40 к.
Н> s iMrnnifi (< I P
но и ;pM'oi<iM\ образованию
ОБНИНСКИЙ ИНСТИТУТ
i io ИНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ
ФЧ > .1Ы1 I КИБЕРНЕТИКИ
ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Учебное пособие .
и о курсу
«.Попо.шиicjibiibie главы вычислительной математики»

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР
ПО НАРОДНОМУ образованию
ОБНИНСКИЙ ИНСТИТУТ АТОМНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ
ФАКУ ЛЬ ТЕТ КИБЕРНЕТИКИ
Е. А. Сатаев
ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Учебное пособие
по курсу
„Дополнительные главы вычислительной математики”
ОБНИНСК 1990
Сатаев Е.А. Вариационно-разностные методы решения задач мате-
матической физики. Учебное пособие по курсу "Дополнительные
главы вычислительной математики", Обнинск, ИАТЭ, 1990, 57 с.
В последние годы большую популярность приобрели методы решения
задач математической физики, основанные на вариационно-разностных
схемах. В пособии излагаются теоретические основы вариационно-
разностных методов для построения приближенных решений эллиптичес-
ких уравнений и уравнений Фредгольма второго рода. Предназначено
для студентов старших курсов и аспирантов специальности "Приклад-
ная математика".
Илл. 4, библиограф. 5 назв.
Темплан 1990 г., поз. 25
© Обнинский институт атомной энергетики, 1990 г.
ВВЕДЕНИЕ
В начале шестидесятых годов в связи с появлением ЭВМ начал
развиваться метод конечных элементов для решения уравнений матема-
тической физики в некоторой области. Преимущество метода конечных
элементов перед методом конечных разностей проявляется, в основном,
в задачах, в которых область либо имеет сложную форцу, либо раз-
бита на подобласти со сложной внутренней границей.
В данном пособии приводится последовательное изложение основ-
ных идей метода конечных элементов. Вначале приводятся необходимые
сведения из функционального анализа, затем дается одно из основных
общих понятий - понятие обобщенного решения для симметричного по-
ложительно определенного оператора. Такие операторы появляются
в эллиптических задачах.
Две последние главы посвящены исследованию сплайнов и вариаци-
онно- разностным схемам решения уравнений типа Фредгольма. В учеб-
ной литературе эти темы отсутствуют.
I.	СВЕДЕНИЙ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
§1. Линейные пространства
Линейным пространством называется множество, между элементами
которого определена операция сложения. Линейное пространство отно-
сительно этой операции является абелевой группой, кроме того
определена операция умножения на число. В дальнейшем изложении
все линейные пространства являются пространствами функций, поэтому
элементы линейного пространства бедем называть функциями.
Приведем свойства линейного пространства.
I)	. Если функции У,	принадлежат линейноцу простран-
ству L , то для любых чисел сС, fl> функция
принадлежит .
Если оС, fl> можно выбирать только вещественными, то Z -
вещественное пространство. Если же , fl можно выбирать комп-
лексными, то L - комплексное пространство. Как правило, ве-
щественное линейное пространство состоит из вещественнозначных
функций; комплексное же пространство состоит из комплекснозначных
функций.
3
Пример I
Рассмотрим множество L непрерывных функций tx (т.) на
отрезке [0,1] , принимающих значение 0 на концах отрезка.
Л является линейным пространством. Действительно, если СХ),
'оС'х) - непрерывные функции, 12 (o') = С/ (/) - О = d(o) = 7*7/>,
то для любых чисел X, jg функция zf(x.) = dlxСrc) +/5 гЧ'гУ-то-
же непрерывная функция, причем •&/”хс) и"/у) = с>-
Пример 2
Пусть L - пространство непрерывных функций /-/Лг) на
отрезке [0,1], удовлетворяющих условию IX (О) = 1.
L не является линейным пространством. Действительно,
если 12 (гс) е Л , то 2.1ХСГС.) О, так как 2IX (О) = 2- / £
Если в примере I пространство 4 состоит из вещественно-
значных функций, а числа X, (5 можно выбирать вещественными,
то Л - вещественное пространство. Если же Л состоит ид
комплекснозначных функций, то 4 - комплексное пространство.
Линейное пространство 4 является нормированным, если
для любой функции IX е. L определена норма // IX// , кото-
рая является вещественным числом. Норма должна удовлетворять сле-
дующим условиям:
a)	И1/!/ С , /ИХ// = О> тогда и только тогда, когда
IX = С;
б)	для любого числа «х.
1/Х1ХЦ = М/ - И12II ,
с) для любых функций IX, L,
HUtl'!/< 1/1/1/ 4 НтЛ/
Пример 3
4 - пространство непрерывных на отрезке [0,1] функций.
Пример 4
L - пространство непрерывных на отрезке [0,l] функций,
/ /	7 £
//47/ fxx(rx)l"'clzcI
L а
Пространства из примера 3 и примера 4 - разные. Хотя они
и совпадают как множества, но норма у них различная.
Определение. Последовательность функции /М./ из
нормированного пространства 4 называется фундаментальной,
если для любого ( > С найдется такое натуральное Л7 , что
если /7 > Л'л п > Л7, то // г/ц. - о/т. //<.<£.
4
Определение. Линейное нормированное пространство
называется полным, если всякая фундаментальная последовательность
{ и. } имеет предел t/e L ,
Функция £/ е Л называется пределом последовательности
/	, если ь	~ Un// D ) •
Упражнение. Показать, что пространство Л из
примера 3 - полное, а пространство из примера 4 - неполное.
В приложениях гораздо удобнее работать с полными пространства-
ми. Причина этоцу та же, что и введение иррациональных чисел:
гораздо удобнее считать, что есть такое число	, чем
"зажимать" его с двух сторон выражениями типа
и с ними работать. Поэтому неполные нормированные пространства
полезно пополнить.
Формально процедура пополнения строится следующим образом.
Две фундаментальные последовательности ‘l J} из
нормированного пространства Д назовем эквивалентными, если
T'z/tz. // Уп - т/пИ = U	Очевидно, что если 4/ = £;т. t
А —*• • л_>	/г —* «го
то та же функция и является пределом последовательности ?£ .
Поэтому, если одна из последовательностей имеет предел, то имеет
предел.и другая последовательность.
Элементом пополнения назовем класс эквивалентных друг другу
последовательностей.
Здесь, как и довольно часто в математике, для формальной
процедуры должно быть неформальное понимание. Неформальное понима-
ние таково, что к функциям из Л мы добавим новые "Функции"
(в кавычки термин взят потоку, что они могут не быть функциями
в обычном смысле), которые являются пределами фундаментальных
последовательностей.
Для дальнейшего надо определить правила сложения новых
"функций" со старыми и друг с другом, операцию умножения новой
"функции" на число и норцу новой "функции". Укажем естественные
определения этих операций.
Если 4/- S,m- t	-	то
а)	И < 1?	('ил > г'п )
б)	<< 4? з/ = Z/n f с*.	i'h-) ;
, А г-е>
в)	Ниц = 4 л" // г/Л//,
Остается доказать, что левые части равенств а), б), в) не зависят
5
от того, какие последовательности	, г j фигуриру-
ют в правых частях. Кроме того, необходимо доказать полноту полу-
ченного пространства.
Пример 5
Пространство 4 из примера 3 является полным, оно называ-
ется С ([С, /1) . Отметим, что С.(LC, 1 ])	- это не просто
пространство непрерывных функций, но еще и с нормой НиИ -
Sup
Гс ГС '!
Пример 6
Пополнение пространства из примера 4-это пространство Let'll, 11)
Вообще говоря, пространство L„( L ' С)£7)	определяется по-другому.
Но поскольку оно совпадает с пополнением пространства из приме-
ра 4, то в качестве определения пространства	(Iи, £ ]) можно
взять приведенное.
Как уже было сказано, в одном и том же линейном пространстве
можно задавать разные нормы.
Две нормы // ' И{ и // //, в линейном пространстве
называются эквивалентными, если существуют две константы С, ~~ С,
д* С' такие, что
7/1///у > С, И ,
Z/Z//7, >	.
Эквивалентные нормы порождают одинаковые наборы фундаменталь-
ных последовательностей. Соответственно пополнения пространства
по эквивалентным нормам совпадают.
§ 2.	Гильбертово пространство
Пусть 4 - линейное пространство. Скалярное произведение -
это правило, согласно которому каждой паре функций Ц <=. 4
сопоставлено вещественное число ( И 1S) , При этом должны выпол-
няться следующие условия:
I)	(а. Р"> -- СтГ, а);
2)	для любых чисел	любых функций U, V, uf спра-
ведливо равенство
(jcu t	=•	(и. U) * (^,	,
3)	для любой функции 11 / С, <и, cJ) > О .
Замечание. Для комплексных пространств L скаляр-
ное произведение	V') - комплексное число; свойства 1),2),3)
для комплексных пространств принимают вид:
1* > (и 1') - (1/.U)
2') для любых комплексных чисел , fl любых функций г;
справедливо равенство
2 , 1с') -	(U, Zc') t- fl( 2', иГ) ;
3') для любой функции U / О, Си, и) - вещественно и поло-
жительно.
Скалярное произведение порождает норцу в пространстве D
И ип * fau, и) .
Пространство Н с заданным в нем скалярным произведением
называется предгильбертовым пространством.
Предгильбертово пространство Н называется гильбертовым,
если оно является полным по отношению к норме, определяемой ска-
лярным произведением.
Всякое предгильбертово пространство можно пополнить по норме,
определяемой скалярным произведением. В пополнении определяется
скалярное произведение: если U - £ т, г гг- Сип. гЪ. t
TO
(Ut l') -	f ^).
