/
Автор: Владимиров Д.А.
Теги: анализ математика алгебра естественные науки точные науки булева алгебра
Год: 1969
Текст
Д. А. ВЛАДИМИРОВ
БУЛЕВЫ
АЛГЕБРЫ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1969
517.2
В 57
УДК 517.1
Булевы алгебры. Владимиров Д. А.
Первые две главы книги образуют элементарное
введение в теорию булевых алгебр; здесь приводятся
основные факты этой теории, дается обзор ее важней-
важнейших приложений. Последующие главы в основном по-
посвящены полным булевым алгебрам, в первую очередь
алгебрам с мерой, особенно важным для теории вероят-
вероятностей и функционального анализа. Многие приводи-
приводимые в книге результаты в монографическом изложении
публикуются впервые.
Книга рассчитана на студентов, аспирантов и науч-
научных работников, специализирующихся в различных
областях математики (алгебра, функциональный ана-
анализ, теория меры, теория вероятностей). Она может
служить пособием при первоначальном изучении тео-
теории булевых алгебр; для ее понимания достаточно зна-
знакомства с элементами алгебры, теории меры и общей
топологии. Страниц 320. Таблиц 2. Иллюстраций 4.
2-2-3
titt-60
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Введение 7
Глава I. Первоначальные сведения о булевых алгебрах . . 10
§ 1. Структуры Ш
§ 2. Булевы алгебры 19
§ 3. Реализация булевой алгебры в виде алгебры мно-
множеств 39
§ 4. Компоненты и дизъюнктные разложения 46
§ 5. Булева алгебра компонент 51
§ 6. Аддитивные функции на булевых алгебрах. Меры;
связь с теорией вероятностей 55
§ 7. Автоморфизмы и инвариантные меры 61
Глава II. Основной аппарат 65
§ 1. Подалгебры, образующие 65
§ 2. Булева алгебра как алгебраическая система .... 75
Глава III. Полные булевы алгебры. Топологии 106
§ 1. Полные алгебры 106
§ 2. Принцип исчерпывания и теорема о нормальных
ядрах 111
§ 3. Направленные множества и обобщенные последова-
последовательности 119
§ 4. Различные топологии в булевых алгебрах 123
§ 5. Построение полных булевых алгебр 147
Глава IV. Непрерывные функции и отображения 157
§ 1. Важнейшие классы непрерывных отображений ... 157
§2. Теорема Лебега — Каратеодори 162
§ 3. Продолжение гомоморфизмов 169
Глава V. Векторные структуры и спектральные функции . . 179
§ 1. /(-пространства и связанные с ними булевы алгебры 179
§ 2. Спектральные семейства и разложения единицы.
Спектральные меры 18S
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Интеграл по спектральной мере. Теорема Фрейден-
таля. Пространство &>х как совокупность разложений
единицы 194
§ 4. Сходимость и топология порядка в /("-пространствах 197
§ 5. Важнейшие примеры 199
Глава VI. Нормированные и регулярные алгебры 203
§ 1. Нормированные алгебры 203
§ 2. Подалгебры нормированной булевой алгебры .... 208
§ 3. Вполне аддитивные функции и разложения единицы
нормированной алгебры 212
§ 4. Регулярные булевы алгебры 222
§ 5. Продолжение гомоморфизма со значениями в регу-
регулярной алгебре 228
Глава VII. Строение полных булевых алгебр 239
§ 1. Основные теоремы 239
§ 2. Классификация нормированных алгебр 270
Глава VIII. Группы автоморфизмов и инвариантные меры 278
§ 1. Необходимые условия существования инвариантной
меры 280
§ 2. Существование инвариантной меры на вполне одно-
однородной алгебре. Условия нормируемости 287
§ 3. Теоремы об инвариантной мере для нормируемых
алгебр 297
Приложение. Некоторые сведения из теории множеств и
общей топологии 301
Литература 308
Предметный указатель 314
Указатель основных обозначений * 317
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга преследует двоякую цель. Прежде всего,
она может служить для первоначального знакомства
с булевыми алгебрами. Первые две главы книги обра-
образуют элементарное введение в теорию булевых алгебр.
Здесь содержится довольно много примеров, которые
позволяют читателю увидеть возможности применения
теории булевых алгебр к теории меры, теории вероят-
вероятностей, функциональному анализу.
Основное содержание последующих глав составляют
те разделы теории булевых алгебр, которые связаны
с этими применениями; их систематическое изложение
составляет вторую цель книги. Основу для этого изло-
изложения содержат главы III— VI, в которых сосредото-
сосредоточен главный аппарат. Здесь рассматриваются полные
и а-полные алгебры, изучаются различные топологии
и непрерывные отображения. Устанавливается, в част-
частности, единственность топологии, в некотором смысле
«разумно согласованной» с имеющимся в данной алгебре
порядком. Особое положение занимает § 3 третьей
главы. Содержащиеся в нем утверждения («принцип
исчерпывания», «теорема о нормальных ядрах») широко
используются впоследствии. В этих же главах чита-
читатель может найти доказательства основных предложе-
предложений теории меры таких, как теорема о продолжении
меры и теорема Радона--Никодима.
В главе V мы приводим некоторые факты теории
векторных структур, важные для основного содержа-
содержания книги. Эта глава отличается обзорным стилем из-
изложения.
Центральная глава книги —седьмая. Она посвящена
изучению строения полной булевой алгебры. Для важ-
важнейшего класса алгебр (именно, для алгебр с мерой)
дается полная классификация. Здесь содержится под-
подробное доказательство известной теоремы Д. Магарам
6 ПРЕДИСЛОВИЕ
о реализации нормированной алгебры. В заключитель-
заключительной, восьмой главе мы рассматриваем группы авто-
автоморфизмов, затрагивая тем самым область, пограничную
с эргодической теорией. Основное внимание уделяется
проблеме существования инвариантной меры; дается
также абстрактная характеристика важнейших норми-
нормированных алгебр.
Общее направление книги таково, что некоторым
традиционным вопросам (приложениям к логике, ки-
кибернетике и т. п.) по необходимости уделяется меньше
внимания, чем обычно. Мы не затрагиваем проблем,
связанных с основаниями математики, и всюду стоим
на почве «наивной» теории множеств, безоговорочно
используя аксиому выбора и ее эквиваленты.
Книга рассчитана на читателя, который имеет при-
примерно двухлетнюю университетскую подготовку, вклю-
включающую знакомство с основами теории меры и про-
простейшими фактами общей топологии. Помещенное
в конце книги приложение содержит краткие указания
по теории множеств и топологии.
Автор стремился приводить по возможности подроб-
подробные доказательства всех основных фактов; однако он
рассчитывает, особенно в заключительных главах,
также и на активность читателя. Содержащиеся в книге
упражнения предназначены для читателя, желающего
серьезно овладеть предметом.
Приводя ту или иную теорему, мы далеко не всегда
в состоянии указать ее автора; весьма большое место
в книге занимает «математический фольклор»— в серьез-
серьезном смысле этого слова.
Автор приносит искреннюю благодарность всем, кто
помогал ему во время работы над книгой. Особенно
благодарен он Б. 3. Вулиху, явившемуся инициатором
написания книги и сделавшему много ценных замеча-
замечаний по рукописи, и ее редактору А. А. Корбуту. Автор
признателен также Л. М. Молодченковой за помощь
при подготовке рукописи к изданию.
ВВЕДЕНИЕ
Хорошо известны трудности, возникающие при по-
попытке дать точное определение какого-либо общего
понятия, глубоко проникшего в повседневный научный
обиход. Так, фундаментальное понятие «множества» не
имеет прямого определения, однако это не мешает за-
заниматься математикой; достаточно знать правила обра-
обращения со словом «множество» и владеть соответствую-
соответствующей символикой.
В этой книге наше внимание будет сосредоточено
на другом, столь же фундаментальном и, пожалуй,
еще более расплывчатом понятии «события». Даже
самый поверхностный анализ ситуаций, в которых мы
встречаемся со словом «событие», убеждает в безнадеж-
безнадежности попыток дать этому термину прямое определе-
определение. В таком определении, однако, наука и не ну-
нуждается; интересы математики (в первую очередь теории
вероятностей) требуют отчетливо сформулированных
аксиом, описывающих свойства систем событий.
Важно подчеркнуть, что мы всегда имеем дело именно
с системами событий: изолированных событий не
бывает. Всякое событие, о котором где-либо заходит
речь, неизбежно окружено себе подобными, образуя
вместе с ними единое целое.
Математический аппарат, пригодный для описания
систем событий, возник первоначально в качестве аппа-
аппарата символической логики. Создание «алгебры выска-
высказываний» принято связывать с именем Дж. Буля
A815—1864); разумеется, у него были предшественники,
среди которых нужно в первую очередь упомянуть
Лейбница и братцев Бернулли. Однако ипенно появив-
появившаяся в 1847 г. работа Буля*) положила начало не-
непрерывному потоку исследований, результатом которых
*) Дж. Буль [1].
g ВВЕДЕНИЕ
был расцвет математической логики, составляющий
одну из характернейших черт математики двадцатого
века. И как раз Буль в своей обширной монографии
«Исследование законов мышления, на которых осно-
основаны математические теории логики и вероятностей»
отчетливо указал на связь построенного им исчисления
с основаниями теории вероятностей. Эта связь основы-
основывается на аналогии между «событиями» и «высказы-
«высказываниями», позволяющей обслуживать логику и теорию
вероятностей одним формальным аппаратом. Грубо
говоря, «событие» — это то, что может произойти или
не произойти; «высказывание» же — это то, что может
быть истинно или ложно. Среди событий есть достовер-
достоверные и невозможные; высказывания могут оказаться
тождественно истинными или тождественно ложными.
Между событиями возможна причинно-следственная
связь: одно событие бывает иногда следствием другого.
Точно так же между высказываниями возможна логи-
логическая связь; они могут вытекать одно из другого.
Каждому событию может быть сопоставлено некоторое
высказывание, утверждающее, что это событие прои-
произошло. С другой стороны, всегда можно истолковать
высказывание как утверждение об осуществлении не-
некоторого события. Сказанное сейчас убеждает в воз-
возможности построения единого «исчисления», которое
могло бы, смотря по обстоятельствам, служить то
«исчислением высказываний», то «исчислением собы-
событий». Такое исчисление и было создано Дж. Булем.
В течение полувека, однако, оно развивалось в чисто
«логическом» русле. Первое значительное исследование
по аксиоматике теории вероятностей появилось лишь
в 1917 г.; его автором был С. Н. Бернштейн*).
Последующие исследования в этой области, связан-
связанные в первую очередь с работами А. Н. Колмого-
Колмогорова**), окончательно поставили теорию вероятностей
на твердую почву и оказали большое влияние на
смежные разделы математики, в особенности — на тео-
теорию меры.
*) С. Н. Бернштейн [1].
**) См. А. Н. Колмогоров [1].
ВВЕДЕНИЕ 9
Эта книга посвящена булевым алгебрам. Булева
алгебра —это алгебраическая система, которая в зави-
зависимости от обстоятельств может быть интерпретиро-
интерпретирована либо как система событий, либо как система
высказываний (допуская и иные истолкования). Аксиомы
булевой алгебры выражают то общее, что роднит «со-
«события» и «высказывания». Причинно-следственная сзязь
событий или логическая связь высказываний описы-
описывается формулами, имеющими вид неравенств.
Булева алгебра представляет собой разновидность
частично упорядоченного множества: неравен-
неравенство х'<у выражает «большую достоверность» собы-
события у по сравнению с событием х или, если угодно,
«большее правдоподобие» высказывания у сравнительно
с х. Среди элементов булевой алгебры должны содер-
содержаться наибольший и наименьший, соответ-
соответствующие «абсолютно достоверному» и «абсолютно
невозможному» событиям («тождественно истинному»
и «тождественно ложному» высказываниям). Наконец,
каждый элемент должен иметь дополнение, которое
можно истолковывать как «событие, противоположное
данному» или как «отрицание данного высказывания».
Мы не приводим здесь точных формулировок; это будет
сделано в свое время.
При всей простоте своей аксиоматики теория буле-
булевых алгебр весьма содержательна. Мы находим в ней
немало трудных и глубоких проблем, многие из кото-
которых еще не решены. Эти проблемы весьма разнооб-
разнообразны, они соприкасаются с логикой и теорией мно-
множеств, с теорией вероятностей и анализом. Такое
обилие точек соприкосновения со смежными математи-
математическими дисциплинами роднит теорию булевых алгебр
с функциональным анализом, к которому она близка
и по своему общему математическому стилю.
ГЛАВА I
ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
Булевы алгебры — это частично упорядоченные мно-
множества специального вида. Поэтому мы начинаем
с перечисления некоторых общих фактов и понятий,
относящихся к частичным упорядочениям.
§ 1. Структуры
1. Предварительные замечания. В этой книге основ-
основным объектом изучения является некоторое частично
упорядоченное множество *) (булева алгебра). Как пра-
правило, мы обозначаем такое множество той же буквой,
что и совокупность его элементов. Для обозначения
неравенств мы пользуемся всегда знаками <, ^, >, ^
(в особых случаях будут применяться символы <(, )>).
2. Классификация отображений. Пусть X и У — два
частично упорядоченных множества. Говорят, что
отображение ф множества J на 2/ есть изоморфизм
(или изоморфное отображение), если оно взаимно одно-
однозначно и сохраняет порядок, то есть неравенства х ^ у
и ф(х)<ф(//) равносильны. Ясно, что обратное отобра-
отображение ф" есть также изоморфизм. В случае существо-
существования изоморфизма частично упорядоченные множества
называются изоморфными. Изоморфные частично упо-
упорядоченные множества обычно отождествляют, по-
поскольку с точки зрения свойств, связанных с порядком,
они неразличимы. Отображение ф называется изотопным,
если неравенство х<^у влечет ф(#)^ф(#)- Изоморфное
отображение всегда изотонно (но не наоборот!). Взаимно
однозначное отображение ф множества & на У назы-
называется дуальным изоморфизмом, если равносильны
неравенства х^у и фОО^ФС*/)- Если такое отобра-
*) Основные сведения из теории частично упорядоченных мно-
множеств даны в приложении.
§ И структуры 11
жение существует, то говорят, что SC и У дуально
изоморфны.
3. Границы множеств. Пусть ^ — частично упорядо-
упорядоченное множество, Е — подмножество множества X.
Будем говорить, что элемент у е X есть верхняя
{нижняя) граница множества £, если для любого х е£
справедливо неравенство х^у (соответственно, х^у).
Совокупность всех верхних границ Е обозначается
через £s, всех нижних границ —через Е1. В случае,
когда Es (Б1) непусто, говорят, что Е ограничено сверху
(снизу). Если элемент z принадлежит пересечению
Е П Es (соответственно, Е П Е% то он является наи-
наибольшим (наименьшим) элементом множества Е.
В выражениях типа (Esy мы обычно будем опускать
скобки и писать £si. Непустота пересечения Es(]Esl
(Е^Е™) означает, что среди верхних (нижних) границ £
имеется наименьшая (наибольшая); ее называют точной
верхней (нижней) границей, или верхней (нижней)
гранью множества Е. Легко показать, что пересечения
ES(]ES\ E^E™ не могут содержать более одного эле-
элемента *), поэтому верхняя (нижняя) грань, если она
существует, обязательно единственна. Точная верхняя
граница (supremum) множества Е обозначается симво-
символом sup £, точная нижняя граница (infimum) — симво-
символом inf£. Если элементы Е занумерованы с помощью
некоторого множества индексов S = {g}, то применяются
обозначения
sup£= V хь inf£= Л х\-
Ив ^в
Наконец, если Е состоит из конечного числа эле-
элементов хи ,х2, ..., хп, то пишут
п
sup Е = хх V х2 V ... V хп или sup Е = V xk
п
inf E = хх Л х2 Л ... А хп или inf Е = /\ xk.
*) Действительно, пусть, например, х, y^Es(]Es\ Тогда ^у,
поскольку у е Es, х е Es\ Аналогичным образом убеждаемся
в справедливости противоположного неравенства у < х. А тогда х=у.
12 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. Т
Отметим основные свойства верхних и нижних гра-
границ в произвольном частично упорядоченном множе-
множестве &.
1°. Если Ех cz £2, то
2°. Если ElaE2 и существуют sup Ex и
и inf£2), TO
sup £1 ^ sup E2
inf E{ > inf £2.
3°. Соотношения х ^у, х = х А у, y — x\Jy равно-
равносильны.
4°. Пусть <f = {£} — непустой класс подмножеств S,
каждое из которых имеет верхнюю (нижнюю) грань.
Предположим далее, что совокупность этих граней
в свою очередь имеет supremum (соответственно infi-
mum). Тогда этот последний представляет собой верх-
верхнюю (нижнюю) грань объединения F= (J £.
Это свойство называется свойством ассоциативно-
ассоциативности граней. Его можно выразить формулами
sup/7= V sup E
и
Д inf E,
предполагая, что фигурирующие в правых частях грани
существуют.
Свойства 1°—3° очевидны. Остановимся на доказа-
доказательстве ассоциативности, ограничившись случаем
верхних граней. Обозначим
ув = sup £(£e?), у = V уЕ-
Для произвольного элемента xeF можно указать
множество fie?, которому он принадлежит. Поэтому
# ^ Уе^У и У ^ FS- Теперь, взяв произвольно z e Fs,
замечаем, что в силу 1° будет г е Es для каждого
1) СТРУКТУРЫ 13
£е<э\ то есть z^yE. Видим, что элемент z есть
верхняя граница для множества всех уЕ, и поэтому
V Уе~У* Мы доказали, что элемент у есть наи-
Е
меньшая из верхних границ множества F, то есть
точная верхняя граница.
Очевидны также следующие свойства, связанные
с преобразованием границ при изоморфизмах и дуаль-
дуальных изоморфизмах.
5°. Если ф — изоморфизм, то всегда
6°. Если ф — изоморфизм, то всегда
sup
при условии, что хотя бы одна из граней, фигурирую-
фигурирующих в равенстве, существует.
7°. Если г|з — дуальный изоморфизм, то всегда
8°. Если г|) — дуальный изоморфизм, то всегда
ф (sup £)-inf !>(£),
г|) (inf E) = sup г|) {Е)у
с той же оговоркой, что и в 6°.
Отметим в заключение очевидную изотонность
операций V и Л.
9°. ECAU *!<*/,,
ft-1
4. Принцип двойственности. При всей очевидности
утверждений 7° и 8° из п. 3 их значение весьма велико.
Пусть $ — некоторый класс частично упорядоченных
множеств, содержащий вместе с каждым входящим
14 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. Г
в него частично упорядоченным множеством X также
некоторое ему дуально изоморфное. На основании
упомянутых свойств 7°, 8° мы можем утверждать, что
всякое утверждение, относящееся к свойствам порядка
и справедливое для любого JgS, перейдет после
замены содержащихся в его формулировке неравенств
противоположными, верхних границ нижними, а ниж-
нижних — верхними в утверждение, также справедливое
для всех X е$. Сформулированный сейчас принцип
мы будем называть общим принципом двойственности
для частично упорядоченных множеств.
5. Два важных примера.
Пример А. Пусть Q — произвольное непустое мно-
множество, 2 —какая-нибудь совокупность его подмножеств.
Введем в 2 частичное упорядочение, условившись счи-
считать, что е{^е2, если 6j с е2, Ясно, что отношение ^
транзитивно и неравенства ех^е2, е{^е2 вместе вле-
влекут равенство ег = е2. Таким образом, аксиомы частич-
частичного порядка выполняются. Определенное сейчас для
произвольной системы множеств упорядочение назы-
называется обычно естественным, или упорядочением по
включению. Если Е — некоторый класс входящих в 2
множеств, то верхней границей Е будет любое
множество е0, содержащее каждое ^е£. Аналогично
истолковывается в этом примере понятие нижней
границы. (Вообще говоря, не исключены случаи,
когда верхних или нижних границ не существует
вообще.)
Пример Б. Пусть снова Q — произвольное непу-
непустое множество. Рассмотрим какую-нибудь совокуп-
совокупность 5, состоящую из вещественных функций, задан-
заданных на Q. Частичный порядок в 5 введем условием:
/< если при всех q^Q выполняется неравенство
{) Так же легко, как и в предыдущем при-
примере, проверяется выполнение аксиом частичного по-
порядка. Такое упорядочение в множестве вещественных
функций также называется естественным. Ясно, что
верхней границей некоторого множества Е принадле-
принадлежащих 5 функций будет любая их общая мажо-
мажоранта /0: неравенство fo(q)^f(q) должно выполняться
при любом выборе / е £, q e Q. Подобным же образом
§ 1] СТРУКТУРЫ 15
можно истолковать понятие нижней границы. Понятно,
что и в этом примере могут существовать неогра-
неограниченные множества, не имеющие верхних или ниж-
нижних границ.
Укажем для этих двух примеров важнейшие случаи
существования точных границ. Пусть класс множеств
£ = {£}с:2 таков, что его объединение £ = U е (или
пересечение е = П А содержится в 2. Тогда ё = sup E
(e = inf£). Действительно, ясно, что ё (е) есть наи-
наименьшее (наибольшее) по составу [а значит, и по есте-
естественному упорядочению] множество, содержащее все
е^Е (содержащееся в каждом е££). Это и означает,
что ё — точная верхняя граница Е (е — точная нижняя
граница Е).
В примере Б верхняя грань будет заведомо
существовать для всякого множества функций £ = {/},
для которого функция f0, определенная равенством
fo(<7)-sup/(<7) (<7€=Q),
оказывается принадлежащей S. Эта функция /0 и
будет точной верхней границей Е. Аналогично функция
go{q)=lnlf(q) (qe=Q)
будет нижней гранью £, если она входит в S. Про-
Проверку предоставим читателю.
Примеры А и Б дают нам хорошую возможность
проиллюстрировать понятие изоморфизма. Рассмотрим
вновь произвольную систему 2 = {е} подмножеств Q и
возьмем в качестве S систему всех их характеристиче-
характеристических функций *) %е, eeS, Обозначим через ф отобра-
отображение, сопоставляющее каждому esS его характери-
характеристическую функцию %е. Ясно, что ф устанавливает взаим-
взаимно однозначное соответствие между 2 и S. Включение
*) Характеристическая функция, или индикатор множества е,
{ 0, q ф. е,
определяется, как известно, равенством %е (q) = {
{ 1, q ее.
16 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ . [ГЛ. I
означает, что %в1^%ва» поэтому неравенства
иф^КфЫ равносильны. Таким образом, qp представ-
представляет собой изоморфизм, а 2 и 5 изоморфны. Грубо
говоря, с точки зрения порядка безразлично, что рас-
рассматривать— множества или соответствующие им харак-
характеристические функции.
6. Понятие структуры. Частично упорядоченное
множество Ж называется структурой *), если в нем
любое двухэлементное множество {ху у} имеет точные
границы х У у и х А у.
Лемма 1.5 любой структуре всякое конечное мно-
множество элементов имеет точные границы.
Эта* лемма легко доказывается индукцией с исполь-
использованием свойства ассоциативности точных границ.
7. Дистрибутивность. Большую роль в теории струк-
структур играют различные условия, известные под назва-
названием «условий дистрибутивности». Мы приведем здесь
пока простейшее из таких условий. Будем называть
структуру S£ дистрибутивной, если в ней для любых
элементов х, у, z выполняется соотношение
(х V у) A г = (х А г) V (у А г). (I)
Отметим, что в любой структуре всегда выполняется
неравенство
(х V у) A z>(* Л г) V {у А г). (Г)
Это следует из неравенств
* Л z < (л; V */) Л z, у A z<(л: V у) А г,
каждое из которых очевидно. Поэтому доказательство
дистрибутивности на деле сводится к доказательству
противоположного (Г) неравенства
{х V у) Az^{x А г) V (у А г).
*) Англ. lattice, нем. das Verband. Иногда вместо термина
«структура» применяется слово «решетка» — дословный перевод
английского «lattice». Термин «структура» введен О. О р е [1].
§ ц структуры 17
«Двойственная» форма соотношения (I) имеет вид
(х Ay)Vz = (xVz)A(yV г). (II)
Предоставляем читателю самостоятельно доказать
следующее любопытное предложение: для того, чтобы
структура Ж была дистрибутивна, необходимо и до-
достаточно, чтобы для любых х, у, 2EJ выполнялось
равенство (II). Таким образом, мы по существу имеем
второе, эквивалентное основному, определение дистри-
дистрибутивности.
8. Частично упорядоченные множества с нулем и
единицей. Нулем и единицей частично упорядоченного
множества X называются его наименьший и наиболь-
наибольший элементы, если таковые существуют.
Так, в примере А (п. 5) мы рассмотрели частично
упорядоченное множество 2, состоящее из подмножеств
некоторого основного множества Q. Если дополнительно
предположить, что все Q и пустое множество Л входят
в систему 2, то они, очевидно, как раз и будут играть
там роль единицы и нуля.
Нуль и единица в Ж обычно обозначаются симво-
символами 0, 1, иногда 0#, 1#. Впрочем, часто даже при
одновременном рассмотрении нескольких частично упо-
упорядоченных множеств используют одни и те же общие
символы 0, 1 для каждого из них.
Условимся также раз и навсегда обозначать сим-
символом Е+ совокупность всех ненулевых элементов мно-
множества Е. В частично упорядоченном множестве с нулем
и единицей естественно считать верхнюю грань пустого
множества равной О, а нижнюю грань равной 1. (Для
непустого Е всегда, разумеется, sup £^inf E.)
9. Пример. Обратимся вновь к примеру А (п. 5) и
предположим, что основное множество Q представляет
собой отрезок [а, Ь] (где а < b), a система 2 состоит
из всех лежащих в Q промежутков (открытых,
полуоткрытых и замкнутых). Пустое множество также
причисляем к нашей системе (на правах «интервала»
вида (р, /?)). Обозначим возникшее таким образом частич-
частично упорядоченное множество через с/. Ясно, что, посколь-
поскольку пересечение промежутков всегда есть снова промежу-
промежуток, любое (а не только конечное) подмножество 9
18 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ ГГЛ. Г
имеет нижнюю грань, совпадающую с пересече-
пересечением его элементов. Объединение же проме-
промежутков не обязано быть промежутком, однако это
не означает отсутствия верхних граней: какова бы
ни была система Е^.3, всегда существует наименьший
промежуток, содержащий все е ^ Е\ он и является
верхней гранью Е. Таким образом, требования, содер-
содержащиеся в определении структуры, в нашем случае
выполнены с избытком, и множество 0 является струк-
структурой. Ясно, что это структура с нулем и единицей.
Нетрудно показать, что она не дистрибутивна.
10. Дизъюнктные элементы. Дополнения. Пусть
Ж — частично упорядоченное множество с нулем 0. Эле-
Элементы х, у^^Х называются дизъюнктными, если
х А У = 0. Для дизъюнктности необходимо и доста-
достаточно, чтобы у пары (л:, у} не существовало ненулевых
нижних границ. В случае, когда х и у дизъюнктны,
пишем xdy. Элемент х называется дизъюнктным неко-
некоторому множеству £, если он дизъюнктен каждому
элементу Е\ это записывают формулой xdE. Наконец,
условимся называть множество Е дизъюнктным, если
его элементы попарно дизъюнктны: хф у\ х, у ^Е вле-
влечет xdy. Легко понять, что нулевой элемент дизъюнктен
самому себе и что других элементов с таким свойством
не существует. Если рассмотренная в примере А си-
система множеств 2 содержит пустое множество, то лю-
любые два элемента этой системы, имеющие пустое пе-
пересечение, обязательно дизъюнктны.
В частично упорядоченном множестве с нулем 0 и
единицей 1 могут встречаться пары дизъюнктных эле-
элементов, supremum которых равен единице. Про эле-
элементы такой пары говорят, что каждый из них является
дополнением для другого. Таким образом, х является
дополнением для у (а у — дополнением для я), если
одновременно х А у = 0 и х V у = 1.
В качестве примера рассмотрим вновь структуру 0
всех промежутков, лежащих в отрезке [а, Ъ\. Ясно, что
элементы х = [а, с] и у = [с, b]{a<c<b) будут являться
взаимными дополнениями. Предлагаем читателю дока-
доказать, что элемент х = [с, d] {a<c<d<b) дополнения
не имеет.
§ 2] БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 19
§ 2. Булевы алгебры
1. Определение и основные свойства. Булевой алгеб-
алгеброй *) называется дистрибутивная структура с нераз-
неразными друг другу единицей 1 и нулем 0, в которой
всякий элемент имеет дополнение. Таким образом,
б. а. всегда содержит не менее двух элементов. Алгебра,
содержащая только 0 и 1, называется вырожденной.
Теорема I. В булевой алгебре каждый элемент
имеет только одно дополнение.
Доказательство. Пусть ух и у2 явлются допол-
дополнениями некоторого элемента х. Тогда, используя свой-
свойство дистрибутивности, получаем
Уг = Уг Л 1 = У г Л (х V уъ) = {уг Л х) V {у\ Л у2) =
Отсюда вытекает, что */,<#2- Аналогично доказывается
неравенство ух^у2. Поэтому ух = у2, и теорема доказана.
Дополнение элемента х мы будем обозначать сим-
символом Сх (применяются также обозначения л/, — л;, х,
J jc, ~х). Тем самым определено отображение С дан-
данной б. а. X в себя, сопоставляющее каждому х^Ж
его дополнение Сх.
Перечислим теперь важнейшие свойства этого ото-
отображения.
Г. Для любого х
С{Сх) = х.
Действительно, если у является дополнением к лг,
то х, в свою очередь, есть дополнение к у = Сх.
В этом и состоит свойство 1°.
2°. Если х Л у = 0, то y<iCx.
Для доказательства достаточно установить равен-
равенство Сх = Сх У у. Имеем
Сх = Сх V 0 = Сх V (х Л у) = {Сх V х) Л (С* V у) =
= 1 Л (Сх V у) = Сх V У,
(Здесь использован дистрибутивный закон.) Мы мо-
можем иначе сформулировать свойство 2°, сказав, что
*) Мы будем в дальнейшем часто применять сокращение «б. а.».
20 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. Т
дополнение элемента есть наибольший из дизъюнктных
к нему элементов алгебры.
3°. Неравенства х^у и Сх^Су равносильны.
Достаточно доказать, что из неравенства
следует Сх^Су. Так как *<#, то Су А х^С
Видим, что Су Ах, а тогда в силу 2° будет Су^Сх.
Из свойства 1° следует, что С есть взаимно одно-
однозначное отображение алгебры X на себя, совпадающее
со своим обратным С~ . Свойство 3° говорит о том, что С
есть нетривиальный дуальный изоморфизм алгебры X
с ней самой. Булева алгебра, следовательно, всегда
дуально изоморфна себе.
В силу утверждения 8° из п. 3 § 1 для любого не-
непустого Е с: X имеют место равенства
CV х= /\Сх, (III)
С А х = V Сх, (IV)
известные под названием соотношений двойственности
для булевых алгебр. Точный смысл их таков: если су-
существует точная граница, фигурирующая в одной из
частей равенства, то имеет смысл и другая часть, при-
причем выполняется соответствующее соотношение. Если Е
конечно, то написанные выше равенства верны без вся-
всяких оговорок. Для двухэлементного множества Е = {х> у}
они принимают вид
С(х Vy) = CxACy9 (V)
С(хЛу) = Сх VCy. (VI)
2. Основные булевы операции. Мы уже знакомы
с тремя олерациями над элементами булевой алгебры:
это две операции V и Л, а также операция С, пред-
представляющая собой дуальный изоморфизм алгебры на
себя. Принято говорить, что / и g — взаимно двойствен-
двойственные операции, если они связаны тождеством
х2, ..., xn) = Cg{Cxu Cx2, ..., Схп),
или, что то же самое, тождеством
g(xi9 х29 ...э xn) = Cf{Cx{, Cx2t ..., Схп).
§ 2] БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 21
В силу выведенных выше соотношений двойственности
операции V и Л взаимно двойственны. Представляют
интерес операции, инвариантные относительно дуаль-
дуального изоморфизма С. Примером «С-инвариантной» опе-
операции служит бинарная операция симметрической раз-
разности, определяемая равенством
Симметрическая разность х и у обозначается также
символом хАу, а иногда (см. ниже стр. 76) —симво-
—символом х +2У- Очевидно тождество
\Сх-Су\ = \х-у\9
которое и выражает свойство «С-инвариантности» этой
операции.
Другим примером С-инвариантной бинарной опера-
операции может служить двойственная к предыдущей опе-
операции ~ («эквивалентность»), определяемая равенством
х~ у = С\х-у\
или иначе
х~у = (х\/Су)А(Сх\/у).
Ясно, что х~у = Сх~Су. Эта операция часто приме-
применяется в логике.
Очевидна
Теорема 2. Каждое из трёх равенств
у
влечет два остальных.
Таким образом, каждый из элементов \х — у\, х~у
может рассматриваться как своеобразная мера бли-
близости х п у.
Еще одна бинарная булева операция -> (импликация) опреде-
определяется равенством *)
yV Сх.
Легко проверить равносильность соотношений х^.у и *->#=* 1.
*) Часто используют символ s>.
22 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. Т
Упомянем, наконец, об операции Шеффера |. Она вводится ра-
равенством *)
х\у~Сх ЛСу
и замечательна тем, что через нее могут быть выражены все осталь-
остальные основные операции V, Л, С Соответствующие формулы будут
приведены ниже (стр. 45).
Определим теперь для элементов б. а. операции сло-
сложения и вычитания. Пусть Е — произвольное дизъюнк-
дизъюнктное множество. Если оно имеет верхнюю грань, то
последняя называется суммой элементов Е. В этом
случае вместо
пишут
Для конечных дизъюнктных множеств применяются
обозначения
у = хх + х2+ ... +хп
или
Разумеется, операция сложения коммутативна. Понятен
также смысл символов
2j \, 2j k>
применяемых к семействам элементов. Подчеркнем,
что в дальнейшем, используя знаки + и 2» мы тем
самым утверждаем, что элементы рассматриваемого
множества или семейства попарно дизъюнктны.
Если х^.у, то разностью у — х называется элемент
z = y Л Сх. Легко понять, что это единственный элемент,
удовлетворяющий соотношению х + z = у.
*) Шеффер [1]. Многие авторы называют «операцией Шеф-
Шеффера» операцию, двойственную к введенной нами.
§ 2] БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 23
Операциям над элементами соответствуют естествен-
естественным образом определяемые операции над мно-
множествами:
Е{ V Е2 = {у\у = х{ \/ x2i x^f,, x2<z=E2}>
Ех А Е2 = {у\у = х1 А *2> ^e^i, х2<==Е2}у
СЕ = {у\у = Сх, хе=Е}.
Если одно из множеств одноэлементно, то пишем и\/ Е,
и А Е вместо {и} V Е или {и} А Е. Ясен также смысл
обозначений £, V Е2 V ... V Еп, Ех А Е2 А ... Л Еп и т. п.
3. Дистрибутивный закон в булевой алгебре. В ка-
каждой б. а. согласно основному определению должен
выполняться дистрибутивный закон (I) из п. 7 преды-
предыдущего параграфа. Оказывается, что на самом деле
справедливо более сильное утверждение.
Теорема 3. Пусть W — произвольная б. а., Е — под-
подмножество Ху имеющее верхнюю грань. Тогда для лю-
любого элемента х е X справедливо равенство
xAVy=VxAy. (VII)
уе=Е у€=Е
Используя введенные в конце п. 2 обозначения, можно
переписать (VII) в виде
jcAsup£ = sup(jcA£). (VI Г)
Доказательство. Поскольку при любом у^Е
должно быть х А у<х A sup £, то sup (х А £)<х A sup E.
Пусть z^(x A E)s. При любом у е Е имеем
г V С*>(* Л у) V Сх = (х У Сх) А{у V Сх) = у V Сх^у.
Отсюда г V Сх^ sup £ и
г = z V 0 = z V (* Л С*) = (z V *) Л (z V Cjc) >
•^ (г V л:) Л sup E^x A sup £\
Поскольку z — произвольный элемент (л: Л £)s, заклю-
заключаем, что
х A sup Е = sup (л: Л Е).
Теорема доказана. Из нее, используя соотношения
двойственности, получаем
24 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. Т
Следствие. Если Е имеет нижнюю грань, то при
любом х^.Х справедливо равенство
XV Лу= Л(х\/У) (VIII)
у^Е уе=Е
или
х Vinf£ = inf(jt V £"). (VIНО
Приведем также полезную при различных преобразо-
преобразованиях формулу
п mi
AVxik= V {xxk A x2k A ... Л xnka), (VII*)
выражающую свойство конечной дистрибутивности
в наиболее общем виде, Доказательство последнего
тождества может состоять в последовательном приме-
применении равенств (VII). Другой, практически наиболее
удобный способ установления подобных тождеств, осно-
основанный на их теоретико-множественном истолковании,
будет намечен ниже (см. стр. 45).
4. Простейшие примеры булевых алгебр.
Пример 1. Для того чтобы получить первый при-
пример булевой алгебры, обратимся к примеру А преды-
предыдущего параграфа. Возьмем в качестве S систему всех
подмножеств основного множества Q. Как следует из
сказанного на стр. 17, она является структурой с ну-
нулем и единицей:
xVy = x[)y, xAy = x(]yt 0 = Л, 1 = Q.
Она дистрибутивна, поскольку операции V, Л совпа-
совпадают в данном примере с теоретико-множественными
операциями U, П» дистрибутивность которых хорошо
известна: равенство
х А (у V г) - (х А у) V (х А г)
эквивалентно очевидному соотношению
§ 2] БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 25
Дополнением Сх элемента х будет в данном
случае его теоретико-множественное дополнение, т. е. раз-
разность Q\x. (Очевидно, *fl(Q\*) = A, x (J (Q \ *) = Q.)
Наконец, ясно, что в силу непустоты Q система 2
содержит по крайней мере два различных элемента.
Итак, совокупность всех подмножеств произвольного
непустого множества Q, будучи естественно упорядо-
упорядочена, представляет собой булеву алгебру. Мы будем
эту б. а. обозначать символом 2Q.
Отметим следующий важный для дальнейшего факт:
в б. a. 2Q любая (а не только конечная) совокупность
элементов имеет верхнюю и нижнюю грани, совпадаю-
совпадающие с объединением и пересечением всех входящих
в нее множеств.
Теорема 4. Для того чтобы булевы алгебры 2Ql
и 2®2 были изоморфны, необходимо и достаточно,
чтобы множества Q, и Q2 имели одинаковую мощ-
мощность.
Доказательство. Необходимость. Пусть
ф —изоморфизм б. a. &x = 2Qx на ^2 = 2Q2. Ясно, что
отображения ф и ф переводят одноточечные множества
в одноточечные. Следовательно, существует взаимно
однозначное соответствие между Q{ и Q2, то есть эти
множества равномощны.
Достаточность. Если Q, и Q2 имеют равную
мощность, то существует взаимно однозначное отобра-
отображение ф0 множества Q{ на Q2. Сопоставим каждому
е с Qx множество qpo(e) en Q2 (образ множества е). Легко
понять, что этим устанавливается изоморфизм алгебр
Хх и Х2.
Пример 2. Пусть снова Q — произвольное непустое
множество. Рассмотрим совокупность XQ, состоящую
из характеристических функций всех подмножеств мно-
множества Q (другими словами, совокупность всех функ-
функций, принимающих значения 0 и 1). Будем, как и
в примере Б предыдущего параграфа, считать, что это
множество функций наделено естественным упорядоче-
упорядочением. Тогда, как отмечалось в конце п. 5 § 1, сопо-
сопоставляя каждому множеству ecQ его характеристи-
характеристическую функцию fa, мы получим изоморфизм двух
26 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. I
частично упорядоченных множеств, каждое из кото-
которых есть булева алгебра.
Итак, булевы алгебры 2Q и XQ изоморфны. Вторая
из этих алгебр широко используется как математиче-
математическая модель в формальной логике и теории контактных
схем. Действительно, «высказывание» — это то, что
может в зависимости от обстоятельств быть истинно
или ложно; «контакт» («двухполюсник») — это то, что
может пропускать или не пропускать ток. При этом
мы совершенно отвлекаемся от содержания высказыва-
высказываний и не интересуемся технической реализацией кон-
контактов. Кнопка дверного звонка и масляный выключа-
выключатель, рассчитанный на ток в тысячи ампер и содержащий
внутри себя многочисленные реле и контакты, для нас
совершенно одинаковы. В обоих случаях мы имеем
дело с объектами, которые могут находиться только
в двух взаимно исключающих состояниях. Простейшим
математическим аналогом такого объекта служит функ-
функция, принимающая два значения: 0 и 1. Желая моде-
моделировать средствами математики целую систему выска-
высказываний или систему контактов (контактную схему),
мы должны ввести в рассмотрение совокупность дву-
двузначных функций, заданных на некотором фиксирован-
фиксированном множестве Г, или, что то же самое, совокупность
характеристических функций подмножеств Г. В при-
прикладных задачах логики *) и теории схем множество Т
обычно бывает конечным. Алгебра Хг и представляет
собой искомую модель. Для того, чтобы более наглядно
ощутить роль множества Г, можно истолковывать Т
как область изменения параметра, от которого зависят
истинность или ложность каждого из рассматриваемых
высказываний (в случае «логической» интерпретации)
или состояния всех контактов рассматриваемой схемы
(в случае «схемной» интерпретации). Во втором случае
удобно интерпретировать этот параметр как время.
Пусть известно, что значение функции хеХгв точке
t = t0 равно единице (нулю). На «языке схем» мы опишем
*) По существу рассматриваемые нами «переменные высказы-
высказывания» представляют собой «одноместные предикаты», для которых
множество Т служит «предметной областью».
§ 2] БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 27
этот же факт, сказав, что в момент времени t0 кон-
контакт х замкнут {разомкнут). Наконец, переходя на «язык
алгебры высказываний», скажем, что при t = t0 выска-
высказывание х истинно (ложно). Перевод на «язык алгебры
множеств» предоставим читателю.
Приведем в заключение словарь, позволяющий пере-
переводить с одного языка на другой. Нижеследующая
таблица 1 содержит истолкования некоторых соотноше-
соотношений между элементами булевой алгебры •#", изоморфной
алгебрам 2Т и Хг, на различных языках*). При этом
соответствующие друг другу множество, характеристи-
характеристическая функция, высказывание, контакт обозначаются
одной и той же буквой. Истолкование на языке алгебры
высказываний дается с помощью так называемых
«таблиц истинности», где буквы и, л означают соот-
соответственно «истинно», «ложно». Понимание этих таблиц
не вызовет у читателя затруднений. Истолкование на
языке контактных схем дается в форме чертежа, ука-
указывающего на одну из возможных реализаций рас-
рассматриваемого соотношения. Каждому контакту на
таком чертеже соответствуют точки («полюсы кон-
контакта»), между которыми, в зависимости от состояния
контакта, может проходить или не проходить ток.
Приведем еще «логическое» истолкование соотноше-
соотношений двойственности (V), (VI):
C{xV у) = СхЛСу,
С{хЛу) = Сх V Су.
Они выражают правила отрицания дизъюнкций
и коньюнкций: «дизъюнкция хУу является ложной
тогда и только тогда, когда истинны оба отрицания Сх,
Суъ\ «конъюнкция х А У ложна тогда и только тогда,
когда истинно хотя бы одно из отрицаний Сх, Су».
В логике их называют иногда «правилами де Моргана».
Отметим также, что основные тождества х V Сх = 1,
хАСх = 0 логически интерпретируются как закон
исключенного третьего**): «одно и только одно
из высказываний х, Сх всегда является истинным»,
*) См. стр. 28.
**) Лат. — tertium non datur,
28 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. I
Таблица 1
алгебра
мно-
множеств
«объеди-
«объединение»
«пересе-
«пересечение»
«дополне-
«дополнение»
«симметр.
разность»
алгебра
высказы-
высказываний
«27
и
и
л
л
У
и
л
и
л
Z
и
и
и
л
X
и
и
л
А
У
и
л
и
л
Z
и
л
л
л
X
и
А
Z
л
и
«дизъюнк-
«дизъюнкция»
«конъюнк-
«конъюнкция»
«отрицание»
.27
И
И
/1
л
и
/А
И
Z
А
И
И
л
алгебра
контак-
контактов
Логическим теориям, не~содержащим принципа «tertium
поп datur», соответствуют уже не булевы алгебры,
а более сложные частично упорядоченные системы.
Приложения булевых алгебр к логике и кибернетике
широко освещены в имеющейся на русском языке
литературе. В настоящей книге мы более не будем
останавливаться на этих вопросах, поскольку соответ-
§ 2] * БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 29
ствующие приложения для нас играют чисто иллюстра-
иллюстративную роль. Читателя, желающего овладеть этим аппа-
аппаратом, мы отсылаем к книге Дж. Калбертсона [1]
и к статье И. М. Я г лом а [1]. На первых порах
наибольшую пользу принесут задачи, например, собран-
собранные в книге Калбертсона или в задачнике А. В. Гох-
мана и др. [1]. Наконец, с современным состоянием
алгебры логики можно познакомиться по монографии
С. В.Яблонского, Г. П. ГавриловаиВ.Б.Куд-
р яв цев а [1].
Рассмотрим еще несколько примеров булевых алгебр.
Пример 3 *). Пусть Xр — совокупность всех нату-
натуральных чисел вида
.Я= 1 * Р\ ' Р2 • • • Pk{n)>
где множители pt просты, попарно различны и не пре-
превосходят числа р. Поскольку эти числа находятся в есте-
естественном взаимно однозначном соответствии с подмно-
подмножествами множества Р всех простых чисел отрезка [2, /?],
Хр превращается в булеву алгебру, изоморфную 2Р.
Неравенство п^т при этом означает, что т делится
на п. Единицей будет произведение Ц q, нулем — обыч-
ная единица. Роль верхней грани множества чисел
играет их наименьшее общее кратное, роль нижней
грани — наибольший общий делитель.
Пример 4. Рассмотрим произвольную полную
ортонормированную систему б элементов гильбер-
гильбертова пространства Я**). Назовем ^-подпространством
всякое подпространство пространства Я, натянутое
на некоторое подмножество бг с S. Нулевое подпро-
подпространство считаем натянутым на пустое подмножество®.
Система «S5® всех 6-подпространств естественным обра-
образом взаимно однозначно отрбражается на систему всех
подмножеств 6. Это дает основание рассматривать J?%
как булеву алгебру, изоморфную 2®. При этом нера-
неравенство Ь{^.Ь2 эквивалентно включению LX^L2\ оно
*) С. Н. Бернштейн [1].
**) Читатель может при желании считать Н конечномерным
линейным пространством, вещественным или комплексным.
30 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. Т
означает, что L2 представимо в виде ортогональной
суммы
L»2 == Lt\ xis l**у
где L^J^a. Роль единицы играет все Я, нуля —нуле-
—нулевое подпространство. Булевым дополнением для L ^JS*®
будет служить его ортогональное дополнение HQL.
Замечание. Система всех подпространств гиль-
гильбертова пространства Я при естественном упорядочении
также оказывается структурой с нулем и единицей.
Однако на этот раз мы уже не получаем1 булевой
алгебры: не будет выполняться условие дистрибутив-
дистрибутивности. Эта система играет существенную роль в кван-
квантовой механике (см. Макки [1]).
Пример 4*. Фигурировавшая в предыдущем примере орто-
ортогональная система E могла, в частности, состоять из собственных
элементов некоторого вполне непрерывного самосопряженного опе-
оператора А, действующего в пространстве Я. Тогда ©-подпространства
представляют собой не что иное, как инвариантные подпростран-
подпространства оператора Л. Можно показать, что естественно упорядоченная
система всех инвариантных подпространств произвольного (не обя-
обязательно вполне непрерывного) самосопряженного оператора, опре-
определенного в Я, является булевой алгеброй. Роль единицы в этой
алгебре, как и выше, играет все Я, булево дополнение совпадает
с ортогональным. Это останется справедливым и в случае, когда
оператор, не будучи ограниченным, определен не на всем про-
пространстве Я, а на некотором всюду плотном линеале.
Продолжим теперь ознакомление с простейшими
примерами булевых алгебр. Пусть снова Q — произ-
произвольное непустое множество. Можно рассматривать
не класс 2Q всех подмножеств Q, а какую-либо его
непустую часть &0 с: 2Q, также упорядоченную по
включению. Для того чтобы возникающее при этом
частично упорядоченное множество было булевой алге-
алгеброй, нужно предъявить к Я?о некоторые дополнитель-
дополнительные требования. Чаще всего предполагают, что сово-
совокупность S'q представляет собой такх называемую
«алгебру множеств» («тело множеств»). Это, как
известно, означает, что
1) если еи e7^&Q> то и е = ех[}е2^<%*о',
Г) еСЛИ £,, е2^Я*0> ТО И £ = £, П^^^О»
2) если е е Л^, то н е' = Q \ е е= &^
I 2] БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 31
Сразу же заметим, что, как легко усмотреть из опре-
определения, всякая алгебра множеств обязана содержать
все Q и пустое множество Л. Кроме того, важно
отметить, что условия, фигурирующие в определении,
не являются независимыми: 1) и 2) влекут 1'), из 1')
и 2) вытекает 1). Это видно из тождеств
el()e2=Q\[(Q\ei)[}(Q\e2)]9
el[)e2-Q\[(Q\el)[)(Q\eJ].
С помощью обычной индукции легко проверить, что
алгебра множеств содержит объединения и пересече-
пересечения любых конечных систем входящих в нее множеств.
Коротко можно охарактеризовать алгебру множеств
как такую совокупность подмножеств основного про-
пространства Q, которая замкнута относительно основных
теоретико-множественных операций U, П» \ и содержит
само Q.
Рассуждения, с помощью которых мы убедились,
что система 2Q всех подмножеств Q является булевой
алгеброй, дословно применимы и к произвольной алгебре
множеств. Следовательно, всякая алгебра множеств
является булевой алгеброй относительно естественного
упорядочения. Со всякой такой алгеброй автоматически
связывается изоморфная ей булева алгебра соответ-
соответствующих характеристических функций.
Пример 5. Пусть Q представляет собой отрезок
[О, 1], <%*0 — система всех его измеримых по Лебегу под-
подмножеств. Хорошо известно, что класс измеримых мно-
множеств замкнут относительно всех основных теоретико-
множественных операций, применяемых к не более чем
счетным совокупностям множеств. Итак, <%*0— алгебра
множеств, а стало быть и булева алгебра, притом
существенно более узкая, чем 2Q. В этом примере
в качестве Q вместо [0, 1] можно рассматривать любое
измеримое по Лебегу множество на вещественной
прямой.
Пример 6. Совершенно так же можно рассмотреть
совокупность всех борелевских подмножеств отрезка
[О, 1] = Q. Она, подобно предыдущей, представляет
собой алгебру множеств, а потому и булеву алгебру#
32 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. I
Пример 7. Пусть Q —квадрат:
Образуем ^0, включив в него все «вертикальные ци-
цилиндры», то есть множества, составленные из верти-
вертикальных отрезков. Точнее, включение eGJ0 означает,
что из соотношений (s0, t0) е е следует, что при всех t
(s0, t) e e. Совокупность всех таких цилиндров есть, как
читатель без труда покажет, алгебра множеств. Сле-
Следовательно, JPq — булева алгебра относительно естествен-
естественного упорядочения. Эта алгебра изоморфна алгебре
всех подмножеств отрезка. Убедиться в существовании
изоморфизма можно, сопоставив каждому eGJ0 его
проекцию на ось абсцисс.
Упомянем, в порядке предварительного знакомства,
еще об одной важной булевой алгебре.
В теории меры и смежных разделах математики
(например, в эргодической теории) имеется большое
число утверждений, относящихся не к индивидуальным
измеримым множествам, а к классам, образованным
из всевозможных «почти совпадающих» множеств.
Иными словами, множества, принадлежащие одному
классу, должны разниться на множество нулевой меры.
Мы увидим впоследствии, что система всех классов,
будучи разумно упорядочена, оказывается булевой
алгеброй. Дать точное описание этой алгебры мы
сможем в следующей главе, познакомившись с идеей
факторизации. В дальнейшем алгебра таких классов
будет неизменно находиться в центре нашего внимания
как важнейшая из всех моделей.
Пример 8. Опишем, не приводя подробных доказательств,
еще один пример булевой алгебры, важный для спектральной
теории операторов. Пусть % — произвольная а-алгебра множеств,
2 — класс всех определенных на % счетно-аддитивных неотрицатель-
неотрицательных функций множества («мер»). Как известно, две такие функции
называются эквивалентными, если каждая из них абсолютно непре-
непрерывна по отношению к другой. Это отношение эквивалентности
определяет разбиение 2 на непересекающиеся классы эквивалент-
эквивалентных между собой функций. Следуя А. И. Плеснеру ([1]), мы
назовем такие классы спектральными типами, или типами Хел-
линеера. Спектральный тип тх подчинен спектральному типу т2,
если любая функция о^ е tj абсолютно непрерывна относительно
произвольной функции а2 <= т2. Отношение подчиненности мы будем
§ 2] БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 33
обозначать символом <; нетрудно понять, что это —отношение
частичного порядка. Можно доказать, что при таком введении
упорядочения система Т всех спектральных типов оказывается
дистрибутивной структурой с нулем; важное свойство этой струк-
структуры — существование точных границ у любого ограниченного мно-
множества. Если зафиксировать произвольный ненулевой тип т0 и рас-
рассмотреть множество То всех подчиненных ему спектральных типов,
то мы получим булеву алгебру. Доказательство этого факта чита-
читатель может найти в упоминавшейся уже монографии А. И. П лес-
нера ([1]) или в более ранней статье А. И. Плеснера
и В. А. Рохлина [1]. Роль единицы в булевой алгебре То будет
играть тип т0; дизъюнктность типов т' и т" означает взаимную
сингулярность любых функций а' е т' и а" е т".
Само множество Т не является булевой алгеброй из-за отсут-
отсутствия единицы. Для того чтобы получить булеву алгебру, нужно
присоединить к Т в качестве идеальных элементов всевозможные
(в том числе несчетные) формальные суммы попарно дизъюнктных
типов. Такие суммы называются обобщенными спектральными
типами; отношение порядка распространяется на них естественным
образом. В возникающей при этом булевой алгебре всякое мно-
множество имеет верхнюю и нижнюю грани.
Естественно упорядоченная система множеств может
оказаться булевой алгеброй, не являясь алгеброй мно-
множеств. Приведем вначале совсем простой пример.
Пример 9. Рассмотрим систему из четырех мно-
множеств
(О, 1), (О, 1), A, l), Л.
Ясно, что это —булева алгебра относительно естествен-
естественного порядка, причем роль единицы играет интер-
интервал @, 1). Однако данная система не является алгеброй
множеств. Верхней гранью пары {(О, у), (у> О}
является интервал @, 1), однако объединение (о, -A (J
U (у, l) нашей системе не принадлежит.
Пример 10. Возьмем в качестве Q отрезок [а, 6],
а<Ь и условимся называть простым всякое множество,
представимое в виде суммы конечного числа невыро-
невырожденных *) сегментов. Пустое множество Л также счи-
считаем простым. Совокупность всех простых множеств
*) То есть сегментов вида [р, q], где р < q.
34 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. I
обозначим буквой о?. Именно этим запасом множеств
обходятся в первых главах анализа.
Покажем, что, будучи естественно упорядочена, эта
система #> оказывается булевой алгеброй. Прежде всего
ясно, что объединение двух простых множеств есть
снова простое множество. Поэтому всякая пара х, у^<&*
имеет в <^° верхнюю грань, совпадающую с суммой
х[]у. Ясно далее, что в оР есть нуль и единица: это
пустое множество Л и весь сегмент [а, Ь]. Теперь, взяв
произвольное е^еТ, представим его в виде объедине-
объединения конечного числа попарно непересекающихся от-
отрезков *)
п
e=\J lPk> Qkl Pi<Q\<P2<Q2< • • • <Яп-
Обозначим через е' объединение всех дополнительных
отрезков
где
Д* = [<7*> P*+il (£= 1, 2, ..., я-1),
f Л, если Pi = a,
° fa> PiL если Pi>a,
f Л, если qn = b,
А = i
I [<7*1 6]t если <7Л< b.
Ясно, что eV^/ = ^U^/ = [^, 6] и что пересечение е[\е'
не содержит никакого простого множества. Итак, е и е'
дизъюнктны. Мы доказали, таким образом, существо-
существование дополнения у любого е£^°.
Установим теперь существование нижней грани для
любых двух множеств ег, е2 е &*. Здесь нужна некоторая
осторожность, поскольку пересечение двух простых
множеств может не быть таковым (например, [а, с] и
[с, Ь\). Однако если мы обозначим через ё множество,
получаемое из ех П е2 удалением всех изолированных
*) Мы опускаем несложное доказательство возможности такого
представления.
§ 2] БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 35
точек, то, как легко понять, ё будет наибольшим про-
простым множеством, содержащимся одновременно в ех
и е2. Другими словами, ё есть нижняя грань ех и е2.
Итак, SP — структура с нулем, единицей и дополнениями;
осталось проверить ее дистрибутивность. Для любых
ех, е2, ез^<^ справедливо очевидное равенство
^i П (^2 U ^3) = (^i П ^2) U (^i П ^з).
Обозначив для краткости левую часть этого равенства
через А, а слагаемые в правой части — через В и С,
заметим, что простые множества ех A(e2Ve3), е\Ае2,
ех Л е3 совпадают с производными множествами *) для
А, В и С соответственно. Но производное множество
для А в силу равенства А = В[}С есть объединение
производных множеств для В и С. Другими словами,
ех А (е2 V ег) = {ех А е2) U (е{ А е3) = (ех А е2) V (ег Л е3)
и дистрибутивность установлена. Таким образом, &Р
есть булева алгебра. Однако S^ не есть алгебра мно-
множеств, поскольку, как отмечалось, совокупность про-
простых множеств не замкнута относительно пересечений.
Несмотря на существование подобных примеров,
можно показать, что всякая б. а. изоморфна некоторой
алгебре мнооюеств. Доказательство этого факта потре-
потребует от нас некоторых приготовлений.
5. Идеалы и фильтры. Говорят, что некоторое мно-
множество Е содержится в данной булевой алгебре &
нормально (или вложено в X нормально), если Е
непустой из у^Е, х^у следует х е Е. В этом случае
мы будем называть Е нормальным множеством. Нор-
Нормальное множество, содержащее верхние грани всех
своих конечных подмножеств, называется идеалом.
Лемма 2. Пересечение любой совокупности идеа-
идеалов, если оно непусто, само является идеалом.
Доказательство. Пусть К = {/} -^ класс идеалов,
А) = П /, /0 ф Л. Если х^у е /0, то х вместе с у при-
надлежит всем / е К, а значит, и пересечению /0. Итак,
*) Как обычно, мы называем производным для данного мно-
множества множество всех его предельных точек.
36 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. I
/0 —нормальное множество. Точно так же supremum
любого конечного подмножества множества /0 содер-
содержится в каждом идеале / е /С, а следовательно, и в их
пересечении /0. Лемма доказана.
Сопоставляя произвольному непустому множеству
ЕаЖ пересечение всех содержащих Е идеалов, мы
получим, очевидно, наименьший идеал, включаю-
включающий £; этот идеал мы будем обозначать %{Е} и назы-
называть идеалом, порожденным множеством Е.
В ряде случаев идеал %{Е} может быть описан
«конструктивно». Именно, справедлива
Лемма 3. Если множество Е нормально, то идеал
2> {Е} состоит из всевозможных верхних граней конечных
подмножеств Е.
Доказательство. Пусть Е* — совокупность всех
верхних граней содержащихся в Е конечных множеств.
Ясно, что Е*а%{Е}. Лемма будет доказана, если мы
установим, что Е* — идеал (напомним, что по опреде-
определению SfE}—наименьший среди содержащих £ идеалов).
Множество £*, как непосредственно следует из его
определения, содержит верхние грани всех своих ко-
конечных подмножеств; остается проверить его нормаль-
нормальность. Пусть *<#<=£*, У = У\ V у2у .. • V Ут, У и
у2, ..., ут^Е. Положив х\ = х А у{ {I = 1, 2, ..., т),
видим, что в силу нормальности Е все х'. принадлежат Е.
Далее,
x'{Vx'2V ... Vx'm = xA(yxVy2V ... Vym) = *Ay = x,
и поэтому х е Е*. Лемма доказана.
Наибольший интерес представляют идеалы, отлич-
отличные от Ж (то есть не содержащие единицы); их назы-
называют собственными идеалами.
Лемма 4. Для всякого не равного единице эле-
элемента u^iS существует собственный идеал, содержащий
этот элемент.
Доказательство состоит в прямом указании
искомого идеала. Легко проверить, что множество
удовлетворяет всем поставленным требованиям: оно
содержит и и является собственным идеалом. Идеалы
I 3] БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 37
вида SCU (мы сохраним и впредь такое обозначение)
называются главными. К их числу принадлежит и сама
б. а. *#* (рассматриваемая как главный идеал Ж\).
Простейший пример. В булевой алгебре вида 2Q
(равно как и в любой алгебре множеств) главный
идеал &и представляет собой совокупность всех мно-
множеств, содержащихся в множестве и.
Выясним условия, при которых идеал 3{£} является
собственным. Ограничимся случаем, когда Е нор-
нормально.
Лемма 5. Пусть Е нормально, и для любого ко-
конечного подмножества Е'аЕ идеал %{Е'} является
собственным. Тогда идеал %{Е} собственный.
Эта лемма— непосредственное следствие леммы 3.
Действительно, еслиЗ{£} содержит единицу, то найдется
конечное подмножество Ег с: Е с верхней гранью, равной
единице. А это означает, что идеал %{Е'} несобственный.
Несмотря на свою простоту, лемма 5 в дальнейшем
будет весьма полезна.
Среди собственных идеалов особую роль играют те,
которые не содержатся ни в каком существенно более
широком собственном идеале; такие идеалы называются
максимальными. Отметим важнейшие их свойства.
Лемма 6. Для всякого собственного идеала I суще-
существует максимальный идеал, содержащий I.
Доказательство основано на применении леммы
Куратовского — Цорна. Рассмотрим произвольную ли-
линейно упорядоченную по включению совокупность соб-
собственных идеалов. Ясно, что теоретико-множественное
объединение идеалов этой системы снова является
собственным идеалом. Видим, что в упорядоченном
по включению множестве всех собственных идеалов
данной алгебры любая цепь ограничена сверху. По
лемме Куратовского — Цорна любой идеал может быть
погружен в максимальный.
Сопоставлением лемм 4 и 6 доказывается
Лемма 7. Всякий элемент х Ф 1 содержится в не-
некотором максимальном идеале.
Лемма 8. Каковы бы ни были максимальный
идеал I и элемент и, один из двух элементов и} Си дол-
должен принадлежать I.
38 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. Т
Доказательство. Пусть иф1, Си^1\ тогда
и< 1, Си< 1. Рассмотрим главный идеал Г = ^и и обра-
образуем множество К = / V /*, состоящее из всевозможных
верхних граней вида х V **, х е /, jc* e /*. Покажем,
что /С представляет собой идеал. Начнем с проверки
нормальности вложения. Пусть z^iw<=K. Элемент до
представим в виде
w = у V у*, у е /, #* е/*.
Тогда элементы
x = z Ay, x* = z Ay*
принадлежат соответственно идеалам / и /* (ввиду
нормальности последних). В то же время мы имеем
г = г д до = г А (у V у*) = (z Л у) V (z Л Л = х V **,
откуда видно, что z e /С. Установив нормальность, по-
покажем, что Д" содержит верхние грани всевозможных
пар своих элементов. Пусть v, w e K\ тогда
у = х у л:*, до = у V ^/*; х, у<Е=1, х\ у* е= /*,
vVw = (xVx*)V(yV У*) = {xVy)V (х* V Л е /С.
Итак /С — идеал. Если допустить, что 1 е /С, то найдутся
такие элементы v* е /, до' е /*, что y/V^/=l. Но
w'^iu, поэтому v'^Cu и элемент Си должен входить
в / вопреки предположению. Таким образом, /С есть
собственный идеал, притом существенно более широкий,
чем /. Это невозможно в силу максимальности по-
последнего. Лемма доказана.
Следствие. Если максимальный идеал I содержит
пересечение двух идеалов 1Х и /2, то он обязан содер-
содержать хотя бы один из этих идеалов целиком.
Действительно, в противном случае нашлись бы
элементы хх е 1Х \ I и х2 s /2 \ /. По только что до-
доказанной лемме Схх е /, Сх2^1] кроме того, очевидно,
^A^e/jfl^c:/. А тогда 1 = Схх V Сх2 V (#i Л х2)^1,
что невозможно, так как идеал / собственный.
Установленное сейчас следствие сохранит силу,
разумеется, и для любого конечного числа идеалов.
Лемма 9. Элементы и, Си не могут одновременно
принадлежать собственному идеалу.
§ 3] РЕАЛИЗАЦИЯ Б. А В ВИДЕ АЛГЕБРЫ МНОЖЕСТВ . 39
Эта лемма очевидна.
Фильтром называется множество, двойственное
к идеалу. Точнее, множество F есть фильтр, если I = CF
является идеалом. Если / — максимальный идеал, то и
фильтр называется максимальным. Любая теорема об
идеалах имеет двойственный аналог в виде соответст-
соответствующей теоремы о фильтрах, и наоборот. Фильтр,
двойственный собственному идеалу, называется собст-
собственным или центрированным. Такой фильтр не содержит
нуля.
§ 3. Реализация булевой алгебры
в виде алгебры множеств
1. Вполне несвязные топологические пространства.
Рассмотрим некоторое топологическое пространство R.
Пусть © — некоторая совокупность его открытых
множеств, содержащая R. Может ли такая система
быть алгеброй множеств? Для этого, во всяком случае,
необходимо, чтобы она содержала теоретико-множест-
теоретико-множественные дополнения всех входящих в нее множеств.
А это может быть лишь тогда, когда все Gg® замк-
замкнуты и открыты одновременно. Такие множества на-
называются открыто-замкнутыми. Очевидна
Теорема 5. Система всех открыто-замкнутых мно-
множеств произвольного топологического пространства есть
алгебра множеств.
Однако в тех топологических пространствах, с ко-
которыми чаще всего имеют дело, например, в матема-
математическом анализе, открыто-замкнутых множеств бывает
мало, обычно два» все пространство и пустое множество.
Для того, чтобы алгебра открыто-замкнутых множеств
была нетривиальной, необходимо наложить на прост-
пространство R дополнительные ограничения. Будем говорить,
что R вполне несвязно, если открыто-замкнутые мно-
множества образуют его базис (то есть всякое открытое
множество есть сумма открыто-замкнутых). Условие
вполне несвязности обеспечивает наличие в R «доста-
«достаточного» числа открыто-замкнутых множеств. Мы пока-
покажем далее, что всякая б. а. изоморфна алгебре открыто-
замкнутых множеств некоторого топологического
40 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. Т
пространства R. При этом само R может быть выбрано
весьма «хорошим», именно компактным.
2. Теорема М. Стоуна. Мы докажем теперь основ-
основную теорему о реализации булевых алгебр, принад-
принадлежащую М. Стоуну.
Теорема 6. Какова бы ни была б. а. Ж, суще-
существует вполне несвязный компакт &, алгебра всех
открыто-замкнутых множеств которого изоморфна X.
Доказательство. Образуем множество Cl = {^},
элементами которого будут все максимальные идеалы
булевой алгебры X. Выделим в Q класс подмножеств,
естественно связанных с идеалами исходной алгебры.
Именно, с каждым идеалом / свяжем множество 9№(/)
всех максимальных идеалов, содержащих /. Установим
прежде всего некоторые важнейшие свойства этих
множеств.
1°. Для любого множества cf идеалов справедливо
равенство
Обозначив для краткости через Р и Q соответственно
левую и правую части написанного равенства, пред-
предположим вначале, что максимальный идеал q принад-
принадлежит Я. Это означает, что q => (J /, а значит, q
содержит и наименьший идеал, включающий все /е^,
то есть идеал 3{ \Jl}- Иными словами, получаем
^eS№C{(J/})=Q и P^Q- Пусть теперь </e=Q.
Расшифровывая это включение, получаем
Таким образом, QcP. Утверждение 1° доказано.
2°. Каковы бы ни были два идеала 1{ и /2, всегда
§3] РЕАЛИЗАЦИЯ Б. А. В ВИДЕ АЛГЕБРЫ МНОЖЕСТВ 41
Как и в предыдущем рассуждении, обозначим части
доказываемого равенства через Р и Q. Каждый q&P
содержит либо Ii9 либо /2, а значит, и их пересечение.
Поэтому (/gQ hPcQ. С другой стороны, если q e Q,
то IiOh^Q- По следствию из леммы 8 (стр. 38) один
из идеалов 1и /2 должен содержаться в q. Это и означает,
что q^Tt(I{) U ЗК(/2) = Р. Итак QcP и равенство
доказано.
Отметим, что в случае собственного идеала / мно-
множество 9№(/) обязательно непусто в силу леммы 6.
Если же 1 = Х, то, разумеется, 3№(/) = Л.
Среди множеств вида Tt(I) наибольший интерес
представляют те, которые соответствуют главным
идеалам, или, что то же самое, элементам алгебры X.
