Теги: общая механика   механика твердых и жидких тел   математика   механика  

ISBN: 5-02-014002-3

Похожие

Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложений математики

Вибрационная механика

Английский язык для математиков

Развитие многозначной логики

Текст 
                    - т*-пг - •%


И. И. БЛЕХМАН, А. Д. МЫШКИС, Я. Г. ПАНОВКО
МЕХАНИКА
И ПРИКЛАДНАЯ
МАТЕМАТИКА
ЛОГИКА
И ОСОБЕННОСТИ
ПРИЛОЖЕНИЙ
МАТЕМАТИКИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
199 0


ББК 22.21
Б 68
УДК 531+51-72
Блехман И. И.* Мышкис А. Д.» Гановко Я. Г. Механика и
прикладная математика: Логика и особенно ;ти приложений математики.—
2-е изд., испр. и доп. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.—360 с—
ISBN 5-02-014002-3.
Рассматриваются основные особенности процесса применения математики
к решению прикладных задач, главным образом из области механики, а
также типичные способы рассуждения в этом процессе. Обсуждаются
различия между подходами в чистой и прикладной математике, а также
специфическая логика прикладной математики. Особое внимание уделяется
вопросам, возникающим при математическом формулировании задач механики
и выборе методов их исследования. Рассматриваются характерные ошибки
в прикладных математических исследованиях, обсуждаются проблемы
преподавания математики и механических дисциплин будущим специалистам
в области механики и техники.
Для студентов старших курсов технических факультетов с усиленной
математической подготовкой и молодых специалистов, занимающихся
решением сложных механических задач. Может быть полезна вузовским
преподавателям механики и математики, а также всем тем, кто интересуется
методологией приложений математики.
Табл. 2. Ил. 28. Библиогр. 550 назв.
Рецензент академик Н. Н. Моисеев
1603010000—133
053(02)-90 ° V © «Наука». Физматлит, 1983;
с изменениями, 1990
ISBN 5-02-014002-3


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 5
Из предисловия к первому изданию ............... . 5
Введение ............................ II
Глава 1. Логика прикладной математики . 18
§ 1. Прикладное и теоретическое направления в развитии
математики ......................... 18
I. Два основных источника математики; прикладное и
теоретическое направления (18). 2. Начальный этап развития
математики (19). 3. Научное Возрождение (21). 4. Период
доминирования теоретико-множественного направления (22).
5. Взгляд на современность (26). 6. Что включать в матема- j
тику? (31). 7. Точки зрения на прикладную математику (33).
§ 2. О различии некоторых подходов в чистой и прикладной
математике ................ . 39
1. Предварительные замечания (39). 2. «Существование» в
чистой и прикладной математике (40). 3. Проблема
бесконечности (44). 4. Прикладная математика и число (46). 5.
Замечание о невозможных событиях (52)., 6. Скорость
сходимости приближенного метода (54). 7. О понятии функции
(55). 8. Устойчивость относительно изменения параметров
(56). 9. Размытые понятия (61). 10. О применении
содержательных понятий и рассуждений (63). П. О различии
тенденций в процессе решения (65). 12. О математической
строгости (67). 13. О точках зрения на фундаментальность
явлений и открытий (70). 14. Примеры (72). 15. Еще цитаты (81).
§ 3. Рациональные рассуждения ................ 85
I. Понятие рационального рассуждения. Примеры
рациональных рассуждений и их особенности (85). 2. Типы рацио»
нальных рассуждений (93). 3. Дедуктивные элементы
рациональных рассуждений (113). 4. Степень достоверности и
вероятность (115). 5. Контроль и повышение правдоподобия (118).
6. О практической достоверности (122). 7. Рациональные
рассуждения с позиций оптимальности (124).
Глава 2. Этапы прикладного математического исследования при
решении задач механики . .......... „ . . 127
§ 4. Математическое формулирование задачи ......... 127
1. Предварительные замечания (127). 2. О понятии модели в
прикладном исследовании (128). 3. Требование адекватности
(136). 4. Влияние неучитываемых факторов (141). 5.
Требования простоты и оптимальности (144). 6.
Феноменологические и полуэмпирические законы (149). 7. Определяющие
параметры и число степеней свободы (151). 8. Иерархия
переменных (158). 9. О механике систем со скрытыми
движениями (171). 10. Пример: иерархия переменных в задачах о
действии вибрации в нелинейных системах. Вибрационная


4
ОГЛАВЛЕНИЕ
механика как механика систем со скрытыми быстрыми
движениями (174). И. О контроле модели (188). 12. Еще о
моделировании в механике (193).
§ 5. Выбор метода исследования 197
1. Внешнее и внутреннее правдоподобие (197). 2. Замечание
о взаимодействии прикладника и математика (203). 3. О роли
прикидок (205). 4. Выбор степени точности метода (207). 5.
Вариационные и экстремальные подходы (210). 6. Дискретное и
непрерывное (211). 7. Роль гипотезы о линейности (214).
8. Детерминированность и случайность (217). 9.
Устойчивость (223). 10. Введение малого параметра (227). 11.
Интерполяция и экстраполяция (233). 12. Еще о дедукции (238).
13. Роль примеров (241). 14. Уточнения (243). 15. ЭВМ (244).
16. Добавление. Волевые действия (257).
§ 6. Анализ и интерпретация математических результатов . . . 259
1. Предварительные замечания (259). 2. Общая апробация
исследования (259). 3. Поиски неожиданностей (263). 4.
Представление результатов (264).
Глава 3. Некоторые субъективные проблемы 268
§ 7. Ошибки . 268
1. Психологические барьеры и инерционность мышления (268).
2. Ошибки в выборе модели (271). 3. Ошибки в выборе метода
исследования (279). 4. Математические ошибки (28!).
§ 8. Проблемы подготовки специалистов 285
1. Математическое образование инженера (285). 2. Воспитание
математической интуиции (290). 3. Методы рассуждения (292).
4. Отыскание приемлемых решений (297). 5. О формальных
выкладках и упражнениях (299). 6. О программе курса
математики для инженеров (301). 7. О преподавании механики (304).
8. О преподавании математики в средней школе (310). 9. О
подготовке специалистов по прикладной математике (314).
10. О публикациях (319).
Примечания . . .
Список литературы
Именной указатель
321
329
351


ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
При подготовке настоящего издания нами было добавлено
значительное количество нового материала, в известной мере
уточняющего или расширяющего материал предыдущего издания. В ряде
случаев такие добавления оказались необходимыми также и
потому, что взгляды авторов на существо изложенных проблем в свою
очередь подверглись некоторой эволюции. Значительно расширен
список цитированной литературы.
Ленинград—Москва
июнь 1988 г.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящей книге речь пойдет об основных чертах прикладной
математики *) и о типичных для нее способах рассуждений и
методах исследования. Эти вопросы особенно важны в наше время, когда
роль приложений математики резко усилилась и заметно возрос
интерес к общей методике и методологии этих приложений.
Во многих статьях и книгах, а также в материалах дискуссий
опубликовано немало содержательных соображений, относящихся
к названной теме; к этому нужно добавить многие интересные и
острые устные высказывания, которые, оставаясь
незафиксированными на бумаге, образуют некий «фольклорный» фонд. Однако вся
совокупность этих мыслей и соображений в целом до сих пор не была
должным образом суммирована и упорядочена.
Предлагаемая вниманию читателей книга представляет собой
попытку систематического обсуждения проблем общей методики и
методологии приложений математики, главным образом — к
механике. Конечно, опытный специалист, регулярно применяющий
математику в своей области, неизбежно вырабатывает
соответствующие концепции. Однако молодые специалисты, сталкиваясь с
приложениями математики, вынуждены самостоятельно улавливать
традиции и заново определять для себя общие принципы, опираясь
*) В п. 1.7 мы уточним, в каком смысле будем применять в этой книге
термин «прикладная математика», а пока читатель может считать, что мы
пользуемся этим термином в том же смысле, что и он. Выражение «п. 1.7»
обозначает п. 7 § 1.


b
ПРЕДИСЛОВИЕ
лишь на отрывочные частные советы и на свой, как правило,
небогатый опыт. Заметив разительное несоответствие глубины
разработки самой математики и вопросов общей методики ее приложений,
начинающий специалист может даже заключить, что эта методика
вообще находится на донаучном уровне.
В значительной мере книга адресована именно таким
начинающим специалистам — студентам старших курсов и аспирантам
технических и естественно-научных факультетов с усиленной
математической подготовкой, особенно специализирующимся по механике
и прикладной математике, а также молодым
инженерам-исследователям, применяющим математику в своей работе. Думается, что
она может оказаться полезной и молодым математикам — как
сталкивающимся с приложениями, так и тем, которые, занимаясь
абстрактными проблемами, считают себя изолированными от
прикладных задач.
Может быть, в еще большей степени книга заинтересует
«товарищей по оружию»; надеемся, что опытным исследователям, а также
преподавателям математики и механики она даст повод еще раз
обдумать свои взгляды на прикладной аспект математики и сопоставить
их с представлениями других специалистов.
Одновременный расчет на различные категории читателей
естественно привел к некоторой неоднородности изложения, и пусть не
посетуют на нас те из опытных специалистов, которым отдельные места
изложения покажутся слишком элементарными или банальными;
лучше недооценить компетенцию читателя, чем переоценить ее —
в конце концов, это в его же интересах.
Возможно, что некоторые читатели не согласятся с отдельными
частностями, но надеемся, что и эти читатели сочтут приемлемыми
основное содержание и основную направленность книги.
Разумеется, мы далеки от мысли, что по каждому из затронутых вопросов
нами сказано последнее слово, и поэтому не только предвидим
продолжение дискуссий, но и искренне рассчитываем на него. Нам
близка позиция, сформулированная в заключительном абзаце книги
Р. Хемминга [332]: «...большинство предыдущих рекомендаций и
замечаний представляют личное мнение, выработанное автором...»
и «...они не всегда применимы. В их защиту можно сказать, что они
опираются столько же на здравый смысл, сколько на опыт. Если они
читателю не понравятся, то пусть он... изложит свои собственные
соображения». Мы тоже говорим «пусть», дать новый стимул для
дискуссий — это одна из задач, которую ставили перед собой
авторы.
В 1967 г. была опубликована наша статья [43], посвященная
тому же кругу вопросов. Она послужила основой для
содержательной дискуссии о математической строгости в исследованиях по
механике, проведенной на III Всесоюзном съезде по теоретической и
прикладной механике [83]. Статья [43] была переведена и
обсуждалась в ГДР; см. [498, 499, 541].


ПРЕДИСЛОВИЕ
7
Основные положения статьи [43] были значительно развиты,
уточнены и проиллюстрированы примерами в нашей книге [44].
Эти примеры относились почти исключительно к механике —
наиболее близкой нам области приложений математики.
Тяготением авторов к механике (говоря точнее —
ограниченностью области их компетентности) объясняется и то, что в книге
[44] задачи описания процессов и явлений обсуждались
гораздо больше, чем задачи принятия решений, а относительно
скромное место, уделенное роли случайных факторов и вопросам
применения ЭВМ, оказалось непропорциональным их подлинному
значению в современной прикладной математике.
Быстрота, с которой разошлась книга [44], подтвердила
актуальность рассмотренных в ней проблем, и, как мы склонны думать,
правильность основной позиции авторов. Отдельные положения
книги обсуждались в ряде научных коллективов; мы также
получили много частных откликов от специалистов, работающих в
областях математики, механики, технических наук и философии.
Нам приятно отметить, что критические замечания касались
неосновных концепций книги, а лишь трактовки некоторых
специальных вопросов либо деталей или стиля изложения. Несколько
переработанное издание книги [44] недавно вышло в ГДР на немецком
языке.
К настоящему изданию весь текст был вновь пересмотрен и
уточнен (включая название книги), ряд мест написан заново, кое-что
опущено, значительно пополнена библиография. В итоге можно
говорить о превращении [44] в новую книгу, хотя основные идеи книги
[44], а также ее отдельные места остались неизменными. Последовав
советам коллег, мы опустили имевшиеся в книге [44] эмоциональные
(и, конечно, субъективные) оценки некоторых из упомянутых
в ней книг и статей; это, однако, не означает, что наше
положительное и даже восторженное отношение к этим публикациям в чем-либо
поколебалось.
Характерные черты прикладной математики легко выявить,
сравнивая ее с чистой. Поэтому глава 1 начинается с очень краткого
обзора истории и современного состояния математики и с обсуждения
точек зрения на математику вообще и на прикладную в особенности.
Подробно разбирается различие подходов к ряду основных
математических понятий, таких, например, как существование или
бесконечность в чистой и прикладной математике. Эти различия,
возникшие под прямым воздействием практических нужд, утвердили
своеобразную логику прикладной математики — логику
рациональных рассуждений *), обсуждением которой заканчивается глава 1.
Два основных тезиса, сформулированных в этой главе,—
наличие отчетливых особенностей математики в процессе ее при-
*) В статье [43] эти рассуждения под влиянием замечательной книги
[262] названы правдоподобными.


8
ПРЕДИСЛОВИЕ
ложений и правомерность сосуществования логик различного
характера — являются центральными в книге; этим тезисам в
значительной мере подчинено изложение всех других вопросов.
В главе 2 рассмотрены элементы прикладного математического
исследования, связанные в основном с математическим
формулированием задачи и с выбором метода ее решения.
Наконец, в главе 3 обсуждены некоторые вопросы, связанные с
источниками ошибок в исследованиях и с обучением прикладной
математике.
Расположение всех затронутых в книге вопросов в линейном
порядке, распределение их по главам и параграфам весьма условно и
привело к некоторым повторениям; например, многое из того, что
относится к источникам ошибок или к методам решения задачи,
содержится также в главе 1 в связи с анализом рациональных
рассуждений и т. п. Авторы понимают, что отдельные важные вопросы
изложены весьма неполно; в особенности это касается содержания
главы 2, так как сколько-нибудь полная характеристика всех этапов
прикладного математического исследования и даже их
классификация представляются пока непосильной задачей — во всяком случае,
для авторов настоящей книги.
Итак, основная цель книги — обсуждение существа и
принципиальных особенностей прикладной математики. Это обсуждение
должно призвать одних читателей к сознательному выбору
математической модели, метода ее исследования и уровня математической
строгости, а других, наиболее зрелых,— к продолжению
коллективных усилий по выделению и формулировке общих концепций
прикладной математики, выработке «кодекса» прикладной математики.
Мы постараемся показать, что такие концепции достаточно ясно
вырисовываются уже теперь, но, как упоминалось выше, пока еще
должным образом не были систематизированы.
Несколько слов об отношении авторов к этой книге. Мы исходим
из того, что всякая попытка обобщения полезна для осмысливания
ситуации и правильной оценки тенденций ее развития. Нам
приходилось заниматься разнообразными задачами чистой математики,
приложениями математики к механике, а также проблемами
преподавания математики и механики прикладникам (так мы будем
условно именовать всех, применяющих математику за ее пределами).
Только поэтому мы сочли себя вправе взяться за обсуждение столь
широкого круга вопросов, многие из которых являются в
буквальном смысле слова выстраданными; пожалуй, эта книга — своего
рода кредо ее авторов, которые рассуждали, как и А. А. Харкевич
в предисловии к монографии [330]: «В книге подобного рода
потребность ощущалась уже давно. Однако время шло, а книга не
появлялась, и в конце концов я решился написать ее сам, хотя вовсе не
считал, что смогу это сделать лучше других».
Во избежание недоразумений подчеркнем, что книга не
претендует на указание каких-то «царских путей» в приложениях матема-


ПРЕДИСЛОВИЕ
9
тики, позволяющих избежать кропотливого освоения, развития и
применения современных математических методов, необходимых
для того или иного исследования. Таких путей нет и не может быть.
Более того, можно указать много прикладных проблем,
существенный прогресс в которых был достигнут только в результате трудного
развития идей и методов, относящихся в равной степени как к
прикладной, так и к чистой математике, причем порой к весьма
абстрактным ее разделам; еще большее количество проблем ожидает
такого развития. Эффективно применять математику можно
только обладая достаточной математической культурой и
кругозором.
Отстаивая наличие специфики прикладного математического
мышления и по необходимости заостряя дискуссионные вопросы,
мы отдаем себе отчет в опасности извращения нашей позиции,
которое может привести к замене «террора дедукции» «разгулом
правдоподобия». Ни одна строка этой книги не должна быть истолкована
как оправдание математической безграмотности, приводящей к
грубым ошибкам. Пользуясь выражением поэтессы М. Борисовой
(«Литературная газета» от 19 мая 1976 г.), скажем, что в
исследовательской деятельности лучше проявить робость незнания, чем
наглость невежества. Призывы к гибкости при выборе методов
исследования, к их адекватности изучаемым реальным явлениям направлены
на установление подлинной гармонии между средствами и
объектами изучения и не имеют ничего общего с призывами к
вульгаризации.
Многие коллеги предупреждали нас, что только вполне зрелые
специалисты правильно поймут общую установку книги, а часть
читателей (в особенности молодежь) может воспринять книгу как
некую декларацию математической распущенности и
вседозволенности. И все же мы рассчитываем, что риск такого грубо ошибочного
истолкования относительно невелик и книгу можно адресовать
самому широкому кругу читателей, не сопровождая ее
ограничительной надписью «детям до 16 лет читать запрещено».
Мы отчетливо понимали, что написание такой книги сопряжено
с рядом опасностей. Во-первых, при обсуждении столь общих
вопросов особенно велик риск оказаться банальными или впасть в
малосодержательные спекуляции; возможно, что в некоторых местах
(надеемся, немногих) этой опасности мы действительно не избежали.
С другой стороны, тема книги вынуждала нас затрагивать вопросы,
относящиеся не только к далеким от нас областям математики,
но даже к истории и философии (в особенности логики) и т. д.; не
исключено, что специалисты в этих областях сочтут некоторые
наши высказывания неточными или наивными. Наконец, в книге,
которая касается во многом дискуссионных вопросов и ни в коем
случае не может служить безапелляционной инструкцией, были бы
особенно неприятны догматически-императивные ноты; если они где-
нибудь прозвучали, то вопреки намерениям авторов.


10
ПРЕДИСЛОВИЕ
В книге довольно много цитат. Мы считали полезным
познакомить читателей с подлинными высказываниями крупных
специалистов, хотя отбор цитат, конечно, не мог быть вполне
беспристрастным. Кроме того, как известно, в любом споре соблазнительно
привести подтверждающие соображения других лиц, особенно если
эти соображения высказаны в яркой форме и (или) принадлежат
авторитетному автору. Мы надеемся, что включенная в книгу
коллекция таких высказываний покажется читателю интересной независимо
от остального текста и сама по себе оправдает материальные
затраты и интеллектуальные усилия, связанные с приобретением и
чтением этой книги. Впрочем, мы всячески стремились следовать
словам замечательного режиссера и художника Н. П. Акимова [2,
с. 268]: «Подбирая умные цитаты для выступления, следи за тем,
чтобы твои собственные мысли не звучали слишком большим
контрастом к ним»; возможно, это не всюду нам удалось.
Во многих местах мы указывали книги и статьи, в которых
обсуждаются затрагиваемые нами вопросы; мы надеемся, что такие
ссылки, даже далеко не полные, представят интерес для читателя.
Стремясь сделать книгу доступной для всех, имеющих
математическую подготовку в объеме хотя бы обычного втузовского курса, мы
поместили в конце книги примечания, содержащие объяснения
отдельных терминов, выходящих за рамки этого курса.
Как было сказано, предлагаемое издание находится в тесной
преемственной связи с нашей книгой 144], и мы считаем своим
непременным долгом также и здесь выразить свою признательность
А. Ю. Ишлинскому, Ю. А. Митропольскому и В. В. Новожилову
за обсуждение основных положений рукописи книги [44] и
доброжелательное отношение к ней, а также В. Г. Бабскому, М. А.
Красносельскому и Ф. М. Харченко за полезные замечания по этой
рукописи.
Настоящей редакции текста во многом помогли критические
замечания, сделанные по книге [44] А. С. Карминым, П. С. Ландой,
Д. Р. Меркиным, Ю. П. Петровым, Г. Ю. Степановым, В. И. Фео-
досьевым и Я. И. Хургиным. Идею настоящего издания поддержал
Л. И. Седов; он поделился с авторами рядом соображений по
существу проблемы. Н. Н. Моисеев принес большую пользу авторам
своим обстоятельным, конкретным и, мы бы сказали, вдохновенным
обсуждением рукописи. На всех этапах создания этой книги авторы
имели исключительную возможность пользоваться мудрыми
советами Е. С. Вентцель. Не обошла нас своим вниманием и И.
Грекова. Всем этим лицам авторы приносят свою искреннюю
благодарность.
Ленинград—Москва
май 1982 г.
И. И. Блехман,
А. Д. МышкнСу
#. Г. Пановко


ВВЕДЕНИЕ
Как только ни характеризуют переживаемый сейчас период
развития цивилизации! Это и космический век, и атомный, и век
электроники, и кибернетики... Каждое из этих определений имеет свои
глубокие основания. Но среди различных характеристик нынешнего
периода можно выделить одну, также не вызывающую сомнений:
это век всеобщей математизации. Самые разнообразные
математические структуры х стремительно внедряются в различные научные
дисциплины, технику, экономику, управление и другие сферы
человеческой деятельности, причем не только в традиционные
области приложения математики, но и туда, где математика
используется совсем недавно.
Применяемый математический аппарат стал несравненно
разнообразней, чем это было еще совсем недавно. Если А. Н. Крылов писал
[169], что математика для инженера «есть инструмент такой же,
как штангель, зубило, ручник, напильник для слесаря», то
современная «работающая» математика подстать и нынешней технике и
нынешним средствам наблюдения и эксперимента. Еще
каких-нибудь 40—60 лет назад мало кому из прикладников требовались
сведения, лежащие за пределами школьной математики,
дифференциального и интегрального исчислений, элементов вариационного
исчисления и простых уравнений математической физики. Как
изменилось положение с тех пор! Широкие слои инженеров успешно
применяют аппарат, который раньше был известен лишь немногим
знатокам; более того, за последние полвека были созданы новые
математические дисциплины — такие, например, как линейьое
программирование 2 — в первую очередь, с практическими целями.
Существенно повысились требования к математическому
образованию инженера, значительно увеличился выпуск инженеров с
усиленной математической подготовкой, а многие инженеры
вынуждены систематически повышать свой математический уровень. Быстро
растет число факультетов и отделений прикладной математики
при университетах и технических вузах.
Вера в мощь математики приобретает порой столь наивный
характер, что математику пытаются внедрить туда, где без нее вполне
можно обойтись.
М. Кац и С. Улам в книге [144, с. 222—223] пишут по этому поводу:
«... мы являемся свидетелями «математизации» всех видов интеллектуальной


12
ВВЕДЕНИЕ
деятельности. Такая тенденция, конечно, далеко не всегда оправдана.
Можно назвать множество примеров, когда «математизация» тривиальна
или претенциозна, и даже таких, когда она страдает обоими этими
недостатками». На вреде искусственного внедрения математики подробно
останавливается также Л. Дойл [1171.
Оставляя в стороне такие, к сожалению, нередкие случаи,
необходимо заключить, что «мода» на математику, особенно на
прикладную математику, имеет глубокие причины. Многие дисциплины
достигли такого состояния, что отсутствие в них сильно развитого
математического аппарата послужило бы серьезным препятствием
для их прогресса; решение ряда сложных задач, возникающих в
этих дисциплинах, стало возможным только с помощью такого
аппарата, причем особую роль здесь сыграло появление ЭВМ. Более
того, в ряде случаев сама формулировка фундаментальных понятий
и постановка основных задач сейчас подсказываются математикой.
Все справедливее становится давнее, впрочем, несколько
утрирующее высказывание: «Во всяком знании столько науки, сколько в нем
математики». Нет сомнения в том, что процесс математизации,
развитие и применение математических моделей и математического
аппарата будут в ближайшие годы еще более усиливаться *).
Естественно, что за последние годы возрос интерес и к
принципиальной стороне самого процесса применения математики — к
тому, как создаются математические модели, как они исследуются,
как интерпретируются и т. д. Однако эта сторона пока еще изучена
далеко не достаточно — мы имеем в виду не многочисленные
конкретные случаи применения математики, а формулировку и изучение
общих принципов этого применения.
Конечно, кое-что уже сделано, особенно в самые последние
годы. Так, некоторые общие и особенно конкретные вопросы
математического моделирования рассмотрены в книгах и статьях [3,
70, 115, 133, 204, 222, 224, 233, 237, 255, 261, 295, 297, 311, 32V
326, 336, 338, 346, 359, 373, 420, 455, 459, 481, 485, 514, 5491 и
некоторых других (см. также литературу, указанную на с. 135). При этом
соображения, высказываемые по поводу конкретной области
приложения математики, порой значительно выходят за рамки этой
области. Однако проблема требует всесторонней, детальной и
систематической разработки.
Особенно слабо обсуждены принципы изучения математической
модели в прикладном исследовании (под прикладным здесь и далее
понимается любое исследование, применяющее математику,
предмет которого лежит за ее пределами). Обычно молчаливо подразу-
*) А. Ю. Ишлинский [135, с. 216] пишет: «Основной тенденцией
развития наук следует считать усиление в них удельного веса количественной
стороны (полнее — «структурной стороны».— Лет.) и, как следствие, все
большее привлечение к конкретным исследованиям математических методов.
Последние сами непрерывно изменяются, совершенствуются и пополняются
как в результате потребностей естественных наук, так и в силу внутренних
законов самой математики». См. в связи с этим также [53, 94].


ВВЕДЕНИЕ
13
мевается, что если задача сформулирована на математическом
языке, то она полностью переходит в сферу математики, глубоко
разработанной и строго обоснованной науки, и о дальнейшей судьбе
задачи беспокоиться не нужно, если только она не окажется непомерно
трудной. Однако в действительности дело обстоит совсем не так
просто, причем отнюдь не только из-за чисто математических
трудностей. Уже беглый анализ подавляющего большинства прикладных
исследований показывает, что применяемые в них математические
рассуждения часто существенно, а порой и принципиально
отличаются от рассуждений, применяемых в «ортодоксальной»,
классической математике.
Так, в самой постановке математической задачи в прикладном
исследовании ортодоксальные компоненты часто сочетаются с
неортодоксальными. Например, довольно часто возникает такой вопрос:
для решения задач некоторого класса предлагается определенный
метод; требуется выяснить, является ли этот метод приемлемым,
удовлетворительным. Скажем, речь может идти о каком-либо
конкретном варианте метода сеток для построения плоского
стационарного потока вязкой жидкости, обтекающего заданное препятствие.
В сущности само понятие «приемлемость» здесь неортодоксально и
неформально; оно включает в себя соображения и о мощности ЭВМ,
на которых будут производиться вычисления, и о разумной
точности, которую желательно достичь, и т. п. Кроме того, даже если
метод описан совершенно точно, то упомянутый выше класс обычно
заранее не вполне определен, так как в процессе исследования можно
уточнять, какие типы препятствий и какие диапазоны чисел Рей-
нольдса 3 будут рассматриваться.
Но даже если задача поставлена вполне ортодоксально, то в
процессе ее решения часто встречаются переходы типа логических
скачков, совершенно неприемлемых с точки зрения формальной
логики и классической чистой математики. Приведем типичные
примеры таких переходов.
1. Доказательство сходимости бесконечного процесса, входящего
в конструкцию решения, или проверка выполнения условий
соответствующей теоремы о сходимости, если такая теорема имеется,
заменяются выяснением практической сходимости этого процесса.
Другими словами, совершается лишь конечное, часто весьма
небольшое число шагов процесса; если при этом обнаруживается
отчетливая тенденция к сходимости и нет явных признаков того, что
дальнейшие шаги нарушат эту тенденцию, то их и не совершают,
заменяя^ таким образом, бесконечный процесс набором проведенных
шагов. Например, если вычисляется сумма числового ряда, то
заключение о практической сходимости, и тем самым ©возможности
прервать вычисления, делается с помощью сравнения частных сумм
этого ряда; если применяется численное интегрирование или какой-
либо вариант метода сеток, то для этой же цели сравнивают
результаты вычислений при разном выборе шага сетки; если применяют


14
ВВЕДЕНИЕ
методы Ритца или Галеркина, то сравнивают результаты
вычислений при различном числе координатных функций и т. п. При этом,
если производится серия однотипных вычислений (например, когда
формулировка задачи содержит параметры), а описанный контроль
практической сходимости трудоемок, то заключение о числе
необходимых шагов делается на основе такого контроля в одном или
нескольких типичных случаях.
Описанный прием чрезвычайно распространен, хотя отчетливо
видна его нестрогость с точки зрения чистой математики.
2. Менее очевидной бывает нестрогость следующего перехода,
который также широко распространен и до некоторой степени обра-
тен предыдущему. Речь идет о том, что строгое доказательство
сходимости бесконечного процесса используется как довод в пользу
достаточности ограниченного (и часто весьма небольшого) числа его
шагов, например числа итераций в итерационном методе, числа
координатных функций в методе Галеркина и т. п. Если же такое
доказательство сочетается с проверкой практической сходимости,
то даже искушенные исследователи часто воспринимают указанный
переход как совершенно строгий.
Можно было бы привести немало примеров того, как авторы
приближенных решений, уделяя большое внимание доказательству
сходимости использованного бесконечного процесса, совершенно
не упоминают о том, что из наличия такого доказательства, в
сущности, вовсе не вытекает право на приближенную замену названного
процесса его вполне определенной конечной аппроксимацией. В
самом деле, сам по себе факт сходимости еще ничего не говорит о том,
сколько надо взять шагов, чтобы достичь той или иной точности.
Недоразумения, связанные с этим переходом, доходят до
курьезов. Так, в одной из технических диссертаций был предложен
приближенный прием расчета, основанный на применении метода
Галеркина с единственной координатной функцией. Однако во
время защиты оппонент сделал критическое замечание по поводу
того, что сходимость соответствующего бесконечного процесса в
работе не была доказана. (Самое забавное, что диссертант
признал разумность этого упрека.)
3. При решении задачи производятся приближенные
вычисления, обычно на ЭВМ. Такой образ действий в принципе не строг
не только из-за погрешностей попутно используемых численных
методов, но и из-за ошибок округления; эти ошибки свойственны
почти каждому вычислению и обычно не принимаются во внимание
(во всяком случае, если они не приводят к неустойчивости счета,
см. п. 5.15), хотя в принципе они способны повлиять на
окончательный ответ не только количественно, но даже качественно. В
частности, при вычислениях на ЭВМ особую роль играет то, какое
наименьшее положительное число для выбранного алгоритма может
быть записано в ячейках запоминающего устройства, так как любое
меньшее положительное число представляет собой машинный нуль,


ВВЕДЕНИЕ
15
т. е. становится равносильным нулю. Поэтому, если разность между
последовательными приближениями становится достаточно малой,
то процесс итераций прерывается; если члены ряда достигают
машинного нуля, то прекращается суммирование и т. д. Однако, строго
говоря, такая ситуация еще не свидетельствует о достигнутой
близости к точному решению, так как можно представить себе, что в
пределах машинного нуля может начаться расхождение
последовательных приближений, которое потом разрастается; и
действительно, нетрудно построить формальные примеры подобного рода [518]
(см. также [489]).
Этот перечень было бы нетрудно продолжить. Конечно, такие
переходы не выдерживают критики с позиций формальной логики.
Некоторые из переходов могли бы стать логически неуязвимыми,
но лишь после дополнительного исследования. Так, во втором
случае взамен доказательства сходимости процесса нужна явная
оценка ошибки, получающейся из-за прерывания бесконечного
процесса, которая позволила бы убедиться в достаточной точности
взятого приближения; например, если речь идет о сумме бесконечного
ряда, то нужна явная оценка остаточного члена и т. д. (Такая оценка
не должна содержать неопределенных множителей, как это бывает
в подавляющем большинстве случаев, когда указывают, скажем,
что остаточный член имеет вид 0(1/п2), т. е. имеет порядок не ниже
1/я2. Например, явный вид имеет оценка
I n
sinx-£(—I)*
сразу вытекающая из формулы Тейлора с остаточным членом в форме
Лагранжа.) В третьем случае следовало бы получить явные оценки
возможных ошибок, возникающих из-за применения выбранного
численного метода и из-за округлений при работе ЭВМ, а затем
оценить возможное влияние этих ошибок на окончательный ответ.
Известно, однако, что дополнительные исследования, указанные
в предыдущем абзаце, весьма трудны и поэтому, как правило, не
выполняются. В тех редких случаях, когда соответствующие оценки все
же найдены, они обычно оказываются весьма пессимистичными,
ибо строятся исходя из худшего случая и притом с использованием
серии усиливающихся неравенств. Исключение составляют
специально подобранные примеры учебного характера, подобные
приведенному выше разложению синуса и чаще всего мало связанные с
реальными ситуациями. (В последнее время положено начало развитию
интервального исчисления [6], одной из целей которого является
восполнение указанного пробела; это исчисление основано на
действиях над двусторонними оценками чисел. Однако прикладные
перспективы этого «строгого» направления пока неясны.)
Возникает серьезный вопрос о том, как надо относиться к
утверждениям, полученным с помощью указанных переходов. В самом
^
(2п~[\)\ '


16
ВВЕДЕНИЕ
деле, в чистой математике нет понятий «не вполне доказанное
утверждение», «не совсем строгое доказательство» и т. п., в ней все не
вполне доказанное — не доказано, все не вполне строгое — не
строго. Поэтому с точки зрения чистой математики появление в
цепи рассуждений хотя бы одного такого перехода делает всю
цепь лишенной доказательной силы, даже если все прочие звенья
цепи находятся на высшем уровне строгости.
К сожалению, существует дурная традиция как бы не замечать
эти очевидные формально-логические несовершенства и тем самым
выдавать фрагментарную строгость исследования — при
доказательствах сходимости, устойчивости и т. п.— за совершенство и
строгость прикладного исследования в целом. (Впрочем, не менее
огорчительна и другая крайность — отрицание всякой ценности
утверждений, полученных с помощью таких переходов, поскольку они,
как выясняется, «необоснованны». Отказ от таких «не доказанных»
утверждений привел бы к почти полной невозможности применения
математики к решению прикладных задач.)
Итак, объективно существует противоречие: исследование
математической модели, казалось бы, осуществляется в рамках
математики, но проводится средствами, которые строгой математикой не
допускаются. Это противоречие вносит немало путаницы в оценку
убедительности прикладных исследований; впрочем, заметить его,
конечно, гораздо проще, чем разобраться в его истинных причинах и
следствиях, в частности оценить положительное значение указанных
выше переходов (оно вовсе не мало и будет подробно обсуждено
ниже).
До последнего времени эта противоречивая ситуация
замалчивалась; более того, ее публичное обсуждение считалось как бы
неприличным. Однако замалчивание любого назревшего вопроса не
заменяет его решения и не может продолжаться слишком долго.
Непоследовательность требований к строгости и доказательности
в прикладных исследованиях, а также недостаточно открытое
обсуждение этих требований порой наносят прямой ущерб делу. Одни
прикладники возводят математику в фетиш, выписывая сложные
уравнения, и, поддавшись «террору дедукции» или искренне веря в
его необходимость, доказывают теоремы о сходимости там, где без
них вполне можно обойтись. Другие же избегают математики там,
где она необходима, или, что особенно опасно, вульгаризируют ее.
Конечно, вопрос о преодолении указанного противоречия далеко
не прост и требуется длительное изучение его многими
специалистами, чтобы можно было сформировать по этому поводу достаточно
разработанную систему утверждений и тем более рекомендаций.
Положение осложняется тем, что подобные утверждения и
рекомендации, выработанные (в основном стихийно) для многих
конкретных областей приложения математики, непрерывно меняются и
порой расходятся друг с другом. Чистых математиков этот вопрос
непосредственно не затрагивает, а прикладники, применяющие


ВВЕДЕНИЕ
17
математику, заботятся, как правило, о результатах в своей
специальной области, а не о математической строгости. Вероятно, свое
слово могли бы здесь сказать представители «прикладной
математики вообще», но специалистов в этой области пока весьма мало...
В последние годы стали появляться явные упоминания о
физическом (говорят также: техническом, прикладном) уровне строгости.
Так, в предисловиях к книгам и статьям [29, 100, 121, 219, 265] и
некоторым другим указывается, что они полностью или частично
написаны на этом уровне. Это отрадно уже потому, что признать
существование какого-либо факта и даже просто назвать его —
значит сделать первый шаг в его изучении. Такой физический
уровень и есть уровень строгости прикладной математики; он будет
обсуждаться в главе 1 этой книги в связи с рассмотрением
характерных черт логики прикладной математики. Особенности
прикладной математики, связанные с выбором математической модели и
метода ее изучения^ будут рассмотрены в главе 2.


Глава 1
ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
§ 1. Прикладное и теоретическое направления
в развитии математики
«Установить еще раз органическую связь
между чистым и прикладным знанием,
здоровое равновесие между абстрактной
общностью и полнокровной
конкретностью— вот так нам представляется задача
математики в непосредственно обозримом
будущем».
Р. Курант и Г. Роббинс [179, с. 19)
1. Два основных источника математики; прикладное и
теоретическое направления. Современное место прикладной математики
становится более ясным, если хотя бы бегло проследить пути
развития самой математики. Движущие силы развития математики
имеют два основных объективно существующих источника. Один из
них, внешний, связан с необходимостью решения математическими
средствами задач, лежащих за пределами математики, т.е. задач
других наук, техники, экономики и т. д.; именно этот источник был
исторически первым. Второй источник, внутренний, вытекает из
необходимости систематизировать найденные математические
факты, выяснить их взаимосвязи, объединить их с помощью
обобщающих концепций в теорию, развивать и совершенствовать эту теорию
по ее собственным законам, создавать методы для решения
возникающих при этом трудных математических задач; именно этот
источник и привел в свое время к выделению математики как науки *).
(См. [23, 1481.)
Эти источники иногда бывает трудно разграничить. Так,
импульсы, возникающие в процессе применения методов одной
области математики к другой, например при использовании матема-
*) В книге Р. Куранта и Г. Роббинса [179, с. 171 говорится: «Без
сомнения, движение вперед в области математики обусловлено возникновением
потребностей, в большей или меньшей мере носящих практический характер.
Но раз возникшее, оно неизбежно приобретает внутренний размах и выходит
за границы непосредственной полезности. Совершающееся таким образом
превращение прикладной науки в теоретическую наблюдается в
исторической древности, но не в меньшей степени также и в наши дни: достаточно
принять во внимание тот вклад, который сделан в современную математику
инженерами и физиками».


§1. ПРИКЛАДНОЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ НАПРАВЛЕНИЯ 19
тического анализа в геометрии, иногда были очень похожи на те,
которые получались при применении математических средств за
пределами математики. С другой стороны, систематизация
математических фактов может быть вызвана непосредственными
практическими потребностями.
Таким образом, было бы рискованно слишком детально
фиксировать границы указанных двух источников. Тем не менее
особенности этих источников и их влияний в большинстве случаев легко
просматриваются. Два направления в развитии математики,
отвечающие этим двум источникам, естественно называть прикладным и
теоретическим (чистым).
Конечно, здесь речь идет о преимущественных влияниях в
создании и развития математических методов, понятий, утверждений. По
отношению же к любой уже созданной математической
сущности чаще всего бессмысленно ставить вопрос о том, к какому
именно — теоретическому или прикладному — направлению она
принадлежит. К какому направлению следует отнести метод Галеркина?
Понятие дельта-функции Дирака? Формулу Тейлора? На эти
вопросы можно отвечать лишь, если речь идет об истории возникновения
этих понятий или о конкретных ситуациях, в которых они
встретились. Правда, некоторые разделы, такие, например, как
гомологическая алгебра, сейчас полностью принадлежат теоретическому
направлению, а немногие вопросы, как, например, методика выбора
вероятности, определяющей практическую невозможность события,
понятия практической сходимости или практической бесконечности,
пока полностью принадлежат прикладному направлению. Здесь не
случайны слова «сейчас», «пока»: уже в обозримом будущем
положение может измениться.
2. Начальный этап развития математики. На ранних стадиях
развития математики оба направления прослеживаются особенно
отчетливо. Так как эти направления вначале взаимодействовали
слабо, то можно даже говорить о двух почти автономных ветвях
математики — о прикладной и о теоретической (чистой) математике.
Так, математика в Древнем Египте была откровенно прикладной;
она была непосредственно связана с задачами землемерия,
вычисления объемов сосудов, практического счета, исчисления времени (в
частности, в связи с предсказанием затмений) и т. д. Аналогичный
характер носила математика в Древней Мексике и у некоторых
других народов. Чистая математика, по-видимому, возникла впервые
в Древней Греции в связи с софистикой 4 и отчетливо отделялась от
прикладной, считавшейся низменной областью. (Известен рассказ о
Евклиде, который на вопрос ученика в том, что даст ему изучение
геометрии, сказал рабу: «Дай ему обол (мелкая монета.— Авт.),
ибо он хочет от геометрии что-то получить».) Именно
древнегреческая наука выработала дедуктивный способ построения теории,
согласно которому все утверждения в той или иной области выводятся
с помощью методов формальной логики из некоторых не доказывав-


20
ГЛ, 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
мых утверждений — аксиом (см., например, [87]). С тех пор этот
способ изложения считается одной из важнейших характерных черт
математики (если не важнейшей чертой). Стройность дедуктивного
способа произвела столь сильное впечатление на последующие
поколения, что были сделаны попытки — впрочем, безуспешные —
придать и другим областям знания строго дедуктивную форму.
Известна такая попытка даже в философии («Этика» Б. Спинозы).
Отметим замечательную тщательность, с которой
древнегреческая наука подходила к понятию бесконечности; эта тщательность
позже была утеряна и вновь возродилась, причем на более высоком
уровне, только в XX в. в работах по математической логике.
Древнегреческая наука не признавала актуальной бесконечности ?,
и ни в одной математической формулировке того времени нельзя
найти того, что сейчас было бы названо бесконечным множеством или
бесконечным процессом. Характерный пример: предложение,
которое сейчас формулируется в виде «Множество простых чисел
бесконечно», Евклидом формулировалось так [239, с. 89]: «Первых
(простых.— Авт.) чисел существует больше всякого предложенного
(подразумевается — конечного.— Авт.) количества первых чисел».
Здесь можно усмотреть прямую аналогию с понятием
неограниченной продолжимости, которое в одном из современных направлений
математической логики призвано заменить понятие актуальной
бесконечности.
Как известно, отказ от актуальной бесконечности повлек за собой
определенные логические трудности (вспомним в этой связи
апории Зенона 6), которые греки сумели, в основном, осознать и
преодолеть, отметив, в частности, что пространство и время безгранично
делимы в возможности, но не безгранично разделены в
действительности. Впрочем, как ниже будет пояснено, принятие актуальной
бесконечности влечет за собой не только логические, но и
практические трудности.
Высшие проявления строгости в древнегреческой математике
можно видеть в теории пропорций и методе исчерпывания 7 Евдокса,
аналогичных современным теории вещественного числа и методу
перехода к пределу, но отличающихся тем, что в греческих
вариантах не фигурировали бесконечные множества и бесконечные
процессы *).
Наряду с этими шедеврами строгости в логике древнегреческой
математики имелись и существенные пробелы, которые с современ-
*) «Не исключено, что именно слишком раннее открытие трудностей,
связанных с «несоизмеримыми» величинами, помешало грекам развить
исследование числовых операций, сделавшее в предшествующие эпохи
значительные успехи на Востоке. Вместо этого они стали искать пути в дебрях
чистой аксиоматической геометрии. Так началось одно из странных
блужданий в истории науки, и, может быть, упущены были при этом блестящие
возможности. Почти на два тысячелетия вес греческой геометрической
традиции задержал неизбежную эволюцию идеи числа и буквенного исчисления,
ставшего позднее фундаментом точных наук» [179, Введение].


SI. ПРИКЛАДНОЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ НАПРАВЛЕНИЯ 21
ной точки зрения представляются довольно заметными. Так,
сформулированные Евклидом определения понятий точки, линии и т. д.
по существу определениями не являются («Точка есть то, что не
имеет частей» и т. д.), и к тому же им не используются. Аксиомы
относятся только к соотношениям между величинами, да и то далеко
не ко всем тем, которые применяются при построении теории.
Совершенно отсутствуют определения и аксиомы, связанные с
понятием следования (порядка) точек на прямой или окружности, т. е.
это понятие как бы относилось к категории тех слов (наподобие
«пусть дано» и т. п.), понимание которых подразумевается при
построении теории. Кроме того, интересно отметить, что греки
вычисляли длины, площади, объемы различных, иногда довольно
сложных линий, фигур, тел, но вопрос о самом существовании
такой меры у них даже не возникал и т. д.
Греки (в частности, Архимед) пользовались и доказательствами,
основанными на механических аналогиях; однако такие
доказательства считались нестрогими, пропедевтическими, а полученные
утверждения надо было обязательно обосновать последующим
«строгим» (в их понимании) доказательством.
По-видимому, отчетливое отделение чистой математики от
прикладной характерно также для стран средневекового ислама и
алгебраистов средневековой Европы. При этом теория и практика
решения алгебраических уравнений, а также комбинаторика все в
большей степени врастают в чистую математику; в частности,
крупнейшие математические открытия той эпохи — биномиальные
коэффициенты, формулы для решения уравнений 3-й и 4-й степеней
полностью принадлежат чистой математике.
3. Научное Возрождение. Положение принципиально меняется
с началом научного Возрождения — с работ Г. Галилея, И.
Кеплера и других ученых, для которых математика и математический
способ мышления становятся одним из основных орудий
естествознания. Мощное давление естествознания весьма благотворно
сказалось на» развитии математики. В XVI—XVIII вв. оба
направления — прикладное и теоретическое — непрерывно
взаимодействовали и оплодотворяли друг друга. Стало типичным, что
возникновение и первоначальное развитие того или иного математического
понятия диктовались задачами естествознания или геометрии
(приложения к которой в тот период порой мало отличались от
приложений к механике или оптике), затем это понятие получало
самостоятельную жизнь и его развитие продолжалось по внутренним
математическим законам; некоторые из результатов «чистого» развития
вновь применялись к естествознанию, что приводило к появлению
новых математических понятий и задач и т. д. (ярким примером
служит создание дифференциального и интегрального исчислений).
В этот «героический» период гармонического развития
математики различение, а тем более противопоставление чистой математики
и прикладной потеряло смысл. Этому способствовало и то, что круп-


22
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
нейшие ученые рассматриваемого периода — И. Ньютон, Л. Эйлер,
Ж. Лагранж и другие — были не только математиками, но и
физиками, механиками; в трудах каждого из них развивались как
теоретическое, так и прикладное направления математики (см., в
частности, [521]). (Впрочем, последнее характерно и для многих
выдающихся математических умов более позднего времени:
достаточно вспомнить К. Гаусса, О. Коши, Б. Римана, А. Пуанкаре,
П. Л. Чебышева...)
4. Период доминирования теоретико-множественного
направления. Переход к следующему периоду растянулся на десятилетия,
и потому его начало лишь условно можно датировать серединой
XIX в. Он связан с рядом блестящих работ по теории множеств
(Г. Кантор) и теории функций (К. Вейерштрасс), по построению
первых абстрактных алгебраических структур и анализу аксиом
геометрии. Эти глубоко прогрессивные для своего времени работы
превратили значительную часть математики в единую науку, с
едиными требованиями к определениям, утверждениям и
доказательствам, с едиными нормами строгости.
Основная объективная причина для этого перехода состояла в
том, что к концу предыдущего периода в математике накопились
многочисленные недостаточно увязанные друг с другом факты и
возник ряд теорий, мало согласованных между собой и еще не
имевших надежного обоснования, которое дало бы возможность их
уверенно развивать. Дальнейшее развитие аналитических
дисциплин, в которых стихийно возник подход, основанный на применении
актуальной бесконечности — бесконечных рядов, бесконечно
малых величин и т. д.,— требовало уточнения понятий функции и
предельного перехода; это по необходимости повлекло за собой
появление теории вещественного числа и числовых множеств и т. д.
Теоретико-множественный подход дал возможность отчетливо
сформулировать важнейшее понятие группы 8 в алгебре, привел к
удовлетворяющему современников логическому построению геометрии.
Таким образом, переход в математике к
теоретико-множественному подходу, основанному, как теперь принято снисходительно
говорить, на наивной теории множеств *), был необходим и потому
прогрессивен. В то же время приведение в порядок основ науки,
открывшиеся в связи с этим новые широкие возможности, в частности
значительно усилившиеся возможности взаимодействия между
различными математическими дисциплинами **), привели к сущест-
*) Ему противопоставляется более современный подход, основанный
целиком на методах математической логики.
**) Так, только на теоретико-множественной основе удалось дать
аксиоматическое обоснование теории вероятностей, находящееся на уровне других
областей чистой математики. Исходя из этих успехов, Д. Дуб [119, с. 7]
пишет: «Теория вероятностей — это просто одна из ветвей теории меры,
отличающаяся особым вниманием к некоторым специальным понятиям этой
теории и своей особой областью приложения». Однако с тем же основанием мож-


$1. ПРИКЛАДНОЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ НАПРАВЛЕНИЯ 23
венному повышению роли теоретического направления в
математике, которое в описываемый период (продолжавшийся примерно до
второй мировой войны) стало преобладающим и определяющим
стиль всей математики в целом.
После работ Кантора чистая математика, основанная на наивной
теории множеств, решительно стала на позицию признания
актуальной бесконечности и идеи как бы объективного существования
математических понятий (чисел, функций, множеств и т. п.),
восходящей еще к Платону *).
Прикладное направление в этот период продолжало развиваться
прежде всего в связи с прогрессом физики и небесной механики,
однако какого-либо радикального переворота здесь не произошло.
Открывались новые каналы, через которые шли приложения,
например векторные алгебра и анализ, тензорные алгебра и анализ,
позже — операционное исчисление, теория обобщенных функций и
т. п., но сам характер приложений некоторое время оставался в
принципе тем же. Классический математический аппарат в
сочетании с глубокими физическими идеями привел к ряду выдающихся
открытий, сделанных, как пишут в популярных книгах, «на кончике
пера». Таковы предсказание электромагнитных волн Дж.
Максвеллом, открытие планет Нептуна и Плутона, предсказанное П.
Дираком существование позитрона и т. д. На указанной основе возникла
одна из важнейших областей современной науки — теоретическая
физика.
Следует особо упомянуть о зарождении теории автоматического
регулирования в трудах Максвелла (1868), И. А. Вышнеградского
(1877) и других. Эта теория, находящаяся на грани между
математикой и техникой, ввела в математику ряд принципиально новых
«управленческих» идей, которые в дальнейшем послужили одним из
основных источников кибернетики и стали характерными для
значительной части современной математики. Операторные методы,
порожденные теорией автоматического регулирования, также
оказали существенное воздействие на дальнейшее развитие математики
(в особенности, прикладной). Интересно, что хотя эти методы
сначала не имели должного математического обоснования, это не
помешало им сразу же принести замечательные плоды.
но было бы сказать, что литературоведение — это одна из ветвей
лингвистики, «отличающаяся особым вниманием и т. д.»...
*) И сейчас подавляющая часть чистых математиков находится по
существу на этой позиции. Например, когда математик говорит: «Существует
натуральное число, обладающее таким-то свойством», он представляет себе
как бы некую неподвижно стоящую очередь, среди которой имеется
конкретный участник, обладающий указанным свойством. При таком подходе не
вызывает сомнения, что утверждение, приведенное в кавычках, или верно
или нет,— ничего другого не может быть. Курьезно, что сейчас почти все
чистые математики, склонные к общим размышлениям, теоретически пони»
мают неправильность сформулированной позиции, но в своей повседневной
научной работе безоговорочно на нее опираются.


24
ГЛ. I. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Успехи теоретического направления в математике, создание
единого уровня строгости всей математики привели к тенденции решать
и математические задачи, возникшие в приложениях, также на
уровне строгости теоретического направления; наиболее отчетливо эту
тенденцию выразили Д. Гильберт и А. М. Ляпунов, о чем мы
подробно скажем в п. 5.1. В тех случаях, когда названную тенденцию
оказалось возможным реализовать, это привело к двойственности
решения прикладной задачи в целом: постановка задачи и
интерпретация решения проводились на физическом уровне строгости
(попытки аксиоматизации отдельных разделов физики на теоретико-
множественной основе физиками не были поддержаны),
математическое же решение осуществлялось на математическом уровне стро-
ности. (Такое раздвоение характерно именно для рассматриваемого
периода, так как в «героический» период уровни строгости были
существенно ближе, если не совпадали.) В более сложных случаях,
а также если прикладную математическую задачу решали физики, к
решению часто привлекались и физические соображения; однако
математики считали такое решение неполноценным и стремились
заменить его решением, находящимся полностью на
установившемся к XX в. «вейерштрассовском» уровне строгости. Так
сложилось еще одно «профессиональное» раздвоение между требованиями
в уровне строгости решения прикладной математической задачи у
математиков и прикладников.
Наличие в самой математике различных уровней строгости выяв-
аяется уже практикой вычислений, которые почти никогда не
проводятся полностью на «вейерштрассовском» уровне строгости. Однако,
отойдя от традиций Эйлера и других корифеев «героического»
периода, математики теоретико-множественного направления,
попросту говоря, перестали вычислять и потому, как правило, игнориро
вали отмеченное несоответствие, которое сохранялось как аномалия
в парадигме 9 математики. Вычислительная деятельность была
предоставлена астрономам, артиллеристам и т. п., а также небольшой
группе специалистов, которые считались находящимися где-то
между математиками и инженерами. Достижения в этой области
подавляющим большинством математиков не принимались всерьез;
во всяком случае они считались совершенно не сравнимыми с
поражающими воображение достижениями в новых направлениях.
Книга К. Ланцоша [188] начинается словами: «В течение многих лет
автор занимался исследованиями в тех областях математического анализа,
которые интересуют в первую очередь инженеров и физиков. То
обстоятельство, что эта область «рабочей математики» не вызывала в течение XIX
столетия такого же интереса, как классические работы анализа, является,
пожалуй, плодом исторического недоразумения. Вплоть до эпохи Гаусса
и Лежандра «рабочие» методы анализа привлекали к себе пристальное
внимание лучших математиков. Блестящее открытие теории пределов изменило
положение. С тех пор считалось достаточным указать бесконечный процесс
приближения, с помощью которого можно установить правильность
определенных аналитических результатов, независимо от того, выполним ли
примененный процесс в данной задаче или нет. В результате произошло


$1. ПРИКЛАДНОЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ НАПРАВЛЕНИЯ 25
постепенное разделение «чистой» и «прикладной» математики, так что мы
имеем «чистых аналитиков», которые развивают свои идеи в мире чисто
теоретических построений, и «численных аналитиков», которые переводят
аналитические процессы в машинные операции».
Впрочем, пренебрежительное отношение к вычислениям восходит еще
к Древней Греции. Ф. Клейн писал [154, с. 1191, что к логистике (искусству
вычислять) древние греки «относились довольно презрительно —
предрассудок, который во многих случаях сохранился до сих пор, но, во всяком
случае, большей частью только у людей, которые сами не умеют вычислять.
Этому положению логистики могло содействовать отчасти то, что она
развивалась в тесной связи с тригонометрией и с потребностями практического
землемерия, которое с древних времен казалось людям недостаточно
благородным занятием. Конечно, она снова была несколько реабилитирована тем,
что без нее не могла обойтись другая наука, которая хотя и родственна
геодезии, но в противоположность ей всегда считалась одной из самых
благородных,— астрономия».
Отметим, что позже, когда вычислительная математика вошла в
моду, произошло дальнейшее расслоение: по остроумному
выражению Р. С. Гутера [332, с. 13], «работающие в области
вычислительной математики делятся на тех, кто доказывает сходимость
вычислительных процессов и существование решений, и тех, кто применяет
вычислительные процессы и получает решения».
Что касается достигнутого уровня строгости, основанного на
наивной теории множеств, а в математическом анализе
соответственно на теории пределов, записанной на так называемом е-языке *),
то казалось, что он вполне устраивает практически всех
математиков. Правда, были отдельные «недовольные» (например, Л. Брау-
эр, Г. Вейль и др.), но и они в своей конкретной деятельности
пользовались тем же уровнем. Где-то на горизонте уже намечались
противоречия в теории множеств^ но подавляющему большинству
математиков они представлялись безобидными курьезами, так как
касались только таких никому не нужных «монстров», как
множество всех множеств или множество всех множеств, не содержащих
самого себя в качестве элемента 10, и т. п.
Успехи теоретико-множественного направления, его язык и
методы, ставшие привычными для нескольких поколений математиков,
породили представление о якобы абсолютном уровне достигнутой
строгости. Многие математики, а особенно нематематики и сейчас
привычно верят в эту абсолютность и включают в математику лишь
предложения, доказанные «абсолютно строго», задачи, поставленные
«абсолютно строго», и т. п. Это, в свою очередь, приводит к
бытующему порой наивному (и, можно сказать, примитивному)
представлению, что все рассуждения делятся на «строгие» и «нестрогие»,
причем доказательной силой якобы обладают только первые —
чисто дедуктивные. Об ошибочности этой точки зрения мы будем
подробно говорить в дальнейшем.
*) Выражения «для любого е>0 найдется номер л», «для любого е>0
найдется 6>0» и т. п. стали настолько привычными, что буква е
превратилась как бы в символ «вейерштрассовского» уровня строгости.


26 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
5. Взгляд на современность. Во Введении уже говорилось о
«математической специфике» переживаемого нами сейчас периода,
связанного, с одной стороны, со стремительным, лавинообразным
расширением круга и объема приложений математики, а с другой —
с появлением и развитием электронной вычислительной техники,
которая многократно усилила эффективность этих приложений.
Конечно, и внутри математики за последние десятилетия достигнуты
выдающиеся успехи, однако с общих позиций человеческой
цивилизации «внешние» достижения математики выглядят внушительнее
«внутренних». Другими словами, сейчас развитие именно
прикладного направления в математике (во всех его проявлениях) стало
преобладающим. Нам представляется несомненным, что в
ближайшие десятилетия это преобладание сохранится и даже будет
усиливаться .
Это дает возможность утверждать, что после периодов развития
математики, которые можно условно назвать догреческим,
греческим, Возрождения и теоретико-множественным, мы вступили в к а-
чественно новый период «всеобщей
математизации». Вероятно, начало нового периода можно условно
датировать сороковыми годами XX в.— временем создания первых
ЭВМ и становлением таких дисциплин, как кибернетика, теория
автоматического регулирования, исследование операций п, в
дальнейшем информатика12, оказавших существенное влияние на
развитие и общий облик современной математики. Качественный
сдвиг в математике уже повлек за собой и, несомненно, еще повлечет
качественные изменения во многих областях естествознания,
техники, социальных наук, общественной жизни (см., в частности, [90,
290, 395]).
Если пользоваться терминами из истории развития общества,
то переживаемый сейчас этап развития математики можно было бы
назвать «двоевластием» (при переходе к эпохе демократии).
Конечно, продолжает активно развиваться математика
теоретико-множественного направления. Сочетание, развитие и создание
новых идей алгебры, общей и алгебраической топологии 13,
классического, функционального анализа, теории функций и геометрии
позволили создать новые плодотворные разделы математики,
провести широкие обобщения, найти новые подходы к старым задачам,
давшие возможность решить многие из них, указать новые
интересные классы задач. Знаменательным событием явилось, в частности,
создание многотомного курса «Элементы математики» Н. Бурбаки;
этот курс имеет целью послужить общей основой, источником
единого языка, на которых могло бы осуществляться дальнейшее
развитие математики в теоретико-множественном направлении *). Н. Бур-
баки еще не дошел до многих разделов математики (очень уж она
велика!), но вполне возможно, что и эти разделы не минует «бурбаки-
*) Подробности см. в [120].


§!. ПРИКЛАДНОЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ НАПРАВЛЕНИЯ 27
зация» («обурбачивание»?). Это направление внутри чистой
математики сейчас является преобладающим, задающим тон.
Однако в последние десятилетия обнаружились и слабые стороны
рассматриваемого направления *). Это проявилось по двум
линиям — математической логики и приложений, впрочем связанным
между собой. Прежде всего, «абсолютная» строгость наивной теории
множеств и основанных на ней теорий оказалась, как и можно было
ожидать из общих соображений, совсем не абсолютной — она отнюдь
не устраивает логиков. (См., например, [310, с. 50—53 и 229—238;
152].) Выяснилось, что в основе наивной теории множеств нет
достаточно последовательной системы аксиом, она опирается на
«очевидность» и произвольные запреты; например, разрешается
рассматривать совокупность всех натуральных чисел, но запрещается
рассматривать совокупности всех порядковых (трансфинитных) или всех
кардинальных чисел — мощностей 14. Предложенная логиками
система аксиом теории множеств навела в этом некоторый порядок; но
анализ этой системы показал, что отдельные «само собой
разумеющиеся» важнейшие положения — например, аксиома выбора
(аксиома Цермело 15) — на самом деле могут быть либо приняты, либо
нет, что может привести к равноправному сосуществованию
различных «теоретико-множественных математик», неэквивалентных между
собой, наподобие различных геометрий. Возможные последствия
этого трудно себе представить, поскольку предложения, доказанные
с помощью аксиомы Цермело, в современной математике,
систематически применяются 16. Еще более эффектна обнаруженная в
результате работ К. Геделя и П. Коэна (1960 г.) независимость гипотезы
континуума от остальных аксиом теории множеств: это означает, что
при построении такой теории можно либо принять эту гипотезу как
добавочную аксиому, либо принять как аксиому противоположное
утверждение; но отсюда следует, что вопрос о том, верна ли «на
самом деле» гипотеза континуума, бессмыслен! (См. по этому поводу
[165].) Это выдающееся открытие убедительно показывает, в
частности, что понятие существования, на которое безраздельно
опирается наивная теория множеств, отнюдь не является само
собой разумеющимся.
Еще важней с развиваемой в этой книге точки зрения слабая
сторона теоретико-множественной математики по отношению к
приложениям. Не будем сетовать на то, что ее утверждениями можно
пользоваться лишь тогда, когда прикладная задача уже полностью
*) На опасности для современной математики перекоса в сторону
наиболее абстрактных разделов останавливается У. Спон в статье [302],
заключая ее так: «Давайте вернем математику в основное русло так, чтобы она стала
всеобщим достоянием и заняла соответствующее ей место в качестве
доминирующей силы в нашем обществе». Из откликов на эту статью отметим [238],
Об опасности изоляции математики от жизни см. также [152, 328, 371, 388,
474, 488, 546J. На ущербе, который понесли как математика, так и физика
из-за их недостаточного взаимодействия, подробно останавливается Ф, Дай-
сон [1091. (См. тякже [528].)


28
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
переведена на математический язык. Хуже то, что во многих случаях
утверждение о решении имеет чисто экзистенциальный характер,
т. е. доказывается теорема о существовании решения, но в этой
теореме ничего не говорится о том, как это решение может быть точно
или приближенно найдено. Хотя иногда конструкцию решения
можно извлечь из доказательства теоремы, но часто это сделать не
удается (причины этого обсуждаются в § 2), так что прикладник
оказывается как бы в положении радиста спасательной службы,
который принял сообщение с терпящего бедствие судна, но не смог
расслышать его координат и потому не знает, куда направить помощь и
даже возможна ли она. По меткому выражению Г. Вейля,
«математика представляется колоссальным богатством в бумажной валюте»
[66, с. 106]. Во многих случаях конструкцией считается результат
осуществления того или иного бесконечного процесса без анализа
его конечной аппроксимации. Если приближенная формула для
решения и сопровождается оценкой погрешности, то, за
исключением самых простых или специально подобранных примеров учебного
характера, такую оценку, как правило, не удается эффективно
применить в реальном конкретном случае (тем более, что
подавляющее большинство оценок имеет асимптотический характер и включает
неизвестные постоянные множители).
Жесткие нормы строгости современной теоретической математики
способствовали нежелательной задержке исследования
математических понятий, первоначально не удовлетворявших этим нормам,
таких, как дельта-функция, энтропия и т. п.
Все эти обстоятельства привели к тому, что в подавляющем
большинстве прикладных исследований математические рассуждения
отнюдь не находятся на чисто дедуктивном уровне, который требует
чистая математика; они не могут находиться и, как мы будем об этом
подробно говорить ниже, не должны находиться на этом уровне.
Можно сказать, что развитие дедуктивных построений не успевает
за ритмом современной жизни *), в процессе приближения к истине
*) «Если бы науку с самого начала развивали такие строгие и тонкие
умы, какими обладают некоторые современные математики, которых я очень
уважаю, то точность не позволила бы двигаться вперед»,— сказал Л. И.
Мандельштам [197, с. 51]. С этим перекликаются высказывания П. Л. Капицы
[277, с. 30): «Острое логическое мышление, свойственное математикам, при
постулировании новых основ скорее мешает, поскольку оно сковывает
воображение» и В. В. Новожилова [247, с. 252): «Требование «всей»
математической строгости в инженерных теориях и расчетах было бы равносильно не
только полной остановке технического прогресса, но и объявлению
незаконными почти всех уже завоеванных достижений, поскольку подавляющее их
большинство основывается на недостаточно строгих математических
рассуждениях». О том же говорит В. П. Маслов («Правда» от 9 июня 1987 г.): «Если
бы математику с самого начала поставили «над» физикой, то многие
физические теории, основанные на интуиции, эксперименте и аналогии, были бы
забракованы на корню как математически некорректные». (Говоря о
необходимости интенсивного развития имитационного моделирования, он
предостерегает против опасности централизации деятельности в этой области,
«особенно если привлечь к руководству математиков, поскольку мы (математи-


§ I. ПРИКЛАДНОЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ НАПРАВЛЕНИЯ 29
они, как правило, имеют столь низкий коэффициент полезного
действия, что прикладники стихийно выработали значительно более
эффективный способ математических рассуждений и даже свой
специфический язык, к которому относятся термины «практическая
сходимость», «качество вычислительного метода», «качество
математической модели» и т. д. Приемы рассуждений на «физическом»,
«прикладном» уровне строгости для прикладников различных
направлений довольно схожи. Эти приемы и характеризуют стиль
рассуждений прикладной математики; он столь же распространен
среди прикладников, как дедуктивный стиль среди чистых
математиков. Именно это и имелось в виду выше, когда говорилось о
«двоевластии» *).
В век всеобщей математизации и распространения ЭВМ
прикладная математика обогатилась новыми чертами, среди которых мы
отметим следующие:
а) Значительное усиление делового характера. Гораздо шире,
чем это бывало раньше, строятся и развиваются идеи, понятия,
методы, которые служат не просто математическими украшениями
прикладного исследования, а действенными средствами для правильного
понимания реального явления и получения важного в прикладном
отношении количественного или качественного вывода.
б) Алгоритмизация. Вопрос «Как наилучшим образом довести
решение до практически приемлемого результата?» становится
постоянным спутником прикладного математического исследования.
С влиянием этой тенденции, а также идей теории автоматического
управления связано широкое распространение блок-схем.
в) Повышение роли общих математических структур,
связанных с такими понятиями, как линейное пространство, итерации,
метод возмущений, устойчивость и т. д.
г) Анализ математических моделей. Модели применяются
значительно менее догматично, чем раньше; уделяется постоянное внима-
ки — Авт), естественно, оцениваем работу с чисто математических позиций,
а это неизбежно приводит к консерватизму».) В наиболее афористичной форме
эту мысль высказали А. Эйнштейн (цит. по [174, с. 90]): «Если не грешить
против разума, нельзя вообще ни к чему прийти» и П. Зренфест (цит. по
[534]): «Последовательность всегда ведет к дьяволу».
Вспоминается шутливый рассказ о воздухоплавателях, которые на
воздушном шаре попали в туман и потеряли ориентировку. Пролетая на
небольшой высоте мимо какого-то человека, они крикнули ему: «Где мы?». Тот,
подумав, крикнул им вслед: «Вы на воздушном шаре!». Через некоторое время
один воздухоплаватель сказал другому: «По трем причинам можно
заключить, что это был математик. Во-первых, он ответил, лишь подумав.
Во-вторых, его ответ был совершенно точен. И, в-третьих, из этого ответа нельзя
извлечь никакой пользы...». Авторы думают, что это был чистый
математик!
*) По поводу соотношений и взаимосвязей между математикой и
другими дисциплинами в настоящее время, а также о перспективах развития
математики см. [13, 36, 46, 75, 76, 148, 152, 163, 170, 173, 199, 200, 202, 208,
236, 264, 296, 316, 331, 334, 335, 356, 360, 372, 375, 396, 397, 404, 405, 413,
426, 450, 460, 461, 464, 510, 511, 524, 531].


30
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
ние изучению их адекватности реальным ситуациям, а также их
практичности. Построение новых математических моделей входит
в повседневную практику инженера-исследователя.
д) «Гуманитаризация», т. е. применение методов рассуждения,
которые ранее были свойственны лишь гуманитарным наукам
[101, с. 1063: «вербальный (словесный) способ построения
исследования; широкое применение аналогий, убедительных рассуждений;
пользование терминами, точное значение которых не формулируется;
полемика, научный спор; апелляция к чувству, к воображению».
И. Грекова подробно останавливается на этой черте в статье, из
которой мы приведем еще две цитаты [101, с. 107 и 114]:
«Математика не только проникает в ранее чуждые для нее области,
«завоевывает» их; она при этом и сама трансформируется, становится менее
формальной, менее ригористичной, меняет свои методологические черты,
в какой-то мере приближаясь к наукам гуманитарным...
Современная прикладная математика — наука особого рода, стоящая
на грани между точными, гуманитарными и опытными науками, смело
применяющая методы и приемы, выработанные в каждой из этих групп наук,
если они оказываются эффективными. Только такой она и может быть, если
ее задача не созерцание отвлеченностей, а активное вмешательство в жизнь»,
е) Усиление роли вероятностных концепций, которые широко
проникают во многие прикладные исследования, а в ряде случаев
(при обработке эксперимента, при контроле качества продукции и
т. п.) становятся доминирующими. Создаются целые прикладные
математические дисциплины, примыкающие к теории вероятностей
и математической статистике,— такие, например, как теория
массового обслуживания или теория надежности.
ж) Распространение идеи оптимальности, которая проникает
сейчас в самые разнообразные области приложений.
з) Значительное развитие и широкое применение идей и методов
дискретной математики.
Прикладные тенденции значительно повлияли и на теоретическое
направление. В частности, именно этим объясняется пристальное
внимание к проблемам алгоритмизации, а также оптимизации,
характерное для всей современной математики и накладывающее
заметный отпечаток на многие ее области. (См. [386].)
Приведем в заключение яркую характеристику развития
математики, начиная с эпохи Возрождения, содержащуюся во введении к
книге Р. Куранта и Г. Роббинса [179].
«После периода медленного накопления сил — с возникновением в XVII
веке аналитической геометрии и дифференциального и интегрального
исчислений — открылась бурная революционная фаза в развитии математики
и физики. В XVII и XVIII вв. греческий идеал аксиоматической
кристаллизации и систематической дедукции потускнел и утерял свое влияние, хотя
античная геометрия продолжала высоко расцениваться. Логически
безупречное мышление, отправляющееся от отчетливых определений и
«очевидных», взаимно не противоречащих аксиом, перестало импонировать новым
пионерам математического знания. Предавшись подлинной оргии
интуитивных догадок, перемешивая неоспоримые заключения с бессмысленными


§1. ПРИКЛАДНОЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ НАПРАВЛЕНИЯ 31
полумистическими утверждениями, слепо доверяясь сверхчеловеческой
силе формальных процедур, они открыли новый математический мир, полный
несметных богатств. Но мало-помалу экстатическое состояние мысли,
упоенной головокружительными успехами, уступило место духу сдержанности
и критицизма. В XIX столетии сознание необходимости консолидировать
науку, особенно в связи с нуждами высшего образования, после французской
революции получившего широкое распространение, повело к ревизии основ
новой математики; в частности, внимание было направлено к
дифференциальному и интегральному исчислениям и к уяснению подразумеваемого
анализом понятия предела. Таким образом, XIX век не только стал эпохой
новых успехов, но и был ознаменован плодотворным возвращением к
классическому идеалу точности и строгости доказательств. В этом отношении
греческий образец был даже превзойден. Еще один раз маятник качнулся в
сторону логической безупречности и отвлеченности. В настоящее время мы
еще, по-видимому, не вышли из этого периода, хотя позволительно надеяться,
что установившийся прискорбный разрыв между чистой математикой и ее
жизненными приложениями сменяется эрой более тесного единения.
Приобретенный запас внутренних сил и, помимо всего прочего, чрезвычайное
упрощение, достигаемое на основе ясного понимания, позволяют сегодня
манипулировать математической теорией-таким образом, чтобы приложения
не упускались из виду».
6. Что включать в математику? Что такое прикладная
математика? Вообще, существует ли она? Эти вопросы сейчас вызывают
порой ожесточенную дискуссию, тем более что термин «прикладная
математика» стал сейчас чрезвычайно модным (особенно среди
неспециалистов).
Кажется, что наиболее распространенная точка зрения на
понятие «прикладная математика» среди математиков состоит
в том, что прикладной математики вообще нет. Впрочем,
разные математики вкладывают в эти слова совершенно различное
содержание в зависимости от того, что они, математики, включают в
саму математику *).
Одни считают, что математикой нужно называть лишь чисто
дедуктивные построения, связанные с изучением математических
абстракций самих по себе. Все, что лежит вне таких построений, к
математике и к математикам отношения не имеет и не должно
называться математикой, даже прикладной. Вот одно из наиболее крайних
выражений этой позиции: «Математика есть создание чистого разума
и поэтому не нуждается в связях с другими сферами деятельности
человека» (Л. Морделл [226, с. 28]).
Приведем еще высказывание Ж- Дьедоннь по этому поводу (цит.
по [298, с. 18]): «...в принципе современная математика в основе
своей не имеет какой-либо утилитарной цели,
а представляет собой интеллектуальную дисциплину, практическая
польза которой сводится к нулю ... математик в своих
исследованиях никогда не руководствуется мыслью о степени полезности
полученных результатов в будущем (что, впрочем, и невозможно
предсказать), скорее он руководствуется желанием проникнуть в
*) При перечислении точек зрения в пп. 1.6 и 1.7 использованы, в
частности, устные высказывания М. А. Красносельского.


32
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
понимание математического явления, как явления,
заканчивающегося на себе само м... математика — не более
чем «роскошь», которую может позволить себе цивилизация».
Грустно, что это говорит один из руководителей группы «Бур-
баки», оказывающей значительное влияние на лицо всей
современной чистой математики...*). Ныне эта точка зрения редко
высказывается вслух, но «неофициально» она довольно распространена;
между прочим, она представляется «удобной» для многих
преподавателей математики у нематематиков.
В действительности названная точка зрения, неправомерно и
значительно суживающая границы Великой Науки Математики,
приносит вред в первую очередь самой математике (и, конечно, делу
подготовки молодых математиков, внушая им заблуждение, что
математика может проявляться только в ортодоксальных
рассуждениях). Вот что пишут по этому поводу М. Кац и С. Улам: «Попытки—
к сожалению, довольно частые — изолировать «чистую» математику
от всей остальной научной деятельности и заставить ее вариться в
собственном соку могут лишь обеднить и математику и прочие
науки» [144, с. 234]; Дж. фон Нейман: «Некоторые из лучших идей
современной математики (я думаю, что самые лучшие) вполне
определенно имеют своим первоисточником естествознание» [487].
Приведя ряд примеров таких идей и процитировав Фурье
(«Глубокое изучение природы — вот самый обильный источник
математических открытий»), Г. Биркгоф [35, с. 87—88] отмечает, что в
дальнейшем такими источниками, наряду с физикой и техникой, будут
химия, биология, экономика, административные науки. Он пишет:
«...я предсказываю, что исследование этих предметов,
стимулируемое показаниями всех наших чувств, внешних и внутренних, а не
только нашим чувством логики, приведет к новым и важным
математическим понятиям».
Те же мысли высказывались Ф. Клейном: «Чисто логические
концепции должны составить, так сказать, жесткий скелет организма
математики, сообщающий ей устойчивость и достоверность. Но
сама жизнь математики, важнейшие ее линии развития и
продуктивность относятся преимущественно к ее приложениям, т. е. к
взаимным отношениям ее абстрактных объектов со всеми другими
областями. Изгнать приложения из математики — это то же, что искать
живое существо с одной только костной основой, без мускулов,
нервов и сосудов» [154, с. 33]. Процитируем, наконец, и А.
Пуанкаре, который убедительно подчеркивал пользу взаимосвязи
математики и физики для обеих сторон: «Физика не только дает нам
(математикам — Авт.) повод к решению проблем; она еще помогает
найти к этому средства. Это происходит двояким путем. Во-первых,
*) Любопытно, что в одной из недавних проблемных статей (см. [4631)
Дьедонне говорит о желательности синтеза математики и физики, но видит
трудность в том, что физики плохо знают современную математику.
Вспоминается изречение: «Врачу, исцелися сам»!


§1. ПРИКЛАДНОЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ НАПРАВЛЕНИЯ 33
она дает нам предчувствие решения; во-вторых, подсказывает нам
ход рассуждений» [268, с. 225]. (См. также [537].)
Здесь в сущности выражена вторая точка зрения, на наш взгляд
гораздо более приемлемая; она заключается в том, что в сферу,
охватываемую понятием «математика», вводятся также и практические
методы решения задач, приходящих извне математики
(приближенные методы, применение математических машин и т. п.).
Однако еще более нам импонирует самая широкая — третья —
точка зрения, согласно которой математика не только охватывает
дедуктивные области, но и включает все математические
сущности — математические объекты, методы и идеи, встречающиеся как в
теоретической математике, так и в приложениях: имеются в виду
построение математических моделей, математический эксперимент,
индуктивные или другие рациональные (§ 3) рассуждения
математического характера и т. п. При этом возникают обширные области, в
которых математика как бы сращена с другими дисциплинами, так
что отдельные фрагменты таких областей можно в равной степени
относить как к математике, так и к этим дисциплинам.
В книге Д. Пойа [263, с. 309] говорится: «Пределы
математики — это вся область доказательных рассуждений, относящихся
к любой науке, достигнувшей того уровня развития, при котором
относящиеся к этой науке понятия могут быть выражены в
абстрактной, логико-математической форме». Хочется добавить, что при этом
понятию доказательности не следует приписывать узко
догматическое содержание. Конечно, приверженцам этой точки зрения,
которая представляется нам наиболее прогрессивной и плодотворной
для математики (и, что существенно, также для математиков),
приходится поступиться «теоретико-множественным единством»
математики, оставив его лишь за неким «ядром» математики.
7. Точки зрения на прикладную математику. Прежде всего с
огорчением отметим, что, по мнению некоторых математиков, заниматься
приложениями вообще зазорно.
По этому поводу Ф. Клейн писал: «К сожалению... все еще встречаются
университетские преподаватели, которые не жалеют презрительных слов
по адресу всякого занятия приложениями. С высокомерием, которое
сказывается в таких взглядах, следует бороться самым решительным образом.
Всякое дельное достижение, относится ли оно к теоретической или к
прикладной области, следовало бы ценить одинаково высоко, предоставляя
каждому возможность заниматься теми вещами, к которым он чувствует
наибольшую склонность. Тогда каждый проявит себя тем более
разносторонним образом, чем большим числом талантов он обладает: величайшие
гении, каковыми являются Архимед, Ньютон, Гаусс, всегда охватывали
равномерно и теорию и практику» [155, с. 292].
Г. Биркгоф говорит, что многие чистые математики, «будучи всего лишь
прикладными логиками, настойчиво умаляют значение прикладной
математики и с радостью уморили бы ее до смерти» [35, с. 86].
Приведем еще слова Р. Куранта: «На самом деле между «чистой» и
«прикладной» математикой невозможно провести четкую грань. Поэтому-то в
математике не должно быть разделения на касту верховных жрецов,
поклоняющихся непогрешимой математической красоте и внимающих только
* И. И. Блехман и др.


34
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
своим склонностям, и на работников, обслуживающих их. Подобная
«кастовость» — в лучшем случае симптом человеческой ограниченности» [201,
с. 27). На вреде такого снобизма останавливается Н. Бейли [30, с. 138] в связи
с приложениями математики к биологии и медицине, а также Г. Штейнгауз
[353, с. 389—392).
В. В. Новожилов пишет: «К сожалению, теоретик до сих пор нередко
рассматривает «прикладника» как математика второго сорта, как ученого,
который не способен работать предельно строго, разменивается на частности
в ущерб общности. Легко обнаруживая у «прикладников» промахи в
строгости рассуждений, теоретик часто остается равнодушным к их основному
достоинству — умению с достаточной для пг,актических целей точностью
решать такие актуальные задачи, которые он сам строгими методами решить
не может» («Известия» от 17 января 1971 г.).
Даже фантаст А. Кларк высказался по этому поводу [153, с. 84):
«Профессор был не из тех ученых, чаще всего математиков, которые искренне
огорчаются, поняв, что их работа в области чистой теории, оказывается,
представляет и практическую ценность».
В этих цитатах достаточно ярко освещена психологическая
сторона вопроса. Но независимо от этого нужно подчеркнуть, что ныне
все чаще признается объективное существование прикладной
математики *). Однако и за подобным признанием скрываются
различные точки зрения.
Так, некоторые отождествляют прикладную математику с
вычислительной и машинной математикой. Эта точка зрения
представляется узкой и создающей одностороннюю ориентацию.
Другие считают, что прикладная математика — это «ширпотреб-
ная», в дурном смысле, часть математики, существующая в виде
логически недоработанного и несовершенного (возможно, из-за
низкой математической культуры специалистов в этой области?)
набора некоторых приемов, рецептов и правил. Указанные
недостатки прикладной математики должны быть преодолены, в результате
чего эта «субматематика» возвысится до нормального
математического уровня.
Иногда подобная точка зрения является реакцией на те, отнюдь
не редкие работы, в которых математическое легкомыслие приводит
к прямым ошибкам или, что гораздо хуже, математическая
малограмотность которых «компенсируется» претенциозными ссылками на
якобы прикладную значимость результатов. К сожалению, эта
точка зрения порой проникает и в сознание прикладников, вызывая
у них некий комплекс неполноценности. Это, в свою очередь,
приводит к самым нелепым, часто комическим наукообразным
упражнениям математического характера **).
*) Самый убедительный довод в защиту существования прикладной
математики мы услышали на одной дискуссии. «Как можно сомневаться в
этом» —- сказал выступающий,— «если приказом по Минвузу СССР введена
подготовка по специальности «Прикладная математика»?» Кстати, говорят,
что во Франции был приказ по министерству образования: «Считать нуль
натуральным числом».
**) «Наряду с образцами подлинной творческой деятельности в области
прикладной математики нередко приходится встречаться с «псевдоприклад-
ными» работами» где традиционный, иной раз весьма замысловатый и тонкий


§ !. ПРИКЛАДНОЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ НАПРАВЛЕНИЯ 35
Если эта наивная, но распространенная точка зрения не
является лишь выражением снобизма, то она основана на тяжелом
непонимании ситуации. В самом деле, как с этой точки зрения можно
объяснить то, что физики, инженеры-теоретики и другие
исследователи, среди которых, надо думать, имеется немало неглупых людей,
применяя математику, упорно уклоняются от строго дедуктивного
языка? И хотя в институтах их систематически учат этому языку,
они (себе во вред?) предпочитают переучиваться, переходя на
«несовершенный» язык прикладной математики и перестраивая весь
образ математического мышления. Эта перестройка порой
напоминает ломку, так как сопровождается отбрасыванием многих «чистых»
определений, теорем и приемов, на которых категорически
настаивает чисто дедуктивный образ мышления. По нашему мнению,
такая перестройка вполне естественна, и единственное объяснение ее
состоит в том, что она необходима. Ниже мы постараемся показать,
что отсутствие категорического требования формально-логического
совершенства в приложениях математики неизбежно и представляет
собой не признак слабости, а источник особой силы прикладной
математики.
Остановимся теперь на точке зрения, высказанной в нашей статье
143]. Мы исходили из того, что математическое решение прикладных
задач обладает серьезной спецификой. Прежде всего, здесь
принципиально недостижима доказательность того же уровня, что в чисто
математических исследованиях, хотя бы потому, что математическая
модель реального объекта может описывать лишь существенные в
том или ином смысле черты этого объекта, но никогда не претендует и
не должна претендовать на его полное описание. С другой
стороны, к решению прикладных задач предъявляются требования,
которые в чисто математических исследованиях считаются
второстепенными: прикладная задача должна быть решена не только
правильно, но и своевременно, экономно по
затраченным усилиям, решение должно быть доступным для
существующих вычислительных средств и пригодным для
фактического использования, точность решения должна
соответствовать задаче и т. п.*)
Наилучшее выполнение всех этих порой противоречащих друг
другу требований мы условно назвали оптимальностью решения
(по отношению к приложениям), хотя, конечно, здесь было бы
затруднительно указать единую целевую функцию. На основе этого
математический аппарат работает вхолостую. В таких работах прикладная
задача служит только поводом для затейливого математизирования» [101,
с. 108].
*) Н. Бабушка, Э. Витасек и М. Прагер (21, с. 9): «...сегодня задача
считается решенной только в том случае, если имеется эффективный метод,
дающий требуемый результат с достаточной точностью за приемлемый отрезок
временил. Н. С. Бахвалов [28, с. 14J: «Лучше найти удовлетворительное
решение задачи, но в срок, чем получить полное решение задачи к тому времени,
когда оно станет бесполезным».
2*


36
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
i
1
*
Изучение подали
Математическая модель
было предложено определение прикладной математики как науки
об оптимальных или просто о практически приемлемых методах
решения математических задач, возникающих вне математики.
Таким образом, прикладная математика — это математика,
опосредствованная практикой, это как бы составная дисциплина
наподобие технической термодинамики или прикладной теории упругости.
Развитие этой дисциплины определяется как расширением круга
^____^^ приложений, так и изменением со-
' Реальный объект I ДеРжания ПОНЯТИЯ ОПТИМаЛЬНОСТИ
4 решения задачи; в частности, на
это содержание существенно влия-
ют возможности вычислительных
|i| 111 средств. Само собой разумеется,
^^ s™ что мы не должны отвергать
решения, лишь приблизительно
отвечающие требованию
оптимальности, т. е. просто эффективные,
р j Значительная часть реальных
решений, которыми мы пользуемся,—
это решения, в данное время
удовлетворяющие в какой-то мере этому требованию.
По данному поводу можно напомнить афоризм: «Чистая
математика делает то, что можно, так, как нужно, а прикладная — то,
что нужно, так, как можно». Он в целом правильно передает
тенденции, хотя слово «нужно» здесь употреблено в различных смыслах.
Имея в виду только второй смысл, скажем, что прикладная
математика призвана делать то, что нужно, и так, как нужно.
Представляется привлекательной и точка зрения, высказываемая
рядом авторов: прикладная математика — это наука о
математических моделях; более подробно можно сказать — о построении,
исследовании, интерпретации и оптимизации математических
моделей реальных объектов. Это определение, выделяющее объект науки,
на наш взгляд, не противоречит предыдущему, которое имеет более
функциональный характер. Таким образом, если проводить
аналогию — в целом, довольно глубокую — между математикой и
языком, то чистая и прикладная математика будут напоминать
грамматику и семантику 17 соответственно [247].
Ситуацию схематически иллюстрирует рис. 1. Математика
непосредственно применяется не к реальному объекту, а к его
математической модели. Прикладная математика не только в определенной
степени охватывает переходную область между реальным объектом
и его моделью, но, что специфично для нее, при самом изучении
модели все время «помнит» о ее происхождении и о цели этого
изучения. (Отметим, что весьма многие прикладные исследования
отталкиваются не от реального объекта, а от его физической,
механической и т. п. модели (подробнее об этом см. в п. 4.2). В самом деле,
когда мы начинаем статьи с «Рассмотрим балку и т. д.», мы, как


§ 1. ПРИКЛАДНОЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ НАПРАВЛЕНИЯ 37
правило, имеем в виду не какую-то конкретную, «эту» балку, а балку
«вообще». Но и тогда схема рис. 1 полностью сохраняет силу.)
Порой приводят изречение Хаксли, которое любил повторять
А. Н. Крылов, что математика (конечно, имеется в виду прикладная
математика) подобна жернову: засыплешь хорошее зерно, получишь
хорошую муку, засыплешь зерно пополам с плевелом — и результат
будет плачевный. При этом несомненно верную мысль нередко
трактуют слишком прямолинейно *). Однако сводить роль современной
прикладной математики лишь к механическому «перемалыванию»
моделей и исходных положений, лежащих в их основе,— значит
существенно преуменьшить ее значение. Если воспользоваться
образом плевела, то, помимо перемалывания, прикладная
математика может и призвана делать следующее.
До перемалывания — проанализировать содержимое мешков;
установить наилучший способ отсеивания плевел до разумного
уровня (кстати, и уточнить этот уровень); произвести отсеивание;
выбрать оптимальный способ помола; создать необходимые
приспособления для этого, если их еще не было.
После перемалывания — оптимально расфасовать муку;
уточнить, какие блюда можно изготовить из нее и как это лучше всего
сделать; какие потребуются добавки и т. п.
Таким образом, прикладная математика — не только жернов,
а прикладной математик — не только мельник, но также и инженер,
и товаровед, и кулинар. Показать, что это так (и должно быть так),—
одна из задач нашей книги.
Дискуссии о том, образует ли прикладная математика
самостоятельную науку, представляются несколько схоластическими из-за
многозначности выражения «самостоятельная наука». Пожалуй,
более правильно говорить не о науке, а об определенном аспекте
математики, возникающем при ее приложениях, так сказать, о
результате своеобразного «проецирования» математики на природу и
цивилизацию; важно, что при таком проецировании математика
приобретает качественно новые черты. (Так, У. Прагер [266, с. 8]
определяет прикладную математику как «мост, соединяющий чистую
математику с наукой и техникой», подчеркивая, что «этот мост
обеспечивает двустороннее движение».) Это проецирование, эти черты и
определяют прикладную математику **). Иначе говоря, математика
*) По этому поводу, как и по поводу высказываний Д. Гильберта и
А. М. Ляпунова (с. 198), уместно вспомнить мысль французского писателя
и моралиста Шамфора о том, что люди часто приписывают сентенциям,
высказанным выдающимися личностями, гораздо более широкую область
применимости, чем их авторы. (Впрочем, это суждение можно отнести и к мысли
самого Шамфора.)
**) Аналогичная трудность возникает при определении понятия
«кибернетика». М. Аптер пишет поэтому поводу [16, с. 31]: «Конечно, не важно,
употребляется ли то или иное слово... Что представляется важным, так это то,
что нужно какое-то слово для обозначения того важного начала, которое
объединяет исследования в этой обширной области».


38 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
имеет два аспекта (как бы два лица): математика как цель и
математики как средство; эти аспекты и определяют схематически
чистую и прикладную математику.
Дополнительное осложнение возникает в связи с тем, что
понятия «прикладное исследование», «прикладной раздел» и т. д.
являются относительными; это порой приводит к недоразумениям,
например к тому, что прикладниками (соответственно теоретиками)
называют себя люди, которые друг друга таковыми не считают.
Целый ряд исследований, книг и т. д. можно назвать как
прикладными (если они рассматриваются с еще более абстрактных позиций),
так и чисто математическими (скажем, с позиции инженера). Такая
относительность понятия «прикладного» имеет место также в физике,
механике и других дисциплинах.
По поводу понятия прикладной математики и перспектив ее
развития см. также [45, 78, 92, 95, 148, 247, 321, 387, 390, 393, 401, 408,
433, 439, 454, 465, 472, 479, 493, 519, 5331.
Итак, мы будем пользоваться словами прикладная математика
как рабочим термином, определенным последними из приведенных
выше точек зрения. По существу, говоря эти слова, мы будем иметь
в виду те черты, которые приобретает математика в процессе ее
приложений. В отличие от этого, говоря о чистой математике, мы
будем, в первую очередь, иметь в виду «ортодоксальную» математику
от Вейерштрасса до Бурбаки, основанную на наивной теории
множеств. В соответствии с дедуктивным способом изложения в чистой
математике мы будем условно называть дедуктивными все понятия,
рассуждения и т. п., находящиеся на «ортодоксальном» уровне.
Подчеркнем, что выделение чистой и прикладной математики
никак не имеет абсолютного характера, так как это по существу
различные аспекты науки, сохраняющей важнейшие
черты единства (прежде всего, в основном предмете
изучения — структурах, но и не только в этом). В каждом из этих
аспектов возникают свои глубокие активно взаимодействующие идеи
(поэтому представляется неудачным говорить не о «чистой», а о
«теоретической» математике); однако это взаимодействие далеко от
оптимального!
Основное внимание мы уделим более конкретным вопросам:
каковы характерные ситуации, возникающие при приложении
математики; в чем специфика методов рассуждений прикладной
математики, в частности, какие рассуждения признаются в ней
доказательными и т. д. Обсуждение этих вопросов может оказаться
полезным, даже жизненно актуальным в исследованиях совершенно
конкретного характера.
Приведем в заключение слова Р. Куранта [201, с. 271 о различии под-
кодов к проблемам чистой и прикладной математики; эти слова могут служить
своеобразным введением к нашему последующему изложению.
«Одна и та же математическая проблема может быть решена по-разному;
приверженец строгого математического подхода (а стремление к таковому
временами возникает у всякого человека, склонного к научному мышлению)


§ 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
39
требует бескомпромиссного совершенства. Он не допускает никаких
пробелов в логике мышления и в решении поставленных задач, а достигнутый
результат, по его мнению, должен быть венцом неразрывной цепи
безупречных рассуждений. И если сторонник такого подхода сталкивается с
трудностями, которые ему кажутся непреодолимыми, то он скорее попытается
переформулировать задачу или даже поставить другую, родственную ей,
трудности которой он может преодолеть («то, что можно — так, как
нужно».— Авт.). Существует и другой обходной путь: заново определить то,
что считалось «решением проблемы»; в действительности подобная процедура
иногда представляет собой довольно общепринятый предварительный шаг к
подлинному решению задачи.
В исследованиях прикладного характера все выглядит по-иному. Прежде
всего, поставленную задачу нельзя с такой легкостью видоизменить или
обойти. Здесь требуется другое: дать правильный и надежный с
общечеловеческой точки зрения ответ. В случае необходимости математик может пойти
на компромисс: он должен быть готов внести догадки в цепь рассуждений,
а также допустить известную погрешность в числовых значениях. Однако
даже задачи в основном практического направления, например о течениях
с ударными волнами, могут потребовать фундаментального математического
исследования, чтобы установить, корректно ли поставлена такая задача.
В прикладных исследованиях могут понадобиться и доказательства чисто
математических теорем существования, поскольку уверенность в том, что
имеется решение, может гарантировать достоверность используемой
математической модели. (Как мы попытаемся далее показать, дело здесь обстоит
несколько сложнее.— Авт.). И наконец, в прикладной математике
доминируют аппроксимации (приближения) — без них невозможно обойтись при
переносе реальных физических процессов на математические модели.
Обращение с реальностью, преобразованной в абстрактные
математические модели, и оценка точности достигаемых при этом соответствий требуют
интуитивных навыков, совершенствуемых опытом. Часто необходимо как-то
преобразовать исходную математическую проблему, которая оказывается
слишком сложной для решения современными методами. Это отчасти
объясняет характер интеллектуального риска и удовлетворение, которое
испытывают математики, работающие с инженерами и естествоиспытателями над
решением реальных задач, возникающих всюду, куда проникает человек в
своем стремлении к познанию природы и управлению ею».
§ 2. О различии некоторых подходов в чистой
и прикладной математике
«Математическая, или логическая,
«строгость» сама по себе отнюдь не
является еще гарантией истинности и
надежности науки. Нетрудно привести примеры,
где строгая последовательность выводов
могла принести — и действительно
принесла—только вред прогрессивному
развитию науки».
С. А. Яновская [306, с. 249]
1. Предварительные замечания. Имеется много математических
понятий и утверждений, которые в чистой и ^прикладной математике
трактуются одинаково или почти одинаково и потому могут быть
более или менее непосредственно перенесены из чистой математики в
прикладную, если они представляют интерес для последней. К их
числу относятся разнообразные тождественные преобразования,
понимаемые в широком смысле (например, к ним можно отнести


40
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
формулу Грина); многие другие однозначно понимаемые формулы,
например формулы дифференцирования, формула для решения
квадратного уравнения и т. п.; утверждения типа «все решения данного
уравнения положительны», «данная задача не может иметь более
одного решения» и т. д.
Однако имеются понятия и утверждения, трактовки которых в
чистой и в прикладной математике принципиально различаются.
Здесь мы остановимся именно на таких случаях, когда понятия и
утверждения чистой математики неприемлемы для прикладной
математики и вынуждают последнюю искать свои пути, в свою очередь,
неприемлемые с точки зрения чистой математики.
2. сСуществование» в чистой и прикладной математике. В
чистой математике понятию «существование» долгое время вообще не
давалось ни определений, ни пояснений; как бы подразумевалось, что
его содержание и так каждому ясно. Самими собой понятными
считались выражения типа (а) «решение этой задачи существует» или
(б) «в множестве М существует по крайней мере один элемент #0,
обладающий свойством а». Впервые Г. Кантор, затем А. Пуанкаре и
в наиболее отчетливой форме Д. Гильберт уточнили, что в рамках
чистой математики понятие существования тождественно логической
непротиворечивости. Тем самым термину было приписано вполне
ясное содержание, причем одновременно обнаружилась и
определенная бедность этого содержания с прикладной точки зрения.
Для прикладника математический объект всегда представляет
собой схематизацию реального, например физического, объекта.
Поэтому голое утверждение о существовании математического
объекта, например утверждение «решение данной задачи существует»,
обычно для прикладной математику совершенно недостаточно.
Правда, оно может иметь какое-либо вспомогательное,
промежуточное значение *), либо может иметь наводящий характер для
«подлинного» утверждения о существовании, в котором математический
объект фактически конструируется с приемлемой точностью
(например, в случае (а) находится решение, а в случае (б)
указывается элемент х0).
Н. С. Бахвалов [28, с. 11]: «... есть разница в подходе «чистого» и
«прикладного» математика к решению какой-либо проблемы. На языке первого
понятие решить задачу означает доказать существование решения и
предложить процесс, сходящийся к решению. (Даже последнее часто считается
необязательным.— Авт.) Сами по себе эти результаты полезны для
прикладника, но, кроме этого, ему нужно, чтобы процесс получения приближения
*) Такой является, например, известная теорема Лагранжа о конечных
приращениях, представляющая собой чистую теорему о существовании
решения уравнения f(b)—f(a)=(b—a)f'(x) (a<x<b). При ее применениях
используется оценка f {х) при всех х на (а, 6), так что достаточно только знать,
что такое х существует. Поэтому, если говорить о подобных применениях, то
теорему можно переформулировать так: из c</'(x)<d (a<x<b) вытекает, что
с(Ь—a)<f(b)—f(a)<.d(b—а); это утверждение уже не содержит
неконструктивных объектов.


§2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
41
не требовал больших затрат, например, времени или памяти ЭВМ. Ему
важно не только то, что процесс сходится, но и то, как быстро он сходится».
Разумеется, доказательство теоремы о существовании служит
вдохновляющим стимулом для исследователя в его поисках
конструктивного решения; при отсутствии такого доказательства
наиболее осторожные исследователи пессимистического склада могут
вообще воздержаться от фактического конструирования решения.
Ссылка на дедуктивно доказанную теорему существования может
повысить уверенность в справедливости каких-либо приближенных
методов или качественных выводов, не имеющих должного
обоснования *).
Однако в целом можно сказать, что неконструктивное
доказательство существования неполноценно для прикладника, а
отсутствие такого доказательства не должно его обезоруживать в поисках
фактического решения. Многое зависит от способа доказательства
теоремы о существовании.
Пусть, например, бесконечное множество М достаточно
простой структуры служит математической моделью реального
(конечного!) объекта R с неопределенно большим или просто с достаточно
большим числом элементов. Например, множество натуральных
чисел может служить моделью упорядоченной дискретной реальной
совокупности, состоящей из конечного, но неопределенно большого
числа элементов. (Аналогичен случай, когда какой-либо реальный
объект достаточно большой протяженности во времени или в
пространстве заменяется при исследовании на объект бесконечной
протяженности.) Если утверждение «в М существует по крайней мере
один элемент xQf обладающий свойством а» доказано с помощью
прямого выявления такого элемента, то обычно бывает сравнительно
просто разобраться, что отвечает этому утверждению в R. Гораздо
менее плодотворно, если оно получено путем приведения к
логическому противоречию противоположного утверждения («каждый элемент
М не обладает свойством а»). Так, элемент из /?, который должен
был бы отвечать х0, может оказаться в той «неопределенной дали»,
где примененная математическая схематизация теряет свою
отчетливость.
Применение закона исключенного третьего 18 к конечным
множествам также может привести к неконструктивным доказательствам
существования. Правда, если элементов у множества немного, а
свойство а, которым должен обладать искомый элемент х0, легко
проверяемо, то эффективное выявление такого элемента можно
осуществить хотя бы с помощью простого перебора. Но в других
случаях доказательство становится менее конструктивным, а иногда
даже полностью неконструктивным.
*) На языке § 3 это означает» что «чистое» доказательство существования
может служить одним из рациональных доводов в защиту правильности
решения.


42 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Приведем пример. Одним из первых начал строить неэффективные
доказательства существования для конечных множеств П. Дирихле на
основании выдвинутого им утверждения, которое теперь называется принципом
Дирихле. Этот принцип, вытекающий из закона исключенного третьего,
гласит, что если п предметов разложено по т ящикам, причем я>т, то по
крайней мере в одном ящике находится более одного предмета. Так, с помощью
принципа Дирихле легко доказывается, что в городе с полумиллионным
населением в любой момент всегда существуют по крайней мере два человека
с одинаковым числом волос *): для этого достаточно к одному классу —
«ящику» — отнести людей с одинаковым числом волос, начиная от 0 н кончая
499998 (число волос у человека никак не превосходит 300000). Но разве это
рассуждение помогает персонифицировать пару «равноволосых» людей?
Наибольшее недоумение с прикладных позиций могут вызвать
утверждения о существовании, полученные с помощью
безоговорочно применяемой в чистой математике аксиомы Цермело (см.14),
поскольку она по своему содержанию вводит в рассмотрение неиден-
тифицируемые объекты. Так, с ее помощью С. Банах и А. Тарский
доказали, что существует такое разбиение шара на четыре части, что
после перемещения в пространстве этих частей как абсолютно
твердых тел оказывается возможным из них составить полностью —
без пропусков! — два шара, каждый из которых равен исходному.
Ясно, что получающийся качественный вывод «с помощью
разбиения и перемещения частей возможно увеличение объема» не имеет
никакой реальной интерпретации **). Не говорит ли это о том, что
фраза Р. Куранта о «сверхчеловеческой силе формальных процедур»,
приведенная на с. 30—31, относится и к нашему времени? (Впрочем,
критикуя предшественников, мы иногда не смущаемся угрозой не
менее обоснованной критики по нашему адресу в будущем.)
Итак, мы видим два принципиально различных взгляда на
понятие существования математического объекта: в прикладной
математике он существует как математическая модель реального
объекта, принципиально идентифицируем и конструируем, тогда как в
чистой математике он существует как идея, не противоречащая
принятой системе аксиом. Интересно отметить глубокую метаморфозу,
которую претерпевает понятие существования, переходя из
естественных наук в чистую математику и превращаясь при этом из
служебного понятия в объект изучения. Здесь проявляется общий тезис
о том, что одни и те же слова могут иметь для различных людей
далеко не одинаковый смысл. Различные группы людей,
пользующихся формально одним языком, в действительности как бы говорят
на хотя и значительно взаимосвязанных, но не идентичных и порой
*) Подразумевается, что для каждого человека в каждый момент времени
можно говорить о точном числе принадлежащих ему волос. Кстати, в
действительности это не так, и потому формально безупречная задача оказывается
полностью неадекватной реальности.
**) В противном случае посыпались бы предложения получать из
небольшого шара, изготовленного, скажем, из золота, сколь угодно большие
количества этого металла с помощью повторного многократного
применения теоремы Банаха — Тарского.


§ 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
43
сильно отличающихся друг от друга языках *); иногда так
поступает и один человек — в различных ситуациях **).
Приведем две цитаты из книги Р. Куранта и Г. Роббинса [179, с. 136—
137 и 139], относящиеся к описанной выше проблеме существования.
«Когда речь идет о доказательствах существования объекта
определенного типа, то есть существенное различие между тем, чтобы построить
осязаемый пример объекта, и тем, что из несуществования объекта можно
вывести противоречивые заключения. В первом случае получается осязаемый
объект, во втором — ничего, кроме противоречия».
«Вопросы, рассматриваемые в математической логике, в конечном счете
упираются в один основной вопрос: что понимать под существованием в
математике? К счастью, существование самой математики не зависит от того,
найден ли удовлетворительный ответ на этот вопрос. Школа «формалистов»
во главе которой стоял великий математик Гильберт, утверждала, что в
математике «существование» означает «свободу от противоречия». Если принять
эту точку зрения, то очевидной и необходимой задачей является как раз
построение системы постулатов, из которых всю математику можно было бы
вывести путем логической дедукции, и доказательство того, что эти постулаты
не могут привести ни к какому противоречию. Недавние результаты Гёделя
и других как будто бы показывают, что такая программа, по крайней мере
в той форме, в какой она была намечена самим Гильбертом, не может быть
осуществлена 19. Весьма многозначительно то обстоятельство, что
гильбертова теория формализованного построения математики существенно
опирается на интуитивные процедуры. Тем или иным путем, в открытой или
скрытой форме, даже прикрытая самым безупречным формалистическим,
логическим, аксиоматическим одеянием, конструктивная интуиция всегда
остается самым жизненным элементом в математике».
И. М. Яглом [360, с. 14): «Все основные стоящие перед людьми задачи
обычно сводятся к преобразованию тех или иных дескриптивных (т. е.
основанных на перечислении требуемых свойств.— Лет.) определений в
конструктивные — таковы, скажем, задачи нахождения максимума функции
или создания парового двигателя. Крайне важно, что нахождение
конструктивного определения того или иного объекта, ранее заданного лишь
дескриптивно, попутно доставляет нам доказательство его существования,
поскольку косвенные определения могут описывать и бессмысленные или
вовсе несуществующие объекты». Прикладная математика служит мощным
орудием такого преобразования.
*) Отметим, в частности, что слово «существование» в сознании
сугубого прикладника может вызвать совершенно неожиданные с точки зрения
чистого математика ассоциации. Дело в том, что физическая осуществимость
(«физическое существование») какого-либо состояния тесно связана с его
устойчивостью. Поэтому вторая часть утверждения «кроме нижнего,
устойчивого состояния равновесия маятника существует верхнее,
неустойчивое» может несколько шокировать прикладника: «Как это
«существует», если оно неосуществимо?».
**) Отец Браун говорил по этому поводу [345, с. 73—74): «Люди
никогда не отвечают именно на тот вопрос, который им задают. Они отвечают на тот
вопрос, который услышали или ожидают услышать. Предположим, одна
леди гостит в усадьбе у другой и спрашивает: «Кто-нибудь сейчас живет
здесь?» На это хозяйка никогда не ответит: «Да, конечно,— дворецкий, три
лакея, горничная», хотя горничная может хлопотать тут же в комнате, а
дворецкий стоять за ее креслом; она ответит: «Нет, никто»,— имея в виду тех.,
кто мог бы вас заинтересовать. Зато если врач во время эпидемии спросит
ее: «Кто живет в вашем доме?» — она не забудет ни дворецкого, ни горничной.,
ни всех остальных. Так уж люди разговаривают: вам никогда не ответят на
вопрос по существу, даже если отвечают сущую правду».


44 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
См. также [310], статьи «Интуиционизм» и «Конструктивная
математика» в Математической энциклопедии и указанную там
литературу.
3. Проблема бесконечности. Мы уже затронули выше эту
важнейшую проблему, которая также по-разному трактуется в
прикладной и чистой математике. Изучаемые реальные объекты конечны,
поэтому бесконечный математический объект (бесконечная
последовательность, бесконечный интервал и т. п.) может появиться в
результате упрощающей математической схематизации, когда
«далекие» элементы, участки теряют свою индивидуальность, их
влияние сходит на нет *). Таковы понятия упругого пространства
(полупространства и т. д.) или бесконечно длинного стержня в
теории упругости, или понятие об установившемся режиме
вынужденных колебаний (или автоколебаний 20), на который не влияют
начальные условия. Реальное количество элементов или реальный
размер интервала, дающие возможность перехода к математической
бесконечности, в различных задачах — даже при изучении одного
и того же объекта — весьма различны; они зависят от «скорости
затухания» влияния далеких элементов, существенности этого
влияния и от допустимой погрешности при решении задачи. Поэтому
такая бесконечность является, по существу, незавершенной и
притом счетной: в дискретном случае количество элементов, которые
имеют «персональное» значение, может при модификации задачи
измениться, бесконечное множество может при этом перейти в
конечное и обратно. Аналогичные метаморфозы в непрерывном случае
происходят с длительностью переходного процесса в,теории
колебаний, с пограничным слоем и т. д.
Другой тип бесконечности в прикладной математике появляется
в результате такой схематизации конечной системы, когда каждый
элемент теряет индивидуальное значение. При такой схематизации
дискретность заменяется на непрерывность, суммы — на интегралы
и т. п. Интересно, что в некоторых конкретных примерах число
элементов в системе, дающее право на подобные упрощающие
замены, может оказаться весьма небольшим. В качестве примера
сошлемся на задачу о вычислении наибольшего прогиба круглой
пластинки, нагруженной в середине и свободно опертой в п точках
на контуре, которые расположены в вершинах правильного п-уголь-
ника: как показывают расчеты, уже при п=5 эту систему опор можно
с достаточной точностью заменить свободным опиранием вдоль
всего контура, т. е. в рассматриваемой задаче уже 5 « оо.
Таким образом, результаты, полученные в терминах актуально
*) Отметим, что само по себе рассмотрение непрерывных переменных
еще не вводит в прикладнукЛматематику бесконечности, так как область
изменения таких переменных выступает в приложениях не как набор точек,
а как первичный объект (например, интервал времени) с внутренней
организацией, т. е. система (см. [352|).


§ 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
45
бесконечных множеств, нуждаются в тщательном анализе при
переводе на язык приложений.
Имеется еще одно существенное различие в подходах чистой и
прикладной математики к бесконечному; оно относится к понятию
бесконечно малого. Чистая математика уже давно отвергает
концепцию актуальной бесконечно малой, и в современных математических
курсах для математиков это понятие не упоминается. (Оно строго
«реабилитировано» в недавно оформившемся так называемом
нестандартном анализе [110], однако пока еще рано говорить о
практической ценности этого направления.) В то же время все
дифференциальные законы прикладных дисциплин выводятся и трактуются
на уровне актуальных бесконечно малых, причем стихийно, без
явных формулировок выработались навыки действий с такими
величинами, в частности представления о том, когда можно, а когда
нельзя отбрасывать величины высшего порядка малости и т. п.
Так, при рассмотрении криволинейного движения точки для
построения вектора скорости можно малый (точнее, актуальный бесконечно
малый) участок траектории заменить на малый прямолинейный
отрезок, отбросив малые высшего порядка, определяющие кривизну
этого участка. Однако для построения вектора ускорения
приходится удерживать малые второго порядка, а малый участок траектории
заменять дугой окружности. Если же изучается кручение 21
траектории в пространстве, то начинают играть роль даже величины
третьего порядка малости по сравнению с длиной участка
траектории.
Иногд? думают, что вывод и трактовку дифференциальных
законов можно сделать «вполне строгими» с помощью «строгого» (на
е-уровне) перехода к пределу. На самом деле положение
существенно сложнее: такой переход невозможен уже из-за квантовых и
молекулярных свойств, в силу которых рассматривать физические
величины, уменьшенные сверх некоторых границ, лишено смысла.
Поэтому физики вводят «физические» или «практические» бесконечно
малые величины, не давая этому понятию определения на уровне
чистой математики. Строгий в смысле чистой математики
предельный переход производится на самом деле в некоторой
математической модели физической картины, однако правила построения этой
модели не являются в этом же смысле строгими. Иногда просто
говорят, что такая модель получается в результате осреднения
реальной картины по областям физически бесконечно малых размеров, но
такую оговорку чистая математика, конечно, не может признать
строгой.
В качестве типичного примера рассмотрим определение плотности в
точке неоднородного тела
р(Л)= lim £2. (1)
где (AV) означает малую область, содержащую точку Л, AV — объем этой


46
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
области, а прочие обозначения очевидны. Ясно, что реально область (AV)
не должна безгранично уменьшаться, ее размеры должны быть существенно
больше межмолекулярных расстояний, хотя и существенно меньше
характерных конечных размеров, на которых плотность может заметно измениться.
Применяя для области таких размеров букву d вместо Л, приходим к
формулам
в которых dm и dV представляют собой физически бесконечно малые
величины, т. е. величины, удовлетворяющие описанным оценкам; эти величины
можно рассматривать как переменные или как постоянные. Формулу (1)
можно понимать ив смысле чистой математики, если реальное вещество,
состоящее из частиц, предварительно заменить с помощью осреднения и
«сглаживания» результата на математическую сплошную среду; эту операцию
иногда называют «размазыванием» или «континуализацией».
Физические бесконечно малые, имеющие совершенно иные
масштабы протяженности, возникают при рассмотрении плотности
населения на Земле или плотности распределения звезд во Вселенной.
Конечно, и здесь можно применить осреднение, хотя в первом
примере его результаты, если их образно себе представить, выглядят
несколько странно...
Примененные выше выражения «существенно больше»,
«существенно меньше», «заметное изменение» не имеют точного чисто
математического смысла, это типичные размытые понятия (п. 2.9).
В большинстве теоретических рассуждений они и не нуждаются в
полном уточнении, достаточно иметь уверенность, что величина
выбирается с необходимым «запасом прочности», который может
понадобиться в этих рассуждениях. Во многих случаях переход к
величинам высшего или низшего порядка означает по традиции
попросту увеличение или уменьшение не менее чем в 10 раз, хотя в ряде
случаев такой коэффициент, как бы меняющий качество величины,
имеет существенно иное значение. Какие-либо обоснованные общие
соображения о выборе этого коэффициента пока отсутствуют, и
трудно представить себе, на что они могли бы опираться.
Итак, рассуждения, связанные с выводом или интерпретацией
дифференциальных законов, никогда не имеют чисто дедуктивного
характера.
4. Прикладная математика и число. Даже к такому первичному
математическому понятию, как число, чистая и прикладная
математика относятся по-разному: первая — как к преимущественно
логическому объекту, а вторая — как к порядковому индексу или к
количественной мере реальной дискретной совокупности (натуральное
число) или непрерывной протяженности (вещественное число). Это
различие подходов особенно ярко проявляется при рассмотрении
весьма, даже в определенном смысле чрезмерно, больших или малых
чисел. Проблемы, возникающие при этом, непосредственно
связаны с проблемой бесконечности (п. 2.3) и частично затрагивались
выше.


§ 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
47
Будем рассматривать сначала натуральное число как мощность
реального множества, т. е. количество его элементов. Если первые
числа имеют отчетливо выраженную индивидуальность, то по мере
увеличения индивидуальность чисел постепенно теряется, конечно,
для разных классов задач с разной скоростью. При этом имеется в
виду неформальная, а реальная индивидуальность: например, число
1010 имеет отчетливую формальную индивидуальность, однако
трудно представить себе реальную задачу, в которой множество с 1010
элементами отличалось бы от множества с 1010 + 1 элементами.
По-видимому, в быту такая потеря индивидуальности постепенно
начинается с нескольких десятков, в более точных научных и технических
расчетах — с нескольких сотен или тысяч, редко дальше;
исключение по понятным причинам составляют некоторые финансовые
расчеты.
Таким образом, реальные большие числа размываются, и
каждое такое число становится как бы представителем семейства
близких ему чисел. На этом вопросе останавливаются П. К. Ра-
шевский [276] и М. Даммет [414].
Еще большие формально выписанные числа вообще полностью
теряют всякий реальный смысл. Рассмотрим, например, число
iV=10lol°. Конечно, никакая реальная совокупность не может иметь
число элементов, сравнимое с N, т. е. в любой реальной задаче N
равнозначно бесконечности. Можно даже сказать, что в прикладной
математике 101010 как окончательный результат является не числом,
а символической картинкой, наподобие ++4"- Осознание реальной
недостижимости формально построенных чрезмерно больших чисел
привело в последние годы к возникновению нового течения в
математической логике — ультраинтуиционизма (см., например, [259,
§ 1.21). Характерно название первой работы [406] в этом направлении
Д. ван Данцига: «Является ли 101оХО конечным числом?». Впрочем,
числа вида jV могут играть вспомогательную роль, подобно мнимым
числам, которые порой появляются в промежуточных выкладках,
хотя окончательные значения физических величин должны быть
вещественными.
Конечно, сколько-нибудь точно указать рубеж, отделяющий
«истинные» числа от чисел, являющихся следствием принятой системы
обозначений и имеющих лишь ограниченное промежуточное
значение, невозможно. Обычно указывается по этому поводу интервал от
10100до 10200(см., например, книгу Э. Бореля [54, гл. VI]). По
современным представлениям, наибольшая протяженность во Вселенной
имеет порядок 3 • 1010 световых лет, т. е. 3 • 10м см. С другой стороны,
наименьшие реальные значения длин, вероятнее всего, не менее
10~33 см (см., например, [89]). Поэтому значение 3(1028 : 10~33)3=
=3-10183 наверняка значительно превосходит число элементарных
частиц во Вселенной. Для любых реальных условий отношение
наибольшего реального интервала времени к наименьшему вряд ли


48
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
превосходит 1040 *). Однако здесь указаны самые далекие
рубежи, возникающие только в астрофизике; в технике вряд ли
могут встретиться отношения реальных величин, большие 1020.
А вот «бытовой» пример: длительность предстоящей совместной
жизни до золотой свадьбы новобрачные ощущают практически
бесконечной, тогда как она составляет всего 1,83 104 дней.
Число N, формально определенное выше, несравнимо с
реальными числами. В самом деле, по правилам арифметики N : 10100=^
— ю10 -loo Однако в силу упомянутой выше реальной
неопределенности больших чисел можно положить 1010—100= 1010, откуда
N : 10100=N. Мы видим, в частности, что применение самых
мощных ЭВМ нисколько не приближает нас к овладению числом N.
В связи с этим А. Н. Колмогоров предлагал [1581 подразделять
натуральные ч*исла на принципиально различные классы малых,
средних и больших чисел (к последним относится и N); при этом
проблема, которую «ельзя решить с помощью «среднего» перебора,
находится «за жределами машины на любой сколь угодно высокой
ступени развитая нежники и культуры». (См. также [458].)
Таким образом, применяя к прикладной математике теоремы
существования (п. 2.1), предельные переходы, оценки, полученные в
чистой математике, надо все время иметь в виду осмысленные
диапазоны значений рассматриваемых величин. Иногда при этом
приходится пересматривать привычные представления; например,
теоретически lim lg lgAr=oo, однако lg lg 10100=2.
Выше упоминалось, что формальные чрезмерно большие числа
могут иметь вспомогательное значение в реальных
задачах. Так, известно, что в статистической термодинамике
температура порции газа вводится с помощью ее энтропии, которая равна
логарифму числа квантовых состояний этой порции. Простые
оценки (см., например, [130, § XIII.41) показывают, что для 1 л
кислорода в нормальных условиях это число приближенно равно #1=
^=101о2\ т. е. несравнимо больше введенного выше числа N; другими
словами, Nx : N=NX. Конечно, это не противоречит оценке «самого
большого реального числа», так как множество всех квантовых
состояний никак нельзя считать физически реализованным; это
множество в принципе ненамного отличается от множества всех
натуральных чисел, хотя и имеет индивидуальные количественные
*) В «Арифметике» Л. Магницкого (1703 г.) указаны наименования чисел
до 10за, ибо «довлеет числа сего к вещам всем мира всего» («довлеет» значит
«достаточно»). С другой стороны, существенно более современный автор
Р. Эшби пишет [358]: «Все материальное не может выражаться числом,
превышающим 10100». Он останавливается на перспективах развития общей теории
систем, в которой с помощью комбинаторики возникают несравненно большие
числа, и видит единственный выход в том, что «теория систем должна
строиться на методах упрощения и по сути дела представлять собой науку
упрощения».


S 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
49
черты. Сама энтропия 5 = In A^ тоже очень велика, но имеет порядок
числа молекул в системе; поэтому энтропия в расчете на одну
частицу, а также и температура газа имеют уже конечные значения.
Хотя описанный подход к понятию энтропии сейчас является не
только возможным, но даже необходимым, трудно отделаться от
чувства досады из-за того, что отправной точкой в данном
рассуждении послужило нереализуемое число Nx. Быть может, имеются
другие подходы, при которых все отправные точки имеют
непосредственный физический смысл.
Отметим, что в чистой математике, например в теории чисел
и комбинаторике, рассмотрение как угодно больших натуральных
чисел является довольно привычным делом. Порой ощущается как
бы своеобразная гордость за возможность конструктивного
проникновения в область чисел, недоступных непосредственному
воображению, причем к этому проникновению привлекаются ЭВМ. Так, с
помощью ЭВМ доказана простота* числа 2132049—1 — это самое
большое из известных к 1984 г. простых чисел; доказано [535, 538],
что если последняя теорема Ферма22 несправедлива, то в
опровергающем примере основания слагаемых должны быть больше Ю2200000,
а показатель степени — больше 125000 (т. е. сами слагаемые —
больше числа N, определенного выше). Еще один пример мы
заимствуем из книги [192, с. 117—118]. Дж. Литлвуд в 1914 г. доказал,
что существует натуральное М, для которого число простых чисел,
м
не превосходящих М, больше \ -.— , однако доказательство Литл-
о
вуда не давало возможности оценить значение М; известно было
только, что Af>107. И вот в 1937 г. Скьюис получил «оценку» М<
<101<)10 , которая затем была «улучшена» до 101()10 *).
Думается, что такая конструктивность имеет тот же характер,
как, например, в теории трансфинитных чисел; грубо говоря, на
основании формальных аналогий как бы условливаются называть
некоторые логические следствия из принятой системы аксиом
конструктивными, в отличие от прикладной математики,
конструктивность в которой должна быть в той или иной степени связана с
конструированием или распознаванием и т. п. реального объекта.
Сейчас чрезмерно большие числа нашли еще одну область
«применения». В последние годы активно развивается
абстрактно-алгебраическая теория дискретных автоматов (типа машины Тьюринга23),
причем из возможности для автомата совершать те или иные
преобразования за конечное число шагов делаются порой далеко идущие
выводы. Однако оценка числа таких шагов приводит иногда (см.,
*) Мы не удержались здесь от кавычек, хотя самому Скьюису они,
вероятно, показались бы лишними. Впрочем, сейчас уже проверено, что 109<
<Л1<1,65* 101166, но в этой оценке правая часть несравнима с левой.


