стандартного
образца) и константу <т0 (размерности напряжения) по фор-
муле сп0 = ----, автор вместо выражения (1.93) записи*
(1.94)
I ' в \ / J
43
При trmtn = 0 (а также Vo — 1) это распределение сов-
падает с распределением Вейбулла (1.87).
Среднее значение прочности тела при таком распределе-
нии согласно формуле (1.40) удМ
(Pt) ~ Omln + 1д1 4* “• (1.95)
Из формулы видно, что при Отт > 0 зависимость средней
прочности тела от его размера слабее, чем при amin = 0.
Если на основании подхода В. В. Болотина (в частности,
формулы (1.95)) построить предельные поверхности крите-
рия разрушения при сложном напряженном состоянии, то
нетрудно заметить, что они будут иметь такую же форму,
как и при детерминистическом критерии разрушения (соот-
ветственно выбранному приведенному напряжению ps),
но будут зависеть от объема тела, геометрически подобно
изменяясь с изменением объема. При различных значениях
параметра однородности материала поверхности также бу-
дут между собой геометрически подобны. Интенсивность
масштабного эффекта при любом соотношении главных на-
пряжений будет одинаковой. Следовательно, этот подход
не дает возможности учесть влияние вида сложного напря-
женного состояния и неоднородности материала на крите-
рий прочности и форму предельной поверхности разруше-
ния, но такое влияние имеет место.
При неоднородном напряженном состоянии, когда
приведенные напряжения являются функциями координат
pg = pj (х, у, г) (Ро — константа, имеющая размерность
напряжений), для распределения вероятности предела проч-
ности тела объемом V В. В. Болотин получил формулу,
обобщающую формулу Вейбулла (1.89):
Ру (Л) = 1—ехр
1 f jPof(x, у, г)-атшГчх
Vo J \ «о J Х
р.Д*.4ГЛ)>от1п
X dv] • (1.96)
Интегрирование в этой формуле ведется по той части объема
тела, где напряжение р, больше минимальной прочности
материала amin-
Некоторые аспекты статистической теории прочности,
в частности вопрос о моделировании задачи о хрупком раз-
44
рушении тела задачей о разрушении каната, состоящего из
стренг, которые в свою очередь состоят из волокон, осве-
щены в работе [80]. Рассмотренные статистические подходы
к построению теории прочности не учитывают дефекты и
неоднородность материала явным образом, т. е. их геомет-
рические параметры и механические свойства. Неоднород-
ность и дефектность структуры материала учитывается лишь
через функцию распределения пределов прочности элемен-
тов материала, которая является., исходной и предпола-
гается известной (знание ее точного вида не обязательно).
Такой подход имеет некоторые достоинства. Он дает воз-
можность учета влияния на прочность сразу всех дефектов
и неоднородностей независимо от их физической природы,
величины, формы, расположения, т. е. без детальной ин-
формации о них. Привлекательна простота подхода, осо-
бенно окончательных аналитических выражений для ве-
роятности разрушения тела. Но, с другой стороны, этот
подход имеет недостатки: остается завуалированной роль
дефекта в элементарном акте разрушения, понижения проч-
ности элемента тела; без специальных экспериментов ос-
тается неясной связь структуры материала с параметрами
вводимого распределения прочности; ускользает от внима-
ния то, что для предсказания вероятности разрушения
существенное значение имеют не только физическая приро-
да дефекта и его величина, но и его размещение в теле и поле
напряжений. Один и тот же дефект имеет различную опас-
ность в зависимости от того, где он находится в поле на-
пряжений (например, внутри тела или на его поверхности),
какой вид этого поля и как он ориентирован в нем. В зави-
симости от всех этих факторов прочность элемента будет
различной и распределение вероятностей прочности также
будет различным. Следовательно, при таком подходе для
сложного напряженного состояния и каждого соотношения .
напряжений необходимо вводить соответствующую ему1
функцию распределения прочности первичных элементов.
Это обстоятельство не принимается во внимание при рас-
пространении подхода для сложного напряженного состоя-
ния 18].
Подходы, явно учитывающие дефектность. Указанные
выше недостатки устраняются при явном введении в мо-
лель материала дефектов структуры с законами вероятност-
ного распределения их геометрических параметров. Функ-
ция распределения пределов прочности элементов материала
45
при этом может быть вычислена по определенному алгорит-
му при любом напряженном состоянии. В этом случае вы-
является влияние структурных параметров и вида поля
напряжений на вероятность разрушения элемента. Этот
подход требует большой информации о структуре материа-
ла, но он может дать более цельное представление о роли
дефектности материала в механизме потери прочности
и открывает возможность выявить связь некоторых кон-
стант, вводимых в феноменологические подходы, со струк-
турой материала и видом поля напряжений.
Некий «средний» путь между полным заданием дефектов
и неоднородностей их геометрическими параметрами и ме-
ханическими свойствами или характеристикой их лишь
пределом прочности дефектного элемента описан в работах
С. В. Батдорфа [108,-109], где предлагается подход, который
дает возможность учесть влияние ориентации трещин на
вероятность хрупкого разрушения для различных соотно-
шений напряжений при сложном напряженном состоянии.
Эта теория основывается на следующих предположениях.
1. Рассматриваемый материал является макроскопиче-
ски изотропной сплошной средой, содержащей равномерно
распределенные по объему и случайно ориентированные
(равновероятно по всем возможным в пространстве направ-
лениям) плоские микротрещины. Взаимодействие трещин
не учитывается.
2. Наличие трещин не изменяет величину макроскопи-
ческого напряжения, определяемого по теории упругости.
Это предположение накладывает определенные ограничения
на размеры и плотность трещин.
3. Данная трещина разрушает образец, если макроско-
пическое растягивающее напряжение в материале, нормаль-
ное к плоскости трещины, превышает критическое напряже-
ние о0Ч, характеризующее трещину. Размеры и формы
трещин, а также свойства материала специально не огова-
риваются.
Таким образом, в работах [108, 109] рассмотрены дефек-
ты в виде плоских трещин, а из их геометрических харак-
теристик принята во внимание только ориентация в прост-
ранстве, причем существенно допущение о равновероят-
ности всевозможных ориентаций. В остальном трещины
характеризуются критическим напряжением ост, при кото-
ром они начинают развиваться. Другими словами, вводятся
в рассмотрение ориентированные дефектные элементы тела;
46
функция вероятностного распределения критических на*
пряжений трещин (элементов) предполагается известной.
Для вероятности разрушения объема V Батдорф полу-
чил такую формулу:
' V'
Q(S, ge4) dN (аеч)
0 4л dac4
Р/(У, 2)- 1—ехр
(1.97)
где N (<уст) — функция, представляющая собой вероят-
ность .встречи трещин (по Батдорфу — относительную плот-
ность трещин), для которых критические напряжения не
превышают осч; 2 — напряженное состояние; й (2, осч) —
площадь пересечения сферы единичного радиуса с поверх-
ностью нормальных напряжений
/ асч V
В предположении, что Af (осч) = b —-11 , г > L
Осч > аи и —--1 < 1, Батдорф привел выражение (1.97)
для вероятности разрушения при одноосном и одинаковом
двухосном (симметричном) растяжении к формуле Вей-
булла — Болотина (1.94), которую он записал в виде
Л=1_ехр[-у(^=^Г].
При этом установлены следующие зависимости:
одноосное растяжение (2 = (о, 0, 0))
(- \т h
-t)
двухосное растяжение (2 = (о, а, 0))
т = г + 0,5, = гЬВ (4- . г)»
где 0 (х, у) — бэта-функция.
Следовательно, теория Батдорфа при указанных пред-
положениях сводится к теории Вейбулла с параметрами,
зависящими от соотношения главных напряжений.
В работе [111] рассмотрено приложение указанной' тео-
рии к расчету вероятности разрушения реальных материа-
лов при одно- и двухосном растяжении и построены кривые-
предельного состояния для этого случая, соответствующие
4Т
определенным вероятностям разрушения. Вероятность раз*
рушения при двухосном симметричном растяжении меньше,
чем при одноосном (при одинаковых напряжениях и объемах
тела), что согласуется с экспериментальными данными.
К недостаткам подхода Батдорфа можно отнести сле-
дующие.
1. Учитываются только растягивающие напряжения,
нормальные к плоскости трещины. Вследствие этого теория
неприменима, если напряжения, нормальные к плоскости
трещины, сжимающие. Этот недостаток Батдорф пытается
устранить учетом сдвигающих напряжений, действующих
в плоскости трещины [109].
2. Применение теории для анизотропных материалов
(с преимущественной ориентацией трещин) затруднительно,
а в случае статистической связи ориентации трещин и их
размеров вообще невозможно.
3. При произвольном соотношении нагружающих на-
пряжений вероятность разрушения можно вычислить только
численными методами.
W Рассмотрим работы, в которых вводятся дефекты с пара-
метрами, определяющими не только ориентацию дефектов,
но и их размеры. При таком подходе предполагается из-
вестным вероятностное распределение этих параметров.
Для этого направления характерным является использо-
вание результатов детерминистической механики разру-
шения, устанавливающей величину критических напряже-
ний для различных дефектов при заданных условиях на-
гружения. Некоторые работы в этом направлении [16, 17,
44, 115] выполнены раньше, чем исследования Батдорфа.
Первой была работа Фишера и Холломона [115], которые
определили вероятностные характеристики прочности хруп-
кого тела со случайными дискообразными трещинами при
однородном осесимметричном напряженном состоянии =
= ау = ог > 0, т) 1). Предполагается, что плотность
распределения размера (радиуса i\) трещин следует экспо-
ненциальному закону/ехр (—r~h)'h = const, а лю-
бая ориентация трещин является равновероятной (для
осесимметричного нагружения ориентация трещины может
быть определена одним параметром — углом между тре-
щиной и направлением действия напряжений ог). Прини-
мается также, что трещина будет развиваться, если нормаль-
ные к ее плоскости напряжения равны или превышают
48
критическое для данной трещины значение напряжений,
определяемое по формуле Гриффитса — Сака: о* =
V Ft
При сделанных предположениях Фишер и Холломон
нашли сначала вероятность разрушения образца с одной
трещиной случайного размера и ориентации:
оо 1 / Г-------\
(аг) = 1 — J р (<yr) da, — J р(а,)(1 — ]/ jda„
” П МГ (1.98)
где
Р = “йЬ" ехр(--------ei*-) ; °' = Н?" : ₽ = —'
1 34 / к--
Эта вероятность зависит от т] и р, характеризующих на-
грузку.
Для тела, содержащего п случайных трещин, вероят-
ность разрушения авторы вычисляют в предположении не-
взаимодействия отдельных дефектов (по существу на основе
гипотезы «наиболее слабого звена» по формуле (1.91)).
На основании этих формул для некоторых видов нагру-
жения (г| = 0 — простое растяжение; г) = 1 — гидроста-
тическое растяжение; т] = — 1 — растяжение в одном на-
правлении и равное ему сжатие в двух других направле-
ниях) Фишер и Холломон определяют наиболее вероятное
разрушающее напряжение для различного числа трещин
в теле, т. е. для различных размеров тела, если п пропор-
ционально V.
Фишер и Холломон рассмотрели определенный вид де-
фектов и частный случай нагружения тела. Они и Батдорф
приняли равновероятными все ориентации трещин и счита-
ли, что разрушение вызывается нормальными к плоскости
трещин напряжениями. Поэтому некоторые замечания, вы-
сказанные по поводу подхода Батдорфа, относятся и к ра-
боте [1151.
В статье [161 сформулирован подход для расчета вероят-
ностных характеристик прочности (разрушающей нагрузки)
хрупких тел с произвольным статистическим распределе-
нием характеристик микронеоднородности и дефектности
структуры материала для общего случая сложного одно-
родного напряженного состояния. Основные положения
данного подхода подробно изложены во второй главе.
Этот подход дает возможность с единых позиций (по одному
4 102
49
алгоритму) определять вероятность разрушения и статисти-
ческие характеристики прочности тела со случайными де-
фектами независимо от их природы и распределения их
параметров при различных воздействиях на тело, лишь бы
были известны распределение параметров дефектов и усло-
вие разрушения в окрестности отдельного дефекта с задан-
ными параметрами. В общем случае подход требует боль-
шой (даже слишком большой) информации о структуре
материала и условиях локального разрушения, но для ряда
практически важных случаев входных данных необходимо
не так уж много. На основе этого алгоритма рассмотрены
различные случаи определения вероятностных характе-
ристик разрушения и построения критериев разрушения
при сложном напряженном состоянии.
Попытка применения результатов механики разрушения
осуществлена Батдорфом в работе [109], где используется
ранее предложенный автором подход [108] для определения
вероятности разрушения при одноосном растяжении хруп-
ких материалов, содержащих дискообразные трещины.
Здесь выражения для вероятности разрушения материала
выведены на основании принятого, как и в статьях [115,
124], экспоненциального распределения размеров трещин.
В работах [119, 120] также получены выражения для
вероятности разрушения при одно- и двухосном растяжении
хрупкого материала, ослабленного трещинами. При этом
считается, что ориентации трещин имеют равномерное рас-
пределение, а плотность распределения полудлин трещин
представляется в виде произведения степенной и экспонен-
циальной функций. Прочность элемента материала с тре-
щиной определяется на основании критерия минимума
плотности энергии деформации [125]. Для вычисления ве-
роятностных характеристик прочности материала с п
трещинами используется гипотеза наиболее слабого звена.
В статье [126] получено уравнение для описания пре-
дельного состояния хрупкого тела при двухосном напря-
женном состоянии на основании формулы Вейбулла для
вероятности разрушения. При этом* предполагается, что
материал тела содержит равномерно распределенные эл-
липтические трещины, а разрушение наступает при дости-
жении местным окружным напряжением значения теорети-
ческой прочности.
Некоторые другие варианты построения статистических
критериев разрушения при сложном напряженном состоя-
50
>/
нии рассмотрены в работах [107, ПО, 122]. Ряд общих
соображений по статистическому подходу к хрупкому раз-
рушению изложен в работе [87].
Другие подходы. Рассмотрим статистические подходы
в теории прочности, не опирающиеся на предположения
гипотезы наиболее слабого звена. Впервые такой подход
был предложен Н. Н. Афанасьевым [2]. Хотя он рассмат-
ривает проблему усталости, некоторые положения его под-
хода имеют более общий характер и могут быть применены
к хрупкому разрушению. Предполагая тело микронеодно-
родным, Н. Н. Афанасьев считает, что возникающие в нем
напряжения а в отдельных микрообъемах (зернах) будут
случайными величинами, распределенными по некоторому
закону f (0 о < оо, ст4 — среднее напряжение по
всему сечению тела). Если в объеме V находится зерен,
то относительное число зерен, в которых напряжение
о превышает напряжение отрыва о0, будет -4^- =
м
со
= ( f d = 1 — F (—) > где /п2 — абсолют-
J \ О4 / \ °4 / \ О4 / А
°4
ное число таких зерен; F 1-^-) —интегральная функция
распределения напряжений.
В этих /п2 зернах возникают микротрещины, но они мо-
гут быть изолированными друг от друга. За критерий раз-
рушения тела Н. Н. Афанасьев принимает условие разру-
шения пх рядом лежащих зерен. Вероятность разрушения
тела определяется как вероятность нахождения рядом
зерен из числа т2 разрушенных зерен. Эта вероятность
равна отношению числа комбинаций из пг2 разрушенных
зерен по пг к числу комбинаций из всех зерен по пх:
СП1 / ж \Л1
W1=s~^~-Hr)
Принимая во внимание предыдущую-формулу, имеем
I/ /V \1л< 4
1-F ' /Л (1-99)
Эта вероятность определяет отношение относительного
числа разрушенных агрегатов по пх зерен к общему числу
4*
51
агрегатов по пгзерен в теле Условие разрушения тела
поэтому имеет вид wt > 1. Считая число зерен в теле
пропорциональным его объему V (^ ?= схК) и обозначая
С,
через новую константу с2, записываем последнее соот-
ношение v 1ДЧ
c2W1V>\, 1 (1.100)
Выбрав функцию
где А! и а — постоянные (а — характеристика неоднород-
ности материала), и показав, что в ряде случаев Л! < 1,
Н. Н. Афанасьев по формуле (1.99) находит
Подставив это значение в соотношение (1.100), можно
определить среднее значение разрушающих напряжений
в сечении образца:
^4 = (с3 = const). ’ (i.ioi)
уап,
Характер зависимости этого напряжения от размера тела
здесь по существу такой же, как и в подходе Вейбулла.
Кроме простого растяжения Н. Н. Афанасьев рассмотрел
некоторые случаи простого неоднородного напряженного
состояния.
С. Д. Волков [25] предложил подход, позволивший по-
строить статистический критерий разрушения при сложном
напряженном состоянии. Как и у Н. Н. Афанасьева, его
подход основывается на модели материала в виде микро-
неоднородной сплошной среды. Материал тела считается
состоящим из микроскопических, случайным образом рас-
пределенных структурных элементов, имеющих различ-
ные свойства и форму. Вследствие этой структурной неод-
нородности механические величины — постоянные упругос-
ти ац, bi/, напряжения деформации (i, j = 1, 2, 3)
и другие, относящиеся к микрообъемам (физическим точ-
&2
кам) и называемые величинами второго рода,— изменяются
случайным образом от объема к объему. Однако среднее
значение напряжений <£(> и деформаций (e<) в некоторых
макроскопических объемах, больших по сравнению с эле-
ментами структуры, но малых по сравнению с объемом тела,
должны совпадать с напряжениями <т< и деформациями et,
определяемыми теоретически или экспериментально без
учета микроструктуры материала (последние носят назва-
ние механических величин первого рода или макровели-
чин): (h) = at; (ег) = et.
Предполагается, что напряжения и деформации второго
рода (как случайные величины) подчиняются определенному
закону распределения; напряжения второго рода распре-
делены по микрообъемам по нормальному закону
f /2лД« еХр [“ ’
где а( — среднее напряжение, действующее в данном сече-
нии; А2 — дисперсия распределения напряжений
Исходя из энергетических соображений, С. Д. Волков
для квазиоднородной и квазиизотропной сред показал, что
величина А2 (одинаковая на всех трех главных площад-
ках тензора напряжений) пропорциональна макроскопи-
ческой объемной плотности потенциальной энергии Uu
определяемой формулами теории упругости (в частности,
она может быть выражена через главные напряжения <jlt
о2, а3 А2 = къиг (оъ о2, а3), kb = const.
Считается, что разрушение в каком-либо микрообъеме
наступит тогда, когда растягивающее напряжение в нем
достигнет некоторой предельной величины, равной со-
противлению разрушения о6 второго рода на этом участке;
пренебрегается дисперсия величины о6, которая считается
постоянной во всем объеме. Вероятность разрушения в мик-
рообъемах (относительное число разрушенных микрообъе-
мов) определяется из равенства
1 г
<73=р(ь>о8)=4—
где г - g<
2
__ 1 1 f Л 2
п 1 Q ut,
2 /2л $
(1.102)
53
Максимальному значению q3 на всевозможных площад-
ках, проходящих через данную точку, отвечает максималь-
ное напряжение at = <тх (ах > о2 > о8). Поэтому макси-
мальное число микротрещин совпадает с площадкой дейст-
вия максимального нормального напряжения первого рода
ох (независимо даже от знака этого напряжения).
В качестве критерия макроскопического разрушения
С. Д. Волков принимает достижение величиной q8 некоторо-
го критического значения qk, постоянного для данного ма-
териала и не зависящего от вида напряженного состояния:
q8 = 4k = const. Это условие эквивалентно условию по-
стоянства верхнего предела интегрирования в формуле
(1.102) z = <Тб~0Г1' = с4 = const и может быть приведено
к виду
g6 _ ах = С{. yt/1(a1, о2, ст3). (1.103)
Здесь имеем две постоянные о5 и с8, которые должны быть
найдены экспериментально.
В пространстве главных напряжений последнее уравне-
ние определяет некоторую предельную поверхность разру-
шения. В частности, при qk = 0,5 (с4 = 0) она совпадает
с предельной поверхностью по первой теории прочности.
Некоторым сходством с рассмотренными подходами об-
ладает поход Д. М. Шура [53,104,105], в котором предпо-
лагается случайность прочности (сопротивление отрыву
$#) «физической точки» в различных направлениях. Распре-
деление F (sn) прочности по направлениям считаете^
заданным. Принимается также, что разрушение по любому
направлению Л\ может вызвать только нормальные напря-
жения оп, действующие в физической точке в этом направ-
лении. Вероятность такого разрушения pN при заданном на-
пряжении ап равна F (sn) при sn = ап, т. е. pN = F (ап).
Статистической мерой поврежденности материала в целом
Д. М. Шур считает среднее значение вероятности разруше-
ния по всем возможным направлениям
= (1-Ю4)
D
где интегрирование распространяется на ту часть поверх-
ности D сферы единичного радиуса с центром в рассматри-
ваемой точке (dto элемент этой поверхности), которая
соответствует тем направлениям Nlt для которых напряже-
54
ние ап > 0. Напряженные состояния, для которых pt оди-
наковы, считаются статистически равноопасными. Приняв
функцию распределения сопротивления отрыву в виде
F (sn) = (₽ — однородность материала), автор нахо-
дит среднюю вероятность поврежденности материала при
различных сложных напряженных состояниях и строит
предельные кривые разрушения при плоском напряженном
состоянии.
Рассмотренные подходы [2, 25, 104] совершенно игнори-
руют наличие в материале дефектов, отличающихся от ос-
новной массы дефектов своим определяющим влиянием на
прочность микрообъемов и тела в целом (микротрещин,
пустот и других существенных дефектов). Как известно,
наличие таких дефектов характерно для хрупких матери-
алов.
Статистический аспект учитывается в критерии хрупкого
разрушения при сложном напряженном состоянии, пред-
ложенном А. А. Лебедевым (45, 46, 71] в форме
Ха, + (1 — Х)О1Л5“7 = ор. ь-уЪ(1.105)
Здесь о(— интенсивность напряжений,
о, » /(Oj—а2)2 + (<т2 — Оз)2 + (стз — CTi)2;
А6—константа, отражающая статистическую сущность
разрушения и зависящая от характера имеющихся в мате-
риале дефектов; 1 = (ох 4- а2 + а3)аГ*; X = -у-, где ар и
ае — пределы прочности при простом растяжении и сжатии.
Необходимо отметить стохастический подход к изуче-
нию прочности, предложенный М. Ворличеком [128, 129].
Оценивая прочность тела по прочности его сечений, он рас-
сматривает прочность тела как стационарную случайную
функцию положения сечения. Распределение прочности тела
для определенной величины напряженной области вводится
на основе прослеживания минимальных значений этой слу-
чайной функции в указанной области. В отличие от гипоте-
зы наиболее слабого звена, этот подход предполагает не-
которую корреляционную зависимость между прочностями
отдельных сечений, ослабевающую при удалении сечений.
55
Глава II
СХЕМА РАСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТИ
И КРИТЕРИЕВ РАЗРУШЕНИЯ
СТОХАСТИЧЕСКИ ДЕФЕКТНЫХ ХРУПКИХ ТЕЛ
/
Рассмотрим подход к построению статистической
теории прочности и хрупкого разрушения, основанный на
представлении о стохастической дефектности материала
тела (16, 17]. Для прогнозирования прочности и условий
разрушения тел из такого материала естественно использо-
вать, с одной стороны, результаты теории о предельном рав-
новесии отдельных вполне детерминированных дефектов
и их развитии, а с другой — методы теории вероятностей,
позволяющие учесть свойство случайности дефектов. Такой
комплексный подход с теоретической точки зрения наиболее
последовательный. Он открывает возможность расчета ста-
тистических характеристик прочности и разрушения тел
исходя из данных о структуре дефектности материала и его
сопротивлении зарождению и развитию трещин. Алгоритм
расчета вероятности разрушения и построения вероятност-
ных критериев прочности и разрушения стохастически
дефектных тел, находящихся под действием однородного
сложного напряженного состояния (или других факторов),
составляет основное содержание этой главы.
1. Модель стохастически
дефектного материала
Современные материалы, используемые в тех-
нике, обычно имеют сложную структуру, образованную
взаимодействующими между собой (связанными) отдельны-
ми частицами. В зависимости от масштаба рассмотрения
(структурного уровня) в качестве таких частиц могут
выступать атомы (ионы) различных элементов, далее —
кристаллы, блоки кристаллов; зерна, поликристаллические
агрегаты (в материалах типа металлов и их сплавов),
56
молекулы, радикалы и соединения молекул (в полимерах),
армирующие «усы», волокна, пластинчатые или объемные
включения (в композитных материалах).
Частицы могут отличаться химическим составом, фи-
зическими свойствами, геометрией, взаимным расположе-
нием. Частицы большего масштаба (высшего структурного
уровня) в правильно упорядоченном строении могут со-
держать более мелкие дефекты (например, в кристалли-
ческой решетке — вакансии или внедрения атомов, дисло-
кации). Вследствие этого наблюдается большая локальная
неоднородность реальных материалов. Но тот же материал
со свойствами, определяемыми на достаточно больших его
объемах, может быть вполне однородным. Практически
невозможно дать полную информацию о всех особенностях
строения реального материала во всех его материальных
точках. Если бы и имелась такая информация, то вследствие
ее обилия она оказалась бы мало полезной для определения
количественных характеристик процессов деформирования,
потери прочности и разрушения тел из такого материала.
Построение количественных теорий этих процессов воз-
можно только на определенных упрощенных модельных
представлениях о структуре и свойствах материала.
В механике деформируемых твердых тел наиболее прос-
той моделью материала является сплошная (континуальная),
идеально упругая однородная и изотропная среда. Эта мо-
дель лежит в основе классической теории упругости. Даль-
нейшие успехи механики деформируемых тел связаны с ус-
ложнениями этой простейшей модели, которые должны от-
ражать другие важные свойства реальных твердых тел (не-
упругость, анизотропность, неоднородность и т. д.). Для
изучения напряженно-деформированного состояния тел
свойство континуальности модельного материала — всегда
полезная идеализация, дающая достаточно адекватные дей-
ствительности результаты, относящиеся к материальным
объектам высших структурных уровней. Иначе обстоит
дело при изучении процессов потери прочности и разруше-
ния твердых тел, которым свойственна тенденция к локали-
зации в небольших объемах. В этом случае концепция кон-
тинуальности и однородности среды требует определенных
ограничений (но все же нет необходимости отбрасывать ее
и переходить на модели дискретного строения).
Как указано выше, ответственными за понижение теоре-
тической прочности реальных материалов до технического
57
уровня (в 100—1000 раз) являются дефекты — разрывы
сплошности и однородности строения, возникающие при
формировании материалов и изделий из них (структурные
и технологические дефекты) или развивающиеся при их
хранении и эксплуатации (при силовом, температурном,
химическом и других воздействиях). Разрушение — это
процесс разрыва связей между частицами тела, т. е. обра-
зования, роста и, возможно, слияния областей несплошнос-
ти — трещин или полостей. Дефекты являются источника-
ми и носителями процесса разрушения.
Поэтому модель материала, предназначенная для описа-
ния прочности и разрушения тел, должна учитывать его
дефектность. В реальных материалах встречаются дефекты
различного вида: вакансии или внедрения отдельных ато-
мов, их скопления, дислокации и их сетки, границы блоков
и зерен, места соединения отдельных молекул, микро-
и макротрещины, различные инородные, в частности жест-
кие, включения и т. п. Сложность деформирования и разру-
шения, происходящих в микрообъемах тела, не позволяет
одновременно учитывать влияние на эти процессы всех ха-
рактерных для данного материала несовершенств. Перечис-
ленные дефекты относятся к различным структурным уров-
ням. Их влияние на прочность и разрушение различно,
поэтому нет необходимости рассматривать их все вместе.
Если будет интересовать влияние на прочность дефектов
данного уровня, то при этом дефекты низшего структурного
уровня в модели целесообразно «размазать» до образования
однородного континуума так, что наличие последних уже
учитывается неявно посредством упругих и прочностных
характеристик данного континуума; крупные дефекты среди
рассматриваемых нужно относить к «конструктивным» осо-
бенностям формы и строения тела. Такой прием позволяет
рассматривать влияние дефектов поэтапно, по отдельным
структурным уровням, используя при этом свойство конти-
нуальности и однородности моделей, хотя каждый раз
в новом качестве.
В данной работе рассмотрим влияние на прочность и раз-
рушение тел наиболее опасных дефектов — трещин (собст-
венно трещин, щелей, вытянутых остроконечных полостей,
острых царапин) и остроконечных жестких включений.
