Н.П.  Брусенцов

Н.П. Брусенцов
 НАЧАЛА
 ИНФОРМАТИКИ
 Фонд "Новое тысячелетие"
 Москва
 1994

ББК 73
Б 89
 Б 89 Брусенцов Н.П. Начала информатики. М.: Фонд "Новое
тысячелетие", 1994. — 176 с.
 ISBN 5-866947-011-0
 Неформальное исследование оснований и инструментария информатики как науки о символьных системах отображения. Выявлена
сущность булевой алгебры и ее расширений в пределах трехзначной
логики Лукасевича. Средствами алгебры множеств и диаграмм Кэррола
прояснена сущность модальностей, актуального следования и силлогистики. Предназначено стремящимся разобраться в основах информатики
и безупречного рассуждения.
 1404000000 - 000
1 Р5 (03) - 94
 Без объявл.
 ББК 73
 ISBN 5-866947-011-0
 © Брусенцов Н.П.,
1994
 Художник Ясинский А.М.
 Сдано в набор 20.11.94. Подписано к печати 18.01.95. Формат 60x88 1/16.
Бумага офсет №1. Печать офсетная. Усл.-печ. л. 11.0. Тираж 1000 экз.
Заказ №831
 Фонд "Новое тысячелетне" 109432, Москва, а/я 23.
 ЛР № 070888 2.03.93.
 Московская тип. № 4 Комитета РФ по печати.
129041, Москва, Б. Переяславская, 46.

Хотя эта книга написана мной единолично, быть ей или не быть - зависело не только и не прежде всего от моей воли и способности. Оказалось совершенно необходимым
энергичное и ответственное участие других людей, которые, к счастью, своевременно
пришли на помощь, за что всем им самая сердечная благодарность.
 Наипервейшее спасибо прекрасному человеку, бесподобному хирургу Борису Васильевичу Петровскому и его замечательным сподвижникам, без чьего искусного вмешательства возможность появления книги заведомо исключалась. Впрочем, победа медицины в данном случае достигнута в значительной степени благодаря и моей жене - Наталии Сергеевне Казанской, вынесшей главную тяжесть испытания.
 Безусловно необходимыми участниками являются три других нечаянно встретившихся мне человека - президент фонда ’Новое тысячелетие’ Умут Бейсенбаевна Ке-
мельбекова, председатель Попечительского Совета этого фонда Ян Вильямовны Сиверц
ван Рейзема и председатель Эсклертного Совета Владимир Васильевич Яхненко. Именно
они убедили меня в том. что такую книгу следует написать и взяли на себя заботы по
ее изданию, а затем неназойливо, но постоянно интересовались, как идет работа
(чтобы не останавливалась). Искренне благодарен им за доброту и внимание.
 А еще благодарю моих товарищей по работе - сотрудников научно-исследовательской лаборатории электронных вычислительных машин на факультете ВМиК Московского университета, основанной светлой памяти Сергеем Львовичем Соболевым и Иваном Семеновичем Березиным, вдохновившими нас на многие годы целеустремленной созидательной работы, результаты которой, увы, редко бывают востребованы. В особенности благодарю Владилена Петровича Розина, выполнившего редактирование и набор текста книги, а также Хосе Рамиля Альвареса, подготовившего необходимые
средства редактирования.
 Н.Брусенцов Ноябрь 1994 г.

Гражданам прежней
Отчизны моей
В робкой надежде
Что будут умней

О предмете и основаниях информатики
 Информатика - слово новое: в словарях, изданных лет 15 - 20
тому назад, его не найти, а если и встретится, то не в современном значении, а скорее как синоним "книговедения", "библиографии". нечто связанное с реферативными куриалами, УДК, институтами
технической информации. Положение в корне изменилось вследствие
стремительного распространения компьютеров и особенно после того,
как французы стали употреблять термин informtique в значении,
близком к computer science. Сегодня перед "информатикой" померкла
даже “кибернетика": информатизационные технологии, информатизация
производства, науки, образования, информатизация общества... -
все это информатика. Впрочем, сущность информатики таким образом
не проясняется. Ведь не будет никакой разницы, если говорить о
компьютерных или компьютеризованных технологиях и о компьютеризации названных сфер деятельности людей. Даже первоклассники знают,
что информатика - это о компьютерах, обучение “компьютерной грамотности".
 Если же вникнуть в существо дела глубже, то обнаружится, что
компьютеры представляют собой только новое техническое воплощение
тех издревле разрабатываемых человечеством принципов и фундаментальных механизмов, в изучении которых и состоит прежде всего
предмет информатики. Действительно, информатика - наука об информации. Информация же (от латинского informatio - изложение, разъяснение, истолкование: представление, понятие; осведомление,
просвещение) в наиболее общем смысле термина есть отображение реальности. осуществленное в той или иной системе предназначенных
для этого средств. Это. если угодно, продукт той самой способности самоотражения материи.
 Отражение не следует понимать буквально, скажем, как отражение
в зеркале. Конечно, оно может быть и копированием, я изображением
или подражанием, но кроме того, возможно также постижение и выражение сущности (смысла) отражаемого - отображение сущности. Должно быть, именно эту последнюю разновидность информации древние
греки связывали с термином логос (Хо^од). означавшим и слово, и
речь, и рассуждение, рассказ, сочинение, и разум, понятие, смысл.
От него происходит и логика (XoYtaeii') - название науки, которая,
если не тождественна информатике, то по меньшей мере составляет

ее важнейшую часть, поскольку информатика занимается главным образом системами отображения.
 В ряду фундаментальных наук трактуемая указанным образом информатика занимает ключевое место. Аристотель (384 - 322 до
н.э.), положивший начало этой науке и с поразительной глубиной
разработавший важнейшие ее разделы, обозначенные им как "первая
философия", "диалектика", "аналитика", "топика", сказал об этом
так: "Ибо. будучи способом исследования, она прокладывает путь к
началам всех учений". ["Топика", кн. 1, гл.2. 101Ь 3].
 Было бы преувеличением сказать, что Аристотель создал информатику, хотя бы потому, что как систематической науки ее и сегодня
еще нет. Впрочем, говорят же, что Аристотелем создана логика, и в
сущности это верно, несмотря даже на то. что сам термин "логика"
появился, пожалуй, уже после смерти создателя.
 Именно Аристотелем положена в качестве непременного начала
этой науки, а вместе с ней и всех наук, аксиома о недопустимости
противоречия:
 "Есть, однако, такие, кто. как мы сказали, и сам говорит, что
одно и то же может в одно и то же время и быть, и не быть, и утверждает. что так считать вполне возможно. Этого мнения придерживаются и многие, рассуждающие о природе. Мы же приняли, что в одно и то же время быть и не быть нельзя, и на этом основании показали, что это самое достоверное из всех начал" ("Метафизика",
кн. 4. гл.4. 1005Ь 35]:
 “...очевидно, что противолежащие друг другу высказывания об одном и том же не могут быть истинны в одно и то же время" (Юбзь
15];
 “...нет ни одного прямого доказательства этих [положений], однако есть доказательство против того, кто принимает противное им"
[1062а 30];
 “...и [тем самым] исключает возможность рассуждать" [1062b 20].
 Установив незыблемое основание. Аристотель построил на нем совершенную систему рассуждения - силлогистику, адекватно отображающую сущность элементарных взаимосвязей между объектами реальности и раскрывающую механизмы логики естественного языка. Выработанные таким образом приемы безупречного, доказательного рассуждения (выражаясь в современной манере - корректной обработки и
анализа информации) позволили Аристотелю осуществить систематические и до сих пор не утратившие актуальности исследования в са

- 7 -
 мых различных областях, включая философию, физику, политику, поэтику, психологию, этику. Таким образом он убедительно продемонстрировал универсальность и мощь своего "способа исследования",
т. е. обоснованной и разработанной им системы достоверного отображения реальности, объективного анализа и истолкования информации.
 Представляется невероятным, чтобы наработанное Аристотелем мог
сделать один человек, причем более двух тысяч лет тому назад. Но
ничего чудодейственного в его наследии нет - все в пределах возможностей нормального человеческого ума, не гарантированного от
ошибок и заблуждений, однако обретшего незыблемую точку опоры и
безотказный метод. Гораздо трудней понять другое - почему современная нам информатика, насчитывающая в своих рядах сотни тысяч,
а возможно, миллионы высокообразованных людей, "до зубов" вооруженных ультрасовременной математикой и сверхбыстродействующими
компьютерами, не способна ни эффективно воспользоваться результатами Аристотеля, ни хотя бы разобраться в том, что им создано, в
чем секрет его необыкновенных достижений особенно в интеллектуальных приложениях информатики, с которыми сегодня ничего подобного не происходит.
 Должно быть, неспроста содержание информатики все в большей
степени подменяется проблемами информационной техники, которая
действительно прогрессирует дьявольскими темпами, принося невиданные барыши ее производителям. Но какова истинная ценность этого прогресса при неразвитости принципов благотворного применения
новой техники - на пользу она или во вред?
 Осторожно выражаясь, можно сказать, что большие надежды, возлагаемые на современную информационную технику в решении актуальнейших социальных проблем, таких как оптимизация управления народным хозяйством, совершенствование законодательства, повышение
эффективности системы образования, подготовки кадров, развитие
культуры, не оправдываются. Если же принять во внимание, что в
названных областях положение неуклонно ухудшается при интенсивном
наращивании мощностей и обновлении технических средств информации, то оценка будет значительно ужесточена. Странно, но чем
больше возможностей, тем менее эффективно они используются, а нередко и прямо вредят делу, для которого предназначены. К примеру,
взять хотя бы сомнительную роль современной прессы, кино, радио и
телевидения в насаждении благоразумия и морали.
 Не блещет современная информатика и как "способ исследования".

_ 8 -
 который по мысли Аристотеля призван прокладывать путь к началам
всех учений. В ней самой никакого систематического способа усмотреть невозможно. Более того, у информатики сегодня как бы два
различных основания, два начала: одно, происходящее от Аристотеля, но основательно извращенное средневековыми схоластами, принято по традиции в гуманитарных науках: другое - разработанная в
новое время преимущественно математиками символическая, или математическая, логика - предназначено для естественников и инженеров.
 Характерной чертой обеих логик, и гуманитарной, и математической, является их настойчиво подчеркиваемый формализм, заключающийся в стремлении осуществлять рассуждение, не вникая в смысл
того, о чем рассуждают, а исходя из "формы" выражения этого смысла. Подобный "способ", кстати, диаметрально противоположи® аристотелеву. крайне затрудняет разработку, освоение и применение информационных систем, а прокладываемый им "путь к началам всех
учений" оказывается если и проходимым, то с немалыми препятствиями.
 Свидетельством того, что дело обстоит именно таким образом,
служит то, что при решении насущных проблем люди, как правило,
предпочитают не пользоваться формальной логикой, полагаясь на
"здравый смысл", а также тщетность бесчисленных попыток включить
обучение основам логики в систему общего образования, что. без
сомнения, необходимо и в случае благоразумной реализации могло бы
радикально повысить эффективность просвещения, открывая этим возможность успешно преодолевать и многие другие трудности. Но внедрение формализма приводит, как известно, к противоположным результатам.
 Несостоятельность формализма убедительно подтверждается и неблагополучным положением в самой информатике. Впечатляющие достижения электроники создают видимость стремительного прогресса
компьютерной информатики, информатизации буквально всех сфер жизни, но в действительности происходит нагнетание компьютерной техники в эти сферы, как правило, без основательной оценки последствий. которая и не может быть произведена ввиду неразвитости
принципиальных составляющих информатики, т. е. собственно информатики как науки об отображении реальности.
 По этой же причине практически не прогрессируют интеллектуальные применения компьютеров, хотя разговоры об искусственном ин-

- 9 -
 теллекте ведутся с самого начала "компьютерной эры". Ясно, что
компьютер - орудие интеллекта, но создавать машинный интеллект,
не разобравшись в таких непременных компонентах любого интеллекта, как отношение следования или силлогистическая необходимость,
безнадежно.
 Традиционная (гуманитарная) логика, предпочтя формалистическую
манеру стоиков [Лукасевич, стр.55], в частности, Хрисиппа (ок.
280 - 208 до н.э.) содержательному рассуждению Аристотеля, заимствовала у последнего его фигуры и модусы силлогизма как догматические правила, которые каждый изучающий логику обязан знать наизусть [Челпанов, стр. 86]. Математическая логика в результате неоднократных попыток все еще не пришла к адекватному выражению отношения непарадоксального следования и не находит возможности
корректно отобразить в своих системах аристотелеву силлогистику,
которая будто бы не соответствует требованиям математики (вполне
соответствуя, однако, логике естественного языка людей, при умелом употреблении безупречно работающего и в математических рассуждениях!).
 Система Аристотеля действительно не так проста, чтобы ее можно
было воспроизвести на основании примитивных представлений. Вместе
с тем, ей присуще неоспоримое преимущество перед прочими системами - в ней адекватно отображена логика человеческого рассуждения,
оиа находится в полном согласии с опытом и со здравым смыслом.
Поэтому именно эта система должна быть положена в основание информатики, чтобы обеспечить возможность успешного развития последней. А что касается мнений о несовместимости представлений
Аристотеля с концепциями современной математики и невписываемости
отношений силлогистики в математическую логику, то эта книга посвящена как раз опровержению этих мнений и показу того, что все в
точности вписывается.

1. БУЛЕВА АЛГЕБРА
 Булева алгебра - сравнительно простая, естественная и вместе с
тем весьма мощная система отображения, квалифицируемая нередко
как фундаментальная в том смысле, что составляет удобную основу
для построения более сложных систем. Булевой, или булевской, эта
алгебра названа в честь англичанина Джорджа Буля (1815-1864). который положил начало практической алгебраиэации мшления. изобретя первую алгебру логики [Стяжкин, стр. 3201.
 Формально изобретение заключалось в том. что обычная числовая
алгебра с ее операциями сложения, вычитания, умножения и деления
была использована с множеством значений, включающим только два
числа - 0 и 1. Оказалось, что вычисления на таком множестве моделируют логику рассуждения - достоверность тех или иных выводов из
принятых посылок вычислима в двузначной арифметике.
 Этот поразительный результат стимулировал быстрое увеличение
активности, направленной на создание и исследование систем так
называемой символьной, или символической, логики, которая сегодня
более известна как математическая логика. Булева алгебра, выработанная путем обстоятельного усовершенствования того, что было
предложено самим Булем, представляет собой наиболее законченную,
всесторонне изученную и эффективно применяемую часть этой интенсивно развивающейся области знания.
 1.1. 	Базисные операции
 Как математический объект булева алгебра вполне аналогична
послужившей ей прототипом числовой алгебре, но отличается от нее
набором базисных операций и множеством значений, на котором они
определены. В соответствии с концепцией Буля это множество содержит лишь нулевой и единичный элементы. Базисных операций всего
три: одна одноместная (однооперандная, монарная) и две двуместные
(бинарные). Принципы организации и фушсционизования. свойственные
числовой алгебре, полностью сохранены: основная конструкция (выражение) строится при помощи скобок (или эквивалентных правил
бесскобочного синтаксиса) путем применения операций к ранее образованным тем же путем выражениям, которыми на каком-то этапе этого пути оказываются не детализируемые далее, исходные, символы,
называемые обычно терминальными, или терминалами.

- 11
 Например, выражение
 (а+2)(Ь-с/3)
 представляет собой произведение выражений а+2 и Ъ-с/3 , первое из
которых построено непосредственно из терминальных символов а, 2,
второе же - из терминала Ъ и выражения с/3.
 Выражение, входящее в составное выражение в качестве его подвыражения, называют вложенным в него. Вложенность естественно
приводит к иерархии и рекурсии.
 Одноместную операцию булевой алгебры сами алгебраисты называют
дополнением, а логики и другие пользователи этой алгебры - отрицанием. О причинах и последствиях этого разногласия будет сказано
в дальнейшем.
 Двуместная мультипликативная (типа умножения) операция в булевой алгебре называется конъюнкцией, или логическим умножением,
двуместная аддитивная (типа сложения) - дизъюнкцией, а иногда логическим сложением.
 В качестве знака дополнения-отрицания применяются: штрих, черта над операндом, а также префиксы ч и "минус". Так. выражение
"дополнение ж " в зависимости от используемых обозначений может
быть представлено в следующих вариантах: ж', ж, ->х. -ж. Впрочем,
не исключены и какие-нибудь иные.
 Знаком дизъюнкции, как правило, служит v (первая буква латинского vet - "неразделительное или"). Конъюнкцию обозначают этой же
буквой, перевернутой верхом вниз - л, а иногда знаком & либо
"точкой". Нередко знак конъюнкции просто опускают, подобно знаку
умножения в числовой алгебре. Поэтому возможны следующие разновидности выражения "конъюнкция ж, у жлу. х&у. ж -у. ху.
 Исчерпывающим определением перечисленных базисных операций
служит таблица:
 Базисные операции булевой алгебры
 ж
 •
 1-
 жлу
 xvy
 0
 0
 1
 О
 0
 0
 1
 1
 О
 1
 1
 0
 О
 О
 1
 1
 1
 О
 1
 1

- 12 -
 Определение каждой из операций представляют также в форме матрицы значений, порождаемых данной операцией в точках с целочисленными декартовыми координатами (я. у):
 х\у О 1
 0,0
 0.1
 1.0
 1.1
 (®. У)
 1
 1
 0
 0
 я'
 ялу
 0 1
 1 1
я чу
 Все эта определения носят, конечно, чисто арифметический характер. Например, определение конъюнкции является ни чем иным,
как таблицей умножения чисел О, 1. Алгебра же начинается с выявления присущих операциям свойств с целью установить законы тождественного преобразования выражений.
 1.2. 	Основные тождества
 В общем случае выражение состоит из знаков операций, букв и
цифр, обозначающих те объекты, к которым применяются операции, и
скобок, регламентирующих вложенность. В частности, выражением является и отдельная буква или цифра (а в иных системах и отдельный
знак операции).
 Вместе с тем, всякое выражение, подобно отдельной букве, может
быть объектом операций (операндом) и так же как буква способно
принимать значение из допустимых в булевой алгебре О и 1. Различие в том, что букве ее текущее значение придают непосредственно
(присваивают), а значение выражения вычисляется, или оценивается,
путем выполнения всех предписанных в нем операций над текущими
значениями входящих в него букв и подвыражений в порядке их вложенности. Впрочем, можно и обратно, фиксировав значение выражения, устанавливать обеспечивающие его наборы значений букв.
 Выражение, содержащее к различных букв, может быть вычислено
на 2“ различных наборах значений этих букв и сопоставляет таким
образом каждому из них (принимает на нем) однозначно определенное
значение. Два выражения с одним и тем же набором букв называются
тождественными (выражающими одно и то же), если на любом из наборов значений, присвоенном их буквам, значения этих выражений совпадают (одинаковы, равны).

13 -
 Тождественность, или тождество, выражений принято обозначать
знаком тождества а , который, будучи помещен между двумя выражениями, свидетельствует, что они тождественны друг другу. Нетож-
дественность обозначается перечеркиванием знака тождества. Например: х а х, х' я х. х я у. Всякая буква предполагается тождественной сама себе и не тождественной любой другой букве.
 Из таблиц, которыми определены базисные булевы операции, непосредственно устанавливаются следующие фундаментальные тождества, в совокупности достаточные для воспроизведения этих таблиц,
т. е. составляющие эквивалентное определение операций:
 (я*)' = х
 ХАХ Я X
ХЧХ Я X
 хах‘ - О
 ХЧХ' Я 1
 закон двойного отрицания-дополнения,
идемпотентность конъюнкции,
идемпотентность дизъюнкции,
закон противоречия,
закон исключенного третьего.
 Определения операций и осуществляемое путем вложенности конструирование из них трехбуквенных выражений позволяют установить
также ряд других законов булевой алгебры:
 ялу я у АХ
хчу = учх
 (ялу)ля s ял(улг)
(хчу)чг = хч(учг)
 X(yvz) Я xyvxz
xvyz 3 (ivy)(xvz)
 x(xvy) = X, xvxy Я X
 ЯЛ1 « X. XVO Я X
XAO - 0, xvl я 1
(®y) ' 3 X 'чу'. (хчу)' з Я* У*
 - переместительность (коммутативность) для конъюнкции и
для дизъюнкции;
 - сочетательность (ассоциативность) конъюнкции, а также
дизъюнкции;
 - распределительность (дистрибутивность) конъюнкции относительно дизъюнкции и дизъюнкции по отношению к конъюнкции;
 - законы "поглощения";
 - законы де Моргана.
 Законы де Моргана, сводящие отрицание конъюнкции к дизъюнкции
отрицаний, а отрицание дизъюнкции - к конъюнкции отрицаний, позволяют выразить конъюнкцию в терминах дизъюнкции и отрицания и
обратно - дизъюнкцию через конъюнкцию и отрицание:

14 -
 ху = d'vy')'. ivy = (I'у')'
 Это свидетельствует об избыточности базисного набора операций булевой алгебры: для произвольного булева выражения существует тождественное ему, построенное без применения конъюнкции, а также
тождественное и не содержащее дизъюнкции. Другими словами, функциональная полнота обеспечивается уже сочетанием отрицания и
конъюнкции или отрицания и дизъюнкции. Однако только объединением этих систем достигаются присущие булевой алгебре естественность. гибкость и элегантность.
 Совместным применением конъюнкции и дизъюнкции обусловлена
свойственная булевой алгебре двойственность выражений. Сами операции конъюнкции и дизъюнкции называются двойственными (дуальными) друг другу. Двойственность понимается как "то же. но в обратном порядке", причем речь идет об упорядоченности множества значений. на котором определены операции.
 Конъюнкция и дизъюнкция формируют свои значения единообразно,
а именно выбором из значений, присвоенных их операндам. Разница
только в том, что конъюнкция предпочитает 0, а дизъюнкция предпочитает 1. Так, значением конъюнкции будет 0, если хотя бы один ее
операнд принял значение 0. значение же 1 она имеет лишь в случае,
когда оно принято обоими операндами. У дизъюнкции все наоборот.
Иначе говоря, дизъюнкция так поступает с 1, как конъюнкция с о, а
точнее: по отношению к последовательности 01 конъюнкция идентична
дизъюнкции относительно обратной последовательности - 10. И та и
другая отдает в своей последовательности предпочтение первому
элементу.
 Как операции над числами конъюнкция и дизъюнкция являются
функциями, доставляющими соответственно минимальное и максимальное из значений своих аргументов:
 Iу ■ mind.у) , ivy » max(i.y)
 1.3. 	Нормальные формы
 Операции конъюнкции и дизъюнкции, благодаря их ассоциативности, естественно обобщаются на случай произвольного числа операндов (произвольной арности). Так. например, последовательное применение двуместной конъюнкции к ряду букв ij, la i„ равно
 сильно n-арной конъюнкции над этими буквами:
 (. . . ( (1,Л12 ) А13)Л. . . AI„ ) = IjAI2AI3A. . . А1„ а

- 15 -
 “ . . . Xq 3 A (Xj | Xj ■ . • . , Хд )
 Эта конъюнкция принимает значение 1 только в том случае, когда
все ее операнды имеют значение 1. иначе ее значение будет О. В
силу двойственности аналогично обобщается и дизъюнкция.
 Применительно к многоместным конъюнкции и дизъюнкции возникает
соответствующее обобщение законов де Моргана:
 (I, AXjj Л. . . ЛХд ) ' = Xj ' v х2 ‘ v... v х„'
 (X, VXgV. . . VX„) ' в Х| ' Л ®2'Л...Л Х„'
 Использование этих тождеств в сочетании с законами дистрибутивности конъюнкции и дизъюнкции позволяет трансформировать произвольное. с многоуровневой вложенностью булево выражение в тождественное ему. построенное на основе многоместных операций выражение с не более чем двухуровневой вложенностью. Существует два
типа этих канонических выражений, называемых нормальными формами:
дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) - многоместная дизъюнкция
многоместных элементарных конъюнкций, и конъюнктивная нормальная
форма (КНФ) - многоместная конъюнкция многоместных элементарных
дизъюнкций. Элементарной конъюнкцией (дизъюнкцией) называют такую, члены которой далее не расчленяются, т.е. представляют собой
либо отдельные буквы, либо их отрицания.
 Последовательность частичных преобразований, приводящая выражение к нормальной форме, вполне очевидна. Прежде всего применяются законы де Моргана для преобразования находящихся под знаком
отрицания конъюнкций и дизъюнкций (если они имеются) в дизъюнкции
и конъюнкции с почленными отрицаниями. Затем для получения ДНФ
используется дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции,
а для получения КНФ - дистрибутивность дизъюнкции относительно
конъюнкции. В обоих случаях в ходе преобразований, как только
предоставится возможность, непременно применяются законы идемпотентности и поглощения, позволяющие упрощать и сокращать выражение.
 Практической иллюстрацией описанной процедуры может служить
следующий пример трансформации выражения к ДНФ.
 ((xvy) (ху)')'((y'z)'(y'vz)) = d'y'v iy)((yvz')(y'vz)) з
 - (I'y'v xy)(yy'v yz V y'z'v zz) = (x'y'v xy)(yz V y'z') -
 = xyz v x'y'z'
 Для получения КНФ на втором этапе преобразований используется
дистрибутивность дизъюнкции, а не конъюнкции:

- 16 -
 (х'у'v xy){{yvz'){y'vz)) * ((xvi’)(xvy )(х чу)(учу'))А
A((yVZ')(y'VZ)) = ((xvy')(X'Vy))((yvz')(y'VZ)) S
= (xvy') Cac' vy) (yvz ) (y'vz)
 Конечно, при наличии ДНФ выражения его КНФ получается просто
применением дистрибутивности дизъюнкции, а при наличии КНФ для
получения ДНФ используется дистрибутивность конъюнкции. В рассмотренном примере перевод из ДНФ в КНФ:
 xyz v x'y'z' ■
 = (xvx')(xvy')(xvz')(x'vy)(yvy'Hyvz')(x'vz)(y'vz)(zvz') ■
 ■ (ХЧу') (Г Чу) (yvz') (У VZ)
 Особо выделяются так называемые совершенные нормальные формы.
Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) называется такая ДНФ выражения, в которой каждая из имеющихся в ней многоместных конъюнкций содержит все без исключения используемые в выражении буквы, каждую или непосредственно, или под знаком отрицания.
В рассмотренном примере была получена и затем преобразована как
раз совершенная ДНФ xyz v x'y'z'.
 Определение совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ)
полностью аналогично, а вернее сказать, двойственно, полученная в
примере КНФ не является совершенной, но ее можно преобразовать к
совершенному виду при помощи искусственного приема, позволяющего
добавить недостающие в дизъюнкциях буквы.
 Сущность этого приема поясним преобразованием выражения х к
СКНФ. содержащей буквы х и у:
 х = х л уу' * (xvy) (xvy")
 Первое тождественное преобразование основано на законах противоречия и поглощения, второе - на дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции.
 СКНФ ранее рассмотренного выражения получается аналогичным образом:
 (хчу')(х'чу)(учг')(y'vz) я (xvy'vz)(xvy'vz')(x'vyvz)л
A(x'vyvz')(xvyvz') (X* vyvz')(xvy'vz) (X* vy'vz) 3
* (xvyvz') (xvy'vz) (xvy'vz') (X'vyvz) (X'vy'VZ)(JC'vyvZ'J
 Как выяснится в дальнейшем, нормальные формы выражений булевой
алгебры являются важнейшим средством их исследования, интерпретации, определения бтношений, в которых они могут состоять.

- 17 -
 1.4. 	Истолкование
 Алгебру можно рассматривать (математики все чаще так и поступают) как совершенно независимую, замкнутую в самой себе науку о
формально определенных операциях над абстрактными объектами и
всевозможных построениях на основе этих операций. Булева алгебра
к тому же и возникла ие путем обобщения эмпирических данных, а в
результате модификации уже сложившейся абстрактной системы - числовой алгебры. Но тем более нельзя не поднять вопрос о смысле ее
операций и законов, об их отношении к действительности: что в них
отображено и каким образом они'могут быть корректно применены на
практике.
 Формалисты называют это интерпретацией на моделях, причем булеву алгебру по почину самого Буля интерпретируют обычно как алгебру высказываний (суждений, предложений), а кроме того, как алгебру классов. В инженерных приложениях она выступает в качестве
алгебры переключательных схем или дискретных (цифровых) сигналов.
Ясно, что подобные интерпретации - это скорее лишь специализация
в той или иной области, выделение рода обозначаемых буквами вещей.
 С более общей информационной точки зрения, как система отображения, булева алгебра нуждается не столько в частных интерпретациях. но прежде всего в истолковании, как оно понимается Аристотелем, т. е. в установлении точного смысла ее операций и законов и
в соотнесении их с соответствующими инструментами естественного
языка.
 Отправнш пунктом здесь должно быть осознание того, что буквами в булевой алгебре обозначены не вещ, а характеристики (определения, атрибуты) вещей. Другими словами, объекты отображаемой
действительности представлены в булевой алгебре не непосредственно сами собой и даже не их обозначениями (именами), а обозначениями и выражениями присущих им качеств - их атрибуташ.
 Подобно тому как обычная числовая алгебра оперирует с величинами. т. е. количественными характеристиками вещей, оцениваемыми в
числах, булева алгебра занимается качественными характеристиками
- атрибутами, для точной оценки которых достаточно двух значений:
 1 - "есть" ("дан", “имеет меото") и 0 - "нет" ("исключен", "не
имеет места”). Грубо говоря, обычная алгебра - это алгебра количеств, а булева - алгебра качеств.

- 18 -
 Истолкование булевой алгебры как алгебры качеств принадлежит
Платону Сергеевичу Порецкому (1846 - 1907), выдающийся вклад которого в развитие символьной логики [Стяжкин. стр. 362 - 408] все
еще не получил должного признания, надо сказать, что это истолкование в точности соответствует тому, как понимаются термины в
силлогистике Аристотеля. Ян Лукасевич [Лукасевич. стр. 41] усматривает принципиальное отличие аристотелевой силлогистики от так
называемой "традиционной", излагаемой в учебниках логики, как раз
в том, что у Аристотеля всякий термин может выступать как в роли
субъекта, так и в роли предиката - по выражению самого Аристотеля, всякий "сказывается" о чем-либо, характеризует что-то. При
этом и имена существительные трактуются как обозначения свойств,
как атрибуты. Например: "Все млекопитающие - животные", "Некоторые опоздавшие - спортсмены". Подразумеваемая Аристотелем, но утраченная. к сожалению, традиционными логиками однородность терминов, без которой едва ли возможна успешная алгебраизация системы,
достигается именно тем. что термины в силлогистике и буквы в булевой алгебре полагают равнозначными атрибутам.
 Таким образом, выражения булевой алгебры следует трактовать
как представленные посредством букв и знаков операций составные,
вообще говоря, атрибуты, которые, по определению Аристотеля,
"что-то обозначают как оказывание, но не как утверждение или отрицание" С"Об истолковании", гл. 4, 16Ь 27]. Например, выражение
ялу' обозначает качество, состоящее в наличии качества я при
отсутствии качества у. Конкретно: если, скажем, х - "сообразительный", а у - "вор", то ялу' - "сообразительный и не-вор". Как
видно, выражение становится конкретной характеристикой после придания буквам определенного смысла, но в ней не содержится ни утверждение, ни отрицание присущности выраженного качества какому-либо рассматриваемому или указанному объекту, не сказано, что
оно имеет место или не имеет места, что оно дано или, наоборот,
исключено.
 В булевой алгебре качеств в случае данности, или наличия, определенного качества представляющий это качество атрибут принимает значение 1, а в противном случае - 0. Поскольку качествами обладают или не обладают характеризуемые объекты, то атрибуты принимают значения на этих объектах.
 Каждый раз имеется в виду единственный рассматриваемый объект.

- 19 -
 который характеризуют выражением-атрибутом, составляемым на основе заданной совокупности критериев. Набор критериев диктуют цели
рассмотрения. Например, для поступающих в аспирантуру критерии
должны быть иными, чем для танцовщиц кабаре или для манекенщиц.
 В условиях булевой алгебры приходится ограничиваться двузначными критериями, т.е. такими, что по каждому из них оцениваемый
объект относится к одному из двух взаимно дополняющих друг друга
классов - класса удовлетворяющих данному критерию и класса не
удовлетворяющих ему. Примеры: четный/нечетный, человек/не-чело-
век, здоров/нездоров, равно/неравно.
 Атрибутом удовлетворения критерию служит сам оимвол (выражение) этого критерия, а атрибутом неудовлетворения - тот же символ
под знаком отрицания, что равносильно выражению, дополнительному
до выражающего критерий. Как уже алло отмечено, вне связи с каким-либо объектом атрибуты ничто не характеризуют - характеризовать может лишь "атрибут чего-то", атрибут рассматриваемого объекта. Поэтому надо различать "атрибут сам по себе" как "оказывание " о данном качестве или соответствующем критерии и "атрибут
объекта" как утверждение об удовлетворении этим объектом представляемому атрибутом критерию, о присущности объекту отображаемого атрибутом качества.
 Во избежание двусмысленности можно "атрибут сам по себе" называть термином в аристотелевом смысле слова, т.е. полагая, что
всякий термин способен о чем-то сказываться, что-то характеризовать. И при этом сшсл слова "термин" шире, чем словосочетания
"атрибут сам по себе", поскольку, во-первых, терминами могут быть
не только атрибуты, понимаемые как обозначения неотъемлемых, существенных качеств объектов, но и так называемые предикативные
характеристики, или акциденции, а во-вторых, термин может обозначать не только характеризующее, но и характеризуемое (впрочем,
ничто не мешает полагать, что атрибуты характеризуют не вещь, а
ее сущность, отображаемую в виде составного атрибута).
 В результате проведенных рассуждений складывается следующее
весьма общее и вполне согласующееся с установленной Аристотелем
логикой естественного языка истолкование булевой алгебры.
 Алгебраическое выражение отображает в символьной форме сущность рассматриваемого объекта (вещи, явления, ситуации), характеризуя этот объект как единое целое по отношению к частичным
критериям, обозначенным входящими в выражение буквами.

- 20 -
 В простейшем случае, когда объект характеризуют оценкой по одному единственному критерию, скажем, А. отображаемая сущность будет представлена одним из двух возможных в этом случае выражений:
А - если объект удовлетворяет критерию. А- если не удовлетворяет. Эти выражения представляют собой атрибуты возможных разновидностей рассматриваемого объекта, а также термины, однозначно
обозначающие эти разновидности, поскольку никакой другой информации по условиям рассмотрения нет.
 В общем случае характеризуемый объект оценивается по п двузначным критериям и будет представлен одним из 2" функционально
различных выражений, исчерпывающе и однозначно определяющим его
сущность относительно данных критериев. Всего же в п-критериаль-
 ном пространстве возможно до 22"различных характеристик, обеспечивающих представление каждого объекта с произвольной степенью
определенности в отношении любого критерия. Короче говоря, в виде
булева выражения реализуемы все мыслимые качественные характеристики по заданным критериям, выразимы все атрибуты любого возможного в данной системе конкретного объекта.
 Булево выражение является аналогом словосочетания (фразы) в
естественном языке и, вообще говоря, представляет собой объект,
истолковываемый в зависимости от контекста или как критерий, или
как характеристика, в частности, как атрибут, и в том числе как
исчерпывающий атрибут, однозначно определяющий совершенно конкретный в данной системе критериев объект (индивид).
 Поясним сказанное наглядным примером. Пусть речь идет о пище,
и применяются два критерия: В - вкусное, С - сытное. Каждому из
этих критериев однозначно соответствует противоположный ему критерий: В' - невкусное. С' - несытное. Пищу, удовлетворяющую данному критерию, характеризует одноименный атрибут, а не удовлетворяющую - его отрицание, т.е. атрибут, одноименный противоположному критерию.
 Имеется четыре вполне конкретных (исчерпывающих) в рамках данной системы составных атрибута - ВС, ВС', В'С. В'С', действительно, используя заданные критерии, нельзя построить более определенные характеристики, чем "вкусное и сытное", "вкусное несытное", "невкусное сытное", "невкусное и несытное". Это атрибуты
классов, которые в рассматриваемой системе далее не разукрупняются, не разбиваются на подклассы, поскольку набор критериев исчер

- 21 -
 пан. Такие классы и представляющие их атрибуты естественно назвать индивидными, или индивидами, имея в виду, что "индивид" оказывается понятием относительным: в системе с расширенным набором
критериев индивидами будут конъюнкции большего ранга, а именно,
равного числу независимых критериев.
 Конъюнкция терминов (совместимых и не тождественных друг другу) является более конкретной (более строгой, сильной, определенной. точной) характеристикой, чем каждый из ее членов в отдельности. Противоречивая конъюнкция, т. е. содержащая несовместимые
термины, например. ВВ' или СС', не обозначает никакого качества,
ей ничто не соответствует, или иначе - соответствует ничто, обозначенное в алгебре цифрой 0 (закон противоречия). Конъюнкция же
тождественных друг другу членов обозначает в точности то же, что
и каждый ее член. Именно в этом смысл закона идемпотентности:
хх ■ х.
 В противоположность конъюнкции дизъюнкция терминов представляет собой менее конкретную характеристику, чем каждый из них в отдельности. Так. критерий Bvc согласно определению дизъюнкции
удовлетворяется (принимает значение 1) как в случае, когда имеет
место В, независимо от наличия С. так и в случае, когда имеет
место С, независимо от В. Атрибут BvC - "вкусное или сытное" -
присущ любому из трех индивидов: ВС. ВС', В'С, но не присущ четвертому - В'С'. Если нечто охарактеризовано как BvC, то оно одно
из трех названных (не известно, какое именно), но не четвертое.
О четвертом однозначно известно, что оно не есть BvC, а является
его отрицанием-дополнением: (BvC)' = В'С' (закон де Моргана).
 Таким образом, конъюнкция терминов характеризует рассматриваемый объект определенней, чем отдельные ее члены или какая-либо ее
часть, дизъюнкция же,наоборот. - менее определенно. Крайнюю неопределенность выражает дизъюнкция несоисключимых терминов - xvx' -
критерий, который заведомо удовлетворен на любом объекте, атрибут, означающий неопределенное нечто: xvx’ = 1 (закон исключенного третьего).
 Исключенное третье здесь надо понимать в том смысле, что между
(или помимо) я и я' ничего нет - "третье не дано", т.е. обозначенная штрихом операция отрицания тождественна дополнению, порождает атрибут х', присущий всему, чему не присуще х. О том же и
закон двойного отрицания: (х')' = я.
 Считают, что закон исключенного третьего устанавливает прин

- 22 -
 цип, по которому логика разделяется на двузначную и недвузначную
(многозначную): в двузначной логике этот принцип соблюден, имеет
место, а в многозначной - нет. В отношении двузначных и недвузначных критериев это действительно верно: двузначный, или Эшсото-
мияеский. критерий потому так и называется, что предопределяет
только две возможности - соответствие/несоответствие, третье исключено. Недвузначные критерии предполагают более двух возможностей. Например, в трихотомиях "знак числа": минус/нуль/плюс, "род
имени": женский/средний/мужской исключено четвертое, а в четыре-
хотомии "стороны света": север/юг/восток/запад исключено пятое и
т.д. Однако в многозначной логике дихотомические критерии и принцип, на котором они основаны, вполне приемлемы и употребляются
наряду с многозначными. Скажем, указанные трихотомии вполне совместимы с дихотомиями женский/не-женский. отрицательный/неотрица-
тельный.
 С другой стороны, логика, базирующаяся на одних только двузначных критериях, не обязана быть двузначной, т.е. обходиться
двумя "значениями истинности". Даже в такой чисто дихотомической
системе как булева алгебра подразумевается, хотя и не явно, как
минимум третье значение. Дело в том. что в значности отражается
не только кратность разбиения по критериям, но также и степени
/ноЗольности. Модальность обусловлена тем. что отображение действительности в алгебре, как и всякая информация, не только принципиально не может быть исчерпывающим, но нередко оказывается существенно неполным, частичным и по отношению к декларируемому
уровню абстракции.
 Так, в рассмотренном примере для съестного, представленного
атрибутом BvC ("вкусное или сытное"), остаются неизвестными значения атрибутов В и С. в подобных случаях обычно говорят, что
значения не определены, но можно расценивать неопределенность как
одну из степеней модальности и, обобщив понятие значности атрибута, считать, что В и С в данной ситуации принимают особое значение, истолковываемое как неопределенность.
 В явном виде это значение ввел польский логик Ян Лукасевич
(1878 - 1956), основав таким образом первую, как он считал, недвузначную логику [Лукасевич, стр. 49], которую теперь называют
трехзначной логикой Лукасевича. Правда, за шесть веков до того
подобной логикой пользовался Уильям Оккам (1290 - 1349) [Стяжкин,
стр. 143], а при желании ее можно вычитать и у Аристотеля в трак

- 23 -
 тах "Категории", н0б истолковании”, "Первая и вторая аналитики”,
"Топика" ("неопределенное" он называет чаще "привходящим").
 Однако тщетными будут попытки найти в этих трактатах элементы
той логики предложений, которая по мнению Лукасевича является наиболее фундаментальной логической системой, - Аристотель разрабатывает и исследует логику терминов, трактуемых им как символы
“вторых сущностей", сказывающиеся о "первых сущностях", т.е. об
объектах реальности, о вещах. Предложения же ("высказывающая
речь", например, посылки силлогизма) служат для отображения меж-
объектных связей путем утверждения или отрицания отношений существования, совместности, соисключенности, присущности и других.
 Такой подход, как оказалось, вполне приемлем и при истолковании булевой алгебры, причем фундаментальность ее нисколько не
убавляется, тогда как символы, выражения и тождества приобретают
простой и характерный для соответствующих элементов естественного
языка смысл. Это несомненное преимущество по сравнению с искусственными конструкциями 'градационной логики высказываний и предикатов. Странная ведь логика: сперва изобретают какой-то особый
тип предложений, называемых почему-то высказываниями, и комбинируют их, не считаясь со смыслом, а затем, спохватившись, пытаются
понять, что же такое "высказывание", и делают это наредкость затейливым образом. Конечно, так оно сложилось исторически, но это
не оправдание. К тому же аристотелево бесхитростное истолкование
для творящих новую логику не было тайной.
 Выражение булевой алгебры, как и термин, являющийся частным
случаем выражения - "несоставным выражением", представляет собой
нечто сказываемое или сказывающееся о подразумеваемом объекте
(предмете, ситуации), выражающее его сущность комбинацией терминов, смысл которых либо задан, либо может быть задан. Короче, алгебраическое выражение в точности соответствует естественноязыковому выражению (фразе) - это оказывание, или, если угодно, высказывание. по не предложение (не "высказывающая речь"), т. е. не утверждение и не опровержение, не вопрос и не приказ.
 Выражение может быть дано в точности так же. как обычно даны
условия задачи или теоремы, которую надлежит доказать. В булевой
алгебре дано - значит равно 1, и понимать это надо так, что рассматриваемый объект удовлетворяет представленному выражением критерию, или что выраженное является неотъемлемой характеристикой,
атрибутом рассматриваемого объекта. Если же выражение полагают

- 24 -
 равным 0. то это не только отменяет его данность, но вместе с тем
утверждает данность его отрицания, т. е. означает удовлетворение
противоположному по дополнению критерию и обладание соответствующим атрибутом.
 Можно, конечно, рассматривать выражение и вне связи с объектом. или как характеристику, которая не дана и не исключена, скажем, вследствие отсутствия информации, либо как неуместная. Все
эти случаи, отличные от категорического “дано/исключено“, могут
быть "в первом приближении" сведены, как уже было сказано, к неопределенности. Но в булевой алгебре и в двузначной логике третьего значения нет, и неопределенность выражается неявно - несущественные члены конъюнкций и дизъюнкций просто опускаются,
"умалчиваются".
 Умолчание не годится в случае, когда требуется прямо ответить
на вопрос о соответствии объекта представленному критерию, причем
неопределенность не исключена. Ответ "Да" в этом случае значит,
что объект относится к соответствующим критерию, ответ же "Нет" в
смысле "не-Да" не является однозначным: неясно, то ли объект относится к несоответствующим критерию, то ли определенного ответа
нет. Именно таким несовершенным образом отвечает на подобные вопросы система логического программирования Пролог [Малпас. с. 1501.
 Возвращаясь к тому, как истолковывать объекты булевой алгебры
- как термины или как высказывания-предложения, укажем возможную
причину того, что предпочтение было отдано высказываниям. Весьма
вероятно, что этот выбор предопределило стремление обрести в логике беспристрастного арбитра в извечном споре истины с ложью.
Ведь именно высказыванию в отличие от термина можно присвоить в
качестве значения "истину" или "ложь". Однако делают это чисто
формально, так и не договорившись, что же есть "истина".
 Аристотель тоже пользовался словами "истина” и "ложь", но у
него не возникало с ними затруднений, все было просто и ясно: истина - это соответствие действительности, ложь - несоответствие.
 О таком именно понимании недвусмысленно свидетельствуют 'следующие
его строки: "... прежде всего определим, что такое истинное и
ложное. А именно: говорить о сущем, что его нет или о не-сущем,
что оно есть - значит говорить ложное; а говорить, что сущее есть
или не-сущее не есть - значит говорить истинное." ["Метафизика".
кн.4. гл.7, 1011Ь 251.