Условимся обозначать
Оа = Ш(Ха)9 (IX)
Gu = &\Gu. (IX')
В силу лемм 8 и 9 при каждом и^Х справедливо
равенство
G'u = Gcu, (IX")
которое показывает, что множества вида (IX) образуют
тот же самый класс, что и множества вида (IX'). Мы
будем обозначать этот класс через Г, а входящие
в него множества называть базисными. Покажем, что
Г — алгебра множеству изоморфная б. а. X.
Определим отображение ф булевой алгебры X на
естественно упорядоченную систему множеств Г фор-
формулой
и проверим, что это отображение есть изоморфизм.
Прежде всего отметим, что Г, очевидно, исчерпы-
исчерпывается элементами вида ф(#). Далее, пользуясь свой-
свойством нормальности идеала, заключаем, что неравенство
Х^У влечет включение G'x<^Gy. С другой стороны,
если v = Cy Л х>0, то по леммам 7 и 9 най-
лется максимальный идеал q, содержащий Cvy но
42 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. Г
не Су*). Тогда Gx z> G'v и G'v ф Gy, то есть Gx q£ Gy. Мо-
Можем заключить, что включение Gx^.Gy в свою очередь
влечет неравенство х^.у. Итак, эти соотношения равно-
равносильны и отображение ф сохраняет порядок и взаимно
однозначно. Мы доказали, что упорядоченная по включе-
включению система Г изоморфна булевой алгебре X. Покажем,
что эта система представляет собой алгебру множеств
(из предыдущего вытекает лишь, что Г есть булева
алгебра). Из равенств (IX'), (IX") следует, что
Ф (С*) = Gcx = G \ GCx = а \ Gx = G \ ф (*),
поэтому вместе с каждым множеством система Г со-
содержит и его теоретико-множественное дополнение.
Установим тождество
<р(м) П ф(о) = ф(иЛ v), (*)
которое можно записать в виде
GU(]GV = GuAv
или
я» (& си) п эк (jtCv) = m (яСа v Cv).
Видим, что (*) вытекает из 1°, поскольку ^cavcv^
= 3 {•#*(?« U •#*(>}• Равенство (*) показывает, что система Г
замкнута относительно пересечений. Этого уже доста-
достаточно, чтобы утверждать, что Г—алгебра множеств.
Теперь введем в Q топологию, объявив замкнутыми
все множества Ti(I) и только их. Утверждения 1° и 2°
показывают, что совокупность таких множеств замкнута
относительно пересечений и конечных объединений,
а это все, что требуется при введении топологии (см.
приложение). При этом базисные множества оказываются
в силу формулы (IX") не только замкнутыми, но и
открытыми. Легко понять, что система Г есть базис
нашей топологии. Действительно, каждое открытое
множество имеет вид О\ЭК(/); оно состоит из всех
максимальных идеалов, не содержащих идеала /. Но
*) В качестве q можно взять произвольный максимальный
идеал, содержащий у.
$ 3] РЕАЛИЗАЦИЯ Б. А. В ВИДЕ АЛГЕБРЫ МНОЖЕСТВ 43
не включать идеал / могут те и только те максималь-
максимальные идеалы, которые содержат дополнение хотя бы
одного из его элементов (леммы 8 и 9). Поэтому
Мы видим, что всякое открытое множество есть объе-
объединение базисных, а введенная нами топология дейст-
действительно порождается системой Г; этим, кстати, и оп-
оправдан термин «базисное множество». Поскольку базис
топологии состоит из открыто-замкнутых множеств,
пространство & вполне несвязно.
Итак, уже установлено, что исходная булева
алгебра X взаимно однозначно с сохранением порядка
отображается на некоторую алгебру множеств, состоя-
состоящую из открыто-замкнутых множеств вполне несвязного
топологического пространства П.
Покажем, что относительно введенной топологии &
оказывается компактом. Нужно проверить наличие двух
свойств: отделимости и компактности. Пусть qb q2 —
различные точки D, то есть различные максимальные
идеалы. Существует элемент и е X такой, что u^qx \ q2.
Тогда в силу лемм 8и9Сме^2\д,. Другими словами,
q{^GUi q2^Gca- По лемме 9 множества Gu и GCa
не могут иметь общих элементов, поэтому они отделяют
точки ql9 q2 и в О. выполнена аксиома Хаусдорфа.
Установим теперь компактность &.
Пусть имеется система n = {F} замкнутых множеств,
любая конечная подсистема которой имеет непустое
пересечение. Покажем, что непусто и пересечение всей
системы я; это и будет означать компактность &.
В соответствии с 1° имеем
где я* — совокупность всех идеалов, соответствующих
множествам системы п. Если допустить, что рассмат-
рассматриваемое пересечение пусто, то идеал 3 { (J /} является
/ЕЯ*
несобственным. Тогда по лемме 5 найдется конечный
набор идеалов /lt /2, ..., lm e я*» объединение которых
44 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. I
также порождает несобственный идеал*). Вновь исполь-
используя 1°, убеждаемся в пустоте пересечения
Л зад,
что невозможно, так как 3№(/^)ея (&=1, 2, ..., т).
Доказательство будет завершено, если мы убедимся
еще в том, что других открыто-замкнутых множеств,
кроме множеств GXi компакт О. не содержит. Но это
очевидно, поскольку в силу компактности всякое открыто-
замкнутое множество есть сумма конечного числа ба-
базисных множеств вида Gx. Теорема доказана полностью.
Построенный в ходе доказательства изоморфизм ф мы
будем в дальнейшем называть каноническим; компакт
же Q иногда будем обозначать через &[•#"].
Алгебра открыто-замкнутых множеств компакта &,
как принято говорить, реализует исходную булеву
алгебру X. Наряду с ней можно, как всегда, рассма-
рассматривать и «функциональную» реализацию X в виде
алгебры характеристических функций открыто-замкну-
открыто-замкнутых подмножеств G. Заметим, что все такие функции
являются непрерывными. Каждому максимальному
идеалу q^& соответствует множество функций, обра-
обращающихся в нуль в точке q.
Нетрудно доказать, что вполне несвязный компакт,
участвующий в реализации, определен с точностью до
гомеоморфизма. Подобные компакты называются «бу-
«булевыми» или «стоуновскими пространствами».
Следует отметить плодотворность идеи, заложенной
в теореме М. Стоуна. Пространства максимальных
идеалов широко используются при реализации норми-
нормированных колец. Сходные мотивы содержатся в по-
построенной Э. Чехом теории компактных расширений
вполне регулярных топологических пространств.
Иногда теорема о реализации выступает как основ-
основное орудие исследования булевых алгебр. Мы в настоя-
настоящей книге не идем этим путем. На наш взгляд, исполь-
*) Лемма 5 применима, так как объединение идеалов есть нор-
нормальное множество.
§ 8] РЕАЛИЗАЦИЯ В. А. В ВИДЕ АЛГЕБРЫ МНОЖЕСТВ 4б
зование теоретико-множественных реализаций, в осо-
особенности такой реализации, как стоуновская, далеко не
всегда способствует наглядности. Концепция «абстракт-
«абстрактной» булевой алгебры более удобна, когда речь идет
о принципиально трудных проблемах -теории. Однако
в ряде случаев представление булевой алгебры в виде
алгебры множеств весьма полезно. В частности, воз-
возможность такого представления позволяет интерпрети-
интерпретировать любое соотношение, связывающее конечное
число элементов алгебры, как соотношение между мно-
множествами. Доказательство разнообразных тождеств и
неравенств сводится тем самым к доказательству тео-
теоретико-множественных включений и практически может
быть заменено рассмотрением достаточно общих черте-
чертежей («диаграмм Эйлера — Венна»).
3. Некоторые полезные тождества и неравенства.
Приведем ряд соотношений, справедливых в любой б. а.
Их доказательство может быть без труда проведено
по схеме, предложенной в конце предыдущего пункта.
1°. х = \у-\х-у\\.
2°. \х V у-х Vz|<|z/-z|.
3°. \х Лу-х Az|<|z/-zl.
4°. х < у V I х - у |.
5°. \х-у\ = хУ у — х /\у.
6°. \х-уШх-х\У\2-у\.
7°. (х А Су) V (С* Л у) V (Сх Л Су) = С (х Л у).
8°. \x\J y-z\J a\<,\x-z\\J \у-и\.
9°. \х Лу-z Au\^\x-z\V\y-u\.
10°. xVy = (x\y)\(x\y).
ц°. хЛу = (х\х)\(у\у).
12°. Сх = х\х.
Здесь | — символ введенной в п. 2 § 2 операции
Шеффера. Мы уже упоминали, что через эту операцию
могут быть выражены остальные булевы операции V,
Л, С. Об этом и говорят тождества 10°—12°. Эти соот-
соотношения бывают полезны при построении электриче-
электрических схем.
46 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. Г
§ 4. Компоненты и дизъюнктные разложения
1. Дизъюнктные дополнения множеств-. Рассмотрим
произвольное множество Е элементов некоторой б. а. 3?.
Совокупность всех х е S£, дизъюнктных множеству Е
(то есть дизъюнктных каждому у^Е), называется
дизъюнктным дополнением множества Е и обозначается
через Ed. Если Ed состоит только из нуля, то говорят,
что Е полно в X. Перечислим важнейшие свойства
дизъюнктных дополнений. В дальнейшем вместо (Ed)
пишем £dd.
1°. Е\ czE2 влечет Ed zd E%.
2°. Дизъюнктное дополнение всегда нормально.
3°. Включения y^Es и Cy^Ed равносильны.
4°. Всегда EczEdd.
Эти свойства проверяются непосредственно.
5°. Если существует sup Et а элемент у принадле-
принадлежит £d, то ydsupE.
Доказательство основано на усиленном дистрибу-
дистрибутивном законе (VII). Имеем у A sup Е = sup (у А Е) = 0.
6°. Если £,c£d и существует sup Eu то sup Ex e Ed.
Действительно, если £1cz£d, то Е cz(E{)d и по 5° ка-
каждый х е Е дизъюнктен элементу supf^. Это и озна-
означает, что smp E{^Ed.
7°. Если * = sup£f то C# = sup Ed.
p
Доказательство. Взяв произвольный у^Е,
имеем Сх А у < Сх А х = 0, откуда видно, что Сх е Ed.
С другой стороны, xdEd в силу 6°; дополнение же Сх
есть наибольший элемент, дизъюнктный я, поэтому
Cxs=(Ed)snEd и Сх = sup Ed.
8°. Дизъюнктное дополнение любого множества есть
идеал.
Это почти очевидно: если х^.у и ydE, то xdE;
если х, ydE, то, используя дистрибутивность, легко
показать, что (jc V y)dE.
9°. Дизъюнктное дополнение главного идеала Xи
совпадает с главным идеалом ЖСи.
Доказательство. Пусть дан главный идеал Хи>
и — его наибольший элемент. Любой у е {Xa)d дизъюнк-
§ 4] КОМПОНЕНТЫ И ДИЗЪЮНКТНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 47
тен и и поэтому не превосходит Си. Это означает, что
(Xu)dczXCa. Обратное включение очевидно, и мы при-
приходим к равенству (Xa)d = XCti, которое требовалось
доказать.
10°. Пусть с£' — произвольный непустой класс под-
подмножеств X. Справедливо равенство
Доказательство. Всякий элемент, дизъюнктный
каждому Е е cf, дизъюнктен, очевидно, и их объедине-
объединению, поэтому (]Ed cz(\J E)d. Одновременно каждый
х, принадлежащий ({]E)d, и подавно принадлежит лю-
любому £d, а значит, и пересечению (]Ed. Видим, что
(\JE)dcz(]E . Остается сопоставить полученные вклю-
включения.
Приведем также лемму, полезную при доказатель-
доказательстве равенств типа # = sup£.
Лемма 10. Для того чтобы элемент у был верхней
гранью множества Е, необходимо и достаточно, чтобы
одновременно выполнялись соотношения ydE6 и CydE.
Доказательство. Необходимость непосред-
непосредственно вытекает из вышеприведенных свойств 5° и 6°.
Докажем достаточность. Если CydE, то в силу 3°
y^Es. Возьмем произвольный элемент z^Es. Его до-
дополнение должно, по тому же свойству 3°, входить в £d,
а так как ydEd, то ydCz или y^z. Тем самым ра-
равенство z/ = sup£ доказано.
2. Понятие компоненты. Множество Е называется
компонентой, если E = Edd. Для этого достаточно, чтобы
выполнялось включение E^Edd. Из свойства 8° дизъ-
дизъюнктных дополнений вытекает
Теорема 7. Всякая компонента есть идеал.
Действительно, по определению всякая компонента
есть дизъюнктное дополнение некоторого множества.
Обратная теорема неверна: не всякий идеал является
компонентой. Однако справедлива
Теорема 8. Главный идеал Хи всегда является
компонентой.
48 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. I
Доказательство сводится к простой ссылке на
свойство 9° дизъюнктных дополнений, согласно кото-
рому (S-u)d = ^Cu, (jrjdd B CCB B
В третьей главе мы охарактеризуем класс булевых
алгебр, в которых понятия компоненты и главного
идеала совпадают. Таковы, в частности, все алгебры
типа 2Q.
Приведем теперь теорему, которая обобщает пре-
предыдущую.
Теорема 9. Дизъюнктное дополнение любого мно-
множества есть компонента.
Доказательство. Нужно лишь доказать для
произвольного Е с: X включение £^ZD£ddd. Пусть
х е £ddd. Это означает, что *d£dd. Но поскольку EaEdd,
то и подавно xdE, то есть х е Ed. Теорема доказана.
Теорема 10. Пересечение произвольного непустого
класса компонент есть компонента.
Доказательство. Пусть К = {Е} — некоторый
класс компонент, Ео= f\ Е. Поскольку каждое Е
представляет собой компоненту, то E = Edd9 и, исполь-
используя равенство 10° (стр. 47), получим
По предыдущей теореме Ео — компонента.
Следствие. Для любого множества Е а X суще-
существует наименьшая компонента, содержащая Е.
Действительно, такой компонентой является пере-
пересечение всех компонент, содержащих Е. Ее называют
компонентой, порожденной множеством Е, и обозна-
обозначают ХЕ.
Укажем способ построения компонент вида ХЕ.
Оказывается, достаточно уметь строить дизъюнктные
дополнения.
Теорема 11. JPE = Edd.
Доказательство. Поскольку Е d есть компо-
компонента, содержащая Е, то ХЕ a Edd. С другой стороны,
ХЕ=>ЕУ значит (свойство 1°), JT£ = JT|d3£dd. Итак,
§ 4] КОМПОНЕНТЫ И ДИЗЪЮНКТНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 49
Выясним теперь, при каких условиях идеал 3?Е бу-
будет главным.
Теорема 12. Следующие три соотношения равно-
равносильны.
2) Хи = ХЕ,
3) ХСа = Е6.
Доказательство. Пусть выполнено 1). По
лемме 10 udEd и CudE, то есть us=E6d, Cu<=Ed. Из
первого включения следует XaczEdd\ из второго
XCuczE\ или*) Xa = {XCtlN=>E6d. Итак, Xa = E66 = XEt
и равенство 2) доказано. Выведем из него, в свою оче-
очередь, условие 3). Если Ха = ХЕ, то ХСа = {Xa)d = (XEf=*
= JElddd = £d) то есть мы пришли к равенству 3). Теперь,
опираясь на 3), докажем 1). Имеем CudE, udE6 (по-
(поскольку Ха = (&cuf = £dd)« Остается сослаться на
лемму 10. Итак, 1) влечет 2), 2) влечет 3), наконец, 3)
влечет 1). Следовательно, все три утверждения равно-
равносильны, и теорема доказана.
3. Главный идеал как самостоятельная булева
алгебра. Рассмотрим главный идеал Ха> порожденный
ненулевым элементом и. Это частично упорядоченное
множество с индуцированным извне порядком. Далее
ясно, что при таком упорядочении Xи является дистри-
дистрибутивной структурой с нулем и единицей, причем роль
единицы играет и — наибольший элемент компоненты Хи.
В Ж'а каждый элемент х имеет дополнение, которым
является разность и — х. Действительно, х V {и — х) = и,
х/\{и — Jt) = O. Итак, JPU есть булева алгебра относи-
относительно индуцированного из X упорядочения.
4. Операция проектирования в главный идеал. С ка-
каждым главным идеалом Жа связывается операция Ptt9
сопоставляющая каждому х е X элемент х Л и^ X а.
Ее называют операцией проектирования (или проек-
проектором) в главный идеал Ха. Ясно, что Ра есть изотопное
*) Используем свойство 9° дизъюнктных дополнений.
50 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ Г
отображение б. а. X на Хи. Очевидны также следую-
следующие свойства:
1°. Ра (х А у) = Ра {х) А Ри (у)',
* U \ V У) — •» ц \Х/ у 1 и \У),
QO Г) If** у\ — it Л /"* v •
4°. рц(\) = щ
5°. Р„ @) = 0.
Образ Ра (Е) = и А Е произвольного множества ЕаХ
называется проекцией, или следом множества Е в глав-
главном идеале Ха. Этот образ мы далее будем обозна-
обозначать через [Е]и.
5. Дизъюнктные разложения и соединения. Пусть
в булевой алгебре X выделено полное*) дизъюнктное
множество [/. Опираясь на лемму 10, легко показать,
что его верхняя грань существует и равна 1. Далее,
используя дистрибутивность, мы сразу убеждаемся, что
для любого х^Х справедливо равенство
jc = sup(jcA C/)= V Ра{х).
« е U
Говорят в этом случае, что система компонент {Хи}
образует дизъюнктное разложение булевой алгебры X,
а сама б. а. X есть соединение, или прямая сумма ком-
компонент этой системы. Записывают это формулой
(Используются также символы ©, ©2 и т. п.) Дизъ-
юнктлые разложения используются весьма часто для
представления данной б. а. в виде прямой суммы алгебр
более простой природы. Так, например, б. a. 2Q пред-
представляет собой прямую сумму главных идеалов, соот-
соответствующих отдельным точкам q^Q.
Изменим теперь постановку задачи. Пусть дано
произвольное множество 3 булевых алгебр. Рассмотрим
теоретико-множественное произведение % всех этих
алгебр. Это означает, что %={z} есть совокупность
всех заданных на 2 функций, обладающих свойством:
*) См. стр. 46.
§ 5] БУЛЕВА АЛГЕБРА КОМПОНЕНТ 51
для каждого Х^Е z(X)^X'. Введем далее в %
«естественный» порядок, условившись считать, что
Zj<z2, если при всех X ^Е z{(X)^z2(X) в смысле
имеющегося в X порядка. Читатель сам без труда
проверит, что при этом % будет превращено в булеву
алгебру, в которой роль единицы играет функция
zx (X) = 1#, а роль нуля — функция zo(X) = 0#. Каж-
Каждому Х0^Е соответствует в % главный идеал %«0, где
0х, если ХфХъ,
Uo при X = XQ.
Эта компонента, рассматриваемая как самостоятель-
самостоятельная б. а., очевидно, изоморфна алгебре Хо. Построен-
Построенная сейчас б. а. % называется соединением, или пря-
прямой суммой алгебр класса 3.
Ясно, что соответствующие этим алгебрам главные
идеалы образуют дизъюнктное разложение %. Обозна-
Обозначаются подобные соединения символом S X.
§ 5. Булева алгебра компонент
1. Основная теорема. Теорема 13. Пусть X —
произвольная б. а., X — совокупность всех ее компо-
компонент. При естественном упорядочении система X пред-
представляет собой булеву алгебру, в которой каждое мно-
множество имеет верхнюю и нижнюю грани.
Доказательство этой теоремы было во многом под-
подготовлено в предыдущем параграфе. Именно, мы уста-
установили, что в частично упорядоченном множестве X
всякое подмножество имеет грани. При этом нижняя
грань множества компонент совпадает с их пересе-
пересечением, а верхняя грань есть компонента, по-
порожденная объединением компонент данного
множества (§ 4, теорема 10 и следствие из нее).
Во избежание путаницы мы будем обозначать грани
в X знаками V и Л, отличными от ранее_принятых.
Итак, ^ — структура. Ясно также, что в X имеются
не совпадающие друг с другом нуль и единица: нулем
52 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. Т
служит компонента, состоящая из одного нуля, еди-
единицей—вся б. а. X. Докажем теперь, что дизъюнкт-
дизъюнктное дополнение Е6 произвольной компоненты Е явля-
является для Е дополнением в смысле упорядочения в X.
Прежде всего пересечение Е (] Ed состоит из одного
нуля; поэтому, вспоминая о смысле нижней грани,
заключаем, что Е П Ed = Е A Ed = 0^. Далее, легко
понять, что система £, Ed полна в X *), а значит,
единственная компонента, содержащая эту пару, есть
Х = \д (см. теорему 11). Итак,
то есть Ed — дополнение к Е. Остается доказать дистри-
дистрибутивность X. Пусть
А = (£, V Е2) АЕ3, В = (Е{ А Ег) V (Е2 А Е3).
Мы знаем (см. стр. 16), что достаточно доказать не-
неравенство А^В. Если это неравенство не выполнено,
то найдется элемент иеЛ\В, Покажем, что сущест-
существует ненулевой элемент w^u> принадлежащий Bd.
Действительно, в противном случае все элементы вида
и Л z, z e Bd, равнялись бы нулю. Это означало бы,
что и dBd, то есть и е Bdd = В, хотя и ф. В по пред-
предположению. Итак, требуемый элемент w существует.
Используя теорему 11 и вспоминая о смысле граней
в X, получаем
В = [(£, П Е3) U (E2 fl E3)]dd,
Bd = [{Е{ П Es) U (£2 П £s)]d.
Следовательно,
w е [(£, П £з) U (£2 П ^з)]' = 1(Ег U £2) П E3]d.
Мы знаем, что ^g/1 = (£,\/E2)A Es. Поэтому w^ESi
aiG^V £2- Последнее означает, что w ф{Ех U ^г^ и
существует отличный от нуля элемент w'^.w, принад-
*) Элемент, дизъюнктный сумме Е [} £d, дизъюнктен Е, по-
поэтому он входит в Ed, будучи при этом дизъюнктен Ed. Следова-
Следовательно, он равен нулю.
§ 5] БУЛЕВА АЛГЕБРА КОМПОНЕНТ 6S
лежащий El (J £2. Ясно, что w' е (£, U £2) П ^з и в то же
время w' е [(£, U £) П Е3]6У что невозможно, поскольку
о;' > 0. Полученное противоречие и доказывает нера-
неравенство Л<В, а вместе с ним и теорему 13.
Пример 11. Булева алгебра регуляр-
регулярных открытых множеств. Открытое множество G,
лежащее в произвольном топологическом пространстве,
называется регулярным, если оно содержит все внут-
внутренние точки своего замыкания, совпадая тем самым
с открытым ядром последнего. Так, регулярными будут
все открыто-замкнутые множества компакта П, постро-
построенного нами при доказательстве реализационной тео-
теоремы Стоуна (теорема 6 § 3). Сейчас мы будем рассмат-
рассматривать регулярные открытые множества на веществен-
вещественной прямой. Примером такого множества может служить
всякий интервал (а, р); напротив, открытое множество
вида (a, (J)U(Pi Y) не будет регулярным. Пусть (а, Ь) —
произвольный интервал, & — б. а. «простых» подмно-
подмножеств отрезка [а, 6], рассмотренная выше (пример 10,
стр. 33 — 35). Мы изучим вначале некоторые свойства
компонент этой алгебры.
Сопоставим каждому открытому множеству Gcz[a, b]
совокупность S^Q всех простых множеств, открытые
ядра которых содержатся в G.
Лемма И. Для того чтобы 3?0 являлось компо-
компонентой б. а. $°, необходимо и достаточно, чтобы G было
регулярно.
Доказательство. Необходимость. Пусть
S^Q есть компонента, А = (а, р) —произвольный интервал,
содержащийся в замыкании G. Рассмотрим дополни-
дополнительную к qPq компоненту Q. Покажем, что интервал А
не имеет общих точек ни с одним из простых мно-
множеств, являющихся элементами этой компоненты. Дей-
Действительно, в противном случае нашелся бы невырож-
невырожденный отрезок A*^Q, содержащий одну из точек
интервала А. Можно считать, что А* с: А.
Включение А с= G показывает, что для некоторого
промежутка Ag^0 пересечение АП А* должно быть
непусто и содержать внутренние точки. Но это не-
невозможно, так как А и А* принадлежат взаимно
54 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. Г
дополнительным компонентам и поэтому дизъюнктны.
Мы видим, что AGQd=<^0 и, следовательно, AcG.
Видим, что все внутренние точки множества G входят
в G, так что G регулярно.
Достаточность. Рассмотрим регулярное откры-
открытое множество G и покажем, что <^°0 является компо-
компонентой. Положим G/ = {ai b) \ G и рассмотрим произ-
произвольное простое множество ee(c9V)d. Так как е дизъ-
дизъюнктно всем элементам <^V> оно не может иметь общих
точек с G'. Следовательно, ea(at b)\G/ = Gi а ввиду
регулярности G все внутренние точки е принадлежат G.
Открытое ядро любого входящего в (<^V)d множества
будет, таким образом, содержаться в G. Это означает,
что (<^V)dc:<^V Вместе с тем, очевидно, справедливо
и противоположное включение S^G <= (<^V)d- Мы видим,
что &PG = (<^V)d- Будучи дизъюнктным дополнением,
<£Р0 является компонентой по теореме 9. Лемма до-
доказана.
Пусть теперь Q — произвольная компонента б. а. <^°.
Обозначим через G объединение всех открытых ядер
простых множеств, являющихся элементами Q.
Лемма 12. Справедливо равенство
Доказательство. Ясно, что QczgFq. С другой
стороны, внутренность всякого простого множества
e^epQ должна содержаться в G. Отсюда легко вы-
вывести, что е дизъюнктно всем элементам компо-
компоненты Qd и, следовательно, входит в Q. Итак, Q=S°
Леммы 11 и 12 показывают, что отображение G
устанавливает взаимно однозначное соответствие между
совокупностью всех регулярных открытых множеств
интервала (а, Ь) и булевой алгеброй компонент ал-
алгебры <^°. Ясно, что включения G\ a Gi и <^°g1c=<^0G2
равносильны. Поэтому, упорядочив по включению си-
систему регулярных открытых подмножеств интервала,
мы получим булеву алгебру, изоморфную алгебре ком-
компонент.
§ 6] АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ 55
Условимся обозначать б. а. регулярных открытых
подмножеств интервала @, 1) через Go. Эта алгебра
обладает многими интересными особенностями. От-
Отметим, в частности, что, будучи изоморфна алгебре
компонент, она обладает важнейшим свойством по-
последней: всякое подмножество Go имеет точные гра-
границы. Такие алгебры (их называют «полными») будут
подробно изучены в последующих главах.
§ 6. Аддитивные функции на булевых алгебрах.
Меры; связь с теорией вероятностей
1, Понятие аддитивной функции. Вещественная*)
функция ф, заданная на б. а. X, называется аддитив-
аддитивной, если для любой конечной дизъюнктной
системы Е элементов X выполняется равенство
ф( V хЬ 2 <р(*).
Ясно, что при доказательстве аддитивности можно
ограничиться случаем, когда Е состоит из двух эле-
элементов, поскольку к общему случаю легко перейти
простой индукцией. Очевидна
Лемма 13. Если ф аддитивна, то ф@) = 0.
2. Квазимеры. Аддитивная функция ф, заданная на
б. а. X, называется квазимерой, если все ее значения
неотрицательны. Всякая квазимера монотонна', если
у^х, то элементы х и у — х = у А Сх дизъюнктны,
поэтому
Покажем, что всякая б. а. обладает «достаточным
числом квазимер».
Теорема 14. Каковы бы ни были вещественное
число m и ненулевой элемент х булевой алгебры X,
существует заданная на X квазимера ф такая, что
W
*) В этой книге рассматриваются только конечные функции.
56 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. I
Доказательство. Удобно воспользоваться реа-
реализацией X в виде алгебры множеств*). Не умаляя
общности, можно считать, что S£ есть алгебра мно-
множеств, лежащих в некотором пространстве Q (напри-
(например, в стоуновском пространстве). Поскольку х > О,
то существует точка qo^x. Определим теперь квази-
квазимеру ф условием
f т, если q0 e= у9
0, если Чофу.
Ясно, что ф —квазимера и ф(л:) = т. Теорема доказана.
О построенной при доказательстве квазимере ф гово-
говорят, что она сосредоточена в точке qQ основного простран-
пространства. Наибольший интерес однако представляют квази-
квазимеры иного рода, к которым мы сейчас перейдем.
Прежде всего выделим класс существенно положи-
положительных квазимер, отнеся к нему те квазимеры, кото-
которые обращаются в нуль только на нулевом элементе
алгебры: ф(л;) = 0 влечет х = 0. Квазимеры, сосредото-
сосредоточенные в точках реализующего пространства, этим
свойством не обладают. На многих булевых алгебрах
существенно положительной квазимеры вообще не
существует. Сейчас мы выделим некоторый класс буле-
булевых алгебр, которому должна принадлежать любая ал-
алгебра, обладающая существенно положительной мерой.
3. Булевы алгебры счетного типа. Б. а. X называ-
называется булевой алгеброй счетного типа, если в ней не
существует несчетных дизъюнктных подмножеств.
Теорема 15. Если на б. а. X имеется сущест-
существенно положительная квазимера ф, то X — б. а. счет-
счетного типа.
Доказательство. Предположим, что теорема
неверна; тогда в X существует несчетное дизъюнктное
множество Е. Можно считать, что ЪфЕ. Определим
множества Еи Е2, ..., Еп, ... равенствами
-}Г> *-1. 2,...}.
*) Внимательный анализ показывает, что сама теорема 14 есть
не что иное, как замаскированная форма теоремы о реализации.
АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ 57
Справедливо равенство*) E=\jEn\ поэтому хотя бы
одно из множеств Еп несчетно, а значит, и бесконечно.
Пусть таким множеством является £„0. Подобрав на-
натуральное т так, чтобы выполнялось неравенство
m>no\|)(l), выделим в ЕПо подмножество Е\ содер-
содержащее ровно т элементов. Получим невозможное не-
неравенство
Полученное противоречие и доказывает теорему.
Теорема 15 указывает лишь необходимое усло-
условие наличия существенно положительной квазимеры.
В 1964 г. X. Гайфман построил весьма тонкий пример
б. а. счетного типа, не обладающей никакой сущест-
существенно положительной мерой **).
Читатель без труда докажет, что алгебра 2Q тогда
и только тогда является алгеброй счетного типа, когда
множество Q не более чем счетно.
4. Вполне аддитивные и счетно-аддитивные функции.
Заданная на б. а. X вещественная функция ф назы-
называется вполне аддитивной, если равенство
(х) (X)
выполняется для любого дизъюнктного множества
элементов Х9 имеющего supremum ***). Если потре-
потребовать, чтобы равенство (X) выполнялось для любого не
более чем счетного дизъюнктного множества £,
*) Именно здесь используется существенная положительность
квазимеры.
**) Гайфман [1].
***) Равенство S = 2 ф(а) означает, что для любого е > О
as A
существует такое конечное подмножество Ае cz А, что из вклю-
включения Ае cz A' cz А, где А' конечно, следует неравенство
|S— 2 Ф (a) I <е* (Знак суммы в последнем неравенстве ис-
ае=А'
толковывается обычным образом.) Подробнее о «суммируемых
семействах» можно прочитать в книге Н. Бурбаки [1].
58 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. I
то получим определение счетно-аддитивной функции.
Для алгебр счетного типа, разумеется, полная адди-
аддитивность и счетная аддитивность совпадают.
5. Понятие меры. Нормированные алгебры. Мерой
на б. a. X называется вполне аддитивная существенно
положительная квазимера.
Из теоремы 15 вытекает, что счетной аддитив-
аддитивности существенно положительной квазимеры доста-
достаточно для того, чтобы эта квазимера была «настоящей»
мерой.
Вероятностная мера —это мера \х, удовлетворяющая
условию: цA)=1. Если на б. а. X определена неко-
некоторая мера, то говорят, что X — нормированная (или
«нормируемая») булева алгебра. В такой алгебре,
разумеется, существует и вероятностная мера.
Нормируемая алгебра всегда является алгеброй
счетного типа, поэтому алгебра 2Q может оказаться
нормируемой только в случае конечного или счетного Q.
Покажем, что в этом случае мера действительно
существует. Для построения меры нужно сопоставить
каждому q e Q строго положительное число \ig, сделав
это так, чтобы сумма 2 М-? была конечна. (Напри-
Q
мер, если Q={?i, <72>-..h то можно взять \xqn = -^г
(п=1, 2, ...).) После этого, положив для произволь-
произвольного е cz Q
\i(e)= 2 IV
получим, как легко проверить, существенно положи-
положительную счетно-аддитивную функцию, то есть меру.
Пусть при этом множество Q конечно, m — число
его элементов. Тогда естественно положить \xqn = —
при всех /z:=lf 2, ..., ш. Соответствующую меру мы
будем называть основной; это важнейшая из вероят-
вероятностных мер, заданных на б. a. 2Q.
Примером ненормируемой алгебры может служить
любая б. а., не являющаяся алгеброй счетного типа,
например, б. а. всех борелевских (или измеримых по Ле-
§ 6] АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ 59
бегу) подмножеств отрезка. Примеры же ненорми-
руемых алгебр счетного типа имеют более тонкий ха-
характер. Об одном из таких примеров, принадлежащих
X. Гайфману, уже упоминалось. В главе VI мы пока-
покажем, что б. а. регулярных открытых множеств, рас-
рассмотренная в предыдущем параграфе, также может
служить подобным примером. Вопрос о том, является ли
та или иная б. а. нормируемой, принадлежит к числу
наиболее трудных и актуальных, поскольку нормиро-
нормированные алгебры образуют важнейший для приложений
класс булевых алгебр. Именно им и посвящена боль-
большая часть настоящей книги.
6. Булевы алгебры и теория вероятностей. Примеры,
приведенные в этой главе, показывают, сколь велико
многообразие интерпретаций, а стало быть и приложе-
приложений булевых алгебр. Важнейшую из таких интерпре-
интерпретаций мы указали еще во введении; это — интерпрета-
интерпретация булевой алгебры как системы событий. Поскольку
всякая б. а. изоморфна некоторой алгебре множеств,
можно при желании представлять себе «систему со-
событий» как совокупность множеств, лежащих в каком-то
основном пространстве Й. При этом для теории ве-
вероятностей важно, чтобы данная совокупность была
а-алгеброй *); заданная на этой а-алгебре счетно-адди-
счетно-аддитивная мера, грубо говоря, и есть вероятность. Таким
образом, отождествляются понятия «события» и изме-
измеримого множества, «меры» **) и «вероятности». Точки
пространства Q принято называть «элементарными со-
событиями».
Отождествление событий и множеств в простейших
случаях имеет весьма наглядную основу. Например,
наступление или ненаступление некоторого события е
удобно истолковывать как попадание или непопадание
«наудачу» выбранной точки шей в соответствующее
измеримое подмножество е a Q. Включение ех с: е2 озна-
означает, что событие е2 есть следствие события ех. («По-
(«Попадание» в ех влечет «попадание» в более широкое
множество е2.)
*) См. ниже, глава III, § 1.
**) Имеется в виду вероятностная мера:
60 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. I
Описанный сейчас подход к основным понятиям тео-
теории вероятностей стал после появления монографии
А. Н. Колмогорова [1] наиболее распространен-
распространенным. Он дает возможность непосредственно использовать
в теории вероятностей готовый аппарат теории меры и
интеграла, в частности произведения мер, теорему
Радона — Никодима (для определения условных вероят-
вероятностей) и т. п. Иногда даже говорят, что теория ве-
вероятностей превратилась в автономную часть общей
теории меры; при этом, однако, не учитывают, что сама
теория меры за последние десятилетия сильно изме-
изменила свое лицо, приобретая все более «вероятностную»
окраску.
Однако «множественная» или, как еще говорят,
«геометрическая» интерпретация теории вероятностей
имеет и слабые стороны, отмечавшиеся многими авто-
авторами*). Так, необходимым ее элементом является по-
понятие «элементарного события». Эти события, как пра-
правило, имеют нулевую вероятность, однако отличны
от «невозможного» события (пустого множества). Ве-
Вероятность не является вполне аддитивной функцией,
она лишь счетно-аддитивна. Нередко возникают пато-
патологические ситуации, связанные не с существом дела,
а с особенностями пространства Q, которое содержит
«больше» или «меньше» точек, чем нужно. Представ-
Представление реальных событий в виде измеримых подмно-
подмножеств некоторого пространства имеет подчас искус-
искусственный характер.
В этой книге развивается взгляд, согласно которому
именно «абстрактная» булева алгебра с вероятностной
мерой образуют адекватную математическую модель
того, что называется «системой событий». Многочис-
Многочисленные теоремы о представлении позволяют в случае
надобности переходить на языки конкретных реализа-
реализаций, используя факты, накопленные в других разделах
математики. Мы избегаем при этом «привилегирован-
«привилегированных» реализаций и стремимся вести все изложение
на чисто алгебраическом языке. Теория булевых алгебр
в настоящее время достаточно развита для этого.
*) А. Н. Колмогоров [2], Д. Капп ос [1].
I Л
АВТОМОРФИЗМЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
61
Весьма существенную роль в ее развитии сыграло
влияние функционального анализа, в частности теории
полуупорядоченных пространств.
Приведем в заключение таблицу, содержащую истол-
истолкование простейших соотношений между элементами
булевой алгебры как соотношений между событиями.
Таблица 2
Соотношение
#<*/
xdy
у = Сх (х = Су)
х = 0
х=\
z = xVy
z = x/\y
X
X
X
X
X
Z
Z
Е
Истолкование
влечет у
и у несовместимы
и у — противоположные
события
— невозможное событие
— достоверное событие
— сумма событий х и у
— произведение (совме-
(совмещение) событий х и у
— полная группа событий
§ 7. Автоморфизмы и инвариантные меры
Автоморфизмом б. а. & называется ее изоморфизм
на себя, то есть взаимно однозначное отображение X
на е#\ сохраняющее порядок. Совокупность всех авто-
автоморфизмов данной б. а. X представляет собой группу,
групповая операция которой («умножение») опреде-
определяется, как обычно:
(АВ)(х) = А(В(х)).
Эта группа, как правило, некоммутативна; роль
единицы играет тождественный автоморфизм Е:
62 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. I
Может случиться, что других автоморфизмов данная
б. а. не имеет вообще; вопрос об условиях существо-
существования нетривиальных автоморфизмов относится к чис-
числу весьма трудных*). Кроме группы всех авто-
автоморфизмов данной б. а., можно рассматривать
различные ее подгруппы; их и называют обычно
группами автоморфизмов. Особое значение имеют цик-
циклические группы, состоящие из степеней одного авто-
автоморфизма.
Укажем еще один важный класс групп автоморфиз-
автоморфизмов. Будем называть группу 21 эргодической, если для
любого х>0 выполняется равенство
V Ах = 1.
Если эргодическая группа состоит из степеней одного
автоморфизма, то этот автоморфизм также называется
эргодическим. Условие эргодичности имеет простой
смысл: оно означает, что любые два элемента х, у>0
могут быть «приведены в зацепление» с помощью не-
некоторого автоморфизма из данной группы, т. е. най-
найдется Ле21 такой, что Ах Л*/>0.
Компонента Y называется ^-инвариантной, если
Ах ^ Y при любых А е 2t, x e Y. Имеет место следую-
следующее предложение:
Лемма 14. Группа 21 эргодична тогда и только
тогда, когда единственная ненулевая %-инвариантная
компонента булевой алгебры Ж есть сама алгебра X.
Несложное доказательство этого факта мы предо-
предоставим читателю.
В качестве примера рассмотрим булеву алгебру 2Q.
Мы уже отмечали, что при всяком изоморфизме и,
в частности, при автоморфизме одноточечные подмно-
подмножества Q переходят в такие же одноточечные. Поэтому
*) Легко понять, что автоморфизмы б. а. находятся в естест-
естественном взаимно однозначном соответствии с гомеоморфизмами со-
соответствующего стоуновского компакта О, так что проблеме су-
существования нетривиального автоморфизма можно придать ч.'тто
топологический характер. См. Б. Й о не он [1], Л. Ригер [1],
М. Катетов [1].
§ 7] АВТОМОРФИЗМЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ 63
всякий автоморфизм нашей б. а. порождает взаимно
однозначное преобразование основного множества Q.
Верно и обратное: если ф — взаимно однозначное отобра-
отображение Q на себя, то, сопоставляя каждому £<=Q его
образ ф(#), получаем автоморфизм алгебры 2Q. Таким
образом, всякая группа 21 автоморфизмов алгебры 2Q
может быть отождествлена с некоторой группой 21 пре-
преобразований множества Q; эргодичность группы 21 озна-
означает, что любые две точки qu q2^Q могут быть со-
совмещены некоторым преобразованием из 21 (такие
группы преобразований называются «транзитивными»).
Группа всех автоморфизмов б. a. 2Q обязательно эрго-
дична\ несложное доказательство этого предложения
читатель найдет сам.
В общем случае лри переходе от данной подгруппы
к более широкой шансы на эргодичность повышаются;
однако даже группа всех автоморфизмов может
не быть эргодической.
Пусть 21 —некоторая группа автоморфизмов б. а. Х\
Ф — квазимера на X. Мы скажем, что ф есть %-инва-
риантная квазимера, если для любых 21-конгруэнтных
элементов х, j/gJ выполняется равенство ф(*) = ф(#).
(^-конгруэнтность х и у означает, что у = Ах при не-
некотором А е 21.) Если 21 — эргодическая группа авто-
автоморфизмов б. a. X = 2®, а ф — 21-инвариантная квази-
квазимера, то всем одноточечным подмножествам Q отвечает
одно и то же значение ф. При этом существенно поло-
положительная квазимера может быть 21-инвариантной,
только если Q — конечное множество; в последнем
случае она лишь множителем отличается от основ-
основной меры, рассмотренной нами в § 6. Итак, если 21
эргодична, то единственная %-инвариантная вероятност-
вероятностная мера на 2Q есть основная мера. Эта мера, сверх
того, очевидным образом инвариантна относительно
всех автоморфизмов вообще.
Далее мы еще вернемся к группам автоморфизмов
и инвариантным мерам. В частности, для общего слу-
случая будет доказана единственность вероятностной меры,
инвариантной относительно эргодической группы авто-
автоморфизмов (см. стр. 115—116).
64 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ [ГЛ. I
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
1. Доказать эквивалентность следующих утверждений:
а) булева алгебра SC конечна;
б) алгебра SC изоморфна некоторой алгебре вида 2**, где
Q — конечное множество;
в) всякий идеал алгебры SC является главным;
г) всякая система попарно дизъюнктных элементов SC конечна;
д) всякая квазимера на SC вполне аддитивна.
2. Доказать, что в случае бесконечной булевой алгебры система
всех открыто-замкнутых множеств стоуновского компакта не мо-
может являться а-алгеброй множеств.
3. Доказать, что мощность бесконечной алгебры совпадает
с топологическим весом реализующего ее компакта.
4. Доказать, что б. а. 2** обладает эргодическими автоморфиз-
автоморфизмами тогда и только тогда, когда множество Q не более чем
счетно.
5. Построить пример булевой алгебры, не имеющей ненулевых
компонент счетного типа.
6. Всякий идеал есть пересечение максимальных.
7. Для любой квазимеры м, и произвольных элементов
Х\, х2 хп справедливо равенство
ц (*! V х2 V . .. V хп) -
= S (- 1)р~] 2 м*, л *, л ... л xt i
р-1 1</,</2<...</р</1 1 2 р
8. Пусть [I—существенно положительная квазимера в б. а. ££.
Введем в ££ метрику формулой
р (х, у) = [i (| х—у |).
Показать, что если две метризованные таким образом б. а. изо-
метричны как метрические пространства, то они изоморфны
(И. Я. Дорфман).
ГЛАВАП
ОСНОВНОЙ АППАРАТ
Собранный в этой главе материал относится ко всем
без исключения булевым алгебрам. Читатель позна-
познакомится с основами «булевского аппарата», исполь-
используемого как в теории, так и в приложениях булевых
алгебр к задачам теории вероятностей, функциональ-
функционального анализа, логики, кибернетики.
§ 1. Подалгебры, образующие
1. Понятие подалгебры. Подмножество Хо булевой
алгебры X называется подалгеброй алгебры X, если
оно содержит 0 и 1 и замкнуто относительно основных
булевых операций V> Л, С: при х, у^Х0 должно
быть х V У у х Л у, Сх, Су е Хо. Ясно, что относительно
индуцированного извне порядка Хо будет булевой ал-
алгеброй с теми же нулем и единицей, что и X. Исполь-
Используя соотношения двойственности, легко показать, что
подмножество Хо будет подалгеброй уже тогда, когда
оно замкнуто относительно операций V, С или Л, С.
Наконец, обычная индукция показывает, что всякая
подалгебра содержит грани всех своих конечных под-
подмножеств.
Примеры, иллюстрирующие понятие подалгебры,
можно найти уже в предыдущей главе. Именно, в при-
примерах 5, 6, 7 мы по существу имели дело с подалгеб-
подалгебрами булевой алгебры X = 2Q. Вообще, всякая алгебра
множеств по определению есть подалгебра алгебры
2Q. В каждой б. а. X могут быть указаны две триви-
тривиальные подалгебры: все X и вырожденная подалгебра,
содержащая только элементы 0 и 1. Кроме того, вы-
выделим важный класс простейших подалгебр; мы будем
так называть подалгебры, содержащие ровно четыре
различных элемента. Каждая простейшая подал*ебра
имеет вид
Х' = {и, Си, 0, 1}, 0<и, Си<\.
66 ОСНОВНОЙ АППАРАТ [ГЛ. II
Она однозначно определяется по одному из элемен-
элементов и, Си.
Главный идеал Жи алгебры X, кач мы знаем, при
ифО является булевой алгеброй с индуцированным
извне упорядочением. Однако если иф\, то он
не будет подалгеброй. Это не мешает рассматривать
его подалгебры; мы будем называть их и-подалгеб-
рами б. а. %'.
С подалгебрами мы встречаемся весьма часто в раз-
различных жизненных ситуациях. Имея дело с какой-либо
совокупностью событий, мы, как правило, отбираем
(сознательно или бессознательно) некоторую часть этой
совокупности, состоящую из важных для нас событий.
Так, накануне тиража государственного займа владе-
владелец облигации думает не обо всех событиях, которые
произойдут завтра на тираже, но в первую очередь
о тех, в которых будет участвовать принадлежащая
ему облигация. При этом разумно выделенная часть
исходной системы событий должна представлять собой
подалгебру, иначе в ней будет «недоставать» событий.
2. Операции над подалгебрами. Система всех под-
подалгебр данной б. а. X естественным образом упорядо-
упорядочивается «по включению». Покажем, что при таком
упорядочении любой класс подалгебр будет иметь
верхнюю и нижнюю грани. Почти очевидна важная
Теорема 1. Каков бы ни был непустой класс
<f = {2/} подалгебр произвольной б. а. X, пересечение
2/0 = Q У представляет собой подалгебру.
Действительно, результат применения любой из бу-
булевых операций V, Л, С к элементам 2/0 должен, оче-
очевидно, содержаться в каждой из подалгебр класса g3,
а значит, и в их пересечении %. Кроме того, 0 и 1,
очевидно, входят в 2/0. Видим, что 2/0 —подалгебра.
Это наибольшая в смысле естественного упорядо-
упорядочения подалгебра, содержащаяся в каждой 2/ecf, дру-
другими словами, нижняя грань ef.
Пусть теперь Е — произвольное множество элементов
булевой алгебры X. Существуют подалгебры, содержа-
содержащие £, например, сама б. а. X. В силу теоремы 1 среди
таких подалгебр существует наименьшая; ее называют
§ 1] ПОДАЛГЕБРЫ, ОБРАЗУЮЩИЕ 67
подалгеброй, порожденной множеством Е. Мы будем
обозначать эту подалгебру символом •#*{£). Если
Е = ЕХ[} E2\J ... \JEn9 то будем иногда писать вместо
Я?(Е)
X( £2, ..., Еп),
а в случае одноэлементных множеств £, = {«J, ...
£ {}
Если <%'0 = <%' (Е), то множество Е называется систе-
системой образующих, а его элементы — образующими под-
подалгебры Хо. Аналогичная терминология и обозначе-
обозначения применяются для «-подалгебр. Наименьшая «-под-
«-подалгебра, содержащая множество Е, обозначается Ж'и (Е).
В простейшей подалгебре {и, Си, 0, 1} существует
система образующих, состоящая из единственного эле-
элемента и или Си. Простейшие подалгебры могут быть
полностью охарактеризованы как невырожденные под-
подалгебры с одной образующей. Упомянутый на стр. 66
владелец облигации интересовался «в первом прибли-
приближении» именно простейшей подалгеброй, содержащей,
кроме 0 и 1 («невозможного» и «достоверного» событий),
также события
« — «на данную облигацию падает ненулевой выигрыш»
и
Си — «данная облигация не выигрывает».
3. Подалгебры и разбиения. Условимся называть
разбиением элемента ,reJ всякое дизъюнктное не содер-
содержащее нуля множество хх, supremum которого равен х.
Сейчас нас в первую очередь интересуют разбиения
единичного элемента алгебры; обозначать их будем
символами т, i/, . .. и т. п. без индексов внизу.
С каждым конечным разбиением единицы т связы-
связывается некоторая подалгебра Х{х). Именно, в каче-
качестве Х{х) нужно взять совокупность всех элементов «#\
представляющих собой верхние грани подмножеств т.
Справедлива
68 ОСНОВНОЙ АППАРАТ [ГЛ. 1Г
Лемма 1. Х{Х) есть подалгебра X, изоморф-
изоморфная б. а. 2х.
Доказательство. Определим отображение ф
б. а. 2х в Х{х , положив для любого eczx
q>(e) = sup e
(напоминаем, что supremum пустого множества мы счи-
считаем равным нулю).
По определению Х{х каждый элемент, принадлежа-
принадлежащий этому множеству, имеет вид ср(е), где е cz т. Сле-
Следовательно, ф отображает 2х на Х{х). Ясно, что ото-
отображение ф изотонно: при е* cz e всегда ф(е')^ф(£)-
Если же е' ф. е, то найдется ненулевой элемент х0 е е' \ е.
Тогда xode и, очевидно, sup e'^ sup e. Видим, что нера-
неравенство ф(е')^ф(£) равносильно включению e'cze; по-
поэтому ф есть изоморфизм. Лемма доказана. Ее можно
доказать и для бесконечного разбиения, предположив
существование верхних граней всевозможных подмно-
подмножеств т.
Мы будем говорить, что подалгебра &{х) порождается
разбиением т. Оказывается, что таково происхождение
всякой конечной подалгебры.
Лемма 2. Для любой конечной подалгебры Жо
булевой алгебры X существует конечное разбиение
единицы т, порождающее эту подалгебру. ^0 = ^(т).
Доказательство леммы основано на следующем оче-
очевидном замечании: поскольку подалгебра &0 конечна,
то для всякого ее ненулевого элемента х можно ука-
указать элемент у е *#*0, удовлетворяющий неравенству
0<у^х и такой, что при 2gJo неравенство 0<z<y
невозможно. Множество всех таких у мы и возьмем
в качестве с. Ясно, что оно дизъюнктно, и всякий нену-
ненулевой элемент &0 (включая и единицу) есть верхняя
грань некоторого подмножества т.
С «вероятностной» точки зрения разбиение еди-
единицы т —это «полная группа событий»; обычно оно
связывается с некоторым «испытанием», определяющим,
какое именно из образующих т попарно несовместимых
событий на самом деле произойдет. При этом автомати-
§ 1] ПОДАЛГЕБРЫ, ОБРАЗУЮЩИЕ 69
чески определяются и исходы всех событий из под-
подалгебры Х{х)\ прочие же события таким испытанием
не затрагиваются. Мы видим теперь, как можно точно
осмыслить внематематическое понятие «испытания».
Говоря об «испытании», мы в математике всегда факти-
фактически имеем дело с некоторой подалгеброй, состоящей
из событий, исходы которых .этим испытанием одно-
одновременно определяются. Никакого другого математи-
математического содержания в понятии «испытания» нет, поэтому
естественно видеть именно в понятии подалгебры его
внутриматематический эквивалент *).
Легко привести пример подалгебры, порожденной
бесконечным разбиением. Так, рассмотренная в при-
примере 7 предыдущей главы булева алгебра представляет
собой подалгебру алгебры всех подмножеств квадрата,
порожденную разбиением этого квадрата на вертикаль-
вертикальные отрезки: любое объединение таких отрезков при-
принадлежит подалгебре, а других элементов она не со-
содержит.
Разумеется, далеко не всякая подалгебра поро-
порождается каким-либо разбиением, конечным или бес-
бесконечным.
В подалгебре, порожденной разбиением т, роль обра-
образующих могут играть сами элементы разбиения т.
Если их число равно п, то подалгебра содержит 2п
элементов. Нетрудно было бы показать, что меньшего
числа дизъюнктных образующих она иметь не может.
Если алгебра вида 2Q содержит N элементов, то
всякая дизъюнктная система ее образующих состоит
из \og2N элементов. Однако, ниже мы увидим, что,
отказавшись от требования дизъюнктное™, можно по-
построить для такой подалгебры и систему образующих,
содержащую примерно log2log2J/V элементов.
Сопоставляя леммы 1 и 2 с теоремой 4 предыду-
предыдущей главы, получаем следующее важное предложение:
Теорема 2. Две равномощные конечные булевы
алгебры изоморфны] всякая конечная булева алгебра
изоморфна одной из алгебр вида 2Q и число ее эле-
элементов имеет вид 2п (п=1, 2, ...).
*) И. М. Г е л ь ф а и д, А. Н. К о л м о г о р о в, А. М. Я г л о м [ I ].
70 ОСНОВНОЙ АППАРАТ [ГЛ.'II
4. Строение подалгебры, порожденной данным мно-
множеством. Пусть Е — непустое множество, ЯГ0 = & {Е) —
подалгебра, порожденная этим множеством. Из каких
элементов состоит эта подалгебра? Прежде всего она,
разумеется, должна содержать все элементы вида
Л и)л( Л Cv), (I)
где А и А' —конечные подмножества Е. Элементы, пред-
ставимые в форме (I), мы будем называть элементар-
элементарными полиномами', их множество обозначим через МЕ.
Кроме элементарных полиномов, в подалгебру входят
всевозможные верхние грани конечных подмножеств
множества МЕ, то есть элементы вида
п (г)
Л и) Л/ Л Cv\. (II)
Их можно записывать также в виде
м (г)
z = V («Л1 Л «*2 Л ... Л ukPk)/\(Cvk\ Л С^2Л ... Л Со*^),
AП
где
qk\ k=U 2, ..., /z(z))f
или еще проще:
Л B)
^ = V (шЛ1 Awk2A ... Л ) TT
а;Л/е£иС£, 1</<тЛ; ^=1, 2, ..., /i(z).
Элементы, представимые в форме (II) ((IIх), (И")),
называются полиномами *) (или булевыми полиномами).
Их множество условимся обозначать символом РЕ.
Исходное множество Е играет существенную роль в при-
приведенном сейчас определении; чтобы отразить эту роль,
*) Термином «полином» обозначают часто также опера-
оператор, определенный равенством (II); однако мы нигде не будем
Придерживаться такого толкования.
§ 1] ПОДАЛГЕБРЫ. ОБРАЗУЮЩИЕ 71
иногда говорят о «полиномах от элементов множе-
множества Е». Оказывается, что такими полиномами и
исчерпывается весь запас элементов подалгебры Хо.
Это станет ясным после того, как будет доказана
Лемма 3. Множество РЕ является подалгеброй.
Для доказательства достаточно убедиться, что РЕ
замкнуто относительно операций Л и С. Проще всего
усмотреть это из легко проверяемых тождеств:
Г п 1 Г m 1
V (им A uk2 Л ... Л ukPb) Л V (vi\ Л 0*2 Л ... Л vi(li)\ =
= V (uk\ Л uk2 Л ... Л Ukpk Л vi\ A vt2 A ... A viq})
1 < i < m
И
с|У(иыЛиЛ2Л •-. ЛиЛРл)| =
V (Сщь A Cu2k A ... Л Cunk ).
Если в этих тождествах взять в качестве uks, vtj произ-
произвольные элементы множества Е (J СЕ, то мы и получим
формулы, выражающие infimum'bi и дополнения эле-
элементов РЕ в виде полиномов от образующих.
Лемма доказана. Из нее непосредственно следует
теорема, описывающая строение подалгебры, поро-
порожденной данным множеством £.
Теорема 3. Подалгебра Х0 = Х(Е) по со-
составу совпадает с множеством РЕ всех полиномов
вида (II).
Действительно, из того, что РЕ — подалгебра и
Я£ с Jo, следует, что РЕ = Х0.
Из теоремы 3 вытекает очевидное
Следствие. Подалгебра, порожденная конечным
множеством, конечна.
Мы показали, что любой элемент подалгебры X {Е)
представим в виде верхней грани конечного числа
72 ОСНОВНОЙ АППАРАТ [ГЛ. If
элементарных полиномов. Такое представление имеет
дуальный аналог, который читатель найдет самостоя-
самостоятельно. Проиллюстрируем значение подобных пред-
представлений на примере булевой алгебры XQ всех
характеристических функций подмножеств Q. Учитывая
данное на стр. 15 и 26 истолкование булевских
операций в XQ, замечаем, что значение любой харак-
характеристической функции z^XQ(E) в произвольной
точке q e Q однозначно определяется по значениям,
которые в этой точке принимают «базисные» функции
из множества £. Это показывает формула (I). Если
интерпретировать элементы XQ как высказывания,
то можно сказать, что «истинность» или «ложность»
высказывания z однозначно устанавливается по истин-
истинности или ложности «базисных» высказываний, обра-
образующих множество £. Точно так же при «схемной»
интерпретации вопрос о том, замкнут или разомкнут
произвольный принадлежащий подалгебре контакт г,
может быть полностью решен, если известны состояния
всех «базисных» контактов из множества Е.
Пусть Е состоит из т элементов еи е2, ..., ет. Зна-
Значения этих характеристических функций в некоторой
точке qo^Q образуют конечный упорядоченный набор
нулей и единиц G = (el(q0), e2(q0), ..., em(qQ)), то есть,
иначе говоря, двоичное число. Общаясь с вычисли-
вычислительной машиной, мы обычно вкладываем в нее инфор-
информацию именно в форме таких чисел: для этого исполь-
используется т двоичных разрядов. Каждое двоичное число
несет в себе сведения о значениях всех функций
esX(£) в точке q0; чтобы эти сведения извлечь, нужно
представить z в виде полинома. Таким образом, число
образующих есть одновременно число двоичных раз-
разрядов, потребных для записи полной информации
о «состоянии нашей подалгебры в момент ^0», то есть
о значениях всех 2gXq(£) при q = q0. Нам, разу-
разумеется, хотелось бы обходиться возможно меньшим
числом разрядов, чтобы не перегружать память машины.
Поэтому возникает практически важная задача: вы-
выяснить, сколько элементов может содержать система
образующих.
§ !] ПОДАЛГЕБРЫ, ОБРАЗУЮЩИЕ 73
5. Системы образующих в алгебрах множеств. Мы
возвращаемся к алгебрам вида 2Q, считая множество Q
произвольным. Поставим вопрос: какая система
подмножеств может быть системой обра-
образующих в такой б. а.?
Определение. Говорят, что система ^ = {6} под-
подмножеств Q разделяет точки Q, если для любых раз-
различных точек qu q2^ Q можно указать множество ее^,
содержащее одну и только одну из этих точек.
Теорема 4. Пусть SC = 2Q, Q — конечное множе-
множество, (?={£} — система подмножеств Q. Для того чтобы cf
была системой образующих в X, необходимо и доста-
достаточно, чтобы она разделяла точки Q.
Доказательство. Необходимость. Пусть
qx, q2^Qy q\¥=q2- Одноточечные множества x-=-{q{},
y = {q2) входят в алгебру X как ее элементы. В силу
теоремы 3 элемент х представим в виде полинома
п
х = V Уъ гДе У и • • •» #&--элементарные полиномы. Ясно,
что х dy, поэтому ни одно из множеств yk не содержит
точки q2. В то же время по крайней мере одно из этих
множеств должно содержать точку qv Пусть q{^yk.
Элемент yk имеет вид
Уъ = е\ А е2 Л • • • Л ер Л Сер+1 А ... Л Сещ;
По крайней мере одно из множеств еи еъ ..., ет со-
содержит в точности одну из точек ql9 q2.
Достаточность. Поскольку каждый элемент
-tei1 есть объединение конечного числа одноточечных
множеств, наша цель будет достигнута, если мы по-
покажем, что при любом qo^Q одноточечное множе-
множество x = {q0} входит в подалгебру &{&). Система «f
разделяет точки; поэтому каждому q ф qQ можно сопо-
сопоставить множество eq, содержащее q0, не содержащее q
и такое, что либо eq, либо Ceq принадлежит 83. Обра-
Образуем пересечение г/ = /\еа. Ясно, что это элементарный
74 ОСНОВНОЙ АППАРАТ [ГЛ. 1Г
полином и что у = х. Теорема доказана. Присоединим
к ней
Замечание. При доказательстве теоремы в части
необходимости конечность Q не использовалась.
Важный пример системы, разделяющей точки, мы по-
получим, рассматривая булеву алгебру Х = 2®, где роль Q,
в свою очередь, играет совокупность 2Р всех подмно-
подмножеств некоторого множества Р; мощность Р обозначим
через л (не предполагая ее пока конечной). Тогда Q
содержит 2Л точек, а мощность алгебры X равна 22Jt.
Ясно, что разделять точки множества Q будет, на-
например, система всех одноточечных его подмножеств;
однако в данном случае можно указать и более «эко-
номную» разделяющую точки систему, содержащую
не 2Л, а всего л множеств. Именно, свяжем с каждым
реР подмножество Qpc=Q, состоящее из всех qaP,
содержащих элемент р:
Убедимся в том, что система <? всех множеств вида Qp,
р^Р, разделяет точки Q. Но это ясно, поскольку
точки Q представляют собой подмножества Р; если
qb q2^Q и ^1=7^=^2» то Найдется точка /?, принадле-
принадлежащая одному и только одному из множеств ql9 q2.
Теперь предположим, что л —конечная мощность.
Тогда, как следует из теоремы 4, система ^ будет
порождать алгебру X'. Вспомнив, что в силу теоремы 2
любая б. а., содержащая 22JT элементов, должна быть
изоморфна X, приходим к следующему заключению:
в конечной булевой алгебре, содержащей 22Jt элемен-
элементов, существует система, состоящая из л образующих.
Легко установить, что системы образующих с мень-
меньшим числом элементов в этом случае существовать
не может.
Пусть теперь ^ — произвольная конечная б. а.,
п — число ее элементов. Можно без труда показать,
что минимальное число образующих для такой алгебры
равно либо log2bg2tt, либо [log2 log2 n] + 1. Таков
на вопрос, поставленный нами в конце п. 4.
§ 21 БУЛЕВА АЛГЕБРА КАК АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 75
§ 2. Булева алгебра как алгебраическая система
1. Понятие булева кольца. Мы определили в главе I
понятие булевой алгебры как частично упорядоченного
множества, удовлетворяющего некоторым аксиомам.
Возможен и другой подход, при котором отправной
точкой является не отношение порядка, а система ос-
основных булевых операций, свойства которых и фикси-
фиксируются в аксиомах. При таком подходе булевы алгебры
оказываются кольцами специального вида. Это дает
возможность применить к булевым алгебрам известные
теоремы теории колец. Начнем с определения.
Булево кольцо — это ассоциативное кольцо с еди-
единицей, все элементы которого идемпотентны. Операцию
сложения в булевом кольце SC мы будем обозначать
знаком +2 (причины выбора этого обозначения станут
ясны несколько позже); умножение будем, как обычно,
обозначать точкой, которую иногда можно опускать.
Условие идемпотентности означает, что для каждого
Легко проверить, что булево кольцо всегда коммута-
коммутативно, и для любого ieJ выполняется равенство
Легко проверить, что булево кольцо всегда комм
тивно, и для любого ieJ выполняется равенство
х + 2* = 0.
Наш интерес к булевым кольцам объясняется сле-
следующей теоремой:
Теорема 5.
булевым кольцом
деленных равенствами
Наш интерес к булевым кольцам объясняется сле-
следующей теоремой:
Теорема 5. Всякая булева алгебра X является
булевым кольцом относительно операций +2 и •, опре-
определенных равенствами
х-у = х Лу.
При этом нуль и единица кольца совпадают с нулем
и единицей алгебры.
Доказательство сводится к простой проверке выпол-
выполнения аксиом булева кольца. Эта проверка несложна
и может быть целиком предоставлена читателю. Ясно,
например, что основное условие идемпотентности выпол-
выполняется, поскольку всегда
хх = х А х = х.
76 ОСНОВНОЙ АППАРАТ [ГЛ. 1Г
Верна и теорема, в некотором смысле обратная
теореме 5. Именно, всякое булево кольцо X можно
превратить в частично упорядоченное множество, усло-
условившись считать, что х^у, если ху = х. Оказывается,
что при таком упорядочении S£ будет булевой алгеб-
алгеброй, нуль и единица которой совпадают с нулем и еди-
единицей кольца.
Многое прояснится, если мы, воспользовавшись тео-
теоремой 1.6, реализуем алгебру S£ в виде системы от-
открыто-замкнутых множеств некоторого компакта Q и
рассмотрим совокупность E{SC) характеристических
функций этих множеств. Каждому х^& однозначно
соответствует характеристическая функция %е(Х) неко-
некоторого открыто-замкнутого подмножества е{х)а£х. Это
соответствие есть изоморфизм, если, как обычно, счи-
считать множество функций упорядоченным естественно.
Итак б. а. Е{Ж) всех характеристических функций
открыто-замкнутых множеств изоморфна исходной алге-
алгебре S£'. Превратим совокупность F всех вещественных
функций на G в кольцо, определяя в нем умножение
обычным образом:
9eCtf (III)
а сложение — как сложение по модулю 2:
(mod2) (IV)
(как известно, сумма по модулю 2 есть остаток от
деления обычной суммы на 2). Тогда Е{&) будет под-
кольцом кольца F, причем, как легко проверить, коль-
кольцевые операции сложения и умножения совпадают на
Е{Х) с операциями, определенными по формулам
), (IV).
Интерпретация алгебры логики как арифметики
вычетов по модулю 2 была дана в 1927 г. И. И. Же-
галкиным *).
Как читатель уже заметил, для обозначения буле-
булевой алгебры и соответствующего ей булева кольца
мы пользуемся одной и той же буквой J&T, обозначаю-
обозначающей одновременно само множество их элементов.
*) И. И. Жегалкин [1].
§ 21 БУЛЕВА АЛГЕБРА КАК АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 77
Эта обычная для математики неаккуратность не вызо-
вызовет никаких неудобств, но даст нам возможность при
изучении X пользоваться в зависимости от обстоя-
обстоятельств то «структурной», то «кольцевой» терминоло-
терминологией. Читатель сам составит словарь для перехода
с одного языка на другой. Так, термину «подалгебра»
полностью соответствует в «кольцевом» варианте тер-
термин «подкольцо». Некоторые же слова на обоих языках
звучат одинаково, например слово «идеал»: легко уста-
установить, что всякий идеал в смысле приведенного на
стр. 35 определения является идеалом в смысле тео-
теории колец, и наоборот.
2. Фактор-алгебры. Пусть ^ — булева алгебра,
/ — ее идеал, отличный от X. Введем в X отношение
эквивалентности, порожденное данным идеалом,
условившись писать х*уу, если \х — у\^1. Элементы х
и у будем при этом называть [-эквивалентными *).
Как обычно, при этом возникает разбиение всего
множества элементов X на непересекающиеся классы
эквивалентности, которые будем называть 1-классами.
Принадлежность элементов х и у одному такому классу
означает в точности, что они /-эквивалентны. Пусть
X = {х} — совокупность всех /-классов. Оказывается,
что эту совокупность можно естественным образом
превратить в булеву алгебру.
Теорема 6. Пусть х~х\ ууу'. Тогда выпол-
выполняются соотношения
а) СхуСх'\
б) х V уух' V*/';
в) х А у "у х' А у'.
Доказательство, а) очевидно, так как | х — х' | =
= | Сх — Сх' |. Для доказательства утверждений б) и в)
*) Определенное сейчас отношение действительно является
отношением эквивалентности: его симметричность и рефлексивность
очевидны, а транзитивность вытекает из неравенства
\х-у\<\х-г\ V \z-y\,
которое показывает, что при х ~ z, z~ у должно быть х ~ у.
78 ОСНОВНОЙ АППАРАТ [ГЛ. II
воспользуемся неравенствами Ь°, 9° (стр. 45)
\xVy-xfVy'\<t\x-x'lV\y-y'\,
\х А у - xf А у' \<\х - х' | V I у - У V
Если \х — х'\, \у — у'\^1, то, учитывая основное свой-
свойство идеала, заключаем, что
\xVy-x'Vy'\9 \x Ay-x' Ay'\^I,
что и требовалось установить.