/г- -* «ха
После этого стоит доказать, что скалярное произведение на пополне-
нии удовлетворяет свойствам I) - 3); само пополнение с определен-
ным таким образом скалярным произведением является уже гильберто-
вым, поскольку оно полное.
Гильбертово пространство удобно,в основном,благодаря теореме
Рисса о представлении линейного функционала.
Теорема.
Пусть / - линейный ограниченный функционал в гильбертовом
пространстве И . Тогда существует единственная функция Ve. Н
такая, что для любой функции U U справедливо С(и.)^С^,
§ 3. Пространства Соболева
Из множества пространств Соболева рассмотрим только основные
пространства.
7
I. Пространство \</^ ( [и, 1).
В пространстве п -раз непрерывно дифференцируемых функций на
отрезке	определим норму:
г /	И	лр
llull п =	[itfCz')if'dx. + .	+ [/ду"^)/7^ /
wp I j	a	-J ’
где	/z-я производная функции U (я) . Пространство
[q g ] ) ~ это пополнение пространства п раз непрерывно
дифференцируемых функций по норме //	. При р - 2 про-
странство Wp”' обозначается через у/'1 . Очевидно, что
при П - О , пространство Н " совпадает с l~& ( £&f I У-
Пространство КуЛ получится,если в качестве первоначаль-
ного возьмем пространство бесконечно дифференцируемых функций.
Очевидно, что пространство А'/г является пополнением про-
странства дифференцируемых функций со скалярным произведением
ад	й
и
2. Пространство ([ J)
Пусть 4 - пространство бесконечно дифференцируемых на отрезке
[U Z ] функций, таких, что
'U(a') =	-- С\
"Lf'CCi) - и'(£) = С‘,
Определим в нем скалярное произведение:
/	Z
(и, V) --	'V'pzkl'Z 4- Jь/'(О V'c-z.)dъ г . и (n}rz)	dtc .
‘4	п	а
Пополнение Л по отношению к этому скалярному произведению
называется пространством Н„Хcf,47 ).
Аналогичным образом определяются пространства /7 "7р) ,
( С') для области С" С. R. гп.
Пусть С- - область в R- с границей 7, Z- - простран-
ство бесконечно дифференцируемых функций в G- со скалярным про-
изведением
8
(и, zq = f f u(-x)	. d^	dxf... d^
&	' g
G
f.-fa~------ -	--- tfx, dx„.-
" djCf ^‘’'^n: (fa^f. fanZCn
Ч*- * in.-m.
Пополнение пространства Д по норме, определяемой этим скаляр-
ным произведением, обозначается (G-) Пространство
мы подучим, если в качестве Л возьмем пространство бесконечно
дифференцируемых функций, обращающихся в 0 в некоторой окрестно-
сти Г .
П. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
§ I.	Симметричные положительно определенные операторы
Пусть hi - гильбертового пространство. Линейный оператор А
ъ Н с областью определение 50СЛ) С_ Н _это правило, согласно
которому для каждой функции и е Л (Л) определена функция Ли
При этом должно выполняться следующее условие:
Для любых функций hi, V (Л) и любых вещественных
чисел у?/ , fa , функция fa, и * fa Л принадлежит АЛ) и кро-
ме того
.J) (fa + far-.lfa ~ fa dih t fasfalT.
Очевидно, что Gfa-J/i - линейное пространство (ибо из
и, Д 6?<Д<<4) следует fafU t fa,г if GGcf)).
Пример I
В пространстве L, (lCf. ^1) определим оператор Л( так,
что
а)	• G& (Лг) состоит из таких функций v ,что Z7 *' непрерыв-
на и кроме того L/fO) = 4/ С Ц) - (}.
б)	. ПОЛОЖИМ .Ль/ ' ~hf".	.»
Пример 2
В том же пространстве рассмотрим оператор	(Ad)
состоит из дважды дифференцируемых функций,для которых выполнены
9
краевые условия
U'(a) =	- С.
Оператор Л? определим равенством Лг,и --W
Обратим внимание на то, что несмотря на одинаковое действие
на функции, операторы Л/ и Л я различные: они различаются
областью определения.
Определение. Оператор Л , определенный в гиль-
бертовом пространстве Н , называется симметричным, если для
любых функций U, Т?справедливо равенство
Определение. Симметричный оператор Л в гильбер-
товом пространстве Н называется положительно определенным,
если существует такая константа у > О , что для всякой функции
U из области определения справедливо неравенство
> у (ч, и)
(в частности, (Ли, W) положительно).
Пусть Л - симметричный положительно определенный оператор
в гильбертовом пространстве Н, SO (Л) - область определения
оператора Л . В пространстве Л) (Л) найдем новое скалярное
произведение:
[ и, гг1 - (Ли, V).
Это произведение называется "энергетическим скалярным произведени-
ем". Оно, очевидно, определено для любых функций Ч, Vс. ОООЛ).
Упражнение. Проверить свойства 1),2),3) из $2 главы I
для [ Ч,	(тем самым будет доказано, что ЕU-,	- дей-
ствительно скалярное произведение).
С энергетическим скалярным произведением связана норма
UVUj ’	,
которая называется энергетической нормой.
Отметим, что для любой функции if е. SO ОЛ) справедливо
неравенство
7
Энергетическим пространством называется пополнение области
определения оператора Л по энергетической норме. Обознача-
10
ется энергетическое пространство символом
Пусть Л - симметричный положительно определенный оператор
в гильбертовом пространстве Н , -f некоторая функция из
пространства И .
Обобщенное решение уравнения
Ju. /
- это такая функция U* €. Uj , что для любой функции
справедливо равенство
Примечание
Объясним определение. Допустим, что /7 * - решение уравнения,
то есть
Умножая это равенство на ?г£ «^^Аподучим
(Ли*, 7<) - С/, if).
Но выражение слева - ничто иное, как энергетическое скалярное
произведение. Поэтому последнее равенство можно записать в виде
Z4/*	* (/, Г) .
Это выражение имеет смысл при любом	; оно и берется
за основу для определения обобщенного решения.
Теорема. Для любой функции / е // обобщенное решение
существует и единственно.
Доказательство. Мы воспользуемся теоремой Рисса
о представлении линейного ограниченного функционала в гильбертовом
пространстве И . Рассмотрим линейный функционал
определенный на S) (Л. Покажем, что он ограничен. В сиду
неравенства Коши-БуняновскогоЧПварца
/ А/ (V) / ₽ к £ I * U/Ц 111П1.
Так как, в сиду положительной определенности,

HVtj! .
II
то
iLfMH fLmj ,
- ограниченность доказана. В сиду ограниченности функционала Lj
\>н продолжается на пополнение и его можно рассматривать как функцио-
нал на Hj) -В сиду теоремы Рисса, существует единственная
функция и *6. h'л	такая, что для любой функции 1Г& htjf
’ Г Г] = Д/Г г*-;.
Эта функция 4/х и является обобщенным решением. Теорема доказана.
Замечание. Только что доказанная общая теорема поз-
воляет доказать существование и единственность решения для боль-
шого класса дифференциальных уравнений (далее увидим,как она
работает в различных случаях)• На самом деле роль этой теоремы
глубже. Теорема указывает, в каком классе функций лежит решение.
Именно, решение лежит в энергетическом пространстве оператора Л •
Поэтому численные схемы Галеркина, которые будут рассматриваться
ниже, должны обладать единственным свойством - базисные функции
должны лежать в Иj .
§ 2. Схема Галеркина
В общем случае схема Галеркина для нахождения решения урав-
нения Ли - У строится следующим образом.
Цусть Л - линейный оператор, который действует из банахова
пространства В в пространство F , у - функция из прост-
ранства F . Выберем базисные функции	&
и линейные функционалы Cjj,	. п. на пространстве F . Прибли-
жение Lln к решению уравнения Ли - У будем искать в виде
''Un, - С, £/ t- - - -а Сл	f
где Cf,  Сп. - неизвестные коэффициенты. Для нахождения этих
коэффициентов составим систецу уравнений вида
Л'Ы-п. t > - < У / У к. > ,
Которая в более подробной записи будет иметь вид:
С, ^ЛВ,,^ > +	+ Сп- < Л -- с Л
ct< лtf, $»>+... + с^<	= <Уул> •
12
Пусть - матрица	>,	=	-
вектор правых частей, С - Р )	- вектор неизвестных коэффи-
циентов. Тогда систему уравнений относительно 4, -- , можно
записать в матричном вице:
О' С = G-.
Следует отметить, что большинство численных методов для
решения дифференциальных и интегральных уравнений представляет
собой ту или иную реализацию схемы Галеркина.
Опишем модификацию схемы Галеркина для положительно определен-
ных симметричных операторов.
Выберем подпространство	размерности А . Для
функции gr потребуем выполнения равенства
« лГл)	(2.1)
для любой функции 1УК е. bin.
Зафиксируем базис 4 7 в пространстве ь/п
Лемма
Если справедливы равенства
47.--<4 4);	,	{2.2)
-Л
то справедливы равенства (2.1) для любой функции 1^*=
Док азате льет во. Всякая функция 4г- рас-
кладывается по базису
М --
с какими-либо коэффициентами oCf, . ..z <Х-ц.- Умножая каждое из ра-
венств (2.2> на и суммируя, подучим
ос, г и*, е,	-Wz 4д
Используя свойства скалярного произведения, получаем
I ^п.!	4 оРп	- (/,	a f + . . . t- cZ/t С?/г.
13
Это равенство означает, что ] U,' _	1 (г.	'• . что и тре-
бовалось доказать.
