Системы счисления и двоичная арифметика - Ковриженко Г.А.

Автор: Ковриженко Г.А.
Теги: математика арифметика история математики
Год: 1984
Похожие
Арифметика цифровых машин
Математические основы информатики. Учебное пособие
Информатика и ИКТ. Профильный уровень: учебник для 10 класса
Системы счисления
Текст
                    СИСТЕМЫ -
СЧИСЛЕНИЯ
ГА.КОВРИЖЕНКО
От счета
на пальцах
до ЭВМ
ГАКОВРИЖЕНКО
СИСТЕМЫ
СЧИСЛЕНИЯ
И ДВОИЧНАЯ
АРИФМЕТИКА.
ОТ СЧЕТА
НА ПАЛЬЦАХ
ДО ЭВМ
Киев
сРадякська школа»
1984
22.12
К56
КОВРИЖЕНКО Г. А. Системы
счисления и двоичная
арифметика: От счета
на пальцах до ЭВМ,— К.: Рад.
шк„ 1984.— 79 с.—15 к, ЗООООэкз.
В книге просто и доступно
повествуется о возникновении,
свойствах и возможных
применениях, в частности
в вычислительной технике,
основных позиционных систем
счисления. Подробно
рассматриваются
арифметические операции
с целыми и дробными числами.
Особое внимание уделяется
двоичной системе, которую
«предпочитают» ЭВМ. Все
теоретические положения
снабжены занимательными
историческими справками
и раскрываются с помощью
системы примеров и упражнений
творческого характера.
Предназначается школьникам,
учащимся ПТУ и всем, кто
интересуется математикой.
Рукопись рецензировали:
доцент Киевского
педагогического института,
кандидат педагогических наук
3. И. Слепкань, доцент
Бердянского педагогического
института, кандидат
физико-математических
наук Н. В. Корчинский,
заведующая кабинетом
математики Запорожского
областного ИУУ J1. П. Канакина.
Художественное оформление
и рисунки J1. А. Дикарева.
Предисловие и исторический
комментарий кандидата
педагогических наук
А. Г. Конфоровича.
К 4802020000—258
М210(04)—84
351—84
©Издательство «Радянська школа», 1984
ЛЮДИ И ЧИСЛА
Число, возможно, самое удивительное творение человечес-
кого гения. Уже мыслители Древней Греции удивлялись
неисчерпаемости его свойств и многообразию применений.
Честь открытия числа приписывали мифологическим героям
или богам. Выдающийся древнегреческий драматург Эсхил
(525—456 гг. до н. э.) написал драму «Прометей прикован-
ный», где герой, перечисляя главнейшие открытия, которые
он передал людям, говорит:
Я всходы и закаты звезд
Им первый показал.
Для них я выдумал
Науку чисел, из наук важнейшую.
Считали даже, что числа вечны, были всегда — столь
трудно представить жизнь без этих постоянных спутни-
ков и помощников в делах человека. Много красивых и за-
нимательных легенд сложили люди о числах. Но только
длительное изучение культуры разных народов, первых мате-
матических текстов, математических знаний людей древне-
каменного века (палеолита) раскрыло еще более удивитель-
ную, но уже не мифическую, а действительную историю
возникновения и развития понятия числа. Конечно же,
числа, как и другие изобретения человека, не вечны и не по-
дарены ему кем-то, а создавались самим человеком на опре-
деленном уровне обобщения огромного опыта решения за-
дач практического характера. Более ста лет тому назад
Ф. Энгельс опроверг идеалистические измышления об исто-
ках возникновения и движущих силах развития понятия чис-
ла. В своей гениальной книге «Анти-Дюринг» он писал: «По-
нятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из
действительного мира. Десять пальцев, на которых люди
учились считать, т. е. производить первую арифметическую
операцию, представляют собой все, что угодно, только не про-
дукт свободного творчества разума» (Маркс К., Эн-
гельс Ф. Соч., т. 20, с. 37).
Итак, понятие натурального числа создавалось как модель
количественной характеристики конечных и равночислен-
ных совокупностей объектов действительного мира незави-
симо от их физической природы. Сегодня это очевидная
истина. Но так было не всегда. Не всегда были и числа.
В 1973 г. ученые встретили в джунглях острова Минданао
(Филиппины) неизвестное ранее племя людей — тасадаев.
Когда у них спросили, сколько человек насчитывает их пле-
мя, тасадаи не только не могли ответить на поставленный воп-
рос, они даже не знали, о чем у них спрашивают. Тасадаи
з
Люди и числа
катастрофически отстали в своем математическом развитии,
их математика еще оставалась на дочисловом уровне. Они
не знали даже первых натуральных чисел I, 2, 3, 4. Поисти-
не ошеломляющий марафон должна была пройти челове-
ческая мысль, чтобы от математики тасадаев достичь высот,
на которые приглашает читателей эта книга.
В ней уже сняты леса огромной стройки и творение поко-
лений безымянных и известных нам Колумбов математики
предстает перед читателями во всем своем блеске и велико-
лепии. Некоторым читателям книга эта может показаться
несколько утомительной. Изучение азбуки или музыкаль-
ных гамм — тоже не развлечение. Но только овладев ими,
мы можем насладиться поэзией А. С. Пушкина и Т. Г. Шев-
ченко, музыкой Моцарта и П. И. Чайковского.
В науке чисел есть своя особенность, не сразу постижимая
красота — логическое совершенство построения числовых
систем.
Различные системы счисления и строгие правила дейст-
вий над числами — это не свободные творения разума. Они
обладают теми свойствами математических понятий и отно-
шений между ними, которые превращают эти понятия в наибо-
лее совершенные модели количеств и количественных отно-
шений объектов окружающего человека мира. Именно
поэтому числа завоевали огромный авторитет надежного
и мощного инструмента в познании тайн природы, безотказ-
ного в практической и хозяйственной деятельности и самых
тонких теоретических исследованиях.
Интересно и весьма полезно знать хотя бы главные этапы
на пути восхождения человека к вершинам числа от счета
на пальцах до ЭВМ. Гениальный математик, создатель од-
ной из первых вычислительных машин Г. В. Лейбниц (1646—
1716) предупреждал: «Кто хочет ограничиться настоящим,
без знания прошлого, тот никогда его не поймет...».
Чтобы раскрыть читателям глубину результатов, связан-
ных с овладением счетом и системами счисления, изложение
теоретического материала книги сопровождается краткими
повествованиями о наиболее впечатляющих открытиях тайн
числа и его важнейших применениях.
А. Г. Конфорович
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
О СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ
Под системой счисления обычно понимают совокупность при-
емов записи и наименования чисел.
Системы счисления подразделяются на непозиционные
и позиционные.
Примером непозиционной системы счисления, достаточ-
но широко применяющейся в настоящее время, может слу-
жить так называемая римская нумерация (римские цифры).
В этой системе значение цифры не зависит от ее положения
в записи числа. Например, в записи числа XXX (тридцать)
цифра X в любом месте означает число десять.
Примером позиционной системы является хорошо извест-
ная нам десятичная система счисления. В позиционной систе-
ме счисления значение каждой цифры изменяется с измене-
нием ее положения (позиции) в последовательности цифр,
изображающих число. Например, в записи числа 555,5 циф-
ра пять повторяется четыре раза, но при этом самая левая
означает количество сотен, стоящая рядом с ней справа —
количество десятков, еще правее, перед запятой,— количе-
ство единиц, а цифра, стоящая после запятой,— количество
десятых долей единицы.
Последовательность цифр 555,5 представляет собой сокра-
щенную запись выражения:
5 . 102 + 5 • 10’ 4-5 • 10° + 5 • 10"1 ,
где
102=100, 10’ = 10, 10°= 1, 10"' = -^.
В десятичной позиционной системе счисления для записи
любых чисел используются только десять различных зна-
ков (цифр):
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Эти знаки введены для обозначения десяти последова-
тельных чисел, начиная с нуля и кончая девятью. Число де-
сять мы обозначаем уже символом «10». Для записи этого
числа мы не вводим новых знаков, а пользуемся уже имею-
щимися.
Запись чисел в этой системе основана на том, что десять
единиц каждого разряда объединяются в одну единицу со-
седнего, старшего разряда. В связи с этим саму систему на-
зывают десятичной, число десять — основанием системы,
5
Общие сведения о системах счисления
а знаки (цифры) 0,1,2,3,4,5,6,7,8.9 — базисными числа-
ми системы (они служат для обозначения некоторых различ-
ных целых и дробных чисел).
Итак, в позиционной системе счисления значение каждой
цифры поставлено в зависимость от того места, где она стоит
в изображении числа.
Позиционные системы нашли широкое применение в прак-
тической деятельности людей.
К непозиционным, как уже отмечалось, относится римская
система.
Историческая справка
Тасадаи — племя людей, так и не от-
крывших числа, не дошедших даже
до счета на пальцах, все же умели
получать информацию о количестве
предметов, имевших важное значе-
ние в их практической деятельности
Они сравнивали количества таких
предметов с некоторыми наиболее
часто встречающимися совокупно-
стями однородных и наиболее важ-
ных объектов. Если надо было сооб-
щить, что поймана одна рыба,
убит один зверь и т. д., вспоминали
Луну или Солнце, если же речь
шла о двух предметах, нм соот-
ветствовали слова «губы», «глаза»,
«уши», «крылья» и т. д., если о че-
тырех — «стороны света», о пяти —
«рука», о десяти — «обе руки». Та-
ким образом,численность предметов
сравнивалась с численностью неко-
торой совокупности-эталона. По-
лученная количественная характе-
ристика была еще неотделима от
конкретных качественных свойств
пересчитываемых предметов. Одна-
ко, не зная еще чисел, человек все
же научился устанавливать отноше-
ния «равно», «больше» и «меньше».
Открытие совокупностей-эталонов,
каждая из которых как бы пред-
ставляла бесконечный класс равно-
численных конечных совокупностей,
стало очень важным шагом на пути
формирования понятия числа.
Со временем числа-качества начали
постепенно отделяться от конкретных
объектов. Так, у аборигенов Флори-
ды «на-куа» — это 10 яиц, «йа-ба-
нар» — 10 корзин и т. д. И хотя
самого слова «на» («десять»), от-
деленного от конкретных объектов,
еще нет, но человеческая мысль уже
зафиксировала, что это «на» есть
чем-то общим в различных совокуп-
ностях и зависит не от конкретного
содержания составляющих их пред-
метов, а лишь от их количества.
Усложнение практической деятель-
ности и огромная умственная работа
по обобщению ее результатов с неиз-
бежностью привели человека к фор-
мированию первых натуральных чи-
сел, вначале только 1 и 2. Но это
было огромное завоевание теорети-
ческой мысли. К. Маркс писал:
«...Первой теоретической деятель-
ностью рассудка, который еще ко-
леблется между чувственностью и мы-
шлением, является счет» (М а рксК.,
Энгельс Ф. Соч., т. 1, с. 31).
На берегах Амазонки, в Южной
Америке в прошлом веке было обна-
ружено племя индейцев, которые
знали только три натуральных
числа: 1,2 и 3. Причем число 3 на-
зывалось необычайно громоздким
словом поэттаррарароринкоароак,
что свидетельствовало о непостижи-
мости и таинственности для них
этого числа 3. Один из ученых, от-
крывших это племя, писал: «К сча-
стью для этого народа, их арифметн-
ка.редко доходит до такого числа».
Другие народы проделали подобную
работу в глубокой древности. Со-
6
«Чтобы считать, надо
иметь не только предме-
ты, подлежащие счету, но
обладать уже и способ-
ностью отвлекаться при
рассматривании этих
предметов от всех прочих
их свойств, кроме числа,
а эта способность есть
результат долгого, опи-
рающегося на опыт исто-
рического развития»
Ф. Энгельс
Двенадцатеричная систе-
ма счисления существо-
вала некогда у разных
народов, о чем свидетель-
ствует употребляемый до
сих пор на Западе счет
некоторых предметов, на-
пример карандашей, та-
релок, предметов белья,
дюжинами.
Обозначения чисел ин-
дейцами племени ацтеков
(Мексика), принятые в
XI-XVI вв.
Единицу обозначали точ-
кой, двойку — двумя точ-
ками и т. д. до пяти.
В запись числа «шесть»
входила вертикальная
черта, отделявшая пять
первых точек от шестой.
Ясно, что счет велся груп-
пами по пять предметов.
Черта отделяла одну та-
кую группу от другой,
причем сама черта числа
не обозначала.
Общие сведения о системах счисления
Римские знаки — I, V, X, L, С, D, М;
их значения— I. 5, 10, 50,100,500,1000.
Пользуясь римскими знаками, запишем числа натураль-
ного ряда от I до 10 включительно:
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X.
Замечаем, что знак I, поставленный слева от другого (стар-
шего) знака, уменьшает на единицу значение старшего зна-
ка (IV, IX), а поставленный справа — увеличивает на еди-
ницу его значение (VI, VII, VIII).
На таком же основании проводится запись чисел.
Историческая справка
хранились каменные орудия труда,
изготовленные человеком около 2.5
миллиона лет тому назад. Анализ
этих орудий показал, что их нельзя
было изготовить без умения считать
и без элементарных представлений
о простейших геометрических фор-
мах.
Археологические памятники свиде-
тельствуют о том, что люди, жившие
в эпоху древнекаменного века (па-
леолита), 25—35 тысяч лет назад,
уже далеко продвинулись в технике
счета. Они выделили некоторые
часто встречающиеся числовые за-
кономерности, определили длитель-
ность таких важных естественных
ритмов, как год и лунный месяц.
Практическая деятельность ставила
перед человеком все более сложные
задачи, которые нельзя было решать
без дальнейшего овладения слож-
ной математикой. Необходимо было
не только определять количествен-
ные характеристики совокупностей
различных предметов, но и хранить
длительное время полученную чис-
ловую информацию, передавать ее
другим. Для этого человеку служили
наборы камешков, черепашек, зерен,
палочек, засечки на дереве, узелки
на веревке. Раньше люди носили с
собой специальный прибор, который
назывался — «нос» (от слова «но-
сить»), где засечками обозначали
важную числовую информацию. Де-
ревянные палочки или дощечки с та-
кими засечками были распростране-
ны и в других странах. Наши предки
их называли бирками. Отсюда изве-
стные поговорки «Завяжи узелок на
память», «Заруби на носу».
Неудобство таких способов хране-
ния числовой информации в том,
что ее носители (зерна, камешки,
бирки) годились и для других целей.
Камешками можно было в случае
необходимости воспользоваться как
оружием, зернами — как пищей,
а бирками — как топливом. Требо-
валось найти более надежный и уни-
версальный способ хранения число-
вой информации. Такой способ был
найден — числовую информацию
стали фиксировать с помощью цифр.
У разных народов они были разны-
ми, но объединяло их то, что обозна-
чали ими числа и только числа. Вве-
дение цифр явилось огромным за-
воеванием человеческой мысли, по-
ложившим начало не только разви-
тию математики, но и, как считают
многие ученые, письменности вооб-
ще.
Заметим, что числа не только задают
количество элементов в различных
совокупностях, но и помогают опре-
деленным образом упорядочивать
их. Это находит свое отражение в
языке: числа в первом его смысле
характеризуют количественные (один
два, три и т. д.), а во втором — по-
рядковые (первый, второй, третий
и т. д.) числительные.
Общие сведения о системах счисления
Римские числа — XL. LX, ХС, СХ, СМ. МС;
их значения— 40, 60, 90, НО, 900, 1100.
Продолжим запись чисел натурального ряда:
XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX;
XXI, XXII, XXIII, XXIV, XXV, XXVI, XXVII, XXVIII,
XXIX, XXX;
XXXI, XXXII, XXXIII, XXXIV, XXXV, XXXVI, XXXVII,
XXXVIII, XXXIX, XL;
XLI, XLII, XLIII, XLIV, XLV, XLVI, XLVII, XLVIII, XLIX, L.
Напишем число 88 римскими знаками: LXXXVIII.
В этой записи смысл каждого знака (символа) не зави-
сит от того места, на котором он стоит. Здесь, например, циф-
ра X повторяется три раза и каждый раз означает одну и ту же
величину — десять единиц.
ДЕСЯТИЧНАЯ
ПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Что же представляет собой наша обычная десятичная систе-
ма счисления, которой все мы пользуемся?
Число пятнадцать сокращенно мы записываем так: 15.
Такая запись означает, что это число содержит 1 десяток и
5 единиц. Иными словами, 15 — это сумма 1 • 10 + 5 • I.
Число двести двадцать два сокращенно мы записываем
так: 222.
Такая запись означает, что это число содержит 2 сотни,
2 десятка и 2 единицы. Иными словами, 222 — сокращенное
обозначение суммы 2 • 100 + 2 • 10 + 2 • 1.
Историческая справка
Вначале ряд натуральных чисел был
очень коротким. Так, у племен
островов Торресового пролива (се-
верная часть Австралии) единствен-
ными числами были: 1 — урапун,
2 — окоза. Число 3 называли окоза-
урапун, 4 — окоза-окоза, 5 — окоза-
окоза-урапун, 6 — окоза-окоза-око-
за. Как видим, уже с первых шагов
натуральный ряд формировался не
как хаотическое нагромождение все
новых и новых чисел, а как резуль-
тат практических потребностей лю-
дей. Оказавшись в лабиринте свойств
конкретных предметов, люди с
помощью совокупностей-эталонов,
как с нитью Ариадны, пришли к
гениальному открытию — построе-
нию ряда натуральных чисел. Где бы
люди его не создавали, он везде
начинался с единицы. За каждым на-
туральным числом непосредственно
следовало одно и только одно нату-
ральное число, на единицу-большее
предыдущего. Каждому натураль-
ному числу, кроме единицы, непо
средственно предшествовало одно и
только одно натуральное число, на
единицу меньшее последующего
Если сегодня это кажется очевид-
ным и простым, то только потому,
что гениальное совершенство конст-
рукции натурального ряда сделало
это изобретение вечным инструмен-
том, неисчерпаемым по своему при-
менению во всей человеческой
деятельности, и по количеству
свойств, которые находили в нем по-
коления математиков в прошлом
и будут находить в будущем.