Следствие 1. Если х'^у^х" и х'ух'\ то
у ух' и у ух".
Действительно, у = у V х'у У V х" = х". Аналогич-
Аналогично yyxf.
Следствие 2. Если х^у и х*'ух, то найдется
элемент у'^х\ 1-эквивалентный элементу у.
Таким элементом будет у'' = у V х'. Аналогично уста-
устанавливается
Следствие 3. Если х^.у и у'у у, то найдется
элемент x'^iy', ^эквивалентный элементу х.
Теперь введем в множестве классов эквивалент-
эквивалентности X частичное упорядочение, условившись считать,
что х^.у, если существуют элементы х^х, у^у, свя-
связанные неравенством х^у. (Мы используем один и тот
же символ ^ для X и &\ это не влечет никаких не-
неудобств.) В силу вышеприведенных следствий 2 и 3
при х^.у для каждого xei (каждого у^у) най-
найдется у'^у (/ei), удовлетворяющий неравенству
<* ()
у (#)
Докажем теперь, что введенное нами отношение ^
действительно является отношением порядка. Ясно, что
при Jc = y будет Jt^y и х^у. Пусть теперь выполнены
два последних неравенства. Для любого х^х найдутся
у\ у"^у, удовлетворяющие неравенству у'^х^у".
В силу следствия I х^у. Поэтому хау. Аналогично
xzdi/, и классы х, у совпадают.
Остается проверить транзитивность отношения ^.
Пусть x^i), y^iz. Взяв произвольный у^у, найдем,
пользуясь следствиями 2 и 3 из теоремы 6, элементы
jcgx, гей такие, чтобы выполнялось неравенство
§ 2] БУЛЕВА АЛГЕБРА КАК АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 79
Этим доказывается, что £<#. Итак, мы
действительно ввели в £* частичное упорядочение. Мы
увидим, что нами построена даже булева алгебра;
однако предварительно отметим важный для дальней-
дальнейшего факт.
Лемма 4. Пусть z~x\/y (z~xAy)\ тогда най-
найдутся такие элементы х'ух, у'~у, что z = x'\/y'
(z = x' Ay'Y
Приведем доказательство для случая верхней грани.
Оно сводится к указанию искомых элементов х\ t/.
Именно, можно положить
х' = х Az, у' = {у A z) V (z А С {х V у)).
Ясно, что x'\/y' = z\ кроме того, соотношения
\yf-y\ = {CzAy)V{zAC{x\/y))<:{CzA{x\/y))V
V(zAC(x\/ y)) = \xV y-z\t=I
показывают эквивалентность соответственно х и х\ у
и у'. Случай нижней грани рассматривается аналогично.
Теорема 7. Множество & является булевой ал-
алгеброй.
Доказательство. Прежде всего заметим, что
классы, содержащие 0 и 1, являются в X наименьшим
и наибольшим элементами, то есть нулем и единицей.
Первый из них совпадает с идеалом /, второй дуален
ему. Докажем существование граней. Пусть х, у^Ж;
z — /-класс, образованный всеми элементами вида х V у,
где х е #, у е у (это множество будет /-классом по
теореме 6 и лемме 4). Ясно, что z^x, у. Пусть теперь
й— какая-то верхняя граница для пары х, у. Выбрав
произвольно «представителя» и^й, найдем, используя
следствия 2 и 3 из теоремы 6, элементы х е к, у е у
такие, что х, у ^и. А тогда х V У ^и и х V У ^ z,
откуда ё^й, то есть z = sup{£, у}. Аналогично до-
доказывается, что класс {z\z = x А у, х е £, j/g^}
является нижней гранью пары к, $. Мы видим, что
^ — структура. Легко доказать ее дистрибутивность:
80 ОСНОВНОЙ АППАРАТ [ГЛ. II
для любых ху у, z классы (£ V у) A z и (х А 2) V {у A z)
состоят из всех элементов X вида {х V У) A z = (x A z) V
V {у A z) (iGi, у е //, zgz) и, следовательно, совпа-
совпадают. Остается убедиться в существовании дополнений.
Если IgJ, to совокупность всех Сху jcgx, будет по
теореме 6 /-классом. Обозначив его через х\ видим,
что грани х А хг и х V х! представляют собой /-классы,
содержащие 0 и 1, то есть нуль и единицу алгебры X.
Теорема доказана. Из ее доказательства легко усмот-
усмотреть смысл булевых операций V, Л,С в J: эти опе-
операции над классами могут истолковываться как
операции над множествами (см. стр. 23).
Булева алгебра X называется фактор-алгеброй
алгебры X по идеалу I и обозначается обычно симво-
символом 3£\1 *). Ее можно рассматривать и как фактор-
кольцо булева кольца Ж по идеалу /.
3. Гомоморфизмы. Пусть J и 2/- две булевы алгеб-
алгебры. Отображение qp б. а. X в б. а. 2/ называется
гомоморфизмом, если оно обладает следующими свой-
свойствами:
а) ср{х V У)
б) ф(^Лг/) = фМЛф{у);
в)
Другими словами, гомоморфизм — это отображение,
перестановочное со всеми основными булевыми опера-
операциями. Ясно, что если qp — гомоморфизм, то для любого
конечного множества ЕаХ будет
Ф (sup E) = sup ф (£), ф (inf E) ■■= inf ф (£).
Очевидны также равенства ф@) = 0, фA) = 1. (Как
обычно, мы используем для булевых операций, нуля
и единицы обеих алгебр X, 2/ одни и те же сим-
символы.)
*) Говорят обычно, что она получается из б. а. ££ «фактори-
«факторизацией по идеалу /».
§ 2] БУЛЕВА АЛГЕБРА КАК АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 81
Равенства
VCy)]
V у) = у[С(Сх ЛСу)]
показывают, что в определении гомоморфизма одно из
условий а), б) является излишним; достаточно прове-
проверить, например, выполнение равенств а) и в).
К числу основных свойств всякого гомоморфизма
принадлежит свойство изотонности: если х^.у, то
ФЙ = ф(х Л у) = у{х) Л Ф(#ХФ(*/)• (Заметим, однако,
что не всякое изотонное отображение одной б. а. в дру-
другую есть гомоморфизм.)
Ядром гомоморфизма qp называется множество
ф {
Очевидна
Лемма 5. Ядро всякого гомоморфизма есть идеал.
Ядро гомоморфизма ф состоит из одного нуля тогда
и только тогда, когда отображение ф взаимно одно-
однозначно. Такой гомоморфизм называется мономорфиз-
мономорфизмом. Если q>(X) = <2/, то говорят об эпиморфизме.
(Мономорфизм, являющийся одновременно эпиморфиз-
эпиморфизмом, представляет собой, очевидно, изоморфизм.)
Понятия гомоморфизма и фактор-алгебры тесно
связаны между собой. Эта связь описывается следую-
следующими теоремами о гомоморфизмах.
Теорема 8. Пусть Х — б.а., I — ее идеал. Ото-
Отображение ф, сопоставляющее каждому х е X I-класс х,
содержащий ху есть гомоморфизм б. a. X в фактор-
алгебру Х\1.
Этот гомоморфизм называется естественным гомо-
гомоморфизмом X в Х\1.
Теорема 9. Пусть X и У — булевы алгебры,
Ф — гомоморфизм X в *У\ I — ядро ф. Гомоморфный
образ у{Х) есть подалгебра б. а. 2/, изоморфная фактор-
алгебре Xjl.
Первая из этих теорем уже по существу была дока-
доказана вместе с теоремой 7, когда мы выяснили смысл
булевых операций в Х = Х\1. Остановимся на доказа-
доказательстве второй теоремы. Из определения понятия
82 ОСНОВНОЙ АППАРАТ [ГЛ. 1Г
гомоморфизма очевидно, что фО#*) есть подалгебра б. а.
2Л Ясно также, что каждый /-класс &^& при гомо-
гомоморфизме ф отображается в одну точку у^У, в то
время как образы элементов, принадлежащих различ-
различным /-классам, не могут совпадать*). Видим, что
/-классы — это полные прообразы точек множества ф(*#*).
Следовательно, гомоморфизм ф порождает взаимно
однозначное соответствие ф между Х\1 и ф(^). Если
#^Р> то существуют igjE, y^p, для которых будет
Ф (*) < Ф (#); поэтому ф(£)^ф(#). Аналогично, неравен-
неравенство х^у влечет ф (#) ^ ф (#). Мы доказали, что
ф —изоморфизм Х\1 на ф (*#*). Теорема доказана. Она
является частным случаем общей теоремы о гомо-
гомоморфизмах так называемых «универсальных алгебр» **).
Теорема 8 показывает, что со всяким идеалом б. а. X
связан некоторый гомоморфизм — именно, естественный
гомоморфизм этой алгебры в фактор-алгебру Х\1.
С другой стороны, по теореме 9 всякий гомоморфизм
может рассматриваться как гомоморфизм в некоторую
фактор-алгебру; соответствующий этой фактор-алгебре
идеал есть ядро данного гомоморфизма. Можно поэтому
сказать, что понятия идеала, фактор-алгебры и гомо-/
морфизма в некотором смысле эквивалентны друг
другу: изучение любого из этих понятий может заме-
заменить изучение остальных.
Еще один эквивалент понятиям идеала, гомомор-
гомоморфизма, фактор-алгебры мы получим, рассматривая
замкнутые подмножества реализующего данную б. а. X
стоуновского компакта &[*#*]. Действительно, вводя
в О. топологию, мы объявили замкнутыми все мно-
множества 9№(/), соответствующие идеалам, и только их ***).
Будучи замкнуто, каждое из этих множеств, рассма-
рассматриваемое как подпространство пространства П, есть
компакт и притом вполне несвязный. На компакт 9№(/)
можно смотреть как на стоуновский компакт, реали-
реализующий фактор-алгебру X\L Действительно, каждое
*) Если ф (xi) = Ф (*2)» то Ф ( I *i - *21) я 0 и хг~ х2.
**) А. Г. Курош [1], стр. 113.
***) Здесь и далее мы пользуемся введенными в главе I
(стр. 40) обозначениями.
§ 2] БУЛЕВА АЛГЕБРА КАК АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 83
ffl(I) состоит из всех максимальных идеалов, содержа-
содержащих /. Это означает, что при х е / соответствую-
соответствующее этому элементу открыто-замкнутое множество
y(x) = G'{x) целиком лежит вне 3№(/); объединение всех
таких множеств есть О\9№(/). Таким образом, пере-
пересекаться с 3№(/) будут те и только те открыто-замкну-
открыто-замкнутые множества, которые при каноническом изомор-
изоморфизме ф соответствуют элементам, не входящим
в идеал /. При этом соотношения
оказываются равносильными. Сопоставляя каждому
классу эквивалентности х е Х\1 не зависящее от выбора
элемента xGi пересечение ср(х)(]ШA)у мы получим
взаимно однозначное отображение фактор-алгебры ЯГ/1
на алгебру всех открыто-замкнутых множеств *) топо-
топологического пространства 3№(/), или, что то же самое,
на систему всех пересечений вида ф(л:) П 3№(/), х^ЯГ.
Отображение это есть порядковый изоморфизм, по-
поскольку, как нетрудно проверить, неравенство х^.р в точ-
точности равносильно включению ф (л:) П ЗК (/) с: ф (у) П Эй (/).
Мы установили, что алгебра открыто-замкнутых
множеств вполне несвязного компакта Tt(I) изоморфна
фактор-алгебре ЯГ/1. Таким образом, стоуновские ком-
компакты всевозможных фактор-алгебр б. а. ЯГ — это зам-
замкнутые множества компакта D [ЯГ]. Булева алгебра У
изоморфна некоторой фактор-алгебре алгебры Ж тогда
и только тогда, когда ее стоуновский компакт & [2/]
топологически вкладывается в Q [ЯГ].
4. Примеры фактор-алгебр. Многие булевы алгебры
строятся именно путем факторизации. Приведем прежде
всего важнейшую из подобных конструкций.
Пусть X — произвольная б. а., пг — квазимера на ЯГ,
Рассмотрим множество / всех элементов, имеющик
нулевую квазимеру:
1 = {х\шх = 0}.
*) Совокупность всех открыто-замкнутых множеств любого
топологического пространства всегда является алгеброй множеств.
84 ОСНОВНОЙ АППАРАТ [ГЛ ТГ
Ясно, что / представляет собой идеал. Образуем фактор-
алгебру & = Х\1. Пусть хг и х" — два /-эквивалентных
элемента; это означает, что т\ хг — х" | = 0. Неравенство
т {xf А х") < тх\ тх" < т {хг V *") =
= /и | х' - *" | + т \хг А х"\ - m (*' Л *") *)
показывает, что в этом случае тх' = тх". Определим
на фактор-алгебре X вещественную функцию т, поло-
положив для каждого x^JF m{x) равным общему значению
всех чисел т(х), х е £. Убедимся, наконец, в том, что,
так определенная функция т является существенно
положительной квазимерой на SC. Прежде всего про-
проверяем аддитивность. Пусть к и у — дизъюнктные эле-
элементы X, х и у — произвольно выбранные представители
этих классов. Имеем
Л (Л V y) = m(xVy) = m [(х А Су) + (х А у) + (у А Сх)] =
- т {х А Су) + т {х А у) + т {у А Сх).
Учитывая, что ввиду дизъюнктности х и у
т {х А у) = 0, тх = т(х А Су) + т (х А у) = т {х А Су),
ту = т{уА Сх) + т (у А х) = т (у А Сх),
получаем окончательно
m (£ V у) = тх + ту = тх + тр.
Итак, th — квазимера. Равенство т# = 0 означает, что
х = 1, то есть х совпадает с нулем алгебры &. Таким
образом, квазимера th существенно положительна. Мы
установили, что на фактор-алгебре SC\I = fc имеется
существенно положительная квазимера. Отсюда сле-
следует, что X — булева алгебра счетного типа.
Пример. Рассмотрим произвольное измеримое
пространство, то есть тройку {й, ef, m}, где й — не-
некоторое множество, *f— а-алгебра его подмножеств,
m — положительная счетно-аддитивная функция множе-
*) Пользуемся тождеством 5° (стр. 45).
§ 2] БУЛЕВА АЛГЕБРА КАК АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 85
ства, заданная на ef («мера»). Применяя предыду-
предыдущую конструкцию к алгебре с#* = ^\ образуем фактор-
алгебру & и определим на ней существенно положи-
положительную квазимеру /п. Легко проверить, что эта
квазимера на самом деле является мерой в смысле
приведенного в главе I, § 7 определения. Отметим
важнейшие частные случаи. Если в качестве X берется
алгебра всех измеримых по Лебегу подмножеств
отрезка [0, 1], а т — «мера» Лебега, то фактор-алгебра X
обозначается через Ео. Это наиболее важная из всех
булевых алгебр, встречающихся в анализе. Вместо
отрезка [0, 1] можно брать единичный куб в д-мерном
евклидовом пространстве; соответствующую фактор-
алгебру обозначаем Ео. (Таким образом, верхний
индекс, равный единице, можно не писать.) Все такие
б. a. .viы будем называть лебеговскими.
Можно, наконец, рассмотреть еще более общий
класс измеримых пространств. Пусть Г = {у} — произ-
произвольное непустое множество, й — совокупность всех
заданных на Г функций, значения которых лежат в от-
отрезке [0, 1]. Множество й есть произведение отрезков
/Y = [0, 1], у^Т\ оно обозначается символом й = йг =
= П 1у. Каждому конечному подмножеству Г'сГ
\'€5Г
можно сопоставить «частичное» произведение Qr =
= П Л» представляющее собой конечномерный единич-
ный куб. Взяв любое измеримое по Лебегу подмноже-
подмножество А этого куба, можем рассмотреть в Q цилин-
цилиндрическое множество СА с «основанием» Л, определив
его равенством
СА = АХ П /у = ЛХ
Y е Г \ Г'
Это означает, что
где © |г, — сужение функции © на множество Р. Легко
доказать, что совокупность Z всех определенных так
цилиндрических подмножеств пространства Q предста-
представляет собой алгебру множеств. Квазимера на этой
86 ОСНОВНОЙ АППАРАТ [ГЛ. И
алгебре вводится условием
тСА = тТ,А>
где mv, — «мера» Лебега в конечномерном единичном
кубе йг'. Это определение корректно, несмотря на то,
что каждое цилиндрическое множество имеет, как легко
понять, бесконечное число представлений в виде Сл,
A cz Г', с различными РсГ, Можно проверить, что
квазимера m удовлетворяет всем условиям классической
теоремы Лебега —Каратеодори *). Существует а-алгеб-
рае? и счетно-аддитивная положительная функция \х на^3,
причем ё* содержит Z и \хСА = пгСА для любого цилиндри-
цилиндрического множества **). Применяя к измеримому про-
пространству {й, £\ \х) описанный выше процесс фактори-
факторизации, получим булеву алгебру, которую будем обо-
обозначать через £г. На Ет имеется существенно поло-
положительная квазимера Д; мы увидим далее, что она
является и мерой в смысле данного в главе I опре-
определения. Если мощность Г равна Ка, то будем иногда
г г
вместо Е писать £а. В дальнейшем мы увидим, что
алгебра Eq при любом выборе Г изоморфна лебеговской
алгебре Ео.
Построенная выше фактор-алгебра X называется
обычно «алгеброй mod 0 измеримых множеств», или
«метрической структурой», ассоциированной с измери-
измеримым пространством {й, ^, гп}.
5* Построение гомоморфизма по его значениям на
образующих. Рассмотрим следующую задачу. Пусть
даны две булевы алгебры X и 2Л Предположим далее,
что Е — система образующих алгебры X, а ф0 —задан-
—заданное на Е отображение, значения которого лежат в 2/.
Требуется выяснить, при каких условиях существует
гомоморфизм из X в 2/, совпадающий с ф0 на Е. Ответ
дает следующая теорема, принадлежащая Р. Сикор-
скому ♦♦*).
*) Доказательство этой теоремы читатель сможет найти
в главе IV.
**) См., например, Н. Д а н ф ор д и Д ж. Ш в а р ц [1], стр.
219-229.
***) Р. Сикорский [1], стр. 36.
§ 2] БУЛЕВА АЛГЕБРА КАК АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 87
Теорема 10. Для существования гомоморфизма,
совпадающего на множестве образующих Е с отобра-
отображением ф0, необходимо и достаточно, чтобы для любого
конечного набора щ, и2, ..., ит элементов множества
Е U СЕУ удовлетворяющего условию их А и2 А ... Аит = 0,
выполнялось равенство (ро(и{) А Уо(и2) А ... Л <f>o(um) = 0.
Доказательство. Необходимость нашего усло-
условия очевидна, докажем достаточность.
Каждый элемент 2GJ представим в виде полинома
от образующих:
ukJ<=E[)CE (
Допустим, что существует еще одно представление
того же элемента:
(**)
Используя тождества из доказательства леммы 3
(стр. 71), получаем
ОСНОВНОЙ АППАРАТ
[ГЛ. И
Л
(счлсчл...лсч)
V (Culk Л Cu2k Л ... Л
h V К,л«ил ... лил л
ft =« I, 2 rt4 я
. V
г = I, 2, .... m
Видим, что стоящие в круглых скобках под знаком
каждого из двух последних supremum'oB выражения
равны нулю. В силу основного предположения теоремы,
заменив в каждом из таких выражений все ukj, vis на
Фо(м*у)» Фо(уь)э получим снова нули. Теперь, преобразуя
симметрическую разность
V
Л ФоК2) Л ... Л Фо (ик
т
- V \%(vn) Л %(vi2) Л ... Л Фо (%)]
§ 2] БУЛЕВА АЛГЕБРА КАК АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 89
совершенно так же, как это было только что проделано
с разностью \z — z\, приведем Л к виду
Л = h , У К КО А ФоК2) Л ... Л Фо (ик \ Л
+ V f«Pb(on) Л Ф0(Уг2) Л ... Л Фо(%) Л
i<Pi
2 < Р2
откуда видно, что А=«0 и
п
V [Фо («ы) Л Ф0("и) Л ... Л Фо («fcp
т
= V [Фо (оп) Л Фо (vi2) Л ... Л Фо ( о,
Мы имеем, таким образом, право определить иско-
искомое отображение ф равенством
п
Ф («) = V [Фо К,) Л Фо Ы Л ... Л Фо (иЛ
используя для этой цели любое из представлений
элемента z в форме (*). Не составляет труда прове-
проверить, что построенное отображение есть гомоморфизм.
Действительно, равенство, ф (zx) V Ф(z2) = (p(z{ V ^2) оче-
видно непосредственно; тождество (VII *) из главы I
показывает, что одновременно
Cz = V [Си^ Л Cti2k2 Л ... Л Cunkn]
90 ОСНОВНОЙ АППАРАТ [ГЛ. II
AC%(Unkn)]
то есть ф(Сг) = Сф(г). На этом в силу сказанного
на стр. 81 проверку можно закончить. Теорема дока-
доказана.
Замечание. Из доказательства теоремы видно,
что взаимно однозначным гомоморфизм ф будет тогда
и только тогда, когда из равенства
следует
щ Л и2 Л ... Аит = 0.
Применение теоремы Р. Сикорского удобно проде-
продемонстрировать на примере подалгебры, порожденной
линейно упорядоченной системой образующих.
Пусть Е = {е} — цепь, образованная из элементов бу-
булевой алгебры Х\ ф0 — отображение Е в некоторую бу-
булеву алгебру 2Л Ясно, что изотонность этого отобра-
отображения необходима для существования гомоморфизма
подалгебры X (Е) в У, являющегося продолжением
для ф0. Докажем достаточность. Пусть отображе-
отображение ф0 изотонно: е^е2 влечет ФоС^О^ФоС^)- Допустим,
что для некоторого набора образующих еи е2, ...
..., ет^Е имеет место равенство
ех Л е2 Л ... Л ер Л Сер+1 Л ... Л Сет = 0,
где р — некоторое число между 1 и т. Поскольку Е —
цепь, среди элементов еи е2, ..., ер имеется наимень-
наименьший, среди ер+и ..., ет—наибольший. Обозначим их
соответственно через е и ё. Тогда, очевидно,
ех Л е2 Л ... Л ер = е, Сер+1 Л ... Л Сет = Сё
и
е ЛСё = 0,
§ 2] БУЛЕВА АЛГЕБРА КАК АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 91
откуда следует, что е^.ё. Но тогда в силу изотонности
должно быть Фо(£)^Фо(^) и
О = Фо (е) А Сф0 (ё) > фо (ех) А Фо (е2) Л ...
... Л Фо(е„) Л Сфо(^;+1) Л ... Л Сщ(ет).
Поэтому
Фо (ei) Л Фо (е2) А ... Л Фо (ер) А Сф0 (ер+1) Л ...
и выполнено условие теоремы Р. Сикорского, гаранти-
гарантирующее существование требуемого гомоморфизма.
В дальнейшем мы применим теорему 10 также к си-
ситуации, диаметрально противоположной только что рас-
рассмотренной. Именно, будет изучен случай, когда ото-
отображение фо задано на независимой системе образую-
образующих. Такая система вообще не содержит сравнимых
элементов; точные определения будут даны ниже.
Заметим, что в ходе предыдущих рассуждений мы
фактически выяснили строение подалгебры, порожден-
порожденной линейно упорядоченной системой образующих Е.
Элементарные полиномы в этом случае будут иметь вид
ё Л Се" [е\ е" е= Е).
Общий вид элемента подалгебры SC (Е) дается, следо-
следовательно, формулой
х = (е'1А Се») V (е'2 Л Се") V ... V «, Л С<),
где е[у е", e'v e'^, ..., е'т, е"т-~ элементы системы £.
Можно считать, что фигурирующие в правой части
равенства элементы ёк А Се% попарно дизъюнктны.
Действительно, если
то, как нетрудно понять*
' ; {e'h Л Се'1) V (e't Л Се") = ё Л Се,
92 ОСНОВНОЙ АППАРАТ [ГЛ. II
где *)
ё=тах{е'к, е,], £_=min[^, e"}.
Следовательно, объединяя недизъюнктные элементы,
мы за конечное число шагов придем к представлению
элемента х в виде суммы конечного числа попарно
дизъюнктных слагаемых вида ё А Се_, ё, £ е Е.
Приведем важный для дальнейшего пример. Пусть
Q — произвольный непустой промежуток (а, о) (не ис-
исключено Q = (— оо, + оо)). Рассмотрим булеву алгебру 2Q
и выделим в ней подалгебру <$?<flt ьъ порожденную мно-
множеством Е всевозможных промежутков вида
Ясно, что система Е линейно упорядочена по включе-
включению: при tx<t2 справедливо А^~, A^czA^, Aj, а при
tl = t2 = t9 очевидно, А7с:А?". Поэтому б. а. &{а, ь> со-
состоит из всех множеств, представимых в виде конечных
объединений попарно непересекающихся промежутков;
от алгебры простых множеств 3? она отличается тем,
что содержит и незамкнутые, а также вырожденные
промежутки. Иногда рассматривают также подалгебры
&ta,b) и &{а,ьъ порожденные множествами £" = {аГ} или
£+= \А?"| соответственно. Вид элементов этих подалгебр
читатель установит самостоятельно. В соответствии
со сказанным выше можем утверждать, что всякое изо-
изотопное отображение системы Е (£", Е+) в произволь-
произвольную б. а. X продолжило до гомоморфизма алгебры
<&<а.ь> (соответственно Ща,ьь <&<а,Ь))в X. Подобные го-
гомоморфизмы (как и вообще гомоморфизмы, заданные
на алгебрах множеств), называются часто «булевыми
мерами».
*) Обозначениями max .. .,min ... (вместо обычных V. Л) мы
подчеркиваем, что система Е линейно упорядочена. Поэтому, на-,
пример, е равно либо е£, либо е\.
§ 2] БУЛЕВА АЛГЕБРА КАК АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 93
6. Каноническое представление элемента подалгебры.
Представление элемента подалгебры X (Е) в виде поли-
полинома от образующих, полученное в п. 3, не является
однозначно определенным: для одного и того же г вы-
выбор множеств Д^ А&, необходимых для определения
полинома, так же как и их нумерация, может произ-
производиться многими способами. В поисках выхода из
создавшегося положения естественно вначале ограни-
ограничить класс допускаемых представлений. Чаще всего
применяются так называемые «канонические предста-
представления». Пусть множество образующих £ конечно; тогда,
как мы знаем, подалгебра X (£) порождается конечным
разбиением единицы т; каждый элемент лге^(£)есть
сумма некоторого множества элементов т (лемма 2,
следствие из теоремы 3). Выясним, что представляют
собой элементы этого разбиения. При доказательстве
леммы 2 мы охарактеризовали их как минимальные
положительные элементы подалгебры; включение jgt
означает, что у^Х(Е), у>0 и при 2 е *#*(£) неравен-
неравенство 0 < z < у невозможно. Каждый у е т должен в силу
теоремы 3 представлять собой полином вида
п
У = V У,ь
где уг, уъ ..., уа — элементарные полиномы. Ввиду мини-
минимальности только один из элементов уг, уъ ..., уп от-
отличен от нуля; поэтому у — элементарный полином.
Согласно определению это означает, что
у=(Л«)л(А Су\, (V)
где A, A'czf. Ясно, что Af|A/ = A; в противном случае
элемент у был бы нулем. Для всякого w^E (равно
как и для всякого элемента подалгебры X {Е)) должно
выполняться одно и только одно из двух соотношений:
либо y^Wy либо y^.Cw. В первом случае отнесем w
к множеству Еи во втором — к множеству £2* Так опре-
определенные множества Е{ и Е2 обладают очевиднъши
94 ОСНОВНОЙ АППАРАТ [ГЛ. II
свойствами:
а) Е1 П Е2
б) Ех U Е2
в) A ci Ел
= л,
= £,
, Д'с:£2.
Ясно также, что, заменив в формуле (V) А на Е{, а А'
на £2> мы получим элемент, во всяком случае не пре-
превосходящий прежнего:
(Л«]
л(Л
Но поскольку элемент у минимален, на самом деле
в последней формуле имеет место знак равенства. Преж-
Прежде чем сформулировать вывод, приведем основное
определение.
Мы будем называть (Е)-каноническим элементарным
полиномом всякий элемент вида
Л СсЛ,
€=Д' /
где А и А' —непересекающиеся множества, объединение
которых равно Е. Грубо говоря —это элементарный
полином, в образовании которого участвуют все эле-
элементы системы Е; такие полиномы попарно дизъюнктны
друг другу и в сумме дают единицу (иногда их назы-
называют «конституэнтами единицы»).
Предыдущие рассуждения показывают, что как раз
таковы элементы порождающего подалгебру Ж {Е) раз-
разбиения т. Мы приходим к следующей теореме:
Теорема 11. Всякий отличный от нуля элемент
подалгебры, порожденной конечным множеством Е,
представим в виде конечной суммы (Е)-каноничёских
элементарных полиномов.
Представление элемента в виде суммы (£)-канони-
ческих элементарных полиномов мы условимся называть
(Е)-каноническим. В этом понятии существенна роль
множества Е\ если ЕаЕ', то всякий x^JF(E) имеет
как (£)-, так и (£')-каноническое представление.
Если элементы множества Е занумерованы: Е =
»= {Wk)lmi> то (Е)-каноническое представление удобна
§ 21 БУЛЕВА АЛГЕБРА КАК АЛГПБРАИЧКГКАЯ СИСТЕМА 95
записывать в виде
z = ^j w,l A w<J A ... Л w 5>
где
6 f wt при б/= 1,
1 I Cwt при б/ = О,
а суммирование распространено на некоторый завися-
зависящий от z класс двоичных чисел 6 = Fj, б2, ..., 6S)
длины s. Суммируя по всем б, получаем (^-канониче-
(^-каноническое представление единицы.
Существует и дуальный вариант канонического пред-
представления, о котором мы здесь не будем говорить.
7. Независимые системы. Мы пришли к понятию
канонического представления в надежде за счет допол-
дополнительных ограничений добиться единственности пред-
представления данного элемента в виде полинома от обра-
образующих. Однако уже на простых примерах легко увидеть,
что поставленной цели мы еще не достигли. Причина
этого —в существовании (£)-канонических элементарных
полиномов, равных нулю. Такие полиномы нельзя рас-
рассматривать как элементы порождающего разбиения, их
можно формально присоединить к любой сумме, не из-
изменяя значения последней. Запретив элементарным (£)-
каноническим полиномам обращаться в нуль, мы придем
к определению независимой системы образующих. При
этом мы откажемся от предположения о конечности
системы.
Определение. Система элементов Е называется
независимой, если она непуста и для любых конечных
непересекающихся множеств А, № а Е выполняется
неравенство
(Л и) Л (Л Cv\>0.
\ые=Д / \оеД' /
Другими словами, независимость означает, что для лю-
любых попарно различных wu w2, ..., wn^E и любого
Целого р==1, 2, ..., п должно быть
w{Aw2A ... AwpA Cwp+l Л ... Л Cwn > 0.
96 ОСНОВНОЙ АППАРАТ [ГЛ. II
Из определения видно, что независимость системы экви-
эквивалентна одновременной независимости всех ее конеч-
конечных подсистем.
Теорема 12. Пусть Е —непустое множество. Для
тою чтобы при любом конечном непустом Е{аЕ
(Е)-каноническое представление каждого элемента подал-
подалгебры X (Ех) было единственным, необходимо и доста-
достаточно, чтобы система Е была независима.
Эта теорема по существу уже доказана. Мы отмечали,
что из единственности (^-канонических представлений
следует отсутствие нулевых (f^-канонических элемен-
элементарных полиномов. Но требование независимости Е как
раз и означает, что при любом конечном непустом
Е}аЕ все такие полиномы отличны от нуля, а их мно-
множество есть порождающее подалгебру X (Е) разбиение.
Отсюда очевидным образом вытекает единственность
всех канонических представлений.
Представления элементов подалгебры в виде сумм
(^-канонических элементарных полиномов от независи-
независимых образующих широко используются в логике и
в теории схем под названием «совершенных дизъюнк-
дизъюнктивных нормальных форм».
8. Существование независимой системы образующих.
Мы уже установили, что всякая конечная алгебра X
порождается некоторым разбиением т. Предположим,
что данная алгебра имеет независимую систему обра-
образующих Е из п элементов. Это позволяет нам опреде-
определить число элементов разбиения: в силу независимости
элементы т представляют собой всевозможные элемен-
элементарные (£)-канонические полиномы вида
)л( Л су)
1 \у<5Е\Ь }
Таких полиномов существует столько же, сколько под-
подмножеств Ас£, то есть 2п. Алгебра X изоморфна
алгебре 2Т, поэтому число ее элементов равно 22". Итак,
не всякая булева алгебра может порождаться незави-
независимой системой образующих.
Теорема 13, Для того чтобы конечная б. а. X
содержала независимое множество из п образующих,
§ 2] БУЛЕВА АЛГЕБРА КАК АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 97
необходимо и достаточно, чтобы число ее элементов
имело вид 22П.
Необходимость уже была установлена несколь-
несколькими строками выше; докажем достаточность.
Пусть вначале X есть алгебра вида 2Q, где Q = 2P,
а число элементов Р равно п. Мы уже знаем, что
в такой алгебре существует система Е = {Qp}p€=p обра-
образующих, содержащая ровно п элементов (см. ст-р. 74).
Докажем, что система Е независима. Рассмотрим эле-
элемент вида
Q - ®ш''рш = <*„, л • • • л QPk л cqPk+i л ... л cQpm,
где р{9 р2, ..., Рш ~~ произвольные попарно различные
точки_Р. Выясним, что представляет собой множе-
множество Q. Для того, чтобы точка q^Q (напоминаем, что
q — это некоторое подмножество Р) принадлежала Q,
необходимо и достаточно, чтобы при l^i^/г было
pt^q, а при k+ l^i^m, наоборот, p(^q.
Таким образом,
Поскольку все pt попарно различны, то Q очевидным
образом непусто: оно содержит в качестве элемента,
например, множество, состоящее только из точек
Pi» Р2> • • -I Pk-
Для того чтобы распространить наши рассуждения
на произвольную алгебру X мощности 22 , достаточно
заметить, что, поскольку все конечные равномощные
алгебры изоморфны (теорема 2), существует изомор-
физм между X и некоторой алгеброй 2 , где R — произ-
произвольное множество, содержащее п элементов. Свойство
независимости системы при изоморфизме, конечно, со-
сохраняется. Теорема доказана.
Замечание 1. Доказательство независимости си-
системы Е не опиралось на предположение о конечности
алгебры.
Замечание 2. Легко показать, что мощность мно-
множества Qp1 '■■ р* равна 2п~ т: именно столько существует
98 ОСНОВНОЙ АППАРАТ [ГЛ. II
в Q подмножеству содержащих все р{, р2, ..., р&,
но ни одного pk+{, ..., pm. Мы предоставляем читателю
самому проделать это несложное упражнение в комби-
комбинаторике.
Если ^Г = 2^ и о множестве Q известно лишь, что его мощ-
мощность равна 2Л, то, отображая Q различными способами на сово-
совокупность всех подмножеств какого-нибудь множества мощности я,
мы будем автоматически получать различные системы образующих,
подобные построенной выше. Приведем пример. Пусть Q — отрезок
натурального ряда Q = {1, 2, ..., 2п}. Рассмотрим другой отрезок
натурального ряда Р={1, 2, ..., п) и обозначим Q=2P. Каждое
q^Q допускает единственное представление в виде
где равные нулю или единице коэффициенты qu представляют
собой цифры двоичного разложения числа q. Сопоставляя теперь
каждому подмножеству Р cz P число
получим взаимно однозначное отображение 2Р на Q. Обозначим
это отображение через ф.
Теперь построим систему Е = {QP}p(=p так, как это было сде-
сделано выше, и рассмотрим в Q изоморфную систему Е = [Qp}p^p,
состоящую из всех множеств вида
Ясно, что Е будет независимой системой образующих в алгебре SC-
Каждое Qp, как ясно из определения, представляет собой сово-
совокупность всех чисел q e Q, /7-й двоичный знак которых равен еди-
единице. Имеем
Qi-{1; 3; 5; ...; 2*-},
Q2={2, 3; 6, 7; 10, 11; ...}
Q3 ={4, 5, 6, 7; 12, 13, 14, 15; ...}
и т. д.
На этом примере легко также проиллюстрировать замечание 2,
сделанное выше в связи с теоремой 13. Пересечение любых m
множеств, каждое из которых либо входит в систему £, либо до-
дополняет некоторое множество этой системы, состоит из всех чисел
q^ Q, у которых фиксированы m двоичных знаков. Число таких ^
равно, как известно, 2л~т.
§ 2] БУЛЕВА АЛГЕБРА КАК АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 99
9. Свободные булевы алгебры. Мы показали, что
в случае конечной алгебры вопрос о существовании
независимой системы образующих решается просто
подсчетом. Для бесконечных алгебр дело обстоит зна-
значительно сложнее. Алгебры, имеющие независимую
систему образующих, составляют важный класс сво-
свободных б. а.
Основное свойство свободной б. а. описывается сле-
следующей теоремой.
Теорема 14. Пусть X — свободная б. а, с незави-
независимой системой образующих Е. Любое отображение %
множества Е в произвольную б. а. 2/ может быть про-
продолжено до гомоморфизма J б 2/.
Эта теорема есть очевидное следствие теоремы
Р. Сикорского (теорема 10 настоящей главы). По суще-
существу она сводится к утверждению, что всякое выра-
выраженное через символы V, Л, С соотношение между
«свободными образующими» представляет собой тожде-
тождество, справедливое в любой булевой алгебре. В свою
очередь, непосредственным следствием теоремы 14
является
Теорема 15. Любые две свободные булевы алгеб-
алгебры X и Ж, имеющие равномощные независимые си-
системы образующих Е и £, изоморфны между собой.
При этом всякое взаимно однозначное отображение Е
на Е может быть продолжено до изоморфизма X на X.
К тому же кругу вопросов относится
Теорема 16. Произвольное непустое множество Е
может быть взаимно однозначно отображено на неза-
независимую систему образующих некоторой булевой алгеб-
алгебры X.
Для доказательства нужно образовать алгебру
<2/ = 22 ; тогда система ^ подмножеств Qe(e^E)t по-
построенных так, как в п. 8, будет согласно замеча-
замечанию 1 к теореме 13 независимой. Остается положить
<>
Следствие. Существуют свободные булевы алгеб-
алгебры любой бесконечной мощности. Разумеется, в этом
случае независимая система образующих имеет ту же
мощность, что и сама алгебра.
100 ОСНОВНОЙ АППАРАТ [ГЛ. II
Ф. Хаусдорф *) показал, что независимая система
мощности 2Л всегда может быть найдена уже в алгеб-
алгебре 2Р, где мощность Р есть я^ Ко- Ранее этот факт
для случая п = Ко установили Г. М. Фихтенгольц и
Л. В. Канторович **).
Представляют интерес конкретные примеры беско-
бесконечных свободных б, а. Например, алгебра всех открыто-
замкнутых подмножеств канторова дисконтинуума есть
свободная б. а. со счетным множеством образующих.
Мы показали, что любые две свободные булевы алгебры
с равномощными независимыми системами образующих изоморфны.
Тем самым для каждого кардинального числа т определен класс gt
всех изоморфных друг другу свободных алгебр, имеющих незави-
независимую систему образующих мощности т. Представляет интерес
выбрать в каждом классе §т наиболее просто устроенную алгебру,
по свойствам которой можно было бы изучать свойства остальных.
Такую простейшую модель мы сейчас и построим.
Пусть т — произвольная мощность, S — произвольное множество
мощности т. (Например, в качестве S можно взять класс всех
трансфинитов, меньших начального трансфинита мощности т.) Обо-
Обозначим, как и раньше, через Х2 систему всех характеристических
функций, соответствующих подмножествам множества S. Сейчас
эта система интересует нас просто как множество; можно сказать,
что Ха —произведение J| 6^ семейства двоеточий***) — пар 6^ = {0, 1},
для которого роль множества индексов играет S. Нам будет удобно
называть Ха «основным пространством», а его элементы -- «точ-
«точками». Введем в. рассмотрение булеву алгебру 6Е = 2 ау состоя-
состоящую из всех подмножеств пространства Ха. Рассмотрим систему
множеств
По существу мы уже рассматривали такую систему при доказа-
доказательстве теоремы 13 ****). Тогда мы убедились, что она независима
(см. замечание 1 к теореме 13). Если S — конечное множество, то
согласно теореме 4 множества Q|, рассматриваемые как элементы
*) Ф. Хаусдорф [1].
**) Г. М. Фихтенгольц и Л. В. Канторович [1].
***) Иногда интерпретируют Xs как множество вершин куба
размерности т.
****) В отличие от теоремы 13 сейчас мы предпочитаем иметь
дело с характеристическими функциями, а не с подмножествами
пространства S. Эта перемена языка, разумеется, совершенно
несущественна.
§ 2] БУЛЕВА АЛГЕБРА КАК АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА Ю1
алгебры СЕ, составляют систему образующих. В этом случае б. а. 6е
свободна. Если же т — бесконечная мощность, то система {Q|}^eS
хотя и разделяет точки Ха, не может порождать всю алгебру бЕ
Обозначим через ^а подалгебру, порожденную системой {Q|}^e3.
Эта подалгебра бесконечна и имеет, как легко понять, мощность т,
в то время как мощность GE равна 22 ; отсюда и следует, в част-
частности, что ££а Ф 6Е, Подалгебра ^а представляет собой простую
и удобную модель свободной алгебры, имеющей т независимых
образующих. Опишем эту алгебру более детально. Элементарные
полиномы от образующих имеют вид
Q = Qt AQt Л ... Л Q* ACQ, Л ... ACQ, . (VI)
Каждый из таких полиномов представляет собой множество всех
точек пространства (характеристических функций), у которых за-
закреплены значения в точках £ь |2> «•«> 1т- Именно, % принадлежит
элементарному полиному (VI) тогда и только тогда, когда
х (Ei) = х №а) - .. - г F*) -1, х F*+i) - г F*«) - • • • = х F«) = о.
Что же касается прочих элементов подалгебры ^а, то они, как мы
знаем, представляют собой суммы элементарных полиномов и имеют,
следовательно, вид
2/Q , Л ... AQ . ACQ • Л ... ACQ , \. (VII)
Обозначим через S' конечное множество всех индексов, участвую-
участвующих в образовании последней суммы: S' = {gj, ...,lsm ). Формула
(VII) показывает, что всякий элемент из ^га представляет собой
множество вида
Q'x П 6^
где Q' — некоторое подмножество «частичного» произведения
JJ 6^. При этом нетрудно понять, что всякое множество вида
(VIII) представляет собой полином от образующих вида (VII) и
является элементом подалгебры ^а. Мы можем поэтому заключить,
что @Е состоит из всех множеств вида (VIII); такие множества
естественно назвать «конечномерными цилиндрами». Итак, алгеб-
алгебра ^а конечномерных цилиндров в произведении двоеточий есть
свободная алгебра, имеющая независимую систему образующих
мощности т = card S.
Нетрудно проверить (используя классическую теорему Тихо-
Тихонова); что, рассматривая Xg как тодологическое произведение
102 ОСНОВНОЙ АППАРАТ [ГЛ. II
простых двоеточий *), мы получим компактное вполне несвязное
хаусдорфово пространство. Его называют обобщенным канторовским
дисконтинуумом веса т. При этом базис тихоновской топологии
состоит из всевозможных открыто-замкнутых множеств, совпадаю-
совпадающих с цилиндрами вида (VIII). Таким образом, Ха можно рас-
рассматривать как стоуновский реализующий компакт для алгебры ^3#
Если т = «о, то хорошо известно **), как гомеоморфно отобразить Ха
на обычное («троичное») канторовское множество, лежащее в от-
отрезке [0, 1]. Тем самым, получаем уже упоминавшееся выше пред-
представление свободной б. а. со счетным числом образующих в виде
алгебры всех открыто-замкнутых подмножеств «классического»
канторовского дисконтинуума. Свободная алгебра замечательна,
в частности, тем, что она предоставляет нам редкую возможность
«увидеть» стоуновский компакт, который, как правило, не допу-
допускает простого и наглядного описания.
10. Метрическая независимость. Пусть ^ = 2Q, где
Q — конечное множество, содержащее 2п элементов. Мы
знаем, что в X существует независимая система обра-
образующих Е = {Qk}l_{ такая, что каждое пересечение вида
Qw" i-Q'.л Q'*л • • •л Qi*л
где все is попарно различны, содержит ровно 2п~т точек
множества Q. Рассмотрим наряду с X другую свобод-
свободную алгебру 2/ = 2Q той же мощности; пусть £ = {Qj£eJ —
некоторая независимая система ее образующих. Со-
Согласно теореме 9 отображение Qk~*Qk (k=U 2, ..., п)
может быть продолжено до изоморфизма алгебры X
на 2Л Ясно, что при изоморфизме одноточечным под-
подмножествам Q соответствуют одноточечные подмноже-
подмножества Q, и наоборот. Поэтому система Е должна обла-
обладать тем же свойством: каждое пересечение
Ф&"\ - &, Л Q*. Л ... Л Qik Л CQtk+i Л ... ACQtm
с попарно различными /,, /2> •••> *т содержит ровно
*) Простое двоеточие — пространство из двух точек {0, 1}, на-
наделенное дискретной топологией (все четыре его подмножества
открыты и замкнуты).
**) См. К у р а т о в с к и й [2], стр. 32.
§ 2] БУЛЕВА АЛГЕБРА КАК АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЮЗ
2п~т точек Q. Это общее свойство всех независимых
систем образующих во всех свободных алгебрах типа 2Q.
Вспоминая теперь о существовании в каждой алге-
алгебре вида 2Q «основной меры» \х0 (мера элемента х есть
число точек множества х, деленное на 2Л), видим, что
в свободных алгебрах 2Q всякая независимая система
образующих Е = {е} обладает следующим важным свой-
свойством: для любых попарно различных elt е2) ..., ет е Е
и любого /7=1, 2, ..., т выполняется равенство
Но (е\ Л е2 Л ... /\ер /\ Сер+1 Л ... Л Сет) =
Пусть теперь ^ — произвольная нормированная бу-
булева алгебра, на которой определена некоторая вероят-
вероятностная мера \х0 (см. главу I, § 6). Система элементов
Е = {е) называется ^независимой, если для любых
попарно различных еи е2, ..., ет и любого р= 1, 2, ..., т
выполняется равенство (IX). Это —обычное для теории
вероятностей понятие метрической независимости. Мы
видим, что оно естественно возникает из введенного
в п. 7 понятия алгебраической независимости. Алгеб-
Алгебраически независимая система образующих конечной
свободной алгебры обязательно будет и метрически
независимой относительно «основной» вероятностной
меры. Легко понять также, что метрическая незави-
независимость всегда влечет алгебраическую *).
11. Построение квазимеры по ее значениям на обра-
образующих. Пусть X — булева алгебра, Е — система обра-
образующих в X. Предположим, что на Е задана конечная
вещественная функция qp0; спрашивается, при каких
условиях она может быть продолжена до квазимеры
на X? Мы рассмотрим вначале случай независимой
системы £.
Теорема 17. Для того чтобы заданная на неза-
независимой системе образующих Е вещественная функ-
функция ф0 могла быть продолжена до некоторой квази-
квазимеры ф, заданной на X, необходимо и достаточно,
*) Напомним, что в принятом у нас определении понятия ме ры
содержится требование существенной положительности.
104 ОСНОВНОЙ АППАРАТ [ГЛ. II
чтобы значения функции qp0 были неотрицательны и
ограничены в совокупности.
Доказательство. Необходимость приве-
приведенных условий очевидна. Докажем их достаточ-
достаточность. Предположим, что все значения qp0 лежат
в отрезке [0, р]. Мы можем рассмотреть алгебру У
всех измеримых по Лебегу подмножеств отрезка [0, р].
Пусть г|з — квазимера на этой алгебре, совпадающая
с лебеговской мерой. Рассмотрим семейство {^}0<г<р
всех отрезков вида [0, t]\ очевидно, ty(et) = t и среди
значений квазимеры -ф содержатся все значения функ-
функции ф0. Отобразим Е в 2/, сопоставив каждому х е Е
тот элемент ^еЗ/, для которого ф(^) = t = qpo(#). Это
отображение в силу теоремы 10 может быть продолжено
до гомоморфизма y алгебры Ж в У. Теперь положим
для произвольного х е SC
Аддитивность функции ф следует из общих свойств
гомоморфизма и аддитивности функции ф. Ее неотри-
неотрицательность очевидна, так же как и то, что она про-
продолжает исходную функцию ф0. Итак, искомая квази-
квазимера построена. Заметим, что если не требовать, чтобы
продолжение ф было квазимерой, а ограничиться по-
построением аддитивной вещественной функции, то такое
построение возможно без каких-либо предположений
относительно фэ: любая конечная функция ф0 на неза-
независимой системе образующих допускает аддитивное
продолжение на X.
Теперь предположим, что система Е линейно упоря-
упорядочена. Справедлива
Теорема 18. Для того, чтобы заданная на линейно
упорядоченной системе образующих Е вещественная
функция ф0 была продолжима до квазимеры ф, задан-
заданной на %', необходимо и достаточно, чтобы значения
функции ф0 были неотрицательны и ограничены в сово-
совокупности и чтобы из неравенства х^у, х, у^Е,
вытекало Фо(#)^Фо(#)-
Доказательство. И здесь можно ограничиться
доказательством достаточности. Определим булеву
алгебру 2/, семейство ее элементов {et} и отображение
§ 2] БУЛЕВА АЛГЕБРА КАК АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 105
системы Е в алгебру 2/ так же, как и в предыдущем
доказательстве. Ясно, что в нашем случае это отобра-
отображение будет изотонным; поэтому оно может быть про-
продолжено до гомоморфизма y алгебры X в алгебру У.
Теперь остается повторить заключительную часть дока-
доказательства теоремы 17.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
1. Пусть /—идеал произвольной б. а. Показать, что множество
I [j CI есть подалгебра.
2. Показать, что свободная б. а. всегда является алгеброй
счетного типа.
3. Показать, что всякая свободная бесконечная б. а. содержит
подмножество, не имеющее точных границ.
4. Доказать, что всякая б. а. изоморфна фактор-алгебре не-
некоторой свободной алгебры.
5. Пусть Q —счетное множество, $С = 2®, / — идеал в ^Г, обра-
образованный всевозможными конечными подмножествами множества Q.
Показать, что фактор-алгебра $С\1 содержит дизъюнктное под-
подмножество мощности континуума.
6. Пусть В — алгебра борелевских множеств на прямой, / — ее
идеал, образованный всевозможными множествами первой кате-
категории. Доказать, что фактор-алгебра В/1 изоморфна алгебре Go
регулярных открытых множеств (Г. Биркгоф).
ГЛАВА ГП
ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ
§ 1. Полные алгебры
I. Полнота булевой алгебры. До сих пор мы пред-
предполагали, что в рассматриваемой нами алгебре, как
и во всякой структуре, конечные множества имеют
точные границы. Теперь мы усилим требования, предъяв-
предъявляемые к алгебре.
Определение. Булева алгебра называется полной,
если всякое множество ее элементов имеет верхнюю
и нижнюю грани.
Определение*. Булева алгебра называется о-пол-
ной, если всякое счетное множество ее элементов
имеет верхнюю и нижнюю грани.
Лемма 1. В полной булевой алгебре понятия
главного идеала и компоненты совпадают.
Эта лемма —простое следствие теоремы 1.12.
Рассматривая в главе I примеры булевых алгебр,
мы, как правило, особо отмечали случаи, когда для
произвольного подмножества рассматриваемой алгебры
удавалось доказать существование граней. Так обстояло
дело, например, с алгеброй 2Q всех подмножеств про-
произвольного множества Q (пример 1); следовательно, эта
алгебра полна. Полными будут также алгебры при-
примеров 2,^3, 4, 7, 8, 9, 11. Доказательство полноты
(а-полноты) булевой алгебры часто облегчается сле-
следующей леммой.
Лемма 2. Для того, чтобы б. а. X была полна
(о-полна), достаточно, чтобы всякое ее подмножество
(соответственно, всякое непустое счетное подмножество)
имело нижнюю грань.
Для доказательства достаточно заметить, что, каково
бы ни было ЕаЖ, элемент и = С inf СЕ является верхней
гранью Е.
Как обычно, вместе с леммой 2 автоматически
доказано и двойственное ей утверждение, которое
§ 1] ПОЛНЫЕ АЛГЕБРЫ 107
читатель сформулирует самостоятельно. Мы будем
ссылаться на него, как на лемму 2'.
В свое время (теорема 1.13) мы доказали, что для
произвольной алгебры X совокупность X всех ее ком-
компонент при естественном упорядочении образует булеву
алгебру. Тогда же было показано, что всякая система
компонент E = {Y} имеет в X нижнюю грань, совпа-
совпадающую с пересечением всех Уе£. Отсюда и из леммы 2
вытекает важная
Теорема 1. Какова бы ни была б. а. X, алгебра X
полна.
Всякая полная алгебра, разумеется, и а-полна. Более
интересные примеры а-полных алгебр мы получим, рас-
рассматривая о-алгебры множеств, т. е. совокупности мно-
множеств, замкнутые относительно сч ет ных теоретико-
множественных операций. Среди таких алгебр могут
быть и неполные. Таковы, например, а-алгебра всех
борелевских множеств в промежутке (а, Ь) или а-алгебра
всех множеств, измеримых по Лебегу. С а-алгебрами
множеств мы постоянно имеем дело в классической
теории меры.
Будем интерпретировать элементы алгебры X как
события. Что означает практически полнота X?
В соответствии со сказанным в § 6 главы I, полнота
системы событий X дает нам всегда право вместе
с любой непустой совокупностью событий ЕаХ рас-
рассматривать еще два события уи у2 из той же системы,
первое из которых состоит в одновременном осу-
осуществлении всех событий х^Е, а второе —в осуще-
осуществлении хотя бы одного х^Е. Аналогично истол-
истолковывается а-полнота.
Истолковать понятия полноты и а-полноты на языке
высказываний предоставляем читателю.
В а-полной алгебре имеет смысл понятие о-идеала;
так называется идеал, содержащий верхние грани всех
своих счетных подмножеств. Это понятие нам далее
понадобится.
2. Правильные подалгебры. Пусть ^ — подалгебра
булевой алгебры X. Тогда для всякого конечного
подмножества EczX0 вычисленные в X верхняя и
108 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. III
нижняя грани Е обязаны содержаться в Хо. Однако
для бесконечного подмножества дело может обстоять
иначе. Это дает повод ввести следующее опреде-
определение.
Определение. Подалгебр а Хо полной булевой
алгебры X называется правильной (в-правильной), если
для всякого непустого (соответственно счетного) ее под-
подмножества Е будет sup£e^0 и inf£e^0.
Замечание. Соотношения двойственности (III),
(IV) из главы I показывают, что правильной будет вся-
всякая подалгебра, замкнутая относительно одной из
операций sup, inf. Аналогично обстоит дело с сг-пра-
вильностью.
Примеры правильных подалгебр можно найти
в главе I, Так, в примере 7 мы имели дело с правиль-
правильной подалгеброй булевой алгебры 2Q.
Алгебры всех борелевских или всех измеримых
по Лебегу множеств в промежутке Q = (а, Ь) будут
примерами сг-правильных (но не правильных) подалгебр
булевой алгебры 2Q.
Теорема 2. Пусть X — полная (о-полная) б. а.,
Е — непустое подмножество X. Тогда пересечение У
всех правильных (соответственно о-правильных) под-
подалгебр, содержащих Е, есть правильная (о-правильная)
подалгебра.
Доказательство этой теоремы почти дословно повто-
повторяет доказательство теоремы II. 1.
Ясно, что подалгебра У будет по составу наименьшей
среци всех правильных подалгебр, содержащих Е.
Итак, с каждым непустым подмножеством Е полной
алгебры X естественно связываются две подалгебры:
наименьшая подалгебра и наименьшая правильная
подалгебра, содержащие Е. Первую из них мы обозна-
обозначили в свое время (см. стр. 67) через X (£); для
второй будем применять обозначение Х{Е). Ясно, что
всегда X(E)czX(E). Если Е конечно, то обе подалгебры
совпадают. В случае, когда Е = E{\jE2U ... \JEni мы
будем использовать обозначение
X(Еь Е2, ..., Еп),
§ 1] ПОЛНЫЙ АЛГЕБРЫ 109
а в случае одноэлементных множеств Ех — {aj, ...
. .., Es = {иJ — обозначение
X \их, и2, ..., usy Es+i> ..., £„).
Ненулевую компоненту Хи полной булевой алгебры
можно, как мы знаем, рассматривать в качестве само-
самостоятельной алгебры. Имеет смысл говорить о ее пра-
правильных подалгебрах; мы будем называть их правиль-
правильными и-под алгебрами, применяя обозначение
Наконец, часто (особенно в теории меры) приходится
рассматривать наименьшую сг-правильную подалгебру,
содержащую некоторое Е аХ\ такую подалгебру назы-
называют также борелевской подалгеброй, порожденной
множеством Е. Мы будем обозначать ее символом Х(Е).
Для многих важных алгебр X (Е) и X (Е) всегда
совпадают.
Приведем два простых, но полезных утверждения.
Лемма 3. Пусть <f = {е} — некоторый класс под-
подмножеств множества Е cz X, причем Е = (J е\ под-
алгебры Хе, eG^, определены равенством
= Х (е).
Тогда X{E) = X/\J Хе).
Доказательство. Ясно, что каждая под-
подалгебра Хе содержится в X (Е)\ поэтому и порожден-
порожденная ими правильная подалгебра Х([}Хе\ входит
е
в Х(Е). С другой стороны, X A)Хе\=) Е; следова-
е
тельно, ввиду минимальности подалгебры X (Е) должно
быть X (Е) = X ^(J Xey Лемма доказана.
ПО ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ (ГЛ ТТТ
Лемма 4. Если X (Е) = X, то при любом ифО
выполняется равенство *)
Доказательство. Образуем множество
У = {у\уЛи<=Ха([Е]а)}.
Легко проверить, что оно является правильной под-
подалгеброй X, содержащей Е. Поэтому У = Х и
что и требовалось.
3. Теорема Стоуна — Огасавара. Мы рассмотрим
теперь следующий вопрос: каким должен быть реали-
реализующий данную булеву алгебру компакт для того,
чтобы алгебра была полна?
Определение. Компакт & называется экстре-
экстремальным, если в нем замыкание любого открытого
множества открыто.
Теорема 3. Для полноты б. а. X необходимо и
достаточно, чтобы реализующий алгебру компакт &
был экстремален.
Доказательство. Начнем с доказательства не-
необходимости. Пусть алгебра Xполна, G cz& — про-
произвольное открытое множество. Реализующий компакт
вполне несвязен, поэтому существует семейство {е%}
открыто-замкнутых множеств, для которого
Пусть xi e X — элементы, соответствующие множе-
множествам е\ при каноническом изоморфизме, х = ъщх\
(здесь используется полнота X). Элементу х отвечает
некоторое открыто-замкнутое е; убедимся в том, что
оно и есть замыкание G. Ясно, что Gcze, следова-
следовательно, и G cze. Разность е \ G есть множество откры-
*) Напомним, что через [Е]и обозначается след множества Е
(см. стр. 50).
§ 2] ПРИНЦИП ИСЧЕРПЫВАНИЯ 111
тое; если оно непусто, то найдется открытогзамкнутое
ё ае\ G, которому соответствует ненулевой j^gJ.
При всяком ^gS x\^x — x<x, что невозможно, так
как х = sup x\. Следовательно, e\G = Ли е = G. Видим,
что G открыто.
Для доказательства до ст а то ч ноет и рассмотрим
произвольное семейство открыто-замкнутых множеств
[е$ (geS). Положив G = (J е\у видим, что это мно-
жество открыто. Его замыкание G = e также открыто
ввиду экстремальности компакта. Ясно, что всякое
открыто-замкнутое е*9 содержащее все е\, содержит
и е, поэтому элемент х, соответствующий множеству е,
при каноническом изоморфизме будет точной верхней
границей для совокупности всех е\. Полнота алгебры
доказана.
Теорема 3 по существу принадлежит М. Стоуну [3].
В современной форме она была приведена Т. О г аса-
вар а [1], затем независимо — Б. 3. Вулихом [3].
Понятие экстремального топологического простран-
пространства восходит к П. С. Урысону.
§ 2. Принцип исчерпывания и теорема
о нормальных ядрах
1. Принцип исчерпывания. Пусть ^ — компонента
булевой алгебры X. Мы будем говорить, что некоторое
множество Е минорантно в JFt, если для всякого х е Х\
найдется такое у^Е, что 0<у^х. (Таким образом,
в нулевой компоненте любое множество минорантно.)
Двойственное определение мажорантного множества
читатель сформулирует сам.
Теорема 4. Пусть М — непустое множество нену-
ненулевых элементов полной б. а. X, Е — множество, мино-
рантное в компоненте Х^ = ХМ. Существует дизъюнкт-
дизъюнктное подмножество Е' czE со свойствами:
1) sup£/ = sup M\
2) для любого х<^Е' найдется элемент у е М такой,
что у^х.
112 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. III
Доказательство. Рассмотрим систему D = {d}
всевозможных дизъюнктных подмножеств dczE таких,
что любой элемент jcerfeD не превосходит некото-
некоторого у е М. Упорядочим класс D по включению и убе-
убедимся, что к нему применима лемма Куратовского —
Цорна. Действительно, если D'— произвольная цепь,
содержащаяся в D, то, положив do = (J d, получим,
как легко понять, дизъюнктное подмножество множе-
множества £, входящее в систему D и содержащее все d^ D'.
Видим, что всякая цепь ограничена в D сверху, и по-
поэтому в D найдется максимальный элемент d. Остается
проверить, что supd = supM. Пусть sup M > sup J.
Найдется элемент у е М такой, что у А С sup d>0.
Поскольку Е минор антно, существует ненулевой эле-
элемент xg£, удовлетворяющий неравенству x<yACsupd.
Присоединив его к множеству d, получим, как легко
проверить, дизъюнктное множество, принадлежащее
системе D и существенно более широкое, чем d. Мы
пришли к противоречию с максимальностью d. Итак,
supJ=supM, и можно положить Е'= d. Теорема
доказана.
Следствие. («Принцип исчерпывания».) Если Е
минорантко в компоненте Жи> то всякий ненулевой
элемент Хи есть supremum некоторого дизъюнктного
подмножества Е.
Важность этого принципа, восходящего к Евдоксу
и Архимеду, трудно переоценить. Он верен и в непол-
неполной булевой алгебре.
Приведем сразу важный пример использования прин-
принципа исчерпывания. Пусть в полной булевой алгебре^
определена функция qp, значения которой лежат в не-
некотором вполне упорядоченном множестве W\ например,
они могут быть кардинальными или порядковыми
числами. Предположим, что эта функция изотонна:
хх^х2 влечет ц>(х1)^^(х2). Условимся теперь называть
элемент хо^Ж+ (^-однородным, если из неравенства
хо^х>О вытекает qp(xQ) = qp(x). В этом случае всю
компоненту JFXo мы также будем называть ср-однородной.
Ясно, что ф-однородные элементы образуют минорант-
ное в X множество, А тогда, опираясь на принцип
§2] ПРИНЦИП ИСЧЕРПЫВАНИЯ ИЗ
исчерпывания, заключаем, что б. а. X может быть
представлена в виде соединения (прямой суммы) qp-одно-
родных компонент. Разложение X на qp-однородные
компоненты мы будем называть qp-разложением.
Отметим еще следующий важный факт, непосред-
непосредственно вытекающий из теоремы 4.
Теорема 5. В полной булевой алгебре счетного
типа всякое непустое множество Е содержит не более
чем счетное подмножество Е\ грани которого совпа-
совпадают с гранями Е.
Из теоремы 5 следует, в частности, что в полной
булевой алгебре счетного типа понятия правильной
и о-правильной подалгебры совпадают.
Условимся называть множество Е cz X d-правилъным,
если оно содержит верхние грани всех своих дизъюнкт-
дизъюнктных подмножеств. Таковы, например, все главные
идеалы; однако не всякое rf-правильное подмножество
есть идеал.
Лемма 5. Для того чтобы d-правилъное подмно-
подмножество F полной б. а. X было идеалом, необходимо
и достаточно, чтобы оно было нормально', в этом
случае F представляет собой компоненту.
В доказательстве нуждается только достаточ-
достаточность. Пусть М — произвольное непустое подмно-
подмножество F. По теореме 4 (роль Е играет все X) суще-
существует такое дизъюнктное множество М', что a) sup M' =
= sup M и б) для любого х^М' можно указать у^М,
У 7^ х.
В силу нормальности F мы имеем M'aF, поэтому
sup М = sup M'^F. Видим, что F есть идеал. Взяв
в качестве М все F, получим, что sup F^F. Поэтому F —
главный идеал (компонента).
Лемма доказана. Ценой некоторого усложнения
можно было бы отказаться от предположения о пол-
полноте X.
2. Нормальные ядра. Пусть А — произвольное мно-
множество элементов б. а. X. Множество A U {0}, во вся-
всяком случае, непусто и содержит непустые нормальные
подмножества (например, подмножество, состоящее из
одного нуля). Справедлива следующая «лемма о нор-
нормальном ядре».
114 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. ИГ
Лемма 6. Каково бы ни было множество А эле-
элементов б. а. Ж, среди нормальных подмножеств мно-
множества Л11{0} всегда существует наибольшее', это наи-
наибольшее нормальное подмножество определяется ра-
равенством
Доказательство. Ясно, что А0 — нормальное под-
подмножество множества Л U{0} (если x^jcg^0, to
JT^c:&xczA U {0}, поэтому /еЛ°). Пусть теперь В
нормально, непусто и содержится в A U{0}. Для любого
х^В из *'<* следует /еВсЛ U {0}, то есть /еЛ U {0}.
Таким образом, х^А°. Отсюда BczA0. Лемма доказана.
Множество Л° мы будем называть нормальным ядром
множества Л. Обозначение Л° сохраним и впредь.
Докажем теперь простую, но весьма важную для
дальнейшего теорему о нормальных ядрах
взаимно дополнительных множеств.
Теорема 6. Пусть А — произвольное подмножество
полной булевой алгебры *#*, А'= Ж\А.
Тогда
1) нормальные ядра Л° и (Л')° множеств А и А/
дизъюнктны друг другу;
2) каждое из множеств Л, А/ минорантно в дизъ-
дизъюнктном дополнении нормального ядра другого;
3) если одно из множеств Л, Л7 является d-прз-
вильным, то его нормальное ядро есть компонента,
совпадающая с дизъюнктным дополнением нормаль-
нормального ядра другого;
4) если одно из множеств Л, Л' есть компонента,
то оно совпадает со своим нормальным ядром; при
этом нормальные ядра обоих множеств представляют
собой взаимно дополнительные компоненты.
Доказательство. 1) Пусть хеЛ°, x'^(A'f*
Ввиду нормальности множеств Л°, (Л7H должно быть
хА х' €= Л° П (Л')° <= (Л П Л0 U {0} = {0},
откуда видно, что хЛ*/==0. Поэтому
АЧ{А')°.
§2] ПРИНЦИП ИСЧЕРПЫВАНИЯ 115
2) Взяв произвольный ненулевой элемент xo^(A°)d, за-
заметим, что компонента 3£х не может исчерпываться
элементами множества Л11{0}, так как в этом случае
она содержалась бы в нормальном ядре Л°, в то время
как хос1Л0. Поэтому найдется отличный от нуля эле-
элемент х'^Жх Г) Л'. Видим, что N минорантно в (A°)d.
Аналогично убеждаемся в том, что Л минорантно
в [(А')Г.
3) Пусть для определенности множество Л rf-npa-
вильно. Согласно 2) оно минорантно в [(Л/)°]а. По прин-
принципу исчерпывания можем заключить, что Л U {0} =э
id [040°]d. Множество [(Л'H^ нормально, поэтому оно
обязано содержаться в наибольшем из нормальных
подмножеств ЛЩО}, то есть в ядре Л°. С другой сто-
стороны, мы знаем, что A°d(A')°. Поэтому Л^^Л'H]. Видим,
что Л°= [(Л/)°]с1. Отсюда следует и то, что Л° есть
компонента.
Наконец, справедливость утверждения 4) теперь
уже очевидна.
Проиллюстрируем применение теоремы 6 на важ-
важном примере. Пусть 91 — эргодическая группа авто-
автоморфизмов полной нормированной б. а. &\ \х — веро-
вероятностная мера на *#*, инвариантная относительно всех
преобразований из этой группы. Мы уже упоминали
в главе I, что такая мера может существовать только
одна; докажем сейчас это утверждение. Пусть v —дру-
—другая 91-инвариантная мера. Определим множество Л
равенством
A = {x\vl(x)>v(x)}.
Ясно, что оба множества Л, А' rf-правильны, поэ-
поэтому в силу теоремы 6 нормальные ядра Л° и (Л')°
образуют дизъюнктное разложение алгебры X. Пока-
Покажем, что одно из них содержит только нулевой элемент.
Допустим, что обе компоненты Л°, (Л')° ненулевые.
Выберем отличные от нуля элементы и ^ Л°, и'^(А')°.
