Автор: Кендалл М. Моран П.
Теги: теория вероятностей и математическая статистика здравоохранение медицинские науки геометрия
Год: 1972
Текст
М. КЕНДАЛЛ, П.МОРАН
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ВЕРОЯТНОСТИ
Перевод с английского
Р. В. АМБАРЦУМЯНА
Под редакцией
Ю. В. ПРОХОРОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА>
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1972
517.8
К 36
УДК 519.21
Геометрические вероятности. М. К е н д а л л,
П. М о р а н, Главная редакция физико-математи-
физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1972.
Геометрические вероятности — один из са-
самых старых объектов исследования в теории веро-
вероятностей. На протяжении длительного времени
в этой области наблюдался застой. Однако в по-
последние десятилетия под влиянием приложений
интерес к предмету значительно возрос. Вышед-
Вышедшая в 1963 г. книга известных статистиков М. Кеи-
далла (Англия) и П. Морана (Австралия) дает
обзор теории геометрических вероятностей и ее
применений в физике, астрономии, биологии, кри-
кристаллографии, петрографии и т. д.
В русском переводе книга дополнена двумя
обзорными статьями П. Морана A966 и 1969 гг.)
и дает законченную картину современного состоя-
состояния предмета.
М. Кендаял, П. Моран
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
М.г 1972 Г., 102 стр. с илл.
Редактор В. В.. Лбгйряя
Техн. редактор И. Ш. Акссльрод Корректор М. Л, Медведскап
Сдано в набор 16/Ш 1972 г. Подписано к печати 28/XI 1972 г. Бумага 84Х1037з2.
Физ. печ. л. 6. Условн. печ. л. 10,08. Уч.-изд. л. 9,18. Тираж 15 000 экз.
Цена книги 90 коп. Заказ № 53.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-72, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука», Новосибирск, 77, Станиславского, 25.
g-2-З
40-72
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода : 5
Предисловие авторов ....;...... 6
Глава 1. Распределения геометрических элементов ... 7
Вероятностная мера геометрических элементов ... 7
Выбор вероятностной меры ........ 12
Точки в n-мерном евклидовом пространстве .... 13
Прямые в двумерном пространстве ....:.. 14
Прямые в трехмерном пространстве ...... \q
Плоскости в трехмерном пространстве 21
Вращения 23
Аксиоматизация . 23
Глава 2. Распределение точек в евклидовом пространстве 25
Теорема Крофтона для фиксированного числа точек . . 25
Теорема Крофтона о средних значениях ..... 27
Распределение, точек на прямой 29
Случайное подразделение интервалов ...... 30
Некоторые частные задачи з4
Наибольший интервал на прямой .•••..• 35
Критерий Колмогорова . . ¦ 39
Непересекающиеся интервалы на прямой 40
Плотность точек на плоскости • 43
Распределение расстояния между двумя точками в круге . 46
Задача Сильвестра 48
Непересекающиеся круги на плоскости 52
Случайные точки в трехмерном пространстве .... 54
Парадокс Ольбе,рса 55
Задача Хольцмарка 56
Непересекающиеся сферы 61
Распределение двух точек внутри шара g2
Глава 3. Случайные прямые иа плоскости и в пространстве 66
Области, определяемые случайными прямыми на плоскости 66
Выпуклые фигуры на плоскости 67
Теорема Крофтона о выпуклых фигурах 73
Вторая теорема Крофтона о выпуклых фигурах • • ¦ 76
Приложения в экологии 78
Задача Бюффона 82
Случайные прямые в трехмерном пространстве .... gj
Средняя длина секущих выпуклого тела <)Q
СОДЕРЖАНИЕ
93
93
95
96
97
100
103
107
НО
111
Глава 4. Случайные плоскости и случайные вращения .
Случайные плоскости
Плоскости, пересекающие кривую
Плоскости, пересекающие выпуклую область
Теорема Минковского
Некоторые дальнейшие результаты
Распределение размеров частиц
Тонкие срезы
Фигуры в трехмерном пространстве
Случайные вращения 114
Приложение к кристаллографии 121
Глава 5. Задачи о покрытиях 122
Покрытия плоской решетки 122
Покрытия на прямой 122
Покрытие квадратной решетки прямоугольником . . . 125
Случайные формы 131
Теорема Роббинса о случайных множествах .... 131
Задача из вирологии 134
Случайные круги иа квадрате 136
Задача о малых частицах 140
Задача Ланкастера 143
Приложение 145
М о р а н П. А. П. Заметка о последних исследованиях по
геометрическим вероятностям 145
М о р а н П. А. П. Вторая заметка о последних исследова-
исследованиях по геометрическим вероятностям 157
Библиография 175
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Большой интерес к геометрическим вероятностям
обусловлен прежде всего широким диапазоном их приме-
применений в естествознании. К сожалению, в книжной лите-
литературе на русском языке тема геометрических вероят-
вероятностей почти не нашла освещения. Имеется лишь книга
Сантало «Введение в интегральную геометрию» A956 г.),
в которой не-математика может интересовать лишь первая
глава, трактующая инвариантную меру прямых и кине-
кинематическую меру на плоскости. Перевод предлагаемой
книги предпринимался с надеждой хотя бы частично
удовлетворить назревшую потребность в доступном обзо»
ре областей и методов применения геометрических ве-
вероятностей; присоединение к основному тексту переводов
двух более поздних обзорных статей Морана доводит
,обзор и библиографию до современного состояния
предмета.
Одновременно нужно отметить и другую роль инте-
интегральной геометрии и геометрических вероятностей.
Факты, доставляемые ими, ложатся в основу быстро
развивающейся теории, которая занимается изучением
геометрических объектов случайного характера (таких
как случайные точечные поля, случайные мозаики и
т. д.), инвариантных относительно групп преобразований
пространства. В этой связи можно отметить, в частности,
работы переводчика книги Р. В. Амбарцумяна.
Нам кажется, что некоторые недостатки книги, такие
как фрагментарность изложения, неизбежная в книге
небольшого объема, охватывающей чрезвычайно разно-
разнообразный материал, искупятся той практической поль-
пользой, которую она может принести читателю.
Ю. В. Прохоров
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
Насколько нам известно, .со времени появления ма-
маленькой брошюры Дельтейля «Геометрические вероятно-
вероятности» в 1926 г., на эту тему книг не публиковалось. Не
только не существует такой книги на английском языке,
но, более того, большинство учебников по теории вероят-
вероятностей полностью игнорирует приложения в области
геометрии. Причиной тому, как мы полагаем, является
то, что к 1900 г. множество красивых результатов, по-
полученных Морганом Крофтоном и другими, как каза-
казалось, полностью исчерпали предмет.
В последние двадцать лет возникло много новых
проблем, которые для своего решения требуют значи-
значительно больше, чем было открыто относительно геомет-
геометрических вероятностей в прошлом. Предмет по существу
возродился. Набор примеров в настоящей книге иллю-
иллюстрирует многообразие областей его приложений в насто-
настоящее время: вклад вносят астрономия, атомная физика,
биология, кристаллография, петрография, теория выбор-
выборки и т. д. '
Мы поэтому надеемся, что настоящая книга, собрав
воедино всю теорию, описав некоторые приложения и
подняв новые нерешенные вопросы, сослужит хорошую
службу ученым различных областей. Мы надеемся также,
что книга привлечет внимание математиков к предмету
большого интеллектуального очарования, который предо-
предоставляет захватывающие возможности дальнейших ис-
исследований.
Лондон, Англия,
Канберра, Австралия,
июнь, 1962 г.
м. г. к.
П. А. П. М.
Глава!
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ЭЛЕМЕНТОВ
Вероятностная мера геометрических элементов
1.1 В теории вероятностей обычно рассматриваются
случайные переменные, которые являются числами (или
системами чисел) и которые принимают значения из
некоторого множества, где определена неотрицательная
мера. Выполнение определенных дополнительных усло-
условий позволяет истолковывать эту меру как вероятность.
В теории геометрических вероятностей случайными эле-
элементами являются уже не числа, а геометрические объек-
объекты, такие как точки, линии и вращения. Способ приписа-
ния меры таким элементам не всегда совершенно очеви-
очевиден. Так, нечеткость в определении самого множества
элементов приводит к ряду «парадоксов». Хотя все такие
парадоксы основаны на простом недоразумении, однако
ознакомление с ними все же полезно для иллюстрации
того, как следует определять геометрические вероятности.
i:1.2 Рассмотрим парадокс, принадлежащий Ж. Бертра-
Бертрану! (Bertrand, 1907). Задача состоит в нахождении ве-
вероятности того, что длина «случайной хорды» окружности
единичного радиуса превзойдет УЗ, т. е. сторону равно-
равностороннего вписанного треугольника. Возможны следу-
следующие три решения задачи.
. A) Всякая хорда пересекает окружность в двух точ-
точках. Предположим, что обе точки распределены равно-
равномерно на окружности, причем их положения на окруж-
окружности независимы. Не теряя общности, можно допустить,
что одна нз этих точек есть вершина вписанного равно-
равностороннего треугольника. В таком случае для второй
точки остается ровно 1/3 часть окружности, где она дол-
должна находиться с тем, чтобы длина возникающей хорды
превосходила бы уз. Таким образом, искомая вероят-
ноЬть есть 1/3.
ГЛ. 1. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
ВЕРОЯТНОСТНАЯ МЕРА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ Q
B) Длина хорды зависит от ее расстояния от центра
окружности и не зависит от ее направления. Поэтому
можно предположить, что хорда имеет фиксированное
направление, препендикулярное заданному диаметру,
а точка пересечения хорды с диаметром имеет равномер-
равномерное распределение на диаметре. Для
того, чтобы_ хорда имела длину,
большую УЗ, расстояние точки пе-
пересечения от центра должно быть
меньше 1/2, так что искомая вероят-
вероятность равна 1/2.
C) Каждая хорда однозначно
определяется основанием перпенди-
рпс 1 j куляра, опущенного на нее из цент-
центра. Если эта точка распределена
равномерно внутри круга, то вероятность принадлежно-
принадлежности основания области площади А равна Ляг1, посколь-
поскольку площадь_круга равна п. Для того, чтобы хорда была
длиннее УГ3 , основание перпендикуляра должно лежать
внутри круга радиуса 1/2. Поэтому искомая вероятность
равна 1/4.
1.3 Все три решения верны, но в действительности
они относятся к различным задачам. Во всех вопросах,
связанных с геометрическими вероятностями, мы должны
прежде всего определить, что понимается под словом
«случайно». Если условиться задавать хорду ее рас-
расстоянием р от центра круга и углом 0, который она
составляет с каким-то фиксированным направлением, то
определение смысла слова «случайно» эквивалентно за-
заданию совместной плотности вероятности для 0 и р в
области их изменения (О^0<2п, O^p^l). Рассмот-
Рассмотрим первое решение примера Бертрана. Пусть аир —
угловые координаты концов хорды, так что О^а, р^2я
и их совместное распределение есть Bя)~2 dadр. В то
же время имеем
a, p = 0±arccosp.
Делая замену переменных*), устанавливаем, что совмест-
ное распределение 0 и р задается плотностью
dp (В
*) Следует иметь в виду, что паре (и, Р) и паре (Р, и) соответ-
соответствует одна и та же пара (р, 0). (Прим. ред.).
Аналогично этому во втором решении распределение
р и 0 задается плотностью
Bn)-4pdQ,
а в третьем случае плотностью
я-'р dp dQ.
1.4 Вообще, для определения распределения геомет-
геометрического объекта сначала нужно выбрать систему ко-
ордннат, которые определяют объект единственным об-
образом, а затем определить вероятностное распределение
в области изменения этих координат.
Рассмотрим .следующие примеры таких координат:
A) Точки в евклидовом пространстве одного, двух,
трех или большего числа измерений могут определяться
своими декартовыми координатами. Здесь параметри-
параметрическое пространство совпадает с пространством самих
элементов.
B) Прямые в двумерном пространстве могут быть
определены своими пересечениями с одной из осей и
углом, который они составляют с этой осью, или же тем
же углом, и кратчайшим расстоянием от начала. Анало-
Аналогично, прямые в трехмерном пространстве могут быть
определены координатами их пересечения с данной плос-
плоскостью и их направлением. Поэтому для полного зада-
задания прямой требуются четыре координаты. Мы могли бы
также определить прямую ее шестью плюккеровскими
координатами. Однако такое представление не является
единственным, поскольку прямая зависит только от от-
отношений этих координат и вдобавок имеется уравнение,
связывающее их. Это делает введение вероятностной ме-
меры в соответствующем случае более трудным. Почти
всегда желательно представить геометрический объект
в координатном пространстве так, чтобы (помимо нали-
наличия взаимно однозначного соответствия) размерность
пространства, в котором лежит множество точек, соответ-
соответствующих всем возможным объектам, совпадала бы с
размерностью координатного пространства.
10
ГЛ. 1. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
ЙЕРОЯТНОСТНАЯ МЕРА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
C) Плоскость в трехмерном пространстве может
быть определена коэффициентами (и, v, до) своего пред-
представления линейным уравнением в декартовых коорди-
координатах
ux-\-vy-\-wz-{-1 =0
или, что чаще более удобно, своим расстоянием р от
начала и полярными коррдинатами 0, «р перпендикуляра,
опущенного из начала на плоскость. В любом случае
пространство координат должно быть трехмерным.
D) Трансляция (сдвиг) в трехмерном пространстве
может быть представлена тремя координатами {а, Ь, с)
точки, которая принята за новое начало координат.
E) Вращение в трехмерном пространстве также мо-
может быть представлено тремя координатами. Ими могут
быть полярные координаты оси вращения 0, ф вместе с
углом "ф поворота. Другой способ основывается на пред-
представлении вращения ортогональной матрицей. В качестве
координат могут быть выбраны три любых независимых
элемента матрицы, поскольку матрица определяется лю-
любой тройкой таких элементов.
1.5 Заметим, что во всех вышеприведенных примерах
(за исключением вращения) множество всех возможных
координат имеет бесконечную меру или объем. С другой
стороны, если наложить дальнейшие ограничения на
геометрические объекты, мы можем получить ограни-
ограниченные множества в координатном пространстве. Так,
например, координаты, отвечающие всем плоскостям в
трехмерном пространстве, которые пересекают ограни-
ограниченную фигуру, сами составляют ограниченное множество.
1.6 Если имеется определенное число геометрических
элементов, то возможно определение их совместного ве-
вероятностного распределения в пространстве координат.
Предположим, что (гь . .., Zk) есть координаты, опреде-
определяющие элемент в пространстве Q, которое может быть
как ограниченным, так и неограниченным. Представляя
координаты вектором z, предположим, что имеется не-
неотрицательная мера Р(Е), определенная на аддитивном
классе множеств Е в пространстве Q и такая, что
Р(Й)=
В большинстве случаев Р(Е) будет интегралам Лебе-
Лебега от непрерывной или достаточно регулярной функции,
взятым по множествам Е, а в качестве аддитивного клас-
класса будут браться множества, измеримые по Лебегу.
1.7 Вероятностное распределение некоторого числа
независимых геометрических элементов определяется
после этого как произведение таких распределений. Нам
также потребуется рассматривать случаи, когда само
число элементов является случайной величиной. Наибо-
Наиболее естественно предполагать, что число элементов в
каждом выделенном подмножестве Е пространства Q
ищеет пауссоновское распределение и не зависит от числа
элементов в любом другом подмножестве, не пересека-
пересекающемся с Е, так что вероятность N элементов в Е есть
e~xXN(N\)~\ где К зависит от Е.
1.8 Допустим, что мы определили меру М(Е) в про-
пространстве всех возможных параметрических точек Q.
Эта мера, как правило, не будет ограниченной,т.е.M(Q)
может быть бесконечной, но будет а-конечной. Это озна-
означает, что Q может быть разложено на конечное или счет-
счетное число множеств Ей Е2,..., таких, что
Q=El+E2+...
и М(Е{) конечна для каждого i. Рассмотрим, например,
случайные точки на прямой. Предположим, что число их
в каждом интервале длины 1 есть случайная величина,
которая имеет распределение Пуассона со средним 1 и не
зависит от происходящего вне этого интервала. Положим
М(Е) равной мере Лебега для каждого измеримого по
Лебегу множества Е на прямой. Хотя M(Q) (т. е. дли-
длина всей прямой) и бесконечна, однако Q может быть
представлена как счетная сумма интервалов конеч-
конечной длины.
1.9 Пусть N — число геометрических элементов, со
значениями параметров, лежащими в подмножестве Е
параметрического пространства. ./V есть случайная вели-
величина, имеющая распределение Пуассона со средним
X = м (Е) = jdM
12
ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
и производящей функцией
exp Uz-
У Е I
Совместное распределение координат Z|,. . ., zN этих
элементов при условии, что их ровно N, таково:
dM(z1)...dM(zN)
{idM (г)}'
Для N=1 мы получаем соотношение между мерой М{Е)
и соответствующим образом индуцируемой Р{Е). Когда
М(Е) не является интегралом от своей производной,
A.1) получает аналогичное толкование после интегри-
интегрирования по любому подмножеству G множества Е. Тогда
вероятность того, что координаты единственного элемен-
элемента лежат в G, если известно, что они лежат в Е, есть
jjM(z)
dM (г)
A.2)
Здесь GE — пересечение множеств G и Е. Отметим, что
p(G\E) есть функция от двух множеств Е и G.
1.10 Таким образом, задача о геометрических веро-
вероятностях не является определенной до тех пор, пока не
выбрана вероятностная мера Р(Е) в случае определен-
определенного числа независимо распределенных элементов или
мера М(Е) в случае случайного числа. Такой выбор,
вообще говоря, совершенно произволен и именно непо-
непонимание этого обстоятельства ведет к «парадоксам». Тем
не менее некоторые из таких мер более полезны и интуи-
интуитивно более оправданы, чем другие; поэтому целесообраз-
целесообразно рассмотреть какой-нибудь критерий выбора.
Выбор вероятностной меры
1.11 Большинство задач в теории геометрических
вероятностей ставится для элементов в евклидовом про-
пространстве и связано со свойствами, инвариантными от-
относительно группы преобразований евклидова простран-
ТОЧКИ В n-МЁРНОМ ЕВКИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ fg
етва, включающей трансляции, вращения и отражения.
Рассмотрим множество А геометрических объектов ев-
евклидова пространства. Мы получаем все трансляции,
преобразуя координаты прибавлением ^нстант, и все
повороты и отражения, действуя на них ортогональными
преобразованиями. Например, в трехмерном простран-
пространстве координаты х, у, z преобразуются в новые коорди-
координаты х', у', z' по формулам
x'=xo+anx+al2y + al3z,
где (а,ц) есть ортогональная матрица. При этом множе-
множество А преобразуется в множество А'. Пусть Е есть
множество параметрических точек, отвечающих А в па-
параметрическом пространстве, Е' есть множество, отвеча-
отвечающее А' (т. е. Е' есть образ множества Е относительно
преобразования, индуцированного преобразованием ев-
евклидова пространства). Естественно налагать условия
Р{Е')=Р{Е) или М(Е')=М(Е),
выполнение которых зависит от свойств сохранения
меры данной группой преобразований.
В 1.12—1.20 рассматриваются в качестве частных
примеров следующие пять случаев.
Точки в n-мерном евклидовом, пространстве
1.12 Здесь параметрическое пространство совпадает
с пространством элементов и в качестве меры, инвари-
инвариантной относительно трансляций и поворотов, естествен-
естественно выбирать меру Лебега. Если рассматривается ко-
конечное число точек, то множества бесконечной меры
должны быть исключены и меру Лебега следует рас-
рассматривать в области пространства с ограниченной мерой
(например, в кубе или сфере). Пусть R есть такая об-
область, m(R)—ее мера Лебега. Вероятность Р(Е) того,
что точка лежит в множестве Е, полагаем равной
и
ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Если мы имеем дело со случайным числом точек, то
предполагаем, что число таких точек, лежащих в мно-
множестве Е конечной меры Лебега, есть пуассоновская пе-
переменная со средним Ш(Е)=М(Е), где А, —постоян-
—постоянная. Условная вероятность того, что в каждом из под-
подмножеств Е\,..., Еп множества Е имеется по одной
точке при условии, что в Е находится ровно п точек,
равна
т(Е1)...т(Еп)
{т(Е)}п
Имеется в виду, что точки были предварительно поме-
помечены, так что они различимы.
Прямые в двумерном пространстве
1.13 Предположим, что прямые определяются урав-
уравнением вида
ux + vy+l=0.
Будем рассматривать и и v как координаты прямой.
Тогда параметрическое пространство есть двумерное
пространство координат (и, v) с исключенной точкой
(О, 0). Такое представление исключает прямые, прохо-
проходящие через начало координат, что, однако, не создает
каких-либо трудностей. Трансляцию и поворот в дву-
двумерном пространстве можно представить алгебраиче-
алгебраическим преобразованием
Х=а+х cos a—у sin а,
Y=b + x sin a+y cos а,
где а и b — произвольные постоянные и 0^а<2п. По-
Положение прямой после преобразования задается урав-
уравнением
UX+VY+l=0,
где
U cos a + V sin а
U —
V ¦
aU + bV + 1 '
¦ U sin а + V cos а
A.3)
A.4)
ПРЯМЫЕ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
15
В новом положении прямая опять не проходит через
начало, поскольку в противном случае знаменатель в
A.3) и A.4) исчезал бы. Предположим, что мы ищем
j«epy M(E) в виде интеграла
который мы хотим приравнять к интегралу
Первый интеграл равен
где положено
д (и,
d(U,
V)
V)
да
dU
dv
dU
да
dV
dv
W
A.5)
(Поскольку равенство должно выполняться для всех
множеств Е', то должно иметь место равенство
%• (!-6)
Прямым вычислением якобиана A.5) получаем
д(и, у)
d(U. V)
Возводя в квадрат A.3) и A.4) и складывая, полу-
чаем
(aU + bV+ l)-3 =
Таким образом, A.6) будет выполняться, если взять
(м, v) пропорциональной (м2+и2)~3/2 и, следовательно,
Отметим, что мы существенно использовали то обстоя-
обстоятельство, что якобиан имеет форму ф(ы, v) y{U, V)~l.
После нахождения М(Е) мы можем найти и рас-
распределение Р(Е) для одной прямой во всех случаях,
ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
когда координаты и и v лежат вне некоторой окружно-
окружности с центром в точке @, 0) на плоскости (и, v). Это
обеспечивает сходимость интеграла A.7). '
1.14 Во многих приложениях более удобно представ-
представлять прямую полярными координатами точки пересече-
пересечения этой прямой с перпендикуляром, опущенным на
нее из начала. Если (р, 0)—такие координаты, то
уравнение прямой можно записать в виде
х cos 0,i/ sin 0 . - »
— Р —Р ~
Дифференциальный элемент
da dv
dpdQ,
-щ переходит в
A.8)
поскольку можно положить
и = — р-1 cos 0, »=-/)-! sin 6,
так что
=p3 И
Заметим, что A.8) соответствует второму решению па-
парадокса Бертрана. Более того, A.8) почти очевидно
представляется естественной мерой, инвариантной отно-
относительно трансляций, вращений и отражений. Пуанкаре
(Poincare, 1912) показал, что A.8) является единствен-
единственным дифференциальным элементом, который остается
инвариантным относительно группы трансляций и вра-
вращений.
Прямые в трехмерном пространстве
1.15 Такие линии составляют четырехмерное много-
многообразие и поэтому требуют четырех параметров. Удоб-
Удобно представлять нх уравнениями
x=az+p,
, , A.9)
Таким образом, (а, Ъ, р, <7) — параметры прямой и
сама прямая может быть представлена точкой четырех-
четырехмерного пространства. Множество всех прямых, парал-
параллельных плоскости г=0, нами не рассматривается (это
ПРЯМЫЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
17
не вызовет трудностей, так как окажется, что оно име-
имеет меру нуль). Мы могли бы теперь поступить точно
так же, как и ранее, рассматривая воздействие на эти
Параметры всех трансляций и ортогональных преобра-
зомний. Однако интересно на данном примере проил-
лйстрировать метод нахождения инвариантных мер,
основанный на изучении инфинитезимальных преобра-
преобразований.
1.16 Пусть в пространстве п переменных (Хи...
...,хп) задана непрерывная группа преобразований, ко-
которая определяется г параметрами. Мы ищем интеграл
У = |... JfUi.- • .,xn)dx!.. .dxn,
который остается инвариантным относительно преобра-
преобразований группы. Поэтому, в частности, он должен быть
инвариантным относительно любого инфинитезимально-
го преобразования группы*).
Предположим, что преобразования группы представ-
представляются в виде
x\—fi{xi, хп, аи.. .,ап), i = \,...,n.
Одно из возможных инфинитезимальных преобразо-
преобразований будет иметь вид
x'i = xi + h(x1,...,xn)8t, A.10)
где 6t— малая первого порядка, a h подлежат опреде-
определению. Это преобразование имеет якобиан
дх
дхг
Э*п)
*) Дельтейль (Deltheil, 1926) дает более широкое обсуждение ин-
фниитезимальных групп и их инфииитезимальвдх генераторов. См.
«•втало (Santald, 1953).
• М. Кеидалл, П. Моран
18 ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ, ЭЛЕМЕНТОВ
и переводит F в F + 8F, где
Таким образом, / превращается в
Если / остается инвариантным относительно всех таких
преобразований, то должно выполняться соотношение
SF+F&t
дх.
= 0.
A.11)
Подставляя значение F, получаем уравнение
?
«->}-.<•¦
которое должно быть верным при всех t. Следова-
Следовательно,
Параметрам аи ..., аг соответствуют г независимых
инфинитезимальных преобразований. Поэтому имеются г
наборов функций \ь которые будем обозначать (?1;-,...
..., ?„,-), (/=1,.. •, г). Так мы получаем г независимых
уравнений
|г№)-0, A.12)
которых, вообще говоря, достаточно для опреде-
определения F.
1.17 Перейдем к случайным прямым в трехмерном
пространстве. Каждая прямая имеет четыре координа-
координаты (а, Ь, р, q). Мы хотим найти такую функцию F, что-
чтобы интеграл
был инвариантным относительно трансляций, вращений
ПРЯМЫЕ В ТРЁХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ \$
й отражений. Группа преобразований имеет шесть па-
параметров и в качестве инфинитезимальных преобразова-
преобразований можно взять инфинитезимальные трансляции вдоль
одой х, у и z и инфинитезимальные вращения около этих
осей. Необходимо изучить действие каждого такого пре-
преобразования на коэффициенты a, b, p и q.
Из A.9) видно, что трансляция х'=х-\-Ы приво-
приводит К
а'«=а, A.13)
Подобно этому y'=y+8t приводит к
Трансляция z'=z + bt имеет двойное действие:
t
Ь'=Ь, q'
Вращение 6? вокруг оси z приводит к
х'~х—уЫ =
A.14)
A.15)
Из этих совместных уравнений относительно х и у,
игнорируя члены порядка о{Ы) находим:
у= {Ь—а Ы) z+q—p Ы,
так что индуцированными преобразованиями являются
а' = а + ЬЫ,
b' = b—adt, A.16)
p'=p+qbt,
q' — q—p6t.
Вращение вокруг оси х, заданное посредством
by = —zU, Sz = ybt,
приводит к паре уравнений
2»
20 ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТНОЙ
Действие этого вращения на параметры поэтому таково:
A.17)
что получается преобразованием пар совместных урав-
уравнений к стандартной форме и опусканием членов поряд-
порядка о (б/). Подобно этому вращение вокруг оси у дает
A.18)
Уравнения A.13) —A.18) дают значения hj в A.11)
для каждого из шести преобразований. Например, из
A.13) и A.10) мы получаем, что для первого преобра-
преобразования из четырех значений I, отвечающих a, b, p и q
(нумерация соответствует этому порядку), три равны
нулю, а ?3 = — 1- Уравнение A.12) дает -r-~Q; анало-
ли
гично, у- =0. Отсюда следует, что F не зависит от
р и q. Тогда A.15) приводит к
что выполняется тождественно. Четвертое уравнение
принимает вид
3 д , „ , dF dF n
(аР) Ьа 0
Из этого непосредственно следует, что F является функ-
функцией только от а2 + Ь2, поскольку она не меняется при
любом изменении а и Ь, оставляющем а2 + Ь2 постоян-
постоянным. Так что F=y(a2 + b2), а пятое и шестое уравнения
оба эквивалентны уравнению
A+а2+Ь2)у'(а2+Ь2)+2<р(а2+Ь2)=0,
откуда
ПЛОСКОСТИ В ТРЁХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 21
Отсюда следует, как мы могли ожидать заранее,
что все точки на плоскости 2 = 0 являются равновероят-
равновероятными (при условии, что мы рассматриваем ограничен-
ограниченную область) и что все направления также равнове-
равновероятны.
Плоскости в трехмерном пространстве
1.18 Такие'плоскости можно определять посредством
задания полярных координат и длин перпендикуляров,
опущенных на них из начала координат; так что в де-
декартовых координатах имеем
х sin 0 cos ф+г/ sin 8 sin cp-fz cos 0 = p,
где О^0^л, 0<ф^2я, 0^р<оо. Тогда (как под-
подсказывает интуиция) инвариантная относительно всех
трансляций и вращений мера окажется такой, что все
значения р и все направления перпендикуляров будут
иметь одну и ту же вероятность. Это означает, что эле-
элемент меры по аналогии с прямыми на плоскости будет
задаваться как
" •-<"•< A.20)
Будем рассматривать представление плоскостей в
декартовых координатах
=0 A.21)
с точностью до коэффициента пропорциональности.
J=
Трансляция х'=х + Ы дает уравнение
ux + vy+wz + \ +ubt = O.
После приведения его к форме A.21) находим действие
трансляции на параметры
«' = «—и2Ы,
v' = v—uv 6?,
w' = w—uw Ы.
Параллельные результаты справедливы для оставшихся
22 гл- 1. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
двух трансляций по у и г, и уравнения A.12) принима-
принимают вид
A.22)
eta
F = 0.
Аналогичным образом находим, что три инфинитези-
мальных поворота приводят к уравнениям
;_д _?
dv dw
= 0,
Интегрируя A.23), получаем
•-'?¦=«-¦?—-'?¦-<>•
A.23)
Интегрируя A.23), получаем
В свою очередь условия A.22) дают
dJ_
aj -
откуда следует
dudvdw
« + „• + ш
¦ 24)
Возвращаясь к полярным координатам, находим (как
и предполагалось)
Отметим схожесть формы A.7), A.19) и A.24).
Пойа (Polya, 1917) показал, что A.20) является един-
единственным дифференциальным элементом, который инва-
инвариантен относительно группы всех трансляций и пово-
поворотов.
АКСИОМАТИЗАЦИЯ
Вращения
23
1.19 Рассмотрим вращения вокруг фиксированной точ-
точки. В двух измерениях теория проста. Вращение опреде-
определяется углом 0 @^6<2я) и сумма двух вращений за-
задается суммой соответствущих углов, взятой по модулю
2я. Параметрическое пространство здесь ограничено, и
естественно определять на нем меру заданием вероятно-
вероятностного распределения на @, 2я). Группой, относитель-
относительно которой мера должна оставаться инвариантной, ес-
естественно выбрать саму группу вращений. Это приводит
к распределению, равномерному на @, 2я).
1.20 Вращения в трехмерном пространстве несколько
более сложны. Они определяются либо выбором оси вра-
вращения и угла, на который поворачивается пространство
или объект, либо же выбором ортогональной матрицы,
представляющей вращение. Здесь опять параметрическое
пространство ограничено и естественная группа преоб-
преобразований— сама группа вращений.
Подробнее вопрос будет освещен в главе 4.
1.21 Таким способом можно рассмотреть и другие
классы геометрических объектов при условии существо-
существования непрерывной группы, которая являлась бы «тран-
«транзитивной» в том смысле, что всегда найдется элемент
группы, переводящий любой объект (из множества объ-
объектов) в любой другой объект (этого же множества).
Пример отсутствия «транзитивности» дается множест-
множеством всех кругов на плоскости вместе с евклидовой груп-
группой трансляций и вращений. Для такого множества не-
невозможно сконструировать инвариантную меру, посколь-
поскольку невозможно преобразовать круг в круг с другим
радиусом.
Аксиоматизация
1.22 Коль скоро вероятностная мера геометрических
множеств установлена, решение частных задач протекает
без возникновения парадоксов или других трудностей,
затрагивающих аксиоматизацию. Тем не менее, для тех,
кого больше интересуют основания, мы отметим, закан-
заканчивая эту главу, что А. Реньи (Renyi, 1955) и А. Чазар
(Csaszar, 1955) построили аксиоматическую теорию
24
ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
вероятностей, которая особо уместна в задачах о геомет-
геометрических вероятностях. Она опирается на аксиоматику
Колмогорова в комбинации с идеей условных вероятно-
вероятностей, свойства которых и постулируются.
Пусть в пространстве определено а-поле s4- множеств
А, В,... и 38— подмножество зФ. Условная вероятность
Р(А\В) определяется как числовая функция двух мно-
множеств (А и В), которая удовлетворяет следующим трем
аксиомам:
Аксиома I. Р(А\В)^0; Р(В\В) = \, если В при-
принадлежит 38.
Аксиома П. Р(А\В) является мерой для каждого
фиксированного В.
Аксиома III. Если А и В принадлежит S4-, а Си
ВС принадлежат 38, то Р(А\ВС)Р(В\С) =Р{АВ\С).
Тогда при широких условиях можно показать, что
Р(А\В) может быть представлена в форме
где Q(А) —неотрицательная мера на ст-поле s4-, и
Q(B)>0.
1.23 Это как раз то, что нужно в теории геометрических
вероятностей, где мы хотим заниматься такими вопроса-
вопросами, как «чему равна вероятность того, что точка лежит
внутри фигуры К[, если известно, что она лежит внутри
фигуры /С2» или «чему равна вероятность того, что пря-
прямая пересекает фигуру Ки если она пересекает /С2»- Здесь
подходящая мера для случайных точек или прямых по
необходимости бесконечна для всего пространства и по-
поэтому не годится для употребления как вероятность.
В вопросах, затрагивающих условные вероятности, М(Е)
соответствует мере Реньи Q(B), а с ее помощью получа-
получаются требуемые условные вероятностные распределения
Р(ВД= f dM(z)l \dM{z),
Е\Е I
как в A.2). Сходная ситуация имеет место в приложе-
приложениях теории вероятностей в теории чисел.
Г л а в а 2
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
2*.1 Как было показано в предыдущей главе, для рас-
распределения точек в евклидовом пространстве естествен-
рр использововать меру Лебега. Таким образом, если
точки распределены в n-мерном евклидовом простран-
пространстве, М(Е) есть /г-мерная мера Лебега. Если число
точек должно быть случайным, мы предполагаем, что
«щсло их в любом измеримом множестве Е есть случай-
случайная величина с распределением Пуассона со средним
%М{Е), где К — некоторая константа; если число точек
фиксировано, мы предполагаем, что вероятность попа-
попадания точки в множество Е\, если дано, что она попала
в EzdEu равна
m (ЕЕг)
ш(Е) •
Почти все интересные задачи возникают, когда и =1,2
или 3, но прежде чем перейти к их рассмотрению, здесь
Йобно доказать одну общую формулу, принадлежащую
Крофтону (Crofton, 1885), которая касается задач с
фиксированным числом точек.
Теорема Крофтона для фиксированного числа точек
2.2 Пусть N точек независимо распределены в обла-
области D /г-мерного пространства. Мера всего Afrc-мерно-
го выборочного пространства для совместного распре-
распределения равна, следовательно, [m(D))N. Предположим,
мы хотим вычислить вероятность того, что фигура F,
образованная ty точками, обладает определенным свой-
свойством, определяемым так, что оно зависит только от вза-
взаимного расположения точек (значит, свойство должно
быть инвариантным относительно трансляций и враще-
вращений), но не от области D или положения F относительно
D. Например, такое свойство определяется требованием,
26
ГЛ. 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
что никакие две точки не удалены друг от друга на рас-
расстояние, превышающее некоторое заданное. Тогда веро-
вероятность того, что фигура F удовлетворяет условию, равна
р_ т*(Е)
где т*{Е) есть мера Лебега в Мг-мерном простран-
пространстве, а Е есть множество точек этого пространства, в ко-
которых фигура F обладает требуемым свойством.
Положим V=m (D) и пусть D{ — другая область, со-
содержащая D, для которой
Пусть соответствующее множество Л/д-мерного прост-
пространства есть ExzdE и положим:
т*(Е) = и, т*(Е\) = Ui = U + AU.
Тогда вероятность того, что F обладает требуемым свой-
свойством для случайных точек в Du есть
Р =Р-Х-АР= Ц + Аи„ . B.1)
1 ^ [V+AV}N K '
Рассмотрим множество Е\. Оно может быть разделе-
разделено на Л^+1 множеств Elj(]=0, 1,. . . , ^V), где Е 1;- есть
подмножество Ей для которого / точек лежат в D\—D, а
Л^—j точек — в D. Пусть Pj —вероятности того, что фи-
фигура F, содержащая j точек из D\—D и N—/ точек из D,
обладает требуемым свойством (т. е. соответствующая
ей в {?>i}w точка принадлежит Ev). Тогда
Из B.1) заключаем, что
(P + AP)(V+AV)N = PVN + JZ h }PjVN
так что.
Теперь пусть AV становится малым. Записывая малые
ТЕОРЕМА КРОФТОНА О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ
27
приращения в виде 8Р и 6V и сохраняя только члены
первого порядка, находим
SP^NiPi—P) V-1 6V. B.2)
Это и есть формула Крофтона. С ее помощью можно ре-
решить ряд непростых задач, поскольку если мы можем
вычислить Pi (что обычно значительно проще), то можно
написать дифференциальное уравнение в терминах неко-
некоторого параметра, который изменяет объем V области D.
2.3 Приведем очень простой пример применения это-
этого метода. Пусть А и В — случайные точки на интервале
длины а. Найдем распределение расстояния *=|Л.В|.
., Обозначим через F (и, а) вероятность события х<.и.
Пусть длина интервала получает приращение 6а. Тогда
из B.2) получаем
6F(u, a)=2{Fi(u, a)—F(u, а))а~18а, B.3)
где /^(w, а) есть вероятность события х<^и, когда В
ййходится на конце интервала. Очевидно, F\(u, a) =
=*=иа~1. Подставляя в B.3) и допуская, что F имеет про-
производную по а, получаем
dF(u, a
da
так что
da
(a2F{u, a)) =
a*F (и, а) = 2аи -f const.
При а = и должны иметь F=\, так что const =—и2, что
дает
F(u, a)=a-2{2au—и2}.
Теорема Крофтона о средних значениях
2.4 Дальнейшие примеры на этот метод появятся
позже. Он может быть применен также для нахождения
средних значений некоторых числовых функций Y фигу-
фигуры F. Y есть функция N наборов координат в прострац-
28 ГЛ, 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
стве параметров. Пусть ц есть среднее значение Y. Тогда
где V=m(D), a W есть интеграл от У по всему Мг-мер-
ному произведению пространств.
Действуя, как и ранее, получаем
где Wh есть интеграл, взятый по множеству, для которо-
которого k точек лежат в D,—D, a (W—Л) точек —в D. Пола-
Полагая m(D\—/))->-0 получаем, что асимпотически
когда AV-^0, тогда как W2, ...,WN суть o(AV). Здесь щ
есть среднее значение Y, когда одна из точек заключена
в области Di—D. Отсюда находим, что
6(x = yV (m-ц) V-1 6V. B.4)
Уравнение B.2) можно рассматривать как частный
случай B.4), когда за Y взята функция, принимающая
значения 1 либо 0 в зависимости от того, удовлетворяет
ли F требуемому условию или нет.
2.5 В качестве примера опять рассмотрим две слу-
случайные точки Л и В на интервале длины а. Найдем сред-
среднее значение хр— |ЛВ|р, р>0.
Если В находится на конце интервала, то среднее зна-
значение хр есть
а
==a-i f ж"ok =
о
и B.4) принимает вид
бц = 2 {(р + 1)-«а" — ц)
После интегрирования получаем
г- (р + Щр + У '
что можно было получить и непосредственно из предше-
предшествующего результата.
Формулы Крофтона B.2) и B.4) были получены для
случайных точек. Однако та же техника может быть
использована и для более сложных случайных элементов.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК НА ПРЯМОЙ
Распределение точек на прямой
29
2.6 Теперь рассмотрим случайные точки на бесконеч-
бесконечной прямой. Из сказанного выше следует, что для лю-
любого набора непересекающихся интервалов 1\, /2,... есте-
тественно требовать, чтобы числа случайных точек в
каждом из них были бы независимыми пуассоновскими
случайными величинами со средними К |Л|, Х|/2|,..., {к—
константа, известная как плотность распределения точек
на прямой). Так, если задана точка Р, то вероятность
того, что в интервале длины а, содержащем Р или про-
простирающемся от Р направо или налево, не будет слу-
случайных точек, есть е~ы. Поэтому если Р — какая-либо
точка на прямой, и в частности, одна из случайных то-
точек, то вероятностное распределение расстояния х до бли-
ближайшей случайной точки справа (слева) есть
На языке статистической теории то же самое можно вы-
выразить, сказав, что 2кх имеет распределение %2 с двумя
степенями свободы*).
2.7 Мы можем также рассматривать случайные точ-
точки на прямой как реализацию «пуассоновского процес-
процесса». Предположим, что N(a, b) есть число точек в ин-
интервале (а, Ь) и что оно имеет распределение Рп{а,Ь),
п=0, 1,... Используя принятые выше допущения, мож-
можно вывести дифференциальные уравнения для Рп{а,Ь),
рассматривая, что может произойти в интервале
(а, 6+6), когда б мало. Действительно,
Рп(а, Ь + 8)=Рп(а, Ь)а-Х6) + Рп^{а, Ь)К8 + о(8).
Здесь Рп=0 для «<0, и мы приняли, что вероятность об-
обнаружить точку в интервале (?>, 6-(-б) есть Яб+о(б) не-
независимо от того, что происходит в других местах. Тогда
Pn(a, b) оказывается дифференцируемой по Ъ, и мы по-
получаем
-^Рп(а, b) = -KPn(a, b) + XPn-i (a, b).
*) Мы полагаем здесь и далее, что читатель знаком с элементар-
элементарными распределениями статистик и характеризациеи таких распреде-
распределений их моментами. См. Кендалл и Стьюарт (Kendall and Stuart,
vol. I, 1958).
