/
Автор: Мирошников М.М.
Теги: оптические приборы и аппаратура электротехника оптика оптические приборы учебное пособие для вузов
Год: 1977
Текст
мммирошников
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
ОПТИКО-
ЭЛЕКТРОННЫХ
ПРИБОРОВ
М. М. МИРОШНИКОВ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
ОПТИКО-
ЭЛЕКТРОННЫХ
ПРИБОРОВ
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших
технических учебных заведений
ЛЕНИНГРАД
„МАШИНОСТРОЕНИЕ"
ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
1977
УДК 681.7
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
Кафедра ОЭП (П-2) Московского высшего технического
училища им. Н. Э. Баумана
и д-р техн, наук В. А. Хрусталев
Редактор проф. В. Г. Вафиади
Мирошников М. М. Теоретические основы
оптико-электронных приборов. Учебное пособие
для вузов. Л., «Машиностроение» (Ленингр.
отд-ние), 1977. 600 с. с ил.
В учебном пособии изложены основные вопросы теории
оптико-электронных приборов, предназначенных для обнару-
жения источников оптического излучения и пространственных
координат источника. Основное внимание уделено приборам
пассивного типа, т. е. приборам, воспринимающим либо соб-
ственные излучения объектов и фонов, либо отраженное ими
излучение естественных источников. Изложены основы теории
сканирования, теории модуляции и теории выделения оптиче-
ского сигнала на фоне помех.
Табл. 25, ил. 349, список лит. 37 назв.
20405—244
М 038(01)—77
244—77 ©
Издательство «Машиностроение», 1977 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время оптика, обогащенная новейшими достиже-
ниями электроники, стала одним из главных источников научно-
технического прогресса в приборостроении. Это связано прежде
всего с открытием явления вынужденного излучения, реализуе-
мого в квантовых генераторах, превративших оптические при-
боры в средство активного воздействия на окружающий мир и
передачи на расстояние значительной энергии.
Однако восприятие, передача и преобразование информации
по-прежнему занимают ведущее место в оптическом приборострое-
нии. При этом наибольшее значение имеют те приборы, которые
не просто вооружают глаз человека, а обеспечивают существенное
расширение его возможностей при регистрации слабых и невиди-
мых потоков излучения, а также при создании автоматических
приборов и автоматизации производственных процессов.
В основе таких приборов лежит открытие и разработка высоко-
чувствительных приемников оптического излучения, позволив-
ших проникнуть в невидимые области спектра и обеспечить авто-
матизацию процесса регистрации излучения путем преобразова-
ния его в электрический сигнал. Благодаря этому существенно
обогатилось свойство оптических методов и приборов обеспечи-
вать наивысшую точность измерения и, следовательно, наивысшее
качество выпускаемой продукции — свойство, определяемое тем,
что, пользуясь оптическим прибором, человек оперирует точней-
шим эталоном — длиной волны света.
Хотя открытие явления фотоэффекта произошло в самом на-
чале нашего века, интенсивные работы в области фотоэлектриче-
ских оптических приборов следует отнести к 1929—1930 гг.,
когда появились чувствительные фотоприемники.
Разработки значительно ускорились начиная с 1939 г., а в по-
слевоенный период интенсивные исследования в области фото-
электрических приборов, чувствительных в невидимой инфра-
красной области спектра, ведутся практически во всех развитых
странах.
1* 3
Именно в послевоенный период возникает название оптико-
электронные приборы в противовес установившемуся в физике и
технике ночного видения названию электронно-оптические при-
боры. В электронно-оптических приборах осуществляются пре-
образование излучения в поток электронов, последующее уси-
ление этого потока с помощью электронной оптики и обратное
преобразование усиленного электронного потока в свет за счет
электролюминесценции. В оптико-электронных приборах излу-
чение преобразуется в электрический сигнал, который подвер-
гается специальной обработке и регистрируется.
Наряду с инфракрасной областью спектра, где принципы соз-
дания оптико-электронных приборов были положены, в частности,
в основу разработки теплопеленгаторов, головок самонаведения
и тепловизоров, оптико-электронные приборы начали широко ис-
пользоваться в видимой и ультрафиолетовой областях спектра для
решения задач автоматической астроориентации и астронавигации
беспилотных самолетов, ракет и искусственных спутников Земли.
Большое распространение оптико-электронные приборы полу-
чили при проведении контрольно-измерительных операций и
спектральном анализе в промышленности, а также в разнообраз-
ных научных и медико-биологических исследованиях.
Открытие и совершенствование оптических квантовых гене-
раторов послужило стимулом дальнейшего развития оптико-
электронных приборов различного назначения. На «стыке» кван-
товой механики, физической оптики и радиоэлектроники появи-
лось, по существу, новое направление, называемое квантовой
опт ико-электрон икой.
Новейшие достижения в области физики твердого тела и оп-
тической технологии (тонкие пленки, волоконная оптика, источ-
ники и приемники излучения) позволили осуществить создание
различных логических схем с использованием прямого и обрат-
ного преобразования света в электрический сигнал, что положило
начало развитию оптоэлектроники, которая может стать основой
нового поколения вычислительных машин.
Главной целью настоящей книги является последовательное
изложение теоретических основ пассивных оптико-электронных
приборов, т. е. приборов, воспринимающих либо собственное из-
лучение объектов и фонов, либо отраженное ими излучение есте-
ственных источников, например Солнца.
Предполагается, что физические основы оптико-электронных
приборов (физическая оптика, источники и приемники излучения,
распространение и ослабление излучения), а также основы тео-
рии оптических систем (геометрическая и волновая оптика, тео-
рия оптического изображения) уже известны читателю. Однако
некоторые специфические вопросы и важные обобщения из этих
областей будут кратко рассмотрены. Основными разделами книги
являются сканирование, растровая модуляция излучения, выделе-
ние оптического сигнала на фоне случайных помех.
4
тор выражает глубокую благодарность своей жене Зинаиде
АВвце Мирошниковой, многолетнее повседневное участие ко-
Ива^' в работе над материалами книги сделало возможным под-
готовку ее к изданию-
Автор считает своим приятным долгом поблагодарить проф.
Г Вафиади, взявшего на себя труд научного редактирования
лги а также засл. деят. науки и техн. РСФСР, д-ра техн, наук
- Л- П. Лазарева и д-ра техн, наук В. А. Хрусталева за вни-
атепьное рецензирование, в процессе которого ими был высказан
яд замечаний, учтенных при составлении окончательного текста.
Р Автор благодарит В. Ф. Захаренкова, Р. Н. Иванову, Н. Ф. Со-
боаеву, Г. А. Маковцова и других сотрудников Государственного
оптического института, оказав] них большую помощь при подго-
товке рукописи к изданию.
Автор заранее благодарен всем, кто пришлет свои замечания,
советы и пожелания по адресу: 191065, Ленинград, Д-65,
ул. Дзержинского, 10, Ленинградское отделение издательства
«Машиностроение».
В веден и е
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИНЦИПЫ РАБОТЫ,
ЭЛЕМЕНТЫ И ХАРАКТЕРИСТИКИ
ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И КЛЧССИФИКАЦИЯ
ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ
Любые окружающие нас тела являются источниками оптиче-
ского излучения. В оптических сигналах содержится информация
о размерах, форме, положении и энергетическом состоянии тел.
Эта информация может использоваться различным образом, од-
нако во всех случаях в процессе ее использования происходит
преобразование оптического излучения в другие виды энергии.
Оптико-электронными называют приборы, с помощью которых
сведения о размерах, форме, положении и энергетическом состоя-
нии тела, содержащиеся в потоке излучения, извлекаются путем
его специальной обработки и преобразования в электрический
сигнал, который также обрабатывается с целью выделения из
шумов и последующей регистрации.
Информация об излучающем теле после преобразования со-
держится в параметрах электрического сигнала: амплитуде, ча-
стоте, фазе, длительности импульса и др., которые и регистри-
руются в приборе.
В зависимости от решаемой задачи некоторые тела являются
объектами наблюдения (целями), а некоторые — фонами, при-
чем одно и то же тело может быть иногда объектом, а иногда —
фоном. Так, звезды являются объектами наблюдения при астро-
ориентации и элементами фона при наблюдении за искусственными
спутниками Земли. Своеобразным фоном являются организован-
ные помехи.
Объект наблюдения и окружающий его фон образуют поле
излучения, характеристики которого изменяются в пространстве
и во времени. Наличие изменяющегося фона является первой
причиной, препятствующей наблюдению. Вторая причина со-
стоит в том, что, несмотря на принципиальную возможность уси-
ления сколь угодно малых электрических сигналов, практически
все же оказывается невозможным различить сравнительно слабые
сигналы из-за хаотических флуктуаций или шумов.
6
п тико-электронные приборы могут классифицироваться по
ОПоЩИМ признакам: области спектра, способу использования
СЛа^пмации, решаемой задаче, типу источника облучения, ши-
иН(Р РПОЛОСы длин волн, в которой прибор обладает заданной
чувствительностью, и т. д.
у В зависимости от используемой области спектра оптико-
пектронные приборы подразделяются на приборы, работающие
э' ультрафиолетовой (1—380 нм), видимой (380—780 нм) и ин-
фракрасной областях спектра (780 нм — 1 мм).
у/ Способ использования информации определяет, является ли
оптико-электронный прибор автоматическим (работающим по
Рис. 1. Классификация оптико-электронных приборов
программе и самонастраивающимся), т. е. принимающим решение
без участия человека, или индикационным, обеспечивающим вы-
дачу информации в виде, пригодном для принятия решения чело-
веком.
Исходя из решаемой задачи оптико-электронные приборы де-
лятся на пеленгаторы, определяющие положение цели (в том
числе и автоматические пеленгаторы — головки самонаведения),
дальномеры, определяющие дальность до цели (в том числе и не-
контактные оптические взрыватели), и телевизоры, определяющие
форму предмета (в том числе и тепловизоры, работающие в инфра-
красной области спектра). Кроме того, существует большой класс
приборов, предназначенных для определения фотометрических
характеристик излучения, оптических свойств тел и сред, поляри-
зации излучения и т. д., все эти приборы можно назвать оптико-
Физическими.
Используемый источник облучения цели определяет, к какому
из двух больших классов относится оптико-электронный прибор:
^ассивным, воспринимающим либо собственное излучение объек-
°в и фонов, либо отраженное ими излучение естественных источ-
7
ников, например Солнца, или активным, в которых для облуче-
ния цели используется искусственный источник, часть излучения
которого отражается целью обратно по направлению к прибору
и воспринимается им.
Ширина полосы длин волн, где прибор обладает заданной
чувствительностью, позволяет подразделить оптико-электронные
приборы на спектральные (спектрометры) и интегральные (радио-
метры).
Классификация оптико-электронных приборов по различным
признакам приведена на рис. 1.
§ 2. ОБОБЩЕННАЯ СХЕМА
ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННОГО ПРИБОРА
На рис. 2 приведена обобщенная схема оптико-электронного
прибора. Схема содержит лишь основные элементы, оказываю-
щие существенное влияние на работу прибора.
Оптическое излучение объекта наблюдения (цели) и фона,
в том числе и организованной помехи, проходит через промежу-
точную среду (атмосфера или другая среда, ослабляющая излу-
Источник
излучения Транш усиления и преобразования сигнала и шума
Рис. 2. Обобщенная схема работы оптико-электронного прибора
чение) и улавливается оптической системой прибора, направляю-
щей его на приемник излучения. Последний вырабатывает элек-
трический сигнал, который усиливается и преобразуется желаемым
образом в зависимости от назначения прибора.
Одной из главных задач, решаемых в тракте любого оптико-
электронного прибора, является выделение сигнала из шума.
Причем, если источником сигнала является только излучение
объекта наблюдения (цели), то источниками шума могут быть
излучение фона, собственное излучение промежуточной среды
и оптической системы, шумы приемника излучителя и усилителя,
8
элементов могут совпадать, например усиление и обра-
в электрической схеме оптико-электронного прибора,
иже случайные флуктуации параметров всех элементов схемы
а i л)
(Ри£: зависимости от назначения оптико-электронная схема каж-
осалыюго прибора в большей или меньшей степени соответ-
“ДО^ет приведенной обобщенной схеме. Кроме того, функции от-
СТВ^ных элементов могут совпадать, например усиление и обра-
^тка сигнала для выделения его из шума осуществляется не
* эдько в электрической схеме оптико-электронного прибора,
но и в его оптической системе.
С Путь прохождения сигнала и шума от источника излучения
по выходного устройства называют трактом усиления и преобра-
зования сигнала и шума. Он имеет оптическую и электрическую
части, которые объединяются основным элементом оптико-элек-
тронного прибора — приемником излучения.
§ 3. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАХ
ОБОБЩЕННОЙ СХЕМЫ ОПТИКО ЭЛЕКТРОННОГО ПРИБОРА
3.1. Источники излучения и промежуточная среда
В зависимости от задач, решаемых конкретной оптико-электрон-
ной системой, источник излучения может являться объектом
наблюдения (целью) или фоном.
Если иметь в виду физическую природу излучения источника,
то следует прежде всего различать собственное и отраженное
излучение.
Рис. 3. Классификация источников излучения
Однако наиболее часто классифицируют источники излучения
по таким признакам, которые позволяют отнести их к одной из
Двух больших групп — естественным и искусственным источни-
кам излучения. Классификация источников излучения по этим
признакам приведена на рис. 3.
К искусственным источникам излучения, используемым в ак-
тивных системах (источники подсветки), относятся лампы нака-
ливания, газоразрядные и дуговые лампы, пиротехнические источ-
ники излучения и оптические квантовые генераторы (лазеры).
9
Эталонными источниками излучения наиболее часто являются
модели абсолютно черного тела, в качестве которых могут ис-
пользоваться либо специально обработанные поверхности и по-
крытия, либо полые излучатели. Функции эталонных источников
выполняют также различные лампы и оптические квантовые гене-
раторы, применяемые при калибровке приборов и имитации излу-
чения фонов и целей.
К наземным естественным и искусственным источникам излу-
чения можно отнести деревья, кусты, камни, землю, воду, песок,
здания, транспортные средства, людей, животных и т. д.
В атмосфере Земли существуют такие источники излучения,
как атмосферные газы, пары воды, облака, пыль, полярные сия-
ния, двигатели и обшивка самолетов, ракеты и др.
Космическими источниками излучения являются Солнце,
Луна, планеты, звезды, туманности, искусственные спутники
Земли (ИСЗ), ракеты, космическая пыль и пр.
Отдельные детали и узлы аппаратуры могут излучать значи-
тельное количество энергии, воспринимаемой приемником. К ним
относятся элементы объектива — линзы и зеркала, а также за-
щитные окна и обтекатели. Эти источники излучения называются
аппаратурными.
Между источниками излучения и прибором всегда существует
некоторая среда, в которой происходит ослабление энергии за
счет поглощения и рассеяния. Большей частью поглощающей и
рассеивающей средой является земная атмосфера, в которой
происходит поглощение излучения молекулами воды, углекис-
лого газа и озона, а рассеяние связано с наличием скопления моле-
кул атмосферных газов, частиц пыли и капелек воды.
3.2. Оптическая система
Поток излучения от его источников (цели и фона) после про-
хождения через ослабляющую среду воспринимается оптической
системой оптико-электронного прибора, которая состоит из раз-
личного рода комбинаций защитных стекол, линз, зеркал, призм,
диафрагм, щелей, фильтров, решеток и выполняет две главные
функции.
Первая функция состоит в том, чтобы собрать возможно боль-
ший поток приходящего излучения и с минимальными потерями
направить его на приемник
Вторая функция оптической системы заключается в оптиче-
ской фильтрации приходящего сигнала с целью увеличения от-
ношения величины сигнала к шуму фона. Различают два вида
оптической фильтрации — спектральную и пространственную.
Спектральная фильтрация осуществляется с помощью оптиче-
ских фильтров (абсорбционных, дисперсионных, отражающих
и интерференционных, т. е. оптических материалов — стекол и
кристаллов, а также диэлектрических и металлических покрытий,
10
есенных на оптические материалы) и имеет целью ограничить
наН( чеНие, падающее на приемник, определенным интервалом
ИЗЛн волн. Фильтры могут ограничивать спектральный диапазон
^опускания с одной стороны, «отрезая» коротковолновое или
11ппнноволновое излучение, или с двух сторон, выделяя опреде-
ленную полосу. Пространственная фильтрация осуществляется
пространственными фильтрами — диафрагмами, щелями, растрами
и служит для выделения излучения цели из излучения фона за счет
отличия геометрических размеров и формы соответствующих
целей от элементов фона.
Дополнительными функциями оптической системы в различных
оптико-электронных приборах являются обеспечение необходи-
мого поля обзора при заданном поле зрения, обеспечение процесса
слежения за целью или получения информации о ее координатах,
модуляция постоянной составляющей излучения, падающего на
чувствительную площадку приемника, защита внутренней полости
прибора от пыли, влаги и других вредных воздействий окружаю-
щей среды.
В процессе концентрации потока излучения на чувствитель-
ной площадке приемника неизбежно происходят его потери в обте-
кателе, линзах, зеркалах, элементах, осуществляющих простран-
ственную фильтрацию, и на поверхности приемника. Эти потери
связаны с поглощением энергии в оптических материалах, не-
полным отражением зеркал, виньетированием и другими причи-
нами. Тем не менее в результате применения оптической системы
поток излучения, падающий на приемник, в той или иной мере
усиливается. Наибольшее усилие достигается для случая наблю-
дения удаленных малоразмерных (точечных) объектов, когда
изображение объекта наблюдения полностью вписывается в раз-
меры чувствительной площадки приемника излучения. При этом
усиление равно отношению площади входного зрачка объектива
к площади чувствительной площадки приемника с учетом всех
потерь в оптической системе. Общий коэффициент пропускания
оптической системы редко превышает 20%, особенно если учесть,
что более 50% излучения теряется за счет модуляции. Дополни-
тельные потери происходят на поверхности чувствительной пло-
щадки и в объеме приемника излучения. Например, от поверх-
ности сернисто-свинцового фотосопротивления отражается и, сле-
довательно, теряется около 35% падающего излучения, если
применяется неиммерсионная оптическая система.
Важнейшей частью оптической системы любого оптико-элек-
тронного прибора является объектив, который служит в первую
очередь для сбора (фокусирования) энергии и образования изобра-
жения наблюдаемого объекта и всего поля излучения. Требования
к качеству этого изображения определяются задачами, стоящими
ПеРед всем прибором, условиями его работы и конструктивными
особенностями. При выборе конструкции объектива всегда при-
ходится искать компромиссное решение с точки зрения улучшения
11
пропускания, т. е. уменьшения потерь излучения, и обеспечения
заданного качества изображения.
Простейшим объективом является одна линза со сферическими
поверхностями. Ей присущи практически все виды аберраций,
из которых особенно велики хроматизм и сферическая аберрация,
поэтому основным ее недостатком является плохое качество изобра-
жения. Гораздо лучшего качества изображения за счет устра-
нения хроматизма и уменьшения сферической аберрации и комы
позволяют добиться сравнительно простые двухлинзовые объек-
тивы. Их относительное отверстие обычно не превышает 1 : 3
при угле поля зрения около 10° и диаметре входного зрачка не
более 100—150 мм. Для достижения хорошего качества изображе-
ния при больших углах поля зрения применяют более сложные
системы (триплеты, многолинзовые объективы и т. д.), обладаю-
щие вместе с тем относительно худшим пропусканием. Основным
недостатком линзовых объективов является большое селективное
поглощение в некоторых участках спектра, сравнительно большие
хроматические аберрации и трудность реализации оптико-меха-
нического сканирования.
Все эти недостатки отсутствуют у зеркальных объективов.
Одиночное зеркало часто используется в качестве простейшего
объектива, особенно если оно является параболическим. Довольно
широко используются и более сложные зеркальные объективы
(например, зеркальная система Кассегрена), основным недостат-
ком которых является экранирование части входного зрачка либо
приемником, либо вторичным отражателем (контррефлектором).
Зеркальные объективы не обеспечивают хорошего качества изобра-
жения в широком поле. Им свойственна некоторая технологиче-
ская усложненность по сравнению с однотипными линзовыми
объективами.
Mhoi ие достоинства линзовых и зеркальных систем объединены
в зеркально-линзовых системах, где, наряду с достаточно хорошим
пропусканием, можно достичь больших относительных отверстий
и значительных углов поля зрения. В таких системах довольно
просто осуществляется оптико-механическое сканирование.
К зеркально-линзовым объективам относятся хорошо известные
системы Шмидта, Максутова и ряд других. Применение в зер-
кально-линзовых системах зеркала Манжена (с внутренним отра-
жением) позволяет значительно уменьшить сферическую абер-
рацию.
В оптико-электронном приборе фокусирующая оптическая
система представляет собой один из элементов тракта передачи
и преобразования сигнала (и элементов фона). Именно это ее
свойство, влияющее на процесс обработки информации, подлежит
изучению (гл. 14).
Внутренняя структура и аберрационные свойства фокусирую-
щих оптических систем составляют предмет геометрической оп-
тики.
12
3.3. Приемники излучения
(определение и классификация)
Приемник излучения является основным элементом оптико-
электронного прибора. По существу само название приборов —
оптико-электронные — обязано свойству приемника преобразовы-
вать поток излучения в электрический сигнал.
Существуют различные определения приемника излучения,
однако все они отражают главное свойство приемника — способ-
ность обнаруживать наличие излучения путем преобразования
ег0 в энергию других видов для последующей регистрации. В ино-
странной технической литературе это свойство приемника излу-
чения находит выражение в названии — детектор, т. е. обнару-
житель.
Таким образом, приемник излучения представляет собой уст-
ройство, служащее для восприятия энергии излучения и преобра-
зования ее в энергию других видов с целью последующей реги-
страции результата этого преобразования, приводящей к обнару-
жению.
Процесс обнаружения излучения состоит из двух основных
этапов: преобразования энергии оптического излучения в другой
вид энергии и регистрации преобразованной энергии. Например,
в термоэлементе поток излучения вызывает появление электро-
движущей силы, которая регистрируется обычным образом (галь-
ванометром); в эвапорографе энергия излучения поглощается и
вызывает нагрев и испарение масляной пленки, изменение тол-
щины которой регистрируется интерференционными методами
И Т. д.
Приемники излучения могут классифицироваться по следую-
щим признакам: виду энергии, в которую преобразуется излуче-
ние; характеру изменения чувствительности приемника при из-
менении длины волны падающего излучения; области спектра,
где они наиболее чувствительны и находят наибольшее приме-
нение; рабочей температуре чувствительного слоя.
По виду энергии, в которую преобразуется излучение, прием-
ники излучения делятся на тепловые, фотоэлектрические или
фотонные, люминесцентные, фотохимические.
В тепловых приемниках энергия излучения преобразуется
в тепло, а регистрация преобразования сводится к измерению
приращения температуры приемной площадки, нагретой вслед-
ствие облучения. Способ регистрации изменения температуры
определяет конкретный тип теплового приемника излучения.
В термоэлементе изменение температуры приемной площадки
вызывает появление электродвижущей силы в контуре, образо-
ванном двумя спаянными или сваренными проводниками из раз-
личных металлов.
В болометре изменение температуры вызывает изменение
электрического сопротивления проводника или полупроводника.
13
В оптика-акустическом приемнике изменение температуры
приемной поверхности, образующей одну из стенок газовой ка-
меры, вызывает изменение температуры и объема газа и прогиб
мембраны — второй стенки газовой камеры.
В эвапорографе изменение температуры вызывает изменение
толщины масляной пленки.
В диэлектрическом приемнике изменение температуры вызы-
вает изменение диэлектрической проницаемости диэлектрика кон-
денсатора, имеющей сильную температурную зависимость, и со-
ответствующее изменение емкости конденсатора регистрируется.
Разновидностью диэлектрического приемника является пиро-
электрический приемник излучения, в котором диэлектриком
конденсатора служит сегнетоэлектрик, т. е. вещество, на поверх-
ности которого появляется электрический заряд при механиче-
ских деформациях.
Неравномерный нагрев конденсатора приводит к деформациям,
и на обкладках конденсатора возникают заряды, которые реги-
стрируются.
В термиконе изменение температуры вызывает изменение ве-
личины фотоэмиссии и т. д.
В фотоэлектрических (фотонных) приемниках энергия излу-
чения преобразуется в механическую энергию электронов, ис-
пускаемых облучаемым веществом. Если электроны, освобожден-
ные квантами излучения, покидают вещество, из атомов которого
они вырваны, то явление носит название внешнего фотоэффекта,
если же электроны остаются в веществе, то явление называется
внутренним фотоэффектом. Влияние внутреннего фотоэффекта
на характеристики вещества может быть различным в зависимости
от условий, которые созданы для освобожденных электронов.
Если они могут перемещаться внутри вещества в любом направле-
нии, то вещество остается нейтральным и лишь электропровод-
ность его изменяется. Если же в веществе создаются условия одно-
сторонней проводимости и электроны могут перемещаться лишь
в одном направлении, то в веществе возникает разность потенциа-
лов, создающая ток во внешней цепи.
Фотоэлектрические приемники излучения, в которых исполь-
зуется явление внешнего фотоэффекта, называются фотоэмис-
сионными приемниками. К ним относятся вакуумные и газона-
полненные фотоэлементы, фотоумножители, электронно-оптиче-
ские преобразователи (ЭОПы) и некоторые телевизионные пере-
дающие трубки (диссектор, иконоскоп, суперконоскоп, ортикон,
суперортикон и др.).
Приемники с внутренним фотоэффектом, в которых исполь-
зуется явление изменения электропроводности вещества, назы-
ваются фоторезисторами или фотосопротивлениями.
Приемники, в которых используется явление возникновения
э. д. с., называются фотогальваническими вентильными фото-
элементами или фотоэлементами с запорным слоем.
14
Если в качестве контактирующих веществ в вентильном фото-
ементе применяются полупроводники с различным типом про-
э‘ ли мости, то наряду с возникновением разности потенциалов
<еЖДУ слоями с р- и «-проводимостью при неравномерном осве-
щении чувствительного слоя образуется разность потенциалов
вдоль р—«-перехода. Эту фото-э. д. с. называют продольной или
боковой, а соответствующие приемники — фотоэлементами
с продольным или боковым эффектом.
Если к чувствительному элементу приемника излучения с за-
порным слоем приложить напряжение так, что оно препятствует
возникновению тока во внешней цепи приемника при освещении,
то изменение величины потенциального барьера под действием
излучения приводит к изменению сопротивления и падению на-
пряжения на приемнике. Этот режим работы называют фото-
диодным. Изменение тока, проходящего через фотодиод при осве-
щении, может усиливаться, как в обычном полупроводниковом
триоде, тем же полупроводником, в котором создан запорный
слой. В этом случае соответствующий комбинированный приемник
излучения называется фототриодом. Условия односторонней
проводимости и, следовательно, появления э. д. с. при освещении,
можно создать в полупроводнике, помещая его в магнитное поле,
ориентированное по нормали к падающему излучению. В этом
случае носители тока (электроны и дырки) отклоняются магнит-
ным полем в противоположные стороны, что приводит к возникно-
вению в образце разности потенциалов. Описанное явление носит
название фотомагнитного эффекта.
В люминесцентных приемниках излучения происходит пре-
образование излучения одного спектрального состава в излучение
другого спектрального состава. Типичным представителем этого
типа приемников является метаскоп — светосостав, высвечи-
вающийся под действием ИК-излучения за счет накопленной им
световой энергии при предварительном облучении ультра-
фиолетом, синим излучением неба или радиоактивным веще-
ством.
В фотохимических приемниках энергия излучения вызывает
всевозможные химические превращения. В фотопластинке, на-
пример, происходит фотохимическая реакция разложения гал-
лоидных солей серебра, причем металлическое серебро выде-
ляется, образуя скрытое изображение источника излучения.
В глазу человека под действием света в светочувствительных эле-
ментах сетчатки происходит фотохимический процесс, при кото-
ром продукты разложения вызывают раздражение зрительного
нерва и световое ощущение.
В зависимости от характера изменения чувствительности при-
емника при изменении длины волны падающего излучения при-
емники излучения можно разделить на две большие группы:
Н(,селективные, чувствительность которых остается постоянной
в определенном достаточно широком участке спектра; селектив-
!5
ные, чувствительность которых зависит от длины волны падаю-
щего излучения.
К неселективным приемникам, в частности, относится боль-
шинство тепловых приемников излучения, у которых обеспечи-
вается постоянство коэффициента поглощения приемной площадки
при изменении длины волны за счет чернения — покрытия ко-
потью, испарения металлов в вакууме и т. д.
Приемники излучения можно относить к одной из пяти боль-
ших групп для областей спектра: ультрафиолетовой (1—380 нм);
видимой (380—780 нм); ближней ПК-области (780—1400 нм);
средней ИК-области (1,4—3,0 мкм); далекой ПК-области (3,0—
1000 мкм).
К первой группе относятся фотоэмульсии, некоторые фотоэмис-
сионные приемники, тепловые приемники и фоторезисторы.
Ко второй группе — фотоэмиссионные приемники, главным об-
разом с сурьмяно-цезиевым фотокатодом, фотоэмульсии, селено-
вые фотогальванические приемники, фоторезисторы из сернистого
и селенистого кадмия и сернистого висмута, кремниевые фото-
гальванические приемники (солнечные батареи) и тепловые при-
емники.
К третьей группе — фотоэмиссионные приемники с кисло-
родно-цезиевым фотокатодом, сенсибилизированные фотоэмуль-
сии, сернисто-таллиевые фоторезисторы и фотогальванические
приемники (таллофиды), меднозакисные и сернисто-серебряные
фотогальванические приемники, тепловые приемники, некоторые
фосфоры, сернисто-свинцовые фоторезисторы, германиевые и крем-
ниевые фотодиоды и фототриоды.
К четвертой группе — сернисто-свинцовые, теллуристо-свин-
цовые и селенисто-свинцовые фогорезисторы, фоторезисторы,
фотодиоды и фотомагнитные приемники из сурьмянистого индия,
фоторезисторы из германия, легированного золотом, и тепловые
приемники.
К пятой группе — тепловые приемники излучения, фоторези-
сторы из германия, легированного цинком или ртутью, фоторези-
сторы на основе тройных соединений, например кадмия—ртути—
теллура.
Классификация приемников излучения по тем областям
спектра, где они наиболее чувствительны и находят наибольшее
применение, является достаточно условной, так как многие прием-
ники используются в различных участках спектра. В ряде случаев
такая классификация представляется оправданной, удобной и не
исключает определения некоторых приемников как двух- и много-
диапазонных, если это необходимо.
В принципе возможны любые температуры чувствительного
слоя приемника, однако наиболее часто для неохлаждаемых при-
емников указываются значения «комнатной» температуры 293 К
или 300 К, а для приемников охлаждаемых называются точки
кипения различных веществ, используемых для охлаждения:
16
7 к — твердой углекислоты или сухого льда; 77,4 К —
1 пкого азота; 27,3 К — жидкого неона; 20,5 К — жидкого
ЖИорода; 4,3 К — жидкого гелия. В последних трех случаях,
когда температура ниже 30 К, приемники называют глубокоох-
лаждаемыми.
При комнатной температуре работает большинство тепловых
лемников излучения, фотоэмиссиопные приемники, фотопла-
1 'инки, фосфоры, сернисто-свинцовые фоторезисторы, фоторези-
сторы из сурьмянистого индия и некоторые другие приемники.
Приемники излучения
I
Неселективные
При комнатной
I Селективные
। ' 1________________________
При температуре При температурежид-
жидкого азота кого неона (21'Кл,бодо-
(17 К)
рода(20К), гелия(ОК)
^Люминесцентные 11 Фотохимические |
При температуре
сухого льда
(190 К}
Рис. 4. Классификация приемников излучения
При температуре сухого льда — фоторезисторы из сернистого
свинца, а также некоторые тепловые приемники (термоэлементы
и болометры). При температуре жидкого азота — фоторезисторы
из сернистого, селенистого и теллуристого свинца, сурьмянистого
индия, германия, легированного золотом, фотогальванические и
фотомагнитные приемники из сурьмянистого индия, фоторези-
сторы на основе тройных соединений, тепловые приемники. При
сверхнизких температурах — фоторезисторы из германия, леги-
рованного ртутью или цинком, а также тепловые приемники —
сверхпроводящие и германиевые болометры.
Классификация приемников излучения по различным призна-
кам представлена на рис. 4.
3.4. Усилитель и другие элементы
электронного тракта
Сигнал, вырабатываемый приемником излучения, обычно не-
велик: он составляет несколько единиц или десятков микровольт.
Для того чтобы извлечь из него и использовать информацию,
Необходимо усилить сигнал. В качестве усилителей сигнала боль-
еи частью используются различного рода усилители перемен-
Ог° тока, так как сигнал в оптико-электронном приборе обычно
17
модулируется механическими, оптическими или электронными
средствами. В зависимости от схемы и задач, решаемых кон-
кретным оптико-электронным прибором, форма модулирования
сигнала, поступающего на вход усилителя, может быть различ-
ной. Иногда это периодический сигнал, форма которого близка
к синусоидальной, однако часто встречаются и непериодические
последовательности импульсов различной формы. Выходной сиг-
нал приемника излучения обычно поступает на вход усилителя
не непосредственно, а через согласующую схему, называемую
входной цепью.
Выбор элементов входной цепи является достаточно важной
задачей, решать которую приходится самому разработчику оп-
тико-электронного прибора, в то время как усилитель сигнала
может быть в большинстве случаев выбран им из готовых или
по его техническому заданию разработан специалистом в об-
ласти радиоэлектроники. Основные требования, предъявляемые
к усилителю, относятся к следующим его параметрам и харак-
теристикам: коэффициенту усиления, динамическому диапа-
зону, полосе пропускания и уровню собственного шума. Кроме
того, иногда оговаривается форма частотной и фазовой ха-
рактеристики усилителя, его габариты, вес и потребляемая
мощность.
Обычно усилитель сигнала конструктивно разделяется на
две части, одна из которых (предусилитель) монтируется в не-
посредственной близости от приемника излучения и служит для
предварительного усиления сигнала до уровня, достаточного для
последующей передачи сигнала по длинному кабелю в условиях
действия окружающих нестационарных электрических и магнит-
ных полей, а другая (главный усилитель) содержит необходимые
элементы регулировки усиления, полосы пропускания и других
параметров. Коэффициент усиления предусилителя обычно нахо-
дится в пределах 10—103, а общий коэффициент усиления может
достигать 106.
На выходе приемника излучения существует сигнал, несущий
информацию об объекте наблюдения, и шум. Для выделения и
обработки полезного сигнала из смеси сигнала и шума в усили-
теле и в электрических цепях, следующих за усилителем, содер^
жатся линейные и нелинейные элементы — устройства формиро-
вания и декодирования, схемы совпадения, обратные связи и т. д ,
осуществляющие необходимые логические операции. В простей-
шем случае операция выделения сигнала из шума заключается
в частотном анализе смеси сигнала и шума с помощью узкополос-
ных электрических фильтров, а операция обработки сигнала —
в его детектировании. Однако обычно требуются более сложные
решения.
Для регистрации обработанного сигнала применяются раз-
личные визуальные, звуковые, фотографические, осциллографи-
ческие индикаторы и автоматические системы.
18
Таким образом, обобщенная схема электрической части тракта
йко-электронного прибора может быть представлена в виде,
оПдбраженном на рис. 5. В каждом конкретном случае структурная
Рис. 5. Обобщенная схема элеюрической части тракта оптико-элек-
тронного прибора
схема электрической части оптико-электронного прибора может
отличаться от обобщенной схемы, а функции ее отдельных эле-
ментов могут быть совмещены и видоизменены.
§ 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ
Количественную оценку свойств и эффективности применения
оптико-электронного прибора в том или ином практическом случае
можно произвести с помощью ряда основных характеристик.
Порогом чувствительности называют наименьший поток из-
лучения или наименьшую освещенность, при действии которых
на входной зрачок оптической системы прибора обеспечиваются
заданные вероятность обнаружения цели, точность слежения
за целью или точность воспроизведения изображения цели. Иногда
для оптико-электронных приборов, создающих изображение в ин-
фракрасной области спектра (тепловизоров), более удобно выра-
жать порог чувствительности разностью температур двух абсо-
лютно черных тел, при которой наблюдается их различие.
В свою очередь заданным вероятности обнаружения, точности
слежения и точности воспроизведения соответствуют предель-
ные величины отношения сигнала к шуму и, следовательно, по-
рогу чувствительности соответствует сигнал, величина которого
превышает уровень шума в заданное число раз. Если поток излу-
чения определенной величины создает сигнал, равный шуму,
(ЭУМШ) ИЧИНУ ПРИНЯТО назь1Вать эквивалентной мощностью шума
Несмотря на кажущуюся простоту, очевидность и физическую
ясность приведенного определения порога чувствительности, при
оолее внимательном рассмотрении оно оказывается недостаточно
строгим, требующим дополнительных разъяснений. В частности,
возникают следующие вопросы.
Как выражать порог чувствительности, учитывая, что одно
то же количество потока излучения разного спектрального со-
ва оказывает на оптико-электронный прибор разное действие?
пар ак учитывать форму сигнала и характеристики шума при
н чете их отношения?
19
Как установить количественную связь между отношением
сигнала к шуму и такими показателями качества работы прибора,
как вероятность обнаружения, точность слежения и точность
воспроизведения?
Ответы на эти вопросы будут рассмотрены в ходе дальнейшего
изложения.
Порог чувствительности оптико-электронного прибора опре-
деляет его дальность действия при заданных условиях обнаруже-
ния, т. е. заданных характеристиках источника излучения и
промежуточной среды, причем под дальностью действия пони-
мают то наибольшее расстояние до излучающего объекта, при ко-
тором поток излучения от него, падающий на входной зрачок
прибора, соответствует порогу чувствительности.
В последнее время термин «порог чувствительности» (порого-
вый поток) все чаще заменяется термином «обнаружительная спо-
собность» (detectivity), что связано с широким распространением
этого термина, введенного К- Джонсом для описания свойств
приемников излучения. Обнаружительная способность обратно
пропорциональна порогу чувствительности.
Поле обзора — пространственный угол с вершиной в центре
входного отверстия оптической системы, в пределах которого
объект наблюдения (цель) может быть обнаружен прибором. При
симметричном поле обзора оно может выражаться значением ли-
нейного угла раствора соответствующего пространственного угла,
однако большей частью поле обзора задается в виде произведения
значений линейного угла в двух взаимно перпендикулярных
плоскостях (горизонтальной и вертикальной, по азимуту и углу
места, азимуту и тангажу и т. п.).
Величина поля обзора оптической системы зависит от требова-
ний к прибору и может быть различной. Например, поле обзора
тепловизора, предназначенного для контроля теплового режима
крупной промышленной установки, составляет 30x30°, в то
время как тепловизор-микроскоп для исследования распределе-
ния температур микросхем может иметь поле обзора 30x30'.
Время обзора — время осмотра поля обзора может быть раз-
личным, но обычно оно находится в пределах 0,05 с — 10 мин.
Иногда задается не время обзора, а число кадров, осматриваемых
в единицу времени, либо обратный этому числу период обновле-
ния информации.
Поле зрения (мгновенное поле зрения) — пространственный
угол с вершиной в центре входного отверстия оптической системы,
в пределах которого объект наблюдения (цель) может быть обна-
ружен прибором в данный момент времени (при отсутствии скани-
рования).
Поле зрения сканирующей системы является частью поля
обзора, и его величина определяется размерами диафрагмы поля
и фокусного расстояния объектива. Для простой (энергетической)
несканирующей системы поле зрения и поле обзора совпадают.
20
разрешающая способность обычно характеризуется наимень_
углом между двумя точечными источниками излучения, ко
ШИ ые могут быть раздельно обнаружены прибором. Разрешающая
псобность может также выражаться числом линий, приходя-
С ихся на единицу угла или на все поле обзора (на всю «картинку»),
вторые можно различить на выходном индикаторе прибора.
К Точность можно характеризовать среднеквадратическим зна-
чением ошибки, с которой можно измерить заданный параметр
(дальность, угловые координаты и т. п.) при определенных ус-
ловиях наблюдения (движение, помехи и т. д.).
Существует еще большее число всевозможных характеристик
работы оптико-электронного прибора, но они являются либо про-
изводными от перечисленных, либо используются достаточно
редко.
§ б. СИСТЕМЫ ОБЗОРА И АНАЛИЗА ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
(ОПРЕДЕЛЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ)
Объект наблюдения (цель) и окружающий его фон образуют
пространственное поле излучения, характеристики которого мо-
гут изменяться во времени. Для обнаружения объекта наблюде-
ния необходимо осуществлять обзор и анализ поля излучения.
Рис. 6. Классификация систем обзора и анализа^поля излучения
Обзор поля излучения может осуществляться либо путем одно-
временной регистрации потоков излучения, исходящих от каж-
дого элемента поля обзора (несканирующие системы или системы
одновременного восприятия), либо путем последовательной реги-
страции этих потоков за счет пространственной развертки (ска-
нирование или последовательное восприятие).
Анализ поля излучения осуществляется как в течение, так и по
окончании обзора с помощью оптических и электронных устройств
и [и человеком и имеет цель ответить на вопросы о наличии интере
сующеГ0 объекта наблюдения в поле обзора и его ориентировоч-
Ь1Х координатах (задачи обнаружения), о принадлежности
21
наблюдаемого объекта к тому или иному классу объектов (задача
опознавания), об энергетических характеристиках, геометриче-
ских размерах, форме и точном положении объекта наблюдения
в пространстве в течение заданного времени (задачи измерения
и сопровождения).
В соответствии с этим системы обзора могут быть разделены
на следующие основные типы: несканирующие простейшего типа
(энергетические); несканирующие, создающие изображение; ска-
нирующие узким полем зрения; сканирующие с растровыми
анализаторами; мозаичные или многоэлементные; комбинирован-
ные (рис. 6).
Кроме того, различают два типа сканирующих систем с уз-
ким полем зрения — системы, в которых сканирование и анализ
поля излучения осуществляются в пространстве предметов,
и системы со сканированием в пространстве изображений.
§ 6. НЕСКАНИРУЮЩИЕ СИСТЕМЫ ОБЗОРА
И АНАЛИЗА ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ПРОСТЕЙШЕГО ТИПА
(ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ)
Наиболее простым устройством для обзора поля излучения
является система, состоящая из объектива и одного неподвиж-
ного приемника (рис. 7), зеркальный (а) или линзовый (б) объек-
тив которого служит только для увеличения потока излучения,
попадающего па приемник. Такие системы способны регистриро-
Рис. 7. Схемы систем обзора простейшего (энергетического) типа: а — зеркал ь-
, ные; б — линзовые
вать общую величину и изменения во времени потока излучения,
распространяющегося внутри поля обзора. Они отличаются от
других несканирующих систем только тем, что одновременная
регистрация потока излучения не сопровождается здесь анализом
излучения отдельных элементов поля обзора, т. е. поле обзора (р
и поле зрения б совпадают.
Эти системы находят применение в простейших радиометрах,
радиационных пирометрах, а также в приборах сигнализации и
связи.
22
§ 7. НЕСКАНИРУЮЩИЕ СИСТЕМЫ,
СОЗДАЮЩИЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ
Более сложные несканирующие системы состоят из широко-
угольного объектива, создающего изображение в интересующей
наблюдателя области спектра, и приемника излучения, реги-
стрирующего и преобразующего изображение в вид, удобный для
наблюдения и последующего анализа.
Классификация несканирующих систем, создающих изобра-
жение, приведена на рис. 8.
К системам обзора, создающим изображение без сканирова-
ния, естественно в первую очередь отнести системы с фотографи-
ческой пластинкой и электронно-оптическим преобразователем
Рис. 8. Классификация несканирующих систем, создающих
изображение
изображения, которые чувствительны к излучению с длинами
волн до 0,8—1,2 мкм.
За исключением сильно нагретых тел фотографируемые объекты
облучаются посторонним источником и изображаются только
в отраженном излучении. С помощью электронно-оптического
преобразователя и фотопластинки не могут быть зарегистрированы
излучения слабонагретых тел.
Предел, ниже которого нагретые тела не испускают инфра-
красного излучения в количестве, достаточном для воздействия
на современные эмульсии, находится приблизительно при 250° С.
Напомним, что глаз человека при достаточной адаптации в пол-
ной темноте может различить тело, нагретое до температуры
420° С. Тела, имеющие более низкую температуру, совершенно
невидимы.
Способностью, подобно фотопластинке, аккумулировать из-
лучение обладает эвапорограф — типичный представитель преоб-
разователей теплового изображения. В эвапорографе изображе-
ние наблюдаемого объекта проецируется оптической системой
на тонкую мембрану, и температура в различных участках мем-
Раны оказывается различной в соответствии с количеством по-
глощенной энергии. Благодаря нагреванию мембраны излуче-
ием масляная пленка, сконденсированная на задней стороне
23
мембраны, неравномерно испаряется. Таким образом, разность
температур преобразуется в разность толщин масляной пленки.
Если рассматривать мембрану в отраженном свете, то различия
в толщине пленки проявляются в виде различной интерферен-
ционной окраски, подобно цветам тонких масляных пленок на
поверхности воды. Время, требующееся для получения изображе-
ния, зависит от разности температур объекта и фона и колеблется
в пределах от долей
Рис. 9. Эвапорограф ЭВ-84
секунды до десятков
секунд. Прибор позво-
ляет различать объекты
при разности темпера-
тур около 1°С.
Эвапорография (ре-
гистрация путем испа-
рения) ведет свое на-
чало с опытов Д. Гер-
шеля, который в 1840 г.
использовал для этих
целей тонкую фильтро-
вальную бумагу, смо-
ченную спиртом и за-
копченную со стороны,
обращенной к объекту.
В 1927 г. Черни в
Берлине развил метод
Гершеля, использовав
вместо испарения спирта
возгонку нафталина и
камфары. Последующие
работы Вилленберга, а
также Черни и Молле
позволили настолько
усовершенствовать эва-
порографию, что во время второй мировой войны в Берлинском
университете был создан первый прибор—эвапорограф EVA.
В 1950 г. в Кембридже (США) построен аналогичный прибор фир-
мой «Бэрд ассошиэтс инкорпорейшн». Предполагалось исполь-
зовать этот прибор для военных целей, но в 1956 г. он был
использован в промышленности.
В Советском Союзе сотрудниками Государственного оптиче-
ского института им. С. И. Вавилова Г. П. Фаерманом, В. Н. Син-
цовым и др. разработан эвапорограф ЭВ-84, внешний вид которого
представлен на рис. 9.
В преобразователе теплового изображения Суга и Иосихара
используется конденсация на мембрану не паров жидкости,
а аэрозоля, частицы которого конденсируются на участках с бо-
лее низкой температурой. Для рассматривания получившегося
24 )
§ 8. ОБЗОР И АНАЛИЗ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
ЗА СЧЕТ СКАНИРОВАНИЯ
Обзор пространства в системах со сканированием узким полем
осуществляется посредством вращения или качания зеркал, призм
или объективов, а также движения диафрагм и щелей. При этом
происходит перемещение поля зрения в пределах заданного поля
обзора по определенному закону так, что след оптической оси
прибора описывает в пространстве предметов круг, циклоиду
или другую фигуру. После просмотра всех точек поля обзора
движение повторяется.
Системы сканирования узким полем позволяют получить
большую площадь обзора при достаточно малом мгновенном угле
поля зрения, что увеличивает чувствительность прибора к из-
лучению малоразмерных удаленных источников излучения, умень-
шая влияние фона. Однако при заданном времени обзора в ре-
зультате сканирования узким полем получаются короткие им-
пульсы фототока, для усиления которых необходимо широкополос-
ное усиление.
Обычно осмотр поля обзора осуществляется по заранее задан-
ному закону и неизменной программе, однако в принципе воз-
можно построение систем, в которых с большей подробностью
осматриваются те области поля обзора, где вероятность появле-
ния объекта велика, и с меньшей подробностью — те, где вероят-
ность мала. Если появление объекта в той или иной точке поля
обзора равновероятно, задача выбора оптимального закона ска-
нирования значительно усложняется.
Существует мнение, что эффективность сканирования может
быть повышена за счет преднамеренного введения элемента слу-
чайности в процедуру обзора (случайный поиск). Это мнение осно-
вано на результатах исследования зрительного аппарата человека
и животных, которые показывают, что регулярного обзора про-
странства в природе не осуществляется. Траектория движения
глаз при просмотре объекта носит случайный характер, причем
наибольшая площадь сканирования соответствует тем участкам
поля обзора, где сосредоточено наибольшее количество информа-
ции. Пока не ясно, каким образом можно в полной мере воспроиз-
вести в приборе реализуемый зрительными органами животных
случайный поиск.
Однако есть все основания утверждать, что в ближайшее
время на основе новейших достижений оптоэлектроники, волокон-
ной оптики и телевизионной техники такие устройства будут
созданы.
§ 9. РАСТРОВЫЕ АНАЛИЗАТОРЫ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Сканирование большого пространства узким полем встречает
серьезные препятствия, так как скорости сканирования ограничены
инерционностью приемника, чувствительностью прибора и воз-
26
жностями быстрого перемещения элементов оптической си-
М смы, осуществляющих сканирование.
СТ В связи с этим приходится расширять мгновенное поле зре-
ия системы, определяющее ширину сканирующего поля. Однако
пои этом возникают две трудности: во-первых, размеры поля зре-
ния начинают превышать допустимые ошибки измерения угловых
координат цели и точный отсчет их текущих значений, например
по положению центра поля зрения прибора, становится невозмож-
ным; во-вторых, помехоустойчивость оптико-электронного при-
бо а уменьшается, так как большее поле зрения улавливает со-
ответственно большее излучение фона.
Указанные трудности удается в некоторой степени преодоле-
вать, подвергая анализу изображение, создаваемое оптической
системой прибора, с помощью специальных растров, называе-
мых в разных случаях анализаторами, координаторами и модуля-
торами. Растр размещается в картинной плоскости оптической
системы и перемещается относительно изображения поля излу-
чения, поэтому на приемник, находящийся за растром, падает
модулированное излучение, причем модуляция осуществляется
так, что параметры модулированного сигнала (амплитуда, ча-
стота, фаза, длительность импульса и т. д.) зависят от положения
и размеров источника излучения.
Таким образом, движущийся растр позволяет решить три ос-
новные задачи: преобразует пространственное распределение из-
лучения в функцию времени (модуляция}-, выделяет излучение
объекта наблюдения (цели) из излучения фона (селекция}-, вносит
в сигнал от цели определенным образом закодированную ин-
формацию о положении цели в поле зрения, т. е. определяет
координаты цели в системе координат оптической системы (из-
мерение}.
Поскольку функции растров не ограничиваются модуляцией
потока излучения, термин «модулятор» к ним, строго говоря,
неприменим. В течение длительного времени их называли коорди-
наторами, однако в последние годы этот термин практически
отождествляется с понятием головки самонаведения. В связи
с этим в дальнейшем изложении будет использоваться термин
растровый анализатор или растр.
Сигнал, вырабатываемый приемником излучения, установлен-
ным за растровым анализатором, после соответствующей обра-
ботки может быть, в частности, использован для воздействия на
привод различных элементов, обеспечивающих сканирование, т. е.
зеркал, линз, клиньев, либо подвижной платформы, на которой
Установлен прибор, с целью автоматического сопровождения объ-
екта наблюдения при его движении в пределах поля обзора.
Часть I
СКАНИРОВАНИЕ
Глава 1
СЛУЧАЙНЫЙ ПОИСК
Исследование принципов случайного поиска было начатс
в Советском Союзе еще в 1953 г. сотрудниками Государственного
оптического института им. С. И. Вавилова Н. И. Пинегиным
и Н. Г Болдыревым.
Для нахождения аналитической зависимости вероятности об*
наружения объекта от времени обозначим через 6 величину мгно-
венного поля зрения (например, центрального поля зрения глаза),
а через ф — величину обозреваемой площади (в стерадианах
или квадратных градусах). При поиске объекта на большой обо-
зреваемой площади б < <р.
Вероятность того, что объект при случайной ориентации мгно-
венного поля зрения (случайно брошенном взгляде) окажется
внутри области б, равна б/ф.
Пусть р есть вероятность обнаружения объекта внутри мгно-
венного поля зрения б, зависящая от контраста и размеров на-
блюдаемого объекта. В этом случае вероятность обнаружения
при случайной ориентации мгновенного поля зрения (случайно
брошенном взгляде) можно найти как произведение вероятностей
q — рб/ф.
Обзор поля ф можно рассматривать как серию независимых
испытаний п независимо брошенных взглядов. Следовательно,
для дальнейшего необходимо воспользоваться биномиальным за-
коном повторных испытаний.
Как известно, этот закон применяется в тех случаях, когда
производится п повторных испытаний и при каждом из них ве-
роятность события А (обнаружения цели) равна q. Вероятность
того, что событие А повторится т раз, определяется биномиальным
законом
Pn(m} = Cnq (1 — q) ,
Я
где
YOJIbKO
—
Сп
число сочетаний (соединений, различающихся друг от друга
элементами) из п по т равно
л (л— 1) (л— 2). . . (л— т-\- 1) _ л!_
ml ~ т! (л — т)!
чтобы группы отличались самими элементами, а не их поряд-
т0 = 1. Поскольку основным свойством сочетаний яв-
'п~т, то Спп = С^~п = С°, следовательно,
Следовательно, можно наити
Г1 _ п\ _ 1-2-3 . .. (л—1)л __
1!(л—1)! “ 1-2-3 ... (л—1)
Так как п предметов можно объединить в п групп только один
раз,
ком, m t
ляется равенство Сп — Сп
С® = 1.
При малых значениях q биномиальный закон описывается
формулой Пуассона
Из биномиального закона следует, что вероятность того, что
событие А не произойдет (не повторится ни разу, т. е. т = 0),
равна
Рп(0) = (1-</)".
При малых q на основании формулы Пуассона найдем
Рп (0) = e~^.
Вероятность того, что событие произойдет, т. е. объект будет
обнаружен сколько угодно раз, равна
Р=1-Рп(0)=1-(1-<7)'1
или при малом q, когда Рп (0) = е-П(?,
р — 1 — e~nq _ 1 — е—прб/ф
Чтобы обнаружить цель с вероятностью Р, нужно выполнить п
экспериментов, т. е. затратить на это время Т — %п, где т —
коэффициент пропорциональности, равный времени, затрачивае-
мому на один эксперимент.
Для вероятности обнаружения цели Р найдем
__т_ б
Р = 1 — е х Р = 1 — е~аГ,
гДе ос = р A А - у1 — время обнаружения цели с вероятностыр Ру
Р^Рп^) + Рп Р) + Рп (3)+--
29
Вероятность р обнаружения объекта, находящегося внутрр
мгновенного поля зрения 6, зависит от контраста и размеров на
блюдаемого объекта.
Для экспериментальной проверки полученного выражения в случае, когда
поиск осуществляется глазом человека, белый диффузно рассеивающий свеп
экран размером 2,8X2,4 м рассматривался наблюдателем с расстояния 2 м че
рез окно, которое закрывалось на время, необходимое для расположения на экране
объекта — полоски тонкой диффузно рассеивающей свет глубокоматовой фото
графической бумаги размером не более 30XG0', различно экспонированной, ;
затем отфиксированной. При этом контур объектов практически не был заметен
3,0 Т,с
Рис. 10. Зависимость вероятности визуального об-
наружения Р от времени обнаружения Т:
1 — к = 0,2; у2 = (10')2; а = 1.05; 2 — к = 0,25; у2 =
= (12')г; а = 3,63; 3 — к = 0,3; т2= (14')2, а = 11,2
Яркость экрана, освещенного двумя мощными лампами, была близка к ярке
сти дневного неба, покрытого облаками. Измерение яркости экрана и объекта -
фотографической бумаги, наложенной на экран, — производилось при помощи
фотоэлектрического прибора с точностью до —1%.
После того как объект был наклеен на экран в неизвестном для наблюдателя
месте, последний получал сигнал приготовиться к поиску. Вслед за тем окн
открывалось и наблюдатель начинал поиск. В самом начале поиска наблюдатель
пускал в ход секундомер, останавливая его в момент обнаружения, что позве
ляло регистрировать время, необходимое для обнаружения с точностью до 0,01 с
Так как угловые размеры поля наилучшего зрения и распознавания пред
метов определяются центральным углублением сетчатки и составляют 1,5
а угловые размеры экрана — 60X70°, то обозреваемая площадь экрана примерно
в 3000 раз превосходила поле наилучшего зрения.
Большой статистический материал (общее количетво измерений составлял
около 60 000) позволил найти зависимость Р = f (Г) экспериментально. Эт
зависимость хорошо аппроксимировалась формулой вида
Р = 1 — е~аГ.
Здесь Т — время обнаружения, а — коэффициент, зависящий при прочих рав-
ных условиях от площади объекта у2 и его контраста к = (Вэ — В0)/Вэ, где Вэ -
яркость экрана, Во — яркость объекта.
Следовательно, время обнаружения
Т = - (1/сс) In (1 - Р) = - (2,3/сс) 1g (1 - Р).
30
енные Н. И. Пинегиным зависимости коэффициента а от площади и
П°лУчобъекта в свою очередь с достаточной точностью аппроксимируются
контраста
выра?ке11ие 1g С4 = со + ctK + с2 1g у2,
^—4,3; гц^б.б; с2 1,6.
где чвисимоа и вероятности Р от времени обнаружения Т, коэффициента а
зПИчных значений площади объекта (у')2 и контраста к представлены на
для Pq2_]2. На оси абсцисс (рис. 10) отмечены значения среднего времени обна-
Т‘2, Тъ, соответствующие вероятности Р — 0,73, и среднего времени
Т], Т2, Т3, соответствующие вероятности Р = 0,63.
ружения Т\,
обнаружения
+ 1
0
-1
Рис. 11. Зависимость коэффици-
ента а от площади объекта (У)2:
1 — к = 0,05; 2 — к — 0,1; 3 — к =
= 0,2; 4 к = 0,3; 5 к = 0,4; 6 —
к = 0,5
Рис. 12. Зависимость коэффици-
ента а от контраста к:
/ —(V')2 = 4,0; 2 — (V ')2 = 6,5; 3 —
(V')2 = 10,0; 4 — (у')* = 20,0
В процессе исследований было выяснено, что время обнаружения не зави*
сит от формы объекта в принятых пределах изменения его размеров от (З')2 ДО
(20')2. Оно не зависит также от знака контраста для к — (±0,05)н-(±0,5).
Среднее время обнаружения объекта может быть вычислено
следующим образом.
Найдем среднее значение числа обнаружений цели при п
независимых испытаниях. По определению среднее значение слу-
чайной величины
m= £ mP„(m)= £ (1 -
m=l ni—\
Так как С” = (n/m) C’n-i, то гтЛпд Cn-\qm !(1—q)n 1 (w °.
tn—1
б „Сумма, входящая в последнее выражение, представляет со-
и сумму вероятностей полной^ группы событий, поэтому она
Рэвна единице. Следовательно, m ~ nq и вероятность обнаруже-
31
ния может быть выражена через среднее значение числа обнару
жений цели следующим образом:
Р = 1 — в-"? = 1 - е-"г.
Соответственно среднее время обнаружения равно
Т = хп,
где п — число экспериментов, обеспечивающее среднее значение
числа обнаружений т, и так как п — m/q, то
Т = x(m/q).
Если в среднем имеет место одно обнаружение, т. е. m — 1
то п = \/q = (1/р) (<р/6) и
T = x/q^ (т/р) (ф/6) = 1/а.
Полагая для простоты р = 1, найдем:
п = <р/6; Т = т(ф/6).
Предположим, что анализируемое поле излучения состои'
из № элементов, т. е. <р/6 = №, тогда п = N2\ Т = xN2.
Для того чтобы обеспечить в среднем одно обнаружение цели
необходимо выполнить № экспериментов. При этом вероятност:
обнаружения цели
Р = 1 — = 1 — е-1 0,63,
если в среднем имеет место одноразовое обнаружение. Вероят
ность необнаружения цели соответственно будет равна 0,3'
Так как вероятность обнаружения цели m раз из п испытан?
равна
то при m — 1
Р„(щ) = 0,37/mI.
Следовательно, для m=l Рп (1) — 0,37, для т=2 Рп (2) =
= 0,18, для т = 3 Рп (3) = 0,06, для т = 4 Рп (4) = 0,01
И т. д.
Определенная вероятность двух и более обнаружений, ко л
в среднем цель обнаруживается один раз, говорит о возможно.;
повторного осмотра ранее пройденных точек поля.
Среднее время обнаружения и его зависимость от площади и контраст
объекта в процессе описанных выше экспериментальных исследований был
определены следующим образом. Вначале было подсчитано теоретическое зн;
чение среднего времени для одноразового обнаружения, когда т = 1 и Т = 1/с
Затем экспериментально было выяснено, что в условиях проведения эксперт
32
е, та имели место относительно большие значения среднего времени обнару-
шя Т' соответствовавшие более высокой вероятности обнаружения, равной
ДОЭНИИ 2 >
примерно 0,73. На рис. 10 отмечены как теоретические Г, так и эксперименталь-
Т' значения среднего времени обнаружения.
НЬ Тдя вероятности Р = 0,73 время обнаружения Т = —In (1 — 0,73)/а =
= к *
Тренировка наблюдателя не изменяла вида зависимости вероятности обна-
пужсния от времени, а приводила лишь к параллельному смещению соответ-
ствующей кривой в сторону меньших значений времени обнаружения.
' Ьыло выяснено также, что при поиске цели в пределах очень большого поля
наблюдатель в процессе тренировки начинает действовать по определенной си-
стеме, мысленно разделяя все поле обзора на отдельные зоны (20X20°), внутри
которых осуществляется случайный поиск, а переход от зоны к зоне происходит
упорядоченно по строкам или столбцам. Среднее время обнаружения в этом
случае уменьшается примерно в 1,5 раза. Однако этот вопрос требует дополни-
тельных исследований, равно как и более точной, чем это делалось в описанных
опытах, регистрации истинной траектории движения центра поля зрения глаза.
В случае детерминированного времени поиска цели произведе-
ние (т — время анализа одного элемента, № — общее число
анализируемых элементов) соответствует максимальному значе-
нию времени обзора. Среднее значение времени обзора можно
найти, полагая, что в среднем цель находится в центре поля об-
зора, и для ее обнаружения нужно проанализировать №/2 эле-
ментов, т. е. затратить время Т = т№/2 вместо xN2 при случай-
ном поиске. Таким образом, в случае стационарной поисковой
ситуации детерминированный поиск оптимальнее случайного.
Однако в более общем случае поисковая ситуация нестацио-
нарна, т. е. цель может появиться в определенной точке поля
сразу же после того, как эта точка была проанализирована по-
исковой системой. При детерминированном поиске повторный кон-
троль произойдет лишь после того, как все элементы поля обзора
просмотрены, т. е. через время т№. При случайном поиске суще-
ствует вероятность обнаружения цели более чем один раз, при-
мерно равная вероятности одного обнаружения. Действительно,
ьри m = 1 Рп (т) — 0,37/ml и Рп (1) = 0,37. Так как Рп (0) =
= 0,37, то очевидно У Pn(m) ^Рп (1).
т=2
Следует также заметить, что при случайном поиске вероят-
ность одного обнаружения уменьшается медленнее, чем время
обнаружения, так как Р = 1 — е~аТ.
Пусть, например, а = 1 с"1, тогда при 7=1 с Р — 0,63,
а при Т == 0,5 с Р = 0,39.
Изложенные выше принципы случайного поиска имеют общий
характер и лишь в конкретных примерах, выделенных петитом,
базируются на статистических материалах поиска цели глазом
Человека.
Одна из возможных реализаций такого поиска в оптико-
электронном приборе с электронным сканированием рассмотрена
Книге Г. П. Катыса «Автоматическое сканирование».
9
М. Мирошников 33
В этом приборе перемещение сканирующего электронного
луча осуществляется от двух генераторов развертки, синхронно
вырабатывающих импульсы с длительностью т и случайной ампли-
тудой. В результате сканирование поля производится отдель-
ными «взглядами» длительностью т, перемещающимися по полю
случайным образом. Закон перемещения определяется плот-1
ностью распределения случайных амплитуд импульсов, вырабаты-
ваемых генераторами развертки, которая может подчиняться кон-
кретным статистическим требованиям, заданным, например, в виде
вероятностной плотности нахождения искомого объекта в эле-
ментарной ячейке поля обзора.
Г лава 2
ТРАЕКТОРИИ СКАНИРОВАНИЯ
ПРИ РЕГУЛЯРНОМ ПОИСКЕ
(ТИПЫ РАЗВЕРТОК)
В оптико-электронных приборах используются различные
траектории сканирования. Вид конкретной траектории опредеч
ляет прежде всего форму контролируемой области поля обзора
(форму растра).
Круглая форма поля образуется осесимметричными траекто-i
риями, которые создаются за счет двух составляющих сканиро-
вания. Одной из них является вращательное движение с постоян-
ной угловой скоростью. Второй может быть как вращательное,
так и колебательное движение.
Прямоугольная форма поля создается обычно двумя колеба-
тельными перемещениями, хотя в некоторых случаях используечся
сочетание вращательного и поступательного движения.
Осесимметричные траектории сканирования могут быть раз-
делены на ряд классов в зависимости от типа слагающих движе-
ний и соотношения между их скоростями. При этом обычно раз-1
личают спиральную и розеточную траектории сканирования.
§ 1. ТРАЕКТОРИИ СКАНИРОВАНИЯ
ПРИ КОЛЕБАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
СКАНИРУЮЩЕГО ПОЛЯ
Если имеет место колебательно-вращательное движение скани-
рующего поля, то спиральная траектория (архимедова спираль)
образуется в том случае, когда за время одного колебания вдоль
некоторой оси Оу последняя совершает несколько оборотов вокруг
неподвижной точки О (рис. 13).
34
иральная траектория характеризуется шагом спирали а,
тй зависит от угловой скорости вращения сканирующего
которь линейНой скорости V перемещения поля в процессе его
"окания вдоль оси Оу.
а = 2лУ/со.
При этом предполагается, что колебание сканирующего поля
происходит по линейному закону, а время обратного хода равно
нулю (рис. 14), т. е.
Рис. 13. Спиральная траектория
сканирования при колебательно-
вращательном движении сканиру-
ющего поля
V = г/Т,
где г — амплитуда колебательного
движения; ’ Т — время L полного
колебания (период).
Рис. 14. Закон движения сканирующего
поля вдоль оси для спиральной траекто-
рии
Практически всегда имеют место потери времени, обусловлен-
ные обратным ходом развертки. В телевизионных системах они
составляют 3—8% от времени обзора, в системах с оптико-меха-
ническим сканированием потери могут достигать 30% и более.
Для осмотра поля обзора без пропусков размер элемента раз-
ложения (мгновенного поля зрения) должен быть равен шагу
спирали, который можно выразить через полное число витков
спирали (число строк) г и амплитуду колебательного движения г
а = rlz.
Следовательно, число элементов, укладывающихся на витке
спирали, соответствующем радиусу р (число элементов в строке),
примерно равно
Nс — 2лр/а = 2л (p/r) z.
Если поле обзора осматривается FK раз в секунду, то время
осмотра каждой спирали (каждой строки) составляет
Tc=\/Fc = 2 л/со = Tjz = l/(FKz),
частота строк Fc = <о/(2л),
*адра) Т = f/fK.
а время осмотра поля обзора (время
35
Следовательно, число элементов, осматриваемых в единицу
времени,
п — NС/Тс = 2nFK (р/г) г2,
а время осмотра одного элемента
т = 1/п = 1/[2лЕк (p/r) г2].
Полученное значение времени т зависит от радиуса осматри-
ваемой кольцевой зоны поля обзора р, что необходимо учитывать
при выборе характеристик
электронного тракта прибора, в част-
ности, полосы
теля, которая,
порциональна
осматриваемых
(обратно пропорциональна минималь-
ной длительности импульса),
А/ п = 1/т.
Рис. 15. Розеточная траектория
сканирования при колебательно-
вращательном движении скани-
рующего поля
пропускания усили-
как известно, про-
числу элементов,
в единицу времени
Рис. 16. Закон движения сканирующего
поля вдоль оси для розеточной траектории
полосы пропускания, определенное
Очевидно, что значение
для крайнего витка спирали (p/r = 1), является избыточным для
всех остальных витков. Это связано с различной линейной ско-
ростью движения сканирующего поля в разных точках простран-
ства обзора при спиральной развертке.
Если при колебательно-вращательном движении сканирующего
поля за время одного оборота совершается несколько колебаний,
то создается розеточная траектория (рис. 15).
Розеточная траектория характеризуется числом лепестков АГ,
которое определяется угловой скоростью вращения о, линейной
скоростью V и амплитудой г колебательного движения
W = (2лWo) [1/(2г) ],
где V = /7(0,5Т) = 2г/Т.
Колебательное движение предполагается происходящим по
закону, представленному на рис. 16.
36
зависимости от соотношения между амплитудой колебатель-
движения г и радиусом поля обзора А*, а также от направле-
и момента начала сканирующего колебания характер запол-
поля линиями сканирования изменяется.
В
ЦОГО
НИЯ 1
пения
Рис. 17. Траектории сканирования при колебательно-вращательном
движении сканирующего поля для г <Z R: а — спиральная; б — розе-
точная
Например, если колебательный процесс происходит по на-
правлению от периферии к центру и амплитуда колебания меньше
радиуса поля обзора, то спиральная и розеточная траектории
при колебательно-вращательном движении имеют вид, представ-
ленный на рис. 17.
§ 2. ТРАЕКТОРИИ СКАНИРОВАНИЯ
ПРИ ВРАЩАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
СКАНИРУЮЩЕГО ПОЛЯ
При вращательно-вращательном движении, когда сканирую-
щее поле вращается с угловой скоростью сйх вокруг некоторой
оси (относительное движение), которая в свою очередь вра-
щается с угловой скоростью со 2 вокруг неподвижной оси О (пере-
носное движение), вид траектории определяется соотношением
скоростей (Dj и со2.
Если сох < со 2, имеет место спиральная траектория (рис. 18),
а при СО] > со2 — розеточная траектория (рис. 19).
В зависимости от соотношения радиуса относительного движе-
ния г и радиуса поля обзора 7? характер заполнения поля ли-
ниями сканирования изменяется. Если 2r = R, сканируется
вся круглая зона поля, если 2r < R, сканируются только пери-
ферийные кольцевые области.
Построение спиральной и розеточной траекторий в этом послед-
нем случае приведено на рис. 20 и 21.
37
Рис. 18 Спиральная траектория сканирования при
вращательно-вращательном движении сканирую-
щего поля для 2r — R
Рис. 19. Розеточная траектория сканирования при
вращательно-вращательном движении сканирую-
щего поля для 2r = R
38
Рис. 20. Спиральная траектория сканирования при
вращательно-вращательном движении сканирую-
щего поля для 2г < R
Рис. 21. Розеточная траектория сканирования при
вращательно-вращательном движении сканирую-
щего поля для 2r <Z R
39
§ з. траектории Сканирований
При колебательных перемещениях
СКАНИРУЮЩЕГО ПОЛЯ
В ДВУХ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ,
ТРАЕКТОРИЯ сканирования «гусеница»
И СЛЕДЯЩАЯ РАЗВЕРТКА
Колебательные перемещения сканирующего поля в дву;
взаимно перпендикулярных направлениях позволяют осуществит!
так называемую построчную или прогрессивную траекторию ска
нирования (рис. 22).
В этом случае в процессе развертки сканирующее поле пере
мещается слева направо в
горизонтальном направлении и одно-
временно смещается вниз на ширину
строки. Пройдя одну строку, скани-
рующее поле быстро возвращается
влево, после чего вновь начинал.-!
перемещаться вправо, но уже вдолз
следующей строки. Процесс эточ
продолжается до тех пор, пока ска-
нирующее поле не пройдет послед
нюю строку кадра, затем оно во:>
вращается в исходное положение -I
в верхний левый угол кадра (пол|
обзора).
Для получения равномерного
движения сканирующего поля вдод
строки или кадра и быстрого пере-
мещения его в исходное положен»
необходимо обеспечить пилообраз-
ный закон движения (рис. 23), при-
чем перемещение слева направо на-
строчкой развертки (в течение вре-
Рис. 22. Построчная или про-
грессивная траектория скани-
рования
зывается прямым ходом
мени /пр), а быстрое возвращение в исходное положение — обрат-
ным ходом строчной развертки (в течение времени to6). Анало-
гично говорят о прямом и обратном ходе развертки по кадру.
Частота колебаний, осуществляющих кадровую развертк)
(смещение по вертикали), должна соответствовать заданной ча-
стоте смены кадров FK — 1/^к, а частота колебаний, осуществляю-
щих строчную развертку (смещение по горизонтали), — частота
строк Fc = 1/Тс, которая в z раз больше частоты кадров (z —
число строк, которое укладывается в поле обзора).
Время возвращения мгновенного поля зрения в исходное поло-
жение должно быть минимальным, так как в течение этого вре-
мени полезные сигналы обычно не формируются. Однако в ряд*
случаев применяется синусоидальная развертка (рис. 24), прк
которой в качестве рабочего перемещения могут использоваться
как прямой, так и обратный ход строчной развертки. Синусоидаль-
40
Рис. 23. Закон движения сканирующего поля для строч-
ной траектории сканирования: а — идеальный; б —
реальный
sin
X
траектория сканирования
ная развертка образуется за счет колебательного движения вдод^
некоторой прямой по синусоидальному закону и движения этой
прямой в перпендикулярном направлении (по кадру) с постоял,
ной скоростью V. Недостатком синусоидальной развертки яв-
ляется непостоянство скорости сканирования, которая возра-
стает в центральной части растра. В связи с этим иногда для раз.
вертки используются только центральные участки синусоиды
Рис. 25. Некоторые специальные траектории скани-
рования: а — гусеница; б — следящая развертка
Для того чтобы построчная развертка осуществлялась без
пропусков и наложений строк, в простейшем случае необходимо
иметь размер элемента разложения, равный расстоянию между
строками. Если при этом z — число строк в кадре, h — высота
кадра, I — ширина, то могут быть получены следующие прибли-
женные соотношения:
размер элемента разложения
а = h/z;
число элементов в строке
Nc = На = (Uh) z = pz,
где р — llh\
число элементов в кадре
NK = Ncz = pz2;
число элементов, сканируемых в единицу времени,
« = FKNK = РкР^-
При визуальной индикации цели, находящейся в поле обзора,
наименьшее значение частоты кадров FK определяется допустимой
42
яСТотой мелькания изображения. Критическая частота мелька-
^ий при которой оператор воспринимает изображение как слит-
н е’ зависит от яркости изображения и для современных прием,
й тх телевизионных трубок составляет 48— 50 Гц. Если при этом
р L 4/3, a z = 625, то п = 50-6252-4/3 = 26-Ю6 с1.
” Для уменьшения кажущейся частоты мельканий изображения
без увеличения числа элементов, сканируемых в единицу времени,
может применяться чересстрочная развертка. В этом случае поле
обзора сканируется так, что полный осмотр его осуществляется
за два никла сканирования: каждый цикл содержит либо нечет-
ные, либо четные строки растра. Благодаря инерционности зре-
ния и наличию послесвечения экрана индикатора, наблюдатель
видит эти поля слитно, так как межстрочное мерцание менее за-
метно, чем межкадровое. Частота кадров и требуемая полоса ча-
стот, пропорциональная числу элементов, сканируемых в еди-
ницу времени, при чересстрочной развертке снижается в два раза,
однако и время наблюдения полного кадра удваивается. При черес-
строчной развертке повышаются требования к ее стабильности
и возникает большая опасность пропуска цели, особенно движу-
щейся.
Из числа других, менее распространенных траекторий скани-
рования, следует упомянуть так называемую гусеницу — траек-
торию, образованную за счет сочетания вращательного движения
с колебательным или линейным перемещением (рис. 25, а).
Большой интерес представляет также следящая развертка, при
которой мгновенное поле зрения непрерывно или дискретно пере-
мещается вдоль контура объекта наблюдения (рис. 25, б).
Глава 3
СПОСОБЫ СКАНИРОВАНИЯ
ПРИ РЕГУЛЯРНОМ ПОИСКЕ
(ТИПЫ СКАНИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ)
При регулярном поиске сканирующее поле движется по заранее
заданному закону. Выше были рассмотрены наиболее часто встре-
чающиеся законы движения безотносительно к способу, который
обеспечивает перемещение поля в пространстве. Между тем, из-
менить направление ориентации мгновенного поля зрения оптико-
электронного прибора в пространстве можно различными путями
и в зависимости от используемого способа сканирования опреде-
ляется тот или иной тип сканирующего прибора.
Обычно различают приборы со сканированием электронным лу-
чом, со сканированием световым лучом, с оптико-механическим
сканированием.
43
§ 1. СКАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫМ ЛУЧОМ
1.1. Основные принципы. Системы мгновенного действия
и системы с накоплением
Сканирование электронным лучом осуществляется в телеви-
зионных передающих трубках (иконоскоп, супериконоскоп, орти-
кон, суперортикон, диссектор, видикон и др.).
Большинство современных передающих трубок являются
фотоэлектрическими приемниками излучения с внешним фотоэф-
фектом, обладающими достаточной чувствительностью в видимой
и ближней инфракрасной области спектра до длины волны 1,2 мкм.
Однако в ряде случаев (видикон, статикон, эндикон, плюмби-
кон и др.) в качестве фотокатода в передающих трубках исполь-
зуется фоторезистор, т. е. явление внутреннего фотоэффекта.
Максимальное значение длины волны, до которой удается обес-
печить заметную чувствительность трубок с фоторезисторами
при комнатной температуре, лежит в области 2—2,5 мкм, что поз-
воляет наблюдать объекты, собственная температура которых не
ниже 150° С. Основная трудность создания трубки, способной
обнаруживать слабонагретые объекты, состоит в том, что для удер-
жания заряда на фотослое его удельное сопротивление должно
быть велико (порядка 1010 —1011 Ом-см), а полупроводник с боль-
шим удельным сопротивлением (большой энергией связи носите-
лей) не имеет фоточувствительности в длинноволновой области
спектра, где энергия кванта весьма мала.
Наибольшее распространение в автоматических оптико-элект-
тронных приборах получили диссектор и видикон.
Диссектор и видикон — принципиально разные чувствитель-
ные элементы: первый относится к системам мгновенного действия,
а второй — к системам с накоплением.
В системах мгновенного действия энергия излучения каждой
точки поля преобразуется в сигнал только в течение времени
прохождения через нее сканирующего луча. Это время существенно
меньше времени обзора всего поля, следовательно, в процессе
преобразования не используется возможность накопления энергии.
В системах с накоплением осуществляется суммирование энер-
гии, излучаемой данной точкой поля обзора в течение всего вре-
мени обзора, что позволяет повысить их чувствительность по
сравнению с системами мгновенного действия. Во всех современ-
ных передающих телевизионных трубках, кроме диссектора и
трубки с бегущим лучом, реализуется принцип накопления, суть
которого можно рассмотреть, пользуясь рис. 26, на примере про-
стейшей трубки типа иконоскоп.
Фотокатод телевизионной трубки (мишень) представим в виде
большого количества отдельных, изолированных друг от друга
фотоэлементов Ф, соединенных последовательно с источником
э. д. с. Ео и 7?С-цепью, где R — сопротивление нагрузки; С —
44
еделенная емкость фотокатода. Под действием излучения
р£ной из точек поля обзора <р происходит заряд конденсатора С
тотоком i3 в течение времени Т — периода работы ключа /С,
мыкание которого обеспечивает разряд конденсатора в течение
за ени т. Ключ К является эквивалентом сканирующего мишень
В\/чка электронов — электронного луча. Так как время обзора Т
ПрИМерно соответствует суммарному времени нахождения скани-
рующего луча на всех N элементах разложения
Т — Nt,
где ft = pz2, то, имея в виду, что ток i3 создает на обкладках
конденсатора заряд q = i3T, а ток ip за время т определяется
этим зарядом ip = q/x, можно найти величину отношения силы
разрядного тока к силе тока заряда
ip/t3 = Т/т — N = pz2 > 1.
Равный этому отношению выигрыш в величине сигнала обычно
полностью реализовать не удается, а выигрыш в отношении сиг-
нала к шуму даже теоретически равен только У N, так как при
увеличении силы тока сигнала в N раз среднеквадратическое зна-
чение дробового шума возрастает в N раз. Системы с накопле-
нием относительно сложны в эксплуатации, требуют стабилиза-
ции источников питания и боятся сильных засветок. В связи с этим,
несмотря на меньшую чувствительность, в приборах широко ис-
пользуются также и системы мгновенного действия.
1.2. Диссектор
Принцип работы передающей трубки мгновенного действия —
Диссектора — заключается в следующем (рис. 27).
Полупрозрачный фотокатод 1, на который проецируется
изображение светящегося объекта, испускает внутрь трубки
45
фотоэлектроны в количестве, пропорциональном’его освещенности.
Образовавшееся электронное изображение переносится с фотока-
тода к электронному умножителю 2 с помощью магнитного и элек-
трического поля. Магнитное поле создается пропусканием постоян-
ного тока по длинной фокусирующей катушке 3, а электрическое
ускоряющее поле — приданием возрастающих положительных
потенциалов кольцам 4, расположенным между фотокатодом и
электронным умножителем. В данный момент времени в отверстие
электронного умножителя проходят электроны только от одного
элемента изображения. Эти электроны вводятся в первый каскад
Рис. 27. Передающая телевизионная трубка мгновенного дей-
ствия — диссектор
электронного умножителя и после многократного усиления попа-
дают на его анод. В анодной цепи включено сопротивление на-
грузки, на котором создается напряжение сигнала, пропорцио-
нальное числу электронов, попадающих на анод.
Для последовательного получения сигналов от всех элемен-
тов изображения производится развертка с помощью магнитной
системы 5, содержащей две пары отклоняющих катушек. В про-
цессе развертки в неподвижное отверстие электронного умножи-
теля последовательно попадают электронные потоки от всех эле-
ментов передаваемого изображения.
Диссектор выпускается с различными типами фотокатодов,
обеспечивающих чувствительность от ближней инфракрасной об-
ласти спектра до далекой ультрафиолетовой. Наиболее распро-
страненный диссектор ЛИ-601 с висмутосеребряноцезиевым фото-
катодом имеет следующие основные характеристики: максимум
чувствительности в области 0,5 мкм, правая граница чувствитель-
ности 0,75 мкм, интегральная чувствительность около 60 мкА/лм,
отверстие диафрагмы 0,3 мм, коэффициент умножения 10е.
46
1. 3 . Видикон
Передающая телевизионная трубка с накоплением — види-
___устроена следующим образом (рис. 28).
На внутреннюю торцевую поверхность цилиндрического стек-
янного баллона нанесена полупрозрачная металлическая пленка—
ЛгНальная пластина 1. На нее нанесен тонкий слой полупровод-
ника 2.
Электронный прожектор состоит из катода 3, управляющего
электрода 4 и анода 5'. Фокусировка луча осуществляется электро-
дом 6, фокусирующей 8 и корректирующей 9 катушками. Для
отклонения луча служат катушки 10. Нормальное падение элек-
тронов па фотослой по всей его поверхности обеспечивается сет-
кой 7, которая создает однородное тормозящее поле перед слоем
и одновременно препятствует образованию ионного пятна.
Изображение передаваемого объекта проецируется объективом
через прозрачную сигнальную пластину на полупроводниковый
слой, который с обратной стороны коммутируется пучком элек-
тронов. Электронный пучок, перемещаясь по полупроводниковой
мишени, оставляет на ней электроны, приводя потенциал данного
элемента мишени к потенциалу катода (нулевому). За время, пока
электронный пучок находится на других элементах мишени (время
кадра 71), потенциал рассматриваемого элемента повышается,
стремясь достигнуть потенциала сигнальной пластины (20—40 В).
Чем больше сопротивление полупроводника в данной точке, т. е.
чем меньше ее освещенность, тем меньше успевает измениться
п°тенциал за время отсутствия электронного пучка, следовательно,
Тем меньше потребуется электронов для компенсации изменения
3аРяда. Напротив, в освещенных участках мишени, сопротивление
47
которых мало, за время отсутствия электронного пучка (за время
развертки одного кадра изображения) напряжения на сигналь-
ной пластине и на коммутируемой стороне мишени успевают
в большей степени сравняться друг с другом и коммутируемая
сторона мишени зарядится положительно. В момент коммутации
ее потенциал вновь приводится к потенциалу катода, что требует
большого числа электронов, т. е. большой величины тока. Этот
ток, протекая через сопротивление нагрузки, создает сигналы
изображения.
§ 2. СКАНИРОВАНИЕ СВЕТОВЫМ ЛУЧОМ
По принципу действия к системам с электронным сканирова-
нием близки устройства со сканированием световым лучом. При-
мером такого устройства является термоэлектронный преобразо-
ватель изображения — термикон.
Типовая схема для получения изображения с помощью терми-
кон а имеет вид, представленный на рис. 29.
Рис. 29. Принципиальная схема термоэлектронного преоб-
разователя изображения (термикона)
Приемная поверхность П термикона состоит из очень тонкой
пленки, покрытой с одной стороны слоем, поглощающим ИК-
излучение, направляемое на него объективом Olt а с другой сто-
роны — специальным фотоэлектрическим слоем. Фотослой при-
готовлен из материала, имеющего фотоэлектрическую эффектив-
ность, зависящую от температуры.
Объективом 02 на фотослой проецируется изображение яркого
светящегося пятна, движущегося по экрану электронно-лучевой
48
трубки Я1 по заданному закону, определяемому током, поступаю-
щим в отклоняющие катушки индикатора от генератора развертки
рр. В зависимости от положения светящегося пятна на фотослое
распределения температуры по поверхности П количество
эмиттируемых электронов и фототок в цепи кольцевого коллек-
тора К изменяются на 2—-3% на каждый градус изменения тем-
пературы. Изменение фототока усиливается усилителем Ус, вы-
ходной сигнал которого воздействует на модулирующий электрод
индикатора И %. В отклоняющие катушки индикатора поступает
сигнал от генератора ГР, общего для индикаторов Иг и И2.
Таким образом на экране индикатора И2 может быть получено
изображение невидимого глазом предмета, излучающего ИК-
лучи.
Максимальная разрешающая способность термикона ограничи-
вается теплопроводностью вдоль поверхности П и зависит от ве-
личины температурных перепадов, которые желательно зареги-
стрировать. При АТ = 1° максимальное разрешение оказывается
равным 50 линиям на всю картинку.
Считывание световым лучом в настоящее время находит все
большее применение в различных оптоэлектронных устройствах.
В частности, этот способ используется в МДПДМ-структурах *,
представляющих собой новый тип мозаичного приемника излу-
чения.
§ 3. ОПТИКО-МЕХАНИЧЕСКОЕ СКАНИРОВАНИЕ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ, КЛАССИФИКАЦИЯ,
ПРИБОРЫ СО СКАНИРОВАНИЕМ ЗА СЧЕТ ДВИЖЕНИЯ
ВСЕЙ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
В оптико-механических сканирующих устройствах процесс
сканирования осуществляется за счет изменения направления оп-
тической оси прибора. При этом общее поле обзора последова-
тельно анализируется мгновенным полем зрения оптической
системы (рис. 30).
Сканирование может производиться за счет движения всей
оптической системы прибора или ее элементов — зеркал, призм,
клиньев, линз и диафрагм. Оптико-механические системы, в ко-
торых сканирование осуществляется диафрагмой (щелью), дви-
жущейся в фокальной плоскости, иногда называют экраниру-
ющими. К устройствам этого типа относится, в частности, широко
известный диск Нипкова, использовавшийся в системах механиче-
ского телевидения. Своеобразные методы сканирования исполь-
зуются в системах с волоконной оптикой.
Сканирование может осуществляться, кроме того, путем
изменения коэффициента преломления или других оптических
свойств материалов, входящих в схему.
* МДПДМ-металл—диэлектрик—полупроводник—диэлектрик—металл.
49
Классификация оптико-механических сканирующих устройств
приведена на рис. 31.
Сканирование за счет движения всей системы осуществляется
прежде всего в тех случаях, когда возможно использовать пере-
мещение платформы, на которую устанавливается прибор. Это
имеет место, в частности, при установке радиометров или при-
боров, предназначенных для обзора поверхности Земли, на само-
лет или искусственный
Рис. 30. Оптико-механиче-
ское сканирование — скани-
рование за счет изменения
направления оптической оси
прибора
спутник (рис. 32). В этом случае осуще-
ствляется сканирование вдоль строки
на местности с линейной скоростью,
соответствующей скорости движения
платформы. Линейные размеры мгно-
венного поля зрения на поверхности
Земли для одного элемента в этом слу-
чае составляют:
х = ЪХН\ у = ЬуН.
Для обзора более широкой полосы
на местности обычно используется до-
полнительное сканирующее движение
оптической оси поперек направления
полета.
Сканирование за счет прецессии
гироскопа реализуется в некоторых си-
стемах автоматического сопровождения.
В этих системах объектив, приемник
излучения и усилитель фототока выпол-
няются в виде единого вращающегося
узла, являющегося одновременно рото-
ром гироскопа. Как известно, при воздействии на трехстепен-
ный гироскоп внешнего возмущающего момента, вектор кото-
рого не совпадает с осью вращения ротора, возникает гиро-
скопический момент и под его влиянием гироскоп начинает пре-
цессировать в направлении совмещения вектора Н кинетического
момента гироскопа с вектором М внешнего момента. Прецессия
происходит с угловой скоростью
опр = М. sin р//7.
Здесь р — угол между векторами М и Н, Н = J Q, где Q — угло-
вая скорость вращения гироскопа; J — полярный момент инер-
ции ротора.
Прецессионное движение гироскопа в первом приближении
может рассматриваться как движение без инерции. Оно появ-
ляется при приложении внешнего момента и прекращается при
его исчезновении. Это свойство трехстепенного гироскопа исполь-
зуется при обзоре и автоматическом сопровождении. Внешний
момент М или его составляющие М2 и Ми создаются в этом
50
51
случае коррекционными датчиками момента, связанными с осями
вращения рамок гироскопа (рис. 33). В режиме обзора на эти
датчики подаются переменные напряжения, форма которых обес-
печивает получение необходимой траектории сканирования. В ре-
жиме автоматического сопровождения на датчики моментов по-
ступают сигналы рассогласования, пропорциональные составля-
ющим угла между оптической осью прибора и направлением на
цель. Прецессия гироскопа прекращается в этом случае лишь
после того, как оптическая ось оказывается направленной на
цель.
Г лава 4
СКАНИРОВАНИЕ ЗЕРКАЛАМИ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
1.1. Сканирование в пространстве предметов
и изображений
В рассматриваемом случае на пути потока излучения, идущего
от объекта, устанавливается зеркало, плоскость которого изме-
няет свое положение в пространстве, осуществляя тем самым
требуемую развертку изображения.
Зеркало размещается либо до объектива, либо за ним в за-
висимости от того, используется сканирование в пространстве пред-
метов или в пространстве изображений.
При сканировании в пространстве предметов (рис. 34) необ-
ходимое поле обзора обеспечивается за счет поворотов сканиру-
ющего зеркала, в то время как объектив может быть узкополь-
52
и качество создаваемого им изображения Должно быть доста-
«ь 0 высоким лишь в пределах мгновенного поля зрения.
Т° При сканировании в пространстве изображений (рис. 35) ис-
ьзуется широкоугольный объектив, обеспечивающий высокое
качество изображения по всему полю обзора. В этом случае зер-
кало устанавливается за объективом и в процессе сканирования
последовательно направляет излучение отдельных элементов
изображения на приемник.
В процессе разработки систем с качающимися и вращающимися
зеркалами прежде всего возникает необходимость определения
углов установки и размеров сканирующих зеркал.
Рис. 35. Сканирование в пространстве
изображений:
1 — сканирующее зеркало; 2 — объектив;
3 — диафрагма; 4 — конденсор; 5 — прием-
ник излучения; 6 — мгновенное поле зре-
ния; 7 — поле обзора
Рис. 36. Связь угла установки зеркала
с углом поля обзора при сканировании
в пространстве предметов
1.2. Связь углов установки сканирующего зеркала
с углом поля обзора
Связь углов установки сканирующего зеркала с углом поля
обзора для случая, когда сканирование осуществляется в про-
странстве предметов, можно найти, пользуясь рис. 36. Значение
угла у, определяющего положение зеркала относительно оптиче-
ской оси объектива, зависит от начального угла установки у0
и поля обзора прибора ср, так что
у = у0 ±i 0,5<р/2.
Если сканирование происходит в пространстве изображений,
0 Для определения соответствующей зависимости необходимо
РеДварительно рассмотреть некоторые общие соотношения.
53
Пусть плоское зеркало АОВ (рис. 37) вращается вокруг
центра О, последовательно занимая положения АОВ, А±ОВЪ
А2ОВ2 и т. д., тогда зеркальное изображение светящейся точки S,
находящейся на расстоянии SO = R от центра вращения о',
движется по окружности радиуса R с центром в точке О.
Обозначим угол между вращающимся зеркалом и направлю
нием из центра вращения на светящуюся точку S через ip (Фх,
ip2 и т- Д-)- Тогда длина перпендикуляра, опущенного из све-
тящейся точки на плоскость зеркала,
SN = R sin ip = R cos у,
а расстояние от светящейся точки до ее изображения
SM = р = 2SN = 2R cos у,
где у = A.NSO.
Полученное уравнение
р = 2R cos у
есть уравнение окружности в полярной системе координат с по-
люсом в точке S. Следовательно, изображение светящейся точки S
в плоском зеркале движется при вращении зеркала по окруж-
ности.