Конечно, разные народы вложили в
формирование натурального ряда и
некоторые свои характерные черты.
Но это были второстепенные детали.
Главные же математические харак-
теристики люди открывали и клали в
основание единой конструкции чис-
лового ряда, хотя занимались этим
на разных континентах и в разные
эпохи. И это тоже закономерно. Хотя
люди решали разные практические
задачи, но они описывали их одина-
ковыми математическими моделями.
А главное, у них всегда были в
действии одни и те же совокуп-
ности-эталоны, прообразы или дей-
ствительные основания для создания
понятий первых натуральных чисел.
Человек скоро обнаружил, что счет
единицами не самый лучший. И уже
с первых шагов нашлись рационали-
заторы счетного мастерства. Жители
островов Торресового пролива, вла-
дея только двумя числами, по сути
уже использовали двоичную систему
счисления: они считали, не просто
слагая единицы, а, если их было
достаточно много, представляли
число суммой двоек, а если же оно
было нечетным, то еще прибавляли
единицу. Двоичная система была
очень распространена на первых
10
Цифры индейцев племени
майя, которые жили
на полуострове Юкатан
(Центральная Америка).
Их система была пози-
ционной с основанием 20,
причем в ней уже был знак
для нуля. Он напоминал
по своей форме полуза-
крытый глаз. Например,
число 20 индейцы майя
записывали при помощи
знака для единицы и вни-
зу знака для нуля.
Первой известной нам по-
зиционной системой счи-
сления была шестидеся-
тернчнаясистема вавило-
нян, возникшая примерно
за 2500—2000 лет до н. э.
Вавилоняне записывали
все числа от 1 до 59 по
десятичной системе, при-
меняя принцип сложения
и используя два знака:
прямой клин для обо-
значения I (а также 60)
и лежачий клин для-обо-
значения 10.
Вверху слева изображена
запись числа 92.
Цифры в Древнем Египте.
Вверху справа записано
число 444. Мы видим, что
древнеегипетская нуме-
рация похожа на рим-
скую, только при записи
чисел не употребляется
вычитание. Как же счи-
тали древние египтяне’
Оказывается, умножение
и деление они произво-
дили путем последова-
тельного удвоения чи-
сел. Заметим, что при
этом они пользовались
фактически двоичной си-
стемой.
Десятичная система счисления
Этой последней записи придают более удобную форму:
222 = 2 • 1024-2 • 10‘ 4-2 • 10°.
Читать эту строку следует так: 222 равно 2, умноженное на
10 в квадрате, плюс 2, умноженное на 10 в первой степени,
плюс 2, умноженное на 10 в нулевой степени.
Заметим, что любое отличное от нуля число в нулевой сте-
пени принято считать равным единице.
Следовательно, 10°= 1 и единицу можно заменить на 10°,
а 102= 10 • 10= 100.
Итак, 222 = 2 • 102 + 2 • 10*+2 • 10°.
Аналогично: 548 = 5 • 1024-4 • 10*4-8 • 10°;
85 287 = 8 • 1044-5 • 103ч-2 • 102 + 8 • 10*4-7 • 10°;
Историческая справка
этапах овладения техникой счета.
Но математическая мысль, начав
свое движение, уже не могла остано-
виться. Количество пальцев на руке
человека подсказало идею пяте-
ричной системы счисления. Счет в
пятеричной системе так же был до-
вольно распространен. Его интерес-
но описал в своей книге «На Чукот-
ке» писатель Т. Семушкин. Чукчи пя-
теричной системой счета владели до-
вольно уверенно в пределах тысячи,
хотя для этого приходилось пользо-
ваться пальцами рук и ног несколь-
ких человек. Например, чтобы под-
считать 128 оленей в стаде, чукча
использовал пальцы всех пятерых
членов своей семьи, а поскольку их
оказалось недостаточно, то пригла-
сили еще двух человек из соседней
яранги.
На этот подсчет ушло около трех
часов. Таким способом много не на-
считаешь. Другие народы поняли это
еще несколько тысячелетий назад и
нашли выход из, казалось бы, безна-
дежного положения, в котором они
оказались перед безконечной шерен-
гой чисел. Люди научились при по-
мощи немногих слов называть, а при
помощи немногих знаков записы-
вать результаты счета, т. е. создали
более совершенную устную и пись-
менную нумерации.
Наибольшее распространение полу-
чила десятичная нумерация (по ко-
личеству пальцев на обеих руках че-
ловека). Те народы, которые счита-
ли по количеству пальцев на обеих
руках и ногах человека, создали
20-ричную систему. Некоторые наро-
ды использовали 12-ричную систему.
Своеобразным синтезом 5-ричной и
12-ричной нумерации стала 60-рич-
ная нумерация, созданная шумеро-
вавилонянами.
В XXX в. до и. э. в Древнем Египте
была создана иероглифическая не-
позиционная система счисления.
Она не имела знака нуля. Каждый
иероглиф (от греческ. священная
резьба) изображал слово или слог.
Иероглифическое письмо использо-
валось только для важных, торжест-
венных текстов. Оно было сложным
для использования, поэтому его со
временем заменили иератическим, в
котором от каждого иероглифа оста-
лись только характерные черты. Еще
более упрощенным стало демоти-
ческое (общедоступное) письмо.
Числа от I до 9 — это вертикальные
черточки (знак засечки или заруб-
ки), 10 — путо для стреноживания
животных, 100 — мерная веревка,
которой пользовались египетские
землемеры, 1 000 — цветок лото-
са, 10 000 — указательный палец,
100 000 — головастик, 1 000 000 —
удивленный человек, 10 000 000 —
лучи восходящего солнца.
Древние египтяне использовали от-
12
Десятичная система счисления
222 780 = 2 • 105 + 2 • 10*4-2 • 103 + 7 • 102 + 8 • 10'+0 . 10°.
Итак, в десятичной системе счисления каждое целое поло-
жительное число представляется в виде суммы единиц, де-
сятков, сотен и т. д., т. е. в виде суммы различных степеней
числа 10 с коэффициентами, которые могут принимать зна-
чения от 0 до 9 включительно.
В общем виде:
tf = a„10rt + an_110"-4... + ail0' +а010°,
где 10 — основание десятичной системы счисления, а каж-
дый из коэффициентов а0, а\,а„_|, а п может принимать лю-
бое целое значение от 0 до 9 включительно.
Историческая справка
дельные иероглифы, только для не*
которых дробей: 1/2, 1/4, 2/3, 3/4.
Они еще не знали дробей вида m/п и
пользовались только дробями вида
\/п — так называемыми аликвотны-
ми дробями. Существенный шаг впе-
ред наблюдаем в шумеро-вавилон-
ской системе счисления. Для записи
чисел они использовали только два
знака — вертикальный и горизон-
тальный клинья. Числа до девяти за-
писывали соответствующим коли-
чеством горизонтальных клиньев.
Их получали при надавливании по
сырой глиняной табличке острием
трехугольной палочки. При записи
числа 10 на нее надавливали не вер-
тикально, а горизонтально и получа-
ли горизонтальный клин. Число 59
изображали пятью горизонтальны-
ми и девятью вертикальными клинь-
ями. Но самое удивительное наблю-
дается в том, что число 60 шумеро-
вавилонские писцы записывали тоже
одним вертикальным клином (как и
число I!).
Шумеро-вавилонские математики
открыли позиционный принцип в ну-
мерации и создали первую из извест-
ных нам позиционных систем счисле-
ния. Счет в пределах разрядов они
вели по десятичной системе, а при
переходе от одного разряда к после-
дующему — по 60-ричной. У шуме-
ро-вавилонских математиков внача-
ле не было знака для нуля, а когда
он появился, его ставили лишь при
отсутствии разрядов внутри числа и
никогда не писали, если не было
единиц в первом, втором и т. д. раз-
рядах в конце числа. Только из усло-
вия задачи или другим каким-либо
образом можно было отличать числа
12, 120, 12 000, потому что все они
записывались одинаково — один го-
ризонтальный и два вертикальных
клина. Поэтому вавилонская система
счисления и называется позицион-
ной, но непоследовательной. Она бы-
ла разработана в XXX — XXVIII вв.
до н. э. Мы и сейчас пользуемся
60-ричной вавилонской системой
счисления при измерении углов и
времени.
В V—XII вв. на полуострове Юкатан
(Центральная Америка) племена
майя создали двадцатеричную пози-
ционную систему счисления. В ней
использовались три числовых зна-
ка: единицы обозначались точками,
пятерки — горизонтальными черта-
ми и нуль — в форме стилизованной
ракушки. Памятники письменности,
как и весь народ майя, постигла
трагическая участь. Завоевав в
1527—1597 гг. территорию, где жили
майя, испанские инквизиторы огнем
и мечом насаждали среди туземцев
католицизм. Все, что расходилось с
духом этой религии, уничтожалось.
Сжигали непокорных людей, в пла-
мени костров погибли так же бесцен-
ные творения удивительной культу-
ры майя.
13
Десятичная система счисления
Чтобы записать цифрами число, надо выделить в нем клас-
сы (единиц, тысяч, миллионов, миллиардов и т. д.) и выпи-
сать последовательно числа каждого класса, начиная с выс-
шего. При этом нужно помнить, что в каждом классе, кроме,
быть может, высшего, должно быть три цифры; поэтому не-
достающие значащие цифры следует заменять нулями, а если
нет целого класса, то на его место ставить три нуля.
С введением десятичных дробей десятичная позиционная
система стала универсальным средством для записи всех дей-
ствительных чисел.
Целые положительные числа, у которых все цифры, кроме
цифры старшего разряда, нули, называются круглыми. На-
пример, 10, 70, 200, 400, 5000 и т. д.
Круглое число можно записать как однозначное, указывая
наименование единиц его старшего разряда, или как произве-
дение однозначного числа на соответствующую степень де-
сяти, например: 90 — это 9 десятков, или 9*10; 4000 — это
4 тысячи, или 4 • 103 (103=1000); 5000000 — 5 миллионов,
или 5 - 106 (106= 1 000000).
Вообще, число, изображаемое единицей с нулями, пред-
ставляет собой такую степень десяти, сколько у него нулей.
Это можно записать так:
1 000 000 .... 000= 10".
п нулей
Каждые десять единиц любого разряда образуют единицу
следующего высшего разряда, например: десять сотен —
единицу четвертого разряда — тысячу; десять тысяч — еди-
ницу пятого разряда — десяток тысяч; десять единиц пятого
разряда — единицу шестого разряда — сотню тысяч и т. д.
ПЯТЕРИЧНАЯ
ПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
В десятичной позиционной системе счисления каждое по-
ложительное целое число представляется в виде суммы еди-
ниц, десятков, сотен и т. д., т. е. в виде суммы различных сте-
пеней числа 10, например:
abcd = a- 103 + Ь- 102 + с- 10* =d-10°,
где а, Ь, с, d — строго меньше 10 (10 — основание системы
счисления).
Но с таким же успехом можно представить каждое целое
число в виде комбинации степеней не числа 10, а числа 5.
Тогда в новой системе, пятеричной, или в системе счисле-
ния с основанием 5 мы должны вести счет от 0 до 4 включи-
тельно обычным способом, а число 5 принять за единицу сле-
дующего разряда, обозначить в новой пятеричной системе
символом 10_ и читать: «1 пятерка, нет единиц».
5
Чтобы не путать такое обозначение с десятичным числом
10, ставим возле него справа внизу значок (индекс), указы-
вающий основание системы счисления.
Имеем для первого десятка чисел:
пять - 105=1 . 5' + 0 • 5°
шесть — 115= 1 *5*4-1 «5°
семь — 125=1 .5*4-2.5°
восемь — 135=1 -5* ч-З. 5°
девять — 145= 1 • 5* 4-4 • 5°
десять — 205 = 2 - 5* 4-0 - 5°
(пятерка — круглое число);
(1 пятерка, 1 единица);
(1 пятерка, 2 единицы);
(I пятерка, 3 единицы);
(I пятерка, 4 единицы);
(2 пятерки, нет единиц —
круглое число).
Упражнение 1. По такому же образцу запишите са-
мостоятельно числа второго десятка, т. е. одиннадцать, две-
надцать и т. д.
Числа третьего десятка будут иметь вид:
двадцать один — 415 = 4.5*4-1 «5°	(4 пятерки, 1 единица);
двадцать два — 425 = 4 • 5* 4-2 • 5°	(4 пятерки, 2 единицы);
двадцать три — 435 = 4 • 5* 4-3 • 5°	(4 пятерки, 3 единицы);
двадцать четыре — 445 = 4 • 5* 4- 4 • 5°	(4 пятерки, 4 единицы);
двадцать пять — 1005= 1 • 52-|-0 • 5* 4-0 • 5°	(1 пятерка в квадрате — круглое число);
15
Пятеричная система счисления
двадцать шесть — 10J5 = I • 52 + 0 • 5' + 1 • 5° (I пятерка
в квадрате. 1 единица);
двадцать семь — Ю25= 1 • 524-0 • 514-2 • 5°	(1 пятерка
в квадрате. 2 единицы);
двадцать восемь — 1035= I • 524-0 • 5* 4-3 • 5° (I пятерка
в квадрате, 3 единицы);
двадцать девять — 1045 = I • 52 + 0 • 514-4 • 5°	(1 пятерка
в квадрате, 4 единицы);
тридцать — 1105= I • 524- 1 • 51 4-0 • 5° (1 пятерка в квадрате.
I пятерка, нет единиц).
Историческая справка
К VI в до н. э. относятся древнейшие
памятники греческой культуры с ис-
пользованием в Древней Греции ат-
тической, или геродиановой, нумера-
ции. Но уже с V в. до и. э. ее начала
вытеснять алфавитная ионийская
нумерация. Первые девять букв а, р.
у,... обозначали числа I, 2, 3.... сле-
дующие девять букв — от 10 до 90 и
остальные буквы — от 100 до 900.
При помощи дополнительных зна-
чков в этой нумерации можно запи-
сывать числа до I07. Именно поэто-
му для записи больших чисел Архи-
мед, а потом Аполлоний Пергский
разработали позиционные нумера-
ции, которые,одна ко, не получили рас-
пространения. В V в. до н. э. алфа-
витная нумерация использовалась в
малоазиатских (ионийских) гре-
ческих поселениях. В IV в. до н. э.
она распространилась и в метропо-
лии.
Алфавитной была также нумерация
Древней Руси. Чтобы отличить,
когда буквы выступали в роли чисел,
над ними ставили специальный
знак — титло. Для записи тысяч ис-
пользовали те же буквы, что и для
единиц, но перед ними ставили спе-
циальный значок — дважды пере-
черкнутую наклонную черту. Для за-
писи десятков тысяч опять использо-
вали те же буквы, но без знаков тит-
ла и тысяч, а обведенные сплошной
линией — окружностью; для сотен
тысяч вокруг букв ставили точки, а
для миллионов — буквы обводили
венчиком из лучей.
Алфавитной является так же все еще
широко используемая римская нуме-
рация.
Иероглифические и алфавитные ну-
мерации имеют много недостатков.
Для обозначения больших чисел на-
до было бы вводить все новые и но-
вые знаки. Очень сложно выполнять
вычисления с числами, записанными
в этих нумерациях.
Вавилонская нумерация устраняет
алгоритмические недостатки иеро-
глифических и алфавитных нумера-
ций, но ее большое основ ание (число
60) очень усложняет умножение и
тем более деление. Таблица умноже-
ния содержит 1770 произведений:
от I • I до 60 • 60. Не случайно ва-
вилонские писцы, чтобы обойти эти
неудобства, составили и использова-
ли целую систему числовых таблиц,
без которых умножение и деление
60-рнчных чисел было бы головолом-
ной работой.
Мы уже видели, что счет десятками
присутствует во всех системах нуме-
раций. И это не удивительно, ведь на
обеих руках человека 10 пальцев.
Блестяще использовали это индий-
цы. Они создали последовательную
десятичную систему счисления и
разработали основанную на ней
арифметику. Основной предпосыл-
16
20
70
80
<10
О
Современные цифры воз-
никли примерно 1500 лет
назад в Индии. Арабы
заимствовали у индийцев
цифры и позиционную де-
сятичную систему, кото-
рую европейцы, в свою
очередь, заимствовали у
арабов. Поэтому наши
цифры, в отличие от рим-
ских, стали называть
арабскими. Заметим, что
с индийской нумерацией
знакомят арабов средне-
азиатские ученые, в пер-
вую очередь ал-Хорезми
(783 — ок. 850).
Около 500 г. до н. э.
в Милете (в греческой ма-
лоазиатской колонии Ио-
нин) возникла система
нумерации, использовав-
шая все буквы алфавита
и некоторые старые, вы-
шедшие из употребления
буквы, сохранившиеся
как дополнительные зна-
ки. Эта система нумера-
ции называлась иони-
ческой. С ее помощью
можно было довольно
просто записать все чис-
ла до 10е—1.
r
hoc
200 300
tv

ООО
0
Soo
(00



700
V.
800 900
2 1613-э
Первой, самой древней
«счетной машиной» были
пальцы рук и ног. На них
человек научился отсчи-
тывать довольно большие
числа. Различными заги-
бами пальцев рук изобра-
жали не только единицы
и десятки, но сотни и ты-
сячи.
Изображение пальцевого
счета в старой испанской
рукописи XIII в. В верх-
нем ряду числа 100, 2Q0,
300, 1000, 2000, 3000.