- 25 -
 1.5. 	Связки
 Выражения булевой алгебры окажутся совершенно идентичными словосочетаниям естественного языка, если используемые в них знаки
операций истолковывать нё как указатели действий, которые должны
быть выполнены по соответствующим таблицам над значениями относящихся к ним букв, а как служебные слова - грамматические союзы и
частицы, в совокупности называемые логическими связками, или просто связками. Трем операциям булевой алгебры соответствуют булевы
связки: отрицание, конъюнкция и дизъюнкция. Кстати, названия эти
обозначают именно виды связок, а для операций являются как бы условными. заимствованными. В русском языке эквивалентом связки
"отрицание" является частица не. конъюнкции, как правило, соответствует союз и, дизъюнкции - или. Поэтому и булевы операции нередко называют операциями, или функциями, не. и. или.
 Однако в естественных языках частица не. или английское not, и
союзы и, или (and, or) далеко не всегда употребляются в том именно смысле, которым наделены булевы связки вследствие отождествления их с одноименными операциями, определенными таблицами истинности или эквивалентными им тождествами. Алгебра же и подлинная
логика как раз тем и сильны, что смысл операций-связок определен
в них совершенно однозначно и строго фиксирован. (Не в этом ли
должно прежде всего усмотреть "закон тождества"?)
 Известно, впрочем, что и безупречно точные, а особенно тонкие
и сложные, инструменты не гарантированы от некорректного применения. В частности, успешное пользование логикой предполагает отчетливое и верное понимание смысла связок, которое не равносильно
механическому запоминанию таблиц истинности или формальному знанию тождеств-законов алгебры. Важно уразуметь, что означают связки в естественно-языковом смысле.
 Посредством связок из отдельных терминов, интерпретируемых как
элементарные критерии или атрибуты, составляются выражения составных критериев или атрибутов, представляющих многосторонние
оценки или характеристики рассматриваемых объектов. При этом
именно связки выражают отношения, в которых состоят представленные терминами качества и характеризуемый объект или конструируемый составной критерий. Например, выражение "не-трудоемкий и надежный" означает качество, заключающееся в том, что надежность
совмещена с эффективностью в отношении трудозатрат, которая выражена путем отрицания термина "трудоемкий".

- 26 -
 Охарактеризуем подробнее каждую из булевых связок.
 Сущность конъюнкции (латинское conjunctio - соединение, соединитель) наиболее точно передают русские слова "совмещение", "сочетание", причем совмещение, или сочетание, именно критериев или
атрибутов в том смысле, что они совместйо (вместе, в сочетании)
характеризуют нечто, образуя составной критерий или атрибут, более конкретный и строгий как произведение составляющих.
 Если дана конъюнкция, то тем самым дан и каждый из ее членов.
Если же не дан хотя бы один из членов конъюнкции, то не дана и
конъюнкция в целом. Другими словами, данность конъюнкции есть
достаточное условие данности каждого ее члена, а данность каждого
члена конъюнкции есть необходимое условие данности конъюнкции.
 Заметим, что совмещение терминов не тождественно физическому
соединению или комбинированию отображаемых ими качеств. Например,
соединение смешиванием красок или совмещением светофильтров синего и желтого цвета дает, как известно, зеленый цвет, атрибуты же
"синий" и "желтый" несовместимы: конъюнкция “синий и желтый", так
же как "синий и не-синий", по закону противоречия тождественно
равна 0. т,е. в принципе не может быть дана. Это выражение, которому ничто не соответствует в реальности, оно ничего не обозначает или обозначает ничто. Нельзя ведь в точности одно и то же назвать "синим" и вместе с тем "желтым", признавая,, что "синее" и
"желтое" - взаимоисключающие друг друга ступени многозначного
критерия "цвет".
 Противоречивыми, или попарно несовместимыми, являются атрибуты. порожденные по одному и тому же. общему для них критерию. Для
всякого атрибута имеется по меньшей мере один несовместимый с ним
атрибут, являющийся его отрицанием. Например: четный/нечетный.
 прямоугольный/непрямоугольный. Однако только двузначные критерии
всегда исчерпываются разбиением на две ступени, а по роду тех же
углов естественно разбиение на три: остроугольный/прямоуголь-
 ный/тупоугольный. Существенно, что не совместимы друг с другом
(противоречат друг другу) любые компоненты разбиения по одному и
тому же критерию, В таком обобщенном смысле следует трактовать
закон противоречия, хотя в булевой алгебре и в двузначной логике
он сформулирован применительно к разбиению на два дополняющих
друг друга атрибута: хх' ® 0.
 Тождества-законы, которыми определена операция конъюнкции,
полностью согласуются с истолкованием конъюнкции-связки как озна

- 27
 чающей совмещение или сочетание, т. е. неупорядоченное множество
попарно различных членов. Идемпотентность утверждает, что конъюнкция неразличающихся членов, т.е. одного и того же члена множества. взятого несколько раз, тождественна этому члену. Коммутативность, декларирует неупорядоченность сочетания. Законы поглощения
и дистрибутивности истолковываются с учетом сущности другой связки - дизъюнкции.
 Трактовка конъюнкции как совмещения, или сочетания, нуждается
в некотором уточнении, поскольку понятие конъюнкции очевидно отличается от известного из комбинаторики понятия сочетания. Сочетаниями из р элементов по п называют такие их соединения, которые
различаются друг от друга только самими элементами, независимо от
порядка, в котором они соединены. Число всех сочетаний из р различных элементов по п равно:
 Cjj - р!/(п! (р-п)!)
 Своеобразие конъюнкции состоит в том, что она исключает как
недействительные те сочетания, в которых имеются попарно несовместимые элементы. Так. из четырех терминов: ас, у, у' существует шесть сочетаний по два: хх', ху, ху', х'у, х'у', уу'. но
только четыре непротиворечивых (значимых) конъюнкции, поскольку
сочетания хх' и уу' в качестве конъюнкций ничего не значат.
 При к исходных двузначных критериях имеется 2к несоставных атрибутов. из которых можно образовать всего Cjj различных сочетаний по п. но только 2ПС£ непротиворечивых n-членных конъюнкций.
 Точный смысл одноместной булевой связки - отрицания - определяется на основе законов двойного отрицания и де Моргана. Из этих
законов следует, что выражение, "связанное" отрицанием, означает
в совокупности все. что несовместимо с отрицаемым. Короче говоря,
это исчерпывающее отрицание, или дополнение: отрицая атрибут
класса, получаем атрибут дополнительного класса.
 Отрицанием принято называть как сам символ операции-связки,
так и собственно операцию, а также ее результат и отношение, которым связано отрицаемое с результатом отрицания. Отношение,
кстати, симметричное, антирефлексивное и антитранзитивное. Оно
представляет собой совмещение двух менее строгих отношений - несовместности и несоисключенности. Так. применительно к числам в

~ 28 -
 отношении отрицания находятся не положительные и отрицательные, а
положительные и отрицательные или нуль, либо отрицательные и положительные или нуль.
 В естественном языке отрицание понимается обычно как несовместимость, исключение одного другим. Говорят же, например: "Невежество отрицает культуру”, хотя известно, что культура не сводится к образованности и в не меньшей степени отрицается безнравственностью. самодурством, нечистоплотностью и иными пороками. Соответственно, частица не употребляется не только в ее строгом булевом смысле, но и как выражающая диаметральную противоположность, например, в словах: недруг, несчастливый, незначительный,
нескладный, неискусный, недоброжелательный. Действительно, названные слова не являются дополнениями к тем. из которых они образованы добавлением частицы не. Так, недруг - это в сущности враг,
а не тот, кто не является другом, несчастливый - не тот. кого не
считают счастливым, а, так сказать, "счастливый со знаком минус"
и т.д. Короче, частица не здесь служит символом не булева, а диаметрального отрицания, порождает не дополнение, а антипод отрицаемого, отделенный от него третьим, промежуточным, средним членом.
 Процедура получения антипода булева выражения называется инверсией, или ивертированием, и заключается в его побуквенном отрицании, т.е. отрицают в отдельности каждую из входящих в выражение букв, так что к вхождению буквы без отрицания добавляют отрицание, а во вхождении буквы с отрицанием удаляют его. Например:
 lnv(xy'z) = x'yz', inv(x'vy) - xvy'
 Заметим, что для однобуквенного выражения операция инверсии
тождественна булеву отрицанию, а также, что отрицание конъюнкции
тождественно инверсии дизъюнкции, и обратно, отрицание дизъюнкции
тождественно инверсии конъюнкции:
 (Ху)■ 35 inv(xvy) a x vy'
 (xvy)' a inv(xy) а ху-
 Инверсия является одной из процедур, применение которых к выражению конъюнкции дает в отличие от применения операции отрицания не полное дополнение, а некоторую его часть. При этом остальная часть дополнения оказывается тем промежуточным третьим, которого нет в случае булева отрицания. Аргумент и результат такого
рода процедуры связаны друг с другом отношением несовместимости,
но ке находятся в отношении несоискшочения.

- 29 -
 Пример. Отрицание-дополнение конъюнкции яу выражается в СДНФ
трехчленной дизъюнкцией:
 (яуГ ■ X'v у' = xy'v Я 'У V х'у'
 Инверсия этой же конъюнкции дает ее антипод я'у', находящийся к
ней в отношении диаметрального отрицания с промежуточным третьим
asy'v я'у.
 Аналогично могут быть введены другие разновидности неисчерпывающего отрицания и порождаемые ими отношения. Все они неявно используют тот или иной трехзначный критерий, фактически осуществляя разбиение на три. но третье умалчивается (в приведенном примере оно было выявлено путем сопоставления с исчерпывающим отрицанием) .
 Двойственную картину можно воспроизвести путем применения инверсии и других процедур неисчерпывающего отрицания к дизъюнктивным выражениям: результаты будут несоисключимыми. но не несовместимыми с аргументами. Но это непосредственно к обсуждаемому не
относится.
 Далее следует, пользуясь приобретенным пониманием сущности отрицаний. разобраться в не очень внятной традиционной терминологии
по этому предмету, не затрагивая пока такие не относящиеся к статическим системам отображения термины как диалектическое отрицание и интуиционистское отрицание.
 Связку "отрицание" традиционная логика заимствует из естественного языка вместе с присущей ей неоднозначностью смысла, которая обнаруживается по различию отношений, связывающих отрицаемое
и результат отрицания. Отношение "отрицания друг друга вообще"
принято называть противоположностью, причем различают два рода
противоположности: с промежуточным третьим - противная (контрар
 ная) противоположность, или контрарность, и без промежуточного
третьего - так называемая противоположность по противоречию, или
контрадикторная противоположность.
 Формально, т.е. если не принимать во внимание естественноязыковый смысл примененных терминов, эта терминология вполне адекватна действительному соотношению понятий (для формальной логики,
по-видимому, большего и не требуется). Если же попытаться осмыслить термины, выявляется совершенная их нелепость.
 Во-первых, противный, или по-латински контрарный, - это в точности то же самое, что что и противоположный.

- 30 -
 Во-вторых, противоречие, или по-латыни контрадикция, - это
опять в точности то же самое, что и противоположность.
 Ясно, что понять или хотя бы как-то различить поименованные
таким образом отношения, опираясь на общепринятый смысл этих
слов, никакой возможности нет. Мы обречены тупо заучивать, какое
словосочетание чему соответствует, и не пытаться осознать что-либо, опираясь на "здравый смысл". Превосходный образец подлинного
формализма!
 Любопытно все же установить, как такое могло получиться. Не
верится, что формалисты намеренно сыграли такую "шутку". Да и
остроумие для этого требуется сверхъестественное. Похоже, что все
проще - получилось само собой, сложилось исторически.
 Разгадка в том, что Аристотель, заложивший основы обсуждаемой
терминологии, придавал слову противоречие (сгутирабк;) иной по
сравнению с его общепринятым сегодня пониманием смысл. В общепринятом смысле противоречие - это такое отношение, при котором одно
исключает другое, т.е. одно несовместимо с другим. Короче, противоречие - это несовместимость, которую в логике, следуя Аристотелю, называют противоположностью.
 Аристотель же назвал противоречием частный случай противоположности, а именно противоположность без промежуточного третьего.
Об этом с полной определенностью и неоднократно сказано в его
трактатах:
 "... противоречие - такое противопоставление, которое само по себе не имеет ничего промежуточного. Один член протворечия - это
утверждение чего-то о чем-то. другой - отрицание чего-то относительно чего-то. " ["Вторая аналитика", кн. 1, гл.2, 72а 12]:
"Равным образом не может быть ничего промежуточного между двумя
членами противоречия, а относительно чего-то одного необходимо
что бы то ни было одно либо утверждать, либо отрицать." ["Метафизика", KH. 4, ГЛ. 7, 1011Ь 23];
 "... у противоречия нет ничего промежуточного, тогда как у противоположностей оно возможно..." ["Метафизика", кн. 10, гл. 4,
1055b 1].
 Несмотря на то, что в других местах аристотелева классификация
рассматриваемых отношений не представляется вполне ясной (например, наряду с противоположностью имеется еще противолежание, которое в одном месте ["Метафизика". кн.Ю. гл.4, 1055а 39] шире

- 31
 противоположности, а в другом ["Первая аналитика", кн.2, гл. 15,
64а 29] - оказывается ее частным случаем), понятие противоречия
 определено недвусмысленно - это тот вид противоположности, который алгебраисты называют дополнением (дополнительностью), или
комплементарностью, так сказать, противоположность по булевому
отрицанию, по дихотомическому критерию.
 Логики, пользующиеся термином “противоположность по противоречию". почему-то не считают нужным оговориться, что слово "противоречие" имеет в нем не обычный свойственный ему смысл, а специальный, аристотелевский. Впрочем, такая оговорка едва ли радикально исправит положение. Она более уместна в комментариях к
трактатам Аристотеля (где ее также нет).
 Действительное исправление должно быть в том. что термин “противоречие" следует применять в его общепринятом смысле как синоним других названий отношения несовместимости (противоположность,
противность, противолежание. контрарность, контрадикторность), а
"противоположность по противоречию" называть соответствующими ей
по смыслу словами - дополнительность, комплементарность, двучленная, или дихотомическая противоположность, дихотомия, булево отрицание.
 Выявление сущности третьей булевой связки - дизъюнкции - наталкивается прежде всего на следующую странность. Название “дизъюнкция" (латинское dtsjunctio - разобщение, разделение, разъединение. противопоставление) говорит не о соединении, а напротив, о
разъединении, да и в грамматике союз или называется разделительным. Как может союз (связка, соединитель, junctor) быть разъединителем?
 То. что или является союзом, несомненно: в точности так же,
 как и. оно служит соединителем слов, фраз, предложений. Значит, с
синтаксической точки зрения дизъюнкция - это не в меньшей степени
связка, чем конъюнкция, соединительный союз. В чем же разница?
 Разница в смысле, т.е. в истолковании сущности соединения.
Конъюнкция терминов означает совместность представляемых этими
терминами критериев или атрибутов: если дана конъюнкция, то необходимо даны вместе все ее члены. Дизъюнкция же, как видно из определяющей ее таблицы, означает менее строгое требование, состоящее
в том, что в случае ее данности не могут быть вместе не даны
(совместно исключены - соисключены) все ее члены. Короче, дизъюн-

- 32 -
 кция - это несоисклочете (несоисключенность): если она дана, то
ее члены не могут быть совместно исключены, по меньшей мере один
из них необходимо дан. Обратно, для того чтобы была дана дизъюнкция, достаточно данности одного из ее членов.
 Например, если дано, что четырехугольник равносторонний и равноугольный, то он обладает обоими названными свойствами, является
квадратом. Обратно, если дан квадрат, то даны и его необходимые
атрибуты - равносторонность и равноугольность. Если же четырехугольник равносторонний или равноугольный, то он либо ромб, либо
прямоугольник, хотя может быть и квадрат, т. е. ромб и прямоугольник совместно.
 С другой стороны, сущность дизъюнкции можно выразить, исходя
из определения ее в терминах конъюнкции и отрицания по закону де
Моргана:
 хчу = (я'у'Г
 Согласно этому определению дизъюнкция есть несовместность отрицаний ее аргументов. Такая трактовка по сравнению с несоисключен-
ностью атрибутов не столь наглядна, однако предпочтительна тем.
что не связана с понятиями данности и исключенное™, т.е. более
абстрактна.
 Поскольку данность конъюнкции достаточна для того, чтобы был
дан любой из ее членов, а данность любого члена дизъюнкции достаточна для того, чтобы была дана дизъюнкция в целом, то ясно, что
данность конъюнкции определенной совокупности терминов достаточна
для того, чтобы была дана ’дизъюнкция этих терминов. И обратно,
конъюнкция определенной совокупности терминов не может быть дана,
если не дана дизъюнкция этих терминов, т.е. для фиксированной совокупности терминов данность их дизъюнкции является необходимым
условием данности их конъюнкции. Если данность дизъюнкции исключена, то и данность конъюнкции невозможна.
 Все-таки истолкование дизъюнкции как означающей несоисключенность не снимает недоумения, вызываемого ее наименованием, - ведь
никакого разъединения или разделения нет. а наоборот, возможно,
хотя и не необходимо, совмещение. В чем же дело?
 Дело в том. что это опять исторически сложившаяся несуразность. Изначально дизъюнкцией называли действительно разделительный союз или-или. но впоследствии, по-видимому, по мере осознания
фундаментальности "неразделительного" или произошла подмена со

- 33 -
 держания термина. В результате дизъюнкцией или неразделительной
дизъюнкцией ("неразделяющим разделителем") называется связка или.
которая вообще ничего не разделяет, а разделительная связка
или-или. т.е. действительно дизъюнкция, называется разделительной
дизъюнкцией ("разделительным разделителем").
 Подобная терминологическая чехарда, как и отмеченное выше недоразумение с противоречием, едва ли делает честь логике - науке,
призванной быть примером рациональности и безупречного порядка.
Впрочем, для истинных формалистов, по-видимому, ничего порочного
в такого рода коллизиях нет. а сыщутся и такие, кто находит их
забавными.
 Истолковав конъюнкцию как совместность, а дизъюнкцию как несо-
исключенность. нетрудно установить смысл простейших выражений,
построенных на основе этих связок и отрицания. Например, отрицание конъюнкции, тождественное по закону де Моргана дизъюнкции отрицаний:
 (ху)' = i'v у'
 выражает несовместность ха у (как отрицание их совместности).
Действительно, дизъюнкция i'v у' дана, когда исключена данность
хотя бы одного из аргументов х. у, т.е. когда они не даны вместе.
 Отрицание дизъюнкции как несоисключенности дает соисключен-
ность:
 (ivy)' з х'у'
 Конъюнкция (т.е. совмещение) несовместности и несоисключенности тождественна дополнительности (комплементарности):
 (*'v у')(ivy) = Iy'v х'у
 В самом деле, выражение хy'v х'у дано тогда и только тогда, когда
 1 и у связаны отношением булева отрицания у - I'. т.е. данность
одного исключает данность другого и не может быть исключена, если
другой не дан. Эту связь называют также неэквивалентностью, либо
упоминавшейся уже разЗелшпельной, или исключающей, дизъюнкцией
(.или-или, исключающее или, или с исключением). Как алгебраическая
операция она называется "сложением по модулю два". Именно эту
операцию сложения получил Дж.Буль. ограничив множество значений в
числовой алгебре двумя - 0 и 1.
 отрицанием неэквивалентности естественно является эквивалентность, выражающаяся дополнительным выражением ху v х'у’ и обозначаемая знаком равенства: у - х. Эквивалентность дана (имеет мес-
 2 з»к. 831

- 34 -
 то) тогда и только тогда, когда ее аргументы принимают одно и то
же значение.
 Как видно из КИФ выражения эквивалентности
 (х' чу) (хчу')
 она, так же как и неэквивалентность, совмещает две более простые
и менее строгие связи: х' чу и хчу'. Первую называют (мотериаль-
 ноО) импликацией и обозначают обычно стрелкой: х -> у, а вторая
естественно является обратной импликацией, т. е. х *- у или у ■* х.
 В переводе на русский язык "импликация" значит “следование".
Однако выражение х'чу не соответствует тому, что общепринято
обозначать словом "следование", поэтому перед "импликацией" предусмотрено уточнение - "материальная", которое, как правило,
краткости ради опускают. В результате получился еще один (терминологический курьез, пожалуй, белее значительный, чем отмечавшиеся ранее.
 Поскольку средства булевой алгебры для адекватного выражения
сущности следования недостаточны, разбор этого вопроса придется
отложить до ознакомления с системой, обеспечивающей такую возможность. Пока заметим только, что в числовой интерпретации выражение х'чу равносильно нестрогому неравенству (впрочем, и "нестрогому равенству") х < у, а выражение хчу' - соответственно х > у.
 Из двубуквенных булевых выражений не рассмотренными остались
два - ху' и х'у. Они представляют собой отрицания соответственно
импликации и обратной импликации. Но так как сущность и той и
другой осталась пока непроясненной, то это ничего для истолкования этих выражений не дает. Впрочем, смысл их и без того вполне
понятен. В переводе на русский язык эти конъюнкции означают:
ху' - "х, ко не-у", х'у - "не-х, но у*'. Это именно те случаи, в
которых конъюнктивной связкой в русском языке служит не и, а но.
 В инженерных применениях реализации этих двух конъюнкций известны как элементы (вентили, схемы) "запрета". Речь идет о цифровом элементе с двумя неравноправными входами, который пропускает на выход сигнал, поданный на его первый вход, при условии, что
нет сигнала на втором входе - входе запрета. Котати, обычная, с
неотрицаемыш членами конъюнкция ху воплощается при такой интерпретации в вентиль совпадения, сигнал на выходе которого имеет
место только при условии совпадения, т. е. "совмещения по времени"
сигналов на его входах.

- 35 -
 1.6. 	Функции и отношения
 Булевы связки, как и соответствующие им служебные слова естественного языка, служат прежде всего средством образования составных выражений: отдельные термины (в алгебре - буквы), истолковываемые как критерии или как атрибуты, связываются с целью получить другие критерии и атрибуты, более строгие и многосторонние,
либо, наоборот, менее определенные, а иногда и противоположные.
При этом представленный выражением составной критерий или атрибут
однозначно определен входящими в выражение составляющими терминами, в том смысле что каждому набору значений данности/исключен-
ности составляющих соответствует одно единственное значение составного: на одних наборах он всегда дан, на других - исключен.
Такое однозначное соответствие алгебраисты называют функцией.
 Однако обратная зависимость данности/исключенности того или
иного из составляющих терминов от набора значений составного и
других составляющих оказывается, как правило, неоднозначной. Это
неполное соответствие называется частичной функцией. Значение
частичной функции определено в случаях, когда соответствие имеет
‘смысл и однозначно, а в прочих случаях оно не определено, либо
полагают, что функция принимает условное значение "неопределенность".
 Например, операция, обратная конъюнкции ху. должна сопоставлять паре значений {ху. х) значение у или паре значений (ху,у)
значение х. (Вследствие коммутативности конъюнкции эти две операции в сущности одно и то же.) Исходя из определения конъюнкции,
нетрудно установить, что обратная операция сопоставляет паре
(1,1) значение 1, паре (0,1) значение 0. Для пары (0,0) результат
оказывается неоднозначным и неопределенным - если известно, что
значение конъюнкции в целом и одного из ее членов 0, то значение
другого члена произвольно, им может быть хоть 0, хоть 1. Наконец,
пара (1,0) в контексте рассматриваемой операции неуместна (невозможна, противоречива): конъюнкция не может принять значение
1, когда один из ее членов имеет значение 0. Таким образом, на парах (0,0) и (1,0) рассматриваемая операция принимает значение неопределенность.
 При числовой интерпретации эта обратная операция (обратная умножению) является ни чем иным, как операцией деления на множестве
(0,1), полученной Дж.Булем в результате ограничения значений операндов ал! -ораических операций этим множеством. Операции дизыонк-
 2*

- 36 -
 ции, которая обращается аналогичным образом, у Буля не было, поскольку арифметическое сложение в результате ограничения множества
значений превратилось в разделительную дизъюнкцию (неэквивалентность), для которой обратная операция тождественна ей самой.
 Следует заметить, что возникновение при попытке определить обратную операцию положений, для характеристики которых средства
булевой алгебры оказались недостаточными и потребовалось третье
значение - неопределенность (введение которого равносильно выходу за пределы не только булевой алгебры, но и вообще двузначных
систем), является не исключением, а общим правилом, или принципом, по которому расширяются возможности аппарата отображения.
Совершенно аналогичным образом в системе с операцией сложения над
натуральными числами определение операции вычитания приводит к
появлению отрицательных чисел и нуля, в системе целых чисел введение деления порождает дроби и неопределенность при делении на
нуль, операция, обратная возведению в степень, выводит за пределы
рациональных чисел и т.д.
 Синтаксически значение неопределенность следует ввести по образцу того, как введены символы отрицательного и мнимого числа,
т.е. это должен быть специальный атрибут, подобный мнимой единице
t: конъюнкция его с произвольным булевым выражением принимает
значение “неопределенность'■ в случае, когда значение самого выражения есть 1. и принимает значение 0. если само выражение приняло
значение 0. Символом неопределенности естественно сделать ту же
букву t - infinitives. Indeflnltus. При этом различие в синтаксисе по сравнению с мнимой единицей сведется, пожалуй, к тому, что
для мнимой единицы l-l = -1. а для неопределенности в силу идемпотентности конъюнкции з г.
 Введением в булеву алгебру символа неопределенности t реализуется в сущности упоминавшаяся выше трехзначная логика Я.Лукасе-
вича. базисные операции которой определены следующей таблицей:
 X
 000 tti 111
 У
 Oil Oil Oil
 X'
хлу
XV у
 111 i i i 000
000 Ott Oil
Oil ill 111

- 37 -
 Эти операции не составляют функционально полной трехзначной
системы. Отсутствует, например, возможность преобразования значения i в иное значение, а также обратного преобразования 0 или 1 в
t. Третье значение полностью изолировано от двух других и неравноправно. Оно призвано лишь обособлять случаи неопределенности,
за вычетом которых система тождественна булевой алгебре.
 Теперь операция, обратная булевой конъюнкции, не выразимая
штатными средствами булевой алгебры, может быть выражена как частичная функция. Если дано z = ху. то обратная Функция у = f(z,x)
в соответствии с проведенным ранее рассуждением будет определена
выражением, содержащим неопределенность:
 у = xz v t(x'z v x'z') = xz v ix'
 Путем аналогичных рассуждений строится выражение частичной
функции, которая обратна булевой дизъюнкции. Если дано z = xvy.
то обратная функция у = g(z,х) выражается в виде:
 у = x'z v t(xz v xz") = x'z v tx
 Функция g(xvy,x), обратная дизъюнкции xvy, является частичной:
она дает значение 1 в случае х = 0. xvy = 1, значение 0 в случае
х = 0, xvy = о. а в случае х = 1 эта операция не определена.
 Функции представляют собой весьма важную, но все-таки специальную форму отображения связей. То, что один из рассматриваемых
терминов однозначно определяется взаимосвязанностью остальных,
несомненно существенное достоинство этой формы - достаточно уже
того, что именно на ее основе возможно и реализуется определение
новых терминов. Но далеко не все связи укладываются в такую схему: более общим естественно является положение, при котором ни
один из взаимосвязанных терминов не ограничен особым условием -
все равноправны.
 Форма, обладающая желаемой общностью, называется отношением.
Алгебраисты определяют отношение как подмножество множества декартовых п-ок. Но подобное формальное определение (кстати, полностью созвучное с логикой предикатов) не легко увязать с "интуитивным" пониманием, т.е. с тем, что называют отношением в естественном языке. Более подходящей представляется трактовка отношения
как неявно заданной функции. Например, когда зависимость, связывающая друг с другом величины х и у, задается в виде уравнения,
скажем, х2+у2=1, которому должны удовлетворять сопоставляемые
значения этих величин.

- 38 -
 В булевой алгебре отношение, связывающее друг с другом термины
 х, у, z задается, как и функция этих терминов, выражением, в
 котором они связаны при помощи базисных связок. Однако в отличие
от выражения, представляющего функцию, т. е. принимающего те или
иные значения на различных наборах значений аргументов, для задания отношения, связывающего аргументы друг с другом, выражению
придают фиксированное значение, диктующее условие, которому должны удовлетворять наборы значений членов отношения.
 Всякое булево выражение, содержащее п различных букв, с одной
стороны, представляет собой n-местную функцию, а с другой стороны
- n-членное отношение, имеющее место в тех случаях, в которых эта
Функция принимает значение 1, т. е. отображающее данность представленного выражением составного атрибута. Функция, соответствующая отношению таким взаимно однозначным образом (представленная
тем же выражением), называется характеристической функцией этого
отношения.
 Например, выражение ху. рассматриваемое как функция Их,у),
интерпретируется как составной атрибут f. который дан. когда даны
совместно хну, и исключен, когда исключен хотя бы один из них.
Если же выражение ху рассматривают как отношение (как характеристику отношения), то имеют в виду взаимосвязь между х и у, предполагая данным ху. Именно эта взаимосвязь ранее была определена как
совместность: отношение выполнено, когда х и у даны совместно, и
не выполнено, если хотя бы один из них исключен.
 Таким образом, одно и то же булево выражение интерпретируют
либо как функцию, которая в свою очередь выступает в роли составного критерия или в роли составного атрибута, либо как отношение,
связывающее между собой термины, из которых построено выражение.
В обоих случаях речь идет, разумеется, о связях, выражаемых при
помощи одних и тех же связок. Сами связки, являясь символами базисных (принятых в качестве исходных для выражения всех других)
функций-отношений, также заключают в себе указанную двойственность интерпретации - рассматриваемые как функции, они являются
операциями, а в качестве отношений подобны грамматическим союзам.
 Показательным примером может служить полученная первоначально
Булем и используемая в качестве базисной в алгебре И. И. Жегалкина
операция логического сложения (сложение "по модулю два"):
 х+у = xy'v х'у

- 39 -
 С Функциональной тонки зрения это арифметическое сложение на
множестве (0,1). или исключающая дизъюнкция, а в многоместном варианте - функция, отмечающая значением 1 нечетность числа ее аргументов, обладающих значением 1. Эта же связка в качестве отношения интерпретируется как неэквивалентность и обозначается соответствующим символом:
 я*у = iy'v я'у
 В случае функции я+у. исходя из данных значений я и у, устанавливают значение суммы я+у, а в случае отношения данность я*у
понимается как указание на то, что сопоставляемые значения я и у
не равны друг другу, и это позволяет, зная одно из них, определить другое. Впрочем, формулируя условия, знаки отношений используют как символы соответствующих характеристических функций, но в
таких случаях о них и говорят обычно как об "операциях отношений", т. е. как о функциях, принимающих значение 1, когда значения
аргументов удовлетворяют проверяемому условию.
 Вместе с тем, определение n-местной функции y=f(xt,хг я„),
 т.е. утверждение, что термин у эквивалентен выражению, которым
 представлена функция Г(я,,яг я„), тождественно (п+1)-местному
 отношению, характеристическая функция которого задана выражением
/у v /'у'. Это следует из принятого ранее определения связки эквивалентность:
 (у=я) ■ (яууя'у')
 Таким образом, произвольная булева функция, явно заданная в
виде эквивалентности обозначающего ее термина у выражению /(я,,
 я2 я„). содержащему п других терминов, представима в неявном
 виде отношением, связывающим п+1 термин х^.х^, я„,у. характе
 ристическая функция которого имеет вид /у v /'у'.
 Ясно, что не каждое n-местное отношение можно точно представить в виде (п-1)-местной функции, а только такое, характеристическая функция которого или ее отрицание преобразуется к виду
ея v е'я'. где я - один из п связанных отношением терминов, е -
выражение, содержащее прочие п-1 терминов. В других случаях
представляющая функция оказывается частичной, т. е. не полностью
определенной.
 Например, отношению материальной импликации, характеристическая функция которого есть я'уу, соответствуют, как нетрудно про

- 40 -
 верить, частичные функции y=xvi и x=iy. Действительно, если отношение x'vy имеет место, то в случае данности х необходимо дано у,
а если х исключено, то значение у - "неопределенность". Если же
дано у, то значением х будет "неопределенность". Когда же у исключено. то с необходимостью исключено и х.
 Еще одна возможность представления отношений, которая может
иногда оказаться полезной, связана с так называемыми рекурсивными
функциями, в сущности имеется в виду такая форма выражения со
связкой эквивалентность, в которой термин, именующий функцию, соединен этой связкой с выражением, которое в числе других содержит
и этот термин. Например, то же отношение материальной импликации
х'vy представляется этим способом выражениями y-xvy и х=ху. В самом деле, согласно первому из этих выражений, если дано х. то с
необходимостью дано и у, а если х исключено, то у свободно: у-у.
т.е. значение у в этом случае - "неопределенность". Согласно второму выражению х принимает определенное значение "исключено", если у исключено, а когда у дано. т. е. обладает значением 1. то х
не связано: х*=х и принимает значение "неопределенность".
 Выражения частичных и рекурсивных функций для двуместных отношений (за исключением эквивалентности и неэквивалентности, которые выражаются с исчерпывающей определенностью: у=х. у=х') приведены в следующей таблице.
 Как видно из этой таблицы, парам различных отношений (например. ху и x'vy, ху и xvy' и т.д.) нередко соответствуют одинаковые частичные функции: для ху и для x'vy - функция y=xvl, для ху
и для xvy' - x=yvt. это следствие той грубости, с которой опреде

- 41
 лено значение "неопределенность" - ведь к "неопределенности" была
отнесена как неоднозначность, так и противоречивость ситуации.
Если их различать, то совпадения функций не будет, однако потребуется четвертое значение, в котором настоятельной необходимости
пока нет.
 Неопределенность, обозначенная символом 1 - это значение, принимаемое термином во всех тех случаях, в которых нет достаточных
оснований для однозначного выбора одного из основных (булевых)
значений - 0 или 1. Поскольку такие случаи возникают, то система,
в которой допустимы только два значения, натолкнувшись на неопределенность, оказывается в безвыходном положении - в ней не предусмотрены средства реагирования на подобные ситуации, она на такие случаи не рассчитана.
 Это затруднение можно преодолеть различными путями. Самый очевидный путь - не допускать неопределенных ситуаций, упреждая те
случаи, в которых они возможны, проверкой по критерию: "Неопределенность исключена?" Если критерий удовлетворен, то следует продолжение в штатном режиме, а если не удовлетворен, то система сообщает о возникновении неопределенности.
 По-видимому, такое решение нельзя считать подходящим для автоматически действующих систем. По крайней мере, в наиболее популярной системе логического программирования Пролог, как уже было
сказано, предпочли иное - "обобщили" истолкование основного значения 0 (впрочем, сохранив за ним имя "Ложь") так. что теперь оно
значит то ли "Нет", то ли "Неопределенность". Ясно, что при этом,
получив значение 0, следует разобраться, что же оно все-таки значит. т.е. проверить, исключена ли неопределенность, чего, насколько известно, не делают.
 Предложенная Я.Лукасевичем трехзначная система несомненно
удобней и эффективней, поскольку отслеживает неопределенность автоматически и, более того, позволяет манипулировать частично определенными объектами. При этом в пределах ее "определенной" (за
исключением неопределенности) части, а также в пределах части,
составляющей неопределенность, эта система остается полностью булевой, т. е. работает по законам булевой алгебры. Другими словами,
устроена она совершенно так же. как система комплексных чисел, о
чем уже было сказано.
 К сожалению, сам Лукасевич, не добившись удовлетворительного

- 42 -
 выражения средствами своей трехзначной логики аристотелевых силлогизмов. признал ее недостаточной и сосредоточился на разработке
четырехзначной системы, будто бы более адекватной силлогистике.
Однако последняя в ее четырехзначном исполнении оказалась существенно "скорректированной” по сравнению с тем. что создано Аристотелем. А вместе с тем, для успешной алгебраизации не только силлогистики, но и всей логики Аристотеля трехзначная система вполне
достаточна. Впрочем, это не означает ни исчерпывающей полноты
трехзначной системы (булева алгебра ведь в известном смысле тоже
полна!), ни неоправданное™ систем большей, чем три, значности -
для каждой найдется своя ниша. Но с увеличением значности круто
растет сложность систем, поэтому три - исключительно важный оптимум.
 Следует отметить, что значение i не удовлетворяет законам, подобным тем, какие имеются для основных значений 0 и 1. Так, в отличие от
 Оля = 0, lvi * 1, Ovx = х. 1лх — х
 I в связке с термином не поглощает его и не может быть опущено:
выражения iAX и ivx не упрощаются. Вместе с тем, исходя из таблиц. которыми определены операции конъюнкции и дизъюнкции в логике Лукасевича, нетрудно установить следующие тождества для выражений с неопределенностью.
 XAix и ix,
xv ix s х.
lAix = ix.
lvix ш i.
 XAiX' a 0.
XVtX' = XVi.
 OAlX a o.
Ovix a ix.
 iXAiX * ix.
ixvix = ix.
 (tac)' = ivx'.
(ivx)' a ix'.
 Значения, принимаемые "функциями неопределенности" одного аргумента. определяются таблицей
 X
 ix
 ix'
 ivx
 ivx'
 0
 0
 i
 i
 1
 1
 i
 0
 1
 i
 Выражения, содержащие неопределенность, представляют собой,
как было показано выше, частичные функции входящих в эти выражения терминов. Если же выражение такого рода рассматривается в качестве данного, т.е. как характеристическая функция отношения, то

- 43 -
 соответствующее отношение также является частичным. Например, выражение xyvix' задает отношение, которое удовлетворяется парой
(1.1). т. е. 1=1. у=1, не удовлетворяется парой (1.0). а на парах
(0,0) и (0,1). т. е. при я=0. не определено.
 Отношение, заданное таким образом, не может быть определено
как подмножество множества декартовых n-ок (как это принято у ал-
гебраиотов). В нем участвуют три подмножества: на одном отношение
выполняется, на другом - не выполняется, на третьем - не определено. Ясно, что заданием одного из этих подмножеств отношение не
определяется. Например, нельзя отождествить его с подмножеством
n-ок, на котором оно выполняется, потому что дополнение этого
подмножества может быть разбито на части, соответствующие неопределенности и невыполнимости, не единственным образом, а каждому
разбиению отвечает особое частичное отношение. Так что подмножество n-ок. удовлетворяющих отношению, определяет условие, при
котором это отношение выполняется, но еще не определяет самого
отношения - ведь возможны и другие отношения, выполняющиеся при
том же в точности условии как необходимом и достаточном.
 Как видно, частичное отношение можно однозначно определить
лишь указанием двух (любых) из трех участвующих в нем подмножеств
декартовых n-ок. Если же различать не только определенность/кеоп-
ределенность, но и возможные разновидности неопределенности, а
тем более, допустить недахотомические критерии, то число подмножеств. определяющих отношение, будет увеличиваться. Поэтому определение отношения как подмножества n-ок следует признать уместным
только применительно к частному случаю дихотомических отношений
без неопределенности.
 Здесь могут небезосновательно возразить, что отношением в алгебре названо именно подмножество декартовых n-ок, а все то. что
только что сказано, относится к частичным или каким-то еще специальным видам отношений. К сожалению, это не так. а точнее сказать. все совершенно наоборот. В алгебре термины "функция" и "отношение" определены почему-то не в соответствии с их общеязыковым
широким смыслом, а применительно к частным случаям этих понятий.
 Функцией принято называть не зависимость одной из характеристик рассматриваемого объекта от другой его характеристики или
нескольких характеристик в ее наиболее общем виде, а особый род
такой зависимости, который логично было бы назвать оЭнозначной

- 44 -
 функцией. (Благоразумные математики именно так и поступают, различая однозначные и неоднозначные, например, обратные тригонометрические, функции.) Вследствие того, что функцией условились называть только однозначную функцию, не стало термина для обозначения функции вообще. Фактически же слово "функция" по необходимости употребляется вопреки принятому определению и в его общем
смысле. Когда говорят "частичная функция", то имеют в виду не
только то, что находится в области ее однозначной определенности,
но, конечно же, функцию в целом с учетом области, в которой она
неоднозначна или не определена, иначе были бы неразличимы различные частичные функции, совпадающие друг с другом в области их однозначной определенности. (Это полностью аналогично положению,
рассмотренному выше в связи с определением частичного отношения.)
 Поэтому правильнее будет не создавать напрасно терминологической путаницы и считать, что сами по себе без уточняющих атрибутов
термины "функция" и "отношение" наделены наиболее широким из
свойственных им смыслов, т.е. в максимально возможной степени
абстрактны, а те или иные конкретизации этих понятий обозначать
словосочетаниями (конъюнкциями), содержащими наряду с основным
термином ограничивающие слова.
 Как уже было отмечено, и функции, и отношения представлены в
алгебре единообразно - в виде алгебраических выражений. При этом
каждое выражение может выступать как в роли функции входящих в
него терминов, принимая определенные значения на возможных наборах значений аргументов, так и в роли отношения, связывающего
термины между собой. Допуская известную вольность ради краткости
 речи, выражение e(®lt хг яп) называют функцией п аргументов.
 когда имеют в виду употребление его в роли функции. Если же это
выражение называют n-местным отношением, то считается, что последнее удовлетворено, когда значение выражения равно 1. не удовлетворено в случае значения 0 и не определено в прочих случаях.
 В логике предикатов отношения представлены особыми функциями
- предикатами. Но в отличие от булевых функций терминов, предикаты являются функциями "предметных переменных", и характеризуют
они отношения, которыми взаимосвязаны не термины, а предметы (индивиды). В сущности же предикат и обозначаемое им отношение соотносятся так же как булево выражение и представленное им отношение
между его терминами.