К таким дефектам можно отнести и инородные упругие ост-
роконечные включения с очень малыми или очень большими
упругими и прочностными характеристиками по сравнению
58
с характеристиками основного материала (матрицы). Так,
например, малопрочные графитовые пластинчатые включе-
ния в ферритной матрице чугуна с некоторым приближе-
нием можно трактовать как трещины.
Вводимые в модель дефекты могут отличаться между со-
бой формой, размерами, расположением, в частности ориен-
тацией и местом внутри тела или на его поверхности. Дефек-
ты, отличающиеся настолько, что требуют для своего опи-
сания различных определяющих параметров, будем отно-
сить к дефектам различных сортов. Параметры дефектов
одного сорта могут отличаться только своей величиной.
Рассматриваемые дефекты по размеру будем считать таки-
ми, к которым можно применять положения линейной ме-
ханики разрушения, опирающейся на теорию упругости,
но малыми по сравнению с размерами тела и его элементов.
В целом материал можно рассматривать как сплошную
среду, в которой рассеяны дефекты типа трещин или жест-
ких включений. Можно также считать, что он состоит из
первичных (микро-) элементов, каждый из которых может
быть ослаблен только одним дефектом определенного сорта.
Таким образом, явное введение дефектов, задаваемых
их определяющими параметрами, является первой особен-
ностью рассматриваемой модели материала, отображающей
реальность его строения.
Вторая особенность связана со статистическим характе-
ром распределения опасности дефектов. Дефекты в реальном
материале даже одного сорта не одинаковы, изменяются
от элемента к элементу. Эти изменения носят не закономер-
ный, а случайный характер. Параметры, определяющие
размеры и расположение дефектов в наугад выбранном эле-
менте,— случайные величины. Случайной может быть и ха-
рактеристика (или характеристики) сопротивляемости эле-
мента зарождению и развитию трещин. Эго, конечно, повле-
чет случайность прочности элемента, что и наблюдается на
практике. Характеристики упругости континуума примем
постоянными. Будем считать, что модельный материал со-
стоит из однородного по упругим, но неоднородного (в об-
щем случае) по прочностным свойствам континуума, в ко-
тором рассеяны дефекты типа трещин или остроконечных
включений, определяющие параметры которых — случай-
ные величины. Допущение об упругой однородности конти-
нуума (т. е. постоянство его модуля Юнга Е и коэффициента
Пуассона v) позволяет применять обычные методы теории
59
упругости для определения напряженно-деформированного
состояния тел из такого материала. При рассмотрении усло-
вий разрушения прочностные характеристики элементов
континуума можно считать случайными, изменяющимися
в некоторых пределах. В качестве прочностной характерис-
тики континуума возьмем величину сопротивления материа-
ла развитию (Ке) [64, 77, 97] или зарождению (Ко) трещин
[4]. Отметим, что эти величины, кроме случайных измене-
ний от элемента к элементу, функционально изменяются
при воздействии на материал температуры, поверхностно-
активных сред, радиационных излучений (через эти фак-
торы может проявляться и влияние времени).
Прочность дефектного элемента материала при заданном
нагружении зависит от сопротивления континуума разру-
шению, от сорта дефекта и величин его геометрических
параметров.
Геометрические параметры дефектов Определенного г-го
сорта обозначим через аР (i = 1, 2, ..., пг; пг — число
определяющих параметров для данного сорта дефектов, где
г — сорт дефекта). Они определяют размеры, конфигура-
цию и расположение (ориентацию) дефектов. Например,
для изолированных плоских эллиптических трещин или
жестких включений имеем пять независимых параметров
(две полуоси эллипса и три угловых параметра ориентации
трещины в пространстве); для круговых дефектов — три
(радиус и два угловых параметра). Прямолинейные тре-
щины или жесткие включения в плоской задаче характери-
зуются длиной и углом ориентации (два параметра). Плос-
кие поверхностные трещины можно определить длиной,
глубиной и двумя углами (всего четыре параметра).
Согласно модели величины Ке — случайные, изме-
няющиеся в определенных пределах. Предположим, что
для данного материала нам известна функция совместного
вероятностного распределения величин Fr (Кс, d\, аР, ...
..., а^) или совместная плотность вероятности fr (dp,
аР,...,аРг), которые связаны соотношением (1.16). Вид
этих функций зависит от структуры и технологии изготов-
ления материала. Определяющие параметры могут быть
стохастически независимыми или зависимыми. Это, в част-
ности, может быть следствием технологии изготовления
материала (например, в результате вытяжки материала
между размером и ориентацией дефектов существует опре-
60
деленная корреляция). В случае стохастической независи-
мости параметров дефектов совместное распределение пара-
метров равно, как известно, произведению частных распре-
делений каждого параметра в отдельности:
Шр, ар, ..., ар, Ke) = h(^) ... frnr(ap)f(Kc).
Характер распределения каждого параметра в отдельности
иногда может быть установлен из общих соображений. Так,
для изотропных материалов разумным, очевидно, является
предположение о равновероятности всех ориентаций дефек-
тов, т. е. о равномерности распределения дефектов по всем
возможным ориентациям. В дальнейшем при рассмотрении
конкретных задач будем выбирать определенный вид вероят-
ностного распределения параметров дефектов.
Если материал ослаблен одновременно дефектами раз-
личных сортов, то будем предполагать известными все
функции распределения определенных дефектов каждого
сорта.
Пространственное распределение (по объему, площади
или длине) дефектов каждого сорта будем считать равно-
мерным, а среднее число дефектов каждого сорта в еди-
нице размера Vo материала известным.
2. Вероятность разрушения тела
при заданном нагружении
Рассмотрим общую схему решения задачи опре-
деления вероятности разрушения и вероятностных (стати-
стических) характеристик величин разрушающих (предель-
ных) нагрузок, действующих на тело, изготовленное из
описанного выше стохастически дефектного материала.
Сначала рассмотрим случай, когда тело ослаблено дефекта-
ми одного сорта (например, одним видом трещин) и находится
под действием силового нагружения в виде сложного одно-
родного напряженного состояния. Потом обобщим подход
к рассмотрению дефектов различных сортов, а также дру-
гих воздействий на тело.
Хрупкое разрушение тела будем считать результатом
развития имеющихся в нем трещин, а также образования
и развития новых трещин около дефектов другого вида
(например, около жестких включений). Развитие хотя бы
одной трещины (локальное разрушение одного первичного
элемента) может стать причиной глобального разрушения
61
тела. Из теории равновесных трещин известно, что неустой-
чивое спонтанное развитие трещин имеет место в телах,
растягиваемых однородными усилиями перпендикулярно
трещине. Экспериментальные данные подтверждают не-
устойчивость развития трещин и в случае произвольно
ориентированной трещины. Поэтому для тела абсолютно
безопасны такие нагрузки, при которых дефекты не разви-
ваются. Максимальную из таких нагрузок назовем предель-
ной для данного тела. Максимальная нагрузка, не вызы-
вающая еще разрушения в окрестности отдельного (изоли-
рованного) дефекта в элементе тела, называется предельной
для данного элемента (или дефекта).
Наиболее простое решение задачи о предельной нагрузке
для тела можно получить предположив, что взаимодейст-
вие первичных элементов тела не изменяет предельную
нагрузку отдельного элемента, т. е. если дефекты можно
считать изолированными. В этом случае предельная на-
грузка для тела совпадает с предельной нагрузкой наименее
прочного его элемента. Тогда вычисление предельной на-
грузки тела будет аналогично расчету прочности тела по
гипотезе слабого звена, согласно которой прочность тела
равна прочности его наиболее слабого первичного элемента,
которая лежит в основе почти всех работ, посвященных ста-
тистической теории хрупкого разрушения. Следует под-
черкнуть, что предельная нагрузка не тождественна на-
грузке, вызывающей глобальное разрушение тела, но она
дает возможность установить величину безопасной для
данного тела нагрузки, превышение которой может при-
вести не только к локальному, но и к глобальному разру-
шению тела.
Пусть нам известно условие предельного состояния пер-
вичного элемента материала, содержащего один дефект.
Оно представляет собой зависимость между определяющими
геометрическими (at) и прочностным (Кс) параметрами де-
фектного элемента и действующей на него нагрузкой и мо-
жет быть записано в виде (1.83). Эта детерминистическая
зависимость должна быть известна из решения соответст-
вующей задачи теории предельно-равновесных дефектов.
Для невзаимодействующих дефектов ее можно взять из ре-
шения задачи о бесконечном теле с одним дефектом.
Припомним, что при однородном напряженном состоя-
нии предельные значения главных напряжений ри рг, р3
могут быть представлены в виде (индекс предельности ве-
62
личины будем опускать)
Pi - <Р Оъ 6» «ь • • •. ап, Кс)> Pt ~ ПР1» Рз = Ipi- (П. 1)
Считая я» 5 фиксированными, имеем один параметр на-
грузки рх. Выше принято, что определяющие параметры
дефектных элементов — случайные величины, функция
F (ах, Os, .... ап, Кс) и плотность f (at, ..., ап, Кс) совместного
вероятностного распределения которых предполагаются
известными. Из последней формулы следует, что и значение
предельной нагрузки рх также будет случайным, изме-
няющимся в определенных пределах от pi.min до pi,max-
Функцию распределения вероятностей предельной на-
грузки на элемент найдем по формуле (1.24) для определе-
ния распределения вероятностей функции от случайных
величин
Л (Pi) = р (а1г .... ап, Kc)dai ... dandKc; (11.2}
фСп» .... KcXPi.
Здесь интегрирование производится по всей п + 1-
мерной области значений at (i = 1, ..., п) и Кс, для которых
соблюдается неравенство
Ф(ть «1» • - -» ап, Кс) < Pl. (П.З)
Дифференцируя выражение (П.2), можно получить
формулу для плотности вероятности /х (рг) предельных на-
грузок элемента материала.
Из формулы (II.2) видно, что функция распределения
Л (Pi) (значит и плотность вероятности h (рх)) зависит как
от характеризующей структуру материала функции f (ах, ...
...» ап, Кс), так и от характеристик сложности напряжен-
ного СОСТОЯНИЯ Т] И 5 (то же ОТНОСИТСЯ И К Pl,min, Pl,max)-
При фиксированных рх, q, £ значение функции Fx (px, t|,
E) равно вероятности разрушения какого-либо элемента тела
при нагрузке рх, не превышающей заданного значения рх.
Таким образом, значение Fr (рх, т), £) дает вероятность раз-
рушения элемента в заданном поле напряжений рх, р2 =
= ЛР1> Рз «ч £рх:
Pi (Pi, П. I) = Р (Pi < Pi)- (П-4>
Функцию Ft (pu n, g) можно представить и как функ-
цию распределения пределов прочности элементов мате-
риала в заданном поле напряжений. Она определяет вероят-
ен
ность того, что предел прочности л при заданных г) и £
не больше фиксированного значения pv
В большинстве статистических теорий прочности, не
учитывающих явным образом дефектность материала, функ-
ция распределения пределов прочности элементов материа-
ла является исходной и предполагается известной. Такой
подход имеет некоторые преимущества: простоту подхода,
учет влияния на прочность элементов сразу всех возмож-
ных дефектов и других факторов без детальной информации
о них и т. п. Но при этом факторы, от которых зависит проч-
ность и ее вероятностное распределение, остаются скрытыми.
При явном учете дефектов, задаваемых их определяющи-
ми параметрами, многое становится ясным. В частности
видно, что распределение пределов прочности элементов
материала зависит не только от структуры дефектности,
но и от вида поля напряжений, действующего на элемент,
т. е. от величин т] и Это объясняется тем, что на проч-
ность дефектного элемента, кроме его физико-химической
природы и величины дефекта, влияет размещение (в част-
ности, ориентация) дефекта в теле и поле напряжений.
Следовательно, для каждого вида напряженного состояния
необходимо знать соответствующую ему функцию распре-
деления прочности элементов материала. Это обстоятельст-
во даже не указано в упомянутых теориях. При явном учете
дефектов функция распределения пределов прочности эле-
ментов материала может быть теоретически определена по
указанному алгоритму при любом напряженном состоянии
или других воздействиях. Такой подход требует большой
информации о структуре материала и знания детерминисти-
ческих условий разрушения дефектных элементов в соот-
ветствующих полях напряжений. Но он более последова-
тельно отражает роль дефектов в процессе разрушения и
открывает возможность выявить связь вероятностного рас-
пределения пределов прочности со структурой материала и
видом поля напряжений.
Рассмотрим теперь тело размером V (V может означать
объем, площадь, длину). Пусть в некоторой единице размера
Vo материала содержится в среднем «о первичных дефект-
ных элементов. Тогда в теле размером V в среднем будет
содержаться п = пй -у- первичных элементов. Тело разме-
ром V можно рассматривать как случайную выборку объема
п из генеральной совокупности первичных элементов мате-
64
риала. Поскольку, как принято выше, предельная нагрузка
для тела равна предельной нагрузке наименее прочного
его элемента, то функцию распределения предельной на-
грузки Fn 0?i) для тел размером V можно найти по формуле
(1.34) для распределения минимального члена выборок,
состоящих из п элементов генеральной совокупности эле-
ментов, описываемой функцией Гх (рх, г], £):
Рп{Ръ п. £) = 1-[1-Л(рх, п. В) v‘- (П.5)
Такой же результат получаем, определяя вероятность
разрушения хотя бы одного элемента в совокупности
п0 дефектных элементов, причем вероятность разру-
шения каждого из них в отдельности равна Fx (рх, т], £)
при фиксированных рх, ц, £. Формула (П.5) используется
во всех работах по статистической теории хрупкой проч-
ности, основанной на гипотезе слабого звена.
Значение функции Fn (ри ц, £) равно вероятности Р
локального разрушения тела размером V под действием за-
данного однородного сложного поля напряжений:
P(Pi, Э = *п(Р1. П. ?)• (П.6)
Определение этой вероятности составляет одну из глав-
ных задач расчета на надежность. Вероятность разрушения
не должна превышать некоторого нормативного уровня,
устанавливаемого на основании технико-экономических
соображений.
При достаточно больших п0-Х для функции Р„(рх)
УО
можно использовать асимптотическое представление (1.38),
которое приводит к распределению типа Вейбулла
рл (Pl) = 1 — ехр [— сп0 -У- (pt — Pl,min)m] . (П.7)
L
где с > 0, т > 0 — ограниченные, не зависящие от числа
дефектов величины; они определяются характером стремле-
ния функции Гх (рх) к пределу при рх -> pi.min
с= Пт ---------. (П.8)
min (Pl
Вейбулл в своей статистической теории прочности вели-
чины с и т принимает как некоторые константы, которые
должны быть определены экспериментально при данном
5 102
65
виде материала и нагружения. Определение же этих вели-
чин на основании функции Fj (/>1) дает возможность уста-
новить параметры, от которых они зависят, в частности
установить их явную связь с характеристиками дефектности
материала и видом напряженного состояния, вызывающего
разрушение.
Выше была рассмотрена схема определения вероятности
разрушения тела под действием однородного сложного на-
пряженного состояния, если материал тела ослаблен дефек-
тами одного сорта. Если тело ослаблено дефектами различ-
ных сортов, не взаимодействующих между собой, резуль-
тат легко обобщается.
Пусть материал ослаблен дефектами у различных сор-
тов. Среднее число п? дефектов каждого сорта на единицу
размера Йотела предполагаем известным, где г = 1,2, ...,?.
Аналогично предыдущему можно определить функции
Fir (Pi> Л» £) распределения прочности элементов, ослаб-
ленных одним дефектом каждого сорта в отдельности. Для
этого нужно знать соответствующие детерминистические
условия разрушения элемента с дефектом каждого сорта
и вероятностные распределения определяющих парамет-
ров дефектных элементов каждого сорта. Поскольку величи-
на Fir определяет вероятность разрушения элемента с од-
ним дефектом данного сорта, а 1 — Fir — вероятность
неразрушения такого элемента, то по формуле (1.2) вероят-
ность неразрушения ни одного элемента е дефектами этого
сорта в теле размером V равна (1 —Fy)nr~v», а вероят-
ность неразрушения ни одного элемента с дефектом любого
сорта — П (1 —F\r)' v«. Тогда вероятность разрушения
хотя бы одного элемента тела с любым дефектом, т. е. по
условию вероятность локального разрушения всего тела,
определим по формуле
Р(л, П. 9 = Рп(Ръ !U) = 1 - П (1 -F.,) r v>. (II.9)
Г=1
Частный случай этой формулы для дефектов двух сортов
(внутриобъемных и поверхностных) рассмотрен в работе
[9]. В общем случае по этой формуле можно определять
вероятность разрушения тела с дефектами, отличающимися
не только своим размещением, конфигурацией, но и физи-
66
ческой природой (например, трещинами и жесткими включе-
ниями).
При больших числах п? можно записать также coot,
ветствующее асимптотическое представление для функции
Fn (Ръ Л. В), обобщающее распределение (П.7).
Аналогично описанному выше можно определить вероят-
ность разрушения стохастически дефектного тела, вы-
званного не силовым воздействием, а другими факторами»
например, однородным тепловым потоком q2- В этом случае
необходимо только для определения функции распределе-
ния (<7а) использовать детерминистическое условие дости-
жения предельной величины тепловым потоком в элементе
материала с одним дефектом.
3. Статистические характеристики
разрушающих нагрузок
' и критерии разрушения
при сложном напряженном состоянии
Зная функцию Fn (plt т), £), можно найти ряд
статистических характеристик предельной нагрузки для
тела размером V: среднее и наиболее вероятное значение;
величину нагрузки, соответствующую заданной вероят-
ности разрушения; дисперсию и коэффициент вариации
предельной нагрузки и т. п.
Среднее значение (рх) и дисперсию D (рх) определим
по формулам
pUmax
гп \ _ f п. (Pi) .
— I Pi ^Ръ
(П.Ю)
%тах
D<Pi)= j
p\t min
которые с учетом соотношения (П.9) преобразуем к виду
₽1^ах v *>-$-
<Р1> =« Pl.min + J п (1 — Fir) dpx;
(П.П)
pl»max v ft0 JL
0(a>-pU> + 2 f П(1—Flr)r v,p1dPi~<Pi>a-
'’l.mln'-*
5*
67
Здесь под Pi.min и pi.max подразумеваются минимальное
и максимальное значения нагрузок, которые необходимо
•выбрать при рассмотрении всех сортов дефектов.
Коэффициент вариации предельной нагрузки определим
по формуле (1.13)
(11.12)
/£>(Р1)
Наиболее вероятное значение предельной нагрузки р\т
соответствует той величине рь при которой плотность рас-
пределения вероятностей fn (pt) = максимальна.
При существовании локального максимума моду найдем на
основании уравнения
^ = °- (П.13)
ар\
Значение нагрузки рщ, соответствующее заданной ве-
роятности разрушения тела (Р (ри т], В) = р.), определим
на основании соотношения (1.14)
V V
Fn(Pu П, 9 = 1—П jl -Flr(Pi, г], В)Л v.-n, (11.14)
Г—1
Аналогично можно определить вероятностные характе-
ристики предельных величин несиловых факторов нагру-
жения тела (например, теплового потока).
Как видно из приведенных формул, вероятность разру-
шения и все статистические характеристики предельной
нагрузки pt для тел из одного и того же материала зависят
от размера V тела и ц, В, характеризующих сложность на-
пряженного состояния.
В частности, можно записать, что
<Pi> = Pogi i> 9 «о-р- ;
' (II. 15)
(у \
Л» В, "и")»
\ (П.16)
/ t v \
= 9 «о-р- .
\ v о /
где р0 — величина, имеющая размерность напряжений;
Ss> gt — некоторые безразмерные функции указан-
; 68
ных и других параметров, характеризующих структуру
материала.
Определив вероятностные характеристики компоненты
предельной нагрузки, нетрудно найти аналогичные харак-
теристики компонент предельной нагрузки р2 и р3, связан-
ных с pi соотношениями р3 •= г\ръ р3 = Очевидно
при фиксированных т] и | средние значения, моды и кван-
тили pi, Рз и р9 связаны такими же соотношениями, т. е.
(Pi) = Л <Р1), (Рз) = В (Pi) и т. д.
Совместно равенства
<Pi> = Pogi(л» L
<р2> = л <Pi>;
<Р3>М<Р1>
(П.17)
определяют критерий предельного состояния тела при
сложном напряженном состоянии, выраженный в средних
значениях разрушающих напряжений.
Геометрически в пространстве нагрузок ръ р3, р3 эти
равенства описывают в параметрической форме уравнение
средней предельной поверхности, возле которой группи-
руются напряженные состояния, вызывающие локальное
разрушение тела. Точки самой поверхности представляют
средние величины разрушающих напряжений для данного
тела.
Равенства
Plot — Pofifs (л. «О у
\ г 0
Р2т 1=2
РЗт == IPlm
(П.18)
определяют уравнение «наиболее вероятной» предельной
поверхности, точки которой представляют совокупность
напряженных состояний, при которых вероятно будет про-
исходить разрушение тела.
Совокупность равенств
Рщ = Ро£з(Ч 5» И
\ ко 4
P2\L = ЛР1Ц5
(П.19)
69
описывает предельную поверхность, соответствующую за-
данной вероятности разрушения тела. При всех нагрузках
на тело, не выходящих за пределы этой поверхности, ве-
роятность его разрушения не превышает заданной величи-
ны: поверхность ограничивает величину возможных нагру-
зок на тело так, чтобы вероятность его разрушения не
превышала заданного уровня.
Рассмотренные критерии разрушения и изображающие
их предельные поверхности, кроме структуры материала
тела, зависят, как видно из формул, от размера тела. Влия-
ние размера тела на вероятность его разрушения, критерии
разрушения и статистические характеристики разрушае-
мых напряжений известно под названием масштабного эф-
фекта [98, 99J. В дальнейшем при конкретных расчетах
увидим, что с увеличением размеров тела вероятность его
разрушения возрастает, а величина предельных напряже-
ний уменьшается. Скорость этих изменений, т. е. интен-
сивность масштабного эффекта, для тел из одинакового
матерйала зависит от размера тела и параметров сложности
напряженного состояния, а в телах из различных мате-
риалов также от характеристик неоднородности строения
материала (чем больше неоднородность, тем сильнее прояв-
ление эффекта).
Приведенные в этом и предыдущем параграфах формулы
определяют алгоритм расчета вероятности и статистических
критериев хрупкого разрушения стохастически дефект-
iHoro тела при сложном напряженном состоянии. Для ис-
пользования этого алгоритма необходимо знать плотность
^вероятности / (аъ .... ап, Ке) я решение соответствующей
’детерминистической задачи о разрушении элемента тела с од-
• ним дефектом для всей области изменения случайных пара-
метров а(, K.t.
4. Схема определения вероятностных
характеристик разрушения пластин
Рассмотрим более подробно алгоритм определе-
ния вероятности разрушения и построения вероятностных
критериев прочности в случае плоского напряженного со-
стояния пластинчатых тел, ослабленных стохастически
распределенными дефектами (трещинами, жесткими вклю-
чениями). При изучении напряженно-деформированного
ТО
и предельного состояния пластин обычно принимают, что
дефекты пронизывают нормально к плоскости пластины всю
их толщину, т. е. используют плоскую модель дефектного
тела. Эта модель, конечно, ограничена, но она тем адекват-
нее действительности, чем тоньше пластина. В дальнейшем
в основном будем рассматривать именно такие случаи.
Но рассмотрим также поверхностные трещины, прости-
рающиеся только на некоторую глубину пластины. Отметим,
что возможные внутренние дефекты в пластинах менее
опасны, особенно если их плоскость является плоскостью
действия приложенных уси-
лий. К тому же в своем разви-
тии внутренние трещины в
пластинах сначала превра-
щаются или в поверхностные
или в сквозные. Изучение
влияния внутренних дефек-
тов пластин на их прочность
требует использования гро-
моздкой пространственной
теории, как при изучении
трехмерного тела, что для
тонких пластин может ока-
I I i 1П I I I
Рис. 9
t
заться неоправданным.
Рассмотрим плоскую модель.
Пусть тело в виде пластины толщиной Н и площадью S
находится под действием двухосного растяжения, сжатия
или растяжения — сжатия в двух взаимно перпендикуляр-
ных направлениях однородными усилиями р и q — т\р
(рис. 9). Эти усилия можно рассматривать как главные на-
пряжения, действующие в пластинчатом элементе тела
при плоском напряженном состоянии. Будем считать, что
в материале пластин прямолинейные дефекты случайной
величины и ориентации равномерно рассеяны, но так, что
они не взаимодействуют между собой. Дефекты характе-
ризуются длиной 21 и углом ориентации а по отношению
к некоторому фиксированному направлению, которым яв-
ляется направление действия усилий р. В общем случае
можно принять, что случайная полудлина I дефектов изме-
няется в некоторых пределах от 4> ДО d (do I d), где
do и d — структурные константы материала. Угол а можно
считать изменяющимся в пределах от —-у до -у (—у <
71
a -^J, так как оба конца прямолинейного дефекта
в однородном поле напряжений находятся в одинаковых
условиях. Сопротивление материала пластин зарождению
или развитию трещин для простоты предположим везде
одинаковым (континуум пластин — однородный).
Дефектность материала пластин характеризуется сов-
местной функцией распределения вероятностей случайных
величин I и a — F (а, I) и плотностью распределения ве-
роятностей f (а, /). Допустим, что эти функции известны.
Как указано в первой главе, величину предельной на-
грузки для изолированного дефекта в пластине при двухос-
ном растяжении можно записать в общем виде:
P = -j^<P(a, т|). <7 = ПР.
(П.20)
где А — константа, характеризующая сопротивление кон-
тинуума пластины зарождению или развитию трещины;
Ф (а, т|) — известная функция, вид которой зависит от
природы дефекта (типа трещины, или включения), области
значений а и -ц, подхода к решению задачи о предельном
состоянии, коэффициента внутреннего трения между бере-
гами трещины и др.
Поскольку величины I и а являются случайными, то
и предельная нагрузка р при заданном т] для элемента
пластины с одним дефектом также случайная величина,
изменяющаяся в некоторых пределах от ртт (п) до Рта (т]),
которые определяются на основании формулы (П.20) как
минимальное и максимальное значения по двум переменным
I и а:
Л
Pmin (п) = -Т7=- miпа Ф (а, и);
(11.21)
В этом случае формула (П.2) для распределения вероят-
ностей разрушающей нагрузки р элемента пластины с од-
ним дефектом примет вид
Al 2 q>(a,п)<р
72
Здесь интегрирование осуществляется по тем возмож-
ным значениям I и а из их области-----------,
do I d, для которых выполняется указанное ниже
знака интеграла неравенство.
Двойной интеграл в формуле (11.22) можно представить
через повторные интегралы
П)
(11.23)
где La — множество возможных значений а, для которых
при заданных р и г) должно выполняться условие
4|< 1) (II 24)
При стохастической независимости величин I и а, когда
f (a, /) = f2 (a) f3 (l), вводя функцию F3 (l) распределения
вероятностей величины l и учитывая, что F3 (d) = 1, фор-
мулу (П.23) можно преобразовать к виду
Л (А П) = J М (1-Г3[ -Ф^М-]р«- (П.25)
т \ L JJ
L J
Если пластинка содержит п дефектов, то функцию
F„ (Р> Tl) распределения предельной нагрузки такой плас-
тины находим по формуле (П.5), которая в новых обозначе-
ниях приобретает вид
F„(P, П) = 1-Ц-Л(Р. (П.26)
При фиксированных р и л эта функция определяет
вероятность разрушения пластины при напряжениях
pviq = туэ:
P = Fn(p, П). (П.27)
Определив соответствующие статистические характе-
ристики разрушающих напряжений, можно построить кри-
терии разрушения при плоском напряженном состоянии.
В частности, уравнения кривых предельного состояния,
выраженные в средних значениях разрушающих напря-
жений, имеют такой вид:
Pmax(’l)
<Р> = Anin (Л) + f [1 — Pi (Р, П)Г dp-,
(11.28)
<<7> “ П <р>.
73
Уравнение предельной кривой, соответствующей задан-
ной вероятности р разрушения, определяется равенствами:
j J f (а, /) dadl = 1 — у' 1 —• р;
А1 2 <p(a,t])<z> (П.29)
<7 = ПР-
Эти формулы являются принципиальным решением за-
дачи при плоском напряженном состоянии. Для конкрет-
ных расчетов необходимо задать плотность распределения
параметров дефектов f (а, I) и функцию <р (а, т|), отражаю-
щие структуру материала и условия элементарных разру-
шений в окрестности отдельных дефектов. Вид предельных
кривых зависит от этих функций.