Очевидно также, что если М и Мг представляют собой изобра-
жения светящейся точки S для двух положений зеркала АОВ
и АуОВ^ отличающихся на угол
Atjj = ipi — ip2,
то центральный угол между точками S и М равен 2хр, а между
точками S и Мх угол 2хрх = 2ip 4- 2Д1р. Следовательно, централь-
ный угол между двумя изображениями светящейся точки равен
2Д1р, так как
2i|\ — 2ip = 2ip 4- 2Alp — 2ф = 2Aip.
Пусть далее объектив Об создает в плоскости уу' изображение
протяженного источника излучения в пределах поля обзора <р
(рис. 38). Если между объективом и изображением источника по-
местить плоское вращающееся зеркало АОВ, то изображение
источника излучения для данного положения зеркала можно
найти, пользуясь обычными правилами построения изображений
в плоском зеркале.
Однако с целью упрощения вывода необходимых соотношений
можно применить искусственный прием построения изображения.
Он заключается в том, что создаваемое объективом изображение
удаленного протяженного источника излучения можно рассма-
тривать как результат облучения плоскости изображения точеч-
ным источником излучения S, расположенным в задней главной
точке объектива. Сила света, создаваемого этим источником, равна
нулю всюду, кроме угла поля обзора <р, а внутри этого угла она
54
Рис. 37. Траектория движения изображе-
ния светящейся точки во вращающемся
зеркале
Рис. 38. Связь угла установки зеркала с углом поля обзора
при сканировании в пространстве изображений
ББ
распределена по закону, соответствующему распределению облу-
ченности в действительном изображении источника.
В этом случае определить положение изображения при пово-
роте зеркала можно, зная, где находится изображение светя-
щейся точки S в плоском зеркале, которое, как было только что
показано, движется по окружности радиуса 7? = SO с центром
в точке О, так, что центральный угол между двумя изображениями
точки равен удвоенному значению угла поворота зеркала.
Сканирующее зеркало для обеспечения осмотра всего поля
обзора ср необходимо повернуть на угол, обеспечивающий совме-
щение края изображения источника излучения с отверстием диаф-
рагмы а, находящимся в центре поля. Для этого необходимо по-
вернуть изображение светящейся точки S на угол ф/2, т. е. зер-
кало — на угол 0,5ф/2. Так как
tg 0|V2)/tg (<р/2) = F/H,
где F — фокусное расстояние объектива; Н — расстояние от
центра вращения сканирующего зеркала до изображения цели, то
ф/2 (<р/2) (F/H),
т. е. угол поворота зеркала
0,5 (ф/2) = 0,5 (<р/2) (F/H),
следовательно, угол установки сканирующего зеркала
Т = То ± 0,5 (<p/2) (F/H).
1.3. Размеры сканирующих зеркал
Размеры сканирующих зеркал зависят от диаметра входного
зрачка оптической системы, угла поля обзора и положения зер-
кала (угла установки). Так как сечение светового пучка плоскостью
сканирующего зеркала обычно является эллипсом, то размеры
зеркала можно характеризовать значениями длины большой и
малой его оси.
На рис. 39 и 40 представлены схемы относительного распо-
ложения объектива и сканирующих зеркал для случаев, когда
сканирование осуществляется в пространстве предметов (рис. 39)
и в пространстве изображений (рис. 40). 1
Размеры сканирующего зеркала в первом случае, когда оно
установлено перед объективом, можно найти, пользуясь чертежом,
представленным на рис. 41, а, на котором схематически изобра-
жены все основные элементы схемы, представленной на рис. 39.
Так как
Dmax = 1т = 1с' 4- c'd' d'm,
то можно найти
Цпах = [h tg (6/2) 4- do6/2] [2 cos у' 4 - sin у’ {tg (у' + 6/2) 4-
4- tg (/ - 6/2)}].
56
57
При малом б и б у', найдем
Лпах = [h&/2 + 4б/21 [2 cos у' -И 2 sin у' tg у'1 =
= (Л6 4- do6)/cos у' = (h6 4- do6)/cos (90° — у) = (Лб 4- do6)/sin у.
Размер зеркала в направлении, перпендикулярном плоскости
чертежа, приблизительно равен
^mln С d = Ji6 4" d0Q.
Если зеркало осуществляет сканирование в пространстве изоб-
ражений (рис. 40), то его размеры могут быть найдены аналогич-
ным образом из рис. 41, б:
ab =В = 2F tg (<р/2);
cd = ск 4- кп 4- nd =
= 2Н tg (С/2) 4- В;
tg (£/2) = (4б - B)/2F;
cd = (H/F) (do6-B) 4-В,
Рис. 41. Размеры сканирующего зеркала при сканировании в про-
странстве предметов (а) и пространстве изображений (б)
где F — фокусное расстояние объектива; <р — угол поля обзора;
В — линейный размер поля обзора.
Следовательно, заменяя в ранее полученном выражении для
Dmax величину 6/2 на £/2 и подставляя значение cd, найдем, что
в рассматриваемом случае
Апах = [(H/F) (4б - В) 4- В] 0,5 [2 cos у' 4-
4- sin у' {tg (у' 4-£/2) 4- tg (у* - £/2)}1.
Если £/2 мало (£/2 у')> В d, то /
= [2F tg (<р/2) 4- (H/F) do6]/sin у'.
Соответственно, £>mln cd = (H/F) (do6 — В) 4- В.
58
1.4. Расфокусировка при сканировании зеркалом
в пространстве изображений
Лри сканировании зеркалом в пространстве изображений
происходит расфокусировка, приводящая к некоторому снижению
точности сканирования или энергетическим потерям на краях
поля зрения. м
Действительно, пусть изображение светящейся точки S
/рИс. 42) создается идеальной оптической системой, состоящей
из объектива Об и сканирующего зеркала 3, в точке 1 плоскости
изображений. В процессе сканирования зеркало поворачивается
из положения I в поло-
жение II на угол а, при-
водя изображение точки S
в центр плоскости изобра-
жения, где между точкой 2
Плоскость
изображений
Плоскость
предметов
Рис. 42. Расфокусировка при сканировании зеркалом в простран-
стве изображений
и экраном непосредственно за диафрагмой поля установлен при-
емник излучения. При этом величина расфокусировки оказывается
равной
Д = (О — 2) — Z2 — (О — 1) — Z2 = Z2/cos 2а — Z2 =
= Z2 (1/cos 2а — 1),
a Диаметр кружка рассеяния р в плоскости изображения можно
найти из соотношения:
p/d = A/(Zi + Z2 + Д) Д/(/х + Z2);
р = (d/(Zi 4- Z2)] Z2 (1/cos 2a — 1).
Если источник излучения находится на бесконечности, то
4 + Z2 = р = (d/f') l2 (1/cos 2a — 1) = Z2 (1/cos 2a — 1)0,
где f' — фокусное расстояние объектива; О — относительное от-
верстие объектива.
59
Для небольших значений угла 2а, когда
cos 2а = 1 — (2а)2/2,
имеем
1 « _ 1 . 1 — 1 + (2а)2/2 (2а)2 .
cos 2а 1 —(2а)2/2 1 1 —(2а)2/2 ~ 2 ’
р = О(/2/2) (2а)2.
При О = 1/2; 2а = 12° 0,2 рад; /2 = 100 мм; р = 0,5-50 X
X 0,04 = 1 мм.
Кроме расфокусировки, системам, реализующим принцип ска-
нирования в пространстве изображений, свойственен еще один
существенный недостаток. Он заключается в том, что при наличии
аберраций объектива освещенность изображения источника излу-
чения распределена по полю неравномерно. Следовательно, при
сканировании идеально равномерного поля излучения на приемник
поступают неодинаковые сигналы от разных участков поля.
1.5. Типы сканирующих зеркал
Наряду с простым зеркалом в сканирующей системе может
использоваться система зеркал, зеркальные призмы, пирамида
и т. д. (рис. 43).
Рис. 43. Типы сканирующих зеркал: а — вращающееся двустороннее (двугран-
ное) зеркало; б — зеркало, вращающееся вокруг оси, неперпендикулярной
к нему; в — «крест» из зеркал 1 и 2; г — зеркало, качающееся в двух плоскостях;
д — система из двух вращающихся зеркал; е — два зеркала, вращающихся
или качающихся вокруг взаимно перпендикулярных осей; ж — вращающаяся
зеркальная Л^-гранная призма; з — вращающаяся зеркальная усеченная
Л^-грэнная пирамида
Изменение положения зеркала, качающегося в двух плоскостях
(рис. 43, г), может осуществляться посредством разнообразных
электромеханических и электромагнитных устройств. Для вы-
полнения построчного сканирования такое зеркало должно иметь
60
ва колебательных движения относительно взаимно перпендику-
лярных осей. Пространственное перемещение зеркала может осу-
ществляться, например, с помощью кулачковых механизмов.
Профиль кулачка выбирается таким образом, чтобы время пря-
мого и обратного движения сканирующего поля было существенно
различным, при этом развертка изображения производится только
во время прямого хода луча, составляющего 0,6—0,9 от времени
полного колебания, а во время обратного хода зеркало должно
вернуться в свое исходное положение.
В процессе сканирования мгновенное поле зрения прибора дви-
жется в плоскости расположения объекта наблюдения по неко-
торой траектории, образуя растр, форма которого определяется
не только желаемым законом сканирования, но и конструкцией
сканирующей системы. В результате несоответствия формы растра
некоторой идеальной форме, определяемой законом сканирования,
возникают искажения, требующие либо учета и сведения к мини-
муму, за счет ограничения углов поля обзора, выбора наиболее
рациональной оптической схемы и т. д., либо разработки спе-
циальных методов автоматической компенсации.
1.6. Траектория сканирования плоским зеркалом
Траектория движения сканирующего поля, образованная в пло-
скости объекта при построчном сканировании с помощью кача-
ющегося зеркала, зависит от способа его закрепления и в наиболее
простом случае может быть найдена следующим образом.
Пусть плоское зеркало расположено под углом у к оптической
оси объектива, причем начальное значение угла установки у =
= у0 = 45° (рис. 44).
Сканирование вдоль строк осуществляется за счет поворота
зеркала вокруг вертикальной оси NN на угол ±0. Сканирование
по кадру осуществляется путем поворота зеркала вокруг оси ММ
в пределах угла ±Ду = у — 45 ".
Перемещение сканирующего поля в плоскости объекта харак-
теризуется координатами х и у, которые связаны с углами откло-
нения зеркала следующими соотношениями:
х = Lo tg 0;
у = L tga = (L0/cos Р) tg ос,
где а — 2Ду — угол поворота сканирующего поля.
Следовательно, при а = 0 и у = 0 для любого р, т. е. средняя
строка растра, образованного сканирующим полем, будет прямой.
Если же а 4= 0, то координата у зависит от угла р и сканирующее
поле будет двигаться в плоскости объекта не по прямой, а по
изогнутой линии.
Количественной характеристикой отклонения растра от пря-
моугольного может быть наибольшее относительное изменение
61
размеров растра, соответствующее краю поля обзора (а =
= ^шах)>
&У_ _ Ушах — Уо _ (Lp/cos Ртах) tg атах — (L0/cos 0) tg атах
Уо Уо (Lo/COS 0) tg атах
=------Й-------L
COS Ртах
Для малого Ртах, COS Рп1ах & 1 — Ртах/2, Т. е. \у!у^ Ртах/2.
При повороте зеркала вокруг осей с постоянной скоростью
сканирующий луч будет двигаться с переменной скоростью. Дей-
Рис. 44. Траектория сканирования (форма
растра) при построчном сканировании пло-
ским зеркалом:
1 — сканирующее зеркало; 2 — объектив; 3 —
диафрагма поля; 4 — конденсор; 5 — приемник
излучения
ствительно, пренебрегая
зависимостью у от р,
найдем:
• dx _ dx dfi
Х ~~ ~dt ~ dp ~dT ~~
; _ dy _ dy da
У dt da dt
• dy • T 1
= a = aL0----5—.
da u cos2 a
Относительное измене-
ние скорости сканирую-
щего луча при его пере-
мещении от середины к
краям поля обзора равно:
*Wmax~ *P=Q
*0=0
— — 1 •
Ло COS2 Ртах ’
к~ а max У а—0 __
Уа=0
= =.
у0 cos2 атах
При атах = 5°; ртах = 10° имеем: kylyQ = 1/cos ргаах — 1 =
= 1/cos 10° — 1 1,5-10'2; Дх/хо = 1/cos2 10е3-10~2;Д4МО =
= 1/cos2 5° 1. КГ2.
Если в системе записи изображения расстояние между стро-
ками и скорость движения записывающего луча постоянны, то
изображение объекта будет геометрически искажено. Однако при
небольших полях обзора и рассмотренном способе качания зер-
62
Па, искажения будут небольшими (относительное изменение
пазмер°в растра не превышает 1—3%).
Р Несколько большие искажения возникают при ином способе
крепления сканирующего зеркала, который, тем не менее, находит
применение в силу присущей ему жесткости конструкции (рис. 45).
g этом случае сканирую'
щее зеркало жестко кре-
пится на оси NA под уг-
лом 45°. Сканирование
вдоль строки (рис. 45 по
горизонтали) обеспечи-
вается поворотом зеркала
вокруг этой оси на
угол — ср, а отклонение
сканирующего луча по
кадру (по вертикали) осу-
ществляется за счет пово-
рота сканирующего зер-
кала на угол ±у вместе
с осью, на которой оно за-
креплено, вокруг оси ММ,
проходящей через точку А
пересечения оси NA с пло-
скостью зеркала.
Соответствующие рас-
четы и эксперименты, вы-
полненные Г. М. Овча-
ренко, показывают, что
Рис. 45. Траектория сканирования (форма
растра) при построчном сканировании пло-
форма растра, прочерчи-
ваемого в плоскости объек-
та сканирующим полем,
в такой системе близка
к трапеции. Искривления
строк в верхней и нижней
ским зеркалом, жестко закрепленным на оси:
1 — сканирующее зеркало; 2 — объектив; 3 —
диафрагма поля; 4 — конденсор, 5 — приемник
излучения
частях растра примерно одинаковы. Их можно оценить величиной
коэффициентов (ЛВпмх - Л»срЖср и (Л„тх - Л„ср)//ц,ср, зави-
сящих от углов ср и у. При у = ±2,5° и ср == ±10° (поле обзора
10 х 20 ) искривление строк составляет около 3%.
Угловой размер каждой строки изменяется по полю и для
тех же значений углов обзора степень его изменения, характе-
ризуемая коэффициентами (Ьп1ах — bcp)/bcp и (Ьср — Ьт1п)/^ср»
составляет примерно 5%.
1.7. Примеры сканирующих устройств —
тепловизоры «Рубин», «филин» и камера Барнса
Сканирование зеркалом, жестко закрепленным на оси, осу-
ществлено в тепловизоре «Рубин» (СССР) — приборе, предна-
значенном для наблюдения малых перепадов температуры при
63
решении медицинских и промышленных задач. Обзор поля 20 х 10°
осуществляется тепловизором «Рубин» в течение 1 мин мгновенным
полем зрения, равным 7'. Минимальная разность температур,
обнаруживаемая прибором, составляет 0,05 на фоне комнатной
температуры. Изображение регистрируется на электрохимической
бумаге. В качестве приемника излучения используется фотосопро-
тивлепие из антимонида индия, охлаждаемое жидким азотом.
Внешний вид тепловизора «Рубин» представлен на рис. 46.
Рис. 46. Тепловизор «Рубин»
Рис. 47.’Камера Барнса
Сканирование зеркалом, приводимым в движение кулачками
строчной и кадровой развертки, использовано в тепловизоре
фирмы «Барнс инжиниринг компани» (США), известном также
под названием камеры Барнса, и в тепловизоре «Филин» (СССР).
Внешний вид камеры Барнса представлен на рис 47. Прибор
обеспечивает обзор поля 20 X 10° или 20 X 5 ’ за время 12 и
6 мин соответственно мгновенным полем зрения 3,4'. Минималь-
ная разность температур, обнаруживаемая тепловизором, равна
0,05 . Приемник излучения — неохлаждаемый болометр; запись
изображения осуществляется на фотоматериале.
Форма растра в этом случае близка к трапецеидальной. Сте-
пень отличия растра от прямоугольного для поля обзора 20X10’
достигает 20%. Однако искажения изображения температурного
поля в камере Барнса не происходит благодаря наличию жесткой
64
синхронизации сканирующего и записывающего лучей, при ко-
торой записывающий луч в системе регистрации изображения
перемещается по тому же закону, что и сканирующий луч. В ка-
мере Барнса (рис. 48) сканирующее зеркало /, совершающее
'пространственное движение от кулачкового привода, направляет
пзл\ чение от объекта через зеркальный объектив 2 на полупровод-
никовый болометр 3, который вырабатывает электрический сигнал,
управляющий яркостью лампы тлеющего разряда 4. С обратной
стороны сканирующего зеркала расположено второе зеркало 5,
которое отражает излучение лампы 4 на фотопластинку 6. Вслед-
ствие этого положение изображения лампы па фотопластинке
строго соответствует поло-
жению сканирующего луча
в плоскости предметов, а сте-
пень почернения пластинки,
определяемая яркостью лам-
пы. зависит от величины
сигнала, вырабатываемого
болометром, т. е. от яркости
объекта.
В ряде случаев не пред-
ставляется возможным осу-
ществить жесткую синхрони-
зацию записывающего и ска-
нирующего лучей. Это имеет
место, например, при вос-
произведении изображения
па экране электроннолучевой
трубки, где развертка
Рис. 48. Принципиальная схема сканиро-
вания и записи изображения в камере
Барнса
генератором пилообраз-
осущсствляется
ного напряжения, синхронизируемого датчиками опорных сиг-
налов, связанными со сканирующим зеркалом. Как уже отме-
чалось выше, поскольку при этом в системе записи расстояние
между строками постоянно, то изображение объекта будет гео-
метрически искажено. В случае особой надобности эти искаже-
ния могут быть скорректированы таким выбором профилей кулач-
ков механизма сканирования, чтобы скорость движения визир-
ного луча была постоянна.
Следует отметить, что точность профиля кулачков механизма
сканирования должна быть очень высокой. Зададимся, например,
условием, обеспечивающим изменение скорости движения визир-
ного луча от одного элемента разложения к другому не более чем
на ±10%, и пусть при этом приращение радиуса кулачка состав-
ляет 15 мм на всю строку. Если в строке содержится 200 элементов
разложения, то приращение радиуса кулачка на один элемент
разложения составит 0,075 мм. Следовательно, для выполнения
поставленного условия приращения радиуса кулачка на один
элемент разложения должны отличаться от расчетных не более
чем на ±0,0075 мм. Поскольку на равномерность движения
3 М. М. Мирошников
65
визирного луча влияют и другие детали конструкции (подшипники
за счет люфта и т. д.), точность, с которой необходимо изготовить
кулачок, должна быть еще повышена.
§ 2. СКАНИРОВАНИЕ МНОГОГРАННЫМИ ВРАЩАЮЩИМИСЯ
ЗЕРКАЛАМИ В ОПТИКО ЭЛЕКТРОННОЙ АППАРАТУРЕ
ДЛЯ КАРТОГРАФИРОВАНИЯ И ОБЗОРА МЕСТНОСТИ
2.1. Принцип действия аппаратуры
В оптико-электронной аппаратуре, предназначенной для кар-
тографирования и обзора местности с самолета (рис. 49), одним
из основных элементов является многогранное зеркало, которое
вращается вокруг оси 00, совпадающей с направлением полета.
Вращающееся зеркало осуществляет сканирование земной поверх-
Рис. 49. Схема сканирования для кар-
тографирования и обзора местности
с самолета
ности поперек направления по-
лета. Собственное движение
самолета обеспечивает сканиро-
вание вдоль направления по-
лета. Излучение от элементов
земной поверхности отбрасы-
вается плоскими зеркалами (на
рис. 50 отдельными гранями
зеркала 3) на вогнутое зер-
кало — объектив Об, проеци-
рующий изображение элемента
местности на чувствительную
площадку приемника излуче-
ния Пр. При вращении много-
гранного зеркала визируются
различные участки местности и
поток излучения, падающий на
приемник, изменяется. Это из-
менение преобразуется в пере-
менный электрический сигнал,
пропорциональный разности из-
лучений двух соседних участков
местности.
Сигнал усиливается усили-
телем Ус и управляет яркостью
луча индикатора — электроннолучевой трубки И, в то время как
развертка вдоль горизонтальных строк производится синхронно
с вращением зеркала (например, генератором пилообразного
напряжения ГС, возбуждаемого индукционным датчиком ИД —
генератором импульсов синхронизации строк), а перемещение
строк по вертикали осуществляется согласованно со ско-
ростью и высотой полета самолета генератором кадровой раз-
вертки ГД.
66
Рис. 50. Принципиальная схема аппара-
туры для картографирования и обзора
местности с самолета
Вследствие этого на экране индикатора возникает карта
частка местности, на которой более сильно излучающие участки
Местности представляются светлыми пятнами. Эта карта может
фотографироваться с экрана
Индикатора на киноленту,
записываться на электрохи-
мическую бумагу или маг-
нитную ленту либо по ра-
диоканалу передаваться на
землю.
Внешний вид ИК-апиара-
туры для картографирования
и обзора местности с самолета
представлен на рис. 51. На
рис. 52 приведены примеры
полученных с помощью такой
аппаратуры фотографий бас-
сейна реки (а, б, в), лесного
пожара (а, е), месторождения
термальных вод (д, ж) и кра-
тера вулкана Авача на Кам-
чатке (з, и).
В качестве сканирующего
зеркала в аппаратуре для
картографирования и обзора местности с самолета может использо-
ваться вращающаяся М-гранная призма (рис. 53) или усеченная
Рис. 51. Аппаратура для картографирования и обзора местности с са-
молета
^'Гранная пирамида (рис. 54). В первом случае ось вращения
сканирующего зеркала перпендикулярна, а во втором — парал-
•чельна оптической оси объектива Искажение формы растра при
3* 67
Рис. 52. Тепловые и обычные фотографии: а — бассейн реки, видимая облает!
в — бассейн реки, 3,2—5,3 мкм, 21 ч 05 мип; г — лесной пожар, 3,6—5,3 мкм
е— лесной пожар, 1,8—5,3 мкм, масштаб 1 : 1000; ж — многочисленны!
кратер вулкана, 3,2-
68
спектра б — бассейн реки, спектральный диапазон 3,2—5,3 мкм, 18 ч 35 мин.;
сщтаб 1 ’ 15 000; д — теплый ручей (белый), впадающий в холодную речку;
5 3°ЧНики теплых вод; з—кратер вулкана, видимая область спектра; и —
69
Рис. 53. Сканирующее зеркало в виде
многогранной призмы:
Об — объектив; Пр — приемник из М
элементов; 3 — зеркало с N гранями;
НП — направление полета
Рис. 54. Сканирующее зеркало в виде
многогранной усеченной пирамиды:
Об — объектив; Пр — приемник из М
элементов; 3 — зеркало с N гранями;
НП — направление полета
Рис. 55. Структурная схема электронного тракта оптико-элек-
тронного прибора с многоэлементным приемником:
/, 2, 3, ... М — чувствительные элементы приемника излучения
70
сканировании многогранными зеркалами рассмотрено в § 5 этой
главы (см. рис. 77 и 78).
Приемник излучения может быть многоэлементным и распо-
лагаться так, что проекция линейного ряда из М чувствительных
элементов приемника на Землю ориентируется в направлении
Рис. 56. Идеализированная форма сигналов строчной, кад-
ровой и надкадровой разверток в схеме с многоэлементным
приемником
полета. В этом случае одновременно «осматривается» Л4 строк
поля обзора.
При использовании многоэлементного приемника схема элек-
тронного тракта оптико-электронного прибора усложняется
(рис. 55). Электрический сигнал, вырабатываемый каждым эле-
ментом приемника Пр, усиливается до значения, превышающего
Уровень собственных шумов последующих элементов схемы.
-Зто усиление осуществляется предусилителями ПУ (количество
предусилителей равно М). Выходные сигналы предусилителей
поступают па общий усилитель Ус через скоростной коммутатор К.
71
представляющий собой набор ключей (Ki, К3, ...,
подключающих предусилители к усилителю в определенной по-
следовательности, задаваемой распределителем Р. Последний
работает таким образом, что все М элементов приемника излуче-
ния (М предусилителей) коммутируются за время, меньшее вре-
мени поворота сканирующего зеркала на угол, соответствующий
элементу разложения 6Х. Полученный сигнал после усиления
и обработки используется для регистрации, например для моду-
ляции яркости луча электроннолучевого индикатора И.
Развертка луча индикатора по строкам осуществляется от
генератора строчной развертки ГС, синхронизуемого датчиком
синхронизации строк СС, связанного со сканирующим зеркалом.
За время прохождения лучом электроннолучевого индикатора
одного элемента разложения по строке луч отклоняется по кадру
на величину, соответствующую М элементам разложения. Это
осуществляется генератором надкадровой развертки ГНК, син-
хронизуемым распределителем Р. Таким образом, в результате
надкадровой и строчной разверток на экране индикатора обра-
зуется растр, состоящий из Л1 строк. Благодаря наличию гене-
ратора кадровой развертки ГК этот растр движется по кадру со
скоростью, соответствующей величине отношения VIH.
Форма сигналов строчкой, кадровой и надкадровой разверток
показана на рис. 56. На этом рисунке введены следующие обо-
значения: Uс — сигналы строчной развертки; UK — сигналы ка-
дровой развертки; Тк — время кадра; Тс — время строки; т —
время сканирования одного элемента разложения. Предпола-
гается, что надкадровая развертка обеспечивает опрос всех М
элементов приемника за время т.
2.2. Поле обзора и угловой размер строки
Если перед объективом прибора установлено вращающееся
со скоростью п3, мин-1 Af-гранное зеркало, то угол сканирования
(угловой размер строки) может быть найден следующим об-
разом.
Когда зеркало поворачивается на угол у, сканирующий луч
отклоняется на угол <р, причем в общем случае
Ф = РУ-
Если сканирование осуществляется многогранной призмой,
т. е. ось вращения зеркала перпендикулярна оптической оси
объектива, то р = 2 и при повороте зеркала на угол у луч откло-
нится на угол 2-у, т. е. <рпр = 2-у.
Если же ось вращения зеркала параллельна оси объектива
(сканирование многогранной усеченной пирамидой), то р — 1
и <рпир = у. Следовательно, при повороте зеркала на угол угР,
равный углу между перпендикулярами к соседним граням, луч
отклонится на угол <ртах = ругр.
72
Очевидно, что угол сртах не может быть реализован практи-
ки так как для этого размеры зеркала должны быть беско-
ч6цН0’ большими. Лишь в пределах ограниченного угла поворота
непкала не наступает уменьшения падающего на приемник потока
печения вследствие виньетирования, т. е. сохраняется полный
действующий диаметр объектива.
д Таким образом, угловой размер строки (угол поля обзора
по строке) составляет некоторую часть угла сртах, т. е.
Тс = Winax = Wrp,
где П — коэффициент использования зеркала.
Величина коэффициента т) зависит от конструкции сканиру-
ющего устройства и режима работы электрической схемы прибора,
которая может быть «открыта» для прохождения сигнала лишь
в течение небольшого отрезка времени Тс по сравнению со вре-
менем поворота зеркала на угол -угр. Угол, на который повернется
зеркало за время Тс, определяет угловой размер строки. Так как
-угр == 2nlN, то срс = T]pYrp = Л 2л/(М/р) = т]3607(Л7р).
Обычно значение коэффициента использования зеркала нахо-
дится в пределах г] = 0,2 4-0,75. Для т] = 0,75 и срс — 90° имеем
N/p == 3, т. е. можно применять трехгранную пирамиду (р = 1)
или шестигранную призму (р = 2).
2.3. Скорость сканирования
и минимальная длительность импульса
Основные соотношения, определяющие параметры сканиру-
ющей аппаратуры, могут быть получены из условия отсутствия
пропусков при сканировании.
Один элемент приемника излучения, имеющий угловой размер
вдоль направления полета (по кадру) образует при сканиро-
вании на поверхности Земли полосу, ширина которой в центре
поля обзора равна
у =
Ширина полосы, сканируемой М элементами, угловые расстоя-
ния между которыми равны (рис. 57), будет
П = (6„ + нм = б^М,
гда,А^ =6, +8Др.
ьремя, в течение которого эта полоса сканируется одной
гранью зеркала (период строки),
Тс = fpn]ax/<o = срс/(Л<о).
Здесь со — угловая скорость вращения сканирующего луча,
со = рсо3 = p2nf3 = р2л/г3/60,
73
где (о3 — угловая скорость вращения зеркала. Отсюда
тс -= срс/(М -= (6О/П3) [<рс/(2зт)1 Н/(пр)].
Так как срс = т| 2n/(N/p), то Тс = (60//г3) (1IN).
Расстояние, пролетаемое самолетом за время Т ,
Рис. 57. Схема располо-
жения чувствительных
площадок приемника из-
лучения (размеры приве-
дены к плоскости предме-
тов, т. е. к поверхности
Земли)
мента, о п р едел я ющее
Ус = VTC = (60,n3) (W/V).
Линейная величина пропуска Д =.
= Ус - Ум = (60/п3) (V/W) - Ьу+АуНМ.
Линейная величина пропуска за один
оборот Д-гранного зеркала
Д, = УД =-- (60/п3) V - ду+&у HMN.
Так как за один оборот зеркала ска-
нируется полоса шириной
В = 6,+д, HMN,
то относительная величина пропуска (от-
носительное число потерянных строк)
q = Ьг/В = (60/ft3) (V/H) (\/&y+&yMN) — 1.
Условие отсутствия пропусков Д < О,
т. е. (60/n3) (V/N) <6 у+&у НМ, откуда
п3 > (V/H) (60/6,+д, NM).
Время, в течение которого «точечный»
объект визируется одним элементом прием-
ника (время сканирования одного эле-
минимальную длительность импульса т),
равно
т = бА./со = [бА/(2лр) ] (60//г3),
откуда
п3 = [бх/(2лр)] (60/т).
Сравнивая уравнения для п3, найдем
6 1^'бд-б,+Д,
"I / 2л т V
V (N/р) 7л~н
или
N М __б2
р 2л (V/H) ’
где 6 = 6хб,+д, — среднее геометрическое мгновенное поле зре-
ния оптической системы.
В случае картографирования с малых высот примем V =
= 300 м/с; Н = 300 м. Если т = 20-10 6 с; N/p = 3, то
6 - 6,5- 10-3/]/АЁ
74
РрИ Д4 = 1 6 = 6,5• 10“3 22'. Если 6 = 3 • 10-3 (у = 1 м),
необходимо иметь приемник с числом элементов М = 5.
Т° В случае картографирования с больших высот примем V =
1000 м/с; Н =30 000 м. При тех же условиях имеем
б = 1,2-IO’3 УТи.
Для М = 1 6 =1,2 10-3^4'.
Скорость вращения сканирующего зеркала в первом случае
(при М =1 и 6 = 6.510'3) равна
V 60 . 60 ошл -1
Пз~~ Н 8MN ~~ 6,5-10-3-3-1 “ 3100 мин ,
а при М =5 и 6 = 3 - 1СГ3
«з = 1 з- 1~0^-з~ 5 = 1350 мин1'
Во втором случае
1 60 апг\ -1
Пз 60 1,2-10 3-3-1 ~ МИН •
Поле обзора в обоих случаях при т] = 0,75 равно
ф = i]36O/(2V/p) =0,75-360/3 =90°.
2.4. Быстродействие коммутатора
В процессе сканирования поля обзора приемник излучения
вырабатывает электрический сигнал, форма которого соответ-
ствует закону распределения яркости объектов наблюдения и
фонов в направлении сканирования. При использовании много-
элементного приемника информация о распределении яркости,
содержащаяся в сигнале, вырабатываемая каждым его элементом,
передается к индикатору не непрерывно, а лишь в те моменты вре-
мени, когда происходит замыкание соответствующего ключа
коммутатора. Очевидно, что это замыкание должно происходить
Достаточно часто, чтобы не допустить потери информации о бы-
стрых изменениях сигнала, но не чаще, чем это необходимо, во
избежание передачи избыточной информации.
Замена непрерывного сигнала совокупностью дискретных
значений, эквивалентных ему по информационному содержанию
дискретизация сигнала), основывается на теореме отсчетов
(теорема акад. В. А. Котельникова), которая может быть сформу-
лирована следующим образом: если функция S (/) не содержит
частот выше fm, то она полностью определяется последователь-
н°стью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга на
величину 0,5fm (рис. 58).
Теорема В. А. Котельникова базируется на том, что функция
Не может существенно изменить своего значения за время,
75
меньшее, чем половина периода наивысшей частоты, т. е. за
время О,5/ЛП.
Значение функции S (/) в моменты времени, отстоящие друг
от друга на 0,5/т, называют выборками сигнала.
Если длительность сигнала S (0 конечна и равна Т, а полоса
частот, соответствующих этому сигналу, по-прежнему ограни-
чена частотой fm (ограничение полосы частот в спектре сигнала
соответствует наличию его значений за пределами времени Т
до со, но эти значения могут быть весьма малы), то число выборок,
которое необходимо для полного задания сигнала, очевидно равно
N = Т/М + 1,
где А/ — 0,5/ш, а единица появилась в связи с необходимостью
задания сигнала не только в момент его появления (t = 0),
но и исчезновения (t = Т).
Следовательно,
N = 2fmT + 1,
если Т/М = 2fmT 1, то N =2fmT.
Наивысшая возможная частота в спектре сигнала, вырабаты-
ваемого каждым элементом приемника излучения, определяется
формой и длительностью импульса, получаемого при наличии
в поле зрения точечной цели.
Известно, что при грубых оценках принято считать, что про-
изведение длительности сигнала на ширину его спектра близко
к единице
rfm = 1,
или, более точно,
'tfm — ^и>
где ka — коэффициент формы импульса, т. е.
fm —
76
Коэффициент формы импульса feH имеет различную величину в зависимости
принятых математических определений т и fm, выбор которых зависит от ре-
земой прибором задачи. Так, если т определить как интервал, вне которого
функция, представляющая импульс, равна нулю, а [т — полоса частот до нер-
ого перехода спектра импульса через нуль, то коэффициент формы импульса
оказывается равным для импульсов: прямоугольного kK. пр — 1; треугольного
. D = 2; косинусоидального fen. кос =1 >5.
*и'ТЕсли т и fm определить как промежуток времени и ширину спектра, в кото-
пых сосредоточена подавляющая часть (90%) энергии, то коэффициент формы
импульса будет равен для импульсов: прямоугольного feH. пр = 0,73; треуголь-
ного feH. тр ~ 0,46; косинусоидального feH. кос—0.43; колокольного (е~
ъ == 0,22; экспоненциального (е~₽z) feH. экс — 1,13.
/vjf, KOJI
Следовательно, интервал времени между выборками сигнала,
поступающего на выход каждого предусилителя в схеме с много-
элементным приемником, должен быть равен
М = 1/(2/т) = т/(2£„) т/2,
т. е. за время т необходимо дважды «опросить» все элементы
приемника излучения, а не один раз, как это предполагалось
ранее (см. рис. 56).
§ 3. КОЭФФИЦИЕНТ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
И ГАБАРИТНЫЕ РАЗМЕРЫ МНОГОГРАННОГО
СКАНИРУЮЩЕГО ЗЕРКАЛА
При разработке сканирующих систем с многогранными зерка-
лами прежде всего возникает вопрос об определении минимальных
габаритных размеров оптической головки прибора, обеспечива-
ющих заданные значения диаметра входного зрачка объектива d
и угла поля обзора (р. Основным габаритным размером оптической
головки, подлежащим определению, является диаметр D окруж-
ности, в которую вписывается сечение многогранного зеркала.
Рассмотрим соответствующие соотношения для зеркальных
призмы и пирамиды.
3.1. Сканирующая призма
Сечение вращающейся зеркальной призмы представляет собой
многоугольник, габаритные размеры которого вполне характери-
зуются диаметром описанной окружности, а положение — углом
между нормалью к рабочей грани и горизонтальной осью.
На рис. 59 изображена в качестве примера шестигранная
призма, имеющая диаметр описанной окружности D и располо-
женная так, что угол между нормалью к грани АВ и горизон-
тальной осью равен 45° -ф- (3.
Угловой размер грани зеркала определяется центральным
Углом
Тгр = 2л/N = 3607W,
где /V — число граней.
77
При этом линейный размер грани
А = АВ -= 2АО sin (угр/2) = D sin (yrp/2).
Обычно предполагается, что взаимное расположение грани
зеркала АВ и оптической оси объектива (входного зрачка ab)
должно обеспечивать наблюдение объектов вдоль вертикальной
оси, т. е. под углом (45° — 0) к перпендикуляру, опущенному
из центра вращения зеркала О на его грань АВ. В процессе вра-
щения зеркала осуществляется симметричное сканирование поля
обзора относительно верти-
кали, причем размер гра-
ни Л В должен обеспечивать
отсутствие виньетирова-
ния в пределах угла поля
обзора ф. Так как угловой
размер строки фс = ф свя-
зан с соответствующим
углом поворота зеркала ус
соотношением фс = рус,
причем для призмы р =
= /?пр =2, то в рассмат-
риваемом случае фс =2ус.
В то же время ус —
=11Тгр. гдет]—коэффициент
использования зеркала,
следовательно,
Фс =2W = 2n (360W) =
==(72O°/2V)n; т)=фЛ/720°.
Рис. 59. Относительное расположение скани-
рующей призмы и входного зрачка объектива
В ходе дальнейших расчетов необходимо найти зависимость
D = f (0, d, ф, п) и по минимуму полученной функции вычислить
значение оптимального угла установки 0. Имея это в виду, найдем
связь диаметра описанной окружности D с диаметром входного
зрачка d.
Для этого построим (рис. 60) три положения рабочей грани
сканирующего зеркала; Л0В0— среднее положение, соответ-
ствующее приему излучения объектов, находящихся непосред-
ственно под прибором, ЛНВП и ЛКВК — крайние положения,
соответствующие приему излучения объектов, находящихся в край-
них точках поля обзора с координатами ±=ф/2 и соответствующих
началу и концу строки.
Заметим, что хорда ЛЦВК параллельна среднему положению
грани зеркала Л0В0 и угол /_ЛКВ .ЛП равен ф/4, как вписанный
угол, измеряемый половиной дуги Л,.ЛП (ф/2), на которую он
опирается. Построим далее ось ОО2О4, перпендикулярную хорде
ЛНВК, и из точки О2 проведем два луча: местную вертикаль 0203
и луч О2О5, соответствующий направлению излучения потока,
78
паженного от грани зеркала, находящейся в среднем положении,
ня чающего в объектив. Так как угол падения равен углу отра-
" НИЯ, то ДО4О2О3 = ДО.,О2О5 = 45° - ₽.
В большинстве встречающихся на практике случаев, диаметр
отраженного от вращающегося зеркала светового пучка не должен
Рис. 60. Габаритные
размеры сканирующей системы с многогранной
зеркальной призмой
превышать проекции хорды ЛНВК на прямую, перпендикулярную
направлению отражения, т. е. ВКВ'К, так как точки Аи и Вк соот-
ветствуют крайним положениям отражающей грани зеркала и,
следовательно, в процессе сканирования не происходит виньети-
рования светового пучка (исключения из этого правила будут
Рассмотрены ниже). В свою очередь диаметр светового пучка
примерно равен диаметру входного зрачка объектива, так как
Расхождение лучей, определяемое мгновенным полем зрения
79
прибора, можно либо совсем не учитывать, либо диаметром вход-
ного зрачка считать некоторую эффективную величину, равную
d + /6, где d — диаметр входного зрачка объектива; 6 — мгно-
венное поле зрения; I — расстояние от входного зрачка до ска-
нирующего зеркала. Минимальное значение расстояния от вход-
ного зрачка до сканирующего зеркала /т1п удобно определять
в виде отрезка прямой ЬВК между плоскостью входного зрачка
и окружностью, описанной вокруг сканирующего зеркала. Это
расстояние должно быть таким, чтобы не происходило ограниче-
ния падающего па сканирующее зеркало пучка лучей оправой
объектива. Так как крайний луч пересекает сечение светового
пучка, отраженного зеркалом к объективу, в точке а, то положе-
ние плоскости входного зрачка должно соответствовать ab.
Учитывая сделанные замечания, найдем связь между макси-
мальным диаметром входного зрачка d и диаметром описанной
вокруг сканирующего зеркала окружности D.
Опустим из точки Вк на прямую аАи перпендикуляр ВКВ'К
и рассмотрим треугольник ДЛ!(ВкВк. В этом треугольнике угол
L ВХА.В'К = 90" - (45” - ₽) = 45° + ₽,
следовательно,
d = ВКВ'К -= ВкАп sin (45° -ф р),
по
ВКЛН = 2О2ВК = 2ОВК sin (Д О2ОВК),
где
/ _ZAHOBK _ ZAKOBK-ZAKOAn_ Тгр-ф/2 .
Д =— g — g — 2 >
2ОВК = 2(D/2) = D,
ВКАН = D sin [(Тгр — ф/2)/2];
d = ВКЛН sin (45° 4- Р) = D sin (угр/2 — <p/4) sin (45° -ф P),
откуда
D =_______________-_____________
sin (45° + P) sin (Yr p/2 — <p/4)
Обозначим X — Did, тогда
2 —________________________________1____________
sin (45° -I- P) sin (T, p/2 — <p/4)
В полученное выражение можно ввести коэффициент использо-
вания грани зеркала
“П = ф/фпшх = ф/(РТгр) = ф/(2угр) = <рМ/720°,
80
откуда (Р = УгрЛ- Тогда получим
, =__________________________________1_______________ =
sin (45° 4- Р) sin (угр/2 — 2т]угр/4)
______________1______________
sin (45° + Р) sin Ктгр/2) (1 — т])]
Так как угр = 3607/V, то окончательно найдем
\ _ _2_ _ ____________________________1______________
d ~ sin (45°+Р) sin |(180°//V) (1 — г])] ’
Полеченное выражение для удобства дальнейшего пользования
можно представить в виде произведения
X =
где
\ = 1/sin (45° + ₽); kK = 1/sin [(1807/V) (1 - n)l-
Соответствующие зависимости представлены на рис. 61 и 62
в виде графиков. Их анализ позволяет сделать следующие вы-
воды относительно зависимости габаритных размеров сканиру-
Рис. 61. Зависимость коэффици- Рис. 62. Зависимость коэффици-
ента %к от угла Р опта от коэффициента т] —
= фЛ7720°
ющего зеркала (диаметра D) от коэффициента использования
грани rj, поля обзора ср, числа граней сканирующего зеркала N
и угла установки р.
1- Габаритные размеры сканирующего зеркала растут при
увеличении числа граней, поля обзора и коэффициента использо-
вания грани. Коэффициент использования грани, равный единице,
может быть получен только при бесконечно больших размерах
сканнруЮщег0 зеркала.
2. При заданном коэффициенте использования грани т), т. е.
заданных значениях произведения <pN и поля обзора <р (числа
81
граней N), габариты сканирующего зеркала зависят от выбора
угла установки 0: они минимальны при 0 = +45° и увеличи-
ваются при любых других значениях угла установки.
Зависимость X = f (0, ср, М) может быть легко найдена, как
произведение Хк£х. При анализе этой зависимости следует обра-
тить внимание на то, что при некоторых сочетаниях значений Дг
и ф величина X оказывается равной оо. Это имеет место, в част-
ности, при М = 6; ф = 120° и N = 8; ф = 90°. Можно легко
объяснить такую зависимость, если учесть, что указанные соче-
тания значений Миф соответствуют случаю, когда коэффициент
использования равен единице.
Необходимо также иметь в виду, что анализ выражения для
X — Did еще не позволяет принять окончательное решение об
оптимальном диапазоне углов 0, так как для этого необходимы
сведения не только о габаритных размерах сканирующего зер-
кала, но и об общих габаритных размерах оптической головки,
определяемых, в частности, значением минимального допустимого
расстояния от входного зрачка оптической системы до сканиру-
ющего зеркала. Это расстояние можно найти, пользуясь рис. 60,
откуда следует:
^min ЬВц = аВк = оАп АнВк>
аАн =ab" + Ь"Ап.
Из ДЛ/Ь" можно найти
b”AH = b'b" ctg (45° + 0 + ф/4) = d ctg (45° | 0 | ф/4).
Из /\Ь''Ь'а получим
ab" = b'b" ctg £ = d tg (20 + ф/2).
Следовательно,
аА„ = ab" + b’A„ = d [tg (2(5 + <р/2) + ctg 9°° + 2P + f/2 j .
Обозначим
q = 20 + ф,'2,
и имея в виду, что
, 90° -4-0 I 4- cos (90° -f- q) I — sin q
Ct§ —p- = Tin (90°+7) =-^T’
найдем
aAH sin q , 1 — sin q _ 1 __ 1
d cosg 1 cost? costy cos (20tp/2)
Далее,
/min == ЬВК 6b4H ДцВк>
но из ДЛиВкВк следует
ЛнВк = ВкВк ctg (45° + 0) = d ctg (45° -f- 0),
82
Т. с. > d °
/min = = cos (2p 4- ф/2) il Ctg ^40 +
или, если обозначить x = /mln/d, то
X = V = cos (2Р+-Ф/2)- “ Ctg(45° + P)-
Графики зависимости коэффициента x от угла р для различ-
ных значений ср представлены на рис. 63. Значения углов р,
при которых х = О (Ро) и х = ос (роо) приведены ниже:
120° 90° 60° 45° 30° 20° 10° 5°
Ф • ' ‘ . _8° 39' —5° 26' —2° 44' —1° 39' —45' —24' —6' —2'
15° 22° 30' 30° 33° 45' 37° 30' 40° 42° 30' 43° 45'
роо - 4 •
Анализ этих графиков показывает, что для отрицательных
значений угла р, превышающих по абсолютной величине значе-
Рис. 63. Зависимость коэффициента % от углов р и ср
иие, примерно равное 10°, объектив может быть расположен в не-
посредственной близости от сканирующего зеркала, так как
^min < 0- По мере увеличения положительных значений угла Р
коэффициент х возрастает с разной скоростью в зависимости от
заданного значения угла ср (чем ср больше, тем быстрее).
На основании совместного рассмотрения коэффициентов X
и X можно прийти к выводу, что при выборе углов установки
зеркала р следует искать компромиссное решение, поскольку
область углов р, соответствующих минимальным габаритным раз-
мерам сканирующего зеркала (вблизи -|-45г), не совпадает с об-
ластью углов, соответствующих минимальному удалению объек-
тива.
83
В некоторых случаях при вычислении диаметра описанной
окружности следует учитывать, что виньетирование светового
пучка, отраженного от сканирующего зеркала, происходит не
симметрично при поворотах грани зеркала в обе стороны относи-
тельно среднего положения, а односторонне за счет поворота зер-
кала от одного крайнего положения к другому. Итак, макси-
мально допустимый диаметр светового пучка определяется не про-
Рис. 65. Виньетирование светового пучка при ска-
нировании шестигранной призмой
екцией хорды ЛПВК на прямую, перпендикулярную направлению
отражения, а аналогичной проекцией грани ЛКВК (см. рис. 60).
Соответствующие случаи приведены на рис. 64 и 65, из которых
следует, что если диаметр светового пучка, определенный по
ранее рассмотренному правилу (проекция хорды ЛНВК), равен dt
то действительно допустимое значение диаметра светового пучка
(проекция грани АКВК) равно dlt причем dt < d.
84
расчет диаметра d1 может быть выполнен на основании рас-
дотрения схемы сканирования, приведенной на рис. 60 Про-
Солжая перпендикуляр к направлению отраженного светового
А qKa Д,ДК до пересечения с лучом, отраженным от крайней
точки лк грани зеркала ЛКВК, в точке В"м из можно
найти: , / о \
d = ВКВ"К = АД; Sin (45° 4- Д—ф/4) = D sin sin ( 45 + П ~ -у-)
пли, если обозначить Xi = D/di, то
Xi = D/dl = 1/ [sin (угр/2) sin (45° + Р — cp/4) ],
так как <р = 2уГрТ), то
Xt = 1/[sin (тгр/2) sin (45° - Р — ПТгр/2)],
или
Xi = 1/[sin (18077V) sin (45° + Р — t)18077V)1.
При определении габаритов сканирующей системы следует ис-
пользовать то уравнение (для X или ХД, которое дает меньшее
значение диаметра входного зрачка (большее значение коэффи-
циентов X или Xi).
Для лучшей ориентации при проведении соответствующих рас-
четов введем коэффициент
е_ А _ sill (18077V) Sin (45° +p — i]180°/W)
~ Xi — sin (45°+P) sin (18O°/7V) — ’
который в результате тригонометрических преобразований можно
представить в виде
g _ ctg (П18077V) - Ctg (45° + Р) _ 1 — [tg (418077V)/tg (45° +ft)]
S ctg Cq 18077V) — ctg (18077V) I — [tg (-q 180°/TV)/tg (18077V)] *
Если В > 1, т. e. если коэффициент X определяет большие
габариты сканирующего зеркала при заданном диаметре входного
зрачка, то для расчета диаметра описанной окружности D следует
пользоваться коэффициентом X и графиками, представленными
на рис. 61 и 62.
Если £ < 1, полученное значение диаметра описанной окруж-
ности необходимо увеличить, разделив его на коэффициент £,
т- е. воспользоваться следующими соотношениями:
D = ‘k1d', Хг = 1/£; D =
Значения коэффициента | для призмы с числом граней от 3
Д° 10 даны на рис. 66. Для каждой величины N здесь приведены
Две кривые, отвечающие значениям коэффициента использования
и 0,9. Кривые для промежуточных значений коэффициента
^пользования лежат между этими двумя.
85
С целью дальнейшего упрощения расчетов обозначим через р
то значение р, при котором £ = 1, т. е. X = Найти его можно
из условия
ctg (180%У) 1] - ctg (45° Ч- Pi) _ ,
ctg (180°/W) ч — ctg (!80°/W) 1 ’
откуда px = 18Q°/N — 45°.
Рис. 66. Зависимость
коэффициента g от
угла Р, числа граней
зеркала N и коэффи-
циента использования
грани Т]
Рис. 67. Зависимость угла Pi от
числа граней N
пирамида
Кривая зависимости рх = f (N), представленная на рис. 67.
делит область возможных значений углов Р на две части: р > рг
что имеет место при £ > 1, и р < рх ;
расчет при £ > 1 и 1 < 1, было
рассмотрено выше.
Например, пусть необходимо
определить диаметр описанной окруж-
ности D для трехгранной призмы при
угле установки р = 0. Так как па
основании рис. 67 для N =3 р1==
= 4-15°, то в рассматриваемом слу-
чае р < Pj, следовательно, £, < 1.
Поэтому, найдя значение X из гра-
фиков (см. рис. 61 и 62), следует опре-
делить отношение диаметра описан-
ной окружности D к диаметру вход-
ного зрачка d как D/d = l/f.
3.2. Сканирующая
Коэффициент использования зеркальной грани сканирующей
пирамиды определяется соотношениями, совпадающими с приве-
денными выше,
п = фс = = А
<Pcmax PVrp 360° р ’
однако, так как в случае пирамиды р = pIIIip = 1, то = <pc,/V/360°.
86
N и коэффициент использования т)
проекцию граней зеркальной пира-
Увеличению коэффициента использования грани до значений,
1зких к единице, препятствует рост габаритных размеров ска-
цпуюЩей пирамиды, которые можно, как и для призмы, задать
пиаметром описанной окружности D.
Для выполнения расчетов, которые позволяют установить
вязь между габаритными размерами сканирующего зеркала и
такими характеристиками прибора, как диаметр входного зрачка d,
попе обзора €р = фс, ЧИСЛО Л7 и и-ла.+Лтлитлон-г игпппсзлпйпия -и
граней зеркала, рассмотрим
миды на плоскость вход-
ного зрачка объектива.
Проекция зеркальной
пирамиды на плоскость
входного зрачка объектива
представлена на рис. 68 для
случая трехгранной пира-
миды, однако это обстоя-
тельство не является прин-
ципиальным, и результаты
проводимых ниже расче-
тов применимы для пи-
рамиды с любым числом
граней.
Очевидно, что угол
обзора срс, реализуемый
в процессе сканирования,
должен соответствовать та-
кому углу поворота скани-
рующего зеркала ус, в пре-
делах которого входной зрачок объектива полностью размещается,
не выходя за границы проекции сканирующей грани зеркала,
т. е. когда зрачок не виньетируется этой гранью. Следовательно,
угловой размер грани угр должен быть равен сумме угловых раз-
меров входного зрачка объектива То и строки (поля обзора)
Vc • Угр = То + Тс-
Угловой размер входного зрачка объектива определяется вы-
ражением
СЭ|'Х1|
Рис. 68. Проекция зеркальной пирамиды на
плоскость входного зрачка объектива:
1 — трехгранная пирамида; 2 — входной зрачок
sin (у0/2) = d/(2H),
где Н = D/2 — d/2. Тогда sin (у0/2) = l/(D/d — 1), т. е.
Did = 1 ф- cosec (То/2).
Поскольку у0 =Тгр — Тс» а Тгр = 36077V; Тс = фс» т0> обозначая
4 ^Dld, найдем
7, = Did = 1 ф- cosec (18077V — <рс/2).
87
Так как при заданных <рс, -угр и N коэффициент использова-
ния грани т] = cpc7V736O° == (рс/угр, то
X = Did = 1 4 cosec (<рс/2) [(1 — 7])/т] ] = 1 4 cosec (1807./V) х
X (1 — т]); <рс =(360W)ti.
Графики зависимости X от т] для различных N приведены
на рис. 69. Они позволяют выбрать габаритные размеры скани-
Рис. 69. Зависимость л о г
коэффициента использова-
ния т] для различных N
рующей зеркальной пирамиды.
Иногда представляет интерес срав-
нить габаритные размеры сканирую-
щих призмы и пирамиды.
Для зеркальной призмы
х 1_______________________1________J
"Р sin (45° + Р) sin (180°/Nnp) (1 — т]) Г
1 180° Z1 ч
— ~—/лсо । о, cosec -г-т— (1 — и),
sin (45° 4 Р) ЛГПр v ’
для зеркальной пирамиды
Кир = 1 + cosec (1807Wniip) (1 — л),
причем
ЛГпнр = (3607<Рс) 4, Л^пр = (7207<Рс) Л,
т. е. при равных углах обзора и коэф-
фициентах использования
Л^пир = TVnp/2.
Следовательно, обозначая х = Кир/Кр» найдем
^ппр . „ „г . 180° ч .
х = = sin (45 4-Р) sin-..- (1 -п) 4-
Лир L пр
2 cos (180°//Vnp) (1 - пГ ] '
Размеры сканирующей пирамиды можно уменьшать, если до-
пустить некоторое виньетирование входного зрачка на краях
поля обзора.
Соответствующая схема представлена на рис. 70, из которой
следует
sin (у0/2) — h/H.
Здесь h = (d/2) cos (a/2), где a — центральный угол,
следовательно,
sin (т0/2) - ld/(2tf)] cos (a/2).
Так как H = D/2 — d/2, то
sin (у0/2) = cos (a/2)/(D/J — 1),
но
To = TrP ~ Tc = Trp (1 “ Yc/Yrp) = (3607/V)(l - Л),
88
следовательно,
X == Did = 1 -}- cos (a/2) cosec (1807N) (1 — tj);
<Pc = (3607yV) i]-
Очевидно, что при отсутствии виньетирования а = 0;
sin (То/2) = d/(2Z7); Хо = 1 + cosec (1807JV) (1 - n)-
Относительное уменьшение габаритов можно выразить отно-
шением
1 — cos (а/2)
= 1 4- sin (180°/ЛА) (1 — г))
или
/Л 1
Q = 1 Я —
/-0
sin (1807#) (1 — n) + cos (a/2)
~ sin [(180%V)(l —n)l +1
Величину виньетирования
зададим отношением £ площадей
двух сегментов, ограниченных
хордами BE и CD (рис. 70), к
площади круга диаметром d.
Площадь каждого сегмента
е (d/2)2 / ла . \
равна Sc = -^4-1^0- — sin a),
а площадь круга SK =л (d/2)2.
Следовательно,
£ = 2SC/SK = a/180° — sin a/л.
Рис. 70. Схема виньетирования вход-
ного зрачка сканирующей пирамидой
ограниченных размеров
В большинстве практических случаев можно пользоваться
разложением sin a = a—a3/3! -f-oc5/5l, поэтому
p a3 /. a2 \ a3 .
6л \ 20 / 6л ’
a = f 6n| д/ 20£ .
Если, например, | =0,2, то a = i/20S = 4 ^1,6 «^90°.
Точный расчет угла a при | =0,2 можно выполнить, поль-
зуясь таблицами, содержащими зависимость центрального угла a
°т площади сегмента для окружности радиусом 1. В этом случае
площадь сегмента равна
Sc (г=1) = Sj = (л/2) [а/180° — (sina)/n] = (л/2)
89
т. е. при Е = 0,2 Sc = (л/2) 0,2 = 0,314, и по таблицам находим
а = 93°.
Следовательно, по приближенной формуле cos (а/2) cos 45° =
= 0,7, а по точной cos (ос/2) cos 46,5 = 0,688.
Пользуясь полученным значением cos (ос/2), при N = 3 и
т] = 0,6 (<рс = 72°), найдем, что без виньетирования
1
Рис. 71. Зависимость относительного
уменьшения габаритных размеров ска-
нирующей пирамиды q от коэффициен-
та виньетирования входного зрачка |
для различных значений Г] и N
! + sin (180°/ЛГ) (1 — tj)
= 1 sin 60°-6Т = 3’5,
а при наличии 20% виньетиро-
вания
X1 j____________cos (R/2)
sin (180%V) (1 — т])
t । 0,7 _ q
~~ 1 + sin 60°-0,4 —
Относительное уменьшение
габаритных размеров
1 — cos (ос/2)
1 4- sin (180°/JV)(i — n) ~
1—cos 45° (-.0,
“ 1 + sin 60°-0,4 ~U’
или Q — 1/X,O =1 — q = 0,79.
Зависимость коэффициента q
от E представлена на рис. 71.
§ 4. ДВУХКАНАЛЬНЫЕ СХЕМЫ СКАНИРОВАНИЯ
Существенное повышение коэффициента использования зер-
кальной грани сканирующего зеркала может быть получено при
использовании двухканальных схем сканирования, предложен-
ных Е. Я. Кариженским.
В двухканальных схемах сканирования с многогранными приз-
мами применяются укрепленные на одной оси две призмы, повер-
нутые одна относительно другой на угол угр/2 (рис. 72). Два
оптических канала /, II, включающие объективы Обх, Об2 и
приемники Пр1г Пръ, работают с каждой призмой, образуя по-
ловину заданного поля обзора. Сигналы от приемников каждого
канала поступают на общий усилитель Ус через переключатель
каналов ПК, связанный со сканирующим зеркалом. Одновременно
происходит коммутация генератора строчной развертки ГСР-
Так как размер граней каждого из сканирующих зеркал 3 вы-
бирается из расчета отсутствия виньетирования при угле скани-
рования, в два раза меньшем заданного, то и габариты зеркал
получаются примерно в два раза меньше.
90
В двухканальных схемах сканирования с многогранной пира-
идой используется одно сканирующее зеркало 3 — многогран-
м я зеркальная пирамида (рис. 73), грань которой последова-
тельно работает на два” оптических канала I и II, включающих
Рис. 72. Двух канальная схема сканирования с многогранными
призмами
Рис. 73. Двухканальная схема сканирования с многогран-
ной пирамидой
бъективы 06lt Об2 и приемники Прх, Пр2. Сигналы от прием-
ников каждого канала поступают на общий усилитель УС через
переключатель каналов ПК. Так как угловой размер проекции
нходного зрачка объектива каждого канала на сканирующее
91
зеркало может быть выбран равным yrv/2, то общий угол обзора
в этом случае соответствует угловому размеру грани <рс — у
т. е. т] =1.
В ряде практических применений большая сложность двух-
капальных систем полностью окупается меньшими габаритны^
размерами сканирующего
зеркала, либо большим
углом обзора, который в
этом случае удается реа-
лизовать.
§ Б. ТРАЕКТОРИЯ
СКАНИРОВАНИЯ
МНОГОГРАННЫМИ
ВРАЩАЮЩИМИСЯ
ЗЕРКАЛАМИ
Рассмотрим форму стро-
ки, прочерчиваемой мгно-
венным полем зрения в
плоскости предметов, уда-
ленной от сканирующего
зеркала на расстояние Н,
если сканирование осуще-
ствляется вращающейся
призмой узким полем с
угловыми размерами 6Х
и (рис. 74). В этом
случае плоскость чувстви-
тельной площадки прием-
ника излучения в процес-
Рис. 74. Форма строки при сканировании мно- се сканирования остается
гогранной зеркальной призмой всегда перпендикулярной
оптической оси объектива,
т. е. при угле визирования <р/2 опа располагается по отноше-
нию к плоскости предметов под углом ср/2.
В центре ноля обзора имеем:
аХо^НЬх, аУо = НЬу.
При отклонении сканирующего луча на угол <р/2 происходит
искажение формы линейного поля зрения так, что его размеры
оказываются равными:
ау = ed = be = Hby sec (<p/2);
ax = ab = be!cos (<p/2) = [77/cos2 (<p/2) ] 6X = Hbx sec2 (<p/2).
Координата центра линейного поля зрения (половина ширины
полосы сканирования):
В/2 = Н tg (ф/2).
92
ученные соотношения, определяющие зависимость раз-
линейного поля зрения ах и ау и ширины полосы сканиро-
1ИЯ В от угла обзора, позволяют сделать следующие выводы.
. Г) „тгттттипп ППТШТШПГЛ
*" ] Величина линейного
пазрешения (размеры линей-
ного поля зрения) в пло-
скости расположения объек-
тов ухудшается с увеличе-
нием угла обзора, причем
ухудшение вдоль оси у (по
кадру) происходит но закону
sec (ф/2), а вдоль оси х (по
строке)—по закону sec2 (<р/2).
Соответствующие зависимо-
сти aylalj0 =sec (ср/2) и aJciXo =
__ Sec2 (<р/2) приведены на
рис. 75.
2. Увеличение размеров
линейного ноля зрения с уве-
личением угла обзора приво-
дит к наложению строк, за
счет которого один и тот же
объект сканируется дважды:
двумя следующими друг за
другом строками (1-я и 2-я
строки па рис. 76). Наложе-
ние строк приводит к искаже-
нию изображения регистрируемого объекта, так что один объект,
попадающий в зону наложения, будет изображаться в двух стро-
Оц/atjo
6а 7
6
7
О 10 20 30 io 50 60 70 80 ~90<Р °
2’"'
75. Зависимость размеров мгновен-
поля зрения от угла обзора при
Рис.
ного
сканировании многогранной зеркальной
призмой:
1 — ах!аХп = sec2 (<р/2) \2 — а у fay 0 = sec (<р/2-
3 — ба = 1 — ctyjay — 1 — cos (<р/2)
ках на экране индикаторного устройства, и, следовательно, его
Рис. 76. Наложение строк при сканирова-
изображение практически не
будет отличаться от изобра-
жения двух объектов, нахо-
дящихся вис зоны наложе-
ния, но в пределах двух
соседних строк сканирова-
ния.
Количественно величину
наложения можно выразить
шириной крестообразно зашт-
нии многогранной призмой РИХОВЗННОЙ ЗОНЫ Ай на
рис. 76.
На краю поля обзора в соответствии с обозначениями, при-
нятыми на рис. 76, имеем
Аа = be = be -f-cd + de = 2bc -{-cd =2 (bd — cd) -f-cd =
= 2bd — cd,
110 cd = аУо-, bd = ay/2, следовательно, Aa — ay — aUo.
93
^0
Рис. 77. Форма растра при сканировании многогранной призмой в при-
боре с многоэлементным приемником излучения
Рис. 78. Форма растра при сканировании многогранной пирамидой
в приборе с многоэлементным приемником излучения
94
5 относительных единицах
Ьа = &а/ау == 1 — ayJay,
тяк как
аУо = Н8У; ау -= Нду sec (ф/2),
ба = 1 — cos (ф/2).
Соответствующая зависимость (кривая 3) представлена на рис. 75.
форма растра, образуемого мгновенным полем зрения в плоскости
предметов при сканировании многогранной призмой в приборе
с многоэлементным приемником излучения имеет вид, изображен-
ный на рис. 77.
При сканировании зеркальной пирамидой (рис. 78) отдельные
строки, прочерчиваемые в плоскости расположения объектов
проекцией приемной площадки, практически не искривляются,
однако происходит наклон всего линейного ряда приемных пло-
щадок па угол ф в направлении сканирования. Угол ф примерно
равен углу визирования ф/2, несколько превышая его, например
при ф/2 = 45° ф _ 54° 45', при <р/2 = 60° ф — 75° 55' и т. д.
§6. ЧЕРЕССТРОЧНОЕ СКАНИРОВАНИЕ В СИСТЕМЕ
С МНОГОЭЛЕМЕНТНЫМ ПРИЕМНИКОМ
Эффективность использования оптико-электронных приборов
осуществляющих обзор пространства с неподвижного основания
может быть существенно повышена за счет применения черес-
строчной развертки сканирующего луча.
Рассмотрим этот вопрос на примере анализа работы прибора
с трехгранной сканирующей пирамидой и многоэлементиым прием-
ником излучения.
Для получения кадровой развертки, состоящей из отдельных
полей, чувствительные элементы приемника излучения следует
располагать на расстоянии друг от друга &у (рис. 79), которое
зависит от размеров элементов у и числа полей в кадре т.
Если общая длина ряда приемников У определяет размер
кадра, то очевидно следующее соотношение:
У + &У = ynv,
в результате последовательного наложения т нолей весь кадр
Должен быть заполнен строками сканирования без пропусков.
Соответствующие углы равны:
бу -ф- дд,у
= 6„(m—1).
Сканирующее зеркало, которым может быть трехгранная пи-
рамида (рис. 79), выполнено так, что его грани имеют разные
Углы наклона по отношению к оси вращения, выбор которых
95
осуществляется из следующего расчета для граней: первой 45°-^
— 2; второй 45е; третьей 45’ Ц- Ьу!2.
В этом случае каждая следующая грань зеркала вызывает
смещение всего линейного ряда приемных площадок на угол 6
по кадру, а вращение сканирующего зеркала обеспечивает раз?
вертку по строкам. Следовательно, полный оборот сканирующего
зеркала соответствует одному кадру разложения, т. е. число
полей в кадре равно числу граней зеркала т — N.
Рис. 79. Схема сканирования и расположения чув-
ствительных слоев многоэлементного приемника
при чересстрочной развертке
В процессе развертки строк одной гранью зеркала образуется
поле кадра. В промежутки между строками одного поля благо-
даря разному наклону граней укладываются строки остальных
полей, образуя целый кадр. I
Обозначим время сканирования одного поля кадра через Тп,
тогда время обзора кадра в общем случае будет равно
Тк = Тпт.
За один оборот зеркала, имеющего N граней, осуществляется
сканирование Д' полей.
Следовательно, время одного оборота зеркала равно
7\ = l/n3 = TnN
96
частота вращения зеркала соответственно будет
— \!(TnN) = m/(NTK).
Необходимое число элементов приемника излучения при черес-
„очной развертке Мч можно определить, исходя из заданного
углового размера высоты кадра <рк по формуле
Мч = q>K/(6(y -h бДг/) =
Нетрудно прийти к выводу о преимуществах схемы с черес-
строчной разверткой, так как по сравнению с обычными схемами
в ней число элементов приемника может быть меньше в т раз,
поскольку при построчной развертке число элементов равно
мп = <рЖ + М,
где Д</ — величина технологического зазора между чувствитель-
ными элементами, примерно равного (0,2 -г0,4) у, т. е. 6Д//
б;/ и <рк/6у, следовательно,
MJ Мч = т.
Схема с чересстрочной разверткой позволяет уменьшить по-
лосу частот коммутационно-усилительного тракта (общего уси-
лителя).
Рассмотрим выражения, определяющие полосу пропускания
усилителя каждого канала и полосу пропускания общего усили-
тся я.
Нижнюю граничную частоту полосы пропускания усилителя
каждого канала определяет число полей кадра, сканируемых
в единицу времени,
f„ < 1/т„,
где Тп — время обзора одного поля кадра, соответствующее
максимально возможному значению углового размера строки (рс тах.
Так как коэффициент использования зеркальной грани равен
Л = <Гс/Ч>ст„ = Тс/Т„,
где Тс — длительность строки, то
/и < 1/Тп = к]/Тс.
Верхняя граничная частота полосы пропускания каждого
канала усиления определяется минимальной длительностью им-
пульса ттп
/в — ^и/Тт!п»
гДе /гп — коэффициент формы импульса сигнала. Так как время
одного оборота зеркала равно 1//г3, а мгновенное поле зрения
занимает 6Л./(2лр) оборота, то минимальная длительность импульса
Равна
1 6.V
Tmln — Пз 2лр ’
4 М. М. Мирошников
97
следовательно,
г 2jTp. n
/ В - /СИ '*3*
Учитывая, что
<pc = т]2л/(Д7р),
найдем
/в = Wn) (<РЛ) n3N.
Полученные выражения для f„ и /в справедливы как при по-
строчном, так и чересстрочном сканировании, поскольку частота
смены полей кадра l/T^ определяется свойствами экрана инди-
катора и инерционностью глаза, а скорость вращения сканиру-
ющего зеркала п3 зависит только от Тп и N.
Следовательно, полоса частот усилителей отдельных, каналов
прибора не зависит от выбора сравниваемых схем
сканирования.
Определим теперь верхнюю граничную частоту общего канала
усилительного тракта. Известно, что в соответствии с теоремой
Котельникова при дискретизации сигнала соответствующие вы-
борки должны следовать с частотой 2fB. Очевидно, что для опроса
каждого канала с этой частотой необходимо обеспечить опрос М
каналов с частотой 2fKM, т. е. верхняя частота полосы пропуска-
ния общего усилителя должна быть
FB = 2fRM.
Принимая во внимание полученные выше выражения для /в,
Л1Ч и п3, можно найти
где zK = <рс <рк/(6л6^) — общее число элементов разложения в кадре.
Нижняя граничная частота по-прежнему равна
Следовательно, полоса частот общего усилителя будет
^F^Fв-Fн^F^2f3M.
Таким образом, использование чересстрочной развертки позво-
ляет в Л1П/Л1Ч = т раз уменьшить полосу частот общего усили-
теля, облегчая тем самым условия регистрации сигналов (особенно
при дистанционной передаче). Одновременно существенно упро-
щается и уменьшается по габаритам и весу не только узел прием-
ника излучения, но и коммутатор вследствие уменьшения коли-
чества коммутируемых каналов в т раз.
Недостатком чересстрочной развертки является необходимость
осуществления обзора пространства с неподвижного или хорошо
стабилизированного основания, так как в противном случае
возникает опасность потери информации (пропуска цели).
98
§ 7 СКАНИРОВАНИЕ ЗЕРКАЛОМ, ВРАЩАЮЩИМСЯ
ВОКРУГ ОСИ, НЕПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К НЕМУ
Сканирование зеркалом, вращающимся вокруг оси, непер-
ендикулярной к нему, позволяет создать в плоскости располо-
жения объектов наблюдения траектории сканирования в виде
Рис. 80. Сканирование зеркалом, вращающимся вокруг
оси, неперпендикулярной к нему
окружности и спирали (при неподвижном основании), либо траек-
торию сканирования типа «гусеница» (при поступательном пере-
мещении основания).
Рассмотрим основные соотношения, характеризующие этот
метод сканирования, прежде всего имея в виду сканирование по
образующей прямого кругового конуса, дающее в плоскости на-
блюдения траекторию сканирования в виде окружности (рис. 80).
Если круглая полевая диафрагма имеет угловой размер 6,
То линейное поле зрения в плоскости предметов представляет
собой эллипс, одна из осей которого равна
ах =L tg 6,
99
где L = ///cos (у/2) — наклонная дальность. Следовательно,
ах — Н tg 6/cos (y/2) /76 sec (-у/2).
Вторая ось эллипса равна
ау = ajcos (y/2) НЬ sec2 (y/2).
Если рабочая зона сканирования ограничена углом 6, то
ширина захвата
В = (y/2) sin (0/2),
или в угловой мере
В
ф В 2Н tg (y/2) sin (0/2) Y Y • 6
Slfl ~2 = -2L = -------------~~2H----------------- C0S 2 = Sm4“ Sin T
При поступательном движении основания, на котором уста-
новлен прибор, со скоростью V на высоте Н в плоскости наблю-
дения имеет место траектория сканирования типа «гусеница».
Для выполнения условия отсутствия пропусков в центре поля
обзора скорость вращения сканирующего зеркала п3 должна
быть такой, чтобы за время одного оборота прибор переместился
на расстояние у, не превышающее одного элемента разложе-
ния ау, т. е.
У = ^о»
где £0 — коэффициент наложения строк в центре поля.
Следовательно, необходимо выполнить условие
60/л3 = y/V,
где п3 — скорость вращения сканирующего зеркала, мин-1,
«з
_ 60V _ 6O|oV _ 601oV » Y .
у ~ ау ~ Lob 2 ’
V — скорость движения основания прибора, м/с. Если запи-
сывающий луч в индикаторном устройстве, вращаясь синхронно
со сканирующим лучом со скоростью п3, описывает окружность
радиусом R', которая перемещается со скоростью V', то для обес-
печения подобия формы объекта и его изображения необходимо
соблюдать условие
R/R' = V/V',
где R = Н tg (у/2) — радиус сканирования в плоскости пред-
метов. Так как V' — y'nj&), где у' — шаг развертки на экране
индикатора, то
_ 60/?' V
Пз ~~ у'tg (Т/2) н '
Сравнивая два выражения для и3, можно найти требуемый
коэффициент наложения строк сканирования в центре поля
(наложение строк записи на экране индикатора недопустимо,
100
ч как в местах наложения строк вдвое увеличивается экспо-
зиция)
/?' ау R' Н8 _ 2/?'6
Н tg (Т/2) у' ~ Я tg (v/2) cos2 (у/2) у' ~ у' sin 7
Например, если нужно обеспечить |0 = 1, то 2R'ly' = sin у/6,
при т = 90° можно найти у’/ё> = 2R'. Если 2R' = 100 мм,
а 6 = 10~3, то у' =0,1 мм.
Даже в том случае, когда наложение строк в центре поля
обзора отсутствует, на краях поля в связи с криволинейностью
Рис. 81. Наложение строк / и // при сканировании пло-
ским зеркалом, вращающимся вокруг оси, неперпенди-
кулярной к нему
строк развертки имеет место наложение строк, рассчитать ве.
личину которого можно, пользуясь рис. 81.
Если характеризовать наложение строк шириной заштрихо-
ванного промежутка Да = Ьс, то можно найти Да = be = ОЬ —
— Ос, но Ос = Оа — ас, в свою очередь:
Оа = R = Н tg (у/2);
ас = ау = Н 6 sec2 (у/2),
следовательно,
Ос — Н tg — НЪ sec2—- = sec2 -Д- (sin у — 26).
Далее
Ob = Oid = О,/?! — bxd,
НО lilt
O.b, = R = Я tg (у/2),
101
а bxd можно найти из &bb^d, заменяя в нем дугу ЬЬЛ соотп^
ствующей хордой:
bxd = bd cos (<bdbx).
Так как <bdbt = 6/2, а
bd = ООХ = ау = Н 6 sec2 (у/2),
то
brd = ау cos (0/2) = Н 6 sec2 (у/2) cos (0/2);
Ob = O1b1 — b±d Н tg-t— Hbsec2-y- cos =
= sec2 (sin у — 26 cos .
Следовательно,
&a - be — Ob — Oc = sec2 sin у — 26 cos --------------
— sin у + 26 j = Я6 sec2 (1 — cos = ay (1 — cos ;
6a = ka!ay = 1 — cos (0/2).
Так как
cos (0/2) = /1 - sin2 (0/2) = /1 -sin2(<p/2)/sln2(y/2),
TO
6a = 1 — У1 — [sin (<p/2)/sin (y/2)]2.
Если сопоставить полученное выражение для круговой раз-
вертки (6ак) с соответствующим выражением для строчной раз-
вертки (6ас), осуществляемой с помощью многогранной призмы,
то можно найти, что при одинаковом перекрытии строк справед-
ливы следующие соотношения:
1 — cos (фс/2) = 1 — V1 — sin2 (<pK/2)/sin2 (у/2) ;
cos (<рс/2) = 1 — sin2 (фс/2) = V1 — sin2 (cpK/2)/sin2 (у/2);
sin (<рс/2) = sin (<pK/2)/sin (y/2);
<pK <pc sin (y/2).
Следовательно, при круговой развертке заданное искажение
изображения, определяемое наложением строк на краю поля,
можно обеспечить в пределах меньшего поля обзора, чем при по-
строчной развертке. Например, при у/2 = 26° и <рс = 52° найдем
Фк = 52° sin 26° = 52°-0,44 23°.
Поскольку угол у был выбран произвольно, найдем условия,
его определяющие. Для этого заметим, что при совместном рас-
смотрении построчной и круговой разверток следует учитывать
необходимость обеспечить в том и другом случае одинаковую
102
иную ширину поля обзора в плоскости наблюдения, кото-
Лаядпя построчной развертки
Р Вс =2//tg(<fc/2),
а для круговой
v 6 2Н у . О о и sin (срк/2)
о - 9И te -X- s п -7Г- =---/ гоч- sin sin -к- = 2Н-----\ .
рк =1ь 2 2 cos (у/2) 2 2 cos (у/2)
Из условия Вс =ВК можно найти
___ Л — Sin ((Рк/2) — Sin ((Р“/2) rnq
С 2 ~ tg(<pc/2) sin (срс/2) 2 ’
Полученное равенство позволяет найти такое значение угла -у,
определяющего параметры круговой развертки, при котором
круговая и построчная развертки обеспечивают одинаковую ши-
рину поля обзора в плоскости наблюдения.
н Следовательно, из условия равенства линейных полей обзора
нашли, что
eMlcos^ = cos4-,
sin (<Рс/2) 2 2
а из условия равной величины наложения строк ранее было
получено
sin (<рк/2) __ Qin У
sin (<рс/2) 2 ‘
Возводя в квадрат и складывая левые и правые части двух по-
следних равенств, найдем
sin2 (фк/2) ___________1_____
sin2 (фс/2) 1 cos2 (<рс/2) *
откуда
<Рк = <Рс/V1 + cos2 (<рс/2).
Следовательно, соотношение полей обзора при круговой и
построчной развертках, обеспечивающее не только одинаковые
искажения изображения на краях поля, но и одинаковую ши-
рину полосы обзора в плоскости наблюдения, оказывается более
благоприятным для круговой развертки, чем ранее полученное.
Действительно, при фс = 52° фк фс/1,35 = 5271,35 = 38°.
Кроме того, теперь можно точно определить значение угла у
из выражения
sin (у/2) фк/<рс = 1/1,35 = 0,74; у/2 = 48°,
что почти вдвое превышает соответствующее значение угла у,
выбранное произвольно в предыдущем примере.
Между тем, при всех расчетах необходимо учитывать, что
Максимальный размер сканирующего зеркала (большая ось эл-
липса) связан с диаметром входного зрачка объектива соотно-
d3 = d0/sin (у/4),
103
следовательно, для у/2 = 48°
d3/d0 = 1/sin 24° = 2,5,
а для у/2 = 26°
d3/d0 = 1/sin 13° = 4,44.
При неподвижном основании с помощью зеркала, вращаю*
щегося вокруг оси, неперпендикулярной к нему, можно создать
спиральную траекторию сканирования, изменяя угол наклона
зеркала к оси вращения.
Сканирование зеркалом, вращающимся вокруг оси, неперпен*
дикулярной к нему, имеет важное значение в тех случаях, когда
необходимо в процессе сканирования сохранять постоянным
угол между оптической осью прибора и плоскостью наблюдения
(угол визирования).
Г лава 5
СКАНИРОВАНИЕ ПРЕЛОМЛЯЮЩИМИ
ЭЛЕМЕНТАМИ -
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПЛАСТИНКОЙ И ПРИЗМОЙ
§ 1. СООТНОШЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ЗАКОН
СКАНИРОВАНИЯ
Плоскопараллельная пластинка, установленная за объек-
тивом, изменяет ход лучей таким образом, что изображение
светящейся точки отодвигается и его положение зависит от угла у
между оптической осью и нормалью W к поверхности пластинки
(рис. 82). Сдвиг изображения точки в направлении, перпенди-
кулярном оптической оси (по оси у), определяет возможность
осуществления сканирования, а перемещение изображения точки
вдоль оптической оси (по оси х) вызывает расфокусировку изоб-
ражения.
Практически в качестве плоскопараллельной пластинки ис-
пользуются четырех-, шести- или восьмигранные призмы, в про-
цессе вращения которых в пределах каждой грани осуществляется
плавное изменение угла у, а переход от одной грани к другой
соответствует повторному сканированию той же строки. Основ-
ные принципы сканирования четырехгранной призмой пред-
ставлены на рис. 83, а восьмигранной — на рис. 84. Излучение
точки, находящейся на оси, попадает в приемник в исходном
положении, когда грани перпендикулярны оси. При вращении
призмы достигается получение изображения других точек поля
в плоскости диафрагмы и, следовательно, воздействие соответ-
ствующего излучения на приемник.
104
Рис. 83. Сканирование четырехгранной приз- Рис. 84. Сканирование восьми-
мой (расфокусировка не показана) гранной призмой (расфоку-
сировка не показана)
Рис. 82. Основные принципы сканирова-
ния плоскопараллельной пластинкой
(призмой): а — ход лучей; б — призма,
эквивалентная пластинке толщиной А;
в — поле обзора и поворот пластинки при
неподвижном приемнике (диафрагме поля)
Основные соотношения для этого способа сканирования могут
быть получены на основании рассмотрения закономерностей пре-
ломления света плоскопараллельной пластинкой (рис, 85 и 86).
Положение пластинки, имеющей толщину А, характери-
зуется углом у между горизонтальной осью и нормалью к поверх-
ности пластинки. Падающий на пластинку луч составляет угол а
с горизонталью (на рис. 85 и 86 рассмотрены два луча: I для
а = 0 и II для а = Угол падения луча —Z, угол прелом-
ления —г (ilt гг — на первой поверхности, Z2, г2 — на второй).
При отсутствии пластинки луч, падающий под углом а, пе-
ресекается с лучом, падающим под углом а = 0, в точке О, а при
наличии пластинки — в точке А. Для выполнения дальнейших
расчетов опустим из точки О перпендикуляр ОС на поверхность
пластинки, продлив его до пересечения с преломленными лучами
в точках Е и Ео, и перпендикуляр OG на направление прелом-
ленного луча, падающего на пластинку под углом а к горизон-
тали. Введем обозначения OG — I и ОЕ — s. Обозначим также
ag — bd = OG = Z; ae = OE — s.
Законы геометрической оптики позволяют получить следу-
ющие соотношения:
sin ij/sin rx = n; sin Z2/sin r2 = \!n.
Так как Z2 = rlt to sin r2 = sin if, r2 = ilt следовательно, луч
преломленный параллелен лучу падающему.
Найдем величину смещения I преломленного луча относи-
тельно падающего (за начало отсчета отрезка I примем точку О)
I = OG = bd = ab sin (Zx — гг) == ab (sin Zx cos rx — sin rx cos i1)t
так как
cos rx = У1 — sin2 rx = ]/1 — sin2 Zx/n2 ,
TO
l = ab [sin Zx У1 —- sin2 Zx/n2 — (sin Zx/n) У1 —- sin2 Zx ] =
= ab (sin Zj/n) (У n2 — sin2 Zx — У1 — sin2 Zx).
Поскольку
, ас & Ал
ab =------= — ---------,
COS 1 — Sjn2 i^n2 [d n2 — Sjn2 ti
имеем
i л - • i i 1 / 1 — sin2 ti \
I == A sin i, 11 — I/ —s-^-=4- ,
1 \ r n2— sin2 /
но Zx = a — у, тогда
/ = Д sin (a - 7) i 1 -
4 •' L r n2—sin2 (a — y)
Если a = 0, to
i = 1„ = _ д sm v i 1 - Т/ ‘2-sin?k
' \ r n2 — sin2?/ ’
106
т. е. при положительных значениях угла у отрезок 1п имеет отри-
цательную величину, что соответствует случаю, когда прелом-
ленный луч проходит ниже падающего.
Проекции отрезка / на оси координат равны соответственно
xz = 111 sin a; yt = 111 cos а.
Величину смещения луча s вдоль перпендикуляра к поверх-
ности пластинки можно найти из &OGE, откуда имеем
s= 1 =______I_____= Д fl _ 1/ !-sln2>i\
sin »\ sin (а — у) \ г п2—sin2 »\ /
= Д (1 — cos fl = Д fl — cos — т) \
\ V п2—sin2»! / \ V п2—sin2 (а — у) /
Аналогичное выражение для s может быть найдено другим путем. Действи-
тельно, из рис. 85 имеем:
s = ОЕ — ае = ас — се; ас — се — cb ctg »i;
cb - ас tg гj = A tg rlt
тогда
s= Д (1 — tgfi/tgG).
Так как sin ij/sin rx — и, можно найти
л Л т/ 1 — sin21. \ А /. cost, \
s = Д 1 — I/ —з--------= Д1---------------7-- 1-— =
\ у п2—sin2»!/ /п2—sin2»! /
= Д (1 — cos — V)
\ /и2—sin2 (а — у)/
Следовательно, при изменении угла падения луча на пла-
стинку 1\, которое может быть связано либо с поворотом пла-
стинки на угол у, либо с изменением угла а, точка пересечения
преломленного луча с перпендикуляром к поверхности пла-
стинки, опущенным из точки £0, в которой происходит пересе-
чение лучей при отсутствии пластинки, перемещается, занимая
последовательно положения в промежутке между точкой О и
точкой Ео.
Проекции s на оси координат равны
xs = s cos у; ys = s sin у.
При осуществлении сканирования плоскопараллельной пла-
стинкой (призмой), установленной в сходящемся пучке света за
объективом, формирование изображения точки производится лу-
чами, образующими друг с другом угол и = 2 |а|. Координаты
точки пересечения таких лучей после преломления их пластин-
кой, расположенной под углом у, зависят от углов и и у.
Найдем координаты х (и, у) и у (и, у) точки А (и, у) пере-
сечения лучей, образующих с горизонталью углы и между
108
обой угол и = 2 |а |, после преломления их пластинкой, пер-
пендикуляр к которой составляет угол у с горизонтальной осью.
При этом будем иметь в виду следующие обозначения (рис. 87).
О___точка пересечения лучей при отсутствии пластинки
«изображение точки на оси, создаваемое идеальным объективом
при отсутствии пластинки), совпадающая с началом координат.
Рис. 87. Поле точек пересечения лучей, преломленных пластинкой
для двух положений нормали к е? поверхности Л\ и N2
Е (а, у) — точка пересечения луча, образующего угол а
с горизонталью, после преломления его пластинкой, расположен-
ной под углом у, с перпендикуляром к поверхности пластинки,
опущенным на нее из начала координат — точки О.
s (а, -у) — расстояние от начала координат до точки пересе-
чения преломленных лучей, падающих под углом ос, с перпенди-
куляром к пластинке, опущенным на нее из начала координат —
точки О.
xs (ос, у); ys (ос, у) — координаты точки пересечения прелом-
ленных лучей с перпендикуляром к поверхности пластинки.
(а, у) — величина смещения преломленного луча относи-
тельно падающего, отсчитанная вдоль перпендикуляра к этим
109
лучам. Если преломленный луч проходит выше падающего, т0
I > 0, если ниже — I < 0.
xi (a> у); У1 (а» у) — координаты точки пересечения перпен-
дикуляра, опущенного из начала координат на направление пре-
ломленного луча, с этим лучом.
Имея в виду эти обозначения и ранее полученные формулы,
можно найти, что расстояния от начала координат О до точек
пересечения лучей, образующих с горизонталью угла ±а, с пер-
пендикуляром к пластинке [точки Е (-[-а, у) и Е (—а, у)], равны:
/I \ л Г1 cos (I I — у)
s (+ а, у) = s+ = А 1-------——!— ------1 •
Vri’~ — sin2 (| a | — у)
s (— а, у) = s_ = А 1 —
cos (| а | ф- у)
Кп2 — sin 2 (( а | ф- У)
As (и, у) = s_ — s.
Найдем величину разности s_—s+, имея в виду, что |а| = «/2,
= А Г cos (ы/2 + —
[ Кп2 — sin2 (u/2 4- у)
cos (u/2 — у) I
j/n2 — sin2 (u/2 — у) J
Полагая n2 > sin2 (u/2 ± у), можно найти
As(w, у) =
Д Г / w . \ f и \ 1
—[ cos (T + у) - cos( -y - j =
2Л . и .
---Sin Sin V,
n 2 •
Следовательно, для y> 0 As< 0, т. e. OE (ф-a, -by) < OE (—a,
ф-у); для у < 0 As > 0, т. e. OE (ф-a, ф-у) > OE (—a, ф-у).
На рис. 87 изображено поле точек пересечения лучей, прелом-
ленных пластинкой.
Кроме того, для параксиальных лучей, когда a — > 0 и и —♦ 0,
имеем:
s (0, у) = А [1 — cos у/]/*п2 — sin2 у];
As (0, у) = 0.
Если п2 > sin2 у, то s (0, у) = А (1 — cos у!п). Так как для
у — 0
S(«,O) = S(+a,O)=sf-a, 0) = АГ1 — ,/<°S J.
|_ V и2 — sin2 (w/2) J
а для параксиальных лучей s (0, 0) = А (1 — 1/п), то
s (0, у) — s (0, 0) = (А/n) (1 — cos у) > 0,
следовательно, ОЕ (0, у) > ОЕ (0, 0), что видно на рис. 87.
Поле точек пересечения лучей, преломленных пластинкой,
относительно оси Ох (рис. 87) имеет симметрию, поэтому упро-
стим обозначения и выполним расчет соответствующих коорди-
нат на основании рис. 88.
110
Можно найти:
X = xs + Ах; у = у& + А*/>
г х&=ОЕ+ cos у == s+ cos у; ys = ОЕ+ sin у = s+ sin у;
Ax = АЕ+ cos a; Ay = АЕ+ sin а.
д АЕ+Е_ имеем
АЕ+ Е+Е_ _ Е+Е_
sin(a + y) sin (180°— 2а) sin 2а ’
но Е+Е_ = ОЕ_ — ОЕ+ = s_ — s+ = As, т. е.
АЕ+ = [sin (а + y)/sin 2а] As.
Тогда
Ах = [sin (а 4- у)/(2 sin а)1 As;
Ay — [sin (а + у)/(2 cos а)] As.
Следовательно,
х = xs + Ах = s+ cos у + Isin (а у)/(2 sin а) ] As;
у = ys 4- Ay = s+ sin у 4- [sin (a 4 - y)/(2 cos a)] As.
Подставляя значения s, As и преобразуя, найдем:
х _______________1______Г sin2 (tz/2 4- у) sin2(u/2 —у) 1.
Л V 4 sin (м/2) [ /П2_ Sin2 («/2 4- У) Kn2 — sin2 (ы/2 —у)] ’
_у_ __ sin_______1 Г sin2 (u/2 4- у)_________sin2(t//2 —у) 1
Д ‘ Т 4cos(«/2) [ /п2— sin2(w/2 4-y) /п2 — sin2 (п/2 — y)J
Для параксиальных лучей имеем
х0 .. / х \ <. 1 Г sin2(w/24-у)
Д к_>о \ д / а->о 4 sin (u/2) [ jAnz—sin2 (u/2 4-у)
sin2 (u/2 —у)__1
1 ]An2—sin2 («/2—y) ]
Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получим
ко _ _ п2 cos 2у 4- sinу
Д (п2 — sin2y)3/2
Вторая координата
—
Д
lim
а->о
X \ . / cosy
— ) = Sin у 1 _ —/ "
Д / \ п2— sin2 у
Нетрудно убедиться, что х0 = , и если зависимость коор-
динаты yQ от угла поворота пластинки линейна, то для неболь-
ших значений углов а х0 = const и в процессе сканирования рас-
фокусировки не возникает.
111
У
Рис. 88. Координаты точек пересечения лу-
чей, преломленных пластинкой
Полученные формулы показывают, что координаты изобра-
жения излучающей точки х, у зависят от угла поворота пла-
стинки у, от ее толщины А, показателя преломления п, а также
от угла раствора лучей, падающих на пластинку. Последнее
обстоятельство говорит о том, что гомоцентрический пучок лу-
чей, образующий на вход-
ной грани пластинки раз-
личные углы падения, пос-
ле выхода из пластинки
становится негомоцентри-
ческим.
По этим формулам бы-
ли выполнены расчеты для
параксиальных лучей при
различных показателях
преломления материала,
из которого сделана пла-
стинка. В частности, рас-
смотрены следующие мате-
риалы: флюорит CaF2 (п=
= 1,434), бескислородное
стекло ИКС-23 (п=2,427),
кремний Si (и = 3,422) и
германий Ge (п = 4,015). Результаты расчета представлены
в виде графиков на рис. 89 и 90.
Из графиков следует, что линейность сканирования улуч-
шается с ростом показателя преломления материала. К этому
нужно добавить, что при
использовании в качестве Таблица 1
материала германия хро-
матизм, вносимый плас-
тинкой, пренебрежимо мал,
так как дисперсия герма-
ния мала.