50
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
например, [367, 402]) к числам вида N и 10^, т. е. заведомо никогда
не реализуемым. Это исключает возможность действительного (а не
словесного) применения подобных результатов.
Естественно, что те же вопросы возникают при рассмотрении
формально определенных чрезмерно малых положительных чисел.
Так, выражение 10~1о1°, полученное в прикладной задаче в качестве
окончательного ответа, равно нулю, причем не приближенно, а
точно *), так как это «число» несравненно меньше любого реального
положительного числа. Малые, получающиеся при сравнении
реальных величин, обратны большим, но реальным числам, о которых
говорилось выше. В практических расчетах такие малые часто
появляются из-за неадекватного выбора единицы сравнения (например,
если выражать массу электрона в тоннах). «Истинная» малость,
которая еще что-то значит по сравнению с единицей,— грубо говоря,
которую еще можно добавлять к единице,— определяется
осмысленной относительной точностью величин, т. е. в конечном счете
уровнем измерительной техники. Сейчас наивысший уровень — до
10""12 _ имеет относительная точность измерения времени и длины;
точность измерения многих других величин существенно ниже.
Конечно, в дальнейшем эта точность будет повышена, но отнюдь
не беспредельно, так как этому противоречат молекулярные и
квантовые свойства, в частности принцип неопределенности; эта точность
в обозримом будущем вряд ли превысит 10~20 и, во всяком случае,
она не достигнет 10~30.
Точность промежуточных вычислений должна превышать
точность окончательного ответа, но обычно не очень значительно;
необходимый запас точности в простых случаях диктуется
правилами приближенных вычислений. При вычислениях на ЭВМ нет
смысла специально загрублять степень точности промежуточных
вычислений, если она оказывается избыточной. Поэтому такие
вычисления производят с естественной точностью, свойственной ныне
применяемым ЭВМ; обычно она близка к 10~10 и для подавляющего
большинства вычислений оказывается достаточной. В редких
случаях применяется удвоенная точность, близкая к 10~20.
Таким образом, не только бесконечные десятичные дроби,
формально допускаемые чистой математикой, но даже дроби со слишком
большим числом значащих цифр лежат за пределами прикладной
математики **). Впрочем, это не означает, что в прикладной
математике нет иррациональных чисел; однако такие числа, как К2,яи
*) (Будучи вырванными из контекста, эти слова могут вызвать
негодование; мы надеемся, что читатели не соблазнятся легкой возможностью
высказать авторам тяжелый упрек. Позже мы будем говорить о том, что выражения
«точно» и даже «абсолютно точно» сами в определенном смысле имеют
относительный характер; см., например, рассмотрение равенства 2X2=4 в п* 2.5.
Несколько утрируя, можно сказать, что если 2X2=4, то 10~10 =0.
**) Заметим в качестве курьеза, что недавно в одном из
исследовательских центров NACA за 28 ч работы ЭВМ было получено значение числа л
с 7-222«2,9-107 цифрами после запятой (Science news.— 1986.— V. 129, № 6)!


§ 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
51
т. п., в ней определяются отнюдь не своими «полными» десятичными
разложениями.
Итак, математический континуум (числовая прямая) при чрез-
мерном продвижении в область малого становится неадекватным
физическому *). Конечно, это замечание нельзя рассматривать
как упрек по адресу теории вещественного числа! Всякая
логическая схема упрощает описываемый ею объект и потому не вполне
адекватна ему, что в том или ином должно проявиться. Теория
вещественного числа логически достаточно проста, основанный на ней
математический анализ внутренне согласован и имеет огромное число
приложений, следствий, правильно описывающих реальность.
Ценность этой теории не вызывает сомнений.
Однако здесь, как и при рассмотрении чрезмерно больших
чисел, проявляется важная черта, свойственная всякой чисто
дедуктивной теории. Содержательная дедуктивная теория
отталкивается от той или иной реальной структуры и заменяет ее некоторой
формальной структурой, которую затем развивает по
формальнологическим законам. Так как эти две структуры не вполне
эквивалентны, то в дедуктивной теории наряду с выводами, адекватными
реальности, могут появиться своего рода «монстры» — паразитные
результаты, имеющие характер чисто логических следствий и не
допускающие реальной интерпретации; при этом на получение
таких паразитных результатов могут затрачиваться значительные
усилия. И если не привлекать соображений, лежащих за пределами
возводимой теории, то нет возможности различать эти два типа
следствий, между которыми, кстати, нет четкой границы. (См. [310,
с. 34—35J.)
В этом состоит, возможно, основная трудность в развитии
чистой математики. В связи со все большей разветвленностью
изучаемых логических структур, все больше увеличивается объем, а
возможно, также и доля результатов паразитного характера, которые
совсем не просто отсечь **) из-за отсутствий внутреннего критерия
«паразитности». К этому нужно добавить, что такое отсечение
сопряжено с некоторым риском: не раз оказывалось, что вопросы,
казавшиеся ранее сугубо отвлеченными, в дальнейшем приобрели вполне
реальное значение; в качестве примеров можно сослаться на такие,
первоначально чисто абстрактные построения, как комплексные
числа, матрицы, неевклидовы геометрии, гильбертово пространство 24.
С этой особенностью связана сложность оценки актуальности
математических исследований, так как для чисто дедуктивного
исследования трудно указать иной критерий ценности работы, кроме
непротиворечивости.
*) На этом, в частности, останавливается М. Борн [56, с. 312).
**) Паразитные следствия могут возникнуть не только в математике.
Таковы, например, бесконечно большие скорости при решении некоторых
задач гидромеханики или бесконечно большие напряжения в некоторых
задачах теории упругости.


52 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
5. Замечание о невозможных событиях. Из п. 2.4 вытекает
существенный вывод, относящийся к предсказанию, основанному на
подсчетах или оценках вероятностей. Известно, что если формально
подсчитанная вероятность некоторого события оказывается
положительной, хотя бы и чрезмерно малой в смысле п. 2.4, то такое
событие часто объявляют хотя и крайне мало вероятным, но все же
возможным. Думается, что такая терминология противоречит
разумному применению слова «возможность»; следуя ей, пришлось бы
признавать возможным всякий вздор, вроде того, что дважды два —
пять.
Действительно, в качестве прописного примера заведомой истины обычно
приводится равенство 2X2=4. Но хотя истинность этого равенства ни у
кого сомнений не вызывает, можно формально оценить вероятность (лучше
сказать — степень, меру возможности) того, что на самом деле 2X2=5,
а стандартное утверждение 2X2=4 есть результат постоянно повторяющейся
арифметической ошибки. Примем для этого, что каждый человек при
выполнении умножения в пределах первого десятка может с вероятностью 10~fl
ошибочно уменьшить ответ на единицу, что соответствует нескольким
ошибкам подобного рода за его жизнь. Поэтому, если принять, что за всю
историю человечества 1010 людей выполняли умножение 2X2 по 10е раз за
свою жизнь каждый, то вероятность того, что они всякий раз ошибочно,
независимо друг от друга, уменьшали ответ на 1, равна (10~*в)1о16>10~1017*
Этот подсчет можно уточнить, но при любом уточнении результат получится
формально положительным и, по-видимому, не далеким от приведенного*
В качестве «значительно более вероятного» события укажем на пример
в книге Дж. Литлвуда (192, с. 1121. Пусть с чемпионом мира играет в
шахматы человек, который совершенно не знает правил игры, но знает только,
что, делая очередной ход, он должен переставить одну из своих фигур или на
какое-либо — безразлично какое — свободное поле, или на поле, занятое
какой-нибудь фигурой противника (предварительно сняв эту фигуру).
Какова вероятность того, что этот «игрок» не только ни разу не нарушит
шахматных правил, но и случайно будет делать столь хорошие ходы, что в конце
концов победит? По приведенной в книге оценке, она не меньше 10~122.
Иногда говорят (и это правильно!), что абсолютно невозможны
события, противоречащие фундаментальным законам физики,
например закону сохранения энергии. Однако нетрудно оценить
вероятность того, что при установлении этого закона все исследователи
допускали грубую систематическую ошибку. Эта вероятность
оказывается положительной, заведомо «большей», чем оцененная выше
вероятность равенства 2x2=5.
Думается, что возможными, но крайне мало вероятными следует
называть (и считать) события с вероятностью, скажем, 10~в—10~9;
это вероятность выпадения только гербов при 20—30 бросаниях
идеальной монеты *). По мере уменьшения вероятности эпитеты,
характеризующие степень неожиданности, надо усиливать. Что же
*) Отметим любопытное психологическое обстоятельство. Почему мы
при бросании правильной монеты крайне удивимся, увидев, как герб выпал
20 раз подряд, и не удивимся, увидев, что герб и решетка выпали, например,
в последовательности грггррргрррггргррргр? Ведь вероятности обоих этих
событий одинаковы, они равны 2~*°. Конечно, если мы заранее предсказываем


$2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
53
касается событий с вероятностью 10~200 и тем более 10~1о17э лишь
формально положительной, то их естественно относить к полностью
невозможным по статистическим соображениям*). Словом, дважды
два — все-таки четыре, а не умеющий играть в шахматы заведомо
не выиграет у чемпиона мира **).
Именно такая трактовка понятий «возможность» и
«невозможность» отвечает свойствам мира, в котором мы живем, хотя она и не
совпадает с типичным для чистой математики «стерильным»
пониманием этих терминов.
Этому вопросу специально посвятил свою книгу [54] Э. Борель, который,
в частности, написал (с. 7—8): «До сих пор в моих писаниях... я пользовался
общеупотребительными у физиков выражениями, когда речь шла о
физических явлениях, вероятность которых крайне мала. В таких случаях
ограничиваются утверждением, что в высшей степени невероятно осуществление
таких явлений, но спешат добавить, что это не достоверно.
Мне представляется в итоге размышлений, что такой подход не
реалистичен, что он не учитывает совокупности наших сведений о Вселенной, и я
пришел к выводу, что не следует бояться применить слово «достоверность»
для обозначения вероятности, которая отличается от единицы на достаточно
малую величину.
...дело здесь в вопросе не чисто формальном, и стало быть, не праздном.
Такое изменение терминологии соответствует лучшему пониманию
универсальной роли вероятности в научном познании, и оно может позволить
рассмотреть с иной точки зрения космологические и биологические проблемы,
интересующие не только философов, но и всех людей, чье любопытство не
ограничивается повседневной жизнью».
А. Б. Мигдал [213, с. 64]: «Мы всегда понимаем достоверное как
справедливое с вероятностью, близкой к единице».
вторую последовательность и она реализуется, то это в высшей степени
удивительно; но ведь выпадение 20 гербов мы не предсказывали заранее?
Думается, что здесь дело в подсознательных экстраполяционных
навыках: наиболее простые закономерности чередования событий являются в нашем
сознании как бы заранее зафиксированными, эталонными. Для случая
бросания монеты такими эталонными чередованиями служат гггггг..., рррррр...,
гргргр... и другие сходные последовательности, которых совсем не так много.
Будучи внутренне настороженными .. •"^можности появления подобных
эталонов, мы естественно удивляемся, если он появляется в ситуациях, когда
интуитивно ощущаемая вероятность его появления весьма мала.
Аналогичная ситуация может возникнуть, если, например, при
случайном выкладывании букв образуется длинное осмысленное заранее не
предсказанное слово.
*) Последнее замечание относится и к встречающимся порой
утверждениям типа: «Наукой доказано, что если заставить стадо обезьян печатать на
машинках, то среди получающихся при этом наборов букв в конце концов
можно будет найти и собрание сочинений Шекспира». Это — нелепое
заблуждение: такое событие не произойдет никогда.
**) Тем, кто возражает: «Но встречаются же крайне маловероятные
события: например, на днях я и мой старинный знакомый, которого я не
видел 20 лет, независимо взяли в театр билеты на соседние места», надо ощутить
полную несравнимость вероятностей этого и указанных выше событий. В
данном случае не следует уподобляться свахе из «Последней жертвы» А. Н.
Островского, которая о каждом женихе говорила: «У него миллион», и
простодушно пояснила: «Для меня все, что больше тысячи, то миллион».
По поводу формально положительных вероятностей см. также [407, 482].


54
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
6. Скорость сходимости приближенного метода. Со сказанным
в пп. 2.3—2.4 непосредственно связан вопрос о скорости сходимости
того или иного приближенного метода. Пусть, например, сумма S
некоторого сходящегося ряда находится с помощью
непосредственного вычисления его частных сумм Sn и последующего перехода
к пределу при я-^оо. Тогда с точки зрения чистой математики
вопрос о быстроте приближения Sn к S обычно представляется сугубо
маловажным. Если же такой вопрос и ставится, то только в
асимптотической форме: например, из двух рядов с общими членами ап=^
= Сп~Р(р>\) и bn=Dqn(\q\<Cl) второй всегда считается
сходящимся быстрее первого, независимо от значений параметров.
В отличие от этого, понятие практической сходимости включает
в себя, в частности, возможность достижения полной суммы с
разумной точностью за практически реализуемое число шагов. Поэтому
здесь фундаментальную роль играет вопрос о скорости сходимости,
обеспечивающей эту возможность. В большинстве случаев
асимптотически лучшая скорость является и практически лучшей; однако
так бывает не всегда, и в примере, приведенном в предыдущем
абзаце, при некоторых сочетаниях параметров соотношение между
практическими скоростями сходимости может оказаться обратным
указанному.
Если точное решение теоретически достигается за конечное число
шагов, то в чистой математике понятие скорости сходимости
вообще отсутствует; однако в прикладном плане оно сохраняет смысл,
если это число шагов практически не реализуемо.
Приведем в этой связи выразительное высказывание А.
Пуанкаре (цит. по [168, с. 224—225]):
«... между математиками и астрономами (сейчас бы мы сказали — между
чистыми и прикладными математиками.— Авт.) имеет место своего рода
несогласие по поводу слова «сходимость». Математики, озабоченные полной
строгостью и зачастую относящиеся безразлично к длинноте неисполнимых
вычислений, возможность которых они представляют, не имея в виду
их на самом деле выполнять (разрядка наша.— Авт.),
говорят, что ряд сходящийся, когда сумма его членов приближается к
определенному пределу, хотя бы первые его члены и убывали весьма медленно-
Наоборот, астрономы имеют обыкновение называть ряд сходящимся, когда,
например, первые двадцать его членов весьма быстро убывают, хотя бы
дальнейшие члены и возрастали неопределенно.
Так, рассмотрим простой пример; из двух рядов, коих общие члены суть
100(Wrt! и л!/1000", математики назовут первый сходящимся и даже весьма
быстро сходящимся, потому что миллионный член гораздо меньше 999 999-го;
второй же ряд они рассматривают как расходящийся, ибо его общий член
может беспредельно возрастать.
Астрономы, наоборот, примут первый ряд за расходящийся, потому
что первые его 1000 членов идут возрастая; второй ряд они сочтут за
сходящийся, потому что первые 1000 членов идут убывая и вначале это убывание
весьма быстрое».
Совершенно замечательно завершение этого текста: «Оба воззрения
законны: первое — в исследованиях теоретических, второе —- в численных
приложениях. Оба воззрения должны господствовать, но в двух различных
областях, которые важно точно разграничить».


. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
55
А вот что говорит современный автор Н. Н. Моисеев в предисловии к
книге [285, с. 6J: «Понимание того факта, что классическое представление
о сходимости алгоритмов как об основном содер>»йнии теории
вычислительных процессов не соответствует требованиям к анализу, которые выдвигает
практика, является активным стимулом научных поисков... Речь идет не об
игнорировании исследований классического характера, а о необходимости
найти и правильно сформулировать новые аспекты теоретического анализа,
дающие ту информацию, которая необходима для более полной
характеристики изучаемого процесса». См. также [222].
К сказанному добавим, что появление ЭВМ, изменяя
представление о практически реализуемом числе шагов, отнюдь не устраняет
разницу между обоими указанными подходами к понятию
сходимости. В качестве упражнения можно предложить читателям,
владеющим программированием, продумать программу для вычисления
*
суммы «быстро сходящегося» ряда 2 (— 1)п 100п/л! с тремя верными
гс=0
цифрами с помощью непосредственного суммирования его членов.
7. О понятии функции. В XVIII в., когда возникло это понятие,
функция мыслилась заданной обязательно с помощью формулы;
другими словами, допускалось рассмотрение только аналитических
выражений. В дальнейшем такой подход оказался недостаточным,
прежде всего, в связи с рассмотрением кусочно-аналитических (в
частности, кусочно-линейных) функций. Эти рассмотрения, а также
общий переход к теоретико-множественным взглядам привели
в XIX в. к принятому сейчас в чистой математике определению
функции как произвольного закона соответствия между
независимыми и зависимой переменными. Такой подход оказался
полезным для логического обоснования математики, хотя с точки
зрения приложений подобное определение является слишком
аморфным.
Право на существование получили такие функции, как,
например, функция Дирихле D (х), равная 0 для иррациональных и 1 для
рациональных значений х, а также другие подобные функции,
которым трудно придать другой смысл, кроме формально логического.
Функция D (х) не только не имеет графика в обычном понимании, но,
что самое плохое, ее значение не может быть определено даже с
грубым приближением, если значение х известно с как угодно высокой
точностью. Но в приложениях функция — это рабочий организм,
а не дезорганизованная толпа значений! Сейчас, когда период
увлечения патологическими примерами в основном прошел, стала
особенно ясной роль аналитических функций *).
Все же логический анализ понятия функции, проведенный в
XIX в., не прошел бесследно и для приложений. Так, функции,
заданные несколькими формулами (кусочно-аналитические
функции), часто встречаются в приложениях и более не вызывают
замешательства; простейшим примером может служить единичная
*) См. по этому поводу Введение к книге [341].


56
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
функция Хевисайда
Н(Х) = 1° <*<°Ь
"(Х) \ 1 (х>0),
которая описывает внезапное включение какого-либо воздействия
или переход из одной среды в другую и т. д. С помощью единичной
функции легко записать любую кусочно-аналитическую функцию:
например, функцию, равную Д (х) при х<а и /2 (х) при х>а, можно
записать единой формулой:
/ (*)=Д (х)Н (a—x)+f* (x)H (х—а).
Место подобных функций стало еще более ясным после введения
в XX в. обобщенных функций — импульсной дельта-функции
Дирака 6(х)=Н'(х) и связанных с ней функций (см., например, [130,
гл. VI]), которые сразу же нашли прочное место в приложениях
(более того, они и возникли в связи с формулировкой прикладных
задач).
Отметим, что в теории случайных процессов типа броуновского
движения важную роль играют непрерывные, но нигде не
дифференцируемые и потому не аналитические функции, описывающие
траектории частиц. Однако эти траектории непредсказуемы и
неповторяемы, и потому такие функции имеют только статистическую, а не
индивидуальную значимость.
Таким образом, думается, что сейчас в прикладной математике
индивидуальную значимость имеют только аналитические,
кусочно-аналитические и простые обобщенные функции.
До сих пор мы говорили о формальной структуре функции. Но
различие подходов проявляется и в неформальном аспекте. Яркий
пример такого различия приводится в [247, с. 254]. Записывая
ежедневно суммарный выпуск автомобилей на каком-либо заводе,
начиная с 1 января 1989 г., и замеряя уровень воды в реке Москве в те
же дни, а затем сопоставляя полученные числовые
последовательности, мы найдем, что этот уровень воды представляет собой
функцию числа выпущенных автомобилей. Такой пример с позиций
чистой математики законен, но с точки зрения прикладной математики,
для которой функция является отражением причинной связи, он
воспринимается как вопиющая нелепость.
Для XX в. характерен еще один подход к понятию функции,
общий как для чистой, так и д/1я прикладной математики. Речь
идет о трактовке функции как элемента функционального
пространства, например пространства Гильберта (см. 24), т. е. как члена
функционального коллектива. Такой подход имеет во многих задачах
разнообразные теоретические и прикладные преимущества, на
которых мы здесь, однако, не будем останавливаться.
8. Устойчивость относительно изменения параметров. Имеется
еще одно важное обстоятельство, которое может послужить
препятствием для переноса понятий и методов чистой математики в при-


$ 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
57
кладную. Оно происходит из возможности лишь приближенного
задания всех непрерывных параметров, входящих в формулировку
любой прикладной задачи.
Пусть речь идет, например, о каком-либо методе решения
некоторой прикладной задачи. Для того чтобы считать этот метод
эффективным, необходимо, чтобы он обладал известной
универсальностью, точнее, сохранял свою силу при изменении (хотя бы
достаточно малом) параметров задачи: это свойство метода можно назвать
его устойчивостью. (Здесь термин «устойчивость» применяется в
наиболее широком смысле.) Отметим, что параметры — это не
обязательно скаляры, это могут быть векторы или даже элементы
функционального пространства; грубо говоря, параметры — это все,
что задается при постановке задачи. Например, для
дифференциального уравнения dx/dt=f(x, t) всю правую часть можно
рассматривать как функциональный параметр, хотя это и не вполне отвечает
традиционной терминологии. Поэтому метод, применяемый к
реальной задаче, описываемой указанным дифференциальным
уравнением, должен быть устойчивым относительно произвольной
достаточно малой вариации правой части.
Однако многие методы в алгебре, в чистом анализе, в теории
аналитических функций нередко опираются на конкретные
арифметические и функциональные соотношения типа равенств между
участвующими параметрами, т. е. в указанном смысле неустойчивы.
Приведем три примера.
В 1971 г. на вступительном экзамене в одном из институтов было
предложено решить уравнение
*2 + 4*~-16K2x + 20-0, (2)
которое приводится к полному уравнению четвертой степени.
Составители задачи предполагали, что экзаменующиеся путем анализа
делителей свободного члена полученного уравнения сначала найдут
два целочисленных корня xlt 2=2, после чего дело сведется к
решению квадратного уравнения. Этот ход выкладок совершенно не
универсален— достаточно заменить коэффициент 20 на 21 или 20,1
и т. д., и описанный прием становится неприменимым. К сожалению,
последнее обстоятельство школьникам обычно не разъясняется, и
многие из них остаются в ошибочной уверенности, что владеют
общим методом решения уравнений четвертой степени. Трудно
сказать, чего здесь больше — пользы от знания весьма специального
приема или вреда от убеждения в его универсальности.
Вот еще пример того же рода, относящийся к технике
интегрирования дифференциальных уравнений. В известном справочнике
Э. Камке указан способ решения дифференциального уравнения
Зу'* + 4ху'-у + х2 = 0,
основанный ка замене Зу=х2 (и2—1), в результате которой
получается весьма простое уравнение 4(;ш'+и)а=1. Но эта подстановка


58
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
приводит к успеху лишь в случае, когда коэффициенты имеют
только выписанные выше значения, и совершенно не продуктивна
при произвольных изменениях этих коэффициентов.
Рассмотрим, наконец, так называемый третий случай
интегрируемости системы уравнений вращения твердого тела вокруг
неподвижной точки в однородном поле тяготения. Если принять
указанную точку за начало координат, оси которых направлены вдоль
главных осей инерции тела, и обозначить через х0, у0> z0 координаты
центра тяжести, а через Л, В, С—соответствующие моменты
инерции тела, то названному случаю отвечают сугубо специальные
соотношения: А=В=2С, z0=0, не выделяющие сколь-нибудь
интересную или типичную ситуацию. Установленная для этого случая
интегрируемость уравнения движения с помощью
ультраэллиптических функций исчезает при любом нарушении выписанных
соотношений. Можно сказать, что используемый здесь метод неустойчив
в указанном выше смысле.
В приведенных примерах рассмотрены по существу вырожденные
случаи, выделенные без физически осмысленной или иной
неформальной мотивировки и, таким образом, приводящие к
нецелесообразным специализациям.
Выше речь шла об устойчивости математических методов.
Столь же важным является понятие устойчивости математической
модели; коротко говоря, устойчивой является такая модель,
малые изменения параметров которой не вызывают существенных
качественных изменений ее свойств *).
Для адекватности математической модели необходимо, чтобы
ее устойчивость (неустойчивость) соответствовала устойчивости
(неустойчивости) реальной картины.
Большая гибкость логики прикладной математики по сравнению
с логикой чистой математики также в значительной мере связана со
свойством устойчивости. В открыто полемической статье [522]
Дж. Шварц пишет: «Физик, вполне естественно, сторонится точных
(чисто дедуктивных.— Авт.) рассуждений, так как рассуждение,
убедительное только в том случае, если оно точно, полностью теряет
силу, как только предположения, на которых оно базируется, слегка
меняются; в то же время убедительное, хотя и не вполне точное
рассуждение может быть устойчивым относительно малых возмущений
основополагающих аксиом».
Означает ли сказанное выше, что сугубо специализированный
анализ частных и вырожденных случаев вообще не представляет
никакой ценности? Нет, не означает, если не ограничиваться только
этим анализом. Прежде всего анализ специального случая часто
несет определенную информацию о всех случаях, достаточно близких к
*) В качественной теории дифференциальных уравнений 25 близкое
понятие называется грубостью (структурной устойчивостью) системы;
мотивировка его введения близка к приведенной здесь мотивировке общего понятия
устойчивости.


§ 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
59
рассмотренному. В частности, специальное решение может быть
принято за нулевое приближение при решении смежных (в
отношении параметров) задач методом возмущений.
Так, пусть в уравнении (2) свободный член равен 20,1, а не
20. Тогда мы можем принять, что его корни мало отличаются от
корней исходного уравнения; например, корень, близкий к
значению х=2, можно найти из соотношения
(2 +А)2 + 4 (2 + А) - 16 К2 (2 +А)+ 20,1-0,
где А — искомая поправка к значению х=2. Полагая, что А мало, и
удерживая только члены второго порядка малости
(линейные члены в этом примере взаимно уничтожаются), найдем
Alt2 = ± КОД»* = ±0,224/,
т. е. искомая пара корней равна xlt >=2±0,224t. При необходимости
можно продолжить итерации и найти дальнейшие приближения.
Примерно таким же образом обстоит дело и в других
вырожденных случаях. Короче говоря, результаты применения
неустойчивого метода приобретают некоторую ценность, если устойчива
математическая модель.
Иногда из анализа вырожденных объектов можно сделать
«устойчивые» выводы о невырожденных ситуациях: так, из
рассмотрения окрестностей точек покоя на фазовой плоскости можно сделать
вывод о характере всех фазовых траекторий (см. 25).
Аналогичную роль играет рассмотрение характерных точек функции, точек
ветвления 26 при продолжении решения по параметру, точек
бифуркации (см. 26) какого-либо объекта и т. д. Кроме того, решение
всякой изолированной задачи, даже полученное неустойчивым
методом, может служить полезным эталоном для проверки точности
каких-либо приближенных устойчивых методов решения задач того
же класса.
Таким образом, специализации, приводящие к изучению
вырожденных случаев, могут быть и целесообразными, приносящими
существенную пользу. В особенности это относится к достаточно
широким классам практически важных случаев, которые формально
следует считать вырожденными по самой постановке физической
задачи. (Впрочем, любой, даже весьма широкий класс случаев можно
считать вырожденным по отношению к еще более широкому классу.)
Напомним, что в рамках какой-либо общей ситуации,
включающей произвольные параметры, различают разные степени
вырождения; степень вырождения равна количеству независимых числовых
равенств, связывающих эти параметры. Степень вырождения
называется также коразмерностью вырожденной ситуации, т. е.
размерностью, недостающей до полной. Всякое функциональное равенство,
если есть функциональные параметры, приводит к бесконечной
степени вырождения.


60
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Так, например, потенциальность системы есть по сравнению с
общим случаем признак ее вырожденности коразмерности оо, так
как для потенциальности правые части соответствующей системы
дифференциальных уравнений должны удовлетворять
определенным соотношениям типа функциональных равенств. Но этот тип
вырожденности физически осмыслен и охватывает широкий класс
важных задач. При этом используемые методы должны быть
устойчивыми относительно малых возмущений в классе
потенциальных систем.
Другим примером содержательного анализа вырожденной
ситуации может служить случай действия периодического возбуждения
на механическую систему. Здесь вырожденность состоит в том, что
реальное воздействие на механическую систему не может быть точно
периодическим как из-за наличия разного рода возмущений, так
и из-за конечности времени этого воздействия. Тем не менее в
подавляющем большинстве практических случаев оказывается
возможным пользоваться результатами исследования, проведенного
в предположении точной периодичности воздействия. Эта
возможность, которая часто принимается без специального анализа,
зависит от практической длительности переходного процесса, а также
от структуры и величины возможных возмущений.
Одной из важных задач прикладной математики является
широкий анализ подобных возможностей для разных классов задач,
а также последствий отклонений в реальной ситуации от сделанных
предположений (см. п. 5.14).
В этой связи следует признать бесспорную ценность анализа
первых двух интегрируемых случаев вращения твердого тела вокруг
неподвижной точки:
1) x»=y0=z0=0, 2) А=В, Хо=Уо=0. (З)
Это также вырожденные случаи (коразмерности 3), но они очень
близки многим реальным ситуациям. В первом случае центр
тяжести тела совпадает с неподвижной точкой, а во втором случае тело
обладает осью «динамической симметрии», причем его центр тяжести
и неподвижная точка лежат на этой оси. Анализ этих двух случаев
позволил осуществить ряд полезнейших технических устройств
гироскопического типа, в которых, разумеется, не достигается
абсолютно точное выполнение условий (3). Таким образом, эти
вырожденные случаи выделяются не столько формальным свойством
интегрируемости, сколько их подлинной практической важностью.
Эйлерова теория упругой устойчивости также в сущности
относится к вырожденным системам (отсутствие «неидеальностей»),
но ее ценность неоспорима. Анализ этих вырожденных случаев
позволяет предсказать свойства реальных систем, при условии, что
«неидеальности» достаточно малы, как это в самом деле часто бывает.
Итак, исследование вырожденных случаев становится
полноценным в прикладном отношении только при отчетливом понимании


§2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
61
характера вырождения и при возможности делать содержательные
«устойчивые» выводы из этого исследования. К сожалению, это
требование в ряде работ (особенно, чисто математических) опускается,
и есть немало работ, посвященных особым случаям высокой степени
вырожденности, общетеоретическое и прикладное значения
которых сомнительны.
Заканчивая на этом обсуждение вопроса об устойчивости
относительно изменения параметров, приведем пример неустойчивости
математических понятий.
Пусть речь идет о вынужденных колебаниях системы с малой
нелинейностью. Известно, что в теории таких задач большое
значение имеет соизмеримость или несоизмеримость частоты
возбуждения и частоты свободных малых колебаний. Но свойства
соизмеримости и несоизмеримости неустойчивы, ибо они могут нарушаться
при сколь угодно малом изменении параметров системы. Как же
быть в реальных условиях? Обычно выводы, полученные для
соизмеримых частот, прикладники считают верными с определенной
точностью и в тех случаях, когда отношение частот близко к отношению
небольших натуральных чисел (1 : 1; 2 : 1; 2 : 1; 2 : 3 и т. п.); если же
отношение частот равно отношению больших натуральных чисел, то
применяются результаты исследования случая несоизмеримости.
Таким образом, логически точное, но неустойчивое понятие
соизмеримости, переходя в прикладную математику, трансформируется
в не вполне четкое, но устойчивое понятие «практической
соизмеримости».
В целом, из сказанного выше следует, что возможная
неустойчивость методов, моделей и даже самих математических понятий
(относительно изменения параметров) требует изменения подходов
при решении прикладных задач. Так, в математической статистике
это требование привело к созданию теории так называемых «робаст-
ных» оценок — малочувствительных к изменению исходных
предпосылок, хотя и не всегда наиболее эффективных (см. [342]).
9. Размытые понятия. Однако из важнейших особенностей
прикладной математики является то, что она, как и все дисциплины, за
исключением чистой математики, широко и плодотворно пользуется
понятиями, которые с точки зрения последней не являются точно,
однозначно определенными. Такие понятия сейчас принято называть
размытыми (расплывчатыми, нечеткими, fuzzy). Содержание и
границы размытого понятия могут уточняться в ходе рассуждений, они
могут быть для разных людей и в разное время несколько
различными, причем допускаемая степень неодинаковости зависит от
области, к которой относится понятие. Подобная нечеткость не
противоречит существованию объективной основы такого понятия и
связана с нецелесообразностью или даже с невозможностью
полных уточнений на данном уровне знаний.
В жизни все мы, сознательно или бессознательно,
систематически и с пользой применяем размытые понятия. Например, в содержа-


62 ГЛ. I. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
тельном предложении «Сейчас плохая погода» за каждым из трех
слов скрывается размытое понятие. При этом, так как погода может
быть более плохой, еще более плохой и т. д., то понятие «плохой»
погоды содержит признаки величины, хотя и в размытой форме.
В подобных случаях естественно говорить о размытых величинах.
Размытые понятия в необходимых случаях уточняются, однако
такое уточнение далеко не всегда приводит к чисто дедуктивному
уровню: дедуктивное «уточнение» может чрезмерно исказить
истинную картину. Пусть, например, мы захотели уточнить понятие
применения методов одной области науки в другой (скажем, математики
в медицине). После некоторого размышления мы говорим примерно
так: область А применяется в области В, если с помощью А можно
в В получить результаты, которые без А получить существенно
сложнее или вообще не удается. Это уточнение, конечно, не дедуктивно,
но оно и не бесполезно, так как помогает правильной ориентировке.
По-видимому, подавляющее большинство определений понятий за
пределами математики имеет характер подобных уточнений; это не
определения в смысле чистой математики, а скорее неформальные
описания, разъяснения, освещение объектов с различных позиций.
В исследованиях, связанных с размытыми понятиями,
невозможно применять далекие результаты математической логики» Мы
упоминаем об этом в связи с распространившейся в последние годы
модой ссылаться на теорему Геделя (см. 17) для обоснования
невозможности полного завершения физики (и для других подобных
утверждений). Эти ссылки неуместны: теорема Геделя не имеет
никакого отношения к физике.
В 1965 г. Л. Заде ввел (см. [125]) понятие размытого множества,
которое служит дедуктивной моделью размытых понятий. В
размытом множестве каждый элемент снабжен коэффициентом, который
принимает значение от 0 до 1 и трактуется как степень
принадлежности этого элемента множеству. Так, в статье [33] приводится
дедуктивное уточнение размытого понятия «несколько»: это множество
чисел {3; 4; 5; 6; 7; 8} с соответствующими коэффициентами 0,6;
0,8; 1; 1; 0,8; 0,6. Другими словами, по мнению авторов этой статьи,
о множестве с пятью элементами можно сказать с полным
основанием, что оно содержит «несколько» элементов; при числе элементов,
равном девяти, этого сказать никак нельзя, а при четырех
элементах это утверждение как бы истинно на 80 %.
Идея Заде получила широкий резонанс, и сейчас имеется уже
много работ, в которых на дедуктивном уровне изучаются размытые
отображения, размытые графы и т. д.; появились и применения
подобных понятий (см., например, [106, 126, 216, 246, 250, 300, 411,
427, 452]). Думается, что развитие этого направления может
оказаться полезным для прикладной математики, во всяком случае
при качественном описании ситуаций, в которых размытость
понятий играет существенную роль. Количественные выводы в реальных
задачах обычно затруднительны из-за необходимости придания коэф-


§2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ 63
фициентам принадлежности конкретных значений, тогда как эти
коэффициенты в действительности сами являются размытыми
величинами. (Чтобы убедиться в этом, достаточно критически продумать
приведенную выше модель понятия «несколько».) Поэтому «навязы-
вание» указанным коэффициентам конкретных числовых значений
производит впечатление принципиально неадекватного действия,
нарушающего некий «принцип неопределенности», свойственный
размытым понятиям. Тем не менее, смещение неопределенности на
более элементарный уровень может оказаться полезным, как и во
многих реальных задачах, решаемых вероятностными методами,
когда исходные вероятности не поддаются однозначному указанию:
хорошо известно, что и в таких задачах применение развитой
системы идей и методов теории вероятностей порой приводит к выводам,
полезным не только в качественном, но и в количественном
отношениях. (О связи теории Заде с теорией вероятностей см. [249].)
10. О применении содержательных понятий и рассуждений.
Один из основных принципов чистой математики состоит в том, что
все свойства любого изучаемого понятия должны строго логически
вытекать из его формального определения, они как бы потенциально
заключены в этом определении. (На этом, в частности, подробно
останавливается Г. Штейнгауз [353, с. 281—297]; говоря об
особенностях математического метода, автор здесь имеет в виду только
чистую математику.) Соответственно все утверждения должны
включать тол[ько формально определенные понятия, логические
соотношения между которыми полностью предопределяют справедливость
или ложность каждого такого утверждения. В частности, в чистой
математике все свойства решений задачи полностью
предопределяются ее формулировкой. Любое изменение формулировки означает
переход к новой задаче (конечно, в некоторых случаях эта новая
задача может оказаться равносильной предыдущей), поэтому при
исследовании задачи нельзя привлекать предположений и других
уточнений, которых не было в ее формулировке.
В отличие от этого, в прикладной математике понятия и
рассуждения часто имеют такой же характер, как в нематематических
дисциплинах и даже в обыденной жизни,— хотя бы уже из-за того,
что исходные реальные объекты, свойства которых изучаются
математическими средствами, неформальны. Мы уже говорили в п. 2.9
о привлечении размытых понятий, не допускаемых в чистой
математике. Но если в прикладном исследовании применяется даже,
казалось бы, чисто математическое понятие, то за ним все время
скрывается тот неформальный объект, который оно идеализирует: оно
как бы служит меткой этого объекта и потому по существу включает
в себя больше, чем содержится в формальном определении.
Например, когда в прикладном исследовании говорится «произвольная
функция», то подразумевается «произвольная функция,
встречающаяся в данной области приложений» (этим и объясняются
различные подходы к понятию функции, о которых говорилось в п. 2.7)


64
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
и т. п.*). Даже такие логические термины, как «никогда»,
«утверждение справедливо», «ошибка» и т. п., трактуются по-разному в
зависимости от рассматриваемой области приложений. Это дает
возможность в процессе исследования по мере необходимости
привлекать дополнительные сведения о рассматриваемых понятиях (см.
п. 3.26). Поэтому такие неформальные понятия и рассуждения часто
называют также содержательными. (О соотношении между
формальными и неформальными понятиями см. также [355, 425; 57, с.
30; 236, § IV.4].)
Применение содержательных понятий непосредственно основано
на интуитивной убедительности рассуждения или утверждения.
Но интуитивная убедительность, будучи неформальным понятием,
безусловно отвергается, как основа доказательства, чистой
математикой, тогда как в прикладной математике именно интуитивная
убедительность часто является важным свидетельством правильности,—
конечно, с учетом совета «руководствоваться интуицией, но не
доверять ей» (А. Б. Мигдал [212, II, с. 107]). Действительно, чистая
интуиция или так называемый здравый смысл могут порой привести
к ошибочным или даже совершенно абсурдным результатам; ряд
примеров этого можно найти в книге Г. Биркгофа [34] (см. также
[196, 497]). Поэтому интуитивные выводы должны сочетаться с
логическим анализом, который, впрочем, в прикладной математике
редко имеет чисто дедуктивный характер **).
Конечно, уровень интуиции не является чем-то абсолютным, он
существенно зависит от степени изученности данной области
знаний, и чем эта степень меньше, тем к более грубым ошибкам может
привести интуиция. В результате накопления знаний, анализа
ошибок уровень интуиции повышается, а набор и характер интуитивно
ясных утверждений и переходов может значительно измениться.
Здесь уместно обратить внимание на относительность и самого
понятия доказательства. Доказательство — это убедительная
мотивировка справедливости утверждения; но нет, не может быть и не
должно быть какого-то абсолютного понятия убедительности, при-
*) В книге [306, с. 52—с3] приведен пример того, как утверждение,
истинное в смысле формальной логики, в житейском звучании становится
ложным, так как в обыденной жизни мы за логическими терминами видим
больше, чем содержится в их формальном определении: «Представим себе,
что один из наших знакомых на вопрос, когда он уедет из города, ответит,
что он собирается сделать это сегодня, завтра или послезавтра. Если мы
впоследствии убедимся в том, что еще до нашего вопроса им было уже решено
уехать в тот же день, у нас, вероятно, создастся впечатление, что мы были
намеренно введены в заблуждение и что он солгал нам».
**) IB. В. Налимов [232]: «Высказывания, сделанные на математическом
языке в прикладных задачах, всегда и прежде всего должны обладать
интуитивной убедительностью... Здесь особенно четко проходит линия
разграничения между чистой и прикладной математикой». С другой стороны, в строго
построенной дисциплине чистой математики «интуиция была и остается
источником (полнее — основным источником постижения.— Авт,), но не
конечным критерием истины» [179, с. 316].


§ 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ 65
годного для всех областей человеческой деятельности. Даже в
чистой математике, стоящей на полностью дедуктивных позициях, это
понятие меняется со временем; тем более оно отличается от
убедительности в физических или прикладных математических
рассуждениях. Как сказал Г. Гегель, «различные виды бытия требуют
свойственных именно им видов опосредствования или доказательства
или содержат их в себе. Поэтому и природа доказательства
относительно каждого из них различна» (цит. по [322, с. 42]). (См. в связи
с этим [140, 152, 418, 505] *).)
11. О различии тенденций в процессе решения. Еще одно
различие в подходах к решению математической задачи практического
происхождения у чистого математика и у прикладника имеет в
значительной мере психологический характер. Чистого математика
интересует обычно математический аппарат, применяемый для
решения этой задачи, сам по себе, независимо от ее реальной
интерпретации. Он склонен максимально обобщить условие задачи, не
обращая внимание на то, имеет ли это обобщение физический смысл.
Это приводит к созданию иерархии абстракций (достраиванию
нижних этажей на рис. 1), далекие звенья которой зачастую имеют мало
общего с исходными реальностями. Наиболее привлекательными для
чистого математика оказываются трудные в математическом
отношении задачи и неожиданные, изящные решения, причем
соответствующий метод решения может иметь в глазах математика большую
ценность, чем сама постановка исходной задачи и результат ее
решения. Поэтому иногда, чтобы получить изящное решение или
просто решение, находящееся на вполне дедуктивном уровне,
постановка задачи изменяется настолько, что ее реальное значение
существенно уменьшается или даже полностью исчезает. Довольно
типично, что некоторый вопрос, сугубо промежуточный для
исходной прикладной задачи, иногда начинают самостоятельно изучать
на дедуктивном уровне, причем направление этого изучения теряет
всякую связь с исходной задачей. Бывает, например, так.
Обнаружено, что для некоторого практически важного события А
достаточным (но заведомо не необходимым) является признак В. Этот
признак изучается независимо, причем по чисто математическим
причинам основное внимание привлекают условия С, необходимые (но
недостаточные) для В. Далее могут изучаться условия, достаточные
*) Рассказывают, что маркиз Гийом Франсуа Антуан де Лопиталь, автор
первого в истории учебника по математическому анализу, ответил одному из
оппонентов, который нашел логические пробелы в каком-то из данных Лопи-
талем доказательств: «Даю Вам честное слово дворянина, что эта теорема
верна». Вот насколько широко может трактоваться понятие доказательности!
Конечно, авторы понимают (честное слово!), что довод Лопиталя далеко
выходит за рамки математических рассуждений. Однако «принцип доверия»
8 общем не так уж плох, и мы постоянно опираемся на него в науке и в
обыденной жизни, когда имеем дело со справочниками, вывесками, пиктограм*
мами и т. По
3 И. И. Блехман и дР.


66
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
для С, и т. д. Но в каком отношении эти условия находятся к
событию Л?*)
Естественно, что тенденции прикладника в решении
математической задачи должны быть существенно иные. (Мы пишем «должны
быть», поскольку прикладники порой становятся на позиции чистых
математиков.) Главным для него является реальное следствие из
этого решения, формальные обобщения чаще всего не представляют
особой ценности. Столкнувшись с трудной математической задачей,
прикладник предпочитает не искать элегантное решение («Я твердо
придерживаюсь рецепта гениального теоретика Л. Больцмана —
оставить изящество портным и сапожникам» — сказал по этому
поводу А. Эйнштейн [357, с. 167]) и не решать произвольную
формально близкую задачу; он попытается так видоизменить
математическую формулировку исходной задачи, чтобы ее решение оказалось
возможным и еще лучше — простым. Такое решение, если оно
обеспечивает нужную точность, получено быстро и экономными
средствами, тоже обладает некими эстетическими достоинствами, и его
можно признать элегантным, но в прикладном смысле.
Г. Штейнгауз пишет по этому поводу [353, с. 395]: «Чем проще
применяемый на практике математический метод, тем лучше. Удивительно, сколько
скрытых возможностей еще таят в себе элементарные математические
соотношения. Поэтому речь идет о том, как увидеть «физический» смысл таких
соотношений, а отнюдь не о том, как усложнить математический вопрос,
бывший сначала понятным и единственным».
Проблема различия тенденций отчетливо видна в математической
статистике, где происходит как бы непрерывная конкуренция прикладного и
теоретического направлений. В. В. Налимов пишет [233, с. 4—5J:
«Математическая статистика, или, точнее, ее теоретические основы, развиваются,
как правило, математиками, совсем плохо знающими эксперимент. Их
логические концепции часто оказываются мало понятными экспериментатору.
Сложный, вполне современный математический аппарат, делающий задачи
статистики столь привлекательными для математиков, часто только
отпугивает экспериментаторов. С позиций экспериментатора нередко наиболее
важными и интересными оказываются те аспекты математической статистики,
которые с позиций математика кажутся совсем второстепенными.
Математики, занимающиеся разработкой математической статистики, подчас бывают
совсем мало озабочены возможностью практического применения их идей в
методов».
Аналогично высказывается Т. МакРей по поводу применения
математики к проблемам управления предприятиями [483, с. 28J: «Если научное
управление удалится в математическую раковину, оно превратится в
отрасль математики, а не управления. В настоящий момент имеется Тревожная
тенденция в этом направлении».
Подобный перекос возникает и в других областях, даже в
художественной литературе, где, по словам А. В. Луначарского, «часто случается так:
возникает иллюзия, что главное —фонарь, а не то, что он освещает» (цит.
по [185, с. 83]).
Отметим, что здесь, как и в других пунктах § 2, мы сознательно
*) По этому поводу вспоминается следующая шутка. Продавец: «Горячо
рекомендую этот гребешок из перлона — Вы можете гнуть его в разные
стороны, опускать в кипяток, наступать на него ногой...». Покупатель:
«Простите, а расчесывать волосы им можно?».


§ 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
67
упрощаем картину. В действительности, как нет ни абсолютно
чистой и прикладной математики, так нет и абсолютно чистых и
прикладных математиков. Между «крайне правой» и «крайне левой»
имеется целый спектр промежуточных ориентации, определяющих
направление и характер исследований. Таким образом, здесь скорее
идет речь о тенденциях.
12. О математической строгости. Думается, из предыдущего
ясно вытекает — это хочется подчеркнуть еще раз,— что нет и не
может быть ни абсолютной строгости, ни абсолютной точности.
Строгость того или иного рассуждения есть средство избежать
ошибочных выводов, так что она подчинена неформальным целям
этого рассуждения. Поэтому уровень строгости различен в различных
областях знания; он меняется с развитием этих областей, стихийно
складываясь (в редких случаях более сознательно, например в
математической логике) в связи с их задачами и методами. Этот
уровень устанавливается постепенно в результате проб, проверок и
уточнений, по существу — на основе компромисса: проведение
рассуждений должно быть не слишком трудоемким и в то же время не
приводить к существенным ошибкам. Сказанное полностью
относится и к математике. Общий тезис об относительности знания
проявляется не только в изменении областей познанного и непознанного, но
также и в изменении характера самого познания — в том, что
признается познанным, какие средства рассуждения при этом
допускаются, какие утверждения считаются правильными или
ошибочными и т. п. Это общее положение приобретает особенную
актуальность при сравнении методов рассуждения в чистой и
прикладной математике.
Формулировки и доказательства Евклида — эти высшие
достижения античной строгости и точности — оказались
недостаточными в современной чистой математике, хотя уровень их строгости и
сейчас, по-видимому, чрезмерен для школьного курса. Евклид не
уточнял понятие «между», он считал его само собой разумеющимся,
и всякий раз, когда современный геометр сослался бы на аксиомы
порядка, аксиому Паша 27, аксиомы непрерывности, Евклид
рассуждал на основании здравого смысла. Это не приводило его к
противоречиям, и соответствующие логические пробелы, обнаруженные
более чем через две тысячи лет, оказались несущественными при
построении античной геометрии, равно как несущественны они в
школьном курсе математики.
Математику XVIII в. не приходило в голову, что может
потребовать доказательства такое, например, утверждение, как теорема
Жордана «замкнутая линия, не имеющая самопересечений,
разбивает плоскость на две части». Он свободно обходился без
современных уточнений понятий «линия», «поверхность» и т. п., поскольку
наглядное представление об этих понятиях было вполне достаточно
для решения ставившихся в то время задач. Вполне достаточно такое
з*


68
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
наглядное представление и сейчас для прикладной математики,
а также для школы *).
Подобно этому современная чистая математика, основанная на
наивной теории множеств, не уточняет важнейшее, центральное для
всей этой науки понятие «существует», считает его «само собой
разумеющимся»; пользуется понятием завершенной бесконечности на
основании «здравого смысла» и т. п. Эти логические пробелы
оказались несущественными при построении грандиозного здания чистой
математики, они, как выяснилось эмпирически, не приводят
к противоречиям. Привычка к этим пробелам привела к тому, что
многие их перестали замечать — это и привело к ложному
представлению об абсолютной строгости чистой математики.
По этому поводу И. С. Сокольников [299, с. 13] писал: «Понятие
строгости зависит всецело от условностей, диктуемых господствующим вкусом,
которому и дано на определенный хронологический период утверждать меру
требовательности в определении степени математической строгости.
Плодотворные интуитивные концепции преобразуются обычно в строгие формы
либо путем четко выраженного соглашения о том, какие понятия следует
относить в категорию концепций, допускающих определение, и какие
остаются неопределенными, либо путем введения в математические теории
новых формально логических процессов, по возможности свободных от
противоречий».
Добавим, что в одном хронологическом периоде в разных
разделах математики могут быть приняты несовпадающие представления
о строгости — в соответствии с традициями и целями этих разделов.
Так было в период научного Возрождения с геометрией и
математическим анализом; до XX в. ослабленные требования строгости были
в теории вероятностей; сейчас различные уровни строгости имеются
в математической логике, в основной части чистой математики **)
и в прикладной математике.
*) История уточнения понятия многогранника описана в книге И. Ла-
катоса [184]. Сравнивая это уточнение с затачиванием карандаша, автор
пишет (с. 73): «...ни один карандаш не является абсолютно острым (и если мы
переострим его, то он сломается)». Отметим одну из высказываемых им точек
зрения (с. 76): «Не все предложения будут или истинными, или ложными.
Есть и третий класс, который я хотел бы теперь назвать «более или менее
строгими». Говоря подробно об эволюции понятия строгости, автор отмечает
(с. 80): «Различные уровни строгости отличаются только местом, где они
проводят линию между строгостью анализа доказательства и строгостью
доказательства, т. е. местом, где должен остановиться критицизм». См. также
[353, с. 376—3871.
**) Интересны высказывания по поводу значительных отклонений в
уровнях строгости даже внутри чистой математики Ф. Север и [286] — главы
итальянской школы алгебраической геометрии; эту школу одно время
упрекали в недостаточной строгости.
(С. 113, о критическом пересмотре основ математического анализа)
«Этот пересмотр, который приобрел в наши дни относительную завершенность,
не имеет, однако, той определенной ценности, в которую верят многие
ученые. В самом деле, строгость сама по себе есть функция совокупности знаний
в каждый исторический период, соответствующая способу научной обработки
истины».


§ 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
69
Утверждение об абсолютной строгости и точности допускает
также следующее курьезное самоопровержение. В п. 2.4 была
оценена вероятность того, что равенство 2x2=4 есть результат
арифметической ошибки. Тем же способом можно оценить вероятность
и того, что все утверждения чистой математики содержат
подобные ошибки; эта вероятность с точки зрения чистой же математики
отлична от нуля.
Математическая логика находится, конечно, на существенно
более высоком уровне строгости, чем основная часть чистой
математики. Однако и этот уровень не является абсолютным *). Более
того, чтение вводных глав иных книг по математической логике
может произвести впечатление, что интуиция в ней играет большую
роль, чем в «наивной» чистой математике; но дело в том, что многие
вопросы, которые в чистой математике считаются само собой
разумеющимися, а на самом деле основаны на интуиции, в
математической логике специально обсуждаются. Но и в логике многое остается
«само собой разумеющимся», хотя грань необъясненного отодвигает
ся вглубь. Так, это относится уже к первым словам курса «рассмот
рим», «пусть» и т. п., которые должны быть одинаково поняты всеми
читателями, но насколько универсально понятие «понятности»?**).
Логические формулы, преобразованиями которых занимается
математическая логика, должны быть как-то материально реализованы
(записаны на бумаге и т. п.) и распознаваемы, что в систему аксиом
не входит. Однако эти и другие подобные пробелы не мешают
математической логике развиваться и успешно решать естественно
возникающие в ней проблемы, многие из которых оказываются
существенными для математики в целом.
Еще более важно обратить внимание на следующее. Уровень
строгости и весь образ мышления, принятые в математической
логике, несомненно, не пригодны для чистой математики в целом, задачи
которой выходят за рамки логики (впрочем, на некоторые из них
(С. 116, об уверенности без строгого доказательства в несомненности основ)
«Нам могут возразить: откуда же берется эта несомненность? Ее источник
заключается в согласии заключений ученых, проистекающем от
использования общей интуиции и всегда взаимосвязанных результатов этого использо
вания. «Вперед, вперед, и вы уверуете!» — сказал бы Даламбер».
(С. 131) «Строгость не есть средство открытия, ее место — в критическом
анализе после совершения открытия». (По поводу упомянутых выше упреков)
«Можно утверждать, что это было счастливой виной — иначе открытие
множества важных свойств было бы задержано на несколько лет». Далее Севери
приводит исторический пример ошибочности доказательства, основанного на
логическом исчислении — «одном из самых грозных орудий строгости».
*) В книге [1521 ярко описаны эволюция понятия строгости в
математике и смятение, наступившее после того, как развеялись надежды на
достижение «абсолютной» строгости путем завершения построения оснований
математики.
**) Еще в двадцатых годах текущего столетия А. Тарский отметил, что
любое доказательство, использующее один из естественных языков (русский,
английский и др.), не может быть вполне строгим, поскольку грамматики всех
таких языков не обладают необходимой для этого степенью однозначности.


70
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
достижения логики должны существенно повлиять: достаточно
вспомнить, например, выдающиеся результаты о неразрешимости 28,
полученные в последнее время). Припоминается крайнее недоумение
слушателей на заседании Московского математического общества,
когда докладчик заявил: «Все функции непрерывны». Волнение
утихло, лишь когда выяснилось, что он имел в виду
конструктивные функции, которые только и признаются конструктивной
логикой 2в. Подумать только, что стало бы с современной чистой
математикой, если бы из нее были исключены разрывные функции!
Подобным образом весь стиль чистой математики, как уже не
раз говорилось, далеко не всегда уместен в прикладной математике,
даже когда задача сформулирована вполне «ортодоксально».
Поэтому математик-прикладник не только имеет право, но даже обязан
выбирать уровень строгости и образ мышления, адекватные
решаемым им задачам, умело сочетая дедуктивные и рациональные
рассуждения. К обсуждению последних мы обратимся в следующем
параграфе.
Отметим, что уровни строгости в различных областях
приложения математики, в соответствии с целями и возможностями исследо*
вания, порой оказываются существенно различными: достаточно
сравнить экономику и различные области физики и техники, а
также аналитические и вычислительные аспекты этих областей; ряд
примеров таких уровней будет приведен в дальнейшем.
Математизация какой-либо области отнюдь не превращает ее в чисто
дедуктивную дисциплину, и даже не всегда развитие математизации
приводит к повышению строгости: так, создается впечатление, что
уровень строгости в физике сейчас ниже, чем сто лет назад. И в других
случаях иногда можно говорить о более высоком или более низком
уровне строгости. Но часто эти уровни оказываются просто
несравнимыми друг с другом. В дальнейшем, употребляя слова «строгость
в прикладной математике» и другие подобные условные выражения,
мы будем иметь в виду любой из этих уровней, обычно
противопоставляя его уровню «ортодоксальной» математической строгости *).
13. О точках зрения на фундаментальность явлений и открытий.
Закономерность сосуществования различных подходов, о которых
говорилось выше, проявляется также в оценке явлений и открытий
с точки зрения их фундаментальности и принципиальной новизны.
Рассмотрим вкратце эти вопросы на примере нелинейной динамики
и теории нелинейных колебаний.
Существуют две крайние точки зрения на то, какой факт из
этих бурно развивающихся в настоящее время областей науки может
претендовать на отнесение к категории отдельного нелинейного
эффекта или явления.
С точки зрения чистого математика — это такой факт, которому
*) По поводу роли математической строгости см, также [258, 363, 409
4481.


§ 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
71
соответствует качественно различимое поведение траекторий систем
в фазовом пространстве. Исходя из этой точки зрения,
привлекательность которой состоит в том, что она отражает универсальное,
можно сказать даже — мировоззренческое значение нелинейной
динамики и теории нелинейных колебаний, все изучаемые сейчас
нелинейные явления можно пересчитать по пальцам. С данной точки
зрения, однако, например, обнаружение комбинационного
рассеяния света вовсе не есть открытие нового явления.Несколько утрируя,
можно сказать даже, что «чистый» математик не без оснований (и не
в качестве шутки) может отнести большое число эффектов и
явлений, признаваемых физиками и механиками обособленными, к
простым следствиям всего лишь из того факта, что среднее за период
значение sin2 <о/ отлично от нуля и поэтому можно говорить лишь о
фундаментальном «синус*квадрат-эффекте». Под категорию
следствий из этого «основополагающего» эффекта попадут, например,
суб- и ультрагармонические колебания, параметрический резонанс,
уже упоминавшееся комбинационное рассеяние света, асинхронное
возбуждение и подавление автоколебаний, синхронизация,
захватывание и вообще большая часть эффектов, «улавливаемых»
посредством использования методов усреднения и малого
параметра.
Другая крайняя точка зрения, также не лишенная весомых
оснований, характерна для прикладных математиков и специалистов,
имеющих дело не с математическими, а с физическими объектами, и
понимающих, что моделирование процессов посредством
дифференциальных уравнений не однозначно и даже не обязательно. Эти
специалисты полагают, что едва ли не каждый принципиально и
практически интересный факт в поведении нелинейных систем
заслуживает названия эффекта или явления. Тогда получается, что таких
фактов довольно много.
Представляется, что обе приведенные точки зрения имеют право
на существование — каждая в своей области. Совершенно
неправомерно объявлять одну из них единственно правильной и вершить
суд с этих позиций, как это иногда делается.
Столь же радикально противоположные точки зрения
существуют по вопросу о том, где возникают важнейшие открытия,
революционизирующие науку и технику. Наиболее распространена
точка зрения, что они возникают «в мире вещей» — в природе и
технике. И эта точка зрения, казалось бы, подтверждается историей
развития нашей цивилизации.
Вместе с тем некоторые выдающиеся ученые (преимущественно
чисто математического направления) высказывали мысль, что такие
революционизирующие открытия зарождаются «в области духа» —
в чистой математике,— как некоторые скачки в ее логическом
развитии. И относительно недавняя история открытия возможности
возникновения стохастичности в динамических системах
невысокого порядка согласуется с данной концепцией (см. п. 5.8)! Есть


72
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
над чем призадуматься приверженцам абсолютизации эксперимента
как единственного инициатора нового.
Таким образом, и в этом случае оба крайних взгляда не
исключают друг друга — революционизирующие открытия могут
возникать как в конкретных, так и в абстрактных областях
человеческой деятельности.
14. Примеры. Мы говорили о причинах, порой препятствующих
непосредственному применению в прикладной математике «чистых»
утверждений о существовании. Вместе с тем во многих случаях
«чистое» рассуждение удается перестроить так, что оно становится
приемлемым и для прикладной математики: скажем, бесконечную
конструкцию заменить на конечную, неэффективное доказательство
существования — на эффективное, конструктивное.
(Доказательство существования некоторого объекта естественно называть
конструктивным в прикладном отношении, если из него вытекает точная
или приближенная конструкция этого объекта, применимая для
некоторого разумного класса реальных примеров.) Хотя
получающиеся при этом решения могут оказаться далекими от
оптимальных — об этом чистая математика часто не заботится — но все-таки
это лучше, чем ничего. Первые три из приводимых ниже пяти
примеров поясняют сказанное.
В качестве первого примера рассмотрим теорему о
промежуточном значении непрерывной функции: пусть на отрезке
а<х<Ь задана непрерывная функция /(jc), причем значения f(a)
и f(b) разного знака; тогда на этом отрезке уравнение f(x)=0 имеет
по крайней мере одно решение.
Стандартное доказательство этой теоремы существования таково.
Обозначим aQ^=a, b0=b и допустим для определенности, что /(а)<0,
f(b)>0. Положим затем
Oi-O.. Ь^^, если /(«!+&)> О,
(если f ( fl з ° ) = 0, то значение х= а°^ °— искомое). Тогда
на отрезке [аи 6J» который составляет половину отрезка [а0, ft0),
вновь выполнены условия теоремы, и поэтому можно построить
отрезок [а2, Ь%], увеличив все индексы в формулах (4) на 1.
Продолжая таким образом, мы получим бесконечную последовательность
вложенных друг в друга стягивающихся отрезков [а0, Ь0[^э1аи Ьх]:э
=э{аа, Ь&э. . . Легко проверить, что для точки jc=c, общей для
этих отрезков, получаем /(с)=0, что и требуется.
Это доказательство с «чистой» точки зрения является
неконструктивным, так как использует бесконечный процесс, элементы
которого заранее не заданы, а выясняются в ходе самого процесса. Однако
с прикладной точки зрения эта неконструктивность кажущаяся, так


$ 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
73
как бессмысленно говорить о построении решения с неограниченной
точностью. Если же строить решение с заданной точностью е>0,
то результат, причем с двусторонней оценкой, получается через
\og2l(b—а)/г] шагов; например, при Ь—а—\ решение с точностью до
10~10 получается через 33 шага.
Таким образом, приведенное доказательство с прикладным
видоизменением (решение строится с заданной точностью) можно
непосредственно применить для построения решения; этот метод иногда
называется методом проб. В доказательстве не рассматривался
вопрос о скорости сходимости процесса, этот вопрос в формулировке
теоремы отсутствует. Поэтому и полученная конструкция,
практически реализуемая и универсальная, по объему вычислительных
усилий далека от оптимальных — метода Ньютона и других.
Вторым примером, гораздо более пессимистичным в
прикладном отношении, служит теорема о достижении
непрерывной функцией наибольшего значения: пусть на отрезке а<х<.Ь
задана непрерывная функция f(x); тогда на нем найдется по
крайней мере одно значение х=с, для которого f(x)^f(c) при всех х£
€lflf Ы
Доказательство этой теоремы опирается на лемму о
существовании у всякого числового множества М, ограниченного сверху,
точной верхней грани sup M, т. е. наименьшего из чисел, которых не
превосходит ни одно х g M *). Без ущерба для общности можно
считать функцию f(x) ограниченной **). Обозначим a0=af b0=b и
положим
аг = а09 Ьх= a°~i ° , если sup /(*)= SUP /(*).
2
[а9,(а9 + Ь9)/2] [а9.Ьо] /jj\
fli= a*tb° > fti = ftot если SUP /(*)< SUP f(*)
d [a9,(a9+b9)/2l [a9,b9J
Повторяя эту процедуру, получим бесконечную
последовательность вложенных друг в друга стягивающихся отрезков, на которых
верхняя грань значений функции f(x) одинакова. Общая точка с
*) Лемму, в свою очередь, можно доказать так: пусть на отрезке [р0, </о]
имеются точки множества Af, причем все точки М расположены на (—оо, q0].
обозначим [ръ qx\ == Po J~y° , q0 , если на последнем отрезке имеются точки
М, и |pi, qi]= po» ■ Т — в противном случае. При продолжении этого
процесса получится бесконечная последовательность вложенных друг в друга
стягивающихся отрезков, которая и определяет sup M. Это доказательство
сугубо неконструктивно, оно по существу сводится к бесконечной
последовательности применений принципа исключенного третьего.
**) Если ограниченность непрерывной функции еще не доказана, то
можно просто рассмотреть f1(x)=arctg f(x). Функция /^ — ограниченная
ндшеет те же точки максимума, что /(*). Значит, если доказать теорему для
f1% то она автоматически распространяется на /.


74
ГЛ. i. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
этих отрезков, как легко проверить, и будет искомой; попутно
доказана и ограниченность сверху функции f(x).
Это, конечно, неэффективное доказательство существования.
Каждый его шаг определяется сравнением верхних граней значений
функции / на очередных отрезках; но построение верхней грани
было неконструктивным, это было, собственно, не построение, а
доказательство существования. Кроме того, даже в случаях, когда
верхняя грань значений функции может определяться с
удовлетворительной точностью, условие вида (5) — равенство значений,
определяемых приближенно, не должно руководить ходом
вычислений.
Ясно, что в рамках чистой математики нет универсального
алгоритма, который бы за конечное, пусть даже заранее не
ограниченное, число шагов определял бы точку с или значение / (с) с заданной
точностью. В самом деле, теоретически, при любом конечном числе
заданных значений непрерывной функции, в промежутках между
ними возможны как угодно большие отклонения от этих значений.
Однако для прикладных задач это неестественно, наличие таких
резких выпадений свидетельствовало бы о том, что задача
поставлена или исследуется неправильно. При правильной постановке
прикладной задачи функция должна достаточно хорошо
аппроксимироваться сетью ее значений на разумно густом конечном
множестве значений аргумента; при этом аппроксимируется и верхняя грань
функции.
Но если идти по пути вычисления значений функции на
достаточно густой сетке значений аргумента, то нет смысла заниматься
последовательным делением отрезка [а, Ъ\ пополам; достаточно,
например, при постоянном шаге сетки h=(b—а)/п сравнивать /а=
=/(а) с f(a+h); /^maxtf* f(a+h)} с f(a+2h) и т. д. до f{a+nh)=
^=[(Ь). Некоторым аналогом процесса деления, уменьшающим объем
вычислений, может служить такой прием: сначала значения
сравниваются на более грубой сетке (но все же достаточно мелкой, чтобы
не проглядеть «гору»), после чего сетка измельчается только вблизи
нескольких узлов, для которых значения функции оказались
относительно большими. Впрочем, и такой метод в большинстве
реальных задач далек от оптимального.
Приведенное доказательство теоремы о максимуме в принципе
не меняется при переходе к функциям любого конечного числа т
аргументов, заданным на произвольном замкнутом ограниченном
множестве; при этом на каждом шаге множество делится на 2да
частей с помощью (т—1)-мерных гиперплоскостей, параллельных
координатным. Однако указанная попытка конструктивной
реализации этой теории существенно зависит от т, так как при
измельчении интервала изменения каждого аргумента в п раз теперь
приходится вычислять и сравнивать значения функции, количество
которых может достигать (n+l)w. Это даже при небольших т>\
существенно ограничивает возможные значения п и тем самым по-


§ 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
75
вышает вероятность того, что «гора» будет пропущена. А при
больших т, скажем при т=8-г-10, метод совершенно отказывает, да и
при небольших т сильно сказывается неоптимальность метода.
Поэтому в реальных задачах на максимум функции нескольких
аргументов применяются принципиально иные методы (см. по этому
поводу, например, [257]). Впрочем, и они иногда отказывают при
больших т.
Возможно, что здесь отчасти виновато неправомерное
перенесение постановки задачи «Дана функция, найти ее максимум» из чистой
математики в прикладную. При доказательстве теоремы
существования задачу можно ставить в максимальной общности, тогда как
для прикладного конструирования нужно выяснить, для каких
именно классов функций ставится такая задача, и, может быть,
строить свой метод для каждого из этих классов *). В какой-то мере
этот прикладной подход реализуют теории линейного
программирования, выпуклого программирования 30 и т. д.
В качестве третьего, «вопиюще пессимистического»
примера, заимствованного из книги [85], рассмотрим игру в «гекс». В нее
играют два человека с помощью белой ромбической доски,
составленной из правильных шестиугольников (рис. 2), и большого числа
фишек, имеющих вид шестиугольников того же размера, причем
некоторые из фишек черные, а другие — полосатые. Играющие
по очереди накрывают фишками произвольные свободные поля
доски, по одному полю за ход, причем один из игроков пользуется
только черными фишками, а другой — только полосатыми.
Выигравшим считается тот, кто первым проложит связную цепочку из
фишек между сторонами доски, одноименными его фишкам (на рис. 2
выиграли черные). Таким образом, вся игра продолжается не более
k2 полуходов, где k — число шестиугольников в одной стороне доски
(обычно принимается k=\\9 как на рис. 2), и не так уж сложно
доказать, что закончиться она может только выигрышем одного из
игроков — ничья невозможна.
Дж. Нэш, один из изобретателей этой игры, доказал, что
существует по крайней мере одна стратегия, придерживаясь которой,
игрок, начинающий первым, обязательно выигрывает; такая стратегия
включает однозначное указание первого хода и однозначное правило
ответа на любой последующий ход противника при любом уже
возникшем положении. Здесь мы приведем схему этого доказательства,
замечательного как по своему остроумию, так и по полной
невозможности извлечь из него какие-либо указания о том, как все-таки
надо играть на выигрыш. Теорема Нэша — это чистая теорема
существования!
Доказательство осуществляется от противного. Отсутствие
выигрышной стратегии у первого игрока означает, что как бы он ни
*) Роль ограниченно применимых алгоритмов, использующих
конкретные особенности возникающих в приложениях классов задач для сложных
систем, подчеркнута в книге Лэсдона [4671.


76
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
ставил фишки, второй игрок может уйти от поражения. Но так как
игра обязательно заканчивается чьим-то выигрышем, то это
означает, что второй игрок обладает по крайней мере одной выигрышной
стратегией. Выберем одну из таких стратегий и допустим, что
первый игрок поступает следующим образом: первую фишку он ставит
произвольно, а затем отвечает по выбранной стратегии, считая
себя вторым игроком и не обращая внимания на первую фишку;
так продолжается либо до тех пор, пока он не выиграет, либо пока
по стратегии ему не потребуется поставить фишку на место, занятое
при первом ходе; тогда он делает
второй произвольный ход и далее
отвечает по стратегии, не обращая
внимания на этот ход, пока он не
выиграет, либо пока ему не
придется пойти на место, занятое при
этом ходе; тогда он делает третий
произвольный ход и т. д. Если
первый игрок будет пользоваться
Рис. 2 этими правилами, то (как бы ни
играл второй!) после каждого его
хода на доске будет такая картина, как будто он играет вторым по
выбранной стратегии да еще имеет где-то на доске лишнюю фишку.
Поэтому, по предположению о стратегии, второй (в стратегии он
называется первым) не может на своем ходе закончить игру. Итак,
описанная стратегия для первого игрока является выигрышной,
что противоречит предположению об отсутствии таковых.
Теорема доказана.
В конструктивном отношении это доказательство вряд ли дает
что-либо сверх уверенности, что при полном переборе (если бы он
был осуществим!) всех стратегий первого игрока,— а их имеется
формально лишь конечное число,— обязательно обнаружится
выигрышная. Однако попробуем оценить снизу число всех этих
стратегий (не путать с числом вариантов течения партии!) при £=11.
Стратегия должна содержать прежде всего указание первого хода,
а их может быть столько, сколько полей на доске, т. е. 121. Далее
в стратегию должно войти указание об ответе на любой из 120
первых ходов партнера; так как таких ответов может быть 119, то
получается 119120 комбинаций. Продолжая таким образом, мы видим,
что имеется
Q=12M19120117118...101102
возможных указаний первому игроку о его поведении на
протяжении первых 11 ходов. Далее подсчет числа стратегий усложняется,
так как за 11 ходов партия может быть закончена; во всяком случае
ясно, что общее число стратегий существенно больше, чем Q. Однако
О>1001+120+118 ь*" *10?= Ю2222


§ 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
17
т. е. получается практическая бесконечность (см. п. 2.4). Поэтому
нет ничего удивительного в том, что доказательство существования
выигрышной стратегии, основанное на приведении
противоположного утверждения к противоречию, не дало никакого
конструктивного результата. Конечно, в принципе можно было бы надеяться,
что доказательство даст какой-то намек на рациональную
стратегию, но и эта надежда не оправдывается.
Следующие два примера — четвертый и пятый — относятся к
вопросу о трактовке некоторых «чистых» общих результатов в
применении к прикладной математике.
В качестве четвертого примера рассмотрим
соотношение между теоремой Пуанкаре о возвращении и вторым законом
термодинамики (см., например, [143; 318, гл. 1]). Пусть в замкнутом
сосуде находится порция газа, состоящая из весьма большого числа
N одинаковых молекул. Если внешние воздействия отсутствуют,
то независимо от начального состояния газа через некоторое время
в нем установится статистическое равновесие, при котором во всех
физически бесконечно малых объемах (п. 2.3) средние квадраты
скоростей молекул, определяющие температуру газа, одинаковы.
В процессе дальнейшей эволюции не может получиться так, чтобы
в одной части сосуда собрались молекулы с высокой скоростью, а в
другой — с низкой скоростью: это противоречило бы второму
закону термодинамики о невозможности убывания энтропии, а также
и здравому смыслу, так как в противном случае можно было бы
вскипятить чайник на холодной плите.
Но к описанной ситуации возможен иной подход. Эволюцию
состояния всей рассматриваемой системы можно изобразить
движением одной точки в бМ-мерном фазовом пространстве координат
и импульсов. Для консервативных систем, какой является и наша,
известна теорема Пуанкаре, согласно которой для почти каждого
начального положения изображающей точки она при /-^+оо будет
вновь и вновь пересекать как угодно малую окрестность этого
положения. Таким образом, если в начальный момент молекулы с вы-,
сокой и с низкой скоростями были разделены (так могло быть,
если в начальный момент из сосуда убрали перегородку,
разделяющую две порции газа, обладающие разной температурой), то и в
дальнейшем, уже после выравнивания температуры, будут моменты,
когда порции газа с разной температурой вновь разделятся. Но это
явное противоречие!
Для того чтобы разъяснить это кажущееся противоречие, нужно
уточнить, какими получаются моменты повторного разделения
порций газа. В [130, § XII 1.4] рассмотрена по аналогичному поводу
следующая модельная задача. Пусть имеется колода из 1012 карт,
половина которых красные, а другая половина — черные. Какова
вероятность того, что после добросовестного их тасования средняя
плотность красных карт в первых 1010 картах больше, чем на 1 %,
превысит среднюю плотность их во всей колоде, равную 0,5? Под-


78
ГЛ. I. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
счет показывает, что искомая вероятность приближенно равна
10-200 ооо таким образом, можно быть уверенным, что если колода
тасуется и проверяется миллиарды раз в секунду в течение всего
времени существования Вселенной, то описанное повышение
средней плотности красных карт в первой части колоды ни разу не
произойдет. Что касается исходной задачи с газом, то при любых
макроскопически заметных порциях газа вероятность описанного выше
разделения молекул оказывается еще меньше. Поэтому время
ожидания этого разделения будет практической бесконечностью
(п. 2.4), т. е. на самом деле разделения не произойдет никогда*).
Таким образом, теорема Пуанкаре в статистической механике
неприменима, она приводит к практически неверным качественным
аыводам. По этой и аналогичным причинам при описании таких
статистических объектов, как газ, с помощью изображающей точки
в фазовом пространстве требуется особая бдительность.
Последний, пятый пример иллюстрирует положение
п. 2.8 о том, что каждое значение непрерывной переменной служит
представителем некоторого исчезающе малого интервала ее
значений. Именно, обсудим возможность применения теоремы о непре*
рывной зависимости решения дифференциального уравнения от
начальных данных при изучении движений, близких к
неустойчивому состоянию равновесия в начальный момент времени. Для
определенности рассмотрим положение математического маятника
над точкой подвеса при отсутствии силы трения.
Как известно, дифференциальное уравнение движения такого
маятника имеет вид
/(p + gsinq) = 0t (6)
где / — длина маятника, ф — угол его отклонения от крайнего
нижнего положения, g — ускорение свободного падения. При
начальном условии ф(0)=я, ф(0)=0 уравнение (6) имеет решение ф(/)=я,
отвечающее верхнему положению равновесия маятника.
Так как никакое начальное условие не может реализоваться
совершенно точно, то фактическим начальным условием служит
<р(0) = * + <%!> Ф(0) = а2,
где |ах| и |а2| малы. Из теоремы о непрерывной зависимости решения
дифференциального уравнения от начальных данных вытекает,
что для любого фиксированного промежутка времени 0</<Гпри
достаточно малых |ах| и |а2| значения |ф(*)—я| будут как угодно
малыми, т. е. падение при этих t не происходит. Но насколько
малыми для этого должны быть (o^l и |а2|?
*) Кстати, сам Пуанкаре так не считал. Указав, что для видимого
отклонения от закона Мариотта потребуется время ожидания порядка Ю10 лет,
он сказал [268, с. 271}: «Это неважно: для нас достаточно,, что оно будет
конечным». Думается, что здесь великий математик и мыслитель оказался в
плену абсолютизации понятия конечного.


§ 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
79
Приведем примерный расчет. Положим для простоты а2=0,
выберем в качестве характерного времени t0 время свободного
падения тела без начальной скорости из верхнего положения в
нижнее, т. е.
'о = 2 |/1
и подсчитаем границу для (а^, при соблюдении которой маятник за
время 10/о отклонится от вертикального положения не больше, чем
на я/10. (Как упоминалось в конце п. 2.3, число 10 служит
привычным условным множителем для перехода к величинам «следующего
порядка»; таким образом, неравенство T^IQU можно условно
принять в данной задаче за эквивалент понятия «долго».) Для
небольших значений ф—я уравнение (6) можно линеаризовать, что при
аа=0 приводит к решению
Ф^я-fajch у j-t-
Подставляя ф=я+я/10, t=Wt0, получим
a^^.^-ао^з-Ю-" рад-0,00007".
Ясно, что ни в каком реальном устройстве такая точность не
может быть достигнута. В этом смысле упомянутая теорема о
непрерывной зависимости на достаточно длительном интервале времени
неприменима, а потому малое отклонение от неустойчивого
состояния равновесия на таком формально
конечном интервале нереализуемо.
Этот результат становится еще более
эффектным, если увеличить Г, например,
если принять Г ^ 100/0 (этот срок можно
условно назвать словами «очень долго»).
Тогда оценка для ах вообще теряет
всякий реальный смысл. Итак, утверждение
(со ссылкой на теорему о непрерывной
зависимости решения от начальных
условий), что с помощью уменьшения Jccx|
можно растянуть время падения как
угодно далеко, не только не имеет практической ценности, но,
более того, оно практически неверно.
О подобных несовпадениях формальных и реальных оценок
ситуации часто забывают. В качестве яркого примера укажем на
формально безупречное доказательство [179, с. 421—423] того, что если
на платформе поезда поставлен математический маятник без трения,
подвижная масса которого находится выше точки закрепления
(рис. 3), то при любом заданном законе движения v(t) между
стартом /=0 и финишем t=T существует целый интервал начальных


80
ГЛ. I. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
углов фо=ф(0) (рис. 3), для которых маятник при ф(0)=0 не упадет
за все время движения. Оно основано на непосредственном
применении теоремы о промежуточном значении непрерывной функции к
зависимости tyT(=ty(T)) от ty„.
Однако оценка ширины интервала значений tf0, для которых
маятник не упадет за все время движения, аналогичная приведенной
выше оценке для аи показывает, что реальное попадание в него
практически невозможно, так что ни о каком реальном
существовании описанного балансирования не может быть и речи —
вопреки классической теории дифференциальных уравнений
реальная зависимость^ отф<, разрывна, так как в описанных
условиях Т надо моделировать как математическую бесконечность.
Таким образом, в действительности между интервалами значений
фо, при которых маятник упадет направо (налево), имеется интервал
неопределенности; положение этого интервала может быть
предсказано с большей или меньшей точностью по ускорениям платформы в
начале ее движения.
Рассмотренный пример с неустойчивым положением
математического маятника интересен еще в следующем отношении. Одно
время велись споры по поводу применимости результатов теории
устойчивости Ляпунова к задачам практики из-за того, что в этой теории
используются представления о бесконечно большом интервале
времени и бесконечно малых начальных возмущениях, тогда как
«на практике все величины конечны». Однако на разобранном
типичном примере мы видим, что эти опасения не очень существенны.
В самом деле, при малых, но реальных начальных возмущениях
отклонение от положения равновесия принимает конечные, не малые
значения не только на бесконечном интервале времени, но и просто
на интервале, длительном по сравнению с характерным временем.
Другими словами, в реальной задаче бесконечный интервал теории
устойчивости — это модель интервала, длительного по сравнению с
характерным временем, а бесконечно малые начальные
возмущения — модель возмущений, малых по сравнению с характерным*?
изменениями координат системы. Можно сказать также, что при
правильной схематизации реальное понятие устойчивости
относительно начальных возмущений, как правило, совпадает с понятием
устойчивости по Ляпунову. Конечно, это утверждение имеет
рациональный характер (§ 3), но в грубых случаях оно имеет высокую
степень достоверности,
В связи со сказанным упомянем еще о так называемой проблеме
захвата в небесной механике. Эта проблема состоит в выяснении
возможности такого движения системы п^З материальных точек,
испытывающих только силы взаимного притяжения, что при /->•
-*•—оо координаты всех или некоторых из этих точек были бы
неограниченными, тогда как при /-> +<х> все эти точки содержались
бы внутри фиксированной сферы S. Примеры возможности такого
захвата построены, и из них делаются важные качественные космо-


$2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
81
тонические выводы. Однако известно (см., например, [192, с. 138]),
что захват может быть только для начальных условий, образующих
в фазовом пространстве множество нулевой меры. А так как любые
начальные условия могут реализоваться лишь приближенно, то и
«захват» реально будет иметь вид лишь длительного пребывания
системы внутри S. Думается, что из-за этого любые ответственные
космогонические выводы нельзя делать без хотя бы самой грубой
прикидки этого интервала времени с учетом возможного влияния
возмущений.
Аналогичное осложнение возникает при ответе на более простой
вопрос: возможно ли попадание случайно брошенного шара в
заранее заданную точку плоскости? Конечно, если речь идет о чисто
математической постановке вопроса, то ответ зависит от соглашения
о терминологии; обычно в теории вероятностей говорят, что такое
попадание возможно, но имеет нулевую вероятность. Если же
речь идет о реальном опыте, то надо иметь в виду, что, с одной
стороны, реальная зона контакта шара и плоскости имеет конечные
размеры (хотя бы из-за неизбежных деформаций), а с другой —
реальный порог «невозможности» определяется формально
положительной вероятностью (п. 2.5). Соотношение между этими двумя
малыми размытыми величинами и определяет (также размытый)
ответ на поставленный вопрос.
Приведенные примеры лишь частично иллюстрируют
изложенное в настоящем параграфе; квалифицированный читатель сможет
привести большое число, быть может, гораздо более ярких
иллюстраций из области своей конкретной деятельности.
15. Еще цитаты. В заключение параграфа приведем высказывания
различных авторов, непосредственно связанные с изложенным материалом,
в основном с материалом пп. 2.10—2.12 (и частично — с § 3).
X. Розенброк и С. Сгори, говоря о математическом решении
прикладных задач, пишут [279, с. 29—30]: «...математик-теоретик начинает с
формулировки задачи, которую он потом не подвергает сомнению. Его
единственной целью на протяжении последующих манипуляций является
обоснование своих аргументов. Ни одну важную задачу в технике нельзя поставить
таким образом. Любое формулирование технической задачи является
условным, и если некоторое следствие формулировки задачи неверно или
неприемлемо, то задача должна быть переформулирована. Если любой
промежуточный шаг в математической аргументации отображает физически
неверное положение, то результат, полученный с помощью строгих рассуждений
из, по-видимому, обоснованной точки зрения, будет тем не менее ошибочным.
Математик-прикладник, следовательно, должен учитывать как
математическую, так и физическую сторону задачи, связывая одну с другой».
Д. Хорафас [336, с. 13]: «В самом широком плане математику можно
разделить на две области. Ученые, работающие в одной из них, имеют дело
с символами, их комбинациями и свойствами в формализованном виде.
Математики, ведущие исследования в другой области, интересуются значением
символов, т. е. смысловым содержанием теории, связанной с реальным
миром». Это и есть схематическое определение чистой и прикладной математики.
О. Хевисайд (цит. по [52, с. 139—140]): «Нужно по возможности полнее
избегать вошедшего в обычай избавления от физики путем сведения задачи
к чисто математическому упражнению. Следует все время не упускать из
вида физику, чтобы придать задаче жизнь и реальное значение и чтобы по-


82
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
лучить большую помощь, которую физика дает математике. Это не всегда
может быть сделано, особенно в деталях, которые требуют больших
вычислений, но этот общий принцип следует проводить в жизнь по возможности
полнее, уделяя особое внимание движущим идеям». Он говорит о введенных
им без полного математического обоснования операторах сопротивления (там
же, с. 141): «Их использование часто ведет к большим упрощениям и
избавляет от необходимости проводить сложные вычисления определенных
интегралов. Но при этом строгая логика дела не ясна! Ну и что из того? Буду ли я
отказываться от обеда потому, что не понимаю полностью процесс
пищеварения? Нет, не буду, если я удовлетворен результатом. Подобным образом
и физик может применять нестрогие процессы с удовлетворением и пользой,
если он, проводя проверки, убеждается в точности своих результатов».
А. Б. Мигдал [214, с. 22 и 241: «Физика немыслима без математики и
математических понятий, но не сводится к ним. Более того, главное в физике
не формулы, а их интерпретация — понимание, именно оно питает
интуицию... Эти утверждения трудно понять физику математического
происхождения, который рассматривает теоретическую физику как раздел прикладной
математики». «Физическая картина явления и его математическое описание
дополнительны. Создание физической картины требует пренебрежения
деталями и уводит от математической точности. И наоборот: попытка точного
математического описания явлений затрудняет ясное понимание».
М. Кац и С. Улам [144, с. 167—168] говорят о тенденции «современной
математики: игнорировать и отвергать все, что не формализовано логически.
Именно эта тенденция (начинающая проникать в начальное и среднее
обучение) в большой степени ответственна за растущее отделение математики от
физики. Физик, применяющий математические методы, вполне может
положиться на внутреннюю согласованность своих построений и, что самое
важное, на совпадение полученных результатов с экспериментом. Подобно
шестикласснику, он будет рад воспользоваться рациональными числами, не
зная во всех подробностях, как их можно объединить в формальную систему,
и, подобно Хевисайду, будет счастлив жонглировать операторами, не
дожидаясь, когда логика даст ему разрешение на это».
Кстати, именно Хевисайду удалось найти решения практически важных
задач в случаях, когда применить логически полностью обоснованную в то
время методику оказалось затруднительно. Позже аналогичная история
произошла с обобщенными функциями (п. 2.7), которые физики ввели и
начали использовать раньше, чем математики дали им формально совершенное
обоснование.
Г. Ван Трис пишет в предисловии к книге [63, с. 11 —12]: «Уровень
математической строгости книги невысок, хотя в большинстве разделов
полученные результаты могут быть доказаны и строго, если мы будем просто
более скрупулезны в наших выкладках. Мы намеренно приняли такой
подход с тем, чтобы обилием деталей не обременять существенные идеи и сделать
материал удобочитаемым для той инженерной аудитории, которая найдет его
полезным. К счастью, почти во всех случаях мы можем удостовериться, что
наши выводы являются интуитивно логичными. Следует заметить, что эта
способность проверять выводы интуитивно была бы необходима, даже если
бы выкладки были весьма строгими, поскольку наша конечная цель —
получить ответ, который соответствует некоторой рассматриваемой физической
системе. Не представляет труда найти физические задачи, в которых
правдоподобная (но неадекватная, см. п. 4.3.— Авт.) математическая модель и
корректные математические методы приводят к нереалистическому решению
исходной задачи».
Л. де Бройль [58, с. 326]: «Математический язык является чисто
дедуктивным, он позволяет строго выводить следствия из посылок. Эта строгость,
являющаяся его силой, является также его слабостью, поскольку она
замыкает его в круг, за пределы которого он не может выйти. Математическое
рассуждение должно установить следствия, которые уже содержатся в
посылках, не будучи еще очевидными: следовательно, оно не может дать в своих


§ 2. О РАЗЛИЧИИ ПОДХОДОВ
83
выводах ничего более того, что содержится неявно в исходных гипотезах...
Итак, не чистые дедукции, а смелые индукции и оригинальные
представления являются источниками высокого прогресса науки».
Ю. А. Манин [198, с. 39—40J: «Предметом логики не является внешний
мир, но лишь системы его осмысления. Логика одной из таких систем —
математики — в силу своей нормализованности представляет собой подобие
жесткого трафарета, который можно накладывать на любую другую систему.
Соответствие или расхождение этого трафарета с системой, однако, не служит
критерием ее пригодности либо мерилом ценности. Физик не обязан быть ни
последовательным, ни непротиворечивым — он должен эффективно
описывать природу на определенных уровнях. Тем менее логичны естественные
языки и непосредственная работа сознания. Вообще логичность как условие
эффективности появляется лишь в узко специализированных сферах
человеческой деятельности». Отметим весьма интересное обсуждение различных
подходов к смыслу математического текста, содержащееся там же на
с. 150—160.
X. Розенброк и С. Стори [279, с. 17, 31 и 41]: «Мы не против
математической строгости и, признавая, что математика имеет свои собственные
внутренние законы развития, возражаем против позиции, которая концентрирует
внимание на математических тонкостях, возникающих при постановке
задачи и несущественных в определенном смысле, и в то же время игнорирует
действительные трудности». «Инженер должен не гнаться за строгостью как
вещью в себе и избегать большой борьбы за общность и краткость. Слишком
общая формулировка обычно сводит решение к задаче, менее легкой и менее
полезной. Краткость (или «элегантность») это хорошо, однако часто она
получается только за счет искусственности». «Инженер... не позволяет
ставить в один ряд все те проблемы, которые представляют какой-либо интерес.
Математические выкладки оправдываются в его глазах их практическим
успехом таким же образом, как и физические теории, к которым эта математика
применяется. Вследствие этого различия в подходе аксиоматический метод
мало привлекателен для инженера. Он соглашается признать, что 2+2=4,
потому что это приводит к полезным результатам, и не чувствует
необходимости доказывать это утверждение с помощью ряда менее очевидных аксиом.
В то же время он не возражает против введения новых фактов в задачу по
мере решения. Если новый факт верен, то он не может быть источником
ошибок в результате».
X. Альвен (о физике; [11, с. 35]): «Современная научная литература
изобилует работами, не лишенными математической элегантности, но
результаты этих работ часто не представляют интереса из-за неаккуратного выбора
исходных предположений».
Аналогичные мысли высказал Н. Бейли [30, с. 144] в связи с
приложениями математики к биологии: «Вполне возможно, что для решения
уравнений нужны некоторые дополнительные условия или допущения, либо их
трудно решить именно в той форме, в какой они представлены. В этом случае
математик может ввести дополнительные ограничения или произвести
некоторые изменения, позволяющие решить эти уравнения. Но может
оказаться, что произведенные им изменения не соответствуют духу
первоначальной биологической задачи, и в результате будет затрачено много сил на
сложные, но бесполезные математические расчеты в поисках точного решения
ошибочной задачи. Для того чтобы математик узнал, что именно в конечном
счете допустимо с точки зрения биологии, он должен проявить интерес к
самой биологической задаче и познакомиться с ией во всех деталях».
У. Прагер [266, с. 8]: «Прикладной математик должен относиться с
пониманием (но не слепо! — Авт.) к требованию строгости со стороны чистого
математика, так же как и к стремлению ученых и инженеров использовать
эвристические рассуждения».
Выступая на конференции Американской ассоциации экономистов,
президент этой ассоциации В. Леонтьев, говоря о резко возросшем увлечении
формальными схемами экономики, в частности, сказал [190]: «Некрятиче-


84
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
ское увлечение математическими формулами часто ведет к тому, что за
внушительным фронтом алгебраических символов скрываются положения,
легковесные с точки зрения сущности предмета». Он приводит слова одного из
недавних президентов Общества эконометриков: «... есть что-то скандальное
в зрелище, которое представляет такое большое количество людей, занятых
оттачиванием анализа экономических ситуаций, относительно которых у них
нет никаких оснований полагать, что они когда-либо будут иметь место в
действительности... Это неудовлетворительное состояние дел, в котором есть
даже что-то бесчестмое». И добавляет: «Увлеченность воображаемой, а не
данной в наблюдениях реальностью привела к искажению неофициальной
шкалы ценностей, по которой в наших академических кругах оценивают
научные достижения. Эмпирический анализ оценивается теперь ниже, чем
формальное математическое доказательство... И все это происходит несмотря
на то, что в очень многн случаях сложный статистический анализ
осуществляется на базе массива данных, точное значение и надежность которых
неизвестны автору или, напротив, так хорошо известны, что в самом конце
он предупреждает читателя не принимать всерьез фактическую сторону
выводов данного «упражнения»... неудивительно, что экономисты младшего
поколения, особенно те, которые заняты преподавательской деятельностью
и теоретическими исследованиями, по-видимому, вполне удовлетворены
нынешним состоянием дел: они могут демонстрировать свою доблесть (и,
между прочим, делать карьеру), создавая все более сложные математические
модели и изобретая все более изощренные методы статистических
преобразований, совершенно не принимая участия в эмпирических исследованиях.
Время от времени раздаются жалобы на отсутствие необходимых первичных
данных, но в них не заметно особой тревоги».
Н. Винер [771: «Успехи математической физики вызвали у социологов
чувство ревности к силе ее методов, чувство, которое едва ли
сопровождалось отчетливым пониманием интеллектуальных истоков этой силы...
Подобно тому, как некоторые отсталые народы заимствовали у Запада его
обезличенные, лишенные национальных примет одежды и парламентские формы,
смутно веря, будто эти магические облачения и обряды смогут их сразу
приблизить к современной культуре и технике, так и экономисты принялись
облачать свои весьма неточные идеи в строгие формулы интегрального и
дифференциального исчислений... Как ни труден отбор надежных данных в
физике, гораздо сложнее собрать обширную информацию экономического или
социологического характера, состоящую из многочисленных серий
однородных данных... В этих обстоятельствах безнадежно добиваться слишком
точных определений величин, вступающих в игру. Приписывать таким
неопределенным по самой своей сути величинам какую-то особую точность
бесполезно, и каков бы ни был предлог, применение точных формул к этим
слишком вольно определяемым величинам есть не что иное, как обман и пустая
трата времени».
В. В. Налимов [233, с. 195): «... нередко кафедры математической
статистики занимают ученые, хорошо подготовленные в области математики,
но не имеющие вкуса к эксперименту. Им нужно как-то проявить свою
деятельность. Нужно давать темы для дипломных и диссертационных работ.
Появляются проблемы, сформулированные в терминах прикладных задач,
но в действительности не имеющие прикладного значения. Разработка этих
проблем требует высокого математического мастерства и может служить
хорошим основанием для поддержания престижа на высоком уровне. Однако
найденные решения не имеют большой ценности с позиций математики, так
как они носят очень частный характер. Их пытаются представить как
глубокую теоретическую разработку практически важной проблемы. Но на
самом деле они не имеют прикладного значения из-за нереалистичности в
постановке задачи. Так возникает ненужная теоретизация».
М. Кац и С. Улам [144, с. 210—2111: «Никакая из рассматривающихся
до сих пор формальных систем не дает адекватного воплощения того
представления о бесконечном, которого бессознательно придерживаются мате-


§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
85
матики: можно даже отважиться на гипотезу, что такая формальная система
вообще невозможна». «Работа над основаниями всей математики в целом
привела к отрицательному результату, ибо она выявила слабые стороны
аксиоматического метода. (Мы бы не сказали, что это отрицательный
результат.— Лет.) В теории множеств она породила серьезные сомнения в
существовании формальных систем, способных дать такое описание, которое
отвечало бы представлению математика о множествах». Противопоставляя
этому конструктивные результаты работы над основаниями геометрии,
названные авторы заключают: «Трудно избежать искушения и не сделать
из этого вывод, что существует какое-то неопределяемое глубокое различие
между проблемой аксиоматизации отдельной ветви математики, обязанной
своим происхождением внешним стимулам, и проблемой аксиоматизации
внутренних процессов мышления».
В. В. Налимов [232]: «Если математика в прикладных задачах выступает
s роли языка, то математические структуры этого языка естественно
рассматривать как грамматику этого языка».
Дж. Коул [160, с. 9J: «Настоящая книга написана в основном с точки
зрения математика-прикладника: внимание в ней в значительно большей
степени уделено выявлению основополагающих идей теории возмущений,
чем вопросам математической строгости; при этом использовались самые
разнообразные средства. В частности, для выяснения существа различных
вопросов часто приходилось обращаться к физическим рассуждениям. Они
обычно помогают правильно поставить задачу и найти нужные
приближения».
Н. А. Картвелишвили и Ю. И. Галактионов [141, с. 151: «Нестрогое
решение и неверное решение — принципиально разные вещи».
Дж. Смит [296, с. 10 и 13]: «Я подхожу к математике, как подошел бы к
изучению французского языка человек, собирающийся ехать в Париж, а
не как студент, которому надо сдать экзамен по французской грамматике.
Важно начать пользоваться математикой как неким языком, а не как
способом гарантировать себя от ошибок... Я рекомендую читателю, впервые
знакомящемуся с понятием комплексного числа или с представлением функции
sin 9 в виде бесконечного ряда, пользоваться этими понятиями, не слишком
беспокоясь об их строгом обосновании. Исторически этими понятиями на»
чали пользоваться задолго до того, как появились строгие определения и
доказательства. Как только вы убедитесь в полезности равенства е*в=-
~cos9-Hsin9, вам уже нетрудно будет убедить себя в его истинности»»
§ 3. Рациональные рассуждения
«Правда — настолько великая вещь, что
мы не должны пренебрегать ничем, что
ведет к ней».
Монтень
1. Понятие рационального рассуждения. Примеры
рациональных рассуждении и их особенности. Одно из наиболее
существенных различий между чистой и прикладной математикой связано
с характером применяемой логики. Хотя логика прикладной мате»
матики не столь канонизирована, как логика чистой математики, она
обладает некоторыми стихийно установившимися, но достаточно
характерными чертами — в способах доказательств, при выборе
критериев достоверности и т. д.; при этом аналогичные способы и
критерии, известные в чистой математике, в приложениях зачастую
оказываются лишними или попросту отказывают.


86
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Мы уже говорили о том, что прикладная математика, как,
впрочем, и все дисциплины за исключением чистой математики, не может
ограничиваться только дедуктивными рассуждениями. Стихийно
выработался стиль рассуждений, который составляет логическую
основу прикладной математики и состоит в сочетании дедуктивных
рассуждений и рассуждений, быть может, неприемлемых с точки
зрения чистой математики, но способных при разумном их
применении приводить к правильным результатам. Рассуждения этого
последнего типа, примеры которых уже приводились во Введении,
ниже будут называться рациональными. (Впрочем, подобно тому
как, например, покой можно считать особым видом движения, так
и мы во многих случаях без особой оговорки будем считать
дедуктивные рассуждения особым, предельным случаем рациональных.)
Конечно, слово «рациональный» нами применяется в смысле
«разумный, целесообразный, обоснованный» и не должно пониматься
как антоним слову «иррациональный» в любом его смысле.
Таким образом, содержание этого понятия близко к тому,
которое в статье 1431 вкладывалось р термин «правдоподобные
рассуждения», заимствованный из книги Д. Пойа [262], с которой у нас
имеется целый ряд точек соприкосновения (впрочем, книга Пойа
нацелена, в первую очередь, на анализ процесса открытия в области
чистой математики). Как показало обсуждение [83], мнЬгие
участники дискуссии сочли неудачным сам термин «правдоподобное»,
который на русском языке в сочетании со словом «рассуждение»
вносит оттенок лживости, отсутствующий в термине «plausible»
Пойа. Поэтому мы сочли целесообразным изменить терминологию.
Новый термин взят из книги [263, с. 276], где он, правда, понимается
в более узком смысле. Соответственно мы будем говорить о
рациональных определениях, утверждениях, доказательствах и т. п.
По отношению к утверждениям на равных правах со словом
«рациональное» будет употребляться термин «правдоподобное», что
вполйе отвечает и его житейскому смыслу *).
*) В книге Е. Л. Фейнберга [322], имеющей в логическом аспекте ряд
соприкосновений с нашей, автор, резко критикуя фетишизацию
формальнологического подхода, убедительно обосновывает не только естественность,
но и необходимость для любой науки дискурсивного мышления (от
латинского discursus— рассуждение, довод, аргумент). Он пишет (с. 34): «Понятие
дискурсивного шире понятия формально-логического. Оно относится к
любому типу рассудочных, понятийных умозаключений, в частности и таких,
когда в цепь этих умозаключений включаются внелогические утверждения».
Таким образом, автор употребляет понятие дискурсивного в смысле, сходном
с применяемым нами понятием рационального. Дискурсия
противопоставляется интуиции — «прямому усмотрению истины, т. е. усмотрению
объективной связи вещей, не опирающемуся на доказательство» П9, с. 1J. (По
этому поводу см. также с. 290 нашей книги).
Близкий смысл имеет термин «эвристическое рассуждение», широко
распространившийся в последние годы, хотя разные авторы вкладывают в
него несколько различное содержание. Так, В. Н. Тростников [310, с. 215—
219], обсуждая понятие эвристинности, определяет эвристический поиск как


§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
87
Отметим сразу же, что одна из важнейших особенностей рацио*
нальных^ рассуждений, отличающих их от дедуктивных, состоит
в том, что первые могут включать размытые понятия (п. 2.9).
Получающаяся из-за этого неопределенность не препятствует тому, чтобы
квалифицировать рассуждения как правильные, или частично пра*
вильные, или ложные и извлекать из них те или иные полезные
выводы, так как подразумевается, что такие рассуждения всегда
воспринимаются с учетом возможных поправок на расплывчатость
и субъективность.
Вспоминается, как после одного из докладов в МГУ Р. Беллман
в ответ на вопрос: «Может ли машина мыслить?» — написал это
предложение на доске, а затем сказал, что в нем вполне
определенным и понятным является только знак «?». В предложенной Р. Белл-
ману редакции вопроса видна его типично рациональная постановка,
и ответ на него существенно зависит от разумного уточнения
участвующих в ней понятий, которое, конечно, не является
определением с позиций чистой математики (см. п. 2.9).
Можно привести много примеров эффективности предложений,
включающих размытые понятия, даже в сочинениях
математического характера. Вот типичный пример, взятый из книги Р. Хемминга
(332, с. 353]. Сравнивая различные методы численного нахождения
нулей функции, автор указывает, что это сравнение иллюстрирует
«несколько неопределенный общий принцип: чем тоньше метод и
чем лучше он кажется, тем хуже он может повести себя в случае
осложнений с функцией». Ясно, что это —.рациональный принцип.
Конечно, можно было бы попытаться перейти к дедуктивной
формулировке этого принципа, выбрав какую-либо точно определенную
область его применения. Однако при этом сфера действия принципа
оказалась бы весьма суженной, а сама формулировка — громоздкой
и ненаглядной. К счастью, такое уточнение и не требуется, так как
целью формулировки принципа является формирование правильной
вычислительной интуиции, а для этого наглядная рациональная
формулировка бесспорно предпочтительнее ненаглядной
дедуктивной, (Другие примеры такого рода см. в [441].)
По необходимости рациональными являются определения,
относящиеся к неформальным объектам. Вот типичный пример [51,
с. 152]: «Совокупность свойств, характеризующих полезные функции
системы, будем называть ее качеством... Система будет эффективной
только в том случае, если качество, заложенное в ее проектирование,
будет сохраняться в течение всего времени, установленного для
эксплуатации системы. В понятие эксплуатации мы включаем не
только полезное функционирование системы, но и всю совокупность
операций над нею, начиная от изготовления и кончая демонтажом
поиск, в котором участвуют такие элементы сознания, работу которых
человек, ими пользующийся, объяснить не может.
Отметим, что И. Грекова в рецензии 11021 на нашу книгу предложила
вместо «рациональные» термин «убедительные» рассуждения.


88
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
и сносом. Качество может быть утрачено не только во время
функционирования, но и, например, при возведении и
транспортировании». С формальной точки зрения подобные определения и
формулировки, включающие не определенные ранее понятия,
недопустимы. Но ясно, что попытки формального определения понятий
«полезной функции», «сноса» и т. п. могли бы привести только к
псевдонаучной игре в слова, не влекущей за собой никаких полезных
выводов *).
Упомянутые определения и утверждения говорят о рациональной
структуре, связывающей рациональные понятия, поэтому любые
полезные разъяснения и уточнения также, естественно, имеют
рациональный характер. При таком уточнении весьма существенно,
что каждое рациональное понятие включает не только то, что о нем
уже было сказано, но и то, что за ним реально скрывается.
Приведем еще один пример, относящийся к определению термина
«колебания». Попытки связать понятие колеблющейся величины со
свойством многократной смены знака оказались неудачными,
поскольку такие величины, как, например, x=t—sin tf сточки зрения
прикладников также естественно считать колеблющимися. Итог
многолетних размышлений был недавно подведен в проекте
терминологического стандарта Международной организации по
стандартизации, где колеблющейся называется величина, которая
попеременно становится то большей, то меньшей некоторого отсчетного
уровня. При этом допускается возможность того, что отсчетный
уровень не постоянен, т. е. возможность принять за такой
уровень наклонную прямую (как в приведенном выше примере) или
какую-либо иную разумно выбираемую кривую. Последние слова
делают определение в целом, очевидно, не дедуктивным, поскольку
любую величину (даже постоянную!) можно формально назвать
колеблющейся, выбрав достаточно «пьяную» систему отсчета. Конечно,
составители проекта сознательно уклонились от формального
определения отсчетного уровня; только таким образом удается с помощью
размытого понятия отразить многообразие реальных ситуаций,
в которых возникает представление о колебаниях.
Несомненно рациональным является и приведенное в начале
параграфа само определение рационального рассуждения из-за
отсутствия и нецелесообразности формального определения понятия
«способность», «разумное» применение и, конечно, «правильный»
результат. Рациональным является подавляющее большинство рас-
*) В книге Н. Н. Моисеева [2201, специально посвященной оптимальным
системам, говорится (с. 10—11): «В технике возник термин «оптимальные
системы». Это очень расплывчатое понятие, которое не имеет еще четкого
математического содержания. Однако когда инженеры говорят о
конструировании оптимальных систем, то всем более или менее ясно, что это означает.
Это означает, что на разных этапах конструирования системы выбор ее
элементов определяется теми или иными оптимизационными соображениями».
Аналогичные слова можно произнести по адресу «больших систем» (п. 5.6),
вообще «систем» [223] и т. д.


§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
89
суждений в естественных и социальных науках, в технике,
житейской практике — за исключением отдельных дедуктивных
вкраплений; конечно, если эти рассуждения проводятся в соответствии со
стилем, выработанным адекватно соответствующей области *).
В каждой области имеются свои понятия разумности, свои
критерии правильности. Различные науки, различные сферы
человеческой деятельности как бы говорят на разных языках, включающих
не только наборы понятий и соотношений между ними, но и
определенные черты применяемой логики. В этом смысле и прикладная
математика имеет собственный язык или, точнее, несколько
родственных языков, существенно отличающихся по характеру применяемой
логики от языка чистой математики.
В задачу этой книги не входит анализ способов рассуждения во
всевозможных сферах человеческой деятельности — способов, столь
различных в различных областях: достаточно сравнить, например,
теоретическую физику и новейшую историю. Поэтому в дальнейшем
мы ограничимся анализом рациональных рассуждений,
свойственных прикладной математике.
Мы будем пользоваться понятием степени достоверности
(правдоподобия, уверенности, надежности) правдоподобного
утверждения, выражающим степень уверенности в его справедливости. Это,
по существу, вариант понятия «субъективной вероятности»
справедливости утверждения, учитывающий возможное влияние нечеткости
формулировок. Это размытая величина, представляющая собой
субъективную характеристику психологического состояния,
вызванного комплексом объективных причин; таким образом, эта
характеристика определяется не только самим утверждением, но и оце-
*) Само собой разумеется, что рациональные рассуждения, имеющие
научный характер, надо отличать от встречающихся иногда наукообразных
упражнений, в которых логическая нечеткость прикрывает отсутствие мысли
или грубые ошибки. Крайним примером может служить описание теории
вероятностей, данное П. А. Некрасовым в его книге [244, с. 3J, полной
вопиющих нелепостей: «Теория вероятностей есть врожденная категорическая
функция, мысленно предвосхищающая сменные явления природы, и многообразно
согласуется с функциями души и тела. Роль вероятностей, т. е. условных
н безусловных достоверностей, по вопросам жизни познавательная и
многосторонне посредническая, между субъективная в регулировании течений
блага, строящая систему посредствующих, ограждающих и искупающих запасов,
залогов, божков для умного выпуска явлений против многообразных
типических «огневых» народных бедствий и устанавливающая исчислением,
измерением, формулами и словом или иными знаками и графиками критерии
средства и соотношение или связь, интеграцию, интерполяцию между
составными частями, секциями и самостоятельными органами живого Всего
(Целого) и их функциями». Здесь уместно вспомнить палиндром: «Ум за рамки —
и к маразму».
Пародия на рациональное доказательство содержится в бессмертных
сочинениях Козьмы Пруткова [301, с. 143]: «Дед мой родился в 1720 году,
а кончил записки в 1780 году; значит: они начаты в 1764 году. В записках
его видна сила чувств, свежесть впечатлений; значит: при деревенском
воздухе он мог прожить до 70 лет. Стало быть, он умер в 1790 году!».


90
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
нивающим субъектом, а также конкретным моментом времени, т. е.
фактически характером информации у субъекта, связанной с
данным утверждением, и психическим состоянием субъекта *). Но так
как эта характеристика основана на объективных факторах,
то в определенных обстоятельствах она может стать общезначимой;
тогда она представляет наибольший интерес.
Несомненны трудности, которые возникают при придании
численного значения степени достоверности так, чтобы значению 1
отвечала полная достоверность, а значению 0 — полная
невозможность **), Правда, подчеркивание субъективности этой
характеристики несколько упрощает дело. В самом деле, каждый человек
может более или менее отчетливо представить свое психологическое
состояние при ожидании того, что из урны с п шарами будет
извлечен один из содержащихся среди них т белых шаров — априорную
степень достоверности такого извлечения естественно считать
равной т/п — и сравнить соответствующую степень уверенности со
степенью своей уверенности в справедливости какого-либо другого
утверждения. (Впрочем, при этом бывает трудно освободиться от
давления осознаваемых последствий неправильного предсказания,
которые в разных случаях могут быть различными; существенно
влияют также трудности, преодоленные при получении
утверждения.) По существу, так поступает человек, оценивая про себя
справедливую ставку при заключении пари.
Думается, что из^за значительной расплывчатости оценки
психологического состояния определение степени достоверности р с
помощью непосредственного восприятия возможно вряд ли точней,
*) Концепция вероятности как степени правдоподобия выдвинута Кейн-
сом в 1921 г. и разрабатывалась Джефрисом [451]. Поэтому поводу В. В.
Болотин пишет [51, с. 16}: «Вероятность есть объективная мера возможности
наступления события независимо от того, является ли оно массовым или нет.
В повседневной жизни мы постоянно (хотя и полуинтуитивно) применяем
вероятностные оценки к событиям, которые заведомо не являются
массовыми, принимаем на основе этих оценок решения и добиваемся успеха. (Увы,
не всегда.— Авт.) При этом вероятность приобретает смысл некоторой меры
доверия к тем или иным утверждениям. Анализ этого вопроса является не
технической, а скорее философской, логической и психологической
проблемой. Чтобы избежать связанных с нею затруднений, можно воспользоваться
понятием мыслимого ансамбля, т. е. наряду с данной системой рассматривать
множество воображаемых сопоставимых систем». См. также [104, 136, 228,
236, 294, 384, 392, 419, 432, 470, 480}. '
**) Д. Пойа пишет по этому поводу [262, с. 91]: «Решить эту задачу —
означало бы сделать гораздо больше, чем я могу. Я не знаю никого, кто смог
бы это сделать, и никого, кто отважился бы это сделать. Я знаю некоторых
философов, которые обещают сделать что-то в этом роде в чрезвычайной
общности. Однако, встретив конкретную задачу, они уклоняются и увиливают и
находят тысячу отговорок, объясняющих, почему нельзя решить именно
эту задачу.
Возможно, эта задача является одной из тех типичных философских
задач, о которых вы можете много говорить вообще и даже проявлять
подлинную заинтересованность, но которые превращаются в ничто, когда вы
снижаете их до конкретных условий».


§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
91
чем с однЬй верной цифрой или даже с точностью до порядка
величины (при р&\ имеется в виду точность значения 1—р). Поэтому
часто для характеристики степени достоверности предпочитают
пользоваться словами, качественно передающими соответствующее
психологическое состояние. Например, можно было бы
охарактеризовать значение р=0,9 словами «довольно правдоподобно»,
значение р=0,$9 — словами «весьма правдоподобно», /?=0,9999 —
«почти наверняка», р=1—10~8 — «практически достоверно» (см. п. 2.5)
и т. п., хотя, конечно, тут нет четких граней и к тому же для раз*
ных людей и разных ситуаций эти характеристики могут несколько
различаться. В связи с этими оценками отметим некоторую
двусмысленность термина «правдоподобное утверждение»: иногда
подразумевается «скорее да, чем нет», т. е. что р>0,5. Однако мы для
общности предпочитаем не вводить подобных ограничений в
определение поня^я рационального утверждения.
(Отменим попутно, что переход от субъективных оценок степени
достоверности к общезначимым можно пытаться осуществить с
помощью метода экспертных оценок, т. е. по существу с помощью
осреднения «статистики мнений» — проще говоря, опроса, при
котором оценки специалистов должны, конечно, входить с большим
весом, чем оценки профанов. Было бы интересно в виде эксперимента
произвести тарификацию специалистов в какой-либо области,
например в спортивных прогнозах, причем так, чтобы
оправдывающиеся прогнозы соответственно повышали вес, а неоправдывающие-
ся — понижали, наподобие того, как это делается при тарификации
шахматистов по так называемой системе Эло.)
Итак, степень достоверности относится к той же категории
размытых величин, как степень удовольствия, талантливости, боли
и т. п. *), хотя и имеет естественную шкалу, основанную на
аналогии с вероятностью. Математический анализ подобных размытых
величин представляет огромные очевидные трудности, и скорее всего
навязывание таким величинам точных численных значений (или
хотя бы точных законов распределения или точных правил
предпочтительности) автоматически приводит к неадекватности.
Поэтому и дальнейшие рассуждения, относящиеся к численным значениям
степени достоверности, надо воспринимать лишь как весьма грубое
отражение истинной ситуации **).
*) Дети особенно склонны пользоваться количественными оценками
в подобных случаях («мороженое в сто раз вкуснее супа», «я люблю маму
в тысячу раз больше, чем соседку» и т. д.). Мы не знаем, отмечалась ли эта
склонность в литературе по детской психологии, но в последнее время она
все чаще встречается у взрослых дядей — см., например, наш рис. 12 и
относящийся к нему текст.
**) По поводу теории и методов психологического шкалирования, т.е.
измерения субъективных характеристик качества, см., например, [399, 4001;
по поводу проблемы оценки ситуации — 14841; см. также [269, 303, 412, 417,
5431, где содержатся дальнейшие указания. Изучать все эти теории в общем
виде гораздо легч^, чем применять их в конкретных случаях.


92
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Говоря образно, можно сказать, что с позиций чистой
математики все утверждения являются «черно-белыми», релейными: они
могут быть точными или неточными; точные — доказанными или
недоказанными, верными или неверными. «Анри Пуанкаре в своих
глубоких изысканиях в области философии науки подчеркивал то
обстоятельство, что с точки зрения математика ошибки не имеют
градаций и что любое неверное равенство надо рассматривать как
тягчайшим образом неверное, сколь бы мала ни была ошибка, ибо из
него можно вывести любое другое неверное равенство» [54, с. 58].
Чистая математика в этом как бы следует известному евангельскому
положению: «Но да будет слово ваше: «да, да», «нет, нет»; а что сверх
этого, то от лукавого» (Евангелие от Матфея, гл. 5, стих 37). В
отличие от этого в прикладной математике утверждения допускают
«серые» оттенки любой насыщенности, мерой которой и служит
степень достоверности *). (Пожалуй, даже правильней говорить не
только о серых, но о любых цветах, сравнивать насыщенность
которых на глаз довольно затруднительно, равно как и
степень достоверности утверждений, относящихся к различным
областям.)
Нужно иметь в виду, что в зависимости от объема информации
оценки степени достоверности могут различаться своей
обоснованностью, и поэтому известный смысл имеет понятие «степень
обоснованности оценки степени достоверности». Эта громоздко названная
характеристика в какой-то мере аналогична дисперсии, и ее можно
также назвать «степенью компетентности».
Рассмотрим две сходные ситуации, характеризуемые различными
объемами информации: 1) в урне содержатся шары, каждый из
которых может быть только красным или черным (в частности, не
исключено, что все шары одного цвета); 2) в урне содержится равное число
красных и черных шаров. Допустим, что в обоих случаях ставится
один и тот же вопрос: «Какого цвета окажется наугад взятый из
урны шар?» и в обоих случаях получен ответ: «Шар окажется
красным». Степень достоверности этого утверждения в обоих случаях
равна 0,5 из-за отсутствия информации, позволяющей предпочесть
один цвет другому, однако степень обоснованности этой оценки во
*) Д. Пойа пишет [263, с. 275): «Математический закон напоминает
«длину без ширины», разделяющую черное и белое. Однако существуют и вполне
разумные правила, которые оставляют некоторую свободу, известное
пространство для последующих маневров; здесь нет резкой разграничительной
линии, а иногда нет ни черного, ни белого, а имеются лишь разные оттенки
серого». Любопытно, что это же сравнение было независимо применено в
выступлении О. Шмитта [350] и в статье [43). Дедуктивными моделями «серой»
логики служат теория вероятностей на логических исчислениях, которую
начали развивать Е. Лось и X. Гэйфмен в 50—60-е годы нашего столетия,
логика предпочтений [550), логика «небулярностей» [176) и т. д. Кстати, уже
философ XIV в. Жан Жанденский, наряду с истиной и ложью, различал виды
правдоподобных рассуждений — «вероятное» (probabile), «весьма вероятное»
(verisimile), «возможное» (possibile) [180, с. 66—67). (См. также [122, 517].)


§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
93
втором случае существенно выше, чем в первом. Приписывать
степени обоснованности численные значения еще трудней, чем степени
достоверности, так что ее, по-видимому, можно характеризовать
только эмоциональными эпитетами.
В ряде случаев оказывается возможным повысить степень
компетентности путем сбора добавочных сведений или путем осреднения
мнений по методу экспертных оценок. Впрочем, такое осреднение
далеко не всегда приводит к цели: десять тысяч специалистов вряд
ли смогут более компетентно, чем десять, сказать, посещали ли
Землю посланцы внеземных цивилизаций.
Действия с малокомпетентными исходными суждениями, как и с
малодостоверными утверждениями, требуют особой бдительности
и критицизма. Известны ошибочные работы, авторы которых, не
располагая достаточными данными для сколько-нибудь
обоснованного вывода, пытались такое «обоснование» получить, привлекая
произвольные допущения и производя их математическую
обработку, порой весьма сложную и создающую иллюзию обоснованности.
Так, если в первом примере с урной отождествить (некомпетентную)
степень достоверности с вероятностью, то мы приходим к неверному
категорическому выводу: при достаточно большом числе попыток
по крайней мере один раз будет извлечен красный шар. В более
сложных случаях ошибочность (или во всяком случае
необоснованность) может быть далеко не столь очевидной.
2. Типы рациональных рассуждений. Отметим, прежде всего,
что если в сложном рассуждении часть этапов имеет чисто
дедуктивный характер, но хотя бы один существенный этап собственно
рационален (не дедуктивен), то и все рассуждение в целом имеет
рациональный характер, так как в сложном дедуктивном рассуждении
все существенные этапы должны быть дедуктивными. Это простое
обстоятельство резко расширяет сферу действия рациональных
рассуждений в прикладной математике, так как в подавляющем
большинстве случаев полное исследование реальной задачи, даже
после ее математической формулировки, получается в результате
комбинации дедуктивных и недедуктивных рациональных
элементов. Конечно, отсюда не следует, что в подобных ситуациях
дедуктивные элементы излишни, напротив, во многих случаях они
бывают необходимы; мы еще вернемся к этому.
Перечислим — без претензий на полноту и систематичность —
несколько типов рациональных рассуждений, наиболее
распространенных в прикладной математике.
а) Применение утверждений, справедливых в реальных случаях,
хотя и допускающих построение искусственных противоречащих
примеров (единственная цель которых состоит в показе дедуктивной
неполноценности соответствующего утверждения). Такое
применение составляет важную характерную особенность стиля, языка
прикладной математики, которая в отличие от чистой математики
видит за каждым понятием не просто логическое следствие из при-


94
ГЛ. I. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
7iW = {
/.(*) = {
нятой системы аксиом, а (сказано это явно или нет) модель
некоторого реального объекта ^).
Приведем примеры. Пусть рассматривается функция f{x) на
конечном отрезке а^.х<Ь, причем известно, что она на нем не
обращается в бесконечность. Тогда — скажет прикладник — можно
ь
пользоваться интегралом ^ f(x)dx\ этот интеграл принимает конеч-
а
ное значение, которое в отдельных случаях можно вычислить точно
и всегда — приближенно с удовлетворительной степенью точности,
например с помощью ЭВМ, применяя стандартные программы.
Однако это заключение с точки зрения чистой математики
несостоятельно и допускает разнообразные противоречащие примеры.
Так, функция
Их (0<х<1),
О (х^О)
определена в каждой точке отрезка [0, 1], т. е. принимает в каждой
точке конечное значение, которое только и допускается
(бесконечность не есть число!), тем не менее интеграл от нее от 0 до 1
расходится к бесконечности. У функции
^/*sin(l/x) (0<х<1),
О (* = 0)
при х—> 0 нет ни конечного, ни бесконечного пределов, однако
интеграл от нее расходится колебательным образом. Функция Дирихле
/з (х) (0*0^1) (см. п. 2.7) ограничена, однако определение интеграла
по Риману, которое обычно подразумевается, не приводит к цели,
и потому приходится воспользоваться более широким определением
«интеграла по Лебегу», совершенно не приспособленным для
применения стандартных программ. Наконец, применяя аксиому Цер-
мело, легко доказать существование ограниченной функции fA(x)
(G^j^l), Для которой никакой процесс интегрирования,
удовлетворяющий естественным требованиям, не может привести к цели.
Однако — хотя это и может шокировать приверженцев чисто
дедуктивного подхода — все эти примеры с прикладной точки зрения
не противоречат приведенному выше общему заключению.
Действительно, с этой точки зрения значение Д (0)=0 является искусственно
«привешенным», тогда как истинное, предельное значение /i{0)=oo,
т. е. функция Дна самом деле обращается на интервале
интегрирования в бесконечность. Функция /2 является типичным
искусственным противоречащим примером; к тому же, если
воспользоваться применяемым в рациональных рассуждениях уточнением
формулировок в ходе рассуждения (тип б), см. ниже), то можно за-
*) Как справедливо пишет В* В. Налимов [232], в прикладной
математике, «решая вопрос о границах применимости формулы, мы привлекаем ту
информацию, которая в ней не записана».