- 45 -
 Булева алгебра, впрочем, как и алгебра вообще, традиционно
ориентирована на манипулирование функциями и основой ее служит
базисный набор функций (операций). Важность отношений для алгебры
показал Анатолий Иванович Мальцев (1909 - 1967), алгебраические
системы [Мальцев, 1970] которого соединили в себе алгебру с методами математической логики и основываются на комбинированных наборах базисных операций и базисных отношений. Более абстрактный
информационный подход свидетельствует о возможности оведения обеих составляющих к одной, а именно, к единым связкам, позволяющим
строить алгебраические выражения, истолковываемые как функции и
как отношения. При этом алгебре отношений (уравнений) следует
уделить особое внимание как более универсальной.
 1.7. 	Уравнения
 Уравнением, или равенством, называется выражение, построенное
с использованием связки "эквивалентность" и имеющее вид
 ж = у
 Подвыражения хну, называемые соответственно левой и правой
частями, шш сторонами, уравнения, могут быть булевыми выражениями любого вида.
 На основании тождества (х=у) * (хучх'у'), которым определена
связка "эквивалентность" в терминах базисных связок булевой алгебры, уравнение однозначно преобразуется в равносильное выражение, не содержащее "эквивалентности". Обратно, произвольное булево выражение преобразуется в равносильное уравнение, если при помощи связки « обозначить эквивалентность его единице. Например,
выражение xvy превращается таким образом в уравнение xvy---l.
которое применением того же тождества может быть возвращено к исходному виду.
 При желании иметь уравнение в привычной форме с нулевой правой
частью надо приравнять нулю отрицание преобразуемого выражения. В
приведенном примере при этом получится х'у' =0.
 По уже рассматривавшимся причинам решения данного уравнения
оказываются не вполне определенными: y»x'vt. x=y'vi. т. е. у не
 пременно принимает значение 1. если х=0, а х непременно принимает
значение 1, если у=0 - вот и вся определенность.
 Вообще уравнения, как и функции, естественно считать разновид

- 46 -
 ностями алгебраического выражения, представляющего n-местное отношение. Когда говорят, что это отношение дано (выполняется), то
имеют в виду в точности то, что входящие в выражение термины связаны уравнением, которое получено приравниванием этого выражения
единице, либо приравниванием отрицания этого выражения нулю. Если
выражение называют отношением и утверждают его данность, то это
как раз и значит, что выражение полагается равным единице, ибо 1
- это "дано", а 0 - "исключено".
 Из того, что уравнение тождественно получаемому путем указанной выше трансформации булеву выражению, должно быть ясно, что ни
связка "эквивалентность", ни приравнивание единице или нулю не
означают утверждения данности выраженного отношения. Ведь
(xvy=i) а (я'у'-О) a (xvy). Факт данности представленного выражением (в частности, уравнением) отношения требуется сообщать особо, например, при помощи таких слов как "дано", "принято", "имеет
место" или при помощи специальных знаков, заменяющих эти слова.
Такие знаки могут помещаться либо перед утверждаемым выражением в
качестве префиксов, например: *ху - "Дано ху", либо после этого
выражения в качестве "знаков препинания", например: ху. - "Дано
ху", данность обозначена точкой, поставленной непосредственно
после выражения.
 Поскольку в составе уравнения непременно имеется небулева
связка "эквивалентность", оно, хотя и может быть трансформировано
в равносильное выражение булевой алгебры (т.е. построенное с использованием только конъюнкции, дизъюнкции и отрицания), само по
себе этой алгебре не принадлежит, и ее средства для манипулирования уравнениями недостаточны. Принятие связки = . начиная с тождества. которым она определена через булевы связки, означает расширение булевой алгебры, а с учетом того, что новая связка в отличие от трех имеющихся интерпретируется обычно как отношение,
превращает эту алгебру в алгебраическую систему по А. И. Мальцеву.
Практически же нужны тождества и методы преобразования для выражений, содержащих связку - . т.е. для уравнений.
 Достаточно общим является случай, когда левая и правая части
уравнения е =■= g представлены булевыми выражениями. А если в них
окажутся небулевы связки, то можно свести их к булевым, воспользовавшись тождествами, которыми они определены.
 Выражения eng заданы на некотором наборе несоставных терми-

- 47 -
 нов Xj. ig Xn. Уравнение е = g удовлетворяется теми наборами
 значений этих терминов, на которых значения выражений е и g одинаковы. т.е. когда оба выражения принимают на данном наборе значение 1. либо оба принимают значение 0. При этом выражение е = g
в целом принимает значение 1. На тех наборах значений терминов,
на которых значения е и g не совпадают, значение выражения е = g
равно 0. уравнение не удовлетворяется.
 Пусть выражения eng представлены в совершенной дизъюнктивной
нормальной форме (СДНФ). т.е. каждое является дизъюнкцией п-член-
 ных конъюнкций терминов Xj. Хг х„, которые могут быть с
 штрихами отрицания. Такие конъюнкции ранее были названы индивидными конъюнкциями, или индивидами.
 При п несоставных терминах имеется 2" различных индивидов.
Каждый индивид принимает значение 1 на одном из 2П наборов значений терминов, а на прочих наборах его значение равно 0. Точнее,
каждому индивиду взаимно однозначно соответствует набор значений
терминов, на котором этот индивид "дан", принимает значение 1.
Например, при п=3 индивид Xj Xg'х3 дан на наборе (101), а индивид
х^хг'Хз' - на наборе (000).
 Очевидно, что выражение е = g будет принимать значение 1 на
тех наборах значений терминов, для которых соответствующий такому
набору индивид либо содержится и в составе е, и в составе g. либо
не содержится ни в е, ни в g. В первом случае значением как е,
так и g на данном наборе будет 1, а во втором случае оба выражения примут значение 0. Если же некоторый индивид имеется в составе только одного из выражений е или g. то их значения на соответствующем наборе будут различны, и значением выражения е = g
будет 0.
 Условившись называть индивид, содержащийся в составе обоих выражений eng. парным, а индивид, содержащийся в одном из них и
не содержащийся в другом, непарным, можно сказать, что выражение
е = g. рассматриваемое как функция, принимает значение 1 на парных и значение 0 на непарных индивидах. Это же выражение в качестве отношения выполняется на парных индивидах и не выполняется
на непарных. Наконец, как специальный вид отношения - уравнение -
оно удовлетворяется парными и не удовлетворяется непарными индивидами. При этом имеется в виду, что индивидам однозначно соответствуют наборы значений, принимаемых терминами х4. Xj х„.

- 48 -
 Но можно, как это принято в логике предикатов, трактовать
рассматриваемые выражения не как функции и отношения исходных
(несоставных) терминов, а как функции индивидов, представляющих
собой именно то. что в логике предикатов называют "предметами”. В
такой трактовке наши составные да и несоставные, термины оказываются предикатами - функциями индивидов-предметов, рассматриваемыми. в частности, как характеристические функции отношений, которыми могут быть связаны между собой предметы. Отношения же между
терминами станут предикатами от предикатов.
 Затруднения в том, что следует признать началом - единичное
или общее, т. е. предметы или предикаты, анализируются Аристотелем
в "Метафизике", причем он явно отдает предпочтение общему:
 ”... поскольку мы каждую вещь познаем через определения, а начала
определений - это роды, необходимо, чтобы роды были началами и
определяемого: ... роды во всяком случае начала для видов". ("Метафизика", КН. 3, гл. 3, 998Ь 4];
 "... скорее следует признать началами более общее, так что началами были бы первые роды." (999а 221;
 "... для уразумения через определение первее общее, а для чувственного восприятия - единичное." ("Метафизика”, кн.5, гл. 11,
1018Ь 32).
 С формальной точки зрения аристотелевы затруднения, по-видимому, будут квалифицированы как надуманные - просто имеет место
двойственность: как индивид выражается конъюнкцией п несоставных
терминов, так и несоставной термин выразим дизъюнкцией 2"'1 индивидов. (А разница все-таки ощутимая!)
 Разделение индивидов на парные и непарные существенно упрощает
тождественные преобразования уравнений, которые ради простоты пока предполагаются состоящими из выражений в СДНФ. Такую нормальную форму уравнения можно обозначить СДДНФ - обе части в совершенной дизъюнктивной форме. Для уравнения в СДДНФ допустимы следующие (очевидные в свете проведенных выше рассуждений) тождественные. т.е. сохраняющие неизменным выраженное уравнением отношение. преобразования.
 1. Парше индивиды можно удалять парами из обеих частей уравнения или добавлять в обе части, если ни в одной из них не содержится разный добавляемому непарный индивид.
 2. Непарные индивиды можно переносить из одной части уравнения
в другую.

- 49 -
 3. Удалением всех парных индивидов и перенесением всех непарных в одну из частей уравнение приводится к виду е = О или О - g.
 4. Булевым выражением, равносильным данному уравнению, т.е.
представляющим то же отношение, но без использования связки - .
является дизъюнкция всех парных индивидов этого уравнения, как
явно содержащихся в нем, так и удаленных. Другой способ получить
такое выражение - отрицание значащей части уравнения, приведенного по п.З к виду е = О или 0 = g.
 Пример, демонстрирующий применение правил для СДДНФ.
 у=х
 хучх'у=хучху~
хучх'учх'у'=хучху'чх'у'
х'у=ху'
хучху'чх'у=ху
 ху'чх'у=0, 0=ху'чх'у
хучх'у'
ху’чх'у=0
х'у=ху'
хучх’ ухучху'
 (XVI')у-х(учу')
у=х
 исходное уравнение.
 СДДНФ.
 добавление парных х у',
удаление парных ху, х'у',
перенесение непарных ху'.
удаление парных и перенос непарных,
булево равносильное выражение,
обратная трансформация в СДДНФ.
перенесение непарных,
добавление парных с целью
упростить выражения.
 Другой совершенной Формой уравнения является такая, у которой
одна из частей представлена в СДНФ, а другая - в СКНФ. В зависимости от того, какая часть в какой из этих форм представлена,
можно различать СДКНФ и СКДНФ, но в отношении правил тождественного преобразования это различие несущественно. По крайней мере,
они могут быть сформулированы так. что будут применимы к обеим
формам.
 Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) булева выражения - это конъюнкция отрицаний индивидов. Сопоставляя СКНФ и
СДНФ одного и того же выражения, т.е. выражения одного и того же
отношения или одной и той же функции, нетрудно установить, что
СКНФ содержит отрицания именно тех индивидов, которые не содержатся в равносильной ей СДНФ. и не содержит отрицаний тех индивидов. которые в этой СДНФ содержатся. Например:
 (хчу)(х'чу') = ху'ч х'у. (х'чу) * ху ч х'у ч х'у'.

- 50 -
 Таким образом, индивиды, названные в СДДНФ парными, в смешанной коньюнктивно-дизъюнктивной форме уравнения проявляются, наоборот, либо как индивид в СДНФ-части без его отрицания в
СКНФ-части, либо как отрицание в СКНФ-части индивида, отсутствующего в СДНФ-части. Непарным теперь соответствуют комплементарные
пары: индивид, содержащийся в СДНФ-части с его отрицанием в
СКНФ-части.
 Воспользовавшись установленным соответствием, можно трансформировать правила тождественного преобразования СДДНФ-уравнений в
равносильные им правила для уравнений в смешанной форме. Такая
формулировка правил для СКДНФ- и СДКНФ-уравнений может быть следующей.
 1. Комплементарную пару (индивид в СДНФ-части и его отрицание
в СКНФ-части) можно удалить, не нарушив этим уравнения. Если индивид в уравнении не содержится и не содержится отрицание этого
индивида, то они могут быть вместе добавлены: индивид - в
СДНФ-часть. а его отрицание - в СКНФ-часть.
 2. Индивид, отрицание которого не содержится в уравнении, а
также отрицание индивида, не содержащегося в другой части уравнения. можно переносить из одной части в другую, производя при этом
их отрицание.
 3. В результате удаления всех комплементарных пар и перенесения всех неудаляющихся индивидов в виде отрицаний в СКНФ-часть
уравнение приводится к виду е - о или 0 = g, где е и g - СКНФ-вы-
ражения.
 4. В результате удаления всех комплементарных пар и перенесения всех неудаляющихся членов СКНФ-части в СДНФ-часть с попутным
их отрицанием уравнение приводится к виду е - 1 или к 1 = g. где
eng- СДНФ-выражения, равносильные уравнению в целом.
 Пример, демонстрирующий применение данных правил.
 y=i
 (ivy) (*■ vy)=iyviy'
 (ivy)(ivy)(i'vy)=iyviy'vi'y -
ivy=iy
 (ivy)d'vy')=0
 l=iyvi'y‘
 lyvi'y'
 исходное уравнение.
 СКДНФ.
 добавление комплементарных,
удаление комплементарных,
перенос из СДНФ в СКНФ.
перенос из СКНФ в СДНФ,
равносильное уравнению булево
выражение.

- 51 -
 Аналогичные правила преобразования уравнений существуют и для
четвертой нормальной ^зрмы - СККНФ.
 Уравнение, как и равносильное ему булево (без связки - ) выражение. задает отношение, которым связаны между собой входящие в
уравнение термины. Его можно рассматривать также как функцию этих
терминов - характеристическую функцию заданного уравнением отношения. Кроме того, говорят о решении уравнения относительно того
или иного из входящих в него терминов, понимая под этим преобразование уравнения к виду ж,=е. где ж, - искомый термин, е - булево выражение, не содержащее ж,.
 Как уже было показано, уравнение разрешимо относительно ж,,
если оно равносильно выражению еж,че'х',. т.е. приводимо к виду
еж,'уе'ж,=0. В подавляющем большинстве случаев это условие не выполняется. и попытка отделить ж, не удается - преобразование к
виду ж,=е осуществимо, но вхождение ж, в е не исключено. Например, при попытке разрешить уравнение ж'vy-О относительно у получим:
 ж'vy=О
 хучх'учх'у'-о - преобразование к СДДНФ;
 xyvx'y-x'y' - перенос с целью отделить у;
 у=ж'у' - выражение, "эквивалентное у”, содержит у.
 Подобный результат тождественного преобразования уравнения
полностью сохраняет соответствующее уравнению отношение между
терминами и явно указывает на то. что у не является однозначной
Функцией ж.
 Другая возможность состоит в том, чтобы получить искомую функцию хотя бы частично, т.е. для тех значений ж, для которых она
определена однозначно. Это равносильно рассмотрению у как обратной для х'чу функции, о чем ранее уже было сказано. Нетрудно убедиться. что значение у определено и равно 0 при ж-1. а при ж-0
уравнение не удовлетворяется никаким значением у. Искомая частичная функция выражается в виде у=1х', где i - символ значения "неопределенность".
 Уравнение у=1ж' не принадлежит не только булевой алгебре, но и
ее расширению добавлением связки = . В данном случае булева алгебра расширена как добавлением = , так и введением третьего
значения - правила тождественного преобразования, установленные для уравнений, не содержащих неопределенности, в новой

- 52 -
 системе оказываются, по-видимому, недостаточными { в них не только нет указаний, как поступать с неопределенностью, но даже и
упоминания о ней). Поэтому возникает необходимость обобщить их с
учетом раоширения системы, либо установить заново, исходя из
трехзначного толкования базисных связок по Я.Лукасевичу.
 Начать следует, как и в случае без неопределенности, с СДДНФ-
-уравнения, т.е. с СДНФ-выражений. СДНФ-выражение по-прежнему
представляет собой дизъюнкцию индивидов, однако теперь не все они
равноправны - некоторые, а может быть и все. "отмечены" символом
неопределенности, т.е. представлены индивидными конъюнкциями, содержащими наряду с обычными п членами еще один - i. "Определенные" и "неопределенные" индивиды можно сгруппировать, вынеся 1 за
скобки, при этом СДНФ будет разделена на две части. Одна из них
содержит индивиды, на которых СДНФ-выражение принимает значение
1, другая - те, на которых оно принимает значение I. Кроме того,
все прочие индивиды составляют неявную третью часть, которой сопоставлено значение 0. Ясно, что каждый индивид относится к одной
и только к одной из этих частей.
 В системе без неопределенности СДДНФ-уравнение удовлетворяется
на тех индивидах, которые либо содержатся и в левой, и в правой
его частях, либо не содержатся ни в той, ни в другой части. На
индивидах, содержащихся только в левой или только в правой части,
уравнение не удовлетворяется.
 С введением неопределенности добавляются следующие новые сочетания. Индивид может содержаться в одной из частей уравнения, а в
другой части находиться в неопределенности. Он может в одной из
частей не содержаться, а в другой находиться в неопределенности.
Наконец, он может быть неопределенным в обоих частях. Соответственно в этих трех случаях значения, принимаемые противоположными
частями уравнения, будут: 1 и i, 0 и i, t и t. Значение же. принимаемое уравнением в целом, т.е. характеризующее удовлетворяе-
мость уравнения на рассматриваемом индивиде, во всех трех случаях
есть t.
 Действительно, равносильное уравнению е ■= g выражение без
связки » согласно ее определению - egve'g' - позволяет непосредственно вычислить искомое значение в каждом из этих случаев:
 lAt v 1'hi' = i , Ohi v 0 hi' = i , ihi v i'hi' = i .
Короче говоря, удовлетворяеыость уравнения на индивидах, содержа

- 53 -
 щихся в ней в качестве неопределенных, во всех случаях неопределенная.
 Следует заметить, что данный вывод при всей его простоте не
является саморазумеющимся. Известно, что Я.Лукасевич определил
импликацию в своей трехзначной системе так. что в случае неопределенности совместно и антецедента, и консеквента она принимает
значение 1. т.е. эквивалентность неопределенных оказывается удовлетворенной. Непонятно, какими соображениями был обусловлен такой
выбор, но вполне вероятно, что он явился причиной отклонения этой
системы, как не достигающей преследуемых целей.
 Правила тождественного преобразования СДЦНФ-уравнений с неопределенностью индивидов на основании установленных выше фактов
можно сформулировать так.
 1. Парные и непарные индивиды, не относящиеся к неопределенным
ни в левой, ни в правой частях уравнения, обрабатываются по прежним правилам.
 2. При наличии индивида с неопределенностью в одной из частей
уравнения можно удалить равный ему индивид, будь то определенный
или неопределенный, из другой части.
 3. Непарный индивид с неопределенностью можно переносить из
одной части уравнения в другую.
 Для СКДНФ- и СДКНФ-уравнений с неопределенностью правила тождественного преобразования формулируются соответственно следующим
образом.
 1. Индивиды и их отрицания, не затронутые неопределенностью ни
в левой, ни в правой частях уравнения, подчиняются правилам для
уравнений, не содержащих неопределенности.
 2. При наличии индивида с неопределенностью в СДНФ-части уравнения можно удалить отрицание этого индивида из СКНФ-части. если
оно там имеется, будь то с неопределенностью или без нее. При наличии в СКНФ-части уравнения отрицания индивида с неопределенностью можно удалить этот индивид из СДНФ-части. будь он с неопределенностью или без нее.
 3. Индивид с неопределенностью можно перенести из СДНФ-части
уравнения в СКНФ-часть, произведя его отрицание вместе с символом
неопределенности. Правило это обратимо, т.е. находящееся в
СКНФ-части уравнения отрицание индивида с неопределенностью можно
перенести в СДНФ-часть в виде самого этого индивида с неопределенностью.

- 54 -
 Следует подчеркнуть, что наряду с правилами тождественного
преобразования уравнения, т.е. выражения, содержащего связку = ,
остаются в силе все рассмотренные ранее тождества трехзначной логики Лукасевичй. для выражений, не содержащих этой связки, т. е. в
пределах только левой или только правой части уравнения. Совместное применение всех данных правил иллюстрируется следующими примерами.
 Пример 1. Преобразование частичной функции y-ti' к неявному
заданию ее в виде выражения, не содержащего связки - .
 y=ii'
 (ivy)(*'vy)Bix'yvti'y'
(x'vy)-lx'yvix'у'
 (i'vy)-ti'
 1-iy'vix'
xy'vix"
 исходное уравнение;
 СКДНФ:
 член (ivy) удален по правилу 2
как отрицание i'y';
упрощение СДНФ-части;
перенос х vy в СДНФ-часть.
 Пример г. Преобразование неявно заданной частичной функции к
явному ее выражению.
 iyvt
 l=iyvt
 xyvxy’vx'yvx‘у =xyvixyvixy"vix'yvix'y'
xyvx'y=xyvixyvixy'vix'yvix'y'
y=xyvi
 - исходное выражение;
 - введение связки = ;
 - сдднф;
 - удаление ху' и х'у':
 Анализ уравнений (и вообще выражений) с неопределенностью показывает, что с введением символа неопределенности i и связанных
с ним дополнительных правил тождественного преобразования существенных изменений в характере системы не произошло. По-прежнему,
как и в булевой алгебре, произвольное отношение между рассматриваемыми терминами представимо в виде выражения, построенного с
использованием связок л, v, ', хотя теперь благодаря символу i
представимы также частичные отношения. Введя, кроме того, связку
- , можно любое выражение этого рода записать в виде равносильного ему уравнения. Далее, уравнение можно "решить" относительно
того или иного из содержащихся в нем терминов, преобразовав его
так. что в одной части уравнения окажется один только этот термин, а в другой - выражение, содержащее прочие, а скорее - все
рассматриваемые термины.
 Обособленный таким образом термин является заданной эквива

- 55 -
 лентным ему выражением функцией рассматриваемых терминов. Функция
называется заданной явно, если определяемый термин не содержится
в определяющем выражении. Лишь немногие из частичных, т.е. содержащих неопределенность. Функций допускают явное задание, в случае, когда рассматриваются только два термина, таких функций четыре:
 у=ix . у=tx' . у»xvt , y=x'v-1 .
 К ним должны быть добавлены две не содержащие неопределенности
явно заданные функции: у-х . у-х'.
 Итак, всякое отношение, в том числе частичное, можно представить выражением, в котором используются только булевы связки и
символ неопределенности. Это выражение можно привести к СДНФ.
т.е. записать его в виде дизъюнкции индивидов, среди которых могут быть связанные и не связанные с символом неопределенности,
либо к СКИФ - конъюнкции отрицаний индивидов, могущих быть и не
быть связанными с неопределенностью. Далее, добавив связку "эквивалентность" можно записать рассматриваемое отношение в виде
уравнения, которое в свою очередь приводимо к описанным выше нормальным формам СДЦНФ, СКДНФ, СДКНФ. СККНФ. к которым применимы
соответствующие правила тождественного преобразования. Пользуясь
этими правилами, можно, в частности, перенести все термины в правую или в левую часть уравнения и таким путем удалить связку = .
либо оставить в правой или в левой части один из терминов, сопоставив ему эквивалентное выражение, определяющее этот термин как
Функцию, вообще говоря, частичную или рекурсивную.
 Следует напомнить, что частичные функции возникли в качестве
обратных "законным" булевым Функциям, обусловив неопределенность
и, как характеристические Функции, частичность отношений. При
этом произошло существенное расширение выразительных возможностей
системы без изменения ее типа по А. И. Мальцеву. Смысл новоявленных
отношений будет раскрываться в дальнейшем с развитием методов и
средств их содержательной интерпретации.
 1.8. 	О сущности алгебры
 Булева алгебра и затронутые ее расширения позволяют составить
определенное представление о сущности и возможностях символьного
отображения этого рода. Как видно, сущность его заключается в

- 56 -
 том, что выявляемые эмпирически взаимосвязи различных компонент
реальности могут быть не только обозначены именующими их символами, но и выражены как композиции из немногих простейших видов
взаимосвязи, представленных базисными связками - отрицанием,
конъюнкцией и дизъюнкцией.
 Композиция означает многоуровневую (иерархическую) вложенность
в том или ином порядке составляющих выражений в составные. Например, выражение взаимосвязи "неэквивалентность"
 ху'чх'у
 является трехуровневой композицией, верхний уровень которой составляет дизъюнкция, в качестве членов которой вложены конъюнкции
ху' и х'у (подвыражения второго уровня), в которые в качестве их
членов вложены подвыражения низшего уровня - термин х и отрицание
термина у, отрицание термина х и термин у.
 Сущность взаимосвязи, отображенной конкретной композицией связок, т. е. смысл алгебраического выражения в целом, однозначно определяется, исходя из собственного смысла связок, в соответствии
с порядком, в котором вложены друг в друга подвыражения. Если
отвлечься от содержания исходных терминов и считать их всего лишь
обозначениями членов отношения, или мест в списке его аргументов,
на которые в конкретных случаях подставляются имена рассматриваемых объектов, то выражение будет абстрактной схемой представляемой взаимосвязи, выражающей ее смысл безотносительно к тому, что
именно связано, подобно смыслу самих базисных связок.
 Но в алгебре не считают нужным выявлять даже смысл самих базисных связок, полагая, что это уже не алгебра, а интерпретация алгебры. Алгебраические (синтаксические) свойства связок фиксированы в виде правил тождественного преобразования выражений, и поэтому возможно формальное (отвлеченное от всякого смысла) манипулирование ими, причем гарантирующее, если правила соблюдаются неукоснительно, адекватность результатов. Известно, что подобное
манипулирование символами проще и дешевле, чем содержательное
исследование проблемы. А кроме того, его можно запрограммировать,
используя опять-таки символьный язык, и выполнять при помощи машины.
 Не следует все-таки забывать при этом, что на чем стоит, что
законы алгебры возникли как отображение эмпирически выявленных и
представленных первоначально таблицами "истинности" взаимосвязей.

- 57 -
 и именно поэтому манипулирование символами по этим законам приводит к подтверждаемым практикой результатам. Алгебраические тождества, к сожалению, не выражают непосредственно тех взаимосвязей, к которым сводится смысл отображенного в алгебре. Ведь ни
коммутативность, ни идемпотентность не называют смыслом конъюнкции или дизъюнкции. Скорее это отдельные черты, причем свойственные в равной мере обеим связкам. Более определенно конъюнкцию как
операцию, предпочитающую нуль единице, характеризуют тождества
 эслО ■ О, хл1 * х .
 но и в них едва ли можно усмотреть прямое выражение сущности этой
связки.
 Вместе с тем из таблицы "истинности" сущность конъюнкции совершенно очевидна - это совместность: конъюнкция дана, если даны
 оба ее члена, и исключена, если нет хотя бы одного из них. Точно
так же очевидна сущность дизъюнкции - несоискточенность: данность
дизъюнкции означает, что ее члены не могут быть исключены совместно. а если дизъюнкция исключена, то они исключены оба. Однако
явно выразить указанный смысл связок средствами алгебры не удается. Не случайно алгебраисты определяют отношение как подмножество
множества декартовых n-ок. т. е. фактически таблицей "истинности"
- вошедшие в подмножество n-ки являются координатами тех клеток
таблицы, в которых содержится 1.
 Выходит, табличное отображение - наиболее полное и непосредственное по отношению к отображаемым связям. Это и понятно - тождества (аксиомы) алгебры характеризуют каждое одну из черт таблицы (именно таблицы, а не отображаемой ею связи) и этих черт оказывается не так мало, чтобы какие-то из них могли быть всеобъемлющими. Отдельно взятое тождество ответственно только за одну из
особенностей, на которые разлагается конфигурация конкретной таблицы. Поэтому на основе тождеств эффективно реализуются преобразования базирующихся на таблицах выражений, однако существенно
способствовать осознанию смысла этих выражений они не могут. Короче говоря, тождества характеризуют не непосредственно отображаемое и не процедуру отображения, а именно то, что получилось в
результате отображения, - отображение как результат. Соответственно они и служат базой для манипулирования символами, символьными выражениями.
 На основании аксиом, исчерпывающе и непротиворечиво характери

- 58 -
 зующих связки как базисные компоненты символьной системы, определение, преобразование и исследование выражений, моделирующих всевозможные виды взаимосвязей, можно производить независимо от того, существуют ли (реализованы ли) подобные взаимосвязи в действительности, и вообще независимо от практической реализуемости
их. Отсюда настойчивые попытки абсолютизации аксиоматических систем и "далеко идущие" философские выводы. При этом, однако, упускают из виду, что сами аксиомы и другие символьные построения -
тоже действительность. Впрочем, практическая полезность алгебры и
аксиоматики, употребляемых в рамках их очевидных возможностей, не
вызывает сомнения.
 Технология применения алгебраических методов в информатике,
по-видимому, может быть полностью заимствована из ее математических приложений. Она предусматривает три основных этапа, известных
всем уже по школьным задачам. На первом этапе предметно сформулированное условие задачи отображается на символьный язык алгебры.
На втором этапе символьное отображение подвергается преобразованиям. обеспечивающим получение искомого решения в символьном
представлении. На третьем этапе осуществляется обратное отображение полученного результата из символьного выражения в предметное.
 В булевой алгебре, возможно, расширенной добавлением значения
"неопределенность" и/или связки "эквивалентность", проведенное на
первом этапе отображение условия задачи на язык символов порождает выражение (или несколько выражений), представляющее функцию
входящих в него терминов, а при фиксированном значении этой функции - отношение, которым связаны термины между собой.
 Поскольку для n-местной функции y=f(i1,i2 ас,,) всегда имеется равносильное (п+1)-местное отношение R(i,.хг,у), можно ради унификации истолковывать всякое выражение с п различными
терминами именно как n-местиое отношение. Это отношение дано,
или выполняется, если выражение принимает значение 1. Оно не имеет места (исключено, не выполняется), если выражение принимает
значение 0. Если же значение выражения не фиксировано, то представленное им отношение не дано и не исключено, т. е. о его даннос-
ти/исключенности информации нет.
 Таким образом манипулирование взаимосвязями (отношениями) в
символьном отображении сводится к операциям, выполняемым над соответствующими выражениями, причем операциями этими оказываются
все те же конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, а также эквивалент

- 59 -
 ность. Естественно возникают отношения отношений, выполняющиеся,
если выражения, которыми они представлены, принимают значение 1.
 Выражение, истолковываемое как отношение, связывающее входящие
в него термины, представляет собой характеристическую функцию
этого отношения: отношение выполняется в тех случаях, в которых
его характеристическая Функция принимает значение 1, не выполняется, когда ее значение равно 0. и не определено, когда значением
характеристической Функции оказывается неопределенность. Алгебра
отношений является по существу алгеброй соответствующих характеристических функций.
 Имеет место однозначное соответствие атрибутов отношений атрибутам характеристических функций этих отношений. По существу это
два способа обозначения одного и того же свойства. Например,
идемпотентность характеристической функции равнозначна рефлексивности характеризуемого этой функцией отношения, коммутативность
функции соответствует симметричности отношения и т.д.
 Характеристическая функция имеет ту же арность (число аргументов), что и представляемое ею отношение. Вместе с тем. эта функция равносильна отношению, арность которого на единицу больше,
чем ее собственная арность, как указано выше. Это новое отношение
можно задать выражением
 еу v е'у'
 которое построено на основе характеристической функции у=е(хх.хг.
	 х„) прежнего отношения, заданного выражением е. Характеристическая функция нового отношения определяется задающим его выражением eyve'y , и ее арность будет на единицу больше арности Функции у. поскольку символ у вошел в новое выражение в качестве
(п+1)-го аргумента. Таким образом на основе заданного отношения
порождаются отношения постепенно возрастающей арности.
 Например, бинарное отношение совместности, заданное выражением
х,х2 или характеристической функцией х3-=х,х2, порождает тернарное
отношение, описываемое выражением x1x2x3v(x1xz)'Хз' или характеристической функцией х4 =х, х2 х3 vx,' х3' vx2' х3'.
 С фугой стороны, имеются возможности и причины уменьшения арности отношений. Например, в том случае когда n-арное отношение
(пусть оно задано в форме уравнения) разрешают относительного одного из его аргументов, получается (п-1)-арная функция, возможно,
частичная или рекурсивная. Ее можно рассматривать в качестве ха

- 60 -
 рактеристической функции (п-1)-арного отношения, которым связаны
оставшиеся п-1 аргументов при условии, что отделенный n-ый аргумент принял значение 1. Подобным образом может быть отделен любой
из п аргументов исходного отношения. Кроме того, в порождаемых в
результате отделения отношениях меньшей арности в свою очередь
могут быть произведены отделения аргументов вплоть до получения
нульарного отношения, т.е. константы 1, 0 или i. Этот процесс
можно осуществить и более простым путем, а именно, фиксируя значения тех или иных аргументов.
 Арность выражений (соответственно, отношений) может понижаться
и в результате модификации их, например, конъюнктивным или дизъюнктивным присоединением новых членов в ходе композиции и преобразования выражений. Простейшие примеры: хлх' = 0. xvl = 1.
хучху’ - х. Как правило, подобные преобразования выполняются без
учета того смысла, который отображен в используемых знаках и зна-
косочетаниях. О связках должно быть известно только то. что сказано в характеризующих их тождествах, а в них об отображении не
сказано ничего. И вообще, преобразуются не отношения, а выражения, т. е. это совершенно отдельная, изолированная от отображаемых
в нее вещей система - алгебра.
 Впрочем, хотя алгебра и может существовать и развиваться как
изолированная символьная система, основанная на наборе никак не
интерпретируемых аксиом, ее практическая ценность останется равной нулю, пока выражениям не будет придан реальный смысл, т. е.
пока не будет восстановлена система взаимосвязи с отображенной в
них действительностью. Об этом знают даже "последовательные" формалисты, поскольку вынуждены признать, что "формально аксиоматизированная математика - это еще не вся математика: определенное
место в математике должны занимать такие понятия, как смысл, истина, ложь" [Клини, 1973, стр. 231].
 Соотношение смысла (семантики) и неукоснительного соблюдения
правил (синтаксиса) может варьироваться в самых широких пределах
и в каждом конкретном случае его оптимум определяется большим
числом различных факторов. Ясно, однако, что положиться на правила, на формально выполняемые процедуры можно лишь при наличии
уверенности, что они действительно направлены на получение искомых результатов, т.е. отдавая себе отчет об их смысле. Иначе говоря, чтобы путем символьных преобразований выявить требуемые
взаимосвязи в реальности, надо знать, какие преобразования и над

- 61 -
 какими выражениями следует производить, в каком направлении действовать - преобразования должны направляться смыслом.
 В свете этих замечаний указанная выше трехэтапная технология
алгебраизуемой информатики представляется в общем случае слишком
грубой, а именно: символьные преобразования на втором этапе, если
только они не выполняются по детально разработанной и отлаженной
программе, должны систематически координироваться с тем смыслом,
который стоит за ними в отображаемой действительности, ради которого они, надо полагать, и производятся. По-видимому, осуществить
такую координацию непросто. Иначе как объяснить, что ее всячески
избегают, рассматривая символьные системы в качестве совершенно
независимых от того, что в них отображено, ограничиваясь их собственной, внутренней проблематикой?
 Логики обычно считают задачей алгебры отыскание "безусловных
истин”, т.е. таких выражений (называемых также "тождественными"
или "тавтологиями"), которые принимают значение "1" на любом наборе значений своих терминов. Для заданного выражения проверка
его "истинности" естественно выполняется путем вычисления при помощи таблиц "истинности", которыми определены связки, на всех
возможных наборах значений терминов. Но этот по существу арифметический способ "перебора" не представляет большого интереса.
Предпочтение отдается алгебраическим методам вывода тавтологий из
принятого набора аксиом по установленным правилам вывода. Синтаксическую систему, состоящую из базисного набора связок, определения "правильного выражения" (формулы), набора аксиом и правил вывода, называют исчислением. Впрочем, то же "иочисление высказываний11 имеется с различными наборами связок, аксиом и правил, причем не обходится только синтаксисом - буквы интерпретируются как
высказывания.
 Альтернативный подход - доказательство "истинности" выражения
путем преобразования его, если такое возможно, на основании аксиом и правил к схеме одной из аксиом. Доказательство, как и вывод,
требует известной изобретательности и то, что оно не удалось, еще
не означает "неистинности" выражения, в связи с этим появились
так называемые "правила отбрасывания" (Лукасевич. стр.146] позволяющие устанавливать "неистинность" выражений- но оправданы ли
все эти хитроумные построения при наличии такого простого и регулярного способа решения рассматриваемой проблемы как приведение
выражения к совершенной нормальной форме? Ведь и СДНФ, и СКНФ выражения явно и недвусмысленно указывают на то, является ли оно

- 62 -
 "безусловно истинным", или "безусловно ложным", или ни тем, ни
другим.
 С практической, прикладной точки зрения важнейшей задачей алгебры представляется не столько установление безусловной, или абсолютной. истинности, сколько выявление того, что имеет место, а
что не может иметь места (что дано, а что исключено) в заданных
условиях. Не менее важна и обратная задача - выявление необходимых или достаточных условий данности, возможности, невозможности
представленного выражением объекта (положения, отношения). Другими словами, соблюдено ли рассматриваемое отношение при заданных
условиях и каковы условия, при которых оно будет соблюдено или.
наоборот, будет исключено.
 Что касается тавтологий, то они наиболее полезны, пожалуй, как
тождества, устанавливающие безусловную равносильность выражений
составляющих левую и правую части этих тождеств. Дело в том, что
замена выражения (подвыражения) равносильным, но синтаксически
отличным от него является основным приемом тождественного преобразования. Поэтому аксиомы, выражающие свойства базисных связок,
целесообразно формулировать в виде тождеств.
 Однако, наряду с отношением тождества, при формулировании тавтологий применимо также и "полутождество", или "квазитождество" -
несимметричное отношение и=у. заключающееся в том, что термин у
не может быть не дан в случае данности х. Иначе говоря, речь идет
о ситуации, в которой соблюдено отношение достаточности х для у
(и следовательно, необходимости у для я). Воспользовавшись символом неопределенности t, эту ситуацию можно представить выражением
ху v ix'.
 Проблемы выявления условий данности (как необходимых, так и
достаточных) представленного выражением отношения, а также условий. при которых оно исключено или, наоборот, не исключено (возможно), решаются стандартным регулярным методом - приведением заданного выражения к совершенным нормальным формам.
 В самом деле, выражение, ДНФ которого не содержит ни одного
(непротиворечивого) члена, тождественно нулю - представляемое таким выражением отношение безусловно невозможно. Выражение, КНФ
которого не содержит ни одного члена ("пустая конъюнкция"), тождественно единице - оно выражает тавтологию, отношение данности
рассматриваемого объекта к самой себе. Безусловная невозможность
("ничто") выражается самопротиворечивой конъюнкцией, в частности,
СКИФ, содержащей все 2" возможных членов, где п - число исходных

- 63 -
 терминов. Например, при n=2: (ivy)(ivy')(х'чу)(х'vy) * о. соответствующая "исчерпывающая" дизъюнкция xyvxy'vi'yvx'у' представляет собой тавтологию.
 При помощи нормальных форм отчетливо выявляются также отношения отношений, представленных различными выражениями. Так. всякая
непустая часть (подвыражение) х ДНФ-выражения у представляет собой отношение, данность которого достаточна для того, чтобы было
дано отношение, соответствующее выражению у в целом, т. е. х*=у.
Всякая непустая часть ж КНФ-выражения у выражает необходимое условие выполненности (данности) отношения, представленного выражением у, т. е. x*y.
 Всякая же непустая часть z ДНФ-выражения у - дополнения выражения у - представляет собой отношение, несовместимое с отношением у. т. е. отношения z и у взаимоисключают друг друга: z»y', y»z'
Непустая часть z КНФ-выражения у* выражает отношение, связанное с
у отношением несоисключимости - если не выполняется z, то непременно выполнено у, а если не выполняется у. то выполнено z: z' *=у,
y'*z.
 Перечень отношений, которыми могут быть связаны между собой
отношения, и их отображений в алгебре можно далеко продолжить,
включив в него такие как двойственность, различные виды инверсии
и отрицания и т.п. Ведь всякое представленное некоторым выражением отношение находится в определенном отношении с каждым из отношений, представленных всевозможными выражениями на том же наборе
терминов. Это обстоятельство будет исследовано в дальнейшем.
 Пока же достаточно сказанного. Но следует обратить внимание
на то, что выражения алгебры, трактовавшиеся вначале как представления составных, вообще говоря, атрибутов, приобрели незаметно
более абстрактный смысл отношений, характеризуемых тем, что они
могут быть даны (соблюдены, выполнены), или исключены (не соблюдены, не выполнены), или информация о данности/исключенности их
оказывается неопределенной. С такой точки зрения алгебраические
выражения представляют собой композиции отношений, причем буквы в
них обозначают произвольные исходные отношения, которые можно
конкретизировать, т.е. заменять выражениями того или иного вида с
новыми буквами, в свою очередь конкретизируемыми. В сущности же
происходит композиция все более сложных, многообразных и всеобъемлющих видов взаимосвязанности и все это единым, регулярным методом на основе всего лишь трех базисных связок.

2. АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ
 Принципиальная особенность рассматривавшейся до сих пор системы отображения, будь то булева алгебра в "чистом" виде или расширенная добавлением "эквивалентности" и "неопределенности”, заключается в единственности и единстве (нераздельности) того, что может быть отображено единовременно, одним выражением. Действительно. выражение, трактуется ли оно как составной атрибут или как
отношение, которым связаны входящие в него термины, представляет
собой характеристику какой-то одной веда (обьекта отображения) в
целом, без разделения ее на составные части, каждую из которых
можно было бы охарактеризовать особо.
 Из средств отображения отрицание изменяет смысл термина на
противоположный, конъюнкция совмещает, дизъюнкция несоисключает,
композиция с помощью скобок обеспечивает нужный порядок связываемого, но все это составляет выражение, характеризующее единый
отображаемый объект. Выражение разделяемо на части, но эти части
соответствуют не чаотям отображаемого, а частичным характеристикам его как целого.
 Казалось бы, можно написать различные выражения и таким образом представить совокупность объектов, но' если эти выражения даны
совместно, то это равносильно их конъюнкции, характеризующей один
объект, а если они рассматриваются в качестве альтернативных, то
равносильны дизъюнкции, опять же характеризующей один объект,
только менее определенно. Выходит, что в булевой алгебре, даже с
произведенными расширениями, возможности отобразить несколько
совместно рассматриваемых объектов нет. Для этого необходимо новое расширение, пополнение системы дополнительными средствами,
обеспечивающими такую возможность.
 Насколько эта возможность нужна и важна, видно на примере математики, воплотившей ее в наиболее фундаментальном из своих понятий - множестве. К сожалению, математики, установив фундаментальность множества и немало преуспев s теоретико-множественных
аксиоматизациях, все еще так и не знают в точности (не могут прямо определить, строго охарактеризовать), что это такое. Обычно
считают, что термины "множество11 и "класс” - синонимы [Гильберт и
Аккерман, стр.70. Клини, стр.228]. Но это приводит к парадоксам,
и чтобы пресечь возникновение их, стремятся понять, в чем разница

- 65 -
 [Колмогоров и Драгалин, стр.19]. Например, следуя Геделю, полагают, что множество - это такая совокупность объектов, которая может не только содержать элемента, но и (в отличие от класса) быть
элементом множества, т.е. существуют множества и классы множеств,
но невозможны множества классов [Клини. стр.228].
 Сущность множества как особой информационной конструкции можно
извлечь из "наивного" представления о множестве - совокупности
попарно различных предметов - путем непосредственного отображения
этой совокупности алгебраическим методом. В таком отображении не
может быть самих предметов ни в отдельности, ни тем более в совокупности - все отображаемое должно быть представлено характеристиками его сущности, подобно тому как единые предметы отображаются выражениями булевой алгебры.
 Но сущность совокупности нельзя выразить непосредственно в
терминах т'-х атрибутов, которыми охарактеризованы составляющие
эту совокупность предметы: совокупности в целом не могут быть
присущи атрибуты ее отдельных членов, потому что они несовместны
(предметы различны). Совокупности присущи не свойства ее членов,
а причастность или непричастность (принадлежность/непринадлеж-
ность) к ней тех или иных предметов.
 Пожалуй, наиболее точным будет назвать это отношение вложенностью ео тожество. Ведь "множество" в математике вовсе не
значит "многое" или “множественность" - оно бывает одноэлементным
и даже пустым. Вернее будет уподобить его некой обойме или
футляру с гнездами для вложения отличающихся друг от друга предметов, чтобы располагать определенным набором их как единой
вещью. Значения, принимаемые такой "вещью” - зто составы вложенного в нее набора предметов от пустого, через всевозможные одно-,
двух- и т. д. -предметные до полного, занимающего все без исключения гнезда.
 В информационном представлении предметы и соответствующие им
гнезда замещены их атрибутами, т. е. индивидными конъюнкциями, образованными на основе несоставных критериев, по которым различаются предметы. Поэтому однозначно охарактеризовать конкретное
множество можно простым перечислением вложенных в него индивидов,
индивидных конъюнкций. Это аналогична перечислению их в СДНФ булева выражения, но то было альтернативное (дизъюнктивное) перечисление. а множество предполагает совместную вложенность, конъюнкцию вложений.
 3 Э(К. од

- 66 -
 Математики изображают множество в виде перечня обозначений его
элементов, заключенного в фигурные скобки. Так, множество из двух
элементов - ху и х'у'. записывают как (ху, х'у'). Подобная запись
прямо отражает "наивное" представление о множестве, но не составляет его алгебраической характеристики, не способствует органическому включению этой важной конструкции в имеющуюся систему и
применению к ней предоставляемых последней средств и методов.
 Желаемое выражение для характеристики множества в булевой алгебре возможно даже без привлечения дополнительных обозначений,
если не считать таковыми префиксную разновидность символов V и Л.
которая уже использовалась ранее в записях многоместных дизъюнкции и конъюнкции. Теперь эти записи будут модифицированы и приобретут иной, впрочем, не менее привычный в алгебре смысл, а именно: выражение Vx будет означать дизъюнкцию значений, принимаемых
переменной х на потенциально возможных элементах рассматриваемого
множества ("по всем гнездам футляра"), а выражение Ах - аналогичную конъюнкцию. Это полные аналоги в булевой алгебре интегральных
суммы и произведения, обозначаемых соответственно греческими буквами "сигма" и "пи". Можно также снабдить префиксы V и А указанием области или пределов, в которых осуществляется дизъюнкция или
конъюнкция, но удобно условиться, что при отсутствии такого указания имеется в виду вся рассматриваемая область.
 Трактуемое согласно сказанному выражение Vx принимает на рассматриваемом множестве значение 1, если в этом множестве содержится хотя бы один элемент, обладающий атрибутом х. Таким образом, выражение Vx является атрибутом самого множества, характеризующим его в отношении принадлежности ему (вложенности в него)
объекта х. Атрибутом антипринадлежности х является, естественно,
отрицание атрибута принадлежности, т. е. (Vx) ‘, или в сокращенной
записи - Vx.
 Теперь произвольное множество объектов, различимых на основе
заданного набора базисных критериев х.у,z может быть охарактеризовано в точности тем же образом, каким в булевой алгебре характеризуются сами эти объекты (нерасчленяемые вещ. или "первые
сущности" у Аристотеля), т.е. при помощи конъюнкции необходимых
атрибутов этого множества. Например, в системе с двумя базисными
критериями - х и у упомянутое выше множество {ху, х'у ) характеризуется четырехчленной конъюнкцией

- 67
 Viy V'iy' V'x'y Vary'
 Существенно, что в этой конъюнкции, как и в индивидных конъюнкциях, которыми характеризуются "первые сущности”, перечислены
вое потенциально возможные элементы - одни в качестве причастных
множеству (вложенных), другие в качестве непричастных, с отрицанием вложенности. Принятое в математике описание множества ограничивается перечислением только причастных элементов, что представляется совершенно достаточным, поскольку непричастные при этом
известны как составляющие дополнение до множества всех потенциально возможных. Но так рассуждать допустимо лишь о строго определенных ("индивидных") множествах, у которых элементы, не перечисленные в списке вложенных, считаются невложенными, т.е. заведомо исключена неопределенность, или свобода для отдельных элементов находиться по отношению к рассматриваемому множеству на
положении (пользуясь термином Аристотеля) привходящих, могущих
как быть, так и не быть - "раз на раз не приходится".
 Полезность такого обобщения сущности множества выяснится в
дальнейшем. Пока же стоит сказать, что исключение из конъюнкции,
которой охарактеризовано множество, отрицаемых атрибутов приводит
к точно таким же последствиям, что и удаление отрицаемых букв в
индивидной конъюнкции булевой алгебры - их нетрудно восстановить,
поскольку полный набор принимаемых во внимание букв известен, но
ведь индивидная конъюнкция с опущенными отрицательными буквами
оказывается неотличимой от неиндивидной конъюнкции, в которой
отсутствие тех же букв символизирует не инверсность, а неопределенность соответствующих атрибутов. Короче говоря, алгебра разрушится или выродится в примитивную систему с полностью исключенной
неопределенностью - “алгебру индивидов".
 2.1. 	Диаграмма Льюиса Кэррола
 Превосходное по своей простоте, наглядности и точности геометрическое представление множества в обобщенном смысле предложил
Льюис Кэррол, он же Чарлз Лютвидж Доджсон (1832 - 1898), - автор
восхитительных аллегорических историй о приключениях Алисы в
Стране чудес и в Зазеркалье.
 К сожалению, в противоположность всемирно известной и обожаз-.
мой Алисе диаграмма Кэррола практически не получила признания даже в мире специалистов, которым как раз ее и не хватает, для того
 3'

- 68 -
 чтобы разобраться в их запутанных проблемах. Впрочем, Чеширский
Кот, олицетворяющий у Кэррола эту специальность, едва ли бы смог
воспользоваться его диаграммой, а если бы и смог, то непременно
извратив ее на свой лад.
 Сам Кэррол [1973] использовал диаграмму для наглядного представления, выявления смысла и тождественного преобразования множественных (силлогистических) суждений, а также для получения
возможных заключений из совместно рассматриваемых посылок силлогизма. В духе гуманного рационализма Аристотеля он стремился, в
частности, выявить и отобразить при помощи диаграмм и разработанной им символьной системы точный смысл отношений, выражаемых в
естественных языках предложениями типа "Всякое х есть у", "Никакое I не есть у", "Некоторое х есть у" и т. п. Особое значение
придавалось устранению несоответствия логики здравому смыслу, которое и по сей день остается актуальной проблемой.
 Не будет преувеличением сказать, что кэрролова неформальная по
собственной его оценке "Символическая логика" по существу опережает наиновейшие достижения формалистов. Но она так и не была
востребована, да к тому же Кэррол не избежал в ней досадных нелепостей [Брусенцов. 1977].
 По убеждению Кэррола логика призвана помогать людям обрести
ясность мысли, выработать привычку к систематическому мышлению,
умение обнаруживать ошибки и заблуждения не овладевших ее удивительным искусством. Но он не пытается свести это искусство к формальным правилам манипулирования высказываниями, а начинает с того, что "во Вселенной множество предметов, которые обладают признаками". а затем, обозначив некоторый признак буквой х, мысленно
разбивает Вселенную на два класса с видовыми отличиями х и не-х.
или х'.
 В дальнейшем выясняется, что Вселенная, а точнее Вселенная
(универсум) рассмотрения в логике Кэррола - это синоним аристотелева "рода", т.е. класс, разбиваемый на подклассы-виды по принятым для него критериям разбиения ("видовым отличиям"). С чисто
логической, абстрактной точки зрения к роду можно отнести все
предметы, для которых принятые критерии уместны, имеют смысл,
поскольку межвидовые отношения исчерпывающе выражаются в терминах
этих и только этих критериев. На практике род понимают обычно в
более узком смысле, как класс, определенный родовым атрибутом и
набором критериев разбиения, так что имеет место изоморфизм ро

- 69 -
 дов. Иначе, можно говорить о различных конкретизациях (интерпретациях) абстрактного рода.
 Кэррол, хотя и говорит о классах предметов, на деле оперирует
классами не как совокупностями предметов, а как разделами классификации, как интервалами в пространстве атрибутов. Класс может
быть как непустым, так и пустым, а кроме того, и в неопределенном
статусе. При этом “пустой класс" - это не обязательно класс невозможных (противоречивых) объектов, скажем, "козлооленей". а.
как правило, нормальный класс, но оказавшийся пустым по условиям
рассматриваемой ситуации, не вложенный в данное множество.
 Диаграмма Кэррола изображает универсум рассмотрения в виде
квадрата (иногда прямоугольника), разделенного по каждому критерию “перегородкой" пополам на пары дополняющих друг друга классов: х и I'. у и у' и т.д. Впрочем, на третьем разбиении возможности наглядного представления оказываются исчерпанными, но большего и не требуется: в большинстве случаев достаточно двухбуквенной диаграммы, эффективно способствующей осмысленному овладению
алгеброй множеств.
 Кэррол разделил квадрат-универсум по критерию х горизонтальной
 линией, сопоставив верхнюю половину классу х, а нижнюю - классу
х'. Вертикальная "перегородка" разделяет на классы у'(правая половина квадрата) и у (левая половина). При этом северо-западная
четверть квадрата соответствует классу ху, северо-восточная -
классу ху' и т.д. Нет никаких объяснений, почему выбрано именно
это расположение классов на диаграмме - по-видимому, решение было
совершенно произвольным. Однако существует основание, которое,
постоянно озабоченный тем, чтобы не причинить людям неудобства,
Кэррол несомненно принял бы во внимание.
 Дело в том, что его универсум - это в сущности особый случай
декартовой системы координат, а именно, отвечающий ограничениям,
принятым Булем в алгебре логики - для координат допустимы только
два значения: о и 1. К декартовой системе все привыкли, и было бы
естественным сохранить принятое в ней расположение и направления
осей координат: ось х направлена вправо, ось у - вверх, так что
класс ху оказывается в северо-восточной четверти. На диаграмме
Кэррола ось х направлена вверх, а ось у - влево.
 Кстати, другой, не менее досадный пример такой же нестандартности - алгебраические матрицы (в частности, используемые для определения тех же булевых операций): в них первая координата-опе-

- 70 -
 ранд возрастает сверху вниз, вторая - слева направо, ибо так принято нумеровать строки и столбцы таблиц и вообще текста. Одну и
ту же в сущности систему упорядочивания поворачивают в каждом
случае иным образом:
 У'
 х
 ’У
 »х
 Декартовы
 координаты
 диаграмма
 Кэррола
 Матрицы
в алгебре
 Насколько проще и удобней было бы единое во всех трех случаях
правило! Но пока, во избежание еще большего разнобоя, пусть останется все как есть. Двухбуквенная диаграмма при этом изображается
в виде
 х
 Универ
 сум
 X
 У'
 X'
 У
 У
 ху
 ху
 х'у
 х'у'
 Отображая на диаграмме исследуемые суждения. Кэррол отмечает
пустоту класса черной фишкой, а непустоту - красной. Однако последнее в условиях черно-белой печати нереально, поэтому приходится, позаимствовав обозначения, используемые в известной игре, отмечать непустой класс "крестиком", а пустой - "ноликом", в чем
нетрудно усмотреть, если угодно, намек на мнемонику: атрибуту
класса, отмеченного на диаграмме как пустой, в алгебре соответствует объект, обладающий значением 0.
 С учетом этих соглашений представление на диаграмме ситуаций,
сопоставляемых Кэрролом исследуемым суждениям, приобретает следующий, демонстрируемый на типичных примерах, характер.
 х
 - Класс ху не пуст", "Некоторые ху существуют".
Уху. Кэррол полагает, что этой ситуации соответствуют суждения “Некоторые х суть у" и "Некоторые
у суть х .
 о
 - "Класс ху пуст". “Предметы ху не существуют",
У'ху. Кэррол сопоставляет этой ситуации общеотрицательные суждения "Ни один х не есть у" и ’'Ни
един у не есть х".

- 71
 - "Класс ху не пуст, класс ху' пуст", "существуют
ху, не существуют ху'". VxyV ху'. У Кэррола этой
ситуации сопоставлено общеутвердительное суждение
"Все х суть у" ("Всякое х есть у").
 - "Класс х не пуст". "Некоторые х существуют",
Vx. Кэррол ставит красную фишку на перегородку
как символ непустоты разделенного этой перегородкой класса. В данном примере х = xyvxy'.
 Вследствие заблуждения, которое не удается объяснить, Кэррол
не находит возможным помещать на перегородку черную фишку ("нолик") для обозначения пустота разделяемого этой перегородкой
класса. Он считает, что ситуации, в которой оба подкласса, составляющие класс, пуста, соответствует "двойное суждение", ибо
двум черным фишкам ("ноликам"), расположенным в этих подклассах,
если их рассматривать порознь, соответствуют два суждения. [Кэррол, 1973, стр.2181.
 Странные рассуждения. На предыдущей странице "показано", что
черная фишка на перегородке будто бы означает: "По крайней мере
один из разделяемых классов пуст", хотя по определению она отрицает то, что утверждает на данном месте красная фишка, т.е. не-
пустоту суммарного класса. Это очевидно и без доказательств:
класс, состоящий из пустых подклассов, пуст. Например:
 I
 однако
 а
 X
 Все это легко проверяется алгеброй. Действительно:
 V'XyV'Xy' ■ (VxyvVxyT а V' (xyvxy') a V'X .
 VxyVxy' a Vx . Vx a VxyVxy' v VxyV'xyv V xyVxy'
 Кстати, тождество пустого класса составляющим его двум пустым
подклассам используется самим Кэрролом при переносе информации с
трехбуквенной диаграммы на двухбуквенную и даже сформулировано в
виде правила з на стр.240.
 Два другие правила тождественного преобразования на диаграмме
формулируются им следующим образом (в переводе на "крестики-нолики"):
 Крестик, находящийся на перегородке, которой отделены друг от

- 72 -
 друга две смежные ячейки диаграммы, при занятии одной из этих
ячеек ноликом "спрыгивает" на другую ячейку. Другими словами, если один из двух подклассов, составляющих непустой класс, пуст, то
другой подкласс не пуст. Примеры:
 VxV'xу * Vxy Vxy'
 VxVyV'xy = V'xi/Vxy'Vx'y
 Если ячейка диаграммы занята крестиком, то на перегородках,
отделяющих ее от соседних ячеек, необходимо подразумеваются крестики (обратное неверно). Иначе: если подкласс не пуст, то не пусты и включающие этот подкласс классы. Например:
 Vxy = VxyVxVy , однако:
 VxVy ■ Vxy
 Все эти правила, как нетрудно заметить, представляют собой переведенные на язык диаграммы тождества алгебры множеств. Каждый
крестик на диаграмме означает существование в качестве членов
рассматриваемого множества предметов того класса, на "территории"
которого этот крестик находится. Каждый нолик означает непричастность множеству соответствующего класса. Представленные находящимися на диаграмме крестиками и ноликами суждения связаны конъюнк-
тивно, т.е. являются членами конъюнкции, которая исчерпывающе характеризует рассматриваемое множество предметов, различаемых в
системе базисных критериев принятого универсума, а другими словами - рассматриваемую (данную) ситуацию на универсуме.
 Следует особо отметить трехзначную в смысле логики Лукасевича
модальность диаграммы Кэррола. Ячейки-классы этой диаграммы допускают три состояния: 1) занята крестиком. 2) занята ноликом.

- 73 -
 3) свободна. Соответственно суждение о существовании (вложенности
во множество) предметов сопоставленного ячейке класса принимает
значения 1. О. t, т.е. "дано", "исключено", "неопределенность".
 Если ячейка диаграммы занята крестиком, то утверждается при-
надлежность рассматриваемому множеству (ситуации) предметов сопоставленного этой ячейке класса, скажем, класса ас, что на языке
алгебры множеств выражается как Vx. Если ячейка занята ноликом,
то утверждается антипринадлежность указанных предметов, отсутствие их в составе указанного множества (на языке алгебры - V'x).
Если же ячейка свободна, то принадлежность соответствующих ей
предметов носит привходящий по отношению к рассматриваемому множеству характер: его сущность определена нестрого - допускает как
наличие, так и отсутствие указанного класса предметов. В алгебраическом выражении конъюнкция, которой представлено множество, в
этом случае не будет содержать ни Vx. ни V'x - так сказать, неопределенность по умолчанию.
 Например, множество, содержащее все возможные в двухбуквенном
универсуме предметы, отображается на диаграмме четырьмя крестиками, каждый из которых занимает отдельную ячейку. Это полное на
данном универсуме множество характеризуется конъюнкцией
VxyVxy'Vx'yVx’y', члены которой соответствуют содержащим крестики
ячейкам диаграммы. Пустое множество представляется диаграммой, в
каждой ячейке которой содержится нолик, и соответственно конъюнкцией V'xyV'xy'V'x'yV'x'у', которая тождественна V'(xvx')(yvy') -
эквиваленту диаграммы с ноликом на пересечении перегородок:
 О
 О
 О
 0
 Поскольку нолик или крестик, находящиеся на перегородке, означают соответственно пустоту или непустоту разделенного этой перегородкой класса в целом, то сама перегородка (точнее, разделяющая
этот класс ее часть) оказывается в таких случаях несущественной и
ее можно опустить. Возможность опускать перегородки (частично или
полностью) умножает выразительные возможности диаграммы, в частности, позволяет обозначить непустоту составного класса. Примеры:
 X
 X
 V(xvy)
 V(xy' vx'y)
 X
 V(xvx')(yvy')

- 74 -
 Возможность опускать перегородку, разделяющую пустые, т.е. содержащие нолики, а также свободные, не содержащие ни крестика, ни
нолика ячейки, не столь существенна, поскольку пустота или неопределенность класса равносильна пустоте или неопределенности всех
его подклассов ~ опускание перегородок не дает ничего нового,
кроме того, что несколько ноликов, которыми отмечены пустые ячейки, заменяются одним, символизирующим пустоту составного класса.
В случае неопределенности экономятся только сами перегородки, но
важна не экономия, а достигаемое при этом улучшение наглядности:
класс предметов, принадлежность которых множеству не определена
(не фиксирована), предстает на диаграмме как одно целое. Например. множество Vi yV'x'y. в котором классы х у и ж 'у пусты, а
классы ху' и ж'у' по умолчанию являются неопределенными, можно
представить более простым выражением V'y и соответственно упростить диаграмму:
 Проводимое сопоставление выразительных возможностей диаграммы
Кэррола и алгебры множеств свидетельствует об их взаимной адекватности (изоморфиости) в пределах реализуемости диаграммы, т.е.
для двух и. как будет показано, для трех букв. Точнее сказать,
диаграмма позволяет воспроизводить множества, представленные
конъюнкциями суждений существования (принадлежности) предметов
произвольного класса, но далеко не во всех случаях на ней можно
отобразить дизъюнкцию таких конъюнкций, т. е. ДНФ характеристики
множества.
 В отдельных случаях ДНФ редуцируется в конъюнкцию с умалчиваемыми членами неопределенной принадлежности (точно так же как в
булевой алгебре атрибутов: xyzvxyz's жу. но в других случаях приходится прибегать к дизъюнкции диаграмм. Примеры:
 х о
 X X
 V
 X
 О
 О
 X
 V
 - не упрощается

- 75 -
 Действительно, ViyV'iy'Va:'i/Vi'i/’v VxyV'xy'V x'уЧх'у' ■
s VayV'xy' (Vx'pvV'x'yJVx'y' ■ Vxi/V'xi/'Vi'y', однако
VxyV'xy'V'x ‘yVx'y'v VxyVsy'VxyV'x’y" упростить не удается.
 Преимущество диаграммы Кэррола перед алгебраическим выражением
заключается, как уже отмечалось, в наглядности, причем это не поверхностная наглядность кругов Эйлера и диаграмм Венна. но, так
сказать, зримое отражение связей, которыми обусловливается существование или несуществование одних элементов множества в зависимости от наличия или исключенности других. Так, правила тождественного преобразования на диаграмме Кэррола приобретают прямо-таки физическую ощутимость - нолик в подклассе непустого класса буквально сталкивает находящийся на перегородке крестик в
смежный подкласс. Осуществимость и план реализации желаемого преобразования (доказательства) на диаграмме усмотреть несравнимо
легче, чем в алгебраическом выражении. Не случайно механизм множественной логики открылся Кэрролу именно в таком наглядном отображении - ведь напряженные усилия огромного числа талантливых и
настойчивых людей, искусно манипулирующих формулами, все еще не
привели в этом деле к подобному прояснению.
 Немаловажным достоинством диаграммы нельзя не признать и то,
что она представляет собой практичный образец дискретной модели
множественной логики, вполне пригодный для реализации ее на
компьютере. Не исключено, что как раз на этом пути находится выход из застойного состояния, в котором пребывает освоение давно
обещанных интеллектуальных применений цифровой техники.
 2.2. 	Истолкование алгебры множеств
 Истолкование - это установление смысла, сущности, "толка",
отображенных толкуемыми выражениями или изображениями, подобно
тому как раскрывается смысл слов и словосочетаний в толковых словарях. В последних истолкование сводится, как правило, к определению сущности разъясняемого термина при помощи других терминов. смысл которых предполагается известным. В конечном счете задача состоит в том, чтобы показать, что данные слова означают в
реальности, на деле.
 В так называемых формальных системах, претендующих на то, что
им не присуща неточность и неоднозначность естественного языка, к
проблеме истолкования подходят не так просто. Например, тщательно

- 76 -
 различают исследуемую логику и логику, средствами которой ведется
исследование, предметный (изучаемый) язык и язык исследователя
(метаязык). Конечно, не все способны совместить такое с представлением о единстве мира и единстве логики. Но тем. кто пе способен. рекомендуется "подыскать себе другое занятие по вкусу (скажем. составление шарад или пчеловодство)". [Клини. стр.12). К
"неспособным" прежде всех следует, по-видимому, отнести Аристотеля. который, к счастью, не успел воспользоваться столь милосердной рекомендацией.
 Как показывает пример булевой алгебры, однозначность в символьной системе обеспечивается ценой существенного огрубления
сущности отображаемого, которое обусловлено уже самим требованием
дискретности отображения. Но и при таких условиях сохранить однозначность не удается - даже в простейших обратных операциях она
оказывается утраченной, возникает неопределенность. И беда не в
том. что метаязык не отделен в достаточной степени от предметного
языка, а в том, что невозможно в принципе точно отобразить неограниченное ограниченными средствами. Поэтому отображение, если
только его объектом не является уже огрубленная абстрактная модель. неизбежно получится приближенным. Наилучшее, на что можно
рассчитывать, - это достоверная оценка степени приближения, установление допуска, в пределах которого заключено точное значение.
 Выделение случаев неопределенности значения функции (неопределенности отношения) можно рассматривать как систематический прием, формирующий указанный допуск путем разбиения того, что отображено, на две области, в одной из которых соблюдена однозначная
определенность, а в другой находится та часть отображения, в которой определенность не обеспечена. К содержимому первой области
применимы и достоверно выполняются все положения символьной системы, не связанные с неопределенностью. Что касается второй области, то она содержит главным образом именно то привходящее, о
котором по мнению Аристотеля нет никакой науки ["Первая аналитика". кн.1, гл. 13. 32Ь 181. Другими словами, можно сказать, что в
ней отсутствует существенная информация.
 Так вот, никакой необходимости в особом метаязыке с иной логикой нет. В роли языка исследователя вполне может выступать и
практически выступает естественный язык, представляющий собой одно из воплощений все той же единственной в этом мире логики.
Ссылки на его неоднозначность, которыми оправдывают необходимость

- 77 -
 специального метаязыка, не представляются убедительными. Во-первых, неоднозначность непременно возникает, как оказалось, и в
языке с однозначно определенным базисом. Во-вторых, неоднозначность выражения того, что в сущности однозначно, объясняется
обычно не слабостью языка, а неаккуратным его использованием.
Сомнительно, что отыщется осмысленная ситуация, не поддающаяся
однозначному выражению средствами естественного языка.
 Вместе с тем, надо сказать, что и при корректном употреблении
строго определенного языка точность выражения не может быть гарантирована, если нет ясности в том, что имеется в виду. Впечатляющим примером служат бесчисленные попытки формализации аристотелевой силлогистики в различных современных символьных системах
- сколько формализаций, столько и силлогистик. но ни одну из них
нельзя без оговорок признать адекватной аристотелевой. С этой
"загадкой" науки предстоит еще разобраться, а пока следует признать, что наличие строгого языка, хотя и удобно, но само по себе
проблемы не решает, а может быть в чем-то и создает трудности.
Аристотель ведь построил силлогистику в естественном языке, только что ввел в него буквы в качестве абстрактных терминов.
 Похоже, что в этом его начинании заключено больше того, что
смогли извлечь последователи. Он не стал выделять буквы в обособленную символьную систему, а воспользовался ими для обогащения
возможностей единого языка. Кстати, это позволило ему в проведении далеко идущих абстрактных построений не оторваться от реальности. не впасть в формализм. Его рассуждения никогда не вырождаются в беспредметное манипулирование символами - символы служат
лишь обозначениями вещей, которые "при рассуждениях приносить нельзя" ["О софистических опровержениях". 165а 51.
 С такой точки зрения хотя специализированные системы отображения и могут в известных случаях функционировать автономно (когда
в этом есть необходимость), их следует все же интегрировать воедино с естественным языком, а не противопоставлять ему. Польза от
такой интеграции будет обоюдная. С одной стороны, естественный
язык сможет эффективней совершенствоваться в части приобретения
большей четкости и точности выражения в тех случаях, где это важно. С другой стороны, станут более благоприятными условия создания и использования искусственных языков того или иного назначения, что позволит сделать их менее формальными, облегчит истолкование, наполнит смыслом. В перспективе сформируется единая систе

78 -
 ма отображения, гибкая и строгая, всеобъемлющая и вместе с тем
простая, благодаря естественности и проясненности.
 На деле указанное взаимодействие естественного и искусственных
языков давно уже происходит, несмотря на создаваемые для него
препятствия. Оно и не может не происходить, поскольку построение
тех же алгебр осуществимо лишь при помощи естественного языка,
который был и остается важнейшим средством мышления и обмена мыслями, как бы ни старались иные поборники строгости делать вид,
что обходятся компактным набором метасимволов (да и метасимволы
тоже необходимо осмыслить).
 В разделе, посвященном булевой алгебре, при истолковании операций и отношений постоянно приходилось отмечать несоответствие
естественноязыкового смысла слов, принятых логиками для их обозначения, фактическому смыслу обозначенного. То, что одно и то же
слово естественного языка употребляется в разных, распознаваемых
по контексту смыслах, не является дефектом, да и к тому же эти
смыслы обычно взаимосвязаны. Аристотель уделил немало внимания
установлению смыслов, которыми могут обладать наиболее значимые в
его трактатах слова. К сожалению, в последующие времена язык науки складывался без должного учета обыденного смысла используемых
слов, а подчас и вопреки ему.
 Показательным примером является то, как матлогики распорядились с истолкованием базисных суждений силлогистики. В естественных языках принято понимать общеутвердительное суждение, например: "Всякое млекопитающее есть животное" в том смысле, что существуют объекты, называемые "животными", и существуют называемые
"млекопитающими", причем все без исключения млекопитающие являются животными. Поэтому, в частности, некоторое (произвольно взятое) млекопитающее непременно есть животное. Аристотель бережно
воспроизвел в своей силлогистике этот общепринятый “естественный"
смысл, утвердив его законом подчиненности частноутвердительного
суждения общеутвердительному: если выполняется общеутвердитель-
кое, то необходимо выполняется частноутвердительное относительно
тех же терминов.
 А современные математические логики, не сумев адекватно выразить указанный смысл в формальных системах, обьявили силлогистику
Аристотеля несовместимой с понятием пустого то ли класса, то ли
множества (у них это одно и то же) и установили "математический"
смысл общеутвердительного суждения, отличный от общепринятого, но

- 79 -
 якобы удобный для приложений логики к математике (хотя возникла
разносмыслица из-за неаккуратного приложения математики к логике). Удобство состоит, по-видимому, в том, что новый смысл выражается более простой формулой и, перепутываясь с аристотелевым,
квалифицируемым как понимание "человека с улицы" [Клини,
стр.170], приводит к возникновению парадоксов, без которых худо
было бы изощренным умам. Но не проще ли подыскать для "математического" смысла, раз уж он такой удобный, иную словесную формулировку, не отбирая у "человека с улицы", т. е. у самих себя, того,
что выработано всей эволюцией рода человеческого? Ясно ведь, что
налицо два различных смысла, два отношения, которые вполне могут
сосуществовать, если даже несовместимы. Существуют же. скажем,
отношения параллельности и перпендикулярности или "больше" и "не
меньше". Почему их не "унифицируют" подобным образом?
 Приведенный пример еще раз подтверждает неразрывность трех
сторон, вовлеченных в процедуру символьного отображения: объективная реальность (у Аристотеля - "бытие"), ее отображение в естественном языке к собственно система символьного отображения.
Естественный язык занимает в этой триаде промежуточное положение
в качестве связующего звена между реальностью и ее символьной моделью. Впрочем, моделироваться могут не только реальные, но и гипотетические ситуации, формируемые в качеств гипотез на естественном языке. Истолкование же моделируемого в символах без естественного языка просто немыслимо, равно как и построение моделей - все "завязано" на естественный язык.
 Символьная система алгебраического типа, хотя и подобна естественному языку в том смысле, что отображает реальность при помощи выражений, характеризующих те или иные ее проявления, в
большей степени отлична от него совершенной регулярностью и жесткостью конструкций, строгостью и однозначностью определений, регламентированностью композиции и преобразования выражений. В такой
системе можно действовать по правилам, без внимания к смыслу совершаемого, т.е. формально, и приходить к искомым результатам.
Это возможно потому, что символам и манипуляциям символами однозначно сопоставлены объекты к взаимосвязи объектов реальности. Истолкование в том и состоит, что надо распознать в символьных выражениях отображенные в них проявления реальности и охарактеризовать распознанное в терминах естественного языка. На дальнейших
этапах истолковывается смысл преобразований выражения и т.д.

- 80 -
 В булевой алгебре объектами отображения являются характеристики сущности рассматриваемой вещи и отношения между ее частичными
характеристиками (несоставными атрибутами). Соответственно, выражения булевой алгебры истолковываются в терминах атрибутов и связывающих атрибуты отношений. В алгебре множеств объектом отображения является рассматриваемое множество (в математическом смысле) вещей, представленных их характеристиками в виде булевых выражений. Выражение, характеризующее множество, подобно выражению,
характеризующему единую вещь, компануется из его частичных характеристик, но теперь это не элементарные атрибуты вещей, а атрибуты множества - в каждый из них вложена характеристика некоторой
вещи. Поэтому при истолковании выражения алгебры множеств приходится принимать во внимание как атрибуты самого рассматриваемого
множества, так и атрибуты составляющих это множество (а также и
не принадлежащих ему) вещей, как отношения между вещами, так и
отношения между атрибутами вещей, в частности, те, которые не выразимы в булевой алгебре.
 Можно сказать, что в алгебре множеств добавлен поверх булевой
алгебры еще один слой - характеристики вещей оказались под покровом своего рода сетки, каркаса, поддерживающего характеристику
множества в целом. При этом сами вещи непосредственно не доступны. Так, когда в булевой алгебре дано выражение ху, то имеется в
виду вещь, обладающая (характеризуемая) атрибутами х и у. Данность
же в алгебре множеств выражения Уху истолковывается не как данность вещи класса ху, а лишь как существование ее в данной (непосредственно рассматриваемой, характеризуемой) совокупности вещей. Это подобно разнице между яблоком и корзинкой, в которой находится яблоко или яблоки - про корзинку не говорят "зрелая",
"антоновская" или "румяная", а говорят корзинка яблок таких-то
сортов и качеств, не обязательно одного сорта. Впрочем, аналогия
эта неверна в том отношении, что множество ничего помимо принадлежащих ему элементов (никакой корзинки или иной упаковки) не содержит.
 Компоненты множества, как и вещи вообще, представлены в символьной системе их характеристиками в терминах принятого набора
исходных атрибутов. Конкретность, или строгость, этих характеристик может варьироваться от "неопределенного нечто" до индивидной
конъюнкции, учитывающей все имеющиеся в данном универсуме критерии. Таким образом, в общем случае компонента множества представ

- 81
 лена присущим ей атрибутом некоторого класса. Грубо говоря, компонентами множества являются классы универсума, вопреки мнению,
будто классы тем и отличаются от множеств, что не могут быть их
элементами.
 В случае множества множеств его компоненты должны быть, как и
во всяком множестве, представлены своими атрибутами, т.е. опять
же атрибутами соответствующих классов - классов множеств, различаемых как вещи, из которых составляются множества. Ясно, однако,
что множества-компоненты и множества, которым эти компоненты причастны, - объекты несопоставимые. Это множества, так сказать, не
одного ранга. Поэтому никакое множество не может быть элементом
или компонентой самого себя. (Термины "элемент множества" и "компонента 'множества" отражают различие в конкретности, с которой
охарактеризованы вещи, включаемые в состав множества: элемент является индивидом в универсуме рассмотрения, а компонента может
быть представлена с произвольной строгостью, атрибутом сколь
угодно широкого класса: в строгом множестве понятия "компонента"
и "элемент" совпадают.)
 Выражения алгебры множеств совершенно аналогичны выражениям
булевой алгебры с той оговоркой, что вместо букв, обозначающих в
булевой алгебре несоставные атрибуты, в алгебре множеств употребляются префиксные дизъюнкции, или дизъюнкт вида Ve, где е - булево выражение. Поскольку дизъюнкты - такие же двузначные (а с
учетом неопределенности - трехзначные) объекты, как булевы буквы,
то применительно к ним весь аппарат булевой алгебры и ее расширений, т.е. операции, отношения, законы, методы и все прочее, изложенное в первой главе, остается в силе. Вместе с тем добавляется
набор новых, так называемых теоретико-множественных операций и
существенно обогащается и усложняется истолкование выражений.
 Конъюнкция множеств, т. е. конъюнкция характеризующих эти множества выражений, означает совмещение в одном множестве-результате, если это возможно, качеств, присущих компонентам данных множеств, т. е. компоненты множества-результата должны соединять в
себе непротиворечивые свойства совмещаемых компонент и в их числе
не должно быть компонент, отрицаемых в исходных выражениях. Другими словами, конъюнкция формирует выражение, отображающее ситуацию, в которой совмещены особенности ситуаций, представленных выражениями - операндами этой конъюнкции.

- 82 -
 Примеры:
 - не упрощается
 УхлУху * * 3 Vxy
 Действительно:
 ViAVy ■ (VxyvVxy')(VxyvVx'у) a VxyvVxyVxy'vVxyVx'yvVxy'Vx'y =
 3 VxyvVxy'Vx'у
 VXAVxy 3 (VxyvVxy ')Vxy Я VxyvVxyVxy' = Vxy
 X
 0
 Л
 VxVx'AVyV'y-
a VxyV'X'V'y'
 з (VxyvVxy')(VxyvVx'y)V'x'V'y' «
VxyV'(x‘vy')
 VxV'x'a VxyV(x'vy') 3 (VxyvVxy' )Vx!/V‘x' Vxy' 3 VxyV' (x' vy')
 X
 Л
 0
 X
 противоречие:
 Vxj/V'(x'vy')AV'xVx' з yxj/V'x'V'y'yxyV'xy'Vx' 3 о

83
 Противоречивость конъюнкции множеств означает несовместимость
соответствующих этим множествам ситуаций - результатом их конъюнкции является "ничто". Заведомо несовместимы друг с другом все
строгие множества одного и того же универсума.
 Дизъюнкция .множеств отображает ситуацию, в которой особенности
рассматриваемых ситуаций не исключены и имеют место по меньшей
мере как альтернативы, т.е. находятся в отношении несоисключен-
ности. Такая ситуация наиболее естественно отображается выражением в ДНФ. которое в отдельных случаях можно преобразовать в неиндивидную конъюнкцию префиксных дизъюнктов, как об этом уже было
сказано в связи с диаграммой Кэррола.
 Произвольное множество в данном универсуме представимо дизъюнкцией того или иного набора индивидных конъюнкций, соответствующих строгим множествам, очевидно, что такое представление является СДНФ-выражением произвольного множества.
 Следует подчеркнуть, что речь здесь идет не о множестве множеств. а о дизъюнкции атрибутов, исчерпывающе характеризующих индивидные (строгие) множества в данном универсуме. Нетрудно подсчитать, что в универсуме с к исходными критериями возможны 2К ин-
 дивидов-предметов, или индивидных классов, и s«22 строгих
множеств этих предметов, а число всех возможных, считая и не
строго определенные, множеств равно 2s. Например, при к=2 имеется
4 предмета и 16 строгих множеств, а всего различных множеств (ситуаций) - 64К, где К=1024. Вот столько насчитывается множественных представлений ситуаций в случае всего лишь с двумя двузначными критериями. И это еще без участия такого "умножителя", как
множество множеств.
 Основными тождествами для дизъюнкции множеств, конкретизирующими известные из булевой алгебры свойства дизъюнкции, являются:
 X
 VxyvVxy' = Vx
 VXvV'X * 1

- 84 -
 Vx в УхучУху' в УхуУ'ху'ч УхуУху'ч У'хуУху'
 Примеры тождественного преобразования дизъюнкции множеств:
 - не упрощается: У'хчУ'у * V'xyV'xу'ч
 vV'xyV'x'y > V'xy(V'3cy' чУ'х'у)
 V'xvV'xy з
 V'xyV'xy'vV'xy * V'xy
 VxWy * V(xvy)
 - не упрощается
 VxyV'xy'V'x'j/Vx'y'v Vxj/V' (x' vy') s
= VxyV'xy'V'x'yVx'y'vVxyV'xy'V'xy'V'x'y' *
* VxyV'xy'V'x'y * VxyV'(xy'vx'y)
 Булево отрицание множества-ситуации, выполняемое путем преобразования отрицаемого выражения в соответствии с правилами де
Моргана, дает выражение, комплементарное отрицаемому в указанном
только что классе всех возможных множеств данного универсума.
Другими словами, для рассматриваемой, а точнее - для охарактеризованной отрицаемым выражением ситуации, формируется наиболее об

- 85 -
 щее из исключающих ее условий. Технически это совершенно аналогично тому, как выполняется отрицание выражений булевой алгебры,
хотя в ряде случаев возможны некоторые дополнительные упрощения
полученного выражения путем тождественных преобразований в духе
правил Кэррола.
 Примеры:
 (Vxy) ’ =» V'xу
 (V'xy)' * Vxy
 (VxV'x')' s Vx'vV'x
 (VxyVxy'V'x'у’)' « V'xyvV'xy'vVx'y'
 (V'xV'x')' « VxvVx' ■ V(xvx')
 Точно так же как выражения булевой алгебры характеризуют в
терминах данного набора несоставных атрибутов единую рассматриваемую вещь, выражения алгебры множеств характеризуют отображаемую
ими множественную, т.е. допускающую наличие одновременно нескольких различных вещей, охарактеризованных в общем для них наборе
атрибутов, ситуацию. Как и характеристика вещи, характеристика
ситуации может быть, в частности, совершенно неопределенной ("неопределенное нечто"), а в диаметрально противоположном случае -
противоречивой, не представляющей никакого множества ('‘ничто’1).
Другими специфическими видами множественной характеристики являются характеристики неординарных разновидностей множеств - пусто

- 86 -
 го, полного и однокомпокекткого.
 Совершенно неопределенной характеристикой оказывается дизъюнкция произвольного выражения и его отрицания, комплементарного в
классе всех выражений рассматриваемого типа, например, в классе
выражений алгебры множеств данной арности. Примеры: VxvV'x.
 VxyvV'xy. Дизъюнкция этого рода в соответствии с законом исключенного третьего булевой алгебры безусловно дана: VxvV'x = 1,
 т. е. вещь, охарактеризованная в принятом наборе атрибутов как х,
к рассматриваемому множеству непременно либо принадлежит, либо не
принадлежит. Однако, принадлежит или не принадлежит - из этого
выражения не следует: известно только, что имеется множество, о
котором ничего определенно не сказано. Диаграмму Кзррола в таком
случае рисуют в виде квадрата, в котором нет ни крестиков ни ноликов - никакой информации.
 Противоречивая характеристика - конъюнкция VxV'x комплементарных выражений - вообще не представляет никакого множества, никакой ситуации. Как и противоречивая характеристика единой вещи,
это просто "ничто". Естественно, что ей не сопоставлено никакой
диаграммы, хотя при желании можно и сопоставить, поскольку диаграмма при всей своей наглядности все-таки символ, как и алгебраическое выражение. Можно, например, обозначить противоречие помещением совместно и крестика, и нолика в одном и том же не разделенном перегородкой поле-классе, намекая этим на то. что соответствующая компонента и причастна, и вместе с тем не причастна
множеству, что невозможно. Такая диаграмма как бы аннулируется.
 Противоречиво также выражение, утверждающее принадлежность
множеству противоречивого объекта:
 Vxx' * V0 - О
 Отрицание такого выражения равносильно тавтологии:
 V'xx' s V'O • 1
 Пустое множество символизирует выражение вида V'xV'x'. которому разносильно V'(xvx'), т.е. V'l. Непустое - отрицание пустого -
выражается в виде VxvVx', т. е. V(xvx'), т. е. VI. Полное - покомпонентная инверсия пустого, т.е. утверждение принадлежности всех
без исключения элементов универсума, например: VxyVxy’Vx'yVx'y'.
 Однокомпонентное множество представимо выражением вида VxV'x'
или V'xVx'. т.е. выражением, утверждающим принадлежность множеству одного из взаимно дополняющих друг друга (комплементарных)

- 87 -
 классов и отрицающим принадлежность другого. Диаграмма Кзррола в
этом случае представляет собой разделенный перегородками на две
части квадрат с крестиком в одной из частей и с ноликом в другой.
 Представление рассмотренных разновидностей множества диаграммами (в том порядке, в котором они рассмотрены) имеет следующий
вид:
 V*0 (- 1) V0(=0) V'l VI
 Нетрудно доказать справедливость, в общем-то, очевидных, тождеств, связывающих эти множества:
 - конъюнкция неопределенного с любым множеством тождественна
последнему;
 - дизъюнкция неопределенного с любым множеством тождественна
неопределенному. Например:
 о
 X
 А
 О
 -
 О
 А
 X
 а
 X
 О
 О
 А
 =
 X
 X
 другие тождества:
 о
 А
 X
 - п
 - и
 О
 О
 X
 А
 S
 X
 X

- 88 -
 о
 В данных тождествах нельзя не разглядеть основные пути формирования характеристик ситуации. Можно отправляться от совершенно
неопределенной характеристики (свободного множества, пустой конъюнкции. константы 1} и уточнять ее. конъюнктивно связывая дизъюнктами. утверждающими принадлежность компонент, и отрицаниями
дизъюнктов 8 качестве исключения принадлежности. А можно начать с
пустого множества, дизъюнкцией с подходящим непустым "освободить"
требующуюся его часть и затем конъюнкцией разместить в ней дизъюнкты принадлежности. Наконец, можно исходить и из полного множества, постепенно освобождая и. если требуется, заполняя ноликами ячейки его диаграммы. Более эффективные возможности формирования множеств предоставляют теоретико-множественные операции, которые будут рассмотрены в дальнейшем.
 В булевой алгебре атрибутов единой вещи данность выражения интерпретировалась как соответствие, или удовлетворяемость, сущности рассматриваемой вещи представленной выражением характеристике.
В алгебре множеств вместо единой вещ характеризуется ситуация, в
составе которой может быть несколько различных вещей, а может не
быть ни одной. Однако имеется возможность и в множественной алгебре сосредоточить внимание на одной данной вещ. воспользовавшись однокомпонентным множеством, которому ничто иное, кроме этой
вещи, не принадлежит.
 Разумеется, вещь будет в таком случае дана не непосредственно,
а в составе множества, но ее булева характеристика полностью
воспроизводится как атрибут компоненты этого множества. Операции
конъюнкции, дизъюнкции и отрицания в универсуме однокомпонентных
множеств по существу будут производиться над компонентами в их
составе, поскольку в уоловиях одкокомпонентности ни в чем ином
эти операции состоять не могут. Вопрос в том, как обеспечить или
контролировать эти условия.
 Ситуация, заключающаяся в том. что имеется только вещь (или
вещ). обладающая атрибутом ж. и нет никаких иных вещей, т. е. вещей не-х. представляется однокомпонентным множеством VxV'x'. в
котором класс ж не пуст, а класс х‘ пуст. Таким образом, булеву