Основными аберрация-
ми, вносимыми вращаю-
щейся пластинкой, явля-
ются сферическая аберра-
ция и кома. Эти аберра-
ции могут быть значитель-
но уменьшены специальным
Зависимость аберраций от угла поворота
пластинки
Материал Толщина Д. мм 1 Диаметр кружка рассеяния, мм
у=0 V =30° V = 45°
ИКС-23 34,3 0,19 1,4 2,3
Si 30,4 0,085 0.5 1.6-,
Ge 29,38 0,05 0,42 0,95
расчетом сложной оптической систе-
мы, включающей, помимо зеркал, несколько линзовых элементов.
Зависимость нескомпенсированных аберраций от угла пово-
рота пластинки и ее материала, по данным Н. И. Куликовской,
приведена в табл. 1 (числовая апертура объектива 0,3).
Если в качестве пластинки используется N-гранная призма,
то при повороте ее на 360° осуществляется сканирование N строк.
Одна строка сканируется при повороте призмы на угол угр =
112
3607/V. При этом количество энергии, приходящей в изоб-
ражение заданной точки, изменяется за счет изменения величины
потерь на отражение и поглощение, а на краю поля, когда углы
призмы совпадают с осью объектива, энергия не превышает 50%
Рис. 89. Относительное смещение па-
раксиальных лучей плоскопараллель-
ной пластинкой
Рис. 90. Относительная расфокуси-
ровка изображения для параксиаль-
ных лучей, преломленных плоско-
параллельной пластинкой
от максимального значения. Поэтому рабочий угол поворота
призмы, соответствующий сканированию одной строки ус, всегда
меньше, чем -у1р, так что
Тс = ЛТгр,
где т] — коэффициент использования грани призмы. Зная ус
и п, по графикам (рис. 89) можно найти #/Л, т. е. при заданных
размерах призмы Л и фокусном расстоянии объектива f — поле
обзора <р = 2 arctg y/f.
§ 2. ПРИМЕРЫ СКАНИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ—
ТЕПЛОВИЗОРЫ ФИРМЫ АГА
Сканирующая система, в которой используются законы пре-
ломления света во вращающейся призме, применена в шведском
тепловизоре «АГА Термовижн» фирмы АГА.
Тепловизор предназначен для получения изображения слабо-
агретых объектов и имеет следующие характеристики: 1) поле
озора 5 х 5° (1 х 1 м на дистанции 10 м) для модели 661 или
113
10 X 10° для модели 680; 2) оптическое разрешение 100 элемен-
тов в строке (3 ) для модели 661 и 4,4 для модели 680; 3) число
строк в кадре 100; 4) частота кадров 16 Гц; 5) пороговая чув-
ствительность обеспечивает возможность различать два абсо-
лютно черных тела, находящихся при комнатной температуре,
если разность их температур составляет 0,2 С (АТ = 0,2° Q
на уровне 20° С); 6) динамический диапазон изменяется от раз-
ности температур 1 С до раз-
ности температур 200е С (от
уровня черного до уровня бело-
го); 7) диапазон регистрируе-
мых температур объектов от
—30 до 4-20° С.
Тепловизор «АГА Термо-
вижн» был разработан по зада-
нию военного ведомства, но на-
шел также применение во мно-
гих областях промышленности
и медицины: для проверки те-
плового режима электросетей,
обнаружения областей перегре-
ва в электронном оборудовании,
для наружного осмотра строя-
щихся зданий с целью проверки
теплоизоляции и обнаружения
мест утечки тепла, диагностики
раковых и сосудистых заболе-
ваний, определения положения
плаценты при беременности и
т. д.
г, ш 'г «гл т Тепловизор модели 661 со-
Рис. 91. Тепловизор «АГА Термо- г
вижн» модели 661 стоит из ДВУХ основных блоков,
оптической головки (17 кг),
устанавливаемой на треноге, и индикатора (20 кг) (рис. 91). Мо-
дель 680 имеет более современное конструктивное оформление
(рис. 92).
Оптическая головка обеспечивает сканирование ноля обзора
в пространстве изображений и фокусировку ИК-излучения ка-
ждого элемента поля на одноэлементный приемник, который
преобразует его в электрический сигнал.
Сигнал приемника излучения усиливается и модулирует по
яркости луч электроннолучевой трубки. Развертка луча на эк-
ране индикатора осуществляется синхронно со сканированием;
яркость изображения соответствует энергетической яркости объ-
ектов наблюдения и окружающего их фона.
Рассмотрим структурную схему тепловизора (рис. 93). В со-
став оптической головки прибора входит оптическая система,
охлаждаемый приемник излучения, предусилитель, система син-
114
Рис. 92. Тепловизор «АГА Тсрмовижн» моде-
ли 680
датчиков и электромеханические системы сканирования и
^кусировки. Входное окно оптической системы, защищающее
от воздействия внешней среды, изготовляется из прозрачной
ее ИК-излучению синтетической пленки 13. Основной объектив
Этической системы состоит из большого сферическою зеркала 1
° малого плоского зеркала 2. Диаметр большого зеркала объек-
тива "равен 195 мм, малого — 71,4 мм, фокусное расстояние боль-
шого зеркала 350 мм, раз-
мер пятна рассеяния в пло-
скости Гаусса — 2 мм (в
кружке диаметром 1,5 мм
сосредоточено 80% энер-
гии), размер кружка на-
именьшего рассеяния —
0,5 мм (плоскость кружка
наименьшего рассеяния
смещена относительно га-
уссовой плоскости на
0,5 мм).
Плоское зеркало коле-
блется относительно гори-
зонтальной оси 3 (перпен-
дикулярна к плоскости
чертежа) с частотой 16 Гц,
обеспечивая обзор про-
странства со скоростью
16 кадр./с при времени об-
ратного хода, составляю-
щем 12%. Колебательное
(пилообразное) перемеще-
ние зеркала осуществляет -
ся при помощи двух про-
тивоположно действующих
соосных кулачков 4, воз-
действующих на круглые роликовые подшипники 5, смонтирован-
ные на верхнем и нижнем концах колеблющегося плоского зер-
кала. Кулачки вращаются мотором кадровой развертки Д4/(.
Угол поворота плоского зеркала равен 5° (—2,5 ), что обеспе-
чивает отклонение сканирующего луча на 5°. Действительно,
если колеблющееся зеркало установлено на расстоянии F/2
°т плоскости изображения (рис. 94), то при повороте зеркала
на угол у, соответствующий луч отклоняется па 2у, т. е. изоб-
ражение смещается на величину Д = (F/2) 2-у = Fy, следова-
тельно, угол отклонения сканирующего луча <р = Д/F = FylF = у.
В центре поля обзора кружок рассеяния оптической системы
Определяется сферическими аберрациями и его наименьший диа-
МетР равен 0,5 мм. Для точек вне оси добавляются такие абер-
РаНии, как кома, кривизна поля, астигматизм и дисторсия,
115
Рис. 93. Структурная схема тепловизора «АГА Термовижн:
оторые увеличивают кружок иа краю поля обзора в плоскости
наилучшей установки до 1,6 мм.
1 сканирование в плоскости, перпендикулярной направлению
сканирования плоского зеркала (по строкам), осуществляется
вращением многогранной приз-
му 6. Обычно используется че-
тырехгранная призма из герма-
ния или кремния, вращающаяся
со скоростью 200 об/с мотором
строчной развертки МС. За
каждый оборот призмы скани-
руется четыре строки, что обе-
спечивает скорость обзора
1600 строк/с (так как в кадре
100 строк, то скорость обзора
равна 16 кадр./с).
В результате вносимых приз-
мой дополнительных аберраций
кружок рассеяния увеличивает-
ся до 2 мм (в плоскости па-
илу чшей резкости). Копструк-
тивно призме придается по-
душкообразная форма за счет снятия восьми углов, не имеющих
значения для хода лучей. Рабочие поверхности призмы просвет-
ляются окисью кремния для обеспечения максимального пропу-
^Ис. 95 Тепловая фотография груди
(норма)
Рис. 94. Отклонение сканирующего
луча при повороте плоского зеркала,
установленного в сходящемся пучке
скания в спектральном диа-
пазоне от 2,0 до 5,4 мкм.
Изображение элемента по-
ля обзора формируется оп-
тической системой в плоско-
сти диафрагмы 7. Излучение,
проходящее сквозь отверстие
диафрагмы, передается лин-
зами 8, 9 и плоским зерка-
лом 10 на чувствительную
площадку приемника 11, за-
крытого охлаждаемой диа-
фрагмой 12, имеющей отвер-
стие диаметром 0,5 мм.
Приемник излучения пред-
ставляет собой охлаждаемый
жидким азотом фоторезистор
на основе антимонида индия
(InSb). Сопротивление его
равно 50 кОм. Сосуд Дюара
14, заливаемый жидким азо-
том до уровня, находящегося
на расстоянии 5 мм от верх-
117
Рис. 96. Тепловые
фотографии, пока-
зывающие провесе
кровообращения до
(и) и после (б) куре-
ния одной сигареты
(температура в ми-
зинце понизилась
более чем на 3° С)
Рис. 97. Рак пра-
вой молочной же-
лезы
Рис. 98. Тепловая фотогра-
фия ног человека (травмати-
ческий артрит левого колен-
ного сустава)
118
й кромки, обеспечивает время, в течение которого происходит
полное испарение азота около 6 ч.
П Сигнал, вырабатываемый приемником излучения, усиливается
ппедусилителем ПУ, усилителем Ус и воздействует на модули-
пуюший электрод электроннолучевой трубки ЭЛТ индикатора.
РУ развертка луча индикатора по строкам и кадру осуществляется
генераторами строчной ГС и кадровой ГК. разверток, которые
синхронизируются датчиками сигналов синхронизации строк ДС
и кадров ДК- Последние формируют сигналы синхронизации
с помощью фотодиодов, освещаемых светом, прерываемым моду-
лирующими дисками синхронно с вращением призмы и колеба-
ниями плоского зеркала.
На рис. 95 и 96 приведены тепловые фотографии, полученные
с помощью тепловизора «АГА Термовижн». Для сравнения на
рис. 97 и 98 приведены тепловые фотографии, полученные тепло-
визором «Рубин» (СССР), внешний вид которого представлен
па рис. 46, а описание дано в § 1.7 (гл. 4).
Г лава 6
СКАНИРОВАНИЕ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ОБЪЕКТИВАМИ
И ОПТИЧЕСКИМИ КЛИНЬЯМИ.
ЭКРАНИРУЮЩИЕ СИСТЕМЫ
И СИСТЕМЫ С ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ОПТИЧЕСКИМИ
СВОЙСТВАМИ
§ 1. СКАНИРОВАНИЕ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ОБЪЕКТИВАМИ
Принцип построчного сканирования вращающимися объек-
тивами рассмотрим по схеме, представленной на рис. 99. Три
объектива — сферические зеркала — размещены на вращающемся
основании, в центре которого установлен неподвижный прием-
ник излучения. Всякий раз используется объектив, находящийся
над отверстием в корпусе прибора (на рис. 99 объектив Обх).
В положениях I и III объектив воспринимает излучение источ-
ников, находящихся на краях поля обзора, в положении II —
в центре поля обзора. На смену объективу Обг приходит объек-
тив 0б2 и т. д. Сканирование по кадру осуществляется за счет
Движения всей системы вдоль оси, перпендикулярной плоскости
Рисунка.
Коэффициент заполнения канала усиления сигналами, при-
водящими от источников, находящихся в поле обзора, может
оьтть доведен до единицы.
Система с вращающимися объективами имеет следующие не-
достатки.
119
1. Приемник излучения воспринимает сигналы, приходящие
не только от источников, расположенных в поле обзора, но и
от всего окружающего прибор фона, так как объективы всегда
направляют падающее на них излучение на приемник, незави-
симо от того, приходит это излучение от наблюдаемых источни-
ков или корпуса прибора.
2. Излучение, приходящее от наблюдаемых источников, падает
на чувствительную площадку приемника под различными углами
Рис. 99. Сканирование вращающимися объективами
в зависимости от положения источника в поле обзора. В связи
с тем, что чувствительность приемника зависит от угла падения
излучения, один и тот же объект может вызывать разный сигнал
при перемещении его по полю обзора.
3. Конструкция оптической головки прибора с вращающи-
мися объективами получается достаточно сложной и громоздкой.
Форма растра, образованного в плоскости наблюдения, при
сканировании вращающимися объективами в системе с много-
элементным приемником излучения напоминает форму растра,
создаваемого вращающейся призмой. Однако вследствие того,
что в данном случае плоскость приемной площадки всегда парал-
лельна плоскости наблюдения, формулы для вычисления раз-
меров линейного поля зрения имеют несколько иной вид.
120
Действительно, по-прежнему при угле визирования <р/2 можно
найти:
ах == Hbx sec2 ;
ау-=- H^ysec-—,
но величина мгновенного поля зрения изменяется по полю об-
зора (рис. 100):
6х= 60xCos-^-; by = 60i/.
йл
Здесь = x/F; bOy = y/F, где x, у — линейные размеры чув-
ствительной площадки приемника излучения (диафрагмы поля);
р___фокусное расстояние
объектива.
Следовательно,
ах = #60xcos sec2 =
= 7/60%sec-|-;
ау = НЬйу sec •
С помощью вращающегося
объектива можно обеспечить
сканирование по спиральной
и розеточной траекториям.
Рассмотрим в качестве
примера такого способа ска-
нирования принципиальное
устройство самолетного те-
плопелеигатора «Киль-4»,
разработанного в Германии
во время второй мировой
войны.
Теплопеленгатор «Киль-4»
предназначен для обнаруже-
ния ночью самолета по тепло-
вому излучению двигателя.
Он устанавливался на самолетах-истребителях и обеспечивал обна-
ружение двухмоторного бомбардировщика на дистанциях, превы-
шающих 3 км. Поле обзора теплопеленгатора = 20° сканируется
мгновенным полем зрения 6 = 1° за 0,5 с. Принципиальная схема
прибора приведена на рис. 101. Параболическое зеркало — объек-
тив Об (диаметр 230 мм, фокус 150 мм, шейка каустики 1 мм) —
закреплено на вращающемся со скоростью 15 с-1 валике так,
ЧТО его главная ось составляет угол Vi = 5° с валиком. Валик,
Рис. 100. Изменение мгновенного поля
зрения при сканировании вращающимися
объективами
121
на котором закреплено зеркало, имеет наклон к продольной оси
прибора, равный у — 5°, и вращается вокруг этой оси со скоро,
стью 2 с-1.
Сложение двух движений заставляет оптическую ось зеркала
описывать в пространстве розеточную траекторию с общей точ-
Рис. 101. Самолетный теплопеленгатор: а — принципиальная
схема; б — траектория сканирования; в — генератор опорных на-
пряжений (синусно-косинусный потенциометр)
кой пересечения на продольной оси прибора. В этой точке поме-
щен чувствительный слой (3X3 мм2) фоторезистора из серни-
стого свинца, закрытого фильтром и охлаждаемого до темпера-
туры —78° С твердой углекислотой (спектральный диапазон
1,5—3,5 мкм). При появлении цели в поле зрения прибора 6
= (3/150) 57,3 1° ее излучение падает на приемник, который
вырабатывает импульсы напряжения, усиливаемые усилителем Ус
и воздействующие на управляющий электрод электроннолуче-
122
ого индикатора, в результате чего на экране индикатора высве-
Вцвается точечное изображение цели (число импульсов сигнала
пои положении цели в центре поля обзора —17 имп./с, на краю
имп./с, длительность импульсов около 2,5 мс).
Электронный луч индикатора перемещается синхронно с дви-
жением оптической оси прибора благодаря сигналам генераторов
опорных напряжений ГОН у и ГОН2. Последние представляют
собой синусно-косинусные потенциометрические датчики, выра-
батывающие напряжения: ГОНу — и sin (Oj/, и cos со 4; ГОН2 —
tzcos(o2f. Напряжения складываются в блоке гене-
ратора разверток ГР и подаются на отклоняющие пластины
электроннолучевой трубки индикатора в виде:
иу — и (sin (£>yt -}- sin со2/);
Ux = и (cos СО]/ 4- cos со20-
Под воздействием этих напряжений луч индикатора следует
за движением оптической оси прибора и положение светящейся
точки на экране индикатора соответствует положению цели
в поле обзора.
§ 2. СКАНИРОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИМИ КЛИНЬЯМИ
Известно, что изготовленная из прозрачного материала призма
с углом ст при вершине отклоняет луч света к основанию, так что
справедливы следующие соотношения (рис. 102):
sin i/sin г Иг = п,
где i — угол падения; г — угол преломления; п — показатель
преломления материала, следовательно, iy/ry = и; t2/r2 =
Рис. 102. Отклонение луча призмой и клипом
Так как при преломлении на первой поверхности луч откло-
нится на угол — г у, а на второй — на угол г2 — t2, то полный
угол отклонения будет
„<р = iy — Гу 4- А — /2 — (п — 1) (г 1 4~ Ч)-
Из A abc следует
о 4- Z. Ьас 4- / Ьса — л.
123
Так как / bac — л/2 — rt; / bca = л/2 — i2, то о == r1 _ j
и, следовательно, q = о (ti — 1).
Очевидно, что аналогичное соотношение справедливо дЛя
оптического клина с углом при вершине о.
Если клин вращать вокруг направления падающих на него
лучей, то выходящий луч движется по образующей прямого
кругового конуса с углом при вершине
2<р = 2а (п — 1).
Если по ходу лучей, прошедших через один клин, установить
точно такой же второй (рис. 103), то пара клиньев отклоняет
Рис. 103. Сканирование парой клиньев
луч так же, как некоторый эквивалентный клин с углом при
вершине
оэкв = 2о cos (у/2),
где у — угол между направлениями, характеризующими ориен-
тацию вершины каждого клина.
Следовательно, суммарный угол отклонения лучей будет
<Р2 = оэкв {п — 1) = 2о (п — 1) cos (у 12) = <pmax cos (у 12),
где <pmax = 2а (п — 1).
Если пару клиньев вращать в различных направлениях с оди-
наковой скоростью, то сканирующий луч движется вдоль бис-
сектрисы угла у, т. е. вдоль прямой, различным образом ориен-
тированной на плоскости в зависимости от начальной установки
клиньев.
Для начальной установки, соответствующей углу 180 \ когда
пара клиньев эквивалентна плоскопараллельной пластинке, вели-
чину суммарного отклонения луча можно выразить через угол
поворота каждого клина от начального положения (угол р на
рис. 103). Так как у = 180э — 2р, то
<Р2 Тпш cos (у/2) = <ргоах cos (90° - Р) = <ргоах sin р.
124
Соответствующая зависимость представлена на рис. 104. От-
}х гонение ее от линейного закона выражается следующим образом:
Дф2 == ФтахР - Фшах Sin|3 фП1ах (₽ - ₽ + Р3/3 ! - рб/5 Н-)
~ (фтахР3/6) (1 - PW
Для Р 1
Афх/фтах Р3/6-
Если пару клиньев вращать в одном направлении с одинако-
вой скоростью, то сканирующий луч движется по окружности.
угловой диаметр которой определяется начальной установкой
клиньев
Если клинья вращать в одном направлении с разными скоро-
стями, то сканирующий луч движется по спирали, шаг которой
определяется разностью скоростей вращения клиньев. При опре-
деленном соотношении скоростей и направлений вращения клиньев
могут быть получены также розеточные траектории сканирования.
Дополнительное совместное вращение пары клиньев позволяет
получить различные характеристики заполнения поля обзора
линиями сканирования.
Обычно клинья устанавливаются перед объективом, но иногда
удается использовать их для сканирования в слабо сходящихся
лучках.
Основным недостатком сканирующих систем на оптических
клиньях является наличие значительных аберраций в основном
а счет хроматизма даже при небольших углах обзора.
Оптическая схема расположения сканирующих клиньев, объ-
ектипя г, »
и чувствительной площадки приемника излучения при-
ведена на рис. 105.
Одним из существенных преимуществ оптических клиньев по
сравнению с другими сканирующими системами является наличие
125
«оптической редукции» между углом поворота клина и углом
отклонения оптической оси прибора. Действительно, для пары
клиньев, осуществляющих движение сканирующего луча ц0
Клинья Об
Рис. 105. Оптическая схема оптико-элек-
тропиого прибора со сканирующими
клиньями
прямой, максимальное значе-
ние угла поворота каждого
клина, при котором отклоне-
ние от линейного закона не
превышает 10%,
₽ = Г 6 Афишах =
= {/Д6 = 0,843 50°.
Максимальный угол отклонения оптической оси при о =7°; п = 1,4
«Ртах =2а (П-1) = 14-0,4 =5,6°,
оптическая редукция
т. е. ошибка в угле отклонения оптической оси в Г соответствует
ошибке в угле поворота клиньев 9'.
§ 3. СКАНИРОВАНИЕ ОТВЕРСТИЕМ
В НЕПРОЗРАЧНОМ ЭКРАНЕ, ДВИЖУЩЕМСЯ
В ПЛОСКОСТИ ИЗОБРАЖЕНИЯ
Наиболее простым способом, реализующим сканирование в про-
странстве изображений, является сканирование отверстием в не-
прозрачном экране, перемещающемся по заданному закону, в пло-
скости изображения, создаваемого широкоугольным объективом.
В процессе этого перемещения последовательно открывается
доступ для излучений отдельных участков анализируемого поля
на приемник, установленный за отверстием.
Сигнал, вырабатываемый приемником излучения, в каждый
момент пропорционален величине потока излучения, проходящего
в этот момент через отверстие. Следовательно, такая система
сканирования является системой мгновенного действия.
Поскольку излучение большей части поля не имеет доступа
к приемнику благодаря наличию непрозрачного экрана, системы
сканирования подобного типа называются также экранирую-
щими.
Классическим примером осуществления принципа сканиро-
вания отверстием в непрозрачном экране является система меха-
нического телевидения с диском Нипкова.
Принцип действия этой системы сводится к следующему
(рис. 106). В плоскости изображения, создаваемого объекти-
вом Об, установлена диафрагма поля ДП и непрозрачный диск
.126
с отверстием Д. Излучение, проходящее через отверстия диска,
падает на приемник излучения Пр либо непосредственно
(рис. 106, а), либо собирается на чувствительной площадке при-
емника с помощью конденсатора Л, проецирующего на приемник
входной зрачок объектива (рис. 106, б).
Отверстия в диске Д расположены таким образом, что изобра-
жение, ограниченное диафрагмой поля ДП, последовательно
анализируется по строкам так, что когда одно отверстие выходит
за пределы окна диафрагмы, другое — входит в окно, прочер-
чивая следующую строку (рис. 106, в).
Расчет числа отверстий и их расположения на сканирующем
диске не представляет затруднений. Большего внимания заслу-
живает сравнение схем, представленных на рис. 106, а, б.
Размер чувствительной площадки приемника излучения
(рис. 106, а) определяется полем обзора, фокусным расстоянием
и относительным отверстием объектива. В большинстве случаев,
Когда приемник излучения расположен в непосредственной бли-
зости к плоскости изображения, можно найти его размер из про-
стого соотношения
Znp « 2F tg (<р/2) Ftp.
Отсюда следует, что приходится 7 использовать приемник
С большим чувствительным слоем, даже при не очень больших
127
полях обзора. Например, при ср — 0,2; F = 100 мм имеем I _
= 20 мм.
Поскольку порог чувствительности приемника излучения прямо
пропорционален корню квадратному из его площади или линей-
ному размеру /пр, то в системе, где используется приемник боль-
шого размера, трудно ожидать получения хороших характе-
ристик.
Следует также иметь в виду, что чувствительность приемников
излучения непостоянна по поверхности приемной площадки.
Рис 107. Оптическая схема с конденсором и иммерсионный
приемник
Исследования распределения чувствительности показывают нали-
чие в пределах приемной площадки отдельных зон, чувствитель-
ность которых составляет 10—20% от максимального значения.
Неравномерность распределения чувствительности приемника по
поверхности может вызвать нежелательные эффекты резкого
изменения сигнала, вырабатываемого приемником, при различ-
ных положениях объекта наблюдения в поле обзора.
Для того чтобы избежать этого явления, в оптической системе
применяют конденсор (К на рис. 106, б), проецирующий на
приемник входной зрачок объектива.
Применение конденсатора позволяет также вынести приемник
из плоскости изображения, что часто бывает желательно, напри-
мер для помещения в эту плоскость анализирующего растра.
Выбор основных параметров системы с конденсатором должен
осуществляться с учетом условия синусов, в соответствии с которым
произведение из показателя преломления среды, длины отрезка
прямой, перпендикулярной оси симметрии световой трубки, и
синуса угла, образуемого с этой осью каким-нибудь лучом, вы-
ходящим из точки пересечения отрезка с осью, является инва-
риантом. Применение условия синусов к схеме с конденсором
(рис. 107) позволяет записать следующее равенство:
d sin (<р/2) = и2/об sin ио6 = н/пр sin нпр,
128
апертурный угол
(конденсора)
и п 3__показатели преломления сред, где расположен
^очник излучения и его изображение; п — показатель прелом-
ши среды, где расположен приемник излучения; d — диаметр
^одного зрачка объектива; /об — линейное поле обзора объек-
В в плоскости изображения (размер отверстия диафра) мы
Vonn)- q — Угол поля об^°Ра’> иоб — задний
объектива; Щ1Р — апертурный угол приемника
Из условия синусов следует
/пр = nLd sin (<р/2)/(л sin нпр).
Если то /пр = dcp/(2n sin «пр), так как
относительное отверстие объек-
тива, то
/ир Eq б/(2п sin ипр).
= F0, где б —
d
Рис. 108. Система механического те-
левидения с конденсорными линзами,
установленными в каждом отверстии
диска Нипкова
Очевидно, что существенное
улучшение энергетических ха-
рактеристик системы (уменьше-
ние размеров приемника излу-
чения при неизменном диаметре
и относительном отверстии
объектива) можно получить
только при п > 1. В этом слу-
чае приемник излучения монти-
руется непосредственно на кон-
денсорной линзе так, что между
приемником и линзой сущест-
вует хороший оптический кон-
такт. Такой приемник излучения называют иммерсионным (рис. 107).
Улучшение энергетических характеристик системы, в которой
осуществляется сканирование отверстием в непрозрачном экране,
может быть достигнуто также путем некоторого изменения опти-
ческой схемы, приведенной на рис. 106, за счет включения в нее
дополнительных конденсорных линз, размещенных в каждом
отверстии диска (рис. 108). В этом случае каждый конденсор
должен изображать на приемнике входной зрачок объектива не
Для всего поля обзора <р, а лишь для мгновенного поля зрения 6.
Ааким образом линейный размер приемника излучения может
быть уменьшен в дэ/6 раз. Такая система была предложена
Е. Моричевым. Недостатком ее является большое число кон-
Депсорпых линз, которые должны быть достаточно точно изго-
товлены и отъюстированы.
Оптическая схема подобного типа была применена в тепло-
ВИзоРе «Янтарь» (СССР), имеющем следующие основные харак-
еРистики: поле обзора ср = 5 X 4°, мгновенное поле зрения ~5',
частота кадров 25 кадр./с, минимальная разность температур,
5
М. М. Мирошников
129
ном экране был использован
Рис. 109. Тепловизор «Янтарь»
обнаруживаемая тепловизором, 0,2—0,3° С. В приборе исполь-
зуется 45 кондепсорных линз, изготовленных из стекла ИКС-23.
Приемник излучения — фоторезистор из антимонида индия, охла-
ждаемый жидким азотом с размерами чувствительных площа-
док 0,6 X 0,6 мм2. Запись теплового изображения осуществляется
путем фотографирования с экрана электроннолучевой трубки.
Внешний вид тепловизора представлен на рис. 109.
Оригинальный метод сканирования отверстием в непрозрач-
но время второй мировой войны
в зенитном теплопеленгаторе
фирмы «Элак» (Германия).
Принципиальная схема это-
го теплопеленгатора представ-
лена на рис. НО. Зеркало Об
диаметром 1500 мм, имеющее
фокусное расстояние 640 мм,
создавало изображение точечной
теплоизлучающей цели (самоле-
та) в плоскости непрозрачной
диафрагмы Д с вырезом, вра-
щаемой мотором М. 2 с частотой
20 Гц. До диафрагмы был уста-
новлен прерыватель излучения
П — диск с отверстиями, осу-
ществляющий модуляцию по-
тока излучения от цели за счет
вращения его мотором Мх с ча-
стотой 800 Гц. Излучение, про-
шедшее через диафрагму, соби-
ралось конденсором К типа
«зеркальная ловушка» на чув-
ствительную площадку охлаждаемого твердой углекислотой фо-
тосопротивления из сернистого свинца Пр.
Сигнал, вырабатываемый приемником излучения, усиливался
усилителем Ус, настроенным на частоту 800 Гц, имеющим полосу
пропускания 200 Гц и коэффициент усиления 107, и воздейство-
вал на неоновую лампочку Л, которая была установлена перед
наводчиком и вращалась синхронно с диафрагмой Д.
В том случае, когда цель находилась на краю поля обзора
(12°), ее изображение попадало на край диафрагмы Д, и излу-
чение цели воздействовало на приемник в течение небольшого
промежутка времени. Неоновая лампочка вспыхивала на корот-
кое время, и наблюдатель видел небольшую светящуюся дугу,
расположенную в направлении расположения цели. По мере
приближения цели к центру поля обзора длина светящейся дуги
увеличивалась, а когда теплопеленгатор направлен точно на
цель неоновая лампочка горит все время и светящийся круг не
имеет разрывов.
130
Точность пеленгации самолета этим пеленгатором составляла 6',
а альность действия по тяжелому бомбардировщику достигала
20 км при ясной погоде ночью.
Рис. ПО. Сканирование щелью в зенитном теплоле-
ленгаторе
§ 4. СКАНИРОВАНИЕ ПУТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
ОПТИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ ДЕТАЛЕЙ,
ВХОДЯЩИХ В ОПТИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ
Весьма перспективным, но в настоящее время еще недоста-
точно развитым направлением разработок сканирующих систем,
является использование эффекта изменения коэффициента пре-
ломления и других оптических свойств некоторых материалов
1юд действием электрических и магнитных полей.
Известно, что такие материалы, как кварц, нитробензол и
некоторые кристаллы, изменяют коэффициент преломления при
воздействии на них электрического поля, причем величина коэф-
фициента преломления однозначно определяется приложенным
Спряжением. Следовательно, если создать в кювете с нитробен-
5*
131
золом некоторое распределение коэффициента преломления путем
приложения напряжения к двум парам взаимно перпендикуляр-
ных электродов и поместить кювету в оптическую систему, то
можно обеспечить отклонение луча в заранее заданном направ-
лении и па заданную величину.
Для построения сканирующей системы можно использовать
фильтры, выполненные из чередующихся слоев некоторых мате-
риалов, например сульфида цинка и креолита. Такие фильтры
пропускают только монохроматическое излучение, длина волн
Рис. 111. Сканирующее устройство с клинообраз-
ными фильтрами
которых в четыре раза больше толщины фильтра. Если изгото-
вить фильтр в виде клина и направить на него монохроматическое
излучение, то фильтр пропустит свет только вдоль линии, где
его толщина соответствует одной четверти длины волны излу-
чения. Подводя к фильтру напряжение, можно перемещать поло-
жение линии равной толщины в перпендикулярном к ней направ-
лении. Если вслед за первым, горизонтально расположенным
клинообразным фильтром, поместить второй, ориентированный
вертикально, то оба фильтра будут пропускать свет только одной
точки поля, лежащей на пересечении линий равной толщины
каждого клина. Изменением напряжений горизонтальной и
вертикальной разверток, приложенных к каждому клину, можно
изменять положение линий и, следовательно, сканируемой точки
изображения.
На рис. 111 представлена схема, поясняющая принцип дей-
ствия такого сканирующего устройства. На этой схеме Э1, Э2,
ЭЗ — прозрачные электроды, к которым подводятся напряжения
от генераторов кадровой ГРР и строчной ГСР разверток; /СФВ
и КФГ — вертикальный и горизонтальный клинообразные
фильтры соответственно.
132
Часть II
РАСТРОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ
Г лава 7
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РАСТРОВ
(КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ
В СИСТЕМАХ С РАСТРОВЫМИ АНАЛИЗАТОРАМИ)
§ 1. КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ
РАСТРОВЫХ АНАЛИЗАТОРОВ
Растровые анализаторы можно классифицировать по относи-
тельному расположению оси вращения растра и оптической оси
объектива прибора, по характеру зависимости амплитуды, ча-
стоты, фазы или других параметров модуляции от угла визиро-
вания источника излучения, по виду модуляции и параметрам
модулированного сигнала.
Классификация по относительному расположению оси враще-
ния растра и оптической оси объектива прибора представлена
на рис. 112; по этому признаку различают растры: концентриче-
ский (а), эксцентрический (б) и со скрещивающимися осями (в).
Ось вращения концентрического растра совпадает с оптиче-
ской осью объектива. Такой растр имеет нерабочую зону в центре,
так как размеры деталей его рисунка и их линейная скорость
около центра близки к нулю. Растр может устанавливаться,
в частности, во внутренней обойме подшипника и приводится
во вращение небольшим электрическим моторчиком посредством
гибкой связи или зубчатой передачи. Он может также закрепляться
неподвижно, если изображение поля излучения вращается; в этом
случае удается ликвидировать нерабочую зону в центре растра.
В простейшем случае растр размещается непосредственно около
чувствительной площадки приемника излучения, как можно
ближе к плоскости изображения. Однако такое расположение
неудобно по двум причинам: во-первых, оказывается, что в це-
лях ограничения размеров приемника его также целесообразно
Размещать в плоскости изображения, т. е. «интересы» растра
133
и приемника совпадают, а соответствующее конструктивное реше-
ние не всегда может быть найдено; во-вторых, при перемещении
изображения малоразмерной цели в пределах поля зрения по
чувствительной площадке приемника происходят резкие изме-
нения величины электрического сигнала, вырабатываемого при-
емником, в связи с не-
равномерным распреде-
лением его чувствитель-
ности ио площадке. Ос-
вободить фокальную
плоскость для размеще-
ния растра и обеспечить
равномерное распреде-
ление потока излучения
от перемещающейся в
поле зрения цели ио
чувствительной площад-
ке приемника можно,
применив в оптической
схеме конденсор, прое-
цирующий на приемник
изображение входного
зрачка объектива. По-
скольку относительное
положение и освещен-
ность входного зрачка
практически не изменя-
ются при движении це-
ли в поле зрения, осве-
щенность всех точек
чувствительной площад-
ки приемника излучения
также остается неизмен-
ной.
Выше были уже при-
ведены основные соот-
ношения, основанные на
условии синусов и по-
Рис. 112. Классификация растровых анализато-
ров по относительному расположению оси вра-
щения растра и оптической оси объектива: а —
концентрический; б — эксцентрический; в — со
скрещивающимися осями;
Об — объектив; Р — растр; Пр — приемник; Д —
двигатель
зволяющие выбрать параметры оптической системы с конденсором.
Ось вращения эксцентрического растра параллельна оптиче-
ской оси объектива. В этом случае «мертвая» зона у растра от-
сутствует. Вращение растра и его расположение относительно
плоскости изображения и приемника осуществляются исходя из
тех же соображений, что и для концентрического растра.
Растровый анализатор со скрещивающимися осями имеет ось
вращения, расположенную под некоторым углом (обычно пря-
мым) к оптической оси объектива. Такой растр большей частью
состоит из системы непрозрачных полос, нанесенных на поверх-
134
ность прозрачного цилиндра и обеспечивающих модуляцию лучи-
стого потока, сфокусированного на эти полосы.
Зависимость амплитуды, частоты, фазы или других параме-
тров модуляции от угла визирования приведена на рис. 113.
Различают два вида растровых анализаторов: с ограниченной
(рис. ИЗ, а) и неограниченной (рис. 113, б) зонами линейности.
Если изобразить в виде графика связь параметра модуляции Q
с углом визирования а, то для растров с неограниченной зоной
линейности 6Л соответствующая зависимость сохраняется в пре-
делах всего поля зрения 6, в то время как для растров с ограни-
ченной зоной линейности характеристика линейна лишь в огра-
ниченных пределах.
Рис. 113. Классификация растровых анализаторов по
характеру зависимости параметров модуляции от угла
визирования:
Q — параметр модуляции (амплитуда, частота, фаза); а —
угол визирования; б — угол поля зрения; бл — угловой
размер зоны линейности
В общем случае термин «зона линейности» следует понимать
условно, так как параметр модуляции в пределах этой зоны может
быть связан с углом визирования нелинейной зависимостью.
Однако наличие некоторой зависимости параметра модуляции от
угла всегда соблюдается либо в пределах всего поля зрения, либо
в пределах ограниченного диапазона углов. К растрам, обеспе-
чивающим реализацию той или иной области зависимости пара-
метра модуляции от угла визирования, в дальнейшем также будет
применяться понятие ограниченной или неограниченной зоны
линейности.
Классификация растровых анализаторов по виду модуляции
« параметрам модулированного сигнала представлена на рис. 114,
Различают три основных типа растровых анализаторов: с непре-
рывной, импульсной и смешанной модуляцией.
Растры с непрерывной модуляцией характеризуются тем, что
излучение цели проходит через них в течение времени, состав-
ляющего примерно 50% от периода модуляции, в этом случае
приемник освещается непрерывным периодическим сигналом,
амплитуда, частота или фаза первой гармоники которого зависит
135
от угловых координат цели. Различают амплитудную, частотную,
фазовую, амплитудно-частотную, амплитудно-фазовую и частотно-
фазовую непрерывную модуляцию.
Растры с импульсной модуляцией характеризуются тем, что
излучение цели проходит через них на приемник в течение вре-
мени, короткого по сравнению с периодом модуляции, причем от-
носительное положение импульса излучения во времени, его
амплитуда и длительность зависят от угловых координат цели.
Рис. 114. Классификация растровых анализаторов по виду
модуляции и параметрам модулированного сигнала
Импульсная модуляция может быть амплитудной (АИМ), частот-
ной (ЧИМ), фазовой (ФИМ), широтной или модуляцией по дли-
тельности (ШИМ или ДИМ), кодовой или смешанной импульс-
___ v _ f. : ''
НОИ.
Растры со смешанной модуляцией характеризуются тем, что,
наряду с непрерывной модуляцией излучения потока, имеет место,
даже при неизменных координатах цели, периодическое импульс-
ное изменение параметров модулированного сигнала, а переме-
щение цели приводит к нарушению закона этого периодического
изменения параметров. Например, поток излучения от цели,
находящейся на оптической оси, модулируется непрерывно 50%
времени с частотой Д, а 50% — с частотой /2. При перемещении
цели относительное время модуляции с той и другой частотой
изменяется и может значительно отличаться от 50%.
§ 2. АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ
Зависимость амплитуды сигнала от угловых координат то-
чечного источника излучения (кодирование информации о положе-
нии цели в поле зрения) можно обеспечить, поместив в фокаль-
ную плоскость объектива оптико-электронного прибора концен-
трический растровый анализатор в виде секторного диска (рис. 115).
136
Поскольку изготовить растр с секторами, ширина которых
в центре равна нулю (рис. 115, а), практически невозможно,
концентрический растровый анализатор обычно имеет вид сек-
торного диска с затемненной центральной частью, равной по
величине кружку рассеяния объектива (рис. 115, б), либо с цен-
тральной частью, выполненной в виде двух полукругов — про-
рачного и непрозрачного, диаметр которых также равен диаметру
кружка рассеяния (рис. 115, в).
На краю растра ширина темных и светлых секторов несколько
больше диаметра кружка рассеяния. В этой области растра до-
Рис. 115. Концентрический растровый анализатор — секторный растр, обеспе-
чивающий амплитудную модуляцию: а — идеальный секторный; б — секторный
с затемненной центральной частью; в — секторный с полупрозрачной централь-
ной частью
стигается 100-процентная модуляция потока излучения от цели
и амплитуда сигнала максимальна. Если число прозрачных сек-
торов равно N, то за один оборот диска возникает N импульсов
сигнала от цели, а если растр вращается со скоростью п, с-1,
то частота модуляции, выраженная в герцах, равна Nn.
При смещении изображения к центру растра частота модуля-
ции остается той же, а амплитуда сигнала уменьшается, так как
глубина модуляции становится меньше 100%. Когда изображение
цели совпадает с центром растра, модуляции не происходит и
сигнал отсутствует. При этом в случае использования растра
с непрозрачной центральной частью исчезает не только перемен-
ная, но и постоянная составляющая сигнала, а в случае приме-
нения растра, изображенного на рис. 115, в, средний коэффи-
циент пропускания, равный примерно 50%, сохраняется.
Амплитуда сигнала, вырабатываемого приемником, установ-
ленным за секторным растром, зависит не только от положения
изображения цели на растре, но и от величины потока излучения,
падающего на входной зрачок оптической системы.
Для того чтобы избавиться от этой зависимости, можно ис-
пользовать автоматическую регулировку коэффициента усиления
усилителя фототока (АРУ) Для этого применяют дополнитель-
ную модуляцию потока излучения с помощью прерывателя излу-
чения, обеспечивающего полную модуляцию потока излучения,
137
независимо от положения цели. Частота этой модуляции должна
отличаться от частоты модуляции, определяемой растром. В этом
случае переменный электрический сигнал, вырабатываемый при-
емником, содержит составляющие двух частот: амплитуда одной
из них определяется только потоком излучения от цели, а второй —
потоком излучения и положением изображения цели на растре.
Разделяя эти составляющие фильтрами, настроенными соответ-
ственно на частоты модуляции прерывателя и растра, и используя
выходной сигнал фильтра, настроенного на частоту прерывателя,
для автоматического уменьшения коэффициента усиления уси-
Рис. 116. Структурная схема прибора с секторным растром
и системой АРУ
лителя фототока при увеличении сигнала, можно избавиться от
зависимости сигнала на выходе второго фильтра от изменения
потока излучения, создаваемого излучением цели. Структурная
схема построения такой системы декодирования информации
изображена на рис. 116, где введены следующие обозначения:
Рг— прерыватель излучения; Р2— секторный растр; Об —
объектив; Пр — приемник; Ус — усилитель; — фильтр, на-
строенный на частоту прерывателя Р;; /2 — фильтр, настроенный
на частоту растра Р2; Д — детектор, фильтр низких частот и
усилитель постоянного тока; М — мотор, вращающий преры-
ватель излучения и растр.
Секторный растр может иметь ограниченную или неограни-
ченную зоны линейности в зависимости от рисунка растра и
диаметра кружка рассеяния оптической системы. Если диаметр
кружка рассеяния равен ширине темных и светлых секторов
на краю растра, то линейная зависимость амплитуды сигнала от
угла рассогласования между направлением на цель и оптической
осью объектива, проходящей через центр растра, сохраняется
по всему полю, если же на краю поля зрения (на краю растра)
ширина секторов больше диаметра кружка рассеяния, то линей-
ная зависимость имеет место лишь в ограниченной части поля.
138
Как уже указывалось, говорить о линейной зависимости ампли-
туды сигнала от угла рассогласования можно лишь весьма ус-
ловно.
Действительно, рассмотрим более детально процесс модуля-
ции излучения цели, когда ее изображение расположено в поло-
жениях А—Г на растре, рисунок которого состоит, например,
из шести прозрачных и шести непрозрачных секторов (рис. 117).
Рис. 117. Изображения точечных целей на секторном растре
В положении А изображение цели в виде кружка рассеяния
с радиусом г заполняет один сектор растра. При этом имеет место
полная модуляция потока излучения, заключенного в изобра-
жении цели, и величина сигнала достигает максимального зна-
чения.
При перемещении изображения цели к центру растра глубина
модуляции М уменьшается. Однако еще до того, как изображение
Цели достигнет центра растра, для некоторых значений радиуса
вектора р глубина модуляции резко падает.
Это происходит в тех случаях, когда изображение цели за-
полняет четное число секторов растра, при этом модуляция по-
тока излучения происходит только за счет несоответствия формы
139
изображения цели форме секторов растра. Так, в положении Б
одновременно перекрываются два сектора растра, в положении В —
четыре и в положении Г — шесть секторов. Если обозначить
угол, под которым изображение цели видно из центра растра,
Рис. 118. Угловая характеристика
секторного растра (ориентировоч-
ная форма кривой с акцентом на
точки М — 0)
через а, то для растра с шестью
непрозрачными секторами имеем:
аА = 3607(2Л/) = 360712 = 30°;
аБ — 2ал = 60°; а73 = 4а л = 120°;
аг — 6а л — 180°,
где Л/ — число непрозрачных се-
кторов растра.
Учитывая также, что р =
= r/sin (а/2), можно найти при-
мерные значения радиус-вектора,
при которых имеют место максимум и минимум модуляции:
рЛ /г = 1/sin (ал/2) — 1/sin 15° = 3,86;
рь/г = 1/sin 30° = 2; pB/r == 1/sin 60° == 1,15;
cpr/r = 1/sin 90° = 1.
Соответствующие значения отмечены на угловой характери-
стике растра, представленной на рис. 118.
§ 3. ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ
Зависимость частоты модулированного потока излучения от
угловых координат источника излучения, т. е. кодирование инфор-
мации, можно обеспечить, поместив в плоскость изображения,
создаваемого объективом оптико-электронного прибора, эксцен-
трический растровый анализатор в виде диска, каждый из сек-
торов которого имеет одинаковое число прозрачных и непрозрач-
ных полос, причем центральная полоса каждого сектора направ-
лена по радиусу, а остальные ей параллельны (рис. 119). При
вращении растра поток излучения модулируется с частотой тем
большей, чем дальше от центра находится изображение цели,
так как число модулирующих полос возрастает по направлению
от центра к периферии диска.
Центр поля зрения (начало координат на рис. 119) можно
всегда разместить так, что при перемещении изображения источ-
ника излучения вдоль оси у вверх от центра частота модуляции
будет увеличиваться, а вниз — уменьшаться. При перемещении
изображения источника излучения вдоль оси х частота модуля-
ции не изменяется, так как в пределах небольшого поля зрения
ось х практически совпадает со средней окружностью, которая
в каждом секторе пересекает одинаковое число модулирующих
140
полос. Таким образом, рассмотренный растр обеспечивает изме-
рение угловой координаты цели только в одной плоскости.
Для того чтобы растр обеспечивал измерение координат цели
в двух плоскостях, необходимо применять две оптические системы,
размещенные относительно рас-
тра таким образом, чтобы изоб-
ражения одной и той же цели
были смещены относительно
друг друга па 90 .
Следует обратить внимание
на то, что изменение частоты
модулированного сигнала при .
изменении положения цели фа- /
ктически происходит не плавно, |
а дискретно, так как дискрет- *
но изменяется число модули-
рующих полос при перемеще-
нии изображения цели вдоль
оси у. Зависимость числа моду-
лированных полос Not положе-
ния изображения цели представ-
лена на рис. 120. Наличие
«ступенек» на соответствующей
кривой говорит о невозможно-
сти измерения линейных коор-
динат цели с точностью, луч-
шей, чем Az/, а угловых —
с точностью kylF, где F—фо-
кусное расстояние объектива.
разно изменить рисунок растра
Рис. 119. Эксцентрический растровый
анализатор с частотной модуляцией
(восьмисекторный):
1 — пределы поля зрения; 2 — изображе-
ние источника излучения (в центре поля
зрения); 3 — второе изображение источ-
ника излучения при наличии двух опти-
ческих систем (в центре поля зрения)
я уменьшения ошибки целесооб-
таким образом, чтобы положение
'так
Рис. 120. Зависимость числа модулирую-
щих полос от положения изображения
источника излучения па растре, реали-
зующем частотную модуляцию
модулирующих полос в отдельных секторах не совпадало.
Для преобразования частоты модуляции потока излучения
(частоты изменения фототока) в амплитуду электрического сиг-
нала с целью декодирования
применяются частотные де-
текторы (рис. 121). В простей-
шем случае частотный детек-
тор представляет собой резо-
нансный контур (рис. 121, а).
Величина напряжения мвых,
снимаемого с контура, зави-
сит от частоты со питающего
контур тока так, что на ча-
стоте со 0 = 1 ]/ЛС имеет
место максимальное значе-
ние коэффициента передачи
k = zzBblx/z.znx. Могут исполь-
зоваться два контура
141
а>о ш
Ю R
\i^gbin=u8bini
Рис. 121. Принципиальные схемы и характеристики простейших частот-
ных детекторов: а — одиночный резонансный контур; б — два контура;
в — схема с индуктивностью и емкостью
142
(рис. 121, б), резонансные частоты которых соО1 и соо2 разнесены
симметрично относительно средней частоты. В этом случае при
изменении частоты w питающего тока амплитуда напряжения на
одном контуре «СЫХ1 возрастает, а на другом цВЫХ2 падает. Раз-
ность амплитуд Дивых == Wbwxi Увых2 определяется величиной
и знаком отклонения частоты. Вместо резонансных контуров
можно использовать также схему, состоящую из двух ветвей,
одна из которых представляет собой индуктивное, а другая —
емкостное сопротивление (рис. 121, в). Так как коэффициент пе-
редачи напряжения схемой с индуктивностью равен
ki = = 1//1 +<oa£2/Ra,
а схемой с емкостью —
И»ых/«»х = 1//1 + 1/ЬЧ?С«.
то при частоте а)0 = 1/(£С) имеет место равенство kr = k2 и
в некотором интервале изменения частоты вокруг значения w0
выходное напряжение изменяется линейно.
§ 4. ФАЗОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ
Зависимость фазы модуляции потока излучения от угловых
координат точечного источника (кодирование) можно обеспечить,
например, с помощью растрового анализатора со скрещивающи-
мися осями, выполненного в виде надетой на вращающийся бара-
бан тонкой пленки, прозрачность которой изменяется по сину-
соидальному закону (рис. 122, а)
? = *ср 4- 0.5 (Tmax - Tmln) sin &il/(L/N)],
где Tmin — минимальное пропускание; ттах — максимальное про-
пускание; тср = 0,5 (ттах тт1п) — среднее пропускание; L —
длина окружности барабана (пленки); N — число полных изме-
нений прозрачности пленки растра, укладывающихся на ее
длине.
Следовательно, если на поверхности пленки сформировано
изображение цели, то поток излучения, проходящий через нее
и падающий на приемник, а также электрический сигнал, выра-
батываемый приемником, изменяются по синусоидальному закону,
причем фаза сигнала зависит от положения изображения цели
на пленке растра (/)
а = A sin (coZ -J- ср),
где а — текущее значение переменной составляющей сигнала,
вырабатываемого приемником излучения; А, со, <р — амплитуда,
круговая частота и фаза сигнала.
Если барабан растра вращается со скоростью п, с-1, то
круговая частота равна со = 2nf = 2nnN, а фаза зависит
143
от положения изображения источника излучения на пленке растра
причем для случая, когда начало отсчета фазы соответствует
началу координат (рис. 122, а), имеем ср =
Для того чтобы зафиксировать начало отсчета фазы, исполь-
зуются различные синхроконтакты и генераторы опорных напря.
Рис. 122. Растровый анализатор со скрещивающимися осями, обеспечи-
вающий фазовую модуляцию: а — развертка ленты анализатора и зави-
симость ее коэффициента пропускания т от положения изображения
источника излучения I, б — схема использования анализатора с фазо-
вой модуляцией
жений (ГОНы), которые вырабатывают электрические сигналы,
момент появления или фаза которых жестко связаны с положе-
нием пленки растра и не зависят от положения изображения ис-
точника излучения.
Один из таких ГОНов на рис. 122, б обведен штриховой линией.
Он состоит из опорного источника света — лампочки накали-
вания Л, объектива 02 и фотоприемника Пр2- Свет от опорного
источника фокусируется на поверхности растра в зоне, свободной
144
от изображения цели, модулируется пленкор растра и восприни-
мается отдельным приемником, вырабатывающим сигнал, фаза
которого жестко связана с положением растра.
Излучение цели фокусируется па поверхности растра объек-
тивом О1? проходит через пленку растра и конденсором К направ-
ляется на приемник Прг.
Для измерения разности фаз сигнала ис и опорного напря-
жения цоп, т. е. декодирования информации о положении цепи
в поле зрения, используются различные схемы фазовых детекто-
ров, которые для фиксированного значения фазы называются
также синхронными детекторами.
Принцип действия фазового детектора состоит в том, что сиг-
нал переменного тока, подлежащий выпрямлению, поступает
в нагрузку через сопротивление, величина которого с помощью
опорного напряжения изменяется во времени синхронно с часто-
той изменения сигнала. В простейшем случае (схема на рис. 123)
в качестве переменного сопротивления можно применить кон-
такт К, включенный последовательно с нагрузкой А*,, и управ-
ляемый генератором опорного напряжения (на схеме не показан)
синхронно с частотой входного сигнала ис. Следовательно, дей-
ствие ключа состоит в том, что он попеременно то замыкает цепь
на время, равное половине периода сигнала переменного тока,
то размыкает цепь на такое же время.
Таким образом, проводимость цепи g равна либо нулю, либо
!//?„ в зависимости от того, разомкнут или замкнут ключ. Вре-
менные графики, приведенные на рис. 123, позволяют понять
принцип действия. 14а первом графике (кривая /) представлены
положения контакта К и проводимость цепи g: первую половину
периода контакт замкнут (проводимость цепи g = 1/7?н), вторую —
разомкнут (проводимость цепи g = 0). Кривые 2, 4, 6 показывают
форму сигнала ис, вырабатываемого приемником излучения при
различных (I, II, III) положениях изображения цели на ленте
анализатора (wcp иСц, wC]]J). Кривые 3, 5, 7 показывают, как
изменяется выходное напряжение фазового детектора цвых при
отсутствии в схеме фильтра RC (сплошная кривая) и при наличии
фильтра (штриховая линия) для тех же трех положений изобра-
жения цели — пВЬ1Х], ы11ЫХп, wbbixnr Из графиков с очевидностью
следует, что выходной сигнал фазового детектора представляет
собой постоянное или пульсирующее напряжение, величина кото-
рого (среднее значение) зависит от соотношения между фазами
входного сигнала и опорного напряжения.
Величину напряжения на выходе фазового детектора можно
наити следующим образом. Обозначим проводимость цепи с клю-
чом Д' в схеме, представленной на рис. 123, через g и примем для
простоты, что она изменяется по синусоидальному закону с ча-
стотой (оо> тогда
g = go (1 + sin соо/).
145
Если на входе схемы действует напряжение
ис = «о sin + (р)>
то ток в цепи равен
i = ucg = Ц(^о [sin (a)of + <р) + sin (<М + ф) X
X sin wof ] = Uug0 Isin ((oof + ср) — 0,5 cos (2co0Z 4- cp) 4-
4- 0,5 cos ср].
В полученном выражении первое слагаемое представляет собой
исходное модулированное колебание с частотой со0, второе —
Рис. 123. Принципиальная схема и временные гра-
фики работы фазового детектора;
1—7 — номера кривых
имеет вдвое большую частоту, а третье — есть сигнал постоянного
тока, величина которого зависит от разности фаз между входным
напряжением и изменением проводимости цепи.
146
Если к выходным зажимам рассматриваемой схемы подклю-
чить простейший /?С-фильтр, то при <оо#С > 1 высокочастот-
ными составляющими выходного сигнала можно пренебречь.
Таким образом, выходное напряжение оказывается пропорцио-
нальным cos <р
^вых ~ = O,5Wo^fo^?H COS ф = Пвыхо COS ф,
причем отношение иКых0/и0 обычно называют коэффициентом
передачи детектора, следовательно,
«вых = Mo cos ф,
где kp_ = «вых</«о-
Если частота входного напряжения со отличается от частоты
изменения проводимости цепи соо, то через 7?С-фильтр проходят
только составляющие разностной частоты Дсо == со — соо и коэф-
фициент передачи оказывается зависящим от величины расстройки
Дсо и постоянной времени фильтра т = RC, так что
/?д = W(T V До>2 — 1/<2 )•
Это выражение совпадает с выражением для обычной резо-
нансной кривой, в которой роль затухания играет величина 1/т.
Следовательно, чем больше постоянная времени фильтра, тем
острее «резонансная кривая» детектора. Так как максимум коэф-
фициента передачи достигается, когда Дсо = 0, т. е. при синхрон-
ном режиме, фазовый детектор называют также синхронным.
При построении практических схем фазовых детекторов при-
ходится решать ряд задач, связанных с симметрией и стабиль-
ностью отдельных ветвей и элементов схемы, так как обычно не-
обходимо обеспечивать выполнение следующих основных условий:
выходное напряжение фазового детектора должно быть мини-
мальным при отсутствии сигнала на входе, т. е. опорное напря-
жение не должно проходить через схему детектора;
зависимость выходного напряжения детектора от фазы вход-
ного сигнала не должна изменяться при замене элементов схемы,
изменении питающих напряжений и внешних условий (темпера-
тура, давление и т. д.);
коэффициент передачи фазового детектора должен быть мак-
симальным;
нормальная работа фазового детектора должна обеспечиваться
1 рп небольших величинах опорного напряжения.
Указанные условия в значительной мере удовлетворяются
при использовании некоторых из приводимых далее схем фазо-
вых детекторов.
1 • Схема балансного фазового детектора (рис. 124) состоит
Вз двух встречно включенных обычных амплитудных детекторов,
вентили которых управляются опорным напряжением через
трансформатор Тр2. Постоянная составляющая напряжения на
147
выходе фазового детектора при синусоидальной форме входного
сигнала в этом случае примерно равна
Мсых 2 (2/л) ис cos ф = 1,3uc cos ф,
где ис — амплитуда напряжения сигнала на вторичной обмотке
трансформатора; ф — разность фаз входного сигнала и опорного
напряжения.
Приведенная формула справедлива при условии
«с • - ^оп»
где иоп — амплитуда опорного напряжения па вторичной обмотке
трансформатора Тр2.
Схема должна быть тщательно отбалансирована, в детекто-
рах желательно использовать п
ющие малое прямое и большое
использовании радиоламп необ-
ходимо выбирать диоды с пря-
мым сопротивлением не более
100—200 Ом (6Х2П).
>лупроводниковые диоды, име-
обратное сопротивления. При
Рис. 125. Схема фазового детектора с
несимметричным входом
Рис. 124. Схема балансового фазового
детек гора
2. Схема фазового детектора с несимметричным входом
(рис. 125) в ламповом варианте включает в себя пентод в качестве
катодной нагрузки двух триодов. Триоды играют роль ключей,
так как благодаря большой амплитуде опорного напряжения,
поступающего через ограничивающие сопротивления Rr на их
сетки, лампы практически мгновенно и поочередно открываются
и запираются. Пентод играет роль большого сопротивления, по
сравнению с которым величина сопротивления открытого триода
мала, и, следовательно, наличие разброса параметров триодов
не нарушает симметрии схемы.
Входной сигнал подается па сетку пентода, усиливается им
и через открытый в данный момент триод поступает па его анод-
ную нагрузку. Разность напряжений, снимаемых с анодных нагру-
зок двух триодов, является выходным сигналом детектора.
148
Рис. 126. Кольцевой фазовый детектор
Схема с пентодом и несимметричным входом может обеспечить
относительно высокую точность измерения фазы (~0,5с), по гро-
моздка и нуждается в сложных источниках питания.
3. Кольцевой фазовый детектор (рис. 126) получил широкое
распространение благодаря простоте, хорошей стабильности,
высокому коэффициенту передачи и возможности заземления
любой точки во входных и выходных цепях.
Схема работает следующим образом. При отсутствии входного
сигнала опорное напряжение в течение одного полупериода создает
ток в цепи 6—1—4—3—5, в течение другого полупериода в цепи
5- 3—2—1—6 оба эти тока
(токи коммутации) замыка-
ются внутри кольца и не
попадают в нагрузочное
сопротивление, т. е. ток
через сопротивление R и
выходное напряжение мвых
равны нулю.
При наличии входного
сигнала в течение одного
полупериода, для которого
па схеме условно обозна-
чены полярности мгновен-
ных значений приложен-
ных напряжений, ток ком-
мутации замыкается через
нижнюю половину кольца
по цепи 6—1—4—3—5.
Ток, обусловленный входным сигналом (ток сигнала), проходит
по цепи 8—10—И—12—6—1—4—7 и создает на сопротивлении
нагрузки падение напряжения цВЬ1Х, пропорциональное входному
напряжению пс. При этом рабочей частью вторичной обмотки
трансформатора Тр1 является ее нижняя половина. Верхняя
половина в рассматриваемый полу период не работает, так как
первый возможный путь токопрохождения через нагрузку (9—2—
3 5—12—11—10—8) заперт вентилем а второй (Р—2—1—
6—12—11—10—8) — встречно включенным напряжением //оп,
которое больше ис. Во второй полупериод переменного напря-
жения полярности, обозначенные на схеме, изменяются на об-
ратные, рабочей частью вторичной обмотки трансформатора Тр1
становится ее верхняя половина, а направление тока через на-
грузку не изменяется. Направление тока через сопротивление
кагрузки изменится только при изменении фазы напряжения
сигнала на 180°.
Если амплитудное значение синусоидального напряжения на
половине вторичной обмотки трансформатора равно ис, а постоян-
ная составляющая выходного напряжения — цЕых0, то можно найти
Нцых0 === kp, (2/л) Uc COS (р,
149
где ф — сдвиг фаз между напряжением сигнала и опорным напря-
жением; /гд — 2/(2 ф- Р); р = riR.
Коэффициент р выбирается в зависимости от наличия резер-
вов мощности у источников коммутирующего напряжения и
напряжения сигнала. Обычно он находится в пределах от 0 до 1.
Входной трансформатор в схеме кольцевого детектора ока-
зывается нагруженным на сопротивление
гэ = К + г/2,
следовательно, входное сопротивление детектора
гвх = гэ/п2,
где п == uju'c.
Для нормальной работы схемы необходимо выбирать следу-
ющее соотношение между опорным напряжением и напряжением
сигнала:
«оп > «с (4/? + г)/(27? + г) 2нс.
Полный расчет схемы кольцевого детектора может проводиться
по методике, предложенной Я- Е. Гукайло и Е. С. Марковым.
Рис. 127. Коллекторный фазовый детектор
Металл
Рис. 128. Коммутатор-кол-
лектор
4. Коллекторный фазовый детектор (рис. 127) состоит из
коммутирующего барабана К, связанного безлюфтовой передачей
с растровым анализатором так, что его скорость вращения равна nN,
с-1, щеток Щ1 и Щ2, через которые к коммутатору подводится
напряжение сигнала от трансформатора Тр, щетки ЩЗ, которая
при вращении коммутатора поочередно подключается то
к щетке Щ1, то к щетке Щ2 и снимает с них соответствующие
напряжения на нагрузку детектора — фильтр RC. Переключе-
ние щетки ЩЗ осуществляется благодаря особой конструкции
коммутатора, представляющего собой разрезанный металличе-
ский цилиндр, две половинки которого соединены через изоли-
рующую прокладку (рис. 128).
На рис. 129 коммутатор изображен в виде развертки цилиндра,
а на рис. 130 представлены временные графики напряжений,
действующих в схеме фазового детектора. Эти графики легко
получить на основании рис. 129, полагая, что коммутирующий
150
Рис. 130. Графики напряжений в схеме фазового
детектора:
1—8 — номера кривых
151
Рис. 131. Схема оптико-электронного при-
бора с секторным растром, обеспечиваю-
щего фазовую модуляцию:
1 — изображение цели; 2 — изображение
источника опорного сигнала
барабан неподвижен, а щетка ЩЗ движется по траектории, пока-
занной на развертке цилиндра штриховой линией. При этом она
поочередно соединяется через соответствующую часть металли-
ческого цилиндра то со щеткой 1Д1, то со щеткой Щ2. Кривая 1
показывает последовательность этих соединений в предположе-
нии, что щетка ЩЗ движется справа налево от начального поло-
жения, изображенного на
рис. 129. В этом случае пер-
вую четверть периода (пер-
вую четверть окружности ба-
рабана) щетка ЩЗ соединена
со щеткой Щ1, затем поло-
вину периода — со щеткой
Щ2, затем вновь — со щет-
кой Щ1 и т. д. Кривые 2, 3,
5, 6 показывают изменения
напряжений, приложенных
к щеткам Щ1 и Щ2, для слу-
чаев I, II и III, соответст-
вующих таким положениям
изображения цели на ленте
анализатора, когда фазы си-
гнала сдвинуты друг относи-
тельно друга на 90°.
Кривые 5 и 6 совмещены
для случаев II и III так, что
кривая 5 изображает измене-
ние напряжения на щетке
Щ1 в случае II и на щетке
Щ2—в случае III, а кривая
6 показывает изменение на-
пряжения «щ2 для случая II
и Мщ1 для случая III. Кри-
вые 4, 7 и 8 показывают фор-
му напряжений на щетке ЩЗ,
причем сплошная кривая со-
ответствует отключенному конденсатору С, а штриховая линия —
случаю, когда конденсатор включен. Из графиков следует, что
в зависимости от положения изображения цели на ленте анали-
затора выходное напряжение коллекторного фазового детектора
изменяется по величине и по знаку.
Постоянная составляющая этого напряжения определяется
выражением
мВых0 (2цс/л) COS ф,
где ис — амплитуда синусоидального напряжения, действующего
па щетках Щ1 и Щ2.
152
Точность измерения фазы различными схемами фазовых детек-
торов обычно составляет примерно 1° в пространстве электриче-
ских сигналов. Однако в реальном пространстве это соответствует
значительно большей точности, благодаря своеобразной «редук-
ции» углов.
Действительно, рассмотрим, например, работу устройства
с фазовой модуляцией, обеспечиваемой секторным растром, перед
которым установлена диафрагма поля с отверстием в виде трапе-
ции, охватывающим ровно два сектора (рис. 131).
Кроме излучения цели, формируемого объективом 0бх в пло-
скости диафрагмы поля ДП и растра Р, на растр объективом Об2
проецируется изображение неподвижного источника излучения —
лампочки Л, излучение которой модулируется растром с той же
частотой, что и излучение цели, но имеет постоянную фазу моду-
ляции. Потоки излучения от цели и опорного источника проходят
через растр Р, конденсоры К2 и попадают на раздельные
приемники излучения: основной Пр! и опорный Пр2. Измерение
положения цели осуществляется путем сравнения фазы напря-
жения сигнала ис и опорного напряжения иоп.
Полное изменение фазы напряжения сигнала на 360° соот-
ветствует значительно меньшему изменению угловых координат
цели. Если, например, оптическая система выбрана таким обра-
зом, что диафра1ма охватывает 15° поля зрения, а разность фаз
между опорным напряжением и напряжением сигнала изме-
ряется с ошибкой в Лер, то ошибка измерения направления на
цель Ла составляет
Ла Лер (15°/360°) == Лер/24,
т. е. при Лер = Г Ла = 0,045° = 2,7'.
Таким образом, устройства, основанные на принципе фазо-
вой модуляции, обеспечивают очень точную информацию о поло-
жении источника излучения при относительно грубых измере-
ниях фазового угла.
§ 5. АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ
Амплитудно-частитный растровый анализатор модулирует из-
лучение цели так, что изменение частоты модулированного сиг-
нала определяет знак угла рассогласования (угла между направ-
лением на цель и оптической осью объектива прибора), а изме-
нение амплитуды модулированного сигнала определяет величину
угла рассогласования. Этим обеспечивается кодирование инфор-
мации о положении цели.
Амплитудно-частотный растровый анализатор с ограниченной
зоной линейности эксцентрического типа изображен на рис. 132, а.
Е>н представляет собой металлическую или стеклянную пластину,
состоящую из двух концентрических поясов, имеющих различ-
ное число прозрачных и непрозрачных модулирующих полос.
153
Пластина помещается в плоскости изображения, создаваемого
объективом так, что оптическая ось объектива проходит через
линию раздела концентрических поясов растра и определяет центр
поля зрения прибора.
Если изображение цели смещено от центра поля зрения, то
лучистый поток модулируется с той или иной частотой в зависи-
Рис. 132. Амплитудно-частотный растровый анализатор с ограниченной зоной
линейности эксцентрического типа: а — рисунок растра; б — принципиальная
схема использования растра; в — угловая характеристика
мости от того, в каком из двух поясов растра оно находится.
Если изображение цели расположено в центре поля зрения, то
одна часть изображения модулируется с одной частотой, а дру-
гая часть — с другой.
Частоты модуляции определяются скоростью вращения
растра и, с-1 и числом непрозрачных (или прозрачных) полос
в каждом поясе JVi и N 2, т. е. = A\n; f2 =
154
Приемник излучения, установленный за растром, восприни-
мает модулированное излучение цели и вырабатывает электри-
ческий сигнал, частота которого зависит от того, по какую сто-
лону от разделительной линии находится изображение цели.
Этот сигнал усиливается усилителем, на выходе которого имеются
два электрических фильтра, настроенных на частоты модуляции,
которые обеспечивают декодирование информации (рис. 132, б).
Если изображение цели находится в центре поля зрения, то
напряжения на выходе фильтров и щ2 одинаковы (при усло-
вии равенства коэффициентов усиления схемы для сигналов с ча-
стотами модуляции и f2). При смещении изображения цели
в ту или другую сторону от центра поля зрения напряжение на
выходе одного из фильтров увеличивается, а другого — умень-
шается до тех пор, пока изображение цели полностью не переме-
стится на один из поясов растра. В этом случае напряжение па
выходе одного из фильтров достигает максимума, а на выходе
другого становится равным нулю.
Сигнал, поступающий с выхода каждого фильтра, обычно под-
вергается выпрямлению с помощью амплитудного детектора,
а напряжения постоянного тока нД1 и нД2, образующиеся на вы-
ходе одного и второго детектора, вычитаются и суммируются.
Разность напряжений z/Bblx пропорциональна разности пото-
ков излучения от цели, падающих на один и второй модулирую-
щие поясы растра. Она изменяется в зависимости от положения
изображения цели, причем вблизи центра поля зрения закон
изменения зависит от характера распределения энергии в изобра-
жении цели (рис. 132, в). На краях поля зрения (вне зоны ли-
нейности ±сс0/2) разность напряжений достигает максимального
значения z/max.
Сумма напряжений не зависит от положения цели, она
пропорциональна общей энергии, заключенной в изображении.
Это обстоятельство можно использовать для построения системы
АРУ, которая позволяет сохранить характер зависимости разно-
сти напряжений от угла рассогласования при изменении величины
потока излучения, падающего на приемник.
При перемещении изображения цели вдоль разделительной
линии растра изменения частоты модуляции потока излучения
не происходит. Однако за счет кривизны линии раздела последняя
совпадает с осью у только в центре поля зрения и, следовательно,
при перемещении изображения цели вдоль оси у имеет место
ошибка в определении координат, зависящая от диаметра диска
Растра и размера поля зрения. Избежать этой ошибки можно
Диумя путями: 1) использовать растр только в схеме следящей
системы; 2) применить анализатор со скрещивающимися осями.
В первом случае любое отклонение изображения цели от цен-
тра поля зрения вызывает сигнал рассогласования, воздействую-
щий на изображение цели так, что оно приводится в центр поля
Рения, где сигнал рассогласования равен нулю. Если необхо-
155
дпмо, чтобы растр обеспечивал реакцию на изменение составляю-
щих угла рассогласования в двух взаимно перпендикулярных
плоскостях, можно использовать две оптические системы со своими
приемниками излучения, расположенные так, что центры их по-
лей зрения смещены вдоль
‘'У средней линии растра на 90°
Рис. 133. Расположение полей зрения
на амплитудно-частотном растре с дву-
мя оптическими системами
(рис. 133). В этом случае при
смещении изображения цели
Рис. 134. Расположение
амплитудно-частотных рас-
тров в системе с одним объек-
тивом
по оси у возникает сигнал рассогласования в системе /, а при смеще-
нии по оси х — в системе II. Можно также применить одну оптиче-
скую систему и один приемник излучения, но два растра, располо-
Рис. 135. Амплитудно-частотный растр со скрещи-
вающимися осями
женных так, что их средние линии пересекают центр поля зрения
под учлом 90°. Рисунок растра при этом становится сложным,
так как, когда изображение цели пересекается модулирующими
полосами одного диска, второй диск в модуляции потока излуче-
ния не должен участвовать либо число модулирующих полос
в концентрических поясах обоих дисков должно быть различным,
чтобы по частоте тока в цепи приемника излучения можно было
судить о наличии угла рассогласования в двух плоскостях. При-
15G
мер реализации подобной системы приведен на рис. 134. Такие
системы по существу не являются системами с непрерывной моду-
ляцией. Их можно скорее отнести к системам смешанного типа.
Рис. 13G. Комбинированный фазовый и ампли-
тудно-частотный растровый анализатор:
1 — непрозрачные полосы; 2 — прозрачные полосы,
пропускание которых меняется по синусоидальному
закону
В случае применения амплитудно-частотного анализатора со
скрещивающимися осями (рис. 135) разделительная линия ста-
новится прямой и ошибка в определении координат, связанная
с зависимостью сигнала рассогласова-
ния в одной плоскости от перемещения
изображения цели в другой плоскости,
здесь отсутствует. Однако анализатор
такого типа не дает сведений об изме-
нении координат цели в двух плоско-
стях и его необходимо использовать сов-
местно с анализаторами других типов,
например с анализатором, дающим фа-
зовую модуляцию (рис. 136). В этом
случае пропускание прозрачных проме-
жутков двухчастотного растра изме-
няется по синусоидальному закону.
Многоступенчатый растр для ампли-
тудно-частотной модуляции изображен
на рис. 137. Он состоит из кольцевых
Рис. 137. Многоступенчатый
растр для амплитудно-частот-
ной модуляции
зон, имеющих разное число прозрачных и непрозрачных полос.
В Данном случае частота модуляции удваивается при каждом
переходе от внутренней кольцевой зоны к внешней.
§ 6. ИМПУЛЬСНО-ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ
Импулъсно-частотный растровый анализатор модулирует из-
лучение цели так, что изменение частоты модулированного сигнала
пРеделяет знак, угла рассогласования, а изменение длительности
°^Уляции потока излучения с той или иной частотой определяет
157
величину угла рассогласования. Этим обеспечивается кодирование
информации о положении цели в поле зрения.
Импульсно-частотный растровый анализатор с неограниченной
зоной линейности эксцентрического типа изображен на рис. 138.
В этом растре линия раздела серий полос различной частоты пред-
ставляет собой спираль Архимеда. При вращении диска с постоян-
ной скоростью поток излучения попеременно модулируется с ча-
стотами fx и f2. Соотношение между длительностью модуляции
Рис. 138. Импульсно-частотный растровый анализатор с неограниченной
зоной линейности: а — односекторный; б — двухсекторный;
А — нейтральная окружность — траектория относительного перемещения изобра-
жений цели, находящейся в центре поля
с той или иной частотой зависит от положения изображения цели.
Если изображение цели совпадает с центром рабочей части растра
(точка OJ, то поток излучения модулируется частотами /\ и f2
равные промежутки времени. При смещении изображения цели
время модуляции потока излучения различными частотами изме-
няется. В односекторном растре (рис. 138, а) изменение частоты
происходит один раз в течение одного оборота диска, в двухсек-
торном растре (рис. 138, б) — два раза.
Обозначим через и /2 промежутки времени, в течение которых
осуществляется модуляция с частотами /\ и соответственно.
Найдем зависимость коэффициента
Л = (^2 — “Ь ^г)»
называемого коэффициентом команды, от угла отклонения изо-
бражения цели вдоль оси у.
Для этого рассмотрим чертеж, представленный на рис. 139.
Введем обозначения: г — радиус-вектор спирали, соответствую-
щий углу а; г0 — радиус-вектор, соответствующий углу а = 2л;
До — радиус-вектор, соответствующий углу а = 0; р,; — расстоя-
ние между центром изображения цели и центром поля зрения
158
Рис. 139. Принципиальная схема од-
носекторного импульсно-частотного
растра
(ТОЧКОЙ Oi); R — расстояние между центром модулирующего
диска (О) и центром поля зрения (0J.
Тогда можно найти:
г = Ro — (Я о — г о) а/(2л);
R = 0,5(ro + Ro);
Ру = г — R = Ro — (Ro — Го) а/(2л) —
- 0,5 (Ro + г о) = 0,5 (Ro - r0) (1 - а/л).
Так как при равномерном вращении диска — /га; /2 = k (2л —
— а), то
т| = [—а + (2л — а)]/(а +
+ 2л — а) = — а/л + 1,
или
1] = 2py/(R0 — г 0).
Здесь Ру = F<py, где F — фо-
кусное расстояние объектива;
ф — угловая координата цели
по оси у, следовательно,
Л = 2F(py/((R0 — г о),
т. е. коэффициент команды про-
порционален угловой коорди-
нате цели.
При перемещении изображе-
ния цели вдоль оси х относи-
тельная длительность модуля-
ции изображения цели часто-
тами и f2 меняется незначительно, так как при большом диа-
метре диска ось х в пределах поля зрения практически совпадает
с нейтральной окружностью.
Для полного исключения этой зависимости могут использо-
ваться растры со скрещивающимися осями, когда модулирующие
полосы нанесены па поверхности вращающегося барабана
(рис. 140, а).
Так же, как и в предыдущем случае, частота повторения им-
пульсов той или иной частоты модуляции может быть повышена
за счет применения двухсекторного рисунка растра (рис. 140, б).
Разделение частот модуляции осуществляется в электронном
тракте прибора с помощью фильтров, настроенных на эти частоты.
На выходе фильтров образуются импульсы, постоянная составляю-
щая которых, выделяемая после детектирования, пропорциональна
Их Длительности (рис. 141). Так осуществляется декодирование
Информации.
159
Временные графики напряжений в схеме с импульсно-частот-
ным растром представлены на рис. 142. Напряжение па выходе
усилителя иус содержит составляющие двух частот, которые сле-
дуют друг за другом с периодом повторения
НН1|М1
I
Рис. 140. Импульсно-частотный рас-
тровый анализатор в виде вращаю-
щегося барабана: а — одпосектор-
ный; б — двухсекторный
Т = N/n,
где п — скорость вращения растра,
с-1; N — число секторов растра.
Длительность импульсов той или
иной частоты (G и t2) зависит от
положения изображения цели на
растре.
На выходе усилителя обычно
устанавливается ограничитель, ко-
торый обеспечивает независимость
величины сигнала от величины из-
лучения цели и расстояния до нее.
Первые гармоники сигналов
частот модуляции f 1 и /2» содер-
жащиеся в напряжении на выходе
ограничителя, разделяются элек-
трическими фильтрами, настроенными на эти частоты. Так как
частоты модуляции обычно незначительно отличаются друг
от друга (fjfi < 1,5), то избирательность фильтров должна быть
достаточно высокой, а при более или менее широкой полосе про-
пускания фильтров это требует обеспечения формы резонансной
Рис. 141. Структурная схема одного капала оптико-электронного
прибора с импульсно-частотным растром
кривой, близкой к прямоугольной, т. е. создания полосовых филь-
тров, что в диапазоне низких частот представляет собой сложную
задачу. Обычно используются двухзвенные ДС-фильтры с двой-
ным Т-образным мостом в цепи обратной связи.
Напряжение на выходе фильтров нарастает и спадает не одно-
временно с появлением и исчезновением входного сигнала дан-
ной частоты, а в течение времени, обратно пропорционального
полосе пропускания фильтра, что является одной из причин ошибки
в определении координат цели.
1G0
Выходные сигналы фильтров воздействуют на спусковую схему
с двумя устойчивыми состояниями равновесия — триггер, кото-
рый опрокидывается под действием этих сигналов, вырабатывая
прямоугольные импульсы, длительность которых соответствует
Рис. 142. Временные графики напряжений в схеме с импульсно-
частотным растром
длительности модулированных растром сигналов (w_nl и wtd2 на
рис. 142).
Выходные сигналы триггера интегрируются и вычитаются,
образуя напряжение постоянного тока w0, пропорциональное раз-
ности времен t± и /2
Интегрирование сигналов триггера в простейшем случае осу-
ществляется с помощью /?С-цепей, выделяющих постоянную со-
ставляющую сигнала. Однако в ряде случаев используются более
сложные нелинейные схемы, осуществляющие безынерционное
интегрИрование.
Одним из недостатков оптико-электронйых приборов с импуль-
но-частотной модуляцией является наличие «ступенек» на ампли-
УДпой характеристике, которые появляются вследствие дискрет-
ности модуляции.
М. М. Мирошников
1G1
G
§ 7. АМПЛИТУДНО-ФАЗОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ
Амплитуд но-фазовый растровый анализатор модулирует излу-
чение цели так, что изменение фазы модулированного сигнала опре-
деляет знак угла рассогласования, а изменение амплитуды сиг-
нала — величину угла рассогласования. Этим обеспечивается коди-
рование информации о положении цели в поле зрения.
Амплитудно-фазовый растровый анализатор с неограниченной
зоной линейности может быть выполнен в виде диска, пропуска-
Рис. 143. Амплитудно-фазовый рас-
тровый анализатор с неограничен-
ной зоной линейности: а — рисунок
растра; б — изменение потока излу-
чения, прошедшего через растр, во
времени; в — изменение коэффи-
циента пропускания растра вдоль
оси у
ние которого изменяется по линейному закону вдоль диаметра
(рис. 143).
Если изображение цели находится в центре диска, то модуля-
ция излучения отсутствует. При смещении изображения от центра
излучение модулируется с частотой F = п, где п — скорость вра-
щения диска, с-1, причем амплитуда модулированного сигнала
пропорциональна радиус-вектору р, а фаза — полярному углу <р
цели.
Мгновенное значение модулированного потока излучения для
случая, когда коэффициент пропускания растра изменяется от О
до 1, определяется выражением
Ф (/) = тсрФ0 4- АФ sin (2лFt 4- ср),
1G2
где Фо — величина потока излучения, падающего на растр;
ДФ == 0,5Фо (^max T'mln) Р^-
Для Тшах = 1; Т1П1П = 0; тср = 0,5 (т1Пах — тт1п) = 0,5 имеем:
Ф (/) = 0,5Фо + ЛФ sin (2лН -|- ф);
ДФ = О,5Фор//?.
Модулированное излучение воздействует на приемник, который
вырабатывает электрический сигнал, подвергающийся усилению
и обработке в электронной схеме.
Выделение составляющих сигнала, пропорциональных откло-
нению изображения цели от центра растра в двух взаимно перпен-
Рис. 144. Схема анализа, усиления и обработки сигнала
при амплитудно-фазовой модуляции
дикулярных плоскостях, т. е. преобразование полярных координат
в декартовы (декодирование), осуществляется с помощью генера-
тора опорных напряжений ГОН и фазового детектора ФД. Общая
схема анализа, усиления и обработки сигнала представлена на
рис. 144.
Генератор опорных напряжений (например, синуснс-косинус-
ный потенциометр) вырабатывает два напряжения пОПд. и «ОПу>
имеющих относительный сдвиг 90°:
— Поп Sin £2/,
Поп^ —• Поп COS
Q = 2jtF.
Фазовый детектор имеет два канала, один из которых управ-
ляется опорным напряжением пОПд_, а второй —иОПу. Тогда посту-
пающее на оба канала напряжение сигнала
нс = «с0 sin (Ш 4- ф)
6*
163
преобразуется в два напряжения:
^Сх == ^Д^Сд COS Ip,
=^cosin<p,
где k t — коэффициент передачи фазового детектора.
В свою очередь,
Ус0 = ^пр^ус
где Snp — крутизна приемника излучения, В/Вт; Кус — коэффи-
циент усиления усилителя.
Большое распространение получил полудисковый модулятор —
амплитудно-фазовый растровый анализатор с ограниченной зоной
линейности, — представляющий собой концентрический сектор-
ный растр с одним прозрачным и одним непрозрачным сектором,
т. е. круглую пластинку с вырезом, охватывающим угол 180е
(рис. 145, а).
Излучение от цели фокусируется оптической системой прибора
на растре в виде пятна конечного диаметра 2г, который определя-
ется аберрациями объектива и расфокусировкой. Если изображе-
ние цели находится точно в центре растра, то модуляции не про-
исходит, так как величина потока излучения, проходящего в этом
случае через растр и воздействующего на приемник, всегда по-
стоянна и равна половине падающего потока. При смещении изо-
бражения от центра появляется переменная составляющая сиг-
нала, пропорциональная разности потоков излучения, проходя-
164
х через растр в двух крайних положениях, которые он занимает
о отношению к изображению в процессе вращения (рис. 145, в).
Очевидно, что форма кривой изменения амплитудной характе-
ристики растра в зоне линейности (рис. 145, б) определяется в дан-
ном случае зависимостью разности потоков излучения ДФ =
__ di —Ф2 от расстояния между центрами вращения растра и
пятна рассеяния.
Для преобразования полярных координат, определяющих по-
чожение изображения цели на диске растра, в декартовы можно
так же как в предыдущем случае, использовать генератор опор-
ных напряжений и фазовый детектор. Обычно в сочетании с рас-
сматриваемым растром используется коллекторный фазовый де-
тектор.
Одной из наиболее неприятных проблем, возникающих при ис-
пользовании амплитудно-фазового растра с ограниченной зоной
линейности описанного типа, является необходимость ликвида-
ции зависимости амплитуды модулированного сигнала от энергии
излучения источника, так как при расположении изображения
цели в центре растра амплитуда модулированного сигнала равна
нулю независимо от величины энергии, заключенной в изображе-
нии. Если это обстоятельство не учитывать, то крутизна амплитуд-
ной характеристики растра в зоне линейности оказывается пере-
менной, что может привести к ошибкам или потере устойчивости
прибора, в котором используется растр.
Решение указанной задачи может быть осуществлено путем
введения дополнительной модуляции потока излучения преры-
вателем, установленным до растра. При этом применяется обыч-
ная схема с АРУ, описанная ранее. Однако возможно и иное реше-
ние, не требующее установки дополнительного прерывателя.
В этом случае вводится модуляция излучения цели с помощью
колеблющейся линзы, зеркала или вращающегося клина. В ре-
зультате происходит колебание изображения цели на небольшую
величину относительно среднего положения. В тракте усиления
возникает дополнительный сигнал, частота которого равна ча-
стоте колебания изображения, а амплитуда зависит от энергии,
заключенной в изображении. Выделение этого сигнала и исполь-
зование его совместно с сигналом основной частоты для АРУ
позволяет избавиться от изменения крутизны амплитудной харак-
теристики растра.
Модуляция излучения за счет колебания изображения назы-
вается вобуляцией.
Растр, обеспечивающий амплитудно-фазовую модуляцию с ог-
раниченной зоной линейности, центр которой смещен относительно
Центра вращения растра, представлен на рис. 146. Если изобра-
жение находится на расстоянии от центра, меньшем /?, оно моду-
лируется с частотой вращения растра и имеет определенную фазу
б°Дуляции, зависящую от полярного угла ср. При смещении изо-
Ражения вдоль радиуса за границу раздела фаза модуляции изме-
165
няется на 180°. При положении изображения цели на границе раз-
дела часть изображения модулируется с одной фазой, а часть —.-
с противоположной, следовательно, амплитуда сигнала изменяется
и становится равной нулю, когда энергетический центр изобра-
жения совпадает с линией раздела.
Избежать уменьшения амплитуды сигнала до нуля на линии
раздела можно, создавая вспомогательную несущую частоту, за
счет дополнительной амплитудной модуляции. Растр, реализую-
щий этот метод, представлен на рис. 147. Если изображение цели
Рис. 146. Амплитудно-
фазовый растр со смещен-
ным центром амплитудной
характеристики
Рис. 147. Амплитудно-
фазовый растр со смещен-
ным центром амплитуд-
ной характеристики и не-
сущей частотой
находится на расстоянии от центра такого растра, меньшем R,
то происходит модуляция потока излучения в виде, показанном
на рис. 148, а.
При смещении изображения вдоль радиуса оно попадает на
границу раздела двух зон и в этой области половина изображения
в течение полуоборота модулируется внутренней зоной, а другая
половина в течение следующего полуоборота — внешней зоной.
Вид модуляции в этом случае показан на рис. 148, б. Дальнейшее
смещение изображения на внешнюю зону приводит к модуляции,
показанной на рис. 148, в. Как видно из рисунка, фаза появления
группы импульсов изменилась на обратную, что используется
для регистрации смещения изображения.
Очевидно, что в этом случае чем меньше размер изображения,
тем меньшее смещение требуется для изменения фазы на обрат-
ную, т. е. тем точнее будет отсчет. Однако с уменьшением размера
изображения зона линейности угловой характеристики посте-
пенно исчезает и растр измеряет только знак отклонения изобра-
жения, а не его величину.
Амплитудно-фазовый растровый анализатор с неограниченной
зоной линейности может быть выполнен в виде секторного диска,
пропускание прозрачных промежутков которого изменяется п0
166
инейному закону вдоль диаметра (рис. 149). Такой растр был
Лсиользован Кларком в Морской исследовательской лаборатории
США Для ориентации ракетного спектрографа на Солнце.
Если изображение цели находится в центре диска растра
К 1арка, то модуляция излучения отсутствует. При смещении изо-
бражения от центра излучение модулируется с частотой
f = nN,
е п — скорость вращения диска, с \ N— число непрозрачных
(или равное ему число прозрачных) секторов
а)
Фа -
б)
Ф(1^
Фо
У
Ф^Л
Фо
- 4-
4
' I I 1 I '
тппппппппппЬпппрпппппппйплпЬппп
। 1 । !
4
4
4
Рис. 148. Поток излучения, модулированный растром,
который представлен на рис. 147, при различных поло-
жениях изображения цели на растре: а —
б — р — R; в — p j> (р — радиус-вектор изображе-
ния цели)
Кроме того, благодаря изменению пропускания прозрачных
секторов диска излучение дополнительно модулируется с часто-
той F = п.
Форма модулированного растром Кларка излучения предста-
влена на рис. 150, а, а форма напряжения на выходе усилителя
несущей частоты — на рис. 150, б.
Мгновенное значение этого напряжения определяется выра-
жением
и «max (1 + т cos Q/) cos со/ = Н1Г|ах COS (£>t ф- 0,5яштах cos (ю ф- Q) 1ф-
ф- 0,5тцпах cos (со — й) t,
мая т = (W,nax ~ wminVwmax — глубина модуляции, определяе-
я положением изображения цели в плоскости растра; со —
Q = 2nF,
1С7
Сигнал далее детектируется, и из пего выделяется огибающая
частоты F, амплитуда «СП1ах которой пропорциональна углу рас-
согласования (радиус-вектору р), а фаза — полярному углу <р
(рис. 150, в).
Дальнейшее декодирование и преобразование сигнала осуще-
ствляется описанным выше методом с помощью генераторов
опорных напряжений и фазового детектора.
Введение несущей частоты возможно также при использовании
амплитудно-фазового растра с ограниченной зоной линейности
Рис. 149. Амплитудно-фазовый растро-
вый анализатор с неограниченной зо-
ной линейности^и несущей частотой
(растр Кларка)
типа полудискового модулято-
ра. При этом наиболее простым
способом является установка
в прибор, кроме полудиска, до-
полнительного секторного рас-
тра с большим числом прозрач-
ных и непрозрачных полос. Ис-
пользование эксцентрического
секторного растра (рис. 151)
приводит к большим габаритам,
но обеспечивает наличие сигна-
ла при отсутствии рассогласо-
вания между положением изо-
бражения цели и оптической
осью объектива. Концентриче-
ский секторный растр (рис. 152),
подобно растру Кларка, не ре-
шает этой задачи, но позволяет
уменьшить габариты прибора.
Однако чаще всего используется
растр «восходящее солнце», со-
стоящий из двух половин, одна из которых является непрозрач-
ной (фазирующей), а другая выполнена в виде чередующихся
прозрачных и непрозрачных секторов (рис. 153). Размер и форма
непрозрачных и прозрачных секторов растра выбирается с уче-
том ряда условий. Наиболее важными из них являются обеспече-
ние линейной зависимости амплитуды сигнала от величины смеще-
ния изображения цели, синусоидальной формы модуляции и наи-
лучших условий селекции малоразмерной цели на фоне протяжен-
ных излучающих объектов.
Заметное улучшение работы растра достигается при подборе
прозрачности фазирующего полудиска. Если модулирующая часть
диска состоит из чередующихся прозрачных и непрозрачных сек-
торов, а фазирующая часть полностью непрозрачна, импульсы
модулированного потока излучения несимметричны относительно
горизонтальной оси (рис. 154, а) и в сигнале существует составляю-
щая частоты вращения диска. Если же обеспечить постоянстВ'1
среднего значения потока, проходящего через диск за полный
его оборот, то импульсы симметричны относительно горизонта.' ь-
168
Рис. 150. Временные графи-
ки сигналов для случая мо-
дуляции излучения точечной
цели растром Кларка: а —
поток излучения; б — элек-
трический сигнал на выходе
усилителя несущей частоты;
в — сигнал на выходе детек-
тора
Рис. 151. Введение несущей
частоты с помощью эксцент-
рического секторного растра:
Об — объектив; Р1 — полуди-
сковый растр; Р2 — секторный
растр; ДП — диафрагма поля;
К — конденсор; Пр — приемник
излучения
169
ной оси и в спектре сигнала отсутствует составляющая, соответ-
ствующая частоте вращения диска (рис. 154, б).
Растры с полупрозрачной фазирующей частью, предложенные
в США Биберманом и Эсти, изображены на рис. 155 Полупрозрач-
ная часть этих растров в среднем
пропускает половину потока и не
дает модуляции излучения цели,
Рис. 153. Комбинированный по-
лудисковый растр с несущей ча-
стотой (растр «восходящее
солнце»):
1 — фазирующая половина; 2 — мо-
дулирующая половина
Рис. 152. Введение несущей ча-
стоты с помощью концентриче-
ского секторного растра
так как она представляет собой
сетку с ячейками, размер кото-
рых меньше размера изображе-
ния цели. Такое решение связано с тем, что на практике трудно
изготовить полупрозрачную часть диска с равномерной плотно-
стью. Растры с полупрозрачной фазирующей частью не модули-
о)
Ф(1Л
руют фон, имеющий равно-
мерное распределение яр-
кости по полю зрения.