§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
95
менить условие конечности в каждой точке на более сильное
условие ограниченности в каждой точке, что вообще снимет вопрос о
функции /2. Кстати, в подавляющем большинстве прикладных
вопросов это тонкое различение является излишним, так что понятия
«функция неограничена в точке» и «функция обращается в точке
в бесконечность» можно отождествлять. Формально определенная
функция /3 с прикладной точки зрения вообще не является
функцией, так как она не удовлетворяет требованию устойчивости, что
уже отмечалось в п. 2.7. Возможно, что при рассмотрении каких-
либо важных в прикладном отношении вопросов, например при
обсуждении полноты функциональных пространств 3\ интеграл
Лебега окажется действительно необходимым; однако тогда вступает
в действие «принцип продолжения», согласно которому интеграл
Лебега можно считать подразумевающимся во всех случаях, когда
функция не интегрируема по Риману. Наконец, с прикладных
позиций определение функции /4 некорректно даже в формальном
отношении из-за примененной в этом определении аксиомы Цермело
(п. 2.2).
Искусственные противоречащие примеры можно построить и к
утверждениям «При разбиении тела и перемещении его частей их
суммарный объем не меняется», «Поверхность тела имеет нулевой
объем» и ко многим другим практически достоверным утверждениям.
Конечно, сказанное не означает, что формулировки в
прикладной математике не нуждаются в ясных оговорках и отчетливых
предположениях. Но это должны быть оговорки об обстоятельствах,
несоблюдение которых на самом деле в реальных случаях из
рассматриваемой области приложения математики может привести
к ошибкам. Так, в приведенном примере с интегрированием
совершенно естественно были оговорены конечность интервала
интегрирования и конечность подынтегральной функции — невнимание
к этим требованиям может привести к несобственным интегралам,
требующим особого рассмотрения. Подобным образом, при
разложении в ряд Фурье периодической функции, описывающей
реальный процесс, оговорка о выполнении так называемых условий
Дирихле является лишней; однако указание на наличие или отсутствие
разрывов совсем не лишнее, поскольку такие разрывы влияют на
скорость сходимости ряда. Таким образом, с позиций прикладной
математики нужно различать оговорки по существу (подлинные) и
оговорки в каком-то смысле паразитные, нужные для отсечения
контрпримеров, не имеющих никакого прикладного значения *).
Впрочем, совершенно четкого разделения тут не может быть; по мере
развития науки и даже при переходе из одной области приложений
в другую оценка роли одних и тех же оговорок может меняться:
*) Сравните с рассуждениями, приведенными в конце п. 2.4. Паразитные
примеры напоминают «Бяку-Закаляку Кусачую», которую, по
свидетельству Корнея Чуковского, выдумала одна маленькая девочка и сама же ее
испугалась.


96
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
например, типичный искусственный контрпример — непрерывные
нигде не дифференцируемые функции — приобрел прикладное
звучание при описании реальных случайных процессов. (См. об этом
[477].)
(Ненужные оговорки иногда имеют и не чисто математический
характер. Например, нам встретилось описание работы прицела,
где автор оговаривал, что он пренебрегает временем прохождения
света от цели; в действительности он без оговорок пренебрегал
гораздо более существенными факторами! В одной диссертации,
посвященной колебаниям упругих оболочек, всерьез написано, что
поскольку скорости рассматриваемых колебательных процессов малы
по сравнению со скоростью света, автор не будет учитывать
релятивистский эффект переменности массы.)
Паразитные контрпримеры могут появляться также из-за
неудачного выбора математической модели, в частности, из-за излишнего
расширения класса задаваемых и искомых функций. Отметим в
связи с этим, вообще, что многие дедуктивные теоремы и рассуждения
значительно проигрывают в своей эффективности из-за того, что они
ориентированы на универсальность, т. е. на справедливость во всех
случаях, в том числе самых неблагоприятных. Это приводит к
нежелательному смещению акцентов: патологические случаи
приобретают большее значение, чем основные. Здесь полезно помнить
слова А. Эйнштейна: «Господь бог изощрен, но не злонамерен».
В отличие от людей, природа не занимается построением
противоречащих примеров с единственной целью опровергнуть
рациональное утверждение.
На необходимости игнорировать ситуации, которые в изучаемой
области должны быть признаны патологическими, останавливается
М. А. Айзерман [1], вводя специальный термин: «СДП-верные»
(т. е. верные с точностью до пренебрежения патологическими
случаями) утверждения или доказательства. Такие доказательства
широко применяются в теоретической физике, где выработана
плодотворная интуиция, подсказывающая, когда требуется и когда не
обязательно (и даже невозможно, добавим мы) проводить
рассуждения на уровне строгости чистой математики. Развитие подобной
интуиции, причем но возможности общезначимой, в других
прикладных областях с сильно развитым математическим аппаратом
(таких, например, как теория управления), хотя и вносит
определенные трудности при оценке достоверности результатов, может
существенно способствовать прогрессу этих областей.
Аналогичная ситуация возникает при проведении оценок.
Стремление к универсальности приводит к ориентации на самые
неблагоприятные случаи, которые могут, даже не имея патологического
характера, просто быть сравнительно редкими! Здесь была бы
желательна разработка оценок, справедливых «в среднем» с достаточно
высокой степенью достоверности и игнорирующих неблагоприятные


§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
97
случаи, если они действительно редки. Такие оценки могут ока зать-
ся значительно эффективнее, чем универсальные.
Подобные оценки встречаются в вычислительной математике.
Например, при численном интегрировании дифференциального
уравнения по методу Милна за предельную абсолютную
погрешность приближенного значения ук искомого решения в k-м узле
можно принять величину | ук—ук | /29, где yh — предварительное
значение приближенного решения в этом узле, вычисляемое в
процессе применения метода. Эта важная оценка выведена на
рациональном уровне и в весьма редких искусственно построенных
примерах может как угодно сильно нарушаться. Но можно лишь
пожелать, чтобы было побольше таких оценок! (См. [354, с. 69—70].)
Отметим кстати, что формулировки чистой математики из-за
ее стремления к логической законченности часто оказываются
трудно применимыми в реальных условиях. Часто для простоты
формулировок приходится делать слишком жесткие предположения.
Например, распространенные формулировки теорем о свойствах
решений линейных дифференциальных уравнений обычно исключают
важный на практике случай уравнения с кусочно-непрерывными
коэффициентами, хотя и в данном случае эти свойства сохраняются.
Было бы целесообразно время от времени производить «переучет»
математических теорем, связанных с приложениями, придавая им
достаточно общий для этих приложений вид и наряду с этим следя
за доступностью формулировок.
б) Уточнение в ходе исследования. В п. 2.10 уже говорилось, что
в прикладном исследовании подлинный смысл математического
объекта далеко не всегда полностью вытекает из формального
определения,— ведь данный математический объект в конце концов
может служить лишь моделью реального объекта. Однако
математическая модель определяется реальным объектом неоднозначно! Даже
при сохранении принципиальной схемы модели реальный объект
можно описывать с различной степенью точности и детализации,
что дает возможность варьировать и соответствующую
математическую задачу по мере ее исследования. В соответствии с ролью
реальных факторов, в частности с учетом реальных диапазонов значений
параметров, в математической задаче могут делаться различные
упрощения и видоизменения в случаях, представляющих
наибольший практический интерес. По ходу исследования, с учетом его
целей и реальной интерпретации изучаемой математической модели
могут вводиться дополнительные предположения (например, об
участвующих в проблеме зависимостях), упрощающие
математическое исследование или позволяющие провести это исследование более
далеко. О возможности уточнения содержания математических
понятий, например замены необращения в бесконечность на
ограниченность или интеграла Римана на интеграл Лебега, мы уже
говорили (тип а).
4 И. И. Блехман в др.


98 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Таким образом, в ходе прикладного исследования, апеллируя
к реальному смыслу математической задачи, оказывается
возможным ее видоизменять и уточнять, порой даже меняя саму цель
исследования.
К рассматриваемому типу рациональных рассуждений
примыкает еще один, которым, впрочем, надо пользоваться с большой
осторожностью. Речь идет о рабочих гипотезах, относящихся к
ожидаемым свойствам решения задачи и выдвигаемых в процессе ее
исследования. Такие гипотезы могут относиться, например, к
структуре искомой зависимости — периодичкость, автомодельность 32,
стационарность и т. п.; и если они опираются на реальную
интерпретацию математической задачи и делаются с соблюдением
требований здравого смысла, то могут оказаться решающими. С другой
стороны, эти гипотезы могут порой открыть возможность для
необоснованных выводов. Поэтому применение рабочих гипотез должно
отчетливо осознаваться, а на их априорную мотивировку и
апостериорное обоснование должно быть обращено особое внимание *).
Рассмотрим пример. Пусть исследуется равновесие столба
жидкости, «подвешенного» в капиллярной трубке с круговым сечением
в однородном поле тяготения напряженности g, направленном вдоль
оси цилиндра; равновесие поддерживается силами поверхностного
натяжения (рис. 4). На основании элементарных наблюдений,
здравого смысла **) и некоторых аналогий представляется естественным
ввести рабочую гипотезу о том, что осесимметричность условия
задачи влечет за собой осесимметричность ее решения. С помощью этой
гипотезы отыскание формы равновесной поверхности приводится
к краевой задаче для нелинейного обыкновенного
дифференциального уравнения, что позволяет найти эту форму с помощью
численного интегрирования с высокой точностью. Однозначная
разрешимость краевой задачи, обнаруживаемая при сравнительно
малых значениях безразмерного числа Бонда NB=gpR2!a (p —
плотность жидкости, а—коэффициент поверхностного натяжения,
*) Любопытно, что даже такая дисциплина, как математическая
логика, не чуждается рабочих гипотез, причем относящихся не только к
общепонятности первичных терминов, таких, как «мы», «рассматриваем» и т. п,
Приведем, например, отрывок из курса [105, с. 120]: «Мы начнем с того, что
в ка естве рабочей гипотезы примем предположение, что рассмотренные нами
ранее ординально-рекурсивные функции включают все виды функций,
которые можно считать вычислимыми, т. е. всякую функцию, значение которой
для произвольного заданного аргумента может быть определено в конечное
число шагов. Основания для принятия такого предположения носят чисто
эвристический, а не математический характер, так как, конечно, нам
приходится считаться с тем обстоятельством, что никто еще не обнаружил такой
вычислимой функции, которая не была бы ординально-рекурсивной». На
нашем языке это не что иное, как рациональное допущение высокой степени
достоверности.
**) Напомним общий рациональный принцип Д. Пойа [263, с. 355]:
«Из всех a priori допустимых возможностей ни одной не должно оказываться
предпочтение, если для того нет достаточного основания».


§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
99
R — радиус цилиндра), сходство формы решения с
экспериментально наблюдаемой служат обоснованием правомерности принятой
рабочей гипотезы для малых значений NB. Кроме того, удается
доказать, что найденная равновесная форма реализует минимум
потенциальной энергии среди всех близких форм, а потому является
устойчивой.
Однако при заданном угле смачивания а (см. рис. 4)
эксперименты подтверждают правильность полученного решения лишь при
заметно меньших значениях числа Бонда, чем это
следует из теоретических расчетов. Это объясняется
тем, что, начиная с некоторого критического
значения числа iVB, найденное осесимметричное
решение становится неустойчивым относительно н е-
осесимметричных возмущений [20, п.
П.5.1]. Таким образом, бесконтрольное применение
рабочей гипотезы приводит в задаче об отыскании
критического значения числа Бонда к прямой
ошибке. Этой ошибки можно избежать, если задуматься
над реальным характером потери устойчивости
столба жидкости при увеличении числа NB,
например при увеличении напряженности поля (как
показано штриховой линией на рис. 4), либо на
основании аналогий. В самом деле, во многих
разделах теории устойчивости форм равновесия
механических систем сейчас уже хорошо установлено, что если
условия задачи и соответствующая форма равновесия обладают
определенной симметрией, т. е. инвариантны относительно определенной
группы преобразований, то наиболее опасные формы потери
устойчивости все же могут этой симметрией не обладать:
плоскопараллельная форма равновесия может потерять устойчивость неплоско-
параллельным способом, осесимметричная — неосесимметричным
способом и т. д.
В качестве другого примера укажем на кольцеобразные (торовидные)
фигуры равновесия вращающейся невесомой жидкости, обладающей
поверхностным натяжением. В курсе П. Аппеля [15, с. 301—312] изложены резуль»
таты Шаррюо, который пришел к заключению, что в определенном
диапазоне параметров задачи эти формулы устойчивы. Однако Шаррюо
рассматривал только осесимметричные возмущения осесимметричной формы, и лишь
более позднее исследование, проведенное Л. А. Слобожаниным [20, п. II. 7. 2),
показало, что эти формы всегда неустойчивы относительно неосесимметрич-
ных возмущений.
Справедливо и обратное — в системах с косой симметрией решающей
формой потери устойчивости может быть симметричная. Вот пример такого
рода, заимствованный из книги [253, с. 76—80]. Пусть рассматривается
внецентренное сжатие стержня по кососимметричной схеме, изображенной
на рис. 50 Несложное решение линеаризованной задачи показывает, что при
этом ось стержня принимает форму, кососимметричную относительно
середины пролета (линия / на рис. 5). С ростом сжимающей силы Р прогиб
растет, и при Рг=4я2£///2 он обращается в бесконечность (El — жесткость
стержня при изгибе). Отсюда можно было бы сделать вывод, что при ука~
Жидкость
4*


100 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Рис. 5
эанном способе нагружения критическое состояние наступает прн P~Pi*
Однако даже небольшой опыт решения подобных задач указывает на
ошибочность этого результата, поскольку при е=0 получается известная задача
Эйлера с критической нагрузкой Р0~л2Е1/12. И действительно, более
тщательный анализ рассматриваемого примера показывает неправильность
рабочей гипотезы о том, что при потере устойчивости ось стержня принимает
только косоеимметричные формы. Начиная со значения P^Pq кососиммет-
ричная форма становится неустойчивой относительно
Р\ симметричных возмущений, т.е. потеря устой-
1 J чивости происходит так, как это показано на рис. 5 ли-
JL^^p—г- ниеи 2, а истинной критической нагрузкой служит
' ivTt£ f значение Р=Ро.
Широко применяются рабочие гипотезы в тео-
, рии колебаний (гипотезы о форме движения, о
разложимости этой формы в ряды того или иного
*" вида, о частоте искомых колебаний и т. д.) и во
многих других областях приложения
математики.
Соображения, изложенные в подпунктах а)
и б), относятся скорее к стилю, а не к существу*
рассуждений. Другими словами, описанные
рациональные рассуждения во многих случаях
можно так перестроить, чтобы они
удовлетворяли дедуктивным требованиям; впрочем, как
правило, это приводит только к словесным
спекуляциям, отвлекающим внимание от изучаемой проблемы, и потому
не делается. Сейчас мы перейдем к рациональным рассуждениям,
более глубоко затрагивающим структуру исследования. Эти
рассуждения могут иметь различную степень достоверности (п. 3.1), и
довольно часто с помощью их разумной комбинации может быть
достигнута практически полная достоверность.
в) Доводы, основанные на аналогии или эксперименте. В книге
[262] подробно обсуждается общее утверждение (с. 237):
«Предположение становится более правдоподобным, когда оказывается
истинным аналогичное предположение». Для рассматриваемых там
примеров чисто математического характера аналогии не могут
заменить доказательство, хотя и способствуют открытию. В отличие
от этого в прикладной математике, где утверждения часто имеют не
столь однозначный характер, а достаточно высокая степень
достоверности равносильна полной, разумная аналогия, тем более
подкрепленная другими рациональными соображениями, может
служить доказательством.
Таким путем часто удается распространять утверждения,
справедливые для одномерных задач, на двумерные и трехмерные; с
небольшого (одна-две) числа степеней свободы на любое конечное и
даже бесконечное число; с одних классов задач теории сплошной
среды на другие и т. д. Впрочем, при проведении таких аналогий
важно отчетливо представлять себе особенности, отличающие рас-


§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
101
сматриваемый случай от известных, аналогичных *); однако эта
специфика может быть понята на рациональном уровне, в частности
на основе анализа примеров.
Сходную роль играют доводы, основанные на физическом или
численном эксперименте и потому неизбежно лежащие за пределами
чистой дедукции. Мы уже упоминали в связи с обсуждением роли
рабочих гипотез, что согласие решения с наблюдением или
физическим экспериментом в типичных ситуациях служит важным, иногда
решающим доводом, обосновывающим гипотезу. Подобным образом
можно получить выводы о качестве вычислительного метода и т. п.
Поскольку решение прикладной задачи обычно включает целую
цепь рациональных переходов (физические гипотезы, построение
математической модели, рабочие гипотезы при ее исследовании,
различные упрощения, выбор вычислительного метода, реализация
вычислений и т. п.), то расхождение решения с физическим
экспериментом может говорить либо о том, что по крайней мере один из
этих переходов является необоснованным, либо же о том, что хотя
каждый переход и обоснован в отдельности, но их погрешности,
накопившись, вывели ошибку общего результата за допустимые
рамки. Последняя ситуация характерна для прикладной математики,
поскольку в чистой математике ошибка результата цепи
рассуждений всегда свидетельствует об ошибочности по крайней мере одного
из звеньев цепи. Отметим в связи со сказанным понятие физической
непрерывности по Пуанкаре [268, с. 24], которое сводится к
допущению, что для физических величин возможна система соотношений
вида А1=А2у А2=А3 ,..., Ап_1=Ап и в то же время А{>Ап\
другими словами, средства, которыми мы располагаем, не дают
возможности отличить At от Ai+1 (i=l, ..., п—1), но позволяют
отличить Ах от Ап (см. по этому поводу [54, п. 49; 436]).
С другой стороны, иногда согласие решения и эксперимента
может оказаться случайным или явиться результатом
бессознательной подгонки, так что такое согласие, повышая степень
достоверности решения, может еще не довести ее до полной. (Вообще,
никакой изолированный эксперимент не может дать полной уверенности
в правильности теории. Такая уверенность возникает лишь в
результате достаточно обширной — «практически бесконечной»
(п. 2.2) — цепи экспериментов, которая и есть практика.
К тому же никакая теория не имеет абсолютного характера, а
обладает определенными рамками применимости; одна из основных целей
экспериментов и состоит в уточнении этих рамок. А. Эйнштейн
сказал: «Эксперимент... никогда не говорит теории: «Да». В наиболее
*) В книге [338, с. 100] приведен курьезный пример внешне
мотивированного рассуждения по аналогии: на вопрос «Как раньше называлась улица
Горького?» девочка ответила: «Улица Пешкова».
Укажем на книгу [315], посвященную анализу различных типов
аналогии в науке. Содержательное рассмотрение роли аналогий в математике
приводится в книге [262].


102
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
благоприятных случаях он говорит: «Может быть», а чаще всего:
«Нет»... Каждая теория рано или поздно услышит свое «нет»» (цит.
по [327, с. 8]); конечно, он имел в виду не полное отрицание теории,
а лишь установление ее неуниверсального характера.)
Физический эксперимент может быть рационально включен в
качестве одного из этапов решения прикладной задачи. Так бывает,
что те или иные зависимости, в принципе поддающиеся
математическому расчету, проще и даже надежнее построить эмпирически,
например измерив ряд соответствующих значений и проводя
последующую интерполяцию с учетом предельных ситуаций.
Это относится, например, к построению функции влияния или
определению собственных частот в случае сложных
пространственных форм и т. п. Так, однажды потребовалось определить основную
частоту (о0 свободных колебаний системы, состоящей из груза массы
/И, укрепленного на сложной, но относительно легкой упругой
конструкции, которую естественно было схематизировать в виде без-
инерционной упругой связи. Значение ее коэффициента жесткости с
можно было бы попробовать рассчитать методами строительной
механики, однако такой расчет оказался бы весьма сложным и
неточным. Существенно проще оказалось провести элементарный
статический эксперимент, постепенно нагружая конструкцию и
замеряя соответствующие прогибы; после этого значение со0 было
подсчитано по формуле со0 — Ус/М.
Следующий пример несравненно значительнее. И. И. Ворович
и А. Б. Горстко сообщили [82] о подробном изучении процессов,
происходящих в Азовском море, с помощью соответствующей
математической модели. Эта модель, записанная в классической форме,
состояла бы из многих тысяч дифференциальных уравнений и была
бы недоступна даже мощным ЭВМ. Однако оказалось, что ряд
данных, которые обычно получают путем решения таких уравнений,
можно найти при непосредственных измерениях на натурных
объектах или на экспериментальных установках и затем автоматически
вводить в ЭВМ; это и дало возможность довести работу до конца.
Экспериментально находятся многие коэффициенты,
характеризующие элементы изучаемой феноменологической модели, в
частности коэффициенты упругости, вязкости, теплопроводности и т. п.,
а также другие константы, входящие в зависимости, вид которых
подсказывается теорией или выбирается на основе той или иной
рабочей гипотезы. По существу на этом основано физическое
моделирование и применение методов подобия, широко распространенные
во многих областях техники и физики.
Приведем пример. Как известно, в плоской дозвуковой
аэродинамике подъемная сила Р подчиняется формуле Жуковского Р =
=pvY (Г — циркуляция, р и v — соответственно плотность и
скорость набегающего потока). Однако на практике обычно пользуются
не этой формулой, а следующей из теории подобия формулой


§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
103
Р —clf -^ bf в которой b — характерный размер (например, хорда
профиля крыла), а коэффициент суу зависящий от формы профиля
и направления набегающего потока, определяется
экспериментально в аэродинамической трубе.
В связи со сказанным отметим важную и характерную для
прикладной математики проблему продуктивного вида формул.
Формула, предназначенная для непосредственного применения, должна
определять интересующую нас величину В через другие величины,
измерение или вычисление которых должно быть, во всяком случае,
не сложнее, чем измерение или вычисление В; если же имеется
несколько таких формул, то из них нужно выбрать наиболее
подходящую в указанном смысле. Применение первой из приведенных выше
формул для подъемной силы затруднено измерением или
вычислением Г, тогда как вторая формула нацелена на непосредственное
практическое применение. Повышение продуктивности
(эффективности, применимости) формул очень важно и требует отчетливых
представлений о трудоемкости измерения и вычисления их
компонент.
Физическое моделирование, по-видимому, заслуживает
значительно более глубокой разработки и большего распространения,
чем это практикуется, причем не только в небольшом наборе
стандартных ситуаций, как это обычно бывает. В принципе его следовало
бы применять во всех случаях, когда оно экономнее чисто цифровых
расчетов,— как при выдаче окончательных результатов, так и на
промежуточных этапах прикладного исследования *).
Численный эксперимент, осуществляемый обычно на ЭВМ,
может включать детальный расчет изучаемой задачи в отдельных
типичных случаях, расчет какой-либо сходной, доступной контролю
задачи или «модели модели» и т. п. Положительный результат
такого эксперимента может служить обоснованием правильности
выбранного вычислительного метода или даже некоторой
совокупности этапов рационального рассуждения.
Отметим, например, общую схему контроля вычислительного
метода, которая часто оказывается полезной в тех случаях, когда он
должен реализовать обращение сравнительно просто вычислимой
операции; такая ситуация часто возникает, в частности, при
решении интегральных уравнений, краевых задач для дифференциальных
*) Н. В. Азбелеву как-то потребовалось определить площадь
поверхности сложного изделия, имеющего вид тела вращения. Для этого он изогнул
по изделию алюминиевую проволоку так, чтобы та приняла форму
меридиана. Подвешивая проволоку, он определил положение ее центра тяжести,
а распрямив,— ее длину; после этого осталось только применить теорему
Гюльдена.
Взвешивание фигур, вырезанных из фотобумаги после проявления
снимка, может применяться вместо интегрирования функции, заданной
графически, И Те Д.


104
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
уравнений и т. д. Пусть решаемая задача имеет общий вид -
Ах^а, (7)
где А — операция, jr — искомый, а — заданный объекты.
Характерной чертой прикладной задачи является то, что ее решение часто
бывает в какой-то мере известно на основании физических
соображений, аналогий или здравого смысла — известно грубо
приближенно или какими-либо своими характеристиками. Обозначим
через Хо известный объект, по возможности хорошо имитирующий
искомое решение; тогда по предположению объект
а0 = Ах0 (8)
сравнительно просто найти. Однако равенство (8) можно
рассматривать как уравнение вида (7), но с измененным значением а, причем
естественно ожидать, что это уравнение по конструируемости
решения хорошо имитирует уравнение (7). Поэтому вычислительный
метод можно проконтролировать на уравнении (8), решение которого
Хо известно: если окажется, что он по а0 хорошо восстанавливает дг0,
то можно ожидать, что и для уравнения (7) он даст хороший
результат; если же метод для уравнения (8) окажется плох, то это
уравнение может подсказать, как надо метод улучшить. Этот способ
контроля становится еще более убедительным, если воспользоваться
несколькими объектами jr0, разнообразно имитирующими искомое
решение.
г) Доказательство, основанное на рассмотрении частных случаев.
Как известно, этот способ рассуждений носит в общей логике
название индукции и весьма широко применяется за пределами
математики *). Хотя все типы собственно рациональных рассуждений в той
или иной степени индуктивны, здесь мы будем говорить о случаях,
когда он применяется, так сказать, в чистом виде.
Причины, по которым пользуются подобными доказательствами,
могут быть различным^. Так, дедуктивное доказательство может
быть недоступным из-за своей трудности. Часто бывает, что
доказываемое утверждение формулируется в размытых терминах и потому
в принципе не допускает чисто дедуктивного доказательства; такая
ситуация особенно типична за пределами математики. Но даже если
утверждение формулируется в чисто дедуктивных терминах, то в
прикладной математике часто идут не по пути отыскания
дедуктивного доказательства, а пользуются индукцией, которая может
оказаться существенно менее трудоемкой и в то же время не менее
убедительной для прикладника.
*) Не следует путать индукцию с так называемым методом полной
математической индукции, согласно которому какое-либо свойство присуще всем
натуральным числам, если оно присуще числу 1 и если из того, что этим
свойством обладают все натуральные числа <я, вытекает, что им обладает
н число д+1. Этот метод, конечно, является полностью дедуктивным.
Дедуктивное изучение индуктивных процедур см., в частности, в [136, 539Ь


§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
105
Конечно, весьма важен выбор примеров, на которых исследуется
доказываемое утверждение: если математические объекты служат
моделями реальных, то эти примеры являются как бы моделями
моделей. При этом существенно, чтобы примеры были типичными
в изучаемом отношении, т. е. чтобы исследуемое свойство не было
полностью связано со специфическими чертами примера, а
присутствовало у всего класса объектов, из которого выбраны примеры.
Решения о том, является ли тот или иной пример типичным, а также,
сколько требуется примеров, выносятся на рациональном уровне,
на основе опыта, аналогий и интуиции. Ясно, что чем больше
разобрано примеров, охватывающих различные ситуации, тем заключение
убедительнее; однако бывают задачи, в которых разбор каждого
примера вызывает настолько большие трудности, что даже второй
пример может оказаться недоступным. С другой стороны, если
разбор примеров не слишком сложен, то после определенного их
количества, разного в различных задачах, доказываемое утверждение
становится практически достоверным и дальнейший разбор
примеров только для подтверждения этого утверждения делается
нецелесообразным *). Отметим один из наиболее убедительных признаков
такой достоверности: на основании первых примеров делается
гипотеза, приводящая к предсказанию, которое, затем проверяется на
примерах, независимых от первых.
Особое преимущество имеют примеры, обладающие
параметрами: разбор таких примеров часто дает возможность прозондировать
многообразие изучаемых объектов, а анализ зависимости решения
от параметров предоставляет дополнительную полезную
информацию. Здесь проявляется общий рациональный метод интерполяций
и экстраполяции, применимый в широком смысле не только к
зависимости одних величин от других, но и вообще к любым понятиям
и методам, включающим параметры, по которым производится
продолжение.
В качестве первого примера рассмотрим задачу о
малых колебаниях вязкой жидкости, частично заполняющей
ограниченный сосуд и расположенной в поле тяготения, с учетом сил
поверхностного натяжения. Соответствующая задача без учета этих
сил рассмотрена на дедуктивном уровне в общих предположениях
о форме сосуда [18]; в частности, оказалось, что спектр собственных
значений X, входящих во временной сомножитель е~и для нормаль-
*) Козьма Прутков [301, с. 149—150} поведал, что некто Кучерстон,
желая испытать новую двуколку, «легкомысленно в оную вскочил, отчего
она, ничем в оглоблях придержана не будучи, в тот же миг и от тяжести
совсем назад опрокинулась, изрядно лорда Кучерстона затылком о землю
ударив. Однако сим кратким опытом отнюдь не довольный, предпринял он
такой сызнова проделать; и для сего трикратно снова затылком о землю
ударился. А как и после того, при каждом гостей посещении, пытаясь объяснить
им оное свое злоключение, он попрежнему в ту двуколку вскакивал и с нею
о землю хлопался, то напоследок, острый пред тем разум имев, мозгу своего,
от повторных ударов, конечно лишился».


106
ГЛ. !. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
ных колебаний, имеет две предельные точки Х,=0 и Я=оо и весь,
кроме, быть может, конечного подмножества, лежит на
вещественной оси.
Но как изменят этот спектр силы поверхностного натяжения?
Соответствующая задача в общем виде сложна и пока еще на
дедуктивном уровне полностью не решена. Удалось, в частности,
разобрать задачу о колебаниях вязкого самогравитирующего шара с
учетом сил поверхностного натяжения [20, § VI.3]. Оказалось, что для
этой задачи последовательность собственных значений, ранее
сходившаяся к точке ^=0, «заворачивает» и сходится к Х=оо; таким
образом, и весь спектр имеет единственную предельную точку Х=оо.
Свойство вещественности почти всех собственных значений остается
в силе.
Хотя был разобран только частный пример, но довольно ясно,
что общий вывод о характере спектра не должен зависеть ни от формы
сосуда, ни даже от вида налагаемого потенциального поля сил.
Поэтому и в общем случае спектр задачи, учитывающей поверхностное
натяжение, должен иметь описанный общий характер, что
подтверждается и физическими соображениями. Конечно, это лишь
правдоподобное утверждение, но обладающее высокой степенью
правдоподобия; мы бы оценили эту степень в 0,999, оставив 0,001 на какие-
нибудь непредвиденные обстоятельства. Другими словами, по
отношению к общему характеру спектра разобранный пример является
типичным. (Так оно в дальнейшем и оказалось для более широкого
класса задач, для которого удалось провести дедуктивное
доказательство.) Впрочем, имеются и свойства спектра, относительно
которых данный пример нетипичен. Так, для шара собственные
значения оказались обладающими высокой кратностью; однако ясно,
что это свойство определяется специфической симметрией шара и в
общем случае не имеет места. В данном случае заключение о
типичности или нетипичности оказалось довольно легким.
В качестве другого примера рассмотрим вопрос о том,
как сказывается рассогласование начального и граничного условий
на решении уравнения теплопроводности. Как известно, для
волнового уравнения такое рассогласование приводит к возникновению
у решения разрыва. Чтобы выяснить, что будет для уравнения
теплопроводности, достаточно рассмотреть модельный случай
рассогласования самого простого вида для уравнения одномерного процесса
'Ж==аЧх^ (°<'<°°. 0<Х<оо),
Н=о-«о (0<Х<оо), Н=о = 0 (0<*<оо).
Решение этой задачи нетрудно выписать в явном виде:
*=*оФ (тк) • где ф (s) = VII е"|2/3 *


§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
107
— так называемый интеграл вероятностей. Мы получили
автомодельное решение (см. 32), обладающее при £>0 непрерывными
производными всех порядков, т. е. начальное рассогласование сразу же
ликвидируется, не порождая никаких разрывов. Ясно, что
разобранный случай является типичным.
Любопытный пример, основанный на материале чистой
математики, приведен в книге Д. Пойа [?63, с. 339—342]. Допустим»
что кто-то припомнил формулу Герона S~Vp(p — a)(p — b)(p — с)
(р= (а+Ь+с)!2) для площади треугольника со сторонами а, Ь, с,
но не вполне уверен в своей памяти. Тогда последовательная
проверка этой формулы для простых независимых случаев
равнобедренного, прямоугольного и вырожденного треугольников доводит
эту степень уверенности до полной.
Доказательство на примерах часто сочетается с численным
экспериментом. Дело в том, что возможность и качество применения того
или иного вычислительного метода к конкретным задачам почти
никогда не удается выяснить на чисто дедуктивном уровне, да этим
обычно и не занимаются. Чаще всего сочетают дедуктивное
рассмотрение какой-либо модельной задачи с численным экспериментом в
типичных условиях. Если как дедуктивное рассмотрение, так и
серия экспериментов показывают удовлетворительное качество
метода, то можно сделать индуктивное заключение о возможности
применения данного метода в общем случае, по крайней мере в классе
задач, прозондированном экспериментами. (См. также [361].)
д) Использование результатов приближенного вычисления при
отсутствии строго полученной явной оценки ошибки — оценки, в
которой предельная погрешность в конкретных примерах принимала
бы конкретные (см. с. 15) числовые значения. Только в самых
простых вычислениях или в примерах учебного характера оценку
ошибки можно получить строго на дедуктивном уровне. Чаще всего
дедуктивно выведенная оценка ошибки имеет асимптотический
характер. Например, она может иметь вид: абсолютная погрешность
имеет порядок О (ft2), где ft — шаг сетки; другими словами, эта
погрешность не превосходит Cft2, где постоянная С не указываемым
явно и притом сложным образом зависит от параметров задачи, в
частности, она может зависеть и от искомого решения. Такая оценка,
строго говоря, ни при каком h не дает ничего конкретного. Надо
добавить, что для многих вычислительных методов не проводится
оценка влияния ошибок округления; там же, где такая оценка
проведена, она также имеет асимптотический характер.
Отсутствие дедуктивно полученной оценки ошибки вычислений
обычно не вызывает никакого беспокойства и вряд ли бывает
источником неприятностей. Контроль точности можно провести на
рациональном уровне с помощью видоизменения вычислительного
метода или изменения его параметров (об этом мы будем говорить в
п. 3.5), а также с помощью расчета контрольного примера с заранее


108
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
известным решением (см. подпункт в). В простых случаях от
асимптотической оценки ошибки можно перейти к конкретной оценке на
рациональном уровне следующим образом. Допустим, что ошибка
имеет порядок О (Л2). Примем тогда, что отклонение приближенного
решения от точного в некоторой выбранной норме равно СЛ2, где
С — заранее неизвестная постоянная. Уменьшим h в несколько раз,
например вдвое, и построим новое приближенное решение; пусть
оба приближенных решения отличаются друг от друга в указанной
норме на а. Тогда а должно быть заключено между СЛ*—С(Л/2)2
и СА2+С(Л/2)2, откуда СЛ2=(4/(3-~5))а«<х. Это значение и можно
принять за оценку ошибки первого приближенного решения, тем
более, что такая оценка обычно дается лишь с одной верной
цифрой, а часто представляет интерес только порядок ошибки. Как
видим (это имеет место и для других примеров с не слишком
медленной сходимостью приближенных решений к точному), за оценку
отличия приближенного решения от точного можно принять оценку
отличия этого приближенного решения от другого, более точного.
Приведенная в предыдущем абзаце оценка отклонения
приближенного решения от точного имеет апостериорный характер, т. е.
опирается на результат уже проведенного приближенного
вычисления. Вообще, по-видимому, только апостериорные выкладки
способны приводить к оценкам погрешности, которыми можно было бы
пользоваться в конкретных примерах, тогда как наиболее
распространенные в чистой математике априорные оценки либо имеют
асимптотический характер, либо же чересчур пессимистичны.
Представляется важной разносторонняя разработка методики
апостериорных оценок как на дедуктивном, так и на рациональном уровнях.
См. по этому поводу [166, § 14].
е) Применение вычислительных методов, сходимость которых
строго не доказана. Такая ситуация является довольно
распространенной, в частности, при решении дифференциальных и
интегральных уравнений математической физики. Сходимость метода, а также
его устойчивость относительно ошибок округления чаще всего
проверяются лишь для модельных уравнений простейшего вида, но
обладающих типичными особенностями основного решаемого
уравнения, например для линейных уравнений с постоянными
коэффициентами, дли самых простых нелинейных уравнений и т. п.
Поскольку дедуктивно доказанной сходимости (расходимости,
устойчивости, неустойчивости) процесса на хорошо подобранной модели
обычно отвечает его практическая сходимость для моделируемой
математической задачи, то такое дедуктивное рассмотрение и
считается обоснованием; конечно, оно имеет лишь рациональный
характер.
Бывают и случаи, когда модельную задачу подобрать
затруднительно, а иногда поисками ее даже не занимаются, полагаясь на
аналогии или просто удачу, везение. В этих случаях заключение о
правильности решения можно вынести на основании сходства с ожи-


§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
109
даемым результатом либо с помощью контрольных вычислений
(п. 3.6).
С рассмотренным видом рациональных рассуждений
непосредственно связан следующий.
ж) Изучение и применение решения задачи в случаях, когда
соответствующие теоремы о разрешимости (т. е. о существовании и
единственности решения) не доказаны. Так, дедуктивное
исследование задачи может оказаться слишком сложным и потому пока
недоступным чистой математике, как это порой бывает для задач
математической физики. Может оказаться, что, хотя теоремы о
разрешимости имеются, они в рассматриваемых условиях не применимы, так
как не выполнены все предположения, на которые опираются эти
теоремы (или не удается их выполнимость проверить), например
требования гладкости.
Однако гораздо чаще при решении прикладной задачи вообще
не задумываются о том, доказана ли соответствующая теорема о
разрешимости и как ее доказать. Вместо этого пытаются выяснить
на рациональном уровне — на основе опыта, аналогий или
исследования модельных задач — вопрос о правильности постановки
математической задачи. Действительно, в прикладном исследовании
математическая задача представляет собой схематизацию реальной
картины; в свою очередь, при численном решении эта задача
будет заменена на некоторую ее аппроксимацию. Поэтому чрезмерно
детальное исследование точной математической задачи дает
сравнительно малую информацию о реальной картине и, если оно требует
затраты значительных усилий, становится в прикладном
исследовании мало оправданным *).
з) Применение практической бесконечности, т. е. трактовка
бесконечно малых и бесконечно больших величин как постоянных, но
имеющих иной порядок по сравнению с другими величинами. Об
этом способе рассуждений мы подробно говорили в пп. 2.3—2.5 и
поэтому здесь отметим только его характерный внешний признак —
знаки ^> и <^, не применяемые в чистой математике.
С данным способом рассуждений тесно связан следующий.
и) Нелокальное применение результатов локального исследования.
Пусть, например, рассматривается некоторый бесконечный процесс,
включающий параметр а>0 и сходящийся при достаточно малых
значениях а, причем соответствующая область сходимости, т. е.
необходимая малость значений а, как это обычно бывает, не уточнена.
Пусть, далее, требуется воспользоваться этим процессом для иекото-
*) X. Розенброк, С. Стори [279, с. 41] пишут: «Инженер... будет считать
само собой разумеющимся существование решения для разностного
уравнения там, где математик дал бы доказательство существования. Если он делает
ошибку при этом, что, конечно, возможно, то не вследствие того, что ввел
неверное допущение (как сказал бы математик, принимая уравнение как
данное), а скорее из-за того, что уравнение, заданное исходной
формулировкой, было некорректно, и он был не в состоянии проверить это».


110
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
рого вполне определенного, быть может относительно не малого,
значения а. Тогда применение процесса считается правомерным,
если а интуитивно все же признается относительно малым, а если а
не мало, то эта правомерность определяется по самым первым шагам
процесса.
Известны многие задачи, в которых качественные выводы,
сделанные на основе разложения решения в ряд по малому параметру,
оказываются справедливыми и при значениях этого параметра, для
которых ряд расходится. Н. Н. Баутин, приводя общие
соображения по этому поводу, справедливо указывает [27], что в таких
случаях метод малого параметра «играет роль индикатора,
обнаруживающего то, что существует независимо от сходимости рядов».
Аналогичный ход рассуждений обычно применяется также, когда
понятием, имеющим инфинитезимальный характер относительно
некоторых параметров, т. е. включающим неуточняемо малые их
значения, нужно воспользоваться при конкретных значениях этих
параметров. Так, факт устойчивости решения по Ляпунову (т. е.
устойчивости относительно достаточно малых начальных
возмущений) принимается как соображение в пользу практической
устойчивости соответствующей физической системы относительно
реальных возмущений, которые всегда конечны.
к) Применение понятий вне рамок их первоначального определения.
Об этой черте уже упоминалось в подпункте а). Так, интеграл,
первоначально определенный для непрерывных функций, может
применяться и для разрывных функций. Какой-либо параметр, по
первоначальному смыслу принимавший вещественные значения, может
в некотором рассмотрении оказаться принимающим комплексные
или матричные значения и т. д. Интуиция может подсказать
возможность и пользу такого применения до его точной расшифровки,
даже если оно первоначально окажется противоречащим
установившимся представлениям. Именно таким путем были введены в
математику мнимые числа, дельта-функция Дирака и т. д.
В качестве характерного примера можно рассмотреть решение
"(*. t) = ±[<p(x-ct) + <p(x + ct)] (9)
задачи Коши для волнового уравнения
д2и __ 2 д2и
д*и =ct*u (_00<x<0Qi 0</<оо),
/=о т v " dt \ /=о
По своему первоначальному смыслу функция ф (л:) должна быть
дважды непрерывно дифференцируемой, так как выражение (9)
надо подставлять в дифференциальное уравнение. Однако уже давно
формулу (9) в приложениях стали применять для непрерывной
кусочно-гладкой и даже для разрывной функции <р(л;), что может по-


§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
1)1
лучиться в реальных задачах. Содержательность результата такого
применения не вызывала сомнений, хотя его точный математический
смысл долгое время был не вполне ясен. Лишь сравнительно
недавно, после создания теории обобщенных решений дифференциальных
уравнений, стало понятно, что при этом строится обобщенное
решение исходной задачи.
В менее наглядных случаях законность и смысл расширения
области применения понятия могут оказаться гораздо менее ясными.
Такое расширение, связанное, например, с применением
расходящихся рядов и интегралов, может на первый взгляд показаться
бессмысленным, хотя и приводящим к полезным следствиям.
Подобными приемами широко пользовался Л. Эйлер, обладавший гениальной
интуицией. Яркий пример приведен в книге [262, с. 41—43].
Применив правило разложения многочлена на линейные множители
к функции sin х, Эйлер пришел к тождеству
откуда, сравнивая коэффициенты при х3, получил равенство
I -j__-i___i- ... "~F~- Понимая некоторую шаткость этого
вывода, Эйлер подтвердил результат непосредственным вычислением.
Затем, приведя аналогичный вывод известного ранее равенства
111 тс
1 —у г-г—у + • • • -"^ т ' Эйлер заключил: «Для нашего метода,
который может некоторым казаться недостаточно надежным, здесь
обнаруживается великое подтверждение. Поэтому мы вообще
не должны сомневаться в других результатах, выведенных тем же
методом» *).
*) Однако в той же книге (262, с. 54—551 приведен обратный пример —
неправомерного распространения свойств конечных сумм на суммы
бесконечных рядоВо Рассмотрим сумму ряда
J {_j_J_ L J L_uJ L-J L_L
сходящегося по известному признаку Лейбница» Имеем
1 "" I ; 3 " 2 '' 5 3 ^ 7 " 4 "l" 9 5 + " '
В правой части каждому четному знаменателю отвечает только один член (со
шаком —), а каждому нечетному'знаменателю — два члена (со знаком ~|~
и —). Объединив члены с одним и тем же нечетным знаменателем и произведя
сложение, получим
1 2^3 4^5
1 3 5 "1 2~r 3 4^5 *°-L
Отсюда 2/■--■- /, т. e, l~~0, что неверно (в действительности /=1п 2)а Мы
предоставляем читателю найти ошибку в этом рассуждении.


112
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Представляется, что в подобных случаях может оказаться
полезным детальный анализ на дедуктивном уровне хотя бы
модельных схем.
Имеется много других видов рациональных рассуждений;
некоторые из них будут указаны в гл. 2. Сколько-нибудь детально
классифицировать такие рассуждения пока не представляется
возможным (наметка классификации по логическому характеру
рассуждений содержится в книге Д. Пойа [262]); однако и из сказанного ясны
их разнообразие и распространенность в прикладной математике.
Ясен также смысл алогизмов, приведенных во Введении к этой
книге: все они представляют собой примеры рациональных
рассуждений и являются алогизмами только с позиций чистой математики;
напротив, с позиций прикладной математики эти рассуждения
логичны, полезны и даже необходимы.
Вообще не следует думать, что в рациональных рассуждениях
имеется нечто принщшиально нелогичное,— логика вовсе не сводится
к чистой дедущииХ И действительно, с помощью таких рассуждений
мы можем приходить к практически достоверным выводам. Однако
логическая структура рациональных рассуждений, как бы
синтезирующих формальную логику с интуицией и здравым смыслом,
сложнее, чем дедуктивных, и они могут приводить к ошибкам. Но не
следует чересчур бояться этих ошибок! Твердая опора на здравый
смысл и реальное истолкование результатов, разумный контроль
позволят избежать вредных последствий, а анализ ошибок окажется
чрезвычайно поучительным для накопления интуиции в данной
области (см. п. 2.10). Впрочем, совершенно необходимо отчетливо
представлять себе возможные причины таких ошибок (слабые места
в рассужден ии и в какой-то мере «степень» их слабости) с тем, чтобы
при необходимости повышать степень достоверности полученных
рациональных утверждений, о чем мы будем говорить позже.
Нужно стремиться к ясной постановке задачи, отчетливо различать
гипотезы и доказательства, размытые и четкие понятия и т. д. Свобода
(в частности, логическая) не есть анархия!
Именно ослабление требований к строгой дедуктивности
формулировок, рассуждений и доказательств позволяет прикладной
математике получать результаты, недостижимые средствами
чистой математики; прикладная математика, опираясь на
рациональные рассуждения, дает возможность добывать полезную
информацию в тех случаях, когда чистая математика не дает ничего
или требует неоправданной затраты усилий *). Поэтому не следует
думать, что сочетание дедукции с рациональными рассуждениями,
сйойственное прикладной математике, является временным и в
дальнейшем должно быть заменено чисто дедуктивными рассуждениями.
*) Н. Н. Моисеев [220, с. 7J: «Математик с его традиционной манерой
мышления часто оказывается бессилен там, где инженер получает результаты,
вполне удовлетворяющие практику».


§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
ИЗ
Напротив,— и в этом состоит один из центральных тезисов этой
книги — рациональные рассуждения всегда сохранятся как
характерная черта прикладной математики. С другой стороны,
закономерно, что рациональные понятия и рассуждения и полученные с их
помощью утверждения в необходимых случаях подвергаются
углубленному логическому анализу, в том числе и на дедуктивном
уровне *).
3. Дедуктивные элементы рациональных рассуждений. Сложное
«многоступенчатое» рациональное рассуждение, как правило,
весьма неоднородно —- оно может включать физические соображения,
ссылки на интуицию, различные более или менее правдоподобные
упрощения, строгие решения математических задач и ссылки на
чисто дедуктивные теоремы, вычисления, рациональные элементы,
указанные в п. 3.2, и т. д. Каждой из этих составных частей
свойственны свои более или менее установившиеся требования к
логической определенности и свои представления о доказатетельности.
В. В. Налимов [232, 236] удачно охарактеризовал эту ситуацию
как «мозаичность логических структур прикладной математики»;
в колористических терминах п. 3.1 можно было бы назвать подобное
многоступенчатое рассуждение «пестрым».
Естественно принять (см. [262]), что степени достоверности
(правдоподобия) в какой-то мере обладают свойствами вероятностей.
Поэтому, если сложное рациональное утверждение А получается
в результате конъюнкции независимых рациональных утверждений
Alf A2t ..., Ak **), то соответствующие степени достоверности
*) Н. С. Бахвалов [28, с. 13]: «...типична обстановка, когда
используются методы, применение которых теоретически не обосновано, или
теоретические оценки погрешности неприемлемы для практического использования;
при выборе метода решения задачи и анализа результатов приходится
полагаться на опыт предшествующего решения задач, на интуицию и сравнение
с экспериментом; и при этом приходится отвечать за достоверность
результата. Поэтому для успеха в работе необходимы развитое неформальное
мышление, умение рассуждать по аналогии, дающие основания ручаться за
достоверность результата там, где с позиций логики и математики (конечно,
имеется в виду чистая математика.— Авт.), вообще говоря, ручаться нельзя.
В рассматриваемом вопросе есть и другая сторона. При численном
решении конкретных трудных задач, возникающих в других областях
знания, математик действует зачастую как естествоиспытатель, полагаясь во
многом лишь на опыт и «правдоподобные» рассуждения. Крайне желательно,
чтобы такая эмпирическая работа подкреплялась теоретическими
разработками методов, аккуратной проверкой качества методов на конкретных задачах
с известным решением, объективным сравнением с экспериментом. При
длительном продвижении в каком-то направлении без такого подкрепления
может теряться перспектива работы» полная уверенность в правильности
получаемых результатов. Известное высказывание, что «хороший теоретик может
истолковывать в желаемом ему направлении любые результаты как расчетов,
так и эксперимента», содержит большую долю истины».
**) Другими словами, А в логическом отношении имеет вид (Ах верно*
и Л2 верно, о.., и Ah верно); в записи: А = л Л,-. По аналогии с теорией веро-
i
ятностей рациональные утверждения можно считать взаимно независимыми,


П4 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
связаны соотношением
Рл-РлРл,-РАк- (Ю)
Если какое-либо из утверждений Аь имеет дедуктивный
характер и справедливость его известна, то РА.= 1. Для чисто
математического рассуждения все РА. = 1, тогда как для рассуждения
в прикладной математике лишь некоторые РА. могут равняться
единице.
Конечно, равенству (10) не следует приписывать смысл твердого
количественного соотношения. По ряду понятных причин —
размытости степеней достоверности и трудности их сопоставления для
различных утверждений, а также условности допущения о
независимости этих утверждений — в лучшем случае можно говорить лишь
о совпадении порядков левой и правой частей в (10). В этих условиях
дедуктивные элементы сложного рационального рассуждения не
имеют преимуществ перед рациональными утверждениями с достаточно
высокой степенью достоверности, а следовательно, без ущерба для
дела (т. е. для общей достоверности) можно первые заменять
вторыми — рациональными элементами, существенно более
достоверными, чем наименее достоверное из утверждений At. (Отметим
аналогичную ситуацию: если несколько ослабить самые сильные звенья
цепи, то ее прочность, определяемая, конечно, прочностью самого
слабого звена, не уменьшится.) Реальная опасность возникает,
лишь если одновременно делается целый ряд таких замен; здесь
требуется известная осторожность (сравните со сказанным на с. 101).
Нужно отметить, что при большом числе недедуктивных
компонент достоверность сложного рационального рассуждения обычно
оказывается более высокой, чем это вытекает из формулы (10), так
как на самом деле эти компоненты зависимы. Напомним здесь
известный парадокс теории надежности, согласно которому
достаточно сложное устройство должно быть признано практически
неработоспособным, так как вероятность совместной работы всех его
элементов, подсчитанная по формуле типа (10), оказывается весьма
малой (в действительности отказы различных элементов нельзя
считать независимыми).
Любопытно, что чисто дедуктивные элементы в общем контексте
прикладного исследования иногда играют роль лишь рационального
довода, возможно, даже с невысокой степенью достоверности.
Вот типичный пример. Положим, что нужно решить уравнение
общего операторного вида x=F(x), причем вычисление оператора F
является достаточно громоздким. Пусть удалось строго доказать,
что процесс итераций, построенный на схеме xn+1=F(xn), сходится
к искомому решению л:^ при любом выборе нулевого приближения;
обозначим это утверждение буквой б, для него Рв = 1. В этом случае
если степень достоверности каждого из них не меняется при любых
дополнительных сведениях о достоверности остальных утверждений*


§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
115
распространен следующий образ действий: выбирают нулевое
приближение х0 по возможности ближе к искомому решению, после
чего строят Xi=F(x0) и это первое приближение принимают за
приближенное выражение для хм, полагая, что хи во всяком случае,
лучше аппроксимирует хж, чем это делает х0; последнее
утверждение обозначим буквой С.
Подчеркнем, что утверждение В не является ни необходимым,
ни достаточным для С, а также, что утверждение С отнюдь не
является достоверным; сходящиеся приближения вовсе не обязаны
сходиться монотонно, и нетрудно построить примеры, в которых
первое приближение отстоит от искомого решения дальше, чем
нулевое. С другой стороны, для сходящегося процесса первое
приближение гораздо чаще аппроксимирует искомое решение лучше
нулевого, чем наоборот. Поэтому проведенное дедуктивное
доказательство сходимости (утверждение В) все же не бесполезно, так как
оно несколько повышает степень достоверности утверждения С:
Рс/в > Рс,
где РС/в — степень достоверности утверждения С при доказанной
справедливости В *).
Но так как в сложном прикладном рассуждении непосредственно
используется утверждение С, а не В, то дедуктивный элемент В
здесь играет роль лишь рационального довода, повышающего
достоверность элемента С К сожалению, это подлинное значение
элемента В не всегда осознается самими авторами подобных
исследований (не говоря уже о заказчиках).
4. Степень достоверности и вероятность. В гл. XV книги Д. Пойа
[262] указаны правила простых действий над степенями
достоверности и качественные выводы этих правил: например, чем с большей
уверенностью мы относимся к возможному основанию нашего
предположения, тем больше будет подорвана вера в наше
предположение, когда это основание будет опровергнуто, и т. п. Мы не будем
здесь повторять рассуждений Пойа, а отошлем читателя к его книге.
Если принять во внимание, что от степени достоверности р
нельзя требовать сколько-нибудь высокой точности и в окончательном
ответе речь скорее должна идти о порядке величины 1—р, то для
грубого подсчета р на рациональном уровне можно использовать
аналогию между вероятностью и этой степенью. Приведем пример
такого подсчета, воспользовавшись для этого ситуацией,
упомянутой в п. 3.3, но существенно упростив ее.
Пусть рассматриваются итерации двумерного вещественного
числового вектора, определенные формулами
хп+1 = ахп + ЬуП9 yn+i = cxn + dynf
*) Если о типе оператора F ничего не известно, то на основании личного
опыта мы бы оценили Рс^0,2, Рс/я—0,8.


116
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
причем известно, что, будучи начаты с любых значений х0, уо, они
в пределе при п -> оо приводят к нулевым значениям (это
утверждение В). Какова степень правдоподобия того, что при этом первое
приближение окажется ближе к нулю, чем нулевое (утверждение С)?
Чтобы перевести задачу на точный вероятностный язык, надо
сделать определенные предположения о законе распределения ее
параметров и уточнить все термины. Для этого допустим, что все
коэффициенты а, Ь, с, d равномерно распределены на отрезке [—1,
1], так как при больших коэффициентах метод итераций вряд ли
будет применяться; кроме того, примем, что закон распределения
нулевого приближения (лг0, у0) не зависит от полярного угла <р в
плоскости ху у. За меру близости к нулю примем V х2 + у2; тогда
утверждение С означает, что х\+у\ < х%+у\. Так как для jce=r0cos ф,
Уо=г0 sin ф имеем x1=r0(a cos ц>+Ь sin ф), у1"=г0(с совф+Л sin ф),
то утверждение С принимает вид
(a cos ф+b sin ф)2+ (с cos ф+d sin ф)2<1. (11)
Для справедливости утверждения В необходимо и достаточно,
чтобы корни характеристического уравнения
\а~к ^ M = X2-(a + d)A + ad-te = 0
были по модулю меньше 1. Для вывода соответствующего признака
совершим подстановку К= (l+w)/(I—w). Мы получим квадратное
уравнение относительно до, корни которого должны иметь
отрицательные вещественные части. Для выполнения последнего условия
необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты указанного
квадратного уравнения имели одинаковые знаки, т. е.
l+a+d+ad—bc>0, l—a—d+ad—bc>0, l—ad+bc>0.> (12)
Таким образом, при сделанных предположениях вероятность
события С при условии В равна среднему значению / функции
/(а, Ь, с, d) по части куба —l^a, b, с, d^l, в которой
удовлетворяются неравенства (12), где7 при заданных a, b, с, d есть средняя
мера множества тех ф £ [0, я], для которых выполняется
неравенство (11). Подсчет / на ЭВМ по методу Монте-Карло 33,
произведенный М. А. Свечкаревой, дал результат /=0,83.
В качестве другого примера рассмотрим степень достоверности
упомянутого выше вывода о сходимости степенного ряда при
конкретном значении аргумента, если этот вывод сделан на основании
сравнения первых членов ряда. Пусть ряд имеет вид
a0+aiX+a2x2+... (13)
Типичным рядом с конечным радиусом сходимости г служит
сумма геометрической прогрессии, дри г=1 имеющая вид а0(1±
±х+х2±х3+...).


§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
117
Примем, что все коэффициенты ряда (13) независимы и
равномерно распределены на отрезке [—1, 1], т. е. для сходимости должно
быть |х|<1. Однако окончательный результат будет выражен в
терминах членов ряда (13), а не его коэффициентов; поэтому, так
как от любого радиуса сходимости г можно с помощью подстановки
х=гх' перейти к случаю г=1, этот результат будет применим для
любого радиуса сходимости, в том числе
и заранее неизвестного.
Допустим, что ряд (13) признается
сходящимся, если
|ai*|<a|flo|, (Н)
где а — некоторое выбранное число; так,
иногда принимают а—1/3, т. е. требуют,
чтобы второй член ряда был по
абсолютной величине по крайней мере в 3 раза Рис. 6
меньше первого. Допустим, что х равно-
распределен на интервале, определяемом неравенством (14), и
вычислим при всех этих предположениях вероятность того, что
|jc|<l, т. е. ряд (13) действительно сходится. Эта вероятность р
равна среднему значению доли тех х, для которых |#|<;1 на
интервале (14). Так как значения х, для которых |х|>1, имеются
только в заштрихованной на рис. 6 области, то в силу симметрии
картины искомое среднее значение равно
1 1ЫЛ0
1
aajat
dat = 1
а
Т
Отсюда по правилам теории вероятностей получаем, что если,
кроме (14), требуется, чтобы третий член ряда (13) был связан со
вторым аналогичным неравенством с тем же а, то степень
достоверности утверждения о сходимости ряда (13) равна 1—-(а/4)* и т. д.
В частности, при а=1/3 получаем значения 0,9; 0,99 и т. д.,
которые представляются довольно правдоподобными. Интуитивно
представляется также, что примерно такой же результат должен
получиться и для числовых рядов. При этом всюду имеются в виду такие
ряды, для которых о законах образования коэффициентов (а для
числовых рядов — членов) заранее ничего не известно. Если по
каким-то известным причинам первые коэффициенты особенно малы
или велики, то соответствующие члены не должны фигурировать
в условиях прогноза сходимости.
Конечно, можно указать немало возражений против
примененных здесь схем вычисления степени достоверности, особенно во
втором примере, ьсе же думается, что при любой рациональной
схеме этого вычисления получатся значения такого же порядка,
который только и существен. Другие примеры подсчета степени
достоверности на основании аналогии этой степени с вероятностью со-


118
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
держатся в книге [38]. По-видимому, возможна общая методика
такого подсчета, быть может, аналогичная методике проверки гипотез.
5. Контроль и повышение правдоподобия. Во 2-м томе книги
[262] рассмотрен ряд схем рассуждений, в результате которых
исходное утверждение становится более правдоподобным, т. е.
приобретает более высокую степень достоверности. Это, в основном,
подтверждение следствия из рассматриваемого утверждения,
причем повышение правдоподобия тем выше, чем менее правдоподобным
представляется априори это следствие, а также подтверждение или
хотя бы повышение правдоподобия утверждения, которое
представляется аналогичным рассматриваемому. Мы не будем повторять эти
соображения в общем виде, а остановимся на некоторых способах
повышения правдоподобия, свойственных прикладной математике.
Важной задачей будущего является выявление, систематизация,
анализ и дальнейшая разработка этих способов.
Важнейшим средством повышения правдоподобия какого-либо
утверждения является его повторное независимое получение
(рациональное доказательство). Если случайное совпадение результатов
маловероятно, то для этого совпадения должна быть определенная
причина *); а если доказательства независимы, то причина скорее
всего в том, что рассматриваемый результат верен. При этом
построение независимых доказательств может опираться как на то,
что одно и то же реальное явление допускает ряд не вполне
равносильных математических моделей, так и на то, что одна и та же
модель может допускать различные методы исследования. Конечно,
если справедливость какого-либо утверждения рационально
показана на различных математических моделях, то степень
достоверности этого утверждения повышается, причем в тем большей
степени, чем меньше эти модели зависимы по отношению к данному
утверждению. (Степень такой зависимости и есть степень
достоверности того, что из справедливости данного утверждения в одной
модели вытекает его справедливость в другой.)
Итак, если в дедуктивных построениях для перехода от одного
утверждения к другому достаточно найти хотя бы одно обоснование
и повторные доказательства этого перехода излишни, то в
собственно рациональных рассуждениях весьма желательно
«запараллеливание» и притом на всех этапах сложного исследования.
Аналогичная ситуация возникает, если рассуждения проводятся на
дедуктивном уровне, но мы не уверены в точности предпосылок: тогда
введение избыточности предпосылок (переопределенности задачи)
может повысить достоверность результата (см. [366]).
*) «...вероятность того, что это совпадение является только делом
случая, поэтому значительно меньше, чем (1/2)60... Следовательно, это совпадение
должно быть произведено какой-то причиной, и может быть определена
причина, дающая совершенное объяснение полученных из наблюдений фактов»
(Г. Кирхгоф, цит. по [262, с. 281]).


§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
119
Не менее часто возникает вопрос о повышении степени
достоверности решения, построенного в рамках уже выбранной
математической модели. Например, это может быть численное решение
уравнения, полученное с помощью отбрасывания или упрощения
части его членов или путем применения какого-либо
вычислительного метода без достаточно обоснованной оценки погрешности. В этом
случае основным способом повышения степени достоверности
результата является сравнение его с решением, полученным с помощью
другого, независимого вычисления *). Вывод о хорошем качестве
решения тем убедительнее, чем по большему числу независимых
пунктов совпадают или близки оба результата. В частности, решение
приобретает высокую степень достоверности, если искомой является
некоторая функция, и ее значения, построенные различными,
априори не скоординированными методами, окажутся достаточно
близкими на сетке, представляющей всю область определения этой
функции.
Так, решение дифференциального уравнения, построенное
методом сеток, можно проконтролировать, воспользовавшись каким-
либо грубым вариантом метода Галеркина. Возможна также
проверка решения в рамках избранного метода. Например, результат,
полученный методом сеток, хможно проверить, уменьшив шаг сетки:
в самом деле, неправильно выбранный сеточный метод может
реально привести лишь к практической расходимости (скажем, если
не проверена устойчивость метода); нужны уж совсем грубые
ошибки в реализации метода, чтобы он практически сошелся, но не к
искомому решению. Результат применения метода Галеркина можно
проверить, изменив базис. Можно также просто расширить базис,
но надо иметь в виду, что при этом результаты будут, вообще
говоря, скоординированными, так что сравнение, например, результата
вычислений при трех координатных функциях и аналогичного
результата при одной добавленной координатной функции вряд ли
будет доказательным; однако добавление еще нескольких функций
может раскрыть тенденцию **).
*) Этот вопрос рассмотрен также в [262, с. 395—396Ь
**) Интересная проблема возникает в связи с вопросом о полноте34
системы координатных функций в методах типа Галеркина. Вспомним о том,
что даже если мы исходим из полной системы функций, то реально выбираем
из этой системы лишь небольшое число функций. С другой стороны, легко
проверить, что любую конечную систему функций можно считать частью
некоторой полной системы. Однако это отнюдь не означает, что с точки
зрения полноты конечные системы функций, которые мы выбираем в качестве
координатных, ничем не различаются. Выбираемая система должна обладать
свойством практической полноты относительно решаемой задачи, т. е. должна
быть уверенность (или хотя бы надежда), что искомое решение можно с
приемлемой точностью аппроксимировать линейной комбинацией координатных
функций. Обычно этим свойством обладает набор первых членов какого-либо
из распространенных бесконечных базисов для рядов Тейлора, Фурье и т. п.,
хотя иногда приходится этих членов брать довольно много. Знание свойств
искомого решения может при том же числе-базисных функций существенно


120
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Хорошее совпадение решений, построенных независимыми
(некоординированными) методами, по многим независимым признакам
может довести достоверность этих решений до практически полной,
так как невероятно, чтобы такое совпадение оказалось случайным.
Грубо степень этой достоверности можно пытаться оценить по
методам теории вероятностей (п. 3.4), ориентировочно вычислив
порядок вероятности случайного совпадения решений по
рассматриваемым признакам. Другая возможность применения теории
вероятностей состоит в том, чтобы рассматривать приближенное решение
как результат наложения на точное решение случайных ошибок;
тогда из сравнения приближенных решений можно, приняв ту или
иную гипотезу о характере этих ошибок, ориентировочно установить
доверительный интервал для точного решения. Если
приближенные решения, полученные различными методами, расходятся
сравнительно сильно, то необходим анализ возможных причин такого
расхождения.
Особо надо сказать о задачах, содержащих малодостоверные
исходные данные или сильно размытые величины. Здесь повышение
степени достоверности решения иногда удается получить путем
произвольного варьирования указанных величин в пределах,
свойственных данной задаче. Естественно, что заслуживают доверия только
результаты, устойчивые относительно такого варьирования,
которое заодно показывает степень их точности. Если эта степень
недостаточна или если решение окажется неустойчивым (чего не следует
скрывать ни от себя, ни от других), то надо поискать
дополнительные исходные данные или даже изменить постановку задачи.
До сих пор мы говорили о численном решении единичных задач,
т. е. задач, в которых значения всех параметров заданы. Если речь
идет о решении серии однотипных задач, скажем, различающихся
значениями параметров, то описанный контроль надо проводить для
одного или нескольких наборов значений параметров, достаточно
убедительно представляющих полный диапазон значений этих
параметров. При этом мы как бы пользуемся методом аналогий, о
котором упоминалось в начале этого пункта,— полагаем, что если метод
оказался хорошим для некоторой задачи, то он будет хорошим и для
задач, аналогичных разобранной. Такой выборочный контроль часто
дает возможность обнаружить опасные для выбранного
вычислительного метода зоны изменения параметров, если такие зоны
имеются. При этом контроле большое значение имеют задачи с известными
решениями (см. п. 3.2в), так как такие решения делают излишним
повысить точность построения; например, если решение должно иметь в
некотором месте «горбик», то в качестве одной из координатных функций надо
взять такой «горбик» и т0 п. Однако здесь возможен источник ошибки:
например, если исходить из того, что решение будет четной функцией и в связи
с этим взять только четные координатные функции, а на самом деле эта
гипотеза окажется несправедливой, то приближенные решения даже в случае их
сходимости будут аппроксимировать некоторую функцию, не являющуюся
решением.


§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
121
повторный независимый счет. Впрочем, если речь идет об известных
точных решениях, задаваемых формулами, то надо еще продумать,
не будут ли эти решения слишком специальными, а потому анализ
общего метода на них недостаточно поучительным. Например,
далеко не всякий метод, предлагаемый для линейных
дифференциальных уравнений, достаточно проверить на частном случае уравнений
с постоянными коэффициентами.
Наряду с повторным вычислением и сравнением с точными
решениями возможно выборочное сравнение построенного решения
с результатами физического эксперимента.
Если речь идет о построении приближенного решения в виде
формулы для задачи, включающей параметры, то важную роль
приобретает контроль решения в экстремальных ситуациях, когда
параметры принимают крайние допустимые для них или другие
чем-либо характерные значения. Решения в таких ситуациях, а
также соответствующие асимптотические выражения часто удается
получить из независимых соображений, так что сравнение с такими
решениями и выражениями дает возможность проконтролировать
рассматриваемую приближенную формулу и уточнить ее в случае
необходимости. Более того, в сравнительно простых задачах уже
один только анализ экстремальных ситуаций дает возможность
получить удовлетворительную приближенную формулу, включающую
небольшое число свободных постоянных, которые затем
определяются из эксперимента или вычислений (см., например, {130, § 11.41).
Вариантом метода аналогий является также повышение
правдоподобия лишь одного характерного результата или нескольких
таких результатов в рассматриваемой задаче; при этом мы допус*
каем, что одновременно повысится правдоподобие и других
результатов, скоординированных с этими характерными. Пусть,
например, некоторый метод дает возможность численно определить
частоту и форму собственных колебаний. Если контроль показал, что
частота при этом определена с хорошей точностью, то естественно
ожидать, что и форма колебаний получилась с удовлетворительной
точностью *).
В заключение остановимся на вопросе о выборе рабочей
гипотезы (п. 3.26)f. Бывает, что в начале исследования представляются
приемлемыми несколько рабочих гипотез, каждая из которых имеет
некоторую априорную степень достоверности, причем эти гипотезы
могут не полностью противоречить друг другу, а как бы
перекрываться. При дальнейшем исследовании правдоподобие гипотез
может меняться; в частности, если какая-либо из этих гипотез
признается невозможной, то она отбрасывается, что обычно увеличива-
*) Следует все же заметить, что форма колебаний получается обычно
с худшей точностью, чем частота,— примерно так же, как точка экстремума
функции определяется обычно менее точно, чем соответствующее
экстремальное значение.


122
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
ет правдоподобие оставшихся гипотез и может даже превратить
некоторые из них в практически достоверные утверждения.
Таким образом, важным средством повышения степени
достоверности какого-либо утверждения служит приведение к
противоречию утверждений, соперничающих с рассматриваемым (одного
или нескольких), в особенности утверждений, полностью
несовместимых с рассматриваемым. При этом существенно, что если
утверждение, невозможность которого мы хотим показать, содержит не
вполне точно определенные понятия или по своему смыслу
выполняется лишь приближенно, то и доказательство его невозможности
должно быть убедительным на выбранном уровне точности и
приближения. Не любое рассуждение удовлетворяет этому
требованию: например, нельзя, исходя из утверждения я=3,14, перенести
правую часть налево и, разделив после этого обе части равенства
на я—3,14=0,00159..., заявить, что исходное утверждение
приведено к противоречию, поскольку полученное равенство 1=0
невозможно. Здесь уровень приведения к противоречию явно не
соответствует уровню исходного утверждения и правилам приближенных
вычислений, но в других примерах это может быть не так
очевидно *).
Указанные рациональные рассуждения в сочетании с
неформальным истолкованием смысла изучаемых объектов могут сделать
утверждение практически достоверным, а рассуждение в целом —
интуитивно убедительным (п. 2.10).
6. О практической достоверности. Желательным итогом
повышения правдоподобия того или иного утверждения является
достижение практической достоверности. Этот процесс рассмотрен, в
частности, в книге [322], где он проиллюстрирован на ярких примерах
экспериментального установления физического закона и выработки
внутреннего убеждения судьи. Важную роль играет этот процесс
и в прикладной математике. Как было сказано в п. 3.5, с помощью
независимого контроля, показывающего совпадение по многим
пунктам, можно сделать решение практически достоверным. В
связи с этим следует еще раз остановиться на относительности
понятия достоверности (см. пп. 3.1 и 2.5). В п.* 2.5 мы говорили о том,
что всякое утверждение, даже такое, как 2x2=4, формально
допускает некоторую возможность его ошибочности. Поэтому такие
выражения, как «достоверно», «практически достоверно»,
«абсолютно достоверно» и т. п., только и могут означать, что
правдоподобность противоположного события в том или ином смысле
пренебрежимо мала. Насколько именно — это зависит от области, к которой
*) Пример мнимого противоречия приведен в [87, § 7.4]. Из
утверждений «Если я называю тебя буйным человеком, то я называю тебя человеком»
и «Если я называю тебя человеком, то я говорю правду» не вытекает
утверждение «Если я называю тебя буйным человеком, то я говорю правду»!
Здесь дело в нечеткости понятия «я говорю правду», которое меняет свой
смысл в процессе рассуждения.


§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
123
относится утверждение, от соответствующих традиций, которые,
в конечном счете, связаны" с опасностью возможных последствий
того, что утверждение окажется неверным, и т. п.- *). Мы вернемся
к этому вопросу в п. 5.8.
В п. 3.1 мы предложили считать практически достоверным
утверждение со степенью достоверности р=1—10~8. Это примерно
степень достоверности того, что здоровый человек, решив выйти из
своей комнаты в коридор, сможет это сделать, т. е. что он по дороге
не умрет от внезапного сердечного приступа или падения метеорита,
что дверь не заклинится от землетрясения и т. п. Думается, что не
только в быту, но и в науке мы начинаем называть утверждения
достоверными даже при меньшей степени достоверности **). А в силу
сказанного в пп. 2.4—2.5 утверждения со степенью достоверности
р>\—10~200 следует называть абсолютно достоверными: таким
образом, абсолютно достоверно, что 2x2=4, что обезьяны никогда не
могут напечатать сочинения Шекспира и т. д.
Э. Борель в [54, гл. IX] подробно останавливается на понятии
достоверности, говоря, в частности, что «наша практическая
достоверность равноценна теоретической достоверности математиков.
Мы столь же уверены в существовании Лондона, как и в свойствах
конических сечений». Но ведь доводы в пользу существования
Лондона имеют не дедуктивный, а рациональный характер; таким
образом, на основе рациональных рассуждений можно достичь абсолют*
ной достоверности.
*) Это обстоятельство в утрированной форме выражает следующая
шутка [338, с. 102—103]. «Физик верит,—сказал математик,— что 60 делится
на все числа. Он замечает, что 60 делится на 2, 3, 4, 5 и 6. Он проверяет
несколько других чисел, например, 10, 15, 20 и 30, взятых, как он говорит,
наугад. Так как 60 делится и на них, то он считает экспериментальные
данные достаточными.
— Да, но взгляни на инженера,— возразил физик.— Инженер
подозревает, что все нечетные числа — простые. Во всяком случае, 1 можно
рассматривать как простое число,—доказывает он.— Затем идут, 3, 5 и 7—все,
несомненно, простые. Затем идет 9 — досадный случай — оно, по-видимому,
не является простым числом. Но 11 и 13, конечно, простые. Возвратимся
к 9,— говорит он.— Я заключаю, что 9 должно быть ошибкой эксперимента..
— Но,— говорит инженер,— посмотрите на врача. Он разрешил
безнадежному больному уремией съесть борщ — и тот выздоровел. Врач пишет
научную работу о том, что борщ помогает при уремии. Но затем снова дает
подобному больному борщ — и тот умирает. Тогда в гранках врач
исправляет: «Борщ помогает в 50 процентах случаев».
— ^Да, но хорош математик,— говорит врач.— На вопрос: «Как
поймать льва в пустыне?» — он отвечает: «Что значит поймать льва? Это
означает — отгородить льва от себя решеткой. Я сажусь за решетку — и лев,
по определению, пойман!»
Как сказано — сказка ложь, но в ней намек!
**) Так, для некоторых классов прикладных задач в однократном
эксперименте рекомендуют игнорировать события, вероятность которых меньше
10"4. Эта константа была введена Бюффоном; она представляла собой
вероятность того, что взятый наугад англичанин в возрасте 56 лет умрет в течение
предстоящих суток. (Не было ли столько лет тогда самому Бюффону?)


124
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Поэтому нет ничего невозможного в том, что с помощью
рациональных рассуждений и в прикладной математике можно в ряде
случаев достичь достоверности — по нашей терминологии
практической или даже абсолютной.
7. Рациональные рассуждения с позиций оптимальности.
Различные рациональные рассуждения совершенно неравноценны как
по трудности их проведения, так и по тому вкладу, который они.
способны внести в успех решения задачи. Так, выбирая
вычислительный процесс, мы должны считаться с имеющимися в нашем
распоряжении вычислительными средствами и их эффективностью, а в
некоторых случаях — и с их экономичностью, в частности
определить целесообразный уровень повышения точности вычислений.
Если речь идет о повышении степени достоверности некоторого
рационального утверждения, то весьма существенно следить за тем,
насколько то или иное рассуждение способствует этому повышению,
в частности, можно ли достичь практической достоверности и как
это сделать, затратив наименьшие усилия.
Часто сравнительно трудоемкими оказываются чисто
дедуктивные включения; в то же время (п. 3.3) такие включения обычно
не делают утверждение, в обоснование которого они входят,
полностью достоверным, а лишь в большей или меньшей степени
повышают степень его достоверности. Поэтому если такого же или
даже большего повышения степени достоверности можно достичь
с помощью менее трудоемкого рационального рассуждения, то
применение дедуктивного включения окажется в противоречии с
требованием оптимальности (или эффективности; см. п. 1.7). «Раньше
чем разрывать навозную кучу, надо оценить, сколько на это уйдет
времени и какова вероятность того, что там есть жемчужина»
(А. Б. Мигдал, [213, с. 64]).
К сожалению, до сих пор широко применяются схемы
рассуждений, требующие большого труда при их реализации, но мало
повышающие степень достоверности результата. Ярким примером
может служить доказательство сходимости бесконечного процесса
в условиях решаемой задачи, используемое как довод в пользу
. правдоподобия результата, основанного на применении весьма
небольшого (часто одного — двух) числа шагов этого процесса; о
таких рассуждениях упоминалось во Введении. Построение
доказательства сходимости часто оказывается делом весьма тонким и
трудоемким. В то же время известно, что первые члены разумно
выбранного расходящегося процесса могут дать приближение ничуть
не худшее, чем в случае процесса сходящегося. Так бывает,
например, с разложениями в асимптотически сходящиеся ряды 36,
точность которых, оцененная с помощью дедуктивных или
рациональных рассуждений, часто оказывается весьма высокой. Итак, в
подобных случаях «авторитет» первых членов, в сущности, не много
выигрывает от того факта, что доказана сходимость процесса.
Гораздо больше повышает степень достоверности решения, осно-


§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
125
ванного на применении небольшого числа шагов бесконечного
процесса, включение этого решения в схему с малым параметром
(п. 5.9) в сочетании с анализом практической сходимости; к тому же
такой образ действий бывает гораздо менее трудоемок. Важной
задачей прикладной математики будущего является сравнительный
анализ трудоемкости и прикладной ценности различных типов
рациональных рассуждений для разных классов задач; это облегчит
выбор направления таких рассуждений.
Можно только пожалеть, что если в подобных случаях
доказательства сходимости нет, то иные критики требуют его проведения,
считая доказательство сходимости как бы индульгенцией,
избавляющей от ответственности за греховность последующих операций.
Такие критики иногда добросовестно заблуждаются,
подсознательно ожидая «торжества справедливости» и полагая, что
существенные усилия, потраченные при проведении дедуктивных
доказательств и требующие порой привлечения весьма глубоких знаний,
должны быть вознаграждены столь же существенными следствиями.
Однако монументальное здание с колоннами, предназначенное для
размещения в нем табачного киоска, мало выигрывает от того, что
при сооружении были преодолены огромные трудности
архитектурного решения и производства работ; они возникли из-за
неразумного выбора конструкции!
Манера применения дорогостоящих средств, мало
способствующих продвижению в решении поставленной задачи, став традицией,
не только способствует расточительству интеллектуальных сил, но
и наносит психологический вред: придавая решению видимость
строгости и логической завершенности, она мешает правильному
пониманию подлинной ценности полученных результатов *).
*) Дж. Шварц по аналогичному поводу пишет [5221: «Интеллектуальная
привлекательность математического доказательства так же, как и
значительная умственная работа, затраченная на его проведение, делает математику
мощным орудием интеллектуальной мистификации, блестящей ложью, где
одни обманываются, а другие, увы, обманывают». Думается, что вместо
«обманывают» более правильно сказать «невольно вводят в заблуждение».
В более мягкой форме выразили эту мысль М. Кац и С. Улам [144.
с. 218]: «Хотя (и это весьма примечательно) так часто какое-либо детище
математики, задуманное и выраженное в ее недрах, оказывается неожиданно
полезным для описания явлений внешнего мира (хорошими примерами
служат комплексные числа и матрицы), тем не менее ни элегантность, ни особая
сложность того или иного математического понятия, построения или метода
сами по себе не дают никакой гарантии их практической полезности и при-
годности».
Пример конкретной критики применения сложной математической
структуры: [530]. А. Н. Крылов (цит. по [349]): «Сколько бы ни было точно
математическое решение, оно не может быть точнее тех приближенных посылок, на
коих оно основано. Об этом часто забывают, делают вначале какое-нибудь
грубое приближенное предположение или допущение, часто даже не
оговорив таковое, а затем придают полученной формуле гораздо большее доверие,
нежели она заслуживает, и это потому, что ее вывод сложный».
И. Грекова [101, с. 113] в связи с искусственным порой внедрением
автоматизированных систем управления: «Применение математических методов


126
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Аналогичную роль играют теоремы о существовании и
единственности решения, которые, будучи относительно (а иногда и
весьма) трудоемкими, обычно не дают серьезного усиления степени
достоверности конструируемого решения или утверждения о том или
ином важном в прикладном отношении свойстве этого решения *).
По-видимому, возможная прикладная ценность общих теорем о
разрешимости состоит в выяснении правильности математической
постановки задачи, а также иногда в возможности извлечь из
доказательств конструктивные следствия. Однако первое обычно легче
устанавливается на основании аналогий и анализа примеров, а
второе далеко не всегда получается хорошо.
Итак, мы вновь приходим к выводу, что в прикладной
математике оптимальным является сочетание дедуктивных и собственно
рациональных рассуждений различных типов, приводящее наилучшим
образом к цели предпринятого исследования и дающее реальную
помощь в получении убедительного вывода, относящегося к
вопросу, который лежит за пределами математики.
не полезно, а вредно до тех пор, пока явление не освоено на гуманитарном
уровне. Вредно тем, что отвлекает внимание от главного к второстепенному,
тем, что создает почву для очковтирательства»0
О «математическом гипнозе» в прикг дных исследованиях пишет также
Л. Дойл [117], впрочем, приводя слова Р. Файртхорна: «Если люди глупо
используют методику, то, может быть, не методика виновата?»
Приведем также слова И. П. Павлова (по воспоминанию Л. А. Орбели,
«Известия» от 26 сентября 1967 г.): «Если я рассуждаю логично, это значит
только то, что я не сумасшедший, но вовсе не доказывает, что я прав».
*) См. по этому поводу отзыв Л. Д. Ландау (п. 8.1).


Г л а в а 2
ЭТАПЫ ПРИКЛАДНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ИССЛЕДОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
§ 4. Математическое формулирование задачи
«Как бы тривиально и очевидно это ни
звучало, повторим еще раз: важно
понимать, что вы хотите узнать».
Р. Хемминг [332, с. 392]
1. Предварительные замечания. Тема настоящей главы широка,
и потому наше изложение — мы отчетливо это понимаем — будет
далеко от полноты, что, впрочем, свойственно всей нашей книге.
Мы выскажем несколько соображений, местами фрагментарных,
по поводу этой темы, стараясь избежать дублирования
распространенных источников. Сказанное относится, в частности, и к
настоящему параграфу, который ни в коем случае не претендует на полное
изложение основ математического моделирования.
Обычно в прикладном математическом исследовании можно
условно выделить следующие основные этапы:
1) математическое формулирование задачи (другими словами,
построение математической модели, математическое моделирование),
опирающееся на неформальное обсуждение ее постановки *);
2) выбор метода исследования сформулированной
математической задачи;
3) проведение математического исследования (чаще всего в это
исследование входят также приближенные вычисления);
4) анализ и реальная интерпретация полученного
математического, результата.
Эти этапы тесно связаны между собой, и поэтому их расчленение
является до некоторой степени искусственным. Так, математическая
модель обычно строится с ориентацией на предполагаемый метод
решения математической задачи. С другой стороны, в процессе
проведения математического исследования или интерпретации решения
может понадобиться уточнить или даже существенно изменить
математическую модель.
*) Ро Беллман [32]: «Только в том случае, если мы очень ясно
представим себе различные аспекты возникающих задач, можно надеяться, что мы
выберем разумные математические модели и применим осмысленные
математические методы. Как мы в дальнейшем будем неоднократно подчеркивать,
понятия играют столь же важную роль, что и уравнения, а создание и
интерпретация математических моделей даже важнее тех частных уравнений,
к которым они приводятся».


128
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
В этой книге мы не будем специально обсуждать подробности,
относящиеся к третьему, наиболее «математическому» этапу,
поскольку ему посвящены сотни книг. Это именно тот этап, на котором
математическая квалификация проявляется в наибольшей степени.
2. О понятии модели в прикладном исследовании. Содержание
понятий «модель», «моделирование» в различных сферах знания и
человеческой деятельности чрезвычайно разнообразно. Однако
здесь есть и нечто существенно общее: модель в том или ином
смысле, более или менее полно имитирует оригинал — моделируемый
объект. Таким образом, мы будем говорить, что объект а' является
моделью объекта а (здесь термин «объект» понимается в наиболее
широком смысле; объектами могут служить и любые ситуации,
явления, процессы и т. д.) относительно некоторой системы S
характеристик (свойств), если а строится (или выбирается) для
имитации а по этим характеристикам. Модель может быть построена
как для изучения указанных характеристик (исследовательские
модели, которыми мы будем впредь заниматься), так и для их
непосредственного использования (рабочие модели: автопилот, протез,
кукла, деньги и т. д.). Моделирование, т. е. построение моделей,
лежит в основе любой науки. Мы будем здесь рассматривать лишь
модели, нацеленные на решение поставленной задачи средствами
математики, и не будем касаться общих вопросов моделирования.
(Впрочем, и в общем аспекте нам хотелось бы подчеркнуть сугубо
рациональный характер понятия модели в подавляющем
большинстве реальных случаев и существенно размытый характер связи
между моделями и моделируемыми объектами. Рациональным
является и приведенное определение, так как оно опирается на
неформальный смысл понятия имитации.)
Из общих свойств моделей отметим, что поскольку модель строг
ится лишь для имитации и притом лишь части свойств исходного
объекта, то, как правило, она оказывается в целом проще его. Это
относится как к исследовательским, так и к рабочим моделям
(автопилот проще пилота, протез проще заменяемого органа, кукла
проще ребенка, деньги проще товара и т. д.).
Исследовательские модели можно грубо и условно подразделять
на две группы: экспериментальные (предметные) и теоретические
(умозрительные). Хотя нас будут интересовать, в основном, модели
второй группы, так как именно они служат переходным звеном к
математическим "моделям, скажем несколько слов и о моделях первой
группы, поскольку в ряде случаев их привлечение может
существен© упростить решение задачи в целом.
Экспериментальные модели представляют собой реально
осуществляемые устройства двух основных типов. Модели первого типа
имеют ту же природу, что моделируемый объект, но воспроизводят
его упрощенно и, обычно, в измененном масштабе. Эти модели
создаются на основе теории подобия и также именуются «физическими»
(в дальнейшем мы не будем пользоваться таким словоупотреблени-


§4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
129
ем). Естественно, что при этом подобие осуществляется по тем
параметрам, которые существенны для изучаемых характеристик: на»
пример, для экспериментального исследования сопротивления
движению судна нужна модель, внешние формы которой подобны
внешним формам оригинала, а для исследования прочности того же
судна — модель, имитирующая его силовой каркас.
Экспериментальные модели другого типа — аналоговые
модели — основаны на нередко встречающихся совпадениях
математического описания различных явлений. Так, например,
колебательные явления в механических и электрических системах описываются
одинаковыми дифференциальными уравнениями; это позволяет
взамен относительно сложного эксперимента на механической
модели поставить более простой эксперимент на соответствующей
электрической модели, которая в данном случае и выступает в роли
аналога. Наибольшей универсальностью в качестве аналоговых
моделей обладают аналоговые вычислительные машины
непрерывного действия.
Применяются также комбинированные устройства,
объединяющие в одной установке модели одного или другого типа, а также
ЭВМ; такая модель называется гибридной.
Умозрительная модель формулируется на языке той или иной
науки. В зависимости от характера этого языка можно говорить о
математической модели, физической модели, экономической модели
и т. д. Будем для определенности говорить о решении задач физики
или механики, однако сказанное будет относиться и к другим
областям применения моделей.
Умозрительные физические модели имитируют реальный объект
с помощью абстрактных представлений на физическом языке,
причем нередко с широким использованием языка и средств
математики. Они дают более или менее упрощенное описание этого объекта и
получаются в результате мысленного отвлечения от многих свойств
и связей оригинала и выделения тех его сторон и признаков,
которые представляют важность для исследователя.
Имея в виду умозрительные физические модели, Л. И. Седов
отметил [288, с. 64—65], что в физике и механике теоретическое
моделирование касается двух главных аспектов: а) построения
моделей полей и вещества; б) моделирования постановок задач в
рамках этих моделей.
Например, в механике при теоретическом моделировании широко
используются такие понятия, как материальная точка, абсолютно
твердое тело, упругая или пластическая среда, вязкая жидкость
и т. п. Эти абстракции приобрели значение фундаментальных
моделей механики.
При моделировании постановок задач пользуются
представлениями об абсолютно гладких или шероховатых поверхностях, о
неограниченности рассматриваемых объектов (например, в
аэродинамике крыла, как правило, принимается, что поток воздуха, обте-
5 И. И. Блехман и дф.


130
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
кающего крыло, занимает все пространство), или удобными
упрощениями кинематического характера (например: движение
жидкости в трубе — одномерное, сечения балки при ее изгибе остаются
плоскими).
Для обоих аспектов моделирования характерно отсечение
относительно менее важных свойств оригинала (каких именно — зависит
не только от моделируемого объекта, но и от направления его
исследования); благодаря этому модель приобретает некую
идеализированную форму, в ней обычно не учитываются малые
«неидеальности», всегда свойственные реальному оригиналу,— за
исключением тех случаев, когда целью исследования является изучение
роли таких неидеальностей.
Законы и соотношения, определяющие связи между элементами
умозрительной физической модели, могут носить фундаментальный
характер; в таких случаях они часто лишь подразумеваются, но
явно не формулируются. В других случаях они представляют собой
неуниверсальные, ограниченно справедливые соотношения; по этому
поводу Л. И. Седов говорит [288, с. 521: «...вполне допустимо и
полезно при изучении многих важных проблем сознательное
использование методов, понятий и законов, заведомо неприемлемых или
просто неверных при более детальном исследовании, но вполне
удовлетворительных с точки зрения поставленных задач». Этот важный
вопрос более подробно обсуждается в пп. 4.3—4.6.
После того, как умозрительная физическая модель образована,
переходят к построению математической модели; именно такие
модели служат центральным предметом рассмотрения в этой книге.
Математической моделью достаточно сложного оригинала служит
система уравнений в самом широком смысле этого термина;
разумеется, математическая модель отдельного элемента относительно
проще — она может оказаться геометрическим образом, функцией,
вектором, матрицей, скалярной величиной или даже конкретным
числом. Такая модель может быть реализована не только в виде
записи с применением математических символов, но и, скажем, в
виде явно выписанной или подразумеваемой блок-схемы получения
ответа по исходным данным, или в виде программы для ЭВМ или
в виде состояния памяти ЭВМ (в последнем случае говорят также о
кибернетической модели).
Для некоторых классов задач понятию модели, в частности
математической модели, можно придать чисто дедуктивный характер
(см., например, [159, гл. 12; 444]): так, можно принять, что класс
всех рассматриваемых объектов и их моделей образует так
называемую категорию, каждый переход к модели — морфизм и т. д. Мы
не будем здесь пользоваться подобными определениями, хотя в
некоторых четких ситуациях они могут оказаться полезными.
Иногда после перехода к математической модели выясняется,
что та же математическая модель соответствует совершенно иной
умозрительной физической модели, подчиненной другим физическим


§ 4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
131
законам; так возникают аналогии — вроде электромеханической
аналогии в теории колебаний (см. выше) или гидродинамической
аналогии в теории кручения стержней. Такое «замыкание» двух или
более физических умозрительных моделей на общую математическую
модель может быть, в частности, использовано для наглядного
обсуждения отображаемых качественных свойств изучаемого явления.
(Впрочем, в литературе встречаются и малопродуктивные
формальные аналогии подобного рода. Так, дифференциальное уравнение
для формы вынужденных колебаний балки при гармоническом
возбуждении совпадает с уравнением изгиба статически нагруженной
балки, лежащей на упругом основании с соответственно
подобранным отрицательным (!) коэффициентом жесткости. Из такой
аналогии затруднительно получить что-либо полезное.)
Один и тот же объект а может иметь много неэквивалентных
моделей. Это прежде всего связано с существованием различных
аспектов изучения объекта а, т. е. с необходимостью исследования
различных систем Su S2, ... его характеристик; яркие примеры
этого приведены в главе 2 книги В. И. Феодосьева [324]. (О важной
взаимосвязи аспекта описания и изучения объекта а и выбора языка
для этого описания см. [351].) Но разные, даже принципиально
разные модели могут появиться и при изучении одной и той же
характеристики; это относится, в частности, и к математическим
моделям. Так, один и тот же реальный объект можно описывать с
помощью непрерывной или дискретной, детерминированной или
стохастической и т. д. моделей *). Выбор типа модели, весьма
существенный для направления всего исследования, может естественно
подсказываться моделируемым объектом или разумными
традициями **), однако и тогда полезно иметь в виду возможность изменить
*) Ю. И. Неймарк пишет по аналогичному поводу [241, с. 13):
«...принятие той или иной математической модели зависит от целей, поставленных
исследователем, от фактического уровня науки и в значительной мере от
имеющихся средств изучения. Последнее обстоятельство, несмотря на
кажущуюся его непринципиальность, подчас играет решающую роль».
Например, для применения ЭВМ удобнее одни модели, а для аналитического
исследования — другие.
**) Впрочем, нередко тип модели выбирается из слепого подражания
или определяется пробелами в образовании исследователя. В результате все
исследование может превратиться в математическое упражнение, не
представляющее теоретического интереса, а из-за неадекватности модели не имеющее
прикладного значения. Так, опубликовано немало статей относительно
колебаний балки на упругом основании, причем в некоторых из них
принималось, что основание обладает упругими свойствами, но лишено массы.
Однако пренебрежение инерционными свойствами основания недопустимо
в подавляющем большинстве реальных ситуаций, так как присоединенная
масса основания, как правило, значительно больше массы самой балки.
Любопытно (хотя и очень досадно), что такие публикации порой получают
поддержку как у сугубых практиков, так и у теоретиков. Первые с особым
уважением относятся к выкладкам, которые их завораживают своей
респектабельностью и непонятностью, а вторые, не задумываясь над свойствами
реального объекта, следят лишь за правильностью выкладок и искренне радуются,
5*


132
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
тип модели. Построение различных моделей одного и того же объекта
может иметь целью различную детализацию описания изучаемых
характеристик *); в более сложных ситуациях сравнение
результатов исследования с помощью моделей разного типа может существен*
но обогатить познания об изучаемом реальном объекте, значительно
повысить их достоверность (см. пп. 3.5, 3.6). На целесообразности
такого «спора моделей» останавливается Е. С. Вентцель [72, с. 15].
(В связи с химическими моделями мы слышали термин «зоопарк
моделей» — каждая имеет название и находится в своей «клетке».)
Конечно, общие контуры математической модели
вырисовываются уже на этапе умозрительного физического моделирования.
Однако и после завершения этого этапа, как правило, возможны
разнообразные модификации математической модели: иногда в
уравнениях можно оставлять одни члены и отбрасывать другие;
нелинейные зависимости заменять линейными, сложные геометрические
формы — более простыми и т. д. Впрочем, в некоторых случаях
дело обстоит проще, и умозрительная физическая модель допускает
непосредственную математическую формулировку; такие модели,
представленные обычно схематическим чертежом, называются
расчетными схемами (расчетные схемы стержневых систем в
строительной механике, схемы электрических цепей и т. д.).
Роль выбора математической модели, в значительной степени
определяющего общее направление исследования, ярко охарактеризовали А. Н.
Тихонов и Д. П. Костомаров [309, с. 14—15]: «В прикладных задачах
построение математической модели — это один из наиболее сложных и ответственных
этапов работы. Опыт показывает, что во многих случаях правильно
выбрать модель — значит решить проблему более чем наполовину. Трудность
данного этапа состоит в том, что он требует соединения математических
и специальных знаний. ... Обычно над математической моделью совместно
работают математики и специалисты из той области, к которой относится
изучаемый объект. Для успеха их деятельности очень важно
взаимопонимание, которое приходит тогда, когда математики обладают специальными
знаниями об объекте, а их партнеры —определенной математической
культурой, опытом применения математических методов исследования в своей
области. В противном случае совместная работа легко может превратиться
в диалог глухих со слепыми».
Авторы отмечают (с. 10) три основных элемента прикладной математики:
математические модели, вычислительные алгоритмы и ЭВМ.
что теория оказалась якобы полезной для практики. В действительности же
автор такой работы попросту не знает, как учесть присоединенную массу
основания. Как не вспомнить здесь анекдот о пьяном, который ночью искал
потерянные деньги под светом фонаря, хотя и помнил, что кошелек был
обронен в другом месте, «но там темно»...
*) Приведя пример сведения задачи об управлении реактором к
уравнениям различных типов, X. Розенброк и С. Стори пишут [279, с. 2961: «Такая
ситуация с позиций математиков и инженеров имеет разный смысл. Для
математиков уравнения (2) и (3) ведут к двум разным задачам. Для инженеров
они ведут к двум различным способам решения одной и той же задачи —
отысканию наилучшего распределения температур для рассматриваемой
физической системы. Эти способы отличаются разной степенью упрощения
задачи».


§ 4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
133
Умение правильно выбрать математическую модель находится
на грани науки и искусства *). Оно требует не только необходимых
математических и прикладных знаний и опыта, но также вкуса и
чувства соразмерности. Поэтому вопрос об общих методах
построения таких моделей очень сложен и мало разработан; здесь он
рассматриваться не будет. Укажем только, что уже после выбора схемы
модели часто возникает задача об определении ее параметров (в том
числе функциональных — см. п. 2.8), уточнении структуры
и т. п. Эта задача идентификации модели, которой посвящена
обширная литература (см., например, [275, 516]), может быть
решена либо путем непосредственных замеров и вычислений,
либо косвенно, путем сравнения свойств модели с известными
данными.
При умозрительном физическом или математическом
моделировании исследователь обычно стремится обеспечить имитацию свойств
оригинала путем отражения в модели «внутреннего устройства»
(структуры) оригинала, тогда говорят о структурной модели.
Указание структуры реального объекта всегда является результатом
некоторой его схематизации, т. е. означает переход к его модели.
В сложных случаях такое указание составляет важную проблему
(см., например, [512]) и может осуществляться различными
неэквивалентными способами, оказывающими существенное влияние на
направление и перспективы исследования; достаточно вспомнить
о проблеме структуры человеческого общества.
Структурное сходство модели с оригиналом отнюдь не
обязательно. В ряде случаев при моделировании пользуются довольно
условными представлениями типа аналоговых, так что подлинная
структура оригинала отражена в модели относительно слабо. Таковы,
например, реологические 36 модели — схемы, составленные из
упругих, вязких и пластических элементов. Хотя эти схемы весьма
условны, они очень наглядны и позволяют легко понять, как
возникают разнообразные свойства реальных сплошных сред —
ползучесть, релаксация, гистерезис и др.
Описанный путь построения математической модели с помощью
умозрительного физического моделирования можно назвать
классическим. Однако в последнее время все чаще используется
предельно укороченный путь, когда свойства оригинала устанавливаются
без анализа его структуры и свойств элементов, а с помощью прямых
наблюдений над входными и выходными параметрами. Эти
наблюдения при их надлежащей организации и обработке позволяют
образовать умозрительную функциональную модель —
математическую модель, которая в той или иной форме описывает отклик
оригинала на внешние возмущения. (Конечно, функциональными мо-
*) Так, Ж. Сименон проницательно заметил [291, с. 250): «Теория
вероятностей — это наука, но она становится еще и искусством, когда ее
применяют к отдельным индивидам».


134
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
гут быть и рабочие модели — достаточно вспомнить о
разнообразных автоматических устройствах.)
Рассмотрим, в частности, случай, когда изучается влияние на
объект а воздействий некоторого класса V, причем каждому
воздействию v£V отвечает некоторый отклик r=r(v). (При этом в
понятие воздействия можно формально включить все, что задается,
в том числе и начальные условия, если они существенны.) В
соответствующей математической модели а! воздействие v' и отклик г'
уже представляют собой наборы чисел, векторов, функций и т. п.,
причем от v' (соответственно от г') можно перейти к v (соответственно
к г) и обратно, а сама модель определяет зависимость г' (&). Тогда
условием моделирования является требование, чтобы эта
зависимость имитировала зависимость г (и), каков бы ни был механизм этой
имитации. Иногда проявляют высшую степень безразличия к
структуре объекта а и трактуют модель как черный ящик, для которого
входами служат возмущения из выбранного класса V\ а выходами —
выбранные отклики на эти входы. Может оказаться, что из-за
неполноты информации (например, задаются не все параметры,
существенно влияющие на выходы) или в силу самой природы
изучаемой системы вход v' определяет выход г' неоднозначно; в этом
случае модель иногда может описывать объект а в том или ином
вероятностном смысле.
Полученная указанным образом математическая модель в
принципе не снимает вопроса о внутреннем устройстве оригинала. Без
«зондирования» внутреннего устройства оригинала невозможно
предсказать, как изменится его математическая модель после
каких-либо изменений этого устройства, и поэтому всякое
преобразование оригинала повлечет за собой необходимость заново строить
всю математическую модель. Очевидно, что этим недостатком в
гораздо меньшей степени страдает «классический» путь построения
математической модели *).
Обычно в прикладном исследованиия, в котором применяется
математика, строится несколько моделей. Эти модели могут
относиться к различным компонентам или различным аспектам
изучаемого явления, могут иметь разные степени абстрактности, а их
анализ может чередоваться с действиями нематематического характера.
Кроме того, могут возникать цепочки, в которых каждое
последующее звено служит моделью для предыдущего. Например, мы можем
реальную строительную конструкцию мысленно заменить на
систему стержней, пластин или оболочек (умозрительное физическое
моделирование); затем записать систему уравнений, определяющих
напряжения и деформации в этих элементах (математическое
моделирование); далее упростить полученную систему уравнений, от-
*) Функциональный и структурный подходы, с соответствующими
изменениями, проявляются и в других областях знания. Таково, например,
соотношение между бихевиоризмом и этологией в изучении поведения животных
1191, с. 200—213}.


§4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
135
брасывая члены, которые нам представляются менее существенными
(такое упрощение есть, конечно, моделирование одного
математического объекта другим), и т. д. В процессе исследования
происходят переходы от одних моделей к другим, а иногда и параллельное
изучение нескольких моделей. Отметим, что при этом возможен и
переход от математических соотношений к их физическим моделям.
Такие модели могут быть предметными (вычислительные
устройства) либо теоретическими; последние применяются для
иллюстрации отдельных утверждений и даже разделов математики (см.,
например, [274]) и развития соответствующей интуиции, которая может
оказаться весьма полезной при решении математических задач.
В заключение заметим, что понятие «изучить модель»
существенно сложней, чем это может показаться с первого взгляда; лишь в
редких случаях это изучение приводит к искомому короткому ответу
(числу с небольшим количеством верных цифр, ответу типа «да» или
«нет» и т. п.), который обычно является окончательной целью
исследования. Гораздо чаще изучение модели еще подливает воды в море
информации, связанной с исследуемой проблемой, и может
потребоваться новый взгляд на ситуацию, чтобы «выудить» из этого моря
необходимый результат. Поэтому важна целеустремленность
построения моделей: надо не изучать все то, что связано с
поставленной проблемой, а стараться по возможности экономным путем идти
к цели. Исследование модели тем успешнее, чем больше принято во
внимание при ее построении основательных соображений о
предполагаемых свойствах изучаемого объекта. («То, что мы видим,
зависит от того, куда мы смотрим»,— писал Л. Леонидов в
«Литературной газете» 12 мая 1976 г. на особо популярной 16-й странице.)
Впрочем, это благое пожелание, реализация которого должна
начинаться уже с продуманного выбора «естественной» системы
координат, гораздо проще высказать, чем осуществить...
С этой точки зрения наиболее привлекательны поиски и
исследование таких характеристик, которые дают лаконичное описание
наиболее важных свойств изучаемого объекта, без ненужной
детализации. Таковы, например, способы нахождения огибающих в
различных колебательных задачах (способ Ван дер Поля и т. п.).
Хотя при этом мы не улавливаем все подробности протекания
соответствующих процессов, но эти подробности, как правило, не-
существенны (см. п. 4.9, 4.10 и 6.4)*).
*) По поводу понятия и методов построения модели (в особенности
математической), помимо указанных на с. 12, см. также [67, 138, 146, 147, 157, 161,
167, 172, 223, 227, 236, 240, 278, 307, 340, 360, 361, 376, 391, 403, 416, 422,
429, 445, 449, 456, 457, 478, 496, 500, 501, 519, 523, 536]. Подробное
обсуждение математических, в том числе вычислительных, моделей в задачах физики
см. в [265, 283]. Особо отметим книгу [203], в которой содержится ряд общих
соображений, связанных с построением математических моделей, большое
число конкретных примеров и обширный список литературы, а также книгу
[142], в которой излагаются некоторые принципы математического
моделирования сложных систем — экономических, экологических, лингвистических
и т. д.


136
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
3. Требование адекватности. Важнейшим требованием к
математической модели является требование ее адекватности
изучаемому реальному объекту (процессу и т. д.) относительно выбранной
системы его характеристик. Под этим обычно понимается:
1) правильное качественное описание объекта по выбранным
характеристикам (например, в результате изучения динамической
модели мы делаем правильный вывод о затухании колебаний
реального объекта, об устойчивости его движения и т. п.);
2) правильное количественное описание объекта по выбранным
характеристикам с некоторой разумной степенью точности.
В частности, если изучается отклик объекта на воздействия того
или иного класса (п. 4.2), то модель, адекватная относительно одного
класса воздействий, может оказаться неадекватной относительно
другого класса (примеры см. ниже). Таким образом, адекватность
моделирования определяется не только моделируемым объектом и
его моделью, но также видом рассматриваемых воздействий,
выбранным классом откликов на них и принятым уровнем точности
описания. Это отвечает общему определению адекватности, так как
под характеристикой реального объекта можно, в частности,
понимать его реакции на воздействия того или иного класса. Поэтому
модель типа черного ящика (п. 4.2) адекватна, если для заданного
класса входных возмущений она определяет с требуемой точностью
тот же оператор преобразования входов в выходы.
В областях, еще не подготовленных для применения развитых
количественных методов (например, в некоторых социальных
науках), адекватность модели по необходимости является лишь
качественной; в связи с этим можно вспомнить о возможности не только
количественной, но и неколичественной математизации [148, 255].
В частности, модель может выявлять существенные качественные
характеристики изучаемого явления (такие, как равновесие,
устойчивость и т. д.) и влияние одних характеристик на другие. На этих
вопросах останавливается Саати в своей книге [513]. Сходным
образом говорит МакРей по поводу моделирования управления
предприятиями [483, с. 4]: «Управленческая модель может иметь
низкую прогнозную ценность, но если она помогает нам понять
структуру проблемы, то этого достаточно для того, чтобы оправдать
расходы на ее построение».
Даже в технике, где применение математики давным-давно
апробировано, модель может оказаться количественно неадекватной
из-за сложности изучаемого объекта. Однако и здесь понимание
роли существенных свойств (таких, например, как действие
обратной связи, возможность резонансных состояний и т. д.),
выявленной на моделях качественного характера, помогает правильно
ориентироваться в сложных задачах.
Возвращаясь к общему случаю, отметим, что естественно
говорить не просто об адекватности модели, но также о большей или


§4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
137
меньшей адекватности. Поэтому мы будем условно говорить о
степени адекватности модели, понимая под этой степенью как бы долю
истинности модели относительно выбранной характеристики
изучаемого объекта, нечто вроде коэффициента взаимосвязи модели и
исходного объекта по этой характеристике. Это типично размытая
величина, и хотя естественно считать, что степень адекватности
должна принимать числовые значения от 0 (полная неадекватность,
т. е. отсутствие связи между моделью и моделируемым объектом)
до 1 (полная адекватность), но предложить регулярный способ
приписывания таких значений в общем случае вряд ли возможно.
(Сравните аналогичные затруднения в п. 3.1 при рассмотрении
степени достоверности.)
Еще раз подчеркнем, что адекватность модели следует ассмат-
ривать только по определенным признакам, характеристикам,
принятым в данном исследовании за основные. (Как сказал поэт
Велимир Хлебников, «если мы хотим построить роту по росту в одну
шеренгу, нам совершенно неинтересно, из какой губернии родом
каждый солдат» — цит. по [189, с. 34].) Если эти характеристики
явно не указаны, то они должны подразумеваться; впрочем, как
всегда в прикладном исследовании, они могут уточняться по ходу
исследования. Не существует «универсальной адекватности», ибо
такая адекватность означала бы тождество модели и моделируемого
объекта.
В качестве характерного примера рассмотрим задачу о распространении
тепла в однородном изотропном твердом теле. Стандартные рассуждения»
основанные на феноменологическом законе Фурье (плотность теплового
потока пропорциональна градиенту температуры), приводят к известному
уравнению теплопроводности
4£-=flV»«. (15)
в котором Ф — температура, t — время, а — коэффициент
температуропроводности. Это уравнение хорошо описывает реальную эволюцию темпе»
ратуры, т. е. является в этом смысле адекватным в количественном
отношении. Кроме того, из него вытекает ряд следствий качественного характера,
также правильно описывающих реальный процесс: сохранение количества
тепла и выравнивание температуры при t ->• со для теплоизолированного
тела, асимптотическое достижение температуры окружающей среды в случае
лучеиспускания, невозможность концентрации и осцилляции температуры
и т. д. Таким образом, относительно этих утверждений (которые можно
принять за «характеристики» изучаемого процесса) уравнение теплопроводности
является адекватным в качественном отношении.
С другой стороны, известно, что из уравнения (15) вытекает физически
абсурдный вывод о бесконечной скорости распространения тепла. Таким
образом, если в качестве существенной характеристики процесса
рассматривать скорость v распространения тепла (потребность в этом возникает
довольно редко), то уравнение (15) как модель реального процесса
оказывается неадекватным не только в количественном, но и в качественном
отношениях. Чтобы получить модель, адекватную и по данной характеристике,
надо уточнить закон Фурье и учесть инерционность молекул, которая в
этом случае оказывается решающей. Это приводит к более полному


138
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
уравнению
"TF+3—■» ("<г-т). <"»
где Т и L — характерные время и длина в рассматриваемом процессе.
Отсюда получаем скорость распространения тепла
которая, как и должно быть, оказывается конечной. Для вопросов,
указанных в предыдущем абзаце, описываемая здесь поправка несущественна, и
поэтому при их изучении привлечение взамен (15) более сложного уравнения
(16) не оправдано.
Другим простым примером может служить так называемая система с
*/2 степеней свободы (см., например, [253, § 221). Именно, рассмотрим
частицу пренебрежимо малой массы т—О, движущуюся вдоль оси х под
действием силы упругости — сх и вязкого сопротивления —kx. Если задано
состояние частицы при /=0, то для нахождения закона движения, казалось
бы, надо решить дифференциальное уравнение
kx+cx = 0 (17)
(член шх отброшен, так как т~0) при начальных условиях
*(0) = *в. i(0) = ie. (18)
Однако эти соотношения представляются внутренне противоречивыми,
так как произвольно задаваемые значения (18) могут не удовлетворить
уравнению (17). Объяснение этого кажущегося противоречия состоит в том, что
на первом (релаксационном) этапе движения, продолжительность которого
имеет порядок m/fc, член тх вовсе не мал и «дельта-слагаемое» в х
обеспечивает быстрый переход х от х0 До значения — cxjk9 удовлетворяющего
соотношению (17); после этого закон движения получается из
дифференциального уравнения (17) при единственном начальном условии x(Q)=Xq. Таким
образом, применение уравнения (17) в качестве математической модели
для описания движения на первом этапе неадекватно; на этом этапе членом
тх пренебрегать нельзя.
Забвение того, что всякая адекватность лишь относительна и
имеет свои рамки применимости, может привести (и не раз приводило)
к попыткам навязать реальному объекту свойства его модели —
например, к всерьез высказываемому утверждению, что скорость
распространения тепла «на самом деле» бесконечна.
Еще одним примером могут служить малые свободные
колебания реальной автономной системы с малым трением. Если при
математическом анализе колебаний заменить эту систему на линейную
консервативную (без трения) модель, то такая упрощенная модель
может иметь высокую степень адекватности по частотам и формам
колебаний, но будет, очевидно, совершенно неадекватной по
затуханию колебаний.
К сожалению, в более сложных случаях неадекватность модели
бывает не столь ясной, а применение неадекватной модели может
привести к тому, что мы не уловим или чрезмерно исказим то, что
на самом деле есть и нам нужно, но зато будем изучать то, что нам


§4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
139
не нужно (и даже то, чего на самом деле нет!) *). Как правило, в
таких случаях (а также, если рассматривается адекватность модели
реальному объекту) проверка адекватности не может
осуществляться на чисто дедуктивном уровне. Более того, понятие адекватности
может показаться логически порочным, так как для полной
уверенности в правильном описании свойств объекта мы должны знать
эти свойства из какого-то дополнительного источника информации;
но если эти свойства известны, то надобность в модели может
отпасть. Положение усугубляется тем, что характеристики,
относительно которых рассматривается адекватность, далеко не всегда
могут быть отчетливо перечислены, а критерии, по которым
устанавливается согласование модели с моделируемым объектом, зачастую
определены неоднозначно и нечетко. Но дело, разумеется, в том, что
адекватность модели является типично рациональным понятием
(§ 3), и поэтому повышение ее степени — с помощью уточнения в
процессе исследования, контроля на частных примерах, аналогий,
проверки следствий и т. п. — также осуществляется на рациональном
уровне. В частности, при этом выясняется, приводят ли принятые
упрощения лишь к допустимой потере точности или к качественному
отличию модели от моделируемого объекта. Проверка адекватности
модели может служить также рациональным обоснованием
законности применения гипотез, принятых при выводе, к
рассматриваемому кругу вопросов. Мы не будем здесь заниматься обсуждением
важного и мало разработанного вопроса об общих методах проверки
адекватности модели; отметим только, что связанная с ним (но
обычно трактуемая значительно более узко) проблема проверки гипотез
является предметом детального обсуждения в математической
статистике.
Адекватная модель обычно обладает той или иной побочной
адекватностью, другими словами, она дает правильное качественное и
количественное описание не только характеристик, для которых
она была построена, но также и ряда других, независимых
характеристик, потребность изучения которых может возникнуть в
дальнейшем. (Конечно, это свойство не повышает степени адекватности,
так как она относится только к характеристикам, для которых
модель была задумана. Побочная адекватность — это своего рода
нереализованная, потенциальная адекватность; ею может обладать и
модель с невысокой степенью адекватности.) Чем выше эта побочная
адекватность, тем шире область приложимости моделиг и потому
обычно тем модель оказывается «долговечнее». Побочная
адекватность модели повышается с усилением в ней роли хорошо
проверенных физических законов (таких, как закон сохранения энергии),
утверждений геометрии, апробированных в изучаемой области спо-
*) Нечто в этом роде произошло в так называемой теории катастроф —
дисциплине, вообще говоря, полезной для приложений, но порой
применяемой для получения широковещательных выводов из малоадекватных
моделей.


140
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
собов приложения математического анализа и т. п. Иными словами,
она тем выше, чем эта модель «правильней», глубже отражает
реальную картину, хотя уточнить даже на рациональном уровне,
что означает эта «правильность», не просто *). Возможно, что по
этой причине структурные модели, о которых мы говорили в п. 4.2,
обладают, как правило, более высокой побочной адекватностью, чем
функциональные (хотя последние обычно бывают проще первых) **);
более того, по отношению к чисто функциональным моделям
вопрос о «других свойствах» чаще всего оказывается вообще
лишенным смысла. (См. также [148, п. VI.3].)
Искусственные допущения, привлекаемые порой для
согласования следствий из той или иной модели с заранее известными
свойствами реального объекта, могут сделать эту модель адекватной по
этим свойствам, но совершенно ненадежной относительно других
важных свойств этого же объекта. Несмотря на это, прагматическая
роль подобных моделей может быть очень велика, тем более, что
модель, адекватная по некоторым характеристикам, одновременно
является адекватной и по другим характеристикам, которые можно
вывести в качестве следствий из первых. Хорошо известным
примером служит модель атома Бора, которая, будучи неадекватной
современным представлениям о внутриатомной структуре, с успехом
применяется во многих разделах физики и химии. В качестве
другого примера упомянем о гипотезе Кирхгофа — Лява (гипотезе
прямых нормалей) в технической теории пластин и оболочек. Как
показала экспериментальная проверка, сама эта гипотеза
выполняется с невысокой точностью. Однако точность важных для
инженерной практики следствий из нее (значения деформаций, усилий,
критических нагрузок и т. п.) является приемлемой. Таким образом,
модель, основанная на этой гипотезе, оказывается адекватной
относительно указанных свойств.
*) Поэтому особой привлекательностью обладают математические
модели, элементы которых имеют отчетливый физический смысл, адекватный
физическим закономерностям в изучаемом реальном объекте. Однако X. Розен*
брок и С. Стори пишут по этому поводу [279, с. 37—38|: «Ясно подчеркнув
необходимость тщательно учитывать физику проблемы при формулировании
метода решения, мы можем теперь сказать, что это не всегда приведет к
наиболее эффективным математическим методам решения. Например, существуют
более хорошие методы интегрирования, чем метод Эйлера. Некоторые из них,
такие, как методы Рунге —- Кутта, не являются следствием физической цепи
аргументов».
**) Аналог побочной адекватности возникает также, когда какое-либо
утверждение, положенное в основу при построении модели, оказывается
справедливым в более широких условиях, чем оно было первоначально
обосновано. Примером может служить так называемая центральная предельная
теорема теории вероятностей, доказанная Лапласом для суммы независимых
одинаково распределенных величин, принимающих значения 0 и 1, но
справедливая, как было установлено позже, и для зависимых различно
распределенных величин, принимающих любые значения, если эта зависимость не
слишком сильная, а среди слагаемых нет небольшого числа превалирующих
по порядку влияния на дисперсию суммы.


§ 4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
141
Отметим, что высказанные соображения по поводу адекватности
относятся не только к математическим моделям, но вообще к
любому моделированию, например физическому. Умозрительные
физические модели во многих случаях обладают побочной адекватностью
уже потому, что фундаментальные физические законы в них
выполняются по необходимости. Высокий уровень и важные следствия
этой адекватности дали основание П. А. Дираку [225, с. 411
утверждать, что один из самых продуктивных методов работы
физика-теоретика состоит в чисто абстрактном развитии математического
формализма квантово-механических закономерностей с попытками
физического осмысления полученных результатов. (См. также [170].)
Мы уже упоминали в п. 4.2, что обычно в процессе исследования
создаются цепочки, в которых каждое последующее звено
моделирует предыдущее. Даже если исследователь следит за одной и той же
характеристикой, степень адекватности по ней при таких переходах
последовательно понижается; в результате, в конце цепочки может
получиться модель, далекая от исходного объекта.
Важной предпосылкой успеха прикладного исследования
является соблюдение при последовательном моделировании итоговой
адекватности по тем характеристикам, изучение которых является
целью исследования.
4. Влияние неучитываемых факторов. Формулируя
математическую модель, мы всегда пренебрегаем рядом факторов, которые
считаем несущественными, и идеализируем характер других
(например, полагаем те или иные зависимости линейными, строго
периодическими и т. п.). Между этими двумя типами упрощений нет
принципиальной разницы, так что будем для краткости говорить
просто о влиянии неучитываемых факторов. Это влияние, конечно,
и является причиной неадекватности модели реальному объекту.
Любое математическое понятие, любое математическое
утверждение отображают не только саму действительность, но и наше
представление о ней лишь неполно, приближенно *). Пусть, например,
изучают характер возбуждения некоторой реальной колебательной
системы. Тогда утверждение У: «гармоническое воздействие на
линейную систему с диссипацией порождает после переходного
процесса гармонические колебания» реально означает Ур:
«практически гармоническое воздействие на практически линейную систему
и т. д.»; здесь слово «практически» означает, что допускаются
неучитываемые «отклонения от номинала», характер и масштаб которых
свойственны рассматриваемому классу задач. Такое «размывание»
этого и других подобных утверждений делает их, а с ними и всю
математическую модель, устойчивыми относительно
неучитываемых факторов, о необходимости чего мы уже упоминали в п. 2.8.
При этом для адекватности модели нужно, прежде всего, чтобы ут-
*) Это, конечно, относится не только к математике, Вспомним
знаменитый Афоризм Ф. И. Тютчева: «Мысль изреченная есть ложь»,..