Используя эргодичность группы, подберем автомор-
автоморфизм В^И так, чтобы выполнялось неравенство
Пб ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. III
Тогда элементы v'^Xu,, v = B~1v/^Xu будут й-кон-
груэнтны (см. стр. 63) и, следовательно,
что невозможно. Итак, одна из компонент Л°, (Л'H
совпадает с X. Обе меры \х и v вероятностные, поэтому
1<=Л' и Ж = А' = (А')°. Итак, при всех T
Противоположное неравенство доказывается аналогично.
Единственность инвариантной меры установлена.
Условия теоремы 6 не исключают случая, когда
одно из множеств Л, А' пусто; его нормальное ядро
будет тогда состоять из одного нуля. «Нулевым»
может быть и нормальное ядро непустого множества.
Однако справедлива
Теорема 7. Если А* непусто, Аг d-правильно, то и
(Л°)+ непусто.
Доказательство. В силу п. 3) предыдущей
теоремы (Л')° = (А0N. Непустота Л+ означает, что {А)^фЖ,
стало быть (А°NфХ и (Л°)+ непусто.
3. Дискретные и непрерывные алгебры.
Определение. Булева алгебра X называется
дискретной, или атомической, если существует дизъ-
дизъюнктное множество Л, минорантное в 3£.
Ясно, что ни для одного элемента аеЛ не может
существовать элемента а', удовлетворяющего нера-
неравенству 0<а'<а; элементы множества Л «неделимы».
Для каждого ненулевого а^А компонента Жа есть три-
тривиальная булева алгебра, состоящая из двух элемен-
элементов 0 и а. Ненулевые элементы множества Л называются
атомами. Итак, дискретная алгебра характеризуется
наличием минорантного в ней множества атомов. Как
показывает принцип исчерпывания, всякий элемент
дискретной алгебры представляет собой верхнюю грань
некоторого дизъюнктного множества атомов; можно
сказать, что он «распадается» на атомы. Примером
дискретной алгебры может служить любая б. а. вида
2Q; атомами в такой б. а. являются всевозможные
одноточечные подмножества основного множества Q.
Легко понять, что алгебрами вида 2Q no существу ис-
§2] Принцип исчерпывания 117
черпывается класс всех полных дискретных булевых
алгебр: элементы всякой полной атомической б.а. X
находятся в естественном взаимно однозначном соответ-
соответствии с подмножествами множества А всех атомов X.
Этим соответствием устанавливается изоморфизм
алгебр X и 2Л. Всякая полная дискретная алгебра есть
соединение вырожденных алгебр — «двоеточий» *).
Надо сказать, что с точки зрения задач, которые
в первую очередь рассматриваются в этой книге, дис-
дискретные алгебры мало интересны: они слишком просто
устроены. Для нас важнее непрерывный б. а.: так на-
называются б. а., не содержащие ни одного атома. В та-
такой алгебре для всякого ненулевого х существует х',
удовлетворяющий неравенству 0<х'<х. Произвольная
б. а. не обязана быть дискретной или непрерывной;
однако верна теорема, сводящая изучение любой полной
алгебры к одному из этих двух случаев.
Теорема 8. Всякая полная б. а. X есть соедине-
соединение**) двух компонент,од на из которых дискретна, а дру-
другая непрерывна.
Доказательство. Пусть А — совокупность всех ато-
атомов X. Допустим, что АфА. Положим X' = [(Х\АH]6.
Множество Хг есть компонента, в которой А должно
быть минорантно (теорема 6). Поэтому ^, рассматри-
рассматриваемая самостоятельно, есть дискретная б. а. В ее
дизъюнктном дополнении не может содержаться
атомов, ибо AczA°cz[(X\A)°]d=X' (теорема 6). Не
содержа ни одного атома, компонента X" = (X')d яв-
является непрерывной булевой алгеброй,^' и ^"образуют
разложение б. а. X. Поскольку последняя полна, она
является их соединением. Теорема доказана. Един-
Единственность разложения на дискретную и непрерыв-
непрерывную компоненты предоставляется доказать читателю.
В заключение этого параграфа отметим некоторые
важнейшие свойства непрерывных алгебр.
1°. Каков бы ни был элемент и>0 непрерыв-
непрерывной булевой алгебры X, в компоненте Хи найдется
*) Поэтому полные дискретные алгебры иногда называются
«диадическими».
**) См. стр. 50-51.
118 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. III
последовательность {xn}^L\, все члены которой отличны
от нуля и попарно дизъюнктны.
Доказательство состоит в последовательном построе-
построении элементов хи х2, ... Именно, вначале находим хи
0<х{<иу затем х2\ 0<х2< и — хь и т. д.
2°. Если в непрерывной алгебре X определена
существенно положительная квазимера \х, то для вся-
всякого и>0 и любого числа ее@, \хи) существует такой
элемент у е Х\, что \ху ^ 8.
Действительно, образовав последовательность {хп},
существование которой было установлено в п. 1°, ви-
видим, что
со
2 \*>хп < \хи\
я = 1
поэтому все достаточно далекие члены этой последо-
последовательности обладают требуемым свойством.
3°. Если в непрерывной полной алгебре X опреде-
определена мера \х, то для всякого и>0 и любого числа
ее@, \хи) существует такой элемент у<^Хи, что \ху = 8.
Для доказательства рассмотрим естественно упоря-
упорядоченную систему S8 всех элементов из Хю меры ко-
которых не превосходят 8. Множество Se нормально и
минорантно в Жи. Покажем, что к Se применима лемма
Куратовского — Цорна. Пусть CaSe — произвольная
цепь, х = sup С. По теореме 4 найдется дизъюнктное
множество S'czSe со свойствами:
e
p
2) для любого x^S' при некотором у^С выпол-
выполняется неравенство х^.у.
Поскольку С — цепь, то выполняется и более сильное
условие
2') для любого конечного подмножества gczS' при
некотором у^С выполняется неравенство sup a^у.
В силу полной аддитивности меры
\хх = 2 W ^ 8>
то есть x^Se. Итак, произвольно выбранная в Se цепь
оказывается ограниченной в Se и лемма Куратовского —
Цорна применима. Можем заключить, что в Se имеется
§ 3] НАПРАВЛЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 119
максимальный элемент у. Ясно, что \ху^.&; если допу-
допустить, что \ху<&, то, положив г1=г — \хуу и{ = и — у,
можем отыскать в компоненте 3£и элемент у{ > О, мера
которого меньше е^ Тогда у + у{ ^ и и \х (у + у{) < \ху + г{ =
= е, то есть у + y{^SE, что явно несовместимо с макси-
максимальностью у. Значит, на самом деле \ху = е и элемент у
искомый. Заметим, что использования леммы Кура-
товского — Цорна при желании можно было избежать.
§ 3. Направленные множества
и обобщенные последовательности
1. Обобщенные последовательности. Частично упо-
упорядоченное множество А называется направленным
вверх (вниз), если для любых двух его элементов ар
а2 е А найдется такой элемент оеА, что одновременно
выполняются соотношения*) a^>at, a^>a2 (соответ-
(соответственно a<(ah a<^a2). Направленные множества на-
называются также направлениями, или сетями. Класси-
Классический пример направления — натуральный ряд чисел
{1, 2, ...} с обычным порядком. Функции, заданные
на множестве натуральных чисел, называются, как из-
известно, последовательностями; соответственно этому
обобщенными последовательностями называются функ-
функции, определенные на произвольных направленных мно-
множествах. Их принято иногда обозначать как семейства:
{xa}aGA. Элементы ха при этом называются членами
данной обобщенной последовательности. Иногда слово
«обобщенная» будем опускать.
Пусть А — направленное вверх (вниз) множество; мы
скажем, что подмножество A' cz А конфинально, если
для любого asA найдется элемент а' е А' такой, что
о! )> а (а' <^ а). Ясно, что такое подмножество также
является направленным.
Если 1 = {ха}аЕ=А — заданная на А обобщенная после-
последовательность, то ее конфинальной подпоследователь-
подпоследовательностью называется всякое сужение вида £/==£|А„ где
A' ci A — конфинальное подмножество А. Другими
*) Знак ^> соответствует символу ^,
120 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. III
словами,£' = {:\;а}ае=А'. Непосредственно из определения вы-
выводится следующая важная «теорема об альтернативе».
Теорема 9. Пусть \ = {ха}ае=А — обобщенная после-
последовательность, значения которой лежат в множестве Х\
Хх — произвольное подмножество X, Тогда либо най-
найдется такой индекс <х0, что при всех а ^> <х0 будет ха е Хи
либо существует конфинальная подпоследовательность £',
все члены которой лежат в Х\ХХ.
Направленные множества и обобщенные последова-
последовательности были введены в математику С. О. Шатунов-
ским, Мором и Смитом в связи с основами теории пре-
пределов. Именно, для обобщенных последовательностей
со значениями в некотором топологическом простран-
пространстве X имеет смысл понятие предела', элемент х е X
называется пределом обобщенной последовательности
£ = {#a}aG=A> если любой окрестности V точки х можно
сопоставить индекс av^A так, чтобы для всех a^>a^
было xa<= V. В этом случае пишут: х = Нт|илих = limxa.
Верна следующая теорема, показывающая пользу вве-
введенных понятий. _
Теорема 10. Точка х принадлежит замыканию Е
непустого множества Е тогда и только тогда, когда су-
существует обобщенная последовательность ^ = {xa}aeA,
все члены которой принадлежат Е, и такая, что
limg = х.
Доказательство. Ясно, что все пределы обоб-
обобщенных последовательностей, составленных из точек £,
должны принадлежать замыканию Е. Пусть теперь,
наоборот, известно, что х е Е. Образуем направленное
множество 23, состоящее из всех окрестностей точки х;
неравенство Viy>V2 будем истолковывать как включе-
включение Vj cz V2. В силу основных топологических аксиом s$
действительно будет направлением. Теперь, выбрав
в каждой окрестности V е 23 точку xv^V, получим
обобщенную последовательность, имеющую элемент х
своим пределом. Доказанная теорема принадлежит
Г. Биркгофу.
Теорема 10 показывает, что некоторая топология хх
сильнее, чем другая топология т2, тогда и только тогда,
когда всякая обобщенная последовательность, имеющая
§ 3] ' НАПРАВЛЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 121
предел в топологии Tj, имеет тот же предел и в топо-
топологии т2.
Заметим, что в произвольном топологическом про-
пространстве Ж обобщенная последовательность может
иметь более одного предела. Единственность предела
равносильна отделимости Х\ в X должна выполняться
аксиома Хаусдорфа, согласно которой любые две раз-
различные точки отделимы непересекающимися окрестно-
окрестностями.
Две обобщенные последовательности {ха}аеА, {*/а}ае=А
имеющие общее множество индексов А, называются по-
подобными, или однотипными. Если А — натуральный ряд
чисел, то последовательность называется простой.
С помощью обобщенных последовательностей удобно
формулируется определение непрерывности неко-
некоторого отображения в фиксированной точке: отобра-
отображение /, переводящее топологическое пространство X
в топологическое пространство 2Л непрерывно в точке
x9g1, если из limxa = .x:0 следует li —1 f(xa) = f(xQ).
a a
Предоставляем читателю самому убедиться в эквива-
эквивалентности приведенного определения остальным, изве-
известным ему.
В тех случаях, когда данное направленное множе-
множество А содержится в более широком частично упоря-
упорядоченном множестве X, предполагается обычно, что
порядок в А либо совпадает с индуцированным извне,
либо противоположен ему. В этих случаях говорят, что А
направлено вверх, соответственно вниз.
Пусть ^ — произвольная б. а. (или даже произволь-
произвольная структура). С каждым непустым множеством SczX
свяжем два направленных множества S* и S*, отнеся
к первому из них верхние грани всевозможных конеч-
конечных подмножеств S, а ко второму — нижние грани. При
этом в первом случае отношение ^> истолковывается
как ^, а во втором —как ^. Условимся говорить, что
S и S — стандартные направления, ассоциированные
с S. Первое из них направлено вверх, второе —вниз.
Далее мы можем образовать две обобщенные после-
последовательности, сопоставив каждому элементу S*(S*)
122 ПОЛНЫЬ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. Ш
(как индексу) его самого. Эти последовательности
будут монотонны. Условимся называть их стандартными
монотонными последовательностями, ассоциированными
с S. В качестве примера рассмотрим случай, когда S
представляет собой подалгебру, идеал или фильтр;
тогда очевидно, множества S, S*, S* совпадают по
составу и обе стандартные обобщенные последователь-
последовательности «состоят» из одних и тех же членов (что, конечно,
не дает оснований для их отождествления).
Пусть S дизъюнктно, {xj —ассоциированная с S
стандартная возрастающая последовательность, а ф —
аддитивная числовая функция; тогда равенство
lim ср (х„) = L (I)
а
может быть записано в виде
2ф(*Н£. A0
Действительно, если выполнено (I), то по произволь-
произвольному е>0 можно подобрать конечное подмножество
S'czS так, чтобы из sup S"^sup S', или, что то же
самое, из S" => S' следовало
L - 2 ф (х)
<е. Таким
образом, выполнено (V). Аналогично проверяется, что
из (Г) следует (I).
2. Топология, порожденная сходимостью. Пусть
S — произвольное множество обобщенных последователь-
последовательностей, образованных из элементов некоторого множе-
множества R. Предположим, что каждому элементу |gS
сопоставлен некоторый элемент x^Gi?. Ясно, что в R
существуют топологии, относительно которых каждая
из последовательностей £ имеет соответствующий эле-
элемент х\ своим пределом; пусть Т— класс всех таких
топологий. Легко убедиться в том, что слабейшая из
всех топологий, мажорирующих этот класс, сама со-
содержится в Т. Действительно, в такой топологии каждая
окрестность точки х% представляет собой пересечение
вида
VX[\V2[\ ... (]Vmt
§ 4] РАЗЛИЧНЫЕ ТОПОЛОГИИ В БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ 123
где каждое V\ есть окрестность х\ в одной из топологий
класса Т. Поэтому все «достаточно далекие» члены по-
последовательности \ должны принадлежать этому пере-
пересечению, и точка х\ является пределом для \ в рас-
рассматриваемой топологии. Последняя тем самым оказы-
оказывается принадлежащей классу Т. Мы видим, что
в классе Т имеется сильнейшая топология. Это заме-
замечание нам понадобится в следующем параграфе,
§ 4. Различные топологии в булевых алгебрах *
1. Предварительные замечания. До сих пор, изучая
булевы алгебры, мы интересовались только теми их
свойствами, которые непосредственно связаны с упоря-
упорядочением. Однако, кроме порядка, множество элемен-
элементов данной алгебры может быть наделено еще различ-
различными топологиями; тем самым булева алгебра должна
изучаться не только как частично упорядоченное мно-
множество, но и как топологическое пространство. При
этом среди различных топологий, возможных в данной
булевой алгебре, нас, разумеется, интересуют в первую
очередь те, которые достаточно разумно согласованы
с упорядочением.
Алгебра X всюду в этом параграфе предполагается
полной. Читатель сам заметит, где от этого предполо-
предположения можно было бы отказаться.
2. Топологии упорядоченности. Связь топологии с упо-
упорядоченностью может описываться различными аксио-
аксиомами. В первую очередь мы рассмотрим топологии,
удовлетворяющие одному из следующих двух условий
(О), (OS).
(О) Если три подобные обобщенные последователь-
последовательности
удовлетворяют при всех аеА неравенству */a
причем {уа} возрастает, {za} убывает и
sup ya = inf za = х,
аеА оеА
то {#cJ топологически сходится к элементу х.
124 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. Ш
Топология может не удовлетворять условию (О), но
удовлетворять более слабому условию (OS):
(OS) Если три обычные последовательности
удовлетворяют при всех я*=1, 2, 3, ... неравенству
Уп^хп^2п> причем {уп} возрастает, {zn} убывает U
sup^ = inf zn=*x, то {хп} топологически сходится к эле*
п п
менту х.
Среди топологий, удовлетворяющих условию (О)
(условию @5)), существует сильнейшая (см. стр. 123).
Определение. Сильнейшая среди топологий, удо-
удовлетворяющих условию (О), называется (о)-топологией.
Определение. Сильнейшая среди топологий, удо-
удовлетворяющих условию (OS), называется (оэУтопологией.
Эти две топологии называются топологиями упоря-
упорядоченности, или топологиями порядка. Поскольку усло-
условие (О) сильнее условия (OS), то (о)-тополсгия, оче-
очевидно, слабее, чем (оз)-топология. Во многлх важных
случаях, как мы увидим ниже, эти топологии совпадают.
Условия (О) и (OS) тесно связаны с понятием так
называемой (о)-сходимости.
Определение. Обобщенная последовательность
%--={ха}а€-А называется (о)-сходящейся к элементу х, если
существуют обобщенные последовательности {//JaGA,
tecJaeA» Удовлетворяющие при любом aGA неравен-
неравенству ya^:Xa^za, причем {уа} возрастает, {га} убывает и
sup#a= inf za = x.
aeA aGA
В этом случае пишут ха—-->*, или (o)-lim xa = х, или
a
просто (o)-lim£ = х. Если А — натуральный ряд чисел
(случай простой последовательности), то пишут хп——->х
или (o)-lim xn = х.
Теперь мы можем сказать, что (о)-топология — это
сильнейшая из топологий, в которых (о)-сходимость
влечет топологическую. Впоследствии мы увидим
(стр. 134), что (о)-сходящаяся обобщенная последова-
последовательность имеет в точности один топологический предел;
§ 4] РАЗЛИЧНЫЕ ТОПОЛОГИИ В БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ 125
Заметим, что определения (о)-топологии и (о)-сходи-
мости не требуют полноты алгебры.
Обращаем внимание читателя на то, что (о)-сходи-
мость, как правило, существенно сильнее, чем сходи-
сходимость относительно (о)- или (оз)-топологии, совпадая
с последней лишь в редких, «вырожденных» случаях.
Топологическую сходимость (сходимость в (о)-топологии)
мы будем обозначать просто стрелкой ->.
Обобщенные последовательности {уа} и {za}, фигури-
фигурирующие в определении (о)-сходимости, принято называть
сжимающими для {ха}.
Ясно, что при всех аеА будет выполняться нера-
неравенство
Уа< А *в< *а< V *в< Za. (II)
Поэтому, положив
Л», Za= V*a, (Ш)
р р> р
мы получим две обобщенные последовательности, «те-
«теснее всего» сжимающие {ха}. Из неравенства (II) сразу
вытекает, что Л za= V уа = (o)-limxa, если этот послед-
а
ний предел существует. Заметим теперь, что формулы
(III) имеют смысл для любой обобщенной последова-
последовательности £ = {ха}- Определенные по этим формулам
обобщенные последовательности {уа} и {га} будут соот-
соответственно возрастающей и убывающей.
Определение. Элементы
У=Ууа, г=Ага (IV)
а а
называются нижним и верхним пределами обобщенной
последовательности £> = {ха}.
Их обозначают так:
у = lim xa, z = lim xai
а а
или короче
Ясно, что всегда
126 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. III
После всего сказанного очевидна следующая
Теорема 11. Для того, чтобы обобщенная после-
последовательность ИаЕА (о)-сходилась к элементу х, не-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
lim xa = lim xa = х. (V)
~ а
Из этой теоремы, в частности, следует единственность
(о)-предела.
Формула (V) может быть записана в развернутом
виде:
V Л ха= Л V ха = х. (V)
0А>|3 |ЗА>0
Для возрастающей или убывающей обобщенной после-
последовательности имеем соответственно
V ха = х
asA
или
Л ха = х.
аеА
В этом случае пишут ха f х или ха | х.
Пусть дана обобщенная последовательность £ =
= {#a}ae= а- Рассмотрим произвольное конфинальное
поднаправление А' направления А и соответствующую
ему конфинальную подпоследовательность ^ = WaGA,.
Поскольку при каждом a0 e А7
{ха\а^ A7, a>ao}c{xa|aGA, a > aj,
то supremum первого множества не превосходит sup-
remum'a второго. Следовательно (здесь мы используем
конфинальность А'!),
Urn I' < Urn I.
Аналогично
Ит % > Ит |.
Итак, при переходе к конфинальной подпоследователь-
подпоследовательности верхний предел может разве лишь уменьшиться,
нижний — разве лишь возрасти. Отсюда, в частности,
вытекает
§ 41 РАЗЛИЧНЫЕ ТОПОЛОГИИ В БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ 127
Теорема 12. Конфинальная подпоследовательность
(о)-сходящейся обобщенной последовательности (о)-
сходится к тому же пределу.
Действительно, если х = (o)-limg, а ^ — конфиналь-
конфинальная подпоследовательность |, то
х = lim I < Нт £' < lim g' < lim g = х,
Примером (о)-сходящейся подпоследовательности
может служить всякая бесконечная обобщенная после-
последовательность {#a}ae=A> множество элементов которой
дизъюнктно. Действительно, ясно, что lim ха = 0. Вместе
с тем при а>а0 будет ( V *й) d*afl, откуда следует,
что элемент у = lim ха дизъюнктен каждому ха,. А тогда
и( V ха) dy, хотя, очевидно, г/^ V ха. Это может быть
аеА ogA
только, если */= 0. Итак, lim ха= Нтд:а = 0, то есть
()a
Перечислим теперь основные факты, связанные
с введенными выше понятиями. При этом все обобщен-
обобщенные последовательности, упоминаемые в формулировках
а) — е), будут предполагаться занумерованными с по-
помощью элементов одного и того же направленного
множества А = {а.} Основная б. а. Ж, как и раньше,
предполагается полной.
а) Если уа = Сха, то
lim уа=С (Ит ха), Ит уа = С (Ит ха).
Таким образом, при дуальном изоморфизме б. а. X
на себя, описанном в главе I, верхний предел соот-
соответствует нижнему и наоборот.
б) Если Уа^СХа U Ха—+Х, ТО
в) Если ха^.уа для всех а > <х0 е А, то
lim #a<; lim ya, lim ха < lim уа.
а а —
128 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. Ш
Отсюда, в частности, вытекает возможность перехода
к (о)-пределу в неравенствах вида а^ха^Ь.
г) Если xa^ya^za для всех <х>аоеА, причем
(o)-\imxa = (o)-\imza = х, то
д) Для произвольного конечного семейства подобных
обобщенных последовательностей {хЩ (Лг =1,2, ..., п)
lim V xW = V (lim *<*>),
lim у *<*) = V (lim *<*').
e) Для любого конечного семейства подобных обоб-
обобщенных последовательностей
И„еА (*-1, 2,..., п)
^з соотношений
Х*)М+Х<*) {k=\,2,...,n)
следует
■ n
V 4"}—
fel
U
Л xf -^> Л jc^.
Утверждения б) и е) говорят о том, что операции С,
Л, V «(о)-непрерывны». Однако было бы опрометчиво
утверждать непрерывность этих операций в (о)-то по-
пологи и; такой непрерывности, как мы увидим ниже*),
может и не быть.
Что касается доказательств вышеприведенных утвер-
утверждений, то они, как правило, весьма просты. Именно,
а) доказывается простым сопоставлением определений
(IV) с формулами двойственности из главы I; б) прямо
•) См. стр. 147.
§ 4] РАЗЛИЧНЫЕ ТОПОЛОГИИ В БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ 129
вытекает из а); в) есть очевидное следствие самих опре-
определений (IV); г) следует из в). Для доказательства
равенств д) воспользуемся дистрибутивным законом.
Имеем после несложных преобразований
v ( V *en'Yl =
V (V jc*> ) =» Ш5 V x»).
?)-
л
ae A
n
Л '
n
V
Л
v.
6>a
V
4fe) =
4'Л v
= Л
aeA
и первое из равенств д) доказано. Аналогично доказы-
доказывается и второе равенство. Наконец, ясно, что е) со-
содержится в д) как частный случай.
Определение. Пусть А = {а} и В = {р} — произ-
произвольные направления, £ = {xa}a€EA и т] =={г/|3}реВ - зану-
занумерованные с помощью этих направлений обобщенные
последовательности. Будем говорить, что g мажорирует
^минорирует) т|, если для всякого реВ можно указать
'х0 е А так, что из a > a0 будет следовать ха ^ у^ ()
будем применять следующие обозначения:
если g мажор ,ет т], и
если | минор1 эует t\.
Предлагаем читателю догадаться, почему во втором
случае мы не применяем знак Ч.
Лемма 7. Если I \- т] (g < т|), то
lim т] ^ lim g (lim т] ^ lim g).
Доказательство. Пусть g I— т]. Тогда, взяв про-
произвольное Р^В, будем для всех a)>ao(p) иметь
Тогда и /\ ха^у*> откуда следует, что
a>ao(P) p
= V Л ха>у^.
130 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. ITI
Далее, ввиду произвольности р, Ит g > V % и, наконец,
Нт£> Л V уа, =
ЭВЗ>Э
Итак, limg^limT]. Аналогично доказывается и нера-
неравенство limT|^]img в случае, когда g <т|.
Следствие. £сла обобщенные последовательности
£> и £> имеют один и тот же (о)-предел х, а обобщенная
последовательность ц такова, что т] }— £ и £,<} Ц, то ц
также (о)-сходится к элементу х.
Лемма 8. Для того чтобы обобщенная последова-
последовательность {ха} (оУсходилась к элементу ху необходимо
и достаточно, чтобы симметрическая разность \ ха — х \
(о)-сходилась к нулю.
Доказательство в части необходимости сводится
к применению тождества
I *а - * I = (*а Л Сх) V (X Л Сха),
а в части достаточности — тождества
ха = | х -1 ха - х 11 = [х Л С | ха - х\ ]V[\xa-x\ АСх]
с использованием основных свойств б) и е).
Приведем также полезную формулу для разности
верхнего и нижнего пределов простой последователь-
последовательности.
Лемма 9. Для любой последовательности {хп}™=1
элементов полной булевой алгебры справедливо ра-
равенство
lim хп — Ит хп = lim | хп — xn+l |.
Прежде всего покажем, что при любом п= 1, 2, ...
имеет место тождество
оо оо
V ** = V I ** - хш | V хя. (VI)
Для доказательства обозначим через а и Ь соответ-
соответственно левую и правую части доказываемого тождества.
§ 4) РАЗЛИЧНЫЕ ТОПОЛОГИИ В БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ
Далее, положив
К-*п> *»♦.-*»+. л с*„,...
..., x'k = xkAC(xnVxn^V ... V-v
будем иметь
оо оо
При каждом k^n+\ имеем
л c^_1<ufe-^fe.1i<&.
Отсюда
/ оо
_v+i
Полученное неравенство вместе с очевидным неравен-
неравенством Ь^а дает нам тождество (VI).
Далее, используя тождество (VI), можем написать
со оо ( со Ч
Л~ __ р\/ П Y с\\1 \ С y Cy I \/ Г у >
к™п k=n У k — n i
Учитывая, что | Cxk — Cxk+l |== | xk — xk+l \, получим еще
одно равенство
со со
С Л хк = V U* - хы | V С*„. (VII)
Теперь имеем
оо со /со\/со\
V xk-A xk = (V xk)A [C Л xk =
- V \xk-xk+l\Vxn\A\\/ \xk-xk+l\VCxn U
- xk+l
132 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. III
Окончательно
оо оо
lim xk — lim xk = (o)-lim V xk — (o)-lim /\ xn =
n k=n n k=n
[oo oo 1 oo
V xk- A * J = (o)-lim V \xk - xk+l | =
k=n k=n J n k—n
Лемма доказана.
Следствие. Если \ хп — хп+{ \ — ■> 0, то последова-
последовательность {Хп}™^ имеет (о)~предел.
Охарактеризуем теперь класс замкнутых в (о)-топо-
логии множеств.
Теорема 13. Для того, чтобы множество Еа&
было замкнуто в {о)-топологии ((оэУтопологии), необ-
необходимо и достаточно, чтобы оно содержало (о)-пределы
всех (о)-сходящихся обобщенных (соответственно, про-
простых) последовательностей своих элементов.
Доказательство. Необходимость нашего усло-
условия очевидна. Для доказательства достаточности пред-
предположим, что существует множество F, содержащее
все (о)-пределы обобщенных последовательностей своих
элементов и не являющееся (о)-замкнутым. Определим
в X новую топологию, объявив замкнутыми три мно-
множества: F, все X и пустое множество. Ясно, что эта
топология несравнима с топологией порядка. В то же
время она удовлетворяет условию (О). Действительно,
пусть ха— ->х. Открытыми окрестностями х в новой
топологии могут быть только I и J\F (единствен-
(единственные непустые открытые множества).
Пусть Q — одно из этих двух множеств, причем xgeQ.
В силу теоремы об альтернативе (теорема 9) либо
множество Q содержит все достаточно далекие члены
последовательности {ха}, либо существует конфннальная
подпоследовательность, члены которой лежат вне Q,
т. е. принадлежат F. В последнем случае мы имеем
подпоследовательность, (о)-сходящуюся к х\ поэтому
элемент х должен содержаться в F и не может при-
принадлежать й вопреки предположению. Таким образом,
§ 4] РАЗЛИЧНЬТР ТОПОЛОГИИ В БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ 133
окрестность Q обязана содержать все ха с достаточно
большими номерами, и налицо топологическая сходи-
сходимость. Условие (О) выполнено, что и доказывает тео-
теорему в части, относящейся к (о)-топологии. Доказа-
Доказательство для (о5)-топологии совершенно аналогично.
Множества, замкнутые в (о)- или (о5)-топологии,
будут называться (о)- или (овУзамкнутыми.
Следствие 1. Каждая из функций fu f2, /3> опре-
определенных равенствами
f, (x) = xV xOy f2 (x) = х А хОУ U (x) e Сх,
где х0 — произвольный элемент X, непрерывна в (о)-то-
пологий.
Для доказательства достаточно проверить, что Ттро-
образ /Т1 (F), где F — замкнутое в (о)-топологии подмно-
подмножество X, также замкнут при каждом / = 1, 2, 3. Взяв
произвольную обобщенную последовательность {ха},
образованную элементами /Т1 (F) и (о)-сходящуюся к не-
некоторому jc, видим, что в силу свойств б) и е) (о)-схо-
димости (см. стр. 127—128) будет
ft (х) = (o)-lim ft (xa).
а
Благодаря замкнутости F имеем ft(x)^F и д: g fT1 (F).
Замкнутость множества f~l (F) установлена, а тем самым
доказано и следствие 1.
Следствие 2. Если при всех а£А выполняется
неравенство y^xa^z и ха—>х9 то y^.x^.z. Иными
словами, каждый сегмент [у, г] есть замкнутое в (о)-то-
пологий множество.
Действительно, мы знаем, что переход к (о)-пределу
в неравенствах рассматриваемого вида допустим. А это
и означает (о)-замкнутость сегмента.
Следствие 3. Если ха-+х, то lim ха < х < lim xa.
Это доказывается переходом к пределу по р в оче-
очевидных неравенствах */а< хр <га(р > а) (см. стр. 125).
Следствие 4. Понятие правильной подалгебры
совпадает с понятием подалгебры, замкнутой е {о)-то:
пологий.
134 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ (ГЛ. Ill
Ясно, что правильная подалгебра должна содержать
верхние и нижние пределы всех направлений, образо-
образованных ее элементами. Следовательно, она содержит
все (о)-пределы таких направлений и поэтому по тео-
теореме 13 замкнута в (о)-топологии. С другой стороны,
каково бы ни было множество £, составленное из эле-
элементов замкнутой подалгебры ^0, его верхняя грань
всегда может быть представлена как (о)-предел неко-
некоторой возрастающей обобщенной последовательности
элементов, входящих в #, именно стандартной возра-
возрастающей последовательности, ассоциированной с Е
(см. стр. 122); поэтому она должна входить в ^0.
Следствие 5. Для любых различных точек х, у
существует открытое в (оУтопологии (в (os)-TonoAoeuu)
множество, содержащее х и не содержащее у.
Действительно, таким множеством может служить
разность G=&\{y}\ оно открыто, так как его допол-
дополнение замкнуто, поскольку (о)-предел стационарной
обобщенной последовательности {уа}а&А> Уа^У может
быть равен только у.
Следствие 4 означает, что относительно каждой
из топологий порядка Ж является Т ^пространством.
Однако аксиома Хаусдорфа при этом может не выпол-
выполняться; топология порядка, вообще говоря, не является
отделимой. В частности, нельзя утверждать и единствен-
единственность топологического предела. Однако если ха—+х,
то топологический предел только один, именно, х. Это
видно из следствия 3.
Остановимся теперь на вопросе о том, что пред-
представляет собой замыкание Е некоторого множества Е
относительно (о)-топологии. Ясно, что Е должно содер-
содержать все (о)-пределы обобщенных последовательностей
элементов Е. Однако простым присоединением к Е
таких пределов нельзя, вообще говоря, даже получить
замкнутое множество. Для того, чтобы построить за-
замыкание, нужно образовать трансфинитную последова-
последовательность множеств
включая в каждое Еа (а>1) всевозможные пределы
обобщенных последовательностей, сформированных из
§ 41 РАЗЛИЧНЫЕ ТОПОЛОГИИ В БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ 1С5
элементов множества
Р<а
Если т — мощность алгебры X, а со — начальный транс-
финит мощности, большей, чем т, то объединение
как раз и будет, как легко проверить, замыканием
множества Е в (о)-топологии. Аналогично описывается
замыкание в случае (о5)-топологии; отличие состоит
в использовании простых (а не обобщенных) последо-
последовательностей. Мы будем называть эти замыкания со-
соответственно (о)- и (овУзамыканиями.
Данное только что «конструктивное» описание за-
замыкания позволяет без особого труда установить, что
(о)-замыкание всякой подалгебры Хо есть снова под-
подалгебра. В силу следствия 4 это замыкание совпадает
с подалгеброй X{Хо) — наименьшей правильной под-
подалгеброй, содержащей Хо. Ясно, что для любого EczX
(о)-замыкание подалгебры X {Е) представляет собой
не что иное, как правильную подалгебру X(Е) (чем
и оправдывается сделанный на стр. 108 выбор обозначе-
ния). В дальнейшем правильную подалгебру X {Хо), поро-
порожденную подалгеброй Хо, будем обозначать Хо.
3. Связь (о)- и (О$)-топологий. Мы уже отмечали,
что из двух введенных выше топологий упорядочен-
упорядоченности более слабой является (о)-топология. Однако они
могут и совпадать. Полное описание всех таких слу-
случаев дает
Теорема 14. Для того, чтобы в полной булевой
алгебре X совпадали (о)- и (о8)~топологии, необходимо
и достаточно, чтобы X была алгеброй счетного типа.
Доказательство. Установим вначале необхо-
необходимость. Пусть X не есть алгебра счетного типа.
Тогда в X найдется дизъюнктное несчетное множе-
множество М. Занумеруем его элементы с помощью поряд-
порядковых чисел, получив тем самым трансфинитную
136 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. III
последовательность {ха}а<а. Положим далее
Уа = V %
Мы имеем возрастающую обобщенную последователь-
последовательность; ее верхнюю грань и одновременно (о)-предел
обозначим через у. Покажем, что множество членов
этой последовательности замкнуто в (о5)-топологии.
Рассмотрим произвольную (о)-сходящуюся к некоторому
xgJ простую последовательность {Уап}°° • Ясно, что
из нее можно извлечь возрастающую подпоследо-
подпоследовательность [yk = ya ]°° с тем же (о)-пределом х. Обо-
значим через а0 наименьшее порядковое число, сле-
следующее за всеми ап . Легко понять, что х = yUQ. Этим
и доказывается замкнутость нашего множества отно-
относительно (о5)-топологии. Элемент у не является членом
обобщенной последовательности {уа}, но представляет
собой ее (о)-предел. Это значит, что множество членов
последовательности не замкнуто в (о)-топологии. Итак,
в случае, когда б. а. X не является алгеброй счетного
типа, (о)-топология существенно слабее.
Докажем теперь достаточность. Пусть X — б. а.
счетного типа, F — множество, замкнутое в (os)-Tono-
логии. Установим, что F замкнуто также и в (о)-топо-
логии. Возьмем произвольную обобщенную последова-
последовательность {xJaeA, образованную элементами F и имею-
имеющую (о)-предел х. Положим, как обычно,
Уа= Л *в, za= V хр.
_
В силу основного свойства алгебры счетного типа най-
найдутся две счетные последовательности индексов {М°°
и fa"]00 такие, что
V уаг = Л v ^ х-
л-1 п п=1 п
§ 4] РАЗЛИЧНЫЕ ТОПОЛОГИИ В БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ 137
Образуем последовательность индексов а,<^ а2<^ ...
так, чтобы
Ясно, что
оо оо
А тогда простая последовательность [ха }°° имеет
элемент х своим (о)-пределом. Но, поскольку F замк-
замкнуто в (о5)-топологии, этот элемент должен принад-
принадлежать F. Видим, что F замкнуто и в (о)-топологии.
Совпадение топологий доказано.
Замечание. При доказательстве теоремы был
попутно установлен следующий важный факт: в полной
алгебре счетного типа для любой (о)-сходящейся обоб-
обобщенной последовательности {ха}аеА существует возра-
возрастающая последовательность индексов {ал}~в1 такая, что
(o)-\imxa = (o)-lim ха.
п п а
Мы видим, что в алгебрах счетного типа основную
роль играют именно простые последовательности.
В связи с этим представляет интерес теорема, описы-
описывающая важный класс простых последовательностей,
имеющих топологический предел.
Теорема 15. Для того чтобы простая последова-
последовательность {хп} элементов полной б. а. сходилась
в (оз)-топологии к элементу х, необходимо и доста-
достаточно, чтобы всякая ее частичная последовательность
{*л*1Г-1 [пх<п2< ... <nk< ...)
содержала подпоследовательность \хПь ]°° (k{ < k2 < ...),
{о)-сходящуюся к х.
Доказательство. Необходимость. Пусть
хп~>х, тогда и xnk~+x. Можно считать, что все
xnk¥=x. Заметим прежде всего, что из последователь-
последовательности [хпЛ можно выделить (о)-сходящуюся подпосле-
подпоследовательность. В противном случае множество всех
138 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. III
элементов хПк было бы замкнуто и его дополнение G
представляло собой окрестность точки х, не содержа-
содержащую бесконечного числа членов исходной последова-
последовательности хп, что невозможно. Пусть теперь хПкЩ+у,
k{<k2< ... Если допустить, что хфу, то вновь рас-
рассмотрим множество всех хп #, присоединив к ним на
этот раз элемент у. Полученное множество будет (о5)-зам-
кнуто, а его дополнение G окажется окрестностью
точки х, не содержащей бесконечного числа элемен-
элементов хп, что невозможно.
Теперь докажем достаточность. Пусть G — про-
произвольная окрестность точки х. Допустим, что вне G
остается целая бесконечная подпоследовательность
I*"/*}00 (/li</l2< •••)• Извлечем из нее (о)-сходящуюся
к х часть {*/ift.}°° (k\<k2< ...). Ее члены с доста-
достаточно большими номерами обязаны входить в G, что
противоречит нашему предположению. Итак, хп->х.
Теорема доказана.
Приведем полезный признак, позволяющий судить
о расходимости простой последовательности.
Условимся писать
lim abs xn = у,
п
если ИтхПк = у для любой подпоследовательности
{xnk}> nx<n2< ... (Д. А. Владимиров [5]).
Лемма 10. Пусть X -- полная булева алгебра
счетного типа. Для того, 4тобы последовательность {хп}
не стремилась к нулю в топологии упорядочения, не-
необходимо и достаточно, чтобы существовала подпосле-
подпоследовательность {Xnk} (^1<^2< •••)> для KOTOpOU
lim abs*„£>().
Доказательство. Пусть вначале {^ — произ-
произвольная последовательность. Упорядочим множество
всех строго возрастающих последовательностей нату-
§ 4J РАЗЛИЧНЫЕ ТОПОЛОГИИ' В ВУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ 139
ральных чисел т= {я£}, считая, что V > V* если суще-
существует такое по==по(х\ т"), для1 которого
и одновременно
lim у? < lim jt*.
fe fe k k
Рассмотрим произвольное линейно упорядоченное мно-
множество Т = {т} таких последовательностей. Пусть
z= Л Нту т
у т
теТ fe пк
Ввиду счетности типа алгебры существуют такие т1э
т2, ..., тот, ..., что тяеТ и
2 = Л Нт у хт.
т к к
В силу линейной упорядоченности множества Т при
каждом т среди последовательностей т{у т2, ..., хт
имеется «наибольшая» в смысле нашего упорядочения.
Обозначим ее через х*т и положим
Легко проверить, что либо т0 > т при любом теТ,
либо уже среди элементов Т существует наибольший
в смысле нашего упорядочения. По лемме Куратов-
ского —Цорна в классе всех последовательностей су-
существует максимальный элемент т*=={^]. Это озна-
означает, что
lim у * = lim и *
к пк к V
о
при любых k{<k2< ...
Рассмотрим теперь произвольную последователь-
последовательность {хп}> не стремящуюся к 0. Это означает, что
существует частичная последовательность {#rc*J°° » из
которой нельзя выделить никакой (о)-сходящейся к нулю
подпоследовательности. Применив к ней приведенные
140 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. III
выше рассуждения, мы и получим искомую подпосле-
подпоследовательность {xnk }, для которой limabsx^ >0. Тем
самым доказана необходимость нашего условия; до-
достаточность его очевидна.
4. Топология в компонентах. Изучим связь поряд-
порядковых топологий в булевой алгебре J и ее компонен-
компонентах. Пусть, как и раньше, Ха — главный идеал *) полной
булевой алгебры X, порожденный некоторым aGj+,
Это булева алгебра с индуцированным из X порядком,
в которой и играет роль единицы. Топологию порядка
в этой булевой алгебре обозначим через (о)и. Ясно,
что Хи есть подструктура X и для любого подмноже-
подмножества EczXu грани, вычисленные в Хт совпадают
с гранями, вычисленными в X. Практически это озна-
означает, что символы структурных операций (V, Л,
lim ..., Итп ..., (o)-lim ...) можно употреблять приме-
применительно к элементам Хи, не задумываясь над тем,
относятся ли они к упорядочению в X или в Хи.
Теорема 16. Компонента Ха всегда представляет
собой замкнутое в (о)-топологии X подмножество б. а. X.
При этом топология (о)и совпадает с топологией т,
индуцируемой в Ха (о)-топологией X.
Доказательство. Замкнутость Ха непосред-
непосредственно вытекает из следствия 2 теоремы 13. Чтобы
доказать совпадение топологий, заметим, что, по-
поскольку Ха замкнуто в X, т-замкнутость множества
Ecz^u эквивалентна замкнутости Е в X относительно
(о)-топологии. Для (о)-замкнутости необходимо и до-
достаточно, чтобы Е содержало все (о)-пределы своих
обобщенных последовательностей. Но таково же необ-
необходимое и достаточное условие замкнутости Е в (о)ц-то-
пологии. Итак, запас замкнутых подмножеств Хи
в (о)ц-топологии тот же, что и в топологии т; отсюда
следует совпадение топологий. Теорема доказана. Ана-
Аналогичное утверждение справедливо и для (о5)-топологии.
Ранее (см. стр. 49) мы связали с каждой компонен-
компонентой Хи оператор проектирования Ри. Мы уже видели
*) Напомним, что в полной б. а. понятия главного идеала и
компоненты совпадают (лемма 1, стр. 106).
§ 4] РАЗЛИЧНЫЕ ТОПОЛОГИИ В БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ 141
(следствие 1, стр. 133), что он непрерывен как оператор
из X в X. Теперь мы можем сказать, что он непре-
непрерывен как оператор из X в Хи. (Имеется в виду не-
непрерывность относительно топологии порядка.)
5. Различные топологии, согласованные с упорядо-
упорядочением. Кроме двух введенных выше топологий, в бу-
булевых алгебрах можно рассматривать и другие топо-
топологии. Мы покажем теперь, что для важнейших алгебр
«разумной» в смысле согласованности с порядком
может быть только (о)-топология.
Предварительно очертим тот класс топологий, ко-
которые естественно считать хорошо согласованными
с порядком.
Мы уже отмечали, что всякая б. а. X представляет
собой абелеву группу относительно бинарной опера-
операции х, у->\х — у\. Естественно поэтому в первую оче-
очередь заинтересоваться теми топологиями в X, в кото-
которых эта групповая операция непрерывна, или, что то же
самое, относительно которых X является топологиче-
топологической группой. Тождество
показывает, что для этого достаточно непрерывности
основных булевых операций V, Л, С. Мы будем на-
называть равномерной всякую топологию в X', относи-
относительно которой непрерывны операции V, Л, С*).
Выбор названия связан с тем, что в данном случае все топо-
топологические факты поддаются описанию в терминах, относящихся
к окрестностям нуля; окрестности произвольного элемента полу-
получаются, как всегда в группе, из окрестностей нулевого элемента
трансляцией. Система всех окрестностей нуля $ — {V} порождает
в Э£ «равномерную структуру» в смысле А. Вейля. Чтобы получить
вейлевские «окружения диагонали», нужно образовать все мно-
множества вида
Ev-i(x,v)\ \x-~y\*=Vl
где V — окрестность нуля. Мы не будем, однако, в дальнейшем
предполагать у читателя знакомства с общей теорией равномерных
пространств.
*) Ясно, что достаточно потребовать непрерывности опера-
операций V, С или Л, С.
142 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. ПТ
Другая важная характеристика топологии —ее мо-
монотонность. Мы будем называть топологию, задан-
заданную в б. а., монотонной, если для всякой окрестности V
точки х е X существует окрестность W а V этой же
точки, обладающая тем свойством, что из условий
*'€еГ, \х"-х\^\х'-х\ вытекает x"e=W. Задать
в X монотонную топологию — это означает выделить
класс 93 = {V} непустых множеств со свойствами:
1) каждое Уе^ нормально;
2) для любых Vlt К2е=93 найдется К€=93, VczV{f]V2)
3) для каждого V е93 существует У'еЗЗ такое, что
V'VV'aV.
Система 93 образует базис окрестностей нуля; базис
окрестностей любой другой точки х может быть обра-
образован из множеств вида х + 5У, 1/ G 1\ (При этом дей-
действительно порождается некоторая монотонная тополо-
топология; проверка условий I и II (см. приложение) несложна.)
Формулы
\х-у\ = \Сх-Су\,
\xAy-x'Ay'\<i\x-x'\V\y-y'\,
показывают непрерывность операций V, Л, С относи-
относительно определенной с помощью системы 93 топологии.
Следовательно, эта топология равномерна.
Наконец, желая иметь отделимую топологию, мы
должны потребовать выполнения условия
4) П ^ = {°>-
Условие 4) действительно гарантирует отделимость
топологии. Достаточно показать, что элементы 0 и
и > 0 всегда отделимы. Пусть V е 93, ифУ (такая
окрестность V существует в силу условия 4)). Подбе-
Подберем, используя 3), окрестность ]Ле93 так, чтобы
FV^cF, и положим W = и + 2V. Если допустить,
что некоторый элемент х е V f| W, то должно быть
h^(h — x\V x^V, поскольку х е V\ а включение
x&W означает, что |м — x\^V\ Но V нормально, по-
поэтому mgK вопреки предположению. Таким образом,
требуемые аксиомой Хаусдорфа окрестности точек 0 и
и построены.
§ 4] РАЗЛИЧНЫЕ ТОПОЛОГИИ В БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ 143
Сформулируем еще одно условие, которому удовле-
удовлетворяют базисы многих важных топологий:
5) множества V е 93 содержат {о)-пределы всех воз-
возрастающих обобщенных последовательностей своих эле-
элементов. («Монотонная замкнутость» окрестностей нуля.)
Систему множеств 93, обладающую свойствами
1) —4), мы будем называть базисом равномерности,
а порожденную базисом 93 топологию в X — (Щ-топо-
логией. Оказывается, что всякая (ЗЗ)-топология «доста-
«достаточно сильна»: ее можно оценить снизу через известные
нам уже топологии. Мы ограничимся алгебрами счет-
счетного типа как самыми простыми и наиболее важными
для приложений.
Теорема 17*). Если в полной б. а. счетного типа ба-
базис равномерности 93 обладает свойствами 1) — 5), то соот-
соответствующая ему топология сильнее, чем {о)-топология.
Доказательство. Взяв произвольный элемент
2>0, подберем множество V^elS, не содержащее z
(используем условие 4)). Далее, опираясь на условие 2),
найдем V2^%> так» чтобы выполнялось соотношение
l/2 V V^ciVY, затем У3 так, чтобы было Vz V ^c^
и т. д. Получим последовательность множеств {Vn},
принадлежащих базису равномерности 93. Легко по-
понять, что она убывающая и что
Vm+i V Vm+2 V ... V Vm+k с V
при всех m, k = 1, 2 ... Положим
m
л-1
Ясно, что й содержит верхние грани всех своих ко-
конечных подмножеств и вложено ъЖ нормально. Поэтому
й представляет собой идеал. Обозначив u = supQ,
замечаем, что этот элемент является пределом возра-
возрастающей обобщенной последовательности элементов Q;
поэтому он содержится в каждом Vm а стало быть, и
в Q. Таким образом, Q — главный идеал: Q==^v. Отме-
Отметим теперь, что элемент u = z/\Cv отличен от н/ля,
п ^скольку z ф V\ =5 Q.
*) Теоремы 17—18 с сопутствующими замечаниями публи-
публикуются, по-видимому, впервые.
144 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. III
Мы видим, что существует минорантное множество
U = {и} элементов алгебры, с каждым из которых свя-
связана последовательность {Vn, a}™ml окрестностей нуля,
обладающая свойствами:
1) Vm+U и V Vm+2, UV ... V Vm+k, a^Vm,a
при всех m, k = 1, 2, .. .;
2) ^„П Л У„.а = {0}.
/1 = 1
По теореме 4 множество U содержит дизъюнктное под-
подмножество £/', верхняя грань которого равна единице.
Поскольку X— б. а. счетного типа, множество £/7 не бо-
более чем счетно; мы можем расположить его элементы
в простую последовательность {ии и2, . . } (ограничимся
рассмотрением случая, когда U' бесконечно). Положим
для любого п= 1, 2, ...
Vn = 1^я. й1 П Vn. и2 П .. • П К». „я.
Мы построили, очевидно, некоторую последовательность
окрестностей нуля. Покажем теперь, что всякая по-
последовательность {хп}, обладающая свойством
xn*=Vn (n=l, 2, ...),
должна (о)-сходиться к нулю. Действительно, используя
условие 1) и предположение о монотонной замкнутости
окрестностей нуля, легко установить включение
Шхп*= П У п. (VIH)
п = \
откуда в силу свойства 2) следует, что Нтхл = 0.
Пусть теперь F — произвольное (о)-замкнутое мно-
множество, {Яо} —обобщенная последовательность его эле-
элементов, сходящаяся в 93-топологии к некоторому ^gJ.
Мы можем образовать последовательность индексов
«1 < «2 < • • •
так, чтобы выполнялось
§ 4] РАЗЛИЧНЫЕ ТОПОЛОГИИ В БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ 145
при всех п=1, 2, ... Последовательность {хап} ((^-схо-
((^-сходится к х. Поскольку F (о)-замкнуто, то xgF. Мы
убедились, что F замкнуто и в рассматриваемой (^-то-
(^-топологии, которая тем самым сильнее, чем топология
порядка. Теорема доказана.
Замечание. Из доказательства теоремы ясно,
что в общем случае (когда X не предполагается алгеб-
алгеброй счетного типа) существует дизъюнктное разложение
X на компоненты, в каждой из которых данная (Щ-то-
пология мажорирует (о)-топологию.
Теорема 18. Пусть X — полная б. а. счетного
типа. Всякая (Щ-топология со свойствами 1) —5), удо-
удовлетворяющая условию (О), совпадает с (о)-топологией.
Эта теорема есть очевидное следствие предыдущей.
Замечание 1. Если в условиях теоремы 18 опу-
опустить предположение о счетности типа алгебры X,
то можно утверждать существование дизъюнктного раз-
разложения X на компоненты, представляющие собой бу-
булевы алгебры счетного типа, в каждой из которых
данная {Щ-топология совпадает с топологией порядка.
Замечание 2. При условиях теоремы существует
счетный базис окрестностей нуля. Такой базис обра-
образуют, например, множества Vn, построенные нами при
доказательстве теоремы 17. Отсюда, используя извест-
известную теорему Какутани (см. Какутани [1]) о метри-
метризуемости топологической группы, можно вывести метри-
метризуемость топологии порядка.
Замечание 3. Для справедливости теоремы 18
условие 5) является излишним.
Действительно, доказательство теоремы сохранится
почти полностью; следует лишь при построении си-
системы {Vuf J потребовать, чтобы (о)-замыкание каж-
каждого Vn%u (я>2) содержалось в Vn-Uu (это нужно при
доказательстве включения (VIII)). Это требование мо-
может быть удовлетворено, поскольку в отделимой топо-
топологической группе всегда существует базис из замкну-
замкнутых окрестностей нуля; каждая такая окрестность бу-
будет в нашем случае и (о)-замкнута.
Условия (О) и 1) —5) характеризуют данную топо-
топологию как наиболее разумно связанную с порядком.
Мы показали, что если в полной б. а. счетного типа
146 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ % [ГЛ. III
такая топология существует, то только одна, именно —
топология порядка. Алгебры, обладающие подобными
топологиями, изучались рядом авторов под названием
«топологических алгебр Буля»*); они образуют наибо-
наиболее естественный для функционального анализа и тео-
теории вероятностей класс булевых алгебр.
Замечание 1 показывает, что «топологическая» ал-
алгебра всегда может быть разложена на компоненты,
в каждой из которых основная топология метризуема
и совпадает с (о)-топологией. Любая из таких компо-
компонент представляет собой б. а. счетного типа. В алгеб-
алгебрах же счетного типа, как показывает теорема 18, имеет
место не только «локальное», но и полное совпадение
двух топологий. Таким образом, «топологическая»
б. а. — это полная б. а. с «достаточно хорошей» (о)-то-
пологией.
Примером алгебры с «плохой» топологией порядка
может служить алгебра Go регулярных открытых мно-
множеств (пример 11 из главы I, стр. 53—55). Патологические
свойства алгебры Go были отмечены Е. Флойдом [1].
Go—алгебра счетного типа, поэтому (о)- и (о5)-тополо-
гии здесь совпадают.
Теорема 19. Топология порядка в б. a. Go не удо-
удовлетворяет аксиоме Хаусдорфа.
Доказательство. Рассмотрим произвольные от-
открытые множества Qo, Q,, содержащие нуль и единицу
соответственно. Покажем, что их пересечение непусто.
Для этой цели, расположив все рациональные точки
интервала @, 1) в простую последовательность^, г2, .. .
. .., гп, . ..}, положим
Ясно, что хпт10 при каждом фиксированном п = 1, 2, . . .
Найдется индекс тх, для которого будет выполняться
включение x\mi е й0.
Поскольку
Х\ V Х2~
*) М. Я. Антоновский, В. Г. Б о л т я н с к и й, Т. А. С а-
рым саков [1].
$ 51 ПОСТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР 147
то для некоторого пг2 будет
Повторяя это рассуждение, мы образуем такую по-
последовательность индексов {ти тъ ..., mnt ...}, что
при всех п= 1, 2, ...
В то же время последовательность элементов
возрастает. Верхняя грань всех уп равна единице, по-
поскольку наименьшее регулярное открытое подмноже-
подмножество интервала @, 1), содержащее все рациональные
точки, есть сам этот интервал. Итак,
и при достаточно больших п
Мы доказали непустоту пересечения О0ПЦ. Видим,
что нулевой -и единичный элементы нельзя отделить
непересекающимися окрестностями; поэтому топология
порядка неотделима. Теорема доказана. Из нее выте-
вытекает, что обобщенная последовательность элементов
алгебры Go может топологически сходиться более чем
к одному пределу.
Основываясь на теореме 19, можно показать, что
булевы операции V и А в Go не будут непрерывными
относительно топологии порядка, и, следовательно, ал-
алгебра Go не является топологической группой.
§ 5. Построение полных булевых алгебр
1. Постановка задачи. Пусть .#* —булева алгебра,
вообще говоря, неполная. Многих затруднений, связан-
связанных с неполнотой X, удалось бы избежать, если бы
мы нашли достаточно универсальный способ погруже-
погружения данной алгебры в полную. Под «погружением» мы
будем понимать установление изоморфизма между .£
148 ПОЛНЫ? БУЛРВЬТ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. III
и некоторой подалгеброй X' полной булевой алгебры Х-,
которую и называют пополнением. Точнее говоря, по-
погружение X в X — это тройка {X, qp, X}, где X и X —
булевы алгебры, qp — взаимно однозначное сохраняющее
порядок отображение X на некоторую подалгебру
X' = q)(X) алгебры X. Алгебра X предполагается пол-
полной. Нас будут интересовать в первую очередь попол-
пополнения, удовлетворяющие следующему «условию мини-
минимальности»:
(т) Замыкание X' в смысле о-топологии совпа-
совпадает с X.
Иначе говоря, X есть наименьшая из своих пра-
правильных подалгебр, содержащих X'. Другое условие,
выполнения которого естественно добиваться, — это
«условие сохранения граней»:
(Ь) Если Е cz J и х = sup E в X, то qp (x) = sup qp (E) в X.
Применительно к конечным множествам условие
сохранения граней выполняется автоматически, по-
поскольку ^ — подалгебра; в общем же случае оно мо-
может и не иметь места.
Существуют различные способы строить пополнения
алгебр. Мы опишем три способа, с помощью которых
можно, отправляясь от данной неполной б. а. X, по-
получить полную алгебру, тесно связанную с исходной.
2. Пополнение методом сечений. Мы уже отмечали
(теорема 1.13), что для любой б. а. X естественно
упорядоченная совокупность ее компонент X оказы-
оказывается полной б. а. Каждому х е X можно сопо-
сопоставить главный идеал Хх = [0, х], который, как мы
знаем, всегда представляет собой компоненту. При
этом соответствие х—>Хх между элементами и глав-
главными идеалами взаимно однозначно, неравенство
Х\^Х2 равносильно включению XX{CiXX2. Таким обра-
образом, система всех главных идеалов образует подал-
подалгебру X' булевой алгебры Х^ изоморфную исходной
алгебре X. Изоморфизм X на &\ определенный только
что, есть вложение. Мы будем его называть канониче-
§ 5] ПОСТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР 149
ским вложением и, допуская обычную вольность речи,
говорить о X как о подалгебре б. а. X, отождествляя тем
самым X и X'.
В теории частично упорядоченных множеств широко
используется идея пополнения данного частично упоря-
упорядоченного множества методом сечений. Эта идея во-
восходит к Р. Дедекинду; к общим частично упорядочен-
упорядоченным множествам ее применил Макнил *), к векторным
структурам—А. И. Юдин**), к булевым алгебрам —
М. Стоун и В. И. Гливенко. Опишем этот метод вна-
вначале в общем виде.
Определение. Будем говорить, что подмноже-
подмножество Е частично упорядоченного множества М есть
Ъ)-классу если выполнено равенство £sl = Е (см. стр. 11).
Из определения сразу следует, что для любого под-
подмножества С cz Е должно быть sup С е Е.
Совокупность всех £)-классов данного частично упо-
упорядоченного множества М, упорядоченная по включе-
включению, всегда представляет собой полную структуру;
в доказательстве этого факта мы здесь не нуждаемся.
Отметим следующие два утверждения:
Лемма 11. Для каждого х е М множество
есть Ъ)-класс\ при этом соотношения х\ <1 Х2 и ЕХ{ cz Ex
равносильны.
Доказательство. Как и всегда, имеет место
включение Ех cz Esxl. Пусть теперь у е El1. Поскольку
x^Esy то у^.х, то есть у^Ех. Значит, Esx=EXi и
первая часть утверждения доказана. Далее, ясно, что
при х{^х2 будет EXlczEx2; наоборот, если выполнено
последнее включение, то, поскольку хх е Ех > должно
быть хх^ЕХ2, или х{^х2.
Лемма 12. Если х = inf Л, то Ех = f] Ey; если
x = supA, то Ех есть наименьший Ъ-класс, содержа-
содержащий все Eyt у^ А.
*) Г. Макнил [1].
••) А. И. Юдин [1].
150 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. 1ГТ
Доказательство. Пусть z e Ех\ тогда, очевидно,
z^Ey при любом i/gA, и, следовательно, ге f} £
У&А
Если z^f]Eyi то при любом */еЛ будет
у&а
откуда 2<inf А = ху или ге£г Первая часть леммы
доказана. Теперь предположим, что х = sup Л. Опреде-
Определим множество fi равенством
Легко понять, что
и BS1 = B. Поэтому В есть ©-класс, который, очевидно,
содержит все Eyt у е А.
Если рассмотреть любой другой 35-класс С, содер-
содержащий все Еу, то будем иметь (U Eyf=>Cs и B = ([}Ey)sicz
cz Csi = С. Поэтому В — наименьший 35-класс, содер-
содержащий все Еу. Покажем, что В=ЕХ. Содержа все Еу,
у е Л, множество В должно содержать и Л. Поэтому
supA = x^B и ЕхаВ *). С другой стороны, £\^ есть
©-класс, содержащий все Л; поэтому, учитывая мини-
минимальность В, можем заключить, что ВаЕх. Лемма
доказана.
Определение. Говорят, что частично упорядо-
упорядоченное множество Af есть пополнение частично упо-
упорядоченного множества М методом сечений, если N
изоморфно естественно упорядоченной совокупности
всех ©-классов множества М.
Основанием для такой терминологии служит нали-
наличие очевидного изоморфизма между М и множеством
всех ©-классов специального вида Ех, х^М. Выясним
теперь, что представляет собой такое пополнение в слу-
случае булевой алгебры.
Лемма 13. В булевой алгебре понятия ^-класса
<i компоненты совпадают.
*) Для любого 2)-класса Е из у<^х, х^Е следует
§ 5] ПОСТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР 151
Доказательство. Пусть Е — D-класс некоторой
б. а. X. Покажем, что £dd = £. Доказывать нужно,
как мы знаем, только включение £dd cz Е. Пусть х е £dd,
y^Es. Для любого zg£ будет у^г, или Су dz.
Следовательно, Су^Е6. Тогда х dCy и х^.у. В силу
произвольности выбора у можно заключить, что
■ xg£s1 = £. Итак, Edd = £, и Е является компонентой.
Рассмотрим теперь произвольную компоненту Е и
докажем, что £S1 = Е. Включение Е cz £si выполняется
автоматически; докажем, что EslcnE. Выберем произ-
произвольные элементы х е £S1, y^Ed. Ясно, что Сг/е£"\
поэтому х ^.Су или х dy. Следовательно, х е £dd = Е,
и требуемое включение доказано.
Резюмируем все сказанное выше в виде теоремы,
известной под названием теоремы Гливенко —
Стоуна *):
Теорема 20. Пополнение методом сечений про-
произвольной булевой алгебры X есть полная булева
алгебра, изоморфная б. а. X всех компонент X.
Обозначим через qp каноническое вложение X в X
и отметим важнейшие свойства этого отображения.
1°. Если множество АаХ имеет в X supremum
(infimum), равный х9 то элемент ср(х) будет в X верхней
(нижней) гранью множества ф(Л). При этом <рA ) = 1—
Справедливость этого утверждения непосредственно
вытекает из леммы 12. Свойство 1° говорит о том, что
вложение X в X происходит с сохранением граней.
2°. Для того чтобы элемент х е X был отличен от
нуля, необходимо и достаточно, чтобы существовал
элемент х^Х, х>0%, такой, что ц)(х)^х.
Достаточность приведенного сейчас условия оче-
очевидна; чтобы доказать его необходимость, заметим, что
отсутствие элемента х с требуемым свойством озна-
означало бы, что компонента х состоит из одного нуля
алгебры Х9 то есть что -к = 0р
*) М. Стоун [1], В. И. Гливенко [2].
152 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. III
3°. Каждый элемент х^Х есть верхняя грань некото-
некоторого подмножества элементов вида qp(x), xg J.
Мы знаем, что х есть некоторая компонента Х\
она и является искомым множеством: х = sup qp (л;) *).
(Наименьшая компонента, содержащая все главные
идеалы вида Ху, где у^х, есть, очевидно, сама ком-
компонента х.)
Следствие. Множество <${Х) минорантно в X.
4°. Образ ср(Х) плотен в X относительно топологии
порядка.
Действительно, множество всех элементов компо-
компоненты х можно рассматривать как возрастающую обоб-
обобщенную последовательность. Ее (о)-пределом и будет х.
В дальнейшем мы будем, как правило, отожде-
отождествлять пополнение X с алгеброй X, а саму исходную
б. а. X с ее каноническим образом <${Х)\ соответ-
соответственно будем отождествлять х и ф(х).
Теорема Гливенко — Стоуна даёт нам право уделять
основное внимание полным алгебрам; если алгебра
неполна, то ее можно рассматривать как подалгебру
некоторой полной б. а., например, построенной так,
как это было сделано выше. Нужно, однако, помнить,
что пополнение методом сечений нередко обладает
патологическими свойствами. Например, пополняя ме-
методом сечений б. а. <^\ состоящую из простых мно-
множеств (пример 10, глава I), получим, как это следует
из сказанного на стр. 33, б. a. Go регулярных откры-
открытых множеств, о свойствах которой мы уже немало
говорили. В то же время существуют и другие, хорошо
известные способы погружения &* в полную б. а. Мы
рассмотрим их ниже.
3. Признак полноты. Применим теорему Гливенко —
Стоуна к доказательству удобного критерия полноты
б. а.
Теорема 21. Для того чтобы б. а. X была полна,
достаточно, чтобы всякое ее дизъюнктное подмножество
имело верхнюю грань.
*) То есть множество xcz$? имеет образ qp(х), supremum
которого в б. а. ££ совпадает с компонентой х, рассматриваемой
па этот раз как элемент алгебры ££.
§ 51 ПОСТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР 153
Доказательство. Погрузим X в пополнение X,
построенное методом сечений. Рассмотрим произволь-
произвольное множество Е элементов Хл Пусть х — верхняя
грань Е, вычисленная в X. Поскольку, как мы отме-
отмечали, X минорантно в J, то в силу принципа исчер-
исчерпывания найдется дизъюнктное подмножество E'czX
такое, что вычисленная в X верхняя грань Е' равна х.
Но по предположению в X также должна существо-
существовать верхняя грань £', которая в силу сохранения
граней обязана совпасть с х. Элемент х принадлежит X
и является в X верхней гранью множества Е\ ясно,
что ту же роль он будет играть и в Хл Согласно
лемме 2' б. а. X полна. Теорема доказана.
Теорема 22. Пусть а — кардинальное число такое,
что мощность всякого дизъюнктного подмножества
булевой алгебры X не превосходит а. Тогда для пол-
полноты X достаточно, чтобы всякое множество, мощ-
мощность которого не превосходит а, имело в X верхнюю
[нижнюю] грань.
Эта теорема есть очевидное следствие предыдущей.
Следствие, а-полная алгебра счетного типа всегда
полна.
4. Переход к фактор-алгебре. Другой широко рас-
распространенный метод построения булевых алгебр со-
состоит в «факторизации» некоторой исходной алгебры.
Мы приведем лишь одну из относящихся к этому
случаю теорем.
Теорема 23. Пусть Х — о-полная булева алгебра,
I — о-идеал в X такой, что всякое дизъюнктное множе-
множество, содержащееся в Х\1, не более чем счетно. Тогда
фактор-алгебра Х = Х/1 полна. С
Доказательство. Покажем вначале, что фак-
фактор-алгебра а-полна. Взяв произвольное счетное мно-
множество ЕаХу расположим его элементы в последо-
последовательность {х{, х2, ...}. Эти элементы представляют
собой /-классы; выбрав в каждом из классов xt про-
произвольного «представителя» xt, получим последователь-
последовательность элементов алгебры X, имеющую в X верхнюю
грань х. Легко проверить, что /-класс £, содержащий
этот элемент, будет верхней гранью множества Ё в X.
154 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. III
Убедимся затем, что X есть алгебра счетного типа.
Допустим, что это не так; тогда найдется дизъюнктное
подмножество flci1, имеющее мощность К1в Зануме-
Занумеруем его элементы в трансфинитную последователь-
последовательность {ха}а<п, где Q — наименьшее несчетное порядковое
число. Как и в первой части доказательства, выберем
в классах ха «представителей» ха^Х. Поскольку Е
дизъюнктно в Х% все элементы вида ха А х^ (а=ф$)
должны принадлежать идеалу /. Положим для каж-
каждого a<Q
*а = *аЛ С ( V
\Y<a
Здесь верхняя грань V ху вычисляется в S£\ она имеет
смысл, поскольку множество {*Y}Y<a не более чем
счетно, а X есть а-алгебра.
Учитывая, что / является a-идеалом, нетрудно про-
проверить включение
\ /1 1
Таким образом, элементы х'а также представляют
классы ха. Ясно, что они попарно дизъюнктны. По
основному свойству идеала / существует такой «но-
«номер» <х0, что ха^1 при всех a>a0. Это означает, что
множество D содержит лишь счетное множество эле-
элементов, хотя по предположению его мощность равна К1в
Итак, ^—алгебра счетного типа. Теперь мы можем
завершить доказательство ссылкой на следствие из
теоремы 22.