Действительно, пусть рас-
. пределение яркости фона
по полю зрения таково,
что общий поток излуче-
ния, падающий в некото-
рый момент времени на
модулирующую часть рас-
тра, равен Фъ а на фази-
рующую— Ф2. Для рас-
тра с непрозрачной фази-
рующей частью общая ве-
личина потока излучения,
прошедшего сквозь растр
Рис. 154. Форма импульсов модулированного
потока излучения для растра с фазирующим
полудиском: а — непрозрачным; б — полу-
прозрачным
на приемник в этом случае,
равна Фх/2. Когда растр повернется на 180°, поток Фх окажется
закрыт полностью непрозрачной фазирующей частью и на прием-
ник излучения падает поток Фг/2. Так как Фг =/= Фг, то имеет
170
Место модуляция 0 Частотой вращения растра и амплитудой
(ф, — ф2)/2.
Если же фазирующая часть растра полупрозрачна, то па при-
емник во всех случаях падает поток Фх/2 + Ф2/2 и модуляция
отсутствует.
Исследования излучения различных фонов неба, в частности,
показали, что вследствие непостоянства его яркости по полю зре-
Рис. 155. Растры Бибсрмана и Эсти с полупрозрачным» фазирующими
полудисками
I ис. 15G. Растр со спиральными
секторами
Рис. 157. Растр Дэвиса с зигза-
гообразными секторами
ния возникают очень большие сигналы на частоте вращения ра-
стра, имеющего непрозрачную фазирующую часть, и значительно
Ф 5 1Q раз) меньшие, если фазирующая часть полупрозрачна,
азличного рода неравномерности в распределении яркости неба,
вязанные, например, с наличием небольших ярко освещенных
Лак9в. приводят к появлению в спектре сигнала высших гармо-
ник. Однако очень резкие перепады яркости встречаются редко,
в Спектре сигнала почти отсутствуют гармоники выше восьмой,
171
Рис. 158. Растр с модулирую-
щей частью в виде шахматной
доски
поэтому частота модуляции излучения малоразмерной цели
(число секторов модулирующей части растра) должна быть вы-
брана более высокой, чем восьмая гармоника частоты вращения
(N > 8).
Стремление ослабить модуляцию резких границ фона типа
ярко освещенных облаков и горизонта Земли привело к созданию
растров, радиальная (модулирующая)
часть которых выполняется в виде
спиральных или зигзагообразных
секторов, а также в виде чередую-
щейся структуры типа шахматной
доски.
Растр со спиральными секторами
(рис. 156) осуществляет модуляцию
изображения точечной цели так же,
как обычный радиально-секторный
растр. В то же время изображение
линейного градиента фона модули-
руется им тем меньше, чем больше
отношение его длины к длине про-
зрачного спирального сектора. Ана-
логичными свойствами обладает растр
с зигзагообразными секторами, па-
Дэвиса (рис. 157). Растр типа шах-
зываемый также растром
матной доски (рис. 158) модулирует изображение точечной цели
так же, как обычный секторный диск. Однако он не модулирует
протяженную деталь фона, поскольку смежные клегки дают сиг-
налы, находящиеся в противофазе.
§ 8. ЧАСТОТНО-ФАЗОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ
Частотно-фазовые растры модулируют излучение цели так, что
изменение (девиация) частоты модулированного сигнала опре-
деляет величину угла рассогласования, а изменение фазы девиа-
ции частоты определяет направление (знак) рассогласования.
Этим обеспечивается кодирование информации о положении цели
в поле зрения.
Зависимость изменения частоты модулированного сигнала от
величины угла рассогласования может быть обеспечена, в част-
ности, за счет движения изображения цели по окружности в пло-
скости установки неподвижного секторного растра. Это движение
(вобуляция) осуществляется вращающимся клином, зеркалом или
линзой, смещенной относительно оси вращения. Частотная моду-
ляция происходит при возникновении эксцентриситета между тра-
екторией движения изображения и растром. На рис. 159 показаны
концентричная и эксцентричная траектории движения изображе-
ния по растру, а на рис. 160 — соответствующая им модуляция
потока излучения.
172
При положении источника излучения (цели) на оси поток моду-
лируется с постоянной частотой, а смещение источника, вызы-
вающее эксцентриситет траектории его изображения, приводит
к частотной модуляции.
По мере увеличения угла рассогласования происходит увели-
чение девиации частоты, причем мгновенное значение частоты
модулированного сигнала зависит от угла рассогласования —
радиус-вектора цели, а фаза девиации — от полярного угла.
Если хотят избежать вобу-
ляции изображения цели кли-
ном, зеркалом или линзой, при-
меняют вращающийся растр, ко-
а)
V(tK
Рис. 159. Растровый анализатор
для непрерывной частотно-фазовой
модуляции за счет вобуляции изо-
бражения цели:
1 — траектория движения изображе-
ния цели при ее расположении на оп-
тической оси; 2 — то же при смещении
цели от оси
Рис. 160. Зависимость модулирован-
ного потока излучения от времени для
цели, находящейся на оси (а) и вне
оси (6)
торый представлен на рис 161.
Этот растр не нашел широкого
применения.
Дискретное изменение частот модуляции в зависимости от
угла рассогласования достигается с помощью растра, предста-
вленного на рис 162.
В этом случае имеет место дискретное изменение числа штри-
хов растра при переходе от одного концентрического пояса к дру-
гому. В пределах одного концентрического пояса ширина модули-
рующих штрихов не остается постоянной, а изменяется по сину-
соидальному закону так, что непрозрачные штрихи шире на одной
половине растра, чем на другой. Соответственно изменяется и
ширина прозрачных промежутков между штрихами. Поэтому при
м°Дуляции потока излучения с частотой чередования штрихов
Растра накладывается также дополнительная модуляция, свя-
шнная с изменением длительности сигналов в зависимости от по-
лярного угла цели. Отсчет фазы этой дополнительной модуля-
цпи, период которой равен времени одного оборота растра, по-
воляет определить направление (знак) рассогласования
Поскольку во избежание потерь энергии при модуляции диа-
етР кружка рассеяния объектива выбирается равным минималь-
173
ному размеру прозрачных штрихов, растр, представленный на
рис. 162, осуществляет по существу импульсную модуляцию, так
как на приемник излучения поступает периодическая последова-
тельность импульсов потока излучения переменной длительности.
Рис. 161. Вращающийся растр
для частотной модуляции
Рис. 162. Растр для смешанной
частотно-время-импульсной моду-
ляции
Изменение положения цели приводит как к изменению частоты
повторения импульсов (радиус-вектор цели), так и к изменению
положения импульса минимальной длительности (полярный угол
цели). Таким образом, растр следует отнести к системам со сме-
шанной частотно-время-импульсной модуляцией.
§ 9. ИМПУЛЬСНАЯ МОДУЛЯЦИЯ
В общем случае различают амплитудно-импульсную и времен-
ную импульсную модуляции.
Если в результате изменения координат цели импульсы излу-
чения, падающего на приемник, изменяются по величине, сохраняя
при этом неизменными свою форму, длительность и положение,
то такая модуляция называется амплитудно-импульсной (АИМ).
АИМ можно осуществить, например, с помощью секторного растра,
у которого все секторы, кроме одного, закрыты. В этом случае
при наличии цели в поле зрения излучение, падающее на прием-
ник, представляет собой короткие импульсы, следующие с часто-
той вращения растра. Амплитуда этих импульсов уменьшается
по мере приближения изображения цели к центру растра, так
как уменьшается доля энергии, проходящей через растр к прием-
нику через все более и более узкую щель. Растровые анализаторы,
обеспечивающие АИМ, не получили распространения вследствие
больших потерь энергии по сравнению с аналогичными системами,
обеспечивающими непрерывную модуляцию.
Если в результате изменения координат цели импульсы по-
тока излучения, падающего на приемник, сохраняя свою форму
174
и величину, смещаются во времени на величину А/, пропорцио-
нальную координатам, то такая модуляция называется временной
импульсной или еремя-импульсной модуляцией (ВИМ). При этом
различают фазоимпульсную модуляцию (ФИМ), частотно-им-
пульсную модуляцию (ЧИМ) и широтно-импульсную модуляцию
(ШИМ) или модуляцию по длительности (ДИМ).
В случае фазоимпульсной модуляции (ФИМ) изменение коор-
динат цели приводит к сдвигу каждого импульса от его среднего
положения, которое фиксируется
опорными импульсами. Если модуля-
ция заключается в изменении часто-
ты следования импульсов, то имеет
место частотно-импульсная модуля-
ция (ЧИМ). Наконец, при измене-
нии длительности отдельных импуль-
сов в серии, которое достигается сме-
щением либо переднего, либо заднего,
либо обоих фронтов импульса, реали-
зуется модуляция по длительности
(ДИМ) или так называемая широтно-
импульсная модуляция (ШИМ). На-
иболее часто встречаются ШИМ и
ФИМ.
Рис. 163. Однокоординатный ши-
ротно-импульсный растр:
1 — прозрачная часть; 2 — непро-
зрачная часть (Р — точка, опреде-
ляющая положение изображения
цели, не отклоненного вобуляцией)
Однокоординатная широтно-импульсная модуляция может,
в частности, осуществляться с помощью установленного перед
приемником неподвижного растра, одна половина которого про-
зрачна, а другая непрозрачна (рис. 163). За счет вобуляции изо-
бражению цели придается колебательное движение (с помощью
колеблющегося зеркала) или движение по окружности (с помощью,
например, оптического клина). Если изображение цели находится
на оптической оси, длительность импульса составляет половину
периода колебания или кругового движения. При смещении изо-
бражения на величину х длительность импульса изменяется на
время
л /_. (^1 — S2)
— у ,
гДе «Sj, 5 2 — путь, проходимый изображением цели, при вобу-
ляции по прозрачной и непрозрачной частям растра; V — линей-
ная скорость движения изображения. Так как
S* = nR + 2R arcsin (x/R);
S2 = nR — 2R arcsin (x/R);
V = (£>R = 2nnR,
где n — скорость вращения изображения, с-1, то
А/ = (2/пп) arcsin (x/R).
175
Однокоординатная ШИМ может использоваться в датчиках гори-
зонта, когда источником излучения (целью) является восходящая
звезда.
Аналогичным образом может быть построен двухкоординатнын
широтно-импульсный растр (рис. 164). В этом случае разность
времен отсутствия сигнала 1(S2 — S4)/V ] должна использоваться
1 — прозрачная часть; 2 — непрозрачная
часть (Р — точка, определяющая положение
изображения цели, не отклоненного вобуля-
цией, РО = d)
Рис. 165. Растр для широтно-
импульсной модуляции
для управления по азиму-
ту — оси х, разность вре-
мен наличия сигнала
[(Sx — S3)/V1 —для управления по высоте — оси у. При вы-
работке сигналов ошибок по двум координатам угловое поло-
жение источника излучения определяется с помощью опор-
ного напряжения, связанного по фазе с угловым положением опти-
ческого клина, осуществляющего вобуляцию изображения. На
основании рис. 164 можно найти:
S2 — 54 = 2arcsin (d sin y/R) — 2arcsin (d cos y/R)',
S L — S3 = 2arcsin (d sin y/R) + 2arcsin (d cos y/R).
Широтно-импульсная модуляция может быть получена также с по-
мощью вращающегося растра, который представлен на рис. 165.
Когда изображение малоразмерного источника излучения нахо-
дится вблизи центра, на приемник падает поток излучения в виде
узких импульсов (рис. 166, а). При смещении изображения
к краю растра продолжительность импульсов увеличивается
(рис. 166, б).
176
Для того чтобы получить сведения не только о радиус-векторе,
Но и о полярном угле изображения цели, фигурный вырез делается
в одном квадранте (рис. 167). При этом синхронно с растром Р
со скоростью Ир вращается квадрантный переключатель КП, вы-
полняющий роль разделительного устройства. За один оборот
растра переключатель попеременно подключает выход усилителя
фототока к одному из четырех сегментов, соответствующих поло-
жению фигурного выреза растра в том или ином квадранте.
Этим достигается распределение импульсов по двум каналам
управления: канал курса (азимута) — вправо (+%) или влево (—х),
канал тангажа (высоты) —
вверх (+у) или вниз (—у).
Профиль фигурного выре-
за растра может обеспечить
различную зависимость дли-
тельности импульса от вели-
чины угла рассогласования
(радиус-вектора). Для обес-
печения линейной зависимо-
сти ос = лр/(2/?) необходимо
обеспечить условие р = R х
х(1 — 4р/зт), которое легко
t
Рис. 166. Зависимость модулированного
потока излучения от времени у растра для
ШИМ: а — изображение цели вблизи
центра; б — изображение цели на краю
растра
получить из схемы, представ-
ленной на рис. 167.
Двухкоординатный фазо-
широтноимпульсный растр
представлен на рис. 168.
При каждом обороте растра вырабатывается один опорный
импульс. Интервал времени между опорным импульсом и перед-
ним фронтом импульса от изображения цели пропорционален
полярному углу <р. Длительность импульса является мерой ра-
диального смещения изображения а = const-р.
Граница между прозрачной и непрозрачной частями растра
выполнена по спирали Архимеда.
В последнее время, главным образом в связи с решением задач
автоматической астронавигации, появился новый вид импульс-
ной модуляции, связанный с делением сигнала на дискретные
Уровни и получивший название импульсно-кодовой модуляции.
Модулирующий растр в этом случае устроен таким образом, что
ноток излучения цели в зависимости от ее положения в поле зре-
ния либо полностью задерживается, либо полностью пропуска-
ется к приемнику излучения. Соответственно сигнал принимается
либо за 0, либо за 1. Информация о положении цели, выданная
в такой форме, может непосредственно вводиться в вычислитель-
ное устройство. В большинстве случаев для получения информа-
ции по двум координатам необходимы две системы с импульсно-
кодовой модуляцией и взаимно перпендикулярным расположе-
нием осей.
177
Рис. 167. Растр с фигурным вырезом в одном квадранте для ШИМ:
р — растр; КП — квадрантный переключатель; Об — объектив; К — кон-
денсор; Пр — приемник; Ус — усилитель фототока
Рис. 168. Двух координат-
ный фазоширотноимпуль-
сный растр
178
об р к Пр
Принципиальная схема однокоординатной импульсно-кодовой
системы приведена на рис. 169. Схема работает следующим обра-
зом- С помощью вращающегося зеркала или многогранного зер-
кального барабана, вращающегося перед объективом, изображе-
ние точечной цели переме-
щается в картинной плоско-
сти, где находится растрко-
дирующая маска с отвер-
стиями, расположенными так,
что, перемещаясь по маске,
поток излучения от цели ко-
дируется двоичным кодом или
"кодом Грея. Этот код харак-
теризует положение цели в
направлении, перпендику-
лярном сканированию.
Системы с импульсной
модуляцией часто включают
в себя различные многоэле-
ментные приемники. Отдель-
ные площадки приемника мо-
гут располагаться в виде сим-
метричного креста, линей-
ного ряда либо другим образом, а изображение цели пере-
мещается в плоскости установки приемников по заранее заданному
закону за счет сканирования. В подобных системах растры ис-
пользуются как прерыватели потока излучения с целью простран-
ственной фильтрации и увеличения помехозащищенности от про-
тяженных элементов фона.
Рис. 169. Однокоординатный импульсно-
кодовый растр:
1 — траектория движения изображения цели;
2 — дорожки с отверстиями на кодирующей
маске; Р — растр; 3 — вращающееся зеркало;
Об — объектив; К — конденсор; Пр — прием-
ник
Глава 8
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАСТРОМ
ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ИЗЛУЧЕНИЯ В ФУНКЦИЮ ВРЕМЕНИ
§ 1. СТРУКТУРА И СПЕКТР МОДУЛИРОВАННОГО ПОТОКА
ИЗЛУЧЕНИЯ
В общем случае оптическая система с растровым анализатором
состоит из объектива Об, который создает изображение поля излу-
чения в плоскости диафрагмы поля Дп, растра Р, движущегося
через диафрагму, и приемника Пр, воспринимающего излучение,
Рошедшее через диафрагму (рис. 170). Конденсор К обеспечи-
ает равномерное освещение чувствительной площадки приемника,
Р°ецируя на нее входной зрачок объектива.
179
При наблюдении сквозь диафрагму можно увидеть движущиеся
части растра, которые появляются с периодической последова-
тельностью.
Положение некоторой точки в плоскости диафрагмы может
быть задано в прямоугольных или полярных координатах.
Обозначим обобщенные координаты точки, лежащей в плоско-
сти диафрагмы через z, т. е. в прямоугольных координатах г =
= (х, у), а в полярных координатах г = (р, ср).
Освещенность изображения в рассматриваемой точке равна
Е (г, /), причем зависимость от времени возникает главным обра-
зом при сканировании поля излучения. Если сканирование отсут-
ствует, то освещенность изображения зависит от времени только
в том случае, когда поле излуче-
ния изменяется за время анализа,
как это имеет место, например,
при регистрации кратковременной
вспышки света.
Коэффициент пропускания ра-
стра в рассматриваемой точке ра-
вен тр (г, /), т. е. он зависит от
пространственной координаты г
и времени t (зависимость от времени определяется в этом случае
движением растра). Величина коэффициента пропускания, назы-
ваемого функцией растра, может быть представлена рядом Фурье,
так как действие растра всегда периодично.
Поток излучения, прошедший через растр в пределах площади
диафрагмы поля о, равен
Ф(0 = [ тр (z, t)E(z, f)do,
(о)
где Е (г, /) — освещенность диафрагмы о; тр (z, t) — коэффи-
циент пропускания растра в точке с обобщенной координатой г;
do — элемент площади диафрагмы о.
Преобразуем уравнение для Ф (/) к виду
Ф (0 = J тр (г, t) тф (z) Ео (0 dor = Ео (/) j тр (г, t) тф (г) do,
(о) (П)
т. е. предположим, что диафрагма поля о освещена падающим
потоком равномерно, так что Ео (/) = const, но в плоскости диа-
фрагмы установлен фильтр, коэффициент пропускания которого
Тф (г) зависит от пространственных координат рассматриваемой
точки.
Если обозначить
= J тр 0 тф (z) do,
(о)
Рис. 170. Оптическая система с рас-
тровым анализатором
180
то модулированный поток излучения
Ф (/) = Ео (/) от (/) - Фо (/) т (/),
где Фо (0 — поток излучения, падающий на диафрагму и растр;
т (/) — интегральный коэффициент пропускания диафрагмы и
растра.
Интегральный коэффициент пропускания может быть пред-
ставлен в виде бесконечной суммы синусов и косинусов
со
т (/) = 0,5Ло У (Acosfoo0/ ф- BAsin /г(оп/).
/г=1
Здесь
+7/2
2 г
Ak — — I т (0 cos kaot dt\
— Tl?.
+7/2
2 f
Bk = J т (/) sin kiDot dt\
—ТГ2
+T/2
Ao==T I T (z)
—т/г
w0 = 2nf0 = 2n/T,
где f0 — основная частота модулированного растром потока из-
лучения; Т — период модулированного растром потока излуче-
ния, определяемый пространственным периодом повторения ри-
сунка растра.
Еслит(/)—четная функция, т. е. законы открытия и закрытия
потока излучения одинаковы и начало отсчета времени выбрано
в середине периода рисунка растра, то Bk = 0 и
оо
т (/) 0,5Ло ф- У Аг cos /аоо/;
/г=1
так как
cos koy0t = 0,5 (е/7гИо/ ф-
то
оо
т (t) = 0,5Ло ф- 0,5 У Ak е~/Аи<>*)•
/г=1
Спектр модулированного потока излучения можно вычислить
с помощью прямого преобразования Фурье
-|-оо -]-оо
Ф (f) = f Ф (/) e-J2^ dt = j Фп (0 т (/) е-/2^' dt.
— оо —ОО
181
Следовательно, подставляя значение Ф (/) = Фо (/) ? (/)
найдем
-|-со оо
Ф(Л= j Фо(О О,5Ло4-О,5 2 Л(е'*2яМ 4-e-WoQ
— оо Л = 1
+°°
X е~/21Ф dt = О,5Ло j Фо(/) е-/2п^ dt 4-
— с»
со —сю —со
+ 0,5 Ak J Ф0(/)е-/2л^-^^^ + J Ф0(/)е-/2л^+^)^/
k =1 _ — СО —со
Рис. 171. Спектр Фурье модулированного потока излучения
Входящие в полученное выражение интегралы, представляют
собой спектры исходного потока излучения (немодулированного
сигнала), расположенные симметрично относительно нулевой
частоты и относительно частот, сдвинутых на величины, кратные
частоте модуляции:
Ф»(/)= J ®o(/)e-Wd/;
— со
-|~со
Фо(/-Щ = J df,
— co
—со
5>otf + W = J Ф0(/)е-/2" Л.
Следовательно,
со
ф (/)=о,5Лофо (/) + 0,5 2 Ак[Ф (f - ад + ф (/ + Вд].
k=l
Вид спектра модулированного потока излучения представлен на
рис. 171.
182
Спектр сигнала Фо (/) может занимать полосу частот, большую,
чем тогда будет иметь место наложение кривых, представлен-
ных на рис. 171, и полный спектр получится суммированием этих
перекрывающихся кривых.
ф0 (/) может быть комплексной функцией, что означает нали-
чие сдвигов составляющих спектр колебаний по фазе. Это имеет
место, например, когда коэффициент пропускания растра не вы-
ражается четной функцией
со
т (/) = 0,5Ло 4- X (Ak cos k^ot + Bk sin ku)ot).
k=i
Так как
—oo -|~cc
Ф(П = f Ф(/)е-/2^^= J Фо(0т(0е-/2^^,
--00 —00
то можно найти
со
Ф (f) = 0,5Л„Фо (f) + 0,5 L (Л„ - №) Ф„ (f - ад +
Л=1
+(А+№)Фо(м-ад.
В этом случае суммирование вещественных и мнимых составляю-
щих должно производиться раздельно.
Рассмотрим значение отрицательных частот в спектре.
Гармоническое колебание, определяемое действительной функ-
цией
S (t) = A cos (Q£ — ф),
может быть представлено в виде суммы проекций на горизонталь-
ную ось (рис. 172) двух векторов с амплитудами 0,5Л, вращаю-
щихся с угловой частотой Q в противоположных направлениях.
Следовательно,
S (0 = 0,5Ле+/ + 0,5Ле~/ =
= 0,571 [еу + е/ (°-z~
В полученном выражении второе слагаемое можно трактовать
как колебание с «отрицательной» частотой = —Q+ и фазой
Ф- = —ф+.
Гармонической составляющей с какой-либо физической часто-
той Q соответствует пара слагаемых, одно из которых содержит
отрицательную частоту
S (0 = 0,5Л [cos (Q+f — ф+) + j sin (Q+/ — ф+)] -j-
+ 0,5Л [cos (Qj — ф_) ф- / sin (Qj — ф_)] =
= 0,571 [cos (Q+Z — ф+) 4- / sin (Q+Z — ф+)] +
+ 0,5Л [cos (— йф + ф+) 4- j sin (— Й4 4- ф+)] = Л cos (pt - ф).
183
Таким образом, при использовании удобного для анализа вы-
ражения, включающего отрицательные частоты, всегда можно
освободиться от них путем перехода в этом выражении к тригоно-
метрической форме.
При косинусоидальной модуляции потока излучения, когда
коэффициент пропускания растра (идеального гармонического мо-
дулятора) определяется выражением (рис. 173, б)
т (0 = т0 + Ti cos сп0/,
коэффициенты разложения Фурье равны:
0,5Л 0 = т0; А! = Тр
Если при этом форма импульса потока излучения описывается,
например, коси нус-квадратной зависимостью (рис. 173, а)
<!'„(/) = Ф„ COS2
для которой спектр Фурье опреде-
ляется выражением (рис. 173, в)
ф» (/) = ф» • (< и/2) (,
\ 1 - и свх)
Рис. 172. Векторное представление ^Де использовано обозначение
гармонического колебания sax — (sin х)/х, то модуль спектра
модулированного потока излуче-
ния имеет вид, представленный на рис. 173, г.
В табл. 2 даны значения функции sax, а график ее модуля
для х > 0 представлен на рис. 173, д.
Точные значения х и sax для локальных положительных и
отрицательных максимумов в пределах изменения х от 0 до 15
равны:
х ............ О 4,49341
sax .......... 1,0 —0,21723
7,72525 10,90412 14,06619
0,12837 —0,09133 0,07091
В наиболее простом случае, когда на
чения постоянной величины
растр падает поток нзлу-
Фо (0 — Фо>
вычисление спектра Фурье обычным способом оказывается невоз-
можным, так как функция Фо = const не удовлетворяет условию
абсолютной интегрируемости. Для вычисления спектра Фурье
в этом случае, как известно, необходимо воспользоваться функ-
цией Дирака, которую называют также дельта-функцией (6-функ-
цией) или единичным импульсом.
Спектр Ф (/) при этом представляет собой набор 6-функций,
сосредоточенных на частотах отдельных гармоник. Так как поль-
зоваться таким представлением ‘.спектра неудобно, спектр моду-
лированного потока излучения представляют совокупностью
184
ис. 173. Спектр Фурье модулированного потока излучения для идеального
армонического модулятора: а — форма импульса потока излучения; б — коэф-
фициент пропускания идеального, гармонического модулятора; в — спектр
5Рье немодулированного потока излучения; г—спектр Фурье модулирован-
ного потока излучения; д — функция
I । sin X
I sa х | = ----- для х > О
185
Значения функции sa х = (sin х)/х
Таблица 2
X 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0 1,0000 0,9983 0,9933 0,9851 0,9735 0,9589 0,9411 0,9203 0,8967 0,8704
1 0,8415 0,8102 0,7767 0,7412 0,7039 0,6650 0,6247 0,5833 0,5410 0,4981
2 0,4546 0,4111 0,3675 0,3242 0,2814 0,2394 0,1983 0,1583 0,1196 0,0825
3 0,0470 0,0134 —0,0182 —0,0478 —0,0752 —0,1002 —0,1229 —0,1437 —0,1610 —0,1764
4 —0,1892 —0,1996 —0,2075 —0,2131 —0,2163 —0,2272 —0,2160 —0,2127 —0,2075 —0,2005
5 —0,1918 —0,1815 —0,1699 —0,1570 —0,1431 —0,1283 —0,1127 —0,0966 —0,0801 —0,0634
6 —0,0466 —0,0299 —0,0134 0,0027 0,0482 0,0331 0,0472 0,0604 0,0727 0,0838
7 0,0939 0,1027 0,1102 0,1165 0,1214 0,1251 0,1274 0,1283 0,1280 0,1264
8 0,1237 0,1197 0,1147 0,1087 0,1017 0,0939 0,0854 0,0767 0,0665 0,0563
9 0,0548 0,0351 0,0242 0,0134 0,0026 —0,0079 —0,0182 —0,0280 —0,0374 —0,0462
10 —0,0544 —0,0619 —0,0686 —0,0745 —0,0796 —0,0838 —0,0871 —0,0894 —0,0908 —0,0913
И —0,0909 —0,0896 —0,0874 —0,0844 —0,0806 —0,0761 —0,0709 —0,0651 —0,0588 —0,0519
12 —0,0447 —0,0372 —0,0294 —0,0214 —0,0134 —0,0053 0,0027 0,0105 0,0181 0,0254
13 0,0323 0,0388 0,0449 0,0503 0,0553 0,0595 0,0632 0,0661 0,0684 0,0699
14 0,0708 0,0709 0,0703 0,0690 0,0671 0,0645 0,0613 0,0575 0,0533 0,0485
15 0,0434 — — — — — — — —
значений амплитуд (спектр амплитуд) и фаз (спектр фаз) отдельных
гармоник
со
ф(/) = Ф(/) = Ф„г(/) = О,5Ф„Ло + Фо 2 M*cosA2nM +
/г=1
а — общий случай; б — идеальный гармонический модулятор
Если Во = 0, то
Ф (/) = 0,5ФоЛо 4- Фо V} Ak cos /?2л/0/;
fe=i
для идеального гармонического модулятора имеем
Ф (/) = Фото + Фо^г cos 2nfot.
Амплитудный спектр модулированного потока излучения в общем
случае и для идеального гармонического модулятора представлен
на рис. 174.
§ 2. ГАРМОНИЧЕСКАЯ МОДУЛЯЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ.
ОШИБКИ МОДУЛЯЦИИ.
МОДУЛЯЦИЯ КРАТКОВРЕМЕННЫХ ИМПУЛЬСОВ (ВСПЫШЕК)
ИЗЛУЧЕНИЯ
2.1. Идеальный гармонический модулятор
При прерывании потока излучения идеальным гармоническим
модулятором имеет место синусоидальная или косинусоидальная
модуляция, поскольку коэффициент пропускания в этом случае
равен:
т (0 = то + sin Ф;
т (О — то + г1 cos Ф-
Здесь ф = соо/ фо, Где <оо = 2nf0.
1 армоническая модуляция может осуществляться, в частности,
секторным растром, вращающимся за равномерно освещенной
5рафрагмой поля с фигурным отверстием (рис. 175).
187
Фигурное отверстие вырезается по размерам, рассчитанным
из уравнения
г 12 = г0 — а cos 2TVa,
где г0 — радиус средней окружности; N — число непрозрачных
(или прозрачных) секторов растра; а, гь г2 — полярные коорди-
наты границ фигурного выреза; а — полуширина отверстия вдоль
радиуса.
Модуляция, близкая к гармонической, может осуществляться
также растром в виде непрозрачного диска с отверстиями, раз-
Рис. 175. Секторный растр для
гармонической модуляции
мер которых равен размерам диа-
фрагмы поля или сечения светового
пучка в плоскости расположения
растра, а непрозрачные промежутки
между отверстиями равны по разме-
рам отверстиям. Благодаря тому, что
усилитель фототока, используемый
в оптико-электронных приборах с мо-
дуляцией излучения, обычно рассчи-
тан на выделение лишь относительно
узкой полосы частот, расположенных
вокруг основной частоты модуляции,
можно считать, что и в этом случае
имеет место гармоническая модуля-
ция, а потери энергии, связанные
с появлением высших гармоник, невелики.
Однако при изготовлении растра возможны ошибки, вызываю-
щие периодическое смещение его отверстий относительно диафрагмы
(сечения светового пучка в месте расположения растра) в двух
направлениях — вдоль радиуса и вдоль окружности, на которой
расположены отверстия. В общем случае эти ошибки носят слу-
чайный характер, а их наличие вызывает появление в спектре
модулированного сигнала составляющих, расположенных в не-
посредственной близости от частоты модуляции и, следовательно,
проходящих даже сквозь узкополосный усилитель.
2.2. Ошибки изготовления растра —
модулятора излучения
Предположим, что растр представляет собой непрозрачный
диск с круглыми отверстиями, совпадающими по размеру и форме
с диафрагмой поля (рис. 176). Если отверстия изготовлены иде-
ально, т. е. располагаются на одинаковом угловом расстоянии
<рг друг от друга и на одинаковом удалении RQ от центра враще-
ния О, то при постоянной скорости вращения растра период
модуляции будет оставаться постоянным за время одного оборота
и равным
= 2л/соо = N tpr/coo = <p7/(coo//V) = (рт7Пи.
188
Здесь ср? — угловое расстояние между центрами соседних отвер-
стий растра; Qo — <оо/Л^ = 2лнр — угловая скорость вращения
растра; N — число отверстий; соо — 2л/0 — угловая частота мо-
дуляции, где Пр—частота вращения, с-1; f0 — частота модуля-
ции, Гц.
В этом случае на приемник излучения поступает периодическая
последовательность импульсов потока излучения, причем ампли-
туда k-и гармоники их дискретного спектра Ak равна модулю
спектральной плотности одиночного импульса той же формы на
частоте умноженной
на 2IT (см. гл. 12, § 6),
ДЛ=(2/Т)|Ф(^)|.
Если, например, импуль-
сы излучения имеют прямо-
угольную форму, что соот-
ветствует случаю, когда раз-
мер диафрагмы поля очень
мал по сравнению с отвер-
Рис. 176. Растр-модулятор (прерыва-
тель) излучения в виде диска с отвер-
стиями
стием растра, то
Ф (Л) — (^(/вх
sin [2nfk (/вх/2)]
2л/;е (/вх/2)
где Фо — полный поток излучения, проходящий через отверстие
диафрагмы; tBX — длительность импульса.
При одинаковом размере непрозрачных промежутков и отвер-
стий растра, когда /вх = Т/2, можно найти:
Ak = Фо [sin kn!21 /(Лл/2).
Отношение амплитуды ближайшей (третьей) высшей гармоники
к амплитуде частоты модуляции (k = 1) равно
ASIA1 = 1/3.
Если отверстия диафрагмы по форме и размерам совпадают
с отверстиями растра, то импульс излучения может быть аппрок-
симирован уравнением плавной кривой. При косинус-квадратной
аппроксимации, когда
Ф /А _ J Ф° Cos2 ^/2)1 При I И < /вх/2;
I о при |/|>/вх/2,
имеем
ф/f \ ф0^вх sin [2nffe(f
ВХ /2)]
Wc’ 2 2л/Н^вх/2)[1-(Мх)2] •
189
Если /вх = 772; fk = kfi = k/T, то амплитуда k-й гармоники
периодической последовательности косинус-квадратных импуль-
сов будет равна
Л = | |Ф(М| = |
Фо sin (kn/2)
ПГ (6л/2) (1 —/г2/4)
Отношение амплитуды ближайшей (третьей) высшей гармоники
к амплитуде частоты модуляции в этом случае равно А3/А1 = 1/5.
Рис. 177. Эксцентриситет растра:
1 — окружность с центром в точке О', на
которой расположены отверстия растра;
2 — траектория относительного движения
центра диафрагмы поля (окружность с цен-
тром в точке О)
Если отверстие растра сме-
щено по окружности на угол
Аф7- относительно среднего от-
верстия (рис. 176), то это смеще-
ние приведет к изменению пе-
риода модуляции на величину
АТ = Афу/Йо,
а частоты модуляции — на ве-
личину А со, так что относитель-
ное изменение частоты будет
равно:
Асо/со0 = АТ1Т0 = Афг/фг;
Асо = й)0Афг/фг.
Изменение частоты модуля-
ции произойдет и в том случае,
когда отверстия модулятора
расположены идеально точно
с шагом фГ, а центр его враще-
ния смещен относительно цент-
ра окружности, на которой на-
ходится диафрагма поля (сечение светового пучка).
Рассмотрим количественную связь между изменением частоты
и эксцентриситетом.
Пусть траектория относительного движения центра диафрагмы
поля лежит на окружности с центром в точке О, а отверстия растра
расположены на окружности с центром в точке О', находящейся
на расстоянии а от точки О (рис. 177).
Тогда можно найти разность полярных углов ф и ф', характе-
ризующих положение центра отверстия растра относительно
точек О п О',
6ф = ф — ф' = ll/Ro (а siR фЖо-
Пусть, далее, в точках 1 и 2 (рис. 178) находятся центры двух
соседних отверстий растра, полярные углы которых относительно
точек О и О' равны соответственно фх, ф2, ф1 и фг.
190
Тогда имеем:
Фг = <Р1 — Ф2»
<р'т = ф1 — Ф'^
Дсрг = фГ — ф'г = (ф! — ф^) — (ф2 — фг) = — 6Ф2-
Подставив в последнюю формулу:
6ф1 = (а/Ro) sin cpf,
6ф2 = (a/R0) sin ф2,
получим
Дфг = (sin ф! — sin ф2) = cos -<Р1.+.ф2 sin
Так как
sin 1(ф1 — фг)/2 ] = sin фГ/2
<рг/2;
(<Р1 + Фг)/2 = Фер
то
Дфу фт (fllR о) cos q/,
Дфг/фг (cdRo) cos Й0Л
Следовательно, изменение
частоты модуляции
Рис. 178. Схема для оценки эксцентри-
ситета растра
Дсо = со (Дфг/ф-г) = соо (a/R0) cos QQt = Дсотах cos
где Л comax = со 0 (ci/Rq).
Мгновенное значение частоты
со (t) = соо + Дсогпах cos Qo/ = соо (1 -Т tn cos QoO,
где т — глубина модуляции, т = Дсогпах/соо = a!Ro\ Д^тах —
(fllR о)
Из выражения для со (t) следует, что наличие эксцентриситета
вызывает периодическую модуляцию частоты в пределах ±Дсотах
с частотой Йо = 2л/гр.
Амплитуду частотного отклонения A.comax обычно называют
Девиацией частоты или просто девиацией
СОд = Л^шах == 231^ д,
сОд = со о (a/R0).
191
Изменение частоты модуляции и мгновенное значение частоты
можно представить в виде:
Дсо = сод cos Q0Z;
со (t) = соо [1 + (сод/соо) cos Q0/1 = со0 (1 + т cos Q0Z),
где т = Дсотах/соо = сод/соо.
По своему определению круговая частота оз (Z) есть производ-
ная по времени от аргумента тригонометрической функции, пред-
ставляющей колебание, — полной фазы колебания ф.
Если т (f) — т0 ф- Tj sin ф, то набег полной фазы за время t
будет равен
t t
ф = j со (Z) dZ = j co0 .1 + cos Qot^dt = cooZ + -Ту- sin Qot.
о 0 0
Итак, периодическая модуляция частоты в пределах ±=сод с часто-
той Йо эквивалентна гармонической модуляции фазы с той же
частотой в пределах угла р = сод/По.
Величину р называют индексом угловой модуляции (в данном
случае — частотной).
Следовательно, коэффициент пропускания равен
т (Z) = т0 + тх sin (cooZ + р sin Q0Z),
где
Р = сОд/Qq ~ Де)тах/Оо псо q/(R qQ о)
= aArQ0/(/?0Q0) = (a/R0) N.
Когда эксцентриситет отсутствует, но имеют место случайные
ошибки изготовления отверстий растра, частота модуляции изме-
няется в общем случае по закону
со (Z) = со0 + о)дГ (Z) = со0 [1 + (сод/соо) F (Z)l = соо [1 + F (Z) 1.
Здесь F (Z) — периодическая функция времени с периодом 1/пр,
где пр —скорость вращения растра.
Полная фаза колебания при этом равна
t t t
ф (Z) = j co (Z) dt = cooZ о)д j F (Z) dt = mot + j 2nnpF (Z) dt.
0 0 0
Подставив сод/Но — p и введя обозначение
t
y(Z) = J 2jxhpF(Z) dt,
о
192
найдем:
гр (О = + ₽Т (t)\
т (О = т0 + ТХ sin [w()/ + Py (0 ]•
При полностью непрозрачных промежутках между отверстиями
растра Ti = т0.
Е В свою очередь, за счет смещения отверстии растра вдоль ра-
диуса может иметь место зависимость коэффициента пропускания
т от времени, т. е. в общем
случае имеем
т(0 = *0 (О П +sin 1“о* +
+ ₽т(ОИ-
Функцию То (t) удобно
представить в виде
^(0 = ^0 Н+М6(/)],
тогда
т(0 = то [1 + М0 (01 П +
4-sin [соо/ 4- Ру (0Ц.
Если отверстия изготов-
лены идеально точно, но
имеет место эксцентриситет,
то
у (0 = sin Q0Z;
Рис. 179. Взаимное положение отверстий
растра (модулятора) и диафрагмы при
эксцентриситете
AfPrmax = <Рт (а/Ro) = (2л/N) (а/Ro)’,
сод = nN2 Афттах = coo (a/Ro);
р - сод/йо = N (a/R0),
где а — эксцентриситет; Ro — радиус окружности центров от-
верстий растра.
I Для определения вида функции 0 (/^обратимся к рис. 179,
где^представлены взаимные положения одного из отверстий растра
(модулятора) и равного ему по’размеру отверстия диафрагмы для
частных случаев <р = 0; ср =\р; ср = 90°; <р = 180°; ^<р = 270°.
Еадиус отверстий равен г, а расстояние между их центрами — AR0.
Пропускание растра характеризуется заштрихованной пло-
ЩадькГдвух сегментов, выделяемых диафрагмой поля в отверстии
растра.
Так как площадь сегмента связана с центральным углом а
соотношением
Sc = О’2/2) (ла/180 — sin а),
7
М. М. Мирошников
193
а полная площадь отверстия растра равна
So = лг2,
то коэффициент
t = 2SC/SO
характеризует относительное изменение коэффициента пропуска-
ния растра от максимальной величины т0 до текущего значения
то (<Р)
£ = т0 (<р)/т0 = а/180 — sin а/л.
Значения угла а можно найти из соотношения
cos (а/2) = | Д/?0/(2г) | = [a/(2r)l |cos <р |,
причем модуль означает, что независимо от знака Д/?о учитывается
общая площадь диафрагмы и отверстия растра.
Величины а и | для различных ср в предположении, что
а! (2г) = 0,1, следующие:
<р, О ... 0 45 90 135 180 225 270 315 360
а, . о ... 168 172 180 172 168 172 180 172 168
1 . . . 0,93 0,92 1,0 0,95 0,93 0,95 1,0 0,95 0,93
При малом эксцентриситете угол а незначительно отличается
от 180°, т. е. sin а 0, следовательно,
I а°/180.
Обозначив а/2 = л/2 — Д, где Д — малая величина, найдем
cos (а/2) = cos (л/2 — Д) = cos (л/2) cos Д 1
+ sin (л/2) sin Д = sin Д Д.
Следовательно,
Д = cos (а/2) = [a/(2r) ] |cos (р |;
а = л — 2Д = л — 2 [a/(2r) 1| cos <р |,
или в градусах:
а ° = а (180/л) = 180 {1 — (2/л) [a/(2r) 1 |cos <р|
| = т0 (<р)/т0 = а°/180 = 1 — (2/л) [a/(2r) ] | cos (р |.
Так как (р = Qo£, то
то (0 = то U — (2/л) [«/(2г) ]} | cos Qo/|.
Возвращаясь к общему выражению для коэффициента пропу-
скания растра
т (о = То (/) {1 + sin [соо/ + ру (/)]},
194
где тп (/) = т0 11 + МО (/)], найдем, что в случае, когда един-
ственной ошибкой является эксцентриситет,
М = (2/л) [«/(2r) 1;
0 (/) = — |cos й0^|;
т = N (а/Ro)',
у (/) = sin &Qt,
2.3. Спектр модулированного излучения
с учетом ошибок изготовления растра
Пусть коэффициент пропускания растра определяется выра-
жением
т (/) = т0 [1 + М0 (/)] {1 + sin [со0/ ф- р-у (ОП,
тогда модулированный поток излучения
ф (/) = Фо (О Т (0.
Введем допущение
Фо (/) = Фо = const,
при котором спектр функции Ф (/) полностью определится спек-
тром функции т (/).
Так как т (t) есть функция периодическая, в дальнейшем будем
пользоваться амплитудным спектром Ф (со) или Ф (f). Вычислим
спектр для двух случаев: гармоническая частотная модуляция
коэффициента пропускания, вызванная эксцентриситетом, гармо-
нические частотная и амплитудная модуляции коэффициента
пропускания, вызванные эксцентриситетом.
Гармоническая частотная модуляция коэффициента пропуска-
ния характеризуется следующими значениями параметров:
0 (0 = 0;
у (/) = sin
Р (0 = N (a/Ro).
Следовательно, в этом случае
т (О = т0 11 + sin (соо/ + р sin Qof)] =
= т0 + т0 [sin соо/ cos (Р sin Qo/) 4- cos соо/ sin (Р sin ].
Если P < 1, то
cos (P sin 1;
sin (P sin Q0Z) p sin Qo/;
т (t) = t0 t0 [sin coo/ 4- (p/2) sin (coo 4- Qo) t —
— (p/2) sin (coo — fi0)
7*
195
Соответственно
Ф (о) = Ф (/) = фот (/) = Фото II 4- sin <о()/ -|-
4 (0/2) sin (w0 4- Qo) t — (р/2) sin (<о0 — ^о) *1-
Спектр амплитуд модулированного потока излучения пред-
ставлен на рис. 180. При малом индексе частотной модуляции
(практически 0 с 0,5) амплитудный спектр модулированного
потока излучения аналогичен спектру амплитудно-модулирован-
ного колебания и состоит
несущей частоты — первой
Ф((р)
Ф(Ао
из постоянной составляющей Фото,
гармоники частоты модуляции соо
и двух боковых частот — верх-
ней cd0 4- Йо и нижней соо — Qo.
Ширина спектра частотно-моду-
лированного колебания в этом
случае равна 2Q0.
Отношение амплитуды боко-
вой частоты а± к амплитуде ча-
стоты модуляции А± равно
«iMi ='0/2 = (N/2)(a/RQ).
В данном случае при выборе
отношения tZjMi необходимо
руководствоваться не столько
соображениями о допустимой
величине потерь энергии сигнала за счет боковых составляющих
спектра, сколько допустимыми изменениями амплитуды сигнала
основной частоты, так как полоса пропускания усилителя фото-
тока обычно включает в себя частоты соо ± Qo. Изменения ампли-
туды сигнала основной частоты обычно связывают с изменением
потока излучения, воспринимаемого прибором, поэтому наличие
дополнительной модуляции, возникающей, например, вследствие
эксцентриситета или других ошибок изготовления растра, явля-
ется крайне нежелательной.
Пусть, в частности, поток излучения, падающий на приемник,
определяется излучением абсолютно черного тела при темпера-
туре Т, а изменение этого потока, вызывающее соответствующее
изменение амплитуды модулированного сигнала, связано с малым
изменением температуры Д7\ которое требуется зарегистрировать.
Отношение изменения потока излучения к его полной величине
при этом равно
ДФ/Ф = 4оТ3Д7,/оТ4 = 4&Т/Т,
1
fl
2
О
(х>0~
(Од
2Я0
---FT
Рис. 180. Спектр амплитуд модулиро-
ванного потока излучения при гармо-
нической частотной модуляции коэф-
фициента пропускания растра с малым
индексом модуляции
если Т — 300 К, а ДТ = 0,03°, то
ДФ/Ф = 10~4.
Следовательно, для обнаружения такого изменения сигнала
необходимо, чтобы помеха, которой в данном случае является
196
юполпптсльная модуляция, не превышала значения ДФ/Ф:
а1/А1 < ДФ/Ф = 10“4;
p/2 = (W/2)(a/7?0)< 10’4,
откуда alRo < 2-10"W. Если TV = 10; Ro = 100 мм, то а с
0,002 мм.
Используя в усилителе фильтр, ослабляющий сигнал на часто-
тах ид ± Qo в 5 раз по сравнению с сигналом на основной частоте,
можно уменьшить требования к точности изготовления растра и
допустить эксцентриситет а < 0,01 мм.
Во всяком случае, всегда необходимо стремиться к уменьшению
числа отверстий растра и увеличению его диаметра.
Если соотношение р 1 не выполняется, то исходное уравне-
ние должно быть применено в общем виде
т (0 = т0 фт0 [sin со0/ cos (Р sin Q0Z) ф cos соо/ sin (Р sin Q0Z) 1.
Используя формулы теории бесселевых функций, найдем:
cos (Р sin Q0Z) = Jo (Р) ф 2 У J2n (р) cos 2пй,ф
п—1
sin (Р sin Ц/) = 2 У J2n+1 (р) sin (2/z ф 1) Qot,
п=0
где J 2п (Р)—функция Бесселя 2п-го порядка от аргумента Р;
J0 (р) - функция Бесселя нулевого порядка. Следовательно;
т (0 = то ф т0 [sin <o0tJо (Р) -р 2J 2 (Р) cos 2Q0Z sin со0/ ф
+ (Р) cos 4Q0Z sin (o0t ф... -p cos a)0t2J1 (p) sin Q0Z ф
ф 2J3 (P) sin 3Q0Z cos со0/ ф 2 J5 (P) sin 5Q0Z cos со0/ ф • • • ] = т0 ф
фтоф Jo(p)Sin(Dof ф
ф т0 2 ф (Р) sin й0/ cos соо/ ф
ф tq2J2 (р) cos 2Й(/ sin соо/ ф
ф т02ф (Р) sin ЗЙ0/ cos со0/ ф
ф т02ф (Р) cos 4£V sin toQt Ф
ф т02ф (Р) sin 5Ц/ cos toQt — ... =
= To E
фт0</0 (P) sin (O0t Ф
ф HqJj (P) [sin (co0 ф Qo) t — sin (co0 — Qo) t] ф
Ф xoJ2 (P) bin (coo ф 2Q0) t ф sin (coo — 2Q0) t] ф
Ф тоф (P) [sin (coo ф 3Q0) t — sin (coo — 3Q0) t] ф
+ тоФ (P) [sin (co0 ф 4Q0) t ф sin (coo — 4Q0) t] ф
ф тqJ5 (P) [sin (cdq ф 5Qq) t — sin (co q — 5Qq) 11 ф...
197
Обобщая, найдем
т (0 = т0 11 + Jo (Р) sin uot +YiJn (Р) [sin (соо + nQ0) t Д-
п=1
+ (— l)n sin (coo — nfi0) t].
Таким образом, при произвольном значении индекса модуляции
спектр состоит из бесконечно большого числа боковых частот
отличающихся от основной частоты на величину nW, где п -
любое целое число. Амплитуда n-й боковой составляющей равна
v0Jn (Р) или Для потока излучения
= т0Ф0«7л (Р).
Соответственно амплитуда первой гармоники (частоты модуля-
ции)
Ai == т0Ф0/ о (Р).
Отношение амплитуды боковой частоты ап к амплитуде ча-
стоты модуляции Aj равно
~ (Р)-
Из табл. 3 значений Jn (Р) для р < 10 и п < 11 следует, что при
Р < 0,5 ширина спектра практически равна 2Q0, а отношение
Значения Jn(Р)
Таблица 3
3 п
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,94 0,76 0,22 —0,26 —0,4 —0,18 0,15 0,3 0,17 — 0,09 — 0,24 0,24 0,44 0,58 0,34 — 0,07 —0,33 — 0,28 —0,004 —0,23 0,24 0,04 0,03 0,11 0,35 0,49 0,36 0,05 —0,24 —0,30 — 0,11 0,14 0,25 0,00 0,02 0,13 0,31 0,43 0,36 0,11 — 0,17 — 0,29 — 0,18 0 06 0,00 0,00 0,03 0,13 0,28 0,39 0,36 0,16 — 0,10 — 0,26 —0,22 0,00 0,00 0,01 0,04 0,13 0,26 0,36 0,35 0,18 — 0,06 — 0,23 0,00 0,00 0,00 0,01 0,05 0,13 0,24 0,34 0,34 0,20 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 0,05 0,13 0,23 0,32 0,33 0,22 0,00 С- 00 0,00 0,00 0,00 0,02 0,06 0,13 0,22 0,?0 0,32 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,02 0,06 0,13 0,21 0,29 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,02 0,06 0,12 0,21 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,02 0,06 0,12
ап1Аг = a-JAr р/2. Для 0,5 < р < 1 приобретает некоторое
значение вторая пара боковых частот, так как а^А-^ = 0,145.
Следовательно, в этом случае ширина спектра равна 4Q0 (рис. 181).
При р = 1, aj/Aj = 0,58, а дальнейшее увеличение индекса моду-
ляции приводит не только к увеличению числа и амплитуды боко-
вых составляющих, но и резкому уменьшению амплитуды основной
частоты.
Таким образом, можно сделать следующие выводы.
1. Для того чтобы избавиться от искажений гармонического
сигнала, вызванных отличием формы отверстий растра от идеаль-
198
ной, необходимо произвести селекцию основной частоты /0 от
частот гармоник 2/„, 3/0 и т. д. При этом имеют место потери,
достигающие 20—30%.
2. Для того чтобы избавиться от влияния эксцентриситета
растра, когда он составляет величину tz < Rq/N, необходима
селекция сигнала на частоте со0 от частот соо — ^о- Если коэффи-
циент передачи электронного тракта прибора на частотах соо ±
по отношению к частоте соо равен К, то сигнал помехи по
отношению к сигналу основной
К (/V/2) (a/RG).
3. Если ошибки изготовления
растра велики (высокий индекс
модуляции), единственной мерой,
позволяющей избавиться от иска-
жений гармонического сигнала,
является значительное подавление
частот со0 ± Qo> но при этом очень
велики потери, особенно когда
а > R/N, Р > 1.
Гармон ические частотная и ам-
плитудная модуляции коэффи-
циента пропускания растра опре-
деляются выражением
т (Z) - т0 [1 +ме(/)] |1 +
+ sin 1соо/ 4- Ру (0И>
где
0(0 = — | cos Qo/1;
Р - N (a/R.)-, M
Следовательно,
частоты составляет долю
, Ф(ар
7 tyno
0,76------------------
/7.44---------------, .
/2,7/-------------11 ~Т~1
0 'Л ।
|в* I*"1
t +
Wg-t20
Рис. 181. Спектр амплитуд модули-
рованного потока излучения при
гармонической частотной модуля-
ции коэффициента пропускания
растра с индексом модуляции Р = 1
у (0 = sin Qo0
= (2/л) 1я/(2г)].
т (/) = т0 + то/И0 (0 + т0 sin [соо^ +
+ Р? (01 + тоЛ10 (/) sin I со о t + Ру (0 ]
В полученном уравнении необходимо осуществить разложение
отдельных членов в ряд Фурье.
Прежде всего рассмотрим функцию
0(0 = — | cos Q0Z I-
Ее можно представить рядом вида (см. гл. 12, § 6)
0(0 = -
2_ . у ± (-Dfe
л * л 1 — 4/г2
k=i
COS 2Щ>/
— (2/зт) [ 1 4- (2/3) cos 2Q0* — (2/15) cos 4й0/ 4-
4-(2/35) cos 6Й(/- • •
199
Функцию sin [(оо/ 4- Ру (/) 1 = sin [w4 4- р sin можно
представить в следующем виде:
sin 1(о<4 4 р sin (0(41 = Jо (Р) sin (0,4 4~
4- J L (P) Isin ((oo 4- Уо) t — sin ((Oo — Qo) /1 4.
4- J2 (P) bin (coo 4- 2Q0) t 4- sin ((oo — 2Q0) t] 4-
+ J3 (P) bin (<oo 4- 3fi0) t — sin ((oo — 3fi0) t] 4-...
В результате можно найти
= 1 _ Г1 4- 2 cos 2Q4-----------1 4-
т0 Tc L 3 и J 1
+ [ (1 - )4 (р) - J' (W + ]sin +
+ [(1 “Sr)4®- ”] lsin(®o + Qo)<-sin(w0 — Q0)/] +
+ [(1-П^)4®~ -^•^(₽)+---]lsin(“» + 2£2o) / +-
4- sin (ojo — 2Q0) /] 4-
Если положить P < 1, то J2 (P) < Jo (P); J3 (P) < Jo (p)
и т. д. Следовательно,
™1 - cos 2£V+(1 - )4 (₽) sln +
TJq J L ОЭI у JI /
4~ Ji (P) fl — ] Isin (wo + ^o) t — sin ((oo — Qo) t] 4-
oJL J
+ [ (1 - 4^-)4 4 ® ]|sin <“«+2£2«)1+
4- sin ((oo — 2Qo) tV
Если M c 0,1, to
1 - cos 2Q0* + Jo (P) sin (oo/ +
To oJt
4- Jj (P) [sin (O)o 4- fi0) t — sin ((00 — fi0) t] +
+ [ A A (₽) ] [sm (®0 + 2ОД i + sin (<oo - 2ОД il-
Воспользуемся рекуррентной формулой из теории функций Бес-
•/„-1 (₽) + (₽) = (2п/₽)^„ (₽)
и найдем
JHP) =(₽/4) и. ₽) +А(₽)1.
200
Так как при 0 < 1 J3 (0) < (0), то
Л(0) = (₽/4) Л (0),
НО J1 (0) = (p/2) и0 (0) + J2 (0)], а так как J2 (0) < Jo (0),
J, (₽) = (p/2) J„ (₽);
Jг (₽) = (P/4) Л (₽) = (₽2/8) Л (₽).
a)
I
J
1.0
'(<0,04)
2Q0
Jp(fi)
(0.76-1,0)\
CT
£
W0
2Qh
4Q0
7 (0-0,125)
$
0
Рис. 182. Спектр амплитуд модулированного потока излучения при гармони-
ческих частотной и амплитудной модуляциях коэффициента пропускания растра
для 1; М 0,1: а — низкочастотная часть спектра и первая гармоника;
б — высокочастотная часть спектра
Следовательно,
J2 (0) — [27И/(Зл)1 Jo (0) = (02/8) 4(0) — [2Л4/ (Зл)] Jo (0) =
= Jo(0) (02/8 — 2Л4/(Зл)1;
т (/)/т0 1 — [47И/(Зл)] cos 2ЙО/ -ф- 4 (0) sin со0/ Ц- (0/2) Jo (0) [sin ((о0 -ф-
+ Q0)/ — sin(coo — Qo) t\ + [02/8 — 2MI (Зл)] X
X J о (0) [sin (co0 2Q0) t sin (co0 — 2Q0) /];
т (co) = t0 — [47Ит0/ (3л)] cos 2Q0/ 4-
+ t0 Jo (0) {sin + (0/2) [sin (co0 4- ^0) /
— sin (co0 — Qo) /] 4- [02/8 — 2Л4/(Зл)] [sin (co0 4-
4- 2Q0) t 4- sin (co0 — 2Q0) t ]}.
Спектр амплитуд модулированного сигнала для этого случая
представлен на рис. 182. Как и в случае чисто частотной модуля-
ции, отношение амплитуды первой боковой частоты аг к амплитуде
первой гармоники равно
ахМ1 = 0/2.
Отношение амплитуды второй боковой частоты а2 к амплитуде
первой гармоники оказывается равным
ai/Al = 02/8 — 2М/ (Зл),
20 J
если же обеспечены условия, когда [3 << 1 (например, {3 = 2-10~4),
то
а2Мх = — 2М/ (Зя) —0,2М.
2.4. Спектры Фурье вспышек излучения,
прошедших через гармонический модулятор
Пусть коэффициент пропускания растра определяется гармо-
нической функцией
т (/) = т0 тх cos соо/,
где соо = 2л/0-
Предположим, что такой растр осуществляет модуляцию
кратковременного импульса Фо (/) потока излучения, спектраль-
ная плотность которого равна Фо (/).
Спектр Фурье модулированного растром излучения очевидно
равен
Ф (/) = ТоФо(/) + (Ti/2) [Фо (/ - /о) + Фо(f + /о)].
Пусть кратковременным импульсом потока излучения является
прямоугольный импульс, т. е. на растр падает излучение постоян-
ной величины Фо в течение времени от момента —tRJ2 до -|-ZBX/2.
Причем момент времени 1=6 соответствует середине прямоуголь-
ного импульса и совпадает с максимумом пропускания растра.
Спектр падающего на растр потока излучения равен
Фо (/) = Фо4х S3 (л//вх),
где
sa (nftRx) = (sin л//вх)/(л#вх).
Спектр модулированного потока излучения при максимальной
глубине модуляции, когда тх = т0 == 0,5, равен
Ф (/) = О,5Фо/вх sa (л/7вх) ф- 0,25Фо/вх [sa л (/ — /0) /вх +
4-sa л(/ + /0) *BXL
Вид спектра представлен на рис. 183.
Если момент времени, соответствующий центру импульса па-
дающего потока излучения, сдвинут относительно момента вре-
мени, соответствующего максимуму пропускания растра, на вели-
чину А/, то спектр модулированного излучения окажется равным
Ф (/) = {О,5Фо/вх sa (л/7вх) 4- О,25Фо/вх [sa л/вх (/ — /0) X
X _|_ sa (f е—i'2nf0 Д/JI e~j2nf А/.
Если ZBX 4> 1//о» сдвиг сигнала скажется в основном на взаим-
ных фазовых сдвигах составляющих спектра, а не на модулях
его спектральных плотностей.
202
Рис. 183. Спектр прямоугольного импульса потока излучения, прошедшего через гармонический моду-
лятор, для /0 = 20 000 Гц; /вх = 0,5 •10~3 с
Если же это условие не выполняется, например импульс па-
дающего потока излучения очень короткий, т. е. /вх 0, причем
Ф0Сх = Q — конечная величина, то, так как
lim sa = 1,
'вх-*0
спектр модулированного потока излучения равен
Ф (/) = (0,50 + 0.25Q2 cos 2л/0 М) е-‘2пГ =
=• 0,5Qe~“'2:rtfA z (1 -j- cos2ji/o AZ).
В этом случае сдвиг сигнала на время А/ прямо влияет на модуль
спектра. Поскольку Qe~/2:rt^z представляет ообой спектр бесконечно
короткого импульса (6-функции), приходящего в момент времени
А/, а 0,5 (1 -f- cos 2л/0А/) — пропускание растра в этот же мо-
мент времени, указанное влияние имеет простую физическую
интерпретацию.
§ 3. МОДУЛЯЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
ВРАЩАЮЩИМСЯ СЕКТОРНЫМ РАСТРОМ
(ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ)
Пусть растр представляет собой секторный диск, имеющий N
прозрачных и N непрозрачных секторов и вращающийся со ско-
ростью п, с-1 (рис. 184).
Так же, как и в общем случае, величина потока излучения,
прошедшего через растр к приемнику излучения, равна
Ф(0 =фо (0т(0,
где Фо (/) — поток, падающий на диафрагму и растр; т (t) —
интегральный коэффициент пропускания диафрагмы и растра.
Если т (t) — четная функция, то
Т (0 = J Тр (г, /) тф (z) do = 0,5Ло Н У Ак cos
(о) k=l
Интересующий нас спектр потока излучения равен
оо
Ф (/) = 0,5Л„Ф„ (/) + 0,5 2 Ак [ф^ - kf„) + Ф„ (/ + */=„)].
fe=l
Следовательно, для расчета спектра необходимо найти коэффи-
циенты Ak разложения т (/), т. е. вычислить т (/) и прежде всего
пропускание растра тр (z, t) в точке с обобщенной координатой Z.
Положение точки z в плоскости диафрагмы в данном случае
удобно задать полярными координатами р, <р.
204
Предполагая, что пропускание секторного растра от радиус-
вектора р не зависит, найдем
tp(z, /) = Тр(ф, /).
Зависимость от времени можно найти, вводя подвижную си-
стему координат (р, ср'), связанную с растром. Так как за время t
начало отсчета OO г займет положение ОО2, повернувшись на
угол Дф, то ф' = ф —
—Дер, причем из пропор-
ции
2л — 1/п;
Дф — t
имеем Дф = 2ntn =
= 2л/ [По/ (2л) 1 = Qot,
где Qo = 2лл — угловая
скорость вращения ди-
ска. Поэтому можно на-
писать
tp(z, /) = тр(ф, /)^трх
Х(ф') = тр (ф — Дф) =
= Тр (ф — Qo/).
Диафрагма поля
Рис. 184. Секторный растр, модулирующий излу-
чение, прошедшее через диафрагму поля
периодическая функция с периодом
в угловой мере и равным
Функцию тр (ф')
можно представить ря-
дом Фурье, так как это
повторения, выраженным
Фу = 3607/V = 2л/Д/,
где N — число периодов на всем растре, равное числу прозрачных
(или непрозрачных) секторов.
Следовательно,
тр (ср') = 0,5п()
ah cos 2л/г ——I- bh sin 2л/г — ),
фу v фу /
где
-|-q>y/2 ,
ak = — [ тр (ф') cos 2л/г dy;
ту J ту
—(Ру/2
+q)y/2
bk = ^7 ( тр (ф') sin 2л/г dq>';
ф-<Ру /2
2 С
тр(ф')аф'.
ту J
—(Ру/2
205
Так как ср' = ср — Дер - ср — По/, то
тр (ф, О = О,5а0 -|- । cik cos 2тс/г J(|Z bk sin 2л^^——~
fei \ Фу Фт
но
„„„ 2nk . Гх 2nk 2nk г. . . . 2nk . 2nk z.
COS —— (ср - fi0/) = COS —- (p COS —- Q(/ 4- sin —- <p sin — O.0t\
'j' rpt rj^ vjz irji ' rjy
2nk , гл .v . 2л/г 2л& r > . . 2 л Z? . 2nk
sin-----(ср — L20/) = sin--------fp COS----- ilot — sin-------Ц/ COS--------cp,
Фу. (p rjy (p y. Cp y. (p y>
следовательно,
oo
Tp (cp, t) = O,5tzo [ (ak COS cp 4- bk sin ер) COS Qot +
k—i т
. ( . 2nk . 2nk \ . 2л/г гл . 1
+ (s,n т — bkcos ф )sinQ(/
\ ту' ' ту J
Переходим к вычислению интегрального коэффициента про-
пускания диафрагмы и растра т (/). В выбранной полярной си-
стеме координат он равен
т (0 — — j тр (ср, /) тф (ср) do,
(о)
если допустить, что диафрагма имеет площадь ст и коэффициент
пропускания, зависящий только от полярного угла ер. Это допу-
щение в свою очередь означает, что освещенность диафрагмы о
Рис. 185. Диафрагма поля и ее
элементы в полярных координатах
падающим потоком излучения оди-
накова вдоль радиус-вектора р.
Для вычисления двойного ин-
теграла по существующему пра-
вилу разобьем площадь диафрагмы
координатными линиями р = const
и <р = const на элементарные части
(рис. 185), площадь которых равна
do = pdipdp.
Проводя суммирование сначала
вдоль каждого элементарного сек-
тора d^, а затем по всем секто-
рам, найдем
<Р2 Рг (т)
т (0 = — J J тр (ср, /) тф (ср) р dp dq>,
Т1 Р1 (т)
где срх и ср2 — угловые координаты границ диафрагмы; рх (<р) —
уравнение внутренней части кривой, ограничивающей площадь б
206
(кривая amb)\ р2 (<р) — уравнение внешней части кривой, ограни-
чивающей площадь о (кривая сшЬ).
Следует заметить, что если полюс лежит внутри диафрагмы
(рис. 186, «), то интегрирование производится в пределах:
<Pi = — л; ф2 = Ч-л; Pi(<p)=O; р2 (<р) = Р (<₽)•
Рис. 186. Схемы относительного расположения диафрагмы и рас-
тра: а — центр растра (полюс) лежит внутри диафрагмы; б —
полюс лежит на границе круглой диафрагмы
В частном случае, когда полюс лежит на границе круглой
диафрагмы (рис. 186, б),
<Pi = —л/2; (р2 == _}~л/2.
Следовательно,
Ф’2
т (7) = — j тр (<р, t)
4'1
Р2 (Ф)
тф (ф) dq j р dp =
pi (ф)
= -у- [ тр(ф, 0 тф(ф)Л£,
<Р1
где
Рг (ф) Р2 (ф)
d^ = dtp J pdp= J p dpdcp — 0,5 [p2 (<p) — pi (cp)] dtp,
Pi (ф) Pi (ф)
T- e. d£ представляет собой площадь элементарного сектора
(Рис. 185).
Однако полученное для т (/) выражение часто оказывается
Удобным представлять в ином виде
ф2 р2 (ф) ф2
т (/) = _!_ J Тр(ф> /)тф(ф) j pdpdit>= j Тр(ф, /)тд(ф)б1ф,
Ф1 Pi (ф) Ф1
207
где
тд (ч) = j р dp -= [р2 (ф) — Р? (ф)] тф (ф)/(2о).
Pi (ф)
Коэффициенту тд (ф) можно придать смысл функции пропу-
скания диафрагмы, так как он зависит от ее геометрии pj (ф)
и р2 (ф) и пропускания фильтра, ее закрывающего тф (ф).
Подставляя ранее вычисленное значение функции растра
тр (ф, Z) в выражение для т (/), найдем
ф2 °° Г / ф2
Т (0 = О,5«о j тд(ф) с!ф + I ak j тд(ф) cos ф t/ф -j-
Ф1 k=l L \ ф.
ф2 \
+ bk f тд (ф) sin ф с!ф cos й0/ +
J фу / фу
Ф1 '
(ф2 ф2
j тд ((|) sin ф с!ф — bk j тд (ф) cos ф dtp j sin &ot
' Ф1 ф« '
Вводя обозначения:
<Р2 2 /
аок = [ Тд(ф)со8 -^фб/ф;
J Фу
Ф1
Ф2
Ьо/е = [ Тд(ф)81П-^-фб/ф,
Ф1
можно найти:
со
т(/) = 0,5ад>0 + 2 [(akaok 4- bkbok) cos Qot 4-
л=1 L т
+ (akbok — bkaok) sin Q0/l;
YT J
T (0 = 0,54+ 2
fe=l
Г л 2nk . n . 2nk o,l
Ak cos —- Qot + Bk sin —- Qo* =
L Y7 Yf J
= 0,5Д4- У t [А,г cos kcoot 4- &ksin kwot],
fe=i
где
Ak — akaok + bkbokt
Bk = akbok — bkaok;
Ao = G0£Z00,
coo = дао;
Фг = 2л///.
208
Если в начальный момент просвет растра расположен симмет-
рично относительно центра диафрагмы, то т0 (<р')—функция
четная и bk = 0, а если тд (tp) — также функция четная, то
Ьок == °, Т0ГДа
^'kP’Qk'1
Bfe = 0;
Ло = £Z06Z00”,
т (f) = О,5Ло + Ak cos — = 0,5 Ло + Ak cos /гсо(/,
k=i T k=\
где o)0 = 2 л/0 — частота модуляции.
Следовательно, спектр падающего на приемник потока излуче-
ния равен
Ф (/) = 0,5ДФ„ (/) + 0,5 S Ак [Ф„ (/ - ад + Фо (/ + kfM,
k=l
где
А к ~ fyflok'
Л о =
причем
^'Ч’т/2 -|л/(2Лг)
ak^~ [ Д (Ч7)cos 2л/гdtp' = ~ [ т р (<р') cos AdVtp' dtp';
—<PTft —n/(2N)
Ч>2 ф2
aok = | тд (tp) cos 2л^ — dtp = J тд (tp) cos/s/Vq dtp.
<Pi (pi
Если Фо (/) == ф0 = const, то
Ф(0 =фот (0
и спектр Фурье выразится через функции Дирака
со
Ф (!) = о,5Л0Ф0в (!) + 0,5 2 <м4 [6 (!~ ад + 6 (/ + ад],
k=l
а амплитудный спектр равен
Ф (/) = О,5ЛоФо -Е S cos 2nkfot.
fe=i
Здесь Фо = £лг2, где Е — освещенность изображения; лг2 -
• л0Щадь круглого изображения,
ад)
§ 4. МОДУЛЯЦИЯ СЕКТОРНЫМ РАСТРОМ ИЗЛУЧЕНИЯ,
РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОГО В ПРЕДЕЛАХ Ч ЧСТИ
СЕКТОРА РАСТРА
Отверстие диафрагмы представляет собой часть сектора —-
щель с угловой шириной от <рх = —а0 Д° <Рг = +ао и высотой,
ограниченной радиусами рх и р2 (рис. 187). Отверстие не закрыто
фильтром, т. е. Тф (<р) = 1, и, следовательно, падающий поток
излучения распределен равномерно по отверстию диафрагмы.
Растр состоит из N не-
прозрачных секторов,
пропускание которых
2?гтр —0, и N прозрачных
секторов, пропускание
которых равно тр.
Полагая, что в на-
чальный момент про-
свет растра расположен
симметрично относи-
тельно краев отверстия
диафрагмы в силу четно-
сти функций тр (<р) и
тд (ср), как это было сде-
лано выше, найдем:
т (0 = 0,54 +
N
Рис. 187. Секторный растр с трапецеидальной
диафрагмой поля
2 а о
+ 2 4cosAio)0/;
fe=i
Ak “ akaOk’ Л = «0«00>
+фу-/2
ak = J Ъ (cp) cos 2nk dtp;
—Фу/Я
+ф'7'/^
2 г
«о = — тр (<р) dtp;
тТ J „
—Фу/2
aok =
Фа
| тх (<р) cos 2nk dtp;
Vi
Фа
«00 = J Тд (ср) dtj.
<₽i
210
Имея в виду, что срг = 2л/М, найдем
4 л/Л' — n/(2N)
j тр (<р) cos №р d(p = ~ j тр (<p) cos Л/Атр dtp+
—n]N —n/N
+n/(22V) +n/N
+ -^- f тр (<p) cos Nk<p dtp + [ T (<p) cos Nktpdtp.
•I V J J I J *
—n/(2W) 4-n/(2W)
Поскольку для непрозрачных участков растра, ограниченных
углами от —n/N до —л/(2л) и от ф-л/ (2N) до -j-n/N, тр (ср) == О,
а для прозрачного участка [от -л/ (2N) до -|-л/(2М) ] тр (ср) =
тр, то можно найти
+л/(2Л0
N С л
ak = — тр I cos Nktp dtp — тр sa k ,
—л/(27V)
где sa x = (sin x)lx.
Далее найдем:
= тр sa (0) = тр;
Ф 2 2 9
aok = I Тд (ср) cos 2лА — - dtp = --f cos Nktpdtp =
Ф1 — a0
= saA/to.,,;
a00=[(p2-e?)/°]“o-
Так как площадь части кругового кольца, ограниченного
радиусами рг, р2 и центральным углом 2а0 (площадь диафрагмы),
равна
о = (2ао/36Ос) л (р2 — р“),
где 5 гол 2а0 выражен в градусах, то выражая угол 2а0 в радиа-
нах, найдем
а = 2а0 (180/360) (р^ — pj) = а0 (р2 — pj).
Следовательно,
а0А, = [(р2 — Pi) а0/о] sa Nka0 = sa ^/га0;
аОо =
и можно найти:
Ak = akaok = тр sa (&л/2) sa kNa(p,
/40 = «о«ОО = Тр.
Амплитуда первой гармоники
А = тр sa (л/2) sa Мя0 = (2тр/л) sa /Voc0;
211
Дг =0 при Мх0 = тя; а0 = т (n/N) = т (<рг/2), где т равно
1; 2; 3; 4; т. е. Aj =0в том случае, когда угловая ширина
отверстия диафрагмы равна целому числу периодов растра.
§ б. МОДУЛЯЦИЯ СЕКТОРНЫМ РАСТРОМ ИЗЛУЧЕНИЯ,
РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОГО В ПРЕДЕЛАХ
КРУГЛОЙ ДИАФРАГМЫ ПОЛЯ
Отверстие диафрагмы представляет собой круг радиусом г,
имеющий на расстоянии р0 угловой размер 2а0 (рис. 188). Отвер-
стие не закрыто фильтром, т. е. тф (ср) =1, и, следовательно,
падающий поток излучения распределен равномерно по отверстию
Рис. 188. Секторный растр с круглой диафрагмой
поля
диафрагмы. Растр состоит из N непрозрачных секторов, пропуска-
ние которых равно нулю, и N прозрачных секторов, пропуска-
ние которых равно тр.
Полагая, как в предыдущем случае, что в начальный момент
времени просвет растра расположен симметрично относительно
краев отверстия диафрагмы (отсчет угла ср0 производится от центра
прозрачного сектора), в силу четности функций тр (ср) и тд (
найдем:
Ф(0 = Фо (0^(0;
оо
Ф(Д =О,5Л<Т>„(Л+О,5 £ ВД + '!>„(/ + О;
Л=1
оо
т (/) = О,5До |_ 1 Ak cos ЛсОд/j
fe=i
212
Ао ^0^00> Ak
2 +ч,т72
«й [ тр (ф) cos 2nk dtp;
—Ч’тР
<Pt
J тд (ф) cos 2я7?dtp;
Чч
«00 = [«0/г ]л=о; C1Q — [«/г]/г=о •
Поскольку фг = 2л/N, to
ak = тр sa (kn/2)-, «0 = тр.
Далее найдем aok. Полагая, что полюс
т. е. Ро > г, имеем
тд (ф) = [Р? (<Р) — Р? (ф)]/(2а) •
Так как уравнение окружности в поляр-
ных координатах (рис. 189) имеет вид
Р2 — 2рр0 cos (ср — ф0) Д- (р2 — г2) — 0,
то
р2>1 = P0cos (ф —ф0) ±
± ]ЛРо cos2 (Ф - Фо) - (Ро - f2)’
лежит вне диафрагмы,
Рис. 189. Окружность в
полярных координатах
о гкуда
Р2 + Pi = 2р0 cos (ф — ф0);
Р2 “ Р1 = 2 уР2 cos2 (tf — q0) - (р2 - г2);
Р2-р5^(Р2-г Р1) (Р2 — Р1) =
.= 4p0r cos (ф - ф0) у 1 — sin2 (ф - ф0),
где х0 = р0/г.
Учитывая также, что о = лг2, получим
тд(ф)=(Р2-Р?)Л2о)=:
= (2/л) х0 cos (ф — ф0) у 1 — sin2 (ф — <| 0).
Соответственно,
aQk = J У1 - *0 sin2 (‘I ~ ‘Го) cos (Ф ~ Фо) cos Nk{i d‘P-
чч
Последующий расчет может проводиться двумя путями.
213
Первый путь используется исключительно в случае, когда
Хо = 1.
Полученное выражение для aQk приводится к виду
л
aQk = cos [ sin26 cos [Nk arcsin cos 6 dti.
о
Для этого прежде всего заметим, что при х0 1
<Pi = Фо — «о = <Ро — arcsin (г/ро);
ф2 = Фо + «О = Фо + arcsin (г/р0).
Следовательно,
<Po+arcsin (г/р0)
aok = —- х0 f V1 — Хо sin2 (tp—<р0) cos (tp — (р0) cos N kcpdcp.
<Po—arcsin (r/Po)
Избавимся от tp0 в пределах интегрирования, вводя обозначение
а = <р — <р0, тогда найдем
+arcsin (г/Ро)
aQk = — х0 j j/1 — (х0 sin a)2 cos а cos Nk (а + ф0) da.
—arcsin (r/po)
Так как
cos Nk (а 4- <ро) = cos Nka cos Nkq0 — sin Nka sin Nkq0,
а интеграл в симметричных пределах от выражения, включающего
в себя в качестве сомножителя sin Nka, равен нулю, то
+arcsin (г/Ро)
aok = — х0 cos Nk<p0 j ]/1 — (x0 sin a)2 cos a cos Nka da.
—arcsin (г/р»)
Избавимся от arcsin (r/p0) в пределах интегрирования, вводя
обозначение
у — Nk sin а,
тогда получим
+1/0 ___________
j /«- (f У - ж)
—Уо
где у0 = Nk (г/р0).
Обозначим далее
у/у0 = cos е.
Справедливость такой подстановки определяется условием у/уо
< 1. Действительно,
у/у0 = (Nk sin a)/ [Nk (r/p0) 1 =(p0/r)sina,
очевидно, что
(у/Уо)™х = [(Ро/и sin «Imax = (Ро/0 sinamax,
214
но максимальное значение а определяется пределами интегри-
рования, т. е.
«шах = «о = arcsin (г/р0),
следовательно,
(p0/r) sin amax = (р0/г) sin [arcsin (r/p0) ] = 1
и у! У о < 1-
Если у/у0 = cos 6, то dy =—г/0 sin 0с?0, когда
У = +Уо', cos 0 = -4-1; 0 = 0;
у = —г/0; cos 0 — —1; 0 = л,
следовательно,
о
Л
X cos [ Nk arcsin cos 0^ (— у0 sin 0) d0.
Поменяв местами пределы интегрирования и имея в виду, что
yQ!Nk = г/р0; ]/1 — cos20 = sin0,
найдем
л
°о/г — — cos /Vfe<p0 J sin2 0 cos Г TVk arcsin (— cos 0^ 1 dO.
о 'Po
Этот вид выражения весьма близок к значению функции Бесселя
первого порядка
Л (Т/о) = f sin2 0 cos (z/0 cos 0) d0.
0
Для того чтобы достигнуть полного соответствия, представим
аргумент, стоящий под знаком косинуса в подынтегральном выра-
жении для aok, в виде ряда. Для |(/7р0) cos 0| <1 имеем
ATk arcsin f — cos о) = Nk Г — cos 0 -j- . 1
\ Po / L Po ' 6 1 J
Nk — cos 0 = y0 cos 0,
Po
rAe z/0 = TV/г (r/p0) = NklyQ, тогда
aok cos Nk(p0 [2 Ji (f/оШ]-
Tau
Име K3K выб°Р начала координат произволен, то при (р0 = 0
aok (.Уо)/Уо-
215
График функции 2/г (у0)/уп приведен в табл. 4 и на рис 190
Экстремальные значения функции 2Jt (у^) /у0, а также ее
значения, равные нулю, соответствуют следующим величинам ар-
гумента у0:
у0 ................ 0 3,83 5,14 7,01 8,42
2Л (Уо)/Уо • • • • 1 (шах) 0 —0,132 (min) 0 0,064 (max)
у0 ................ 10,17 11,62 13,33 14,8
2J( {у^!у о • • • 0 —0,04 (min) 0 0,028 (max)
Так как при у0 ~ g
2Л (у9)1у9 = 1, то
^оо — 1»
A-k ^/г^О/г
= Тр sa k (л/2) [2J1 (//o)/z/0J;
Л о = «о«ОО Тр.
Амплитуда первой гармоники
спектра модулированного по-
тока излучения
А = (2/л)тр [2JX (z/0)/i/0]
равна нулю, когда
2^1 {у о)/У о — 0,
т. е. для у, равного 3,83;
7,01; 10,17; 13,33; ..., или
для р0/г, равного Л73,83; Д77,01; TV/10,17; 7V/13,33; ...
Так как все выводы справедливы при р0/г /> 1, то, например,
для N = 10 можно найти лишь значение первого и второго нуля,
для которых (p0/r)i = 10/3,83 = 2,86; (р0/г)2 =10/7,01 =1,42.
На рис. 191 приведена зависимость 12(t/o)///o I от 1/#о> которая
может быть основой для расчета амплитуды /г-й гармоники
Л/е = тр sa k (л/2) | 2J! (r/o)/i/o |
для значений
х0 = ро/г = kN (1/f/o)-
В частности, заметим, что при тр = 1; k = 1; N = 1, когда
хп = p0/r = l/z/0 =1, амплитуда первой гармоники, вычислен-
ная по полученной приближенной формуле, равна
Аг = (2/л) [2/j (1) /1 ] = 0,635-0,88 = 0,56.
Так как при N = 1 величина х0 = 1Л/0, то пользоваться
кривой, представленной на рис. 191, можно в этом случае лишь
216
Значения функции 2JT (у0), у0
Таблица 4
Уо 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0 1,0000 0,9988 0,9950 0,9888 0,9801 0,9691 0,9557 0,9400 0,9221 0,9021
1 0,8801 0,8562 0,8305 0,8031 0,7742 0,7439 0,7124 0,6797 0,6461 0,6117
2 0,5767 0,5412 0,5054 0,4695 0,4335 0,3977 0,3622 0,3271 0,2926 0,2589
3 0,2260 0,1941 0,1633 0,1337 0,1054 0,0785 0,0530 0,0291 0,0067 —0.0140
4 —0,0330 —0,0504 —0,0660 —0,0800 —0,0922 —0,1027 —0,1115 —0,1188 —0,1244 —0,1284
5 —0,1310 —0,1322 —0,1320 —0,1306 —0,1279 —0,1242 —0,1194 —0,1137 —0,1073 — 0,1000
6 —0,0922 —0,0839 —0,0751 —0,0661 —0,0568 —0,0473 —0,0379 —0,0285 —0,0192 —0,0101
7 —0,0013 0,0071 0,0151 0,0226 0,0296 0,0361 0,0419 0,0471 0,0516 0,0555
8 0,0587 0,0611 0,0629 0,0640 0,0645 0,0643 0,0634 0,0620 0,0600 0,0575
9 0,0545 0,0511 0,0473 0,0431 0,0386 0,0340 0,0291 0,0240 0,0189 0,0138
10 0,0087 0,0036 —0,0013 —0,0061 —0,0107 —0,0150 —0,0191 —0,0229 —0,0263 —0.0294
11 —0,0321 —0,0345 —0,0364 —0,0379 —0,0390 —0,0397 —0,0400 —0,0399 —0,0394 —0,0385
12 —0,0372 —0,0357 —0,0338 —0,0316 —0,0291 —6,0265 —0,0236 —0,0206 —0,0174 —0.0141
13 —0,0108 —0.0075 —0,0041 —0,0008 0,0025 0,0056 0,0087 0,0116 0,0143 0,0168
14 0,0191 0,0211 0,0229 0,0244 0,0257 0,0267 0,0274 0,0278 0,0279 0.0278
15 0,0273 — — — — — — — — —
в ее правой части, начиная со значений 1/г/0 > 1,0. Соответственно
при N = 2 имеем 1Л/0 > 0,5, при N = 3 1Л/0 > 0,33 и т. д.
Второй путь расчета aQk используется, когда р0/г принимает
значения как больше, так и меньше единицы.
Для того чтобы вычислить амплитуду первой гармоники не
только при р0/г> 1, но и при p0/r < 1, обратимся к исходному
выражению для aQk, приняв сразу же ф0 = 0 с целью упрощения
промежуточных преобразований.
В этом случае
Ч>2 ____________
aok = — х0 J V1 — xosin2<p cos ф cosNktpdtp.
<pi
Рис. 191. 3ависимость I . (ffo) I от — -
I Уо I Уо
Если х0 = p0/r > 1, to
Фх = —a0 = —arcsin (r/p0);
ф2 = +a0 = н-arcsin (r/p0),
так как подынтегральное выражение — четная функция <р, по-
лучим
<%О
aok — — х0 [ У1 — (х0 sin ф)2 cos ф cos Л^ф dtp.
л J
С целью вычисления полученного интеграла разложим
/1 - sin ф)2 в ряд, для чего рассмотрим максимальное зна-
чение величины
х = (х0 sin ф)2.
Очевидно, что х =xmln при ф = фтах, но фтах=а0 = arcsin (г/ро)»
т. е.
•^шах = [(Ро/Н sin фтах]2 = {(Ро/r) Sin [arcsin (r/p0)]}2 = 1»
следовательно, х < 1.
218
Так как в этом случае
У 1 —х = 1 — х/2 — х2/8 — х3/16 — ....
то можно найти:
У1 — (х0 sin ф)2 = 1 — (1/2) (х0 sin <р)2 — (1/8) (х0 sin ф)4 —
— (1/16) (х0 sin ф)6 — . .
@vk (4/л) х0 [— (А 4* А А А + • • •)] >
где
<%о
А = J cos ф cos Nk ф^ф;
2 а°
J2 = - j sin2 ф cos ф cos Nky> t/ф;
о
X4 а°
J3 = j sin4 ф cos ф cos Nkq dtp;
о
a0
A = -j|- sin6фcos ф cos Nk<pdtp...
о
Имея в виду, что:
cos ф cos Nktp = (1/2) [cos (Nk — 1) ф cos (Nk + 1) ф ];
sin2 ф = (1/2) (1 — cos 2ф);
sin4 ф = (1/8) (3 -{- cos 4ф — 4 cos 2ф);
sin6 ф = (1/16) [5 — (9/2) cos 2ф — 6 sin <p sin Зф —
— (1/2) cos 6ф ],
можно найти
aok — —- *o IA (A A ~h A 4" • • •)! ^
2 ( / v2 T4 c,y6 \
V Л'о“о t( 1 - f - 6? - 7W )|sa (Nk - l)«o + sa (Л7А + 1)001 +
+ (V + W + W-) lsa <Nk - 3) “0 + sa (Nk + 3) a„] -
~ (W + 44) [sa (ATA - 5) o, + sa (Nk + 5)0,] +
+ "ifer[sa (Nk~~7)“o + sa (Nk-j- 7)Oo]j.
219
Значения коэффициента а'О1
Таблица 5
Хо 1 2 3 4 5 7 8 10 Н 12 15
1,0 1,34223 0,76468 0,24697 0,00631 —0,01994 0,00154 —0,00541 0,00494 —0,00000 —0,00375 0,00000
1,5 1,49975 1,22809 0,85199 0,46041 0,13559 —0,14700 —0,12193 0,03108 0,07194 0,06713 —0,04561
2,0 1,54482 1,39028 1,15623 0,87368 0,57838 0,08130 —0,07485 —0,19570 —0,14245 —0,08093 0,08072
2,5 1,56471 1,46535 1,30926 1,10962 0,88284 0,41940 0,21591 -0,07530 —0,15240 —0,18612 —0,09715
3,0 1,57529 1,50613 1,39541 1,24962 1,07713 0,69139 0,49860 0,18932 0,02678 —0,07520 —0,19424
3,5 1,58160 1,53072 1,44836 1,33806 1,20450 0,89044 0,72251 0,39670 0,25005 0,12054 —0,13806
4,0 1,58567 1,54668 1,48312 1,39709 1,29138 1,03495 0,89227 0,50916 0,45720 0,32336 0,00008
4,5 1,58844 1,55762 1,50713 1,43830 1,35288 1,14134 1,02049 0,76329 0,63249 0,50515 0,16405
5,0 1,59042 1,56544 1,52440 1,46814 1,39785 1,22122 1,11848 0,89434 0,77741 0,65985 0,32584
5,5 1,59189 1,57124 1,53722 1,49042 1,43165 1,28239 1,19444 0,99914 0,80496 0,78866 0,47267
6,0 1,59300 1,57564 1,54699 1,50747 1,45766 1,33012 1,25423 1,04350 0,99103 0,89538 0,40305
6,5 1,59386 1,57907 1,55462 1,52082 1,47808 1,36799 1,30199 1,15202 1,06984 0,98412 0,71558
7,0 1,59454 1,58179 1,56068 1,53144 1,49439 1,39850 1,34066 1,20822 1,13498 1,05804 0,81252
7,5 1,59509 1,58398 1,56557 1,54005 1,50763 1,42340 1,37237 1,25476 1,18926 1,12005 0,89639
8,0 1,59554 1,58578 1,56958 1,54710 1,51851 1,44399 1,39866 1,29367 1,23485 1,17242 0,96842
8,5 1,59592 1,58726 1,57291 1,55796 1,52756 1,46118 1,42068 1,32647 1,27344 1,21694 1,03067
9,0 1,59623 1,58851 1,57570 1,55788 1,53517 1,47569 1,43929 1,35436 1,30635 1,25505 1,08465
9,5 1,59650 1,58957 1,57806 1,56205 1,54163 1,48803 1,45516 1,37424 1,33462 1,28788 1,13166
10,0 1,59672 1,59047 1,58008 1,56562 1,54715 1,49862 1,46830 1,39884 1,35906 1,31633 j 1,17278
При k — 1
+ (4 + 44 + lsa (Л/ - 3) a„ + sa (W + 3) a„] -
- (та + wO lsa (,V - 5> “»+sa + 5> +
+ W [sa - 7> “» + sa <N + 7> “»1) >
где a0 = arcsin (l/x0); x0 = p0/r > 1.
Амплитуда первой гармоники модулированного сигнала равна
А1 = ага01 =тр (2/л) а01.
В табл. 5 приведены значения коэффициента aoi = (л/2) а01
для различных N и х0. Зная коэффициент, легко найти амплитуду
первой гармоники, которая при тр — 1 равна
Ai = (4/п2) aoi O,4«oi.
Значения х0, при которых амплитуда первой гармоники
равна нулю, приведены в табл. 6.
Таблица 6
Значения х0 = р0/г, при которых амплитуда первой гармоники
равна нулю
№ Число нулей Значения хв
1; 2; 3; 4 0
5 1 1,34395
7 2 1,17069; 1,87729
8 3 1,04671; 1,29543; 2,14228
10 4 1,03450; 1,18736; 1,55986; 2,67244
11 5 1,00000; 1,07890; 1,26881; 1,69644; 2,93771
12 5 1,02519; 1,13694; 1,35441; 1,83482; 3,20309
13 6 1,04389; 1,13946; 1,31293; 1,62590; 2,25677; 3,99976
Сопоставление значений Ах, вычисленных из соотношения
— А{ = O,4goi, со значениями А1г найденными из формулы
_ Al =0,64 [2Ji (i/o)/f/o 1, дает хорошее совпадение резуль-
татов. Действительно, для х0, равного 1; 2; 5; 10, и N, равного
ь 2; 3; 10, имеем следующие значения, приведенные в табл. 7.
Полученное вторым способом расчета выражение для aok
JJPh х0 > 1 неудобно для анализа вследствие своей громоздкости.
иДнако этот способ является единственно возможным, когда
< 1.
221
Таблица 7
Значения амплитуд первой гармоники, полученных различными способами
X0 N = I N = 2 N = 3 /V = 10
Ni a\ Ai a\ л" Л1 A'i A'i
l.o 0,54 0,56 0,30 0,37 0,10 0,15 0,003 0,005
2,0 0,62 0,62 0,55 0,56 0,46 0,47 —0,08 —0,08
5,0 0,64 0,64 0,62 0,63 0,61 0,61 0,36 0,37
10,0 0,64 0,64 0,64 0,64 0,63 0,63 0,56 0,56
Действительно, в этом случае имеем:
Ф1 = —л; ф2 = +л; Pi (<р) = 0;
р2 (ф) = Р (ф) = Ро cos ф + г / 1 — (х0 Sin ф)2.
Следовательно,
тд (ф) = [Pi (ф) - Р? (ф)]/2сг = (1 /2сг) [р2 cos 2ф -]- г2 +
-J- 2por cos ф ]/~ 1 — (х0 sin ф)2];
(р2 31
aok = J тд (ф) cos Л^/гф^ф =j [1 + xoc°s 2ф
<Pi о
Д- 2х0 cos ф ]/" 1 — (х0 sin ф)2] cos Nk<p dtp;
aok= ОМ) IA + J2 +A1>
где
л
= j cos Nk<p d(p;
о
л
J2=.x^ cos 2ф cos Nk<p dtp;
о
Л
J3 = 2*0 j 1 — (%0 sin ф)2 cos ф cos Nktp dtp.