I? лав a III
- ВЕРОЯТНОСТЬ И КРИТЕРИИ РАЗРУШЕНИЯ
ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ состоянии
ПЛАСТИН СО СЛУЧАЙНЫМИ ТРЕЩИНАМИ
ПРОИЗВОЛЬНОЙ ДЛИНЫ
По методике, описанной в предыдущем парагра-
фе, определим и исследуем вероятность разрушения, веро-
ятностные характеристики разрушающих напряжений,
а также построим кривые вероятностных критериев раз-
рушения при двухосном напряженном состоянии пластин
со случайными трещинами (см. рис. 9) [73].
Предположим, что а и I — независимые случайные ве-
личины. Тогда плотность вероятности их совместного рас-
пределения / (а, 0 ₽= (a) fs (0. Для пластин из изо-
тропного материала следует считать все возможные ориента-
ции трещин | а | равновероятными. В этом случае
плотность вероятности ориентации трещин согласно форму-
ле (1.33) будет иметь вид
/.(») = ! <1ПЛ>
Допустим, что случайная полудлина трещин может при-
нимать любые значения (0 I < оо). Плотность вероят-
ности ее распределения примем в виде (1.28)
V *Т а)
При этом функция распределения согласно формуле (1.29)
будет
Здесь s определяет структурную неоднородность мате-
риала: чем больше s, тем более вероятны малые трещины,
т. е. материал более однороден.
75
Предположение о неограниченности максимального раз-
мера трещин является упрощающим в отношении модели
материала и математических выкладок, тем не менее оно
дает возможность сравнительно просто получить ряд ре-
зультатов, адекватно отображающих действительность.
Указанное предположение принято в ряде работ [115, 119,
120]. Поскольку 0 I <оо, то из формулы (11.20) воз-
можны значения предельных напряжений 0 | р | < оо.
Минимальное значение разрушающего напряжения (поро-
говое значение прочности) pmin = 0. Это означает, что при
любых (даже как угодно малых) напряжениях р и q су-
ществует ненулевая вероятность разрушения. Такая
ситуация иногда наблюдается в действительности, и в не-
которых работах она постулируется [15, 19, 20, 72, 130].
Необходимое для конкретных вычислений детерминисти-
ческое условие развития трещин в пластине примем в виде
(1.63), менее сложном по сравнению с другими.
1. Распределение прочности
и вероятность разрушения пластин
Для определения функции распределения пре-
дельных напряжений элемента пластины с одной трещиной
используем формулу (П.25). Подставляя в нее функцию
(III.3) при I = Л2/?~2фг (а, ц, р), получаем
п
2
Fi (IР 1> Я) = (ар2)4-1 J fa (a) (а, т|, р) + ap8]1-s da,
(Ш.4)
0<|Р | < оо.
Здесь из интервала интегрирования La — {—-2-|
следует исключать те участки, на которых функция q> (а,
т], р) не определена.
При изотропных пластинах разрушающие напряжения
р и q = яр симметричны относительно прямой р = q (т| =
= 1), поэтому достаточно рассмотреть случай q р- При
двухосном растяжении р > 0, q > 0 и растяжении в одном
направлении р > 0, а сжатии в другом (q 0) будем счи-
тать р > 0, — оо < г) < 1.
Подставляя в выражение (III.4) (а) и <р (а, т], р) со-
гласно формулам (III.Ц и (1.64) найдем при р > 0 одно-
или двухосное растяжение, 0 rj I,
2
е 2 1 f Г sin* а 4-Л8 cos* а р""' .
Fi (Pi Л) я ( Р ) J [ Л» + ар* (sin* а 4- Л8 cos* a) J ^а’
« (Ш.5)
при р > 0 растяжение — сжатие — оо < г] О
п
Fi(p, n)==4^S~'
’ [ sin*« + Л8 cos* « I*—1 . .
| L ^8 + <V8 (sin* a 4- r]8 cos*a) J a"*"
a.
C______((! — л)sin 2a 4- 2p (sin* a 4- r) cos* a)]2s~2_&&
J (4Л* + ар* ((1 —1|) sin 2a 4- 2p (sin* a 4- П cos* a))*]s—1 °5
(III.6)
Напомним, что a0 = arctg V — tj, а значение otj определяет-
ся по формуле (1.65).
Наиболее простой вид принимает функция Fx (р, т])
при одинаковом двухосном растяжении (т] = 1)
^(Р. 1) = (is^rp1. 0<Р < (Ш-7)
Для некоторых значений з функция распределения
Ft (р, т]) может быть определена в элементарных функциях.
Так, при з = 2 формула (Ш.5) преобразуется к виду
Fi (р, п) = I
Л
_ с_____________________________________
л J А9 + т)2ара + ар9 (1 — т]а) sin8 а
о
= 1 — Аг((Л24-т|2ар2)(Л24-ар2)] ’, 0<р<оо. (Ш.8)
Здесь использовано значение интеграла [29]
Пусть пластина содержит п трещин. Тогда функцию
Fn (Р> Л)> определяющую вероятность разрушения пластины
при заданной нагрузке, найдем используя формулу (11.26).
77
В частности, вероятность разрушения при одинаковом
двухосном растяжении на основании формул (П.26) и
(III.7) будет
0<р<оо. (ШЛО)
На рис. 10 показаны графики зависимости вероятности
разрушения Р от безразмерной нагрузки р вычислен-
ные по последней формуле при л = 100 для различных s.
Как видно, имеется определенный диапазон нагрузки, для
которого вероятность разрушения мала. С ростом s, т. е.
для более однородных материалов, длина этого диапазона
увеличивается. При увеличении s значения предельных
напряжений, соответствующих заданной вероятности раз-
рушения, возрастают, а вероятность разрушения при фикси-
рованной нагрузке уменьшается. На рис. 11 представлены
кривые зависимости вероятности разрушения от приложен-
ных напряжений при s = 2, л = 100 для двух значений г].
При больших значениях л для вычисления функции
Fn (р, т]) и вероятности разрушения Р можно использовать
асимптотическую формулу (II.7), которая примет вид
Р-Рл(\р\, т]) = 1 —• exp (—сл | р |m), (III. 11)
- о<|р|<°°-
Ограниченные параметры с > 0, т > 0 можно найти по
формуле (П.8)
о = lim
|₽|*о
А(1р1> п)
1рГ”
(III. 12)
Распределение (III. 11) было введено Вейбуллом 1130],
который рассматривал разрушение тела только при одно-
осном напряженном состоянии. На основании формулы
78
(III. 12) для функции Fj (| p |, я) (Ш.4) получим
Л
tn = 2 (s— 1); c
2
ft (a) <P2-2s («.
Л
2
n.
p)da.
(III.13)
Здесь из области интегрирования La = |—<j-» — |
следует исключить те промежутки, для которых функция
<р (а, я» р) не определена. Формулы (III. 13) показывают, что
параметр т распределения Вейбулла линейно связан с по-
казателем s распределения длин трещин. Это параметры
структурной неоднородности материала: чем они больше»
тем материал более однороден, т. е. вероятность больших
дефектов в нем мала. Параметр с зависит от распределения
f2 (а) ориентации дефектов (в общем случае от анизотроп-
ности материала) и вида поля разрушающих напряжений
(от соотношения главных напряжений я ~
Для изотропного материала, используя формулы (И 1.5)»
(III.6) и (III. 12), при 0 < я 1 найдем
Л
в = (-^-j j (sin2 a + я2 cos2 a)s-1 det =
(III.14)
Здесь использовано значение интеграла [29]
Л V
((a + b cos xf dx = л (a2 — &2)2 Pv ( , a2 > b2,
$ \У a2 — b2)
где Pv (x) — функция Лежандра первого рода.
При v =! О, 1, 2, 3 эта функция превращается в полином
Лежандра: Рх (х) = х\ Рг (х) = 3**~1.
Из формулы (III. 14) следует, что при одинаковом двух-
осном растяжении
(III.15)
79
Для одноосного растяжения имеем >.
Л
5—1 2
с = 4(^)
' о
_ I ( 4а V * д / 2s — 1 2s — 1 \ /ТТТ1ЗД
= тЫ ВГ“2~>——)'
где В (х, у) — бэта-функция.
В формуле (III. 16) использовано значение интеграла [291
л
J Sin»-1 xdx = 2Н—2В (-J-, -у-).
О
При растяжении — сжатии получим
X
1
4s"1
[(1 — т)) sin 2а + 2р (sin2 а + т] cos2 a)]2s~2
da 4-
Г
«1
_Л_\
2
4- J (sin8 a 4- г]2 cos2 a)s-1da.
a.
(III. 17)
11ри чистом сдвиге (p = — q > 0) и p = 0 эта формула
примет вид
Если в качестве детерминистического условия развития
трещины использовать соотношения (1.50) и (1.57), то для
величины с получим следующие формулы:
при р > 0, O^q^l
Л
S—1 2
с==1г(~^~) J sec4_4s-y-[cos(sin2a4-Пcos2a) —
' ' о
о ft ]2s—2
—5-(1 — Я) sin 2a sin-%4 da; (III.19)
A J
80
при р > 0, — со < 1) О
а»
—Ц- ( [(1 — л) sin 2а + 2р (sin2 а 4- П cos2 a)]&“2da 4-
,3s”
п
2
4- j sec4-4s-y-|cos -у-(sin2 a 4- r]cos2a)—
a» 1
—(1 — r|) sin 2a sin -y-j da
(111.20)
где P* определяется по формулам (1.56).
2. Вероятностные' характеристики
разрушающих напряжений
По известным значениям функции распределения
Fn (р, т]) можно определить с помощью численного инте-
грирования ряд числовых характеристик (среднее значение,
дисперсию) предельных напряжений пластин. Удобные для
анализа и вычислений выражения для числовых характе-
ристик прочности пластин получаем при большом числе
трещин п.
На основании полученных выражений для с, т распре-
деления (III.il) можно вычислять вероятность разрушения,
а также другие вероятностные характеристики прочности
пластин с большим числом трещин. Формулы (1.40) и (1.41)
для среднего значения (р) и дисперсии D (р) примут вид
(сщт (сп)т (III.21)
Зависимость среднего значения и дисперсии предельных
напряжений от вида напряженного состояния т), а при
т] < 0 и от коэффициента трения берегов трещин р учиты-
вается посредством с. Из выражения (III. 17) видно, что
с возрастанием р величина с уменьшается вследствие уве-
личения нижнего предела интегрирования аг и уменьшения
6 юз
.81
подынтегрального выражения. Тогда величины (р), D (р)
при г) < 0 будут возрастать с ростом р.
Формулы (II 1.21) показывают, что зависимость вероят-
ностных характеристик (р), D (р) разрушающих напряже-
ний от размера S пластин (от числа трещин п) определяется
однородностью материала т.
На основании формул (III.15) — (III.18), (III.21) по-
строены кривые зависимости средних значений и дисперсий
предельных напряжений от числа трещин для некоторых
значений г], пг (рис. 12—15). Графики показывают, что ин-
тенсивность уменьшения среднего значения и дисперсии
прочности с ростом п увеличивается при уменьшении зна-
чения т.
82
Из формул (III.21) видно также, что зависимость (р)
и D (р) от вида напряженного состояния определяется ве-
личиной т. Покажем это более детально на примере средних
значений (р), сравнивая двухосное симметричное растяже-
ние (Г) = 1) и чистый сдвиг (Т] = —1) с одноосным растяже-
нием (т] = 0). Из выражений (III.15), (III.16), (III.21),
приняв во внимание зависимость (III. 13) между т и s,
получим
<Р>п=1_____2_
—
ят
tn + 1 \ ___
2 /
т -|-1
2
т
ра ( т ~Ь J
\ 2
2
Г (m + 1)
(III.22)
fn
Л
Здесь использовано соотношение В(х, у) == ^4 4*
' На рис. 16 представлена кривая зависимости X от т,
построенная на основании формулы (III.22). В работе
189] приведены средние значения предельных нагрузок
при разных соотношениях главных напряжений г), опре-
деленные экспериментально при плоском сложно-напряжен-
ном состоянии для графитов мелкозернистого типа МПГ-6
и среднезернистого типа ВПП. В этой же работе отмечено,
что для графита типа МПГ-6 однородность материала при-
нимает значения т = 6 4- 6,4; для графита типа ВПП —
т = 9,8 -г 10,2. На рис. 16 треугольниками нанесены
значения %, вычисленные по результатам отмеченной рабо-
ты, при этом взяты средние значения однородности мате-
риалов /пСр — 6,2; 10.
На основании соотношений (III. 16), (III. 18), (III.21)
имеем
соотношений (III. 16), (III. 18), (III.21)
ъ 1
1 <Р)^о “
Г2
2"*“' р 4- Г (m + 1)
2
т
(III.23)
Кривая зависимости от tn показана на рис. 17. Из
графиков видно, что с возрастанием т величины 1 и Xj
увеличиваются, стремясь к 1, соответствующей случаю аб-
солютно однородного материла,
ь*
83
Теперь исследуем зависимость дисперсии D (р) от ц.
На основании формулы (III.21) с использованием выраже-
ний (III.14), (III.17), а также зависимости т — 2 (s— 1)
вычислена величина D (р) при различных г] для т = 2;
6; р = 0; 0,4. Кривые зависимости дисперсии D (р) от т)
для т = 2 показаны на рис. 18, для т = 6 — на рис. 19.
Величина D (р) достигает максимального значения при
т] = 0. Трение берегов трещин (р > 0) увеличивает дис-
персию. Заметим, что величины D (р) и D (q) связаны соот-
ношением D (q) = v?D (р).
На основании формул (1.13) и (III.21) коэффициент из-
менчивости прочности __________________
1/ г6+4)-г‘(1+4)
w (р) = J---*---,т' . —. (III.24)
Г|1 + —)
\ т /
В рассматриваемом случае, т. е. при pltlin = 0 и больших
п, коэффициент изменчивости зависит не от размера плас-
тин и вида напряженного состояния, а только от однород-
ности материала. Исходя из соотношений (q) = ц (р>,
84
р (<?) = x\2D (р) легко заметить, что w (q) = w (р). Зави-
симость и> (р) от т представлена графически на рис. 20
18]. Как видно, w (р) является убывающей функцией пара-
метра т: с ростом однородности материала. коэффициент
изменчивости разрушающих напряжений уменьшается.
В работе [34] приведены приближенные аппроксимации
выражения (111.24) w (р) = 1,05 /п-0’945; w (р) = 1,17/т.
Вторая из приведенных
формул является более
простой, но менее точной.
В этой же работе приве-
дены графики, дающие
возможность определить
ошибки при пользовании
предложенных прибли-
женных формул.
Наиболее вероятное
значение разрушающих
напряжений для распределения (III.11) можно определить
на основании формулы (1.42):
/ j___L V
п = -------— . (III.25)
\ СП /
Из формулы (III. 11) нетрудно найти значение Рц (кван-
тиль), соответствующее заданной вероятности разруше-
ния Р — р.:
<П1М)
Как видно из последних формул, наиболее вероятное
значение рт и квантиль рй разрушающего напряжения за-
висят от тех же параметров, что и среднее разрушающее
напряжение (р), т. е. от размера S пластин (через число
трещин п), вида напряженного состояния и коэффициента р
(от с (т), р)) и однородности материала. Сравнивая формулы
(III.21), (III.25) и (III.26), видим, что зависимости (р),
рт и Pg от п и с совершенно одинаковы. Зависимости этих
величин от т качественно также аналогичны, в чем нетрудно
убедиться. . —
85
3. Кривые вероятностных критериев
разрушения пластин
Первая из формул (111.21) вместе с соотношением
(q) = (р) определяет в параметрической форме уравне-
ние критерия разрушения пластины, выраженного в сред-
них значениях предельных (разрушающих) напряжений.
Рассмотрим ход построения
указанных кривых. По форму-
лам (III.14), (III.17) с учетом
зависимости между т и s вы-
числяем значения величины с
при различных т>. Затем по пер-
вой из формул (111.21), а также
из соотношения (q) = т) (р) оп-
ределяем величины (р), (q). Со-
вокупность точек с координата-
ми <р), (q) образует кривую сред-
них предельных напряжений.
На рис. 21 представлены кри-
вые для т = 2 и некоторых зна-
чений коэффициента трения бе-
регов трещин р. В силу равно-
мерности распределения трещин
по ориентациям указанные кри-
вые симметричны относительно
прямой (р) = (q). Трение бере-
гов трещин (р > 0) существенно
влияет на вид кривых средних
предельных напряжений при
больше значение коэффициента
р, тем более вытянутую форму принимают кривые, т. е.
возрастает абсолютная величина отношения средних пре-
дельных напряжений при сжатии (л ->— со) к средним
предельным напряжениям при одноосном растяжении. При
изменении размера пластин (числа трещин п) указанные кри-
вые деформируются (растягиваются или сжимаются) рав-
номерно во всех направлениях. На основании первой фор-
мулы (III.21) легко установить, что для пластин разных
размеров Sx и S2, но изготовленных из одного материала,
при одинаковых т) имеет место соотношение, которое не
86
зависит от т)!
1 1
</>($» UJ I S, ) Г‘ n° S. /•
Таким образом, с изменением размера пластин прояв-
ляется масштабный эффект прочности, который при pmin =0
и больших S (больших п) не зависит от показателя двух-
осности напряженного состояния. Явление масштабного
эффекта исследовано во многих работах [5, 8, 25, 30, 42,
47, 71, 72, 88, 98, 99, 102]. Оно неразрывно связано со ста-
тистической природой хрупкого разрушения.. Как видно
из формулы (III.2^), с увеличением однородности материала
зависимость прочности от размера пластин уменьшается,
т. е. масштабный эффект менее выражен. Все же в общем
рассмотренная здесь модель (pmin = 0) приводит к слишком
сильной зависимости прочности от размера тела.
На рис. 22 сплошной линией показана кривая средних
предельных напряжений для т = 6, р = 0,4. Для сравне-
ния дана кривая для тех же т и р (штриховая линия),
полученная с использованием значений с, определяемых
формулами (III. 19), (III.20). Треугольниками обозначены
средние значения предельных напряжений при различных
т| для графита МПГ-6, полученные экспериментально в ра-
боте (89]. Как видно, совпадение теоретической кривой
с экспериментальными данными удовлетворительное.
Из графиков, представленных на рис. 21, 22, видно, что
двухосность напряженного состояния уменьшает средние
значения допустимых растягивающих напряжений по сравне-
нию с одноосным растяжением. Такой же характер имеют
кривые предельного состояния, построенные в работах
(25, 71, 104, 126], учитывающих определенным образом
статистические аспекты прочности. Вывод об уменьшении
прочности при двухосном растяжении по сравнению с од-
ноосным, подтверждаемый экспериментально, не вытекает
из классических критериев прочности, а также из детерми-
нистических (56, 63], основанных на теории трещин.
Перейдем к построению кривых критерия разрушения,
соответствующих заданной вероятности разрушения.
Пусть вероятность разрушения не может превышать неко-
торое нормативное значение р, устанавливаемое на основа-
нии опытов или технико-экономических соображений. Тогда
уравнение критерия в параметрической форме определяет
87
формула (111.26) вместе с соотношением Предель-
ные кривые для т — 6, р = 0,4 и двух значений вероят-
ности разрушения р. представлены на рис. 23. При этом
Рис. 22 Рис. 23
(III.14), (III.17).
Л
4*
значения с определялись по формулам
Если точка с координатами pg, Цц находится внутри (вне)
области, ограниченной кривой и вертикальной осью, то
для пластины при действии главных напряжений q»
вероятность разрушения будет меньше (больше) величины р.
С возрастанием назначаемой ве-
роятности разрушения область
допустимых значений напряже-
ний рц, q^ расширяется.
Сравнение первой формулы
(Ш.21) с формулой (III.26) по-
казывает, что кривые средних
- предельных напряжений и кри-
/5 20 ...т вые для заданной вероятности
Рис, 24 разрушения подобны между со-
45
4«
88
бой при одинаковых т, р. Значение вероятности разруше-
ния при котором эти обе кривые совпадут, определи-
яется из уравнения
1
(ь-П^т-Г =г(1 +4-). откуда
И1 = 1- ехр [- Г” (1 + -!)]. (П 1.28)
Из графика зависимости (Ш.28), представленного на
рис. 24, видно, что величина вероятности разрушения, соот-
ветствующая среднему значению предельных напряжений
(р), уменьшается с ростом однородности материала.
Глава IV
ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИН,
АРМИРОВАННЫХ СЛУЧАЙНЫМИ
ЖЕСТКИМИ ЛИНЕЙНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ
Структурная неоднородность материалов, как
уже отмечено, может обусловливаться инородными включе-
ниями. Рассмотрим пластинчатые хрупкие материалы, арми-
рованные случайными по величине и размещению и не взаи-
модействующими между собой жесткими прямолинейными
(стержневыми) включениями. Пусть пластины из такого
♦ ♦ 4 4 ♦ ♦
материала находятся под дей-
ствием нормальных напряже-
ний р и q = rip (рис. 25). Пред-
положим, что геометрические
параметры включения I и
а (а — угол между направ-
лениями включения и дейст-
вия напряжений р) — незави-
симые случайные величины о
известными законами их ве-
роятностного распределения.
В конкретных вычислениях
примем, что эти законы такие
Рис. 25 же, как и для трещин в пре-
дыдущей главе, т. е. имеют
вид (III.1), (Ш.2). Материал стаким распределением вклю-
чений изотропный, а пороговое значение прочности, как
следует из формул (1.82), равно нулю.
В этой главе продолжим исследование статистических
характеристик предельных приложенных напряжений и
рассмотрим примеры теоретического построения кривых
предельного состояния пластин из рассматриваемого мате-
риала 122]. Припомним, что под предельной понимается
нагрузка, при которой в окрестности включений образуются
трещины, т. е. имеет место локальное разрушение материала
90
сопротивление материала такому разрушению характе-
ризуется константой К.о). В качестве детерминистических
условий такого разрушения в окрестности отдельного вклю-
чения используем соотношения (1.80) — (1.82).
1. Функция распределения
предельных напряжений
В общем случае функция Л (| р |, л) распределе-
ния предельных напряжений р (при заданном л) элемента
пластины с одним случайным включением при | а | -у,
0 I d определяется формулой (П.25), в которой вместо
Аф (а, я) следует положить КоФ? (а» Л> х)> где функция
Ф7 (а., л, х) дается формулами (1.80) — (1.82); область La
интегрирования по а должна быть такой, чтобы при задан-
ных р, л, х выполнялось условие, аналогичное условию
(11.24).
Для распределения F3 (Z) полудлин включений в виде
(III.3) аналогично формуле (Ш.4) имеем
л
2
Л (| Р Л) = (ар2)’-' ( h (а) [Лоф7 (а, п> «) + ap2]1-s da.
£ (IV. I)
2
Подставляя в эту формулу fs (а) = -у и выражения для
функции ф7 (а, г), х) согласно формулам (1.80) — (1.82)
получаем в случае р > 0 (двухосное растяжение, или рас-
тяжение — сжатие)
нри
Л(р, п) = 4^)’~'х
л
2
v С I <Ф» + Ф« cos
Л J ьг2 - - -
0 L ^0
3-х
1 + X
Р1<р, n)=4(ap2)s~1 х
S—1
da;
'о + «Р2 (фз + <₽4 cos 2a)»J
(IV.2)
91
(фя + Фя COS 2«)»
Ко + °₽’ <Ф* + Фя cos 2®)*.
da 4-
da .
(IV.3)
Л
2 г
С Г (Фя + Фо cos 2а)* 1
а, [ Ко + аРа <Фя + Фе cos 2а)’
Рассмотрим случай двухосного сжатия (р < 0, q < J).
1 I JC
Для 1 <п< имеем
О X
РЛ-Р, П)«=4(араГ’х
2
х f Г (Фя + Ф.С05 2а)»---- s (IV 4
О L Ко + аРа (фя + Фе cos 2a)’J
1 I
При -g-J. С Л < 00 получим формулу (IV.3) с заменой
в левой ее части р на — р. В этих формулах величины
Фе — Фе и аа имеют вид (1.76), (1.78) и (1.79).
Если г) = 1, то выражения (IV.2), (IV.4) существенно
упрощаются. В этом случае, как видно из формул (1.76),
(1.78), Ф4 = Фе = 0. Вследствие этого получаем:
при р = q > 0 (двухосное симметричное растяжение)
Л(р.
_ / °Р8Фз У
К^ + ар2Фз /
при р = q < 0 (двухосное симметричное
РЛ-Р,
/ °Р8Ф5 У 1
Ко + ар’фэ )
(IV.5)
сжатие)
(IV.6)
Имея функцию (р, т)), на основании формул (11.26),
(11.27) можно найти функцию Fn (р, я) распределения пре-
дельной нагрузки и вероятность Р разрушения для пластин,
содержащих п включений. По формулам (П.27) и (IV.5)
проведены вычисления вероятности разрушения пластин
для п = 100, s = 2 при различных значениях коэффициента
Пуассона v матрицы (рис. 26). Из графиков видно, что
в случае двухосного симметричного растяжения при за-
данном уровне напряжения вероятность разрушения ком-
92
позита возрастает с уменьшением коэффициента Пуассона
матрицы. С другой стороны, увеличение коэффициента v
приводит к росту напряжений, соответствующих фиксиро-
ванной вероятности разрушения.
При больших п для функции распределения Fn (р, я)
и вероятности разрушения Р можно использовать асимпто-
тическое представление (III. 11), некотором т и с в общем
случае определяются соотноше-
X ф2-2’ (а, Т|. И) da. (IV.7) Рис. 26
Здесь, как и в случае дефектов-трещин, однородность
композита т линейно зависит от распределения полудлин
включений s.
Значения с для изотропного материала найдем на осно-
вании предельного перехода (II1.12) и найденных выраже-
ний (IV.2) — (IV.6) для функции (р, т)). Для случая
3___________V
р > 0, -г-,-—<Т1<1 имеем
1 -f- X
с = ( <Фз + Фаcos 2а)й“2 da =
\ Ко / о
' Л Is—1 / \
= -=-(ф|-ч>Э ₽»-' Тт4!=5’ • (IV-8>
(Ко J \ V Фз —Фа )
где (х) — функция Лежандра первого рода.
При — оо < т] "Г+~ ПОЛУЧИМ
Ф4 cos а)й“2 da +
+ j (Фо + Фе cos a)2s 2 da
2at
(IV.9)
93
1 I Я
При двухосном сжатии (р < 0, q < 0) для 1 т] 3_х
будем иметь
Л
\s-! 2
с==^(т2-| f (фв + Фв cos 2а)25-2 da =
\ *'0 / о
(IV. 10)
При —^т|<°° получаем формулу (IV.9).
о ““ X
В частности, при двухосном симметричном растяжении
с =
•ЧП’-1
*1 )
при двухосном сжатии (р = q < 0)
’ wl У”1
J
(IV. 11)
(IV. 12)
с =
2. Диаграммы статистических критериев
предельного состояния пластин
В случае достаточно больших п (больших разме-
ров пластин) для определения статистических характерис-
тик предельных напряжений (их средних, наиболее вероят-
ных значений, квантилей, дисперсии, коэффициента'измен-
чивости) можно использовать формулы (Ш.21) — (П1.26),
только значения с при различных q и к (с = о (л, к)) сле-
дует брать из выражений (IV.8) — (IV.12). Зависимости
вероятностных характеристик предельных напряжений
при фиксированных т| и х от п и т имеют такой же характер,
как и в. случае пластин о трещинами; зависимости же их
от т] будут другими. На них, кроме т, сильно влияет коэф-
фициент Пуассона v матрицы. Так, отношение средних
(р), наиболее вероятных рт или квантилей предельных
напряжений при одинаковом двухосном растяжении к та-
ким же характеристикам при одноосном растяжении
. __ _ Гс (0, х) 1 М'
(Pzrt)fjewO (/^ц)ц™0 [с(1, X) J
94
зависит не только от однородности материала., но и от коэф-
фициента V. На рис. 27 зависимость Х2 от m при различных
v показана графически. В отличие от пластин с трещинами
для пластин с жесткими включениями величина Х2 может
быть и больше единицы. С уве- А
личением т значение Х2 прибли- г
жается к некоторому пределу, )5
зависящему от v.
На рис. 28, 29 представлены
кривые зависимости дисперсии /
D (р) предельных напряжений
(р > 0) от г| для некоторых зна-
чений величин v, т. Из этих ри- 15 to е .го т
сунков видно, что значения Рис- 27
при которых дисперсия прочнос-
ти достигает максимального значения, зависят от величин
v и т (для пластин с трещинами D (р) максимально при
т) = 0). Максимальные значения дисперсии предельных
напряжений возрастают с уве-
личением коэффициента Пуас-
сона v материала матрицы.