Рассмотрим вновь измеримое пространство {Q, £\ т)
и образуем алгебру X так, как это было сделано выше
(см. стр. 83—86). Легко проверить, что идеал /, участвую-
участвующий в ее образовании (он состоит из всех х, для ко-
которых тх = 0), удовлетворяет всем условиям теоремы 23,
Поэтому алгебра X полна. В частности, полна каждая
из алгебр Ео, Е("\ ЕГ.
5. Пополнение по равномерности. Опишем, нако-
наконец, не входя в детали доказательств, метод построе-
построения полной булевой алгебры, основанный на исполь-
4 51 ПОСТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР 165
зовании равномерной топологии. Пусть б. a. X
наделена некоторой (ЗЗ)-топологией. Естественно назы-
называть эту алгебру (Щ-полной, если любая (^-фунда-
(^-фундаментальная обобщенная последовательность ее элемен-
элементов имеет (ЗЗ)-предел. При этом {Щ-фундаментальность
обобщенной последовательности {ха} означает, как все-
всегда, что
при всех а', а">а(У).
Вопрос о связи (ЗЗ)-полноты с «порядковой» полно-
полнотой заслуживает более подробного исследования, чем
это возможно в рамках настоящей книги. Мы ограни-
ограничимся формулировкой одной теоремы.
Пусть (Щ-топология, введенная в некоторой б. а. X,
такова, что всякая дизъюнктная последовательность
{хп}™а{ (Щ-сходится к нулю. Тогда существует б. а. X
со свойствами-.
1) X есть пополнение алгебры X в смысле п. 1
настоящего параграфа; это пополнение удовлетворяет
условию (tn) (см. стр. 148).
2) В X существует равномерная топология, отно-
относительно которой X полна; эта топология индуцирует
на X исходную (Щ-топологию.
Таким образом, при условиях теоремы равномерное
пополнение есть полная б. а.
Мы рекомендуем читателю самостоятельно прове-
провести доказательство этой теоремы хотя бы для «метри-
«метрического» случая, когда X есть метрическое простран-
пространство, абазис 93 образован сферическими окрестностями
нуля.
С общей теорией пополнения равномерных про-
пространств читатель может познакомиться, например,
по книге Н. Бурбаки [1]..
Пусть б. а. X обладает существенно положитель-
положительной квазимерой т. Эта квазимера определяет в X
равномерную топологию, базис которой состоит из
множеств вида
Vx,e = {y\m(\x-y\)<e}.
Ту же самую топологию мы можем получить путем
156 ПОЛНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. ТОПОЛОГИИ [ГЛ. ИГ
введения метрики по формуле
Легко проверить, что выполнены все условия теоремы
о пополнении. Следовательно, алгебра SC допускает
погружение в полную б. а. Хл получаемую «метриче-
«метрическим» пополнением. Нетрудно также установить, что
квазимера т может быть продолжена на всю алге-
алгебру X и это продолжение есть мера.
Отметим, наконец, что частично упорядоченные мно-
множества, наделенные равномерной топологией, изучались
Т. Г. Киселевой [1].
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
1. Показать, что бесконечное кардинальное число т тогда и
только тогда является мощностью полной булевой алгебры, когда
т*0 = т (р. Пирс).
2. Пусть г**0 = т. Показать, что существует полная б. а. мощ-
мощности т, среди фактор-алгебр которой содержатся с точностью до
изоморфизма все полные булевы алгебры, мощность которых не
превосходит т (Б. Ефимов).
3. Показать, что бесконечный экстремальный вполне несвязный
компакт не может быть метризуем.
4. Доказать, что всякая полная непрерывная б. а., содержащая
счетное минорантное подмножество, изоморфна алгебре Go регу-
регулярных открытых множеств.
5. Пусть Р — произвольное частично упорядоченное множество;
./V — система всех его подмножеств, обладающих свойством: bi^.
^b2 ^ В е N влечет ^gB. Введем в N «квазипорядок»: Л ^ В,
если для любого aG/1 при некотором Ь (= В будет а^Ь. Пока-
Показать, что после отождествления «эквивалентных» множеств си-
система N превращается в полную булеву алгебру (А. Г. Пинскер).
6. Доказать, что в полной б. а. совпадение (о)-сходимости со
сходимостью в (о)-топологии означает, что алгебра дискретна.
7. Доказать, что следующее свойство экстремального реали-
реализующего компакта О эквивалентно счетности типа алгебры: всякое
замкнутое нигде не плотное подмножество F cz О содержится
в некотором замкнутом нигде не плотном множестве типа Об
[3. Т. Диканова).
8. Пусть Q — вещественная прямая. Используя аксиому конти-
континуума, показать, что в б. а. 2^ булевы операции V и Л не
являются непрерывными в (о5)-топологии (Р. Дадли).
ГЛАВА IV
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ
В этой главе мы изучим важнейшие типы отобра-
отображений, непрерывных относительно топологий порядка.
Будут доказаны некоторые теоремы о распростране-
распространении таких отображений, в частности классическая
теорема Лебега — Каратеодори о продолжении меры.
§ 1. Важнейшие классы непрерывных отображений
1. Вещественные аддитивные функции. Лемма 1.
Заданная на полной булевой алгебре S£ аддитивная
вещественная функция ф, непрерывная относительно (о)-
топологии ((оэУтопологии), вполне аддитивна (счетно-
аддитивна).
Доказательство. Пусть S — произвольное дизъ-
дизъюнктное множество, х = sup S. Образуем стандартную
возрастающую последовательность {л:а}, ассоциирован-
ассоциированную с S. Имеем л: = (o)-lim яа, ф [х] = lim qp (xa)\ но это
a a
и означает, что ф вполне аддитивна. «Счетный» случай
рассматривается аналогично.
Большое значение для теории аддитивных функций
имеет
Теорема 1. Для любой вполне аддитивной функ-
функции ф, заданной на полной булевой алгебре &', суще-
существует дизъюнктное разложение Ж на три компоненты
JT(+), X{"\ JT<0) такое, что ф(х)>0 при 0<х<=$Г{+\
ф(л:)<0 при 0<л:е^(~), а на &(О) функция ф равна
нулю тождественно.
Доказательство. Применим теорему III. 6, по-
положив
Тогда
158 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ IV
и в силу полной аддитивности qp множества Л и Л'
будутd-правильными; их нормальные ядра представляют
собой взаимно дополнительные компоненты.
Можем положить Л° = ^(+); это и есть одна из иско-
искомых компонент. Аналогично строится Ж^~\ Наконец,
Компоненты S*(+) и Х{'] называются компонентами
положительности и отрицательности функции qp, а эле-
элементы ui+) = sup S*i+\ t/(~} = sup X^ — элементами поло-
положительности и отрицательности. Ясно, что они могут
равняться нулю.
Из теоремы 1 вытекают два важных следствия.
Следствие 1. Всякая вполне аддитивная веще-
вещественная функция ф, заданная на полной б.а., предста-
вима в виде
Ф = Ф+ — ф_,
где ф+ и ф_ — положительные вполне аддитивные функ-
функции.
Действительно, можно положить
Полученные нами разложения аналогичны извест-
известным разложениям Хана и Жордана для аддитивных
функций множества. Мы не будем здесь анализиро-
анализировать связь двух теорий, предоставив это читателю.
Заметим лишь, что на счетно-аддитивные функции
вышеприведенные утверждения распространяются не
полностью. Проще всего обстоит дело в случае алгебры
счетного типа, когда полная аддитивность совпадает
со счетной.
Следствие 2. Полная алгебра, на которой опре-
определена хотя бы одна вполне аддитивная функция (от-
(отличная от нулевой), всегда содержит ненулевую нор-
нормируемую компоненту.
Такой компонентой является, например, главный
идеал Хю где и = и{+) + и(~К Мера на такой компо-
компоненте вводится равенством
\1 (X) = ф+ (X) + ф_ (Х).
§ 11 ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 159
Докажем теперь предложение, обратное лемме 1.
Лемма 2. Всякая вполне аддитивная {счетно-ад-
{счетно-аддитивная) вещественная функция, заданная на полной
булевой алгебре X, непрерывна относительно (о)-топо-
логии (соответственно, (озУтопологии).
Доказательство. Пусть функция qp вполне ад-
аддитивна. Следствие из теоремы 1 позволяет нам огра-
ограничиться случаем положительной функции qp. До-
Достаточно доказать, что все множества вида
замкнуты в (о)-топологии. Пусть ха—->х, ха^Е{а\ По-
Положив #а= Л*й1 ВИДИМ, ЧТО Уа\ Х> Уа^Ха И ВВИДУ
положительности qp имеем qp (#а) ^S Ф (*а) ^ #• Восполь^
зуемся теоремой III. 4 и образуем дизьюнктное мно-
множество Е так, чтобы выполнялось равенство
SUp Е = V Уа = х
' а
и каждый элемент Е мажорировался некоторым уа.
В силу полной аддитивности qp будет
Ф (*) = 2 ф (У)-
Е
Взяв произвольный конечный набору1, у2, ..., yk}czEy
подберем вначале элементы уа.^у1, а затем индекс
a^xxj, a2, ..., ak. Имеем
i=l
Заключаем, что ф(х)<а и дсе£Н. Замкнутость
доказана. Для доказательства замкнутости Е^ заме-
заметим, что Е{а] = {х\ — ф(х)<- а}, а функция — qp вполне
160 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. IV
аддитивна. Случай счетно-аддитивной функции рас-
рассматривается аналогично. Лемма доказана.
Из лемм 1 и 2 непосредственно следует
Теорема 2. Для того чтобы заданная на полной
б.а. вещественная аддитивная функция была вполне
(счетно-)аддитивнау необходимо и достаточно, чтобы
она была непрерывна в (о)-топологии {{о8)-топологии).
2. Непрерывные гомоморфизмы. Перейдем к рас-
рассмотрению непрерывных отображений булевых алгебр.
Пусть J и?/- полные (сг-полные) алгебры, может быть,
совпадающие. Непрерывным (сг-непрерывным) мы бу-
будем для краткости называть всякое отображение X
в 2/, непрерывное относительно (о)-топологий ((os)-to-
пологий) этих алгебр *). Очевидный и важнейший при-
пример такого одновременно непрерывного и сг-непрерывно-
го отображения — изоморфизм ^ на 2/ (в частности,
и любой автоморфизм). Что касается гомомор-
гомоморфизмов, то они могут не быть непрерывными или
сг-непрерывными.
Теорема 3. Для того чтобы гомоморфизм Ф
алгебры X в У был непрерывен {о-непрерывен), необ-
необходимо и достаточно, чтобы для любого множества
{любого счетного множества) Е^.Х выполнялось ра-
равенство
Ф (sup Е) = sup Ф (£).
Доказательство. Необходимость. Пусть
{ха} — возрастающая обобщенная последовательность,
ассоциированная с Е. Как уже отмечалось, sup E =
= (o)-lim xa = lim xa, поэтому Ф (sup E) ~ lim Ф (ха). Ясно,
а а а
что обобщенная последовательность {Ф(ха)} возрастает,
поэтому lim Ф(ха) = sup Ф(ха) = sup Ф(£). (Других пре-
пресс а
делов последовательность Ф{ха) не имеет; см. стр. 134.)
*) Более общий подход к проблеме состоял бы в одновре-
одновременном рассмотрении различных топологий алгебр SC и У и соот-
соответствующих классов непрерывных отображений. Мы не стремимся
к такой общности; в центре нашего внимания в дальнейшем будут
находиться а-непрерывные отображения, которые в важнейших слу-
случаях (когда X и У — алгебры счетного типа) оказываются и не-
непрерывными в смысле вышеприведенного определения.
§ 1] ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Достаточность. Рассмотрим прообраз Ф^)
произвольного (о)-замкнутого множества Еа?*/. Пусть
*„—->* и все ха<=Ф~1 (£). Имеем
= V с V ф (Схэ) = V Л с ф (с*в) =
а р>а ' а
При каждом а имеем Ф(ха)^Еу а множество Е (о)-зам-
кнуто. Поэтому Ф^)^^ и ^еФ (£). Этим доказана
(о)-замкнутость Ф^), а тем самым и непрерывность
отображения Ф.
Доказательство «счетного» варианта теоремы пре-
предоставляем читателю.
Из доказанной теоремы вытекает ряд очевидных,
но важных следствий.
Следствие 1. Если Ф — непрерывный {^-непрерыв-
{^-непрерывный) гомоморфизм, то для любого {соответственно,
любого счетного) множества Е справедливо равенство
Следствие 2. Ядро ^-непрерывного гомоморфизма
представляет собой о-идеал.
Следствие 3. Ядро непрерывного гомоморфизма
представляет собой главный идеал.
Следствие 4. Если Ф — непрерывный гомомор-
гомоморфизм, то условие Ха (о)-> х влечет Ф {ха) (о)> Ф (#). Анало-
Аналогично для ^-непрерывного гомоморфизма соотношение
хп—->х влечет Ф{хп)—->Ф{х). (В последнем случае
{*tt}^Li ~~ простая последовательность.)
Следствие 5. Если два непрерывных гомомор-
гомоморфизма совпадают на некотором непустом множестве Е>
то они совпадают и на {о)-замыкании Е этого мно\
жества.
162 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. IV
Последнее станет ясно, если вспомнить данное
в главе III (стр. 134—135) описание структуры (о)-замы-
кания: нужно «шаг за шагом», опираясь на следствие 4,
проверить совпадение данных гомоморфизмов на каж-
каждом из множеств £0, Е{у ..., £а, ...
Наконец, теорема 3 показывает, что всякий непре-
непрерывный гомоморфизм автоматически является и в-не-
прерывным.
§ 2. Теорема Лебега — Каратеодори
Пусть X — ст-полная б. а. Рассмотрим некоторую
подалгебру Хо с заданной на ней квазимерой qp. По-
Поставим перед собой задачу: построить а-правильную
подалгебру Ж, содержащую 3*Ог и счетно-аддитивную
квазимеру ф, заданную на X и удовлетворяющую при
всех х е Хо неравенству ф (х) ^ qp (х), а если возможно,
то и равенству ф(х) = qp(#). Для решения поставленной
задачи определим внешнюю меру qp*, связав с каждым
xgJ множество Sxt состоящее из всех не более чем
счетных наборов ас Jo, удовлетворяющих условию
sup a ^ х («покрытий»), и положив
Ф* {х) = inf 2 ф (у).
Отметим основные свойства внешней меры.
Г. Если х<=Ж0, то ф*(х)<ф(х).
Это свойство очевидно. Из него вытекает конеч-
конечность ф*. Также очевидно свойство
2°. Внешняя мера монотонна: х^.у влечет ф(х)^.(р(у).
3°. Если х = V хъ то ф* (*) < 2 Ф* (**).
k k
Действительно, задавшись произвольным е>0,
сопоставим каждому xk набор ok e SXk так, чтобы
выполнялось неравенство
§2] ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА — КАРАТЕОДОРИ 163
Ясно, что покрытие o^=[Jak принадлежит Sx;
k
поэтому
ф'(*)< 2
Ввиду произвольности е получаем требуемое нера-
неравенство.
Образуем теперь множество X, отнеся к нему все
элементы х е X, для которых при любом wgJ выпол-
выполняется равенство
Ф* (иЛх) + Ф* (и А Сх) = Ф* (и). (I)
Ясно, что всегда
Ф*(и Л х) + Ф*(и Л
так что в проверке нуждается лишь обратное нера-
неравенство.
Лемма 3. Пусть zn e SC (п = 1, 2, ...) и последова-
последовательность {zn} монотонно стремится к z. Тогда при
любом us=lX
Ф*(аЛг)< lim ф*(и Л zn).
Доказательство. Для убывающей последова-
последовательности &„} все очевидно. Пусть zn\ x, ^j = 0. Имеем
мЛг=2иЛ (zn+l - Zn),
счэ оо
Ф*(и Л г)< 2 Ф*[« Л (гя+1 -zn)] = 2ф*[и Л 2rt+1 Л Сгя] =
оо
= 2j [ф* (м Л гя+1) - ф* {и Л гя)] = lim ф* (м Л гя).
Лемма доказана.
Лемма 4. Множество £ является ^-правильной
подалгеброй.
Доказательство. В основном условии (I) эле-
элементы х и Сх участвуют равноправно, поэтому вместе
с любым элементом в X входит и его дополнение.
164 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ IV
Пусть теперь ху у е Xf z = х А У- Для любого и ^ X
имеем
Ф* {и) = q>(uAx) + q>*(uA Сх) =
= ф* {и А х А у) + ф* {и А х А Су) + qp* {и А Сх А у) +
4- ф* (и А Сх А Су) > ф* (и А х А у) +
+ чГ[(иЛхЛ Су) V{uACxAy)V{uACxA Су)] =
(поскольку (и А х А Су) V {и А Сх А у) V {и А Сх А Су) =
= и А [{х А Су) V (Сх Ay)V {Сх А Су)] = иАС{хАу) =
= иА Сг).
Итак, г^&. Видим, что X — подалгебра. Остается
доказать, что она снправильна. Пусть {хь х2, ..., хп,...} —
оо
произвольное счетное подмножество Х% х = V хп. По-
ложим уп=\/ xk. Ясно, что все упеX и упf x> Cyn j Сх.
При любом и^Х выполняется равенство
Ф*(и) = Ф*(мЛ уп) + Ф*{и А Суп).
По предыдущей лемме
Ф* (wAx)< lim ф* {и А Уп),
п
<р* (и Л Сх) < lim qp* (и Л Суп).
П
Отсюда
Ф* {иАх) + Ф* (и А Сх) < Ф* {и).
Таким образом, х ^ X. Этим и доказано, что X — а-пра-
вильная подалгебра.
Лемма 5. XoczX.
Доказательство. Пусть xgJ0. Выберем по
произволу элемент и и покрытие g^Su. Наборы эле-
элементов вида {xAz}zGa и {Сх Az}z(=0 образуют покры-
покрытия элементов х Аи и Сх Аи соответственно. Поэтому
§ 2] ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА — КАРАТЕОДОРИ 165
Ввиду произвольности а можем заключить, что
Ф* (и) >ф*(хЛ«) + ф* (Сх А и).
Итак, xgJ. Лемма доказана.
Лемма 6. Функция ф, определенная на под-
подалгебре X равенством ф (х) = ф* (х), счетно-аддитивна.
Доказательство. Пусть xdy, х^ у^Х
Ф (х V у) = Ф* (х V у) = Ф* [{х V у) А х] + Ф* [(х У у) А Сх] =
Итак, налицо конечная аддитивность. Отсюда имеем
для любой дизъюнктной последовательности {хп} элемен-
элементов X
/ m \ m
N 2
/ оо \ / m \
Ф V^« >ФN *п
\я-1 / \я-1 /
и, следовательно,
Учитывая неравенство
Ф (V х} = Ф* (V хя) < S Ф* (xj = S
которое справедливо всегда, приходим к тождеству
/ оо \ оо
Ф V хп = 2 Ф
V-1 / п=1
выражающему счетную аддитивность квазимеры ф.
Покажем теперь, что построенная нами квазимера
в некотором смысле максимальна.
Лемма 7. Если г|) — заданная на X счетно-аддитив-
счетно-аддитивная квазимера, удовлетворяющая при всех х^Х0 не-
неравенству г|)(д;)<!ф(:\;), то она* удовлетворяет при всех
х^Х также и неравенству
166 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. IV
Доказательство. Поскольку \|э счетно-адди-
счетно-аддитивна, то, очевидно, для любого х^Х и a^Sx будет
I/go у е а
Поэтому \|)(х)^ф*(л:). Это неравенство при xgJ пре-
превращается в неравенство
ф(*ХФ(*).
которое и требовалось доказать.
Лемма 8. Если исходная квазимера qp такова, что
для любого счетного множества о элементов XQ такого^
что sup a e J^o, выполняется неравенство
qp(supcr)<
го /грм
го есть квазимера ф является распространением ф.
(Легко понять, что в условиях этой леммы мы требуем
просто счетной аддитивности ф.)
Действительно, в этом случае при xgJ0 будет
) *М^ф(*)> откуда в силу свойства 1° внешней
меры вытекает доказываемое равенство.
Итоги предыдущих рассмотрений подводит содержа-
содержащаяся в леммах 4 — 8
Теорема 4. Пусть Х — а-полная б. а., &0 — произ-
произвольная подалгебра #\ ф — заданная на <%*0 квазимера.
Существуют: а) о-правильная подалгебра &, содержа-
содержащая Xq, и б) заданная на S£ счетно-аддитивная квази-
квазимера ф, обладающая свойствами:
1) ф(х)<ф(х) при каждом xgJ0;
2) какова бы ни была заданная на & квазимера \|),
удовлетворяющая при любом х^£*0 неравенству
для всех х^Х выполняется неравенство
Ф()<ф()
Если при этом исходная квазимера ф счетно-адди-
счетно-аддитивна, то при всех х^Х0 выполняется равенство
<р(х)-ф(х);
иными словами^ кващмера ф есть распространение ф.
§2] ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА — КАРАТЕОДОРИ 167
Доказанная сейчас теорема, будучи применена
к алгебрам типа 2Q, превращается в хорошо известную
основную теорему теории меры. Она восходит к К. Кара-
теодори и, разумеется, к А. Лебегу. Идея приведенного
доказательства принадлежит К. Каратеодори, который
был одним из пионеров «алгебраизации» теории меры.
По форме наше доказательство весьма близко к при-
приведенному в книге Биркгофа *), отличаясь от него неко-
некоторыми упрощениями.
Теорема 4 имеет важное следствие. Условимся на-
называть заданную на X квазимеру qp чисто конечно-адди-
конечно-аддитивной, если единственная счетно-аддитивная квази-
квазимера г|), удовлетворяющая при всех х неравенству
тождественно равна нулю. Применим теперь теорему 4
к произвольной квазимере ф, заданной на всей булевой
алгебре X. В этом случае стандартная квазимера ф
будет также задана на Х = Х, и разность ф — ф = г|)
окажется чисто конечно-аддитивной квазимерой (в силу
максимальности ф). Итак, доказана
Теорема 5. Какова бы ни была заданная на
о-полной булевой алгебре квазимера ф, она всегда
может быть единственным образом представлена в виде
суммы
Ф = Ф1 + Ф2»
где ф! — счетно-аддитивная, а ф2 — чисто конечно-адди-
конечно-аддитивная квазимера.
Выясним в заключение этого параграфа «глубину
погружения» подалгебры Хо в X.
Теорема 6. В условиях теоремы 4 для каждого
элемента ^eJ и произвольного е>0 найдется такое
хо^Хо, что
Доказательство. Вначале, используя опреде*
ление ф, выберем asS^ так, чтобы выполнялось
*)Г. Биркгоф [2].
168 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. IV
неравенство
Положив jc=*supG, будем иметь
| Jc — х\ = х — х, ф (| * — л: |) = ф (Jc) — ф (#
< 2 ф(</)-фм< 2
Далее, в силу счетности о существует конечное подмно-
подмножество о0с2в, для которого
ф (х) - -| < ф (sup сг0) < Ф (х\
откуда
- sup ао|) = ф(*)
Теперь можно взять в качестве искомого х0 элемент
sup a0. Имеем
Георема доказана.
Легко установить также, что для всякого
будет ф(|л: — л:х|) = 0 при некотором х\ принадлежащем
наименьшей сг-правильной подалгебре, содержащей &0.
(Эта подалгебра, конечно, содержится в JF.)
Построенную при доказательстве теоремы 4 квази-
квазимеру ф мы будем называть стандартной счетно-адди-
счетно-аддитивной квазимерой, порожденной квазимерой qp. В слу-
случае, когда она продолжает qp, ее называют стандартным
распространением (продолжением) квазимеры ф. При-
Приведенное сейчас «конструктивное» определение может
быть заменено эквивалентным ему «дескриптивным»:
стандартное распространение — это единственная счетно-
аддитивная квазимера ф, продолжающая qp, область
определения которой X представляет собой наимень-
наименьшую a-правильную подалгебру, в которой из условий
§ 3] ПРОДОЛЖЕНИЕ ГОМОМОРФИЗМОВ 169
Ф(#) = 0 следует включение y^JP. Последнее
свойство известно под названием свойства «полноты»
квазимеры ф; можно сказать, что стандартное продол-
продолжение есть самое узкое из полных продолжений.
§ 3. Продолжение гомоморфизмов
Пусть теперь даны две булевы алгебры X и У, под-
подалгебра Х§ алгебры X и гомоморфизм Фоподалгебры^
в 2/. Поставим вопрос о продолжении этого гомомор-
гомоморфизма: требуется построить гомоморфное отображе-
отображение Ф булевой алгебры X в булеву алгебру У, совпа-
совпадающее с Фо на Хо. Известна теорема Р. Сикорского *),
согласно которой полнота У обеспечивает существова-
существование такого продолжения при любых X, Хо, Фо. Однако
нас в этой книге в первую очередь интересуют непре-
непрерывные и сг-не п р е р ыв н ые продолжения, для су-
существования которых одной полноты У недостаточно.
1. Непрерывные продолжения. Мы рассмотрим сей-
сейчас вопрос об условиях непрерывной продолжимости
данного гомоморфизма с подалгебры Хо на некоторую
более широкую правильную подалгебру. Как по
постановке, так и по методу решения эта задача род-
родственна аналогичной проблеме теории меры.
Пусть алгебры X и У полны. Свяжем с каждым
xgJ систему Sx всевозможных множеств е аХ§ таких,
что х <I sup e\ будем такие множества называть покры-
покрытиями элемента х. Далее, определим на X функцию Ф*
со значениями в У равенством
ф*(*)= Л V
Отметим важнейшие свойства отображения Ф*.
1°, Если *!<a;2, to Ф*(л:1)<Ф*(л:2).
Это вытекает из очевидного включения SXi ^ S
Отсюда непосредственно следует:
2°. Если х == sup £, то
V
*) Р. Сикорский [1], стр. 141.
170 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. IV
3°. Если х = sup E, a E конечно, то
В силу 2° достаточно установить справедливость не-
неравенства
Для доказательства рассмотрим вначале случай, когда £
содержит два элемента: Е = {у{, у2\ Выберем по произ-
произволу покрытия ^igS^j, e2^Sy2 и заметим, что си-
система ё всех элементов вида {и V v}, ме^, v^e2,
является покрытием для х. Имеем
ФЧХ) = ей ХФ°(У)<ХФ°^) =
= V a>o(«vo)-(V фо(
aeei
Отсюда, используя дистрибутивный закон, получаем
Л
= Л (\/фо(и))у Л
Переход к общему случаю множества £, состоящего
из п элементов, осуществляется, как обычно, с по-
помощью индукции.
4°. Если # = inf£, то
Л Ф*(у).
Действительно, при любом у^Е имеем
в силу свойства 1°.
5°. Если ш10, то Ф*(л;ХФо(х). Действительно,
одноэлементное множество {л:} входит в систему Sx.
Из 5° сразу следует свойство
6°. ф*@) = 0.
§ 3] ПРОДОЛЖЕНИЕ ГОМОМОРФИЗМОВ 171
(Мы обозначаем нулевые и единичные элементы обеих
алгебр одними и теми же символами.)
Равенство Ф*A) = 1 может в общем случае не вы-
выполняться. Однако оно будет справедливо, если верна
дополнительная гипотеза:
(Е) Если М cz S£§ u вычисленная в X верхняя грань
множества М принадлежит &0, то
Ф0EирМ)= V Ф0(у).
у^м
Будем называть условие (Е) «условием продолжимости».
Лемма 9. Если выполнено условие (£), то Ф*(х) =
= Ф0(л:) при всех x^S1^
Доказательство. Достаточно установить спра-
справедливость неравенства Ф* (х) ^ Фо (х) при #ej£*o.
Каково бы ни было покрытие e^Sx, элементы вида
у' = хАу, У^е принадлежат подалгебре S1^ и их
supremum равен х. Поэтому в силу условия (Е)
Мы видим, что для произвольного покрытия е ^ Sx
должно быть
откуда и вытекает доказываемое неравенство Ф*(л;)!>
>ФО(Х).
Следствие 1. Условие (Е) влечет равенство
Ф*A)=1.
Следствие 2. При выполнении условия (Е) для
каждого х^$* справедливо неравенство
СФ*(л;)<Ф*(Сх).
Действительно, это видно из тождества
Ф*(х) V Ф*(Сх) - Ф*{х V Сх) - I.
Лемма 9 показывает, что если условие (Е) справед-
справедливо, то сужение Ф*|д, совпадает с Фо. Таким обра-
образом, в этом случае Ф* есть продолжение гомомор-
гомоморфизма Фо. Однако само отображение Ф*, вообще говоря,
172 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. IV
гомоморфизмом не является. Поставим перед собой
задачу построения такой правильной подалгебры Ху
содержащей Х09 для которой сужение Ф* |^ было бы
непрерывным гомоморфизмом. Будем, начиная с этого
момента, всюду предполагать условие (£) вы-
выполненным. Кроме того, сформулируем еще одно
условие, родственное условию (£), но, вообще говоря,
ему неравносильное.
(£*) Для любого М аХ выполняется равенство
Мы назовем (Е*) условием непрерывной продолжи-
продолжимости.
Обозначим через X множество всех элементов
х&Х, для которых справедливо равенство
Сужение Ф*|^ будем обозначать через Ф.
Теорема 7. Множество X есть подалгебра б. а. Х>
содержащая Хо, а отображение Ф — гомоморфизм X
в 2/. Если при этом выполнено условие (£*), то
X — правильная подалгебра, а Ф — непрерывный гомо-
гомоморфизм.
Доказательство. Прежде всего докажем спра-
справедливость соотношения
Ф*(шШ) = ЛФ*(*/), (Н)
у&М
где М — конечное, а если выполнено (£*), то произволь-
произвольное подмножество множества X. Свойство 4° позво-
позволяет ограничиться доказательством неравенства
Имеем
§ 3] ПРОДОЛЖЕНИЕ ГОМОМОРФИЗМОВ 173
С помощью следствия 2 из леммы 9 можем оценить
этот элемент снизу:
Ф*(С V Су)>СФ*( V
\ у&М I \у^М
Теперь используем свойство 3°, если М конечно, или
условие (£*) в случае бесконечного М:
сф*(
\yesM
Поскольку все z/geJT, то Ф*{Су) = СФ*{у) и
С V [Ф* {Су)] = С V [СФ* (у)] = Л Ф* (У).
^М у(=М у&М
Сопоставляя все полученные соотношения, получаем
требуемую оценку, а вместе с ней и равенство (II).
Из определения множества X ясно, что оно содер-
содержит дополнения всех своих элементов. Покажем,
используя (II), что верхняя грань всякого конечного
(а если выполнено (£*), произвольного) подмножества
Mci также входит в &\
Л [СФ* (у)] - С V Ф* (у) = СФ* (sup М).
Доказанное равенство означает, что sup M e J. Мы
видим, таким образом, что & является подалгеброй
{правильной подалгеброй, если выполнено (£*)). Далее,
включение XoczX следует из верного для всех ^еХ0
равенства
ф* (с*) = Фо {Сх) - СФ0 (х) - СФ* (х).
Наконец, само определение & вместе с 3° и (II) гово-
говорят о том, что отображение Ф является гомоморфиз-
гомоморфизмом. Условие же (£*) согласно теореме 3 означает не-
непрерывность этого гомоморфизма. Теорема доказана.
Замечание I. Пусть выполнено (£*). Подалгебра X
содержит все элементы, удовлетворяющие условию
Ф*(л;) = 0.
174 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. IV
Это видно из неравенства
которое показывает, что
Ф*(Сл;) = СФ*(л:).
Мы видим, что равенства Ф(л;) = 0 и Ф*(х) = О рав-
равносильны; поэтому множество
{х\х€=ЛГ,Ф(х) = 0}
представляет собой главный идеал алгебры Ж (а не
только подалгебры Ж). Условимся обозначать этот
идеал через Ж*.
Замечание 2. Пусть выполнено (£*). Всякий эле-
элемент х^Х представим в виде
х = х — х*9
где
Действительно, положим
# = Л sup в, л:* = х — х. (III)
Каждое е е Sx содержится в ^0, поэтому х е Жо.
Кроме того, в силу непрерывности Ф
И
то есть х*&.Ж*.
Обозначение х для элемента, определенного фор-
формулой (III), мы сохраним и впредь.
Замечание 3. Пусть известно, что гомоморфизм Фо
имеет непрерывное продолжение Ф, определенное на
подалгебре Хо. Тогда выполнены условия (Е) и (Е*).
Для доказательства сопоставим произвольному мно-
множеству М а X множество М, состоящее из всех Jc,
соответствующих элементам х е М. Тогда, учитывая,
*) По поводу обозначений см. стр^ 136.
§ 3] ПРОДОЛЖЕНИЕ ГОМОМОРФИЗМОВ 175
что
при и е Х§, получим
Ф* (sup М) < Ф* (sup М) = Ф (sup Ж) = V_ Ф (х) = V Ф* (*),
а к этому неравенству и сводится условие (£*). Что
касается условия (£), то оно очевидно.
Последнее замечание показывает, что изложенный
выше метод распространения гомоморфизма достаточно
универсален: он применим всегда, когда непрерывное
продолжение существует.
2. ar-непрерывные продолжения. Построение а-непре-
рывного продолжения осуществляется в основном по
той же схеме. Предположим, что б. а. X а-полна;
алгебру У по-прежнему считаем'полной. Каждому ^gJ
сопоставим систему S°x всех не более чем счетных по-
покрытий этого элемента. Пусть
Отображение Фа обладает свойствами 1° — 6°; это уста-
устанавливается дословно так же, как и выше. Для пере-
переноса на «счетный» случай леммы 9, ее следствий и
теоремы 7 нужно несколько изменить формулировки
основных условий, введя вместо (Е) условие
(Ео) если множество М cz $*0 счетно и sup М е .#*0,
то
Ф0(ьирМ) = \/ Ф0{у),
а вместо (£*) — условие
М С2л^счетно, то
0>a(supAlh»V Ф*0{у).
Пусть выполнено (£0). Положим
JT0 = [х |х е- Х% Ф*о\сх) == СФ0 (х)}.
Множество stQ есть подалгебра, содержащая 3?0\ в нее
входят также все элементы, для которых Фа(л:) = 0.
176 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. IV
Если выполнено '£*'), то &0 — о-правильная подалгебра.
Сужение Фа == Ф! I есть гомоморфизм JPa в У\ усло-
вие (Ео) обеспечивает его ^-непрерывность. На Хо го-
гомоморфизм Фо совпадает с Фо. Наконец, ядро гомомор-
гомоморфизма Фо есть а-идеал алгебры X (но уже не главный
идеал!). Что касается замечаний 2 — 3, то их аналоги
(частичные) будут приведены в главе VI *). Там же
будет выделен важный класс алгебр («регулярных»
в смысле Л. В. Канторовича), для которых условие (£а)
влечет (Е*о).
3. Заключительные замечания. Изложенный в этом
параграфе метод приложим к задаче построения изо-
изоморфизма. Предположим, что подалгебра Хо и ее
образ Фо(^о) плотны в соответствующих алгебрах ЯГ, у
(в смысле (о)-топологии). Кроме того, предположим,
что выполнены условия (Е) и (£*). Тогда, очевидно,
Х = Х9 фф} = у и ф-непрерывный эпиморфизм SC
на ЗЛ. Если при этом отображение Фо взаимно одно-
однозначно и Фо1 удовлетворяет, в свою очередь, усло-
условиям (£), (£*), то существует непрерывный эпимор-
эпиморфизм *Р алгебры У на J£\ совпадающий с Ф^1 на 2/.
Если х^Х^ у^%, то
в силу непрерывности Ф и W эти равенства будут
справедливы и для всех х^Х, i/g2/. Это означает,
что Ч^Ф" и каждое из отображений Ф, W есть изо-
изоморфизм.
Рассмотрим важный пример. Пусть 2/ —полная
б. а., ^ — естественно упорядоченная алгебра всех под-
подмножеств стоуновского компакта GC0> ^0~"поДалгебра,
образованная всеми открыто-замкнутыми подмноже-
подмножествами. Мы знаем, что существует изоморфизм под-
подалгебры Хо на У\ обозначим этот изоморфизм через Ч^.
Ясно, что условие (£) выполняется тривиальным обра-
образом (в силу компактности Q). Поэтому существует
*) Именно, при доказательстве теоремы VI. 10 в части необхо-
необходимости.
§ 3] ПРОДОЛЖЕНИЕ ГОМОМОРФИЗМОВ 177
гомоморфизм W, заданный на некоторой подалгебре
Jd Jo и совпадающий с Ч^ на Х^
Лемма 10. Ядро гомоморфизма W состоит из всех
нигде не плотных подмножеств компакта &.
Доказательство. Пусть М — множество, при-
принадлежащее ядру гомоморфизма W. Это означает, что
Каково бы ни было непустое открыто-замкнутое мно-
множество G0, существует покрывающий М набор е от-
открыто-замкнутых множеств, для которого отличен от
нуля элемент
Открыто-замкнутое множество G1 = Ч^1 (у) непусто и
не пересекается ни с одним из множеств G е е, а сле-
следовательно, не пересекается исМ. Кроме того, G*c:G0.
В силу произвольности G0 заключаем, что М нигде
не плотно.
Пусть теперь М — произвольное нигде неплотное
множество. Обозначим через 2 совокупность всех эле-
элементов вида ^(G), GgJ0, G(]M = A. Ясно, что 2
минорантно вУ и его верхняя грань равна единице.
Рассмотрим всевозможные дополнения к элементам
системы 2. Их нижняя грань равна нулю, а соответ-
соответствующие открыто-замкнутые множества содержат М.
Отсюда следует, что W(M) = 0, т. е. что М принадле-
принадлежит ^^н^ядру гомоморфизма 4х (даже ядру ^п!).
С л е дств!!"в^1. Если алгебра У бесконечна, то
подалгебра S£ существенно шире, чем Х§.
Действительно, непуе^ше нигде не плотные множе-
множества существуют во всякой^есконечном компакте Q.
Следствие 2. Если в огихщнной выше ситуации
выполняется условие (Еа),- то для\сомпакта & совпа-
совпадают понятия множества первой щтегории и нигде
не плотного множества.
Это устанавливается сопоставлением\оказательства
леммы 10 и следствия 2 из теоремы 3 настоящей главы.
Следствие 3. Если в той же ситуации выпол-
выполняется условие (£*), то алгебра У дискретна.
178 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. IV
Действительно, объединение R всех нигде не плот-
плотных множеств в этом случае должно быть нигде не
плотно (так как согласно следствию 3 из теоремы 3
ядро непрерывного гомоморфизма Ч7 есть главный
идеал). Всякое одноточечное множество {q0}, лежащее
вне /?, должно быть открыто-замкнутым; таким мно-
множествам соответствуют атомы алгебры 2Л Поскольку /?
не может содержать открыто-замкнутых множеств, в У
не существует ненулевых элементов, дизъюнктных ка-
каждому атому. Таким образом, алгебра У действительно
состоит только из дискретной компоненты. Такое за-
заключение можно сделать всякий раз, когда известно,
что гомоморфизм Ч'о допускает непрерывное продол-
продолжение на подалгебру Хо (отсюда в силу замечания 3
к теореме 7 вытекает условие (£*)).
Нетрудно проверить, что для гомоморфизма со зна-
значениями в дискретной алгебре условие (Е) всегда вле-
влечет (£*). Сопоставляя все сказанное, приходим к сле-
следующей теореме:
Теорема 8. Пусть У — полная б. а. Для того чтобы
при любом выборе полной алгебры X, ее подалгебры Хо
и удовлетворяющего условию (Е) гомоморфизма этой
подалгебры существовало непрерывное определенное
на Х*о продолжение упомянутого гомоморфизма, необ-
необходимо и достаточно, чтобы алгебра У была дискретна.
Отметим в заключение, что Л. Я. Савельевым в ра-
работах [1] —[3] был развит один общий метод продол-
продолжения мер и гомоморфизмов. Этот метод приложим
к аддитивным отображениям подалгебры Хо данной
булевой алгебры в абелеву топологическую группу. Он
состоит в построении на исходной алгебре надлежащей
равномерной топологии, после чего мера или гомомор-
гомоморфизм продолжаются «по непрерывности» на замыкание
подалгебры Хо.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
1. Показать, что утверждение леммы 10 справедливо и для
гомоморфизма Ч^д.
2. Показать, что (£а) не вытекает из (£а)«
ГЛАВА V
ВЕКТОРНЫЕ СТРУКТУРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ
ФУНКЦИИ
Теория векторных структур («линейных полуупоря-
полуупорядоченных пространств») тесно связана с предметом
настоящей книги. Многие факты, относящиеся к буле-
булевым алгебрам, становятся яснее, будучи рассмотрены
с «векторной» точки зрения. Не будет большим пре-
преувеличением сказать, что теория булевых алгебр и
теория линейных полуупорядоченных пространств сли-
сливаются в одну большую главу функционального анализа.
Линейным полуупорядоченным пространством по-
посвящен ряд монографий, в частности, на русском
языке *). Это позволяет нам не приводить в дальней-
дальнейшем доказательств наиболее известных фактов теории
векторных структур, отсылая читателя к соответству-
соответствующим книгам.
§ 1. /(-пространства и связанные с ними
булевы алгебры
1. Основные понятия. Векторной структурой, или
К-линеалом, называется вещественное линейное прост-
пространство, наделенное частичным-^уповядочением, отно-
относительно которого оно является структурой; при этом
должны выполняться обычные аксиомы: Х^
а) если х < */, то при любом z \
xj\-z< y + z;
б) если х < у, то при любом вещественном ^ > О
должно быть
Хх < Ху.
Таким образом, в определении векторной структу-
структуры содержится требование существования граней у
*) Л. В. Канторович, Б. 3. By лих, А. Г. Пи иске р [1];
Б. 3. By л их [1].
180 ВЕКТОРНЫЕ СТРУКТУРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. V
любого конечного множества; если сверх того по-
потребовать, чтобы всякое ограниченное мно-
множество имело грани, то мы придем к определению
условно полной векторной структуры, или К-простран-
ства («пространства Канторовича»). Положительными'
элементами векторной структуры R называются эле-
элементы, удовлетворяющие неравенству х^О, где 0 —обыч-
—обычный нуль линейного пространства. Совокупность R+
всех положительных элементов есть конус — множество,
замкнутое относительно операций сложения и умноже-
умножения на положительные скаляры и не содержащее ни-
никаких двух ненулевых взаимно противоположных эле-
элементов. При этом всякий элемент х е R однозначно
представим в виде
X == Х^. ~~ Л_,
где л:+Лл;_ = 0. Элементы х+ и #_ называются соответ-
соответственно положительной и отрицательной частью эле-
элемента х, а их сумма
— модулем элемента х.
Если | х\ Л \у 1 = 0, то говорят, что х и у дизъюнктны.
Так же, как и в булевой алгебре, можно говорить
о дизъюнктном дополнении Ed данного произвольного
множества Е и ввести понятие компоненты как такого
множества, которое удовлетворяет условию
Edd = Е.
Для того чтобы дать другое, эквивалентное опре-
определение компоненты, следует ввести еще два понятия.
Подпространство RoczR называется правильным, если
грани всякого ограниченного в R подмножества из Ro
принадлежат /?0. Далее, подпространство Ro называ-
называется нормальным*), если из х ^ Ro, y^R, \y\^\x\
следует у е /?0. С содержательными примерами нор-
нормальных подпространств мы вскоре столкнемся.
Компоненту /^-пространства R часто характеризуют
как правильное и нормальное его подпространство.
*) Ср. эти понятия с понятием правильной подалгебры и нор-
нормального множества (стр. 108 и 35).
$ T1 ^-ПРОСТРАНСТВА И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ Б. А. 181
Иными словами, компонента — это линейное подмно-
подмножество RoczR9 содержащее грани всех ограниченных
в R своих подмножеств и такое, что вместе с любым х
в него входят все у^[ — \х\, \х\].
В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что
рассматриваемая векторная структура условно полна,
предоставив читателю разобраться в том, насколько
это предположение используется.
2. База /(-пространства. Будем рассматривать сово-
совокупность всех компонент данного /^-пространства /?,
наделив эту совокупность естественным упорядочением
(по включению). Обозначим такое частично упорядо-
упорядоченное множество через HR. Почти повторяя доказа-
доказательство теоремы 1.13, получаем основной для нашей
книги факт, впервые, по-видимому, установленный
Г. Биркгофом *).
Теорема 1. HR является полной булевой алгеб-
алгеброй. В этой алгебре роль единицы играет само прост-
пространство /?, булевым дополнением каждой компоненты
h e HR служит ее дизъюнктное дополнение hd; нижняя
грань произвольного множества компонент совпадает
с их пересечением.
Таким образом, с векторной структурой R связы-
связывается полная булева алгебра, которую можно подчас
изучать вместо R. В свойствах алгебры HR сфокусиро-
сфокусированы наиболее глубокие свойства полуупорядоченного
пространства R. Мы будем называть эту алгебру базой**)
/(-пространства R. Во многих важных случаях база
может быть реализована в виде некоторгопгжножества
элементов пространства. Для этогр^нужно, чтобы ^J?
существовала слабая единица; та/ называется положи\
тельный элемент 1, дизъюнктным к которому может
быть только нуль. Слабой единицы в R может, вообще
говоря, и не существовать. Однако если она сущест-
существует, то совокупность ER всех элементов е9 удовлетво-
удовлетворяющих условию \
() 0 ^
*) Более общее предложение содержится в статье А. Г. Пине-
кера [3].
**) Мы несколько отклоняемся от терминологии, принятой
в литературе по полуупорядоченным пространствам.
182 ВЕКТОРНЫЕ СТРУКТУРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. V
.(такие элементы называются единичными), образует
относительно индуцированного из R упорядочения пол-
полную булеву алгебру с элементами 0 и 1 в роли «буле-
«булевых» нуля и единицы. Дополнением элемента e^ER
является разность 1-е. Булева алгебра HR изоморфна
алгебре единичных элементов; изоморфизм можно, на-
например, задать формулой
г|)(/0= V AЛх). (I)
которая сопоставляет произвольной компоненте R
элемент г|)(А)е£д. При этом для любого множества
H'czHR справедливы соотношения
в левых частях которых фигурируют грани, вычислен-
вычисленные в R. Кроме того, как и при всяком изоморфизме,
выполняется равенство
Таким образом, оказывается возможным погрузить
булеву алгебру HR— базу пространства R — в само это
пространство с сохранением порядка и всех граней. Спо-
Способов такого погружения существует бесконечно много,
хотя бы потому, что выбор слабой единицы (если он
вообще возможен) может быть произведен бесконечно
многими способами. Если же единица 1 зафиксирована,
то мы будем всегда предполагать, что погружение
осуществляется с помощью определенного формулой A)
«канонического» изоморфизма i|). Заметим, что при
таком погружении сумма двух дизъюнктных элементов
алгебры совпадает с их суммой как элементов линей-
линейного пространства R. Если же элементы алгебры не
являются дизъюнктными, то можно говорить об их
сумме в R; в последнем случае операция сложения
выводит за пределы алгебры. Симметрическая раз-
разность элементов алгебры после погружения в R может
быть истолкована как модуль обычной разности; этим
оправдывается сделанный нами в главе I выбор обо-
обозначения (см. стр. 21).
§ 1] /(-ПРОСТРАНСТВА И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ Б. А. 183
Проиллюстрируем сказанное простейшим примером.
Пусть Q— произвольное непустое множество; /^—сово-
/^—совокупность всех заданных на Q конечных вещественных
функций, наделенная естественным порядком. Операции
сложения и умножения на вещественные числа вво-
вводятся в Fq по обычным формулам:
(af)(q) =
/, g e Fq, a — вещественное число). Любое ограничен-
ограниченное множество EczFq имеет точные границы; они на-
находятся по формулам
(sup £)(?)= sup y(q)9
У^Е
(inf £)(</) = inf y{q).
В частности,
(fV g)(q) = mzx{f(q\ g(q)}t
t g{q)}t
= max{/(<?), 0}, (II)
=-min {f(q), 0},
Ясно, что всякое конечное множество является в FQ
ограниченным; очевидным образом выполняются также
аксиомы а) и б) из определения векторной структуры.
Мы видим, что FQ есть /^-пространство; конус его по-
положительных элементов образован всевозможными
функциями, положительными в обычном смысле.
Формулы (II) показывают, что понятия модуля, по-
положительной и отрицательной части элемента также
истолковываются обычным образом. Дизъюнктными
в Fq будут функции, отличные от нуля на непересе-
непересекающихся множествах; в каждой точке ?gQ значе-
значение одной из двух дизъюнктных функций должно рав-
равняться нулю. Теперь нетрудно понять, что представляют
184 ВЕКТОРНЫЕ СТРУКТУРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. V
собой компоненты нашего пространства: каждая ком-
компонента связана с некоторым подмножеством Qo^ Q
и состоит из всех функций, обращающихся в нуль
вне Qo. Отсюда ясно, что булева алгебра компонент
в нашем примере может быть отождествлена с уже
знакомой нам алгеброй 2Q. В пространстве FQ имеется
слабая единица; ее роль может играть любая поло-
положительная функция, не принимающая нулевых значе-
значений. Чаще всего в качестве единицы используется
функция, тождественно равная единице; тогда единич-
единичными элементами будут всевозможные характеристи-
характеристические функции подмножеств Q.
Вместо пространства FQ всех вещественных функций
на Q можно рассмотреть более узкое пространство Mq,
состоящее из всевозможных ограниченных функций.
Алгебраические операции и порядок вводится в Mq
так же, как и в FQ. Грани существуют у любого огра-
ограниченного множества. Сохраняется в силе все сказан-
сказанное ранее по поводу истолкования модуля, положи-
положительной и отрицательной части, отношения дизъюнкт-
ности и понятия компоненты. Как и в случае FQy база
/^-пространства MQ может быть отождествлена с алгеб-
алгеброй 2Q.
Можно рассматривать и другие пространства опре-
определенных на Q функций, имеющие изоморфную 2Q базу.
Например, если. Q есть натуральный ряд чисел {1,
2, ...}, то можно рассматривать популярные в анализе
пространства 1Р, состоящие из последовательностей
оо
/ = (/l, /2» •••» fm ...) СО СВОЙСТВОМ 2 I fn f < + «>.
Здесь р можно считать любым строго положительным
числом *). Доказательство того, что 1Р есть векторная
структура, несложно. Ясно, что формулы (II) сохра-
сохраняют силу; нужно лишь доказать, что определенные
с их помощью функции fVg, f Л g, f+, /_, I f I при-
принадлежат lp. Пространство 1Р не содержит функции,
тождественно равной единице. Роль слабой единицы в
*) Обычное предположение р^\ здесь излишне.
§ 1] ^-ПРОСТРАНСТВА И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ Б. А. 185
нем может играть любой вектор/=(/1э/2» ...,/Л, ...), все
координаты которого строго положительны. Мы предла-
предлагаем читателю самостоятельно выяснить состав базы и
убедиться в том, что она и в этом случае изоморфна 2Q.
Пространства Mq и 1р представляют собой примеры
нормальных подпространств (см. стр. 180) соответству-
соответствующего пространства Fq. Пространства Fq и их нор-
нормальные подпространства удобны в качестве моделей
при первоначальном знакомстве с векторными струк-
структурами, точно так же, как дискретные алгебры 2Q
хорошо иллюстрируют простейшие факты теории буле-
булевых алгебр. Однако наиболее интересны те векторные
структуры, которые связаны с непрерывными буле-
булевыми алгебрами, например с лебеговской алгеброй EQ.
Мы рассмотрим подобные пространства ниже.
Классический пример векторной структуры, не яв-
являющейся /(-пространством, мы получим, рассматривая
К-линеал С[о, ц всех заданных на отрезке [0, 1] непре-
непрерывных вещественных функций (упорядочение и линеа-
линеаризация обычные). Грани конечных множеств вычи-
вычисляются в С[о, 1] так же,
как и в F[ot 1], — по фор-
формулам (II). В то же
время, например, множе-
множество непрерывных функ-
функций {/„}, графики которых
изображены на рис. 1,
ограничено снизу нулем,
но не имеет в классе не- ^ л—j w
прерывных функций ниж- ! И 1
ней грани.
Таким образом, струк- Рис. 1.
тура С[о, 1] не является
условно полной; причина этого— в «слишком хороших»
(или, если угодно, наоборот, «плохих») топологических
свойствах отрезка [0, 1]. Непрерывные функции, задан-
заданные не на отрезке, а на каком-либо вполне несвязном
экстремальном компакте, уже образуют, как можно
показать, условно полную векторную структуру. Более
того, справедлива теорема, утверждающая, что всякое
/(-пространство реализуется подобным образом. Мы
186 ВЕКТОРНЫЕ СТРУКТУРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. V
отсылаем читателя, желающего детально ознакомиться
с реализацией полуупорядоченных пространств, к книге
Б. 3. Вулиха [1].
3. Операторы проектирования. Важную роль в тео-
теории векторных структур играет операция проектиро-
проектирования в компоненту. Именно, с каждой компонентой h
/(-пространства R связан оператор проектирования
{проектор) Ph, определенный равенствами
/>*(*)= V у (III)
y<=h
при х^О и
Ph(x) = Ph{x+)-Ph(x-)
для произвольного х.
Этот оператор сопоставляет каждому x^R эле-
элемент Ph(x) —проекцию элемента х в компоненту h.
Можно показать, что оператор Ph аддитивен, одно-
однороден и положителен (при х^О всегда Ph(x) ]> 0).
Отметим основное для нас свойство операций проекти-
проектирования: если компоненты {hi)*eE попарно дизъюнктны
и имеют в HR supremum, равный единице*), то эле-
элементы Рн^(х) также попарно дизъюнктны и
\УРнг{х) = х.
Если семейство компонент конечно, то последний
supremum совпадает с обычной суммой. Легко про-
проверить, что единичные элементы — это проекции еди-
единицы в различные компоненты. Предлагаем читателю
истолковать операцию проектирования в простран-
пространствах Fq, Mq.
Приведенная выше теорема 1 уже оправдывает
появление векторных структур в этой книге, посвящен-
посвященной булевым алгебрам. Однако остается еще открытым
вопрос о том, всякая ли полная б. а. есть база не-
некоторого /С-пространства.
Положительный ответ на этот вопрос дает следую-
следующая теорема.
*) Напоминаем, что единицей в НR служит компонента, совпа-
совпадающая с самим пространством R.
$ Л К-ПРОСТРАНСТВА И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ В. А. 187
Теорема 2. Для всякой полной булевой алгебры X
существует К-пространство, база которого изоморфна X.
Известно много доказательств этой важной теоремы.
Самый короткий путь к цели связан с привлечением
экстремального стоуновского компакта &, реализую-
реализующего данную алгебру. Векторная структура С& всех
конечных непрерывных вещественных функций на Q и
окажется искомым /(-пространством. Построение изо-
изоморфизма сводится к установлению взаимно одно-
однозначного соответствия между компонентами векторной
структуры С& и открыто-замкнутыми подмножествами
компакта G: любому такому множеству е соответст-
соответствует компонента, состоящая из всех непрерывных
функций, обращающихся в нуль вне е. При этом вся-
всякая компонента имеет такое происхождение, и различ-
различным открыто-замкнутым множествам соответствуют
различные компоненты. Подробное доказательство при-
приведено в монографии Б. 3. By л их а [1].
/(-пространство, база которого изоморфна данной
булевой алгебре, называется надстроенным над этой
алгеброй. Приведенный выше эскиз доказательства
теоремы 2 имеет тот недостаток, что не позволяет
обнаружить важный для нас факт неединствен-
неединственности надстроенного пространства. Уже для диск-
дискретных алгебр 2Q мы установили существование двух,
вообще говоря," различных векторных структур Fq и
Mq, имеющих данную алгебру своей базой (совпадать
они будут лишь в тривиальном случае, когда мно-
множество Q конечно). При этом пространство FQ является
в некотором смысле наиболее широким среди всех
/(-пространств, надстроенных над алгеброй 2®. Именно,
любое из таких пространств может быть изоморфно
отображено на некоторое нормальное подпространство
пространства Fq. Такая же ситуация имеет место и
в общем случае.
Теорема 3. Всякой полной булевой алгебре 5£
отвечает надстроенное над ней К-прост ранет во 2>#,
среди нормальных подпространств которого найдется
подпространство, изоморфное любому К-пространству,
надстроенному над X.
188 ВЕКТОРНЫЕ СТРУКТУРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. V
Эта теорема принадлежит А. Г. Пинскеру; прост-
пространство ©д. называется расширенным К-пространством,
надстроенным над булевой алгеброй X.
Расширенное /С-пространство определяется по дан-
данной алгебре уже однозначно; по свойствам ©# можно
полностью судить о свойствах X, и наоборот. Отметим,
что в расширенном К-прост ранет ее всегда найдется
слабая единица.
Описание пространства ®^ —а тем самым и любого
надстроенного над X /С-пространства — может быть
произведено многими способами. Так, на языке стоунов-
ской реализации можно охарактеризовать 6# как про-
пространство всех непрерывных вещественных функций на
компакте Q, конечных всюду, за исключением, может
быть, точек некоторого нигде не плотного множества.
Мы не будем здесь заниматься преодолением труд-
трудностей, связанных с операциями над такими функ-
функциями (с определением суммы, граней и т. п.). Имеется
другой путь, состоящий в истолковании ©я как сис-
системы всевозможных разложений единицы. Последнему
понятию и посвящен следующий параграф.
§ 2. Спектральные семейства и разложения единицы.
Спектральные меры
1. Спектральные семейства. Начнем с рассмотрения
простейшей модели. Пусть векторная структура R со-
состоит из вещественных функций, заданных на неко-
некотором множестве Q. С каждой такой функцией / связы-
связывается семейство множеств
Ex(j)-{q\qeQ, f(q)<K}, (IV)
зависящее от вещественного параметра А е (— оо, + оо).
Это и есть «спектральное семейство», соответствующее
функции f; ясно, что / восстанавливается по семей-
семейству (IV) однозначно. Поэтому изучение числовых функ-
функций можно при желании полностью заменить изучением
семейств указанного вида. Нетрудно привести условия,
при которых заданное наперед семейство множеств
оказывается порожденным некоторой числовой функ-
§ 2] СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА И РАЗЛОЖЕНИЯ ЕДИНИЦЫ 189
цией. Предварительно заметим, что вместо точечных
множеств можно рассматривать элементы произвольной
булевой алгебры Ж\ тогда роль вещественных функций
примут на себя элементы надстроенной над ^векторной
структуры. Однако в самом определении спектрального
семейства нет надобности упоминать о какой-либо век-
векторной структуре; оно имеет «внутренний» по отноше-
отношению к булевой алгебре характер.
Спектральное семейство, или спектральная функ-
функция,— это зависящее от вещественного параметра семей-
семейство {eJx, е (_оо +оо) элементов данной полной б. а. Х%
обладающее свойствами:
2. V ex~I, Л ек = 0.
А, €= (-оо, +оо) X, €= (-оо, +оо)
Последние два равенства удобно записывать в виде
2'. е+оо=1, е-оо-0.
Если выполняется равенство
то говорят, что Яо — точка непрерывности спектрального
семейства {ej. Ясно также, в каких случаях можно
говорить о непрерывности слева или справа.
Заметим, что семейство, определенное равенством
(IV), является спектральным в смысле нашего опреде-
определения; при этом оно обладает дополнительно свойством
непрерывности справа. Иногда требование односторон-
односторонней непрерывности включают в определение спектраль-
спектральной функции.
Мы скажем, что две спектральные функции [еП
и [еЛ почти совпадают, если при A<jj, выполняются
неравенства
190 ВЕКТОРНЫЕ СТРУКТУРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. V
Нетрудно проверить, что введенное сейчас отношение
«почти совпадения» рефлексивно, симметрично и транзи-
тивно; поэтому можно разбить класс спектральных
семейств на непересекающиеся подклассы так, чтобы
принадлежность двух семейств одному подклассу озна-
означала, что они почти совпадают. Такие подклассы мы
будем называть разложениями единицы и обозначать
в общем случае малыми готическими буквами. Среди
образующих данное разложение единицы f спектраль-
спектральных функций {ек} можно выделить две, в некотором
смысле «пограничные»: именно, существуют спектраль-
спектральные семейства {^(f)} и (e£(f)} такие, что класс f сов-
совпадает с множеством всех спектральных функций,
удовлетворяющих при всех ( неравенству
*£(f)<*x<*J(f). (V)
Для построения таких «пограничных» семейств нужно
взять произвольное семейство {ej из числа образующих
данное разложение единицы f и положить
Легко проверить, что эти два семейства обладают
требуемыми свойствами (в частности, сами принадлежат
классу f). Вообще, если задана пара почти совпадаю-
совпадающих спектральных функций, одна из которых непре-
непрерывна справа, а другая слева, то тем самым задано и
некоторое разложение единицы, состоящее из всех
спектральных семейств, «зажатых» между данными.
Таким образом, разложения единицы могут быть ото-
отождествлены с подобными парами спектральных функций.
Если в некоторой точке Aq одна из образующих
данное разложение единицы спектральных функций не-
непрерывна, то в этой точке будут непрерывны и все
остальные функции класса f; при этом
Отметим также, что все представляющие данное разло-
§ 2] СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА И РАЗЛОЖЕНИЯ ЕДИНИЦЫ 191
жение единицы спектральные функции имеют одни и
те же интервалы постоянства; замкнутое множество
вещественных чисел, дополнительное к объединению
всех интервалов постоянства, называется спектром раз-
разложения единицы. Точки спектра —это то же самое,
что точки роста: в любой окрестности такой точки
каждая из представляющих данное разложение единицы
функций должна существенно возрастать.
В множестве всех разложений единицы можно ввести
частичное упорядочение. Именно, условимся писать
/<f", если неравенство Я<ц влечет e£(f")^^(f)-
Иначе говоря, при Я<ц должно быть е"<е^ для произ-
произвольных спектральных семейств, представляющих соот-
соответственно классы f и f". Проверка аксиом частичного
порядка (см. приложение) затруднений не представ-
представляет.
2. Спектральные меры. Покажем, что понятие разло-
разложения единицы по существу содержится в более общем
понятии гомоморфизма. Точнее говоря, с каждым разло-
разложением единицы однозначно связан некоторый гомомор-
гомоморфизм булевой алгебры <$(_оо, +<х>) (см. стр. 92) в данную
алгебру X, и наоборот, всякий такой гомоморфизм поро-
порождает разложение единицы. Опишем это соответствие.
Пусть дано разложение единицы^ Обозначим через £
множество всех элементов вида {e^(f)} и {^(f)}- Опре-
Определим гомоморфизм ф алгебры <Я?(-.«>, +оо) в алгебру X
(точнее, на подалгебру X (£)), положив вначале
(VI)
а затем продолжив это отображение с системы обра-
образующих на всю алгебру ^F(_oo, +OO).
Такое продолжение возможно в силу сказанного на
стр. 92, поскольку система образующих вида Ai, Д£
линейно упорядочена, а формулы (VI) определяют изо-
тонное отображение. Итак, исходное разложение единицы
породило гомоморфизм ф алгебры ^?(_оо,+ОО) на Х(Е).
Легко выписать формулы, определяющие значения
192 ВЕКТОРНЫЕ СТРУКТУРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. V
гомоморфизма ф для промежутков:
Ф{(о, р)} = ер-е*,
ф{[«. Р]} = ^-е",
Ф{[а, Р)} = ер-е-, (VH)
ф{(о, р]} = ер+-<.
В частности,
так что разложение единицы, в свою очередь, может
быть однозначно восстановлено по гомоморфизму qp.
При этом нетрудно понять, что любой гомоморфизм
алгебры <#(-оо,+оо) в SC порождается некоторым разло-
разложением единицы согласно формулам (VIII). Мы видим,
что имеются достаточные основания отождествлять раз-
разложения единицы с всевозможными гомоморфизмами
<$*(-oot +00) В 3£.
Приведем важный пример. Пусть и — произвольный ,
элемент алгебры X. Определим, используя этот эле-
элемент, спектральную функцию {ек} равенством
0, если А < О,
Си, если 0<Я<1, (IX)
1, если А^ 1.
Спектральное семейство (IX) непрерывно справа;
соответствующее разложение единицы образовано все-
всевозможными спектральными функциями, значения кото-
которых при каждом Я заключены в сегменте \е^, £jj; здесь
екяаек* а е1 находится из равенства
0, если Я<0,
Си, если 0<Я<1,
1, если Я> I.
Опишем, наконец, соответствующий этому разложе-
разложению единицы гомоморфизм qp. Закон его образования
прост: если множество е е <$?(-«>, +оо) не содержит точек
§ 2] СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА И РАЗЛОЖЕНИЯ ЕДИНИЦЫ 193
0 и 1, то ф(е) = 0; если lee, aO^e, то ф(е) = и; при
1 ф еу Обе будет ц{е) = Си; наконец, для множеств,
содержащих и 0 и 1, имеем ф(е)=1.
С похожей ситуацией мы сталкиваемся в математи-
математическом анализе при построении меры Лебега —Стилтьеса
по «функции распределения», имеющей скачки в точ-
точках 0 и 1 и постоянной в промежутках между ними.
Гомоморфизм ф представляет собой абстрактный аналог
такой меры. В свое время мы условились называть
гомоморфизмы, определенные на алгебрах множеств,
«булевыми мерами» (стр. 92). К их числу относятся и
гомоморфизмы, соответствующие разложениям единицы;
желая подчеркнуть их происхождение, мы будем назы-
называть их спектральными мерами. О спектральных семей-
семействах, образующих данное разложение единицы, мы
будем говорить, что они порождают соответствующую
спектральную меру.
Алгебра с$?(-оо, +ОО) состоит из конечных объединений
промежутков и, следовательно, весьма бедна; она не
является даже сг-алгеброй множеств. Поэтому есте-
естественно возникает проблема продолжения спектральной
меры на более широкую алгебру, например на систему
всех борелевских множеств. При этом желательно
получить по крайней мере сг-непрерывное продолжение.
К сожалению, в полном объеме эта программа неосу-
неосуществима. Удается доказать лишь, что для спектраль-
спектральных мер верна
Теорема 4*). Всякий гомоморфизм ф алгебры
<Я?(-оо, +оо) в произвольную полную б. а. X удовлетворяет
условию (Еа) (формулировка условия (Ео) приведена
в главе IV; см. стр. 175).
Однако условие (£*), обеспечивающее существование
а-непрерывного продолжения, может для спектральной
меры ф и не выполняться; все дело в свойствах
алгебры X **). В главе VI будет описан некоторый
класс булевых алгебр («регулярных» в смысле Л. В. Кан-
Канторовича), для которых задача а-непрерывного про-
продолжения имеет положительное решение.
*) Б. 3. By л их [1], [2].
**) Д. А. Владимиров [3].
194 BEKTOI'HblF СТРУКТУРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. V
Теория спектральной меры имеет истоки в спек-
спектральной теории операторов, где роль б. а. X играет
булева алгебра инвариантных подпространств некото-
некоторого действующего в гильбертовом пространстве само-
самосопряженного оператора *) (пример 4*, глава I). Общее
понятие спектральной меры было введено (под назва-
названием «полуупорядоченной меры») В. И. Соболевым
в работе [1].
§ 3. Интеграл по спектральной мере.
Теорема Фрейденталя.
Пространство ®# как совокупность разложений единицы
1. Спектральный интеграл. Пусть R — /(-пространство
со слабой единицей!, HR — булева алгебра компонент —
база R. Мы уже отмечали, что HR изоморфна есте-
естественно упорядоченной системе ER всех единичных эле-
элементов. Допуская некоторую неаккуратность, мы будем
говорить о ER как о базе R. Пусть задано некоторое
разложение единицы алгебры ER, ф — соответствующий
гомоморфизм t£?(-oo, +оо) в £д, иначе говоря, спектраль-
спектральная мера. Значения этой меры могут рассматриваться
как элементы R. Следуя в основном принятой в мате-
математическом анализе схеме, можно ввести для веще-
вещественных функций, заданных на прямой, понятие «спек-
«спектрального интеграла» по мере ф. При этом желательно
считать меру ф распространенной на возможно более
широкую алгебру множеств. Теорема 4 настоящей
главы вместе с теоремой IV. 4 показывают, что спек-
спектральную меру ф можно считать заданной на алгебре Му
получаемой из <$?(_«>, +оо) тем процессом расширения,
который описан в главе IV **). В «хороших» случаях
М — сг-алгебра, а ф — cr-непрерывный («счетно-аддитив-
(«счетно-аддитивный») гомоморфизм; однако мы сейчас не будем на
это рассчитывать. Пусть / — ^-измеримая и ф-почти
везде конечная вещественная функция. Это означает,
*) Н. Данфорд и Дж. Шварц [2], А. И. Плеснер [1],
А. И. Плеснери В. А. Рохлин [1], Б. 3. В у лих [1], [2].
**) Мы сохраняем за мерой, полученной в результате продол-
продолжения, название «спектральной».
§3] ИНТЕГРАЛ ПО СПЕКТРАЛЬНОЙ МЕРЕ 195
что алгебра М содержит прообразы fl (Д) всех громе-
жутков, а также множество
^ = {xUe(~oo, +00), |/(*)|=+оо};
при этом у(еоо) = 0.