о
Рассмотрим эти интегралы:
( л при Nk = 0;
J, = ф sa (Nkq>) I" = 1 _ , n
1 Y 10 I 0 при Nk =4 0;
J2 = (Ф/2) Isa (Nk — 2) ф + sa (Nk + 2) ф] =
(%2 (л/2) при 7V^ = 2;
I 0 при Nk=k- 2\
222
л/2
J3 — 2л0 j У1 — (%0 sin ф)2 cos q> cos TVZecp dq 4~
u
я
4~ 2x0 J У 1 — (x0 sin ф)2 cos ф cos Л^ф- dip.
Я/2
Во втором слагаемом интеграла J3 сделаем замену переменной
Ф = л — 0, тогда найдем
о
2х0 j У1 — (х0 sin 0)2 (— 1) cos 0 [cos Nkn cos Nkti 4-
л/2
sin Nkn sin NkQ] (— 1) dO.
Анализ полученного выражения показывает:
sin Nkn — 0 при любом целом Nk-,
( 4~ 1 при четном;
cos Nkn = [
[ — 1 при Nk нечетном;
( — 1 при Nk четном;
(—l)cos^n =
[ -j- 1 при Nk нечетном.
Следовательно,
л/2
J3 = 2х0 f У1 — (х0 sin ф)2 cos ф cos Nkip dip 4-
о
л/2
+ (- 1)2х0 J sin ф)2 cos ф cos Nkip dip,
о
причем J3 = 0 при Nk, равном 0; 2; 4; 6;
л/2
J3 = 4x0 j ]/1 — (x0 sin ф)2 cos ф cos Nkip dip
0
при Nk, равном 1; 3; 5; 7...
Так как ]/ 1 — x = 1 — x/2 — x2/8 — x3/16 —
TO
^з/4хо = «/3 — (J3-i-j3 4-Jsv 4~ ••)>
где
л/2
J's = j cos ф cos Nkip dip-,
0
л/2
Л = Xo J sin2 ф cos ф cos Nkip> dip-,
0
223
л/2
4' = 4 f Sin4 ср cos ср cos TV/ecp clcp;
8 oJ
6 я/2
j|v = j sin6 cp cos cp cos Nky dqj.
° о
Можно найти первый интеграл
Л = 4 [sa (Nk - 1) 4 + sa (Nk + 1) -=-] ,
так как Nk — нечетное, то Nk 4- 1 — четное, (Nk 4- l)/2 = m —
целое, следовательно, sa l(Nk 4- l)«/2] == sa тл = 0 и
4 при Nk = 1;
Л = 4sa(tfft- 1)4 = ... ,
4 2 0 при Nk =k- 1.
Вычислим второй интеграл
-$-a[sa(Nk-\)-^--sa(Nk-3)^--
— sa (Nk + 3)-|- + sa (Nk + 1) 4].
так как
(Nk 4- 1) зт/2 = тл; sa (Nk 4- 1) л/2 = 0;
(jV/г 3) л/2 = /пл; sa (Nk 4- 3);л/2 = 0,
следовательно,
j'i = xl-^-[sa(Nk- l)4-sa(WA-3)4] =
*о4 пРи Nk = 1;
— —ПРИ /VA = 3;
u о
0 при Nk = 5; 7; 9...
При вычисленииТтретьего интеграла будем иметь в виду, что
sa (Nk 4- 1, 3, 5)л/2\= 0, тогда найдем
4 = -j4n[sa(M- l)4-|sa(M—3)4 + 4a(/V*-5)4] =
л при Nk = 1;
—л при Nk = 3;
_ 256 г
—л при Nk = 5;
0 при Nk = 7; 9; 11;...
224
Для четвертого интеграла аналогичным путем получим
4V = sfleВ * * 11 [5sa(Mfe - 1)-|-- 9sa (Nk - 3) -f-+
+ 5sa (Nk - 5) - sa (Nk - 7) -^-1 =
1 OX6 ATI 1
2048 Л ПРИ Nk={’
qyG
--при ^ = 3;
= л при Nk==5’
— 2^8 Л ПрИ Nk^7'>
0 при Nk = 9; 11; 13;...
Следовательно,
0 при Nk = 0; 2; 4; 6;...;
v3 v5 v?
xGn----------£ л — л — • • • при Nk = 1;
Z о Л O1Z
Хл I ЗХл 9xZ , » т / г>
-ту-л +-сЛ я---гт£ л 4-• • • при Nk=-3\
। 2 1 64 512 1 г ’
•'з г5 5г7
— тт п —кто' л — • • • 0 при Nk = 5;
64 512 г
2^. л _]_... ^ о при Nk = 7;
01Z
^0 при Nk = 9; 11; 13;...
Так как aok = (1/л) (Л + г + Л). то при х0 < 1 в результате
вычислений соответствующих интегралов можно найти следующие
значения aok при различных Nk:
Nk ................ 1 2 3 4; 5; 6; 7; 8; 9; . . .
aOk................ х0—х§/2 х§/2 xg/2 О
Случай Nk = 0 не имеет смысла, так как k =£ 0, а при N = О
модуляция отсутствует.
Амплитуда первой гармоники модулированного потока излу-
чения будет равна
Aj = тр (2/л) а01.
В табл. 8 приведены значения коэффициента a6i = (л/2) aoi
Для различных х0 и N. Пользуясь этим коэффициентом, можно
Рассчитать амплитуду первой гармоники, которая при тр == 1
равна
Ai = (4/л2) Goi 0,4^61 •
8
М. М. Мирошников
225
В частности, при тр = 1 и N = 1
А = (2/л)х0[1-(х2/2)],
если х0 — 1, Ai = 1/л 0,32.
Расхождения в величине амплитуды первой гармоники, полу-
ченные при различных способах вычисления, объясняются тем,
что случай х0 — 1 является граничным, и ему свойственны наи-
„ большие ошибки, связанные
Таблица о
с принятыми в расчетах при-
Значения коэффициента а'о1 ближениями.
ХО Между тем рассчитать точные значения амплитуды первой гармоники при х0 = 1 не пред- ставляет особенного труда, так
1 2 3 4; 5;...
как в общем случае
1,0 0,80 0,80 0,80 0
0,9 0,85 0,63 0,56 0 Г
0,8 0,85 0,50 0,41 0 «01 = J Тд (ф) cos Мф dcp,
0,7 0,82 0,38 0,27 0 <Pi
0,6 0,77 0,28 0,17 0
0,5 0,69 0,19 0,097 0 где при х0 > 1
0,4 0,58 0,12 0,050 0
0,3 0,46 0,071 0,021 0 Тд (ф) ==
0,2 0,31 0,031 0,0063 0
0,1 0,157 0,0078 0,00078 0 = (2/л) х0 cos ф)/ 1 — (x0 sin ф)2,
0 0 0 0 0
при х0 < 1
Тд(ф) = (1/2л) COS 2ф+ 1 + 2х0 COS ф У1 — (Х081Пф)2],
при х0 = 1
тд (ф) = (2/л) cos2 ф.
Так как в этом случае фх = —л/2, ф2 == -|-л/2, то можно найти
+л/2
а01 = — | cos2 ф cos Мф dtp.
—л/2
Вычисление полученного интеграла приводит к следующему выра-
жению:
а01 = sa (Мл/2) 0,5 sa [(/V — 2) л/2] +
4- 0,5 sa [(А/ + 2) л/2].
Сопоставим все полученные значения амплитуды первой гармо-
ники для случая х0 = 1 (табл. 9)
Наиболее близки к точному значению приближения ряда при
х0 > 1. Существенные расхождения получаются для приближе-
ния ряда при х0 < 1 для N = 1 и N = 3.
226
Кривые коэффициентов aoi, вычисленных по приближенным
формулам, представлены на рис. 192. Штриховой линией показана
аппроксимация тех участков соответствующих кривых, где имеют
Таблица 9
Значения амплитуд первой гармоники
№ Точное значение Значения, полученные из приближенных формул
Приближение к функции Бесселя при Хо > 1 Ряд при *о > 1 Ряд при Хо С 1
1 0,54 0,56 0,54 0,32
2 0,32 0,37 0,30 0,32
3 0,11 0,15 0,10 0,32
4 0 —0,02 0,0025 0
5 —0,016 —0,08 —0,008 0
место максимальные рас- _
1 * I я п и и тт я Ч
хождения различных при-
ближений. Для Хо < 1 и Значения амплитуд первой гармоники
М > 3 коэффициент #61 = О
ДЛЯ четных N— ТОЧНО, ДЛЯ ш и33пГибНлиженнь1Гформул
нечетных — приближенно. | ---------------------
В заключение рассмот- й
рим причины расхождения 2 “ s «
вычисленных разными ме- S «Т, ^7
тодами значении отноше- ° к ° ? =
ния (p0//j0, при которых --------------------------------------
амплитуда первой гармо-
ники модулированного си- J ^,56 0,54 0,32
гнала равна нулю. 3 0Д5 ^32
Действительно, как бы- 4 о —0,02 0,0025 о
ло показано в гл. 7, § 2, 5 —0,016 —0,08 —0,008 о
минимум глубины ампли-_________________________________________
тудной модуляции шести-
секторным растром имеет место при (ро/г)о> равном 1,0; 1,15; 2,0.
Между тем амплитуда первой гармоники равна нулю, когда
2/1 (Уо)/Уо =0, т. е. для у0 = [М/(р0/г)0], равного 3,83, 7,01;
10,17, или при (р0/г)0, равном М/3,83; М/7,01; М/10,17. Если
N ~ 6, то (Ро/г)о равно 0,59; 0,86; 1,56.
Так как значения (ро/^)о < 1»0 нельзя принимать во внимание
в силу ранее рассмотренных ограничений, то сравнению подлежат
лишь две величины (р0/г)0 =2,0 и (р0/г)0 =1,56. Причина их
Расхождения заключается в том, что форма изображения цели
8*
227
(круг) не соответствует форме просветов растра (часть сектора),
поэтому условие заполнения изображением цели четного числа
секторов, принятое при вычислении (р0/г)0 = 2,0, недостаточно:
при повороте растра на малый угол Аф площадь открывающейся
части изображения Д£о не равна площади закрывающейся части
А£3. Необходимо дополнительное смещение изображения цели
к центру растра, чтобы обеспечить отсутствие сигнала. Сказанное
иллюстрируется рис. 193, из которого следует, что при заполнении
изображением цели двух секторов растра (а) Д£3 > А£о*. если
же изображение цели сместить к центру (б), то можно обеспечить
условие Д£3 = Д£о1 + д5о2-
Подводя итоги расчетам спектра, модулированного секторным
растром потока излучения Фо = const для случая, когда изобра-
жение цели представляет собой равномерно освещенный круг
радиусом г, находящийся на расстоянии р0 от центра М-сектор-
ного растра, можно записать следующие основные соотношения.
Амплитудный спектр модулированного потока излучения
Ф (/) = 0,5АоФо + S Ф{Л/г cos k(t)Qt,
где соо = 2jt/0; Фо = Елг2; Е — освещенность круглого изо-
бражения цели.
Коэффициенты разложения в ряд Фурье:
Aq —- GqGqq, Ak
фг
ak — трsa (£л/2); «о — тр» = J тд (ф)cos м&ф ^ф;
Ф1
Фг
«00 = J Тд (ф) dtp = 1«оПй=о.
Ф1
В выражения для коэффициентов разложения входят: тр —
коэффициент пропускания прозрачных секторов растра; тд —
коэффициент пропускания диафрагмы.
Вычисление коэффициента пропускания диафрагмы выпол-
няется по различным формулам в зависимости от величины х0 =
= Ро/г.
Для х0 = Ро/г > 1
тд (ф) = (2/л) х0 cos ф 1 — (х0 sin ф)2;
Ф1 = —aersin (1/х0);
Ф2 = 4-arcsin (1/х0).
Можно получить два приближенных решения уравнения, опреде-
ляющего коэффициенты разложения aok и я00.
Первое решение приводит к следующим значениям:
«об — 1 (УоУУо\ Уо — Nk/x0't gOq — 1,
где Ji (t/0) — функция Бесселя первого порядка.
228
а)
Изображение цели
Рис. 193. Эффект поворота секторного растра на малый угол Д<р: а —
Рог = 2г; ДЕз > ЛЕо; б — р02 < 2г; Д£3 = Д£01 + ДЕог
229
Второе решение дает:
aOk = (2/л) xQaQ ((1 — х*/8 — 2xJ/128 — 5xg/1024) [sa (Nk — 1) «0 4-
+ sa (Nk + 1)а0] 4- (xg/8 + 3xJ/l28 + 9xg/l024) [sa (Nk - 3)a0 4-
4- sa (Nk 4- 3) a0] — (x^/128 4- 5x^/1024) [sa (Nk — 5) a0 4~
4- sa (Nk 4- 5) a0] 4- (х§/1024) [sa (Nk — 7) a0 4- sa (Nk 4- 7) a0] j,
где a0 = arcsin (l/x0).
Можно записать решение в ином виде:
2 Г х^ х4
aok = 4До [sax--------(sax — sa3) — (2 sax 4~ sa5 — 3 sa3) —
хе 1
- -70I4 (5 sax 4- sa5 — 9 sa3 — sa7) J ,
где
sax = sa (Nk — 1) a0 4- sa (Nk 4- 1) a0;
sa3 = sa (Nk — 3) a0 4- sa (Nk 4- 3) a0;
sa5 = sa (Nk — 5) a0 4- sa (Nk 4- 5) a0;
sa7 = sa (Nk — 7) a0 4- sa (Nk 4- 7) a0.
Отметим, что оба решения дают близкие результаты.
Для xQ = p0/r < 1
тд (<р) = (1/2зт) cos 2<р + Г 4-. 2x0cos <р "j/" 1 — (*0 sin Ф)2 ]»
Ср 1 = ЗТ , Ср 2 ~j—ЗТ •
В данном случае решение различно для разных Nk.
Если Nk равно 1; 3; 5; 7, ..., то
Л/2
a0k = *0 j V 1 — 0*0 sin ф)2 cos Ф cos А^Ф ^Ф-
о
Приближенное вычисление интеграла, входящего в полученное
выражение, дает:
---]sa(M-l)f+ I
+ [4+^+-^-+-"]sa(m-3)4-
-[4+#+ "pa(A7i-5)4+4rsa(A7i-7)^------
Следовательно, aQk <=& xQ (1 — Хо/2) для Nk =1; aQk Хо/2 для
Nk =3; aQk 0 для Nk, равного 5; 7; 9, ...
Если Nk = 2, то aQk = х§/2.
Если Nk равно 4; 6; 8; 10, ..., то aok =0.
230
Отметим, что решения для Nk = 1 и Nk = 3 дают большие
ошибки при х0 > 0,5.
Для х0 — 1
тд («Г) = (2/л) cos2 (р; (pt = — л/2; ср2 = 4- л/2;
a0„ = sa Wft^-+_l-Sa(A7j-2)-^ + 4-sa(/V* + 2)4.
§ 6. МОДУЛЯЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ СЕКТОРНЫМ РАСТРОМ
ПРИ КОНИЧЕСКОМ СКАНИРОВАНИИ
Рассмотрим случай (рис. 194), когда по неподвижному сектор-
ному растру с центром в точке О по окружности радиусом Д
движется изображение цели в виде равномерно освещенного
Рис. 194. Траектория движения цели и геометрия кониче-
ского сканирования по секторному растру
кружка, имеющего диаметр 2г. В рассматриваемый момент времени
изображение цели находится в точке О2, а центр окружности, по
которой оно движется с угловой скоростью Qo, совпадает с точ-
кой Olt где изображение цели находилось бы при отсутствии
сканирования.
Введем полярные системы координат: одну (р, (р) — с началом
° счета радиус-векторов р от полюса О и полярных углов <р от
231
полярной оси ОО, проходящей через полюс О и совпадающей
с биссектрисой любого прозрачного сектора растра; вторую (р,
ср') — с полюсом в точке О и полярной осью ОО', проходящей
через полюс О и точку О1, где изображение цели находилось бы
при отсутствии сканирования; третью (R, у) — с. полюсом в точке
Ог и полярной осью OiOi, параллельной оси *00; четвертую
(R, Р) — с полюсом в точке Ot и полярной осью ОгО', совпадаю-
щей с 00'. В первой системе положение изображения цели харак-
теризуется координатами (р0, ср0), во второй — (р0, срб), в тре-
тьей — (R, у) и в четвертой — (R, Р). Положение изображения
цели при отсутствии сканирования — точка Ог — характеризу-
ется в первой системе координатами (рц, срц).
Из треугольника 0020г можно найти
ро = ]/рц + «2 - 2рц« cos (180—₽) = /рц+^ + грцйсозр.
Здесь р = у — срц = П0/ — срц, где у = Следовательно,
Ро = #]/Д2 + 2 A cos (Qof — срц) + 1 ,
где А = pJR.
В свою очередь, опустив перпендикуляр О2ОГ2 из точки О2
на ось ОГО', найдем
Фо = arctg (O2O2/OO2) = arctg [/? sin р/(рц -f- R cos P)] =
= arctg [sin P/(A -j- cos P)] — arctg {sin (Q0Z —
— <Рц)/[Л + cos (Qof — фц)П •
При решении задачи о модуляции потока излучения вращаю-
щимся секторным диском для случая, когда отверстие диафрагмы
представляло собой круг радиусом г, было найдено, что амплитуда
k-й гармоники модулированного сигнала при p0/r > 1 равна
Ak = тр [sa (/гл/2)] [2Jr (у0)/у01 cos Nkq>0,
где Тр — коэффициент пропускания прозрачных секторов растра;
ср0 — полярный угол, характеризующий положение центра от-
верстия диафрагмы, отсчитываемый от середины прозрачного
сектора растра; yQ = Nk (r/p0).
Имея в виду, что изображение цели представляет собой «от-
верстие диафрагмы», так как энергия излучения отличается от
нуля только в пределах этого изображения, можно использовать
полученное выражение в качестве исходного для расчета &-й
гармоники модулированного сигнала при коническом сканиро-
вании.
Так как при выбранной системе координат
фо = Фо + <рц,
232
где фц — полярный угол цели (центра окружности, по которой
вращается изображение цели), можно найти мгновенное значе-
ние амплитуды модулированного сигнала
Ak = Ak0 cos ф
с амплитудой колебания
Ао = Tp(sa^^-)
2Jt [Nk (r/p0)]
Nk (r/Q0)
= 2тр (sa k ^-/Д2 + 2 Д cos (Qo£ - фц) 4-1 x
г /________________Nkr_____________
1 \ R К Д2 + 2 Д cos (Q0Z — (рц) 1
и полной фазой колебания
ф — Nktp0 = Nk (фцarctg — s.in (Рц^— ,
1 10 \ 4 ц г s Д 4- cos ($v — Фц) /
Таким образом, мгновенная амплитуда k-и гармоники моду-
лированного потока излучения Ak представляет собой гармониче-
ский (косинусоидальный) сигнал, амплитуда и полная фаза кото-
рого изменяются во времени.
По определению круговая частота является производной ар-
гумента (полной фазы) тригонометрической функции, представля-
ющей колебание,
m Nk Ж?0 = Nk & Г m I arcf0 sin 1
dt Nk dt Nk dt |_рц J-ЗГ tg Д 4-cos (CW — фц) J “
NbQ 1 + A cos W — фц)
° Д2 4-2 Д cos — Фц) 4-1 ’
При отсутствии рассогласования, когда изображение цели без
сканирования совпадает с центром растра и Д = О,
0) = = k(£)0 = (dk,
где со 0 = NQ0 — основная частота модуляции (первая гармоника
модулированного сигнала); соЛ = &соо — частота k-й гармоники.
Так как амплитуда колебания и его полная фаза соответст-
венно равны:
Ak0 = тр sa (fert/2) 2J\ (Nkr/R)/(Nkr/R)-,
ф = NkQot = cofe^,
то
Л = Aocos ^kt = Aocos NkQot.
Следовательно, имеет место чисто гармоническая модуляция
потока излучения с постоянными значениями амплитуды и фазы
Модулированного сигнала.
233
При малых, но конечных значениях угла рассогласования,
когда Д < 1, можно разложить функцию со = со (Д) в ряд Мак-
лорена
со (Д) = со (0) + (Д/1!) со' (0) + (Д2/2!) со" (0) + ...
Так как
со (0) = a>k = = yV/?Q0;
cos (CV — <Рц) I A2 4~ 2Д cos (Q0Z — <рц) 4- 1 ] —
/ CM = n " t2A + 2 cos — <Рц)1 [1 + A cos (Q0Z — фц)] .
' k [A2 4-2 A cos (£W — фц)4- I]2
co' (0) = — co* cos (й0/ — фц),
TO
co (Д) co* [1 — Д cos (fi0/ — cpu)L
Амплитуда частотного отклонения для /г-й гармоники Дсотахй
называемая также девиацией частоты соДЙ, равна
Од* 1=1 ДОщах^ = Дсо* = Д/гСОф = ДА^Йф,
а глубина частотной модуляции /г-й гармоники
CCZ* — Дотах*/СО* = СОд^/СО* = Д.
В то же время дополнительная амплитудная модуляция при Д<^ 1
практически отсутствует, так как радикалы, входящие в выраже-
ние для А*о, близки к единице
/Д2 + 2 Д cos (й0/ - Фц) + 1 1,
т. е.
А*о = тр sa (kn/2)2J1 (Nkr/R)/ (Nkr/R).
Следовательно, при коническом сканировании и малых углах
рассогласования имеет место гармоническая частотная модуля-
ция, причем девиация частоты модулированного сигнала пропор-
циональна углу рассогласования рц = 7?Д, а фаза девиации ча-
стоты равна полярному углу цели фц.
Так как амплитуда /г-й гармоники модулированного сигнала
равна А* = А*о cos ф, а
t t
ф = j со dt = со* J [1 — Д cos (й0/ — фц)] dt = со*/ — 0* sin (й0/ — Фц)’
о о
где индекс модуляции
0* = сОд/По = Д (co*/Qo) = (рц/7?) (co*/Qo),
то
А = 4о cos [со*/ — р* sin (й0/ — Фц)]-
234
Здесь
Ao = тр sa (bi/2) 2J3 (Nkr/R)/(Nkr/Ry (ok = Л7гП0; Qo = 2лпц,
где z/u—скорость вращения изображения цели, с-1; р^=(рц//?) kN—
индекс модуляции для k-й гармоники; R — радиус сканирования;
рц — радиус-вектор изображения цели при отсутствии сканиро-
вания.
Амплитудный спектр модулированного потока излучения при
коническом сканировании секторным растром определяется выра-
жением
Ф(/) = 0,5Л„Ф„ +
СЮ
+ У Фо Acos ka>ot.
k=i
No
Здесь Фо = Епг2\ Ао = тр; Ak =
= Лао cos sin (Qo£ — срц)],
где Е — освещенность круглого
изображения цели; тр — коэффи-
циент пропускания прозрачных
секторов растра.
Значения величин, входящих
(О* * s2q
Рис. 195. Спектр амплитуд модули-
рованного потока излучения при
коническом сканировании по сек-
торному растру для частот диапа-
зона k-id. гармоники и малом индек-
се модуляции
„ ^0_
/А 2
в последнее равенство, были определены выше. Полагая для
упрощения последующих выкладок <pu = 0, можно найти
А = Ao [cos cos (Ра sin Ц/) + sin «/7 sin (Ра sin йо01-
Если Pa < 1, т. e. kNp^ < R, to
sin (Pa sin QoO Pa sin fi0Z;
cos (Pa sin QoO 1-
Преобразуя уравнения для амплитуды k-й гармоники, получим
А — Ao [cos Mkt 4- 0,5Ра cos (соа - Йо) t — ОЖ cos (соа + й0) I].
Первое слагаемое в правой части представляет собой коле-
бание с несущей частотой <о/г. Второе и третье слагаемые соответ-
ствуют новым гармоническим колебаниям, появляющимся в про-
цессе модуляции. Частоты этих колебаний <±»а — й0 и соа + й0
называются верхней и нижней боковыми частотами модуляции.
Амплитуды этих двух колебаний одинаковы и равны О,5РаАо>
а фазы симметричны относительно фазы несущего колебания.
Спектр амплитуд модулированного потока излучения для этого
случая представлен на рис. 195. Он не отличается от спектра
амплитудно-модулированного сигнала и его ширина равна 2Q0.
В случае произвольного индекса модуляции рл следует поль-
зоваться общей формулой для мгновенной амплитуды
А — Ao [cos «V cos (Ра sin Qo/) ф- sin Mkt sin (Pa sin Q0OL
235
Вводя функции Бесселя, можно найти:
sin sin □,/) = 2 2 Лп+i (0*)sin (2п ф-1) ЙоО
n=0
cos (P* sin Qo0 = Jo (Pfc) + 2 2 J2n (Pft) cos 2nQ0t
n=l
где /2п(Р/г) и J 2n+i (Р^) — функции Бесселя 2/i-ro и 2/г-|-1-го
порядка от аргумента pfe. Следовательно,
= 4 (Р/Э sin ™kt + Д Jn (Рл) [sin (®й +
+ nfi0) t + (— l)n sin (coft — nQ0) О-
Таким образом, спектр состоит из бесконечного числа боковых
частот, отличающихся от несущей на п£10, где п — любое целое
число. Амплитуда n-й боковой составляющей равна AftoJ„(0ft),
где Ak0 — амплитуда немодулированного колебания; р^ — ин-
декс модуляции. Существенно, что она зависит от [3/, = <од/й0
и совершенно не зависит от абсолютного значения несущей ча-
стоты (£)k.
Ширина спектра при больших индексах модуляции примерно
равна удвоенной девиации частоты 2озд. При Р& < 0,5 ширина
спектра определяется одной парой боковых частот и равна 2й0.
При = 0,5-4-1 приобретает некоторое значение вторая пара
боковых частот и ширина спектра равна 4Q0, при р/г = 1 ~2
вступает третья и четвертая пара боковых частот и спектр зани-
мает диапазон (6-ь8)й0. При больших индексах модуляции ши-
рина спектра составит 2|3ЛЙО — 2сод.
§ 7. МОДУЛЯЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ РАСТРОМ,
ИМЕЮЩИМ ФОРМУ БАРАБАНА ИЛИ ПЕРФОРИРОВАННОЙ ЛЕНТЫ
Пусть растр представляет собой барабан или перфорирован-
ную ленту, причем период перфорации равен 1Т, а скорость дви-
жения v, т. е. временной период модуляции Т = lT/v. В этом
случае положение точки z в плоскости диафрагмы удобно задать
прямоугольными координатами (%, у) (рис. 196), связанными
с диафрагмой.
По-прежнему интегральный коэффициент пропускания равен:
т (0 = (1/о) J тр (г, 0 тф (z) do;
(О)
ф (0 = фо (От (0.
В данном случае пропускание растра от координаты х не
зависит; следовательно,
тр (г, 0 = тр (у, 0-
236
В системе координат, связанных с растром, имеем
тр (z, 0 = тр (у — vt) = тр (у').
Функция Тр (у) может быть представлена в виде ряда Фурье
со
тр (у') = 0,5ао + У (ak cos 2nk + bk sin 2nk -%- ) ,
\ it Lt /
где
ak = ~^ J тр W) cos 2nk dy';
~1t!2
-Yl-pj2
bk^17 J xp(y')sln2nk-^-dy'-,
—lT/2
ao==17 I
—7^/2
Приняв у' — у — vt, найдем
co
4\ «0 . V Г / „ . 2n,k \ 2nk . .
Ъ>(У’ 0 = t + / , COS-^-7/ + ^ Sin -J^y) COS — Vt +
(. 2nk t
ak sin y — bkx
2n,k \ . 2nk ,1
X COS -7— у I Sin -г— vt .
it J It л
Так как
г (0 = ~ J тр (у, t) тф (у) do,
о
Рис. 196. Относительное расположение
круглой диафрагмы поля и набегаю-
щего на нее растра в виде перфориро-
ванной ленты
а двойной интеграл в декартовых
координатах равен (рис. 197)
Уг х2 (у)
т (0 = — J J Тр (у, t) Тф (у) dx dy,
У1 X, (у)
где хг (у) — уравнение нижней части кривой, ограничивающей
площадь о (amb); х2 (у) — уравнение верхней части кривой, огра-
ничивающей площадь o' (anb), то
Уг
т (0 — — J Тр (£/, /) Тф (у) [х2 (у) - хг (7/)] dy.
У1
237
Обозначим
тогда
тд (У) = тф (у) [х2 (у) — (у)]/о,
У2
т (0 = J тр (//, /) тд (у) dy.
Vi
Подставляя в полученное выражение значение тр (у, t) и
вводя обозначения:
«о* = J тд (у) cos у dy\
У1
Уг
b()k = J Tfl(r/)sin-^t/d#,
Vi
найдем
оо
т (t) = 0,5До + cos vt 4- Bk sin vt j,
/е=1 L
Рис. 197. Диафрагма поля и ее элементы
в прямоугольной системе координат
где
Ak = akaok 4~ bkbok‘,
Bk ~ akbok — b/fl()k\
A 0 7 «o«oo-
Для четных функций тр (у)
и Тд (у) имеем:
т (/) — О,5Ло -f- Ak cos 2sik t\
k=i
Ak = aka^\ AQ = aQaw.
В качестве примера определим интегральный коэффициент
пропускания растра, имеющего одинаковые по ширине просветы
и промежутки между ними, для диафрагмы круглой формы.
Пропускание растра (рис. 198)
( т0 при |^|</т/4;
Трщ) j q ПрИ /г/4 < | f/1 </г/2.
Коэффициенты Фурье:
+zr/4
ak = тр J cos 2nk -^-dy = тр (sa k ;
~1тВ
^0 тр.
238
Далее, при тф (у) = 1 имеем
Уд (у) = 1х2 (у) —Xj (у)]/а.
Гр(у)
It
Так как уравнение окружности радиусом г, описывающей
диафрагму, в прямоугольной системе координат имеет вид
х2 ф- у2 = г2,
то его корни:
*2,i = ± /г2-t/2;
х2(у)-х1 (у) =
= 2]/" г2 — у2.
Следовательно,
тд (У) = (2 /г2 — У2)/<у = (2/лг2)/г2 — у2
У Л У 2
aok = f тд (У) cos 2nk ~1^АУ= j — */2 cos 2л& dy.
Ух f/i
Подставив в пределы интегрирования значения:
Ух = —г\ У2 = +г,
получим
a°k = W j V1 "" (^-)2cos 2nk V dy-
Обозначим:
ylr = cos 0; у = r cos 0; dy ~ —r sin 0d0.
Тогда найдем
л
aok = j sin2 0 cos (zk cos 0) d$,
о
где zk = 2л ktIlT.
Так как функция Бесселя первого порядка равна
Л (2а) = j Sin2 6 cos (zk cos 0) J0,
0
TO
= 2/i
При k = 0 zk = 0 и a00 = 1.
Следовательно,
Ak = akaok = тр (sa k
2Jr (2xr/lT)]
k (2лг/1т)
0 — ^0^00 — Дэ
239
Амплитуда первой гармоники
А1 = тр (2/л)2J г (z^l zlt
где = 2лг//г; при zx, равном 3,83; 7,01; 10,17; 13,33; ..., т. е.
при 2г//г = Zj/л, равном 1,22; 2,23; 3,23; 4,25; Аг = 0.
Рис. 199. Относительные разме-
ры изображения цели и модули-
рующих полос растра для слу-
чая, когда амплитуда первой
гармоники модулированного по-
тока излучения равна нулю
Необходимые расчеты для этого случая могут быть приведены
на основании данных рис. 190.
На рис. 199 представлены относительные размеры диафрагмы
(круглого изображения цели) и модулирующих полос растра для
случая, когда амплитуда первой гармоники равна нулю.
Часть III
СИГНАЛ
Глава 9
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 1. СИГНАЛ КАК ФИЗИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС,
ПЕРЕДАЮЩИЙ ИНФОРМАЦИЮ
Любая информация содержит след событий, состоящих в изме-
нении состояния объектов или процессов. Событие порождает
сообщение, которое представляет собой его описание. Именно
в сообщении и содержится информация. Когда сообщение явля-
ется новым, неожиданным, его необходимо передать от источника
к потребителю информации. Для передачи сообщения исполь-
зуется сигнал—физический процесс, несущий в себе информацию
и пригодный для передачи на расстояние. Преобразование со-
общения в сигнал называется кодированием, а обратное преобра-
зование — декодированием.
Пользуясь терминологией теории информации, можно следую-
щим образом представить процесс приема и преобразования по-
тока излучения оптико-электронным прибором.
Положение, размеры, форма и энергетическое состояние окру-
жающих нас тел есть их состояние.
Изменение состояния во времени или пространстве — событие.
Описанием события является сообщение — поток излучения,
испускаемый любым окружающим нас телом.
Поток излучения, преобразованный оптической системой (сфо-
кусированный, промодулированный и т. д.), является сигналом,
несущим информацию. Это преобразование сообщения в сигнал
есть кодирование.
Сигнал порождает сигнал', поток излучения в оптико-элект-
ронном приборе преобразуется приемником излучения в электри-
241
ческий сигнал, подлежащий усилению и обработке в электронной
части прибора.
В результате обработки электрический сигнал преобразуется
в вид, пригодный для воспроизведения и восприятия исходного
сообщения с искажениями, возникшими в процессе его передачи.
Это — декодирование.
Сигнал может быть детерминированным и случайным. Он
может представлять собой простое гармоническое колебание,
быть периодическим или непериодическим процессом.
Известно, что практически любую периодическую и неперио-
дическую функцию можно представить в виде суммы гармониче-
ских колебаний. Поэтому перед описанием процессов, происходя-
щих со сложным сигналом, будут рассмотрены процессы прохож-
дения гармонического сигнала по тракту оптико-электронного
прибора.
Этому рассмотрению будет предшествовать краткий обзор
основных характеристик приемников, которые позволяют опи-
сать процесс преобразования потока излучения в электрический
сигнал.
§ 2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ
Рассмотрим основные энергетические характеристики опти-
ческого излучения, уходящего от источника, падающего на при-
емник и распространяющегося в пространстве (поле излучения)
(рис. 200).
Рис. 200. Схема излучения для различных случаев размещения произвольной
точки М, в которой рассчитывается яркость пучка: а — на поверхности источника
излучения; б — на поверхности приемника излучения; в — на пути распростра-
нения пучка излучения;
dA — элементарная площадка на поверхности A; N — нормаль к площадке; L — на-
правление распространения излучения; dQ — элементарный телесный угол, заполнен-
ный потоком излучения
242
2.1. Поток излучения
Основной величиной, которая позволяет судить о количестве
энергии излучения, является поток излучения Фэ (Вт), или мощ-
ность излучения — количество излучаемой, поглощаемой пли
переносимой в единицу времени энергии:
где W — энергия излучения, Дж.
Поток излучения *, сосредоточенный в малом диапазоне длин
волн от Z до X называют спектральным (монохроматическим)
потоком излучения йФ или Ф (X), а величину потока излучения,
приходящуюся на единичный интвервал длин волн внутри диапа-
зона dh, — спектральной плотностью потока излучения (предел
отношения потока излучения, соответствующего узкому участку
спектра, к ширине этого участка)
Спектральная плотность потока излучения измеряется в Вт-мкм Ч
Здесь и в дальнейшем используется следующее правило относительно при-
менения прилагательного «спектральный»: если некоторые величины, например
поток излучения, коэффициент излучения и др., рассматриваются применительно
к монохроматическому излучению (от К до К -}- dK), то они являются функцией
длины волны и обозначаются тем же термином с прилагательным «спектральный»
и той же буквой, за которой ставится в скобках X, например спектральный поток
излучения Ф (X). В отличие от этого, когда рассматривается спектральная плот-
dx
ность некоторой величины х, т. е. —, она обозначается той же буквой с индек-
сом %, например спектральная плотность потока излучения Ф; = .
В качестве единицы длины используются дольные единицы международной
системы СИ — сантиметр (см) и микрометр (мкм).
Широко применяются также следующие энергетические ха-
рактеристики излучения.
2.2. Энергетическая сила света
Энергетической силой (силой излучения) I (Вт-ср-1) называют
поток излучения источника, приходящийся на единицу телесного
угла, в пределах которого излучение распространяется (иногда
эту величину называют угловой плотностью потока излучения
в данном направлении):
1 ~~ d£l ’
* Индекс э в дальнейшем используется только в тех случаях, когда наряду
с энергетическими характеристиками излучения будут применяться другие
единицы (световые, эффективные и т. д.).
243
Из определения энергетической силы света следует, что пол-
ный поток излучения в телесном угле й0
фйо= j /с/й.
(Йо)
В случае неравномерного углового распределения потока из-
лучения 1 = 1 (Q) вводят понятие средней по телесному углу
энергетической силы света, под которой понимается сила излу-
чения источника с равномерным распределением потока, величина
которого равна потоку источника с неравномерным распределе-
нием:
I
Среднее значение силы света внутри телесного угла 4л назы-
вают среднесферической силой света:
J __ ®4Л
СФ 4л
= ' j I (Q)dQl (4л).
- ( Т.тт)
Спектральная (монохроматическая) энергетическая сила света
di или I (X) состоит из излучений с длинами волн, заключенными
между X и к ф d'k.
Спектральная плотность энергетической силы света
(Вт«ср-1«мкм-1) равна
_ di
'ь- dK *
2.3. Поверхностная плотность потока излучения
Поверхностная плотность потока излучения определяется
величиной потока излучения, приходящегося на единицу пло-
щади. Различают энергетическую освещенность и энергетиче-
скую светимость поверхности.
Энергетическая освещенность Е (Вт-см-2)—отношение по-
тока излучения, падающего на элемент поверхности, содержащий
рассматриваемую точку, к площади этого элемента:
Е = -тх •
dA
Энергетическая светимость R (Вт-см-2) — отношение потока
излучения, испускаемого в полусферу элементом поверхности,
содержащим заданную точку, к площади этого элемента:
244
Спектральные плотности энергетической освещенности и энер-
гетической светимости, измеряемые в Вт • см-2 • мкм-1, равны:
р _____________________ dE ' р ___ dR
Lb~~dE' Kb~~dE'
2.4. Поверхностно-угловая плотность
потока излучения — энергетическая яркость
Энергетическая яркость В (Вт • см-2 • ср-1) в данном направлении
L в произвольной точке Л4, лежащей на поверхности источника,
или приемника или на пути распространения пучка (рис. 200),
представляет собой отношение элементарного потока излучения
г/2Ф к произведению телесного угла d£l, в котором он распро-
страняется, площади dA, которую он составляет, и косинуса угла а
между данным направлением L и нормалью N к площади dA:
в <*2Ф
dQ dA cos а
Так как поток излучения Ф = f (Q, Л) в данном случае рассматривается
как функция двух переменных — телесного угла Q и площади А источника излу-
чения, то при небольших и независимых изменениях Q и А на dQ и dA суммар-
ное изменение потока излучения Ф может быть вычислено как полный диффе-
ренциал 2-го порядка
da®=d (d®>=®)ЛМА + (^-)"AS‘
где д2Ф/дЙ2, <Э2Ф/дЛ2, д2Ф/(дЙ дЛ) — частные производные 2-го порядка от
функции Ф = f (Q, Л).
Спектральная плотность энергетической яркости В7
(Вт-см-2-ср-1-мкм-1) равна
Различают три частных случая определения энергетической
яркости (рис. 200, а—в).
1. В произвольной точке М на поверхности источника излу-
чения в направлении L энергетическая яркость есть отношение
энергетической силы света di, излучаемой элементом dA в этом
направлении, к произведению площади dA и косинуса угла ос
(к площади проекции элемента dA на плоскость, перпендикуляр-
ную направлению наблюдения):
d/l cos а
2. В произвольной точке М на поверхности приемника в на-
правлении L энергетическая яркость есть отношение энергети-
ческой освещенности dE, создаваемой в этой точке приемника,
в плоскости, перпендикулярной направлению L, к элементарному
245
телесному углу dQ, в котором заключен поток, создающий эту
освещенность:
о
(ЙЕ
; а — угол между
Рис. 201. Зависимость ярко-
сти В и силы света I для по-
верхности А, подчиняющейся
закону Ламберта
3. В произвольной точке М на пути распространения элемен-
тарного пучка в направлении L энергетическая яркость есть
отношение потока, переносимого пучком излучения d®, к гео-
метрическому фактору этого пучка dG = dA cos ad£i, где dA —
площадь сечения пучка; dQ — телесный угол, который им запол-
нормалью к dA и направлением L:
в _ dQ _ d2O
dG d£l dA cos a
Как известно из геометрической оптики,
при отсутствии рассеяния оптический фактор,
равный произведению геометрического фактора
элементарного пучка и квадрата показателя
преломления среды, в которой он распростра-
няется, инвариантен на всем пути пучка (ин-
вариант Штраубеля):
dGn2 = const.
Следовательно, отношение энергетической
яркости к квадрату показателя преломления
(приведенная или редуцированная энергетиче-
ская яркость) также инвариантно на всем протя-
жении элементарного пучка (при отсутствии потерь на поглощение и отражение):
В/п2 = const.
Этот закон был получен термодинамическим путем еще Клаузиусом в 1864 г.
Поверхности тел, энергетическая яркость которых во всех
направлениях одинакова, называют диффузно излучающими, и
для них справедлив закон, установленный Ламбертом. Согласно
этому закону, энергетическая сила света диффузно излучающей
поверхности в данном направлении для всех длин волн пропор-
циональна косинусу угла а между направлением излучения и
нормалью к излучающей поверхности:
/ = BAcos а.
Если значения энергетической силы света и энергетической
яркости отложить от центра излучающего тела в виде векторов,
то поверхность, проведенная по концам векторов, называется
фотометрической, а тело, заключенное внутри этой поверхности, —
фотометрическим.
Для тел, подчиняющихся закону Ламберта, фотометрическое
тело энергетической яркости излучающей поверхности А пред^
ставляет собой полусферу, а фотометрическое тело энергетической
силы света — сферу, касательную к поверхности А (рис. 201).
246
Между энергетическими светимостью и яркостью диффузно
излучающих поверхностей существует соотношение, вывод кото-
рого приводится в § 3:
/? = лВ.
Строго говоря, закон Ламберта справедлив только для особого
класса источников излучения — абсолютно черного тела или
идеально диффузно рассеивающих поверхностей. Но на практике
он может применяться с достаточно хорошим приближением во мно-
гих случаях. Примерами являются поверхности Солнца и Земли,
порошкообразные люминофоры, все тела с матовой диффузной
окраской и т. д.
§ 3. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ИЗЛУЧЕНИЯ
3.1. Поток излучения в полусферу
Поток излучения в элементарный телесный угол dQ в соответ-
ствии с определением энергетической силы света равен
аФ = /dfi.
Поток излучения в полусферу Ф2Л можно найти следующим
образом (рис. 202).
Расположим излучающую поверхность dA в центре сферы
радиусом R (начало координат xyz на рис. 202). Выбранное на-
правление зададим углами а, (р и построим элементарный телесный
угол dQ, образованный двумя углами da и dtp. При этом на по-
верхности сферы будет вырезана площадка dAlf величина которой
равна
dA} — R2dad(p sin a.
Теперь можно определить телесный угол dQ и элементарный
поток dO, излучаемый внутрь этого телесного угла:
dQ = dARR2 = dadcp sin a;
dO = /dfi = /dadtp sin a.
Так как в пределах элементарного телесного угла
I — BdA cos a,
то
dO = BdA sin a cos a dtp.
Выполняя интегрирование no a и ср, найдем
2л л/2
Ф2Л = d/l j dtp J В sin a cos a da.
о о
247
В тех случаях, когда яркость излучающей поверхности по всем
направлениям одинакова, т. е.
няется закону Ламберта, можно
Рис. 202. Схема излучения эле-
ментарной площадки dA в по-
лусферу
излучение поверхности подчи-
на йти
2л л/2
= В dA f (— cos 2а/4) / dtp =
о 0
= BdA j ~- = nBdA.
о
Рис. 203. Освещенность элемен-
тарной площадки dA1 точечным
источником S
Энергетическая светимость
в этом случае равна 7? = пВ.
3.2. Энергетическая освещенность
от точечных и протяженных источников
Точечный источник, т. е. источник излучения, размеры кото-
рого настолько малы по сравнению с расстоянием до приемника,
что ими можно пренебречь в вычислениях, характеризуется
энергетической силой света I (рис. 203).
Поток излучения в элементарный телесный угол dQ от точеч-
ного источника S равен
аф = I dti = I (dXi cosa)/L3,
где
d£2 = (dAt cosa)/L2.
Следовательно, энергетическая освещенность
р с?Ф __________________________ / cos а
L ~~ ~dA^ ~ ‘
Полученная формула выражает следующие законы освещен-
ности, создаваемой точечным источником.
1. Освещенность поверхности точечным источником прямо
пропорциональна силе света источника в данном направлении
и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника
до освещаемого им элемента поверхности (закон квадратов рас-
стояний, или закон обратных квадратов).
248
Рис. 204.' Освещенность Е поверхности А 2
поверхностью Аг
2. Освещенность пропорциональна косинусу угла падения
лучей на освещаемую поверхность (закон наклона).
Протяженный источник, т. е. источник излучения, размеры
которого соизмеримы с расстоянием до приемника, характери-
зуется энергетической яркостью В. Пусть поверхность А2 осве-
щается большой поверхностью А±— протяженным источником
излучения (рис. 204).
Энергетическая освещенность поверхности А2 в точке 02,
создаваемая элементарной площадкой dA lf линейные размеры
которой малы по сравнению с расстоянием L между источником
излучения и освещаемой им поверхностью, может быть вычислена
по закону обратных квадра-
тов
dE = (/ cos a2)/LЕ 2.
Здесь
I = В cos dA
где В — энергетическая яр-
кость элемента dAt в направ-
лении L на освещаемый
объект.
Следовательно,
dE = [(Bcosctj cosa2)/L2]6M j.
Элементарный телесный угол dQ2, под которым из точки 02
виден излучающий элемент dA равен
d&2 = (dAr cosaJ/L2.
Следовательно,
dE = В cos а2 dQ2.
Интегрируя полученное выражение по телесному углу й2,
под которым из точки О2 поверхности А2 видна поверхность
найдем энергетическую освещенность поверхности А2 в точке О2,
создаваемую всей поверхностью А г:
Е = j В cos а2 dQ2.
(Й.)
Если излучение поверхности Аг удовлетворяет закону Ламберта,
т. е. В = const, то
Е = В j cosa2dQ2.
(й«)
Полученная формула является основным выражением для рас-
чета освещенностей от больших поверхностей.
249
обряжения на мембрану со стороны, подвергавшейся действию
аэрозоля, возгоняется цинк, который осаждается там, где аэро-
золь не сконденсировался, и создает видимое изображение.
Представляет интерес жидкокристаллический преобразователь
теплового (инфракрасного) изображения в видимое. В этом пре-
образователе одна сторона тонкой мембраны зачернена, а другая
покрыта тонким слоем жидкого кристалла типа холестерина.
При возрастании температуры мембраны вследствие воздействия
на нее ПК-лучей максимум рассеяния света жидким кристаллом
смешается в коротковолновую область видимого участка спектра,
что вызывает временное изменение окраски слоя.
Возможны и другие типы преобразователей теплового изо-
бражения. Все они обычно состоят из слоя, поглощающего ин-
фракрасное излучение, несущего слоя, обеспечивающего необхо-
димую механическую прочность, и чувствительного слоя, изме-
няющего свои свойства при изменении температуры. Для погло-
щения излучения используются слои металлической черни, на-
пример золота, или полупрозрачные слои металла.
В качестве несущего слоя применяются тонкие пленки из
нитроцеллюлозы, полиэтилентерефталата или окиси алюминия.
Для получения видимого изображения используется изменение
оптических свойств чувствительного слоя при изменении темпера-
туры: ^изменение прозрачности, отражения или рассеяния излу-
чения, фазовых или поляризационных свойств.
Люминесцентный приемник излучения (метаскоп) также может
быть отнесен к несканирующим системам, создающим изображение.
Зсе описанные выше несканирующие системы, создающие изо-
бражение: фотографические, электронно-оптические, люминес-
центные и преобразователи теплового изображения — не яв-
ляются, строго говоря, оптико-электронными приборами, так
как процесс преобразования излучения в электрический сигнал
в них отсутствует. Однако эти системы следует рассматривать как
первичные накопители информации, которая затем анализируется
оптико-электронными методами. Анализирующее устройство мо-
жет работать последовательно (анализ узким полем) или парал-
лельно (мозаичный приемник) как в результате получения изо-
бражения, так и в процессе его образования. Анализу может
подвергаться вся информация, содержащаяся в изображении,
или только та ее часть, которая представляется полезной. На-
пример, глаз лягушки (или его электронная модель), как известно,
анализирует (посылает в мозг) сигналы только тех изображений,
которые несут полезную информацию: мошку, улетающую от
лягушки, глаз видит, но не беспокоит этим сигналом мозг, так
как язык лягушки все равно не сможет поймать мошку.
Будущие исследования в области опознавания образов, спо-
собности абстрагирования и параллельной обработки информа-
ции оправдывают проведенное рассмотрение несканирующих
систем, создающих изображение.
25
Введем обозначение
cos а2 dQ2‘,
тогда Е =
Воспользуемся геометрической интерпретацией интеграла £.
Для этого опишем вокруг элемента освещаемой поверхности dA2
полусферу радиусом R = 1 (рис. 205). Тогда образующие телес-
ных углов dQ2 и ^2 «вырежут»
Рис. 205. Геометрическая интерпрета-
ция интеграла У2 ~ J cos a2d£22
(^2)
на поверхности полусферы пло-
щади do и о, численно равные
значениям соответствующих те-
лесных углов, так как R = 1,
т. е. do = dQ2; о = Q2. Эле-
мент поверхности do наклонен
относительно плоскости основа-
ния полусферы под тем же уг-
лом а2, который составляет па-
дающий луч с нормалью к эле-
менту поверхности dA2. Таким
образом, произведение cos а2 х
X do=cos a2d&2 численно равно
площади проекции элемента по-
верхности полусферы do = dQ2
на плоскость основания полу-
сферы, т. е. на плоскость осве-
щаемого элемента.
Отсюда следует, что интег-
рал 2 численно равен площади
проекции на плоскость основа-
ния той части поверхности полусферы (с радиусом, равным еди-
нице), которая «вырезается» телесным углом Q2.
Рассмотрим два примера.
1. Пусть освещенность малой площади ДЛ2 создается беско-
нечно большой равнояркой плоскостью или вогнутой полусферой
произвольного радиуса; тогда телесный угол Q2 равен всей полу-
сфере и, следовательно, площадь проекции полусферы на пло-
скость ее основания равна площади большого круга л/?2 = л,
так как Я = 1- Значит, 2 = а освещенность площади ДЛ2
равна
Е = лВ.
2. Если освещенность малой площадки ДЛ2 в точке О2 создается
равноярким диском радиусом г, находящимся на расстоянии L
от нее (рис. 206), то значение £ можно определить следующим
образом:
У = л (г')2 = л (R sin а)2.
Так как R= 1,
Ti = л sin2 а; Е = кВ sin2 а.
250
С другой стороны, из рис. 206 следует
F г2 г2
sm а = (ад2 = (г2+£2) = £2 (1 + (r2/L2)1 •
Преобразовав уравнение для освещенности, получим
Р___ Впг-
Сила света
I = лг2В,
поэтому
Е = —________!____— F Д
L2 l + (r/L)2 0
206. Освещенность ма-
площадки равноярким
диском
Z
Рис.
ЛОЙ
Следовательно, энергетическая освещенность определяется про-
изведением двух сомножителей. Первый IIL2 = £() представляет
собой освещенность, вычисляемую по
закону обратных квадратов; второй
1/[1 + (/7£)21 = k — некоторый попра-
вочный коэффициент. Если £ = 10г =
== 5 (2г), то
k 1 4- (r/L)2 °’99’
т. е. погрешность при расчете освещен-
ности от большой поверхности по за-
кону квадратов расстояний в этом слу-
чае составляет не более 1 %.
Таким образом, если расстояние от
излучающей поверхности до приемника
излучения больше или равно пяти диа-
метрам источника, то последний можно
считать точечным и для расчетов осве-
щенности пользоваться законом квад-
ратов расстояний.
Рассмотренный пример позволяет
рассчитать освещенность малой пло-
щадки а , находящейся в плоскости изображения объектива, вы-
ходной зрачок которого представляет собой равнояркий (энерге-
тическая яркость В') диск диаметром d'.
Если апертурный угол такого объектива в пространстве изоб-
ражений равен и' (рис. 207), то на основании предыдущего расчета
очевидно, что
Е = пВ' sin 2 и .
Поток излучения, проходящий через площадку а',
Ф = Еа = пВ'a’ sin2 и'.
251
Так как в соответствии с инвариантом Штраубеля
В/и2 - В'Id2,
где В и п — величины, относящиеся к пространству предметов,
а В' и d — к пространству изображений, то освещенность пло-
щадки d в плоскости изображений оказывается равной
Е = л В (н/п')2 sin2 d,
где В — энергетическая яркость источника излучения. При этом,
как и прежде, предполагается отсутствие потерь на поглощение
и отражение, которые могут быть учтены соответствующим коэф-
фициентом.
Объектив
Рис. 207. Освещенность плоскости изображения объектива
Поскольку при отсутствии потерь поток излучения одинаков
в любом сечении пучка, то произведение лВ'а sin2 d является
инвариантом, приводящим к следующему соотношению:
nB'd sin2 d = nBa sin2 и;
но В' = В (и7и)2, следовательно,
/г'2 d sin2 d = da sin2 и.
Извлекая квадратный корень и вводя значения сопряженных
линейных размеров предмета и изображения I = v а\ V = Vd,
приходим к инварианту
dl' sin d = и/ sin и.
Полученное соотношение носит в оптике название закона синусов
и установлено Аббе.
В общем виде этот закон формулируется следующим образом:
произведение из показателя преломления среды, длины отрезка
прямой линии, перпендикулярной оси симметрии светового пучка,
252
и синуса угла, образуемого с этой осью каким-нибудь лучом, вы-
ходящим из точки пересечения отрезка с осью, остается инвариант-
ным для обеих сред, в которых расположены оптически сопря-
женные сечения светового пучка.
§ 4. МОЩНОСТЬ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ СОСТАВ ИЗЛУЧЕНИЯ
Точные и относительно простые количественные соотношения,
определяющие величину и спектральный состав излучения тела,
существуют лишь для определенного класса тел, называемых
абсолютно черными.
Абсолютно черное тело (полный излучатель, излучатель
Планка) поглощает все падающее на него излучение незави-
симо от направления падения, спектрального состава и поляри-
зации.
Следовательно, для такого тела равен единице спектральный
(монохроматический) коэффициент поглощения аТ (X), показы-
вающий, какая часть падающего па поверхность тела монохро-
матического потока излучения при данной температуре Т и длине
волны X поглощается.
Между тем из закона Кирхгофа, определяющего соотношение
излучения и поглощения, известно, что в условиях термодинами-
ческого равновесия при температурном излучении чем больше
тело поглощает, тем больше оно излучает, т. е. отношение спек-
тральной энергетической яркости Вт (X) к спектральному коэф-
фициенту поглощения ат (X) при данной температуре Т и длине
волны X не зависит от природы тела:
Вт (k)/aT (X) = const.
Поэтому абсолютно черное тело можно также определить
как тело, которое излучает наибольшее возможное количество
энергии при данной температуре для всех длин волн.
При применении закона Кирхгофа имеется в виду лишь тепло-
вое (температурное) излучение тела, когда убыль энергии, уно-
симой излучением, может быть пополнена сообщением ему соот-
ветствующего количества тепла.
Тепловое излучение занимает особое место среди всех иных
видов излучения благодаря своему свойству находиться в равно-
весии с внутренней энергией излучающего тела.
Излучение любой длины волны обусловливается колебаниями
электрических зарядов, входящих в состав вещества, и сопро-
вождается потерей энергии. Общая энергия замкнутой системы
(излучающее тело, окруженное идеально отражающей, непрони-
цаемой для излучения оболочкой) содержится частично в виде
энергии излучения, частично в виде внутренней энергии излуча-
ющего тела. Состояние системы будет равновесным, если с тече-
нием времени распределение энергии между телом и излучением
не меняется. Очевидно, что это возможно только в том случае,
253
когда поглощение некоторой доли испущенной энергии возвра-
щает тело в первоначальное энергетическое состояние. Если излу-
чение определяется температурой тела, то повышение темпера-
туры, вызванное поглощением тепла, компенсирует понижение
температуры, связанное с излучением энергии. Таким образом,
температурное излучение является равновесным. К неравновесным
излучениям, яркость которых может превышать при данной тем-
пературе яркость теплового излучения тела, относится прежде
всего люминесценция.
Убыль энергии при люминесценции может пополняться либо
за счет химических превращений внутри тела (хемилюминесцен-
ция), либо за счет освещения тела светом более короткой длины
волны, чем испускаемый свет (фотолюминесценция), либо за счет
бомбардировки тела электронами (катодолюминесценция), либо
за счет энергии электрического тока, проходящего через тело
(электролюминесценция).
Дополнительным критерием, позволяющим отличить люминес-
ценцию от всех других видов свечения, является длительность
люминесцентного излучения, которое прекращается после устра-
нения вызвавшей его причины за время, значительно превосходя-
щее время собственных колебаний светящейся молекулы, которое
составляет 1СГ14—10-15 с.
К излучениям, яркость которых может превышать при данной
температуре яркость теплового излучения, относится, кроме
люминесценции, рассеянный и зеркально отраженный свет, а также
свечение Вавилова—Черенкова, возникающее при движении электро-
на со скоростью, превышающей фазовую скорость света в данном
веществе. Однако в отличие от люминесценции все эти излучения
существуют лишь постольку, поскольку есть вызывающая их
причина, и исчезают после ее исчезнования за время, меньшее,
чем 10-14 с.
Следует также отметить, что закон Кирхгофа, сформулирован-
ный для условия равновесия излучения и вещества, имеет более
широкие границы применимости, если отсутствие равновесия не
влияет существенно на состояние излучающего тела.
Абсолютно черного тела в природе не существует, но многие
тела могут рассматриваться как абсолютно черные в ограниченной
области спектра. К ним относятся, например, поверхность, по-
крытая сажей, небольшое отверстие в стенке замкнутой полости,
конус или клин с малым углом при вершине и т. ц.
Нечерными телами в противоположность черным называют
тела, коэффициент поглощения которых меньше единицы. Если
коэффициент поглощения не зависит от длины волны, то тело
принято называть неселективным излучателем или серым телом.
К серым телам можно отнести железо, сажу, графит, различные
черни, некоторые краски и другие хорошо поглощающие излуче-
ния вещества, особенно, если иметь в виду ограниченную область
спектра.
254
Большинство тел не являются серыми, так как их коэффи-
циент поглощения зависит от длины волны. В этом случае говорят,
что излучение имеет селективный характер, а соответствующее
излучающее тело называют селективным излучателем. Например,
металлы имеют наибольшее значение коэффициента поглощения
в области малых длин волн; при увеличении длины волны их
коэффициент поглощения, как правило, уменьшается. У диэлек-
триков, наоборот, по мере увеличения длины волны коэффициент
излучения увеличивается. Вещества, прозрачные в широкой
области спектра и имеющие узкие полосы поглощения, обладают
избирательным излучением. К ним относится атмосфера Земли,
содержащая углекислый газ, пары воды и озон, имеющие полосы
поглощения в различных областях спектра. Излучение атмосферы
имеет резко селективный характер.
Способность реального тела, нагретого до температуры Т,
излучать можно оценивать количественно относительными энер-
гетическими характеристиками, которые позволяют сопостав-
лять его излучение с излучением абсолютно черного тела.
К ним относится прежде всего предусмотренная ГОСТ 7601—55
спектральная излучательная способность ет (X), равная отноше-
нию спектральной плотности энергетической яркости данного
тела В7Г к спектральной плотности энергетической яркости
абсолютно черного тела * ВхтТ, находящегося при той же тем-
пературе:
е г (^) = Вхт/В^,тТ •
В Международном электротехническом словаре соответству-
ющая величина носит название спектрального коэффициента
направленного излучения. Этим же словарем предусматривается
употребление и широко известной величины — коэффициента
излучения, или коэффициента черноты (спектрального и инте-
грального), равного отношению энергетической светимости тела
к энергетической светимости абсолютно черного тела при той же
температуре.
Для сложного потока излучения интегральная излучательная
способность ет определяется как отношение суммарной (по всему
спектру) энергетической яркости данного тела к суммарной энер-
гетической яркости абсолютно черного тела при той же темпе-
ратуре:
ег= j er(X)B^Td^ J BxrT dl.
К,
* При одновременном использовании одинаковых обозначений для абсо-
лютно черного тела и реальных тел первые имеют индекс АЧТ. Если же из текста
ясно, что речь идет об излучении черного тела, индекс опускается.
255
Спектральную излучательную способность ет (X) можно выра-
зить через соответствующие спектральные (монохроматические)
значения энергетических яркостей
ег(1) = Вг(Х)/В?чт(?.),
а в соответствии с законом Кирхгофа
Вт (Wr (ty = ^гЧТ (Х)/а?чт (X).
Так как для абсолютно черного тела а^чт (Л) = 1, то
(Ху (X) = бу (X).
Полученное соотношение представляет собой по существу еще
одну формулировку закона Кирхгофа: чем выше коэффициент
поглощения тела, тем лучшим излучателем оно является. Для
абсолютно черного тела
АЧТПч АЧТПХ «
Еу (Л = (Ху Л = 1.
Следовательно, коэффициент поглощения (спектральный и инте-
гральный) характеризует не только способность среды или тела
задерживать попавшее в них излучение, но характеризует и излу-
чательные свойства среды (тела).
Поскольку излучательная способность (коэффициент напра-
вленного излучения) определяется отношением энергетической
яркости данного тела к энергетической яркости абсолютно черного
тела, она зависит от направления распространения излучения.
Если угол между направлением излучения и нормалью к поверх-
ности равен нулю, то излучательную способность называют
нормальной, а в том случае, когда она измеряется для всего диапа-
зона длин волн — полной.
Значения полной, нормальной излучательной способности не-
которых материалов, заимствованные из книги Хадсона «Инфра-
красные системы», приведены в табл. 10.
Поглощение и испускание излучения телом может происходить
в существенно различных спектральных диапазонах, что приводит
к значительным отличиям отношения (х/е от единицы. Например,
при освещении снегового покрова солнцем, 98% излучения кото-
рого лежит в диапазоне 0,15—3 мкм, поглощение излучения про-
исходит в этом же диапазоне, а 98% испускаемого снегом излу-
чения заключено в диапазоне 3—70 мкм с максимумом около
10 мкм.
Отличие от единицы отношения коэффициента поглощения
солнечного излучения к низкотемпературной излучательной спо-
собности используется при обеспечении равновесной температуры
космических кораблей, так как для тела, находящегося в косми-
ческом пространстве, единственной возможностью отдать погло-
щенную энергию солнечных лучей является излучение этой
энергии. Например, для полированного алюминия коэффициент
256
Таблица 10
Значения излучательной способности (полной, нормальной)
некоторых материалов
Материал Температура, °C Излучатель- ная способ- ность Материал Температура, °C Излучатель- ная способ- ность
Алюминий: Бетон 20 0,92
полированные 100 0,05 Стекло (полирован- 20 0,94
листы ное)
неполированные 100 0,09 Лак:
листы белый 100 0,92
анодированные 100 0,55 матовый черный 100 0,97
листы Бумага (белая) 20 0,93
слои, нанесенные 20 0,04 Песок 20 0,9
вакуумным на- Кирпич 20 0,93
пылением Человеческая кожа 32 0,98
Сталь: Вода 20 0,96
полированная 100 0,07 Лед:
окисленная 200 0,79 гладкий — 10 0,96
Золото (хорошо по- 100 0,02 замерзшие кри-
лированное) сталлы —10 0,98
Уголь: Снег —10 0,85
сажа 20 0,95 Почва 20 0,95
графит 20 0,98
поглощения солнечных лучей составляет а = 0,387, а излуча-
тельная способность этого же материала, находящегося при
температуре 300 К, равна е = 0,027, следовательно, отношение
а/е = 14,35. В то же время белое покрытие из двуокиси титана
имеет а = 0,19 и е = 0,94, т. е, а/е = 0,20.
В общем случае излучение нечерного тела складывается из
собственного излучения и отраженного от него излучения других
тел
= Кк соб ОТр"
Спектральную плотность энергетической светимости отражен-
ного излучения 7?Хотр можно выразить через спектральную плот-
ность энергетической освещенности Ек и спектральный коэффи-
циент отражения рт (X)
^otp = PzW£m
причем спектральный коэффициент отражения рТ (X) равен
отношению монохроматического потока излучения, отраженного
данным телом, к монохроматическому потоку излучения, упав-
шему на него.
В свою очередь спектральную плотность энергетической све-
тимости собственного (теплового) излучения 7?Хсоб можно
9 М. М. Мирошников
257
выразить через спектральную энергетическую светимость абсо-
лютно черного тела и спектральную излучательную способность
Rx соб = £r (X) jRxt Т•
Следовательно, общую спектральную плотность энергетиче-
ской светимости нечерного тела можно найти следующим образом:
Если тело полностью непрозрачно, т. е. все излучение, пада-
ющее на него, либо поглощается, либо отражается, то сумма
спектральных коэффициентов поглощения и отражения равна
единице
аг (X) рг (/.) = 1,
а так как
осу- (X) — 87* (X),
то
R>.y = вт (X) + 11-87 (X)] Ек.
Для полупрозрачных тел имеет место более сложное соотно-
шение, учитывающее коэффициент пропускания
аг (X)-ф-т* (X)-f-р* (X) = 1,
где 1т (X) и рт (X) — кажущиеся наблюдаемые коэффициенты
пропускания и отражения, отличающиеся от истинных коэффи-
циентов пропускания и отражения тт (X) и pr (X) за счет потерь
на многократное отражение от поверхностей, ограничивающих
слой полупрозрачного вещества, из-за чего тт (X) < тг (X), и за
счет многократного внутреннего отражения, увеличивающего
первичное отражение, из-за чего рт (X) > pr (X).
Соответствующие формулы имеют вид:
тт (X) = тт (X)
(1-Рт (X))2
1 — р2 (X) т| (X) ’
р* (Х) = рг(Х) 1
Тт (X) (1 — Рт (^))2
1 — р^ (X) (X)
Распределение энергии излучения в спектре абсолютно черного
тела определяется формулой Планка, полученной им в 1900 г.
на основании представлений о квантовой природе света.
Формула Планка определяет зависимость спектральной плот-
ности светимости абсолютно черного тела в вакууме от темпера-
туры и длины волны
/?ЛТ = С1Х-5(ес2/иП_ 1)-1.
Здесь X — длина волны, см; Т — абсолютная температура, К;
сг — первая постоянная формулы Планка, = 2nc2h ==
258
= (3,7415 ± 0,0003) 10-12 Вт-см2 = 3,7415-Ю4 Вт-см 2-мкм4;
с — вторая постоянная формулы Планка, с2 = ch/k =
- (1,43879 ± 0,00019) см-К = 1,43879-104 мкм-К-
В выражения для постоянных формулы Планка входят: ско-
рость света в вакууме с = (2,997925 ± 0,000003)1010 см-с-1; по-
стоянная Планка h = (6,6256 ± 0,0005)10-34 Дж-с; постоянная
Больцмана k = (1,38054 ± 0,00018) 10~23 Дж-К‘х = 1,38054 X
X 10-23 Вт-с-К-1 = 1,38054-10”16 эрг-К-1.
Спектральная плотность энергетической светимости выражена
в Вт-см-3. Иногда ее выражают в Вт-см-2-мкм-1. В этом случае
формула Планка имеет вид
R.fT = С1Х-5(е^/(^) - I)-110-4.
Если излучение происходит не в вакууме, а в среде, имеющей
показатель преломления п, в формуле Планка следует заменить
скорость света с на dn и длину волны X на ХМ.
Из формулы Планка следуют два закона, которые были прак-
тически получены до появления квантовой теории на основании
тер моди нами чес ки х соот ношен и й.
В соответствии с первым из них — законом Стефана—Больц-
мана — суммарная (интегральная) плотность энергетической све-
тимости R (Вт-см-2) возрастает пропорционально четвертой сте-
пени абсолютной температуры
/?=] /?х7МХ = оТ4^5,7-10-1аТ4,
о
где о — постоянная Стефана — Больцмана, о = (2/15) л5 X
X 1Л4/(с2/г3)] = (сх/с2) (л4/15) = (5,6697 ± 0,0029) 10-12 Вт X
X см-2• К-4 5,7• 10-12 Вт-см-2• К-4. Второй закон — закон сме-
щения Голицына—Вина — позволяет найти длину волны, соот-
ветствующую максимальному излучению. Дифференцируя фор-
мулу Планка по длине волны и приравнивая результат нулю,
найдем:
Х„(Т = с2/4,9651;
1тТ = 0,28978 см-К = 2897,8 мкм-К,
т. е. длина волны максимального излучения обратно пропор-
циональна абсолютной температуре
= 2897,8/Т мкм.
Подставляя полученное значение Хш в формулу Планка, можно
найти максимальную величину спектральной плотности свети-
мости (Вт • см-3)
= 1,3-10-11Т5,
9* 259
причем постоянная
^ = (ci/c2)(4,9651)5(e4>9651 - I)-1 =
= 2л [fe5/(h4c3)J (4(9651)5 (е4-9651 — I)-1 = 1,2865- 1Q-11 Вт-см~3-К~5.
Спектральное распределение энергетической светимости абсо-
лютно черного тела при некоторых температурах, описываемое
Рис. 208. Спектральная плотность энерге-
тической светимости абсолютно черного
тела в зависимости от длины волны при
разных температурах (штриховая линия,
проходящая через максимумы кривых
Планка, представляет закон смещения
Голицына—Вина)
формулой Планка, представ-
лено на рис. 208 в виде семей-
ства кривых, называемых
кривыми Планка.
Анализ хода кривых
Планка позволяет сделать
некоторые выводы, имеющие
важное практическое значе-
ние.
1. Кривая Планка для
более низкой температуры
всегда р а положена внутри
кривой для более высокой
температуры. Следовательно,
для получения максималь-
ной энергии излучения на
заданной длине волны необ-
ходимо нагревать излучатель
до максимально возможной
температуры, не ограничи-
ваясь выбором температуры
излучателя в соответствии
с законом смещения Голи-
цына—Вина.
2. Подъем кривых План-
ка со стороны более корот-
ких волн круче, чем со сто-
роны длинных. Мощность из-
лучения, заключенная между длиной волны, равной нулю, и дли-
ной волны, соответствующей максимуму излучения, может быть
легко вычислена путем численного интегрирования. Она со-
ставляет четвертую часть суммарной мощности излучения
со
о ‘ о
3. Начиная с 14 мкм, имеет место практически полное поглоще-
ние инфракрасного излучения атмосферой, поэтому отношение
мощности излучения, сосредоточенной в спектральном интервале
до 14 мкм, к суммарной мощности излучения дает представление
260
о максимально возможном коэффициенте использования излуче-
ния при проведении измерений в атмосфере Земли.
При температурах излучателя 600 и 300 К это отношение
соответственно равно:
14 оо
'Пвоо = J боо J Rh боо 0,87;
о о
14 оо
Лзоо — J зоо dhjJ Rk зоо dh == 0,48.
о о
4. Пользоваться семейством кривых Планка при выполнении
практических расчетов затруднительно, так как для каждого
Рис. 209. Единая изотермическая кривая Планка
значения температуры приходится иметь отдельную кривую.
Этого можно избежать, вводя в формулу Планка безразмерные
величины:
у = R>jRbm-, х = К/Кт.
В этом случае формула Планка имеет вид
142,32х-5(е4’9651/х - I)"1.
Кривая, построенная по этой формуле, представлена на
рис. 209. Она называется изотермической кривой Планка. Значе-
ния функции у = f (х) приведены в табл. 11.
Иногда изотермическая кривая Планка представляется в виде
функции у = R/Rhm — f (КГ), что практически приводит лишь
к некоторому изменению масштаба по оси абсцисс, так как
х = 1/кт — %772897,8 W3000.
На рис. 210 изотермическая (универсальная) кривая Планка
дана в этом виде, причем одновременно нанесена кривая, позво-
261
Таблица 11
Значения функции у — f(x)
X У X У X У X У
0,10 4,70-10-16 1,20 9,28-10’1 2,30 2,89-10"1 5,00 2,68-10-2
0,20 7,37-10-6 1,30 8,60-10-1 2,40 2,58-10'1 6,00 1,42-10-2
0,30 3,8-10-3 1,40 7,85-1О"1 2,50 2,32-1О’1 7,00 8,20-Ю'3
0,40 5,65-10-2 1,50 7,10-10-1 2,60 2,08-10-1 8,00 5,05-10'3
0,50 2,22-1О’1 1,60 6,38-Ю"1 2,70 1,87-10-1 9,00 3,27-10-3
0,60 4,66-10-1 1,70 5,71-10-1 2,80 1,69-10-1 10,0 2,20-10-3
0,70 7,04 -10'1 1,80 5,10-10-1 2,90 1,53-IO’1 15,0 4,80-10'4
0,80 8,77-10-1 1,90 4,54-10-1 3,00 1,38-IO’1 20,0 1,60-10-4
0,90 9,72-10"1 2,00 4,05-10-1 3,50 8,66-10'2 30,0 3,25-10-ь
1,00 1,10 1,00 9,79-10-’ 2,10 2,20 3,62-10“1 3,23-10-1 4,00 5,65-10-2 50,0 4,36-10-6
мости от нуля до определенной величины XT z
Рис. 210. Универсальные кривые
излучения абсолютно черного тела
Для шкалы частот закон
ляющая определить долю интегральной энергетической свети-
X со \
= J ydx^ ydxj.
о о /
Например, при XT = 4000 мкм-К спектральная плотность энерге-
тической светимости составляет 0,8 ее максимальной величины.
В области от нуля до КТ =
= 4000 мкм • К заключено около
50% полного излучения.
Оценка доли энергии, прихо-
дящейся на различные участки
спектра излучения абсолютно чер-
ного тела, представлена на рис. 211
в виде диаграммы.
До сих пор формула Планка
рассматривалась как некоторая
функция от длины волны. Шкала
длин волн в настоящее время на-
иболее распространена. Однако за-
кон Планка можно выразить, взяв
в качестве аргумента частоту v =
— с/К или волновое число v = l/X.
Планка имеет вид
RvT = (Cj/C4) v3 ^c2v/(cT) _ J )-1
и представляет собой спектральную плотность энергетической
светимости абсолютно черного тела, имеющего температуру Г,
с частотами от v до v 4- dv.
Следует отметить, что максимум функции Планка по шкале
длин волн сдвинут в сторону больших частот по отношению к ма-
ксимуму по шкале частот.
262
Для шкалы волновых чисел закон Планка имеет вид
R~T “ civ3 (zC2V/T — О’1
и представляет собой спектральную плотность энергетической
светимости абсолютно черного тела, имеющего температуру Т,
с волновыми числами от v до v dv.
Максимум функции RyT располагается там же, где максимум
функции RvT.
Кроме указанных шкал, иногда применяют логарифмическую
шкалу длин волн или волновых чисел и шкалу фотонов.
Во многих случаях,
когда температуры цели
и фона очень близки и об-
наружение становится за-
труднительным, основной
интерес представляют не
абсолютные значения излу-
чений цели и фона, а раз-
ность потоков, испускае-
мых в заданном направле-
нии целью и фоном с еди-
ницы площади их излучаю-
щих поверхностей. Эта
разность определяет воз-
можность выделения цели
29%
личные участки спектра
из окружающего ее фона и назы-
вается контрастным излучением или энергетическим контрастом.
Контрастное излучение двух близких по температуре абсолютно
черных тел можно найти, дифференцируя формулу Планка и
переходя к конечным разностям,
= с1с22. х-6 — 1)-2ес2/(ЛГ)
= 5^(1-е-с./аП)-1^.
Переход к конечным разностям дает:
ДЯхг = (^/(^)] (1 - R^T&Т/Т.
Оценка пределов изменения температуры ДТ, для которых
возможен переход к конечным разностям, показывает, что при
значении температуры, близком к комнатной (7^300 К), расчеты
с точностью до 10% возможны во всем спектральном диапазоне
от 2 до 14 мкм. Относительные значения &RKT/AT в функции КТ
приведены на рис. 212. Длина волны, соответствующая максимуму
этой функции, определяется выражением, аналогичным закону
смещения Голицына—Вина, КтТ = 2411 мкм-К- Для Т = 300 К
Кп 8 МКМ.
263
Так как с ошибкой не более чем 5%
(1 _ e-‘2/(^)W == 1
при с2/(КТ) > 3, т. е. при КТ < с2/3 = 1,44-104/3 5000 мкм-К,
то для области температур, близких к комнатной, можно считать
^Rkt^M^R^AT/T.
Рис. 212. Относительные значения
—г£— в функции КТ
Интегральное значение конт’
растного излучения в спектраль-
ном диапазоне от 0 до К равно
л
аг» ДТ f п dK
ARo-h ^2 у2 J R%T •
0
В диапазоне от К = 0 до К =
= оо контрастное излучение легко
определить, дифференцируя фор-
мулу закона Стефана—Больцмана,
откуда получим
Д/?о-оо = 4оТ3ДТ^22,7Т3ДТ.
Интегральное контрастное излуче-
ние двух нечерных тел можно вы-
числить по формуле
00
Д/?о-оо = j {£т\ (X) Rm\ — &т2 (X) RxTt + [pi (X) — Р2 (X)] Ек\
о
где eTl (X); ет2 (X) — спектральные излучательные способности
тел, имеющих температуры 7\ и Т2\ Rm\\ Rkt2 — спектральные
плотности энергетической светимости абсолютно черного тела
для температур и Т2, pi (X); р2 (X)—спектральные коэффи-
циенты отражения тел; Е^— спектральная плотность энергети-
ческой освещенности тел (предполагается одинаковой).
Методику расчета характеристик инфракрасного излучения
абсолютно черного тела в широком диапазоне температур от
100 до 6000 К и необходимые справочные данные можно найти
в книге М. А. Брамсона «Инфракрасное излучение нагретых тел».
§ б. ВЛИЯНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ СРЕДЫ НА МОЩНОСТЬ
И СПЕКТРАЛЬНЫЙ СОСТАВ ИЗЛУЧЕНИЯ
В большинстве случаев излучение объекта наблюдения посту-
пает в приемное устройство оптико-электронного прибора изме-
ненным по величине и спектральному составу за счет действия
264
промежуточной среды, в которой оно распространяется. При этом
часть энергии излучения поглощается средой, часть отражается,
часть рассеивается и только оставшаяся часть используется
наблюдателем. Решение задачи о прохождении потока излучения
сквозь промежуточную среду требует рассмотрения механизма
взаимодействия излучения с веществом. Действие электромагнит-
ной волны на вещество и обратное воздействие вещества на элек-
тромагнитную волну сводится к возбуждению колебаний электри-
ческих зарядов, входящих в состав вещества, в такт с колеба-
ниями электрического вектора волны возбуждения и возникнове-
нию вследствие этого вторичных электромагнитных волн.
Интерференция первичной и вторичной волны обусловливает
в линейном приближении все процессы отражения, преломления,
прохожщения, рассеяния и т. д. Полная молекулярная теория
поглодения света через вещество сводится к разбору этого
взаимодействия.
Формально результат взаимодействия может быть описан
с помощью коэффициентов пропускания, поглощения и отражения.
Если Фо (X) — монохроматический поток излучения, вошед-
ший в некоторую среду, а Фт (X) — монохроматический поток
излучения, прошедший через некоторую толщу этой среды, то
спектральный коэффициент пропускания, характеризующий про-
зрачность среды, равен
= ФДА)/Ф0(Х).
Естественно предположить, что в однородной среде тонкие
слои одинаковой толщины dl поглощают одинаковую долю па-
дающего на них монохроматического потока (при относительно
слабых потоках, когда еще не сказываются нелинейные явления).
Иными словами, поглощенный в тонком слое элементарный
поток излучения аФ0 (^) пропорционален падающему на этот
слой потоку Фо (Z) и толщине слоя
ЛФ0 (X) = —а (X) Фо (X) dl,
где а (X) — коэффициент пропорциональности или показатель по-
глощения, равный отношению потока излучения, поглощенного
элементарно тонким слоем среды, к потоку, вошедшему в этот
слой, и толщине слоя, иначе говоря, это отношение коэффициента
поглощения для элемента пути, пройденного излучением, к длине
dl этого элемента.
Знак минус показывает, что имеет место уменьшение потока
излучения, вошедшего в слой.
Разделяя переменные и интегрируя по всей толще I среды,
найдем
фт W i
Фо (X) о
265
откуда
in [Фт(1)/Ф0 (k)l = —а (К) 1\
Фт(А) = Ф0(Х)е- <*> L
Полученное соотношение называется степенным законом ослаб-
ления излучения или законом Бугера—Ламберта.
Учитывая определение спектрального коэффициента пропу-
скания, можно найти
т (X,) = е—а 1.
Из степенного закона ослабления излучения следует, что
если для данного расстояния /0 коэффициент пропускания изве-
стен и равен
т0 (А,) = е~а 1°,
то для расстояния I его можно найти следующим образом.
Возводя обе части уравнения для т0 (К) в степень ///0, получим:
[т0 (A)]z/z« = е~а 1\
т(Х) = [xo(X)]z/zo.
Если /0 = 1 (1 см, 1 м, 1 км), то
т (А,) = 1т0(Х)Р.
В некоторых случаях пропускание материалов характеризуется
их оптической плотностью Z), связанной с коэффициентом про-
пускания соотношением
D (А,) = 1g [1/т (А,)] = 1g е° 1 = 0,434а (А,) I.
Единицей оптической плотности является такая плотность,
при которой происходит ослабление проходящего излучения
в 10 раз.
Если излучение проходит через оптическую среду, состоящую
из нескольких различных слоев, то общий спектральный коэффи-
циент пропускания равен произведению коэффициентов пропу-
скания отдельных слоев
т (X) = Т1 (X) т2 (X)...т„ (X) = П Т; (X),
1=1
а оптическая плотность — сумме плотностей каждого слоя
i—n
D (X) = D1 (X) + D2 (X) + • • • + Dn (X) = £ D, (X).
1=1
Следует иметь в виду, что при этом не учитывается отражение
от границ раздела слоев.
Отражение и преломление наблюдаются на границе раздела
двух сред, имеющих разные показатели преломления. Направлен-
266
Рис. 213. Зеркальное от-
ражение и преломление
излучения на границе
двух сред
ное (зеркальное) отражение и преломление подчиняются, как
известно, следующим законам (рис. 213)
Луч падающий Фо, луч отраженный Фр, луч преломленный Фг
и нормаль в точке падения W лежат в одной плоскости.
Угол падения равен углу отражения: i = р.
Угол падения i и угол преломления г связаны между собой
зависимостью
sin i/sin г = п2 (X)/nt (X) = n21 (X),
где п± (X) и п2 (X) — абсолютные спектральные показатели прелом-
ления; /?21 (X) — относительный спектральный показатель прелом-
ления второй среды относительно первой.
Показатель или коэффициент прелом-
ления среды для монохроматического из-
лучения с длиной волны X (от X до Z-|-dl)
равен отношению скорости распростране-
ния потока излучения в пустоте к фазо-
вой скорости монохроматического излуче-
ния в среде.
Законы отражения и преломления по-
тока излучения дают правильный ответ
на вопрос о направлении преломленной и
отраженной волны, но ничего не говорят
о величине и фазе отраженного и прелом-
ленного излучения.
Соответствующие соотношения можно
найти, пользуясь формулами Френеля. Для
естественного (неполяризованного) излучения они дают следую-
щие выражения для отраженного и преломленного потока:
ф, m _ о.бФ. от [;
ф,<Ч-о.«;.»>]
Следовательно, спектральный коэффициент отражения равен
р (X) = Фр (Х)/Фо (X) = sin2 (i — r)/sin2 (i 4- г) +
+ tg2 (i — r)/tg2 (i + r),
причем в соответствии с законом преломления
sin г = (njn^ sin г,
а отношение n-Jn2 является функцией длины волны.
Для нормального падения i = г = 0 формулы Френеля упро-
щаются, и выражение для спектрального коэффициента отражения
имеет вид
р(Х) (п2- «1)2/(/<а -F »i)2 - («21 1)2/(«21 н-I)2.
267
где nlt п2, n2i — спектральные коэффициенты (показатели)
преломления — функции длины волны X.
В процессе отражения и преломления излучения на границе
раздела двух сред имеют место различные физические явления,
из которых наибольший интерес представляют: 1) явление поля-
ризации отраженного потока излучения; 2) явление полного вну-
треннего отражения; 3) просветление оптики.
1. В общем случае поток излучения, падающий на границу
раздела двух сред, является естественным, т. е. ориентировка
электрического и магнитного векторов падающей электромагнит-
ной волны изменяется с течением времени. Однако для любого
момента можно разложить каждый из векторов на две слагающие,
расположенные в плоскости падения (p-компонента) и перпенди-
кулярно к ней (s-компонента).
Отраженный поток излучения всегда оказывается более или
менее поляризованным^ причем преимущественная поляризация —
в плоскости падения (электрический вектор, перпендикулярный
плоскости падения, имеет большую амплитуду).
Степень поляризации р (%) характеризуется отношением
р = [(Ф, — ФР)/(Ф, + Фр)1100,
где Ф5 и Фр — потоки излучения, соответствующие компонен-
там s и р.
При условии i г = л/2 р — 100%, т. е. имеет место полная
поляризация отраженного излучения (закон Брюстера).
Для проходящего излучения полная поляризация невозможна.
2. Из закона преломления следует, что если п21 < 1» т0
возможно такое значение угла падения i, при котором sin г > 1,
что не имеет смысла. Угол i, соответствующий условию sin i =
= п21, принято называть критическим или предельным. В этих
условиях мы не наблюдаем преломленной волны, а излучение
отражается обратно в первую среду, в соответствии с чем явление
носит название полного внутреннего отражения.
3. Вследствие френелевского отражения происходит значи-
тельное ослабление потока излучения, проходящего через гра-
ницу раздела. Для устранения этого явления применяют просвет-
ление оптики путем нанесения на поверхности линз тончайшей
прозрачной пленки с показателем преломления пх, меньшим по-
казателя преломления материала линзы и2. При этом толщина
пленки h (рис. 214) подбирается таким образом, чтобы отраженные
от поверхности пленки и линзы потоки излучения имели фазу
колебаний, отличающуюся на 180°, и погасили друг друга. Сле-
довательно, толщина просветляющей пленки должна выбираться
из условия, обеспечивающего равенство разности хода отражен-
ных лучей нечетному числу полуволн
2hn1 = (2k + 1) М2.
268
Для полного гашения лучей необходимо также обеспечить
равенство коэффициентов отражения пленки и линзы
(«1 — + «о) = («2 — "1)/(«2 + «1).
откуда tii = Уге0«2 *=* Vпг-
Таким образом, просветляющий слой осуществляет согласо-
вание оптических характеристик свободного пространства с ха-
рактеристиками материала линзы.
В электротехнике функции, аналогичные функциям просветля-
ющей пленки, выполняет согласующий трансформатор с коэффи-
циентом трансформации /г, предназначенный для преобразования
реального сопротивления нагрузки гн в заданное эффективное
сопротивление гэф с целью достижения максимального к. п. д.
генератора (рис. 214). Действительно, имеют место следующие
соотношения, связывающие напряжения и токи в первичной и
вторичной обмотках трансформатора:
Наряду с этим
следовательно,
п2 = /Шу,
/2 ~ I J П 5
UJI2 = /I2 (uJIj).
^2//2 = гн; «1/Л==^Эф,
'н==«%ф; п = У пАф •
Кроме направленного (зеркального) отражения света, име-
ющего место в случае, когда шероховатость отражающей поверх-
ности много меньше длины волны, наблюдается рассеянное отра-
жение, когда неоднородность структуры сравнима с длиной
волны излучения (рис. 215).
Рассеянное отражение подразделяется на направленно-рассеян-
ное и совершенно-рассеянное (диффузное).
Рассеянное отражение характерно тем, что пространственный
угол, в котором распространяется поток излучения, при отраже-
нии увеличивается. Для диффузно отражающих поверхностей
269
он равен 2лср, и спектральная плотность их энергетической
яркости определяется соотношением
Влк = R^/л = рд (X) Е к1п,
где Ек — спектральная плотность энергетической освещенности
поверхности; рд (X) — спектральный коэффициент диффузного от-
ражения.
В случае направленно-рассеянного отражения для характе-
ристики свойств отражающей поверхности вводят понятие спек-
Рис. 215. Рассеянное отражение: а — направ-
ленно-рассеянное; б — диффузное
трального коэффициента
энергетической яркости
Р (к), представляющего
собой отношение спек-
тральной плотности
энергетической яркости
поверхности в заданном
направлении В (X) к
спектральной плотности
энергетической яркости
идеально рассеивающей
поверхности Вох, имею-
щей коэффициент отра-
жения, равный единице, и освещенной так же, как данная
поверхность,
р (X) — BK/BoK = (BJEK) л.
Очевидно, что для диффузно отражающей поверхности коэф-
фициент яркости равен коэффициенту отражения
Рд W = [Вд (W л = [рд (X) Ек/(Екл)] п -- рд (X).
§ 6. ОСЛАБЛЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ АТМОСФЕРОЙ
Существует три физически разнородных процесса, вызывающих
ослабление излучения атмосферой: рассеяние излучения молеку-
лами атмосферных газов; рассеяние излучения частицами дымки,
а также частицами, из которых состоят туманы и облака; погло-
щение излучения молекулами газов, составляющих атмосферу, и
парами воды.
Количественной характеристикой ослабления излучения яв-
ляется спектральный показатель ослабления р (X), который пред-
ставляет собой отношение относительного уменьшения спек-
тральной плотности потока излучения практически параллельного
пучка во время его прохождения (при нормальном падении)
через бесконечно тонкий слой среды к толщине dl этого слоя:
m d(D 1
~ dl Ф ’
Введенный ранее показатель поглощения а (X) есть часть
показателя ослабления, обусловленная поглощением. Другая
270
часть, обусловленная рассеянием, называется показателем рас-
сеяния.
Учитывая, что коэффициент пропускания среды связан с по-
казателем ослабления степенным законом
т (X) = z,
показатель ослабления (натуральный) можно также определить
как величину, обратную расстоянию, на котором поток монохро-
матического излучения, образующего параллельный пучок, ослаб-
ляется в результате совместного действия поглощения и рассея-
ния в веществе в е раз.
В соответствии с этим спектральный коэффициент ослабления
излучения атмосферой равен
н (Ч = н (Ч + На (Ч + р-з (Ч.
где Pi (X) — учитывает молекулярное рассеяние излучения;
p2 (X) — учитывает рассеяние излучения на взвешенных частицах;
Из Д) — учитывает поглощение излучения.
В случае чистой и сухой атмосферы излучение рассеивается на
неоднородностях среды, связанных с местными изменениями
плотности, возникающими благодаря хаотическому тепловому
движению молекул атмосферных газов. Размер этих неоднород-
ностей мал по сравнению с длиной волны излучения, и коэффициент
ослабления может быть определен по формуле Релея
Pi (X) = ЛД4,
где коэффициент А зависит от температуры и давления воздуха.
При t = 0° С и р = 700 мм рт. ст. А & 1030 м3, т. е. для л =
= 0,375 мкм = 3,75-10“7 м (0,375) 5-Ю"5 м-1. Следова-
тельно,
Ti (0,375) = e-^i (°’375) 1 = е-510"в/.
Если I = 20 км = 20-Ю3 м = 1/(5-10~5) м, то (0,375) = 1/е
1/2,7, т. е. монохроматический поток излучения с длиной
волны 0,375 мкм уменьшается в 2,7 раза при прохождении им
расстояния в 20 км.
Если наблюдать рассеянное излучение под прямым углом
к первичному пучку, то обнаруживается, что оно поляризовано.
Если же оценивать величину потока излучения, рассеянного по
разным направлениям, то можно найти
Фе = Фл/2(1 +cos20),
где 0 — угол между направлениями наблюдения и распростра-
нения первичного пучка излучения.
Кривая, графически показывающая распределение рассеянного
потока излучения под различными углами, носит название инди-
катрисы рассеяния.
271
На практике редко приходится иметь дело с чистой атмосфе-
рой. В свободной от облаков и тумана атмосфере содержатся
различные примеси (земляная пыль, дым, копоть и др.). Эти
примеси являются центрами конденсации водяных паров, в ре-
зультате чего в атмосфере образуются капли воды. Когда условия
образования капель таковы, что их размер не превышает 0,5 мкм,
имеет место дымка, в значительной мере ограничивающая даль-
ность видимости.