142
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
верждения типа Ур были для всего рассматриваемого класса задач
содержательными (например, чтобы время колебаний не было
слишком малым) и, кроме того, чтобы для рассматриваемой конкретной
задачи неучитываемые обстоятельства в самом деле были
малосущественными (возбуждение можно было признать практически
гармоническим и т. п.). В конечном счете это выясняется на основе
эксперимента, анализа следствий и аналогай.
Из сказанного следует, в частности, что вкбор адекватной модели
необходимо увязывать с характером и масштабом неучитываемых
факторов. Рассмотрим, например,
положение равновесия q=0 для системы
с одной степенью свободы и
потенциалом, показанным на рис. 7
сплошной линией. Тогда, если характерная
амплитуда энергии неучитываемых
внешних воздействий (толчков,
возмущений потенциала и т. п.) а<^Д(/,
то этими воздействиями можно
пренебречь и пользоваться при
моделировании заданной зависимостью U(q);
Рис* 7 при этом Д£/ служит запасом
устойчивости системы в состоянии <7—0.
Если же а имеет порядок Д£/, то при моделировании зависимость
U (q) надо заменить примерно так, как показано на рис. 7
штриховой линией, т. е. при <7=0 трактовать систему как находящуюся
в состоянии неустойчивого равновесия.
Таким образом, неучитываемые факторы могут не только
количественно, но и качественно влиять на свойства математической
модели. Это относится, в частности, к проблемам устойчивости.
В. И. Феодосьев [324, с. 118 и далее] специально останавливается
на вопросе о правильной схематизации, исходя из следующего
рационального определения устойчивости применительно к задачам
сопротивления материалов: «Под устойчивостью понимается
свойство конструкции сохранять свое состояние при реально
существующих внешних воздействиях» (выделено нами.—
Авт.). Вот его яркий пример по этому поводу: сооружение из трех
поставленных друг на друга табуреток можно считать устойчивым,
если сверху ставится модель в классе для рисования, но должно
рассматриваться как неустойчивое, если при его помощи собираются
сменить в люстре перегоревшую лампочку.
Если в рассматриваемую задачу входят параметры, то из-за
размытости утверждений типа Ур в пространстве параметров
появляется «зона неопределенности», также размытая, в которой нельзя
однозначно охарактеризовать качественные свойства модели. Пусть,
например, в условиях рис. 7 потенциал имеет вид U=aq2—bq*+u0
(а>0, b>0). Тогда AU=a2/(Щ. Значит, если принять условно за
признак устойчивости (неустойчивости) неравенство а<0,1Д(/


§4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
143
(соответственно а>Д£/), то в плоскости параметров а, Ь
наряду с областью устойчивости а > 6 Vba и областью неустойчивости
а < 2Vba появляется зона неопределенности 2Vba < а < бК&а;
границы этой зоны размыты из-за произвола в выборе
количественных критериев устойчивости и неустойчивости. С ростом а область
устойчивости сокращается, как это и следовало ожидать.
Устойчивость адекватных моделей относительно неучитываемых
факторов является отражением уст'ойчивости всех реально
наблюдаемых свойств. Поясним этот общий тезис на примере. Пусть рас-
£
w/Щшж
Рис. 8 Рис. 9
сматривается состояние равновесия усеченного конуса, осевое
сечение которого показано на рис. 8. В грубом приближении можно
считать конус неусеченным, т. е. это положение является
«неустойчивым в грубом». Но с формальной точки зрения срезание с
вершины как угодно малой площадки приводит к тому, что положение
становится устойчивым. Таким образом, получается, что как угодно
малая поправка может качественно изменить ситуацию, что
противоречит здравому смыслу. В чем же дело?
Это недоразумение разъясняется на рациональном уровне. Дело
в том, что при заданном масштабе возмущений адекватной,
правильной моделью усеченного конуса с достаточно малой нижней
площадкой служит неусеченный конус, стоящий на своей вершине;
так как это положение неустойчиво, то можно сказать, что реально
неустойчив и конус с малой площадкой. И лишь если срез
достаточно велик, схематизация в виде усеченного конуса окажется
адекватной, а рассматриваемое положение конуса следует считать
устойчивым (хотя, быть может, с малым запасом устойчивости).
Соответствующая картина в фазовой плоскости угла отклонения оси конуса
от вертикали показана на рис. 9: ясно, что если внутренняя «петля»
становится исчезающе малой, то начало координат естественно
трактовать как неустойчивую седловую точку. Конечно,
бессмысленно требовать указания точной грани, начиная с которой срез


144
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
надо учитывать *): наряду с интервалами, для которых срез надо
безусловно учитывать и безусловно не учитывать, имеется
промежуточный «интервал неопределенности»; указание его неоднозначно.
Впрочем, и здесь ситуация становится более определенной, если
известен масштаб возможных возмущений.
Аналогичный случай формальной неустойчивости показан на
рис. 10, а соответствующая картина в фазовой плоскости —- на
Рис. 10
Рис. и
рис. 11, которые мы представляем читателю разобрать
самостоятельно. Дедуктивным аналогом проведенных рациональных
рассуждений является теория опасных и безопасных участков границы
зоны устойчивости в пространстве параметров.
Разобранная ситуация в какой-то мере типична. Если некоторое
реально наблюдаемое свойство С (в примере рис. 8 —
неустойчивость) формально поддается устранению с помощью как угодно
малого изменения изучаемого объекта, то такого устранения на
самом деле не происходит, оно фиктивно **); кроме того появляется
некоторая «зона неопределенности», в которой нельзя однозначно
сказать, выполняется свойство С или нет.
5. Требования простоты и оптимальности. Если ориентироваться
только на требование адекватности, то сложные модели
предпочтительнее простых. В самом деле, применяя сложную модель, можно
учесть большее число факторов, которые могут так или иначе
повлиять на изучаемые характеристики. Например, при составлении
системы уравнений, описывающих исследуемый объект, с точки
зрения адекватности выгоднее привлечь как можно больше параметров,
характеризующих этот объект; но это может привести к громоздким,
порой необозримым системам уравнений, не поддающимся
изучению ***).
*) Это все та же известная «проблема кучи», в которой требуется
указать число зерен, йачиная с которого они составляют кучу. Аналогичный
характер имеет «проблема лысины» и т. д.
**) Или то, что мы считаем свойством, т. е. каким-то стабильным
качественным признаком объекта, на самом деле таковым не является.
***) Как пишут Р. Акоф и М. Сасиени [3, с. 821, «...как правило, степень
понимания явления обратно пропорциональна числу переменных,
фигурирующих в его описании». К тому же, как замечает У. Прагер [266, с. 91,


§ 4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
145
Доступно

Недоступно
Неудов- Лрием/гемо От/н/чно А
летборительно
Рис. 12
Таким образом, мы приходим к требованию достаточной
простоты модели по отношению к выбранной системе ее характеристик,
до некоторой степени противоположному требованию адекватности.
Модель является достаточно простой, если современные средства
исследования (физические,
математические, в частности
вычислительные) дают возможность
провести экономно по затратам труда,
но с разумной точностью,
качественный или количественный (в
зависимости от постановки задачи)
анализ выбранных характеристик-
свойств и осмыслить результат. (По
этому поводу напомним слова
Н. Е. Жуковского: «Искусство ме«
ханика — составлять
интегрируемые уравнения». В расширенном смысле это справедливо и сейчас.)
Ясно, что «в среднем», чем модель более адекватна, тем она менее
проста, т. е. тем труднее ее анализ. Конечно, это только общая
тенденция, так как усложнение модели может и ухудшить адекватность:
так бывает, например, если при выписывании добавочных уравнений
привлекаются параметры, известные с низкой точностью, или когда
сами эти уравнения сомнительные. Последнее особенно характерно
для математических моделей биологических, социальных и т. п.
явлений.
Связь между свойствами адекватности и простоты моделей можно
обсуждать с помощью диаграммы (рис. 12), допустив, что степени
этих качеств оцениваются числами А и П, принимающими значения
от нуля до единицы. Разметка оси простоты существенно зависит
от привлекаемых возможностей средств исследования — например,
то, что сложно для ручного счета, может оказаться совсем простым,
если применять ЭВМ. Вместе с читателем мы, конечно, понимаем
сугубую условность такой диаграммы, как и любой диаграммы,
связывающей размытые величины, но все же ей нельзя отказать в
особой наглядности и вряд ли ее можно признать совсем бесполезной.
Свойства адекватности и простоты некоторой модели данного
объекта определяются парой чисел А, П, т. е. изображающей точкой
на диаграмме. Кривая (L) на рис. 12 ограничивает сверху справа
«область существования» всех мыслимых для этого объекта моделей,
причем практически представляют интерес лишь точки,
расположенные в пределах заштрихованного криволинейного треугольника:
точки, находящиеся левее этого треугольника, относятся к моде-
введение в модель слишком большого числа факторов (а ЭВМ порой могут
дать такую возможность) может «создать ложное согласие между
результатами моделирования и эксперимента, которое будет ошибочно
интерпретировано как подтверждение истинности модели до тех пор, пока ее
использование в несколько измененных условиях не обнаружит ее неадекватность».


146
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
лям, которые неудовлетворительны из-за своей малой
адекватности *), а находящиеся ниже его — к моделям, недоступным для
исследования (на данном уровне возможностей).
Например, возможна модель Мх — она поддается анализу и
обеспечивает приемлемую адекватность. Однако при той же простоте
возможна более адекватная модель М2, а при той же адекватности —
более простая модель М3. Поэтому точки, расположенные на кривой
(L), имеют определенные преимущества перед остальными точками
типа Mi, и оптимальную модель (или оптимальные модели) нужно
разыскивать именно на этой Парето-оптимальной 37 кривой.
Конечно, для оптимизации модели следовало бы сначала сформировать
единую целевую функцию и искать «наилучший из компромиссов»
между адекватностью и простотой; однако эта целевая функция,
как правило, весьма размыта, так что об оптимизации модели часто
приходится говорить только на уровне интуиции **).
Хотя правилом является понижение адекватности модели при
ее упрощении, замечательно, что имеются примеры, когда при
упрощении модели ее адекватность повышается. Естественно, что такие
примеры представляют специальный интерес.
Приведем один из таких примеров. Пусть рассматривается
гармоническое возбуждение линейной автономной колебательной
системы с одной степенью свободы и с малым трением. Пренебрегая
трением и переходя к комплексным величинам, запишем уравнение
колебаний в виде
тх + сх = Р0еш. (19)
Общее решение этого уравнения при <о Ф о>0 = У с/т имеет вид
где Си С2 — постоянные, определяемые начальными данными. Тем
не менее обычно (иногда без мотивировок) обсуждается только часть
этого решения, именно
х = ^° еш
11 с—тсо2
Почему? Оказывается, что здесь дело не в искусственном
упрощении модели закона колебаний, которая имела вид формулы (20).
*) В связи с применениями математики к биологии и медицине Н. Бейли
пишет [30, с. 83J: «...что еще хуже, математики могут с энтузиазмом
приняться за глубокую теоретическую разработку моделей, неадекватность которых
известна заранее, только потому, что это не представляет труда (во всяком
случае для них)... Биологи и врачи совершенно справедливо с подозрением
относятся к любой работе (в их областях.— Авт.)\ которая представляет
собой лишь клубок математических абстракций». Добавим, что разработка
заведомо неадекватных моделей является уделом отнюдь не только одних
математиков; читатель легко найдет примеры такой деятельности среди
представителей других специальностей.
**) По поводу необходимости компромисса между простотой и
адекватностью см. также [136, 281, 527].


$4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
147
Суть в том, что в реальном осцилляторе всегда имеется трение, и
поэтому более точным по сравнению с (19) уравнением колебаний было
бы следующее:
тх + kx + сх = Р0еш, (21)
причем о параметре k обычно известно только то, что он мал по
сравнению с Vст. Общее решение уравнения (21) имеет вид
((ох = Vc/m — kVAm2).
Здесь с ростом t второе слагаемое экспоненциально затухает, т. е.
по прошествии переходного периода это более точное решение
оказывается близким не к xi (t), а к хп (t)\ Но так как обычно (например,
при расчетах деталей машин на выносливость) представляет интерес
движение, установившееся после относительно непродолжительного
переходного периода, то получается, что решение хи (t) правильнее
описывает картину, чем, казалось бы, более полное решение Xi(t).
Отбрасывая последние слагаемые в (20), мы в сущности
уточняем решение, косвенно (хотя и неполно) учитывая роль трения.
Если строится цепочка моделей, в которой каждое последующее
звено является моделью предыдущего, то простота и адекватность
цепочки в целом (их можно трактовать как простоту и адекватность
последнего звена цепочки по отношению к исходному объекту)
связаны с аналогичными характеристиками составляющих ее моделей,
причем эта связь имеет примерно следующий характер. Допустим,
что цепочка состоит из двух звеньев, причем первое звено — модель
изучаемого объекта — имеет степень адекватности Ai и степень
простоты Пь а второе звено — модель этой модели — степень
адекватности А2 и степень простоты П2. Тогда если рассматривать
степень адекватности как «долю истины» (п. 4.2), а степень простоты
как «меру возможности реализации исследования», то естественно
принять, что степень адекватности А и степень простоты П всей
цепочки определяются соотношениями A=AiA2, П^ПхГЬ. Они дают,
в частности, возможность представить себе границу П(А) области
моделей цепочки, если имеется представление о граничных линиях
ГМАО иП2(А2).
Продумывание адекватности и простоты цепочки моделей очень
существенно, в частности, если имеется несколько
конкурирующих цепочек и необходимо сделать выбор пути исследования. При
этом порой обращают внимание на адекватность или простоту лишь
одного звена, а не всей цепочки в целом. Например, отдают
предпочтение усложненной физической модели Фг реального объекта Р
на том основании, что она обладает более высокой адекватностью.
Однако при этом не всегда учитывают, что соответствующая
математическая модель Mi — скажем, соответствующая система
уравнений — может оказаться столь сложной, что для проведения даль-


148
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
1-я цепочка
2-я цепочка
неишего исследования ее придется значительно упростить, т. е.
перейти от Mi к ее модели Mi. При таком переходе может быть
существенно потеряна адекватность, как это показано схематически
на рис. 13.
Поэтому более эффективным может оказаться следующий путь:
с самого начала совершить более смелый шаг, выбрав простую
физическую модель Ф2, быть может, менее адекватную, чем Фи но
все же достаточно удовлетворительную и притом такую, чтобы ее
математическая запись М2 не требовала дополнительного
упрощения. Тогда вторая цепочка моделей может в целом оказаться
более адекватной исходному объекту Р, чем первая, и, к тому же не
менее простой. Отметим, что существенное упрощение на физическом
уровне, проведенное во второй цепочке моделей, может — особенно
в руках опытного
исследователя — привести к меньшей потере
адекватности, чем упрощение на
математическом уровне,
проведенное в первой цепочке, так как при
разумном физическом упрощении
остаются выполненными наиболее
существенные для конкретных
целей исследования физические
соотношения.
Конечно, мы перечислили
далеко не все требования, которые
могут предъявляться к моделям. Например, весьма желательным
с психологической точки зрения, но еще менее поддающимся
формализации является свойство наглядности модели. Хотя в ряде случаев
мы с легкостью пользуемся выражениями «модель наглядна» или
«модель не наглядна», но не просто объяснить, что под этим
подразумевается. В некоторой мере здесь имеются в виду и достаточная
выявленность интересующих нас характеристик модели и их в
каком-то смысле непосредственная, легко осознаваемая близость
свойствам исходного объекта, позволяющая применять к
математическим соотношениям физические соображения и физическую
интуицию. Впрочем, степень наглядности модели не есть нечто
абсолютное. Модель, которая одному специалисту представляется вполне
наглядной, может решительно ничего не говорить другому. Так,
приведя слова Кельвина: «Я могу сказать, что я понял явление,
если я могу составить для него механическую модель», Л. И.
Мандельштам писал [197, с. 611: «Многие современные физики сказали бы
обратное: «Я понимаю механическое явление, если я создал для него
электрическую модель». Словом, наглядность определяется не только
самой моделью, но и опытом, навыками и даже психологией того,
кто с этой моделью имеет дело.
Важной является также степень общности модели, т. ес
обширность области ее применения, и т. д.
Рис. 13


4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
149
6. Феноменологические и полуэмпирические законы. При
построении математической модели — для определенности будем
говорить о составлении системы уравнений, описывающих
изучаемый объект,— приходится использовать разнообразные
соотношения, связывающие интересующие исследователя величины.
Некоторые из этих соотношений выводятся в самом процессе построения
модели, но часть из них по необходимости принимается в данном
исследовании без вывода. Эти последние соотношения служат
постулатами модели, и от их «качества», т. е. их адекватности,
существенно зависит адекватность всей модели. Такие постулаты могут иметь
различное происхождение.
Некоторые постулаты непосредственно вытекают из
универсальных физических законов, таких, как закон сохранения энергии,
второй закон Ньютона и т. п. Аналогичную роль играют физические
законы с ограниченной областью действия, для которых заведомая
возможность применения в изучаемой задаче вытекает из
универсальных законов, например, если идет речь о применении закона
сохранения вещества в задачах инженерной механики. Полная
адекватность таких постулатов не должна вызывать сомнений.
Необходимо, конечно, всегда помнить об условиях
справедливости соответствующих законов: их расширенное толкование всегда
связано с определенным риском, т. е. снижением ожидаемой
адекватности модели; оно может привести (и неоднократно
приводило) к существенным ошибкам (см. также с. 273).
Однако универсальных и родственных им законов в
подавляющем большинстве исследований заведомо недостаточно, и для
«замыкания» математической модели приходится также пользоваться
законами, имеющими иной характер. Широко применяются, в
частности, феноменологические законы — такие, как закон Гука или
упомянутый в п. 4.2 закон Фурье,— т. е. достаточно хорошо
эмпирически обоснованные законы с ограниченной областью действия,
также установленной эмпирически. Такие законы могут лежать в
основании далеко разработанных феноменологических теорий, как,
например, обобщенный закон Гука лежит в основании теории
упругости. При использовании феноменологического закона для
построения математической модели одними из центральных являются
вопросы о самой возможности этого применения (т. е. о попадании
изучаемого объекта в сферу действия закона) и о последствиях
возможных отклонений от этого закона. Иногда вместо этого указание
о применимости феноменологического закона включается в
наименование модели («упругая модель», «пластическая модель»). Этим
автор исследования ответственность за возможную потерю
адекватности как бы снимает с себя и перекладывает на тех, кто примет
решение о выборе модели.
Конечно, понятие феноменологичности не имеет абсолютного ха-
рактера. В сущности, всякая теория феноменологична, так как аб-


150
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
солютное проникновение в природу вещей невозможно в принципе.
Говоря, что модель или теория феноменологичны, мы, в сущности,
имеем в виду либо наличие, либо реальную возможность
построения модели или теории на более глубоком уровне физического
описания. Без этого подтекста прилагательное «феноменологический»
лишено смысла.
Еще менее универсальный характер имеют полуэмпирические
соотношения, вроде данного Ньютоном в теории удара
дополнительного соотношения, содержащего коэффициент восстановления
скорости. Такие соотношения обычно получаются в результате
сочетания соображений размерности и обработки результатов
эксперимента (см., например, вторую формулу для подъемной силы в п. 3.2в)
или иной статистики, либо выводятся из других соотношений
такого же характера *). Область применимости такого соотношения, как
правило, ограничена более или менее узкими рамками условий, при
которых оно было получено (например, она может существенно
зависеть от геометрических форм), и возможность его применения за
этими рамками сопряжена с известным риском. Конечно, в
некоторых случаях, и не так уже редко, приходится за неимением лучшего
идти на такую экстраполяцию, однако она, как всякая
экстраполяция, может оказаться реальным источником ошибок.
Возможностью применения тех или иных феноменологических
или полуэмпирических соотношений не ограничиваются допущения,
применяемые при построении модели. Мы не будем здесь пытаться
классифицировать такие допущения. К допущениям
непосредственно примыкают также рабочие гипотезы, относящиеся к
характеристикам, которые намечено изучать; о таких гипотезах мы говорили
в п. 3.26.
Упомянем еще кратко о чисто эмпирических соотношениях.
Чаще всего они не опираются на рациональные (а тем более, на
дедуктивные) рассуждения относительно природы исследуемого
явления, а представляют собой непосредственный результат «слепой»
обработки экспериментальных данных. Узнать чисто эмпирические
зависимости (например, в справочнике по деталям машин) обычно
нетрудно: для таких зависимостей типичны совершенно «дикие»
(мы не смогли подобрать лучшее слово) значения коэффициентов и
показателей степени, вроде
y = 4,l2xl>12x°2'V2
(у — функция; хи jc2, jc3 — аргументы, зачастую привязанные к
какой-либо системе единиц). Не отрицая известной практической
пользы, которую могут приносить подобные чисто эмпирические
законы, нужно признать, что сам факт их существования свидетель-
*) А. М. Обухов пишет [248], что полуэмпирические гипотезы — это
«связи между физическими характеристиками явления, которые
устанавливаются из качественных соображений, ио не могут быть строго доказаны,
а должны проверяться на опыте».


§4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
151
ствуето недостаточной разработанности соответствующей проблемы,
вынуждающей использовать модели типа «черного ящика» (см.
п. 4.2) *).
7. Определяющие параметры и число степеней свободы. Одним
из важнейших вопросов при построении модели является вопрос
о выборе системы независимых величин (постоянных или
переменных; скалярных, векторных, тензорных 38 и т. п.), достаточно полно
характеризующих состояние моделируемого объекта или
протекание изучаемого процесса. Такие величины (в широком смысле слова)
часто называют определяющими параметрами. Удачный (неудачный)
выбор определяющих параметров можзт предопределить успех
(неуспех) исследования.
Набор определяющих параметров можно расширять за счет
введения качественно новых величин. Так, для повышения
адекватности описания поведения ряда материалов при определенных
условиях приходится наряду с чисто механическими величинами вводить
в рассмотрение величины, характеризующие тепловые,
электромагнитные или химические свойства и явления. При этом неучет
какой-нибудь из существенных величин такого рода —
пренебрежение важным «скрытым» параметром — может привести (и часто
приводит!) либо к потере адекватности модели, либо, в лучшем
случае, к ее неоправданному усложнению. В других случаях
удовлетворительная адекватность модели обеспечивается выбором
достаточно большого числа однотипных параметров, характеризующих
процесс — обобщенных координат, коэффициентов в разложениях,
координатных функций и т. п.
Л. И. Седов пишет [288, с. 57—58]: «Понятие об определяющих
параметрах и об их числе в общем случае является
непосредственным обобщением понятия о степенях свободы и о независимых
координатах для механических систем в аналитической механике и
классической термодинамике». Таким образом, термин «число степеней
свободы» можно толковать в широком смысле, понимая под ним общее
число определяющих параметров. Ниже, однако, говоря о числе
степеней свободы, мы будем для простоты иметь в виду число
привлекаемых к рассмотрению однородных определяющих скалярных
параметров.
Число определяющих параметров модели может быть как
конечным, так и бесконечным. В подавляющем большинстве реальных
задач предположение о практически конечном (т. е. не слишком
большом, см. п. 2.4) числе степеней свободы представляет собой
идеализацию, и потому в принципе, чем больше степеней свободы
*) [203, с. 12]: «Как сказал однажды один инженер, «всякое уравнение
длиной более двух дюймов (?«5,08 см.— Авт.) скорее всего неверно».
Отметим попутно шутливое, но не бессмысленное понятие «ценность теории» —
~(klri)—1, введенное А. И. Китайгородским [150); здесь к — число
независимых величин, которые теория может предсказать, ад — число
подгоночных параметров.


152
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
в модели, тем с большей точностью можно описать исходный объект.
Однако при слишком большом числе степеней свободы модель
может оказаться столь сложной и не наглядной, что проанализировать
с ее помощью интересующие нас характеристики может оказаться
затруднительно («за деревьями можно не увидеть леса»).
Оптимальным может оказаться весьма небольшое число степеней свободы (во
многих задачах даже одна степень!), зависящее от изучаемых
характеристик объекта и от схемы модели. Уменьшение числа
степеней свободы в модели, не приводящее к заметной потере
адекватности, может потребовать большого искусства и оказаться весьма
существенным для возможности доведения исследования до конца *).
Так, Земля в небесной механике, как правило, принимается за
материальную точку (или абсолютно твердое тело), т. е. объект
с тремя (шестью) степенями свободы, а в геофизике — за упругое
или упруго-пластическое тело, т. е. объект с бесконечным числом
степеней свободы. Примером из области техники может служить
проблема колебаний корабля. Если возмущения являются
низкочастотными (например, рассматривается действие морского
волнения), то корабль с удовлетворительной точностью считают твердым
телом и приписывают ему шесть степеней свободы. Если же
рассматривается действие на корабль высокочастотных возмущений,
возникающих при работе силовой установки, то корабль принимают за
упругую систему и считают, что эта система имеет бесконечное
число степеней свободы. (В первом случае говорят о качке, а во
втором — о вибрации корабля.)
Еще один пример. Пусть рассматриваются продольные вынужденные
колебания вертикального стержня, один конец которого закреплен
неподвижно, а к другому приложена периодическая возмущающая сила. Пусть
сначала частоты гармонических составляющих внешнего воздействия (во
всяком случае, существенных для данного процесса) значительно ниже
основной частоты свободных колебаний этого стержня. Тогда адекватной
моделью может служить невесомая пружина, незакрепленный конец которой
может совершать только продольные колебания, т. е. эта модель квазиста-
тична и с формальной точки зрения имеет нуль степеней свободы. Если
верхняя граница частот внешнего воздействия простирается до величины порядка
указанной основной частоты, то модель, адекватную относительно всех
воздействий этого класса, можно представить в виде точечного груза, висящего
на невесомой пружине и совершающего вертикальные колебания, т. е. эта
модель имеет одну степень свободы. Если верхняя граница внешних частот
отодвигается далее, то адекватной моделью служит система из двух, трех
и т. д. грузов, связанных пружинами, т. е. система с двумя, тремя и т. д.
степенями свободы. В сущности, это соответствует выбору двух, трех и т. д.
координатных функций при использовании метода Галеркина. Наконец,
моделью, адекватной относительно произвольных внешних возмущений,
по поводу частот составляющих которых не делается никаких априорных
предположений, служит стержень с непрерывно распределенной массой,
т. е. система с бесконечным числом степеней свободы. Если, далее, кроме
*) Как справедливо замечает Л. И. Седов [288, с. 58}: «Основные успехи,
добытые в механике и физике, связаны с рассмотрением объектов, для
которых число задаваемых опытных и теоретических определяющих
характеристик конечно и вообще невелико».


§4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
153
продольных возмущений допускаются также и поперечные, то моделью
служит система из некоторого числа масс, связанных безынерционными балоч-
ками, испытывающими как растяжение — сжатие, так и изгиб (при этом
число степеней свободы по сравнению с предыдущей схемой утроится), или
же балка с непрерывно распределенной массой.
Отметим, что если мы в качестве модели пользуемся сплошной
средой, то это далеко не всегда означает переход к системе с
бесконечным числом существенных степеней свободы. Часто для
описания исследуемого процесса в этой среде требуется лишь небольшое
число координатных функций (типа галеркинских и т. п.), которые
и определяют существенное число степеней свободы. Это связано
с тем, что каждую функцию можно определять как ее значениями,
так и значениями ее коэффициентов разложения по тому или иному
базису.
Таким образом, в отличие от традиционного математического
представления число степеней свободы для реальной системы не
есть нечто абсолютное. Оно зависит от выбора модели, который
должен определяться, конечно, не вкусом исследователя, а самой
задачей исследования, т. е. типом возмущений, набором изучаемых
параметров, необходимой точностью результата и т. п. Если же эти
условия исследования выбраны, то в задаче имеется как бы
«истинное», «существенное» число степеней свободы — число, при котором
модель еще не утрачивает адекватности. (Впрочем, во многих
случаях не имеет смысла педантично устанавливать, равно ли это число,
скажем, трем или четырем, как в приведенном выше примере со
стержнем; переход от одного числа к другому является размытым.)
Иногда это число оказывается весьма небольшим, например равным
нулю или единице, тогда как в некоторых случаях это число
приходится существенно увеличить: так, для удовлетворительного
описания вынужденных колебаний коленчатого вала
четырехцилиндрового двигателя внутреннего сгорания приходится
пользоваться моделью, содержащей до 8 степеней свободы, а во внешнем
воздействии учитывать до 15—20 гармоник. Вопрос о разумном
ограничении числа степеней свободы является одним из центральных
при построении модели; он решается на рациональном уровне на
основе навыков, интуиции, эксперимента, проверки следствий и т. п.
Усложнение модели, получающееся при увеличении числа п
ее степеней свободы, может происходить по существенно
различным законам, о которых надо иметь в конкретных задачах хотя бы
ориентировочное представление, так как такое усложнение может
сделать решение задачи невозможным.
Пусть идетречь о математической модели, изучаемой с помощью
ЭВМ. Тогда довольно отчетливым критерием сложности модели по
отношению к той или иной задаче является число К арифметических
действий, необходимых для решения этой задачи *). Таким обра-
*) Так как среднее время, необходимое для выполнения различных
арифметических действий, различно, то надо было бы сводить все действия


154
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
зом, речь идет о зависимости К (п), и в последние годы появился ряд
работ, посвященных анализу этой зависимости и
усовершенствованиям алгоритмов решения различных задач на основе
проведенного анализа (см. [162}). Наиболее благоприятен случай степенной
зависимости К{п)~СпР с не слишком большими значениями
показателя р и коэффициента С. Так, если задача сводится к решению
системы из п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными,
то при применении известного метода Гаусса получится р=3, а
С — порядка десятков. Отсюда видно, что даже для п порядка сотен
реализация метода на ЭВМ средней мощности (сотни тысяч
операций в секунду) возможна.
Значительные осложнения могут получиться в случае
экспоненциальной зависимости К (n)~Cekn. Именно такая ситуация
возникает, например, при «слепом» поиске наибольшего значения
функции п аргументов в заданной области (п. 2.13), когда нет уверенности
в его единственности. Если при таком поиске диапазон изменения
каждой из координат подразделен на некоторое число N частей,
то общее число действий имеет порядок CNn=CeilnN) n. Так как
N не может быть слишком малым (обычно N берется порядка
десятков), то К(п) при увеличении п растет столь быстро, что решение
по выбранному методу становится недоступным для современных
ЭВМ и даже может стать принципиально невозможным: К(п)
может стать практической бесконечностью (см. п. 2.4).
В последние годы значительные усилия были направлены на
отыскание методов целенаправленного поиска наибольшего
значения, которые приводили бы к цели для не слишком малого л. Это
удалось сделать для отдельных важных классов задач (см. п. 2.13,
второй пример). Что касается универсальных методов, то любая их
модификация, полезная при небольших я, приводит к быстро
нарастающей экспоненциальной зависимости К (п); в связи с этим Р. Белл-
ман говорил о «проклятии размерности», от которого никакими
приемами не удается избавиться. (Некоторым преимуществом в этом
отношении обладает комбинация целенаправленного поиска со
случайным.)
В связи со сказанным здесь и в п. 2.14 заметим, что, вообще,
классификация задач в прикладной математике не должна слепо
следовать классификации, выработанной в чистой математике. С точки
зрения чистой математики утверждения о существовании
наибольшего значения непрерывной функции в замкнутой ограниченной
конечномерной области для всех функций, областей и размерностей
естественно объединяются. В отличие от этого, задачи о практиче-
с помощью определенных коэффициентов перехода к одному, например к
сложению. Но поскольку эти коэффициенты для различных типов ЭВМ
разные и, кроме того, они влияют только на коэффициент пропорциональности
в зависимости /С—/С (я), который обычно все равно не подсчитывается, то
чаще всего говорят просто о числе арифметических действий, хотя выполнить
10е сложений или 10 делении — это, конечно, совсем не одно и то же.


$4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
155
ском отыскании наибольшего значения функции одного или
большого числа переменных совершенно различны и, возможно,
должны принадлежать различным разделам прикладной математики *).
Возвращаясь к вопросу об увеличении числа степеней свободы,
укажем еще на принципиальное различие между задачами
эволюционного (отвечающего развитию системы во времени из заданного
начального состояния) и неэволюционного характера. Задачи
первого вида в математическом отношении сводятся к решению
начальной задачи Коши для системы из п обыкновенных
дифференциальных уравнений или интегро-дифференциальных уравнений типа
Вольтерра 39 и т. п., где п — число степеней свободы модели. Такая
модель описывается совокупностью п функций одной переменной —
времени, и число К (п) действий, необходимых для построения этой
совокупности, зависит от л степенным образом. Например, для
линейной системы общего вида без последействия К (п) ~ С -г- я2, где
С — некоторый коэффициент пропорциональности, зависящий от
избранного метода интегрирования, L — длина временного
интервала, на котором строится решение и который предполагается не
слишком большим, а Л — шаг интегрирования, зависящий от
выбранной степени точности. В отличие от этого задачи
неэволюционного характера часто сводятся к построению и исследованию одной
или нескольких функций л переменных. Число К (п) действий,
необходимых для этого, выражается через п по экспоненциальному
закону, т. е. здесь сказывается «проклятие размерности». Поэтому
объем вычислений в таких задачах гораздо более чувствителен к
увеличению числа степеней свободы, чем в эволюционных.
Специального внимания требует переход от системы с конечным
числом степеней свободы к сплошной среде и обратно (каждый из
этих двух объектов может служить моделью другого), так как такой
переход может качественно изменить картину. При переходе как
в ту, так и в другую сторону картина может упроститься: системы
с конечным числом степеней свободы обычно в целом проще по
структуре, более приспособлены к применению методов дискретной
математики, а в эволюционном случае приводят не к уравнениям с
частными производными, а к обыкновенным дифференциальным
уравнениям; с другой стороны, переход к непрерывной модели часто
приводит к «сглаживанию», а сами такие модели более приспособлены
к применению аналитических средств (например, асимптотических
разложений и специальных функций) и численных методов типа
Галеркина, в которых решение ищется в виде функции
непрерывного аргумента. Поэтому на практике в зависимости от типа задачи,
*) По поводу разбиения задач на классы с точки зрения оптимальных
вычислительных алгоритмов см. § III.7 книги Н. С. Бахвалова [281.
По-видимому, в ближайшие годы важную роль будет играть диалоговая система
оптимизации вычислительных алгоритмов; см. книгу Н. Н. Моисеева [222J.


156
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
от предполагаемых методов исследования и вычислительных
процедур применяются переходы в обе стороны.
Однако указанные в предыдущем абзаце переходы, хотя обычно
и не вызывают затруднений и недоразумений, иногда могут повлечь
за собой потерю адекватности по тем или иным характеристикам.
Приведем примеры этого.
Пусть прямолинейный упругий стержень моделируется дискретной
последовательностью материальных точек, соединенных между собой
безмассовыми пружинами. Если число этих точек принято достаточно большим, то
после внезапного приложения постоянной продольной силы F0 к крайней
левой материальной точке график усилий в пружинах модели через
некоторое время t будет примерно таким, как показано на рис. 14 сплошной
линией. Этот график аппроксимирует
штриховую «ступеньку», соответствующую
модели стержня с распределенными
параметрами (значение а равно скорости
распространения возмущений в
стержне). Как видно, формально при как
Fi
Ъ
\ v
at ' А
Г=«=9еквш_-
w
Рис. 14 Рис. 15
угодно малом /все усилия в дискретной модели оказываются отличными
от нуля, т. е. скорость распространения возмущений в этой модели формально
бесконечно велика. Таким образом, дискретная модель получилась
неадекватной по отношению к скорости распространения возмущений.
Адекватность может быть восстановлена, если предпринять необходимые
корректирующие меры, например пренебречь слишком малыми значениями усилий,
считая, что возмущение дошло до какой-то точки, если приложенное к ней
усилие составляет не слишком малую долю от F0.
В качестве другого примера неадекватного перехода рассмотрим задачу
о действии мгновенного импульса «S, приложенного к одному концу цепочки
из материальных точек, последовательно соединенных одна с другой
безынерционными пружинами (рис. 15). Ясно, что эта задача имеет смысл и
может быть решена с помощью системы дифференциальных уравнений
движения при учете соответствующих начальных условий. Однако допустим,
что для упрощения анализа решено заменить цепочку на прямолинейный
упругий стержень с непрерывно распределенной массой. В других случаях
подобный переход обычно делается без сомнений и приносит существенную
пользу, однако в данной задаче он приводит к противоречиям с
естественными представлениями: формальное решение обнаруживает бесконечно
большие скорости частиц и разрывы в смещениях частиц по длине стержня;
непрерывная модель в данной задаче явно непригодна. Дело здесь в том, что
непрерывная модель стержня не допускает задания внешней нагрузки в
виде силы, сосредоточенной как по координате х, так и по времени /, т. е.
определяемой произведением двух дельта-функций 6(х)6(/).
Для того чтобы можно было пользоваться моделью с распределенными
параметрами, необходимо отказаться от предположения о мгновенности
приложения внешней нагрузки или от предположения о сосредоточенном
характере ее приложения к стержню. В первом случае мы придем к задаче
о действии сосредоточенной в пространстве, но «растянутой» по времени
силы, а во втором — к задаче о действии внешнего мгновенного импульса,
распределенного на некотором участке длины стержня вблизи от торца;


§4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
157
обе эти постановки задач вполне корректны, и теперь при решении не
возникает никаких абсурдных или неприемлемых разультатов.
Нетрудно привести примеры неправильных качественных
выводов, получающихся при аппроксимации трансцендентного уравнения
алгебраическими, которая может отвечать неосторожному
конечномерному моделированию бесконечномерной системы. Рассмотрим
уравнение
е-*Р~ — $р (а>0, р>0), (22)
которое будем трактовать как характеристическое уравнение для
некоторой линейной автономной системы с бесконечным числом
степеней свободы, поскольку это уравнение имеет бесконечное число
корней. При 2аОф все они имеют отрицательную вещественную
часть, т. е. система устойчива. Однако если мы перейдем к
аппроксимации уравнения (22), воспользовавшись отрезком ряда Макло-
рена для экспоненты, т. е. к уравнению
1-ар+«Ё.-...+(-\Г1%Г- = -*р, (23)
/
то среди корней полученного уравнения при любом N^3 найдутся
корни с положительной вещественной частью. Это может привести
к неверному выводу о неустойчивости исходной системы. Причина
кажущегося противоречия состоит в том, что лишь часть корней
уравнения (23) аппроксимирует корни уравнения (22), тогда как
остальные, «паразитные», корни уравнения (23) никакого отношения
к корням уравнения (22) не имеют. С ростом N число
аппроксимируемых корней становится все больше и больше, но паразитные
корни остаются (они уходят при N -> оо в бесконечность, пропадая
лишь в пределе); паразитные корни и порождают неустойчивость
аппроксимирующей конечномерной системы.
Подобные паразитные корни могут появляться и в других
конечномерных аппроксимациях, например при вычислении собственных значений
линейного оператора по методу Галеркина. Эмпирически установлено правило
(кем, нам неизвестно), согласно которому для достаточно хорошей
аппроксимации первых k собственных значений следует воспользоваться
приближением 2&-го порядка, т. е. системой с 2k степенями свободы *). Более точно
вопрос о необходимом числе степеней свободы решается обычно на
рациональном уровне путем сравнения результатов вычислений для приближений
различных порядков.
Аналогичная ситуация может возникнуть и при физических
аппроксимациях. Так, в работе М. Д. Дольберга [118) подробно разобрана задача о
критических угловых скоростях вращающегося гибкого вала с
распределенной массой при учете гироскопического эффекта. Оказывается, что, хотя
система обладает бесконечно большим числом степеней свободы, здесь имеется
лишь конечное число критических скоростей. Для соответствующей /V-ди*
*) Укажем на аналогию этого положения с теоремой, известной в теории
интерполяции как теорема Уиттекера, а в теории информации — как теорема
Котельникова: для получения достаточной информации о непрерывном
сигнале частота его дискретных измерений должна быть, по крайней мере, вдвое
выше наибольшей частоты, содержащейся в спектре сигнала.


158
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
сковой аппроксимации имеется N таких скоростей, но при N •+ оо конечное
число их стремится к предельным значениям для сплошного вала, а
остальные стремятся к бесконечности. С математической точки зрения эта ситуация
подобна той, которая возникает при N-мерной аппроксимации
интегрального уравнения Вольтерра: аппроксимационное уравнение имеет N
собственных чисел 40, причем все они стремятся к бесконечности при N -*• оо, так что
предельное интегральное уравнение собственных чисел не имеет.
Потеря адекватности может произойти и при конечномерной
аппроксимации дифференциальных уравнений в процессе их
численного решения. Так, при аппроксимации уравнений, описывающих
эволюцию консервативной системы, если не принять
соответствующих мер предосторожности, может появиться фиктивная
положительная или отрицательная вязкость, которая совершенно исказит
качественную картину явления (см. также конец п. 5.7).
Выявлению числа степеней свободы родственно выявление
симметрии изучаемой модели, точнее — выявление группы
преобразований, относительно которой эта модель инвариантна. Наличие
такой группы позволяет, например, перейти от пространственной
задачи к плоской или осесимметричной, от произвольных
эволюционных систем к автономным и т. п. Это порой дает возможность
существенно упростить исследование, как аналитическое, так и
численное, в частности потому, что снижение пространственной
размерности задачи на единицу обычно сокращает объем вычислений на
два-три порядка. Отметим, что здесь мы имеем в виде полную
симметрию модели, т. е., например, если речь идет о
дифференциальных уравнениях, то инвариантность не только этих уравнений, но и
искомого решения; об ошибках, проистекающих из-за неучета
последнего обстоятельства, мы говорили в п. 3.26 в связи с выбором
рабочих гипотез.
Знание симметрии задачи в ряде случаев приводит к законам
сохранения и к другим полезным выводам; в частности, с этим
связана роль теории групп в физике.
8. Иерархия переменных. Существенное упрощение модели часто
может быть достигнуто также и после того, как выбраны
определяющие параметры, характеризующие изучаемый класс явлений, и
составлена связывающая эти параметры замкнутая система
математических соотношений. Дело в том, что значимость различных
определяющих параметров, а также их изменения во времени или в
пространстве для интересующей нас характеристики может быть
существенно различной. Правильный учет этих обстоятельств дает
возможность в ряде случаев, когда непосредственное изучение мате-
матичской модели является чрезмерно сложным, получить решение
задачи шагами, путем последовательного усложнения модели. При
этом в первом, наиболее грубом и зачастую наиболее ответственном
рассмотрении стараются принимать во внимание по возможности
меньшее число величин, наиболее существенных для предпринятого
исследования; зависимости между этими величинами также
принимаются по возможности более простыми. Эти величины и эти зави-


$ 4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
159
симости естественно называть основными; впрочем, во многих
задачах основные величины и основные зависимости, как и всю грубую
модель, можно выбрать различными, неравносильными способами.
Отметим, что к числу основных величин мы относим также и
существенные физические постоянные; сюда же относятся время, если
изучается процесс, развивающийся во времени, и пространственные
координаты, если существенна протяженность изучаемой системы
в пространстве.
Отбор и отбрасывание в грубой модели малых влияний и
взаимодействий содержит ряд трудно формализуемых элементов и
рациональных рассуждений; интуиция и основанные на исследовательском
опыте разумные традиции позволяют производить такие
отбрасывания, не приводящие к существенным ошибкам даже без
тщательного математического анализа в каждом конкретном случае.
Остановимся особо на учете темпа изменения переменных по временной
и пространственным координатам в процессе формирования
основных величин. С этой целью заметим, что обычно при постановке
задачи определяются некоторые характерные значения — основные
масштабы соответственно временной t^ и пространственной /^ про-
тяженностей. Эти масштабы, играющие важнейшую роль при
построении грубой модели, существенно зависят как от моделируемого
объекта, так и от изучаемых характеристик. Если основные
масштабы известны, то могут быть выделены переменные с «нормальным»,
«медленным» и «быстрым» темпами изменения. Так, если некоторая
переменная величина q, зависящая, например, от времени /, имеет
характерный диапазон изменения Д^^, то за основной масштаб
скорости (нормальный темп) изменения величины q естественно принять
<7# = А<7#//#; такую скорость также будем называть основной.
Величины того же смысла, что и q, скорость изменения которых
значительно меньше <7*» будем называть медленными, а величины,
скорость изменения которых значительно больше q*>—быстрыми.
В основных зависимостях ведущую роль, естественно, должны
играть величины, изменяющиеся с основными скоростями; медленно
изменяющиеся в пространстве или во времени величины могут быть
учтены чисто параметрически (т. е., по существу, приняты за
постоянные), а быстро изменяющиеся, например колеблющиеся,
величины — своими осредненными по тому или иному правилу
эффективными значениями, меняющимися с основной скоростью.
Описанный процесс формирования основных переменных и
основных соотношений схематически представлен на рис. 16. Там же
указаны переменные, привлекаемые к рассмотрению при
построении более точной модели, чем первоначальная, если, конечно, в
таком уточнении есть надобность. Эти уточняющие переменные, могут
относиться к следующим четырем типам:
а) Поправки к медленным переменным, учитывающие их
изменение во времени или в пространстве более точно, чем в грубой модели.


160
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
б) Поправки к быстрым переменным, учитывающие отклонение
их воздействия от среднего, принятого во внимание с помощью
основных переменных.
в) Добавки к основным переменным, влияние которых на
изучаемую характеристику системы считалось столь малым, что при
Определяющие
параметры
Определяющие
переменные
Определяющие
постоянные
- Уточняющие переменные
Рис. 16
грубом рассмотрении они игнорировались; эти добавки, как и
рассматривавшиеся ранее, могут меняться во времени или в
пространстве с основной скоростью, быстро или медленно.
г) Дополнительные определяющие переменные, привлекаемые
для уточнения грубой модели.
Таким образом, устанавливается как бы некоторая иерархия
переменных как по скорости их изменения, так и по их значимости
в предпринятом исследовании. Конечно, эта иерархия, как и
отнесение переменных к указанным выше классам, не имеют абсолютно-


§4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
161
G(X,y.t)
го характера, а могут существенно зависеть от выбора тех
характеристик, которые намечено изучать, и от аспекта их изучения: этот
выбор определяет не только относительную значимость различных
переменных, но и характерные значения
пространственно-временных протяженностей.
Разберем пример. Пусть рассматривается упругая прямая призма длины
/ с основанием в виде квадрата со стороной а (рис. 17). На верхнее основание
призмы действуют переменные во времени нормальные напряжения о(х, у,
/), приводящиеся к равнодействующей Q(t), a
нижнее основание неподвижно закреплено,,
Предположим, что сила Q(t) имеет вид
Q(0^Qo(0+Qisin«
где Qo — функция, претерпевающая
существенное изменение за промежуток времени Г0,
значительно больший периода Т(й=2п/<а
изменения колебательной составляющей; Qx —
постоянная. Предположим далее, что
материал призмы микронеоднороден, но макроод-
нороден, т. е. произвольные кубики
некоторого малого размера 6\ вырезанные из этого
материала, могут существенно отличаться по
своим свойствам, а любые кубики размера 6>б
(/?<а, /) практически одинаковы по этим
свойствам. Обозначим через Tk=2n/pk (k= I, 2,...)
периоды, отвечающие частотам рк свободных
колебаний призмы, перенумерованным в
порядке возрастания.
Распределение напряжений и смещений в
поперечных сечениях призмы, вообще говоря, неоднородно, по крайней мере
вблизи ее торцов. Это распределение зависит от распределения напряжений
а(х, у, t) на одном из торцов и от условий заделки на другом. Однако зоны
неоднородности £А и В2 обычно не слишком велики. Обозначим их условные
протяженности через &i и Д2>
Таким образом, в рассматриваемой системе мы имеем следующие
совокупности пространственных и временных протяженностей:
6 <6<а, /;
Рис.
ТМ<Т0;
; а, I; Ах; Д2;
(fc=l, 2, ...).
(24)
(25)
Какие же из этих величин следует принять за основные масштабы /* и t* и
какие параметры следует привлекать к рассмотрению? Ответ на этот вопрос
зависит от цели исследования, от соотношений между перечисленными ве-
личинами, а также от требуемой точности описания.
Предположим, например, что речь идет об определении напряжений
и перемещений в случае, когда дополнительно известно, что
/ > а, Д1т Д2;
(26)
Пусть при этом нас устраивает сравнительно грубое определение
напряжений и перемещений, без учета относительно малых динамических эффектов,
а также эффектов, связанных с неравномерным распределением напряжений
вблизи торцов. Тогда адекватной моделью призмы служит безынерционный
упругий стержень (одномерный упругий континуум). За основной масштаб
линейных размеров /* в этом случае естественно принять длину стержня /,
а за основной масштаб времени /* — период колебаний 7V отвечающий
наименьшей (основной) частоте свободных колебаний стержня p=ncl(21)
6 И. И. Блехман и др.


162
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
(с =>^£,/р — скорость распространения звука в материале стержня, р и Е —
соответственно плотность и модуль упругости материала). В рассматриваемом
случае все другие характерные размеры системы малы (а некоторые и весьма
малы) по сравнению с /; поэтому, например, граничные эффекты в зонах Bt
и В9 приведут лишь к малым ошибкам в определении интересующих нас
величин, а микроструктура материала отразится в осредненном виде лишь
через модуль упругости Е. Промежуток времени Г0 велик по сравнению с
основным масштабом t+—T\> и поэтому изменение во времени нагрузки Q(t)
можно учитывать, рассматривая время как параметр.
Пусть теперь в тех же условиях целью исследования является изучение
местных напряжений и деформаций вблизи тгрцов призмы или вообще
решение той же задачи с большей точностью. Тогда за основной масштаб линейных
размеров естественно принять либо поперечный размер а, либо некоторое
меньшее расстояние а0 (а0>^)» на протяжении которого напряжения о(х, у, t)
претерпевают существенное изменение; при этом продольный размер I можно
считать бесконечно большим, т. е. при изучении напряженного состояния
вблизи каждого торца рассматривать пол у бес конечное упругое тело.
Естественно, однако, что в данном случае нельзя будет ограничиться изучением
одномерной модели, а придется рассматривать, вообще говоря, трехмерную
задачу.
Если размер / сравним с размером а, то допущение о бесконечно большой
длине стержня окажется несправедливым, и придется рассматривать еще
более сложную задачу о взаимодействии возмущений напряженного состоя*
ния на обоих торцах.
Рассмотрим теперь случай, когда выполняются все неравенства (24) —
(26), кроме самого последнего, которое заменено на противоположное 7\а<7ь
и пусть нас интересуют установившиеся колебания или процесс
распространения волн. В этом случае за основной масштаб времени /* естественно
принять период колебаний Г©; что же касается выбора основного масштаба
линейного размера /*, то он в данном случае существенно зависит от величины
Г©. Дело в том, что к набору величин (24) при этом должна быть добавлена
длина волны вынужденных колебаний Яо>=2яс/со. Поэтому если при заданном
со дллна волны >.о)>6\ то моделью системы может служить однородный
(однако теперь уже обладающий инерцией!) стержень, свойства материала
которого задаются осредненными характеристиками Е и р; при этом можно
принять /*=Хо). Если же частота со столь велика, что длина волны Я©
сравнима с характерным размером микронеоднородностей б, то этот размер и
следует принять за основной масштаб /*. При этом свойства материала уже
не могут быть описаны осредненными характеристиками Е и р, а
определяются параметрами, характеризующими микроструктуру материала.
Макроскопические размеры тела / и а при этом для многих задач, связанных с
распространением волн, могут считаться бесконечно большими.
Нетрудно было бы указать и задачи, в которых следует принять /+==Г0
« т. п.
Естественно, что можно достигнуть значительного упрощения
модели, если получится замкнутая система математических
соотношений, связывающих только основные переменные. Эти
соотношения являются математической моделью первого приближения.
Математическая модель в основных переменных и основных
зависимостях наиболее проста и имеет, как правило, значительно меньшую
размерность (характеризуется меньшим числом существенных
степеней свободы), чем модель, составленная без учета иерархии
переменных.
Часто задача построения модели в основных переменных
(включающая, между прочим, и задачу наилучшего выбора самих этих


§4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
163
переменных) состоит в том, чтобы от известной математической
модели, составленной в «микропеременных» (быстро меняющихся
определяющих переменных) перейти к гораздо более простой модели для
основных переменных, т. е. для осредненных эффектов.
Осуществление этого перехода от «микромодели» к «макромодели»
представляет собой весьма интересную с принципиальной и технической точек
зрения, но очень непростую задачу, решению которой в
современной науке уделяется много внимания. В частности, установление
связей между известными свойствами микрообъектов и свойствами
макрообъекта, составленного из большого числа
взаимодействующих микрообъектов, представляет собой основную задачу
статистической физики и физической кинетики. Хорошо известна плодо
творность перехода от рассмотрения необозримо большого числа
переменных, описывающих индивидуальные движения молекул
газа, к таким основным определяющим переменным, как плотность
и температура, характеризующим состояние элементарного
макрообъема. Свои особенности имеет переход от микро- к макромодели
в теории сред с микроструктурой в механике сплошной среды [178;
288, с. 51—621.
Заметим, что при переходах от микро- к макроописанию мы
обычно от тех или иных известных свойств микроскопических объектов
и законов их взаимодействия переходим с помощью статистических
закономерностей к качественно новым свойствам макромодели; на
этом вопросе специально останавливается Л. И. Седов [288, с. 51—
62]. Естественно, что при этом неизбежно теряется часть
информации о свойствах микрообъектов, которая в простейших случаях
переходит в макроскопическую модель в виде некоторых констант.
Подобная потеря несущественной для адекватности модели
информации значительно упрощает модель и в данном случае
представляет собой, конечно, не зло, а благо. Это далеко не всегда учитываемое
обстоятельство подчеркивает И. Грекова [1011 в связи с теорией
больших систем (см. конец п. 5.6), при моделировании и при
управлении которыми также необходимо установление иерархии и
разумный отбор и «сжатие» информации при переходах от более низких
к более высоким уровням.
Своеобразные задачи перехода к основным переменным
возникают в нелинейной механике, где идея установления иерархии
переменных по темпам их изменения во времени (так называемое
разделение движений) также получила весьма значительное развитие
(см. примеры в п. 4.10).
Если это необходимо, то после изучения модели в основных
переменных и основных зависимостях можно произвести
«достраивание» этой модели, т. е. учесть уточняющие переменные типов а) —
г). Таким образом, изучение математической модели на основе
иерархии переменных есть, по существу, своеобразный вариант блочного
метода решения задачи: модель в том или ином смысле разделяют на
блоки, каждый из которых изучается с по возможности упрощен-
б*


164 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
ным влиянием остальных, а решения для отдельных блоков
согласуют друг с другом.
Остановимся прежде на быстро изменяющихся переменных, имея
в виду сначала изменение переменных во времени; такие
переменные естественно называть просто быстрыми. Их можно
подразделять на долговременно и кратковременно действующие. Первые
появляются при описании быстро меняющихся величин, которые
чаще всего входят в грубую модель своими осредненными
зависимостями от времени; так, периодическое «подталкивание»
платформы с достаточно большой частотой можно грубо заменить на
равномерное давление на эту платформу. Аналитически такая
переменная имеет структуру u=u(t)+l(t), где u(t) — осредненная
зависимость, которая обычно только и входит в грубую модель, а величина
§(/) есть добавочная уточняющая переменная, которая не
обязательно мала по амплитуде, но ее временное среднее близко к нулю.
При этом, если точная зависимость %{t) неизвестна, то ее можно
принять за случайную добавку со средним значением, равным в
каждый момент времени нулю. Если зависимость | (t) известна, то
при аналитическом исследовании ей часто оказывается возможным
придать вид
6(0-ф(т).
Т
где е>0 — малый параметр, а интеграл J cp(x)dT ограничен или, во
о
всяком случае, имеет вид о( | Т \) при Т ->- ±°°, так что при любых
фиксированных a, b
Ь Ь Ь/г
$5</)Л = $ф(£)л = в$ф(т)ЛЛ0
а а а/е
(например, может быть %=А sin(f/e)). Тогда x=t/e можно
трактовать как быстрое время, т. е. естественную для быстрой переменной
шкалу временной протяженности.
При изучении конкретных объектов параметр е принимает
определенные значения, и потому вопрос о том, можно ли считать его
малым, должен решаться на рациональном уровне (§3).
Аналогичное замечание относится и к уточняющим переменным иных типов.
Важную роль могут играть кратковременно действующие
быстрые переменные. Они обычно вводятся при анализе относительно
кратковременных переходных процессов, связывающих одни
установившиеся режимы с другими. При более грубом анализе можно
считать такой переход мгновенным, что приводит к разрывам во
времени тех или иных зависимостей, описывающих изучаемый
процесс, или, во всяком случае, можно отвлечься от рассмотрения этих
зависимостей на протяжении переходного процесса. При этом такие


§4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
165
зависимости учитываются только своими интегральными
характеристиками. Например, если на материальное тело действовала сила
F на небольшом промежутке времени tx<^t^t2 по закону F=Fx{f),
то в грубом приближении можно положить
F = Q6(/-/t)f где Q=^F1(t)dtt /i </„<*«,
tx
а б (t) — дельта-функция (п. 2.7). Однако может быть поставлена
также задача о более детальном изучении переходного периода
(tu t2)l она может представлять самостоятельный интерес и, кроме
того, оказаться существенной для исследования последующего
развития процессов. Здесь, как и для долговременно действующих
часто осциллирующих переменных, может быть полезные
рассмотрение переходного процесса в быстром времени т=(*—tx)l (t2—*i).
Отметим, что понятие переходного процесса (переходного
режима и т. п.) относительно, оно зависит от выбора тех характеристик
процесса, изменение которых изучается. Так, в последнем примере
промежуток времени (tu t2) служил переходным интервялом для
действующей силы; но если эта сила возбуждала в системе
затухающие колебания, то для координат системы переходным интервалом
служит больший промежуток (tlf f8)» где t3 — условный момент
полного затухания колебаний (например, за t3 можно принять момент,
начиная с которого амплитуда колебаний не будет превосходить 0,1
от характерного изменения координат).
Если независимые переменные — это геометрические
координаты, то взамен переходного процесса надо рассматривать
пограничный слой, т. е. сравнительно узкую зону, разделяющую участки
среды с существенно различными свойствами. Грубое приближение,
при котором ширина этой зоны приравнивается к нулю, приводит
к разрывным полям, характеризующим среды и процессы,
происходящие в ней. Однако анализ структуры пограничного слоя и
происходящих в нем «краевых эффектов» может оказаться весьма
существенным, что приводит к необходимости введения уточняющих
переменных.
Аналогичная ситуация возникает при изучении эффектов,
вызываемых в сплошной среде источниками возмущений,
распределенными по конечной области й, с удалением от Q; это могут быть силы
в задачах теории упругости, источники жидкости в задачах
гидродинамики, источники электромагнитного поля и т. д. В достаточной
близости й на эти эффекты влияют детали распределения
возмущений в й, однако при удалении от й возмущения влияют только
своими интегральными характеристиками; при этом можно просто
принять, что возмущение сосредоточено в одной точке области й.
Наконец, если рассматриваются точки, расположенные достаточно
далеко от й, то в большинстве задач влиянием возмущения вообще
можно пренебречь. Это дает возможность ввести «иерархию дально-


166
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
стей», применяя термины «близко», «далеко» и «очень далеко» в за-»
висимости от того, какой из описанных случаев имеет место.
Пусть, например, рассматривается некоторое безвихревое поле А во
всем пространстве, обладающее источниками векторных линий,
распределенными в Q с плотностью р(х, у у z). Тогда потенциал <р(д:, у, г) поля имеет
вид интеграла Ньютона
»w-Ji££r«
(r = xl+«/+2*. г'=*7 + у'/ + г'*, d'Q = dx' dy' dz*).
Нетрудно получить асимптотическое разложение этого интеграла при
больших |г|:
ф(г) = Г jp(r')d'Ql]7Tf[I(r°' r/>P<r')d'Qlj7f
L(ft) J L(a> J
?+■.. (г° = г/|г|).
Отсюда ясно, что если \ p(r)dQ?=05 т. е. источники поля в Q не
(Я)
уравновешиваются, то при \г\ -* оо
<р(г)~
(ft) J
т. е. потенциал при больших \г\ получается такой, как будто все источники
поля сосредоточены в одной точке в виде суммарного источника обильности
(Q)
\ р (г) dQ. В этом случае потенциал поля при увеличении | г\ убывает как
а)
\г\~г ,а потому само поле А ™—grad ц> — как |г|~2. Если \p(r)dQ = o»
(Я)
т. е, источники в Q уравновешиваются, но V (г°, r')p(r')dQ^0, то при
L(«) J
т. е. совокупность источников в Q можно заменить на диполь,
сосредоточенный в одной точке. Здесь потенциал при \г\ -*• о© убывает как |г|~2, а поле —
как |г|_3.
Можно рассматривать и еще более высокие порядки уравновешенности
возмущений; чем выше этот порядок, тем быстрее затухает поле на
бесконечности (см., например, {1131)„
Подобным образом можно рассмотреть иерархию продолжитель-
ностей после окончания воздействия возмущений на какую-либо
систему. Соответственно можно говорить, что возмущение
окончилось недавно, давно или очень давно, если:
— это возмущение ощущается в его деталях изменения во
времени;
— оно ощущается только своей интегральной характеристикой
(например, импульсом);


$4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
167
— оно было так давно, что из-за диссипации энергии его эффект
в рассматриваемый момент уже не ощущается.
Естественно, что границы между понятиями «близко», «далеко»,
«очень далеко», так же как «недавно», «давно», «очень давно»,
зависят от избранных уровней точности (а также от упомянутой выше
степени уравновешенности возмущения).
Отметим, что все здесь написанное давно используется в физике,
теории сплошных сред, теории нелинейных колебаний и т. д.; мы
хотели бы лишь подчеркнуть возможность систематизации
известных представлений.
Вернемся к общей классификации переменных, вводимых при
построении и достраивании грубой модели. Медленные переменные
возникают, когда параметры, характеризующие систему или
воздействие на нее, изменяются медленно по сравнению с характерной
(основной) скоростью изменения переменных. (Иногда такое
медленное изменение называется адиабатическим, а сама система —
квазистационарной.) Подобным переменным при аналитическом
исследовании часто оказывается возможным придать видФ(е/), где
е>0 — малый параметр, а Ф(6) — функция, скорость изменения
которой имеет порядок характерных скоростей в системе. Тогда при
грубом исследовании значение Ф(6) можно считать
«замороженным», а при уточнении иногда оказывается полезным введение
медленного времени Q=et9 по отношению к которому обычное время
является быстрым.
Привлечение уточняющих переменных (типа в) может при
аналитическом исследовании привести, например, к переходу от
дифференциального уравнения dxldt—f(x, t) к уравнению dx/dt=
=/(*, /)+e/i (*> О ИЛИ к системе уравнений dx/dt=f(xf /)+еД (jc, y9 /),
dy/dt=f2 (х, (/, /) и т. д. Этот переход может привести к уточнению
исходного, «грубого», решения, а в случаях, которые в том или
ином смысле являются критическими,— к качественному
изменению характера решения из-за накопления малых влияний. В
частности, нельзя пренебрегать слабыми связями в задачах о взаимной
синхронизации или трением во многих задачах о колебаниях.
В п. 4.3 мы уже упоминали о том, что введение в консервативную
систему как угодно малого трения приводит к тому, что все решения
становятся затухающими. Поэтому при изучении свободных
колебаний реальных систем на больших интервалах времени нельзя
пренебрегать даже малым трением. (Совсем опасно не учитывать
«отрицательное трение» — переход к упрощенному уравнению означал
бы замену неустойчивого случая устойчивым и качественно исказил
бы представление о действительном процессе.)
С другой стороны, на малых интервалах времени, пока влияние
силы трения еще не успевает существенно накопиться, этой силой
можно пренебречь. Так, на рис. 18 показаны кривые, описывающие
движение колебательной системы с одной степенью свободы,
вызванное внезапным приложением постоянной силы. Сплошная кри-


168
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
вая соответствует случаю, когда учитывается относительно малое
трение, а штриховая кривая — случаю, когда оно не учтено. Как
видно, для небольших значений t графики почти не различаются;
поэтому, в частности, для оценки наибольшего отклонения
практически допустимо силу трения не учитывать.
Понятия «большой» и «малый» интервал времени здесь нетрудно
уточнить. Например, для линейного осциллятора с массой т и
коэффициентом трения k затухание размаха колебаний в е раз
происходит за промежуток времени x=2m/fe, который естественно
сравнивать с длительностью 2nlVc/m— (fe/2/n)2 одного колебательного
Рис. 18
цикла («периодом» затухающих колебаний), где с — коэффициент
жесткости. Вообще, различие колебательных систем по темпам
затухания (медленное, быстрое затухание колебаний) определяется
сравнением т с характерным временем f# для изучаемых свойств;
в частности, при т^>^ затуханием можно пренебречь (например,
для многих задач небесной механики).
Иная ситуация возникает при рассмотрении вынужденных
колебаний. Как известно, резонанс (в смысле, принятом в теории
дифференциальных уравнений) в линейной автономной системе под
действием гармонически изменяющейся силы может наступить
только при полном отсутствии трения. Но так как в технических
системах трение неизбежно, то под резонансом в практике обычно
понимают колебательный режим, соответствующий максимуму
(ограниченному) амплитудно-частотной характеристики. В сильно
демпфированных системах этот максимум выражен очень слабо,
и вообще трудно говорить о резонансе. Поэтому имеет смысл
называть резонансом ситуацию (возможную только при малом трении),
в которой амплитуда вынужденных колебаний не менее чем, скажем,
в е раз превышает амплитуду колебаний, получающихся при
квазистатическом анализе. Оказывается, что для нахождения опасной
частоты возбуждения («практически резонансной» частоты) трением
можно пренебречь, считая реальную систему консервативной
(однако для определения резонансных амплитуд силу трения,
разумеется, необходимо учитывать). Это соответствует высказанному
в п. 4.4 общему тезису: достаточно малые изменения адекватной мо-


§4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
169
дели не могут помешать описанию реально наблюдаемого свойства
(сказанное может служить некоторым признаком адекватности
модели).
Поясним эти рассуждения выкладками. Пусть уравнение вынужденных
колебаний записано в форме (21) (с. 147). Тогда установившееся решение
имеет вид x=Ae[tiif, где
И1=\Fo\l(c—m co2)2-f cd2A;2]-1/2 .
Для k < У2тс максимум этого выражения достигается при о) = а)* =
- У7/т(\ — кУ2тс)1/2 и равен | A |max = | A0 \ (Утс/k) (1 — к*/4тсГ1/2,
где \A0\=\F0\/c — амплитуда, найденная при со-*•(). Отсюда следует, что
принятое выше условие возможности практического резонанса выполняется
при k < Yтс/е. Но тогда можно считать, что резонанс наступает при
ы = (д0—Ус/т> т. е. как и в системе без трения. В самом деле, со отличается
от щ менее чем на 3 %, а соответствующее значение | А | = | А0 | У mclk
отличается от 1Л|тах менее чем на 1,5%.
В теории дифференциальных уравнений разработаны методы,
позволяющие изучать возмущения всех описанных выше типов.
Но, как мы видели, реализация этих методов в прикладных задачах
требует также и искусного привлечения рациональных сообра-
женийф
Для введения уточняющих переменных исходная грубая модель
должна допускать возможность такого уточнения, т. е. обладать
побочной адекватностью (п. 4.3). Именно составление грубой
адекватной модели, допускающей возможность уточнения, является
чаще всего решающим моментом математического моделирования,
определяющим успех исследования в целом. Это составление
опирается на предварительное неформальное обсуждение физической
картины изучаемого явления и различных возможных гипотез по
этому поводу, грубую прикидку влияния различных факторов на
изучаемые характеристики, что требует соответствующих знаний
и порой значительного опыта. Еще раз подчеркнем, что наиболее
благоприятной является ситуация, когда удается выделить по
возможности небольшое число основных факторов, влияния которых
имеют одинаковые порядки и не слишком сложно описываются
математически, тогда как влияния других факторов достаточно учесть
с помощью осредненных, интегральных или «замороженных»
характеристик.
У. Прагер [266, с. 8): «Квалификация прикладного математика в
области построения моделей очень часто определяет успех исследования в не
меньшей степени, чем его знания в области аналитических и численных
методов, необходимых ему для операций с математическими соотношениями,
характеризующими поведение выбранной модели. (Отметим, кстати,
фундаментальную важность этого положения при подготовке специалистов в
области прикладной математики; см. п. 8.9 — Авт.) Знакомство с соот-


170
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
ветствующими методами позволяет ему предвидеть трудности, которые могут
возникнуть в связи с учетом в модели одределенных аспектов явления. После
этого он должен выяснить у заказчика необходимость ввода в модель этих
эффектов, сообщив о «математических» последствиях их учета и подчеркнув
то обстоятельство, что более грубая модель, легко поддающаяся
математической обработке, может привести к более глубокому пониманию природы
естественно-научного явления или технологического процесса, чем более
тонкая, но тяжеловесная с математической точки зрения модель».
При рассмотрении сложных систем — таких, например, как
технологические,— включающих десятки и сотни переменных, в
начале исследования чаще всего бывает не ясно, какие именно из этих
переменных или их комбинаций можно принять за основные, а
какие — за уточняющие. Здесь особенно важны физические и другие
неформальные соображения, недогматический подход к делу,
проверка адекватности модели и готовность ее изменить в случае
необходимости. При этом бывает целесообразным параллельное
исследование нескольких моделей.
Для многих сложных задач грубое решение оказывается
достаточным. Однако начинать исследование с грубой модели
целесообразно даже в том случае, когда заведомо известно, что придется
изучать (например, из-за требований к точности результата) более
сложную модель. Закономерности, подмеченные на грубой модели, часто
оказываются особенно прозрачными и позволяют рационально
организовать исследование более полной модели, а грубые численные ре-
зультаты могут послужить отправной точкой в применении
итерационных методов.
При дальнейшем уточнении модели могут привлекаться
переменные, играющие по отношению к вводимым на первом этапе
уточнения ту же роль, что и эти последние по отношению к переменным
самого грубого приближения. Например, эти переменные могут быть
типа в) и г) и описывать все более слабые влияния на изучаемую
систему. Таким образом, переменные выстраиваются в иерархическую
последовательность; конечно, эта иерархия зависит от того, какие
характеристики системы мы исследуем, так как значимость одних
и тех же факторов для различных характеристик может быть
существенно различной. Иерархия переменных может также
определяться их характерной протяженностью: например, иерархию образуют
переменные грубого приближения, уточняющие переменные типа
а), уточняющие переменные, так сказать, типа а)2 и т. д. Отметим,
впрочем, что в подавляющем большинстве реальных задач
переменных типа а) — г) (часто даже не всех этих типов), уточняющих
исходную грубую модель, оказывается достаточно, так что
дальнейшего уточнения, с упоминания о котором мы начали этот абзац, не
требуется.
Классический пример последовательного уточнения модели
представляет небесная механика. Так, при изучении движения
планеты вокруг Солнца наиболее грубой моделью, но приводящей ко
многим полезным выводам (например, к законам Кеплера), является


$4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
171
схема движения материальной частицы вокруг неподвижной точки
при ньютоновском законе притяжения. При уточнении этой модели
учитываются подвижность центрального тела, затем влияние
других планет, в первую очередь наиболее близких и тяжелых. Еще
более тонкими являются релятивистские эффекты и т. п..
Вопрос о разделении переменных по темпу их изменения с целью
упрощения системы подробно разобран в книге [141]. Думается, что
он весьма важен не только в многочисленных задачах
естествознания и техники, но даже в человеческих отношениях.
Следующие два пункта иллюстрируют изложенное в п. 4.7 и
4.8, но имеют более специальный характер. Читатель, далекий от
рассматриваемых в них вопросов, может перейти к п. 4.11.
9. О механике систем со скрытыми движениями. С идеологией
установления существенных степеней свободы, выделения
определяющих и основных параметров, а также установления иерархии
переменных тесно связана концепция, которую можно назвать
механикой систем со скрытыми движениями [40]. Элементы этой
концепции можно обнаружить в динамике относительного движения,
а также в классических трудах Рауса, Томсона и Тэта, относящихся
к динамике систем с циклическими координатами (см., например,
[209]); из последних работ нами заимствуются и некоторые термины,
употребляемые здесь, однако, в расширенном смысле.
Суть концепции состоит в следующем. Пусть движение
динамической системы описывается дифференциальными уравнениями
a(q)q + b(q, q)^Q(k, q, t), (27)
где q — n-мерный вектор обобщенных координат, а (^ —
невырожденная nxn-матрица инерционных коэффициентов, b(q, q) —
некоторый вектор, a Q — вектор обобщенных сил. Положим
Qk+i — ^k+if •«•» Qk+i — Xb+g', (28)
^ + / + 1 = ^+1 + 1, •'•» Qn =Уп
и назовем Хи ..., Xk —явными, аярь ..., фл;фл+1+ь .., ^fn ~ скры-
тыми движениями] обобщенные координаты </ь+ъ ..., qn + t и
соответствующие степени свободы назовем явными, qu ..., qk — частично
скрытыми, a qk + i+u •••» qn — скрытыми обобщенными
координатами. В терминах п. 4.8 явным движениям соответствуют основные,
а скрытым — уточняющие переменные.
Перейдем по формулам (28) к новым обобщенным координатам
Хи ..., Xt;tyl+U ...,ф„, а избыточные величины^, ...,*К будем
считать либо заданными функциями времени, либо удовлетворяющими
некоторым k дополнительным соотношениям
VsiX, *) = 0 (s=l, ..., k), (29)
где Х=(Х19 ..., Xt) и 4>=№ь -..♦л; *л+1+ь ....Ю—
соответственно /- и (п—/)-мерные векторы. Соотношения (29) можно зада-


172
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
вать в значительной мере произвольно, обеспечивая, как и всюду
далее, невырожденность всех рассматриваемых преобразований и
существование рассматриваемых неявных функций. Эти
соотношения, в частности, могут представлять собой дифференциальные или
интегро-дифференциальные уравнения (см., например, п. 4.10).
Рассмотрим, наряду с уравнениями (27), упрощенную систему
размерности k+l
а0(Х)Х + Ь0(Х, X)=^Q0(X9 X, /), (30)
где а0(X) — невырожденная (k+l)X (&+/)-матрица, Ь0(Х, X) —
(fe+0-мерный вектор, соответствующую системе, в которой скрытые
движения и степени свободы отсутствуют. Подставив в уравнения
(27) выражения (28), всегда хможно выделить из них подсистему вида
a0(X)X+b0(X, X)^Q0(X, X, t)- Wt(X, X, *, ^ t), (31)
где W— (&+/)-мерный вектор, который можно назвать вектором
дополнительных обобщенных сил. Вместе с остальными
дифференциальными уравнениями и соотношениями (29) уравнения (31)
образуют систему, эквивалентную в силу (28) исходной системе (27).
Если бы эти остальные уравнения удалось полностью
проинтегрировать при учете соотношений (29), то определились бы функции
ф = Ф(Х, X, С), зависящие от 2(п—k—/) произвольных
постоянных (соответствующий вектор обозначен через С; здесь для
упрощения предполагаем, что соотношения (29) являются конечными).
В результате система (31) запишется в форме
a0(X)X+b0(X, X)^Qb(X, X, t)-W2(X, X, С, /)• (32)
Конечно, приведенными общими рассуждениями и
преобразованиями система (27) размерности п не сведена к системе
размерности k+l: исключение из (32) 2(я—k—/) постоянных С вновь
приведет к системе размерности п, как это и должно быть. И вообще,
системы (31) и (32) вместе с дополняющими их дифференциальными
уравнениями и соотношениями (29) не проще исходной системы (27)
и содержат всю информацию о ней. Поэтому переход к системам (31)
и (32) оправдан, в частности, при условии, что такая информация
избыточна: первостепенный интерес представляют явные движения,
а скрытые движения влияют на явные относительно слабо, и это
влияние можно учесть приближенно. Тогда системы (31) и (32)
могут оказаться значительно удобнее.
Однако и при точном рассмотрении может оказаться полезным
как бы не замечать скрытые движения, сводя их наличие к действию
некоторых дополнительных сил, что для механика является
привычным и удобным при рассуждениях; так обстоит дело, например,
в случае механики относительного движения.
Следует также особо отметить важный случай, когда
дополнительные силы W можно считать не зависящими от постоянных С.
Имеется а виду ситуация, когда изучаются движения системы,


§4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
173
асимптотически устойчивые по переменным if и if при любых X и X
из рассматриваемой области. В этом случае можно «почти забыть»
о существовании в системе скрытых движений, поскольку система
с течением времени «забывает» соответствующие начальные уело-
вия; величины if и if в уравнении (31) становятся конкретными
функциями t. Уравнения (31) или (32) при этом приобретают вид
a0(X)X + b0(X, X) = Q0(X, X, /)- W(X, X, t). (33)
Скрытые движения представлены в этих уравнениях только
выражениями для дополнительных сил W; отметим, что при наличии
нескольких таких асимптотически устойчивых движений
выражения W различны для каждого из них. Преимущества перехода от
исходных уравнений (27) к уравнениям для явных движений в этом
случае особенно значительны: здесь действительно может иметь
место понижение размерности изучаемой системы.
Уравнения типа (31) — (33) моЯшо назвать основными
уравнениями механики систем со скрытыми движениями. Они
свидетельствуют о следующем почти очевидном, но существенном положении:
дифференциальные уравнения явных (основных) движений
отличаются от уравнений упрощенной системы, т. е. системы, в которой
не учитываются скрытые (дополнительные) движения, наличием
дополнительных сил, зависящих в общем случае от скрытых
координат или только от явных движений и соответствующего числа по-
стоянных интегрирования; для асимптотически устойчивых
скрытых координат эта зависимость с течением времени становится
несущественной и можно считать, что дополнительные силы за-
висят только от явных движений.
Подчеркнем, что появление в уравнениях явных движений
дополнительных сил не поддается объяснению, если не учитывать
наличия скрытых движений. Естественно, что при наличии скрытых
движений основные законы и положения механики для основных
движений, если не учитывать в соответствующих уравнениях
дополнительных сил, не будут выполняться или же будут выполняться
лишь приближенно. Это обстоятельство не раз служило поводом
для парадоксов и ошибок, вплоть до выражения сомнений в спра*
ведливости законов механики. С другой стороны, сознательное
игнорирование мало существенных движений и степеней свободы
позволяет значительно упростить исследование; оно, как
отмечалось, является, в сущности, необходимым (и даже неизбежным)
элементом при построении модели системы. При игнорировании же
существенных степеней свободы возможны не только
количественные погрешности, но и неверные заключения качественного
характера, например, устойчивые движения могут быть приняты за
неустойчивые и наоборот (см., например, [209, 252)).
Итак, в связи с изложенным возникают следующие вопросы, в
другой форме уже обсуждавшиеся выше в связи с проблемами вы-


174
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
бора основных переменных и числа степеней свободы при
построении моделей механических систем:
1. Допустимо ли не учитывать скрытые движения, в частности,
скрытые степени свободы, т. е. вместо уравнений (27) или (31) —
(33) рассматривать более простые уравнения (30)?
2. Как получить выражения, хотя бы приближенные, для
дополнительных сил W?
Первый вопрос тесно связан с проблемами идентификации и
декомпозиции динамических систем. Его эффективное рассмотрение
часто может быть достигнуто на основе использования методов
малого параметра, в частности, методов теории сингулярных
возмущений, метода Пуанкаре и методов усреднения.
Отметим, что частный случай, когда k—n, a tplf . . ., ф& —
заданные функции времени, соответствует основной теореме
динамики относительного движения. Другой случай соответствует уже
упоминавшимся системам с циклическими координатами. Наконец,
системы, в которых явные движения являются «медленными», а
скрытые «быстрыми», подробно изучаются в п. 4.10.
Заметим в заключение, что в ряде случаев уравнения типа (33)
записываются в виде
[а0(Х) + а'(Х)]Х + Ь0(Х9 X) = Q.(X9 Xf t)-W9(X, Xf t)f
где матрица а0+а', как иа0,— положительно определенная, причем
а' может быть названа матрицей присоединенных масс, а
дополнительная сила IV3, в частности, может быть равной нулю. Иными
словами, оказывается, что наличие скрытых движений приводит
не только к появлению дополнительной силы W3, но также и к
изменению инерционных свойств системы. Такая ситуация
характерна, например, для ряда задач о движении твердых тел в
жидкости и для динамики систем с квазициклическими координатами.
Нетрудно видеть, что и в этом случае уравнения явных движений
можно представить в форме (33), причем
W= W-a' (ао+а'Г1 (»о-<Ь+ W,).
Таким образом, и данный случай не выпадает из сформулированного
выше общего положения.
10. Пример: иерархия переменных в задачах о действии
вибрации в нелинейных системах. Вибрационная механика как механика
систем со скрытыми быстрыми движениями. Убедительной
иллюстрацией изложенного в пп. 4.7—4.9 могут служить задачи о
действии вибрации в нелинейных механических системах; такие задачи
вызывают значительный интерес исследователей в связи с развитием
вибрационной техники и технологии. В сущности, можно говорить
о возникновении в последние годы нового раздела прикладной
теории нелинейных колебаний — теории вибрационных процессов
и устройств. Особую роль в этой теории играет идея разделения


$4- ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
175
движений на быстрые и медленные *). Наиболее законченное
воплощение и строгое обоснование эта плодотворная идея получила
в методе осреднения, ставшем уже классическим.
Математическая модель изучаемого объекта или явления имеет
вид некоторой системы дифференциальных или родственных с ними
уравнений, которые описывают достаточно широкий класс движений
системы, как «быстрых», так и «медленных», однако обычно
оказываются сравнительно сложными для решения и исследования.
Задача состоит в том, чтобы из этих уравнений в конечном счете
получить уравнения только для основных (медленных)
составляющих,— эти уравнения обычно оказываются значительно более
простыми, чем исходные. Забегая вперед, отметим, что в уравнения
для определения медленных составляющих быстрые составляющие
обычно входят под знаками осреднения, и поэтому первые могут
быть приближенно найдены независимо от вторых.
Для чистого математика указанная задача обычно ставится как
задача изучения некоторой системы уравнений, содержащих малый
параметр. Однако для механика или математика-прикладника
трудности начинаются на более раннем этапе, когда необходимо принять
гипотезу о возможности рассматривать определенные конечные
параметры в уравнениях как малые. Часто это вообще сделать
затруднительно, и приходится исходить из допущения о том, что
разыскиваемое движение может быть с достаточной точностью
представлено в виде определенной комбинации медленных и быстрых
движений; малый параметр вводится затем с использованием этого
допущения. Так, например, в ряде случаев исходной является
рабочая гипотеза о близости искомого решения к гармоническим
колебаниям с медленно изменяющимися амплитудами и частотами;
о близости движения к вращению с медленно изменяющейся
угловой скоростью и т. д. Естественно, что этот исходный этап
исследования, а значит, и все исследование в целом, носят
рациональный характер.
Мы рассмотрим здесь случаи, когда рабочая гипотеза состоит
в том, что возникающее в системе движение может быть
представлено в виде суммы
х=Х(*)+Ч><*. *><), (34)
где х — вектор обобщенных координат системы, X — «медленная»,
a if» — «быстрая» составляющие этого вектора, t — «медленное», а
т=Ш—«быстрое» время (« — «большой» параметр). Будем
считать составляющую ф периодической по т с периодом 2д и для
определенности представления (34) положим
<♦(*, т)>^0, (35)
*) В настоящем пункте, следуя традиции, установившейся в данной
области» мы называем медленными те движения, которые согласно
классификации пп. 4.8—4.9 следовало бы отнести к основным, а быстрыми — к
уточняющим переменным и скрытым движениям.


176
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
2л
где через <...>= j ... йт/2п здесь и в дальнейшем обозначается
о
оператор осреднения по быстрому времени т=со/. Иными словами,
можно считать равным нулю среднее значение быстрой
составляющей по быстрому времени при «замороженном» медленном *).
Пусть движение системы описывается дифференциальным
уравнением
mx = F(x, х, /) + Ф(х, x, t, со/), (36)
где m — матрица инерционных коэффициентов, F—«медленная»,
а Ф — «быстрая» силы, причем Ф является 2я-периодической по
Задача состоит в том, чтобы от уравнения (36) для переменной х
перейти, по крайней мере приближенно, к дифференциальному
уравнению для основной переменной Х> описывающей медленные
движения и обычно представляющей наибольший прикладной
интерес. При этом естественно ожидать, что, во-первых, указанное
уравнение окажется проще для решения, чем уравнение (36), так как
оно не будет иметь быстро колеблющихся решений. Во-вторых,
некоторые компоненты вектора х могут быть быстрыми, т. е. некото*
рые компоненты вектора X могут оказаться нулевыми, и тогда
размерность системы для основных переменных может оказаться
(и часто действительно оказывается) меньше размерности системы
(36).
Ниже будет показано, что подобный переход действительно
возможен при достаточно широких предположениях, причем
искомое уравнение для переменной X имеет вид
mX = F(Xf Xf t)-W(X, Xy t), (37)
где W(Xy A", t) — некоторая медленная сила, называемая
вибрационной силой и получающаяся с помощью описанной ниже процедуры
осреднения быстрой силы. Таким образом, быстрые переменные в
уравнении (37) учитываются лишь своими интегральными
характеристиками, о чем и говорилось в п. 4.8.
Указанный переход от исходной математической модели (36)
к более грубой модели (37), хотя и может быть формализован, все
же неизбежно содержит ряд рациональных элементов, и поэтому
в целом все построение также носит рациональный характер.
Итак, медленное движение происходит таким образом, будто
к заданным медленным силам добавляются некоторые
дополнительные (вибрационные) медленные силы. Появлением этих сил можно
объяснить ряд интересных и практически важных эффектов, возни-
*) Медленное движение при условии (35) — это как бы движение, види*
мое наблюдателем через грубые очки, в которых для глаза незаметны
быстрые дрожания объектов.


§ 4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
177
rt H
I
AZbbdit
A\mtot
кающих при действии внешней вибрации *) на механические
системы или при автономном возникновении вибрации. Оказывается,
что вибрация может привести к существенному изменению
характера медленного движения системы: могут исчезнуть прежние и
появиться новые положения равновесия и виды медленного движения;
движения и положения равновесия, которые при отсутствии
вибрации были устойчивыми, могут стать неустойчивыми и наоборот.
Эти поразительные эффекты, порожденные подчас едва заметными
колебаниями, производят
сильное впечатление на впервые
сталкивающихся с ними
наблюдателей. Описание многих таких
эффектов и подробная библиогра- j \
фия приведены в [41, 74].
Переход от системы (36) к
(37) особо важен при изучении
эволюции рассматриваемой
системы с помощью численного
интегрирования
дифференциальных уравнений. Систему (37),
не содержащую быстроменяю- Рис 19
щихся переменных, можно
интегрировать с большим шагом, что приводит к существенному
ускорению процесса счета и устраняет накопление ошибок. Ярким
примером здесь может служить численный анализ движения
космических аппаратов в поле земного тяготения.
Рассмотрим несколько типичных примеров изменения характера
медленных движений механических систем под действием вибрации
и дадим объяснение соответствующих эффектов на основе модели
(37), т. е. путем использования понятия о вибрационных силах.
1. Маятник с вибрирующей осью. Маятник с неподвижной осью
подвеса имеет два положения равновесия — нижнее устойчивое и
верхнее неустойчивое (рис. 19, а; на рис. 19 сплошными линиями
показаны устойчивые положения равновесия, а штриховыми —
неустойчивые). Если оси подвеса маятника сообщить вертикальные
колебания, то при определенных условиях оба положения
равновесия оказываются устойчивыми, и появляются отличные от двух
указанных положения равновесия (рис. 19, б). Кроме того,
вследствие колебаний может поддерживаться режим стационарного
вращения маятника вокруг его оси, несмотря на наличие трения в
системе, причем средняя угловая скорость вращения
арифметически соизмерима с угловой частотой вибрации (рис. 19, в) [38, 41,
47, 48, 139, 273].
*) Под вибрацией обычно понимают механические колебания,
характерный период и характерный размах которых малы по сравнению с
соответствующими основными масштабными величинами i*. и /*.


178
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
Покажем, как почти все эти эффекты могут быть естественно и
просто описаны посредством перехода к упрощенной модели (37)
для медленной переменной, в то время как «увидеть» их на
исходной модели весьма затруднительно.
Дифференциальное уравнение, отвечающее такой исходной
модели, т. е. уравнение движения маятника с осью подвеса,
совершающей вертикальные гармонические колебания амплитуды А и
частоты со, имеет вид
/ф + /ар + mgl sin ф = ml Ad)2 sin ф cos <*)/, (38)
где т и / — соответственно масса и момент инерции маятника; I —
расстояние от оси до центра тяжести маятника; k — коэффициент
вязкого сопротивления; угол ф отсчитывается от нижнего
положения равновесия. Пусть со значительно превышает частоту
сов = V mgl/I малых свободных колебаний маятника вблизи
положения устойчивого равновесия, а амплитуда А имеет порядок Vgljco.
Тогда, предполагая, что движение маятника может быть
представлено в виде ф=а(/)+ф(/, со/), где а — медленно, аф — быстро
изменяющиеся переменные, вместо уравнения (38) получим следующее
дифференциальное уравнение относительно а:
la + ka + mgl sin а + (ml^ sin 2а = 0. (39)
Переход от уравнения (38) к значительно более простому
уравнению (39), т. е. к уравнению типа (37), может быть осуществлен
либо путем применения известных асимптотических методов
нелинейной механики [48, 217], либо посредством описываемой ниже
более простой процедуры.
Последнее слагаемое в уравнении (37) представляет собой
вибрационный момент W(a). Именно благодаря его наличию получается,
что если учитывать только медленные движения а («смотреть сквозь
грубые очки»), то маятник имеет четыре положения равновесия:
ах = 0, <х2 = я, а3,4 = я ± arccos J^ ,
причем два последних положения равновесия существуют при
выполнении условия
(о > Vr2gl/(A2ml). (40)
Эти положения равновесия неустойчивы. Нижнее положение ах=0
является, как и для маятника с неподвижной осью, устойчивым.
Но вибрация оси, как мы видим, приводит как бы к увеличению
восстанавливающего момента, вследствие чего колебания вблизи
нижнего положения теперь происходят с более высокой частотой.
Что же касается верхнего положения равновесия аа=я, то при
выполнении условия (40) оно становится устойчивым; именно этой си-


§ 4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
179
туации соответствует рис. 19, б. (Интересная идея о возможности
«вибрационной стабилизации» упругих систем на основе этого
эффекта принадлежит В. Н. Челомею [343].)
Рассмотрим теперь случай, когда движение маятника с
вибрирующей осью представляет собой наложение малых быстрых
угловых колебаний \р (/) на равномерное вращение с угловой скоростью
со, и мы в сущности имеем дело с вращающимся неуравновешенным
ротором (рис. 19, в):
Ф=©*+«(/)+♦(/, Ы). (41)
Для медленной составляющей а таким же путем, как и ранее,
получается уравнение
/а + ka
k(d = Y ml A®2 cos а,
где в правой части снова фигурирует соответствующий
вибрационный момент. Благодаря действию этого момента при выполнении
условия
2£/(m/Л о>)<1
существует устойчивое стационарное вращение маятника,
поддерживаемое вибрацией его оси [47]; на этом эффекте основана работа ряда
вибрационных машин [38]. Таким же путем можно изучить и
стационарное вращение с угловыми скоростями
/ю/л(/\ л=1,2, 3, . . .).
Отметим в заключение, что
описанные варианты поведения маятника с
вертикально колеблющейся точкой
подвеса не исчерпывают всех возможных
случаев. Так, в некоторой области
значений параметров Л и со нижнее
положение равновесия становится
неустойчивым, а верхнее, наоборот, устойчивым.
Этот неожиданный обмен свойствами
выясняется с помощью диаграммы Айнса —
Стретта, о которой говорится на с. 265 в
связи с явлением параметрического
резонанса 41. Однако в отличие от ранее
описанных явлений, потеря
устойчивости нижнего положения равновесия
может происходить при относительно низких частотах о> и
относительно больших амплитудах Л, т. е. здесь вряд ли можно говорить о
вибрации точки подвеса в указанном выше смысле.
Существуют и такие области значений Л и со, в которых движение маятника
имеет хаотический характер.
2. Самосинхронизация неуравновешенных роторов. Пусть два
или несколько неуравновешенных роторов приводятся во вращение
от независимых, номинально одинаковых асинхронных
электродвигателей (рис. 20). Если платформа, на которой установлены роторы,
р2=ы^в2


180
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
неподвижна, то установившееся вращение роторов происходит,
вообще говоря, с несколько различными угловыми скоростями,
вследствие неизбежных малых различий между двигателями (рис.
20, а). Однако если платформа обладает подвижностью, например
благодаря упругости опор (рис. 20, б), то средние угловые скорости
вращения роторов уравниваются — наступает самосинхронизация,
а между фазами вращения устанавливаются вполне определенные
соотношения.
Исходные дифференциальные уравнения, определяющие углы
поворота роторов фх и ф2, весьма сложны. После же перехода к
медленным переменным ах и а2, связанным с cpx и <р2 соотношениями
вида (34), получается система
Ii<il+b1aln-kl<u + W1(al — at9 со)-L^co), |
I2a2 + k2a2 + k2(o + W2(a1 — a2, <o) = L2(<o). J
Здесь Lx и L2—вращающие моменты, передаваемые роторам
электродвигателями, a Wx и W2 — вибрационные моменты, которые
можно выразить через параметры
системы [38]. Из уравнений (42) видим, р .j KvwwvP
что при отсутствии вибраций основа- w/y/W^^
ния, когда W1=Wi=Q9 вращения а
роторов независимы и происходят со лэьпы*
'"/л
*WS*>t/3tf. ЕЭ^ ME; Щ2 ' ''"""Pi
Рис. 21 Рис. 22
стационарными угловыми скоростями ь\ и со2, определяемыми из
условия уравновешивания электрических моментов моментами сил
сопротивления
^i(©i) = fti©i, L2(to2)=£2G)2.
При подвижности основания стационарное значение общей
угловой скорости ш и разности фаз ах—а2 определяются из уравнений
L1(co)^A1co+l^1(a1—a2, o>), Li((o)=k2^+W%(a1—a2, <о).
Без особых затруднений из уравнений (42) получаются и условия
устойчивости синхронных движений. Явление самосинхронизации
неуравновешенных роторов нашло широкое промышленное при-
менение.
3. Груз на шероховатой вибрирующей плоскости. Пусть груз
лежит на горизонтальной шероховатой плоскости. Если плоскости
сообщить достаточно интенсивную несимметричную вибрацию, то
груз начнет двигаться по ней со скоростью К, зависящей от частоты
и амплитуды вибраций (рис. 21). Этот эффект можно наблюдать,
например, в салоне летящего самолета, когда положенная на столик


§4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
181
газета (карандаш, шляпа) вследствие вибраций всей конструкции
медленно ползет в какую-то сторону. Другой типичный случай
представлен на рис. 22. Здесь груз, лежащий на неподвижной
плоскости, связан с неподвижным упором посредством пружины,
которая в положении равновесия груза недеформирована (рис. 22, а).
На груз параллельно плоскости действует постоянная сила Р,
меньшая предельной силы сухого трения. Если сообщить плоскости
вертикальные колебания достаточной интенсивности, то сухое
трение будет действовать подобно вязкому, и груз будет колебаться
около нового положения относительного равновесия, для которого
сила упругости пружины равна приложенной силе Р (рис. 22, б).
В описанных случаях удается получить точное решение задачи
о движении груза по шероховатой вибрирующей плоскости в виде
x=V(t)t+ty(t, <ut)=X(t)+$(t, *>').
где V{t) — медленно меняющаяся функция времени (или
постоянная), зависящая от параметров колебаний, аг|?(/, со/) — быстро
изменяющаяся периодическая составляющая периода 2я/со; при этом
величина V играет роль средней скорости движения. Простые
выкладки позволяют заключить, что в этих случаях уравнения
медленных движений могут быть записаны соответственно в форме
а) mX^WQ-kX,
б) mX + f(X) + cX = P,
где в случае a) W = W0—kX и в случае б) W=—f(X) —
вибрационные силы, зависящие от частоты, амплитуды и характера вибрации
плоскости, а с — коэффициент жесткости пружины, которая
предполагается такой, что о)0 = Кс/т<<с; со. Из уравнений (43) видно, что
в условиях рис. 21 установившимся состоянием груза является
его движение с постоянной средней скоростью X=W0/kt а в
условиях рис. 22, б — равновесие по медленно меняющейся координате
в точке Х=Р!с.
Пример рис. 21 служит простейшей моделью процессов
вибрационного перемещения — возникновения направленного в «среднем»
движения под влиянием ненаправленных в среднем воздействий.
Эти процессы широко используются в технике 142, 74]; они
встречаются и в природе. Почти все такие процессы (вибрационное
погружение свай, разделение сыпучих смесей, своеобразное поведение
сыпучей среды в сообщающихся вибрирующих сосудах, полет
птиц, плавание живых организмов и т. п.) можно объяснить в
рамках концепции о медленных вибрационных силах [37].
Из других механических систем, на которые вибрация оказывает
существенное влияние, укажем на гироскоп с вибрирующим
основанием. А. Ю. Ишлинский показал (см., например, 1134]), что эта
вибрация может при наличии упругой податливости элементов подвеса
и некоторых других неидеальностей приводить к весьма нежела-


182
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
тельному отклонению его оси от фиксированного направления.
Здесь формула для медленного вибрационного момента
непосредственно получается по методу осреднения, а из нее вытекает
выражение для средней угловой скорости возникающей прецессии.
Отметим, в частности, что направление этой прецессии оказывается
зависящим от знака разности (о — Vcjm, где со — частота вибрации,
т — масса ротора гироскопа, с0 — жесткость элементов подвеса;
замечательно, что этот исключительно просто и наглядно
полученный результат соответствует экспериментальным наблюдениям.
4. Кажущееся изменение механических свойств тел под действием
вибрации. Виброреблогия. Для последних лет характерно
интенсивное накопление фактов и результатов, относящихся к действию
вибрации на различные сложные среды — неоднородные твердые тела,
сыпучие тела, полимерные материалы, бетонные смеси, суспензии,
пульпы и т. п. При этом наибольший принципиальный и
прикладной интерес представляют случаи, когда под действием вибрации
поведение системы резко изменяется.
Речь идет, разумеется, о кажущемся изменении
макроскопических свойств материалов по отношению к медленным воздействиям;
характер этих изменений, как и выше, может быть объяснен
появлением соответствующих вибрационных сил в уравнениях,
описывающих поведение среды в медленных (основных) компонентах
определяющих переменных (т. е. для «наблюдателя в грубых очках»);
уравнения в исходных переменных справедливы (конечно, в
известных пределах) независимо от темпов изменения этих переменных.
Раздел механики, в котором изучается изменение под влиянием
вибрации реологических свойств тел по отношению к медленным
силам, можно назвать виброреологией [37, 41], а соответствующие
уравнения в медленных определяющих переменных —
виброреологическими уравнениями.
Классическим примером виброреологических уравнений
являются уравнения Рейнольдса в теории турбулентности. Как
известно, изотермическое движение вязкой несжимаемой жидкости при
отсутствии объемных сил описывается уравнениями (см., например,
[194])
9^ + р{и-ч)и^ — чр + \ьУи, v* = °. (44)
где и — скорость жидкости, р — давление, р — плотность, \i —
ri ri A
коэффициент вязкости жидкости, а V = '§"*+/§- +*"§
оператор Гамильтона.
При турбулентном движении во многих случаях скорость и
давление можно представить в виде
u^U+u\ р=Р+р\
гдеUнР — медленные, а и' ир' — быстрые
пульсационныесоставляющие. Посредством осреднения уравнений (44) Рейнольде полу-


$4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
183
чил уравнения для медленных (основных) составляющих:
Эти уравнения отличаются от обычных уравнений
гидромеханики (44) наличием в правой части слагаемого
т
о
называемого вектором турбулентных напряжений. Таким образом»
первое уравнение (45) является типичным уравнением вида (37),
а вектор турбулентных напряжений, согласно нашей терминологии,
представляет собой вибрационную силу. Аналитическое
определение этой силы, т. е. нахождение ее зависимости от (7 и Р, связано
в данном случае со значительными трудностями. Однако уравнения
(45) можно рассматривать как уравнения движения некоторой
новой, отличной от исходной, жидкости, имеющей иные физические
свойства.
Особенность рассматриваемого случая состоит в том, что
колебания, носящие ярко выраженный стохастический характер, не
обусловлены действием внешних возмущающих сил, а возникают в
самой автономной системе.
Другим примером виброреологического подхода является модель
поведения слоя сыпучей среды в вибрирующих лотках и сосудах. Такая модель
представляет существенный интерес для уже упоминавшихся задач
вибрационной технологии.
В литературе можно часто встретить положение о том, что под действием
вибрации сыпучая среда становится текучей подобно вязкой жидкости.
Вместе с тем ряд примечательных эффектов, широко используемых в
технике, не получает объяснения в рамках этого положения. Так, например,
слой сыпучего материала может транспортироваться горизонтально или
вверх по вибрирующей плоскости или лотку подобно тому, как это проис-
лодит с грузом в виде цельного твердого тела в условиях рассмотренного
выше примера 3 (рис. 21). Аномально, по сравнению с жидкостью, ведет
себя сыпучая среда и в сообщающихся вибрирующих сосудах: как правило,
в них устанавливаются различные уровни; сыпучая среда, помещенная в
вибрирующий лоток, который по ходу ее транспортирования ограничен
бункером, может заполнить этот бункер, поднимаясь снизу вверх (это так
называемый эффект вибробункеризации).
Рассмотрение системы, изображенной на рис. 21, а также ряда других
подобных систем с сухим трением и неудерживающими связями наводит
на мысль, что медленные движения сыпучей среды в вибрирующих лотках
и сосудах можно описать, считая среду вязкой жидкостью, но вместо
обычных условий прилипания к стенкам задавать касательные напряжения,
представляющие собой соответствующим образом найденные вибрационные
силы [41]. Таким путем удается объяснить и описать все перечисленные выше
эффекты. Естественно, что жидкость, моделирующая сыпучую среду, при
этом не обязательно должна предполагаться ньютоновской; ее
реологические характеристики должны зависеть от параметров вибрации. В ряде
задач, в частности, при рассмотрении медленных («конвекционных») потоков,
возникающих в сосудах под действием вибрации, может оказаться необхо-


184
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
димым учитывать не только поверхностные, но и объемные вибрационные
силы.
Приведенные примеры, число которых можно было бы значительно
увеличить, свидетельствуют об эффективности изложенного подхода к
большому кругу задач о действии вибрации в нелинейных механических системах.
Своеобразие этих задач дает основание для выделения данного подхода под
названием вибрационная механика, понимая под таковой механику, которая
описывает медленные движения, возникающие при действии вибрации в
нелинейных механических системах, т. е. механику систем со скрытыми быстрыми
движениями. Можно сказать также, что вибрационная механика —- это
механика, которой должен руководствоваться наблюдатель, не замечающий
быстрые движения и быстрые силы, т. е. смотрящий на систему как бы через
уже упоминавшиеся очки, сквозь которые видны только медленные движения
и медленные силы. Такой наблюдатель, конечно, «необъективен», однако его
видение процессов, протекающих под действием вибрации, совпадает с
точкой зрения конструктора или технолога, для которых часто не имеют особого
значения быстрые движения, а важен лишь осредненный эффект, общая
тенденция в поведении системы. Более того, дли создателей новых
вибрационных процессов и устройств принятие позиции указанного «необъективного»
наблюдателя представляет удобный способ мышления — методический
подход, позволяющий как бы обойти, отменить препятствующие достижению
цели законы механики и получить неожиданные полезные эффекты *).
Рассмотрим теперь весьма существенный вопрос об алгоритме перехода
от исходной математической модели (36) к огрубленной модели (37) в
основных переменных, или, что то же самое, вопрос о нахождении вибрационных
сил W. Этот переход осуществлялся рядом исследователей как с помощью
метода малого параметра Пуанкаре — Ляпунова и других асимптотических
методов, так и посредством рациональных приемов. Здесь мы воспользуемся
иным, в ряде случаев более простым путем, причем одновременно будет
установлена возможность перехода к уравнениям типа (37) в общем случае
разделимости движений [37, 74].
Излагаемый подход включает два этапа. Вначале в духе механики
систем со скрытыми движениями производится преобразование исходной
системы (36) к системе относительно переменных ЛГ и ф с некоторыми
дополнительными соотношениями; затем полученная система решается
приближенно.
Для реализации первого этапа подставим в уравнение (36) выражение
(34) и обозначим для краткости
Л=Л (X X, ij>, Ц>, t) = F(X+jp, *+Ч>> *) — ?(*> X, t). (46)
Потребуем теперь выполнения следующего равенства в получившемся
соотношении:
m$=F1(X, X, tj>, ф, t) — <F1(X, X, tj>, t|>, /)> +
+ Ф(ЛЧ-Ч>. *+Ч>> t, т) —<Ф(ЛГ+ф, X+q, t, т)>, (47)
где осреднение производится по быстрому времени т, входящему как
непосредственно, так и через посредство функции ф. Тогда должно выполняться
также уравнение
mX=F(X, X, 0 + ^(Х, X, ip, t|>, ф + <Ф(Х+$, *+Ч>> t, т)>. (48)
Довод в пользу именно такого «расщепления» исходного уравнения
будет ясен из дальнейшего. Пока же отметим, что если найдено какое-нибудь
*) Отметим, что временное игнорирование в процессе изобретательской
деятельности физических законов — так называемая фантастическая
аналогия, предложенная У. Гордоном,— оказалась весьма эффективным
методическим приемом [114J.


§4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
185
решение X*, if* системы интегро-дифференциальных уравнений (47), (48),
то выражение x*=A'*+if* служит решением уравнения (36) независимо от
предположения о темпе изменения функций X и if. Заметим также, что,
подставляя в (48) любую функцию if (/, т), мы приходим к уравнению вида
(37), т. е. уравнению, отвечающему грубой модели. При этом получается
следующее выражение для вибрационной силы W:
W(X, X /) = —<Ф(ЛГ+4>, *+*. '» Ф — <Л(Х X, if, if, ф. (49)
Вибрационная сила, таким образом, представляет собой результат
осреднения по быстрому времени быстрой силы — Ф и того быстрого вклада
—Fi, который выделяется из медленной силы — F на траектории движения
системы х—АГ-Ьф • В соответствии с этим можно различать собственно
вибрационную силу W{s)=z — (Ф) и индуцированную вибрационную, силу W(i)=
Решение системы уравнений (47), (48) в общем случае ничуть не проще,
чем решение исходного уравнения (36). Однако если учесть основное
предположение о темпах изменения функций X и if, то представляется
естественным следующий прием приближенного решения|этой системы (этап второй).
Вначале решается уравнение (47), причем величины ЛГ, X и /, изменение
которых за период быстрого движения 2д/со относительно мало, в процессе
решения рассматриваются как «замороженные» величины, т. е. постоянные.
Допустим, что это уравнение действительно допускает при «замороженных»
ХУ X и t асимптотически устойчивое по быстрым обобщенным координатам
и 2я-периодическое по со/ решение, удовлетворяющее условию (35).
Заметим, что уравнение (47) взято при «расщеплении» уравнения (36)
таким, чтобы выполнялось условие существования указанного решения—
для этого достаточно почленно проинтегрировать уравнение (47) по (at.
Выполняется обычно в реальных задачах и условие асимптотической
устойчивости решения. Подставив найденное решение if=if (X, X, ty со/) в правую
часть уравнения (48), мы приходим к уравнению типа (37) для определения
медленной составляющей Х\ теперь, однако, это уравнение лишь
приближенное.
Описанный приближенный прием решения системы (47), (48) допускает
обоснование в духе асимптотических методов. А именно, посредством
введения малого параметра jll = 1 /о> и простого преобразования уравнений их
можно привести к системе уравнений с многомерными быстрыми и медленными
движениями, для которых В. М. Волосовым была разработана специальная
схема осреднения [79]. Уравнение (37), полученное описанным выше образом,
отвечает первому приближению упомянутой схемы осреднения. Тем самым
решается и вопрос о вычислении последующих приближений для функций
if и X (см. также [219, 223]); впрочем, надобности в таком уточнении, как
правило, не возникает.
Существенно, что функция if входит в выражение для IV под знаком
интегрирования. Это позволяет ограничиться приближенным определением
функции if из уравнения (47), например, в виде суммы небольшого числа
гармоник или небольшого числа членов ряда по степеням малого параметра.
Часто можно считать, что if мало по сравнению с X (X мало по сравнению
с if в силу исходного предположения). Во многих случаях допустимо
учитывать лишь линейные члены в разложении функции Ft по степеням if и if,
положив, согласно (46),
где производные вычисляются при if=0 и if=0; тогда, в силу (49), имеется
лишь собственно вибрационная сила W= W(S)==Z — (Ф), а индуцированная
вибрационная сила отсутствует. С другой стороны, при отсутствии в
исходном уравнении (36) быстрой силы Ф вибрационная сила может быть отличной


186
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
от нуля за счет своей индуцированной составляющей; такая ситуация
характерна для случая быстрых автоколебаний в систамах с медленными силами.
Составив уравнение (37), можно осуществить апостериорную проверку
исходного допущения о разделимости движений. Такая проверка всегда
необходима, поскольку движения, описываемые этим уравнением, могут ока*
заться быстрыми, несмотря на то, что движения, описываемые тем же
уравнением, при УУ=0 являются медленными.
В качестве примера использования изложенного способа перехода к
уравнениям медленных (основных) движений рассмотрим вновь задачу о
маятнике с вибрирующей точкой подвеса. Уравнения (47) и (48) в данном
случае имеют вид
!•$+ kq = — mgl (sin (а + ip)—<sln (a +1|>)>) +
+ mlA(D* [sin at sin (a-f-ip) — <sin Ш sin (a + i|>)>b
la-\-ka-\-mgl sin a = —mgl <sin (a-f-ty)—sin ау + т1Аы2 <sin Ш sin (a + i|>)>.
(50)
Первое из них есть уравнение быстрых движений; при его решении надо
считать угол а (медленную переменную) постоянным. Предполагая к тому
же малым угол if, а также параметры m/Л//, £/(/о>) и отношение частоты
свободных колебаний маятника щ—Vmgl/J к ш (последнее как раз отвечает
предположению о медленности изменения а по сравнению с if), получим,
ограничиваясь членами первого порядка малости, if= — (mgAlJ)sin a sin <ot.
Подставив это выражение в уравнение (50) и выполнив после линеаризации
по if операцию осреднения, придем к уравнению (39).
Более полное изложение метода прямого разделения движений и ряд
примеров его использования можно найти в работе [37]. Этот метод можно
рассматривать как обобщение и развитие эвристического приема,
использованного П. Л. Капицей при решении задачи о движении маятника с
вибрирующей точкой подвеса [139]. (П. Л. Капица ввел также понятие о
вибрационном моменте.) В дальнейшем указанный прием и понятие о вибрационных
силах использовались в работах [38, 156, 273] и других для исследования
поведения различных систем под действием вибрации и для интерпретации
результатов. Отдельные элементы данного подхода можно проследить и в
работах, предшествовавших статье П. Л. Капицы,— в уже упоминавшихся
исследованиях по теории турбулентности, а также нелинейной акустике,
радиоэлектронике и в предложенном позднее эффективном методе
исследования нелинейных систем — методе гармонической линеаризации.
Еще раз подчеркнем, что практическое применение метода прямого
разделения движений неизбежно содержит ряд рациональных элементов —
начиная от гипотезы о разделимости движений и кончая использованием
приближенного решения. Формализация, связанная с возможностью
введения малого параметра и с использованием асимптотических методов, по
существу мало что изменяет по причинам, которые были подробно обсуждены
в § 2-3.
Изложенный способ приближенного решения систем уравнений
(47) и (48) является лишь одним из путей получения выражений для
вибрационных сил, т. е. перехода к грубой модели (37). Можно
указать еще два, в известном смысле полярно противоположных
способа, по отношению к которым рассмотренный выше способ занимает
промежуточное положение.
Первый способ относится к редкому, но все же встречающемуся
случаю, когда известно точное или приближенное решение
уравнения исходной модели (36), имеющее вид (34). Тогда вычисление силы
W сводится к осреднению согласно формуле (49). Полученное


§4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
187
выражение для W может быть использовано при решении близких
более сложных задач.
Другой способ, который можно называть феноменологическим,
относится к противоположному случаю, когда задача столь сложна,
что ни исходное уравнение (34), ни уравнение (47) для определения
быстрой составляющей tf решить (а иногда даже и составить!) не
представляется возможным. Тогда прибегают к гипотезам о виде
функции W(X, X, t), основанным преимущественно на
экспериментальных данных. Примерами такого подхода являются так
называемые полуэмпирические теории турбулентности [194], первые работы
по теории зибропогружения свай [25] (в которых грунт под
действием вибрации рассматривался как жидкость с коэффициентом
вязкости, зависящим от параметров вибрации), а также работы по
виброползучести.
Такие исследования являются, несомненно, полезными, по
крайней мере до тех пор, пока проблема не будет разработана более
обстоятельно.
Весьма примечателен случай, когда вибрационные силы Ws=
^WS(X) оказываются потенциальными, т. е. существует такая
функция D=D(X), называемая потенциальной функцией, что
Ws==zmdXj (s^b •••* k)
(k — размерность вектора X). Системы, для которых существует
функция D, названы потенциальными в среднем динамическими
системами [39, 41]. Существенно, что исходная («обычная»
механическая) система (35) может быть существенно неконсервативной,
а система (36), описывающая медленные движения
(«вибромеханическая» система),— обладать потенциальной функцией.
Для потенциальных в среднем систем справедливы теоремы об
устойчивости движения, вполне аналогичные классической теореме
Лагранжа—Дирихле об устойчивости положений равновесия:
точкам минимума функции D отвечают устойчивые движения
соответствующих систем. Такие экстремальные признаки устойчивости
были доказаны для ряда квазиконсервативных систем, для задач
о синхронизации вращающихся тел, а также для систем с
кинематическим и динамическим возбуждением колебаний [38, 186, 267,
304]. Существенно, что при этом функция D имеет четкий
физический смысл: обычно ее основную часть представляет среднее
значение функции Лагранжа системы или ее частей, взятое, в
зависимости от характера системы, со знаком плюс или минус.
Значение экстремальных признаков устойчивости состоит в
том, что с их помощью, во-первых, удалось доказать ряд важных
общих положений качественного характера, а во-вторых, получить
наглядный и простой способ анализа устойчивости ряда конкретных
систем. В частности, экстремальный признак устойчивости
синхронных движений позволил установить в общем виде тенденцию


188
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
к синхронизации в системах вращающихся тел (в том числе для
орбитальных движений небесных тел), обосновать обобщенный
принцип автобалансировки неуравновешенных тел, получить
условия устойчивости синхронных движений механических
вибровозбудителей, используемые при создании новых вибрационных
машин [38, 39, 41].
В заключение заметим, что подобно тому, как выше говорилось
о разделении движений, в случае пространственных координат
иногда оказывается возможным осуществить разделение измерений.
Именно, пусть характерные размеры тела (или некоторой его
мысленно выделенной части) в каком-либо измерении существенно
меньше, чем в остальных. Тогда можно, выбрав сначала мелкий
основной масштаб, изучить структуру тела в указанном измерении,
приняв характеристики тела в остальных измерениях за параметры;
после этого можно учесгь эту структуру интегральными
характеристиками и, выбрав крупный основной масштаб, рассмотреть
картину в остальных измерениях. Такое разделение измерений
проводится, в частности, в теории пограничного слоя.
П. О контроле модели. Вопрос о методах проверки адекватности
модели в целом достаточно сложен, и мы не будем им здесь
подробно заниматься. Мы выскажем только несколько простых
соображений, которые помогают предотвратить грубые ошибки в
начальной стадии построения модели; впрочем, некоторые
соображения по этому поводу были изложены в предыдущих пунктах.
Ранее мы говорили о том, что полезно начинать с самых грубых
моделей и прикидок. Понимание того, что происходит в изучаемой
системе, какие факторы оказывают существенное влияние на
интересующие нас характеристики, может помочь создать достаточно
полную модель и избежать чрезмерного ее усложнения; это
понимание может существенно сказаться на выборе типа модели и набора
переменных, которые должны привести к удовлетворительному
ответу на интересующий нас вопрос по возможности более прямым
путем.
Одним из важнейших является вопрос о выборе законов и
гипотез, полагаемых в основу модели. Мы здесь не будем входить в
подробности по этому поводу (см. п. 4.6), укажем только еще раз на
опасности, связанные с привлечением искусственных и трудно
проверяемых гипотез *).
Однако допустим, что этот вопрос некоторым образом решен
и можно перейти к выписыванию соотношений, связывающих
участвующие в исследуемом явлении величины. При этом обычно
соблюдаются определенные хорошо известные правила сопровождающего
самоконтроля; некоторые из них мы здесь напомним.
*) «Наилучшие гипотезы — это простые гипотезы, которые легко
подтвердить экспериментально, если они верны, и легко опровергнуть с помощью
надлежащим образом подобранных решающих экспериментов или
наблюдений, если они неверны» (Н. Бейли [30, с. 59]).


$4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
189
Контроль размерностей состоит в применении примитивного
правила, согласно которому приравниваться и складываться могут
только величины одинаковой размерности. Им пользуются по
возможности чаще, не только на окончательной, но и на
промежуточных стадиях вывода соотношений. При переходе к вычислениям он
сочетается с контролем системы единиц.
Контроль порядков состоит в грубой оценке (прикидке)
сравнительных порядков складываемых друг с другом величин, чтобы
выделить основные слагаемые и уточняющие (в смысле п. 4.8)
члены, а явно малозначительные слагаемые отбросить. Пусть,
например, мы пришли к соотношению вида
а—Ь+с = О, (51)
причем путем прикидки установлено, что |с|<<с:а, а тем самым и
|с|<^&. Тогда от (51) можно перейти к приближенному соотношению
а—Ь=0. (52)
Допустим, что последнее соотношение имеет следующие
свойства:
1) оно нетривиально относительно интересующей нас
характеристики, т. е. из него можно сделать качественные и (или)
количественные выводы по поводу этой характеристики;
2) оно устойчиво относительно этой характеристики, т. е. малое
изменение уравнения приводит к сохранению качественных и
малому изменению количественных выводов.
Тогда из (52) можно сделать правильные качественные и
приближенно правильные количественные выводы по поводу
интересующей нас характеристики, если поправка с является «малой» в
смысле устойчивости; последний вопрос решается на рациональном
уровне. При этом уравнение (51) может быть использовано для
уточнения количественных выводов.
Возможны также особые случаи, для которых выполняется
только свойство 1), но не 2); тогда уравнение (52) недостаточно для
необходимых выводов. Однако если разработан способ, посредством
которого возможно, отправляясь от уравнения (52) и учитывая
теперь уже принципиально существенное слагаемое с, сделать
качественные и количественные выводы относительно
интересующей нас характеристики, то исследование может быть доведено до
конца.
Примеры таких особых случаев имеются в п. 4.8.
К этим способам контроля относится также контроль порядка
поправочных членов, появляющихся при замене одних
функциональных зависимостей другими (например при линеаризации
функций), одних геометрических форм другими и т. д. Далеко не всегда
можно предвидеть, как скажется такая замена на изучаемой
характеристике; поэтому возможность этой замены часто остается
более или менее правдоподобной рабочей гипотезой.


190
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
Контроль характера зависимостей. Здесь речь идет о проверке
направления и скорости изменения одних величин при изменении
других: эти направление и скорость, вытекающие из выписываемых
соотношений, должны быть такими, как это следует
непосредственно из смысла задачи. Пусть, например, мы вывели соотношение
вида d=a2b—с (а, 6, с>0). Тогда с ростом а и Ь значение d должно
возрастать, а с ростом с — убывать; кроме того, с увеличением а
и Ь скорость роста d (а) увеличивается и т. д. Сравнение этих
качественных выводов с тем, что вытекает из «физического» смысла
изучаемой задачи, служит добавочным средством контроля
правильности выведенного соотношения.
Контроль экстремальных ситуаций. Всегда оказывается
чрезвычайно полезным проследить за тем, какой вид принимают как
исходные, так и промежуточные соотношения, а также выводы из
исследования модели, если параметры модели или их
примечательные комбинации приближаются к крайним допустимым для них
значениям — чаще всего к нулю или к бесконечности. В таких
экстремальных ситуациях задача часто упрощается или
вырождается, так что соотношения приобретают более наглядный смысл и
могут быть проверены, если, как это часто бывает, соответствующие
им решения можно получить независимо от анализа общего случая
или они заранее известны. Хотя предельные переходы в решениях
задач механики описываются на языке математики, однако за
каждым таким переходом можно видеть не только «игру» величин,
но и некоторое умозрительное преобразование физических образов:
за устремлением некоторой величины к нулю (или бесконечности)
может скрываться, скажем, переход от вязкоупругои системы к
чисто упругой, от упругой опоры — к абсолютно жесткой, от
стержня с криволинейной осью — к стержню с прямой осью, от пластины,
имеющей форму правильного л-угольника,— к круглой пластине
и т. п. Поэтому, обсуждая решения механических задач, можно
говорить не только о предельных значениях некоторых величин,
но и о предельных механических образах, а вырожденную
механическую систему естественно трактовать как предел для
соответствующего общего случая.
Чаще всего предельные переходы вполне ясны по смыслу, в
их результатах трудно усмотреть что-либо удивительное, и они
прекрасно выполняют свою контрольную функцию. Но бывает и по-
иному — переход к предельному случаю не приводит к заранее
известным результатам, а обнаруживает нечто неожиданное и
поначалу трудно объяснимое. Пусть читатель не думает, что
сказанное содержит намек только на какие-то искусственно
сконструированные случаи, не имеющие практического значения.
Вот простой пример. Для балки, показанной на рис. 23, а, согласно
технической теории изгиба можно найти прогиб конца в виде
f=Pl(l-a)2/(3EJ).


$4- ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
191
Здесь Р — сила, приложенная к концу, / — длина балки, а — расстояние
между опорами, £ — модуль упругости материала балки, / — момент
инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси.
Следовательно, коэффициент жесткости балки (отношение силы к прогибу)
определяется выражением
с=3£//(/(/—а)*)
(53)
и существенно зависит от размера а. На рис. 23, б сплошной линией показан
график функции (53) в безразмерной форме. Естественно, что при а = /,
когда правая опора находится под силой, прогиб равен нулю, и коэффициент
—— .^. 1
77. _ ТЛТГ^
1
\т 1 ~
Xf
Рис. 23
жесткости оказывается бесконечно большим. Неудивительно и то, что с
уменьшением а коэффициент жесткости постепенно уменьшается. Но совсем странно
и даже необъяснимо, почему при а -*- О коэффициент жесткости оказывается
отличным от нуля — ведь в этом предельном случае обе опоры точно
совпадают, и система из геометрически неизменяемой становится механизмом,
неспособным сопротивляться действию силы, т. е. его жесткость должна быть
равной нулю. В чем здесь дело?
Прежде всего задумаемся над тем, как согласно обычной технической
теории происходит изгиб при весьма малых значениях а. В этом случае
изгиб в пределах левого участка балки очень мал, и этот участок как бы играет
роль заделки для правого участка — и притом тем лучше, чем меньше
размер а. Словом, формально получается, что при неограниченном сближении
опор балка превращается .не в механизм, как это должно быть в
действительности, а в консоль с жестким защемлением на левом конце.
А теперь нужно обратить внимание на то, что чем меньше размер д,
тем большими становятся опорные реакции, а вместе с этим растут и
поперечные силы в пределах левого участка; при а -+• О эти силы становятся
бесконечно большими. Именно здесь и содержится ключ к разгадке: при
больших поперечных силах нельзя пользоваться обычной технической теорией
изгиба, которая исходит из представления об отсутствии сдвигов, и нужно
(не можно, а именно нужно) учитывать перемещения, обусловленные
сдвигами. Если приближенно учесть сдвиги, то вместо (53) получится иное
выражение для коэффициента жесткости:
с =3EJ/[l (/—a)2 (\+3Er2/ (alG))]
(G — модуль сдвига, г — радиус инерции сечения балки). Соответствующий
график показан на рис. 23, б штриховой линией и ничего парадоксального
не обнаруживает.
Этот пример показывает, что если после предельного перехода
обнаруживаются какие-то неполадки, то это может служить при-


192
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
знаком неадекватности теории — возможно, лишь вблизи
предельной ситуации; действительно, при а//> 150 (г/7)2 можно спокойно
пользоваться обычной теорией, так как тогда расхождение формул
(53) и (54) составляет менее 2 %. Словом, и в этом случае
предельный переход приносит очевидную пользу не только для
контроля, но и для более глубокого понимания условий применимости
хмодели.
Еще пример: задача об изгибе пластинки, имеющей вид
правильного n-угольника, шарнирно закрепленного по контуру, при п ->- оо
не переходит в аналогичную задачу для круглой пластинки. Здесь
ситуация аналогична аппроксимации кривой линии с помощью
ломаной, составленной из отрезков координатных линий: площадь
под кривой при этом аппроксимируется, а длина кривой — нет.
Исследование экстремальных случаев служит не только целям
контроля, но может также явиться отправной точкой для
асимптотических представлений решения в условиях, близких к
экстремальным, что часто имеет самостоятельный интерес *).
К контролю в экстремальных ситуациях примыкают редкие
случаи, в которых при определенных, не экстремальных
соотношениях между параметрами возможен дополнительный контроль
модели, например, если при этих соотношениях соответствующие
дифференциальные уравнения интегрируемы в квадратурах и т. п.
Контроль граничных условий. Если в процессе исследования
математической модели должна быть построена некоторая функция,
то обычно требуется, чтобы на границе ее области определения
она удовлетворяла определенным граничным условиям,
вытекающим из смысла задачи. Это, в частности, относится к случаям (но
не только к ним), когда указанная функция получается как
решение дифференциального уравнения. При этом требуется контроль
того, что граничные условия действительно поставлены и учтены
при построении искомой функции и что эта функция на самом деле
удовлетворяет таким условиям.
Контроль математической замкнутости состоит в проверке
того, что выписанные математические соотношения дают возмож-
*) Дж. Коул [160, с. 10]: «Чтобы выявить все существенные черты
изучаемой задачи и дать хорошее численное приближение к точному решению,
математику-прикладнику (квалифицированному! —- Авт.) нужно лишь
несколько членов асимптотического разложения. Как это ни удивительно, но
часто дело обстоит именно так».
Отметим попутно, что в ряде случаев модель составляется в
предположении, что какие-либо из участвующих существенных параметров
(координаты, время, физические характеристики процесса и т. п.) обращаются в нуль
или в бесконечность. Такие модели можно назвать асимптотически верными,
и при их применении к реальным ситуациям возникает важный вопрос о том,
можно ли считать указанные параметры равными нулю (бесконечности).
Этот вопрос решается либо на основе более точного анализа, учитывающего
конечность значений параметров (см. пп. 5.10 и 5.14), либо путем сравнения
с экспериментом в типичных ситуациях.