Пятеричная система счисления
Упражнение 2. а) Запишите числа четвертого и пя-
того десятков по следующему образцу:
31 ю соответствует 1115;
3210	-	1 125;
5О,о —	2005.
б) Объясните, как получили последнее число 2005. Какие
рассуждения этому предшествовали?
в) Прочитайте запись в десятичной системе счисления.
В нашем кружке 125 человек. Мы занимались изу-
чением позиционных систем счисления с 145 часов до 21ь
часа.
Историческая справка
кой создания индийской позицион-
ной десятичной нумерации послужи-
ли цифры «брахмаж, которые были
распространены в Индии с VI в. до
н. э. и содержали уже отдельные зна-
ки для первых девяти последова-
тельных натуральных чисел. Первая
известная нам запись числами брах-
ма с использованием позиционного
принципа относится к 595 г.: запи-
санным было число 346. Нуля еще
не было. Первая достоверная запись
с использованием нуля относится к
876 г., тогда было записано число
270. Первое свидетельство об индий-
ской системе счисления относится
к 662 г.
Арабские купцы вывозили много эк-
зотических товаров из далекой ска-
зочной Индии, но они и не подозре -
вали, что самым драюценным бага-
жом, который был вывезен караван-
ными путями, а потом распростра-
нился тысячами дорог по всей земле,
была именно индийская десятичная
позиционная нумерация и построен-
ная на ее основе арифметика.
Поэтому цифры, которыми мы поль-
зуемся теперь, называются арабски-
ми, хотя подлинными первооткрыва-
телями их были индийские ученые.
Сами арабы называли индийские
цифры и основанную на их основе
арифметику «Хисаб ал-Хинд», т. е
индийский счет.
Наиболее распространенным назва-
нием нуля в Индии было «шуньяж
(пустое, в смысле отсутствия единиц
в каком-то из разрядов числа). Сло-
во «шуньяж по-арабски «сифрж, что
тоже означает «пустоеж. Когда же
переводили арабские математиче-
ские книги на латинский язык, слово
«сифрж оставили без перевода в виде
«сИ1гаж, и вначале оно обозначало
нуль, а потом распространилось на
все десять знаков индийской нуме-
рации, которые стали называться
цифрами. Огромное значение для
распространения в средневековой
Европе десятичной нумерации и
арифметики имел трактат выда-
ющегося среднеазиатского матема-
тика Мухаммеда ал-Хорезми «Об
индийском счетеж.
Все новое в средневековой Европе
встречали в штыки. Индийские циф-
ры не были исключением. Против
них особенно упорно выступали слу-
жители церкви. Даже римский папа
Сильвестр II (ок. 940—1003) потер-
пел трагическое поражение из-за
своей приверженности к индийской
нумерации. Среди других обвинений,
выдвинутых против него, было и то,
что он может делить любые числа.
В глазах церковной братии это
было неопровержимым свидетель-
ством того, что он «продался
сатанеж.
18
Пятеричная система счисления
Действия над числами в пятеричной
позиционной системе счисления
Действия над числами в пятеричной позиционной системе
счисления выполняются по тем же правилам, что и в деся-
тичной системе счисления, но при этом пользуются таблица-
ми сложения и умножения однозначных пятеричных чисел.
Сложение и вычитание. Сложение любых чисел можно
свести к сложению однозначных чисел и к сложению круг-
лых чисел.
Результаты сложения любых двух однозначных чисел по-
казаны в таблице, где в каждой клетке записана сумма чис-
ла, стоящего в той же строчке слева, и числа, находящегося
в этом же столбце сверху.
	1	2	3	4	Таблица сложения. Сложение и вычитание многозначных чисел произ- водится поразрядно, начиная с младшего.
1	2	3	4	ю5	
2	3	4	ю5	Н5	
3	4		Н5	125	
4		П5	125	135	
Примеры. 1) 42015 + 34045= 13 1105 + 42015 3404s 131105 2) 131105—34045 = 42015 131105 34045					(1 пятерка с показателем 4, 3 пятерки в кубе, 1 пятерка в квадрате, 1 пятерка, единиц нет). (4 пятерки в кубе, 2 пятерки в квадрате, 1 единица).
42015
Умножение. Умножение любых многозначных чисел вы-
полняется без особого труда, если научиться умножать од-
нозначные числа, а также круглые числа.
X	1	2	3	4
1	«5	25	Зе	45
2	25	45	115	135
3	З5	н5	145	225
4	45	135	225	315
Таблица умножения.
В таблице даны произведе-
ния любых двух однозначных
чисел. Множители указаны
в верхней строке и в левом
столбце, а произведения по-
ставлены на пересечении со-
ответствующих множителям
строк и столбцов.
19
Пятеричная система счисления
Умножение круглых чисел. Легко найти и запомнить еле*
дующие произведения разрядных единиц:
105 • 105= 1005	(пятерка	в квадрате);
1005 • 105=10005	(пятерка	в кубе);
1005 • 1005=100005	(пятерка	в четвертой сте-
пени);
100005 • 1005= 10000005 (пятерка в шестой сте-
пени).
Проверка.
5 • 5 = 25 = 52;	25 • 25 = 625	= 54;
25 • 5 = 125 = 53;	625 • 25= 15625 = 5®.
Умножение любых двух круглых чисел сводится, в силу
свойств произведения (переместительного: а • b = b • а, соче-
тательного: а • 6 • с=а • (Ь • с); (а • Ь) • с=а • (6 • с) и рас-
пределительного: (а-|- Ь) • с=а • с-|- b • с), к умножению одно-
значных чисел и разрядных единиц.
Чтобы перемножить круглые числа, надо написать произ-
ведение первых цифр этих чисел и приписать справа столько
нулей, сколько их в обоих сомножителях вместе.
Пример.
400005 • 30005 = 2200000005 (2 пятерки в восьмой степени,
2 пятерки в седьмой степени)
Проверка.
Левая часть:	Правая часть:
40 0005 = 4 • 54 = 4 • 625 = 2500 2200000005 = 2 • 58+2 • 57 =
30005 = 3 • 53 = 3 • 125 = 375	= 2 • 390 625 + 2 • 78 125 =
2500 • 375 = 937 5ОО,о	=781 250+ 156 250 = 937 5ОО,о.
Упражнение 3. Выполните умножение и сделайте про-
верку:
а) 2005 • 3005; б) 4005 • 3005.
Умножение многозначного числа на однозначное.
3245 • 3 = 20325 Умножаем множитель на каждый разряд
3245	множимого, начиная с низшего. Рассуж-
х 3	даем: 4 единицы повторим три раза, будет
9П 9	2 пятерки, 2 единицы; 2 единицы записы-
5	ваем под единицами, а 2 пятерки запоми-
наем, чтобы сложить их с произведением множителя на чис-
ло пятерок, находящихся во втором разряде множимого.
2 пятерки повторим 3 раза, будет 1 пятерка в квадрате,
1 пятерка; 1 пятерка да две замеченных, всего 3 пятерки. Их
записываем в разряд пятерок, а пятерку в квадрате запоми-
наем, чтобы ее сложить с произведением множителя на число
пятерок в квадрате, имеющихся в третьем разряде множимого.
3 пятерки в квадрате повторим 3 раза, будет 1 пятерка в ку-
бе, 4 пятерки в квадрате. Присоединяя еще одну замеченную
20
Цифры в Древнем Риме.
Внизу крупными цифра-
ми записано число 444.
Эта форма записи менее
удобна, чем та, которой
мы теперь пользуемся.
Здесь четыре единицы за-
писываются одними сим-
волами (IV), четыре де-
сятка — другими (XL),
четыре сотни — третьими
(CD).
Памятник Петру 1, уста-
новленный в 1782 г. (на
одной из его сторон эта
дата высечена в римском
счислении) и воспетый
А. С. Пушкиным в поэме
«Медный всадник»:
Какая дума на челе!
Какая сила в нем
сокрыта!
А в сем коне какой
огонь!
Куда ты скачешь,
гордый конь?
И где опустишь ты
копыта?
Индийский математик
Бхаскара (XII в.) напи-
сал книгу под названием
«Лнлавати», т. е. «Пре-
красная» (наука арифме-
тика). Вид одной из ко-
пий (XIII в.) рукописи
«Лнлавати», написанной
на полосках пальмовых
листьев до того, как бу-
мага стала общеупотре-
бительной.
Пятеричная система счисления
пятерку в квадрате, записываем в разряде пятерок в квадра-
те 0 и в разряде пятерок в кубе 2.
Читаем результат: 2 пятерки в кубе, 3 пятерки, 2 единицы.
Упражнение 4. Выполните умножение и запишите
словами прочитанный результат: 3245 • 4.
Умножение многозначных чисел. При письменном умно-
жении двух многозначных чисел умножаем первый множи-
тель на однозначные числа каждого разряда второго мно-
жителя по правилу умножения многозначного числа на
однозначное. Получаем столько частичных произведений-,
сколько цифр во множителе. Начиная со второго частичного
произведения, единицы частичных произведений подписываем
на одну цифру левее единиц предшествующего частичного
произведения.
Если сомножители имеют нули справа, их мысленно от-
брасываем, умножаем обычным способом числа, выражен-
ные оставшимися цифрами, а затем приписываем к получен-
ному произведению справа все отброшенные нули.
Если множитель содержит нули в середине, то первую по-
Нсторическая справка
Отделившись от своих материаль-
ных носителей — объектов реальной
действительности, натуральные чис-
ла стали математическими абстрак-
циями и начали жить своей самосто-
ятельной математической жизнью,
содержательной, разнообразной и
неспокойной.
Оказалось, что числа не только
считают, но и наводят порядок, из-
меряют. Числа можно складывать и
вычитать, умножать и делить. И имен-
но здесь открылось еще одно оше-
ломляющее волшебное свойство чи-
сел. Если сами числа моделировали
количественные характеристики ко-
нечных совокупностей каких-то пред-
метов, то действия над числами бы-
ли уже моделями операций над эти-
ми совокупностями. А это открывало
необозримое поле применений чисел,
прогнозировало возможные резуль-
таты действий, которые без чисел
просто невозможно было бы предви-
деть. Действительно, если в одном
стаде было 5 слонов, а в другом 10.
то нет надобности пересчитывать,
сколько будет слонов в обоих ста-
дах. Достаточно сложить числа 5 и 10.
и полученная сумма даст искомое
число.
Практическая деятельность чело-
века постоянно подтверждает, что
числа не ошибаются, они пра-
вильно предсказывают, объясняют,
направляют, опознают. Надо только
уметь с ними обращаться. Но это бы-
ло исключительно трудным, даже
таинственным искусством. Не слу-
чайно древнеегипетский математи-
ческий текст — папирус Райнда, пе-
реписанный около 1800 г. до и. э. из
более раннего источника писцом Ах-
месом, начинается громким обеща-
нием научить читателя «совершен-
ному и основательному исследова-
нию всех вещей, пониманию их сущ-
ности, познанию их тайн. .». Вот чем
было для-писца того времени искус-
ство счета И вычислений, связанных
с натуральными числами и дро-
бями.
Пальцы человека были первым не
только счетным, но и вычислитель-
22
Среднеазиатский город
Самарканд (ныне Узбек-
ская ССР) был в XV в.
крупным культурным
центром. В 20-х годах
XV в. там рабоТ'ал выда-
ющийся ученый того вре-
мени — Джемшид Гия-
сэддин ал-Кашн. Это он
впервые изложил учение
о десятичных дробях.
Страница из «Ключа ари-
фметики» ал-Каши.
Число 10 легло в основу
подразделений метра
(одна десятимиллионная
часть четверти земного
меридиана). Вот почему
метрическая система мер
оказалась тесно связан-
ной с десятичной систе-
мой счисления: отноше-
ние двух ближайших еди-
ниц длины в ней постоян-
но и равняется именно
десяти.
Через 150 лет после ал-
Каши в Европе учение о
десятичных дробях впер-
вые изложил фламанд-
ский инженер и ученый
Симон Стевин (1548—
1620). В 1585 г. он напи-
сал небольшую книгу под
названием «Десятая».
Эта книга состояла всего
лишь из 7 страниц, одна-
ко содержала всю теорию
десятичных дробей.
Пятеричная система счисления
лученную цифру частичного произведения ставим левее на
одну, на две и более цифр в зависимости от числа нулей.
Пример. 3245 • 4035 = 2431325.
х 3245
4035
2032 пятеРки в пятой степени, 4 пятерки в четвер-
2^ || 5 той степени, 3 пятерки в кубе, 1 пятерка в ква-
5_________ Драте, 3 пятерки, 2 единицы).
2431325
Запишем каждый множитель и произведение в десятичной
системе и проверим правильность полученного результата.
3245 = 3 • 52 + 2.5'4-4.5° = 3 • 254-2 • 54-4 • 1 =
= 75+Ю+4 = 8910;
4035 = 4 • 524-0 • 5*4-3 • 5° = 4 • 254-0 + 3= 10310;
2431325 = 2 • 55 + 4 • 54 + 3 • 53+1 • 52 + 3 • 5’ 4-2 •5° =
Историческая справка
ным прибором. Приемы пальцевого
счета излагались еще в учебниках
XVI в. Появление письменности спо-
собствовало изобретению многочис-
ленных операций над числами. В Ин-
дии выполнение вычислений иногда
называли «дхули кармо» (работа с
пылью), так как вычисления произ-
водились сначала прямо на земле, а
потом на счетной доске (абаке),
покрытой песком или пылью. Числа
писались заостренной палочкой. Те-
перь абаком называют любой счет-
ный прибор, на котором отмечены
места (колонки, строчки) для от-
дельных разрядов чисел. Камешки,
косточки, жетоны или другие мелкие
предметы, помещенные в разных ко-
лонках, имели различное числовое
значение. Вычисления на абаке
сводятся к выкладыванию вычисли-
тельных элементов (по определен-
ным правилам). Поскольку камешек
по латыни calculus, то отсюда и
известный термин calculation (каль-
куляция) — подсчет, или вычисле-
ние.
Абак сыграл существенную роль в
истории математики. Благодаря аба-
ку в Китае возникло понятие дроби
как числа. При решении на абаке
систем линейных уравнений естест-
венным образом появились (вошли в
математику) отрицательные числа.
На абаке были сделаны и многие
другие открытия. Домеханическнй
период развития вычислительных
машин называют иногда периодом
абака.
В десятичной системе все математи-
ческие действия выполнять проще на
бумаге, чем на абаке. Поэтому абак
превратился в прибор для вспомо-
гательных вычислений (в России как
счеты, в Китае — <суан-пан», в Япо-
нии — «соробан»).
В России наиболее распространен-
ным были два приема инструмен-
тального счета — счет костьми и до-
щаный счет. Ими пользовались уже
в XVI в. Существует мнение, что
счет костьми уходит своими корнями
в глубокую древность. Почти во всех
списках «Счетной мудрости» (XVII в.)
имеются статьи о «дощаном счете» —
самобытном русском инструмен-
тальном способе счисления. В списке
1691 г. впервые наряду с выражени-
ем «дощаный счет» появилось слово
«счеты».
24
Загибая и разгибая паль-
цы, складывая и вытяги-
вая рукн.людн не только
считали до десятков и со-
тен тысяч, но и произво-
дили некоторые арифме-
тические действия.
Пальцевой счет. (Из
«Арифметики» Л. Пачоли
(1454—1514)).
Известный хорезмский
математик и астроном
Мухаммед ибн Муса ал-
Хорезми (783—ок. 850) —
автор первого на араб-
ском языке труда, содер-
жащего изложение деся-
тичной позиционной ну-
мерации и сыгравшего
огромную роль в рас-
пространении новой ну-
мерации в Европе.
Таблица умножения из
книги ал-Хорезмн.
В средние века очень
распространенным был
способ умножения «ре-
шеткой», названный в
Италии «Джелозия»
(оконные жалюзи).
На рисунке показаны
виды умножения этим
способом числа 934 на
314.
Пятеричная система счисления
= 2 • 3125 + 4.625 + 3 • 125+1 • 25 + 3 • 5 + 2 • 1 =
= 6250 + 2500 + 375 + 25+15 + 2 = 916710;
89|о • 1О31о = 9167,о.
Сравнивая полученные результаты, убеждаемся в правиль-
ности наших вычислений в пятеричной системе счисления.
Деление «углом». Такое деление так же, как и в десятич-
ной, можно выполнять в пятеричной системе счисления.
303045 : 2125= 1145 (остаток 315).
303045 | 2125
“212
1434
“1403
Проверка. 2125 • 1145 + 315 = 303045.
1) 2125	2) 302235
Х H4s	+315
1403	30304с
+ 212
212
302235
Упражнение 5. Разделите число 30135 на 215 и убеди-
тесь в правильности полученного результата.
Перевод чисел из десятичной системы счисления
в пятеричную позиционную систему
Рассмотрим число 328710.
Выясним сначала, сколько в этом числе пятерок, т. е. еди-
ниц второго разряда, и сколько простых единиц. Чтобы это
узнать, разделим его на 5.
328710	5
28	657
(количество пятерок)
37
2 (количество единиц)
Следовательно, в пятеричной записи числа последняя циф-
ра будет равна 2 (2 единицы).
26
Умножение чисел 9876 и
6789 «решеткой».
(Из итальянской книги
XVI в.).
На этом способе умноже-
ния был основан простой
и удобный прибор для
умножения чисел — так
называемые палочки Не-
пера, описанные впервые
в 1617 г. шотландским
математиком Джоном
Непером.
Отдельные знаки для не-
которых математических
понятий появились еще в
древности. Однако до
XV в. почти не было об-
щепринятых арифмети-
ческих знаков. Знаки
« + » и « —» встречаются
уже в начале 80-х годов
XV в. в рукописях, но впе-
чати впервые появляют-
ся в арифметике Видма-
на (1460 — I пол. XVI в.).