Рис. 29
В отличие от этих характеристик коэффициент изменчи-
вости предельных напряжений для пластин с включениями,
как можно заключить на основе формулы (II 1.24), будет
таким же, как и для пластин а трещинами. Он целиком опре-
деляется однородностью структуры материала.
Аналогично, как для пластин е трещинами на основании-
формулы (III.21) для среднего значения (р) и соотноше-
ния (д) — т| (р), а также выражений (IV.8) — (IV. 12),
для о (о, х) можно построить в координатах (р), (д) кривые
95
средних предельных напряжений. Такие кривые для неко-
торых значений v, т показаны на рис. 30 и 31. Очевидно,
что для равномерного распределения включений по ориен-
тациям указанные кривые симметричны относительно пря-
мой (р) = (q). Из рисунков видно, что вид кривой средней
прочности композита зависит от значений v, т. Кривые
статистического критерия прочности рассматриваемых ком-
позитов характеризуются сглаженностью неестественных
Рис. 30 Рис. 31
переломов и пиков, имеющихся на детерминистических кри-
вых предельного состояния, построенных в работе [31.
С увеличением т, т. е. для более однородного материала,
кривые средних предельных напряжений приближаются
по форме к упомянутым детерминистическим кривым.
Зависимость критериальных кривых от числа включений
( с S \
I или от размера пластин S, п — к-1 указывает на мае-
штабный эффект прочности пластин. Очевидно, что рас-
сматриваемые кривые средней прочности, соответствующие
различному числу включений п и одинаковым v, т, по-
добны, т. е. интенсивность масштабного эффекта не зависит
от вида напряженного состояния (как и в случае пластин
с трещинами).
96
Если установлен допустимый уровень вероятности раз-
рушения р композита, то важное значение имеет построение
линий равной вероятности разрушения (кривых предельных
напряжений, соответствующих заданной вероятности раз-
рушения). Соотношение (П1.26), в котором в (т), х) опре-
деляется по формулам (IV.8) — (IV.12), вместе в выраже-
нием q^ " ЛРн задают в
параметрической форме
уравнение линии равной
вероятности разрушения
композита. Такие линии ,
для т = 2, v = 0,3 и
двух значений вероят-
ности разрушения р изо-
бражены на рис. 32.
Кривые равной вероят-
ности разрушения двух-
компонентного компози-
та со стохастическим рас-
пределением арматуры
построены в работе 135]
на основании другого
подхода.
Из формулы (Ш.26) в учетом независимости в (п, х) от р
следуют выводы о подобии между собой линий равной ве-
роятности разрушения при различных р и о расширении
области допустимых величин напряжений р, q в увеличе-
нием назначаемой вероятности разрушения. Зависимость
этих кривых от размера пластин такая же, как и кривых
средней прочности. Аналогично случаю пластин с трещи-
нами, эти кривые для одинаковых п, т и v совпадают, если
выполняется соотношение (III.28).
7 кв
Глава V
КРИТЕРИИ РАЗРУШЕНИЯ ПЛАСТИН
СО СТОХАСТИЧЕСКИ РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ
ТРЕЩИНАМИ ОГРАНИЧЕННОЙ ДЛИНЫ
Предположение о возможности существования
в материале как угодно больших дефектов, принятое в пре-
дыдущих главах, не всегда может быть приемлемым, хотя
часто полезно для упрощения решения задачи. Это отно-
сится к таким следствиям данного предположения, как
равенство нулю порогового значения прочности, отличие от
нуля вероятности разрушения тела при любых, даже весь-
ма малых, нагрузках, сильная зависимость прочности от
масштабного фактора и другим. Более адекватно действи-
тельности допущение об ограниченности возможных разме-
ров дефектов в материале [17, 18, 24, 74]. Будем теперь
считать, что случайная полудлина трещин может изменяться
в пределах 0 I d (d — конечная величина). Как и
выше, предполагаем, что параметры трещин а и I статисти-
чески независимые, причем распределение по а равномерное
и определяется формулой (II 1.1) (материал изотропный).
Допустим, что плотность распределения полудлин трещин
подчиняется закону (1.31), который в данном случае можно
записать в виде
/.(П-ЧгЧ1—Я’ r>°> <><*<<*• (v-i)
Тогда функция распределения
F1(/)_ l_(l-4.y+l, (V.2)
где г—параметр трещиноватости материала" (чем больше
г, тем вероятнее малые трещины).
Согласно формулам (11.21) разрушающая нагрузка в
рассматриваемом случае будет изменяться в пределах
/>пцп | < | р | < оо, где pmiD (ц) определяется формулой
98
(11.21). При этом | pmin | > 0 (пороговое значение прочности
элемента пластины не равно нулю).
Исследуем при сделанных предположениях вероятност-
ные характеристики разрушения пластин со случайными
трещинами под действием плоского поля напряжений.
1. Общие формулы
для функции распределения
предельных напряжений
Функцию распределения предельных напряже-
ний элемента пластины с одной трещиной вычисляем на ос-
новании формулы (11.25), используя аналитические пред-
ставления (1.64) функции ф (а, я» р). При получении вы-
ражений для функции распределения (р, я) рассмотрим
____-Я __1
—, р
р г
1 < Т) < оо (р > 0) или
— оо < я 0 (q > °) функ-
ция (<7, тн) получается в
результате замены в соот-
ветствующих выражениях
для (р, я) р на q и я на
’ll (я1 = Пределы ин-
тегрирования в формуле
(II.25) определяем на осно-
вании условия (П.24), ко-
торое в данном случае при-
мет вид
п <- Л*Ф* <а> П» Р) j
Рг
(V.3)
Отмеченные промежут-
ки интегрирования по а
для различных диапазонов
изменения величин р, я
показаны схематично (за-
штрихованы) на рис. 33
а—«, где В — кривая I =
= 42р~2ф? (а, я), L —
Рис. 33
7*
99
кривая I = Л2р“2ф2 (а, ц, р); ввиду симметричности проме-
жутки интегрирования показаны только для а > 0.
Предположим, что Тогда на основании фор-
мулы (11.21) нетрудно установить, что Ртм=-7=. При
V d
А А
^=^р^ промежуток интегрирования по
а показан на рис. 33,; а. Пределы изменения величины р
определяем из соотношений -^-^d. Выраже-
ние (11.25) для отмеченных диапазонов изменения р, г] за-
пишется в виде
—а,
Л(р. n)= j fi(a)
п
2
Л
2
+J м«)
а4
. »2<pf (ОС, t])
8 р*
(V.4)
где 0 < а4 < — решение уравнения Д2р“2<р2 (а, т|) = d,
. 1 / p*d 11
а4 = arcsin |/
(V.5)
д
Для —т=- р < оо (т) =0= 0) промежуток интегрирова-
f] у d
ния по а изображен на рис. 33, б, и функция распределения
Fx (р, г|) представляется выражением
Л(Р. П) =
Л
2
da.
(V.6)
Отметим отдельно случай двухосного симметричного
растяжения (ц ш 1, р =* q > 0). Вследствие условия нор-
мировки для плотности f2 (а) и того, что (a, 1) = 1,
из формулы (V.6) получаем
Fiip, -^-<р<00. (V.7)
100
Рассмотрим растяжение — сжатие пластин (р > 0, q О,
т] < 0). Для вычисления по формуле (11.21) значения pmin
нам необходимо определить величину mineq>8 (а, к], р). На
основании второго из выражений (1.64) нетрудно сделать
вывод, что функция Ф2 (а, ц, р) имеет минимум при а =
= «j = “£• — arctg • Значение
Ф2 (а., n, р) = b -------7==-------------(V.8)
1 (1-т1)К1+р4 + р(1 + г1)
Ранее было установлено, что функция <р2 (а, т], р) определе-
на в области ад | а | а0. Так как а8 > , то при
— 1 т] 0 имеем а8 > а0 и
mine ф, (а, п. Р) = Ф» («о» Р) =
В случае —оо < г) < —1 возможны два варианта:
1) а. > а0, следовательно, mina фа (а, г|, р) = ;
V Ini
2) а8<а0, тогда т1пиф8(а, л. Р) « Ь.
Условие а5^а0 эквивалентно соотношению
имеем
(П.21)
Для
— (р + V1 + р2)2. Отметим также, что в случае — 1
т] 0 функция ф£ (а, т]) принимает наименьшее значение
при а = -j- (фх , и) = 1) • При — оо < г| < — 1
min» Ф1 (а, П) = Ф1 (“о, П) = yj=y
Пусть — 1 я < 0. На основании формулы
А
и изложенного выше получаем значение pmtn = —7=- .
У а
А А
-р-у<р <-* (г]=#—1) промежуток интегрирования
по а в формуле (11.25) показан на рис. 33, в. Диапазон
изменения напряжения р определяем из соотношений
(рис. S3,.) ^><1;
Для указанного диапазона изменения р функция рас-
пределения (р, т|) вычисляется по формуле (V.4). Отсюда
можно сделать вывод, что в этом случае вклад в вероятность
разрушения дают только открытые трещины. При -р==^- W
101
р < оо (т| sjb 0) промежуток интегрирования по аргу-
менту а изображен на рис. 33, г и выражение для Fx (р, т])
имеет вид
—ав
Fi(p, П)= j ft(а)
Л*ф|(оь, п)
Р2
da +
лМ<Г,р> Ь+
а0 I L J'
Лаф?(а, тр
Р*
da
а. L J
(V.9)
Величина а6 > 0 является наименьшим корнем уравнения
__i_
Ad 2 <р2 (а, я. Р) = Р;
(1 — ч)р/2—
(V.10)
ав = arctg
-Уд- Я)2 Р*<*~ 4(А-ррУ1)(А-Т)рр7^~
2(A-ppVd)
(V.11)
А
В частности, при р — —•=• имеем ав = arctg р. При
Р f d
р = 0 наименьший корень уравнения (V.10) примет вид
Г”°|п(,^ t^)- (V-12)
Допустим теперь, что — (р + И1 + р2)2 t] С — 1 •
Тогда Pmin = • При (П^5—1)
У I *11<* FIПI d Vd
промежуток интегрирования по переменной а изображен
на рис. 33, д. Диапазон изменения напряжения р находим
из гыражений ——<Pil”o"> Л >d; —л)С^. Для
р \ / Р
найденного промежутка изменения р функция распределе-
на
ния F, (р, г|) вычисляется по формуле
Л (А П) = J ft («) {1 — Г3 А ]}<*« +
-4X4
3
Р*
7?*
+ J /а (а)
-а0
+ P.w{i-fJ-^^-U +
«О L J
Л«ф|(а, г], р) II
аОС -р
а0 г % -ъ
+ ра(а) 1-F, Ida. (V.13)
ае L J
При-р=-^р<со (рис. 33, е) функция распределения
F1(p, т]) задается выражением (V.9).
Рассмотрим оставшийся еще диапазон — оо < г] —
— (р+И 1 4- р8)2. В этом случае pmin = -^-. Для -77^ <
У a ya
^р^-р===- промежуток интегрирования по аргументу
а показан на рис. 33, ж. Пределы изменения напряжения
р вычисляются из соотношений
Л* Л2
-та-чКаз» Я» ^r-<Pi(«o.
г н
Выражение для Fx (р, tj) запишется в виде
Л(Р.ч>-р,(«) 1-f,U +
*-a7 L J
. ^Г/ Jt с Г лМ(а, n. P) 11 . пт ...
+ J fi (a) 11 — F31-^5-----J da, (V. 14)
a, L J
где aT — большой корень уравнения (V.10),
a arctc(1~T))p|Z7+|/(1~tl)2p8<f~4(t-p;,T<J)(y4~w^) -
7 8 2(A-pp/d)
(V.15)
103
При р = 0 выражение для а7 примет вид
а7 = ^— 4-arcsln (p/3'~i-n)- 16>
Формула (V.14) показывает, что для значений напря-
жений р из отмеченного выше промежутка вклад в вероят-
ность разрушения дают только закрытые трещины.
При (рис. 33, з) функция распреде-
У |Ч 1“ У«
ления Fj(p, т]) определяется по формуле (V.13). В случае
ТА=-^р<оо (рис. 33,и) для вычисления Л(р, т]) имеем
d
выражение (V.9).
Теперь подставим выражения ft (a), F3 ([), <р7 (а, л)>
<р7 (а, Л» Р)в формулы для функции распределения Ft (р, я).
В случае 0 < т] 1 (р > 0) на основании выражений
(V.4), (V.6) получаем
(Р> П) =
p*d sin’a+T]’cos2a/ <to’ (V,17J
F1(P, n) =
p»d sin< а + т)* cos* а ) da’ (^.18)
-^<^<00 (n#0).
При двухосном симметричном растяжении (р = q > О,
П = 1), используя выражения (V.2), (V.7), запишем
F1(P, = -^-<р<оо. (V.19)
Предположим, что — 1 <ц0 (р > 0, q^O). Для
-7=~ Р < —7==i= (IIs?6 — 0 имеет место формула (V. 17).
У<< УИН
104
При
——=^р<оо (г|¥=0) имеем
VI n 1
Л (р, п) -
_____А* 1__________V+1
рМ sin* а + т)* cos* а )
а«
A f (i _ i__________________
л J ( p8d ((1—q) sin 2а + 2р (sin8 а + q cos* а)]*
о.
V+1
| da.
(V.20)
Если р = 0 и т| = — 1 (р = — g > 0), то выражение
(V.20) преобразуется к виду
В этой формуле значение ав определяется выражением
(V. 12) при т] = — 1, т. е. ав > -1- arcsin —4=-«
Рт d
Пусть — (р + У 1 + 1- Для 1ЛД-~ <
л УпИ
(т)^— 1) на основании формулы (V. 13) получим
а<
2 Г / дз 1 V+1
(Р> !)) — "Jf j ( 1 рМ sin* а + т)* cos* а / da +
а0 ~
2 С L _ Л2_____________________4_________________V+1 ,
л J V рМ [(1—т]) sin2a + 2p(sin*« +r)cos2a)]2j а*
<*• (V.22)
А
При —7=- < р < оо функция распределения Fx (р, q)
У d
задается выражением (V.20). _______
Рассмотрим еще случай —оо<т]< — (р+ ]/1 р8)2.
Для < р < , используя выражения (V.2),
105
(V.14), находим
Л(Р. П)“
_ 2 С (._________________________4_______________Г+1
я J V рМ [(1—т)) sin 2а 4-2р (sin4 а 4-q cos2 ft)]sJ
«• (V.23)
А А
При —> —7=- функция распределения Ft(p, л)
У | Т) I rf г d
задается формулой (V.22), для —т=-^р< оо имеем выра-
У d
жение (V.20).
Для хрупкой пластины, содержащей п трещин, функ-
цию распределения Fn (р, ц) предельных напряжений р
находим по формуле (11.26).
По полученным выражениям можно определить вероят-
ность разрушения пластин при различных соотношениях
действующих главных нормальных напряжений p,q с уче-
том трения берегов трещин.
Отметим, что для некоторых значений г можно получить
выражения для Fx (р, т]) в элементарных функциях.
2. Критерий разрушения пластин
при равномерном распределении длин трещин
Рассмотрим наиболее простой частный случай
распределения случайных длин трещин (IV. 1) при г = 0.
Тогда /8 (/) = -д-, 0 < I < d. Это равномерное распреде-
ление (все размеры трещин равновероятны). Кроме того,
в целях упрощения решения допустим, что трение между
берегами трещин отсутствует (р = 0). Определим в этом
случае функцию распределения разрушающих напряжений
и построим кривую критерия разрушения пластины.
Для определения (р, я) используем формулы преды-
дущего параграфа при г = 0, р = 0.
Рассмотрим сначала случай одно- или двухосного рас-
тяжения. По формулам (V.17) и (V.18) находим
Л(Р»П) =
- .{ А2 \ А ____________ А //1ч
, (n=*i);
[ А* \ A (V*24)
(n=#0)’
106
ti (x> n) = 4 [arcsin V T=v + Tarctg (n V 4=4)]:
Я’г (*» n) = ~ •
При растяжении — сжатии для — 1 t] 0 на основа-
нии формул (V. 17) и (V.20) имеем
Л(Р. Ч) =
l-4h(w.4). (ч^-D;
1 - -h (w- я) -J7[=jT<',<“ <я*°>'
(V.25)
где
*» (Ж, ч) = 4 arcsin 4Йг + 4 х (тгг^г X
I2 — 4 —
Для —оо < Т) —1 по формулам (V.20), (V.22) и
(V.23) находим
_Л(р. ч) =
4 2^,
Va 1 —п
/ГпП
А
А
*/|ri|d
А
/4
(п^-1);
(ii¥=— 1);
(V.26)
* «, ») - 4 [arcsin -^- + 4^ /1 - ;
(*» п)=4 [arccos V -fezr + 4arcsin ~r^r]+
107
Вероятность разрушения пластины, ослабленной п тре-
щинами, имея функцию Ft (р, т]), можно найти по форму-
лам (11.26), (11.27).
Для определения среднего значения разрушающей на-
грузки используем формулу (II.28). Подставляя в нее зна-
чения Ft (р, т|) согласно формулам (V.24) — (V.26), полу-
чаем:
при 0 т] 1
т/~" п*
<р>-5г=1+-J- J гои*. +
+ (V.27)
при —1 < т] < О
ОТ = 1 + 4 ]' №» +
+ (V.28)
I Ini V x
При — CO < n c — 1
ОТ 4г - 44 + 4 j Ч)Г - Д- +
Ini 0,25(1—4)*
+ J № (x, < y=F + 4 < ~fiF ’ (V-29)
Подынтегральные функции ф< (x, л) в этих формулах
даются приведенными выше выражениями.
Для любых т] и п эти квадратуры можно найти только
численными методами. Зная (р), среднее значение другой
компоненты нагрузки найдем из соотношения (0 = л (р>.
Вычислив при фиксированном п величины (р)
(<7)для различных л, можно построить кривую пре-
дельного состояния пластин с заданной дефектностью. Оче-
видно, что в рассматриваемом случае она симметрична отно-
сительно диагонали (р) == (д) (л — 1). На рис. 34 представ-
108
лены такие кривые для ряда значений п (для различных
размеров пластин). Как видно из графика, для фиксирован-
ного п предельные напряжения при двухосном симметрич-
ном растяжении (tj = 1) меньше, чем при одноосном (г) =0).
С увеличением п, т. е. размера пластин, если считать сред-
нее число дефектов на единицу площади пластин постоян-
ным, средние значения предельных напряжений умень-
шаются, причем это уменьшение
зависит от т].
При возрастании числа тре-
щин п кривые предельных на-
пряжений изменяются без соблю-
дения подобия, т. е. интенсив-
ность масштабного эффекта за-
висит от вида напряженного со-
стояния (соотношения главных
нормальных напряжений). Он
наиболее заметен при одноосном
напряженном состоянии. Такой
же вывод сделан в работах [71,
88] на основании анализа полу-
ченных экспериментальных кри-
вых предельных напряжений для
ряда материалов.
Для и -> оо имеем (р) ->•
Pmin, (fl1) “*• Qmin — T|Pmin. По-
этому при п -> оо статистиче-
ские кривые предельного состоя-
ния (см. рис. 34) переходят в
детерминистические кривые минимальных предельных на-
пряжений для пластины, ослабленной различно ориенти-
рованными трещинами длины 2d [56].
Статистические кривые в отличие от детерминистических
гладкие, не имеющие угловых точек.
Таким образом, в рассмотренном случае уменьшение
средних значений разрушающих нагрузок с ростом размера
- пластин (числа трещин) ограничено. Проявление масштабй
ного эффекта здесь менее заметно, чем для случая, рассмот-
ренного в третьей главе. Вторая отличительная особенность-
отмеченная выше,— зависимость интенсивности масштаб,
ного эффекта от соотношения разрушающих напряжени-
при двухосном нагружении, которая для случая, рассмот-
ренного в третьей главе, не наблюдается.
109
3. Критерий разрушения пластин
при линейно убывающем
распределении длин трещин
Рассмотрим теперь вероятностное распределение
длин трещин (V. 1) при г = 1. В этом случае формула f3 (/) =»
о / i \
= -^-11----j-l, 0 < / d определяет наиболее простой
убывающий характер распределения. Такое распределение
называется линейно убывающим или полутреугольным [91].
Оно отражает следующее свойство: чем длинее дефект, тем
меньше вероятность встречи его в материале, что вполне
логично. На убывающий характер плотности распределения
размеров трещин указывают и экспериментальные исследо*
вания [121].
Исследуем вероятностные характеристики разрушения
для указанного случая. В этом параграфе допустим, что
р = 0 (трение берегов трещин отсутствует).
При сделанных предположениях (г = 1, р = 0) опреде-
лим сначала функцию распределения предельной нагрузки
на элемент с одной случайной трещиной (р, г|)). В слу-
чае р > 0, 0 т) 1 по формулам (V.17) и (V. 18) находим
Р1(Р, П) =
1 —ei( рч ’ ’l)» yj (П¥=1);
7Fr<p<0° (n¥=0)’
(V.30)
где
01 (*. П) = [arcsinV n2)U—*) —
“x(11 sj- xt)arctg G1*-n8 )] ’
e2(x,
Для — 1 n 0 (напряжения p — растягивающие,
q — сжимающие, |?Kp) на основании формул (V.17)
по
и (V.20) получаем
Pi (Р, П) -
I -j7j=-<₽<~ ft!*»)-
(V.31)
Здесь
0з (х, >1) = 4 arcsin +
+ Л. [ s l/lizJlL-! —L arctg /ы -
1 я [3(1-1])’ г 4х г) ®г 1 "
— П+1 1 _ х' I 32 I/ П-*!)8 ~~1 _
/lnl(i—n)*J п l30— tl)* ' 4х
_ n8*1 arctg 1/ТпГ4- 4+1 Г 2________16 L11
П8 gK 1П|+ /ЙП [Зг|(1-П)а 3(1—т#8 Г)8JM
Для — оо < т] — 1 (р > О, <? •< 0, | q | > р) имеем
Pi(P> П) =
= ‘~Mw4 7тт<₽<7т
1 — ~уТ^р<°°'
(V.32),
где
®4 (х, n) “ {arcsin +
4. _ to Г5_ 8* 11/ (l-П)8 _ Л.
3(1 —ТО’ Г (l-t|)8]K to Ч»
0* (*» П) = — {arcsin 4- 2 arccos j/" И'* ) +
4- -M 2 1/ d-n8) ! .
л 1(1 — xi>* Yu T
ill-
4- — arctg f— 1/" ——4- — arctg —
^П s \ n r x— 1 / 1 n /Ini
i + n 1 _ ** f[ 32 4 1
- /Гп7(1-п)* J я tpu-n)4 3x(l—T|)* J*
^„ct6(±/ 4^) + itLarctev^ +
। n4-l f 2 16 1 ])
+ /Tn! l 3n(i-n)’ 3(1—то* n‘Jr
Функцию распределения разрушающих напряжений
для пластины, ослабленной п трещинами, найдем по фор-
муле (11.26). В частности, при одноосном растяжении имеем
P = Fn(p, 0) =
, Г 2 Л I 4 A L А* V ,
+ ——i^l/i—тгГ- -4^<р<оо. (V.33)
Я pVd г Pd Vd ’
При двухосном симметричном растяжении
Р — Fn(p, 1)= 1 — р — (1 ^г)]« ’у2^Р<°°’
(V.34)
При чистом сдвиге
Р=РЛР> — 1)= 1—[4"+ 4’arcsinT?T —
" п р у d
1 /, А» \« / 2 Ла 5 А \ „
2 у p»d / I Зл 2. Зя руа ) х
' p9d2 '
На рис. 35 приведены графики зависимости вероятности
разрушения Р от безразмерной величины напряжений р
А
112
при Р = 0 для q, равного 0;
1;—1;' —4 (рис. 35, а—в со*
ответственно). На рисунке
сплошные линии соответству-
ют случаю п — 10, а штрихо-
вые — п = 100. Как видно,
рост числа трещин увеличи-
вает вероятность разрушения
в заданном поле напряжений.
Если задать вероятность раз-
рушения, то с ростом размера
пластин уменьшается величи-
на разрушающих напряже-
ний, обеспечивающих задан-
ную вероятность разрушения.
При одинаковом двухосном
разрушении вероятность раз-
рушения больше, чем при од-
ноосном.
По известным формулам
для функции распределения
А (Р> л)> принимая во вни-
мание соотношения (1.7) и
(11.26), можно вычислять плот-
ность вероятности fn (р,т|) пре-
дельной нагрузки для плас-
тины, содержащей п трещин. В качестве примеров запи-
шем здесь выражения для плотности вероятности fn (р, т])
при двух фиксированных значениях г).
На основании формул (V.33), (V.34) и сказанного выше
получаем
fn(p, 1) = 4п(-Д
A* W 2Л*
р*сР / \ p*d
8 Ю2
113
По этим формулам вычислены плотности fn (р, 0), fn (р, 1)
для двух значений п, равных 10 и 100 (рис. 36, а, б соот-
ветственно). Анализ построенных кривых показывает, что
при двухосном симметричном растяжении наиболее вероят-
ное значение прочности меньше, чем при одноосном. С рос-
том числа трещин имеем уменьшение наиболее вероятного
значения прочности.
Определим теперь среднее значение разрушающей на-
грузки для пластины о п трещинами. Подставляя в формулу
(11.28) функцию Fx (р, л) согласно уравнениям (V.30) —
(V.32) найдем:
для 0 1] С । (Р > 0, р > 0)
(р> 4г = 1+4- j I0» <*» n)i" - Д-+
о * *
+ -Н (01 (ж» п)1"-Д-; (V.36)
Т)а Vх
для -1<11<0(/)>0, ?<0)
/- mi
w-T- = 1 + 4J
1
+ 4 J (V.37)
hl r
для — ОО < я < — 1 (p > 0, p < 0)
и4г = т^ + 41Ш<т1г+
114
ini 0,2Б(1-П)»
+-И >0» <** < -й-+4- J (0« <*• <
I V |П|
dx
/х»
(V.38)
Рис. 37
Подынтегральные функции 0< (х, т]) в этих формулах4
представлены выражениями, данными выше.
Для любых г) и п эти квадратуры можно найти численным
способом. Определив (р), среднее значение другой компо-
ненты нагрузки получим из очевид-
ного соотношения (q) « tj (р). Ес-
ли зафиксировать значение п, при
различных т] найдем совокупность
.величин (р) (q) опреде-
ляющих в плоскости (р), (q) пре-
дельную кривую средних разру-
шающих напряжений (она симмет-
рична относительно диагонали
(р) = (ч))- На рис. 37 приведены
предельные кривые для ряда зна-
чений п. Эти кривые в общем об-
ладают свойствами, аналогичными
описанным в предыдущем парагра-
фе. Но в отличие от предыдущих,
как видно из рисунков, средние
значения разрушающих напряже-
ний при одинаковых размерах пла-
стин по величине большие, особен-
но для не слишком больших п.
Это объясняется большей однород-
ностью материала, описываемого полутреугольным распре-
делением длин дефектов, по сравнению с материалом в рав-
номерным распределением длин трещин.
4. Вероятность и критерии
разрушения пластин
при учете внутреннего трения
берегов трещин
Вернемся теперь к общему случаю и исвледуем
стохастические закономерности разрушения, проявляющие-
ся при учете сил трения между соприкасающимися берегами
8*
115
трещин (р > 0). Уже из детерминистических условий раз*
рушения известно [58, 59, 63, 96J, что учет сил трения
более адекватно отражает процесс развития трещин и при-
водит к расчетным величинам, описывающим разрушение,
которые лучше согласуются с экспериментальными дан-
ными и охватывают более широкий класс материалов. По-
скольку взаимное налегание и трение берегов трещин воз-
можно только при наличии хотя бы одной сжимающей ком-
поненты нагрузки, то, очевидно, изменения при учете сил
трения не затрагивают области двухосного растяжения
пластин. Расчет вероятностных характеристик разрушения
при р > 0 проведем для случая полутреугольного распре-
деления длин трещин (г = 1).