Далее задачу поиска И,* следует свести к задаче линейной
алгебры . Для этого представим	в виде линейной
комбинации
М* =- С, tf +	+ С„ ’Чп
с неизвестными коэффициентами Сt,	. Подставляя это
выражение в (2.2), подучим
" С,.[	. г сл [ е, /лу; е,)
..........	(2.3)
cf [г,, ел]> ...т Сп i?n, j, </, гп) .
Если, как и раньше, обозначить через	матрицу из коэффициентов
к- - /(?, f через С- -вектор С . (	} f
через Z? -вектор С- - (, то
\С
система уравнений (2.3) запишется в матричном виде:
С .	(2.4)
Отметим, что для практической реализации более удобна схема
(2.2), для теоретического исследования - схема (2.1).
Перейдем к доказательству сходимости галеркинских приближений
к точному решению. Последовательность подпространств с
называется исчерпывающей , если для любой функции
И & Hj найдется последовательность функций U,t & Нп такая,
что
// U - Un, Hj —** О > /г ,
Теорема
Пусть Л - симметричный положительно определенный оператор
в гильбертовом пространстве А/, У'е Нf TJ * - обобщенное решение
уравнения Ли ‘	- энергетическое пространство опера-
тора Л, Мп. С. Mj - конечномерное подпространство, —
галеркинское приближение. Тогда для любой функции -z^, е М*.
справедливо неравенство
////«*- lU^/lj £ // 2^ -	.	(2.5)
14
Доказательство. Сначала докажем соотношение
ортогональности: если	- галеркинское приближение к Z7* в
пространстве /7Л , то для любой функции С /Ул
Действительно, по определению галеркинского приближения
/Ж* * // .,./- С'.
Но, так как ~ обобщенное решение, то
[ м* (/,
Вычитая эти неравенства друг из друга, подучим
[ J ' [	1 ~ С',
откуда и следует соотношение ортогональности.
Перейдем к доказательству оценки (2.5). Представим в
виде 'Ь(п- = у 7,?^ „ где Т-^и- - 75» - М»*.
Так как 7’л е , U* 6- Ц,то	и для
справедливо соотношение ортогональности.' В силу обозначений
// *£ - " У* - 1^-и \ гу- и*]
-	[ tishl ,	И , ^>1. - 1st J > [ 1/п. " Lt f Z-4»*bJ * ] =
-	7 / ^rL ' U Hjj + £ [
В сиду соотношения ортогональности ffUk,	‘ О.
Поэтоицу
И Vn - u*lij = и^п ut/*- и vj t
откуда
ци^^*пя.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть выполнены условия только что дока-
занной теоремы, Нп - исчерпывающая последовательность подпро-
странств, Uи. - приближение Галеркина, лежащее в Z^z. . Тогда
Ч	ИО f П.—~ х:.
15
Действительно, найдется исследовательность	такая,что
VKUA — Р , при п.	.
Из теоремы следует, что
IIU*' Z7* ЦА Цц*_ ^//а
и, следовательно, HU*- Нд—О при п —.
Ш. ОДНОМЕРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
§1. Исходные уравнения
В этом разделе рассматриваются следующие уравнения:
а) '<& = ’ (ЗЛ)
° &)-£("*>
относительно неизвестной функции РС'^') на отрезке [и,Р 1.
Относительно функций Р(яР), ftz), Х-(т) сделаем следующие пред-
положения:
в). Функция Р(Х) - кусочно-дифференцируемая функция,
ограниченная снизу положительной константой (то есть Р(т)>
Под кусочной дифференцируемостью понимается следующее. Отрезок
[Q, 6 J разбивается на несколько отрезков точками
Q = Рс * Р/ <	<  - < Рт. - & . На каждом интервале
(Qk4 , Ок ) функция ре^с-) дифференцируема. Имеются пределы
для уравнения а)
tifn- Р(Ъ) .	Р'(я) , Z/7Z- Pf'z) ,	Р'с^} .
ъ +	-я:—Qk-c>
Сама функция Р(я» (и ее производные) может иметь разрыв в
точках	.
Для функции X (добавляются условия
Z//7L	,	£,/п. г‘(г) .
Это означает, что	- дважды кусочно-дифференцируема.
16 
Относительно функций (х7) предполагается, что она не-
отрицательна (q ex') с )
‘Ьутхм? f(х-) принадлежит l£ ( [if, 7 I).
Поскольку дифференциальные уравнения имеют неоднозначно опре-
деленные решения, к ним следует добавить краевые условия. Так как
решение уравнения порядка /V- зависит от т- произвольных кон-
стант, для их определения следует добавить At дополнительных
условий. Так для уравнения а) добавляется два дополнительных
условия, для уравнения б) - четыре.
Докажем симметричность и положительную определенность соот-
ветствующих операторов. Сначала рассмотрим уравнение а).
Пусть краевые условия имеют вид:
и (Q) t	tjd) / л ’Р>) +	i7'(J) = о
(3.3)
du 17 (Q) ' 4^ U(в) /•	l/7c}) + 17^17'7^) = С
В качестве области определения возьмем множество таких функ-
ций, что
I)	17 (х) дифференцируема всюду, кроме точек разрыва функ-
ции Р(х) ;
2)	P-i7'(X-> доопределяется в точках разрыва функции
так, что она становится дифференцируемой;
3)	выполнены краевые условия.
Выведем условия, при которых оператор А в пространстве
k^( [Q,6j )	является симметричным.
Заметим, что
£ $
(Ju, - - J (pJ)'VdK / /qa Vdx .
a	и
Интегрируя первый интеграл по частям, получаем
~ \(PUr)'Z^d^C = ~ ^'d(Р<7') - - Pzt'VI + ^PP'V'dx.
J	й	° °
Таким образом,
$ *
(Ju, I?)* f PJV'dx t JC,7Vdx -
a	a
Аналогично,
17
(и, .Аг") -- f Ро 'V 'the * [q и iP/ho - puY*>^(7)* pO>)P"(a)ори)
a	*
Следовательно, оператор Л симметричен, если из равенства (3.3)
следует, что
- р(Р)и 'с 7) тР(7) + рсо) i/'(o) тАро)-- P(7)i/(7)iTY7)-tP(o)u(o)iA(eb!<3.i^
Пример I
Краевые условия имеют виц
1/(0)* О, Offy-O.
Тогда (3.4) выполнено, ибо обе части равны 0.
Пример 2
Краевые условия имеют вид
l/'(Q) = C>, 1/77) •(/.
Пример 3. Краевые условия имеют вид
Ро о 7о) * t/co) ; Р(7)и 77) = -	4/(7),
Тогда
- Р(() 77) т.Р(7) + Р(Я) о 7о) iZ(u)цеи(7) p7Pp-	и (о) г7Р) =
= (fy-zrrf)) 1/(7) / (ка тгро)) иСО) = - р(р) '1Г'С7)ОС7) + РсоугГ'(о)и(а).
и равенства (3.4) выполнены.
Во всех трех примерах, таким образом, оператор Л сим-
метричен.
Положительная определенность доказывается с помощь» неравен-
ства Пуанкаре (см. fl], стр.64).
Очевидно, что
е
(Ли, и) = J P(u')Zcfa> /
а	а
Для краевых условий из примера I
С
(Jo,и) = JР(о'Jd-Z- /	,
а
ибо 1/(0)- l/(C) - о и поэтоцу слагаемое,соответствующее краевым
7
t P(u)U(o)l/'(o)- P(C)l/J) 1/77).
18
условиям, обращается в ноль. В сиду условий на функцию pf'X)
г- f
\p(u')zd^ > р^п J (wfd'b.
а	а
Применяя неравенство Пуанкаре [l],
Р	В	в
/Р(U'fda. Р^	.
а	а	а
Таким образом,
€
(Ju, И) > { РРР')^	т£-\2
I	(fi-a) л
или (J) и' Lj )& (/(ipu), где у *
Р
\
г
Р^п.
(Ла.)2'
HuHz
Для краевых условий из примера 2 неравенство Пуанкаре приме-
нять нельзя, так как для применимости неравенства Пуанкаре надо,
чтобы функция а(т) обращалась в ноль в какой-то точке отрез-
ка. Оператор с краевыми условиями из примера 2 при функции
= О не является положительно определенным. Действитель-
но, ирх-) = / принадлежит 3)(Л) О) и поэтому
(J)u,U) = С , в то время как и)	> О.
(С-а)2-
§2. Свойства энергетического пространства
Отметим, что при краевых условиях Ufa)- U(&) = о при
наших предположениях энергетическая норма эквивалентна норме в
пространстве к// ([О, £]) .Действительно, как указывалось
раньше для этих краевых условий,если Upx) е. РРРЛ) , то
е	г е	з е	*
^p(x)[irtx)] Же. *
а	а	а	а	‘
где 6’Д	С Sup РС-^), Sup
С другой стороны.
а
а
’ j P('x)(dpaP)f'd&.
а
19
Второе слагаемое оценим по неравенству Пуанкаре:
е	%	е
a
а
a

> 2	J 47	
d	//	'О
Положим С. - [i Р^,.^ Р^п^п. Тогда
<=>	(<• t > piss / *
г I. , е
Эти два неравенства показывают, что энергетическая норма эквива-
лентна норме в пространстве \</	. Поэтому пополнение &РД)
по энергетической норме совпадает с пополнением	в норме
пространстве. к// -
Теорема
Пусть краевые условия таковы, что оператор Л - симметрич-
ный и положительно определенный. Тогда всякая кусочно-дифференци-
руемая функция Р Рсс) , удовлетворяющая краевым условиям и
непрерывная, лежит в энергетическом пространстве.