изданной в Лейпциге в
1489 г. под названием
«Быстрый и красивый счет
для всего купечества».
Треугольная и квадрат-
ная таблица умножения
из книги Видмана.
Пятеричная система счисления
Для нахождения предпоследней цифры разделим найден-
ное нами частное 657 снова на 5.
657 5
15	131 (количество пятерок в квадрате)
7
2 (количество пятерок)
Получили частное 131 и остаток 2.
Следовательно, предпоследней цифрой в пятеричной запи*
си числа будет цифра 2 (2 пятерки).
Зная, что каждые пять единиц третьего разряда состав-
ляют одну единицу четвертого разряда, делим число 131
на 5:
131 I 5
31 1 26 (количество пятерок в кубе)
1 (количество пятерок в квадрате)
Получили частное 26 и остаток 1. Этот остаток и представля-
ет собой третью с конца цифру в пятеричной записи числа.
А разделив число 26 на 5, получаем:
26|5_
1 |5 (количество пятерок в 4-й степени)
(количество пятерок в кубе)
Имеем в частном 5 и в остатке 1.
Остаток 1 представляет собой четвертую с конца цифру
в пятеричной записи числа.
И, наконец, разделив последнее частное на 5, получаем ос-
таток 0 и частное 1, которое уже делить на 5 не можем.
Остаток 0 дает нам пятую с конца цифру в пятеричной запи-
си числа, а частное 1 представляет собой шестую с конца циф-
ру, т. е. цифру наивысшего разряда пятеричного числа.
Таким образом, числу 328710 соответствует число 101122«.
Выкладки, выполненные для перехода от десятичной запи-
си числа 328710 к его представлению в пятеричной системе,
удобно записать так:
28
Запись дробей в Египте.
В столбце I представлено
иероглифическое, в столб-
це 2 — иератическое, а в
столбце 3 — демотиче-
ское письмо.
Египтяне, как и некото-
рые другие народы древ-
ности, выражали любую
дробь в виде суммы толь-
ко так называемых основ-
ных дробей, числитель
которых равен единице.
Египтяне писали на папи-
русах, т. е. на свитках,
изготовленных из стебля
крупных тропических
растений, носивших то же
название. Важнейшим по
содержанию является па-
пирус Ахмеса, названный
так по имени одного из
древнеегипетских писцов,
рукою которого он был
написан. На рисунке
представлен обрывок па-
пируса Ахмеса.
Отрывок древнеегипет-
ского инвентаря стад.
Сверху число 223 000, ни-
же 232 413 (надпись на
могиле фараона).
Пятеричная система счисления
Проверка.
1ОН225= 1 • 55+0 • 54+1 *53+1 • 52+2 • 5‘+ 2.5° =
= 3125-1-04-125 + 25+ Ю + 2 = 328710.
Упражнение 6. а) Переведите числа из десятичной
системы счисления в пятеричную позиционную систему:
89ю»	1978|q.
б) Запишите дату выполнения работы в пятеричной пози-
ционной системе счисления.
в) Составьте таблицу первых десяти степеней числа 5.
ДВОИЧНАЯ
ПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Позиционная система счисления с основанием 2 называется
двоичной. Примечательна она тем, что именно ее предпочи-
тает ЭВМ.
Для записи чисел в двоичной системе используются только
две цифры: 0 и 1. Число два, т. е. основание системы, запи-
сывается как 102.
Если прибавить к числу 102 единицу, то получим двоичную
запись числа 3 : 112.
Для получения в двоичной системе числа 4 надо к числу
3 (112) прибавить единицу. Такое прибавлениенапоминаетнам
переход от числа 99!0 к числу 10010. В числе 112 разряд еди-
ниц и следующий высший разряд уже заполнены, поэтому
прибавление единицы приводит к переполнению сначала раз-
ряда единиц, сбросу единиц и переносу в разряд двоек,затем
переполнение разряда двоек ведет к переносу единицы в сле-
дующий высший разряд, т. е. двоек в квадрате. Следователь-
но, число 4 будет записано как 1002. Его следует читать так:
1 раз по четыре единицы, или 1 раз по два в квадрате.
Следующие дальше в порядке возрастания целые числа
запишутся:		
пять — 1012	(1 раз по четыре единицы, нет единицы, есть одна единица);	по две
шесть — 1102	(1 раз по четыре единицы, 1 раз единицы);	по две
семь — 1112	(1 раз по четыре единицы, 1 раз единицы, есть одна единица);	по две
восемь — 10002	(1 раз по восемь единиц, или 1 два в кубе);	раз по
девять — 10012	(1 раз по восемь единиц, нет по четыре единицы, нет по две единицы, есть одна единица).	
Упражнение 7. Запи-
сать последовательные целые
числа от единицы до тридца-
ти двух в двоичной и пяте-
ричной системах счисления
по следующему образцу:
Десятичная	Двоичная	Пятерич- ная
0	0	0
1	1	1
2	10	2
32		
Перевод из двоичной системы счисления
в десятичную и обратно
abed = а • 103-|-Ь • 102-|-с • 101	• 10°, где a, b, с, d — стро-
го меньше 10 (10 — основание системы счисления).
31
Двоичная система счисления
Имеем:
10012=1 • 23 + 0 • 22 + 0 • 2‘+1 • 2° = 8 + 0+0+1 =910.
Аналогично:
1000012 = 1 • 25+0 • 240 • 23+0 • 22+0•2' +
4-1 • 2° = 32 + O + O + O + O+l=33to.
Перевод из двоичной системы в десятичную легко выпол-
няется на основе нумерации в двоичной системе. Например:
111012= 16 + 8 + 4 + 0+1=2910.
Чтобы выполнить обратный перевод, т. е. перевести число
из десятичной системы счисления в двоичную, необходимо
последовательно делить десятичное число и его десятичные
частные на основание двоичной системы, т. е. на число 2. Де-
ление производится до тех пор, пока полученное частное не
будет меньше основания новой системы счисления, т. е. мень-
ше числа 2. Например:
2510 JL
5 12 2
1	0 6_|2
0 ПГ|2
I 1
Объясним записанное более подробно.
1)	Разделили число 25)0 на 2, чтобы узнать, сколько в нем
двоек; их оказалось 12, остаток 1; это значит, что на послед-
нем месте в разряде простых единиц должна быть 1.
2)	Полученное число двоек, т. е. 12, делим на 2, чтобы уз-
нать, сколько в этом числе четверок: 12 : 2 = 6, остатка нет.
Это значит, что в разряде двоек, т. е. на предпоследнем мес-
те, должен быть 0.
3)	Далее делим число 6 на 2, чтобы узнать, сколько в на-
шем числе восьмерок: 6:2 = 3. Остатка нет. Значит, на месте
четверок стоит 0.
4)	Наконец, разделив число 3 на 2, получим 1; узнали, что
в разряде восьмерок 1, а в следующем старшем разряде 1.
Этот разряд соответствует шестнадцати.
В дальнейшей работе деление будем производить уст-
но, а в записи оставлять только частные и остатки от де-
ления.
Форма записи может иметь такой вид:
32
Двоичная система счисления
Числу 8110 соответствует число 10100012-
Упражнение 8. Пользуясь общим правилом и послед-
ней формой записи перевода, переведите в двоичную систему
счисления следующие числа десятичной системы:
102; 221; 38; 60; 82.
3 1613-3
ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА
Арифметические действия в двоичной системе (двоичной
арифметике) производятся по обычным для позиционных
систем правилам (алгоритмам), которые нам известны из де-
сятичной арифметики, но, конечно, при этом используются
таблицы сложения и умножения двоичной системы.
Таблица сложения.
0 + 0= 0
0+1= 1
1+0= 1
1 + 1 = 102
Таблица сложения в двоич-
ной системе очень проста. На-
до только помнить, что при-
бавление нуля не меняет чис-
ла, а один плюс один, будет
два.
0 • 0 = 0
0-1=0
1 • 0 = 0
1.1 = 1
Таблица умножения.
Таблица умножения еще про-
ще. Здесь нужно твердо
знать, что любое число, умно-
женное на нуль, есть нуль
и что умножение на I не меня-
ет числа.
Сложение. Сложение многозначных чисел производится
точно так же, как и в десятичной системе, т. е. поразрядно,
начиная с младшего. Например:
1011012 — первое слагаемое
+ 101002 — второе слагаемое
1 0000012 — сумма
Проверим правильность наших вычислений. Для этого дан-
ные числа запишем в десятичной системе и сложим их.
Имеем:
1011012=1 • 25 + 0 • 24+1 • 23+1 • 22 + 0 • 2‘ + 1 • 2° =
= 32 + 0 + 8 + 4 + 0+ I = 45IQ.
101002=1 . 24+0 • 23+ 1 • 22 + 0 • 2' + 0 • 2° =
= 16 + 0 + 4+0 + 0 = 2О|0.
45]о + 20,0 = 6510.
10000012= 1 • 2® + 0 • 25 + 0.24 + 0 • 23 + 0 • 22 +
+ 0 • 2* + 1 • 2° = 6410+1 =6510.
0-0 = 0
1-0=1
1-1=0
102— 1 = 1
Вычитание. Вычитание в
двоичной системе выполня-
ется по таким правилам:
34
Как свидетельствуют Ста-
ринные памятники рус-
ской истории, наши пред-
ки-славяне, находившие-
ся в культурном общении
с Византией, пользова-
лись десятичной алфа-
витной славянской нуме-
рацией, сходной с ионий-
ской. Над буквами-чис-
лами ставился особый
знак, названный титло.
Старейшим арифметиче-
ским памятником Киев-
ской Руси является сочи-
нение о календаре, напи-
санное на славянском
языке в 1136 году и на-
званное «Наставление,
как человеку познать
счисление лет». Автором
его считается Кирнк Нов-
городец.
На рисунке — страница
из «Наставления».
В русских рукописных
арифметиках XVII в. упо-
требляются следующие
наименования чисел:
10 000 —тьма, 100 000 —
легеон, 1000 000 леодр.
Эта система наименова-
ний называлась «малым
числом». В тех же руко-
писях встречается и дру-
гая система, так называ-
емое «великое число», в
которой большие числа
назывались так: 103 —
тысяща, 10е—тьма,
10” — легеон, 102< — ле-
одр, 10** — ворон.
Двоичная арифметика
Пример. И10101112-11000012.
1110101112
— 11000012
101I101102
Точки, поставленные над некоторыми разрядами умень-
шаемого, показывают, что в двоичной системе единица поме-
ченного разряда раздробляется на две единицы низшего раз-
ряда.
Проверка.
II10101112=1.241 *241 • 2*4-0 • 24 1.24 +
4-0.24 Ь241 «241 • 2° = 256+128 + 64 + 0 +
4-164-04-44-24-1 — 471 ,о;
11000012=1 .2*4-1 . 24о • 240.240.24
4-0 • 241 • 2° = 64 + 32+0 + 0-|-0 + 0+1 =9710.
Разность этих чисел должна равняться:
471,0-9710 = 37410;
1011101102 = 1 • 240 • 24 1 • 2*4-1 • 241 • 24
4-0 • 24 1 • 24 1 • 240 • 2° = 256 + 0 + 64 + 32 +
4-1б4-04-44-24-0 = 37410.
Упражнение 9. Выполнить действия и проверить пра-
вильность полученных ответов в следующих примерах:
а) 101012+ 1012;	в) 101 1012-1112; д) 10 1 002+111102;
б) 1111102+10112; г) 10 0012-11002; е) 10 1112-10 0112.
Умножение. При умножении двоичных чисел столбиком
целесообразно оставлять место для записи единиц перенесе-
ния в высшие разряды.
Пример. 11101г * 11012-
Решение.
111012 — множимое
11012 — множитель
11101 — множимое
4- 11101	—множимое, сдвинутое на два разряда влево
11101	— множимое, сдвинутое на три разряда влево
1011110012— произведение
Проверка.
111012=1.241 «241 «240.241.2° =
= 164-8 + 44-1=29,о;
11О12 = 13,о; 29,о • 13,о = 377,0;
1011110012=1 • 240 • 241 • 241 • 241 • 24
1 -240.240.241 • 2° = 256 + 0 + 64 + 32+16 +
+ 8 + 0+ 1 = 377,0-
36
Книга Л. Ф. Магницкого
«Арифметика, сиречь на-
ука числительная* была
напечатана в 1703 г. на
славянском языке. В то
время она стала энцикло-
педией математики. Ин-
тересно заметить, что в
«Арифметике» выделено
как особое действие «ну-
мерацию, или счисление».
Цифры, знаки арифмети-
ческих действий и другие
математические символы
вырабатывались людьми
на протяжении веков в
тесной связи с развити-
ем самой арифметики.
Постепенно изменяясь,
индийские цифры приня-
ли форму, близкую к сов-
ременной.
123456 7890

М» 
1275 г
#92 г.
В материалах записных
книжек А. С. Пушкина
имеется заметка: «Форма
цифр арабских составле-
на из следующей фигуры:
AD (1), ABCD ’(2);
ABECD (3), ABD + AC
(4)». Интересно, что на-
чертанные поэтом цифры
очень похожи на цифры
почтовых индексов.
Двоичная арифметика
Как видим, в двоичной арифметике при умножении не нуж-
на таблица умножения. Не приходится находить произведе-
ния первого множителя на значения последовательных раз-
рядов второго множителя, так как значения этих разрядов
или I или 0. Достаточно записать значения первого множи-
теля друг под другом со сдвигом на один разряд; в случае ра-
венства какого-нибудь разряда второго множителя нулю, его
сдвигают на два разряда.
Пример. 11011’112 • 1011012.
11011112
X 1011Q1,
1101111
1101111
1101111
1101111
10011100000112
Проверку решения сделайте самостоятельно.
Упражнение 10. Прочитайте и убедитесь в правиль-
ности записанных равенств:
н2. 112=10012 112 . 1002= 11002 Н2 - 1102= 100102 112 • 1012=11112 112 • 10002=110002 112 - 10012=110П2 112 • 1112- 101012 112 • 10102=111102 Деление.	1012 • 1012=110012 101, . 1012= 111102 1012 • 1112= 1000П2 1012 - 10002=1010002 1012 • 10012= 1011012 1012 . 10102=1100102 0,t012 • 0,112 = 0,011112 0,1112.0,10002= 0,01110002
Разделим число 1111002 на число 10102.
1111002 1010g
~1010 ПО,
_Ю10
1010
0 Проверка. 10102«	• 1102= 11 11002.
10102
х ИО,
1010
1010
1111002
Упражнение 11.
Выполните деление и проверьте правильность полученных
ответов:
а)	110112: 112;	в) 101012 : 1012;
б)	1010111112: 110112; г) 10110102: 10012.
ДЕЛИМОСТЬ
НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Каждое натуральное число является либо составным, либо
простым независимо от той системы счисления, в которой оно
записано. Например:
36|0= 1001002= 1215 = ... — составное,
3710 = 1001012= 1225 = ... — простое.
Всякое составное число выражается через произведение
простых чисел, причем их число одинаковое в любой систе-
ме. Например:
3610 = 22.32;	3610=100Ю02=10|. 11|;
20|0 = 22 • 5;	2010= 101002= 10? • 1012.
Теория и .техника нахождения наибольшего общего де-
лителя— НОД одинакова во всех системах счисления.
Например:
НОД (3610; 3710) = 1;
НОД (3610; 2010)=410;
3610 = 220 « 3fQ; 20IQ = 22Q« 5|0,
НОД (3610; 2010)=220 = 410.
НОД (1001002; 1001012) = 1;
НОД (1001002; 101002) = 1002;
1001002=10|« 11J; 101002=10? • 1012;
НОД (1001002; 101002) = 101= 1002.
Вспомним правило нахождения НОД двух натуральных
чисел.
Для получения НОД двух натуральных чисел достаточно:
1)	разделить большее число на меньшее;
2)	разделить меньшее число на первый остаток;
3)	разделить остаток на второй остаток и т. д. до тех пор,
пока не получится частное без остатка;
4)	тот первый делитель, при котором осуществится деление
без остатка, и будет НОД данных чисел.
Пусть надо найти НОД двух чисел 35 и 21.
В десятичной системе:	В двоичной системе:
351 21
~21 |Г~
_21	14
________14	1
_14 ___7
14	2
0
1000112 10101,
10101	1
10101 1110
1110
1110	111
ию io;
0
НОД (35; 21) = 7.
НОД (1000112; 101012) = 1112.
39
Делимость натуральных чисел
Теория и техника нахождения наименьшего общего крат-
ного — НОК одинакова во всех системах счисления. Напри-
мер, пусть требуется найти НОК чисел 36)0 и 2Oto, т. е. найти
такое число, которое делилось бы на 36|0 и на 20|0 и было бы
наименьшим среди остальных чисел, которые делятся на 36|0 и
на 2Oto.
В десятичной системе:	В двоичной системе:
36 = 22 • З2; 20 = 22 «5; НОК (36; 20)=22 • З2 • 5 = = 4-9. 5=18010.	1001002=101 • 112; 10100,= 10g . 101,;	 НОК (1001002; 101002) = = 10f • Hl • Ю12= 1002 X Х 10012 . 1012= 101101002.
Итак, НОК (1001002; 101002) = 101101002= (128 + 32+16 +
+ 4) |0= 18010.
Вспомним способ нахождения НОК на основе взаимной
связи НОК и НОД.
Известно, что произведение НОК и НОД двух чисел равно
произведению этих чисел. Например, НОК (10; 15) =30;
НОД (10; 15) =5.
НОК (10; 15) - НОД (10; 15) =30 • 5= 150.
Произведение данных чисел: 10 • 15= 150.