Опираясь на общие формулы первого параграфа этой
главы, найдем сначала функцию (р, л) при сделанных
предположениях. Обозначим необходимые для этой цели
интегралы:
Ж1—jS- )*<*»-
2 fft А* 4 V
я Л P*d 1(1— i))sin2a + 2p(sin»a + T)COs»a)[s J аа 2=3
= <pe (a, p, т]). (V.40)
Для введенных функций <pg и <p9, используя таблицы
интегралов [29], получим
m /„ _ „к __ 2 , 1 А* 1 — 1)*___sin 2a__,
Фе ( > Pt Л) п "г* л р*ср 2i|* sin* а -|- ч* cos* a
+ _1____dLp.+ n* ______ЛагсЬр^- (V 41)
+ я|1)1 P*d \ 1)‘ P*d I gUnl/’ ' '
ф9 (a. Pi Я) e
e 2 a___8 A*_________b9 cos 2a — sin 2a_
“ " ’ P*d (6? - ifcos 2a + sin 2a)
। 16 Л4 ,_________cos 2a — b* sin 2a____,
Я pM* 3(6?—£| —/$(*!-[-*, cos 2a 4-68 sin 2a)’ +
t____~ + b^cos 2a — Sb^ sin 2a_
6(bj — dj)24»eos2a + sin2aJs . * » .
116
— 6МЛ-Н5*? + 4^ — 4$ *а cos 2а— q
— (1 l&f 4- 4&f — 4$ 6, sin 2а
*1" 6(b|—t^)3(bi 4-ft, cos 2а 4-sin 2а)
Г Я Д4 6b3t+ _ 8 A3 bt 1 ,
+ [ 3л p*d* . — — n p'd tf-bf-bl J
y. 1 »n +
V^i + bg—tf (bt — ft1)tga4-*»4-K^ + ^—*1 ’.
где &i = p(1 + ч); bt = — p(1 — rj); bt = 1 — i). (V.42)
A A
Предположим, что — 1 СП < О- При -y=- C p С -y
—1) функция распределения Ft(p,т|) определяется
по формуле
Fi (Р. Л) = Фе (-f- > Р. II) *• Фа («4» Р, !!)• (V.43)
А
Для -_ < оо на основании выражений (V.20),
У In |d
(V.39), (V.40) имеем
А (Р. П)в . Р» п) —<Рв(«в» Р> П) + Ф»(Оо> Р. П) —
— %(«•» Р. П)- (V.44>
Рассмотрим случай — (р +1^1 4- р8)8 Л — 1. При
—< р < —^=- (т) Ф— 1) на основании формул (V.22)^
У1п|4 У4
(V.39), (V.40) получим
Л.(Р» П) = Фе («4. Р. П) — ф8 («о. Р. П) + Ф» (ао> Р. П) —
— Фэ (а«. Р» П)" (V.45)
Для -4=-СР < 00 функция распределения предельных
• У a
напряжений определяется выражением (V.44).
Допустим, что — оо<т)< — (р4-у 1 + р4)2. Исполь-
зуя формулы (V.23) и (V.40), имеем
Л (Р»!)) = Ф» («7» Р> И) — Ф» (а«, Р> Л)! -уу < Р < уД, .
Vd У1п1<*
(V.46)
117
A A
При r____l_ 7=- функция распределения вычис-
ra A
ляется по формуле (V.45). Для —7=- p < 00 величина
V d
Fi(p, я) определяется согласно выражению (V.44).
Очевидно, что при р = 0 полученные формулы совпа-
дают с соответствующими выражениями предыдущего па-
Рис, 38
раграфа.
На основании выражений (V.43) —
(V.46) с использованием соотношения
(11.26) вычислена величина Fn (р, г])
при р = 0,5; г; = — 1; т; » —4; п =
= 10; п = 100 (см. рис. 35, где при-
ведены графики и для случая р = 0).
Как видно, для чистого сдвига (q =
— — 1) трение берегов трещин (р =
= 0,5) незначительно уменьшает ве-
роятность разрушения по сравнению
со случаем отсутствия трения (р =
= 0). Значительное уменьшение ве-
роятности разрушения при наличии
трения берегов трещин наблюдается
в том случае, если сжимающее на-
пряжение по абсолютной величине
больше растягивающего (см.
рис. 35, в).
На основании формулы (П.28) вы-
числены величины (р) для различных
значений т] < 0 при р = 0,5 и п,
равном 10 и 100. На основании ре-
зультатов вычислений и соотноше-
ния (q) = т) (р) построены предельные кривые прочности
при сложном напряженном состоянии (рис. 38). В области
растяжения — сжатия (т) < 0) на этом рисунке сплошные
линии соответствуют случаю р = 0,5, штриховые — р = 0.
Кривые в области растяжения — растяжения (л > 0),
а также в области растяжения — сжатия при р = 0 те же,
что и на рис. 37. Поскольку трещины по ориентациям рас-
пределены равномерно, рассматриваемые кривые симмет-
ричны относительно прямой (р) — (q). Как видно, трение
берегов трещин существенно изменяет форму кривых в об-
ласти т] < —1 (р < | q |).
118
5. Вероятностные характеристики
прочности пластин
с большим числом трещин
В случае большого числа трещин запишем вы-
ражения для функции распределения Fn (р, т|) на основа-
нии формулы (П.7) в виде
Рп (Р> П) = 1 — exp [— сп (р — pmin)m], (V.47)
с > 0, т > 0.
Для определения величин распределения с, т (V.47)
типа Вейбулла используем соотношение (II .8)
«- lim (v-48)
P-*₽mln —Pmin)
и условие 0 < с < оо.
Перейдем к вычислению с, т для различных видов на-
пряженного состояния, используя полученные выражения
для функции распределения (р, т]) при любых г. В слу-
чае двухосного симметричного растяжения (л = 1, p*=q>
>0) на основании выражений (V.19), (V.48) получаем
। т — г 4- 1; (V.49)
(v<50)
При вычислении с, т для других значений т] применим
правило Лопиталя. Чтобы получить выражения для произ-
водных от функции (р, т|), воспользуемся формулами
дифференцирования интегралов по параметру.
Пусть некоторая функция I (у) представляется интегра-
МЯ
лом / (л/) = j f(x, y)dx. Тогда для производной Г (у)
а(Я
имеет место формула
м
I' (У) = J fn (х, у)dx 4- Р' (у) f (Р (у), у) — a' (y)f (а(у), у).
а(п)
(V.61)
Определим значения с, т при —1 < ц < 1. Считая г
целым числом, на основании формул (V.17), (V.51) для
производной r-го порядка по аргументу р функции Ft (р, г|)
119
получаем выражение
п
2
}П) = —“О’ + 01 (~p3d} J. ( sin»а + п»cos»а ) Х
а4
х 0 р«Г sin2 а 4-Г]’cos’а )da + • * • (V.52)
Здесь не приведены слагаемые в виде определенных инте-
гралов от произведений каких-то функций переменной a
на функции типа
---%г-т-г—А—т-Y. « = 2, 3, 4, ...
' ' ’ \ sm*a+4*cos»a / ’ • ’
Дифференцируя выражение (V.52) по переменной р, полу-
чаем
^r+,,(p.n) =
Л
2
OM-J / Al \r-H f / I \r+l
-O' + 1)1 (7SJ-) J ( sin*a+Vcos«a ) ** + '’’
(V.53)
В эту формулу не вписаны слагаемые, содержащие инте-
гралы от произведений каких-то функций аргумента a
на функции f (a), s = 1, 2, 3, ... Так как f (a4) = О
(s = 1, 2, ...), то все производные от функции Fx (р, т}) до
г + 1-го порядка включительно не имеют слагаемых без
интегралов. При предельном переходе р -* Ad~* указан-
ные производные стремятся к нулю, поскольку
lim a4 = -£-. (V.54)
1 1
p-^Ad
На основании выражений (V.5), (V.51), (V.53) имеем
rt'+>w-^(r+01^(1-
/ Ji V” 2
Х(-$Г“^7 +
120
В последней формуле не приведены слагаемые в виде инте-
гралов. Эти слагаемые нам не понадобятся, так как на ос-
новании соотношения (V.54) они стремятся к нулю при
р Ad~~.
Согласно правилу Лопиталя выражение (V.48) примет
вид
,. ^ir+2) (Р, *1)
с = lim —------------5-----£--------.
р+аГ? 1(Р — ^”)ml<z+2)
(V.56)
Верхний индекс обозначает производные г + 2-го порядка
по переменной р от соответствующих выражений.
Используя формулы (V.55), (V.56) и условие конечности
с> 0, получаем
«1 = г + 4- . (У«57)
Вычисляя предел (V.56) с учетом соотношений (V.55),
(V.57), приходим к выражению
И1<1. (v:58)
Аналогично вычислим значения величин с, т (V.47)
при — оо < т) < — 1. Для простоты выкладок используем
выражение для функции распределения (р, т})> не учиты-
вающее трение берегов трещин (р = 0). На основании фор-
мулы (У.23) при р = 0 имеем
’(Р» П) = ~“ (г + 1)! (-jfir) $ [ (1 —t|)»sin»2a ] Х
a,
x[l--£ (V-59»
Величина ae определяется выражением (V.12). Дальней-
шее дифференцирование формулы (V.59) приводит к таким
121
соотношениям:
Я™ (Р. П) = (г + 1)1 (-$-)'+' X
«--а.
2
г г 4 Г+1
Х J L (1—1])*Sin»2a J
a‘ (V.60)
1
Г Л» 4 Г 2
x[1 —W (i-n)*J + *”
В последнем выражении не выписаны слагаемые, содержащие
интегралы. При предельном переходе р -> 2Ad 2 (1—т))“*
эти слагаемые дают нулевые значения вследствие того, что
lim ав = -?-. (V.61)
р->2А/ 2 (1—'П)’"1
Для рассматриваемого теперь диапазона изменения па-
раметров т) формулу (V.47) с учетом правила Лопиталя за-
пишем в виде
с = lim
_______________L
p-+24d 2 (1—я)""1
Ff+2)(p,n)
__ i
{Ip — 2Ad 2 (1— r))-,)'n}<r+2)
(V.62)
На основании выражений (V.60), (V.62) и условия ко-
нечности параметра с > 0 приходим к линейной зависимости
(V.57) между величинами m и г, В результате предельного
перехода (V.62) с использованием формулы (V.60) получаем
з_ , _з
(г +1)1 (1-1)) 2 2
с - 7Й 1 1
*=0
— ОО<Т]<1. (V.63)
Вычислим значения с, т- для оставшегося случая л =
. = — 1 (р «ь —q). Из формул (V.21), (V.48) следуют выводы
о том, что при 1) = — 1 величины т и г связаны зависи-
122
мостью (V.49), а с представляется соотношением
, / 1/й \ж
. (V.64)
Таким образом, на основании полученных здесь выра-
жений для с, т по формуле (V.47) можно вычислить вероят-
ность разрушения пластин о большим числом трещин при
сложном напряженном состоянии.
Формулы (V.49) и (V.57) устанавливают линейную за-
висимость между величиной т распределения разрушающих
напряжений (распределения типа Вейбулла) и величиной г
распределения длин трещин. Первая из них верна при
т) = 1 ит] = —1, вторая — при других т] (— оо < т, < —1;
— 1 < т] < 1). Из сравнения формул видно, что на зависи-
мость величин т и г влияет вид поля разрушающих напря-
жений, характеризуемый величиной 1]. Поскольку г по
своему содержанию — параметр структуры дефектности
материала, не зависит от вида поля напряжений, то влияние
поля напряжений, следовательно, сказывается на величи-
не /и.
Таким образом, на основании формул (V.49) и (V.57)
приходим к выводу, что при ненулевом значении порогового
разрушающего напряжения (pmin > 0) tn (в распределении
типа Вейбулла — параметр однородности материала) яв-
ляется постоянным при различных соотношениях компонент
плоского поля разрушающих напряжений, за исключением
двухосного симметричного растяжения (р = q > 0, г] = 1)
й чистого сдвига (р = —q, я = —1); в двух последних слу-
чаях (т| == 1, п = —0 значения т на 0,5 меньше его значе-
ний при других видах нагружения. Следовательно, величи-
на т не является чисто структурной характеристикой ма-
териала, она описывает неоднородность материала в связи
с видом поля разрушающих напряжений.
Как отмечено в первой главе, разность на 0,5 значений
т для частных случаев одно- и двухосного симметричного
растяжения была установлена Батдорфом [108].
Уменьшение т при т) = 1, t| = —1 означает, что в этих
случаях ослабленный трещинами материал более неодно-
роден, чем при других соотношениях разрушающих напря-
жений; его статистические свойства должны усиливаться.
Это согласуется с физическими представлениями, так как
выражения (1.63), (1.64) показывают, что при т], отличных
от указанных значений, открытые трещины заданной длины
123
менее опасны, нежели трещины той же длины при q = 1
и т] = —1. Отметим, что на усиление (аномальность) ста*
тистических свойств материалов в случае двухосного сим*
метричного растяжения и чистого сдвига на основе экспери*
ментальных данных указано в работе [71].
Перейдем к вычислению среднего значения (р), диспер-
сии D (р) и коэффициента изменчивости w (р) предельных
напряжений, распределенных по закону (V.47). При этом
используем выражения (1.40), (1.41) для среднего значения
и дисперсии случайной величины, имеющей распределение
Вейбулла (1.38), а также установленные выше зависимости
для с, т.
Для —1 < т| < 1 имеем
(V.65)
(V.66)
1
2 [в (т—0,S)l|т
(V.67)
При — оо < п < —1 получаем
(Р) в г* X
У4(1 —т))
124
(V.68)
D(p) =
o»(p) =
Заметим, что выражения (V.65) — (V.70) справедливы
только для дискретных значений т, равных 1,5; 2,5; 3,5;...
Из формул (V.65), (V.66), (V.68), (V.69) видно, что с воз-
растанием абсолютного значения q убывают величины
(р), D (р).
При т), равном 1; —1, удается записать формулы для
вероятностных характеристик предельных напряжений,
применимые для любых значений т > 1.
'’* При а = 1 (р — q > 0) находим
2n J
г(1+—)-гф + -1)
D (р) « ~ 4- ? (V-72)
4вп*
125
Из формул (V.65) — (V.76) видно, что среднее значение»
дисперсия и коэффициент изменчивости прочности умень-
шаются при возрастании п, т. е. при увеличении объема
тела, если число трещин в единице объема материала по-
стоянно. Вывод об уменьшении среднего, значения, диспер-
сии и коэффициента изменчивости прочности с ростом объема
тела сделан в работе [30] на основе анализа эксперименталь-
ных данных работы [102].
На основании выражений (V.65), (V.66), (V.71), (V.72),
(V.74), (V.75) вычислены средние значения и дисперсии
предельных напряжений при различных значениях пара-
метров я» п, т. Результаты вычислений показаны на рис. 39
126
(tn — 2,5) и 40 (m = 6,5). Как видно из графиков, наи-
большая интенсивность уменьшения величин (р), D (р)
с ростом числа трещин п имеет место при одноосном растя-
жении, если т считать неизменным.
В заключение отметим, что предположение о неограни-
ченности случайных размеров трещин приводит к нулевому
значению порогового напряжения (ртщ = 0), в случае
ограниченной области возможных длин дефектов имеем
ртш > 0. При Pmin = 0 вероятность разрушения пластин
отлична от нуля при любом значении приложенных
напряжений, но при малых нагрузках вероятность разруше-
ния мала, и поэтому ею можно в некоторых случаях пре-
небречь. В случае pmin > 0 всегда имеется диапазон изме-
нения внешних нагрузок, для которого вероятность раз-
рушения равна нулю.
Для pmin = 0 среднее и наиболее вероятное значение
прочности асимптотически стремится к нулю при возраста-
нии размеров пластины, в случае pmin > 0 указанные ха-
рактеристики также уменьшаются с ростом размеров плас-
тины, асимптотически приближаясь к значению ртщ > 0.
Сравнение графиков, представленных на рис. 13, 15.
и 39, а, 40, а, показывает, что при одинаковых значениях
однородности материала масштабный эффект более интен-
сивен в случае pmin = 0, чем при pmin > 0.
В ряде случаев для описания одних и тех же экспери-
ментальных данных с помощью теоретических зависимостей.’
(например, кривых предельных напряжений) могут ока-
заться пригодными как результаты, соответствующие слу-
чаю pmin = 0 (глава III), так и результаты для pmin > О
(глава V), особенно если экспериментальные данные соот-
127.
ветствуют одному значению размера образцов или малому
диапазону изменения этого размера. Тогда соответствующим
выбором параметров теоретической кривой можно добиться
хорошего совпадения экспериментальных и теоретических
результатов в обоих случаях. Поэтому в литературе боль-
шее распространение имеет более простой случай = О
(72, 119, 120]. Для выявления согласованности теорети-
ческих результатов по тому или другому типу распределе-
ния с экспериментальными данными необходимо сравнить
их на широком диапазоне масштаба размеров образцов при
различных видах напряженного состояния.
Глава VI
ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ
И КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ ПЛАСТИН
СО СЛУЧАЙНЫМИ
ПОВЕРХНОСТНЫМИ ТРЕЩИНАМИ
Тонкостенные элементы конструкций из некото-
рых материалов характеризуются тем, что возникающие
при их изготовлении структурные и технологические дефек-
ты локализуются главным образом на их поверхности, или
тем, что на поверхности возникают более опасные дефекты,
чем во внутренних слоях. Разрушение таких изделий на-
чинается чаще всего с поверхности. К таким материалам от-
носятся стекло, керамика. Очень низкая прочность шлифо-
ванных и полированных стекол объясняется нанесением ца-
рапин и микротрещин на их поверхность. Как показывают
эксперименты, удаление дефектного поверхностного слоя
травлением в водных растворах плавиковой кислоты значи-
тельно повышает прочность стеклянных изделий [76].
Рассмотрим способ определения вероятностных характе-
ристик прочности пластин с поверхностными дефектами
[19]. Допустим, что на поверхности пластины толщиной Н
равномерно рассеяны не взаимодействующие между собой
трещины, плоскость которых нормальна к поверхности
пластины, а глубина намного меньше ее протяженности на
поверхности пластины. Рост таких трещин в первую очередь
происходит в глубь пластины, и в условие (1.69) их развития
входит глубина трещин. В реальных изделиях глубина
трещин и угол их ориентации а являются случайными ве-
личинами. Предположим, что плотность f (а, I) их со-
вместного распределения известна. Пусть пластины из тако-
го материала находятся под воздействием двухосного
поля напряжений р и q (q = т]р). Определим вероятность
разрушения и построим вероятностные критерии предель-
ного состояния таких пластин.
9 102
129
1; Вероятность разрушения
Допустим, что случайная глубина I трещин огра-
нйчена величиной d (d 0,5 Н), т. е. 0 I d, а ориента-
ция трещин может быть любой, т. е.--у. При
этом, как следует из формулы (1.69), случайная величина
предельных напряжений р > 0 будет изменяться в пре-
делах —_ Ая ,=-^.р < оо, А3 — Функцию
Уd(l+2-±)
Fi (Р> "‘О вероятностного распределения предельных напря-
жений р при заданном т| для элемента пластины с одной
случайной трещиной найдем, используя формулы (1.69)
и (П.22):
Pi (Р> П) = ИI О dadl, 0
R
где R — двумерная область всех допустимых значений а
и /, для которых выполняется условие
А 1
Ч s.n-+ П еов* <* <<’ sin’>о.
V '(1 + 21/) (VI.2)
Предполагая величины а и I статистически независимы-
ми, аналогично формуле (11.25) находим
Pi (Р> Т1) == J ра (а) {1 — Рз 11т (а> П> Р)1} da- (VI.3)
Здесь 1т — положительное значение I, удовлетворяющее
условию (1.69):
= "Г (]/" 1 + 4* <sin?« + n cos2 а)~2 — 1), (VI.4)
где La — область тех допустимых значений а, для которых
выполняется соотношение
0 < 1 + р-у (sin2 а 4- т) cos^a)-" — 1) <d. (VI.5)
Допустим, что все ориентации трещин равновероятны,
т. е. (a) = ~ (материал изотропный), а распределение
глубин трещин описывается законами (V.i), (V.2). В этом
130
случае формула (VI.3) приобретает вид (— оо < г] 1)
Л
/ч(р,л) = 4 J [1-
0&.-_
т
Р,<Р<°°. р,----------- -А- (VI.6)
М'+М
Здесь ап, как это следует из соотношения (VI.5), принимает
различные значения в зависимости от величин р и Л-
В случае одно- или двухосного растяжения
а9 при (П=^1);
„ (VI.7)
О ПРИ (Л=/=0),
где __________________
а9 = arcsin — л) U — л)-1 • (VI.8)
При растяжении — сжатии пластин (— оо < т] 0),
когда могут развиваться только трещины с ориентацией
а < а0 = arctg V — я для всех р7 р < оо имеем
ат = а» > ао- (VI.9)
При одинаковом двухосном растяжении ориентация тре-
щин не влияет на величину предельной нагрузки. Функция
(VI.6) в этом случае принимает наиболее простой вид
Л(Р, 1)= 1 + ’ Р7<Р<оо.
(VI. 10)
В часто встречающемся на практике случае неглубоких
трещин, когда отношение их максимальной глубины к тол-
щине пластины мало lj, полученные формулы упро-
щаются. Из формул (VI.4) и (VI.8) следует
Л2
(а. Р> Л) = р2 (sin2 а+n cos2 а)2 ’ 1
а9 = arcsin (1 — т))"1 , (VI. 12)
9*
131
а формулы (VI.6) и (VI. 10) приводятся к виду
F1 (Р« П) я J И р» (sin* а 4- т) cos2 а)2
ат
-Д-<Р<оо; (VI.13)
> d
/ ' А2 У*1 л *
Flip, l) = p-7±-j , _^-<Р<оо. (VI. 14)
Определим функцию Fj (р, т]) для некоторых значений г.
Для равномерного распределения глубин трещин (г = 0,
трещины всех глубин равновероятны) при одно- или двух-
осном растяжении элемента пластины на основании формулы
(VI.13) с учетом соотношений (VI.7) и (VI.12) найдем
-
г 1 ,1. (А> А» <" п
(n¥= 1);
(n¥=0),
(VI.15)
где
2
При одноосном растяжении фв (х, 0) = — arcsin у х 4-
+ а /х (1 -Хр + 4 Х3/2 /П=7.
В случае растяжения — сжатия пластины по формулам
(VI.9), (VI. 12) и (VI. 13) имеем
Л(Р,И)-1-Я>в(^-.п). -^-<Р<оо; (VI.16)
432
где
*(ж. П)-4 arcin У
1 +и
х»)
— П(1 —х) ]
Для линейно убывающего распределения длин трещин
(г = 1, чем больше глубина трещины, тем меньше вероят-
ность ее наличия в пластине) функцию (р, т|) находим
аналогично, используя формулы (V1.7), (VI.9), (VI.12)
и (VI. 13).
В случае одно- или двухосного растяжения получим
‘-ЧтгН’
^3
/а
А
А»
г)/2
Oi#i);
01 # 0),
(VI. 17)
где
Ъ (*. п) =
х-П
1—Т)
1 + П
н/п
2 Г К(х - П) 0 - х)
л Л L И*
а
* Г (1 —х)2Кх —Т| ,
Г [ Згрс® Ч
Л(р» п) =
1
п(1 —^). । 2
х —Т| J :
з
х — И
Ч" 12Т|« X» Ч-
5+8П-Ц1П» У(х-Я)(1-х) _ 5т)» + Зг|»+Эп+5
8t)8 х 8т)»Уп
К.(х, „)„х>2+1 _*gjf+^+sn + s
ч1ч 16Ч" Гч
При одноосном растяжении
3
4 2[ 1 / 1 —2
л * I 3 ~ /
133
» ' 7 5
В случае растяжения в одном направлении и сжатия в дру-
гом имеем
(VI. 18)
\ р у а / у а
где _____ _______________________
П) = 4-arcsin /-
5
—1+^ arth i/'HSlEa] + +
т)/—П Г х-т) ]тя[ Зтр?
X
3
5-ЦЗг) /Г=^(1-х)2 5 + 8П + Щ2 v
12т)а к* 8г|3 х
Г(х-7|)(1-х) _ 5T|8+3r)» + 3t}+5 а.ж -1/- nd - х) 1
* en’F^n " *—*i J*
Имея функции (р, t]) на основании формул (11.26),
(11.27) найдем вероятность разрушения пластины сп тре-
щинами при заданных нагрузках р и q. На рис. 41 и 42
показаны зависимости этой вероятности от приложенных
напряжений р для ряда значений п и двух значений п — 1
(рис. 41) и п = 10 (рис. 42). Штриховые линии относятся
к случаю г = 0, сплошные — к г = 1. Как видно из гра-
фиков, вероятность разрушения пластин при заданном р
резко увеличивается с ростом числа трещин, с увеличением
однородности материала.(для больших г) она уменьшается.
Во всех случаях вероятность разрушения наибольшая при
одинаковом двухосном растяжении. При неизменяющейся
одной компоненте напряжений (р) с уменьшением другой
(q) вероятность разрушения уменьшается. Следует обратить
внимание на уменьшение вероятности разрушения при за-
данном р и, наоборот, увеличение напряжений при заданной
вероятности Р с ростом сжимающих напряжений q (— оо <
< г) < 0). Такая тенденция в действительности наблюдает-
ся для стекла и некоторых керамических материалов [31,
134
711. Однако не согласуется с экспериментом следующий из
принятой модели результат, что при наличии только сжи-
мающих напряжений вероятность разрушения пластины
равна нулю, а при растяжении в одном и сжатии в другом
направлении вероятность разрушения не может превысить
величины 1 — aoj" = I — arctg при каких
угодно больших по абсолютной величине напряжениях р и ц.
Этот результат является следствием того, что согласно мо-
дели разрушение при р > 0 и q < 0 возможно только за
счет трещин с ориентацией | а | > а0. Вероятность, что
хотя бы одна трещина из п имеет такую ориентацию, и рав-
на 1 —Возможные пути устранения указанного
несоответствия укажем ниже.
2. Кривые критерия
предельного состояния пластин
Если известна функция Fj (р, т)), то нетрудно
построить кривые предельного состояния пластин с п тре-
щинами в плоском поле напряжений. Для построения кри-
вых, которые соответствуют заданной вероятности разруше-
ния Р = р, используем формулы (11.29). Они представ-
ляют уравнение таких кривых в параметрической форме.
Для конкретного построения кривых удобно использовать
графические зависимости вероятности Р я» Fr (р, т|) раз-
рушения от величины приложенных напряжений р при
135
различных (см. рис. 41). При заданных пир определяем
величину Р = 1 — 1 — ц, по которой при различных г]
находим те значения напряжений р, которые соответствуют
величине Р. Из соотношения q = ту> потом определяем
другую компоненту напряжений q для каждого значения q.
Указанным-способом на рис. 43 построены кривые предель-
ного состЪяния, соответствую-
щие двум уровням вероятнос-
ти разрушения (р = 0; р =
= 0,2) при двух значениях п.
Сплошные линии относятся к
случаю г = 1, штриховые —
к г = 0. Очевидно, что кри-
вые должны быть симметричны
относительно линии p = q (ма-
териал изотропный). Штрих-
пунктирная линия соответст-
вует нулевой вероятности раз-
рушения при любом числе тре-
щин (по виду она совпадает
с линией предельного состоя-
ния по первой классической
теории прочности). Если плас-
тина нагружена напряже-
ниями pnq, которые попада-
ют во внутрь области, ограни-
ченной кривой, соответствую-
Рис. 43 щей заданному уровню р, то
вероятность ее разрушения не
больше р, а вероятность неразрушения не меньше 1 — р.
Вне этой области, наоборот, вероятность разрушения не
меньше р, а вероятность неразрушения не больше, чем 1 —
— Н-
При заданной вероятности разрушения с увеличением
числа трещин область допустимых напряжений уменьшает-
ся. В этом находит проявление масштабный эффект. Как
видно, разрушение при одних только сжимающих напряже-
ниях невозможно.
Перейдем к построению кривых предельного состояния
в координатах средних значений предельных напряжений.
Для этого найдем средние значения предельных напряжений
для пластин с п трещинами. Рассмотрим сначала случай,
136
когда распределение глубин трещин является равномерным
(г = 0). Подставляя в формулу (11.28) функцию Ft (р, л)
согласно выражениям (VI. 15), (VI. 16), получаем для одно-
или двухосного растяжения
n
.л dx
о 1 xt
(р) = -4- 1 + JhMx, n)J
п
для растяжения — сжатия —
(VI. 19)
1 + JhM*. .
(VI.20)
Здесь ф< (х, т|) задается приведенными выше формулами.