30
ГЛ. 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
СЛУЧАЙНОЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛОВ
Решая эти уравнения последовательно для
/г=0, 1, 2, ..., находим
Случайное подразделение интервалов
2.8 Более интересная ситуация возникает, когда име-
имеется фиксированное число случайных точек в интервале,
длину которого можно полагать равной единице. Такие
точки разделяют интервал на /г+1 случайных интер-
интервалов. Эти случайные интервалы (так же, как и их дли-
длины) будем обозначать в порядке их следования вдоль
прямой через /ь/2,...,/n+i. Пусть интервал @,1) делит-
делится п случайными точками Х\, ..., Хп, координаты кото-
которых независимы и имеют равномерное распределение на
@,1). Тогда их совместное распределение записывается
так:
dXx...dXn @<Х|<1).
Его можно рассматривать как совместное равномерное
распределение в /г-мерном кубе. Величины Х\, ..., Хп,
записанные в возрастающем порядке, будем обозначать
через Y\ Yn:
Куб распадается на п\ равных областей, внутри которых
плотность равномерна, и совместное распределение слу-
случайных величин Y\ равно
n\dY1...dYn @<К1<...<У«<1). B-5)
Имеем
/ — у2 ylt
'ln = Yn~Yn-lf'
Совместное распределение I1,...,In+l сингулярно, по-
поскольку 2 /{ = 1; но мы можем, подсчитывая якобиан,
определить совместное распределение /j.-..i'n- Оно
равно
n\dli...dln
п
i i
1
31
B.6)
Поэтому каждый из интервалов сам по себе имеет одно
и то же распределение. Это можно установить также, за-
замечая, что га+1 интервалов совместно распределены
таким же образом, как п-\-1 интервалов на окружности
единичной длины, когда на нее случайно помещаются
л+1 точек.
2.9 Для определения распределения длины отдель-
отдельного интервала рассмотрим /ft+1 = Fft+i —Yk . Интегри-
Интегрируя B.5) по всем возможным значениям Yx,.. .,Ул-1 ,
Yk+г >• • ->Yn > получаем совместное распределение Yk и
Отсюда для распределения
< Yк < Yh+l
получаем
-dl
ft+1
(k - 1)! (n - k - 1)!
= n(l-lh+i)"-idlh+i. B.7)
Это выражение не зависит от k и его можно было полу-
получить прямо, заметив, что все интервалы /j, имеют одно
и то же распределение, а B.7), очевидно, есть распреде-
распределение 1\.
2.10 Распределение п точек на интервале можно дву-
*я способами связать с пуассоновским процессом. Сна-
Сначала предположим, что имеется пуассоновский процесс,
начинающийся в нуле и такой, что события происходят в
моменты Yu... ,Yn @ < Y < со). Мы рассмотрим услов-
условное распределение Fi,..., Yn при условии, что Кп<1.
Уп+1>1, и покажем, что в таких обстоятельствах п то-
точек Y\,...,Yn суть п случайных точек на @,1), записан-
записанных в порядке возрастания.
32
ГЛ. 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
СЛУЧАЙНОЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛОВ
33
Вероятность того, что Ух>... ,К„ принимают задан-
заданные значения, причем Fn<CU Fn+i>li задается так:
Поэтому условное распределение величин Yu ..., Yn при
данном Yn+i равно
П
ехр
l -2
где /| имеют тот же смысл, что и ранее. Условная веро-
вероятность получится делением этого выражения на веро-
вероятность того, что в @,1) попадает ровно п точек пуас-
соновского процесса, которая равна
Поэтому совместное распределение случайных величин
/i равно
n\dlx...dln О;/4<1)
и совместное распределение величин Yt есть
n\dYi...dYn,
а это доказывает, что точки Ylt... ,Yn могут рассматри-
рассматриваться как п случайных точек на интервале @,1).
2.11 Можно получить и другое представление, которое
в некоторых задачах более полезно. Рассмотрим опять
пуассоновский процесс с событиями, происходящими в
моменты Уь ..., Yn, Уп+Ь и положим
Zi — У l'n hi»
Z2 = Y2Yn^i,
?п — У п У п-\ !•
Тогда 0<Zt <1 и Zb .. .,Zn распределены на интер-
интервале @,1) как упорядоченный набор п случайных точек
Чтобы показать это, заметим, что совместное распреде
ление случайных величин Уь ..., Yn+Y (У^... г^Уп+ь
равно
Х«+1 ехр (- XYn+i) dYl...dYn]l,
в то время как распределение Упц само по себе есть
Переходя к величинам Z, получаем
n\dZx...dZn.
Полезным бывает и другое представление. Посколь-
Поскольку величина У\ —/{-^распределена как BА,) х2 с двумя
степенями свободы, то совместное распределение вели-
величин 1\, ..., /n+i совпадает с совместным распределе-
распределением величин
B.8)
где*а;г — независимые случайные величины, распределен-
распределенные нормально с нулевым средним и одним и тем же
стандартным отклонением.
2.12 Поскольку совместное распределение интерва-
интервалов Уь ..., /п+1 совпадает с совместным распределе-
распределением величин, скажем,
)-i,... ,Wn+i lWi+.. ¦ +Wn+i)-i,
где Wt независимы и обладают одним и тем же экспо-
экспоненциальным распределением, мы можем дать другую
геометрическую интерпретацию совместному распределе-
распределению величин/j. Будем рассматривать (W\,..., Wn+i) как
точку в (п+1)-мерном пространстве. Величины Itза-
Itзависят только от отношений величин Wt и, следовательно,
можно полагать 2№j=const. Эта плоскость пересека-
пересекает положительную часть пространства по регулярному
симплексу, который является «-мерным обобщением
равностороннего треугольника, правильного тетраэдра
и т.д. Если выбрать const=l, то совместное распределе-
распределение 1\,..., /n+i совпадает с совместным распределением
длин перпендикуляров, опущенных из случайной точки
внутри симплекса на координатные плоскости. Если же
const выбрать так, что расстояние от каждой вершины
симплекса до противоположной стороны равно единице,
то /ь ..., /n+i окажутся равными длинам (п+1)-мерных
3 М. Кендалл, П. Моран
ГЛ. 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
перпендикуляров из случайной точки внутри симплекса
на его п+\ стороны.
Преимуществом такого представления является то,
что иногда удается получить явные формулы для веро-
вероятностей, используя геометрию симплекса. С другой сто-
стороны, преимущество B.8) в том, что оно упрощает вычи-
вычисление моментов. Для иллюстрации рассмотрим одну из
величин B 8):
*§
A_
В
Распределение А/В зависит только от отношений вели-
величин Xj. Поскольку совместное распределение xit ..., х2п
сферически симметрично, то случайные величины А/В и
В независимы и поэтому
т. е.
B.9)
Это значительно упрощает вычисления.
Некоторые частные задачи
2.13 Теперь можно было бы рассмотреть много задач,
в основном очень частного характера. Так, например,
пусть единичный интервал делится на три части двумя
случайными точками и спра-
спрашивается, чему равна веро-
вероятность того, что из получив-
получившихся отрезков можно по-
построить треугольник. Эта ве-
вероятность равна вероятности
того, что ни один из отрез-
отрезков не превосходит суммы
" двух других. Используем
симплекциальное представ-
представление (в данном случае симплекс есть треугольник). Для
того чтобы из отрезков можно было построить треуголь-
треугольник, точка, представляющая отрезки, должна лежать
внутри треугольника, который получается соединением
Рис. 2.1.
НАИБОЛЬШИЙ ИНТЕРВАЛ НА ПРЯМОЙ
35
середин противоположных сторон симплекса (как это
указано на рис. 2.1). Он имеет площадь, равную одной
Четверти площади большого треугольника, и, следова-
следовательно, вероятность равна 1/4.
Наибольший интервал на прямой
2.14 Более интересная задача состоит в отыскании
распределения длины наибольшего из п интервалов, на
которые разбивает единичный интервал п—1 случайная
точка. Событие «наибольший интервал превосходит х»
есть дополнение к событию «ни один из интервалов не
превосходит х». Мы займемся более общим вопросом,
именно отысканием вероятности того, что ровно k ин-
интервалов превосходят х, k—0, 1,... и kx^.1. В упро-
упрощенной форме эта задача имеется у Витворта (Whit-
worth, 1901; задача 667, стр. 361), но, по-видимому, воз-
возникла еще раньше. Мы покажем, что эта вероятность
равна
"-» . B.10)
Ряд прерывается после последнего члена, для которого
величина 1 — (k + s)x еще положительна.
Пусть интервалы занумерованы как /ь ..., 1п и через
Рц... ft будем обозначать вероятность события li>x,
Ij^>x,... ,Ih^>x безотносительно к длине других интер-
интервалов. Пусть Sm есть сумма вероятностей Рц ... h по всем
возможным способам выбора т интервалов из общего
числа п. По известной комбинаторной лемме вероятность
того, что имеет место ровно k из событий 1\>х,..., /п>
>х, равна
р _о (
Этот факт может быть просто установлен с использова-
использованием индикаторных переменных (которые равны 1 или 0
согласно тому, происходит или нет событие), или по ин-
индукции (Феллер (Feller, 1950)).
36
ГЛ, 2, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
Очевидно, 4ToSm в ( ^ ) раз превосходит вероятность
события 1\>х,..., 1т^>х. Используя представление It
как длин перпендикуляров на стороны из случайной точ-
точки (га—1)-мерного симплекса, мы находим, что эта веро-
вероятность пропорциональна объему правильного симплек-
симплекса, все стороны которого укорочены в отношении A—тх).
I п \
Поэтому Sm равна I т 1A — тх)»-i при 0<тх<1 и ну-
нулю в противном случае. Поэтому Рщ имеет вид
что и равно B.10).
Полагая здесь k=0, получаем распределение наиболь-
наибольшего интервала, поскольку Яц» есть вероятность того,
что наибольший интервал меньше х. Она равна
Вероятность того, что наибольший интервал превосхо-
превосходит х, равна
( )(;) ... B.11)
2.15 Эти результаты были получены также Фишером
(Fisher, 1929, 1940) и были применены им для построения
критериев значимости в гармоническом анализе. Обе эти
работы воспроизведены с дополнениями в собрании его
трудов. В первом дополнении дается таблица 5% и 1%
точек для B.11) для п = 5 AM0. Во второй работе он
привел также таблицу 5% точек второго наибольшего
интервала для я = 3 A) 10 E) 50. У Дейвиса (Davis, 1941)
имеется таблица для пх=0,1 @,1) 10,0, /г = 10 A0) 70 и
для пх=Ъ,\ @,1) 10,0, л = 80 A0) 300.
Полученные формулы применялись Гарвудом (Gar-
wood, 1940) для описания одной схемы управления дви-
движением транспорта.
Задача обсуждалась также Батиклем (Baticle, 1933a,
1933b, 1935) и Леви (Levy, 1939).
2.16 Стевенс (Stevens, 1939) рассмотрел геометриче-
геометрическую задачу, по видимости отличающуюся от рассмот-
НАИБОЛЬШИЙ ИНТЕРВАЛ НА ПРЯМОЙ
37
ренной, но в действительности, как это показал Фишер
(Fisher, 1940), эквивалентную ей.
На окружности единичной длины случайно помещают-
помещаются п дуг длины х, и ищется вероятность того, что ок-
окружность будет полностью покрыта. Положим, что
положение дуг определяется их последней точкой, если
двигаться по часовой стрелке. Эти концы определяют
п интервалов, чье совместное распределение совпа-
совпадает с распределением п—-1 интервалов, которые
порождены п— 1 случайными точками на интервале еди-
единичной длины.
Все точки окружности оказываются покрытыми тогда
и только тогда, когда длина ни одного из этих интервалов
не превышает х. Стевенс дал доказательство результата
в этой форме. Молдон (Mauldon, 1951) дал точное рас-
распределение суммы длин от наибольших интервалов,
т=2, 3, ...
2.17 Задача Стевенса касается случайных интервалов
на окружности. Аналог этой задачи в трехмерном про-
пространстве состоит в нахождении вероятности того, что по-
поверхность сферы будет полностью покрыта набором слу-
случайно расположенных кружков. Ее точное решение неиз-
неизвестно, но эта задача и приводящие к ней биологические
задачи будут обсуждены в главе 5.
2.18 Некоторый интерес представляет также распреде-
распределение 2 'пф Эта величина вначале была предложена в
качестве критерия значимости при изучении инфекцион-
инфекционных заболеваний М. Гринвудом (Greenwood, 1946). Точ-
Точное распределение (подобно распределению в 2.14) зада-
задается различными формулами на различных участках и из-
известно точно лишь для« = 2, Зи4. Моменты и асимтоти-
ческая форма даны Мораном (Могап, 1947), а решение
для п = \ Гарднером (Gardner, 1952) (см. также Моран
(Могап, 1951, 1953)). Моменты легко находятся с по-
помощью либо представления B.9), либо теоремы Дирихле
(Уиттекер и Ватсон (Whittaker and Watson, 1935),
стр. 258).
Если f(x) интегрируема на @,1) и аг >0(г=1 /г),
то интеграл
j (*!+ ... +хп)х*'-*... х^'Ых,.. .dxn, B.12)
33 ГЛ. 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
взятый по области ж{ ]> 0, 2^» ^ '> равен
В частности, для f (t) = 1 интеграл B.12) равен
Г(а1)...Г(ап)
B.13)
Если интеграл берется по области 0^2^ =^С, то B.13)
умножается на Ca^f Дифференцируя по С, находим,
что интеграл от х i—1... х„п~х по (я—1) -мерной обла-
области, определяемой неравенствами Xi >0, \х{=1, равен
Г («J ... Г (а„)
Г (аг
+«„)
Полагая cti = .. . = а„ = 1, находим, что объем этой об-
области равен [Г(я)]~'. Представляя п интервалов, обра-
образованных гс—1 случайной точкой, как однородные коор-
координаты точек внутри симплекса, находим
Этот результат был впервые получен в слегка отлич-
отличном виде Витвортом (Whitworth, 1901) (Предложе-
п
ние LVII). Применяя его к сумме Г=2/*, получаем
Е СП) = пЕ (/*) + п (п -1) Е (/2 /|) =
== 4(л + 5) {(/>+ 1) (п + 2)(я+ З)}-1
и т.д.
2.19 Оба рассмотренных выше распределения могут
быть использованы для построения критериев для гипоте-
гипотезы, состоящей в том, что и—1 точек распределены случай-
случайно. Другой такой критерий предложен Бартлеттом при
обсуждении работы Гринвуда (Greenwood, 1946, стр. 108).
Поскольку выше мы показали, что /j /„распределены
Критерий Колмогорова
39
4 (Wx+ ...+Wn)-i,i=l п.где №t суть незави-
независимые случайные величины, распределенные как х2 с дву-
двумя степенями свободы, мы могли бы использовать любой
критерий однородности дисперсий. В частности, критерий
отношения правдоподобия должен быть основан на неко-
П /.1'"
торой функции от — . Распределение этой вели-
чины неоднократно исследовалось (см., например, Кен-
далл и Стюарт (Kendall and Stuart, 1958)).
Критерий Колмогорова
2.20 Теория распределения случайных точек в интер-
интервале связана также с другой классической задачей мате-
математической статистики, именно с задачей проверки согла-
согласованности выборки с постулированным теоретическим
вероятностным распределением. Предположим, что F(x)
есть непрерывная функция распределения (дискретная
компонента отсутствует). Если х\,...,хп — выборка из
этого распределения, расположенная в порядке возраста-
возрастания, то выборочная функция распределения определяется
так:
1, *„<*.
В качестве меры расхождения с теоретическим распреде-
распределением принимаем
Преимущество такого выбора меры расхождения меж-
между F(x) nFn(x) состоит в том, что она остается инвари-
инвариантной при любом непрерывном монотонном преобразова-
преобразовании х. Поэтому можно предполагать', что
0,
F (х) =
40
ГЛ. 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
Тогда выборка представляет собой п случайных точек на
интервале и в старых обозначениях
К4 — m-i|, \Y{ — (i — I)п~1\).
Колмогоровым (Kolmogoroff, 1933) было показано, что
для х>0
B.14)
0=1
В правой части стоит тета-функция Якоби. Существует
обширная литература об этом распределении, поскольку
Dn широко используется в качестве критерия согласия.
Следует отметить, однако, что B.14) не имеет места для
распределений, найденных по выборке с помощью оценки
параметра (см. Кендалл и Стюарт (Kendall and Stuart,
vol. II, 1961)). Другие распределения, которые были рас-
рассмотрены нами, также могли бы быть использованы для
критерия согласия, но в отличие от критерия Колмогоро-
Колмогорова эти критерии требуют перехода к прямоугольному рас-
распределению до их применения.
2.21 Сравнительная ценность таких критериев значи-
значимости зависит от имеющейся альтернативной гипотезы.
Так, для эпидемиологической задачи, рассмотренной
Гринвудом, Моран (Могап, 1951) показал, что
относительно вполне приемлемой альтернативы метод
Бартлетта, использующий критерий однородности диспер-
дисперсии, лучше метода, использующего 21 А|8- Особенно цен-
ценный и интересный обзор этого и других критериев и их
мощности содержится у Кокса (Сох, 1955).
Непересекающиеся интервалы на прямой
2.22 Ранее мы рассматривали случайные точки. Далее
будет сделана попытка определить на прямой случайные
непересекающиеся интервалы. Сначала рассмотрим слу-
случай бесконечной прямой.
Появление непересекающихся интервалов мы свяжем
с реализациями случайного процесса с временной коорди-
координатой t, меняющейся от — оо до оо. Если точка t не по-
покрыта интервалом, можно предполагать, что расстояние
НЕПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ИНТЕРВАЛЫ НА ПРЯМОЙ
41
(обозначим его через 7\) до ближайшего интервала спра-
справа имеет экспоненциальное распределение Ke~kTi dT\
со средним А, независимо от того, что происходит слева
от t. Если интервал, который в этом месте начинается,
имеет постоянную длину б, то прямая окажется снова не-
непокрытой в точке t+Ti + б, а расстояние до начала сле-
следующего интервала есть не зависящая от Т\ случайная
величина Г2, имеющая опять экспоненциальное распре-
распределение со средним Аг1. Продолжая таким образом, мы
определяем некоторый случайный процесс.
Модель такого типа встречается в ряде практических
ситуаций. Так, она может применяться для представления
расположения автомобилей вдоль дороги или описания
прохождения автомобилей мимо данной точки. Если при-
принять длину автомобиля равной б, то в этом случае модель,
по-видимому, является удовлетворительной лишь при ма-
малых интенсивностях движения. Результаты улучшаются,
если б выбрать большим, чем длина автомобиля.
Эта модель может также представлять интервалы,
в течение которых ведется телефонный разговор на ли-
линии, исходящей от одиночного абонента, при условии от-
отсутствия всякой блокировки и постоянства длины раз-
разговора, равной б.
Наконец, модель представляет последовательность ин-
интервалов, в течение которых счетчик, регистрирующий
последовательные события, оказывается запертым. Собы-
Событиями могут быть прохождения частиц космических лу-
лучей, и счетчик после регистрации прохождения частицы
теряет чувствительность на период продолжительности б.
Каждой из трех тем посвящена обширная литература,
которая в действительности не имеет отношения к геомет-
геометрическим вероятностям. Мы рассмотрим одну задачу, ко-
которая возникает в этой модели.
2.23 Предположим, что момент ^ = 0 не накрывается
интервалом. Нас интересует распределение общего числа
интервалов, которые лежат в (О, Т). Легче найти вероят-
вероятность того, что в (О, Т) содержится п или больше интер-
интервалов. Конец n-Yo интервала находится в точке гсб +
+ Г1+... Г„,где Ti независимы и распределены как
BК)~1х2 с двумя степенями свободы. Следователь-
Следовательно, в (О, Т) содержится п или более интервалов, если
42
ГЛ. 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
му равна
п8. Вероятность этого события поэто-
поэто2Х(Г-п«) J_x
Очевидно, не может появиться более чем [Г(«б)~г] ин-
интервалов, где [х] есть целая часть х (см. Френкель
(Frenkel, 1946), стр. 128).
2.24 Если мы хотим иметь ровно п интервалов на
(О, Т), то совместное распределение их положений может
быть определено различными способами. Предположим,
что интервалы имеют длину б, и их всего п. Они оставят
непокрытыми /г + 1 интервалов /ь ..., /n+i» и можно пред-
предполагать, что они имеют совместное распределение, сов-
совпадающее с распределением случайных интервалов, кото-
которые порождаются п точками, помещенными случайно на
интервал длины Т—пб. Из B.6) находим, что это совмест-
совместное распределение есть
(ало).
2 Л
V 1
Другое (неэквивалентное) определение получается,
если предположить, что интервалы длины б помещаются
на (О, Г) последовательно, причем на каждом шагу
все допустимые положения являются равновероятными.
В этом случае всегда возможно поместить п интервалов
в (О, Г), причем п равно [7'Bб)~1], если [Гб~'] четно,
и [ГBб)-'] + 1, если [Гб-1] нечетно.
Однако при надлежащем выборе положений можно
поместить до [7*6 '] интервалов. Поэтому, если мы
продолжаем помещать интервалы до тех пор, когда уже
невозможно будет добавить еще один, общее число
помещенных интервалов будет случайным, и его распре-
распределение зависит от Т. Нахождение этого распределения
представляет некоторые трудности (см. Реньи (Renyi,
1958)). Дискретный аналог этой задачи был рассмотрен
Е. С. Пейджем (Page, 1959) (см. также Даунтон (Down-
ton, 1961)). Двумерное обобщение имеет некоторые ин-
интересные физические приложения.
плотность точек на плоскости
43
Плотность точек на плоскости
2.25 Рассмотрим теперь случайные точки на плоско-
плоскости. Будем полагать, что число их в каждой области пло-
площади А имеет распределение Пуассона,со средним ХА;
X может тогда называться «плотностью» точек.
Пусть Р — любая точка плоскости, и rit r2,...— рассто-
расстояния до ближайшей случайной точки, второй ближай-
ближайшей точки и т. д. Распределение ги очевидно, имеет вид
2Xnrlexp{-Xnr]}dr1. B.15)
Таким образом, 21пг\ распределено как х2 с двумя сте-
степенями свободы. Аналогично, rs имеет распределение
2(Xn)s {{s - l)!)-iexp {-Xnr2}. r*-idrs,
так что 2Хя/^ распределено как %2 с 2s степенями сво-
свободы. В действительности совместное распределение слу-
случайных величин/^, г|, г|,... совпадает с распределением
расстояний до ближайшей, второй ближайшей, ... точки
на прямой, на которой появляются случайные точки с
плотностью Хп. Эта эквивалентность видна непосредст-
непосредственно.
2.26 Эти результаты могут быть использованы для
оценки плотности точек на плоскости путем выбора слу-
случайных точек и измерения расстояний до s-ro ближайше-
ближайшего соседа. Среднее значение г2 равно s(Xn)~\ и если мы
собираемся использовать некоторое число таких измере-
измерений, то лучше складывать их и брать среднее в качестве
оценки для Х~\ чем складывать смещенные оценки для X.
Предположим, что у и ..., у„ — п значений /^ и Y = /г~1
(#г+. • •+*/«)• Тогда математическое ожидание Y есть
(Хп)~1, так что яУ есть несмещенная оценка для Я и ее
дисперсия равна (лЯ2). В качестве оценки для Я мож-
можно взять поэтому Я1=(яУ)~1, и для больших п она бу-
будет иметь дисперсию Х2п~1. Более того, случайная вели-
величина 2XnnY распределена как зс2 с In степенями свобо-
свободы, так что доверительные границы для Я находятся
просто.
На практике вместо использования яг^ для оценки
Я используется 2г\ для оценки Я~1'2 . Из B.15) ясно,
44
ГЛ. 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
что среднее значение 2г\ есть Х~т и его дисперсия равна
п~1(А—п)Х~К Эффективность процедуры, использующей
сумму величин 2п для оценки X по сравнению с использо-
использованием г2, поэтому равна п{4D — л))-1 = 0,9149.
2.27 Этот результат, а также его различные модифика-
модификации использовались для оценки плотности растений и де-
деревьев, и читатель, которого интересуют практические ас-
аспекты, может обратиться к Грейг-Смит (Greig-Smith,
1957), Мур (Moore, 1954), Котам (Cottam, 1947), Котам
и Куртис (Cottam and Curtis, 1949, 1955, 1956), Котам,
Куртис и Хал (Cottam, Curtis and Hale, 1953), Мориси-
та (Morisita, 1954), Кларк и Эванс (Klark and Evans,
1954, 1955), Шанкс (Shanks, 1954).
2.28 Некоторые из этих работ плохо демонстрируют
те очень простые идеи, на которых основана вся теория.
Было предложено множество модификаций таких мето-
методов без исчерпывающего теоретического анализа.
Для иллюстрации того, как может применяться тео-
теория геометрических вероятностей, в дополнение к изло-
изложенному методу, который известен как «метод ближай-
ближайшей особи», мы кратко рассмотрим четыре других.
A) Вместо того чтобы выбирать точку Р не совпадаю-
совпадающей с заданными точками случайного множества (кото-
(которые, скажем, являются деревья-
деревьями), мы выбираем случайно од-
одну из точек этого множества и
измеряем расстояние до ее бли-
ближайшего соседа. Распределение
в этом случае такое же, как и
раньше.
B) Как и в первом методе,
выбирается независимо от задан-
заданных точек некоторая случайная
I — ближайший сосед, a Q2 — ближай-
ближайший сосед точки Qb Расстояние QiQ2 используется для
оценивания X. Несколько раз утверждалось, что это рас-
расстояние имеет то же распределение, что и расстояние в
предыдущем случае, однако это совершенно неверно.
Мы рассчитаем это распределение для того, чтобы про-
проиллюстрировать методы, которые применяются в таких
задачах.
Рис. 2.2.
точка Р. Пусть
ПЛОТНОСТЬ ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ
45
Пусть г есть расстояние PQi и R— радиус окружности
с центром в Qi (рис. 2.2). Тогда г имеет распределение
Условная вероятность того, что в круге радиуса R с
центром в точке Qi не окажется случайных точек при ус-
условии г, равна
где А (г, R) есть площадь области внутри круга с цент-
центром Qi, лежащей вне окружности с центром в Р. Поэтому
распределение расстояния х от Qi до ближайшего соседа
равно
00
2Хп dx[r4- е-х*г'-хл<г-*> dr.
? dx
Этот интеграл трудно вычислить явно, однако среднее
значение Q1Q2 найти легко. Оно равно
B.16)
В то же время
где
--nR2-r2 {9-sin 9 cos 9;
8 = arccos A—i
9=arccos(^B/-)-').
Интегрируя по частям, приводим B.16) к виду:
X-
dy
B.17)
Численное интегрирование B.17) дает 1,191 Я,-1'2. Таким
образом, 0,8396/- есть несмещенная оценка для Х~1/2; ее
дисперсия может быть найдена аналогично.
C) Выбирается точка Р и ближайшая к ней точка Qi
из числа случайных точек. Измеряется расстояние г до
ближайшей к Qi точки Q2, лежащей по другую сторону
прямой, проходящей через Р перпендикулярно PQ
46
ГЛ. 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
(рис. 2.3). Среднее распределение расстояния Q1Q2 может
быть найдено из. тех же соображений, что и в предыду-
предыдущем примере, однако вычисления окажутся несколько бо-
более трудными,
D) Точка Р выбирается случайно и через нее прово-
проводятся две взаимно перпендикулярные прямые в направле-
направлениях, фиксированных заранее. Измеряются расстояния
Уь Уч, Уз, У\ от Р до ближайших случайных точек в каж-
каждом из четырех квадратов. Из
сказанного выше следует, что
случайные — 1~"
(»'=!, 2, 3.
величины -о-
4) независимы и
( , ) и
распределены как %2 с двумя
степенями свободы. Поэтому
с дисперсией
Рис. 2.3.
является несмещенной оценкой для Яг1
-|- Я~2. Доверительные границы устанавливаются, как
выше. В экологической литературе обычно пользуются
средними значениями расстояний, а не их квадратов, что,
как было показано, неэффективно.
2.29 Остается неясной причина, почему было пред-
предложено и использовано так много методов. Методы B) и
C) математически осложнены, их стандартные ошибки
не подсчитаны и они требуют большего труда. По-види-
По-видимому, лучшей является процедура, при которой исходная
точка выбирается случайно и измеряется расстояние до
ближайшего или s-ro ближайшего соседа. Если распреде-
распределение точек на плоскости не является чисто случайным,
то все эти методы дадут смещение. Теория подобных рас-
распределений не затрагивается в этой книге.
Распределение расстояния
между двумя точками в круге
2.30 В качестве одной из задач, содержащей фикси-
фиксированное число точек, рассмотрим распределение расстоя-
расстояния между двумя точками, взятыми внутри круга. Оно
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ДЬУМЯ ТОЧКАМИ В КРУП-47
было получено различными авторами и простейший путь
состоит в использовании теоремы Крофтона. Мы снача-
сначала найдем среднее расстояние между точками Р и Q,
каждая из которых распределена равномерно внутри
круга радиуса R (рис. 2.4).
Пусть А—точка на границе круга, и АОВ есть диа-
диаметр. Точки, удаленные на расстояние х от А, зани-
занимают внутри элементарной ду-
дуги элемент площади, равный
\2хarccos 2^-j dXt и поэтому сред-
среднее удаление от А задается
2R
2х? arccos
71/2
2R
= ^Р- 6cos2sinerfe =
32ft
9я
Пусть M(R) есть среднее расстояние. Тогда, используя
B.4), имеем
Умножая на R* и интегрируя, получаем:
M(R)Ri=~R*+ const,
а так как М @) =0, то const = 0, и получаем
Пусть теперь p(x,R)dx есть вероятность того, что PQ
лежит в интервале (х, x-\-dx). Та же плотность для слу-
случая, когда Р лежит на границе, равна
где 9 = arccos xBR)~l. Для фиксированного х имеем
48
ГЛ. 2, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
так что B.2) принимает вид
dP
Общий интеграл этого уравнения есть
/7=J|-{flsin20cos20— sin0cos30 + 0cos40}+A,cos40,
где Я является константой. Поскольку р = 0 при 0 = 0,
имеем
p = ^J|-{0sin20cos20— sin0cos30 + 0cos40} =
= ~ @ sin2 0 cos 0 - sin 0 cos2 0 + 0 cos3 0}.
Интегрированием получаем
P (x, R) =
— -ъг\пх2 + (#2 — **) (" — 2a) ]r- BR2 + *») sin2a},
где x—2R cos a.
Тот же результат мог быть получен прямым вычисле-
вычислением. Такие вычисления были проделаны Борелем (Во-
rel, 1925), который рассмотрел аналогичную задачу, ког-
когда Р и Q суть случайные точки внутри треугольников,
квадратов и многоугольников вообще. Очевидно, что рас-
распределение расстояния PQ и его моменты могут рассмат-
рассматриваться лишь как некоторые из величин, которые можно
использовать для характеризации выпуклых областей на
плоскости (и, по аналогии, выпуклых областей в много-
многомерных пространствах).
Задача Сильвестра
2.31 Несколько более сложная задача носит название
задачи Сильвестра. Она состоит в нахождении вероятно-
вероятности того, что четыре точки А, В, С и D, взятые случайно
внутри выпуклой области, составляют выпуклый четырех-
четырехугольник; это означает, что ни одна из точек не попадает
в треугольник, образованный тремя другими.
Рассмотрим вероятность дополнения к этому событию,
т. е. вероятность того, что четыре точки не образуют вы-
выпуклого четырехугольника. Это может случиться четырь-
четырьмя различными способами, согласно тому, какая из четы-
ЗАДАЧА СИЛЬВЕСТРА
49
рех точек попадает в треугольник, образованный тремя
другими. Если область имеет площадь S, а средняя пло-
площадь треугольника равна Т, то вероятность получить вы-
выпуклый многоугольник равна 1—ATS~l.
Поскольку Р не зависит от выбора единицы масштаба,
то предполагая, что данная выпуклая область включена
в выпуклую область большего размера, но той же формы
и ориентации, получаем dP = 0. Из B.2) заключаем по-
поэтому что Р = Р\, где Р есть вероятность выпуклого четы-
четырехугольника, когда одна из точек расположена в беско-
бесконечно малой присоединенной области. Рассуждение, ана-
аналогичное предшествующему, дает
где Л есть средняя площадь треугольника, одна из точек
которого лежит на границе. Имеется в виду, что относи-
относительно положения точки на границе усреднение произво-
производится с весом, пропорциональным приращению площади
вблизи данной точки границы.
Множитель 3 появляется вмес-
вместо 4 потому, что внутри облас-
области случайно выбираются те-
теперь лишь три вершины.
Следующее рассуждение
проходит непосредственно для
любой выпуклой фигуры. Од-
Однако ради простоты мы будем
придерживаться традиционно-
традиционного изложения в терминах вы-
выпуклого многоугольника, одной
из фиксированных вершин которого является точка А.
Пусть всего имеется п вершин; соединяя А с остальны-
остальными п — 1 вершинами, получаем п—\ треугольников. Их
площади обозначим через S\,..., Sn-i (рис. 2.5).
Пусть Tij есть средняя площадь треугольника, из
трех вершин которого одной является А, а две другие вы-
выбираются случайно в t-м и /-м треугольниках (»=/, либо
ij) Тогда
Рис. 2.5.
2?
M. Кендалл, П. Моран
+
B.18)
i,;l
50
ГЛ, 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
ЗАДАЧА СИЛЬВЕСТРА
51
Предположим сначала, что 1ф}, В есть случайная
точка в S|, а С есть случайная точка в Sj, Если В фи-
фиксировано, то средняя площадь треугольника ABC, оче-
очевидно, равна ABGj, где G,- есть центр тяжести треуголь-
треугольника /. Варьируя затем В, получаем, что среднее значе-
значение ABC есть AG{Gj .
Если i=j, то мы сначала замечаем, что Г« должно
иметь форму XSu где % не зависит от размеров и формы
S;. Это следует из того, что всегда возможно преобразо-
преобразовать данный треугольник в любой другой перпендикуляр-
перпендикулярным проектированием треугольника с одной плоскости на
другую с последовательным изменением масштаба. При
этом площади St и ABC умножаются на один и тот же
множитель и вероятности попадания точек в соответству-
соответствующие области остаются неизменными. Если AXY есть не-
некоторый треугольник, W — середина стороны XY, G\ и
G2 — центры тяжести AXW и AWY, a S —площадь AXY,
то мы имеем
2)- B.19)
Легко видеть, что площадь AG\G2 равна —S. Поэто-
му решая B.19) относительно %, находим ^ — -ff Таким
образом,
2.32 Для всякой выпуклой области сумма B.18) пе-
переходом к пределу может быть превращена в интеграл.
Предположим, что А есть точка на границе области,
а сама область определяется функцией р(9) (Ог^Э.^я),
где р(9) есть расстояние от границы до А вдоль прямой,
составляющей с касательной в А угол 9 (рис. 2.6). Тог-
Тогда B.18) переходит в интеграл
71 It
~ [ \ р3 (9) ps (Ф) sin |9
о о I
С помощью этой формулы можно оценить Т\ для каждо-
каждого частного случая.
2.33 Сначала рассмотрим треугольник AXY. Предпо-
Предположим, что его площадь увеличивается передвижением
стороны XY параллельно самой себе. Пусть W есть точка
на XY на расстоянии х от X. Мы должны оценить Т, ког-
когда W служит фиксированной вершиной случайного тре-
треугольника, а затем усреднить по всем положениям W,
принимая, что х равномерно распределена на XY (рис. 2.7).
Рис. 2.6.
Рис. 2.7.
Пусть Sx и S2 — площади AXW и AWY и S= (Si+S2) —
площадь AXY. Если XY—a, а высота треугольника рав-
равна/г, то S^-g-a/i, Si — 'YXh, S2 ==-^-(а—х)Л и, в ста-
старых обозначениях,
S*T = Sfrn + S\Tn + 2S,S2T12.
Подставляя значения всех Т, получаем
т=4? {4гх*+4т <а - *)я+4ах (а -
Далее имеем
Таким образом,
l8
52 гл» »• РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
2.34 В случае окружности можно представлять себе,
что расширенная область есть концентрическая окруж-
окружность. Все положения фиксированной точки на границе
тогда равновероятны и вследствие симметрии нет нужды
в усреднении. Пусть а есть радиус окружности. Тогда
Р—1 — 3Ti(na2)~\ Используя точку А на границе в каче-
качестве центра полярных координат, измеряем (как делали
ранее) углы от касательной в точке А. Получаем
НЕПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ КРУГИ НА ПЛОСКОСТИ
53
Тогда
Р= 1 —35A2л2)-1=0,7045...
Дельтейль (Deltheil, 1926) выполнил аналогичные вычис-
вычисления для общего выпуклого четырехугольника. Для част-
частного случая параллелограмма или прямоугольника
25
Р = -gg- =0,6944. Можно показать, что значение Р для
каждого выпуклого четырехугольника лежит между этим
значением и 0,6667, значением, отвечающим треуголь-
треугольникам.,
Для правильного шестиугольника Р= -^ =0,7029,
а для восьмиугольника
р= 2851 + 2013 ГГ „отозо.
4032 + 2880 V~T
Таким образом, Р есть характеристическое число вы-
выпуклой области, которое зависит от ее формы, но не от
размеров. Дельтейлем показано, что для любой выпуклой
фигуры Р не меньше, чем ее значение для треугольника.
Им высказано предположение, что для всех выпуклых фи-
фигур Р не превосходит своего значения для окружности
(эллипса). Это предположение не доказано.
Непересекающиеся круги на плоскости
2.35 По аналогии со схемой случайных непересекаю-
непересекающихся интервалов на прямой было бы желательно опре-
определить случайные непересекающиеся круги на плоскости.
Такого определения не существует и здесь возникают
большие трудности, что вытекает из следующих сообра-
.жений. Предположим, что все круги имеют диаметр d и
;один из них имеет центр в точке Р. На расстоянии от Р
меньшем, чем 2d, не могут находиться центры других ок-
окружностей. Однако вероятность иметь центр круга на ма-
малом участке d§, отстоящем от Р на расстояние R>2d, не
пропорциональна только R и, вообще говоря, она не есть
монотонная функция от R. Это можно увидеть при рас-
рассмотрении предельного случая, когда плотность кругов
становится настолько высокой, что они расположены поч-
почти как в случае «плотнейшей упаковки» (т. е. их центры
лежат почти на вершинах решетки из равносторонних
треугольников). В этом случае вероятность того, что в об-
области dS, удаленной от центра заданного круга на R, ле-
лежит центр, есть функция от R с ярко выраженными
пиками.
2.36 Другой подход к проблеме (для случая п непере-
непересекающихся кругов внутри области D) мог бы состоять
в том, что круги помещаются в область один за другим,
причем на каждом шагу все подходящие положения счи-
считаются равновероятными (аналогичный метод мы обсуж-
обсуждали выше для интервалов на прямой). Однако нетрудно
видеть, что распределения положений различны для раз-
различных кругов, так как они зависят от порядкового номе-
номера круга в последовательности их помещения в область.
Аналогичные трудности возникают в случае случай-
случайных непересекающихся шаров в пространстве, на чем мы
остановимся позднее.
2.37 Если плотность кругов низка, то не возникнет
большой ошибки, если их центры рассматривать как точ-
точки, распределенные на плоскости случайным образом, по-
поскольку вероятность того, что два центра будут удалены
на расстояние меньшее, чем 2d, оказывается малой. Инте-
Интересное применение этой модели встречается в лесоводст-
лесоводстве (Биттерлик (Bitterlick, 1948, стр. 148), Гроссенбах
Grosenbaugh, 1952a, 1952b) и Шанкс (Shanks, 1954)).
Предположим, что круги, представляющие стволы де-
деревьев, распределены случайно и достаточно просторно,
чтобы можно было пользоваться указанной аппроксима-
аппроксимацией. Пусть ожидаемое число стволов на любой площади
dS равно KdS, и предположим, что вероятностное рас-
54
ГЛ. 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
ПАРАДОКС ОЛЬБЕРСА
55
пределение диаметров d стволов есть f{d). Тогда средняя
площадь, покрытая стволами деревьев, равна
лХ
Предположим, что выбрана случайная точка Р и под-
считывается число N тех деревьев, стволы которых из точ-
точки Р видны под углом, большим чем а. Такой подсчет лег-
легко произвести при надлежащем выборе а с использова-
использованием инструментов, которые сконструированы для этой
цели. При этом данное дерево учитывается, если
d>2Rsina.
Среднее число подсчитанных деревьев с диаметрами
стволов, лежащими в пределах (d, d + dx), поэтому равно
Усредняя по всем значениям d, находим, что среднее чис-
число подсчитанных деревьев равно
4 • a \x?f{x)dx= (средняя площадь стволов на единицу
о
площади) • (sii^a).
На практике а можно выбрать равным Г44' и тогда
десять раз взятое число подсчитанных стволов даст оцен-
оценку числа квадратных футов площади стволов, приходя-
приходящихся на акр.
Случайные точки в трехмерном пространстве
2.38 Теперь мы рассмотрим точки в трехмерном про-
пространстве. Будем опять предполагать, что число точек,
появляющихся во всякой области объема V, есть пуассо-
новская случайная величина со средним XV. Пусть Р есть
фиксированная точка и п, г2,...— расстояния до ближай-
ближайшей случайной точки, второй ближайшей случайной
точки и т. д. Вероятность того, что в шаре радиуса г с
центром в точке Р не окажется случайной точки, равна
ехр |— -^-
Следовательно, распределение т\ таково, что -=- Хлг*
О 1
имеет экспоненциальное распределение, т. с. имеет вид
4Хяг2 ехр (- 4~Х"Г? )dri.
1 I а 1)
о
Этот же факт можно выразить, говоря, что -g-Хяг' име-
имеет распределение %2 с двумя степенями свободы. Анало-
Аналогично, распределение rs есть
(ГE))-1 ехр j_
• rf-idrs.
Вероятность того, что точка окажется в сферической об-
области (r,r-\-dr), равна 4Xnr2dr-{-o(dr); следовательно,
случайные величины
распределены, как расположенные справа от фиксирован-
фиксированной точки на прямой интервалы, концы которых суть по-
последовательные случайные точки, появляющиеся с еди-
единичной плотностью.
Эти распределения известны уже давно, но многократ-
многократно переоткрывались (см., например, Герч (Hertz, 1909),
Пеппер (Pepper, 1929)). Имеются интересные применения
в астрономии, два из которых мы кратко рассмотрим.