§4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
193
ность, и притом однозначно, решить поставленную
математическую задачу. (Конечно, говоря об однозначности, мы не имеем в
виду, что если задача приведена к решению уравнения, то это
уравнение должно иметь единственное решение. Сама задача может
быть поставлена так: «найти какое-нибудь решение», «найти все
решения», «найти решение, удовлетворяющее такому-то добавочному
условию» и т. д.) Пусть, например, задача свелась к отысканию п
неизвестных из некоторой системы «конечных» (алгебраических
или трансцендентных) уравнений. Тогда контроль замкнутости
состоит в проверке того, что и независимых выписанных уравнений
имеется ровно п. Если их меньше п, то надо поискать недостающие
уравнения, а если их больше я, то либо уравнения зависимы,
либо при их составлении допущена ошибка. (Впрочем, если
уравнения получаются из эксперимента или наблюдений, то возможна
постановка задачи, при которой число этих уравнений в системе
заведомо превышает я, но сами уравнения удовлетворяются лишь
приближенно, а решение ищется, например, по методу наименьших
квадратов.) Среди условий также может быть любое число
неравенств, например в задачах математического программирования
(см. 2>29).
Конечно, стараются следить и за тем, чтобы система уравнений
была по возможности хорошо приспособлена к фактическому
отысканию решения (например, для системы линейных
алгебраических уравнений — чтобы она не была плохо обусловленной и т. п.;
см. п. 5.15).
, Контроль физического смысла состоит в проверке физического
или иного, в зависимости от характера задачи, содержания
промежуточных соотношений, появляющихся по мере
конструирования модели.
Контроль устойчивости модели гораздо более серьезен и
трудоемок, чем предыдущие приемы. Он состоит в проверке того, что
варьирование исходных данных модели в рамках имеющейся (по
необходимости, неполной) информации о реальном устойчивом
объекте не приведет к существенному изменению решения.
Имеются и более специальные методы контроля моделей,
принятые в отдельных конкретных областях приложения математики.
Укажем на простой подробно и интересно разработанный пример
построения математической модели задачи прикладной механики
с разбором ошибок и контролем в книге Дж. Диксона [115, с. 84
и далее], а также на содержательное обсуждение схемы
построения моделей и их контроля в статье А. Б. Мигдала [212, II, с. 105—
106].
12. Еще о моделировании в механике. Соображения,
высказанные выше, носят достаточно общий характер и почти в равной мере
относятся к различным областям приложения математики.
Сделаем еще несколько простых дополнительных замечаний о
математических моделях, специфичных для механики.
7 И. И. Блехман и др.


194 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
Говоря о моделировании при решении механических проблем,
обычно имеют в виду один из двух уровней. Для первого,
фундаментального уровня характерно построение достаточно общих
моделей, нацеленных на применение в широком круге практических
задач. Таковы, например, разнообразные модели современной
механики сплошных сред; укажем в особенности на работы Л. И.
Седова и его сотрудников (см. [289]).
Второй, прикладной уровень — выбор той или иной
«стандартной» модели (из числа разработанных \а первом уровне) для
адекватного описания заданной конкретной ситуации; он
непосредственно относится к инженерной деятельности. В простейших
случаях речь может идти о прямом продолжении традиции («...данную
систему мы будем считать идеально упругой...»), но иногда выбор
модели вырастает в непростую и ответственную проблему, для
решения которой нужны знания возможных вариантов и большой
опыт. Порой обнаруживается, что для описания данной ситуации
нет разработанной адекватной модели — и вопрос, который
поначалу поставлен на втором уровне, естественно перемещается на
первый *)
Моделирование на прикладном уровне в первую очередь
включает в себя схематизацию геометрических форм и квалификацию
тел в качестве материальных точек, абсолютно твердых или
деформируемых тел (сплошной среды) с теми или иными реологическими
свойствами.
В некотором смысле каждую реальную совокупность
достаточно большого числа частиц можно рассматривать как сплошную
среду.
В книге Л. И. Седова [287, с. 163 отмечается по этому поводу,
что в 1 см3 воздуха при О °С на уровне моря содержится N=2,678 • 101*
молекул; на высоте 60 км значение #=8-1015, и даже в
межзвездной среде iV^l. Таким образом, пишет автор, «даже межзвездный
газ можно рассматривать как среду с очень большим числом
частиц в малых (в астрономическом смысле.—Лет.) объемах».
Далее, отметив, что плотность железа равна 7,8 г/см3, тогда как
плотность атомных ядер железа равна 1,16-1014 г/см3, Л. И. Седов
пишет, что «все тела, по существу, «состоят из пустоты», и в то же
время в практически малых объемах пространства, занятого
телом, всегда заключено большое число частиц».
Тем не менее в механике широко и успешно применяются
модели, в которых тело считается не имеющим протяжения в одном,
двух или даже трех измерениях: в последнем случае тело заменяется
*) В описанной иерархии уровней можно заметить сходство с иерархией
творчества при создании одежды: есть художники-модельеры, т. е. авторы
моделей, рассчитанных на неких абстрактных людей» и есть закройщики,
которые, пользуясь альбомами модг более или менее удачно подбирают фасон
для данного клиента.


§4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
195
на материальную точку. Такая схематизация часто (особенно в
последнем варианте) существенно упрощает модель, хотя иногда
вредит ее адекватности. Возможность этого упрощения
определяется путем сравнения протяженности тела в соответствующих
измерениях с характерными протяженностями в рассматриваемой
задаче; в частности, отсюда вытекает распространенность
применения понятия материальной точки в небесной механике.
Предположение об абсолютной жесткости того или иного
протяженного тела также вносит значительные упрощения в модель
изучаемой системы. Естественно, что это предположение не имеет
абсолютного характера, а зависит от типа воздействий на систему.
Так, во многих динамических задачах некоторые элементы системы
можно считать абсолютно жесткими, если характерное время,
связанное с внешним воздействием, существенно больше, чем
наибольший период свободных колебаний элемента. Однако здесь имеются
и важные исключения: например, предположение об абсолютной
жесткости всех элементов статически неопределимой системы всегда
неадекватно задаче.
В ряде случаев допустимо моделировать отдельные тела
системы в виде безмассовых деформируемых элементов (например, в
виде упругих связей). Однако, как правило, приходится
одновременно учитывать как деформируемость, так и инерционность тел,
образующих механическую систему. При этом значительные
упрощения вносят кинематические гипотезы — гипотеза прямых
нормалей в теории пластин и оболочек, гипотеза о ламинарности
течения в гидравлике и т. п., хотя в принципе такие гипотезы снижают
степень адекватности модели.
Исключительно важным элементом моделирования сплошных
сред является выбор феноменологических зависимостей между
напряжениями и деформациями («определяющих уравнений»),
приводящий к понятиям упругого, упруго-вязкого или
упруго-пластического твердого тела, идеальной или вязкой жидкости или к
более сложным реологическим моделям.
Взаимодействие тел друг с другом учитывается с помощью
понятия силы. Силы часто оказывается возможным подразделять на
позиционные, т. е. зависящие от координат системы, скоростные,
т. е. зависящие от скоростей, и вынуждающие, т. е. заданные
непосредственно в виде функций времени и вносящие в систему
неавтономность (впрочем, эти признаки могут сочетаться). Понятие
о заданных вынуждающих силах обычно получается в результате
расчленения системы и отбрасывания части, на которую
остающаяся часть системы воздействует сравнительно слабо, как это
описано в п. 4.8; тогда, пренебрегая этим воздействием, можно
сказать, что отброшенная часть системы передает оставшейся части
силу, явно зависящую от времени.
Например, при изучении колебаний фундамента, на котором
расположена машина с движущимися неуравновешенными массами,
7*


196
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
обычно принимают, что относительное движение подвижных частей
машины не зависит от колебаний фундамента, а потому по
отношению к нему это движение определяет внешнюю силу, полностью
заданную во времени. Однако на самом деле неуравновешенная
машина и фундамент составляют единую систему, и хотя в ряде случаев
указанное приближение является вполне приемлемым, все же при
определенных обстоятельствах приходится вспоминать о
взаимодействии, а не только о действии в одном
направлении (см., например, [41, 741).
Несколько слов о консервативных механических системах.
Моделирование динамических систем 42 в виде систем
консервативных сыграло и продолжает играть выдающуюся роль в
механике и вообще в физике. Вместе с тем модели, в которых не
учитывается действие диссипативных факторов, часто оказываются
неадекватными рассматриваемым реальным процессам; об этом
уже говорилось в пп. 2.14 и 4.5. Примечательно, что, как правило,
именно в этих случаях при изучении консервативных моделей
возникают исключительные математические трудности. Их
преодоление вызвало появление ряда глубоких и интересных по своим
идеям исследований, хотя из-за упомянутой неадекватности
многие из этих исследований, принадлежащих порой выдающимся
авторам, нельзя непосредственно применить к реальным системам *).
Учет всегда имеющихся в действительности диссипативных сил с
одной стороны, приводит к резкому изменению качественной
картины семейства траекторий в фазовом пространстве, а с другой
(и это, несомненно, связанные вещи!), устраняет упомянутые
математические осложнения при изучении системы.
Наиболее яркими примерами здесь могут служить модель
идеальной жидкости в гидродинамике и так называемая проблема
малых знаменателей (резонансов, синхронизации) в нелинейной
механике.
В колебательных упругих системах силы трения иногда
оказывают дестабилизирующее влияние, и поэтому неадекватность
консервативной модели может сыграть прямо-таки коварную роль.
Упомянем здесь явление неустойчивости вращающихся валов
вследствие внутреннего трения (в закритической области), а также
парадокс Циглера, касающийся устойчивости стержневой системы,
находящейся под действием следящей силы. В этих случаях
пренебрежение внутренним трением может привести к необоснованно
оптимистическим оценкам устойчивости.
На характере математических моделей механики
останавливается А. Ю. Ишлинский [135].
*) Мы ни в коем случае не хотим сказать, что эти исследования не нуж*
ны. Столь важная общая динамическая модель, как консервативные системы,,
несомненно, заслуживает всестороннего изучения на дедуктивном уровне.
Кроме того, указанные исследования представляют собой крупный вклад
в развитие математики»


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
197
§ 5. Выбор метода исследования
ЭВМ, «освобождая нас от многих...
обязанностей, не освобождает во всяком
случае от двух: от необходимости владеть
математическим аппаратом и творчески
мыслить».
В. Я. Феодосьев [324, с. 16 5]
1. Внешнее и внутреннее правдоподобие. Мы уже говорили
о том, что прикладное исследование, в котором применяется
математика, вслед за этапом построения математической модели
содержит этапы выбора метода исследования и реализации этого
метода. Обычно первый этап завершается записью исходных
соотношений, уравнений задачи, тогда как дальнейшие этап l состоят в
решении математической задачи, которое может включпь
получение как количественных результатов, так и качественны;: выводов.
(Мы будем для определенности говорить об «уравнениях задачи»,
хотя все сказанное будет полностью относиться и к случаю, когда
математическая модель имеет какую-либо иную структуру.)
Таким образом, решение строится по схеме
реальный объект -> модель -> решение, (55)
после реализации которой наступает этап анализа и интерпретации
решения; этот этап «сбора плодов» рассмотрен в § 6. Отметим, что
в соответствии с п. 4.3 решению может предшествовать построение
целой цепочки моделей; тогда для составления схемы (55) надо
остановиться на какой-то одной из них, считая, что переходы,
обозначенные на этой схеме стрелками, включают и построение
промежуточных моделей.
Обычно степень адекватности модели заранее не известна, а
выясняется только после многократных проверок в изучаемой и
сходных задачах. Чаще всего после выбора модели исследователь
может лишь предполагать, какова степень ее адекватности. Эту
ожидаемую степень адекватности мы будем называть внешним
правдоподобием схемы (55); оно характеризует соответствие
математической модели изучаемому реальному объекту в глазах
исследователя по интересующим его свойствам. Внешнее правдоподобие,
как правило, тем ближе к истинной степени адекватности, чем выше
опытность и интуиция исследователя или коллектива
исследователей в изучаемой области, чем более «апробированным»
является тип применяемой модели. (Отметим, что, как и в конце п. 3.1,
можно было бы ввести еще один психологический параметр,
характеризующий степень уверенности исследователя в правильности
оценки им внешнего правдоподобия схемы.) Впрочем, одной из
драматических сторон научной деятельности является часто
встречающаяся и легко понятная склонность даже опытного
исследователя преувеличивать степень адекватности избранной им модели;


198
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
как правило, это преувеличение выясняется с большим
опозданием и нередко другими специалистами.
Аналогичным образом можно ввести понятие внутреннего
правдоподобия схемы (55), характеризующего ожидаемую степень
адекватности по изучаемым характеристикам второго перехода (55);
в частности, если модель имеет вид системы уравнений, речь идет
об ожидаемой точности решения. Мы уже говорили в § 3, что и в
процессе решения уравнений прикладной задачи широко
применяются рациональные переходы, приводящие к тому, что за
исключением самых простых задач решение обычно оказывается не вполне
адекватным модели.
Выбор метода исследования математической модели
непосредственно связан с внутренним правдоподобием исследования.
Проводя это исследование на чисто дедуктивном уровне, мы поднимаем
внутреннее правдоподобие до максимально возможного; можно
сказать, что степень внутреннего правдоподобия чисто дедуктивного
исследования равна единице. Если же, как обычно в прикладном
исследовании, мы упрощаем уравнения системы без полного
дедуктивного обоснования, используем понятие практической
сходимости, проводим вычисления на ЭВМ или совершаем другие
рациональные переходы, то внутреннее правдоподобие понижается.
Среди многих вопросов, касающихся соотношения между
внешним и внутренним правдоподобием, одним из центральных является
вопрос о разумных требованиях к внутреннему правдоподобию
при принятом уровне внешнего правдоподобия, т. е. при
фиксированном выборе математической модели. От решения (по
необходимости рационального) этого вопроса может существенно зависеть
выбор метода исследования модели. По этому поводу широко
известны две точки зрения.
Первой из них придерживается большинство авторов
прикладных исследований. Она состоит в том, что бессмысленно строить
слишком точные решения уравнений, при составлении которых
была значительно огрублена реальная картина. Другими словами, в
соответствии с общим принципом оптимальности при решении
прикладных задач (п. 1.7) необходимо учитывать, насколько
повышение затрат труда на увеличение внутреннего правдоподобия окуг
пится ожидаемым повышением итоговой адекватности решения
реальному объекту.
Другая точка зрения, высказанная в явной форме Д.
Гильбертом (см., например, [88, с. 18—19]) и А. М. Ляпуновым 1471] и
повторяемая порой в настоящее время, состоит в том, что после
формулировки прикладной задачи на математическом языке ее
нужно решать на уровне чистой математики. В принятых здесь
терминах это означает, что внутреннее правдоподобие должно быть
максимальным независимо от уровня внешнего правдоподобия *).
*) Относительно недавно оформилась своеобразная область математики,
различные направления которой иногда называются «физической математи-


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
199
Мы увидим ниже, что бывают случаи, когда вторая точка
зрения оказывается целесообразной, а в некоторых ситуациях она
даже необходима. Но все же в подавляющем большинстве случаев
естественно принять первую точку зрения, т. е. соразмерять
строгость решения с внешним правдоподобием. Можно сказать, что
в этой позиции содержится принцип соответствия внешнего и
внутреннего правдоподобия, аналогичный известному правилу
приближенных вычислений: степень точности вычислений должна
отвечать степени точности исходных данных.
Рассмотрим этот вопрос на качественном уровне подробнее.
Для этого обозначим, наподобие степени адекватности (п. 4.3),
степени внешнего и внутреннего правдоподобия схемы (55) через
Рех и ptn'y разумеется, в мало-мальски «приличных» исследованиях
значение р1п близко к единице — в сущности это и есть признак
«приличности». Ожидаемая итоговая адекватность р0 решения
кой»» «биологической математикой» и т. п. Для этой области, промежуточной
между чистой и прикладной математикой, характерно то, что та или иная
математическая модель реального объекта как бы абсолютизируется и изучается
на полностью дедуктивном уровне с доказательством теорем существования
и других утверждений, свойственных чистой математике. При этом
терминология заимствуется из дисциплины, к которой относится исходный объект,
так что теорема может иметь вид «существует течение» и т. п. Хорошо
известными примерами здесь служат математические исследования уравнений На-
вье — Стокса, нелинейной теории упругости, пограничного слоя и других
уравнений, непосредственно пришедших из механики и физики. (Сюда же
примыкает классическая математическая физика, которую более естественно
относить к физической математике. Впрочем, сейчас оформляется и
неклассическая математическая физика, которая, пожалуй, более тяготеет к
физике.)
Эта область представляет несомненный интерес для прикладной
математики. Некоторые из полученных в ней результатов (в частности, имеющих
качественный характер) могут быть использованы непосредственно, другие
могут способствовать формированию правильной интуиции или подсказать
практически приемлемые методы изучения задачи и повысить степень их
достоверности. Вместе с тем в отдельных случаях прикладное использование
таких результатов может быть существенно затруднено по причинам,
описанным в § 2. Кроме того, некритическое применение этих результатов в
реальной ситуации может привести к ложным выводам (да еще с иллюзией строгой
обоснованности), если сама модель окажется неадекватной. (Отметим,
например, некоторые гидродинамические парадоксы, описанные в книге [341
и проистекающие только из несовершенства моделей.) К сожалению,
некоторые авторы дедуктивных построений, зачарованные их стройностью и
внутренней красотой, порой занимают воинственную позицию и объявляют
хорошо зарекомендовавшие себя прикладные теории «несовершенными»,
«полностью скомпрометированными» и даже «принципиально порочными».
Конечно, эти крайние выражения (заимствованные нами из подлинных
выступлений — устных и печатных) глубоко несправедливы. Любопытно, что именно
такие непримиримо настроенные авторы особенно чувствительны к обратным
(и часто тоже несправедливым) упрекам в полной практической бесполезности
их дедуктивных теорий.
Сходный характер часто имеют исследования, в которых на чисто
дедуктивном уровне изучаются отдельные вопросы вычислительных процедур, если
такие исследования не нацелены на применение при реальных вычислениях.


200
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
реальному объекту равна произведению
Рэ = РехРт-
Обсуждение вопроса о разумном выборе значения pin — как
и множества проблем оптимизации — невозможно без привлечения
понятий экономики. Пусть ожидаемая выгода от достижения
адекватности р0 (измеряемая, в конечном счете, в денежных единицах)
равна F(pexpin) и f(pm) — затраты, необходимые для
обеспечения некоторого уровня /?in. Наша задача сводится к
максимизации разности
R = F(p*xPin)-f(Pin) (56)
двух возрастающих функций аргумента р{п (если считать рех
фиксированным).
В любой действительной ситуации построение функции / —
весьма непростая (и к тому же небесплатная) операция, а
построить функцию F вообще невозможно. Из-за практической «кевы-
числяемости» членов, входящих в (56), это бесспорно разумное
выражение не может претендовать на реализацию и имеет, пожалуй,
только символический смысл. Поэтому мы не будем увлекаться
формальными выкладками, а — лишь взглядывая время от
времени на (56) — воспользуемся понятными соображениями
качественного характера.
Прежде всего отметим те, в общем немногочисленные случаи,
когда не следует придерживаться указанного выше принципа
равного правдоподобия (первой точки зрения), а разумно
ориентироваться на выполнение точного равенства Pin^U т. е. на чисто
дедуктивное изучение модели — даже при невысоком внешнем
правдоподобии (это соответствует второй точке зрения). Нам
удалось выделить четыре типа таких случаев (не исключено, что какие-
то типы остались незамеченными).
1. Если речь идет об отработке единого метода, который
намечено применять к широкому заранее не фиксированному классу
моделей с широким диапазоном значений рех. В подобных случаях
метод должен быть кристально чист и удовлетворять самым
строгим дедуктивным требованиям. Именно с этим связана
полезнейшая прикладная роль общих теорем Ляпунова об устойчивости,
хотя в конкретных приложениях значения рех, а потому и р0,
далеко не всегда близки к единице.
2. Если целью исследования является выяснение качества
самой математической модели. Примером может служить следующая
ситуация. Установлено существенное расхождение между опытными
данными и результатами некоторого приближенного решения;
требуется выяснить, не виновата ли в этом избранная модель, т. е.
принятая схема явления. Понятно, что в данном случае
необходимо полностью исключить возможное влияние нестрогости
математического решения задачи и обеспечить р%п=1.


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
201
3. Если функции F — в отличие от функции / — особо
чувствительна к изменениям р1п и даже малое улучшение решения
влечет за собой заметную выгоду.
4. Если модель настолько проста, что для нее легко получить
точное решение. В этих условиях было бы бессмысленным
искусственно понижать строгость решения только для того, чтобы
выдержать соответствие с грубостью модели; такое выравнивание
уровней внешнего и внутреннего правдоподобия было бы
выражением своеобразного «догматизма наизнанку».
В других случаях (их большинство!) предпочтение должно
быть отдано «принципу равного правдоподобия», как это чаще всего
и делается. Обращаясь к этим случаям, нужно отметить, что, как
видно из (56), подстановка достаточно близкого к единице значения
/?in дает практически то же, что и подстановка р\п=1, т. е. что
чисто дедуктивные рассуждения не имеют практических
преимуществ перед рациональными рассуждениями достаточно высокой
степени достоверности. В подавляющем большинстве случаев
переход к значению Pin^l практически не повышает адекватности
решения в целом, но может сильно удорожить исследование. Это
нужно помнить, оценивая приемлемость «почти строгих»
элементов, таких, как, например, приближенные вычисления,— они
основаны на хорошо испытанных в некоторой данной области
приемах, но обычно не находятся на вполне дедуктивном уровне.
Выше математическая модель считалась построенной, а тем
самым уровень внешнего правдоподобия — фиксированным.
Однако высказанные соображения могут быть распространены также
на случаи, когда исследователь строит и математическую модель,
т. е. прикладная задача решается в полном объеме. Общее правило
очевидно: нерационально тратить значительные усилия на
повышение только одного из уровней правдоподобия, забывая о другом,
и совсем недопустимо повышать один уровень за счет существенного
снижения другого.
Хорошо известны два «уклона» от разумного образа действий.
Исследователь, наивно верящий во всесилие математики (в
частности, ЭВМ), безудержно стремится к повышению внешнего
правдоподобия, учитывая всевозможные связи и параметры. Это приводит
к весьма сложным системам уравнений, при решении которых
неизбежны огрубления, существенно понижающие уровень
внутреннего правдоподобия; соответственно терпит ущерб и общий уровень
адекватности результата.
С другой стороны, исследователь, заинтересованный лишь в
математическом совершенстве исследования, может в модели
значительно отклониться от реальной картины, если это даст ему
возможность получить элегантное и строгое решение *)
*) М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат пишут по поводу исследований в
области гидродинамики П83, с. 7): «...и сейчас пишется немало работ,
содержащих сложные и пространные результаты точной теории решений днфференци-


202
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
Оба эти «уклона» могут каждый по-своему создавать
иллюзию точности и строгости решения в целом. Если идет речь только
о возможном увеличении значения р0, то в оптимальной ситуации
значения 1—рех и 1— pin должны быть, как правило, одного
порядка. Однако это не всегда достижимо, и порой приходится
делать выбор между громоздкой моделью, обладающей высоким
внешним правдоподобием, но вынуждающей довольствоваться грубым
решением, и более простой моделью, у которой внешнее
правдоподобие понижено, но решение можно сравнительно легко получить
с высокой точностью, причем ожидаемый итоговый уровень
адекватности решения в обоих случаях примерно одинаков. В подобных
случаях, пожалуй, предпочтительней второй тип моделей, так как
в них обычно более ясны сделанные предположения и более
прозрачно видно влияние учтенных параметров задачи на ее решение *).
Приведем в заключение отрывок из книги [21, с. 65—661, относящийся
к необходимости уравновешивания внутреннего и внешнего правдоподобия.
«До сих пор мы предполагали, что нас интересуют точные решения
математических задач. Однако во многих инженерных проблемах
интересуются в основном решениями физических задач, а не точными решениями
математических. Современные представления о законах природы позволяют
формулировать задачи, которые более общи и сложны по сравнению с теми,
которые мы можем на самом деле решить. Упрощения, основанные на
физических или инженерных соображениях, нужно рассматривать как
приближения, формирующие по крайней мере одну стадию процесса решения.
Например, линеаризация задачи аналогична замене функций двумя первыми
членами их рядов Тейлора, техническая теория изгиба балки сводит
трехмерную задачу к двумерной и т. д. Строго говоря, точные оценки в таких
случаях будут учитывать не только погрешности, обусловленные численным
методом решения данной задачи (или в случае балки обусловленные
решением двумерной задачи), но также и погрешности, связанные с
линеаризацией или уменьшением числа измерений.
альных уравнений гидродинамики, весьма далекие от действительности. На
наш взгляд, практическая ценность этих работ существенно снижается
простым замечанием, что сами-то уравнения гидродинамики лишь весьма
приближенно отражают многие важные физические явления. Поэтому некоторые
результаты так называемой точной теории по бессмысленности напоминают
выкладки с огромным числом знаков над величинами, только очень грубо
приближающими точные».
*)[Р. Акоф и М. Сасиени в связи с задачами исследования операций
пишут [3, с. 454—455]: «Как правило, лишь несколько переменных играют
важную роль. Именно эти переменные представляют наибольший интерес для
исследователя, ибо он должен стремиться построить адекватную модель,
включающую минимальное число переменных. Напротив, руководители
обычно стремятся к тому, чтобы в модели содержалось как можно больше
переменных, полагая, что она станет максимально «реалистичной». (Это — уклон
первого типа, о котором мы только что говорили.— Лет.) Можно сказать,
что в определенном смысле цель ученого состоит в том, чтобы построить
простейшую модель, отображающую реальную действительность с приемлемой
точностью и полнотой... Модель, содержащая всего несколько переменных,
может отображать действительность более точно, чем модель, описываемая
целым сонмом переменных, если в первой соотношения между переменными
ближе к реальным зависимостям, чем во второй». См. также высказывание
У. Прагера на с. 169—170 и [2221.


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
203
Из этого следует сделать общий вывод о том, что мы должны изучать
как априорные, так и апостериорные оценки в едином комплексе всей задачи
с учетом сложности и удобства расчета. Необходимо учесть все эти аспекты
и выбрать надежный метод вычислений. Здесь имеются три возможности:
во-первых, может оказаться совершенно необходимым получить точную
оценку погрешности; во-вторых, может оказаться достаточным построение
(математическими методами) верхней и нижней границ погрешности;
в-третьих, достоверность результата, возможно, удастся проверить на основе
инженерных соображений. Примером математической оценки служит
асимптотическая оценка с последующей корректировкой. Надежность расчета с
инженерной точки зрения может быть проверена, например, тем, что мы
найдем точное решение другой математической задачи, близкой к исходной^
2. Замечание о взаимодействии прикладника и математика.
О совокупном влиянии внешнего и внутреннего правдоподобий на
итоговую адекватность решения важно помнить, в частности, в
случаях, когда к исследованию математической модели
привлекаются математики, не участвовавшие в ее построении. Математик
(особенно имеющий малый опыт работы в приложениях),
воспитанный на дедуктивных построениях, часто бывает склонен
абсолютизировать предложенную ему модель и вообще «заказ» прикладника,
что может привести к затрате неоправданно больших усилий, не
отвечающих повышению достоверности результата, или даже к
отказу от сотрудничества. На самом деле оптимальным, а порой и
единственно возможным является образ действий, при котором в
процессе построения решения сама модель может пересматриваться
и видоизменяться в зависимости от обстоятельств *) и желательного
уровня точности. Но для этого совместная работа математика и
прикладника должна носить характер непрерывного
сотрудничества, причем математик должен иметь отчетливое представление
о физической ситуации, а прикладник — о схеме построения
математического решения.
Вспоминается, как на I Всесоюзном съезде по теоретической и
прикладной механике в 1960 г. был сделан доклад о колебаниях
упругой балки при движении по ней грузов. В разложении
искомого решения по собственным функциям задачи о свободных
колебаниях докладчику удалось учесть несколько десятков слагаемых
(конечно, с применением ЭВМ). Выступавший в прениях Г. Ю.
Джанелидзе обратил внимание докладчика на то, что учет столь
большого числа форм станет логичным лишь при условии, что исходная
модель, которая соответствовала обычной технической теории
изгиба, будет заменена уточненной, т. е. отражающей влияния
сдвигов и инерции поворотов. Иначе, в этой работе достигнутый в
вычислениях высокий уровень внутреннего правдоподобия резко не
соответствовал уровню внешнего правдоподобия; докладчик, будучи
*) X. Розенброк и С. Стори [279, с. 30): «Каждая возникающая
математическая трудность должна вызывать подозрение — свойственна ли она
физике, или вызвана ошибкой в формулировании (т. е. в построении
математической модели.— Авт.), или просто является математической трудностью,
которую можно избежать другой формулировкой!»


204
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
прикладником по сфере интересов, вел себя как чистый математик,
которому как будто нет дела до внешнего правдоподобия модели.
В книге Я. И. Хургина [339, с. 7—23] описаны другие
распространенные промахи малоопытных прикладников. В одном
случае построение математической модели не было подчинено цели
реального исследования, а в другом исследователь не понимал
важности упрощения модели. Разобрав эти случаи, автор, сам матема*
тик, приходит к выводу: «Консультируя специалистов других
областей науки, математик должен разбираться в их задачах по
существу, а не просто отвечать на задаваемые ему вопросы».
При этом важную роль играет умение математика идти
навстречу прикладнику-заказчику. В частности, «нельзя ожидать от
заказчика, чтобы он точно знал, что он хочет. На многих стадиях
исследовательской работы не знать в точности, что ты ищешь,
вполне естественно» 1332, с. 392].
Н. С. Бахвалов [28. с. 12—-131: «Начинающий работу математик часто
жалуется на трудность контактов с представителями других наук, которые
«даже» не могут формулировать стоящих перед ними задач. Правильное
формулирование задачи — это проблема не менее сложная, чем само
решение задачи, и не нужно надеяться, что кто-то другой целиком сделает это
за вас. При постановке проблемы первостепенное внимание должно быть
уделено выяснению цели исследования: принимаемая математическая модель
явления не есть что-то однозначное, раз навсегда связанное с этим явлением,
а зависит от цели исследования. Прежде чем выписывать дифференциальные
уравнения, выбирать метод решения и обращаться к ЭВМ, стоит подумать,
г не будут ли бесполезны все результаты вычислений?».
Н. Н. Моисеев [222, с. 6—7J: «Математику самому приходится искать то
«жемчужное зерно», которое он впоследствии назовет моделью... Именно
модель — приближенное математическое описание — вот что является
ключом к успеху».
И. Грекова [101. с. 108—109]: «Современный прикладной математик (или
группа таковых), занятый решением практической проблемы, непременно
должен участвовать не только в решении, но и в постановке задач. Не только
в построении модели, но и в выборе целевой функции, в организации
расчетов, осмыслении результатов, выдаче рекомендаций. Словом, прикладная
математика не должна быть «белоручкой», в таком качестве она попросту
никому не нужна.
...Практик обращается к математику с какими-то смутными,
неопределенными жалобами на положение вещей и похож в этот момент на больного,
который сам не знает, что с ним. И это естественно, неужели же мы будем
требовать от больного, чтобы он приходил к врачу с уже готовым диагнозом?
А вот чистые математики классической школы часто требуют у практиков
уже готовой, четкой постановки задачи. Мое, мол, дело не ставить задачи,
а решать уже поставленные. Глубоко порочная позиция. Прикладной
математик для того и прикладной, чтобы уметь не только решать кем-то уже
поставленные задачи, но и самостоятельно ставить их. В прикладных
областях правильно поставить задачу — значит больше чем наполовину ее
решить (остальное более или менее вопрос техники — преобразований или
вычислений). Настоящий прикладной математик должен уметь распознать в
реальной ситуации главное, уметь отделить его от побочного,
второстепенного; уметь вычленить из живого тела ситуации ее математический скелет;
уметь разузнать у практика, что, собственно, ему нужно. Иногда
растолковать это самому практику. Поддерживая с ним постоянную, оперативную
связь, построить математическую модель, руководить расчетами по ней, лич-


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
205
но участвовать в анализе полученных данных, в выдаче рекомендаций.
Одним словом, работать засучив рукава, забыв о своей «сословной гордости».
Человек, не готовый к тому, чтобы вникать в существо и подробности
реальных процессов, не может и не должен заниматься прикладной мате-
штикойо (Здесь можно вспомнить старинную ирландскую поговорку: «Если
у тебя череп, как яичная скорлупа, то не езди на ярмарку в Дублин».)».
Добавим, чго контакт математиков с исследователями в сравнительно тради*
ционных областях приложения математики носит обычно иной характер,,
См, также 1353, с. 389—393; 383, 457, 547].
3. О роли прикидок. Построение решения прикладной задачи
или ее качественное изучение тем эффективнее, чем больше мы
имеем предварительных сведений об этом решении. Такие сведения
дают возможность оценить сравнительное значение отдельных
компонент в уравнениях задачи и иногда на основании этого упростить
уравнения; выбрать метод решения и конкретизировать его
(например, выбрать координатные функции в методе типа Галеркина или
нулевое приближение в итерационном методе) и т. п.
Довольно часто эти сведения доставляют навыки и интуиция
исследователя в его специальной области. Сформулировав на
математическом языке (что, конечно, бывает непросто), их желательно
использовать в максимальной степени.
Во многих случаях существенные сведения можно извлечь из
предварительного прикидочного исследования модели или ее
элементов. Хотя содержание таких прикидок и их ценность как важной
составной части прикладного математического исследования
достаточно хорошо известны, коротко остановимся на прикидочном
исследовании, Оно может быть направлено, в частности, на
— упрощение уравнений задачи, уточнение их структуры в
связи с предполагаемым методом их решения;
— получение предварительных сведений о самом решении.
Основной метод упрощения уравнения основан на прикидке
сравнительных величин отдельных его членов в изучаемом
диапазоне изменения переменных и параметров задачи. После этого
относительно малые слагаемые в уравнении обычно можно либо совсем
отбросить, либо упростить по форме, если имеются рациональные
основания ожидать, что такое упрощение не внесет в
интересующую нас характеристику решения ни качественных, ни
существенных количественных изменений. После решения упрощенного
уравнения можно путем подстановки проверить, в самом ли деле
относительно малы отброшенные члены; положительный ответ на этот
вопрос служит рациональным подтверждением законности
процедуры.
Аналогичным образом могут производиться и иные упрощения
этого уравнения, например замена заданной в уравнении
нелинейной зависимости на линейную. В некоторых случаях подобное
упрощение удается после разбиения диапазона изменения
переменных на части, причем в разных частях упрощенное уравнение имеет
различный вид. Тогда может получиться, что при построении


206
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
искомого решения приходится пользоваться несколькими
приближенными уравнениями и возникает задача о «склейке»,
«сшивании» решений этих уравнений, которая может представлять
определенные трудности *).
Если речь идет об упрощении дифференциального уравнения,
то приходится производить прикидку величин производных от
искомого решения, диапазоны изменения которых часто заранее не
задаются. При этом обычно пользуются следующим рациональным
правилом: если рассматривается функция у{х), причем
характерным интервалом изменения аргумента служит Л, а функции — L,
то характерным значением производной dyldx служит L/h,
характерным значением второй производной d2y/dx2 служит L/h2 (если
dyfdx не является приближенно постоянной, т. е. функция у(х) не
близка к линейной) и т. д. Для проверки можно рассмотреть
периодическую функцию у=А sin kx. Для нее h=n/k, а в качестве L
можно взять хотя бы удвоенное среднее квадратичное значение
функции, т. е. L = 2Л (sin2/wc)1/2 — V2A. Но y'=~-Ak cos kx, т. е.
за характерное значение для у' можно принять Akiyr29 для у"
получаем Ak2jVr2 и т. д. С другой стороны, L/h = V2Ak/ny L/h2 =
-.= V2 Ak2/n2, т. е. по порядку получаются те же значения.
Впрочем, видно также, что для более точных прикидок при оценке
второй и последующих производных требуется брать поправочные
числовые множители, учитывающие характер изменения функции.
Аналогичный результат получится, если перейти к безразмерным
переменным, выбрав за единицы измерения характерные диапазоны
их изменения, после чего отдельные члены в уравнении сравни-
*) Задача о «склейке» решений возникает и в том случае, когда решение
уравнения на различных интервалах изменения независимой переменной
строится разными методами. Например, можно склеивать асимптотические
разложения около различных точек или асимптотическое разложение на
бесконечности с численным решением на конечном интервале и т. п.
М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат [183, с. 7—8]: «...большинство
интересных физических процессов столь сложно, что при современном состоянии
науки очень редко удается создавать их универсальную теорию,
действующую во все время и на всех участках рассматриваемого процесса. Вместо
этого нужно посредством экспериментов и наблюдений постараться понять
ведущие факторы, которые в тот или иной отрезок времени управляют
процессом на том или ином участке. Выделив эти факторы, следует
абстрагироваться от других, менее существенных, и для данного участка и данного
отрезка времени построить возможно более простую математическую схему
(модель процесса), которая учитывает лишь выделенные факторы.
В ряде случаев в решения таких локальных задач нужно внести
поправки, учитывающие второстепенные, но также существенные факторы. Этот
учет производится при помощи дополнительных алгоритмов, действующих
на решения модельных задач. Для получения общей картины процесса теперь
остается только склеить решения отдельных локальных задач. Эта склейка
производится при помощи достаточно общих соображений таких, как
непрерывность поля скоростей и др. Следует отметить, что описанная общая
схема решения задач гидродинамики достаточно хорошо приспособлена для
организации машинного счета».


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
207
вать по их коэффициентам. (Различные методы оценки
математических выражений см. в [211, п. 1.1].)
Прикидка решения может быть в ряде случаев получена с
помощью рассмотрения наиболее грубых аппроксимаций уравнений
задачи или даже непосредственно из постановки задачи. Знание,
хотя бы самое грубое, качественных и количественных
характеристик искомого решения может помочь при выборе более точного
метода, а также дать дополнительное средство контроля. Поэтому
такие прикидки (для всего решения и его элементов) могут
оказаться полезными не только в начале, но и на дальнейших стадиях
исследования.
Пользу, подобную прикидке решения, может принести
построение решения в экстремальных либо других примечательных
ситуациях, о которых мы говорили в п. 3-5. Естественно, что при этом
надо иметь в виду ту специфичность (например, ту или иную
вырожденность), которую может внести особенность ситуации. В ряде
случаев это рассмотрение может также позволить выделить
главную часть решения в условиях, близких к экстремальным, что в
свою очередь сделает возможным уточнение решения на основе
какого-либо варианта метода малого параметра или итераций.
Общей методологии математического исследования ситуаций,
близких к особым, предельным ситуациям посвящена работа
Р. Г. Баранцева [24]. Такие ситуации автор называет
асимптотическими явлениями, а общую методологию их изучения — асимпто-
тологией. Под асимптотическими методами понимаются «...методы
исследования асимптотических явлений путем упрощения за счет
локализации, точность которых растет вместе с локализацией».
Приводя высказывание К. Фридрихса и Л. Сегелаотом, что
«...асимптотический подход больше чем еще один приближенный метод,
а скорее играет фундаментальную роль в математическом описании
физических явлений», Р. Г. Баранцев уделяет основное внимание
неформальному, эвристическому этапу изучения асимптотических
явлений, а также тем способам рассуждений, которые в этой книге
названы рациональными.
4, Выбор степени точности метода. Вопрос о выборе степени
точности вычислительного метода решения уравнений задачи
является одним из центральных в проблеме согласования уровней
внешнего и внутреннего правдоподобий. Мы уже упоминали в п. 5.1
о том, что степень точности вычислений должна отвечать степени
точности исходных данных. Добавим, что под «степенью точности
исходных данных» здесь следует понимать не только точность
задания (например, в результате измерения) параметров задачи,
но и степень адекватности математической модели изучаемому
реальному явлению.
Это, казалось бы, очевидное соображение учитывается далеко
не всегда. Особенно существенно оно в случаях, когда из-за
сложности картины или из-за недостатка знаний имеются веские осно-


208
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
вания считать, что адекватность модели невелика. В этих случаях
центральную роль играют анализ и совершенствование модели; что
же касается вычислительного метода, то желательно, чтобы он был
по возможности прост, хотя и учитывал все существенные факторы.
Здесь проявляется характерное для прикладной математики
искусство грубого решения сложных задач, ос*
нованное на опыте, верной интуиции и правильном понимании
реальной картины. Важной задачей прикладной математики
является превращение этого искусства в науку.
Примером такого грубого решения сложных задач может
служить так называемый полуобратный метод Сен-Венана,
применяемый в механике твердых деформируемых тел (см., например, [325,
с. 29—36]). Задачи в этой области с математической точки зрения
сводятся к нахождению некоторого числа функций,
удовлетворяющих системе уравнений с частными производными и граничным
условиям. Метод Сен-Венана заключается в том, что часть этих
функций, описывающих напряженно-деформированное состояние,
стараются угадать, опираясь на интуицию, умозрительные
соображения или элементарную теорию сопротивления материалов. При
этом проверяется выполнение уравнений теории упругости и
граничных условий и, если невязка оказывается большой, проводится
корректировка. Когда угадываемые таким образом функции
признаются найденными удовлетворительно, находят остальные функции,
исходя из соответствующей части уравнений теории упругости (или
следствий из этих уравнений) и граничных условий. Метод
допускает итерирование: по найденным функциям уточняется
корректировка первой группы искомых функций и т. д.
В качестве другого примера укажем на задачу о поиске
экстремального значения функции. Если точка экстремума является
стационарной, то, как правило, даже грубая ошибка в ее отыскании
мало скажется на подсчете этого значения. Поэтому методы,
нацеленные на уточнение положения точки экстремума, могут
оказаться практически бесполезными, особенно если результат не
требуется или не может быть известен (например, из-за недостаточного
знания функции) со слишком большой точностью. В то же время,
некоторые руководства прямо нацеливают читателей на высокую
точность вычислений в подобных случаях, и заблуждение
относительно пользы этой точности довольно распространено, особенно
среди инженеров.
Может показаться, что высокая точность уместна при отыскании
значений аргументов, придающих функции экстремальное значение. Но в
действительности во многих случаях это тоже не так. Приведем пример. Во
многих учебниках разбирается простая задача: из квадратного листа жести
со стороной а надо, вырезав квадратики по углам, согнуть пятистенную
коробку в форме прямоугольного параллелепипеда наибольшего объема. Для
этого, обозначив сторону квадратиков через х, получим объем коробки
V= (a— 2xfxt


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
209
откуда легко находим, что Vmax =2а3/27 достигается при х =а/6 ~0,167а.
Казалось бы, все ясно. Однако простой подсчет показывает, что при 0,15а<
<*< 0,18а значение V отличается от Vm2K менее чем на 1 %. А так как
погрешности при конструировании коробки будут не меньшими, то и высокая
точность в значении х (скажем, выше 10 %) в данном примере излишняя.
Это замечание относится не только к задачам на отыскание
экстремумов, но и ко многим задачам на отыскание критических
значений параметров системы, определяющих область ее
устойчивости, и т. п.
К сожалению, часто встречаются работы, в которых к заведомо
грубой математической модели применяются громоздкие
вычислительные методы, дающие высокий уровень точности решения
математической задачи и тем самым уместные для точных моделей.
Такие работы обладают низкой эффективностью и, кроме того, могут
создавать вредную иллюзию точности. Не следует вводить в
заблуждение себя и других, надо сохранять здоровый скептицизм,
даже чувство юмора по отношению к возможностям
математического исследования.
Иллюзия точности может также создаваться лишними
значащими цифрами в ответах. Существенный вклад в эту невольную
мистификацию вносят ЭВМ, которые обычно выдают ответы с
предусмотренным для них числом значащих цифр, независимо от грубости
примененного вычислительного метода (и, тем более,
математической модели). Поэтому здесь особенно важен контроль точности
ответов, о котором говорилось в § 3.
Переход к грубому методу решения часто производится и при
доброкачественных исходных данных, если проведение более
точного метода, хотя и принципиально возможное, требует
неоправданных усилий и затрат или, тем более, если оно недоступно
современным ЭВМ. Это особенно относится к довольно распространенным
задачам, обладающим широкой областью практически равноценных
решений; типичный пример — упомянутая выше задача о поиске
экстремального значения функции или функционала. Если даже
происходит определенная «потеря качества» решения, она
оправдывается возможностью эффективного построения этого решения.
В связи с этим в последнее время распространился рациональный
термин квазиоптимальные решения — эффективно реализуемые
решения, не приводящие к слишком большой потере качества по
сравнению с оптимальными. Развиваются также различные
эвристические алгоритмы, включающие случайные компоненты и т. п. (Общее
обсуждение этой проблемы и конкретные примеры см., в частности,
в [284, 320].)
Типичным примером здесь может служить «задача о
коммивояжере», получившая в последние годы многочисленные
приложения. В ее простейшем варианте считается, что задано некоторое
число населенных пунктов, причем известна длина пути от любого
из них до любого другого, и требуется составить кратчайший мар-


210
ГЛ. ?.. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
шрут для посещения всех этих пунктов. Оптимальное решение этой
задачи в общем случае до сих пор не найдено, однако имеется
целый ряд квазиоптимальных, например, такое: посетив какой-либо
пункт, коммивояжер должен отправиться в ближайший из еще не
посещенных.
5. Вариационные и экстремальные подходы. Задачи на
экстремум рассматривались в математике, начиная с древнегреческой
эпохи. Ферма обнаружил общий подход к решению таких задач,
основанный на приравнивании нулю дифференциала исследуемой
величины; такой подход и его модификации будем условно
называть вариационными.
Сейчас большое число математических моделей строится с
расчетом на то, чтобы искомый объект получился в результате
решения вариационной задачи или задачи на экстремум. Это дает
возможность не только применять далеко разработанные для задач
этого класса математические методы, но и выявлять глубокие
аналогии между ситуациями из далеких друг от друга областей
приложения математики и даже находить новые ситуации,
допускающие такое приложение.
Исходная задача может либо с самого начала иметь
экстремальный характер (именно так возникло вариационное исчисление,
а в последние годы — математическое программирование,
математическая теория оптимального управления и т. п.), либо же этот
характер ей намеренно придается — например, с помощью
привлечения того или иного экстремального принципа. Так, в механике
широко распространен принцип минимума потенциальной энергии,
который сейчас удалось распространить далеко за рамки
первоначальной области его применимости (см., в частности, с. 187).
Аналогична роль вариационных принципов в современной науке:
достаточно указать на активное внедрение в самые разнообразные
области функции Гамильтона 43 и других понятий, связанных
с ней.
Между вариационными и экстремальными подходами нет
принципиальной разницы и они часто объединяются, что, впрочем, порой
приводит к недоразумениям. При обоих подходах рассматривается
соответствующий функционал (целевая функция) на том или ином
многообразии конкурирующих между собой объектов (положений
системы, траекторий, планов поведения и т. п.), из доторых
выбирается нужный нам объект. При экстремальном подходе этот
объект выбирается так. чтобы наш функционал принимал на нем
максимальное или минимальное (локально или тотально, в
зависимости от постановки задачи) значение, тогда как при вариационном
подходе мы при этом выборе либо руководствуемся вариацией (для
конечномерных многообразий — полным дифференциалом) первого
порядка, либо привлекаем также вариацию (дифференциал) второго
порядка. Аналогичный характер имеют экстремальные и
вариационные методы построения приближенных решений математической


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
211
задачи; типичный экстремальный метод — метод Ритца,
вариационный — Галеркина.
Применение вариационного подхода чаще всего сводится к
приравниванию нулю вариации первого порядка и извлечению из
этого следствий. Другими словами, речь идет об отыскании точек
стационарности рассматриваемого функционала. Естественно, что
в таких точках экстремум функционала, вообще говоря, не обязан
достигаться — возможен также и минимакс.
Рассмотрим простой пример. Пусть в плоскости на оси симметрии дуги
(L) окружности радиуса R с центром в О находится источник света А;
середину дуги обозначим буквой В (см. рис. 24). Куда надо направить луч света,
чтобы он, отразившись от (L), вернулся в Л?
Ответ очевиден: в точку В. Часто говорят, что при
этом действует экстремальный принцип Ферма в
оптике, согласно которому луч света реализует
минимум времени прохождения среди всех возможных
путей» удовлетворяющих заданным общим условиям
(в данном примере — прохождению маршрута А -*■
~*(L)-*-i4)o Однако это, вообще говоря, не так: если
точка А находится с той же стороны (L), что и О,
и \AB\>R> как на рис. 24, то путь ABA реализует
не минимум, а минимакс времени. В самом деле,
этот путь длиннее любого прямолинейного пути
АВ'А, но короче любого криволинейного пути
АСВСА (рис. 24). Таким образом, принцип Ферма в
действительности имеет не экстремальный, а
вариационный характер, и на искомом пути реализуется
стационарное значение времени прохождения
(которое при некоторых добавочных условиях —
например, если речь идет о достаточно коротких путях — минимально),.
В такой формулировке он теряет свой загадочный характер и может быть
выведен из волновой теории света.
Аналогичный характер имеет принцип наименьшего действия, который
более правильно называть принципом стационарного действия. Например»
если материальная точка под действием лишь сил инерции движется по сфере,
то соответствующее действие оказывается минимальным, только если точка
проходит путь, не больший половины большого круга; в противном случае
значение действия стационарно, но минимаксно (так как длина дуги большого
круга, большая 180°, реализует максимум среди длин всех дуг окружностей
с теми же концами).
Обратно, в классических ситуациях решение экстремальной задачи
является одновременно и решением соответствующей вариационной задачи;
отсюда, в частности, вытекают уравнения Эйлера в вариационном
исчислении» Однако сейчас в прикладных задачах все чаще рассматриваются
«негладкие» функционалы, для которых в точках экстремума полная вариация
может отсутствовать, а также краевые экстремумы, в которых условия
стационарности не обязаны выполняться. Это, конечно, вносит
существенные усложнения в картину, но в математике уже выработан целый ряд
методов их преодоления.
6. Дискретное и непрерывное. В реальных объектах можно
заметить черты как дискретного, так и непрерывного, которые могут
проявляться в большей или меньшей степени в зависимости от
направления изучения объекта [254]. После перехода к
математической модели картина обычно становится в изучаемом отношении


212
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
отчетливо дискретной или непрерывной. Однако такое
подразделение не имеет абсолютного характера и при уточнении или
видоизменении модели дискретная картина может стать непрерывной
и обратно: то же может произойти при модификации модели в
процессе решения математической задачи. Таким образом, во многих
задачах при составлении математической модели, а также при
выборе метода решения получающейся математической задачи
следует учитывать возможность применения как «дискретной», так
и «непрерывной» методики независимо от характера исходной
картины. (Конечно, та или иная методика может оказаться явно
предпочтительнее.)
Типичная ситуация возникает в задачах механики сплошной
среды. По-видимому, вопрос о том, какой является среда «на
самом деле» — дискретной или непрерывной, лишен точного смысла
и не допускает однозначного ответа. Традиционная исходная
математическая модель среды непрерывная, т. е. мы принимаем, что
свойства среды описываются математическими полями; впрочем,
бывают случаи, когда при выводе основных математических
уравнений, управляющих этими полями, или при введении параметров
этих полей мы вспоминаем о дискретном строении среды. Однако
при приближенном построении полей с помощью решения
соответствующих уравнений можно пойти разными путями, которые
также можно условно подразделить на дискретные и непрерывные;
по существу, здесь идет речь о типе той вычислительной модели, на
которую мы заменяем исходную модель в процессе
непосредственного построения решения.
Так, при применении метода сеток возникает дискретная
модель. Здесь мы заменяем математический континуум на дискретную
систему узлов сетки, руководствуясь чисто вычислительными
соображениями. С другой стороны, метод построения решения в виде
суммы функционального ряда, классические варианты метода
Галеркина и т. п. принадлежат к числу непрерывных в том смысле,
что с их помощью решение непосредственно получается как
функция непрерывных аргументов. Между этими двумя типами нет
четкой грани. Например, метод сеток может сопровождаться
интерполяцией, тогда он будет иметь лишь преимущественно
дискретный характер; в то же время построение решения в виде суммы
ряда или применение метода Галеркина реализуются подсчетом
дискретных коэффициентов разложения, т. е. имеют и отчетливо
выраженные дискретные черты. Такая взаимосвязь дискретного
с непрерывным хорошо видна на примере разложения функции в
ряд Фурье: задание функции непрерывного аргумента равносильно
заданию дискретного набора ее коэффициентов Фурье.
Поскольку при изучении сплошной среды переход к
дискретной модели на вычислительном этапе широко применяется и
показал свою адекватность, то можно поставить вопрос о построении
для такой среды дискретной исходной математической модели.


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
213
приспособленной к непосредственному применению
вычислительного метода без предварительного видоизменения этой модели.
Такие модели действительно создавались и показали свою
эффективность. Так, С. Улам описывает [317] предложенный им и Дж.
Паста метод численного решения задач газовой динамики, основанный
на замене среды системой глобул и прослеживании их эволюции,
а также метод Ф. Харлоу, основанный на замене газа конечной
системой точечных частиц и подсчете числа этих частиц в
фиксированных ячейках пространственной решетки. (См. также [111].)
Аналогичный характер имеет метод конечных элементов,
получивший в последнее время особенно большое развитие в прикладных
задачах теории упругости.
С другой стороны, известны многочисленные примеры, в
которых континуализация первоначально дискретной модели приносила
существенную пользу. О сплошной среде мы уже говорили;
добавим к этому более специальный пример — операцию
«размазывания» часто расположенных ребер в задачах строительной
механики о нагружении подкрепленных пластин и оболочек.
(Аналогичные соображения можно высказать по поводу любых систем, в
которых изучаемые характеристики имеют не индивидуальный, а
статистический характер независимо от структуры элементов,
составляющих систему: это могут быть люди в демографии, звезды в
космологии, электростанции, распределенные по мощности, и т. д.;
см. по этому поводу также п. 4.7 и [141].)
Взаимосвязь между дискретными и непрерывными величинами
широко используется для переноса понятий и утверждений,
выработанных для одного из этих классов величин, на другой; примером
может служить обычный вывод многих формул для материального
тела на основе аналогичных формул, полученных для конечной
системы материальных точек (например, для координат центра
тяжести). Уже классики естествознания считали в ряде случаев
целесообразным рассматривать непрерывно действующую силу как
последовательность часто действующих малых ударов; в частности,
именно этим способом Ньютон получил формулу для
центростремительной силы при движении материальной точки по
окружности.
Проявлением той же взаимосвязи является широко
применяемое в физике распространение математических понятий и методов,
разработанных для зависимостей между непрерывными величинами
и, казалось бы, необходимо связанных с этой непрерывностью
(например, понятия производной), на зависимости между дискретными
величинами. Тогда взамен соотношений между дискретными
величинами получаются дифференциальные и другие аналогичные
уравнения, методика решения и исследования которых гораздо
лучше разработана; при этом решение дифференциального
уравнения может в том или ином смысле (например, асимптотически)
правильно описывать поведение исходных дискретных величин.


214
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
Этот переход в определенном смысле обратен тому, который
применяется в методе сеток (примеры см., например, в [130, гл. XII]).
Переход от непрерывной модели к дискретной осуществляется
также, когда мы производим замену распределенной нагрузки на
сосредоточенную. Поскольку при этом мы отвлекаемся от
конкретной структуры нагрузки, а учитываем только ее интегральные
характеристики, картина в целом обычно упрощается, иногда
довольно существенно. Поэтому такая замена часто оказывается
целесообразной, если только она не нарушает адекватности модели;
например, как мы говорили в п. 4.8, если изучается влияние
нагрузки на расстоянии, значительно большем, чем диаметр области
ее приложения. Но если рассматривается воздействие нагрузки в
самой зоне ее приложения или в непосредственной близости от этой
зоны, то указанная замена может оказаться существенно
неадекватной. Более того, имеются вопросы (например, связанные с
рассмотрением контактных деформаций 44), при изучении которых
допущение о сосредоточенном характере нагрузок приводит к
противоречию и потому неприемлемо.
Отметим, что переход от распределенных величин к
сосредоточенным и обратно, а также совместное рассмотрение таких величин
облегчаются, если пользоваться обобщенными функциями типа
дельта-функции.
В заключение упомянем о так называемых больших (сложных)
системах, активно изучаемых в последние годы и занимающих как
бы промежуточное положение между дискретными и непрерывными.
Это системы по исходному определению дискретные, но содержащие
столь большое число взаимосвязанных элементов, что описание
деятельности каждого отдельного элемента становится
нецелесообразным или даже невозможным, а изучению подлежит эволюция
блоков системы и системы в целом.
По поводу взаимосвязи непрерывных и дискретных моделей
см. также [35, 228, 265, 270, 462].
7. Роль гипотезы о линейности. Можно с уверенностью сказать,
что почти все реальные зависимости являются нелинейными *).
Конечно, имеются зависимости, линейность которых в
рассматриваемой области приложений является практически достоверной с
любой разумной степенью точности. Однако гораздо чаще
предположение о линейности имеет характер допущения, хотя и далеко
не всегда формулируется как таковое.
*)/В. Шляпентох в «Литературной газете» от 1 января 1971 г. писал:
«Мир, в котором мы живем, удивительно нелинеен. Конечно, это делает нашу
жизнь сложнее, но зато интереснее, перспективнее, освобождает нас от
чувства монотонности, вселяет в нас оптимизм». Правда, далеко не всегда
прикладник радуется, когда перед ним возникает необходимость решать
нелинейную задачу. Однако одолеть нелинейный барьер престижнее, чем
линейный, и возможно, что в этом состоит психологическое объяснение примера,
приведенного в конце п. 5.7.


§ 5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
215
Причины широкого распространения предположений о
линейности имеют глубокий характер. Прежде всего во многих случаях
такое предположение является простейшим, и потому бывает
естественно начинать именно с него — особенно, если информация об
истинном характере зависимости недостаточна. Кроме того, как
известно, это предположение часто имеет вполне
удовлетворительную, а иногда и весьма высокую степень адекватности. Более того,
введение операций сложения и вычитания всегда опирается на
некий постулат линейности.
С другой стороны, многие математические методы
исследования и точного или приближенного решения уравнений наиболее,
а иногда и исключительно приспособлены к линейным задачам. Это
обстоятельство наталкивает на применение линейных схем даже в
тех случаях, когда имеются серьезные основания ожидать или
заведомо известно, что реальная зависимость значительно
отличается от линейной. (Так обстоит дело, в частности, для многих задач
линейного программирования.) При этом надеются либо на то,
что эта нелинейность не скажется существенно в изучаемом
отношении на результате, либо на возможность удовлетворительной
компенсации погрешности путем надлежащего подбора
коэффициентов в линейной зависимости, либо, наконец, на возможность
дальнейшего уточнения решения.
Известную роль играет и человеческая психология:
линейные зависимости обычно воспринимаются с минимальным
внутренним сопротивлением, порой они как бы сами собой
подразумеваются *) и ощущаются как естественные и «справедливые», так же как
и формула f(x)=f(x) для средних значений (хотя она справедлива
только для линейных функций /).
Ошибки, происходящие из-за замены нелинейной зависимости
на линейную, могут быть количественными либо качественными.
В первом случае решение математической задачи в целом
правильно описывает свойства реального явления, хотя числовые
характеристики могут получиться более или менее существенно
отличными от истинных **). Такой результат может оказаться достаточ-
*) Так» в школьных задачах обычно даже не оговаривается линейность
многих зависимостей,— таких, как зависимость объема произведенной рабо-
ты от числа работающих и т. п. Это иногда приводит к явному формализму,
а порой и к прямым ошибкам. Так, для задачи «Бассейн наполняется водой
из крана за 3 часа, а опорожняется через отверстие в дне за 2 часа; за сколько
времени он опорожнится при открытом кране?» обычный «школьный» ответ
(«за 6 часов») неверен: скорость опорожнения зависит от уровня воды в
бассейне и при понижении этого уровня уменьшается. В условиях задачи уровень
воды будет асимптотически стремиться к некоторому равновесному значению,
соответствующему равенству скоростей наполнения и опорожнения, так что
правильный ответ: «никогда не опорожнится»,
**) Впрочем, понятие «в целом правильно описывает» является сугубо
рациональным, так что, за исключением самых простых случаев, невозможно
установить четкую грань, отделяющую количественные ошибки от качест»
венных.


216
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
ным, если целью исследования является лишь некий качественный
вывод (яркий пример — заключение об устойчивости состояния
движения или равновесия на основе анализа уравнений линейного
приближения). Но и в тех случаях, когда только качественный
вывод недостаточен, он все же может помочь в организации более
точного определения изучаемых характеристик: как уже было
сказано, чтобы найти, надо знать, что разыскивается!
Бывает, что качественно неправильный результат получается
только из*за неудачно принятых значений параметров линейной
модели; тогда остается еще надежда на исправление результата
путем изменения этих значений.
Однако иногда ряд наблюдаемых в действительности эффектов
невозможно отразить с помощью линейной модели ни при каком
выборе значений ее параметров. Это — существенно нелинейные
эффекты, для их выявления линейные модели принципиально
неадекватны. Типичными примерами существенно нелинейных
явлений могут служить автоколебания в а тономных системах,
субгармоники 45 при вынужденных колебаниях, синхронизация слабо
связанных объектов. Важным существенно нелинейным эффектом
является возникновение порогов воздействия и других сходных
эффектов, при которых малое воздействие вызывает в системе
затухающий отклик, тогда как достаточно большое приводит к
возникновению некоторого незатухающего процесса или иных остаточных
явлений.
Вопрос о том, какие именно — качественные или только
количественные — ошибки возникают в результате той или иной
линеаризации, решается на рациональном уровне на основе навыков
и аналогий, физических и численных экспериментов, а также
детальной проработки (в том числе, на дедуктивном уровне)
эталонных задач. Обычно для каждого нового класса задач приходится
сделать немало проб и ошибок, чтобы воспитать правильную
интуицию в этом отношении *).
Наше обсуждение окажется неполным, если мы не отметим
настораживающих признаков появления новой моды — во что бы то ни
стало уходить от линейной постановки задачи, с чрезмерной
настойчивостью изыскивая нелинейности в системе. Так, например,
*) Д. Хорафас [336, с. 34—35]: «...ловушкой при математическом
экспериментировании (имеется в виду создание и изучение математической
модели.— Авт.) является пристрастие человека к линейности. Это особенно
проявляется в тех случаях, когда соответствующие гипотезы и допущения не
были четко сформулированы заранее... Каким-то образом люди пришли
к убеждению, что в окружающем нас мире преобладают линейные
зависимости. Нет ничего более ошибочного».
Отметим, что существенно нелинейна человеческая личность в любом
аспекте. Это заметил уже Козьма Прутков [301, с. 147]: он с явным
неодобрением описал, как некий господин де Графиньи, прогуливаясь в один летний
день в двух черных камзолах, объяснил сей удивления достойный наряд так:
«Вчера скончался дед мой, а сегодня испустила дух моя бабка! Для чего
н надел я сугубый траур».


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
217
в некоторых недавних публикациях, относящихся к динамике
упругих вращающихся валов (роторов), краеугольным камнем
постановки задачи служит нелинейная зависимость восстанавливающей
силы F от перемещения г, принятая в виде
F=Kr10/9. (57)
Хотя показатель степени 10/9 довольно близок к 1, зависимость
(57) в некотором смысле существенно отличается от линейной: при
уменьшении перемещений г жесткость системы стремится к нулю.
По этой причине в указанных публикациях формально
обнаруживаются некие своеобразные эффекты, к которым, как нам кажется,
нельзя относиться слишком серьезно. Имеются веские указания на
то, что в действительности жесткость системы при сколь угодно
малых отклонениях достаточно велика (не вдаваясь в подробности,
сошлемся хотя бы на существование некоторого натяга в
подшипниках), и как бы ни были затруднительны соответствующие
количественные оценки, ясно, что названные выше эффекты нельзя
фетишизировать — они скорее результат принятой схематизации. На
фоне ряда других неизбежных и существенных упрощений реальной
системы отказ от довольно естественной замены показателя 10/9 на
1 выглядит как искусственный шаг, словно специально нацеленный
на изыскание нелинейного эффекта.
Итак, всякая линеаризация требует осторожности, но и
привлекать нелинейные соотношения без должных оснований не следует.
8. Детерминированность и случайность. Здесь можно повторить
многое из того, что говорилось в п. 5.6 по поводу соотношения между
дискретным и непрерывным. Принципиально невозможно
говорить об абсолютно одинаковых реальных объектах и
абсолютно одинаковых воздействиях на них, а потому и об
абсолютной детерминированности. По-видимому, все реальные
объекты и явления имеют черты как детерминированного, так и
случайного (недетерминированного), которые могут проявляться в
большей или меньшей степени *), так что поставленный в этом
смысле вопрос «Каким является мир на самом деле?» в принципе
не допускает однозначного ответа. Однако математические модели
могут либо быть детерминированными, либо включать случайные
*) Отметим, кстати, что при организации элементов, обладающих
некоторой недетерминированностью, в единую систему, ее общая
недетерминированность существенно зависит от способа этой организации. Если на
первый план выступают статистические закономерности либо если структура
организации подавляет влияние недетерминированности, то последняя у
системы в целом может практически отсутствовать. С другой стороны,
организация может стимулировать усиление (своеобразную синфазность,
когерентность) недетерминированности элементов, в результате чего последняя для
системы в целом может оказаться выше, чем для отдельных элементов. Первый
тип организации характерен для газа, кристалла, толпы, второй — для
живого организма, коллектива. Возможно, что именно на этом пути можно
было бы объяснить такие понятия, как «жизнь», «свобода волн» и т. п.


218
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
факторы. Мы будем здесь предполагать, что эти факторы являются
стохастическими, т. е. при некотором разумном моделировании
подчиняются с определенной точностью законам математической
статистики; такая стохастичность может быть либо слабой
(например, если в сумме случайного и неслучайного слагаемых первое
относительно мало или в случае весьма узкополосных спектров
внешних случайных воздействий), либо существенной, даже
определяющей *). (По поводу принципиальной роли стохастических
моделей, отражающих направленность процессов во времени, см.
[491].)
За последние годы стохастические модели получили широкое
распространение. Дело в том, что многие прикладные задачи
являются вероятностными по самой своей природе, а в других
случаях бывает, что хотя задача допускает и детерминистскую
модель, привлечение случайных компонент приводит к более
адекватному или к более детальному описанию реального явления.
Например, случайное воздействие иногда можно полностью игнорировать
(если оно не слишком велико), в других случаях его можно учесть
максимально возможным значением или принять для него какую-
либо детерминированную схему; однако наиболее естественно так и
считать это воздействие случайным, т. е. принять для его описания
стохастическую модель. Наконец, случайные компоненты могут
быть искусственно введены в чисто детерминированную модель из-за
преимуществ при решении математической задачи, например при
вычислении интегралов по области сложной формы и высокой
размерности по методу Монте-Карло (см.33). (О соотношении между
детерминистскими и стохастическими моделями см., в частности,
[297, с. 26—29; 340, 3691.
Существенно в прикладном отношении, что слабым звеном
многих работ, связанных с исследованием стохастических моделей,—
звеном, порой делающим полностью невозможным их фактическое
применение,— является выбор статистических гипотез, в
особенности предположения о вероятностных характеристиках входных
(задаваемых) случайных величин и функций. Такие характеристики
часто считаются либо полностью известными (например,
принимается, что исходная величина распределена по нормальному
закону с известными параметрами и т. п.), либо доступными
определению.
Однако в реальных ситуациях чаще всего оказывается, что
нужная информация отсутствует; более того, во многих случаях
ситуация оказывается не стохастической, а неопределенной,
другими словами, сама возможность применения статистических ги-
*) В. В. Налимов [235, с. 54]: «Случайность..., как и причинность,—
это есть просто одна из двух категорий, порождающих два разных языка для
описания мира. В обоих случаях мы имеем дело не с представлениями,
возникшими как зеркальное отражение реальности, а с некоторыми
абстракциями, построенными над наблюдениями о внешнем мире».


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
219
потез является сомнительной. (О построении математических
моделей в условиях неопределенности см., в частности, 1228].)
Примечательно, что с точки зрения чистой математики подобные
работы, число которых весьма велико, представляются вполне
естественными. (Здесь сказывается различие тенденций в чистой
и прикладной математике, причем не только в процессе решения,
о чем мы говорили в п. 2.11, но и в самой постановке задачи.) В
самом деле, в теории вероятностей именно вероятностные
характеристики величин являются первичными, такими же, как, например,
длины и углы в геометрии, так что кажется логичным при
введении случайных величин считать эти их характеристики заданными.
Однако целью прикладной математики является не просто
нахождение по одним величинам других, и в частности, по
логически первичным величинам — логически вторичных, а нахождение
по величинам, которые можно реально считать заданными
(непосредственно определяемыми, т. е. измеряемыми или
вычисляемыми),— величин, которые такому непосредственному определению
не поддаются. Поэтому при построении математической модели
вопрос о возможности и трудоемкости получения исходных данных
является одним из важнейших, а порой и определяющим. В ряде
математических дисциплин, таких, например, как теория
дифференциальных уравнений, имеется прямая связь между логической
иерархией понятий и иерархией фактического нахождения
соответствующих параметров. Однако в теории вероятностей дело, по-
видимому, обстоит не так. Например, при рассмотрении случайной
величины логически первичным является ее закон распределения;
однако лишь в сравнительно редких реальных задачах этот закон
можно считать известным из непосредственных наблюдений с
удовлетворительной точностью. В более далеких разделах теории,
например связанных с применением случайных процессов и случайных
полей, положение еще усугубляется *).
*) Это обстоятельство затрудняет, в частности, некоторые применения
математики в экономике. В. Леонтьев в докладе [190] писал: «...сила
статистических приемов, как и экономических моделей, в свою очередь зависит от
принятия определенных удобных допущений. Эти допущения относятся к
вероятностным свойствам тех явлений, для объяснения которых
предназначены данные модели, и редко поддаются проверке.
Ни в одной другой области эмпирических исследований использование
столь изощренного статистического аппарата не давало столь
неопределенных результатов. Тем не менее теоретики продолжают создавать модель за
моделью, а математические статистики — изобретать одну сложную процедуру
за другой.
Большинство их идет на свалку без какого-либо практического
применения или сразу же после поверхностной апробации. Даже те модели,
которые находят применение в течение некоторого времени, вскоре попадают
в немилость, ибо их заменяют новые, построенные другими методами, которые
далеко не лучше прежних».
Аналогичные замечания по поводу применения ряда статистических
теорий к биологии ь^сказывает П. Оттестед [494L


220
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
Таким образом, при построении и исследовании
стохастических моделей необходимо особое внимание уделять вопросу о
способе установления вероятностных характеристик исходных
величин. Этот способ должен входить в состав модели и, в частности,
участвовать в оценке ее адекватности и простоты. В тех довольно
распространенных случаях, когда указанные характеристики не
поддаются детальному определению, следует искать грубые модели,
которые, быть может, не дают детального описания решения, но
достаточно устойчивы относительно пробелов в знании исходных
данных. В этих случаях применение стохастических моделей
аналогично математической обработке задач, включающих размытые
понятия и величины (п. 1.9). Чем больше степень этой размытости,
тем меньшую роль должны играть детали исходных характеристик
задачи, т. е. тем более устойчивыми должны быть методы ее
изучения.
Конечно, высказанные здесь соображения не являются
новыми *). Многие разделы математической статистики специально
посвящены методам нахождения вероятностных характеристик
случайных объектов в реальных условиях. Мы хотели только обратить
внимание читателя на фундаментальную важность этой проблемы
в приложениях: необходим дальнейший анализ классов реальных
задач, нуждающихся в таких методах, и дальнейшее развитие этих
методов.
Неопределенность выводов, сделанных на основе стохастической
модели, может усилиться некоторой произвольностью в выборе
критерия значимости, на основе которого игнорируется возможность
наступления при единичном испытании события, обладающего
достаточно малой вероятностью (см. п. 2.5). (Конечно, если при
вероятности р<^1 производится серия испытаний, число которых имеет
порядок /7"*1, то появление рассматриваемого события уже надо
считать возможным, а при достаточном увеличении порядка — даже
обязательным. Впрочем, это замечание не относится к чрезмерно
малым вероятностям, рассмотренным в п. 2.5, так как для них р'1
есть практическая бесконечность.)
Окончательной целью изучения любой модели являются
достаточно точные описания, предсказания, рекомендации. С этой точки
*) В. И. Феодосьев [324, с. 146]: «...существует совершенно реальная
угроза того, что труд, затраченный на поспешное создание математических
средств предсказания потери устойчивости как вероятного события,
останется напрасным, поскольку необходимые для расчета функции распределения
начальных несовершенств остаются неизвестными даже в тех немногих
случаях, когда их можно отнести к категории случайных параметров. Инженер-
практик затратам на изучение скоротечных функций распределения
безусловно предпочтет в сомнительных случаях более жесткий контроль за качеством
изготовления, а то и попросту изменение конструкции».
Вопросы о выборе и анализе статистических гипотез, а также о
правомерности применения теории вероятностей к изучению реальных процессов,
рассмотрены, в частности, в книгах В. В. Налимова [233, 235] и В. Н. Туту-
балина [312—314]; см. также [7—10, 62, 73, 430, 443].


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
221
зрения стохастические модели отличаются лишь тем, что такие
предсказания и рекомендации даются в условиях своеобразной
неопределенности, заложенной в самой постановке задачи. Поэтому
в реальной ситуации утверждение «данное событие произойдет с
такой-то вероятностью» вряд ли приемлемо в качестве
окончательного ответа. Желательны утверждения более категоричные,
например «при 10 000 независимых случайных бросаниях данной
монеты число выпаданий герба будет заключено между 4850 и
5150» (это следует из «правила За»). Отвлечемся пока от того, как
мы убедились в том, что данная монета достаточно симметричная
(так что за вероятность выпадения герба можно взять значение 0,5),
а бросания — независимые. Даже приняв это, мы должны
вспомнить о том, что приведенное утверждение, полученное по «правилу
За», гарантируется с вероятностью 0,997, т. е. при этом мы
игнорируем возможность наступления события, вероятность которого
равна 0,003. Но почему выбран именно такой критерий? Обычно
никакого сколько-нибудь серьезного обоснования этому, казалось
бы, весьма важному шагу не делают; по существу это рациональный
скачок того же типа, который описан во Введении к этой книге,
хотя и снабженный точной оценкой степени достоверности. Но эта
точная оценка в данном случае вряд ли что-нибудь дает, кроме
смутного ощущения правильности прогноза. Серьезный выбор
критерия практической невозможности должен учитывать последствия
неправильного прогноза, и желательно чаще обсуждать
соображения по поводу выбора значений такого критерия, различных
для различных классов задач; эти соображения относятся к так
называемой теории риска (или теории полезности) (см. [340]).
Отметим, что оценка вероятности выпадания герба могла быть
сделана на основании статистических испытаний; обработка
результатов испытаний также включает в себя игнорирование
возможности маловероятных событий с произвольно, как и выше,
установленным критерием маловероятности.
В силу всего сказанного, представляется неверной та
высказываемая иногда точка зрения, что стохастические модели реальных
ситуаций всегда являются более совершенными и
предпочтительными, чем детерминированные. Иногда в качестве довода в пользу
вероятностных моделей выдвигают их большую общность —
детерминированная модель определенного рода получается из
вероятностной как частный случай. Однако этот довод сам по себе не
убедителен, ибо никто ведь не применяет, например,
релятивистскую механику к изучению движений со скоростями, значительно
меньшими скорости света, хотя эта механика является более общей,
чем классическая.
Не менее ошибочна противоположная точка зрения
специалистов, испытывающих разочарование от скромных результатов
использования вероятностных методов в своей области и
считающих, что при возможности построения как детерминированной, так


222
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
и стохастической моделей реальную пользу может дать только
детерминированная. В действительности при изучении одних
вопросов детерминированная модель может оказаться более
подходящей, чем стохастическая, а при изучении других — наоборот.
Укажем в заключение на направление, активно развиваемое
в последние годы и как бы объединяющее детерминированный и
стохастический подходы: речь идет о так называемых странных
аттракторах и сходных понятиях [61, 243, 272, 292]. Уже ранее было
известно, что если способы эволюции автономной
консервативной системы при различных начальных данных изображать в виде
траекторий в соответствующем фазовом пространстве, то может
оказаться, что каждая из этих траекторий сама по себе
неустойчива, но все они оказываются так равномерно перемешанными
друг с другом, что к изучению отдельной траектории можно
применять статистические методы (осреднение по времени заменять
осреднением по всему пространству). Теперь выяснилось, что для
широких классов неконсервативных систем с более чем одной
степенью свободы, а также для ряда эволюционных систем других
типов справедливы аналогичные утверждения. Постепенно
выявляются общие закономерности последовательного усложнения
систем, зависящих от параметров, приводящего в конце концов
к стохастическому (в указанном выше смысле удобства и
естественности описания) поведению траекторий; реально этому
усложнению может отвечать, например, переход от ламинарного
течения к турбулентному при постепенном увеличении скорости потока.
Интересно, что многие результаты в этой области обоснованы пока
только с помощью вычислительных экспериментов на ЭВМ.
Понимание того, что, вопреки ранее существовавшим
представлениям, стохастическое поведение может осуществляться в
системах невысокой размерности фазового пространства (начиная
с равной 3), явилось одним из важных сдвигов в сознании физиков
и механиков за последние годы. С другой стороны, также в
последнее время выяснилось, что в системах очень высокой размерности —
в частности, состоящих из большого числа взаимодействующих
однотипных элементов,— при определенных условиях возникает
ярко выраженная тенденция к синхронизации и другим видам
высокоупорядоченного поведения (см., например, [38, 41]).
Замечательно, что начало упомянутому сдвигу было
положено не столько наблюдениями за поведением реальных объектов,
сколько работами в области теории дифференциальных уравнений.
Прикладники, можно сказать, проглядели отмеченные выше важней-
щие обстоятельства, роль которых в дальнейшем развитии науки
трудно переоценить. Впрочем, прикладники обнаружили
способность быстро перестраиваться, и если еще совсем недавно в
стохастическом поведении системы, обнаруживаемом в физическом
или численном эксперименте, они усматривали его
недоброкачественность, то теперь часто дело обстоит совсем наоборот.


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
223
Эти, а также некоторые другие, достижения последних лет
наводят на мысль, что возможности объяснения новых явлений,
основанные на сложных свойствах известных классических
моделей, еще далеко не исчерпаны (сравните «бритву Оккама», п. 7.1).
9. Устойчивость. Мы уже упоминали в п. 2.8, что понятия и
методы прикладной математики должны обладать свойством
устойчивости, свойством сохранения качественного содержания этих
понятий и методов и относительной малости изменения их
количественных характеристик при произвольных (но принадлежащих
определенному разумному классу) достаточно малых возмущениях
* параметров рассматриваемой ситуации. Конечно, не следует это
свойство понятия смешивать с более специальными свойствами,
такими, как устойчивость по Ляпунову, устойчивость конструкции
и т. п.: например, неустойчивость по Ляпунову как понятие
является устойчивым.
Остановимся на более специальном аспекте понятия
устойчивости. В последние годы под влиянием потребностей техники,
технологии, вычислительных методов и т. д. было введено много
понятий (новые варианты определения устойчивости,
«чувствительность», «надежность», «стабильность» и т. п.), определяющих по
существу общее свойство изучаемых характеристик объектов — не
слишком сильно изменяться при изменении некоторых параметров,
влияющих на эти характеристики.
Так, для технических проблем типична следующая ситуация.
Пусть некоторая совокупность номинальных значений параметров
обеспечивает правильное функционирование исследуемого объекта.
Пусть, далее, значения параметров по каким-либо причинам
отклоняются от номинальных; будет ли при этом объект также
функционировать правильно? Эту общую постановку задачи можно
формализовать в терминах, близких к использованным в п. 4.2.
Именно, обозначим через v набор входных параметров объекта a, a
через г — набор его выходных исследуемых характеристик; тогда
г определяется по v соотношением вида г=Ф{и), причем v может
принимать значения из некоторого класса V, а г — из класса R.
Обозначим наборы номинальных значений параметров и
характеристик через vQ и г0 соответственно, так что г0=Ф(у0). Пусть задана
область Gv значений и, которые могут получиться из-за отклонений
параметров от их номинальных значений, и область Gr значений г,
в которой объект а работает заведомо правильно. Тогда объект
функционирует устойчиво, если из v£Gv обязательно следует
Ф(^)€СГ; в более компактных обозначениях — если <$>{Gv)^Gr.
Отметим, что описанная ситуация охватывает и
нестационарные задачи, так как можно считать, что г или (и) v представляют
собой функции времени t. Эта формулировка близка определению
так называемой технической устойчивости, которое было дано
Н. Д. Моисеевым и впоследствии развивалось многими
авторами.


224
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
Эффективное изучение соответствующей математической
модели в период, предшествовавший появлению ЭВМ, было
затруднительным даже в не слишком сложных случаях. Это привело к
распространению инфинитезимальных вариантов определения
устойчивости, среди которых наиболее известно определение
устойчивости по Ляпунову. Впрочем, эти определения для математических
моделей имеют и самостоятельную ценность, о чем уже говорилось
в п. 2.14.
В приведенных выше общих терминах все упомянутые
определения устойчивости с математической точки зрения укладываются
в единую схему: отображение r(v) должно быть в точке v0
непрерывным в соответственно выбранном смысле: другими словами,
требуется, чтобы для входных параметров, допустимых в данном
рассмотрении и близких к номинальным, изучаемые характеристики
также были близки к их номиналу. При этом выбор класса V
допустимых («возмущенных») значений параметров и, класса R
возможных выходных характеристик, а также выбор понятия
близости в этих классах находятся в распоряжении исследователя, они
осуществляются в соответствии с намеченным аспектом
исследования. Разнообразием этих возможностей и объясняется наличие
многих вариантов понятия устойчивости даже при изучении одного и
того же объекта.
Конечно, фактическое исследование производится на модели,
т. е. рассматривается зависимость r'=F(v') (см. п. 4.2). При этом
адекватность модели должна обеспечить, в частности, соответствие
факта устойчивости/неустойчивости номинального состояния
модели в выбранном смысле устойчивости/неустойчивости реального
объекта а в некотором интересующем нас рациональном смысле.
(В связи с этим отметим примечательно сформулированную тему
дискуссии, проведенной на IV Всесоюзном съезде по теоретической
и прикладной механике в 1976 г.: «Критерии устойчивости и их
отношение к действительности».)
Взглянем с общих позиций на рассмотренное выше понятие
устойчивости относительно заданных отклонений в применении к
зависимости rr=F(v'). Для значений величин г' существенно
только, попадают ли они в Gr- (тогда все в порядке) или нет (тогда
плохо). Поэтому естественно в R' ввести близость, считая
й , , [0 (если г' €М.
{ 1 (в противном случае).
Если аналогично ввести близость в V\ то легко проверить, что
непрерывность отображения г'(v') и означает, что F{Gr-)^Gr-.
Подчеркнем, что понятие близости было специально выбрано
так, чтобы получилось понятие устойчивости, из которого мы
исходили. Этот выбор находится в нашей власти, так кдк понятие
близости не является чем-то незыблемым. При разных выборах
близости получаются различные, неравносильные понятия устой-


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
225
чивости, и система, устойчивая в одном смысле, может оказаться
неустойчивой в другом.
Приведем еще пример. Допустим, что математическая модель некоторой
реальной системы а имеет вид системы дифференциальных уравнений
4г=/<х> /} (/о</< *); x^W* ••■» *")> /И/1. .... /я). (58)
номинальной (невозмущенной) эволюции а отвечает решение x(t, «о)
системы (58), удовлетворяющее начальному условиюx\t=zi ~a0= (а*, , , ., aj), а
устойчивости а, по нашему представлению, отвечает устойчивость этого
решения по Ляпунову. Тогда входной величиной в модели служит вектор
ос— (а1, . . ., а"), а откликом —- решение x(t; а) (t0^t <°°) системы (58) при
начальном условии х 1/=*0—«* В качестве области V допустимых значений
входных величин надо взять какую-либо окрестность вектора ее0» понятия
близости в V' основывать на обычном евклидовом расстоянии, а близости в
классе /?' откликов — на чебышевском уклонении
p(*i(-). *2(-))= sup \Xl(t)—x2(t)\.
t0 < t < <»
(Напомним, что Xi (•) означает функцию, а хг (t) — ее значение при значении t
аргумента.) При таком выборе общее определение устойчивости как
непрерывности отображения многообразия входных величин на многообразие
откликов в номинальной точке превращается в определение устойчивости по
Ляпунову. Если мы хотим рассмотреть вопрос об устойчивости при
постоянно действующих возмущениях, то входной величиной служит сама правая
часть системы (58), т. е. с математической точки зрения изучаемая
зависимость /(-, ')->х{-) представляет собой оператор; при этом близость в
пространстве входных функций порождается чебышевским уклонением
supl/,(*f/)-/,<*, /)1.
х, t
Рассмотрим еще с общих позиций понятие асимптотической
устойчивости номинального решения x(t; «о) системы (58). Здесь помимо обычной
устойчивости требуется дополнительно, чтобы для достаточно малых | a—-а0 I
было I x(t; a)—x(t\ «о) I "0. Это требование можно формально
включить в рамки общего определения устойчивости, если положить, что
Pi <*!<•). *2<-»Н
^ 1 (в противоположном случае);
тогда асимптотическая устойчивость получается, если считать, что близость
среди откликов порождается метрикой p(jM-), x2(k))+Pi(*i('). xz('))-
Подобным образом можно получить и иные сходные понятия,
в том числе и для стохастических моделей. Такой подход
характерен, в частности, для теории надежности.
Конечно, сказанное определяет лишь самую общую схему
рассуждений. В конкретных задачах, помимо формирования
подходящего варианта понятия устойчивости, основную трудность
представляет исследование переходного оператора r'=F(v')4 который
чаще всего не задается в явном виде,, а получается в результате
решения уравнений, порой весьма сложных. И хотя обычно нужен
ответ в самой простой форме: «да» или «нет», получить его, минуя
полное решение этих уравнений, может быть совсем не просто.
8 И. И# Блехман и дрв


226
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
Чтобы обойтись без такого решения, создан и непрерывно
расширяется целый арсенал качественных, асимптотических и т. п. методов,
дающих достаточные условия устойчивости или неустойчивости
для различных классов нужных (и ненужных) задач; эти методы
широко известны в применении к теории устойчивости Ляпунова.
ЭВМ открыли новый, прямой путь решения задач об
устойчивости, применимый к более простым в вычислительном отношении
случаям. Например, при выяснении устойчивости по Ляпунову
номинального решения системы (58) моу.но с помощью численного
интегрирования проследить за несколькими, наугад выбранными
решениями этой системы, для которых начальное значение jt(/0)
близко к номинальному (аа). Такое наблюдение дает возможность
сделать рациональный вывод об устойчивости или неустойчивости,
обладающий высокой степенью достоверности. Аналогичным путем
можно проверять устойчивость относительно заданных конечных
отклонений, с обсуждения которой мы начали изложение этого
пункта. Впрочем, при проведении подобных экспериментов с
помощью новых вычислительных процедур надо помнить о возможной
неустойчивости вычислительной схемы — неустойчивости, которая
является чисто вычислительным эффектом, но может создать
впечатление неустойчивости изучаемого реального явления, которой
на самом деле нет (см. п. 7.2).
Скажем в заключение о встречающемся порой утверждении, что
практически реализуются и представляют интерес лишь устойчивые
движения, причем имеется в виду какой-то определенный вид
устойчивости. С изложенной выше точки зрения это, конечно, не так:
движение может быть неустойчивым в каком-то одном смысле, но
устойчивым в другом. Например, оно может быть неустойчивым
по Ляпунову, но возмущение может столь медленно нарастать, что
за практически интересующий нас интервал времени это
возмущение остается незначительным. Так, в классическом балете
применяется неустойчивое по Ляпунову положение балерины, при
котором она стоит на оттянутом носке. Другой пример: в
лесоводстве известно, что смешанные леса неустойчивы, хвойная
компонента в конце концов должна одержать победу над лиственной;
однако переходный процесс столь велик, что сейчас эта
неустойчивость практически не наблюдается, так как подавляется другими
факторами. Аналогичная ситуация характерна и для «вялого
флаттера» и др.
Здесь, конечно, дело не в неадекватности моделей, а в иерархии
характерных времен, о которой говорилось в п. 4.8 и которая может
сделать необходимым не ограничиваться формальными критериями
типа расположения корней характеристического уравнения, а
изучать также и характер переходного процесса. Отметим, кстати,
что в теории управления известен и эффект, противоположный
описанному: система может быть по указанному критерию
устойчивой, но в процессе установления возникает столь большой


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
227
«всплеск», что она может выйти из области, где проведенная
линеаризация приемлема, или может даже совсем разрушиться.
Свойства устойчивости и неустойчивости причудливо
сочетаются в так называемых странных аттракторах — притягивающих
(а потому устойчивых) областях фазового пространства, сплошь
заполненных неустойчивыми траекториями (см. конец п. 5.8).
По поводу общего понятия устойчивости см. также [347].
10. Введение малого параметра. Метод малого параметра —
метод возмущений в его многочисленных вариантах — является в
прикладной математике одним из наиболее распространенных;
различным вариантам этого метода посвящена обширная литература.
Правильный выбор формы для невозмущенного и возмущенного
решений позволяет во многих случаях даже с помощью первого
приближения получить решение с удовлетворительной точностью при
сравнительно небольшой затрате труда.
Задачи, при решении которых применяется метод малого
параметра, бывают двух типов.
В задачах первого типа малый параметр входит в саму их
постановку; эти задачи характерны для чистой математики, а также
в ряде случаев для физики, где типично повышенное внимание к
различного рода асимптотическим выражениям и в связи с этим —
к оценке порядка участвующих величин. (Этим в значительной
мере определяются особенности математического аппарата,
применяемого в физике: зачастую бывает, что этот аппарат
существенно сложней, чем, например, в инженерных дисциплинах, но на
«выходе» от него требуется лишь получение асимптотического
выражения или даже выяснение порядка величины. Математический
аппарат инженерных дисциплин, как правило, проще, но он более
нацелен на конечные, не приводящие к асимптотикам результаты,
и окончательные зависимости чаще всего требуются с точностью
порядка процента. Разные цели накладывают отпечаток не только
на применяемый аппарат, но и на характер логики при этом
применении. Отклонения от дедуктивного способа изложения в виде
ссылок на физический смысл и аналогии, пожалуй, в физике
совершаются более решительно; в то же время в физических
рассуждениях встречаются значительные и далекие от наглядности
включения дедуктивного характера, связанные с теорией аналитических
функций, теорией групп, теорией операторов и т. д.)
Интересно сравнивает стиль работы инженера и физика Д, Пойа {263,
с, 285J: «Пытаясь решить одну и ту же задачу, они работают по-разному,
поскольку главными для них являются разные стороны дела. Инженер ищет
ясное, короткое, эффективное решение («наименее расточительное», «самое
рациональное» решение). Физик же стремится найтя общий принцип, иа
котором зиждется решение... Именно поэтому, преследуя одну и ту же цель,
они отдают предпочтение различным средствам... Допустим, что к задаче,
которую пытаются решить инженер и физик, существуют два подхода. С
одной стороны, рассматриваемая задача обнаруживает некоторое сходство с
ранее решенной задачей А. С другой стороны, эта задача, по-видимому,
поддается процедуре, продиктованной общим методом Б. Между этими двумя
8*


228
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
подходами надо сделать выбор. Я склонен думать, что при указанных
обстоятельствах (считая про^е условия равными) инженер предпочтет исходить
из конкретной задачи А, а физик — из общих соображений Б».
Было бы полезно провести это сравнение более детально, а также
рассмотреть и другие области приложения математики, выявляя как специфику,
так и общие черты этих приложений. (См. в связи с этим [12, 520].)
В постановке задач второго типа малого параметра нет, и, чтобы
к ним применить метод возмущений, надо такой параметр в задачу
ввести; уже само это действие носит рациональный характер.
Остановимся на таких задачах подробней.
Существенной проблемой, возникающей для указанных задач
и характерной для прикладной математики, является проблема
нулевого приближения. Она состоит в выборе некоторого объекта или
семейства таких объектов, вблизи одного из которых должно ока*
заться искомое решение. Этот выбор может опираться на ожидаемый
характер решения и часто делается уже при построении
математической модели: как уже не раз подчеркивалось, чтобы успешно
разыскать нечто, всегда желательно хотя бы приблизительно знать,
что именно разыскивается. Указанное семейство можно построить
различными неэквивалентными способами, существенно влияющими
на простоту и точность дальнейшей процедуры; при этом велика
роль аналогий и интуиции.
Если исходная задача приведена к решению некоторого
уравнения, то для построения объектов нулевого приближения широко
применяется следующий прием. Пусть уравнение переписано в
общем операторном виде:
F(x)^F(x) + F1(x)^0, (59)
причем известно, что в области Ux, где, как ожидается, расположено
искомое решение, значения | Z7! (jc) |, взятые в некоторой системе
единиц, малы всюду, а значения |?(л:)| малы только в
непосредственной близости от искомого решения. (Последнее условие
выполняется, в частности, в невырожденном случае; в конечномерной
задаче, когда х=(хи . . ., xn)t F=(FU . . ., Fn), это означает, что
| F\ не может быть мало одновременно с \det(dFi/dxj)\.) Тогда
нулевое приближение можно получить из уравнения
?(*) = 0, (60)
если, конечно, оно решается существенно проще, чем (59).
Выражение Ft(x) может представлять собой сумму нескольких
слагаемых, каждое из которых не обязано быть малым в Uх\ таким
образом, из исходного уравнения можно выбрасывать не только
малые члены, но и малые агрегаты. При рассмотрении разных
классов решений одного и того же уравнения малыми могут оказаться
различные его члены или совокупности членов, что приводит к
различным уравнениям нулевого приближения (60).


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
229
Заметим, что во многих задачах можно с большой степенью
уверенности априори указать примерный вид искомого решения,
чего обычно оказывается достаточно для проведения дальнейшей
процедуры (см., например, [36а, гл. IV]).
Допустим теперь, что уравнение нулевого приближения (60)
имеет общее решение
x=^{alt ...9ak) (*>0), (61)
где аь . . ., ah — параметры; при k=0 параметров нет, и мы
получаем вполне определенное решение — какое-нибудь из решений
уравнения (60), если их несколько *). Следующий шаг состоит в
искусственном введении малого параметра так, чтобы (60)
оказалось невозмущенным, а (59) возмущенным уравнениями. В
конкретных примерах это можно сделать различными способами, что также
влияет на построение решения. Формально простейшим способом
введения малого параметра является переход к уравнению
F^(x)^F(x) + ixF1(x) = Ot (62)
из которого (60) получается при ц,=0, а (59) — при |х=1 **).
Основная идея метода малого параметра состоит в том, что
решение уравнения (62) или аналогичного ему уравнения,
«соединяющего» (60) с (59), строится не только при \i=\, но при всех
достаточно малых |х. Поэтому следующим шагом является
указание формы
* = <p([i; *и ••-, «*) (63)
(включающей, кроме выписанных параметров, еще и
неопределенные коэффициенты), в которой будет строиться это решение.
Естественно, при этом требуется, чтобы
Ф(0; а1$ ..., ал) = ф(аь ..., а*); (64)
кроме того, обычно требуется, чтобы правая часть (63) была
аналитической функцией |х в окрестности точки |х=0 ***).
*)^В уравнении (59) под х можно понимать не только скаляр, но и
вектор или функцию и т. д.; если, например, х есть функция от t, то и в правой
части (61) выражение ф есть функция от /, дополнительно зависящая от к
параметров. В частности, (59) может быть дифференциальным уравнением, а
также включать начальные или краевые условия. Можно потребовать, чтобы
оператор F рассматривался только на периодических функциях, и тогда речь
будет идти только о разыскании периодических решений и т. д.
**) Конечно, малость параметра относительна, и то обстоятельство,
что значение ji=l считается малым, не должно вызывать недоумения. Если
Ft мало, то можно обозначить /г1=аФ, где Ф конечно, а а «на самом деле»
мало, после чего переписать уравнение (62) в виде F+vФ=:0, rjxev=\ia
изменяется от 0 до а. Можно сказать, что [i служит формальным сигналом
малости того слагаемого, в состав которого он входит сомножителем; сигналом
малости второго порядка служит \i2 и т. д.
***) В ряде важных случаев правая часть (63) строится как
аналитическая функция от \kllqy где #—2, 3, ... Возможны и более сложные случаи


230
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
При этом могут быть сформулированы два варианта
требований. В более простых задачах требуется, чтобы (63) служило
точным решением уравнения (62) при достаточно малых |л. Но бывает
и так, что от выражения (62) требуется только, чтобы оно
удовлетворяло уравнению (62) с определенной точностью, оцениваемой по
порядку \л, т. е. допускается, чтобы при подстановке (63) в (62)
оставалась невязка некоторого заданного порядка |лш. Из условия
(64) вытекает, что пС^\ч и поэтому наименьшим значением служит
т=2, как это чаще всего и бывает в прикладных задачах; в этом
случае (63) называется первым приближением точного решения.
Такая ограниченная постановка задачи с неполным
удовлетворением уравнения (62) может быть вызвана либо сложностью этого
уравнения, не дающей возможности построить полное решение,
либо же тем, что точного аналитического решения и на самом деле
нет, а имеется только асимптотическое разложение (см.35) по
степеням |л, формально удовлетворяющее уравнению (62); бывает
также, что слишком точное решение и не разыскивается. Оба
указанных варианта непосредственно связаны; из точного решения
путем отбрасывания достаточно высоких степеней jx можно получить
приближенное, а из приближенных решений можно, повышая т,
в ряде случаев получить в пределе точное решение.
Форма решения (63) выбирается в связи с его предполагаемыми
свойствами и сказывается на правильности количественного и
качественного представления решения; это особенно существенно,
если строится приближенное решение, например первое
приближение. Хорошо известно, что далеко не всегда решение
целесообразно строить в виде простой суммы ряда по степеням \i. Так, если
в невозмущенном решении содержится член A sin Ш9 перешедший
после возмущения задачи в A sm(G3+qji)f, то при построении
решения в виде ряда по степеням |х соответствующий член первого
приближения
A sin (ot+Acpt cos at
дает неправильное качественное представление о поведении
возмущенного решения при /-*■ оо. Чтобы правильно выбрать форму
решения, требуется не только учесть его предполагаемое
поведение, но в нестандартных случаях проявить и аналитическое
искусство. Так, в упомянутом только что случае построения
возмущенного периодического решения применяются методы Пуанкаре
и Ляпунова. Для построения переходных процессов может
применяться метод Ван дер Поля, также основанный на использовании
ожидаемой структуры решения. Этим методам как средствам полу-
сингулярного вырождения, для которых уравнение (60) качественно отличается
от (62) и аналитичность зависимости решения от параметра теряется;
примеры такого вырождения приведены на с. 138. (По поводу идеологии задач
с малым параметром см. изложение доклада А. Н. Тихонова в (65L а
также [3681.)


$5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
231
чения правдоподобных результатов в прикладной теории
нелинейных колебаний (результатов на рациональном уровне строгости,
как мы сказали бы теперь) посвящена гл. IV книги [ЗбаЬ
После выбора формы решения (63) неопределенные
коэффициенты, которые в нем имеются, вычисляются с помощью подстановки
(63) в (62) и приравнивания коэффициентов при одинаковых
степенях \i или других аналогичных действий. Если речь идет о
вполне определенном решении уравнения (59), а в решении (63) имеются
параметры, т. е. fc>0, то попутно из тех или иных соображений
находятся значения этих параметров; обычно эти значения
вытекают из условий разрешимости уравнений для неопределенных
коэффициентов. При этом мы узнаем, к какому из решений (61)
близко искомое решение уравнения (59). После построения решения
(63) в нем надо положить ц^Ь' это и должно по замыслу привести
к точному или приближенному решению уравнения (59).
Как видно, все этапы применения описываемого метода, за
исключением этапа вычисления неопределенных коэффициентов и
параметров, осуществляются на рациональном уровне, поэтому и
окончательный результат является лишь правдоподобным. Так,
при построении точного решения значение ц,= 1 может оказаться за
пределами интервала сходимости. Если же строится приближенное
решение, например первое приближение, то нет уверенности в том,
что оно будет хорошим, и даже в том, что оно окажется лучшим,
чем нулевое. Вообще, если первые этапы метода осуществлены
неудачно, то метод никакого результата не даст либо даже приведет
беспечного исследователя к ошибочным выводам.
Как же избежать таких ошибок? Для отдельных вариантов
метода малого параметра оценка соответствующего радиуса
сходимости г проводилась на дедуктивном уровне (см., в частности,
[282]); отметим, что при г>1 точное решение ср(1; аь . . ., ак)
обязательно удовлетворяет уравнению (59) *). Однако такие
оценки, получение которых даже в простых схемах представляет
достаточно трудную задачу, отвечают самому неблагоприятному
стечению обстоятельств и потому в конкретных случаях часто
оказываются излишне пессимистичными. Поэтому обычно более
целесообразно контролировать результат также на рациональном
уровне. Высокая степень достоверности вывода о качестве
приближенного решения получается при исследовании практической
сходимости метода, т. е» с помощью сравнения последовательных
приближений друг с другом. Уже сравнение 0-го, 1-го и 2-го
приближений позволяет сделать такой вывод с определенной
достоверностью, так как тенденция .к сходимости или расходимости
процесса чаще всего проявляется уже на его первых шагах, а привле-
*) Впрочем, если уравнение (59) имеет более одного решения или если
количество этих решений неизвестно, то возникает сомнение — а то ли мы
решение построили, которое нас интересовало; это сомнение обычно
разъясняется на рациональном уровне.


232
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
чение еще нескольких последующих приближений может сделать
этот вывод практически достоверным. Если решается задача с
параметрами, то может оказаться целесообразной проверка для
нескольких типичных реальных комбинаций их значений, так как
процесс, сходящийся для одних значений параметров, может
оказаться расходящимся для других значений.
Иногда достоверность решения задачи методом ^малого
параметра удается повысить, получив независимым путем решение для
вырожденного частного случая задачи и сравнивая
соответствующие результаты. Аналогичную роль играет сравнение результата
вычислений с физическим экспериментом; при этом рациональным
доводом в пользу правильности результата вычислений является
то, что первое приближение лучше описывает эксперимент, чем
нулевое. Такое сравнение можно провести не по всем вычисленным
характеристикам: например, при построении периодического
процесса с заранее не заданной частотой можно сравнивать только
частоты колебаний или только их амплитуды и т. д. Интересно, что
при обнаруженной на самых первых приближениях тенденции к
сходимости ссылка на дедуктивно доказанную сходимость процесса
при достаточно малых |ji j играет ту же роль, что и ссылка на
согласие с экспериментом: и та и другая существенно повышают степень
достоверности утверждения о хорошем качестве приближений,
иногда доводя ее до практически полной (см. п. 3.3).
В качестве примера на метод введения малого параметра в книге
[36а, §IV.2] рассмотрена задача о движении физического маятника,
точка подвеса которого совершает принудительные гармонические
колебания по двум взаимно перпендикулярным направлениям с
одинаковой частотой со в плоскости качаний этого маятника. Как
показывают теоретические исследования и эксперименты (см.
п. 4.10), при одних и тех же параметрах системы в зависимости
от начальных условий могут оказаться возможными по крайней
мере два типа устойчивых установившихся движений маятника —
колебания вблизи некоторого положения с частотой <о (либрация)
и вращение с постоянной средней угловой скоростью ±со (ротация).
При исследовании каждого из этих типов движений делаются
несовпадающие предположения о малости параметров, а в уравнениях
движения оказываются малыми различные группы членов. В
результате, уравнения для нулевого приближения и весь ход
дальнейшего исследования для разных типов движений оказываются
различными. В книге 136а] с помощью подобных приемов
рассмотрены почти все конкретные примеры, при этом результаты оказыва*
ются в хорошем соответствии с экспериментом и с результатами,
полученными иными способами.
Добавочная трудность возникает при применении к реальным
примерам результатов теоретического исследования задач с
несколькими малыми параметрами. Пусть, например, в задаче имеется два
малых параметра |л и v. Тогда часто бывает, что поведение решения


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
233
существенно, порой даже качественно зависит от соотношения
между ними, когда они оба стремятся к нулю; например, при
ficvv получается один результат, а при \iodv2 — принципиально
другой. (Так бывает, если исходная задача качественно меняет
свойства как при |х=0, так и при v=0, но по-разному.) Однако если
нужно применить результат такого исследования в конкретной
ситуации, когда |х и v принимают конкретные относительно
малые значения, то для этих значений можно при любом показателе
р установить соотношение \i=cvp за счет подбора коэффициента с.
Конечно, слишком большие и слишком малые значения с
непригодны, но даже «средние» значения с дают широкие возможности
для произвола в выборе показателя.
Трудно привести общие рациональные соображения по поводу
того, как преодолеть указанное затруднение. Если
рассматривается серия однотипных примеров, то контрольное рассмотрение
нескольких из них каким-либо другим методом может позволить
уточнить диапазон возможных значений коэффициента с, что в
свою очередь ограничит произвол в выборе р. (Если Ci<c<c2, v<l,
то (In fi—In Ci)/lnv<p<(ln \i—lnc2)/lnv.) Если же полученное
ограничение окажется недостаточным для однозначного вывода
или если число рассматриваемых примеров невелико, то не
исключено, что весь метод исследования должен быть признан
ненадежным и заменен другим.
И. Интерполяция и экстраполяция. Эти процедуры широко
применяются в прикладной математике *), и им посвящено большое
число руководств; мы сделаем только некоторые общие замечания
методологического характера.
Хотя идеи и методы теории интерполяции сравнительно
хорошо формализованы, однако и здесь центральные вопросы о выборе
типа интерполирующей функции и критерия качества интерполяции
решаются на рациональном уровне. При этом учитываются объем
исходных данных, их точность и достоверность, цель интерполяции
(нельзя забывать об этом!), сложившиеся разумные традиции в
данной области приложений и т. д.
Самые грубые задачи интерполяции возникают при подборе
эмпирических формул и в других сходных ситуациях. Чаще всего
пользуются формулами простой структуры, скажем
y=:ax + bf y = a + bx + cx2, y = axb, y = aebxt y^a + hjx
и т. п., учитывая при ее выборе те или иные теоретические
соображения, связанные, например, с анализом поведения функции **)
*) И не только в ней. В сущности всякое научное предсказание есть
экстраполяция с наблюденных « итуаций на ненаблюденные, с измеренных
величин на неизмеренные и т. п.; систематическое использование
экстраполяции служит признаком зрелости той или иной области знаний как науки.
**) Имея в виду такой анализ, Я- Б. Зельдович пишет об
эмпирических формулах [130, с. 45]: «На самом деле, конечно, формула тем


234
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
при х-^Оих-^оо ит. п. После этого параметры, входящие в за^
висимость, можно найти по методу наименьших квадратов или
графически по методу выровненных точек (см., например, [130,
§§ Н.3-4]).
Увеличивая число параметров в формуле, можно добиться того,
что интерполирующая функция все точнее и точнее
удовлетворяет заданным условиям, которыми обычно служат значения y(xt)
при заданных x=Xi(i=l, . . ., к). Более того, с помощью
интерполяционной формулы Лагращка указанным условиям можно, с
помощью многочлена (k—1)-й степени удовлетворить совершенно
точно. Однако из этого отнюдь не следует, что при повышении
степени п интерполяционного многочлена Рп(х) «качество» его как
интерполирующей функции все время повышается вплоть до
насыщения при n=k—1. Дело в том, что при достаточно большом п
многочлен Рп{х) слишком жестко определяется исходными данными
и потому следует за всеми случайными невоспроизводимыми
отклонениями, обусловленными ошибками эксперимента, «шумовым
фоном» процесса и т. п. Кроме того, с
ростом п существенно растут сложность
вычислений и их погрешности.
Поясним сказанное на простом примере.
Пусть требуется произвести интерполяцию по
заданным значениям
j/(0)=0, y(h)=at 1/(1)^1 (0<ft<l). (65)
Многочлен второй степени, точно принимаю-
~~д 1 Т щий эти значения, имеет вид
РИС* 25 Р (г\ г 1 а~~Н (X г2\
ft{X) —*~Г ft /| _^ч К* — **)*
Допустим, что в определении а имеется малая ошибка 6а. Тогда
соответствующая ошибка для интерполяционного многочлена равна
в частности, бРа(1/2)=6а/(4Л(1 — h)). Мы видим, что при /t, близком к нулю
или единице, эта ошибка может быть отнюдь не малой.
Опасность указанных значений h хорошо видна также на рис. 25, где
заданные значения отмечены кружками. Мы видим, что в изображенной
ситуации поведение интерполяционного многочлена Р2 (*)• особенно с учетом
возможной ошибки в определении а, в качественном отношении никак не
вытекает из заданных условий.
При опасных значениях h существенно большее доверие в качестве
интерполирующей функции вызывает многочлен первой степени Qx(x),
найденный по методу наименьших квадратов. Простые вычисления на основе
данных (65) дают
лучше, чем больше теоретических представлений вложено в нее, чем в
меньшей степени она является эмпирической».


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
235
Отсюда
fir*
в частности, &Ql(\I2)= 6а/ (4(1— h-\-h2)). Поскольку 1—/i-f/z2>3/4, получен-
ный результат устойчив относительно малых ошибок в определении се»
График многочлена Qi(x) в ситуации рис. 25 показан штрихпунктирной
линией; хотя этот график «несколько прямолинеен», но в качественном от-
ношении более надежно описывает зависимость, чем предыдущий.
Разобранный пример тривиален, и результаты его
рассмотрения были очевидны с самого начала. Однако и в более сложных
ситуациях могут возникнуть аналогичные осложнения, которые
делают нецелесообразным применение интерполяционных
многочленов слишком высокой степени. Оптимальную степень таких
многочленов для различных классов задач можно получить, сравнивая
в типичных ситуациях погрешности, возникающие при отыскании
аппроксимирующего многочлена той или иной степени по методу
наименьших квадратов с погрешностями в исходных данных [337].
Понятно, что интерполирующая функция дает лишь некоторое
рациональное описание истанной зависимости, которое может иметь
как высокую, так и не очень высокую степень достоверности.
В частности, при интерполировании «вслепую», без глубокого
анализа реального смысла зависимости, всегда имеется опасность не
заметить разрывы, острые экстремумы и другие особенности,
которые могут оказаться для этой зависимости определяющими. (Тем
более, что выбросы из общего главного хода зависимости,
порождаемые этими особенностями, могут быть легкомысленно приписаны
ошибкам эксперимента и потому не приняты во внимание.) Это
также делает существенным предварительный или попутный
теоретический неформальный анализ реальной зависимости; часто он дает
возможность предвидеть появление подобных особенностей и так
направить подбор эмпирических данных и интерполяционной
формулы, чтобы получить адекватное описание этой зависимости *).
Во многих задачах оказывается удобным использовать в
качестве интерполирующих функции, заданные не одной формулой, а
двумя или несколькими формулами, действующими на различных
интервалах изменения независимой переменной. Это относится не
только к зависимостям, обладающим разрывами, но и к «гладким»
зависимостям, определенным на достаточно длинных интервалах и
не описываемым с приемлемой точностью единой формулой
достаточно простой структуры. В последнем случае широко применяются
кусочно-полиномиальные функции, в том числе так называемые
сплайны 46, значительно лучше приспособленные для
интерполирования, чем функции, заданные единой формулой. Кусочно-полино-
*) Приведем простой пример: пусть известно количество писем,
доставленных в городе Н. 15 ноября, 15 декабря 1973 г., 15 января и 15 февраля
1974 г. Можно ли с помощью интерполяции приближенно определить
количество писем, доставленных 31 декабря 1973 г.?


236
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
миальные функции применяются, в частности, если интерполяция
выполняется как промежуточный этап при численном
дифференцировании, численном интегрировании, численном решении
дифференциальных уравнений и т. п.
Если при интерполяции обсуждение реального смысла
исследуемой зависимости во многих случаях весьма полезно, то при
экстраполяции такое обсуждение во в с е х случаях является
центральным, решающим элементом процедуры. Мы уже говорили о
том, что интерполяция одной и той же зависимости может быть
осуществлена различными формулами. Однако если даже эти формулы
на интервале интерполирования дают близкие значения, то при
удалении от него они могут приводить к принципиально различным
результатам. Необоснованное распространение формул с
исходного на существенно более широкие интервалы может приводить
к вопиющим ошибкам.
Представим себе, например, что изучаемая зависимость на
исходном интервале близка к линейной и интерполирована с
помощью линейной функции у=ах+Ь. Допустим далее, что для
уточнения формулы добавлено в качестве поправочного члена
слагаемое ах2 с малым коэффициентом а и интерполяционной функцией
стала служить у=Ь+ах+ах2. Но если этой же формулой
воспользоваться для экстраполяции, то при больших х член ал:2 из
поправочного превращается в главный, т. е. именно он будет определять
поведение этой суммы, что может совершенно не соответствовать
существу явления *).
Конечно, бывают случаи, когда какой-либо фактор,
первоначально малозначительный, впоследствии становится решающим, но
каждый такой случай нуждается в тщательном теоретическом
анализе. Положение дополнительно осложняется тем, что в качестве
поправочных членов можно брать и другие функции, скажем,
а/(х+с)9 a sin(otu+(p) и т. д., которые при возрастании х ведут
себя совершенно по-разному.
Таким образом, схема экстраполяции (в частности
прогнозирования, т. е. экстраполяции вперед во времени) должна быть
следующей. На основании известных данных на исходном интервале
изменения независимой переменной строятся интерполяционные
формулы с учетом возможных погрешностей и попутно строится
теория, по возможности объясняющая характер полученных формул,
влияние различных факторов, свойства их взаимодействия и т. п.
Только имея теорию, удовлетворительно объясняющую настоящее,
можно в некоторых случаях (далеко не всегда!) отобрать из
интерполяционных формул такую, которая адекватно опишет обозримое
*) Я- Б. Зельдович пишет по этому поводу (130, с. 55J: «Положение
вещей напоминает сказку Андерсена, в которой тень, отделившись от человека,
начинает жить самостоятельно, делает карьеру и, наконец, заставляет
самого человека служить ей». Это яркое сравнение можно отнести и к
паразитным следствиям — «монстрам», о которых мы говорили в п. 2.4.


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
237
будущее со сколько-нибудь удовлетворительной степенью
достоверности. Прекрасно будет также, если, не получив непосредственно
экстраполяционной формулы, мы сможем построить
обоснованную экстраполяционную схему, например систему
дифференциальных уравнений, решение которой будет удовлетворительно
описывать изучаемую зависимость за пределами исходного
интервала,
Коротко говоря, мы тем лучше предскажем будущее, чем лучше
осмыслим прошлое и настоящее (социологи и историки знают это
давным-давно). При этом одинаково плохо действовать как
вслепую, т. е. без теории, без осмысливания природы явления, так и
догматически, т. е. связывая себя заранее определенной узкой
теорией без глубокого анализа возможности ее применения в
рассматриваемом случае *).
К сожалению, имеется много примеров того, как
экстраполяция в реальных задачах выполнялась либо формально, либо на
основе неадекватной теории, что порой приводило к
безответственным выводам и прогнозам. Особенно распространена формальная
экстраполяция с помощью линейной функции, экспоненты и
других простейших функций, в основе которой лежит представление
(не всегда явно высказываемое!) о постоянстве тех или иных
решающих факторов **).
*) Обратим пример, данный в сноске на с. 235, и будем исходить из из-
вестных количеств писем, доставленных в городе Н. 1 декабря, 15 декабря и
31 декабря 1973 г. Что даст экстраполяция для I марта 1974 г.?
**) Остроумную пародию на формальную линейную экстраполяцию
можно найти в повести Марка Твена «Жизнь на Миссисипи»: «За сто семьдесят
шесть лет Нижняя Миссисипи стала короче на двести сорок две мили. В
среднем это составляет чуть больше, чем миля с третью за год. Отсюда следует —
в этом может убедиться любой человек, если он не слепой и не идиот,— что
в нижнесилурийском периоде (он закончился как раз миллион лет тому назад:
в ноябре юбилей) длина Нижней Миссисипи превышала один миллион триста
тысяч миль. Точно так же отсюда следует, что через семьсот сорок два года
длина Нижней Миссисипи будет равна одной миле с четвертью. Каир и Новый
Орлеан сольются и будут процветать, управляемые одним мэром и одной
компанией муниципальных советников. В науке действительно есть что-то
захватывающее, такие далеко идущие и всеобъемлющие гипотезы способна
она строить на основании скудных фактических данных»» Впрочем, фантазии
автора не хватило на описание ситуации, получающейся после
указанного срока.
В. Hep нет «доказывал», что ему удалось завершить разработку
фундаментальных законов термодинамики (цитируется по журналу «Наука и
жизнь», 1976, № 7, с. 132). «В самом деле,— говорил он,— у первого начала
было три автора: Майер, Джоуль и Гельмгольц, у второго — два: Кар но
и Клаузиус, а у третьего — только один: Hep нет. Следовательно, число
авторов четвертого начала должно равняться нулю, т. е. такого закона
просто не может быть».
На формальной экспоненциальной экстраполяции основано, например,
рассуждение о моменте, когда численность научных работников сравняется
с численностью населения Земли (не правда ли, и здесь было бы интересно
провести экстраполяцию несколько далее?) и т. п. Разбор примеров необос-


238
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
Скажем в заключение несколько слов о прогнозировании,
отослав заинтересованных читателей к книгам по футурологии»
Естественно, что достоверность прогноза, даже научно обоснованного,
если только речь идет не о явлениях типа солнечных затмений,
довольно быстро падает с увеличением интервала времени, на
который этот прогноз делается *). Поэтому любой прогноз
целесообразно подвергать непрерывной корректировке на основе сравнения с
действительным развитием явления. Если же объяснение новых
данных с помощью поправок к первоначальной теории становится
все более натянутым, неестественным, то единственным выходом
может оказаться принципиальное изменение модели,
12. Еще о дедукции. В предыдущем изложении центральное
внимание уделялось различным типам собственно рациональных
рассуждений. Это естественно, поскольку в центре нашего внимания
находятся методы рассуждений и аппарат, характерные для
прикладной математики. Однако диску сии показали, что
подчеркивание и отстаивание роли рациональных рассуждений понимаются
иногда как отрицание или во всяком случае умаление роли
дедуктивного метода.
В связи с этим мы хотим со всей силой подчеркнуть, что и речи
не может быть о каком-либо отрицании роли дедуктивного
метода — одного из самых блестящих созданий человеческого
интеллекта. Отрицательного отношения заслуживает лишь
неправомерное, неадекватное применение чистой дедукции, слепой перенос
понятий, методов и всего стиля чистой математики в приложения.
Несомненно, что во многих задачах, прикладной математики
адекватное применение результатов чистой математики и чисто
дедуктивных конструкций принесло решающую пользу — конечно,
это относится далеко не только к случаям, о которых мы
упоминали в § 4.
Во многих прикладных задачах непосредственно применяются
результаты, полученные в чистой математике. Это относится в
первую очередь к разнообразным точным и приближенным (в
частности, асимптотическим) формулам, для получения многих из ко»
торых нужны сложные дедуктивные рассуждения на уровне чистой
математики: достаточно вспомнить различные применения теории
аналитических функций **). Для последнего времени характерно
нованной экстраполяции в демографии содержится в книге Б. Ц. Урланиса
[319, гл. II].
*) По этому поводу Кретя Патачкувна в книге «Пи» глубокомысленно
заметила: «Очень трудно что-либо предвидеть, особенно на будущее».
**) М. Кац и С. Улам [144, с. 244]: «В прошлом веке использование
в физике функций комплексной переменной прямо-таки чудодейственным
образом помогло создать эффективные алгоритмы решения задач, которые
до этого не удавалось решить никакими другими методами. Мало того,
оказалось, что благодаря этому физические законы получили новый смысл и
новые формулировки, что уж совсем похоже на мистику: ведь, как мы знаем,
комплексные переменные (и функции с комплексными значениями) первона-


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
239
также широкое применение качественных методов и результатов,
относящихся к устойчивости, осцилляторности, свойствам сггёктра,
монотонности тех или иных зависимостей и т. п. Получение этих
результатов, часто далеко не очевидных, опирается на
разнообразные разделы математического анализа, алгебры, функционального
анализа и т. д. Конечно, имеются и другие каналы, по которым
чисто математические результаты, даже весьма абстрактные,
непосредственно применяются в прикладной математике (см., например,
1370]).
По этому поводу И. И. Ворович писал ([81. с. 185]): «... строгий
математический анализ не только наводит «блеск» на вещи, изученные и осознанные
на уровне численного анализа, но и ... сам по себе является мощным
средством познания, вскрытия отнюдь не очевидных и для сильной интуиции
фактов и явлений, и в этой части может сравниться с экспериментальным
методом».
Однако дело не только в таком непосредственном применении.
Многие из структур, которые дедуктивно строятся в чистой
математике, способствуют формированию и прикладного математиче*
ского мышления, правильному пониманию ситуации, ее
эффективному анализу *). Аналогия с дедуктивной теорией часто приводит
к появлению плодотворнейших идей.
Дедуктивное исследование того, какие варианты возможны в
тех или иных предположениях, позволяет сделать вывод, чего
можно ожидать в реальной задаче. (Так, дедуктивное исследование
автономных систем дифференциальных уравнений на плоскости
позволяет выяснить, какие движения могут быть у реальных
автономных систем с одной степенью свободы.) О роли, которую
сыграли исследования в области теории дифференциальных
уравнений в обнаружении возможности возникновения стохастичности
в реальных системах невысокого порядка, уже говорилось в п. 5.8.
Методы высокой строгости бывают эффективными для выявления
чально возникли в алгебре вне всякой связи с проблемами естественных
наук».
*) Сравните с высказыванием Н. Бейли 130, с. 801 по поводу теории
информации: «Вряд ли можно утверждать, что те приложения теории
информации, о которых говорилось выше, позволили получить много таких
результатов в биологии и медицине, которые не были бы уже получены другими
способами. И все же понятие информации, без сомнения, ценно тем, что оно
служит полезным количественным инструментом для теоретических
построений и описаний, а также унифицирует идеи и задачи, возникающие в самых
различных областях знания. Как минимум это должно стимулировать
научные исследования, а в идеале может привести к новым результатам,
получение которых маловероятно при других формах анализа». Во избежание
недоразумений добавим, что в некоторых других областях приложения (на*
пример, в теории связи) та же теория информации привела не только к новым
идеям^ но и к новым мощным рабочим методам.
М. Бунге [59, с. 57|: «Роль математики в современной науке
двойственная: формирование понятий и вычисления. Нет понятия мгновенной скорости
без понятия производной, нет закона движения без дифференциальных или
операторных уравнений». См. также [22J,


240
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
особых и вырожденных случаев (п. 2.8) и просто необходимыми для
анализа таких случаев, для указания последствий возможных
ошибок при решении реальных задач («сигналы опасности») и т. д.
Дедуктивное исследование отдельных примеров и эталонных задач
играет важную роль в воспитании правильной прикладной
математической интуиции (п. 5.13).
Наконец, свойственное дедуктивному методу стремление к
логической четкости может способствовать разумному уточнению
понятий и соотношений, входящих в прикладное исследование,
что порой приводит не только к углублению знания, но и к прямым
практическим результатам *).
Эффективность дедуктивного метода во многих задачах с
достаточно ясной, не слишком сложной в математическом отношении и
достаточно адекватной математической моделью обусловила
создание и развитие ряда дедуктивных разделов прикладных наук. В
основе такого раздела лежит система аксиом, схематизирующая
реальные физические, экономические и т. п. связи, однако его
дальнейшее построение принципиально не отличается от построения
раздела чистой математики. Прямые аналогии с реальными
сущностями и даже выбор терминов способствуют разумной постановке
задач в таком разделе, формулировке гипотез, а в ряде случаев —
и построению доказательств. Наконец,— и это едва ли не самое
главное — интерпретация дедуктивных выводов может принести
существенную реальную пользу.
Характерными примерами здесь могут служить теория
линейных цепей в теоретической электротехнике, ряд разделов теории
автоматического управления, классическая механика точки п
абсолютно твердого тела, математическая гидромеханика и т. д. (см.
*) Вот один из примеров подобного рода, приведенных Г. Штейнгаузом
(353, с. 392—393): «Как-то раз известный биолог навестил математика и стал
объяснять ему, как он вычисляет вероятность несовместимости крови матери
и плода по резус-фактору. Математик с большим трудом следил за
объяснением, поскольку вся проблематика была ему совершенно незнакома, и время
от времени задавал наивные вопросы. Спустя некоторое время биолог заявил,
что прежний способ вычисления вероятности неверен и его необходимо
заменить другим, добавив при этом: «Вот что значит побеседовать с человеком,
который разбирается в том, что ему говорят. Такое общение настолько
стимулирует мышление, что начинаешь видеть вещи, которых раньше не замечал».
И действительно, новый способ определения вероятности оказался лучше
старого, хотя придумал его сам биолог без малейшей подсказки со стороны
математика».
Другой поучительный пример указал американский литературовед
К. Кребер (цит. по [108, с. 252]): «Я пришел в вычислительный центр Вискон-
синского университета и сказал: «Я хочу использовать Ваши машины для
анализа стиля художественной прозы». Я получил немедленный ответ:
«Хорошо, мы думаем, что сможем Вам помочь, но прежде всего скажите, что Вы
понимаете под словом стиль». С момента нашего разговора прошло много
месяцев, а я все пытался понять, что же я в действительности понимаю под
стилем. В вычислительном центре я осознал, как мало я знаю о своем
собственном предмете, и вынужден был критически отнестись к положениям,
которые я опрометчиво использовал в течение многих лет».