Доказывать теорецу мы будем при дополнительных ограничениях
на функцию РР"Х-) • Именно вместо кусочно-гладкой мы будем рассмат-
ривать дифференцируемые функции РррР) , у которых существуют
пределы:
Р(й) = Р/П- РрР)
Рр?) = PPP) ;
P'(Q) -- Pint PprP) ) р'рр) » р,т р'Р'г) .
Тогда область определения состоит из дважды дифференцируемых
функций РР^с) , удовлетворяющих краевым условиям. Мы построим
последовательность функций (Pt. (Р^-) , которая является фундамен-
тальной в норме	и сходится в пространстве
к функции РР'с) . Так как норма в пространстве \р// экви-
валентна энергетической норме, то последовательность (РР) Сбу-
дет фундаментальной в энергетической норме и предельная функция
U (рс) будет лежать в энергетическом пространстве.
20
Для построения (zc) мы сгладим z//"^) в окрестности
точек излома.
Пусть -Х-21	, Ж*. - точки излома, занумерованные так,
что бЕ/<г rZj <...<Построим последовательность	так,
что £ - окрестности точек СЕ/ не пересекаются и лежат
внутри отрезка [Q, & I . Функцию Ы С'с) изменим в - окрест-
ности точек СЕ/ , подучим функцию	Ст) . Опишем это
изменение.
Пусть ifiT.) = Z/"/iE> . Типичный график функции	в
окрестности точки ст/ приведен на рисунке. Из определения
кусочной дифференцируемости
следует, что имеются пределы
____‘&П' W*) *	- р) ;
€itrb ТГ('ъ) .
.	Г2Г -* .+ О
Построим такую функцию	на отрезке	+
что выполняются следующие условия:
& -£^); ;
3) 4)
J (а) скс = J	< С- .
Такую функцию подобрать можно, например, в виде полинома четвертой
степени . Константа С выражается через величины
Мс = та* /гП, Mi - пенс/г^'/.
Вне отрезков	положим
Из условия 2) следует, что функция С^:) является дифферен-
цируемой. В качестве функции	возьмем функцию
L'Ca> + Tt^(s')^s 
о
Так как "Рп (S)	дифференцируема, то t^C^) является
дважды дифференцируемой. Из условия 3) следует, что если точка 2Е
21
не лежит в - окрестности никакой точки "Г/ , то
д//г<:Г> = 4/ ( tJ ; отличаются	только внутри
отрезков [	/ <fA 7 • Из 4) следует, что внутри отрез-
ков	, г. a £п] справедливы оценки
/4/У'г) - z/z; (^)/ < t
т
li-lf-X) -	= / J f I/'(£) -	.
Поэтоцу
ЦчМ-и^!^ .
c A£ e)'^ =
Так как £л -* о . то
И ИСК) - «4 Гт:)/ , -* О п —	,
откуда следует, что последовательность	- фундаментальна
по отношению к норме пространства \х//	. Следовательно,
Мг. ( ^) фундаментальна по отношению к энергетической норме,
и 4/ (%) - предел т-) по энергетической норме. Поэтому
U пакт в энергетическом пространстве . Теорема доказана.
Разберем вопрос о наследовании краевых условий функциями
из энергетического пространства. Рассмотрим в качестве примера
уравнение
с краевыми условиями

22
Мы увидим, что функции из энергетического пространства удовлетво-
ряют условию и С С) = О • но не удовлетворяют, вообще говоря,
условию г/'(с ) 'L -
Лемма, функционал	) является ограничен-
ным в пространстве ([О,£')
Доказательство. Так как
х
с?
ТО
- mz) - J z/ 7.s) j$ .
Q
Далее,
•f-	2
/U^o)l < /t/(r)/ y- / J	-4 [/Lj'($)lc/S <
<	4 J / U'fS) I c/s.
Lt
Интегрируя это неравенство, получим
Jltf(Q)lс/х	^/аГ-ъУ/с/х. 4- \ I \ IL/'fS)lt
а	i I а \
которое очевидным образом преобразуется в неравенство
f
а	а
Применяя к обоим интегралам в правой части неравенство Коши-Бу-
няко вского-Шварца
I J / i с/'С'
а
6
Q
4?

получим
23
Далее воспольэуясь легко проверяемым неравенством
подучим _______.___________________________
/7	-	- j~ г
/*W/ < ./J/r/ГхУ zcix < Л Ci) У/г/ Y$)/ zdS
Q	„
Положим Мг'"=	.Тогда
Л7 "	7
IUCq)i^ м JIt- f /-'с/г- = М .
я	а	”
Отсюда следует неравенство
1^)1 $	*
Лемма доказана.
Замечание. Поскольку	непрерывный функционал,
то в сиду теоремы Рисса найдется такая функция Q ( '?) , что
Расписывая скалярное произведение в	, получим
U(Q) =
о
а
Интересно, что это за функция	г>-
Следствие из леммы.
Любая функция 4//из энергетического пространства
удовлетворяет условию	С1-
Действительно, если	f't-) ~ последовательность функций
из 65 ГЛ) < сходящаяся к функции 'l/f-x-) & /7, то (а) - О.
24
Так как z/<«)	- непрерывный функционал на	, то
U(et) *	(Q) ~ V .
А — -х>
Перейдем ко второму граничному условию. Существенная разница
состоит в том, что функционал £ ( и") - и'(Л)	не является
ограниченным на пространстве \х/£	. Поэтому если z/^ - пос-
ледовательность функций таких, что	= и и z^/aO схо-
дится к U (&) в норме и// , то zz может и не рав-
няться нулю.
Упражнение. Показать, что функция	Ж-z?
лежит в энергетическом пространстве оператора Ли - -и ’ с
краевыми условиями Ufa) = О , z/yzO-6’.
Итак, мы уясним разницу между краевыми условиями двух типов.
Краевые условия первого типа (t/0Q) = О') сохраняются при переходе
к энергетическому пространству, краевые же условия второго типа не
сохраняются при переходе к энергетическому пространству.
Определение. Краевые условия называются главными,
если они сохраняются при переходе к энергетическому пространству.
Краевые условия называются естественными, если они не сохра-
няются при переходе к энергетическому пространству.
Общее правило
Для оператора, включающего операции дифференцирования порядка
£tn. , главными являются краевые условия, включающие производные
порядка Ш- - / и ниже. Для оператора дифференцирования порядка
z-7/n. краевые условия, включающие производные порядка on. и
выше, являются естественными.
Примеры
I)	. Пусть Ли - -U-" с краевыми условиями U fot) ~ О,
'U' (Л) = /о и (Л). в этом сдучае краевые условия ufn) = с> - глав-
ные , и'( £) = /о и (Л) - естественные.
2)	. Пусть .Ли = оЛЛ г/ " с краевыми условиями Ufи) - О,
-и'1'($) = с,	= О, 'U"j^)-O. Тогда главные условия - zz<4>), (О,
и'(Л) = О естественные ~ это	с f to
§3	. Свойства обобщенного решения
Рассмотрим уравнение

25
с положительной кусочно-дифференцируемой функцией Ppi). Отно-
сительно функции	предполагаем, что она непрерывна. Это
обыкновенное дифференциальное уравнение. Оно эквивалентно системе
Решение этой системы
I
j • f 7	' 4 Cf
- .1 Жг/г *с-
л
Подставляя выражение для	во второе уравнение, получим
т г 1:	,	Т
Jt - Ct	+ £ j .	(3.5)
Решение зависит от неопределенных констант Сх , С? . Они
определяются из краевых условий. Таким образом, казалось бы, нет
никаких проблем с определением понятия решения. Для определения
понятие "решение", достаточно интегрируемости функций £('?) и
. На формуле (3.5' может основываться и алгоритм численного
решения.
Основной недостаток такого подхода к определению понятия
"решение" - то, что оно не обобщается на случай числа переменных
больше, чем одно.
Возможен и другой подход, при котором понятие "решение" го-
дится для случая непрерывной функции / (~г) и кусочно-дифферен-
цируемой функции /Vt) .
Функцию 4/(-с) назовем решением, если в точках непрерывности
функции Р('t) справедливо равенство
-А ^)£
а в точках разрыва функции	Рр*) справедливы равенства
l/п. Р(-т-)	= Р/п
d:c
-г-а -с
РРО
-С
26
У,ПГ tt('Z') -	Ll('X')
x	-x- fa^tc
(так называемые условия сшивки решений).
На каждом отрезке [Q..r , J функция & ( х)	как реше-
ние дифференциального уравнения определяется двумя константами;
полностью решение определится, если будет задано л/tz. констант.
Условия сшивки определяют - £ уравнения на эти константы;
два недостающих уравнения дадут краевые условия. Точно так же,
как и в первом определении понятия "решение", здесь может быть
определена численная схема.
Эти два подхода показывают, что в одномерном сдучае понятие
обобщенного решения существенных преимуществ не дает. Преимущества
проявляются только в двумерных задачах и задачах большей размерно-
сти.
§4. Численная схема для уравнения второго порядка
Для простоты изложения рассмотрим уравнение (3.1) с краевыми
условиями
Построим сетку из узлов
Q =	< Ж/ < ... < .Т*. <	.
В качестве Нп возьмем пространство таких функций ,
для которых выполняются следующие условия:
I)	'ТУ( X) непрерывна;
2)	'У('х> линейна на каждом отрезке [	i
3)	тУ'сп =	о•
Каждая функция 1У(хУ> е Йп , очевидно, определяется своими
значениями Ы/г	в узлах.
Для каждого из узлов ЗГд построим базисную функцию -
"зубчик" (хУ) • Эг° кусочно-линейная функция, равная цулю во
всех узлах, кроме Z -го, где она равна единице.