Парадокс Ольберса
2.39 Первый парадокс Ольберса касается яркости ноч-
.ного неба (Бонди (Bondi, 1952)). Этот парадокс возника-
возникает, когда принимается, что существует бесконечное число
•ввезд, равномерно и случайно распределенных в беско-
бесконечном пространстве. Воспринимаемая глазом яркость
звезды, поделенная на покрываемый звездой телесный
угол, не зависит от размеров и положения звезды при
56
ГЛ. 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
ЗАДАЧА ХОЛЬЦМАРКА
57
условии, что последняя имеет на своей поверхности посто-
постоянную яркость. Для простоты предположим, что все звез-
звезды имеют одинаковый диаметр б и одинаковую поверхно-
поверхностную яркость, и пусть X — среднее число звезд в единич-
единичном объеме. Если диски звезд, лежащих на расстояниях
от точки наблюдения, не превышающих R, покрывают до-
долю У полного телесного угла 4я, то телесный угол, рав-
равный 4яA —У), оказался бы темным, если за R не было
бы других звезд. Ожидаемое число звезд в области
(R,R-\-dR) равно 4XnR2dR и они покрывают общий те-
телесный угол, равный Xn2?>2dR, из которого в среднем до-
доля У будет экранирована ближними звездами. Поэтому
приращение телесного угла, освещенного звездами в
(R,R-\-dR), будет составлять Ц1 — Y)n2?>2dR, и мыпо-
лучаем
Таким образом,
log A - У) = const—А, A - Г) я262Я
и поэтому У-у 1 при R-±oo. Тоже рассуждение примени-
применимо к любому частному телесному углу с вершиной вЯи
поэтому ночное небо должно было бы быть равномерно
ярким, что противоречит наблюдениям.
Читателю понятно, что если бы существовала равно-
равномерно распределенная межзвездная пыль, которая дейст-
действовала бы как экран, то предыдущий вывод не имел бы
места. Однако это объяснение парадокса неприемлемо,
так как пыль должна была бы переизлучать ту энергию,
которую она получает. У Бонди имеется обширное об-
обсуждение различных физических теорий, которые были
предложены для объяснения этого результата.
Задача Хольцмарка
2.40 Более трудная задача, решенная Хольцмарком
(Holtsmark, 1919a, 1919b, 1924) (см. также Чандрасекар
(Chandrasekhar, 1943a, 1943b, 1944a, 1944b)), состоит в
нахождении распределения гравитационной силы в неко-
некоторой точке пространства, возникающей при случайном
распределении звезд. Записывая силу в виде вектора
F= (FhF2, F3), будем обозначать это распределение так:
W(F)dFidF2dF3.
Пусть звезды распределены по Пуассону так, что ожи-
, даемое число их в объеме V равно XV. Если в шаре радиу-
радиуса R с центром в точке О имеется N звезд, то в точке О
сила будет равна
N N
где Mi —масса i-й звезды, а Г| = (xit r/i, z4) есть век-
вектор из О в центр звезды. Мы получим требуемое распре-
распределение, полагая, что N звезд занимают случайное поло-
положение внутри шара и устремляя затем R и N к бесконеч-
бесконечности таким образом, что
Распределение силы Fo, вызванной N звездами в точ-
точке О, задается выражением
WN(F0)dF1dF2dF3 =
— С» —00 —С»
где р= (рь р2, рз)—вектор, a An{p) —характеристиче-
—характеристическая функция распределения случайного вектора F. По-
Поскольку F есть векторная сумма N сил, вызванных каж-
каждой из N звезд, то эта характеристическая функция будет
произведением характеристических.функций распределе-
распределений сил, вызываемых отдельными звездами; поэтому она
имеет вид
п
П J dMi j j j e«*i(M)dXi dVi dz{.
' ¦ 141=0
J
i=l 0
Здесь произведено усреднение по распределению масс
отдельных звезд, причем предполагается, что массы звезд
не зависят от положений и х(М) — плотность вероятности.
58 ГЛ. 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
Поэтому AN (p) можно переписать в виде
R
ЗАДАЧА ХОЛЬЦМАРКА
¦Гаи Г ГС в|д-
\N
б 1г/=0
где ф = GM -pjs-.
Устремляя R и N к бесконечности, получаем
где
1 о
По определению
ОО
I
\ 4r»R3X
;dydz\ з
x(M)dxdydz = \.
О /г|=0
На этом основании запишем А (р) в виде
R
lim 1 —
R-*oo
J/O
О Л/=0
Здесь ф есть величина порядка 0(|г|~2), но поскольку
интеграл по шару есть интеграл от нечетной функции ар-
аргументов х, у и z, то интегрируется в действительности
функция порядка 0(|г|). Следовательно, если инте-
интеграл распространить на все пространство, он будет аб-
абсолютно сходящимся. Мы можем написать поэтому
оо
-<*»*}dxdydz\ 3 =
= ехр{-»С(р)),
59
где
] j]j —ехр(»р- y)\dxdydz.
О /г|=0
Пусть вектор ф имеет компоненты фЬ ф2, ф3. Заме-
Заменим переменные интегрирования х, у, z на фь ф2, фз. Вы-
Вычислением якобиана нетрудно установить, что
dxdydz = —Х
Таким образом,
С (р) = -I- G3/2 Г
О
х
= -2-0^3/2 j j j {1 -exp(«P • <р)} =
оо
Где Цз/2 есть ожидаемое значение М312 . Подынтегральная
функция не меняется при замене ф на —ф, так что мы
можем записать ее как
-к-0
3/2
{1—cosp- cp} |«p|
Введем теперь трехмерные полярные координаты, взяв
р в качестве направления оси г. С(р) переходит то-
тогда в
да i in
4-G3/2lx3/2lpI3/2 J J j {I-cos(zt)\z-V4wdtdz,
0 -i 0
Где
и t, получаем
. Интегрируя по
00
|p|3/2 J B _sin г) ?-7/2 ^ = jL BjtGK'2
60
ГЛ. 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
НЕПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ СФЕРЫ
61
Полагая a = j^Bnb) ц.3/2, получаем
Для оценки этого интеграла опять заменим полярные ко-
координаты, используя F как главную ось, и получим
00 1
о -i
Величина а2'3 имеет размерность силы и, приняв эту ве-
величину за единицу, так что |F| = ра2/3, получаем, что
распределение |F| имеет вид
где
В своей работе 1943 г. Чандрасекар приводит таблицы
функции Я(Р) для
р=0@,1K,0@,2) 3,4A,0L,4@,2) 10,0E,0M0,0A0,0) 100,0.
2.41 В действительности это распределение лишь не-
незначительно отличается от распределения силы притяже-
притяжения в нуле, вызванной одной лишь ближайшей звездой.
Используя предыдущие результаты, нетрудно найти, что
это распределение равно
W(\F\)d\?\ =
ехр(- 4n(GMK'2
xjf|-5'M|fL
Его нетрудно табулировать. Ни от одного из этих резуль-
результатов нельзя ожидать большой точности при больших
значениях F, поскольку звезды имеют ненулевой объем
и их центры не могут сближаться на сколь угодно малые
расстояния.
2.42 Те же распределения имеют приложения и в слу-
случае, когда имеют дело с электрическим полем в точке
внутри газа, состоящего из простых ионов. Более трудные
вопросы (в обеих физических задачах) связаны с изуче-
изучением/7, когда она рассматривается как переменная слу-
случайного процесса, являющегося результатом движения
звезд (ионов) в пространстве. Они обсуждаются в боль-
больших подробностях у Чандрасекара и фон Неймана (Chan-
drasekhar and von Heumann, 1942, 1943).
Непересекающиеся сферы
2.43 При выводе распределения Хольцмарка мы пола-
полагали, что диаметры звезд настолько малы по сравнению
со средним расстоянием до ближайшего соседа, что гипо-
гипотеза пуассоновского распределения дает удовлетворитель-
удовлетворительное приближение. Здесь опять, как и в случае непересе-
непересекающихся кругов, кажется невозможным дать простое
определение случайного распределения непересекающих-
непересекающихся сфер. Такое определение представляло бы большой ин-
интерес в теории жидкостей (Гильдебранд (Hildebrand,
1944), Френкель (Frenkel, 1946)).
2.44 Пусть О — центр сферы и все сферы имеют один
и тот же диаметр d. Другие сферы не могут иметь центры
на расстояниях от О, меньших чем d. Если среднее число
сфер в единичном объеме равно X и если игнорировать
эффект ненулевых диаметров, то среднее число сфер,
центры которых лежат на расстоянии в интервале
(г, r-{-dr), равно AXnr2dr. Отклонение от идеального со-
состояния может затем быть учтено введением множителя
W(r), так что ожидаемое число есть
AXnW(r)r2dr.
На практике для расстояний между молекулами в жидко-
жидкостях путем рентгеновского анализа этот множитель мо-
может быть определен. Однако вывести его теоретически
62
ГЛ. 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
чрезвычайно трудно (Кирквуд и Боггс (Kjrkwood and
Boggs,1942)).
2.45 Интересная экспериментальная попытка опреде-
определить W(r) в ситуации с возможными приложениями была
сделана Гильдебрандом и Моррелем (Hildebrand and
Morrell, 1936). Некоторое количество желатиновых ша-
шаров, в числе которых было несколько окрашенных, было
помещено в кубический стеклянный сосуд, содержащий
желатиновый раствор той же плотности и того же индек-
индекса рефракции. Сосуд многократно встряхивался в двух
взаимно перпендикулярных направлениях, так что мож-
можно было измерить положения окрашенных шаров. Таким
способом была проведена приблизительная оценка W(r)
методом Монте-Карло.
2.46 По мере увеличения плотности шаров их распре-
распределение стремится к дискретному распределению, которое
получается, когда берется множество расстояний от цент-
центра одной сферы до ее ближайших соседей при «плотней-
шей упаковке» сфер. Оно получается, когда сферы укла-
укладываются последовательными слоями, в каждом из кото-
которых центры составляют шестиугольную решетку, так что
каждый последовательный слой лежит в углублениях пре-
предыдущего слоя.
Любопытно, что хотя этот способ и считается уже дол-
долгое время плотнейшей упаковкой шаров, однако строгого
доказательства этого утверждения до сих пор не пред-
предложено.
Распределение двух точек внутри шара
2.47 Нетрудно придумать задачи о фиксированном
числе точек в трехмерных областях, аналогичные уже рас-
рассмотренным двумерным задачам. Мы рассмотрим только
задачу нахождения вероятностного распределения рас-
расстояния между двумя точками, взятыми наудачу внутри
сферы. Удобно, однако, рассматривать более общую зада-
задачу о распределении расстояния между двумя тачками
внутри гиперсферы п измерений. Эта задача решена Делъ-
тейлем (Deltheil, 1926) с помощью теоремы Крофтонам
прямой интеграцией Хаадмерсли (Hammersley, 1950). Мы
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДВУХ ТОЧЕК ВНУТРИ ШАРА
63
последуем^ методу Лорда (Lord, 1954), использовавшего
характеристические функции.
2.48 Пусть две точки Р и Q внутри гиперсферы опре-
определяются векторами Т\ и г2. Найдем распределение {г\—
Гг) при равномерном распределении Р и Q внутри гипер-
гиперсферы; оно совпадает с распределением |ri-fr2|.
Пусть вектор г определяет точку, имеющую равномер-
равномерное распределение внутри шара. Обозначим через P(r)dr
вероятность того, что r< |r| <r-fdr. Если р = (pi, p2,
рз) — произвольный вектор, то
является характеристической функцией г. Для сфериче-
сферического распределения она есть функция только от |р|, так
что характеристическая функция случайной величины
гз=|г| равна
где р=|р| и
Формулой обращения является
Р(г)= 2
Поскольку. Ia(x) являются функциями Бесселя, эти фор-
формулы соответствуют преобразованиям Ханкеля.
Для равномерного распределения внутри гиперсферы
радиуса а имеем
р, у. _ {urn-la-*, 0<г<а,
10, г>а.
Характеристическая функция поэтому равна
ф(р)= Г
6
(dp).
64
ГЛ. 2, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДВУХ ТОЧЕК ВНУТРИ ШАРА
65
Характеристическая функция |г| = |Г1+Гг| равна
ее квадрату. Поэтому
Р(г) =
-4-»
9 Pi (ар)/ (гр)ф.
о Т" -S—1
Подставляя в стандартную формулу (Ватсон (Watson,
1944, стр. 411)), находим
гп-1 а-п \ cos-i __
B.20)
где
и sin4-4 = J_-
Положив t = cos2 -jj- ф, приводим B.20) к виду
где ц=1-г2Dа2)-', а Ix(P,q) есть неполная бета-
функция:
Полагая 2ау — г, получаем для и = 1, 2 и 3:
Р(г) = 2A -у),
Р(г)=-^-г/arccos{-г/A -У2) 2}.
B.22)
2.49 Из B.21) можно получить значения моментов:
г-н момент PQ для сферы радиуса а в /г-мерном простран-
пространстве равен
п г (л+1) г Ц-«+4-г+4"
Можно показать, что при возрастании п распределение
PQ стремится к нормальному со средним а21/2 и диспер-
дисперсией а2Bп)~1. Относительно других результатов по этой
задаче см. Ватсон (Watson, 1959).
Очевидно, такую же задачу можно поставить и для
других областей и в случае цилиндра результаты имеют
практическое применение (см. Хаммерсли (Hammersley,
1951а, 1951b, 1952).
Тем же путем можно получить распределение расстоя-
расстояния между двумя точками, лежащими на поверхности
сферы.
что соответствует случаям сегмента, круга и трехмерного
шара. В частности, B.22) есть лишь другой способ запи-
записи ранее полученного результата для круга.
5 М. Кендалл, П. Моран
Г л а в а 3
СЛУЧАЙНЫЕ ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ
И В ПРОСТРАНСТВЕ
Области, определяемые случайными прямыми
на плоскости
3.1 Как мы уже видели в главе 1, наиболее естествен-
естественными координатами для описания прямых на плоскости
являются полярные координаты (р, 0) основания перпен-
перпендикуляра, опущенного из начала на прямую. В этом пред-
представлении элемент площади параметрического простран-
пространства, инвариантный относительно евклидовых преобразо-
преобразований, есть dpdQ.
Здесь мы предполагаем, что прямые линии распреде-
распределены случайно в том смысле, что в параметрическом про-
пространстве имеется пуассоновское поле точек с плотностью
XdpdQ. Прямые, принадлежащие такому полю, подразде-
подразделяют плоскость на бесконечное число многоугольных об-
областей, как это показано на рис. 3.1.
3.2 Очень большой интерес представляет вероятност-
вероятностное распределение площади таких областей, однако его
аналитическая форма точно неизвест-
неизвестна. Некоторые сведения о нем все же
известны (Гоудсмит (Goudsmit, 1945)).
Один из подходов состоит в рассмот-
рассмотрении пересечения большого числа
случайных хорд круга. Более элеган-
элегантен метод (Гоудсмит), состоящий в
том, что это распределение рассмат-
рассматривается как предел распределения
площадей областей на поверхности
сферы, когда области образуются большим числом слу-
случайных «больших кругов» (кругов, которые получаются
при пересечении сферы плоскостями, проходящими че-
через ее центр). Такой круг может быть определен коор-
координатами одного из его «полюсов» на поверхности сферы.
Рис. 3.1.
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ
67
Можно предполагать, что каждый из этих полюсов рас-
распределен равномерно на поверхности сферы.
3.3 Предположим, что сфера имеет единичный радиус,
и пусть п — число больших кругов. Для /г = 1 число раз-
различных областей равно 2, для /г = 2 оно равно 4, для /г=3
оно равно 8, и по индукции легко видеть, что вообще чис-
число областей равно 2 + п(п~ 1), поскольку, когда мы пере-
переходим от п к /г+1, добавляется 2/г новых областей. Ана-
Аналогично, для п=2, 3, 4 число сторон (принятое равным
числу сегментов больших кругов) равно 4, 12 и 24 соот-
соответственно. Для любого п оно равно 2/г (я— 1). Поэтому,
когда «возрастает, средняя площадь асимптотически рав-
равна 4я/г~2, в то время как среднее число сторон квазимно-
гоугольных областей будет равно пределу величины
2+и(и— 1) > т" е" 4" (Числитель равен 4/г(/г —1), а не
2я(/г— 1), потому что каждый сегмент большого круга
служит стороной для двух многоугольников и должен
подсчитываться дважды.) Общий периметр 2-{-п(п—1) об-
областей равен удвоенной длине больших кругов, т. е. 4пп.
Отсюда средний периметр области асимптотически равен
4я/г~' и средняя длина каждой стороны равна я/г-1.
3.4 Теперь предположим, что /г очень велико, и рас-
рассмотрим распределение областей в малом круге радиу-
радиуса г на поверхности сферы. Число больших кругов, пере-
пересекающих этот малый круг, асимптотически равно т.
Переходя к пределу и приближенно рассматривая область
внутри малого круга как плоский круг, по изменению
масштаба находим, что средняя площадь областей на
плоскости, образованных пуассоновским полем с плотно-
плотностью Я,dpdQ, равна (яЯ,2). В своей неопубликованной
работе Д. Кендалл нашел также и второй момент площа-
площади, однако точное распределение до сих пор неизвестно.
Аналогичное рассуждение можно провести для областей,
образованных случайными плоскостями в пространстве,
как это мы увидим в следующей главе.
Выпуклые фигуры на плоскости
3.5 Значительное число интересных задач в теории гео-
геометрических вероятностей связано с выпуклыми фигура-
фигурами. В большинстве своем в нх фомулировке участвуют
68
ГЛ, 3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРЯМЫЕ
пересекающие случайные прямые, обычно одна или две.
Возникающие тут теории тесно связаны с обширной об-
общей теорией выпуклых фигур, подробный обзор которой
дан Боннесеном и Фенхелем (Bonnesen and Fenchel, 1948)
и который покрывает литературу до 1933 г. (относительно
дальнейших работ см. Хадвигер (Hadwiger, 1955)). Тео-
Теория выпуклых фигур в связи с подсчетом геометрических
вероятностей в основном создана Барбье (Barbier, 1860),
Крофтоном (Crofton, 1869, 1877, 1885) и Сильвестром
(Sylvester, 1891).
3.6 Выпуклая фигура на плоскости есть такое множе-
множество на плоскости (обычно замкнутое), что если две точ-
точки Pi и Р2 принадлежат фигуре, то и все точки интервала
Р\Р2 также принадлежат ей. Если множество ограничено,
то ее граница есть замкнутая кривая, обладающая почти
всюду касательной. Граница может быть определена па-
парой периодических функций {*(/), y(t)} (скажем,
0^^1), которые задают координаты точки на границе,
причем хA)=х@), уA)=у@). Во многих обстоятельст-
обстоятельствах более удобно определять границу заданием «опорной
функции» по отношению к началу О. Эта функция Я@)
может быть определена как расстоя-
расстояние от О до касательной, перпенди-
перпендикулярной к лучу, исходящему из
точки О в направлении 0 (рис. 3.2).
Точка О берется обычно внутри вы-
выпуклой фигуры, однако если она
взята снаружи, то необходимо лишь
небольшое изменение определения.
Я@)—периодическая функция 0 с
периодом 2я; функция Я@) +Н(п +
+ 0) есть длина интервала, равного проекции выпуклой
фигуры на любую прямую с направлением 0. Эта дли-
длина называется также толщиной фигуры в направлении©.
3.7 Поскольку мы выбрали XdpdQ в качестве элемен-
элемента меры в множестве всех прямых на плоскости, то мера
множества всех прямых, пересекающих выпуклую фигу-
фигуру С, будет равна
Рис. 3.2.
= \ f Я@)<*9.
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ
69
Мы покажем, что это выражение равно %L — длине конту-
контура С. Это сразу следует из замечания, что когда 0 испы-
испытывает приращение do, соответствующий элемент длины
равен dL — H(Q)dQ. Поэтому можно написать
\\ Lt C.1)
где интеграл берется по той области (р, 0), для которой
прямая пересекает фигуру. Отсюда непосредственно сле-
следует, что если выпуклая фи-
фигура С2 длины L2 содержит-
содержится в выпуклой фигуре С\
длины Li, to вероятность то-
того, что случайная хорда фи-
фигуры С\ пересекает С2, рав-
равна LzL-i. Заметим, что эта
вероятность не зависит от
расположения С2 относи-
относительно С\. Далее можно до-
допустить, что С2 состоит из
прямолинейного сегмента
длины /. Таковой может рассматриваться как предел
выпуклой области с длиной периметра, сходящейся в 21.
Поэтому вероятность того, что случайная хорда С\ пере-
пересечет сегмент, равна 2lL~[i.
3.8 На все это можно взглянуть и с другой точки зре-
зрения. Рассмотрим отрезок прямой длины / и его проекцию
на прямую, направленную под углом 0 к отрезку. Длина
проекции есть P@)=/|cos0| и среднее значение Р@)
равно
jd0 = ^. C.2)
Рис. 3.3.
Эта формула принадлежит Коши и использовалась
Штейнгаузом (Steinhaus, 1930) как основа метода изме-
измерения длины кривой, наблюдаемой под микроскопом.
Предположим (рис. 3.3), что кривая L имеет длину
L и ее проекция в направлении 0 измеряется так, что каж-
каждый подынтеграл проекции подсчитывается столько раз,
сколько точек на кривой проектируется в него. Так, в слу-
70
ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРЯМЫЕ
чае, показанном на рисунке, проекция должна браться
равной
P(Q) =2AB + BC+3CD+DE.
Складывая вклады каждого малого элемента кривой,
находим
где Р есть среднее значение P(Q), взятое по всем направ-
направлениям. Для каждого заданного направления Р(Э) легко
находится, если микроскоп имеет калиброванный подвиж-
подвижный предметный столик.
Для нахождения Р такие измерения должны быть сде-
сделаны для п значений 0, идущих с шагом 2лп~1. Если п
нечетно, то это то же самое, что взять среднее по 2/г на-
наблюдений с шагом я/г, так что мы рассматриваем толь-
только случай, когда 2п наблюдений берутся с шагом
2п{2п)~1. Точная верхняя граница ошибки тогда легко
находится применением^ элементарного векторного ана-
анализа, поскольку если Ргп есть среднее, основанное на
2п наблюдениях, то
3.9 Теперь вместо предположения, что фигура С2 ле-
лежит внутри Си предположим, что она целиком лежит вне
Си Опять найдем вероят-
вероятность того, что случайная
хорда С\ пересекает С2. Про-
Проведем четыре общие каса-
касательные AB,CD,EG и FH,
причем последние две пере-
пересекаются в точке О между
контурами (рис. 3.4). По оп-
определению, выпуклые фигу-
фигуры 1\ и Г2 состоят из фигур
С[ и С2 вместе с областями,
лежащими внутри касательных из О к каждой из них,
так что Ti есть AEOHD и Г2 есть BFOGC. Пусть L12 и
L'i2 — длины шнуров, туго натянутых вокруг С\ и С2,
один из которых имеет самопересечение в точке О,
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ
71
а другой — нет. Можно написать:
(Мера хорд Г\) + (Мера хорд Г2) =
= (Мера всех прямых, которые пересекают Fi либо Г2) +
+ (Мера всех прямых, которые пересекают как Гь
так и Г2).
Из сказанного выше следует, что левая сторона этого
уравнения равна сумме периметров Г] и Г2| т. е. L'12 (по-
(положено Я = 1). Мера прямых, которые пересекают либо
Гь либо Г2, либо обе фигуры вместе, равна Li2. Поэтому
мера прямых, которые пересекают их одновременно, рав-
равна L'\i-—Ll2, и поскольку мера всех прямых, пересека-
пересекающих Си есть L\, то искомая вероятность равна
(L'i2-L12)LTi C.3).
3.10. Аналогично можно рассмотреть две пересекаю-
пересекающиеся выпуклые фигуры. Число пересечений между дву-
двумя границами может быть любым четным числом, но с по-
помощью рассуждения, подобного предыдущему, можно
установить, что вероятность пересечения фигуры С2 слу-
случайной хордой фигуры С\ равна
(^-i + ^2 LizjL^ ,
где L\ и L2 — периметры С\ и С2, a L[2— длина шнура, ту-
туго натянутого вокруг фигур (другими словами, длина пе-
периметра «наименьшей выпуклой оболочки» фигур С\ иС2).
3.11 Теперь рассмотрим пары прямых, пересекающих
выпуклую фигуру С длины L. Поскольку мера каждого
множества равна L и прямые полагаются независимыми,
то подходящей мерой для пары является L2 *). Для полу-
получения вероятности того, что две случайные хорды С пе-
пересекутся внутри С, мы должны найти меру всех пар
прямых, удовлетворяющих этому условию. Вообще, рас-
рассмотрим другую выпуклую фигуру Си лежащую в ^воз-
^возможно, совпадающую с С), и определим вероятность то-
того, что две случайные хорды С пересекутся внутри Си
Пусть АВ есть хорда С, пересекающая d, и рассмотрим
*)Дельтейль берет—L2, поскольку он считает, что прямые не-
неразличимы. Несколько ясней различать прямые, считая при этом каж-
каждую конфигурацию дважды.
72
ГЛ, 3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРЯМЫЕ
меру хорд С, которые пересекают АВ внутри Сь Если х
есть длина пересечения АВ с Сь то мера равна 2х и веро-
вероятность того, что случайная хорда С пересечет это пере-
пересечение, равна 2xL\i. Если (р, 0) суть координаты пря-
прямой, порождающей хорду АВ, то вероятностный элемент,
связанный с этой прямой, есть L^dpdQ,. откуда полная
вероятность того, что две хорды пересекаются в Сь есть
э, О<0<2я),
где интеграл берется по всем положительным и отрица-
отрицательным значениям р и по всем значениям 0, по кото-
которым прямая пересекает Сь Интегрируя сначала по р,
находим
i xdp =Ai (т. е. площади С,).
Таким образом,
-2
C.4)
В частности, можно допустить, что С и С\ совпадают, так
что
Р = 2яЛ^2.
Для окружности Р = -g-.
Поскольку Р^1, то2лА<С.Ь . Это есть более слабое
утверждение, чем классическое изопериметрическое нера-
неравенство, которое утверждает, что для каждой замкнутой
кривой без самопересечений периметра L, покрывающей
площадь Л, выполняется
Отсюда следует, что вероятность пересечения двух слу-
случайных хорд выпуклой фигуры не превышает 7г (значе-
(значения для круга).
3.12 Интересно, что эта вероятность (как вытекает из
C.4)). зависит только от площади Сь а не ее положения
или формы. Поэтому если мы имеем большое количество
хорд, их пересечения распределены по фигуре равномер-:
но с «плотностью» 2я.
ТЕОРЕМА КРОФТОНА О ВЫПУКЛЫХ ФИГУРАХ
73
3.13 С помощью C.4) можно получить другое доказа-
доказательство результата Гоудсмита. Для простоты возьмем
круг единичного радиуса и предположим, что он имеет п
случайных хорд. Если мы добавляем новую хорду, то ожи-
ожидаемое число ее пересечений с другими хордами есть -к-п.
Если учитывать участки, имеющие кусок окружности в
составе своей границы, то число новых областей, когда
имеет место N пересечений, есть N+1, поэтому среднее
число областей, когда имеются две хорды, есть
1+4+-г+ • • •+Ч1=-т+4- с*+1м'*+ 2)-
Число областей с криволинейными участками границы
есть О(п) и поэтому не имеет значения, считаем мы их
или нет. Асимптотическое число областей есть -j-n2. От-
Отсюда можно вывести полученный ранее результат о том,
что пуассоновское поле прямых с элементом плотности
XdpdQ делит плоскость на области со средней площадью
21
Теорема Крофтона о выпуклых фигурах
3.14 Рассмотрим плотность пересечений хорд выпук-
выпуклой фигуры вне ее. Для этого определим сначала вероят-
вероятность того, что две случай-
случайные хорды Ci пересекутся
внутри выпуклой фигуры С2
(вне Ci), которая обладает
малой площадью и разме-
размерами (рис. 3.5).
Пусть АВ есть пересече-
пересечение некоторой хорды С\ с
С2. Из Л и В проведем ка-
касательные к Сь Из C.3)
следует, что мера всех хорд Сь которые пересекают
также АВ, есть разность между длинами шнуров, натя-
натянутых вокруг С\ и АВ, один из которых имеет само-
самопересечение, а другой не имеет. Поскольку фигура Сг
исчезающе мала, касательные из Л и В попарно парал-
параллельны. Пусть ВК и ВН суть перпендикуляры из В на
Рис. 3.5.
74
ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРЯМЫЕ
касательные, проходящие через А. Искомая мера тогда
есть 2АВ—АН—АК. Пусть 0, 0Ь В2 — направления АВ,
АК и АН, так что
2AB—AH—AK=AB[2-cos(Q-Ql)-cos(Q-Q2)].
Интегрируя по всем возможным значениям параметров,
определяющих прямую АВ, получаем
в,
Г f АВ {2 - cos (в - 90- cos @ - 02)} dp dQ.
в/
Интегрируя по р, получаем
j ABdp = площадь С2.
Так что «плотность» пересечений пар хорд фигуры С\
равна
е
{2—cos(9 —90 —cos(9 —98)}d9 =
Мера всех пар хорд фигуры С\, которые пересекаются
внутри области D вне Си задается поэтому интегралом
2 JJ (a— sin а) dx dy,
где а — угол, под которым видна фигура С\ из точки
(х, у). В этой формуле в качестве D можно взять всю
плоскость вне С\. Поскольку мера всех хорд Ci есть L2,
имеем
j j >0, C.5)
где Q — вся плоскость. Это есть первая теорема Крофто-
на о выпуклых фигурах.
3.15 Лебег (Lebesgue, 1912) дал другой вывод C.5).
Рассмотрим прямые I и V (мы будем требовать, чтобы они
принадлежали определенным множествам прямых Е и Е')
и допустим, что их уравнения записываются как
@ *cos 0 + «/sin 0=p,
(Г)
ТЕОРЕМА КРОФТОНД О ВЫПУКЛЫХ ФИГУРАХ
Мера точек их пересечения тогда равна
dpdQdp'dW.
75
Считая 9 и 9' постоянными, мы можем рассматривать
р и р' как функции от (х, у), координат пересечения / и /'.
Якобиан преобразования равен
д(р,р')
д(х, у)
cos 9 sin 9
cost)' sin6'
= |sin(9'-0)|
и интеграл принимает вид
lsin(9'-0)| dQdW)dxdy,
так что «плотность» пересечений в точке (х, у) есть ин-
интеграл
~> 9'
взятый по соответствующей области значений 9 и 9'. Ког-
Когда Е и Е' состоят из прямых, пересекающих выпуклую об-
область С, оба угла 9 и 9' меняются в пределах от 90 до
9о+а. Поскольку интеграл не зависит от 9о, мы можем
считать 9о нулем. Тогда получаем
а 8' а
f dQ' j f sin (9' -9) dO - f sin(9' - 0) d&\
= f {I~cos9'-cos(a-0'
о
что мы и имели выше.
3.16 В методе доказательства «первой» теоремы Кроф-
тона о выпуклых фигурах, принадлежащем Лебегу, ис-
использовалась мера в пространстве пар прямых на плоско-
плоскости. Пусть две точки Р и Р' с координатами (х, у) и
(*', у') лежат в множествах Е и Е' (возможно, совпадаю-
совпадающих). Естественной мерой пар (Р, Р') является
Пусть
C.6)
jccos 9+г/sin9=p, #sin9 — у cos 9=0
76
ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРЯМЫЕ
— уравнения прямой РР' и перпендикуляра на РР' из на-
начала координат. Если (|, ц) есть точка на плоскости, то ее
расстояние от прямой х sin 0 — у cos 8 = 0 задается выра-
выражением g sin 9—ticosG (при подходящем соглашении о
знаке расстояния). Поэтому набор координат (х,у,х',у')
пары Р, Р' можно заменить координатами (р, 0, р, р'),
где
х=р sin Q + p cos 9,
у= — р cos Q + p sin 0,
х' = р' sin Q+p cos 9,
y'=—p' cos Q+p sin 0.
Легко найти, что якобиан равен р'—р. Интеграл C.6)
переходит в
Соответствующая область интегрирования часто проще,
чем первоначальная.
Вторая теорема Крофтона о выпуклых фигурах
3.17 Чтобы показать это, рассмотрим выпуклую фигу-
фигуру С площади А. Мера всех пар точек внутри фигуры
равна А2, считая каждую пару (в геометрическом смысле)
дважды. Относительная плотность пар точек на хорде АВ
дается интегралом
где пары имеют соответствующие значения координат
(р, р'). Легко установить, что этот интеграл равен -$-13АВ,
где 1Ав —длина хорды АВ. Поэтому интеграл, представ-
представляющий меру всех пар точек в С, может быть записан как
где 1ав есть длина хорды, высекаемой у прямой с поляр-
полярными координатами (р, 0). Мы уже показали, что эта
Вторая теорема крофтона о выпуклых фигурах 77
мера равна 52; итак, мы получаем равенство
которое и является «второй» теоремой Крофтона.
В частности, отметим, что размерность формулы вер-
верна, так как правая и левая части являются четвертой сте-
степенью длины.
3.18 Этот результат легко обобщить и получить
среднее значение n-й степени расстояния между двумя
точками, выбранными случайно внутри выпуклого конту-
контура. Действуя, как и раньше, находим, что это среднее есть
Г JГ Пр.-р'|»+1фф'} dpdQ= Л-2 х
A-1'
*я
Для круга среднее расстояние между двумя точками
IAB , p' IAB
jdp'(j1\p/-p|»+idp+ [V-
0 0 p'
2я
равно
128R
8
что совпа-
совпадает с полученным ранее. Аналогично можно получить
характеристическую функцию расстояния между двумя
точками.
3.19 Крофтоном (Crofton, 1877) даны и другие тео-
теоремы о средних значениях, из которых следующая явля-
является типичной. Рассмотрим выпуклую фигуру С с цент-
центром О. Это значит, что Я@) =Я@+п) относитель-
относительно О, и каждая хорда, проходящая через О, делится
точкой О пополам. Пусть 0 — направление такой
ходры и G — центр тяжести одной из двух половин,
на которые фигура делится хордой. Мы покажем,
что среднее расстояние точек фигуры от О равно одной
четвертой длины кривой, очерчиваемой G при измене-
изменении 0 от нуля до 2я.
Пусть XY — хорда, проходящая через О, а х, у —
координаты G по отношению к OY, взятой в качестве
78
ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРЯМЫЕ
оси х. Если XOY поворачивается на малый угол 0 в но-
новое положение X'ОТ', то новое положение G в старых
осях задается соотношением
\Ax-{--x-aw-\- -w-
= A~l \
{
{ J
где A — площадь половины фигуры, а — расстояние
OX=OY, w — «вес», связанный с областями ХОХ'
и YOY'. Очевидно,
л= 4-
Аналогично
rf y+y y
Итак, G смещается параллельно XOY и, обозначая
через ds элемент длины его пути, получаем
ds = dx = ~a3A^dQ,
так что радиус кривизны этого пути есть
где /@) есть длина XY=2a. Длина пути, пробегаемого G,
есть
в то время как среднее расстояние точек фигуры от О
равно
Этот результат может быть также получен вычислением
двумя различными путями вероятности такого располо-
расположения случайной хорды и случайной точки фигуры, что
центр фигуры и случайная точка лежат по разные сторо-
стороны хорды.
Приложения в экологии
3.20 Теория пересечения случайных прямых с выпук-
выпуклыми или другими фигурами была приложена Макин-
тайром (Mclntyre, 1953) к оценке растительного покрова
или плотности ареала в экологии. Фигуры могут иметь
приложения в экологии
79
общую форму, либо быть выпуклыми, либо кругами,
и чем сильнее предположения, которые разумно принять,
тем сильнее заключения, к которым можно прийти.
Используется метод помещения на исследуемый участок
случайной прямой длины L, называемой секущей (tran-
(transect), после чего и измеряются пересечения с областями,
которые, например, могут являться пятнами раститель-
растительности определенного вида.
Предположим сначала, что подлежащие оценке
области имеют произвольную форму и в среднем зани-
занимают часть Р общей площади, предполагаемой настоль-
настолько большой, что граничными эффектами можно прене-
пренебречь. Области, которые взаимно не пересекаются, не
предполагаются расположенными «случайно» в каком-
либо смысле. Предположим, что они пересекают секущую
в интервалах длины/,(г=1, 2, ...). Тогда
является несмещенной оценкой для Р. Действительно,
рассмотрим какой-нибудь элемент dx секущей. Вероят-
Вероятность того, что этот элемент попадает в какую-нибудь
область, равна Р, и поскольку математическое ожи-
ожидание суммы случайных величин равняется сумме ма-
математических ожиданий, то математическое ожидание
суммы S/j равно LP. Оценка дисперсии получа-
получаемой оценки может быть получена путем повторения
процесса несколько раз и вычисления выборочной дис-
дисперсии.
3.21 Более интересно оценить число областей, при-
приходящихся на единицу площади всего участка. Это,
однако, не может быть сделано без дальнейших пред-
предположений о форме областей. Предположим, что они
являются кругами, диаметры которых 2R случайны
и имеют плотность распределения tpBR), а ожидаемое
число кругов в большой области А с диаметрами, заклю-
заключенными в пределах BR, 2(R+dR)), равно
2XA<pBR)dR.
Ожидаемое общее число кругов в А есть, таким обра-
образом, КА.
80
ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРЯМЫЕ
Рис. 3.6.
3.22 Секущая образует хорду или часть хорды
в каждом круге, который она пересекает. Мы предполо-
предположим сначала, что учитываются только те участки секу-
секущей, которые являются полными хордами или частью
хорды на одном выделенном
конце секущей. Пусть таким
образом возникают интер-
интерналы /j, /г» ••• Центры кру-
кругов диаметра D, которые
могут порождать интервалы
при таком подсчете, должны лежать в области (типа
той, которая заштрихована на рис. 3.6) площади 2RL.
Вероятность того, что секущая пересечет заданный
круг, возрастает вместе с размером круга, и поэтому
вероятностное распределение диаметра 2R для кругов,
которые пересекаются с секущей, будет отличным от
2q>BR)dR. В действительности ожидаемое число пере-
пересечений секущей с кругами, диаметры которых лежат
в пределах BR, 2(R + dR)), будет
4LRX<pBR)dR,
что мы будем записывать как 2fBR)dR. Эта величина
не является вероятностью, но пропорциональна ей. Коэф-
Коэффициент пропорциональности получается интеграцией,
так что вероятностное распределение имеет вид
/ BR) dR = R(fBR)dR
f{2R)dR 1*Р(ЭД«'
3.23 Теперь удобно опять изменить правило подсчета
пересечений. Теперь будем учитывать все полные хорды,
опускать части хорд на одном из концов секущей и до-
дополнять до полной хорды любую часть хорды на ее
другом конце; Возникающий набор интервалов обозна-
обозначим через lv h ....Математическое ожидание 2^i
равно
Е B Q = 2lnL ? Я!
о oJ
поскольку средняя длина пересечения с кругом радиуса R
приложения в экологии
81
равна уЯ^. Мы не знаем (fBR) или fBR), од-
однако последнее выражение может быть переписано в
виде
%nL J Rf BR) dR
J fBR)dR
о
f R
JfBR)dR
-l
поскольку
f R
Поэтому
где Ef означает математическое ожидание по отноше-
отношению к распределению диаметров тех кругов, которые
действительно пересекают секущую.
Ef(R) и Ef (R-1) могут быть оценены величинами
N~l 2^i и Л^~12^Г1> где N есть число пересечений
с секущей, D\D2 — (измеренные) диаметры кругов, кото-
которые дают пересечения lt, /2, ••• Оценка % (смещенная)
будет даваться выражением
(ЕЖИяг1)
3.24 Это выражение может быть в действительности
заменено даже более простым выражением, использу-
использующим только длины пересечений /{. Если прямая пере-
пересекает круг радиуса R, то распределение длины пересе-
пересечения / задается формулой
Idl
Отсюда мы находим
>-i
6 М. Кендалл, П. Моран
32 гл. з. случайные прямые
Поэтому предыдущую оценку можно заменить на
ЗАДАЧА БЮФФОНА
83
h
Эти оценки зависят от предположения, что области
круговые.
В частности, всякая оценка, основанная на таких
выражениях, как 2 (^i). будет несостоятельной для
областей, имеющих углы. Различные видоизменения этой
техники, позволяющие обращаться с областями, не
слишком отличающимися от окружностей, рассматри-
рассматриваются Макинтайром.
3.25 Укажем, что эта теория может быть распрост-
распространена для оценки распределения 2yBR)dR по распре-
распределению частот 1{. Мы подробно рассмотрим такую
задачу в следующей главе в связи с оценкой распреде-
распределения радиусов множества сфер в трехмерном простран-
пространстве по наблюдаемым диаметрам их пересечений со
случайными прямыми.
Задача Бюффона
3.26 Мы закончим обсуждение случайных прямых
на плоскости тем, что рассмотрим классическую задачу,
которая положила начало этой теории — задачу Бюф-
Бюффона об игле (Бюффон (Buffon, 1777)).
Игла длины L помещается случайно на плоскость, на ко-
которой начерчены параллельные прямые на единичном рас-
расстоянии друг от друга. Требуется найти вероятность того,
что игла пересечет эти прямые. Предположим, что
возможно только одно пересечение (L<1). Пусть 0 —
угол, составляемый иглой с направлением прямых, п х—
расстояние от центра иглы до одной из них. Тогда, так
как х распределена равномерно на (—1/2, 1/2), а 0 рас-
распределена равномерно на @, 2л), искомая вероят-
вероятность есть
iT
Р == Bn)-iTL Isin eiflfe = 2jt-iL .
Если L больше единицы, то рассмотрим вероятность
хотя бы одного пересечения. Она равна
arcslnL 1
{1-Ljsin91]d9 =
= A(JL -arcsinL
L-y'(L2-l)
C.7)
Если игла бросается N раз и при R бросках получается
хотя бы одно пересечение, то P=RN'1 есть несмещенная
оценка для Р с дисперсией Ы~*РA—Р). Поэтому имеет-
имеется возможность экспериментами такого рода оценить л.
Таких экспериментов было проделано много. Они поды-
подытожены и обсуждены в очень интересной работе Грид-
жемана (Gridgeman, 1960). Таблица 3.1 приводит неко-
некоторые подробности экспериментов, причем в ней длина
иглы задается как доля расстояния между линиями.
Таблица 3.1
Экспериментатор
Вольф, 1850 ....
Смит, 1855
Де Морган, 1860
Фокс, 1884
Лаззерини, 1901 . .
Рейна, 1925 ....
Гриджеман, 1960 . .