Спектральный интеграл
/(/, Ф)= J /Ар (X)
(-ОО, +ОО)
есть по определению вычисленный в М supremum все-
всевозможных сумм вида
m
5=2 rnky (ek),
где множества ek попарно не пересекаются, принад-
принадлежат Мне сумме дают всю прямую; числа же mk-
нижние грани функции / на множествах ek. Суммы
такого вида (при желании можно называть их «сум-
«суммами Дарбу») представляют собой элементы /(-про-
/(-пространства /?; для существования интеграла достаточно,
чтобы их множество было ограничено сверху. Можно
показать, что в случае расширенного /(-пространства R
интеграл существует для всякой ^-измеримой и ф-почти
везде конечной функции /. Таким образом, спектраль-
спектральный интеграл можно истолковать как оператор, пере-
переводящий некоторое множество вещественных функций
в пространство R. Этот оператор аддитивен, однороден,
а совокупность функций, для которых он определен,
есть линейное множество. Из других свойств интеграла
отметим положительность (интеграл от неотрица-
неотрицательной функции будет положительным элементом R)
и ортогональность: если функции f я g отличны
от нуля на непересекающихся множествах, то их инте-
интегралы дизъюнктны.
Часто интеграл (X) обозначается по образцу инте-
интеграла Стилтьеса:
/(/, Ф)=
196 ВЕКТОРНЫЕ СТРУКТУРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. V
Такое обозначение напоминает о спектральном семей-
семействе!^}, породившем спектральную меру qp. Разумеется,
буква А входит в эту формулу фиктивно, как «связан-
«связанная переменная».
Особенно важен случай функции, заданной равен-
равенством /(А) = А. Оказывается, что формула
+ ОО
*= } Ыек (XI)
— оо
дает общий вид элемента /(-пространства R.
Теорема 5 (Г. Фрейденталь *)). Для любого эле-
элемента х К-пространетва R существует единственная
спектральная мера qp^ такая, что
/•
(— °о, +°о)
где f (A) = А при всех А.
Последнюю формулу можно согласно сказанному
выше переписать в виде
+ ОО
имея в виду спектральную функцию {е£}, порождающую
меру фх. Разложение единицы, образованное такими
функциями, называется характеристикой элемента х.
В частности, разложение единицы, рассмотренное в ка-
качестве примера на стр. 192, совпадает с характеристи-
характеристикой элемента u^ER<z:R. Рекомендуем читателю непо-
непосредственно вывести интегральную формулу (XI) для
этого случая.
2. Пространство разложений единицы. Теорема
Фрейденталя устанавливает взаимно однозначное соот-
соответствие между элементами R и разложениями единицы
булевой алгебры ER. Ясно, что понятие разложения
единицы носит внутренний по отношению к булевой
алгебре характер: для его определения нет надобности
*) Г. Фрейденталь [1]; доказательство приводится в книге
Б. 3. Вулиха [1].
§ 4] СХОДИМОСТЬ В ^-ПРОСТРАНСТВАХ 197
упоминать об элементах пространства /?. В то же время
теорема 5 позволяет отождествлять элементы R и соот-
соответствующие им разложения единицы (или, что то же
самое, спектральные меры). Эти соображения подска-
подсказывают способ построения /(-пространства, надстроен-
надстроенного над данной алгеброй X, как пространства, со-
состоящего из разложений единицы или, если угодно, из
спектральных мер. Именно, в дополнение к введенному
в п. 1 § 2 частичному упорядочению надлежит столь же
внутренним образом определить для разложений еди-
единицы алгебраические операции (сложение, умножение
на скаляры), имея целью получить расширенное /(-про-
/(-пространство /?, содержащее X в качестве ER. Элементы
этого пространства должны совпадать со своими харак-
характеристиками. Такая программа была впервые осущест-
осуществлена Л. В. Канторовичем*); в этом, по-видимому, со-
состояло первое доказательство теоремы 2. Пространство
всех разложений единицы б. a. SP может, следовательно,
отождествляться с <3#; можно также рассматривать его
подпространства, не содержащие всех разложений
единицы. Итак, всякое К.-прост ранет во может быть
реализовано в виде пространства спектральных мер.
Отметим в заключение этого параграфа, что в рас-
расширенных (и некоторых других) /(-пространствах может
быть чисТчэ внутренним образом введена операция умно-
умножения, наилучшим образом согласованная с порядком
и аддитивными свойствами; роль единицы умножения
играет слабая единица 1. Для пространств Fq такое
умножение совпадает с обычным умножением функций,
если в качестве слабой единицы выбрана функция,
тождественно равная единице.
§ 4. Сходимость и топология порядка
в /С-пространствах
Этот параграф посвящен топологическим вопросам
теории полуупорядоченных пространств. Почти все со-
содержание главы III может быть перенесено сюда. Мы
*) Л. В. Канторович,1 Б. 3. By л их, А, Г, Пинскер [1],
глава IV.
198 ВЕКТОРНЫЕ СТРУКТУРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. V
ограничимся немногими фактами. Все дальнейшие рас-
рассмотрения будут относиться к /(-пространству R, имею-
имеющему базу & и, следовательно, нормально вложенному
в расширенное/(-пространство®^ Последнее мы обычно
будем обозначать одной буквой ®.
Прежде всего определим понятие (о)-сходимости.
Учитывая условную полноту R, мы можем для этой
цели использовать верхний и нижний пределы. Именно,
верхний предел ограниченной обобщенной последова-
последовательности {ха}а^А определяется равенством
Нт*о=Л V *«,
а а 3>а н
а нижний предел — равенством
lim ха = V Л х*.
Г « 3>а
(о)-пределом ограниченной последовательности {ха}а<_.А
называется общее значение ее верхнего и нижнего пре-
пределов в случае, когда последние совпадают. Иначе
говоря,
х = (o)-lim ха = Л V *6 = V Л х».
В этом случае пишут также ха——->х. Возможны и
другие варианты определения (о)-предела, в том числе
и не предполагающие ограниченности.
Так же, как и для булевых алгебр, может быть
доказана (о)-непрерывность основных операций. Именно,
из соотношений
(о)
следует, что
Х + У
—
—
И Т. П.
§ 5] ВАЖНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ 199
«(о)-непрерывной» является и операция проектирования:
ха — +х влечет ЯЛ (х„) —}->ЯЛ (х) для любой компоненты
Что касается верхнего и нижнего пределов, то они
полу аддитивны: для любых обобщенных последователь-
последовательностей
справедливы неравенства
+ limx<2)+ ... + limx<m),
a a
- ... + Hm Xim).
Простейший пример, иллюстрирующий понятие
(о)-сходимости, доставляет пространство FQ\ здесь
(о)-сходимость совпадает с обычной «точечной» сходи-
сходимостью функций (в каждой точке q^Q). Для (о)-сходи-
мости в MQ нужна еще дополнительно равномерная
ограниченность всех функций одной константой.
Используя понятие (о)-сходимости, можно так же,
как и в случае булевой алгебры, ввести понятие
(о)-топологии как сильнейшей среди топологий, в кото-
которых (о)-сходимость влечет топологическую. Замкнутыми
в такой топологии окажутся множества, содержащие
пределы всех (о)-сходящихся обобщенных последова-
последовательностей своих элементов.
§ 5. Важнейшие примеры
Опишем, не приводя подробных доказательств, наи-
наиболее важные примеры /(-пространств.
Пусть дано некоторое измеримое пространство
(в смысле теории меры) и ^ — соответствующая булева
алгебра измеримых множеств с обычным отождествле-
отождествлением («метрическая структура», ассоциированная с дан-
данным измеримым пространством). Можно считать для
200 ВЕКТОРНЫЕ СТРУКТУРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. V
определенности, что Ж — лебеговская алгебра Ео или
одна из алгебр Ег (см. стр. 84—86).
Рассмотрим класс всех определенных на данном
пространстве измеримых почти везде конечных веще-
вещественных функций и факторизуем его, отождествив
эквивалентные (почти везде совпадающие) функции.
В результате такого отождествления возникает извест-
известное пространство S, элементы которого представляют
собой классы эквивалентных между собой функций
(«функции mod 0»). Каждой индивидуальной функции со-
соответствует семейство лебеговских множеств вида (IV).
После факторизации такие семейства превращаются
в спектральные семейства элементов булевой алгебры Ж.
При этом почти совпадающим спектральным семействам
отвечает один и тот же элемент S —одна и та же
«функция mod 0». Тем самым устанавливается взаимно
однозначное соответствие между элементами S и все-
всевозможными разложениями единицы — элементами про-
пространства ©#. Можно без труда проверить, что это
соответствие есть линейный и порядковый изоморфизм.
На этом основании мы можем в дальнейшем не раз-
различать пространства S и ©#, рассматривая S как рас-
расширенное /(-пространство, надстроенное над алгеброй S1.
Каждому из разложений единицы f, g, ... соответствует
класс эквивалентных друг другу функций, для которых
в качестве типового обозначения мы будем использо-
использовать одноименную латинскую букву: /, g и т. п. Такие
функции условимся называть ^-функциями, ^-функциями
и т. п.
Наглядное представление о свойствах разложения
единицы f можно получить, изучая семейство (IV) лебе-
лебеговских множеств Ек какой-либо f-функции /. Точкам
разрыва образующих f спектральных функций соответ-
соответствуют множества уровня функции /, имеющие положи-
положительную меру; если данное значение Ао принимается
функцией / лишь на множестве нулевой меры, то
и в, точке Ао все образующие f спектральные семейства
непрерывны. Интервалы постоянства любого из таких
семейств — это такие интервалы, которые «почти не
§ 51 ВАЖНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ 201
содержат» значений функции /: прообраз f~l (Л) интер-
интервала постоянства Л есть нуль-множество. Наконец,
спектр разложения единицы f состоит из таких точек,
в любой окрестности которых содержатся значения
каждой f-функции /. Можно сказать, что точки спек-
спектра — это значения, от которых нельзя «отделаться»,
изменяя функцию на нуль-множестве. Спектру принад-
принадлежат, в частности, все точки разрыва, образующие
его дискретную часть.
Остановимся еще на истолковании сходимости в <£#.
(о)-сходимость последовательности {f,J означает сходи-
сходимость почти везде любой последовательности {fn}, со-
составленной из ^-функций.
Кроме пространства S можно рассматривать раз-
различные его подпространства: L (пространство сумми-
суммируемых функций), Lp и т. п. Они также будут /^-про-
/^-пространствами, надстроенными над той же алгеброй modO
измеримых множеств.
Остановимся теперь на «вероятностной» интерпре-
интерпретации понятия векторной структуры, надстроенной над
булевой алгеброй.
Интерпретируя алгебру как систему событий, мы
одновременно истолковываем разложения единицы как
случайные величины.
Каждый элемент ej(f) может быть наглядно истолко-
истолкован как событие: «значение случайной величины f не
превосходит Я».
Если при этом на данной алгебре задана вероят-
вероятностная мера \х («вероятность»), то, сопоставляя дан-
данному разложению единицы f вещественную функцию
получим функцию распределения рассматриваемой слу-
случайной величины, а интеграл Лебега — Стилтьеса
+ ОО
J ЫАГ(Л)
— оо
даст значение ее математического ожидания*).
*) Роль подобных интегралов будет до конца выяснена в главе VI,
202 ВЕКТОРНЫЕ СТРУКТУРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. V
Наконец, возьмем в качестве $С булеву алгебру инвариант-
инвариантных подпространств действующего в сепарабельном гильбертовом
пространстве Я самосопряженного оператора А (пример 4*, глава I).
Надстроенное над этой булевой алгеброй расширенное /С-прост-
ранство Ж — это пространство всех самосопряженных операторов,
являющихся функциями от оператора Л, то есть перестановочных
с каждым самосопряженным ограниченным оператором, коммути-
коммутирующим с А (см. Ф. Р и с с и Б. Секефальв и-Н а д ь [1]). Поря-
Порядок в Ш обычный: В^С, если оператор В — С положителен.
Характеристика элемента Ж — это обычная спектральная функ-
функция самосопряженного оператора. Знакомый смысл приобретает
и понятие спектра. Заметим, что «операторная» интерпретация
по существу не отличается от «функциональной». Дело в том, что
алгебра инвариантных подпространств нормируема и допускает
реализацию в виде метрической структуры, ассоциированной с не-
некоторым измеримым пространством. А тогда- пространство Ж ока-
оказывается изоморфным соответствующему пространству S. Оказыва-
Оказывается, нетрудно охарактеризовать функции, образующие (с точ-
точностью до эквивалентности) это последнее пространство. Именно —
это все вещественные функции f, для которых имеет смысл са-
самосопряженный оператор f (А); из таких операторов и состоит
пространство 2L
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
1. Пусть SC v
гомоморфизм из
ное равенствами
1. Пусть № и У — две полные булевы алгебры, Ф — непрерывный
гомоморфизм из SC в у. Показать, что отображение U, определен-
определенное равенствами
et (<*) = Ф(е? (f)) (- оо < А, < + oo)f W
есть линейный оператор из ©^ в ©у, обладающий свойствами
1) fi < U влечет U (fx) < Ufa);
2) fa —-> f влечет U (fa) —> U (f).
2. Показать, что если Ф —изоморфизм ^Г на У, то и опреде-
определенный равенствами (*) оператор U есть линейный и порядковый
изоморфизм @^ на ©у.
3. Найти общий вид изоморфизма для /(-пространств 2>% и (Зу.
ГЛАВА VI
НОРМИРОВАННЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ
Среди всех булевых алгебр наиболее важны для
приложений те, которые обладают мерой. Такие алгебры,
как уже упоминалось в главе I, называются нормиро-
нормированными', таковы, в частности, алгебры событий, изу-
изучаемые в классической теории вероятностей. Нормиро-
Нормированным алгебрам в основном и посвящена настоящая
глава; кроме того, здесь мы изучим родственный класс
алгебр, удовлетворяющих введенному Л. В. Канторо-
Канторовичем «условию регулярности». В этой главе рассмат-
рассматриваются только полные алгебры.
§ 1. Нормированные алгебры
Рассмотрим прежде всего топологические
свойства нормированной алгебры. Пусть всюду в этом
параграфе J^ —полная б. а., \х— мера на X. Напоми-
Напоминаем, что приведенное в главе I определение меры
содержит требования полной аддитивности и существен-
существенной положительности функции \х.
Последнее из этих требований обеспечивает, в част-
частности, счетность типа всякой нормированной алгебры.
В такой алгебре, следовательно, совпадают (о)- и
(о5)-топологии, а стало быть, и классы вполне адди-
аддитивных и счетно-аддитивных функций.
1. Метризуемость нормированной алгебры. Наличие
в нормированной б. а. X меры \х позволяет ввести
в X метрику, определив расстояние между элементами
х, у^Х формулой
y) = \i(\x-y\). (I)
Можно без труда убедиться в том, что все аксиомы
метрического пространства будут выполнены. Превратив
таким образом булеву алгебру в метрическое про-
пространство, естественно поставить вопрос о связи
204 НОРМИРОВАННЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Vf
метрической топологии с топологией порядка. Ответ на
этот вопрос оказывается весьма простым.
Справедлива
Теорема 1. Топология, определяемая в X с по-
помощью метрики (I), совпадает с {о)-топологией.
Доказательство. Легко проверяется, что мет-
метрическая топология удовлетворяет всем условиям тео-
теоремы III. 18. Действительно, "условие (О) выполняется,
поскольку мера \х есть непрерывная в (о)-топологии^
функция, и, следовательно, р(ха, 0) = \х (ха) —> 0 каждый
раз, когда ха——->0. Условия I), 2), 4) выполняются
в силу монотонности меры: множества Уе = {х\\хх =
= р(х, 0)<е} нормальны и образуют в нашем метри-
метрическом пространстве базис окрестностей нуля. Наконец^
непрерывность булевых операций V и-С следует из
очевидных соотношений
р (х V у, х' V уГ) = |i (\х V у - х' V if I) <
<|i(|x V y-x' Vy\ + \x'Vy-x'Vy'\X
]л(\х-у\) = р(х, у),
справедливых при всех х, х', у, у'^Ж. Теперь на
основании теоремы III. 18 заключаем о совпадении,
метрической топологии и топологии порядка. Теорема
доказана.
Следствие 1. Пусть \х и v — две меры на полной
б. а. Для любого числа е>0 можно указать такое 6>0,
что из неравенства ji*<6 будет следовать vx<e.
Для доказательства достаточно заметить, что соот-
соотношения \ixn—>0 и vJcrt->0 выражают в силу только что
доказанной теоремы одно и то же: сходимость к нулю
в (о)-топологии. Такую сходимость можно назвать
«сходимостью по мере».
Следствие 1 показывает, что понятие абсолютной
непрерывности, столь важное, когда речь идет о функ-
функциях множеств, становится в нашем случае бес-
бессодержательным.
Следствие 2. Для того чтобы имело место соот-
соотношение \ххп —> 0, необходимо и достаточно^ чтобы из
§ 1] НОРМИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ 205
любой строго возрастающей последовательности ин-
индексов {nk} можно было извлечь подпоследовательность
[п^] ik\<k2 •••) такую, что
Действительно, ввиду совпадения (о)- и (оз)-топологий
можно сослаться на теорему III. 15.
Следствие 2 показывает, что всякая последователь-
последовательность {хп}, сходящаяся по мере к нулю, содержит
(о)-сходящуюся подпоследовательность [xnk). Это утвер-
утверждение можно уточнить, указав способ выбора такой
подпоследовательности: для (о)-сходимости достаточно,
оо
чтобы сходился ряд 2 М-^/гь- Докажем это.
оо
Лемма 1. Если 2 Мп^ + °°> то
Доказательство. При любых m, k имеем
(m+k \ m+k с»
V уЛ < 2 v>yt < 2 m- ^
i—m I i*=m i=*m
Ввиду (о)-непрерывности меры
Правая часть последнего неравенства стремится
к нулю; 'поэтому
оо оо
f^WA #< <inf 2 цг/^
откуда в силу строгой положительности меры
lim yt = 0
или
(o)-lim yt = 0.
i
206 НОРМИРОВАННЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. V|
Лемма доказана*). С ее помощью мы теперь рассмотри;^
вопрос о метрической полноте алгебры.
Теорема 2. Полная б. а. Ху наделенная метрщ
кой (I), есть полное метрическое пространство.
Доказательство. Пусть последовательность!
{хп}™=1 фундаментальна относительно рассматриваемой*
метрики. Мы можем извлечь из нее подпоследователь*
ность
для которой будет сходиться ряд
оо
ЕрОч, хПк+1).
Поскольку р(хч, Xnfc+l) = p(\Xnk-Xnk+l\, 0), то в силу
леммы 1 будет
I ХЧ ~~ Xnk+i I ~* °*
А тогда по лемме III.9
0 < lim xnk - l_im хПк = lim | хП/? - хПк+1 \ = 0,
то есть существует элемент х такой, что
ХН *х'
Теперь из неравенства
Р(ХП, X)^p(xnk, Х) + Р(ХП, ХПк)
легко получаем, используя условие фундаментальности,
что
р(хп, х)->0.
Полнота пространства доказана.
2. Свойства (о)-сходимости. Опираясь на лемму 1,
легко также доказать другую важную теорему, восхо-
*) В теории вероятностей это предложение известно под наз-
названием «леммы Бореля — Кантелли».
I 1] НОРМИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ 207
дящую к М. Фреше. Мы будем называть принципом
диагонали следующее утверждение:
Какова бы ни была двойная последовательность
{*/m}"m.i элементов б. а X, удовлетворяющая ус-
условию
Хппг 10 (Л =1,2,...), * (И)
существует «диагональная» последовательность [Хпт\°°
такая, что
Теорема 3. Во всякой нормированной б. а. выпол-
выполняется принцип диагонали.
Доказательство. Пусть {хпп} — двойная после-
последовательность, удовлетворяющая условию (II). В силу
непрерывности меры при каждом л=1, 2, ... будет
^О- Подберем индексы {пт}™=1 так, чтобы схо-
дился ряд 2 V>xnm • Тогда в силу леммы 1 будем иметь
l
(o)-lim хПтп = 0,
что и доказывает теорему.
В конце этой главы мы покажем, что существование
«диагональной» последовательности может быть дока-
доказано при более общих предположениях. Именно, если
хпт~~*хПУ а хп-^>х, то существует последователь-
последовательность {хПтп}> (о)-сходящаяся к х.
Примером нормированной алгебры может служить
любая «метрическая структура», ассоциированная
с каким-либо измеримым пространством {Q, ef, га}
(алгебра modO измеримых множеств). Далее мы увидим,
что всякая нормированная алгебра имеет такую реа-
реализацию. При этом (о)-сходимость элементов такой
алгебры совпадает со сходимостью почти везде харак-
характеристических функций соответствующих множеств;
метрическая же сходимость — это сходимость по мере.
208 НОРМИРОВАННЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. VI
Следствие 2 из теоремы 1 является абстрактной формой
известной теоремы Ф. Рисса; другие предложения этого
параграфа также имеют аналоги в классической тео-
теории меры.
§ 2. Подалгебры нормированной булевой алгебры
Всякая правильная подалгебра Хо нормированной
булевой алгебры X сама, очевидно, представляет собой
нормированную алгебру, наделенную, например, инду-
индуцированной из X мерой. Рассматриваемая как само-
самостоятельная алгебра, подалгебра Хо может быть непре-
непрерывна, дискретна или содержать дискретную и непре-
непрерывную компоненты. Подчеркнем, что, как нетрудно
показать на примерах, все три случая действительно
могут реализоваться, независимо от того является ли
исходная алгебра непрерывной или дискретной; так, бес-
бесконечная дискретная нормированная алгебра *) содержит
как дискретные, так и непрерывные подалгебры.
1. Примеры подалгебр. Хорошую возможность про-
продемонстрировать примеры подалгебр дают нам «мет-
«метрические структуры», ассоциированные с простейшими
измеримыми пространствами. Мы рассмотрим сейчас
важнейшую модель: возьмем в качестве X упомянутую
в главе II (стр. 85) б. а. £о (алгебру modO измеримых
по Лебегу подмножеств единичного квадрата Q). В ка-
качестве \х возьмем, как обычно, лебеговскую меру (точнее
говоря, ту меру на £о, которая возникает из лебеговской
при факторизации).
Построению примеров подалгебр предпошлем одно
общее замечание. Пусть У и X — две б. a., qp — гомо-
гомоморфизм^ bJ. Из основных определений гомоморфизма
и подалгебры сразу следует, что гомоморфный образ
ф(З^о) произвольной подалгебры 2/0ci2/ представляет
собой подалгебру алгебры Х\ при этом, допуская не-
небольшую вольность речи, можно говорить о qp как об
эпиморфизме 2/0 на Х$. Легко понять, что всякая под-
подалгебра алгебры X есть гомоморфный образ некоторой
*) Такая алгебра (с точностью до изоморфизма) только одна —
именно, алгебра всех подмножеств счетного множества.
ПОДАЛГЕБРЫ НОРМИРОВАННОЙ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ
209
подалгебры УоаУ, так что сейчас мы дали общее
описание всех подалгебр б. а. X. Приведенные сейчас
соображения применимы, в частности, всякий раз, когда
в роли X выступает фактор-алгебра некоторой б. а. У\
тогда ф — это канонический гомоморфизм, сопоставляю-
сопоставляющий произвольному элементу г/е2/ содержащий его
класс эквивалентности. Алгебра Ео, как и всякая
«метрическая структура», как раз и является подобной
фактор-алгеброй; для нее роль У играет алгебра всех
измеримых по Лебегу подмножеств единичного квад-
квадрата Q. Условимся обозначать эту алгебру через М*2,
Рис. 2.
а канонический гомоморфизм £f2 в Е% — через г|). Описы-
Описывая какую-либо подалгебру 2/0c:ef2 (что технически
проще), мы одновременно описываем и порожденную
ею подалгебру Хо = г|) B/о) ^ El. Приведем теперь не-
несколько примеров.
I. Пусть З^о состоит из таких измеримых по Лебегу
подмножеств квадрата Q, которые представляют собой
объединения вертикальных отрезков *). Ясно, что это —
подалгебра. Соответствующая подалгебра i|)(jy0) истолко-
истолковывается как алгебра классов эквивалентных между
собой множеств; каждый такой класс должен содержать
*) Точное описание таких множеств было дано в главе I
(пример 7). Здесь мы дополнительно требуем измеримости.
210
НОРМИРОВАННЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. VI
элемент из %. Мы будем называть эту последнюю
подалгебру «алгеброй mod 0 вертикальных цилиндров»;
аналогично определяется «алгебра mod 0 горизонталь-
горизонтальных цилиндров». Легко понять, что обе эти алгебры
изоморфны б. а. Ео— алгебре mod 0 измеримых под-
подмножеств отрезка. Способ установления изоморфизма
читатель найдет без труда. Рис. 2 представляет собой
попытку показать, каким множествам соответствуют
элементы этих двух подалгебр. («Основания» цилин-
цилиндров—произвольные измеримые множества modO.)
II. Теперь образуем подалгебру % несколько иначе.
Именно, отнесем к %, во-первых, весь треугольник,
который лежит над диагональю, проходящей слева
вверх; во-вторых, из множеств, находящихся под диа-
диагональю, причислим к % те,
которые представимы в виде
объединений вертикальных от-
отрезков, заключенных между
диагональю и основанием
квадрата; в-третьих, алгебра,
как всегда, должна содержать
всевозможные суммы множеств
двух указанных типов. После
факторизации получаем, как
и раньше, некоторую подалге-
подалгебру алгебры Ео — образ Уо при
каноническом гомоморфизме г|).
Наглядное представление об
этой алгебре читатель, возможно, получит из рис. 3. Если
подалгебры предыдущего примера были непрерывны,
то последняя содержит и непрерывную, и дискретную
компоненты.. Дискретная компонента состоит из един-
единственного атома.
III. Разобьем теперь лежащий над диагональю тре-
треугольник на счетное число непересекающихся множеств
положительной меры и отнесем каждое из таких мно-
множеств к «порождающей» алгебре %; множества, на-
находящиеся под диагональю, отберем по тому же прин-
принципу, что и в предыдущем примере. Примерный вид
множества, соответствующего элементу «порожденной»
алгебры г|)(%), показан на рис. 4.
Рис. 3.
§2]
ПОДАЛГЕБРЫ НОРМИРОВАННОЙ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ
211
Последняя подалгебра также содержит и непрерыв-
непрерывную и дискретную компоненты; дискретная компонента
бесконечна.
Рассмотренные сейчас примеры довольно типичны,
так что наши чертежи вполне могут зрительно ассоци-
ассоциироваться со словом «подалгебра», образуя основу для
интуитивных суждений.
2. Подалгебры и разбиения. Отметим характерную
особенность подалгебр примеров I —III: в основе
каждого из них лежит некото-
некоторое разбиение единичного ква-
квадрата Q на непересекающиеся
множества *). В первой из них
это было разбиение на вер-
вертикальные (горизонтальные) от-
отрезки; во второй— на треуголь-
треугольник и вертикальные отрезки;
в третьей этот же треугольник
был дополнительно разбит
на части. Каждый раз по-
порождающая подалгебра % со-
состояла из всех измеримых мно-
множеств, составленных из эле-
элементов разбиения. Для сепара-
бельных**) нормированных алгебр подобная ситуация
типична. Именно, можно показать, что всякая такая
алгебра изоморфна метрической структуре, ассоци-
ассоциированной с некоторым измеримым пространством. При
этом «реализующее» пространство может быть выбрано
так, чтобы оно удовлетворяло некоторым специальным
требованиям, являясь так называемым «пространством
Лебега». Для таких пространств справедлива теорема,
*) Как правило, эти множества могут иметь нулевую меру и
поэтому не соответствуют каким-либо ненулевым элементам ал-
алгебры £0; мы имеем сейчас дело с разбиениями простран-
пространства Q, но не алгебры (ср. со сказанным на стр. 67—69).
**) В нашей книге термин «сепарабельная б. а.» имеет всегда
топологический смысл; для нормированных алгебр, в частности,
он означает существование счетного множества, всюду плотного
относительно метрики (I) (или, что равносильно, относительно то-
топологии порядка).
i
А
1
г
Рис. 4.
212 НОРМИРОВАННЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. V!
согласно которой всякая подалгебра данной метри-
метрической структуры порождается некоторым разбиением
пространства на непересекающиеся множества; при
этом для множеств — элементов разбиения — существует
разделяющая их счетная система измеримых множеств
(свойство «измеримости» разбиения). Между такими
разбиениями и подалгебрами нашей метрической струк-
структуры существует взаимно однозначное соответствие, что
позволяет видеть в понятии измеримого разбиения про-
пространства Лебега «геометрический» эквивалент понятия
правильной подалгебы сепарабельной б. а. с мерой. Тео-
Теория пространств Лебега и их измеримых разбиений была
построена В. А. Рохлиным в статье [1]*). В следующей
главе, посвященной в основном подалгебрам, мы по-
получим в «алгебраическом» варианте некоторые из теорем
этой классической работы.
§ 3. Вполне аддитивные функции и разложения
единицы нормированной алгебры
В этом параграфе мы прежде всего получим интег-
интегральное представление произвольной вполне аддитивной
функции, заданной на нормированной булевой алгебре.
Читатель, знакомый с теорией меры, узнает знаменитую
теорему Радона — Никодима.
1. Общий вид вполне аддитивной функции. Пусть
X — полная нормированная б. а., \х — мера на.#\ Каждому
спектральному семейству {ек} можно сопоставить семей-
семейство {Мх}х^х неубывающих вещественных функций, за-
заданных на прямой (— оо, + оо)**), положив
Мх(к) = р(еьЛх)9 - оо<Л<+ оо.
Будем называть спектральное семейство {ej ^-сум-
^-суммируемым, если все интегралы Лебега — Стилтьеса
( —оо, +оо)
*) Отчетливо изложенная сводка некоторых основных фактов
этой теории содержится также в работах В. А. Р о х л и н а [3] и
Д. В. Аносова [1] (приложение).
**) Такие функции называются, как известно, «функциями
распределения».
§ 31 ВПОЛНЕ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ 213
конечны. Для такого семейства равенство
Ф(х)= J KdMx{k) (III)
(—00, +00)
определяет некоторую вещественную функцию qp, за-
заданную на X'. Не составляет труда проверить, что она
счетно-аддитивна, а значит, и вполне аддитивна. Кроме
того, ясно, что для всякого спектрального семейства,
почти совпадающего с семейством {gj, значение инте-
интеграла (III) будет тем же. Мы покажем сейчас, что
формула (III) дает общий вид вполне аддитивной функ-
функции на нормированной булевой алгебре.
Теорема 4. Какова бы ни была вполне аддитив-
аддитивная вещественная функция qp, заданная на полной нор-
нормированной б. а. X с мерой \х, существует ^-сумми-
^-суммируемое спектральное семейство (ej, для которого
равенство (III) справедливо при каждом х^Ж. Такое
спектральное семейство определяется по заданным qp
и \х почти однозначно *).
Доказательство. Сопоставим каждому веще-
вещественному числу X два множества:
Множества Р% и Q^ rf-правильны, поэтому согласно
теореме III. 6 их нормальные ядра представляют собой
взаимно дополнительные компоненты. Поэтому, положив
видим, что
eKz=(Pxf, Cek<=(Qj>, (IV)
причем
Сек = sup (Q J>.
Убедимся, что семейство {ек} есть спектральная
функция. Прежде всего ясна монотонность: e^<^ при
Хх. Далее заметим, что пересечения
Л д.
*) То есть с точностью до «почти совпадения» (см. стр. 189).
214 НОРМИРОВАННЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. VI
не могут содержать отличных от нуля элементов *).
В то же время
л> Л.
откуда следует, что
Итак, мы действительно построили спектральное семей-
семейство. Покажем, что оно искомое. Произвольно выбрав
элемент xgI, определим функцию распределения Мх
так, как это было показано выше (стр. 212). Соответ-
Соответствующую «меру» Лебега — Стилтьеса мы будем обозна-
обозначать через тх. Если а и р —точки непрерывности функ-
функции распределения, то
тх (а, р) = пгх [а, 0] = Мх (р) - Мх (а) = ц [(вр - еа) А х].
Отсюда вытекает неравенство
а\х [(ер - еа) А х] < J Я rfM^ (Я) =
(а.З)
= | bdMx(b)<№[(et-ea) Л х].
[а, 3J
Пусть при этом а и р — числа одного знака; тогда, учи-
учитывая (IV), получаем оценку
J
Р
J
(а,Р)
= J Я dAfх (Л) < | Ф [(ер - еа) Л ;с]. (V)
[PJ
Разобьем промежутки @, + оо) и ( —оо, 0) на непере-
непересекающиеся отрезки точками Xk (k = 0, ±1, ...) и
jA^ (fe = 0, ± 1, ...) соответственно. Пусть
0< ... <Я_1<Я0<Я1< ...,
— оо < ... <\i-i<\io<\i\< ... < 0,
*) Напоминаем, что все рассматриваемые нами в этой книге
вещественные функции конечны.
§ 3] ВПОЛНЕ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ 215
причем в точках деления функция распределения Мх
непрерывна. Положим для краткости
+ ОО
fe= —оо
+ OO
x' = x A e', x" = x A e"
и заметим, что в силу очевидных равенств
е' = \-/\ех,
е"= V ^-0= V ^
\i<0 ц<0
элемент ё = С (ег + е") = Се' А Се" входит в пересечение
Г) (PkOQ^l поэтому
Ф (ё А х) = 0
<р(х' + х") = фМ. (VI)
Теперь, используя (V), получаем
< J
+ оо
(-С5О, 0)
216 НОРМИРОВАННЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. VI
Ясно, что фигурирующие в (VII) отношения
могут быть одновременно сделаны сколь
угодно близкими к единице *). Поэтому в действитель-
действительности
(О, +оо)
( — оо,0) k=
откуда, используя (VI) и учитывая, что
J
[о, oj
получаем равенство
(—оо, +оо)
Кроме того, мы видим, что
J \ЦйМх{Х) = — J |
(-оо, +оо) (_оо, 0)
(О, +оо)
так что спектральная функция {е^} jx-суммируема.
Остается доказать, что спектральная функция {ej
«почти единственна». Допустим, что, кроме построен-
построенной выше спектральной функции {ej, существует еще
одно семейство {#П, для которого также при любом
*) Напоминаем, что точки непрерывности монотонной функ-
функции Мх расположены всюду плотно, поскольку множество точек
разрыва не более чем счетно.
§ 3] ВПОЛНЕ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ 217
jtel выполняется равенство
ф(*)= J ым;(л),
(-оо, +оо)
где Мх (X) = \х (е[ А х). Пусть К{ < V
Рассмотрим произвольный элемент х^е'к. Имеем
для всех
Отсюда, учитывая постоянство функции Мх при
получаем
Вспомнив определение семейства {ej, можем заклю-
заключить, что при Г^%
в частности,
4,<^2. (VIII)
Пусть теперь л: ^ С^л, • При ^^^2 имеем
M'x{X) = \i(xAe'l) = 0.
Отсюда так же, как и в предыдущем случае, получим
[Х2, +оо)
Видим, что при всех кО^, дг^Св^, х Ф 0 будет
Иными словами, C^2e(Qx)°, а значит,
поскольку С^ = sup (Qx)°. В частности, Сех^Се'%%, или
218 НОРМИРОВАННЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. VI
что вместе с неравенством (VIII) означает «почти сов-
совпадение» семейств (еЛ и [е[\. Теорема доказана.
Легко понять, что функциям ф+ и ф_ соответствуют
спектральные семейства
1 1 о,
Рассмотрим простой пример. Пусть функция ф опре-
определяется условием
где и — некоторый отличный от нуля элемент. Тогда
при Л^1 имеем ф(л:) = \i(х Л и)<1 Х\хх для любого л;,
так что в этом случае Рк = (РЛ)° = X, ек=\. При 0<
^Л<1 в (/\)° входят элементы, дизъюнктные w, и
только они; следовательно, ек = Си. Наконец, при
А<0 будет ^ = 0. Итак,
о,
Си, 0<Л<1,
Мы получили спектральное семейство, уже рассмотрен-
рассмотренное ранее в главе V (стр. 192).
Теорема 4 связывает с каждой вполне аддитивной
вещественной функцией ф на X не одно спектральное
семейство, а целый их класс — разложение единицы;
в формуле (III) может с одинаковым успехом высту-
выступать любое спектральное семейство из этого класса.
Ниже мы более подробно рассмотрим такие разложения
единицы.
2. Пространство суммируемых разложений единицы.
Пусть дано некоторое разложение единицы f нормиро-
нормированной алгебры X. Согласно определению, оно пред-
представляет собой класс, образованный почти совпадающими
спектральными семействами. Если одно из этих семейств
§ 31 •■ ВПОЛНЕ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ 219
^-суммируемо, то таково же будет и всякое другое; это
дает основание назвать само f ^-суммируемым.
Согласно теореме 4 вполне аддитивные функции на
нормированной алгебре находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии с суммируемыми разложениями
единицы. Мы отмечали в главе V, что разложения еди-
единицы могут истолковываться как элементы расширенного
/(-пространства ®#, надстроенного над алгеброй X.
Что касается ^-суммируемых разложений, то они обра-
образуют нормальное подпространство в ©#; мы будем обо-
обозначать это подпространство через й# (или просто 2).
Нетрудно понять, что введенное в главе V упоря-
упорядочение множества ©# для ^-суммируемых разложений
согласуедся с обычным, «естественным» упорядочением
множества аддитивных функций: неравенство Ь<B
(в смысле главы V) означает, что для соответствующих
аддитивных функций у{ и ф2 выполнено неравенство
Ф1(л:)^ф2(л:) при всех ^g J. Алгебраическим опера-
операциям в ©# (мы не описывали их подробно) также соот-
соответствуют естественно определенные алгебраические
операции в классе аддитивных функций *). Таким об-
образом, устанавливаемое с помощью теоремы 4 соответ-
соответствие между естественно упорядоченной и линеаризо-
линеаризованной системой всех аддитивных функций, с одной
стороны, и /(-пространством У —с другой, есть одно-
одновременно линейный и порядковый изоморфизм. Разло-
Разложение единицы f, соответствующее данной вполне ад-
аддитивной функции ф, уместно называть плотностью
этой функции, а само значение функции
= J
— интегралом от разложения единицы f no компо-
компоненте Хи. Удобно даже писать
(IX)
*) Это замечание подсказывает способ, с помощью которого
можно было бы ввести алгебраические операции над разложе-
разложениями единицы в случае, когда основная алгебра нормируема.
220 НОРМИРОВАННЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. VT
при этом аналогия с обычным интегралом еще более
подчеркивается. Эта аналогия не случайна: реализуя
алгебру X в виде метрической структуры *), связанной
с некоторым измеримым простпанством /?, мы действи-
действительно можем «превратить» выражения типа (IX)
в обычные интегралы, компоненты —в измеримые мно-
множества, ^-суммируемые разложения единицы — в сумми-
суммируемые функции. Пространство в# при такой реализации
окажетсй хорошо известным пространством S, а про-
пространство 8# —пространством L1 суммируемых функций.
Желая вычислить qp(«) с помощью формулы (IX),
мы должны проинтегрировать какую-либо из f-функций
по измеримому множеству, соответствующему компо-
компоненте Хи. Именно это мы и имели в виду, сказав, что
выражения вида (IX) «превращаются» в обычные инте-
интегралы. Алгебраический подход к основным понятиям
интегрального исчисления следует связать в первую
очередь с именем К- Каратеодори **).
3. Условная мера. Применим теорему 4 к опреде-
определению важного для теории вероятностей понятия услов-
условной меры.
Пусть ^ — нормированная б. a., \i — мера на X,
^ — правильная подалгебра X, и — произвольный эле-
элемент X. Рассмотрим функцию фц, заданную на X ра-
равенством
Фи (*) = »*(« Л X).
В силу теоремы 4 существует спектральное семейство
[е^Л подалгебры X ***) такое, что для каждого х ^Х
выполняется равенство
Фв(*)= J KdM{?(k)t (X)
( —оо, +°°)
где функция распределения Mf] определяется, как и
выше, равенством
*) Мы увидим далее, что такая реализация всегда возможна.
**) К. Каратеодори Ц].
***) Это означает, что е\ s #* при всех Л. Именно к подал-
подалгебре 2С и применена сейчас теорема 4.
$3] ВПОЛНЕ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ 221
Семейство [е{£]} мы будем называть условной мерой
элемента и относительно подалгебры X. Просто же
условной мерой будем называть оператор, сопоста-
сопоставляющий произвольному элементу и ^ Ж соответствую-
соответствующее ему спектральное семейство [е{"Л. Мера \i, разу-
разумеется, предполагается при этом фиксированной.
Отметим важнейшие свойства условной меры.
1°. При любом и^Ж справедливо очевидное равен-
равенство
\iu= J KdM\u){X). (XI)
(—оо, +оо)
2°. Пусть y^JF, а вещественное число к (у) удовле-
удовлетворяет условию
Тогда, вычисляя уи(у) по формуле (X), получим
y. (Xlla)
Разумеется, интересен лишь случай, когда у ф 0. При
этом точка X(у) должна быть точкой скачка спектраль-
спектральной функции [е^у
3°. Рассмотрим теперь случай, когда подалгебра 3£
дискретна. Пусть {уи у2, ...} —полный набор ее атомов.
Ясно, что каждому из элементов yk отвечает некото-
некоторое К = к(ук), удовлетворяющее условию (XII). Инте-
Интегральное равенство (XI) в этом случае принимает вид
\i(u) = £ihk\iyk. (XIII)
k
4°. Пусть u^JF, ифО. Тогда, как мы уже видели,
0, Л < 0,
Си, 0<А<1,
Подчеркнем еще раз, что условная мера элемента—
это не мера в собственном смысле слова, но некоторая
222 НОРМИРОВАННЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. VI
спектральная функция, знание которой позволяет вы-
вычислять меры всех элементов вида и А х, х <^Х. В про-
простейшем случае (свойства 2° и 3°) это вычисление сво-
сводится к умножению меры элемента х на постоянный
для некоторой компоненты множитель, являющийся
точкой разрыва спектральной функции е%\ В этом (и
только в этом) случае можно истолковать число Л как
«условную вероятность события и при условии, что
произошло событие х». При этом равенство (ХПа) вы-
выражает хорошо известную в элементарной теории
вероятностей теорему умножения; формула же
(XIII) известна под названием формулы полной
вероятности. В общем случае ее заменяет формула
(XI), Вспоминая сказанное выше по поводу пространст-
пространства ##, мы можем дать этой формуле «функциональную»
интерпретацию на следующей простейшей модели.
Пусть X — алгебра Е\ измеримых по Лебегу под-
подмножеств квадрата [0, 1] X [0, 1] с обычным отожде-
отождествлением; J^o —подалгебра £*, состоящая из всех «вер-
«вертикальных цилиндров» (пример I, стр. 209), которую
можно естественно отождествить с алгеброй измери-
измеримых подмножеств отрезка [0, 1]; и — произвольный эле-
элемент Х\Х§. Обозначим через и' одно из множеств,
входящих в класс эквивалентности и. Спектральной
функции {е^} соответствует заданная на [0, 1] измери-
измеримая функция gu, почти все значения которой равны ли-
линейной лебеговской мере пересечения множества и!
с соответствующими вертикалями. Сама же фор-
формула (XI) эквивалентна соотношению
J
8u (x) dx,
[0,1]
хорошо известному в теории интеграла.
§ 4. Регулярные булевы алгебры
Доказательства многих теорем о нормированных
алгебрах опираются только на принцип диагонали и
счетность типа алгебры; сама же мера в этих доказа-
доказательствах подчас не используется. Это дает основание
§ 4] РЕГУЛЯРНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 223
для выделения особого класса б. а.— регулярных алгебр.
регулярная 6. а. — это полная б. а. счетного типа, в ко-
которой выполняется принцип диагонали. Ясно, что всякая
полная нормированная алгебра регулярна, так что все
предложения настоящего параграфа относятся также
к «нормированному случаю».
Теорема 5. («Общий принцип диагонали».) Если
в регулярной б. а. X
то существует такая последовательность индексов
ii<i2< ... <h< • • •» что
xikk k x-
Доказательство. Положим yik = 1 xik — xk \
(fe, 1=1, 2, ...)• Тогда будет х^-Ц+О при каждом k.
В силу принципа диагонали существует диагональная
последовательность [yikk\ (i\ <i2< • • • <h< • • •) такая, ш
что yikk ""^^0. При всех £ справедливо неравенство
Отсюда а:/.^—^->0, и теорема доказана.
Остановимся на некоторых свойствах порядковой
топологии в регулярной б. а. Прежде всего ввиду счет-
ности типа имеет место совпадение (о)- и (о$)-тополо-
гий. Поэтому замкнутыми в топологии упорядоченности
будут множества, содержащие все (о)-пределы про-
простых последовательностей своих элементов. В регу-
регулярной алгебре легко описать структуру замыкания
произвольного множества. Справедлива
Теорема 6. Для того, чтобы элемент х принадле-
принадлежал замыканию множества Е, необходимо и доста-
достаточно, чтобы существовала простая последовательность
элементов Е, (о)-сходящаяся к х.
Доказательство. В доказательстве нуждается
только необходимость. Обозначим через Е замыкание Е,
через Ё — множество, полученное присоединением к Е
224 НОРМИРОВАННЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. VI
всех (о)-пределов простых последовательностей, обра-
образованных из элементов Е. Ясно, что ЁаЕ. Равенство
Ё = Ё (а тем самым и теорема) будет доказано, если
мы проверим замкнутость Ё. Пусть
хп-^->х, хп^Ё (/i=l, 2, ...).
Для каждого п существует образованная из элементов Е
последовательность хтп, (о)-сходящаяся к хп. В силу
предыдущей теоремы найдется диагональная последо-
последовательность хт/гП такая, что xmntl—->x. Это означает,
что х^Ё. Итак, Ё замкнуто, и теорема доказана.
Приведем теперь пример нерегулярной алгебры.
Таким примером послужит уже знакомая нам (при-
(пример 11, глава I) б. a. Go регулярных открытых под-
подмножеств интервала @, 1). Расположим все рациональ-
рациональные числа этого интервала в последовательность {гп}™=1
и сопоставим каждому п последовательность интервалов
Хтп [Гп гп ' Гп+ t
Каждый такой интервал есть регулярное множество,
являясь тем самым элементом Go. При фиксированном п
имеем убывающую последовательность хпт, (о)-предел
которой равен нулю. Но для любой диагональной после*
оо
довательности {хтпП) и любого k множество (J хПпП%
содержащее «почти» все рациональные числа интервала,
будет плотно в @, 1), поэтому наименьшее содержащее
его регулярное открытое подмножество интервала есть
сам интервал @, 1). Другими словами,
и в Go нарушается принцип диагонали. Итак, G$ —не-
—нерегулярная и, следовательно, неноржируемая алгебра.
Очевидно, вместе с тем, что Go— алгебра счетного типа.
Этот пример показывает, что условие счетности типа
не влечет справедливости принципа диагонали. Что
касается обратной импликации, то здесь дело обстоит
§ 4] РЕГУЛЯРНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 225
сложнее. Известно, что аксиома континуума позволяет
вывести условие счетности типа из принципа диаго-
диагонали*). При этом аксиому континуума можно заменить
некоторой более слабой теоретико-множественной гипо-
гипотезой, которой рассматриваемая импликация уже будет
в точности эквивалентна **).
Мы уже отмечали, что всякая нормируемая алгебра
обязательно регулярна. Вместе с тем до сих пор неиз-
неизвестно ни одного примера регулярной, но не норми-
нормируемой алгебры. Однако естественная попытка опро-
опровергнуть гипотезу о существовании таких алгебр,
доказав существование меры в любой регулярной б. а.,
наталкивается на большие теоретико-множественные
трудности. Д. Магарам доказала в 1947 г., что гипотеза
о нормируемости всех регулярных алгебр, во всяком
случае, не слабее, чем известная в теории множеств
гипотеза Суслина ***). К вопросу об условиях нормируе-
нормируемости мы вернемся позже, в главе VII.
Приведем одно достаточное условие существования
меры в булевой алгебре. Теорема, которую мы сейчас
приведем, принадлежит А. Г. Пинскеру ****); несколько
позже этот же (по существу) результат получил
Дж. Келли *****).
Теорема 7. Если в регулярной алгебре X
имеется существенно положительная квазимера, то
б. а. X нормируема.
Доказательство. Пусть ф — существенно поло-
положительная квазимера, заданная на X. В силу тео-
теоремы IV. 5 она может быть представлена в виде суммы
(Pi + Ф2, где ф! — стандартная счетно-аддитивная квази-
квазимера, порожденная ф. Наша теорема будет доказана,
если мы установим существенную положительность ф1ш
Допустим, что для некоторого х е Ж+ будет ф1(л:) = 0.
Тогда найдется последовательность покрытий ok^Sx
*) Этот факт установил А. Г. Пинскер. См. Л. В. Канто-
Канторович, Б. 3. В у л и х, А. Г. П и н с к е р [1], стр. 176.
**) См. Д. А. Владимиров [ 1 ].
***) Д. Магарам [2].
****) Л. В. Канторович, Б. 3. В у л и х, А. Г. Пин-
Пинскер [1], стр. 428-430.
*****) Дж. Келли [1].
226 НОРМИРОВАННЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. VI
F=1, 2, ...), удовлетворяющая условию
2 фЫ<| (* = 1. 2, ...).
Пусть элементы ak занумерованы:
ан = {У1> у%> •••}•
Положим
uks=(V УкЛЛх (k, s=l, 2, ...).
Яснб, что и* t * ПРН каждом 6=1, 2, ... Восполь-
Воспользуемся принципом диагонали и подберем последова-
последовательность индексов s{<s2< ... <sk< ... так, чтобы
выполнялось соотношение
sk
Тогда последовательность {zk}^v определенная равен-
равенством
zk= Au^ 6=1, 2, ...,
будет стремиться к х возрастая, причем для доста-
достаточно больших значений 6
т =1
Найдутся два номера kx и 62 такие, что
в то время как z. ^ z, . Очевидная несовместимость
/г2 /г1
последних двух неравенств и доказывает, что равенство
qpiM = O невозможно. Теорема доказана.
Теорема А. Г. Пинскера показывает, что для регулярной б. а.
проблема существования меры сводится к более легкой проблеме
наличия существенно положительной квазимеры. Эта последняя
проблема рассматривалась различными авторами*). Мы приведем
*)Д. Магарам [2], Дж. Келли [1].
§ 4] РЕГУЛЯРНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 227
результат, принадлежащий Дж. Келли. Каждому непустому под-
подмножеству Е б. а. SC сопоставляется некоторое вещественное
число К (£), которое мы. будем называть «числом Келли». Это
число определяется равенством
К(Е)= inf
S2(
где 2 (Е) — класс всевозможных конечных семейств, образован-
образованных из элементов Е, п (S) — число членов семейства SeS,
/ (S) — максимальное для этого семейства число членов, имеющих
в совокупности ненулевой infimum. Далее, погрузив алгебру JT
в надстроенную над ней векторную структуру (именно, в банахово
пространство всех ограниченных непрерывных функций на реали-
реализующем компакте), можно заметить, что неравенство К (Е) > О
говорит о невозможности аппроксимировать нулевой элемент про-
пространства элементами выпуклой оболочки Е. А поэтому, подобрав
надлежащим образом гиперплоскость, отделяющую Е от нуля,
мы можем определить положительный функционал, или, что то же
самое, квазимеру на SC, так, чтобы все значения этой квази-
квазимеры на множестве Е были строго положительными. Теперь уже
ясно, как в этих терминах выразить решение нашей задачи: для
наличия существенно положительной квазимеры необходимо и
достаточно, чтобы совокупность ненулевых элементов алгебры
могла быть разбита на счетное число множеств со строго поло-
положительными числами Келли.
Алгебра с существенно положительной квазимерой
может не быть нормируема. Однако она всегда может
быть вложена в алгебру с мерой.
Теорема 8. Пусть Х0 — б.а., ф — существенно
положительная квазимера на Л?о. Существует полная
нормированная алгебра, содержащая всюду плотную
подалгебру, изоморфную ЯГ0.
Доказательство. Обозначим через % алгебру
открыто-замкнутых множеств соответствующего ал-
алгебре Хо компакта &. Пусть ^ — изоморфизм Хо на 2/0;
равенство
()
определяет на % квазимеру, удовлетворяющую всем
условиям теоремы Лебега — Каратеодори. Ясно, что
\i счетно-аддитивна на %, поскольку во всяком равен-
равенстве вида
в правой части можно оставить лишь конечное число
слагаемых. В качестве искомой алгебры 2/ можно взять
228 НОРМИРОВАННЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. VI
алгебру mod 0 измеримых множеств, возникающих при
стандартном продолжении jli с подалгебры 2/0. (Роль
основной алгебры играет 2а.)
Замечание. Ясно, что вложение Jo б 3/ будет
изометричным (сохраняющим меру).
Построенная при доказательстве теоремы 8 булева
алгебра У представляет собой метрическую структуру,
ассоциированную с некоторым измеримым простран-
пространством. В частности, наши рассуждения применимы и
к тому случаю, когда сама алгебра Х§ полна и норми-
нормируема. Ясно, что в этом случае JT0 и 2/ должны быть
изоморфны и изометричны. Отсюда вытекает утвержде-
утверждение, неоднократно упоминавшееся нами выше:
Теорема 9. Всякая нормированная алгебра до-
допускает реализацию в виде метрической структуры,
ассоциированной с некоторым измеримым простран-
пространством.
Заметим, что реализация нормированной алгебры,
при которой роль основного пространства играет стоу-
новский компакт, во многих отношениях неудобна.
Предпочтение большей частью отдается другим реали-
реализациям, для которых измеримое пространство удовле-
удовлетворяет различным дополнительным требованиям. Так,
для представления сепарабельных алгебр обычно
используют введенные В. А. Рохлиным «пространства
Лебега» *). Общей теории реализации нормированных
алгебр посвящен ряд работ В. Г. Винокурова **).
В следующей главе мы укажем для каждой алгебры
с мерой некоторую реализацию, являющуюся в извест-
известном смысле простейшей.
§ 5. Продолжение гомоморфизма со значениями
в регулярной алгебре
Условие регулярности было введено (для векторных
структур) Л. В. Канторовичем [1] в 1936 г. Впослед-
Впоследствии оказалось, что оно удачно выделяет класс буле-
булевых алгебр, естественный для задачи о продолжении
гомоморфизмов.
*) В. А. Рохлин [1].
В ин оку р ов [1] — [3].
*) В. А.
**) В. Г.
§ 5] ПРОДОЛЖЕНИЕ ГОМОМОРФИЗМА 229
Мы уже отмечали в главе IV, что для непрерывного
(а-непрерывного) продолжения гомоморфизма доста-
достаточно потребовать выполнения двух условий: (Е) и (£*)
(соответственно (Еа) и (£*)). Первое из этих двух усло-
условий вполне естественно; оно выражает факт непре-
непрерывности исходного гомоморфизма и никак не может
быть отброшено. Второе же условие формулируется
в терминах, относящихся к отображению Ф (Ф*.), и
трудно проверяемо. Поэтому важно выяснить, для каких
алгебр второе условие является излишним. В конце
главы IV мы фактически выяснили, какой должна быть
полная б. а. У для того, чтобы всякий гомоморфизм
со значениями в У, удовлетворяющий условию . (Я),
имел непрерывное продолжение. Именно, согласно тео-
теореме IV. 8 алгебра У должна быть дискретна. Как мы
сейчас увидим, решение аналогичной проблемы для
а-непрерывных продолжений вскрывает гораздо менее
тривиальную ситуацию.
Условимся говорить, что полная б. а. У допускает
а-непрерывное продолжение гомоморфизмов, если для
любой сг-полной б. а. X, произвольной подалгебры
JocJ и произвольного гомоморфизма Фо под-
подалгебры Хо в У', удовлетворяющего условию (£а), суще-
существуют: а) содержащая Хо сг-правильная подалгебра
XczX и б) сг-непрерывный гомоморфизм Ф подалгебры
X в У, сужение которого на Хо совпадает с Фо.
Теорема 10. Для того чтобы полная б. а. счет-
счетного тина допускала а-непрерывное продолжение гомо-
гомоморфизмов, необходимо и достаточно, чтобы она была
регулярна.
Начнем с доказательства достаточности. Пред-
Предварительно установим одно важное свойство регуляр-
регулярной алгебры. Пусть дано счетное семейство {Af J^
счетных направленных вниз подмножеств регулярной
б. а. У. Рассмотрим совокупность V всевозможных
«выборок», т. е. последовательностей v = {xi}Tml таких,
что ^eMj (/==1, 2, ...). (Иначе говоря, V есть теоре-
теоретико-множественное произведение множеств Mj.) Спра-
Справедлива
230 НОРМИРОВАННЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. VI
Лемма 2. Имеет место равенство
оо
Л sup v = V inf Mt.
ve=V t = l v
Легко понять, что всегда
оо
Л sup v ^ V inf Mh
vs=V i = \
поэтому в проверке нуждается только противополож-
противоположное неравенство. Положим
оо k
0, = infAf,, у=\/ yh zk=\J yt.
Расположив элементы каждого множества Mi в простую
последовательность [х1 \°° » положим еще
Ч= A K,v*5,v... v^).
m = 1
Нетрудно понять, что
Zk=hz» Ъ-т"» z^y'
Используя принцип диагонали, подберем последова-
последовательность индексов {S/J^Li так, чтобы выполнялось
равенство
{o)-Umzskk=y.
k
Опираясь на направленность множеств Mh легко прове-
проверить, что для любых /и р, q^i пересечение М
непусто. Пусть х™^М. и ХТ^K+in- Образуем вы-
выборки *>т = {*?*}*. Видим, что
оо оо оо
Л sap v < Л sup vm < Л У х]1+£ =
оо оо
т=\ k=m+\
Лемма доказана. Установленное сейчас свойство ре-
регулярной алгебры называют свойством слабой счетной
дистрибутивности.
§ 5] ПРОДОЛЖЕНИЕ ГОМОМОРФИЗМА 231
Вернемся к доказательству теоремы. Наша цель
будет достигнута, если мы покажем, что в случае ре-
регулярной алгебры 2/ условие (£а) влечет (£*) (глава IV,
§ 3, п. 2). Пусть на подалгебре Хо сг-полной б. а.
X задан удовлетворяющий условию (Ео) гомоморфизм
Фо со значениями в У. Рассмотрим произвольную по-
последовательность {хп} элементов X. Сопоставим каж-
каждому хп множество всех t/G2/ вида у = sup Фо(е),
esSJ. В силу счетности типа У в каждом из таких
множеств содержится счетное направленное вниз под-
подмножество 2tt со свойством
По лемме 2
;(n)
n«=l
где V состоит из всевозможных выборок
Каждому элементу уп такой выборки можно соотнести
множество еп
x =
ДЛЯ
CX)
V xn
которого
cx>
e = l\
Уп
\en
= sup
en-
Положив
видим, что ё е Si. Поэтому
СХ)
Фа {X) < Л SUp V = V Ф* СО.
Свойство (Е*0)у таким образом, налицо. Достаточность
условия теоремы доказана.
Необходимость. Если б. а. У допускает а-не-
прерывное распространение гомоморфизмов, то и рас-
рассмотренный в конце главы IV (стр. 176) гомоморфизм *Р0
также имеет а-непрерывное продолжение Ф; можно
считать, что оно определено на подалгебре ^ — наи-
наименьшей а-правильной подалгебре алгебры X — 2й, со-
содержащей все открыто-замкнутые множества. Пока-
Покажем, что при этом выполняется условие (£\). Прежде
всего установим, что для всякого х^Х существует
232 НОРМИРОВАННЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ ГГЛ VI
такой элемент х^.Х, что х^Гх а Чга(х) = х¥(х). Со-
Согласно определению
Ч£(*)- Л V %(*/) = Л ^(supe).
Поскольку 2/ —алгебра счетного типа, то найдется
счетная система покрытий еп е S°x (п= 1, 2, ...) со
свойством
А тогда
rt~l
Положим Jc=Asupert. Ясно, что этот элемент обла-
дает требуемыми свойствами. Теперь легко устано-
установить справедливость условия {Ео). Это видно из не-
неравенств
^а (sup М) < < (sup Ж) = Ф (sup М) =
где М — произвольное счетное множество, М — мно-
множество всех х, отвечающих элементам х е М (ср. за-
замечание 3 на стр. 174).
Установим теперь слабую счетную дистрибутивность
алгебры У. Пусть дано счетное семейство {Mj~j на-
направленных вниз счетных подмножеств алгебры У. До-
Допустим, что вопреки нашему утверждению отличен от
нуля элемент
Положим для каждого /= 1, 2, ...
§ 51 ПРОДОЛЖЕНИЕ ГОМОМОРФИЗМА 233
(Определение операторов проектирования было дано
на стр. 50.) Ясно, что infM^ = 0 при всех /=1,2, ...
и что для любой «выборки» v'=\x'v x'v ...J, х\^М\
(/=1, 2, ...), должно быть
SUp V'^ZZ.
Положим
Легко видеть, что £" —множество первой категории,
а стало быть (следствие 2 из леммы IV. 10), оно нигде
не плотно. Поэтому существует непустое открыто-замк-
открыто-замкнутое множество G а Ч'о1 (г), не содержащее точек из Е.
В силу компактности всех множеств G, Fl9 F2, ... для
каждого /=1,2, ... существует элемент х\ е М\ со
свойством
Но тогда ^(G )Л V х' =0, что несовместимо с не-
V м I
равенствами supv'^z, }VQ{G)^:z. Итак, слабая счет-
счетная дистрибутивность доказана.
Теперь нетрудно доказать и регулярность 2/. Про-
Проверке подлежит только принцип диагонали. Пусть
двойная последовательность {хпт}™ тш1 удовлетворяет
условию (II) (стр. 207). Вследствие слабой счетной ди-
дистрибутивности нижняя грань supremum'oB всевозмож-
всевозможных диагональных последовательностей вида {^nm,,}00^
равна йулю. Счетность типа гарантирует существова-
существование счетного семейства таких последовательностей
(fe—1,2, ...)
234 НОРМИРОВАННЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. VI
со свойствами
п^ <...). AV4
Образовав диагональную последовательность {л: oi))°° •
без труда устанавливаем, что она (о)-сходится к нулю.
Теорема доказана полностью.
Теорема 10, по существу, содержится уже в резуль-
результатах работы автора [2]. К. Маттес показал, что сла-
слабая счетная дистрибутивность сама по себе доста-
достаточна для того, чтобы сг-полная б. а. допускала а-не-
а-непрерывное продолжение гомоморфизмов. Он же изучал
различные модификации условия регулярности *).
Теорема 10 гарантирует, что у любой спектральной меры со
значениями в регулярной алгебре существует а-непрерывное счетно-
аддитивное продолжение с Я^^ +оо) на некоторую более широкую
а-алгебру Ъ множеств на вещественной прямой. Мы по-прежнему
будем называть такое продолжение спектральной мерой. Опреде-
Определенной на Ш а-непрерывной спектральной мере ф соответствует
множество «ф-почти везде» конечных и «измеримых» вещественных
функций (определения аналогичны общеизвестным). Это множество
функций представляет собой /Сд-пространство. Факторизуя его
по подпространству функций, ф-почти везде равных нулю, мы по-
получим уже /С-пространство @^, аналогичное обычному простран-
пространству S. Базой пространства @^ является фактор-алгебра #// = #,
где
/ = {е | е<= #f ф (е) = 0}
есть а-идеал «ф-нулевых» множеств. Пространства @« во многом
похожи на пространства типа S, превращаясь в них, если основ-
основная алгебра нормируема. Теория таких пространств содержит
факты, аналогичные известным в теории функций вещественной
переменной теоремам Н. Н. Лузина, Д. Ф. Егорова и т. п. Основ-
Основное отллчие, вообще говоря, состоит в невозможности использо-
использовать меру, которой в регулярной алгебре, по-видимому, может и
не быть. Однако можно говорить о свойствах, имеющих место
«почти везде»; это и делает теорию довольно содержательной.
Мы закончим этот параграф важной теоремой, ко-
которая в простых случаях позволяет устанавливать изо-
изоморфизм нормированных алгебр. Пусть X и У — две
*) См. Р. Сикорский [1],стр. 147-150, К. Маттес [1], [2].
§ 5] ПРОДОЛЖЕНИЕ ГОМОМОРФИЗМА 235
полные б. а. с фиксированными мерами ц и v соот-
соответственно. Заданное на некотором подмножестве МаХ
отображение Ч? со значениями в У называется сохра-
сохраняющим меру, если \1^!х) = у.х для любого х е М.
Теорема 11. Если XoczX и Уоау - две всюду
плотные {в смысле (о)-топологии) подалгебры алгебр
X и У', то всякий сохраняющий меру мономорфизм Фо
Хо на Уо может быть распространен до сохраняющего
меру изоморфизма Ф б. а. X на У. Это распростра-
распространение единственно.
Доказательство. Алгебры X и У регулярны,
поэтому к ним применима теорема 10. Условие сохра-
сохранения меры говорит о том, что мономорфизмы Фо и Фо1
обладают свойством (Ео). Действительно, пусть
оо
х = V *„, х, хп е= JT0.
Положим
х\ = xv х'2 = х2Л Сх\, х'3 = х3АС (х\ V х'2), ...
Имеем
= 2 vФ0 (Х'п) = S К = ^ =
Отсюда вытекает равенство
Последнее равенство означает, что выполнено усло-
условие (£а), которое в нашем случае влечет (£*).
Таким образом, гомоморфизм Фо удовлетворяет
условию (£*). Точно так же проверяется, что этому
условию удовлетворяет гомоморфизм Фо1. X и У — ал-
алгебры счетного типа; в таких алгебрах, как легко по-
понять, условия (£а), (£*) равносильны условиям (£), (£*).
В этом случае, как отмечалось в конце главы IV
(стр. 176), продолжение Ф мономорфизма Фо является
236 НОРМИРОВАННЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. VI
изоморфизмом X на 2Л Проверим, что он сохраняет
меру. Для любого х е X существует сходящаяся к х
последовательность {хп} элементов Хо. Переходя к пре-
пределу в соотношении
приходим к требуемому равенству
Единственность полученного распространения очевидна.
Теорема доказана.
Приведем два важных примера применения тео-
теоремы 11. В этих примерах S£ и 2/ —две полные нор-
нормированные булевы алгебры, \i и v —вероятностные
меры в этих алгебрах.
I. Пусть J и 2/ содержат всюду плотные свобод-
свободные подалгебры Хо и 2/0 соответственно *). Предполо-
Предположим, что эти подалгебры содержат не только независи-
независимые, но и метрически независимые системы образующих
и притом одной и той же мощности. Пусть ЕХо — jx-не-
зависимая система образующих для J^o, £V0 — v-незави-
симая система образующих для %. Наконец, примем
ради простоты, что для всех х^Е%0, y^Ey0
Нам известно**), что при этих условиях всякое вза-
взаимно однозначное отображение ср системы ЕХо на £V0
продолжимо до изоморфизма Фо подалгебры Хо на 2/0.
Легко проверить, что этот изоморфизм сохраняет меру.
Действительно, если
Х==Х{ ^ х2А ... Л^, (XIV)
где Xi ge EXo U CEXn (i = 1, 2, ..., k) и х{ ф Xj при / Ф /,
то F = -j. В хр же время
фо (х) = Фо (*i) Л Фо (х2) Л ... Л Фо (**),
*) Имеется в виду подалгебра, являющаяся свободной алгеб-
алгеброй .
*•) См. стр. 99.
ПРОДОЛЖЕНИЕ ГОМОМОРФИЗМА 237
причем ф (х() е= £V0 U C£V0 (i = 1, 2, ..., k) и ч{{
Ф ф (л:;) при i Ф ]. Отсюда vO0 (х) = — = jxjc. Остается
заметить, что всякий элемент из Хо есть конечная
сумма попарно дизъюнктных элементов вида (XIV).
Итак, согласно теореме 11 существует сохраняющий
меру изоморфизм алгебры X на алгебру 2/.
II. Рассмотрим теперь весьма типичную ситуацию,
когда существуют две пары правильных подалгебр
X, X' czX и 2/, У cz 2/ со свойствами
1) \i (х Л х') — \ix \ix' для любых х е X, х' е J^r; ана-
аналогично v(gf Л уО = vj/ v/ для любых у ^&, yr e 2/г.
2)
Предположим, что существуют сохраняющие меру изо-
изоморфизмы Ф и Ф' подалгебр X на У и ^ на 2/г соот-
соответственно. Покажем, что при этих условиях найдется
сохраняющий меру изоморфизм Ф алгебры X на 2/,
являющийся общим продолжением Ф и Ф'.
Для доказательства введем в рассмотрение подал-
подалгебры Хъ = Х (JT, X') и 2/0 = У {$, У)- Поскольку
Х0 = Х, <2/0 = <У, то достаточно, учитывая теорему 11,
построить сохраняющий меру изоморфизм X на 2/.