Отсюда следует правило нахождения НОК.
Для получения НОК двух чисел достаточно:
1) найти НОД данных чисел;
2) произведение двух данных чисел разделить на найден-
ный их НОД.
Пример. Найти НОК (36; 20) на основе взаимной связи
НОК и НОД.
1) Сначала находим последовательным делением НОД
(36; 20):
В десятичной системе:
В двоичной ’системе:
_1001002
10100
10100 10000
10000| 1
10000 100
100	100
о
101002
1
НОД (36; 20)=4|0.
НОД (100 1002; 10 1 002) = 1002.
40
Делимость натуральных чисел
2) Находим произведение чисел 36 и 20 и делим его на
НОД (36; 20), т. е. на число 4.
В десятичной системе:
В двоичной системе:
^О = 18О,о.
100100,  101002 = 10,|0100г.
1002
Имеем:
НОК (36; 20) = 18010.
НОК (1001002; Ю1002) = 101101002= 18010.
Упражнение 12.
Найдите двумя способами:
а) НОК (96; 144); б) НОК (101002; 11112); в) НОК
(100002; 11002).
ВОСЬМЕРИЧНАЯ
ПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Позиционная система счисления с основанием 8 называется
восьмеричной. Она важна как переходная от десятичной
системы к двоичной.
Для записи чисел в восьмеричной системе используется
восемь цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7.
Число 8 в восьмеричной позиционной системе записывается
как 108 (1 восьмерка, нет единиц). Это число образуется
прибавлением 1 к предыдущему числу 7, но 7 в восьмеричной
системе наибольшее число единиц, которое может быть запи-
сано в одном разряде числа. Поэтому прибавление I к 7 влечет
за собой переполнение разряда единиц и перенос единицы в
следующий разряд (это похоже на то, когда прибавляют I к 9 в
десятичной системе счисления).
Число 9 в восьмеричной позиционной системе запишется как
118 (I восьмерка, 1 единица). Индекс 8 показывает, в какой
позиционной системе записано число.
Число 10 запишется как 128 (I восьмерка, 2 единицы). Да-
лее идут числа в следующем порядке:
138 (1 восьмерка, 3 единицы)
148 (1 восьмерка, 4 единицы)
178 (I восьмерка, 7 единиц)
208 (2 восьмерки, нет единиц)
218 (2 восьмерки, 1 единица)
228 (2 восьмерки, 2 единицы)
278 (2 восьмерки, 7 единиц)
308 (3 восьмерки, нет единиц) и т. д.
Наибольшим двузначным числом в этой системе будет
778 ( 7 восьмерок, 7 единиц), а дальше —
1008 (1 восьмерка в квадрате, т. е. 6410).
Это похоже на переход от 99(0 к 10010 в десятичной системе
счисления.
Запишем несколько трехзначных чисел в восьмеричной
системе и научимся их читать. Например:
134в — 1 раз по восемь в квадрате, 3 раза по восемь и че-
тыре единицы.
6258 — 6 раз по восемь в квадрате, 2 раза по восемь и 5 еди-
ниц.
Запишем число 6258 в развернутом виде, т. е. в виде аБс =
= а • 102 + 6 • 10* + с • 10°, где а, Ь, с — строго меньше
10 (10 — основание системы счисления).
42
Восьмеричная система счисления
625в = 6 • 8* 2 + 2 • 8'4-5 • 8° = 6 • 64 + 2 • 8 + 5 • 1 =
= 384+ 16 + 5 = 4О5,о.
Так совершается переход от чисел, записанных в восьмерич-
ной позиционной системе, к числам, записанным в десятичной
системе.
Упражнение 13. Запишите в развернутом виде сле-
дующие восьмеричные числа и найдите значения их в деся-
тичной системе счисления:
а) 1348; б) 1258; в) 3518; г) 222в.
Получить значение десятичного числа 4О5,о в восьмеричной
системе — значит решить вопрос о том, сколько раз в числе
405 содержится по восемь в квадрате, т. е. по 64, затем — по
восемь в первой степени и, наконец, по восемь в нулевой
степени (т. е. сколько в нем единиц первого разряда).
Решить такой вопрос можно, очевидно, только последо-
вательным делением.
_405	8
40	_ 50	8 (число восьмерок в квадрате
5	48	6 -* в третьем разряде)
2 -► (число восьмерок
I	во втором разряде)
(число единиц
в первом разряде)
Числу 40510 соответствует число 6258.
Упражнение 14. Переведите числа, представленные
в десятичной системе счисления, в восьмеричную позицион-
ную систему:
a) 92,qJ б) 1ОО,о; в) 221 г) 853,8.
Перевод чисел из восьмеричной системы
в двоичную и обратно
Цифры восьмеричной системы	Запись в двоичной системе счисления
7	111
6	по
5	101
4	100
3	011
2	010
1	001
0	000
Разместим в левом столбце
восьмеричные цифры (в убы-
вающем порядке), а в пра-
вом — соответственно значе-
ния их в двоичной системе
счисления.
Эти соответствующие вось-
меричным числам значения
называют двоичными триада-
ми (от греч. слова xpias —
тройственность).
43
Восьмеричная система счисления
А теперь рассмотрим на конкретных примерах соответствие
между восьмеричными числами и значениями их, записан-
ными в виде двоичных триад в двоичной системе счис-
ления.
Десятичные числа	Восьмерич- ные числа	Значения восьмеричных чисел, запи- санных в виде двоичных триад
9210 4051Q	1348 6258	001 ОН 100 1 3	4 110010 101 6 2 5
Рассмотренные примеры мо-
гут служить основанием для
таких выводов.
1) При переводе чисел из восьмеричной системы счисления
в двоичную можно пользоваться более простым способом,
а именно: достаточно каждую цифру восьмеричного числа
подать соответственно трехразрядным двоичным числом,
т. е. триадой. Например: числу 1458 соответствует число
11001012; числу 1608 соответствует число 11100002 и т. д.
2) При переводе двоичного числа в восьмеричное можно
разбить двоичное число справа налево на триады (на группы
по три разряда в каждой) и каждую двоичную триаду
заменить соответственно восьмеричной цифрой.
Если в группе, куда входят старшие разряды числа, не
окажется трех разрядов, то недостающие цифры подразуме-
ваются равными нулю.
Например:
числу 11011012 = 001 101 1012 соответствует 155в;
числу 101101002 = 010 110 1002 соответствует 2648.
Упражнение 15. Запишите в двоичной системе сле-
дующие восьмеричные числа:
а) 3358; б) 1508; в) 1718; г) 2008; д) 15258.
Упражнение 16. Запишите в восьмеричной системе
следующие двоичные числа:
а)	11101002; б) 11110102; в) 11111012; г) 1111011112.
Использование восьмеричной системы счисления
как переходной от десятичной к двоичной и обратно
Для упрощения перевода чисел из десятичной системы в
двоичную целесообразно сначала перевести число в восьме-
ричную систему, а затем цифры полученного восьмеричного
числа заменить двоичными триадами.
44
В древности торговцы
(финикийские, вавилон-
ские и других городов)
производили расчеты при
Ломощи зерен, камешков,
раковин, которые впо-
следствии стали выкла-
дывать на специальной
доске, названной затем
абаком.
Абак у греков и римлян
подвергся дальнейшему
усовершенствованию и
стал счетной доской,
счетным прибором, вроде
наших нынешних счетов.
На первом рисунке изо-
бражен древнегреческий
мраморный абак, найден-
ный в XIX в. на о. Са-
ламин.
На втором рисунке
изображен древнеримский
бронзовый абак.
В X в. видный европей-
ский математик Герберт
усовершенствовал абак.
Вместо счетных камеш-
ков он употреблял жето-
ны с надписанными на
них, нм же изобретенны-
ми. цифрами. От них, как
считают некоторые уче-
ные, происходит начерта-
ние современных цифр.
Восьмеричная система счисления
Пример.
Перевести число 395(0 в двоичную систему:
Решен и е. а)	395	8	
	75	49	
	3	1	6
Числу 395(0 соответствует в восьмеричной системе число
6138.
б)	Числу 6138 соответствует в двоичной системе число
1100010112.
Итак, числу 395|0 соответствует число двоичной системы
1100010112.
2
Проверка.
39510
1
197 2
I |98_2
0 49 2
1 24
2
° 12 2
0 6 2
0 3
2
1 1
Числу 395|0 соответствует 1100010112.
Обратный перевод чисел из двоичной системы счисления
в десятичную с использованием восьмеричной системы счисле-
ния производим в следующем порядке:
1)	разбиваем двоичное число на триады, начиная справа;
2)	заменяем двоичные триады соответствующими цифрами
восьмеричной системы;
3)	переводим полученное восьмеричное число в десятичную
систему.
Пример.
Перевести двоичное число 10110101012 в десятичную
систему счисления (с использованием восьмеричной):
1)	10110101012 = 001 ОН 010 1012;
2)	числу 001 ОН 010 1012 соответствует число 13258;
3)	13258=1 • 83 + 3 • 82 + 2 • 8*4-5 • 8°=1 • 512 +
+ 3 • 64 + 2 . 8 + 5 • 1 = 512+192+16 + 5 = 725|0.
Итак, двоичному числу 10110101012 соответствует число
десятичной системы счисления 72510.
Упражнение 17. Используя восьмеричную систему
как промежуточную, переведите из десятичной системы счис-
ления в двоичную следующие числа:
а) 56; б) 62; в) 84; г) 120; д) 128.
46
Одним из древнейших
счетных приборов явля-
ются китайские счеты
«суан-пан», и поныне
употребляемые в Китае.
«Суан-пан» имеет на
каждой проволоке по 7
косточек — 5 по одну
и 2 по другую сторону от
перегородки. Одна кос-
точка правой половины
означает 5 косточек ле-
вой.
Другой старинный счет-
ный прибор—японский
«соробан», который был
завезен в Японию из Ки-
тая в XV—XVI веках.
Устройство японских сче-
тов отличается от ки-
тайских тем, что в верх-
ней половине имеется
только одна косточка на
каждой проволоке.
Русские счеты применя-
ются нашим народом, ве-
роятно, начиная с XVI в.
С давних пор употребля-
ются такие выражения,
как «сбрасывать со сче-
та», «прикидывать»,
«скидка» и т. п. Большое
преимущество русских
счетов заключается в
том, что они основаны на
десятичной системе счи-
сления.
Восьмеричная система счисления
Упражнение 18. Используя восьмеричную систему
как промежуточную, переведите из двоичной системы счисле-
ния в десятичную следующие числа:
а) 1010102; б) 1101102; в) 10000102; г) 10010102; д) 10110С02.
Действия над числами восьмеричной системы счисления
Действия над числами восьмеричной позиционной системы
счисления выполняются по тем же правилам,что и в десятич-
ной системе счисления, но при этом пользуются таблицами
сложения и умножения однозначных восьмеричных чисел.
Таблица умножения.
	1	2	3	4	5	6	7
1	2	3	4	5	6	7	10
2	3	4	5	6	7	10	11
3	4	5	6	7	10	11	12
4	5	6	7	10	11	12	13
5	6	7	10	II	12	13	14
6	7	10	II	12	13	14	15
7	10	II	12	13	14	15	16
Таблица сложения.
	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	10	12	14	16
3	3	6	II	14	17	22	25
4	4	10	14	20	24	30	34
5	5	12	17	24	31	36	43
6	6	14	22	30	36	44	52
7	7	16	25	34	43	52	61
7 + 5=14
(семь плюс пять — 1 вось-
мерка, 4 единицы)
5 • 3=17
(пять повторить три раза —
1 восьмерка, 7 единиц)
Как в десятичной, так и в любой другой позиционной
системе счисления, складываем сначала единицы, затем пере-
ходим к следующему разряду и т. д. до тех пор, пока не дойдем
до самого старшего разряда. Всякий раз, когда при сложении
в предыдущем разряде получается сумма, большая, чем осно-
вание той системы счисления, в которой ведется запись, или
равная ему, делаем перенос в следующий разряд.
Примеры.
Сложение.
236518 + 170438 = 427148.
+ 236518	(4 восьмерки с показателем 4, 2 восьмерки
“г 170438	в кубе, 7 восьмерок в квадрате, 1 восьмерка,
427148	4 единицы).
48
Восьмеричная система счисления
Вычитание.
113428—45238 = 46178 .
_И3428
45238	(4 восьмерки в кубе, 6 восьмерок в квадрате,
46178	1 восьмерка, 7 единиц)
Умножение.
458.548 = 31348.
458	Пользуясь таблицей умножения восьмеричных
А54а	чисел, выполняем действие умножения столбиком.
2248 При этом рассуждаем примерно так: 48 • 58 =
2718	=248 (2 восьмерки, 4 единицы), 4 единицы пишем,
31348	2 восьмерки — в старший разряд (их замечаем
в уме); 48 • 48 = 20 (2 восьмерки); 2 восьмерки в
квадрате плюс 2 восьмерки перенесенные, всего
224в.
Далее, 58 • 58 = 318 (3 восьмерки, 1 единица); 1 единицу
пишем, а 3 восьмерки переносим в старший разряд (их заме-
чаем в уме); 58 • 48 = 248; 248 + 38 = 278. Всего 2718.
Окончательный результат (после сложения) 31348 читается
так: 3 восьмерки в кубе, 1 восьмерка в квадрате, 3 восьмерки,
4 единицы.
Деление.
17328 : 358 = 428.
17328 I 35g
164 I 428	(4 восьмерки, 2 единицы)
72
72
О
Проверка.
I способ.
428 • 358= 17328.
II способ.
17328= 1 • 834-7 • 824-3 • 84-2 • I =5124-7 • 64 + ЗХ
X 8 + 2 = 98610;
358 = 3 • 8 + 5 = 2910;
428 = 4 • 8 + 2 = 34|0;
986]о : 29|0 = 34|0.
Числу 3410 соответствует число 428.
Упражнение 19.
а)	1768 : 168;
б)	352 6148 : 572в.
4 IOI3-3
ОБЩАЯ ФОРМА ИЗОБРАЖЕНИЯ ЦЕЛЫХ
И ДРОБНЫХ ЧИСЕЛ
Всякое рациональное число -£• можно представить в виде
десятичной дроби конечной, если знаменатель q не имеет
простых делителей, кроме 2 и 5, и бесконечной в других слу-
чаях. Тогда десятичные знаки дроби, начиная с некоторого
места, будут периодически повторяться, образуя периоди-
ческую десятичную дробь, например: -у = 0,333...;-у-=
= 0,142857142857. .. = 0,(142857).
Рассмотрим число 382,1274.
В развернутом виде его можно представить так:
382,1274= 3 • 1024-8 • 10'4-2 • 10° +
+ ±4- 2 4- 7 4- 4	m
+ 10 +То7+Тоз+То’-	(|)
Это же число можно записать иначе:
382,1274 = 3 • 1024-8 • 10*4-2 . 10°4-1 • 10-*4-2х
Х10"24-7 • 10-34-4 • 10"4.	(2)
Таким образом, для целых и дробных чисел найдена
одна общая форма их изображения.
Такая система записи чисел основана на том, что десять
единиц каждого разряда объединяются в одну единицу сосед-
него, более старшего разряда. Последовательность цифр
382,1274 представляет собой сокращенную запись выраже-
ния, записанного в правой части равенства (2).
Число единиц какого-либо разряда, объединенных в едини-
цу более старшего разряда, называют основанием позицион-
ной системы счисления (в десятичной системе — число
десять), а десять различных знаков (цифр) 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, которые служат для обозначения некоторых различных
целых чисел,— базисными (базисом десятичной системы).
Упражнение 20. Записать в общей форме (в виде
многочлена по степеням основания десятичной системы счис-
ления) следующие числа:
а) 142,857; б) 0,0195; в) 75,1482.
Упражнение 21. Числа, представленные в виде мно-
гочлена по степеням основания системы счисления, записать
в десятичной системе счисления сокращенно:
а)	1 • 1034-6 • 1024-3 * 10*4-4 • 10°;
б)	7 . 10'4-5 • 10°4-3 • 10-'4-2 • 10~24-1 • 10~3;
в)	4 • 1034-2 . 1024-0 • 10'4-5 • 10° + 0 . Ю-'-ьОх
Х10~24-5 . 10~34-4 . 10-4.
50
Общая форма изображения целых и дробных чисел
Произвольное десятичное число х можно представить в виде
многочлена
х = ап • lO^-bOn-i • 10"“' + - 4-fli • lO'+flo • Ю°4-а_|Х
XlO-' + ...+a-т • 10"m...,	(1)
где каждый из коэффициентов а. может быть одним из чисел,
для обозначения которых введены специальные знаки.
На основании такого представления это же число х можно
записать в виде последовательности цифр
a„a„_i...aia0, a_|...a_m.	(2)
Эта запись представляет собой просто перечисление всех
коэффициентов многочлена (1>. Запятая, отделяющая целую
часть от дробной, служит по существу началом отсчета.
Упражнение 22. Заполнить таблицу:
Позиционная система счисления	Основание системы	Базисные числа системы	Запись основания
Десятичная	10	0, 1, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	1010
Восьмеричная Четверичная Двоичная Троичная Шестнадцатеричная р-ичная	р (р>1)	Используется р различных цифр а* (Л=1, 2	р)	Юр
Запись произвольного числа х в позиционной системе
счисления с данным основанием р основывается на представ-
лении этого числа в виде многочлена (полинома):
х = ап • рп + ап-I • рп~‘+ ...+a0 + a_t • р~,+а_-2Х
Хр~2+ ....	(3)
каждый коэффициент а\ которого может быть одним из ба-
зисных чисел и изображается одной цифрой. Как и в деся-
тичной системе счисления, правую часть равенства (3) можно
кратко записать перечислением всех коэффициентов много-
члена с указанием положения з апятой:
X — (In On—I ••• О о» ^1^2 ••• •
Последовательность цифр, стоя тая в правой части равенст-
ва, и будет изображением числа х в р-ичной системе счисле-
ния. Основание системы р при любом его конкретном изобра-
жении записывается в виде 10.