Длина
иглы
0,8
0,6
1,0
0,75
0,83
0,5419
0,7857
Число
бросков
5000
3204
600
1030
3408
2520
2
Число по-
попаданий
2532
1218,5
382,5
489
1808
859
1
Оценка
3,1596
3,1553
3,137
8,1595
3,1415929
3,1795
3,143
3.27 Превосходные результаты опытов в основном
обязаны искусной остановке опытов в наиболее благо-
благоприятный момент вместе с большой удачей в случае
Лаззерини, когда оценкой числа л оказалось 355 (ИЗ)-1,
хорошо известное приближение к л, открытое Цу-Чунг-
ши. Если бы точное значение л было бы неизвестно до
эксперимента, так что остановка в благоприятный мо-
; мет не могла бы быть использована, то оценка л
с помощью измерения лентой большого деревянного
круга дала бы лучшие результаты.
6*
84
ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРЯМЫЕ
ЗАДАЧА БЮФФОНА
85
3.28 Задачу Бюффона можно рассматривать с различ-
различных точек зрения. Некоторые из рассмотренных обобще-
обобщений проливают свет на ряд других вероятностных проблем.
Например, предположим, что фигура, которая представ-
представляет собой скрученный определенным образом отрезок
длины L, бросается на множество параллельных прямых
с единичным промежутком. Тогда ожидаемое число
пересечений есть 2я~Ч независимо от формы. Это
в действительности есть вариант результата 3.4.
3.29 Задачу Бюффона для L<1 можно трактовать,
используя предыдущие результаты о выпуклых фигурах.
Предположим, что игла заключена в окружность еди-
единичного диаметра с центром в середине иглы. Эта окруж-
окружность всегда пересекается одной из прямых и ее пересе-
пересечение с кругом будет случайной хордой. Из доказанного
ранее следует, что вероятность пересечения иглы хордой
равна 2Ln-1.
3.30 Несмотря на то что я обычно находится метода-
методами, совершенно отличными от экспериментальной реали-
реализации задачи Бюффона, такие методы Монте-Карло
часто необходимы в других задачах. Для иллюстрации
важной техники «антитетических переменных» Хаммерсли
и Мортон (Hammersley and Morton, 1956) обсуждают
одно видоизменение задачи, которое представляет боль-
большой интерес ввиду возможных применений аналогичных
методов в других приложениях.
3.31 Пусть игла имеет единичную длину и (для
простоты) расстояние между соседними прямыми
настолько мало, что подсчет числа пересечений эквива-
эквивалентен измерению длины проекции иглы в направлении
параллельных прямых. Таким образом, мы наблюдаем
случайную величину X=|sin0], где угол 0 распределен
равномерно на @,2я). Тогда X является несмещенной
оценкой для 2я~' с коэффициентом вариации, равным
V
4-я2-1 =0,4834.
о
3.32 Если Т есть случайная величина, используемая
в качестве оценки в методе Монте-Карло, то «антитетичес-
«антитетическая пременная» Т есть зависящая от Т случайная вели-
величина с тем же математическим ожиданием, причем V
велика, когда Т мала, и наоборот. Складывая Т и Т',
$южно надеяться на значительное улучшение оценки.
Хаммерсли и Мортон иллюстрируют этот принцип, рас-
рассматривая проекцию другой иглы той же длины, закреп-
закрепленной под прямым углом к первой.
Тогда в качестве несмещенной оценки для 2я-1
имеем
X' = -L-j|sin0|+jcosO|}.
Можно установить, что ее коэффициент вариации равен
1/ -77Гя2-f- -g- я —1 = 0,0977. Поэтому, хотя при каждом
броске во втором методе возникает в два раза больше
работы, эффективность (по сравнению с первым мето-
методом) возрастает в 12,2 раз.
Идея получает дальнейшее развитие, когда исполь-
используются п игл в форме звезды с углами лп~1 между
последовательными иглами. Можно показать, что коэф-
коэффициент вариации средней проекции равен
3.33 Этот метод годится и тогда, когда расстояние
.между параллельными линиями не настолько мало, что-
чтобы принятое выше прибли-
приближение было оправданным,
однако расчеты становятся ^ -/-
значительно сложнее; мы h
опишем здесь только клас-
сический случай одной иглы.
Пусть, как и ранее, единицей
является расстояние между
параллельными линиями, а
длина иглы равна 1>1.
Обозначим через Ро, Р\, Рг,---
вероятности 0, 1, 2, ...
пересечений. Ро найдено в C.7). Предположим, что
L=n+l, где /<1. Тогда возможны 0, 1,..., п+\ пере-
пересечений. Определим углы ось а2,..., <х„ равенствами
L sin ai = I, L sin a2=2, ..., Lsinan=rt.
A
Рис. 3.7.
86
ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРЯМЫЕ
Рассмотрим Рп+1 ¦ Для того чтобы получилось п+1
пересечений, угол 0 должен лежать между а„ и я/2
(рис. 3.7).
Рассматривая два возможных положения конца иглы,
мы видим, что при фиксированном 9 вероятность п+\
пересечений есть L sin 0—п. Поэтому
я/2
Pn+i=~ (" (LsinQ-n)dQ =
= 21я-1 Cos а „+ 2ля-1 (ап — я/2].
Для того чтобы произошло k(Q<k<n+l) пересечений,
необходимо, чтобы 0 лежало в пределах (аь-ц &h+i)-
Случаи (ak-i^Q^a^ji (aft<0<aft+1) должны быть
рассмотрены по отдельности. В первом случае условная
вероятность k пересечений равна Lsin0— (k— 1), а во
втором случае она равна (?+1)— L sin 0. Поэтому пол-
полная вероятность есть
Л Г {LsinQ-(k-l)\dQ +
4-
«ft-H
aft
+ (k —
— {cosaft+1 —
исключая случай k = n, где следует положить ctft+1 = я/2.
3.34 Можно рассматривать также вероятность того,
что брошенная случайно игла пересечет прямую из двух
множеств параллельных линий, пересекающих друг дру-
друга под прямым углом. Если они разделены промежутка-
промежутками а и & и L<a, L<ib, то вероятность того, что игла
пересечет по крайней мере одну прямую, равна
Этот и многие похожие результаты получаются без
труда (среди прочих, см. Дельтейль (Deltheil, 1926),
Мантель (Mantel, 1953)).
СЛУЧАЙНЫЕ ПРЯМЫЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 87
Случайные прямые в трехмерном пространстве
3.35 Теория случайных прямых в трехмерном про-
пространстве приводит к ряду задач, некоторые из которых
аналогичны вышерассмотренным. Мы уже видели в гла-
главе 1, что если прямые представлены четырьмя координа-
координатами (a, b, p, q) с помощью уравнений
y=bz+q,
то подходящая для использования мера определяется
элементом
(l+a2+b2)-2dadbdpdq. C.8)
Выбор этого дифференциального элемента приводит
к следующему: если предположить, что прямые опреде-
определяются своими пересечениями Р с некоторой плоскостью,
то точка Р оказывается равномерно распределенной на
плоскости и (независимо от Р) все направления равно-
равновероятными. Рассмотрим меру всех прямых, которые
пересекают определенное измеримое множество Е, лежа-
лежащее на некоторой плоскости (скажем, z=0). Мера
множества всех таких прямых оказывается равной ме-
мере Е, помноженной на интеграл
!!¦
о о
dadb
0+<
о б
Поэтому мера всех прямых, пересекающих плоскую
область площади А, равна пА. Поскольку почти каждая
прямая пересекает поверхность трехмерной выпуклой
области в двух точках, то мера всех прямых, пересекаю-
пересекающихся с такой фигурой, равна-^яЗ, S — площадь
поверхности фигуры.
Это можно толковать и иначе. Пусть Р(п) есть пло-
площадь проекции выпуклой области на плоскость с нор-
нормалью п, так что Р (среднее по п значение площади
Проекции) равно
Р = Dя)-4 jjP(n)flfu), C.9)
где da есть элемент телесного угла, отвечающего п.
СЛУЧАЙНЫЕ ПРЯМЫЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
88
89
ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРЯМЫЕ
Мера всех прямых, пересекающих выпуклую область,
равна 2лР, так как каждая прямая (независимо от на-
направления) учитывается только один раз, а возможные
направления заполняют телесный угол величины 2я.
Приравнивая это выражение к предыдущему, получаем
S=4P. Это — «формула Коши» для площади поверхности
выпуклого тела. Она дает полезный практический метод
оценивания площади поверхности малых выпуклых тел
(таких, как камни). Этот метод является трехмерным
аналогом метода Штейнгауза, описанного в начале этой
главы. Как и в том случае, можно установить ряд нера-
неравенств для конечных приближений (Моран (Могап, 1944)).
В действительности, если Р — истинное значение, зада-
задаваемое C.9), a Pi и Рг — средние значения проекций
выпуклого тела на стороны додекаэдра и икосаэдра
(соответственно), то _
0,91758 ^Р"-1^ 1,07869,
0,9560 s^/У3^ 1,0472.
Десятичные знаки указанных границ совпадают с соот-
соответствующими десятичными знаками наилучших границ.
3.36 Изопифаническая теорема утверждает, что в трех-
трехмерном пространстве из всех замкнутых, топологически
эквивалентных сфере областей, для которых может быть
определена площадь поверхности, отношение S3V~2
(V — объем) минимально для сферы. В общем случае до-
доказать эту теорему очень трудно; однако она сравнительно
проста, если ограничиться классом выпуклых поверхнос-
поверхностей. В этом случае ей можно придать форму утвержде-
утверждения, что P3V~2 минимально _для сферы. Для каждой
замкнутой поверхности S^4P, где Р — средняя площадь
проекции на случайную плоскость (каждая точка проек-
проекции учитывается только один раз, если даже в нее про-
проектируется больше чем две точки поверхности). Можно
предположить, что в классе множеств Е в пространстве,
для которых проекция Р(п, Е) в направлении п облада-
обладает измеримой по п площадью, отношение P3V~2 достигает
минимума на сфере. Здесь Р есть среднее значение
P(n, E) по всем направлениям, а V есть трехмерная мера
Лебега множества Е. Это предположение не доказано.
3.37 Второй момент (или, лучше, дисперсия) Р (п)
для выпуклого тела также является числом, которое
характеризует выпуклое тело. Она, очевидно, равна
нулю для сферы, а для кругового цилиндра и прямо-
прямоугольного параллелепипеда она вычислена Вальтерсом
(Walters, 1947).
3.38 Укажем еще одно следствие полученных резуль-
результатов. Пусть Ki является выпуклой областью, содержа-
содержащейся в выпуклой области /Сг, и S\, S2 — площади поверх-
поверхностей К\ и /С2- Тогда вероятность того, что случайная
секущая области /С2 пересечет Ки равна SiS^1. В част-
частности, вероятность того, что случайная хорда сферы
пересечет данную диаметральную плоскость внутри
сферы, есть 2яDя)~1 = 1/2, поскольку круговая площад-
площадка, образованная диаметральной плоскостью, может
рассматриваться как плоская выпуклая область с пло-
площадью поверхности, равной 2л (радиус принят за
единицу).
3.39 С помощью вероятностного элемента C.8) мы
по существу определили прямую точкой ее пересечения
с фиксированной плоскостью и направлением. Из преды-
предыдущего заключаем, что, по-видимому, полезно опреде-
определить прямую, сначала задавая ее направление, а затем
точку ее пересечения с некоторой плоскостью, перпенди-
перпендикулярной этому направлению. Это представление
аналогично использованию полярных координат прямой
на плоскости. Рассмотрим плоскость
ax+by+z—0,
'которая перпендикулярна прямой, задаваемой урав-
уравнениями
x=az-{-p,
y=bz+q.
Направляющие косинусы этой прямой таковы:
= a A + a2 + б2)-1
= b(l + а2
При фиксированном направлении элемент площади
'На этой плоскости получается варьированием р и q
90
ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРЯМЫЕ
СРЕДНЯЯ ДЛИНА СЕКУЩИХ ВЫПУКЛОГО ТЕЛА
91
и имеет вид
Для получения элемента телесного угла запишем
/=sin 0 cos ф,
m = sin 0 sin ф,
я —cos 0,
так что элемент телесного угла есть
>n . Q ,п , cos 6 sin
dil = sin t) at) am ==
Якобиан / и т по отношению к 0 и <р равен
д (I, т) =
3(В, Ф)
cos 9 cos ф — sin 0 sin ф
cos 0 sin ф sin 9 cos ф
~cosO sin 0,
так что элемент телесного угла равен n~xdldm. Беря
якобиан / и т по а и Ь, получаем
dadb
n~'6dadb
\3/2 -
Поэтому dS dQ, где a'Q есть элемент телесного угла,
равно C.8).
Средняя длина секущих выпуклого тела
3.40 Рассмотрим теперь среднюю длину секущих
выпуклого тела. Пусть К — тело, а К(п)—его двумер-
двумерная проекция в направлении п. Интеграл от длины секу-
секущей в направлении п, взятый по /С(п), равен объему К,
а средняя длина равна V[P(n)]~\ где Р(п) есть пло-
площадь К{п).
Интегрируя с весом Р(п) по всем направлениям,
получаем V. Но мера всех секущих есть интеграл от
Р(п) по всем направлениям, который равен-j-S. Поэто-
Поэтому средняя длина секущей равна 4VS~l.
3.41 Этот результат как задающий средний свобод-
свободный пробег в комнате имеет некоторые применения
в архитектурной акустике (Бейтс и Пиллоу (Bates and
Pillow, 1947)). Будем считать, что звуковые волны
распространяются по прямым линиям до встречи со
стенами, где они обычным способом отражаются. Пусть
Р — точка внутри комнаты, испускающая звуковые вол-
иы равномерно во всех направлениях. Выбрав одно из
этих направлений и полагая, что путь звуковой волны
достаточно велик, получим (делением его длины на число
отражений) средний свободный пробег в заданном на-
направлении из точки Р. Усреднением по всем направле-
направлениям получаем средний свободный пробег из точки Р.
Вообще говоря, он зависит от точки Р. Бейтс и Пиллоу
показали, что для комнаты в форме прямоугольного
параллелепипеда средний свободный пробег не зависит
от Р и равен 4VS~\ средней длине секущей. Для шара
радиуса а и точки Р, находящейся на расстоянии b от
центра, средний свободный пробег равен
Усреднение с постоянной плотностью в шаре опять дает
4VS. Для цилиндра средний свободный пробег также
зависит от Р, но после усреднения получаем результат
4VS. Таким образом, совпадение среднего свободного
.пробега при повторных отражениях со средней длиной
случайной секущей тела кажется общим правилом,
однако в общем случае это не доказано.
3.42 Задачу Бюффона можно обобщить, помещая
случайно «иглу» длины L в пространство с бесконечным
множеством плоскостей на единичном расстоянии друг
,от друга. Сначала предположим, что L<\. Направив
ось координат перпендикулярно плоскостям, будем
использовать полярные координаты для направления
иглы. В обычных обозначениях вероятностным элемен-
элементом является
После интегрирования по ф его можно записать как
^2-g?(cos0). Поэтому длина / проекции иглы на прямую,
перпендикулярную плоскостям, имеет равномерное рас-
распределение на @, L). Поскольку положение проек-
проекции случайно, то вероятность пересечения для всякой
92
ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРЯМЫЕ
Г л а в а 4
данной ориентации равна /, что (после усреднения по
распределению ориентации) дает для полной вероятно-
вероятности пересечения значение -^-L. Аналогично легко найти
распределение числа пересечений для L>\. Очевидно,
что во всех случаях математическое ожидание числа
пересечений равно-g-L.
3.43 Как и в случае случайных прямых на плоскости,
пересекающих выпуклые фигуры, можно построить
теорию пересечений выпуклых областей случайными пря-
прями в трехмерном пространстве, которая дает возмож-
возможность делать заключение о выпуклых областях на осно-
основе знания пересечений. Однако ее удобнее затронуть
в следующей главе, в связи с теорией пересечения слу-
случайных плоскостей с выпуклыми фигурами.
СЛУЧАЙНЫЕ ПЛОСКОСТИ
И СЛУЧАЙНЫЕ ВРАЩЕНИЯ
Случайные плоскости
4.1 В главе 1 мы видели, что удовлетворительным
элементом меры для плоскостей, определяемых поляр-
полярным уравнением
х sin 0 cos ф+у sin 0 sin cp + zcos 0=p,
является
sin 0 dQ dq> dp.
Если же мы используем представление
их-}- v у+wz-\-1 = О,
то соответствующим элементом меры является
du dv dw
Используя эти результаты, можно получить меры
множеств плоскостей, удовлетворяющих различным ус-
условиям. Так, рассмотрим множество всех плоскостей,
которые пересекают прямолинейный сегмент длины L.
Выберем этот сегмент вдоль оси г и перейдем к поляр-
полярным координатам. Тогда р окажется равномерно рас-
распределенной между 0 и Lcos8. Мера множества пло-
плоскостей будет, таким образом, равна
2п
п/2
IxosO
sin9 j" dpdQ=nL.
D.1)
Этот результат можно обобщить на кривую длины L.
Пусть N(Q, ф, р) есть число пересечений плоскости с ко-
координатами @, ф, р) с кривой. Разбивая кривую на ряд
Почти линейных элементов и складывая, находим
D.2)
94 гл. 4, случайные плоскости и случайные вращения
4.2 Уравнению D.2) можно придать другую интер-
интерпретацию. Рассмотрим проекцию кривой на плоскость,
перпендикулярную вектору п, и предположим, что она
имеет длину L (п). Пусть L есть усредненное по всем
направлениям значение L (п), т. е.
_ _ _|_
L~ 4л
где dco является элементом телесного угла. Разбивая
кривую на малые участки, которые приблизительно ли-
линейны, находим
1={2п)-Ч.
Этот результат можно получить и из D.2). Рассмот-
Рассмотрим проекцию кривой на плоскость, перпендикулярную
п. Вследствие D.2) ее длина L(n) равна умноженному
на lkn среднему числу пересечений кривой со случай-
случайными плоскостями, перпендикулярными плоскости проек-
проекции. После интегрирования по всем направлениям п
получаем
плоскости, пересекающие кривую
95
поскольку при интегрировании мы считали каждую
плоскость дважды, что дает множитель 2я.
4.3 Этот результат аналогичен результату Штейнга-
уза (глава 3) и любопытно, что (как это показано Сан-
тало (Santalo, 1946)) возможно указать неравенства,
аналогичные C.10) для средней длины_ проекций на сто-
стороны додекаэдра и икосаэдра. Пусть L\ и Li обозначают
средние значения проекций для этих двух случаев. Тог-
Тогда, как и в C.10),
0,91758^Lii
0,9560 <12|
1,07869,
1,0472.
D.3)
Для обоснования неравенств, очевидно, достаточьп
доказать их для случая, когда кривая является прямол
линией. Таковую можно заменить тонким цилиндром
малого диаметра d. С небольшим поправочным членом
площади проекций и площадь поверхности этого цилинд-
цилиндра пропорциональны длине, и результат следует из тео-
теоремы, которая была ранее. Однако в этом случае нера-
неравенства D.3) не самые лучшие. Лучшие неравенства не
установлены.
Плоскости, пересекающие кривую
4.4 Рассмотрим сначала меру множества всех пря-
прямых, которые пересекают замкнутую выпуклую кривую
С с периметром L, лежащую на фиксированной плоско-
плоскости. Поскольку каждая пересекающая эту кривую плос-
плоскость имеет с ней две общие точки, то из D.2) следу-
следует, что мера таких плоскостей равна -g-nL.
4.5 Перед тем как начать рассматривать меру всех
плоскостей, пересекающих выпуклые фигуры вообще,
опишем другой результат, принадлежащий Барбье
(Barbier, I860), который легче обобщить.
Вместо меры всех плоскостей, пересекающих плоские
выпуклые фигуры, рассмотрим интеграл по множеству
плоскостей от длин пересечения. Предположим, что пло-
плоскость задается уравнением
х sin 0 cos ф+г/ sin 0 sin ф + z cos0=p
и что фиксированной плоскостью является 2=0. Прямая
пересечения с этой плоскостью задается так:
z=«0, zcos <р+ i/sin ф= p/sln 0.
Пусть С — длина хорды, образуемой этой прямой, так что
i
у
= S (т. е. площади выпуклой фигуры).
Отсюда получаем полный интеграл по всем пересе-
пересекающимся плоскостям
2ге я/2
sin20d0
j j j
= ld(PlSi
о о
я/2
= 2nS Г si
D.4)
При таком подходе каждой плоскости приписывается
96 ГЛ. 4. СЛУЧАЙНЫЕ ПЛОСКОСТИ И СЛУЧАЙНЫЕ ВРАЩЕНИЯ
вес, равный длине ее пересечения с плоской выпуклой
фигурой.
Если мы имеем в пространстве какую-нибудь доста-
достаточно регулярную поверхность конечной площади и
1@, ф, р) —длина кривой пересечения с плоскостью, то
интеграл от L по множеству всех пересекающих плос-
плоскостей равен площади поверхности, помноженной 7г я2.
Плоскости, пересекающие выпуклую область
4.6 Рассмотрим меру всех плоскостей, которые пере-
пересекают выпуклую область К в пространстве. При фикси-
фиксированных 0 и ф интеграл равен длине проекции фигуры
на прямую, имеющую направление @, ф). Эта длина мо-
может быть названа «толщиной» (thickness, e'paisseur,
Breite) фигуры в направлении @, ф). Мера всех плоско-
плоскостей, пересекающих К, равна, таким образом,
=i-T ГГ
где Г@, ф) есть толщина в направлении @, ф), а интег-
интеграл берется по всем направлениям. Если К заменить на
выпуклую фигуру на плоскости, то мы уже видели, что
/ равно УгяЬ, где L — периметр выпуклой фигуры. По
аналогии с этим случаем Э. Картан (Cartan, 1896) пред-
предложил называть величину 2я~'/ «периметром» выпуклой
фигуры /С. Минковский (Minkowski, 1903) показал
(мы покажем это ниже), что
4 J D.5)
Предполагается, что К достаточно регулярна, так что
два главных радиуса кривизны существуют и интег-
интегрируемы. В D.5) dS есть элемент площади поверхности,
а интеграл берется по всей поверхности. Итак, при изве-
известном М средняя длина периметра пересечения К слу-
случайной плоскостью равна xl2n2SM~l. Поскольку объем
V области К можно получить, интегрируя площадь пе-
пересечения по всем возможным плоскостям и умножая на
Bя)-', то средняя площадь пересечения равна
2nVM~K D.6)
ТЕОР) .vlA МИНКОВСКОГО
Теорема Минковского
97
4.7 Докажем D.5) методом, предложенным Дельтей-
лем. Выберем начало полярных координат внутри К и
запишем направляющие косинусы вектора, исходящего
из начала, в виде
a=sinO cos ф, fj=sin0sir^, y = cos0.
Касательная или опорная плоскость задается уравнением
ax+$y+yz=H(Q, ф), D.7)
где Я@, ф) является опорной функцией, так что / явля-
является интегралом от И по всем вправлениям.
Предположим, что касательная плоскость всегда ка-
касается поверхности только в одной точке М (если это не
так, то результат можно получить с помощью перехода
к пределу). Координаты точки М можно получить в тер-
терминах 0, ф, решая совместно D.7) и два уравнения, ко-
которые получаются из D.7) дифференцированием по 0 и
по ф. Так, мы получаем
дН дН sin ф
dHcosw
дН
z = #cos0 — 37-sin 0.
00
Форма этих уравнений позволяет полагать, что отрезок
прямой из начала координат, перпендикулярный опор-
опорной плоскости, имеет компоненты
Н. w, (sin 9)-^
по отношению к ортогональной системе координат с на-
направляющими косинусами
(а, р, у) = (sin 0 cos ф, sin 0 sin ф, cos 0),
(а', р', y') = (cos 0 cos ф, cos 0 sin ф,— sin 0), D.8)
(а", р", у") = (—sin ф, cos ф, 0).
В точке касания М существуют две линии кривизны, ка-
каждая из которых обладает своим главным радиусом
• М. Кендалл, П. Моран
98 ГЛ. 4. СЛУЧАЙНЫЕ ПЛОСКОСТИ И СЛУЧАЙНЫЕ ВРАЩЕНИЯ
кривизны. Пусть р — один из них. Согласно стандартной
формуле дифференциальной геометрии, для смещения
вдоль соответствующей линии кривизны имеем
dx_ _ dy_ __ _cfe
da ~ rf;3 ~~ dy P '
Поэтому вдоль этой линии крнвнпы ф является функ-
функцией от 0 такой, что
аЛ. —
дх
да
дг
ду
_ да ду^ ^3_ дг _ ду
Р~^ дв Ж Ж р Ж
дх
иЗф
33
дг
дф
ду
D.9)
Вектор (а, р, у) направлен перпендикулярно опорной
плоскости и поэтому составляет прямые углы с бесконеч-
бесконечно малыми смещениями Р при изменении 0, ф. Отсюда
дх
ду
дг
Дифференцируя эти уравнения по 9 и ф и используя
D.8), находим
П 58 / дх V
ж =2
^ I п
0= Via02
Помножая в последних трех отношениях в D.9) числи-
числитель и знаменатель на а, р, у (или а', р', -у') и склады-
складывая, находим
SsinO (Г —р) sin 0 '
откуда получаем квадратное уравнение
ТЕОРЕМА МИНКОВСКОГО
99
Для того чтобы найти R, Т и S в терминах 9 и ф, диф-
дифференцируем D.7) по 9, оставляя х, у и г фиксирован-
фиксированными, а затем опять по 9, разрешая х, у и z изменяться.
Это дает
дх
Дифференцированием по ф с изменяющимися х, у и z по-
получаем
S = (sin8)-i-
Дифференцируя D.6) по ф, получаем ^4a"z=(sin9) ^~
Опять дифференцируя при изменяющихся х, у и г, полу-
получаем
Tsin9-:
и поэтому
Отсюда
Линии кривизны ортогональны и, если do представляет
собой элемент площади вокруг точки М, то
da= (p\p2) -ldQ,
где di2 есть элемент телесного угла в направлении
(9, ф). Теорема Минковского принимает форму
Г С Hsin QdQdy = 4- f J (РГЧ Рг)^ =
1 дН
Т Ж
9) -а-gjpj sin
100
гл- 4- случайные плоскости и случайные вращения
НЕКОТОРЫЕ ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
101
Jj(sIn9)-i^rferf9 = 0
где О^СО^я, 0^ф5?2л. Для доказательства теоремы
теперь достаточно показать, что
A=--
В =
Действительно, /1 = 0, поскольку после интегрирования
по ф получаем у- , т. е. периодическую функцию. В слу-
случае В мы интегрируем сначала по 0 и получаем
5Ш0ЭТ'
что обращается в нуль при 9=0. т. Тем самым формула
Минковского доказана.
4.8 Пусть К\ — выпуклое тело, лежащее внутри К, а
MKl и Мк соответствующие интегралы D.6). Тогда веро-
вероятность того, что случайная плоскость, пересекающая К,
пересечет также Кь равна
Это есть пространственный аналог результата для пло-
плоских фигур, вытекающего из формулы C.1).
Некоторые дальнейшие результаты
4.9 Тем же путем можно полечить ряд других средних
и вероятностей (Хостинский (Hostinsky, 1925)). Напри-
Например, мы уже говорили (ср. D.4)), что если L есть дли-
длина периметра пересечения некоторой плоскости с /С, то
интеграл от L по всем пересекающим плоскостям равен
-y-jiAS. Поэтому средний перл метр равен
Аналогично, поскольку интеграл от площади пересечения
по всем пересекающим плоскостям равен 2nV, где V есть
объем К, то средняя площадь пересечения равна
4.10 Теперь рассмотрим две независимые случайные
плоскости, каждая из которых пересекает К. Мера всех
•таких пар плоскостей (плоскости в паре различимы)
равна М2. Для нахождения вероятности того, что линия
вх пересечения пересекает К, следует найти меру всех
пар, удовлетворяющих этому требованию.
Предположим, что одна из них фиксирована и имеет
пересечение с К с периметром, равным L. Мера всех пло-
плоскостей, которые пересекают это пересечение, равна -t^L
(см. D.1)). С другой стороны, мы видели, что интеграл
от L по всем пересекающим плоскостям равен -^-j^S,
так что мера всех пар плоскостей, пересечение которых
пересекает К, равна -j-n3S. Таким образом, вероят-
вероятность того, что две плоскости, которые пересекают К,
обладают пересечением, также пересекающим К, равна
4.11 Рассмотрим вероятность того, что общая точка
трех плоскостей, пересекающих К, лежит внутри К. Ме-
Мера всех троек плоскостей, пересекающих К, равна М3
(плоскости рассматриваются как различимые, так что
каждая геометрическая тройка учитывается шесть раз).
Предположим, что две из этих плоскостей пересекаются
внутри К. Мера всех плоскостей, пересекающих это пе-
пересечение, равна лС, где С — длина пересечения. Инте-
Интеграл от С по всем положениям одной из плоскостей ра-
равен-g-^S, где S — площадь пересечения с другой пло-
плоскостью. В свою очередь, интеграл от S равен 2nV.
Поэтому мера всех таких троек равна
л*У
М3 *
4.12 Мы уже видели, что среднее значение длины хор-
хорды случайной прямой, пересекающей К, есть 4VS.
Обозначим через С длину случайной хорды. Оказывается
102 ГЛ- 4- СЛУЧАЙНЫЕ ПЛОСКОСТИ И СЛУЧАЙНЫЕ ВРАЩЕНИЯ
возможным найти некоторые из высших моментов С.
Хостинский (Hostinsky, 1925) получил четвертый момент.
Рассмотрим внутри К две точки А\ и А2 с коорди-
координатами (хи уи zx) и (х2, у2, г2). Тогда
Зафиксируем пока А\. Пусть С — длина хорды, проходя-
проходящей через Аи так что А\ находится на расстоянии г от
одного конца хорды и С — г — от другого.
Предположим, что А\ является вершиной конуса ма-
малого телесного угла dQ, окружающего хорду. Интег-
Интегрируя по (х2, у2, z2) внутри этого конуса, получаем
Мы можем выбрать систему координат так, что одна
ось отвечает направлению хорды, а две другие оси пер-
перпендикулярны хорде и составляют элемент площади dQ
Тогда
(r<+(C-ry)dr\dQdQ =
V^-L\\\\^(r<+(C-ry)dr\
" " " ^ 'о ¦'
-тЯЯ**-
Из предыдущих результатов усматриваем, что
Отсюда следует, что среднее значение С4 равно
12 V2 (jiS)-'.
4.13 Хостинский рассматривает некоторые другие сред-
средние такого же рода, а также трехмерный аналог зада-
задачи Сильвестра о четырехугольнике: пять точек случай-
случайно выбираются внутри выпуклого тела К', найти веро-
вероятность того, что ни одна из них не лежит внутри тетра-
тетраэдра, образованного другими четырьмя,
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРОВ ЧАСТИЦ
Распределение размеров частиц
103
4.14 Рассмотрим задачу определения распределения
размеров частиц, погруженных в непрозрачную среду,
по измерениям фигур или сегментов, которые получают-
получаются при пересечении частиц случайными плоскостями или
случайными прямыми. Эта задача имеет приложения в
различных областях естествознания и рассматривалась
рядом авторов (часто независимо друг от друга): Вик-
селл (Wickseli, 1925, 1926), Шейл (Scheil, 1931), Фул-
лман (Fullman, 1953), Рейд (Reid, 1955), Сантало (San-
talo, 1955), Крумбейн и Петтиджон (Krumbein and Pet-
tijohn, 1938).
4.15 Сначала предположим, что частицы являются
сферами и они распределены в пространстве таким об-
образом, что среднее число центров в единице объема
равно К. Несмотря на то что сферы предполагаются не-
непересекающимися, можно считать, что центры состав-
составляют пуассоновское поле, так как сама пересекающая
плоскость выбирается случайно. Пусть вероятностное
распределение диаметров имеет плотность F(r) {r обо-
обозначает диаметр), так что a\F{r)dr представляет веро-
о
ятность того, что случайно выбранная сфера имеет
диаметр, меньше чем а.
Ожидаемое на единице площади число сфер, диаме-
диаметры пересечений которых с произвольной плоскостью
лежат в пределах (г, r-\-dr), равно кг F(r)dr. Поэтому
плотностью распределения диаметров сфер, пересекаю-
пересекающих плоскость, будет
*/.*_ rF(r) _ rF(r)
U '
rF(r)dr
где г0 есть средний диаметр сферы, выбранной наудачу.
Если сфера диаметра г действительно пересекает
плоскость, то вероятность того, что ее центр лежит на
расстоянии у от плоскости, есть 2r~ldy @^.у^. -ум •
В этом случае диаметр х круга пересечения равен
(г2 — 4y2)'h. Следовательно, ожидаемое на единице
104 гл- 4- случайные плоскости и случайные вращения
площади число сфер, имеющих диаметр в (г, r-\-dr) и
пересекающих плоскость по кругу диаметра х, равно
Поэтому распределение диаметров кругов пересече-
пересечения при условии, что сферы действительно пересекают
плоскость, имеет вид
Поскольку ф (х) может быть найдено из наблюденим,
мы должны найти F(r) из интегрального уравнения
F(r)
=^ Г rF(r
r0 J yr*-
.drdx.
D.11)
Полагая F {r)=rFl{r2), получаем
1-Х*
т. е. интегральное уравнение типа Абеля (Курант и Гиль-
Гильберт (Courant and Hilbert, 1931), стр. 134), решением
которого является
откуда получаем
— г2)-1/2 ^
D.12)
Если известны диаметры кругов, мы можем оценить рас-
распределение ф(х) и с помощью D.12) вычислить F(x).
Возможно, что для численных расчетов лучше снача-
сначала проинтегрировать D.12) по частям, для того чтобы
избежать оценивания производной.
4.16 F(r) и ф(х)—плотности вероятностых рас-
распределений, и представляет интерес выразить моменты
одного распределения через моменты другого.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРОВ ЧАСТИЦ
Пусть М„ и тп — эти моменты, т. е.
Mn = $r«F(r)dr,
о
Используя D.10), получаем
105
Г(r2 — xz
i i
Меняя (что можно обосновать) порядок интегрирования,
получаем
i
тп = го * j r"+i F (г) dr I' o)"+i A — w2)-^2 dw.
Второй интеграл имеет форму
2-4 • 6- ... -п— 1
J
3 • 5 ... -п
¦, если п нечетно,
Итак,
1 • 3 -...¦«— 1 л
—к—г о", если ячетно-
Mn+i =
поскольку гй=М\. Это дает нам другой метод определе-
определения распределения, поскольку, если мы можем оценить
mi, m2,... по наблюдениям, то мы в состоянии найти
M2-M~lli Мз-Mi'1... Остается только найти Mi = r0.
Для этого можно использовать тот факт, что г0 (средний
диаметр сфер) равен умноженному na-tf я гармониче-
гармоническому среднему наблюдаемых диаметров. Действительно,
''о• {гармоническое среднее наблюдаемых диаметров} =
= г0 <ty(x)x-4ix=
О
J
Ox
106 гл. i. случайные плоскости и случайные вращения
Интересно также заметить, что не исключено совпа-
совпадение распределений истинного и наблюдаемого диаме
тров, т. е. равенство ф(лг) =F(x). Это имеет место, когда
тонкие срезы
107
ибо тогда
1 \l/2
и, подставляя в D.11), находим
Уравнение D.11) также появляется в теории «задачи
глобулярного скопления» в астрономии (Викселл (Wi-
cksell, 1925)). Глобулярное скопление представляет со-
собой собрание звезд, расположенных вокруг общего
центра сферическими слоями постоянной плотности. Со-
Соотношение между плотностями в этих слоях (как функ-
функций радиального расстояния) и плотностью в кольцах
в проекции на плоскость также задается интегральным
уравнением вида D.11).
4.17 Очевидно, что аналогичная теория может быть
построена для кругов на плоскости, пересекаемых слу-
случайными прямыми. Она примыкает к исследованиям
Макинтайра, описанным в главе 3. Возникающее интег-
интегральное уравнение абелева типа (полученное Рейдом
(Reid, 1955)) может быть решено теми же методами.
4.18 Викселлом (Wicksell, 1926) рассмотрен случаи
эллипсоидальных частиц. Предположим, что все они
одного размера и одной формы и что одна из частиц
пересекается некоторой плоскостью. В пересечении по-
получается эллипс; в качестве «диаметра» этого эллипса
берем всличинух= (/g^.,,, где \\ и g2 — большая и малая
оси эллипса соответственно.
Обозначим через а\ и а2 большую и малую оси
эллиптического сечения, проходящего через центр тела,
jj через р = V О\О.г— «диаметр» этого сичения. Тогда если
I/ есть удвоеннное расстояние секущей плоскости от
$*нтра тела, a h — расстояние между двумя касатель-
касательными плоскостями, параллельными сечению, имеем
У — У Р — х
Т р
Отсюда следует выражение для вероятностного распреде-
распределения «диаметров» наблюдаемых сечений:
ц>(х) = х\ /(р)
d?
D.13)
где /(р) есть вероятностное распределение «диаметров»
р центральных сечений тех частиц, которые в действи-
действительности пересекают плоскость (причем эти значения;)
измеряются в плоскости, проходящей через центр парал-
параллельно сечению частицы). Основная задача тут состоит
в том, чтобы связать /(р) с распределением размеров
н формы частиц. Это не так просто сделать, поскольку
?(если частица не сферическая) распределение р не сов-
совпадает с распределением диаметра эллипса, образован
ного случайной проходящей через центр частицы плос-
плоскостью. Это можно легко усмотреть, рассматривая эллип-
эллипсоиды, имеющие одну ось значительно более длинную,
чем две другие. В этом случае более вероятно, что плос-
плоскость пересечет частицу «перпендикулярно» направлению
длинной оси. Как следствие, анализ, выполненный Вик-
Викселлом, оказывается весьма сложным.
Тонкие срезы
4.19 Крумбейном (Krumbein, 1935) (см. также Крум-
бейн и Петтиджон (Krumbein and Pettijohn, 1938))
предыдущая теория была применена для анализа топких
срезов осадков в петрографии, в предположении, чго
включения имеют форму шара. Развитая им теория
игнорировала тот факт, что большие шары имеют боль-
Шую вероятность попасть в срез.
Им получено хорошее согласие между распределением
размеров частиц в двух пробах песка, вычисленным на
108 ГЛ- 4- СЛУЧАЙНЫЕ ПЛОСКОСТИ И СЛУЧАЙНЫЕ ВРАЩЕНИЯ
ТОНКИЕ СРЕЗЫ
109
основе простой и неточной теории с использованием
среза, и распределением, полученным прямым измере-
измерением размеров частиц после разделения. Причина этого
неясна и может быть связана с тем, что в действитель-
действительности частицы не являлись шарами. В более поздних
работах [Гринман (Greenman, 1951a, 1951b), Розен-
фельд, Якобсон и Ферм (Rosenfeld, Jacobson and Ferm,
1953), Паккам (Packham, 1955)] также использовалось
неверное уравнение, но тем не менее получалось хоро-
хорошее согласие с распределением, получаемым при про-
просеивании.
4.20 Если опустить допущение о шарообразности, то
стоит выяснить, что может, а что не может быть уста-
установлено исследованием плоских сечений.
Предположим, что в среднем число включенных тел
в единичном объеме есть Я, что их средний объем равен
v и что их средняя площадь поверхности равна а. Тогда
без дальнейших допущений не представляется возмож-
возможным оценить X.
Пусть Хр, Ар и Lp обозначают среднее число пересе-
пересечений на единицу площади случайной плоскости, сред-
среднюю площадь этих пересечений и их средний периметр;
аналогично, пусть \, Ц обозначают среднее число пере-
пересечений на единицу длины случайной прямой и их
среднюю длину. Эти пять величин могут быть с помощью
повторных выборок оценены сколь угодно точно. Очевид-
Очевидно, что
т. е. мы можем оценить долю занимаемого частицами
объема как из пересечения плоскостью, так и из пере-
пересечения прямой. Величина \LP есть средняя сумма
периметров всех пересечений, приходящихся на единицу
площади случайной плоскости; согласно C.2), она
равна 2п~1Х1 X (единица длины). С другой стороны,
согласно выводимой из C.9) формуле Коши, 4Хг единиц
площади равны средней общей поверхности частиц в
единичном объеме. Отсюда можно найти общую пло-
площадь поверхности частиц.
4.21 Мы рассмотрим здесь (хотя эта тема и относится
к предыдущей главе) задачу отыскания распределения
интервалов, образуемых при пересечении случайными
прямыми выпуклых фигур, помещенных в некоторый
объем.
Мы рассмотрим только случай, когда фигуры являются
шарами со случайными диаметрами; F(r)—плотность
распределения диаметров. Пусть / — длина пересечения,
g(l) —-плотность распределения таких длин.
Вероятность того, что сфера диаметра г пересечет
случайную прямую, пропорциональна -т-п^2- Следователь-
Следовательно, плотность распределения г для тех сфер, которые
действительно пересекаются случайной прямой, имеет вид
f r*F (r) dr
b
где г2 есть второй момент (относительно начала) рас-
распределения г в случайно выбранной сфере.
Пусть х — расстояние центра сферы от прямой.
Распределение х при условии, что пересечение имеет
место, имеет вид
8xr~2dx
Для заданного значения х длина пересечения равна
Отсюда следует, что распределение / есть
. 2r~4dl
Полное распределение / имеет плотность вероятности
?(/) = 2 j irpF{r)dr = 2lrii\F {r)dr. {АЛА)
Решение этого уравнения сразу находится в виде
P<A = -Lr — №
^ ' 2 dr у г
По-видимому, г2 лучше всегс получить, оценивая предел
2/[g(/)|"' при /->0, поскольку он равен г2. Как и в
по
ГЛ. 4. СЛУЧАЙНЫЕ ПЛОСКОСТИ И СЛУЧАЙНЫЕ ВРАЩЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫЕ ВРАЩЕНИЯ
111
предыдущей теории, здесь также возможно установить
уравнения, связывающие моменты распределений g(l)
и F(r). Попытки обобщить D.14) на случаи, когда тела
не являются шарами, не привели к успеху.
Фигуры в трехмерном пространстве
4.22 Ряд авторов рассматривали плоские фигуры
и конечные прямолинейные отрезки, случайно распреде-
распределенные в пространстве, а также проекции прямолиней-
прямолинейных отрезков на фиксированную плоскость.
Предположим, что в пространстве случайно распре-
распределены круговые диски диаметра г и их пересечения
случайной плоскостью имеют случайную длину х. Пусть
F(r) —плотность вероятности распределения г, a q>(x) —
плотность вероятности распределения длин х. Вероят-
Вероятность того, что данный диск пересекается плос-
плоскостью, очевидно, пропорциональна г, поэтому, если/(г)
есть плотность вероятности распределения диаметров
дисков, которые действительно пересекают плоскость, то
f(x) =
f rF(r) dr
где го есть средний диаметр диска, выбранного наудлчу.