Всякая функция и ('х-') , принадлежащая пространству ,
принимающая значения LJt,  •, ^н. в узлах сетки, выражается через
базисные функции £	:
U(x-) а, г, ex) 1- + Un	.
Система уравнений (2.41 будет иметь вид:
Cl V -- F ,
где Q. = () - матрица из элементов
£ /
G: • = f Plx) pj(xF) d-x- t J у ex) £ (X)	;
1 a	"	a
F - C/: ) - вектор с координатами
a
U ~ вектор с неизвестными координатами , которые совпа-
дают co значениями неизвестной функции	в узлах сетки.
Если у/;-/, J t , то Ci- С
Матрица М из элементов
£
М. =	^f'c) djf'r)
и
называется матрицей массы. Матрица ОС из элементов
£
\ re-о
J а
называется матрицей жесткости.
Алгоритм вычисления обстоит из следующих шагов:
Вычисление матриц жесткости и массы,
вектора правых частей
________ ______ * * —
Решение системы линейных уравнений]
Заметим, что р- =£ О только для j- L+ f, j = / ,j = i ± ,
следовательно, матрица (У - трехдиагональная.
Описанная схема является частным случаем метода конечных
элементов. Опишем характерные особенности метода.
I). Область (в данном сдучае - отрезок), в которой рассматри-
* вается дифференциальное уравнение, разбивается на "более простые"
подобласти	(отрезки [х. . t t ‘
2). функции из /7^ на подобласти описываются не-
большим числом параметров (в нашем случае число параметров равно
28
двум - это значения функции в концах отрезка Ч-z , ч >•
Чаще всего функция в области G-, - это многочлен не слишком
большой степени (первой, реже второй или третьей и совсем редко -
четвертой степени и больше).
3). В пространстве существует некоторый "канонический"
базис из функций с "минимальными" носителями. При этом базисное
функции могут быть легко описаны.
Довольно часто вместо построения базисных функций удобнее
указать пространство функций на каждом конечном элементе либо
базис в каждом конечном элементе, а затем строить базис во всем
пространстве. Базис из функций на одном элементе называется ло-
кальным.
Чаще всего параметры, которые определяют функции внутри эле-
мента, - это значения функций в некоторых точках элемента.
Поясним все приведенные рассуждения на примерах, в которых
элементы - отрезки.
Пример I
Линейный локальный базис. Функции из на элементе
, &]- это линейные функции. Линейная функция U определя-
ется своими значениями £//, z//" в концах отрезка t&L, Z^f].
Эту функцию можно выразить через базисные функции	fa), f^fa):.
„ /	- X о i . , гг - rr /
Их графики приведены ниже.
Линейная функция на отрезке [.Т 7 имеет вид'
-- £// г, fa) + fa fa) .
Пример 2
Квадратичный локальный базис. Функции из на элементе
, X J - это полиномы второй степени, который определяется
на отрезке /'ЯД/,	J своими значениями в узлах
f/Ч v *	У	пусть это
29
будут L/fl, b/J' , bfj . Полином L/(z) второй степени опреде-
ляется через эти значения в виде
U(z) ’ 4// Ст) €?, ('*')+ с(£ (ГТ-У,
где €/('Х-), &£('£'),	~ локальные базисные функции. Функция
- это такая функция, при которой
а) ££ С'К.) - полином второй степени;
Упражнение. Показать, что конкретный вид функций
следующий:
е;^> .£***?» . г	.
У* Уз)	х
-</<) - V3)	„ -yb (•&-*)
ei( (d-(;)(Vi-г,)
3 *Уз	" (А л.)*'	’
где Z1 X = TZ'i, - rz^ .f 
Пример 3
Кубический локальный базис. Функции из на элементе
ZX../,62^] - это полиномы третьей степени. Полином третьей сте-
пени определяется своими значениями в узлах	,
= з	' пусть эти значе"
НИЯ - Z?/7 4//,	, и!)
Упражнение. Вычислить локальные базисные функции
^з^)> г^), соответствующие узлам у/,
Чз >	' У * •
Пример 4
Кубический локальный базис. Отличается-от приведенного в
примере 3 тем, что параметры, определяющие функцию 4//-z.)
на элементе Z^r ./ >
Этоцу набору параметров соответствуют локальные базисные функции,
обладающие следующими свойствами:
30
a) ^(т), к--1,2,3,^ - полином третьей степени j,
о,	е:г(^-)=о; (е^'(^)=о 
е;(ъ. /7 -- с ауУ(^:-,) >- о; г;(^> =/; <<г/г-zj --#
°,	'(ъ-i)=в,	(^ )-С (£d '(Ъ)* о.
Для вычисления этих базисных функций удобно сделать замену
переменных, полагая
ОС = t- i-Л Ж -
Смысл этой замены: вместо отрезка [СС,./, перейдем
к отрезку /0,1?.
Положим
(Ч)	=	»u V-
Очевидно, что
d^(i) dd* civ- ,-у
~аГ~ ' УУГ' ТГГ* Л	dv .
Поэтоцу условия б) перенесутся на функции ^(4) следую-
щим образом:
в)	tpifc^c; ipta)=o-
•Р2(о)^с,	^d)=o-,
Фи (о) -- о;	(с) -о ; &3(1)~у
% (С) -- о, (О = с ;	(i) z>;	.
Вычислим, например, (f'f (1) . Ясно, что точка /=/ - нуль
кратности 2 функции (-t) . Поэтому
(Р,(Ъ) = fa-b-h d) а-^)‘\
где О, с - неизвестные коэффициенты. Их найдем из условий
(Pf (О) = i , tfi/ (о) = С> _ Отсюда подучаются равенства
31
f - C°i^'>(t-O14t.o ‘i
[ «W.p’[aa -л £(Oi, t) a.,)] v
или же
ГЛ/
[а-Яв^О #
откуда / t a = " .
Таким образом, ‘Р/ (£)  PPt + О f-t -/).
Упражнение. Вычислить Ct')f	f-t)f fyf-t).
§5. Оценки точности
Ключ к подучению оценок точности дается теоремой о сходимости
галеркинеких приближений	к обобщенному решению U*.
Согласно этой теореме для любой функции
С /47*-^ .
Поэтому для оценки энергетической нормы разности U* -	дос-
таточно подобрать "удобцую" функцию е. И„_ и оценить
И и*- 'WHj)
Рассмотрим уравнение.
-(pU')'+ q-U = /рх)
с краевыми условиями	U'CP) = C>-
Теорема.
Цусть в уравнении (3.5) функция Р(х) кусочно-дифференцируе-
ма; далее, существуют Р/пцл> Рщп > О такие, что
Рtn-ax	Р^< Р/п^п.
функции /(-Х-) , дрь) непрерывны,	о.
•Ufi. (-х.) - решение, подученное методом конечных элементов с
кусочно-линейными элементами, связанными с сеткой <?-гг^<гг><..<жА=^
причем точки разрыва функции PCсовпадают с узлами сетки 
Тогда существует константа С такая, что
где к - /гипс / Ж/у./ -	,
32
Доказательство. В качестве функции	возь-
мем такую функцию, что
а)	(^) » U , L - 43
б)	на каждом отрезке [X;.f,	7 функция	удовлет-
воряет дифференциально^ уравнению
- (р(х)	(Ух)) '> £><rz7 Сх) = О.
Положим Д (х.) = U*pz)~ Тогда, очевидно, z) (удов-
летворяет уравнению (внутри каждого отрезка Г7 )
- (рСх) л '(х.)) > Дрх) , ffx),
причем на краях отрезка равна нулю. Покажем, что справедлива оцен-
ка (внутри каждого отрезка I ^-i-f , J)
/ Д (-Х-)! $ (к -	-Яр) М .
1У. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
§1. Задача Дирихле
Классическая задача Дирихле ставится следующим образом.
Имеется область (~- на плоскости	‘ граница области
Qr - это простая замкнутая кусочно-дифференцируемая кривая Г .
Требуется найти такую функцию	, определенную на области
& , что
D	+	+	= О,	(4.D
где /('х11^') - заданная функция, определенная в области
2} г/(^, 1Г	{4,2)
где у) - заданная на границе Г функция.
Отметим, что кроме-условия (4.2), могут быть и другие краевые
условия. Например, на какой-то части Г возможно задание не
а	(производной в направлении внутренней нормали)
или какого-то другого»
Будем рассматривать простейший сдучай, когда заданы краевые
33
условия типа (4.2), причем у") = с на Г.
Для сокращения записи удобно использовать оператор vS,
Так, например, vit -это вектор \}И= (
(7 ZU - это функция.' (7 'Ь =	* fafa ’
VU -W - это функция	7- ,^7	.
Все такие записи надо понимать так: произведение двух вектров -
это скаляр, равный скалярному произведению векторов; произведение
вектора на скаляр - это вектор; произведение двух скаляров - скаляр.
Существенную роль играет первая формула Грина:
J J -U fa = - f] ViJ vVcix fa t- fa ,
G-	r
которая применима к таким функциями U, V, которые непрерывны
в области вместе с первыми и вторыми производными.
Рассмотрим оператор J в пространстве	опре-
деленный как
Ju * - ли
с областью определения (Л) , состоящей из дважды непрерывно
дифференцируемых функций,равных нулю на Г
Лемма. Оператор J симметричен и положительно опреде-
лен.
Доказательство. Заметим, что если и, гг'е
то	г г о
(Ли,гг) = ~ JJ Zrcfoc.fa.
Применяя формуду Грина, подучим
(Ли, z') = fafa-V^Uckcfa fafau Virdxfafa'tf.