- 89 -
 "дано i" соответствует в алгебре множеств (на языке ситуаций)
"дано VxV'x'". То, что присуще рассматриваемому объекту в булевой
алгебре, причастно соответствующему множеству, а что не присуще -
непричастно. Ясно, что отрицание булева выражения в его однокомпонентном множественном представлении должно производиться как
отрицание причастного и отрицание непричастного, что равносильно
более простой процедуре - инвертированию дизъюнктов, выражающих
причастность и непричастность. Например, данность ху - зто данность ситуации VxyV' (x'vy'). а данности отрицания ху, т. е. x'vy'.
соответствует ситуация V(xy)'V'(x'vy')' = V(x'vy')V'xy ■
 » V'xyV(x'vy'). Действительно, отрицание компоненты в однокомпонентном множестве сводится к инвертированию пары представляющих
зто множество дизъюнктов, т. е. к перемещению символа отрицания
(штриха) с одного из них на другой.
 Нетрудно убедиться в том, что такое "однокомпонентное" отрицание, хотя и обозначено штрихом, не тождественно обычному, выполняемому согласно правилам де Моргана отрицанию множества. Обычное. т. е. общее, отрицание выражения VxyV' (х' vy') будет:
 ((VxyV'(х'vy'))' s V'хуvV(х'vy')
 Это дополнение не в классе однокомпонентных множеств, а в
классе всех возможных множеств с базисными атрибутами х, у. Оно
"шире" однокомпонентного дополнения, и последнее можно извлечь из
него путем конъюнкции с атрибутом класса однокомпонентных множеств ис - "универсум однокомпонентных", универсум Хрисиппа - Буля, выделяющим множества, у которых причастное комплементарно
непричастному. Для случая с двумя базисными атрибутами х, у он
выражается в виде, например, следующих равносильных композиций:
 U0 = (VxV'x'v V'xVx') (VyV'y'v V'yVy') ■
 з VxV'x'VyV'y'v VxV'x'V'yVy'v V'xVx'VyV'y'v V'xVx'V'yVy' s
3 VxyV'x'V'y'v Vxy'V'x'V'y v Vx'yV'xV'y'v Vx'y'V'xV'y з
e VxyV'(x'vy')v Vxy'V'(x'vy)v Vx'yV'(xvy')v Vx'y'V'(xvy) з
з VxyV'xyV'x'yV'x'y'v V'xyVxy'V'x'yV'x'y'v
vV'xyV'xy'Vx'yV'x'y'v V'xyV'xy'V'x'yVx'y'
 При помощи диаграммы Кзррола это изображается так:
 X
 1
 X
 О
 ”1
 О
 -ХЧ—о-
 V
 —о—f-x—
 V
 —Х-+-0—
 V
 -о—(—х-
 О
 --- »
 о
 |
 X
 1
 X
 1

- 90
 Как видно, в универсуме однокомпонентных нет не только многокомпонентных множеств, но нет и пустого множества, что вполне соответствует тому, что в булевой алгебре характеризуемый объект
предполагается данным, другое дело - противоречивая, не представляющая никакого объекта характеристика. По отношению к универсуму
однокомпонентных множеств противоречивым, т. е. не представляющим
никакой из допустимых в нем ситуаций, является атрибут множества,
несовместимый с ис_ Таким образом, конъюнкция AaUc где А - атрибут произвольного множества, либо приводит, если зто возможно,
атрибут А к однокомпонентному виду, либо противоречива.
 Так, построенное выше однокомпонентное отрицание множества
ViyV' (я'vj/'} является конъюнкцией общего отрицания этого множества и Uc:
 (V'xyvV(x' vy') )л(7с = (V'xyvVxy' vVx'yvVx'y') (VxyV'xy'V'x'yV’x’y' v
v V'xyVxy'V'xyV'x'y'v V'xyV'xy'Vx'yVx'y'vV'xyV'xy'V'x'yVx'y' =
= V'xyVxy'V'xyV'x'y'v V'xyV'xy'Vx'yV'x'y'v V'xyV'xy'V'x'yVx'y' =
= VxyV(x' vy')
 Следует заметить, что в приведении к однокомпонентности нуждаются не только результаты отрицания, но также конъюнкции и дизъюнкции однокомпонентных множеств. Общее правило можно сформулировать так: преобразования в универсуме однокомпонентных производятся согласно тождествам общего универсума, а окончательным результатом является конъюнкция полученного с (7С. Однако, такой
формально безупречный способ практически крайне неэффективен, как
зто и должно быть, когда, злоупотребляя стандартизацией, применяют универсальные средства к простым частным случаям. Естественнее

- 91
 и проще подходить к однокомпонентным множествам, отправляясь от
их смысла - ситуации с единственной вещью, характеризуемой булевым выражением. При этом диаграмма Кэррола с ограничением условием однокомпонентиости будет служить действенным средством "визуализации" булевых операций и выражений. Но надо отчетливо различать универсумы, однозначно понимая всякий раз, что представляет
собой диаграмма - множество в универсуме однокомпонентных или
множество вообще.
 Например, в унизерсуме однокомпонентных множеств
 X
 о
 VxV'x' в
 * VxyV'(х'vy')vVxy'V'(x'vy)
 а в общем универсуме трактовка более полная:
 X j
 X
 V
 X
 X
 X
 О 1
 1
 О
 О
 О
 Однокомпонентная диаграмма позволяет отображать и ситуации,
соответствующие выражениям булевой алгебры, расширенной добавлением символа неопределенности I. Например, выражение xyv-tx'. характеризующее объект, признаваемый по ху. отвергаемый по ху' и
неопределенный при х'. в терминах однокомпонентного множества истолковывается так: объекты ху причастны, причастность объектов
ху' исключена, причастность объектов х' является неопределенной:
 х
 о
 VxyV'xy'
 Благодаря наглядному представлению этой ситуации на диаграмме
становится вполне очевидной ее сущность, а точнее - смысл отношения, которым связаны в ней атрибуты х и у. Это отношение "х достаточно для у", или "у необходимо для х". Поскольку в ячейке ху'
находится нолик, то непустота класса х, т.е. наличие крестика на
перегородке, разделяющей его подклассы, неизбежно оборачиваются

- 92 -
 непустотой класса у - крестик "сталкивается" ноликом с перегородки в смежный подкласс ху. где он и показан на диаграмме. Обратно:
пустота подкласса ху' означает, что непустота класса х возможна
лишь при непустом классе у. т. е. чтобы объект относился к классу
х. необходима присущность ему атрибута у.
 Отношение достаточности/необходимости, обычно оказывающееся
вне внимания логиков, является одним из фундаментальнейших. Достаточно сказать, что конъюнкциями ситуаций рассмотренного рода
характеризуются условия выполнимости отношений следования и равносильности (актуального тождества):
 VxyV'xy'A Vx'y'V'xy' ■
 = ViyV'Xy'Vx'y' з (Хэу)
 VxyV'xy'A Vx'y'V'x'y S
VxyV'xy'V'x'yVx'y' = (x»y)
 В обоих случаях, как видно, конъюнкция осуществлена в общем
универсуме. Полученные выражения несовместимы с атрибутом универсума однокомпонентных множеств, противоречат ему, что указывает
на невыразимость в системах уровня булевой алгебры таких отношений как следование.
 2.3. 	Теоретико-множественные операции
 Наряду с операциями конъюнкции, дизъюнкции и булева отрицания
к множествам применимы также иные операции, называемые теоретико-множественными. но обычно смешиваемые, а то и отождествляемые
с булевыми. Иногда их квалифицируют как покомпонентные или поэлементные, имея в виду то, что выполняются они обособленно над каждой компонентой множества или над совокупностью одноименных компонент множеств. Например, теоретико-множественное дополнение
множества, именуемое в дальнейшем инверсией, в отличие от базирующегося на законах де Моргана булева отрицания-дополнения, состоит в отдельном инвертировании статуса каждой компоненты множества: отрицается принадлежность каждой актуальной в данном множестве компоненты, т.е. актуальные превращаются в исключенные из мно

- 93 -
 жества. утверждается принадлежность каждой исключенной, что преобразует ее в актуальную.
 Операция пересечение множеств ("покомпонентная конъюнкция")
сопоставляет одноименные компоненты множеств-операндов, порождая
в качестве результата актуальную компоненту только в том случае,
когда все одноименные ей актуальны. Таким образом, это конъюнкция
не компонент, а их актуальности, принадлежности множествам, существования в множествах. В таком же отношении к дизъюнкции находится операция объединение множеств: компонента множества-результата признается актуальной, если она актуальна хотя бы в одном из
объединяемых множеств.
 Здесь уместно уточнить смысл, в котором употребляются возникшие в связи с множествами термины, такие как "компонента", "элемент", "актуальный", "потенциальный" и т.п.
 Множества определяются на основе универсума, заданного фиксированным набором двузначных критериев, например, x.y.z. При п
двузначных критериях в универсуме имеется 2" индивидных классов
(индивидов), являющихся потенциальными элементами возникающих на
этом универсуме множеств. Элемент, принадлежащий данному множеству. называется актуальным в этом множестве, а элемент, принадлежность которого к множеству исключена, который не может быть в нем
актуальным, следует называть аятиактуальным. или исключенным. В
строгом множестве каждый из потенциальных элементов универсума
либо актуален, либо исключен - непринадлежность тождественна исключенное™. В нестрогом множестве принадлежность может быть, кроме того, неопределенной, поэтому неактуальный элемент не обязательно исключен - его принадлежность может быть свободной, не
фиксированной.
 Другой источник нестрогости - неисчерпывающая характеристика
элемента: он может быть представлен не как индивид, а неиндивид
 ным атрибутом - с точностью до некоторого неиндивидного класса. В
этом случае следует говорить не об элементе, а о компоненте множества. причем о неэлементарной компоненте. Компоненты - это произвольные классы, а элементы - индивидные, в данном универсуме не
разбиваемые. Подобно элементам, компоненты могут быть потенциальными, актуальными, исключенными (антиактуальными), неопределенной
принадлежности.
 Множественность как противоположность единственности предполагает совместное рассмотрение не менее двух компонент. Когда же

- 94 -
 говорят об однокомпонентном множестве (как это было в предыдущем
разделе), то имеют в виду число актуальных компонент, умалчивая
об указанных в определении множества исключенных компонентах. Однако существуют и буквально "однокомпонентные множества", которые
естественно считать вырожденными, поскольку они лишены множественности. Например: Vx, Vxy. V(xvx'), V'x. В частности, вырожденным является всякое пустое множество, поскольку сводится к одной
исключенной компоненте, например: V'xVx' = V'(xvx').
 Применительно к строгим множествам операции пересечения и объединения обладают простым, наглядно моделируемым смыслом. Пересечением называют множество, которому принадлежат все элементы,
причастные каждому из пересекающихся множеств, и только они. Объединение - это множество всех элементов, принадлежащих объединяемым множествам, т.е. множество элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из объединяемых множеств.
 Нетрудно понять, как отображаются эти операции в алгебре и на
диаграммах Кэррола. В выражениях алгебры компоненты множеств
представлены дизъюнктами, причем исключенные компоненты - дизъюнктами с штрихами-отрицаниями, а актуальные - без штрихов, т.е.
дизъюнкт без штриха утверждает принадлежность соответствующей
компоненты множеству, а дизъюнкт с штрихом отрицает.
 В основе операции пересечения находится покомпонентная конъюнкция, но не самих компонент, а их принадлежности/непринадлежности
множеству (актуапьности/исключенности). Двухместная операция пересечения применительно к простейшему случаю вырожденных множеств
Vx и V'x характеризуется тождествами:
 VxnVx = Vx , VxnV'x = V'x , V'xnVx - V'x , V'xnV'x = V'x
 Для сравнения - тождества, характеризующие конъюнкцию тех же
множеств:
 VxaVx = Vx . VxaV'x * 0 . V'xaVx з 0 , V'xaV'x s V'x
 Применительно к невырожденным множествам операция пересечения
выполняется покомпонентно, т.е. обособленно над каждой n-кой одноименных дизъюнктов. Например:
 VxyVxy'V'x'yV'x'y' n VxyV'xy'Vx'yV'x'y' * VxyV'xy'Vx'yV'x'y
 Операция объединения множеств находится точно в таком же отношении к дизъюнкции, о чем свидетельствуют следующие тождества:

- 95 -
 VxuVx * Vx . VxuV'x * Vx , V'xuVx = Vx , V'xuV'x = V'l
VxvVx » Vx . VxvV'x s i , V'xvVx s i _ V'xvV'x * V'x
VxyVxy'V'x'yV'xy'u VxyV'xy'Vx'yV'x'y' = VxyVxy'Vx'yV'x'y'
 На диаграмме операция пересечения, выбирая между крестиком и
ноликом, отдает предпочтение нолику, а операция объединения -
крестику, поскольку крестик символизирует принадлежность, а нолик
- непринадлежность. Тождества, которыми определены эти операции,
в переводе на язык диаграммы выглядят так:
 Теоретико-множественные операции, определенные при помощи данных тождеств для строгих множеств, естественно обобщаются и на
нестрогие множества, т.е, множества, содержащие компоненты неопределенной принадлежности, или неиндивидные компоненты, компонен-
ты-неэлементы. Пересечение и объединение с участием неопределенной компоненты нетрудно доопределить, исходя из того, что неопределенная принадлежность компоненты Vx выражается дизъюнкцией
VxvV'x. Таким образом:
 (VxvV'x)nVx * (VxnVx)v(V'xcVx) = VxvV'x , Vxn(VxvV'x) в VxvV'x,
 (VxvV'x)л(VxvV'x) s VxvV'x .
 (VxvV'x)nV'x — (VxnV'x)v(V'xnV'x) a V'x , V'xo(VxvV'x) * V'x .
 (VxvVx)uVx = (VxuVx)v(V'xuVx) = Vx . Vxu(VxvV'x) a Vx .
 (VxvV'x)u(VxyV'x) a VxvV'x ,
 (VxyV'x)uV'x * (VxuV'x)v(V'xuV'x) * VxvV'x .

- 96 -
 V'xu(VxvV'x) ■ Vxvv'x
 В представлении на диаграммах это выглядит так:
 Примеры пересечения, объединения и инверсии невырожденных множеств с неопределенностью:
 lnv
 V'xyVxy'Vx'y n Vxy'V'x'y ■
- V'xyVxy'V'x'y
 V'xyVxy'Vx'y и Vxy'V'x'y *
a Vxy'Vx'y
 (V'xyVxy'Vx'y)1”* = VxyV'xy'V'x'y
 Для получения пересечений и объединений множеств с неиндивидными компонентами следует представить данные множества дизъюнкциями строгих множеств (или, по меньшей мере, хотя и не строгих, но
не содержащих актуальных неиндивидных компонент), образовать их

- 97 -
 пересечения» и окончательным результатом будет множество, являющееся дизъюнкцией этих пересечений.
 Примеры пересечений и объединений множеств с неиндавидными
компонентами:
 VxV'x' n VyV'y" * (VxyV'x'yV'x'y'v Vxy'V'x'yV'x'y') n
n (VxyV'xy'V'x'y' v Vx'yV'xy'V'x'y') *
s VxyV'xy'V'x'yV'x'y'vV'xy'V'x'yV'x'y' » V'xy'V'x'yV'x'y'
* V' (x' vy')
 VxV'x' и VyV'y' ■ (VxyV'x'yV'x'y' v Vxy'V' x'yV'x'y') и
и (VxyV'xy'V'x'y' v Vx'yV'xy'V'x'y') «
 * VxyVx'yV'x'y'v VxyVx'yV'x'y'v VxyVxy'V'x'y'v Vxy'Vx'yV'x'y' *
 * VxyV'X'y'v Vxy'Vx'yV'x'y'
 4 3*k. 831

- 98 -
 VxV'x' г» V(xvy)V'x'y' * (VxyV'x'yV'x'y'v Vxy'V'x'yV'x'y') n
n (VxyV'x'y'v Vxy'V'x'y’ v Vx'yV'x'y') s
» VxyV'x'yV'x'y'v V'x'yV'x'y'v Vxy'V'x'yV'x'y' =
 “ Vx'yV'x'y' =■ V'x'
 VxV'x' и VxyV' (x' vy') a {VxyV'x'yV'x'y'v Vxy'V'x'yV'x'y') и
и VxyV'xy'Vx'yV'x'y' * VxyV'x'yV'x'y'v VxyVxy'V'x'yV'x'y' S
= VxyV'x'yV'x'y' я VxyV'x'
 Смысл операций пересечения и объединения обобщенных (в частности. содержащих неиндивидные компоненты) множеств не настолько
прост и очевиден, как в частном случае применения этих операций к
строгим множествам, но он и намного богаче, так сказать, логически содержательнее: пересекаются и объединяются не только множества исчерпывающе охарактеризованных предметов-индивидов. но и частично охарактеризованных, представленных теми или иными присущими
им атрибутами. Обобщенная таким образом система полнее отвечает
запросам практики.
 Рассмотренные примеры можно истолковать применительно, скажем,
к классификации четырехугольников. Если множеству четырехугольников принадлежит ромб, то этому множеству необходимо принадлежат
также параллелограмм и дельтоид, обладающие атрибутами ромба:
первый - попарной параллельностью сторон, второй - перпендикулярностью диагоналей. Примеры посвящены определению качественного
состава множеств, получаемых пересечением или объединением мно

- 99 -
 жеств с нестрого охарактеризованными предметами - в отличие от
ромба параллелограмм и дельтоид не являются индивидами.
 Пусть х - попарная параллельность сторон ("параллелограмм-
ность"), у - перпендикулярность диагоналей ("дельтоидность">. При
этом Vij/V (*• vy-) - множество ромбов.
 Первый пример - пересечение множества параллелограммов с множеством дельтоидов:
 VxV'x' n VyV'y' ■ V'(x'vy')
 Результат может показаться странным, ибо по интуиции должно быть
множество ромбов. Но такая интуиция упускает возможность случая,
в котором пересечение оказывается пустым: ведь не исключено, что
 в данном множестве параллелограммов нет ни одного с перпендикулярными диагоналями, а в пересекаемом с ним множестве дельтоидов
не окажется такого, который является параллелограммом. Если же
добавить, что пересечение не пусто, то оно и будет множеством
ромбов VxyV' (х' vy').
 Второй пример - объединение множества параллелограммов и множества дельтоидов, это множество, в котором нет не являющихся ни
параллелограммами, ни дельтоидами и непременно содержатся либо
ромбы, либо параллелограммы-недельтоиды и дельтоиды-непараллелог-
раммы: VxyV'x'yv Vxy'Vx'yV'x'y'.
 Третий пример - пересечение множества параллелограммов с объединенным множеством параллелограммов и дельтоидов: V'x'. Как и в
первом примере, результат допускает возможность пустоты пересечения.
 Последний пример - объединение множества параллелограммов и
множества ромбов. Полученное множество VxyV'x' непременно содержит ромбы и может содержать параллелограммы, не являющиеся дельтоидами, а следовательно, и ромбами. Понятно, что параллелограм-
мов-недельтоидов в результате не будет, если в исходном множестве
параллелограммов все они были ромбами.
 Надо полагать, что из данных простейших примеров некоторое
представление о сущности обобщенных операций пересечения и объединения составить можно. Ясно также, что эти обобщенные операции
не придуманы ради пущей науки, а являются практически полезным
инструментом достоверного рассуждения.
 Внимательный читатель должно быть уже заметил, что предложенное обобщение теоретико-множестзенных операций осуществлено в
 4Ф

- 100 -
 предположении дистрибутивности каждой из них относительно дизъюнкции. В том, что эта дистрибутивность действительно имеет место,
можно убедиться, исходя из тождеств, которыми определены операции
пересечения и объединения. Более того, оказывается, каждая из
операций конъюнкции, дизъюнкции, пересечения и объединения дистрибутивна относительно двух других из этих операций: конъюнкция и
пересечение дистрибутивны обе относительно дизъюнкции и относительно объединения, а дизъюнкция и объединение дистрибутивны относительно как конъюнкции, так и пересечения.
 Небезынтересно отметить и то. что операции пересечения и объединения двойственны друг другу в таком же смысле, как двойственны конъюнкция и дизъюнкция. Но в то время как конъюнкция и дизъюнкция двойственны относительно булева отрицания, позволяющего
представить данность в виде отрицания неданности и обратно - не-
данность как отрицание данности, пересечение и объединение двойственны относительно инверсии - операции (и отношения), имеющейся
в алгебре множеств наряду с операцией отрицания. Точно так же пересечение и объединение в этой алгебре сосуществуют с конъюнкцией
И дизъюнкцией.
 Двойственность пересечения объединению проявляется, в частности, в том, что имеют место тождества, аналогичные законам де Моргана:
 (I n y)lnv = xlnv и у1»* , (х и у)‘“» в xlnv л y*nv
 Здесь х и у обозначают произвольные множества, поскольку операции
п. и. mv определены над множествами. Однако, в дальнейшем выяснится, что приведенные тождества, подобно самим законам де Моргана, можно понимать и в более широком смысле.
 Все изложенное справедливо как в отношении традиционных (строгих) множеств, так и применительно к множествам в обобщенном
смысле. При этом операция инверсии обобщается тем же образом, которым ранее было осуществлено обобщение операций пересечения и
объединения. а именно: нестрогое множество представляется в виде
дизъюнкции строгих, дизъюнкция почленно инвертируется, а затем,
если возможно, результат приводится к более компактному виду.
Например:
 х
 о
 lnv
 X
 О
 V
 о
 о
 X X
 о о
 .lnv

- 101 -
 v
 <VxyV'x')lnv = (VxyVxy'V'x'yV'x'y' v ViyVxy'V'x'yV'x'y'Э1"" =
s V'xyVx'yVx'y'
 (VxVx'yV'x'y')inv S (VxyVx'yV'x'y'v Vxy'Vx'yV'x'y')lBT “
s V'xyV'xyVxy'v V'xy'V'x'yVx'y' * V'yVx'yv V'xy'V'xyVx'y'
 В тех случаях, когда неэлементарные компоненты пуста или неопределенны, следует пользоваться сокращенным правилом: инверсия
неопределенности дает неопределенность, пустая компонента инвертируется поэлементно. Например:
 Два примера, в совокупности иллюстрирующие двойственность операций пересечения и объединения при помощи указанного выше аналога законов де Моргана - инверсия пересечения равна объединению
инверсий:
 (V'xyVxy'Vx'y n Vxy'Vx'yV'xy)lav * (V'xyVxy'Vx'yV'x'y')
= VxyV'xy'V’x'yVx'y'
 lnv =

102 -
 lnv
 lav.
 (V'xyVxy'Vx'y)lnv V (Vxy'Vx'yV'x'y' )lnv«
s VxyV'xy'V'x'y и V'xy'V'x'yVx'y' = VxyV'xy'V'x'yVx'y'
 На основании как этих, так и ранее приведенных примеров с теоретико-множественными операциями, во-первых, может быть составлено определенное представление о технике применения операций этого
рода к обобщенным множествам, а во-вторых, щюяснено и уточнено
понимание сущности самих операций.
 Прежде всего следует отметить, что теоретико-множественные
операции в отличие от булевых не являются средством первичного
отображения множеств, а применяются к уже представленным, например. конъюнкциями дизъюнктов, множествам с целью формирования из
них при помощи инверсий, пересечений и объединений новых множеств. Короче говоря, это операции над множествами, порождающие в
результате множества, построенные преобразованием и комбинированием исходных множеств. И хотя технически выполнение их сводится
в конечном счете к покомпонентной обработке дизъюнктов, в терминах которых определены множества, выразить множество при помощи
только пересечения или объединения дизъюнктов (по аналогии с
конъюнкцией или дизъюнкцией) нельзя - пересекаются и объединяются
множества, а не компоненты.
 Правда, можно трактовать дизъюнкты как вырожденные множества,
к которым операции пересечения и объединения применимы, так что
возникает иллюзия синтеза множества из дизъюнктов с этими операциями. Например:
 X
 и
 X
 ж
 X
 X
 0
 0
 0
 0
 V'xy n V'xy' = V'xyV'xy' = V'x
 Vxy и Vxy' 3 VxyVxy'
 о
 Однако, во-первых, ясно, что операндами теоретико-множественных операций являются в этих случаях не дизъюнкты, символизирующие принадлежность множеству отдельных компонент, а множества.

- 103 -
 каждое из которых охарактеризовано-одним дизъюнктом. Во-вторых,
возможности такого рода синтеза незначительны: получаемые выражения состоят либо только из утверждаемых, либо только из отрицаемых дизъюнктов, т.е. представляют собой "полумножества". а синтез
невырожденных множеств, охарактеризованных и принадлежностью, и
антипринадлежностью компонент, неосуществим. Действительно:
 Впрочем, правомерна и иная, пожалуй, более общая точка зрения.
Можно принять, что теоретико-множественные операции, хотя и введены как операции над множествами, обретя при этом свои "множественные" названия, применимы, подобно булевым операциям, не только
к множествам, но и к другим объектам - к выражениям вообще. Они
отличны от булевых в том, что хпх' ■ х', хих' = х, тогда как
хлх' а о, XVX' а 1, и обладают иным смыслом, например, инверсия
выражения есть его антипод, а не дополнение, формируемое отрицанием. Это еще одна возможность расширения алгебры.
 Конъюнкция дизъюнктов выражает совместную принадлежность (или
антипринадлежность, если дизъюнкт входит под отрицанием) соответствующих компонент множеству, подобно тому как конъюнкция
простых атрибутов в булевой алгебре означает их присущность или
антиприсущность характеризуемой этой конъюнкцией вещи. Принадлежность компоненты х множеству М равносильна, таким образом, присущности ему утвердительного атрибута "Существует х в М". Антипринадлежность компоненты х множеству М должна означать присущность U отрицаемого атрибута, т. е. присущность противоположного,
комплементарного атрибута: "Не существует х в М".
 Отношение принадлежности, записываемое в математике при помощи
специального знака в виде хеМ, выражает в точности то же условие,
что и уравнение

104 -
 (Vx)aM = M при I > 1 И М т 0
 В более компактной записи оно представимо также дизъюнктом Vx,
означающим дизъюнкцию значений, принимаемых атрибутом х на элементах множества М, распространенную на все это множество. Если М
самопротиворечиво или если х - неопределенное нечто (х ■ 1}, то
говорить о принадлежности бессмысленно - отношение в этих ситуациях принимает значение "неопределенность". Отношение выполняется. т. е. компонента х принадлежит JH. если М * 0. х * 1 и хотя бы
на одном из элементов множества и х=1. Отношение принимает значение 0, т. е. принадлежность компоненты х множеству М исключена,
что естественно квалифицировать как антипринаблежность, если М
не содержит элементов, обладающих атрибутом х, и нет неопределенности.
 В теории множеств отношение принадлежности трактуется обычно
как двузначное - говорят, что оно либо выполняется в указанном
только что смысле, либо не выполняется, если условия принадлежности не соблюдены. Последнюю ситуацию называют непринадлежностью
и обозначают перечеркиванием знака принадлежности. Непринадлежность не тождественна антипринадлежности, а включает также и неопределенность, что остается, как правило, незамеченным и создает
благоприятные условия для возникновения парадоксов.
 В общем случае нестрогого множества принадлежность компонент
оказывается неопределенной не только при указанных аномальных
обстоятельствах, но и в нормальных условиях вследствие неполной
определенности самого множества. Нестрогое множество тем и отличается от строгого, что допускает неопределенность в отношении
принадлежности отдельных компонент, т.е. определяется с точностью
до обозначения их принадлежности, о которой либо умалчивают, либо
предоставляют свободу как принадлежать, так и не принадлежать,
что разносильно умолчанию, т.е. отсутствию информации о принадлежности.
 Примеры. Множество VxyV'xy'Vx'y' охарактеризовано с умолчанием
компоненты х'у, благодаря чему принадлежность ему этой компоненты
оказывается неопределенной, свободной: данное определение равносильно дизъюнкции VxyV'xy'Vx'yVx'y' v VxyVxy'V'x'yVx'y' и ему
удовлетворяют оба строгих множества, соответствующие членам этой
дизъюнкции.
 Множество VxVx'yV'x y' равносильно дизъюнкции трех строгих

- 105 -
 множеств:
 VxyVxy'Vx'yV'xy'v VxyV'xy'Vx'yV'x'y'v V'xyVxy'Vx'yV'x'y'
 Нет полной определенности относительно принадлежности элементов
ху и ху', но нет и полной свободы - исключена их совместная антипринадлежность, что равносильно принадлежности компоненты х.
Этот пример показывает, что наряду с полной неопределенностью по
умолчанию существует неполная неопределенность, обусловленная использованием компонент-неэлементов, предоставляющим альтернативную возможность нестрогого определения множеств.
 Строгое множество выражается конъюнкцией всех индивидных в
рассматриваемом универсуме дизъюнктов, каждый из которых либо утверждаем, либо отрицаем. Поэтому строгие множества одного и того
же универсума попарно несовместимы и всякая конъюнкция их, за
исключением только конъюнкции тождественных друг другу, равна нулю, т. е. не существует.
 Конъюнкция нестрогих множеств, представленных каждое конъюнкцией дизъюнктов с умолчанием, характеризуемых неопределенной принадлежностью, содержит в себе все без исключения совмещаемые
дизъюнкты по одному экземпляру (вследствие идемпотентности), но
если среди них случились несовместимые, то равна нулю, несовместимы не только дизъюнкт и его отрицание, но также любой из дизъюнктов. утверждающих принадлежность множеству объектов некоторого
класса, и отрицание дизъюнкта, представляющего этот класс в целом. например: и Уху, и Уху' несовместимы с V'x. с другой сторо
 ны, дизъюнкт, утверждающий принадлежность класса, поглощается
дизъюнктом, утверждающим принадлежность любого из подклассов этого класса:
 УхУху - Уху, УхУху' = Уху', УхУхуУху' - УхуУху'
 Примеры совмещения нестрогих множеств, представленных конъюнкциями с умолчанием отдельных дизъюнктов, а также с кеиндивиднымк
компонентами:
 УхуУ ху' Ух' у' л УхуУху'Ух'у *
3 УхуУ ху'УX' уУх' у'
 VxV'x'y л VxyV'x' *
 S УхуУ X' уУх' У

- 106 -
 о
 X
 ■ о
 V'xVx'i/ л Vxy'Vx'yV'x'y' *
 ■ V' xyV' ху' Ух' у л Уху' Ух' уУ' х' у' = 0
 Операции конъюнкции и дизъюнкции множеств, представленных в
терминах дизъюнктов ДНФ-выражениями, осуществляются при помощи
рассмотренных преобразований в сочетании с законами дистрибутивности конъюнкции и дизъюнкции.
 В заключение следует сопоставить булевы и теоретико-множественные операции по смыслу. Конъюнкция множеств формирует множество, которому присущи все атрибуты каждого из совмещаемых множеств (ситуаций), т.е. данность конъюнкции непременно означает
данность любого из ее членов. Пересечение же отбирает утвердительные атрибуты, каждый из которых присущ всем без исключения
пересекаемым множествам, т.е. формирует множество, все атрибуты
которого присущи любому из них, полный утвердительный атрибут которого является их общим атрибутом.
 Соответственно, дизъюнкция множеств - это множество, которое
дано, если дано хотя бы одно из множеств - членов дизъюнкции, а
объединение множеств - это множество, обладающее всеми утвердительными атрибутами объединяемых множеств. Ясно, что данность одного из объединяемых только в исключительных случаях может быть
достаточной для данности объединения - как правило, объединение
дано лишь при условии данности большинства, если не всех объединяемых множеств.
 Наконец, в то время как булево отрицание множества порождает
множество, дополняющее отрицаемое до универсума, в котором оно
определено, теоретико-множественная инверсия дает дополнение совокупности актуальных компонент инвертируемого множества в классе
всех компонент не неопределенной принадлежности, а точнее - превращает каждую актуальную компоненту в антиактуальную, а каждую
антиактуальную - в актуальную, т. е. каждый утвердительный атрибут
множества превращается в одноименный отрицательный, а каждый отрицательный становится утвердительным, в чем и состоит инвертирование.

2.4. 	Однокритериальный универсум. Модальности
 Изучение возможностей, предоставляемых алгеброй множеств для
выражения отношений, характеристики и анализа ситуаций, естественно начать с простейших множеств, возникающих в универсуме с
единственным двузначным критерием - с однокритериальных множеств.
Пусть этим критерием будет х. Универсум разбит на два класса - х,
х', и поскольку других критериев нет, в нем возможны только два
вида предметов (индивидов): х их'. В таком универсуме имеют место четыре строгих (индивидных) множества:
 о
 о
 V'x V'x'
 X
 о
 Vx V'x'
 о
 X
 V'x Vx'
 X
 X
 Vx Vx
 Первое из этих множеств отображает ситуацию, в которой невозможны (исключены) оба потенциальных элемента множества - множество пусто. Второму множеству принадлежит элемент х и не принадлежит элемент х', т.е. это одноэлементное множество элемента х.
Третье множество - множество элемента х'. Четвертому множеству
принадлежат оба элемента - это полное множество, содержащее все
элементы универсума.
 Универсум в целом представляет дизъюнкция перечисленных четырех множеств:
 о
 о
 V
 х
 о
 VxV'x'v V'xVx'v VxV'x'v VxVx'
 о
 Vx
 x
 V'X В 1
 Этот всеобъемлющий универсум в дальнейшем будет называться общим универсумом в отличие от частных универсумов - его частей
("подуниверсумов"). Важнейшими частными универсумами являются:
 - пустой, характеризуемый в однокритериальной системе выражением VxV'x' = V'(xvx') в V'l ,
 - непустой: VxV'x'v V'xVx'v VxVx' = VxvVx' = V(xvx') я VI .
 - Хрисиппа - Буля: VxV'x'v V'xVx' ■ (VxvVx') (V'x v Vx') =
 = V(xvx')(VxVx')‘ ,
 - Аристотеля: VxVx'

108 -
 Частные универсумы составляют каждый основу систем отображения
определенного типа. Например, универсум Хрисиппа - Буля - это видение реальности в двузначной логике Хрисиппа и в булевой алгебре; универсум Аристотеля, представленный в однокритериальной системе лишь одним индивидным множеством, отображает мир с точки
зрения аристотелевой силлогистики; непустой универсум соответствует отображению в духе логики предикатов с непустой предметной
областью.
 В каждом универсуме свое понимание допустимых (осмысленных,
значимых) ситуаций и, соответственно, приемлемых выражений. Так.
в общем универсуме ничего не значит (понимается как "ничто")
только противоречивая, содержащая несовместимые члены конъюнкция
вида VxV'x. обозначаемая цифрой 0 и в качестве члена дизъюнкции
обычно опускаемая (умалчиваемая).
 В непустом универсуме незначащим, кроме того, признается пустое множество VxV'x'. Следствием этого, в частности, оказывается
то, что булево отрицание в непустом универсуме - это дополнение
до VxvVx', а не до VxvVx, как оно понимается в общем универсуме.
Отрицание же выражения, определяющего сам непустой универсум (атрибута этого универсума) в рамках общего универсума дает пустое
множество;
 (VxvVx')' = V'tfV'x' .
 а в рамках самого непустого универсума, т.е. "покрытое" его атрибутом, дает "ничто”;
 V'(xvx') л (VxvVx') * V'(xvx')V(xvx') = 0
 В универсуме Хрисиппа - Буля значимы только ситуации, характеризуемые в терминах строгих множеств вида VxV'x'. т.е. невырожденных одноэлементных множеств. К "ничто" в этом универсуме отнесена половина общего универсума, соответствующая отрицанию атрибута универсума Хрисиппа - Буля:
 (VxV'x’v V'xVx‘)‘ =V'xV'x v VxVx'
 В универсуме Аристотеля признаются только множества, содержащие в качестве своих элементов непременно обе порождаемые дихотомическим критерием компоненты - их. их', это соответствует
аристотелеву пониманию вида как непустой и не исчерпывающей род
части рода. Короче говоря, универсум Аристотеля есть не что иное
как потенциальная совокупность определенного рода вещей, охарак

109 -
 теризованных на основе только их видовых различий (внутриродовых
критериев). Универсумы Хрисиппа - Буля и Аристотеля несовместимы
и не пересекаются, хотя и представляют собой части непустого и.
разумеется, общего универсума.
 Уместно подчеркнуть, что рассматриваемое семейство универсумов
не связано с выдвинутой в свое время Лейбницем и весьма популярной у современных формалистов концепцией "возможных миров". Наоборот, в основе идеи частных универсумов находится аристотелево
представление о единстве реального мира, которому сопоставлен
единый общий универсум, отображающий этот мир наиболее полным образом. без специфических условий и ограничений. Частные универсумы отображают не иные "возможные миры", а все тот же единственный, но с других точек зрения, так сказать, посредством специальных "фильтров", позволяющих выделить те или иные стороны общей
картины. Например, в универсуме хрисиппа - Буля проявляются родовые атрибуты отображаемого, а в универсуме Аристотеля - видовые.
 Универсум находится в таком же отношении к допустюшм в нем
множествам, как род к составляющим его классам (видам), т.е. это
род множеств. Множество же отличается от класса тем. что позволяет' не только произвести разбиение своего потенциального содержимого на части-подклассы по заданным критериям, но и указать, какие из этих частей действительно существуют в нем (являются его
актуальными компонентами, принадлежат ему), а какие исключены,
антиактуальны, антипринадлежат. Разбиение на классы и возможность
систематически обозначить произвольный класс обеспечивает булева
алгебра, оперирующая атрибутами классов. Алгебра множеств образуется добавлением в булеву алгебру возможности указывать непустоту
и пустоту классов, т.е. актуальность и искшоченность соответствующих компонент. Таким образом, универсум - это аналог рода, но в
алгебре множеств, а общий универсум - "неопределенное нечто" в
алгебре множеств, так сказать, полностью потенциальное множество,
в котором ни одна компонента не актуальна и не исключена.
 Род надо понимать как класс, разбиваемый на подклассы по заданным (и в совокупности определяющим этот род) исходным критериям. а родовой атрибут - как обозначение качества, к конкретизации
которого эти критерии приложимы. Один и тот же критерий может
применяться к разным родам, характеризуемым каждый своей совокупностью критериев.
 Набор критериев, определяющий конкретный род. формируется в

110 -
 соответствии с поставленными задачами, преследуемыми целями. В
нем должны быть учтены по возможности все существенные в отображаемых ситуациях критерии и исключены не относящиеся к делу. Но
это проблема уже не собственно информатики, а ее приложений - с
точки зрения информатики критерии, положенные в основу рода, совершенно абстрактны, независимы, равноправны и. разумеется, попарно различны, а их число и наименования являются параметрами
рода ( алгебраической схемы или модели рода).
 Такой абстрактный однокритериальный род с единственным дихотомическим критерием х в булевой алгебре может быть представлен в
виде дизъюнкции его внутриродовых индивидных атрибутов: xvx’.
Конкретизация этой схемы осуществляется указанием родового атрибута и подходящим уточнением критерия. Например: целые л (четные v нечетные), дикорастущие л (съедобные v несъедобные), учащиеся л (успевающие м неуспевающие).
 Соответствующий однокритериальному роду абстрактный общий
универсум представляется дизъюнкцией всех индивидных множеств,
потенциальными компонентами которых служат индивиды этого рода,
т.е. х и х'. Поскольку принадлежность каждой из этих компонент
конкретному индивидному множеству либо имеет место (утверждается), либо исключена (отрицается), то возможны четыре различных
однокритериальных индивидных множества: VxVx'. VxV'x'. V'xVx'.
VxV'x', и выражение, характеризующее универсум (синтезированное
выше при помощи диаграмм Кэррола). получается в виде:
 VxVx'v VxV'x'v V'xVx'v VxV'x' * (VxvV'x) (Vx'v V'x')
 Это выражение позволяет уточнить сущность соотношения универсума и находящегося в эго основании рода. Как видно, универсум
является классом всех множеств, которые могут быть образованы из
индивидов данного рода, употребленных в качестве элементов этих
множеств.
 это именно класс, а не множество множеств и не множество индивидов рассматриваемого рода: ни одна из компонент универсума не
является по отношению к нему в целом ни актуальной, ни исключенной - все потенциальны. Класс с "множественной" точки зрения и
есть не что иное как потенциальное множество, т. е. множество одних только потенциальных компонент, полностью неопределенной принадлежности.
 Универсум в отличие от рода, которым он порожден, является

- ш -
 классом не первичных индивидов - элементов множеств, а классом
множеств, т. е. сущностей, характеризуемых не первичными атрибутами непосредственно, а функциями принадлежности этих атрибутов
(дизъюнктами), которые естественно назвать вторичными атрибутами.
Строгое множество характеризуется индивидной конъюнкцией дизъюнктов - конъюнкцией, включающей дизъюнкты всех первичных индивидов.
Множество в обобщенном смысле представимо ДНФ- или КНФ-выражени-
ем, в котором аналогами несоставных первичных атрибутов выступают
дизъюнкты этих атрибутов (так сказать, вторичные несоставные атрибуты). отражающие принадлежность множеству объектов, обладающих
соответствующими качествами. Допустимы также дизъюнкты всевозможных составных первичных атрибутов, в частности, индивидных, являющихся аналогами "предметов" в логике предикатов.
 Очевидна рекурсивная природа этой схемы: вторичные атрибуты
ничто не мешает взять в качестве потенциальных компонент для формирования нового уровня множеств (теперь они будут множествами
множеств предыдущего уровня), причем по-прежнему целиком сохраняя
все заимствованные у булевой алгебры связки и формы. Возникающие
в результате такого развития атрибуты третьего уровня могут служить потенциальными компонентами множеств четвертого уровня и
т.д. Можно продолжать без конца, но важней и интересней, пожалуй,
для начала осмыслить хотя бы второй уровень - алгебру простейших
множеств, совокупностей нерасчленяемых элементов.
 Выражение булевой алгебры первого уровня понимается как характеристика в терминах заданных первичных критериев рассматриваемого нерасчленяемого объекта, как информационная модель, непосредственно представляющая этот объект с той или иной определенностью.
Данность выражения (присваивание выражению значения 1) тождественна данности объекта в системе отображения. Выражение алгебры
второго уровня (алгебры множеств) характеризует совокупность нерасчленяемых объектов и поэтому не может непосредственно представлять ни один из них. Данность такого выражения - это данность
охарактеризованного им множества, ситуации, позволяющая заключить
лишь о существовании, если они принадлежат этому множеству, отдельных объектов, охарактеризованных выражениями первого уровня.
 Непосредственная данность выражения, характеризующего неделимый объект, открывает возможность эффективно исследовать его атрибуты и отношения, которыми они связаны друг с другом. Когда же
объекты представлены в составе множества, то доступ к их собс-