Если плоскость пересекает диск диаметра г на расстоя-
расстоянии у от его центра, то распределение у есть
.-Y г), а распределение х (длины пересече-
х dx
ния) равно1—_ш/ . Отсюда получаем
Ф И =
хР (г)
-dr,
что совпадает с уравнением D.10) и может быть решено
теми же методами.
4.23 Теперь рассмотрим проекции отрезков и плоских
фигур. Пусть прямолинейные случайно направленные
отрезки случайной длины / распределены в пространстве с
плотностью вероятности F(l). Пусть х — длина проекции
отрезка на случайную прямую. Угол 0 между отрез-
отрезком и нормалью к плоскости имеет распределение
-5-sin0fl?O @^0^ я). При данном I условным распре-
распределением проекции x=l sin 0 будет
Плотность вероятности ф(х) распределения проекций х
будет задаваться уравнением
icp(х) =
Это уравнение совпадает с уравнением D.13), которое
рассматривал Викселл. Оно может быть сведено к урав-
уравнению абелева типа, обладающему решением
dx
dx
4.24 Пусть имеются плоские фигуры случайной пло-
площади а, распределенные в пространстве со случайной
ориентацией {F(a) —плотность вероятности распределе-
распределения а). Рассмотрим площади а их проекцией на фиксиро-
фиксированную плоскость. Предположим, что а имеет распреде-
распределение с плоскостью вероятности ф(а). Имеем a=a|cos 0|.
и |cos 01 распределен равномерно в пределах
|^l, так что получаем
откуда следует решение
F(u) =a<p'(u) •
Случайные вращения
4.25 Теперь рассмотрим случайные вращения в
евклидовом пространстве. В случае двух измерений
поворот полностью описывается величиной угла, на ко-
который поворачивается тело или фигура. Единственным
естественным критерием геометрической случайности
112 гл. 4. случайные плоскости и случайные вращения
служит условие, что все измеримые множества 0 должны
иметь вероятность, инвариантную относительно поворо-
поворотов. Очевидно, что единственная вероятностная мера,
которая удовлетворяет этому условию, такова, что веро-
вероятность каждого множества значений 0 равна его лебе-
говской мере, поделенной на 2я.
4.26 В случае трех измерений ситуация значительно
более сложная. Мы можем описать вращения либо
задавая элементы ортогональной матрицы, соответству-
соответствующей вращению, либо же задавая направляющие коси-
косинусы (скажем, а, |3, у) оси поворота вместе с углом
(скажем, V), на который поворачивается тело. В обоих
случаях имеются лишь три существенно независимые
координаты, и пространство всех вращений трехмерно.
По-прежнему, естественным условием, которое нужно
наложить на вероятностную меру, является ее инвариант-
инвариантность относительно произвольных вращений. Для того
чтобы это имело место, кажется естественным предпо-
предположить, что все оси вращения должны быть равноверо-
равновероятными (в смысле предыдущих глав), а угол поворота
должен быть распределен равномерно на @, 2я). Первое
из этих условий, очевидно, есть необходимое следствие
требования инвариантности, однако второе является
неверным. Следуя Дельтейлю (Deitheil, 1926), мы опре-
определим верное распределение V с помощью инфинитези-
мальных преобразований.
4.27 Выберем прямоугольные оси координат, прохо-
проходящие через фиксированную точку тела, начальное рас-
расположение которого будем обозначать через So. Опреде-
Определим «вектор вращения», отвечающий данному вращению,
как вектор с направляющим косинусами (а, р, у) —
направляющими косинусами оси вращения — и длины
tg-^-V, где V — угол поворота. Компонентами этого
вектора служат
т = \
СЛУЧАЙНЫЕ ВРАЩЕНИЯ
113
Элементарная вероятность, подлежащая нахожде-
нахождению, есть
/, т, n)dldmdn.
Удобно преобразовать (/, т, п) в однородные коорди-
координаты, определяемые следующим образом:
y V,
v = vsin -j V,
p = cos -r- V.
Теперь допустим, что положение Si получается H3S0
преобразованием (%\, \i\, vi, pi), положение S2 получает-
получается из S. преобразованием (Х2, Цг, v2, рг), а S2 из So —
преобразованием (Аз, М-з, v3, рз). Эти вращения назовем
соответственно R[, R2 и ^з- Первой нашей целью является
выразить (К3, цз, v3, рз)
через (Ки ць vi, pi) и (Х2,
Ц2, V2, рг)- Для этого сна-
сначала рассмотрим частный
случай, когда R\ и ^2 яв-
являются вращениями на
угол я. Такие вращения
называются «симметрия-
ми» (рис. 4.1).
Пусть [п\, Ь\, С]) и
(а2, Ь2, с2) — направляю-
направляющие косинусы осей R\ и R2.
Результирующее вращение R3 имеет ось, перпендикуляр-
перпендикулярную ORi и OR2. Рассмотрим начальную точку Ао, кото-
которую Ri преобразует в Лi и пусть R2 преобразует At в
А2. Можно выбрать Ао в плоскости RiOR2, и тогда об-
общий угол, на который она поворачивается, есть A0OR2,
обозначим его через V. Тогда угол -уУ=угол /iO/2,
где и 1\, 12 — перпендикуляры из Ао и Лi на оси ORi и
° М. Кендалл, П. Моран
114 гл. 4. случайные плоскости и случайные вращения
GR2. Из предшествовавшего определения имеем
cos -g- V = аха2 + ЬхЬг + CiC2.
Поскольку О#з перпендикулярна к 0R\ и Oi?2, то ее на-
направляющие косинусы пропорциональны компонентам
a.\b<i — a2b\
векторного произведения 012 на 011. Длина этого вектор-
ного произведения равна sin -^ V, поскольку -к- V есть
угол между OIi и 012, и поэтому
а также
Этот результат имеет место только для вращений на л.
Теперь рассмотрим вращения на произвольные углы.
Обращаясь опять к рис. 4.1 и оставляя в силе условие,
что Ло лежит в плоскости, проходящей через О перпен-
перпендикулярно 0R3, мы видим, что всякое вращение вокруг
0R3 может быть заменено произведением двух вращений
на я вокруг двух осей (скажем, OSi и 0S2), перпендику-
перпендикулярных 0R3. Более того, это может быть сделано беско-
бесконечным множеством способов, поскольку в качестве OSi
можно взять всякую ось, перпендикулярную к 0R3, а за-
затем выбрать 0S2 под углом -я- V к 0S\, где V есть тре-
требуемый угол вращения.
Возвращаясь к общему случаю, когда/?3= (^з, Цз, V3, рз)
является результатом последовательного применения
Ri= (Яь [ii, vi, pi) и Я2= (А,2, М.2, v2, р2), мы разлагаем Ri
на две симметрии Т\ иГц а Яг — на симметрии Гг и Т%,
так что R5есть результат последовательного применения
Т\,Т', Т2яТ'2. Из произвольности разложения вращения
на симметрии следует, что Т яТ2 могут быть выбраны
СЛУЧАЙНЫЕ ВРАЩЕНИЯ Ц ^
вращениями вокруг одной и той же оси, перпендикуляр-
перпендикулярной к Ri и R2. Их совместное действие не меняет поло-
положения твердого тела, так что R3 сводится к применению
сначала Ти а затем Г2-
Пусть ось 7*! имеет направляющие косинусы (аь Ьи сх),
Т2 и Tj— (a, b,c), a Т2 — (а2, Ь2, с2). Тогда #, имеет
однородные координаты
( '
R2 имеет координаты
%2=bc2 — b2c,
[i2=ca2-~c2a,
V'sr=ab2 — a2b,
D.16)
R3 имеет координаты
a2bu
D.17
Мы хотим выразить последние координаты через первые.
Используя D.15), мы находим (ab bu с{) в терминах
{h, м.1, vi, pi) и (a, b, с); из D.16) мы находим (а2, Ь2, с2)
в терминах (Я2, ц2, v2, p2) и (a, b, с). В результате
получаем
D.18)
c2= — р
В то же время выполняются тождества
D.19)
гл. 4. случайные плоскости и случайные вращения
Подставляя D.18) в D.17) и используя D.19), получаем
fa=biC2-c1b2-\-a1d2-\-dla2 =
Цз=С\а2- a1c2+b1d2-\-dlb2 =
— v2vi + p2p:.
Это и есть нужные нам уравнения, которые дают ком-
композицию двух вращений. Возвратимся к начальным
координатам, обозначая их (h,muni) для R)t (l2, т2, п2)
для R2 и (/3, гпз, 'Ь) для RiR2. Получаем
. _ к + h -
43— 1 _ ; /„
Д,=-
пх + «2
— ПхПг
— лгг/i
Рассматривая главные значения (/3—h, т3—т2, Пъ—п2),
когда lu mb ni стремятся к нулю, мы выводим уравне-
уравнения для инфинитезимального преобразования. Обозначая
через (I, т, п) общее значение (/2, т2, п2) и (/з, '"з, «з).
получаем таким путем
m)nu
б/=
где /ь mb ni малы.
Применяя способ рассуждений, использованный
в главе 1, получаем следующие уравнения для плотности
m)
dJL
dl
Помножая эти уравнения на /, —п и т соответственно
случайные вращения
117
и складывая, получаем
.dF
Из двух других аналогичных уравнений получаем
dF . 4(ldl + mdm + n dn) _ ^
Т + A 4- /2 + т2 + и2)
Следовательно, F пропорциональна
С помощью уравнений
/ = tg-g- У sin 0 cos ф,
m = tg-2
/z=tg~2-VcosO
переходим к полярным координатам. Тогда
1 + р + т2 + я2 = 4 ( 4
так что элемент в параметрическом пространстве должен
иметь вид
D.20)
dJ = ~ sin2 -i-Vsin
Областью изменения параметров является
0<0<я, 0^ф^2я, так что для того, чтобы эта мера
стала вероятностной, мы должны помножить dJ на-н-л^2
Тогда получим
dP = ~ л-2 sin2-^- Vsin QdVdQdy.
Наше первоначальное предположение состояло в том.
что мы должны были случайно выбрать ось вращения,
J 13 ГЛ. 4. СЛУЧАЙНЫЕ ПЛОСКОСТИ И СЛУЧАЙНЫЕ ВРАЩЕНИЯ
а затем выбрать угол вращения с равномерным распре-
распределением на @, 2л). Это дало бы
что, как мы видим, неверно.
4.28 При другом подходе к этой задаче случайное
ортогональное преобразование выбирается путем выбора
трех независимых случайных векторов с их последующей
ортогонализацией. Так, мы могли бы взять случайный
единичный вектор хь выбирая его направляющие коси-
косинусы пропорциональными трем независимым случайным
величинам с нормальным распределением.
Пусть х2 — другой такой единичный вектор, а у — еди-
единичный вектор, параллельный той компоненте х2, которая
перпендикулярна кхь т.е. вектору х2—х^ХрХг). Третий
вектор z определяется как векторное произведение
xiXyi. и (хь у, z) могут быть взяты в качестве единич-
единичных векторов новой системы координат. Их представле-
представление в терминах единичных вектров первоначальной
координатной системы как раз и
дает нужную ортогональную мат-
матрицу. То, что это верно, являет-
является почти очевидным, однако мы
покажем это более подробно.
Для этого мы сначала рас-
рассмотрим представление первона-
первоначального вектора вращения в тер-
терминах ортогональной матрицы
при преобразовании Эйлера.
Предположим, что имело место
вращение на угол V вокруг оси с
направляющими косинусами (/,
т, п). Пусть О есть начало координат, а а — единичный
вектор- (/, т, п), направленный по оси вращения
(рис. 4.2). Предположим, что некоторая точка тела Р
вращением переводится в положение Р'. Обозначим век-
векторы ОР и ОР' через р и р', PC перпендикулярно к а,
а М является основанием перпендикуляра из Р' на PC.
Тогда
р~~'=ОС+СР = ОС+ CM+MF.
случайные вращения
119
Здесь
ОС= (р-а)а,
С~М = СР cos V = (р — (р • a) a) cos V,
угол между ОР и ОС. Так как
|p| sin а,
где а
то
МР'= (аХр) sin V.
Таким образом,
p'=pcos V+(aXP) sin V+(p-a)a(l —cos V).
Представляя это преобразование матрицей, получаем
cos V+P(\— cos V) lm(\—cos V)^n sin V ln([— cos V)+m sin V
lm{\— cos V)+nsin V cos V+/n2(l — cos V) mn(\—cos V)— / sin V
ln(\— cos V)— m sin V mn(\— cos V) +/ sin V cos V+»2(l— cos V)_
Это есть матричное представление преобразования коор-
координат точки при данном повороте. Воздействие на коор-
координатные оси задается матрицей той же формы с заменой
У на — V. Отметим, в частности, что след матрицы ра-
равен 1+2 cos V и зависит только от V.
4.29 Теперь вернемся к случайной ортогональной
матрице, которую будем строить несколько иным спосо-
способом. Возьмем случайные величины g и ср, равномер-
равномерно распределенные на ( —1, 1) и ( — я, я) соответ-
соответственно, и в первой строке матрицы запишем
{I, (I — g2I'2 coscp, (I —g2I'2 sincp}.
Очевидно, что это есть координаты единичного вектора
случайного направления.
Теперь построим единичные векторы А и В:
A = i(l-?2I/2, -^coscp, -gsinqj),
В = { 0, sin ф, —соэф|.
Они являются единичными векторами, ортогональными
120 гл. 4. случайные плоскости и случайные вращения
друг другу и первому вектору. Запишем
С = A cos a+B sin а,
D= — A sin а+В cos а,
где га — случайная величина, равномерно распределенная
на интервале (—я, я). С и D могут быть выбраны в ка-
качестве двух других осей новой системы координат.
Случайная ортогональная матрица при этом имеет вид
A — g2I'2 cos ф (I —12I/2 sin ф
— | cos ф coses-)- —g sin ф cos a—
-fsincpsina — cos ф cos а
?созфэта+ g sin q> sin а —
+ sin ф cos a —cos ф cos а
Б
_A_ ?2I/2 gina
Ее мы идентифицируем с ранее данной матрицей. След
равен
| — ? cos ф cos a + sin ф sin a+g sin ф sin a—cos ф cos a==
= l{l — соэ(ф+а)} —соз(ф+а).
След, который мы идентифицируем с l+2cosV, распре-
распределен как
1A —cosip) —cos i|),
где ? распределена равномерно на (—1, 1), а ар распре-
распределена равномерно на @, я). Следовательно, cos V рас-
распределена как
?sin2-2-i|j — cos2 -g-ip.
Если положить w — cos V и фиксировать г|з, то величина
w распределена равномерно на (—1, —cosi|)). Плотность
вероятности w пропорциональна
f(w)dw =
к
1
п—arccosay
—tg-2-(arccos ay) dco = 2 sin2-у- VdV;
это согласуется с предыдущим результатом D.20), если
полагать, что положительные и отрицательные значения V
ПРИЛОЖЕНИЕ К КРИСТАЛЛОГРАФИИ
121
имеют равную вероятность. Итак, мы показали, что вы-
выбор случайного вращения эквивалентен выбору случайной
трехмерной ортогональной матрицы, вероятностное
распределение которой инвариантно относительно орто-
ортогональных преобразований. Это распределение является
инвариантной мерой, и поскольку выборка п значений
из нормального распределения с нулевым средним может
быть представлена в n-мерном пространстве вектором,
имеющим сферически симметричное распределение, то ес-
естественно, что эти идеи смогли найти применение в статис-
статистической теории, в особенности в связи с многомерным
анализом. Это подробно обсуждалось Джеймсом (James,
1954), который применил теорию инвариантной меры
в пространстве всех ортогональных пУ(п матриц при
выводе многих стандартных распределений многомерного
анализа.
4.30 Можно было бы доказать аналог «центральной
предельной теоремы», состоящий в том, что общее
действие повторных случайных вращений, каждое из
которых обладает определенным распределением 0, фи V,
сходится к рассмотренному выше распределению. Веро-
Вероятно, что требование существования точки @О, фо, Vo)
такой, что в ее некоторой окрестности совместное вероят-
вероятностное распределение 0, ф и V дифференцируемо по
0, ф и V, является, достаточным условием для этого.
Приложение к кристаллографии
4.31 Другое интересное приложение, связанное с
кристаллографией, рассматривалось Маккензи и Томсо-
ном (Mackenzie and Thomson, 1957). Случайное вращение
рассмотренного выше типа применяется к кубу. Требуется
найти наименьший угол, на который должен быть по-
повернут куб после этого, для того чтобы придать ему
первоначальную ориентацию, т. е. чтобы его грани были
бы параллельны граням в начальном положении (cos-
падение положений необязательно).
Маккензи и Томсон изучили эту задачу методами
Монте-Карло, однако позднее Хандскомб (Handscomb,
1958) и Маккензи (Mackenzie, 1958) получили точное
распределение.
Г л а в а 5
ЗАДАЧИ О ПОКРЫТИЯХ
ПОКРЫТИЯ НА ПРЯМОЙ
123
Покрытия плоской решетки
5.1 В этой главе рассматриваются задачи вычисления
вероятностей того, что определенные фиксированные гео-
геометрические фигуры или множества на плоскости оказы-
оказываются покрытыми другими фигурами, положение кото-
которых в каком-то смысле случайно. Мы начнем с одного
класса задач, связанных с заданной плоской решеткой
точек (необязательно прямоугольной). Исследуется веро-
вероятностное распределение числа точек решетки, попадаю-
попадающих в некоторую геометрическую фигуру (например, в
круг), расположение которой на плоскости случайно.
Подобная ситуация возникает на практике, когда проб-
пробный круговой обруч случайно бросается на поле, центры
растений на котором составляют регулярную решетку.
5.2 Решетка может состоять из всех точек на плоско-
плоскости с целыми координатами (квадратная решетка) или
же из точек, являющихся вершинами плотно упакован-
упакованных равносторонних треугольников, или же иметь более
общий вид. Мы в основном рассматриваем только квад-
квадратную решетку.
При бросании на квадратную решетку фигуры опре-
определенной формы и, возможно, фиксированной ориента-
ориентации, число точек, покрываемых ею, есть случайная вели-
величина со средним, равным площади фигуры (если квадра-
квадраты имеют единичную сторону).
Это интуитивно очевидно, но может быть и показано,
как это сделано ниже.
Покрытия иа прямой
5.3 Оценка дисперсии представляет собой значитель-
значительно более сложную проблему даже для фигур простой
формы, таких, как круг. Для иллюстрации некоторых
принципов мы начнем со значительно более простой за-
задачи о числе точек одномерной решетки, попадающих в
случайный интервал на прямой.
Предполагается, что решетка состоит из точек 0, ±1,
±2, . . . , а интервал имеет длину / и случайное распо-
расположение.
Вместо того чтобы брать интервал случайным и фик-
фиксировать решетку, мы можем фиксировать интервал и
придавать случайное расположение решетке. Предполо-
Предположим, что фиксированным интервалом является ( к-1,
-а- I) И ПОЛОЖИМ
/(*) =
-1
0
в остальных местах.
Решетка пусть состоит из точек Т, Т+1, 7~±2, . . . ,
где Т есть случайная величина, равномерно распределен-
распределенная на интервале @,1). Тогда число точек решетки, по-
попадающих в интервал, оказывается равным
N(T) = l V f(T +
Среднее число, очевидно, равно
/ \f{u)du = l.
— со
Дисперсия величины N{T) равна
E.1)
E.2)
'Интеграл в E.3) равен /~2(/ —|м|), если |/<,| =
в противном случае. Поэтому дисперсия равна
2(/-М)-'2-
"Если 1 = p + q, где р — целое число и
равно
Я — Ф-
E.3)
и нулю
E.4)
то E.4)
E.5)
124
ГЛ 5. ЗАДАЧИ О ПОКРЫТИЯХ
,4
м„же„
дг(Г)==
с периодом 1 и
ряд Фурье
где
где
е ф(и) есть преобразование Фурье:
Теорема Парсеваля дает
Поскольку |Со|2 = /2, то получаем
я беоется по всем целым значениям т. исклю-
ТЛ ПоЕавляя значение /@- получаем
ф W — "jT^
sin .—. lu
1 2
для
для
и = 0.
ПОКРЫТИЕ КВАДРАТНОЙ РЕШЕТКИ ПРЯМОУГОЛЬНИКОМ
125
Используя эту формулу, находим
E.6)
Вид этого выражения совершенно отличен от E.2) и
E.3). Равенство между E.5) и E.6) является следстви-
следствием формулы Пуассона (Титчмарш (Titchmarsh, 1937,
стр. 61)).
Покрытие квадратной решетки прямоугольником
5.5 Отсюда легко вывести результат для прямоуголь-
прямоугольника со сторонами, параллельными направлениям плос-
плоской решетки, положение центра которого на решетке слу-
случайно. Действительно, число точек решетки в таком пря-
прямоугольнике может рассматриваться как произведение
двух независимых случайных величин, каждая из кото-
которых равна числу точек линейной решетки, покрываемых
сторонами прямоугольника. Дисперсия числа покрытых
точек меняется сложным образом. Если стороны равны
/ и т, где l=p + q, m — P + Q (O^q, Q<1), to дисперсия
равна
Эта задача в предположении, что ориентация прямо-
прямоугольника является случайной, не изучалась.
5.6 Д. Г. Кендалл (Kendall, 1948) и Р. А. Ранкин
(Rankin, 1953) рассмотрели аналогичную, но более труд-
трудную задачу определения дисперсии числа точек решетки
внутри случайно1 расположенного круга радиуса R.
Пусть решетка состоит из точек (/, /), i, / = 0, ±1,
±2,... и через N обозначим число таковых в круге
{х — аJ-\-(у— РJ=Я2. Если а, Р=0, то определение
JV как функции от R является классической задачей ана-
аналитической теории чисел. Известно, что
—-м\
20 j для любого е>0.
Харди высказано предположение, что
126
гл- 5. ЗАДАЧИ О ПОКРЫТИЯХ
для каждого е>0. Если предполагать расположение
круга случайным, то задача упрощается в том смысле,
что можно показать, что средний квадрат разности
N — nR2 имеет порядок O(R).
Для доказательства мы должны оценить дисперсию
N при фиксированном R и независимых аир, распреде-
распределенных равномерно на @, 1). Из сказанного выше сле-
следует, что E(N) —kR2. Величина же E(N2) может быть
найдена двумя способами.
Пусть A{R, a, P) обозначает число точек решетки в
круге радиуса R с центром (а, р). Это есть дважды пери-
периодическая функция по а и р и, следовательно, может быть
(по крайней мере формально) разложена в двойной ряд
Фурье, так что A (R, а, Р) ~ 2 flmn exp 2ш (та + «Р).
т, п
По определению, С (и, v) равна единице или нулю в
соответствии с тем, лежит ли точка (и, v) в круге и2-{-
-\-v2^LR2 или нет. Тогда
i4(/?,a,p) = 2C(t-a, /-P),
где i, j меняются по всем точкам решетки. Поэтому
1 1
Qmn- j J4(#,a,p)exp{-
о о
= \ \ cos Bnmu) cos Bnnu) du dv —
= R
( -1- n2)'112 h {2л/? (m* + ti2I/2}.
где m2+n2>0. Для случая т—п — 0 получаем QOo=nR2.
Мы не нуждаемся в сходимости двойного ряда Фурье.
Нам требуется только аналог равенства Парсеваля, кото-
которое дает
n<iI2)'
о о
ПОКРЫТИЕ КВАДРАТНОЙ РЕШЕТКИ ПРЯМОУГОЛЬНИКОМ 127
где двойная сумма 22'берется по всем значениям т и
п, исключая m = n=^0. Пусть гA) есть число представле-
представлений целого числа / в виде суммы двух квадратов. Мы мо-
можем записать тогда
Е (N2) = л2Я* + R2fl Mr (/) Jj {2nRl i;2j.
Этот ряд сходится, потому что при некотором с;>0 и
всех z>0
всех
для каждого 6>0. Таким образом, дисперсия величины
Лг равна
varJV = /?»2 l-ir(l)j\{2nRli!i\. E.7)
Используя приведенные выше юценки, получаем
так что стандартная ошибка возрастает не быстрее R i!,
т. е. квадратного кррня из масштабного множителя для
круга. Это резко отличается от рассмотренного выше слу-
случая случайного прямоугольника со сторонами, параллель-
параллельными направлениям решетки. Используя асимптотиче-
асимптотическую формулу для функции Бесселя
Мг)~ ?
получаем
var N ¦-
2 \1/2
cos(г —
Г3/
cos2
©тсюда видно, что приУ?->-оо величина /?~' var JV не стре-
Лится к пределу, но имеет верхний и нижний пределы не-
неопределенности, которые совпадают с таковыми для вы-
выражения
-я
-2
/-3/2 ,
128
ГЛ. 5. ЗАДАЧИ О ПОКРЫТИЯХ
Они в свою очередь лежат между нулем и
(=1
— @,676497J=0,457648. E.8)
Здесь t,(z) —дзета-функция Римана, и
L(s) = \~s ~3-s + 5~s —7-s + ...
5.7 В случае одномерной задачи дисперсия была полу-
получена нами в двух различных формах и было показано,
что равенство этих выражений является примером фор-
формулы Пуассона. То же самое можно проделать и здесь.
Обозначим через Sjy квадрат с центром в начале ко-
координат со сторонами длины 2N-\-l, параллельными осям
координат. Его площадь равна BN+1J и он содержит
BiV+lJ точек решетки. Вокруг каждой точки решетки
внутри Sn мы строим круг радиуса R. Если центры двух
кругов удалены на расстояние L, не превосходящее 2R,
то их пересечение есть область (которую мы будем назы-
называть лункой) площади
arccos(</2R)
V (R, 0 = 2R* j sin2 0 rfO =
о
i - t
=Я2 (arccos t B#) ()
Пусть Р — точка внутри квадрата Sn и предположим,
что она покрыта п кругами. Каждому кругу мы приписы-
приписываем плотность -g- (п — 1) в точке Р, если число других
кругов, покрывающих Р, равно п—1. Если проинтегриро-
проинтегрировать эту плотность по всему кругу, то получим полу-
полусумму площадей всех лунок, образованных данным кру-
кругом и каждым из остальных {2N-\-lJ— 1 кругов. Полная
плотность в точке Р, равная сумме плотностей каждого
из кругов, покрывающих Р, равна -^-п (п — 1),т. е. обще-
общему числу различных лунок, образованных парами кругов,
покрывающими Р. Поэтому интеграл от полной плотно-
плотности по квадрату Sjv равен сумме содержимого всех лунок
(или частей лупок), которые лежат в Sat. Обозначим ее
покрытие квадратной решетки прямоугольником 129
через М. Через рп (N) обозначим вероятность того, что
точка, выбранная случайно в квадрате Sn, покрывается
п кругами. Это есть доля площади квадрата, покрытой п
кругами. Тогда
п=0
Ряд в правой части является, конечно, обрывающимся.
При N-+oo pn (N) стремится к постоянной рп, доле об-
общей площади, которая покрывается п кругами.
5.8 Теперь найдем М иным способом. Пусть m — век-
вектор, проведенный из начала координат в точку решетки,
|m |—его длина. При фиксированном R имеется лишь
конечное число различных размеров лунок. Их образуют
те окружности, для которых 0:^= |т| ^2^. Обозначим
через P(t), t>0, число различных значений т, для кото-
которых |т|=Л Каждый круг содержит P(t) лунок, соот-
соответствующих значениям t^.2R, и полное содержимое
всех лунок в круге равно
2 P(t)V(R,t)=
0<t<2R
, И).
где последняя сумма берется по всем точкам решетки,
исключая @, 0), и принято соглашение о том, что
V(R, |m|)=0 для |m|>2fl. Всего имеется BN+1J
кругов с центрами в SN и каждая лунка определяется
двумя кругами, так что
00
= 4" У V (Я' Н) = У, 4-я (ft -!) />« •
lim BN
N
E.9)
С другой стороны, обозначая через М' сумму площадей
всех полных кругов или частей кругов, лежащих внутри
Sjv , имеем
ПО
Это в свою очередь равно интегралу по Sjv от п (числа
° М. Кендалл, П. Моран
130
ГЛ. 5. ЗАДАЧИ О ПОКРЫТИЯХ
кругов, покрывающих точку Р), что дает
2 npn = nR2 =
Таким образом, E.9) можно записать как
где сумма берется по всем точкам решетки, включая
начало.
Рассмотрим точку (а, р), где Os^as^l, 0<р<1. Чис-
Число точек решетки, содержащихся в круге радиуса R с:
центром в этой точке, равно числу кругов радиуса R
с центрами в точках решетки, которые покрывают точку
(а, р), т. е. значению п в этой точке. Поэтому распределе-
распределение числа точек решетки в случайном круге радиуса R
равно распределению п, когда (a, Р) выбирается случай-
случайно в единичном квадрате. Поэтому дисперсия равна
У
var N =
п2р„
п=0
- ( 2
п=0
прп У= ^ V (R, \т\) - я2/?4 =
E.10)
Это также должно быть равным E.7); так мы получа-
получаем уравнение
V l-
г(я)х
0<п<ж
X
которое является любопытным и неожиданным примером
формулы Пуассона.
5.9 Необычность этих результатов состоит в том, что
var N является резко колеблющейся функцией от R.
В практических задачах мы должны поэтому вычислять ее
точно (что лучше всего делать, используя конечный ряд
E.10), либо же использовать верхнюю границу Ra2, зада-
задаваемую E.8)). Некоторые обобщения этих результатов
ТЕОРЕМА РОББИНСА О СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВАХ
131
для овалов, гиперсфер и гиперэллипсов были получе-
получены Кендаллом и Ранкином, которые рассматривали так-
также гексагональную решетку. Результаты для овалов рас-
расширяют наши знания о методе «считающих квадратов»
при графическом интегрировании, а результаты, относя-
относящиеся к кругам, бросаемым на гексагональную решетку,
полезны в теории кожной чувствительности. Эти резуль-
результаты также представляют интерес в связи с оценкой чис-
числа растений на данной площади методом бросания обру-
обруча (очерчиванием случайного круга) в случаях, когда
растения распределены не по Пуассону, а расположены
более или менее регулярным образом.
Случайные формы
5.10 Выше мы рассмотрели пример случайного мно-
множества (круга), имеющего фиксированную форму и по-
покрывающего фиксированное множество (точки решетки).
Обширный класс задач другого типа возникает при рас-
рассмотрении множеств, для которых случайным является
не только их расположение, но случайна также и их гео-
геометрическая форма. Следующие два примера поясняют
о чем идет речь. В первом мы рассматриваем п интерва-
интервалов единичной длины на прямой — оо<л:<оо, центры х,-
которых распределены независимо, согласно функции
распределения F(x). Множество точек, покрытых одним
или большим числом интервалов, является случайным
множеством.
В другом примере рассматривается п кругов единич-
единичного радиуса, центры которых брошены случайно в пря-
прямоугольник. Случайное множество теперь состоит из всех
тех точек прямоугольника, которые покрываются одним
или большим числом кругов. В обоих случаях желательно
определить распределение меры случайного множества.
Теорема Роббинса о случайных множествах
5.11 Роббинсу (Robbins, 1944, 1945) (см. также Та-
кач (Takacs, I958)) принадлежит общая теорема, с по-
помощью которой можно находить моменты. Эта теорем?,
по существу, содержится в более ранних результата.;
9*
132
ГЛ. 5. ЗАДАЧИ О ПОКРЫТИЯХ
Колмогорова (Kolmogoroff, 1950) об условных математи-
математических ожиданиях, но здесь мы последуем изложению
Роббинса как имеющему прямое отношение к геометри-
геометрической задаче.
Мы рассматриваем измеримые по Лебегу множества
X в n-мерном евклидовом пространстве Rn . Предполага-
Предполагается, что в пространстве Т всех таких множеств имеется
вероятностная мера, которая обозначается через р{Х).
Таким образом, можно записать
E.11)
Р{Х лежит в S}= J C4 {X)dp(X),
'т
где S есть р-измеримый класс множеств X, a CS(X)
есть функция множества X, равная единице, если X ле-
лежит в множестве S, и нулю для всех остальных X. Во
всех случаях, которые мы рассматриваем, множество X
определяется некоторым числом параметров, так что
в качестве Т можно взять евклидово пространство с г
координатами 0Ь . . . , 8Г. В таком случае интеграл
E.11) оказывается интегралом Лебега — Стильтьеса по
этому пространству.
В вышеприведенных примерах можно принять, что
пространство 7 определяется п координатами центров
интервалов (в первом случае) и 2п координатами цент-
центров окружностей (во втором случае). Следует помнить,
что имеется п\ точек в пространстве параметров, кото-
которые отвечают одной и той же геометрической конфигу-
конфигурации.
Определим функцию g(x, X) от точки х из Rn и мно-
множества X из Т, полагая
six X) — ( 1' еслп х принадлежит X,
{ 0 в противном случае.
Тогда при фиксированном X интеграл Лебега от
ц(х, X) по Rn равен лебеговской мере X. При фикси-
фиксированном значении х вероятность того, что х покроется
множеством X, дается интегралом от g{x, X) по прост-
пространству Т.
Обозначим через \i(X) меру Лебега множества X и
предположим, что g(x, X) измерима по отношению к
произведению мер в произведении пространств RnX Т.
ТЕОРЕМА РОББИНСЛ О СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВАХ
133
Это имеет место во всех вопросах, связанных с прило-
приложениями.
Дифференциальный элемент произведения мер обозна-
обозначим dnp(x, X). Используя теорему Фубини, получаем
j g(x,X)d]lp(x,X) = j {jjg(x,X)dp(X)}dii(x).
Внутренний интеграл справа является вероятно-
вероятностью того, что случайное множество X покрывает дан-
данную точку х, т. е. равен Р(х^Х).
Еще раз используя теорему Фубини, получаем
f g(x,
Т Rn
так что
= J
Это означает, что ожидаемое значение меры X равно
интегралу по Rn от вероятности Р(х^Х). Этот резуль-
результат легко объяснить и интуитивно. Если пространство Rn
может быть разделено на большое число равных эле-
элементов настолько малых, что относительно каждого из
них можно сказать, принадлежит он X или нет, то ожи-
ожидаемая мера X равна ожидаемому числу элементов, ко-
которые лежат в X, помноженному на общую меру элемен-
элементов. Поскольку ожидание суммы равно сумме ожиданий
даже в том случае, когда рассматриваются зависимые
случайные величины, то ожидаемое число элементов,
лежащих в X, равно сумме вероятностей того, что эле-
элемент лежит в X, взятой по всем элементам.
5.12 Важно расширить полученный результат так,
чтобы можно было находить высшие моменты меры
ц(Х). Для этого введем р(хи . . . , хт )—вероятность
того, что все точки хи ¦ • • . хт принадлежат X. Тогда
J р(*!,... ,хт) d|*(*!,... ,хт) =
p (X) =
134
ГЛ. 5. ЗАДАЧИ О ПОКРЫТИЯХ
ЗАДАЧА ИЗ ВИРОЛОП1И
135
5.13 Эти результаты можно применить к различным
примерам, из которых простейший касается случайных
интервалов на прямой. Возьмем, следуя Роббинсу (Rob-
bins, 1944), фиксированный интервал @, 1) и N слу-
случайных интервалов длины а<1, центры которых равно-
равномерно распределены на интервале! j-a, l + -g-aj.
X определяется как общая часть интервала @, 1) с теоре-
теоретико-множественным объединением N интервалов. Веро-
Вероятность того, что любая точка х из @, 1) покрывается
а
каким-нибудь данным интервалом, равна р = . , •
Если ц(Х) есть мера X, то имеем
Е{ц(Х)} = )р(х) dx = j {I -A -/>)"} dx = l-(l -/>)*.
о о
Аналогично может быть найдено ?{[ц№]2}, по соот-
соответствующее выражение значительно .сложнее.
Аналогичная задача была рассмотрена Вото (Votaw,
1946). В ней опять рассматриваются N интервалов,
центры которых равномерно распределены на некото-
некотором интервале, и X определяется как теоретико-множе-
теоретико-множественное объединение всех этих интервалов. В этом слу-
случае возможно найти распределение для ц(Х). Вот так-
также найдена вероятность того, что X полностью содержит
«основной» интервал. Получается довольно сложное
выражение, которое меняет свою форму в ряде точек и
очень походит на решение уравнения Стивенса и Фише-
Фишера (см. B.11)). В последнем, однако, основной интер-
интервал, на котором распределены центры, свернут в окруж-
окружность. Поэтому мы имеем N случайных дуг фиксирован-
фиксированной длины, распределенных по периферии круга.
Теорема Роббикса вновь может быть применена для
вычисления моментов общей длины частей окружности,
покрываемых дугами.
Задача из пирологии
5.14 Значительно более трудная задача из вирологии
принадлежит профессору Фажекашу де Ст. Гроту. Ви-
Вирусная частица, которую можно считать шаром (с ради-
радиусом около 50 ц(л), подвергается атаке со стороны анти-
антител. Последние в первом приближении можно считать
цилиндрами (длины 37 цр,), толщиной которых можно
пренебречь. Антитела прилепляются к вирусной части-
частице, стоя перпендикулярно к ее поверхности.
Предположим, что N таких антител жестко прилипа-
прилипают к сфере, причем точки их прилипания распределены
равномерно по поверхности сферы и независимы. Одно
антитело, закрепленное на вирусе, исключает прилипа-
прилипание вируса к плоской поверхности клетки точками, ко-
которые оно затеняет. Такие точки .составляют круговую
шапку, угловой радиус которой равен 55°. Такие шапки,
отвечающие отдельным антителам, распределены рав-
равномерно и независимо по сфере, причем пересечения не
исключены. При заданном N (в более общей постанов-
постановке, при заданном распределении N) требуется найти
вероятность того, что вся поверхность затенена.
5.15 Точное решение этой задачи неизвестно. Неиз-
Неизвестно даже наименьшее значение N (как функции от
в), при котором сфера может быть полностью покрыта
круговыми шапками углового радиуса 0 (для отдельных
значений 0 это число известно).
Хотя нахождение аналитического выражения для ве-
вероятности того, что каждая точка сферы будет покрыта,
представляется невозможным, возможно найти первый
и второй моменты непокрытой площади при фиксиро-
фиксированном N и при N, распределенном по Пуассону.
Предположим, что А есть сферическая площадь, за-
занимаемая шапкой; полную поверхность сферы положим
равной 4я. Используя теорему Роббинса, устанавливаем,
что ожидаемая непокрытая площадь равна
Выражение второго момента, более сложное (по-
(поскольку требуется найти вероятность того, что две точ-
точки, находящиеся на угловом расстоянии ф друг от дру-
друга, не покрываются), находится аналогично. Последняя
вероятность находится без особого труда. Сделав неко-
некоторые дальнейшие предположения, использующие эти
два момента, можно найти приближенные выражения
для вероятности того, что сфера покрывается полностью.
136
ГЛ. 5. ЗАДАЧИ О ПОКРЫТИЯХ
случайные круги на квадрате
137
Предполагается в дальнейшем опубликовать подроб-
подробное обсуждение этой задачи (сравнить Фажекаш и Мо-
ран, Биометрика A962) 49).
5.16 Обобщения результатов Роббинса для случай-
случайных интервалов получены самим Роббинсом (Robbins,
1945), Броновским и Нейманом (Bronowski and Neu-
Neumann, 1945), Гарвудом (Garwood, 1947) и Сантало
(Santalo, 1947). Первые четыре автора рассматривали
фиксированный прямоугольник со сторонами а и b и
случайные параллельные прямоугольники со сторонами
а, р, центры которых случайно бросаются в прямоу-
прямоугольник, концентричный фиксированному, со сторонами
а-f а и Ь+Р- Они находят среднее значение и дисперсию
меры множества, общего для фиксированного прямо-
прямоугольника и теоретико-множественной суммы случайных
прямоугольников. Роббинсом также получено гс-мерное
обобщение этой задачи, а Сантало рассматривает слу-
случай, когда случайные прямоугольники имеют также
случайную ориентацию.
Случайные круги на квадрате
5.17 В качестве следующего примера рассмотрим
круги С, брошенные случайно в квадрат (Гарвуд (Gar-
wood, 1947)).
Предположим, что имеется N кругов радиуса, а и
что их центры независимо и равномерно распределены
по области Т, состоящей из всех точек плоскости, рас-
расстояние которых от единичного квадрата (назовем
его А) не превышает а. Площадь Т равна 1+4а+яа2,
а площадь каждого С равна па2. Вероятность того, что
любая точка внутри А покрывается по крайней мере од-
одним кругом, равна
1+4я
1 -
1 + 4а + яд2
что равно среднему значению покрытой площади. Для
получения второго момента рассмотрим внутри А две
точки Рх и />2- В подходящей системе координат пред-
представим их как (хи г/,), (х2, у2), где Os^x,, yu х2, у2<\.
Вероятность того, что ни одна из этих точек не ока-
окажется покрытой, равна qN(r), где q(r) есть доля Т, ле-
всащая вне объединения кругов радиуса а с центрами
В Pi и Р2. Поскольку Р\ и Р2 лежат в А, эта доля зави-
зависит только от /• (расстояния_между Рх и Р2). Макси-
Максимальное значение г равно!/ 2 и, если ф(г) есть вероят-
вероятностное распределение г, то
YT
E(Y2)= j qN(r)cp(r)dr. E.12)
о
Обозначим через Q(r) площадь пересечения двух
кругов радиуса а, центры которых разделяет расстоя-
расстояние г. Тогда
Q(/-) = (°' есшг>2а,
w l2a2(e-sin9cos0), если r<2a,
где
Тогда
) = arccos rBa)~[.
1 + 4a — яа2 + Й (г)
ЧУ I— 1 + 4а + яаа
Теперь нам нужно найти <p(f)- Имеем
E.14)
Случайная величина §=|*i—x2\, очевидно, имеет рас-
нределение с плотностью вероятности 2A—|) при 0^
^5^1. Поэтому и=(х1—х2J=?2 имеет распределение
'"LJ* da.
У а
Случайная величина v=(yi — г/2J имеет такое же рас-
распределение. Распределение г=У u-\-v находится инте-
интегрированием совместной плотности.
п_ у 2Г") A — V~v~)
У uv
по
той части области r2<u+v<(r + drJ, которая
138
ГЛ. 5. ЗАДАЧИ О ПОКРЫТИЯХ
находится в единичном квадрате. Так мы находим, что
[2г(л-4г+г2) для 0<г<1,
Ф (г) = J2r{4arcsin г1 + 4у7*^1 - г2 - я - 2} E.15)
I для l<r<2i/2.
Подставляя E.14) и E.15) в E.12), получаем E(Y2) с
помощью численного интегрирования.