G	£7	Г
Так как	то ^-0 на Г' и, следовательно,
= ° '
г
Поэтому
» /Г	dy.	(4>3)
34
Аналогично
(Лг-, с!) =	dzc dy ,
C-
откуда видно, что (du,lrP (J'Pd) и, следовательно, симметрич-
ность доказана. Для доказательства положительной определенности
воспользуемся неравенством Соболева-Фридрихса-Стеклова.
Если	О на границе области £	, то существует
константа С > О (зависящая от области G- ), такая, что
J J VU  [7/7 dx dy > С ^U^dx-dy .
Так как оператор Л симметричный и положительно определен-
ный, то к нецу применима теория, изложенная в I главе, то есть
существует и единственно обобщенное решение, которое можно найти
методом Галеркина.
Рассмотрим более общую задачу.
Функция P(x,tf) называется кусочно-дифференцируемой в обла-
сти (Л , если область G- можно разбить внутренними граница-
ми на подобласти Gy г ... , &/п. так, что
а)	граница каждой области G; - кусочно-дифференцируемая
эамкцутая кривая без самопересечений;
б)	внутри каждой подобласти Gj функция Р( х, у У	име-
ет непрерывные частные производные; более того, внутри области G-j
функция р совпадает с функцией Pj (х,^) , которая продол-
жается на некоторую окрестность области с сохранением
непрерывности частных производных.
Рассмотрим уравнение
-V(pvU)+	(4>4)
с неотрицательной непрерывной функцией	. функция Р(х,у)
предполагается кусочно-дифференцируемой и, кроме того, существует
константа Р/пгп. такая, что всюду	Р^п. •
Для оператора Л , определенного как
Ли = - F (р VU) + qu ,
справедлива форцула Грина
(Ли 1?) ‘ ЛPfW v^dxdu + ffgu iPdxdu- de.
G	G-	Г
35
Если задать краевые условия U ]г • О , то
(Ли	ИP(vU vV)d*c(u + Jf quitchc-du .	(4.5)
С-	&
Отсюда видно, что оператор Л симметричен. Оказывается, что для
Л справедливо неравенство Соболева-Огеклова-Фридрихса;
(Ли,и) = fj p(vu	+ ff q игЛъс/у
Физически уравнение (4.4) соответствует уравнению теплопровод-
ности. Функция	является источником тепла. Кусочно-
диф^еренцируемость функции P('Xitf) означает, например, то, что
область & составлена из различных материалов, которые соот-
ветствуют областям &: .
*/
§2. Метод конечных элементов
Основными этапами решения задачи Дирихле являются следующим:
I.	Область & аппроксимируется многоугольником ;
внутренние границы также аппроксимируются ломаными, которые область
Gn, разбивают на подобласти Gj
2.	Каждая подобласть ,н- разбивается на треугольники.
Ваз биение должно быть правильным. Это означает, что два треуголь-
ника либо не имеют общих точек, либо имеют общую вершину, либо
имеют .общую сторону. Примеры правильного и неправильного разбиения
приведены на рисунке.
Правильное	Неправильное
3.	Все вершины пронумеруем. С каждой внутренней вершиной
свяжем базисную функцию Л	f которая определена следую-
щими требованиями:
а)	У	непрерывна;
36
6)	("z,y) линейна в каждом треугольнике;
в)	Wj Лг.у) равна нулю во .всех вершинах, кроме й »
в J-Vi вершине у) равна единице.
График функции 4^Лг,у?, называемой функцией - "крышечкой",
приведен на рисунке. Применение такой функции обусловлено тем,
что в разложении при ис-
пользовании метода Галер-
кина
- X С; У. (4.6)
коэффициенты С- - не что
иное, как значение функции
///г_ в J- й вершине
сетки.
В методе Галеркина система линейных уравнений имеет вид

(4.7)
причем, учитывая выражение (1.5) для энергетического скалярного
произведения,
[и*., ^J=ffpU*v^d&dy + ffqd^dvty- (4‘8>
Gr	Gr
Подставляя разложение (4.6) в (4.7) и учитывая (4.8),получим сис-
тему
ЖС +М С= F
(4.9)
где
теми
С - вектор с компонентами С ; F - вектор с компонен-
р£ - ff -f('Ziy') У/с d'Z.dy, Ж - матрица из элементов
(4.10)
V^dvd^;
- матрица из элементов
М
/J	.	(4.ID
С-
Отметим некоторые трудности, которые имеют здесь место.
I.	Представление в памяти матриц (4.10), (4.П). От того,как
в памяти будут представлены эти матрицы, зависит эффективность
счета.
37
2.	Решение системы уравнений (4.9). На практике вполне реаль-
на ситуация, когда количество узлов - несколько тысяч. Решать
такие системы линейных уравнений обычными методами типа метода
Гаусса невозможно, это можно делать только на суперкомпьютере.
3.	Наглядное представление информации. Если в области с нес-
колькими тысячами узлов получить полную распечатку, то из этого
вороха чисел ничего не увидеть.
Приведем некоторые приемы обхода этих затруднений.
Способы решения системы линейных уравнений и способ представ-
ления информации связаны друг с другом.
Предположим, что нам нужно решить систему линейных уравнений
Л г/ " F>	(4.12)
где - /г х /г - матрица; F - известный вектор правых частей;
'If - неизвестный вектор. Перепишем уравнение в виде
Lf — 4/ 4 Си ( F Л	13)
Очевидно, что решения систем (4.12), (4.13) совпадают. Систему
(4.13) будем решать по итерационной схеме.
-t- О) (F~//и(п)) _
Хорошее свойство такой схемы состоит в том, что для ее реали-
зации достаточно иметь в памяти только те элементы матрицы N ,
которые в принципе могут быть нецулевыми (те элементы, которые
заведомо равны нулю, в память не заносятся)
Задачи
I.	Доказать неравенство Соболева-Стеклова-Фридрихса для
прямоугольной области
пс	d .
2.	Вывести первую формулу Грина из формулы Острограцского.
3.	Показать, что для обобщенного решения справедливо следую-
щее условие:
p(zcip ''pp-p - непрерывна при переходе через внутреннюю границу
( п. - нормаль к границе).
38
4.	Какие условия соответствуют углу внутренней границы?
5.	Показать, что базисные функции - "крылечки" лежат в энерге-
тическом пространстве.
б.	Показать, что энергетическое пространство лежит в простран-
стве Н.
7.	Пусть (г - прямоугольная область.
tXg, / s с i у i d .
Рассмотрим оператор
Ju
с краевыми условиями:
а)
6) I	I . _ D
?x-	‘ I " 
Показать, что условия а) сохраняются при переходе к энергети-
ческому пространству, а условия б) - нет.
У. СПЛАЙНЫ
Сплайном порядка к называется такая функция U(<z-) , опре-
деленная на отрезке I а, £ J с сеткой
а -	< зг, < ... <. <гл » в,
что:
а)	на каждом отрезке , Л^г ] и (я) является полиномом
степени к ;
б)	t/f't),	непрерывны.
Полином степени к. на отрезке [t X-t-t/J определяется
ц. / ( вещественными параметрами (но могут быть, например, коэф-
фициенты полинома или значения полинома в (ы-f) точке на отрезке
ДТ/ z или какие-то другие (к ft) параметры, которые
однозначно определяют этот полином на отрезке [ tx-z+fl). Так
как число отрезков [	, 'Z-i+t J равно п , то для определения
сплайна надо задать П (rk+ t) параметр. Условие б) порождает
набор равенств; число этих равенств равно к(п-/) . Таким
образом, для однозначного определения сплайна нужно задать допол-
нительно г.^ки) - к (n-fan+K- параметров. Обычно
39
параметр определяется тем, что сплайн должен принимать заданные
значения в узлах 2^.-,..	; остался еще (&-(У свободный
параметр.
Наиболее естественно выглядят дополнительные условия для
сплайна нечетного порядка Xi - £т. + / * Эти условия имеют вид
(V	~ о
”0 *
Видно, что равенства в) определяют равно
условие. Поэтому естественно ожидать, что сплайн порядка
принимающий заданные значения в узлах сетки и удовлетворяющий
условиям в), существует и единственный.
Экстремальное свойство сплайна нечетного порядка
Рассмотрим функциотшл
Ф(») = f (it
а

Смысл этого функционала состоит в том, что чем меньше его значение
тем "более гладкая" функция и .
Теорема.
Пусть Uf^cy - сплайн порядка	, удовлетворяющий
условиям в),	- такая fm-rf) раз дифференцируемая
функция, что
1Г(Хг.) • иГь.), г=е,...,п.
Тогда cpf'X) ^СтЛ) при этом равенство при /z возможно
только в том случае, если = и^У-
Прежде чем доказывать теорецу, докажем лемцу.
Лемма.
Пусть UC^c-) - сплайн порядка J , удовлетворяющий
условию в), ЪК^У - такая	раз дифференцируемая функция,
что 'Zi.’T'azj) = С, i ‘ С, . Тогда
j U (ъУ W	С^Уах-	с?
а
40
Доказательство. Проинтегрировав по частям, полу-
чаем
. ^tn'ndt<r'^> ~
а	а
Применяя снова интегрирование почастям, получим
I
/’ УМ*-/? ,№+О i
tJ rib = Ll Zif
a	a a
Интегрируя по частям (m-i) раз, подучим
а а

Дальше применять интегрирование по частям нельзя, так как функ-
ция 4/	является, вообще говоря, разрывной.
Заметим, что благодаря условию в), .
поэтому
Q
(^1)

41
где знак зависит от того, какое число раз (четное или нечетное)
применялось интегрирование по частям.