Для случая, когда размеры частиц соизмеримы с длиной волны,
уже неприменим закон рассеяния Релея. Данные о рассеянии на
Таблица 12 Зависимость относительного показателя рассеяния атмосферы от дальности видимости частицах различного раз- ! мера получены в работах Шулейкина, Страттона и Хаутона. При этом оказывается, что для X > р (X > 2р), где р — радиус частицы, рассеяние подчиняется за- кону Д/Х4; для Х<Ср рас- сеяние не зависит от дли- ны волны; для X — р имеет место наибольшее рассея- ние. Таким образом, в слу- чае дымки, когда рамеры частиц не превышают 0,5 мкм, использование инфракрасной области спектра может иметь пре- имущества по сравнению с видимыми лучами. На расстоянии 10 км в дымке ослабление ин-
Состояние атмосферы Дневная дальность видимости черного предмета на фоне небосвода Отношение показателя рассеяния реальной атмосферы к показателю рассеяния идеально чистого воздуха ц2/М1
Очень плотный туман Плотный туман Средний туман Легкий туман Дымка Легкая дымка Ясно Очень ясно Исключительно ясно <50 М 50 М 200 м 500 м 1 км 4 км 10 км 20 км >50 км >6060 6060 1515 606 151 75,6 30,2 15,1 <5,06
фракрасных лучей с дли- ной волны около 3 мкм составляет не более 0,00013.
Когда видимость в дымке составляет около 1 км, использова-
ние для наблюдения ближней инфракрасной области спектра дает
выигрыш по дальности в 2—4 раза.
Работы по определению размеров капелек естественного ту-
мана показывают, что радиусы капелек имеют величину от 1 до
60 мкм, причем капли, имеющие радиус больше 25 мкм, встре-
чаются крайне редко.
Естественный туман никогда не состоит из капелек одного
размера, поэтому вычисление прозрачности природных туманов
приводит к неточным и противоречивым результатам.
Практически прозрачность тумана лишь очень медленно воз-
растает с ростом длины волны.
При дожде р > 60 мкм и инфракрасные лучи при наблюдении
не имеют преимуществ по сравнению с видимым светом.
272
Однако это не означает, что инфракрасные ситемы не могут
работать сквозь дождь. Во многих случаях в отличие от облаков
и тумана пропускание инфракрасного излучения дождем доста-
точно велико. Например, для спектрального диапазона 3,2—
4,8 мкм пропускание излучения сквозь дождь на трассе 1,8 км
составит 88% при слабом (0,25 см/ч), 74% при среднем (1,25 см/ч),
65% при сильном дожде (2,5 см/ч), 38% при ливне (10 см/ч).
В табл. 12 приведены значения отношения показателя рассея-
ния реальной атмосферы к показателю рассеяния идеально чи-
стого воздуха для различных состояний атмосферы.
Рис. 216. Пропускание атмосферы на горизонтальной трас-
се на уровне моря протяженностью 1 миля (1,8 км) 'при тол-
щине осажденной воды 17 мм по Джебби
Значение pj в видимой области спектра составляет 0,01 —
0,05 км-1.
В инфракрасной области спектра атмосфера имеет ряд полос
поглощения, соответствующих резонансным частотам молекул
газов, входящих в ее состав. Это, прежде всего, трехатомные
молекулы углекислоты и паров воды.
Углекислота СО2 характеризуется рядом полос поглощения.
Наиболее сильными являются полосы, расположенные вблизи
длин волн 4,3 и 12,8—17,3 мкм.
Пары воды Н2О имеют ряд полос, центр которых лежит при
1,37; 1,85; 2,7 и 6,3 мкм Кроме углекислоты и паров воды, на
больших высотах существенным оказывается поглощение озона,
который имеет полосы поглощения при 4,8; 6,7; 9,6 мкм.
Начиная с 14 мкм, поглощение всеми компонентами атмосферы
становится настолько сильным, что в спектральном диапазоне
14—200 мкм атмосфера практически непрозрачна (небольшое
«окно» пропускания расположено вблизи длины волны 21 мкм).
Следует иметь в виду, что структура полос поглощения атмо-
сферы в инфракрасной области спектра весьма сложна. Фактиче-
ски каждая полоса поглощения состоит из множества линий
поглощения, частоты которых определяются колебательными и
273
вращательными резонансными частотами молекул. Следовательно,
коэффициент ослабления р3 (X) меняется здесь очень быстро и
применение формулы Бугера—Ламберта становится невозможным.
В связи с этим атмосферное поглощение рассчитывается по тем
или иным эмпирическим формулам, дающим значение интеграль-
ного поглощения для данной полосы пропускания.
Методика расчета прозрачности атмосферы и необходимые
справочные данные для различных длин волн и условий наблю-
дения содержатся в ряде книг и пособий, перечень которых при-
веден в списке литературы.
В качестве примера на рис. 216 приведены кривые спектраль-
ной прозрачности атмосферы длиной в 1 милю (1,8 км).
Глава 10
ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИЕМНИКОВ ИЗЛУЧЕНИЯ
ДЛЯ СИГНАЛА
§ 1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Свойства приемника излучения наиболее полно могут быть
описаны системой характеристик, выражающих зависимость
сигнала и шума, вырабатываемых приемником, от различных фак-
торов: величины, спектрального состава и частоты модуляции
излучения, падающего на приемник, температуры окружающей
среды, напряжения питания и т. д.
Наиболее распространенными характеристиками приемника
излучения являются: амплитудная (энергетическая или световая)
характеристика, дающая зависимость сигнала от величины по-
тока излучения, падающего на приемник; спектральная харак-
теристика, выражающая зависимость сигнала от длины волны
падающего излучения; частотная характеристика, определяющая
инерционные свойства приемника в виде зависимости сигнала от
частоты модуляции потока излучения; шумовая характеристика,
представляющая собой зависимость спектральной плотности шума
приемника от частоты.
К сожалению, однако, не всегда возможно иметь для каждого
экземпляра приемника излучения полный набор характеристик.
Поэтому во многих случаях характеристики заменяются число-
выми параметрами, выражающими свойства приемника для опре-
деленных наиболее типичных условий.
Например, вместо амплитудной характеристики используется
дифференциальная крутизна преобразования (чувствительность),
которая определяет величину сигнала, вырабатываемого приемни-
ком при облучении его малым синусоидально-модулированным
потоком излучения. Частотная характеристика в первом прибли-
274
женин описывается постоянной времени', шумовая характери-
стика — среднеквадратическим значением шума или спектральной
плотностью шума на одной фиксированной частоте. В качестве
параметров, описывающих спектральную характеристику, иногда
используются значения длин волн Хо и при которых спектраль-
ная чувствительность соответственно равна 0,5 и 0,01 от макси-
мального значения. Например, спектральные свойства фоторе-
зисторов из сернистого, теллуристого и селенистого свинца могут
быть описаны следующим образом (в скобках указана темпера-
тура чувствительного слоя фоторезистора):
Хо, мкм Хо мкм
PbS (295 К) ........................ 3,1 3,3
РЬТе (77 К)......................... 5,4 5,95
PbSe (77 К)......................... 5,9 6,5
ГОСТ 19852—74 определяет коротковолновую %' и длинно-
волновую X" границы спектральной чувствительности фотоприем-
ника как наименьшую и на-
ибольшую длины волн монохро-
матического излучения, при ко-
торых монохроматическая чув-
ствительность фотоприемника
равна 0,1 ее максимальной ве-
личины.
Вместо спектральной харак-
теристики могут задаваться аб-
солютные значения пороговой
чувствительности приемника
на фиксированных длинах волн
Рис. 217. Приемник как преобразова-
тель излучения в электрический си-
гнал:
Ф — поток излучения; U — сигнал; S —
крутизна преобразования (чувствитель-
ность) приемника
и т. д. Если же иметь в виду, что фотоприемник излучения
обычно применяется для обнаружения или регистрации потока
излучения сложного спектрального состава, т. е. главным обра-
зом используются его интегральные свойства, то спектральную
характеристику можно задать значениями коэффициента ис-
пользования излучения или эффективной спектральной ширины
полосы пропускания приемника, определение которых приведено
ниже.
Далее будут рассмотрены только те характеристики и пара-
метры приемников излучения, которые позволяют осуществить
феноменологическое описание свойства приемника преобразовать
поток излучения в электрический сигнал. С этой точки зрения
приемник можно рассматривать как четырехполюсник, имеющий
крутизну преобразования S, которая и определяет величину
сигнала, вырабатываемого приемником и приходящегося на еди-
ницу падающего на него потока излучения (рис. 217).
Крутизна преобразования выражается в различных единицах
(вольт на ватт, ом на ватт, ампер на ватт, ампер на люмен и т. д.)
и обычно называется чувствительностью, что, конечно, не совсем
275
строго, так как более чувствительным может быть не тот прием-
ник, который вырабатывает больший сигнал, а тот, который
обеспечивает большую величину отношения сигнала к шуму. Это
обстоятельство находит свое выражение и в технической лите-
ратуре, где, следуя Джонсу, в отличие от термина sensitivity
(чувствительность), иногда предпочитают использовать термин
responsivity (отзывчивость или реакция, ответ).
§ 2. АМПЛИТУДНЫЕ (ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ИЛИ СВЕТОВЫЕ)
И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПРИЕМНИКОВ ИЗЛУЧЕНИЯ
Свойство приемника излучения вырабатывать электрический
сигнал определенной величины под действием падающего на него
потока излучения трудно выразить одним значением крутизны
преобразования, так как зависимость сигнала U от потока Ф
обычно нелинейна (рис. 218). Для
Рис. 218. Общий вид зависимо-
сти сигнала, вырабатываемого
приемником, от падающего на
него потока излучения — пол-
ная амплитудная характерис-
тика
полного описания нужно знать всю
эту зависимость, которую можно на-
звать полной амплитудной (стати-
ческой) характеристикой приемника
излучения. Однако ее получение
связано с существенными экспери-
ментальными трудностями, поэтому
обычно для описания амплитудной
характеристики пользуются поня-
тием крутизны преобразования (чув-
ствительности).
Как известно, различают три зна-
чения крутизны:
крутизна для немодулированного
сигнала, или статическая крутизна
(чувствительность) фотоприемника,
определяемая наклоном секущей:
S= = (7/Ф = tg а;
крутизна для модулированного сигнала, или дифференциальная
крутизна (чувствительность), определяемая наклоном касатель-
ной:
S= lim -^- = tgp;
ДФ^О
средняя крутизна Scp, определяемая отношением амплитуды
первой гармоники сигнала, вырабатываемого приемником, к амп-
литуде синусоидально-модулированного потока излучения. Оче-
видно, что до тех пор, пока поток излучения не выходит за пре-
делы линейного участка полной амплитудной характеристики,
средняя крутизна постоянна и сигнал синусоидален. В дальней-
276
шем при увеличении потока имеет место нелинейность, причем
в пределе сигнал приобретает форму прямоугольных импульсов,
амплитуда первой гармоники которых практически не изменяется,
т. е. значение средней крутизны стремится к нулю.
Наибольшее распространение получило понятие крутизны
для модулированного сигнала, или дифференциальной крутизны
(дифференциальной чувстви-
тельности). Когда пользуются
этим понятием, то под ампли-
тудной (энергетической или све-
товой) характеристикой прием-
ника излучения подразумевают
зависимость дифференциальной
крутизны (чувствительности),
выраженной в относительных
величинах S/So, от уровня по-
стоянной засветки ^смодулиро-
ванного потока излучения) Ф=.
Такая характеристика назы-
вается фоновой характеристи-
кой чувствительности фото%
приемника (рис. 219).
S/So
Рис. 219. Общий вид зависимости диф-
ференциальной крутизны (чувстви-
тельности) приемника излучения от
уровня постоянной засветки — ампли-
тудная (энергетическая или световая)
характеристика
Экспериментальное определение дифференциальной крутизны
производится следующим образом (рис. 220).
Модель абсолютно черного тела АЧТ1У имеющая температуру
Тг (К) и площадь выходного отверстия Alt устанавливается на
Рис. 220. Принципиальная схема эксперимен-
тального определения дифференциальной крутиз-
ны приемника излучения
расстоянии L от приемника излучения Пр с площадью чувстви-
тельной поверхности а.
Смодулированный поток излучения (Вт), падающий на
приемник, в этом случае равен
где а^»5,7-1СГ12 Вт-см-2-К’4.
277
Если этот поток модулируется синусоидально модулятором Л4,
установленным непосредственно у выходного отверстия АЧТЪ
то действующее (среднеквадратическое) значение первой гармо-
ники падающего на приемник потока равно (рис. 221)
ф = /гфь
где k = V2/4 0,35.
Сигнал, вырабатываемый приемником, регистирируется при-
бором, измеряющим среднеквадратическое (действующее) значе-
ние первой гармоники U. (На рис. 220 предполагается, что прибор
отградуирован в действующих значениях первой гармоники вход-
ного сигнала, т. е. сигнала на зажимах приемника излучения.)
Уровень постоянной за-
светки Ф= в общем случае
определяется потоком излу-
чения Ф2 АЧТ2, постоянной
составляющей потока излу-
чения 0,5Фх АЧ7\ и побоч-
ными потоками излучения Фф
окружающего фона, т. е.
Ф_ = фо 4- 0.5Ф, 4- Фл..
Время
Рис. 221. Процесс синусоидальной мо-
дуляции потока излучения
Обычно измерения проводятся в условиях, когдаФ2 0,5Фх
-j-Фф. Следовательно,
ф= = Ф2 = (aTi/л) аЛ2/Д2.
При заданном значении Ф= дифференциальная чувствитель-
ность
s = U/k<4\ = 2 /Г 1//Ф, ~ 2,83У/Ф1.
Если модулятор не обеспечивает синусоидальной модуляции
потока излучения, то осуществляется измерение действующего зна-
чения первой гармоники сигнала, выделяемой соответствующим
электрическим фильтром. Соотношение между этим действующим
значением и фактической величиной полного размаха модулиро-
ванного потока Фх зависит от формы модуляции. При прямоуголь-
ной форме модулированного потока коэффициент k равен 0,45,
при треугольной форме — 0,286. В других случаях значения
этого коэффициента могут вычисляться путем разложения сигнала
в ряд Фурье.
Основные характеристики приемника измеряются при инте-
гральном облучении (от абсолютно черного тела или другого
эталонного источника излучения). Поэтому соответствующее зна-
чение крутизны (чувствительности), определяющее меру реакции
приемника на сложный поток, называют интегральным.
Приводимые в паспортах приемников значения интегральной
крутизны обычно определяются для излучения эталонных источ-
ников, какими являются:
278
источники типа А (2855,6 К), В (4800 К) и С (6500 К) для
фотоэлементов с внешним фотоэффектом и других приемников,
чувствительных в видимой области спектра;
абсолютно черное тело с температурами 100° С, 300° С, 500 К
и 1273 К для приемников, чувствительных в инфракрасной об-
ласти спектра.
Сведений об интегральной чувствительности оказывается не-
достаточно, и возникает потребность в дополнительной информа-
ции о спектральной крутизне (чувствительности) приемника,
определяющей его реакцию на монохроматический поток. Такая
информация необходима потому, что один и тот же поток излуче-
ния оказывает различное действие на различные приемники излу-
чения; например, глаз человека не видит излучения тела, нагре-
того до температуры 500 К, в то время как с помощью эвапоро-
графа это излучение можно легко обнаружить.
Различный эффект воздействия излучения на приемники свя-
зан с их селективностью (избирательностью). Поэтому при работе
с оптико-электронными приборами часто пользуются, наряду
с энергетическими характеристиками излучения, так называе-
мыми эффективными характеристиками (единицами), учитыва-
ющими не только абсолютную величину излучения, но и его
спектральный состав.
Поток, эффективно воспринимаемый приемником излучения,
ЧФ =
где Фэ — полный (энергетический) поток, излучаемый источником
во всем спектральном диапазоне и достигающий приемника;
1 — коэффициент использования, показывающий, какая доля
полного потока воспринимается приемником.
Коэффициент использования £ вводится следующим образом.
Пусть ^Фэ — монохроматический (от X до X 4- d'K) поток,
падающий на приемник, а Фэ^ — спектральная плотность этого
потока. Тогда б/Фэ = Фэ?1 dX, а полный поток, излучаемый источ-
ником во всем спектральном диапазоне и достигающий прием-
ника,
7 со
Фэ= [фэхЛ-
о
Если Фэ тах — максимальное значение спектральной плотности
потока, то
Ф (М = Чх/Ч шах
представляет собой распределение спектральной плотности по-
тока излучения по спектру в относительных единицах, т. е. отно-
сительное спектральное распределение.
Пусть S (X) — спектральная дифференциальная крутизна (чув-
ствительность) приемника, равная
о m - _ du
° йфэ ~ ФэХа ’
279
a 5max — максимальное значение этой величины *; тогда
k(l) = S(Z)/Smax
представляет собой распределение спектральной дифференциаль-
ной крутизны приемника по спектру в относительных единицах,
т. е. относительное спектральное распределение крутизны (чув-
ствительности) приемника излучения.
Имеют место также следующие очевидные соотношения:
dU = S (X) фЛ Л = Ф9 max 5гаах q> (X) k (X) Л;
I/ = J S (Х)ФМ dX = Ф9Иах Sraax f <p (X) k (X) dk.
о 0
Таким образом, действие сложного излучения Фэ на приемник,
имеющий спектральное распределение крутизны S (А), вызывает
появление сигнала U на зажимах приемника. Тот же сигнал мо-
жет быть получен, если предположить, что приемник имеет не
зависящую от длины волны крутизну Smax, а падающий на прием-
ник поток равен некоторой величине Фэф, которая подлежит
определению.
Так как U = £тахФЭф, то
со
Фэф = Фэ max J <р (X) Лг (A)
о
но
Фэ — J Фэх, dh — Фэ max j (р (Z) dh\
о о
следовательно,
( ф (X) k (X) dX
Фэф =' “ Фэ’
| Ф (X)dX
о
если обозначить
g = J <р (Л.)Л(Х) 4Л. / J <p(A.)d%,
о I о
найдем
Фэф = ВФэ-
* При отсутствии максимума в спектральном распределении падающего по-
тока и крутизны приемника в качестве Фтах и Smax могут быть приняты соот-
ветствующие значения на некоторой заданной длине волны (своей для каждой
величины).
280
При расчете коэффициентов использования различными при-
емниками излучения абсолютно черного тела необходимо иметь
в виду следующие соотношения:
фачт (X) = «Гт/С;
J «£чт
f „ 41 О ОТ4 _ О/#
]ФАЧТ(Л)ЦЛ рАЧТ Т *
0 ^тах
Так как
а 5,7-ю-В * * * 12 * * *
$ 1,3-10’16 4400 К -мкм,
то
оо
5ачт = -4-^00 f Фачт (h)k(k)dh.
Действие излучения на глаз человека можно оценивать также
в эффективных величинах (эффективных световых ваттах):
Фев — ^ГдФэ»
где ФСв — эффективный поток, воспринимаемый глазом человека,
т. е. световой поток; Фэ — полный (энергетический) поток, излу-
чаемый источником во всем спек-
тральном диапазоне и достигаю-
щий приемника; |гл — коэффи-
циент использования полного по-
тока глазом человека.
Очевидно, что
со /со
}ф(Л)йгл(Л)аА, / J <p(A)dA.
О / о
В качестве относительного
спектрального распределения чув-
ствительности глаза /ггл (1) можно
использовать функцию относи-
тельной видности глаза, которую
называют также нормализованной
Функцией относительной спек-
тральной световой эффективности
Рис. 222. Относительная спектраль-
ная световая эффективность излуче-
ния для£стандартного фотометри-
ческого наблюдателя МКО приме-
нительно к дневному v (X) и ночному
v' (X) зрению
излучения для стандартного фотометрического наблюдателя
МКО (Международной комиссии по освещению) применительно
к дневному v (X) или ночному v* (X) зрению. Эти функции при-
ведены в табл. 13 и на рис. 222. Поскольку в СССР принято,
что все световые величины должны определяться только с при-
281
Таблица 13
Относительная спектральная световая эффективность излучения
для стандартного фотометрического наблюдателя МКО
К, нм Дневное зрение v (%) Ночное зрение v' (%) X, нм Дневное зрение v (%) Ночное зрение v' (К)
380 0,0000 0,000589 590 0,757 0,0655
390 0,0001 0,002209 600 0,631 0,03315
400 0,0004 0,00929 610 0,503 0,01593
410 0,0012 0,03484 620 0,381 0,00737
420 0,0040 0,0966 630 0,265 0,003335
430 0,0116 0,1998 640 0,175 0,001497
440 0,023 0,3281 650 0,107 0,000677
450 0,038 0,455 660 0,061 0,0003129
460 0,060 0,567 670 0,032 0,0001480
470 0,091 0,676 680 0,017 0,0000715
480 0,139 0,793 690 0,0082 0,00003533
490 0,208 0,904 700 0,0041 0,00001780
500 0,323 0,982 710 0,0021 0,00000914
510 0,503 0,997 720 0,00105 0,00000478
520 0,710 0,935 730 0,00052 0,000002546
530 0,862 0,811 740 0,00025 0,000001379
540 0,954 0,650 750 0,00012 0,000000760
550 0,995 0,481 760 0,00006 0,000000425
560 0,995 0,3288 770 0,00003 0,000000241
570 580 0,952 0,870 0,2076 0,1212 780 0,000015 0,000000139
менением функции v (X) для дневного зрения, в дальнейшем будем
использовать именно эту функцию.
Следовательно, относительное спектральное распределение чув-
ствительности глаза
Коэффициент использования глазом излучения |rjl в фото-
метрии называют относительной световой эффективностью и
обозначают буквой с, т. е.
СО / со
Егл = = J ф (^) V (%) dk ((р (X) dk,
о I о
а
Фсв = УФЭ.
При оценке зрительного восприятия световой ватт оказы-
вается слишком большой величиной, и для этих целей исполь-
зуется специальная единица — люмен, вводимая через макси-
мальную спектральную световую эффективность излучения Smax гл
(лм«Вт-1), которая имеет место на длине волны 555 нм для днев-
ного зрения, т. е.
= гл,
где 5ГЛ (А) — спектральная световая эффективность излучения.
282
Следовательно, световой поток (лм)
F = гл^св = '-’’шах гл « “ *^тах гл J (^)
j ср (А) dA
о
где Фэ^ — спектральная плотность потока Фэ.
Значение максимальной спектральной световой эффективности
излучения можно определить из предыдущей формулы, имея
в виду, что если в качестве источника излучения использовать
абсолютно черное тело при температуре затвердевания платины
(2042 К), то световой поток равен 1 лм *. Таким образом можно
найти
Smax ГЛ ^680 ЛМ-Вт-1,
т. е.
со /со
F = 680Фэ [ <р (X) v (X) dX / J <р (X) dX.
б / о
В заключение рассмотрим связь между интегральной и спек-
тральной крутизной (чувствительностью) приемника излучения
и между интегральными значениями крутизны приемника, опре-
деленными по отношению к различным источникам излучения.
Интегральная крутизна, определяющая реакцию приемника
на сложный (по спектру) поток,
СО оо
J Фэ%£ (A) dA J ср (A) k (А) dA
0 0 Q _____ £ Q ,
то — то ^шах — ёРтах»
J Фэх^А J <p(A)dA
о о
5(Ч=5ЛМ-
Зная крутизну приемника при облучении его источником
заданного спектрального состава S, коэффициент использования
излучения этого источника | и относительное спектральное
распределение крутизны /г (А), можно найти абсолютное значение
спектральной крутизны приемника
S А) = (S/|)^(A).
* В соответствии с решением 9-й (1948 г.) и 13-й (1967 г.) Генеральных кон-
ференций по мерам и весам люмен — единица светового потока, определяемая
как световой поток, излучаемый в телесном угле 1 ср равномерным точечным
источником с силой света в 1 кд. Кандела — единица силы света, определяемая
как сила света, излучаемого в перпендикулярном направлении 1/600 000 м2
поверхности абсолютно черного тела при температуре затвердевания платины и
Давлении 101 325 Н/м2. Яркость А ЧТ при 2042 К равна 0,6 кд-мм-2.
283
Пусть крутизна приемника определена по отношению к источ-
нику, относительное спектральное распределение излучения ко-
торого равно ф! (X). Тогда интегральная крутизна
' оо
J Ф1 (М £ (М
•$1 = « ^max ==
j Ф1(ty dK
О
Соответственно для источника с распределением ф2 (X) имеем
оо
J <р2 (X) k (X) dX
Sa = ----------------Smax = ?,Sma..
" ОО 1Пал ПШл
J ф2 (^) dX
0
Следовательно, можно найти
52 = S1(|2/li).
где и — коэффициенты использования излучения первого
и второго источников одним и тем же приемником.
Если интегральная чувствительность приемника по отношению
к источнику с распределением фх (%) измерялась, кроме того,
по воздействию на него светового потока этого источника, то
необходимо учесть переход от энергетических единиц к световым.
Тогда получим
f (pj(X)^(X)dX
5. = —---------------Smax*
А СО Шал ’
680 | фх (X) v (X) dX
J ф2 (1) k (X) dX
с ___J)______________с
°2 — co °max»
J ф2г(Х) dX
о
Следовательно,
co co
J <p2 (X) k (X) dX J <pj (X) v (X) dX
S2 - 680SJ .
J ф2 (X) dX J фг (X) k (X) dX
о о
284
co
Умножив и разделив последнее выражение на J <рх (X) dk, найдем
о
со со СО
j <р2 (X) k (X) dX J <рх (X) v (X) dX | <pj(X)dX
S2 = 680Sx --------------------- -5------------------5-------------
A co co co
J (f2 (A,) d'K J (fj (X) dK J qpj (X) k (X) dX
o oo
= 680
si
где v = §гл — относительная световая эффективность излучения.
Если, например, выражена в В/лм, то S2 — В/Вт.
Наряду с коэффициентом излучения для оценки эффектив-
ности использования приемником падающего потока может рас-
сматриваться введенное автором и нашедшее широкое применение
понятие эффективной спектральной ширины полосы пропускания
приемника излучения ДХЭ^.
Физический смысл этой величины состоит в том, что действие
на селективный приемник излучения с заданным спектральным
распределением эквивалентно действию излучения с постоянной
спектральной плотностью на приемник, имеющий прямоугольную
спектральную характеристику с раствором ДХэф.
Действительно, сигнал, вырабатываемый приемником,
U = J =
Фтах^тах J ф (^) (^)
0
Обозначим
Д*эф = 1 t(W)A;
о
тогда
U — Фтах^тах Д^эф*
Полученное выражение можно истолковать так, как это сделано
выше (см. также рис. 223).
В случае неселективного (теплового) приемника k (X) = 1 и
эффективная спектральная ширина полосы пропускания тепло-
вого приемника
Д^эф. тепл
ср (%) dX.
285
Если источник излучения представляет собой абсолютной чер-
ное тело, то можно найти ДХэф7ГСПл (мкм):
д д АЧТ f а/^ 4400
Д^эф. тепл -— J фАЧТ (Л) — —Тр р—
О
где Т — абсолютная температура, К-
Следует заметить, что значение 4400/7" для теплового прием-
ника практически не реализуется, так как заметная часть излу-
чения, особенно низко-
Рис. 223. К определению эффективной спектраль-
ной ширины полосы пропускания приемника из-
лучения: а — расчет Длэф; б — действие излуче-
ния с постоянной спектральной плотностью Фтах
на приемник с прямоугольной спектральной ха-
рактеристикой <Smax, ААэф
температурного, даже
на самых коротких ди-
станциях поглощается
атмосферой.
Сравнив выражения
для эффективной спек-
тральной ширины поло-
сы пропускания прием-
ника ДХэф и коэффициен-
та использования излу-
чения получим
Д^эф/А^эф, тепл»
т. е. коэффициент ис-
пользования излучения
равен отношению эф-
фективных спектраль-
ных полос пропускания
данного и неселектив-
ного (теплового) прием-
ников излучения.
Если источником из-
лучения является абсо-
лютно черное тело, то
gA4T =
- а>.эа4чт/аСтТ(Пя-
(ДХ^чт/4400) Т
2,3-10~4ТДХ^т.
Соответственно можно установить связь между энергетической
светимостью абсолютно черного тела или его температурой и зна-
чением эффективной светимости излучения АЧТ:
АЧТ г»АЧТ
Кэ
= gA4TaT4
ЯэАфЧТ=£
2,3 • 10~4 • 5,7 • 10-12Т’5 ДХафчт «И ,3 • 1 (Г15/15 ДХ^1Т.
286
/?эАФчт
Поскольку максимальное значение спектральной плотности
энергетической светимости АЧТ (Вт-см-2-мкм"1)
Rx mix = ЯТБ «И ,3 • КГ15/15,
то
_ Г)АЧТ длАЧТ
— АЛтах ^Лэф >
что соответствует определению эффективной спектральной ширины
полосы пропускания.
При регистрации приемником контрастного абсолютно черного
излучения, т. е. разности излучений двух последовательно визи-
руемых абсолютно черных источников близкой температуры,
можно найти разность светимостей, выраженную в эффективных
единицах:
ЛЯэфЧТ = J SR^k(X)dX,
О
где (с2/кТ) RmT (&Т/Т)-, Rm^ — спектральная плот-
ность энергетической светимости более холодного тела, имеющего
температуру Т; с2^ 14 388 мкм - К — вторая постоянная формулы
Планка; k (X) — относительное спектральное распределение кру-
тизны (чувствительности) приемника излучения.
Полученную формулу можно представить в виде
Д/?1фТ =|АЧТ (4оТ3Л.Т),
где коэффициент ^дчт показывает, какая часть полного контра-
стного излучения двух абсолютно черных источников использу-
ется данным приемником.
Можно найти, что
00
§ачт = 0,82 J ФАЧТ(Л)Л(Х) 4-.
О
где VA4t(R)=Rx4r/Rx4^.
Входящий в выражение для §дчт интеграл можно по анало-
гии с предыдущим назвать относительной или логарифмической
спектральной шириной полосы пропускания приемника излучения'.
со со
(Д In X) эф = J <рАЧт (X) k (X) = j <рАЧт (X) k (X) d In X,
О о
т- е. коэффициент использования контрастного излучения можно
выразить следующим образом:
5ачт = 0,82 (Д 1пХ)эф.
287
Для теплового приемника эффективная логарифмическая спек*
тральная ширина полосы пропускания соответствует относитель-
ной величине раствора кривой планковского распределения излу-
чения и равна
(Д In Х)эф. „пл = J Фачт (Ч d In X 1,22.
О
В этом случае
= 0,82-1,22 = 1; Д/?,Афч™л = ДЯАЧТ = 4оГ3 ДТ,
т. е. имеет место известная формула, получаемая из закона Сте-
фана—Больцмана путем дифференцирования.
Величина эффективной логарифмической спектральной ширины
полосы пропускания для теплового приемника, равная 1,22,
Таблица 14
Значения АХЭф и (A In Х)Эф
для некоторых приемников излучения
Т, °C дЧф-107(д 1п W103
Идеальный тепловой приемник PbS (295К) PbTe (77К) InSb (77К) Ge:Au (77К)
20 1500 0,05 28 46 100
1220 0,15 57 850 167
50 1360 0,16 44 68 124
1220 0,52 90 127 238
100 1180 0,65 75 104 190
1220 2,34 174 180 357
200 932 5,0 137 161 218
1220 16,8 354 338 565
300 780 13 180 197 320
1220 56 515 424 708
400 655 27 193 202 331
1220 122 630 512 803
500 570 48 203 196 332
1220 203 713 480 843
Наиболее полное представление
практически никогда не
достигается, прежде всего
из-за ослабления излуче-
ния в атмосфере. Вычи-
сления показывают, что
даже при очень небольших
расстояниях между источ-
ником, имеющим темпера-
туру 300 К, и приемником
(Д1пХ)эф tenjI 0,83. Если
же межд\ источником и
приемником находится
400-метровый слой атмо-
сферы, то эта величина
снижается до 0,53.
Значения эффективной
спектральной ширины по-
лосы пропускания ДХэф и
эффективной логарифмиче-
ской спектральной ши-
рины полосы пропускания
для некоторых приемников
излучения при отсутствии
ослабления излучения в
атмосфере приведены в
табл. 14. Рядом с обозна-
чением приемников в скоб-
ках указана температура
чувствительного слоя.
о селективных свойствах
приемника излучения может дать его спектральная характе-
ристика — распределение спектральной (монохроматической)
288
10 м. м. Мирошников
^S(A)
в^(Л)
Рис. 224. Относительное спектральное распределение
крутизны^(чувствительности) некоторых приемников: а —
массивный (непрозрачный) сурьмяно-цезиевый фотокатод
(/); полупрозрачный сурьмяно-цезиевый фотокатод, не
сенсибилизированный кислородом (2); массивный (непроз-
рачный) серебряно-кислородно-цезиевый фотокатод (5);
полупрозрачный серебряно-кислородно-цезиевый фотока-
тод (4); б — PbS, 295 К (5); PbS, 195 К (5); PbS, 77 К (7);
РЬТе, 77 К (5); PbSe, 77 К (9); InSb, 77 К (10); в— Ge :
Au, 77 К (11); Ge : Hg, 30 К (12); Ge : Zn, 5 К (13);
Cd Hg Те,77 К (14)
дифференциальной крутизны (чувствительности) по длинам волн.
Измерение этой характеристики осуществляется с помощью моно-
хроматора, который позволяет выделить излучение в очень уз-
кой спектральной полосе, центрированной относительно любой
заданной длины волны. Это излучение с помощью зеркала направ-
ляется то на исследуемый приемник, то на приемник сравнения,
имеющий одинаковую чувствительность на всех длинах волн.
Важнейшим требованием к измерениям является малое рассеян-
ное излучение, что заставляет обычно использовать двойной моно-
хроматор.
Основное требование к приемнику сравнения заключается
в том, чтобы приемник был действительно черным, т. е. чтобы
его чувствительность не зависела от длины волны.
В качестве приемника сравнения обычно используется термо-
элемент, однако значительно лучшие результаты можно получить
с оптико-акустическим приемником, разработанным в ГОИ
М. Л. Вейнгеровым и Н. А. Панкратовым. В процессе измере-
ний крутизна исследуемого приемника для каждой длины
волны сравнивается с крутизной (чувствительностью) приемника
сравнения.
На рис. 224 приведены данные об относительном спектральном
распределении крутизны некоторых приемников.
§ 3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПРИЕМНИКОВ ИЗЛУЧЕНИЯ
Частотной характеристикой приемника излучения называют
зависимость его дифференциальной крутизны (чувствительности)
от частоты модуляции потока излучения: S = ф (/). Обычно
частотная характеристика выражается в относительных еди-
ницах:
k (f) = S (fl/S„,
где S (f) и So — значения дифференциальной крутизны (чув-
ствительности) на частотах модуляции f и f —» 0 соответ-
ственно.
Частотная характеристика отражает динамические свойства
приемника — его способность реагировать на быстрые изменения
потока излучения. При графическом изображении частотных ха-
рактеристик приемников излучения часто используют логариф-
мический масштаб. В этом случае соответствующую терминоло-
гию заимствуют из акустики: если частоты модуляции отличаются
друг от друга в два раза, говорят, что они отличаются на октаву,
если в 10 раз — на декаду. Сигналы, вырабатываемые приемни-
ком, отличаются друг от друга на один децибел, если 201g(u2/u1) =
= 1, т. е. u2/uj. 1,12. Если сигналы отличаются на 3 дБ, т. е.
20 1g (u2/«i) = 3, то uju-t 1,41 или uju?, 0,707.
290
Частотная характеристика приемника излучения, выраженная
в относительных единицах и логарифмическом масштабе, записы-
вается следующим образом:
^лог (/) = 20 1g k (f), или kMr (со) = 20 Ig k (co),
где co = 2 л/.
Рассмотрим некоторые специфические вопросы, связанные
с частотными характеристиками приемников излучения.
3.1. Апериодическое звено — простейший эквивалент
приемника излучения с точки зрения
его частотной характеристики
В наиболее простом случае эквивалентом приемника излу-
чения с точки зрения его частотной характеристики является
апериодическое звено (рис. 225).
Комплексный коэффициент
передачи апериодического зве-
на по напряжению равен
К (со) = и2 (со) =
- 1/(1 -|- /сот),
R —0
0 ЦП 1с тс йг(ш)
0
Рис. 225. Апериодическое звено
где т = RC — постоянная времени апериодического звена.
Соответственно частотная (амплитудно-частотная) харак-
теристика вычисляется как модуль комплексного коэффициента
передачи:
л(И) = 1К(®)1 = и/1 +(“Ч2-
Поскольку при co —> 0 модуль комплексного коэффициента
передачи достигает максимального значения, равного единице,
то частотная характеристика апериодического звена, выраженная
в относительных единицах, имеет вид
Л (w) = 1//1 + (ок)2,
или в логарифмическом масштабе
/глог («) = 201g k (cd) = - 20 1g (1 + oA2)V2.
При построении частотной характеристики в логарифмичес-
ком масштабе иногда используют приближенные методы, осно-
ванные на вычислении асимптот соответствующей кривой и за-
мене действительной характеристики ее асимптотами.
Найдем асимптоты частотной характеристики.
При со —* 0
^ЛОГ (®) * 0.
Это дает уравнение первой асимптоты
^ЛОГ (w) = 0.
10*
291
При со —* оо
/глог (®) = — 20 1g (1 соЧ2)1/2 = — 20 1g т (1/т2 4- со2)1/2 =
= — 201g т - 20 1g (1/т2 4- co2)V2 _ _ 20 1g т - 20 1g со.
Это дает уравнение второй асимптоты
/4ог (®) = — 201g т — 20 1g со.
Вторая асимптота пересекает ось нуля децибел в точке соср
(на частоте «среза»), определяемой из уравнения
^ЛОгЩ !
Рис. 226. Частотная характеристика аперио-
дического звена в логарифмическом масштабе
—20 1g т — 20 1g соср = 0>
откуда
lgcocp-= — 1g т
= 1g (1/т), т.е. соср — 1/т.
Вторая асимптота на-
клонена к оси абсцисс на
угол а, причем
dlgoi —
= — 20 дБ/дек.
При изменении частоты на одну декаду, когда
A 1g со = 1g со2 — 1g сох = 1g (со2/сох) = 1g 10 = 1,
коэффициент передачи апериодичного звена изменится на 20 дБ.
Действительная частотная характеристика отличается от при-
ближенной, составленной из двух асимптот (рис. 226).
На частоте среза разность
ординат действительной и ___________________
приближенной характеристик '
имеет наибольшее значение,
равное —3 дБ: ]
^лог (wcp) = — 20 1g (1 *—j------------
+ ь>сРт2)1/2 = — 20 lg (2)1/2 =
Рис. 227. Частотная характеристика апе-
= — 3 дБ риодического звена
При ЭТОМ
Л(о>ер) = 1/К1 + <о2рт2 = 1/J/2 = 0,707.
Частотная характеристика апериодического звена в обычном
масштабе представлена на рис. 227.
Если на вход апериодического звена в момент времени t0
включить мгновенный перепад напряжения, то на выходе звена
напряжение медленно приблизится к установившемуся значению.
292
Все имеющие место в этом случае закономерности можно выяснить,
пользуясь формулами операционного исчисления.
Если
«1 (О ==
1 при t tQ;
О при t < t0,
Рис. 228. Переходный процесс в аперио-
дическом звене при включении (а) и вы-
ключении (б) сигнала па входе
то функция «j (/), называемая в этом случае единичным скачком,
имеет своим изображением
функцию
«1 (Р) = e~pt°!p.
Поскольку для апериоди-
ческого звена
/г (си) = 1/(1 ф- /on),
то его изображение
k (р) = 1/(1 Ерт).
Изображение сигнала, дей-
ствующего на выходе,
н2 (?) = «! (p)k(p) =
— e,—Ptolp (1 Ц- рт).
Если обозначить F (р) —
= 1/р (1 + Р?), то и2 (р) =
— F (p)e~pi°.
Пусть f (О — оригинал
функции F (р). Из таблиц
операционного исчисления
можно найти f (t) 1 — е~//т,
а на основании теоремы за-
паздывания имеем
/(/ — t0) при t^t0.
Следовательно, напряжение на выходе апериодического звена
при t to имеет вид
п2 (0 = 1 — е~(/—
Если отсчитывать время с момента появления импульса (f0 = 0),
то
и2 (t) =
u2(0 = 1-е^/\
При I = т «2 (0 = 1 — е 1 = 1 — 0,37 = 0,63; при t —-* сю
и2 (0 = 1; при t = 2,2т >и2 (0 = 1— е~2-2 = 1—0,11 = 0,89.
293
Таким образом, постоянная времени апериодического звена
равна времени, в течение которого напряжение на выходе дости-
гает 0,63 своего установившегося значения (рис. 228, а).
Если в момент времени tr = + 6 снять действующее на
входе апериодического звена напряжение или, что то же, под-
вести ко входу импульс напряжения, изображение которого равно
(р) = (1 — <Zo+6))/p,
то изображение сигнала на выходе имеет вид
w® (р) = (1 — е-р <z°+6) )/р (1 + рт).
Соответствующий сигнал может быть вычислен, и напряжение
на выходе оказывается равным:
( 1 при t < t0 + 6;
«2 (О = ] е_(/_(/и+б)]/т при t to _|_
График изменения напряжения и2 (0 представлен на рис. 228,6.
В данном случае постоянная времени апериодического звена соот-
ветствует времени, в тече-
ние которого напряжение
на выходе звена умень-
шается до 0,37 от своего
первоначального значе-
ния.
Процессы, происходя-
щие в реальных приемни-
ках излучения при внезап-
ном возникновении и исче-
зновении облучения, ко-
нечно, значительно более
сложны, чем только что
описанные для апериоди-
ческого звена. В наиболее
простом практически имею-
щем место случае прием-
ники излучения имеют две
различные постоянные вре-
мени, проявляющиеся при
возникновении (т^) и ис-
чезновении (т2) облучения
(время возбуждения и ре-
комбинации носителей).
Таблица 15
Постоянные времени приемников излучения
Фотоприемник Температура чувствительного слоя Т, К Постоянная времени Тпр. мкс
Фоторезисторы:
PbS 295 50—150
PbS 195 250—800
PbTe 77 10—25
PbSe 77 10—25
InSb 77 1—10
Ge: Нц 30 0,1—0,01
Ge : Cd 12 0,1—0,01
Ge : Zn 5 0,1—0,01
Термоэлемент 295 (104-50) 103
Полупроводнико- вый болометр 295 (14-15) 103
Оптико-акустиче- ский песелективный приемник 5 103
Обычно постоянной времени приемника считают наибольшее
время (т2) — время, в течение которого сигнал, вырабатывае-
мый приемником, после прекращения облучения уменьшается до
значения 0,37 (1/е) от установившегося значения.
В табл. 15 приведены значения постоянных времени некоторых
приемников излучения
294
3.2. Коррекция частотной характеристики
приемника излучения
Рис. 229. Дифференцирующее
звено
При регистрации с помощью инерционного приемника быстро-
протекающих процессов возникает задача коррекции частотной
характеристики приемника, т. е. разработки методов уменьшения
эквивалентной инерционности системы приемник — усилитель
до значений, обеспечивающих необходимую скорость регистрации.
Практически это можно осуще-
ствить включением в схему усили-
теля дифференцирующего звена
(рис. 229), имеющего коэффициент
передачи
Д v ' а /сот! а 1 -ф /оиу/а
где а = (R1 -j - R2)//?2» ~ Ri^i-
Если выбрать постоянную вре-
мени Tj равной постоянной времени
приемника излучения тпр, то общий
коэффициент передачи системы, со-
стоящей из последовательного соединения апериодического звена
(приемника излучения), усилителя с коэффициентом передачи,
равным единице, и дифференцирующего звена (рис. 230), равен
Рис. 230. Последовательное соединение аперио-
дического звена (приемника излучения), усили-
теля и дифференцирующего звена:
тпр = RC-, т, = = т|1р; дус (Ю) = 1
Хобщ (^) == 4р МКус («)КД (Ш) - т- 4--------4 =
оощч / пр\ / ус с / / 1 Д/0)тпр а 1 4-/сотпр/а
— 1 1
I 4* /WTnp;'a а
Амплитудно-частотная характеристика системы приемник—диф-
ференцирующее звено
К>бЩ (W) ~ (W) I ~
V 1 Ф (от|1Р/о)2 а
соответствует апериодическому звену, постоянная времени ко-
торого уменьшена по сравнению с постоянной времени прием-
295
ника излучения в а раз. Уменьшение в а раз абсолютного значе-
ния коэффициента передачи может быть легко скомпенсировано
соответствующим запасом коэффициента усиления усилителя,
который до сих нор условно предполагался равным единице.
Аналогичный вывод легко получить, пользуясь логарифми-
ческими частотными характеристиками.
Амплитудно-частотная характеристика дифференцирующего
звена равна (индекс д опускаем)
или в децибелах
ктог (о) = — 201g с + 20 lg (1 + Л?)!'2 - 20 lg (1 + <o2T?/a2):/2 =
= 201g (1/т? + ш2)1'2 - 201g (а2А? + <о2)’/2.
Найдем асимптоты этой характеристики при со 0, от —» оо
и 1/tl со а/тх;
К!юг («) = — 20 1g а\
К"ог («) = 0;
Аяог («) = 201g со — 20 1g (а/h).
Пересечение Кло’г («) с осью нуля децибел имеет место на
частоте соср, которую можно найти из уравнения
201g сосР — 20 lg (а/тх) = 0,
откуда
1g «ср = lg (o/ti),
т. е.
соср = а) тр
Пересечение Клог («) с осью -—20 1g а имеет место на частоте
со'ср, которую можно найти из уравнения
201g соср — 20 1g (а/т,) = — 201g а,
откуда
1g «ср = lg (a/Ti) — lg а — lg (1/Ti),
т. е.
Наклон «ср —* 1/^1* /Слог («) к оси децибел равен С/К^ОГ (w) =+20 дБ,дек.
296
Идеальная (составленная из асимптот) логарифмическая ам-
плитудно-частотная характеристика дифференцирующего звена
имеет вид, представленный на рис. 231.
Реальная характеристика наиболее значительно отличается от
идеальной на частотах Мер
И Wcp- f
В точке о) = сос1) = «/Tj
имеем
хлоЖр) = -201^-з +
+ 10 1g (1 4-а2);
при а > 1
/Слог (е)Ср) 3 дБ.
В точке о) = со ср — 1/tj
Рис. 231. Логарифмическая амплитудно-
частотная характеристика дифференци-
рующего звена
имеем
Клог (<<„) = з—101g (1 +а2);
при а 1
Клог (wcp) = 3 — 201g ci.
Результат сложения амплитудно-частотных характеристик апе-
риодического звена (приемника излучения) и дифференцирующего
Рис. 232. Общая логарифмическая
амплитудно-частотная характери-
стика апериодического звена (при-
емника излучения) и дифференци •
рующего звена
звена приведен на рис. 232. Этот результат показывает, что
суммарная характеристика соответствует апериодическому звену
с постоянной времени в а раз меньшей, чем исходная.
Если а > 1, то система с приемником излучения благодаря
дифференцирующему звену становится более быстродействую-
щей. Естественно, что уровень шумов при этом возрастает. Однако,
если шум не белый, а спектральная плотность шума убывает об-
ратно пропорционально частоте, шум при коррекции увеличи-
вается меньше, чем в а раз (см. также § 12 гл. 18) Введение кор-
рекции дает в этом случае определенные преимущества.
Глава 11
* АМПЛИТУДА СИГНАЛА.
СОЧЕТАНИЕ ПРИЕМНИКА ИЗЛУЧЕНИЯ
С УСИЛИТЕЛЕМ
§ 1. ТЕРМИНОЛОГИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ.
РАСЧЕТ АМПЛИТУДЫ СИГНАЛА НА ВЫХОДЕ УСИЛИТЕЛЯ
(ОБЩИЙ СЛУЧАЙ)
Практически любой периодический и непериодический сигнал
можно представить в виде суммы гармонических колебаний. По-
этому дальнейшее рассмотрение процесса прохождения сигнала
по электронной части тракта оптико-электронного прибора нач-
нем именно с гармонического сигнала.
В электротехнике принято представлять гармоническое кс-
лебание в виде
a (t) = A cos (го/ —ф) = A Re [е/ ; Re [Ле’(о/],
или
а (/) — A sin (со/ — ф) — A Im [е/(<0/ ’^l - Im |Ле/‘0/],
где Re — от французского Reel (действительный); Im — от фран-
цузского Iinaginairc (мнимый); А = Ае~'^ — комплексная ам-
плитуда; А — амплитуда колебания; со = 2л/ — круговая ча-
стота; f — частота, Гц; ф — начальная фаза колебания.
Часто символы Re и Im опускают и пишут просто
а (/) = Ле/ = Ле'Ч
При анализе электронных цепей реальные схемы обычно пред-
ставляют в виде двухполюсников и четырехполюсников, имею-
щих одну или две пары зажимов.
Любые линейные как активные (содержащие источники энер-
гии), так и пассивные двухполюсники и четырехполюсники могут
быть представлены схемами замещения, изображенными на
рис. 233. На этих схемах £2, /\, /2 обозначают комплексные
амплитуды синусоидальных напряжений и токов (либо других
физических величии) при фиксированной частоте оз Особенно
часто приходится иметь дело с четырехполюсниками, возбуждае-
мыми только со стороны входа. В этом случае под выходным на-
пряжением обычно подразумевается падение напряжения на эле-
менте схемы (нагрузочном сопротивлении), с которого снимается
напряжение. Нагрузочное сопротивление иногда включается в че-
тырехполюсник, п тогда он может рассматриваться как разом-
кнутый, у которого ток на выходе равен нулю.
298
При анализе двухполюсников основное значение имеет иЯ
входное (выходное) сопротивление
При анализе четырехполюсников основное значение имеет
отношение выходной величины к входной. Если имеется в виду
отношение величин, выраженных в одних единицах, например ком-
плексной амплитуды £2 к комплексной амплитуде Ёх, то соот-
ветствующую безразмерную
функцию
К = Ё2/Ё,
называют коэффициентом пере-
дачи, а для разомкнутого че-
тырехполюсника и рассмотрен-
ного примера — коэффициентом
усиления напряжения. Если же
имеется в виду отношение ве-
личин, выраженных в различ-
ных единицах, например комп-
лексной амплитуды I2 к комп-
лексной амплитуде Ёп то со-
ответствующую функцию
Рис. 233. Схемы замещения двухпо-
люсников и четырехполюсников: а —
двухполюсник; б — четырехполюсник
Ё — ejEy ,
выраженную, в частности, в амперах на вольт, называют крутиз-
ной преобразования.
В обоих случаях эти функции удобно представлять в виде их
относительных значений:
k = K/Kmax = <S/Smax,
причем k — всегда безразмерная и в общем случае комплексная
величина — называется относительной передаточной функцией
(относительным коэффициентом передачи или относительной
крутизной преобразования).
Коэффициент передачи, крутизна и относительная передаточ-
ная функция в общем случае зависят от частоты со. Как комплекс-
ные величины они могут быть представлены в форме:
К S — k = /ге~/(Е
Модуль соответствующей комплексной величины (К = |К|,
S = ] S |, k — | /г |), представленный как функция частоты, назы-
вают амплитудно-частотной или просто амплитудной характе-
ристикой четырехполюсника, а аргумент ср — фазочастотной
или фазовой характеристикой.
299
Электронный тракт оптико-электронного прибора состоит из
двух основных элементов (рис. 234).
1. Фотоприемное устройство (ФПУ)— четырехполюсник, на
входе которого действует комплексная амплитуда синусоидально-
модулированного потока излучения Ф, определяемая следующим
образом.
Если изменение во времени модулированного потока излуче-
ния представить в виде
Ф (/) = Ф -|- Ф cos (со/ — i]i) = ф Re Фе/®',
Фотоприемное устройство - ФПУ
Рис. 234. Электронный тракт оптико-электронного при-
бора
то комплексная амплитуда
ф фе~/Ф.
Соответственно на выходе ФПУ действует комплексная амплитуда
напряжения
и — йог №.
Крутизна преобразования ФПУ
5ФПу = м/Ф = («/Ф) е~/ (°- = 5ф11уе /чр,
где амплитудная характеристика
*$фпу = I *5Фпу | = п/Ф,
а фазовая
ср = 0 — ф.
2. Усилитель — четырехполюсник, обеспечивающий усиление
напряжения и до значения ис с коэффициентом передачи (уси-
ления)
Кус = и Ju = Кусе~/\
где Кус — амплитудная характеристика; у — фазовая характе-
ристика.
Усилитель, как правило, выполняется состоящим из двух
частей: предварительного усилителя (предусилителя) и основ-
ного (главного) усилителя. Предусилитель монтируется в непо-
средственной близости от приемника излучения, а основной уси-
литель размещается рядом с регистрирующим устройством. Та-
300
кое разделение обусловлено тем, что часто оказывается неудоб-
ным размещать весь усилитель в одной конструкции с приемни-
ком излучения. Передавать же по соединительному кабелю си-
гнал, вырабатываемый фотоприемным устройством, не всегда воз-
можно, так как помехи, наведенные на кабель внешними элек-
трическими и магнитными полями, могут оказаться соизмеримыми
с полезным сигналом. Кроме того, выходное сопротивление фото-
приемного устройства может иметь большую величину, а соб-
ственная емкость соединительного кабеля обычно велика (до
нескольких сотен пикофарад). Это затрудняет непосредственное
согласование фотоприемного устройства с усилителем, находя-
Рис. 235. Цепи включения приемника: а — приемник—генератор э. д. с.;
б — приемник—генератор тока; в — приемник—генератор изменения со-
сопротивлсния
щимся от него в ряде случаев на значительном расстоянии. Пред-
усилители же могут быть без труда построены по схеме с малым
выходным сопротивлением, и согласование легко достигается.
Предусилитель иногда включается в состав фотоприемного
устройства, так как рассмотрение процесса прохождения сигнала
по электронному тракту оптико-электронного прибора обычно
ограничивается рамками линейного приближения, когда безраз-
лично, в каком из последовательно соединенных четырехполюс-
ников сосредоточены функции усиления сигнала.
Состав фотоприемного устройства, даже в том случае, когда
в пего не входит предусилитель, неоднороден, если иметь в виду
функции, выполняемые его отдельными элементами. Прежде
всего здесь следует выделить цепь включения приемника и цепь
связи (рис. 234)
Цепь включения приемника преобразуют обобщенный сигнал 0,
вырабатываемый приемником при действии на него потока излу-
чения Ф, в электрическое напряжение и~. Комплексная амплитуда
обобщенного сигнала U в зависимости от типа используемого
приемника может представлять собой комплексную амплитуду
электродвижущей силы Е, тока /, изменения сопротивления Дг
и т. д.
Примеры конкретной реализации цепей включения различных
приемников изображены на рис. 235. Здесь представлены три
наиболее распространенных случая: приемник—генератор элек-
301
тродвижущей силы (термоэлемент, фотовольтаический полупро-
водниковый приемник), приемник—генератор тока (фотоэлемент,
фотоумножитель и др.), приемник - генератор измерения сопро-
тивления (фотосопротивление, болометр). Конденсатор Со, по-
казанный штриховыми линиями, представляет собой собственную
емкость приемника излучения и емкость монтажа цепи включе-
ния. Обычно этот конденсатор выносится из цепи включения при-
емника и его емкость объединяется с емкостью цепи связи. В ре-
жиме холостого хода (при отсутствии нагрузки) на выходе цепи
включения приемника действует комплексная амплитуда (п~)х-х =
= £~, являющаяся следствием первичного преобразования при-
Рис. 23G. Цепи связи: а — емкостная связь; б —
трансформаторная связь
емником комплексной амплитуды потока излучения Ф в обобщен-
ный сигнал LJ и вторичного преобразования этого сигнала цепью
включения приемника в электрическое напряжение.
Если дифференциальная крутизна (чувствительность) собст-
венно приемника излучения
S = tZ/ф,
где U — комплексная амплитуда обобщенного сигнала, равная
в разных случаях Е, I, Ьг и т. д.; Ф — комплексная амплитуда
синусоидалыю-модулированного потока излучения, то цепь вклю-
чения приемника в целом характеризуется крутизной
*^вкл =
а в режиме холостого хода соответственно
^ВКЛ. х. х = ЕЦЕ.
Цепь связи преобразует напряжение, комплексная амплитуда
которого равна и~, в напряжение с комплексной амплитудой и,
действующее на выходе фото приемного устройства
Два примера наиболее часто встречающихся цепей связи при-
ведены на рис. 236.
Цепь включения приемника и цепь связи представляют собой
тот реальный набор элементов (конденсаторов, сопротивлений,
индуктивностей, трансформаторов, источников питания), через
который электрический сигнал проходит до его последующего
усиления. Поэтому эти цепи объединяют в единую цепь, пазы-
302
ваемую входной цепью. Обычно цепь включения приемника в со-
ставе входной цепи заменяют эквивалентной схемой, состоящей
из источника электродвижущей силы и внутреннего сопротив-
ления Zt. В этом случае определяется следующая схема взаимо-
действия и соединения элементов электронного тракта прибора
(рис. 237).
Поток Ф, воздействуя на приемник излучения, вызывает
обобщенный сигнал U, который, в свою очередь, приводит к воз-
никновению электродвижущей силы во входной цепи.
Фс.'попржмнсе устройство -Ф11У
Входная цепь
Эквивалентная схема цепи
включения приемника
Рис. 237. Схема взаимодействия и соединения элементов электрон-
ного тракта
Коэффициент передачи входной цепи
^вх = и!Ё~.
Приемник излучения в этом случае можно характеризовать
крутизной (вольтовой чувствительностью)
£пр = £~/Ф.
Очевидны также следующие соотношения между модулями
передаточных функций различных элементов фотоприемного уст-
ройства:
= Е_/Ф = (Е-/У) (У/Ф) = 5„кл.х S,
где х. х = EJU-, S = U/Ф.
Обозначим
^пр *^пр/*^пр шах»
причем
*^пр шах (Е~/Ф)ш >0 == Sup 0>
следовательно,
^пр ^пр/^пр 0 *^ВКЛ. X. х^/^пр О'
Если крутизна 5ВкЛ. х> х от частоты со не зависит (конденсатор
Со исключен из схемы цепи включения приемника), можно счи-
тать, что ее значение совпадает со значением при со ---> 0, т. е.
'Ьркл- X. X — (SbkJI. X. х)(1)->0 ~ Sjjkjj. X. XU — (Е
зоз
В этом случае
Зпро SHp о
^ВкЛ. X. X SBKJI. х. х о
>0 ~(ф к+0 - So
И
^пр - ’^пр/’^ир о *^^*вкл. X. хо/^пр 0 S/Sq.
Следовательно, относительная амплитудно-частотная харак-
теристика приемника излучения, входящего в состав цепи, обе-
спечивающей безынерционное преобразование обобщенного си-
гнала в электрическое напряжение, совпадает с относительной
амплитудно-частотной характеристикой приемника, осуществля-
ющего преобразование излучения в обобщенный сигнал.
В простейшем случае, когда инерционные свойства приемника
представляются апериодическим звеном, имеем:
^пр =1/(1 Ь m.P); &np = 1 /]/’ 1 h (<отпр)2.
Общую крутизну электронного тракта
•$общ =
можно представить в виде
•^общ = ^ФНуКуг'»
в то же время
*“>ФПУ ’ ^^вкл^си»
либо
^ФПУ = *^пр/^вх-
Следовательно,
Uc = 5фПу/СусФ,
т. е.
//с = <SSDKJI/^CD/^yCO,
либо
Пс — ^П0КвхКуСФ,
причем 3>фпу = н/Ф; S = U/Ф; 5ВкЛ = uJU;
Кси = й/й~; Snp = Ё~/Ф; /<их = и/Ё^.
Введя обозначения:
/“’пр = ^пр/^пр 0» ^вх = /^вх//^вх шах» ^ус = ^yJ/^ус щах»
/^iirix /^пх шах/'ус шах» ~ ^пр^вх^ус»
найдем
wc — ^>Пр оКтахкФ.
304
§ 2. РАСЧЕТ АМПЛИТУДЫ СИГНАЛА ДЛЯ СЛУЧ ЧЯ,
КОГДА ПРИЕМНИК ИЗЛУЧЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ
ГЕНЕРАТОР ИЗМЕНЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Рассмотрим схему фотоприемного устройства для случая,
когда в качестве приемника излучения используется приемник —
генератор изменения сопротивления, например фоторезистор или
болометр (рис. 238).
В этой схеме сигнал вырабатывается электрической цепью,
состоящей из источника постоянного напряжения Ео, сопротив-
ления приемника излучения г
и сопротивления нагрузки гн.
На рис. 238 кроме этих элемен-
тов представлены: собственная
емкость приемника излучения
Со, разделительный конденса-
тор Ссв, входное сопротивление
усилителя гЕХ и его входная ем-
кость Со.
Для дальнейшего рассмот-
рения необходимо использовать
излагаемую в общей теории це-
пей теорему об эквивалентном
Рис. 238. Схема фотоприемного уст-
ройства с приемником — генератором
изменения сопротивления
генераторе, сущность которой заключается в том, что если имеется
схема, составленная из произвольного и неизвестного сочетаний
источников тока и сопротивлений, то относительно нагрузки ZH
Рис. 239. Схема замещения с эквивалентным генератором:
а — исходная; б — эквивалентная
(рис. 239) она может быть заменена эквивалентным генератором
с внутренним сопротивлением Zt- и э. д. с. Ё. Сопротивление экви-
валентного генератора и его э. д. с. оказываются равными выход-
ному сопротивлению и напряжению на выходе исходной схемы
в режиме холостого хода, т. е. когда нагрузка ZH отключена.
Пользуясь этой теоремой, преобразуем схему на рис. 238 в эк-
вивалентную, представленную на рис. 240. В этой схеме
Ё = Е = E0/(r -f- rH); Zt = rt= rr„/(r f-rH).
При освещении приемника потоком, изменяющимся с частотой
сопротивление приемника г изменяется с той же частотой и
амплитудой Дг. Это в свою очередь вызывает изменение э. д. с.
305
эквивалентного i еператора Е на величину, которая при Аг г
легко определяется путем дифференцирования:
дЕ __р гп
~дГ ~~ 0 (г+ П.)2 ’
т. е.
ЛЕ^Е0- ,г" — Аг, или ЛЕ = Ео —,
0 (г + гн)2 0 (1 +х)2 г
где х = г/г„.
Поскольку постоянная составляющая напряжения на входе
усилителя не представляет интереса, схему входной цепи можно
Рис. 241. Схема входной цепи для
переменной составляющей сигнала
Рис. 240. Эквивалентная схема фо-
топриемного устройства с фотосо-
противлсписм и болометром
Рис. 242. Упрощенная схема
входной цепи для переменной со-
ставляющей сигнала
представить в виде, изображенном на рис. 241, учитывая, что
при синусоидальной модуляции потока излучения и для линей-
ного приближения Аг представляет собой комплексную амплитуду
синусоидально - модулированного
сопротивления. Следовательно,
г- A ш
= (XL = ц ’
Г, = rrj(r + гн) = г/(1 4- х).
Кроме того, в схеме на рис. 241
объединены емкости Со и Со,
так что Свх — Со 4 Со. Объединение емкостей Со и Со воз-
можно, так как всегда выполняется условие Свх « Сев.
Изменением сопротивления г£- в процессе модуляции можно
пренебречь. Действительно,
drj _ гн
~ (6i + 02
1
(1 -ф х)2 ’
т. е. Аг,- = Аг/(1 -|- х)2.
Так как обычно х 0,5, то Аг, соизмеримо с Аг и, следовательно,
мало по сравнению с гг.
Дальнейшее упрощение схемы входной цепи возможно за счет
введения комплексных сопротивлений Zy и Z2 (рис. 242), причем
Zt = 1/(/о>Сср); 1/Z2 = 1/грх + /<оСрх.
306
Комплексный коэффициент передачи схемы на рис. 242
К = — =--------.— -------;
подставляя значения Zx и Z2, можно найти
гпх 'г Ссв J \ш'^вх <orBXCCB;
Пренебрегая Свх/Ссв по сравнению с единицей и деля числитель
и знаменатель на 1 -|- г;/гпх, найдем
г вх
IZ __________________ri гвх_________________
вх^ 1_ь;ГмГ _______________________1 1 '
7 I ВХ /'i + ''вх СОСсв (Ji 4- Гвх) J
Введем обозначения:
^вх ~ ^z^Bx/(^i ^вх)»
^св ~F ^*вх»
Т — С R •
1вх ^bx'bx’
т —Г R
1СВ '“,СВХСВ‘
Тогда окончательно получим
д ___________________ _Ко
где
is тг _ гвх ______ 1 4~ И
Ло-Лвхтах- гН_Гвх 1+х + /.-
причем х = г/гн; % = г/гвх.
Очевидно, что KRX = Квхтах = А"о при со = соо. Частота
ы0 определяется из соотношения
«отвх = 1/(соотсв),
т. е.
со(, - 1// твхтсв.
Крутизна фотоприемного устройства в целом равна (см. § 1
этой главы)
"^ФПУ SlipKBX — Snp ((/«’пр^О^БХ»
где
*^пр 0 — (^~ЛЬ)(о->о — (5ВКл. х. х«$)й) >0 *5Вкл. х. х 0*5()’
5Вкл. х. х 0 =
307
Так как в данном случае обобщенный сигнал U равен относи-
тельному изменению сопротивления U = Дг/г, то
о _ 1 Ь ~ \ ___ р х
ВКЛ’ х.хО = ° (1+Х)2 '
Учитывая также, что
Ь — 1 • К — 1 к •
,,р 1-1-Мпр’ Л° 1+х + х’
вх 1 + j lCOTBX— 1/((0Тсв)] ’
найдем
с __ <? р ______*____________________!________________!__________
ФПУ о о Ц % jWTnp ! _| j [WTbx _ 1 /((0TCB)] ’
Максимальное значение крутизны фотоприемного устройства
обеспечивается при следующих условиях.
1. Частота модуляции со находится в области средних частот
(со —> соо), причем в этой области частот еще не сказывается инер-
ционность приемника, т. е. выполняются соотношения: <о0твх =
= 1/(со0тсв); (ooTnp 1- При этом условии
£фпу = <$фпу = 5оЕо +к)(] 4-х 4-у) ’
2. Коэффициент х = г!гн равен некоторому оптимальному зна
чению XoPt, при котором крутизна фотоприемного устройства
максимальна, т. е. 5фцу = Ефпутах- Для того чтобы опреде-
лить Xopt И ЗфПУтах, ВЫЧИСЛИМ
д£фпу _ q р 1 + X — х2
дк 0 0 (1 -|-х)2(Ч-и-1-Х)2 ’
При -fony = О
1 (7Х _____
X = Xopt = V1 + X»
а
*^ФПУ max — SqEq .
X + 2 У 1 + X + 2
Значения xopt и Ефпу max для трех характерных значении
коэффициента % приведены в табл. 16.
Для наиболее распространенного случая, когда входное со-
противление усилителя не нарушает режима работы фотоприем-
ного устройства (гих г), а нагрузка приемника согласована
с его сопротивлением (гн = г), Ефпущах = S0E0/4. Именно
этот случай является стандартным при определении параметров
зов
приемника излучения, и полученное значение крутизны вписы-
вается в паспорт приемника; следовательно, S пасп •— 5фПУ max —
= s0£0/4.
в общем случае при использовании приемника, имеющего
паспорт, в произвольной цепи включения и на любой частоте
имеем
• 4х 1 1
5фПУ = 5паСп (1+х)(14-х + х) 1 + Мир 1 + j [СОТВХ - 1/(С0Тсв)] *
Модуль этой крутизны (амплитудно-частотная характеристика)
фпу пасп G + >0 (1 + >< + X) 1<1 + (<от11р)2 К1 + 1ютвх-1/(сотсв)]2 ’
Комплексная амплиту- да сигнала на выходе уси- лителя Таблица 16 Оптимальные соотношения между сопротивлениями приемника и его нагрузки
Wc = ^ФПУ'КусФ» а ее модуль Wc == ^ФПУ^усФ* г к=~г~ ' вх ^орт — / г \ \ гв /орт *5фпу щах
Б заключение проана- лизируем форму относи- тельной амплитудно-ча- стотной характеристики входной цепи, определяе- мую уравнением /гвх (<•)) = 1 /гвх (со) | = 1 । X < 1 (г гвх) ^орт ~ 1 (г = гп) Q Ер
Х = 1 (г = Гвх) ^орт “ (г = /2 г„) s0— 3 4-2^2 2^- -‘S° 5,8
1 1 — / 1(ЙТВХ — 1 /(сотсв) ] | 1 К1 — [ытвх — 1/(С0Тсв)]2 Очевидно, что /гвх (со) = 1 При СО = (D0 = 1/]/твхТсв. Логарифмическая ам- X > 1 (г гвх) X = 9 (частный случай для X» Б ^орт 1^ X (г = КЙгн) ^ор Г 3 (г-3гн) о Ер °х + 2/х 5о 15
плитудно-частотная харак- теристика в районе частоты соо располагается вдоль оси нуля децибел, так как в этом участке 20 1g /гвх (со0) = 0. На низких частотах со — сов о)о имеем сонтвх < 1/(о\тсв), т. е.
^ВХ (®н) ~ 1 I («НТСВ) ’
или в логарифмическом масштабе
Ллог (wn) — 20 1g сон 20 lg (1 /тсв со“) .
309
Асимптоты этой кривой при о)„ —» 0 и (о„ —» оо:
^лог (^н) — 20 1g соп 20 1g тсп; Ьлог (сон) = 0.
На высоких частотах со — сов с,)о имеем соцтвх 1 /(совтСБ),
т. е.
Н®ЛХ)2>
или в логарифмическом масштабе
Ллог (сов) =-20 1g (1 /твх -J- сов) ‘ .
Асимптоты этой кривой при сов —» 0 и сов —» оэ:
^лог (^в) = 0, ^лог (®в) == 20 1g твх 20 1g сов.
Асимптота Л”ог («в) пере-
секает ось нуля децибел в
точке, определяемой уравне-
нием
20 1g твх -ф- 20 1g сов = 0,
т. е.
lgwB = lg(l/rBX), или сов =
= 1ЛВХ.
Наклон этой асимптоты
к оси нуля децибел равен
—20 дБ/дек.
Асимптота /г "or (со„) пере-
секает ось нуля децибел
в точке
%•-= 1/тСв
и имеет наклон ф-20 дБ/дек.
Амплитудно-частотная ха-
рактеристика представлена
на рис. 243. Реальная ха-
рактеристика в наибольшей мере, на — 3 дБ (0,707), отличается
от идеальной, составленной из асимптот, в точках со,, = 1,тсв
и сов = 1/твх.
Рис. 243. Амплитудно-частотная характе-
ристика: а — в логарифмическом масшта-
бе; б — в обычном масштабе
§ 3. РАСЧЕТ АМПЛИТУДЫ СИГНАЛА ДЛЯ СЛУЧАЯ,
КОГДА ПРИЕМНИК ИЗЛУЧЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ
ГЕНЕРАТОР Э. Д. С.
Когда источником сигнала является приемник излучения —
генератор э. д. с. (термоэлемент, фотовольтаический полупровод-
никовый приемник), расчет величины сигнала может производиться
ЗЮ
по формулам § 2 этой главы, если считать, что представляет
собой э. Д. с. приемника, а г£- — его внутреннее сопротивление.
Однако задача расчета в рассматриваемом случае оказывается
более сложной, так как приемники излучения, вырабатывающие
э д. с., обычно имеют небольшое внутреннее сопротивление,
для согласования которого со
трансформатор. Схема входной
цепи в этом случае имеет вид,
представленный на рис. 244.
Эквивалентная схема входной
цепи, содержащая известную из
электротехники схему замеще-
ния трансформатора, изобра-
жена на рис. 245, где /д — ак-
тивное сопротивление первич-
ной обмотки трансформатора;
£s t — индуктивность рассеяния
первичной обмотки; гг и L'S2 —
приведенные (пересчитанные в
входом усилителя используется
Рис. 244. Схема фотоприемного устрой-
ства (входной цепи) с приемником из-
лучения, являющимся источником
э. д. с. (п — коэффициент трансформа-
ции)
цепь первичной обмотки) значе-
ния активного сопротивления и индуктивности рассеяния вторич-
ной обмотки; Гвх и С»х — приведенные значения входного со-
противления и входной емкости (в
Рис. 245. Эквивалентная схема входной
цепи, содержащая схему замещения транс-
форматора
данном случае входная ем-
кость включает в себя кроме
емкости монтажа, собствен-
ной емкости приемника и
входной емкости усилителя
еще и собственную межвитко-
вую емкость трансформатора,
составляющую обычно 50—
100 пФ); Lx — индуктивность
первичной обмотки; гст —
сопротивление потерь в ста-
ли сердечника (это сопротив-
ление обычно мало по сравнению с так как входные трансфор-
маторы работают при относительно малых значениях индукции
в стали).
Если коэффициент трансформации n = w2/wj, гдещ, и —
число витков первичной и вторичной обмоток, то имеют место
следующие соотношения: гг = г2!п2\ L'S2 = Lain2-, r'liX —rBX/n2\
С'вх = /z2CBX; и — uln.
Эквивалентная схема, представленная па рис. 245, может
быть в значительной мере упрощена, если не рассматривать одно-
временно весь рабочий диапазон частот, а разделить его на три
области: низкие, средние и высокие частоты.
В области средних частот вблизи частоты <о(), для кото-
рой удовлетворяются неравенства coqLj rBX, «OLS < гвх,
1/((о0Свх) ^>гвх, в эквивалентную схему не входят реактивные
311
элементы и она имеет вид, изображенный на рис. 246. Комплек-
сный коэффициент передачи напряжения в этой схеме равен
вх
^К'о =
<О=<Оо
следовательно,
ГвхМ2
— Kt) = КоП = П ----------:-----:---- .--------т-g ,
ri + ri + гг/п" + г вхМ2
<0—<Оо
или
п
Рис. 246. Эквивалентная схема вход-
ной цепи для средних частот
Ко 1-|-[П2(Г/ +г1) + г2]/Гвх’
Если активное сопротивление первичной цепи трансформатора
согласовано с входным сопротивлением Гвх, т. е. п2 = гВх/(о + rj),
а г2 < гвх, то Ко = и/2.
В области низких частот со = сон < ю0 можно пренебречь со-
противлениями индуктивностей рассеяния Lsi и /Лг, а также со-
противлением емкости Свх- Сле-
, довательно, эквивалентная схе-
ма на низких частотах имеет вид,
' представленный на рис. 247, а.
Преобразование схемы на
рис. 247, а в схему на рис. 247, б
не вносит заметных погрешно-
стей вследствие малой роли
активных сопротивлений обмо-
ток трансформатора по сравнению с другими сопротивлениями
схемы. Во всяком случае вносимая погрешность создает небольшой
запас при расчете величины частотных искажений в области низких
частот. Схема на рис. 247, в получена преобразованием схемы на
рис. 247, б
Так как
ление и э.
с помощью теоремы об эквивалентном генераторе,
для эквивалентного генератора внутреннее сопротив-
д. с. равны соответственно
Ri =
где п = г{
Ё~,
'i Г'вх ' i гвх
+ ri + г2, то в области низких частот комплексный
коэффициент передачи эквивалентной схемы входной цепи
iz' iry\ _ ( и \ __ 1
Авх ЦМ - Л=(он - + /(OhLi - j + •
Поскольку интересующая нас величина комплексного коэффи-
циента передачи фотоприемного устройства
/ 11. \ I и’ \ HLv
п
“=WH гвх + ri
; = Квх (®н) Ко,
312
то • /<
Л'вх (%) = i.j •
Модуль комплексного коэффициента передачи в области низ-
ких частот ________________
кт ы = к„ IV1 + [«,/(®„Ь1)]2.
а аргумент
фвх(«н) = <рн = arete 1ШД)1 -
Относительная амплитудно-частотная характеристика входной
цепи в области низких частот
имеет вид
^вх (wh) “ КзХ (Wn)/К) “
= 1//1 + [К,/(<•>,Д)12.
или
£вх(%) = 1// Н-МчлЛ
где Th^Lj/7?/.
Если (0н = 1/тн, то ktlx (со„) =
= I//2 = 0,707.
В области высоких частот (со =
= сов > со0) эквивалентная схема
входной цепи с трансформатором
имеет вид, представленный на
рис. 248. На этой схеме введены
следующие обозначения:
ri — ri “h 4“ r2> Ts = Л-sl f" ES2J
= jco/.s, l/2g:= 1//"bx -j- /<oCBx.
Рис. 247. Эквивалентные схемы
входной цепи для низких частот:
а — полная; б — упрощенная;
в — с эквивалентным генератором
Комплексный коэффициент передачи схемы на рис. 248, б
равен
/со=сов 1 4- "z-Jz^ 4- rilZ2
Подставляя значения Zr и Z2 и преобразуя, можно найти
Квх (®в) — J _ ’
где Ко = Гвх/(тс 4- /"вх); Т1 = ТвхСвх; Т2 =Lj(r’i + Кх); a = r't!(r'i -|- Кх).
Так как
^BxW^f^ =«/<Сх((Ов),
\ £ /со—tt>D \ Ь /со=сов
313
то
bxV в/ 1 — (о2г1т2-|-jw(ar1-|-T2) ’
где Ко пК'о = , ", , " v i—i— •
1 4 I»2 (К -г 4- 'гВ'Ъх
Модуль коэффициента передачи
К„ (<•>„) = 7 =
К( 1 — <о2Т1Т2)2 - Р (О2 (ату + т2)2 '
Рис. 248. Эквивалентные схемы входной цепи для высоких частот: а —
полная; б — упрощенная
Относительная амплитудно-частотная характеристика опре-
деляется выражением
Квх (<0в) _ ____________________________
/<0 К( 1 — <о2тут2)2 4- со2 (ату т2)2 ’
^вх (wb)
а обратная величина, называемая коэффициентом частотных ис-
кажений,
Ю = /(1 — W2T!T2)2 + СО2 (йТ± + Т2)2.
Введем обозначения:
Р == 0) j/"TjT'2 = СО Л KqCbxKs == G>] /l/C()CBx-^s>
. _ ат,4-т2 _ лг~^[ > ] / £вх , _1_ _ f~SL 1
Tlx2 \ s Лвх Г ^вх /
записать
*»х W = i//(b^+W>
M. = /(l-p)2 + (pd)2-
р, пропорциональную частоте, называют обобщен-
Тогда можно
или
Величину
ной частотой. Величина d представляет собой затухание контура
входной цепи на верхних частотах, она определяет форму частот-
ной характеристики. С увеличением d подъем характеристики
за счет резонанса уменьшается.
Условие максимума коэффициента передачи (минимума коэф-
фициента частотных искажений) найдем, продифференцировав
314
БЬ1ражение для Мй и приравняв производную пулю. При этом
можно найти
ЗЛЕ
-^- = -4p(l-p2)-|-2pd2 = 0,
откуда значение р, соответствующее максимуму коэффициента
прпелачи в области высоких
(Ро ^таг ®в
Полученное выражение для
С0п1ах имеет физический СМЫСЛ Рис- 249- Частотная характеристика
, _ r-^z входной цепи фотоприемного устройства
при условии а < ]/ 2, ЧТО Я В- с приемником—генератором э. д. с.
ляется условием получения
подъема на частотной характеристике. Для d > ]/" 2 частотная
характеристика не имеет подъема в области верхних частот.
Общий вид частотной характеристику фотоприемного устрой-
ства, входная цепь которого включает в себя трансформатор,
представлен на рис. 249.
Подробности расчета можно найти в книге С. Н. Кризе «Усили-
тельные устройства».
§ 4. РАСЧЕТ АМПЛИТУДЫ СИГНАЛА ДЛЯ СЛУЧАЯ,
КОГДА ПРИЕМНИК ИЗЛУЧЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ
ГЕНЕРАТОР ТОКА
Если источником сигнала служит приемник—генератор тока,
например фотоэмиссионный приемник излучения (рис. 250), то
эквивалентной схемой фотоприемного устройства является схема,
представленная на рис. 251. В этой
схеме сила тока, протекающего через
генератор, не зависит от напряжения
на его зажимах, т. е. от величины
сопротивления нагрузки. Так как
внутреннее сопротивление генератора
тока равно бесконечности, то, при-
меняя к схеме на рис. 251 теорему
ис. 250. Схема фотоприемного og эквивалентном генераторе, можно
устройства с фотоэмиссионным г
приемником излучения (генера- представить ее в виде, изображенном
тор тока) на рис. 252. В этом случае приходим
к схеме входной цепи фотоприемного
устройства с приемником — генератором э. д. с., у которого
= /~гн. Поскольку в § 2 этой главы уже было получено
315
выражение для комплексного коэффициента передачи подобной
схемы, можно сразу же записать
гЛ ___ k ______________Кр__________
вх ““ ТТ 1 Ь / ]«ТВХ — 1 /((ОТсв) 1 ’
где
Ко = ГВХ/(ГI Т“ ^их) = ГВх/(Гц "l" Гвх), Твх — Свх/?вх,
^вх “ Г/Гвх/(гi Т Гвх) = ГНГВХ/(ГН ф- Гвх),
Тсв ~ ^св^св» Rcb ~ Гi Н- Гвх Гн ]— Гих.
Рис. 251. Эквивалентная схема фотопри-
емного устройства с фотоэмиссионным
приемником излучения (для перемен-
ного тока)
Рис. 252. Схема входной цепи
фотоприемного устройства с фото-
эмиссионным приемником излуче-
ния, представленным в виде гене-
ратора э. д. с.
Коэффициент передачи достигает максимального значения,
равного Ко, на частоте
(00 == l/j/TuX^CD*
Относительный коэффициент передачи
Ь — ^нх_________________J_________
ВХ Ло ~ 1 ф / [<ОТВХ - 1 /((ОТсв) 1 ’
а его модуль (относительная амплитудно-частотная характери-
стика)
. . ч 1
(<’>) — , • " =~ •
V * 4" 1^гвх— 1/(О)ТСВ)]2
Крутизна фотоприемного устройства в целом равна
^ФПУ ’ - *^пр О^О^пр^вх = *^и*^ВКЛ. X. X 0^(Лпр^ВХ‘
Так как в данном случае комплексная амплитуда обобщенного
сигнала U равна комплексной амплитуде тока, вырабатываемого
приемником, т. е. (7 = то
*5Вкл. х.хО^ —/7~)(в->0 — Гн.
Учитывая также, что
А ____. 1 . iz ____ гвх .
р 1’Ь/^Тцр’ " Гн-|-ГВх
Г _ ___________1_____ • // С __ гвхгн _ Г)
1 + /[<OTBX-1/((OTCB)]’ Л^КЛ.ХХО гвхфгн Авх’
316
найдем
Sony = S0/enp/?BX/eBX -= ЗДВХ j + , [ЮТвх _ i/(WTcB)j ’
где So = (//Ф)со->о-
Модуль крутизны фотоприемного устройства — амплитудно-
частотная характеристика
5фпу = So^np/?BX/2BX — ЗДВХ —г -—- < .... -.тГ •
Ф V 1 + (СОТпр)2 V 1 + 1сотвх— 1/(WTcb)]2
Максимального значения крутизны фотоприемного устройства
можно достичь, увеличивая /?вх, однако при этом трудно сохра-
нить на заданной частоте значение коэффициента передачи вход-
ной цепи /гвх, так как с ростом /?вх растет постоянная времени
Тсх ~ Свх/?вх.
Компромисс может быть осуществлен посредством коррекции
постоянной времени входной цепи твх, возрастающей с увеличе-
нием /?вх, соответствующими дифференцирующими цепочками
в схеме усилителя подобно тому, как это описано в гл. 10, § 3
Г лава 12
СПЕКТР СИГНАЛА.
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ.
РАСЧЕТ СПЕКТРОВ
§ 1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Выше упоминалось, что любое сложное колебание может
быть представлено большим числом простых гармонических со-
ставляющих, которые образуют его спектр.
Ньютон назвал спектром цветную полоску, появляющуюся
па экране, установленном за призмой, в которой преломлялся
пучок белого света.
По современным представлениям белый свет, представляющий
собой сложное колебание, состоит из отдельных монохромати-
ческих (одноцветных) лучей, которые в опыте Ньютона различно
преломлялись призмой. Подобно этому любой сложный звук
(аккорд) состоит из набора гармонических колебании звуковой
частоты.
„ Спектральные представления колебаний широко распростра-
нились главным образом в связи с развитием радиотехники. Их
основой является гармонический анализ процессов, выполняемый
с помощью математического аппарата разложений Фурье, кото-
рый, кстати сказать, рассматривался их автором лишь как сред-
ство решения отвлеченных математических задач.
317
Широкое распространение гармонического анализа во всех
отраслях современной науки и техники объясняется рядом при-
чин. Во-первых, гармоническое колебание является простейшей
функцией, не поддающейся дальнейшему разложению в спектр.
Во-вторых, оно является единственной функцией, сохраняющей
свою форму при прохождении через любую линейную систему.
Далее, разложение сложного сигнала по ортогональной системе
основных тригонометрических функций — синусов и косинусов —.
позволяет использовать символический метод, подробно разра-
ботанный для анализа передачи гармонических колебаний через
линейные системы.
Возможность использовать гармонический анализ не только
в теории и технике формирования и обработки сигналов, но и
для решения таких задач, как определение взаимной связи рас-
пределения токов в антенне сантиметрового диапазона с формой
ее диаграммы направленности, определение структуры простран-
ственных фильтров, позволяющих осуществить опознавание изоб-
ражения на фотоснимке, улучшить качество последнего, и т. д.,
привлекло к разложениям Фурье пристальное внимание научных
работников и инженеров.
§ 2. СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Периодических сигналов в строгом смысле не существует,
так как основным свойством периодической функции является
бесконечное повторение одного и того же явления. Однако по-
нятие периодического сигнала с большой пользой применяется
при анализе реальных процессов, всегда занимающих конечные
интервалы времени или пространства.
Рассмотрим некоторые вопросы, относящиеся к определению
и расчету спектров периодических сигналов.
2.1. Гармонические колебания
Простейшим периодическим сигналом является гармоничес-
кое колебание, определяемое тригонометрической функцией вре-
мени или пространства
U (t) — A cos 1(2л/Т) t — ф] = A cos (со/ — ф) = A cos
при —ОО < t < + СО или
U (х) = A cos [(2л/Х) х — ф] = A cos (рх — ф) — A cos ср
при —оо < х < 4- оо. Здесь А, Т — амплитуда и период ко-
лебания; со = 2л/Т = 2л/ — круговая частота колебания; / =
= \/Т — частота колебания; X — длина волны; р — 2л/Х =
= 2лv — круговая пространственная частота; v = 1/Х — прост-
ранственная частота колебания (волновое число); ф, <р — на*
чальная и полная фазы колебания.
318
Графическое изображение гармонического колебания пред-
ставлено па рис. 253. В дальнейшем в качестве аргумента гармо-
нической функции будут использоваться равным образом времен-
ная t и пространствен-
ная х (у) координаты.
Гармоническое коле-
бание можно предста-
вить в виде действи-
тельной части комплекс-
ного переменного
U(l) = Л Re [е/ф],
откуда, учитывая, что
е/ф = cos Ф + J sin ф,
найдем
U (0 = A Re [cos ф +
Рис. 253. Графическое представление гармони-
ческого колебания: а — функция времени; б —
функция пространственной координаты
+ j sin ф) = A cos ф.
В этом случае имеет-
ся в виду, что некото-
рый вектор А вращается с угловой скоростью оз и значение U (t)
определяется его проекцией па действительную ось (рис. 254).
Рис. 254. Представление гармоническо-
го колебания в виде проекции вращаю-
щегося вектора на действительную ось
Рис. 255. Векторное представление
гармонического колебания
Можно также воспользоваться представлением гармоничес-
кого колебания в виде суммы двух векторов В и С, имеющих
Одинаковый модуль 0,5Д и вращающихся с частотой со в проти-
воположных направлениях (рис. 255). Тогда
U (О — В -ф С 0,5Ле+лР |_ 0,5/1е~/<₽ = 0,5Д (е+/ч> J- е~^) = A cos <р.
319
В полученном выражении одно из слагаемых может трак-
товаться как колебание с «отрицательной» частотой = —to
и фазой = — ф_|_.
Действительно, можно найти (индекс плюс для положитель-
ных значений частоты и фазы в дальнейшем опускается)
U (/) = В + С = 0,5Ле+/ч> 4- О,5Ле-7Ф =
= 0,5Де । / W |- 0,5Ле“/ («/--ф) = 0,5Л [е/ («*-♦> _|_ е/
— 0,5Л [е' -ре/
Используя тригонометрическое представление комплексного
числа, легко показать, как это уже было сделано в § 1 гл. 8, что
гармонической составляющей с какой-либо физической частотой о
всегда соответствует пара слагаемых, одно из которых содержит
отрицательную частоту.
2.2. Сложный периодический процесс
Любой сложный периодический процесс может быть представ-
лен с помощью ряда Фурье в виде суммы элементарных гармони-
ческих колебаний.
Пусть функция U (/), заданная в интервале от tr до t2,
повторяется с частотой оД = (рис. 256). Тогда с несуще-
ственными математическими ограничениями, сводящимися к то-
Рис. 256. Произвольный периодический про-
цесс
му, что функция должна
быть непрерывной или
иметь конечное число раз-
рывов, а также иметь в
пределах одного периода
конечное число максиму-
мов и минимумов (условие
Дирихле), функция U (/)
может быть представлена
рядом Фурье в виде суммы
тригонометрических функ-
ций:
со
I/ = У (ak cos ktojt -J- bk sin ZscOjZ),
2 k=i
где
t2 ^2
[ U (t) dl; (/) cos /гор/ dt;
t*
2 f
bk = у- j U (t) sin ko\t dt.
320
Разложение U (/) может быть записано и в другой форме.
Пусть
ak = &k cos bk Ak siп фЛ,
т. e.
Ak = у4 4- b'k\ ф* = arctg (bklak).
Тогда найдем
ak cos t + bk sin kwtt = Ak (cos i^cos ko^t 4- sin Ф* sin =
— Л/г cos (W —фА)
и
(0 = ф- 4- £ Ak cos (k^i - ФД
где A 0 — По-
следовательно, любая сложная периодическая функция прак-
тически всегда может быть представлена в виде суммы гармони-
ческих составляющих и вполне
значений Ak и фЛ.
Совокупность величин Ak
носит название спектра ампли-
туд, а совокупность величин
ф/г — спектра фаз. Обычно под
словом спектр понимают спектр
амплитуд. При графическом изо-
бражении спектра принято пред-
Рис. 257. Спектр амплитуд
ставлять амплитуды отдельных
гармоник вертикальными отрез-
ками соответствующей длины
(линиями).
Спектр периодической функции состоит из отдельных линий,
соответствующих дискретным частотам: 0, (Oj, <о2 = 2а)!, со3 =
= За»! и т. д. (рис. 257). Отсюда и название линейчатый, или
дискретный, спектр. Строго говоря, дискретность спектра не яв-
ляется признаком периодической функции. Спектр периодичес-
кой функции не только дискретный, но и гармонический, т. е.
он состоит из равноотстоящих спектральных линий — гармоник,
причем частоты гармоник находятся в простых кратных соотно-
шениях.
Функция, обладающая дискретным спектром из произвольно
расположенных по шкале частот спектральных линий, называется
йвазипериодической (почти-периодической). Такой функцией опи-
сываются, в частности, модулированные колебания, которые бу-
дут рассмотрены далее.
Существует еще одна весьма важная форма представления
периодической функции рядом Фурье. В этом случае ряд Фурье
записывается в комплексном виде.
В М. М. Мирошников
321
Для получения соответствующего результата используем воз-
можность выразить отдельное гармоническое колебание как
сумму двух векторов:
ЛАсоз (kaijt — фЛ) = О,5ЛАе7 4- ОДЛ^е"'
Тогда
У Л|С»«-«= S £ Ae-/(‘V-*4).
fe=l fe=l k=l
Можно убедиться, что Ak — функция, четная относительно k,
а фл — функция нечетная. Действительно,
A k = /4 + bk\ tyk = arctg (bk!ak),
но
t, t»
ak = ~ju(t) cos kc\t di; bk = ~\u (0 sin /гсох/ dt,
t. e.
= ci^k, b_k = b+k
и
Л_Л = Л+Л; ф_А=^-ф+л.
Следовательно,
fei *=-i
и
CO
2 Л* cos (kc^t — =
k=i
1
2
fc=—1
2 л^'^-^ф.
Кроме того, так как при k = 0 bk = b0 = 0; ф* = ф0 —
е/(^-^)==1> т0
SAk J _ «о_
-Г 2 - 2'
k=0
Таким образом, можно найти
со - —4-00
и (/) = ф + 2 Л к cos (fao^ - W = 4 Е =
Z fe = l k—— co
fe= + oo
= 4-2
k——OO
322
Обозначая --------------------
найдем окончательно выражение для разложения Фурье функции
у (/) в комплексном виде:
*==+«> .
Z оо
Так как
Ak = )/”4 + &k\ tg = bklak,
то
ti
Ak — = ak — jbk = J U (t) cos kuj dt —
ti
t, t»
— i' J sin j (0 (cos “ /sin
G ti
ИЛИ
ti
Ak = y- f U (t) t-lW dt.
2.3. Периодическая последовательность
прямоугольных импульсов
Периодическая функция U (/), определяющая прямоугольные
импульсы, имеет вид, представленный на рис. 258.