5.18 Аналогично можно рассмотреть случайные кру-
круги на фиксированном круге. При этом фиксируется круг
А единичного радиуса и предполагается, что центры N
случайных кругов диаметров г(г<1) распределены внут-
внутри круга радиуса \-\-r, концентричного с А. Второй мо-
момент имеет форму
где q{r) определяется с помощью E.13), а ф(г) есть
плотность распределения расстояния между двумя точ-
точками, взятыми случайно внутри круга А. Это распреде-
распределение уже было получено в главе 2.
Если N-—случайная величина, имеющая некоторое
дискретное распределение, то первый и второй моменты
могут быть получены простым усреднением по N. В
частности, если N имеет распределение Пуассона, то
можно представить себе круги, распределенные на
плоскости по пуассоновскому закону с некоторой плот-
плотностью. Если они затрагивают А, то их центры должны
лежать внутри Т с равномерным распределением по Т.
Это оправдывает выбранную нами частную форму Т
(независимо от того, что при этом и результат получа-
получается простейшим).
Роббинс (Robbins, 1945) и Гарвуд (Garwood, 1947)
решили задачу о случайных кругах на прямоугольнике,
а ее обобщение на и-мерное пространство рассмотрено
Сантало (Santalo, 1947).
5.19 Несколько иной класс задач возникает, когда
предполагают, что случайное покрывающее множество
имеет в некоторой области распределение, отличное от
равномерного. Пример (см. Моргенталлер (Morgentha-
ler, 1961) и Соломон (Solomon. 1958)) —круг радиуса R,
случайные круги на квадрате
139
центр которого имеет круговое нормальное распределе-
распределение вокруг начала О. Случайное множество определяет-
определяется как общая «асть этого случайного круга и круга ра-
радиуса г с центром в О.
Если А(х, у)— площадь пересечения кругов, когда
первый круг имеет центром точку (х, у), а сама эта
точка имеет круговое нормальное распределение со стан-
стандартным отклонением о, то ожидаемая общая площадь
равна
СО QO ,
А(х, у)схр|- 2^5 (*2 + f.
Поскольку А(х, у) зависит только от *2+У2> то Е
можно получить численным интегрированием. Однако Е
можно выразить в терминах нецентрального % распре-
распределения*) p(R, r). Функция p(R, r) определяется как
интеграл от кругового нормального распределения с
единичным стандартным отклонением по кругу радиуса
R, центр которого отстоит от среднего значения распре-
распределения на расстояние г, т. е.
р (/?,/•) =
где a2-{-b2 = r2. Мы можем переписать это как
2* R
l—[ f uexp[--^(r2 + u2-2rucbsQ)}dQ =
J_
2я
о о
I
R
u'40(ru)du,
Бесселя ну-
нулевого порядка первого рода. Используя тот факт, что
= \ ие *
о
где h(z) есть модифицированная функция Бесселя ну-
где /[(г) есть аналогичная функция первого порядка,
В подлиннике «offset circular probability function». (Прим. ред.)
140
ГЛ. 5. ЗАДАЧИ О ПОКРЫТИЯХ
мы можем преобразовать верхний интеграл в
1 ^ *
1 -е~"г"*' -R f e~^(R: {""}Iг (Ru) du = l-q(R,r).
о
Таблицы функции q(R, r) составлены корпорацией
РАНД*).
Задача о малых частицах
5.20 Один чрезвычайно интересный класс задач о пе-
перекрытиях рассмотрен Армитажем (Armitage, 1949) и
Макком (Mack, 1954). Они возникают при подсчете
частиц на пластинке. Их число на заданной площадке
может оказаться недооцененным из-за перекрытия час-
частиц, и хотелось бы вычислить ожидаемое число «куч»
различных размеров («кучу» составляют несколько пе-
перекрывающихся частиц).
Общая теория, которую мы рассмотрим сначала,
принадлежит Макку. Предполагается, что каждая час-
частица представляется выпуклой фигурой, случайно поме-
помещенной в область А. Пусть площадь а и периметр s
каждой фигуры имеют некоторое совместное распреде-
распределение и пусть фигуры составляют пуассоновское поле
плотности Я. Удобнее всего точно сформулировать пос-
последнее условие — это выбрать внутри каждой фигуры
точку, которую назовем «центром», и предположить,
что центры составляют пуассоновское поле.
5.21 Для простоты мы рассмотрим не случайное чис-
число фигур, а N фигур, центры которых случайно распре-
распределены в А. Из этих фигур Nr имеют площади аГ и пе-
периметры sr (r=l, 2, . . . , k), где N = ^iNr. Мы рас-
рассмотрим число куч, составленных фигурами, центры ко-
которых лежат на площади а в А. Предыдущая задача
решается устремлением А к оо при фиксированном
NA-l = X.
Куча состоит по определению из i пересекающихся
фигур, причем больше не существует фигур, их пересека-
пересекающих (t=l, 2, . . .). Таким образом, одиночные фигу-
*) Ср. также Л. Н. Б о л ы ш е в, Н. В. Смирнов, Табли-
Таблицы математической статистики, «Наука», 1965.
ЗАДАЧА О МАЛЫХ ЧАСТИЦАХ
141
ры также составляют кучу. Пусть С — ожидаемое общее
число куч, а С; —ожидаемое число куч из i фигур.
Тогда
Покажем, что при больших Аа~1 и N выполняется
С-аЛ-1 2 Nr exp (-jl^.i.,), E-16)
E.17)
E.18)
чА-i 2 Nr exp (- 2 Nu bur),
<xexp(— ^NuauA-i),
где AbUr = au-\-ar +sUjsr Bл)-i, a p есть ожидаемая пло-
площадь части а, не покрытой фигурами.
Ожидаемое число фигур с центрами в некоторой ма-
малой области 6а, которые оказываются не покрытыми
другими фигурами, равно рцба, где рц есть вероятность
того, что данная фигура не будет покрыта другими фи-
фигурами. Поскольку математическое ожидание суммы
есть сумма математических ожиданий, то ожидаемое
число одиночных фигур в а есть рца. Нам нужно по-
поэтому оценить рц.
Будем говорить, что фигура имеет тип i, если она
имеет площадь а, и периметр S/. Пусть ее опорная
функция по отношению к некоторому центру и оси, за-
закрепленной внутри фигуры, есть Ht '@). Предположим,
что ф1 — ориентация этой оси. Тогда ее опорная функ-
функция есть Яг@4-ф1), где cpi — случайная величина с рав-
равномерным распределением на интервале @, 2л). При
фиксированном <pi рассмотрим вероятность того, что вы-
выделенная фигура типа / с опорной функцией Я,- @) и
ориентацией <р2 не перекрывается с первой фигурой. Эта
вероятность равна 1 — АцА~1, где Л4;- есть площадь фи-
фигуры, опорная функция которой равна
Известно, что периметр и площадь выпуклой фигу-
фигуры с опорной функцией /г@) равны соответственно
142
2-
ГЛ. 5. ЗАДАЧИ О ПОКРЫТИЯХ
~f/* @) d @) и-Ц' {h2(O)—h-2(Q)}dQ. Следовательно, мате-
0 Jo
матическое ожидание площади Ац равно
б "о о
- [Я; (9 + ф1) + Н] (9 + ср2)]3} dOd4l dtp, =
2-
Bя)-1|* j Hi{B1)Hj(Bi)dBldQ,+
2* 2л
2г.2л
И
О О
+ Bя)-И j Я^^+ЯП
о о
Последний член, очевидно, равен нулю, так что Е(Ац) =
= a,+flj+BJT)~1s;sj. Поэтому
Cl = *A~i2lNi(l-baft-*n(l -baft (Ц-i).
i
Отсюда переходом к пределу получаем E.17).
5.22. Для вычисления С мы свяжем с каждой кучей
точку Р; будем брать тот центр фигур, который лежит
правее всех других. Такая точка Р называется право-
правосторонним центром. Вероятность того, что правосторон-
правосторонний центр попадает в малую область площади 6а, рав-
равна piSa+o(Sa), где р\ подлежит определению. Эта ве-
вероятность равна вероятности того, что некоторая фигу-
фигура имеет центр в малой области, и центр любой фигуры,
перекрывающейся с правой, не лежит правее центра
первой.
Пусть Fl ¦— математическое ожидание площади об-
области справа ст Р, в которую запрещается попадать
центрам других фигур. F ц определяется аналогично
для левосторонних центров. Тогда Fl = Fr и Fl-\-Fr =
= Е(Ац), откуда следует E.16). Формула E.18) может
быть выведена непосредственно из теоремы Роббинса.
ЗАДАЧА ЛАНКАСТЕРА
143
Армитаж (Armitage, 1949) рассмотрел эту задачу
другим методом (в частных случаях, когда фигуры яв-
являются прямоугольниками и кругами) и получил при-
ближендые формулы. Его результаты могут быть полу-
получены из результатов Макка подстановкой частных зна-
значений щ и St.
Задача Ланкастера
5.23 Другая задача о скоплениях была рассмотрена
Ланкастером (Lancaster, 1950). Подсчитываются крас-
красные кровяные клетки в суспензии. Для этого тонкая'
пленка крови наносится на стеклянную пластинку, раз-
разделенную на квадраты, и подсчитывается число крас-
красных клеток в каждом квадрате. Если клетки распреде-
распределены независимо и равномерно по пластинке, то число
клеток в каждом квадрате должно подчиняться распре-
распределению Пуассона. Это можно проверить, сравнивая
дисперсию числа клеток в квадратах с его средним, по-
поскольку для нуассоновского распределения они совпа-
совпадают. На практике дисперсия имеет тенденцию быть
меньше, чем среднее, причем отклонение их отношения
от единицы возрастает при увеличении среднего. При-
Причиной этому может быть то, что клетки, первоначально
попадающие в «более населенные» квадраты, выталки-
выталкиваются в «менее населении -¦ квадраты. Примем, что
клетки являются гладкими круглыми дисками, которые
выпадают из суспензии на стеклянную пластинку. Те
клетки, которые без препятствия оседают на пластинку,
остаются на месте, а всякая другая клетка, которая
опускается на клетку, уже находящуюся на стекле, со-
соскальзывает в сторону вдоль радиуса первой клетки до
попадания на стекло.
Используя зту модель, можно подсчитать вероят-
вероятность того, что клетка, выпадающая из суспензии в дан-
данный квадрат, выталкивается через границу в другой
квадрат. Отсюда можно получить приближение к истин-
истинной дисперсии числа клеток в квадратах.
5.24 Один класс задач, который рассмотрел Макк
(Mack, 1948, 1949, 1953), а также Берг (Berg, 1945),
также тесно связан с теорией покрытий. Предположим,
144
ГЛ. 5. ЗАДАЧИ О ПОКРЫТИЯХ
что п точек равномерно и независимо распределены
внутри области, которая может быть одно-, дву-, трех-
трехмерной. По отношению к фигуре определенных разме-
размеров, формы и ориентации ^-агрегат определяют как мно-
множество k точек, которые могут быть покрыты фигурой без
затрагивания других точек. Макком получено математи-
математическое ожидание таких агрегатов в одномерном случае,
когда покрывающая фигура —интервал, и в двумерном
случае, когда покрывающие фигуры суть квадраты, па-
параллелограммы, треугольники, круги. Некоторые из этих
результатов обобщены им на три измерения.
5.25 Очевидно, что можно поставить ряд дальнейших
задач о покрытиях. В математическом отношении они
не являются простыми и для их решения может потре-
потребоваться метод статистических испытаний. Интерес к
этой теме возник сравнительно недавно. Вероятно, что
накопление практических задач того типа, который мы
рассмотрели, даст толчок его дальнейшему развитию.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЗАМЕТКА О ПОСЛЕДНИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
ПО ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ВЕРОЯТНОСТЯМ
П. А. П. МОР АН
Австралийский Национальный Университет*)
1. Введение. Теория геометрических вероятностей в
последнее время оживает, что происходит отчасти из-за
Привлекательности многих нерешенных задач, а отчасти
из-за все расширяющейся области приложений. Эти
применения настолько разнообразны и так рассеяны по
литературе различных отраслей науки, что когда Кендалл
и я опубликовали монографию по этому предмету в 1963 г.,
многие интересные работы оказались незамеченными.
С тех пор появились также и новые работы, и цель
настоящей статьи — дать краткий обзор той части
исследований, которая не отражена в книге. По существу,
прилагаемая библиография, содержащая 94 названия,
не пересекается с библиографией, приведенной в совмест-
совместной монографии.
В нашей книге задачи о геометрических вероятностях
были разделены на пять основных категорий: задачи
о случайном распределении точек, прямых, плоскостей,
о случайных вращениях и задачи о покрытиях. Той же
грубой классификации мы следуем и здесь.
2. Задачи о случайных точках. Изучая распределение
расстояний при поездках внутри города, Феарторн
(Fairthorne, 1964) пришел к рассмотрению распределе-
ления расстояния между двумя точками Р и Q, когда Р
распределена равномерно в круге радиуса a, a Q неза-
*) /. Appl. Prob. 3, 453—463 A966).
*" М. Кендалл, П. Моран
146
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЗАМЕТКА О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕРОЯТНОСТЯХ
147
висимо равномерно распределена внутри концентрической
окружности радиуса Ь. Плотность этого распределения
может быть получена непосредственным интегрировани-
интегрированием, а среднее расстояние выражается через эллиптиче-
эллиптические интегралы.
Различные результаты по распределению пар точек
внутри одного и того же круга применялись к изучению
видимого на фотографиях расположения хромосом
в ядрах клеток.
В нормальной человеческой клетке хромосомы по-
появляются парами и могут быть довольно точно опознаны.
Бартон, Дейвид и Фикс (Barton, David and Fix, 1963)
с этой целью использовали хорошо известное распреде-
распределение расстояния между двумя точками, независимо
и равномерно распределенными внутри одного и того же
круга (дано Кендглл и Моран (Kandall and Moran,
1963)). Для случая, когда имеется п пар хромосом, ими
вычислена сумма квадратов п расстояний и использова-
использовано нормальное приближение к распределению этой
суммы, для построения критерия случайности распреде-
распределения точек.
В качестве альтернативы к гипотезе независимости
членов каждой пары авторы предлагают гипотезу о на-
наличии «силы» притяжения (либо отталкивания), что дает
эффект взвешивания распределения расстояния г множи-
множителем га (а>—2). С использованием этого приема ими
получены первые четыре момента суммы квадратов
расстояний. Рассмотрены также те изменения, которые
необходимо внести при переходе от круга к эллипсу.
Этот и близкие критерии применялись к различным
типам клеток в серии работ: Бартон и Дейвид (Barton
and David, 1961, 1962, 1963), Бартон, Дейвид и Мер-
рингтон (Barton, David and Merrington, 1963), Денвич
и Мур (David and Moore, 1957).
В своей другой работе Дейвид и Фикс (David and Fix,
1964) построили тест для ориентации прямых, соединя-
соединяющих подобные пары хромосом, и для числа пересечений
таких прямых между собой.
При различных определениях случайной хорды ими
вычислены моменты числа пересечений, а в одном случае,
который представляет независимый интерес с точки зре-
зрения комбинаторики, получено точное распределение
пересечений для чисел пар, равных 2, 3 ... 7.
Применение этих моделей к парам хромосом в ядре
клетки показало, что в среднем наблюдаемое число пере-
пересечений существенно выше ожидаемого. Возможно, что
это происходит потому, что авторы игнорировали трех-
трехмерный характер распределения точек.
Если точки выбираются равномерно внутрн сферы,
их проекции на плоскость распределены не равномерно
внутри круга, являющегося проекцией сферы, но стре-
стремятся группироваться вокруг центра. Это повышает
ожидаемое число пересечений. То же возражение приме-
применимо и к использованию теста, основанного на распреде-
распределении суммы квадратов расстояний между парами, когда
принимается, что точки распределены равномерно
в круге.
Однако эта трудность не возникает для других тестов,
предложенных этими авторами, которые основываются
на случайном объединении хромосом в пары, когда их
положения остаются фиксированными.
Ценность большинства таких тестов должна зависеть
от того, что именно происходит с клетками в процессе
их подготовки к кариотипированию, а это, как будто,
пока неизвестно.
В главе 2 нашей книги приводится ряд ссылок на
работы по применению теории случайного распределения
точек на плоскости к оценке плотностей расположения
деревьев и других растений. Когда распределение цент-
центров растений не определяется однородным пуассоновским
полем, распределение их расстояний от случайной точки
видоизменяется, и оценка плотности оказывается сме-
смещенной. Поэтому представляет интерес определение
распределения расстояния от случайной точки до бли-
ближайшего соседа в поле, отличном от пуассоновского.
Это сделано для квадратной решетки Персоном (Persson,
1964) и Холгейтом (Holgate, 1965) для решетки из пра-
правильных треугольников. См. также Матерн (Matern, 1959),
Коулз, Овер и де Вит (Kouls, Over and De Wit, 1969)
и Уоррен (Warren, 1962).
Одна задача о плотности распределения точек в про-
пространстве («задача о шаровых скоплениях звезд»), не
10*
148
ПРИЛОЖЕНИЕ
являющаяся в строгом смысле задачей о геометрических
вероятностях, была впервые рассмотрена Викселлом
(Wicksell, 1925) (см. нашу книгу, стр. 106).
Шаровое скопление есть собрание звезд, группирую-
группирующихся вокруг общего центра концентрическими слоями
постоянной плотности, которая меняется с радиусом.
Желательно оценить зависимость плотности от радиуса,
зная аналогичную плотность в круговых кольцах на
плоскости, на которую проектируются звезды. Аналогич-
Аналогичная задача о взаимоотношении между круговой плот-
плотностью на плоскости и плотностью проекции его на
прямую возникает в связи с некоторыми другими науч-
научными вопросами. О дальнейшей работе в этом направле-
направлении см. Филип (Philip, Australian Journal of Physics,
в печати), а также приведенные там ссылки.
Другая задача геометрического характера, возникаю-
возникающая при выборе точек на плоскости, рассмотрена Дале-
ниусом, Хайеком и Зубржицким (Dalenius, Hajek and
Zubrzycki, 1961). Предположим, что имеется изотропный
стационарный процесс на плоскости с конечной диспер-
дисперсией, и мы выбираем его значения в регулярно располо-
расположенных внутри большого круга точках. Желательно
выбрать способ расположения точек таким образом,
чтобы среднее из наблюденных значений являлось бы
возможно более точной оценкой истинного среднего.
Можно показать, что не существует способа, который
оптимален для всевозможных типов корреляционных
функций, но что для определенного класса этих функций
оптимальное расположение достигается, когда окруж-
окружности с центрами в выбранных точках пересекаются,
в определенном смысле, минимально.
3. Задачи о случайных прямых. В нашей книге
(стр. 90) обсуждалась задача, которая первоначально
возникла при изучении «среднего свободного пути»
звуковой волны при ее повторных отражениях от стен
комнаты.
Пусть К — замкнутая ограниченная выпуклая область
в трехмерном пространстве, такая, что каждая ее гра-
граничная точка имеет единственную касательную плоскость
(в примерах, которые следуют ниже, это свойство нару-
нарушается на множестве точек поверхностной меры нуль,
ЗАМЕТКА О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕРОЯТНОСТЯХ
149
но это не меняет теории). Через V и S обозначим объем
и площадь поверхности области К. Пусть Р — внутренний
точка, а и направляющий вектор луча, исходящего из Р.
В точке пересечения этого луча с К строится его отра-
отражение, и этот процесс продолжается бесконечно. Пусть
L — суммарный путь, пройденный до п-го отражения.
Тогда средний свободный путь (если таковой существует)
определяется как
X(P,u)=UmLn-\
Бейт и Пиллоу (Bate and Pillow, 1947, Pros. Phys. Soc.
59, 535—541) рассмотрели этот предел для различных
простых геометрических тел. Для прямоугольного парал-
параллелепипеда они усредняют X (Р, и) (равномерно) по
всем направлениям и получают -r-SV~ , независимо от Р.
Для сферы и цилиндра они находят, что усредненное по
всем и значение X~l (P,и) зависит от Р, однако после
дальнейшего усреднения по Р (относительно равномер-
равномерного распределения в /(), по-прежнему, получается
-J-SV-i.
В своем далеко идущем анализе Кингман (Kingman,
1965) подошел к этой задаче с другой стороны. Он пола-
полагает, что начальный сегмент (направления и) распреде-
распределен согласно ограниченной мере, индуцируемой в про-
пространстве всех хорд той (неограниченной) мерой на мно-
множестве прямых в трехмерном пространстве, которая ин-
инвариантна относительно евклидовой группы. Легко видеть,
что средняя длина такого сегмента равна 4VS. Далее
им показано, что операция отражения сегмента на грани-
границе сохраняет меру. Отсюда следует, что среднее значение
Х(Р, и) равно 4 VS~\ если Р и и усредняют способом, при
котором начальный сегмент приобретает вышеупомянутое
распределение. С другой стороны, еслиЦР, и) равномер-
равномерно усредняется по и, а затем по Р с равномерным рас-
распределением в К, то получаемый результат, вообще говоря
превосходит 4FS. Это имеет место, в частности, для
прямоугольного параллелепипеда и сферы. Причина рас-
расхождения этого результата с результатом Бейта и Пиллоу
в том, что ими берется гармоническое среднее от Я(Р, и),
в то время как Кингман рассматривает среднее арифме-
150
ПРИЛОЖЕНИЕ
тическос. Некоторые другие результаты о случайных
путях в простых геометрических телах дают Горовиц
(Horowitz, 1965) и Костен (Kosten, 1960).
4. Случайное разбиение пространства. Один из спо-
способов разбиения пространства на выпуклые области
описан в нашей книге (стр. 66). При этом если речь
идет о плоскости, берется однородное пуассоновское
ноле случайных прямых на плоскости, а в случае
пространства — однородное пуассоновское поле случай-
случайных плоскостей. Можно показать, что когда число пря-
прямых с параметрами, лежащими во множестве Е из пара-
параметрического пространства (р, 9) @^р<оо, 0^0<2я),
полагается распределенным по Пуассону со средним,
равным некоторой константе А>0, умноженной на ле-
беговскую меру Е, возникает однородное пуассоновское
поле прямых. Считается, что эти числа для непересекаю-
непересекающихся множеств независимы.
Возникающее поле инвариантно относительно евкли-
евклидовых преобразований. Множество прямых делит плос-
плоскость на бесконечное число выпуклых многоугольных
областей. Можно показать, что средняя площадь этих
областей равна (яА,2), однако точное распределение
площадей неизвестно, хотя второй момент и был найден
Д. Дж. Кендаллом. Аналогично довольно просто найти
средний объем выпуклых многогранников, образуемых
случайными плоскостями в трех измерениях. Это можно
сделать, используя результаты главы 4 нашей книги для
получения среднего числа пересечений между п случай-
случайными плоскостями, о которых известно, что они пересе-
пересекают данную сферу.
Майлз (Miles, 1964, 1964b) и Ричардз (Richards, 1964)
получили дальнейшие результаты по случайному раз-
разбиению пространства в двумерном случае. В частности,
ими дано распределение диаметра наибольшего круга,
содержащегося в случайном многоугольнике такого рода,
некоторые моменты и смешанные моменты площади,
параметра, числа сторон и ряд аналогичных результа-
результатов. В неопубликованной работе Майлза получены
также аналогичные моменты и для трехмерного случая.
Совершенно отличный способ разбиения пространства
изучал Мейеринг (Meijering, 1953). Сначала рассмотрим
ЗАМЕТКА О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕРОЯТНОСТЯХ
151
трехмерный случай, который имеет отношение к изучению
кристаллов при их случайном зарождении.
Рассмотрим пуассоновское поле точек со средним
числом в единичном объеме, равным п. Для каждой точки
поля определим связанную с ней область, которая состо-
состоит из всех тех точек пространства, которые расположены
к данной точке поля ближе, чем к любой другой. Оче-
Очевидно, каждая такая область выпукла. Мейеринг показал,
что средняя площадь поверхности такой области равна
Им вычислены также средняя длина ребра и средние
числа вершин, ребер и граней.
Интересная альтернативная модель (модель Джонсо-
Джонсона—Мела) строится на основе простого «процесса рож-
рождения». Предположим, что в момент t=0 точки в про-
пространстве отсутствуют. В каждый последующий интервал
времени (t, t+dt) с вероятностью adVdt в каждом ма-
малом объеме d V, удаленном по меньшей мере на расстояние
v dt от всех точек, которые появлялись за время @, t),
может появиться новая точка. Здесь v следует рассмат-
рассматривать как нормальную скорость, с которой расширяется
поверхность кристалла до момента встречи с другим кри-
кристаллом. При этом каждая из точек и является ядром
кристалла, который растет вплоть до остановки. Этот
процесс опять порождает выпуклые области, однако
«грани» здесь могут быть уже не плоскими.
Есть возможность в каждый момент t подсчитать долю
пространства, еще не заполненного кристаллами, и сред-
среднее число кристаллов в каждом единичном объеме после
того, как кристаллизация заканчивается. Мейеринг
находит также среднюю площадь, среднюю длину ребра
и среднее число вершин. Все эти характеристики отличны
от характеристик предыдущей модели. Среднее число
ребер и граней неизвестно.
Можно рассматривать аналогичные модели в одном
или двух измерениях. В одномерном случае распреде-
распределение длин областей может быть точно вычислено
в обеих моделях.
152
ПРИЛОЖЕНИЕ
Джильберт (Gilbert, 1962) продолжил работу Майе-
ринга и получил дисперсии объемов выпуклых областей
в обеих трехмерных моделях, а также нашел оценки для
их распределений и дисперсии, связанные с линейными
или плоскими сечениями таких конфигураций. Другие
результаты по этой теме могут быть найдены у Джонсона
и Мела (Johnson and Mehl, 1939), Эванса (Evans, 1945),
Смита (Smith, 1952, 1953) и Кренгеля (Krengel,в печати).
5. Размещение и упаковка. Одна задача размещения
в одном измерении, кратко отмеченная в нашей книге
(стр. 41) и привлекшая недавно значительное внимание,
носит название «задачи о стоянке автомобилей». Пусть
(О, х) —интервал, х>\. На него случайно поместим
подынтервал {t, t-{-\) (т. е. выберем t случайно, с равно-
равномерным распределением на @, х—1)). При этом два
интервала остаются непокрытыми. С ними поступают
точно так же, при условии, что их длина больше единицы.
Процедура многократно повторяется по отношению
к остающимся интервалам до тех пор, пока не остается
непокрытых интервалов, превосходящих по длине едини-
единицу. Тогда п(х) определяется как случайная величина,
равная числу размещенных интервалов (число автомоби-
автомобилей на стоянке).
Моменты и асимптотическое поведение п(х) являлись
объектом и исследования в ряде работ, начиная от
Реньи (Renyi, 1958) (см. ссылку в нашей книге); им полу-
получены первый и второй моменты. Дворецкий и Роббинс
(Dvoretzky and Robbins, 1964) и Маниок (Mannion, 1964)
показали, что будучи надлежащим образом нормирован-
нормированным, распределение п(х) сходится к нормальному, в то
время как последним автором продолжено исследование
дисперсии и представлены результаты эксперимента по
методу Монте-Карло.
Другие аспекты этой задачи обсуждались в работах
Амбарцумяна (Ambartsumian, 1963), Банкови (Bankovi,
1962), Гриффитса (Griffiths, 1962), Нея (Ney, 1962),
Смоли (Smalley, 1962) и Соломона (Solomon, 1966).
Многомерный аналог этой задачи состоит в случайном
размещении непересекающихся кругов на плоской облас-
области или же сфер в некоторой области пространства. Кое-
что сказано об этом в нашей книге и сам предмет про-
ЗАМЕТКА О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕРОЯТНОСТЯХ
153
должает вызывать интерес. Круги или сферы могут быть
помещаемы случайно в дву- или трехмерное простран-
пространство последовательно до тех пор, пока для новых уже
ие остается места. В этом случае они с вероятностью 1 не
касаются друг друга. Таким образом, это есть изотропный
аналог задачи Палашти.
Можно предположить также, что сферы размещаются
на плоскости или в пространстве случайно, но касаясь
друг друга. Здесь лучше говорить о случайной «упаков-
«упаковке», а не о случайном «размещении», однако в этом
случае трудно дать строгое математическое определение
случайности. Об эмпирических и теоретических резуль-
результатах в этой области см. Бернал (Bernal, 1959,1960,1964),
Бернал и Майзон (Bernal and Mason, 1960), Бердийк
(Boerdijk, 1952), Коксетер (Coxeter, 1958, 1961), Хигути
(Higuti, 1961), Хогендийк (Hogendijk, 1963), Мацке
(Matzke, 1950), Скотт (Scott, 1962), Соломон (Solomon,
1966) иУайз (Wise, 1952).
Как кратко отмечается в нашей книге (стр. 41), эти
задачи имеют важные дискретные аналоги. Особенно
интересны двумерные аналоги. Например, можно пред-
предположить, что пары смежных (вертикально или горизон-
горизонтально) узлов прямоугольной решетки выбираются после-
последовательно и случайно. При этом считается, что входящие
в пары точки «заняты» и не могут быть снова выбраны
позднее. Представляет интерес доля незанятых точек
решетки, когда выбор новых пар становится невозможным.
Более сложные задачи рассматривались в задачах
адсорбции на металлических поверхностях. По-видимому
вопросы подобного рода не поддаются численному ана-
анализу и, вероятно, лучшие ответы здесь дают эксперимен-
эксперименты по методу Монте-Карло.
Например, Соломон (Solomon, 1966) описывает
эксперименты па дискретной решетке, в которых выби-
выбираются группы из четырех смежных квадратов до тех
пор, пока возможности дальнейшего выбора не исчерпы-
исчерпываются. Это есть дискретный аналог задачи Палашти,
и результаты Соломона находятся в согласии с гипотезой
Палашти о том, что плотность теснейшей упаковки квад-
квадратов на квадратной решетке равна квадрату известной
теоретической плотности для одномерной решетки
154
ПРИЛОЖЕНИЕ
(последняя равна 0,8646). См. также Джексон и Мон-
тролл (Jackson and Montroll. 1958).
6. Задачи о покрытиях. Дапиелс (Daniels, 1952) рас-
рассмотрел распределение радиуса и центра наименьшего
круга, который покрывает все точки (xi, yt) (t=l,...,«),
представляющих собой выборку из кругового нормаль-
нормального распределения с центром в начале координат.
Им получен замечательный результат, состоящий в том,
что распределение радиуса совпадает с распределением
радиуса наименьшего круга с центром в начале коорди-
координат, который содержит все эти точки, кроме одной.
Интересно также рассмотреть распределение площади
минимальной выпуклой оболочки точек (Реньи и Сулан-
ке (Renyi and Sulanke 1963, 1964)). Предположим
сначала, что п точек равномерно распределены внутри
ограниченной выпуклой области К. Если К — много-
многоугольник, то ожидаемое число сторон у минимальной
выпуклой оболочки возрастает пропорционально log n;
если же граница К имеет гладко поворачивающуюся
касательную, то эта величина растет как п'\
Реньи и Суланке показывают также, что число сто-
сторон у наименьшей выпуклой оболочки точек, распреде-
распределенных нормально на плоскости, возрастает как yiog п.
Во второй работе ими подробно исследуется сходимость
периметра и площади минимальной выпуклой оболочки
как в общем, так и в частных случаях (см. также Эфрон
(Efron, 1965)).
Задача о нахождении распределения числа точек
решетки, покрытых случайным множеством, рассмотрена
далее де Брейном (de Bruin, 1965), который исследовал
асимптотическое распределение для большого прямо-
прямоугольника, и Расселом и Джозефсоном (Russell and
Josephson, 1965).
Другая задача о покрытии, кратко отмеченная в на-
нашей книге, состоит в нахождении вероятности покрытия
сферы круговыми шляпками углового радиуса а,
когда шляпки независимо и равномерно распределены
по поверхности сферы. Разумеется, в этом смысле пере-
перекрытия не запрещены. Точный ответ известен для а=-^-я
(Уендел (Wendel, 1962), Силвермен (Silverman, 1964)).
ЗАМЕТКА О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕРОЯТНОСТЯХ
155
Вероятность покрытия сферы N случайно выбранными
(замкнутыми) полусферами равна
— АЧ-2).
Этот результат может быть обобщен на случай боль-
большего числа измерений.
При а<^-^-я аналитическое решение не известно,
однако имеется проверенное методом Монте-Карло при-
приближенное решение, полученное Мораном и Фажекашем
(Moran and Fazekas, 1962). Дальнейшее исследование
задачи было проведено Джильбертом (Gilbert, 1965);
им даны некоторые точные границы для вероятности.
7. Оценка форм и размеров. В главе 4 нашей книги
были рассмотрены методы оценки площадей и объемов
плоских дисков и выпуклых тел, погруженных в твердую
среду, по их пересечениям с плоскостями и прямыми. Даль-
Дальнейшие исследования по этим задачам могут быть
найдены в работах Чейз (Chayes, 1956), Кореи»
(Corssin, 1955), Хазофер (Hasofer, 1963), Смит и Гутман
(Smith and Guttraan, 1953), Драпсл — Хоралик, и Резны
(Drapel, Horalek and Reszny, 1957).
Связанная с этим задача встречается в экологии
растений. Здесь требуется изучить угол наклонения
листьев растения к горизонту. Это достигается внедре-
внедрением в листву под фиксированным углом «иглы» и под-
подсчетом числа пересечений с листьями. Изучая измене-
изменение этой частоты в зависимости от угла, есть возможность
решением определенного интегрального уравнения найти
частотное распределение наклонов листьев. Подробное
описание предмета может быть найдено у Миллера
(Miller, 1964), Филипа (Philip, 1966), Уоррена Вильсона
(Warren Wilson, 1960).
Изучение форм и размеров малых частиц имеет важ-
важные научные приложения. Интересные работы об этом
проделаны Хоксли (Hawksley, 1954) и Филипсом
(Phillips, 1954).
8. Заключительные замечания. Еще несколько заме-
замечаний, дополняющих нашу книгу, могут быть полезны
для тех, кто ищет литературу по соответствующим
вопросам.
156
ПРИЛОЖЕНИЕ
Гипотеза Дельтейля (Кендалл и Моран (Kendall and
Могап, стр. 52)) о том, что в классе всех выпуклых
фигур характеристическое число Р в задаче Сильвестра
максимизируется кругами и эллипсами, была доказана
Бляшке (Blascke, 1923, стр. 55).
Идеи геометрических вероятностей применялись
в теории поиска (например, Гутер (Guter, 1964), Гячаус-
кас (Gyachyauskas, 1964a).
Дальнейшие работы по скучиванию были выполнены
Эглтон и Кермак (Eggleton and Kermack, 1944), Наус
(Naus, 1965a, 1965b).
Вероятностная мера для случайных вращений была
вновь рассмотрена Майлзом (Miles, 1965).
Библиография к данной статье содержит только
ссылки, не содержащиеся в нашей книге, так как те из
них, которые потребовались в настоящей статье, были
приведены в тексте.
ВТОРАЯ ЗАМЕТКА
О ПОСЛЕДНИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
ПО ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ВЕРОЯТНОСТЯМ
П. А. П. МОРАН
Австралийский Национальный Университет*)
1. Введение. В монографии, написанной мною совмест-
совместно с профессором М. Г. Кендаллом, содержался обзор
ряда задач о геометрических вероятностях. В 1966 г. мною
опубликована в /. Appl. Prob. 3 заметка, в которой описы-
описывались те исследования, которые либо были проведены
после выхода упомянутой книги, либо же не были заме-
замечены нами.
В настоящей статье делается попытка пополнить оста-
остающиеся пробелы в описании исследований по геометриче-
геометрическим вероятностям, причем последние можно грубо клас-
классифицировать по тематике так: теория точек, прямых,
плоскостей, оценка площади и длины и задачи покрытия.
Как указывалось в нашей книге, слово «случайный»
в применении к геометрическим элементам (таким, как
точки, прямые и плоскости) означает, что мы рассматри-
рассматриваем такие меры в параметрических пространствах этих
•объектов, которые инвариантны относительно преобразо-
преобразований пространства (в котором сами объекты лежат),
принадлежащих евклидовой или какой-либо другой под-
подходящей группе.
Исследования о возникающих при этом группах Ли
исчерпывающе описаны в книге Стока (Stoka, 1967) по
интегральной геометрии и в его работах (ссылки на кото-
которые имеются в его книге, обладающей обширной библио-
библиографией).
*) Adv, Appl. Prub. 1, 73—89 A969).
158
ПРИЛОЖЕНИЕ
2. Задачи о случайных точках. Число рассмотренных
задач, связанных с распределением величин, зависящих
от случайных точек внутри геометрических фигур, незна-
незначительно.
Любопытную задачу о случайных точках в треугольни-
треугольнике, которая возникает при изучении роста кристаллов (см.
Мейеринг, (Meijering, 1953)), рассмотрел Кренгель (Кгеп-
gel, 1967). Рассмотрим п точек (х,, yt), равномерно и
независимо распределенных в треугольнике с вершинами
@,0), A,1), B,0). Скажем, что точка (хи у{) «покры-
«покрыта», если существует другая точка (г,-, г/3) такая, что
Xj—Xj\ <.У] — у и yj — Уг>0. Если точка (х-,, у() не
покрыта, то она называется «угловой точкой». Рекурсив-
Рекурсивно получается среднее, дисперсия и распределение числа
угловых точек. В кристаллографическом аналоге рассмат-
рассматривается рост кристаллов вдоль одномерного провода.
Новые кристаллы начинают расти в случайных точках и
в случайные моменты времени и растут с постоянной ско-
скоростью до тех пор, пока не встречают других кристаллов.
Число получающихся в конце концов кристаллов равно
числу угловых точек. Аналогичная задача с квадратом
вместо треугольника приводит к комбинаторной проблеме.
Другую частную задачу рассмотрел Бурсин (Boursin,
1964). Берутся п точек, равномерно и независимо распре-
распределенных внутри плоской выпуклой фигуры. Показано,
что при й->-оо, h—>0 число наборов таких троек точек,
которые могут быть заключены между двумя параллельны-
параллельными прямыми, лежащими друг от друга на расстоянии h,
асимтотически имеет пуассоновское распределение. В той
же работе рассматривается покрытие (случайно выбирае-
выбираемыми сферами) случайных точек, независимо распреде-
распределенных в пространстве согласно сферическому нормаль-
нормальному закону.
Ряд вопросов о случайном распределении точек в кру-
кругах был изучен с целью построить критерии случайности
в наблюдаемом на фотографиях ядер клеток расположе-
расположении хромосом. О них писалось в моем предыдущем об-
обзоре. Бартон, Девид, Фикс и Меррингтон (Barton, David,
Fix and Merrington, 1967) составили подробный обзор этой
темы, содержащий несколько более сильные результаты
по сравнению с предыдущими статьями.
ВТОРАЯ ЗАМЕТКА О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕРОЯТНОСТЯХ J59
Обычная в экологии процедура оценки плотности де-
деревьев в лесу (или других растений) состоит в том, что бе-
берутся случайные точки в лесу и измеряется расстояние от
них до ближайших деревьев. Исчерпывающий обзор работ
по этой теме дал Персон (Persson) в 1964 г. Он рассмот-
рассмотрел два случая: первый, когда растения распределены
случайно (порождая поле Пуассона), и второй, когда они
расположены в узлах квадратной решетки. В этой работе
имеется обширная библиография. В своей второй работе
Персон (Persson, 1965) рассматривает точки, случайно
распределенные в вершинах равносторонних треугольни-
треугольников, составляющих решетку на плоскости, а также приво-
приводит обзор опубликованных после его первой статьи работ.
Интересен также родственный метод «подсчета^углов»,
первые работы по которому описаны в нашей книге
(стр. 53). Здесь цель состоит в оценке уже не числа де-
деревьев на единицу площади, а доли площади, которая по-
покрывается основаниями деревьев. В ряде случайно (или
систематически) выбранных точках леса подсчитывается
число деревьев, стволы которых видны под углом, боль-
большим 2а (а — фиксированный угол). По умножению этого
числа на фиксированную постоянную получается оценка
площади оснований.
О технике выполнения этой процедуры пишет Кузела
(Kuusela, 1966).
Соответствующая математическая теория подробно
исследована Холгейтом (Holgate, 1967). Сначала предпо-
предполагается, что центры деревьев имеют равномерное пуас-
пуассоновское распределение (при этом фактом, что основа-
основания деревьев имеют ненулевую площадь, пренебрегают).
Тогда если N — число учтенных деревьев, величина N sin2 a
является несмещенной оценкой для Ь, суммарной площа-
площади оснований на единицу площади леса. Дисперсия оцен-
оценки равна Ъ sin2 а. То обстоятельство, что число учтенных де-
деревьев должно быть пуассоновскои случайной величиной,
дает возможность проверить модель. Холгейт сравнивает
точность предлагаемого метода с методом, основанным
на непосредственном замере площадей оснований деревь-
деревьев на пробном участке леса круговой формы. При этом
ртносительная эффективность зависит от частотного рас-
распределения площади оснований деревьев. Холгейт
160
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВТОРАЯ ЗАМЕТКА О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕРОЯТНОСТЯХ JgJ
рассматривает также эффект наличия «скрытых» де-
деревьев, а также эффект замены предположения о пуас-
соновском распределении оснований деревьев предполо-
предположением об их расположении в узлах квадратной решет-
решетки. Теоретическое обсуждение этих задач дается также
Охотомо (Ohotomo, 1966).
Имеются также работы по теории поиска точек в оп-
определенных областях. Но этот предмет, по существу, от-
относится к покрытиям и будет рассмотрен ниже.
3. Задачи о случайных прямых. Некоторое число ра-
работ было .написано по традиционным задачам о взаимо-
взаимоотношениях между случайными прямыми и геометриче-
геометрическими фигурами. Так, в качестве добавления к классиче-
классической задаче Бертрана о «длине случайной хорды круга»,
Гарвуд и Холройд (Garwood and Holroyd, 1966) рассмот-
рассмотрели вероятностное распределение длины перпендикуля-
перпендикуляра, опущенного из центра круга на случайную хорду, ког-
когда последняя определяется как прямая, проходящая
через две точки, независимо (с равномерным распределе-
распределением) бросаемые на окружность.
Утверждается, что эта задача возникает при теорети-
теоретическом изучении передвижений в городе.