- иг -
 твенным атрибутам, естественно, затруднен и система в целом усложнена. но в ней отображены и доступны для исследования межобъектные связи - отношения, которых в одноуровневой системе проото
нет.
 Но прежде всего двухуровневая система выявляет отношения так
называемой модальной (алетической) логики, такие как необходимость, возможность, невозможность, случайность и т.п. Они широко
используются в естественном языке и занимают значительное место в
исследованиях Аристотеля, немало преуспевшего в прояснении их
сущности. Однако в дальнейшем реального прогресса в этой области
практически не было, так что сегодня, несмотря на то. что создано
уже несколько современных формальных теорий, модальности все еще
остаются темным местом. Без преувеличения можно сказать, что наука нового времени не разобралась в наработанном Аристотелем. Свидетельством тому служит, например, вводная статья З.Е.Микеладзе
"Основоположения логики Аристотеля" во втором томе его "Сочинений" СМ.: "Мысль", 19783, комментарии известных историков философии в том же томе, а также монография Я.А. Слилина "Современная
модальная логика [Сли|йин. 19763 и, конечно же, неординарная книга
Яна Лукасевича [Лукасевич, 19593.
 Создается впечатление, что современные достижения в исследовании модальностей заключаются в "формализации", сводящейся к замене традиционных терминов "необходимо", "возможно", "случайно"
буквами-"функторами" L, М, Q и т.п. В результате аристотелевы положения о соотношении модальностей записываются с помощью булевых
связок "в символах", например: Мх ® L x', Q(x.x') - МхлМх', Их *
“ LxvQ(x.x'). Но сущность самих модальностей от этого не проясняется, и в тех местах, где у Аристотеля случается неясность или
неоднозначность (а он сам указывал, что такие термины как "возможность" употребляются в разных смыслах), подобная "формализация" ничего поделать не может - начинаются догадки и бесполезные
споры. А воз и ныне там!
 Между тем. сущность модальностей эффективно выражается средствами алгебры второго уровня, причем в рамках даже однокритериального универсума. Отправляться следует от необходимости, памятуя, что по Аристотелю "необходимо" - значит "не может не быть"
["Метафизика", 1006b 313. Но в отображении “не может не быть"
прежде всего то, что принимается в качестве банного, что бано

113
 (непосредственно дано) как имеющее место, а затем также то, что
не может не быть вследствие этого непосредственно данного. Проще
говоря, необходимыми полагаются исходные (заданные) характеристики рассматриваемой ситуации, а также те, которые не могут не быть
при наличии этих заданных.
 Например, в булевой алгебре данность выражения жу значит, что
рассматриваемая вещь (объект рассмотрения) необходимо обладает
атрибутом ху, а поскольку в случае данности конъюнкции необходимо
дан каждый из-ее членов, то рассматриваемая вещь необходимо обладает атрибутом ж и атрибутом у, что непосредственно не было дано.
В случае данности выражения xvy объект рассмотрения необходимо
обладает атрибутом жчу, но ни at, ни у необходимыми атрибутами его
не являются, необходимо только, что по меньшей мере один из них
должен быть атрибутом этого объекта.
 В алгебре множеств выражение характеризует не единичную вещь,
а совокупность различных вещей, поэтому непосредственная данность
атрибута единичной вещи (элемента множества) невозможна - непосредственно задается ситуация (множество). Задать ж в качестве необходимого атрибута имеющейся в виду вещи можно лишь посредством
одноэлементного множества, единственный элемент которого охарактеризован как ж:
 Lx а VxV'x'
 Функция Lx - "необходимо, что ж" [Лукасевич, стр.1933 - принимает значение 1 в случае непосредственной данности ж или непосредственной данности атрибута, который не может быть дан без ж. В
традиционной логике функции L соответствует аподиктическое суждение. В булевой алгебре Lx и ж, т. е. функтор L опущен - непосредственная данность ж есть просто данность ж. Данность множества
VxV'x' равносильна данности ж, поскольку в этом множестве дополнительный атрибут х' исключен и таким образом ж оказался родовым
атрибутом, относящимся к множеству в целом - данность этого множества невозможна без данности ж. Однокомпонентные множества вида
VeV'e', где е - булево выражение, составляют универсум Хрисиппа -
Буля - систему, изоморфную булевой алгебре.
 Согласно выражению VxV'x' необходимость ж заключается в том,
что существуют вещи, обладающие атрибутом х. и не существует вещей, которые не обладали бы комплементарным атрибутом х'. Это
полностью соответствует положенному в основу двузначной логики

114 -
 Хрисиппа и алгебры Буля принципу - данность х исключает возможность х'. неданность х означает данность х'. Но в алгебре множеств этому принципу подчинены только одноэлементные множества
универсума Хрисиппа - Буля. Выражение, отображающее их сущность,
как раз и является функцией необходимости в этой алгебре.
 Прием, употребленный для выявления и выражения в терминах алгебры множеств сущности отношения "необходимость", по-видимому,
можно применить также для изучения других модальностей. При этом,
учитывая то. что не существует общепринятого строгого понимания
таких терминов как "возможно", "актуально", "потенциально", "неопределенно". действовать надо в обратном порядке, а именно:
рассмотреть существующие виды множеств, расценивая характеризующие их выражения как модальные функции потенциальных элементов
этих множеств, а затем решить, какой традиционной модальности и в
какой степени та или иная функция соответствует.
 Однокритериальный универсум включает 16 различных множеств:
 В
 (VxvV'x)(Vx'vV'x')
 V'xvV'x'
 VxvV'x'
 V'xvVx'
 X
 VxvVx
 о
 V'x
 0
 V'x'
 V'xV'x'v VxVx'
 VxV'x'v V'xVx'
 X
 Vx'
 0
 VxV'x
 X
 0
 X
 0
 X
 X
 VxV'x'
 V'xVx'
 VxVx'
 X
 Vx
 X
 0
 VxV'x v Vx'V'x'

- 115 -
 Множества размещены в пяти строках по степени определенности
их характеристик, которая уменьшается снизу вверх.
 В первой снизу строке представлено аксиоматически исключенное
противоречивое "множество" VxV'x v Vx'V'x'. охарактеризованное
как пустое и вместе с тем непустое (крестик и нолик в одной и той
же клетке диаграммы). Это безусловная невозможность - "ничто",
обозначаемое константой 0. Принадлежность такому "множеству" любой рассматриваемой компоненты является заведомо неопределенной,
причем не вследствие неоднозначности, обусловленной свободой принадлежать или ;с принадлежать, а вследствие невозможности самого
множества.
 Во второй строке расположены строгие (индивидные) однокритериальные множества, т. е. множества, принадлежность которым всех их
компонент определена однозначно.
 Третья строка занята множествами (характеристиками множеств),
в которых допущена минимальная неопределенность: каждое из них
 является дизъюнкцией двух строгих множеств, например. Vx з VxVx'v
v VxV'x'.
 Четвертой строке соответствует следующая степень неопределенности - расположенные в ней множества представляют собой дизъюнкции, содержащие по три строгих множества. Например, множество,
равносильное непустому универсуму: V(xvx') s VxvVx' a VxV'x'v
 v VxVx'v VxVx'. Кстати, пустой V'xV'x' и полный VxVx' универсумы
находятся во второй строке, а универсум Хрисиппа - Буля VxVx' v
v V'xVx' - в третьей.
 Пятую строку занимает совершенно неопределенное множество -
дизъюнкция всех четырех индивидных множеств, характеризующая однокритериальный универсум в целом:
 V'xV'x'v VxV'x'v V'xVx'v VxVx' a i
 Формально оно представляет собой отрицание противоречивого множества VxV'xvVxV'x'. находящегося в первой строке, но по существу в обоих случаях множества выродились в классы - никакой информации о принадлежности или исключенности компонент в их характеристиках нет. в обоих случаях полная неопределенность. Наглядно
и точно изображает эту ситуацию диаграмма Кэррола, разделенная на
классы, в которых нет ни крестиков, ни ноликов, либо и крестик и
нолик занимают один и тот же класс, сообщая о противоречии.
 То, что строки расположены в порядке постепенно убывающей не

- 116 -
 определенности характеристик множеств, значит, что для множества
из низших строк в вшерасположенных строках имеются подчиненные
ему в том смысле, что данность этого множества означает и их данность. Например, если дано множество V'xVx' из второй строки, то
тем самым даны множества V'x, Vx' и VxV'x'v V'xVx' из третьей
строки, а также множества V'xvV'x', V'xvVx' и VxvVx' из четвертой
строки.
 Другие очевидные отношения между множествами рассматриваемого
однокритериального универсума нетрудно указать, опираясь на порядок размещения этих множеств в строках.
 Компоненты строки, диаметрально противоположные относительно
ее середины, связаны друг с другом (за исключением центральной
пары в средней строке) отношением инверсии. Например, во второй
строке: (VxV'x')lnv = V'xVx', в третьей строке: (V'x)lnv ■ Vx, в
четвертой строке: (VxvV'x')lnv = V'xvVx' и т.д.
 Компоненты, диаметрально противоположные относительно центра
всего расположения, комплементарны друг другу. Например: 1 =
е (0)', Vx * (V'x)', (VxVx')' « V'xvV'x', (V'xV'x'v VxVx')' *
£ VxV'x'v V'xVx'. Поскольку в средней (третьей) строке противоположность относительно ее середины является и противоположностью
относительно центра всего расположения, противоположные компоненты в ней ( за исключением центральной пары) и инверсны, и комплементарны друг другу, т.е. в средней строке (исключая центральную
пару) инверсии и булевы отрицания совпадают.
 Еще одно небезынтересное совпадение обнаруживается у диагонально противоположных компонент второй и четвертой строк. Как
противоположные относительно центра расположения эти компоненты
комплементарны, но они оказываются вместе с тем двойственными
друг другу (дуалами друг друга) в таком понимании двойственности,
что функции F(x) и G(х) двойственны, если F(x) = G'(x'). Действительно:
 дуал(УхУх') = V'x'vV'x = V'xvV'x' * (VxVx')'
дуал(У'хУ'х') в Vx'vVx * VxvVx' ■ (V'xV'x')'
 Отношение дуальности между "возможностью" и "необходимостью"
Мл * L'x', Lx s М'х' принимаются в качестве основного, по-видимому, в любой системе модальной логики. Лукасевич, утверждающий это
без сомнения, обосновывает данные тождества, хотя и не убедительно. ссылками на Аристотеля [Лукасевич, стр.195). На самом деле
эти тождества в общем универсуме не верны, не имеют места.

117 -
 Действительно, если "необходимость" Lx * VxV'x', то "возможность". как дуал "необходимости", будет Их * VxvV'x'. При этом
"невозможность" (отрицание "возможности") выразится в виде М'х =
= V'xVx' = Lx'. Но совершенно очевидно, что это не вся "невозможность х " - ведь х невозможно еще в случае V'xV'x', т.е. когда
множество пусто. Корректное выражение "невозможности" есть М'х =
* V'xV'x'v V'xVx' = V'x и, соответственно, корректное выражение "возможности" -
 Мх з Vx
 Что же касается "общепризнанной" дуальности Мх = L'x', то
она имеет место только в рамках непустого универсума, т.е. если
V'xV'x' исключено.
 Поскольку термин "возможность" употребляется во многих смыслах. то ясно, что выражение Мх * Vx определяет один из видов
"возможности", а именно тот, который имеют в виду, полагая, что
"возможность" дуальна "необходимости" (в непустом универсуме это
действительно так). Такую "возможность” называют простой или безусловной. но по существу это актуальная возможность, или существование: элемент х не только возможен (не исключен) в рассматриваемом множестве, но и существует в нем (принадлежит ему).
 Название "простая" можно оправдать тем. что другие виды “возможности" представимы простыми комбинациями Мх, М'х, Мх', М'х',
т. е. Мх представляет собой ту базисную функцию, манипулируя которой удается эффективно выразить все другие виды "возможности". И
понятно, почему так, если учесть, что Мх есть не что иное как
Vx - конструкция, находящаяся в основании всей алгебры множеств.
 Всевозможные "модальные тождества" (разумеется, скорректированные уточнением смысла Мх) получаются путем замены в выражениях
рассмотренных выше множеств однокритериального универсума дизъюнктов Vx, Vx' на Мх, Мх'. Остается только сопоставить "оттранслированным” таким образом выражениям употребляемые в модальной логике обозначения функций. Например:
 Ох = VxVx' з мхМх' - билатеральная актуальная возможность, билатеральная актуальность, сосуществование хих':
 Их = VxvV'x' a M'xvM'x' - не (билатеральная актуальность), не-
сосуществование;
 Qlnvx a V'xV'x' а м'хМ'х' - билатеральная невозможность (ивключенность х и х‘);

118 -
 M(xvi') ■ VxvVx' * MxvMx' - билатеральная потенциальная возможность, билатеральная потенциальность (один из видов);
 Lx в VxVx' = МхМ'х' - необходимость х, данность х;
 Ux = VxvV x = MxvM'x в i - полная неопределенность, общий универсум.
 Аналогичным образом, т.е. посредством алгебры множеств и последующего перевода в символы модальной логики, получаются выражения отношений, связывающих различные модальные функции. Например:
 MxvLx з Мх, MxvQx * Мх, Мх в LxvQx, Lx в MxQ'x.
 ОХ в MxL'X, M(xvx') в LxvLx'vQx и T. П.
 Как видно, "множественный подход" составляет реальную и обстоятельно проясненную основу для изучения модальностей. Возможные
виды их строго определены в терминах однозначного и наглядно интерпретируемого языка алгебры множеств как различные характеристики однокритериальных множеств, представляющие собой модели этих
видов. Проблема теперь заключается главным образом в том, чтобы
отождествить эти модели' с известными в значительной степени все
еще на интуитивном уровне модальными понятиями.
 Наиболее сложным и вызывающим многочисленные разногласия является, конечно, понятие "возможность". В самом широком смысле
"возможно" - это "не невозможно" (не исключено). Ясно, что сущность "возможного" определяется в зависимости от того, что в
рассматриваемом случае невозможно, что исключено.
 Во всех случаях заведомо исключена противоречивость, представляющая собой самый безусловный (необходимый) вид невозможного.
Поэтому наименее ограниченным, наиболее свободным видом "возможности" должно быть отрицание противоречия: (VxV'x)' ■ VxvV'x ■
 ■ MxvM'x. это можно квалифицировать как "всевозможность", или
"совершенную неопределенность" - возможно в равной степени и без
исключения все, что зключает в себя общий универсум. Это "потенциальная возможность", не утверждающая существования чего-либо из
того, что возможно.
 Все другие виды "возможности" получаются ограничением потенциально всевозможного путем исключения тех или иных его компонент.
Исключением компонент принадлежности в конечном счете достигается
полная невозможность, исключение же актиприкадлежностк порождает
актуальную возможность, необходимость, а также билатеральную ак

- 119 -
 туальность. которая заключается в существовании обоих противоположных элементов - их. их'.
 Формально степень возможности, которой характеризуется в рассматриваемой ситуации элемент х. однозначно устанавливается по
КНФ-выражению, представляющему эту ситуацию в алгебре множеств:
если дизьюнкт Vx или Vxyz... содержится в качестве утверждаемого
члена КНФ. то х существует, если в качестве отрицаемого члена, то
х невозможно, а если не содержится ни в том, ни в другом качестве, то х потенциально возможно, или иначе - существование х (т.е.
принадлежность элемента х рассматриваемому множеству) оказывается
неопределенным.
 Из 16-ти мыслимых в однокритериальном универсуме ситуаций
только три (Vx, VxVx', VxV'x') характеризуются как актуальная
возможность х и три (Vx'. VxVx', V'xVx') как актуальная возможность х', причем VxVx' является билатеральной актуальностью, а
VxV'x' и V'xVx' - необходимостью соответственно ini'. В трех
ситуациях (V'x, V'xVx'. V'xV x') х невозможно, исключено, и еще в
трех (V'x', VxV'x', V'xV'x') невозможно х'. причем в случае
V'xVx' невозможность оказывается билатеральной, обоюдной, В ситуациях Vx' и V'x' элемент х, а в ситуациях Vx и V'x элемент х'
является потенциально возможным, в то время как другой элемент
охарактеризован более определенно, - это унилатеральная потенциальность.
 Из 8-ми оставшихся ситуаций одна - VxV'x v Vx'V'x' - противоречива. а семь прочих - билатерально потенциальны.
 Таким образом, иерархия модальностей в непротиворечивой части
универсума отражает степени определенности, с которой характеризуются ситуации. При этом традиционная система модальностей не
детализирует многообразие билатеральных потенциальностей, представляя его как единый класс неопределенной принадлежности обоих
элементов. Как видно, класс этот разделяется на семь подклассов,
которые при свойственной всем им билатеральной неопределенности
различны по иным критериям. Так, ситуация VxvVx' характерна тем,
что при неопределенности существования каждого из элементов х и
х' по меньшей мере один из них непременно существует; VxvVx" *
s V(xvx'), а вот ситуация V'xvV'x' при той же билатеральной неопределенности предполагает несуществование как минимум одного из
элементов. Это ситуации-антиподы, они инверсны друг другу. Кстати, первая - отрицание и дуал билатеральной невозможности
V'xV'x', а вторая - билатеральной актуальности VxVx'.

- 120 -
 Другие билатеральные потенциальности обладают своими индивидуальными чертами: в ситуации V'xV'x'v VxVx' элементы х, х' либо
оба существуют, либо оба исключены, а в ситуации VxVx'v V'xVx",
наоборот, существование одного исключает возможность другого. Эти
ситуации связаны отношением отрицания и обе самоинверсны, а также
самодвойственны. Ситуации VxvV'x' и V'xvVx' противоположны в том
смысле, что место, занимаемое в одной из них элементом х, в другой принадлежит элементу х', а место, которое занимал элемент х'.
в другой ситуации занимает х, т. е. преобразование одной ситуации
в другую осуществляется инверсией элементов. Отношение, связывающее эти ситуации, называют реципрокностыо [Пиаже, 1969]. Ситуация
VxvV'x' комплементарна V'xVx'. т.е. необходимости х', и дуальна
VxV'x' - необходимости х. а ситуация V'xvVx' комплементарна необходимости х и дуальна необходимости х'. Наконец, полная неопределенность и "всевозможность” (VxvV'x)(Vx'vV'x') отличается тем.
что ни одно из рассмотренных ограничений к ней не относится - она
допускает все. за исключением противоречия.
 В описанной системе модальностей не оказалось “случайности"
(“акцидентальности"). и это следует расценивать как свидетельство
того, что "случайность" не является особой модальной категорией,
а представляет собой еще одно название чего-либо уже учтенного.
Нет оснований не согласиться с Аристотелем, что "случайность" -
это "неопределенность", антипод детерминированности.
 Остается еще сказать об отображении модальностей в расширенной
добавлением символа "неопределенности" 1 алгебре первого уровня.
Ян Лукасевич ввел "неопределенность" в качестве третьего значения
именно в связи с исследованиями модальностей. Правда, в дальнейшем он счел трехзначную систему неудовлетворительной и разработал
четырехзначную, но как раз трехзначное представление модальных
функций является, по-видимому, оптимальным.
 Множества как модели модальностей различаются по степеням принадлежности им элементов х, х' и могут быть охарактеризованы в
этом отношении сопоставленной каждому множеству трехзначной функцией двузначной переменной х (или ее отрицания х') - функцией
принадлежности элементов. При х=1, т.е. при х'=0. такая функция
принимает значение 1. если элемент х принадлежит данному множеству. она принимает значение 0. если принадлежность исключена, и
значение 1 в случае неопределенности. При х'-1, или х=0, принимаемые функцией значения аналогично сопоставлены степеням принадлежности элемента х’.

121
 Например, для множества Vx. представляющего актуальную возможность (существование) х. функция принадлежности х имеет вид xvt -
элемент х принадлежит данному множеству, а принадлежность элемента х' является неопределенной:
 Невозможность х. т.е. V'x, представляет функция tx' - существование х исключено, существование х' - неопределенно:
 Функции принадлежности, соответствующие другим модальностям,
представлены следующими выражениями:
 х - необходимость (данность) х. Lx;
 х‘ - необходимость (данность) х'. Lx';
 хх', т. е. О - билатеральная невозможность. Qln,Fx;
 xvx'. т.е. 1 - билатеральная актуальность. Ох;
 tx - невозможность х', М'х';
 x'vt - актуальная возможность х'. Мх':
 txvtx', т. е. t - билатеральная потенциальность, например:
 Как видно, выразительные возможности алгебры первого уровня,
даже с использованием символа t, существенно ограничены по сравнению с алгеброй множеств - многообразие билатерально потенциального в ней не выявляется, как и в традиционной модальной логике.
Если же исключить t, т.е. не выходить за пределы булевой алгебры,
система отображения приобретает жестко детерминированный характер: данность х, исключающая х', данность х'. исключающая х. билатеральная невозможность-противоречивость хх'. И только дуал-от-
рицание последней xvx' (теперь это билатеральная потенциальность) выражает неопределенность - "неопределенное нечто".
 2.5. 	Двукритериальный универсум. Отношение следования
 0 при х=1
 1 при х'«1
 MxvMx'. M'xvMx'. LxvLx'. QvQlnv и т.д.
 Развитием и вместе с тем противоположностью однокритериального
универсума является многокритериальный универсум, из которого однокритериальный получается как частный случай. Можно бы сразу

122 -
 рассматривать многокритериальный, скажем, К-критериальный, а затем получить частности для К=0.1,2, но рассмотрение оказыва
 ется намного более простым и конкретным, если продвигаться в обратном направлении, а именно: после однокритериального рассмот
 реть минимальную разновидность многокритериального - двукритериальный универсум, и лишь затем обобщать для произвольного К. Это
аналогично арности функций: в отличие от монарных бинарные функ
 ции - функции многих переменных и дальнейшее увеличение арности
ничего принципиально нового не составляет. Более того, достаточно
бинарных функций в качестве базисных, чтобы осуществить при помощи вложенности композиции функций любой арности, в том числе монарных и нульарных.
 В основании двукритериального универсума находятся следующие
представленные диаграммами Кэррола шестнадцать строгих множеств.
 [ Непустой универсум Г"
 (VxvVx' ) (Vi/vVy*) j
 I
 I
 Универсум Аристотеля VxVx'VyVy"
 LrrTT
 Универсум Хрисиппа - Буля
 IVxj/V'x'V'j/'v Vxy\rx'V'y v Vx’yV'xv yv Vx‘i/'V'xV'i/|
 Пустой универсум
V'fcV'x'v V'yV'lf
 L
 J

- 123 -
 Следует заметить, что данный набор диаграмм,совпадающий по их
количеству и расположению с приведенным в предыдущем разделе набором диаграмм всех множеств однокритериального универсума,
представляет собой не все множества двукритериального универсума,
которых насчитывается 65536. а только строгие его множества (в
однокритериальном таких четыре).
 Строгие множества не могут быть связаны друг с другом отношением подчиненности, поскольку они попарно несовместимы. В частности, их нельзя распределить по степеням определенности - неопределенность полностью исключена. Однако некий аналог, или особая
разновидность, подчинения все же имеет место, так что распределение диаграмм по строкам, на которые разбит набор, не является
произвольным. Отношение, на основании которого упорядочены множества. можно назвать поэлементной подчиненностью. Но прежде чем
изложить его сущность, надо разобраться с обычной подчиненностью.
или подчинением.
 Дело в том, что слова “подчиненность", "подчинение", “подчиненное", "подчиняющее" употребляются в различных и даже противоположных смыслах, причем, как правило, без указания на то, какой
из них имеется в виду. Когда говорят о подчинении вида роду или о
подчинении в силлогистике, скажем, среднего термина большему, то
полагают, что менее широкое понятие подчинено более широкому, а
когда в той же силлогистике утверждают о подчиненности так называемого "частного" суждения "общему", то подчинение истолковывается в противоположном смысле: более широкое подчинено менее широкому. неопределенное - определенному, слабое - сильному. Неудовлетворительна аристотелева квалификация суждений - в сущности
ведь не “частное" , а "частичное", или "неопределенное", и не
"общее". а "исчерпывающее", или "категоричное", но это другой
вопрос (впрочем, того же рода: выходит, что "частное" следует из
“общего"). Однако, как ни называй, а класс ситуаций, обозначенный
словами "Некоторые х суть у", включает подклассы "Бее х суть у".
"Все у суть х", "Некоторые, но не все х суть у" и т. д., т.е. в
силлогистических законах подчиненности суждений несимметричное
отношение подчинения оказывается обратным одноименному отношению
для терминов.
 Можно, конечно, различать "подчинение по объему" и "подчинение
по смыслу", помнить, что классы и термины подчиняются первым, а
суждения - вторым, и что "по объему" - значат частное подчинено

- 124 -
 общему, хотя следует общее из частного, и т.д., чтобы наука не
была простой. Но ведь для "подчинения по объему" имеется другое,
весьма удачное название - включение. Выражение "х включает у" -
точный синоним выражения "х подчиняет у по объему", и не вызывают
настороженности такие формулировки как "общее включает частное",
"абстрактное включает конкретное" "род включает свои виды",
"класс включает подклассы".
 Подчинение же должно быть подчинением по смыслу, по существу.
Подчиненность суждений в силлогистике означает такое отношение,
при котором данности подчиняющего с необходимостью сопутствует
данность подчиненного. Это отношение потенциальной достаточности,
потенциального (гипотетического) следования. Оно обратно отношению включения, т.е. верны такие положения как "частному подчинено
общее", "конкретному подчинено абстрактное", "виду подчинен род",
"подклассу - класс", “подлежащему - сказуемое".
 Сущность подчиненности в том, что степень данности подчиняющего не превосходит степени данности подчиненного, т.е. исключена
ситуация, в которой подчиняющее дано, а подчиненное не дано или
подчиненное исключено, а подчиняющее не исключено. Средствами алгебры второго уровня такое отношение представляется множеством,
компоненты которого: х в роли подчиняющего, у в роли подчиненного. удовлетворяют условию Vxy' = 0, т. е. исключенности ху':
 о
 V'xy'
 "невозможно х без у", "х подчиняет у".
 В алгебре первого уровня это выразимо при помощи неопределенности t в виде: t(x'vy). а в булевой алгебре, отображающей только
однокомпонентные множества непустого универсума, точное выражение
подчиненности невозможно, но ее "аппроксимирует" так называемая
"материальная импликация": x'vy - ситуация, представимая множеством
 V(x'vy)Vxy' - "если х, то у. а если не-у. то не-х”.

- 125 -
 Как "чистая подчиненность", так и ее булева разновидность, обе
являются потенциальными версиями таких важнейших отношений как
достаточность и следование. Но об этом речь впереди, а пока надо
разобраться с поэлементной подчиненностью, обнаруженной в наборе
строгих множеств двукритериального универсума.
 Употребленные в определении отношения подчиненности буквы х и
у можно трактовать как несоставные атрибуты, но можно конкретизировать их как атрибуты множеств и говорить о подчинении одного
множества другому в том же смысле непревышения степени данности
подчиненного степенью данности подчинявшего. Например, множеству
VxV'y подчинены множества Vx и V'y. поскольку конъюнкции подчинен
каждый из ее членов. Это одно из возможных развитий принципа подчинения.
 Но имеется возможность развития подчиненности на уровне элементов и компонент множеств. Естественно назвать связанными поэлементным подчинением два множества, каждый элемент одного из которых (подчиненного) подчинен одноименному элементу другого (подчиняющего). Например, множеству
 VxyV'xy'V'x'y
 поэлементно подчинено множество
 VxyVx' у',
 каждый из элементов которого не может быть исключен, если не исключен одноименный элемент первого множества. Аналогично определяется покомпонентная подчиненность.
 В наборе строгих множеств двукритериального универсума
(стр.122) множества, поэлементно подчиненные множеству из данной
строки, находятся в вышележащих строках. Например, пустому множеству. занимающему первую снизу строку, подчинены четыре множества. составляющие вторую строку, каждому из которых подчинено
по два множества из четвертой строки, и, наконец всем им подчинено полное множество, занимающее пятую строку набора.

126 -
 Смысл поэлементной подчиненности множеств состоит в том, что
элементы, принадлежащие подчиняющему множеству, необходимо принадлежат и подчиненному, т.е. подчиняющее является подмножеством
подчиненного. Обратное отношение называется включением: множество
А подчиняет поэлементно множество В - это то же, что множество В
включает множество А, а на языке алгебры: ВэА, если принять, что
связка о означает нестрогое, т.е. не исключающее тождества, включение.
 Поэлементное подчинение множеством А множества В выражается
соответственно как АсВ. что равносильно АпВ=А. или АиВ=В. где
связка = (эквивалентность) порождает выражение, принимающее значение 1 в тех случаях, в которых значения соединенных ею выражений определены и одинаковы, значение 0, если определены и различны, значение t. если хотя бы одно из этих выражений приняло значение 1. Другими словами, выражения АШ=А и AUB=B представляют
характеристическую функцию отношения асВ: подчиненность имеет
место, если эта функция тождественна константе 1.
 Особый интерес представляет ситуация, в которой совместно выполнена прямая и обратная поэлементная подчиненность множеств,
т. е. АсВ и вместе с тем АэВ - все элементы множества А принадлежат множеству В и все элементы В принадлежат А. Такое возможно в
единственном случае, а именно, в случае тождества А - В.
 Из других отношений, связывающих друг с другом строгие множества двукритериального универсума, следует отметить прежде всего инверсию. Нетрудно убедиться в том, что любые диаметрально
противоположные относительно центра рассматриваемого набора множества инверсны друг другу. Например, полное множество VxyVxy'A
aVx'yVx'y' инверсно пустому V'xyVxy'V'x'yV'x'y', одноэлементное
VxyV'(x'vy') инверсно противоположному по диагонали трехэлементному V'xyVxy'Vx'yVx'y' и т.д.
 Далее можно обнаружить, что расположенные в одной строке множества попарно реципрокны по Пиаже либо частично реципрокны по х
или по у. Например, множество VxyVxy'V'x'yV'x'y' реципрокно множеству V'xyV'xy'Vx'yVx'y', а множество VxyVxy'Vx'yV'x'y' частично
реципрокно по х множеству VxyV'xy'Vx'yVx'y' и т.д. Эти же отношения можно трактовать как частичную инверсность по одной, двум или
трем компонентам. Так, в последнем из приведенных примеров имеет
место инверсия по второму и четвертому элементам, т.е. по ху' и
по х'у'.

127 -
 Двукритериальный общий универсум подобно однокритериальному
разделяется на частные универсумы (подуниверсумы), из которых
важно выделить "пустой". включающий одно только пустое множество,
и "непустой", в составе которого находятся прочие пятнадцать
строгих множеств. В непустом универсуме выделены: универсум Хри-
сиппа - Буля, базирующийся на одноэлементных строгих множествах и
допускающий только однокомпонентные множества, и универсум Аристотеля, включающий только билатеральные по обоим критериям множества. в числе которых имеется семь строгих.
 Универсумы представляют собой классы множеств, или в какой-то
степени неопределенные множества, характеризуемые следующими атрибутами:
 общий универсум - (VxvV'x)(Vx'vV'x')(VyvV'y)(Vy'vV'y'),
пустой универсум - V'xV'x'v V'yV'y',
непустой универсум - (VxvVx') (VyvVy') 3
 3 VxVy v VxVy'v Vx'Vy v Vx'y',
универсум Аристотеля - VxVx'VyVy',
 универсум Хрисиппа - Буля - (VxV'x'v V'xVx')(VyV'y'v V'yVy').
 Каждый из этих атрибутов, как уже было сказано, является атрибутом рода множеств, составляющих тот или иной универсум, - к
данному универсуму относятся только те множества, которые обладают его атрибутом, а все прочие, обладающие отрицанием этого атрибута. в рамках универсума расцениваются как "ничто", тождественны
нулю. В общем универсуме "ничто" есть VxV'x v Vx'V'x'v VyV'y v
v Vy'V'y', в непустом, кроме того, - V'xV'x'v V'yV'y', в пустом -
(Vxvx)A(VyvVy'). в универсуме Аристотеля - V'xvV'x'vV'yvV'y'.
в универсуме Хрисиппа - Буля - VxVx'v V'xV'x'v VyVy'v V'yV'y'.
 Отображение рассматриваемой ситуации в общем универсуме является наиболее полным - игнорируются как ничего не значащие только
противоречивые выражения. В непустом универсуме к разряду "ничто"
относится, кроме того, пустое множество, т.е. в случае данности
пустого считается, что ничего не дано. В универсуме Хрисиппа -
Буля принимается во внимание только непосредственная данность
первичных атрибутов, т. е. только родовые, свойственные всей рассматриваемой ситуации первичные атрибуты, что соответствует характеристике этой ситуации как единого целого, допускающей два
заключения: дано/исключено, к которым ради гибкости добавляется
третье - "неопределенность".

128 -
 Универсум Аристотеля обеспечивает, так сказать, "естественное
отображение", при котором игнорируются как пустые, так и общезначимые термины, т.е. все родовые атрибуты. Это полностью соответствует практике: в действительности нельзя ведь обнаружить качество, которое свойственно всему или. наоборот, не свойственно ничему, - обнаруживаются и фиксируются только различия (видовые различия. если действительность в целом составляет род). Именно в
таком смысле в логике Аристотеля нет “пустого", а не вообще, как
то утверждают ультрасовременные математики [Бурбаки. стр.306].
 Универсумы Аристотеля и Хрисиппа - Буля несовместимы и даже не
пересекаются - ни одно из строгих множеств не относится к тому и
к другому. Они не исчерпывают в совокупности ни общий, ни непустой универсум - остающаяся часть последнего включает “гибриды",
относящиеся по одному из критериев к хрисипповым. а по другому -
к аристотелевым. Например, множество VxyVxy'V'х' отчасти (по критерию I) хрисиппово, а отчасти (по критерию у) аристотелево, а
в целом ни то, ни другое.
 Нестрогие множества могут быть комбинацией хрисипповых и аристотелевых и таким образом относиться к обоим универсумам. Например, множество VxyV'xy'V'x'y отображается в универсуме Хрисиппа -
Буля как VxyV (x'vy'), а в универсуме Аристотеля - как
VxyV'xy'V'x'yVx'y'. Ясно, что не вполне определенная ситуация
VxyV'xy'V'x'y воспринимается в универсуме Хрисиппа - Буля с унилатеральной точки зрения как данность единого объекта ху, а в
универсуме Аристотеля та же ситуация доопределяется билатерально,
превращаясь в данность актуальной эквивалентности х»у. Алгебраически это выражается конъюнкциями исходного выражения с атрибутами соответствующих универсумов:
 VxyV'xy'V'x'y л (VxyV'x'y'v Vxy'V'x'V'y v Vx'yV'xV'y'v
v Vx'y'V'xV'y) = VxyV(x'vy')
 VxyV'xy'V'x'y a VxVx'VyVy' = VxyV'xy'V'x'yVx'y'
 Пожалуй, о структуре и характере двукритериального универсума
в общем _ сказано достаточно. Дальнейшая детализация проще и экономней может быть произведена на конкретных примерах, в качестве
которых целесообразно взять отношения подчинения и следования,
учитывая их исключительную важность, а также то. что, несмотря на
настойчивые попытки, предпринимаемые и в наше время (как наиболее

- 129 -
 известные можно указать системы К. Льюиса, В.Аккермана. Р.Карнапа
[Слииин,19761). сущность этих отношений все еще не прояснена.
 Шесте с тем точное определение следования давно известно, оно
дано Аристотелем в "Первой аналитике", правда без указания на то.
что это следование. Вот это замечательное место:
 "... когда два [качества] так относятся друг к другу, что если
есть одно, необходимо есть и второе, тогда если нет второго, не
будет и первого; однако если второе есть, то не необходимо, чтобы
было и первое. Но невозможно, чтобы одно и то же было необходимо
и когда другое есть, и когда его нет" ["Первая аналитика", кн.2,
гл.4. 5?Ь 13.
 Я.Лукасевич, анализируя этот текст “с точки зрения современной
формальной логики" [Лукасевич, стр. 93-95], усматривает в нем
"интуитивное использование Аристотелем законов транспозиции и гипотетического силлогизма пропозициональной логики, о существовании которой он не подозревал*, и доказывает, что положение
"... невозможно, чтобы одно и то же было и когда другое есть, и
когда его нет" - неотъемлемое от сущности следования - ошибочно.
Доказательство состоит в том. что данное положение подменено утверждением о несовместимости материальных импликаций, антецеденты которых комплементарны, - "Если х. то у" и "Если не-х, то у",
которое в самом деле неверно: (х-*у) (х'-»у) * у.
 Но ведь доказано лишь то, что существует ситуация, в которой
материальная импликация не отражает необходимую связь между х и
у, а именно: если у безусловно дано, то никакой зависимости от х.
разумеется, нет, хотя формально импликация выполняется, Это один
из тех парадоксов материальной импликации, которые тщетно пытался
устранить Льюис, а затем и Аккерман.
 Аристотель, конечно, не мог подозревать о существовании системы логики, базирующейся на материальной импликации, потому что
систему эту изобрели после его смерти. А вот интуиция его, а вернее прозорливость, безукоризненна: заблаговременно предостерег
против парадоксов импликации.
 Впрочем, на самом деле все было, по-видимому. проще, потому
что для не травмированного формальной наукой ума отношения должны
представляться такими, каковы они в естественном аристотелевом
универсуме, это подтверждает отмеченная Лукасевичем транспозитив-
ность. а также то, что Аристотель в цитированном определении не
требует отношения транспозитивности, а говорит о ней как о неизбежной: “...тогда если нет второго, не будет и первого".
 5 3*х. 831

- 130 -
 На практике и в универсуме Аристотеля это действительно так,
хотя в общем универсуме, да и в расширенной включением неопределенности алгебре первого уровня, имеется и нетранспозитивное непарадоксальное следование - актуальная достаточность/необходи-
мость.
 Единственное возможное в универсуме Аристотеля следование актуально и транспозитивно, причем актуальная транспозитивность
исключает возможность парадоксов, обеспечивая ту “невозможность",
о которой сказано в конце цитируемого отрывка, которую с формалистской уверенностью пытался оспорить Лукасевич. Слова же "Если
второе есть, то не необходимо, чтобы было и первое" указывают
лишь на то, что от следования не требуется обратимость, при наличии которой оно становится тождеством.
 Полностью прояснить основательно запутанную проблему следования можно, пожалуй, прослеживая эволюцию этого отношения от его
простейшей и "совершенно потенциальной" разновидности к возникающим из нее в условиях того или иного универсума, т. е. в различных
системах отображения.
 "Совершенно потенциальное" следование "невозможно х без у",
или "подчиненность атрибуту х атрибута у" представлено в алгебре
второго уровня ситуацией V'xy' - "несовместимость х с не-у". Это
транспозитивное отношение: V'xy' Е V'y'x, не предполагающее существования своих членов, в чем и состоит его "совершенная потенциальность", или "полная неактуальность". Если х * 0, то отношение соблюдено независимо от у, а если у ■ 1, то независимо от х -
парадоксы материальной импликации имеют место.
 В условиях непустого универсума, а также универсума Хрисиппа -
Буля, рассматриваемое отношение автоматически превращается в отношение материальной импликации: V(x'vy)V'xy', транспозитивное и
по-прежнему неактуальное, поскольку существование членов не предписано.
 Следующая ступень актуализации - унилатеральная актуальность х
или У - дает актуальные нетракспозитивные отношения достаточности х для у и достаточности у' для х': VxV'xy' и Vy'V xy'. В первом не может быть родовым атрибутом х' и таким образом исключен
парадокс материальной импликации, состоящий в том, что "ложное х
влечет любое у", а во втором не может быть родовым атрибутом у,
благодаря чему исключен второй парадокс - "истинное у следует из
любого х".

- 131 -
 В билатерально актуальном универсуме Аристотеля исключены оба
парадокса, причем как прямой, так и обратной импликации, т.е. выражения Уху' и Ух'у в условиях этого универсума обретают значение полноценного смыслового следования, соответственно, прямого и
обратного:
 Уху' a VxVx'VyVy' = Уху' VxVy'
 Ух'у a ViVi'VyVlT з V'x'yVx'Vy
 Результатом конъюнкции потенциального отношения и атрибута
универсума является выражение, определяющее условия данности
аристотелева следования в общем универсуме, т.е. явно отображающее его сущность. Как видно, она заключается в том. что помимо
несовместимости, составляющей потенциальное следование, требуется
еще билатеральная актуальность обоих членов отношения, а другими
словами - они должны быть видовыми атрибутами.
 Ситуации, в которых удовлетворены полученные разновидности отношений семейства подчинения-следования, представлены на диаграммах Кэррола (каждой диаграмме сопоставлена запись отношения посредством обозначающей его связки):
 о
 хну
 о
 х
 х->у
 х*у
 о
 X
 х'=<у'
 х»у
 х=у
 Конъюнкции прямых и обратных отношений хну, х->у, х=>у представляют собой соответствующие разновидности эквивалентности.
Например:
 s*
 X о
о
 - потенциальная эквивалентность: Уху'Ух'у.
 - хрисиппова эквивалентность: У(хулх'у' )У ху'Ух'у.
 - аристотелева эквивалентность: VxyV'xy'V'x'yVx'y'

132 -
 следует заметить также, что конъюнкция прямой и реципрокной
достаточности х для у удовлетворяет следованию х=»у:
 Отношение достаточности (и обратное ему отношение необходимости, которое не следует смешивать с обратной достаточностью) характеризуется однокомпонентньм множеством и поэтому представимо в
расширенной алгебре первого уровня:
 Х*у = xyvix'. у'КЕ' — z'y'vty
 Но получить в этой алгебре выражение аристотелева следования как
конъюнкцию прямой и реципрокной достаточности нельзя, потому что
следование характеризуется двукомпонентным множеством и поэтому
средствами алгебры перво, > уровня не выразимо.
 Это, разумеется, формальное объяснение, а по существу дело в
том, что следование в отличие от достаточности - отношение множественное и, более того, имеющее смысл только для билатерально
актуальных объектов. В универсуме Аристотеля все исходные критерии билатерально актуальны, поэтому следование однозначно определено для любой пары атрибутов во всякой допустимой в этом универсуме ситуации. Вне универсума Аристотеля, в частности, в универсуме Хрисиппа - Буля отношение следования оказывается неопределенным. В общем универсуме оно в одних ситуациях определено и либо удовлетворяется, либо не удовлетворяется, а в других оказывается неопределенным, так что характеристическая функция его
трехзначна:
 11 при V'xy'VxVy'
 О при Vxy'Vx'Vy
1 при V'xvVx"vV'yvV'y'
 Конечно, это не исключительная особенность отношения следования - трехзначным становится всякое определенное в частном универсуме отношение при перенесении его в более широкий универсум.
Например, отношение материальной импликации х->у. двузначное в
универсуме Хрисиппа - Буля, является неопределенным при VzVzv
v VyVy' в непустом универсуме и при VxVx'v V'xV'x'v VyVy'v
v V'yV'y' в общем универсуме.