В случае одноосного растяжения на основании выражения
(VI. 19) имеем
1 г —
J[4-arcsinV^ + -^-Vl(l-x)2 +
2 4 i<l------1" dx I
п'Х2 Xl х»
(VI.21)
При двухосном симметричном растяжении
Ю = 7t(‘+ “ 7? (‘ + ет) (VL22)
Совершенно аналогично найдем среднее значение (р)
при полутреугольном распределении длин трещин (г = 1).
Использовав формулы (11.28) и (VI.15), (VI.16), находим
для одно- или двухосного растяжения
п
(Р) =
l + п)Г-§- +
о
1
+ f n)f-$-
п
(VI.23)
для растяжения — сжатия —
11
l + fltn(x, <-$-
(VI .24)
137
Выражения для функций (х, т]) приведены в предыду-
щем параграфе.
В случае одноосного растяжения имеем
1
<'>--^+-йЖаг“,пКг+
При двухосном симметричном растяжении
(Р)=^
Г “
' 1
14- у (2ха — х*)".
(VI.26)
<Ч> = П (р). нетрудно
15
Рис. 44
Прибавляя к равенствам (VI. 19) — (VI.26) соотношение
на их основе построить кривые
предельного состояния пластин
при заданных значениях п. На
рис. 44 изображены такие кри-
вые для двух значений п. Штри-
ховые линии соответствуют слу-
чаю г = 0, а сплошные — г = 1.
Штрих-пунктирная линия — это
линия минимальных разрушаю-
щих напряжений, к которой
стремятся кривые средних пре-
дельных напряжений при лю-
бом г, если п —> оо. Зависимость
кривых от числа трещин указы-
вает на масштабный эффект.
Вследствие изотропности йате-
риала предельные кривые, оче-
видно, симметричны относитель-
но линии (р) — (q).
Как видно из рис. 43 и
44, отличительная особенность
предельного состояния пластин с
построенных кривых
поверхностными трещинами — значительная их вытяну-
тость в области растяжения — сжатия в сторону увеличе-
,138
ния напряжений сжатия. При этом чем больше по абсолют-
ной величине сжимающие напряжения, тем больше необхо-
димо приложить для разрушения пластины растягивающие
напряжения. Разрушение пластины только сжимающими
напряжениями невозможно.
Тенденция к уменьшению вероятности разрушения при
наложении сжимающих напряжений и к вытянутости кри-
вых предельного состояния в область больших значений
сжимающих напряжений подтверждается эксперименталь-
но для ряда материалов (стекла, керамики, металлокера-
мики) (31, 71, 1131.
Экспериментальные данные не подтверждают невозмож-
ности разрушения указанных материалов при действии
только сжимающих напряжений. При достаточно больших
напряжениях одноосного сжатия материалы все же раз-
рушаются. Оставляя в стороне вопросы устойчивости, эта
несогласованность теоретических и экспериментальных ре-
зультатов может быть устранена на базе рассматриваемой
модели материала и схемы расчета. Можно двумя путями
достичь этой цели. Первый путь: учет в детерминистическом
условии развития отдельной трещины сдвиговых напря-
жений в окрестности фронта трещины (в частности, вызы-
вающих продольный сдвиг), которые возникают при произ-
вольной ориентации трещины даже при одноосном сжатии.
Хотя вклад сдвиговых напряжений в развитие процесса
разрушения, по-видимому, намного меньше от вклада нор-
мальных напряжений, все же при наличии достаточно боль-
ших сжимающих напряжений они могут привести к разру-
шению. Учет сдвигающих напряжений в расчетах по методу
Батдорфа применяется в работе [112]. Второй путь: учет
внутренних дефектов, которые могут быть менее опасны,
чем поверхностные в условиях двухосного растяжения, одна-
ко могут развиваться при достаточно больших сжимающих
напряжениях (как сквозные трещины, рассмотренные в
предыдущих главах), приводя к разрушению. Совместное
рассмотрение в модели пластины поверхностных и внутрен-
них дефектов приведет к результатам, лучше согласующим-
ся с экспериментами. В этом случае расчет может быть про-
веден по предложенной схеме при наличии двух сортов
дефектов.
139
Глава VII
ВЛИЯНИЕ ТЕКСТУРЫ
случайной дефектности
НА ПРОЧНОСТЬ И КРИТЕРИИ
РАЗРУШЕНИЯ ПЛАСТИН
В предыдущих главах рассматривались пласти-
ны, изготовленные из материалов, изотропных по своим
структурным и, следовательно, прочностным свойствам.
Структурная изотропия задавалась равномерным вероят-
ностным распределением ориентации дефектов на всем про-
межутке возможных ее значений (все ориентации дефектов
были равновероятны). Такая ситуация не всегда имеет место.
Так, некоторые виды технологических обработок материалов
и изделий из них приводят к изменению структуры дефек-
тов, их геометрических параметров. И хотя уровень физико-
химических связей между микрочастицами материала ос-
тается при этом практически неизменным, макроскопиче-
ская прочность и вероятность разрушения тел после таких
обработок может заметно изменяться. Например, материалы,
поддающиеся при обработке направленной пластиче-
ской деформации, приобретают свойства прочностной ани-
зотропии, что может быть объяснено возникновением опре-
деленной текстуры (преимущественной ориентации) де-
фектов.
В данной главе на основании определенного представле-
ния 120, 211 о структурной перестройке вследствие техноло-
гической деформационной обработки (вытяжки) стохасти-
чески дефектного материала определена вероятность разру-
шения и построены кривые предельного состояния пластин
в плоском поле напряжений; исследована зависимость проч-
ности пластин и их приобретенной при обработке прочност-
ной анизотропии от параметра обработки (коэффициента
вытяжки) и числа трещин (размера пластин). При этом
используется общая схема решения задачи, изложенная
во второй главе. Влияние направленной структуры слу-
чайных дефектов на предельное состояние пластин с не-
сколько иных позиций рассмотрено также в работе [44].
140
1. Структурная анизотропия материала,
возникающая при технологической вытяжке
Рассмотрим изотропные до технологической об-
работки пластины, ослабленные равномерно рассеянными
по их площади случайными не взаимодействующими между
собой трещинами. Допустим, что плотность вероятности
совместного распределения их
ориентаций и длин определяется
уже использованным нами зако-
ном
/з(«з> 1з) — 4"т(1 т) ’
0</<d, (VII.1)
где индекс 3 введен для обозна-
чения исходного состояния; а8 й
/3 — статистически независимые
величины; распределение по а —
равномерное.
Пусть такой материал в раз-
мягченном состоянии поддает-
ся технологической вытяжке с
коэффициентом Л > 1, показы-
вающим, во сколько раз увеличивается размер ^элемен-
тов материала в направлении вытяжки, а затем отверде-
вает (охрупчивается). Предположим, что при вытяжке тре-
щины в материале ведут себя как связанные с ним гибкие
растяжимые нити, а материал несжимаем, т. е. при увели-
чении длины фиксированного элемента_объекта в k раз его
ширина и толщина уменьшаются в J/& раз. В результате
такой технологической обработки изменяются ориентация
и длина трещин, т. е. изменяется структура трещиноватости
материала.
На рис. 45 изображен пластинчатый элемент материала
с трещиной до и после вытяжки (сплошные линии — исход-
ное состояние, штриховые — после вытяжки). На основании
описанной модели структурных изменений в материале из
геометрических соображений нетрудно найти, что полудлипа
и угол ориентации трещин до (/3, а8) и после (/, а) вытяжки
141
связаны соотношениями
/2 = 4(л2со52а3 + -^у^-) ;
3
tga= k 2 tga3,
или эквивалентными обратными к ним
' i
/3 = (cos2 a 4- Л3 sin2 a) 2 ;
(VII .2)
(VII.3)
з
a3 = arctg (k 2 tga).
Здесь углы ориентации трещины отсчитываются от на-
правления вытяжки. Определим теперь плотность f (a, /)
вероятности совместного распределения измененных в ре-
зультате технологической обработки случайных геометри-
ческих параметров трещин. На основании формулы (1.25)
для плотности вероятностей функций от случайных величин
имеем
f (a > D — /з (аз» У
да3 д1з
да да
дая д!3
dl dl
На основании этой формулы, учитывая вид (VI 1.1) исход-
ного распределения и соотношения (VII.3), получим
/(“’Z) = 7iW *>—г]-
0</<<p0(a, k)d, (VII.4)
где
1
<р0 (a, k) = k (cos2 а 4- &3 sin2 а) 2 .
Указанные здесь пределы изменения I обеспечивают вы-
полнение условия f (a, I) > 0. Максимальная длина трещин
I — kd возможна лишь при угле ориентации a = 0.
При k = 1 (вытяжка отсутствует) из последней формулы
получаем исходное распределение (VII. 1). При k > 1
случайные величины Z и а статистически зависимы в отли-
чие от исходного состояния (при k — 1). Это видно, в част-
ности, из того, что область возможных значений / зависит
142
I от а. Интересно отметить, что корреляционный момент слу-
чайных величин I и а равен нулю при всех k > 1, т. е.
и в случае их статистической зависимости при k > 1. Это не-
трудно показать для распределения (VII.4), используя фор-
мулу (1.20).
На основании формул (1.25) и (VII.4) определим плот-
ность распределения ориентаций трещин после вытяжки
<p0(a,fc)d
ы«>- j
3
1 k2
= 4- cs.4fsi.-a • <VIL6)
Как видно, при k > 1 это не равномерное распределение.
Наиболее вероятное значение ориентаций трещин a = 0,
т. е. трещины с наибольшей вероятностью располагаются
в направлении вытяжки.
Используя формулы (1.10), (1.12), вычисляем среднее
значение и дисперсию величины а:
Я
2 е У Г 1 1
<а> J а J *)—т dlda = °>
я 0 u
2
± (VII.6)
2 <pod
= S а2 J [фо(а’ ^)--т]^а=
г л °
~ 2
Я
2
2&3 С _______a2da_______
л J cos2 а + sin2 а *
о
Кривая зависимости дисперсии D (а) от коэффициента
вытяжки k, построенная на основании формулы (VII.6),
показана на рис. 46. Как видно из графика, дисперсия при
k > 1 меньше, чем при £ == 1; наибольшая скорость убы-
вания дисперсии наблюдается при небольших k.
Непосредственно из физических соображений и приве-
денного математического анализа следует, что вследствие
вытяжки в материале возникает преимущественная ориен-
143
тация (текстура) дефектов, совпадающая с направлением
вытяжки. Ориентация трещин в этом направлении наиболее
вероятная. Здесь же с большей вероятностью встречаются
наиболее длинные трещины. Этот процесс структурной пе-
рестройки усиливается с увеличением вытяжки, но скорость
его наибольшая при малых вытяжках.
Как будет показано ниже, возникновение преимуществен-
ной ориентации трещин ведет к прочностной анизотропии
материала.
Мы рассмотрим случай
структурной анизотропии
стохастической дефектно-
сти, возникающей вследст-
вие технологической вы-
тяжки материала. Тексту-
ра дефектов здесь описыва-
ется распределением (V П.4)
величин а и I. Оно в явном
Рис. 46 виде включает параметр
технологической обработки
(k), при помощи которого можно управлять структурными и,
следовательно, прочностными свойствами материала. Ко-
нечно, структурную и прочностную ориентацию материалов
можно рассматривать и без указания в явном аналитическом
виде на причины этой анизотропии (они могут быть неиз-
вестными или не поддающимися аналитическому описанию,
или просто эти причины могут нас не интересовать). В таком
подходе указывается лишь определенное состояние струк-
туры дефектов. Этот подход использован в работе [441
для оценки влияния направленной структуры случайных
трещин на прочностные свойства пластин. Длина и ориента-
ция трещин в указанной работе принимаются статистически
независимыми, причем угол ориентации трещин задается
усеченным на некотором интервале нормальным распреде-
лением. При этом исследовать связь прочностных свойств
материала с параметрами обработки не представляется воз-
можным.
144
2. Функция распределения
предельных напряжений
и вероятность разрушения
пластин с вытяжкой
На основании схемы, описанной во второй гла-
ве, имея закон (VII.4) вероятностного распределения
геометрических параметров дефектов, найдем функцию
распределения предельных напряжений и вероятность разру-
шения хрупких пластин в условиях плоского напряжен-
ного состояния. Пусть пластина растягивается или сжи-
мается в двух взаимно перпендикулярных направлениях
напряжениями pnq. В отличие от случая изотропных пла-
стин, для материалов с направленной структурой дефектов
имеет значение угол направления действия приложенных
напряжений с направлением отсчета ориентаций дефектов
(последнее мы выше приняли совпадающим с направлением
технологической вытяжки материала пластин). В зависи-
мости от этого угла уравнение и вид кривых предельного
состояния в координатах главных напряжений будут раз-
личными. Рассмотрим ниже случай, когда напряжения р
действуют по линии предварительной вытяжки пластин.
Функция распределения предельных напряжений р (при
заданном т,) элемента пластины с одной трещиной опреде-
ляется по формуле (11.22). В этой формуле двойной интеграл
представляем через повторные интегралы и, подставив туда
выражение (VII.4), а также выполнив интегрирование по
I от I = до I — <р0(a, k)d, получим
о р Г Д2 I2
Л(|р|. п) = -—7=- J Фо(а, k)— -f-j- ф2(а, л) da,
я ' R agJ? L и J
(VII.7)
где R — область изменения переменной а от 0 до -у, ис-
ключая участки, на которых
-^-Фг(а. П)>Фо(“> k)d. (VII.8)
При выводе формулы (VII.7) учтена четность функций
Фо («» k) и ф (а, л) относительно а. Для простоты выкладок
в дальнейшем будем выбирать функцию ф (а, ц) в виде
(1.60), не учитывающем трение берегов трещин.
ю юг
145
Вычислим функцию рас-
пределения Fr (р, г]) для
двухосного растяжения
(р > 0, q > 0). Пусть 0 <
Л k~™. Рассмотрим
случай А |/" р
гЛ^ kd
. Пределы измене-
ния величины г] определе-
ны из условия, при кото-
ром нижняя граница для
нагрузки р не превышает
верхнюю. Для указанных
границ изменения *р об-
ласть интегрирования в
формуле (VII.7) представ-
лена на рис. 47, а схема-
тично (заштрихована). На
этом и последующих рисун-
ж и ках введены следующие
рис 47 обозначения: В — кри-
вая I = (sin^ а 4-
+ t^cos8»)-1, Е — кривая I = kd (cos8 а + fc3 *sin8a)-,/2. От-
метим также, что границы изменения р определяются как
Л* d А1 2
решения неравенств (рис. 47, а) < р=, > kd
относительно р. Для указанных пределов изменения г]
и р интегрирование по формуле (VII.7) в пределах (aj,
л/2) с использованием таблиц интегралов 129] дает
Л(Р. П) =
2
nVk
p2d х
1 V •
Х sinra + r/cos^a ) = 1 - (a„ р, ц), (VII.9)
где
з
А И) = -^-{arctg(k 2 tgx) + п(-г — х>
146
x (" -2 ^(-ж)) - s-tRvssb]}; (VII-10>
П (<p, n, tn) — эллиптический интеграл 3-го рода,
ф
П (<р, п, т) = ---------dx—.. ...;
J (1 + л sin2 х) —m2sin2x
cq(o — значения а в точках пересечения кривых В и Е,
' • / ।
«1,о = arcsin (------—т=- X
\ kp2d 11 — я21 /2
X /Д4 (£8 — 1) ± Л2 /Q — 2ZR2 (1 — п2) Р*<?) (VII. 11)
(«плюс» соответствует индексу 1, «минус» — индексу 0);
Q = Д4 (£3 — 1 )2 — 4&2 (1 — if) (ksy\2 — 1) рМ2; (VII. 12)
при | n I = 1
. .. /" kWdW4 — 1
ai,o = arcsin I/ -.
В частности, при rj = 0
г -1
Ф12 (X, р, 0) = 4- [arctg (k2 tg х) + П (у- — X,
~ь 1 ~n~7^(ctgx+^ctg3*)] ’ (VIL13)
Исследуем случай ]/"< П <
<РСр4, где pi = А 2kd — • Ле-
вый предел изменения т| определен из условия, при котором
нижняя граница для напряжений р по величине не превы-
шает верхнюю. Значение р4 определено из условия Q = 0.
Область интегрирования для отмеченных пир показана
на рис. 47, б. Для функции распределения (р, ц), ин-
тегрируя по формуле (VII.7) в границах (0, «о) и («ь
10*
147
п/2), получаем
Ft(p, Я) = 1—фпСаь Р. Я) + Woo. Р. Я) —
— Ф1г(О, р, я)- (VII. 14)
1 /~ 2 з
Для у ~T+~k? < Я < , Р4^Р<°° или 0 < Я
ТТК ’ ' ^ykd ^Р<' °° °бласть интегрирования
представлена на рис. 47, в.
Тогда
Fi(p, Я) = 1 —^(О, р, я)- (VII.15)
При k -~=<Р^А у будем
иметь область интегрирования, показанную на рис. 47, г,
поэтому
Fi(p, Я) = (<*0, Р. Я) —^12(0, Р, Я)- (VII.16)
1
В случае k /4<я< V ' 2К" ’ А V
область интегрирования представлена на рис. 47, б, а
для функции распределения Flip, я) имеет место формула
(VII. 14). Для k~’/l<я< 1/~ + 1 , р4<р<оо или
у Я 1 • А у Р < 00 имеем область
интегрирования, представленную на рис. 47, в, а функция
распределения определяется выражением (VII. 15).
Предположим, что 1 т] < оо. При р
г)У kd
А 1/ область интегрирования имеет вид, данный на
г d
рис. 47, д, а функция Fx (р, ц) представляется формулой
(VII. 16).
Для А 1/ v *, р < оо область интегрирования пока-
' d
зана на рис. 47, е, функция распределения определяется
по формуле (VII. 15).
Перейдем к вычислению функции распределения F^^jj), я)
для растяжения — сжатия пластины (р > 0, q 0). В этом
случае функция <р (а, я) представляется различными ана>.
148
литическими выражениями (1.60) в зависимости от ориента-
ции трещин:
<р(а, т]) =
2[(1— r|)sin2|a|J“1, 0<|а|<а0 = arctgVfn|;
(sin2 а-J-if cos2 а)", а0^ | а|<-£-.
£
(VII. 17)
Исследуем__случай —1 г] < 0 (| q | р). При
'-'Л|/ d \Р* V 1— Г) /|Г)|М/И П2(1— ’1)
область интегрирования для формулы (VII.7) представлена
на рис. 47, ж. На этом рисунке и последующих М обозна-
чает кривую I — 4А*р~2 (1 — f))~2 sin-2 2а. Величина pt
является решением уравнения
__________kd______________ 4Д2
(cos- «, + *.,„ «,)4 ’
(VII.18)
Неравенство, связывающее Лит], получено из условия,
при котором нижний предел изменения напряжений р
по величине не превышает верхний. Для указанных выше
границ на величины р, т], k функция Fj (р, т|) вычисляется
по формуле
Л(Р> П) ==
nVk
а.
f Г k__________________________л2 х
J„ [ (cos2 а 4* Л3 sin2 а)'/‘ Р24
«0
2 в°
(1 — т))2 sin2 2а ] [ (cos2 а 4-й3 sin2 а)1/1
а»
p2d sin2 а 4-1]2 cos2 а
= Ф13 (ао> Р. П) —
— Фи («о» Р> П) + (ао, Р, т]) —
— Ф12(а0, Р, fl), (VII. 19]
где
^1з(^ р> ^)^4{arctg(fe,/,tgx)-77Z7^7ix
149
X (ctg 2x + -у- ctg3 2x) + [(^3 ctg x — tg x) X
X /Sin2x + fe-3cos2x-(l + &)e(-±-x, 1 - fe“3) +
+ 2f(l-x, 1 —*"3)]} ;
F (<p, m), E (<p, m) — эллиптические интегралы соответст-
венно первого и второго рода,
F (ф, т)=Л -==== ; Е (ф, т) =
J V 1 — mastnax
ф
= j У l—ma sin3 xdx;
о
do — координата пересечения кривых М и Е (рис. 47, ж),
определяется из уравнения
cos4 2а — 2 cos8 2а----cos 2а —
Л8 (1 — q)4^8
84<(1+Л8)
“ (I — т])4 kap*da
+ 1=0
(VII .20)
и удовлетворяет условию 0 ао а0.
Для А р/"р < оо (рис. 47, ы) и тех же rj, k,
что и в предыдущем случае, имеем
/\(р, П) = 4’1з(а0. Р. П) — Ф1з(ао, р, У|) +
+ 1—^1г(а0, р, п)- (VII.21)
Рассмотрим случай — 1 < т] С 0, k 22~Vjj' ^Ри
Л |/ -^р-^р^Рв (рис. 48, а) получим формулу (VII.9);
при Ръ^Р < оо (рис. 47, и) имеем,выражение (VII.21).
Для р > 0 остается еще рассмотреть следующий диапа-
зон соотношения главных напряжений: — оо < т) —1
(| q | > р). При таких я имеем а0 > и кривая М в точке
а = л/4 принимает минимальное значение. Приравняв
между собой значения при а = л/4 функций, описывающих
150
кривые М и Е, т. е. решив уравнение
____________kd == 4Л2
[cos2 (—г-} + Л8 sin2 (-Д-Yl/*_Р2 (1 — Л2) sin2
(VII.22)
относительно р, получим корень ра»-------?=-1/ —g— .
(I—Л)УМ т *
При р« С Р Рз область интегрирования показана на
рис. 48, б, а функция распределения Fx (Р< Tl) вычисляется
по формуле
Л(Р. TI) = 4*13 («ь Р» П) — Ф1з(ао» Р. И). (VII .23)
где ао и <Х1 — решения уравнения (VII.20) соответственно
на промежутках (0, л/4) и (л/4, а0)-
Для р5 р А у (рис. 48, в) получаем выраже-
V d
ние (VII. 19); для А j/" 1^^р < оо (рис. 48, г) имеем
формулу (VII.21).
Вычислим функцию распределения предельных напря*
жений Fx (—р, л) при сжатии — растяжении пластин
(р 0, q > 0). При такой нагрузке трещина будет откры-
той (р sin8 а + q cos8 а > 0), если 0 | а | а0, и закры-
той (р sin2 а + q cos8 а 0), если а0 |а | -у. Тогда
функция <р (а, л) представляется выражениями
Ф(а, л) =
(sin2 а + т)2 cos2
21(1 — T])sin2|a|l~l,
к
Исследуем случай — оо < л — 1 (q > |р|,а0> л/4).
д
При -----т=- «С — Р Ръ область интегрирования изоб-
IЛ | V м
ражена на рис. 48, д, а функция Fx (— р, л) определяется
соотношением
РА— Р> *1) ='Фп (“о» Р, П)~ Ф12(°. Р> !!)• (VII.25)
При р6 —р < оо (рис. 48, е) имеем
Л(~ Р> п) = Ф1г(ао. Р. Т1)-Ф12(О» Р» П) +
+ Ф1з(«ь Р> П) —Ф1з(«о. Р. П). (VII.26)
Г51
где at—решение уравнения (VII.20) на промежутке (а0,
л/2).
Определим фунцию (— р,
— 1 <т]<о(<7<|р|, и
следнее соотношение обеспечи-
вает правомерность неравенств
для второго из рассмотренных
ниже диапазонов изменения ве-
Рис. 48
ЛИЧИНЫ (I р I). При pQ < — р < (рис. 48, ж) получим
Fit— Р, П) = Ф1з(аь Р, П) — Ф1з(ао> Р, П)> (VII.27)
где <zq, eq — решения уравнения (VII.20) соответственно
на промежутках (а0, л/4) и (л/4, л/2).
Для р6< —р<—А_2- (рис. 48, и) имеем
I П I V kd
Fi(—P, Л) = Ф12(а0, р, г)) — Ф12(аь Р. П)+
+ Фи(аь Р. П)-Ф1з(а0. Р. П)- (VII.28)
152
Здесь «! — решение уравнения (VII.20) на интервале
(л/4, л/2).
А
1п1Ум
При
— р < оо (рис. 49, а) получаем фор-
му у (VII.26).
Определим функцию распределения Л(—Р, я) при
условиях, что — 1 < я < 0, | я I > » а также
8 (1 + й3) . п
—1. Последние два соотношения обеспечивают
правомерность неравенств соответственно для второго и
первого из рассмотренных ниже промежутков изменения
величины (| р |). При рл < — р < —(см. рис. 48, ж)
IЯ IУ «*
имеем выражение (VII.27). Для уууу-р= — Р Ра
(рис. 49, б) получим '
Pit— Р> Я) = Ф12 (ао, р, я) — Ф12(0» Р. П) +
+ Ф1з(аь Р» П) —Ф1з(«о» Р» Я). (VII.29)
где ао, «1 — решения уравнения (VII.20) соответственно
на промежутках (а0, л/4), (л/4, л/2). При р5 — р < оо
(рис. 49, а) имеем соотношение (VII.26).
Рассмотрим случай — 1 я < 0, 8 1 • При
д
-—/^- — р рв (рис. 49, в) получаем формулу
I Л I У
(VII.25), при рв < — р ^-Рв (рис. 49, б) имеем выражение
(VII.29), при рв < — р < оо получим формулу (VII.26).
Подставив в полученные формулы для функции распре-
деления (| р |, я) значение k = 1, придем к результатам
пятой главы при р = 0, г = 1. Из рассмотренного выше
можно сделать вывод о том, что пороговое значение проч-
ности, т. е. значение, выше которого вероятность разруше-
ния будет больше нуля, а также функция распределения
прочности зависят от коэффициента вытяжки k и соотноше-
ния главных, нормальных напряжений я-
Если пластинка площади 5 содержит п трещин / п =
= «о -у), то функция вероятностного распределения пре-
дельных напряжений определяется по формуле (11.26).
153
На основании полученных выражений можно вычислять
вероятность разрушения тела с п дефектами при различных
видах напряженного состояния с учетом вытяжки материа-
ла. На рис. 50 в виде графиков для некоторых случаев на-
гружения представлены результаты вычисления вероят-
ности разрушения Р материала, не подверженного (k = 1)
и подверженного (k =« 1,5) вытяжке. Как показывают эти
графики, предварительная вытяжка материала ведет к по-
Рис. 50
нижению вероятности разрушения при растяжении в на-
правлении вытяжки (т] = 0; о = р) и повышению при
перпендикулярном (г| -*• оо; о = q) или двухстороннем
(т| = 1; а = р = q) растяжении. И наоборот, предельные
напряжения, соответствующие заданной вероятности раз-
рушения Р, увеличиваются в результате обработки при рас-
тяжении в направлении вытяжки и уменьшаются при пер-
пендикулярном или двухстороннем растяжении. Во всех
случаях вероятность разрушения тем больше, а предельные
напряжения, соответствующие фиксированной вероятности
разрушения, тем меньше, чем больше число трещин в плас-
тине.
3. Кривые предельного состояния
пластин с направленной
структурой дефектов
На основании полученных выражений для функ-
ции распределения Fx (| р |, т|) можно определить числовые
характеристики предельных напряжений. Среднее значе-
ние (математическое ожидание) (р) предельных напряже-
ний пластины с п трещинами находим по формуле (11.28).
Имеющийся в этой формуле интеграл вычисляли числен-
154
ним интегрированием. Величины (р), (q) связаны соотно-
шением (q) = т] (р). Для п, равного 10 и 100, k, равного
1,3 и 1,5, вычислены величины (р)^~, (q) ПРИ раз-
личных видах напряженного состояния и построены кри-
вые предельного состояния материала, поддавшегося вы-
тяжке (рис. 51, а, б). В отличие от случая k — 1 кривые
для k > 1 несимметричны относительно прямой (р) — (q),
a S
Рис. 51
что свидетельствует о приобретенной при вытяжке проч-
ностной анизотропии. Из рис. 51 видно, что с увеличением
коэффициента вытяжки кривые дл'я k > 1 (а —k =1,3;
б — k = 1,5; сплошные линии) все больше отличаются от
соответствующих кривых при k = 1 (штриховые линии).
Для случаев р > 0, q = 0; q > 0, р — 0; р = q > 0;
q = —р >0; р = — q > 0 проведены вычисления сред-
них значений предельных напряжений при различных k.
Результаты показаны на рис. 52, а, б, где сплошные линии
соответствуют случаю п = 10, штриховые — п = 100.
Из графиков видно, что наибольшая (почти постоянная)
скорость изменения прочности при растяжении в зависи-
мости от вытяжки наблюдается при k < 1,6, в случае чис-
того сдвига — при k < 1,8—2,0. При больших k скорость
изменения прочности резко уменьшается. В этом смысле
вытяжки с коэффициентом, не превышающим указанных
величин, для рассматриваемого материала можно считать
наиболее эффективными. Этот вывод может найти практи-
ческое применение.