Мортон (Morton, 1966) рассматривал распределение
углов пересечения, которые возникают, когда друг на дру-
друга накладываются два множества линий (прямых или
кривых). Найдено, что 0 (меньший из двух углов в точке
пересечения) имеет вероятностное распределение с плот-
плотностью sin0[0ss;0sSS-s-л)> т. е. отнюдь не равномерно
как это можно было бы ожидать на первый взгляд. Инту-
Интуитивная причина этого ясна. Достаточно взять два малых,
почти прямых элемента и рассмотреть угол между ними:
при условии, что они пересекаются. Последний, очевидно,
распределен равномерно, однако при заданных направ-
направлениях элементов вероятность их пересечения пропорцио-
пропорциональна синусу угла между ними, откуда и следует резуль-
результат. Для получения результата необходимо предположить,
что множество линий имеет конечную длину. О пуассо-
новских полях случайных прямых на плоскости говорилось
в нашей книге. Интересно, что они применяются
для построения двумерного случайного процесса (т. е.
для процесса переменной t, меняющейся на плоскости),
обладающего марковским свойством. Вопрос о существо-
существовании таких процессов возник после критики Бартлетом
(Bartlett, 1964) одной работы Пьелоу (Pielou, 1964). Пье-
лоу рассматривала статистический критерий для распре-
распределения элементов картины популяции на данной площа-
площади. Например, эта площадь может быть разбита на «бе-
«белые» и «черные» области, причем способ разбиения в
каком-то смысле случаен. Пьелоу было предположено,
что существует стационарный случайный процесс на плос-
плоскости, который определяет такое разбиение и который
обладает тем свойством, что вдоль всякой прямой чередо-
чередование цветов составляет марковскую цепь из двух состо-
состояний с непрерывным временем. Если это имеет место, то
пространственная корреляция между двумя точками, уда-
удаленными на расстояние г друг от друга, должна иметь
вид е~аг. Бартлетом было указано, что не известно при-
примера простого процесса, удовлетворяющего последнему
условию.
Тем не менее Свитцер (Switzer, 1965) построил как
раз подобный простой процесс. За основу им принято пу-
ассоновское поле прямых линий на плоскости. Такое поле
разбивает плоскость на выпуклые фигуры. Мы приписы-
приписываем этим фигурам черную или белую окраску независи-
независимо, с вероятностностями р и 1—р. Возникающий процесс,
как показывает Свитцер, обладает марковским свойством
вдоль любой прямой. Действительно, это легко следует
из того, что расстояния между последовательными пере-
пересечениями заданной прямой с прямыми случайного поля
суть независимые случайные величины с экспоненциаль-
экспоненциальным распределением.
Хотя этот процесс и является марковским, когда мы
рассматриваем его значение вдоль любой прямой на плос-
плоскости t, он не является марковским в более общем смысле.
Предположим, что X(t)—некоторый случайный про-
процесс, определенный для точек плоскости. В этом случае
можно было бы определить марковское свойство следую-
следующим образом.
Пусть С — любая простая гладкая замкнутая кривая
на плоскости t, у которой имеется внутренность и внеш-
внешность. Можно было бы говорить, что процесс X(t) —
11 М. К^'ндалл, П. Морап
162
ПРИЛОЖЕНИЕ
«марковский», если условные распределения значений
X(t) снаружи и внутри кривой независимы, при условии,
что заданы значения X(t) на кривой С. Очевидно, что
процесс Свитцера не обладает таким свойством.
Эта модель используется в более поздней работе Свит-
Свитцера (Switzer, 1967), где в действительности случайные
прямые не рассматриваются, но о которой, однако, удоб-
удобнее сказать здесь. Автор рассматривает задачу восстанов-
восстановления «случайных картин» (random patterns) в простран-
пространстве двух или большего числа измерений по наблюдениям,
сделанным в отдельных точках, разбросанных случайно
либо систематически по всему полю. Под «случайной кар-
картиной» понимается разбиение пространства на конечное
число измеримых по Лебегу множеств Аи А% . . . , причем
предполагается, что разбиение производится в некотором
смысле случайно. Для простоты рассмотрим разбиение
только на два множества, которые будем называть «чер-
«черным» и «белым». Множество точек Р, выбирается в про-
пространстве случайно либо систематически, и предполага-
предполагается, что известно, какому из множеств А, принадлежит
каждая из точек Р;. На основе такой информации жела-
желательно восстановить картину множеств At с возможно
большей точностью. Один из путей к этому («правило
ближайшей точки») состоит в приписывании каждой точ-
точке Р цвета того множества Ajt в которой лежит ближай-
ближайшая к Р точка из множества точек Pt. Это правило одно-
однозначно приписывает цвета всем точкам плоскости, за
исключением тех, для которых «ближайший сосед» не яв-
является единственным; мера последних, однако, равна
нулю.
В этих моделях имеется два случайных элемента —
картина и множество выборочных точек. Для обсуждения
свойств различных методов восстановления картины необ-
необходимо ввести некоторую функцию убытков. Наиболее
естественно предполагать, что убыток пропорционален
мере тех точек, которым цвет был приписан неверно. При
таком определении убытка Свитцер получил выражение
для математического ожидания убытка в различных слу-
случаях. Автор интересуется возможными определениями
понятия «случайной картины» и предлагает различные
модели, одна из которых — отмеченное выше разбиение
ВТОРАЯ ЗАМЕТКА О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕРОЯТНОСТЯХ
163
с помощью случайных прямых. Однако представляют ин-
интерес и другие модели. Например, можно предположить
наличие в данной области пуассоновского поля точек, и
всем точкам области, удаленным хотя бы от одной из то-
точек поля на расстояние не большее чем г, можно припи-
приписать черный цвет. Если белые точки составляют все, что
остается, то, очевидно, белый и черный цвета входят не-
несимметрично. Эта модель может оказаться полезной в за-
задачах, связанных с бомбометанием.
Для построения моделей, в которых черный и белый
цвета (или большее число цветов) играют симметричную
роль, достаточно использовать какой-либо метод разбие-
разбиения пространства на случайные области, а затем припи-
приписать каждой области белый или черный цвета с данными
вероятностями. Один из способов такого разбиения —
взять пуассоновское поле и определить каждую область
как состоящую из всех точек, которые лежат ближе
к данной точке пуассоновского поля, чем к какой-либо
другой его точке. Существуют и другие аналогичные
модели.
Хорошо известная задача о нахождении вероятности
того, что две случайные прямые, пересекающие выпуклую
фигуру К на плоскости, пересекутся внутри К, обсужда-
обсуждалась в нашей книге. Если А — площадь К, a L —
ее периметр, то эта вероятность равна 2лАЬ~2. Эта
задача была несколько обобщена Суланке (Sulanke,
1965). Предположим, что вместо двух берутся три слу-
случайные хорды. Суланке находит явные выражения для
вероятностей того, что из возникающих точек пересечений
О, 1, 2 или 3 окажутся внутри К. Эти вероятности выража-
выражаются через умеренной сложности функционалы от формы
К. Выписать явное решение для числа хорд, большего
чем три, по-видимому, слишком сложно. Однако среднее
число пересечений, лежащих внутри К, очевидно, равно
п(п—1)яЛ/~2, а второй момент числа таких пересечений
может быть найден с использованием результата для
трех хорд, полученного Суланке. Им указана также верх-
верхняя граница вероятности того, что все пересечения для
п прямых лежат в К-
Перейдем к задачам со случайными прямыми в про-
пространстве.
И*
164
ПРИЛОЖЕНИЕ
Интересное обсуждение распределения размеров об-
областей в пространстве между случайно расположенными
прямолинейными сегментами конечной длины дал Огстон
(Ogston, 1959). Размер этих областей определяется как
наибольший радиус сферы, центр которой выбирается
случайно и которая не задевает волокон. Предположим,
что длина каждого волокна равна 2L и что плотность
центров волокон на единицу объема равна v. Пусть Р
есть вероятность того события, что сфера со случайным
центром радиуса D не пересекается ни одним волокном.
Тогда
о
exp — ( 2kvLx2 -f- -5- лхЛ dx —
L v 6 /J
A)
Если теперь устремить L к бесконечности и пренебречь
случаями, когда концы волокон лежат внутри сферы, мы
должны одновременно полагать, что v->-0 так, что вели-
величина vL остается постоянной, скажем, равной ц. Тогда
второй член в показателе исчезает и вероятность оказы-
оказывается равной
B)
Этот более простой результат можно было найти непо-
непосредственно с помощью теории, изложенной в нашей
книге.
Еще одна задача, связанная с распределением плоско-
плоскостей в пространстве, была изучена в связи с металлургией
(Скривен и Уильямз (Scriven and Williams, 1965), Mop-
тон (Morton, 1967), Хильярд (Hilliard, 1962)). Грани ме-
металлических кристаллов являются плоскими областями
конечной протяженности, а направления нормалей к ним
часто распределены не изотропно, причем обычно анизо-
анизотропия симметрична относительно некоторого заданного
направления. Для нахождения этих распределений берут-
берутся плоские сечения, параллельные оси симметрии, и из-
измеряются углы (в плоскости сечения) пересечения гра-
граней кристалла с осью симметрии.
ВТОРАЯ ЗАМЕТКА О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕРОЯТНОСТЯХ
1G5
Используя некоторую весьма непростую технику, от-
отсюда можно восстановить пространственное распределе-
распределение нормалей. Похожая задача возникает в ботанике,
когда пытаются оценить частотное распределение ориен-
ориентации листьев, вставляя в листву под различными углами
«иглы». Ссылки на работы по этой теме были даны в пре-
предыдущем обзоре Морана (Могап, 1966); кроме того,
имеются работы Миллера (Miller, 1967), Филипа
(Philip, 1966) и Уоррена Вильсона (Warren Wilson,
1963, 1965).
4. Случайное разбиение пространства. Более ранние
работы по случайному разбиению пространства были опи-
описаны в нашей книге и Мораном (Могап, 1966). Простей-
Простейшим разбиением является разбиение плоскости на выпук-
выпуклые области пуассоновским полем прямых, а в случае
трехмерного пространства — его разбиение пуассонов-
пуассоновским полем плоскостей. Исчерпывающее изложение соот-
соответствующей теории дает Майлз в серии работ, которые
он собирается опубликовать. Следует отметить, однако,
и другие работы.
С рассматриваемыми задачами тесно связаны вопро-
вопросы пересечения сферы (или гиперсферы) плоскостями,
проходящими через ее центр. Так, рассмотрим сферу в
трехмерном пространстве и те области на ее поверхности,
которые высекаются N плоскостями, проходящими через
центр, в предположении, что их нормальные векторы не-
независимы и распределены равномерно по всем направле-
направлениям. Число таких областей, как это нетрудно установить.
равно Л^2—N + 2. При возрастающем N мы рассматриваем
все меньшие и меньшие участки сферы, что приводит к
ситуации, в которой имеется пуассоновское поле прямых
на плоскости. Таким путем можно рассчитать среднее
значение площади возникающих выпуклых областей,
а также ряд других их свойств. Та же аргументация мо-
может быть использована и в пространствах высшего числа
измерений. Ковер и Эфрон (Cover and Efron, 1967) про-
провели детальное изучение разбиения ^-мерного простран-
пространства А/-гиперплоскостями (размерности N), проходящи-
проходящими через начало, с нормальными векторами, распределен-
распределенными равномерно по всем направлениям. Как показал
Шефли (Scha'fli), число областей, на которые пространство
166
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВТОРАЯ ЗАМЕТКА О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕРОЯТНОСТЯХ
разбивается N такими гиперплоскостями, равно
N-1
2
t=0
I
C)
Эти области являются выпуклыми конусами. Ковер и Эф-
Эфрон продолжают анализ и находят общее число ^-мерных
граней этих конусов для каждого значения k. Таким пу-
путем можно вычислить среднюю площадь области, кото-
которую высекает такой случайный конус на единичной сфере,
а также среднее число ^-мерных ребер такой области. Бе-
Беря число гиперплоскостей большим и рассматривая
уменьшающиеся участки (п—1)-мерной поверхности еди-
единичной сферы, мы приближаемся к ситуации, когда
(п—1)-мерное евклидово пространство разбивается на
случайные полиэдры пуассоновским полем (п—2)-мер-
(п—2)-мерных гиперплоскостей. Впервые эту процедуру использовал
Гоудсмит (Goudsmit), когда рассмотрел случайные боль-
большие круги на поверхности сферы, с тем чтобы получить
результаты для многоугольников, порождаемых пуассо-
пуассоновским полем прямых на плоскости. Результаты Ковера
и Эфрона тесно связаны с результатом Вендела (Wendel,
1962) о том, что вероятность покрытия сферы N случайно
выбранными замкнутыми полусферами равна
и с соответствующими обобщениями на случай большего
числа измерений. Результаты Ковера и Эфрона были
применены в теории распознавания образов Ковером
(Cover, 1965).
Вышеупомянутая задача о точном распределении объ-
объемов выпуклых областей, порождаемых пуассоновским
полем (п—1)-мерных гиперплоскостей в ^-мерном про-
пространстве, остается нерешенной, однако некоторые шаги
в этом направлении все же сделаны. Сантало (Santalo,
1948) получил дисперсию объемов для пуассоновского
поля двумерных плоскостей в трехмерном пространстве.
Сантало (Santalo, 1966) обобщил эту задачу на пуассо-
новскне поля «случайных прямых» на гиперболической
плоскости и получил дисперсию площади получающихся
областей, среднее число сторон и средний периметр. В ра-
работе Корте и Ллойда (Corte and Lloyd, 1965) результаты
о прямых на евклидовой плоскости предложено использо-
использовать для создания грубой модели расположения волокон
в последовательных слоях бумаги. Однако здесь встреча-
встречаются различные теоретические трудности, в том числе
обусловленные тем фактом, что волокна имеют ненулевую
толщину. Корте и Ллойд предлагают теоретическую мо-
модель бумаги, в которой предполагается, что последова-
последовательные слои волокон образуют прямоугольные системы,
в которых волокна лежат параллельно двум ортогональ-
ортогональным осям и разделены расстояниями с одним и тем же
экспоненциальным распределением.
Так обходится факт ненулевой толщины волокон. По-
Показано, что логарифм квадратного корня непокрытых пло-
площадей имеет приближенно логарифмически нормальное
распределение.
Как уже отмечалось выше, существует и другой спо-
способ разбиения пространства: взять пуассоновское поле
точек и связать с каждой точкой этого поля выпуклый
многогранник, состоящий из тех точек пространства, ко-
которые лежат ближе к данной точке пуассоновского поля,
чем к любой другой точке поля. Возникающие области
известны как многогранники (или многоугольники) Во-
Вороного и изучались Мейерингом (Meijering, 1953) в трех
измерениях, Кренгелем (Krengel, 1967) в одном измере-
измерении и Джильбертом (Gilbert, 1962). Кианг (Kiang, 1966)
выполнил несколько экспериментальных выборок в двух-
и трехмерном случаях. Им высказано предположение, что
распределения мер многоугольников и многогранников
Вороного суть нормированные распределения %2 с четырь-
четырьмя и шестью степенями свободы соответственно. Однако
полученные Джильбертом (Gilbert, 1962) точные выраже-
выражения для дисперсий показывают, что это предположение не
может быть верным.
В ряде работ Майлза, которые сейчас публикуются
(и первая из которых появится в следующем выпуске
этого журнала), обе эти модели изучены значительно бо-
более подробно, но многочисленные результаты, им полу-
полученные, не могут быть здесь подытожены.
Пена порождает другое разбиение пространства, кото-
которое не случайно в прежнем смысле, однако представляет
значительный интерес само по себе и было, по-видимому,
168
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВТОРАЯ ЗАМЕТКА О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕРОЯТНОСТЯХ
впервые исследовано Кельвином (Kelvin, 1887, 1888).
Предположим, что все пузырьки, формирующие пену,
имеют одинаковые объемы. Тогда поверхностные пленки
между ними должны быть либо плоскими, либо поверхно-
поверхностями постоянной «средней» кривизны (т. е. сумма двух
главных кривизн должна быть постоянной). Далее, края
поверхностей должны пересекаться вдоль кривых линий
так, что локальные углы между смежными касательными
плоскостями оказываются равными. Далее можно пока-
показать, что встреча более чем трех плоскостей вдоль одной
прямой — явление неустойчивое, а углы между последо-
последовательными касательными плоскостями должны быть
равны 120°. Оказывается, что пространство можно запол-
заполнить правильными идентичными многогранниками с вы-
выполнением этих условий, и единственный пригодный для
этого многогранник — ромбический додекаэдр. Одна-
Однако при таком заполнении в каждой вершине встреча-
встречаются двенадцать плоских граней. Известно, что такая
ситуация физически неустойчива. Поэтому в действи-
действительной пене как ребра, так и «грани» должны быть
искривлены.
Кельвин решил задачу о разбиении (с устойчивыми
углами) пространства на конгруэнтные области, такие,
что при заданном объеме достигается минимум площади
поверхности. Эти области— 14-сторонние фигуры (тетра-
каидскаэдры), которые представляют собой почти много-
многогранники, со слегка искривленными гранями. Эти фигуры
имеют 8 почти шестиугольных и 6 почти четырехугольных
сторон (см. также Уильямз (Williams, 1968)).
В двух работах, содержащих интересные исторические
ссылки об изучении пены, Мацке (Matzke, 1946) описы-
описывает некоторые экспериментальные исследования на пе-
пенах, состоящих из мыльных пузырьков. Им найдено, что
большинство пузырьков (исключая пузырьки на поверх-
поверхности) имеют 14 «граней» и большинство последних —
пятиугольны. По-видимому, фигуры Кельвина не реали-
реализуются в реальных пенах. См. также Мацке и . Нестлер
(Matzke and Nestler, 1946), где рассмотрены пены с не-
неравновеликими пузырьками.
5. Измерение длины и площади. Некоторое число ра-
работ написано об измерении длин кривых в двух и трех из-
измерениях. Предположим, что имеется плоская кривая
длины L, и рассмотрим ее проекцию на прямую линию,
составляющую угол 0 с некоторым фиксированным на-
направлением. Пусть L@)—мера этой проекции, вычис-
вычисленная с условием, что точка, в которую проектируется к
точек кривой подсчитывается k раз. Тогда легко доказать,
, 1
что длина L равна умноженной на -^-я средней величине
проекции (среднее берется по всем направлениям). На
этом результате основывается практический метод оценки
длины путем измерения проекции в различных направле-
направлениях (например, с помощью траверсирующего микроско-
микроскопа), либо же путем подсчета числа пересечений кривой
с прозрачной квадратной решеткой. Если последняя име-
имеет шаг d и имеется всего N пересечений с вертикальными
и горизонтальными линиями решетки, то нетрудно ви-
видеть, что N есть несмещенная оценка для 4л~' L. Очевид-
Очевидно, налицо два источника ошибок: случайная ориентация
решетки и ее грубость как инструмента. Теоретическая
величина ожидаемых ошибок из каждого источника была
исследована Мораном (Могап, 1966) и, независимо от
него, рядом авторов: Ньюменом (Newman, 1966), Олсо-
ном (Olson, 1950), Матерном (Matern (ом. фон Зегебаден
(von Segebaden, 1964))). Теоретическое исследование этой
идеи было выполнено Перкелем (Perkel) в работах, мне
недоступных (см. ссылки в некрологе, написанном Лука-
Лукашевичем (Lukaszewicz, 1967)).
Возможно оценить и длину кривых в трех измерениях,
подсчитывая число пересечений со случайно расположен-
расположенными плоскими областями известного размера. Такая за-
задача возникает, например, когда желательно найти об-
общую длину волокнистого корня некоторого растения в
каждом кубическом дюйме почвы. Иногда вместо того,
чтобы отмыть почву, прижать корень к плоскости и ис-
использовать описанные выше методы, удобнее заморозить
образец почвы, или вызвать его затвердение с помощью
химикатов, а затем рассекать образец. Если па сечении
площади А найдено п срезов корней, то 2пА~1 служит
несмещенной оценкой для LV~l, отношения общей длины
L корня к объему V массы почвы, в которой проводятся
случайные сечения.
170
ПРИЛОЖЕНИЕ
Для доказательства рассмотрим математическое ожи-
ожидание величины п. Возьмем малый элемент сечения пло-
площади dA и рассмотрим вероятность того, что он пересе-
пересечется малым прямолинейным элементом длины dL одной
из множества кривых, лежащих в рассматриваемом объ-
объеме. Если dt и dL малы по сравнению с выбранным объе-
объемом, то эта вероятность равна
cos 9 dA dL
E)
где 9 есть угол между нормалью к поверхности элемента
dA и направляющим вектором элемента dL. Среднее по
всем 9 в пространстве значение Icos 91 равно 1[2. Интег-
Интегрируя по площади и по длине, находим, что ожидаемое
число пересечений L с С равно —LAV~l, откуда и следует
несмещенный характер оценки.
Вычисление стандартной ошибки этого метода невоз-
невозможно, поскольку дисперсия зависит от формы кривой.
На практике обычно делается несколько таких оценок, и
дисперсия их среднего оценивается по эмпирической дис-
дисперсии. Этот метод использовали для измерения длины
корня Мельхиш и Ленг (Melhuish and Lang, 1968).
Общепринятый способ измерения площади на карте
состоит в том, что на нее накладывается прозрачная квад-
квадратная решетка и подсчитывается число квадратов, со-
содержащихся в области, причем обычно принимается ка-
какое-то соглашение о квадратах, лишь часть которых попа-
попадает в область. Почти эквивалентной процедурой является
подсчет числа узлов решетки, попадающих в область, с
тем преимуществом, что для случайно расположенной ре-
решетки это дает несмещенную оценку площади. Теоретиче-
Теоретические исследования дисперсии этой оценки, приведенные
Кендаллом и другими, описаны в нашей книге. Некоторые
дальнейшие результаты для такого типа задач в случае
выпуклых тел в многомерных пространствах получила
Главка (Hlawka, 1950). Другой способ измерения площа-
площади плоской области состоит в наложении на нее множе-
множества параллельных прямых с постоянным шагом d. Сум-
Сумма длин высекаемых хорд, помноженная на d, является
несмещенной оценкой для площади. Уилкинсон (Wilkin-
ВТОРАЯ ЗАМЕТКА О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕРОЯТНОСТЯХ
son) разработал быстродействующий фотоэлектрический
планиметр, работающий на этом принципе, который при-
применяется для быстрого измерения площади листьев. Тео-
Теоретическое исследование дисперсии этой оценки дано
Мораном (Могап, 1968). Теория очень схожа с теорией
дисперсии числа узловых точек решетки, лежащих в дан-
данной области.
6. Размещение и упаковка. Несколько новых работ
написано о статистических задачах упаковки предметов
фиксированных размеров в заданной области. Добо и
Сайг (Dobo and Szajcz, 1965) рассматривали задачи о по-
последовательном размещении интервалов на прямой со-
согласно различным довольно сложным законам; их модель
отличается от ныне хорошо известной модели (задачи о
«стоянке автомобилей»), где единичные интервалы после-
последовательно занимают случайные непересекающиеся поло-
положения в интервале длины L>1. Их задачи больше связа-
связаны с проблемами покрытия, которые мы рассматриваем
ниже.
Для сфер в трех измерениях задача «упаковки» рас-
рассматривалась лишь эмпирическим методом (Соломон
(Solomon, 1967)). «Случайная упаковка», при которой
сферы располагаются вплотную некоторым случайным
способом, который трудно описать математически, пред-
представляет интерес в теории жидкостей. Ссылки на ранние
работы по этому вопросу были даны в предыдущем обзо-
обзоре; к этому следует добавить статью Финни и Бернала
(Finney and Bernal, 1967).
7. Покрытия, скучивание и задачи поиска. Несколько
работ по задаче о покрытиях было написано уже после
появления нашей книги и предыдущего обзора. Типичной
задачей такого рода является определение моментов ме-
меры той части заданного множества, которая оказывается
покрытой объединением некоторого числа случайных мно-
множеств (или той части, которая оказывается непокрытой).
Общая теория мер такого типа построена Эйлемом
(Ailam, 1966, 1968). Им установлена интересная теорема
двойственности, которая может быть пояснена следую-
следующим примером. Рассмотрим сферу единичной поверхно-
поверхности, на которую помещаются п круговых шляпок площади
А, независимо бросаемых на сферу с равномерным
172
ПРИЛОЖЕНИЕ
распределением. Пусть X — мера части поверхности, не
покрытой ни одной из шляпок, п пусть Рь. . . , Р/,— k то-
точек, независимо брошенных на сферу с равномерным рас-
распределением.
Положим / (Cit Pj) равны единице, если круговая
шляпка С, не покрывает точку Pj, и нулю в противном
случае. Тогда площадь, не покрытая шляпками, равна
a Xk равно
так что
v
P, i
П
F)
(8)
где внешний интеграл берется по всем положениям п кру-
круговых шляпок. Этот интеграл может быть записан в виде
f П/(С4, Pi),
(9)
что в свою очередь равно E(Yn), где Уесть относительная
мера (в вероятностном пространстве сферических шля-
шляпок) множества положений шляпок, при которых данные
k точек на сфере оказываются непокрытыми. Этот резуль-
результат обобщает результат Роббинса и применяется автором
для решения ряда вероятностных задач, некоторые из ко-
которых не являются геометрическими.
Особый класс задач покрытия, связанных с бомбоме-
бомбометанием, рассмотрел Джиллиленд (Gilliland, 1966). Пусть
Т—«целевое» множество в n-мерном пространстве и
пусть Р(Т) есть интеграл по этому множеству от сфери-
сферически симметричной нормальной плотности с центром А
и единичной дисперсией. Задача состоит в выборе А та-
таким образом, чтобы максимизировать Р(Т). Например,
если Т состоит из двух равных непересекающихся гипер-
гиперсфер, то Р(Т) максимизируется выбором в качестве А се-
середины интервала, соединяющего их центры. Решаются
и другие, более сложные задачи о трех и четырех гипер-
гиперсферах, но ряд задач остается нерешенным.
ВТОРАЯ ЗАМЕТКА О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕРОЯТНОСТЯХ J73
Интересное применение теории покрытий встречается
при изучении лунных кратеров (Кросс и Фишер (Cross
and Fisher, 1968)).
Реньи и Суланке (Renyi and Sulanke, 1964) рассмотре-
рассмотрели асимптотические свойства выпуклого многоугольника,
который является минимальной выпуклой оболочкой п
точек, независимо бросаемых во внутренность данной
выпуклой фигуры на плоскости. Недавно ими рассмотре-
рассмотрена в некотором смысле двойственная задача (Реньи и
Суланке (Renyi and Sulanke, 1968)). Предположим, что
К и В — выпуклые плоские фигуры и что К содержит В.
Пусть gi, . . ., gn — п случайных прямых, независимо вы-
выбранных согласно обычной мере для прямых на плоско-
плоскости, но с условием, что они пересекают К, но не пересека-
пересекают В. Они образуют выпуклый многоугольник г.п с Хп
сторонами. Изучается асимптотическое поведение Е(Хп)
при различных предположениях относительно В. Шмидт
(Schmidt, 1968) рассмотрел асимптотическое поведение
аналогичных величин в многомерных пространствах.
Наряду с рассмотрением выпуклой оболочки множест-
множества точек, бросаемых с равномерным распределением во
внутрь выпуклого тела, интересно изучить также выпук-
выпуклую оболочку множеств точек в «-мерном пространстве,
которые независимо распределены согласно одному и то-
тому же n-мерному нормальному распределению. Некото-
Некоторые результаты в этом направлении получены Жеффруа
(Geffroy, 1959, 1961) и Рейно (Raynaud, 1965]. К тому же
кругу идей относится оценка формы кривой y~f(x) по
выборке точек, лежащих под кривой (Жеффруа (Geffroy,
1964)).
Как в предыдущем обзоре, так и выше внимание
привлекалось к задаче определения вероятности покры-
покрытия сферы N круговыми шляпками углового радиуса а
(шляпки бросаются независимо с равномерным распреде-
распределением) . Для а <^ -=-я известно лишь приближенное реше-
ние, а для а =-ггя — точное. В работе, находящейся в пе-
печати, Майлз (Miles) нашел точное решение для случая
~2~я<^а <^ я ,т. е. для шляпок больших, чем полушарие.
174
ПРИЛОЖЕНИЕ
Беря дополнения к таким шляпкам, мы видим, что это
дает нам дополнение к вероятности того, что N сфериче-
сферических шляпок углового радиуса я—а имеют по крайней
мере одну общую точку.
В нашей книге дано описание работ по исследованию
скученности случайно помещаемых выпуклых фигур на
плоскости, со ссылками на работы Макка. В другой своей
работе, которая тогда ускользнула от нашего внимания,
Макк (Mack, 1956) дал поправку к одной формуле своей
предыдущей работы и рассмотрел некоторые дальнейшие
вопросы. Для случайно помещаемых выпуклых фигур в
трехмерном пространстве им получены выражения для
среднего числа одиночных тел, для математического ожи-
ожидания объема, не занятого телами, а также неравенство
для ожидаемого числа куч в терминах распределения
объема тел и их средней опорной функции. Хильярд (Hil-
liard, 1962a) использовал результат Макка в металлогра-
металлографических исследованиях.
Роберте (Roberts, 1967) проделал изучение методом
Монте-Карло куч кругов (равных радиусов), центры ко-
которых образуют пуассоновское поле на плоскости. Число
кругов, входящих в скопление, случайно, и для достаточ-
достаточно высокого значения параметра будет иметь бесконеч-
бесконечное математическое ожидание. При больших значениях
параметра могут образовываться бесконечные скопления.
Измерением средних размеров наблюдаемых скоплений,
получаемых методом Монте-Карло, найдена оценка кри-
критического значения параметра. Позднее (Roberts, 1968)
эти результаты он распространил на трехмерный случай.
Гячаускас (Gjacjauskas, 1968) использовал геометри-
геометрические вероятности в теории поиска. Предположим, что
Н — круг, содержащий выпуклую область К.. Пусть К
есть прямолинейный сегмент длины L, распределенный
равномерно внутри Н. К рассматривается как линия по-
поиска цели Ко- Автором найдена вероятность того, что К
пересекает .Ко, а также найдена средняя длина пересече-
пересечения. Вероятность перекрытия и средняя площадь пересе-
пересечения найдены и тогда, когда К является кругом извест-
известного радиуса. В следующей работе (Gjacjauskas, 1966a)
им найдено соответствующее выражение для аналогичной
трехмерной задачи.
БИБЛИОГРАФИЯ
К основному тексту книги
Кендалла и Морана
«Геометрические вероятности»
А р S i m о п, Н. G. Note 2754. A repeated integral. Math. Gaz., 42
A958), 52.
A r m i t a g e, P. An overlap problem arising in particle counting.
Biometrika, 36 A949), 257—266.
В a r b i e r, S. Note sur le probleme de I'aiguille et jeu du joint couvert
J, Math, pares et appl. B) ,5 A860), 273—286.
Bates, A. E., and P i 11 о w, M. E. Mean free path of sound in an
auditorium. Proc. Phys. Soc, 59 A947), 535—541.
В a t i с 1 e, M. Le probleme de la repartition. Comptes Rendus, Paris,
196 A933), 1945—1946; 197 A933), 632—634; 201 A935), 862—864.
В e r g, W. F. Aggregates in one-and two-dimensional random distri-
distributions. Phil. Mag. (Series 7), 36 A945), 337—346.
Bertrand, J. Calcul des Probabilites. Paris A907).
Bitterlick, W. Die Winkelzahlprobe. Allg. Forst-u. Holzw. Ztg.,
59 A948), 4—5.
В I a s с h k e, W. Eine isoperimetrische Eigenschaft des Kreises. Math.
Zeit., 1 A918), 52—57.
Blaschke, W. Vorlesungen fiber Differential-geometrie. II. Affine
Differential-geometrie. Berlin A923).
Blaschke, W. Integral-geometrie. Actualites Scientifiques et In-
dustrielles, No. 252. Hermann et Cie, Paris A935).
В о п d i, H. Cosmology. Cambridge A952).
Bonnesen, Т., and F e п с h e 1, W. Theorie der konvexen Korper.
Ergebnisse der Math. Springer, Berlin A934). (Chelsea Reprint,
1948).
В о r e 1, E. Principes et formules classiques du Calcul des Probabili-
Probabilites. Traite du Calcul des Probabilites et de ses Applications. Paris,
Gauthier-Villars A925).
Bronowski, J., and Neyman, J. The variance of the measure of
a two-dimensional random set. Ann. Math. Stat., 16 A945),
330—341.
В u f f о n, G. Essai d'arithmetique morale. Supplement a VHistoire
Naturelle, Vol. 4 A777).
Burn side, W. Theory of Probability A928). (Dover reprint, 1959).
176
БИБЛИОГРАФИЯ
С а г t a n, E. Le principe de dualite et certaines integrates multiples
d'espace tangentiel et de l'espace regie. Bull. Soc. Math. France,
24 A896), 140—177.
Cauchy, A. Memoire sur la Rectification des courbes et de la quadra-
quadrature des surfaces courbes. Mem. Acad. Sci. Paris, 22 A850), 3.
(Oeuvres completes A). Vol. 1 A908)).
С h a 1 к 1 e у H., Cornfield J., and P a r к Н. A. method for estima-
estimating volume-surface ratios, Science, 110 A949), 295—297.
Chandrasekhar, S., and v. Neumann, J. The statistics of the
gravitational field arising from a random distribution of stars. I.
Astropfiys, J., 95 A942), 489—531. II. Ibid. 97 A943). 1—27.
Chandrasekhar, S. Stochastic Problems in Physics and Astro-
Astronomy. Reviews of Modern Physics, 15 A943), 1—89.
Chandrasekhar, S. The statistics of the gravitational field
arising from a random distribution of stars. III. Astrophys. ].,
99 A944), 25—46. IV. Ibid., 99 A944), 47—58.
Clark, A. L. Buffon's Needle Problem. Canadian J. Research, 9
A933), 402 and 11 A934), 658.
Clark, P. J., and Evans, F. C. Distance to nearest neighbour as
a measure of spatial relationships in populations. Ecology, 35
A954), 445—453.
Clark, P. J., and Evans, F. C. On some aspects of spatial pat-
patterns in biological populations. Science, 121 A955), 397—398.
Cornfield, J., and Chalkley, H. W. A problem in geometric
probability, /. Wash. Acad. Sci., 41 A951), 226—229.
С о 11 a m, G. A point method for making rapid surveys of woodlands.
Bull. Ecol. Soc. Amer., 28 A947), 60.
С о 11 a m, Q., and Curtis, J. T. A method for making rapid surveys
of woodlands by means of pairs of randomly selected trees. Ecology,
30 A949), 101—104.
С о 11 a m, G., and Curtis, J. T. Correction for various exclusion
angles in the random pairs method. Ecology, 36 A955), 767.
Cottam, G., and Curtis, J. T. The use of distance measures in
phytosociological sampling. Ecology, 37 A956), 451—460.
Cottam, G., Curtis, J. Т., and H a 1 e, B. W. Some sampling
characteristics of a population of randomly dispersed individuals.
Ecology, 34 A953), 741—757.
С о u r a n t, R., and H i 1 b e r t, -D. Methodcn der Mathematischen
Physik. I. A931). Springer. (Reprint 1943 by Interscience, New
York).
Cox, D. R. Some statistical methods connected with series of events.
J. Roy. Stat. Soc, B, 17 A955), 129—164.
С г о f t о n, M. W. Sur quelques theoremes de calcul integral. С R.
Acad Sci. Paris, 68 A869), 1469—1470.
Crof ton, M. W. On the theory of local probability, etc. Phil. Trans.,
158 A869), 181—199.
Crof ton, M. W. Geometrical theorems relating to mean values.
Proc. London Math. Soc, 8 A877), 304—309.
Crof t on, M. W. Article «Probability». Encyclopaedia Britannica,
9th end. A885).
БИБЛИОГРАФИЯ
177
Csaszar, A Sur la structure des espaces de probabilite conditionelle.
Ada Math. Acad. Sci. Hung., 6 A955), 337—361.
С z u b e r, E. Zur theorie der geometrischen Wahrscheinlichkeitcn.
S.—B. Akad. Wiss. Wien, 90 A884), 719—742.
С z u b e r, E. Geometrische Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte,
Leipzig A884).
С z u b e r, E. Wahrscheinlichkeiten und ihre Anwendung auf Fehle-
rausgleichung, Statistik, und Lebenversicherung. 2. vols, Leipzig
A908—1910).
D a v i s, H. Т., The Analysis of Economic Time Series. Principia Press.
Bloomington, Indiana A941).
D e 11 h e i 1, R. Sur la theorie des probabilites geomctriques. These.
Annales de la Fac de Toulouse, 11 A919), 1—65.
D e 11 h e i 1, R. Probabilites Geometriques. Traite du calcul des proba-
probabilites et de ses applications. Gauthier-Villars, Paris A926).
D о m b, С The problem of random intervals on a line. Proc. Cam.
Phil. Soc, 43 A947), 329—341.
Downton, F. A note on vacancies on a line. J. Roy. Stat. Soc, B,
23 A961), 207—214.
Dunn, С. С. Probability method applied to the analysis of recrystal-
lization data. Phys. Rev., B), 66 A944), 215—220.
Fejes Toth, L., and Hadwiger, H. Mittlere Trefferzahlen und
geometrische Wahrscheinlichkeiten. Experientia, 3 A947), 366—369.
Feller, W. An Introduction to Probability. Theory and its Applica-
Applications. Wiley, New York A950).
F i s h e r, R. A. Tests of significance in harmonic analysis. Proc. Roy.
Soc, (a), 125 A929), 54—59.
Fisher, R. A. On the similarity of the distributions found for the
test of significance in harmonic analysis, and in Stevens' problem
in geometrical probability. Ann. Eugenics, 10 A940), 14—17.
Frenkel, J. Kinetic Teory of Liquids. Oxford U. P. A946).
F u 11 m a n, R. L. Measurement of particle sizes in opaque bodies.
/. Metals, 5 A953), 447—452.
Fullman, R. L. Measurement of approximately cylindrical particles
in opaque samples. /. Metals, 5 A953), 1267—1268.
Gardner, A. Greenwood's «Problem of Intervals». An exact solution
for и = 3. /. Roy. Stat. Soc, B, 14 A952), 135—139.
Garwood, F. The variance of the overlap of geometrical figures
with reference to a bombing problem. Biometrika, 34 A947), 1—17.
Garwood, F. An application of the theory of probability to vehicu-
vehicular-controlled traffic. J. Roy, Stat. Soc, Suppl., 7 A960), 65—77.
Garwood, F., and Tanner, J. С Note 2800. On note 2754—a
repeated integral. Math. Gaz., 52 A958), 292—293.
Ghosh, B. Random distances within a rectangle, and between two
rectangles. Bull. Calcutta Math. Soc, 43 A951), 17—24.
G i 1 b e r t, E. N. Random subdivisions of space into crystals. Ann.
Math. Stat., 33 A962), 958.
Goudsmit, S. Random distribution of lines in a plane. Reviews of
Mod. Phys., 17 A945), 321—322.
Green man, N. N., On the bias of grain size measurements made
in thin section: a discussion. /. Geology, 59 A951), 268—274.
12 M. Кендалл, П. Моран
178
БИБЛИОГРАФИЯ
Greenman, N. N. The mechanical analysis of sediments from thin
section data. /. Geology, 59 A951), 447—462.
Greenwood, M. The statistical study of infectious diseases. /. Roy.
Stat. Soc, 109 A946), 85—103.
Greig-Smith, P. Quantiative Plant Ecology, Butterworth, London
A957).
G г i d g e m a n, N. T. Geometric probability and the number я.
Scripta Mathematics 25 A960), 183—195.
Grosenbaugh,L. R. Shortcuts for cruisers and sealers. Occ Pap.
Sth. For. Exper. Station, 126 A952), 1—24.
Grosenbaugh, L. R. Plotless timber estimates — new, fast, easy.
/. For., 50 A952), 32—37.
Gu e n t h e r, W. C. Circular proability problems. Amer. Math. Monthly,
68 A961), 541—544.
H a d w i g e r, H. Altes und Neues fiber konvcxe Korper. Burkhauscr,
Basel A955).
Hall, A. On an experimental determination of я. Messenger of Math.,
2, A873), 113—114.
Halperin, M. Some asymptotic results for a coverage problem.
Ann. Math. Stat., 31 A960), 1063—1076.
H a m mers 1 ey, J. M. The distribution of distance in a hypersphere.
Ann. Math Stat., 21 A950), 447—452.
H a m mer s 1 ey, J. M. A theorem on multiple integrals. Proc. Camb.
Phil. Soc. 47 A951), 274—278.
H a mm ers 1 ey, J. M. On a certain type of integral associated with
circular cylinders Proc. Roy. Soc, (A), 210 A951), 98—110.
Hammersley, J. M. Lagrangian integration coefficients for distan-
distance functions taken over right circular cylinders. J, Math, and Phys.,
31 A952), 139—150.
Hammersley, J. M. Note 2936. On note 2871. Math. Gazette, 44
A960), 287—288.
H a m m e r s 1 ey, J. M. and Morton, K- W. A. new Monte Carlo techni-
technique: antithetic variates. Proc. Camb. Phil. Soc, 52 A956), 449—475.
H a n d s с о m b, D. С On the random disorientation of two cubes!
Canadian J. Math., 10 A958), 85—88.
Hartman, P. and W i n t n e r, A. On the needle problem of Laplace and
its generalisations. Bol. Mat., 14 A941), 260—263.
Hertz, P. Uber die gegenseitigen Durchschnittlichen Abstand von
Punkten, die mit bekannter mittlerer Dichte im Raum Angeordnet
sind. Math. Ann., 67 A909), 387—398.
Hildebrand, J. H. The liquid state. Proc. Phus. Soc. 56 A9441
221-239. a > к ).
H i 1 d e b r a n d, J. H., and M о r r e 11, M. E. The distribution of
molecules in a model liquid. /. Chem. Phys., 4 A936), 224.
H о 11 s m a r k, W. Ober die Verbreiterung von Spektrallinien. Phys.
Zeit., 20 A919), 162—168; 25 A924), 73—84.
H о r a I e k, V. A contribution to the study of the structure of materi-
materials. (Czech.) Aplik. Mat., 3 A958), 376—383.
Hostinsky^. A new solution of Buffon's needle problem. (Czech.)
Rospravy Ceske Akademie,~C\&ss,& II 26 A917).
БИБЛИОГРАФИЯ
179
Hostinsky, B. Sur une nouvelle solution du probleme de l'aiguille.
Bull. Soc. Math., 2e serie, 44 A920), 126—136.
Hostinsky, B. Sur les probabilites geometriques. Pub. Fac. Sci.
Univ. Masaryk. Brno A925).
Hostinsky, B. Sur les probabilites relatives a la position d'une
sphere a centre fixe. /. math, pures et appl., 9e serie, 8 A929),
35—43.