Упражнение 23. Записать в двоичной, четверичной и
восьмеричной системах счисления последовательные целые
числа от 1 до 32.
51
ДРОБНЫЕ ЧИСЛА В ДВОИЧНОЙ ПОЗИЦИОННОЙ
СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ
Условные обозначения
В десятичной системе	В двоичной системе
103=10 • 10 . 10=1000; 102= ГО • 10=100; 10' = 10; 10°=1;	10g=102 • 102 • 102«10002-810; 102 = 102 • 102= 1002 = 410; 102 = 102 = 2)0; Ю2=1 = 1|0;
'«'-га-0-'. lo'!-|o<i<So=°'o,; |0~3—й? = Пйо“ 0,001!	|о’-'4гО|1=(т)..: ‘°! "(|о>),_(|ооо),“ -оло,’-(т),.-’
Чтение чисел в двоичной позиционной системе счисления
Двоичное число 101, 10112 можно читать поразрядно,
выделяя целую часть, например: двойка в квадрате и единица
целых (или проще, где можно) пять целых, одна вторая доля
единицы, одна восьмая и одна шестнадцатая доля единицы;
число 0,000012 — нуль целых одна тридцать вторая доля еди-
ницы и т. д.
Упражнение 24. Прочитайте и запишите числа сло-
вами.
а) 11,112;	б) 100,0012;	в) 1001,012;
г) 111,1112	д) 0,0000012;	е) 0,0001012.
Целые и дробные числа в двоичной позиционной системе
счисления записываются в виде последовательности цифр
0 и 1, в которой целая и дробная части разделяются запятой.
Каждый старший разряд числа больше соседнего младшего
(стоящего справа) в два раза.
В двоичной позиционной системе счисления для целых и
дробных чисел найдена одна общая форма их изображения,
которая в каждом отдельном случае заполняется соответ-
ствующими цифрами, например:
52
Дробные числа в двоичной системе счисления
Целые								Доли единиц						
Разряды	VII	VI	V	IV	III	11	I							
Общая форма	I04	105	104	105	102	104	10’:	10-'	10"2	10"3	10"3	10"3	10"3	...
Значения разрядных единиц	2е 64	2s 32	24 16	23 8	22 4	2' 2	2° 1	2"' 1 2	2“2 1 4	2"3 1 8	2-4 1 16	2"5 1 32	2-в 1 64	...
Число					1	0	1,	1	0	1	1			
Перевод двоичной дроби в десятичную систему осуществля-
ется Простым суммированием развернутой двоичной строки по
уже Известной нам формуле:
abed—а ♦ 103-+&• 1024-с • Ю14-t/ • 10°, где a, b, с, d —
строго меньше 10 (10 — основание системы счисления).
Пример.
I способ.
101,10112=1 • 22 + 0 • 2* +1 • 2° +1 • 2“* + 0 • 2-2 +
+ 1 • 2~3+1 • 2~4=1 • 4 + 0+1 * 1 + 1 • 4- + 0 * ^7 +
2
= 5,687510.
-5+	16 “5Гб
II способ (с помощью восьмеричной системы).
101,10112 = 101,101 1002_8 = Б,548 = 5 • 8° + 5 • 8"'+4
х8~2 = 5+4 + Я = 5 + ^Г= ( 5gj)l0 = (4^)io =
= (575)10 =5,6875|0.
Итак, числу 101,10112 соответствует число десятичной систе-
мы счисления 5,6875.
Упражнение 25. Перевести следующие двоичные
числа в десятичную систему счисления (двумя способами):
а) 11,112; б) 0,1012; в) 100,0012; г) 1000000,0110112.
53
Дробные числа в двоичной системе счисления
Перевод десятичной дроби в двоичную
систему счисления
Перевод десятичной дроби в двоичную систему счисления
осуществляется в два этапа: сначала переводится целая
часть, затем дробная часть, после чего к целой части справа
от запятой дописывается дробная часть.
Перевод дробной части десятичного числа в двоичную систе-
му счисления производится в такой последовательности:
1) Выясняется, будет ли данная дробная часть больше или
1 г
меньше -g-. Сделать это нетрудно, стоит только умножить ее
(дробную часть) на 2. Если она окажется больше половины,
то после умножения на 2 появится в целой части 1, если же
меньше половины, то появится 0. Содержание целой части
дает нам первую цифру после запятой.
2) Остальные цифры двоичной записи дроби определяются
аналогично. Запомним, что в удваивании должны участвовать
Историческая справка
С появлением числа человек окунул-
ся в океан вычислений, становилось
очевидным, что вручную и даже при
помощи модернизированных абаков
их не одолеть. Шотландский мате-
матик Джон Непер (1550—1617)
для рационализации письменных
вычислений изобрел логарифмы. Его
работы составили существенный
этап н в истории инструментального
счета. Он изобрел счетные палочки,
идея которых оказалась весьма пло-
дотворной и послужила источником
многих усовершенствований и изо-
бретений, предлагавшихся в течении
трех столетий со времени их появле-
ния. Вслед за изобретением лога-
рифмов поиск механизации лога-
рифмических вычислений привел к
созданию первых логарифмических
линеек.
Немецкий математик В. Шиккард
(1592—1635) в 1623 г. сконстру-
ировал первую вычислительную ма-
шину, которая могла автоматически
выполнять 4 арифметических дейст-
вия. Созданная кропотливым трудом
машина Шиккарда погибла во время
пожара, а события Тридцатилетней
войны отвлекли внимание современ-
ников от этого выдающегося изобре-
тения. Более 300 лет изобретение
Шиккарда оставалось неизвестным.
О нем узнали только в наше время,
когда среди рукописей И. Кеплера,
хранящихся в нашей стране, нашли
письма Шиккарда и чертежи его ма-
шины. Она,безусловно,была первой
и, возможно, слишком ранней ласто-
чкой на пути к ЭВМ.
Блестящий успех выпал на долю вы-
числительной машины, изобретенной
и построенной гениальным француз-
ским математиком и разносторонним
ученым Блезом Паскалем (1623—
1662). Он построил свыше пятиде-
сяти моделей, прежде чем добился
удовлетворительного результата.
Его машина была суммирующей,
т. е. осуществляла сложение и вы-
читание. Существенным элементом
машины Паскаля были зубчатые ко-
леса, благодаря которым поступа-
тельное движение было заменено
более удобным вращательным. Ма-
шина Паскаля — родоначальница
сумматоров. Уже в XVII в. у Паска-
ля появились преемники: С. Мор-
лэнд (1662), К. Перро (1675),
Р. Грийе (1678).
54
Палочки Непера (см. вы-
ше).
В целом прибор пред-
ставляет собой обыкно-
венную таблицу умноже-
ния, расположенную на
десяти подвижных линей-
ках. В верхней части
каждой клетки, разделен-
ной косой чертой, запи-
саны десятки, а в пра-
вой — единицы.
«Я назвал свою машину
«рабдологический абак»,
потому что древние назы-
вали абаком небольшую
доску, на которой написа-
ны цифры, а рабдологн-
ей — науку выполнения
арифметических опера-
ций с помощью малень-
ких палочек с цифра-
ми...» — так начинает
описание своего изобре-
тения Клод Перро —
французский естествоис-
пытатель, живший в кон-
це XVII в.
В 1645 году выдающийся
французский математик
и физик Паскаль скон-
струировал первую в ис-
тории машину, с по-
мощью которой даже не-
знакомый с правилами
арифметики мог произво-
дить сложение и вычи-
тание.
Дробные числа в двоичной системе счисления
только дробные части от удвоенного перед этим дробного
числа. Покажем это на примере.
Пример. Перевести в двоичную систему десятичное число
5,6875.
I) Сначала переводим целую часть числа.
5io= lOlj.
2) Для перевода правильной дроби 0,6875 выполним сле-
дующие действия:
а) записываем дробь 0,6875 и отделяем целую часть от
дробной вертикальной чертой;
о,	..6875 х 2	б) умножая на 2 дробную часть, по- лучим 1,3750; получили первую после
1	3750 х 2	запятой цифру 1, которую записываем под 0 целых;
0	750 х 2	в) умножая полученную новую дробную часть на 2, имеем 0,750; по-
1	х50 X 2	лучили вторую цифру двоичной дро- би 0;
1	0	г) уйножая следующую дробную часть на 2, имеем 1,50; получили тре- тью цифру двоичной дроби 1;
д) умножая последнюю дробную часть на 2, имеем четвер-
тую цифру двоичной дроби 1. Справа от вертикальной черты
оказался нуль. Работа закончена.
Результатом перевода будет число, полученное слева от
вертикальной черты при чтении сверху вниз (отмечено
стрелкой): 0,10112.
Имеем: 0,6875|0 = 0,10112.
Итак, числу 5,6875|0 в двоичной системе соответствует
число 101,10112.
Упражнение 26. Перевести в двоичную позиционную
систему следующие десятичные числа:
а) 0,5; б) 0,625; в) 4,125; г) 46,75; д) 21,625; е) 7.3;
ж) 10,2; з) 0,99 (е), ж), з) с точностью до шести знача-
щих цифр).
Действия над числами в двоичной позиционной
системе счисления
При сложении двух чисел, записанных в двоичной пози-
ционной системе счисления, пользуемся таблицами сложения
и умножения.
Действия выполняются по тем же правилам, что и в деся-
тичной системе счисления.
56
Дробные числа в двоичной системе счисления
Примеры.
1)	101,1012+10,12.
101,1012— первое слагаемое
10,12—второе слагаемое
1000,0012 — сумма
Проверка. (s+-y+-g-) + (2+-^-) = 8-g-=8,125)0;
1000,0012= (8+44 = 8-1-= 8,125,0-
\ о / о
2)	110,112—1,1012.
110,1102 — уменьшаемое
1,1012 — вычитаемое
101,0012 — разность
Проверка.
= 5,125|0;
Ю1,0012 = 5+4- = 54-=5,12510.
О о
3)	11,1012 • 1,1012.
11,1012
х 1,1022
11101 —множимое
11101	— множимое, сдвинутое на два разряда влево
11101	— множимое, сдвинутое на три разряда влево
101,111012 — произведение
Проверка.
11,1012 = 3+1 • 2“'+0 • 2-2+1 • 2”3 = 3+-l-+-g-=3-|- =
= 3,625|0;
1,1012= 1,625,0;
3,625|О • 1,62510 = 5,890625ю;
101,1110012 = 5+1 • 2~' + 1 • 2"2+1 • 2~3 + 0 • 2~* +
+0.2~5+1 -2-в = 5+1 • -i- + l • -j-+l • -g- + 0+
-1-0+1 • g~ = 5+ 0,5+0,25+ 0,125+ 0,015625 = 5.890625,0-
57
Дробные числа в двоичной системе счисления
4) 10 100,1012: 101,12.
101001,012 I	1011
1011	1	11,112
10011
1011
10000
" 1011
01011
" 1011
0
Проверка.
I)	10100,1О12 = 2О + 4- + 4- =
- (2°|).0:
2)	1О1.12 = 5 + 4-= (5|)1о:
ол 5 ц 1	165 II 163 • 2
Э)	JOy.Sy—j-.y-j-fj- =
_]5_ /^3\
"4 W10’
4)	ц,ц2=з+4-+4-=
'	24	\ 4/ю
Историческая справка
Гениальный немецкий математик и
ученый Г. В. Лейбниц (1646—1716)
положил начало другому направле-
нию в механизации счета, предло-
жив конструкцию сумматорно-мно-
жнтельной машины. В ней он реали-
зовал принципиально новую идею,
ввел так называемый ступенчатый
валик Лейбница, который позво-
лил переносить из ввода в вывод лю-
бую цифру одним стандартизиро-
ванным и безошибочным движени-
ем — полным оборотом рукоятки. Все
же машина Лейбница не получила
распространения, несмотря на то.
что в ней были удачные идеи, исполь-
зованные при конструировании
арифмометров. Из них наиболее рас-
пространенным оказался арифмо-
метр русского инженера, главного
механика Петербургского монетного
двора В. Т. Однера (1845—1905),
почТн ничем не отличавшийся от
современных арифмометров.
В первой половине XIX в. англий-
ский математик и инженер Чарлз
Бэббидж (1791 — 1871) разработал
полностью автоматизированную вы-
числительную машину с програм-
мным управлением и назвал ее ана-
литической. Машина имела устрой-
ство с элементами, характерными
для современных ЭВМ: програм-
мным управлением, памятью, вво-
дом данных с помощью перфокарт.
Ученый сформулировал основные
принципы программирования, раз-
вил идеи о логической структуре
вычислительных машин и их матема-
тическом обеспечении. Большой
вклад в развитие и популяризацию
идей Бэббиджа внесла А. А. Лав-
лейс (1815—1852), дочь гениаль-
ного английского поэта Дж. Байро-
на. Она разработала первые про-
граммы для аналитической машины
Бэббиджа, и ее заслуженно называ-
ют первой программисткой. Все же
идеи Бэббиджа были восприняты
не многими. Они на целое столетие
опередили науку и технику своего
времени. Их стали реально осу-
ществлять в 1939—1941 гг., когда
по проекту Дж. Атанасова в США
началась постройка первого в мире
электронного вычислительного уст-
ройства. В связи с вступлением
США во вторую мировую войну
работа над машиной была прекра-
щена
Первой до конца построенной ЭВМ
была ЭНИАК. Она предназнача-
лась для баллистических расчетов
при стрельбе, содержала 1800 элект-
ронных ламп, 1500 реле, потребляла
около 150 кВт электроэнергии —
мощность, достаточную для неболь-
шого завода. ЭНИАК выполняла
операции сложения за 0,0002 с,
умножение — за 0,0028 с.
58
Машину Паскаля усовер-
шенствовал в 1671 году
знаменитый немецкий ма-
тематик Г. В. Лейбниц.
Несмотря на то, что на
ней можно было произво-
дить все 4 арифмети-
ческих действия, она то-
же не нашла применения
из-за технического ее
несовершенства.
В России в связи с общим
оживлением экономиче-
ской жизни уже в первой
половине XIX в ученые,
мастера и военные изо-
бретают ряд машин и
приборов для механи-
ческого выполнения ариф-
метических действий.
Массовое распростране-
ние получил арифмометр,
изобретенный инженером
Однером в 1874 г. в Пе-
тербурге.
Впервые идею созда-
ния счетно-аналитической
машины высказал ан-
глийский ученый Чарлз
Бэббидж. Эта машина,
согласно проекту, была
громадным арифмомет-
ром с арифметическим и
запоминающим устрой-
ством и программным
управлением. Однако
низкий технический уро-
вень того времени не
позволил осуществить со-
здание этой аналитичес-
кой машины
Дробные числа в двоичной системе счисления
Правило округления двоичных чисел
К младшему разряду округляемого числа добавляется
единица, если цифра старшего из отбрасываемых разрядов
равна единице.
Пример. Округлить до шести знаков после запятой числа:
0,1001101010102... «0,1001112;
0,01100110102...» 0,0110102.
Упражнение 27. Перевести следующие числа из де-
сятичной системы счисления в двоичную (дробную часть
получить с десятью знаками):
а) 18,36; б) 3,4567.
Упражнение 28. Умножить двоичные числа (ре-
зультат округлить до шести знаков после запятой):
а) 0,1000012.0,1111112; б) 0,1001012 • 0,1111102.
ДРОБНЫЕ ЧИСЛА В ВОСЬМЕРИЧНОЙ
ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ
С помощью запятой в десятичной позиционной системе
счисления мы записывали не только целые числа, но и деся-
тичные дроби.
Например, 0,5 = 5 • -^ = 5 • 10“';
47,38 = 4 • 10' -1-7 . 10° + 3 •	+ 8
4-7 . 10° + 3 • 10"'+8 • 10~2.
таг4 • 1О' +
С таким же успехом с помощью запятой в восьмеричной
позиционной системе счисления можно записывать любое
число, например:
0,3458; 41,28; 100,338 и т. д.
В такой записи цифры, стоящие слева от запятой, означают
число целых единиц, первая справа после запятой цифра —
число восьмых долей, вторая — число восьмых долей в квад-
рате, третья — число восьмых долей в кубе.
1	4	/ 1 \
Например, 0,48 = 4 • у=у = -уД° = 0,510;
31,28 = 3 • 8*4-1 • 8° + 2 • 8"'=24+1+2 • А- =
О
=	= 25,25)0.
Дробное восьмеричное число 134,258 в развернутом виде
запишется так:
1 • 82 + 3 • 8’4-4 • 8°4-2 • 8”’4-5 • 8~2 = 64 + 24 + 4 + ^-4
Итак, числу 134,288 соответствует число 92— =92,328125
в десятичной системе.
Запись восьмеричного числа в развернутом виде использу-
ется для перевода чисел из восьмеричной системы счисления
в десятичную.
Упражнение 29. Переведите следующие восьмерич-
ные числа в десятичную систему счисления:
а) 255в; б) 0,3458; в) 41,28; г) 100,338.
Упражнение 30. Переведите следующие восьмерич-
ные числа в двоичную систему счисления:
а) 2458;	б) 1777в;	в) 0,3468;.
г) 41,28;	д) 22,28;	е) 126,338.
Действия над дробными числами, записанными в восьме-
61
Дробные числа в восьмеричной системе счисления
ричной позиционной системе счисления,выполняются на осно-
ве таблиц сложения и умножения одноразрядных восьмерич-
ных чисел по тем же правилам (алгоритмам), что и в деся-
тичной системе счисления.