2.6, 	Аристотелева силлогистика
 Созданная Аристотелем сиотема доказательного рассуждения -
силлогистика - в составе современной математической логики занимает, так сказать, своеобразное место, а точнее, не находит своего места, не вписывается в ансамбль.
 Силлогистика - это теория взаимосвязей для суждений (предложений, высказываний) следующих четырех видов: "Всякое ж есть у",
"Никакое ж не есть у", называемых общими, и "Некоторое ж есть у",
"Некоторые ж не есть у", называемых частными. Каждое из этих суждений выражает определенную связь между его тершнат ж, у. Силлогистика устанавливает бинарные отношения, в которых состоят
суждения, высказанные об одной и той же паре терминов, а также
тернарные отношения, связывающие суждения о трех различных парах
из набора терминов ж,y.z. Последнее особенно важно, так как позволяет установить правильные модусы силлогизма, в которых из совместной данности суждений, например, связывающих ж с у и у с z,
следует данность определенной связи между жив.
 Обоснованные Аристотелем приемы рассуждения безукоризненно оправдываются на практике и находятся в полном соответствии со
здравым смыслом, однако его система оказывается невоспроизводимой
современными средствами алгебры логики. В книгах, касающихся этой
проблемы (Гильберт и Аккерман 1847, Клини 1979, Колмогоров и Дра-
галин 1982), из 19 традиционных модусов силлогизма доказуемыми
признаются только 15, а об остальных, которые практически безупречны и не опровергнуты теоретически, говорят, что аристотелево
понимание предложения "Всякое ж есть у" (кстати, совпадающее с
обыденным пониманием его в естественных языках) расходится с принятым в математической логике. Почему нельзя средствами этой логики наряду с математическим пониманием выразить еще и аристотелево, не объясняют, но вместо того необоснованно упрекают Аристотеля в том, что будто его система не совместима с понятием пустого класса.
 Впрочем, предпринято немало попыток (правда, не математиками
("Логические исследования", 19633) "погружения" силлогистики в
логику предикатов, и существует уже ряд смоделированных таким путем силлогистик, но ни одна из них не является в точности аристотелевой, вследствие чего ряд продолжает удлиняться. Главная труд

- 124 -
 ность состоит, по-видимому, в том. как совместить законы подчинения частных посылок общим с силлогистическим законом исключенного
третьего.
 Ян Лукасевич, полагавший, что силлогистика - система, "точность которой посходит даже точность математической теории" -
не является ни . пией классов, ни теорией предикатов, а "существует отдельно от других дедуктивных систем, имея свою собственную
аксиоматику и свои собственные проблемы" [Лукасевич, стр. 1893.
осуществил аксиоматическое изложение аристотелевой системы средствами логики высказываний. В качестве аксиом силлогистики он принял "совершенные" аристотелевы модусы (модусы первой фигуры),
обозначенные в традиционной логике словами Barbara и Datisi, а
также явно не сформулированные Аристотелем "законы тождества":
"Всякое х есть х" и "Некоторое х есть х". Отрицательные суждения
определены им как комплементарные: общее - частноутвердительному,
частное - общеутвердительному. Законы подчинения Axylxy * Аху и
ЕхуОху * Еху получаются сочетанием модуса Dotist Axylyz-*lxz с
законом тождества 1хх:
 Axylxzlyz « Axylyz
 Axylxylyy » Axylyy
Axylxy a Axy
 A'xyvI'xy s A'xy
OxyvExy я Оху
ЕхуОху a Ely
 Однако нет гарантии, что предложенный набор аксиом в точности
отображает силлогистику Аристотеля - ведь сформирован он без выявления сущности рассматриваемых отношений А, Е. I, 0, путем собирания, можно сказать, вслепую характеризующих их тождеотв: все
ли и те ли приняты - неизвестно. Есть основания утверждать, что
не все. Например, не отображена ни симметричность отношений Е, I,
ни транспозитивность отношений А, 0, причем для выражения последней не видно возможности, поскольку рассматриваются только неотрицательные термины. Приведя пример выражения, которое совместимо
с его аксиомами и не является истинным в силлогистике. Лукасевич
заключает: ”... система наших аксиом и правил недостаточна для
 того, чтобы дать полное И точное описание аристотелевской силлогистики" [Лукасевич, стр. 152].
 Это заключение верно, хотя и не следует из приведенного приме
 Аху - "Всякое х есть у"
 1ху - "Некоторое х есть у"
Еху - "Никакое х не есть у"
Оху - "Некоторое х не есть у"

- 135 -
 ра: ведь непротиворечив аксиомам - это необходимое, но вовсе не
достаточное условие истинности (общезначимости) выражения. В силлогистике, как и во всякой системе, подавляющее число выражений
не истинны и не ложны (не даны и не невозможны), а, как говорил
Аристотель, "привходящи", т.е. функции своих аргументов, их нельзя ни принять, ни "отбросить". "Отбрасывается1, т.е. исключается,
только то, что несовместимо с аксиомами - зто единственное законное "правило отбрасывания".
 Далее других в истолковании и алгебраизации силлогистики продвинулся Льюис Кзррол [Кзррол, 19731. стремившийся, как и Аристотель, не слепо формализовать рассуждение, а выявить смысл естественноязыковых оборотов речи, таких как "Всякое есть", "Никакое не есть", и выразить его при помощи символов, обозначающих
базисные элементы смысла. Решающим моментом в этом явилось изобретение диаграммы, наглядно представляющей сущность отношений, но
вместе с тем (а может быть, и благодаря тому) Кзррол подошел к
силлогистике с более общих позиций, не рассматривая ее как систему "неотрицательных терминов", а допустив применение к терминам
булева отрицания.
 Еще одним важным достижением представляется осознание Кэрролом
того, что общеутвердительное суждение "Всякое х есть у" (в традиционном обозначении - Аху) "содержит в себе" частноутвердительное
суждение "Некоторое х есть у" - 1ху. Это равносильно раскрытию
сущности аристотелева закона подчинения для утвердительных суждений: Ахул1ху в Аху.
 К сожалению, построенная Кэрролом путем уточнения смысла суждений система (а вернее, оба ее варианта [Carrol. 19771) все-таки
отлична от аристотелевой силлогистики. В ней не соблюден закон
транспозитивности общеутвердительного суждения: Аху = Ау'х' и,
кроме того, общеотрицательное суждение "Никакое х не есть у" -
Еху вопреки аристотелеву не содержит в себе частноотрицательного,
т. е. нет закона подчинения для отрицательных суждений. Вернее
сказать. Кзррол различает суждения "Никакое х не есть у" и "Всякое х есть не-у”. полагая, что первое, названное им общеотрицательным, не содержит своего частного, а второе, в сущности тоже
общеотрицательное, хотя по форме отнесенное к общеутвердительным,
- содержит.
 В представлении на диаграмме кзрролово истолкование суждений
выглядит так:

- 136 -
 о
 Ежу Aiif
 Как видно, суждение "Всякое ж есть у" истолковано в смысле отношения актуальной достаточности ж для у, т. е. ж*у, суждение "Некоторое ж есть у" понимается как Ужу - "Существование жу" (Кзррол
так и называет его - "суждение существования"); суждение "Никакое
ж не есть у” означает Уху - "Несуществование ху"; суждение "Всякое ж есть не-у" трактуется как актуальная достаточность ж для
У. ж>=у'. Сопоставление Ажу с Ау'ж' показывает, что отношение А
нетранспозитивно, т.е. не является аристотелевым.
 Следует заметить, что Кзррол не преследовал цель реконструировать аристотелеву силлогистику, а стремился при помощи диаграммы
и эквивалентной ей символьной системы выявить точный смысл выражений естественного языка, истолковывая их так. чтобы пользователи не испытывали неудобства. Другими словами, он повторил с самого начала и ту часть работы, которая была уже успешно выполнена
Аристотелем. Результата не совпадают, но предпочтение следует отдать аристотелевым, как полнее удовлетворяющим требованию минимизации неудобств.
 Действительно, едва ли удобна система, в которой из "Все ж
суть у" не следует "Все не-у суть не-ж" или из "Никакой ж не есть
у" не следует "Некоторый ж не есть у". Отрицание первого из этих
следований противоречит практике и здравому смыслу. В случае второго имеется свобода выбора - понимать ли "никакой" как "ни один
из имеющихся" или допустить, что "никакой ж" может означать также
и "не существует ни одного ж", подобно тому как математики допускают несуществование и для "всякого ж". Можно сказать, что математики выбрали наиболее простой и абстрактный смысл, а Аристотель
- точнее отображающий реальность, в которой того, что невозможно,
заведомо нет.
 Пожалуй, выбор Кзррола следует признать наименее удобным, так
как для суждений с "всякое", "все" он принял истолкование в духе
Аристотеля, а для суждений с "никакой", "ни один" - математическое истолкование, причем и те и другие по существу могут быть как
утвердительными, так и отрицательными. Разумнее будет подчиниться
традиции, отождествив "Никакое ж не есть у" и "Всякое ж есть
 Ажу
 1жу
 о
 х
 Ау'ж'

- 137 -
 не-у" - оба в аристотелевом смысле, а то, что имеют в виду математики, обозначать (как это Кэррол и делает в качестве варианта)
суждением существования "Не существует ху", которое едва ли может
быть истолковано по Аристотелю. Должно быть, в этом суть разделения Кэрролом суждений на "суждения существования" и "суждения отношения".
 К такому же решению приводит и раскрытие смысла суждений путем, так сказать, математического моделирования их [Брусенцов.
1971]. Например, чтобы установить, выполняется ли в рассматриваемой ситуации отношение, обозначенное суждением "Всякое х есть у",
надо перебрать все объекты, обладающие атрибутом х, проверяя каждый из них на присущность атрибута у. Если у присуще всем х. отношение выполнено; если хотя бы один из объектов х не обладает
атрибутом у. отношение не выполнено. Но имеется еще случай, не
подпадающий ни под одно из этих условий - ситуация, в которой не
оказалось ни одного объекта, обладающего атрибутом х. В этом случае проверяемое отношение не определено, и суждение "Всякое х
есть у" принимает значение "неопределенность". Алгебраически зто
выражается в виде:
 ' 1 при VxV'xy'
 Лу = • 0 при Уху'
 X
 t при V'.x
 Сущность соответствующего суждения существования "Не существует ху'" составляет двузначное отношение, характеристическая функция которого есть Уху'.
 Но зто все еще не аристотелева силлогистика - суждение "Всякое
х есть у" не транспозитивно, а суждений существования у Аристотеля вообще нет. Нетрудно сообразить, как может быть обеспечена
транспозитивность: суждение Аху должно быть вместе с тем и суждением ку'х'. т.е. они должны быть совмещены. При этом характеристическая функция уточненного таким образом отношения будет:
 ЛуЛх а
X у'
 1 при VxVy'V'xy'
 0 при Уху'
 1 при VxvV'y'
 Нельзя не заметить сходства ее с характеристической функцией
отношения следования х=»у, описанной в конце предыдущего раздела:

- 138 -
 х=>у
 1 при VxVy'
 0 при Vx'VyVxу'
 1 при V'xvV'x'vVyvV'y
 Различие лишь в том, что отношение следования в ситуации
V'x'vV'y признается неопределенным, а транспозитивное отношение,
сопоставленное суждении "Всякое х есть у", в этой же ситуации является не неопределенным, а неудовлетворенным. Такое имеет место,
например, когда все рассматриваемые объекты обладают атрибутом х,
но не все обладают атрибутом у, или когда все обладают атрибутом
у', но не все х'.
 С точки зрения "здравого смысла", т. е. буквального смысла словосочетания "Всякое х есть у" никакой некорректности в данном истолковании его обнаружить нельзя. Но зто как раз тот случай, когда не все высказано буквально (другим таким случаем является не
учтенная Кзрролом транспозитивность) и "здравый смысл”должен быть
осторожным и смекалистым.
 Так вот, у Аристотеля отношение "Всякое х есть у" в обсуждаемой ситуации признается неопределенным, а значит полностью совпадающим (тождественным) с отношением следования х=»у. Правда, сам
Аристотель об этом не сказал, по-видимому, не заметив, что отношение "Всякое А есть Б", которое он выражал также словосочетаниями: "Б присуще А", "Б сказывается об А", "А содержится в Б", "А
подчинено Б" (по объему), есть не что иное как отношение необходимого следования Б из А, безукоризненно определенное им в уже
цитированном отрывке из "Первой аналитики" [57Ь 1-4). Поразительно, что и по сей день этого не заметили его бесчисленные последователи, комментаторы и оппоненты.
 Доказательство того, что общеутвердительное суждение в аристотелевой силлогистике обозначает указанное отношение необходимого
следования, основано, естественно, на законах силлогистики и заключается в том, что совместить в рамках одного и того же универсума законы подчинения
 Ахул1ху s Аху, ЕхулОху = Еху
 с законом исключенного третьего, т. е. с комплементарностыо
1ху = Е'ху, Оху е А'ху.
 удается именно в универсуме Аристотеля, предполагающем билатеральную актуальность терминов.

- 139 -
 В самом деле, ситуация, удовлетворяющая отношению Аху. т.е.
исключающая существование объектов вида ху', в этом универсуме
означает:
 VxVx'VyVy'AV'xy' = VxVy'V'xy' * VxyV'xy'Vx'y'
 Ситуация же, в которой отношение Аху не соблюдено (существуют
объекты вида ху'), оказывается, соответственно, следующей:
 VxVx'VyVy'лУху' е Vx'VyVxy'
 Отрицание первой из этих ситуаций в аристотелевом универсуме
(дополнение до аристотелева универсума) тождественно второй:
 (VxVy'V'xy')'VxVx'VyVy' » (V'xvV'y'vVxy')VxVx'VyVy' = Vx'VyVxy'
 Значит, силлогистический закон исключенного третьего имеет место
именно в аристотелевом универсуме.
 Соблюденность законов подчинения, которые фактически являются
законами необходимого следования, поскольку импликация в универсуме Аристотеля непременно оказывается следованием, проверяется
путем тождественного преобразования конъюнкции Axylxy, в которой
 1ху * Е'ху » VxyVx'Vy'
 Axylxy = VxyV'xy'Vx'y'л Vxi/Vx'Vy' e VxyV’xy'Vx'y' s axy
 Аналогично проверяется соблюденность другого закона подчинения.
 Нетрудно заметить, кстати, что каждому из общих суждений подчинено по два частных суждения, например:
 Axylxy 5 Аху, Axylx'y' = Аху
 В традиционной силлогистике это не обнаруживается, потому что ограничиваются "неотрицательными”, а вернее - не отрицаемыми, терминами.
 С использованием отрицательных терминов выявляются еще два общих и два частных вида силлогистических суждений. Один из них
представляет собой обратную присущность (обратное следование):
 Аух = Ах'у'
 Другой, соответствующий словосочетанию "Всякое не-х есть у"
или "Никакое не-х не есть не-у". представляет отношение актуальной несоисключенности х, у. удовлетворяемое теми ситуациями, в
которых при наличии объектов х' и у' исключено х'у':
 Вху = Ах'у * Ех'у'

- 140 -
 Два новых вида частных суждений выражаются как ix'y и lx'у’
или Ох'у и Ох'у.
 В дополненной таким образом силлогистике имеет место двойной
логический квадрат и насчитывается 192 правильных модуса [Брусенцов, 1982]. Вместе с тем полная система проще "неотрицательной",
благодаря единству и регулярности: всякое общее суждение транс
 формируемо в суждение вида А, использующее отрицание терминов,
всякое частное - соответственно, в суждение вида I. Таким путем
все сводится к "совершенным" (очевидным) модусам, которые Аристотель, а за ним и Лукасевич принимали в качестве аксиом, так что в
построении и исследовании громоздкого формализма фигур нет необходимости. Более того, не требуется и принимать какие-либо модусы
за аксиомы, поскольку они доказуемы, исходя из строго определенной сущности суждений при помощи диаграмм, как это сделал Кзррол.
или средствами алгебры множеств.
 Уточненное с учетом аристотелева универсума отношение "Всякое
I есть у" (оно же отношение следования у из х и отношение присущности у I) в общем универсуме представлено характеристической
функцией:
 Аху - уxVy'V'xy'v t(V'xvV'x'vV'yvV'y')
 Комплементарное ему отношение "Некоторое х не есть у", обозначаемое Оху или 1ху', характеризуется комплементарной функцией:
 Оху * А'ху a Vx'VyVxy'v KV'xvV'x'vV'yvV'y')
 Характеристические функции других силлогистических суждений получаются из Аху и Оху отрицанием в них одного из (или обоих) терминов, например:
 Еху а Аху' = VxVyV'xy v KV'xvV'x'vV'yvV'y')
 Ixy a Оху' = Vx'Vy'Vxy v KV'xvV'x'vV'yvV'y')
 На диаграмме Кзррола ситуации, в которых соблюдены общие суждения, отображаются для каждого из них так:
 Аху
 Аух
 Вху
 ЕХУ
 Им соответствуют ситуации, в которых соблюдены частные сужде-

141 -
 ния, представляющие собой отрицания перечисленных общих:
 I®' у'
 Каждому из двух расположенных слева общих суждений подчинены
оба расположенные справа частные, а каждому из двух общих, расположенных справа, подчинена пара частных, расположенных слева.
 Общие, расположенные слева, совместимы друг с другом и их
конъюнкция дает отношение равносильности (силлогистической эквивалентности) х«у, которому соответствует ситуация, составляющая
строгое множество, и характеристическая функция, принимающая значение 1 только в этой ситуации:
 АхуАух =
 * VxyV'xy'Vx'yVx'y' v
v I(V'xvV'x'vV yvV у')
 Аналогично, правая пара общих суждений, если они совмещены,
дает силлогистическую антизквивалентность х»у‘:
 ЕхуЕх'у' =
 s V'xyvxy'Vx'yV'x'y' у
v t(V xvV'x'vv'yvV'y')
 "Левые" и "правые" общие суждения друг с другом попарно несовместимы.
 Частные суждения могут быть совмещены даже вчетвером и непременно совмещаются как минимум по два. Например, если дано 1ху. то
вместе с тем либо дано 1х'у\ либо даны Оху и Оух. либо все три.
Поэтому, если отрицается общее суждение, то тем самым отрицается
или совместимое с ним общее суждение, или оба несовместимых, или
вообще всякое общее суждение.
 Следует еще раз указать на то, что для каждого из восьми основных силлогистических отношений, сущность которых однозначно
определена приведенными выше алгебраическими выражениями и равно

- 142 -
 сильными им ситуациями на диаграмме Кзррола, существует и практически используется чрезвычайно много различных наименований и
обозначений. Так, отношение Аху, помимо перечисленных выше словесных обозначений, употреблявшихся Аристотелем, может быть обозначено и обозначается словами "из х следует у". "х влечет у",
"если х, то у", "не может быть х без у", а также символами-связками, из которых наиболее употребительна двойная стрелка
Кроме того, применяя отрицание терминов, каждое силлогистическое
отношение можно свести к любому другому из этих отношений, например:
 Аху а Еху' а Вх'у S Ау'Х' з О'ХУ = 1'ХУ' а О'У'х'
 Располагая алгебраическими выражениями суждений силлогистики и
наглядным представлением их на диаграмме Кзррола, можно целенаправленно и доказательно установить и все другие отношения, которыми связаны друг с другом те или иные из этих суждений. В частности, имеется возможность доказать или опровергнуть "аксиомы"
силлогистики, не высказанные явно Аристотелем и потому вызывающие
сомнение - соответствуют ли они истинному духу его системы корректного отображения реальности или искажают ее, подменяют чем-то
чуждым ей.
 К такого рода аксиомам относятся прежде всего введенные Лука-
севичем со ссылкой на Лейбница "законы тождества'1 Ахх и 1хх [Лу—
касевич, стр. 89 и 184]. Поскольку известны выражения Аху и 1ху,
то проверка "законов тождества" может быть сведена к рассмотрению
этих выражений применительно к случаю, в котором термин у тождествен термину х:
 Ахх * (Аху)увх з (VxVy'V'xy')ysX 3 VxVx'V'xx' a VxVx'
 Ixx a (Ixy)y_x = (Vx*Vy'У/ХЦ) ySJ. a Vx'Vx'VXI ■ VxVx'
 Теперь понятно, почему зти законы вызывают возражения - они
действительны только в универсуме Аристотеля. Но Лукасевич в данном случае безупречно прав: он ведь создавал аксиоматику силло
 гистики. т.е. именно аксиоматику аристотелева универсума. Следует
заметить, что ixx следует из Ахх по закону подчинения для утвердительных суждений, которого Лукасевич в свою систему аксиом непосредственно не включил.
 Венцом силлогистики Аристотеля является, как известно, сам
силлогизм - отношение следования из конъюнкции двух суждений, по

143 -
 парно связывающих три термина, суждения относительно третьей пары
терминов. Алгебраисты соответствующую операцию называют произведением отношений [Мальцев, стр. 18].
 Из трех терминов х,y,z возможны три различных по составу пары
(сочетания) - ху, xz, yz. Пара терминов может быть связана восемью различными отношениями, обозначенными общими и частными
силлогистическими суждениями. Непротиворечивая конъюнкция отношений с различными сочетаниями терминов представляет собой тернарное отношение, связывающее тройку x.y.z, причем из него могут
следовать бинарные отношения для х и у, или х и z. или у и z.
 Силлогизмом, или правильным модусом силлогизма, как уже сказано. называют следование из конъюнкции двух суждений с различными
парами терминов суждения, связывающего термины третьей пары. Например, из совмещения отношений, связывающих х с у и у с z может
следовать связь х с z. Поскольку имеется всего три пары терминов,
то при употреблении двух из них в совмещаемых суждениях, называемых посылками, для третьего суждения (заключения) всегда остается
пара, отличная от занятых в посылках.
 Выходит, что отношение, связывающее друг с другом термины заключения. выводится из связей, заданных в посылках на иных парах
терминов, и поэтому говорят, что силлогизм позволяет получить в
заключении новое знание, информацию, которой нет в посылках. В
каждой из посылок ее действительно нет, но в их конъюнкции,
представляющей отношение, которым связаны между собой все три
термина, заключение, если оно возможно, содержится полностью. Говорить можно лишь о выявлении или выделении из данного тернарного
отношения искомого бинарного.
 Когда суждения представлены алгебраическими выражениями, для
которых установлены законы тождественного преобразования, или
отображены на диаграмме, для которой имеются соответствующие правила. проблема силлогистического вывода или доказательства правильности силлогизма решается очень просто. Выражение тернарного
отношения задается в виде конъюнкции посылок, т. е. в КНФ, а затем
преобразуется таким образом, чтобы подвыражение, представляющее
заключение, составляло один из членов КНФ, тождественной заданному выражению.
 При этом имеется три возможности: 1) предполагаемое заключение
противоречит заданному тернарному выражению - силлогизм заведомо
невозможен: 2) противоречия нет, но заключение не содержится или

- 144 -
 частично содержится в заданном выражении, является по отношению к
нему привходящим - силлогизм возможен, но не необходим, не дан;
3) заключение полностью содержится в выражении тернарного отношения - силлогизм доказан.
 Продемонстрировать технику применения описанной процедуры вывода-доказательства проще всего на конкретных примерах. Скажем,
доказательством модуса AxyEyz » Exz:
 AxyEyz = (VxVy'V'xy') (VyVzV'yz) = AxyEyzVxVzV'лу'V'yz a
в (AxyEyz)A(VxVzV'xy'zV'xy'z'V'xyzV'x'yz) -
 i i
 s (AxyEyz)(VxVzV'xz) * (AxyEyz)Exz
 Если отвлечься от однобуквенных дизъюнктов Vx. Vx', Vy
 памятуя, что в рамках аристотелева универсума они безусловно даны. то дело сводится к доказательству тождества
 V'xy'V'yz * V'xy'V'yzV'xz
 представляющего собой гипотетический (потенциальный) силлогизм.
Сущность его в том. что V'xz подчинено (содержится в) V'xy'Vyz.
Кстати, кзрроловы отрицательные суждения существования. т.е.
"суждения несуществования", например. "Никакое х не есть у”, истолкованное как "Не существует ни одного ху", принадлежат именно
к гипотетической, а не к актуальной аристотелевой силлогистике.
 Для наглядности приведенное доказательство можно воспроизвести
на трехбуквенной диаграмме Кзррола. Эта диаграмма получается из
двухбуквенной добавлением третьего разбиения универсума - на
z/z'. которое осуществляется при помощи "концентрически" вписанного квадрата, внутри которого расположена область z, поделенная
на классы xyz. xy'z, x'yz. x'y'z, а вне - область z', включающая
классы xyz'. xy'z', x'yz', x'y'z'. Для обозначения пустоты или
непустоты классов, разбиением которых получены перечисленные индивидные классы, нолик или крестик помещается, как и в двухбуквенной диаграмме, на разделительных перегородках, а также на пересечениях перегородок. Так, непустота класса z обозначается
крестиком, находящимся на пересечении перегородок х/х' и у/у' в
центре универсума, непустота класса х - на пересечении перегородок у/у' и z/z' в верхней части и т. д.

145 -
 Примеры:
 Доказательство рассматриваемого модуса на диаграмме производится так:
 Пример доказательства силлогизма с частной посылкой:
 Axylxz = (VxVy'V'xy')(Vx'Vz'Vxz) = VxVx'Vy'Vz'A
 aV'xy'zV'xy'z'(VxyzvVxy'z) = VxVx'Vy'Vz'V'xy'VxzVxyz =
	 I
 s Axylxz(Vy'Vz'Vyz) = Axylxzlyz
 6 3.K. 831

- 146 -
 Пример силлогизма с общими посылками и частным заключением.
Кстати, такого, который с точки зрения традиционной логики невозможен - она учит, что из двух отрицательных посылок нельзя вывести никакого заключения.
 ExyEyz = (VxVyV'xy) (VyVzV'yz) = VxVyVzV'xyV'yzVx'yz' =
 = ExyEyz(VxVzVx'z') = ExyEyzIx'z'
 Применительно к паре конкретных посылок, приведенной в учебнике логики Г.Челпанова [Челпанов. стр. 813:
 Химия не есть гуманитарная наука
Математика не есть химия
данное заключение выражается словами
 Некоторая не-гуманитарная наука не есть математика
 Понятно, что подобное заключение не выразимо в системе с неотри-
цаемыми терминами, но отнюдь не невозможно.

- 147 -
 Примером пары посылок, не составляющей силлогизма, т.е. не
позволяющей установить определенное отношение между крайними терминами. кроме пар. в которых обе посылки частные, может служить
следующая пара с одной общей и одной частной посылкой:
 Axylyz ■ (VxVy'V'xу') (Vy'Vz'Vyz) = AxylyzVyz =
 = Axylyz(VxyzvVx'yz) ■ Axylyz(VxzvVx'z) = Axylyz(lxzvlx'z)
 гт~
■ ?
 X
 Аху
 —:
 1
 с—О
1
 X
 X
 1
 Axylyz
 Как видно, из Axylyz с необходимостью следует дизъюнкция
Ixzvlx'z, но не следует ни Ixz. ни Ix'z. Другими словами, если
дано Axylyz, то возможно дано Ixz. возможно Ix'z. возможно даже
Ixzlx'z, причем одно из них непременно дано, однако нет определенности которое, а значит и нет определенного заключения.
 Содержательный анализ проведенных рассуждений показывает, что
процедура отыскания силлогистического заключения в последнем примере работала вхолостую. Ведь дизъюнкция Ixzvlx'z в условиях
трехкритериального универсума необходимо следует из iyz и без
участия Аху. из которого также независимо выводимы Ixzvlxz' и
lx'zvix'z'. Посылки в этом примере просто никак не связаны, не
затрагивают друг друга. Если взять, например, Аух вместо'Аху. то
взаимосвязь появится, и заключение будет однозначным: Ayxlyz =
 = Ayxlyzlxz. т.е. Ayxlyz = Ixz. поскольку альтернатива Ix'z несовместима с Аух.
 Аппарат алгебры множеств и диаграммы Кэррола, использованные
для доказательства силлогизмов, являются универсальными средства-
 б«

- 148 -
 ми в том смысле, что обеспечивают отыскание возможных следствий
из ситуации, заданной не обязательно конъюнкцией силлогистических
суждений и не только в аристотелевом универсуме. Если же проблема
заключается именно в доказательстве силлогизмов, то можно предложить более простой специализированный аппарат, основанный на приведении рассматриваемой пары посылок к виду, совпадающему с одним
из принятых в выражениях "совершенных" силлогизмов:
 AxyAyz = Axz,
 AyxAyz = Ixz.
kyxlyz - ixz,
 Axylyz - нет заключения.
 При преобразованиях посылок используются тождества типа Еху =
= Аху', Оху ■ 1ху', симметричность отношений Е, В, I. транспозитивность А и 0. а также замена переменных отрицаемой на неотрица-
емуто, неотрицаемой на отрицаемую во всех вхождениях, а затем такая же "обратная" замена в полученном заключении. Разумеется,
имена терминов следует сопоставить х, у, z, где у - средний термин.
 Например, пара ExyEyz тождественна Axy'Ayz', что преобразуется
в желаемом направлении использованием транспозиции Аху' = Аух'.
Результат: Ayx'Ayz' совпадает с парой посылок второго совершенного силлогизма после инвертирования х и z. Поэтому для получения
искомого заключения надо взять заключение "совершенного", инвертировав в нем х и z, что даст Ix'z'.
 Дальнейшей унификацией системы может быть сведение ее к единственному базисному отношению Аху (т.е. к отношению необходимого
следования х • у), которое в сочетании с булевыми связками достаточно для выражения всех прочих отношений силлогистики. Так,
Оху = А'ху, Еху s Аху'. 1ху з А'ху', (х«у) ■ АхуАух и т.д.
 В этой системе можно вместо силлогистических обозначений А. I,
Е, 0 ограничиться обозначением одного только базисного отношения,
причем в инфиксной форме: х = у и истолковываемого как необходимое (аристотелево) следование. Таким образом получится та самая
система непарадоксального следования (строгой, или сильной, импликации). к которой стремились Льюис, Аккерман. Карнап и многие
другие. Она полностью параллельна системе материальной импликации
в логике высказываний, но находится не в универсуме Хрисиппа -
Буля, а в универсуме Аристотеля.

- 149 -
 Одно и то же "чисто потенциальное" следование Уху' в универсуме Хрисиппа - Буля удовлетворяется в ситуации У'ху'У(х'vy), а в
универсуме Аристотеля - в ситуации V’xy'VxVy'. В первом случае
цредполагается существование объекта, который должен относиться к
классу x'vy, а во втором требуется множество объектов этого класса. непременно содержащее обьекш классов х и у'. Другими словами, хрисиппово удовлетворение свидетельствует о допустимости
рассматриваемого объекта в качестве члена множества, удовлетворяющего отношению следования х • у, в то время как аристотелево означает данность самого отношения, носящего множественный характер. Хрисипповы отношения определены на классах и представимы однокомпонентными множествами, аристотелевы определимы лишь в терминах многокомпонентных, "множественных" множеств.
 Чтобы устранить возникающее обычно недоразумение с квалификацией связок (нацример: что есть импликация - отношение или функция). здесь не лишне еще раз напомнить, что всякому отношению соответствует его характеристическая функция, выражаемая при помощи
связок, префиксных, инфиксных или постфиксных, и принимающая значение 1 в случаях, когда отношение удовлетворено, значение О,
когда удовлетворить его невозможно, и значение i в случаях неопределенности. Ради краткости речи символ (функтор) характеристической функции называют также знаком соответствующего отношения.
 Несколько слов следует сказать о так называемой "модальной
силлогистике", которая по мнению Лукасевича "почти непостижима
вследствие содержащихся в ней многих дефектов и цротиворечий"
[Лукасевич, стр.192).
 Прежде всего должно быть ясно, что силлогистически выведенное
заключение необходимо только при условии, что необходимы обе посылки силлогизма, т.е. следующее из рассматриваемых посылок заключение дано лишь в случае данности посыпок. Необходимость заключения означает необходимость всех подчиненных ему суждений и невозможность всех несовместимых с ним. Например, если Axz необходимо. то необходимы (даны) также Az'x', Ixz, Izx. Ix'z' и Iz'x'.
а невозможно Oxz, оно же Oz'x', и подчиняющие его Exz, Ezx, Bxz.
Bzx. Все прочие суждения (отношения) возможны, но не необходимы.
 В случае, когда из данных посылок определенное заключение не
следует, между крайними терминами силлогизма возможно, но не необходимо любое силлогистическое отношение, т. е. ни об одном из
них нет определенности.

150 -
 Если же хотя бы одна из посылок утверждает лишь возможность
выражаемого отношения или не является данной, то определенного
заключения не может быть, т. е. опять между крайними терминами
возможно, но не необходимо любое силлогистическое отношение.
 В заключение уместно привести пример физической модели силлогистики в духе простого эксперимента, описанного Я, Лукасевичем в
следующем примечательном отрывке (Лукасевич, стр. 282]:
 "... Истина a priori всегда является синтетической. Однако она
представляет собой не результат некоторой таинственной способности разума, а следствие весьма простых экспериментов, которые могут быть повторены в любое время. Если в результате осмотра я
знаю, что в некоторой урне содержатся только белые шары, то я могу a priori сказать, что из нее будет извлечен только белый шар.
А если урна содержит белые и черные шары и два из них вынуты, то
я могу a priori предсказать, что при этом могут встретиться только четыре возможные комбинации: белый и белый, белый и черный,
черный и белый, черный и черный. Аксиомы логики и математики основываются на такого рода экспериментах; никакого существенного
различия между априорными и апостериорными науками нет".
 Урна Лукасевича с белыми и черными (т.е. "не белыми", поскольку иных "не белых" нет) шарами - это воплощение однокритериального универсума, в котором критерий ж конкретизирован как "белый".
Ситуации,' в которой урна содержит только белые шары, соответствует выражение VxV'x', урне с черными шарами - VxVx'. урне, содержащей и белые, и черные шары - VxVx', пустой урне - VxV'x'.
 Эксперимент можно развивать в разных направлениях. Например,
можно помимо белых и черных допустить шары иного цвета - красного, синего и т.д., но только не пестрые, а каждый одного из цветов. Это будет модель однокритериального универсума с многозначным критерием "цвет" и конкретными цветами в качестве атрибутов.
Можно допустить пестрые, многокритериальные шары с ортогональными
критериями присущности/неприсущности им конкретных цветов - бе-
лый/не-белый, красный/не-красный. Урна станет моделью многокритериального универсума с дихотомическими критериями.
 Такая урна моделирует универоум Хрисиппа - Буля, если в отношении каждого из критериев х. у. г по которым распознаются
 рассматриваемые объекты (шары), принято условие вида V'xV'x'v
vVxVx' а о. это условие равносильно тому, что ситуацию признают
неопределеннг.й, если в урне нет шаров, связанных с одним из рас

- 15 i -
 сматриваемых критериев, или имеются шары отвечающие и шары не отвечающие одному и тому же критерию.
 Урна будет моделью универсума Аристотеля, если, наоборот, потребовать, чтобы в ней по каждому критерию непременно находились
как удовлетворяющие, так и не удовлетворяющие ему шары, т.е. принять VxVx' VyVy'VzVz'... = 1, или в отрицательном выражении: V'xv
 vV'x'vV'j/vV'y'vV'zW'z'v... ■ 0.
 Конкретный силлогистический эксперимент с тремя терминами,
скажем, "красный", "зеленый", "синий", можно осуществить, имея
восемь различных шаров-индивидов: КЗС, КЗС', КЗ'С. КЗ’С', К'ЗС,
 К'ЗС', К'З'С, К'З'С'. Символ отрицания истолковывается здесь как
аристотелева "лишенность", например, КЗС' означает наличие красного и зеленого цвета, но отсутствие (лишенность) синего, а
К'З'С' соответствует неокрашенному шару.
 Урна, содержащая шары всех восьми видов, воплощает полный универсум, являющийся, кстати, и аристотелевым. Если удалить из нее
шары, обладающие атрибутом КЗ' (т.е. КЗ'С и КЗ'С'), то всякий находящийся в урне К-шар непременно будет и 3-шаром ("Всякое К есть
3"). В том, что это действительно так, можно убедиться путем непосредственного осмотра (перебора) содержимого урны.
 Далее, если удалить из урны также шары с атрибутом ЗС'. т.е.
наложить условие "Всякое з есть С", то для оставшихся шаров КЗС.
К'ЗС, К'З'С. К'З'С'. как нетрудно видеть, оказывается справедливым условие "Всякое К есть С". Подобными экспериментами можно
удостовериться в истинности и всех других положений силлогистики.
 2.7. 	О сущности отображений
 Рассмотренная в этой книге версия расширения и развития булевой алгебры и соответствующее ей графическое представление отношений на диаграмме Кэррола позволили однозначно воссоздать заложенное Аристотелем основание информатики, полностью сохранив его
животворный неформальный характер и прояснив причины "нестыковки"
силлогистики с современной математической логикой, а также нео-
тображенности в последней отношения актуального следования и модальностей. Наиболее очевидным результатом этой алгебраизации
силлогистики является устранение причины, обусловившей раздвое1
ность основания информатики на гуманитарное и математическое: почитаемая гуманитариями силлогистика обретает единообразное мате

- 152 -
 матическое оформление, а "метаматематика" получает в виде органически расширяющего ее неординарного набора отношений реальную
возможность восполнить имеющиеся пробелы, причем на особо актуальных направлениях.
 Надо полагать, что не меньшее значение имеет возрождение присущего Аристотелю неформального, осмысленного способа рассуждения
(манипулирования информацией), а также аристотелева критерия истины. требующего соответствия результатов рассуждения опыту,
практике, бытию. Непременным условием удовлетворения этому критерию является принятое Аристотелем в качестве очевидного и безусловного начала положение о недопустимости противоречия (кстати, и
в наше время все еще многими оспариваемое). По существу, корректное рассуждение ведется не иначе как путем уклонения от противоречий. и только таким путем достигается оправдывающийся на практике вывод. Если же соответствия бытию не требовать и называть
рассуждением всякий бред, то аристотелево начало не будет необходимым и даже окажется помехой. Поэтому те. кто пользуется рассуждением в достойных практических целях, вынуждены исходить из
аристотелева начала, а для тех. кто рассматривает информатику как
забаву или ищет в ней возможности для надувательства, оболванивания. порабощения и других сатанинских поползновений, это начало
неприемлемо, и они всегда будут против него.
 Наиболее существенное методологическое уточнение, потребовавшееся в воссоздаваемой силлогистике (а впрочем, и в используемой
при этом алгебраической системе), заключается в проведении отчетливого разграничения между отображением и отображаемым объектом
("бытием"). Аристотель, как правило, не различает отображаемого
(объективной реальности) и отображения - отображающей информации,
т. е. образа реальности, порожденного процедурой отображения. Даже
"Начало" формулируется им то как онтологический, то как информационный закон, хотя во всех случаях имеется в виду одно единственное начало, ибо другого нет. Например: "... в одно и то же
время быть и не быть нельзя" ["Метафизика”, кн.4, 1006а 4] и
"... не может кто бы то ни было считать одно и то же существующим
и не существующим" [там же, Ю05Ь 23] или "... противоречащее одно другому не может сказываться вместе” [ioo7b 18].
 Подобное отождествление образа с прообразом, отнюдь не изжитое
и з современной науке, следует расценивать по меньшей мере как
далеко не безобидную небрежность: немало проблем и парадоксов

- 153 -
 возникает на этой почве. Совершенно очевидно, что реальность и
какое бы то ни было ее отображение - вещи неотовдествимые. Реальность конкретна, непрерывна, беспредельна и динамична, отображения неизбежно абстрактны, дискретны, фрагментарны и, как правило,
статичны. Реальность одна и едина, охвачена бесчисленными взаимосвязями. Корректных, не противоречащих друг другу, но различных
отображений даже небольшого фрагмента реальности может быть много. и ни одно из них. ни все они в совокупности многообразия взаимосвязей не исчерпывают. Практически же отображение ориентировано обычно на одну из сторон реальности, составляющую предмет проводимого исследования, и ограничивается учетом наиболее существенных в этом смысле взаимосвязей. Короче, отображение не следует
ни смешивать, ни. тем более, отождествлять с отображаемым объектом, наоборот - надо постоянно иметь в виду, что это вещи разные,
и стремиться выяснить, в чем разница.
 Формалисты не склонны трактовать информацию как отображение, и
поэтому необходимость указанного различения у них заведомо исключена (как и сама реальность). Они настаивают на ином различении,
а именно, что надо строго различать логику и язык исследуемой информационной системы от логики и языка, при помощи которых ведется это исследование. Иначе будто бы возникает парадокс: для изучения логики придется пользоваться самой логикой СКлини. стр.11].
 Эта концепция диаметрально противоположна аристотелевой и несостоятельность ее очевидна. Во-первых, нет никакого парадокса в
том, что логика будет средством исследования самой себя: ведь все
исследования действительности производятся в самой действительности и при помощи действительности - иной возможности нет.
Во-вторых, логика мира едина, как и сам мир. поэтому непонятно, в
чем и для чего надо отличать "логику и язык исследователя" от
"логики и языка объекта". В третьих, если принять, что для изучения "логики объекта" необходима отличная от нее “логика исследователя". то для изучения "логики исследователя" потребуется "вторая логика исследователя", отличная от первой, а для второй потребуется третья - возникает бесконечная рекурсия, которая и
представляет собой искомый парадокс.
 Многообразие отображений обусловлено не в последнюю очередь
тем. что возможны и существуют различные системы отображения, что
в каком-то смысле аналогично различным системам координат - прямоугольных, сферических, эллипсоидальных, хотя и не исчерпывается

- 154 -
 этой аналогией. Примером, позволяющим пояснить, о чем речь, может
служить сопоставление булевой алгебры с алгеброй множеств, а также сопоставление отображений в различных универсумах алгебры множеств. Во всех этих системах отображение строится на основе дихотомических критериев х. у, z в отношении которых оцениваются
 и характеризуются рассматриваемые объекты. Однако условия рассмотрения и соглашения о том, что рассматривается и как отображается, различны, и это приводит к многообразию систем отображения.
 В булевой алгебре рассматриваемый объект характеризуется как
единое целое, относимое по каждому из заданных критериев к одному
из двух комплементарных классов, например, к классу х или к классу х'. В случае неполной информации оценки по некоторым критериям
может не быть или используются менее строгие критерии, выраженные
дизъюнкциями заданных, например: xvy, xvy'vz. Конъюнкция всех
этих частных оценок является составной характеристикой по всем
учтенным с возможной определенностью критериям. Она выражает атрибут класса в пространстве заданных критериев, к которому по
имеющейся информации относится рассматриваемый объект. В случае
исчерпывающей информации это индивидный класс, представленный
элементарной конъюнкцией исходных критериев или их отрицаний. В
случае полной неопределенности по всем критериям это "пустая"
конъюнкция, тождественная константе 1 ("неопределенное нечто").
Если же конъюнкция противоречива, то она не представляет никакого
объекта и указывает на то. что заданное неосуществимо, невозможно.
 Атрибут класса, отнесенностью к которому, охарактеризован объект. является вместе с тем и критерием отнесенности к этому классу. Объекты, не удовлетворяющие этому критерию, относятся к комплементарному классу. Например, объект, не удовлетворяющий критерию xyz, относится к классу (xyz)' » x'vy'vz'. т.е. может оказаться любым из индивидов xyz', xy'z, xy'z' x'y'z'. но не
 xyz.
 В алгебре множеств характеризуемым объектом является множество, компоненты которого определены в пространстве дихотомических
критериев х. у. z..... для характеристики множества в целом непосредственно не применимых. Относительно каждого из этих критериев множество характеризуется принадлежностью/антипринадлеж-
ностью компонент, удовлетворяющих тому или иному из них. Например, множество, содержащее компоненты х. у и у', но не содержащее