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
241
[59], где наряду с примерами содержите^ обсуждение общей
методики построения аксиоматических теорий в физике).
Эти области являются, в основном, разделами физических и
технических дисциплин (по специфике изучаемой структуры), но
их можно считать и разделами математики (по характеру
применяемых методов). Так, теорию линейных цепей можно считать
своеобразным разделом линейной алгебры, однако выделяющимся из нее
специфической терминологией, кругом задач; то же можно сказать
о теории массового обслуживания или теории надежности как о
разделах теории вероятностей и т. п. В подобных теориях роль далеко
развитых дедуктивных понятий и методов математики особенно
велика. Эти методы могут не только дать эффективные конкретные
результаты, но и способствовать развитию правильной интуиции,
более глубокому пониманию взаимосвязей, а при интерпретации —
более глубокому пониманию реальных закономерностей. Например,
привлечение понятия метрики приводит к более глубокому
пониманию того, что такое средние и эффективные значения в
электротехнике, и тем самым позволяет избежать возможных ошибок в этой
области. Рассмотрение свойств нелинейных операторов может дать
правильное понимание действий с нелинейными элементами цепей и
т. д. Таким образом, абстрактный математический подход может
оказаться весьма плодотворным. (По поводу аксиоматизации
отдельных нематематических дисциплин и их фрагментов см., в частности,
(175, 195, 260, 280, 344, 415, 453, 5481.)
Признавая несомненную пользу многих таких разделов, надо
отметить реальную возможность ошибок при их применении,
происходящую от того, что предположение о справедливости аксиом
может оказаться неприемлемым и даже соответствующая
терминология — существенно неадекватной. Например, применение теории
линейных цепей может привести к ошибкам в случаях существенной
нелинейности элементов или связей; то же относится к применению
теории движения идеальной жидкости в случаях существенного
влияния ее вязкости; предположение о показательном
распределении интервала между заявками и времени обслуживания может
привести к качественно неверным выводам при анализе систем
массового обслуживания и т. п. Эта неадекватность может
усугубляться психологическими причинами, о которых говорилось в п. 3.7.
Прикладная дисциплина не может сводиться к своим
математическим разделам; неформальные, содержательные соображения,
а с ними и рациональные рассуждения должны играть в ней
определяющую роль.
13. Роль примеров. Трудно преувеличить роль примеров при
выборе метода исследования того или иного класса прикладных
математических задач, при анализе и отработке этого метода и его
элементов. Они призваны играть роль моделей для исследуемой
модели реального явления, и потому к ним полностью относятся
высказанные в § 4 соображения по поводу адекватности и простоты.


242
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
Каждый пример имитирует исследуемую модель, вообще говоря,
лишь по некоторым ее свойствам, причем иногда лишь в процессе
рассмотрения примера выясняется -— по каким именно. Серия
примеров, имитирующих различные свойства модели, способствует
пониманию этих свойств в более общем интересующем нас случае;
об этом мы говорили в п. 3.2г. Примеры часто удается исследовать
значительно детальнее и с более высокой степенью достоверности
(во многих случаях на полностью дедуктивном уровне), чем
основную модель; этим создается правильная интуиция в
рассматриваемой области *). Именно поэтому гипотезы часто оказывается
полезным проверять на примерах; более того, разбор примеров
может сам подсказать гипотезы, относящиеся к более общей или к
аналогичной ситуации. Конечно, справедливость гипотезы для
отдельного примера не может служить доказательством этой гипотезы
в общем случае, но эта справедливость повышает правдоподобие
гипотезы, если пример представляется характерным, а ее проверка
для серии примеров может довести правдоподобие до практически
полного; кроме того, рассмотрение примера может выявить
причины справедливости гипотезы в общем случае.
С другой стороны, разбор даже отдельного примера (если он
не относится к категории «искусственно противоречащих» — см.
п. 3.2а) может о провергнуть гипотезу и тем самым
удержать от неправильных путей и ошибочных выводов. Поучительная
история описана в книге [253, § 26]. Лагранж в первом издании
«Аналитической механики» (1788 г.) и во втором издании (1811 г.),
а также Лаплас в «Небесной механике» ошибочно утверждали, что
при исследовании эволюции автономной системы вблизи состояния
равновесия в случае равных собственных значений обязательно
появляются члены вида t cos pt или teXt и что поэтому для
устойчивости состояния равновесия системы без диссипации необходимо,
чтобы собственные значения были различными. На данную ошибку
впоследствии указали Вейерштрасс и О. И. Сомов в 1858—1859 гг.
По этому поводу Томсон и Тэт писали (цитируется по 1256, с. 150]):
*) С. К. Годунов и В. С. Рябенький пишут [99, с. 9—10): «Современная
вычислительная техника и накопленный опыт позволяют с помощью
разностных схем приближенно вычислять решения очень сложных и плохо
поддающихся исследованию другими методами задач. Уверенность в том, что
решение вычислено правильно, достигается применением той же вычислительной
схемы для расчета немногих задач, точные решения которых заранее извест*
ны, сопоставлением результатов расчета с физическим экспериментом в том
диапазоне параметров, где этот эксперимент возможен, и с помощью других
методов, которые нельзя считать математически строгими. (Точнее, строгими
с точки зрения чистой математики.— Авт.) Но понимание сущности дела,
необходимое для построения пригодных разностных схем, достигается путем
рассмотрения серии правильно подобранных модельных задач, достаточно
простых для детального изучения на принятом в математике уровне
строгости, но все же улавливающих те или иные интересующие нас черты исходной
задачи, недоступной для строгого изучения либо ввиду сложности, либо ввиду
недостатка времени»,


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
243
«Странно, что Лагранж не заметил этой своей ошибки в течение
двадцати трех лет. Вероятно, он обнаружил бы ее уже при
написании статьи для последнего издания, если бы имел обыкновение
иллюстрировать свои замечательные аналитические результаты
примерами. В этом случае он, конечно, заметил бы, что вывод о
неустойчивости равновесия частицы, находящейся на дне гладкого сосуда,
имеющего форму тела вращения относительно вертикальной оси,
не может быть справедливым».
По отношению к примерам, в которых по возможности просто
имитируются все основные изучаемые свойства рассматриваемых
моделей или класса моделей, применяется термин эталонные
задачи. Глубокое исследование эталонной задачи позволяет уточнить
качественные свойства решений, а на основании сравнения с
другими моделями или с экспериментом — установить адекватность
данной модели. Апробирование различных методов исследования
эталонной задачи дает возможность установить, какие из этих
методов могут оказаться полезными в более общем случае, отработать
эти методы, выяснить их точность. Все это делает привлечение
эталонных задач в ряде случаев весьма эффективным.
14. Уточнения. Прикладное математическое исследование часто
имеет структуру последовательного уточнения: сначала строится
самое грубое решение, затем с его помощью уточняются модель
или метод решения математической задачи, что приводит, вообще
говоря, к более точному решению; оно может быть использовано
аналогичным образом и т. д.
Цели таких уточнений могут быть различными. А^ожет
оказаться, что точность грубого решения недостаточна для целей
исследования в качественном или количественном отношениях. Тогда
грубое решение имеет лишь вспомогательное значение для
получения более точного решения. Однако возможен и другой случай,
когда точность грубого решения нас устраивает, но нам не ясны
рамки его применимости. В этом случае уточненное решение служит
не для того, чтобы им непосредственно пользоваться, а для
выяснения границ применимости более грубой теории. А поскольку
грубые модели и формулы обычно обладают существенными
преимуществами в простоте, такая схема применения уточненных решений
оказывается во многих задачах весьма целесообразной. Именно
таким часто оказывается соотношение между методами теории
упругости и сопротивления материалов, а также гидромеханики и
гидравлики, при рассмотрении одних и тех же задач.
Приведем простой пример подобного применения уточненного решения.
Рассмотрим колебания механического осциллятора без трения, возникающие
в результате приложения постоянной силы F0y и обозначим через т его
массу, а через щ — собственную частоту. Непосредственное интегрирование
уравнения
1 т


244
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
при нулевых начальных условиях дает решение
jc = -^(1-cosu>oO (0</<оо). (66)
mm
При выводе этой формулы мы считали, что внешняя сила принимает
значение FQ мгновенно. Однако реально это, конечно, не так, и естественно
заинтересоваться вопросом, можно ли пользоваться формулой (66), если
внешняя сила возрастет с конечной скоростью. Для решения этого вопроса
примем, что внешняя сила возрастет по линейному закону от значения F=0
при t=Q до F—Fq при некотором /=т, после чего остается все время равной
F0. Интегрирование соответствующего дифференциального уравнения
показывает, что после момента t—т закон колебаний взамен (66) примет вид
, = -5»-[i-iELiL cos («,/-«) 1 (x<t<oo, u = ?£). (67)
moo Iй J \ z J
Таким образом, мы получаем поправку как в амплитуде, так и в фазе
колебаний. Примем для определенности, что применение зависимости (66)
допустимо, если подсчитанная по ней амплитуда колебаний отличается от
результата, который дает уточненная формула (67), не более чем на 5%,
Тогда мы получаем неравенство (sin и)/и > 0,95, откуда и<0,55, т. е. ш0т< 1»1 •
Другими словами, длительность т этапа возрастания силы должна быть
меньше периода Т—2п1щ свободных колебаний по крайней мере в шесть раз.
Это и есть условие применимости грубой формулы (66).
Из зависимости (67) можно получить и другой поучительный,
практически еще более важный результат аналогичного характера. Очевидно, что
если внешняя сила F0 возрастает достаточно медленно, то процесс является
квазистатическим, т. е. можно принять, что отклонение осциллятора
пропорционально этой силе: x~F(t)icy где с ^пкоо — коэффициент жесткости.
Однако насколько медленным должно быть для этого возрастание силы?
Положим, как и выше, что сила сначала возрастает по линейному закону за
время т, а потом остается постоянной, и примем, что процесс можно считать
квазистатистическим, если при / >т осциллятор в процессе колебаний
отклоняется не более чем на 5 °Ь от равновесного положения jc0™F0/c. Тогда в
силу формулы (67) получаем, что должно быть Isin и|/и<0,05, откуда
w>20, т. е. т > 6Г; это и есть в данной задаче условие квазистатичности..
Аналогичным образом в задаче о гармоническом возбуждении
линейного осциллятора с диссипацией энергии можно было бы
проанализировать влияние конечного времени возбуждения,
отклонение реального закона возбуждения от гармонического и т. д.
Думается, что оценки подобного рода были бы полезны в
учебниках механики для разъяснения понятий «мгновенный скачок» и
«квазистатическое нагружение» и т. п. не только с качественной,
но и с количественной точек зрения.
Интересный анализ уточнения математической модели задач
баллистики приведен в [309, с. 19—29].
15. ЭВМ. Прикладная математика имеет с вычислительной
математикой обширные пересечения. Почти все реальные вычисления,
проводимые в настоящее время, а также соображения, связанные с
формулировкой вычислительной задачи, выбором эффективных
вычислительных методов и их усовершенствованием и т. п.,
непосредственно относятся к прикладной математике, составляют ее
неотъемлемую часть. Вместе с тем вычислительная математика включает


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
245
многие вопросы, не имеющие целью реальные вычисления и
изучаемые на чисто дедуктивном уровне, которые более естественно
отнести к чистой математике; впрочем, и из разработок таких
вопросов часто бывает возможно извлечь ту или иную прикладную
пользу. (Об этих двух аспектах вычислительной математики см.
114, с. 1191, а также [361, где приведен содержательный анализ
методологических проблем прикладной вычислительной
математики.)
У нас нет возможности останавливаться на вопросах
вычислительной математики, даже органически связанных с приложениями.
Мы ограничимся указанием на книгу Н. С. Бахвалова [28],
значительно выходящую за рамки обычного курса вычислительной
математики и нацеленную на применение вычислений в реальных
условиях, причем автор подробно останавливается на многих
возникающих при этом проблемах, включая отношения с «заказчиком».
Роль рациональных рассуждений в этой книге очень велика.
Естественно, что реальным вычислениям и тому, что с ними
непосредственно связано, свойственны те подходы и способы
рассуждений, о которых говорилось в гл. I в связи с прикладной
математикой вообще: при рассмотрении теоретически бесконечного
процесса для решения задачи важны не только факт сходимости, но
и скорость сходимости; сам факт сходимости часто не может быть
вполне строго доказан и т. п. *) В частности, важнейший вопрос
о необходимой точности вычислений, который может сыграть
основную роль при выборе вычислительного метода, решается на
неформальном уровне с учетом реального смысла задачи,
потребностей, возможностей измерения, вычислительных средств и т. д.**).
*) И. Бабушка, Э. Витасек, М. Прагер (21, с. 121 пишут: «На практике
составными частями искусства вычислений являются
квалификация, опыт и интуиция вычислителя. Математическая строгость не является
здесь самоцелью. Строгий математический анализ задач вычислительной
практики всегда оставляет некоторые вопросы нерешенными. Практические
расчеты требуют таланта, знания и опыта, способности схватывать сущность
задачи и выбирать комбинация известных методов, а также умения
использовать строгий математический язык для адекватного описания трудностей
проблемы». Р. В. Хемминг, завершая свою книгу [3321, в которой
рациональные рассуждения играют выдающуюся роль, пишет 1332, с. 398]: «Для
прогресса машинной математики очень важно, чтобы интуитивные методы,
которыми мы теперь пользуемся, были более ясно поняты и приведены,
насколько возможно, к явным и удобным для вычислений рекомендациям».
Н. Н. Моисеев [222, с. 71]: «Конечно, любой ... алгоритм должен быть в ка-
кой-то степени формализованным, но именно «в какой-то степени», а не до
конца», он «...должен быть разумным сочетанием формальных и
неформальных процедур». Аналогичные вопросы обсуждаются в [438].
**) Все зто дало основание для вывода, сделанного Р. Хеммингом [332»
с. 99]: «Здравая вычислительная практика требует постоянного исследования
изучаемой задачи не только перед организацией вычисления, но также в
процессе его развития и особенно на той стадии, когда полученные числа
переводятся обратно и истолковываются на языке первоначальной задачи».


246
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
Сказанное в полной мере относится к ЭВМ, предназначенным
для реальных вычислений.
Приведем слова Р. Хемминга по поводу общей схемы решения задач
на ЭВМ [332, с. 280—281J: «Процесс решения любой практической задачи
на машине включает три этапа: планирование, выполнение плана и
интерпретацию результатов... На первом этапе все расчеты носят, как правило,
характер набросков, в которых определяется объем вычислений, машинное
время и т. д... Начальный этап включает в себя оценки времени
программирования, кодировки, машинного времени, оценки того, когда будут получены
результаты и как они будут использованы.
Обычно в процессе решения задачи возникает обратная связь между
постановкой задачи и вычислением, и потому точная постановка всей задачи
возможна лишь после начала вычислений. Тем не менее выходить на машину
нужно, лишь тщательно выполнив этап планирования.
На этапе «выполнения» план часто меняется... В фазе «интерпретации»
необходимо не только обсудить и объяснить результаты, но также и
проверить, соответствуют ли результаты физической модели и не является ли
часть из них следствием формально проведенных вычислений, а не
физических закономерностей. Кроме того, нужно объяснить все изменения в плане
вычислений... Обычно в математических кругах пренебрегают первой и
третьей фазами как не относящимися к математике. (Конечно, они относятся к
прикладной математике.— Авт.) Но эти две фазы, в особенности
третья, которой пренебрегают чаще всего, имеют решающее значение для
успеха всей работы».
Огромное значение ЭВМ для прикладной математики сейчас
совершенно очевидно *); поэтому мы не случайно связали начало
*) С некоторой задержкой осознается их роль в чистой математике.
М. Кац и С. Улам пишут [144. с. 194J: «Вычислительные машины и их роль
в математике все еще составляют предмет ожесточенных споров. Математики
демонстрируют полную гамму разных отношений к этому вопросу — от
равнодушия до враждебности; лишь немногие чувствуют, что вычислительным
машинам предназначено сыграть важную роль в будущем развитии
математики, не говоря уже об их бесспорной полезности как мощного орудия
научных и технических исследований». В книге [144] приведены примеры того,
как эксперимент на ЭВМ позволяет угадать формулировки чисто
математических теорем (см. также конец п. 5.7 и [509]); в последнее время все чаще
говорят даже о возникновении экспериментальной математики, которая так же
относится к чистой математике, как экспериментальная физика — к
теоретической [442, 443]. Кроме того, сейчас известен ряд машинных доказательств
новых теорем, в основном теорем комбинаторного характера. Так, один из
наиболее сенсационных результатов в чистой математике последних лет —
решение знаменитой проблемы четырех красок 47 — был получен К- Аппелем
и В. Хакеном [374] с помощью ЭВМ IBM 310-168, которая за 1000 часов
проанализировала огромное количество необходимых вариантов (см. [31]).
Применение ЭВМ к дедуктивному доказательству утверждений, связанных с
непрерывными переменными, затруднено необходимостью учета влияния
ошибок округления. В последние годы появились работы П. С. Панкова, в
которых такой учет проводится на дедуктивном уровне, что дает возможность
применить «доказательные вычисления на ЭВМ» и к чистому анализу.
Любопытно, что в основе подобных исследований лежит своеобразный постулат
об отсутствии сбоев в работе ЭВМ, еще больше расширяющий спектр уровней
строгости в чистой математике. (См. также [198, с. 55—57; 207}.)
Думается, что существенно большее влияние ЭВМ на чистую математику
обнаружится через несколько десятков лет. Дело в том, что вычислительные
методы, средства и традиции в значительной степени стихийно формируют всю
«математическую идеологию»: какие задачи надо сводить к каким (например,


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
247
современного периода развития математики с созданием первых
ЭВМ. Они не только повысили на много порядков скорость и точ*
ность вычислений для известных ранее классов задач *), но и
впервые сделали возможным решение с удовлетворительной точ*
ностью и в приемлемое время многих других задач. Однако при
этом пришлось видоизменить и даже принципиально заменить
многие вычислительные методы, вообще произвести коренные из*
менения в «вычислительной идеологии».
Так, значительную роль приобрел вычислительный
эксперимент, проводимый для подтверждения (вплоть до доказательства
на рациональном уровне) или опровержения той или иной гипотезы.
Мы упоминали в п. 5.9 о возможности выяснения устойчивости
по Ляпунову определенного решения системы дифференциальных
уравнений путем его сравнения (с помощью численного
интегрирования на ЭВМ) с несколькими решениями, для которых
начальные данные мало отличаются от исходных. Аналогичным образом
можно приближенно вычислять важные числовые характеристики
систем дифференциальных уравнений (такие, как, например,
характеристические показатели4S), осуществлять разбиение
пространства начальных данных или пространства параметров на
области одинакового асимптотического поведения решений и т. п.
Правда, при дискретном «прощупывании» (своеобразной пальпации)
этих областей всегда имеется опасность того, что их границы будут
выяснены не вполне отчетливо, а некоторые интересные, но малые
или неудачно расположенные области будут пропущены. Эта
опасность тем выше, чем выше размерность пространств и чем более
«закрученными» являются интересующие нас области; она может
усилиться также при неудачном выборе интервала времени, на
котором осуществляется интегрирование, или шага
интегрирования. Однако привлечение качественных соображений и здравого
смысла позволяет для многих задач выяснить картину с достаточной
отчетливостью и достоверностью **).
как отметил Л. А. Люстерник, именно из-за этого мы традиционно сводим
линейное автономное дифференциальное уравнение вида Р (d/dt)x=0 к
алгебраическому уравнению Р(Х)—О, а не наоборот), на каком этапе задача
признается решенной и т. д. Более того, вопрос о том, чем надо заниматься в
чистой математике, в конечном счете зависит от математических методов решения
нематематических задач, а сейчас На создание и развитие этих методов
существенно влияют ЭВМ. Особенно существенно может сказаться это влияние
на постановке и методах решения задач так называемой конечной
математики {5151.
*) Н. С. Бахвалов [28, с. 91 отмечает, что за последние 30 лет скорость
выполнения арифметических операций возросла в 3-Ю7 раз, тогда как за
200 лет механическая скорость, доступная человеку, возросла в 5103 раз.
К настоящему времени первый коэффициент надо увеличить еще раз в сто.
**) Рассмотрение возникающих здесь интересных вопросов содержится,
например, в работе 3, С. Баталовой [261. В этой работе устанавливается связь
между степенью точности и достоверности результатов, полученных при
исследовании на ЭВМ стационарных режимов движения динамических систем


248
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
Машине можно поручить вычисление практически важных
функционалов от решений — экстремальных и средних значений,
вероятностных характеристик «стохастических» (см. конец п. 5.8)
траекторий динамических систем, когда детальный анализ
отдельных траекторий неэффективен, и т. д.
Существенные черты вычислительного эксперимента имеет
также широко применяемый в последние годы метод Монте-Карло в
его разнообразных вариантах, прежде всего при изучении
случайных явлений. Вообще, математические модели таких явлений можно
грубо подразделить на два типа: аналитические и статистические
(монте-карловские). Первые, связанные с составлением и решением
(точным либо приближенным) соответствующих систем уравнений,
обычно оказываются удобными для осмысливания, анализа и
оптимизации результатов в сравнительно простых задачах. Для более
сложных задач статистические модели оказываются не только более
эффективными, но зачастую и единственно возможными. Здесь
модель реализуется в виде программы для ЭВМ. а случайные
компоненты вводятся с помощью датчика случайных чисел; при этом
искусственная статистика, полученная при многократном
«разыгрывании» модели на ЭВМ, автоматически обрабатывается. Именно
этот метод прикладного изучения случайных явлений является
сейчас основным. Более того, оказалось, что этот метод также
наиболее эффективен для ряда классических вычислительных задач
(см. п. 5.8).
В последние годы при изучении сложных экономических,
социологических, экологических и т. д. задач широко
распространился характерный для ЭВМ метод, не совсем удачно названный
имитационным моделированием. Здесь рассматриваются сложные
системы, включающие размытые величины, так что говорить о
сколько-нибудь точной модели явления обычно не представляется
возможным. Тем не менее, образуя с помощью ЭВМ различные
варианты структур, имитирующих реальную ситуацию, и изменяя
параметры системы, можно делать полезные выводы о последствиях
этого изменения и глубже понять моделируемое явление. По этому
поводу см., в частности, [218, 221—223, 348, 361, 495, 525]. Особую
роль при имитационном моделировании, как и при других
сложных вычислениях на ЭВМ, играет диалоговый режим, организация
которого постепенно превращается в новое научное направление.
Алгоритмы, включающие в себя человеческое звено, в ближайшие
десятилетия могут стать одной из основ прикладной математики.
«Самое главное, значительно более важное, чем непосредственный
счет, что пришло вместе с ЭВМ в жизнь людей,— это возможность
и временем интегрирования, расстоянием между «пробными» точками в
фазовом пространстве, степенью сложности изучаемых режимов и т. п.
Вопросам моделирования динамических систем на ЭВМ специально
посвящена книга [492]. О гносеологических основах математического
эксперимента см. [305].


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
249
объединить формальное и неформальное мышление, естественным
образом объединить способность машины во много раз быстрее,
точнее и лучше человека делать формальные, арифметические
операции, отслеживать логические цепочки, с удивительными
свойствами человеческого интеллекта — интуицией, способностью к
ассоциациям и т. д.» {222, с. 8—9].
Значительные перспективы открываются перед ЭВМ в связи с
задачами синтеза, выбора оптимальной математической модели и
т. д. *).
В качестве примера перестройки психологии, вызванной ЭВМ,
укажем на решение нелинейных дифференциальных уравнений.
В «домашинную» эру считалось само собой разумеющимся, что если
в таком уравнении возможно с помощью некоторой подстановки
понизить порядок, то это следует сделать. Например, для решения
уравнения
у"Ч(у,у') (у=у(х)) (68)
рекомендовалось рассматривать зависимость у'=р от у, что
приводит к уравнению первого порядка pdpldy=f{y, p). Если нам
удастся его проинтегрировать, т. е. найти общее решение /? =
~Ф(*/; Ci), то затем получаем соотношение \dyjy{y\ C^ — x^C^
между х и у. Такая процедура при аналитическом исследовании
решения иногда приводит к цели, однако это удается редко, так
что приходится прибегать к численному решению. Но для
численного решения эта процедура плохо приспособлена, менее
трудоемким оказывается непосредственное интегрирование уравнения
(68) без понижения его порядка. Так и надо поступать при работе
на ЭВМ.
Таким образом, надо уметь хотя бы совсем грубо оценивать
объем вычислительной работы, необходимой для доведения решения
задачи до конца. В частности, именно по этой причине вопросы
формального интегрирования в значительной мере потеряли сейчас
свое былое значение. Более того, изменился даже смысл
выражения «задать функцию»: функция, получающая как хорошо алгорит-
мизуемое решение какой-либо задачи (например, задачи Коши для
заданного дифференциального уравнения), оказывается ничуть не
хуже элементарных функций.
*) Интересные соображения по изменившейся роли ЭВМ в физике
высказал А. А. Мигдал (210]. Если раньше ЭВМ применялись для численной
обработки построенной теории, то теперь все чаще—для построения самой
теории, в частности, если соответствующие эксперименты слишком трудны или
даже невозможны. Фактически возникла новая научная область —
вычислительная физика, в которой физические эксперименты имитируются
математическими. Последние могут играть решающую роль при проверке (по косвенно
проверяемым физическим данным) гипотез — например, о внутренней струк*
туре кварков. (См. также [36Ц.)


250 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
В качестве другого примера перестройки вычислительной
психологии укажем на вычисление сумм числовых рядов. Ранее для
этого широко применялись разнообразные искусственные
преобразования; однако при применении ЭВМ в большинстве случаев более
эффективным оказывается непосредственное суммирование членов.
Но здесь нельзя действовать вслепую! Распространенным
заблуждением среди тех, кто не имеет достаточного опыта общения
с ЭВМ, является наивная вера в то, что машина справится с любым
алгоритмом, какой бы ей ни подсунуть. На самом деле, даже если
не учитывать стоимости использования ЭВМ, постепенно
выясняется, что они мощны, но далеко не всесильны. Поэтому при
решении на ЭВМ задачи, уже сформулированной математически, обычно
наиболее ответственным пунктом является подготовка задачи к
программированию, т. е. выбор и конкретизация вычислительного
метода.
Поясним сказанное на простом примере. Допустим, что мы
хотим вычислить сумму бесконечного ряда
S = -ir+-gr+•'••+!?-+•••. (69)
причем, уверовав во всесилие ЭВМ, решили не применять никаких
ухищрений, а просто подсчитывать и складывать члены ряда, пока
они не обратятся в машинный нуль, после чего частные суммы ряда
перестанут возрастать. Чтобы оценить необходимое время для
вычисления по указанной схеме, примем за машинный нуль число
0,5-Ю-*19 (примерно таково его значение для распространенных
ЭВМ средней мощности). Тогда вычисления прекратятся при
l//i2<0,5-10-19, т. е. при п> К2-1019«4,5-109. Если принять,
что на вычисление и добавление каждого члена тратится 10~5 с,
то получим, что общее время вычисления примерно равно 4,5-109-
-10""5=4,5• 104 с=12,5 ч. При этом ошибка, как нетрудно оценить,
получится на десять порядков больше последних слагаемых.
Описанная схема вопиюще нерациональна. Результат получается
гораздо быстрее и точнее, например, если просуммировать 104
первых членов ряда (это займет время порядка I с), а остаток
заменить по приближенной формуле
1 1 Г ds __ 1 ,?m
71Г + (я+1)*+" •* « J s* — я—1/2 » * '
Л-1/2
точность которой имеет порядок 0,1 л~3. (Конечно, в данном
примере можно было воспользоваться и справочниками, согласно
которым S=jt2/6, но это лишь счастливый случай — как правило,
числовые ряды редко «свертываются» в конечные выражения через
известные константы.) Так и в более жизненных ситуациях
квалифицированное преобразование математической модели и приме-


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
251
нение современных вычислительных методов порой может
уменьшить время громоздкого вычисления во много раз.
При применении ЭВМ возникает ряд важных специфических
проблем. Машина обычно выдает решение в виде дискретных чисел,
поэтому, если только решение не состоит из одного или небольшого
количества таких чисел, возникает проблема придания решению
такой формы, чтобы можно было его обозреть и им пользоваться.
Особого внимания требуют задачи, содержащие параметры. Пусть,
например, мы хотим составить таблицу, по которой можно было бы
решать полное кубическое уравнение
ах-1 !- Ьхх Л сх ! d ■=----■ 0. (71)
Если допустить, что каждый из параметров а, Ь, с, d может
принимать 50 значений — а это не так уж много,— то всего
получится 504^6-106 комбинаций этих значений. Средней ЭВМ для
выдачи результатов потребуется около месяца непрерывной работы
(основное время уйдет на печать), а результаты займут около 200 км
ленты.
Вообще, для многих людей, только что освоивших технику
работы на ЭВМ и пораженных ее мощностью, характерно стремление
получить как можно больше численных результатов на основе
наивного принципа «чем больше информации, тем больше пользы». Но
часто этим людям грозит опасность захлебнуться в полученном
море цифр — проблема извлечения полезного вывода из этого моря
может оказаться более сложной, чем исходная задача. Ситуация
напоминает легенду об ученике волшебника, который в отсутствие
учителя вызвал джинна и велел ему носить воду, но не смог его
остановить вовремя и в результате чуть не утонул. Поэтому весьма
актуальным является один из основных тезисов, неоднократно
подчеркиваемый Р. Хеммингом 13321: прежде чем решать задачу,
подумай, что делать с ее решением.
На самом деле положение с таблицей для решения уравнения
(71) не такое уж печальное. С помощью подстановки
Ь . з г- d be , 2#*
x^^^jrv/qZt Где 9=___г__,
можно перейти к уравнению
*' + « + 1,-0 [г-{т-ш)ч--"У
содержащему всего один параметр /\ Таблицу значений решения
последнего уравнения в зависимости от этого параметра уже
нетрудно составить с помощью ЭВМ, даже если ему придать не 50, а
5000 значений. В результате решение уравнения (71) будет
находиться с помощью двух одновходовых таблиц (кубических корней
и z(r)) и простых арифметических действий; это, конечно,
несравненно проще, чем составление и применение таблицы с четырьмя
входами.


252
TJL 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
Причины, порождающие ошибку результата любого вычисления,
можно условно подразделить на четыре категории: 1) ошибки,
порожденные выбором математической модели; 2) ошибки в исходных
числовых данных; 3) ошибки вычислительного метода; 4) ошибки
округления [28, с. 15]. В эпоху ЭВМ последняя причина
приобрела особую актуальность. Когда в длинных цепочках вычислений
последующие выкладки все время опираются на результаты
предыдущих, ошибки округления могут разрастаться до такой степени,
что, начиная с некоторого момента, мы будем иметь дело в сущности
с одними лишь ошибками.
Приведем яркий пример такого эффекта [21]. При вычислении интеграла
In^-L £xnexdx (n = 0, 1, 2, ...) (72)
о
легко с помощью интегрирования по частям установить, что
/я = 1-л/„-1 (л = 1, 2, 3, ...). (73)
Вычислив /0= 1-1/е—0,632, по рекуррентной формуле (73) можно
последовательно получить Ii=\ —1/0, /2=1—2/i, ... Приведем результаты
11п вычисления значений 1 п с тремя знаками после запятой:
п
'■
0
0,632
1
0,368
2
0,264
3
0,208
4
0,168
5
0,160
6
0,040
7
0,720
8
—4,760
При л>6 результаты явно нелепые, так как из (72) непосредственно
видно, что /0>/i>/2>. . .>0.
Причины ошибки ясны: при вычислении 11п первоначальная погрешность
округления /0 множится на 1-2*. . .»п, а так как точное значение 1п
стремится к нулю при п -*• оо, то относительная погрешность стремительно
возрастает. Вычисления на ЭВМ с большим числом цифр несколько помогают,
но ненадолго: при вычислениях с девятью значащими цифрами результаты
становятся нелепыми, начиная с л—14. (Польза повторного счета с другим
числом десятичных разрядов состоит в том, что с его помощью выясняется
надежность вычислений.)
Данные вычисления нетрудно перестроить так, чтобы погрешности не
разрастались, а уменьшались. Для этого достаточно заменить в
соотношении (73) п на п+1 и переписать его в виде
Теперь можно вычислять 1п, переходя от больших значений к меньшим,
положив некоторое «отправное» 1п просто равным нулю. Так, положив/10=0,
мы получаем значения:
п
1\1
9
0,100
8
0,100
7
0,112
6
0,127
5
0,146
4
0,171
3
0,207
2
0,264
1
0,368
0
0,632


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
253
Более точные вычисления показывают, что /9=0,092f /8=0,101,
а в остальных результатах все выписанные цифры верные.
Ошибки округления при вычислении интегралов и решений
дифференциальных уравнений могут создать парадоксальную
ситуацию: с целью увеличения точности результата мы измельчаем шаги,
но если применяемый метод выбран неудачно («неустойчив» в
вычислительном отношении), то из-за увеличения числа действий
ошибки округления начинают сказываться сильнее и итоговая
погрешность возрастает. Поэтому проверка вычислительной
устойчивости применяемого метода и вообще влияния округления является
существенной частью многих вычислений на ЭВМ. Для некоторых
сравнительно простых классов задач удается провести строгое
теоретическое иссле ование дедуктивного аналога вычислительйой
устойчивости, которое позволяет понять, какие факторы и как
влияют на эту устойчивость.
Часто бывает удобно, в том числе и для сложных задач,
выяснить влияние ошибок округления эмпирически; выработан ряд
методов для этого, описанных, например, в [332, гл. 2]. Эти методы
сводятся в основном к проведению повторного вычисления, ошибки
округления в котором не должны координироваться с ошибками
в первом вычислении. Например, можно произвести повторное
вычисление с удвоенной точностью или с одной недостающей
значащей цифрой во всех вычислениях и сравнить результат с
исходным. При решении дифференциальных уравнений для контроля
можно применить повторное вычисление с измененным шагом. При
этом полезно иметь в виду, что если зависимость или независимость
результата вычислений от ошибок округления установлена при
каких-то исходных данных для вычисления, то тот же вывод — во
всяком случае для линейных задач — имеет место и для любых других
исходных данных. Существенное влияние ошибок округления часто
обнаруживается также путем сравнения результатов вычисления
с ожидаемым по смыслу задачи, так как чаще всего такое влияние
порождает быстро разрастающиеся осцилляции и даже
переполнение ячеек (в примере с вычислением 11п переполнение наступило бы
при я«24), что совершенно не согласуется с реальным смыслом *).
В связи с вопросом о влиянии ошибок округления упомянем
еще об одной особенности решения задач на ЭВМ, когда речь идет
о расходящихся рядах и других подобных объектах. Пусть,
например, рассматривается гармонический ряд 1+(1/2)+(1/3)+... . Как
известно, он расходящийся, т. е. сумма его равна бесконечности.
Однако если поручить ЭВМ вычислять эту сумму, то, казалось бы,
из-за округлений и наличия машинного нуля частные суммы
начиная с некоторого номера перестанут возрастать, т. е. мы получим
*) Н. Бейли [30, с. 116] пишет по этому поводу: «Не следует
недооценивать значения общей научной интуиции. Именно ей мы обязаны,
по-видимому, тем, что ученые допускают грубые числовые ошибки не так уже часто,
как этого можно было бы ожидать».


254
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
результат конечным. Не указывает ли это на качественную ошибку,
возникающую вследствие использования ЭВМ?
На самом деле реальная опасность подобных ошибок совсем
не велика, если, конечно, не вычислять вслепую. Прежде всего
члены рассматриваемого ряда убывают чрезвычайно медленно, что
уже само по себе должно насторожить наблюдательного
исследователя. Так, если принять, как и выше, что машинный нуль равен
0,5 10~15\ а на добавление одного члена ряда уходит 10~5 с, то до
получения итоговой суммы машина должна работать 2-1019-10~3 с~
^2-1014 с---=6 миллионов лет (впрочем, сама сумма получилась
бы близкой всего лишь к 45). Даже применение больших машин
уменьшило бы этот срок всего в 100 раз. Если же мы будем
искусственно останавливать вычисления, скажем, через 1, 2 и 3 мин
работы машины, то получим значения, не имеющие отчетливой
тенденции к сходимости (при указанном выше быстродействии получаются
соответственно значения 16, 18; 16, 88; 17, 28 *)), что не позволяет
принять частную сумму ряда за его полную сумму.
Интересно, что даже если проводить вычисления вручную с
гораздо меньшим числом цифр, то элементарный контроль не дает
возможности принять расходящийся ряд за сходящийся. Например,
если округлять члены гармонического ряда до 0,1, то его сумма
окажется равной 3,6; но если для контроля провести округление
до 0,01, то сумма окажется равной 6,16, что сразу показывает общую
ненадежность вычислений. (Для ряда (69) получились бы значения
соответственно 1,4 и 1,59.)
С проблемой влияния ошибок округления непосредственно
связана проблема так называемой обусловленности системы уравнений,
из которой определяются интересующие нас величины. Если эта
система уравнений образована неудачно («плохо обусловлена»), то
малое изменение исходных данных может привести к немалому
изменению решения, даже если вычисления проводились бы с
абсолютной точностью. А так как исходные данные обычно
устанавливаются с помощью измерения, которому присуща определенная
погрешность, то решение, полученное из подобной системы,
является тем менее надежным, чем хуже ее обусловленность. Кроме того,
плохо обусловленные системы особенно чувствительны к ошибкам
округления при вычислениях.
Приведем сознательно утрированный пример плохо обусловленной
системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными [188, с. 163—
I64J:
дН-г 2,00001, л-!-1,00001^-2,00002. (74)
Если считать здесь все величины совершенно точными, то эта система
имеет решение х 1,00001, y—L Однако стоит правую часть второго
уравнения заменить на 2*00003, как решение станет совершенно иным: £—0,00001,
*) Отметим кстати, что даже для довольно медленно сходящегося ряда
(69) в результате таких остановок получилось бы одно и то же значение
1,644934, что рационально указывает на близость к пределу*


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
255
#~2. В этом примере причина плохой обусловленности, очевидно,— в
малости определителя системы (74) или, геометрически,— в чрезвычайной
малости угла, под которым пересекаются прямые (74) в плоскости х, у.
В более сложных случаях плохая обусловленность может быть
совсем не очевидной, тем более, что она не вызывает препятствий
для решения задачи на ЭВМ. Как и вычислительная неустойчивость,
она может быть обнаружена либо из теоретических соображений,
либо эмпирически — путем повторного вычисления с измененными
в рамках реально осмысленной точности исходными данными.
Аналогичные трудности возникают при рассмотрении
некорректных задач, для которых как угодно малое изменение исходных
данных может привести к существенному изменению или даже к
исчезновению решения. Систематическое исследование некорректных
задач, начатое в известных работах А. Н. Тихонова, привело к
развитию методов регуляризации, т. е. к своеобразной корректизации
(см., в частности, 1307, 308]), при практическом применении
которых существенно используются рациональные переходы.
До последнего времени широкому внедрению ЭВМ
препятствовал в основном психологический барьер, хотя составлению
программ для ЭВМ на алгоритмических языках в простых случаях
успешно обучают даже рядовых школьников. И сейчас еще иные
исследователи по существу боятся ЭВМ, так же как наши предки
боялись «неберущихся» интегралов, трансцендентных уравнений,
дифференциальных уравнений, не разрешимых в квадратурах, и
т. п. Вместо того чтобы принципиально изменить подход к таким
интегралам и уравнениям, ученые продолжали искать новые случаи
интегрируемости, что существенно ограничивало возможности
приложений математики. Аналогичная ситуация возникает порой в
связи с ЭВМ.
Встречается и противоположный «уклон», о котором мы
упоминали выше, основанный на непонимании возможностей ЭВМ,—
представление о том, что машина справится с любым алгоритмом,
так что вопрос о выборе и совершенствовании этого алгоритма не
столь уж важен.
Для органического включения ЭВМ в прикладные
математические исследования требуются психологическая перестройка,
глубокое изменение многих навыков, подходов и точек зрения; на
этом, в частности, подробно останавливается В. И. Феодосьев [324,
гл. X]. В домашинный период в прикладной математике
доминировало «аналитическое видение», операции с числами появлялись
лишь на заключительном этапе исследования и не требовали особой
квалификации. Теперь же аналитический и алгоритмический (в
особенности, машинный) способы мышления должны взаимодействовать
на всех стадиях исследования, иногда даже начиная с построения
математической модели и, во всяком случае, при выборе метода ее
исследования. При этом приходится существенно изменить многие
привычные домашинные представления. Например, нелинейность


256
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
задачи, которая раньше всегда считалась признаком ее сложности,
теперь для широких классов задач особых затруднений не вызывает;
гораздо более серьезной трудностью для машин является
увеличение числа существенных независимых переменных или параметров.
Если раньше одной из основных целей математических
преобразований было выражение решения через табулированные функции, то
теперь отсутствие таблиц обычно препятствием не является, так как
ЭВМ может тем или иным способом вычислять необходимые
значения функций без приведения их к табулированным. (При
многократно повторяющихся вычислениях роль, аналогичную таблицам,
играют стандартные программы, но их составление, как правило,
несравненно проще, чем составление таблиц с той же детализацией.)
Если раньше при исследовании дифференциальных уравнений
важнейшую роль играло отыскание подстановок, с помощью которых
уравнение приводилось к интегрируемым типам, то при применении
ЭВМ формальная интегрируемость несущественна, а подстановки
направлены в основном на понижение размерности задачи.
Значительно повысилась роль универсальных методов *) и т. д.
Однако грубо ошибочной была бы мысль, что применение ЭВМ
делает излишним получение аналитических (точных,
приближенных, асимптотических) формул и методов, «ручной» счет с помощью
микрокалькулятора и простого карандаша! Аналитические
решения, когда они возможны, часто обладают неоценимым
преимуществом из-за своей компактности, особенно если задача включает
параметры или решение получается как функция нескольких
независимых переменных. Асимптотические формулы успешно действуют
в случаях, когда применение численных методов вообще становится
затруднительным. «Ручной» счет из-за своей мобильности наиболее
приспособлен к выполнению прикидочных расчетов, которые следует
производить как можно чаще, в том числе и при подготовке более
объемных вычислений. Таким образом, применение ЭВМ призвано
не заменить другие плодотворные математические методы, а
сочетаться с ними, существенно расширяя возможности
приложения математики **). Это тем более существенно, что само по
себе обращение к ЭВМ вовсе не всегда свидетельствует о
прогрессивной методике. Более того, бездумное применение ЭВМ может
*) В. И. Феодосьев [324, с. 1551: «Если машина включается в процесс
исследования как составная часть логического аппарата, то естественно» что
методы анализа должны менятьсяР Те тропы, по которым прежде ходили
с вьюками, для машины, конечно, оказываются неудобными. Быстрее к цели
приводят объездные серпантины, может быть, более длинные с виду, но более
короткие по существу».
**) Описав случаи, когда аналитическое исследование задачи дало
возможность решить ее на ЭВМ за доступные сроки, а также предотвратить
принципиальные ошибки, А. Б. Мигдал пишет [212, И, с. 104): «...раньше
чем пользоваться счетными машинами, задачу необходимо всесторонне
исследовать аналитическими методами. Аналитические методы — «старое, не
грозное оружие» — не теряют своего значения».


§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
257
принести прямой вред, создавая иллюзию обоснованности там, где
ее на самом деле нет. Напомним еще один важный тезис Р. Хеммин-
га: «Цель расчетов — понимание, а не числа», точнее — не только
числа.
Поэтому чрезвычайно целесообразно, чтобы самые широкие
слои специалистов во всех областях осваивали методику работы
на ЭВМ и самостоятельно проводили вычисления в своих задачах,
хотя бы в не слишком сложных ситуациях. Иногда специалист
ограничивается составлением уравнений задачи, после чего передает ее
для решения вычислителю, который и ставит ее на машину. Такой
путь далек от оптимального, так как вычислитель, недостаточно
знакомый с существом задачи, совершит много лишней работы, не
сможет вовремя перестроиться, сойти с неправильного пути,
опереться на физическую интуицию и применить грубые прикидки.
Преодолеть эти недостатки могут либо сами инженеры, физики и
другие специалисты, владеющие техникой работы на ЭВМ, либо
небольшие группы, поддерживающие непрерывный контакт (это
особенно касается более сложных в математическом отношении
задач) и состоящие из таких специалистов и из вычислителей или
математиков-прикладников. В последнем случае необходимо, чтобы
специалист-нематематик отчетливо представлял себе возможности
ЭВМ и специфику соответствующих вычислительных методов, а
вычислитель или математик ясно понимал существо и физические
особенности задачи; тогда все этапы работы могут квалифицированно
обсуждаться всеми ее участниками.
16. Добавление. Волевые действия. В процессе приложений
математики волевые действия играют весьма существенную роль. Они
в каком-то смысле примыкают к методам решения задач и
сопутствуют каждому отчетливо недедуктивному рациональному переходу.
Можно ли считать то или иное рациональное рассуждение в
данной конкретной ситуации доказательным? Является ли выбранная
модель адекватной? Является ли решение математической задачи
в рамках выбранной модели достаточно точным? Можно ли на
основании полученного решения дать те или иные выводы и
рекомендации? Даже после принятых мер предосторожности против
ошибок и произвола ответы на подобные вопросы будут результатом
волевых действий человека или группы людей. При этом, в отличие
от дедуктивных действий, неизбежен разброс мнений, порой
весьма существенный: например, вывод, убедительный для одного
человека, может другому показаться неосновательным. Этот разброс
отражает объективную размытость критериев {например, наших
желаний), и математика может только помочь ограничить его, но
никак не устранить! Здесь квалификация, опыт, гибкость мышления
особенно важны, так же как и способность понять соперничающую
точку зрения. Кроме того, во многих случаях большую пользу
приносит совместное вынесение решения несколькими
специалистами путем «консилиума» или опроса.
/2° И. И. Блехмаи и др.


258
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
Роль волевых действий особенно велика, если необходимо
удовлетворить нескольким требованиям, которые могут
противоречить друг другу: например, если надо выбрать модель или решение,
адекватные по нескольким характеристикам, или когда приемлемое
решение нужно получить по возможности быстрее и т. п. Здесь, по
существу, возникают многокритериальные задачи на оптимизацию,
к тому же осложненные сильно размытым характером участвующих
величин.
По поводу таких задач И. Грекова пишет [101, с. ПО—111]: «Часто споры
разворачиваются вокруг того, что следует понимать под «оптимальным
решением». Классическая математика тоже знает задачи оптимизации, но в
идеально четкой постановке, когда ищется решение, обращающее в максимум
(минимум) одну-единственную скалярную величину (целевую функцию).
Это идеальная схема крайне редко встречается в реальных задачах, по
крайней мере достаточно сложных. Почти все такие задачи оказываются
многокритериальными (задачи с векторной целевой функцией). Одни из критериев
желательно обратить в максимум, другие — в минимум (например, валовой
объем продукции — в максимум, фонд заработной платы — в минимум,
прибыль — в максимум и т. д.). Эти требования, как правило, взаимно
противоречивы: не существует решения, удовлетворяющего всем им сразу.
Попытки объединить несколько критериев в один обобщенный и
оптимизировать решение по этому критерию обычно не дают должного эффекта и часто
оказываются даже вредными, создавая иллюзию научного обоснования там,
где его, по существу, нет. Здесь приходится, как и при согласовании разных
точек зрения, искать форму разумного компромисса (такое решение, чтобы,
так сказать, «и волки были сыты и овцы целы»).
Математические методы оптимизации при всем их совершенстве и
изощренности мало чем могут помочь в такой ситуации. До сих пор в математике
полноценной «теории компромисса» не существует (и, возможно, в принципе
не может существовать.— Авт.). Правда, в теории статистических решений
некоторые попытки подобного рода имеются, но они обычно приводят к
решениям, резко неустойчивым по отношению к точке зрения. Пока что
практически единственной инстанцией, способной быстро и успешно
вырабатывать компромиссное решение, является человеческий разум, так называемый
«здравый смысл». Человек до сей поры — непревзойденный мастер
компромисса, и без его участия решение в многокритериальной задаче (не
оптимальное, может быть, ни по одному критерию, но приемлемое по их
совокупности) пока что выбрано быть не может. Математика в ее современном виде
может оперировать только понятиями «больше», «меньше», «равно», но не
понятиями «приемлемо», «практически равноценно» и т. д., характерными
для человеческого мышления. По-видимому, не всякое «лучше — хуже»
может быть сведено к «больше — меньше» (или, если может, мы часто не
знаем, как это делается). Принимая решение, человек, не вдаваясь в
излишние подробности, окидывает общим взглядом ситуацию в целом и выбирает
приемлемый вариант. Что касается математики, то ее дело в подобных
случаях — не выдать окончательное решение, а помочь человеку его выбрать.
Дать человеку, принимающему решение, максимум нужной ему информации
в выразительной, удобовоспринимаемой форме; показать, к каким
последствиям приведет (по ряду критериев) каждый из возможных вариантов
решения, предварительно отбросив все неконкурентоспособные.
Такое математическое моделирование ситуации часто может заменить
недостающий человеку опыт (когда речь идет о ситуациях новых,
неизученных, о мероприятиях, опыта проведения которых нет). Кроме того, возможна
«передача» опыта от человека (или коллектива), искусного в выборе решений,
мзшине, автомату, постепенно вырабатывающему формализованный
алгоритм выбора решения (так называемые адаптивные или обучаемые алгоритмы).


§6. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
259
К созданию таких алгоритмов могут быть привлечены любые средства
(скажем, «экспертные оценки», «механизмы голосования» и т. п.), весьма далекие
от математической традиции. Каждый из таких методов может быть применен,
но при одном условии — его не надо фетишизировать, объявлять полученный
результат «окончательной истиной в последней инстанции». Проблемы
живут, их решения также живут, видоизменяются, взаимно отменяют друг
друга ~ так и быть должно».
О трудностях, связанных с формированием целевой функции, см.
также [507].
§ 6, Анализ и интерпретация математических результатов
«Истина всегда оказывается проще, чем
можно было предположить».
Р. Фейнман [323, с. 189]
1. Предварительные замечания, Выше уже говорилось, что
анализ и интерпретация математических результатов образуют
самостоятельный этап прикладного исследования *). Будучи
заключительным этапом, открывающим прямой выход в практику, он
должен завершаться возможно более четкими и компактно
сформулированными ответами на вопросы, ради выяснения которых было
предпринято исследование (а возможно, и на те вопросы, которые
возникли лишь в ходе исследования).
Конечно, непременными элементами анализа служат выявление
общих свойств изучаемого объекта, исследование возможностей
возникновения тех или иных критических состояний, выяснение
влияния параметров и т. п.; мы лишены возможности даже
перечислить такие элементы, поскольку их состав решающим образом
зависит от конкретного объекта и целей исследования. Но подобные,
очевидно необходимые элементы образуют «анализ» лишь в
непосредственном и узком смысле слова, и ими не должно исчерпываться
все содержание обсуждаемого здесь заключительного этапа.
Полноценная разработка этого этапа в значительной мере определяется
наличием еще некоторых немаловажных элементов; к ним, в первую
очередь, относятся:
а) общая апробация приемлемости исследования в целом;
б) обсуждение результатов не только в заранее намеченных
аспектах: не исключено, что при этом будут обнаружены
интересные и важные факты, о существовании которых мы заранее не
подозревали;
в) выразительное и экономное представление результатов,
нацеленное на непосредственные практические применения.
Общая характеристика этих элементов дается в пп. 6.2—6.4.
2. Общая апробация исследования. Коротко говоря, здесь
имеется в виду сопоставление найденных результатов с независимо уста-
*) На этом этапе применительно к задачам физики останавливается*
в частности, Р. Фейнман [323, с. 190—191].
9*


260
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
новленными и практически достоверными фактами. К ним прежде
всего относятся надежные экспериментальные данные (по понятным
причинам большей убедительностью обладает сопоставление с
опытными данными, полученными другими исследователями); при этом,
чем менее очевидны теоретические результаты, получившие
экспериментальное подтверждение, тем существеннее возрастает доверие
к теории. Некоторые из полученных результатов могут быть
сопоставлены с результатами, известными из других, независимых
теоретических исследований. Все такие подтверждения повышают
внешнее правдоподобие элементов принятой модели (в частности,
гипотез, положенных в ее основу) и модели в целом; как говорят,
происходит верификация модели.
Иногда бывает трудно с помощью непосредственного
эксперимента судить о сравнительных достоинствах нескольких
конкурирующих гипотез, но относительно легко сделать выбор, если
проверять в эксперименте не сами гипотезы, а более или менее далекие
следствия из них. В таких случаях окончательный выбор гипотезы
приходится откладывать до обсуждаемого здесь этапа; после того
как надлежащий выбор сделан, обычно приходится вернуться назад
и глубже изучить свойства избранной теоретической модели, а
иногда и более или менее существенно перестроить ее (тем самым
названный этап окажется не заключительным, а лишь промежуточным).
Так, при решении задач динамики упругих систем часто приходится
выбирать между двумя гипотезами относительно свойств внутреннего трения
в материале, но оказывается затруднительным прямым образом проверить,
какая из них верна для того или иного конкретного материала. Однако можно
воспользоваться, например, тем, что из одной гипотезы (гипотеза о линейно*
вязком трении) следует, что темп затухания свободных колебаний связан
с частотой колебаний, а из другой (гипотеза об «амплитудно-зависимом»
трении) — что он не зависит от этой частоты. Эти следствия допускают
несложную экспериментальную проверку по следующей схеме. На
конструкции, изготовленной из исследуемого материала, нужно поочередно закрепить
два существенно различных груза с тем, чтобы низшие собственные частоты
(определяемые в основном массами подвешиваемых грузов) заметно
различались. Последующее сравнение двух экспериментальных виброграмм
свободных затухающих колебаний сразу позволит установить, зависит ли темп
затухания от частоты, и тем самым сделать выбор между гипотезами.
Конечно, не исключено, что эксперимент не даст надежного подтверждения ни
одной из гипотез (так будет, например, если материалом служит
стеклопластик),— тогда возникает необходимость поисков иной, третьей гипотезы:
ее содержание, возможно, будет подсказано результатами того же
эксперимента.
Другим примером может служить выбор кинематической гипотезы,
полагаемой в основу технической теории поперечного изгиба балок.
Сравнительно недавно появилась альтернатива обычно излагаемой в курсах
сопротивления материалов теории (теории Бернулли—Эйлера). Можно
построить «прямо противоположную» техническую теорию изгиба, исходя из
предположения, что удлинения продольных волокон вообще отсутствуют
и изгиб оси балки происходит только за счет сдвигов *). Сопоставим для
*) Такой теорией пользуются при анализе динамического поперечного
изгиба кирпичных столбов и стен, в частности, в динамических задачах проек-


§ 6. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
261
примера результаты приложения обеих теорий к случаю консольной балки
постоянного сечения, несущей рлвномерно-распределенную нагрузку
интенсивности q. По обычной теории для прогиба конца консоли получится
результат, который можно найти в любом курсе сопротивления материалов:
1 8EJ*
а по противоположной теории
/= "
2GF
{I — длина балки, Е и G — модули упругости первого и второго рода, F и J —•*
площадь и момент инерции поперечного сечения). Для того чтобы построить
разумный эксперимент, который позволил бы отдать предпочтение одной
из двух теорий, полезно заметить, что длина балки входит в итоговые
формулы в различных степенях. Следовательно, сопоставление опытных значений
прогибов двух балок, различающихся только длинами, даст легкую
возможность выбрать наиболее подходящую из двух теорий, поскольку
различие предсказаний по обеим теориям чрезвычайно велико.
В ряде случаев апробация выполненного исследования может
быть основана на сопоставлении результатов с ранее известными
«эталонами», относящимися к избранным, но достаточно
характерным значениям параметров *).
Например, нелинейно-вязкую силу трения для системы с одной
степенью свободы часто аппроксимируют зависимостью — bq I q V1"1 (q —
обобщенная скорость, bun — постояннее). В этом случае дифференциальное
уравнение свободных затухающих колебаний при линейной
восстанавливающей силе имеет вид
dq-\-bq\q\nmrl-^cq = Q.
Для аналитического решения этого нелинейного дифференциального
уравнения по необходимости обращаются к приближенным способам. Если
воспользоваться известным способом энергетического баланса, то для огибающей
кривой свободных затухающих колебаний получается выражение (при пф\)
Л=Л0[1 + (л—|)ВЛГ1/]1/(1"я), (75)
в котором Ац —• начальное отклонение системы от положения равновесия
(начальная скорость полагается равной нулю), а
Ьс(п-1)/2Лг> Ьс<п~1)/2Г((п+2)/2)
j/Wn+1)/2r((n + 3)/2)
Но в выкладках, которые приводят к довольно удобному выражению (75),
содержатся некоторые заведомые неточности, и поэтому естественно, что
первым шагом в анализе результатов должен быть контроль их
приемлемости. Для этой цели полезно воспользоваться тем фактом, что в случае
тирования сейсмостойких конструкций. С. П. Тимошенко разработал более
общую теорию, которую можно рассматривать как синтез двух названных
выше.
*) По поводу эталонных задач уже говорилось в п. 5.13.
И. И. Блехман и др.


262
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
кулонова трения (п=0) можно легко найти точное решение; согласно этому
решению наибольшие отклонения системы убывают по закону
арифметической прогрессии, а огибающая представляет собой прямую
Легко проверить, что тот же результат следует и из выражения (75) при л=0.
* Любопытно, что если воспользоваться энергетическим способом для
такого же приближенного решения задачи при п~\ (линейно-вязкое трение),
то получится также точное уравнение огибаюдей Л — A0e~~bt^2aK Таким
образом, в выкладках по названному приближенному способу при я—О и п~1
происходит полная внутренняя компенсация ошибок (увы, так бывает далеко
не всегда!); это может служить рациональным доводом в пользу достаточной
точности решения (75) и при других значениях п — во всяком случае не
слишком далеких от 0 и 1.
Особо надо сказать о математических моделях социальных и
иных подобных явлений, для которых количественное описание не
является достаточно надежным и общепринятым. Здесь контроль
гипотез и модели в целом по получающимся следствиям часто имеет
только качественный характер, и в ряде случаев можно предложить
много гипотез и много моделей, которые приводят к качественно
одинаковым результатам.
По поводу таких моделей В. В. Налимов пишет [233, с. 18J: «Можно
поставить вопрос — в чем же смысл таких моделей? Ответ на него прост.
Такие модели позволяют лицам определенной интеллектуальной
настроенности понимать поведение системы лучше, чем если бы оно было изложено
вербально. Это происходит, видимо, потому, что математический язык и,
в частности, язык дифференциальных уравнений обладают высокой степенью
общности. У ученого, владеющего этим языком, сразу же возникает
множество ассоциаций с аналогичными, хорошо известными ему ситуациями,
описываемыми такими же уравнениями. Математическая модель сразу же
становится на свое место в системе тех представлений, которыми
располагает ученый, мыслящий на языке математики» (прикладной математики —
добавим мы.— Авт.) *).
При изучении социальных явлений приходится особенно часто
иметь дело с размытыми понятиями и величинами. Переходя к ма-
*) Говоря о пользе математических моделей в биологии, Н. Бейли (30,
с. 29] пишет: «...достигнув достаточной степени сложности, математика
развивается далее по своим собственным законам и дает биологу понятия и образ
мышления, которых у него раньше не было». Дж. Смит [297, с. 11 — 14J особо
останавливается на роли качественных моделей в биологии, которые
приводят к воспитанию правильной интуиции в случаях, когда уже накопленная
интуиция отказывает, а эксперименты трудны. К исследованию таких
моделей могут привлекаться ЭВМ, однако, в отличие от количественных моделей,
влияние конкретных данных должно быть по возможности ослаблено.
Подчеркнув, что «главная проблема, которую приходится решать при анализе
любой сложной системы,— это выбор существенных параметров», Смит
делает интересное замечание: «При изучении сложных систем следует не
столько стремиться найти черты, общие для всех систем или для всех видов,
сколько искать причины различий в поведении разных видов или систем. Для того
чтобы ответить на такого рода вопросы, нам нужны наипростейшие модели».
(См. об этом также [5451.)


§ 6, АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ 263
тематической модели, мы заменяем размытые величины на четкие
(это относится, например^ к целевой функции в большинстве задач
математического программирования (см. 2*30)), что и придает
результатам качественный характер. Во многих случаях такие
результаты приносят несомненную пользу, помогая правильной
ориентировке. Однако значения попутно получающихся количественных
утверждений (например, при практическом применении теории
игр 49 и некоторых других разделов теории операций) нельзя
переоценивать. (См. также [221, 543].)
3. Поиски неожиданностей. Хотя отчетливое знание того, что
именно мы ищем, существенно облегчает исследование и помогает
организовать целеустремленный поиск, лишь в редких случаях
можно с самого начала точно предвидеть, какие из результатов
окажутся наиболее полезными. Гораздо чаще некоторые из интересных
результатов неожиданно обнаруживаются лишь в процессе, иногда
даже в самом конце исследования, план которого в связи с этим
приходится по ходу дела перестраивать. Более того, не так уж
редко в начале исследования имеется лишь довольно расплывчатое
представление о его объекте и смутное ощущение «здесь что-то
есть» *). .Поэтому разностороннее обсуждение промежуточных и
окончательных результатов (причем не только в заранее
предусмотренных аспектах), анализ побочных ветвей исследования могут
оказаться весьма целесообразными, хотя и придают этому
исследованию некоторую аморфность, разумная степень которой определяется
на основании интуиции, аналогий и опыта.
Приведем простой пример. Пусть рассматриваются вынужденные
вертикальные колебания упруго подвешенного груза массой тъ на который
действует вынуждающая сила F sin ©/. Соответствующее дифференциальное
уравнение движения имеет ви^ т^Хх-гс^ — F sin Ш (ct — коэффициент
жесткости упругой связи). Как известно, амплитуда чисто вынужденных
колебаний равна A\=Fl I q—mi (a2 I. Поставим вопрос о том, как влияет на эти
колебания упругое присоединение к грузу массой mt другого груза массой
т2. Если обозначить координату этого дополнительного груза буквой х2,
а соответствующий коэффициент жесткости — буквой с2, то получим систему
уравнений
тй + CiXx -j- с2 (*i —- х2) = F sin Ш,
/Л2*2 + С2 (*2 — *l) = 0.
Отсюда легко находим, что в установившемся режиме грузы колеблются
с частотой о) и амплитудами соответственно
F
Ci — mi(d
А2^
Со-
Fc*
I (Ci + c2--m1<Da) (с2 — m2co2) —c\ \
*) А. Б. Мигдал [212, 1, с. I05J: «Стремление сначала понять все до
самого конца, а потом уже работать —- очень частая причина неудач».
9*


264
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
Казалось бы, задача решена. Однако хороший прикладник проведет
еще анализ полученных формул. Так, из формулы для А\ легко получить
условие того, что Лх<Л^, т. е. в результате присоединения второго груза
амплитуда колебаний первого груза уменьшится. Это условие имеет вид
J 2mt
V mi J \ т2 J
(Первое неравенство означает, что если собственная частота исходного
осциллятора больше частоты возбуждения со, то собственная частота
присоединяемого осциллятора должна быть меньше со, и обратно.) Более того, мы
замечаем, что с помощью подбора с2 и т2 амплитуда Аг может быть как угодно
понижена, а при соотношении с21т2~(£? она становится равной нулю! Это
явление носит название антирезонанса.
Таким образом, мы приходим к выводу, который заранее совсем не
очевиден и даже может быть воспринят как парадоксальный: при определенных
соотношениях параметров присоединяемого осциллятора (его собственная
частота должна равняться частоте возбуждения со) груз, к которому
приложена вынуждающая сила, остается в покое, а раскачивается другой груз,
к которому сила непосредственно не приложена. Этот результат
подсказывает идею гашения вынужденных колебаний, основанную на упругом
присоединении к колеблющейся системе дополнительных грузов,
принимающих раскачивание на себя. В принципе такая мысль могла возникнуть еще
в XVIII в.— «Аналитическая механика» Лагранжа, в которой был дан
соответствующий математический аппарат, вышла в свет в 1786 г. Однако
после этого потребовалось еще более ста лет для того, чтобы была замечена
возможность динамического гашения колебаний. Лишь с начала нашего
века такие динамические гасители колебаний применяются во многих
технических устройствах — от кораблей (для их защиты от качки) до машинок
для стрижки волос. Отметим, что присоединяемая масса т2 должна быть не
слишком малой, так как из формулы для ее амплитуды Л2 видно, что при
с3==/п2со2 будет A^—Flc^—Fllm^2). Дальнейший несложный анализ
показывает, что масса т2 не должна быть слишком малой также из условия
стабильности (нечувствительности) режима работы устройства по отношению
к малым изменениям параметров системы.
4. Представление результатов. Предметом особой заботы
автора, завершающего прикладное исследование, должно быть
придание результатам легко обозримой и удобной для применения формы.
Безразличное отношение к этой стороне дела не только
противоречит естественным эстетическим требованиям, но — что еще
важнее — может нанести серьезный ущерб внедрению результатов.
В частности, почти всегда полезно формулировать главные
выводы из исследования на качественном или «почти качественном»
языке, например: «Таким образом, исследованное состояние
равновесия системы неустойчиво, и при любых начальных возмущениях
возникают автоколебания, амплитуда которых стремится к
значению, определяемому такой-то формулой. Это значение,
соответствующее предельному циклу, так-то и так-то зависит от параметров
системы...»
Формулировка отчетливых обоснованных общезначимых
выводов — не только один из самых важных, но и один из самых
трудных и ответственных этапов исследования. Имеется огромное коли.
тг


§ 6. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
265
чество работ, после ознакомления с которыми возникает вопрос
«Ну и что?», о чем убедительно и подробно писал Я. И. Хургин
1338]. Разрозненные факты могут не приводить ни к глубокому
знанию, ни к практическим выводам, подобно тому как анализ
отдельных букв и слов может не приблизить нас к пониманию
текста.
Что же касается количественных результатов, то часть (и порой
весьма значительная по объему) получаемой после исследования
информации почти неизбежно оказывается лишней и образует
лишь «информационный шум». Поэтому исследователь должен
понимать необходимость отсечения лишней информации, уметь
отбирать только нужное и быть психологически готовым к некоторому
самопожертвованию (всегда жаль выбрасывать полученное с
трудом — каким бы малоценным оно ни было!).
Ярким примером может служить представление результатов
решения эволюционной задачи, приводящей к дифференциальному
уравнению Матье
^ + (a_2ecos2/)i/=:0, (76)
в котором а иг — постоянные. К этой задаче можно прийти, в
частности, при анализе устойчивости упругого стержня, нагруженного
продольной силой, гармонически изменяющейся во времени. Этот
анализ, который был впервые выполнен в 1924 г. Н. М. Беляевым,
положил начало обширной серии исследований динамической
устойчивости упругих систем (см. [50]).
С практической точки зрения относительно сложная теория
решения уравнения Матье нужна лишь для того, чтобы сделать
вывод о его устойчивости или неустойчивости, т. е. устойчивости
или неустойчивости прямолинейной формы оси стержня. Э. Айнсу
и М. Стретту удалось радикально отсечь лишнюю (в указанном
выше смысле) информацию и придать результатам предельно
компактную форму, построив на плоскости параметров a, e границы
между областями устойчивости и неустойчивости. Ныне
исследователь-прикладник, пришедший к уравнению (76), избавлен от
необходимости заниматься его решением — для выяснения устойчивости
изучаемой системы достаточно посмотреть, в какую область
диаграммы Айнса — Стретта попадает точка с данными координатами
а, г. Конечно, таким способом нельзя получить подробные сведения
относительно течения колебательного процесса в том или ином
конкретном случае, но в большинстве прикладных задач такие
подробности несущественны.
Иногда отсечение избыточной информации обеспечивается самой
постановкой проблемы, точно нацеленной на решение практического
вопроса. Так, Дж. Максвелл, изучая устойчивость следящего
устройства телескопа, заметил, что задача сводится к проверке
отрицательности действительных частей корней алгебраического уравне-


266
ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
ния. Вскоре общий критерий такой отрицательности получил
Э. Раус.
Совершенно независимо на ту же задачу обратил внимание
А. Стодола и предложил заняться ее решением А. Гурвицу. Не зная
о работах Максвелла и Рауса, Гурвиц пришел к широко известным
ныне неравенствам («условиям Гурвица»). Примечательно, что по
самому замыслу Максвелла и Стодолы вопрос о фактическом
вычислении корней или хотя бы их действительных частей даже не
ставился, так как практика интересуют чаще всего только знаки этих
частей. (Впрочем, это не всегда так; см. конец п. 5.9.)
Компактность и универсальность результатов во многом зависят
от удачной редакции выкладок, предшествующих их получению.
Приведем пример, относящийся к автономной механической системе
с одной степенью свободы, если сила трения имеет вид (b0—b2q2)q
(q uq — обобщенная координата и обобщенная скорость, Ь0 и Ь2 —
положительные постоянные). Дифференциальное уравнение
движения такой системы
aq — (b0 — b2q2) q + cq = 0
(а и с — положительные постоянные) содержит четыре параметра,
и поэтому, прежде чем обратиться к его решению, очень полезно
совершить некоторые предварительные действия, направленные
на возможно большее сокращение числа параметров (см., например,
(861). Во-первых, уравнение можно разделить на а, после чего в него
войдут только три параметра bja, bja, da. Далее посредством
перехода к новому аргументу (безразмерному времени) x^t{cla)1i2
уравнение приобретает вид
Здесь штрихами обозначено дифференцирование по безразмерному
времени, е=Ь0(ас)~1/2. Полученное уравнение содержит всего два
параметра. Наконец, путем подстановки у={Ь2/Ь0)1!^ вводится
новая безразмерная функция и уравнение принимает подготовленную
к решению форму
у>'-г(1-у*)у'+у=0, (77)
содержащую лишь один параметр. Только теперь целесообразно
приступить к решению уравнения.
Уравнение (77) играет важную роль в теории нелинейных
колебаний как одно из простейших «эталонных» уравнений,
описывающих автоколебания; оно известно под названием уравнения Ван
дер Поля.
Естественно, что «спрессовывание» параметров уравнения
придает особую компактность всем последующим процедурам и резуль-


§6. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
267
татам *). Одновременно нужно отметить, что для содержательной
и наглядной интерпретации полученных таким образом
результатов может оказаться полезным возвращение к исходным
параметрам; это определяется целями исследования.
Для придания результатам вычислений наглядной формы весьма
полезно их графическое представление: график или серия графиков,
выданных на дисплее, могут оказаться значительно эффективнее,
чем обширные и малообозримые численные массивы, особенно при
диалоге исследователя или конструктора с ЭВМ.
*) О пользе «спрессовывания» см. также с. 251 в связи с
использованием ЭВМ.


Г л а в а 3
НЕКОТОРЫЕ СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
§ 7. Ошибки *)
«К сожалению, нелепость в мундире
гораздо более убедительна, чем нелепость
обнаженная. Уже тот факт, что теория
появляется в математической форме, ...
как-то заставляет нас отнестись к ней
серьезно».
Дж. Шварц [522]
1. Психологические барьеры и инерционность мышления. Эти
психологические причины часто служат существенным препятствием
к наилучшему, а порой даже просто к удовлетворительному выбору
математической модели и метода ее исследования. По существу, речь
идет о психологии творческого процесса **), и, не будучи
специалистами в этой области, мы ограничимся несколькими замечаниями по
этому поводу.
Инерционность мышления проявляется в бесконтрольном
применении к изучаемой задаче математической модели (всей или ее
элементов) или методов ее исследования, апробированных и
традиционных в данной области или просто почему-либо внушающих
априорное доверие исследователю. Драматизм ситуации состоит
в том, что некоторая инерционность мышления необходима
по совершенно очевидным причинам: как правило, новые понятия,
гипотезы, модели следует вводить лишь тогда, когда исследователь
убедился, что возможности старых исчерпаны. {В связи с этим
хочется напомнить один из важнейших научных принципов — так
называемую «бритву Оккама» — entia non sunt multiplicanda praeter
*) Очень трудно даже в самых общих чертах обозреть причины и типы
возможных ошибок в прикладном математическом исследовании. О многих
из них мы уже говорили по ходу предыдущего изложения. Все же мы сочли
целесообразным, в силу важности вопроса, еще раз остановиться на нем и без
претензий на полноту обсудить некоторые характерные причины и типы
ошибок, сделав упор на ошибки субъективного характера.
**) Популярное рассмотрение различных видов
логико-психологических барьеров в процессе научного открытия содержится в статье Б. М. Кед-
рова [I45J. Ряд полезных соображений о путях преодоления инерционности
мышления применительно к процессу инженерного творчества содержится
в книге Дж. Диксона (115, с. 35 и далее].


§ 7. ОШИБКИ
269
iiecessitatem (не следует приумножать сущностей без необходимости
(лат.)).)
При этом оценить разумную степень такой инерционности
бывает в начале исследований весьма трудно, а в ряде случаев вообще
вряд ли возможно. Не исключено, что «разумное использование»
традиций в каком-либо исследовании впоследствии справедливо
переименуют в «слепое следование» им...
Инерционность мышления является одной из основных причин
возникновения в исследовании психологического барьера, когда
некоторый разумный, а может быть, необходимый логический шаг не
совершается, хотя для него имеется весь необходимый аппарат, и
позже, после совершения этого шага, он представляется совершенно
естественным *).
Часто инерционность мышления порождается предвзятыми
представлениями; иногда такие представления имеют математический
характер, например основаны на вере в совершенство и
универсальную применимость тех или иных математических сущностей.
Классическим примером здесь может служить геоцентрическая система
Птолемея; в устойчивости этого представления, наряду с
антропоцентризмом, немалую роль сыграло убеждение о «совершенстве»
кругов и сфер. Если учесть место евклидовой геометрии в системе
античного знания, то становится естественной та роль, которая
приписывалась указанному совершенству и априорно ощущалась
в древности.
Отчетливо видя ошибки древних и удивляясь их очевидности,
мы сейчас порой совершаем промахи в сущности того же характера,
хотя и находящиеся на ином уровне, уровне современной
математики. Такие ошибки происходят, в частности, от бесконтрольного
применения к прикладной математике понятий, результатов и
методов, выработанных в чистой математике, о чем мы говорили в § 2,
а также от навязывания действительности неадекватных
математических структур.
Конечно, неправильные математические тенденции могут
проявляться и гораздо более ясно (для постороннего наблюдателя!).
Например, одного исследователя может подвести преувеличенное
стремление к интегрированию дифференциальных уравнений в квад-
*) «Эренфест любил подчеркивать, что ученые и физики, в частности
люди, идеями и трудами которых осуществляется прогресс науки» в подходе
к описанию и объяснению новых явлений часто оказываются консерваторами.
Эти новые явления они стремятся понять в рамках старых представлений.
Во имя их сохранения вводятся дополнительные, придуманные специально
ради данного объяснения, гипотезы (так называемые предположения типа
«ad hoc»). Вместо того чтобы приветствовать новые физические теории,
консерваторы пытаются обойтись без них. Конечно, надо проявлять крайнюю
осторожность в оценке такого «консерватизма», так как введение новых
построений, объясняющих тот же круг вопросов, что и старые, вряд ли является
оправданным. Нужен «разумный консерватизм, существенно отличающийся
от твердолобого упрямства» (Наука и жизнь.— 1971.™ № 4.~— С. 117).


270
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
ратурах, другого — к применению метода Фурье (разделения
переменных) при решении краевых задач и т. д. Причиной таких
тенденций часто является недостаточное знание современных средств
прикладной математики.
Яркий пример того, как инерционность мышления мешала
развитию строительной механики, а именно созданию теории расчета
статически неопределимых стержневых систем50, приводится в
статье И. М. Рабиновича 1271]. Барьером для создания адекватной
модели таких сиетем служило устоявшееся представление о
строительных материалах (железо, камень и т. д.) как об абсолютно
жестких, недеформируемых. Привычка к абсолютно жесткой модели
была очень устойчивой, а сама эта модель воспринималась как
единственно возможная, безальтернативная. Однако она
обнаружила свою полную непригодность при попытках анализа статически
неопределимых систем, причем нулевая степень адекватности этой
модели для статически неопределимых систем проявилась самым
простым и очевидным образом — в виде несоответствия числа
неизвестных числу уравнений задачи. (В общем, конечно, хорошо, когда
происходит столь быстрое «саморазоблачение» модели —
исследователь, независимо от своих привычек и вкусов, вынужден от такой
модели отказываться; гораздо хуже, когда неадекватность модели
так или иначе завуалирована.)
Но после того как выяснилась несостоятельность модели
абсолютно твердого тела для решения задач, относящихся к статически
неопределимым системам, некоторое время царила растерянность —
оставалось неясным, как же следует изменить модель, чтобы
добиться адекватности. Теперь мы хорошо понимаем, что появление
дополнительных («лишних») неизвестных автоматически влечет за
собой появление и новых условий, но эти условия относятся к
перемещениям и здесь-то и возникла некая психологическая трудность:
казалось, что малые перемещения не могут влиять на значения
усилий.
Как отмечает И. М. Рабинович, психологическим барьером
послужило непонимание того обстоятельства, что если большие усилия
вызывают малые перемещения, то и обратно, малые перемещения
должны существенно влиять на усилия (реакции опор).
Другим широко известным и более современным примером
проявления инерционности мышления служат попытки применения
ламинарной 5I модели течения жидкости в условиях, когда на самом
деле это течение заведомо турбулентно.
Вообще, чем более упорно исследователь стремится к сохранению
модели, тем, как правило, оказывается ниже внешнее правдоподобие.
(Впрочем, из этого общего правила известны исключения, когда
приносила успех модель, искусно перенесенная изобретательным и
широко образованным исследователем, казалось бы, в совершенно
неадекватную ситуацию. Примером могут служить исследования
быстрого пластического течения металла, в которых он принимается


§ 7. ОШИБКИ
271
за идеальную жидкость. Такие смелые переходы могут служить
образцами преодоления психологических барьеров.)
2. Ошибки в выборе модели. Эти ошибки могут происходить
от разнообразных причин. Самой вульгарной причиной служит
непонимание ситуации, приводящее к выбору неадекватных гипотез.
В качестве примера напомним рассказанную Эддингтоном историю
о рыбаке, который ловил рыбу только одной сетью. Разглядывая
свои уловы, он решил, что наименьшие среди пойманных рыб —
это самые маленькие рыбы в море; он допустил ошибку, не учитывая
важную особенность ситуации — определенный размер ячеек сети *).
Знаменитый в истории науки пример неправильной
математической модели, основанной на полном непонимании ситуации,
содержится в первой работе Кеплера, посвященной выяснению вопроса:
почему имеется ровно шесть планет? Он отверг «объяснение» Рети-
куса, который усмотрел причину в том, что 6 является первым
совершенным числом 52, и выдвинул другое «объяснение»,
основанное на рассмотрении пяти правильных многогранников, которое, по
мнению Кеплера, определяет не только число планет, но и их
расстояния от Солнца. Так, если вокруг сферы с центром в Солнце,
проходящей через Землю, описать додекаэдр, то его вершины будут
лежать на сфере, проходящей через Марс; если вокруг последней
сферы описать тетраэдр, то его вершины будут лежать на сфере,
проходящей через Юпитер, и т. д. (наличие хорошего числового
согласия только для трех расстояний из пяти Кеплера почему-то
не смутило).
С современной точки зрения подобная модель представляется
совершенно нелепой, как, впрочем, и сама постановка вопроса.
Однако для науки того времени, в которой непререкаемый авторитет
геометрии Евклида был окружен мистическим ореолом, связь между
такими «совершенными» объектами, как Солнце и планеты, с одной
стороны, и сферой и правильными многогранниками — с другой,
могла казаться вполне возможной, не менее естественной, чем
известная уже пифагорейцам связь между музыкальными интервалами
и арифметическими отношениями. Д. Пойа говорит по этому поводу
[262, с. 215]: «Может возникнуть искушение отнестись к
предположению Кеплера, как и странному заблуждению. Однако нам
следовало бы учитывать возможность, что некоторые теории, которые мы
с почтением обсуждаем сегодня, могут рассматриваться как
странное заблуждение, если и не будут совершенно забыты в недалеком
будущем. Я думаю, что предположение Кеплера чрезвычайно по-
*) Эта история поучительна во многих отношениях, в частности в
вычислительном. Приведя ее, Р. Хемминг [332, с. 397] замечает: «Так же и при
вычислениях; то, что получается, зависит от того, что дано, и от того, что
с этим делают. Если не понимать промежуточные процессы, то весьма легко
перепутать эффекты использованной при вычислениях модели с эффектами
модели, принятой заказчиком при формулировании задачи». Например,
при построении течения жидкости с помощью метода сеток легко спутать не-
у стойчивость вычислительного метода (п. 5.15) с неустойчивостью течения.


272
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
учительно. Оно с особой ясностью показывает обстоятельство,
которое стоит иметь в виду: доверие, с которым мы относимся к
предположению, неизбежно зависит от всего нашего фона (имеется
в виду весь наш «умственный багаж» или, как теперь говорят,
тезаурус— Авт.), от всей научной атмосферы нашего
времени».
Таким образом, даже такой великий ученый, как Кеплер,
оказался на ложном пути под влиянием в значительной степени
схоластической системы взглядов своего времени. В описанной модели
нет даже намека на подлинное объяснение, а в действительности
связь между называемой причиной и следствием отсутствует.
Концепции, в основу которых полагаются такие «связи», в настоящее
время квалифицируются как антинаучные (вспомним предсказания
судеб по линиям рук в хиромантии, составление гороскопов,
печально известную «модель» наследственности и т. п.); см. [80, 149].
Иногда принятые в модели причинно-следственные связи в
принципе не абсурдны, но не являются определяющими в исследуемом
явлении. Один из авторов этой книги, приходя на работу, обычно
замечал, что пол его комнаты влажный, так как уборщица его
протирала мокрой тряпкой перед началом работы. Как-то,
включив сразу же вентилятор, автор обратил внимание на то, что вскоре
та половина пола комнаты, где стоял вентилятор, совершенно
просохла, тогда как другая половина пола еще оставалась сырой.
Автор решил, что это явление связано с воздушным потоком,
создаваемым вентилятором, и попробовал произвести прикидки, но по
прикидкам необходимая мощность вентилятора оказалась непомерно
большой. Вопрос разъяснился, когда то же явление было обнару*
жено и при неработающем вентиляторе: попросту,, выяснилось, что
смочив тряпку один раз, уборщица протирала ею весь пол в
определенном порядке и потому начальная смоченность пола
оказывалась неравномерной *). Таким образом, в этом примере модель была
основана на первой попавшейся на глаза причинно-следственной
связи, бесконтрольно принятой за основную, что и привело к грубой
неадекватности модели явлению.
Если даже столь грубые ошибки не совершаются, модель может
оказаться неадекватной из-за того, что при ее построении применена
схема (круг представлений, понятия и их связи), разработанная
и адекватная для иной области явлений, к которой изучаемое
явление не относится; гипотезы, на которые опирается модель, могут
в изучаемой ситуации быть необоснованными или даже
несправедливыми. Это может произойти из-за различных причин.
*) Еще пример неадекватной модели. Рассказывают, что после одного из
сильных землетрясений из развалин был откопан находившийся в туалете
совершенно невредимый человек, который выглядел не только испуганным,
но и очень виноватым. Он просил прощения у спасителей, признаваясь, что
слишком сильно дернул ручку промывного устройства, не предвидя столь
катастрофических последствий.


§ 7. ОШИБКИ
273
Так, исследователь может понимать, что он применяет модель
или схему построения модели за пределами области О, где эта
модель или схема обоснованы, однако все же делает это, не видя
лучшего выхода и надеясь, что ошибка будет невелика или что ее
удастся в процессе исследования как-то компенсировать. Это случай, когда
исследователь сознательно идет на риск, и известно много примеров,
в которых этот риск оправдывался (впрочем, есть и
противоположные примеры). Более опасны случаи, когда исследователь не
сознает, что он вышел за пределы области О; чем основательнее
апробирована модель в О, тем увереннее он пользуется ею в исследуемом
случае. Лишь дополнительная информация,— например, явная
ошибочность какого-либо из выводов, которые получаются с
помощью этой модели,— может привести исследователя к необходимости
изменить модель. Ситуация становится наиболее опасной, если
исследователь приписывает модели абсолютный, универсальный
характер; расхождение следствий, полученных путем изучения
модели, с реальной картиной он готов объяснить любыми причинами, но
только не неприменимостью модели *).
Описанные три типа ситуаций можно сравнить с вариантами
поведения людей, которым надо перейти через канаву по
ненадежной, уже треснувшей доске. Один человек видит трещину, но
надеется, что она не помешает переходу, и рассчитывает, что если
положение станет опасным, то он успеет предпринять спасительные
действия. Другой не видит трещины, но в общем готов правильно
оценить ситуацию при появлении дополнительных сигналов (треск
доски или предупреждение со стороны). Наконец, догматик упрямо
вообще отрицает наличие трещины, даже если ему на нее указывают,
а треска разрушающейся под его весом доски он не хочет
слышать...
Если исследователь отчетливо сознает слабость отдельных
звеньев, принятых им при построении модели, а модель в
дальнейшем оказывается в изучаемой ситуации неприемлемой, то hccjv о-
вание все же было небесполезным, так как оно сможет помочь >
гонению области применимости модели и, во всяком случае, будет
способствовать воспитанию правильной интуиции. Вообще, «абсо-
*) В статье (2711 И. М. Рабинович в связи с историей расчета статически
неопределимых систем делает общее замечание (с. 206): «...предвзятые идеи
вредны; к ним нужно относиться с чрезвычайной осторожностью; в некоторых
случаях они — враги и притаившиеся предатели».
Дж. Хаксли (цит. по (336, с. 28—29)): «...гипотезы являются ценными и
необходимыми орудиями человеческой мысли, выполняющими двоякую
задачу — пополнения и систематизации знаний. Однако они становятся
опасными, когда перерастают в абсолютные утверждения или догмы, и вредными,
когда они прививают исследователю иммунитет, освобождающий его от
непрерывной проверки полученных результатов фактами».
А. Б, Мигдал [212, U с. 109J: «Вера в свою непогрешимость приводит
только к тому, что научный работник, выбрав раз неверное направление,
будет упорно шагать, даже когда упрется в стену» (это-еще не худший вари»
ант.— Авт.).


274
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
лютно достоверные работы, являющиеся неизбежным следствием
полученных ранее результатов, обычно не дают существенного
толчка науке» [212, II, с. 102].
Приведем несколько примеров. Первый из них относится к так
называемой проблеме Айзермана. Математическая модель системы
автоматического регулирования (САР) может иметь вид автономной
системы дифференциальных уравнений относительно неизвестных
функций xx{t), x2(t), ..., xn{t)y включающей единственную
нелинейность, например слагаемое вида ц>(хп)у а в остальном линейной.
Допустим, что эта нелинейная характеристика удовлетворяет
оценке
а< ^iL<^p (дЛЯ ВСех хп).
хп
Тогда для проверки устойчивости по Ляпунову нулевого
решения системы может представиться правдоподобным следующий
прием. Заменим в уравнениях ц>{хл) на ухПУ где у — произвольная
постоянная, заключенная между аир. Если для любой такой у
система окажется устойчивой (а это легко проверить по расположению
корней характеристического уравнения), то и исходная нелинейная
система устойчива. Правильно ли это заключение? — в этом и
состоит проблема М. А. Айзермана.
По существу здесь возникает вопрос скорее не об адекватности
модели, а о правильности рабочей гипотезы (состоящей в
законности применения указанного метода проверки устойчивости). Но так
как модель вместе с рабочей гипотезой можно рассматривать как
новую модель исходной САР, то здесь нет принципиальной
разницы.
Как показала серия исследований, выполненных различными
авторами, в общем случае указанная гипотеза неверна; однако
был выделен и ряд важных классов систем, для которых она верна,
а также была найдена правильная (и притом эффективная!)
процедура проверки устойчивости системы. Так, анализ гипотезы,
оказавшейся в общем случае несправедливой, способствовал
воспитанию правильной интуиции в данной области.
Сходный характер имеет проблема замораживания, которая
в простейшем случае состоит в следующем. Пусть дана линейная
неавтономная система, т. е. на математическом языке —
линейная система дифференциальных уравнений с коэффициентами
atj(t), зависящими от времени /. Пусть для любого фиксированного
значения t=t0 соответствующая система с постоянными
замороженными значениями коэффициентов а^(^0) оказывается устойчивой.
Тогда может представиться правдоподобным, что и исходная
система устойчива. Однако в общем случае это не так, что показывает,
например, явление параметрического резонанса (см. 41). Впрочем,
специальное исследование обнаружило, что имеются важные случаи
(например, случай достаточно медленного изменения коэффициен-


§7. ОШИБКИ
275
тов ciij(t)), когда распознавание устойчивости по методу
замораживания возможно.
Приведем еще один, совсем простой пример. Пусть
рассматриваются вынужденные колебания осциллятора с диссипацией
энергии, описываемые уравнением mx+kx+cx=F sin ®t.
Установившийся процесс вынужденных колебаний описывается функцией
— F (с — т(д2) sin со/—(ofe cos at ,-дч
* (с — ш2)2+^2 * ( '
Пусть теперь рассматривается система с отрицательным
трением, т. е. при k<0. Если пользоваться только последней
формулой, то может показаться, что никакого принципиального
изменения решения не произойдет, т. е. получатся те же вынужденные
гармонические колебания. Однако на самом деле это далеко не так.
Дело в том, что последняя формула описывает при k>0
вынужденные колебания, поскольку свободные колебания, определяемые
начальными условиями, при k>0 затухают. Но при k<0 эти
свободные колебания разрастаются, система становится неустойчивой!
Следовательно, после сложения разрастающегося решения с
ограниченным решением (78) получается решение, уходящее в
бесконечность.
Поучительная история связана с внедрением в практику формул
для устойчивости стержневых систем. Первые формулы для
критической нагрузки при сжатии упругих стержней получил еще Эйлер
в 1744 г., однако они долгое время представляли лишь
академический интерес. Практический интерес к вопросам устойчивости
стержневых систем пробудился примерно в 40-х годах XIX столетия
в связи с массовым строительством больших железнодорожных
мостов. При этом была проведена серия экспериментов (опыты Ход-
кинсона), которые дали значения критической нагрузки в несколько
раз меньшие, чем получается из формул Эйлера. Только
в конце XIX века выяснилось, что в экспериментах Ходкинсона
потеря устойчивости стержней (довольно коротких) происходила
за пределами пропорциональности, при пластических деформациях,
вовсе не учитываемых в выводе формулы Эйлера. Другими словами,
эти эксперименты относились к ситуации, в принципе не
описываемой моделью Эйлера. Таким образом, для определенных условий
модель Эйлера была «реабилитирована» и в дальнейшем нашла
практическое применение. Однако и эти злоключения принесли
определенную пользу, так как они способствовали уточнению области
применимости модели.
О том же источнике ошибок говорит И. М. Рабинович [271,
с. 2063, когда он указывает «на опасность доверия к интуиции,
основанной на опыте, когда ее хотят распространить на явления, по
своему характеру недостаточно близкие к объектам этого опыта.
Примером может служить незаконная попытка провести аналогию
между расчетами балки на равномерно распределенную статическую


276
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
нагрузку и на равномерно распределенную импульсивную
нагрузку».
Подобное неадекватное «продолжение» математических моделей
и их элементов — понятий и соотношений между ними, а также
методов изучения этих моделей встречается во всех областях
приложения математики *); см. по этому поводу [34, 69, 253].
Аналогичны случаи, когда исследователь бессознательно **)
отбирает экспериментальные данные так, чтобы обосновать
гипотезу, сформулированную им априори, без достаточной мотивировки.
Эта опасность особенно велика, если опорой служат данные, на
которые могут существенно повлиять ошибки наблюдения и
неучитываемые факторы — в этих условиях легко подобрать достаточное
количество фактов, подтверждающих принятую гипотезу, объясняя
особенно заметные отклонения от нее шумовыми эффектами ***).
Еще одна распространенная причина появления неадекватных
моделей состоит в том, что может не учитываться влияние факторов,
которые по тем или иным причинам (например, из-за относительной
*) И. Н. Коваленко в предисловии к книге [336, с. 5—61, говоря об
исследовании операций, пишет: «...весьма частые ошибки и просчеты
возникают из-за неправильно выбранного критерия эффективности системы. Это
в свою очередь объясняется необоснованным перенесением на новые системы
методов, выработанных для других систем. Остановимся, например, на
моделировании систем массового обслуживания, отражающих процессы
функционирования многих современных сложных систем. Известно, что теория
массового обслуживания получила свое первоначальное развитие главным
образом благодаря вопросам телефонии, для которой наибольший интерес
представляет изучение стационарного процесса загрузки телефонной станции.
Буквально в последнее десятилетие на первый план выдвинулись
нестационарные задачи массового обслуживания. Это произошло благодаря запросам
такой дисциплины, как исследование операций, имеющей дело главным
образом с нестационарными, кратковременными процессами. В то же время,
составляя математическую модель той или иной операции, зачастую заботятся
по-прежнему о вычислении стационарных показателей, не имеющих подчас
даже физического смысла».
**) Предположение о бессознательности здесь носит рациональный
характер; авторы знают, что, к сожалению, бывают исключения.
***) П. Л. Капица вспоминает [277, с. 34]: «...Резерфорд хорошо знал,
какая опасность таится в необъективности интерпретации
экспериментальных данных, имеющих статистический характер, когда ученому хочется
получить желаемый результат. Обработку статистических данных он проводил
очень осторожно; интересен метод, который он применял. Счет сцинцилляций
проводили обычно студенты, которые не знали, в чем заключается опыт.
Кривые по полученным точкам проводили люди, которые не знали, что должно
было получиться. Насколько мне помнится, Резерфорд и его ученики не
сделали ни одного ошибочного открытия, в то время как их было немало в
других лабораториях». Поучительный пример описания подобного «открытия»
приведен в [212, I, с. 103].
Вообще заметим, что получение и обработка статистических данных
требуют значительно большего внимания и навыков, чем это иногда себе
представляют. Не только для развлечения читателя Р. Мизес приводит [2151
шуточные слова одного англичанина: «Существует три вида лжи: во-первых,
ложь вынужденная, которая извинительна, ложь низкая, для которой нет
никакого извинения, и статистика».


§7. ОШИБКИ
277
малости характеризующих их параметров) считаются
второстепенными, но на самом деле являются существенными, иногда
определяющими изучаемую характеристику. Один из примеров таких
ошибок, связанный с расчетом статически неопределимых систем,
был указан в п. 7.1.
В качестве второго примера [241, с. 61—67] рассмотрим
центробежный фрикционный регулятор скорости вращения, схематически
изображенный на рис. 26. Его идея
состоит в том, что при возрастании скорости
вращения увеличивается тормозящий JL
момент трения между шариком А массы /'JPr,
m, расположенным на конце подвижного 4^1
рычага В, и ограничительным кольцом " J)"p6>
К. Этот регулятор широко используется <^
в устройствах, не требующих большой
точности в поддержании постоянной ско- ф
рости вращения. Однако повышение
прецизионности регулятора привело к нео- Рис- 26
жиданному эффекту — «качаниям»
скорости вращения, вызванным нарушением устойчивости режима
вращения с постоянной скоростью. При этом интересно, что
наиболее естественное, казалось бы, уравнение вращения регулятора
1ы = м — ft (со) — k (со) mr2o>2
(здесь М — вращающий момент, который можно считать
постоянным; Л((d) — момент сопротивления вращению всей системы без
учета регулятора; &((d) — коэффициент трения шарика об
ограничительное кольцо; смысл остальных обозначений ясен из рис. 26)
ни при каком виде зависимостей Л ((d) и k ((d) не имеет решений,
описывающих такие качания. По этому поводу Ю. И. Неймарк
пишет: «Таким образом, налицо недостаточная полнота
математической модели. Принятая излишне простая идеализированная модель
не может объяснить наблюдаемые явления, и поэтому необходимо
учесть еще что-то. Что же именно нужно учесть? Здесь очень трудно
дать общие рекомендации. В каждом по-настоящему новом случае
это требует интуитивной догадки, представляя собою некоторое
открытие. В рассматриваемом случае нужно учесть контактную
упругость между ограничительным кольцом и шариком и ничтожные,
возможные благодаря этой упругости изменения угла Ь шарика
фрикционного центробежного регулятора... Причиной столь
существенного влияния незначительных по величине изменений угла Ь
является то, что вызываемые этими незначительными движениями
изменения момента трения по углу ср вовсе не малые». В книге [241]
приводится исследование более полной модели, учитывающей
указанную упругость; оно позволяет проследить за возникновением
качаний (D и установить условия устойчивости режима (d=const.
Последний случай может служить типичным примером достаточ-


278
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
но опасной и, к сожалению, не очень редкой ситуации, когда
уравнение первого приближения, которое кажется адекватной моделью
изучаемого явления, в действительности не в состоянии
удовлетворительно описать даже его важные качественные особенности.
Известен ряд других задач механики, в которых возникла такая
ситуация; среди них отметим: задачу о потере устойчивости равномерно
нагруженной сферической оболочки (ошибочное решение,
основанное на линеаризации уравнения), задачу о напряжениях в углах
опертой пластины (неприемлемость обычно принимаемой гипотезы
Кирхгофа о прямых нормалях), задачу о колебаниях балки на
упругом основании (необходимость учета не только упругих, но и
инерционных свойств основания) и т. п.
При появлении сигналов о качественной неадекватности модели
(физическая абсурдность выводов, принципиальное расхождение с
экспериментом или с другими апробированными фактами), а также
если интуиция исследователя в рассматриваемом классе задач
недостаточна, приходится повышать «класс точности» модели и метода ее
изучения, вплоть до дедуктивного уровня.
Часто неадекватные модели возникают при анализе сложных
систем, когда известны не все связи между определяющими
величинами, а недостающие зависимости назначаются, исходя из слабо
мотивированных и, в сущности, произвольных соображений или да
же из желаемого результата. Однако после математической
обработки и применения ЭВМ произвольность становится малозаметной,
сомнительность — завуалированной, а решение приобретает
видимость математически обоснованного. Так получилось, в частности,
с недавними гигантскими гидротехническими проектами,
вызвавшими известную глубокую обеспокоенность общественности и
оживленную дискуссию в прессе *). Именно поэтому желательно по
возможности четко, в явном виде формулировать все гипотезы и все
основные соотношения, принятые при построении математической
модели.
Особенно распространены неадекватные модели в гуманитарных
науках, социальных явлениях и человеческих отношениях, прежде
всего из-за трудности оценки сравнительной роли различных
факторов, к тому же весьма размытых, зачастую неизвестных или нефор-
мализуемых. Хрестоматийный пример ошибки такого рода —
трагедия Отелло и Дездемоны **).
*) Несравненно более скромный, но яркий пример можно найти в
журнале «Наука и жизнь» (№ 1 за 1987 г., с. 74). На ЭВМ было рассчитано, что
с помощью мышечной силы человек якобы не может превысить скорость
94,8 км/ч (какова точность!). После этого фирма «Дюпон» — явно не поверив
в правильность расчета — объявила премию тому, кто первым превысит
скорость 105 км/ч на экипаже, движимом только силой человека* Вскоре эту
премию завоевал Ф. Маркхэм, который на специальном велосипеде развил
скорость 105,375 км/ч на участке длиной 200 м.
**) А. М. Молчанов ({203, с. 3—4): «Глубокое внутреннее родство,
общность происхождения современной физики и современной математики привели


§ 7. ОШИБКИ 279
i
3. Ошибки в выборе метода исследования. На таких ошибках
мы уже подробно останавливались в § 5; здесь мы сделаем только
несколько общих замечаний.
Одна из распространенных ошибок состоит в недостаточной
целеустремленности исследования. Это касается как
случаев, когда исследователь не представляет себе четко, что он
собирается искать, так и случаев, когда такое представление
имеется, но движение к цели происходит по слишком извилистому пути
и при этом добывается слишком много по существу ненужной
информации.
Еще Лаплас отметил, что при исследовании дождя можно
поставить целью определение траекторий всех капель; но для вывода о
том, что после дождя трава будет мокрой, эта информация, говоря
современным языком, явно избыточная. Беда состоит в том, что
исследователь может искренне верить в необходимость вычисления
траекторий всех капель для упомянутого вывода. В каком-то
смысле так бывает очень часто: мы уже упоминали о том, что в
подавляющем большинстве прикладных исследований, краткость
окончательного вывода («мост достаточно прочный», «флаттер самолета
возникнет при скорости 1500 км/ч» и т. д.) находится в противоречии
с объемом и сложностью промежуточных вычислений. Конечно,
здесь дело в отсутствии (или, во всяком случае, в неизвестности)
прямых путей для получения таких выводов, так что, как правило,
избыточная информация неизбежна. Однако разным методам
свойственно генерировать различные объемы такой информации, и это
необходимо учитывать при выборе метода.
Для уменьшения объема избыточной информации часто бывает
полезным по возможности прямое изучение интегральных
характеристик рассматриваемой системы и применение различных
интегральных соотношений — таких, как закон сохранения энергии и
т. п. В этом смысле поучительны общие теоремы динамики
механической системы; например, теорема о движении центра масс не
позволяет описать движение каждой из точек системы, но дает
возможность получить в некотором смысле интегральное представление
о движении, во многих случаях достаточное для приложений.
В качестве другой распространенной ошибки укажем на
недостаточное внимание к доброкачественности исходных данных.
Большой труд, потраченный на реализацию самого точного
численного метода, будет в значительной мере обесценен, если
воспользоваться неверными или чересчур неточными исходными данными.
Более того, если не обратить внимания на недостоверность этих
данных, то можно создать ошибочное представление о доброкачест-
к опасному ... представлению о том, что всякое явление обязано иметь
математическую модель. Это представление тем опаснее, что оно часто считается
само собой разумеющимся», Думается,что обнаружение принципиально новых
областей адекватного приложения математики в ряде случаев может быть
приравнено к другим выдающимся открытиям.


280
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
венности окончательного вывода, а когда его недоброкачественность
будет обнаружена, метод может оказаться незаслуженно
опороченным *). Поэтому выбираемый метод решения задачи должен быть
рассчитан на введение в него только таких данных, которые можно
реально получить с нужной достоверностью. Если достаточно
точные исходные данные получить невозможно, то во многих случаях
целесообразно изменить метод, обычно упростив его — труд,
связанный с применением метода высокой точности, не должен
оказаться напрасным.
Исключительно важен вопрос о величинах, которые в
математической модели считаются заданными.
Применительно к моделям, ориентированным на теорию игр и теорию
вероятностей, об этом трудно сказать лучше, чем в следующей, по
необходимости весьма обширной цитате из статьи И. Грековой [101, с. Ill —112J:
«Кстати, к вопросу об информации, которая считается «заданной» в
математической модели. Это одно из больных мест тех математических работ,
которые претендуют на роль «прикладных», а по существу представляют собой
абстрактные упражнения. Использование начинается с классической
формулировки: «Пусть заданы...» — и далее перечисляются параметры, которые
предполагаются «известными». Откуда они известны, из какого источника?
Такой вопрос даже не ставится. Известны — и все, И вот строятся модели,
которые иначе не назовешь, как «информационно уродливыми». Возьмем,
например, классическую модель конфликтной ситуации — парную
антагонистическую игру. Предполагается, что в такой игре каждая сторона в
точности знает все стратегии (способы поведения), которыми может
пользоваться противник, и неизвестно только, какую именно из них он выберет
в данной партии игры. Слов нет, получается изящная математическая теория,
позволяющая сформулировать рекомендации сторонам: в каких пропорциях
каждая из них должна применять свои стратегии, чтобы добиться
максимальной выгоды. Но позвольте спросить: откуда известен полный набор
возможных стратегий? На практике так почти никогда не бывает. Как правило,
разумное поведение в условиях конфликтной ситуации состоит в том, чтобы
выйти за пределы известных противнику стратегий, а не смешивать их в
хитроумно найденных пропорциях. Уж не здесь ли причина того, что
игровые модели, за которые вначале с азартом ухватились многие, оказались
сравнительно бедны реальными приложениями?
Другой пример: известная задача математической статистики о
построении доверительного интервала при малом числе опытов. Для этого разработан
довольно тонкий аппарат, основанный на допущении, что нам известен
закон распределения наблюдаемой случайной величины (нормальный). И опять
возникает вопрос: а откуда, собственно, это известно? И с какой точностью?
И какова, наконец, практическая ценность самого «продукта» —
доверительного интервала? Мало опытов — значит, мало информации, и дело наше
плохо. А будет ли при этом доверительный интервал немного больше или
меньше» не так уж важно (тем более что и доверительная вероятность
назначена произвольно). И все же зачастую этой проблеме уделяется
незаслуженно большое внимание. Здесь налицо явное несоответствие между
грубостью постановки задачи, малой ценностью выводов и тонкостью аппарата.
*) Д. Хорафас [336, с. 47J, говоря о применении методов теории операций
к производству, упоминает о случае, когда «администрация фирмы
настаивала на том, чтобы математик приступая к исследованию, имея лишь
устаревшие и недостоверные данные. Все это основывалось на том мнении, что
достаточно лишь применить математические методы, и весь производственный
процесс станет прибыльным. Бедная фирма!»


§ 7. ОШИБКИ
281
Вообще злоупотребление формальной стороной теории вероятностей в ущерб
здравому смыслу — беда многих псевдоприкладных работ, где
математический аппарат не средство, а цель. Ряд соображений по этому поводу
содержится в интересной, хотя и не бесспорной, брошюре В. Тутубалина [3131»
Применение теории вероятностей в ситуациях, где налицо
статистическая устойчивость и имеется нужная информация, вполне оправдано и может
давать хорошие результаты. Не так обстоит дело в ситуациях, где вообще
никакой информацией мы не располагаем. Такими задачами (выбором
решения в условиях полной неопределенности) занимается теория
статистических решений. Полностью отрицать пользу этой теории нельзя, кое-какие
прикидки она позволяет сделать, но не нужно переоценивать ее
возможности. Там, где нет информации, решение получается неизбежно плохое, и
лучше не корпеть над его обоснованием, а попытаться получить нужную
информацию. Тем более что в ряде случаев для успешного выбора решения
нужна не полная информация, а сравнительно ограниченная (см. [116]).
Вообще никогда не надо забывать, что отсутствие информации —- беда,
а не преимущество исследователя, хотя именно в условиях отсутствия
информации он имеет случай щегольнуть наиболее изысканными методами. Здраво
поставленные задачи должны и решаться сравнительно просто. Печально
положение, когда математика начинает глушить здравый смысл. Из двух
альтернатив «математика без здравого смысла» и «здравый смысл без
математики» предпочтение, безусловно, надо отдать второй. Разумеется, всего лучше»
когда работает и то и другое, когда математические расчеты все время
проверяются «на здравый смысл». Но так бывает далеко не всегда.
Математический аппарат имеет некое гипнотическое свойство, и исследователи часто
склонны безоговорочно верить своим расчетам, и тем больше верить, чем
^кудрявее» примененный аппарат, чем больше времени (своего и машинного)
потрачено и чем больше бумаги исписано.
При нынешней «моде» на математику, в условиях густого потока
информации, записанной на языке формул, очень трудно отличить подлинное
от кажущегося, настоящую науку — от наукообразия. Слишком часто у
нас применение математических методов понимают как чистое и абсолютное
благо; считается, что любая математизация —- шаг вперед...».
Заключим сказанное словами В. В. Налимова [236, с. 1761: «Наряду с
математизацией знаний происходит и математизация глупостей; язык
математики, как это ни странно, оказывается пригодным для выполнения любой
из этих задач».
4. Математические ошибки. В предыдущих параграфах мы уже
приводили примеры ошибок чисто математического характера, так
что теперь мы только выскажем несколько простых общих
соображений. Интересная классификация математических ошибок
содержится в (353, с. 240—-250]; хотя там речь идет о чистой математике,
многие соображения имеют непосредственное значение и для
прикладной.
Виды грубых математических ошибок необозримы. Нам
приходилось сталкиваться и с разложением разрывной функции в
степенной ряд, и с пропуском дельта-слагаемых при дифференцировании
разрывных функций, и с почленным дифференцированием неравенств
и т. д. Конечно, иногда ошибку можно «почувствовать» на основе
опыта, приобретенного при решении других подобных задач или
с помощью методов контроля, о которых говорилось выше. Но
в целом какие-либо полезные рекомендации, за исключением
тривиальной — овладевать теми областями математики, которые
приходится применять, а в сложных и сомнительных случаях обращаться


282
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
к специалистам,— здесь дать затруднительно. Мы уже писали, что
прикладное математическое исследование, как правило, не может
и не должно по своей строгости находиться полностью на уровне
чистой математики, но из этого не следует, что исследователь может
допускать математические ошибки, приводящие к неверным
результатам *).
Математические ошибки могут возникать также из-за
недостаточной разработанности той или иной области математики в аспекте
ее приложений, так что условие возможности применяемых
переходов — упрощений, отбрасываний и т. п.— являются
недостаточно ясными. В результате может получиться, что исследователь
приходит к неправильному решению, искренне думая, что он лишь
упрощает результат или даже уточняет его. Примером может
служить теория дифференциальных уравнений с отклоняющимся
аргументом на начальной стадии ее применений. Так, для уравнения
x'(t)=ax(t—x).
с «запаздыванием» т во времени в качестве одного из первых методов
приближенного исследования был предложен метод замены правой
части по формуле Тейлора:
*(*-т)* *(/)--£*' (0+ • • • +(-1)" ж^ЧО
с тем, чтобы перейти к обычному дифференциальному уравнению.
При этом высказывалось мнение, что этот метод тем более точен, чем
больше N. Однако позже было обнаружено, что при N>1 (a>0)
и при N>2 {a<0) этот метод приводит к качественно неправильным
результатам, если не принять тщательных мер предосторожности.
(Это аналогично тому, что получается при рассмотренной в п. 4.7
замене уравнения (22) на (23).) Кажущееся уточнение в действи-
*) Приведем любопытный исторический пример. В эпоху Кавальери
при выводе метрических соотношений геометрии плоскую фигуру считали
состоящей из отрезков, а линию — из точек. В частности, при рассмотрении
эллипса с полуосями a, b как результата сжатия круга были получены
формулы S—nab для его площади и L=л (а-\-Ь) для его длины. Здесь первая формула
верна, а вторая ошибочна, что сразу ясно, если положить a=const, b -> 0;
однако такого рода контроль экстремальной ситуации (п. 4.11) стал
типичным для более позднего периода. Развитая впоследствии методика действий
с бесконечно малыми легко показывает, почему в одном случае получился
правильный, а в другом — неправильный результаты,
X. Розенброк и С. Стори [279, с. 30—31]: «Инженер.., часто будет
сталкиваться с проблемами, ...для которых в чистой математике не существует
строго обоснованных методов решения. В таком случае «нащупывание»
физической ситуации является ведущим принципом для того, чтобы избежать
ошибок. Эти замечания не означают, что инженер может позволить себе
пренебрегать математической строгостью. Инженер, который получает неверные
результаты благодаря математическим ошибкам, плохой инженер. Он должен
рассматривать строгость не как вещь в себе, а как средство избежать
подобных ошибок. В то же время не следует забывать, что существует значительно
большая вероятность получить неверные результаты вследствие
некорректной формулировки задачи, чем из-за математических ошибок».


§7. ОШИБКИ
283
тельности — грубая ошибка. В подобных условиях наиболее
целесообразным представляется накопление эталонных фактов и
развитие интуиции с помощью подробного разбора достаточного
количества модельных примеров (п. 5.12). (См. также 1540].)
Особую роль играют ошибки в вычислительных схемах. Мы уже
говорили о том, что вычислительная схема для математической
модели имеет примерно такое
же значение, как сама эта р—| 1 1 1—| 1 у^ч^^ч^
модель для описываемого
ею реального объекта.
Поэтому, несмотря на кажу*
щуюся близость, схема
может оказаться
неадекватной модели — оказаться
неалгоритмичной, или не
дающей возможности
вычислить искомое решение
с нужной точностью, или
неустойчивой в
вычислительном отношении и т. п.
Для построения адекватной вычислительной схемы требуются (как
всегда в прикладной математике) знания, навыки, интуиция, а во
многих случаях,— и хорошее понимание реальной картины,
которая описывается изучаемой математической моделью. Добавим к
этому, что различные адекватные вычислительные схемы для одной
и той же модели могут обладать существенно разной
трудоемкостью *).
Большое количество неадекватных и адекватных
вычислительных схем самой разнообразной трудоемкости доставляет практика
решения уравнений с частными производными. Это можно
продемонстрировать уже на самых простых задачах, например на задаче
о решении уравнения
ди ди А
<-
оо, 0</< оо)
(79)
при заданном начальном условии a|t=0=(p(jt) (— оо<л:<оо). В
данном случае легко написать точное решение задачи: и=^Ц)(х—t).
Отсюда, в частности, видно, что если функция ц(х) отлична от нуля
на оси х только на интервале a<jc<P, то решение отлично от нуля
только в области, которая на рис. 27 заштрихована.
Будем строить приближенное решение задачи по методу сеток,
находя значения этого решения в узлах сетки, показанной на рис. 27.
Для этого зададимся шагами h по оси хитпо оси t и перейдем от
точного уравнения (79) к приближенному:
*) По поводу распространенных ошибок в вычислениях см. также [424J.


284
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
т. еа
и/, а+1 = (I — т) uik + х "/-1. *. (80)
где под м^ понимается значение приближенного решения в узле
x=jh> t=kx. Уравнение (80) связывает значения этого решения в
любых трех соседних узлах, расположенных друг относительно
друга так, как это показано на рис. 27. Кроме того, в силу
начального условия известны все значения Uj0=4>(jh). Это дает
возможность, полагая в (80) k=0, вычислить все значения uju затем,
пользуясь этими значениями и полагая в (80) k=l, вычислить все Ujt
и т. д. Может показаться, что какие бы мы h и т ни взяли, лишь бы
они были достаточно малыми, мы получим искомое решение с
хорошей точностью, поскольку сеточное уравнение (80) будет с хорошей
точностью аппроксимировать исходное уравнение (79).
Однако сравнение с формулой для точного решения показывает,
что это, вообще говоря, не так. В самом деле, из формулы (80)
видно, что значения ujk отличны от нуля только в узлах,
заключенных внутри области,* ограниченной на рис. 27 штрихпунктирной
линией. Отсюда следует, что если r/A=const>l, то построенное
решение ujh никак не может аппроксимировать точное. Более
подробное исследование показывает, что при т/А<Л такая
аппроксимация обеспечена. (Некоторое сомнение вызывают угловые зоны,
заключенные между заштрихованной областью и областью,
ограниченной штрихпунктирной линией на рис. 27; однако оказывается,
что внутри этих зон значения ujk при достаточно малых А, т близки
к нулю.) Условием устойчивости описанной вычислительной схемы
также служит неравенство т/Л^1 (см., например, [131, с. 134—
135]), которое, таким образом, и определяет общую адекватность
схемы.
На первый взгляд взамен (80) можно воспользоваться также
следующей сеточной аппроксимацией уравнения (79):
т. е.
Алгоритм получается почти такой же, как описано выше. Однако
такая вычислительная схема не дает аппроксимации точного
решения ни при каком соотношении шагов; кроме того, она оказывается
всегда неустойчивой.
В разобранном примере качество вычислительных схем легко
оценивается благодаря наличию формулы для точного решения;
конечно, если бы речь шла только об этом примере, то в
приближенном расчете вообще не было необходимости — он был нужен нам
только как образец. Для более сложных задач, когда такие фор-


§ 8» ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ
285
мулы отсутствуют, можно легко попасть на неадекватную
вычислительную схему.
Вопрос об относительной трудоемкости вычислительных схем
особенно важен, если объем вычислений достаточно велик,
например, исчисляется часами работы ЭВМ. Опытный вычислитель часто
может с помощью казалось бы непринципиальных изменений метода
вычислений уменьшить машинное время в несколько раз, а также
предложить какой-либо иной, менее трудоемкий метод. Старинная
русская пословица «семь раз отмерь, один раз отрежь» полностью
относится к выбору вычислительной схемы: поспешная реализация
вычислительного метода может вообще не привести к цели, либо
привести, но слишком дорогой ценой.
§ 8. Проблемы подготовки специалистов
«Прежде всего учащийся должен быть
убежден, что доказательства заслуживают
того, чтобы их изучали, что они
необходимы... Цель юридического доказательства
состоит в том, чтобы устранить сом-
н е н и я,— но именно такова и самая
очевидная и самая естественная цель
математического доказательства... Только
математику-профессионалу... может доставить
удовольствие формальное обоснование
каждого шага длинной цепочки рассуждений».
Д. Пойа [263, с. 321]
1. Математическое образование инженера. Мы будем здесь
говорить, в основном, о курсе математики во втузах *), хотя
сказанное в значительной мере относится к обучению физиков,
биологов и других специалистов-прикладников.
Существующие ныне программа и стиль преподавания курса
математики во втузах сложились несколько десятков лет назад под
влиянием классической математики XVIII в., с ее вниманием
к формальным преобразованиям и точным решениям, и работ XIX в.,
посвященных обоснованию математического анализа. Круг идей и
методов, лежащих в основе приложений математики и проникших
в этот, передовой для своего времени, курс, все еще недостаточен;
этот курс во многих местах является как бы адаптацией,
упрощенной версией университетского курса, рассчитанного на чистых
математиков.
Во многих втузах в курсах математики чрезмерное внимание
уделяется вопросам обоснования {на «кусочно-дедуктивном» уров-
*) При этом мы используем материалы совместных выступлений
Б, О. Селоноуца и одного из авторов этой книги; см., в частности, [229, 231Ь
Что касается преподавания математики в средних специальных учебных
заведениях, то ему свойственны те же недостатки, что и в технических
институтах, даже, пожалуй, в еще большей степени. Таким образом, и здесь
необходима серьезная перестройка.


286
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
не, поскольку полностью дедуктивное изложение, к счастью,
осуществить не удается) относительно бедного аппарата и формальным
приемам решения узких классов задач.
В результате курс является неоправданно усложненным,
перегруженным неработающим материалом и в то же время бедным по
содержанию. Он недостаточно учитывает современные тенденции
в прикладной математике, в частности, связанные с развитием
методов, имеющих широкую и актуальную в прикладном плане область
приложения, со значительным расширением набора таких методов,
с вниманием к алгоритмам и ЭВМ.
Преподаватели математики во втузе, воспитанные в традициях
чистой математики, совершенствуя курс, часто не заботятся о том,
как он будет «работать» в дальнейшем. Многие идейно и
методически важные для приложений вопросы не рассматриваются из-за
трудности их «строгого» изложения; многие основные понятия (даже
такие, как предельный переход, интеграл и т. п.) освещаются не
в тех аспектах, в каких они в дальнейшем применяются; взамен
убедительного для учащегося объяснения причин математических
фактов стремятся к формальной строгости, которая все равно не
достигается *). (Подчеркнем во избежание недоразумений, что мы
сторонники строгости как средства избежать существенных
ошибок и как школы мышления, но в разумных дозах, различных для
разных профилей обучающихся; строгость не должна превращаться
в самоцель!)
Поэтому студент, переходя от курса математики к другим
дисциплинам, к изучению специальной литературы, а позже — к
практической деятельности, вынужден радикально переучиваться,
полностью перестраивая свою «математическую психологию». Эта пере-
*) Л. де Бройль: «Всего лишь тридцать лет тому назад и физик и
инженер могли превосходно обходиться знанием классических результатов
дифференциального и интегрального исчисления. Но в наши дни, когда изучение
новых теорий все чаще требует владения весьма разнообразным
математическим аппаратом, физик и инженер должны знать многочисленные и часто
недавно разработанные разделы математики, например тензорный анализ,
матричный анализ, символическое исчисление Хевисайда, теорию собственных
значений, подчас даже теорию интегральных уравнений и теорию групп.
Однако преподавание математики в институтах и высших школах до сих пор
недостаточно приспособлено в новым потребностям в аналитических знаниях
тех, кто интересуется приложениями.
Более того, сама манера изложения лекции и книг по математическому
анализу, авторами которых в большинстве случаев бывают профессиональные
математики, не совсем подходит физику и инженеру, для которых различные
тонкости в доказательствах значат довольно мало, а решающее значение
имеет знание различных математических методов, применяемых на
практике».
Таким образом, обсуждаемые нами проблемы преподавания актуальны
для разных стран. Думается, что в той или иной форме они возникают и в
преподавании других дисциплин, причем с давнего времени: достаточно
вспомнить дискуссии между сторонниками «классического» и «реального»
образования.