J a m e s, A. T. Normal multivariate analysis and the orthogonal
group. Annals of Math. Stat., 25 A954), 40—75.
К a h а п, В. С A practical demonstration of a needle experiment to
give a number of concurrent estimates of я. Journ. Roy. Stat. Soc,
A, 124 A961), 227—239.
Kendall, D. G. On the number of lattice points inside a random
oval. Q. J. Math., B), 19 A948), 1—26.
К е п d a 11, D. G. and R а п к i n, R. A. On the number of points of
a given lattice in a random hypersphere. Q. J. Math., B), 4 A953),
178—189.
К e n d a 11, M. G. and S t u a rt, A. The Advanced Theory of Statis-
Statistics, Vols I and II. London, Charles Criffin A958, 1961).
Kir к wood, J. G. and Boggs, E. M. The radial distribution
function in liquids. /. Chem. Phys., 10 A942), 394.
Kolmogoroff, A. N. Sulla determinazione empirica di una legge
di distribuzione. Giornale dell' Istituto Italiano degli Attuari, 4
A933), 83—91.
Ко 1 mo gor о f f, A. N. Foundations of the theory of probability.
Trans, by N. Morrison. Chelsea, New York, 1950.
Krumbein, W. C. Thin section mechanical analysis of indurated
sediments. J. Geology, 43 A935), 482—496.
Krumbein, W. C, and P e 11 i j о h n, F. J. Manual of Sedimentary
Petrography. New York A938).
Lancaster, H. O. Statistical Control in Haematology. /. Hygiene,
48 A950), 402—417.
Laurent, A. C. Bombing problems. Operations Research, 5 A957),
75-89.
Lazzerini, M. Periodico di Mathematica, 4 A901), 140.
Lebesgue H. Exposition d'un memoire de Crofton. Nouvelles An-
nales de Math,, D) 12 A912), 481—502.
Levy E B. The point methods of pasture analysis. New Zealand
I. of Agriculture, 46 A933).
Levy P. Sur la division d'un segment par les points choisis au ha-
sard. Completes Rendux, Paris, 208 A939), 147.
Li dwell, О. М A simple analysis of the effect of overcrowding on
culture plates. Spec Rep. Ser. Med. Res. Com. London. No. 262,
341—342.
Lord R. D. The distribution of distance in a hypersphere. Ann. Math.
Stat., 25 A954), 794—798.
L у с h e, R. Tambs. Die Ausdehnung des Schattens, der von einer
homogener Kugelschar auf eine Ebene geworfen ist. Norske Vid.
Selsk., Forh., 4 A931), 55—57.
M с С г а с к е n, D. D. The Monte Carlo Method. Scientific American,
192 (May 1955), 90—96.
12*
180
БИБЛИОГРАФИЯ
Mclnlyre G. A. Estimation of plant density using line transects.
Ecology, 41 A953), 310—330.
Mack, С An exact formula for Qk (n), the probable number of k-
aggregatcs in a random distribution of n points. Phil. Mag. (Se-
(Seventh series), 39 A948), 778—790.
Mack, C. The expected number of aggregates in a random distributi-
distribution of pjoints. Proc Cam, Phil. Soc, 46 A949), 285—292.
Mack, C. The effect of overlapping in bacterial counts of incubated
colonies, Biometrika, 40 A953), 220—222.
Mack, С The expected number of clumps when convex laminae are
placed at random and with random orientation on a plane area.
Proc Cam. Phil. Soc, 50 A954), 581—585.
M а с к e n z i e, J. K-, and Thomson, M. J. Some statistics asso-
associated with the random disorientation of dubes. Biometrika, 44
A957), 205—210.
Mackenzie, J. K. Second paper on statistics associated with the
random disorientation of cubes. Biometrika, 45 A958), 229—240.
M а с к e n z i e, J. K- Sequential filling of a line by intervals placed
at random and its application to linear adsorption. /. Chemical
Physics, 37, A962), 723.
Mantel, L. An extension of the Buffon needle problem. Ann. Math.
Stat., 22 A951), 314—315; 24 A953), 674—677.
M a u 1 d о n, J. С Random division of an interval Proc. Camb. Phil.
Soc, 47 A951), 331—336.
Minkowski, H. Volumen und Oberflache. Math. Ann., 57 A903),
447—495.
Moore, P. Q. Spacing in plant populations. Ecology, 35 A954),
222—227.
M о r a n, P. A. P. Measuring the surface area of a convex body. Ann. of
Math, 45 A944), 783—789.
Mo ran, P. A. P. The random division of an interval. I. J. Roy. Stat.
Soc, Suppl., 9 A947), 92—98. II. Ibid., B, 13 A951), 147—150. III.
Ibid., B, 15 A953), 77—80.
Mo ran, P. A. P. Numerical integration by systematic sampling. Proc.
Camb. Phil. Soc, 46 A950), 111—115.
M о r g e n t h a 1 e r, Q. W. Some circular coverage problems. Bio-
Biometrika, 48 A961), 313—324.
Mori sit a, M. Estimation of population density by spacing method
Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ., ъех. E, 1 A954), 187—197.
О b e r g, E. N. Approximate formulas for the radii of circles which
include a specified fraction of normal bivariate distribution. Ann.
Math. Stat,., 18 A947), 442—447.
О 1 b e r s, W. Ueber die Durchsichtigkeit des Weltraums. Bode's
Astronomische Jahrbuch A826), 110—121. (Edinburgh, New Philo-
Philosophical Journal, 1 A826), 141—150).
Packham, G. H. Volume, weight, and number frequency analysis
of sediments from thin section data. J. Geology, 63 A955), 50—58.
P a g e, E. S. The distribution of vacancies on a line. /. Roy. Stat.
Soc, (B), 21 A959), 364—374.
Pepper, E. D. On density distributions in stellar space. Proc. Lon-
London Math. Soc B), 29 A929), 98—110.
БИБЛИОГРАФИЯ
181
Poincare, II. Calcul des Probabilites. 2nd edn., Paris A912).
Pol у a, G. Ubcr geometrisehe Wahrsdieinlichkeiten an konve-
xen Korpern. Bcr. Verb, saclis. Akad. Lepzig, 69 A917), 457—
458.
P 6 1 у a, G. Ober geometrisehe Wahrscheinlichkeiten. SB. Akad. Wiss.
Wien, 126 A917), 319—328.
Pol у a, G. Arch. Math. Phys., 27 A918), 135—142.
Radhakrishna Rao, С On the volume of a prismoid in «-space
and some problems in continuous probability. Math. Student, 10
A942), 68—74.
R a i m о п d i, E. On a problem of geomtrical probabilities. Revista
Union Mat. Argentina, 7 A941), 106—109.
R a i m о n d i, E. On the pairs of secants of a polygon. Revista Union
Mat. Argentina, 7 A941), 133—134.
R e i d, W. P. Distribution of sizes of spheres in a solid from a study
of slices of the solid. /. Math. Phys., 34 A955), 95—102.
R e n у i, A. On a new axiomatic theory of probability. Ada Math.
Acad. Sci. Hung., 6 A955), 285—335.
R e n у i, A. On a one-dimensional problem concerning random place
filling. (In Hungarian.) Mag. Tud. Akad. Kut. Mat. Jntezet
Kozlemenyei A958), 109—127.
R e у P a s t о r, J., and S a n t a 1 6 Sors, L. A. Geometria Integral.
Buenos Aires, 1951.
Robbins, H. E. On the measure of a random set. I. Ann Math.
Stat., 15 A944), 70—74, Ibid., 16 A945), 342—347.
R о b b i n s, H. E. Acknowledgement of priority. Ann. Math. Stat.,
18 A947), 297.
R о s e n f e 1 d, M. A., J а с о b s о n, L. and F e r m, J. С A comparison
of sieve and thin section technique for size analysis /. Geology,
61 A953), 114—132.
S a n t a 1 6, L. A. Sur quelques problemes de probabilites geornetriques.
Tohoku Math. I., 47 A940), 159—171.
S a n t a 1 6, L. A. Integral geometry 31. On mean values and geomet-
geometrical probabilities. Abh. Math. Sent. Hansischen Univ., 13 A940),
284—294.
S a n t a 1 6, L. A. Generalisation of a problem of geometrical probabi-
probabilities: Rev. Union Mat. Argentina, 7 A941), 129—132.
S a n t a 1 6, L. A. The mean value of the number of parts into which
a convex domain is divided by n arbitrary straight lines. Rev. Union.
Mat. Argentina, 7 A941), 33—37.
S a n t a 1 6, L. A. On the probable distribution of corpuscles in a body,
derived from their distribution in its cross-sections, and similar
problems. Rev. Union Mat. Argentina, 9 A943), 145—164.
S a n t a 1 6, L. A. Mean value of the number of regions into which a
body is divided by n arbitrary planes. Rev. Union Mat. Argentina,
10 A945), 101—108.
S a n t a 1 6, L. A. Las probabilidades geometricas у la geomtria integ-
integral. Bol. Fac. Ingeniera Montevideo, 3, No. 1 A945), 91—113.
S a n t a 1 6, L. A. On the length of a space curve as mean value of
the length of its orthogonal projections. (In Spanish) Math. Notae,
6 A946), 158—166.
182
БИБЛИОГРАФИЯ
S ant a 16, L. A. On the first two moments of the measure of a ran-
random set. Ann. Math. Stat., 18 A947), 37—49.
S a n t a 1 6, L. A. Probability in geometrical constructions. (In
Spanish.) An. Soc. Ci. Argentina, 152 A951), 203—229.
S a n t a 16, L. A. Introduction to Integral Geometry. Actualites
Scientifiques et Industrielles, No. 1198. Hermann, Paris A953).
S a n t a 1 6, L. A. Sobre la distribucion de las tamanos de corpusculas
contenidos en un cuerpo a partir de la distribucion en sus
secciones a projecciones. Trabajus de Estadistica 6 A955), 181 —196.
S с h e i 1, E. Die Berechnung der Anzahl und Groszenverteilung
kugelformiger Korpern mit Hilfe der durch ebenen Schnitt erhalte-
nen Schnittkreise. Zeit. anorg. all gem. Chem., 201 A931), 259—264.
Serret, I. A. Sur un probleme dc calcul integral. Ann. Ecole norm.,
6 A869), 177—185.
S h а п к s, R. E. Plotless sampling trials in Appalachian forest types.
Ecology, 35 A954), 237—244.
S i b i r a n i, F. Alcune probability geometriche. Mem. Accad. Sci. 1st.
Bologna Cl. Sci. Fis., A0), 1 A944), 113—123.
S i 1 b e r s t e i n, L. Aggregates in random distributions of points.
Phil. Mag. (Series, 7), 36 A945), 319—336.
S к e 11 a m, J. G. The mathematical foundations underlying the use of
line transects in animal ecology. Biometrics, 14 A958), 385—400.
Solomon, H. A coverage distribution. Ann. Math. Stat., 21 A950),
139—140.
Solomon, H. Distribution of the measure of a random two-dimen-
two-dimensional set. Ann. Math. Stat., 24 A953), 650—656.
Stein haus, H. Akad. d. wiss. Leipzig, Bet., 82 A930), 120—130.
Stevens, W. L. Solution to a geometrical problem in probability.
Ann. Eugenics, 9 A939), 315—320.
Sylvester, J. J. Report of the British Association, 35 A865), 8—9.
Sylvester, J. J. On Buffon's problem of the needle. Ada Mathe-
matica, 14 A891), 185—205.
T а к а с s, L. On the probability distribution of the measure of the
union of random sets placed in a Euclidean space. Ann. Univ. Sci.
Budapest, Eotvos Sect. Math., 1 A958), 89—95.
Thompson, H. R. Distribution of distance to nth neighbour in
a population of randomly distributed individuals. Ecology, 37
A956), 391—394,
Thompson, W. R. General aspects of projectometry. Biometrika,
24 A932), 21—26.
T i t с h m a r s h, E. С Theory of Fourier Integrals. Oxford A937).
Varga, O. Integralgeometrie 3. Croftons Formeln fur den Raum.
Math. Zeit., 40 A936), 387—405.
Ventikos, G. P. On the mean value of a straight segment in a
plane convex region. Bull. Soc. Math. Grece, 22 A946), 195—197.
Votaw, D. E. The probability distribution of the measure of a ran-
random linear set. Ann. Math. Stat., 17 A946), 240—244.
Walsh J. E Optimum ammunition properties for salvoes. Operations
Research, 4 A960), 204—212.
Walters, A. G. The distribution of projected areas of fragments.
Proc. Cam. Phil. Soc, 43 A947), 342—347.
БИБЛИОГРАФИЯ
183
W a t s о п, G. N. Theory of Bessel Functions. Cambridge A944).
Watson, G. N. Note 2871. A quadruple integral Math. Gazette, 43
A959), 280—283.
W h i 11 а к е г, Е. Т., and W a t s о n, G. N. A course of Modern Ana-
Analysis. Cambridge A935).
Whit worth, W. A. Choice and Chance A901). Republished by Haf-
ner, New York A959).
Wicks ell, S. D. The corpuscle problem, Part I. Biometrika, 17
A925), 84—99. Part II. Ibid., 18 A926), 151—172.
W о 1 f о w i t z, J. The distribution of plane angles of contact. Q. /. of
Applied Math., 7 A949), 117—120.
Zubrzycki, S. Les inegalites entre les moments des variables
aleatoires equivalentes. Studia Math., 14 A954), 232—242.
к 1-й статье Морана
(приложение к книге Кендалла и Морана
«Геометрические вероятности»)
Ambartsumian, R. A963) Proceedings of the 7th All-Union
Conference on Mathematical Statistics and Probability, Tbilissi.
Bankovi, G. A962) On gaps generated by a random space filling
procedure. Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. 7, 395—407.
Barton, D. E. and D a v i d, F. N. A961) The analysis of chromo-
chromosome patterns in the normal cell. Ann. Hum. Genet. 25, 323—329.
Barton, D. E. and David, F. N. A962) Randomization bases for
multivariate tests. I. The bivariate case. Randomness of N points
in a plane. Bull. Inst. Internat. Statist., 39, 2" livraison, 455—463.
Barton, D. E., and David, F. N. A963) The analysis of chromo-
chromosome patterns in the abnormal cell. Ann. Hum. Genet., 26, 347—348.
В a r t о n, D. E., D a v i d, F. N. and Fix, E. A963) Random points in
a circle and the analysis of chromosome patterns, Biometrika, 50,
23—29.
Barton, D. E., David, F. N. and Merrington, M. A963)
Numerical analysis of chromosome patterns. Ann. Hum. Genet., 26,
349—353.
Bernal, J. D. A959) A geometrical approach to the structure of
fluids. Nature, 183, 141 — 147.
Bern a 1, J. D. (I960) Geometry of the structure of monatomic liquids.
Nature, 185, 68—70.
Bernal, J. D. A964) The structure of liquids, Proc. Roy; Soc. A.,
280, 299—322.
Bernal, J. D. and Mason, J. A960) Coordination of randomly
packed spheres. Nature, 188, 910—911.
Blascke, W. A923) Vorlesungen fiber Differential-geometrie. II.
Affine. Differential-geometrie. Springer, Berlin.
В о e r d i j k, A. H. A952) Some remarks concerning close packing of
equal spheres. Philips Research Reports, 7, 303—313.
Chayes, F. A956) Petrographic Model Analysis. Wiley, New York.
Cher n off, H. and D a 1 y, J. F., A957) The distribution of shadows.
/. Math. Mech., 6, 567—584.
Corssin, S. A955) A measure of the area of a homogeneous random
surface in space. Quart. AppL Math., 12, 404—408.
184
БИБЛИОГРАФИЯ
Cove г, Т. and Е Е г о п, В. The division of space by hyperplanes
with applications to geometric probability. Canad, J. Math, (to
appear).
Coxeter, H. S. M. A958) Close-packing and [roth. Illinois J. Math.,
2, 746—758.
Coxeter, H. S. M. A961) An Introduction to Geometry, Wiley. New-
York & London.
Dalenius, Т., Hajek, J. and Zubryzcki, S. A961) On plane
sampling and related geometrical problems. Proc. Fourth Berkeley
Symposium on Mathematical Statistics and Probability, I, 125—150.
D a n i e 1 s, H. E. A952) The covering circle of a sample from a circular
distribution. Biometrika, 39, 137—143.
David, F. N. and Fix E. A946) Intersections of random chords of
a circle. Biometrika, 51, 373—379.
David, F. N. and Moore, P. T. A957) A bivariate test for the
clumping of supposedly random individuals. Ann. Boi., 21 (N. S.),
315—320.
de Bruin, N. G. A965) Asymptotic distribution of lattice points in
a rectangle. SIAM Review., 7, 274—275.
Drapel, S., H о r a 1 e k, V. and Reszny, Z. A957) Quantitative
metallographic lattice analysis. Hutnickc Listy, 12, 485—491.
Dvoretzky, A. and R о b b i n s, H. A964) On the «parking» prob-
problem. Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci., 9, A, 209—226.
E f г о n, B. A965) The convex hull of a random set of points. Bio-
Biometrika, 52, 331—343.
E f г о n, B. Gaussian distributions for random huperplaces (to appear).
E g g 1 e t о n, P. and К e r in а с к, W. О. A944) A problem in the ran-
random distribution of particles. Proc. Roy, Soc. Edin. A, 62, 103—115.
E v a n s, U. R. A945) The laws of expanding circles and spheres in
relation to the lateral growth of surface films and the grain size
of metals. Trans. Faraday Soc, 41, 365—374.
Fairthorne, D. A964) The distance between random points in two
concentric circles. Biometrika, 51, 275—277.
Gilbert, E. N. A962) Random subdivision of space into crystals.
Ann. Math. Statist., 33, 958—72.
Gilbert, E. N. A963) Random minimal trees. /. Soc. Indust. Appl.
Math., 13, 376—387.
Gilbert, E. N. A965) The probability of covering a sphere with n
circular caps. Biometrika, 52, 323—330.
G r i f f i t h s, J. S. A962) Packing of equal 0-sphercs. Nature, 196, 764.
G u t e r, R. S. A964) On the problem of detecting a region by a linear
search. Theor. Probability Appl, 9, 331—333.
Gyachyauskas, E. A964a) Search by an oval, Theor. Probability
Appl., 9, 634—637.
Gyachyauskas, E. A964b) On statistical quadratures. Theor.
Probability Appl., 9, 637—640.
H a s о f с г, А. М. A963). On the reliability of the point-souuter met-
method in petrography. Aust. J. Appl. Sci., 14, 168—179.
H a w к s 1 e y, P. G. W. A954) Theory of particle sizing and counting
by track scanning. The Physics of Particle Size Analysis. Brit.
Jour. Appl. Physics. Suppl. No. 3.
БИБЛИОГРАФИЯ
185
Higuti, U. A961) A statistical study of random packing of unequal
spheres. Ann. Inst. Statist. Math., 12, 257—271.
Hogendijk, M. J. A963) Random dense packing of spheres with
a discrete distribution of the radii. Phillips Research Reports, 18
109—126.
H о 1 g a t e, P. A965) Tests of randomness based on distance methods.
Biometrika, 52, 345—353.
H о 1 g a t e, P. A965) The distance from a random point to the nearest
point of a closely packed lattice. Biometrika, 52, 261—263.
Horowitz, M. A965) Probability of random paths across elementary
geometrical shapes. /. Appl. Prob., 2, 169—177.
Jackson, J. L. and Mont roll, E. W. A958) Free radical statis-
statistics. /. Chem. Phys., 28, 1101—1109.
Johnson, W. A. and M e h 1, R. E. A939) Reaction kinetics in pro-
processes of nucleation and growth. Trans. Amer. Inst. Min. Met. Eng.,
135, 416—458.
Kendall, M. G. and M о r a n, P. A. P. A963) Geometrical Probabi-
Probability. Griffin's Statistical Monographs and Courses. No. 5 London.
C. Griffin.
Keuls, M. Over, H. J. and de W i t, С. Т. A963) The distance
method for estimating densities. Stat. Need., 17, 71—91.
Kingman J. F. С A965) Mean free paths in a convex reflecting
region. /. Appl. Prob., 2, 162—168.
К о s t e п, С W. A960) The mean free path in room acoustics.
Acustica, 10, 245—250.
Krengel, U. A problem on random points in a triangel. Amer. Math.
Monthly (to appear).
Mannion, D. A964) Random space-filling in one dimension. Publ.
Math. Inst. Hung. Acad. Sci., 9 (A) 143—154.
M a t e r n, B. A959) Nagra tillampningar av teorin for geometriska
sannolikheter. Svenska skogsvardsforeningens tidskr., 3, 452—458.
M a t z к e, E. B. A950) In the twinkling of an eye. Bull. Torrey
Botanical Club, 77, 222—227.
M e i j e r i n g, J. L. A953) Interface area, edge length, and number of
vertices in crystal aggregates with random nucleation. Philips
Research Reports., 8, 270—290.
Miles, R. E. A wide class of distributions in geometric probability
(to appear).
M i 1 e s, R. E. A964a) Random polygons determined by random lines
in a plane. Proc. Nat. Acad. Sci., 52, 902—907.
M i 1 e s, R E. A964b) Random polygons determined by random lines
in a plane. II. Proc. Nat. Acad. Sci., 52, 1157—1160.
Miles, R. E. A965) On random rotations in R3. Biometrika, 52,
636—639.
Miller, J. B. A964) An integral equation from phytology. /. Aust.
Math. Soc, 4, 397—402.
Moon, J. W. A965) On the distribution of crossings in random
complete graphs. /. Soc Indust. Appl. Math., 13, 506—510.
Moran, P. A. P. Measuring the length of a curve. Biometrika (to
appear).
186
БИБЛИОГРАФИЯ
Мог an, P. A. P., Fazekas d e S t. G г о t h, S. A962) Random
circles on a sphere. Binmctrika, 49, 389—396.
И n u n t f о r d, M. D. A061) On E. С Pielou's Index of non-random-
non-randomness. /. Ecol, 49, 271—275.
N a u s, J. I. A965a) The distribution of the size of the maximum
cluster of points on a line. J. Amer. Statist. Ass., 60, 523—538.
N a u s, J. I. A965b) Clustering of random points in two dimensions.
Biometrika, 52, 263—267.
N e у, Р. Е. A962) A random interval filling problem. Ann. Math,
Statist., 33, 702—718.
P a 1 a s t i, I. A960) On some random space filling problems. Publ.
Math. last. Hung. Acad. ScL, 5, 353—360.
Persson, O. A964) Distance methods. Studio. Forestallia Sueccia,
No. 15. I
Philip, J. The recovery of radial distributions. Aust, J. Phys. (to
appear).
Philip, J. Some integral equations in geometric probability. Bio-
Biometrika (to appear).
Philip, J. A966) The distribution of foliage density with foliage
angle estimated from inclined point quadrat observations. Aust. J.
Bot 13, 357—66.
Philip, J. R. A965) The distribution of foilage density on single
plants. Aust. J. Bot., 13, 411—418.
Phillips, J. W. A954) Some fundamental aspects of particle coun-
counting and sizing by line scans. The Physics of Particles Size Ana-
Analysis. Brit. J. Appl. Physics. Suppl. No. 3.
R ё п у i, A. and S u 1 a n к e, R. A963) Uber die konvexe Hiille von n
zufallig gewahlten Punkten. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie, 2, 75—84.
Renyi, A., and S u 1 a n к e, R. A964) Uber die konvexe Hiille von n
zufallig gewahlten Punkten. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3,
138—147.
Richards, R. I. A964) Averages for polygons formed by random
lines. Proc. Nat. Acad. ScL, 52, 1160—1164.
Russell, A. M. and J о s e p h s о n, N. S. A965) Measurement of
area by counting. /. Appl. Prob., 2, 339—351.
Scott, Q. D. A962) Radial distribution of the random close packing
of equal spheres. Nature, 194, 956—958.
Silverman, D. L. A964) Problem E1658. Amer. Math, Monthly,
71, 1135—1136.
Sm alley, I. J. A962) Packing of O-spheres. Nature, 194, 1271.
Sm ith, С. А. В. A957) Relazione fra i valori reali e quelli osservati
di cellule a forma di sferoide. La Ricerca Scientifica. Supplemento, 27.
Smith, С S. A952) Grain shape and other metallurgical applications
of topology. Metal Interfaces. Amer. Soc. for Metals, Cleveland
65—108.
Smith, C. S. A953) Furhter notes on the shape of metal grains:
space-filling polyhedra with unlimited sharing of corners and faces.
Ada Metallurgies 1, 259—300.
Smith, С S. and Guttraan, L. A953) Measurement of internal
boundaries in three dimensional structure by random sectioning.
J. Metals, 5, 81—87.
БИБЛИОГРАФИЯ
187
Solomon, H. A966) Random packing density. Proc. Fifth Berkehi
Symposium on Mathematical Statistics and Probability. University
of California Press (to appear).
U lam, S. A961) Monte Carlo calculations in problems of mathemati-
mathematical physics. Modern Mailiemaics for the Engineer (ed. E. F. Beckcn-
bach). Second Series. McGraw Hill.
Warren, W. G. A962) Contributions to the Study of Spatial Pro-
Processes. Ph. D. Thesis Univ. of North Carolina.
Warren Wilson, J. A960) Inclined point quadrats New Phutoto-
gist, 59, 1—8.
Wen del, J. G. A962) A problem in geometric probability Math
Scand., 11, 109—111.
Wise, M. E. A952) Dense random packing of unequal spheres.
Philips Research Reports, 7, 321—343.
Wright, G. H. A954) A geometrical factor in the variability of
sensations of warmth evoked by radiation. Proc. Camb Phil Soc
50, 474—484.
Y e r a z u n i s, S., Cornell, S. W. and Wintner В A965) Dense
random packing of binary mixtures of spheres. Nature, 207, 835—837.
ко 2-й статье Морана*)
(приложение к книге Кендалла и Морана
«Геометрические вероятности»)
(А)
Gilbert, E. N. A962) Random subdivision of space into crystals.
Ann. Math. Statist., 33, 958—972.
Kendall, M. G. and Mo ran, P. A. P. A963) Geometrical Proba-
Probability. Griffin's Statisiical Monographs and Courses. No. 5. C.
Griffin, London.
Meijering, J. L. A953) Interface area, edge length, and number
of vertices in crystal aggregates with random nucleation. Philips
Research Reports, 8, 270—290.
Renyi, A. and S u 1 a n k e, R. A964) Uber die konvexe Hiille von n
zufallig gewahlten Punkten. 1. Wahrscheinlichkeitsth., 2, 75—84.
Solomon, H. A967) Random packing density. Proc. Fifth Berkeley
Symp. Math. Statist, and Prob. Vol. HI. 119—134. University of
California Press.
(B)
Ail am G. A966) Moments of coverage and coverage spaces. /. Appl.
Prob., 3, 550—555.
Л i 1 a m, G. A968) On probability properties of measures of random
sets and the asymptotic behaviour of empirical distribution functi-
functions. /. Appl. Prob., 5, 196—202.
*) Библиография делится ня две- части. Первая (А) содержит
ссылки на работы, которые упоминались в настоящем обзоре и кото-
которые имелись в двух предыдущих библиографиях. Вторая часть (В)
содержит 105 ссылок, которые либо появились после выхода первых
библиографий, либо не были в них учтены. Сюда входят несколько
работ, ссылки на которые были неполными.
188
БИБЛИОГРАФИЯ
БИБЛИОГРАФИЯ
189
Back ш а и, Л. A934) Bcstaiiiniug av cellulosahalteii i papper genom
matning av filbertatheten. Pappers och Travarutidskrift for Finland,
16, 302—308.
Bartlett, M. S. A964) A note on spatial patterns. Biometrics, 20,
891—892.
Barton, D. E., David, F. N., Fix, E. and Merrington, M.
A967) A review of analysis of karyographs of the human cell in
mitosis. Proc. Fifth Berkeley Sump. Math. Statist, and Prob. Vol.
IV, 349—366. University of California Press.
Bauersachs, F. A942) Bestandesmassenaufnahme nach dem Mit-
telstammverfahren des zweitkleinsten Stammabstandes. Forstw.
Zentralblatt, 64, 182—186.
В о u r s i n, J. L. A964) Sur quelques problemes de geometrie ale-
atoire. Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse D), 28, 9—100.
В о u г s i n, J. L. A966) Etude d'ovales en probabilite geometrique.
International Congress of Mathematicians, Moscow. Section 11, 6.
Corrsin, S. and Phillips, О. М. A961) Contour length and
surface area of multiple valued random variables. /. Soc. Indust.
Appl. Math., 9, 395—404.
С о r t e, H. K- and Lloyd, E. H. A965) Fluid flow through paper
and sheet structure. «Consolidation of the Paper Web». Transactions
of the Cambridge Symposium 1965. Britich Paper and Board Makers
Association, London.
Cover, T. A965) Geometrical and statistical properties of systems
of linear inequalities with applications to pattern recognition. Trans,
Elect. Сотр. IEEE. EC-14, 326—334.
Cover, Т. M. and Efron, B. A967) Geometrical probability and
random points on a hypersphere. Ann. Math. Statist., 38, 212—220.
Cross, C. A. and Fisher, D. L. A968) The computer simulation of
lunar crates. Monthly Not. R. Astr. Soc, 139, 261—272.
de Renna e Souza, С A967) Two dimensional collision in paral-
parallel paths. Operat. Res., 15, 32—38.
D о b o, A. and Szajcz, S. A965) On problems of random placement.
Magy. Tud. Akad. Mat. Fiz. Oszt. KozL, 15, 389—409.
D r a p a 1, S. and H о r a 1 e k, V. A959) Some relations between para-
parameters of structure in the plane of metallographic specimen surface
and in the space of metal specimen. Ada Tech., 6 (in English).
Duncan, R. L. A967) A variation of the Buffon needle problem.
Math. Mag., 40, 36—38.
E s s e d, F. E. A956) A quick, simple and at the same time accurate
method for estimating the total volume and the incremental percent
of evenaged stands. Indian Forester, 82, 260—263.
F i n n e y, J. L. and В е г п a 1, J. D. A967) Random close packing and
the heats of fusion of simple liquids. Nature, 213, 1079—1082.
Gar wood, F. and Holroyd, E. M. A966) The distance of a
«random chord» of a circle from the centre. Math. Gaz., 50, 283—286.
Geffroy, J. A959) Contribution a la theorie des valeurs extremes.
II. Publ. Inst. Statist. Univ. Paris, 8, 3—65.
Geffroy J. A961) Localisation asymptotique do polyedre d'appui
d'un echantillon Laplacicn a k dimensions. Publ. Inst. Statist. Univ
Paris 10, 213—218.
problems. Amer. Math.
plane searches. Litovsk.
Geffroy, J. A964) Sur tin probleme d'estimation geometrique. Publ.
Inst. Statist. Univ. Paris, 13, 191—210.
Gilbert, E. N. A961) Random plane networks. /. Soc. Indust. Appl.
Math., 9, 533—543.
Gi Hi land, D. С A966) Some bombing
Monthly, 73, 713—716.
Gjacjauskas, E. A965) On linear and
Mat. Sb., 5, 227—231.
Cjacjauskas, E. A966a) Uniform scan in space. Litovsk. Mat.
Sb., 6, 37—40.
Gjacjauskas, E. P. A966b) Distribution of the distance between
two points in an oval. Litovsk. Mat. Sb., 6, 245—248.
H a 1 p e r i n, M. A960) Some asymptotic results for a coverage prob-
problem. Ann. Math. Statist., 31, 1063—1076.
H e m m e г, Р. С A959) A problem of geometrical probabilities. Det.
Kong. Nors. Vid. Selsk. Forh. Trondheim, 32, 117—120.
H i 11 i a r d, J. E. A962a) The counting and sizing of particles in
transmission microscopy. Trans. Metallurgical Soc. A. I. M. E., 224,
906—117.
H i 11 i a r d, J. E. A962b) Specification and measurement of micro-
structural anisotropy. Trans. Metallurgical Soc. A. I. M. E., 224,
1201 — 1211.
Hlawka, E. A950) Uber Integrale auf konvexen Korpern. I.
Monatsh. Math. 54, 1—36.
H о 1 g a t e, P. A967) The angle-count method. Biometrika, 54,
615—623.
К a limes, O. and С о r t e, H. A960) The structure of paper. I. The
statistical geometry of an ideal two dimensional fiber network.
Tappi., 43, 737—752. (errata, 44, 448).
Kane, M W. A956) The determination of average fibre length.
Tappi., 39, 478—480.
Kelvin, Lord (Sir W. Thompson) A887) On the division of
space with minimal partitional area. Phil. Mag. 5th series, 24, 503—
514. (Reprinted in Ada Math., 11, A888) 121—134).
К i a n g, T. A966) Random fragmentation in two and three dimensi-
dimensions. Z. Astrophys., 64, 433—439.
К i 1 P p e r, W. A949) Entwicklung einer Schnellmethode zur Bestim-
mung der Faserlange von Fasergemischen fur betriebliche Zwecke.
Wochenblatt fur Papierfabrikation, 75, 160—164.
Krengel, U. A967) A problem on random points in a triangle.
Amer. Math. Monthly, 74, 8—14.
Kuusela, K. A966) A basal mean area tree method in forest
inventory. Comtn. Inst. For. Fenn., 61, No. 2.
Lukaszewicz, J. A967) Obituary notice. J. Perkal. Colloq. Math.
17, 147—159.
Mack, С A956) On clumps formed when convex laminae are placed
at random in two or three dimensions. Proc. Camb. Phil. Soc, 52,
246—250.
Marks, E. S. A948) A lower bound for the expected travel among
m random points. Ann. Math. Statist., 19, 419—422.
190
БИБЛИОГРАФИЯ
БИБЛИОГРАФИЯ
191
Masuyama, M. A953) A rapid method of estimating basal area in
timber survey — an application of integral geometry to areal samp-
sampling problems. Sankhya, 12, 291—302.
Masuyama, M. and Sengupta, J. M. A955) On a bias a crop-
cutting experiment (application of integral geometry to areal
sampling problems — part V). Sankhya, 15, 373—376.
Matern, B. A964) A method of extimating the total lengths of
roads by means of a line survey. Studia Forestalia Suecica, 18,
68—70. (Appendix to von Segebaden A964)).
M a t e г п, B. On the geometry of the cross-section of a stem. Medde-
landen fran statens skogsforskningsinstitut, 46, No. 11.
Ma tern, B. Maximum distance between the seedlings in scarified
spots. Meddelanden fran statens skogsforskningsinstitut, 52, No. 4,
237—239, 259—261.
Ma tern, B. and Persson, 0. A965) On the extremum properties
of the equilateral triangular lattice and the regular hexagonal
network. Research Note No. 7. Dept of Forest Biometry, Royal Col-
College of Forestry, Stockholm.
Matzke, E. B. A945) The three dimensional shapes of bubbles in
foams. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S.A., 31, 281—289.
Matzke, E. B. A946) The three dimensional shape of bubbles in
foam — an analysis of the role of surface forces in three dimensional
cell shape determination. Amer. J. Bot., 33, 58—80.
Matzke, E. B. and N e s 11 e r, J. A946) Volume-shape relationships
in variant foams. A further study of the role of surface forces in
three dimensional cell shape determination. Amer, J, Bot., 33,
130—144.
Melhuish, F. M. and Lang, A. R. Q. A968) Length and diameters
of cotton roots in a clay-loam soil by analysis of surface-ground
blocks of resin-impregnated soil. Soil Science, 106, 16—22.
Miles, R. E. A969) Poisson flats in Euclidean space. Adv. Appl.
Prob., 1 (to appear).
Miller, J. B. A967) A formula for average foliage density. Aust. I.
Bot., 15, 141—144.
Mo ran, P. A. P. A968) Statistical theory of a high-speed photoelect-
photoelectric planimeter. Biometrika, 55, 419—422.
Мог an, P. A. P. A966) A note on recent research in geometric pro-
probability. /. Appl. Prob., 3, 453—463.
M о r i s i t a, M. A957) A new method for the estimation of density by
the spacing method applicable to non-randomly distributed popula-
populations. Physiology and Ecology, 7, 134—144.
Morton, R. R. A. A966) The expected number and angle of interse-
intersections between random curves in a plane. /. Appl. Prob., 3, 559—562.
Morton, V. M. A967) The determination of angular distribution of
planes in space. Proc. Roy. Soc. (A), 302, 51—68.
Newman, E. I. A966) A method of estimating the total length of
root in a sample. /. Appl. Ecol., 3, 139—145.
Ogston, A. Q. A959) The spaces in a uniform random suspension of
fibres. Trans. Faraday Soc, 54, 1754—1757.
Oho torn o, E. A966) A study on angle count method. Proc. Inst.
Statist. Math. 14, 3—15.
Olson, F. С. W. A950) Quantitative estimates of filamentous algae.
Trans. Amer. Micros. Soc, 69, 272—279.
Persson, 0. A965) Distance Methods. II. Research Note No. 6,
Dept Forest Biometry, Royal College of Forestry, Stockholm.
Philip, J. R. A966) The use of poin quadrats, with special reference
to stem-like organs. Aust. I. Bot., 14, 105—125.
Pielou, E. C. A959) The use of plant-to-plant distances in the study
of pattern of plant populations. J. Ecology, 47, 603—613.
P i e I о u, E. С A960) A single mechanism to account for regular
random and aggregated populations. /. Ecology, 48, 575—584.
Pielou, E. С A964) The spatial pattern of two-phase patchworks of
vegetation. Biometrics, 20, 156—167.
Raynaud, H. A965) Sur le comportement asymptotique de l'envelop-
pe convexe d'une image de points tires au hasard dans R . C. R.
Acad. Sci. Paris, 261, 627—629.
Renyi, A. and S u 1 а п к e, R. A968) Zufallige konvexe Polygone in
einem Ringgebiet. Z. Wahrscheinlichkeitsth., 9, 146—157.
Roberts, F. D. K- A967) A Monte Carlo solution of a two-dimensio-
two-dimensional unstructured cluster problem. Biometrika, 54, 625—628.
Robert s, F. D. K- A968) Random minimal trees. Biometrika, 55,
255—258.
Roberts, F. D. K. and Storey, S. H. A968) A three dimensional
cluster problem. Biometrika, 55, 258—260.
R u s s e 1, A. M. A956) Statistical approach to spatial measurement.
Amer. I. Phys., 24, 562—567.
Santal6, L. A. A936a) Integralgeometrie. 5. Ober das kinematische
Mass im Raum. Actuatilites Sci. Indust. No. 357. Hermann,
Paris.
Santa 16, L. A. A936b) A problem requiring geometric probability.
Rev. Mat. Hisp.-Amer, B), 11, 87—97 (Spanish).
S a n t a 1 6, L. A. A936c) Integral geometry 4. On the kinematic mea-
measure in the plane. Abh. Mat. Sem. Univ. Hamburg, 11, 222—236.
Santa 16, L. A. A936d) Integral geometry 7. New applicaitions of
the concept of kinematic measure in the plane and in space. Rev.
Acad. Ci. Madrid, 33, 451—477, 481—504 (Spanish).
S a n t a 1 6, L. A. A937) Integral geometry 15. Fundamental formulae
for kinematic measure for cylinders and parallel planes. Abh.
Math. Sem. Univ. Hamburg, 12 (Spanish).
S a n t a 1 6, L. A. A939) Integral geometry of unbounded figures.
Publ. Inst. Mat. Univ. Nac. Litoral, 1, No. 2 50 pp. (Spanish).
S ant a 16, L. A. A940a) Integral geometry 32. Some integral for-
formulae in the plane and in space. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg,
13, 344—356. (Frensh).
S a n t a 1 6, L. A. A940b). Integral geometry 31. On mean values and
geometric probabilities. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 13, 284—
294 (Spanish).
Santa 16, L. A. A941) A system of mean values in the theory of
geometric probabilities. Rev. Ci. Lima, 43, 147—154 (Spanish).
S a n t a 1 6, L. A. A948) Sobre la distribuci6n de pianos en el espacio.
Rev. Un. Mat. Argentina, 13, 120—124.
192 библиография
Santalo, L. A. A950) On some integral formulae and mean values
concerning movable convex figures in the plane. Univ. Buenos
Aires. Contrib. Ci. Ser. A. I, 23—45. (Spanish).
Santalo, L. A. A952) Some mean values on the hemisphere. Math.
Notae 12—13, 32—37.
Santalo, L. A. A966) Valores medios para poligonos formados por
rectas al azar en el piano hiperbolico. Universidad Nat. de Tucuman.
Revista Ser. A. 16, 29—43.
Schmidt, W. M. A968) Some results in probabilitistic geometry.
Z. Wahrscheinlichkeitsts., 9, 158—162.
Scriven, R. A. and Williams, H. D. A965) The derivation of
angular distributions of planes by sectioning methods. Trans.
Metall. Soc. A. I. M.E., 233, 1593—1602.
S toff els, A. A955) Die Genauigkeit der Bestimmung der Stamm-
zahl pro Hektar durch Messung von Stammabstanden. Forstw.
Zentratbtatt, 74, 211—218.
Stoka, M. L. A967) Geometrie Integrate, Editure Acad. Repub. Soc.
Romania.
Strand, L. A954) Mai for forderlingen av individuer over ett ош-
rade. Medd. fra det norske skogsforsoksvesen, 12, 191—207.
S u 1 а п к e, R. A961) Der Verteilung der Sehnenlangen an ebenen und
raumlichen Figuren. Math. Nachr., 23, 51—74.
S u 1 a n к e, R. A965) Schnittpunkte zufalliger Geraden. Arch, Math.,
16, 320. 324.
Sutherland, D. N. A966) Comments on Void's simulation of floe
formation. J. Colloid Interface Science, 22, 300—302.
Sutherland, D. N. A967) A theoretical model of floe structure.
/. Colloid Interface Science, 25, 373—380.
Switzer, P. A967) Reconstructing patterns from sample data. Ann.
Math. Statist., 38, 138—154.
Switzer, P. A965) A random set process in the plane with a Mar-
kovian property. Ann. Math. Statist., 36, 1859—1863.
Void, M. J. A963) Computer simulation of floe formation in a col-
colloidal suspension. /. Colloid. Sci., 18, 684—695.
von Segebaden, G. A964) Studies of cross country transport
distances and road net extension. Studia Forestalia Suecia. No. 18
Stockholm.
Warren Wilson, J. A963) Estimation of foliage denseness and
foliage angle by inclined point quadrats. Aust. J. Bot., 11, 95—105.
Warren Wilson, J. A965) Point quadrat analysis of foliage distri-
distribution for plants growing singly or in rows. Aust, J. Bot, 13.
405—409.
Williams, R. E. A968) Space-filling polyhedron: its relation to
aggregates of soap bubbles, plant cells, and metal crystalites.
Science, 161, 276—277.