В промежутке от /х ~ 0 до /2 — т функция U (/) = (70, а в ос-
тальной части периода Т функция U (/) = 0. Таким образом, мо-
жно найти
4-=-t=4-j ^«^=4-/u„dt=^-v,
ft б
tl
2 Г 2 f
ak = -у j U (/) cos k^t dt = j f/0 cos dt =
где, как и ранее, обозначено
sa =
sin A’coiT
11*
323
и
b„ = ( и (t) sin kaj dt = =
K 1 J v ' T Лю,
9rr T 1 —COStfCOft
— Щ -f •
Далее,
Ak - /4ТЙ = • 2l/„ -Ь - Д 2 У =
* 1 rcUJ^L F
= 2U0
т sin (Аю(т/2)
T А’Ю/т/2
Рис. 258 Периодическая последова-
тельность прямоугольных импульсов
= 2У»-^а(^-);
, 1 1 —cos/гю.т
ibb = arctg-
° sin Aw1T
= arct? 2 sin2 (/г<°П/2)
2 sin (Aw1t/2) cos (Люхт/2)
= arctg (tg^)=^.
Следовательно,
k=co
U (t) — ~y~ + &k cos {k(art — =
fe=l
-. г _L
— C0 у'
Так как
1-1-2 sa cos&oJf------------
k=i
A, = AkeT^k _ 2U0 sa (-^1) е-7^*Ц
то в комплексной форме имеем
fe=+°O fc=-|-0O
у(0 = -2- 2 =
k=—oo k=—-oo
Если начало отсчета выбрать в центре импульса (рис. 259),
то можно найти:
bk = 0;
т/2
< = — UG COS kdiyt dt =
о
4(/p sin (feco^/2) г _ Q// T / k(dit \ .
T k^x/2 2 ~ Tsa 2~) ’
= ak\ = 0
324
и
и (0 - и
COS katjt
Таким образом, спектр последовательности прямоугольных
импульсов состоит из бесконечного числа гармонических состав-
ляющих, т. е. составляющих с частотами, кратными частоте coj.
Огибающую спектра амплитуд можно получить, если рассма-
тривать не только дискретные значения на оси частот, но
и все текущие значения частоты со. Тогда огибающая спектра
амплитуд равна
А (и) = А„ = 2l/„ Т sa =
all ( (ОХ \
= 2Uо —jT sa -g- J = 277О
sin (cor/2)
(OT/2
Она имеет нулевые значения в тех же точках, что и sin (со0т/2),
т. е. при со0т/2 = пл, или
точка для и = 0, т. е.
со0т/2 = 0, где имеет место
неопределенность типа 0/0.
Раскрывая ее по правилу
Лопиталя, найдем, что при
со = 02 7/0(T/T)sa(coT/2) =
= 2ийх!Т, что в два раза
больше постоянной состав-
со 0 = 2пл/х. Исключение составляет
Рис. 259. Периодическая последовательность
прямоугольных импульсов, расположенных
симметрично относительно начала отсчета
выпадает из тех значений амплитуд
ляющей разложения Фурье
(Ло/2 = Uqx!T). Постоян-
ная составляющая как бы
спектра, которые могут быть получены по точкам огибающей.
Огибающая Л (со) имеет максимумы в точках со = сотах,
когда
Sin ((РщахТ/2)
c°maxT/2
sin (сот/2) 1
сот/2 J max
Обозначая сотахт/2 — х, найдем
д ( sin х \ ____ х cos х — sin х
дх \ х ) х2
т. е.
х cos х = sin х, или х — tg х.
Корни этого трансцендентного уравнения (кроме очевидного корня
* = 0) близки к значениям х —. — (2п -р 1)л/2, гдеп. = 1, 2, 3, • • •,
325
Рис. 260. Графическое решение трансцендент-
ного уравнения х = tg х
Рис. 261. Спектр амплитуд периодической последова-
тельности прямоугольных импульсов, изображенной на
2л „ 1 т
рис. 258 для случая — » (Oj = —, или — <2л
Рис. 262. Несимметричный меандр
326
так как они соответствуют точкам пересечения прямой и танген-
соиды (рис. 260), т. е.
«шах (2п + 1) Л/т.
Спектр амплитуд периодической последовательности прямо-
угольных импульсов имеет вид,
Если длительность импульсов
т = Т'2 и постоянная составляю-
щая отсутствует (рис. 262), то__пе-
представленный
на рис.
261.
-А
£
л
Рис. 263. Симметричный меандр
_4
4
7л
4
5 л
О (и, 2wt Ju), 4о), 5а>, 6(i), 7(i),
Рис. 264. Спектр амплитуд меандра
риодическая последовательность прямоугольных импульсов пред-
ставляет собой прямоугольное колебание (меандр), для которого
ряд Фурье, как это следует из общего выражения, имеет вид
£/ (/) = (sin со^ -|—-- sin Зсо^ -j- sin бор1 •
•ГС \ О О /
Рис. 265. Спектр амплитуд меандра при использовании отрицатель-
ных частот
При отсчете времени от середины импульса (рис. 263) соответ-
ственно найдем
(/) == -4^Z° (COS -COS Зсо-4- cos 5(0 — • • • ) .
ЗТ \ О и /
Спектр амплитуд меандра при Uo — 1 изображен на рис. 264.
На рис. 265 тот же спектр представлен для случая, когда исполь-
зуются отрицательные частоты.
Следует заметить, что с увеличением числа суммируемых
гармоник сумма ряда все более и более приближается к функции
(/), кроме точек разрыва этой функции, где образуется
327
выброс, величина которого при k —>00 равна 1,18 U0. Этот дефект
сходимости, получивший в математике название «явление Гиббса»
не имеет существенного значения, так как при k —>оо выбросу
становятся бесконечно узкими.
§ 3. СПЕКТРЫ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
(ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ)
Предположим, что сигнал задан в виде функции времени, уд0.
влетворяющей условиям Дирихле и абсолютно интегрируемой.
Последнее требование означает, что существует интеграл
Рис.
гнал
266. Непериодический си-
— функция времени, заданная
в конечном интервале
+°°
j |(7(/)|d/ = 7V<oo,
---00
т. е. функция U (/) обращается
в нуль при t —>:±1ОО.
Для удобства рассуждений при-
мем пока, что сигнал U (/) дей-
ствует в конечном интервале
< t < /2 (рис 266). В целях про-
ведения гармонического анализа
превратим заданную функцию в
периодическую Ux (t) путем повторения ее с произвольным перио-
дом Т > t2 — tx (рис. 267). Тогда для этой новой функции раз-
ложение в ряд Фурье имеет вид
/г=-|-оо
^7] (/) = —Q—|- \i (flk cos k(£>xt ] sin /ко./) =
* h~ i
д k—±oo &=+<»
= 2 4 cos (^-4^) = ^ 2
' fe==] z /г^-со
причем амплитуды отдельных гармонических составляющих бу-
дут тем меньше, чем больше интервал Т:
t
ak = ~ j U (/) cos k(\)xt dt\
1 G
t2
bk — -^r^U(t) sin kb\t dt\
ti
t2
Ak = J U (t) dt.
Очевидно, что Ux (/) —> U (t) при T —> сю. Следовательно, если
период Т устремить к бесконечности, то в пределе получим бе-
328
сконечно малые амплитуды гармонических составляющих, сумма
которых изображает исходную непериодическую функцию. Ко-
личество гармонических составляющих при этом будет бесконечно
большим» так как основная частота ft = = 1/7 при Т —* оо
стремится к нулю, т. е. расстояние между спектральными линиями,
равное /1, становится бесконечно малым (d/), а спектр — сплош-
ным- Действительно,
k=-\-oo
/г=—оо
е—jktiitt
ejktott —
У J t7x (/) е—d/.
При T —> co U(t) —> U (/); fr —» df; feot —♦ co = 2nf, а опе-
рация суммирования превращается в операцию интегрирования,
т. е.
+ 03 ^2
и (t) = j е'2зФ df j и (/) e-iWdt.
—co tt
Обозначим внутренний интеграл некоторой функцией частоты
с волнистой чертой наверху, показывающей, что при вычислении
этой функции осуществле-
но разложение Фурье:
ti
U = e-i^dt.
11
Тогда найдем
+°°
U(t)= J U(f)^fidf.
Рис. 267. Периодический сигнал, форма кото-
рого внутри интервала Т соответствует фор-
ме непериодического сигнала на пис. 266
Если функция U (/) задана в неограниченных пределах, то
~ +по
U(f) = J
------------------------00
Выражение, определяющее функцию 0 (f), называют прямым
преобразованием Фурье, a U (/) — обратным преобразованием
Фурье.
Так как
U (f)df= U (co)dco,
329
т. е.
и (f) = и (а) = U («) = 2л& (Ш),
и/ иу
то преобразования Фурье могут иметь вид:
4-СО
^(“)=4г I у(0е-/“'Л;
— со
(/(/) = j U (и) е/“Мео.
—со
Этот вид преобразований иногда удобнее для использования,
так как он обеспечивает более лаконичную запись показателя
степени в подынтегральном выражении.
Часто допускается ошибка и коэффициент 1 /(2л) вводится в об-
ратное преобразование Фурье. Тогда преобразования имеют вид:
U = j U (/) e~iat dt',
—со
L7 (/) = JL j
—оо
Функция О в этом случае определяется произведением ампли-
туды сигнала U (/) па время или отношением амплитуды к по-
лосе частот, выраженной в герцах: амплитуда X время =
амплитуда ,
=------------—г. Следовательно, и является функцией частоты/,
полоса частот (Гц) ’ J '
т. е. U = U (f), и введение ее в обратном преобразовании Фурье
под знак интеграла, имеющего в качестве переменной интегри-
рования круговую частоту со, следует считать неверным.
Функцию С/ (/), или (J (w), называют спектральной плот-
ностью, спектральной характеристикой или комплексным спект-
ром Фурье функции {/(/).
По аналогии с комплексным представлением ряда Фурье,
в соответствии с которым периодическая функция U (/) равна
й=4-к> .
^(0=4- 2
Z k=~оо
где Akdka^ — отдельное колебание с комплексной амплиту-
дой Ak, обратное преобразование Фурье для непериодической
функции U (/) можно записать в виде
V (t) = J U (cd) d(o = ~ J 2U ((d) d(oefaf,
330
т# е. подынтегральное выражение 2U (со) можно считать
отдельным колебанием с бесконечно малой комплексной ампли-
тудой
dA = 2U (со) d(j).
Следовательно, спектральная плотность
У(щ)='
х ’ 2 aw
или
Если амплитуда сигнала измеряется в В, то спектральная
плотность (У (со) измеряется в В-рад"1-с, а V (f)— в В-Гц-1.
Преобразование Фурье, естественно, может быть применено
не только к функции времени С/ (/), но и к функции U (%) простран-
ственной координаты х. В этом случае спектр Фурье
U (v) = | U (х) e—fatvx с[х,
— со
или
= J U(x)e~ipxdx,
—со
где р — 2л/1 — круговая пространственная частота; v = 1/% —
пространственная частота. Спектральная плотность U (v) в этом
случае измеряется в В-см, а 0 (р) в В-рад-1-см, если амплитуда
сигнала выражена в В, а х в см.
Таким образом, преобразования Фурье связывают между со-
бой две функции: вещественную U (t) или U (х) и комплексную
О (f) или (7 (v), представляющую собой ее спектр по Фурье,
причем обратное преобразование позволяет выразить непериоди-
ческую функцию суммой бесконечно большого числа бесконечно
малых гармонических колебаний, близких по частоте.
Учитывая, что
Q-pnft — cos — j sin 2nft,
прямое преобразование Фурье можно записать в виде суммы
косинус- и синус-преобразований:
U(f) = J U(t)e-i^dt= J U (t) cos 2nft dt —
— oo —oo
Л“
— j' j U (t) sin 2nft dt.
331
Вводя
обозначения:
«(f) =
-|-во
[ U(t) cos 2nf(d)t-—косинус-преоб-
—со
разование, определяющее действительную часть спектральной
-J-CO
плотности, b (f) = J U (/) sin 2 nft dt — синус-преобразование, on-
—со
ределяющее мнимую часть спектральной плотности, найдем
U(f) = a(f)-jb (f) = A(j) е-У'КП,
где А (/) = |/а2 (/) -j- b2 (/) —амплитудная характеристика спек-
тральной плотности: ф (/) = arctg [b (f)!a (f)J — фазовая харак-
теристика спектральной плотности.
Рис. 268. Действительная (а) и мнимая (б) части спектра Фурье
Если U (/) — четная функция, т. е. U (/) = U (—t),
то
U (/) -= а (/) = 2 f U (/) cos 2nft dt.
о
Если же U (/) — нечетная функция, т. е. U (/) — —U (—t), то
U (f) = — jb (f) = — 2] j U (t) sin 2rcft dt.
о
Так как
+ °°
#(-/) = j П (/) е+Wd/= «(/) +/6 (/),
— co
TO
D (-Л = p* (f),
где U' (f) — комплексно-сопряженное значение спектра.
Действительная и мнимая части спектра а (/) и b (/) могут
также обозначаться в виде:
а (/) = Re b (f) = Im [U (/)].
332
Действительная часть спектра — всегда четная функция
(рис. 268, а), мнимая часть спектра — всегда нечетная функция
(рис. 268, б). Комплексность спектра означает сдвиг отдельных
его составляющих по фазе.
§ 4. СВОЙСТВА СПЕКТРОВ
Основные свойства спектров определяются рядом теорем, ко-
торые будут далее рассмотрены применительно к пространствен-
ным координатам.
4.1. Теорема о спектре суммы
Пусть функции U1 (х) и (72 (х) имеют спектры L/, (v) и U2 (v),
т. е.
-[-оо
(v) — j Ut (х) e~i2nvx dx',
— оо
+°°
U2 (v) — j U2 (x) e_^‘2jrw dx.
Тогда можно найти сумму спектров:
+°°
D(v) = D1(v) + D2(v)= J [<А(х) + У2 WJe-'^dx.
— оо
Так как правая часть равенства представляет собой спектр суммы
двух функций, очевидно, что в силу линейности преобразования
Фурье спектр суммы равен сумме спектров.
4.2. Теорема запаздывания
Эта теорема определяет спектр функции, смещенной относи-
тельно исходной на заданную величину.
Пусть функция U (х) имеет спектр
+°°
U(y) = j U(x) e-/2nv.v cfx
—оо
Найдем спектр £/х (v), соответствующий функции 6/х (х) ==
= U (х — х0). Так как по определению имеем
-f- оо -|-со
E/X(v) = J (х) е-/2л™ dx = J И (х-х0) e~/2irv*dx,
—ОО —оо
333
то, произведя замену переменной интегрирования на = х — х
получим
(v) = J U (л,) е_ /2jtv (х»+х«) dxv =
— оо
—|-оо
= e-/2nvx0 J [J e-j2nvX1
НО
+°°
U (v) — j U (х,) e~/2nvx‘ dxY
—со
и
Uх (v) = U (v) e-/23TVX»,
т. е. спектр функции, смещенной относительно исходной на за-
данную величину х0, равен спектру исходной функции, умножен-
ному на е“/2отх".
Поскольку амплитудная характеристика спектральной плот-
ности (модуль спектра)
A (v) = | U. (v) ] = \U (v) е~/2™* | =
- | U (v) | [ е-/2л^о | = | U (у) | = A (v),
то при смещении функции по оси х модуль спектра остается не-
изменным.
4.3. Теорема смещения, или теорема
о транспозиции (переносе) спектра
Эта теорема определяет функцию, которой соответствует
спектр, смещенный по шкале частот на величину v0 относительно
исходного значения v.
Пусть спектр Тфункции U (х) есть U (v), т. е.
Н-со
£/(v) = J U (x)e~i2nvxdx.
Очевидно, что смещенный спектр
-|-оо
Ui (у) = V (“V + Vo) = j U (х) е~/2л (v+ve)х dx =
--00
+г
= J U (х) e-/2nvxe-/2«v0*
—со
334
Обозначив
Uy (х) = U (х) e-/2jlv«*,
найдем
+ °0
Uy (v) = U (v -{ v0) - j Uy (x) e-/2jm dx.
— oo
Следовательно, смещенным спектром обладает функция
(Л) = U (х) e~~j21ZVoXt
т. е. функции U (х) соответствует комплексный спектр U (v),
а функции Uy (х) = U (x)e~i2nv°x — смещенный спектр Uy (v) =
= Uly + v0).
4.4. Связь между произведениями функций
и их спектров.
Равенство Парсеваля
Пусть две функции Uy (х) и [/2 (х) имеют комплексные спектры
Uy (v) и U2 (v), т. е.
Ux (v) = j Uy (x) e~/2jTVX dx\
— oo
P2(v) = j U2 (x) eH2nvxdx.
—oo
Так как в соответствии с обратным преобразованием Фурье
+г"~
Ui (х) = J О, (v) e/2"v* dv,
—oo
то можно найти
Ux (*) U2 (х) = U2 (х) j Uy (v) U2nvxdv.
— oo
Интегрируя левую и правую части последнего равенства по х
в пределах ± сю, получим
j Uy (х) U2 (х) dx = J U2 (х) dx J Uy (v) e/2nvx dv.
— OO -OO —00
Изменяя порядок интегрирования в правой части, найдем
J Uy (х) U2 (x)dx = j Uy (v) dv j U2 (x) U2nvx dx,
335
но внутренний интеграл представляет собой сопряженный спектр
функции U2(x). Действительно, р
~ +°°
^2 (v) = U2 (— v) — j U2 (х) dx.
— оо
Следовательно,
“J-оо оо
J I/, (х) U2 (х) dx = j и, (v) U} (v) dv.
— оо —оо
Последнее соотношение определяет связь между произведе-
ниями функций и их спектров. Из него, в частности, следует, что
при
(х) = U2 (х) = U (х),
когда
£/1 (v) = U2 (v) = и (v),
т. е.
(v)(7Hv) = |l/(v)|2,
имеем
-ф- оо -ф- оо
w — j [U (х)]2 dx = j 1 U (v) |2dv.
— со — оо
Следовательно, интеграл в пределах ± оо от квадрата заданной
функции (общая энергия рассматриваемого процесса ш) равен ин-
тегралу в пределах ± оо от квадрата модуля комплексного спек-
тра (общая энергия спектра <2>).
Это соотношение, выражающее закон сохранения энергии, но-
сит название уравнения замкнутости или равенства Парсеваля,
по имени ученого, который еще в начале XIX в. рассматривал по-
добную формулу.
4.5. Спектр произведения.
Теорема о свертке спектров
Пусть две функции UA (х) и Us (х) имеют комплексные спектры
(р) и /73(р); тогда можно записать следующее исходное равен-
ство:
*ф~ оо —|— оо
J UA (х) U3 (х) dx = j (р) U* (р) dp.
— оо —оо
Рассмотрим также функцию 1/2(х) со спектром (7а (р), удовлет-
воряющую соотношению
(х)
336
или
(73(x) = l/2(x)e-/23XW.
Тогда в соответствии с теоремой смещения спектр функции
Us (х) равен смещенному спектру функции U2 (х), т. е.
Уз (р) = 02 (р +v),
или
Уз (и) — Уз (----и) = ^2 (----- Р + V).
Имея это в виду, можно следующим образом преобразовать
левую и правую части исходного равенства.
1. Левая часть
-{-оо -{-оо
[ иг (х) Uз (x)dx= [ Ui (х) U2 (х) e~/2jtvx dx.
---ОО --00
Полученное выражение представляет собой комплексный спектр
произведения двух функций (х) и V2 (х), который обозначим
горизонтальной квадратной скобкой над этим произведением и вол-
нистой чертой наверху:
_____2^____ ~}-оо
(х) ^2 (*) = J (*) U2 (х) e-/2nvx dx = J U! (х) U3 (х) dx.
2. Правая часть
-j-оо -]-оо
j С\(р)17з (р) dp = J t/i(p)t/2 (v — p)dp.
— oo — oo
Полученное выражение представляет собой своеобразную опера-
цию интегрирования, которую принято называть сверткой функ-
ций иг (р) и U2 (р):
+°°
&1 (р) 0 и2 (р) = J (р) и2 (V — р) dp.
Следовательно, можно найти
оо оо
j (х) U2 (х) eri2nvx dx = J (р) U2 (v — р) dp,
— оо —оо
или комплексный спектр произведения двух функций Ux (х) и
U 2 (х) равен
(a) (х) = (р) 0 U2 (р),
337
т. е. спектр произведения равен свертке спектров. Очевидно, что
левая и правая части последнего равенства представляют собой
комплексную функцию частоты v:
-J-OO -j-oo
(v) = j U± (x) U2 (x) e~/2llvx dx = [ (p) U2 (v — p) dfi.
4.6. Теорема о спектре свертки
Рассмотрим свертку U (у) двух функций иг (х) и (72 (х):
+°°
(У) = Ui (х) 0 U2 (х) = j Ul (х) U2 (у — х) dx.
Спектр свертки U (у) равен
(7 (v) == j U (у) ori^y dy = j l/j (x) dx J U2 (y — x) e_^2jrv^ dy.
—- 00 — oo —oo
Осуществим замену переменной, вводя новую переменную z =
= у — х; тогда
U(y) = j U1(x)dx J U2 (z) e~iZjtv (*+*) dz =
— oo -—oo
= j (x) e~i2nvx dx j U2 (z) e~i2ltvz dz.
-----OO --OO
Так как
l/i (v) = J L/j (x) e~/2jivr dx; U2 (v) = J U2 (г) eri2nvz dz,
-----------OO ---oo
TO
(v)(72(v),
или
(7i (x) 0 U2 (x) = t/j (v) U2 (v).
Следовательно, спектр свертки двух функций равен произве-
дению спектров этих функций.
4.7. Теорема о спектре производной
Пусть спектр функции (7 (х) равен U (v). Найдем спектр Ut (v)
производной от заданной функции U' (х) = .
338
В соответствии с преобразованием Фурье имеем
(v) == f У (А) e~i2nvx dx = j е~i2nvx dU (x).
— co —co
b b b
Интегрируя по частям J и dv = uv | j — Ju du, найдем
a a
(v) == U (x) e-/2ltVJC| — j U (x) de~i2nvx.
— oo
Так как функция U (x), представляемая интегралом Фурье,
обращается в нуль при х —> — оо, то
U (х) е~/2я™ | tZ -> 0.
В то же время
j U (х) de~i2nvx — — /2лд> j U (х) e—i2nv* dx.
---DO -CO
Следовательно,
[/i (v) = /2nv J U (x) e~/2llv* dx = j2nvU (v),
— oo
т. e. спектр производной равен спектру исходной функции, умно-
женному на /2лv.
4.8. Теорема о спектре интеграла
Пусть спектр функции U (х) равен U (у). Найдем спектр их (v)
интеграла от заданной функции в пределах от — оо до 4-х, т. е.
+*
J U (х) dx.
— оо
Очевидно, что
+ <5О / +>£ \
t/j (v) = j I J U (x) dx j e~i2nvx dx —
— oo \— oo
+°° /+x
= j I j U (x) dx
de-}2nvx
— /2nv
Интегрируя полученное выражение по частям, найдем
(v) =
+х
J U (х) dx
— оо
е—j2nVX
— /2nv
e—j2nvx
— /2nv
U (x)dx.
339
При условии, что
4-00
j U (х) dx = О,
— оо
найдем
и (у)
/2лу ’
т. е. спектр интеграла заданной функции равен ее спектру, делен-
ному на j2siv.
§ б. РАСЧЕТ СПЕКТРОВ ФУРЬЕ НЕКОТОРЫХ ИМПУЛЬСОВ
И ПРОЦЕССОВ
5.1. Единичный сначок
Пусть изменение интересующей нас величины вдоль простран-
ственной координаты х выражается функцией U (х), причем
(1 при х>»0;
L/ (х) = п
4 ' (0 при х < 0.
7------------------ Функция U (х) имеет вид, представ-
ленный на рис. 269. Для этой функции,
_________________________ называемой единичным скачком,
о_______________________* ,
f
Рис. 269. Единичный скачок J | U (х) | dx = оо,
в начале координат
т. е. условие абсолютной интегрируемости не удовлетворяется и
преобразования Фурье не могут быть применены непосредственно.
Рассмотрим функцию
U1 (х) = U (х)е~сх,
где с = const.
Очевидно, что эта функция удовлетворяет условию абсолютной
интегрируемости. Ее спектр
-(-00 00
и1 (v) = J U1 (х) e-cxe-/2nw dx = J <c+/2nv> =
— оо О
=-------------е-х <c+/2jrv) I °° =-U—.
— (с 4- /2ttv) I 0 с + j2nv
Так как U (х) = 1/± (х) при с —> 0, то спектр функции U (х)
равен
U (v) = lim U1 (v) — 1/(/2лу) = — j/(2siv).
c-»Q
340
Для дальнейшего рассмотрим произвольную комплексную
величину
a —jb = ре~/ф.
Если а = 0, b = 1, то а — jb = —j. Но в этом случае аргумент
tg ср = b/а = ею, т. е. <р = л/2, а модуль р = V а2 + b2 = 1.
Следовательно, можно найти, что — j= е~'л/2. Тогда
JJ (у) = — //(2nv) = е~/я/2/(2лт);
A (v) = 1/(2л |v|); ф (v) = л/2.
Соответствующие спектры амплитуд и фаз представлены на рис. 270.
6.2. Прямоугольный импульс
Рассмотрим вначале спектр прямоугольного импульса, имею
щего амплитуду t/0, длительность Ах и расположенного симме
Рис. 270. Спектры амплитуд и фаз единич-
ного скачка
трично относительно начала координат. Функцию U (х), описыва-
ющую такой прямоугольный импульс, можно задать следующим
образом:
(Uo при ‘х|<Ах/2;
. U (х) — |о при |х|>Ах/2.
В этом случае она имеет вид, представленный на рис. 271.
Вычислим ее спектр U (v). Очевидно, что}
-|-<х -)-Дх/2
U(y) = j U (х) e~i2nvxdx = j U^-i^dx =
—Дх/2
4-Дх/2 е/2лУДх/2___е—/2луДх/2
-Дх/2 “ /2лу
_. g—/2л Vx
— /2jtv j
Так как справедливо соотношение
g/'z_с~iz
sin z =-----тг---
341
то можно найти
U(v) = -^sin(2nv — \ = U Avsin(2jtv^/2) _
{) 2nv bin|/nv 2 ) U°^x 2nvAx/2 ~
= Uо кх sa (2лх Дх/2) = Uo sa (лх Дх),
где U Q = Uo кх.
Относительная спектральная плотность у (v) = U (y)/U0 =
= sa (лу Дх).
Если обозначить гг = v Дх, то относительную спектральную
плотность можно представить в виде
у (zt) = sa л?! = sin л^Дл^).
В данном случае 0 (v) [у (zx) J — всегда действительная вели-
чина, принимающая положительный или отрицательный знак
Рис. 272. Комплексный спектр прямоугольного импульса
(рис. 272). При v = 0 0 (v)/U0 = 1, так как sa (0) = 1. Функция
обращается в нуль при 2лх0 Дх/2 = пл, т. е. v0 = п/кх, где
п = ±1, ±2, ±=3,... В области частот, где U (v) имеет положи-
тельные значения, начальные фазы всех гармоник равны нулю;
в области частот, где U (у) отрицательна, имеет место скачок фаз
всех гармоник на величину л. Действительно, фазовая характери-
стика спектральной плотности
ф (у) — arctg [b (у)/а (v) J = arctg 0 = 0, л, 2л, Зл,...
Эта характеристика представлена на рис. 273 совместно с ампли-
тудной характеристикой, которая определяется модулем спектра:
Д (v) = | U (v) | = | Uo Дх[| sa (2лх Дх/2) | = | t/0||sa (лх Дх) |.
Максимальные значения спектральной плотности соответствуют
частотам vmax, определяемым из уравнения
д sa (2лутахДх/2) _ „
dVmax ’
342
откуда
2зтугаах Дх/2 — tg (SjTVjpgy Дх/2);
^max = (^JlVj^ax Дх)/(ЗТ Дх).
Для главного максимума vmax = 0; для первого бокового макси-
мума vmax ±1,43/Дх; для прочих максимумов значения vmax все
более и более точно приближаются к величинам ±2,5/Дх, ±3,5/Дх,
±4,5/Дх,... Относитель-
ная спектральная плот-
ность U (y)/U0 в максиму-
мах приближенно равна:
+ 1,0; —0,22; +0,13;
— 0,091; +0,071;...
Вычислим спектр пря-
моугольного импульса,
сдвинутого вдоль оси так,
как это показано на
рис. 274. В этом случае
можно записать
[У1 (х) = U (х — Дх/2).
Действительно,
при х — 0
t/x (х) = U (-Дх/2) = [/0;
при х — Дх]
Uy (х) = U (+Дх/2) = Uo.
Рис. 273. Амплитудная и фазовая характе"
ристики спектральной плотности прямоуголь"
ного импульса
Используя теорему за-
паздывания, *найдем
и± (v) = и (v) e-/2jrvAx/2,
где
U (v) = Uо &х sa (2лт Дх/2).
Если в общем случае импульс сдвинут на величину х0, т. е.
U г (х) = U (х — х0),
то
t/x (v) = U (v) e~/2jrvXo,
или
U1 (v) = Uо sa (2jw Дх/2) g—/2jwx0
где
t/0 = Uo &х.
343
Так как модуль спектра Ur (v) равен модулю спектра 0 (у), то
амплитудная характеристика спектральной плотности прямо-
угольного импульса не зависит от выбора начала отсчета:
Л1 (v) == | Ul (v) | = | U (v) | = A (v).
В свою очередь, фазовая характеристика
Ф1 (v) = 2лух0 + пл,
или при х0 = Дх/2; п = 0, ±1, ±2,...
Ф1 (v) = 2л v Дх/2 -J- tin.
Для сдвинутого прямоугольного импульса фазовая характе-
ристика спектральной плотности показана на рис. 273 штриховой
линией. Здесь по-прежнему каждая пе-
ремена знака спектра U (v) учитывается
приращением фазы на л.
Полная энергия прямоугольного им-
пульса, очевидно, равна
w0 == и20 кх.
Найдем энергию, заключенную в по-
лосе частот от 0 до V. В соответствии
с равенством Парсеваля для случая
только положительных частот имеем
wv = 2 j | U (v) " dv = 2t/o Ax2 J | sa (2nv Дх/2) |2 dv,
о 0
Рис. 274. Сдвинутый прямо-
угольный импульс:
1 — основной вариант; 2 — об-
щий случай
ИЛИ
V
л 2 f sin2 (2nv Дх/2) ,
wv = 2l/<,Ax J (2;vAx/2)2 dv.
0
Вводя обозначение у = 2л v Дх/2, найдем
У У
г ?2 * 2 f sin2 у , 2 f sin2 у ,
t»v = Uu&x— J —ЛСdy = w0 — J —-Л dy.
и 0
Входящий в полученное выражение интеграл
У
С sin2 у , sin2 у . е- ,о ч
I ЛУ==-----------+ S1 (2г/),
о
где интегральный синус
z
е. , ч Г sin t .. Z3 , 2б Z7
S1 — .1 t di —Z З^зГ + 5-5! Тт\ " ' г —
344
Таблица 17
Значения коэффициента т] = a»v/w0, характеризующего относительную энергию
в полосе частот от 0 до v, для косинусного т]ь косинус-квадратного 1р[
и прямоугольного Т]1л импульсов, имеющих ширину Ал
я ?• II N ’ll ’ll! ‘‘ЗЦ! X II N ’ll *111 nlll X < ?• II N *111 ’Illi
0,00 0,000 0,000 0,000 0,55 0,746 0,647 0,810 1,10 0,984 0,947 0,903
0,05 0,081 0,067 0,100 0,60 0,788 0,690 0,839 1,15 0,988 0,958 0,905
0,10 0,161 0,133 0,198 0,65 0,826 0,730 0,861 1,20 0,991 0,967 0,907
0,15 0,240 0,198 0,293 0,70 0,859 0,766 0,878 1,25 0,993 0,974 0,909
0,20 0,316 0,262 0,383 0,75 0,887 0,799 0,889 1,30 0,994 0,981 0,913
0,25 0,390 0,325 0,467 0,80 0,911 0,829 0,896 1,35 0.995 0,985 0,917
0,30 0,460 0,385 0,545 0,85 0,930 0,856 0,900 1,40 0,995 0,989 0,922
0,35 0,527 0,443 0,615 0,90 0,947 0,879 0,902 1,45 0,995 0,992 0,926
0,40 0,589 0,499 0,676 0,95 0,960 0,900 0,903 1,50 0,995 0,995 0,931
0,45 0,50 0,646 0,698 0,551 0,601 0,729 0,774 1.00 1.05 0,970 0,978 0,918 0,933 0,903 0,903 2,00 0,998 0,999 0,950
Таким образом, отношение энер-
гии прямоугольного импульса, за-
ключенной в полосе частот от 0 до v,
к полной энергии равно
2 sin2 (р Дх/2) 1
рДх J ’
где р = 2nv. Значения коэффициента
i] = wv/w0 для прямоугольного им-
пульса т]1П приведены в табл. 17.
Зависимость коэффициента т] от
частоты v приведена на рис. 275. Из
графика следует, что около 90%
энергии прямоугольного импульса
сосредоточено в полосе частот от 0
до v = 1 /Дх, т. е. v Дх = 1.
Рис. 275. Зависимость коэффи-
wv
циента т) = —от произведе-
ния vAx, характеризующая
энергию прямоугольного им-
пульса длительности Ах в по-
лосе частот от 0 до v
,5.3. Единичный импульс
Единичным импульсом называют функцию 6 (х), равную нулю
всюду, кроме точки х = 0, или функцию (х) = 6 (х — х0), рав-
ную нулю всюду, кроме точки х = х0, где она равна бесконечности,
причем площадь импульса конечна и равна единице:
- —j—со
j 6 (х) dx — 1,
345
или
•Ц- ОО
J 6 (х — х0) dx = 1.
оо
Таким образом, можно записать, что
( 0 при х =f= xQ\
61 (х) = 6 (х — х0) = j
( оо при х = х0,
в том числе и при х0 — 0.
Эта функция называется также дельта-функцией или функцией
Дирака.
Одним из свойств дельта-функции является четность, т. е.
61 (х) = 61 (—х), или 6 (х — х0) = 6 (х0 — х).
Найдем спектр дельта-функции. Для этого введем в рассмотре-
ние прямоугольный импульс (х) с амплитудой £70 и протяжен-
ностью Ах, середина которого находится в точке х = х0.
Спектр импульса Ux (х) равен
£7Х (v) = Uo i\x sa (2nv Ах/2) е~i2nvx<>.
Спектр дельта-функции можно найти, имея в виду, что 6 г (v) —
— lim Ui (у) при £70—*оо, Ах - * 0 и £70 Ах == 1. Тогда имеем
6i (v) = e-/2nw«.
Модуль спектра
4(v) = |81(v)| = l,
что означает наличие сплошного равномерного спектра в пределах
± ОО.
Фазовая характеристика
ф (v) — 2sivx0.
Таким образом, спектральная плотность дельта-функции 6 (х)
вещественна, ее модуль (амплитудно-частотная характеристика)
равен единице для всех частот, а аргумент (фазовая характери-
стика) равен нулю для всех частот. Это означает, что все гармони-
ческие составляющие дельта-функции, суммируясь с нулевыми
начальными фазами, образуют пик бесконечно большой величины
в начале координат при х = 0.
Аналогично дельта-функция 6 (х — х0), определяющая им-
пульс в момент х = х0, обладает спектральной плотностью e-/2jivx°.
Модуль этой функции по-прежнему равен единице, а фазовая ха-
рактеристика ф (v) = 2nvx0. Следовательно, в этом случае проис-
ходит совпадение фаз всех гармоник и образование пика в точке
х = х0.
346
Энергия единичного импульса бесконечно велика. Это следует
из равенства Парсеваля, в соответствии с которым энергия
4-00
Wo— J | бх (v) | dv — oo.
— со
Рассмотрим некоторые свойства дельта-функции. Воспользо-
вавшись обратным преобразованием Фурье, найдем
бх (х) = 6 (х — Хо) = J бх (v) e/2jrvx dv = J e/2nv (x—x0)
Полученное выражение представляет собой условное интегральное
определение дельта-функции.
Учитывая симметрию интеграла Фурье, переменные х и v
можно поменять местами, т. е. записать выражение для спектраль-
ной плотности, имеющей вид дельта-функции, следующим образом:
б (v — v0) = j d2nx dx.
В силу четности дельта-функции можно записать
6 ( v — v0) = 6 (v0 — v).
Одним из основных свойств дельта-функции является так назы-
ваемое фильтрующее или стробирующее свойство, которое выте-
кает из основного определения дельта-функции и выражается
в следующем соотношении:
4-00 4-8
j 6 (х — х0) U (х) dx = U (х0) j 6 (х — х0) dx = U (х0).
— оо —8
Справедливость этого соотношения очевидна, так как по опре-
делению функция б (х — х0) равна нулю всюду, кроме точки х =
= х0. Следовательно, интервал интегрирования е может быть сде-
лан сколь угодно малым (е > 0), лишь бы он включал в себя
точку х0. В этом интервале функция U (х) принимает постоянное
значение U (х0), которое можно вынести за знак интеграла. Таким
образом, умножение любой подынтегральной функции Ц(х) на
дельта-функцию б (х — х0) позволяет приравнять интеграл про-
изведения значению функции U (х) в точке х = х0.
Наряду с прямоугольным импульсом существует достаточно
большая свобода выбора первоначальной формы импульса, из
которого в пределе образуется дельта-функция.
Во всех случаях дельта-функция может рассматриваться как
предел, к которому стремится импульс убывающей ширины, уве-
личивающейся амплитуды и единичной площади, т. е.
б (х) = lim Uoy (х),
д->о
347
где UG — амплитуда импульса; А — полуширина импульса, отсчи-
тываемая на заданном уровне; у (х) — функция, описывающая
форму импульса.
Существует значительное число импульсов различной формы,
удовлетворяющих такому определению дельта-функции. В част-
ности, это может быть:
а) прямоугольный импульс, уже рассмотренный выше, у кото-
рого
( 1 при |х| < А;
Т (*) — | о при |х| > А,
амплитуда Uo = 1/2А, ширина 2А 0, а площадь равна единице
так как С/02А = [1/(2А) ] 2А — 1;
б) колоколообразный (гауссов) импульс
т (х) = е-^/<2Д2>,
у которого амплитуда — 1/(А ]/2л), ширина на уровне е~°'5 ~
= 0,606 равна 2А —♦ 0, а площадь равна единице, так как
—1 f e-xV(2A^)rfx =------1 а ]/*2л=1;
Д /2л Д Д /2л
в) импульс вида
у (х) = sa (2лх/А),
у которого амплитуда Uo = 2/А, ширина главного максимума
2А —»0, а площадь равна единице, так как
2 +f sin (2лх/Д) л__1 +f sin [(2л/Д) х] _ 1 ~ 1
A J 2лх/А а л J х а ' л 1 ’
5.4. Колоколообразный (гауссов) импульс
Форма этого импульса определяется выражением
,j / ч г, -х2/(2х2)
С/(х) = (/ое /v °',
т. е. совпадает с графиком нормального (гауссова) закона распре-
деления вероятностей (рис. 276). Постоянная х0 обозначает поло-
вину протяженности импульса, определяемую на уровне е~1/2 ==
= 0,606 от амплитуды Uo импульса, т. е. полная длительность
импульса на этом уровне равна 2х0.
Для вычисления спектра
U(y) = J [70e“x2/(2zo)e-/2jtwdx
318
2 1
-d,
X
— d2
удобно в подынтегральной функции дополнить показатель степени
— |а'2/(2а'о) + /2лл’а] до квадрата суммы:
г / v2
— (—2 ++ d2
\ ^хо
где d = j2nvx0/]/2.
Вводя новую переменную у = х/(}/2х0) + d, найдем
~ +“
U (v) = У2хоиое-^л^2/2 j e^2dz/.
Так как j е~у2 dy — л, то
U (v) = ]/2л^о^ое-(2лг’х«)г/2.
Если ввести круговую пространственную частоту р — 2лу и
иметь в виду, что U (у) — 2п0 (р),
то можно найти
(J (п) = У^ е-рг№ (1/хор]
V 2л
Обозначая
L/o = t/oXo/]Z 2л;
получим
(7(р) - С/ое~р2/(2рЭ.
Таким образом, спектр колоколооб-
разного импульса представляет со-
бой по форме точно такую же ко-
локолообразную функцию частоты. Это отражено на рис. 276, где
одна и та же кривая в разном масштабе соответствует импульсу
и его спектру.
Найдем полную энергию колоколообразного импульса. Ис-
пользуя равенство Парсеваля, имеем
Рис. 276 Колоколообразный им-
пульс и его спектр
V*o,
ш0 = j | IJ (у) |2 dv —
J |2nt>(p)|-g-
= 2л J |&(p)|Mp.
Следовательно,
2 if 2\
too = 2л(7о J е~2р A2p(v dp = 2л VnUlpo,
или
ш» = = v пигЛ.
349
Энергия, содержащаяся в полосе частот от 0 до р = 2л v, равна
? 2/2
wp = 4лUo J е р' р° dp.
о
Обозначим z2/2 = р21р1, т. е. z = У2р!рй. Тогда
wp = 4лйо I е-2 12 dz,
V 2 J
о
но
j\~22/2dz =-К^Ф(г),
о
где Ф (г) — интеграл вероятности (табулированная величина).
Следовательно,
wp = 4л(7о -7V ф (*) = 4л X
V 2 z
х -~*х*__^2я Ф(г)
2л 2/2хо
или
причем
Рис. 277. График функции
интеграла вероятности
Wp = У пи1хоф (?),
т] = wp/w0 — Ф(г).
2 2 - —
Ф (г) = —== f е 2 dz
/2л J
О
Интеграл вероятности табулирован.
График функции Ф (z) приведен на
рис. 277.
Для получения 90% энергии им-
пульса необходимо иметь z= 1,65. Так
как z = У2р!р0 = У2 2лтх0, то
2xov = ?/(л/2) = 1,65/4,43 = 0,37, или v = 0,37/(2хо),
где 2х0 — протяженность импульса.
б.б. Косинусный и носинус-нвадратный импульсы
т Форма косинусного импульса определяется выражением
(рис. 278)
и(х) = | и»С08-г-(дЬг п₽иИ<Д*/2;
0 при |х| > Дх/2.
350
Спектр этого импульса
—ОО -|-Дх/2
fr(v) = j V (х) e-i2mx dx = и0 j cos-^--^2-e-/2jrwdx.
— со —Дх/2
Так как косинус-функция четная, получим коси ну с-преобра-
зование Фурье
Да72
&(v) = 2l/„ j cos-^--^gyCos2nvxdx.
О
Имея в виду, что
г , , sin (а — b) х . sin (a -f- b) х
J cosaxcosbxdx = 2(fl_fr) +
найдем
г, . ._л cos (2nv\x/2)
0 Дх (л/Дх)2— (2л v)2
Спектральная плотность имеет
главный максимум при v — 0.
В этом случае
й0 = (2/л) Uokx О,635(/оДх.
Относительная спектральная
плотность
~ = & =____cos (луМ
• ' ' £/0 1 — (2л уДх/л)2 *
А/М
~х Дх _ Ах 0 Лл Дх х
~ 2 4 . 4 2
Дх
Рис. 1278. в Косинусный импульс
или, если обозначить z = л Axv.^to
Т (z) — 1 _ (2?;л)2 *
Спектральная плотность равна нулю при г = (2л 4-1) л/2
или при v = (2п 4- 1) [1/(2 Дх)1, для любых целых значений л, за
исключением п = 0, так как в этом случае z = л/2 и выражение
для у (г) дает неопределенность типа 0/0.
Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, найдем
у (л/2) = [л2 sin z/(8z)]z^j2 = л/4 «=? 0,785;
следовательно, для v = 1/(2 Дх)
U (v) Uoy (л/2) = 0,5t/uAx.
Найдем боковые максимумы спектральной плотности. Вычис-
лив и приравняв нулю производную —получим трансцендент-
ное уравнение
. _ 8_________г
л2 1 — (2г/л)2
351
Графическое решение этого уравнения дает следующие координаты
боковых максимумов спектральной плотности: — 1,89 л; ±2,93л,
а далее значения все более и более приближаются к пл, где п —
целое число.
Соответствующие величины относительной спектральной плот-
ности в боковых максимумах равны: у (1,89л) = —0,071;
у (2,93л) = +0,029; у (4л) = —0,016; у (5л) = +0,01 и т. д.
Рис. 279. Комплексный спектр косинусного импульса
График функции у (v) представлен на рис. 279.
Форма косинус-квадратного импульса определяется выраже-
нием (рис. 280)
1/(х) = цco+w при 1х| * Дх/2;
0 при | х | > Дх/2.
Спектр этого импульса
4-00 4-Дх/2
U (v) = j U (х)e~/2ltVA: dx = j cos2-^- ьХ[2'^j2ny>xdx.
— oo —Дх/2
Так как рассматриваемая функция — четная, найдем
4-Дх/2
U (v) == Uо I cos2 -к- ~.xo cos 2лгх dx.
' ' J 2 Дх/2
—Дх/2
Имея в виду, что
cos2ax cos bx — 0,5 cos ax [cos (a — b) x + cos (a + b) x];
f cos ax cos ex dx = У"?* + s‘n,(a + ?*,
J 2 (a — c) 1 2 (a + c)
352
получим
у ( ч С/0Да- sa (лл’Дх)
U (V) — - g ! _ (vAx)2 •
Главный максимум спектральной плотности имеет место при v = 0.
В этом случае
Uo = /70Дх/2 = O,5Uobx.
Относительная спектральная плотность
у (у) = и (у)/йо = sa (лл>Дх)/[1 — (vAx)]2,
или, если обозначить z = jiv Дх, то
у (z) = sa z/[l — (z/л)]2,
где sa z = sinz/z.
Спектральная плотность обращается в нуль при г = пл, или
при v = п (1/Дх), для любых целых значений п, кроме п = 0 и
п — 1, где имеет место неопределенность типа 0/0.
Рис. 280. Косинус-квадратный Рис. 281. Комплексный спектр косинус-квад-
импульс ратного импульса
Раскрывая неопределенность, найдем
у (0) = 1; у*(л) = 0,5.
Боковые максимумы спектральной плотности соответствуют
значениям г (или частотам v), определяемым из соотношения
<Эу (z) п (______s*n г \ __ п
0, или qz у z^i — (г/л)2] ) ’
что дает трансцендентное уравнение
. z
1 + 2/(1 — л/z)2*
12 М. М. Мирошников
353
Графическое решение этого уравнения дает следующее значе-
ние координаты первого бокового максимума: zmax = ±=2,36л, или
vmax = ±2,36/Дх. Относительная спектральная плотность в пер-
вом боковом максимуме равна
у (2,36л) = —0,054.
График функции у (v) ’для коси-
нус-квадратного импульса приведен
на рис. 281. Зависимости коэффи-
циента 11 = wjw^ для косинусного
(/) и косинус-квадратного (2) импуль-
сов представлены на рис. 282. Зна-
чения коэффициента т] = wv/w0 для
косинусного (тц) и косинус-квадрат-
ного (Tjn) импульсов даны в табл. 16.
Рис. 282. Зависимости коэффи-
циента 11 = —— от произведе-
но
ния %’Дх, характеризующие
энергию косинусного (У) и ко-
синус-квадратного (2) импуль-
сов в полосе частот от 0 до v
5.6. Гармонические колебания
Как известно, простое гармониче-
ское колебание, т. е. функцию
U (х) — U о cos 2^vxx,
можно представить в виде суммы двух комплексных чисел (век-
торов):
gjZiWix । —g— e i2nv>x
Спектр амплитуд такого колебания является дискретным и
представляется графически вертикальным отрезком (линией) дли-
ной Uo, расположенным в точке vlt а при использовании «отрица-
тельных» частот — двумя линиями (70/2 в точках rfcvj. Спектраль-
ная плотность амплитуд гармонического колебания в этих точках
равна бесконечности, а при всех остальных значениях частоты она
равна нулю.
Этот результат нельзя получить непосредственно с помощью
прямого преобразования Фурье, так как гармоническая функция,
существующая беспредельно, не обладает свойством абсолютной
интегрируемости.
Однако спектральную плотность гармонического колебания
можно вычислить, воспользовавшись свойствами дельта-функции
Дирака. Действительно, спектральная плотность
—ОО 4-00
(v) == j U (х) e-i2mx dx =J e-/23I<v-v‘>xdx +
—оо —оо
+ оо
+ j e-/2,t<v+v‘)^ dx,
354
но в соответствии с определением дельта-функции найдем
+°°
6(v — j e-/2«(v-v,)* dx-,
—-oo
—oo
6(v + vJ = 6[v- (— v,)] = J e-72jl<v+v«^dx.
Следовательно
L7 (v) = O,5C/o6 (v — Vi) + O,5t/o6 (v + vj =
= O,5(7o6 (v — Vi) + O,5t/o6 (v — [—vj).
Если использовать только положительные частоты, то
U (v) = По6 (v — Vi).
Таким образом, спектральная плотность простого гармониче-
ского колебания частоты Vj выражается через дельта-функцию.
5.7. Сложный периодический процесс
Практически любой сложный периодический процесс можно
представить в виде суммы гармонических колебаний:
*=-)-<»
= 4е'Л2ят4
2 * = —ОО
*2
• 2 f
где А1{ = — \ U (х) e~ik2nViX dx; х1г х2 — пределы, в которых за-
X,
дана функция U (х); X = 2л/р1=1/т1 — длина волны колебания,
имеющего пространственную частоту vv
Спектральная плотность функции Akeik2nViX, представля-
ющей собой гармоническое колебание, равна
-|-оо —[—оо
j Л/е//г2л¥*А'е~/2яш'€/л' — Al{ I e-/25T<v-ftv«>x dx = Д,б (v — А^).
ОО ---00
Значит, спектральная плотность сложного периодического про-
цесса определится следующим образом:
*=-|-00
#(v) = ^- A^fy-kvJ.
z /г=—oo
При ±=/г имеем пару членов этой суммы
0,5ЛЛ,6 (v - | k | V.) + 0,546 (v + \k | vA,
а при k — 0 — один член
0,5Лс6 (у) = О,5«о6 (v).
12*
355
§ 6. СВЯЗЬ МЕЖДУ СПЕКТРОМ
ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСОВ
И СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ ОДИНОЧНОГО ИМПУЛЬСА
ТОЙ ЖЕ ФОРМЫ
Амплитудный спектр периодической последовательности им-
пульсов U (х) можно представить в виде
*2
Л = 4" J u(x)^~jk'2nVlX dx.
В то же время спектральная плотность амплитуд одиночного им-
пульса той же формы U (х) равна
Хг
U(v)= J (7(x)e-/2^dx.
Xi
Следовательно, при kxy = v комплексная амплитуда /г-й гармо-
ники дискретного спектра
Ak = (2Д) 0 (у), или Ak = | | = (2Д) | U (v) |.
В качестве примера найдем спектр периодической последова-
тельности прямоугольных импульсов с длительностью Ах и ампли-
тудой Uo, повторяющихся с периодом X = 1/vj. Спектральная
плотность амплитуд одиночного прямоугольного импульса (см. § 5
этой главы)
U (у) — И0 Ах sa (jiv Ах).
Комплексная амплитуда /г-й гармоники дискретного спектра
Ak = U (у) = 2(7О S9 (Ji^ViAx).
Если процесс развивается во времени, то при длительности им-
пульса т, периоде Т и частоте
Ak = 2U0 4 sa (л^т)»
что совпадает с результатом, полученным прямым расчетом в § 2
этой главы.
Найдем также спектр периодической последовательности им-
пульсов косинусной формы (рис. 283), определяемой уравнением
[7 (<р) = | cos <р |.
Поскольку спектральная плотность косинусного импульса
с длительностью Ах и амплитудой Uo известна:
Г] м __ oz j л cos (2луДх/2)
0 Дх (л/Дх)а — (2лу)2 ’
356
то при UG
= 1, Дх = л, v = 1/л можно найти
#(ф) =
2 cos kn
1 — 4/г2
2 (— l)ft
1 —4й2 ’
где k = 0, 1, 2, ...
| Следовательно, комплексная амплитуда /г-й гармоники дискрет-
ного спектра, равная
Л = (2А)#(<р),
Рис. 283. Периодическая последовательность импульсов ко-
синусной формы (---) и ее первая гармоника (-)
при X — л определяется выражением
. 4 (— 1 )ft „
п 1 — 4й2 zk'
т. е. является действительной величиной.
Спектральное разложение исходной функции U (<р) можно
представить в виде
оо
и (ч>)=-ф- -I- S 4cos
k =1
т. е.
оо
и w=-~ + S 4 -г-^~cos w =
fc=I
= ~ ( 1 -I—1~ cos2(P “ cos 4(Р + СОБбф — • • •).
Первая гармоника (k — 1)
(<р) = (4/Зл) cos 2tp
показана на рис. 283.
§ 7. СПЕКТРЫ МОДУЛИРОВАННЫХ КОЛЕБАНИЙ
7.1. Вводные замечания
В простейшем случае процесс модуляции заключается в изме-
нении одного из параметров гармонического колебания — ампли-
туды, частоты или фазы.
357
Пусть
U (Z) = А 0 cos (соо/ — ф0)-
В немодулированном колебании все три параметра Ло, соо и ф0
постоянны.
При модуляции они изменяются, что можно выразить путем
умножения соответствующего параметра на величину
1 + mF (Z),
где F (Z) — модулирующая функция', т — глубина модуляции,
причем обычно |F (Z) | < 1; 0 < т 1.
В зависимости от того, какой параметр изменяется в процессе
модуляции, различают амплитудную модуляцию (ЛЛ4), частотную
модуляцию (ЧМ) и фазовую модуляцию (ФМ). Если исходное перио-
дическое колебание не является гармоническим, то процесс изме-
нения основных параметров составляющих его импульсов (ампли-
туды, длительности, частоты повторения, фазы и т. д.) называют
импульсной модуляцией.
Некоторые вопросы гармонической модуляции уже были рас-
смотрены в § 2 гл. 8. Однако при разработке оптико-электронного
прибора спектральный анализ приходится осуществлять не только
применительно к потоку излучения, модулированному растром,
но и к электрическим сигналам, подвергающимся модуляции в про-
цессе их преобразования в электронном тракте, поэтому далее
спектры модулированных колебаний будут рассмотрены в более
общем виде.
7.2. Спектр амплитудно-модулированного колебания
При амплитудной модуляции и ф0 = 0 модулированное коле-
бание имеет вид
U (t) = А о [1 4- mF (Z)l cos (£>ot.
Если модуляция осуществляется гармоническим сигналом (гар-
моническая модуляция), то
F (t) — cos QZ.
Следовательно,
U (t) = Ао (1 + т cos QZ) cos wot =
= A 0 (cos (D0Z 4- m cos <j)0Z cos QZ) =
= Ло [cos w0Z 0,5m cos (coo — Q) Z + 0,5m cos (coo 4 Q) Zl.
Первое слагаемое в правой части представляет собой исходное
немодулированное колебание. Его частота соо носит название несу-
щей частоты. Второе и третье слагаемые соответствуют новым
гармоническим колебаниям, появляющимся вследствие модуляции.
Частоты этих колебаний <о0 4- Q и соо — Q называются боковыми
частотами (верхней и нижней) или спутниками.
358
Таким образом, амплитуд но модулированное колебание имеет
дискретный спектр, состоящий из трех спектральных линий
(рис. 284). Ширина спектра амплитудно-модулированного колеба-
ния равна удвоенной частоте модуляции 2Й.
В случае модуляции сложным периодическим сигналом
Е(/) = У cos&QZ;
/?=1
(ОО 1
1 + т У cos kbitI cos coof =
fe=i /
= At
CO
COS OJo/ T -y- 2j A COS (coo — &Q) t
b— T
oo
+ "TZ^1 ACOS((00+W
т. e. амплитудно-модулированное колебание состоит из колебания
несущей частоты и двух групп колебаний, называемых боковыми
полосами.
Рис. 285. Спектр амплитудно-модули-
рованного колебания при модуляции
сложным периодическим сигналом
Рис. 284. Спектр амплитудно-
модулированного колебания
при синусоидальной модуляции
Спектр модулированного колебания изображен на рис. 285.
Правая боковая полоса этого спектра воспроизводит спектр моду-
лирующей функции, а левая представляет собой зеркальное отра-
жение правой. В процессе модуляции происходит перенос спектра
модулирующей функции — смещение его на величину соо по шкале
частот.
7.3. Спектр частотно-модулированного колебания
При частотной модуляции частота исходною гармонического
колебания изменяется по закону
со = соо [1 4~ mF (/)].
Если модулирующая функция представляет собой гармониче-
ский сигнал, например F (I) = cos Q/, а глубина модуляции
аг = Д<о/со0, то
со = соо + A со cos Ш,
359
где А со — амплитуда частотного отклонения, называемая девиа-
цией частоты или просто девиацией.
Пусть исходное колебание имеет вид
U (t) — А 0 cos (со/ — ф0) = А о cos Ф’>
dtp
при этом очевидно, что = со, т. е.
t t
ср = j со dt = j (со0 -j- Лео cos Q/) dt — со0/ 4—sin £lt.
о 0
Последнее равенство определяет изменение полной фазы исходного
колебания за время от 0 до /, в течение которого происходит изме-
нение частоты. Имея это в виду, найдем
(t \
jcod/ j = A0cos (соо/ 4--^-sinQ/) =
о /
= Ао [cos coof cos (P sin Q/) — sin cooZ sin ([3 sin Qf)],
где p = Aco/Q — индекс модуляции.
В частном случае, когда индекс модуляции имеет малую вели-
чину, т. е. р < 1; cos (р sin QZ) 1; sin (Р sin Q/) р sin QZ,
можно найти
U (t) А 0 (cos соо/ — р sin QZ sin соof) =
= А о [cos со0/ — 0,5р cos (со0 — Q) t + 0,5р cos (со0 4- Q)/].
Если сравним полученное выражение с выражением для ампли-
тудно-модулированного сигнала
U (t)—A0 [cos со0/ 4- 0,5m cos (со0 — Q) t + 0,5m cos (coo 4- Q) /],
то увидим, что спектр колебания, модулированного по частоте,
при малом индексе модуляции состоит, как и спектр амплитудно-
модулированного колебания, из несущей частоты соо и двух боко-
вых частот — верхней соо 4- и нижней соо — Q. Единственное
отличие заключается в сдвиге фазы колебания нижней боковой
частоты на 180° (знак минус) относительно фазы при амплитудной
модуляции. При этом индекс частотной модуляции р совпадает
с глубиной амплитудной модуляции т. Ширина спектра частотно-
модулированного колебания в этом случае равна 2Q (рис. 286).
В общем случае, т. е. при произвольном индексе модуляции,
можно вычислить спектр модулированного сигнала, используя
формулы из теории бесселевых функций:
cos (Р sin QZ) = Jo (р) 4 2 У J2n (Р) cos 2/0;
п=1
sin (Р sin QZ) = 2 У J2n+1 (Р) sin (2п 4“ 0
п~0
360
Имея это в виду, найдем
U (t)lAQ = Jo (Р) cos со0£ — Ji (Р) [cos (% — fi) t — cos (“о + й) Л 4-
+ J2 (Р) [cos (со0 — 2Й) t "И cos (соо 4- 2Й) I] —
— J3 (р) [cos (ю0 — 3Q) t — cos (о)0 + 3Q) /] 4~
+ J4 (Р) [cos (соо — 4Й) I 4- cos (соо 4- 4Й) t] — • • • =
= Jo (Р) COS (00/+ 2 (— l)feA(P)[cos(a)0 — kQ)t-\-
k=l
+ (— l)fe COS (O)o 4- П-
Таким образом, результирующее колебание имеет дискретный
спектр, причем в отличие от амплитудной модуляции этот спектр
занимает бесконечно боль-
шую полосу частот.
Частота каждой гар-
моники отличается от не-
сущей на ±kQ. Амплитуда
Л-й гармоники A k = J^(Р) X
X А о, где р—индекс частот-
ной модуляции. Амплиту-
да колебания несущей ча-
стоты равна J 0 (Р) А 0. Сле-
довательно, практическое
ограничение спектра оп-
ределяется законом изме-
нения бесселевой функции
Jk (Р).
а>0 ^0.5
Рис. 287. Вид спектров частотно-модули'
рованного колебания при различных ин-
дексах модуляции
Рис. 286. Амплитудный спектр
частотно-модулированного коле-
бания при малом индексе моду-
ляции
В табл. 3 были приведены значения J п (Р) для р < 10 и п с 11.
Так как в рассматриваемом случае n—k, то из таблицы следует
что при р < 0,5 ширина спектра практически равна 2Q. При
0,5 < р < 1 приобретает некоторое значение вторая пара боко-
вых частот, так как их относительная амплитуда равна 0,11.
361
Следовательно, в этом случае ширина спектра должна быть
принята равной 4Й.
При 1 < р < 2 ширина спектра достигает (6-^-8) Й. Далее она
приближается к значению 2рй. Это означает, что наибольшее зна-
чение k, с которым приходится считаться, приближается к индексу
модуляции, когда k = р. Так как р = Асо/Й, то при Р > 2 ши-
рина спектра 2рЙ = 2 (Асо/Й) Й = 2Асо.
Вид некоторых спектров приведен на рис. 287. Важно обратить
внимание на то, что при частотной модуляции, когда частота ис-
ходного колебания непрерывно изменяется в пределах заданного
интервала соо ± А со, спектр получается не сплошным, а дискрет-
ным, причем только при очень больших значениях Асо (Р > 2)
ширина его равна 2Асо. При узком интервале полосы качения
частоты (2Асо) ширина спектра модулированного колебания не
зависит от величины интервала, а определится, как и при AM,
шириной спектра модулирующей функции 2Й. Это не позволяет
сократить полосу рабочих частот за счет использования частотной
модуляции.
Конкретное приложение теории частотной модуляции было из-
ложено в § 2 гл. 8-
7.4. Спектр колебания при фазовой модуляции
Пусть имеем исходное гармоническое колебание
U (/) = A0cos (о)()/ — ф„).
Заменим в нем величиной
Ф = Фо п + mF (/) I = ф0 4- АфА (0.
где т — Аф/ф0.
Тогда получим
U (/) = Ао cos [со0/ - ф0 — АфА (/)].
В аналогичном случае при частотной модуляции, когда
о) = соо -|- AcoF (/),
имели
U (/) = А о cos (со/ — Фо) — А о cos (ф — Фо),
где
с/Ф
(0 = —77-
at
j со dt = соо/ ф- Асо j F (/) dt.
о о
Следовательно,
U (/) == Ао cos
t
— Фо "h A(JJ j F (/) dt
о
362
nt)
Рис. 288. Форма ДМ, ЧМ и ФМ си-
гналов при импульсной модуляции
Различие между выражениями для фазовой и частотной моду-
ляции заключается лишь в том, что при фазовой модуляции в аргу-
мент входит модулирующая функция F (/), а при частотной моду-
ляции — ее интеграл.
Если /•' (/) — cos Ш, то для фа-
зовой модуляции имеем
U (I) = А 0 cos (со0/ — ф0 —
— Дф cos Q/),
а для частотной модуляции най-
дем
U (t) = Ао cos (соо/ — фо +
' Дсо/QsinQ/),
т. е. полученные выражения прак-
тически совпадают.
Следовательно, при гармони-
ческих частотной и фазовой моду-
ляциях различия в форме модули-
рованных колебаний нет. Эти раз-
личия обнаруживаются при более
сложных законах модуляции, что ясно видно на рис. 288, где по-
казана форма AM, ЧМ и ФМ сигналов при импульсной модуляции.
§ 8. ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННЫМ СПЕКТРОМ.
ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА О ДИСКРЕТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ
При передаче реальных сигналов их спектр всегда ограничен
конечным значением полосы пропускания тракта.
Непрерывные сигналы, имеющие ограниченный спектр, вполне
определяются конечным числом значений на протяжении конеч-
ного интервала. Это находит отражение в теореме, носящей имя
акад. В. А. Котельникова *: если функция U (х) не содержит
частот, больших чем vm, то она полностью определяется путем
задания ее ординат в последовательных точках, отстоящих друг
от друга на расстоянии ll(2v„y
Приведем доказательство этой теоремы.
В общем случае
+°°
U (х) = j U (v) e/2jiv* dv,
* В теореме имеются в виду функция времени U (/) и частота fm, но мы
используем ее для пространственных функций, спектр которых ограничен часто-
той vm.
363
где
4-со
U (v) = j U (х) e.—j‘2nvx dx
— оо
Так как для функции U (%) с ограниченным спектром при
>т U (v) = О, т0
U (%) == J U (у) ei2nvx fa
~~vm
Поскольку пределы интегрирования ограничивают последующее
рассмотрение интервалом частот от — vm до 4-v„„ нам безразлично,
как ведет себя функция U (v) за пределами этого интервала. По-
этому предположим,
что она периодически
повторяется с периодом
2vm (рис. 289). Тогда эту
периодическую функ-
цию можно представить
рядом Фурье
Рис. 289. Периодическое повторение заданной
функции (к доказательству теоремы Котельни-
кова)
L/(v) =
k~—оо
где
= j #(v)e '^т) dv.
Так как при х = —k/(2vm)
/ k \ с ~ ~i2nv^r~
U (----2^) = J U ”',v’
то
Я _ J] I __ к
k (2vw) U V 2vm
Следовательно,
+ VWl /fe=+°° V \
U (x) — j Лке 2Vm j e/2nvx dv,
-Vtn \fe=-oo /
364
изменяя порядок интегрирования и суммирования, найдем
fe=+°° v,?i
У(х) = 4- Е [ e'^r+W'Wldv.
Л=—0° -*,71
+vm
J e/2«v[x+ft/(2vm)] dv _
Входящий в полученное выражение интеграл
e/2nvm[z+fe/(2vm)J __ e-/2nvm[x+fe/(2v/n)]
/2л [х 4- A?/ (2vm)]
Умножая и деля значение интеграла на 2vm, получим
j е/2 nv[x-|-/f/(2vm)] dv = 2Vm sa [ 2nv^ ( x ] j _
~v,n
Тогда
k=-\~CO
U(X)= 4vmsa[2jrvm (x + -2^-)] =
k—----------<»
fe=-|-oo
= S 4~^M2iiMa' +^r)]-
k =—oo
Обозначим
Ax = l/(2vm)
и, обратив внимание на тот факт, что k принимает все значения от
— оо до -| оо, т. е. знаки при k можно поменять местами, найдем
/г=+°°
U (х) — У U (k\x) sa [2лv„, (х—kАх)].
k~---СО
,М(Х)
Полученное выражение позволяет
представить заданную непрерывную
функцию U (х) дискретными значе-
ниями. отстоящими друг от друга на
расстоянии Дх = l/(2vm) (рис. 29U).
Эти значения функции иногда назы-
вают выборками сигнала.
Если протяженность сигнала ко-
нечна (X), а полоса частот по-преж-
нему ограничена vm, то эти условия
оказываются несовместимыми, поскольку функция конечной про-
тяженности обладает бесконечно широким спектром. Однако всег-
да можно определить наивысшую частоту спектра v,rt, за пределами
которой содержится пренебрежимо малая энергия сигнала.
365
Число выборок N в этом случае
N = Xlkx + 1,
поскольку одна «лишняя» выборка нужна на границах сигнала.
Так как обычно XI Хх 1> то
N = XI кх = 2v;nX.
§ 9. СПЕКТРЫ ДВУМЕРНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ
9.1. Основные соотношения
Пусть двумерная вещественная функция U (х, у) удовлетво-
ряет следующим условиям.
1. Функция U (х, у) абсолютно интегрируема по бесконечной
плоскости XY, т. е. существует интеграл
~]-ОО
j j U (х, у) dx dy — N < oo.
— co
2. Функция U (%, у) непрерывна или имеет конечное число раз-
рывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов
в пределах любого прямоугольника конечных размеров.
3. Функция U (х, у) не имеет разрывов второго рода *.
В этом случае может быть осуществлено преобразование Фурье
функции U (х, у)
U (v, р) = j j U (х, у) e~i'2n(-vx 1 н4) dx dy,
— со
т. е. найдена функция U (v, р) двух независимых переменных тир,
которые называются пространственными частотами.
Соответствующие им круговые пространственные частоты равны:
р = 2лу; q --- 2лр.
Точно так же справедливо и обратное преобразование
4-00
U (х, у) = j j U (v, р) е/2л(г'Л’+^) dvdji.
— со
Функция U (v, р) является комплексной функцией простран-
ственных частот и представляет собой спектральную плотность
* Условия 2 и 3 называются условиями Дирихле. Разрыв первого рода
(обыкновенный разрыв, конечный разрыв или скачок) означает, что при пере-
ходе х через значение а функция U (х) «перескакивает» от одного конечного зна-
чения к другому. Само значение U (х) при х = а может быть не задано, оно мо-
жет совпадать со значением функции слева U (а — 0) или справа U (а + 0) от
точки разрыва. Иначе говоря, при разрыве первого рода существует конечный
предел U (а + 0), хотя он и не равен значению функции U (а) в точке а. Если
предел бесконечен или его вовсе пет, говорят о разрыве второго рода.
366
функции U (х, у). Совокупность модулей U (v, р) называется про-
странственно-частотным спектром функции U (х, у).
Если двумерная функция в плоскости ХУ задана в полярных
координатах р, ср, причем
Р = ]гх24-г/2; ср = arctg (у/х);
х = р cos ср; у = р sin ср,
то для вычисления соответствующего спектра необходимо перейти
к полярным координатам также и в плоскости пространственных
частот v, р, т. е. ввести вектор пространственной частоты х и его
фазовый угол 0 так, что
| х | = х = ]/ v2 ф- р2; 6 — arctg (p/v);
v — х cos 0; р — х sin 0.
Тогда, имея в виду соотношение, связывающее элементарные пло-
щадки в прямоугольных и полярных координатах,
dx dy = р dp dtp,
легко осуществить переход от спектра функции U (х, у) в прямо-
угольных координатах
U (у, р) | [ U(x, r/)e-/2ir<vx+^^ dxdy
— оо
к спектру функции U (р, q>) в полярных координатах
2п г®
и (и, 0) = J dtp J U(p, <р)е-/2яиРСО8<<р-°)р£/р.
о о
Если речь идет о функции трех переменных U (х, у, /), то
можно получить пару трехмерных преобразований Фурье *:
+ °°
U (х, у, /) == J J J U (v, р, f) e/2,r<vx+Mf/+^) dvdpdf',
— оо
+ °0
U (у, р, /) = J J J U (х, у, /) e““/2jl(vx+'Jf/+^) dx dy dt.
— oo
Формально все полученные результаты, касающиеся свойств
спектров (преобразований Фурье) одномерных функций, обоб-
щаются на случай двумерных и многомерных функций, т. е. для
* Когда для двойного или тройного интеграла указывается только один
предел интегрирования, то этот предел относится к интегрированию по обеим
переменным.
367
этих функций справедливы теоремы о спектре суммы, теорема сме-
щения, теорема Парсеваля, теорема свертки и т. д.
Однако на некоторых специфических свойствах многомерных
спектров следует остановиться более подробно.
9.2. Двумерная дельта-функция Дирака
Определение дельта-функции в двумерном пространстве пред-
ставляет собой обобщение определения одномерной дельта-функ-
ции, хотя в двумерном пространстве существует большая свобода
выбора первоначальной формы импульса, из которого в пределе
образуется дельта-функция.
Как бы ни определялась двумерная дельта-функция Дирака,
она имеет следующие основные свойства:
| оо при х = у = 0;
(*» У) | Q прИ х Q и у Q;
4-е
j j 6 (х, у) dxdy = 1 при е > 0;
—е
Ь(ах, by) = -^-b(x, у)-,
4-00
J J и (L П) 6 (-V — L У — n) = и (х, у).
— оо
Последнее свойство, связанное с тем, что двумерная дельта-функ-
ция 6 (х — у — т]) равна нулю всюду, кроме точек х = 1 и
у = т], называют фильтрующим (стробирующим) свойством дельта-
функции.
Дельта-функцию можно определить также и в пространстве
с более высоким числом измерений, при этом ее свойства совер-
шенно схожи со свойствами ее аналогов в пространстве меньшего
числа измерений.
9.3. Редукция преобразования Фурье
к меньшему числу переменных
Пользуясь свойствами дельта-функции, можно осуществлять
редукцию преобразования Фурье к меньшему числу переменных.
Предположим, например, что функция U (х, у, t) не зависит
от t, но записана в трехмерной форме. Тогда
4- 00
(v* И» f) = J J J yj Q—j^vx+na-i-ft) dxdy dt =
— oo
-|-oo -|-oo
= j j U(x, dxdy j e~j2jlfidt.
368
Последний интеграл представляет собой дельта-функцию
4-00
60 = j
— со
т. е.
# (v. И J) = (v, М) 6 (/)
Следовательно, исходная функция
+ °°
U (%, у, i) — J j j U (v, р, dvdydf —
— oo
-|- ео
— J J J U (v, p) 6 (/) e/2ltcvx+ni/-l-fo dv dp, df = U (x, y).
— oo
9.4. Спектр сечения двумерной функции
Пусть имеется вещественная функция двух переменных U (х, у).
Совершим над нею преобразование Фурье по координате х:
U (у, у) = j U (х, у) е~ i2nvx dx.
— oo
Знак Д над одним из аргументов указывает, что преобразование
Фурье по этому аргументу еще не проведено. Таким образом, мы
получили спектр значений функции U (х, у) при заданном у, или
как бы спектр сечения функции U (х, у) для данного у.
Если далее найти преобразование Фурье функции U (у, у), рас-
сматривая ее как функцию аргумента у, то найдем
4-00
U (у, р) = J U (у, у)ег~12п^у dy,
— оо
или
4-00
U (v, р) = J J U (х, у) е—/2^(vx4-u^) dxdy,
— оо
а это уже двумерный спектр функции в целом и разбить его на
отдельные сечения в общем случае нельзя.
9.5. Двумерные спектры функций
с разделяющимися переменными.
Преобразование Фурье—Бесселя,
или преобразование Ганкеля нулевого порядка
Функция двух независимых переменных называется функцией
с разделяющимися переменными в определенной системе коорди-
нат, если ее можно записать в виде произведения двух функций,
369
каждая из которых зависит только от одной независимой перемен-
ной. Иными словами, V (х, у) есть функция с разделяющимися
переменными в декартовых прямоугольных координатах, если
U (х, у) = U (я) U (у).
В цилиндрических координатах V (р, <р) также является функ-
цией с разделяющимися переменными, если
(Р, ф) = U (Р) и (ф)-
Функции с разделяющимися переменными часто удобнее для
использования, чем более общие функции, так как их свойства поз-
Рис. 291. Спектр функции с разделяющимися переменными
в прямоугольной системе координат: а — функция; б — ее
спектр
воляют свести сложные двумерные действия к более простым одно-
мерным. Например, двумерный спектр функции с разделяющи-
мися переменными в прямоугольной системе координат можно
представить в виде произведения одномерных спектров.
Действительно, если U (х, у) = U (я) V (у), то
-| оо
О (у, р) = J j U (х, у) dx dy =
---OQ
-poo —|—oo
— j U (%) e~/2jrvx dx j U (y) e~i2niiy dy = 0 (v) U (p).
— oo —oo
Вычислим для примера спектр функции U (я, у), которая равна
U 0 — const на интервалах по оси я от —Z/2 до 1/2 и но оси у от — т!2
до -|-т/2, а за пределами этих интервалов равна нулю (рис. 291).
370
Очевидно, что
ОО
О (у, р) = J J U (х, у) e~i'2n ^x+v-yidx dy —
— оо
+Z/2 у in/2
= Uq I e—i2nvxdx [ e~zWzz dy — £70sa 2л v ~
—1/2 —m/2 '
sa ( 2л p ~ ,
где t/0 = Unml.
При разделении переменных в цилиндрической системе коорди-
нат вычисление спектра осуществить сложнее, однако и в этом слу-
чае обычно двумерные операции можно свести к ряду одномерных.
Наиболее просто это делается для функций, обладающих осевой
симметрией. Значения такой функции определяются только ра-
диус-вектором, т. е.
U (Р, <Р) = U (Р)-
Следовательно, можно найти
2л оо
U (х, 0) = J dtp j U (р, ср) е“/2ях^СО5 (ф—e>pdp =
о о
= 2л j 17 (р) pdp
о
2л
—L | е—/2лхр cos (<р-0) f/(p
л 0
Внутренний интеграл представляет собой функцию Бесселя
нулевого порядка
2л
Jo (2лхр) = -27 J е-/2лх<’cos <»—чр) .
о
Таким образом, искомый спектр становится функцией только про-
странственной частоты х, не зависящей от фазового угла 9:
оо
U (х) = 2л [ U (р) JQ (2лхр) р dp.
о
Этот особый вид двумерного преобразования Фурье для функ-
ций, обладающих осевой симметрией, встречается достаточно часто
и носит специальное название преобразования Фурье—Бесселя или
преобразования Г анке ля нулевого порядка.
Аналогичным образом можно найти обратное преобразование,
если функция 0 (х) обладает осевой симметрией:
оо
U (р) = 2л J U (х) 70 (2лхр) х dx.
о
371
Вычислим для примера спектр функции V (р, ср), которая равна
Uо = const внутри круга радиусом р0, а за пределами этого круга
равна нулю (рис. 292).
Очевидно, что в этом случае
Ро
U (х) == 2л(70 J Jo (2лхр) р dp.
о
Используем формулу приведения бесселевых функций
которую можно представить в виде
dJk (z) j kJk (z)
dz ' z
или
При k = 1 найдем
=
"v ' dz
Обозначив z — 2лхр, получим
Po zo
2nt70 j Jo (2лхр) p dp = 2jt°a~ j Jq (2) z dz =
о 0
Zo
= [ d [A (z) Z] = •
2лх2 J i i \ / j 2nx“
0
372
Следовательно,
О (х) = 2л770 j JQ (2лхр) р dp = t/0np2
о
где гс = 2лхр0.
§ 10. ПРОСТРАНСТВЕННО-ЧАСТОТНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ (ПЧХ) ОБЬЕКТОВ НАБЛЮДЕНИЯ
10.1. Основные соотношения
Пусть имеется излучающий объект, характеризующийся рас-
пределением яркости В (х, у). Переменные х и у могут представ-
лять собой координаты некоторой точки в системе координат, свя-
занной с объектом (X, У), однако бо-
лее удобно задавать распределение
яркости по координатами и у в пло-
скости изображения, создаваемого
оптической системой (сопряженной
плоскости). При большом расстоянии
до объекта плоскость изображения
совпадает с задней Фокальной плоско-
стью оптической системы (рис. 293),
так что имеют место следующие со-
отношения:
x = f'\ tga' а ; tgP'M'P'.
где f' — заднее фокусное расстояние
оптической системы.
В воздухе а' =а; = р. В среде
с показателем преломления п (иммер-
сионный объектив) а' — а/п\ |У = |3/н.
Следовательно, в общем случае
Рис. 293. Схема наблюдения
Заметим также, что яркость выражена в эффективных вели-
чинах, т. с.
В (х, у) = ЪВ3 (х, у),
где
ОО I оо
£ = j ([’ (X) k (X) та (X) т0 (X) dX / J ср (X) dX;
о I о
оо
Вэ (%, у) = [ Вэъ (х, у) dX;
о
373
ip (X), k (X) — относительные спектральные характеристики излу-
чения источника и чувствительности приемника; хи (X), т0 (X) —
спектральные коэффициенты пропускания атмосферы и оптической
системы, Вд (х, у) — спектральная плотность энергетической яр-
кости объекта в точке с координатами х, у.
Двумерный спектр функции В (х, у) равен
-рСО
В (v, р) = j J В (х, у) е~/2я (yx+w) dxdy.
------------00
Спектр В (у, р) является комплексной функцией пространствен-
ных частот. Совокупность модулей этой функции называется про-
странственно-частотной характеристикой (ПЧХ) излучения объ-
екта наблюдения. Двумерный спектр измеряется в Вт-см“2-ср-1 X
X см2 = Вт-ср-1.
Рассмотренные в § 9 этой главы свойства двумерных спектров
позволяют легко получить выражения для спектров некоторых
моделей малоразмерных источников излучения (имеются в виду
объекты, детали которых не разрешаются оптической системой
прибора).
10.2. ПЧХ точечного источника
Математической моделью точечного источника излучения яв-
ляется двумерная дельта-функция Дирака, т. е.
В (х, у) = /6 (х — х0, у —
где / — сила света источника в данном направлении, измеряемая
в эффективных величинах Вт-ср-1; б (х — х0, У — */(1) — функция
Дирака в точке (х — х0, у — у{)), измеряемая в см-2.
Действительно, пусть, например, двумерная дельта-функция
является пределом произведения двух колоколообразных импуль-
сов, имеющих протяженность А —> 0, т. е.
6 (х, у) = lim
Д->0
Так как l/о = 1/(2л А2), то двумерная дельта-функция измеряется
в см-2, если А выражена в см.
Спектр точечного источника (Вт-ср-1)
B(v, р) = /е“/2л(Л'Хо+ц4/о),
а ПЧХ — модуль спектра — является постоянной величиной,
равной /.
374
10.3. ПЧХ объекта прямоугольной формы
Для объекта прямоугольной формы (рис. 291) при t/0 = Вп
в пределах от —Z/2 до 4-Z/2 по оси х и от —гп/2 до -|-т/2 по оси у
найдем двумерный спектр (Вт-ср-1)
и
ПЧХ = | В (v, р) | = Botnl | sa
10.4. ПЧХ круглого объекта равномерной яркости
Для круглого объекта равномерной яркости (рис. 292) при
t/0 — Во внутри круга радиусом р0 найдем спектральную плот-
ность (Вт-ср-1)
В(х) = Волр’^«
И
ПЧХ = |В(к)|-В0пр2^!!1
где z0 = 2лхр0.
10.5. ПЧХ круглого объекта неравномерной яркости
Для круглого объекта с неравномерно распределенной яркостью
вид спектра существенно зависит от закона распределения яркости,
так как в соответствии с преобразованием Ганкеля спектр
со
В (х) = 2 л J В (р) Jo (2лхр) р dp.
о
Если яркость В (р) распределена по гауссоиде, т. е.
В (р) - Вое~р2/(2ро),
то можно найти
оо
В (х) = 2лВ0 j е~р2/(2рйМ0 (2лхр) pdp.
о
Входящий в полученное выражение интеграл сводится к интег-
ралу Вебера
оо
j e~a2xlJn (bx) хп+г dx.
о
375
Для вычисления этого интеграла заменим функцию Бесселя
степенным рядом и проинтегрируем почленно. Тогда получим
О 0 k=0
(—1)/г / b \n+2k
kl Г (/? + «+ 1) \Т/
Ьп уч f— &2/(4a2)]fe
(2а2)п+’ kl
—2.,!_2fe .у [ 6“z/n+fe dt =
- IF a—b2/(4a2)
(2a2)n+1
Для n - 0
j e-a2*V0 (bx) xdx = -~- e-b2/^).
0
Следовательно,
В (x) = 2лВДе~ (2янРо)2/2,
т. е. спектр имеет вид исходной функции, что характерно для гаус-
соиды.
10.6. ПЧХ объекта вытянутой формы
Для объекта вытянутой формы с плавно меняющимся по пло-
щади распределением яркости, описываемым, например, двумер-
ной гауссоидой
В(х,
спектр следует вычислять по общей формуле
4-ео
В (v, р) = j j В (х, у) e~i2n (™+^) dx dy,
т. е.
В (у, р.) = в/]
---------------------00 —оо
Полученное произведение однотипных интегралов можно вы-
числить, пользуясь табличным интегралом
+°° г—
[ e-^2-2te-c ^2=1/ ~ ebi/a-c.
376
Так как
а=1/(2р?) = 1/(2р|);
b = jnv = jjtp; с — О,
то
В (v, р) = 2Волр1р2е-1<2лг’Р1)г + <2яцр2)2]/2,
или в цилиндрической системе координат
В (х, 0) = В0лр2 2 sin 2£е“ (2пкр>^)2 F {е)/4,
где
Р1,2 = Р? + Й £ = arctg (P2/Pi);
F (0) — 2 (cos2 0 cos2 £ ]- sin2 0 sin2 £); 0 = arctg (M/v).
В частном случае, когда рх = р2 = Ро'» Pi,2 = 2рб; £ = 45 ;
F (0) = 1, найдем
В (х) = 2В0лр2е-' (злхро)2/^
что совпадает с полученным выше выражением для осесимметрич-
ной модели.
Глава 13
РЕАКЦИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ И ОПТИЧЕСКОЙ
СИСТЕМ НА ВХОДНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ.
ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ФИЛЬТРА
И ФУНКЦИЯ РАССЕЯНИЯ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В соответствии с определением Гудмена под системой следует
понимать все то, что осуществляет преобразование ряда входных
функций или воздействий в ряд выходных функций или реакций
(откликов).
Реакция системы на входное воздействие может быть описана
некоторыми обобщенными характеристиками, определение кото-
рых не зависит от того, что представляет собой рассматриваемая
система: усилитель электрического сигнала или объектив, воспро-
изводящий изображение удаленных предметов. Однако в каждом
конкретном случае характеристики системы имеют различные, исто-
рически сложившиеся, определения, наименования и обозначения.
Поэтому реакцию электрических и оптических систем на входное
воздействие рассмотрим раздельно и выявим наличие аналогии
между соответствующими представлениями.
377
Вначале введем понятия о наиболее часто встречающемся классе
систем — линейных системах — и подклассе линейных систем —
инвариантных линейных системах.
Система считается линейной, если ее реакция на одновременное
воздействие нескольких сигналов в точности равна сумме реакций,
вызываемых каждым сигналом в отдельности. Основное свойство
линейной системы заключается в том, что ее ракцию на произ-
вольный входной сигнал можно выразить через реакцию на опреде-
ленные элементарные функции, на которые можно разложить вход-
ной сигнал.
Условие инвариантности требует, чтобы реакция линейной
системы не зависела от начала отсчета. При временной инвариант-
ности это означает, что реакция системы в момент времени t на
входное воздействие в виде единичного импульса, действующего
в момент времени £1( зависит только от промежутка времени t — tr.
При пространственной инвариантности (или изопланарности) им-
пульсный отклик системы зависит только от расстояний х — и
У~ У1-
§ 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Пусть на вход линейной инвариантной системы (рис. 294), пред-
ставляющей собой электрический фильтр с коэффициентом пере-
дачи К (/), поступает сигнал — электрическое напряжение wBX (/,),
спектральная плотность которого
—|-оо
Мвх(/) = j Wbx (6) e~i2nftldti.
— оо
Спектральная плотность сигнала па выходе системы может быть
вычислена на основании следующих очевидных соотношений:
Рис. 294. Электрическая система — преобразователь вход-
ного воздействия в реакцию (отклик) на выходе
элементарные комплексные амплитуды входного и выходного
сигналов
2wBX (f) df, duBbiX = 2пвых (/) df,
комплексный коэффициент передачи, представляющий собой
отношение комплексной амплитуды сигнала на выходе к комплекс-
ной амплитуде сигнала на входе,
д' ^ивых ____ цвых (f)
duBX wBX (/)
378
Следовательно,
«вых (/) = «вх (/) К (/)•
Будем трактовать комплексный коэффициент передачи К (/)
как спектральную плотность К (/) некоторой функции времени
К (t), вводимую следующим образом:
-| - оо j I 00
/((f) = «(/) = J К (0 e-W' dl J K(f)dt,
----------------оо I —оо
или, если обозначить
4»
а = j К (/) dt,
— оо
то
—|—оо
К(/) = Х(О = v J KWe-P’d'dt.
— оо
Исходя из такой трактовки комплексного коэффициента пере-
дачи, найдем
«вых (/) = «вх (/) (/)•
Тогда форму сигнала на выходе системы «вых (/), соответствующую
спектру ивых (/), можно найти, пользуясь теоремой о спектре
свертки, из которой следует, что если спектр цвых (/) равен произ-
ведению спектров нвх (f) и К (/), то функция нвых (/) равна свертке
функций ивх (t) и К (О-
Следовательно,
4 оо
«вых (О = «вх (0 0 К (О = J «вх (G) К (t— tj dt± =
— оо
оо
= J «вх (i — ti) к (id dtx,
причем на основании обратного преобразования Фурье
со
«вых (О = J «вых (/) е/’2л// d]\
— оо
Входящее в интеграл свертки значение текущего времени t± соот-
ветствует началу отсчета в системе координат, сдвинутой вдоль оси
так, что t — tr = т (рис. 295).
Физический смысл функций К (0 и К (t — можно легко
понять, предположив, что на вход четырехполюсника в момент
379
времени tr — 0 воздействует единичный импульс, определяемый
выражением
—оо
(ti) =Л6 (6) = Д J
— оо
где 6 (/х) — дельта-функция, с-1; А — площадь входного сигнала,
которая для единичного импульса равна 1 В-с.
Форма сигнала на выходе четырехполюсника при действии на
входе единичного импульса в момент времени О определяется
выражением
-| ОО -J-OO
uLx(/)= f = A j 6((,)/< (/-6)^/1 =
— oo —oo
Ц-оо
= AK(t) f b di^ —AK (t).
Следовательно,
-j- ©о -J- oo
= ~ J №)е“/2""Л = Лг J
— CO —oo
Следовательно, комплексный коэффициент передачи системы
A (/) = К (f) с точностью до постоянного множителя представляет
собой спектр ее реакции на единичный им-
пульс, а введенная выше функция /С(/) =
= (1Л4) Ывых (/), называемая импульсной
характеристикой системы, также с точ-
ностью до постоянного множителя есть
реакция системы на единичный импульс,
действующий на входе в момент времени
tr = 0.
Аналогично этому К (т) есть реакция
системы на единичный импульс, действую-
щий в момент т = 0, а так как т = t— tlt
то К (t — tt) есть реакция системы на
единичный импульс, действующий на входе
в момент времени t = tr. В общем случае
импульсная характеристика неинвариант-
ной системы зависит от абсолютных зна-
чений t и tu т. е. представляет собой функцию К (t, как
это показано на рис. 294.
Определим смысл введенных коэффициентов а, А и единицы
измерения всех величин.
Так как А — площадь входного импульса (В-с), то
+°°
4 со J “вых (0 dt
а = f K(t)dt = =^—A--------
Рис. 295. Преобразование
координат
380
определяет, какую долю составляет плотцадь импульса на выходе
от площади импульса на входе. Очевидно, что а — безразмерная
величина. Импульсная характеристика системы К (/) измеряется
в с-1, а К (f) и К (?) — величины безразмерные.
Следует также обратить внимание на то, что все приведенные
выше соотношения справедливы только для линейной инвариант-
ной системы, у которой импульсная характеристика зависит не от
моментов времени t и Z,, а только от их разности т = t—
В противном случае теоремой о спектре свертки пользоваться
нельзя, так как спектральная плотность выходного сигнала не
равна произведению спектральной плотности сигнала на входе и
комплексного коэффициента передачи. Само понятие комплекс-
ного коэффициента передачи в этом случае теряет всякий смысл,
поскольку за счет нелинейных эффектов спектр выходного сигнала
может быть существенно изменен. Нелинейные эффекты в электри-
ческих фильтрах во многих практических случаях могут быть уч-
тены отдельно, что позволяет при анализе электронных схем
широко пользоваться спектральными представлениями.
§ 3. ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Значительно большие трудности возникают при анализе реак-
ции оптической системы на входное воздействие*. Линейность
оптических систем обычно не вызывает сомнения, а для некото-
рых нелинейных оптических элементов, таких, как фотопленка,
соотношение между входным сигналом (освещенность изображе-
ния) и реакцией (потемнение эмульсии) совершенно аналогично
соответствующим характеристикам нелинейных элементов элек-
тронных схем, так что в обоих случаях могут использоваться
близкие приближенные математические методы.
Однако инвариантность линейных оптических систем совер-
шенно неочевидна, так как системы, создающие изображение,
редко бывают изопланарны по всему полю, т. е. изображение то-
чечного источника меняет не только свое положение, но и форму
по мере того, как этот источник перемещается в пространстве
предметов.
Имея это в виду, рассмотрим прежде всего случай, когда в поле
зрения прибора имеется одна светящаяся точка (дельта-функция)
с координатами (Xlf
Освещенность изображения этой точки, имеющего координаты
(хь У1)> в идеальной оптической системе, т. е. системе без аберра-
ций и дифракционного рассеяния, равна бесконечности, тогда как
в других точках плоскости изображения она равна нулю.
В реальной оптической системе дифракционное рассеяние и
аберрации вызывают размытие изображения светящейся точки по
пятну рассеяния, в результате чего освещенность в некоторой
Рассматривается случай некогерентного освещения.
381
произвольной точке (х, у) плоскости изображения оказывается от-
личной от нуля.
Степень размытия изображения характеризуется функцией
рассеяния h (х, у, xn yd), которая представляет собой освещен-
ность, получающуюся в точке (х, у), когда в точку (хл, yd) нап-
равлен поток излучения, равный единице.
Так как весь размытый поток должен быть равен исходному
падающему потоку, то
-j-OO оо
j J h (х, у, хх, /д) dx dy — 1.
-00 —оо
Поскольку функция рассеяния характеризует реакцию опти-
ческой системы на излучение точечного источника, ее можно
Рис. 296. Оптическая система — преобразователь входного воздей-
ствия в реакцию (отклик) на выходе
сравнить с импульсной характеристикой электрического фильтра,
описывающей его реакцию на единичный импульс в виде дельта-
функции.
Идеальный электрический фильтр, имеющий бесконечно широ-
кую полосу пропускания, воспроизводит единичный импульс без
искажений, и напряжение на его выходных зажимах бесконечно
велико в момент действия единичного импульса и равно нулю
в другие моменты времени. Реальный фильтр, имеющий ограничен-
ную полосу пропускания, распределяет энергию единичного им-
пульса во времени по закону, зависящему от комплексного коэффи-
циента передачи фильтра.