§8. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ
287
стройка происходит чаще всего стихийно, без необходимого
руководства и порой приводит к печальным последствиям, о которых мы
уже говорили во Введении. Из-за разрыва между преподаваемой
«ортодоксальной» и «работающей» математикой важные разделы
математики зачастую поручают преподавать специалистам, не
имеющим необходимой математической подготовки, и преподавание
приобретает рецептурный характер.
По нашему мнению, этот разрыв является объективным
отражением рассмотренного в § 2 существенного различия в подходах
чистой и прикладной математики,, которое в преподавании
математики должным образом не учитывается. Времена «абстрактных»
курсов математики, предназначенных в равной мере для чистых
математиков, прикладников и преподавателей средней школы,
безвозвратно прошли *). Курс математики для инженеров сейчас не
может не учитывать современного интенсивного развития
разветвленной системы идей, понятий и методов, лежащих в основе
приложений математики. Он должен быть курсом прикладной
математики,— конечно, не узко утилитарным и рецептурным, а включающим
в себя и необходимые теоретические концепции.
Нам представляется, что преподавание математики во втузах
должно быть подчинено следующим целям:
— сообщить студентам основные теоретические сведения,
необходимые для изучения общенаучных, общеинженерных и
специальных дисциплин и последующего приложения математики, и обучить
их соответствующему математическому аппарату;
— воспитать у студентов прикладную математическую культуру,
необходимые интуицию и эрудицию в вопросах приложения
математики;
— развить логическое и алгоритмическое мышление;
— ознакомить студентов с ролью математики в современной
жизни и особенно в современной технике, с характерными чертами
математического метода изучения реальных задач;
— выработать первичные навыки математического
исследования прикладных вопросов: перевода реальной задачи на адекватный
математический язык, выбора оптимального метода ее исследования,
интерпретации результата исследования и оценки его точности;
— выработать навыки доведения решения задачи до практически
приемлемого результата — числа, графика, точного качественного
вывода и т. п. с применением для этого адекватных вычислительных
средств (включая ЭВМ), таблиц и справочников;
— выработать умение самостоятельно разбираться в математи-
*) В качестве курьеза вспоминается случай, когда рецензент нового
учебного пособия по математике для втузов, желая похвалить автора,
написал, что это пособие можно в равной мере использовать в пединститутах.
Однако такая «похвала», по нашему мнению, указывает на существенный
недостаток пособия, так как направленность курса математики в пединсти*
тутах и во втузах должна быть различной!


288
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
ческом аппарате, применяемом в литературе, связанной со
специальностью студента.
Содержание курса математики должно быть достаточно
широким и глубоким для эффективного решения задач по
специальности. Поэтому программу и характер этого курса необходимо
систематически приводить в соответствие с непрерывно развивающимися
тенденциями в приложениях математики. (Конечно, здесь мы имеем
в виду не набор узких рецептов, а всю систему математического
мышления, совокупность математических идей, понятий и методов,
на которых базируется специальность будущего инженера.) Такая
перестройка должна проходить постепенно, с учетом имеющихся
возможностей и без нарушения преемственности; она должна
исходить из анализа того, как математика применяется и будет
применяться в соответствующей специальности. (О специфике
преподавания математики для нематематических специальностей см. также
(49, 55, 64, 71, 96, 98, 103, 112, 123, 164, 171, 172, 206, 234, 293,
333, 364, 365, 377—380, 382, 394, 398, 421, 423, 431, 437, 446, 466,
490, 503, 506, 529, 532].)
Особо нужно сказать о специальностях типа
«инженер-математик» с усиленной математической подготовкой. Те преподаватели,
которые не видят существенной специфики втузовского курса
математики, считая его лишь по необходимости сокращенным
академическим курсом, часто неверно используют добавочные возможности
и развивают курс в направлении дальнейшего отрыва от
приложений (усиление чисто математического подхода, о котором говорилось
в § 2, добавление потерявших актуальность для приложений
разделов и частных приемов и т. п.).
Порой представители этих специальностей с гордостью говорят:
«У нас такие-то разделы курса математики излагаются, как на
математическом факультете университета». Однако эта гордость
основана на глубоком заблуждении! Прикладная математика
не есть упрощенный вариант чистой математики, вторая н е
есть высшая ступень по сравнению с первой. Это
—различные аспекты математики, в каждом из них имеются
свои глубокие идеи, во многом взаимодействующие и порой даже
идентичные, но во многом и существенно различные. Более того,
во многих отношениях прикладная математика сложнее чистой,
так как наряду с глубокой теоретической подготовкой требует
большей эрудиции, прикладного чутья, владения не только
дедуктивным, но и рациональным мышлением и т. д. (В частности, именно
поэтому в чистой математике проще начать заниматься
самостоятельной научной работой, чем в прикладной, что служит
существенным стимулом для талантливых молодых людей. Первые успехи
в этой области побуждают к дальнейшему углублению и
специализации — и вот уже перед нами убежденный чистый математик.)
Опасность подобной организации курса математики для физиков
хорошо понимал Л. Д. Ландау. Так, известен его отзыв [187, с. 97—


§ 8. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ
289
99] о программах по математике в одном из физических вузов. Этот
отзыв (впрочем, кое в чем полемически заостренный) поучительно
привести полностью:
«К сожалению, Ваши программы страдают теми же недостатками,
какими обычно страдают программы по математике, превращающие изучение
математики физиками наполовину в утомительную трату времени. При всей
важности математики для физиков, физики, как известно, нуждаются в
считающей аналитической математике; математики же по непонятной мне
причине подсовывают нам в качестве принудительного ассортимента логические
упражнения. В данной программе это прямо подчеркнуто в виде особого
примечания в начале программы. Мне кажется, что давно пора обучать
физиков тому, что они сами считают нужным для себя, а не спасать их души
вопреки их собственному желанию. Мне не хочется дискутировать с
достойной средневековой схоластики мыслью, что путем изучения ненужных им
вещей люди будто бы научаются логически мыслить. Я категорически
считаю, что из математики, изучаемой физиками, должны быть полностью
изгнаны всякие теоремы существования, слишком строгие доказательства и
т. п. Поэтому я не буду отдельно останавливаться на многочисленных пунктах
Вашей программы, резко противоречащих этой точке зрения. Сделаю только
некоторые дополнительные замечания.
Векторный анализ расположен в программе между кратными
интегралами. Я не имею чего-либо против такого сочетания, однако надеюсь, что
оно не идет в ущерб крайне необходимому формальному знанию формул
векторного анализа.
Программа по рядам особенно перегружена ненужными вещами, в
которых тонут те немногие полезные сведения, которые совершенно
необходимо знать о ряде и интеграле Фурье.
Курс так называемой математической физики я бы считал правильным
сделать факультативным. Нельзя требовать от физиков-экспериментаторов
умения владеть этими вещами.
Необходимость в курсе теории вероятностей довольно сомнительна.
Физики и без того излагают то, что им нужно, в курсах квантовой механики
и статистической физики. (По-видимому, традиционная постановка
преподавания математической физики и теории вероятностей была настолько
скомпрометирована в глазах Ландау, что он потерял веру в то, что сами
математики могут исправить положение.— Авт.)
Таким образом, я считаю, что преподавание математики нуждается в
серьезнейшей реформе. Те, кто возьмется за это важное и трудное дело,
заслужат искреннюю благодарность как уже готовых физиков, так и в
особенности многочисленных будущих поколений».
По свидетельству Е. М. Лифшица [193, с. 432], Л. Д. Ландау
строил «планы составления таких учебников по Математике для
физиков, которые должны были быть «руководством к действию»,
обучать практическому применению математики к физике и должны
были быть освобождены от излишних для такого курса строгостей
и сложностей. Приступить к осуществлению этой программы он не
успел» *).
*) Приведем еще один интересный отрывок из этой статьи [193, с» 436]:
«Научному стилю Л. Д. была противна тенденция — к сожалению, довольно
распространенная — превращать простые вещи в сложные (часто
аргументируемая общностью и строгостью, которые, однако, обычно оказываются
иллюзорными)».
Примечательное высказывание, относящееся к обсуждаемому вопросу,
содержится в предисловии к книге Дж. Займана [127, с. 9]: «Чрезмерная


290
ГЛ. 3„ СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
2. Воспитание математической интуиции. Математически
образованным можно называть инженера, который не только свободно
разбирается в математическом аппарате, содержащемся в
литературе по его специальности, и умеет доводить решение реальных
математических задач до приемлемых результатов, но также
обладает верной математической интуицией, т. е. прямым видением
«грубого» содержания и связей соответствующих математических
идей, понятий, утверждений и методов, роли типичных и особенных
случаев и т. п.
Разумеется, математическая интуиция как способность к
непосредственному усмотрению математической истины (см. сноску на
с. 86) развивается постепенно и вырабатывается только в процессе
накопления опыта. Несомненно, соотношение дискурсивного и
интуитивного в деятельности исследователя существенно меняется
в зависимости от приобретенного опыта. Истина, к которой
начинающий исследователь приходит лишь после цепи рассуждений,
исследователю со стажем может быть видна сразу (не зря шутят:
«информация — мать интуиции»). Время, необходимое исследователю на
постижение истин некоторого определенного уровня сложности,
постепенно сокращается, т. е. растет «дискурсивное быстродействие»
исследователя; когда оно становится практически незамечаемым
(«обращается в нуль»), можно говорить о сформированной интуиции.
Правильная математическая интуиция — одно из убедительных
свидетельств зрелости инженера. Она помогает перевести
техническую задачу на адекватный математический язык, выбрать удачный
математический аппарат и наметить разумный путь решения
полученной математической задачи, она позволяет предвидеть возможные
осложнения на этом пути (реально возможные, а не все те, которые
можно формально придумать, если специально задаться такой
целью) и т. п. Все эти действия производятся, как правило, на
уровне рациональных рассуждений (§3).
Пусть, например, п вещественных величин надо определить из
системы связывающих их конечных уравнений, которые должны
удовлетворяться практически точно. Тогда правильно воспитанная
интуиция инженера должна требовать, чтобы система уравнений
была замкнутой (п. 4.11), т.е. содержала ровно п независимых
уравнений. При этом, если уравнения линейные, то система имеет
ровно одно решение, но нужно также понимать, что при его
конкретном построении могут возникнуть осложнения в случае плохой
обусловленности системы. Если уравнения нелинейные, то система
математическая абстракция свела бы на нет мои намерения. Нет ничего более
отталкивающего для нормального человека, чем клиническая
последовательность, определений, аксиом и теорем, порождаемая трудами чистых
математиков. Логическая строгость, достигаемая подобными исследованиями,
чрезвычайно ценна, но она едва ли может появиться прежде, чем мы ухватили
саму идею. Геометрия существовала до Евклида, анализ — до Коши, а смысл
неприводимых представлений группы можно понять и без доказательства
леммы Шура в самой общей ее формулировке».


§8. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ
291
может иметь более одного решения и нужно суметь истолковать
их реальный смысл,— так же, как и в случае, когда обнаружено
отсутствие вещественных решений; при этом надо иметь в виду,
что для немалого п найти решение практически довольно сложно.
Если система содержит параметр, то при непрерывном его измене*
нии все решения меняются непрерывно, однако при определенных
(критических) значениях этого параметра решение может уйти на
бесконечность, или прийти из бесконечности, или слиться с другим
решением и стать мнимым и т. д.
Все эти грубые, качественные соображения легко подробно
разобрать на простых примерах; в первую очередь именно их должен
иметь в влду прикладник, приступая к задачам рассматриваемого
типа. С точки зрения чистой математики эти соображения
нуждаются в многочисленных оговорках и допускают исключения;
однако для математически образованного инженера неполное знание
деталей неопасно, так как он должен, в частности, уметь,
столкнувшись с особо тонким случаем, обратиться к специальной литературе
или проконсультироваться у математика.
Для выяснения грубого (может быть, лучше сказать «главного»)
содержания утверждений, которое в основном и служит источником
правильной математической интуиции прикладника, особенно
полезны наглядность, доступность изложения материала, а также
разбор поучительных примеров и частных случаев.
Большое значение имеет ясная мотивировка введения новых
понятий и методов, которую надо, как и обсуждение результатов,
проводить по возможности часто. Сами эти понятия, учитывая
психологический закон импринтинга («впечатывания»), следует вводить
так, чтобы по возможности раньше было выявлено их грубое
содержание и прикладное значение. Общность формулировок, широта
предположений в курсе математики для прикладников не являются
самоцелью, а также должны быть подчинены задаче воспитания
правильной интуиции и потому отвечать действительной
необходимости.
Воспитание правильной интуиции не должно противоречить
усвоению основ математики и развитию логического мышления.
Однако последнее вовсе не означает, как иногда полагают, что нужно
акцентировать внимание на теории пределов и других сходных
вопросах. Следует отличать отчетливое усвоение идеи предела, даже
на е—N- и е—6-уровне, которую можно убедительно
продемонстрировать на простом материале, от не используемых в дальнейшем
навыков решения примеров типа «по заданному е>0 найти точное
значение N» и т. п. Кстати, вычисление пределов встречается в
приложениях математики несравненно реже, чем это иногда
считают. Гораздо большее значение имеет твердое представление о
шкалах роста и убывания, умение указать главный член в сумме,
написать асимптотическое выражение и т. п.—- то, чему при
преподавании обычно уделяют совсем мало внимания. Логическое


292
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
мышление инженера (и вообще прикладника)
следует развивать на материале, имеющем
отчетливое прикладное значение!
3. Методы рассуждения. Воспитание привычки думать *) и
умения правильно рассуждать, причем не только при решении задач
математического характера,— одна из важнейших целей курса
математики.
Было бы неверным отрицать пользу и даже необходимость
обучения студентов формально безупречным способам рассуждений,
а также воспитания точности в оборотах речи и т. п. навыкам. Но
нельзя забывать и о вреде фетишизации этой стороны дела.
В старой шутке речь идет о мальчике, которого попросили
закрыть форточку, так как на улице холодно. Он возразил: «Разве на
улице станет теплее, если я закрою форточку?» До чего же строг
был мальчик к точности речи собеседника!
Та же тема звучит и в юмористическом рассказе американского
автора. На экзамене по физике студенту был предложен вопрос: как
при помощи барометра определить высоту небоскреба? Студент
ответил не так, как того ждал экзаменатор, предложив несколько
неожиданных вариантов ответа — от основанных на физических
законах (сопоставить длины теней от барометра и небоскреба и из
соответствующей пропорции по высоте корпуса барометра найти
высоту небоскреба; сбросить барометр с крыши и по наблюденному
времени падения вычислить искомую высоту и т. д.) до
опирающихся на человеческие слабости (пообещать дворнику, что тот получит
в свою собственность барометр, если сообщит, чему равна высота
здания). Этот рассказ сразу вызывает улыбку, но вдумаемся в его
подтекст. Студент как бы упрекнул экзаменатора в нечеткой
постановке вопроса, допускающей многозначность ответа. Но так ли
виноват экзаменатор, который воспользовался лишь общепринятой
(конечно, формально не исчерпывающей, «модельной»)
формулировкой вопроса? Пожалуй, что виноваты всё же те, кто воспитал у
студента гипертрофированно сильное неприятие по существу вполне
ясных, хотя и нестрогих оборотов речи.
Мы уже не раз писали выше, что в прикладной математике
рациональные рассуждения имеют не меньшее значение, чем
дедуктивные. Первые включают последние как предельный случай и пото'му
находятся в некотором смысле на более высокой ступени, причем
более трудны для усвоения. Поэтому вводить методы рациональных
рассуждений нужно постепенно, тактично, исходя из достаточно
прочных (но не чрезмерных!) дедуктивных, порой формальных основ,
подробно разъясняя на примерах смысл практической сходимости,
практической достоверности, проверки в типичных условиях и дру-
*) Ч. Бэббедж (107, с. 52]: «Заставить человека думать — это значит
сделать для наго значительно больше, чем снабдить его определенным
количеством инструкций». «Умствуй — и придет!» — повторял Л. Ф. Магницкий.


§ 8. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ
293
гих действий в случаях, когда применение «точных» теорем
невозможно или нецелесообразно.
В преподавании необходимо подчеркивать, что конечной целью
прикладного математического исследования является не создание
абстрактной логической схемы, а эффективное решение вопроса,
лежащего за пределами математики. Для этого должны применяться
любые разумные средства: все методы существенного приближения
к истине — это методы первого сорта.
В то же время надо показывать, к каким реальным ошибкам
может привести слишком вольное обращение с математическими
понятиями, подчеркивать роль прикладной математической
культуры и опасность вульгаризации.
Таким образом, на начальной стадии обучения (а также в
некоторых специфических областях, таких, например, как линейная
алгебра) удельный вес дедуктивных рассуждений, естественно, должен
быть сравнительно высоким. Однако и здесь наглядность
изложения, нацеленность на главное, раскрытие неформального смысла
понятий подготавливают последующее введение рациональных
рассуждений. Отметим, что довольно распространенная на этом этапе
концентрация внимания на теории пределов и других аналогичных
вопросах играет отрицательную роль, она может только, по
выражению Д. Пойа [263, с. 321], «создать у учащихся впечатление, что
математика занимается тем, что весьма неочевидным путем
доказывает совершенно очевидные вещи». (Д. Пойа говорит об этом в связи
с обучением в средней школе, но это полностью относится и к
обучению инженеров.)
О том же писал А. Пуанкаре [268, с. 359): «Наши предки думали, что
знают, что такое дробь, непрерывность, площадь кривой поверхности; лишь
мы заметили, что они этого не знали. (Точнее — не знали современных
формальных определений; но ведь знания к этому не сводятся! — Авт.) Точно
так же наши ученики думают, что они это знают, когда уже принимаются
серьезно за изучение математики. Если я, без предварительной подготовки,
скажу им: «Нет, вы этого не знаете, вы не понимаете того, что вам казалось
понятным; я должен вам доказать то, что вы считали очевидным»,— и если
я в своих доказательствах буду опираться на посылки, которые им кажутся
менее очевидными, чем заключения, то что подумают эти несчастные? Они
подумают, что математическая наука есть не что иное, как произвольно
собранная груда бесполезных умствований; и они либо почувствуют к ней
отвращение, либо будут забавляться ею, как игрою, и в умственном
отношении уподобятся греческим софистам». И лишь у созревшего в
математическом отношении ума возникнут сомнения и в связи с ними потребность в
строгих определениях. «Недостаточно во всем сомневаться, нужно знать,
почему возникает сомнение» (там же).
К сказанному добавим, что само «понимание» не является чем-то
абсолютным, оно возникает не только (и даже не в первую очередь) в результате
логического анализа, а в значительной мере в результате навыков действий,
приводящих к правильным результатам. Математически образованный
инженер до той же степени привычно понимает выражение «возьмем элемент
объема», как чистый математик — «для каждого е>0 существует 6>0»,
хотя как то, так и другое выражения не выдерживают критики с более
высоких логических позиций. И в преподавании нужно стремиться к пониманию,
соответствующему уровню учеников — а не преподавателя!


2Э4
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
Для сглаживания перехода от курса математики к специальным
дисциплинам, уже в классических разделах трактовка понятий
должна приближаться к той, которая дается в прикладной математике
(конечно, для этого преподаватели математики должны иметь
достаточное представление о прикладной точке зрения на математические
сущности). Например, надо чаще выдвигать и иллюстрировать те-
зисы, что интеграл — это своеобразная сумма большого числа
малых слагаемых; дифференциал — это элемент, бесконечно малое
приращение величины; дельта-функция — это функция с
локализованным на бесконечно малом интервале бесконечно большим
значением и т. п. Следует по возможности чаще употреблять эти
термины, приучать студентов правильно ими пользоваться, так как их
вульгаризация может привести к ошибкам.
Важными и порой вызывающими жаркие дискуссии среди
преподавателей являются вопросы о выборе уровня строгости
изложения, и в частности о формальной полноте формулировок и
доказательств. Мы уже не раз подчеркивали, что нет и не может быть
абсолютных понятий строгости и доказательности, эти понятия
зависят от цели исследования и от «фона»; в частности, в чистой и
прикладной математике (даже в различных ее областях) они не
одинаковы, и преподавание должно это учитывать.
Иногда считают, что если доказательство на уровне чистой
математики недоступно студентам, то соответствующие факты надо
приводить без доказательства и даже без объяснений; мы не
согласны с этим. Вряд ли существуют такие полезные математические
факты, которые нельзя было бы объяснить убедительно для
прикладника. Отметим при этом, что формально полное доказательство,
убедительное для чистого математика, далеко не всегда убедительно
для прикладника.
Хорошо известным примером может служить следующий искусственный
вывод формулы Тейлора для л+1 раз дифференцируемой функции f(x)
(a<x<a+/i). Рассмотрим вспомогательную функцию
F{x) = f(x) — V ^^[(Д;_а)А_/1й-п-1(л:^а)» + 1]_/(а+/1)/1-»-1(л:—а)п + 1.
Так как F (a) = F (aJrh)=0, то по теореме Ролля F'(х±)=0 для некоторого
xi> a<*i<a+u; но и F' (а)=01 т. е. F" (х2) = 0, а<х2<х1у и т. д. В конце
получаем, что F{n) (a) = F{n> (*„)=(), а поэтому F{n + 1)(c)=0, где а<с<хп<
<а+Л. Однако
f,(« + i)(jc)=/(« + i)(JC) + (/i + I)! V £^^лй-и-1-.(П+1)!/(а + Л)Л-п--1,
Аг=0
и потому из равенства Яп + 1)(с)—0 мы легко приходим к формуле
жгч f{k)(a) ftn + 1)(c)
/(а + Л) = 21 Hfei **+ (я+1)1 НП + 1 {а <c<a + h>>-
£=0


§ 8. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ 295
Этот вывод совершенно не выявляет природу формирования формулы
Тейлора, создает впечатление случайности подбора коэффициентов в ней и
потому вызывает естественное чувство неудовлетворенности у прикладников,
Таким образом, и доказательства (которые, конечно,
необходимы!) следует выбирать такими, чтобы они правильно воспитывали
прикладную математическую интуицию, наиболее убедительно на
выбранном уровне изложения демонстрируя
причины и взаимосвязи фактов.
Приведем пример. В преподавании хорошо из'
вестны два вывода формулы замены переменных в
кратных интегралах: один, основанный на
применении формулы Грина, логически совершенный, но
совсем не наглядный, и другой, основанный на
преобразовании бесконечно малого параллелепипеда,
логически менее совершенный, но наглядно
демонстрирующий причину появления коэффициента
искажения объемов. Для нас нет сомнения, что в кур-
се для прикладников предпочтительнее второй вы- "ис
вод.
Вот еще один, совсем простой пример. Вычислим производную dridl
модуля радиуса-вектора г по некоторому заданному направлению /.
Формальный строгий вывод: выберем оси координат так, чтобы I совпало с
направлением оси X; тогда
~^Л f-^r^rr^^ —£_— _ cos (fTx) ^ cos (;Г i),
dl dxf y j/Wir-r-z*
Нестрогий, но наглядный вывод, демонстрирующий, откуда здесь на самом
деле получается косинус, показан на рис. 28. Неплохо, если инженер владеем
первым выводом, но вторым он должен владеть обязательно.
Пример вульгаризации, приводящей к ошибке: рассмотрим ньютонов
потенциал
F(x у г)- ПТ /(£. Ч, £><*£<МЕ_ (Т{7(6. Л» l)d\dx\dl
Ли У\х-1)^(у~~цГ~г(г--0*' JJJ '
где функция f достаточно быстро убывает на бесконечности. Вычислим лап-
Формальное вычисление показывает, что у2(1/г)=:0 (это стандартный пример
гармонической функции в пространстве), и отсюда следует, что у2/7 —0, Ко
что неверно — ошибка (грубая даже на прикладном уровне!) совершена при
дифференцировании разрывной функции, Простые соображение векторного
анализа показывают, что надо писать
V2 \ — ) --=- -4лб {х -1) 6 (у — т|) б (2 — £),
откуда правильное вычисление дает
Г% rt ft
ающие при дифференцирова
»еренцнровав функцию
F(x)~ J fa)H(x-l)dl,
У* *7-
Осложнения, возникающие при дифференцировании разрывной функции,
можно увидеть, продифференцировав функцию


296
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
где функция / достаточно быстро затухает на бесконечности, а Я — единичная
функция (п. 2.7).
Приведем некоторые высказывания, относящиеся к особенностям стиля
и уровня строгости преподавания математики для прикладников. Г. Арфкен
[17, с. 5]: «Стараясь, насколько это возможно, обратить внимание на
внутреннюю стройность и изящество математических выкладок, автору
приходилось намеренно жертвовать ими с тем, чтобы изложение приобрело большую
гибкость и ясность именно для студентов.
То же самое можно сказать и о математической строгости. Автор не
ставил перед собой цели довести логику и строгость изложения до такого
уровня, который затруднял бы практическое использование
математического аппарата. В книге везде приводятся объяснения вводимым
ограничениям и делаются предупреждения против слепого и неосмысленного
применения математических формул».
В [17, с. 6], говоря о важности показа взаимосвязи математики с
теоретическими и прикладными науками, автор пишет: «Например, в главе о
дифференциальных уравнениях основной упор делается не на ряд абстрактных
и сравнительно малопонятных доказательств, которые для непосвященного
имеют характер математических головоломок, а на решения и общие свойства
этих уравнений, с которыми студенты чаще всего сталкиваются на практике».
К. Ланцош [188, с. 12]: «... математические формулы за своей как бы
бесплотной внешностью имеют еще «внутреннюю интимную жизнь». Выявить
эту «внутреннюю жизнь» математических отношений порой путем
повествовательного отступления кажется ему (автору — Авт.) не профанацией
священного ритуала формального анализа, а простой попыткой достичь
полного понимания. Читатель, которому приходится пробираться в
лабиринте «лемм», «следствий» и «теорем», легко может заблудиться в формальных
деталях в ущерб существенным элементам полученных результатов».
X. Розенброк и С. Сгори [279, с. 15): «Мы попытались указать на
возможные «ловушки», оставив инженеру право побродить по всей «стране».
Альтернатива — создание изгороди строгости вокруг того, что точно
известно,^— не прельщает нас, так как большая часть интересной «страны»
находится по другую сторону». Там же (с. 17): «Мы не против математической
строгости, и признавая, что математика имеет свои собственные внутренние
законы развития, возражаем против такой позиции, которая концентрирует
внимание на математических тонкостях, возникающих при постановке
задачи и несущественных в определенном смысле, и в то же время игнорирует
действительные трудности.
В итоге мы стремились к идеалу, который так хорошо описал Био: «...
ясность, простота, интуитивное понимание, непретенциозная глубина,
избегание всего того, что не относится к делу».
Я. Б. Зельдович [129, с. 8]: «Во многих учебниках изложение ведется в
форме, напоминающей диспут двух ученых. Учащийся представляется как
противник, выискивающий всевозможные возражения. Педагог
последовательно, строго логически разбирает эти возражения одно за другим и
неопровержимо доказывает правильность своих положений.
В предлагаемой книге учащийся рассматривается как друг и союзник,
который готов поверить педагогу или учебнику и хочет применить к
природе, к технике те математические приемы, которые ему предлагают»
Понимание приходит в результате анализа примеров и применений».
Е. С. Вентцель [73. с. 7]: «Книга рассчитана не на
специалиста-математика, а в первую очередь на практика, впервые знакомящегося с предметом.
Такого читателя обильные оговорки, делаемые в угоду «безукоризненной
строгости», могли бы только оттолкнуть, заслонив от него существо дела».
Д. Пойа [262, с. 390]: «Инженерам нужна математика; совсем немногие
из них имеют здоровый интерес к математике, но они не приучаются
понимать е-доказательства, не имеют времени на г-доказательства, не
интересуются ^-доказательствами... На основании долгого опыта я сказал бы, что
одаренным студентам технических учебных заведений обычно более доступны


§8. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ
297
хорошо изложенные правдоподобные доводы, чем строгие доказательства,
и студенты более благодарны таким доводам». Последнее имеет немаловажное
значение!
Приведем высказывание А. Пуанкаре но этому поводу (268, с. 359]:
«Главная цель обучения математике — это развить известные способности ума,
л между этими способностями интуиция отнюдь не является наименее ценной.
Благодаря ей мир математических образов остается в соприкосновении с
реальным миром; и если чистая математика может обойтись без нее, то она
всегда необходима, чтобы заполнить пропасть, которая отделяет символы
от реального мира; к нему будет постоянно обращаться практик, а ведь на
одного чистого геометра (математика -- Лет.) приходится сто практикоз»
(Сейчас гораздо больше.— Лет.)
Инженер должен получить полное математическое образование, но для
чего оно ему? Для того чтобы видеть различные стороны вещей, видеть их
быстро. У него нет времени гоняться за мелочами. В сложных физических
предметах, которые представляются его взору, он должен быстро найти
точку, к которой могут быть приложены данные ему в руки* математические
орудия. Как бы он это сделал, если бы между предметами и орудиями
оставалась та пропасть, которую вырыли логики?»
О строгости и роли интуиции в преподавании см. также (151. 475, 5441-
4. Отыскание приемлемых решений. Как уже отмечалось,
математически образованный инженер должен обладать навыками
доведения задач до практически приемлемого результата — до числа-
графика, точного качественного вывода (описание влияния на
решение задачи входящих в нее параметров, заключение об
устойчивости и т. п.). Идея получения приемлемого результата на основе
аналитических, численных и качественных методов должна
пронизывать весь курс математики во втузе. Студент должен учиться
мыслить алгоритмически, т. е. представлять себе, какие имеются
способы доведения решения до конца, какие трудности при этом
могут встретиться, прикинуть, каким будет объем вычислительной
работы и какой способ представляется более разумным и т. п. По
этой причине небезопасно довольно распространенное выделение
всех вычислительных вопросов в отдельный раздел курса
математики: такое выделение может существенно понизить идею алгорит-
мичности в остальных разделах курса, которые оказываются как бы
противопоставленными вычислениям и тем самым обескровленными
в прикладном отношении.
При этом не следует преувеличивать значение конкретных
рецептов и специальных приемов решения задач (тем более задач,
не играющих сейчас большой роли). Этих рецептов весьма много,
и они непрерывно обновляются. Гораздо важнее на продуманной
системе примеров демонстрировать глубокие общие идеи, лежащие
в основе доведения решения задач различных важных классов до
конца, показывать общие методы, имеющие широкую область
применения (например, метод итераций, метод малого параметра,
применение различных разложений, конечных разностей и т. д.) *).
*) Р. Хемминг (332, с. 94]: «Принимая во внимание огромное количество
имеющихся теперь знаний, лучше применять один общий метод, до некоторой
степени непроизводительный, чем изучать множество специальных трюковя.
О И. И„ Блехман я др.


298
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
В связи со сказанным хочется подчеркнуть, вообще, важность
тщательного отбора информации в курсе математики. Каждое
понятие, каждое утверждение следует приводить, только если есть
уверенность в их необходимости. (По остроумному высказыванию
Д. К. Фадеева, в противоположность известному юридическому
принципу, здесь нужно опираться на «презумпцию виновности».)
Не будет беды, если отдельные математические понятия и
утверждения, не входящие, органически в основной курс математики, будут
сообщаться (конечно, квалифицированна) по мере необходимости
позднее, в специальных дисциплинах.
Для математически образованного инженера характерно, в
частности, твердое владение «основным ассортиментом» функций и
линий. Так, он должен отчетливо представлять себе особенности
поведения линейной, квадратичной, гармонической, показательной и не*
которых других простых функций, твердо знать, в каких типах
задач эти функции появляются. Вообще, простым нужным фактам
надо, особенно на практических занятиях, удалять значительно
больше внимания, чем это сейчас обычно делается.
Необходимо как можно раньше знакомить, хотя бы не очень
детально, студентов с программированием на ЭВМ на базе одного из
универсальных алгоритмических языков (АЛГОЛ, ФОРТРАН и
т. д.). Желательно систематически тренировать студентов в
написании простых программ и осуществлять выход каждого студента на
машину. Особенно полезно проведение на ЭВМ расчетных работ по
общеинженерным и специальным дисциплинам (сопротивление
материалов и т. п.). Идея возможности обращения к ЭВМ должна
наложить отпечаток и на весь курс математики для инженеров. Инженер
не обязан быть программистом, но он должен уметь пользоваться
ЭВМ как орудием своего повседневного труда *).
Впрочем, не следует думать, что в связи с появлением ЭВМ
значение более простых вычислительных средств для инженера
уменьшилось! Поэтому при обучении надо существенно чаще, чем
это сейчас делается, пользоваться (б том числе, и на экзаменах!)
таблицами и справочниками, «ручным» счетом и
микрокалькуляторами.
К сожалению, распространенный сейчас стиль изучения многих
разделов курса математики во втузах не подчинен основной идее
получения приемлемого, достаточно завершенного решения.
Типичным примером может служить теория рядов, где основное
внимание, в том числе и на практических занятиях, уделяется
выяснению сходимости рядов с общим членом сложной аналитической
*) Р. Хемминг [332, с. 397]: «Если ставится цель понять физическое
явление, то автор задачи должен понимать к следить за вычислениями. Это
не значит, что он должен выполнять всю мелкую работу, но если он не будет
в достаточной степени понимать все, что делает машина, то ок вряд ли
сумеет извлечь из машины максимум пользы, а также понять смысл даже
правильно построенных вычислений*.


§8. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ
299
структуры, весьма редко встречающихся в реальных задачах; при
этом остаются в стороне вопросы, имеющие несравненно большее
практическое значение, такие, как оценка быстроты сходимости,
методы приближенного подсчета суммы ряда и т. п.
Во втузовском курсе математики укоренилась традиция не
доводить решение до числа; например, при вычислении определенных
интегралов типичной формой ответа является, скажем,
7 4.22, 7
narct8T + -ln-g.,
тогда как инженер окончательный ответ запишет в виде 0,345.
Конечно, порой можно для экономии времени ответ до числа не
доводить, но тогда по крайней мере надо отчетливо понимать, что
окончательного ответа мы еще не получили.
Наряду с вычислительными навыками необходимо развивать
навыки получения приближенных формул, а также качественного
анализа задачи, качественного выяснения характера решения.
5. О формальных выкладках к упражнениях. Определенные
навыки формальных выкладок для студента втуза необходимы.
Например, он должен уверенно вычислять производные, простые
интегралы, уметь интегрировать дифференциальные уравнения
известных простых типов. Однако в целом тренировка в формальных
выкладках не должна занимать такого большого места, как это
сейчас часто бывает. Особенно это относится к практическим занятиям и
домашним заданиям, где основное внимание порой уделяется
задачам, либо концентрирующимся вокруг немногих, а значительной
степени потерявших свое значение формальных типов, либо
связанным с непосредственной подстановкой в формулы; подавляющее
большинство таких задач даже по духу, направленности имеют мало
общего с «работающей» математикой. При этом критерием хороших
практических навыков у студента, определяющим направление его
работы, часто служит его способность решать формально
усложненные («болезненно искусственные», по выражению Д. Пой а 1263,
z. 2981) задачи.
Конечно, определенное количество формальных задач, примеров
на непосредственное применение формул и на доказательство
сходимости необходимо. Однако существенно больше, чем это сейчас
делается, надо заботиться о реальной осмысленности формулировок
задач, их мотивированности («может ли подобная задача
возникнуть з прикладной ситуации?»), существенно шире уделять
внимание упражнениям, упрощенно имитирующим действия, которые
совершаются в реальном прикладном математическом исследовании.
При этом вовсе не обязательно брать примеры непосредственно из
специальных дисциплин, хотя если такой пример можно сделать
легко доступным, это только украсит занятия. Сама постановка задачи,
ее направленность должны напоминать то, что может возникнуть в
прикладном исследовании, даже если эта задача опирается только
1С*


300
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
на простые понятия физики или имеет полностью математический
характер: ведь и простое дифференцирование может составлять этап
прикладного исследования. С другой стороны, следует избегать
сугубо конкретных рецептов и специальных приемов, пригодных
для решения узких классов задач.
Приведем пример. В упражнениях на кратные интегралы обычно как
граница области интегрирования, так и подынтегральная функция
считаются заданными в явном аналитическом виде, порой довольно громоздком.
Однако в прикладных задачах гораздо чаще оказывается, что все участвую*
щие зависимости довольно просты, но в аналитическом виде заранее не
заданы, так что требуется предварительно составить их уравнения;
необходимо, чтобы подобные задачи были представлены должным образом.
В качестве другого примера можно указать на функции, заданные
несколькими формулами (п. 2.7); такие функции довольно распространены в
приложениях (например, в сопротивлении материалов и т. д.), однако почти
не встречаются в упражнениях к курсу математики.
Существенно большее место, чем сейчас, должны занимать
«текстовые» задачи, основанные на геометрическом, простом физическом
и т. п. материале и связанные с предварительным составлением
конечных или дифференциальных уравнений. Решение таких задач,
сопровождаемое обсуждением исходных данных и исследованием
результата, может оказать особенно глубокое влияние на
формирование прикладного математического мышления. Многие задачи
подобного рода имеются в учебной литературе по математике, а также
могут быть подготовлены математическими кафедрами на основе
анализа литературы по специальности студентов.
Роль формальных навыков преувеличена также во время зачетов
и даже экзаменов.
Так, на экзамене за первый семестр порой решающим считается умение
автоматически дифференцировать искусственно усложненные функции,
которые не только заведомо не могут встретиться в приложениях, но и всем
своим видом противоречат воспитанию правильного прикладного
математического вкуса. Во втором семестре аналогичную роль играют
«рационализация» интегралов и интегрирование рациональных функций с помощью
разложения их на простейшие, причем стандартные приемы предлагается
применять и в тех случаях, когда явно целесообразнее численное
интегрирование. В третьем семестре обычно преувеличивается роль формального
интегрирования дифференциальных уравнений, в том числе линейных
уравнений с постоянными коэффициентами и так называемой «специальной»
правой частью (сам этот искусственный термин — типичный продукт
стремления превратить мелкий вопрос в «науку»; увы, оно не так уж редко
встречается в преподавании).
Все это приводит к бездумному заучиванию не всегда важных рецептов
и мало способствует развитию математического мышления. С другой стороны,
при этом остаются незакрепленными широко применяемые сейчас более
универсальные и важные методы, требующие большой вдумчивости, хотя часто
ненамного более сложные (например, в теории дифференциальных уравнений —
метод изоклин и другие качественные методы или метод малого параметра).
Мы полагаем, что для развития прикладных математических
навыков при подборе упражнений необходимое внимание надо, в
частности, уделить:


§ 8. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ
301
— целеустремленному составлению и анализу математических
моделей реальных задач и развитию соответствующей интуиции на
доступном студентам материале;
— отбору данных, нужных для решения задачи (сюда
примыкают и задачи с неоднозначной постановкой — с требованием
«исследовать», «сравнить» и т. п.,— в которых приходится дополнитель-
но уточнять эту постановку), а также прикидке их необходимой
точности;
— выбору заранее не заданного метода исследования;
— задачам, требующим для своего решения предварительного
вывода аналитических зависимостей;
— задачам, требующим для своего решения знаний из
различных разделов курса;
— доведению решения задач до практически приемлемого
результата, оценкам объема вычислительной работы;
— изучению зависимости решения от параметров, входящих в
задачу, или от вариантов ее постановки;
— прикидкам, оценкам порядков величин, асимптотическим
формулам и асимптотическим оценкам;
— применению справочников и таблиц;
— действиям с размерными величинами;
— приемам контроля правильности решения.
Актуальной проблемой является создание серии задачкикоз
(как общих, так и по отдельным областям математики и по группам
родственных инженерных специальностей), которые дали бы
достаточный материал для подобных упражнений.
6. О программе курса математики для инженеров. Для приклад*
ников различных специальностей программы математических
курсов могут существенно различаться; тем не менее, мы хотели бы
высказать соображения по этому поводу, общие для многих
специальностей, в особенности инженерных.
Прежде всего необходимо подчеркнуть фундаментальную роль
ЭВМ в этих курсах; об этой роли мы уже говорили в п. 8.4.
Отметим также чрезвычайно возросшее значение дисциплин
вероятностного цикла для современного инженера и вообще для
любого прикладника. Практика показывает, что даже те инженеры,
которые применяют математику в минимальной степени, нуждаются
в сведениях об обработке результатов наблюдений, о
характеристиках статистических массивов, о доверительных интервалах и т. п.
Понятия и утверждения теории вероятностей особенно требуют
неформальных разъяснений, чему, к сожалению, часто не уделяют
должного внимания. Непременно нужно в какой-то мере осветить
вопросы, лежащие в самом основании вероятностных методов
(п. 5.8): выбор статистических гипотез; происхождение исходных
вероятностей; теория вероятностей как средство предсказания и
роль доверительных вероятностей; статистический контроль и
проверка гипотез; применение случайных величин с заранее не задан*


302
|ГЛ„ 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
ным законом распределения; особая роль нормального закона;
метод Монте-Карло и т. д.
На этом вопросе специально останавливается Я. И. Хургин [339,
с, 34—35]: «Назову некоторые (далеко не все!) пункты теории вероятностей,
которые требуют, по моему мнению, неформального разъяснения будущему
инженеру.
1. Рассмотрение явлений природы или процессов в технике на
традиционном детерминистском пути далеко не всегда дает возможность построить
адекватную модель. Вероятностный подход, хотя он и более сложен,
предоставляет такую возможность.
2. Массовые явления, массовые совокупности однородных объектов.
Противоречивость понятия однородности объектов или явлений. Наличие
в массовых совокупностях четких, хотя и специфических, закономерностей.
3. Способы описания массовых совокупностей. Различные средние и их
устойчивость.
4. Невозможность в рамках теории вероятностей высказывать
достоверные утверждения о событиях —- все утверждения верны с некоторой
вероятностью (см. по этому поводу п. 2.5.— Авт.). Доверительные вероятности.
5. Малые и большие вероятности. Принцип практической уверенности
(при малых вероятностях событие не произойдет в однократном опыте, но
произойдет при большом числе опытов).
6. Зависимость случайных величин, ее существенное отличие от
зависимости функциональной.
7. Различие независимости и несовместимости.
8. Центральная предельная теорема, ее физический смысл.
9. Статистическая гипотеза, ее смысл и проверка с помощью опытных
данных. Разные критерии того, что такое хорошо и плохо (т. е. разные
функционалы и метрики, их физический и статистический смысл).
10. Вероятностный смысл метода наименьших квадратов.
11. Планирование экспериментов: необходимость использовать
статистику (или, как принято в литературе,— необходимость участия статистика)
на всех этапах эксперимента, т. е. от выбора плана эксперимента, количества
опытов, значений факторов и т. д. до окончательной обработки и
интерпретации результатов. Идеи теории планирования экстремальных
экспериментов.
12. Рандомизация эксперимента: надо не преодолевать, а нарочно
создавать стохастическую ситуацию, дабы избавиться от необходимости
стабилизировать мешающие факторы.
Все перечисленные вопросы при изложении теории вероятностей
усваиваются с трудом. При этом вопросы, требующие неформального разъяснения
в теории вероятностей, усваиваются с большим трудом, чем в математическом
анализе, ибо здесь многое противоречит привычным со школьной скамьи
строго детерминистическим взглядам, многое не наглядно и поэтому создает
психологический барьер для усвоения именно основ, а не математического
аппарата. Эти трудности приводят к многочисленным ошибкам при
использовании теории вероятностей и математической статистики, порой весьма
грубым и в то же время имеющим существенные последствия». (См. также
197, 205].)
Другой цикл вопросов, получивший сейчас широкое
распространение в прикладной математике, связан с идеей оптимизации.
Эти вопросы в какой-то степени представлены в традиционном
курсе в связи с теорией экстремумов; однако там идет речь не о поиске
экстремума (по этому поводу удовлетворяются ссылкой на общую
теорему существования), а о выявлении того, будет ли заданная
точка точкой экстремума. Сейчас во многих прикладных задачах


§8. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ
303
вопросы поиска экстремума вышли на первый план. Сюда относятся
линейное и нелинейное программирование, динамическое
программирование, принцип максимума Л. С. Понтрягина, прямые методы
вариационного исчисления и т. д.
Для ряда специальностей важную роль начинают играть вопросы
конечной математики (например, комбинаторика, теория графов),
булева алгебра и т. д. (По поводу современных требований к
математическому образованию инженера см. такисе [68, 71, 93, 132, 379].)
Далеко не все указанные разделы нуждаются в подробном
освещении. Невозможно, да и нецелесообразно освещать их подробно
«впрок», однако важно, чтобы инженер имел общее представление
об этих методах и их возможностях, скажем, понимал, что такая-то
задача относится к линейному программированию, а другая — к
теории графов. Иными словами, существенно выросла роль
математической эрудиции прикладника. Поэтому нужны обзорные лекции
или циклы из небольшого числа лекций, обзорные параграфы в
учебниках, где освещались бы понятия, не вошедшие в подробно
излагаемые разделы, а также приводились примеры и типы задач,
решаемых в других разделах, и соответствующая литература.
Что касается замечаний по традиционным разделам курса, то
они в какой-то мере реализованы в книге [230], к которой мы и
отошлем интересующегося читателя.
Особо надо сказать об обучении инженеров и других
прикладников методам математического моделирования — общим и, особенно,
в своей специальности. Думается, что именно в этом сейчас
наибольшая потребность, ради которой можно даже пожертвовать
некоторым объемом специальных математических сведений.
Об этом убедительно сказал А. А. Самарский («Известия» от 28 апреля
1984 г.): «Часто полагают, что построение математических моделей и
проведение вычислительных экспериментов на их основе — дело математиков:
«возникнет необходимость — дадим им задание, они посчитают, а мы
посмотрим». Это неверно. Ведь уравнения, лежащие в основе математической
модели,— это записанные на языке цифр и символов основные
закономерности явления. Кто знает их лучше, чем специалист? Если же поручить это
дело одним лишь математикам, возникнет опасность выхолащивания
моделей, отрыва их от предмета исследования.
Хорошая модель — это плод сотрудничества математика и
специалиста— физика, химика, биолога... А чтобы сотрудничество представителей
разных наук было плодотворным, они должны понимать друг друга, должны
выработать общий язык, основой которого должна служить математика.
Вот почему в образовании — и школьном, и высшем — независимо от
будущей специальности учащегося математика должна занять видное место.
Причем математику следует усваивать не как свод законов, правил, формул,
а как философию, как стиль мышления специалиста, его рабочий аппарат.
Нужно учиться в любой науке идти от качественных суждений о предмете
исследования к строгой постановке количественных задач и четким
алгоритмам их решения.
Обучение программированию проводится в наших вузах уже сегодня.
Но только к этому сводить проблему нельзя. Студента уже на вузовской
скамье нужно обучать построению математических моделей своей науки.
Именно таким путем математика должна прочно войти в его профессионала


304
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
ную деятельность. Конечно, это потребует перестройки учебных программ,
переподготовки преподавательских кадров, ломки их психологии. Но все это
необходимо»»
Трудность состоит прежде всего в отсутствии устоявшейся точки
зрения на то, чему и как здесь нужно обучать. Впрочем, укажем на
элементарное введение [4161 в методы построения математических
моделей для студентов младших курсов инженерных и естественно-
научных специальностей. Оно содержит определение таких
моделей, описание их роли, применение методов теории размерностей,
выбор масштабов, способы упрощения модели, методы оценки
пределов ее применимости и т. п. Тем более энергичные усилия нужно
предпринимать для создания вариантов программ и
соответствующего методического обеспечения.
7. О преподавании механики. В учебных планах многих
вузовских специальностей механика представлена самостоятельными
учебными дисциплинами, как давно сложившимися, так и
относительно новыми. К ним относятся теоретическая механика,
сопротивление материалов, гидравлика, теория упругости, гидромеханика,
строительная механика, механика сплошных сред и другие.
Проблемы их преподавания разнообразны, во многом специфичны и
решаются в тесной связи с общим направлением специальности, в частности,
в зависимости от того, идет ли речь об университетском или о
втузовском образовании, о подготовке инженера-производственника
или инженера-исследователя и т. д. Однако независимо от этих
особенностей преподавание любого раздела механики должно быть
увязано с теми общими положениями, о которых говорилось в
предыдущих главах. Нет необходимости их заново пересказывать,
но все же подчеркнем, что в преподавании достойное место должно
быть уделено выявлению реальных корней, из которых вырастают
даже самые абстрактные разделы механики, открытому обсуждению
Переходов от чисто дедуктивных рассуждений к рациональным,
анализу экстремальных ситуаций и т. п. Остановимся только на
избранных конкретных вопросах преподавания, касающихся всех
или почти всех механических дисциплин.
Оправданная долголетним опытом известная организационная
самостоятельность этих дисциплин иногда вызывает у
преподавателей ошибочное представление об изолированности «своей»
дисциплины и, можно сказать, сепаратистское стремление к полной
независимости. Для достижения этой ложно поставленной цели
используются самые различные средства, начиная с внедрения
«собственной» терминологии и собственных традиционных обозначений, и
кончая полным замалчиванием параллельно существующих
концепций, возможно основных в дисциплинах буквально соседней
кафедры.
С этим недостатком связано и следующее обстоятельство.
Каждой учебной дисциплине присущи свои модельные представления;
когда они становятся достаточно привычными, много говорить об их


§ 8. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ
305
свойствах не принято. В некоем учебнике мы видим чертеж двух-
опорной балки, находящейся под действием заданной нагрузки.
Какую модель имел в виду автор? Мы понимаем, что ответ на этот
вопрос всецело зависит от того, к какой дисциплине относится
учебник: если к теоретической механике, то, конечно, имелась в виду
абсолютная жесткая конструкция; если к сопротивлению
материалов, то, скорее всего, предполагалась упругая конструкция,
изгибаемая в соответствии с теорией Бернулли — Эйлера; если же книга
посвящена теории упругости, то, вероятно, автор имел в виду
конструкцию, которую нужно анализировать методами,
разработанными для решения плоской задачи. Но преподаватели каждой из
этих дисциплин настолько привыкли к «своим» моделям, что
начинают забывать о других, вполне жизнеспособных и уже
существующих вариантах. Здесь возникает некая опасность: студент, не
скованный традициями одной дисциплины, должен обнаруживать
большую гибкость понимания, чем та, на которую психологически
способен данный преподаватель. Из-за этого легко возникает взаимное
непонимание, а из непонимания — спор и даже конфликтная
ситуация, в которой правда на стороне слабейшего.
Бывает и хуже. Преподаватель теоретической механики
предлагает экзаменующемуся студенту задачу на вертикальные свободные
колебания пресловутого грузика на пружине, но забывает
изобразить боковые ограничители — преподаватель их видит своим
внутренние взором и уверен, что их так же видит студент. Но
студент их не видит (и не должен видеть *)) и естественно затевает
довольно сложные выкладки, считая, что ему задана система с
двумя степенями свободы. Преподаватель раздражен: «Неужели Вы не
понимаете, что я имел в виду только вертикальные перемещения
груза?!» Думается, что для такого преподавателя нет оправданий:
как бы он ни привык к определенным модельным представлениям,
он должен уметь смотреть на свои задачи глазами студента, а не
заставлять его домысливать образ, существующий в сознании
экзаменатора.
Конечно, было бы просто нереальным требовать, чтобы в каждом
случае заново и полностью оговаривались все свойства модели.
Существует некая золотая середина для уровня подробности
описания модели (вербального или графического) — некоторые вполне
общепринятые ее элементы естественно все-таки опускать. Тем и
отличается хороший преподаватель, что он знает истинную
подготовленность своих студентов, их «втянутость» в образы преподаваемой
*) Кстати сказать, манера видеть «слишком много» порой приводит
к комическим ситуациям. Один из нас присутствовал при следующем
диалоге между экзаменатором и поступающим в один из втузов: «Сейчас я задам
Вам трудный вопрос, так что не торопитесь: сколько линий можно провести
в треугольнике?» — «Девять».— «Подумайте, не забыли ли Вы чего-либо?».
Поступающий^, подумав: «Двенадцать, я забыл перпендикуляры к серединам
сторон».-™ «Вот теперь правильно!» Оба прекрасно поняли друг друга...


306
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
дисциплины, а потому и точно чувствует, где находится упомянутая
золотая середина в том или ином конкретном случае.
Даже в программах можно заметить некоторые, по-видимому,
неизбежные пересечения между различными дисциплинами.
Например, задачу Ламе о напряжениях и деформациях в толстостенных
трубах при осесимметричной нагрузке часто относят к курсу
сопротивления материалов, хотя она по существу относится к теории уп*
ругости (и действительно включается в этот курс там, где он есть
в учебном плане). Другой пример дает курс теоретической механики:
в начале этЬго курса подчеркивается, что речь будет идти только об
абсолютно твердых телах, однако на самом деле в курс включаются
также вопросы, относящиеся к деформируемым телам (задачи о
форме равновесия нерастяжимых идеально гибких нитей, задачи о
трении при качении). Наконец, отметим, что ряд вопросов
сопротивления материалов решается в чистом виде методами теоретической
механики (определение опорных реакций и внутренних усилий
в статически определимых системах).
Мы совсем не видим беды в том, что границы между отдельными
механическими дисциплинами несколько размыты — думается, что
это в порядке вещей,— но замалчивать перед студентами такие
пересечения не следует, их нужно откровенно обнажать и
признавать объективно оправданными (о проблеме откровенности мы
писали во Введении и еще раз вернемся к ней в п. 8.10 в связи с
научными публикациями).
В рамках настоящего пункта необходимо также отметить
влияние стиля чистой математики на преподавание механических
дисциплин. Многие считают, что формально-дедуктивный стиль — это
идеал, к которому нужно стремиться в преподавании механики.
В особенности это относится к курсу теоретической механики, где
изложение принято начинать с довольно претенциозной, но в
сущности глубоко наивной системы аксиом, полнота которой более чем
сомнительна.
Почти болезненное стремление к формально-дедуктивному стилю
обнаруживается и при переходе к любому новому разделу курса.
Казалось бы, что обращаясь к новому разделу, нужно прежде всего
показать студентам ряд соответственно отобранных ситуаций и
разъяснить их внутреннюю общность (в том или ином смысле).
Вместо этого авторы книг и лекторы нередко начинают с готовых
абстракций типа «сферическим движением называется...» или
«оболочкой называется...». Не лучше ли привести сначала
выразительные реальные примеры сферического движения (см. любую схему из
соответствующего раздела сборника задач И. В. Мещерского) или
примеры оболочек в технике (от фюзеляжа самолета до купола над
театральным залом)? Пусть самими студентами будут замечены
общие черты (наличие неподвижной точки; малость толщины по
сравнению с общими размерами), пусть абстракция естественным
образом родится и вырастет из практических примеров на глазах ауди-


§8. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ
307
тории! Тогда последующий анализ абстрактной модели будет
сопровождаться предчувствием перспектив практического
использования и уже по этой простой, но очень сильной причине окажется
более интересным — по крайней мере у студентов с неизвращенным
отношением к науке и жизни *). Самое же важное состоит в том, что
при таком способе изложения («от живого созерцания к
абстрактному мышлению») будут существенно ослаблены хорошо известные
преподавателям трудности, которые возникают у студентов, когда
они переходят от казалось бы усвоенной теории к решению
конкретных задач («от абстрактного мышления к практике»).
Со сказанным связано еще одно обстоятельство. Если абстракция
формируется на глазах студентов, то становится легким и
естественным обсуждение иных вариантов модельного описания
рассматриваемого объекта. Такое обсуждение может дать удобный повод и
для соответствующих исторических справок, а введение
исторического элемента в преподавание не только способствует
общеинтеллектуальному обогащению учащихся, но и помогает им увидеть
науку в развитии, понять, что механика — это не гербарий, состоящий
из множества засушенных листьев, а цветущий сад или парк, где
рядом с вековыми деревьями и хорошо проложенными дорожками
можно встретить новые мощные поросли и лишь намеченные, но
уже прекрасные тропинки.
Наряду с неоправданным стремлением к дедуктивизации курсов
механики, подлинные глубинные связи с общематематическими
концепциями иногда остаются невыявленными. Примером может
служить понятие о кориолисовом ускорении. Заключение о том, что
при сложном (составном) движении точки ее полное ускорение н е
равно сумме переносного и относительного ускорений обычно
вызывает у студентов некоторое удивление. Многим из них кажется,
что если общее движение можно считать составленным из двух
движений — переносного и относительного,— то полная скорость
должна равняться сумме переносной и относительной скорости (как
это и есть на самом деле), и что столь же естественным образом
полное ускорение должно равняться сумме переносного и
относительного ускорений (что в общем случае неверно). Хорошие
преподаватели довольно умело показывают студентам путем геометрических
построений, как абсолютное ускорение точки приобретает
дополнительное слагаемое, отвечающее ускорению Кориолиса,
вследствие присутствия относительной скорости при наличии одновременно
также и переносного вращения. Но не проще ли, не убедительнее
ли просто обратить внимание на принципиальную нелинейность
операции сложения ускорений? Нам доводилось читать различные,
порой довольно удачные комментарии к выводу формулы для ко-
риолисова ускорения, но ни разу нам не встретилось простой
*) Сравните с высказываниями Дж. Займана по аналогичному
(с. 289—290).


308
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
ссылки на нелинейность ситуации —ссылки, которая сразу
разъясняет существенную причину вбзникновения дополнительного
слагаемого в выражении для полного ускорения. Нелинейность можно
увидеть на следующем предельно простом примере.
Пусть по окружности диска радиуса /?, вращающегося в своей
плоскости вокруг центра с постоянной угловой скоростью со,
равномерно движется точка, модуль относительной скорости которой
равен vr. Чему равно полное ускорение точки?
Так как модуль v полной скорости точки равен a>R+vn то модуль
полного ускорения (направленного к центру диска) определяется
выражением
£ = <■>*£+ 2<м,+4 •
Здесь видно, что ускорение состоит из трех частей: переносного
ускорения ю2/?, относительного ускорения vj/R и дополнительного
слагаемого 2<ouf, представляющего собой кориолисово ускорение.
Увидев эти элементарные выкладки, студент сочтет кориолисово
ускорение вполне естественным результатом сложения движений —
даже самый слабый из студентов не удивится тому, что квадрат
суммы не равен сумме квадратов слагаемых.
К слову сказать, комментарии к полученным итоговым
соотношениям — весьма важный и зачастую недооцениваемый элемент
преподавания. Именно в комментариях — их подборе и редакции —
особенно выразительно сказывается педагогическое мастерство
преподавателя, его искусство видения и показа всех граней, всех
тонкостей результата. Положим, что преподаватель, рассматривая
распространение волны напряжений вдоль упругого стержня,
нашел, что скорость распространения (скорость звука)
определяется выражением VEjp. Этот результат нередко сопровождается
приблизительно таким «комментарием»: «скорость звука в
материале равна квадратному корню из дроби, в числителе
которой модуль упругости материала, а в знаменателе — его
плотность». Ясно, что этот текст представляет собой словесный пересказ
формулы и считать его комментарием невозможно. Несравненно
полезнее было бы обратить внимание на то, что скорость
распространения волны напряжений не зависит от их величины — волны
больших напряжений распространяются с той же скоростью, как
и волны малых напряжений (понятно, если речь идет о
напряжениях,, не превосходящих гредела упругости). Как видно, обсуждение
того, что не отражено в обсуждаемом результате, может оказаться
даже интереснее того, что в нем отражено.
Отметим еще одну беду некоторых курсов механики: применение
мощных универсальных средств для решения только элементарных
задач, или, как гласит поговорка,— стрельбу из пушек по
воробьям. Обидно, когда уравнения Лагранжа используются лишь для
то;*о5 чтобы составить дифференциальное уравнение свободно падаю-


§ 8. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ
309
щей материальной точки. Делается это, казалось бы, из лучших
побуждений — иллюстрировать последовательность выкладок на
простом примере. Это можно признать допустимым, если в курсе
остается время на разбор более сложных задач, но если этого
времени нет (как это часто бывает), то все изложение лагранжевой
методики буквально повисает в воздухе, а у студентов создается
впечатление, что с некими загадочными целями их учат решать
известные простые задачи искусственно усложненными методами. Такая
опасность возникает при изучении любой относительно сложной
темы, и преподаватель должен с ней считаться.
В заключение скажем несколько слов о преподавании других
дисциплин, использующих математику. Именно в курсах таких
дисциплин должны формироваться и закрепляться навыки применения
математики. В этом отношении особенно велика роль дисциплин,
непосредственно определяющих специальность будущего
инженера.
К сожалению, этому важному аспекту не всегда уделяется
необходимое внимание. Так, часто отчетливо не формулируются
гипотезы, положенные в основу при построении математической модели,
различные мыслимые модели не сравниваются и не обсуждаются с
точки зрения их адекватности и простоты. Вообще, вопросы,
связанные с методикой построения модели (чем пренебрегаем и почему,
какими зависимостями пользуемся и т. д.) и с ее качествами,
требуют гораздо более глубокого и детального обсуждения, чем это
обычно делается. Математический аппарат для изучения построенной
модели также не всегда выбирается наилучшим образом — так,
чтобы он был характерен для данной области и в то же время
отвечал современным взглядам в прикладной математике. (См. [124].)
Выбор оптимального математического аппарата в
нематематических дисциплинах может быть достигнут, как правило, в результате
совместной работы специалистов в этих дисциплинах и математиков.
Можно сказать, что в преподавании так же,- как и в научных
исследованиях, должен торжествовать «принцип совместимости», а
автономия преподавания различных учебных дисциплин не должна
быть чрезмерной. Это должны понимать не только математики (о чем
уже достаточно было сказано выше), но и прикладники; здесь
успеху дела тоже порой мешают известные психологические
обстоятельства.
Успеху преподавания теоретической механики немало вредят
некоторые стереотипы: с одной стороны, сохранение устаревших
тем и подходов, а с другой стороны — отказ от включения
относительно новых, нужных вопросов только потому, что раньше не было
принято их рассматривать. Приведем некоторые примеры:
изложение принципа возможных перемещений в разделе «Динамика», а не
в разделе «Статика»; изложение критерия Сильвестра при изучении
устойчивости состояний равновесия (что справедливо только для
консервативных систем) и умалчивание в некоторых курсах меха-


310
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
ники о существовании гораздо более общего критерия Рауса —
Гурвица; изложение теории удара на уровне представлений
XVII века; отсутствие в курсах теоретической механики и
сопротивления материалов даже кратких упоминаний о волновых
процессах.
В свое время потребовалось немало настойчивости для того,
чтобы исключить из курсов теоретической механики графостатику.
Однако дело увенчалось успехом — и пусть это послужит
вдохновляющим примером.
Расчистка учебных программ от устаревшего материала
освободит время для модернизации курса и, в частности, для внедрения
ЭВМ в учебный процесс (понятно, что это внедрение должно
выполняться не только разумно, но и, можно сказать, Деликатно).
8. О преподавании математики в средней школе. Хотя этот
параграф посвящен, главным образом, преподаванию математики и
механики во втузах, мы считаем полез* ым остановиться и на
некоторых проблемах преподавания математики в школе, так как на нем
базируется и институтское образование.
Прежде всего заметим, что вряд ли возможно указать школьную
дисциплину помимо математики, которая бы примерно для
половины обучающихся приносила столь мало пользы — и это при такой
большой затрате времени! У десятков миллионов людей,
избравших областью своей деятельности гуманитарные профессии и сферу
обслуживания (а доля таких людей будет все возрастать), через
несколько лет после окончания школы остаются в памяти только
арифметические действия, простейшие геометрические
представления да смутные воспоминания о рассуждениях, которые полностью
отличаются от применяемых в жизни и ни к чему остальному
решительно не пригодны.
Как можно предотвратить эту бесцельную трату времени?
Думается, только делением школ по профилям (фуркацией) в старших
классах. На первой стадии обучения (скажем, в первых 8 классах),
а также для старших классов, ориентированных на гуманитарные
и т. п. профессии, курс математики и не должен выходить за рамки
арифметических действий, построения и применения простых
формул и графиков, простых геометрических сведений (включая
примеры доказательств) и т. п. С другой стороны, надо усилить
внимание к составлению и решению текстовых задач на доступном
школьникам материале, как имитирующих реальные ситуации, так и
имеющих игровой характер — в том числе направленных на
логическое развитие учащихся. Курс информатики должен быть
достаточно представлен и нацелен на задачи систематизационного
характера.
Остановимся более подробно на курсе математики в старших
(скажем, 9—И) классах, ориентированных на технические и другие
подобные профессии, для которых математика необходима. Здесь,
конечно, этот курс должен быть более серьезным. Однако существу-


§8. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ
ЗП
ющее состояние преподавания математики представляется
неудовлетворительным.
Главная цель изучения математики широкими слоями учащихся
состоит в том, чтобы математику можно было применять. Здесь
мы имеем в виду применения в самом широком плане: не только на
производстве, но и в других дисциплинах, при чтении специальной
и популярной литературы, в быту и т. д.; кроме того, основные
математические понятия позволяют глубже осмысливать различные
факты, видеть их общие черты; навыки разумной точности могут
помочь формулировать мысли и т. д. Именно эта главная цель
должна определять выбор изучаемого материала и способа его
изложения.
С этих позиций решительные возражения вызывает
существующий аксиоматический курс геометрии. Методы рассуждений здесь
настолько специфичны, что за пределами этого курса никогда не
применяются (даже математиками-специалистами), и огромный труд,
необходимый для овладения ими, оказывается бесплодным.
Никакие методические усовершенствования (например,
распространяемые в последнее время мнемонические правила для запоминания
доказательств никому не нужных утверждений) делу не помогут.
Конечно, геометрическое развитие очень нужно! Но оно куда
быстрее и эффективнее достигается на гораздо более важном и
интересном материале метрической, комбинаторной, начертательной
геометрий. И доказательства в геометрии необходимы, но только
тех фактов, которые без доказательства не очевидны, таких как
теорема Пифагора, теорема о сумме углов треугольника и т. д. Те
же факты, которые легко воспринимаются на интуитивном уровне,
надо не доказывать формально, а закреплять с помощью разумно
подобранных вопросов и упражнений.
Приведем пример. В стабильном учебнике геометрии (впрочем, глубоко
продуманном и последовательном, но находящемся полностью на
аксиоматических позициях) теорема из стереометрии «Две прямые, параллельные
третьей прямой, параллельны» снабжена следующим доказательством: «Пусть
прямые b не параллельны прямой а. Докажем, что прямые b и с параллельны.
Случай, когда прямые а, 6, с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в
планиметрии. Поэтому предположим, что наши прямые не лежат в одной
плоскости. Пусть р — плоскость, в которой лежат прямые а и Ь, а у — плоскость,
в которой лежат прямые а и с. Плоскости р и у различны (приведен
рисунок.— Авт.). Отметим на прямой b какую-нибудь точку В и проведем
плоскость Yi через прямую с и точку В. Она пересечет плоскость р по прямой Ьх.
Прямая Ьх не пересекает плоскость у. Действительно, точка пересечения
должна принадлежать прямой а, так как прямая Ьх лежит в плоскости Р*
G другой стороны, она должна лежать и на прямой с, так как прямая Ьх
лежит в плоскости 7i- Но прямые а и с как параллельные не пересекаются»
Так как прямая Ьх лежит в плоскости р и не пересекает прямую а, то
она параллельна а, а значит, совпадает с b по аксиоме параллельных. Таким
образом, прямая 6, совпадая с прямой Ь1ч лежит в одной плоскости с прямой с
(з плоскости Yi) и не пересекает ее. Значит, прямые b и с параллельны.
Теорема доказана».
Мы предлагаем читателю разобрать это доказательство, рекомендованное
сейчас всем ученикам 9-го класса. Не лучше ли просто спросить: «Подумайте,


312
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
как расположены друг относительно друга две прямые в пространстве, если
они параллельны третьей». «А если перпендикулярны?», «Найдите в классе
примеры таких прямых» и т. п.?
Что касается утверждений, которые учащиеся воспринимают как
совершенно очевидные (например, «Какова бы ни была плоскость,
существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не
принадлежащие ей» — одна из аксиом в стабильном учебнике, или:
«Движение переводит плоскости в плоскости» — теорема оттуда же),
то их даже специально выделять не надо. Какая-либо мотивировка
только затрудняет их понимание.
Иногда говорят, что этот аксиоматический курс нужен для
развития логического мышления. Примерно то же когда-то
говорилось в защиту школьного преподавания латыни. Но здесь можно
повторить слова Л. Д. Ландау о схоластике (с. 289). Конечно,
некоторая часть школьников получает здесь какое-то логическое
развитие, но в целом кпд соответствующих усилий крайне низок.
Логическое развитие может и должно воспитываться, но на
значительно более жизненном материале!
Ради чего же эти бесплодные тяжкие усилия? Неужели для
того, чтобы построить безупречное, но полностью бесполезное
здание? Мы считаем, что здесь просто действует инерция, отсутствие
мужества избавиться от мертвого груза.
Если теперь говорить о том, что должно быть в школьном курсе
математики, то здесь, с соответствующими упрощениями, можно
повторить многое из того, о чем говорилось в связи с втузовским
преподаванием, и потому мы скажем об этом совсем кратко. Так,
достаточное внимание надо уделять составлению и неформальному
обсуждению математических моделей, задачам с неполными или
избыточными данными, методам самоконтроля, применению
справочников и таблиц и т. п. Важное место должна занимать прикидка
(в том числе устная) значений или порядков величин, их точности.
Надо широко внедрять карманные калькуляторы, проводить на них
все вычисления, за исключением самых простых; в частности, это
даст возможность преодолеть дурную традицию «круглых» ответов,
мешающую навыкам приложения математики.
Что касается стиля изложения, то здесь надо идти по пути
разумного компромисса между строгостью, доступностью и
прикладной направленностью, не забывая ни об одной из этих сторон.
Так, понятия, важные для приложений, но не допускающие простой
формализации, следует вводить с помощью наглядного описания
и иллюстрировать примерами. Утверждения стараться приводить
только действительно необходимые или поучительные, причем
доказательства выбирать такими, чтобы они способствовали пониманию
фактов и были убедительными для учащихся (а не для рецензентов).
Утверждения, интуитивно ясные, вряд ли следует снабжать
«официальными» доказательствами: доказательство должно объяснять
причину факта, заранее не очевидного.


§8. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ
313
Цель логического развития учащегося — не в том, чтобы он
научился доказывать математические теоремы, а в том, чтобы он
в простых ситуациях за пределами математики понимал, что одни
утверждения можно выводить из других, не путал прямые
утверждения с обратными, не пропускал логически возможные случаи
и т. п. И здесь существенную роль могут сыграть специально
подобранные задачи, основанные на доступном материале, как
прикладном, так и «чистом».
Мы думаем, что полезно было бы иметь не один, а несколько
учебников с примерно одинаковым содержанием, но различным
характером изложения, предоставив педагогу право пользоваться ими
по своему усмотрению.
В заключение приведем высказывания известного голландского
математика и методиста Г. Фройденталя по поводу школьного
преподавания математики [328]. Они настолько яркие, что, надеемся,
читатель не посетует на нас за их количество.
(С. 12), автор говорит об ошибке, «...которая часто пронизывает
обучение геометрии: интуитивно ясные вещи доказывают такими
методами и с такими тонкостями, потребности в которых на данной
стадии обучения школьник не ощущает».
(С. 39): «...важно, чтобы изучаемая математика была тесно
связана с реальной действительностью. Только так можно обеспечить
длительное влияние математики на обучающегося. Мы, математики,
не забываем нашу математику, так как это наше основное занятие.
Обычно же все, что не связано с повседневной жизнью,
улетучивается из памяти. Для большинства людей математика не может
быть целью; то из математики, что изучалось без связи с
повседневной жизнью, будет забыто, а потому неэффективно».
(С. 69): «Дети учатся вычислять, сколько стоят три фунта
сахара, если задана цена одного фунта; или чему равна площадь
прямоугольника, стороны которого известны. Понятия,
встречающиеся при этом, не входят ни в какие системы аксиом. Применяя
математику, никогда не оглядываются на системы аксиом».
(С. 105—106, в связи с понятием дифференциала): «Студенту
следует обучиться этому уже у преподавателя математики, чтобы не
сидеть с разинутым ртом на лекции по физике; школьник должен
быть подготовлен к этому заранее. Совершенно нетерпимо, когда
математик преподает математику без ее применений, а физик
применяет математические методы, не излагавшиеся математиком...
Эта шизофрения имеет глубокие корни. Разрыв возник в конце
прошлого столетия и продолжает расширяться вследствие
современного развития, особенно вследствие проникновения теоретико-
множественной терминологии и новых формулировок в математику.
Если мы, математики, будем все более методично и неэвристично
преподавать математику, то люди, которые ее применяют, станут
сами давать своим ученикам ту математику, которую они считают
нужной».


314
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМо!
(С. 129): «...школьники, обученные хорошо подогнанной и не
связанной с действительностью математике, ничего так не отвергают,
как связанную с действительностью математику, которую они никак
не могут осилить с помощью формальных правил и которая вместо
этого требует от них самостоятельного мышления».
По поводу прикладной направленности преподавания
математики в школе см. также [84, 128, 889].
9. О подготовке специалистов по прикладной математике *).
Имеется два основных канала подготовки специалистов по
прикладной математике — на базе университетов и на базе технических
(экономических и т. д.) институтов. В первом случае, о котором мы
будем говорить подробнее, вырастают специалисты более широкого
профиля, во втором — более приспособленные к непосредственной
работе в данной области приложений. Сосуществование этих двух
каналов правомерно, они дополняют друг друга и имеют самые
широкие перспективы.
Содержание образования на математических факультетах и
отделениях университетов сложилось на протяжении многих
десятилетий на основе интересов развития математической науки. Резко
изменившееся положение, связанное с быстрым увеличением
потребностей в математиках%для приложений, пока на этих
факультетах учитывается недостаточно. Более того, развитие прикладных
математических работ привело к нежелательному изменению в
составе педагогических коллективов математических факультетов.
Ученые, проявляющие интерес к прикладной математике, часто уходят
из университетов в организации прикладного характера, так что на
математических кафедрах происходит концентрация специалистов,
имеющих склонность к более абстрактным исследованиям. Интересы
этих ученых естественным образом отражаются на учебных планах,
на программах отдельных курсов, на их направленности **).
Чисто математическое направление подготовки закрепляется
той относительной легкостью, с которой более сильные студенты
могут начать самостоятельную работу в области чистой математики.
Однако это приводит к тому, что когда выпускник математического
факультета приходит в организацию, занимающуюся прикладными
вопросами, ему, как правило, приходится преодолевать высокие
психологические барьеры: отказаться от мысли, что единственно
достойной областью человеческой деятельности является
«придумывание теорем»; пройти через достаточно мучительную
переориентировку; научиться находить общий язык со специалистами в других
областях; понять, что другие специальные языки ничуть не хуже,
*) Здесь использованы, в частности, неопубликованные высказывания
М. А. Красносельского.
**) О вреде, который могут причинить преподаватели-исследователи,
уделяя особое внимание собственным теоретическим проблемам, говорит
А. Гротендик 14341 — кстати, известный специалист в наиболее абстрактных
областях чистой математики»


§8. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ
315
и т. д. Кроме того, ему приходится приобретать ряд необычных для
него знаний и навыков, порой довольно элементарных, но
требующих серьезной психологической перестройки (см. § 2). Все это
иногда порождает у молодых людей неудовлетворенность своей работой
и своей судьбой, отношение к своей деятельности как к печальной
необходимости, желание перейти на такую работу, где можно было
бы спокойно доказывать теоремы.
Поэтому одна из основных целей математических факультетов
университетов должна состоять в воспитании математиков, которые
хотят заниматься приложениями математики и подготовлены к
этому. Другими словами, с известным афоризмом, приписываемым
Г. Штейнгаузу, «математик сделает лучше» можно было бы
согласиться лишь в уточненной формулировке: «математик сделает
лучше, если он захочет это и если он подготовлен
к этому»!
Отметим, кстати, что выпускники математических факультатов,
ориентированные на приложения, позволили бы существенно
повысить прикладной уровень преподавания математики во втузах.
Острая нехватка соответствующих специалистов привела к
открытию в последние годы в ряде университетов факультетов
прикладной математики, на которых проводится подготовка, в основном,
по программированию, математическому обеспечению ЭВМ и
автоматизированным системам управления. Однако эта мера в ее
нынешнем виде не дает полного решения проблемы как из-за того, что
прикладная математика нуждается в более широкой трактовке, так
и из-за того, что основная часть наиболее квалифицированных
математиков осталась на общематематических факультетах. Поэтому
широкая подготовка студентов-математиков на общематематических
факультетах для работы, связанной с приложениями математики
(в технике, в экономике, в естествознании и т. д.), была бы
благотворной во многих отношениях и для этих факультетов и для
математики, как прикладной, так и чистой. Эта подготовка должна
сочетать высокий уровень теоретического образования со знанием
методов решения разнообразных классов прикладных задач; овладение
общематематическими и прикладными идеями с освоением основного
«работающего» математического аппарата, в частности с
непременным освоением работы на ЭВМ. Одной из основных особенностей
обучения должна быть правильная психологическая
направленность: студент должен быть подготовлен к своей будущей
практической работе, должен понимать ее первостепенную важность,
гордиться ею как одним из наиболее необходимых и ответственных видов
деятельности в современном обществе *).
*) Г. Биркгоф пишет [35, с. 901, что прикладные математики, «способные
к глубокому общению с другими учеными и инженерами и знакомые с мощью
и ограничениями цифровых машин, ... призваны стать вождями завтрашнего
математического мира, но их будет крайне трудно найти и развить!».


316
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
Содержание и направленность традиционных курсов должны
учитывать характер современных и разумно прогнозируемых
требований к будущим специалистам, который отражается как на отборе
материала, так и на роли практических навыков студента. Студент
должен владеть методом, развиваемым в соответствующей
математической дисциплине, уметь свободно анализировать не слишком
сложные ситуации, уметь решать задачи, при отборе которых не
следует ни преуменьшать, ни болезненно преувеличивать роль
формальных выкладок.
Приведем в качестве примера вариант программы курса
«Дифференциальные уравнения» (ДУ), рассчитанного на 85 часов.
1. Общие понятия о ДУ, основные сопутствующие определения. Примеры
задач, приводящих к ДУ.
2. Геометрический смысл ДУ 1-го порядка, приближенное построение
интегральных кривых. Основные интегрируемые типы ДУ 1-го порядка
(включая понятие об интегрирующем множителе).
3. Принцип сжимаюцих отображений и теорема о разрешимости задачи
Коши. Нелокальное продолжение решений. Понятие о дифференциальных
включениях и скользящем режиме (примеры).
4. Непрерывность, дифференцируемость решения задачи Коши по
параметру; уравнения в вариациях. Понятие об уравнениях с малым параметром
при старшей производной, пограничный слой.
5. Системы ДУ 1-го порядка: геометрический смысл, теорема о
разрешимости. Первые интегралы и законы сохранения. Разрешимость ДУ
высших порядков. Случаи понижения порядка, промежуточные интегралы.
Свободные колебания консервативной системы с одной степенью свободы.
6. Линейные однородные ДУ, структура общего решения, понижение
порядка при известном частном решении. Неоднородные ДУ. Уравнения
с постоянными коэффициентами. Вынужденные колебания линейного
осциллятора: амплитудно-частотная характеристика.
7. Линейные системы ДУ, структура общего решения. Системы с
постоянными коэффициентами, применение матричной экспоненты. Гармоническое
возбуждение линейной системы, резонанс.
8. Линейные краевые задачи, основной и особый случаи. Понятие о
дельта-функции и о функции влияния.
9. Приближенные методы: итерации, разложение в ряды по степеням
независимой переменной или параметра, методы улучшения невязки (колло-
кации, наименьших квадратов, Галеркина). Численный метод Эйлера и его
усовершенствования, порядок ошибки; численное решение краевых задач.
Понятие о жестких системах. (Может быть перенесено в курс численных
методов, что, впрочем, не очень желательно. Более того, и в других пунктах
следует обращать необходимое внимание на алгоритмы и применение ЭВМ.)
10. Устойчивость решения. Устойчивость линейных систем; системы с
постоянными коэффициентами. Метод функций Ляпунова; устойчивость по
первому приближению.
11. Постановки задач оптимального управления и динамического
программирования. Простейшие примеры.
Предполагается, что критерии устойчивости многочленов, а также
основные понятия операционного исчисления будут изложены в курсе теории
функций комплексного переменного.
Если же на курс ДУ отведено больше времени, то можно включить также
следующие вопросы.
12. Автономные системы ДУ, типы траекторий в фазовом пространстве.
Основные свойства предельных множеств. Системы на плоскости, теория
индексов Пуанкаре, типы точек покоя. Понятие о гамильтоновых системам
и системах с интегральным инвариантом. Понятие о странных аттракторах»


§8. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ
317
13. Периодические системы линейных ДУ, структура общего решения,
условие устойчивости. Понятие о параметрическом резонансе.
Автоколебания в нелинейных системах.
14. Теорема Штурма о сравнении и следствия из нее. Асимптотические
разложения решений на бесконечности.
15. Метод малого параметра и принцип усреднения Крылова —
Боголюбова.
16. Нелинейные краевые задачи (в том числе периодическая задача).
Ветвление решений при изменении параметра.
17. Простейшие уравнения теории автоматического регулирования.
18. Дифференциальные неравенства.
19. Понятие о разностных уравнениях и о ДУ с отклоняющимся
аргументом.
В большинстве курсов необходимо учить доведению решения
задач до окончательного, приемлемого ответа в виде численного
результата, алгоритма, точного качественного вывода и т. д.; по
этому поводу можно высказать соображения, аналогичные п. 8.4.
Некоторые общие идеи, лежащие в основе вычислительных методов,
можно ввести в курс функционального анализа. Уже в первой части,
хотя, быть может, и -не на первом курсе, следует постепенно в
тактичной форме знакомить студентов с видами рациональных
рассуждений, наиболее часто встречающимися в приложениях.
Постепенность здесь особенно важна, чтобы не мешать освоению дедуктивного
метода, культуре и дисциплине «строгого» мышления. Одна из
основных особенностей прикладного математика состоит в том, что
он должен свободно мыслить как на дедуктивном, так и на более
гибком рациональном уровнях, и, мысля рационально, должен
понимать, что он это делает.
Курсы теоретической механики и физики не должны
вырождаться в упрощенное и конспективное изложение соответствующих
курсов для специалистов-механиков и физиков. По-видимому, эти
курсы должны быть построены так, чтобы общее систематическое
изложение предмета было в значительной мере направлено на
правильную математическую формулировку проблем, на принципы
составления соответствующих уравнений, на методы их анализа
и на физическую интерпретацию математических результатов.
Представляется необходимым увеличить число курсовых работ
и усилить их роль. Например, желательно иметь курсовые работы
комплексного характера по математическому анализу и по
дифференциальным уравнениям. На старших курсах курсовые работы
должны по возможности имитировать несложное прикладное
исследование — начиная от математической формулировки задачи и
кончая интерпретацией результата, полученного с помощью ЭВМ.
Дипломные работы должны быть посвящены более сложным
задачам.
У. Прагер [266, с. 10| пишет, что из-за развития стандартных программ
алгоритмическое искусство может стать менее существенным. Однако другие
качества прикладного математика, с его точки зрения, «приобретут даже еще
большую, чем сейчас, важность», причем главными среди них будут «умение
строить адекватные и реалистические математические модели, способность


318
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
обнаруживать идентичность математического характера задач,
представляемых в самых разнообразных физических обличьях, и компетентность,
позволяющая установить общие закономерности на основе результатов
машинного счета». Прагер подчеркивает (с. 16) необходимость при обучении будущих
прикладных математиков больше внимания уделять процессу «открытия».
Он пишет: «Это будет нелегко с точки зрения традиции, требующей от нас
представления результатов в упорядоченном и логичном виде и очень
неохотно допускающей раскрытие порой ошибочных и нелогичных способов
получения результатов. Мы должны преодолеть это противодействие, так как
анализ процесса получения решения часто для студентов — прикладных
математиков важнее, чем само решение».
Приведем еще требования Г. Кохена к обучению прикладных
математиков [162, с. 31): «1. Расширить подготовку с учетом новых сфер
приложения. Следует, в сущности, признать, что применение математики к решению
физических задач в настоящее время является лишь небольшой частью всех
математических приложений. 2. Признать, что вычислительные процедуры
как таковые должны изучаться в качестве важного раздела прикладной
математики, причем не только численные методы, но процесс использования
вычислительной машины в целом».
Специализации по прикладной математике на
общематематических факультетах могут определяться по превалирующему
математическому прикладному направлению подготовки студентов.
Естественны, в частности, такие специализации:
— теория вероятностей и математическая статистика (с выходом
в теорию информации, теорию массового обслуживания, теорию
планирования эксперимента, теорию надежности и т. д.);
— дифференциальные уравнения (с выходом в задачи
регулирования, колебаний, устойчивости, управления и т. д.);
— уравнения математической физики (с выходом в задачи
механики сплошных сред, теоретической и прикладной физики и т. д.);
— методы оптимизации (включающие линейное и нелинейное
программирование, проблемы экономики, игровые задачи, теорию
операций и др.);
— алгебра и конечная математика (с выходом в комбинаторику,
теорию графов, теорию автоматов, кодирования и т. д.).
Аналогичные замечания можно сделать по поводу подготовки
специалистов в области прикладной математики на базе технических
институтов, или, что по существу то же, инженеров-математиков.
Мы уже говорили в п. 8.1 о том, что специфика обучения здесь не
должна выражаться просто в том, что математический анализ
читается «по Фихтенгольцу»; требуется гораздо более глубокая
перестройка на основе четкого понимания профиля подготовки
студентов. Конечно, опасна и другая крайность — замена идей рецептами.
В заключение отметим, что важнейший путь усиления
прикладной направленности математических курсов состоит в
систематическом общении преподавателей математики и студентов с
прикладниками, организации семинаров, посвященных изучению
прикладных математических задач, изучении соответствующей литературы.
«Для специалистов по прикладной математике жизненно необходимо
привить способности понимать содержательные постановки задач


§8, ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ
319
и дать основы знаний по конкретным областям будущих приложений
их знаний» [91, с. 126]. (По поводу подготовки специалистов в
области прикладной математики см. также (206, 242, 247, 381, 385,
410, 428, 440, 447, 468, 469, 473, 476, 480а, 486, 502, 504, 508, 526,
5421.)
10. О публикациях. Остановимся в заключение на вопросе о стиле
научных публикаций, имеющем прямую связь с проблемой
образования, во всяком случае, образования на высоком уровне. Наша
задача облегчена наличием статьи П. Халмоша [3291, которую мы
всячески рекомендуем читателю и не будем здесь пересказывать.
Хотя эта статья направлена в основном на совершенствование
изложения вопросов чистой математики, однако из нее может сделать
многие полезные выводы и автор-прикладник.
Мы сделаем только два общих замечания. Прежде всего
подчеркнем важное значение искренности и откровенности. Так,
авторы, не понимающие подлинной роли рациональных рассуждений,
считающие их чем-то неполноценным, иногда склонны сознательно
или бессознательно замалчивать рациональные элементы своего
исследования (см. Введение). Часто это делается из-за непонимания
существа дела, но порой из-за отсутствия должнЬй откровенности.
Иногда авторы не обсуждают вопрос (часто известный им) о
границах области применимости тех или иных рациональных
рассуждений, в результате чего у читателя создается иллюзия
универсальности полученных выводов или, во всяком случае, преувеличенное
представление об их значимости. Следует открыто обсуждать
доказательность применяемых рассуждений, указывать на слабые места,
не выдавая желаемое за действительное и не умалчивая о том, что
степень доказательности того или иного рассуждения автору не
ясна *).
Во-вторых, мы хотим отметить, что очень важно обсуждать
выбор путей проведения исследования. Часто считается как бы
хорошим тоном излагать содержание исследований таким образом, как
будто оно явилось результатом последовательного и дедуктивного
процесса мышления. При этом обычно остаются скрытыми те факты,
которые натолкнули автора на общий вывод **), те рациональные
соображения, которые в действительности далеко не прямым обра-
*) П. Халмош пишет по аналогичному поводу в рамках чистой
математики (329, с. 255—256]: «...окажите читателю полное доверие ...Само собой
разумеется, что вы пишете не для того, чтобы скрыть факты от читателя:
вы пишете, чтобы раскрыть их," Я хочу этим сказать, что вы не должны
утаивать от читателя истинного положения ваших утверждений в системе, как
и вашего отношения к ним... Абсолютная честность в изложении помогает
максимальной ясности».
**) Такие факты часто бывают не менее поучительными, чем общие
выводы. П. Халмош пишет (329, с. 248]: «Сердце математики состоит из
конкретных примеров и конкретных проблем. Большие общие теории появляются
обычно после обдумывания маленьких, но глубоких суждений; сами же
суждения начинаются с проникновения в конкретные частные случаи».


320
ГЛ. 3 СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
зом вели исследователя к цели, а также те ложные пути, которые
пришлось при этом отбросить; лаборатория и эвристические приемы
исследователя остаются его секретом.
Необходимо щедрее делиться такими секретами, обсуждать их,
так как пути получения результатов во многих случаях оказываются
не менее поучительными и интересными, чем сами результаты *).
Знание наводящих соображений и ложных путей весьма полезно
для каждого исследователя, а систематизация этих сведений — для
прикладной математики в целом.
Особые требования предъявляются к обзорам литературы в
монографиях и диссертационных работах. Только обзор,
объективно характеризующий положение дел в избранной области,
позволяет отчетливо выявить «белые пятна» и естественно подойти
к изложению замысла работы. Составление такого
обзора—ответственное и непростое дело, хотя нередко в нем видят лишь
формальную дань традиции.
Основное требование довольно очевидно: автор должен хорошо
знать работы своих предшественников, примененные ими методы
исследования, полученные результаты, а также (возможно
встретившиеся) сомнительные места и ошибки. Полное и точное
знание этого материала должно сочетаться с глубоким понима-
н и е м — не может получиться хорошего обзора, если автор,
даже знающий нужные факты, не в состоянии оценить их
подлинное значение, определить место, которое они занимают в развитии
проблемы. Автор должен уловить в ряду публикаций преемственные
линии, выделить тенденции, а в необходимых случаях отметить
ошибочные или пустые публикации. Именно в таких оценках и
критических обобщениях выражаются научная зрелость автора и
его подлинное понимание истории вопроса.
Из-за пренебрежения требованиями меры происходят многие
неудачи обзоров: использование стиля, уместного для
элементарных учебников, либо, наоборот, чрезмерно усложненная
терминология и символика; ошибка в выборе «стартовой» публикации —
той, с которой начинается обзор; скороговорка или перегрузка
необязательными сведениями; чрезмерная эмоциональность тона
(курение фимиама, либо озлобленность или сарказм) и т. п.
Исключительно важен моральный аспект — обзор должен быть
справедливым, т. е. объективным и нравственно чистым (см. [2521,
§ 43).
*) В качестве примера укажем на приведенное в [262, с. 112—1201
увлекательное описание Эйлера открытия им одной замечательной формулы
из теории чисел.


ПРИМЕЧАНИЯ
1 Под математической структурой в широком смысле понимают любую .
совокупность.абстрактных объектов (независимо от их природы), связанных
между собой какими-либо соотношениями четкого логического характера.
Это могут быть совокупность чисел с соотношениями порядка и
арифметических действий, совокупность геометрических фигур с соотношениями конгру-
энтностии подобия, блок-схема какого-либо алгоритма или АСУ и т. п.
Современная .математика значительно переросла старые рамки чисел и фигур,
и сейчас многие определяют ее как науку о структурах (см., например, [60,
с, 245—259]).
2 Основной задачей линейного программирования является отыскание
экстремума линейной функции («целевой функции») на множестве, заданном
системой линейных равенств и линейных неравенств. Эта задача возникает
в различных проблемах оптимизации, в особенности в вопросах технико-эко-*
номического характера. Впервые подобные задачи систематически изучали
Л. В. Канторович и его сотрудники, начиная с 1939 г. С 1948 г. задачи такого
рода независимо начали интенсивно исследовать математики США, которые
и ввели сам термин «линейное программирование» — не совсем удачный, так
как его -можно спутать с программированием для ЭВМ. Сейчас по теории и
приложениям линейного программирования имеется обширная литература,
в том числе ряд учебников.
3 Число Рейнольдса — безразмерный параметр, характеризующий
соотношение между инерционными и вязкими силами в потоке вязкой жидкости
или газа. Оно равно NRm—vlh, где v и / — характерные скорость потока и
линейный размер, a v — так называемый коэффициент кинематической
вязкости. От значения ^^существенно зависит характер течения, а также
эффективность различных расчетных методов.
4 Софистика — восходящее к Древней Греции искусство доказательства
логических утверждений. Достигнув высокого развития, это искусство дало,
однако, и ряд примеров того, как изменяя объем используемых понятий и
вводя хорошо замаскированные логические ошибки, можно доказывать даже
заведомо нелепые утверждения. Хорошо известен, например, софизм Эвбулида:
«Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога».
5 Актуальная бесконечность — завершенная, зафиксированная
бесконечность, рассматриваемая не в процессе развития, становления, а как
данная, законченная. Для основной части современной чистой математики
характерно систематическое рассмотрение актуально бесконечных множеств —
таких, например, как множество всех натуральных или всех вещественных
чисел,— и неприятие концепции актуально бесконечно малых. В прикладной
математике, как об этом будет говориться в п. 2.3, ситуация обратная:
«(бесконечное» множество содержит конечное, но неопределенно большое или
просто достаточно большое число элементов, тогда как во многих разделах
(например, при выводе дифференциальных уравнений механики сплошных
сред) систематически применяются актуально бесконечно малые объемы,
массы и т. д. Многие основные направления современной математической логики
отрицают актуальную бесконечность.
6 Например, такую: утверждается, будто бы движение невозможно, так
как для того чтобы пройти некоторый путь, надо сначала пройти его полови-


322
ПРИМЕЧАНИЯ
ну, затем половину остатка и т. д., причем этот процесс деления никогда не
сможет закончиться. Широко известна также апория с Ахиллесом и
черепахой. Апории (логические коллизии) Зенона подробно обсуждаются в книге
[435]; см. также [362].
7 Метод исчерпывания имеет в современных обозначениях следующий вид.
Пусть надо доказать, что некоторая величина S равна заданному значению S.
Пусть удается построить некоторые величины Sa, оценивающие как S, так
и S снизу, т. е. Sa<5, S (для любого а, пробегающего множество индексов,
которсе строится в процессе рассуждений, т. е. не является актуально
бесконечным). Пусть при этом для некоторого /г>0 и любого натурального п
можно подобрать такой индекс а, что n(S—5а)<^ и n(S—Sa)</i. Тогда
8 Группой называется множество каких-либо объектов, для которых
определена «композиция» — некоторое действие, сопоставляющее любым
двум объектам третий и обладающее всеми свойствами обычного умножения
за исключением, быть может, перестановочности. Понятие группы
объединило различные конкретные виды композиций в математике и широко
применяется сейчас не только в математике, но и за ее пределами при анализе
глубоких свойств, связанных с симметрией или однородностью.
9 Парадигма в науке (см. [177]) —совокупность основополагающих
принципов, на которых она строится. Отдельные явления, не
укладывающиеся в рамки парадигмы, служат аномалиями. Если они не получают
объяснения, то в конце концов приводят к смене парадигмы.
10 Противоречивость второго множества К — точнее, противоречивость
его определения — становится ясной, если поставить вопрос, содержит ли
оно само себя в качестве элемента. По существу, этот парадокс Б. Рассела
того же типа, что в известной шуточной задаче о солдате-парикмахере,
которому было приказано брить тех и только тех солдат, которые не бреются
сами; должен ли он в соответствии с этим приказом брить себя?
Среди многочисленных известных парадоксов подобного рода один из
наиболее эффектных, принадлежащий Берри, возникает при анализе
предложения «Наименьшее натуральное число из тех, которые нельзя
однозначно определить фразой на русском языке, состоящей менее чем из двухсот
букв», которая как бы определяет неопределимое. (Ведь фразами, состоящими
менее чем из двухсот букв, включая пробелы, на русском языке можно
определить не более ЗЗ200 натуральных чисел; однако число, наименьшее из
оставшихся, однозначно определено фразой, заключенной выше в кавычки и
состоящей меньше чем из двухсот букв!) Во всех этих случаях причина
парадокса состоит в том, что объем рассматриваемого множества оказывается
зависящим от интерпретации его определения, что может привести к
противоречию. Множество М всех множеств, с виду более безобидное, находится в
противоречии с общей теоремой Кантора о том, что множество всех
подмножеств любого множества А имеет мощность более высокую, чем А. (Понятие
мощности для произвольных множеств играет ту же роль, что понятие числа
элементов для конечных множеств. Например, оказывается, что мощность
континуум — мощность множеств всех вещественных чисел — выше, чем
счетная мощность — мощность множества ^всех натуральных чисел.)
Впрочем, анализ общего доказательства теоремы Кантора в
применении к М показывает, что при этом приходится рассматривать
множество к.
11 Исследование операций — научный метод выработки количественно
обоснованных рекомендаций по принятию решений.
12 Информатика — дисциплина, изучающая структуру и общие
свойства информации, а также закономерности ее создания, преобразования,
передачи и использования.
13 Топология — один из основных разделов современной математики, в
котором изучаются наиболее глубокие свойства фигур любой размерности
и других объектов, связанные с их непрерывностью.


ПРИМЕЧАНИЯ
323
14 Трансфинитные числа описывают порядковый тип вполне
упорядоченных множеств. Некоторое множество М называется (линейно)
упорядоченным, если для его элементов введено соотношение порядка, так что из любых
двух его элементов а, Ь£М (аФЬ) один и только один предшествует другому,
например, а может предшествовать Ь, в записи а<&. При этом требуется
выполнение аксиомы транзитивности: если а^Ь, 6<с, то а<^с. Говорят, что два
упорядоченных множества имеют одинаковый порядковый тип, если между
ними можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором
соотношение порядка сохраняется. Например, множество N± всех
натуральных чисел и множество iV2 всех чисел вида {1/2, 2/3, 3/4, ...}, если считать
меньшее число предшествующим большему, имеют одинаковый порядковый
тип, который принято обозначать буквой со. Упорядоченное множество
называется вполне упорядоченным, если каждое его непустое подмножество имеет
первый элемент, т. е. элемент, предшествующий всем остальным. Например,
множество Nt вполне упорядочено, тогда как множество всех целых чисел
упорядочено, но не вполне упорядочено. Порядковые типы вполне
упорядоченных множеств называются трансфинитными числами, причем оказывается,
что для таких чисел можно ввести естественное соотношение порядка,
удовлетворяющее аксиоме транзитивности. Первыми трансфинитными числами
служат 0 (порядковый тип пустого множества); 1; 2 и т. д.; со является
наименьшим трансфинитным числом, характеризующим тип бесконечного вполне
упорядоченного множества; далее следует трансфинитное число (0+1,
характеризующее порядковый тип множества, которое получится, если к N2
присоединить число 1, и т.д.
Согласно теореме Кантора, для любого заданного множества
трансфинитных чисел существует трансфинитное число, следующее за всеми ними.
Отсюда, очевидно, вытекает невозможность рассмотрения совокупности всех
трансфинитных чисел. Однако для тех, кто не знает теоремы Кантора, эта
совокупность выглядит отнюдь не хуже, чем множество всех натуральных
чисел. Понятие мощности упоминалось в примечании10; это то общее, что
имеется у всех множеств, между которыми можно установить взаимно однозначное
соответствие. Между мощностями (иначе, кардинальными числами) также
устанавливается естественное соотношение порядка. Первыми мощностями
служат 0 (мощность пустого множества); 1; 2 и т. д. Счетная мощность #0 (алеф-
нуль) является первой бесконечной мощностью, за ней следует Цг и т. д.
До последних лет многие математики безуспешно пытались доказать гипотезу
континуума, выдвинутую еще Кантором и составляющую 1-ю проблему
Гильберта, согласно которой tti и есть мощность континуума, или, что
равносильно, всякое несчетное множество точек на прямой имеет мощность
континуума, т. е. между мощностью континуума и счетной мощностью нет
промежуточных мощностей.
Кантор доказал, что для любой совокупности мощностей существует
мощность, большая их всех; отсюда, как и для трансфинитных чисел,
вытекает невозможность рассмотрения совокупности всех мощностей.
15 Эта аксиома гласит, что если имеется некоторая совокупность
попарно непересекающихся непустых множеств Ма (а — индекс, пробегающий
некоторое множество), то существует по крайней мере одно множество М,
которое с каждым Ма имеет равно один общий элемент; другими словами,
можно образовать множество М, выбрав «одновременно» (кавычки означают,
что процесс выбора не считается происходящим во времени) и независимо из
каждого множества Ма по одному элементу. Об осложнениях, возникающих
при применении этой аксиомы, мы будем говорить в п. 2.2. (См.,
например, [137].)
18 Приведем пример. В математическом анализе широко известны
определения непрерывности вещественной функции f(x) вещественного
переменного х в точке х-д:0 по Коши (для любого е>0 существует такое б>0, что
\f(x)— /(*о)1<е, как только U—#01<$) и по Гейне (f (хп) -> f (*0) для любой
последовательности хп -+• х0). Эти определения равносильны. Доказательство
того, что из непрерывности по Гейне вытекает непрерывность по Коши, про-


324
ПРИМЕЧАНИЯ
водится от противного следующим образом. Пусть условие непрерывности по
Коши не выполнено. Тогда для некоторого е>0 при любом 6>0 существуют
такие х, для которых \х—х01<6 и 1/(х)—/(х0)|>е. Положим 6п=\/п и для
каждого п выберем какое-либо хП1 для которого \хп— х0\<бп, \f(xn)—f(x0)\^
>р. Тогда хп -> х0, f (хп) -+> /(х0), т. е. условие непрерывности по Гейне не
выполнено. При построении последовательности {хп} была применена
аксиома выбора!
17 Семантика — раздел языкознания, изучающий значение (смысл)
слов.
18 Закон исключенного третьего гласит, что для каждого утверждения,
осмысленного в рассматриваемой ситуации, верно либо оно само, либо его
отрицание. Обозначив буквой р это утверждение, можем написать: верно (р
или (не р)). Закон исключенного третьего близок, хоть и не равносилен,
закону двойного отрицания: из (не (не р)) вытекает ру а также закону
противоречия: неверно (р и (не р)). В дальнейшем, упоминая закон исключенного
третьего, мы будем иметь в виду все три закона. Чистая математика (за
исключением некоторых ветвей математической логики) пользуется ими без
ограничений.
19 К- Гедель доказал, что любая достаточно обширная теория,
вытекающая по определенным правилам математической логики из некоторой системы
аксиом, всегда неполна; это означает, что в терминах такой теории можно
сформулировать предложение, справедливость или ложность которого нельзя
доказать в рамках этой теории, т. е. пользуясь только исходными аксиомами.
Эту справедливость или ложность можно принять в качестве добавочной
аксиомы, присоединив которую к исходным, можно построить более
детализованную теорию, которая, однако, будет опять неполной, и т. д. Формальная
непротиворечивость достаточно обширной теории также не может быть
доказана в рамках этой теории.
20 Автоколебания — незатухающие колебания, возникающие в
некоторых нелинейных автономных системах и поддерживаемые за счет источников
энергии неколебательного характера.
21 Кручение — «вторая кривизна», мера «закрученности»
пространственной кривой в ее различных точках, равна скорости поворота так называемой
соприкасающейся плоскости в расчете на единицу длины дуги этой кривой.
22 Последняя теорема Ферма ~— старейшая из не доказанных и не
опровергнутых до сих пор теорем, сформулированная П. Ферма в 1630 г. Она
состоит в утверждении, что уравнение xnJryn—zn при я>2 неразрешимо в
целых положительных числах.
23 Машина Тьюринга — абстрактный аналог ЭВМ, обладающий
бесконечным в обе стороны запоминающим устройством и простейшим характером
действий (пуск; протяжка ленты на одну ячейку в ту или другую сторону;
изменение состояния считывающей головки; изменение содержания ячейки,
останов) в соответствии с заданной программой. Машины Тьюринга дают
уточнение общего представления об алгоритмах.
24 Примером пространства Гильберта может служить совокупность
L2la, b] всех тех вещественных функций / на заданном отрезке a<x<&, для
Ь
которых \ /2 (х) dx < оо, если на этой совокупности определить понятие ска-
а
лярного произведения по формуле
ь
(Л g)=\fl*)gWdx.
а
Вместо отрезка а<*<6 можно взять любое ^-мерное множество в я-мерном
евклидовом пространстве (&<я).
25 Качественная теория дифференциальных уравнений изучает такие
свойства решений, как колебательность, устойчивость и т. п., не связанные


ПРИМЕЧАНИЯ
325
с их конкретным аналитическим выражением. В частности, широко приме
няется качественное исследование совокупности всех решений автономной
системы dx/dt=P(x, у), dy/dt~Q(xt у)у которые трактуются как траектории на
«фазовой плоскости» х, у. Особую роль в этом исследовании играет изучение
окрестностей «точек покоя», т. е. решений, для которых x(t) ny(t) обращаются
в постоянные.
26 Будем говорить для определенности о зависимости решения х
скалярного уравнения /(*, А,)—0 от параметра X. Если для некоторого Х=Я0 известно
какое-либо решение х=х0, то, как правило,— точнее, при f'x(xby Х0)фО,~
в достаточной близости этих значений зависимость х(к) однозначная и
непрерывная. Однако при f'x(xo> A,0)=0 могут возникнуть различные осложнения,
в частности, зависимость х(к) может стать неоднозначной; тогда говорят, что
X—А,0 служит точкой ветвления этого решения. Например, для уравнения
х2—А,= 0 решение ветвится при К=0: здесь начинаются обе ветви х=Ук и
х — — УХ , определенные при А^О. Вообще, если какой-либо объект Q зависит
от параметра X, Q~Q(k)f и в любой близости значения А,—^0 те или иные
качественные свойства объекта Q меняютсяг то это значение называется точкой
бифуркации (по отношению к рассматриваемому качеству).
27 Аксиома Паша состоит в том, что если на плоскости прямая не
проходит через вершины некоторого треугольника и пересекает какую-либо из
его сторон, то она пересечет и какую-либо из других сторон этого
треугольника.
28 Так, П. С. Новиков доказал невозможность построения алгоритма
для решения одной из центральных проблем теории групп — так называемой
проблемы тождества слов. С. И. Адян установил неразрешимость
классической проблемы о построении алгоритма, позволяющего для любых двух групп,
заданных своими образующими и определяющими соотношениями между
ними, выяснить, изоморфны эти группы или нет. А. А. Марков доказал
неразрешимость знаменитой проблемы топологии о построении алгоритма, с
помощью которого можно установить, эквивалентны ли топологически (т. е.
гомеоморфны ли) два заданных тела (точнее, два полиэдра). Ю. В. Матиясе-
вич сделал то же для десятой проблемы Гильберта о построении алгоритма,
позволяющего для любого алгебраического уравнения с любым числом
неизвестных и целочисленными коэффициентами выяснить, имеет ли это
уравнение по крайней мере одно целочисленное решение. Конечно, все эти
результаты не исключают возможности алгоритмов при более узких постановках
задач — быть может, включающих все случаи, которые могут реально
встретиться.
29 Конструктивная логика — одно из направлений современной
математической логики, отвечающее изучению «конструктивных объектов», т. е.
таких математических объектов, каждый из которых может быть определен
с помощью конечного (но, быть может, как угодно большого) числа букв
фиксированного алфавита. Развиваемая на основе этой логики
конструктивная математика, в том числе и конструктивный математический анализ [182],
не используют понятие актуальной бесконечности.
30 Основная задача выпуклого программирования обобщает основную
задачу линейного программирования (см. 2) и состоит в отыскании экстремума
выпуклой функции на выпуклом множестве. При этом функция */=/(*)
(х — точка в пространстве любого числа измерений) называется выпуклой,
если множество, определенное неравенством y^f(x), выпукло в
пространстве х, у.
31 Для объяснения понятия полнота будем для определенности говорить
о пространствах функций, заданных на отрезке а<х<Ь. В каждом таком
пространстве считается заданным некоторый способ сходимости (перехода
к пределу) последовательности функций {fn(x)} к функции /«,(*); наиболее
широко применяются равномерная сходимость, основанная на стремлении


326
ПРИМЕЧАНИЯ
max | /„ (*)—/oo (x) | к нулю,и средняя квадратичная сходимость, осно-
<*< ь
(Ь у"
ванная на стремлении I \ [/«(*)—7 «> (x)]2dx ) к нулю. Несколько упрощая,
можно сказать, что пространство является полным, если предел всякой
сходящейся последовательности функций, ему принадлежащих, снова ему
принадлежит, т. е, если мы с помощью перехода к пределу не можем выйти из
этого пространства. Так» известно, что предел равномерно сходящейся
последовательности непрерывных функций есть непрерывная функция, т. е.
пространство С [а, Ь\ всех непрерывных функций, снабженное равномерной
сходимостью, полно. Пространство тех же функций, снабженное средней
квадратичной сходимостью, неполно, так как последовательность непрерывных
функций может в среднем квадратичном сходиться к разрывной.
«Пополнением», т. е. минимальным полным расширением с такой же сходимостью здесь
служит пространство L2[a, b] (см. 24). При теоретическом исследовании
вопросов точной и приближенной разрешимости различных задач обычно
применяются полные пространства. В то же время функции из L%[a, b\ могут иметь
столь сложные разрывы, что интегрирование по Рима ну здесь, вообще
говоря, недостаточно.
32 Решение f>(x, /) называется автомодельным, если при изменении t
оно подвергается только преобразованию подобия по осям х и fh Для этого
достаточно, чтобы оно имело вид $—CL(t)Fl${t)x], где а, 6, F •— кахие-то
функции одного переменного.
33 Метод Монте-Карло в простейшем виде состоит в том, что искомая
величина представляется в виде среднего значения некоторой случайной
величины, а это среднее значение заменяется средним арифметическим
реализаций этой случайной величины при большом числе испытаний, проводимых
г*
наЭЗМ. Например, при вычислении интеграла / = \ f (M) dQ по области Q
Q
единичного объема, с помощью датчика случайных чисел в ней наугад
выбираются точки Mi< M2, ..., /VI у, после чего полагается
/»-1 If (Af,) + / (Af.) + ...+ f (MN)}.
При большом /V — а ЭВМ может это обеспечить — точность этой формулы
оказывается практически приемлемой.
34 Система функций в некотором пространстве называется полной, если
с помощью их линейной комбинации ?ложно как угодно хорошо приблизить
любую функцию из этого пространства. Так, система {1, х, х2, ...} полна з
пространствах С [а, Ь] и L2[a, b] (см. 33). Напротив, система (1, х*> *\ ...}
при а<0<Ь неполна в них, так как с помощью линейной комбинации этих
степеней можно приблизить только четные функции.
35 Говорят, что некоторая функция f{x) разложена при х-> сов
асимптотически сходящийся ряд по функциям gi(x), g2{x), •••* в записи
fix)^a1gl(x)Jra2g2(x)Jr... (х ~+ оо), (81)
если при каждом я=1, 2, ...
п
gn + i(x)^olgn(x))t /М-2 akSk(x) = olgn(x)} (*->»).
k=i
При этом сходимость ряда в правой части (81) при фиксированных х не
обязательна. Так, легко показать, что


ПРИМЕЧАНИЯ
327
причем разность между левой частью и частной суммой ряда, стоящего в
правой части, по модулю не превосходит первого из отброшенных членов. Это
дает возможность уже при х—2 получить левую часть (82) с точностью до
5 %, а при л:=5 — до 2- 10~е %. В то же время ряд в правой части (73)
расходится при любом х>0.
36 Реология — часть механики сплошной среды, наука о деформации
и текучести вещества. Основное внимание в реологии уделяется сложным
процессам, в которых проявляются упругие, вязкие, пластические и т. п.
свойства.
37 Объект, выбираемый из некоторого множества М при нескольких
целевых функциях, значения которых желательно увеличивать, называется
оптимальным по Парето, если, переходя к другому объекту из М, нельзя
увеличить ни одно из этих значений, не уменьшая при этом какого-либо
другого.
38 Тензорная величина (тензор) характеризуется набором «обычных»
величин одинаковой размерности, которые линейно преобразуются по
определенному правилу при поворотах осей координат. Тензоры
классифицируются по рангам: тензор 0-го ранга — это скаляр; 1-го ранга — вектор,
характеризуемый набором своих координат; тензоры 2-го ранга появляются,
например, при описании напряженного состояния упругого тела в каждой его
точке и т. д.
38 В интегро-дифференциальные уравнения искомая функция и ее
производные могут входить как непосредственно, так и под знаком интеграла.
Уравнения типа Вольтерра характеризуются тем, что этот интеграл берется
от некоторого фиксированного до текущего значения независимой
переменной — чаще всего времени; такие интегралы появляются при учете
последействия.
40 Собственные числа линейной системы алгебраических уравнений,
записанной в векторно-матричной форме х—кЛх-\-Ь (К — параметр),— это
корни уравнения det (/—ХА)=0 (I — единичная матрица).
41 Параметрический резонанс — это явление потери устойчивости в
линейной колебательной системе с периодически изменяющимися параметрами
(например, коэффициентом жесткости), возникающее при определенных
законах этого изменения.
42 Под динамическими системами часто понимают любые системы,
состояние которых характеризуется набором некоторых параметров (фазовых
координат), причем задание этих координат в какой-либо момент времени
полностью определяет их значения в любой другой момент времени. Более
точные формулировки понятия динамической системы см. в [243, 245].
43 Функция Гамильтона была введена У. Гамильтоном в 1834 г. для
описания движения механических систем и сейчас широко применяется в
экстремальных и вариационных задачах. Так, в классической задаче вариационного
ь
исчисления на экстремум функционала / {у} = \ F (х, у, yf) dx она имеет вид
а
Н(х> У г Р)~РУ*—F* где p=F'y', и дает возможность записать необходимое
условие экстремума (уравнение Эйлера) в «каноническом» виде
jty^jtf/^ dp ^ дН
dx~~ dp ' dx ~~~ ду
44 Контактные деформации — деформации, возникающие при
механическом взаимодействии твердых тел в зонах их контакта.
45 Субгармонические колебания — вынужденные колебания нелинейной
системы, период которых кратен периоду возбуждения.
46 Сплайном п-й степени называется функция, определенная на каждом
из последовательно примыкающих друг к другу интервалов как полином не
выше п-й степени, свой для каждого интервала, причем в точках стыка двух
интервалов должны быть непрерывными сама функция и ее производные


328
ПРИМЕЧАНИЯ
порядка <я—1, тогда как производные я-го порядка могут иметь скачок.
При п~0 получается кусочно-постоянная функция, при п~\ — непрерывная
кусочно-линейная функция и т. д. Хотя такие функции применяются со
времен Эйлера, систематические их исследования и само их наименование
появились совсем недавно; см [5].
47 Проблема четырех красок состоит в доказательстве того, что для
любого разбиения плоскости линиями на конечное число областей эти области
можно закрасить четырьмя красками так, чтобы любые граничные друг с
другом области были окрашены в различный цвет. Несмотря на простоту
формулировки и многочисленные усилия, эта проблема, поставленная свыше
ста лет назад, оставалась до последнего времени нерешенной.
48 Характеристическим показателем вектор-функции x(t), определенной
для всех достаточно больших /, называется ее показатель роста по шкале
экспонент, точнее — предел (а если единого предела нет, то наибольшее из
предельных значений) отношения (1п|х(/)|)// при / ->- оо. Для линейной системы
из п дифференциальных уравнений в векторно-матричной записи dxldt—
~А(1)х характеристический показатель нетривиальных решений может при*
нимать не более п значений, причем основную роль в приложениях играет
наибольший из них. Этот показатель трудно рассчитать теоретически, однако
во многих случаях его можно найти приближенно, следя за поведением при
возрастании / указанного отношения при наугад выбранных начальных
условиях.
49 Теория игр — раздел математики, изучающий математические модели
принятия оптимальных решений в условиях конфликта.
50 Статически неопределимая система — геометрически неизменяемая
система сочлененных элементов, в которой реакции опор и внутренние
усилия не могут быть определены с помощью только уравнений статики
абсолютно твердого тела, а требуется учет деформаций системы
61 Ламинарное течение — упорядоченное течение, наблюдаемое при
сравнительно малых скоростях движения жидкости (точнее, малых значениях
числа Рейнольдса (см. 3)), для которого поле этих скоростей не имеет резких
изменений. С увеличением скорости движения ламинарное течение переходит
в неупорядоченное турбулентное течение, для которого поле скоростей
обладает значительными флуктуациями.
52 Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме
всех своих натуральных делителей, исключая его самого; например, 6=
: = ]_|_2+3, 28=14-2+4+7+14 и т. д. Древняя наука приписывала
совершенным числам мистические свойства; интерес к этим числам в чистой
математике сохранился до сих пор.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Анзерман М. А. Нечеткие множества, нечеткие доказательства и
некоторые нерешенные задачи теории автоматического регулирования //
Автом. н телемех.— 1976.— Ms 7.— С. 171—177.
2. А к и м о в Н. П. Не только о театре.— М.; Л.: Искусство, 1966.—
427 Со
3. А к о ф Р., С а с и е н и М. Основы исследования операций.— М.:
Мир, 1971.— 536 с.
4. А к ч у р и н И. А. Философские основания математизации знаний //
Современное естествознание и материалистическая диалектика.— М.:
Наука, 1977.— С. 48—72.
5. Алберг Д ж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов
и ее приложения.— М.: Мир, 1972.— 316 с.
6. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные
вычисления.— М.: Мир, 1987.— 356 с.
7. Алимов Ю. И. О приложении методов математической статистики к
обработке экспериментальных данных // Автоматика,— 1974.— № 2.—
С. 1—24.
8. А л и м о в Ю. И. О проблемах приложения теории вероятностей, рас»
смотренных в работах В. Н. Ту ту бал и на// Автоматика.— 1978.—
№ 1.— С. 71— 82.
9. А л и м о в Ю. И. Альтернатива методу математической статистики //
Серия «Математическая кибернетика».- 1980.— № 3.— М.: Знание,
1980.— 62 с.
10. А л и м о в Ю. И. О практической ценности теории оценок //
Автоматика.— 1981.— № 2.— С 84—94.
И. А л ь в е н X. Первые встречи // Воспоминания об академике Л. А. Ар-
цимовиче.— М.: Наука, 1981.—С. 33—35.
12. А н д р е е н к о в В. Г., Т о л с т о в а Ю. Н. Особенности
применения математических методов в социологических исследованиях //
Анализ нечисловой информации в социологических исслед.— М.: Наука,
1985.— С. 7 — 29.
13. Аникина Г. А. НТР и математизация современного знания //
Научно-техническая революция и философская наука.— Л.: ЛГУ, 1977.—
С. 11 — 15.
14. Анучина Н. Н., Б а б е н к о К. И. и др. Теоретические основы
н конструирование численных алгоритмов задач математической
физики.— М.: Наука, 1979.— 296 с.
15. А п п е л ь П. Фигуры равновесия вращающейся однородной
жидкости.— М.; Л.: ОНТИ, 1936.— 375 с.
16. А п т е р М. Кибернетика и развитие.— М.: Мир, 1970.— 215 с.
17. А р ф к е н Г. Математические методы в физике.— М.: Атомиздат,
1970.—712 с.
18. А с к е р о в Н. К., Крейн С. Г., Лаптев Г. И. Задача о
колебаниях вязкой жидкости и связанные с ней операторные уравнения //
Функциональный анализ.—1968.—Т. 2, Кг 2.—С. 21—31.
19. А с м у с В. Ф. Проблемы интуиции в философии и математике.— М.:
Мысль, 1965.— 311 с.
1 * И. И. Вмии ■ др.