155
Отметим, что затухания скорости изменения прочности
с ростом коэффициента вытяжки следовало ожидать, по-
скольку наибольшая перестройка дефектности происходит
вначале процесса вытяжки, а после некоторого «упорядо-
чивания» дефектов, т. е. создания текстуры дефектов, про-
цесс структурных преобразований ослабевает, что сказы-
вается на изменении прочностных характеристик. С другой
стороны, существование четко выраженных характерных
точек процесса не очевидно.
Разность между средними предельными напряжениями
при растяжении в направлении (т) = 0) и поперек (т] -> оо)
Рис. 52
вытяжки увеличивается с ростом k (см. рис. 52, а), но с
убывающей при k > 1,6 интенсивностью. Аналогично из-
меняется степень прочностной анизотропии, измеряемая
отношением указанных напряжений. С возрастанием числа
трещин п в пластине степень прочностной анизотропии при
одинаковых k уменьшается. Выводы такого же характера
можно сделать, рассматривая кривые на рис. 52, б. Отме-
ченные качественные выводы подтверждаются эксперимен-
тально на ряде материалов, приобретающих при техноло-
гической деформационной обработке свойства анизотропии
сопротивления разрушению 154].
Проведенные исследования дают возможность прогно-
зировать прочность и прочностную анизотропию при слож-
ном напряженном состоянии в зависимости от коэффициен-
та вытяжки с учетом числа трещин.
Глава VIII
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПРЕДЕЛЬНОГО ТЕПЛОВОГО ПОТОКА
ДЛЯ ПЛАСТИН СО СЛУЧАЙНОЙ
СИСТЕМОЙ ТРЕЩИН
Рассмотрим пример расчета статистических ха-
растеристик разрушения при тепловом воздействии. Пусть
хрупкие теплоизолированные с боковых поверхностей плас-
тины находятся под действием однородного теплового по-
тока интенсивностью q2 (рис. 53). Допустим, что материал
пластины ослаблен равномерно
рассеянными не взаимодействую-
щими между собой случайными
трещинами с термоизолирован-
ными берегами. Законы совмест-
ного распределения полудлины I
и угла ориентации а будем счи-
тать известными. При опреде-
ленной величине теплового по-
тока (будем называть ее предель-
ной) развивается хотя бы одна
трещина, т. е. начинается процесс
разрушения пластины. Условие
развития отдельной трещины
с заданными геометрическими
параметрами задается формулой (1.66). Определим вероят-
ностное распределение предельного теплового потока и не-
которые его статистические характеристики.
1. Вероятностное распределение величины
предельного теплового потока
Из формулы (1.66) видно, что вследствие случай-
ности длины и ориентации трещин, изменяющихся в не-
которых пределах 0 I d, | а | < величина q2
157
предельного теплового потока для элемента пластины с од
ной трещиной также случайная. Функцию Fj (<?2) вероят-
ностного распределения этой величины найдем на основании
формул (1.66) и (11.22):
Л(?г) = SS F(a. l)dadl, ?2,min <?2 ?2, шах» (VIII.1)
R
где 7? —двумерная область возможных значений случайных
величин а и I, в которой выполняется соотношение
А2Г‘1, | sin-1 а | (значение постоянной Л2 указано
в формуле (1.66)).
Считая величины а, / статистически независимыми, полу-
чаем формулу, аналогичную (11.25):
Л<7а) = f Ma)[I — Fs( ,А* гУ/,1 da,
1 i 12 \ / з I q2 | sin а | ] I ’
£а L / J
-^<92<оо; (VIII.2)
здесь область интегрирования La — это все возможные зна-
чения а а | для которых выполняется соотноше-
ние
Дальше будем считать, что распределение трещин по
ориентации равномерное, т. е. /2 (а) = -1-, а по длине
имеет вид (III.2) или (V.1). Используем поочередно эти
распределения.
В случае распределения (III.2), когда0 ^ / < оо (d ->
-* оо). ?2,min = 0 и соотношение (VIII.3) выполняется для
всех |а|^-у. Тогда подставляя в формулу (VIII.2)
(а) = -i-и функцию F3 (/), по формуле (III.3) получаем
т 0 2 sin z' а \ , Г/ Г/ ДЯ, 3 + aq2/s sin /з а j оо. (VIII.4)
158
Для распределения (V.1), когда 0 I d, g2,min —
® ЛгбГ"’/! и соотношение (VIII.3) выполняется для а8
< I а К -у» где
«8 = arcsin (А2д2ЛсГ~>,г). (VIII .5)
В этом случае, подставив в формулу (VIII.2) функцию
Fa (/) по формуле (V.2) и /2 (а) = -4, найдем
Л
2
С/х 2 С Г. 1 / Аг V/.K+1 , ,
Fifth) ——\ |1---------7-1----—I <оо.
я J I d ( <?а sin а у ] ’ 2 18
а,
(VIII.6)
Если хрупкая пластина содержит п трещин, то считаем,
что предельный тепловой поток для пластины равен наи-
меньшему значению предельных тепловых потоков ее
элементов (гипотеза слабого звена). Тогда функция рас-
пределения предельного теплового потока пластины с п
трещинами определяется по формуле, аналогичной (11.26)
(VIII.7)
При данном q2 значение функции гп (q2) равно вероят-
ности разрушения пластины при величине потока, не пре-
вышающей заданного значения q2i
Р=Ш (VIII.8)
На основании формул (VIII.4) — (VIII.8) проведены
вычисления функции Fn(q2) при различных значениях s,
г распределений размеров трещин и двух значениях числа
159
дефектов h = 10; п = 100. Результаты вычислений пока-
заны На РИС. 54 ДЛЯ <?2.т1п = 0 И На РИС. 55 ДЛЯ (?2,min > О
в виде кривых зависимости вероятности разрушения Р
от приложенного теплового потока. Из графиков видно,
что увеличение однородности материала приводит к возра-
станию значения теплового потока, соответствующего фик-
сированной вероятности разрушения. С другой стороны,
при увеличении s или г уменьшается вероятность разруше-
ния, соответствующая заданному значению теплового по-
тока. Возрастание величины s или г ведет к удлинению
участка изменения случайного теплового потока, для ко-
торого вероятность разрушения мала. Вероятность разру-
шения тем больше, чем больше размер пластины.
На основании функции распределения (VII 1.7) можно
определить статистические характеристики предельного
теплового потока.
2. Статистические характеристики
предельного теплового потока
при большом числе трещин
При больших п формула (VIII.7) преобразуется
в распределение Вейбулла
Рп (ft) == 1 — ехр [— СП — <?2, minH, 0 > 0, т > 0.
(VIII.9)
Для вычисления о, т имеем соотношение
с = Пт ---------£1^—_ (VIII. 10)
min (fa fa, min)
и условие 0 < в < оо.
160
Определим значения с, т для рассматриваемых случаев
<72,min = 0 и <?2,min > 0, используя соответствующие выраже-
ния для функции распределения Гг (q2). На основании фор-
мул (VIII.4), (VIII. 10) и требования конечности с полу-
чаем
—1); (VIII. 11)
2 / а V-17
с = —I—и-] \ sin 8 ada =
« И?/ о
\ п2 / ' 7
где В (х, у) — бэта-функция.
Величины с, т для случая 92,min > 0 вычислим на осно-
вании формул (VIII.8), (VIII. 10) с использованием пра-
вила Лопиталя. Предполагая, что г — целое число, для
производной г-го порядка функции (VIII.6) с применением
формулы (V.51) имеем
м'1 - 4 (г+1)! (4-у (44 (44х
л
2
X f (”4----У f1 - ~Т(-rferT’lda + • • • (VIII. 13)
J ( sin^a /I d ^fcsina / J >
a«
В это выражение не вписаны слагаемые, содержащие ин-
тегралы от произведений определенных функций аргумента
а на функции вида
/*(а) = fl — 4-f——Y7’]*, k = 2, 3, 4, ...
* ' < [ d ( sin a ] ] ’ ’ ’ ’
Найдем дальше производную г + 1-го порядка:
=4(Г+ i)I(4)'+,(4.Y+'^y+i х
Я
2
a.
х/< II 102
161
Здесь не приведены слагаемые, содержащиеинтегралы
от произведений каких-то функций переменной а на функ-
ции /* (a), k = 1, 2, ...
Заметим, что все производные от функции распределе-
ния Fj (<?2) до г + 1-го порядка включительно не содержат
слагаемых без интегралов вследствие того, что ? (а8) = О,
k = 1, 2, 3, ... При предельном переходе -*• А^сТ'1' все
указанные производные будут превращаться в нуль, так как
lim а8 = 4. (VIII.15)
Для производной г + 2-го порядка, используя выраже-
ния (V.51), (VIII. 14), получаем
м'+!) w - 4 (г+1) । (4f (i - х
х7*--$-+ (V,1LI6>
V2 и
Здесь не выписаны слагаемые, содержащие интегралы.
Эти слагаемые нам не понадобятся, потому что на основании
соотношения (VIII. 15) они при предельном переходе
-> А^дГ'1' стремятся к нулю.
Используя правило Лопиталя, формулу (VIII. 10) пре-
образуем к виду
С 11111
(VIII. 17)
Здесь индекс г + 2 обозначает производные г + 2-го по-
рядка по переменной qt от соответствующих выражений.
На основании последних двух формул и условия ко-
нечности величины с > 0 для однородности материала по-
лучим
щ = г + ф, (VIII.18)
а для с найдем
(VIII. 19)
162
Итак, при действии на пластины теплового потока, как
и при силовом нагружении, имеют место линейные зависи-
мости (VIII.11), (VIII.18) между т и параметрами $ или г
распределения размеров трещин.
Определим теперь некоторые статистические характе-
ристики предельного теплового потока для пластин с боль-
шим числом трещин. На основании формул (1.40) — (1.42)
для среднего значения дисперсии D (q^ и наиболее
вероятного значения предельного теплового потока полу-
чим
г (1 + АД
(?2) — ?2,tnin 4-’ (VIII.20)
d = 4^ m; (vnL2i)
(1 \1/m
1 —----- \
—“—) • (VI 11.22)
На основании формул (VIII.8) и (VIII.9) найдем также
значение д2,ц теплового потока, соответствующее заданной
вероятности разрушения Р = р:
_ 1П (1 lOW"!----/Л7ТТТ ООЧ
= 42, mln +1--------------—-) . (VIII.23)
В этих формулах т и в определяются по формулам
(VIII. 11), (VIII. 12) при ?2(Ш1П = 0 и по формулам (VIII. 18),
(VIII. 19) при q2,min = А^,
Результаты вычислений по формулам (VIII.20), (VII 1.21)
представлены в виде графиков для <?2.min — 0 (рис. 56) и
?2,mln > 0 (рИС. 57).
Как видно, с увеличением числа трещин п среднее зна-
чение и дисперсия предельного теплового потока умень-
шаются, причем интенсивность этого уменьшения зависит
от величины т. Как видно из формул (VIII.22) и (VIII.23),
от п аналогично зависят наиболее вероятное значение
и квантиль предельного теплового потока. Если считать
число п пропорциональным площади S пластин (п —
** П° З?)’70 имеет меето масштабный эффект, интенсивность
которого зависит от значения т. Из рис. 56, а и 57, а видно,
7s 11"» ‘ 163
что при одинаковых т масштабный эффект более интенсивен
в случае q2,min = 0, чем при > 0.
С помощью формул (1.13), (VI 11.20) и (VIII.21) запишем
выражения для коэффициента изменчивости ш (qj предель-
ного теплового потока. При ?2.min =* 0 имеем
(VIII.24)
(VIII.25)
164
Из формулы (VIII.24) следует, что в случае нулевого
значения порогового теплового потока (<?2,тт = 0) и
больших п коэффициент изменчивости w (qt) предельного
теплового потока не зависит от числа трещин п и опреде-
ляется полностью значением т. Выражение (VIII.25) пока-
зывает, что при <72,min > 0 увеличение числа трещин п
ведет к уменьшению коэффициента изменчивости предель-
ного теплового потока. Такие же свойства коэффициента
изменчивости были отмечены и при силовом нагружении
пластин.
*/а П*
I? л а в a IX
ВЛИЯНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ОТКЛОНЕНИИ
ОТ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ФОРМЫ ТРЕЩИНЫ
НА РАЗРУШАЮЩУЮ НАГРУЗКУ
В предыдущих главах предполагалось, что
имеющиеся в пластинах трещины являются прямолиней-
ными. В реальных телах вследствие структурных и техно-
логических, а также других факторов поверхности дефектов
(трещин) имеют неровности. Поскольку эти неровности
имеют случайный характер, то целесообразно описывать
линии трещин с помощью случайных функций.
Результаты теории случайных функций использовались
рядом авторов для исследования напряженно-деформиро-
ванного состояния и концентрации напряжений пластин
с шероховатыми прямолинейными [48, 60, 61, 94] и криво-
линейными [36, 38, 62, 94, 103] границами (отверстиями).
В работе [37] найдены вероятностные характеристики пре-
дельных напряжений для пластины, ослабленной отверстием
со случайными неровностями и малыми трещинами, выхо-
дящими на его контур.
В данной главе исследуем влияние малых случайных от-
клонений трещины-разреза от прямолинейной формы на
статистические характеристики коэффициентов интенсив-
ности напряжений и предельных значений внешних уси-
лий [23].
1. Приведение задачи о трещине,
мало отклоняющейся от прямолинейной,
к задаче о прямолинейной трещине
Рассмотрим бесконечную изотропную пластину
с трещиной (разрезом) (рис. 58). Уравнение линии трещины
запишем в виде у = о (х) (| х | /)• Трещину будем счи-
тать близкой к прямолинейной по форме, допуская лишь
малые отклонения линии трещины от прямой у = 0, т. е.
будем считать 6 (х) и д' (х) = малыми величинами.
ах
16в
задачи являются равенства
Тед =0, у -> ± оо (IX. 1)
♦ ♦111111,11111111
Пусть берега трещины свободны от внешних нормальных
<т„и касательных напряжений, а в бесконечно удаленных
точках пластины приложены растягивающие напряже-
ния р, направленные вдоль оси у (рис. 58).
Граничными условиями
= р, 0Х = О,
(«плюс» соответствует верх-
нему краю трещины, «ми-
нус» — нижнему)
— а+ = о7 =
= cos2 0 + 0Х sin2 0 —
— 2тед sin 0 cos 0 = 0;
—xt = т7 =
= (0ff — 0X) sin 0 cos 0 +
+ rXy (cos2 0 — sin2 0) = 0
(IX.2)
при// = а(х), |x|<Z,
где 0 — угол, отсчитывае-
мый против часовой стрелки от оси у к внешней нормали п
верхнего или нижнего берега трещины.
Из рисунка видно, что 0 = л + а, (а — arctg для
верхнего края трещины и 0 = а для нижнего. На основании
нннйнннн
Рис, 58
этого имеем
cos 0 = 1 ; sin 0 = , .
/1 + (6'(*)12 /1 + [в'(*)]2
Поскольку по предположению 6 (х) и 6' (х) —
величины, то можно записать [60]
6 (х) = вД (х), | х | ^ /,
(IX.3)
малые
(IX.4)
где е — малый параметр.
Граничные условия (IX.2) с учетом формул (IX.3),
(IX.4) примут вид
<sg — 82тед + е2ож «= 0;
«(а, —<тж) 4-Тед[1 — = °’ У- вД
(IX.5)
167
Компоненты ах, <зи, %ху тензора напряжений представим
[60] в виде разложений в ряды по е,
ох = о* ’ во* *4- •••» о^ = о^4* * 4* * * • J (IX 6)
*ху = 4- 8Т$ +
Для подстановки выражений (IX.6) в граничные условия
(IX.5) необходимо знать функции Oj,0>, ау} и другие при
у = еД (х), которые найдем на основании разложений
в ряды Маклорена:
СТ%-еД s а%=0 + ®Д + ♦ • ’ С1*’7)
*7 ияв\}
Вследствие малости е по сравнению с единицей ограни-
чимся в разложениях (IX.6), (IX.7) членами до первого
порядка включительно относительно е. Подставляя разло-
жения (IX.6), (IX.7) в граничные условия (IX.5) и требуя
их выполнения для произвольных в, получаем
4’=0; „V> + 4-^._2lS^- = 0;
0 (IX.8)
W-0; тЩ+д-^SL—(а?>—<#>)-г£--о,
0 = 0, |х|</.
Чтобы граничные условия (IX. 1) с учетом разложения
(IX.6) выполнялись для произвольных в, необходимо удов-
летворить такие условия на бесконечности (при у ± оо
и произвольных х):
<^0) = р; (IX.9)
а«‘жваа> = т(П==Оф (IX.10)
Поскольку напряжения ах, хху должны удовлетворять
уравнениям теории упругости в напряжениях, то на осно-
вании разложений (IX.6) можно сделать вывод, что каждое
приближение удовлетворяет тем же уравнениям.
Таким образом, задача о трещине, мало отклоняющейся
от прямолинейной, сводится к задачам для прямолинейной
трещины с граничными условиями (IX.8) — (IX. 10).
168
Как видно из граничных условий (IX.8), (IX.9), нуле-
вое приближение находим из решения задачи для пластины
с прямолинейной трещиной, когда пластина растягивается
напряжениями р, приложенными в бесконечно удаленных
точках и направленными перпендикулярно к линии тре-
щины. Решение такой задачи приведено в работе [57].
В этом случае комплексные потенциалы имеют следующий
вид:
ф<г>-1(т?=?-4): а<ч=1(тзЬ-+-г)
(IX.11)
(г = хlim г 'Уг2 — Р = 1).
|г|«*о©
Напряжения ах, хХу представляются через комплекс-
ные потенциалы Ф (г), Q (?) такими выражениями [571:
аи-= Ф(г) 4-Q(I) + (z-z); (IX. 12)
а, + а9 = 2 [Ф (г) + Фф]. (IX. 13)
Из формул (IX.8) видно, что для вычисления значений
OjiUo» Тхмв-о должны быть известны величины ——,
Эт(0)
£ , их при г/= О, |х|</. На основании выражений
(IX. 11) — (IX. 13) и условия OuL.o =0 получаем
йо*0) (0)
-ЗГв-аГ = 0’ °*---------Р> (1ХЛ4>
Подставляя соотношения (IX. 14) в граничные условия
(IX.8), имеем
<4° = 0; = !/ = 0, |х|</. (IX. 15)
Выражения (IX. 10) и (IX. 15) показывают, что первое
приближение можно найти как решение задачи для пласти-
ны с прямолинейной трещиной, когда на ее берегах при-
ложены касательные напряжения согласно (IX. 15).
169
2. Коэффициенты интенсивности напряжений
и предельная нагрузка
для пластины с трещиной,
близкой к прямолинейной
При вычислении предельных значений внешних
нагрузок необходимо знать распределение напряжений
в окрестности вершин трещины. Из формул (1.51) видно,
что для этого должны быть известны коэффициенты интен-
сивности ki и k2 163], соответствующие симметричному и
антисимметричному распределению напряжений относи-
тельно трещины.
Коэффициенты и зависящие от приложенных к телу
нагрузок, формы тела и трещины, представим в виде разло-
жений в ряды по е:
= £<°> + еЛр + • ♦ • , = + еЛУ> + • •. (IX. 16)"
Величины и ^20> находятся из решения задачи для плас-
тины с прямолинейной трещиной, когда пластина растяги-
вается напряжениями р, направленными перпендикулярно
к линии трещины и приложенными на бесконечности [63]:
k^pVl, fe<2°> = 0. (IX. 17)
На основании граничных условий (IX.10), (IX.15) имеем
168]
6Г=°; (IX.18)
В этом выражении верхний знак соответствует правой вер-
шине трещины, нижний — левой.
Подставляя формулы (IX.17), (IX.18) в соотношения
(IX. 16), получаем
4,-^; = (IX-19)
Следовательно, малые отклонения линии трещины от
прямой приводят к появлению величины k2. На основании
известной функции 6 (х), описывающей линию трещины,
можно найти величину fe2.
170
Недавно другим методом найдено1 * более точное решение
задачи для трещин, мало отличающихся от прямолинейной
или дугообразной. Согласно этому решению для трещин,
близких к прямолинейным,
Ъ_____Р— СЛ 1/ zfy |
Ла~ л/7 J dx У 1^х +
—Л
+ -ф-[б'(±0- 6(0-б<-0 ]. (IX. 19а)
По известным коэффициентам интенсивности напряжений
klt k2 вычислим предельное значение приложенных напря-
жений/? = р#. На основании критерия Панасюка — Береж-
ницкого (1.54) — (1.55) уравнение для вычисления величины
р* имеет вид [631
^cos’-^-fl-S/nxtg-^-^-^-» (IX.20)
\ * / V я
где Ке — постоянная, характеризующая сопротивление ма-
териала разрушению;
P» = 2arctg 1~\^i+8W‘ » = (IX.21)
Подставляя в соотношение (IX.20) формулу (IX. 19) для
коэффициента klt получаем
Р* = -Д- cos"3 * А- Л _ з/их tg4")-1 • (IX. 22)
У nl * \ * /
В нашем случае величина /Их мала, и поэтому выраже-
ние (IX.21) преобразуется к простому виду
₽ф«-2/Пх. (IX.23)
Формулу (IX.22) с учетом соотношения (IX.23) запишем
/ „а \—з
----------±\ (l + 3/nt)"1. (IX.24)
у SU \ * ]
Упрощая, имеем
(1Х-25)
1 М. П. Саврук, Коэффициенты интенсивности напряжений для
криволинейной трещины, мало отличающейся от дугообразной или пря-
молинейной.— Физ.-хим. механика материалов, 1979, Xs 5, с.
36—41.
171
Для установления точности полученных приближенных
выражений проведены вычисления величин 0Ж, р* по фор-
мулам (IX.20), (IX.21), (IX.23) и (IX.25) для некоторых
малых значений тх. Результаты вычислений представлены
ниже, где приближенные значения имеют индекс вверху:
о,1 —0,1955 0,2 —0,3681 0,3 —0,5079 0,35 —0,5660 0,4 —0,6171
—0,2 —0.4 —0,6 —0,7 —0,8
р Р* Кс 0,9855 0,9467 0,8939 0,8653 0,8364
pi унт * Кс 0,9850 0,9400 0,8650 0,8162 0,7600
Для nti < 0,30 отклонение приближенных значений
предельных напряжений от точных не превышает 4%.
3. Статистические характеристики
предельной нагрузки
при случайной шероховатости
линии трещины
Пусть функция б (х), описывающая шерохова-
тую линию трещины, является стационарной случайной
функцией с нулевым средним значением (6 (х)) = 0 и из-
вестной дисперсией D [б (х)]. Тогда на основании выраже-
ний (1.44) — (1.45) имеем
б (х) = 2 (Ап cos -^х + Вп sin (IX.26)
л=0
где А„, Вп — некоррелированные случайные величины,
удовлетворяющие условиям
(Л„) = (В„) = 0, Д(Л„) = Д(ВП) = Д„. (IX.27)
Использовав выражения (IX. 19а), (IX.26), представим
формулу для коэффициента k2 в виде
172
+ -T~vT 2 2 П(~ 1)"В2я T S <2n+ l><- 0“Лгм-i -
1 л=1 /2=0 J
—TTfS(—o^+i, <IX-28>
где l0 (x), Ii (x) — функции Бесселя первого рода; верх-
ний знак относится к правой рершине трещины, нижний —
к левой.
При получении формулы (IX.28) учтены значения ин-
тегралов, вычисляемых с помощью таблиц, данных в ра-
боте [29]:
jcos-^-xjZ Y^ydx = 2Zjcos-y-/y==- =
о
, V (IX.29)
J £1 R I Т X
Определим среднее значение и дисперсию величины
kt, случайный характер которой — следствие случайности
функции б (х). На основании соотношений (IX.27), (IX.28)
имеем
лар8
Л> = 0. D(4.) у /г + й(-SL) ,
ТбГ"| S л2^2л + У, (2м 4- 1)2^2л-м +
L Л«в1 л*=0
02 оо
+ 4-S^+I.
л=0
(IX.30)
Для дальнейших вычислений зададим последовательность
чисел Dn в виде [94]
И =1,2,3............. 0<g< 1. (IX.31)
12 102
173
Принимаем во внимание также следующее соотношение [29]:
/о(х) + /?(х)«4-, х»0.
Тогда выражение (IX.30) для дисперсии величины k2 при-
мет вид
ngn + -^-H1 g n*g”+
п=1
_g___
g)1
fflg
п=1
+4-"* s
л=0 v
Я»/>« „ g(l+g) , _£1_ H1S /IV АСЦ
+ 16/ П1 (l-g)S + 41 1-g» • (1л.д2)
Чтобы придать формуле (IX.32) более наглядный вид,
выразим Ни g через вероятностные характеристики функ-
ции б (х). Считая 6 (х) случайной функцией с нормальным
распределением, имеем для математического ожидания
среднего числа пересечений этой функцией оси х на проме-
жутке (— /, /) такую формулу [94]:
и —
(IX.34)
- (IX.33)
Корреляционную функцию К (х) случайной функции б (х)
представим в виде разложения (1.47)
К (ж)- £ D„cos-^-x, |х|<2/.
На основании выражений (IX.31), (IX.34) имеем
К(0)= sz>n = ^sg" = -r^-;
д=0 л==0 й
л==1
п*Я1 g (1 + g)
(IX.35)
Г(0) =
“ 4Р %П8 4/» (1 — g)3 *
Подставляя соотношения (IX.35) в формулу (IX.33), полу-
чаем
и
(IX.36)
174
Отсюда
8 ~ 2 (и« — 1) ’ (1Л.37)
Тогда выражение (IX.32) примет вид
D (*,) = -£- Re (/&?+!-I) +
1 Я’р8 /Йи» I ₽* р2 2«»+1—У8«8+1 /ту ЧО'
+пег №+-4гЬ i ^«+7 ♦ (1Х,38)
где Re — среднее квадратическое отклонение случайной
функции 6 (х), Re — VD 16 (x)J.
Случайный характер величины k2 определяет случай-
ность предельных напряжений р#. Выражение (IX.25)
показывает, чтэ для вычисления среднего значения пре-
дельных усилий должна быть известна величина (kl). Ее
определяем по формуле [15]
(kl) = D(k9) + (kz)\ (IX.39)
Используя выражения (IX. 19а), (IX.25), (IX.30),
(IX.38), (IX.39), получаем
<"•> - -йф - т4(’/^+т-*+
+4-и.+ 2..+ 1-/д+7\1
4 4И«_1__/8и»+ 1 yj '
Для реальных трещин можно считать, что и — большое
число. Тогда выражение (IX.40) примет вид
[—9
Отсюда следует, что малые случайные отклонения контура
трещины от прямолинейности уменьшают среднее значение
предельных напряжений по сравнению с прямолинейной
трещиной, для которой р* = -£=?.
у 3ll
Вычислим дисперсию предельных напряжений на осно-
вании выражения (IX.25). Для этого должна быть известна
величина D ($), которую можно вычислить в предположе-
нии, что случайные величины Ап, Вп в разложении (IX.26)
имеют нормальное распределение. Вследствие этого коэф-
12*
175
фициент Ла, вычисляемый по формуле (IX.28), также имеет
нормальный закон распределения [15], как и линейная
функция величин Ап, Плотность распределения коэффи-
циента интенсивности напряжений kt имеет вид (1.26)
1 / k2 \
f(kj = -^w{-------a2 = D(kJ. (IX.42)
Тогда случайная величина v = kl подчиняется гамма-рас-
пределению, плотность которого запишется так [911:
ф(0 = 77в~ех₽(~'2Н' <1Х-43)
Для такого распределения дисперсия вычисляется по фор-
муле [28]
D (v) = 2о* = 2D8 (kJ. (IX.44)
Используя последнее соотношение, а также выражения
(IX. 19а), (IX.25), (IX.38), при больших и имеем
O(pt)»4-^-(4-j4(4-u8 + 2/2a). (IX.45)
На основании выражений (1.13), (IX.41), (IX.45) полу-
чаем формулу для коэффициента вариации предельной
нагрузки пластины
("Г") (Jru2 + 2l/2M) X
х[1—г('Т_)8('4’“’ + 2|/Г2ы)Г1- (1ХЛ6>
Выражения (IX.41), (IX.46) показывают, что при воз-
растании длины трещины или уменьшении среднего квадра-
тичного отклонения высоты неровностей ее поверхности,
а также при уменьшении числа и среднее значение случай-
ной предельной нагрузки приближается к величине пре-
дельных напряжений для пластины с прямолинейной тре-
щиной, а коэффициент вариации при этом стремится к нулю.]