Далее интеграл в правой части последнего равенства представим
в виде
е
J и (' ,п^ * '(х)	!('х) dx
а
-Д I с/
Так как 'С) на отрезке Гх../ ,Х^1 является полиномом
степени 2т. л /	, то U	на этом отрезке является
константой: обозначим эту константу через . После введения
этих обозначений последнее равенство принимает вид
(X) 'ld,(‘X-)dx- = 2*. /(x)dx =	’(х-) dx -
а	й	1
л
= 22 £	.
Но так как по условию леммы	-= О , то
л.
21	= £>,
L-f
что и доказывает лемцу.
Доказательство теоремы.
Пусть 4/(х) - сплайн, - такая функция, что
Представим 'lS('x) в виде
1?(Ъ) d(x) ъГ(-х-).
Очевидно, что	и
I	• е
о	а
/
а
4^
а
Так как )-	то выполнены условия леммы и
поэтому
$
Q
следовательно,
# о в ,	*
а	а	а
отсюда следует, что Ф(1П & Ф(Ъ).
Если Ф(1Г)= Ф(и), то f= С>.	Следо-
вательно,	dx ~о
Значит "tv ('X') - полином, степень которого не больше, чем м-.
Этот полином обращается в 0 в точ-^ах 3^, - - -,	* число
которых равно	. Если п z т- , то ъГ('-яи) - полином,
степень которого не выше, чем /п. , а число корней больше, чем т..
Это возможно только в том случае, если 'ufrx)^ О и, следова-
тельно, и(-х) = ъфх). Теорема таким образом доказана.
У1. ПРОЕКЦИОННО-СЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма П рода:
€
^(х) = ^С'Х, у) Lfty) dy + /fx).
а
Специфическое свойство уравнений такого типа состоит в том,
что интегральный оператор, стоящий в правой части
Ли - \	,
а
является (при некоторых условиях на ядро	) вполне
непрерывным. Приведем условия, достаточные для вполне непрерывности
43
оператора J) в некоторых пространствах:
D оператор Л вполне непрерывен в пространстве C(PQtPj)>
если для любого £>О найдется такое , что если /2>
то
в
/hC-Zf,tf)-cty <ЕР
а
2)	оператор Л вполне непрерывен в пространстве L& (ГО, Л1)
если
J* [	.
а
Для теоретического.исследования более удобно рассматривать
абстрактную задачу: в банаховом пространстве & определен
вполне непрерывный оператор Л и некоторая функция Б •
Требуется найти такую функцию и & Б , что
-г/ = Ли + £ .
§1. Проекторы
Проектор Р в банаховом пространстве Б - это такой опе-
ратор, что Р = Р ' кроме того, область его определения -
это все пространство .
Теорема
Б раскладывается в прямую сумму:
В ’	,
причем
I)	Hj состоит из таких функций, что Рц и	;
2)	Нг состоит из таких функций, что Ри = О.
Доказательство. Покажем что любая функция ре-В
представляется в виде и * Pt + Рл , и, & Р/t	е. . Положим
pt • Рр ; р^ - р - Рр
Действительно, так как Р^- Р, то PUt РГРи)-р^г/  Ри. Р/
откуда е . Далее,
44

РЧг ‘ Рц~ РСРи) - Ри - Р2и = Ры-Рр = О,
то есть Рл G. Н2 • Таким образом, каждая функция Р представ-
ляется в вице Р - Р2 * Рл , Uj е Р/ , Рле_ Осталось пока-
зать, что разложение единственно.
Пусть р .	, где 27, & Pt ё р% . Тогда
Ри = РтТ» -h Р'Р? С , откуда -гР< * Р-Р . Следовательно,
= Р - Рр * Рх. .
Значит,всякое разложение Р-тР<+ тРг г где р, ё Н/.тР^ёр^
совпадает с разложением Р~ Рр + (и- Ри) . Теорема доказана.
Для определения проектора Р достаточно указать два
подпространства Pi , Рл таких, что &= И< & Рл . Тогда
каждая функция UG £ представляется единственным образом в
виде р = Р,+ иА, р,& pf, ё рг , проектор Р определяем
так, что Ри - р/ . Равенство Р3= р очевидно.
Определенный таким образом проектор Р называется проектором
на Hi параллельно подпространству Н^ .
Оротогональный проектор Р в гильбертовом пространстве
Н - это такой проектор, что Р2 является ортогональным до-
полнением к Р .
Лемма
Пусть Р - оротогональный проектор в гильбертовом простран-
стве И . Тогда ПРИ = 1 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Р<= Н, Р, = рц,!Рл-р-рц
Так как по определению ортогонального проектора <Р2 , рл) о,
то /г/// IIs-/ ц-рл ц&.	Поэтому
ЦРиИ ~ // Pi и < И р/
и, следовательно, ПРИ < /	. С другой стороны, для функций
UG.Hi , Рр - Р и, следовательно, ПРР/i- ПРИ,
поэтоцу ЦРЦ i . Сопоставляя эти два неравенства, подучаем
ИРК - £	. Лемма доказана.
Проектор Р называется конечномерным, если - ко-
нечномерное подпространство. Конечномерное подпространство Pi
порождается базисом из функций Р/. Покажем что под-
пространство можно определить с помощью функционалов
л. ( подобранных таким образом, что
(Pg Р2)	(< $/Р ^ = . . . = <	> * О).
Такой набор функционалов определяется неединственным образом.
45
Мы покажем, что по крайней мере один такой набор функционалов
существует.
В качестве О.	возьмем такой функционал, что
> U * ~ ° ’ а е >
Такой линейный функционал существует. В самам деле, если в разложе-
нии U = и, + ил функцию /// разложить по базису и, =
= л... >	, то функция U (църт представлена в виде
“ - С/ г г + ... z	4- t	-
Тогда < Q V > = С-
*J >	j
Упражнение. Показать, что - линейный функцио-
нал. Учитывая, что Cj - V >i получаем разложение
Ри 9	Л ’ -• +	>	•	(6.D
функционалы iji , ... порождают некоторое подпространство
в пространстве Z?х . Можно выразить gfi -  , ^п. через другие
функционалы , .. . z^,которые, как и	П0Р0ЖДают базис
в пространстве Н/ • функционалы $', - > Qu выражаются через
ft, - -, /н. в ваде	Z
Подставляя эти выражения в (6.1), подучим представление для ко-
нечномерного проектора:
Выразим элементы через <
Тогда подучаем
/j, <<> - Пусть	•
рл = f f.; < fj. Ь > -Z^J fj

Таким образом, если
матрица из элементов
- матрица из элементов
'Qij » то Q.H- - единичная матрица.
46
Таким образом,
где  - элементы матрицы, обратной матрице -X	.
Окончательно конечномерный проектор Р определяется с помощью
набора функций 4/,	£п.	8 и набора линейных функционалов
Уг ., Ук у причем матрица из элементов « </],&> должна
быть невырождена.
Если 8 - пространство функций на отрезке [Q, #1, например
В> - С ([О,&]), то, как правило, функционалы задаются с помощью
функций. Каждая функция / определяет функционал у :
.	f('z)isf-X-) J-X-.	(6.2)
а
Таким образом, набор функционалов определяется набором функций
iff У« -
Отметим, что не всякий функционал определяется функцией.
Например, функционал	, заданный формулой
< > и > = ,
является линейным функционалом, но не представляется в виде (6.2);
его можно представить в виде (6.2), если в качестве	взять
обобщенную функцию £(т~ ‘Х.е);таким образом
о
52. Проекционные методы решения уравнения Фредгольма П рода
Обобщенным уравнением Фредгольма П рода является уравнение
U - Лч + / ,	(6 3)
где / - известная функция, Л -вполне непрерывный оператор.
Напомним, что оператор Л называется вполне непрерывным, если
Л перегодит ограниченное в 3 множество в компактное.
47
Для (6.31 справедлива альтернатива Фредгольма:
I). Если в спектре оператора .Уне содержится собственное
зйачение I, то уравнение (6.3) имеет единственное решение при
любой функции У .
2). Если в спектре оператора Л содержится собственное
значение I кратности £ , то существуют линейные функционалы
такие, что (6.3) имеет решение тогда и только тогда,
когда
<£<.,/> * я; l * л ,	.
Цри этом решение неединственно. Именно, имеется Л линейно
независимое функций	таких, что	j °
если Uc - некоторое решение уравнения (6.3), то всякое другое
решение имеет вид
U • Uc + C/Zt + . .. + С* С* ,
где С,, - - -, С-*- - произвольные коэффициенты.
Имеет смысл рассматривать случай I), то есть случай, когда
уравнение (6.3) имеет единственное решение.
Изложим вкратце основную идею проекционного метода.
Пусть Рп - проектор на некоторое подпространство е В> •
Вместо оператора Л рассмотрим оператор РпЛ ; вместо У —
функцию Рк /	. Таким образом, вместо уравнения (6.3) рассматри-
ваем уравнение
’ Рц.Л+ Рп f	(6 4)
и решаем задачу: найти	так, что справедливо равенство
(6.4).
Если выбрать базис	в подпространстве , то
функцию можно искать в виде
где Cft —,	- неизвестные коэффициенты. Тогда
ли^ = Рпл(с,еГ4... 4 ел с.р^лр, + спр^л£п (б.5)
Далее, функции Р^Л раскладываем по базису
р>^ .
Подставляя это разложение в (6.5), подучим
48
P^J)Ljfl = (Ct fyi'L +...+ Cfify/n) £fi- -+ CCffyn.,4 +- -f- &.tfan) ^n..
Аналогично, раскладывая Pf
pn^Ffei-h.-+F^^.