Упражнение 31. Выполните самостоятельно дейст-
вия над числами в восьмеричной системе и сделайте про-
верку:
а) 234,158+101,738; б) 127,128 • 32,5в;
в) 351,78— 23,18; г) 301,38 : 218.
Упражнение 32. Выполните умножение следующих
восьмеричных чисел в двоичной системе:
а) 478 и 128;	б) 4,78 и 1,28;
в) 378 и 2,48;	г) 6,48 и 1,58.
Проверить двоичное умножение можно с помощью двоично-
го деления.
Пусть имеем два восьмеричных числа: 4,78 и 1,28.
Тогда 4,78= 100,1112; 1,28 = 001,0102.
100,1112 • 1,0102 = 6,068.
100,1112
х 1,0Ю2
100111
100111______________
110,0001102 = 6,068.
Проверка. 110,0001102 : 100,1112= 1,0102= 1,28.
110000,110j 10011Ь
100111	1,0102=1,28
_100111
100111
о
Ответ: 4,7в • 1,28 = 6,068.
Перевод правильных дробей из одной системы
счисления в другую
Пусть требуется перевести число 0,1510 в восьмеричную
систему счисления.
1) Отделяем вертикальной чертой дробную часть от
целой.
2) Умножаем дробную часть на основание новой систе-
мы счисления (в данном случае на 8); записываем результат
строго под исходным числом, начиная с младшего разряда.
62
Аналитическая машина
Бэббиджа.
Она отличалась от пред-
шествовавших тем, что в
процессе вычислений не
требовала вмешательст-
ва человека. Эта маши-
на, пользуясь современ-
ной терминологией, пред-
ставляла собой специали-
зированное вычислитель-
ное устройство с фикси-
рованной программой
действий.
Особое внимание Бэб-
бидж уделял конструиро-
ванию арифметического
устройства. Здесь ему
удалось сделать одно из
наиболее выдающихся
своих изобретений: систе-
му предварительного пе-
реноса (по современной
терминологии — систему
сквозного переноса).
В 1854 г. шведские изо-
бретатели отец и сын
Шютцы закончили рабо-
ту над своим вариан-
том разностной машины.
В 1855 году она демон-
стрировалась на Всемир-
ной выставке в Париже.
Дробные числа в восьмеричной системе счисления
0,	х15 х 8	Если получится перенос в целую часть, записы- ваем его слева от вертикальной черты.
1	х20 х 8	3) Дробную часть полученного числа снова умножаем на основание новой системы счисле-
1	<£> 00 X	ния. 4) Умножение выполняем до тех пор, пока либо
4	ОО оо X	будет получено число с заданной точностью, либо справа от вертикальной черты окажется нуль.
6	00 X	5) Результатом перевода будет число, получен- ное слева от вертикальной черты при чтении свер-
3	v2	ху вниз.
	Х8	Имеем: 0,15 = 0,114631463... = 0,1 (1463) 8.
1	X6 Х8	Получена периодическая дробь, период показан фигурной скобкой.
4	X 00 00	Заметим, что умножение при выполнении пе- ревода числа из одной системы счисления в дру-
6	X 00 4*	гую производится в исходной системе счисления, основание новой системы счисления тоже пред-
3	2	ставляется в исходной системе.
Пример. Перевести число 0,578125|0 в восьмеричную систе-
му счисления.
0,	578125 _	8	Ответ. Числу 0,578125)0 в восьмерич- ной позиционной системе счисления соответ- ctrvpt число 0
4	625000 		8	V1DVVJ TrlvVIU V^lUO. Проверка.
5	ООО	4	R	1	R 0.458-0+*+б&4 ^£-0,5 +
+ 0,078125 = 0,578125|0.
Упражнение 39. Перевести следующие правильные
дроби из десятичной системы счисления в восьмеричную
(дробную часть числа получить с тремя знаками):
а) 0.72810; б) 0,048|0; в) О,739,о; г) 0,1610.
Перевод чисел из одной системы
счисления в другую
Такой перевод чисел обычно выполняется в два этапа:
сначала переводится целая часть, а затем — дробная часть;
после этого к переведенной целой части справа от запятой
дописывается дробная часть. Например, десятичное число
195,6875 переводим в восьмеричную систему следующим
образом:
64
Дробные числа в восьмеричной системе счисления
а) _195	8
16	~24~1	8
35 24 Г37~|_8
32	0 3	0
3
б) 0,
5
6875
_____8
5000
Х 8
О
Числу 195,6875 10 соответствует число 303,548.
Правило округления восьмеричных чисел
Если старшая из отбрасываемых цифр больше или равна
четырем, то к младшему разряду округляемого числа при-
бавляется единица. Например, при округлении дроби
0,114638 до трех значащих цифр пишем 0,1158, а при округле-
нии до четырех значащих цифр запишем 0,11468.
Упражнение 34. Перевести следующие числа из де-
сятичной системы счисления в восьмеричную (дробную часть
числа получить с четырьмя знаками):
а)	32,48; в) 2020,832; д) 937,739;
б)	91,35; г) 29,397;	е) 505,909.
Для перевода чисел из десятичной системы счисления
в восьмеричную удобнее пользоваться более экономной схе-
мой записи вычислений (если деление и умножение на восемь
производить в уме). Например, число 92,6875t0 разбиваем на
две группы 92|0 + 0,6875)0 и выполняем вычисления так:
а) 92	8	б)	8	
11	4		0,	6875
1	3	Остатки при	5	5000
0	1	делении на	, 4	0
восемь
Числу 92,6875|0 в восьмеричной позиционной системе
счисления соответствует число 134,54в.
5 161Э-3
ШЕСТНАДЦАТЕРИЧ НАЯ
ПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Шестнадцатеричная система счисления отличается от всех
ранее рассмотренных тем, что здесь общепринятых (арабских)
цифр не хватает для обозначения базисных чисел этой систе-
мы, а потому приходится вводить в употребление новые сим-
волы. Для обозначения первых целых чисел от нуля до девяти
включительно используются арабские цифры, а для следую-
щих целых чисел от десяти до пятнадцати включительно
используются буквенные обозначения:
а Ь с d	е	f
~0, Т, Т, Т, Т, 5" •
Таким образом, числа
1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9,	a,	b,	с, d, е, f
или	_	_	_	_ _
1,	2,	3.	4,	5,	6,	7,	8,	9,	0,	1,	2, 3, 4, 5
в этой системе — базисные, а ее основание — число 16, кото-
рое изображается как 10(6.
Например, в развернутом виде число 2/, 8.6 запишется так:
2Д816 = 2 • 16' + 15 • 16° + 8 • 16-|=32+15+т£ = 47у =
= 47,5|0, а число 05,8|6 = б • 16‘+5 • 16°4-8 • 16-, = 10х
X 16'+ 15 • 16° + 8 • 16-'= 160+15+4= 175-i-=175,510.
Упражнение 35. Переведите следующие числа из
шестнадцатеричной системы счисления в десятичную:
a) af,8.б; б) (19а) )6; в) 2е816; г) (5/>c)ie-
Арифметические действия над числами шестнадцатеричной
системы счисления выполняются согласно таблицам сложения
и умножения этих чисел.
Пример. 0,54716 + 0,398,в= 1,235|6	0,547
+ 0,598
1,23516
Пример. 0,02.6 * б,7|6 = 0,144|б.
66
Шестнадцатеричная система счисления
Таблица сложения шестнадцатеричных чисел
4-	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9		1	2	3	4	5
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0	Т	5	6	4	5
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0	1	5	3	4	5	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	0	1		3	4	5	10	II
3	3	4	5	6	7	8	9	и	т	2	з	4	К	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	6	Т	5	3	4	5	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	0	1	Ъ	3	4	5	10	II	12	13	14
6	6	7	8	9	6	1	2	3	4	5	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	0	1	2	3	4	5	10	И	12	13	14	15	16
8	8	9	5	1	2		4	5	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	0	1		3	4	5	10	11	12	13	14	15	16	17	18
6	0	Г	5	3	4	5	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
Г	1	5	3	4	5	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	10
2	5	3	4	5	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	16	II
3	3	4	5	10	II	12	13	14	15	16	17	18	19	10	1Т	12
4	4	5	10	11	12	13	14	15.	16	17	18	19	16	II	12	15
5	5	10	1!	12	13	14	15	16	17	18	19	16	1Т	1?	13	14
Таблица умножения шестнадцатеричных чисел
X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0	1	5	3 4	5
0	0	0				0	0	0	0	0	0	0	0	0 0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0	1	2	3 4	5
2	0	2	4	6	8	6	5	4	10	12	14	16	18	16 15	14
3	0	3	6	9	5	5	12	15	18	1Т	14	21	24	27 26	23
4	0	4	8	5	10	14	18	15	20	24	28	25	30	34 38	32
5	0	5	0	6	14	19	14	23	28	23	32	37	32	41 46	41
6	0	6	5	12	18	14	24	20	30	36	35	42	48	44 54	50
7	0	7	4	15	|5	23	20	31	38	зЗ	46	43	54	5Т 62	69
8	0	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68 70	78
9	0	9	12	1Т	24	23	36	35	48	51	50	63	65	75 74	87
0	0	6	14	14	28	32	35	46	50	60	64	64	78	82 82	96
								мм						л^м	^М
1	0	1	16	21	22	37	42	43	58	63	64	79	84	85 90	05
2	0	2	18	24	30	35	48	54	60	62	78	84	90	95 68	14
5	0	3	16	27	34	41	44	5Т	68	75	82	85	92	09 Тб	23
4	0	4	15	26	38	46	54	62	70	74	82	90	68	Тб 54	32
5	0	5	14	23	35	4Т	50	69	78	87	96	65	Т4	53 32	41
СМЕШАННЫЕ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Двоично-десятичная система записи чисел
Двоично-десятичная система записи чисел относится к груп-
пе так называемых смешанных систем счисления.
С двоично-восьмеричной системой записи чисел мы уже зна-
комы, знаем, что такое двоичные триады, а также то, что дво-
ично-восьмеричная запись числа совпадает с его двоичной
записью, т. е. потому любое число в восьмеричной системе
счисления можно рассматривать как сокращенную запись
изображения этого же числа в двоичной системе. Например,
НО 100, 01 12 = 64,38;
6 4,	3
Проверка.
а)	НО 100,0H2 = 32+16 + 4+-|-+-g-,= 52 + -|-=52,3751(>;
б)	64,38 = 6 • 8'+4+-|- = 52-|-=52,37510.
О	о
Для записи десятичного числа в двоично-десятичной фор-
ме каждая цифра десятичного числа записывается в виде
четырехразрядного двоичного числа. Каждая такая четверка
называется тетрадой (от греческого слова tetpa — пристав-
ка в сложных словах, означающая счетыре»).
Цифры десятичной системы	0	1	2	3	4	5	0	7	8	9
Двоичные тетрады	0000	0001	0010	ООН	0100	0101	ОНО	0111	1000	1001
Каждой десятичной цифре отводится четыре двоичных разряда										
Переход от десятичной записи к двоично-десятичной
производится простой заменой десятичной цифры двоичной
тетрадой и не связан с какими-либо вычислениями. Например,
число 327,5|0 запишется в виде
ООН 0010 01 И, 0Ю12_|0.
3	2	7,5
Здесь тетрады изображают цифры 3, 2, 7, 5 записи числа
в десятичной системе счисления.
Двоично-десятичная запись числа отличается от двоичного
68
Смешанные системы счисления
изображения данного числа. Например, запись
0011 0010 0111, 0101
не совпадает с двоичными изображениями числа 327,5,0 =
= 101000111,12.
Число 327,4, записанное двоично-десятичным кодом
00110010 0111, 01012—10, изображает число 807,3125)0, а не
число 327,510.
Действительно, 0011 00100111,О1О12_,о = 1 • 29+1 X
Х28 + 0 • 27 + 0 • 26+1 • 25 + 0 • 24 + 0 • 23+1 • 22+1Х
Х2* + 1 • 2° + 0 • 2"' + 1 • 2-2 + 0 • 2-3+1 • 2-4 = 512 +
+ 256 + 32 + 4 + 2+1+Д-+Х = 807-^ = 807,312510.
4	10	10
При решении задач на ЭВМ исходные данные обычно
задаются в десятичной системе счисления. В этой же
системе счисления ЭВМ выдает и окончательный результат
вычислений. Но ввиду того, что большинство цифровых
ЭВМ способны непосредственно воспринимать только дво-
ичные числа, возникает необходимость осуществлять пере-
воды чисел из десятичной системы счисления в двоичную
и обратно. Эта работа в современных ЭВМ выполняется
автоматами.
При вводе в машину исходных данных десятичные числа
предварительное помощью специальных устройств преобразу-
ются в двоично-десятичные. Затем по специальной программе
сама машина переводит двоично-десятичные числа в двоич-
ные. После окончания вычислений машина автоматически
по особой программе переводит результаты вычислений в
двоично-десятичные числа, а дальше — специальное устрой-
ство осуществляет окончательную выдачу на печать результа-
та в десятичной системе.
О свойствах некоторых смешанных систем
Десятичное число 42,5 имеет двоичное изображение
101010,102. Его можно записать короче с использованием
цифр других систем (например, четверичной, восьмеричной
и т. д., т. е. систем, основание которых представляет собой
какую-то степень основания исходной системы. Тогда эта
сокращенная запись одновременно будет изображением дан-
ного числа в соответствующей системе счисления.
Пример.
Пусть исходная запись такова:
69
Смешанные системы счисления
101010,102=1 • 25 + 0 • 24+1 • 23 + 0 • 22+1 • 2' + 0х
х2°+1 • 2_| = 32 + 8 + 2 +Д-= 42,510-
Объединим разряды исходной записи в группы влево и
вправо от запятой по два разряда в каждую такую группу
и запишем их цифрами другой системы, например четве-
ричной. Тогда получим:
10 10 10,102_4= 222,24 = 2 • 42 + 2 • 4‘+2 • 4° + 2 • 4~' =
—
2 2 2 2	=32 + 8 + 2 + «42,510.
Теперь объединим разряды той же исходной записи числа
в группы по три разряда. Знакомые уже нам триады дают:
Историческая справка
Первая советская ЭВМ — МЭСМ
(малая электронная счетная маши-
на) создана в Киеве под руководст-
вом Героя Социалистического Труда,
лауреата Государственных премий
СССР, академика Сергея Алексе-
евича Лебедева (1902—1974). Она
вошла в строй в 1951 г. На МЭСМ
был решен ряд весьма сложных и
важных для народного хозяйства за-
дач. Например, выполнены расчеты,
обеспечивающие устойчивость па-
раллельной работы агрегатов Куй-
бышевской гидроэлектростанции
и определены условия, при ко-
торых максимально возможная
мощность может передаваться в
Москву.
В 1952 г. под руководством С. А. Ле-
бедева была создана «Быстродейст-
вующая электронная счетная маши-
на Академии наук СССР» (БЭСМ).
В то время она была самой быстро-
действующей ЭВМ В мире и выпол-
няла до 10 000 операций в секунду.
В последующие годы ЭВМ, или, как
их еще называют, компьютеры (от
лат. computo—считаю, вычисляю),
пережили ошеломляющую по тем-
пам развития и новым конструктив-
ным решениям историю. Она напо-
минает взрыв теоретической и инже-
нерной мысли, которая при всей сво-
ей мощности и динамичности едва
успевала за все наростаюшими за-
просами науки и техники. Выдаю-
щиеся заслуги в развитии отечест-
венной кибернетики и ее материаль-
ного воплощения — поколений ЭВМ
принадлежат выдающемуся совет-
скому математику, основателю Ин-
ститута кибернетики АН УССР, Ге-
рою Социалистического Труда, лау-
реату Ленинской и Государственных
премий СССР и УССР, академику
Виктору Михайловичу Глушкову
(1923-1982).
За прошедшие годы сменились три
поколения ЭВМ. В первом поколе-
нии были ламповые машины — гро-
моздкие и дорогие великаны. МЭСМ
выполняла 50 операций в секунду.
Ее оперативная память хранила 31
число и 63 команды. «Стрела»
(1953 г.) уже выполняла до 2000
операций в секунду, выполняла 15
арифметических и логических опе-
раций, 512 команд, имела емкость
2048 чисел по 43 разряда каж-
дое.
Аэродинамические расчеты первого
пассажирского реактивного само-
лета Ту-104 «Стрела» выполнила за
17 часов непрерывной работы. Рань-
ше на выполнение такого объема
вычислений ушли бы месяцы.
Революцию в конструкции ЭВМ со-
вершили полупроводниковые мате-
риалы. Они дали возможность уде-
шевить ЭВМ второго поколения и
довести их быстродействие до сотен
тысяч операций в секунду.
70
Электронно-вычислитель-
ная машина — ЭНИАК
(«Электронный цифро-
вой интегратор и вы-
числитель» — Electronic
Numerical Integrator and
Computer), сооруженная
в США в 1945 г., зани-
мала зал площадью
150 м2.
В машинах третьего по-
коления используются
микроэлектронные схе-
мы, содержащие в одной
ячейке десятки транзи-
сторов, резисторов и дио-
дов, так называемые
интегральные схемы.
Применение интеграль-
ных схем позволило
уменьшить размеры (га-
бариты) ЭВМ в десятки
раз, увеличить скорость
их действия и экономить
расходуемую электро-
энергию
В начале восьмидесятых
годов текущего столетня
в нашей стране начат вы-
пуск нескольких типов
портативных клавишных
машин — микрокальку-
ляторов «Электроника».
Такой микрокалькулятор
может выполнять не
только все четыре ариф-
метических действия с
восьмиразрядными чис-
лами, но и вычислять
различные функции. Мас-
са прибора меньше 200 г.