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров А. П„ Журков С. Н. Явление хрупкого разрыва.—
^М. : Тостехиздат, 1933.—52 с.
(2J Афанасьев И. Н, Статистическая теория усталостной прочности ме-
таллов.— Киев : Изд-во АН УССР, 1953.— 123 с,
3. Бережницкий Л. Т., Громяк Р. С., Трут И, И, О построении диа-
грамм локального разрушения для хрупких тел с остроконечными
жесткими включениями»— Физ.-хим. механика материалов, 1975,
Ks 5, с. 40—47.
4. Бережницкий Л. Панасюк В. В., Труш И. И. О локальном
разрушении хрупкого тела с остроконечными жесткими включе-
ниями.—Пробл. прочности, 1973, (№ 10, с. 8—11.
5. Бессонов В. Г., Коноваленко В. В. Масштабный фактор и его влияние
на прочностные свойства конструкционных материалов (обзор).—
В кн.: Механическое подобие конструкций из армированного мате-
риала. Киев : Наук, думка, 1970, с. 61—66.
' 6. Биргер И, А. Применение теории случайных процессов для описа-
ния разрушения,— В кн.: Прочность материалов и конструкций.
Киев : Наук, думка, 1975, с. 297 — 314.
7. Богачев И. Н., Вайнштейн А. А., Волков С, Д. Введение в статисти-
гх ческое металловедение,— М.: Металлургия, 1972.— 216 с.
( Ю Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике.—
' М. : Стройиздат, 1961.—202 с.
9. Болотин В. В. Некоторые вопросы теории хрупкого разрушения,—
Расчеты на прочность, 1962, вып. 8, с. 36—52.
10. Болотин В. В. Обзор исследований по статистической динамике
упругих систем.— Расчеты на прочность, 1964, вып. 10.
11. Болотин В, В. Теория армированной слоистой среды со случайны-
ми начальными неправильностями.— Механика полимеров, 1966,
№ 1, с. 11—19.
12. Болотин В. В. Применение методов теории вероятностей и теории
надежности в расчетах сооружений.—М. : Стройиздат, 1971.—
255 с.
13. Болотин В. В., Гольденблат И. М., Смирнов А. Ф. Современные
проблемы строительной механики.— М. : Стройиздат, 1964.
14. Вейбулл В. Усталостные испытания и анализ их результатов.—
М. : Машиностроение, 1964.— 275 с,
15, Вентцель Е, С, Теория вероятностей,— М,: Наука, 1969,— 576 с.
177
{1^'Витвицкий П. At. Прочность микр©неоднородных хрупких тел со
статистическим распределением дефектов типа трещин.— Физ.-хим.
^механика материалов, 1968, ^s 4, с. 413—419.
Витвицкий П. At. Предельное равновесие хрупких пластин со ста-
тистическим распределением дефектов типа трещин.— Физ.-хим.
механика материалов, 1970, № 5, с. 52—58.
18. Витвицкий П. At. Прочность хрупких пластин со стохастическим
распределением дефектов-трещин.— Пробл. прочности, 1971, №4,
с. 13—17.
19. Витвицкий П.М. Вероятность разрушения и критерии прочности
пластинчатых конструкционных элементов со случайным распреде-
лением поверхностных дефектов.— В кн.: Качество, прочность, на-
дежность и технологичность электровакуумных приборов. Киев :
Наук, думка, 1976, с. 134—140.
20. Витвицкий П. М., Полина С. Ю. Влияние технологической вытяж-
ки на предельные напряжения стохастически дефектных пластин.—
Физ.-хим. механика материалов,' 1975, № 2, с. 43—48.
21. Витвицкий П. М., Полина С. Ю. Вероятностный расчет предельного
состояния дефектного материала с приобретенной при обработке
прочностной анизотропией,— Пробл. прочности, 1976, № 9,
с. 31—35.
22. Витвицкий П. At,, Полина С. Ю. Прочность хрупких пластин со
стохастическим распределением жестких стержневых включений.—
Физ.-хим. механика материалов, 1976, № 6, с. 85—90.
23. Витвицкий П. №., Полина С. Ю. О разрушении пластины с тре-
щиной случайной формы, близкой к прямолинейной. — Докл.
АН УССР. Сер. А, 1976, ^9 6, с. 509-513.
24. Витвицкий П. At., Полина С. Ю. Вероятностный расчет прочности
дефектных пластин при растяжении-сжатии с учетом трения берегов
©трещин,— Пробл. прочности, 1977, № 12, с. 14—17.
Волков С. Д. Статистическая теория прочности.— Москва; Сверд-
ловск : Машгиз, I960.— 176 с.
26. Ворович И. И. Некоторые вопросы использования статистических
методов в теории устойчивости пластин и оболочек.— В кн.: Тр. IV
Всесоюз. конф, по теории оболочек и пластин. Ереван, 1964.
27. Гнеденко Ё. В. Курс теории вероятностей.— М. : Физматгиз,
X 1961.—406 с.
(28 / Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К», Соловьев А. Д. Математические методы
в теории надежности.— М. : Наука, 1965.— 524 с.
29. Градиипейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, ря-
дов и произведений.— М. : Наука, 1971.— 1108 с.
30, Громов Г. В. Масштабный эффект и статическая прочность материа-
лов при одноосном нагружении,— В кн.: Вопросы надежности, дол-
. говечности и восстановления авиационной техники. Рига, 1975,
вып. 2, с. 78—85.
31. ДавиденковН. Ставрогин А. Н. О критерии прочности при хруп-
ком разрушении и плоском напряженном состоянии.— Из в.
АН СССР. ОТН, 1954, № 8, с. 101—109.
32. Екимов В. В. Вероятностные методы в строительной механике ко-
рабля.— Л. : Судостроение, 1966.
33. Екобори Т. Научные основы прочности и разрушения материалов.—
Киев : Наук, думка, 1978.— 352.
34. Дазакявичюс К. А. К определению параметров распределения проч-
ности хрупких материалов при тепловом и механическом разруше-
178
нии,— В кн.: Сопротивление материалов : Материалы XXII
Респ. науч.-техн. конф. Каунас, 1972, с. 134—137.
35. Калягин М. Ф., Волков С. Д. К теории хрупкого повреждения ком-
позитов с изотропными компонентами,— Пробл. прочности, 1974,
№ 1, с. 27—31.
36. Каминский А. А. Концентрация напряжений возле свободных и
подкрепленных криволинейных отверстий со случайными неров-
ностями.— Прикл. механика, 1970, 9, № 9, с. 66—72.
37. Каминский А. А. Разрушение хрупких тел со случайными неров-
ностями поверхности.— Прикл. механика, 1972, 8, Х2 8, с. 82—89.
38. Каминский А. А. Определение концентрации напряжений при двух-
осном растяжении пластины, ослабленной отверстием случайной
формы.— Прикл. механика, 1973, 9, Х2 6, с. 109—112.
39. Кит Г. С. О влиянии однородного теплового потока на предельную
нагрузку для пластины с трещиной. — Физ,-хим. механика мате-
риалов, 1969, № 1, с. 114—115.
40. Когаев В. П. Расчеты на прочность при напряжениях переменных
х^ чво времени.— М. : Машиностроение, 1977. — 232 с.
(^УКонторова Т. А,, Тимошенко О. А. Обобщение статистической тео-
рии прочности на случай неоднородно-напряженного состояния.—
©Журн. техн, физики, 1949, 19, № 3, с. 355—370.
Конторова Г. А., Френкель Д. И. Статистическая теория хрупкой
прочности реальных кристаллов.— Журн. техн, физики, 1941,
11, № 3, с. 173—181.
43. Кордонский X. Б., Дышлер И. Е>, Громов Г. В. Вероятностное
обоснование норм прочности.— В кн.: Прочность материалов и
конструкций. Киев : Наук, думка, 1975, с. 208—222.
(44) Косычин Р. С., Романов О. Н. О несущей способности высокопроч-
ных материалов после обработки, сопровождающейся образованием
направленной структуры дефектов.— Физика и химия обраб. ма-
териалов, 1970, Х2 5, с. 69—76.
(45уЛебедев Л. А. Критерий прочности структурно-неоднородных ма-
териалов,— Пробл. прочности, 1969, Хе 1, с. 57—60.
(46^)Лебедев Л. Л. О критериях прочности конструкционных материалов
при сложном напряженном состоянии в условиях низких темпера-
тур,— В кн.: Прочность материалов и конструкций. Киев : Наук,
думка, 1975, с. 222—231.
47. Лебедев Л. Л., Лошак М. Г., Фридман В. М., Алфитов IL Г. Влия-
ние масштабного фактора на прочность материалов в условиях слож-
ного напряженного состояния,— Пробл. прочности, 1977, Хе 2,
48. Ломакин В. Л. Статистические задачи механики твердых деформи-
руемых тел. — М. : Наука, 1970.— 139 с.
49. Ломакин В. Л. Статистические задачи теории упругости.— В кн.:
Прочность и пластичность. М. : Наука, 1971.
50. Ломакин В. А., Тунгу скова 3. Г. Статистические методы в механике
полимеров (состояние и перспективы).— Механика полимеров,
1977, Хе 3, с. 422—425.
51. Ломакин В. А., Шейнин В. И. Концентрация напряжений на гра-
нице случайно-неоднородного упругого тела.— Изв. АН СССР.
Механика твердого тела, 1974, Хй 2, с. 65—70.
52. Маслов Б. П., Хорошун Л. П. Эффективные характеристики упру-
гих, физически нелинейных, неоднородных сред,— Изв. АН СССР.
Механика твердого тела, 1977, № 2, с. 149—153.
179
53 / Мелькай В. И., Шур Д. M.t Егоров В. С., Васильев В. А. Прочность
хрупких материалов при сложном напряженном состоянии,— Изв.
вузов. Машиностроение, 1970, Хй 2, с. 9—14.
54. Микляев П. Г., Фридман Я. Б. Анизотропия механических свойств
материалов.— М. : Металлургия, 1969.— 267 с.
55. Москаленко В. Н.» Харионовский В. В. К оценке надежности эле-
ментов конструкций при усталостном разрушении,— Пробл. проч-
ности, 1977, Хе 6, с. 15—18.
56. Моссаковский В. И., Рыбка М. Т. Попытка построения теории проч-
ности для хрупких материалов, основанной на энергетических сооб-
ражениях Гриффитса.— Прикл. математика и механика, 1965, 29,
№2, с. 291—296.
57. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической
теории упругости.— М. : Наука, 1966.— 707 с.
58, Павлов IL А., Никулина Н. Е. Критерии предельного сопротивления
хрупкого материала с исходной трещиной при плоском напряжен-
ном состоянии.— Тр./Ленингр. политехи, ин-т, 1973, Хй 334, с. 12—17.
59. Павлов П. А., Никулина Н. Е. Экспериментальная проверка кри-
терия предельного равновесия трещины или узкой щели, располо-
женной в поле плоского напряженного состояния.— Пробл. проч-
ности, 1976, Хй 9, с. 36—39.
60, Пальмов В. А, Концентрация напряжений около шероховатой гра-
, ницы упругого тела.— Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машино-
строение, 1963, Хй 3, с. 104—108.
61. Пальмов В. А. Напряженное состояние вблизи шероховатой поверх-
ности упругих тел.— Прикл. математика и механика, 1963,
Хй 5, с. 963—969.
62. Пальмов В, А. Упругая плоскость с отверстием случайной формы.—
Тр. / Ленингр. политехи, ин-т, 1964, Хй 235, с. 35—40.
63. Панасюк В, В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами.—
Киев : Наук, думка, 1968.— 246 с.
64. Панасюк В. В., Андрейкив А. Е.» Ковчик С. Е. Методы оценки тре-
щиностойкости конструкционных материалов.— Киев : Наук, дум-
ка, 1977.— 278 с.
65. Панасюк В. В,, Бережницкий Л, Т. Определение предельных уси-
лий при растяжении пластины с дугообразной трещиной,— Вопр.
механики реал, твердого тела, 1964, вып. 3, с. 3—19.
66. Панасюк В. В., БережницкийЛ. Т.» Ковчик С. Б. О развитии произ-
вольно ориентированной прямолинейной трещины при растяжении
пластины,— Прикл. механика, 1965, 1, Хй 2, с. 48—55.
67. Панасюк В, В., Бережницкий Л. Т.> Трут И. И. Распределение
напряжений около дефектов типа жестких остроугольных включе-
ний.— Пробл. прочности, 1972, Хй 7, с. 3—9.
68. Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышин А. П. Распределение на-
пряжений около трещин в пластинах и оболочках.— Киев : Наук,
думка, 1976.— 443 с.
69. Партон В. 3,, Морозов Е. М. Механика упруго-пластического раз-
рушения.— М. : Наука, 1974.— 416 с.
70. Переверзев Е. С. Учет неравномерности распределения микронапря-
жений в задачах долговечности.— Физ.-хим. механика материа-
лов, 1975, Хй 6, с. 104—105.
<7j). Писаренко Г. С., Лебедев А. А. Деформирование и прочность ма-
териалов при сложном напряженном состоянии,— Киев : Наук,
думка, 1976.— 415 с.
180
72. ) Писаренко Г. С., Трощенко В. Т, Статистичж теорн мщност! та
1х застосування до металокерам!чних матер1ал!в.— К. : Вид-во
АН УРСР, 1961.— 106 с.
73. Попина С. Ю. О вероятностных характеристиках предельных на-
пряжений хрупких пластин с большим числом трещин при сложном
напряженном состоянии. — Физ.-хим. механика материалов, 1977,
№ 2, с. 47—51.
74. Попина С. Ю. Прочность хрупких пластин со статистическим рас-
пределением трещин при ненулевом значении порогового напряже-
ния.— В кн.: Материалы VIII конф, молодых ученых Физ.-мех.
ин-та АН УССР. Секция физико-химической механики материалов,
Львов, 1977, с. 42—45. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 16.03.78,
№ 896—78 Деп.
75. Протодьяконов М. М., Чирков С. Е, Трещиноватость и прочность
горных пород в массиве.— М. : Наука, 1964.— 67 с.
76. Прочность стекла.— М. : Мир, 1969.— 338 с.
77. Разрушение.— М. : Мир, 1975.— Т. 2. 763 с.
78. Регель В. Р,, Слуцкер А. И., Томашевский Э, Е. Кинетическая при-
рода прочности твердых тел.— М. : Наука, 1974. 560 с.
79. Ржаницын А. Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств
материалов.— М. : Стройиздат, 1954.
80. Седракян Л. Г. К статистической теории прочности.— Ереван,
1958.- 104 с.
81. Сервисен С. В., Когаев В. П. Руководство по расчету на усталость
деталей машин (в вероятностном аспекте).— М., 1972.
82. Сервисен С. В., Стреляев В. С. Статистические закономерности раз-
рушения и вероятностная оценка статической прочности конструк-
тивных элементов из полимерных композиционных материалов,—
Механика полимеров, 1972, № 3, с. 466—482.
83. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероятнос-
тей и математической статистики для технических приложений.—
М. : Наука, 1965.— 512 с.
84. Стрелецкий Н. С. Основы статистического учета коэффициента
запаса прочности сооружений.— М. : Стройиздат, 1947.
85. Стреляев В. С. Статистические закономерности разрушения стекло-
пластиков.— В кн.: Прочность материалов и конструкций. Киев :
Наук, думка, 1975, с. 314—323.
86. Физическое металловедение / Под ред. Р. Кана.— М. : Мир, 1968.—
г'лВып. 3. 484 с.
87^Фрейденталь А. М. Статистический подход к хрупкому разруше-
нию.— В кн.: Разрушение. М. : Мир, 1975, т. 2, с. 616—645.
88. Фридман А. М., АнуфриевЮ. П, О влиянии вида напряженного со-
стояния на интенсивность масштабного эффекта и распределение
прочности графита.—Пробл. прочности, 1975, № 8, с. 77—81.
89. Фридман А. М., Ануфриев Ю. П., Барабанов В. Н. Исследование
разрушения углеграфитовых материалов в условиях сложно-напря-
женного состояния.— Пробл. прочности, 1973, № 1, с. 52—55.
90. Фридман Я. Б. Механические свойства металлов.— М. : Машино-
строение, 1974.— Ч. 1. 472 с.
91. Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. —
М. : Мир, 1969. — 395 с.
92. Хорошун Л. П. К теории изотропного деформирования упругих
тел со случайными неоднородностями.— Прикл. механика, 1967,
8, № 9, с. 12—19.
181
93, Хорошун Л, П. Методы теории случайных функций в задачах о
макроскопических свойствах микронеоднородных сред.— Прикл.
механика, 1978, 14, № 2, с. 3—17.
94, Хусу А. П., Витенберг Ю. Р., Пальмов В. А. Шероховатость по-
верхностей (теоретико-вероятностный подход).—М.: Наука, 1975.—
343 с.
95. Черепанов Г. П. Одна задача о вдавливании индентора с образова-
нием трещин. — Прикл. математика и механика, 1963, 27, № 1,
с. 150—153.
96. Черепанов Г, П. О развитии трещин в сжатых телах.— Прикл.
математика и механика, 1966, 30, № 1, с. 82—93.
97. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения.— М. : Наука,
1974.— 640 с.
/98 > Чечулин Б. Б. Масштабный фактор и статистическая природа проч-
ности металлов.— М. : Металлургия, 1963.— 120 с.
99. Чирков С. Е. Влияние масштабного фактора на прочность углей.—
М. : Наука, 1969.— 114 с.
100. Чудновский А. И, Энтропийный критерий в задачах длительной
прочности.— Исслед. по упругости и пластичности, 1973, вып. 9,
с. 3-41.
101. Швец Р, Н., ЕлейкоВ. И. Стохастическая задача теплопроводности
и термоупругости для деформируемого тела с шероховатой поверх-
ностью.—Докл. АН УССР. Сер. А, 1977, ^2 11, с. 1Q20— 1023.
102. Шевандин Е. М.» Маневич Ш. С. Эффект масштаба при хрупком
разрушении стали.— Журн. техн, физики, 1946,16, №11, с. 1223—
1234.
103. Шейнин В. И. Распределение напряжений в окрестности горных
выработок с учетом неровностей контура,— Основания, фунда-
х менты и механика грунтов, 1965, № 4, с. 21—23.
Л^АШур Д. М> Статистический критерий опасности разрушения ма-
" териалов при сложном напряженном состоянии.— Машиноведе-
/z-ч ние, 1971, № 1, с. 51—58.
005/ Шур Д. М. Статистический критерий прочности и пластичности
материалов в условиях сложного напряженного состояния.—
Пробл. прочности, 1972, № 7, с. 15—21.
106. Эрдоган С. И, О развитии трещин в пластинках под действием
продольной и поперечной нагрузок,— Техн, механика. D, 1964,
№ 4, с. 49—59. Пер. тр. Амер, о-ва инж.-мех.
107., Awaji Н.> Sato S. A statistical theory for the fracture of brittle
'solids under multiaxial stresses.—Int. J. Fract., 1978, 14, N 1,
- p. R13-R16.
408/ Batdorf S. B. A statistical theory for failure of brittle materials
Xx under combined stresses.—AIAA Paper, 1973, N 381, p. 1—5.
U09.J Batdorf S. B. Fracture statistics of brittle materials with intergra-
/‘-Anular cracks.— Nucl. Eng. and Des., 1975, 35, N 3, p. 349—360.
WlbJBatdorf S. B. Some approximate treatments of fracture statistics for
X" polyaxial tension.— Int. J. Fract., 1977, 13, N 1, p. 5—11.
T11) Batdorf S. B., Crose J. 6. A statistical theory for the fracture of brittle
structures subjected to nonuniform polyaxial stresses.— Trans.
ASME, E, 1974, 41, N 2, p. 459—464.
112. Batdorf S. В.» Heinish H. L. Fracture statistics of brittle materials
with surface cracks.— Eng. Fract. Meeh., 1978, 10, N 4, p. 831—841.
113. Broutman L.> Cornich R. Effect of polyaxial stress states on failure
strength of alumina ceramics.— J. Amer. Ceram. Soc., 1965,48, N 10.
182
U1JJ Epstein В. Application of theory of extreme values in fracture prob-
, -Jems.— Amer. Stat. Assoc. J., 1948, 13, N 9, p. 403—412.
\115л/Fisher J. C,t Hollomon J. M. A statistical theory of fracture,— Metals
Technol., 1947, 14, N 5, p. 1—16.
116. Freudental А. М.» Gumbel E, F. Physical and statistical aspects of
fatigue.—Adv. Appl. Meeh., 1956, 4, p. 117—168.
117. Crandall S. Н.» Marc W. D. Random vibration in mechanical sys-
tems.— New York : Acad, press, 1963.
118. Griffith A. A. The fenomenon of rupture and flow in solids.— Phil.
Trans. Roy. Soc. London, A, 1920, 221, p. 163—198.
(119/ Jayatilaka A. de S., Trustrum K. Statistical approach to brittle
ZT fracture.—J. Mater. Sci., 1977, 12, N 7, p. 1426—1430.
Q120; Jayatilaka A. de S., Trustrum K. Application of a statistical method
to brittle fracture in biaxial loading systems.— J. Mater. Sci., 1977,
12, N 10, p. 2043—2048.
121. Kate Hadley. Comparison of calculated and observed crack densities
and seismic velocities in Westerly granite.— J. Geophys. Res.,
1976, 81, N 20, p. 3484-3494.
(122.jLundbord N. A statistical theory of the polyaxial strength of materi-
als.— In: Proc. 2nd Int. Conf. Meeh. Behav, Mater. Boston, 1976,
®vol. 1, p. 1098—1102.
Maier M. Die Sicherheit der Bauwerke und ihre Berechnung nach
Grenzkraften anstatt nach zulassigen Spannungen.— Berlin : Sprin-
ger-Verl., 1926.
124. Me Clintock Frank A. Statistics of brittle fracture.— Fract. Meeh.
Ceram., 1974, 1, p. 93—114.
/125) Mechanics of fracture / Ed. G. C. Sih,— Nordoff: Int, Publ. Leugen,
4 < 1973.—Vol. 1.
(x15q) Oh к. P- Ltt Vardar 0., Finnic I. Failure of brittle solids under
biaxial stresses.— Int. J. Fract., 1973, 9/ N 3, p. 372—375.
127. Sobczyk K. Metody dynamiki statystyeznej,— Warszawa : Pafistw.
wydawn. nauk., 1973.
Ц2.8? Vorlitek M. Stochasticke pojeti pevnosti.— Stavebn, das., 1975,
. N 5, s. 319—336.
—<129? Vorlicek M. PouSiti stochastickeho pojeti pevnosti.— Stavebn.
das., 1975, N 6, s. 376—394.
(130/ Weibull IF. A. A statistical theory of the strength of materials,—
Proc. Roy. Swed. Inst, Eng. Res,, 1939, N 151, p, 5—45,
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора . ...................................... 3
Предисловие ........................................... 5
Глава I
ДЕТЕРМИНИСТИЧЕСКИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ
АСПЕКТЫ В ТЕОРИЯХ ПРОЧНОСТЕЙ ХРУПКОГО
РАЗРУШЕНИЯ .................................. 9
1. Элементы теории вероятностей .............. 11
2. Некоторые сведения из механики разрушения тел с де-
фектами типа трещин........................... 23
3. Статистические подходы в теориях прочности и хруп-
кого разрушения .............................. 34
Глава 11
СХЕМА РАСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТИ И КРИТЕРИЕВ
РАЗРУШЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИ {ДЕФЕКТНЫХ
ХРУПКИХ ТЕЛ................................... 56
1. Модель стохастически дефектного материала..... 56
2. Вероятность разрушения тела при заданном нагружении 61
3. Статистические характеристики разрушающих нагрузок
и критерии разрушения при сложном напряженном со-
стоянии ................,........................ 67
4. Схема определения вероятностных характеристик раз-
рушения пластин ............................... 70
184
Гл а в а III
ВЕРОЯТНОСТЬ И КРИТЕРИИ РАЗРУШЕНИЯ ПРИ
ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ ПЛАСТИН
СО СЛУЧАЙНЫМИ ТРЕЩИНАМИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ
ДЛИНЫ........................................ 75
1. Распределение прочности и вероятность разрушения
пластин ....................................... 76
2. Вероятностные характеристики разрушающих напря-
жений ......................................... 81
3. Кривые вероятностных критериев разрушения пластин 86
Глава IV
ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИН, АРМИРО-
ВАННЫХ СЛУЧАЙНЫМИ ЖЕСТКИМИ ЛИНЕЙНЫ-
МИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ............................... 90
1. Функция распределения предельных напряжений . • . 91
2. Диаграммы статистических критериев предельного со-
стояния пластин............................... 94
Г л а в а V
КРИТЕРИИ РАЗРУШЕНИЯ ПЛАСТИН СО СТОХАС-
ТИЧЕСКИ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ТРЕЩИНАМИ ОГ-
РАНИЧЕННОЙ ДЛИНЫ................................ 98
1, Общие формулы для функции распределения предельных
напряжений ...................................... 99
2. Критерий разрушения пластин при равномерном распре-
делении длин трещин...............................106
3. Критерий разрушения пластин при линейно убывающем
распределении длин трещин ........................НО
4. Вероятность и критерии разрушения пластин при учете <
внутреннего трения берегов трещин.................115
5, Вероятностные характеристики прочности пластин с
большим числом трещин ............................119
Глава VI
ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ПРОЧ-
НОСТИ ПЛАСТИН СО СЛУЧАЙНЫМИ ПОВЕРХ-
НОСТНЫМИ ТРЕЩИНАМИ...........................129
1. Вероятность разрушения ................ . * 130
2. Кривые критерия предельного состояния пластин , . . 135
185
Глава VII
ВЛИЯНИЕ ТЕКСТУРЫ СЛУЧАЙНОЙ ДЕФЕКТНОС-
ТИ НА ПРОЧНОСТЬ И КРИТЕРИИ РАЗРУШЕНИЯ
ПЛАСТИН.......................................140
1. Структурная анизотропия материала, возникающая при
технологической вытяжке..........................141
2. Функция распределения предельных напряжений и ве-
роятность разрушения пластин с вытяжкой..........145
3, Кривые предельного состояния пластин с направленной
структурой дефектов..............................154
Глава VIII
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРЕ-
ДЕЛЬНОГО ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ДЛЯ ПЛАСТИН
СО СЛУЧАЙНОЙ СИСТЕМОЙ ТРЕЩИН................157
1. Вероятностное распределение величины предельного теп-
лового потока...............................157
2. Статистические характеристики предельного теплового
потока при большом числе трещин.............160
Г л а в а IX ч
. ВЛИЯНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ
ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ФОРМЫ ТРЕЩИНЫ НА РАЗРУ-
ШАЮЩУЮ НАГРУЗКУ ...............................166
1. Приведение задачи о трещине, мало отклоняющейся от
прямолинейной, к задаче о прямолинейной трещине • « • 166
2. Коэффициенты интенсивности напряжений и предельная
нагрузка для пластины с трещиной, близкой к прямоли-
нейной ..........................................170
3. Статистические характеристики предельной нагрузки при
случайной шероховатости линии трещины............172
Список литературы .....................................177
Петр Михайлович Витвицкий
Степан Юрьевич Полина
ПРОЧНОСТЬ И КРИТЕРИИ
ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
СТОХАСТИЧЕСКИ
ДЕФЕКТНЫХ ТЕЛ
Утверждено к печати ученым советом
Физико-механического института АН УССР
Редактор Н. И. СУХОМЛИНСКАЯ
Редактор-библиограф Н. Р. МИХНЕВА
Оформление художника В. М. ФЛАКСА
Художественный редактор И. В. КОЗИЙ
Технический редактор С. Г. МАКСИМОВА
Корректор Т. Я. ЧОРНАЯ
Информ, бланк № 3307
Сдано в набор 14.01.80. Подп. в печ. 18.06.80. БФ 00571.
Формат 84Х108/и. Бумага типогр. Кв 3.
Лит. гарн. Выс. печ. Усл. печ. л. 9,87.
Уч.-изд. л. 9#31. Тираж 1350 экз. Зак. 102.
Цена 1 руб. 40 коп.
Издательство <Наукова думка». 252601, Киев, ГСП,
Репина, 3.
Отпечатано с матриц Головного предприятия рес-
публиканского производственного объединения
«Полиграфкнига» Госкомиздата УССР, г. Киев,
Довженко, 3 в областной книжной типографии
Львовского облполиграфиздата, Львов. Стефа-
ника, 11. Зак. 3565.