Положим
Мы определили сейчас взаимно однозначное отобра-
отображение множества Х\]ХГ на множество 2/112^. С по-
помощью теоремы 11.10 покажем, что оно продолжимо
до изоморфизма Хо на 2/0- Легко понять, что все эле-
элементарные полиномы от образующих в подалгебрах
Хо и 2/0 представимы в виде
= хАх\ Jtejf, х^Х\
.... (XV)
= уЛу', 1/е2/, у'сЩ/'.
238 НОРМИРОВАННЫЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. VI
Поэтому равенство х = х Л х' = 0 означает в силу пред-
предположения 1), что либо х = 0у либо х' = 0, а тогда и
<р(х)Лф(*') = 0. (XVI)
Аналогично из (XVI) следует х Л х/==0. Мы видим, что
для каждого из отображений qp, qT1 выполнены усло-
условия теоремы 11.10, и поэтому существует продолжаю-
продолжающий ф изоморфизм Фо подалгебры J^o на %• То, что
он сохраняет меру, очевидно, поскольку каждый эле-
элемент J^o есть сумма конечного числа попарно дизъюнкт-
дизъюнктных элементарных полиномов вида (XV), для которых
сохранение меры обеспечивается условием 1). По тео-
теореме 11 изоморфизм Фо единственным образом про-
продолжим до сохраняющего меру изоморфизма Ф ал-
алгебры X на алгебру 2Л Изоморфизм Ф называется
прямым произведением изоморфизмов Ф и Ф'.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
1. Пусть SC — полная непрерывная б. а. с вероятностной ме-
мерой ц; F — произвольная возрастающая на (—оо, + оо) функция go
свойс вами supF(x)=\, iniF(x) = 0. Показать, что существует
разложение единицы f, для которого при любом х е (— оо, + оо)
выполняются равенства
F (х + 0) 4
F (х - 0) = |ie~ (f).
2. Доказать, что следующее свойство экстремального реали-
реализующего компакта >О[;2П эквивалентно регулярности алгебры J2T:
всякое счетное объединение замкнутых нигде не плотных мно-
множеств может быть погружено в некоторое замкнутое нигде не
плотное множество типа G§ C. Т. Диканова).
3. Пусть ЗС — полная нормируемая алгебра. Показать, что вся-
всякая мера [I, заданная на алгебре открыто-замкнутых подмножеств
компакта О [j?T], допускает счетно-аддитивное стандартное про-
продолжение, причем нулевую меру получают нигде не плотные под-
подмножества и только они.
4. Построить с помощью аксиомы континуума полную б. а.,
содержащую двойную последовательность {хпт} со свойствами:
а) хпт ф 0 при каждом п = 1, 2...;
т
б) хптп > 1 для любой возрастающей последовательности {пгп}.
ГЛАВА VII
СТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР
В этой главе мы изучим строение полной булевой
алгебры, уделив главное внимание нормированным ал-
алгебрам как наиболее важным для приложений. Основ-
Основная теорема об условиях существования независимого
дополнения для данной подалгебры приведет нас,
в частности, к перечислению всех нормированных алгебр.
Мы получим при этом доказательство классической
теоремы, принадлежащей Д. Магарам, которая впер-
впервые в 1942 г. дала полную классификацию алгебр
с мерой*). Весьма близкие к некоторым теоремам
этой главы факты были для случая сепарабельной
нормированной алгебры установлены В. А. Рохлиным.
Работы В. А. Рохлина**) реализуют «геометрический»
подход к задачам теории меры; при таком подходе
основными объектами изучения являются пространство
с мерой и его «измеримые разбиения», соответствую-
соответствующие нашим «правильным подалгебрам».
§ 1. Основные теоремы
В этом параграфе мы доказываем основные тео-
теоремы о существовании и строении независимых допол-
дополнений к подалгебрам. Проблема, которую мы здесь
изучаем, может быть названа «проблемой вложения».
Требуется выяснить, каким образом данная подалгебра
может вкладываться в основную булеву алгебру Ж.
Дело в том, что две подалгебры могут быть изоморфны
между собой, но резко различаться по характеру их
вложения в X, Изучение важнейших случаев (в пер-
первую очередь— для нормированной алгебры) составляет
центральную задачу этого параграфа. Заодно мы
♦) Д. Магарам [1].
*•) В. А. Рохлин [1], [2].
240 СТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. VII
получим классификацию однородных нормированных
алгебр, принадлежащую Д. Магарам.
Прежде всего напомним, что согласно определению,
данному в главе II, § 2, п. 7, непустое множество
ЕаХ независимо, если выполняются все неравенства
вида
*i Л х2 Л ... Л хр Л Схр+1 Л ... Л Схт > 0,
где хи x2i ..., хт — попарно различные элементы мно-
множества Е. В случае нормированной алгебры X
имеет смысл рассматривать еще один вид независи-
независимости, связанный с имеющейся в X вероятностной
мерой \i. Говорят, что непустое множество Е а X ^-не-
^-независимо, если при любом т и при любом р = 0, 1, ..., т
\i{xY Л х2Л ... Л^Л Схр+х Л ... Л Схт) =
= \ixx \хх2 ... \ixp\iCxp+l ... [iCxmi
где хи х2) ..., хт — произвольные попарно различные
элементы из Е. Подобную «метрическую» независи-
независимость мы уже рассматривали в главе II; там же была
выяснена ее связь с «алгебраической» независимостью.
Теперь нам понадобятся более общие понятия незави-
независимости и ^-независимости классов множеств.
Определение. Непустой класс «? непустых мно-
множеств называется независимым (^-независимым), если
независимо (jx-независимо) любое конечное множество
ненулевых элементов, выбранных по одному из попарно
различных множеств класса ^\ В этом случае говорят
также, что множества класса & независимы (^-неза-
(^-независимы).
Вспоминая определение простейшей подалгебры
(глава II, § 1, п. 1), можно сказать, что независимость
(^-независимость) непустого множества ЕаХ эквива-
эквивалентна независимости (^-независимости) системы про*
стейших подалгебр, порожденных элементами множе-
множества Е.
Введем теперь важное для дальнейшего понятие
произведения подалгебр. Рассмотрим некоторый
класс $ подалгебр полной булевой алгебры X. Гово-
Говорят, что подалгебра Хо алгебры X есть произведе-
§ 1] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 241
ние *) подалгебр класса ^3, если выполнены следующие
два условия:
1) класс % независим;
2) справедливо равенство
В этом случае будем писать
У^%\
или
Хо = % X 2/2 X .. . X Уда,
если
$ = {%, 2/2, ..., 2U.
Понятен также смысл обозначений^
применяемых к семействам подалгебр.
Пусть J = JtX «^2» гДе ^i> ^2 независимы (^-не-
(^-независимы). В этом случае мы говорим, что каждая из
этих подалгебр является независимым (^-независимым)
дополнением для другой. Особенно важен случай ^-не-
^-независимости. Мы можем так сформулировать теперь
нашу первоочередную задачу: выяснить условия, при
которых данная правильная подалгебра обладает не-
независимым (^-независимым) дополнением.
Пусть X — правильная подалгебра .#*, и — некото-
некоторый элемент X. Если и е X, то множество
представляет собой компоненту подалгебры Х\ мы
будем эту компоненту обозначать через Хи. Если же
и^ЁХу то Е не содержится в Х% но представляет собой
при естественном упорядочении полную булеву алгебру
с элементом и в роли единицы. Эту алгебру мы будем
*) Нередко понятие произведения определяется несколько
иначе (см., например, Р. Сикорский [1], Д. Капп ос [1]).
242 СТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. VII
в соответствии с ранее принятой терминологией назы-
называть следом подалгебры X в компоненте Хи и обозна-
обозначать через [<%*]и.
Перечислим некоторые очевидные свойства опера-
операции «умножения» подалгебр.
1. Если 2 — совокупность непересекающихся подклас-
подклассов независимого класса Щ подалгебру а подалгебры
У% = П 2/, $ ^ 2, также образуют независимую си-
стему, то
П 2/= П V*. (I)
Формула(I)выражает ассоциативность умно-
умножения.
2. Если «^=11 2/, то при любом и>0 наименьшая
правильная «-подалгебра, содержащая все следы [у]ш
совпадает с [Ж]и. (Нельзя однако называть \Х\и произ-
произведением этих следов, так как они могут не быть
независимыми.)
С произведениями подалгебр мы фактически уже
сталкивались в конце предыдущей главы. Именно,
в примере I (стр. 236) алгебры Х§ и Уо предста-
представляли собой как раз произведения ц-независимых си-
систем простейших подалгебр; алгебры такой структуры
будут играть в этой главе основную роль. В при-
примере II (стр. 237) мы имели дело с метрически неза-
независимыми парами подалгебр X, S£r и У, У'. При
этом были справедливы равенства
так что каждая из образующих пару подалгебр
являлась метрически независимым дополнением для
другой.
Приведем важный для дальнейшего пример. Пусть
полная нормированная алгебра X разбита на 2п по-
попарно дизъюнктных компонент
§ 1] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 243
при этом \Ш\ =\ш<2= ... =\iu2n = -yi. (Как всегда, \i — ве-
вероятностная мера в X.)
Рассмотрим подалгебру
Х0 = Х{и{, и2, ..., и2п).
2«
Она дискретна, правильна и содержит 2 элементов.
По теореме II.8 эта подалгебра свободна и обладает
независимой системой образующих zu z2, ..., zn. По-
Поскольку мера ц индуцирует на Хо основную меру,
то (см. стр.58, 103) система z{, z2, ..., zn будет и м е-
трически независимой. Иначе говоря, она является
^-независимой системой элементов Х\ при этом \izx =
= \IZ2 = ... = \iZn = j .
Таким образом, в нашем примере подалгебра Х§
представляет собой произведение jx-независимой системы
из п простейших подалгебр.
Определение. Пусть Хи — ненулевая компонента
булевой алгебры X, .^" — правильная подалгебра X.
Будем говорить, что X насыщает компоненту Хю если
[Х]и = Хи. В частности, так будет, когда Хи = Ха.
Если таких ненулевых компонент нет, то условимся
говорить, что подалгебра X не насыщает компонент.
В дальнейшем нам часто придется иметь дело с под-
подалгебрами, ненасыщающими компонент. Если X—такая
подалгебра, то легко понять, что всякая подалгебра,
порожденная X и каким-либо конечным множеством,
также не может насытить никакую ненулевую компо-
компоненту. Заметим, что в дискретной алгебре всякая под-
подалгебра насыщает компоненты.
Приведем теперь лемму, которая будет играть роль
фундамента всех дальнейших рассуждений.
Лемма I. Пусть X — полная б. а., X — правильная
подалгебра X. Существует разложение X на две ком-
компоненты XUo и Хщ со свойствами:
1) и09 щ^Х\
244 СТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. VII
3) существует z e Хщ, для которого при любом не-
ненулевом х е Хщ выполняются неравенства
а)гЛО0, б) (vQ - z) Л х > О
(не исключено, что один из элементов и0, v0 равен нулю).
Доказательство. Применим теорему III. 6, взяв
подалгебру X в качестве множества А. Всякая пра-
правильная подалгебра представляет собой d-правильное
множество; поэтому нормальное ядро (Х)° представляет
собой компоненту, верхнюю грань которой мы и обо-
обозначим через и0. Итак, имеем (Х)° = Хщ = Хщ, ио^Х.
Положим затем vo = Cuo и построим элемент z, упоми-
упоминаемый в формулировке леммы. Для этой цели обра-
образуем множество V = {v), определив его следующим
условием: включение уеУ означает, что oeJ^,
v > 0, и что существует элемент zv e (X \ Х)°, удовлетво-
удовлетворяющий неравенству 0<zv<v, причем v==ini{x\x^Xt
x^zv}- Убедимся в том, что при vo>O множество V
непусто и минорантно в Хщ. Действительно, мы знаем,
что компонента JTUo совпадает с дизъюнктным допол-
дополнением множества (X \ Х)°, которое должно быть в силу
этого полно в компоненте (XUo)d = ХЩ. Полное и нор-
нормальное множество всегда минорантно; поэтому (X \ Х)°
минорантно в XVo. Каков бы ни был ненулевой эле-
элемент х0 е Хщ, найдется zo^(X \ Х)°, удовлетворяющий
неравенству0<zo<xo. Положим v = ml{x\x^X, x^z0}.
Ясно, что dgI/ и 0<v^.x0. В качестве zv можно
взять z0. Таким образом, V непусто и минорантно в Хщ.
Мы можем выделить из V дизъюнктное подмноже-
подмножество 1/*, полное в компоненте XVo. Определим теперь
элемент z равенством
2= V Zv
v<z=V*
и проверим, что он обладает требуемыми свойствами.
Пусть х^Хщ, x>0. Имеем
х Л £= V x/\zv= V xAvAzv= \/ xvl\zv%
v e V* vceV* ve= V*
§ 1] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 245
где
Так как л;>0 и 1/* полно в Хщ, то
х== V xV9
v<z=V*
и для некоторого уеГ будет *->0. Отсюда
v-x-<v.
Учитывая, что v = inf [дс |jt е *#*, дс^г-J и что
у — jc- e X, получаем
или, что то же самое,
x-Az->0.
Поэтому
-Л z->0.
Оценим теперь элемент лгЛСуо")- Сохраняя прежние
обозначения, будем иметь
xA(vo-z)= V ^A(o-zv).
Пусть, как и выше, .*->0. Имеем x-^JF, z-^{&\£:H.
Поэтому х- ф. S£z~. Отсюда (р — z-) А х- > 0. А тогда
х А К - z)> х- Л (о - г-) > 0.
Таким образом,
jc Л z > 0, jk Л @О - z) > 0
при любом ненулевом х е JFVo. Лемма доказана.
Замечание. Из доказательства видно, что ком-
компонента <%*ио совпадает с нормальным ядром подалгеб-
подалгебры ЯС. Легко понять, что другого разбиения X на
дизъюнктные компоненты, обладающего свойствами
246 СТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. VII
1) —3), не существует. Однако уже отказ от условия 1)
связан с существенной потерей единственности.
Только что доказанная лемма может быть, разу-
разумеется, применена не только к алгебре J, но и к любой
ее ненулевой компоненте Ху. Вместо подалгебры X
в этом случае нужно рассматривать ее след [Х]у.
Наиболее интересен для нас случай, когда X не на-
насыщает ни одной из компонент Ху>, у'<z/.
Тогда будем иметьао = О, vo = y. Следовательно, суще-
существует элемент 2Е^ такой, что каждый раз, когда
х^Х и хАу>0, должны выполняться неравенства
х Лг = х Лу Az>0, х Л{у-г) =
= хЛу A{y-z)>0. (II)
Если мы положим теперь
* = inf {* |jcgJ, *>*/}, (III)
то без труда заметим, что для каждого ненулевого
х ^ Х- будет х А у > 0, откуда вытекают неравен-
неравенства (II). Мы приходим к следующему утверждению:
Лемма 2. Пусть X — полная б. а.> X — правильная
подалгебра X, у е X, у>0> элемент х определяется
равенством (III). Тогда если X не насыщает ни одной
из компонент Ху>> у'^у, то найдется элемент zy со
свойствами:
у
2) при каждом х е Х-х справедливы неравенства
zy А *>0, (у - zy) А х > 0.
Если у = 19 то условия 1) и 2) означают независи-
независимость подалгебры X и простейшей подалгебры, поро-
порожденной элементом г.
Лемма 3. Пусть X — правильная подалгебра пол-
полной б. а. Ху не насыщающая ни одной компоненты,
и — произвольный элемент X. Существует элемент eeJ,
обладающий свойствами:
I) простейшая подалгебра Xz = {zt Cz, 0, 1} и под-
подалгебра X независимы,
§ 1] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 247
2) элемент и содержится в подалгебре Х\ поро-
порожденной подалгеброй X и элементом z.
Доказательство. Положим
х = Ы{х \xeeX,
£ = SUp {Х \х^Х
V = X — X.
Если у = 1, то положим z = u. Если а = 0, то и^Х,
и в качестве z можно взять любой элемент, удо-
удовлетворяющий условию 1). Такие элементы заве-
заведомо существуют в силу леммы 2. Пусть а=т^0, 1.
Ни одна компонента, содержащаяся в компоненте ХСгп
не насыщается подалгеброй X', поэтому найдется эле-
элемент z'^XCvi удовлетворяющий при любом ненулевом
x^XCv неравенствам
х Az'>0, х A {Cv-z')>0.
Положив z — z/JrvAu и заметив, что xAv^S* при
х е X, будем иметь
и
х Л Cz = Cv А х A Cz' + (v - v А и) А х > О
при каждом ненулевом х е X, Кроме того,
u = x + z A v<=X'.
Лемма доказана.
В случае нормированной алгебры лемму 3 заменит
менее тривиальное утверждение, формулировку кото-
которого мы приведем ниже. Предварительно докажем
лемму, которая «вберет» в себя основную часть труд-
трудностей.
Лемма 4. Пусть X — нормированная б. а., р> — ве-
вероятностная мера на X, X — правильная подалгебра,
не насыщающая ни одной ненулевой компоненты. Ка-
Каковы бы ни были элемент и^Х и натуральное число п,
248 СТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. VU
существует дизъюнктная система Z=*Z~ п = \г^п , со-
состоящая из п элементов и обладающая следующими
свойствами:
1) при любом х^л выполняется равенство
\х(х Azk) = \ix\xzk F= 1, 2, ..., п);
2) существует элемент и\ принадлежащий под-
подалгебре Х(Х, Z), такой, что
Доказательство леммы опирается на ряд вспомога-
вспомогательных утверждений.
Положим для произвольных х^Х+,
h(x,y)= inf
— /
Эти числа можно было бы назвать «внешней шириной»
и «внутренней шириной» элемента у относительно мно-
множества Xх. Ясно, что всегда О^Л(л:, y)^h(x, y)^l.
Равенство h (л:, у) = h (л:, у) = ц означает, что при всех
х' е &х должно быть \i {х' Л у) = л \ix'.
1°. Для любых элементов mgJ, IgJ+ и веще-
вещественного числа е>0 можно указать элемент х^Х,
удовлетворяющий неравенству O<jc<jc w такой, что
Для доказательства положим a = h(x, и)Л-г и рас-
рассмотрим множество Л, состоящее из тех х&ХЯу для
которых выполнено неравенство \х(х A u)<a\ix.
В силу определения числа h{x> и) найдется ненуле-
ненулевой элемент х'^Х%у удовлетворяющий неравенству
И{х' Аи)<й\хх'.
§ I] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 249
Видим, что А+ непусто, так как /еЛ+. Замечая, что
множество А' = &х\ А> очевидно, является d-правиль-
ным, применим к б. а. Х*. теорему III. 7. Согласно
этой теореме нормальное ядро А° содержит ненулевой
элемент х. Поскольку вся компонента X** входит
в Л, то
Вместе с тем h(х, u)~^h(x, и), поэтому h(x, и) —
— h(xt и)^Я(х9 и) — h(x, u)^.a — h(x> w) = e, что и тре-
требовалось.
2°. Для любого элемента dg=J+ и любого веще-
вещественного числа е>0 можно указать элемент w^X+v,
удовлетворяющий неравенству
Для доказательства воспользуемся леммой 2. По
предположению подалгебра X не насыщает ни одной
ненулевой компоненты. Поэтому всякому у>0 можно
сопоставить элемент гу<у, удовлетворяющий неравен-
неравенствам
гуЛх>0, {у-гу)Ах>0
при всех х^л, х ^ху = inf {#| л:е=^, х^у}. При-
Применяя лемму 2 последовательно к ненулевым элементам
, Уо = у» У\ = Уо ~ *уо> У2 = У\-2у1>
получим дизъюнктную последовательность {^}°° , эле-
элементы которой удовлетворяют неравенствам
t xA(yk-Zyk)>0 (IV)
при всех x^JP+, x^.Xyk = Xyo (из второго неравенства
и следует как раз, что все #*>()). Ясно, что \izyk~>0.
250 СТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. VII
Зафиксируем по произволу ненулевой элемент х^Я\
и выберем индекс k так, чтобы выполнялось неравен-
неравенство
Образуем множество Л, отнеся к нему все х^Х% , удо-
удовлетворяющие неравенству
\L(xAzyfi)<e\xx.
Видим, что Л+непусто, а множество A' = JF\A d-npa-
вильно. Вновь используя теорему III. 7, заключаем,
что нормальное ядро А° содержит ненулевой элемент х*.
Положим w = ZykA х*. Имеем для любого x^S+
цх \хх ^ \ix
Другими словами,
ЙA, ш)<е.
В то же время jt*^J^, поэтому, используя первое
из неравенств (IV), заключаем, что
то есть ayejj. Утверждение 2° доказано.
Пусть теперь у е ^+, г] — произвольное положитель-
положительное число. Образуем множество D^ отнеся к нему те
элементы w e Ху% для которых
йA, w) ^т].
3°. Множество D^ содержит максимальные элементы.
Нужно убедиться в том, что к D^ применима лем-
лемма Куратовского —Цорна. Рассмотрим произвольную
цепь CczD^. Для любого w^C имеем ЯA, яу)^т).
Отсюда следует неравенство
\х (w A *
верное при каждом х^£*. В силу непрерывности меры
^1 (sup С Л *)<Ц\хх.
§ 1] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 251
Поскольку это справедливо при произвольном х<^Х,
то и
Это означает, что supCeD^*). Видим, что любая
цепь CczD^ ограничена в Dn сверху, и по лемме Ку-
ратовского — Цорна в D^ содержатся максимальные
элементы.
4°. Если h(xt и)^г\^0, то существует элемент
z^xAu такой, что
Л(х, z) = h{x, z) = г].
Для доказательства образуем множество D^ так,
как говорилось выше, ваяв в качестве у элемент х Л и.
Пусть г —максимальный элемент D^ существующий
в силу 3°.
Покажем теперь, что при всех .vgJ^ выполняется
равенство
\х(х Az)
Ясно, что всегда ц(л; Л -г)^грл;. Допустим, что при
некотором х*^&х имеет место строгое неравенство
щх*-\х(х* Az)>0.
Подберем е>0 так, чтобы выполнялось неравенство
и рассмотрим множество Л, состоящее из всех х&Жх,
удовлетворяющих условию
D-e)\ix-\i(xAz)>0.
Это множество содержит ненулевой элемент **; кроме
того, дополнительное множество Л/ = ^\Л d-npa-
вильно. Поэтому найдется отличный от нуля элемент х+,
принадлежащий нормальному ядру А0.
*) Ясно, что sup С <: у.
252 СТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. VII
Для всех хе^+ будем иметь
ц(хЛ2)<(т]-е) \ix.
Теперь положим
v = и Л х+ Л Cz.
Этот элемент отличен от нуля: в противном случае
выполнялось бы неравенство и A x+^.z9 а тогда мы
имели бы оценку
что невозможно, так как т]<1Л(л;, и). Воспользуемся
утверждением 2° и подберем отличный от нуля элемент
w^lS£v так, чтобы выполнялось неравенство
Положим z* = z + w. Ясно, что х A u^zz*>z. В то же
время для любого х^л будет
\х(х A z*) = \х{х А Сх+ А г*) + \х(х А х+ А г*) =
= \х(х А Сх+ A z) + \i(x A x+ A z) + \i(x А х+ А ш)<
< ц\х (х А Сх+) + (г] - е) \i (х А х+) + e\i (x А х+) =
= г] [|х {х А Сх+) + \i (х А х+)] =
откуда следует, что
Другими словами, 2'eD,,. Это невозможно, так как
z*>z, a 2: —максимальный элемент Dw Итак, при всех
л: ^Л?% имеем
то есть
Утверждение 4° доказано.
Пусть теперь элементы j:gJ и z^J" таковы, что"
R(x9 z) = h{x, 2г) = т|0>0.
§ 1] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 263
Положим для произвольного лг = 2, 3, ...
и применим утверждение 4°. Мы получим элемент
Z\^z, удовлетворяющий соотношению
R(x, z{) = h(x, z{) = r\.
Легко понять, что одновременно будет
R(x,z- zx) = h (*, z - z{) = т|0 - л = ^-р- Ло > Л-
Поэтому к элементам х и z — z1 можно вновь приме-
применить утверждение 4° и т. д., ровно п раз. Видим, что
справедливо утверждение:
5°. Если й(лг, z) = h(x, <г) = т|, то для любого нату-
натурального п существует разбиение элемента z на п
дизъюнктных слагаемых z,, z2, ..., zn, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию
R{x, zk) = h(x, zk) = -^K) (fe=l, 2, ..., n).
Перейдем к заключительному этапу доказательства
2
леммы. Положим е = — и образуем множество
|jcejr, R(x, u)-h{x, u)<^Y
В силу 1° это множество минорантно в SP. Поэтому
найдется дизъюнктная система S элементов £, supre-
mum которой равен 1. Сопоставим каждому jcgS
целое неотрицательное пгх так, чтобы выполнялось не-
неравенство
h{x, u)-j<I%L<!L(x, и).
Используя 4°, построим для каждого x^S элемент
z = z (х) ^ х А и со свойством
254 СТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕЁЫХ АЛГЕБР [ГЛ. VII
Тогда, очевидно,
h{x, x-z) = h(x, x-z) = ^~^-.
Применяя 5° к элементам z и х — г, построим дизъюнкт-
дизъюнктный набор элементов z{(x), z2(x)y ..., zn(x) такой, что
при любом &=1, 2, ..., п будет
h(x, zk{x)) = h{x, zk(x)) = ^
и
тх
V Zk (х) = Z (*)< X A U.
k = l
Положим теперь
Поскольку при любом fe=l, 2, ..., п все zk(x\
попарно дизъюнктны, будем иметь для каждого
Полагая здесь хо — 1, найдем меру zk: она равна — .
Поэтому
М- (х0 A zk) = \ix^zk
при всех Xq^X, k=l, 2, ... Элементы zlf z2, ..., zn
и образуют искомую систему Z. Остается построить
аппроксимирующий элемент и'. Положим
«'= S Vz*(*)= S z(x).
Ясно, что и!<=X{X, Z). При этом и7"<м, и справед-
справедлива оценка
§ П ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 255
Для любого x^S имеем
г / /\ М» (х' Л (и — и')) ^
h{x, и- и') = sup "к /v ^-<
sup [Му} - h (х, и')] < Я (jc, и) - A (jc, «О
Поэтому окончательно имеем
Докажем утверждение, которое послужит для «ме-
«метрической» ситуации аналогом леммы 3.
Лемма 5. В условиях леммы 4 для любого и^Л*
найдется счетная ^-независимая система Z элементов,
обладающая свойствами:
1) и €
2) подалгебры X и X(Z) ^независимы,
3) \iz = у 5ля любого z^Z.
Условие i) означает, что элемент и принадлежит
произведению подалгебр X и X{Z).
Доказательство. Построим с помощью преды-
предыдущей леммы цепочку дизъюнктных систем {Zn} и под-
подалгебр {3^}, полагая последовательно
(V)
В корректности такого определения легко убедиться,
заметив, что каждая из подалгебр 2/„, будучи порожде-
п
на подалгеброй X и конечным множеством (J Zk,
ие может насыщать компонент (см. стр. 243). Поэтому
z2 = :
Г; Zl = 2
'S/o. 2,
cy
— tA/
= &(<2/o, Z1)
Z2);...
J 7n\
7 1 , JLt J) ...
256 СТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. VII
на каждом шаге построения можно пользоваться лем-
леммой 4, и системы Zk действительно могут быть опре-
определены по формулам (V) одна за другой. При этом,-
очевидно, каждая из подалгебр уп содержит элемент,
удаленный от элемента и не более чем на -—^. Поэтому,
замкнув объединение этих подалгебр, мы получим мно-
множество, содержащее и.
Процесс построения систем Z* показывает, что они
образуют ^-независимый класс множеств (это без труда
устанавливается индукцией с учетом включений Zhczyk).
Введем в рассмотрение конечные подалгебры
Каждая из них порождается дизъюнктным разбиением
единицы; следовательно, всякий элемент х^Хк пред-
представляет собой конечную сумму элементов системы Zk.
Поэтому, как показывает простой подсчет, не только
системы Zfe, но и порожденные ими подалгебры Хк
образуют ^-независимый класс множеств.
Далее, каждая из подалгебр ХкУ будучи порождена
разбиением единицы на 2k слагаемых равной меры,
содержит ^-независимую систему из k образующих
[z\, г% ..., z*}, причем ц2* = цг* = ... = цг*=1/2 (см.
пример на стр. 242—243).
Теперь образуем счетную систему Z, причислив к ней
все элементы zkr Эта система ^-независима, поскольку
^-независимы подалгебры Хк% а внутри каждой из таких
подалгебр ^-независимы образующие zkr Далее, си-
система Z удовлетворяет условию 3), так как элемент и>
очевидно, принадлежит подалгебре Х(Х% Z) (которая
содержит все 2/л). Наконец, легко проверить ^-незави-
^-независимость подалгебр X и X{Z), а затем, используя не*
прерывность меры, — и подалгебр JP, X (Т). Лемма
доказана.
Пусть ц, — вероятностная мера в X. Простейшую
подалгебру У мы будем называть \1-простейшей9 если
§ 1] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 257
порождающие ее элементы имеют меру, равную —:
У = {у, Су, О, 1}, \ху = \хСу=~.
Построенная при доказательстве леммы 5 подалгебра
&{Z) представляет собой как раз произведение счет-
счетного числа ^-простейших подалгебр.
Во всех предыдущих рассмотрениях важную роль
играло предположение о том, что подалгебра X не на-
насыщает компонент. Нам необходимо теперь конкрети-
конкретизировать это предположение, указав способ измерять
«степень иенасыщения». Пусть и^&+, •#" —подалгебра^,
Е аХи\[Х]и. Мы скажем, что Е дополняет под-
подалгебру Ж- в компоненте Жи> если правильная «-под-
«-подалгебра, порожденная множеством £(J[^L» совпадает
с Ха. Минимальную из мощностей таких дополняющих
множеств мы обозначим через cr(J£\ и) и будем назы-
называть степенью ненасыщения. Степень ненасыщения
обращается в нуль тогда и только тогда, когда SC на-
насыщает компоненту. Если при всех ненулевых и<щ
выполняется равенство
то мы будем называть как элемент и0, так и соответ-
соответствующую компоненту Жщ ^-однородными. При рас-
расширении компоненты степень ненасыщения может разЕе
лишь возрасти. Поэтому, определив функцию ср равен-
равенством
Ф (и) = сг (Ж', и),
можем в соответствии со сказанным на стр. 112—113
разложить б. а. X в прямую сумму ф-однородных, или,
что то же самое, ^-однородных компонент. Следова-
Следовательно, справедлива (при обычном предположении
о полноте алгебры)
Лемма 6. Какова бы ни была подалгебра Ж, б. а.
X может быть представлена в виде прямой суммы
^-однородных компонент.
258 СТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. VII
Если алгебра X сепарабельна *), то степень нена-
ненасыщения ^-однородной компоненты может равняться
либо Ко» либо 0. Поэтому в сепарабельном случае
отсутствие насыщаемых компонент означает, что вся
алгебра X ^-однородна и справедливо равенство
о(Х, 1)=KO.
Докажем теперь основную теорему о независимом
дополнении правильной подалгебры.
Теорема 1. Пусть X —полная б. а., X — ее пра-
правильная подалгебра, отличная от X. Если алгебра X
является X-однородной, то существует независимый
класс У$ простейших подалгебр, имеющий мощность
а(Х, 1) и такой, что порожденная им подалгебра
XI (J %\ представляет собой независимое дополнение
подалгебры X.
Если при тех же условиях в X имеется вероятностная
мера \х, то существует ^-независимый класс У$ ^-про-
^-простейших подалгебр, имеющий мощность а(Х, 1) и такой,
что порожденная им правильная подалгебра X / (J %\ =
= 11 2 является \х-не зависимым дополнением подал-
2е=<р
гебры X.
Читатель уже заметил, что сформулированная сей-
сейчас теорема состоит из двух частей: «алгебраической»
и «метрической». Их доказательства совершенно парал-
параллельны и могут быть объединены. Разница лишь в том,
что в «алгебраическом» случае мы используем лемму 3,
а в «метрическом» — лемму 5.
Пусть Е — множество, имеющее мощность а(Х, 1)
и дополняющее подалгебру X в X. Предположим
вначале, что Е несчетно. Расположим его элементы
в трансфинитную последовательность {*а}0^а<б>, где
© — начальное порядковое число мощности о(Х, 1).
*) Напоминаем, что это означает наличие счетного множества
плотного в SC относительно (о)-топологии.
§ I) ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ Г.59
Существует трансфинитная последовательность правиль-
правильных подалгебр [X{fl)}0^a<&9 обладающая следующими
свойствами:
1) Система \Х{а)} независима {^-независима).
2)jr@) = JT; при а>1 каждая из подалгебр Х{а)
имеет вид
х{а) = П z,
где ^а — независимый {^-независимый) класс простейших
{\1-простейших) подалгебр, число которых в «метриче-
«метрическом» случае счетно, а в «алгебраическом» равно
единице.
3) При каждом а^1 выполняется включение
<p<
Существование такой системы подалгебр непосредст-
непосредственно вытекает из лемм 3 и 5. Действительно, в силу
основного предположения об ^-однородности б. а. X
подалгебра X не может насыщать компонент. Следова-
Следовательно, мы можем, опираясь на леммы 3 и 5, построить
подалгебру J?A), порожденную либо одним элементом
(в «алгебраическом» варианте, когда используется
лемма 3), либо счетной ^-независимой системой ^"Про-
^"Простейших подалгебр и такую, что JF0) и X ]) независимы
(ц-независимы), а их произведение Х{0) X Х{]) содержит
элемент х{. Дальше рассуждаем, как обычно в подоб-
подобных доказательствах. Пусть уже построены все под-
подалгебры {^(Р)}«<а <й» образующие систему со свойст-
вами'1) — 3). Для построения очередной подалгебры Х{а(})
положим
= П
О < р <
< а0
Каждая из подалгебр X , Р^1, может быть пред-
представлена в виде произведения
p)= П %.
260 СТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. Vlf
В силу независимости подалгебр Хф) можно, положив
дополнительно
?о={^(О)К
представить подалгебру У в виде
У= П Z.
0<C<а0
Мощность системы множителей здесь строго меньше,
чем сг(^, 1) (напоминаем, что все ^ не более чем
счетны, а со — несчетный начальный трансфинит).
Отсюда следует, что подалгебра °У не насыщает ни
одной ненулевой компоненты. Действительно, если
№\v = х„ х)Ф о,
то компонента JPV совпадает с наименьшей правильной
у-подалгеброй, содержащей все следы [%]v. Но тогда,
образовав объединение
получим множество, дополняющее подалгебру X в ком-
компоненте Ху, чего не может быть в силу основного усло-
условия теоремы, поскольку мощность Ev слишком мала.
Теперь можно применить к подалгебре 2/ лемму 3
или 5, взяв в качестве и элемент хЩ). Построенную при
этом подалгебру мы и обозначим через £"ы. Таким обра-
образом, искомая последовательность подалгебр строится
индуктивно.
Если Е счетно (в «алгебраическом» варианте этот
случай можно не выделять), то вышеописанная конст-
конструкция в основном сохраняется: полагаем © = со, ,Т0) = Хх,
Х{) = Х2, ... (см. стр. 256). Условие 3) заменяется
неравенством
П J/л (л=1, 2, ...),
V
следующим из леммы 4. При этом все классы ^,, ^2
конечны, благодаря чему процесс их построения не
может оборваться.
§ 1] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 261
Положим
r= U *«•
О < а < о)
Это независимый ([^-независимый) класс подалгебр; по-
поскольку
то
^ -X. (VI)
Рассмотрим, наконец, класс
?= U $«•
О <а < со
состоящий только из простейших (^-простейших) под-
подалгебр. Будучи частью $*, он обладает теми же свой-
свойствами независимости; мощность ^ равна а(Х9 1).
В силу независимости (^-независимости) ^5* подалгебры
J^ = ^@) и %' = X I (J %\ независимы (^-независимы).
Равенство (VI) показывает, что
Итак, %г есть независимое (^-независимое) дополнение
для подалгебры X. «Алгебраическая» часть доказа-
доказательства теоремы на этом закончена. Чтобы завершить
«метрическую» часть, нужно убедиться, что подалгебра
2=11 Z.
представляющая собой просто замыкание подалгебры %',
будет ^-независимым дополнением для X. В проверке
нуждается только [^-независимость. Взяв произвольные
л: ^ Х% z €= %, подберем последовательности {хп}, {zn}
так, чтобы выполнялись равенства
262 СТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. VII
Ввиду ^-независимости X и % при всех п имеем
п Л zn) = \ixn\izn.
Непрерывность меры позволяет перейти в этом равен-
равенстве к пределу и получить соотношение
\i (x A z) = \ix \iz,
которое и доказывает ^-независимость наших подалгебр.
Теорема доказана полностью.
Рассмотрим теперь вырожденную подалгебру X,
состоящую только из нуля и единицы. Для такой под-
подалгебры значение о(Х, и) совпадает с минимальной
мощностью множества, плотного в компоненте Хи.
Естественно назвать такую мощность весом компоненты.
Мы будем обозначать этот вес через х(Ха). Свойство
^-однородности алгебры означает в данном случае,
что все ее ненулевые компоненты имеют один и тот же
вес. Полные невырожденные б. а., обладающие таким
свойством, мы будем называть однородными *). Дока-
Доказанная нами выше теорема дает возможность описать
строение всех однородных алгебр.
Теорема 2. Всякая однородная алгебра X пред-
ставима в виде произведения
где ?$ —независимый класс простейших подалгебр,
имеющий мощность т(ЛГ). Если при этом в X имеется
вероятностная мера ц, то в качестве Щ> можно взять
некоторый ^.-независимый класс ^-простейших под-
подалгебр, имеющий мощность %{Х).
Эта теорема есть очевидное следствие предыдущей:
нужно взять в качестве X вырожденную подалгебру
и заметить, что в данном случае будет
*) В литературе встречается и иное употребление термина
«однородная алгебра». Приведенное здесь определение принадлежит
Д. Магарам, которая сформулировала его в 1942 г. для нормиро-
нормированных алгебр (см, Д. Магарам [1]).
§ 1] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 263
«Метрический» вариант теоремы 2 по существу при-
принадлежит Д. Магарам, которая в 1942 г. доказала
некоторое эквивалентное утверждение*); трансфинит-
трансфинитная конструкция, примененная нами в доказательстве
теоремы 1, восходит к ее работе. Теми же вопросами
занимался А. Н. Колмогоров**); принадлежащая ему
формулировка теоремы о строении однородной норми-
нормированной алгебры близка к приведенной выше.
Доказанная сейчас теорема допускает и такую фор-
формулировку: всякая полная однородная б. а. X есть
замыкание некоторой свободной подалгебры, мощность
которой равна весу X,
Наметим истолкование этого факта, интерпретируя X
как алгебру событий. Теорема 2 показывает, что одно-
однородная алгебра событий подобна «игре в орлянку»
(вообще говоря, бесконечной). Имеется независимая
система «основных» событий (выпадение или невыпаде-
невыпадение герба при очередном бросании монеты); исход вся-
всякого другого события однозначно определяется по их
исходам. Можно сказать также, что исходы всех обра-
образующих данную алгебру событий определяются в ре-
результате осуществления серии независимых испытаний
с двумя равновероятными ***) исходами (частный случай
так называемой «схемы Бернулли»).
Алгебры, представимые в виде произведений неза-
независимых (^-независимых) классов простейших (^-про-
(^-простейших) подалгебр, будут в дальнейшем называться
разложимыми (соответственно, \i-разложимыми). Тео-
Теорема 2, таким образом, утверждает, что однородная
алгебра всегда разложима, а если в ней существует
вероятностная мера \х> то и ^-разложима.
Одно из важнейших свойств ^-разложимых алгебр
состоит в наличии у такой алгебры «достаточного
числа» сохраняющих меру автоморфизмов. Именно,
верна
Лемма 7. Группа всех сохраняющих меру авто-
автоморфизмов полной нормированной \i-разложи мой ал-
алгебры SC всегда эргодична.
*) Д. Магарам [1].
•*) А. Н. Колмогоров [2], [3].
***) Если в алгебре вообще имеется вероятностная мера.
264 СТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. VII
Доказательство. Начнем с некоторых предва-
предварительных замечаний. Если X — ^-разложимая б. а., то
где подалгебры % имеют вид
%={z, Сг, О, 1}
и являются ^-простейшими. Введем в рассмотрение
подалгебру Х^ = ХI (J %\, (о)-замыкание которой сов-
падает с X. Каждый элемент этой подалгебры пред-
представим в форме конечной суммы попарно дизъюнктных
элементарных полиномов вида
и = и{ Л и2 Л ... Л ик, (VII)
где MfG Zf^$, ut ф I и все %t попарно раз-
различны. Назовем число k длиной элементарного поли-
полинома и. Выбрав произвольно по одному (отличному от
нуля и единицы) представителю из каждой подалгебры
класса *$, мы получим ц-независимую систему образую-
образующих подалгебры Ж§\ как отмечалось в конце главы VI
(пример I), всякое взаимно однозначное отображение
такой системы на себя продолжимо до сохраняющего
меру автоморфизма всей алгебры X. ПоэтохМу, как
нетрудно понять, любые два ненулевые полинома
вида (VII), имеющие одну и ту же длину, могут быть
переведены друг в друга с помощью сохраняющих меру
автоморфизмов алгебры X, Пусть 31 — группа всех та-
таких автоморфизмов.
Покажем теперь, что мера \х — единственная инва-
инвариантная относительно всех автоморфизмов группы 31
мера. Действительно, выбрав произвольно набор %и
%2, ..., %s попарно различных подалгебр из класса Щ,
рассмотрим всевозможные элементарные полиномы
вида (VII), считая, что и( ф 0, 1. Число таких полино-
полиномов есть 2k\ все они попарно дизъюнктны и образуют
разбиение единицы. Поскольку подобные полиномы
переводятся друг в друга автоморфизмами из 31, то
$ 11 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 265
для всякой инвариантной относительно этой группы
вероятностной меры v должно быть
v (и) = "^Г =
Теперь уже ясно, что значения мер v и \i должны сов-
совпадать на всей подалгебре XQi а значит (поскольку
Х0 = Х), и на X.
Перейдем, наконец, к заключительному этапу дока-
доказательства леммы —к установлению эргодичности
группы 31. Допустим, что 31 — не эргодическая группа.
Тогда для некоторого х е Х+ будем иметь
Je = sup Ax < 1.
Ле='Л
Равенство
Аох = sup А0Ах = sup Ах = х
Лей Де=21
показывает, что компонента Хя, так же как и допол-
дополнительная компонента ХСх, инвариантна относительно
любого автоморфизма Лое51. Возьмем произвольные
числа р, q со свойствами
0<р, <7<1, p + q=l, p¥=[ix
и определим меру v равенством
v(x) = ^^Лх) + -^^(хЛ Сх).
Ясно, что V—вероятностная мера, отличная от \х и
инвариантная, чего, как мы установили ранее, быть
не может. Это противоречие и доказывает лемму.
Замечание. В заключительной части доказатель-
доказательства леммы был установлен следующий важный факт:
только в случае эргодической группы инвариантная
мера может быть единственна. Учитывая сказанное
в главе III (стр. 115), приходим к следующему крите-
критерию эргодичности: группа сохраняющих некоторую ве-
вероятностную меру автоморфизмов эргодична тогда и
только тогда, когда для нее другой инвариантной ве-
вероятностной меры не существует.
266 СТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. VII
Теорема 3. Если нормированная б. а. X пред-
ставима в виде произведения
\1-простейших подалгебр некоторого ^-независимого
бесконечного класса ^s, то она однородна и ее вес % (X)
равен мощности класса ^?.
Докажем вначале однородность. Согласно лемме 6
алгебра разлагается на однородные компоненты; пока-
покажем, что веса у „таких компонент не могут не совпа-
совпадать. Допустим, что иь и2>0 и %{&ui) Ф т(^ы2)> при-
причем ЯГи1 и Жи2 — однородные компоненты. Мы знаем
(лемма 7), что группа 31 автоморфизмов алгебры X
эргодична. Поэтому найдется автоморфизм А е 31, для
которого будет
Л (и,) Л «2 =
Очевиден изоморфизм компонент Хг и X A-\{z). Но
тогда они должны иметь одинаковые веса, в то время
как по предположению
т {ЛГг) = т (JTtt2) Ф х (JTUl) = т (^л-1(г)).
Это противоречие показывает, что на самом деле веса
однородных компонент, на которые раскладывается
наша алгебра, совпадают. Возможны два случая. Либо
общее значение т всех этих весов равно 2, а Х> сле-
следовательно,—дискретная алгебра, либо т —бесконечная
мощность. Но первый случай исключен, поскольку,
как нетрудно понять, в бесконечной дискретной алгебре
не может быть эргодической группы сохраняющих
меру автоморфизмов; остается второй случай. Алгебра
^" — счетного типа, поэтому число однородных компо-
компонент разложения не более чем счетно. Поэтому вес
любой ненулевой компоненты, который, с одной сто-
стороны, не меньше т, в то же время не превосходит,
очевидно, К0-т = т. Это и означает, что алгебра X
однородна. Докажем теперь равенство
§ 1] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 267
Ясно, что подалгебра XI (J %\ имеет ту же мощность,
что и 'р; поскольку она плотна в X, то
Допустим, что
(r)d$. (VIII)
Тогда существовало бы множество £, плотное в X и
имеющее мощность, строго меньшую, чем класс ^?.
Элементы z' и г", принадлежащие различным под-
подалгебрам %', %"е?Р, удалены друг от друга всегда
1
на расстояние, равное —; это легко устанавливается
простым подсчетом. Выберем по произволу из каждой
подалгебры % g$ по элементу z и образуем множе-
множество R таких представителей. Ясно, что
card i? =
Сопоставив каждому z^R некоторый элемент e
удаленный от z на расстояние, меньшее, чем -j, полу-
получим взаимно однозначное отображение R в Е, что не-
невозможно ввиду неравенства (VIII). Это противоречие
и доказывает, что
Из последней теоремы вытекают два следствия.
Следствие 1. Если нормированная б. а. X пред-
ставляет собой произведение двух однородных ^-неза-
^-независимых подалгебр Хх и Х2, то она также однородна
и ее вес находится по формуле
т (JT) = max MJTO, t(JT2)}.
Действительно, подалгебры Х{ и Х2 имеют вид
произведений
где %, ^2 — бесконечные ^-независимые классы ^-про-
^-простейших подалгебр, имеющие мощности %{ХХ) и %{Х2)
268 СТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. VII
соответственно. Ввиду ^-независимости подалгебр Хх
и Х2 имеем
х = П z.
Следовательно, по теореме 3 б. а. X однородна,
а ее вес равен мощности класса ^Pi U ^Рг» т0 есть наи"
большей из мощностей т(Хх), х(Х2).
Следствие 2. Нормированная алгебра, предста-
вимая в виде произведения произвольной ^-независи-
^-независимой системы однородных подалгебр, всегда однородна
и ее вес равен сумме весов множителей.
Доказательство совершенно аналогично предыду-
предыдущему.
Условия теоремы 1 обеспечивают существование
независимого дополнения, далеко не являясь необхо-
необходимыми. Даже при наличии ненулевых компонент, на-
насыщаемых подалгеброй X, независимое дополнение
для X может существовать. Некоторая информация
о картине, которую можно в этом случае наблюдать,
содержится в следующем утверждении.
Лемма 8. Пусть fy£ и Т*— ^-независимая пара
подалгебр булевой алгебры Х\ w — ненулевой элемент
такой, что компонента Xw насыщается подалгеброй W.
Тогда этот элемент w дизъюнктен непрерывной ком-
компоненте подалгебры Т.
Доказательство. Допустим, что лемма неверна.
Тогда существует элемент v, принадлежащий непре-
непрерывной компоненте подалгебры 7° и такой, что
w = w Л v>0.
Подберем, пользуясь непрерывностью компоненты TV1
элемент uoe7°v так, чтобы выполнялось равенство*)
="М'у- Положим
v{ = v — v0, wo=w Л v0, w{ = w Avx.
Возьмем в подалгебре % любой элемент u^w. По
основному предположению леммы найдется uo^fyft
*) См. стр. 118.
§ 1] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 269
и0 < «, для которого будет u0Aw = w0. Пусть и{ = и — и0.
Поскольку wo^uo, v0, to Wq&ux и wodvu следовательно,
Л vo+ u{ A vx.
Теперь используем ^-независимость подалгебр:
И («о Л vQ) + \i{u{ A v{) = ^((шо
откуда
\iw < \х (и0 A v0) + \х {щ A v{) ^
Заметим теперь, что, положив
w' = w A u0 A vOi w" = w A u{ A v{i
мы можем вновь повторить предыдущее рассуждение,
заменяя wt w, v один раз на w\ uOt v0, а другой раз
на w'\ u{i v{ соответственно. При этом получим оценку
pw = \iw' + \iw" < у [\i {u0 A Oo) + |i(Mi Л »i)] = -22-|xm|xo.
Последовательным повторением этого рассуждения по-
получим для любого п неравенство [iw^-^niiuiiv, откуда
вытекает, что а; = 0, вопреки предположению.
Рассмотрим подробнее наиболее важный для прило-
приложений случай сепарабельной нормированной алгебры X
с вероятностной мерой jx. Все подалгебры X также,
разумеется, будут сепарабельны. Мы уже отмечали,
что в этом случае ^-однородность алгебры равносильна
отсутствию ненулевых компонент, насыщаехмых под-
подалгеброй Ж.
Как нетрудно убедиться, однородность сепарабель-
сепарабельной алгебры X означает, что в X нет компонент конеч-
конечного веса, или —что равносильно —нет дискретных ком-
компонент. Итак, для сепарабельных б. а. понятия одно-
однородности и непрерывности совпадают.
270 . СТГОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. VII
В силу леммы 8 подалгебра X, имеющая непрерыв-
непрерывное *) ^-независимое дополнение, не может насыщать
ненулевых компонент. С другой стороны, в сепарабель-
ном случае отсутствие насыщаемых ненулевых компо-
компонент гарантирует ^-однородность алгебры, а значит,
согласно теореме 1 и наличие ^-независимого дополне-
дополнения. Таким образом, справедлива
Теорема 4. Для того чтобы подалгебра X сепа-
рабельной нормированной б. a. X имела однородное
^-независимое дополнение, необходимо и достаточно,
чтобы она не насыщала ни одной ненулевой компоненты.
Теорема 4 показывает, что в сепарабельном случае
факт наличия у данной правильной подалгебры X одно-
однородного (или, что то же самое, непрерывного) ^-неза-
^-независимого дополнения не зависит от того, какая мера \х
имеется в виду: либо такое дополнение существует для
любой вероятностной меры \х, либо его нет никогда.
Существование же неоднородного ^-независимого
дополнения может обусловливаться специальными свой-
свойствами меры, а не только самой подалгебры.
§ 2. Классификация нормированных алгебр
Пусть даны полные булевы алгебры X и 2/ с вероят-
вероятностными мерами [а и v соответственно. Мы скажем,
что пары [X, \х} и {&, v} изоморфны, если между этими
алгебрами существует сохраняющий меру изоморфизм.
Ниже мы приведем критерий изоморфизма пар. Начнем
с наиболее простого случая, когда алгебры X и У одно-
однородны. Как и раньше, обозначаем через х(Х) и тB/)
веса этих алгебр.
Теорема 5. Равенство т{Х) = %(<2/) необходимо и
достаточно для изоморфизма пар {X, \х} и {2/, v}.
В доказательстве нуждается только достаточность.
По теореме 2 алгебры X и 2/ представимы в виде
произведений
■*= П %, 2^= П »°,
2 е= $ feSR
*) То есть дополнение, являющееся непрерывной подалгеброй.
§ 2] КЛАССИФИКАЦИЯ НОРМИРОВАННЫХ АЛГЕБР 271
где ^3 и Ш — равномощные метрически независимые
классы ^-простейших (соответственно v-простейших) под-
подалгебр. Выбрав в каждой из подалгебр %9 ^соответ-
^соответственно по представителю z ф О, 1, w Ф О, 1, получим
две равномощные метрически независимые системы,
подобные тем, которые фигурировали в примере I пре-
предыдущей главы (стр. 236). Мы уже выяснили тогда, что
всякое взаимно однозначное соответствие между эле-
элементами этих систем продолжимо до сохраняющего
меру изоморфизма этих алгебр. Иными словами, пары
{X, \х} и {2/, v} изоморфны.
Теорема 5 показывает, что однородные нормирован-
нормированные алгебры классифицируются с точностью до со-
сохраняющего меру изоморфизма по единственному при-
признаку—по весу. Этот единственный инвариант носит
чисто алгебраический, а не метрический характер. Тео-
Теорема 5 имеет, таким образом, важное
Следствие. Если две однородные нормированные
полные алгебры изоморфны, то между ними существует
и сохраняющий меру изоморфизм.
Замечание. Для любого кардинального числа т
существует полная однородная нормированная алгебра
веса т.
Действительно, мы знаем, что существует свобод-
свободная б. a. J^o, имеющая независимую систему образую-
образующих Е мощности т. Сопоставим каждому элементар-
элементарному полиному
е = ех/\е2К ... Г\ерГ\ СерП Л ... Л Сегю еь е £,
число
Всякий элемент jjgJJ представим в виде полинома
от образующих и, следовательно, содержится в неко-
некоторой подалгебре вида X0(E/)i где Ег содержится в Е
и конечно. Можно считать, что Е' — наименьшее из таких
множеств. Представив элемент х в виде ^-канони-
^-канонического полином я
272 СТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. VII
где el, i = 1, 2, ..., nt — элементарные полиномы от эле-
элементов Ег (такое представление, как известно, един-
единственно), положим
п
Но (*) = 2 ^о (е1)-
* = 1
Кроме того, положим jlx0 @) = 0. Мы определили суще-
существенно положительную функцию на Хо; читатель сам
проверит, что она аддитивна и является квазимерой.
Теперь на основании теоремы VI. 8 можно считать,
что Хо есть всюду плотная подалгебра некоторой пол-
полной булевой алгебры X, причем на X задана вероят-
вероятностная мера \i, продолжающая квазимеру ц0. Ясно,
что X — ^-разложимая алгебра. В силу теоремы 3 она
однородна и имеет вес т. Несколько ниже мы встре-
встретимся с конкретными примерами однородных норми-
нормированных алгебр.
Откажемся теперь от предположения об однород-
однородности рассматриваемых алгебр. Пусть ^ — произволь-
произвольная полная нормиоованная алгебра с вероятностной
мерой \х. Применим к ней лемму 6, взяв в качестве X
вырожденную подалгебру {0, 1}. Мы получим с помощью
этой леммы дизъюнктное разложение X на не более
чем счетное число ненулевых компонент XVI, XV2, ...,
каждая из которых, рассматриваемая самостоятельно,
есть однородная булева алгебра. Положим on = x(Xv^j.
Может случиться, что для некоторой (конечной или
счетной) подсистемы компонент XVn , XVn , ... будет
ffn, = <Тп;= ... =ff. Пусть v = \/vnf. Убедимся в том,
что компонента Xv однородна и имеет тот же вес ст.
Пусть дан произвольный элемент v ^Х%\ положим
vi = V A v , k = 1, 2, ... В каждой из компонент X /
найдется всюду плотное подмножество Dk мощности,
не превосходящей ст. Образуем множество /), состоя-
состоящее из всевозможных supremum'oB конечных подмно-
подмножеств множества [jDk. Ясно, что D плотно в Xv> и
k
что cardZ)<Iа. (В силу непрерывности алгебры карди-
§ 2] КЛАССИФИКАЦИЯ НОРМИРОВАННЫХ АЛГЕБР 273
нальное число сг бесконечно.) Итак, % (Ж~у)^.в. С дру-
другой стороны, при v'k>0 включение Xvi-z^Xv, показы-
показывает, что
Следовательно, x{Xvi) = a\ в частности, т(Ж„) = в.
Сделанное сейчас замечание позволяет, «укрупняя»
в случае надобности компоненты, получить дизъюнктное
разложение X на ненулевые однородные компоненты
■#"«!» &и» • • -, веса которых попарно различны. Положим
хп = т(&ип) и будем считать, что компоненты зануме-
занумерованы в порядке возрастания весов: т1<т2< ...
В этом случае как само семейство {&un}, так и обра-
образующие его компоненты условимся называть канони-
каноническими. Легко понять, что всякая однородная компо-
компонента должна содержаться в одной из канонических,
так что каноническое разложение— это самое «крупное»
из всех разложений на однородные компоненты.
Назовем паспортом пары {Ж, ji} матрицу
\1Щ \Ш2 . .
(если число канонических компонент конечно, то концы
строк заполняются нулями).
Теорема 6. Для того чтобы пары {X, \х} и {2/, v}
были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы их
паспорта совпадали.
Эта теорема почти непосредственно следует из пре-
предыдущей. Совпадение паспортов означает, что канони-
канонические семейства {&uk} и {2/^} обладают свойствами:
т(^) = тB/^), /г=1, 2, ...,
\iuk = vvk, ■ k= I, 2, ...
Введя в компонентах SC4^ (&Vk вероятностные меры
274 СТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. VII
замечаем, что в силу теоремы 5 при каждом k суще-
существует сохраняющий меру изоморфизм фй алгебры Хи
на yVn. Ясно, что отображение ф, определенное равен-
равенством
Ф (*) = 2 Ф* {х А ик), х<=Х,
к
есть сохраняющий меру изоморфизм X на 2/. Теорема до-
доказана. Она была фактически получена Д. М а г а-
р а м [1].
Замечание. Из доказательства теоремы 6 легко
усмотреть, что для изоморфизма двух нормированных
алгебр необходимо и достаточно, чтобы совпадали верх-
верхние строки в паспортах этих алгебр.
Пусть теперь нормированная алгебра ^сепарабельна.
В самом общем случае вес ее однородной компоненты Хи
может равняться либо 2 (это означало бы, что и — атом),
либо Ко. Таким образом, сепарабелъная булева алгебра^
однородна тогда и только тогда, когда она непрерывна^
Из теоремы 5 непосредственно вытекает
Теорема 7. Все полные непрерывные сепарабель-
ные нормированные алгебры изоморфны между собой.
При этом изоморфизм двух таких алгебр всегда
может быть выбран сохраняющим меру *).
Общей моделью для класса всех таких алгебр может
служить булева алгебра Ео — метрическая структура
измеримых по Лебегу множеств отрезка [0, 1]. На такой
алгебре естественным образом определяется мера \х,
соответствующая обычной «мере» Лебега (см. стр. 85).
Теорема 2 позволяет заключить, что алгебра Ео пред-
ставима в виде произведения некоторой счетной ^-не-
^-независимой системы ^-простейших подалгебр. (Этот
хорошо известный факт легко получить и непосред-
непосредственно, используя двоичные разложения чисел из от-
отрезка [0, 1].) Совершенно так же обстоит дело с алге-
алгебрами Е°п, я=1, 2, ... (стр. 85). Каждая из этих изо-
изоморфных друг другу алгебр может быть интерпретирована
как алгебра событий, происходящих при счетном числе
бросаний монеты («схема Бернулли»).
*) К. Каратеодори [2], П. Халмош и Дж. фон Ней-
Нейман [1].
§ 2] КЛАССИФИКАЦИЯ НОРМИРОВАННЫХ АЛГЕБР 275
Рассмотрим полную нормированную алгебру X с ме-
мерой ц,, представляющую собой произведение метрически
независимой системы подалгебр вида Ео (точнее говоря,
подалгебр, изоморфных алгебре Ео). Каждый из «мно-
«множителей», в свою очередь, представим в виде произве-
произведения ^-независимого класса ^-простейших подалгебр.
Отсюда видно, что сама алгебра X является ^-разло-
^-разложимой, а следовательно, и однородной. Ее вес зависит
только от мощности системы множителей; если эта
мощность равна т, то вес алгебры X есть произведе-
произведение К0-т = тах{т, tt0}. В частности, при т=К0 полу-
получаем однородную алгебру счетного веса, то есть по
существу ту же алгебру Ео.
Подобные произведения нам фактически уже встре-
встречались в главе II в виде алгебр Ег (см. стр. 86).
Каждая б. а. X такого типа представляет собой, как
нетрудно понять, произведение семейства {Ху}у^г ме-
метрически независимых подалгебр, на которые можно
смотреть как на «различные экземпляры» алгебры Ео.
Мы видим, что существенную роль играет только мощ-
мощность множества Г, совпадающая с весом X. Таким
образом, среди алгебр Ет можно найти пример одно-
однородной нормированной алгебры любого наперед задан-
заданного веса. Учитывая теорему 5, можем заключить, что
всякая полная однородная алгебра с вероятностной
мерой может быть с сохранением меры изоморфно ото-
отображена на одну из алгебр ЕГ. Этот факт впервые был
отмечен в работе Д. Магарам [1].
Все предыдущее изложение относилось к случаю не-
непрерывной нормированной алгебры. Такое ограничение
оправдано, поскольку любая алгебра раскладывается
на непрерывную и дискретную компоненты, а для ди-
дискретных алгебр никакой проблемы изоморфизма не
существует: бесконечная дискретная б. а. счетного типа
нормируема и все такие алгебры изоморфны друг другу.
Наличие же сохраняющего меру изоморфизма для ди-
дискретных алгебр есть, если угодно, счастливая случай-
случайность. Для этого нужно, чтобы атомы двух данных
алгебр могли быть приведены во взаимно однозначное
соответствие с сохранением меры,— факт совершенно
276 СТРОЕНИЕ ПОЛНЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР [ГЛ. VU
не алгебраический, связанный только со свойствами
самой меры.
Заключительная теорема этой главы покажет «уни-
«универсальность» однородных нормированных алгебр.
Теорема 8. Пусть X — произвольная полная б. а.
с вероятностной мерой \i, У —однородная полная алгебра
с вероятностной мерой v. Если т (X) ^ т B/), то суще-
существует сохраняющий меру мономорфизм X в У.
Мы лишь наметим основные этапы доказательства
этой почти очевидной теоремы. Вначале рассмотрим
случай, когда алгебра X однородна. В этом случае,
разложив с помощью теоремы 2 алгебру у в произве-
произведение метрически независимых v-простейших подалгебр,
выделим в этом произведении группу «множителей»,
имеющую мощность %(Х). Соответствующее «ча-
«частичное» произведение будет правильной подалгеб-
подалгеброй в У, на которую в силу теорем 3 и 5
алгебра X может быть изоморфно отображена с со-
сохранением меры.
Теперь рассмотрим произвольную нормированную
алгебру X, Она представим а в виде не более чем счет-
счетного соединения попарно дизъюнктных компонент Хщ,
Хи„ ..., каждая из которых либо однородна, либо вы-
вырождена. Веса компонент XUk заключены в отрезке
[2, %{Х)]. Легко построить дизъюнктный набор элемен-
элементов v]y v2, ... алгебры У так, чтобы при каждом
k=l, 2, ... было [iuk = vvk. Каждая из компонент yVk
однородна и
Поэтому существует ^-подалгебра, представляющая
собой образ XUk при некотором сохраняющем меру
отображении ср^, (если х(Х' \=2, то просто ФА;@) = 0,
apk(uk) = vky «Склеивая» отображения q^ так, как это
делалось при доказательстве теоремы 6, получим иско-
искомый мономорфизм.
Теорема 8 дает право рассматривать любую норми-
нормированную алгебру как правильную подалгебру одной
из алгебр вида ЕГ.
§ 2] КЛАССИФИКАЦИЯ НОРМИРОВАННЫХ АЛГЕБР 277
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
1. Пусть дано произвольное семейство пар {j^Tt, [i%}
(р,^ — вероятностная мера на полной б. а. 5С^)- Доказать, что суще-
существует полная б. a. SV с вероятностной мерой ц, представимая
в виде произведения
^-независимых подалгебр Х\, причем для каждого \ пары
и {JT^, щ}' где ц^ = И- U » изоморфны.
1
2. Показать, что если нормированная б. a. SC представима
в виде произведения двух метрически независимых непрерывных
подалгебр 24 % то подалгебра SC (К %) не может быть мино-
рантна в SC-
3. Пусть даны две убывающие последовательности правильных
подалгебр б. а. £0: {3?п}™^> {-%"n}™=0 такие» чт0 ^o = ^o=D
zd %х =>...=> ЯГп => • • • и ^0 = ЯГо => ЗС[ => • • • => ХГп => ...,
причем
f]f]
п=0 п=0
Тогда, если для любого п= 1, 2, ... существует сохраняющий меру
автоморфизм Лп алгебры Ео, переводящий SVт в Х'т (т < /г),
то существует сохраняющий меру автоморфизм А алгебры Ео
такой, что А (Жп) = 3?'п при всех п = 1, 2, ... (А. М. Вершик).
4. Какова бы ни была конечная система правильных подалгебр
Х\, Жь ••., ZVn булевой алгебры Ео, не насыщающих компонент,
существует правильная подалгебра J2T, метрически независи-
независимая с каждой из подалгебр 5Съ <2^2, ••-, f%n (в- Н. Судаков и
И. В. Романовский).
ГЛАВА VIII
ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ
И ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ
В историческом развитии теории вероятностей при-
принято различать два этапа: классический, в течение
которого с успехом изучались главным образом конеч-
конечные алгебры событий, и современный, связанный с пере-
переходом теории вероятностей на аксиоматическую основу.
Исследования математиков первого периода базирова-
базировались на классическом определении вероятности, которое
сводит вычисление вероятности к подсчету числа равно-
возможных случаев. Такой подход в основном оправды-
оправдывал себя, пока речь шла о конечных системах событий;
по мере того как под влиянием практики усиливался
интерес к испытаниям с бесконечным числом исходов,
использование классического определения все более
затруднялось. Даже простые задачи геометрического
характера не поддавались отчетливому анализу; при-
примером может служить вошедший в учебники «парадокс»
Ж. Бертрана. Все это требовало перевода теории
вероятностей на новые рельсы; рубежом, отделяющим
классический период от современного, принято считать
появление знаменитой монографии А. Н. Колмогорова *).
При аксиоматическом построении теории вероятностей
мера на алгебре событий считается заданной a priori;
вопрос о ее происхождении выносится за пределы мате-
математики, в сферу эксперимента. Тем не менее, возможна
разумная внутриматематическая постановка этого во-
вопроса, подсказанная классическим определением вероят-
вероятности. Проанализируем вначале это определение.
Пусть дана конечная система событий S. «Классик»,
желающий определить вероятности этих событий, ищет
в S полную подсистему S' попарно несовместных и
равновероятных «элементарных» событий, из которых
все остальные складывались бы как из кирпичей.
*) А. Н. Колмогоров [1].
ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ И ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ 279
При этом главное для «классика»— обосновать равно-
равновероятность «элементарных» событий. Обычно это де-
делается с помощью ссылки на имеющуюся в условиях
решаемой задачи симметрию/ Так, например, хорошо
перетасованная колода карт может находиться в 52!
состояниях. Результат тасовки зависит только от физи-
физических свойств карт; поскольку они у всех карт совер-
совершенно одинаковы, возможные состояния колоды физи-
физически неотличимы друг от друга. «Равновероятность»
здесь просто слово, обозначающее эту неразличимость.
Итак, в нашем примере имеется множество S' из 52!
равновероятных состояний колоды; Пусть теперь S —ал-
—алгебра событий, происходящих в ходе «чисто азартной»
карточной игры *). Исход любого события в такой игре
полностью предопределяется состоянием колоды. Иначе
говоря, система S' будет минорантна в S и каждое e^S
имеет вид суммы 2 х.
Образовав подсистему S\ «классик» приписывает
«элементарным» событиям одну и ту же вероятность,
равную 1/т, где т — число элементов S'; остальные
вероятности определяются автоматически. Другими сло-
словами, исходная система S должна быть дискретной
алгеброй типа 25, искомая же вероятность совпадает
с уже знакомой нам «основной» мерой на 25. Мы уже
отмечали, что основная мера однозначно характери-
характеризуется свойством инвариантности по отношению ко всем
автоморфизмам б. a. S. При этом достаточно потребо-
потребовать инвариантности относительно автоморфизмов, об-
образующих некоторую эргодическую группу 31. Свойство
эргодичности означает 91-конгруэнтность любых двух
«элементарных» событий из S'. Сама же группа авто-
автоморфизмов отражает физическую симметрию, присут-
присутствующую в условиях задачи. «Классическая вероят-
вероятность», таким образом, может быть охарактеризована
как единственная вероятностная мера на S, инвариант-
инвариантная относительно всех автоморфизмов из некоторой
эргодической группы.
*) Имеется в виду одна из тех игр, в которых роль игроков
сводится к пассивному наблюдению за комбинациями карт.
280 ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ И ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ [ГЛ. VIII
Приведенный выше анализ показывает, что за кули-
кулисами классического определения вероятности всегда
стоит некоторая группа автоморфизмов. Это обстоя-
обстоятельство позволяет распространить классический метод
определения вероятностной меры на случай бесконечной
алгебры, когда не может быть полной системы S' равно-
равновероятных и попарно несовместных образующих, но
существует группа автоморфизмов, отражающая реаль-
реальную симметрию изучаемой физической или иной системы.
Мы покажем, что при некоторых условиях группа авто-
автоморфизмов б. а. X порождает меру на .#*, инвариант-
инвариантную относительно всех входящих в эту группу авто-
автоморфизмов, и что всякая мера возникает таким образом.