Смешанные системы счисления
101 010, 1002_8 = 52.4, = 5 • 8' + 2 • 8° + 4 • 8~' = 40 + 2 +
~ 2 7	+4 = 42.5,,,.
D
Объединяя разряды исходной записи числа в группы по
четыре разряда в каждой (тетрады), получаем:
Историческая справка
ЭВМ третьего поколения изготовля-
ют уже на интегральных схемах.
Интегральная схема не превосходит
по размерам транзистор, но в ней
все необходимые элементы содер-
жатся в одном кристалле. ЭВМ двух
первых поколений были все-таки
быстрыми арифмометрами. На них
решались в основном инженерные
задачи. ЭВМ третьего поколения по-
могают человеку, практически во
всех областях его деятельности. Они
перерабатывают не только числа, но
и слова, фразы, т. е. оперируют
с алфавитно-цифровой информаци-
ей. На очереди ЭВМ четвертого поко-
ления, которые одновременно парал-
лельно смогут выполнять 10е—109
операций в секунду. Их элементной
базой являются большие интеграль-
ные схемы (БИС), позволяющие
существенно уменьшить размеры
машины, что очень важно для бы-
стродействия. Например, одна БИС
могла бы заменить арифметическое
устройство ламповой машины пер-
вого поколения. Даже сегодня это
кажется фантастикой.
ЭВМ вдохнули новую жизнь в древ-
нюю двоичную систему счисления.
Она и раньше привлекала внимание
многих ученых. Г. В. Лейбниц,
например, восторгался ее экономич-
ностью. Ведь всего двух цифр доста-
точно, чтобы записать в ней любое
число. Один из сложных конфлик-
тов, порожденных ЭВМ, связан с
разными уровнями языка человека и
машины. Язык машины предельно
прост: есть импульс — нет импульса,
включение — выключение. Всего
два слова. Но их удобно записать
символами «0> и «1». Оказывается,
что единицами и нулями, т. е. двоич-
ными числами можно записывать
для ЭВМ не только числа, но и ко-
манды, операции над этими числа-
ми. Так двоичная система счисления
стала удобным языком, на котором
человек пока разговаривает с ЭВМ,
хотя ведутся большие работы, чтобы
научить электронных помощников
понимать обыкновенную человече-
скую речь. Двоичную систему пред-
лагают использовать для диалога с
внеземными цивилизациями. Наши
соседи по разуму, если таковые
будут найдены, вероятно, лучше
всего поймут нас, если передавае-
мую информацию закодировать в
двоичной системе как наиболее
простой.
Современная электронно-вычисли-
тельная машина — быстрый, надеж-
ный, безотказный исполнитель и
помощник. Поэтому естественно, что
математика и вычислительные ма-
шины проникли во все области
человеческой деятельности. Возник-
новение и бурное развитие элек-
тронно-вычислительных машин обу-
словили настоящую революцию в
науке и технике. ЭВМ помогают
врачам определить диагноз и лечить
больных, постоянно контролируют
их состояние и ход лечения. ЭВМ
выполняют работу кассиров, управ-
ляют движением поездов и авто-
транспорта, обслуживают спортив-
ные соревнования. Без ЭВМ был бы
невозможен выход человека в кос-
мос, полеты на Луну, расчеты стой-
кости атомных реакторов, решение
многих задач современной физики,
бионики, экономики.
Изложенные факты не история, а
только приглашение в историю уди-
вительных приключений человечес-
кого разума на пути к созданию
и расширению числа, к усовершен-
ствованию искусства оперирования
с числами.
72
Смешанные системы счисления
0010 1010, 10002_16= 20,8|б = 2 . 16*4-10 • 16° + 8 • 16~' =
о
2	0	8	-32+I0 + — = 42.5,0.
In
Рассмотренное свойство некоторых смешанных систем широ-
ко используется на практике для сокращенной записи чисел,
заданных в системе счисления с небольшим основанием.
Для этого в исходной записи числа разряды объединяются
влево и вправо от запятой в группы некоторой длины (в слу-
чае необходимости добавляем левее старшей и правее млад-
шей цифр соответствующее количество нулей) и каждая такая
группа записывается одной цифрой другой системы, основа-
ние которой равно соответствующей степени основания
исходной системы.
Упражнение 36. Записать в двоично-десятичной сис-
теме следующие десятичные числа:
а) 201; б) -989; в) 17,085.
Упражнение 37. Какие десятичные числа имеют
следующую двоично-десятичную запись:
а) 0,001010010111; б) 10001010,01111011?
Упражнение 38. Перевести в двоичную систему
следующие двоично-десятичные числа:
а) 1000 0010; б) 00110001,0010 0101;
в)	0,0011 0001 00100101.
Упражнение 39. Перевести в четверичную и восьме-
ричную системы двоичное число 1011011,0110011.
Упражнение 40. Перевести в двоичную систему
приближенные десятичные числа:
а)	46,19; б) -89,001; в) 0,01; г) 0,122; д) 0,1207.
ОТВЕТЫ
К УПРАЖНЕНИЯМ
1. Числа	второго десятка:			
21$ —2 •	5*4-1 •	5°;	30$ = 3 • 5'	+ 0 • 5°;
22$ = 2 .	5*4-2 •	5°;	31$ = 3 • 5'	+ 1 • 5°;
23,-2 •	5*4-3 ♦	5°;	32$ = 3 • 5'	+ 2 • 5°;
24$ = 2 .	5’ 4-4 •	5°;	33$ = 3 • 5'	+ 3 • 5°
34$ = 3 • 5'+4 • 5°;
40$ = 4 • 5’4-0 • 5°.
2. а) Числа четвертого и пятого десятков:
31 ю —	- HU	41 ю -	- 131$
32|0 —	- 112,	42,0-	- 132$
33|0-	- из,	43,о -	- 133$
34|о~	- 114$	44,о-	- 134$
35|0-	- 120$	45,0 -	- 140$
36|0 —	- 121$	46,о “	-141$
37,о-	- 122$	47,о“	- 142$
38,о-	- 123$	48,0-	- 143$
39|o~	- 124$	49,о-	- 144$
4О,о-	- 130$	50,0-	- 200$
б)	Прибавление единицы к предыдущему числу 144$ повлекло за собой
переполнение разряда единиц и перенос новой единицы в старший разряд,
во втором разряде после прибавления еще одной единицы получилось
переполнение единиц второго разряда, которое повлекло за собой перенос
единицы в третий разряд.
в)	В нашем кружке 7 человек. Мы занимались изучением позиционных
систем счисления с 9 до II часов.
3.	а) 110000$; б) 220000$.
4.	2411$.
5.	Частное 114$, остаток 14$.
6.	а) 324$; 403$; 30 403$.
8. а) 11001102; б) 110111012; в) 1001102; г) 1111002; д) 10100102,
9. а) 110102; б) 10010012; в) 1001102; г) 1012; д) 1100102; е) 1002.
II.	а) 10012; б) 1002 (ост. I); в) 11012; г) 10102.
12.	а) 288; б) 1111002; в) 1100002.
13.	а) 92; б) 85; в) 233; г) 146.
14.	а) 134$; б) 144$; в) 335$; г) 1525$.
15.	а) 110111012; б) 11010002; в) 11110012; г) 100000002;
д) UOlOlOlOlj.
16.	а) 164$; б) 172$, в) 175$; г) 757$.
17.	а) 1110002; б) 1111102; в) 10101002; г) 11110002; д) 100000002,
18.	а) 42; б) 54; в) 66; г) 74; д) 88.
19.	а) 11$; б) 476..
20.	а) 1 • 102 + 4 • 10' 4-2 • 10°4-8 • 10-' + 5 • 10"2 + 7 • Ю-3; б) 0х
Х10° + 0 • 10-‘ + 1 • 10~2 + 9 • 10~3 + 5 • IO"’; в) 7 • 10' 4-5 • 10° +
4-1 • 10“*4-4 • 10"2 + 8 • 10-3 + 2 • 10-’.
21.	а) 1634; б) 75,321; в) 4205,0054.
24.	а) три целых, одна вторая и одна четвертая доля единицы; б) четыре
целых, одна восьмая доля единицы; в) девять целых, одна четвертая доля
единицы; г) семь целых, одна вторая, одна четвертая и одна восьмая доля
единицы.
25.	а) 3,75; б) 0,626; в) 4,125; г) 64,421875.
26.	а) 0,12; б) 0,1012; в) 100,0012; г) 10111,112; д) 10101,1012;
е) 111.0(1001 >2; ж) 1010,(0011) 2; з) 0,111 111 с точностью до шести знаков
после запятой.
74
Ответы к упражнениям
27.	а) 10010,010111000 12 с точностью до десяти знаков после запятой;
б) 11,0111011100, с точностью дб десяти знаков после запятой.
28.	a) 0,100000j с точностью до шести знаков после запятой; б) 0,1001002
с точностью до шести знаков после запятой.
29.	а) 149; б) 0.6347656; в) 33,25; г) 64,421875.
30.	а) 010100101,; б) 0011111111112; в) 000,0111001102; г) 100001010,;
д) 010010,010,; е) 001010110,011011,.
31.	а) 336,10,; б) 4320,422,; в) 326.6,; г) 13,3,.
32.	а) 606,; в) 115,4,; г) 12,44,.
33.	а) 0,565,; б) 0.366,, в) 0,512,; г) 0,1208.
34.	а) 40,3656,; б) 133.2632,; в) 3744,6520,; г) 35,3132,; д) 1651,5723,;
е) 771,7213,.
35.	а) 175,5; б) 25,625; в) 744; г) 1468.
36.	а) 0010000000012-ю; б) — 1001100010012_
в) 00010111,000010000101,_10.
37.	а) имеет; б) не имеет.
38.	а) 1010010,; б) 11111,01,; в) 0,0101,.
39.	а) 1113,1212,; б) 133.314,.
40.	а) 101110,0112 (с точностью до четырех знаков после запятой);
б) (-1011001,0000000001),; в) 0,0000001,; г) 0,00011111001,;
д) 0,00011110111001,.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
В ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ
С ОСНОВАНИЯМИ 10, 5, 2, 8
10	5	2	8	10	5	2	|	8
0	0	0	0	52	202	110100	64
1	1	1	1	53	203	110101	65
2	2	10	2	54	204	110110	66
3	3	11	3	55	210	110111	67
4	4	100	4	56	211	111000	70
5	10	101	5	57	212	111001	71
6	11	но	6	58	213	111010	72
7	12	111	7	59	214	111011	73
8	13	1000	10	60	220	111100	74
9	14	1001	11	61	221	111101	75
10	20	1010	12	62	222	111110	76
11	21	1011	. 13	63	223	НИИ	77
12	22	1100	14	64	224	1000000	100
13	23	1101	15	65	230	1000001	101
14	24	1110	16	66	.231	1000010	102
15	30	1111	17	67	232	1000011	ЮЗ
16	31	10000	20	68	233	1000100	104
17	32	10001	21	69	234	1000101	105
18	33	10010	22	70	240	1000110	106
19	34	10011	23	71	241	1000111	107
20	40	10100	24	72	242	1001000	НО
21	41	10101	25	73	243	1001001	111
22	42	юно	26	74	244	1001010	112
23	43	10111	27	75	300	1001011	113
24	44	11000	30	76	301	1001100	114
25	100	11001	31	77	302	1001101	115
26	101	ною	32	78	303	1001110	116
27	102	11011	33	79	304	1001111	117
28	103	11100	34	80	310	1010000	120
29	104	11101	35	81	311	1010001	121
30	НО	НПО	36	82	312	1010010	122
31	111	11111	37	83	313	1'010011	123
32	112	100000	40	84	314	1010100	124
33	113	100001	41	85	320	1010101	125
34	114	100010	42	86	321	1010110	126
35	120	100011	43	87	322	1010111	127
36	121	100100	44	88	323	1011000	130
37	122	100101	45	89	324	1011001	131
38	123	100110	46	90	330	юною	132
39	124	100111	47	91	331	ЮНОН	133
40	130	101000	50	92	332	1011100	134
41	131	101001	51	93	333	1011101	135
42	132	101010	52	94	334	1011110	136
43	133	101011	53	95	340	1011111	137
44	134	101100	54	96	341	1100000	140
45	140	101101	55	97	342	1100001	141
46	141	101110	56	98	343	1100010	142
47	142	ЮНН	57	99	344	1100011	143
48	143	110000	60	100	400	1100100	144
49	144	110001	61	101	401	1100101	145
50	200	110010	62	102	402	1100110	146
51	201	110011	63	103	403	1100111	147
76
ooz	OOOOOOOI	eooi	8ZI	KI £91	OOIOIII IIOOIIl	l£fr 0£t	911 911
LL\	lllllll	3001	ZZI	Z9I	OIOOIII		HI
9ZI	OIIIIII	1001	9ZI	191	1000111	£Zfr	£11
9ZI	lOHIII	ООО!	9ZI	091	0000'11	zzt-	Zll
frZI	OOIIIII		frZI	Z9I	IIIIOII	IZt	in
EZI	IIOIII!	£П	£21	991	onion	OZfr	on
ZZI	0101111	ZH	ZZI	991	IOIIOII		601
IZI	10011II	IH	IZI	KI	001 ion	£lfr	801
OZI	000НП	on	OZI	£91	IIOIOII	zn	ZOI
Z9I	IIIOIII		611	Z9I	0101011	llfr	901
991	OIIOIIl	££*	811	191	1001011	on	901
991	IOIOIII	Z£fr	Zll	091	OOOIOII	t-Ofr	frOI
Я	z	c	01	w	z	s	01
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ И РЕКОМЕНДОВАННАЯ
ЛИТЕРАТУРА
I.	Б е р м а н Г. Н. Число и наука о нем. М.: Физматгнз, 1966. 192 с.
2.	Бород i и О. 1. IcTopin розвитку поняття про число i снстеми
числения. 3-е вид., перероб. i доп. К.: Рад. шк., 1978. 103 с.
3.	В а л а х В. Я. Подорож у св!т шлих чисел. К.: Рад. шк.. 1978. 102 с.
4.	Детская энциклопедия. Т. 2. М.: Педагогика, 1972.
5.	К оф лер Е. В1д числа до несюнченност! К.: Рад. шк.. 1968. 296 с.
6.	К а с а т к и и В. Н. Новое о системах счисления. К.: Вита шк., 1982.
94 с.
7.	К у ж ел ь О. В. Розвиток поняття про число. Ознаки под1льностк
Досконал! числа. К.: Вища шк., 1974.
8.	Математика. Поабник для факулътативних занять у 7 клас) (За ред.
Г. П. Бевза). К.: Рад. шк., 1982. 152 с.
9.	О р е О. Приглашение в теорию чисел. М.: Наука, 1980. 127 с.
10.	Ф о м н н С. В. Системы счисления. М.: Наука, 1980. 47 с.
11.	Я гл ом И. М. Системы счисления.— Квант, 1970, № 6, с. 15—25.
СОДЕРЖАНИЕ
Люди и числа................................
Общие сведения о системах счисления.........................
Десятичная позиционная система счисления ...................
Пятеричная позиционная система счисления ...................
Двоичная позиционная система счисления......................
Двоичная арифметика.........................................
Делимость натуральных чисел ................................
Восьмеричная позиционная система счисления .................
Общая форма изображения целых и дробных чисел...............
Дробные числа в двоичной позиционной системе счисления......
Дробные числа в восьмеричной позиционной системе счисления. . .
Шестнадцатеричная позиционная система счисления.............
Смешанные системы счисления.................................
Ответы к упражнениям........................................
Последовательность целых чисел в позиционных системах счисления
•м О> Ф О СЛСЛ^СлЭОЭСлЭ — —
оо а> — юоюф-и — слослсо
с основаниями 10, 5. 2, 8..................................... 76
Использованная и рекомендованная литература .................. 78
ГЕОРГИЙ
АНДРЕЕВИЧ
КОВРИЖЕНКО
СИСТЕМЫ
СЧИСЛЕНИЯ
И ДВОИЧНАЯ
АРИФМЕТИКА
ОТ СЧЕТА
НА ПАЛЬЦАХ
ДО ЭВМ
Зав. редакцией математики О. П. Бондаренко
Редактор Н И. Литвиненко
Л итредактор О. В Коваль.
Художеств редактор И А. Савчук.
Технич. редактор Л Б. Ланцман.
Корректоры А П Наказнюк, Т Ю. Яремчук.
Информ, бланк N» 3817.
Сдано в набор 12.08.83. Подписа-
но к печати i 1.03.84. БФ 10600.
Формат 84х100/Э2. Бумага оф-
сетная N* 2. Гарнитура литера-
турная. Способ печати офсет-
ный. Услови. лист. 3.9. Усл.
кр.-отт. 7,58. Уч.-изд. лист. 4,75.
Тираж 30 000 экэ. Иэд N> 27700.
Зак. № 16! 3-3. Цена 15 к.
Издательство
«Радянська школа»
252053, Киев,
Ю Коцюбинского. 5.
Диапозитивы текста изготовлены
на Головном предприятии РПО
«Полиграфкнига»
Львовская книжная фабрика
«Атлас», 290005. Львов,
Зеленая, 20
15 к.
СИСТЕМЫ
И ДВОИЧНАЯ
АРИФМЕТИКА
Трудно назвать такую отрасль человеческой
деятельности, где не приходилось бы ставить
и решать вопросы о количестве предметов,
то есть осуществлять счет, или шире —
вычисления.
Люди учились считать в течение многих
веков, передавая и обогащая из поколения
в поколение свой опыт и достижения, увен-
чавшиеся одним из величайших чудес на-
учно-технической революции — электронно-
вычислительной машиной — ЭВМ. О том,
как был преодолен путь от счета на пальцах
до ЭВМ, и о секретах счетного мастерства
в различных арифметиках повествует эта
книга.