и приравнивая коэффициенты при . . z P/i. , подучим систему линей-
ных уравнений:
Г с/ ’ fyil * - - • *	^и- ^'F/
........	(6.6)
£ Сп. - tynJ. * fyfyn- ^'п- * F h. •
Решая систему (6.6), найдем неизвестные коэффициенты	Сп.
и тем самым неизвестную функцию Мц. .
Замечание. Согласно §1, для определения проектора
достаточно задать функции в/1	^п. и функционалы	/г.^-
Если заданы функционалы Лг, .	вместо систеил (6.6) можно
рассмотреть систему
* * <	’	(6.7)
которая после более подробного рас и' ывания примет виц
£ С(- С, = Р С: Л &: ,	(6.8)
J J j-.i J J I
где = h'i-t Fj ~	'Pjz
или, в матричном виде
= FC G-,	(6.9)
где - матрица из элементов  /I- - матрица из элементов
• -	&- - вектор с компонентами	; С - вектор с
компонентами 6'; . Неизвестная функция	находится после
решения системы Сб.9).
Перейдем к вопросу о сходимости приближенного решения
к точному решению Z/ уравнения (6.3).
Теорема
Пусть выполнены следующие условия:
I)	. Уравнение (6.3) имеет единственное решение при любой
функции / .
49
z). Существует такая константа M , что для любого п
// /;г // •<- Л/,
3). Для лабой функции z'V />
/7/ -^ г - г // — с , п — • «.
Тогда справедливы следующие утверждения:
4). Уравнение (6.4’’ имеет единственное решение МЛ 6х Х?Л(ПРИ
достаточно больших Л ).
. Существует константа С такая, что
II lJ- Un И & С //^ -P,t If// .
Прежде чем доказывать теорему, докажем лемму.
Лемма
Рассмотрим уравнение
=	^е25Л.	(6.10)
При условиях I), 2), 3) теоремы существует константа С\ такая,
что если 7% - решение уравнения (6.10), то // 7'^ // &. Ct
Доказательство. Если такой константы не сущест-
вует, то существует подпоследовательность	такая, что
//^//
Обозначим	/? ,
Тогда // ц i ,	о,	Е	t Kt .
Так как Л - вполне непрерывен, то из последовательности Лге^
можно выбрать сходящуюся подпоследовательность J 'rftfn. • ^сли
ЛчЛHfn.	сходится к функции , то из 3) следует, что •
Рп Jur„ сходится к -и) . Так как в уравнении
tin, *	If- Lt
Kfn-	f^rn.
, то	сходится тоже к & . Тогда
удовлетворяет уравнению
гЛ • JzJ.
Из условия I) следует, что <</ = о . Но, с другой стороны, так
50
как /7	//'= 1 г то должно быть //л.7/ = / . Итак, предполо-
жение о том, что такой константы С/ не существует, ведет к
противоречию. Лемма доказана.
Доказательство теоремы.
Применяя Z]t к обеим частям уравнения (6.3), получим
’ РпЛ^4 / -
Вычтем (6.4) из последнего уравнения
61 и - ип ' Р„ Ли - 6. Ли^ - Рп Л Рп г/ - р^Л p,v и + Рп Лп -PJfy
= (Р,.Л Рп и - p^.fipn) + (Рпли - Рп ЛРп и) =
= Ptl fi(PnU - Un ) a Pn.fi(U-PnU)
Таким образом, если обозначить РЛ • Рп U -	,
 Рп Л (U - Рп ) , Т0
^ 7г -- Рп-Л ь'н- *- LjH,
Применяя Лемму и вспоминая, что такое 7^,	> подучим
ПР,.и -	CfllPn.fi(P-Pnt/)II^PfflPnll ИЛИ-IIU -PnVU
Следовательно,
Ии-Uni! . UU- Рп ini 4 //Р^и - ип/1^ cf llPnll или //u-PnU/tt-
t Uu-Рп ин (С/ИРЛ или 4- Они -Рп ин.
Из условия 2) следует, что
Пи- ип и (Селили 4 Р) UU-Рп и и.
Если положить С * С/МИ-ЛП / У , то приходим к неравенству 5).
Теорема доказана.
Только что доказанная теорема дает замечательный аппарат
для оценок точности проекционных методов. Обратим внимание на
51
условие 21. Оно автоматически выполнено для ортогональных проекто-
ров. Для неортогональных проекторов доказательство условия 2)
обычно сложно.
§3. Примеры реализации проекционно-сеточных методов
Как и для дифференциальных операторов,проекционно-сеточные
методы основаны на том, что проектоы строятся с помощью какой-либо
сетки.
Рассмотрим уравнение
г
4/Лг? -- J Лсу >	/ /(^)	(6.II)
'	Ct
относительно неизвестной функции z/Фяе), определенной на отрезке
[О, С! . J(ъ) - Функция,известная на отрезке [О,	.
Построим на отрезке [С), с J сетку
С! -	< X/
(6.121
Кусочно-постоянная аппроксимация
На каждом отрезке	определим базисную функцию
[Л сге- C^.f, Т* ]
? ’’ I О, х.	Т
(6.13)
Приближенное решение	ищется в виде
/Л (Ю •	С1.	.	(е’14'
Для нахождения неизвестных коэффициентов 6% составляем
систец/ уравнений
я* р- g	я*
txn(^)cl^}dx + f jYz)t/z
Подставляя	в виде (6.14) и замечая, что если j / к ,
т0	= С ,	получим
52
С1х-<	Лк-( °	•2>-/
Обозначим Л	Заметив, что из вида функций
1рк (т) следует, что
J ^('Odx -Л ,
XK-t
г
j /с(х,<р
а
получим
С/^ Л ’ Л О. 2- Cj Л ^к- F/с ,
(6.16)
где
(6.17)
/2	= —
% л^К
Сокращая (6.6) на	, подучим систему
еК • х л. е, > f,, .
/= / J
(6.18)
Решая ее, получим неизвестные С,,	> и, следовательно,^»/^).
К системе, аналогичной6.18), можно придти и другим способом.
Вместо равенств (6.15) возьмем
53
a
где А* - некоторые точки из отрезка	т*. I -
Замечая, что
U(-^*) * 6% ,
получим
Введем обозначения:
F** / < т/; ;	у)сЬ .
-г -!
Тогда систему (6.19) можно переписать так:
С - а V? * F .
Приведем третью схецу. На каждом отрезке [^к-t, J
две базисные функции:
(6.19)
(6.20)
определим
Эти функции являются линейными на [J t причем
* с) - /; AZ^* О ‘ С,
( 'Гi-f f- С) - о, fv* - с) - У .
Функцию	аппроксимируем следующей функцией :
С\	(6‘21)
л1С ' ' a=f '
Видно, что	определяется неизвестными коэффициентами
54
Определим две матрицы размером Fn. х 2-П- '
^2л-/	/	f	i	A / A" ^4 /	, 'i>. /	1 ^ 7
Ц&с.tf 2j	0^4	I Pl'f	7
tjsz, 2j-f -	I Xj-1	I
	Як-I

Ae < -?£ = /	С3)pi (v)dx •
, 2k -I = J(<d>pi(’
-хЛ-<
2=z-z
Матрица Я) из элементов d^ имеет клеточную структуру:
она состоит из клеток размером 2x2.
Систему уравнений для определения !2п(х) составим, умножая
(6.II) на функцию	и интегрируя, после чего вместо Ufx)
подставляется выражение (6.21) для . В результате придем к
системе
РСС = (Z & F,
2к.-1
где Я - матрица из элементов d^j t Pl - матрица из элемен-
тов  t F - вектор с /?л- координатами
55
Литература
I.	Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функцио-
нального анализа - М.: Наука, 1972.
2.	Стренг Г., Фикс Дж. Теория методов конечных элементов
- М.: Мир, 1977.
3.	Норри Д., Ж.де Фриз. Введение в метод конечных элементов
- М.: Мир, 1977.
4.	Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач
- М.: Мир, 1980.
5.	Сатаев Е.А. Лабораторный практикум по курсу "Применение ВТ в
инженерных и экономических расчетах" - Обнинск, 1983.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ...................................................... 3
I.	Сведения из функционального анализа........................ 3
§1	. Линейные пространства................................ 3
§2	. Гильбертово пространство...........................   6
§3	. Пространства Соболева................................ 7
II.	Обобщенные решения эллиптических	уравнений................ 9
§1	. Симметричные положительно определенные	операторы.....	9
§2	. Схема Галеркина..................................... 12
Ш.	Одномерные эллиптические задачи........................   16
§1	.	Исходные уравнения.................................. 16
§2	.	Свойства энергетического пространства............... 19
§3	.	Свойства обобщенного решения........................ 25
§4	.	Численная схема для уравнения	второго порядка......	27
§5	.	Оценка точности..................................... 32
1У.	Численные методы решения задачи Дирихле................... 33
§1	.	Задача Дирихле...................................... 33
§2	.	Метод конечных элементов............................ 36
У.	Сплайны................................................... 39
У1.	Проекционно-сеточные методы для решения интегральных
уравнений.................................................     43
56
§1	. Проекторы........................................... 44
§2	. Проекта иные методы решения уравнения Фредголь-
ма II- рода.............................................	47
§3	. Пример газации проекционно-сеточных методов.......	52
Литература.... .............................................. 56
Редактор З.И.Сныкова
Подписано к печати 22.11.90 г.	Формат бум.л. 60x84/16
Печать офсетная	Бумага картограф. Печ.л. 3,62
Заказ 4863	Тираж 200 экз.	Цена 40 коп.
Обнинская городская типография
249020, г.Обнинск, ул.Комарова, 6