Установив условия, при которых группа автомор-
автоморфизмов заданной булевой алгебры порождает меру, мы
попутно получим доказательства некоторых теорем
эргодической теории, относящихся к существованию
инвариантных мер (теоремы Хопфа, Хайана — Какутани).
Мы рассматриваем две родственные зядачи:
I. Пусть 3? — полная б. а.\ % —некоторая группа ее
автоморфизм )в. Каковы необходимые и достаточные
условия для того, чтобы на X существовала ^-инва-
^-инвариантная мера?
II. Та же задача, но при априорном предположении
о нормируемости алгебры X.
Мы увидим, что вторая задача существенно легче,
чем первая.
По поводу результатов этой главы см. Д. А. В л а-
ди миров [3] — [5].
§ 1. Необходимые условия существования
инвариантной меры
Пусть 31 —группа автоморфизмов полной булевой
алгебры X. Элементы х, у будем называть конгруэнт-
конгруэнтными (в случае надобности %-конгруэнтными), если при
некотором Лей будет у = Ах. Будем называть х и у
равносоставленными B1-равносоставленными), если они
могут быть представлены в виде
X = 2 *а> У = ^Уш (I)
§ И НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 281
где ха и уа конгруэнтны при всяком а из множества
индексов (которое может иметь любую мощность). Если
в (I) обе суммы конечны, то говорим, что х и у конечно-
р лвносоставлены. Конгруэнтность будет обозначаться
знаком « или ^, равносоставленность —знаком ~
или ~ конечная равносоставленность — знаками с*., —.
Эти отношения рефлексивны, симметричный транзитив-
ны. Покажем лишь транзитивность отношения ~. Пусть
х ~ У, У ~ z- Это значит, что х = ^ха, у = ^уа, при-
а а
а
чем уа = Ааха. Одновременно # = 2#р> г = 2^, причем
Р Р
у' = А^г*. Положим
Ясно, что
т. е." х ~ z.
Сформулируем теперь несколько условий, характери-
характеризующих множество 51 автоморфизмов и очевидным обра-
образом необходимых для существования 51-инвариант-
ной меры:
(С,). Из того, что хп-+0, всегда следует, что Апхп-+0,
каковы бы ни были Л„^31.
(С2). Из того, что хп^хп+1 (п= 1,2, ...), xndxm (п=Фт),
следует, что xl = x2= ... =0.
(С3). Если хп = 2 хпа, хп-> 0, то всегда \/ AnOLxna-+ 0,
u a
каковы бы ни были Лла^31. (Здесь индекс а пробе-
пробегает произвольное множество, зависящее от п.)
(С4). Несовместимы соотношения х < у, х ~ у.
(С5). Для любого х>0 существует инвариантная
относительно 51 квазимера qp такая, что qp(#)>0.
Условие (С5) можно сформулировать иначе, говоря,
что группа 51 допускает достаточное число инвариант-
инвариантных квазимер.
Эти условия (назовем их условиями типа (С)) говорят
о своего рода равностепенной непрерывности входящих
в группу 51 автоморфизмов (в особенности это отно-
282 ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ И ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ [ГЛ. VIII
сится к условию (Cj)). Они говорят о том, что в 31
«не слишком много» автоморфизмов.
Непосредственно видно, что (С3) сильнее, чем (Cj),
a (Cj), в свою очередь, сильнее, чем (С2). Если в фор-
формулировке условия (С3) заменить последовательность {хп}
произвольным направлением {ху}, то получим еще более
сильное условие, которое мы будем обозначать через (Сз).
Легко доказать, что если алгебра X регулярна, то (С3)
эквивалентно (Сз).
Лемма 1. Условие (С3) влечет условие (С4).
Доказательство. Пусть условие (С4) не выпол-
выполнено. Тогда существуют х, у такие, что х<у и
<х # #а Уа аа а
а а
Положим
Уа = УаЛ Х> Ха = А~аУ^ У а = Уа ^ (У ~ х),
(Ясно, что х'а и дСд попарно дизъюнктны, и употребле-
употребление знака 2 оправдано.) Заметим, что x = ^
а
= ^ Аах'а ~ х'• В силу транзитивности отношения ~
а
имеем у ~ х'. Далее, у — х = ^у" = 2 ^a-va ^ ^/х. По-
a a
ложим теперь у —д: = д:1, л:^ = л:2 и повторим наше рас-
рассуждение, взяв в качестве х элемент х'. Продолжая
этот процесс, придем к индуктивно построенной после-
последовательности элементов {хп} со свойствами:
а) хп dxm (п Ф т),
п
б) хп+1 — 2*Л (п= 1, 2, ...).
/г
Ясно, что jcrt —> 0. Из условия (С3) следует, что 2 #*—►().
&=1
А тогда JCj = 0 и л: = ^/. Лемма доказана.
Замечание 1. Из доказательства леммы видно,
что всякий раз, когда не выполняется (С4), существует
§ 1] НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 283
последовательность со свойствами а) и б). Для каждого
п= 1, 2, ... нетрудно построить элемент х'п^.хп, равно-
составленный с jcj. Можем заключить, что (С4) выте-
вытекает из более слабого, чем (С3), предположения: не
существует бесконечной последовательности попарно
дизъюнктных и попарно равносоставленных ненулевых
элементов. Легко понять, что на деле это предполо-
предположение равносильно условию (С4). Достаточно заметить,
что если гп ~ zm, zn dzm (n ф m) и zn > 0 (n = 1, 2, ...),
oo oo
то элементы w= 2 ^м и v = 2 2tt являются равнососта-
я«=1 м=2
вленными, хотя v<u.
Замечание 2. Пусть алгебра X регулярна. Тогда
условие (С4) вытекает из более слабого условия-.
(Сз) Яз того, ^то л:^ ^ A:tt+1 (гг=1, 2,...), xndxm
(п ф т), следует х{ = х2 = ... =0.
Действительно, если не выполнено (С4), то согласно
замечанию 1 найдется последовательность {хп}™=1 со
свойствами
хп>0 (л = 1, 2, ...),
(Л = 2, ...; fe=l, 2, ...).
Так как 2 #ял t х\ ПРИ каждом /г = 1, 2, ..., то в силу
' k-\ s
регулярности алгебры найдется последовательность {sn},
sn
для которой х{ = (o)-lim 2 Уя*. Существует элемент у > 0
такой, что при п^п0 будет ^j уПк^У- Положим
sn
Xn=%Alk(y Л»яЛ) (л=1, 2, ...).
Видим, что попарно дизъюнктные элементы Jctt конечно-
равносоставлены с г/, а следовательно, и между собой.
284 ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ И ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ [ГЛ. VIII
Это несовместимо с условием (Сз). Итак, в регулярном
случае (Сз) влечет (С4).
Лемма 2. Условие {С$) влечет (Сз) {а в регуляр-
регулярной алгебре — и условие (С4)).
Доказательство. Если условие (Сз) не выпол-
выполнено, то найдется последовательность {л:^} такая, что
jc, ~ х2^ ...; xndxm (пфт)\ хп>0. Обозначив любой
из этих элементов через л:, воспользуемся квазимерой qp,
существование которой гарантируется условием (С5).
Ясно, что ц>(х{) = ц>{х2)=1 ... =ф(лг)>0. В то же время
т
ряд 2ф(*п) должен сходиться, так как Цф(^)<фA)
при всех т. Это противоречие и доказывает лемму.
Лемма 3. Пусть б. а. X нормируема, а группа %
не обладает свойством (С{). Тогда существуют: а) дизъ-
дизъюнктная последовательность {xt} элементов X и б) по-
последовательность {А(} автоморфизмов из 31 такие, что
lim abs Atxt >0
(определение lim abs было дано в главе III, стр. 138).
Доказательство. Если условие (С,) не выпол-
выполнено, то для некоторой последовательности {vn} эле-
элементов алгебры X будет
и одновременно
\iBnvn>vH,
где Вп — некоторые принадлежащие 31 автоморфизмы,
\х — мера в X, г\0— положительная постоянная. Тео-
Теорема III. 15 дает право считать, что
(иначе этого можно добиться переходом к подпосле-
подпоследовательности). Положим
С \/ V{9
C V BnVi (n, m-1, 2,...).
§ 11 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 285
При каждом я=1, 2, ... автоморфизм Вп, как
и всякий автоморфизм, сохраняет (о)-сходимость. По-
Поэтому
• ипт-^>уп (л=1, 2, ...)
(поскольку vt-Q!->0, т. е. V vt -^~> О).
Таким образом,
и можно так подобрать индексы \<т]<т2<...
... <тп< ..., чтобы выполнялось
^«/irn,, > Ло (л= 1, 2, ...)•
Поскольку, очевидно, wttm т^О, то на основании леммы
III. 10 можно считать, что
lim abs ипгПп = у > 0
(как и выше, этого легко добиться, разрежая после-
последовательность).
Образуем последовательность индексов {nt} по пра-
правилу
л,= 1, п2 = тпг . . ., л,+, = mn/> ...
Положим теперь
Ai = Bn.y Xi = Vn.mn (/=1,2,...).
Пусть 1{<12- Тогда п. ^тп , поэтому
2 /,
*i -V- <ип < V и»
12 12 п: ni2 k>mn
v^ AC V vk) = 0.
1 k>mn j
Видим, что последовательность {xt} дизъюнктна. В то же
время, используя основное свойство lim abs (стр. 138),
286 ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ И ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ [ГЛ. VIII
можем заключить, что
lim abs А{х{ = lim abs Bn.vn.mn =
= lim Untm = lim unmtl = У > 0.
Лемма доказана.
Из леммы 3 вытекает важное
Следствие. В случае нормированной алгебры
условие (С4) влечет (С{).
Доказательство. Если (С{) не выполняется, то
существуют последовательности {хь} и {At} со свой-
свойствами, перечисленными в формулировке леммы 3.
Разобьем натуральный ряд на счетное число непере-
непересекающихся бесконечно возрастающих последователь-
последовательностей {isj}™mi (/=li 2, ...)• В силу основного свойства
lim abs при каждом / —1, 2, ... будет
со
V Ai xi .^ lim Ai .xi . = lim А;Х; = и.
sl, sj lsj-^ lsj lsj i i и
Положим для любого /=1, 2, ...
Все элементы х\ попарно дизъюнктны (поскольку
л^<л;.). При этом
оо оо
V ylsJ = MV A,sJxlsl = y (/=1,2,...).
Положим далее
S-1
Su = УнГ hi = уhjлсуч,..., gsj = yisJл с Vyhf
Неравенства
х
показывают, что элементы xsj попарно дизъюнктны.
Кроме того, разумеется, попарно дизъюнктны и
§ 2] СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНВАРИАНТНОЙ МЕРЫ 287
элементы ysj, причем для каждого / = 1, 2, ...
Положив
f. — У. г а — 1 9 ^
s
видим, что Xj~y при любом /=1, 2, ,.. Отсюда сле-
следует, что элементы Xj образуют бесконечную последова-
последовательность попарно дизъюнктных равносоставленных
элементов. Существование такой последовательности
несовместимо (в силу замечания 1) с условием (С4).
Предположение о нормируемости алгебры, присут-
присутствующее в формулировках леммы 3 и ее следствия,
было сделано нами лишь для упрощения доказательств.
На самом деле достаточно потребовать регулярности
алгебры X. Более того, несколько усложнив рассужде-
рассуждения, можно вывести из (С4) не только {Сх), но и (С3).
Мы уже упоминали, что все условия типа (С) не-
необходимы для существования инвариантной меры. Это
легко показать, используя теорему VI. 1. Нетрудно
также понять, что условия (С2) и (С5) необходимы для
существования существенно положительной инвариант-
инвариантной квазимеры.
§ 2. Существование инвариантной меры на вполне
однородной алгебре. Условия нормируемости
В этом параграфе мы установим, что «усиленная»
равностепенная непрерывность автоморфизмов эргоди-
ческой группы, выражаемая условиями (С3) и (С4),
не только необходима, но и достаточна для существо-
существования инвариантной меры.
Одновременно будет дана абстрактная характери-
характеристика «однородных» нормированных алгебр в терминах,
не связанных с понятием меры. В заключение пара-
параграфа приводятся необходимые и достаточные условия
нормируемости полной булевой алгебры.
Лемма 4. Пусть X — полная булева алгебра,
91 — эргодическая группа ее автоморфизмов, удовле-
удовлетворяющая условию (С4). Существует эргодическая
288 ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ И ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ [ГЛ. VIII
группа 21* автоморфизмов алгебры, содержащая 21 и
такая, что а) соотношения
эквивалентны, б) группа 21* по-прежнему обладает
свойством (С4).
Доказательство. Пусть х^у, х,уФ\ (в силу
условия (С4) х и у могут равняться единице лишь
одновременно). Равносоставленность означает, что
Положим х = Сх, у = Су. Из эргодичности вытекает,
что найдется £,^21, для которого
Положим xl = B~lyr Ясно, что л^^л;. Предположим,
что построены
X\i Хс£, •••» ХОу У\, у 2i •••» Уа-> ^ \ С^о»
причем xadxa', Уа^Уа ПРП ифо*' и уа = Ваха, fiae2l.
Мы можем поступить с элементами
У х + 2 х) с ( у v н- 2
Л a < a0 / \ n a < a0'
так же, как ранее с х и у. При этом будут построены
элементы ха^ уао и автоморфизм Ва^У1 такие, что
Этот процесс прервется в тот момент, когда либо
2 ха = х, либо 2 Уа^У- Покажем, что на самом
a < an a < af,
деле эти равенства могут выполняться лишь одновре-
одновременно. Действительно, если, например 2 ха = х, то,
a<a0
расположив все хи х2, ..., хи х2, .. • в одну трансфи-
§ 2] СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНВАРИАНТНОЙ МЕРЫ 289
нитную последовательность {zY}, а операторы Ль Л2, .. .
. .., Ви В2, ... — в последовательность {CY}, видим, что
y\zy = l. Тогда согласно (С4) SC/Y = 1 и, очевидно,
Y Y
2 Уа~У- Аналогично из второго равенства следует
а<а0
первое.
Построим автоморфизм U алгебры Ж9 определив
его формулой ^-,
Uz = %Cy(zAzy). (II)
Корректность этого определения почти очевидна*. Легко
проверить, что слагаемые в сумме попарно дизъюнктны
и что формула (II) действительно определяет авто-
автоморфизм. Имеем, очевидно, y = Ux. Множество всех
автоморфизмов, имеющих подобное строение, мы обо-
обозначим через 31*. Точнее, оператор Т входит в 31* в том
и только в том случае, когда существуют:
а) набор попарно дизъюнктных элементов {щ}, сумма
которых равна единице алгебры;
б) набор автоморфизмов {A%}cz% со свойством
Ам^ A Avu%f = О (| ф £') таких, что Ти = 21 А^ (и А и^
при всех и^Ж. Все такие операторы являются, как
легко убедиться, автоморфизмами. Обратный авто-
автоморфизм определяется формулой u=T~lv = ^iA~l (vAv^),
где v^ = Aai+. Он также содержится в 31*. Ясно, что
31 cz 31*.
Пусть Л, Be 31*, АВ = С, Ау = ^Аг{у Л уг), Вх -
= 2 S^(л: Л Хц). Покажем, что С ^ 31*. Легко проверить,
что Сх = 2 \ВЦ (z^ Л х), где г^ = ^Л В^- При
этом 2^=1, A^B^z^ попарно дизъюнктны.
Итак, С ^31*. Мы видим, что 31* —группа автомор-
автоморфизмов. Эквивалентность соотношений х-уу> х ~ у9
х *% У непосредственно вытекает из определения 31*.
Точно так же очевидно, что 31* эргодична и обла-
обладает свойством (С4). Лемма доказана.
290 ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ И ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ [ГЛ. VIII
Установим одно важное свойство нашей груп-
группы 21*.
Лемма 5. Для любых двух элементов х, у е X
всегда имеет место одно и только одно из трех соот-
соотношений:
1) при некотором Л е 91* Ах < у\
2) при некотором Л е 9Г Ах > у\
3) при некотором Лей* Ах = у.
Доказательство. Достаточно рассмотреть слу-
случай, когда Ху у>0. В силу эргодичности найдется
А{&%*, для которого Ахх А У = У\ > 0. Положим х{ =
= А~х1уу Ясно, что *!<*, У{<^У, х{^у{. Допустим,
что для а < а0 уже построены хи хъ ..., ха, ...; у{9
у2, ..., уа, ...; Л1э А2, ... такие, что ха dxa,9 ya dya,
(а ф а7), ^а = Л~^а, 2^а<^, 2^/а<^/.
а а
Если V = * - 2 *а > 0 и #а0 = # - 2 #а > 0, ТОэ
а < а0 а < а0
используя эргодичность, найдем Ла0, для которого
Уао = АахЛуао>О, и положим затем ^ = Л"'^. Этот
трансфинитный процесс оборвется в тот момент, когда
либо хао = 0, уао Ф 0, либо xaQ Ф 0, ущ = 0, либо хао =
= ра ==0. Это и дает соответственно случаи 1), 2), 3).
Например, при уаф$ х~ 2 Уа<У> или» что то же
самое, Л* < #, Лей*. Отметим, что автоморфизмы Аа
могут быть взяты из 91.
Ввиду условия (С4) и транзитивности отноше-
отношения ~ может встретиться лишь один из трех случаев
1), 2), 3).
Мы будем писать х">у, если при некотором Ле9Г
и*
справедливо неравенство х^Ау. Ясно, что при усло-
условиях (С3) или (С4) всегда либо х^у> либо х^>у, либо*)
31* %*
х <^у. Мы будем выражать это свойство группы, говоря,
я*
что группа (в данном случае группа 91*) сравнивает
любые два элемента.
*) Эти соотношения не исключают друг друга.
§ 2] СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНВАРИАНТНОЙ МЕРЫ 291
Определение. Полная булева алгебра называ-
называется вполне однородной, если существует эргодическая
группа ее автоморфизмов, удовлетворяющая усло-
условию (С3)..
В дальнейшем мы увидим, что вполне однородная
алгебра всегда регулярна. Если предположить регу-
регулярность заранее, то, как можно показать, в приве-
приведенном определении (С3) может быть заменено любым
из условий типа (С). Полная однородность алгебры X
означает наличие в X группы автоморфизмов 21,
с одной стороны, достаточно богатой (эргодической),
но вместе с тем обладающей свойством усиленной
равностепенной непрерывности. Именно,
должен существовать базис окрестностей нуля в (о)-топо-
логии, каждая из которых вместе с элементом х = 2%а
содержит все элементы вида V Ааха> Лае21 (это рав-
носильно условию (Ct); в регулярном случае можно
ограничиться конечными суммами). Легко видеть, что
вполне однородная алгебра может быть либо диск-
дискретной, либо непрерывной. Нетрудно также убедиться
в том, что дискретная алгебра тогда и только тогда
вполне однородна, когда она конечна.
Теорема 1. Вполне однородная алгебра всегда
нормируема. При этом если % — эргодическая группа
автоморфизмов алгебры, удовлетворяющая условию (С3),
то существует инвариантная относительно 21 вероят-
вероятностная мера и притом только одна.
Доказательство. Мы будем опираться на усло-
условие (С4), которое выполнено в силу леммы 1. Основные
леммы 4 и 5 дают нам право считать, что соотноше-
соотношения х ж у п х ~ у равносильны и что группа 21 срав-
сравнивает элементы. Последнее, как мы условились,
означает, что при любых х9 у^Х всегда выполнено
одно из трех соотношений х^>у, х^у, х ^ у. Будем,
наконец, считать алгебру X непрерывной. (Иначе, как
было сказано, алгебра конечна и теорема оказывается
тривиальной.)
Докажем теперь несколько вспомогательных пред-
предложений. Будем говорить, что элемент х е X делим,
292 ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ И ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ [ГЛ. VIII
если он может быть представлен в виде суммы двух
конгруэнтных слагаемых: х = х1+х2, хх «х2. Спра-
Справедливы следующие утверждения.
1°. Если х = 2*а» где все ха делимы, то и х делим.
а
Доказательство. Имеем xa = xfa +x^9 xfa = Aaxf^.
Положим лг, = 2^а» х2=*^Ха. Ясно, что х = х.+х2 и
а а
Х{ ~ Х2.
2°. Всякий элемент х^.Х делим.
Доказательство. В силу 1° достаточно пока-
показать, что делимые элементы образуют минорантное
в X множество*). Возьмем произвольный х>0. Ввиду
непрерывности алгебры его можно представить как
сумму двух ненулевых слагаемых: х = у{-\- у2. Можно
считать, что У\У>у2. Это означает, что у{ = уг' +у",
У" ^ У2- Элемент У~у" + У2 делим, и у^х. Остается
сослаться на теорему III.4.
Из 2° следует существование убывающей последо-
последовательности {х}п™я1 со свойствами:
2) хп хп+\ « xn+i.
Мы будем далее пользоваться обозначением
Хп ~~ Хп+\ "* Хп+\'
3°. Существует последовательность {xn}™mV члены
которой попарно дизъюнктны, и хп«хп при всех п.
Действительно, можно взять хп = А{А2 ... Ап^хп
(п ^2), х1 = х{1 где А( — тот автоморфизм, для которого
\
4°.
xt.
Пусть
i; <*o-
x =
p
k = \
P
1
2й* * "
г^ max
Тогда
2, .... p),
существует
*) Делимость нуля очевидна.
§ 2] СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНВАРИАНТНОЙ МЕРЫ 293
представление
jt^jcW + jc®+...+*<*>, *<««jcm (/=1, 2, ...,s), s = 2ma0-
В самом деле, нетрудно проверить, что в качестве х^1)
могут быть взяты все элементы вида
z = BkAixAh ... Aiqxm
nk<h<h< • • • < ^ < m, О < q < m — лЛ,
fe=l, 2, ..., /?,
где А{ — те же, что и выше.
г s
б°. Пусть х = 2^uki у = ^vki uk^ xn> (fe= 1, 2, ...
n
.... r), o»«x. (*=1, 2, .... s); ог' =
4
«= Zj—~» (У^а^. Тогда х^у. При этом, если о'<о'\
то x и у не могут быть конгруэнтны.
Для доказательства положим m равным наиболь-
наибольшему из чисел п\, ..., я". Используя 4°, можем за-
записать
JC = JCA> + . .. +Х^\
у = у^ + ... + ^>,
л^) ^ л:B) « ... « г/A) ^ ... « z/(v).
Так как \i = 2me't v = 2ma'/, то м-^Л'- Ясно, что х <z/ и
что при а/<а// элементы л: и г/ не конгруэнтны.
Следствие. Если х ^ у, х = 2 uk, У = 2 vk>
,li V
^ у - у 1 = у 1
k-l 2 k *-l 2 *
294 ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ И ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ [ГЛ. VIII
6°. Пусть
\ 2 fe &=i 2 *
Существует представление элемента w = x — у в виде
г
конечной суммы w = 2 20л> где ^^ ~ л:п.. Ярг/ этом
Доказательство. С помощью 4° имеем
М- V
v - У, 2 и- У У г ~ 7 ~? ~ ~7> ~ 7
л jSj -с^, у j£j <с^ л '^ -Cj '-^ <с2 ^" • • • ~ ^1 ^" li-
fe-1 &*=1
где т = тах(я[, м$, ..., м^; п[\ п'2\ ..., д^). Из (С4)
вь1текает, что jx>v- Положим х = ^1 + г2+ ... +^v,
х_= 2v+] + 2v+2 + ... +2Ц. Видим, что х^у. А тогда
x^w^). Второе утверждение вытекает из приведен-
приведенного выше следствия.
7°. Пусть элемент х двумя способами представлен
в виде конечной или бесконечной суммы:
х = 2 ик, x=^vki uk~ х>, vk « х ».
Тогда**)
k 2k k 2Ч
Доказательство. Пусть сформулированное пред-
предложение неверно. В этом случае можно считать, что
/а//. Подберем m так, чтобы выполнялось неравен-
*) Вообще, если a~u + v> b = u' + v', a « b, u^u\ то v ~v'.
Действительно, если, например, v « v" < у', то 6 « а = w -f у « «' +
+ vf < bt что невозможно ввиду условия (С4). Точно так же невоз-
невозможно v ^ v" > v'. А тогда v « у', поскольку группа сравнивает
элементы.
**) В прежних обозначениях о'*=о".
§ 2] СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНВАРИАНТНОЙ МЕРЫ 295
ство 2~т<сг" — а. Если сумма 2 vk содержит конеч-
k
ное число слагаемых, то будем предполагать, что ее
последний член vk таков, что п'^^т. (В противном
случае мы можем представить его в виде t>feo=2^>
i
где vx « v2 ~ ... ~ v * ~ xm.\ Мы можем теперь
считать, что при некотором р0 справедливы неравенства
I 1
Согласно 5° существует ul^ul такой, что щ<хх
Положим х2 = хх — пх. По 6° имеем
~, причем 2;4-
i 2 * 2
Существует элемент й2~и2, п2<х2. Положим теперь
xs = x2 — й2. При многократном повторении этого рас-
рассуждения образуется последовательность (конечная или
бесконечная) щ, п2, ..., для которой
2 Щ ^x]t uk « uki k = 1, 2, ...
Тогда 2^~ S^ = a: и 2u*^^i<*» что противо-
противоречит (С4). Утверждение 7° доказано.
8°. Множество {Ахп}А^л пяв1 2 >#>f минорантно в X.
Действительно, в противном случае, поскольку
группа сравнивает элементы, найдется последователь-
последовательность {Ап}™ж, такая, что х = Л Лпхп > 0. Положив
п
хп = А~пХ, видим, что все хп попарно дизъюнктны и
оо оо
что хх « х2 « ... « л: > 0. А тогда 2 ^« ~ 2 ^2м» что
противоречит условию (С4).
Теперь доказательство теоремы 1 не требует усилий.
Любой элемент х>0 представим в силу 8° в виде
296 ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ И ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ [ГЛ. VIII
суммы х= 2^а, где каждый иа конгруэнтен одному
а
из хп. Эта сумма содержит не более чем счетное число
слагаемых, так как иначе нашлась бы бесконечная
последовательность попарно дизъюнктных и конгруэнт-
конгруэнтных слагаемых, что невозможно (см., например, дока-
доказательство п. 8°). Итак, всегда
*= 2мА, uk « хп (III)
k R
Сумма Zj-t- не зависит (по 7°) от способа предста-
вления а: в виде (III). Обозначим ее величину■ через
■ф(*)- Ясно, что a) i|)(at)>0, б) г|)B#*)=2фЫ (это
вытекает из 7°), в) i|)(l)=l (также по 7°), г) г|)(л:)^
< -ф A) < + оо. Положив дополнительно ф @) = 0, видим,
что нами построена мера. Ее инвариантность очевидна;
единственность же непосредственно вытекает из эрго-
эргодичности группы (глава III, § 2). Теорема доказана.
Следствие. Эргодическая группа, удовлетворяю-
удовлетворяющая условию (С4), удовлетворяет и условию (С3).
Действительно, мы опирались в доказательстве
теоремы на (С4). Но теперь мы видим, что если
*л-*0, хп=%хпа и Уп-V Anaxnai то г|з (*/„)-> 0, по-
а а
скольку г|) (*/„)< 21 Ф{Лпахпа) = г|)(хп), т. е. уп->0. Итак,
а
группа 51 удовлетворяет и условию (С3) — самому силь-
сильному из условий типа (С).
Таким образом, вполне однородная алгебра —это
алгебра, имеющая такую эргодическую группу авто-
автоморфизмов, что неравенство х <у несовместимо с равно-
равносоставленностью элементов х и у.
Результаты предыдущей главы позволяют нам сей-
сейчас дать полное перечисление всех вполне однородных
алгебр. По существу уже доказана
Лемма 6. Бесконечная вполне однородная б. а.
однородна.
Этот факт был установлен в главе VII в ходе дока-
доказательства теоремы VII. 3 (стр. 266).
§ 3] ТЕОРЕМЫ ОБ ИНВАРИАНТНОЙ МЕРЕ 297
Мы доказали, что всякая вполне однородная булева
алгебра нормируема. Если она бесконечна, то, будучи
в силу леммы 6 однородной, она изоморфна одной из
алгебр вида Ег. С другой стороны, любая полная одно-
однородная нормируемая алгебра (в частности, алгебра Ег)
по лемме VII. 7 имеет эргодическую группу сохраняю-
сохраняющих меру автоморфизмов и, следовательно, является
вполне однородной. Таким образом, понятия полной
однородной нормированной алгебры и вполне однород-
однородной алгебры совпадают. Сопоставляя теорему 1 с тео-
теоремами VII. 5 —VII. 8, получаем следующие теоремы,
дающие абстрактную (неметрическую) характеристику
классических алгебр.
Теорема 2. Для того чтобы полная булева алгебра
была изоморфна одной из алгебр ЕГ, необходимо и
достаточно, чтобы она была вполне однородна и беско-
бесконечна.
Теорема 3. Для того чтобы полная булева алгебра
была изоморфна Ео, необходимо и достаточно, чтобы
она была бесконечна, вполне однородна и сепарабельна
в (о)-топологии.
Теорема 4. Для нормируемости полной булевой
алгебры необходимо и достаточно, чтобы она была
соединением не более чем счетного множества вполне
однородных компонент.
Теорема 5. Для нормируемости полной булевой
алгебры необходимо и достаточно, чтобы она была изо-
изоморфна правильной подалгебре вполне однородной
алгебры.
§ 3. Теоремы об инвариантной мере
для нормируемых алгебр
Обратимся ко второй из задач, поставленных в на-
начале главы. Пусть, как и раньше, 51 —группа авто-
автоморфизмов полной б. а. Ж'. Будем дополнительно счи-
считать, что на $* существует некоторая мера v, не пред-
предполагая ее инвариантной. При этом предположении
мы укажем условия, необходимые и достаточные для су-
существования 21-инвариантной меры. Сузив класс рассма-
рассматриваемых алгебр, мы одновременно изменим характер
298 ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ И ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ [ГЛ. VIII
требований, предъявляемых к самой группе автомор-
автоморфизмов. Именно, не предполагая больше группу 21
эргодической, будем считать, что она измерима в смысле
Дж. фон Неймана*). Это означает по определению, что
на б. а. 2Ж существует нетривиальная конечно-аддитив-
конечно-аддитивная квазимера, инвариантная относительно всех сдви-
сдвигов -фя, определенных равенствами
<ЬВ{А) = АВ (Л, Bs= Щ.
Такая квазимера называется иногда банаховым сред-
средним. Класс измеримых групп достаточно широк; он
содержит, в частности, все коммутативные**), разреши-
разрешимые ***) и конечные ****) группы. В частности, измеримы
все циклические группы; именно такие группы, поро-
порожденные степенями одного автоморфизма, составляют
основной предмет изучения в эргодической теории, где
при этом основная алгебра всегда предполагается нор-
нормируемой.
Условимся обозначать интеграл по квазимере, суще-
существование которой мы постулировали, через
\f(A)dA.
Этот интеграл определяется стандартным образом; он
существует для любой ограниченной на группе 21 вещест-
вещественной функции и обладает обычными свойствами поло-
положительного линейного функционала. Для произвольной
заданной на 3? квазимеры р функция, заданная равен-
равенством
m(x)= J p (Ax) dA
представляет собой, как легко видеть, инвариантную
квазимеру на Х> причем тA) = рA). Мы будем всегда
*) Дж. фон Нейман [1].
**) Теорема А. А. Маркова. См. А. А. Марков [1],
Б. 3. By л их [1], стр. 398.
***) См., например, Н. Бурбаки [2], стр. 141.
****) См. Г. М. Аде льсон-Вельский и Ю. А. Шрей-
Дер [1].
§ 31 ТЕОРЕМЫ ОБ ИНВАРИАНТНОЙ МЕРЕ 299
считать, что тA)=1. Попытаемся выяснить условия,
при которых т будет мерой, то есть будет обладать
дополнительно свойствами счетной аддитивности и
существенной положительности.
Теорема 6. Пусть X—регулярная булевая алгебра,
% — измеримая в смысле Дж. фон Неймана группа ее
автоморфизмов. Пусть, далее, существует инвариантная
относительно % существенно положительная квазимера.
Тогда на X существует мера, инвариантная относи-
относительно 91.
Доказательство. По теореме VI.7 на X суще-
существует мера ф. Положим
|<р(Л*)Ж4 (jkgeJT) (IV)
и убедимся, что \i — мера. Из условия теоремы выте-
вытекает, что % обладает свойством (С5), а следовательно
(по лемме 2 и следствию из леммы 3), и свойст-
свойством (С{). Для любого л:>0 имеем inf ф(Лл;)>0. Дейст-
А €=?(
вительно, в противном случае нашлась бы последова-
последовательность {Ап} такая, что ф(Л„л;)—>0, то есть Апх—>0,
откуда в силу (С{) будет х = 0. Поэтому всегда \х(х)>0
при л:>0 и \i существенно положительна. Далее, если
л:^ —> 0, то sup ф (Ахп) —> 0, поскольку выполнено усло-
условие (С,), откуда \ixn-+0. Итак, \х непрерывна. Инва-
Инвариантность \х очевидна, и теорема доказана.
Заметим, что сейчас мы могли не предполагать
нормируемости алгебры.
Теорема 7. Если б. а. X нормируема, а группа %
измерима в смысле Дж. фон Неймана, то любое из
условий (Cj), (C2) необходимо и достаточно для суще-
существования инвариантной меры.
Доказательство. Мы уже отмечали, что все
условия типа (С) должны выполняться при наличии
инвариантной меры, поэтому в доказательстве нуждается
только достаточность. Будем использовать более сла-
слабое условие (С2). Определим, как и выше, инвариант-
инвариантную квазимеру \х равенством (IV), взяв в качестве ф
любую из мер на X.
300 ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ И ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ [ГЛ. УИГ
Пусть у > 0, ту = inf у (Ay). Если ту = 0, то най-
найдутся Вп^% со свойством
Определим ия/я, wttm так же, как на стр. 284, положив
^/х = г/2 = ... = ^/; подберем индексы {тп} так, чтобы
выполнялось
Unmn—->y.
Можно считать, что ипгПп ^у0 > 0 {п = 1, 2, ...). Обра-
Образовав автоморфизмы Л/ и элементы xt так же, как
при доказательстве леммы 3 (стр. 285), положим
xi = xi Л A~i y0 (i = 1, 2, ...). Видим, что эти элементы
отличны от нуля, попарно дизъюнктны и конгруэнтны,
что несовместимо с (С2). Итак, ту > 0. Теперь, оцени-
оценивая интеграл (IV) снизу, видим, что он строго положи-
положителен. Остается сослаться на предыдущую теорему.
Теорема 7 для случая, когда группа 51 состоит из
степеней одного автоморфизма, была доказана А. Хайа-
ном и Ш. Какутани ([1]). Одним из первых в этом
направлении был результат Э. Хопфа ([1]). В наших
терминах теорема Хопфа формулируется так: если
X — нормируемая алгебра, а 51—группа степеней одного
автоморфизма Л, удовлетворяющая условию (С4), то
на X существует инвариантная мера. Эта теорема
также, конечно, содержится в теореме 7. Теорема 1
показывает, что условие эргодичности 51 позволяет от-
отбросить как требование нормируемости алгебры, так и
всякие предположения относительно алгебраических
свойств группы.
ПРИЛОЖЕНИЕ
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
И ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ
1. Общие замечания. Как отмечалось в предисловии,
настоящая книга рассчитана на читателя, знакомого
с основами «наивной» теории множеств. Исчерпыва-
Исчерпывающая сводка необходимых фактов содержится во введе-
введении к монографии К. Куратовского «Топология». Можно,
разумеется, обращаться за справками и к другим
источникам, например, по поводу порядковых чисел и
трансфинитной индукции — к широко известным книгам
П. С. Александрова или И. П. Натансона. Сделаем
несколько замечаний относительно символики и терми-
терминологии. Мы используем следующие символы основных
теоретико-множественных операций и отношений: U, П,
\, е, ф, с=, id. Знаков типа s мы не употребляем,
подразумевая, что символ си не исключает и равенства
множеств. Пустое множество обозначается через Л,
мощность множества £ — через card/?.
Множество всех л:, обладающих некоторым свойст-
свойством, обозначается через {х |...}. Для обозначения функ-
функции *) применяется обычно одна буква: /, g, <р и т. п.
При этом f(x) есть значение функции / в точке х;
скобки иногда опускаем. Наконец, часто для обозна-
обозначения функции, заданной на некотором множестве А,
применяется запись вида {xa}a<=A. В этом случае гово-
говорят о семействе $ = {*а}, причем А называется «множе-
«множеством индексов». Частный случай семейства —простая
последовательность {xn}%L\ (роль А играет натуральный
ряд чисел). Функция, обратная к/, обозначается через/.
Независимо от того, существует обратная функция или
нет, символ 1~г(е) обозначает всегда полный прооб-
*) В этой книге слова «функция», «отображение», «оператор»
рассматриваются как синонимы.
302 приложение
раз множества е, так же как символ f(e) — образ
множества е. Сужение функции f на некоторое е обо-
обозначается через / \е.
Пусть задано непустое семейство множеств {£а}йеА.
Произведением этого семейства называется множество
всех семейств е = {еа}а€=А таких, что еа^ Еа при каж-
каждом аеА. Такое произведение обозначается через JJ Еа.
аеА
В случае, когда А = {1, 2}, получаем произведение двух
множеств ЕХУ Е2, обозначаемое Ех X Е2\ это есть сово-
совокупность всех упорядоченных пар (еи е2), где e{^Ev
е2 ^ Е2. При Е{= Е2 = Е пишут Е2 вместо Е{ X Е2 и гово-
говорят, что имеется «произведение двух экземпляров мно-
множества Е»\ аналогичная терминология применима и
в общем случае, если все Еа (а^А) совпадают.
С каждым значением индекса a0GA связывается
«проектирующая функция» Jtao, которая сопоставляет
произвольному семейству е = {еа}, рассматриваемому как
точка в произведении множеств Еа, элемент яао(е) =
= еао^Епо. Значения таких функций называются «про-
«проекциями», или «координатами», точки с.
2. Частично упорядоченные множества. Частичным
упорядочением, или частичным порядком, в непустом
множестве X называется всякое подмножество Pjr2
удовлетворяющее следующим аксиомам:
I. При любом х^Х справедливо (х, х)^Р.
II. Если (л:, !/)еРи (у, jcjgP, to х = у.
III. Если (jc, y)<=P к (у, z)gP, to {x, z)<=P.
Таким образом, частичное упорядочение — это отно-
отношение между элементами X. Аксиомы I и III выра-
выражают р е ф лек си вн ост ь и тр анзитивность этого
отношения; аксиома II говорит о том, что оно анти-
антисимметрично. Как правило, вместо (х, у)^Р пи-
пишут х^у или у~^х. Вместо знака < применяют и
другие сходные символы, например, <^. Аксиомы I — III
могут быть переписаны так:
I'. х^х при всех х^Х.
IV. Если х<1у и #<*, то х = у.
IIF. Если х^у и y^z9 то ^
ПРИЛОЖЕНИЕ 303
Формула х<у (или у >х) означает по определению,
что х^.у и хФу.
Соотношения вида а<Ь, а<Ь и т. п. называются
неравенствами.
Частично упорядоченное множество — это некоторое
множество X вместе с заданным на нем частичным
порядком Р, то есть пара (X, Р). Чаще всего, однако,
частично упорядоченное множество обозначается той же
буквой X, что и исходное множество; в соответствии
с этим говорят об элементах X как об «элементах
частично упорядоченного множества». Эта обычная
для математики неаккуратность допустима лишь
тогда, когда в X рассматривается только одно упоря-
упорядочение.
Если в данном частично упорядоченном множестве X
любые два элемента сравнимы, то есть при любых х, у^Х
выполняется хотя бы одно из включений (л:, у)^Р9
(у, х)^Р, то говорят, что X линейно упорядочено.
Примером может служить всякое множество вещест-
вещественных чисел с обычным порядком.
Так же как на вещественной прямой, множество
всех х, удовлетворяющих неравенству а^х^Ь, назы-
называется сегментом и обозначается [а, Ь].
Пусть в множестве X задано частичное упорядо-
упорядочение Р. Всякое непустое подмножество XoczX может
быть также наделено частичным порядком; для этого
следует положить
l
Легко проверяется, что аксиомы I —III выполнены.
Про определенный таким образом частичный порядок Ро
говорят, что он индуцирован порядком Р, или инду-
индуцирован извне. Практически это означает, что все нера-
неравенства имеют в Хо тот же смысл, что и в X. Может
случиться, что относительно индуцированного поряд-
порядка Хо будет упорядочено линейно; в этом случае
подмножество Хо называется цепью. Элемент х0 частич-
частично упорядоченного множества X называется максималь-
максимальным, если неравенство х^х0 влечет х = х0.
В математике большую роль играет следующее
предложение:
304 ПРИЛОЖЕНИЕ
Лемма Куратовского — Ц о р н а *). Пусть
частично упорядоченное множество X обладает сле-
следующим свойством:
Для всякой цепи ^qCzS1 найдется такой эле-
элемент y^S*, что х^у при всех ^eJ0,
Тогда, каков бы ни был элемент х^Я*, существует
максимальный элемент х0, удовлетворяющий неравен-
неравенству Хо^ X.
Лемма Куратовского — Цорна часто заменяет в дока-
доказательствах принцип математической индукции, позволяя
обойтись без порядковых чисел. Однако иногда исполь-
использование теоремы Цермело и трансфинитных чисел более
естественно и приводит к цели быстрее (см., например,
доказательство теоремы о строении однородной буле-
булевой алгебры, приведенное в главе VII настоящей
книги).
3. Топологии. Важным примером частично упоря-
упорядоченного множества может служить система тополо-
топологий, заданных на некотором множестве /?. Под топо-
топологией мы, как обычно, понимаем класс т подмножеств
из R, замкнутый относительно операций объединения
и конечного пересечения. Множества, входящие в т,
называются открытыми, их дополнения — замкнутыми.
Система %' всех замкнутых множеств также однозначно
характеризует топологию; ее роль может выполнить
любой класс множеств, содержащий всевозможные
пересечения и конечные объединения своих элементов.
Пара {R, т} есть топологическое пространство, которое
иногда обозначается той же буквой /?. Основные све-
сведения по теории топологических пространств содержатся
в книгах Н. Бурбаки [1], К. Куратовского [2].
Мы остановимся лишь на некоторых вопросах.
Говорят, что топология Tj сильнее, чем топология т2,
если %x~z>%2 (или, что равносильно, т'гэтг). В этом слу-
случае говорят также, что т, мажорирует т2, или что
%2 слабее, чем т,. Каково бы ни было непустое множе-
множество определенных в R топологий, всегда существует
слабейшая топология, мажорирующая все топологии
этого множества; точно так же существует си льне й-
*) К. Куратовский [1], М. Цорн [1].
ПРИЛОЖЕНИЕ 305
шая топология, которую мажорируют все топологии
нашего множества.
Говорят, что х — внутренняя точка множества V
или что V — окрестность точки х, если найдется откры-
открытое множество G такое, что jcgGcI/. Пусть 93 (х) —
совокупность всех окрестностей точки х. Если 930(л:) —
такое множество окрестностей, что для любого V^^(x)
найдется К0^930(л:), VoczV, то говорят, что 230(л;) —
базис окрестностей точки х. Предположим, что
с каждой точкой x^R связан некоторый базис 930(л:)
ее окрестностей; тогда включение G^r означает, что
для любой точки x^Rnpn некотором Ке230(лг) выпол-
выполняется VczG. Можно, таким образом, однозначно вос-
восстановить топологию т, имея в своем распоряжении
базисы окрестностей всех точек пространства. Эта идея
часто используется и для первоначального вве-
введения топологии. Пусть задано семейство {93О (л:)}, где
каждый член 930(лг) есть некоторый класс множеств,
содержащих точку х. Допустим, что выполнены сле-
следующие условия:
I. Если V{, V2^^0(x)t то существует множество
Ке930(х), содержащееся в V, П V2-
II. Для любого множества 1/е930(лг) можно так
указать К/^930(л:), что в каждом классе ^(л/), лг'еУ',
содержится хотя бы одно множество, целиком лежа-
лежащее в V'.
Тогда существует единственная топология т, отно-
относительно которой каждая система 33О(л:) есть базис
окрестностей точки х. Если для каждой точки х суще-
существует счетный базис окрестностей, то говорят, что
в данном пространстве выполнена первая аксиома счет-
счетности. Вторая аксиома счетности требует, чтобы в про-
пространстве существовала такая счетная система © откры-
открытых множеств, что всякое открытое множество есть
объединение множеств из ©.
Топологическое пространство называется отделимым,
или хаусдорфовыму если для любых двух различных
точек х, у найдутся непересекающиеся окрестности
(«аксиома Хаусдорфа»).
Если Ro — подмножество топологического простран-
пространства {/?, т}, то система т0 всех множеств вида Gf\ROi
306 ПРИЛОЖЕНИЕ
G^t, есть некоторая топология в /?0; ее называют
естественной, или индуцированной извне, топологией.
Само множество /?0, наделенное топологией т0, получает
название подпространства исходного топологического
пространства.
Класс множеств ®cit называется покрытием мно-
множества Еу если £с [Jp. Топологическое пространство
ре©
называется компактным, если оно отделимо и всякое
его покрытие содержит конечную часть, также явля-
являющуюся покрытием. Такое пространство называется
также компактом*). Для компактности отделимого про-
пространства необходимо и достаточно, чтобы всякая
центрированная система его замкнутых множеств имела
непустое пересечение (система множеств центрирована,
если всякая ее конечная подсистема имеет непустое
пересечение). Любое замкнутое подмножество компакта
является компактом относительно индуцированной извне
топологии. Отметим, наконец, что компактное простран-
пространство не только отделимо, но и обладает важным свой-
свойством нормальности: любые два замкнутые непересека-
непересекающиеся множества содержатся в открытых множествах,
также не имеющих общих точек.
Пусть даны два топологические пространства: {/?,, х{]
и {/?2» т^}- Отображение f множества R{ в R2 называется
непрерывным относительно топологий т, и т2, если
/4(G)gt, для всякого G^t2. Если топологии зафик-
зафиксированы, то говорят просто о непрерывном отобра-
отображении.
Рассмотрим произвольное семейство {{/?а> та}}ае=А
топологических пространств; пусть R = J\ Ra. В множе-
ае=А
стве R можно рассматривать различные топологии:
наиболее важны те, которые обеспечивают непрерыв-
непрерывность всех отображений ла(а^А). Чаще всего исполь-
используется слабейшая из таких топологий; ее называют
тихоновской. Множество R, наделенное тихоновской
топологией, образует произведение топологических про-
*) Или бикомпактом — исторически первоначальный термин,
введенный основателем теории компактных пространств П. С. Алек-
Александровым.
ПРИЛОЖЕНИЕ 307
странств Ra. Топология такого произведения есть сла-
слабейшая из топологий, в которых открыты все множе-
множества вида jia^G), G^Ta. Пусть семейство {Ra} конечно:
А = {1, 2, ...,т}. Под непрерывной функцией m пере-
переменных мы всегда понимаем произвольную функцию,
определенную на произведении топологических прост-
пространств /?,, /?2, ..., Rm и непрерывную относительно
тихоновской топологии. (Значения функции могут лежать
в любом топологическом пространстве.) В частности,
особенно важны непрерывные функции, переводящие
топологическое пространство R или его «степени»
R2, /?3, ... в /?; в этом случае обычно говорят о непре-
непрерывных операциях в R. Примером может служить
операция умножения или, при «аддитивной» термино-
терминологии, сложения, определенная в некоторой группе Г,
наделенной топологией. Непрерывность этой операции
(рассматриваемой как отображение Г2 в Г) в сочетании
с непрерывностью операции перехода к обратному
элементу означает по определению, что Г — топологиче-
топологическая группа.
В настоящей книге основное внимание уделяется
частично упорядоченным множествам специального вида
(булевым алгебрам), наделенным дополнительно различ-
различными топологиями. Эти топологии должны быть так
или иначе связаны с упорядочением; совместное рас-
рассмотрение порядковых и топологических свойств неиз-
неизменно выдвигается нами на первый план.
ЛИТЕРАТУРА
Александров П. С.
[1] Введение в общую теорию множеств и функций, Гостехиздат,
1948.
Адельсон-Вельский Г. М., Шрейдер Ю. А.
[1] Банахово среднее на группах, УМН 12, № б G8) A957),
131—136.
А н о с о в Д. В,
[1] Геодезические потоки на замкнутых римановых многообра-
многообразиях отрицательной кривизны, труды матем. ин-та АН СССР
им. В. А. Стеклова, ХС, «Наука», 1967.
Антоновский М Я., Болтянский В Г., Сарымса-
к о в Т. А.
[1] Топологические алгебры Буля, Изд АН УзбССР, 1963.
Беркли (Berkeley Е.)
[1] Символическая логика и разумные машины, ИЛ, 1961.
Бернштейн С. Н.
[1] Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей,
Сообщ. Харьковск матем. о-ва, 2 сер. 15 A917), 209—274.
Биркгоф (В irk ho ff G.)
[1] Moore-Smith convergence in general topology, Ann. of Math.
38 A937), 39—56.
[2] Теория структур, ИЛ, 1952.
Буль (Boole G.)
[1] The mathematical analysis of logic, Cambridge, 1847.
[2] An investigation of the laws of thought, London, 1854.
Бур баки (Bourbaki N.)
[1] Общая топология (основные структуры), Физматгиз, 1958.
[2] Топологические векторные пространства, ИЛ, 1959.
Винокуров В. Г.
[1] Представления булевских алгебр и пространства с мерой,
Матем. сб. 56 (98), № 3 A962), 374—391.
[2] О дополнительных представлениях алгебр с мерой, «Теория
вероятностей и матем. статистика», вып. 1, Ташкент, 1964,
126—129.
[3] О бесконечных произведениях пространств Лебега, ДАН
СССР 158 A964), 1247—1249.
Владимиров Д. А.
[1] О полноте полуупорядоченного пространства, УМН 15, № 2
(92) A960), 165—172.
[2] О счетной аддитивности булевой меры, Вестн. ЛГУ 19
A961), 5—15.
[3] О нормируемости булевой алгебры, ДАН СССР 146 A961),
987—989.
ЛИТЕРАТУРА 309
[4] О существовании инвариантных мер на булевых алгебрах,
ДАН СССР 157 A964), 764—766.
[5] Инвариантные меры на булевых алгебрах, Матем. сб.
67 A09), № 3 A965), 440—460.
В у л и х Б. 3.
[1] Введение в теорию полуупорядоченных пространств, Физмат-
гиз, 1961.
[2] Конкретное представление линейных полуупорядоченных про-
пространств, ДАН СССР 58 A947), 733—736
[3] О булевой мере, Уч, зап. Ленингр. пед ин-та 125 A956),
95—114. *
Гайфман (GaifmanH.)
[1] Concerning measures on Boolean algebras, Pacif. J. Math. 14,
№ 1 A964), 61—73.
Гельфанд И. М., Колмогоров А. Н., Яглом А. М.
[1] К общему определению количества информации, ДАН СССР
111 A956), 745—748.
Гливенко В. И.
[1] Основы общей теории структур, Уч. зап. пед. ин-та им.
К. Либкнехта, сер. физ.-матем. вып. 1 A937), 3—33.
[2] Theorie generale des structures, Paris. 1938.
[3] Курс теории вероятностей, ГОНТИ, 1939.
Глушков В. М.
[1] Введение в кибернетику, Изд. АН УССР, 1964.
Го хм а н А. В., Спивак М. А., Житомирский Г. И., Ро-
Розен В. В., Рыжков А. Г., С алий В. Н., Шимельфе-
н и г О. В.
[1] Сборник задач по математической логике и алгебре мно-
множеств, Изд. Саратовск. ун-та, 1965.
Данфорд (Dunford N.) и Шварц (Schwartz J. Т.)
[1] Линейные операторы, т. I, ИЛ, 1962.
[2] Линейные операторы, т. II, «Мир», 1966
Ефимов Б.
[1] Об экстремально-несвязных бикомпактах, ДАН СССР 172
A967), 771—774.
Жегалкин И. И.
[1] О технике вычислений предложений в символической логике,
Матем. сб. 34 A927), 9—28.
Ионсон (J о n s о п В.)
[1] A Boolean algebra without proper automorphisms, Proc. Amer.
Math. Soc. 2 A951), 766—770.
Какутани (Kakutani S.)
[1] Ober die Metrization der topologischen Gruppen, Proc. Imp.
Acad. Japan 12 A936), 82—84.
Калбертсон (Calbertson J.)
[1] Математика и логика цифровых устройств, «Просвещение»,
1965.
Канторович Л. В.
[1] Sur les proprittes des espaces semiordonnes lineaires, C. R.
Acad. Sci. 202 A936), 813—816.
310 ЛИТЕРАТУРА
Канторович Л. В., Вулих Б. 3., Пинскер А. Г.
[1] Функциональный анализ в полуупорядоченных простран-
пространствах, Гостехиздат, 1950.
К а п п о с (К а р р о s D.)
[1] Strukturtheorie der Wahrscheinlichkeitsfelder und -raume, Ber-
Berlin — Gottingen — Heidelberg, I960.-
Кзратеодори (Caratheodory C.)
[1] Mass und Integral und ihre Algebraisierung, Basel, 1956.
[2] Die Homomorphieen von Somen, Ann. Scuo. Norm. Sup. Pisa
8 A939), 105—130.
Катетов (К a t e t о v~M.)
[1] Remarks on Boolean algebras, Coll. Math. II A951), 229—235.
КеллиДж. (KeileyJ.L)
[1] Measures on Boolean algebras, Pacific J. Math. 9 A959),
1165—1177.
Кемени (Kemeny J.), Снелл (Snell J.), Томпсон
(Thompson J.)
[1] Введение в конечную математику, «Мир», 1965.
Киселева Т. Г.
[1] Частично упорядоченные множества, наделенные равномер-
равномерной структурой, Вестн ЛГУ 13 A967), 51—57.
Колмогоров А. Н.
[1] Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Berlin, 1933
(русский перевод Основные понятия теории вероятностей,
ОНТИ, 1936).
[2] Algebres de Boole metriques completes, VI. Zjazd Matem.
Polskich, 1948. 22—30.
[3] Строение полных метрических алгебр Буля, УМН 3, № 1
B3) A948), 212.
Куратовский (Kuratowski К.)
[1] Une methode d'elimination des nombres transfinis des raison-
nements mathematiques. Fund. Math. 5 A922), 76—108.
[2] Топология, т. 1, «Мир», 1966
Курош А. Г.
[1] Лекции по общей алгебре, Физматгиз, 1962.
Л op x (Lorch E. R.)
[1] Functions of self-adjont transformations in Hilbert space,
Acta Sci. Math. Szeged 7 A934), 136—146.
Магарам (Maharam D.)
[1] On homogeneous measure algebras, Proc. Nat. Acad. Sci. 28
A942), 108—111.
[2] An algebraic characterization of measure algebras, Ann.
Math. 48 A947), 154-167.
[3] Automorphisms of product of measure spaces, Proc. Amer.
Math. Soc. 9 A958), 702—707.
Макки (Mackey G.)
[11 Лекции по математическим основам квантовой механики,
«Мир», 1965.
Макнил (MacNeille Н. М.)
[1] Partially ordered sets, Trans. Amer. Math. Soc. 42 A937),
416—460.
ЛИТЕРАТУРА 311
Марков А. А.
[1] О существовании интегрального инварианта, ДАН СССР 17
A937), 455—458.
Марчевский (Marczewski Е.), Сикорский (S i k о г-
ski R.)
[1] On isomorphism types of measure algebras, Fund. Math. 38
A951), 92—98.
Маттес (Mattes K.)
[1] Uber eine Shar von Regularitatsbedingungen fur Verbande,
Math. Nachr. 22 A960), 93—128.
[2] Uber die Ausdehnung von i?-Homomorphismen Boolescher
Algebren, (I), Z Math. Logik u. Grundl. Math. 6 A960),
97—105; (II), там же 7 A961), 16—19.
Моисил (Moisil G.)
[1] Алгебраическая теория дискретных автоматических уст-
устройств, ИЛ, 1963.
Мор (М о о г е Е. Н.) и С м и т (S m i t h H. L.)
[1] A general theory of limits, Amer. J. Math. 44 A922),
102—121.
Нейман (von Neumann J.)
[1] Zur allgemeiner Theorie des MaBes, Fund. Math. 13 A929),
73—116.
Огасавара (О g a s a w а г а Т.)
[1] Theory of vector lattices, J. Sci Hirosirna Univ., Ser. A 12
A942), 37—100; 13 A944), 41—161.
Ope (Ore O.)
[1] On the foundation of abstract algebra, I, Ann. of Math. 36
A935), 406—437.
Пинскер А. Г.
[1] О расширении полуупорядоченных пространств, ДАН СССР
21 A938), б—10
[2] О некоторых свойствах расширенных /^-пространств, ДАН
СССР 22 A939), 220—224.
[3] Структуры, эквивалентные /(-пространствам, ДАН СССР 99
A954), 503—505.
[4] Структурная характеризация функциональных пространств,
УМН 12, № 1 G3) A957), 226—229.
Плеснер А. И
[1] Спектральная теория линейных операторов, «Наука», 1965.
Плеснер А. И. и Рохлин В. А.
[1] Спектральная теория линейных операторов, II, УМН 1, № 1
A1) A946), 71 — 191.
Р и rep (R i e g e r L.)
[11 Some Remarks on Automorphisms of Boolean algebras, Fund.
Math. 38 A951), 209—216.
P и с с (R i e s z F.), Секефальв и-Н а д ь (S e k e f a 1 v i-N a g у В.)
[1] Лекции по функциональному анализу, ИЛ, 1954.
Рохлин В. А.
[1] Об основных понятиях теории меры, Матем. сб. 25 F7)
A949), 107—150,
312 ЛИТЕРАТУРА
[2] Метрическая классификация измеримых функций, УМН 12,
№ 2 G4) A957), 169—174.
[3] Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариант-
инвариантной мерой, УМН 22, № 5 C7) A967), 3—56.
Савельев Л. Я.
[1] О непрерывных мерах, ДАН СССР 160 A965), 44—45.
[2] Продолжение мер по непрерывности, Сиб. матем. ж. 5
A964), 639—650.
[3] О порядковых топологиях и непрерывных мерах, Сиб.
матем ж. 6 A965), 1357—1364.
Сачестон (Sucheston L.)
[1] On existence of finite invariant measures, Math. Z. 86 A964).
327—336.
Сикорский (Sikorski R.)
[1] Boolean algebras, Berlin — Gottingen— Heidelberg — New
York, 1964.
Соболев В. И.
[1] О полуупорядоченной мере множеств, измеримых функциях
и некоторых абстрактных интегралах, ДАН СССР 91 A953),
23—26.
Стоун (Stone M.)
[1] The theory of representations for Boolean algebras, Trans.
Amer. Math. Soc. 41 A936), 37—111.
[2] Applications of the theory of Boolean rings to general topo-
topology, Trans. Amer. Math. Soc 41 A937), 375—481.
[3] Algebraic characterizations of special Boolean rings, Fund.
Math. 29 A937), 223—303.
Суконкин В. И.
[1] Один пример из теории множеств, Сиб. матем. ж. 7 A966),
1435—1436.
Фихтенгольц Г, М. и Канторович Л. В.
[1] Sur les operations Hneaires dans l'espace des fonctions bor-
nees, Studia Math. 5 A935), 69—98.
Флойд (Floyd E.)
[1] Boolean algebras with pathological order topologies, Pacific
J. Math. 5 A955), 687—689.
Фрейденталь (Freudenthal H.)
[1] Teilweise geordnete Moduln, Proc. Acad. Amsterdam 39
A936), 641—651.
Хайан (Hajian А.) и Ка кутан и (Kakutani S.)
[1] Weakly wandering sets and invariant measures, Trans. Amer.
Math. Soc. 110 A964), 136—151.
Халмош (Halmos P.)
[1] Лекции по эргодической теории, ИЛ, 1959.
[2] Lectures on Boolean algebras, Toronto — New York — London,
1963.
Халмош (Halmos P.) и фон Нейман (von Neu-
Neumann J.)
[1] Operator methods in classical mechanics, II, Ann. of Math. 43
A942), 332—350.
ЛИТЕРАТУРА 313
XaycAop(j)(HausdorffF.)
[1] Uber zwei Satze von G. Fichtenholz und Kantorovitch, Studia
Math. 6 A936), 18—19.
Ход ж (Hodges j. L) и Хорн (Horn A.)
[1] On Maharam's conditions for measure, Trans. Amer. Math.
* Soc. 64 A948), 594—595.
Хопф (Hopf E.)
[1] Theory of measure and invariant integrals, Trans. Amer.
Math. Soc. 34 A932), 373—393.
Хорн (Horn А.), и Тарский (Tarski A.)
[1] Measures in Boolean algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 64
A948), 467—497.
Цорн (Zorn M.)
[1] A remark on method in transfinite algebra, Bull. Amer. Math.
Soc. 41 A935), 667—670.
Шатуновский С. О.
[1] Введение в анализ, Одесса, 1923.
Шеффер (Shef fer Н. М.)
[1] A set of five independent postulates for Boolean algebras with
application to logical constants, Trans Amer. Math. Soc. 14
A913), 481—488.
Юдин А. И.
[1] О расширении линейных полуупорядоченных пространств,
Уч. зап. ЛГУ 12 A941), 57—61.
Яблонский С. В., Гаврилов Г. П., Кудрявцев В. Б.
[1] Функции алгебры логики и классы Поста, «Наука», 1966.
Я г л о м И. М.
[1] Алгебра Буля, Сб. «О некоторых вопросах современной мате-
математики и кибернетики», «Просвещение», 1965, 230—324.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм 61, 115, 280
— эргодический 62
Алгебра множеств 30—33, 35, 39,
43
Атом 116
Булева алгебра (б. а.) 19
— — вполне однородная 291
вырожденная 19
— — дискретная (атомическая)
116
— — компонент 51
— — лебеговская 85
непрерывная 117
— — нормированная 58, 202—
208
— — однородная 262
— — полная 106
— — разложимая 263
— — регулярная 223
— — регулярных открытых мно-
множеств 53—55, 105, 146, 147,
152, 224
— — свободная 99
— — сепарабельная 211, 258,
С69, 274
счетного типа 56, 57
— — ц-разложимая 263
— — сг-полная 106
Булево кольцо 75
Дизъюнктное разложение 50
Дизъюнктность элементов 18
Дистрибутивность 16, 17
— б. а. 23, 24
— слабая счетная 230, 234
Дополнение дизъюнктное множе-
множества 46
— элемента 18
Идеал 35, 46, 47
— главный 37, 46—49
— максимальный 37
—, порожденный данным множе-
множеством 36
— собственный 36
Изоморфизм 10, 81
— дуальный 10
Изотонность 10, 13, 81
Квазимера 55
—■ существенно положительная
56
Компонента 47
— 5Т-инвариантная 62
— /(-пространства 180, 181
— j£T-однородная 257
Компоненты положительности и
отрицательности вполне адди-
аддитивной функции 158
Гомоморфизм 80
— естественный 81
— непрерывный 160
— сг-непрерывный 160
Границы множеств 11
— точные (грани) 11
Лемма Куратовского — Цорна
303
Математическое ожидание 201
Мера булева 92, 193
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
315
Мера вероятностная 58
— инвариантная 63, 115, 116,
291
— основная 58, 63
— спектральная 193, 234
— условная 221
— Й-инвариантная 63, 280
Метрика в б. а. 64, 203
Метрическая структура, ассоции-
ассоциированная с измеримым про-
пространством 86, 199, 207, 208,
211, 220, 228, 274
Множество линейно упорядочен-
упорядоченное 303
— минорантное 111
— направленное 119
— открытое регулярное 53
— открыто-замкнутое 39
— полное в б. а. 46
— частично упорядоченное 303
— d-правильное 113
Мономорфизм 81
Направление 119
Независимость 95
— метрическая 103
Подалгебра 65
— борелевская 109
— вырожденная 65
—, насыщающая компоненту
243
—, порожденная данным множе-
множеством 67
— правильная 108
— простейшая 65, 67
— ц-простейшая 256
— ст-правильная 108
Полином 70
— элементарный 70
Полнота б. а. 106, 107
Последовательность 119
— обобщенная 119
— простая 301
Принцип двойственности 14
— диагонали 207
— исчерпывания 112
Продолжение гомоморфизмов
169—178
Разбиение элемента б. а. 67
Разложение единицы 190
Разность элементов б. а. 22
Сегмент 133, 303
Сепарабельность б. а. 211
Симметрическая разность 21
Система образующих 67
След множества 50
— подалгебры в компоненте 242
Случайная величина 201
Соединение булевых алгебр 51
Спектральное семейство 189
Спектральные функции 189
— — почти совпадающие 189
Структура 16
-— векторная (/(-линеал) 179
Сумма элементов б. а. 22
Теорема Гливенко—Стоуна
151
— Лебега — Каратеодори 166,
167
— о нормальных ядрах 114
— Пинскера 225, 226
— Сикорского 87—90
— Стоуна 40—44
— Стоуна — Огасавара 110
— Хайана — Какутани 299, 300
Топологии порядка 124
Топологическая сходимость
124
Топология 304
— монотонная 142
— равномерная 141
Фактор-алгебра' 80
Фильтр 39
Функция аддитивная 55, 157
— вполне аддитивная 57, 157
— распределения 201, 212
— счетно-аддитивная 58, 157
Частичное упорядочение 302
Число Келли 227
316
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Элементы делимые 292
— конгруэнтные 280
— положительности и отрица-
отрицательности вполне аддитивной
функции 15Я
— равносоставленные 280
— Щ-конгруэнтные 63, 280
Эпиморфизм 81
Ядро гомоморфизма 81
— нормальное 114
/(-пространство 180
— расширенное 188
( о) -сходимость 124
(о)-топология 124, 135
(os) -топология 124, 135
«-подалгебра 66
^-независимость 103
сг-алгебра множеств 107
а-идеал 107
сг-полнота б. а. 106, 107
УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Ниже для ряда основных обозначений указываются страницы
книги, где впервые вводятся соответствующие понятия.
Es—совокупность верхних границ множества Е 11
£*—совокупность нижних границ множества Е 11
Х\ V х2 —верхняя грань элементов хи х2 И
Х\ А х2 —нижняя грань элементов хи х2 11
О—нуль частично упорядоченного множества 17
1 — единица частично упорядоченного множества 17
Е+ — совокупность ненулевых элементов мно-
множества Е 17
х dy—дизъюнктность элементов х, у 18
Сх—дополнение элемента в булевой алгебре 19
\х — у\, х + 2у — симметрическая разность элементов буле-
булевой алгебры 21
Х\ + х2—сумма элементов булевой алгебры 22
у — х — разность элементов булевой алгебры 22
2^—алгебра всех подмножеств множества Q 25
SCa — главный идеал булевой алгебры SC 36, 37
£Х О \SC\ — реализующий (стоуновский) компакт булевой
алгебры SC 40
Е — дизъюнктное дополнение множества Е 45, 46
Ри —оператор проектирования 49, 50
[Е]и — след множества Е 50
SC — булева алгебра компонент алгебры SC 51
Go — алгебра регулярных открытых множеств
на @, 1) . 55
S£ (Е) — подалгебра, порожденная множеством Е 67
SCIU Ж — фактор-алгебра 77, 80
Ео — метрическая структура (алгебра mod 0) из-
измеримых по Лебегу множеств отрезка [0, 1] 85
Eq — метрическая структура измеримых но Ле-
Лебегу множеств /г-мерного единичного куба 85
318 УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
■р -р
£д, Е — метрическая структура, ассоциированная с
произвольным произведением лебеговских
мер ' 85
$tia ь\—алгебра, порожденная системой всех про-
промежутков, содержащихся в (а,Ь) 92
SC (Е) — правильная подалгебра, порожденная мно-
множеством Е 108
Л° — нормальное ядро множества Л 114
ха _J^-> х, (o)-lim xa = х — (о)-предел 124
,\im ха—нижний и верхний пределы 125
а
at*. ^a^*—монотонная сходимость 126
lim abs xn — общее значение верхних пределов всевоз-
всевозможных подпоследовательностей последова-
последовательности [хп] 138
{ек} — спектральное семейство 189
f — разложение единицы 190
11 У — произведение подалгебр класса $ 240, 241
У е= $ #
card Е — мощность множества Е 301
Денис Артемьевич Владимиров
БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
М., 1969 г., 320 стр. с илл.
Редакторы А. А. Корбут, В. В. Донченко
Техн. редактор Л. А, Пыжова
Корректор Т. С. Вайсберг
Сдано в набор 26/Х 1968 г» Подписано к печати
18/П 1969 г. Бумага 84Х108732. Физ. печ. л. 10.
Условн. печ. л, 16,80. Уч.-изд. л. 15,18.
Тираж 15000 экз. ТО2657. Цена книги 1 р. 16 к.
Заказ № 1489,
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Отпечатано в 1-й типографии издательства
«Наука» с матриц типографии № 2, им. Ев-
Евгении Соколовой. Заказ № 191. Ленинград,
В-34, 9-я линия, д. 12.