- 155 -
 компоненты я'. характеризуется конъюнкцией дизьюнков VxV'x VyVy.
 Можно, однако, охарактеризовать единый объект, выступающий в
роли компоненты множества, не конъюнкцией, а множеством его частичных атрибутов, это множество во избежание неопределенности
должно быть, разумеется, строгим, т.е. характеризоваться либо
принадлежностью, либо антипринадлежностью каждой из его потенциальных компонент. Например, индивид яу будет таким образом охарактеризован выражением:
 УяУу\Гя'\Гу' = УяУуУ'(x'vy') * УяуУ'(х'чу')
 Нетрудно опознать в нем выражение Ь(яу) данности я у на языке алгебры множеств в условиях общего универсума, т. е. вне специальных
условий, определяющих частный универсум. В универсуме Хрисиппа -
Буля этот же объект представим как Уяу и как V'(я'чу'), а в булевой алгебре соответственно как яу и (я'чу')'.
 Ясно, что выражение Уяу. означающее в общем универсуме существование объекта яу, в условиях универсума Хрисиппа - Буля воспринимается как данность этого объекта, в то время как возможность
выразить его существование, но не непременную данность в универсуме Хрисиппа - Буля утрачена. Соответственно невыразима в нем и
потенциальная возможность данности яу. представленная в общем
универсуме выражением V'(я'чу'). В булевой алгебре произошло
дальнейшее упрощение выражений - удалены символы дизъюнктов при
сохранении выраженного смысла.
 Для обратного перевода булевых выражений на язык алгебры множеств необходимо, во-первых, восстановить символы дизъюнктов, в
результате чего получатся равносильные выражения в универсуме
Хрисиппа - Буля, во-вторых, перевести полученные выражения на
язык общего универсума, образовав конъюнкции их с атрибутом универсума Хрисиппа - Буля. Как видно, всякое булево выражение переводимо в равносильное выражение в универсуме Хрисиппа - Буля и
обратно - любое выражение из этого универсума переводимо в булеву
алгебру. Всякое булево выражение переводимо и на язык общего универсума, однако обратный перевод выполним только для выражений
той части общего универсума, которая совмещена с универсумом Хрисиппа - Буля.
 В общем универсуме, включающем в себя универсумы Хрисиппа -
Буля и Аристотеля, имеются вместе с тем объекты, не относимые ни
к хрисипповым, ни к аристотелевым. Хрисипповы множества одноком

156 -
 понентны, т.е. приводиш к виду VeV'e', где е - булево выражение.
В аристотелевых множествах несоставные атрибуты ("термины") не
могут быть ни пустыми, ни исчерпывающими универсум, т.е, требуется билатеральность: VxVx', где х - несоставной атрибут. Нетрудно
привести примерь) множеств, не удовлетворяющих ни хрисиппову. ни
аристотелеву условию, причем, как несовместимых, так и совместимых с множествами, удовлетворяющими одному из этих условий. Например. пустое множество V'xV'т/ или "гибридное” множество
VxyVxy'Vx' несовместимы ни с хрисипповыми. ни с аристотелевыми,
а такие множества как Vx. Vx', Vxy, V'xy совместимы и с теми, и с
другими.
 Условие, налагаемое на отображение в том или ином универсуме
(атрибут универсума), выражает, так сказать, "точку зрения" или
характер видения отображающего. Так, в общем универсуме нет никаких "предварительных условий", кроме того, что недопустимо противоречие: VxV'x - утверждение, что одно и то же существует и не
существует. Это все то же аристотелево начало, а в остальном никаких ограничений - любое непротиворечивое отображение допустимо
и имеет смысл. В непустом универсуме наряду с противоречивыми
исключены так называемые пустые ситуации (пустые множества), например: V'xV'х' = V'(xvx') з V'1. В общем же универсуме пустая
ситуация не исключается, а рассматривается в качестве одной из
допустимых.
 В универсуме Хрисиппа - Буля принимаются во внимание только те
ситуации, в которых соблюден хрисиппов принцип двузначности: либо
"да", либо "нет", т.е. все рассматриваемое удовлетворяет либо заданному критерию, либо отрицанию-дополнению этого критерия: либо
VeV'e', либо V'eVe'. Это равносильно тому, что объект отображения
воспринимается как нечто единое, характеризуемое в целом, например, как одна вещь или как некий род не различаемых друг от друга
в данном рассмотрении вещей. В сущности та же булева алгебра, но
в множественном оформлении: классы, представленные в виде однокомпонентных множеств.
 Аристотелев универсум является противоположностью универсума
Хрисиппа - Буля: недопустимая в последнем билатеральность атрибутов VxVx' у Аристотеля стала непременным условием, а хрисиппова
категорическая комплементарнссть полностью исключена - ни один из
заданных критериев не может удовлетворяться (или не удовлетворяться) на всей совокупности рассматриваемых объектов, множество

- 157 -
 не может быть ни однокомпонентным, ни пустым. Другими словами,
хрисиппово отображение имеет в виду одну вещь вне ее окружения и
характеризует эту вещь по отношению к заданному набору критериев
как одно целое. Это крайне ограниченное и обособленное видение,
но обходящееся минимумом средств, простое и вместе с тем во многих случаях вполне удовлетворяющее запросы практики. Аристотелев
универсум отображает множественную ситуацию, представляя невырожденную совокупность вещей, охарактеризованных каждая в отдельности хрисипповым способом, но не данных непосредственно - дана их
совокупность в целом, описываемая отношениями, которыми связаны в
ней друг с другом атрибуты вещей. Концентрация внимания исключительно на этих отношениях в известной степени упрощает систему,
но. естественно, ценой определенной ее специализации, опять же
практически целесообразной.
 Таким образом, частные универсумы оправданы и удобны в тех
случаях, когда исследуемая проблема с достаточным приближением
выразима в одном из них и не потребует иных средств. К общему
универсуму приходится прибегать при недостаточности частных, например, если необходимы совместно возможности того и другого, а
также для сопоставления и сравнительного изучения частных универсумов, как то делалось в этой книге. Понятно, что условия, определяющие специфику частного универсума, вынесенные в нем, так
сказать, "за скобки" в качестве его атрибута, в общем универсуме
надо всякий раз задавать явно, зато нет умолчаний, о которых не
всегда помнят или знают - все выражается и истолковывается буквально. Громоздкость выражений при этом преодолевается введением
определяемых средствами общего универсума специальных связок,
например:
 (х-*у) = Уху'V(x'vy) v KViVi'v V'xV'x'v Vi/Vifv VyVy')
 (x*y) = V'xi/'Vx v tV'x
 (x»y) * V'xifVxVif v 1.(V'xvV'x'vV'i/vV'l/')
 На данных примерах можно проследить, как изменяется характер
одного и того же в своей основе отношения в зависимости от условий. определяющих специфику той или иной системы отображения, от
реализуемого в каждой из этих систем "видения" того, что отображается. Примеры представляют собой три разновидности отношения,
квалифицируемого обычно как следование: материальную импликацию
 х-*1/. играющую роль следования в универсуме Хрисиппа - Буля (хрисиппово следование): актуальное подчинение, или достаточность х

- 158 -
 для у - хну - в сущности следование по правилу modus ponens;
аристотелево силлогистическое следование х=»у.
 В основе всех этих версий следования находится отношение
V'xy', которое естественно охарактеризовать как совершенно, или
чисто, потенциальное следование (подчинение) хну. хотя буквальный
смысл его - потенциальная несовместимость хс у'. Потенциальная
потому, что не исключены ситуации V'x и V'y'. в которых о несовместимости говорить не годится, ибо нет того, с чем могла бы быть
несовместимость. В частности, отношение V'xy' безусловно выполняется на пустом множестве, где ни совместимость или несовместимость. ни подчинение не имеют смысла.
 В условиях непустого множества актуализация отношения V'xy'
состоит в том. что это множество должно содержать хотя бы один из
допускаемых данным отношением объектов ху. х'у, х'у'. причем для
каждого из них обладание атрибутом х невозможно без обладания атрибутом у. почему и говорят: "х влечет у". Но непустота и даже
хрисипповость множества еще не означает актуальности ни следования, ни подчинения: как непустое, так и хрисиппово множество может не содержать объекта ху, а в таком случае уместно говорить
лишь о потенциальном следовании или подчинении. Поэтому материальная (хрисиппова) импликация представляет собой не более чем
потенциальное следование, а стремление видеть в ней то отношение,
которым она не является, оборачивается известными парадоксами.
 Чтобы гарантированно актуализировать отношение V'xy', надо
потребовать как минимум Vx или Vy', т. е. существования объектов,
обладающих атрибутом х или обладающих атрибутом у'. В результате
возникают два отношения актуального подчинения: V’xy'VxvtV'x -
modus ponens, V'xy'Vy'vtV'y' - modus tollens (это, с точностью до
обозначения членов, по существу одно и то же отношение достаточности: а>у, у>х'). Это унилатеральная актуализация, утверждающая
непустоту одного из соклассов по каждому из принятых на универсуме критериев, например, класса х и (в силу несовместимости х с
у') класса у.
 Полноценное транспозитивное актуальное следование, как оно понимается в естественном языке, возникает в условиях аристотелева
универсума, т.е. при билатеральной актуализации отношения V'xy'.
Оно имеет место в ситуации V'xy'VxVy', исключено при Vxy'Vx'Vy. а
при V'xvV'x'vV'yvVy', т.е. вне аристотелева универсума, обеспечивающего билатеральность. оказывается неопределенным.

159 -
 Таким образом, имеется три транспозитивных следования: потенциальное зуу. хрисиппово х-*у, аристотелево х»у. и одно нетранспо-
зитивное - подчинение х*у. Хрисиппово не является актуальным,
подчинение же, становясь актуальным, утрачивает транспозитивность. Не лишено "недочетов" и аристотелево следование - оно несовместимо с данностью удовлетворяющих ему объектов (в отличие от
подчинения). Поэтому нельзя обойтись каким-либо одним из этих отношений и приходится пользоваться ими всеми, учитывая возможности
и особенности каждого. Но не следует их смешивать.
 Совмещение прямого и обратного следования порождает отношение
эквивалентности, а совмещение прямого и обратного подчинения -
отношение совместности. Соответственно видам следования получается три различных эквивалентности: потенциальная V'xy'V'x'y, хри-
 сиппова (х=у) з V'xy'V'x'yV(xy v х'у') v t(VxVx'v VyVy'v V'xV'x'v
v V'yV'y') и аристотелева (x*»y) = V'xy'V'x'yVxVy'v t(V'xvVx'v
v V'y v V'y'). Совместность может быть хрисипповой (хлу) ■ Vxy а
л V'(x'vy') v i(VxVx'v VyVy'v V'xV'x'v V'yV'y') и нехрисипповой
VxyV'xy'V'x'y v tVx'y'.
 В связи с существованием различных видов следования и эквивалентности нетрудно объяснить и сущность отмеченной Лукасевичем
неидентичности "принципа тождества" Jxx и силлогистического закона тождества Ахх [Лукасевич. стр. 212]. Принцип тождества определяет тождественность в самом широком смысле, без каких-либо ограничений или особых требований к отождествляемым объектам - тождественно все то. в чем не обнаруживается различия по заданным
критериям. Такое тождество применимо в пределах всего общего универсума. А силлогистическое тождество применимо только к объектам, удовлетворяющим непременному в универсуме Аристотеля требованию билатеральности, для объектов же, не удовлетворяющих этому
требованию, силлогистическое тождество не определено. Аналогично,
существует хрисиппово тождество, определенное только для объектов
универсума Хрисиппа - Буля. Каждое из названных тождеств представляет собой безусловное удовлетворение соответствующего вида
эквивалентности. Так. общее тождество означает:
 Jxx з (V'xy'V'x'y)^ * 1,
аристотелево тождество -
 (х»х) 3 (АхуАуХ)уззс зАр 1.

- 160 -
 хрисиппово тождество -
 (I=X) * (V'xy'V'x'yV(x'vy)V(xvy ))у-х =хр 1
 Как видно, связка * символизирует именно общее тождество, т.е.
безусловность потенциальной эквивалентности, которая не равносильна ни хрисипповой, ни аристотелевой, представляющих собой
тождества только в условиях их собственных универсумов:
 (х»х) ■ (V'xy'V'x'yVxVx'VyVy')у=х ■ VxVx' * 1
 (х=х) = (V'xy'V'x'y(Vx'vVy)(VxvVy'))yaI * VxvVx' а 1
 Таким же путем постигается и аристотелева концепция необходимости, квалифицируемая Лукасевичем как парадоксальная [Лукасевич,
} 44]. На самом деле никакого парадокса нет, а подобно "следованию’1, "тождеству", "возможности", термин "необходимость" употребляется в нескольких смыслах, которые Аристотель различал, хотя и
ке вполне четко, потому что не всегда разделял отображение и
отображаемый объект. Если же ограничиться только отображениями,
строго придерживаясь высказанного самим Аристотелем принципа,
согласно которому "... нельзя при рассуждениях приносить самые
вещи” [”0 софистических опровержениях", 165а 5], то употребляющиеся виды необходимости легко могут быть перечислены и охарактеризованы без каких-либо парадоксов.
 Прежде всего надо заметить, что имеется как унарное (одноместное) отношение необходимости, обозначаемое символом L, например:
Lx, L(x) - "х необходимо", так и бинарное, например, хчу - "х необходимо для у”.
 Унарно необходимое - это все то, что в рассуждении (в отображении) "дано само по себе", т. е. как условие задачи, как рассматриваемая ситуация. В необходимое этого рода входят аксиомы, определяющие используемую систему отображения, и принудительно, произвольно заданные объекты (отношения), определяющие отображенную
ситуацию. При этом только в условиях универсума Хрисиппа - Буля
данность реализуется непосредственно, т. е. Lx а х; в общем универсуме Lx ■ VxV'x', а в универсуме Аристотеля данность первичных
атрибутов вообще невозможна - даны могут быть только силлогистические отношения и их сочетания. Впрочем, можно говорить об особом силлогистическом виде если не данности, то существования -
VxVx', которое в универсуме Аристотеля дано аксиоматически.

161 -
 Бинарная необходимость представляет собой отношение или наследования. или вынуждения данности. Например, если дано ху. то необходимо дано х и необходимо дано у. так сказать, по определению
конъюнкции ху. а если дано хрисиппово "нечто" и исключена данность х. то необходимо дано х':
 (VXV'x'v V'xVx')(VxV'x')' » (VxV’x'v V'xVx')(V'xvVx') = V'aVx'
 Нетрудно заметить, что вынуждающая необходимость основана на повышении степени определенности ситуации путем исключения отдельных альтернатив. В приведенном примере неопределенность xvx'
превращается в х' исключением компоненты х. Все рассмотренные выше разновидности отношений следования и подчинения утверждают необходимость у в случае данности х тем, что исключена конъюнкция
ху', т.е. при данном х невозможно у' и поэтому необходимо у. Одной из этих разновидностей является силлогистическая необходимость - отношение, порождаемое несовместимостью терминов в условиях аристотелева универсума. Если исключена совместимость неотрицательных терминов, то получается отношение Еху, а в случаях с
отрицанием одного или обоих терминов - Вху. Аху. Аух, причем последние два, как уже отмечалось, представляют собой актуальное
следование: прямое х»у и обратное х«=у.
 Отношением силлогистической необходимости связаны также конъюнкция посылок и заключение силлогизма. В самом деле, силлогизм
представляет собой отношение определенных на трехкритериальном
аристотелевом универсуме множественных функций f(x,y,г) •
= fj (х, у) Те (у, г) и g(x, z). Эти функции принимают на фиксированных множествах - ситуациях универсума - значения 0, 1, но ни одна
из них не тождественна ни 0. ни 1. Поэтому в случае несовместимости f с g', т. е. при V'fg', имеет место именно силлогистическая
необходимость - выполняется аристотелево следование: f(x. y.z) =>
 • g(x, z).
 С необходимостью у Аристотеля связано понятие привходящего
(случайного), которое он определяет следующим образом:
 "Привходящим, или случайным, называется [13 то, что чему-то присуще и о чем-то может быть правильно сказано, но присуще не по
необходимости и не большей частью для случайного нет ника
 кой определенной причины, а есть какая попадется, т.е. неопределенная" ["Метафизика", кн.5, гл. 13, 1025а 143;
 "...для привходящего никакого определенного искусства и способности нет, ибо причина существующего или становящегося привходя

- 162 -
 щим образом также есть нечто привходящее" ["Метафизика”, кн.6,
гл. 2, 1027а 7].
 Применительно к дискретному отображению, исключая вероятностное "и не большей частью", приведенное определение правомерно истолковать в том смысле, что привходящее - зто не необходимое и не
невозможное, т,е. то, что не дано с необходимостью и не исключено, данность чего в рассматриваемой ситуации неопределенна - нет
необходимой информации. Короче, зто средняя компонента в трихотомии модальностей: необходимо/привходяще/невозможно, так что
<возможно> = <необходимо>у<привходяще>,
 <не необходимо s <привходяще>v<невозможно>.
Соответствующей трихотомией значений данности является: дано/не-
 определенность/исключено, т.е. 1/1/0.
 Таким образом, в дискретной системе отображения случайное -
зто не данное непосредственно, не исключенное и не обусловленное,
а могущее быть и так и зтак, "как попало”. Ясно» что неданность,
неисключенность и необусловленность равносильны неполноте отображения ситуации, но ведь отображение в принципе не может быть полным, исчерпывающим.
 Мнение Аристотеля, что для привходящего нет никакой науки, не
следует абсолютизировать. Ведь неопределенность, как и рассмотренная в связи с модальностями потенциальность, возникает в самых
различных ситуациях и может быть разного характера, а также той
или иной степени. Поэтому наука о случайном возможна и. как известно. существует - теория вероятностей. Другое дело, в системе
категорического характера для привходящего может не быть другой
возможности, кроме отнесения к не поддающемуся оценке, к не подлежащему рассмотрению, как зто принято в булевой алгебре, расширенной введением символа неопределенности, и в алгебре множеств.
Впрочем, и в этих системах некоторая информация о случайном имеется. Например, в булевой алгебре с неопределенностью относительно i=i известно, что если исключено я'. то я дано.
 Еще один заслуживающий внимания род объектов представляют собой переменные атрибуты. Аристотель называет их преходящими-.
"Преходящими свойствами, или состояниями, называются такие качества. которые легко поддаются колебаниям и быстро изменяются,
каковы, например, тепло и холод, болезнь и здоровье..." ["Категории", гл. 8, 8Ь 35];
 "...по ним никого не называют таким-то и таким-то... Так что в

163 -
 этих случаях говорят о состояниях, а не о качествах" [9Ь 29];
"Преходящим свойством, или состоянием, называется свойство, в отношении которого возможны изменения...("Метафизика", кн.5. гл. 21.
1022Ь 15].
 Как видно, сущность преходящего, или состояния, в том, что оно
в отличие от других объектов логики не статично, подвержено изменениям. Введение состояний качественно модифицирует систему отображения. превращает ее из статической в динамическую. Правда, у
Аристотеля логика состояний не получила ощутимого развития, как и
на протяжении всего последующего периода вплоть до появления уже
в наше время цифровых машин, востребовавших разработку этой области знания. Но совершенно очевидно, что принципиальная основа
ее заложена Аристотелем столь же безупречно, как и начало информатики в целом. Окажись такая потребность - и теория автоматов
вполне могла появиться в Древней Греции, подобно геометрии Евклида, и в такой же совершенной форме.
 Замечательно, что подчеркивая особый характер состояний ("говорят о состояниях, а не о качествах"), Аристотель тем не менее
квалифицирует их как разновидность качества, преходящее свойство,
переменный атрибут. Это существенно в том отношении, что разработанная им статическая логика качеств практически полностью остается в силе и как логика состояний. Характер последней можно продемонстрировать на следующем простом примере, хотя главным ее
применением является, как известно, проектирование переключательных схем и иных устройств цифровой автоматики.
 Рассматривается комната, характеризуемая в отношении критерия
С/С - "светло/не-светло". Критерий удовлетворен, т.е. С-1, если
в комнате горит лампа (Г=1) или не зашторено окно (3=0) и за окном день (Д=1). Короче говоря, состояние освещенности комнаты выражается через состояния лампы, шторы и дневного света булевым
уравнением
 С = ГуДлЗ' = (ГуДМГуЗ')
 Из ДНФ-выражения правой части видно, что достаточными условиями освещенности являются Г и ДЗ'. из КНФ получаются необходимые,
но не достаточные условия: ГуД и ГуЗ'. Отрицание обеих частей
 уравнения дает соответственно условия неосвещенности:
 С = Г'Д’у Г'З = Г' (Д'у 3)

- 164 -
 Нетрудно получить также выражения частичных отношений, определяющих состояния лампы, шторы и дневного света:
 Дч ГС - "за окном день, если лампа погашена,
а в комнате светло";
 3 =i ДС- - "окно зашторено, если за окном день,
а в комнате темно";
 Г =i ЗС - "лампа горит, если окно зашторено, а
в комнате светло".
 Рассмотренный пример не выходит за рамки алгебры первого уровня, и это свидетельствует о том. что логика состояний даже при
использовании сравнительно простых средств может иметь обширные
применения. К сожалению, пока все еще приходится указывать преимущественно на переключательные схемы, но надо полагать, что с
осознанием возможностей метода состояний в других областях и с
привлечением средств второго уровня положение выправится.
 Кстати, корректна ли демонстрация аристотелевой концепции состояний на примере из неаристотелевой логики? Ведь широко распространено убеждение, что логика Аристотеля - зто силлогистика,
обособленная специфическая система, и что ее создатель будто бы
"не подозревал" о возможности иных систем логики, появившихся
впоследствии.
 Цитируемый далее отрывок из "Первой аналитики" убеждает в противном: логика Аристотеля не только не исчерпывается силлогистикой. но и перекрывает многое из того, о чем он "не подозревал".
Перевод содержащихся в приводимом отрывке рассуждений на язык алгебры оказался возможным только в условиях общего универсума. Вот
этот отрывок ["Первая аналитика", кн. 1, гл. 46, 51Ь 34]:
 "... всякое утверждение имеет свое отрицание, и, следовательно,
отрицанием [положения] "это есть не благо" будет “зто не есть не
благо". [Термины] расположены здесь друг относительно друга таким
образом: пусть А обозначает "быть благом", Б - "не быть благом".
В (оно подчинено Б) - "быть не благом", Д (оно подчинено А) - "не
быть не благом". Таким образом, всему будет присуще либо А, либо
Б и оба вместе не могут быть присущи одному и тому же: точно так
 же [всему будет присуще] либо В, либо Д и оба вместе не могут
быть присущи одному и тому же. Равным образом всему тому, чему
присуще В, необходимо присуще и Б".
 Исследуя данный текст, прежде всего, нельзя не заметить, что

- 165 -
 буквами А. Б. В. Д в нем обозначены не вещи и не атрибуты, а выражения "быть благом", "не быть благом" и другие, т.е. зто не
термины в традиционном смысле слова, а символы конкретно употребленных отношений, символы суждений. Суждение "быть благом", отнесенное к рассматриваемому объекту ("зто есть благо"), выражает
"данность блага" - "дано благо". Сущность этого суждения (суждения А) средствами алгебры множеств представляется в виде VxV'x'.
где х - "благо". Суждение Б является отрицанием А: Б = (VxV'x')'=
= V'xvVx'. Сущности всех четырех суждений, ни одно из которых не
относится к силлогистике, а также связывающие их друг с другом
отношения отражены на рисунке:
 Как видно, исследуемое Аристотелем "расположение" перечисленных суждений есть тот самый "логический квадрат", в который традиционная логика упаковала силлогистические суждения, сократив
число их в два раза [Брусенцов. 1982]. В согласии со сказанным
Аристотелем. А комплементарно Б, в комплементарно Д, Д подчинено
А. Однако, в том. что В подчинено Б. Аристотель ошибся, либо речь
идет о подчинении "по объему". Но негоже употреблять одно и то же
слово в одном и том же предложении в противоположных смыслах, поэтому следует исправить: “Б подчинено В". Тем более, что в конце
цитаты прямо сказано: "всему тому, чему присуще В, необходимо
присуще и Б", т. е. В подчиняет Б по смыслу. Остается добавить,
что А диаметрально противоположно (инверсно) В и что Б и Д несо-
исключимы.
 Разумеется, представленная схема имеет место только в общем
универсуме. Если универсум предполагается непустым, то Б = Vx'.
Д * Vx. а в универсуме Хрисиппа - Буля, поскольку исключено не
только четвертое (пустое), но и третье (неопределенность), то
Б= (А')хр = В. Д з (В')Хр = А. В = (А')хр. А ■ (В')?р. Т.е.
"быть не благом" = "не быть благом", "быть благом" = "не быть не
благом". В силлогистическом же универсуме Аристотеля вообще не
могут быть даны объекты рассматриваемых суждений, поскольку допу-
 А: ухУ х' Несовместимость в: V'xVx'
 Д: VxvV'x'—ЫВООИСКДВЧИМОСТЬ g. V'xvVx'

- 166 -
 стами и могут быть даны только бинарные суждения вида "я есть у"
("Всякое я есть у"), а монарные суждения вида "есть я" ("дано х")
исключены.
 Так в чем же сущность информационных (языковых, символьных,
логических) отображений? С какой целью, что и каким образом
представляют они в сознании человека, устной и письменной речи,
компьютерных программах? О чем эта первейшая наука - информатика?
 Наука эта об отображениях, о сущности отображений, поскольку
отображение, как и всякая вещь, в информационном плане может быть
представлена лишь ее сущностью: "... ведь и отдельная вещь не
представляется чем-то отличным от своей сущности" ["Метафизика".
кн.7, гл.6. 1031а 171.
 Что же составляет сущность "отдельной" (т.е. имеющейся в виду)
вещи? Зто зависит от того, в каком контексте и с какой целью данная вещь рассматривается, но как информационный объект сущность
представляет собой отвечающую преследуемой цели характеристику
вещи в известных или определяемых через известные терминах. Термины же являются обозначениями (именами) тех сущностей, из которых составляется характеризуемая (определяемая) сущность. Поэтому
как сами термины, так и композиции терминов (выражения) называются атрибутами, т.е. определяющими сущность. Вместе с тем они служат и критериями того, что определено, - это зависит от того, в
какой роли их используют. В основе всякой характеристики предполагается, конечно, набор (исходных) критериев, в отношении которых требуется охарактеризовать определяемую сущность. Критерии
могут быть дихотомическими или недихотомическими (многозначными),
но это вопрос техники.
 Сущность отображения наиболее основательно проявляется в тех
связях, посредством которых исходные и вообще частичные атрибуты-
-критерии составляются в требуемую характеристику. Замечательно,
что неограниченное многообразие этих связей может быть систематически охарактеризовано в терминах немногих базисных связок, обозначающих наиболее элементарные и фундаментальные виды связей. Начиная с Аристотеля, который стал обозначать связываемые сущности
буквами, информатика абстрагируется от того, что конкретно подлежит связыванию, и занимается исключительно характером самих связей. Он-то и составляет сущность отображений.
 В самом деле, главные усилия как самого Аристотеля, так и его
лучших последователей'постоянно были направлены на постижение

167 -
 сущности таких отношений, как необходимость, возможность, противоречивость, присущность и т.п., которые остаются ключевыми проблемами и в наши дни. Подлинное предназначение информатики, по-видимому, не в подборе аксиоматик и изобретении правил или алгоритмов вывода, а в осознании того, что такое отображения, как они
устроены и функционируют, как соотносятся с действительностью и
друг с другом. При надлежащем прояснении этих вопросов аксиомы,
правила и алгоритмы станут очевидными.
 Вместо заключения - еще пример, на сей раз не тривиальный. Это
"задача Льюиса Кэррола". рассмотренная П. А. Флоренским [Флоренский. стр.500]. цитирующего ее по книге Л. Кутюра "Принципы математики" со ссылкой на статью Кэррола в "Mind", 1905 г., стр.293.
400. Вот она:
 "q влечет г, но р влечет, что q влечет не-г. Что должно заключить?"
 Решение Кэррола: "Если q влечет г. то невозможно, чтобы q
 влекло не-г; значит, р влечет невозможное и, следовательно, -
ложно" Флоренский считает ошибочным, заявляя, что Кэррол, заключающий от здравого смысла, впадает в ошибку, "обычно допускаемую
на практике". Решение Флоренского, полученное "символическим методом логистики": р -* q' ("р влечет не-q"), не может быть верным,
поскольку в нем отсутствует г (в ходе преобразований допущена явная ошибка - импликация г'-* q' подменена эквивалентностью г = q).
Устранение ошибки дает в результате q -* р'г. Действительно:
 (q-*r) (p-(q-*r')) = (q'vD(p'vq'vr') a q'vp'r ■ (p-q')(q-*r)
Словами: "q не совместимо ни с р. ни с не-г".
 Но это не решение задачи Кэррола. Ведь кэрролово "влечет" подменено материальной импликацией (также как Лукасевич подменяет ею
аристолтелево следование), а Кэррол, несомненно, имел в виду актуальное следование => или. по меньшей мере, актуальное следование
в его, Кэррола, не вполне корректном истолковании, т.е. актуальное подчинение ►. Таким образом, действительная формулировка задачи должна быть
 (q=>r) (p=>(q=>r')) = AqrAA(p. Eqr)
 Это задача о соотношении множественных ситуаций Aqr, Eqr и р, которые в дальнейших рассуждениях удобно поименовать буквами: х =
* Aqr. у = Eqr, zap. имея в виду, что х и у несовместимы, т.е.
дано Еху.

168 -
 Теперь решение может быть осуществлено в общем xyz-универсуме
средствами алгебры множеств:
 xAzyExy S (VxV'x')(V'zy'VzVy')(V'xyVxVy) S
 a V'x'VyzV'xyVxVyVy'Vz в Ух-у-уУ-zVxyyVy'Vz
 Ради наглядности решение отображено также на диаграмме Кэррола.
 о—:
1
 :
 A A—U
 Как видно, условие задачи противоречиво. Такой же результат получается, если принять кэрролово истолкование следования.
 Рассмотренный пример поучителен в нескольких отношениях.
 Во-первых, он свидетельствует против мнения, высказанного Декартом в "Правилах для руководства ума" и особенно Гегелем в "Науке логики", будто человек, даже малорассудительный, наделен безупречной способностью дедукции (подобно способности переваривать
пищу или дышать), и учиться ей нет нужды. Правильнее предполагать
только потенциальную безупречность.
 Во-вторых, даже выявить противоречивость исходных данных может
оказаться совсем не просто, в связи с чем обычно и возникают парадоксы.
 В-третьих, чтобы оградиться от "химер", следует пользоваться
аристотелевыми билатеральными отношениями.

Алфавитный указатель
 Аккерман 64, 129, 133, 148
аксиоматика силлогистики 134
актуальная возможность 117
 - достаточность 130, 132, 136
 - компонента 93
 - необходимость 130, 132
 - несоисключенность 139
 - эквивалентность 128
актуальное подчинение 157
 - следование (см. аристотелево следование)
актуальность 119
актуальный элемент 93
акцидентальность 120
акциденция 19
 алгебра 17, 55
 - второго уровня 17
 - высказываний 17
 - качеств 17
 - переключательных схем 17
 - множеств 64
 - первого уровня 124
алгебраическая система 45
алетическая логика 112
антипод 28, 103. 119, 120
антипринадлежность 103, 104.
154
 антитранзитивность 27
антиприсущность 103
антиэквивалентность 141
аподиктическое суждение ИЗ
аристотелева логика 6. 23, 164
 - силлогистика 6, 133
 - эквивалентность 131
аристотелев универсум 107, 129
аристотелево начало 6, 152
 - следование 13, 132, 148
 - тождество 159
 Аристотель 6, 9
 . 17,
 22,
 24,
 30. 48, 76, 77,
 78.
 79,
 112,
 116, 129, 133.
 152.
 160.
 161,
 162. 163, 164,
 165,
 166
 арность 59. 60
 ассоциативность
 13
 атрибут 17
 - объекта 19
 - множества 80
 - сам по себе
 19
 - универсума 108, 156
 базисные операции 10
безусловная возможность 117
билатеральная актуальность 117
119, 121. 138
 - возможность 117
 - исключенность 117, 119
 - невозможность 117, 119, 121
 - потенциальность 118, 121
билатеральность 117. 119, 156
бинарная операция 10
Брусенцов 68, 137, 140, 165
булева алгебра 10
 булево отрицание 27
булевы связки 26
Буль 10. 35. 38
Бурбаки 128
бытие 79
 взаимоисключенность 63, 126
видовое отличие 68
включение 124, 126
вложенность И, 56, 65
возможность 118
"возможные миры" 109
всевозможность 118, 120
Вселенная рассмотрения 68

- 170 -
 вторичный атрибут 11
вторые сущности 23
выражение 10. 16. 20. 56. ш
вырожденное множество 102
высказывающая речь 23
 Гегель 168
Гедель 65
Гильберт 64. 133
гипотетический силлогизм 144
 данность 88, 111, 113, 118
дано 23, 58, 112
двойное отрицание 13
двойственность 14, 100. 116
двузначный критерий 19, 22
двукритериальный универсум 121,
127
 двухместная операция 10, и
Декарт 168
 декартовы координаты 70
дельтоид 98
 диаграмма Кэррола 67, 69, 75
диалектика 6
 диалектическое отрицание 29
диаметральная противоположность
28
 дизъюнкт 81, 111
дизъюнкция 11, 31
- множеств 83, 106
ДИХОТОМИЯ 22, 31
дихотомический критерий 22
дистрибутивность 13. 100
ДНФ 15
Доджсон 67
 дополнение 11. 28, 31
достаточное условие 26
достаточность 62. 157
Драгалин 133
 дуал 116
дуальность 117
dlsjunctlo 31
 единичность 48
единое 64
единственность 93
 Жегалкин 38
 задача Кэррола 167
законы де Моргана 13, 32, 101
законы тождества 25, 142, 159
здравый смысл 8, 136, 138, 167
 U 25
 идемпотентность 13, 21, 59
или 25
или-или 32
импликация 34
инверсия 28
 - множества 92, 100, 106. 126
инвертирование 28
 индивид 20. 47
индивидная конъюнкция 47
индивидное множество 109
индивидный атрибут 21
 - класс 21
информатика 5
информация 5
 исключающая дизъюнкция 33, 39
исключенная компонента 93
исключенный элемент 93
исключенное третье 13. 21
искусственный интеллект 8
истина 24
истолкование 17
 - алгебры множеств 75
 - булевой алгебры 19. 55

- 171 -
 исходный критерий 109
исчисление 61
lnforraatlo 5
lnformatlque 5
 Карнап 129, 148
кибернетика 5
 К-критериальный универсум 122
класс 19
 - множеств 81
 класс и множество 64, 109, 110
КЛИНИ 65, 76, 79, 133, 153
КНФ 15
 Колмогоров 65. 133
коммутативность 13
композиция 56
 - отношений 63
комплементарность 31, 33
компоненты множества 80
контрадикторность 29
контрарность 29
конъюнкция 11, 26
 - множеств 81. 106
критерий 20, 67, 68. 135
Кэррол 67. 68, 135. 167
Carroll 135
 computer science 5
conjunctlo 26
 Лейбниц 109. 142
логика 5
 - Аристотеля 42, 164
 - качеств 163
 - предикатов 48, 111
 - предложений 23
 - состояний 163
 - терминов 23
 ■Логические исследования" 133
"логический квадрат" 140, 165
 логическое сложение 11
 - умножение 11
логос 5
 ложь 24
 Лукасевич 9, 18, 22. 41, 53,
112, из. 116, 129. 134, 142,
149. 160. 168
Льюис 129. 148
 Малпас 24
Мальцев 45, 143
математическая логика 8, 10
материальная импликация 34. 39
124
 метаязык 76
Микеладзе 112
мнимая единица 36
многозначная логика 22
многозначный критерий 26. 150
многоместная конъюнкция 15
множественная ситуация 85
множественность 93
множество 64
 - значений 64
 - множеств 81
монарная операция 10
модальная логика 112
модальная силлогистика 149
modus ponens 158
 - tollens 158
 начало 6, 152
набор значений 12
 - критериев 19
ке 25, 28
невозможность 121
недвузначная (многозначная)
логика 22
 недопустимость противоречия 6

- 172 -
 неиндивидный атрибут 93
неисчерпывающее отрицание 29
необходимое условие 26
необходимость 62, 113. 118, 121
неопределенное множество 86
"неопределенное нечто" 21
неопределенность 22, 35, 40
"неотрицательность терминов"
 139
 непринадлежность 65, 104
непричастность 65, 89
непустое множество 86
непустой универсум 107, 127
неразделительное или 11
нерасчлененный объект 111
несовместимость 21, 26, 30
несовместность 27, 63
несоисключимость 21, 63
несоисключенность 27, 32, 57
несосуществование 117
несуществование 136
нестрогое множество 94. 105
неэквивалентность 104
неявная функция 37
ничто 21, 83
 обратная функция 35
общее 48, 123
- суждение 133
 общий универсум 107, 108, 127,
157
 объединение множеств 93
однозначная функция 43
однокомпонентное множество 86,
88
 однокритериальный универсум 107
Оккам 22
 определенность 115
отображение 5, 151, 167
 - и реальность 152
отражение 5
отрицание 27
 - множества 84. 106
отношение 37, 57. 149
 парадоксы импликации 129. 148
параллелограмм 98
первая философия 8
первые сущности 23
переменный атрибут 162
переместимость 13
пересечение множеств 93. 106
Пиаже 120. 126
поглощение 13
подчиненность (подчинение)
 123, 159
 "покомпонентная конъюнкция" 93
покомпонентная подчиненность
125
 полная неопределенность 118,
 120
 полное множество 73, 86
Порецкий 18
 потенциальная достаточность 124
 - компонента множества 93
 - подчиненость 131, 158
 - эквивалентность 131
потенциальное следование 124.
158
 потенциальность 119
поэлементная подчиненность 123,
125, 126
 правила отбрасывания 61
предикат 44, 48
предметная переменная 44
предметный язык 76
преобразование выражений 15
 - уравнений 47

- 173 -
 - СДЦНФ 48
 - СДКНФ 49
 - СКДНФ 50
 префиксная конъюнкция 66
преходящее 162
привходящее 23, 67. 76. 161
принадлежность 65. ЮЗ. 154
присваивание 111
присущность 17. 92. 103
причастность 65, 89, 91
произведение отношений 143
Пролог 24. 41
простая возможность 117
противность 29
противолежание 30
противоположность 29
противоречивые атрибуты 26
противоречие 6. 30
прямоугольник 32
пустая конъюнкция 62
пустое множество 73, 86
пустой универсум 107. 127
 разделительное или 33
распределительность 13
рекурсивная функция 40, 59
рефлексивность 59
реципрокность 126
род 109
 - множества 109
родовой атрибут 109
ромб 32. 98
 связки 25
СДНФ 16. 83
семантика 60
синтаксис 60
 символ неопределенности 36, 41
силлогизм 142
 силлогистика 42, 133
силлогистическая необходимость
161
 силлогистический вывод 144
 - эксперимент 151
сильная импликация 148
символическая логика 10
симметричность 59
ситуация 84
 СКИФ 16
 следование 34, 132, 138, 148
Слииин 112, 129
сложение по модулю два 33, 38
случайность 120, 162
смысл 60
 совершенная неопределенность
118
 - нормальная форма 16
 - потенциальность 130
совместимость 21. 134
совместность 57. 159
совмещение 26
соединение 27
соисключение 31
соисключенность 33
составной атрибут 18
 - критерий 25. 26. 35
состояние 162
сосуществование 117
сочетание 26. 27
сочетательность 13
степень модальности 22
стоики 9
 строгая импликация 148
строгое множество 81. Ш
Стяжкин 10. 18. 22
суждение 133
 - существования 136
существование 80. 117

- 174 -
 сущность 19, 166
 - алгебры 55
 - дизъюнкции 31. 57
 - конъюнкции 26, 57
 - отображений 166
 - отрицания 27
 - множества 65
 табличное отображение 57
таблица истиности и. 36, 42
тавтология 61, 62
теоретико-множественные операции 92, 102
теория автоматов 163
термин 18. 19
 терминальный символ (терминал)
Ю
 тождественное преобразование 15
тождество 12, 13. 57, 159
транспозитивность 134, 135, 158
трехзначная логика Лукасевича
22, 36. 41. 72
трихотомия 22
 умолчание 24
 унарная необходимость 160
универсум 68
 - Аристотеля 107. 109. 151,
 150, 156
 - общий 107, 108. 127
 - непустой 107, 127
 - пустой 107, 127
 - хрисиппа - Буля 89. 107.
 ИЗ, 127, 150
 унилатеральная актуальность 130
 - потенциальность 119
уравнения 45
 - с 1-неопределенностью 51. 55
урна Лукасевича 150
 Флоренский 167
формализм 8, 30, 77
формалисты 17, 33
формальная лопаса 8. 29, 129
функтор L ИЗ
функциональная полнота 14
функции неопределенности 42
функция 35
 - обратная дизъюнкции 37
 - обратная конъюнкции 37
 - принадлежности 120
функция и отношение 38. 44. 59
 характеристика 17. 19. 20, 80.
86, 115
 характеристическая функция 38.
59. 149
Хрисипп 9
 хрисиппова эквивалентность 131
хрисиппово следование 149, 157
хрисиппов универсум 89. 107.
ИЗ. 127. 150
 частичная функция 35. 40. 44
частичное отношение 43
частный универсум 108. 157
частное суждение 133
Челпанов 9. 146
Чеширский Кот 68
 эквивалентность 33, 39. 159
 - актуальная 128
 - аристотелева 131
 - потенциальная 131
 - хрисиппова 131
элемент множества 81
элементарная конъюнкция 15
 язык исследователя 76

Литература
 Аристотель. Сочинение в четырех томах. М.: "Мысль", т.1 -
1975, Т.2 - 1978.
 Брусенцов Н.П. Математическая теория силлогистики // Вычислительная техника и вопросы кибернетики. Вып.8. Л.: Изд-во Лен-
 нингр. ун-та, 1971.
 Брусенцов Н.П. Диограммы Льюиса Кэррола и аристотелева силлогистика // Вычислительная техника и вопросы кибернетики. Вып.13.
М.: Изд-во Моек, ун-та, 1977.
 Брусенцов Н.П. Полная система категорических силлогизмов Аристотеля // Вычислительная техника и вопросы кибернетики. Вып. 19.
М.: Изд-во Моек, ун-та. 1982.
 Бурбаки Н. Теория множеств. М.: "Мир", 1965.
 Гильберт Д., Аккарман В. Основы теоретической логики. М.: ИЛ,
1947.
 Клини С. Математическая логика. М.: "Мир", 1973.
 Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Введение в математическую логику. М.: Изд-во Моек, ун-та, 1982.
 Кзррол Льюис. Символическая логика // Льюис Кэррол. "История с
узелками". М.: "Мир", 1973.
 Carroll Lewis. Symbolic Logic. Part I, Elementary. 1896. Fifth
edition. Part II, Advanced, never previously published. - Clarkson N. Potter Inc., Publishers, New York, 1977.
 Логические исследования. (Труды научно-исследовательского семинара по логике Института философии АН СССР). М., 1983.
 Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М.: ИЛ, 1959.
 Малпас Дж. Релляционный язык Пролог и его применение. М.: "Наука". 1990.
 Мальцев А. И. Алгебраические системы, м.: "Наука". 1970.
 Пиаже ж. Логика и психология // Ж.Пиаже. Избранные психологические труды. М.: "Просвещение". 1969.
 Слииин Я.А. Современная модальная логика. Л.: Изд-во Леннингр.
ун-та, 1976.
 Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. М.: "Наука".
1967.
 Флоренский П.А. Столп и утверждение истины. М.: Изд-во "Правда", 1990.

Оглавление
 Посвящение з
 Благодарность 4
 О предмете и основаниях информатики 5
 1. Булева алгебра 10
 1.1. Базисные операции 10
 1.2. основные тождества 12
 1.3. Нормальные формы 14
 1.4. Истолкование 17
 1.5. Связки 25
 1.6. Функции и отношения 35
 1.7. Уравнения 45
 1.8. 0 сущности алгебры 55
 2. Алгебра множеств 64
 2.1. Диаграмма Льюиса Кэррола 67
 2.2. Истолкование алгебры множеств 75
 2.3. Теоретико-множественные операции 92
 2.4. Однокритериальный универсум. Модальности 107
 2.5. Двукритериальный универсум. Отношение следования 121
 2.6. Аристотелева силлогистика 133
 2.7. О сущности отображений 151
 Алфавитный указатель 169
 Литература 175