330
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
20. Бабский В. Г., Копачевский Н. Д., М ы ш к и с А. Д.,
Слобожанин Л. А., Тюпцов А. Д. Гидромеханика
невесомости.— М.: Наука, 1976.— 504 с.
21. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные
процессы решения дифференциальных уравнений.— М.: Мир, 1969.— 368 с9
22. Б а д к о в а Т. А. Проблема единства фундаментальных и
прикладных исследований в структуре математического знания //
Фундаментальные и прикладные исследования в условиях НТР.— Новосибирск:
Наука, 1978.— С. 267—278.
23. Барабашев А. Г. Диалектика развития математического знания.
Закономерности эволюции способа систематизации.— М.: МГУ, 1983.—
166 с.
24. Б а р а н ц е в Р. Г. Об асимптотологии // Вестн. Ленинградского
ун-та. Математика, механика, астрономия.— 1976.— № 1.
25. Б а р к а н Д. Д. Виброметод в строительстве.— М.: Госстройиздат,
1959,— 315 с.
26. Баталова 3. С. К численному исследованию динамических систем
с помощью ЭВМ// Изв. вузов. Радиофизика.— 1967.—Т. 10, № 3.—
С. 414—422.
27. Баутин Н. Н. О нелокальном применении метода малого
параметра // Прикл. мат. и мех.— 1977.— Т. 41, № 5.— С. 885—894.
28. Бахвалов Н. С. Численные методы.— М.: Наука, 1973.— 632 с.
29. Бахвалов Н. С. Осреднение процессов в периодических средах //
Актуальные проблемы вычислительной математики и математического
моделирования.—Новосибирск: ВЦ АН СССР, 1985.—С. 131 —1470
30. Б е й л и Н* Математика в биологии и медицине.— М.: Мир, 1970.— 328 с.
31. Белага Э. Г. Математика на географической карте или рассказ о
том, как решалась проблема четырех красок // Мини-геометрия: (четыре
фрагмента математики XX века).— М.: Знание, 1977.— С. 5—22.
32. Б е л л м а н Р. Процессы регулирования с адаптацией.— М.: ИЛ,
1964.— 359 с.
33. Б е л л м а н Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых
условиях I/ Вопросы анализа и процедуры принятия решений.— М.: Мир,
1976.
34. Б и р к г о ф Г. Гидродинамика.— М.: ИЛ, 1963,— 244 с.
35. Б и р к г о ф Г. Математика и психология.— М.: Сов. радио, 1977.—
95 с.
36. Б л а ж е в и ч Н. В. Интегративная функция знаковых форм
математического знания в свете современного научного знания // Марксистско-
ленинск. философия и интеграционные процессы в науке.— Тюмень:
ТГУ, 1981.—С. 52—64.
36а. Блехман И. И. Синхронизация динамических систем.— М.: Наука,
1971.—895 с.
37. Б л е х м а н И. И. Метод прямого разделения движений в задачах
о действии вибрации на нелинейные механические системы // Изв. АН
СССР. Механика твердого тела.— 1976.— № 6.— С. 13—27.
38. Б л е х м а н И. И. Синхронизация в природе и технике.— М.: Наука,
1981.—351 с.
39. Б л е х м а н И. И., Малахова О. 3. Экстремальные признаки
устойчивости некоторых движений // Прикладная математика и
механика.—1990.—Т. 54, No 1.— С. 142—161.
40. Блехман И. И. Закономерности и парадоксы механики систем с
игнорируемыми движениями и их использование в технике // VI Всесоюзн.
съезд по теорет. и прикл. механике: Аннотации докл.— Ташкент, 1986.—-
С. ПО.
41. Блехман И. И. Что может вибрация? О «вибрационной механике»
и вибрационной технике.— М.: Наука, 1988.— 208 с.
42. Б л е х м а н И. И., Джанелидзе Г. Ю. Вибрационное
перемещение.—М.: Наука, 1964.—412 с.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
331
43. Б л е х м а н И. И., М ы ш к и с А. Д., Пановко Я. Г.
Правдоподобность и доказательность в прикладной математике.— Инж. жури.,
Механика твердого тела.— 1967.— Nb 2.— С. 192—202.
44. Б л е х м а н И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г.
Прикладная математика: Предмет, логика, особенности подходов.— Киев:
Наукова думка, 1976.— 270 с.
45. Боголюбов А. Н. Фундаментальные и прикладные науки: К
вопросу о генезисе и развитии прикладных наук // Ист.-мат.
исследования. Вып. 20.— М.: Наука:— С. 51—62.
46. Б о г о л ю б о в А. Н. Математические методы в механике машин //
Ист.-мат. исследования.—Вып. 29.—М.: Наука, 1985.—С. 137—152.
47. Боголюбов Н. Н. Теория возмущений в нелинейной механике //
Сборник трудов Ин-та строительной механики АН СССР. Т. 14.— М.:
Изд-во АН СССР, 1950.
48. Б о г о л ю б о в Н. Н., Митропольский Ю. А.
Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.— М.: Наука, 1974.—
503 с.
49* Богомолов А. И. О мерах по совершенствованию математического
образования в вузах // Проблемы преподавания математики в вузах.—
1974.— Вып. 4.— С. 3—7.
50. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем.— М.:
Гостехиздат, 1956.— 600 с.
51. Болотин В. В. Применение методов теории вероятностей и теории
надежности в расчетах сооружений.— М.: Стройиздат, 1971.— 254 с.
52. Болотовский Б. М. Оливер Хевисайд: мысли физика и расчеты
математика // Число и мысль. Вып. 6.— М.: Знание, 1983.— С. 126—
157.
53. Б о н д а р е н к о А. В., Ш и к о в а Р. Н. О математизации
научного знания I/ Филос. вопр. соврем, естествознания (Москва).— 1978.—
№ 5.—С. 71—81.
54. Б о р е л ь Э. Вероятность и достоверность.— М.: Физматгиз, 1961.—
120 с.
55. Борис М. П., Карташев Э. М., Г у б и н В. И. Прикладная
подготовка студентов в курсе «Высшая математика» // Применение техн.
средств обучения и ЭВМ в учебном процессе.— 1977.—№ 1.—С. 8—10.
56. Б о р н М. Физика в жизни моего поколения.— М.: ИЛ, 1963.
57. Б о р н М. Размышления и воспоминания физика.— М.: Наука,
1977.— 280 с.
58. Б р о й л ь Л., де. По тропам науки.— М.: ИЛ, 1962.— 408 с.
59. Б у н г е М. Философия физики.— М.: Прогресс, 1975.— 352 с.
60- Б у р б а к и Н. Очерки по истории математики.— М.: ИЛ, 1963.—
292 с.
61. Б у т е н и н Н. В., Н е й м а р к Ю. И., Ф у ф а е в Н. А.
Введение в теорию нелинейных колебаний.— М.: Наука, 1987.— 384 с.
62. В а л ь к о в К. И. Вероятность, информация и доводы разума //
Геометрические модели и алгоритмы.— Л.: 1986.— С. 4—25.
63. В а н Т р и с Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Т. 1.—
М.: Сов. радио., 1972.— 744 с.
64* Вандышева Е. В. Развитие мышления студентов в преподавании
математики// Вестн. высш. школы.— 1974.— № 12.—С. 11 — 16.
65. В а с и л ь е в а А. Б., Винокуров В. А., Ломов С. А.,
Митропольский Ю. А. Математическая школа «Метод малого
параметра и его применение» // Успехи мат. каук.— 1978.— Т. 33»
№ 3 (201).— С. 207—213.
66. В е й л ь Г. О философии математики.— М.; Л.: ГТТИ, 1934.— 128 с.
67. Веников В. А. Некоторые философские проблемы
моделирования // Диалектика и современное естествознание.— М.: Наука, 1970.—
С. 288—299.
68. Веников В. А. Требования к математической подготовке совреман-
П*


332
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ного инженера-электротехника // Современные вопросы
научно-методической работы.—М.: МЭИ, 1975.— С. 87—90.
69. Веников В. А. Переходные электромеханические процессы в
электрических системах.— М.: Высш. школа, 1978.— 414 с.
70. Веников В. А., Зуев Э. Н. и др. Математические задачи
электроэнергетики. 2-е изд.— М.: Высш. школа, 1981.
71. Веников В. А., Шнейберг Я. А. Мировоззренческие и
воспитательные аспекты преподавания технических дисциплин.— М.:
Высш. школа, 1984.— 112 с.
72. В е н т ц е л ь Е. С. Исследование операций.— М.: Сов. радио, 1972.—
552 с.
73. В е н т ц е л ь Е. С. Исследование операций: задачи, принципы,
методология.— М.: Наука, 1980.— 208 с.
74. Вибрация в технике. Справочник в 6 томах. Том 2. Колебания
нелинейных механических систем.— М.: Машиностроение, 1979.— 351 с; Том. 4.
Вибрационные процессы и машины.— М.: Машиностроение, 1981.—
509 с.
75. В и г н е р Е. Непостижимая эффективность математики в
естественных науках // Успехи физ. наук.— 1968.— Т. 94, № 3.— С. 535—546.
76. В и з г и н В. П. Проблемы взаимосвязи математики и физики// Ист.-
мат. исследования. Вып. 20.— М.: Наука.— 1975.— С. 28—50.
77. В и н е р Н. Творец и робот.— М.: Прогресс, 1966.— 103 с.
78. В о в к С. Н. Динамика «чистой» и «прикладной» математики в
математическом экспериментировании // Филос. пробл. соврем,
естествознания. Межвед. науч. сб.— 1977.— № 43.— С. 81—87.
79. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории
нелинейных колебательных систем»— М.: Изд. Московск. ун-та, 1971.—
507 с.
80. Волькенштейн М. Биофизика в кривом зеркале Ц Наука и
жизнь.— 1977.— № 7.— С. 62—66.
81. В о р о в и ч И. И. Неединственность и устойчивость в механике
сплошной среды. Некоторые математические проблемы // Нерешенные
задачи механики и прикладной математики.— М.: МГУ, 1977.— С. 174—
190.
82. Ворович И., Горстко А. Математика и проблемы
преобразования природы II Наука и жизнь.— 1976.— № 2.— С. 57—64.
83. В о р о в и ч И. И., Михайлов Г. К., М ы ш к и с А. Д.,
Юдович В. И. III Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной
механике// Успехи мат. наук.— 1969.— Т. 24, № 1.— С 201—217
(Отчет о дискуссии — с. 207—209).
84. Гайбуллаев Н. Практическая направленность обучения
математике в школе.— Ташкент: Фан, 1987.— 120 с.
85. Г а р д н е р М. Математические головоломки и развлечения.— М.:
Мир, 1971.-512 с.
86. Г а р т о г Д ж. ден. Механические колебания.— М.: Физматгиз,
I960.— 580 с.
87. Гжегорчик А. Популярная логика.— М.: Наука, 1965.— 108 с.
88. Гильберт Д. Математические проблемы /I Проблемы
Гильберта.—М.: Наука, 1969.—С. 11—64.
89. Гинзбург В. Л. Какие проблемы физики и астрофизики
представляются сейчас особенно важными и интересными (десять лет спустя) //
Успехи физ. наук.— 1981.—Т. 134, №3.
90. Г л у ш к о в В. М. Роль математики в современной науке // Вестн.
АН СССР.— 1974.— № 9.— С. 3—10.
91. Г л у ш к о в В. М., Д о б р о в Г. М., Терещенко В. И.
Беседы об управлении.— М.: Наука, 1974.— 224 с.
92. Гнеденко Б. В. Вопросы математизации современного
естествознания // Материалистическая диалектика и методы естественных
наук.—М.: Наука, 1968.—С. 171—206.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
333
93. Гнеденко Б. В. Современная математика и будущий инженер //
Вестн. высш. школы.— 1968, JSfe 1.—С. 45—53.
94. Гнеденко Б. В. Математика и современное естествознание //
Синтез современного научного знания.— М.: Наука, 1973.— С. 143—158.
95. F н е д е н к о Б. В. О математизации научного знания^
Коммунист.— 1975.— № 5.— С. 73—80.
96. Гнеденко Б. В. Математическое образование в вузах.— М.:
Высш. школа, 1981.— 174 с.
97. Гнеденко Б. В. О преподавании предметов
теоретико-вероятностного цикла во втузах // Сб. науч.-метод, статей по математике. Вып.
10.—М.: Высш. школа, 1983.—С. 189—191.
98. Гнеденко Б. В. Математической подготовке — прикладную
направленность // Вестн. высш. школы, 1986.— № 9.— С. 49—52.
99. Годунов С. К., Рябенький B.C. Разностные схемы.— М.:
Наука, 1973.— 400 с.
100. Годунов С. К., Султангазин У. М. О дискретных
моделях кинематического уравнения Больцмана // Успехи мат. наук.—
1971.— Т. 26, № 3.— С. 3—51.
101. Грекова И. Методологические особенности прикладной математики
на современном этапе ее развития // Вопросы философии.— 1976.—
№ 6.— С. 104—114.
102. Г р е к о в а И. Математика в постижении реальности // Наука и
жизнь.— 1985.— № 3.— С. 120—122.
103. Г р и н ф е л ь д У. К. Цели и задачи обучения в курсе
математического анализа для студентов специальности «физика» // Вопросы
оптимизации обучения. 1.—Рига: Латв. ун-т, 1976.— С. 57—65.
104. Гроот М., де. Оптимальные статистические решения.— М.: Мир,
1974.—491 с.
105. Гудстейн Р. Л. Математическая логика.— М.: Ил, 1961.— 162 с.
106. Гусев Л. А., Смирнова И. М. Размытые множества. Теория
и приложение: Обзор // Автоматика и телемеханика.— 1973.— № 5.—
С. 66—85.
107. Г у т е р Р. С, П о л у н о в Ю. Л. Чарльз Бэббедж // Знание. Сер.
математика и кибернетика.— 1973.— № 2.
108. Г у т е р Р. С, П о л у н о в Ю. Л. Математические машины.— М.:
Просвещение, 1975.— 287 с.
109. Д а й с о н Ф. Дж. Упрощенные возможности // Успехи мат. наук.—
1980.—Т. 35, № 1 (211).—С. 171 — 183. Примечание переводчика: там
же, с. 183—191.
ПО. Дев и с М. Прикладной нестандартный анализ.— М.: Мир, 1980.—
236 с.
111. Дез и н А. А. Дискретные модели в математической физике >У
Актуальные проблемы математической физики и вычислительной
математики.— М.: ИПМат. АН СССР, 1984.— С. 75—89.
112. Д е н с м а а М. Необходимый минимум знаний по основам
математического анализа во втузе // Математика и математическое образование.
Докл. 11 Пролет, конф. Съюза мат. България, Слънчев бряг, 6—9 апр.,
1982.— София: БАН, 1982.— С. 440—444.
113. Джанелидзе Г. Ю., Пановко Я. Г. Принцип Сен-Венана и
его использование в теории плит и оболочек // Расчет пространственных
конструкций, 1.— М.: Госстрой из дат, 1950.— С. 329—342.
114. Джонс Дж. К. Методы проектирования.— 2-е изд., доп.— М.:
Мир, 1986.— 327 с.
115. Диксон Дж. Проектирование систем: изобретательство, анализ и
принятие решений.— М.: Мир, 1969.— 440 с.
116. Д и н е р И. Я. Районирование множества векторов состояния
природы и задачи выбора решения // Исследование операций.
Методологические аспекты.— М.: Наука, 1972.


334
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
117. До й л Л. Семь способов подавить творчество ученого//Знание —
сила.— 1972.— № Ю.— С. 42-43.
118. Д о л ь б е р г М. Д. К вопросу о критических угловых скоростях
вращающегося вала // Докл. АН СССР.— 1952,— Т. 85, № 1.—
С. 45—48.
119. Дуб Д. Вероятностные процессы.— М.: ИЛ, 1956.— 605 с.
120. Д ь е д о н н е Ж- О деятельности Бурбаки // Успехи мат, наук.—
1973.— Т. 28, № 3.— С. 205—216.
121. Дьяченко В. Ф. Основные понятия вычислительной
математики.— М.: Наука, 1972.— 120 с.
122. Ежкова И. В., Поспелов Д. А. Принятие решений при
нечетких основаниях. 1. Универсальная шкала// Изв. АН СССР. Техн.
кибернетика.— 1977.— № 6.— С. 3—11.
123. Ефимов А. В., Сазонов А. А. Математическое образование
инженера в условиях научно-технической революции// Сб. науч.-метод,
статей по мат. Вып. 9.— М.: Высшая школа, 1981.— С. 12—20.
124. Жак Я- Е. О некоторых недостатках в преподавании инженерных
дисциплин с точки зрения использования математического аппарата //
Проблемы преподавания математики в вузах.— Выпв 8.— 1978.— С.
43-49.
125. Заде Л. Лингвистические переменные.— М.: Мир, 1975.
126. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к
принятию приближенных решений.— М.: Мир, 1976.— 165 с.
127. 3 а й м а н Дж. Современная квантовая теория.—М.: Мир, 1971.—
288 с.
128. Зелинская Т. Я. К вопросу о прикладной направленности
школьного курса математики: Анализ состояния исследуемого вопроса, обзор
литературы // Программирование и решение прикладных задач.— М.:
МГПИ, 1984.—С. 110—118.
129. Зельдович Я. Б. Высшая математика для начинающих и ее
приложения к физике. 5-е изд.— М.: Наука, 1970.— 560 с.
130. Зельдович Я. Б., М ы ш к и с А. Д. Элементы прикладной
математики. 3-е изд.— М.: Наука, 1972.— 592 с.
131. Зельдович Я. Б., Мышкис А. Д. Элементы математической
физики. Среда из невзаимодействующих частиц.— М.: Наука, 1973.—
352 с.
132. Иванилов Ю. П. Требования к математическому образованию
инженера, будущего специалиста в области экономики // Сб. науч.-
метод. статей по математике. Вып. 10.— М.: Высшая школа, 1983.—
С. 191 — 195.
133. Илиев Л. Математика и моделиране//Списание Бълг. АН.—
1978.— Т. 24, № 2.— С. 5—19.
134. Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем.— М.:
Изд-во АН СССР, 1963.— 482 с.
135. Ишлинский А. Ю. Математика и методы механики // История
отечественной математики. Т. 4, № 2.— Киев: Наукова думка, 1970.
136. Кайберг Г. Вероятность и индуктивная логика.— М.: Прогресс,
1978.-315 с.
137а Ка новей В. Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности.—
М.: Наука, 1984.— 64 с.
138. Канторович Л. В., Плиско В. Е. Математические системы
и моделирование // Труды ВНИИ системных исследований. Вып. 9.—
М.: Наука, 1983.—С. 3—13.
139. Капица П. Л. Динамическая устойчивость маятника при
колеблющейся точке подвеса//Журн. эксп. и теор. физики.— 1951.— Т. 21,
№5.
140. Карпунин В. А. Формальное и интуитивное в математическом
познании.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1983.— 151 с.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
335
141. Картвел ишвили Н. А.г Галактионов Ю. И.
Идеализация сложных динамических систем с примерами из
электроэнергетики.— М.: Наука, 1976.— 272 с.
142. К а с т и Д. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы.—
М.: Мир, 1982.— 216 с.
143. К а ц М. Несколько вероятностных задач физики и математики.—
М.: Наука, 1967.— 176 с.
144. К а ц М., У л а м С. Математика и логика. Ретроспектива и
перспективы.—М.: Мир, 1971,—253 с.
145. К е д р о в Б. М. Логико-психологический анализ открытия // Наука
и жизнь.— 1965.— № 12.
146. К е м е н и Дж., С н е л л Дж. Кибернетическое моделирование.
Некоторые приложения.— М.: Сов. радио, 1972.— 192 с.
147. Кёмени Дж., С не л л Дж., Томпсон Дж. Введение в
конечную математику.— М.: ИЛ, 1963.— 488 с.
148. Киселева Н. А., Беляев Е. А., Перминов В. Я-
Некоторые особенности развития математического знания.— М.: Изд-во
Московского ун-та, 1975.— 112 с.
149. Китайгородский А. И. Реникса.— М.: Молодая гвардия,
1973.— Г91 с.
150. Китайгородский А. И. Молекулярные силы.— М.: Знание,
1978.—64 с.
151. К л айн М. Логика против педагогики // Проблемы преподавания
математики в вузах.— 1973.— Т. 3.—С. 46—61.
152. К л а й н М. Математика. Утрата определенности.— М.: Мир, 1984.—
434 с.
153. Кларк А. Остров дельфинов. Повесть и рассказы.— Одесса: Маяк,
1978.— 187 с.
154. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1.—
М.: Наука, 1987.— 431 с.
155. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 2.—
М.: Наука, 1987.— 416 с.
156. К о б р и н с к и й А. Е. Механизмы с упругими связями: Динамика и
устойчивость.— М.: Наука, 1964.— 390 с.
157. К о д р я н у И. Г. Философские вопросы математического
моделирования — Кишинев: Штиинца, 1978.— 94 с.
158. Колмогоров А. Н. Автоматы и жизнь // Техника молодежи.—
1961.— № 10.—С. 19.
159. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных
работников и инженеров: Определения, теоремы, формулы.— М.: Наука,
1977.—831 с.
160. Коул Дж. Методы возмущения в прикладной математике.— М.: Мир,
1972.— 276 с.
161. Кофман А.; Фор Р. Займемся исследованием операций.— М.:
Мир, 1966.— 280 с.
162. К о х е н Г. Математические приложения, вычисления и сложность //
Математика наших дней.— М.: Знание, 1976.— С. 27—49.
163. Кочина П. Я. О математических методах в механике // Движение
растворимых примесей в фильтрационных потоках.— Тула: ТГПИ,
1984.— С. 3—7.
164. Кошелев А. И. Втузовский курс математики и профиль
института // Вестн. высш. школы.— 1974.— Кя 3.— С. 19—23.
165. Коэн П., Херш Р. Неканторовская теория
множеств//Природа.— 1969.— № 4.— С. 43—55.
166. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрей-
к о П. П., Рутицкий Я- Б., Стеценко В. Я.
Приближенное решение операторных уравнений.— М.: Наука, 1969.— 456 с.
167. К р а с н о щ е к о в П. С, Петров А. А. Принципы построения
моделей.— М.: МГУ, 1983.— 264 с.


336
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
168. Крылов А. Н. Вибрация судов.— М.: ОНТИ, 1936.— 442 с.
169. Крылов А. Н. Значение математики для кораблестроения // Моя
жизнь.— М.: Изд-во АН СССР, 1945.
170. Крымский СБ. Научное знание н принципы его
трансформации.— Киев: Наукова думка, 1974.— 207 с.
171. К у Д р я в ц е в Л. Д. Мысли о современной математике и ее
изучении.—М.: Наука, 1977.— 112 с.
172. Кудрявцев Л. Д. Современная математика и ее преподавание,—
2-е изд.— М.: Наука, 1985.— 170 с.
173. Кудряшев А. Ф. К понятию математизации науки // Философские
вопросы современного естествознания. Сб. тр.— М.: МГПИ, 1977.—
С. 66-77.
174. Кузнецов Б. Г. Бор и Эйнштейн // Развитие современной
физики.—М.: Наука, 1964.
175. Кузнецов Б. Г. Физика и логика.—М.: Знание, 1964.— 32 с.
176. Кулик В. Т. Об исчислении небулярностей, небулярной энтропии,
организованности и сложности // Общая теория систем.— Киев:
Наукова думка, 1972.— С. 28—36.
177. Кун Т. Структура научных революций.— М.: Прогресс, 1977.—
300 с.
178. К у н и н И. А. Теория упругих сред с микроструктурой.— М.:
Наука, 1975.— 415 с.
179. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика.— М.; Л.: Гос-
техиздат, 1947.— 664 с.
180. Курантов А. П., Стяжкнн Н. И. Уильям Оккам.—М.:
Мысль, 1978.— 190 с.
181. Куше Л. Д. Бермудский треугольник, мифы и реальность.—М.:
Прогресс, 1978.— 351 с.
182. К у ш н е р Б. А. Лекции по конструктивному математическому
анализу.— М.: Наука, 1973.— 447 с.
183. Лаврентьев М. А., Ш а б а т Б. В. Проблемы гидродинамики и
их математические модели.— М.: Наука, 1973.— 416 с.
184. Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются
теоремы.— М.: Наука, 1967.— 152 с.
185. Лакшин В. Я. Вторая встреча.— М.: Сов. писатель, 1984.— 366 с.
186. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. I:
Механика.— М.: Физматгиз, 1958.— 206 с.
187. Ландау Л. Д., Р у м е р Ю. Б. Что такое теория
относительности.— М.: Сов. Россия, 1975.— 112 с.
188. Л а н ц о ш К. Практические методы прикладного анализа.— М.:
Физматгиз, 1961.— 524 с.
189. Леонов А. А. Что такое язык.— М.: Педагогика, 1976.
190. Леонтьев В. Теоретические допущения и ненаблюдаемые факты //
США — экономика, политика, идеология.— 1972.—№ 9.— С. 101 — 104.
191. Л и н д е н Ю. Обезьяны, человек и язык.— М.: Мир, 1981.— 272 с.
192. Л и т л в у д Дж. Математическая смесь.— М.: Физматгиз, 1973.—
144 с.
193. Лифшиц Е. М. Лев Давидович Ландау (1908—1968) // Л. Д.
Ландау. Собр. трудов. Т. 2, — М.: Наука, 1969.— С. 427—447.
194. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.— М.: Наука,
1986.— 840 с.
195. Лоренц А. А. О методологии математической кибернетики //
Кибернетика и философия: Взаимопроникновение идей и методов.— Рига:
1977.— С. 45—54. , .
196. Лук А. Об ошибках интуиции // Наука и жизнь.— 1976.— N° 4.—
С. 44-47.
197. Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебаний.— М.:
Наука, 1972.—417 с.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
337
198. М а н и н Ю. А. Доказуемое и недоказуемое.— М.: Сов. радио, 1979.—
168 с;
199. Математизация знаний и научно-технический прогресс / Под ред.
Ю. А. Митропольского.— Киев: Наукова думка, 1975.— 255 с.
200. Математизация современной науки: предпосылки, проблемы,
перспективы II Материалы симп., Пущине, янв.— февр. 1983. Ред.
Купцов В. И.— М.: Наука, 1986.— 151 с.
201. Математика в современном мире.— М.: Мир, 1967.— 206 с.
202. Математика и научно-технический прогресс // Труды Республиканской
научной конференции.— Киев: Наукова думка, 1973.— 343 с.
203. Математическое моделирование / Под ред. Дж. Эндрюс, Р. Мак-Лоун.—
М.:Мир, 1979.—279 с.
204. Математическое моделирование в экологии /Под ред. А. М.
Молчанова.— М.: Наука, 1978.— 179 с.
205. Материалы Всесоюзного совещания заведующих кафедрами общей и
специальной математики вузов страны (выступления Л. Е. Садовского,
Б. В. Гнеденко, А. Д. Мышкиса, Е. С. Вентцель, Я- И. Хургина) //
Проблемы преподавания математики в вузах.— 1978.— Вып. 8.— С. 3—
31.
206. Материалы дискуссии «Научно-технический прогресс и преподавание
математики в вузах» (Е. С. Вентцель, А. В. Ефимов, В. В. Налимов,
Ф. И. Карпелевич, Э. А. Мухачева) // Проблемы преподавания
математики в вузах.— 1976.— Вып. 6.— С. 3 — 13.
207. Матиясевич Ю. В. Вещественные числа и ЭВМ // Кибернетика
и вычислительная техника. Вып. 2.—М.: Наука, 1986.—С. 104—133.
208. Машкевич В. С. Математика, физика и реальность. Расширение
множеств математических объектов и исключение нефизических
понятий II Материалистическая диалектика и взаимодействие наук.— Киев,
Ин-т филос. АН УССР, 1985.— С. 93—104.
209. М е р к и н Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения.—
3-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука, 1987.— 304 с.
210. Мигдал А. А. Математический эксперимент и структура адронов Ц
Будущее науки.— М.: Знание, 1985.— С. 183—197.
211. Мигдал А. Б. Качественные методы в квантовой теории.—М.:
Наука, 1975.— 336 с.
212. Мигдал А. О психологии научного творчества. I, II Ц Наука и
жизнь.— 1976.— № 2.— С. 100—107; № 3.— С. 100—107.
213. Мигдал А. Отличима ли истина от лжи Ц Наука и жизнь.— 1982.—
№ 1.—С. 60—67.
214. Мигдал А. Нильс Бор—физик и философе Наука н жизнь.—
1985.—№ 12.—С. 16—26.
215. М и з е с Р. Вероятность и статистика.— М.; Л.: ГНТИ, 1930.— 250 с.
216. Мирошников В. В. Проектирование технических систем на
основе применения нечетких множеств и размытых алгоритмов // Изв.
АН СССР, f ехн. кибернет.— 1979.— № 3.— С. 124—135.
217. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной
механике.— Киев: Наукова думка, 1971.— 440 с.
218. Моделирование социально-экономических процессов: качественные
гипотезы и имитационный подход.—» М.: АН СССР, ЦЭМИ, 1976.— 247 с.
219. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики.—
М.: Наука, 1981.—400 с.
220. Моисеев Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем.—
М.: Наука, 1971.—424 с.
221. Моисеев Н. Н. Математик задает вопросы... (Приглашение к
диалогу).—М.: Знание, 1974.— 192 с.
222. Моисеев Н. Н. Математика ставит эксперимент.— М.: Наука,
1979.— 223 с.
223. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа.— М.:
Наука, 1981.—488 с.


338
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
224. Молчанов A.M. Экстремальные режимы // Математические мето*
ды в биологии.— Киев: 1977.—С. 107—119.
225. Монополь Дирака / Под ред. Б. М. Болотовского, Ю. Д. Усачева.—
М.: Мир, 1970.— 332 с.
226. М о р д е л л Л. Размышления математика.—М.: Знание, 1971.—
32 с.
227. Морозов К. Е. Математическое моделирование в научном
познании.— М.: Мысль, 1969.— 212 с.
228. Моррис У. Наука об управлении. Байесовский подход.— М.: Мир,
1971.—304 с.
229. Мышкис А. Д. Что такое прикладная математика? // Вестн. высш.
школы.— 1967.— Ко 2.— С. 74—80.
230. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. Изд. 4-е.— М.:
Наука, 1973.— 640 с.
231. М ы ш к и с А. Д., Солоноуц Б. О. О программе и стиле курса
математики во втузе // Вестн. высш. школы.— 1972.— №6.— С. 32—
41; Проблемы преподавания математики в вузах.— 1973.— Вып. 3.—
С. 3—12. Обсуждение (Л. В. Канторович, Б. В. Гиеденко, Е. С. Вент-
цель, И. М. Яглом, Н. В. Азбелев, Е. Д. Соломенцев, Ф. Д. Гахов) //
Там же.— 1974.— Вып. 4.—С. 11—26.
232. Налимов В. В. Логические основания прикладной математики.—
М.: Изд-во Московского ун-та, 1971 (препринт № 24).— 57 с.
233. Налимов В. В. Теория эксперимента.— М.: Наука, 1971.— 208 с.
234. Налимов В. В, О преподавании математики экспериментаторам //
Проблемы преподавания математики в вузах.— 1972.— Вып. 2. —
С. 33—47.
235. Налимов В. В. Язык вероятностных представлений: Почему мы
пользуемся вероятностными представлениями при описании внешнего
мира.— М.: АН СССР, Науч. совет по компл. проблеме «Кибернетика»,
1976.
236. Налимов В. В. Вероятностная модель языка: О соотношении
естественных и искусственных языков. 2-е изд.— М.: Наука, 1979.—
303 с.
237. Налимов В. В., Голикова Т. И. Логические основания
планирования эксперимента. 2-е изд.—М.: Металлургия, 1981.— 151 с.
238. Напалков А. В., Целкова Н. В. Путь спасения
математики — абстракция нового типа // Природа.— 1973.— № 12.— С. 10— 14.
239. Начала Евклида. Книги VII—X.— М.; Л.: Гостехиздат, 1949.— 512 с.
240. Недялков И. Методология на математическото моделиране във
физико-техническия комплекс от науки // Годишник на Высшите Учеб-
ни Заведения. Техн. физ., 1982 [19831.— Т. 19, № 1.— С. 23—38.
241. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории
нелинейных колебаний.— М.: Наука, 1972.— 472 с.
242. Неймарк Ю. И. Основные моменты в подготовке специалистов по
прикладной математике // Уч. зап. Горьковского ун-та.— 1973.—
Т. 186.— С. 3—5.
243. Неймарк Ю. И. Динамические системы и управляемые
процессы.— М.: Наука, 1978.— 336 с.
244. Некрасов П. А. Теория вероятностей.— СПб., 1912.
245. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория
дифференциальных уравнений.— М.; Л.: Гостехиздат, 1949.— 552 с.
246. Нечеткие множества и теория возможностей: последние достижения/
Под ред. Р. Ягера.— М.: Радио и связь, 1986.— 406 с.
247. Новожилов В. В. Прикладные математики — кто они? — В кн.:
[44].—С. 251—256.
248. Обухов А. Проблема физической гидродинамики // Наука и
жизнь.— 1973.— № 3.— С. 7—10.
249. Орлов А. И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные.— М.:
Знание, 1980.— 63 с.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
339
250. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой
исходной информации.— М.: Наука, 1981.— 206 с.
251. Ощепков П. Жизнь и мечта.— М.: Моск. рабочий, 1984.
252. Пановко ЯГ. Механика деформируемого твердого тела.— М.:
Наука, 1985.— 288 с.
253. Пановко Я- Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания
упругих систем: Современные концепции, парадоксы и ошибки. Изд.
4-е.— М.: Наука, 1987.— 384 с.
254. Панченко А. И. Континуум и физика: философские аспекты.—
М.: Наука, 1975.— 119 с.
255. Паповян С. С. Математические методы в социальной
психологии.— М.: Наука, 1983.— 344 с.
256. Парс Л. А. Аналитическая динамика.— М.: Наука, 1971.— 635 с.
257. Первозванский А. А. Поиск.— М.: Наука, 1970.— 264 с.
258. Перминов В. Я- Развитие представлений о надежности
математического доказательства.— М.: МГУ, 1986.— 240 с.
259. Петров Ю. А. Логические проблемы абстракций бесконечности и
осуществимости.— М.: Наука, 1967.— 164 с.
260. Петров Ю. В. Значение экономического метода в учении о
направлениях изменений живых систем // Применение логики в науке и
технике.—М.: Изд-во АН СССР, 1960.
261. П е ш е л ь М. Моделирование сигналов и систем.— М.: Мир, 1981.—
302 с.
262. П о й а Д. Математика и правдоподобные рассуждения.— М.: Наука,
1975.— 463 с.
263. П о й а Д. Математическое открытие. Решение задач: основные
понятия, изучение и преподавание. 2-е изд.— М.: Наука, 1976.— 448 с.
264. Пол1карпов B.C. Евристична функщя математики у ф1зищ //
Ф1лос. пробл. сучасн. природозн. М1жв!д. наук. зб.— 1975.— Т. 39.—
С. 63—72.
265. П о т т е р Д. Вычислительные методы в физике.— М.: Мир, 1975.—
392 с.
266. П р а г е р У. Вводные замечания // Математика наших дней.— М.:
Знание, 1976.—С. 5—16.
267. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах. Т. 1: Новые методы
небесной механики.— М.: Наука, 1971.— 771 с.
268. Пуанкаре А. О науке.— М.: Наука, 1983.— 560 с.
269. Пфанцагль И. Теория измерений.— М.: Мир, 1976.— 248 с.
270. Пых Ю. А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной
динамики.— М.: Наука, 1983.— 184 с.
271. Рабинович И. М. Интуиция в строительной механике //
Исследования по теории сооружений, 18.—М.: Наука, 1970.—С. 201—210.
272. Рабинович М. И. Стохастические колебания и турбулентность //
Успехи физ. наук.— 1978.— Т. 125, вып. 1.
273. Рагульскис К- М. Механизмы на вибрирующем основании:
вопросы динамики и устойчивости.— Каунас: Изд-во ин-та энергетики и
электроники АН Литовской ССР, 1963.— 232 с.
274. Разумихин Б. С. Физические модели и методы теории равновесия
в программировании и экономике.— М.: Наука, 1975.— 304 с.
275. Райбман Н. С. Что такое идентификация? — М.: Наука, 1968.—
119 с.
276. Рашевский П. К. О догмате натурального ряда // Успехи мат.
наук.— 1973.— Т. 28, № 4.— С. 243—246.
277. Резерфорд — учитель и ученый.— М.: Наука, 1973.— 215 с.
278. Р е н ь и А. Трилогия о математике.— М.: Мир, 1980.— 376 с.
279. Розенброк X., Стори С. Вычислительные методы для
инженеров-химиков.— М.: Мир, 1968.— 443 с.
280. Рузавин Г. И. О природе математического знания.— М.: Мысль,
1968.— 302 с.


340
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
281. Р у з а в и н Г, И. Математическое моделирование как исходная пред*
посылка математизации современного научного знания //
Методологические проблемы развития и применения математики.— М.: Изд-во АН
СССР, 1985.—С. 106—121.
282. Рябов Ю. А. Об оценке области применимости метода малого
параметра в задачах теории нелинейных колебаний // Труды
международного симпозиума по нелинейным колебаниям, 1.— Киев: Изд-во АН УССР,
1963,— С. 425—445.
283. Самарский А. А. Математическое моделирование и
вычислительный эксперимент // Вестн. АН СССР.— 1979.— № 5.— С. 38—49.
284. Самойленко СИ. Размытые эвристики // Пробл. случайн.
поиска.— 1978.— № 6.— С. 224—231.
285. С е а Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы.— М.: Мир, 1973.— 244 с.
286. С е в е р и Ф. Итальянская алгебраическая геометрия. Ее строгость,
методы и проблемы // Математика (сборник переводов).— 1959.— Т. 3,
№ 1.—С. 111 — 141.
287. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1.— М.: Наука, 1983.—
528 с.
288. Седов Л. И. Мысли об ученых в науке прошлого и настоящего:
Сборник статей.—М.: Наука, 1973.— 119 с.
289. Седов Л. И. Теоретические модели. Введение и перечень работ с
аннотациями Л. И. Седова и его сотрудников по построению моделей
сплошных сред.— М.: 1974; CKonje, 1975.
290. С е н д о в Б. Математиката и съвременното общество // Физ.-мат.
списание.— 1974.—Т. 17, №2.—С. 104—111.
291. СименонЖ. И все-таки орешник зеленеет. (Сборник).— М.:
Прогресс, 1975.— 640 с.
292. С и н а й Я. Г. Случайность неслучайного// Природа.— 1981.—
№ 3.— С. 72—80.
293. Скатецкий Е. Г. Некоторые особенности преподавания
математики на химическом факультете // Проблемы преподавания математики
в вузах.— 1978.— Вып. 8.— С. 86—90.
294. Скворцов В. В. Математический эксперимент в теории
разработки нефтяных месторождений.— М.: Наука, 1970.— 224 с,
295. Скурихин В. И., Шифрин В. Б., Дубровский В. В.
Математическое моделирование.— Киев: Техшка, 1983.— 270 с.
296. Смит Дж. Математические идеи в биологии.— М.: Мир, 1970.—
179 с.
297. Смит Дж. М. Модели в экологии.— М.: Мир, 1976.— 184 с.
298. С о й е р У. Путь в современную математику.— М.: Мир, 1972.— 260 с.
299. Сокольников И. С. Тензорный анализ. Теория и применение в
геометрии и в механике сплошных сред.— М.: Наука, 1971.— 374 с.
300. Соловьев А. С. Методы теории нечетких множеств и их
применение в социологических исследованиях // Математические методы и
модели в социологии.— М.: АН СССР, 1977.— С. 89—101.
301. Сочинения Козьмы Пруткова.— М.: Худож. лит., 1976.— 384 с.
302. С п о н У. Д ж., младший. Можно ли спасти математику? //
Природа.— 1973.— № 2.— С. 50—54.
303. Статистические методы анализа экспертных оценок/Т. В. Рябушкин
(отв. ред.).— М.: АН СССР, ЦЭМИ, 1977.— 383 с.
304. Стрижак Т. Г. Метод усреднения в задачах механики.— Киев,
Донецк: Вища школа, 1982.— 250 с.
305. Стронгина Р. П. Гносеологические аспекты математического
эксперимента // Науч. доклады высш. школы. Филос. науки.— 1983.—
Ks 1.—С. 38—45.
306. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных
наук.— М.: ИЛ, 1948.— 327 с.
307. Тихонов А. Н. О математических методах автоматизации обра-


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
341
ботки наблюдений // Проблемы вычислительной математики.— М.:
МГУ, 1980.—С. 3—17.
308. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения
некорректных задач.— М.: Наука, 1974.— 224 с.
309. Тихонов А. Н., Костомаров Д. П. Рассказы о прикладной
математике.— М.: Наука, 1979.— 208 с.
310. Тростников В. Н. Конструктивные процессы в математике:
философский аспект.— М.: Наука, 1975.— 255 с.
311. Тузинкевич А. В. Методы математического моделирования фито-
ценозов/Препр.— Владивосток: Ин-т автомат, и процессов упр.,
1986.— 33 с.
312. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей. Краткий курс и научно-
методические замечания.— М.: Изд-во Московского ун-та, 1972.— 230 с.
313. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей в естествознании.— М.:
Знание, 1972.— 48 с.
314. Тутубалин В.Н. Границы применимости:
вероятностно-статистические методы и их возможности.— М.: Знание, 1977.— 64 с.
315. У е м о в А. И. Аналогия в практике научного исследования. Из
истории физико-математических наук.— М.: Наука, 1970.— 264 с.
316. Узбек К. М. Интегративная функция математики в научном
познании I/ Философские проблемы современного естествознания.
Вып. 2.— Киев: Наукова думка, 1986.— С. 92—96.
317. У л а м С. Устойчивость при расчетах по методу многих тел //
Гидродинамическая неустойчивость.—М.: Мир, 1964.—С. 289—303.
318. Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической
механике.—М.: Мир, 1965.—308 с.
319. У р л а н и с Б. Ц. Проблемы динамики населения СССР.— М.:
Наука, 1974.— 335 с.
320. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального
управления.— М.: Наука, 1978.— 487 с.
321. Ф е д о р о в И. Г. К проблеме методологии единой современной
математики // Вопросы методологии и истории математики.— М.: МОПИ,
1972.— С. 64—84.
322. Фейнберг Е. Л. Кибернетика, логика, искусство.— М.: Радио и
связь, 1981.— 144 с.
323. Ф е й н м а н Р. Характер физических законов.— М.: Наука, 1968.—
232 с.
324. Феодосьев В. И. Десять лекций-бесед по сопротивлению
материалов.— М.: Наука, 1975.— 176 с.
325. Филин А. П. Приближенные методы математического анализа,
используемые в механике твердых деформируемых тел.— М.:
Строительство, 1971.— 159 с.
326. Фомин С. В., Беркенблит М. Б. Математические проблемы
в биологии.— М.: Наука, 1973.— 199 с.
327. Френкель В. Я- Рецензия на книгу: A.Einstein, The Human
Side. New Glimpses frocn his Archives.— Princeton: Princ. Univ. Press,
1979// Новые книги за рубежом (А).— 1980.— N° П.—С. 7—9.
328. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Т. П.—
М.: Просвещение, 1983.— 192 с.
329. X а л м о ш П. Как писать математические тексты // Успехи мат,
наук.— 1971.— Т. 26, № 5.— С. 243—269.
330. Харкевич А. А. Спектры и анализ.— М.; Л.: Гостехиздат,
1952.— 192 с.
331. X а ч к а л я н СВ. Об одном философском аспекте эффективности
математики в естественных науках // Еритасард гиташхатог. Асаракакан
гитутюннер. Молод, науч. работник. Обществ, н.— 1979.— № 1/29.—
С. 13—21.
332. Хемминг Р. В. Численные методы для научных работников и
инженеров.— М.: Наука, 1968.— 400 с.


342
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
333. Хенричи П. Размышления преподавателя прикладной
математики I/ Проблемы преподавания математики в вузах.— 1976.— Т, 6.—
С. 78—87; в кн.: Математика наших дней.— М.: Знание, 1976.— С. 50—
63.
334. X е р в и г X. Философский анализ принципов математизации
физических теорий II Филос. пробл. совр. естествозн. (Киев).— 1981.—
N9 50.— С. 83—90.
335. Хомхолова Н. Б. Математика и другие науки // Философские
вопросы современного естествознания. Сб. тр.— М.: МГПИ, 1977.—
С. 186—197.
336. Хорафас Д. Н. Системы и моделирование.—М.: Мир, 1967.—
420 с.
337. X у д с о н Д. Статистика для физиков.— М.: Мир, 1967.— 296 с.
338. Хургин Я- И. Ну и что? 2-е изд.— М.: Молодая гвардия, 1970.—
320 с.
339. Хургин Я. И. Математическая статистика — орудие инженера //
Вестн. высш. школы.— 1971.— № 4.— С. 31—36.
340. Хургин Я- И. Да, нет или может быть: Рассказы о статистической
теории управления и эксперимента.— М.: Наука, 1983.— 207 с.
341. Хургин Я- И., Яковлев В. П. Финитные функции в физике
и технике.— М.: Наука, 1971.— 408 с.
342. X ь ю б е р П. Робастность в статистике.— М.: Мир, 1984.— 304 с.
343. Челомей В. Н. О возможности повышения устойчивости упругих
систем при помощи вибраций // Докл. АН СССР.— 1956.— Т. ПО, № 3.
344. Черчмен У. Один подход к общей теории систем // Общая теория
систем.— М.: Мир, 1966.
345. Честертон Г. К- Рассказы.— М.: Худ. лит., 1975.— 80 с.
346. Число и мысль. Вып. 1 — 10.— М.: Знание, 1977—1987.
347. Чувиковский B.C. Вопросы устойчивости в строительной
механике корабля.— Л.: Судостроение, 1971.— 215 с.
348. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем — искусство и
наука.— М.: Мир, 1978.— 418 с.
349. Школьникам о математике и математиках/Составитель М. М. Лиман.—
М.: Просвещение, 1981.
350. Ш м и т т О. Мозг как вычислительная машина особого типа //
Кибернетический сборник, 1.— М.: Физматгиз, 1960.— С. 72—75.
351. Шрейдер Ю. А. К построению языка описания систем //
Системные исследования.—М.: Наука, 1973.—С. 226—233.
352. Шрейдер Ю. А. Теория множеств и теория систем // Системные
исследования. Ежегодник, 1978, М., 1978, с. 70—85.
353. Штейнгауз Г. Задачи и размышления.— М.: Мир, 1974.— 400 с,
354» Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных
дифференциальных уравнений.— М.: Мир, 1978.— 461 с.
355. Шутов А. Г. Взаимосвязь теоретизации и формализации в процессе
развития естественнонаучного познания // Филос. пробл. соврем,
естествоз. Межвед. науч. сб.— 1977.— Т. 43.— С. 65—71.
356. Эвристическая роль математики в физике и космологии.— М.; Л.:
Наука, 1975.— 164 с.
357. Эйнштейн А. Физика и реальность: Сборник статей.— М.: Наука,
1965.— 359 с.
358. Э ш б и У. Р. Несколько замечаний // Общая теория систем.— М.:
Мир, 1966.—С. 171 — 178.
359. Яблонский А. И. Математические модели в исследовании
науки.— М.: Наука, 1986.— 352 с.
360. Я г л о м И. М. Математические структуры и математическое модели-
рование.— М.: Сов. радио, 1980.— 144 с.
361. Яне н ко Н. Н., Преображенский Н. Г.,
Разумовский О. С. Методологические проблемы математической физики.—
Новосибирск: Наука, 1986.— 296 с.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
343
362* Яновская С. А. Преодолены лив современной науке трудности,
известные под названием «апорий Зенона»?// Проблемы логики,—М.:
Изд-во АН СССР, 1963.
363. Яновская С. А. О роли математической строгости в истории
творческого развития математики и специально о «Геометрии» Декарта //
Исследование логических систем.— М.: Наука, 1970, с. 13—50.
364. Яруткин Н. Г. О содержании курса математики во втузе в связи
с потребностями общеинженерных и специальных кафедр // Проблемы
преподавания математики в вузах.— 1978.— Вып. 8.—С. 35—40.
365. Яунземс А. Я. Об определении содержания и формы курсов
математики для студентов специальности «Экономическая кибернетика»//
Вопросы оптимизации обучения. Т. 1.— Рига: Латв. ун-т, 1976.—
С. 44—56.
366. Adams E. W., Levine H. P. On the uncertainties transmitted
from premises to conclusions in deductive inferences // Synthese.— 1975.—
V. 30, No 3—4.— P. 429—460.
367. Adleman L., Manders K- Computational complexity of
decision procedures for polynomials // 16th Ann. Symp. Found Comput. Sci.,
1975.— N. Y., 1975.— P. 169—177.
368. Adomian G., Adomian G. E. A global method for solution of
complex systems // Math. Modell.— 1984.— V. 5, № 4.— P. 251—263.
369. A 1 1 a i s M.' Frequence, probabilite et hasard // J. Soc. statist. Paris.—
1983.— V. 124, № 2.— P. 70—102.
370. Anderson B. D. O. A control theorist looks at abstract nonsen-
ce // Lect. Comput. Sci.— 1975.— V. 25.— P. 35—50.
371. Anderson O. D. The role of mathematics in today's society // Int.
J. Math. Educ. Sci. and Technol.— 1977.— V. 8; № 4.— P. 389—392.
t372, Anger G. On the relationship between mathematics and its
applications: a critical analysis by means of inverse problems// Inverse Probl.—
1985.— V. 1, № 2.— L7—Lll.
373. Annino J. S., R ussel E. С The ten most frequent cases of
simulation analysis failure — and how to avoid them!*// Simulation.— 1979,—
V. 32, №6.— P. 137—140.
374. A p p e 1 K-, H a k e n W. Every planar map is four colorable // Bull.
Arner. Math. Soc— 1976.— V. 82, Я° 5.— P. 711—712.
375. Araki Huzihiro. Some contact points of mathematics and
physics // Acta applicandae math.— 1983.— V. 1, № 1.— P. 5—15.
376. Arnold L. Mathematical models of chemical reactions/' Stochastic
Syst.: Math. Filtering and Identif. and Appl. Proc. NATO Adv. Study
Inst., Les Arcs, June 22 — Jule 5, 1980. Dordrecht e. a.: 1981.— P. Ill —
134.
377. A u e r J. W., J e n k у n s T. A., L а у w i n e C. F., M а у b e r-
г у J. P., Muller E. R. Motivating non-mathematics majors
through discipline-oriented problem and individualized data for each student //
Int. J. Math. Educ. Sci. and Technol.— 1982.— V. 13, № 2.— P. 221 —
225.
378. В a j p a i A. C, James D.J, G. Report on a short study-visit to
investigate developments in the mathematical education of engineers //
Int. J. Math. Educ. Sci. and Technol. 1986.— V. 17, № 5.— P. 577—587.
379. В a j p a i A. C, M u s t о e L. R., Walker D. Mathematical
education of engineers. I. A critical appraisal; II. Towards possible
solutions // Int. J. Math. Educ. Sci. and Technol. 1975.— V. 6, № 3.— P. 361 —
380; 1976.— V. 7, № 3.— P. 349—364.
380. В a n n e г j e e В., S i n h a D. K. On some aspects of pedagogy in
applied mathematics^ Int. J. Math. Educ. Sci. and Technol.— 1978.—
V. 9, № 3.— P. 261—265.
381. В a r e i s s E. The college preparation for a mathematician in
industry // Arner. Math. Mon.— 1972,— V. 79, № 9,— P. 972—984.


344
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
382. Barnes R. F. Applied mathematics; an introduction via models //
Amer. Math. Mon.— 1977.— V. 84, N2 3.— P. 207—210.
383. В e a 1 e E. M. L., G г a n о t D. Report of the session on industrial
applications// Discrete Optimization. V. 2. Amsterdam e. a.: 1979.—
P. 399—404.
384. В e 1 i s. M. Aspura conceptului de probabilitate §i a utiliz8rii sale In
teoria deciziei // Progr. §ti.— 1972.— V. 8, N 10.— P. 477—488.
385. Bender E. A. Teaching applicable mathematics // Amer. Math.
Mon.— 1973.— V. 80, № 3.— P. 302—307.
386. Bernstein D. L. The role of applications in pure mathematics //
Amer. Mat. Mon.— 1979.— V. 86, N2 4.— P. 245—253.
387. В i г k h о f f G. Applied mathematics and its future // U. S. Dep.
Commer. Nat. Bur. Stand. Spec. Publ.— 1977, №465.— P. 82—103.
388. Bishop E. A. Schizophrenia in contemporary mathematics // Con*
temp. Math., 1985// V. 39.— P. 1—32.
389. Blum W. Anwendungsorientierter Mathematikunterricht in der didak-
tischen Diskussion // Math. Semesterber.— 1985.— V. 32, N2 2.—
P. 195-232.
390. Boirel R., Sal I es F. Un hiatus epistemologique: mathemati*
ques pures et mailiematiques appliquees/^ Bull. Assoc, professeurs math,
enseign. public— 1969.— V. 48, N2 268.— P. 199—208.
391. Bushkf>vitcii A. V. The concept of model in scientific theory //
Rass. Intern, di Log.— 1977.— V. 8, N2 1.— P. 24—31.
392. С а г n a p R. Logical Foundations of Probability.-Chicago: Univ.
Chicago Press, 1951.—V. 17.—P. 607.
393. Cartwright M. Mathematics and thinking mathematically // Amer.
Math. Mon.— 1970.— V. 77, N2 1.— P. 20—28.
394. С a s t г о Lamas J., Balseiro VidalN., Baldoquin de
la Pena G. Analisis de la articulation de la matematica general con
el resto de las disciplinas en las especialidades de cienias tecnicas // Sienc,
mat.— 1981.— V. 2, № 3.— P. 137—155.
395. Cheatham Т. Е., Jr. The unexpected impact of computers on scien-
ce and mathematics// Proc. Symp. Appl. Math., 20. Providence, R. I.—
1974.— P. 67—75.
396. С h г i s t i d i s Th., G о u d a r о u 1 i s Y., M i k о u M. The
heuristic role of mathematics in the initial developments of superconduc-
tivity theory // Arch. Hist. Exact. Sci.— 1987.— V. 37, N2 2.— P. 183—
191.
397. С h у t i 1 M. K- On the concept of biomathematics // Acta biotheor.—
1977.— V. 26, N2 2.— P. 137—150.
398. Clement J., Loch head J., Monk G. S. Translation
difficulties in learning mathematics // Amer. Math. Mon.— 1981.—V. 88,
N2 4.— P. 286—290.
399. С о e m b s С. Н. Psychology and mathematics.— Ann.-Arbor: The
University of Michigan Press, 1984.— 112 p.
400. Coembs C, DawesR., Tversky A. Mathematical
psychology. An elementary introduction.— Englewood Cliffs, 19/0.
401. С о 1 1 a t z L. Ueber numerische Mathematik// Leopoldina.— 1965—
1966.—V. 11.— P. 133—148.
402. Collins G. E. Quantilier elimination for real closed fields by
cylindrical algebraic decomposition // Lect, Notes Comput. Sci.—1975.—
V. 33.— P. 134—183.
403. С о о 1 e n Т. De wiskunde gezien vanuit haar toepassing // Rept. Math,
cent.— 1969.— V. 15, № 26.
404. С г e p e 1 P.t Huard A., Prevot D. Discussion sur «Les Mathe*
matiques et le monde reel»// Ann. Sci. Univ. Clermont. Math.— 1979.--
V. 17, N2 67.— P. 32—36.
405. Dalla Chiara M. L. Some foundational problems in mathematics
suggested by physics // Synthese.— 1985.— V. 62, N2 2.— P. 303—315.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
345
406. D a n t z i g D. van. Is 10lol° a finite number? // Dialectica.— 1956.—
V. 9, № 3—4.— P. 273—277.
407. Davis Ph. J. Fidelity in mathematical discourse: is one and one
really two? // Amer. Math. Mon.— 1972.— V. 79, № 3.— P. 252—263.
408. Davis Ph. J., Hersch R. The mathematical experience.— Bos*
ton: Birkhauser, 1981.—440 p.
409. Dieudonne J. La notion de rigueur en Mathematiques // Aspects
Math, and Appl.— Amsterdam e. a.T 1986.— P. 281—294.
410. Dinges H. Spekulationen uber die Moglichkeiten angewandter Mat-
hematik//Mathematiker uber Mathematik.—Berlin e. a.; 1974.—
P. 469—478.
411. Dubois D., P г a d e H. Fuzzy sets and systems: Theory and
applications.— N. Y.: Acad. Press, 1980.— 393 p.
412. Dubois D., P r a d e H. Theorie des possibilites: Applications a la
representation des connaissances en informatique.— Paris: Masson,
1985.-248 p.
413. Duff in R. J. Some problems of mathematics and science^ Bull.
Amer. Math. Soc— 1974.— V. 80, № 6.— P. 1053—1070.
414. D u m m e t t M. Wang's paradox // Synthese.— 1975.— V. 30, № 3—
4.— P. 301—324.
415. D u г i с М. Some questions concerning foundations of mechanics //
Pubis. Inst, math.— 1977.— V. 21.— P. 63—67.
416. D у m C. L., I v e у E. S. Principles of mathematic modelling.— New
York: Academic Press, 1980.—260 p.
417. Fararo Th. J. Mathematical sociology. An introduction to
fundamentals.— N. Y.: Wiley, 1973.— 802 p.
418. Fennel W. Zum Verhaltnis von mathematischem und physikalischem
Beweis// Rostock. Phil. Manuskr.— 1974.—V. 13, № 1.— P. 63—65.
419. F i n e t t i B. Subjective or objective probability: is the dispute undeci-
dable? // Symp. math; conv.— 1971, 9. London — N. Y., 1972.— P. 21 —
36.
420. Finkelstein L., Carson E. R. Mathematical modeling of
dynamic biological systems.-* Forest Grove (Oregon): Research Studies
Press, 1979.— 329 p.
421. Finney R. L. Applications of undergraduate mathematics // Math.
Tomorrow. N. Y. e. a.— 1981.— P. 197—212.
422. Fischer W. Mathematisierung und Modellbegriff in den Naturwis-
senschaften // Mathematikunterricht.— 1971.— V. 17, N2 3.— P. 67—74.
423. F 1 e g g H. G. The mathematical education of scientists and
technologists — a personal view // Int. J. Math. Educ. Sci. and Technol.— 1974.—
V. 5, N2 1.— P. 65—74.
424. Forsythe G. Piffalls in computation, or why a math, book isn't
enough // Amer. Math. Mon.— 1970.— V. 77, N2 9.— P. 931—956.
425. Foulkness P. What is deduction? // Intern, logic Rev.— 1972.—
V. 3, N2 1,—p. 64—72.
426. Frauenthal J. С Change in applied mathematics is
revolutionary // Math. Intell.— 1980.— V. 3, N2 1.— P. 19.
427. Gaines B. R. Foundations of fuzzy reasoning/' Int. J. Man-Mach.
Stud.— 1976.— V. 8, № 6.— P. 623—668. В этом выпуске содержится
также ряд статей других авторов на данную тему.
428. G a s k е 1 1 R. Е., К 1 a m к i n M. S. The industrial mathematician
views his profession: a report of the Committee on Corporate Members //
Amer. Math. Mon.— 1974.— V. 81, N2 7.— P. 699—716.
429. Gill Ph., Murray W., Saunders M. A., Wright M. H.
Aspects of mathematical modelling related to optimization // Appl. Math.
Modell.— 1981.— V. 5, N2 2,— P. 71—83.
430. Gillies D. A. A objective theory of probability.— London: Methuen,
1973.— 250 p.


346
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
431. Gnedenko В. V., К h а 1 i 1 Z. The mathematical education of
engineers// Educ. Stud. Math.— 1979.—V. 10, № 1,— P. 71— 83.
432. Gottinger H. W. Subjective WahrscheinHchkeiten.— Gottingen:
Vandenhoeck und Ruprecht, 1974.
433. Greenspan H. Applied Mathematics as a Science // Amer. Math.
Mon.— 1961.— V. 68.— P. 872—880.
434. Grot hendieck A. Le maitre — enseignant et le maitre-chercheur
dans l'universite d'aujoud'hui et de demain // An. Univ. Bucuresti.
Mat.— mec— 1971.— V. 20, № 2.— P. 99—110.
435. Grunbaum A. Modern science and Zeno's paradoxes.— London:
1968.
436. Guilband G. Th. Continu experimental et continu mathemati-
que// Math. et. sci. hum.— 1978.—V. 16, №62.— P. 11—33.
437. Hachigian J. Applied mathematics in a liberal arts context//
Amer. Math. Mon.— 1978.— V. 85.— P. 585—588.
438. Hageman L. A., Young D. M. Applied iterative methods.—
N. Y.: Academic Press, 1981.— 324 p.
439. H a h n W. Uber den Gegenstand der sogenannten angewandten Mathe-
matik// Nieuw. arch. Wisk.— 1971.—V. 19, № 3.—P. 175—187.
440. Hall C. A. Industrial mathematics: a course in realism // Amer.
Math. Mon.— 1975.— V. 82, № 6.— P. 651—659.
441. H a r e 1 D. On folk theorems // Commun. ACM.— 1980.— V. 23, № 7.—
P. 379—389.
442. Hazewinkel M. Experimental mathematics // Math. Modell.—
1985.—V. 6, №3.—P. 175—211. To же: Math, and Comput. Sci.//
Proc. CWI Symp., Amsterdam, 25 Nov., 1983.— Amsterdam e. a., 1986.—
P. 193—234.
443. H e m e 1 r i j k J. Rules for building statistical models // Math. Centre
Tracts.— 1979.— № 100.— P. 189—203.
444. Hermeren G. Models // Logical Theory and Semantical Analysis.—
Dordrecht, 1974.—P. 175—191.
445. Hoehnke H. J. Einige Aspekte des Model ibegriffs// Schriftenr.
Zentral-inst. Math, und Mech.— 1972.—V. 16.—P. 132—135.
446. Hows on A. G., Kahane J. P., Kelly P. J., L a u g i-
n i e P., N e m e t z Т., Simons F. H., Taylor C. A.,
Turckheim E. de. Mathematics as a service subject // Enseign.
math.— 1986.— V. 32, № 1—2.— P. 159—172.
447. Isaacs R. On applied mathematics // J. Optimiz. Theory and
Appl.— 1979.— V. 27, N 1.— P. 31—50.
448. Israel G. «Rigor» and «axiomatics» in modern mathematics // Fun-
dam, sci.— 1981.— V. 2, N 2.— P. 205—219.
449. Jaeger A. Beziehung zwischen Mathematik und Wirklichkeit in mat-
hematischen Modellen von Empirischen Strukturen // Proc. Operat. Res.,
1.— Wurzburg — Wien, 1972.—P. 15—33.
450. J a f f e A. Orgering the univers: the role of mathematics // SIAM
Review.— 1984.— V. 26, N 4.— P. 473—500.
451. J e f f г е у s H. Theory of probability.— Oxford, 1961.— 447 p.
452. J u m a r i e G. Relativistic fuzzy sets. Toward a new approach to
subjectivity in human systems// Math, et sci. hum.— 1980.— V. 18, N71.—
P. 39—75.
453. J uza M. About the sixth Hilbert's problem // Czechosl. Math. J.—
1982.— V. 32, N 1.— P. 1—52.
454. Kattsoff L. Some thoughts on applied mathematics // Scientia
(Hal.) 1966.— V. 101, N 3—4.— P. 91—99; Suppl., P. 45—53.
455. Kemeny J. G. Mathematical models and the computer // Pi Mu
Epsilon J.— 1973.— V. 5, N 8.— P. 373—386.
456. Kinetic logic. A Boolean approach to the analysis of complex regulatory
systems/ Ed. by R. Thomas.— Berlin: Springer, 1979.— 507 p.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
347
457. Klingman D., ClausenJ. Report of the session on modelling//
Discrete Optimization. V. 2. Amsterdam e. a., 1979.— V. 405—410.
458. К n u t h D. E. Mathematics and computer science: coping with finite-
ness// Science.— 1976 — V. 194, N 4271.— P. 1235—1242.
459. Kreith K- Mathematics, social decisions and Law// Int. J. Math.
Educ. Sci. and Technol.— 1976.— V. 7, N 3.— P. 315—330.
460. Krzy wicki A. et al. Rola matematyki we spolczesnej technice //
Pr. naukozn. i prognost.— 1973.— N 8.— P. 5—13.
461. Kuntzmann J. Ou vont les mathematiques? Reflexions sur l'enseig-
nement et la recherche.— Paris: Hermann, 1967.— 167 p.
462. К u у k W. Complementarity in mathematics. A first introduction to the
foundat/ons of mathematics and its history.— Dordrecht: Reidel, 1977.—
186 p.
463. La pensee physique contemporaine. Science et humanisme en notre temps /
Ed. par S. Diner, D. Fargue, G. Lochak.— Paris: Fresnel, 1982.— 636 p.
464. Laasonen P. Mathematical models in service of sciences // De-
monstr. math.— 1977.— V. 10, N 2.— P. 281—286.
465. Lake J. A philosophy of mathematics? // Dialectica.— 1974.— V. 28,
N 3—4.— P. 263—270.
466. Larsen I., Rade L., Steele N. С Copenhagen'85: a report
on the second European Seminar on Mathematics in Engineering
Education// Int. J. Math. Educ. Sci. and Technol.— 1986.—V. 7, N 5.—
P. 427—533.
467. L a s d о n L. Optimization theory for large system.— New York: Mac-
millan, 1970.— 523 p.
468. L a s о t a A. Uwagi о problemie zainteresowania i ksztalcenia studentow
matematyki w zakresie zastosuwan // Rocz. Pol. tow. mat.— 1972.—
V. 15, N 2.— P. 35—40.
469. Lax P. et al. Материалы конференции по вопросам обучения
прикладной математике и механике // SIAM Rev.— 1967.— V. 9, N2.—
Р. 314—415.
470. Leclercq R. La logique of the plausible and some of its
applications.— London: Plenum Press, 1974.
471. L i a p о u n о f f A. M. Sur un probleme de Tschebycheff // Зап.
Императорской Акад. наук.— 1905.— Т. 17.— С. 1—32.
472. Lin С. С. On the role of applied mathematics // Adv. Math.— 1976.—
V. 19, N 3.— P. 267—288.
473. Lin С. С Education of applied mathematicians // SIAM Rev.—
1978.— V. 20, N 4.— P. 838—845.
474. Lucas W. F. Growth and new intuitions: can we meet the challenge? //
Math. Tomorrow.— New York e. a., 1981.— P. 55—69.
475. Mac Donald Th. H. The role of heuristic proof in mathematics
teaching// Int. J. Math. Educ. Sci. and Technol.— 1973.— V. 4, N 2.—
P. 103—107.
476. Mac Donald Т. Н. An innovative degree (and diploma) programme
in applied mathematics // Int. J. Math. Educ. Sci. and Technol.— 1976.—
V. 7, N 1.— P. 91— 96.
477. Mandelbrot В. В. Fractials: form, chance, and dimension.— San
Francisco: W. H. Freeman, 1977.— 365 p.
478. Ma n t e uf f el K., Beyer O., Knofel L., Seifjart E.
Die 3edeutung der Mathematik fur die Modellierung, Erkenntnisgewinn-
ung und Beherrschbarkeit technischer Prozesse // Wiss. Z. Techn. Hochsch.
O. Guericke Magdeburg.— 1974.— V. 18, N 4.— P. 355—361.
479. Marczewski E. et al. Rola matematyki w poznawaniu i ksztal-
towaniu swiata zewnetrznego// Nauka pol.— 1971.— V. 19, N 3.—
P. 1—36, 170—180.
480. Mathematical thinking in behavioral sciences.— San Francisco: Freeman,
1968.— 231 p.


348
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
480а. The mathematical training of the nonacademic mathematician // SJAM
Rev.— 1975.— V. 17, N 3.— P. 541—557.
481. Matolcsi T. A concept of mathematical physics. Models in
mechanics.— Budapest: Akad. Kiado, 1986.— 335 p.
482. Matschinski M. Les probability boreliennes et la certitude expri-
mee par des nombres (formellement) differents de l'unite // Pubis. Inst,
statist. Univ. Paris.— 1971 (1974).—V. 20, N 1—2.-P. 87—94.
483. Mc R a e T. Analytical management.— N. Y., 1970.
484. Miles L. Techniques of value analysis and engineering.— New York:
McGrow-Hill, 1972.—366 p.
485. Murray F. J. Applied mathematics: an intellectual orientation.—
N. Y. e. a.: Plenum Press, 1978.— 225 p.
486. Naeve P. CAJ and computational statistic//Compstat Lect. V. 1.
Lect. Comput. Statist. Wurzburg. Wien: 1978.— P. 7—24.
487. Neumann J. von. Der Mathematiker// Mathematiker uber Mathe-
matik.— Berlin e. a., 1974.— P. 29—46.
488. N e vv s о n C. The image of the mathematician// Amer. Math. Mon.
1972.— V. 79, N 8.— P. 878—882.
489. Nickel K. L. E. Konnen wir uns auf die Ergebnisse unserer Rech-
nungen verlassen? // GAMM — Mitt.— 1983.— N 1.— P. 9—29.
490. N i s s M. Applications and modelling in the mathematics curriculum //
Tekst. IMFUFA.— 1985.— N 108.— P. 1—33.
491., N i ss en-M e у er S. Some theorems on the problem of reversibility of
mathematical models // Rept. Dep. Appl. Math. Univ. Bergen.— 1972.—
V. 34.— P. 1—25.
492. Orlowski H., Hawriluk I. Modelovvanie cyfrowe.— Warsza-
wa: 1971.
493. О r m e 1 1 С P. Mathematics, applicable versus pure — and applied //
Int. J. Math. Educ. Sci. and Technol.— 1972.— V. 3, N 2.— P. 125—131.
494. Ottestad P. Statistical models and their experimental
application.— London, 1970.
495. Paine J. A. Introduction to simulation: Programming Techniques
and Methods of Analysis.— N. Y.: Mc Graw-Hill, 1982.— 324 p.
496. P a t у M. Modeles mathematiques et realite physique.— Pensee, 1978,
N 200.— P. 86—101.
497. P e i e г 1 s R. Surprises in theoretical physics.— Princeton (N. Y.):
Princeton University Press, 1979.— 166 p.
498. P e s с h e 1 M., G u m p e r t W. Eine «heilige Kuh» schlachten?
Streitbare Gedanken um angewandte Mathematik // Technische Gemein-
schaft.— 1972, N 11.— P. 52—53.
499. P e s с h e I M., G u m p e г t \V. Eine «heilige Kuh» schlachten? Pra-
xiswirksamkeit der Mathematik erhohen // Technische Gemeinschaft.—
1973.— N 4.— P. 27—29.
500. P i e h 1 e г J., Zschiesche H. U. Simulationsmethoden. (Math.
Ing., Naturwiss., Okon. und Landwirte, 20).— Leipzig: BSB Teubner,
1976.
501. Pinker A., The concept 'model' and its potential role in mathematics
education// Int. J. Math. Educ. Sci. and Technol.— 1981,—V. 12,
N 6.— P. 693—707.
502. P о 1 1 а к Н. О. What industry wants a mathematician to know and
how we want them to know it // Educ. Stud. Math.— 1976.— V. 7,
N 1—2.— P. 109—112.
503. Protomastro G. P., Hallum С R. A mathematical
modelling approach to introductory mathematics // Amer. Math. Mon.— 1977.—
V. 84, N 5.— P. 383—385.
504. R а у А. К. An outlook in teaching and research in mathematics in
educational institutions// Int. J. Math. Educ. Sci. and Technol.— 1973.—
V. 4, N 3.— P. 289—302.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
349
505. Renz P. Mathematical proof: what it is and what it ought to be // Two-
Year Coll. Math. J.— 1981.— V. 12, N 2.— P. 83—102.
506. Richards E. J. Some thoughts on mathematical education // Int.
J. Math. Educ. Sci. and Technol.— 1973.— V. 4, N 4.—P. 377—
395.
507. Roberts F. S. What if utility functions do not exist? // Theory and
Decis.— 1972.— V. 3, N 2.— P. 126—139.
508. Rodin E. Y. Modular applied mathematics for beginning students //
Amer. Math. Mon.— 1977.— V. 84, N 7.— P. 555—560.
509. R о m a n i F. Uso euristico degli elaborated nella ricerca matemati-
ca // Boll. Unione mat. ital.— 1985.— B. 4, N 2.— P. 627—638.
510. Rompe R., Treder H. J. Ober die Einheit der exakten Wissen-
schaften.— Berlin: Akademie-Verlage 1982.— 110 p.
511. Rompe R., Treder H. J. Precision mathematics and
approximation mathematics in physics//Old and New Quest. Phys., Cosmol., Phil,
and Theor. Biol. Essays Honor Wolfgang Yourgran.— N. Y.t Lond.,
1983.— P. 397—409.
512. Rosen R. Complexity as a system property// Int. J. Gen. Syst.—
1977.— V. 3, N 4.— P. 227—232.
513. S a a t у Th. Mathematical models of arms control and disarmament:
Applications of mathematical structures in politics.— New York: Wiley,
1968.— 190 p.
514. S a a t у Th. L., Alexander J. M. Thinking with models.
Mathematical models in the physical, biological and social sciences.— N. Y.—
Oxford: Pergamon Press, 1981.—347 p.
515. Sachs H. Die Renaissance der Mathematik der diskreten Gebilde im
Lichte des Wissenschaftlich-technischen Fortschritts// Wiss. Z. Techn.
Hochsch. Ilmenau.— 1974.— V. 20, N 4—5.— P. 21—31.
516. Sade A., Melsa J. System identification.—N. Y., 1971.
517. Salmon M. H. Consistency proofs for applied mathematics // Synt-
hese.— 1977.— V. 34, N 3.— P. 301—312.
518. Salzer H. E. Scientific notes some remarks on Risel's series // BIT
(Sver.).— 1974, V. 14, N 2.— P. 252—253.
519. Samarski j A. A. Soucasna aplikovana matematika a pocitacove
modelovam // Pokr. mat., fyz. a astron.— 1985.— V. 30, N I.— P. 1 — 14.
520. Saunders P. Mathematics in biology // Rev. biol.— 1984.— V. 77,
N3.— P. 325—341.
52К Schneider I. Beziehungen zwischen mathematischer Praxis und
reiner Mathematik im 17.. Jr. Труды XIII Междунар. конгр. по истории
науки. Секц. 5, 1971.—М.: Наука, 1974.—С. 38—40.
522. Schwartz J. The pernicious influence of mathematics on science //
Logic, Methodology and Philosophy of Science. Proceedings of 1960
Intern. Congr. Stanford.— California: Stanford Univ. Press, 1962.— P. 356—
360.
523. S e г г i n J. Applied mathematics and scientific thought // Lect. Notes
Math.— 1984.— N 1107.— P. 19—27.
524. S h а г m a C. S. The role of mathematics in physics// Brit. J. Phil.
Sci.— 1982.— V. 33, N 3.— P. 275—286.
525. Simulation of systems/ Ed. by L. Dekker.—Amsterdam: 1977.
526. S p a n i e г J. Solving equations is not solving problems // Math.
Tomorrow.-N. Y. e. a., 1981.—P. 21—27.
527. Speedy C, Brown R., Goodwin G. Control theory:
identification and optimal control,— Edinburgh: Oliver & Boyd, 1970.—
293 p.
528. Spiegel E. van. University mathematics and industrial mathematics.
How to bridge the gap // Nieuw arch; wisk., 1986.— V. 4, N I.— P. 67—
74.
529. S t о I 1 e H. W. Zu einigen Problemen der Mathematikausbildung fur
Ingenieure// Rostock. Math. Kolloq.— 1980, N 13.— P. 123—131,


350
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
530. Sussman H. J.. Zahler R. S. Catastrophe theory as applied
to the social and biological sciences: a critique // Synthese.— 1978.—
V. 37, N 2.—P. 117—216.
531. Teodorescu N. Physique theoretique et physique mathematique //
Bull. math. Soc. sci. Mat. RSR.— 1966—1967.— V. 10, N 1—2.— P. 39—
51.
532. Trelinski G. Z badan nad stosowaniem matematyki przes studen-
tow studiow politechnicznych // Rosz. PTM,1985.— Ser. 5, N 5.— P.
67—122.
533. T u k e у J. W. Data analysis, computation and mathematics// Quart.
Appl. Math.— 1972.— V. 30, N 1.— P. 51—65.
534. Uhlenbeck G. E. Reminiscences of professor Paul Ehrenfest //
Amer. J. Physics.— 1956, N 6.— P. 431—433.
535. V a 1 e t t e A. Le point sur la conjecture de Fermat // Bull. Soc. math.
Belg.— 1987.— V. 39.— P. 23—47.
536. Vogel Th. Pour une theorie mecaniste renouvelee.— Paris: 1973.
537. W a e г d e n B. L., van der. Uber die Wechselwirkung zwischen Mat*
hematik und Physik // Elem. Mat.— 1973.— V. 28, N 3.— P. 33—41.
538. Wagon S. Fermat's last theorem // The Math. Intel!., 1986.— V. 8.
N 1.— P. 59—61.
539. Watanabe S. Knowing and guessing. Quantitative analysis of
inference and information.— London, 1969.
540. Waterhouse W. C* Some errors in applied mathematics // Amer.
Math. Mon.— 1977.— V. 84, N 1,— P. 25—27.
541. Weber H., J о b s t E. Einheit von Grundlagen- und Anwendungs-
forschung wahren! // Technische Gemeinschaft.— 1973.— N 3.— P. 30—
31.
542. W e у 1 F. The NRC — AMS conference of training in applied
mathematics// Bull. Amer. Math. Soc— 1954.— V. 60, N 1.— P. 38—44.
543. WT h i t e D. J. Decision methodology. A formalization of the OR
process,— London: Wiley, 1975.— 274 p.
544. White S. M. Beyond behavioral objectives/^ Amer. Math. Mon.—
1975.— v. 82, N 8.— P. 849—851.
545. Wilder R. L. Mathematics and its relations to other disciplines //
Math. Teacher.— 1973.— V. 66, N 8.— P. 679—685.
546. W i 1 1 с о x А. В. England was lost on the playing fields of Eton: a
parable for mathematics//Amer. Math. Mon.— 1973.—V. 80, N 1.-
P. 25—40.
547. Wolfe Ph. An applied mathematician's view of optimization //
Information linkage between applied mathematics and industry. Proc. 1st
Ann. Workshop, Montrelay, Calif., 1978.— N. Y. e. a.: 1979.— P. 261 —
>79.
548. Woodger J. H. The axiomatic method in biologv.— Cambridge;
Cambridge UP, 1937.— 174 P.
549» W г а у Th. Mathematics in context of surveying and cartography //
Can. Surv.— 1976.— V. 30, N 3.— P. 157—159.
550 „ Wright J. H,, von. The logic of preference reconsidered // Theory
and Decis.— 1972.— V. 3, N 2.— P. 140—169.


ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адаме Э. В. (Adams E. W.) 118, 343
Адлемен Л. (Ad)eman L.) 50, 343
Адомян Г. Е. (Adomian G. Е.) 230, 343
Адян С. И. 325
Азбелев Н. В. 103, 338
Айвей Э. С. (Ivcy E. S.) 135, 304, 345
Айзеке P. (Isaacs R.) 3J9, 346
Айзерман М. А. 96, 274, 329
Айне Э. Л. (Ince Е. L.) 265
Акимов Н. П. 10, 329
Акоф Р. Л. (Ackoff R. L.) 12, 144, 202, 329
Акчурин И. А. 29, 329
Алберг Дж. X. (Ahlberg J. H.) 328, 329
Александер Дж. М. (Alexander J. M.) 12,349
Алефельд Г. (Alefeld G.) 15, 329
Алимов Ю. И. 220, 329
Аллез М. (Allais M.) 218, 343
Альвен X. (Alfven H.) 83, 329
Андерсен X. К. (Andersen H. Ch.) 236
Андерсон Б. Д. О. (Anderson B.D.O.) 239,
343
Андерсон О. Д. (Anderson О. D.) 27, 343
Андреенков В. Г. 228. 329
Аникина Г. А. 29. 329
Аннино Дж. С. (Annmo J. S.) 12, 343
Анучина Н. Н. 24 5, 329
Аппель К. (Appel К.) 246, 343
Аппель П. Э. (Appell P. E.) 99, 329
Аптер М. Дж. (Apter M. J.) 37, 329
Араки X. (Araki Huzihiro) 29, 343
Арнолд Л. (Arnold L.) 135, 343
Арсенин В. Я- 255, 341
Арфкен Г. (Arf'Ken G.) 296, 329
Архимед (Archimedes) 21, 33
Арцимович Л. А. 329
Аскеров Н. К. 105, 329
Асмус В. Ф. 86, 329
Ауэр Дж. В. (Ai\er J. W.) 288, 343
Бабенко К. И. 245, 329
Бабский В. Г. 10, 99, 106, 330
Бабушка И. (Babushka I.) 35, 202, 245,
252, 330
Бадкова Т. А. 239, 330
Балдокуин де ля Пеня (Baldoquin de la
Репа G.) 288, 34 4
Балсейро В. Н. (Balseiro V. N.) 288, 344
Банах С (Banach S.) 42
Баннерье Б. (Bannerjee В.) 288, 34 3
Барабашев А. Г. 18, 330
Баренцев Н. Г. 207, 330
Барейс Е. (Bareiss E.) 319, 343
Баркан Д. Д. 187, 330
Варне Р. Ф. (Barnes R. F.) 288, 34 4
Баталова 3. С. 247, 330
Баутин Н. Н. 110, 330
Бахвалов Н. С. 17, 35, 40, ИЗ, 204, 245,
247, 252, 330
Бейер О. (Beyer О.) 135, 155. 347
Бейли Н. Т. Дж. (Bailey N. Т. J.) 34, 83,
146, 188, 239. 253. 262, 330
Бейпей А. К. (Bajpai А. С) 288, 303, 343
Белага Э. Г. 246, 330
Белиш М. (Belis M.) 90, 344
Беллман P. (Bellman R.) 62, 87, 127, 154,
330
Беляев Е. А. 18, 29, 38, 136, 140, 335
Беляев Н. М. 265
Бендер Е. A. (Bender E. А.) 319, 344
Беркенблит М. Б. 12, 34 1
Бернстайн Д. Л. (Bernstein D. L.) 30, 34 4
Берри Г. Г. (Berry G. G.) 322
Бил Э. М. Л. (Beale E. M. L.) 205, 344
Био М. (Bio M.) 296
Биркгоф Г. (Birkhoff G.) 32, 33, 38, 64,
199, 214, 276, 315, 330, 344
Бишоп Э. A. (Bishop E. А.) 27, 344
Блажевич Н. В. 29, 330
Блехман И. И. 6, 7, 10, 35, 86, 92, 118,
171, 177, 179—184, 186—188, 196, 222,
229, 231, 232, 330, 331
Блюм В. (Blum W.) 314, 344
Боголюбов А. Н. 29, 38, 331
Боголюбов Н. Н. J 77-179, 331
Богомолов А. И. 288, 331
Болотин В. В. 87, 90, 265, 331
Болотовский Б. М. 331. 338
Больцман Л. (Boltzmann L.) 66
Бондаренко А. В. 12, 331
Бор Н. X. Д. (Bohr N. Н. D.) 336, 337
БорельЭ. (Borel E.) 47,53,92, 101, 123,331
Борис М. П. 288, 331
Борисова М. 9
Борн М. (Born M.) 51, 64, 331
Браун P. (Brown R.) 14 6, 34 9
Брауэр Л. Э. Я. (Brouwer L. E. J.) 25
Бронль Л., де (Луи де Бройль) (Broglie L.,
de) 82, 286, 331
Буарель P. (Boirel R.) 38, 344
Бунге М. (Burige M.) 239, 241, 331
Бурбаки Н. (Bourbaki N.) 26, 32, 38, 321,
331, 334
Бутенин Н. В. 222, 33 1
Бушкович А. В. (Bushkovitch A. V.) 135,
344
Бэббедж Ч. (Babbage Ch.) 292, 333
Бюффон Ж» (Buffon G.) 123
Валникко Г. М. 108, 335
Валет A. (Valette A.) 49, 350
Вальков К. И. 220, 331
Вандышева Е. В. 288, 331
Варден Б. Л., ван дер (Ван-дер-Варден)
(Waerden В. L., van der) 33, 350
Васильева А. Б. 230, 331
Ватанабэ С. (Watanabe S.) 104, 350
Вебер X. (Weber H.) 6, 350


352
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Вейерштрасс К. Т. В. (Weierstrass К. Th. W.)
22, 38. 242
Вейль Г. (Weyl H.) 25, 28, 331
Вейль Ф (Weyl F.) 319, 350
Веников В. А. 12, 135, 276, 288, 303, 331,
332
Вентцель Е. С. 10, 132, 220. 288, 296, 302,
319, 332. 337, 338
Визгин В. П. 29, 332
Вингер Е. (Wigner E.) 29» 332
Винер Н. (Wiener N.) 84, 332
Винокуров В. А. 230, 331
Витасек Э. (Vitasek E.) 35, 202, 245,
252, 330
Вовк С. Н. 38, 332
Вожель Т. (Vogel Th.) 135. 350
Волосов В. М. 185, 332
Волькенштенн М. В. 272, 332
Вольфе П. (Wolfe Ph.) 205, 350
Ворович И. И. 6, 86, 102, 239, 332
Вуджер Дж. X. (Woodger J. H.) 24 1, 350
Вышнеградский И. А. 23
Вэген С. (Wagon W. R.) 49, 350
Гаврилюк И. (Hawriluk I.) 248, 348
Гайбуллаев Н. 314, 332
Галактионов Ю. И. 85, 171, 213, 335
Галилей Г. (Galilei G.) 21
Гамильтон У. P. (Gardner M.) 327
Гарднер М. (Gardner M.) 75, 332
Гартог Дж. П., ден (Ден Гартог) (Наг-
tog J. P., den) 266, 332
Гаскелл Р. Э. (Gaskell R. E.) 319, 345
Гаусс К. Ф. (Gauss С. F.) 22, 24, 33
Гахов Ф. Д. 338
Гегель Г. В. Ф. (Hegel G. W. F.) 65
Гейнес Б. P. (Gaines В. R.) 62, 345
Гельмгольц Г. Л. Ф. (Helmholz H. L. F.) 237
Гёдель К. (Godel К.) 27, 43, 324
Гжегорчик A. (GrzegorczyK A.) 20, 122,332
Гилл П. (Gillies D. А.) 135, 345
Гиллис Д. A. (Gill Ph.) 220, 345
Гильбан Ж. Т. (Guilband G. Th.) 10 1, 34G
Гильберт Д. (Hilbert D.) 24, 37, 40, 43.
198, 332
Гинзбург В. Л. 47, 332
Глушков В. М. 26, 319, 332
Гнеденко Б. В. (Gnedenko В. V.) 12, 38,
288, 302, 303, 332, 333, 337, 338, 346
Годунов С. К. 17, 242, 333
Голикова Т. И. 12, 338
Горстко А. Б. 102, 332
Готгннгер Х.-В. (Gottinger H.-W.) 90, 346
Грано Д. (Granot D.) 195, 344
Грекова И. 10, 30, 35, 87, 125, 163. 204.
258, 280, 333
Гринспен X. (Greenspan H.) 38, 34 6
Грннфельд У. К. 288, 333
Гроот М. X., де (De Groot M. H.) 90, 333
Гротендик A. (Grothendieck A.) 314, 346
Грюнбаум A. (Grunbaum A.) 322, 346
Губанова И. И. 99, 138, 242, 276, 339
Губин В. И. 288,331
Гударулнс И. (Goudaroulis J.) 29, 344
Гудвин Г. (Goodwin G.) 146, 349
Гудстейн Р. Л. (Goodstein R. L.) 98, 333
Гумперт В. (Gumpert W.) 6, 34 8
Гурвиц A. (Hurwitz A.) 266
Гусев Л. А. 62, 333
Гутер Р. С. 25. 3 33
Гэйфмен X. (Gaifman H.) 92
333
343
Даламбер Ж. Л. (D'Alembert J. L.) 69
Далла Кьяра М. Л. (Dalla Chiara M. L.)
29, 344
Даммет М. (Dummet M.) 47, 345
Данциг Д., ван (Ван Данциг) (Dantzig D.,
van) 47, 345
Дафин Р. Дж. (Duffin R. J.) 29, 345
Девис М. (Davis M.) 45, 333
Дезин А. А. 213, 333
Деккер Л. (Dekker L.) 34 9
Денсмаа М. 288, 333
Джамери Г. (Jumarie G.) 62, 346
Джанелидзе Г. Ю. 166, 181, 203, 330,
Джемс Д. Дж. Г. (James D. J. G.) 288, ~™
Дженкинс Т. A. (Jenkins Т. А.) 288, 343
Джефрис X. (Jeffreys H.) 90, 34 6
Джеффи A. (Jaffe A.) 29, 346
Джонс Дж. К. 184, 333
Джоуль Дж. П. (Joule J. P.) 237
Диксон Дж. P. (Dixon J. R.) 12, 193, 268,
333
Дингес X. (Dinges H.) 319, 345
Динер И. Я- 281, 333
Динер С. (Diner S.) 34 7
Дирак П. А. М. (Dirac P. A. M.) 23, 141
Дирихле П. Г. Л. (Dirichlet P. G. L.) 42
Добров Г. М. 319, 332
Доил Л. (Doill L.) 12, 126, 334
Дольберг М. Д. 157, 334
Дуб Дж. Л. (Doob J. L.) 22, 334
Дубровский В. В. 12, 340
Дьедонне Ж. (Dieudonne J.) 26, 31, 32, 70,
334, 345
Дьяченко В. Ф. 17, 334
Дэвес P. (Dawes R.) 91, 344
Дэвис П. Дж. (Davis P. J.) 38. 53. 345
Дюбуа Д. (Dubois D.) 62, 91, 345
Дюрик М. (Duric M.) 24 1, 345
Евбулид (Eubulfdes) 321
Евдокс Книдский (Eudoxos Knidios) 20
Евклид (Eukleides) 19. 20, 21, 67, 290, 338
Егер A. (Jaeger A.) 135, 346
Ежкова И. В. 92, 334
Ефимов А. В. 228, 319, 334, 337
Жак Я- Е. 309, 334
Жанденский Ж. (Жан Жанденский) 92
Жуковский Н. Е. 145
Забрейко П. П. 108, 335
Заде Л. A. (Zadeh L. А.) 62, 330, 334
Займан Дж. М. (Ziman J. M.) 289, 307, 334
Зайфьярт Э. (Seifjart E.) 135, 347
Закс X. (Sachs H.) 247, 349
Зелинская Т. Я- 314, 334
Зельдович Я- Б. 48, 56, 77, 121, 214, 233,
234, 236, 284, 296, 334
3?нон Элейский (Zenon Eleates) 20. 322
Зуев Э. Н. 12, 332
Зхсман X. И. (Sussman H. J.) 125, 350
Иванилов Ю. П. 303, 334
Израиль Г. (Israel G.) 70, 346
Илиев Л. 12. 334
Ишлииский А. Ю. 10, 12, 181, 196, 334
Дайм К. Л. (Dym С. L.) 135, 304, 345
Дайсон Ф. Дж. (Dyson F. J.) 27, 333
Йобст Е. (Jobst E.) 6, 350


ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ 353
Кайберг Г. (Kyburg Н.) 90. 104. 146. 334
Кантмл М. К. (Chvtil M. К.) 29. 344
Каыке Э. (Kamke E.) 57
Каиовей В. Г. 137. 334
Кантор Г. (Cantor G.) 22, 23. 40, 323
Канторович Л. В. 135, 321. 334, 338
Капица П. Л. 28. 177, 186. 276,334
Кармин А. С. 10
Карие л Р. (Сагпар R.) 90, 344
Карио Н. Л. С. (Carnot N. L. S.) 237
Карпелевич Ф. И. 288, 319, 337
Карлунин В. А. 65, 334
Карсон Э. P. (Carson E. R.) 12, 34 5
Карташев Э. М. 288, 331
Кертвелишвили Н. А. 85. 171, 213, 335
Картрайт М. (Cartwrisfht M.) 38, 34 4
Касти Д. (Casti J.) 135, 335
Кастро Л. И. (Castro L. J.) 288, 344
Каттсофф Л. (Kattsoff L.) 38. 346
Кахане Дж. П. (Kahane J. P.) 288, 346
Кац М. (КасМ.) 11, 32, 77. 82, 84. 125,
. 238, 246. 335
Кедров Б. М. 268. 335
Кейнс. Дж. М. (Keynes J. M.) 90
Келли П. Дж. (Kelly P. J.) 288. 346
Кемени Дж. Г. (Kemeny J. G.) 12, 135,
335, 34'6
Кеплер И. (Kepler J.) 21. 271, 272
* Кирхгоф Г. P. (Kirchhoff G. R.) 118
Киселева Н. А. 18, 2 9, 38. 136. 140. 335
Китайгородский А. И. 151, 272, 335
Клайн М. (Kline M.) 27. 29, 65, 297. 335
Кламкнн М. С. (Klamkin M. S.) 319, 345
Кларк А. 34, 335
Клаузен Дж. (Clausen J.) 135, 205, 347
Клаузиус Р. Ю. Э. (Clausius R. J. E.) 237
Клейн Ф. (Klein F.) 25, 32, 33, 69. 335
Клемент Дж. (Clement J.) 288, 344
Клингмен Д. (Klingman D.) 135. 205, 347
Кнефель Л. (Knofel L.) 135, 347
Кнут Д. Э. (Knuth D. Е.) 48, 347
Кобринский А. Е. 186, 335
Коваленко И. Н. 276
Кодряну И. Р. 135, 335
Коллатц Л. (Collatz L.) 38. 344
Коллинс Г. Э. (Collins G. Е.) 50, 344
Колмогоров А. Н. 48, 335
Копачевский Н. Д. 99, 106,330
Корн Г. (Korn G.) 130, 335
Корн Т. (Korn Т.) 130, 335
Костомаров Д. П. 132, 244. 34 1
Коул Дж. (Cole J.) 85, 192, 335
Кофмцн A. (Kaufmann.A.) 135, 335
Кохен Г. (Cohen H.) 154. 318. 335
Кочина П. Я. 29. 335
Кошелев А. И. 288, 335
Коши О. Л. (Cauchy A. L.) 22, 290
Коэмбс К. (Coembs С.) 91. 344
Коэн П. (Cohen P.) 27, 335
Красносельский М. А. 10, 3 1. 108. 314, 335
Краснощекое П. С. 135, 335
Кребер К. 240
Крейн С. Г. 105, 329
Крейт К. (Kreith К.) 12. 347
Крепел П. (Сгере! Р.) 29, 344
Крылов А. Н. 11, 37, 125, 336
Крымский С. Б. 29, 14 1, 336
Кудрявцев А. Ф. 29, 336
Кудрявцев Л. Д. 135. 288, 336
Кузнецов Б. Г. 24 1, 336
Куйк В. (Kuyk W.) 214, 347
Кулен Т. (Coolen Т.) 135. 344
Кулик В. Т. 92, 336
Кун Т. С. (Kuhn Т. S.) 332, 336
Куниц И. А. 163. 336
Кунцманн И. (Kuntzmann J.) 29. 347
Купцов В. И. 29. 337
Курант P. (Courant R.) 18. 20, 30, 33. 38.
42, 43. 64. 79. 336
Курантов А. П. 92. 336
Куше Л. Д. 336
Кушнер Б. А. 325, 336
Кшивиикий A. (Krzywickl A.) 29, 347
Лаасонен П. (Laasonen P.) 29, 347
Лаврентьев М. А. 201, 206, 336
Лагранж Ж- Д. (Lagrange J. L.) 22. 242.
243, 264
Лакатос И. 'Lakatos J.) 68. 336
Лакшин В. Я. 336
Ланда П. С 10
Ландау Л. Д. 126, 187, 288. 289. 312, 336
Ланцош К. (Lanczos С.) 24. 254, 296. 336
Лаплас П. С (Lamplace P. S.) 140, 242, 279
Лаптев Г. И. 105, 329
Ларсен И. (Larsen I.) 288. 347
Ласота A. (Lasota A.) 319. 347
Левин X. П. (Levine H. Р.) 118. 343
Лежандр А. М. (Legendre A. M.) 24
Леклерк P. (Leclercq R.) 90, 347
Леонидов Л. .135
Леонов А. А. 336
Леонтьев В. (Leontief W.) 83, 219, 336
Лиман М. М. 34 2-
Лин К. К. (Lin С. С.) 38, 319, 347
Лниден Ю. (Linden E.) 134.336
Литлвуд Дж. И. (Littlewood J. E.) 49, 52.
81, 336
Лифшиц Е. М. 187, 289, 336
Ложинье n.XLauginie P.) 298. 346
Лойцянскнй Л. Г. 182, 187,336
Локхед Дж. (Lochhead J.) 288. 344
Ломов С. А. 230, 331
Лопиталь Г. Ф. A. (L'Hospital G. F. A., de) 65
Лоренц А. А. 241, 336
Лось Е. 92
Лошак Ж- (Lochak G.) 34 7
Лук А. 64, 336
Лукас В. Ф. (Lucas W. F.) 27, 347
.Луначарский А. В. 66
Лэйк Дж. (Lake J.) 38. 347
Лэйуайн К- Ф- (Laywine С. F.) 288. 343
Лэкс П. (Lax P.) 319. 347
Лэсдон Л. (Lasdon L.) 75. 34 7
Люстерник Л. А. 24 7
Ляпунов А. М. (Liapounoff A. M.) 24, 37,
198, 347
Магницкий Л. Ф. 48, 292
Майер Ю. P. (Mayer J. R.) 237
Майлс Л. (Miles L.) 91. 348
Макдональд Т. X. (MacDonald Th. H.) 297.
319, 347
Мак-Лоун P. P. (McLone R. R.) 337
Мак-Рей Т. (McRae Т.) 66. 136. 348
Максвелл Дж. К. (Maxwell J. С.) 23, 265
Малахова О. 3. 187, 188.330
Мандельброт Б. Б. (Mandelbrot В. В.) 96,
347
Мандельштам Л. И. 28, 148. 336
Мандерс К. (Manders K-) 50. 343
Манин Ю. А. 83. 246, 337
Манк Г. С. (Monk G. S.) 288, 344
Мантойфель К- (Manteuffel КО 135. 347
Марков А. А. (мл.) 325
Маркхэм Ф. 278
Марри В. (Murray W.) 135. 345
Марри Ф. Дж. (Murray F. J.) 12. 348


354
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Марчевский Е. (Marczewski E.) 38, 34 7
Маслов В. П. 28
Маете Л. P. (Mustoe L. R.) 288, 303, 343
Матиясевич Ю. В. 246, 325, 337
Матолчи Т. (Matolcsi Т.) 12, 348
Матфей 92
Мачннский М. (Matschinski M.) 53, 348
Машкевич В. С. 29, 337
Мелса Дж. (Melsa J.) 133, 34 9
Меркин Д. Р. 10, 173, 337
Мещерский И. В. 306
Мигдал А. А. 249, 337
Мигдал А. Б. 53, 64, 82, 124, 193, 207,
256, 263. 273, 274, 276, 337
Мизес P. (Mises R.) 276, 337
Мику М. (Mikou M.) 29, 344
Мнрошников В. В. 62, 337
Мятропольский Ю. А. 10, 29, 17 7, 178, 230
331, 337
Михайлов Г. К. 6, 86, 332
Моисеев Н, Д. 223
Моисеев Н. Н. 10, 12, 17, 55, 88 112. 135.
155, 185, 202, 204, 245,248,249 263,337
Молчанов А. М. 12, 278, 337
Монтень М., де (Montaigne M., de) 85
Моргунов Б. И. 185, 332
Морделл Л. Дж. (Mordell L. J.) 31 338
Морозов К- Е. 135, 338
Моррис У. 90, 214, 219, 338
Муллер Э. P. (Muller E. R.) 288, 343
Мухачева Э. А. 288, 319, 337
Мышкис А. Д. 6, 7, 10, 35. 48, 56, 77, 86.
92, 99, 106, 121, 214. 234, 284, 285, 302
303, 330, 331, 332 334, 337, 338
Мэберри Дж. П. (МауЬеггу J. Р.) 288 343
Налимов В. В. 12, 29, 64, 66, 84. 85 90
94. 113, 135, 218, 220, 262 281,'288!
319, 337, 338
Напалков А. В. 27, 338
Недялков И. 135, 338
Нейман Дж., фон (Neumann J., von) 32 348
Неймарк Ю. И. 131, 222, 277, 319,'327.
331, 338
Некрасов П. А. 89, 338
Немец Т. (Nemetz Т.) 288. 346
Немыцкий В. В. 327, 338
Нернст В. Ф. Г. (Nernst W. F. Н.) 237
Нив П. (Neave P.) 319, 348
Никель К- Л. Э. (Nickel К. L. Е.) 15. 348
Нильсон Э. Н. (Nilson E. N.) 328, 329
Нисс М. (Niss M. S.) 288, 348
Ниссен-Мейер С. (Nissen-Meyer S.) 218, 348
Новиков П. С. 325
Новожилов В. В. 10, 28, 34, 36, 38, 56. 338
Ньюсон К. (Newson С.) 27, 348
Ньютон И. (Newton I.) 22, 33, 213
Нэш Дж. (Nash J.) 75
Обухов А. М. 150, 338
Оккам У. (Ockham W.) 336
Орбели Л. А. 126
Орлов А. И. 63, 338
Орловский С. А. 62, 339
Орловский X. (Orlowski H.) 248, 348
Ормелл К- П. (Ormell С Р.) 38, 34 8
Островский А. Н. 51
Оттестед П. (Ottestad P.) 219, 34 8
Ощепков П. 339
Павлов И. П. 126
Пайерлс Р. Э. (Peierls R. Е.) 64, 348
Панков П. С. 246
Пановко Я. Г. 6, 7, 10, 35. 86, 92, 99.
138, 166, 173,242,276,320,331,333,339
Панченко А. И. 211, 339
Паповян С. С. 12, 136, 339
Парс Л. A. (Pars L. А.) 339
Паста Дж. P. (Pasta J. R.) 213
Патачкувна К- (Pataczkowna К.) 238
Пати М. (Paty M.) 135, 348
Пейн Дж. A. (Paine J. A.) 248, 348
Первозванский А. А. 75, 339
Пермионов В. Я. 18, 29, 38, 70. 136, 140,
335, 339
Петров А. А. 135, 335
Петров Ю. А. 47, 339
Петров Ю. В. 24 1, 339
Петров Ю. П. 10
Пешель М. (Peschel М.) 6, 12, 339, 3 48
Пинкер A. (Pinker A.) 135. 348
Пихлер И. (Piehler J.) 135, 348
Платон (Platon) 23
Плиско В. Е. 135, 334
Пойа Д. (Poiya G.) 7, 33, 86. 90, 92, 98,
100, 101, 107, 111-113, 115, 118, 119,
227, 271, 285, 293, 296, 299. 320, 339
Поликарпов В. С. (Полжарпов В. С.) 29, 339
Поллак X. О. (Pollak H. О.) 319, 348
Полунов Ю. Л. 333
Поспелов Д. А. 92, 334
Поттер Д. (Potter D.) 17. 135. 214, 339
Прагер М. (Prager M.) 35, 202, 245, 252, 330
Прагер У. (Prager W.) 37, 83. 144, 169,
202 317 339
Праде X. (Prade H.) 62, 91, 345
Прево Д. (Prevot D.) 29, 344
Преображенский Н. Г. 107, 135. 248, 249.
342
Протомастро Г. П. (Protomastro G. Р.) 288,
348
Прутков К. 89, 105, 216, 340
Пуанкаре A. (Poincare H.) 22, 32, 33, 40,
54, 78, 92, 101, 187, 293, 297, 333
Пфанцагль И. (Pfanzagl J.) 91, 339
Пых Ю. А. 214, 339
Рабинович И. М. 270, 273, 275, 339
Рабинович М. И. 222. 339
Рагульскис К. М. 177, 186, 339
Разумихин Б. С. 135, 339
Разумовский О. С. 107, 135, 248, 249,342
Райбман Н. С. 133, 339
РайтДж. 3., фон {Wright J. H., von) 92, 350
Райт М. X. (Wright M. Н.) 135, 345
Рассел Б. (Russell В.) 322
Раус Ъ. (Routh Ё.) 171, 266
Рашевский П. К. 47, 339
Резерфорд Э. (Rutherford E.) 276, 339
Рей А. К. (Ray А. К) 319, 348
Рей Т. (Wray Th.) 12, 350
Рейд Л. (Rade L.) 288, 347
Рейнольде О. (Reynolds О.) 182
Ренц П. (Renz P.) 65, 34 9
Реньи A. (Renyi A.) 135, 339
Ретикус Г. И. (Rheticus G. I.) 271
Риман Б. (Riemann В.) 22
Ричарде Э. Дж. (Richards E. J.) 288, 349
Роббинс Г. (Robbins G.) 18, 20, 30. 43, 64,
79, 336
Роберте Ф. С. (Roberts F. S.) 259, 349
Родин Э. И. (Rodin E. Y.) 319, 349
Розен P. (Rosen R.) 133, 349
Розенброк X. X. (Rosenbroch H. Н.) 81,
83, 109, 132, 140, 203, 282, 296, 339
Романи Ф. (Romani F.) 246, 349
Ромпе P. (Rompe R.) 29, 349


ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
355
Рувавнн Г. И. 146, 241, 339. 340
Румер Ю. Б. 336
Руссель Э. К. (Russel E. С.) 12, 343
Рутнцкий Я. Б. 108, 335
Рябенький В. С. 242. 333
Рябов Ю. А. 231, 340
Рябушкня Т. В. 340
Саати Т. Л. (Saaty Th. L.) 12, 136, 349
Садовский Л. Е. 302, 337
Сазонов А. А. 288, 334
Салль Ф. (Salles F.) 38, 344
Салмон М. X. (Salmon M. Н.) 92. 349
Салцер X. Э. (Salzer H. Е.) 15, 34 9
Самарский A. A. (Samarskij А. А.) 38, 135.
303, 340, 349
Самойленко С. И. 209. 340
Саснени М. В. (Sasieni M. W.) 12. 144,
202. 329
Свечкарева М. А. 116
Сеа Ж. (Сёа J.\ 340
Северн Ф. (Severi F.) 68, 340
Сегел Л. A. (Segel L. А.) 207
Седов Л. И. 10. 129. 130. 151, 152, 163.
194. 340
Сейд A. (Sade A.) 133. 349
Сендов Б. 26, 340
Серрии Дж. (Serrin J.) 135, 34 9
Сименон Ж. (Simenon G.) 133, 340
Симоне Ф. К- (Simons F. Н.) 288, 346
Синай Я. Г. 222, 340
Синха Д. К. (Sinha D. К.) 288. 343
Скатецкнй Е. Г. 288, 340
Скворцов В. В. 90, 340
Скурихин В. И. 12, 340
Скьюис A. (Skewis A.) 49
Смирнова И. М. 62. 333
Смит Дж. М. (Smith J. M.) 12. 29, 85. 218.
262, 340
Снелл Дж. Л. (Snell J. L.) 135. 335
Сойер У. У. (Sawyer W. W.) 340
Сокольников И. С. 68, 340
Солбожаннн Л. А. 99* 106, 330
Соловьев А. С. 62, 340
Соломенцев Е. Д. 338
Солоноуц Б. О. 285, 338
Сомов О. И. 24 2
Сондерс М. A. (Saunders M. А.) 135, 345
Сондерс П. (Saunders P.) 228, 349
Спаньер Дж. (Spanier J.) 319, 349
Спидн К. (Speedy С.) 146, 349
Спиноза Б. <Spinoza В.) 20
Спон У. Дж (мл.) (Spohn W. J., Yr.) 27, 340
Степанов В. В. 327, 338
Степанов Г. Ю. 10
Стеценко В. Я. 108. 335
Стил Н. К- (Steele N. С.) 288, 34 7
Стодола A. (Stodola A.) 266
Стори С. (Storey С.) 81, 83, 109. 132, 140,
203, 282, 296, 339
Стретт М. Дж. О. (Strutt M. J. О.) 265
Стрнжак Т. Г. 187, 340
Стронгина Р. П. 248, 340
Стяжкин Н. И. 92, 336
Султангазин У. М. 17, 333
Тарскнй A. (Tarski A.) 42, 6 . 69, 340
Твен М. (Twain M.) 23 7
Тверскн A. (Tversky A.) 91. 344
Теодореску Н. (Teodorescu N.) 29, 350
Терещенко В. И. 319. 332
Тимошенко С. П. 26»
Тихонов А. Н. 132, 135. 230. 244, 255,
340. 34 1
Толстова Ю. Н. 228. 329
Томас P. (Thomas R.) 346
Томпсон Дж. Л. (Thomspson G. L.) 135, 335
Томсон У. (лорд Кельвин) (Thomson W.
Kelvin) 148. 171, 242
Тредер X. (Treder H.) 29, 349
Трелиньский Г. 3. (Trelinski G. Z.) 288, 350
ТрисГ. Л. В..ван(ВанТрис)(ТгеезН. L. V.)
82. 331
Тростников В. Н. 27, 44, 51, 86, 341
Тузиикевич А. В. 12. 341
Туркхайм Э., де (Turkheim E., de) 288, 346
Тутубалнн В. Н. 220, 281. 329. 341
Тьюки Дж. В. (Тикеу J. W.) 38, 350
Тэйлор К. A. (Taylor С. А.) 288. 346
Тэт П. Г. (Tait P. G.) 171, 242
Тюпцов А. Д. 99. 106, 330
Тютчев Ф. И. 141
Уайт Д. Дж. (White D. J.) 91, 263. 350
Уайт С. М. (White S. М.) 297. 350
Уемов А. И. 101, 34 1
Узбек К. М. 29. 341
Уилдер Р. Л. (Wilder R. L.) 262, 350
Уилкокс А. Б. (Willcox А. В.) 27, 350
Улам С. М. (Ularn S. М.) И, 32 82, 84,
125, 213, 238, 246, 335. 341
Уленбек Дж. Ю. (Uhlenbeck G. Е.) 77,
341, 350
Уокер Д. (Walker D.) 273, 303, 343
Уолш Дж. Л. (Walsh J. L.) 328, 329
Уотерхаус В. К. (Waterhouse W. С.) 283, 350
Урланнс Б. Ц. 238. 34 1
Усачев Ю. Д. 338
Фаддеев Д. К. 298
Файртхорн Р. 126
Фараро Т. Дж. (Fararo Th. J.) 91, 345
Фарже Д. (Fargue D.) 347
Фаулкнес П. (Foulknes P.) 64, 34 5
Федоренко Р. П. 209, 34 1
Федоров И. Г. 38, 341
Фейнберг Е. Л. 86, 122. 341
Фейнман Р. Ф. (Feynman R. Р.) 259, 34 1
Феннель В. (Fennel W.) 65, 345
Феодосьев В. И. 10. 12, 131, 142, 197,
220, 255, 256, 341
Ферма П. (Fermat P.) 324
Филин А. П. 208, 34 1
Финетти Б. (Finetti В.) 90, 345
Финкельстейн Л. (Finkelstein L.) 12, 318
Финни Р. Л. (Finney Я. L.) 288, 345
Фихтенгольц Г. М. 318
Фишер В. (Fischer W.) 135. 345
Флегг X. Г. (Flegg H. G.) 288, 34 5
Фомин С. В. 12, 34 1
Фор P. (Faure R.) 135, 335
Форд Дж. В. (Ford G. W.) 77, 341
Форсайт Г. (Forsythe G.) 283, 345
Фрауэнтал Дж. К. (Frauenthal J. С.) 29, 34 5
Френкель В. Я. 34 1
Фрндрихс К. О. (Friedrichs К- О.) 207
Фройденталь Г. (Freudenthal H.) 27, 313.
314, 341
Фурье Ж. Б. Ж. (Fourier J. В. J.) 32
Фуфаев Н. А. 222, 331
Хазевинкель М. (Hazewinkel M.) 246, 346
Хакен В. (Haken W.) 246, 343
Хаксли Дж. (Huxley J.) 37, 273


356
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Халил 3. (Khalil Z.) 288, 346
Халмош П. P. (Halmos P. R.) 319, 34 1
Хан В. (Hahn W.) 38. 346
Харел Д. (Harel D.) 87, 34 6
Харкевич А. А. 86. 34 1
Харлоу Ф. (Harlow F.) 213
Харченко Ф. М. 10
Хаусон А. Г. (Howson A. G.) 288, 346
Хачигьян Дж. (Hachigian J.) 288. 346
Хачкаляи С. В. 29, 341
Хевисайд О. '.Heaviside A.) 81, 82, 331
Хеджмен Л. A. (Hageman L. А.) 245, 346
Хеллум К. P. (Hallum С. R.) 288. 348
Хемельринк И. (Hemelrijk J.) 220, 346
Хемминг Р. В. (Hamming R. W.) 6, 87.
127, 204, 245, 246, 251, 253, 257, 271,
297. 298, 341
Хенке X. И. (Hoehnke H. J.) 135. 346
Хенричи П. (Henrici P.) 288, 342
Хервиг X. 29, 342
Хермерен Г. (Hermeren G.) 130, 346
Херцбергер Ю. (Herzberger J.) 15, 3 29
Херш P. (Hersch R.) 27, 38, 335, 345
Хлебников В. 137
Ходкинсон A. (Hodkinson A.) 275
Холл К. A. (Hall С. А.) 319, 346
Хомхолова Н. Б. 29,342
Хорафас Д. Н. (Chorafas D. N.) 12, 81.
216, 280, 342
Христидис Т. (Christidis Th.) 29, 344
Худсон Д. Дж. (Hudson D. J.) 235, 342
Хургин Я. И. 10, 12, 55, 101, 123, 135.
204, 218 221, 265, 302, 337, 342
Хьюард A.'(Huard A.) 29, 344
Хьюбер П. (Huber J.) 61, 342
Цалер Р. С (Zahler R. S.) 125, 350
Целкова Н. В. 27, 338
Цшише Х.-У. (Zschische H.-U.) 135, 348
Чебышев П. Л. 22
Челомей В. Н. 179, 342
Черчмен У. (Churchman W.) 241, 342
Честертон Г. К. (Chesterton G. К.) 4 3, 342
Читэм Т. Э. (мл.) (Cheatham Т. Е. Jr.)
26. 344
Чувиковский В. С. 22 7, 34 2
Чуковский К. 95
Шабат Б. В. 201, 206, 336
Шамфор 37
Шарма К. С. (Sharma С. S.) 29, 349
Шаррюо A. (Charrueua A.) 99
Шварц Дж. (Schwartz J.) 58, 121, 268, 349
Шеннон Р. Э. (Shannon R. Е.) 248, 342
Шикова Р. Н. 12. 331
Шифрин В. Б. 12, 340
Шляпентох В. Э. 214
Шмитт О. Г. (Schmitt О. Н.) 92, 342
Шнайдер И. (Schneider I.) 22, 34 9
Шнейберг Я. А. 288, 303, 332
Шпигель Э., ван (Spiegel E., van) 27, 349
Шрейдер Ю. А. 44, 131,342
Штейнгауз Г. (Steinhaus H.) 34, 63, 66,
68, 205, 240, 281, 315, 342
Штеттер X. И. (Stetter H. J.) 97, 342
Штолле Х.-В. (Stolle H.-W.) 288, 349
Шутов А. Г. 64, 342
Эддингтон А. С. (Eddington A. S.) 271
Эйлер Л. (Euler L.) 22, 24, 111, 275. 320.
328
Эйнштейн A. (Einstein А.) 29, 66. 96, 101
336, 341, 34.2
Энджер Г. (Anger G.) 29. 343
Эндрюс Дж, Г, (Andrews J. G.) 337
Эренфест П. (Ehrenfest P.) 29, 269, 350
Эшби У. P. (Ashby W. R.) 48, 342
Юдович В. И. 6, 86, 332
Юза М. (Jusa M.) 241, 346
Яблонский А. И. 12. 342
Ягер Р. 338
Яглом И. М. 29, 43, 135, 338. 342
Яковлев В. П. 55, 34 2
Янг Д. М. (Young D. М,) 245, 346
Яненко Н. Н. 107, 135, 248, 249, 342
Яновская С. А. 39, 70, 322, 343
Яруткин Н. Г. 288, 343
Яунземс А. Я. 288, 343


Научное издание
БЛЕХМАН Илья Израилевич, МЫШКИС Анатолий Дмитриевич,
ПАНОВКО Яков Гилелевич
МЕХАНИКА И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
Логика и особенности приложений математики
Заведующий редакцией Л. А. Русаков. Редакторы А. Г. Мордвинцев, Д. С. Фурманов
Художественный редактор Г. И. Кольченко. Технический редактор С. #. Шкляр
Корректоры О. А. Бутусова, Н. Д. Дорохова
ИБ № 32708
Сдано в набор 30.03.90. Подписано к печати 23.10.90. Формат 60X90/16. Бумага тип.
№ 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 22.5. Усл. кр.-отт. 22,5.
Уч.-изд. л. 28,78. Тираж 4000 экз. Заказ № 240. Цена 5 р. 50 к.
Издательско-производственное и книготорговое объединение «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
vl 17071 Москва В-71, Ленинский проспект. 15
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая
Образцовая типография» Государственного комитета СССР по печати. 113054, Москва,
Валовая. 28
Отпечатано во 2-oft типографии издательства «Наука»
121099 Москва Г-99, ШубинскиА пер,, 6. Заказ 986


SYNOPSIS
of the book «Mechanics and Applied Mathematics: The Logic and Characteristic
Features of Mathematical Applications» by I. I. Blekhman, A. D. Myshkis and
Y. G. Panovko (2nd edition, Moscow, «Nauka», 1990, 350 pages)
1. INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
L I. Blekhman (b. 1928)-—professor, Doctor of Physical and
Mathematical Sciences, head of the fundamental studies department of the All-Union
Research and Development Institute of Mineral Resources (Leningrad). Member of
the National Committee of the USSR for Theoretical and Applied Mechanics.
Member of three scientific councils of the USSR Academy of Sciences.
Collaborator of the journal «Applied Mathematics and Mechanics»
One of the leading specialists in the domain of applied mathematics and
mechanics, non-linear oscillations and vibration engineering, he has laid the
foundations of vibration displacement theory and of revolving bodies
synchronization theory, discovered and studied the phenomenon of self-synchronization
of unbalanced rotors. I. I. Blekhman is the author of the following monographs:
«Vibration Displacement» (in collaboration with G. J. Janelidze), «Dynamic
Systems Synchronization», «Synchronization in Nature and Engineering»,
«What can Vibration do?» and also of more than 150 papers. He is editor of the
second volume of the «Vibration in Engineering» handbook in 6 volumes. Several
of his books and articles have been translated into foreign languages.
I. I. Blekhman is the author of a number of inventions. Some of the leading
firms in the USA, Japan, Bulgaria and Iran have bought the right of using them.
A. D. Myshkis (b. 1920)—Doctor of Physical and Mathematical sciences,
professor of the higher mathematics department of the Moscow Railway
Transport Institute.
His scientific interests lie basically in the domain of theory and application
of differential equations and adjacent fields of mathematics. His published
works include more than 230 papers, 10 monographs and textbooks translated into
10 languages. Among these—«Linear Differential Equations with a Delayed
Argument» (3 editions), «Elements of Applied Mathematics» (in collaboration
with academician Y. B. Zeldovitch—8 editions), «Lectures in Higher
Mathematics» (9 editions), «Hydrodynamics in Zero-Gravity State» (in collaboration —
2 editions).
Ya. G. Panovko (b. 1913)—corresponding member of Latvian SSR
Academy of Sciences, doctor of technical sciences, professor of the Theoretical
mechanics department of the Leningrad Shipbuilding Institute, member of the
National Committee of the USSR for Theoretical and Applied mechanics, member
of two scientific councils of the USSR Academy of Sciences.
Y. G. Panovko is the author of numerous publications on stability and
vibrations in elastic systems. His published monographs include: «Statics of
Elastic Thin-Walled Rods» (in collaboration with G. J. Janelidze), «Basic
Principles of the Applied Theory of Elastic Systems Vibrations» (5 editions),
«Stability and Vibrations of Elastic Systems» (in collaboration with I. I. Guba-
nova—6 editions), «Introduction to the Mechanical Vibrations Theory» (3
editions), «Introduction into Mechanical Collision Theory», «Mechanics of the
Deformed Solid Bodies» as well as a number of papers in academic journals, some
of which were published in English.
2. ABSTRACT
In this book the authors have endeavored to present a systematic review
of the basic principles of applying mathematics for solving practical problems
(especially in the domain of mechanics) and of the typical methods of reasoning
in this process. Emphasis has been laid on the idea that the logic of applied
studies based on mathematics is essentially different (and cannot be but different)


from classical formal logic, characteristic of «pure» mathematics. The foregrmrfH
in applied mathematics is taken not by the rigidly deductive method, but by
«rational» reasoning (in the well-known book by G. Polya it is called «plausible
reasoning»).
The specific character of applied mathematics is universally
acknowledged—many valuable ideas on this subject have been published in books,
scientific papers and proceedings of numerous conferences; a number of
interesting and keen observations expressed in the course of discussions remain
unpublished and form a store of oral «folklore». Up to now this rich fund of ideas
has not been properly summed up, integrated into a coherent whole and
transformed into engineering principles. The authors have endeavored to achieve this
task. In so doing they have drawn freely from the works of numerous
predecessors (more than 600 names of other scholars are mentioned in the text) and also
from their own experience of research and teaching activity.
Although the majority of examples have been taken from the field of
mechanics, the basic treatment is of a general character representing in fact the basic
philosophy of applied mathematical research in the widest meaning of the word.
This is also why the style and the language of the book approach the language
and style of humanities.
Much attention is devoted to the still unsettled issue concerning the degree
of mathematical rigour necessary in applied research. Throughout the book it is
stressed that any plausible motivation for the correctness of results and
reasoning may be accepted as a sufficient proof, whereas mathematical rigour in
applied research is not an end in itself, but only a way of avoiding gross mistakes.
The book provides a thorough discussion of the evergreen problem of
creating an adequate mathematical model for solving an applied problem. The
requirements of simplicity and optimization 6f the model are treated as well as
the role of a simplifying hypothesis (as, for instance that of linearity of some of
the initial relations), the importance of standard schemes, the question of the
model's determinancy or stochasticity and its adaptability for computers. A
special attention is paid to some effective analytic procedures and a convincing
interpretation of the results achieved.
A separate chapter is almost wholly devoted to psychological problems
involved, i. e. the inertness of thinking, mistakes in choosing adequate models
and research procedures, as well as to the problems concerning teaching
mathematics to specialists in mechanics or other branches of teclmology within the
framework of the University curriculum.
The book was first published in 1983. Its 6000 copies were immediately
sold out, it became a rarity. Specialists accepted it with interest. It received
strong support on the part of the vice-president of the USSR Academy of
Sciences K. V. Frolov and academicians N. M. Moiseev and V. V. Novogilov. An
extended and favourable review written by I. Grekova (pen-name of E. S. Vent-
zel, professor of Applied Mathematics and doctor of Technical Sciences) was
published in the magazine «Science and Life».
The present second edition has been substantially revised, although its
main conception remained intact. The new edition is made up-to-date with some
additional material and a number of new references.


3. CONTENTS
Forewor d
Introduction
Chapter 1. The logic of applied mathematics (105 pages)
§ 1. Applied and theoretical trends in mathematical development (Two
main sources of mathematics; applied and theoretical trends. The origins.
Scientific Renaissance. The period of set theory domination. A review of the
present-day situation. What shall mathematics include? Various points of view
on applied mathematics).
§ 2. On the difference of some approaches in pure and applied mathematics.
(Preliminary observations. «Existence» in pure and applied mathematics. The
infinity problem. Applied mathematics and number. A note on impossible
events. The rate of convergence in approximation methods. On the concept of
function. Stability in relation to the change of parameters. Fuzzy concepts.
On the application of substantial notions and reasoning. On different trends in
the solution process. On mathematical rigour. Examples. A few quotations.
§ 3. Rational reasoning. (The concept of rational reasoning. Examples of
rational reasoning and their peculiarities. Types of rational reasoning.
Deduction elements of rational reasoning. Degree of accuracy and probability. Control
and increase of plausibility. On practical fidelity. Rational reasoning from the
point of view of optimization).
Chapter 2. Stages of applied mathematical research when solving
problems of mechanics (130 pages).
§ 4. The mathematical statement of the problem. (Preliminary remarks.
On the concept of model in applied research. The adequacy require ment. The
influence of omitted factors. The simplicity and optimization requirements.
Phenomenological and semi-empirical laws. The defining parameters and the
number of the degrees of freedom. The hierarchy of variables. A direct seperation
of movements in non-linear mechanics as an example of the hierarchy of
variables determination. On the control of the model. Further comments on
modelling in "mechanics).
§ 5. Choice of the methods of research. (External and internal plausibility.
Comments on the interaction of technologists and mathematicians. On the role
of estimates. On choosing the degree of accuracy. Discreteness and continuum.
The role of a linearity hypothesis. Determinancy and randomness. Stability.
Introduction of a small parameter. Interpolation and extrapolation. Further
comments on deduction. The importance of examples. Improving accuracy.
Computers. Addenda. Volitional decisions).
§ 6. Analysis and interpretation of mathematical results. (Preliminary
remarks. General corroboration of research. Search for the unexpected.
Presentation of results.)
Chapter 3. Some subjective problems (45 pages)
§ 7. Mistakes. (Psychological barriers and inertia of reasoning Mistakes
in the choice of models. Mistakes in the choice of method. Mathematical errors.)
§ 8. Problems of special training. (Mathematical education for engineers,
the development of mathematical intuition. Methods of reasoning. Search for
acceptable solutions. On formal calculations and exercises. On the
mathematical curriculum for engineers. On teaching mechanics. On the training of the
specialists in applied mathematics. On publications).
Notes to chapters
Bibliography
Index of authors
Index of some concepts and terms
The book contains 350 pages