Учитывая сказанное, рассмотрим распределение освещенно-
сти в изображении, когда имеется не одна светящаяся точка, а их
совокупность, составляющая объект наблюдения. В этом случае
на элементарную площадку dxt dyx вокруг точки (х(, yd) падает
поток излучения Е (хп ух) dxx dyx, в точке же (х, у) этот поток
создаст освещенность
dE = Е (х1? yd) h (х, у, xlt yd) dXj dyt.
Полная освещенность в точке (х, у) равна сумме освещенностей,
возникающих из-за рассеяния потоков, направленных на все
элементы с/хх dyp.
+~
£ (х, У) = f j Е (xn yd) h (х, у, хп 1ц) dxx dyv
•— оо
Полученное соотношение, связывающее входной и выходной
сигналы оптической системы (рис. 296), имеет фундаментальный
382
характер и известно как интеграл суперпозиции, означающий, что
линейная система полностью характеризуется суммой ее откликов
на входные воздействия.
Поскольку освещенность в точке (хь у О плоскости изображе-
ния связана с яркостью соответствующей точки объекта В (хь z/x)
известным соотношением
Е (xi, У i) = лТ0 sin2 и В (хь ух),
где То — спектральный коэффициент пропускания оптической си-
стемы прибора и промежуточной среды; и' — задний апертурный
угол объектива, то можно найти
Ч-оо
Е (х, у) ~ лТ0 sin2 и' j J В (хр уС h (х, у, хг, yj dxr dip.
— со
Теперь можно определить двумерный спектр выходного сиг-
нала, т. е. вычислить величину
+ «»
Ё (v, р) = j J Е (х, у) е~/2л Cvx+h.v) dxdy =
— со
4-00
= лТ0 sin’2 и' J J J J В (Xi, //,) h (х, у, xt, /д) е-/2я <vxI-b.v) йхг dip dxdy.
—оо
Процесс вычисления можно существенно упростить, введя
некоторые ограничения вида функции рассеяния.
Если размытие изображения одинаково во всех точках поля
зрения объектива, т. е. качество изображения по полю постоянно,
то освещенность в рассматриваемой точке (х, у) зависит только от
расстояния, на котором она находится от точки (хь у0, куда на-
правлен поток излучения. В этом случае функция рассеяния
h (х, у, хъ - h (х — Хр у — z/j)
и считают, что оптическая система удовлетворяет условию про-
странственной инвариантности, или изопланарности. Она ана-
логична линейному электрическому фильтру, форма сигнала на
выходе которого не зависит от момента прихода входного импульса.
Изопланарная оптическая система обладает только сферической
аберрацией и дифракционным размытием изображения. Наличие
комы и астигматизма делает систему иеизоплапарной в целом,
однако поле зрения всегда можно разделить на зоны, в пределах
которых условие изопланарности соблюдается с определенной
точностью и функция рассеяния значительно не изменяется (разде-
ление на изопланарные области). В этом случае можно найти
+°°
Е (л-, у) = f j Е (хр ip) h (х - Хр у — уС dxr dyx,
383
или
4” 00
Е(х, у) лТс81п2и' J J В (%!, /л)h(x—xv у — уг) dxrdyL.
— оо
Используя теорему о спектре свертки, получим двумерный
спектр выходного сигнала оптической системы в виде
Ё (у, р) = jiT0sin2 и'В (v, р) h (v, р),
где спектральная плотность распределения яркости
4-00
В (у, р) = j j В (х, у) <ух+у-у> dxdy,
— оо
а спектральная плотность функции рассеяния
4-00
h (v, р) = j j h (x, у) e~/2л <vx+nz/) dx dy
— oo
называется передаточной функцией оптической системы (опти-
ческой передаточной функцией).
Эта функция автоматически нормирована, так как нормировка
означает вычисление отношения
—|—оо I -|-оо
h (v, р) = j J /г (х, у) e~i2n <ух+»у)dxdyj j j h (x, y) dxdy,
— oo I CO
но ранее уже было определено, что
4-о°
J j h(x, у) dx dy = 1.
— oo
Часто оказывается удобным использовать не двумерные пере-
даточные функции, а соответствующие сечения при заданных
значениях одной из координат х или у, преобразование Фурье
по которой не осуществляется.
В частности, спектр сечения функции В (xlt уг) при заданному
4-00
В (V, У1) = J В (Хр ft) dx.
— оо
384
Спектр сечения функции Е (х, у) при заданном у
Е (v, у) = лТ0 sin2 и' J В (у, уг) h(v, у — yj dyx.
— со
Значение освещенности на выходе оптической системы можно
найти по ее спектру, использовав обратное преобразование Фурье
—|--ОО
Е (х, у) = J J Ё (v, р) е/2я <vx+n«) dv dp =
— оо
4~°°
= лТ0 sin2 и' J J
—— со
В (v, р) h (v, р) е/2я dv dp.
Следовательно, оптическая система осуществляет двумерное пре-
образование Фурье над произведением спектров ее функции рас-
сеяния и выходного сигнала.
Г лава 14
ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КАК ФИЛЬТР
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
§ 1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Оптическая передаточная функция h (v, р) позволяет устано-
вить соответствие между двумерным спектром распределения
яркости в плоскости объекта и двумерным спектром распределе-
ния освещенности в плоскости изображения:
Ё (у, р) = этТ0 sin2 и'Тг (у, р) В (v, р).
Следовательно, оптическая система представляет собой ли-
нейный фильтр пространственных частот с коэффициентом пере-
дачи h (v, р).
Модуль функции h (v, р) называют двумерной пространствен-
но-частотной характеристикой (ПЧХ) оптической системы.
Рассмотрим простой пример, позволяющий понять, как опти-
ческая система выполняет функции пространственного фильтра.
Пусть функция рассеяния определяется следующими соотно-
шениями:
h0 при | х | < Z/2, | у | < //2;
О при | х | > Z/2, | у | > //2,
13 М. м. Мирошников
385
причем условием нормировки является
-1-00
J j h (х, у) dx dy = hoi2 == 1.
— оо
Спектр функции рассеяния — оптическая передаточная функ-
ция
-1-00
11 h (х, у) е~/2я <Vx+u'/) dy
/i (v, p) = 4 —
11 h (x, y) dx dy
— oo
+1/2 +1/2
h0 | e~'2nvxdx | dy
—1/2 —1/2
" hol* ~
= h°l sa (2т,г/.2-У sa (2jl|1//2) = sa (лт/) sa (лр/).
Очевидно, что рассматриваемая оптическая система вдоль каждой
из осей х и у будет пропускать в основном сигналы с частотами,
находящимися в пределах главного максимума функций sa (nv/)
и sa (лр/), т. е. ограниченными значениями v0 = р0 = 1//.
Поскольку трудно представить практическую реализацию
системы с функцией рассеяния квадратной формы при равномер-
ном распределении энергии в ее пределах, в дальнейшем будут
рассмотрены более точные аппроксимации.
Необходимо отметить, что фильтром пространственных частот
может быть не только объектив, но и другие элементы оптической
системы — всякого рода диафрагмы, маски и растры. При наличии,
например, в плоскости изображения диафрагмы, имеющей коэф-
фициент передачи Яд (v, р), результирующая спектральная плот-
ность освещенности плоскости изображения за диафрагмой может
быть найдена в виде произведения
Ё (v, р) = лТ() sin2 и'В (v, р) h (у, р) hn (v, р).
§ 2. ОПТИЧЕСКАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТИВА
И ЕГО ПРОСТРАНСТВЕННО-ЧАСТОТНЫЕ
(ЧАСТОТНО-КОНТРАСТНЫЕ) ХАРАКТЕРИСТИКИ
Рассмотрим некоторые практические аппроксимации функции
рассеяния объектива, позволяющие рассчитать его пространствен-
но-частотную характеристику (ПЧХ), которую называют также
частотно-контрастной (ЧКХ), когда определяют передаточную
функцию объектива для мир с различным числом штрихов на
единицу длины.
386
2.1. Пятно рассеяния представляет собой
равномерно освещенный круг радиусом р0
Функция рассеяния в этом случае аппроксимируется цилин-
дром, т. е. функцией, обладающей осевой симметрией, и задавать
ее целесообразно в цилиндрической системе координат, т. е.
h (р, <р) = h (р) =
при
при
р<р0;
р > р0.
Нормированный спектр этой функции, определяемый преобра-
зованием Ганкеля,
2л J h (р) Jo (2лхр) р dp
h (х) =------------------------------
2л J h (р) р dp
v
, 9 2/г(г0)
W,— 2J1W
МРо г°
где zQ = 2лхр0; х— пространственная частота.
Вид спектра можно представить себе на основании рис. 292, б,
если положить h (х) = £? (х), а С/Озтро = 1 Первый предел раз-
решения (переход функ-
ции рассеяния через нуле-
вое значение) соответст-
вует частоте х = О,61/ро.
Таким образом, при отно-
шении диаметра пятна 2р0
к периоду синусоидаль-
ного пространственного
распределения яркости
(периоду синусоидальной
миры) X = 1/х, равном
2р0Д = 1,22, контраста
Рис. 297. Изображение миры, состоящей из
сходящихся полос, объективом высокого ка-
чества («идеальным») в плоскости, смещенной
относительно плоскости наибольшей резко-
сти (эффект «ложного разрешения» наблю-
дается в области с пространственным фазо-
вым сдвигом 180°)
в изображении не будет.
Для пространственной ча-
стоты х>х0 спектр h (х)
становится отрицатель-
ным, что свидетельствует
о наличии пространствен-
ного фазового сдвига на
180'. Переход через нулевой контраст с последующим резким
изменением фазы показан на рис. 297, приведенном в книге
О’Нейла «Введение в статистическую оптику». Подобный эф-
фект, известный под названием ложного разрешения, прояв-
ляется, если спроектировать миру, состоящую из сходящихся
полос, на экран, а затем дефокусировать проектор. Вообще
Цилиндрическая аппроксимация функции рассеяния пригодна
13*
387
для несфокусированной идеальной оптической системы, когда
наблюдение проводится в плоскости, смещенной относительно
плоскости наибольшей резкости. Сечение оптической передаточной
функции для этого случая представлено кривой на рис. 297.
Пространственно-частотная характеристика, представляющая
собой модуль оптической передаточной функции, строится обычно
для значений частот, находящихся в пределах главного максимума,
ее построение может быть выполнено по данным табл. 4.
2.2. Пятно рассеяния представляет собой круг,
изменение освещенности внутри которого
аппроксимируется гауссоидой вращения
В этом случае функция рассеяния имеет вид
h (р, q) = h (р) = е< ' *Р°).
Аналогичное выражение для функции рассеяния широко при-
меняется также при расчете влияния апертуры электронного
пучка на спектр сигнала в телевидении.
Нормированный спектр этой осесимметричной функции опре-
деляется преобразованием Ганкеля и интегралом Вебера:
/г(х) =
2л |л(р)Л(2"хр)рф , (2яхр.,.
0 . Ро — е— (2лхр0)г /2,
2лро
2л jh (р) р dp
о
имеет вид исходной функции рассеяния — гауссоиды
т. е. спектр
вращения.
На частоте хе = 1/2/(2лр0) 0,225/ро спектральная плотность
уменьшается в е раз по отношению к максимальному значению.
Спектральная плотность падает до 0,1 при х011 = 2,146/(2лр0)
0,683/(2ро), где 2р0 — диаметр пят-
на (на уровне 0,606 от максимального
значения).
Таблица 18
Функция рассеяния объектива,
качество которого
ограничивается дифракцией
X 2 Л (р)
0 0 1,0
1,220 3,832 0
1,635 5,136 0,0175
2,233 7,015 0
2,679 8,416 0,0042
3,238 10,172 0
3,699 11,620 0,0016
2.3. Изображение создается
объективом, качество которого
ограничивается только
дифракцией
В этом случае мы имеем дело с ди-
фракционным диском Эри и норми-
рованная функция рассеяния имеет
вид
h (р, (р) = h (р) = [2(z)/z]2,
388
где z == л (di к) (p/f') = лх; d, f' — диаметр и заднее фокусное
расстояние объектива; X — длина волны падающего излучения;
х = (d/K) (p/f).
Значения h (р) в максимумах и минимумах этой функции
даны в табл. 18.
Из таблицы видно, что радиус первого темного пятна
р0 = 1,22 [M(d/f')] = l,22XfM.
Z3
Рис. 298. Дифракционная функция рассеяния (а) и ее спектр (6)
Оптическая передаточная функция для этого случая приводится
в уже упомянутой книге О’Нейла. Эта функция обладает осевой
симметрией, и ее нормированное значение
arccos^r-Mr И '-ид I п₽и
О при |х| >х/р,
где х/р = d/(kf').
Дифракционная функция рассеяния и ее спектр — оптическая
передаточная функция — представлены на рис. 298.
h (х) =
2.4. Пятно рассеяния имеет квадратную форму,
а распределение освещенности в нем
аппроксимируется произведением косинусов в /г-й степени
По предложению Н. С. Шестова функцию рассеяния можно
представить в виде квадратной площадки, но так, что она оказы-
вается очень близкой к функции, имеющей осевую симметрию.
Соответствующее выражение для функции рассеяния в этом
случае имеет вид
л у
~2~~Ро
h (х, у) =
/2 п Л X п
по COS -X-----cos
2 Ро
О
при |х| <р0, |г/| < р0;
при И>р0, |t/| >р0-
Вид этой функции при у =0,п = 2 и и = 8 показан на рис. 299.
Значения ее приведены в табл. 19.
389
2
Нормирующий множитель ho можно вычислить из условия
4-00
j j h (%, у) dx dy = 1,
что дает
-роо + Ро 4-Ро
J J h (х, у) dxdy — ho J cos'1 -у- dx J cos" dy =
— OO —p0 —Po
Рис. 299. Функция рассеяния
h (x, у)
hl
n их n л у
= cos" -jr-COS -H- —
2p0 2 p0
n ~2 и n — 8
вида
для
\ 2
cos" zdz\ = 1,
Таблица 19
Функция рассеяния для аппроксимации
распределения освещенности
произведением косинусов
X ~рГ h (х, у) ^0
п = 8
0 1,0 1,о
0,1 0,976 0,907
0,2 0,904 0,669
0,3 0,804 0,419
0,4 0,654 0,183
0,5 0,500 0,062
0,6 0,346 0,014
0,7 0,206 1,8-10-3
0,8 0,095 8,9-10-6
0,9 0,024 3,5-10-7
1,0 0 0
где новая переменная
z = [л/(2р0)] х = [л/(2р0)1 у,
но
л/2
J (п) = | cos" zdz =
о
л Г (n + 1)
[Г (л/2-J-I)]2 ’
а значения гамма-функций Г (n -|- 1) и Г (п/2 1) могут быть
найдены в таблицах специальных функций.
Следовательно, из условия нормировки имеем
(4/л) pohoJ (/?) = !,
откуда
ройо = л/[4/ (/г)] == 0,785/7 (п);
(р0П0)2 = л2/[1672 (п)1 = 0,617/J2 (п).
390
Значения J (ri), poho и (p0ft0)2 приведены в табл. 20.
Степень осевой симметрии функции рассеяния можно оценить,
рассматривая контуры ее сечений плоскостью, параллельной
плоскости хОу.
Уравнение функции рассеяния в полярных координатах най-
дем, положив:
х — р cos ср; у = р sin ср;
тогда
h (р. (Р) « = cos" [(л/2) (р/ро) cos ср] cos" [(л/2) (р/р0) sin ср],
причем область существования функции соответствует значениям
р с У2 р0.
Контур сечения функции рассеяния плоскостью, параллель-
ной плоскости хОу и находящейся на расстоянии И от нее, можно
найти из уравнения
cos" [(л/2) (р/р0) cos ср] cos" [(л/2) (р/р0) sin ср] == И,
где расстояние Н — h (р, cp)//io выражено в относительных еди-
ницах.
Следовательно, радиус-вектор р для точек, лежащих на кон-
туре сечения функции рассеяния
стояния Н, полярного угла ср
и показателя степени п, т. е.
р = р (Н, ср, п). Осевую асим-
метрию контура сечения можно
оценить разностью двух значе-
ний радиус-вектора ртах и рга1п,
т. е. найти Др =ргаах—pmln или
относительную величину 6 =
~ Др/ртах — ] Pmin^Pmax- Оче-
видно, что величина б для дан-
ного сечения Н зависит только
от п, т. е. 6 = (п).
На рис. 300 сплошной ли-
нией показан контур одного из
сечений функции с осевой асим-
метрией. Так как pmln соответ-
ствует значениям полярного
плоскостью Н, зависит от рас-
Т а б л и ц а 20
Значения интеграла J (я)
и нормирующих коэффициентов
n J (n) Р<Ло (Po^o)2
1 1,0 0,785 0,617
2 0,785 1,0 1,0
3 0,667 1,18 1,39
4 0.589 1,33 1,78
5 0,534 1,47 2,16
6 0,491 1,6 2,56
7 0,458 1,71 2,94
8 0,429 1,83 3,35
9 0,407 1,93 3,72
10 0,386 2,03 4,14
угла 0, 90, 180, 270, 360" и т. д. (на осях х и у), а рП1ах — углам
45, 135, 225, 315° и т. д. (на биссектрисах координатных углов),
то можно записать следующие выражения:
h (Pmin , 0)/h2O =H = cos" [(л/2) (Pmin/Po)];
MPmax, 45в)//12о--/7 -СО82"[(л/2)(ртах/р0)(/2/2)].
391
Обозначив
^min ’— (^/2) (Pniln/Po)’ zmax (л/2) (Pmax/Po) (V 2),
найдем
cos'1 zmln = cos2" zmax = H,
Pmax 2 max
Рис. 300. Осевая асимметрия ^функции
рассеяния вида h (х, у) = h% cos" X
откуда
zmin = arccos H1/n; zmax = arccos H1/{2n}.
Так как
Pmln = (2,'ЗТ) PoZmln» Pmax = (2 1^2/Jl) Ростах»
TO
6„(n) = 1 - ^3". = 1 - 0.707-^ = 1 - 0,707
arccos (H) ’
ДЛЯ П = l-i-10, H =0,1
и H = 0,9 соответствующие
значения (и) представлены
в табл. 21.
Из таблицы, следует что
осевая асимметрия умень-
шается с ростом показателя
степени п и высоты сечения
Н. Значит, отступление от
осевой симметрии существен-
но только в такой области,
на которую приходится лишь
небольшая часть энергии из-
лучения. При п=2 относи-
тельная осевая асимметрия
даже на уровне 0,1 не превы-
шает 10%.
Оптическую передаточную
функцию для рассматривае-
мой аппроксимации можно
найти, пользуясь тем, что
переменные х и у в функции h (%, у) разделены и, следовательно,
ее спектр равен произведению соответствующих одномерных
спектров
-рОО
h (v, р) = h (v) h (p) = j j h (x, у) е~/2я dx dy =
+ Ро -Ь Ро
= cos^^e-'^dx f сов^-^ё-'^йг/,
J z р0 J Z Ро
— ро — Ро
392
у читывая возможность перехода к косинус-преобразованию
Фурье, найдем:
“Ь Ро
Тг (v) = h0 j cos" cos 2jivx dx;
— Po
+ Po
h (p) = h0 j cos" cos 2nyydy,
— Po
где коэффициент h0 определяется из рассмотренного выше усло-
вия нормировки:
/г0 = л/[4р0/ (п)].
Полученные интегралы могут быть вычислены, так как
входящий в них cos'1 z можно представить в виде суммы
cos" z = cos nz - [-
4 Сп cos ’ -2 z sin2 z -|-
4 Cl cos" “4 z sin4z +
- ' d cos"-6 z sin6 z -ф- • • •,
где Cn — биномиальные ко-
эффициенты.
Для n = 2 соответствую-
щие расчеты уже были вы-
полнены при определении
спектра косинус-квадратного
импульса. В этом случае
найдем:
Таблица 21
Коэффициенты относительной асимметрии
контура сечения функции рассеяния
п &н(п), % п 6// (и) • %
Н = 0,1 Н = 0,9 Н = 0,1 Н = 0,9
1 16,8 0,87 6 3,2 0,16
2 9,4 0,48 7 2,5 0,14
3 6,3 0,31 8 2,3 0,12
4 4,8 0,24 9 2,2 0,11
5 3,8 0,19 10 2,1 0,10
й (V) = ; Мм)=л.Р.
Так как при п = 2 /цр0 = 1, окончательно получим
г sa (2nvpo) sa (2лрр0)
1 ’ Pl ] _ (2vpo)2 1 — (2рр0)2 ’
Сечение спектра можно видеть на рис. 281, учитывая, что
на этом рисунке h (v, р) = у (v), Дх = 2р0. Наименьшая частота,
при которой оптическая передаточная функция h (v, р) обращается
в нуль, равна 1/р0.
2.5. ЧКХ оптической системы
Выполним расчет частотно-контрастной характеристики опти-
ческой системы в виде зависимости коэффициента передачи кон-
раста от числа штрихов на единицу длины (пространственной
частоты) тестовых мир.
393
Контраст на входе (по яркости в плоскости предметов)
(^тах $т1п)/(^тах ^rnln)’
Контраст на выходе (по освещенности в плоскости изображений)
= (^max ^mln)/(^max ~F -^min)’
Следовательно, коэффициент передачи контраста, являющийся
функцией пространственной частоты (число штрихов на единицу
длины) v, равен
k (v) = kE/kB.
Так как штрихи миры вытянуты по одной из осей, то ЧКХ
получается фактически одномерной. Ее можно получить раздельно
для двух взаимно перпендикулярных осей, однако последующее
вычисление двумерной ЧКХ из двух
одномерных возможно только при ус-
ловии разделения переменных в функ-
Рис. 301. Произвольное распо-
ложение синусоидальной миры
относительно осей координат
хОу
Рис. 302. Распределение яркости сину-
соидальной миры и освещенности в ее изо-
бражении
ции рассеяния исследуемого объектива. Имея это в виду, рас-
смотрим действие на оптическую систему с функцией рассеяния
h (х, у) синусоидальной миры, расположенной в предметной пло-
скости так, что ее штрихи перпендикулярны оси х. Случай про-
извольного расположения миры, когда ее штрихи перпендику-
лярны оси х', повернутой относительно оси х на угол 6 (рис. 301),
будет рассмотрен отдельно.
Если яркость фона в плоскости предметов равна Во, а модуля-
ция ее синусоидальной мирой равна ДВ (рис. 302), то распределе-
ние яркости в точке с координатами хх, yL можно представить
в виде
В (хх, yL) = В (хх) = Во + ДВ cos2nv0xx =
= В0 (1 -j- kB cos 2JIVOXX),
где kB — &В/В0 — (Bmax — Bmln)/(Bmax Ц- Bmln); В^^ — Во +
4- ДВ; Bmln = Во — ДВ; v0 — пространственная частота миры
(число штрихов на единицу длины).
394
Можно вычислить двумерный пространственный спектр миры
4-00
В (v, р) = J J В (хх) е '2л dxr di/y
--00
= J e~/2lW1 difa j В (xj e~'2jrvX1 dx± — В (v) 6 (p),
— oo —oo
где дельта-функция в начале координат
4-00
6(р) = J dyt,
----------00
а одномерный спектр яркости
В (v) = j В (xj e~/2jTVX1 dxr = BQ j (1 4- kB cos 231-^) e~/2jxvx* dx} =
—. oo —oo
4-00 —1-00
= BQ j e_/2jTVXi dxy BokB j cos2nv0x1e~/2jrvXi dxt,
— oo —oo
причем
4-00
J e~/2jTVX» dxr = 6 (v);
— oo
-f-oo —| oo
j COS 2jlV0JCje7/2jTVX1 dxr = -y J (e/2nv0Xi _|_ e—/2nvox,) e--/2nvx1£/A-i __
— oo —oo
=4" i6 (v—v*>)+6 (v i- vo)i *
t. e.
В (v) = Bo [6 (v) -4 (kB/2) 6 (v - v0) 4- (kB/2) 6 (v 4- v0)].
Следовательно,
В (v, p) = Bo [6 (v, p) 4- (kB/2) 6 (v — v0, p) 4- (kB/2) 6 (v 4- v0, p)],
где 6 (v, p) = 6 (v) 6 (p); 6 (v zt vop) — 6 (v ± v0) 6 (p).
В связи с тем что последующий анализ выражений, содержа-
щих дельта-функции, затруднен, перейдем к непосредственному
определению амплитудного спектра.
Распределение освещенности в плоскости изображения
4-00
Е (х, у) = лТ0 sin2 и' | j В (xlf z/J h (х — х1г у — уг) dxt dyx.
395
При условии, что переменные функции рассеяния разделяются,
т. е. h (х — xlt У — У±) = h (х — xj h (у — у±), а В (xlt уг) =
= В (xj), найдем
—оо + °°
Е (х, у) = лТ0 sin2 и' J h (у — yd йуг J В (xj h (х — xj dxv
—00 —00
—со
Так как J h (у — yd dyL = 1, то
— оо
+°°
£ (х, у} = Е (х) = лТ0 sin2 и' j В (х,) h (х — хА) dx} =
== лТ0 sin2 u'BQ
-100
(х—x1)dxl \~kB j cos 2jtvox,/z (x—xjdxj
Вводя новую переменную £ = x — хг и вновь учитывая, что
4-со
j h (х — xr) dxt = 1, найдем
— оо
- оо -|-со
J cos 2л(х — xj dxx = J /1 (£) cos 2rcv0 (x — c) d% =
— 00 —00
-|-co -{^00
= cos2jw0x j h (£) cos 2nv0£ -}- sin 2rcvox J h (|) sin 2rcv0£ t/L
--00 —-OO
Так как одномерная оптическая передаточная функция для
частоты v0
4-оэ +°°
h (v0) = f h (^) = j /1 (g) cos 2n vogdg —
.— 00 — 00
-|-CO
— j j h (g) sin 2nv0B d% = hc (v0) — /7is (v0),
— 00
где косинус- и синус-составляющие
4-со
hc (vo) = J h (£) cos 2jlv(£
—00
4-co
hs (v0) = J h (g) sin 2nv0| d%,
— 00
TO
£ (x, у) — E (x) = лТ0 sin2w'B0 [1 + kBhc (v0) cos 2nvox -|-
+ kBhs (v0) sin 2nvox],
396
Поскольку
Mv0) = IMv0)|cos(p(Vo);
hs Ю = I h (v0) | sin ф (v0),
где
I h (v0) | = ]//ic I- hf, cp (v0) = arctg (/is//ic),
можно найти
E (*, У) = ^То sin2 и'В0 j 1 -j- kB \h (v0), cos [2nv0x — cp (v0)]|,
где
cos [2nv0x — cp (v0)] - cos cp (v0) cos 2nv0x -1- sin <p (v0) x
X sin2nv0x,
или
E (%, y) = Eo ’1 4- kE COS [2nvox — cp (v0)]|,
причем
Eo =. згТ0 sin2 u'Bq\
kE = AE/E0 = (Emax - £ml„)/(Emax + £min) = kB\h (v0)|;
Дпах = £0 + £mln = £0 - A£-
Таким образом, изображением синусоидальной волны всегда
будет также синусоидальная волна, но с другой амплитудой и фа-
зой (рис. 302).
Искомый коэффициент передачи контраста на частоте v =v0
равен модулю оптической передаточной функции
k(v) = kE/kE = \h(v)\.
Зависимость k (v) от v и называют оптической частотно-
контрастной характеристикой.
Для произвольного расположения миры (рис. 301) следует
считать, что все полученные выше соотношения относятся к по-
вернутой на угол 0 системе координат х, у', т. е.
Е (х', у') Eq {1 4- kE cos [2nv0x' - cp (v0)]}.
Старые и новые координаты связаны соотношениями:
х' — х cos 0 4- У sinO; у' = — х sin 9 4" У cos 6»
следовательно,
Е (%', у') = Е (х, у, 0);
У. 0) = Ео {1 4~ kE cos [2лv0 (х cosO 4- у sin 0) — <р (v0)]}.
397
§ 3. ОПТИЧЕСКАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
ДИАФРАГМ, РАСТРОВ И ПРИЕМНИКА ИЗЛУЧЕНИЯ
В оптическую систему оптико-электронного прибора кроме
объектива, создающего изображение поля излучения в картинной
плоскости, обычно входят еще некоторые элементы, обеспечиваю-
щие обработку полученного изображения и преобразование про-
странственного распределения освещенности в электрический
сигнал, изменяющийся во времени. К этим элементам следует
отнести всякого рода диафрагмы, -растры и приемник излучения.
Понятие передаточной функции, заимствованное из теории
электрических фильтров, хорошо применимо к описанию свойств
объектива, а спектр результирующего распределения освещен-
ности на выходе оптической системы можно определить непосред-
ственно путем вычисления произведения спектров всех входящих
в нее элементов. Поэтому многие исследователи стали искать пути
пространственно-частотного описания свойств этих элементов.
Относительно приемника излучения и диафрагм эти поиски
достаточно быстро привели к желаемым результатам, и соответ-
ствующие пространственно-частотные характеристики широко ис-
пользуются при расчете спектра сигнала на выходе оптико-элек-
тронного прибора.
Что же касается растров, то, несмотря на большое количество
отечественных и иностранных работ, посвященных этому вопросу,
почти все реализованные растровые конструкции созданы на ос-
нове опыта разработчика и его интуитивных соображений, а не
в результате расчетов математических моделей, которые исполь-
зуются в основном для анализа предложенных растров, а не для
синтеза их оптимальной формы. По меткому замечанию Хадсона
в его книге «Инфракрасные системы», «вероятно ни в какой другой
области проектирования инфракрасных систем нет такой пропасти
между теорией и практикой, как в вопросе о конструкции рас-
тров и их сравнительных характеристиках». Это связано, в част-
ности, с тем, что обычные предпосылки относительно законов рас-
пределения сигнала и шума неприменимы к оптической фильтра-
ции. Кроме того, используемая для обработки сигнала электрон-
ная схема предъявляет жесткие требования к выбору растра и
типа модуляции, которую он создает. Существующая ситуация
следующим образом характеризуется автором книги «Растры
в электрооптических устройствах» Биберманом: «Растры конструи-
руются в основном теми, кто длительное время использует или
конструирует их и для кого процесс конструирования является
в большей степени автоматическим, чем логическим. В настоящее
время накоплено столько экспериментальных данных, что для
первого приближения можно опираться на свой или чужой опыт
и обойти скучные стороны конструирования пространственного
фильтра, а для лучшего приближения предлагаемые методы рас-
чета непригодны».
398
Нельзя согласиться в полной мере со столь категорическим
осуждением теории, тем более что в последнее время появился ряд
работ, и прежде всего обстоятельная монография В. Л. Левшина
«Пространственная фильтрация в оптических системах пеленга-
ции», в которых развита общая теория растров на базе обоб-
щенного частотного метода. В этих работах приведены преобразо-
вания Фурье для большого числа разнообразных растров, раз-
работаны методы расчета для сдвигов, вращении растра и т. д.
Однако все более сложный математический аппарат привлекается
для расчета, вынужденные упрощения которого действительно
пригодны лишь в качестве первого приближения.
В дальнейшем мы вернемся к рассмотрению некоторых тео-
ретических основ конструирования растров, однако желающим
серьезно заняться представлением растровых систем с помощью
передаточных функций рекомендуем обратиться к специальной
литературе.
Практическое инженерное значение в настоящее время имеет
не пространственно-частотное, а пространственно-временное опи-
сание процесса растровой модуляции, когда в результате расчета
временных спектров сигналов, подвергнутых модуляции, выяв-
ляются составляющие спектра, несущие информацию об изобра-
жении. Такой подход в полной мере развит в гл. 8 этой
книги.
Оптическую передаточную функцию приемника излучения
рассчитывают обычно следующим образом. Принимают, что фото-
чувствительный слой или наложенная на него диафрагма поля
зрения совмещены с плоскостью изображения. Инерционность
приемника учитывают при анализе характеристик электронного
тракта, а при расчете пространственной передаточной функции
приемник считают безынерционным. Изменение крутизны (чув-
ствительности) приемника в пределах площади фотослоя в первом
приближении не учитывают, т. е. предполагают, что зависимость
крутизны от пространственных координат связана лишь с конеч-
ными размерами фотослоя. Следовательно, спектр Фурье (опти-
ческую передаточную функцию) приемника излучения определяют
обычным путем:
—|~оо
§ (v, р) — J J S (х, у) e~i2n (Vx+bz/) dxdy,
— оо
где S (х, у) — распределение дифференциальной крутизны при-
емника по координатам х, у.
Переменные х, у в функции S (х, у) часто разделяются, т. е.
эта функция может быть представлена в виде произведения функ-
ций, зависящих только от х и только от у:
S (х, у) = S0S (х) S (у).
399
при
при I у I < Ь/2;
Например, для прямоугольной площадки:
SW = { о
S(0 =
где а и b — размеры чувствительной площадки.
Диафрагма, закрывающая приемник излучения, может быть
круглой. В этом случае переменные не разделяют, т. е.
S (х, у) = S0S (х, у),
S (х, у) =
причем
f 1 при х2 -f- у2 < г2;
I 0 при х2 + t/2 > г2.
Расчет спектров во всех этих случаях не имеет каких-либо
особенностей по сравнению с расчетом обычных двумерных спек-
тров и их сечений. Некоторые конкретные примеры расчета будут
рассмотрены ниже.
Расчет оптической передаточной функции диафрагм также не
требует какого-либо нового подхода, если иметь в виду, что рас-
пределение коэффициента пропускания диафрагмы по ее пло-
щади Т (х, у) аналогично функции распределения чувствитель-
ности приемника излучения по его чувствительной площадке.
Глава 16
СПЕКТР СИГНАЛА НА ВЫХОДЕ УСИЛИТЕЛЯ
ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННОГО ПРИБОРА
§ 1. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
В общем случае для линейной системы освещенность плоскости
изображения в точке с координатами х, у равна
-у оо
Е (х, у) = лТ0 sin2 и' j j В (Хр ух) h (х, у, x^yd dx1 dylt
— оо
где В (хь уД — яркость объекта наблюдения в точке с координа-
тами Xi, ylt выраженная в Вт-см-2-ср-1; и' — задний апертурный
угол оптической системы,;1. . .°; TOj— ее спектральный коэффи-
циент пропускания ^на заданной длине волны; коэффициент
лТ0 sin2 и' измеряется в ср; h (х, у, хх, yj — функция рассея-
ния объектива, создающего изображение объекта наблюдения,
400
определяющая освещенность в точке (х, у) плоскости изображе-
ния, когда в точку (xlt уг) падает поток излучения, равный еди-
СО
пине; функция рассеяния нормирована, т. е. jj h (х, у, xlt у±)х
X dxidyi = 1, следовательно, она измеряется в см-2.
Если яркость объекта наблюдения является функцией вре-
мени, то освещенность плоскости изображения также зависит
от времени:
Е (х, у, t) = лТ0 sin2 и' j j В (xn ylt t) h (x, y, xL, у J dxt dyv.
— co
Поместим в плоскость изображения безынерционный приемник
излучения, имеющий распределение дифференциальной крутизны
по координатам х и у — S (х, у). Тогда реакция приемника, свя-
занная с воздействием излучения на элемент его чувствительной
площадки dxdy, равна
dU0 (/) = S (х, у) Е (х, у, t) dx dy.
Полная реакция приемника при условии аддитивности реак-
ций, связанных с воздействием потока излучения на элементар-
ные площадки, выразится как
(о=И5 Е у' dx dy'
—оо
или
1-00
(t) = лТ0 sin2 и' j j j j В (x1? z/j, t) S (x, y) h (x, y, xt,yd dxr dyt dx dy.
— oo
Полученное выражение определяет форму сигнала, вырабаты-
ваемого безынерционным приемником.
Временной спектр этого сигнала выражается преобразова-
нием Фурье
V
—оо
Для инерционного приемника, имеющего коэффициент пере-
дачи &пр (/), спектральную плотность можно найти, если пред-
положить, что сигнал, выработанный безынерционным прием-
ником, проходит через четырехполюсник с коэффициентом перв-
ой £пр (/):
£/(/) = ЦДЛ МД
401
Комплексный спектр напряжения сигнала на выходе уси-
лителя
«c(/) = ^(f)SBX(f)Kyc(/),
где Кус (/) = uc(f)/u (/) — коэффициент передачи усилителя;
SBX(f) = и (f)/U (/) — крутизна входной цепи, состоящей из
цепи включения приемника и цепи связи (рис. 234); uc(f) — ком-
плексная амплитуда напряжения сигнала на выходе усилителя;
и (f) — комплексная амплитуда напряжения сигнала на входе
усилителя; U (f) — комплексная амплитуда обобщенного сиг-
нала, вырабатываемого приемником излучения.
Следовательно, спектральная плотность выходного напряже-
ния
или
«с (/) = лТ0 sin2 u'knp (f) SEX (f)Kyc (f) x
4-00
x НШ В (jq, ylf t) S (x, y) h (x, y, xlt z/J e~i2nftdxl dyt dxdy dt,
•—oo
причем uc (/') выражается в В с или В -Гц-1.
Полученное выражение можно существенно упростить, если
ввести два важных допущения:
1) предположить, что оптическая система обладает свойством
изопланарности (пространственной инвариантности), т. е.
h (х, у, xlf уг) = h (х — х1У у — у})-,
2) задать закон сканирования (пространственной развертки
изображения), когда зависимость освещенности в точке (х, у)
плоскости изображения от времени Е (х, у, t) будет определена
в явном виде.
§ 2. ИЗОПЛАНАРНАЯ ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
И ЗАДАННЫЙ ЗАКОН СКАНИРОВАНИЯ
Рассмотрим наиболее типичный случай, когда за счет сканиро-
вания объект движется относительно приемной системы, имея
неизменную за время наблюдения яркость в точке с координа-
тами х1? уг.
Предположим, что относительное перемещение изображения
объекта совершается вдоль оси х со скоростью v (рис. 303), и
введем систему координат х’О'у’, связанную с подвижным изобра-
жением объекта. В этих координатах освещенность в точке
(х', у') от времени не зависит и равна Е (х', у'), а сама система
координат х’О'у' движется относительно системы координат хОу
вдоль оси х так, что х' = х — vt\ у' = у.
402
в этом случае
Е (х , у') = Е (х — vt, у)
и реакция безынерционного приемника на воздействие лучистого
потока определяется выражением
-J-0O
t/0 (О — J f (х, у) Е (% — vt, у) dx dy =
Ц-оо —|—со
j dy j Е(х — vt, у) S (х, y)dx.
— оо —оо
Введем обозначение vt = х0
теграл выражения для Uo (/),
и рассмотрим внутренний ин-
обозначив
его U0 (х0, у)-
Вернемся к обозначению
= х — х0; тогда получим
ио (*о> у) = j Е(х —
— х0, у) S (х, у) dx.
Рис. 303. Движение системы коор-
динат х'О'у', связанной с изобра-
жением объекта наблюдения (Д),
относительно неподвижной системы
координат хОу
Е0(х0, У) = f Е (х', у) S (х' +
о, у) dx' = J Е (х', у) S [х0 — (— х'), у] dx’.
Если принять х" = —х', dx' = —dx" и иметь в виду, что
— со, х" = сю;
сю, х" — —- сю,
найдем
—J-00
0 (*о, У) = J Е (— х", у) S (х0 - х", у) dx".
— со
Полученный интеграл есть одномерная свертка функций Е (—х0, у)
и 5 (х0, УУ т. е.
У о (х0, у} = Е (—х0, у) 0 S (х0, у).
Спектр свертки можно найти сразу же как произведение спек-
тров функций, образующих свертку, однако, учитывая некоторые
особенности, выполним весь расчет полностью.
403
Одномерный спектр функции U0 (х0, у) равен
^o(v, У) = J ^о(*о, ^)e-/2jtvx« dxQ =
—сю
= J E(—x",y)dx" J S(xft-x", i/)e-/2™dx0.
— oo —oo
Так как x0 — x" = x0 ф- x' = x, to
U0(y, y) = j £(— x\ y)dx" J S(x, y)e-i^^ '^dx =
-------------OO -OO
= J E (—x\ y)e-i2nvx" dx" j S(x, y)e~i2nvx dx.
— oo —oo
Вновь заменим переменную —x" = x', причем заметим, что
в процессе этой замены одновременно с изменением знака первого
интеграла изменяются знаки пределов интегрирования; следо-
вательно,
£0(v, у) = j Е(х', y)V2nvx'dx' J S(x, y)e~J'2nvxdx.
—оо —оо
Первый интеграл представляет собой сопряженный одномер-
ный спектр функции Е (%', у), а второй — одномерный спектр
функции S (х, у), поэтому
#0(v, у) = Ё* (v, y)/S (у, у),
где
—оо
£*(v, у) = J £(%', y)ei2jtvx’dx',
— оо
или, так как у = у’,
-}-оо
£* (v, = £* (v, у') = J £ (%', у') ei2nvx’ dx',
— оо
S(V, t/)= J [S(x, y)e-i2nvxdx.
— oo
Далее, поскольку
+°°
^o(^o)= J ^oUo. y)dy,
404
то соответствующий спектр
-ф-оо -J-UO
fro (v) = f fro (*, y)dtj= j Ё* (v, y) S (v, y) dy.
— oo —oo
Вспомним, что нас интересует функция
4-00
(О = f fS (х, у) Е (х — vt, у) dx dy
— со
и ее спектр
Uo (f) = J С70 (/) dt =-= J J J S (x, у) E (x — vt, у) е~/2л^ dxdy dt.
—oo —co
Ho Uo (x0) = Uo (vt), а спектр функции UQ (vt) равен
Uo (vt) = j Uo (vt) е~!2л?* dt = J UQ (x0) e~i2n x° dx0.
— co — oo
При движении изображения объекта в картинной плоскости
с линейной скоростью v вдоль оси х пространственный период X
анализируется за время Т, представляющее собой период измене-
ния сигнала во времени. Следовательно, Т = 1Jv; но Т = 1/f,
аХ = 1/v, т. е. f = vv, или f/v = v. Тогда
i-~~
Уо(»0 = 4 J
— оо
Поскольку функция U0 (vt) определяется выражением
Uo — j J 5 (х, у) Е (х — vt, у) dx dy,
то ее спектр
J 1 +00
UQ (vt) — j J j S (x, у) E (x — vt, y) dx dy dt;
— co
следовательно,
fro (f) = Uo (vt) = fr0 (v)/v = U0(f/v)/v,
t. e.
-|-oo -|-oo
E*(v, y)S(v,y)dy = i J Ё*
— oo —oo
("Г’dy-
405
Для того чтобы получить эту формулу, можно также исполь-
зовать соотношение Uo (?) df = Uo (v) dv, откуда
ОМ = = Ом
В общем случае в системе координатх'О у', связанной с объек-
том наблюдения, освещенность точки (х', у') равна
+°°
Е (х', у') = nToSin2 и j J В (xi, y'i)h(x', у, х{, y'i) dx\ dy\.
— оо
Для изопланарной системы
-f-00
Е (*'. у) = лТ0 Sin2 и j I В (xi, у\) h (х' — х\, у' — y'i) dx'i dy\ =
-----------------------00
—|—оо -J-CO
= jtToSin2w'J dy{ J В(x'i, y'i)h(x — xi, у — y'i)dx'i.
---------------OO --00
Внутренний интеграл представляет собой одномерную (по
координате х') свертку функций В (х', у'\) и h (х', у' — у\), т. е.
-роо
в (xf, y'i) ®h(x', у' — yi) = J В (x'l, yi) h (х' — xi, у’ — yi) dxi.
— оо
Спектр свертки равен произведению спектров
*В (х, yi) 0h(x, у’ — yi)1 = В (v, yi) h (v,y' — y’i).
Следовательно, сечение спектра исходной функции Е (х', у')
равно
+°°
£ (v, у') = лТ0 sin2 и' J B*(v, y’i) h (v, у' — y'i) dy'i.
— oo
Так как у' ~ у и нас интересует сопряженное сечение спектра,
то
Ё* (v, lj) = лТ0 sin2 и' J B*(v, уг) h*(v, у — у±) dyv.
•—оо
Здесь
+°°
в* (V, = В* (V, ?1) = J В (xi, y'i) ^nvxi dx'x.
-—00
У — У\) = j h(x', у — yi) e/2nvx' dx';
— oo
406
(/i, y'i) — произвольная точка в системе координат, связанных
с объектом.
Учтем, что xf = х — vt == х — х0. Так как хх — произволь-
ная координата, то, полагая хх = х0, получим
—оо
/г* (v, У — г/i) = J h (х — хх, у — yf) e/2ixv <х~х^ d(x — хх).
При переходе к временным спектрам достаточно сделать под-
становку v _ flv. В результате можно найти
—оо
х (4"’ y — y^dydyi-
Если оптическая система идеальна, т. е. светящаяся точка
в плоскости предметов изображается в картинной плоскости вновь
в виде точки (а практически — в виде пятна, размеры которого
пренебрежимо малы по сравнению с мгновенным полем зрения
прибора), то функция рассеяния представляет собой дельта-
функцию:
h (х — хх, у — Z/x) = 6 (X — Хх, у — Z/x) = б (х — хх) б (у — z/x).
Следовательно, в этом случае сопряженное сечение спектра функ-
ции рассеяния
причем 6* (v) = 1.
Тогда спектр сигнала, вырабатываемого безынерционным
приемником, установленным в плоскости изображения, создавае-
мого идеальной оптической системой
(f) = "Ту J j в> ( -L, yt) § (1, у } 6 (у - У1) dy dih.
— оо
Учитывая фильтрующие свойства дельта-функции, найдем
Если оптическая система, имеющая аберрации, визирует то-
чечный источник (дельта-функцию), то
В (xi, у{) == /6 (xi, y'i) = IS (xi) 6 (/1),
где I — сила света источника.
407
Следовательно, сопряженное сечение спектра распределения
яркости
B*(v, ^[) /6* (г) 6 (г/i) = /б* (v) 6 (^),
причем 6* (v) =1.
В свою очередь, входящий в исходное уравнение коэффициент
л sin2 и' для случая наблюдения точечного источника представим
в виде
л sin2 и' -= л (d/2)2/(f)2 = Лб/(Г)2»
где Аоб = л^2/4 — площадь входного зрачка объектива; d —
диаметр входного зрачка; f' — заднее фокусное расстояние.
Если бы источник излучения имел площадь Дист и находился
на расстоянии L от объектива, то его изображение, создаваемое
идеальным объективом в сопряженной плоскости, совпадающей
с задней фокальной плоскостью при L —> оо, имело бы площадь
анст = Днст (f')2/L2. Поскольку (A11CT/L2) (/')2/аист == 1, можно
записать
— cin2 п' _ Арб Аист (/ )2 _ АиСт Арб
и _ L2 £2 .
Для рассматриваемого случая площадь источника Аист и
его изображения в идеальной оптической системе «ист одинаковы
(являются точками), т. е. Аист/анст = 1,
л sin2 и' = A^IL2 — л (d/2L)2.
Тогда спектр сигнала при реакции на единичный импульс найдем
в виде
ЭД tf) = яТ«^21>8 1 j j s (-L, у) /? (4, у - у.) в(й) dy dV1.
•—00
Учитывая фильтрующие свойства дельта-функции [функция 6 (уг)
отлична от нуля только при уг =0], получим
ЭДф _ / у § й* (4,dy.
— оо
Если точечный источник визируется идеальной оптической
системой, легко найти, что спектр сигнала определяется лишь
одномерным (вдоль оси х) спектром приемника излучения:
U'M^nT0(d/2L}4-S^-.
Спектр сигнала на выходе усилителя во всех случаях равен
408
Выражение для спектра сигнала, которое получается при визировании то-
чечного источника, можно получить непосредственно из основных соотношений,
не пользуясь понятием дельта-функции и искусственным приемом вычисления
коэффициента л sin2 и'.
Действительно, поток излучения от точечного источника, воспринимаемый
объективом, равен L2. Освещенность плоскости изображения в произволь-
ной точке изопланарной системы определяется этим лучистым потоком и функ-
цией рассеяния объектива:
Е (х, у) = /То (Лоб/£2) h (х, у).
Так как в общем случае
4-°°
—оо
а
Ё* (f/vSy) = /То (4o6/L2)/? (f/v, у),
то
эдtf)_ цъуиг, j
§ 3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА СПЕКТРА СИГНАЛА
Многочисленные примеры расчета спектра сигнала приводятся
в монографии Н. С. Шестова «Выделение оптических сигналов на
фоне случайных помех». Рассмотрим здесь следующие характер-
ные случаи расчета:
1) идеальная оптическая система и разделяющиеся переменные
в функции распределения чувствительности приемника излу-
чения;
2) идеальная оптическая система и неразделяющиеся пере-
менные;
3) оптическая система с аберрациями;
4) сканирующая оптическая система, для которой известен
закон набегания изображения цели на чувствительную площадку
приемника излучения.
3.1. Расчет спектра сигнала, вырабатываемого
безынерционным приемником излучения,
установленным в плоскости изображения
идеального объектива, когда переменные
в функции распределения чувствительности приемника
разделяются
Предположим, что объект наблюдения имеет прямоугольную
форму и одинаковую яркость по всей поверхности. Фотослои при-
емника излучения размещен в начале координат и также имеет
прямоугольную форму с одинаковой чувствительностью во всех
точках его поверхности (рис. 304).
409
Соответствующие функции можно представить следующим
образом: -гЯ ь*. „j .-Ч ч
для распределения чувствительности приемника излучения
5 (х, у) = S0S (х) S (у);
W 10 при |х|>а/2;
11 при | у\ < 6/2,
$ (У) — |о ПрИ । у । > 6/2;
Рис. 304. Формы объекта наблюдения и приемника излуче-
ния, а также соответствующие им спектры: а — форма
чувствительной площадки приемника излучения; б —
форма объекта наблюдения; в — спектр сигнала и его со-
ставляющие:
для распределения яркости объекта наблюдения
В (х, у) = В0В (х) В (г/);
11 при | х | < //2;
|0 ПрИ |Z/2;
11 при ] у | < /г/2;
- (0 при | у | > /г/2;
причем h /> b.
Сечения спектров этих функций:
-|-CQ -j-fii/2
S (V, у) = j S (х, у) e~i2nvxdx = S0S (у) j e-/2nv* dx =
-—oo —a/2
= S,taS (y) sa (jwa);
410
+°° Ч-//2
B*(v,y) = j В (х, y)ei2nvx dx = В0В (у) j ei2nvx dx ~
— ОО —1/2
= В01В (у) sa (л\7).
Спектр сигнала, вырабатываемого безынерционным приемни-
ком, установленным в плоскости изображения идеальной опти-
ческой системы:
—оо
, +°°
лТ° ™L.U BQsoal Sa ( л а ) sa (л J В (у) S (у) dy.
Так как
+« +Ь/2
J B(y)S(y)dy = J dy = b,
—оо —b/2
ТО
^00 (f) — j" “ BoSoalb sa (л a) sa (л =
Вид полученного спектра представлен на рис. 304, в для случая,
когда а < I.
Так как частота сигнала, соответствующая первому нулю
спектральной плотности, для каждой составляющей спектра
равна либо via, либо v/l, то для результирующего спектра эта
частота равна /01 = v/l, где I — размер изображения объекта
наблюдения вдоль оси х. Для определения скорости движения
изображения v предположим, что сканирование осуществляется
. становленным перед объективом Об плоским зеркалом 3 (рис. 305),
вращающимся с частотой п3(с"1). Скорость вращения визирного
лУча в этом случае п = 2п3.
411
Так как соотношение между линейным и угловым отклонением
визирного луча имеет вид х = f'a, то
dx гг da
v --dT-l ЧГ-1-’
da
где Q ---------угловая скорость вращения визирного луча,
рад-с1; f' — заднее фокусное расстояние объектива.
Поскольку Q — 2л/г = 4лп3, то
v = 4nnj’.
Если п3 — 5 с-1; f' = 200 мм; I = 4 мм, то
v = 4л5-0,2 = 12,57 м-с-1.
Следовательно,
f01 = и//= 12,57/4-10-3 = 3141,6 Гц.
3.2. Расчет спектра сигнала, вырабатываемого
безынерционным приемником излучения,
установленным в плоскости изображения
идеального объектива, когда переменные
в функции распределения чувствительности приемника
не разделяются
Предположим, что объект наблюдения представляет собой
бесконечно длинную полосу равной яркости, а форма чувстви-
тельной площадки приемника излучения определяется круглой
диафрагмой поля, внутри которой чувствительность неизменна
(рис. 306). Схема сканирования соответствует рис. 305.
Функции, описывающие распределение чувствительности при-
емника и яркости источника, имеют следующий вид:
(So при х2 4- у2 < г2;
S(x, «/) = L 2 о ,
v (0 при х2 -|- у2 > г;
(Во при | х| < //2;
В(х, y) = B(x) = L . ' /9
v |0^ при |х| >112,
причем г < I.
Сечение спектра функции В (х, у) можно найти в виде
В* (f/^. У) = Во/ sa [л. (f/v) I].
В соответствии с результатами § 9 гл. 12 спектр функции
S (х, у), имеющей осевую симметрию, определяется преобразова-
нием Ганкеля и равен
S (х) = Sonr22Jj (z0)/z0,
где х — пространственная частота; z0 = 2лхг; Jr (z0) — функция
Бесселя первого порядка.
412
Так как функция S (х) обладает осевой симметрией, то, пола-
гая х =f!v, можно найти
S У} = nr2S02J, (z0)/z0,
где ?о = 2jt (fM г-
Следовательно, искомый спектр сигнала
Е'оо(ft = sa (я -L z)
_ it со /р-тт f I \ |2л (//и)л]
— UmaxSa^Zn— g J 2п (f/v) г ‘
Рис. 306. Формы объекта наблюдения и приемника излучения,
а также соответствующие им спектры: а — форма чувствитель-
ной площадки приемника излучения; б — форма объекта наблю-
дения; в — спектр сигнала и его составляющие:
V
Вид спектра показан на рис. 306, в. Так как функции, состав-
ляющие спектр, первый раз обращаются в нуль на частотах v/l
11 0,61 v/r соответственно, то при г <_ I для результирующего
спектра эта частота равна v/l. Если v 12,57 м с-1 (/' = 200 мм;
«3 = 5 с-1); 1—4 мм, то
f01 = v/l =3141,6 Гц.
413
3.3. Расчет спектра сигнала,
вырабатываемого безынерционным приемником излучения,
установленным в плоскости изображения объектива,
обладающего аберрациями
Предположим, что приемник излучения и объект наблюдения
имеют распределения чувствительности и яркости такие же, как
в § 3. Функцию рассеяния объектива аппроксимируем гауссои-
дой вращения, т. е. запишем
Мр) = 11/(2лр?)]е-|>2/<2‘>§).
В этом выражении постоянный множитель 1/2лро введен для
оо
выполнения условия нормировки, т. е. 2л J h (р) pdp =1, а 2р0
о
представляет собой диаметр кружка рассеяния, отсчитанный на
уровне 0,606 от максимального значения (диаметр кружка рас-
сеяния на уровне 0,1 от максимального значения равен 4,28 р0).
Так как в данном случае
р2 = (х — xj2 + (у — t/i)2,
то
/г(х — X], у— у±) = [1/(2лро)] е хО2/(2ро)е—^—^1)2/(2рб).
Сечения соответствующих спектров равны:
<S(v, У) = (у) sa (nw);
В* (v, В01В (уJ sa (jivZ);
Я* (V, //-//!)= (1/1/2^) e-(23XVpo)2/2e-^-^)2/(2p2o).
Спектр сигнала, вырабатываемого безынерционным прием-
ником, установленным в плоскости изображения:
Оо(f) = лТ|4‘" J| в* (4-, у,) § (4т ’ y)h <v’ У - =
— оо
= f£=-sa (лад) sa (nvZ) e-t2" (W p«T/2d7,
v V 2jrpg
где
3 = f f В (у,) S (у) dy dyt.
Пусть функции В (yx) и S (у) определяются выражениями:
[ 1 при | z/i [ с /г/2; [0 при | #11 > h/2;
s(^) = j [1 при |z/| <Ь/2; (0 при | г/| >^/2.
414
Тогда
+Ы2 H-ft/2
<7 = [ dy [ e-fi'-i'O’/PPS) dyi.
—b/2 —hfr
Рассмотрим внутренний интеграл <7ВИ. Полагая (у — r/J/po =
= z, найдем
((/—0,5/г)/ро _
<7« = - A> j e~*!/2 dz = p0 [ф (_У + °'М ) _
(!/+-0,5Л)/ро \ P° /
у — 0,5ft
Ро
G/±0,5h)/po
Ф/ у ± 0,5ft \ 2 г ,,о ,
-------------—----J = "|-?2n J е~г С2 — интеграл вероят-
ности.
Следовательно,
.Г— +Ь12
—6/2
j / /с\__ *-То sin LI DO
\l) —' --------^>0^0 ~~2
X sa (л aj sa (л -L /)е“Г2л — <72),
где
+W2
Л= J ф(
—Л/2
y-\- 0,5ft
Ро
dy\
+Ы2
J ф(
-Л/2
у — 0,5ft
Ро
Найдем lt сделав замену переменных:
С = У + 0,5/г;
тогда
(М-Л)/2
o7i —
(Л-Л)/2
а
Воспользуемся известной формулой
f Ф (|/2а?) dl = ?Ф (V2а{) + е 1
J V ал
415
Так как
а= 1/(]/2р„),
то можно найти
Г 7^.- (^/(Ч) . ы,
И * 4р?
bh
где sh —,=-----------к-------------гиперболический синус.
4ро 2
Соответственно
^_Л = (6 + /!)ф(1 + Л)_(Ь-Л)ф(^Л)-
. 1 / К2“ро - <ь®+Л2>/(в^) ы,
V п 4р2
Окончательно найдем
Uо (/) = ^max sa [л (f/v) a] sa [л (f/v) I] е [2Л <Ш Ро1 '2
где
Y, nTasm2u' г> е al Г/» । +
^шах = --------- BoSo[ (& + М Ф (“2^-) —
Оценим влияние диаметра пятна рассеяния объектива. Для
этого предположим, что размеры объекта наблюдения малы и
его спектр не влияет на результирующий спектр Uo (f), т. е.
sa [л (flv) I] 1.
416
Диаметр кружка рассеяния объектива на уровне q от макси-
мального значения освещенности в центре пятна
2pv —2р0]/—2 Ьн/.
Предположим, что система согласована, т. е. диаметр кружка
рассеяния па уровне q равен размеру чувствительной площадки
приемника излучения а:
а — 2<>(/ = 2р0 ]/ — 2 In q.
Будем оценивать влияние абберраций объектива на резуль-
тирующий спектр (ЧКХ) системы по относительной спектральной
плотности р функции рассеяния на
частоте, которая в 2л раз меньше ча-
стоты /01, соответствующей первому
нулю оптической передаточной функ-
ции приемника.
Так как f01 = via, то
/oi = f/(2po/— 2 In?).
Учитывая, что в соответствии
с принятым определением
= е- [2Л (f01/2ny) р0]*/2 = е1/(16 In </)
а
16 In </ = - 8 [2р,/(2(>о)12 = — 8(^/р2о,
получаем
Рис. 307. Зависимость р от q,
учитывающая влияние аберра-
ций объектива па ЧКХ оптиче-
ской системы прибора
„ _ «- '/!“ (р«/ро)21
/7 — С
Соответствующие значения представлены в табл. 22.
Зависимость р от q приведена на рис. 307. Из этой зависимо-
сти следует, что если диаметр ^кружка рассеяния, измеренный
на уровне 0,7 от максимальной освещенности в его центре,
Таблица 22
Влияние аберраций объектива на ЧКХ
ч %/Ро Р <7 Р7/Р0 р
0 оо 1,0 0,8 0,67 0,76
0,1 2,15 0,97 0,9 0,46 0,55
0,2 1,79 0,90 0,95 0,32 0,29
0,3 1,55 0,95 0,97 0,25 0,14
0,4 1,35 0,93 0,98 0,2 0,04
0,5 1,17 0,91 1 0,99 0,14 1,7Х
0,6 1,01 0,88 1 X 10’3
0,7 0,84 0,84 1,0 0 0
вписать в размер чувстви-
тельной площадки приемни-
ка, то на частоте, в 2л раз
меньшей частоты первого ну-
ля передаточной функции
приемника, т. е. на частоте,
примерно равной 0,16/о1,
аберрации объектива умень-
шат контраст на 16%. В сто-
рону меньших уровней идет
медленное увеличение кон-
траста, в сторону больших
уровней — быстрый спад.
14 М. м Мирошников
417
3.4. Расчет спектра сигнала для случая,
когда задан закон набегания изображения
точечной цели на чувствительную площадку
приемника излучения
Спектр сигнала, вырабатываемого безынерционным приемни-
ком, может быть рассчитан непосредственно из преобразования
Фурье, если известна функция (/), определяющая закон изме-
нения сигнала приемника:
+г°
&„(/) = J
— оо
Для безынерционного приемника функция Uo (t) точно вос-
производит закон изменения воспринимаемого приемником по-
тока излучения Ф (/) — закон набегания изображения цели на
АДУ
10
-t -0.51вл 0 O.StBx t
Рис. 308. Аппроксимация за-
кона набегания изображения
точечной цели на чувстви-
тельную площадку прием-
ника
чувствительную площадку приемника
в процессе сканирования:
Ф(0 =Фйт(0,
где Фо — эффективное значение потока
излучения, падающего на приемник,
когда цель находится в центре мгно-
венного поля зрения; у (t)—функция,
описывающая закон изменения потока
излучения, падающего на приемник,
в процессе сканирования.
В свою очередь,
и0 (0 = Uoi (0.
где Uо — 50Ф0; So — дифференциальная крутизна преобразова-
ния безынерционного приемника (реального приемника для ча-
стоты модуляции f —> 0).
Функцию *у (0 можно найти, исследуя процесс набегания
изображения точечной цели на чувствительную площадку при-
емника.
Рассмотрим два крайних случая (рис. 308).
1. В приборе используются высококачественный объектив и
приемник излучения (диафрагма поля для системы с конденсором)
относительно большого размера. В этом случае диаметр кружка
рассеяния объектива значительно меньше размера приемной
площадки (диафрагмы поля) и функция -у (/), характеризующая
закон набегания, аппроксимируется прямоугольной функцией
Тир (0-
|1 при I /1 < fBX/2;
Т,,р(0 (0 при |/|>/пх/2.
418
2. Максимальный диаметр кружка рассеяния объектива, при
котором еще не происходит потерь энергии, когда цель находится
в центре мгновенного поля зрения, равен размеру приемной пло-
щадки. Следовательно, этот случай характеризуется плавной
кривой закона набегания. Конкретный вид функции у (/) зависит
от распределения энергии в кружке рассеяния объектива и рас-
пределения чувствительности прибора внутри мгновенного поля
зрения, т. е. от диаграммы направленности приемной системы
(по терминологии, принятой в радиолокации). Достаточно удобно
и точно можно аппроксимировать эту функцию косинус-квадрат-
пым законом набегания:
при |/|</вх/2;
О
при |/|>/пх/2.
Найдем спектр сигнала для рассмотренных двух крайних слу-
чаев, имея в виду соотношения, полученные в § 5 гл. 12.
Так как
-|-со —|—оо
&о(0 = J = f у(/)е“'2"/( dt,
— О<? ---ОО
то для четной функции у (/), существующей в симметричных пре-
делах zt/BX/2, имеем косинус-преобразование Фурье
4"^ВХ/2
Ц) (f) ^0 J У (0 cos 2nft dt = Uot^ у (f),
“'вх/2
где
^'вх/2
?(/) = -/- f Т (о cos 2nft dt-, = ФЛД,.
Для прямоугольной формы импульса набегания найдем
+'вх/2
V (П = —1 - f cos 9л/7 dt — sin •
/вх J C0S-nltat 2nf(tBK/2) ’
гвх/^
вводя для краткости обозначение
sa х — sin x/x,
получим
Т„р (/) = sa [2л/ (ZBX/2)] = sa (лДвх).
Найденная функция обращается в нуль при 2nf (tRJ2) — пл,
где п = ±1, ±2, . . .; в точке п = 0 раскрытие неопределенности
14:i
419
дает значение т1ф (0) _ 1. Соответствующий график модуля
спектра прямоугольного импульса имеет вид, показанный на
рис. 309 (кривая /1).
Наименьшая частота, при которой спектральная плотность
обращается в нуль, равна
foi —
Максимальные значения спектральной плотности соответствуют
частотам, определяемым из уравнения
d / sin х \
dx \ х / ’
откуда
где х = 2л/ (ZliX/2), т. е.
чению х = 0, а первый
X - tg X,
главный максимум соответствует зна-
боковой максимум — значению х
Рис. 309. Спектры прямоугольного (Л) и косипус-квадратного (В)
импульсов
,43л (257°), или fniaxi — 1,43/Z1JX. Спектральная плот-
ность в первом боковом максимуме будет определяться величиной
Тир (Uxi) ~ 0,22.
Для косинус-квадратной формы закона набегания можно наити
+'вх/2
Ткк (/) = 77 J “S2 Ч cos 2nf‘dt
-t^/2
Полученный интеграл
~ _л г sa [2jt/ (Zbx/2)] гл г sa (л//вх)
Ткк (/) — 0,5 1 __ (//вх)2 — 0,5 J __ (Z/bx)2 ,
а его нормированное значение
l-(/ZBx)2 l-(/ZBx)a '
420
Функция спектральной плотности обращается в нуль при
2.п/ (/вх/2) — /?л для /г = ±2, 3, 4, . . .; при /г = О и k — I имеет
место неопределенность. Неопределенность в числителе при /г -- О
легко раскрывается по правилу Лопиталя, что дает значение
Y (0) =0,5. Раскрытие неопределенности при /г = 1 (/ = 1//вх)
дает значение укк (1//вх) =0,25. Соответствующий график спектра
косинус-квадратпого импульса имеет вид, представленный на
рис. 309 (кривая В).
Наименьшая частота, при которой спектральная плотность
обращается в нуль, равна
/oi — 2/ /вх.
Максимальные значения спектральной плотности соответствуют
частотам, определяемым из уравнения
d / sin х
dx \х[1 —(х/л)2]
откуда
1 — (х/л)2
i — 3 (х/л)2
= tg X,
ПЛИ
Х 1-j-2/[ 1 — (л/х)2) tgX’
где х = 2л/ (/вх/2), т. е. главный максимум соответствует зна-
чению х = 0, а первый боковой максимум — значению х
+2,36л (425°), или /щах 1 —2,36/Сх- Спектральная плот-
ность в первом боковом максимуме будет определяться величиной
Ткк (Апахх) ~ 0,027.
Часть IV
ШУМ
Г лава 16
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ШУМА
§ 1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Несмотря на возможность усиления сколь угодно слабых сиг-
налов до любой величины, все же их не всегда удается зареги-
стрировать из-за хаотических флуктуаций или шумов. На зажи-
мах любого приемника или системы, состоящей из приемника и
усилителя, обычно существует определенный уровень шума. Этот
шум определяет нижний предел энергии, которая еще может быть
обнаружена.
Любая величина, характеризующая работу приемника излу-
чения (напряжение, ток, сопротивление и т. д.), флуктуирует по
случайному закону около своею среднего значения. Эта флуктуа-
ция и есть то, что мы называем внутренним или собственным шу-
мом приемника.
Распределение яркости природных образований в поле зрения
прибора также имеет случайный характер, создает неоднородный
фон, препятствующий обнаружению объекта наблюдения В про-
цессе сканирования неравномерности яркости фона в пространстве
преобразуются приемником излучения в случайные изменения
вырабатываемого им сигнала, которые принято называть шумом
фона.
Наряду с этим входная цепь усилителя и усилитель характе-
ризуются собственными шумами усилителя, увеличивающими об-
щий уровень шума прибора.
Процесс регистрации сигнала при наличии шумов требует
предварительного знания отличительных признаков сигнала и
шума. Использование этих признаков позволяет решить задачу
обнаружения — ответить на вопрос о наличии или отсутствии
сигнала. Обычно ответ носит вероятностный характер, т. е. су-
ществует определенная вероятность и ложного решения. Это свя-
422
хано с тем, что любой признак или свойство в той или иной степени
присущи как сигналу, так и шуму.
По теории шумов и проблемам обнаружения имеется^большое
число книг и статей, поэтому главной задачей последующего
изложения является подготовка читателя к свободному обраще-
нию с соответствующей терминологией и получение тех минималь-
ных сведений о шуме, которые позволят в заключительной части
этой книги решать простейшую проблему обнаружения.
С точки зрения математика шум представляет собой случай-
ную функцию, которая в результате опыта может принять тот
или иной конкретный вид, какой именно — заранее неизвестно.
Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в ре-
зультате опыта, называется реализацией случайной функции.
Случайную функцию нельзя изобразить в виде графика, на-
чертить можно лишь ее конкретную реализацию.
L Аргументом случайной функции может быть не только время,
но и пространственные координаты. Например, яркость земной
поверхности представляет собой случайную функцию координат
рассматриваемой точки. Температура воздуха в различных слоях
атмосферы может рассматриваться как случайная функция вы-
соты и т. д.
На практике встречаются также случайные функции, завися-
щие не от одного аргумента, а от нескольких. Например, яркость
данной точки земной поверхности зависит от времени суток, т. е.
является случайной функцией пространственных координат х,
у и времени t.
Рассмотрим некоторые математические методы описания шума,
используя в качестве аргумента обобщенную координату %, кото-
рая в одних случаях может представлять собой временную коорди-
нату t, а в других — пространственные координаты х и у.
§ 2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Статистические свойства шума в общем случае описываются
многомерными законами распределения.
Пусть имеем случайную функцию U (х), две конкретные реали-
зации которой (х) и Uz (х) изображены на рис. 310.
Если зафиксировать значение аргумента х> т0 случайная
функция при этом фиксированном аргументе будет представлять
собой случайную величину, которую называют сечением случайной
Функции. Эта случайная величина U может принимать любые
значения, заранее неизвестно — какие именно.
Предполагая, однако, что вероятность попадания случайной
величины U внутрь малого интервала dU пропорциональна ве-
личине интервала, можно охарактеризовать ее этой вероятностью
dP = ф (U) dU
423
Или значением коэффициента пропорциональности — функцией
। П 1\ dP
'Ну)=-аг
которую называют плотностью распределения вероятностей слу-
чайной величины U, или, поскольку U есть сечение случайной
функции, одномерным законом распределения вероятностей слу-
чайной функции.
Так как непрерывная случайная величина I/ обязательно
имеет какое-либо конкретное значение в промежутке от —оо
до -фоо, т. е. вероятность пребывания ее в этом промежутке равна
единице, имеем следующее условие для функции ф (U):
4-о°
J 1,
которое называют условием нормировки.
Одномерный закон распределения ф (U) не является исчерпы-
вающей характеристикой случайной функции U (х). Он характе-
ризует распределение вероятностей только для данного, хотя и
произвольного, значения аргумента и не отвечает на вопрос о
распределении случайных величин U для различных х-
Более полной характеристикой случайной функции является
двумерный закон распределения ф (Ult U2) — это закон распре-
деления системы двух случайных величин =U (Хх) и l/2 =
== U (Хг)> т- е- Двух произвольных сечений случайной функции.
Определить двумерный закон распределения можно, задавая
вероятность dP того, что одна случайная величина имеет значение,
заключенное между и Ux -\-dUx, а другая — между U2 и
U 2 + dU2,
dP = ф U2) dUidU2,
тогда
dP
424
причем
-I -«
[|ф((Л, UJdUidU^ 1;
— oo
I co
f Ф (^i> ^2) dU2 = ф (tQ.
— 00
Так как L/j и U2 являются функциями и х2, закон распре-
деления иногда представляют в виде ф (С\, (У2, хг, %2) или со-
ответственно ф (U, у).
Можно неограниченно увеличивать число аргументов и полу-
чать все более исчерпывающие характеристики случайной функ-
ции — многомерные законы распределения. Однако оперировать
с такими громоздкими характеристиками крайне неудобно.
Кроме того, получение столь полных характеристик исследуе-
мых процессов, например случайного распределения яркости
фона, оказывается весьма сложной задачей. Поэтому на практике
приходится использовать неполный набор вероятностных ха-
рактеристик, ограничиваясь, например, одномерным или дву-
мерным законом распределения.
Законы распределения большей частью неизвестны, однако
при весьма общих дополнительных условиях во многих случаях
они хороню аппроксимируются нормальным или гауссовым зако-
ном распределения.
В одномерном случае плотность распределения вероятностей
для нормального закона равна
ф(С7) = (1//2ло2) е-
где о2 — параметр нормального закона; U — среднее значение U,
называемое часто центром рассеивания.
Величина о определяет полуширину части кривой, описывае-
мой функцией ф (U), включающую в себя все точки, находящиеся
выше уровня 0,606 от максимального значения, равного 1/]/ 2jtc2
при U = V. Так как
dx =
а
то функция ф (U) удовлетворяет условию нормировки, т. е.
Ц-оо
J 4(U)dU^\.
425
Для удобства отклонение U от среднего значения U часто
выражают в единицах величины о, называемой стандартным
или среднеквадратическим отклонением,
— U)/g = &U/о = и/о,
где At/ = и — U — U — центрированное значение случайной ве-
личины.
Тогда
4(z) = (1/К2л)е~г2 2,
—|~оо
причем Ji]'(z)dz=l.
Двумерное нормальное распределение имеет плотность распре-
деления вероятностей вида
4 (<А, = [ 1 /(2лохо2 ] X
1 „7 сл-ТМ (и2-й2\, (и2-и2\’2\
х ~ 2 (1-,Д L\——о," Д —— J + k о2 ) I,
или
_ Г__________-М2 [21- 2г2122 + 221
4 (zi> Д) = 11/(2л ]1 — г2)] е
где О], о2 — стандартные отклонения случайных величин (се-
чений случайной функции) (Д и U2; Ult U2 — средние значения
случайных величин Uх и U2; г — коэффициент корреляции слу-
чайных величин Ux и U2, определение которого приводится ниже.
Функции ф (Ult t/2) и ф (zlt z2) связаны соотношением
j J ф (Д, U2) dUt dU2 = j J 4 (zlt z2) dzx dz2 == 1.
— co —oo
Если r = 0, to
-(1/2) (z2 + 22)
4(zi’ £2) = (1/2л)е v =
В этом случае двумерная плотность распределения вероятно-
стей может быть представлена в виде произведения двух одномер*
ных функций
4 (^1, z2) — 4 (zi) 4 (z2)>
что существенно упрощает ее исследование.
426
Наряду с нормальным законом распределения при анализе
шумов, прошедших через узкополосный фильтр и детектор элек-
тронной схемы *, используется распределение Релея, для которого
Ф (U) =
(t//4)e "
7М)
Так как
О
при U > 0;
при U < 0.
оо
J x"e~ax'-dx =
о
Г[(п+ 0/21
2а<"+1,/2
где Г — гамма-функция, то при п = 1 и а = 1/(2од.)
f —ах2 Л Г(1)
хе dx = ь 7
о 2а
1 2
2а ~О,<
Следовательно,
-I оо
J ф((7)йУ=1.
— оо
Соответственно, если обозначить z = Ulak, то
Ч-й = Ш)е“г!/2.
Вид функций для нормального и релеевского (при Gk = 1)
распределений представлен на рис. 311.
Вероятность того, что сечение случайной функции U (у) для
аргумента у, равное U, не превзойдет значения U равна
170
— со
Функцию, задающую эту вероятность, называют функцией
распределения вероятностей сечения случайной функции
и»
P(UII)-P\U<UU\^ J <f(U)dU.
На выходе узкополосного фильтра шум представляет собой модулирован-
ное колебание, все параметры которого — несущая частота, фаза и огибающая —
являются случайными медленно меняющимися функциями времени. Среднее
значение несущей частоты равно частоте настройки фильтра, а среднее значение
частотного отклонения шума близко к полосе пропускания фильтра. Фаза несу-
Цеи частоты равновероятна в интервале от —л до +л. Плотность вероятности
01 "бающей определяется распределением Релея, а спектр огибающей примы-
"‘г к нулевой частоте. Эта огибающая может быть выделена на нагрузке лп-
Н'нного пли квадратичного детектора.
427
Полученное соотношение устанавливает связь функции распреде-
ления с плотностью распределения вероятностей сечения случай-
ной функции.
Очевидны также следующие соотношения:
оо
1 - /• (1/„) = Р\и > 17,1 = J ф (U) dU-
Vo
-\Uo
-l/0
Последнее соотношение, определяющее вероятность того, что
сечение случайной функции U (у) для аргумента %, равное С/,
Рис. 311. Плотности распре-
деления вероятностей (а) и
функции распределения ве-
роятностей (б) для нормаль-
ного (/) и релеевского (//)
законов распределения веро-
ятностей случайных функций
будет находиться в пределах от —Uo до -ф(70, т. е. по абсолют-
ному значению не превзойдет уровня (70, представляет наиболь-
ший интерес.
Действительно, для нормального закона, когда i|? (z) — чет-
ная функция, найдем
г0
Р {— z0 < 2 < z0} = 2 | ф (z) dz
о
2
V 2л
20
О
e~z2/2dz,
где z = (U — U)/o.
Полученное выражение, называемое интегралом вероятности
Гаусса, табулировано. Значение интеграла вероятности
Ф (z0) = -L=- (° e~z2/2 dz
v °' /2л J
приведено в виде кривой на рис. 277.
428
Иногда интегралом вероятности называют функцию
erf (z0) = f е-22 dz = Ф (J 2z0).
У л о
Так как в общем случае можно записать
F(U2)-F(U,) = P\U,<U<U,\ = ( +
т0 при и1 = 0 F (Ui) = F (0). Если ф (U) = ф (—[/), когда
f (0) 1/2, найдем
ь»
/•Ж)-о,5 = f ^(U)dU.
о
Следовательно, учитывая, что для нормального закона
г„
| ф (z) dz = 0,5Ф (?„),
о
получим
0,5Ф (г„) = F (z0) - F (0) = Р (z0) - 0,5.
Функция распределения вероятностей, определяющая вероят-
ность того, что сечение случайной функции не превзойдет зна-
чения z0, равна
F(z0) =0,5 [1 +<*>(?„)].
Вид этой функции для нормального и релеевского законов распре-
деления представлен на рис. 311.
Часто наиболее доступными и достаточными для описания
вероятностных характеристик случайных функций являются их
числовые параметры или так называемые моменты распределения —
математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция.
§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
Математическое ожидание случайной функции U (%) представ-
ляет собой некоторую среднюю (неслучайную) функцию, вокруг
которой различным образом располагаются конкретные реализа-
ции случайной функции.
При каждом значении аргумента средняя функция равна сред-
нему значению (математическому ожиданию) соответствующего
сечения случайной функции.
Среднее значение сечения случайной функции (среднее зна-
чение случайной величины) U равно сумме призведений всех
козможпых значений случайной величины (сечения случайной
429
функции) на вероятность этих значений, т. е. для непрерывной
случайной величины
-1-00
(/•— J Uq(U)dU.
— оо
Математическое ожидание случайной функции можно найти,
вычисляя U для различных значений аргумента у.
Для стационарных случайных функций, определение которых
будет дано ниже, математическое ожидание, вычисленное по мно-
жеству реализаций (ансамблю), есть просто число, которое назы-
вают средним по ансамблю, в этом случае U = const.
При экспериментальных исследованиях вероятностных ха-
рактеристик шума обычно используется другой способ усредне-
ния — усреднение по аргументу %. Среднее по аргументу равно
+х
t/apr-=Иппj U (хМь
где U (х) — одна из реализаций случайной функции, заданная
в интервале =±Х; 2Х — достаточно большой интервал, который
теоретически стремится к бесконечности, а практически величина
его столь велика, что результаты измерений существенно не от-
личаются от результатов, полученных внутри еще большего ин-
тервала.
В общем случае среднее значение для каждой реализации будет
свое и может значительно отличаться от математического ожида-
ния случайной функции, вычисленного как среднее из множества
реализаций. Однако для особого класса случайных функций,
получивших название эргодических, среднее по аргументу на до-
статочно большом участке наблюдения с вероятностью, сколь
угодно близкой к единице, равно среднему но множеству наблюде-
ний U = (7арг.
§ 4. ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
Дисперсия случайной функции U (х) представляет собой не-
которую неслучайную функцию, значение которой для каждого х
равно дисперсии сечения случайной функции.
Дисперсией сечения случайной функции (дисперсией случай-
ной величины) At/2 называется среднее значение квадрата откло-
нения случайной величины от ее среднего значения
At72 = (t/-(7)2 = J (U -U)2^(U)dU.
------------------CQ
Дисперсию случайной функции можно найти, вычисляя At/2
для различных х-
430
Так как
-j-no -|-оо } со
'Ш3= j (1/-Г)3ф(1/)<«7 = J U\(U)dU-2 J UU$(U)dU +
— оо —оо —оо
-1-00
: f (й)2 ф (U) ли ~ и2 - 2й й -и (t7)2 - и2 - (йу,
— оо
то при U = О
aU2 = Z72.
Величина 1^Д(72 называется среднеквадратическим отклоне-
нием (значением) случайной величины — сечения случайной
функции.
Для стационарной случайной функции дисперсия, вычислен-
ная по множеству реализаций, постоянна, т. е. является просто
числом, которое принято называть дисперсией по ансамблю,
в этом случае AL/2 = const.
Дисперсия случайной функции может также вычисляться как
среднее по аргументу %
-1-х
ЙД4 ;lim 2Г J 1С(х) - Й2<»Х-
1 Х->ео _Х
В случае эргодической случайной функции дисперсии, вы-
численные как среднее по аргументу и по ансамблю, совпадают:
Л(72 = дщ;.
Для нормального закона распределения среднеквадратиче-
ским значением является стандартное отклонение о, а диспер-
сией — о2. Действительно, в этом случае имеем
©о —|—со
ДЦ2 = f (U -U}2 ф (U) dU = r_L_ ( (U - U)2 e-((/-^)2/<2o2> dU.
__ V Д
Если г = (U — U)/o, то
-j-oo
Дг2 = -1= o2 ( z2e~z2/2 dz
/2л
о2 2Г (3/2)
— И2л где.б)1-5
ст2 К л/2
/2^ 1/(2 К2)
так как
оо
J
О
Г|(п+ 1)/2]
2П («4-0/2
а гамма-функцни Г [(п -ф 1)/2 J при и — 2 равна ]/ л/2.
431
Для распределения Редея можно найти:
U = | л/2оЛ = 1,253о/г;
KU2 - 12 - (л/2)] 4 = 0,429сД.
§ б. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ
СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Математическое ожидание и дисперсия не дают достаточно
полного представления о случайной функции. Две случайные
функции могут иметь одинаковые среднее значение и дисперсию,
но быть совершенно различными по характеру их изменения во
времени.
Рассмотрим два соседних сечения случайной функции, т. е.
две случайные величины = И (%г) и U2 = U (у2). При близких
значениях и у2 величины U ± и U2 связаны тесной зависимостью:
если величина (7j приняла какое-то значение, то величина (72
с большой вероятностью примет значение, близкое к нему. При уве-
личении же интервала между сечениями yj и %2 зависимость
между U t и U2 должна ослабевать.
Степень зависимости случайных величин (7, и U2 может быть
охарактеризована некоторой функцией двух аргументов и
у2 — корреляционной функцией, которая определяется как ма-
тематическое ожидание произведения двух центрированных слу-
чайных величин Ut—11г и U2— 17 2
кс, (Х„ Ъ) = =
+°°
= J U2)dUtdU2.
— оо
Вместо корреляционной функции пользуются также коэффи-
циентом корреляции
'Ъ Ъ) = (У, - {/,) (U2 - U2) 1^(17, — U,f (U2 - U2f.
Если Ir^l = 1, то говорят о полной корреляции (полной взаимо-
зависимости) случайных величин. Это имеет место, в частности,
когда = %2 — %, т. с Uх = U2 = U, так как в этом случае
корреляционная функция равна дисперсии
Кц(х) = (^-Й)2 = ДС72.
Если коэффициент корреляции равен нулю, то случайные вели-
чины пекоррелированы, т. е. полностью независимы друг от друга.
Если 0 < |/ц| < 1, имеет место частичная корреляция.
Для стационарного случайного процесса корреляционная
функция не зависит оттого, где именно на осн (времени или pav*
432
стояния) располагаются два рассматриваемых сечения U (уД
и U (%2)» а зависят только от величины разности Ау = | у2 ул
В этом случае
Мь х2) = к^(Дх).
Для эргодического случайного процесса функция корреляции
может быть вычислена как среднее по аргументу
+х
Kt/ (Ay) = Kapr (Ах) = lim J [U (у) - U] [U (у ф Ay) — U] d%.
х-><» _х
В ряде случаев рассматривается функция взаимной корреляции
двух случайных эргодических процессов U (у) и V (у). Эта функ-
ция характеризует статистическую связь этих процессов и опре-
деляется выражением
_____________ +х
Куу (Ay) - и (у) v (у -ф А у) = lim ( и (у) v (у -ф Ау) с/у.
Х->ОО _JX
Здесь
// (у) = U (у) - U (у); v (у -|- Ay) = V (у -ф Ay) — V (у -ф Ау),
где U (у), V (у -ф Ау) —сечения соответствующих случайных
функций при значениях аргумента у и у Ау.
При U (у) = V (у) функция взаимной корреляции переходит
в функцию корреляции, или, как ее часто называют, в функцию
автокорреляции, показывающую, насколько быстро уменьшается
зависимость значений случайной функции от ее предыдущего
хода. Максимальное абсолютное значение функции корреляции
не может превышать дисперсии, т. е. ее значения при Ау = 0.
Функция взаимной корреляции в отличие от функции корреляции
может не обладать свойством четности
К^(Х)¥=К^(-У)-
Для независимых случайных процессов функция взаимной
корреляции обращается в пуль.
В связи с завершением рассмотрения трех основных числовых
характеристик случайных функций (среднего значения, дисперсии
и корреляционной функции) остановимся на определении стацио-
нарного и эргодического процессов.
Случайная функция называется стационарной в узком смысле
или строго стационарной, если все ее n-мерные законы распре-
деления не зависят от начала отсчета (времени, пространственной
координаты и т. д.).
Случайная функция называется стационарной в широком
смысле, если ее среднее значение и дисперсия не зависят от аргу-
мента (времени, пространственной координаты и т. д.), а функция
корреляции зависит только от разности аргументов (/2 — 1у,
Х‘£ — X] и т. д.). Эти условия полностью выполняются и для
433
функции стационарной в узком смысле, так как из стационар-
ности в узком смысле следует стационарность в широком смысле,
но не наоборот.
Случайная функция называется эргодической, если ее среднее
значение, дисперсия и корреляционная функция, вычисленные по
нескольким реализациям (средние статистические или средние
по ансамблю), совпадают со средними значениями, вычисленными
для одной реализации при достаточно большом значении времен-
ного или пространственного интервала усреднения.
§ 6. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
ИЛИ СПЕКТР ХИНЧИНА —ВИНЕРА
Случайный процесс представляет собой множество (ансамбль)
случайных функций, обладающих различной формой и различной
внутренней структурой, т. е. различным спектром. Всегда можно
вычислить спектр для каждой конкретной реализации случайной
функции, пользуясь разложением Фурье, однако усреднение
комплексной спектральной плотности по всем реализациям при-
ведет к пулевому спектру из-за случайности и независимости
фаз спектральных составляющих в различных реализациях.
Даже для одной случайной функции разложение Фурье не имеет
смысла, так как представление ее в виде суммы гармонических
колебаний с амплитудами 2U (х) dx и вычисление спектральной
плотности О (х) приводит вновь к случайной функции, поскольку
каждая комплексная амплитуда является случайной величиной.
Следовательно, непосредственный спектральный анализ слу-
чайной функции не позволяет выявить, какого рода колебания
преобладают в данном процессе, какова его внутренняя структура,
так как спектральная плотность такого процесса сама является
случайной функцией.
В связи с этим вводится понятие спектральной плотности
дисперсии случайной функции, поскольку дисперсия представляет
собой неслучайную функцию, а ее распределение по частотам
определяет спектральное распределение среднего квадрата задан-
ной случайной функции. Спектральную плотность дисперсии на-
зывают также спектральной плотностью шума и представляют
в виде
откуда
й2 = J Е (х) dx,
о
где
434
Дисперсия случайной функции может быть разложена па беско-
нечно большое число элементарных слагаемых ТШ2 Е (х) dx,
каждое из которых представляет собой дисперсию, приходящуюся
на элементарный интервал частот dx, прилегающий к ча-
стоте х.
Если спектральная плотность
то шум называют белым, если же
место, то шум называют окрашен-
ным. Эта терминология заимство-
вана из физической оптики, где
белый свет представляют в виде
набора электромагнитных колеба-
ний всех частот, а окраска света
зависит от наличия преимущест-
венных (по энергии) частот в спек-
тре колебаний.
Для определения спектральной
плотности шума могут использо-
ваться следующие соотношения:
шума не зависит от частоты,
зависимость от частоты имеет
Рис. 312. Различные функции спек-
тральной плотности шума
н2 = j Е (w) dw,
с
1°°
н2 •-= j E((x)dx;
— оо
и2 J Е± (ay) dw,
— оо
где
/ ч rfx Е (х)
Е (ay) -- Е (х) -т— = - л ;
' ’ х ’ Aw 2л.
Ej (х) = Е (х)/2;
Et (ау) = Е (ау)/2;
w = 2зтх.
Область интегрирования в некоторых из приведенных соотноше-
ний расширена на интервал от -—сю до -| оо, т. е. в рассмотрение
введены отрицательные частоты.
Соотношения между функциями * Е (х), Ех (х), Е (ау), Е( (ау)
иллюстрируются кривыми на рис. 312.
* Иногда удобнее использовать иные обозначения. Например, обозначать
спектральную плотность, учитывающую отрицательные частоты, Е (х), а в обо-
значение спектральной плотности для положительных частот вводить индекс
« |-» у символа частоты, т. е. Е (х ) или Е (ьу+).
435
формально установленная связь Между дисперсией и спектраль-
ной плотностью шума может быть существенно углублена, если
найти зависимость спектральной плотности шума от функции
корреляции случайного процесса. Нетрудно понять возможные
причины такой зависимости. Действительно, чем больше взаимо-
связь между сечениями случайной функции, находящимися друг
от друга на значительном расстоянии, тем, очевидно, более мед-
ленно развивается процесс, не испытывая резких изменений в про-
межутках между рассматриваемыми сечениями. Следовательно,
в этом случае можно ожидать, что в спектральном распределении
дисперсии случайного процесса отсутствуют составляющие на
высоких частотах. Наоборот, если расположенные достаточно
близко друг от друга сечения случайной функции связаны между
собой слабо, можно ожидать быстрых изменений дисперсии
процесса, т. е. наличия значительной мощности его в высоко-
частотной области спектра.
Для установления интересующей нас зависимости предполо-
жим, что задана стационарная и эргодическая случайная функ-
ция U (%), определенная при всех значениях аргумента %. Пусть
функция U (%) имеет весьма большую, но конечную протяжен-
ность в интервале от —X до ф-Х, т. е. опа представляет собой
«урезанную» функцию, определяемую соотношением
и / ч при |5С|<Х;
X (х) — | q при | ^ | > X.
Функция автокорреляции рассматриваемой функции (7х (х)»
определенная как среднее по аргументу, равна
-1-х
К (Ах) = lim [ «х (X) «х (X - к Ах) ^Х,
х >- 2х
где нх (х) и «х (X + Ах) — центрированные значения функций
^х (X) и t/x (X + АХ)-
Функции их (х) и «х (X + А%) можно представить в виде
интегралов Фурье:
+ оо + °°
«х (х) — f Их (х) е+/2лнх dx = j Wx (х) е—/2лнх dx;
— оо — оо
«х(Х I AX)- j йщ.
— оо
Следовательно,
436
4 X 4*°° I 00
K(V/J = lim I [ J wx (*1)«х(х)е'2лХ1Лх x
X. ЛЛ V J •/ V
— X — 00 —00
Хе/2л(Х1~и)х dXdnclKL =
Но внутренний интеграл при X —> oo представляет собой дельта-
функцию
4-х
lim [e/2"|x'-,’>zd-/. = 6(zl-x),
X >00 _2 Х
поэтому
—|—со
к (Дх) - J J lim "х ^“Х-(Х). е н' “лх ’ Лх 6 (х, - х) dx dx,.
— со
Так как дельта-функция не равна нулю только при х, — х,
пользуясь фильтрующим свойством дельта-функции, найдем *
4- “ ~
К(Дх)= ( lim 1Ых9ХХ)1 е/2лхДхс/х.
Обозначив
Ei (х) = lim 1| ux(x) |2/(2Х)|,
X Л оо
найдем
4-°°
К (Д х) - j Е i (х) е/2лх Лх dx.
— оо
Поскольку из полученного соотношения видно, что К (Д%) есть
преобразование Фурье от Et (х), то справедливо также и преоб-
разование
—|—со
Е1(к)= J K(A-Z)e-''2”x4,:d(Ax).
* Можно показать, что полученное значение является оценкой функции
автокорреляции; более строгое рассмотрение приводит к выражению
со
К (ЛХ) f lim J."x(x)l2 е/2лхлх
J х->« ^X
— -ОО
437
При этом по-прежнему предполагается, что для случайной функ-
ции времени обобщенная координата % = t, а для случайной
функции пространственных координат % = х или х — У-
Функция Ej (х) называется энергетическим спектром случай-
ного процесса. Это название становится понятным, если учесть,
что при Дх = О
К (Дх) = К (0) = и2 = MJ2 = (U- U)2,
т. е. представляет собой дисперсию процесса.
Поскольку
-I оо
К(Лх)= f E1(x)e/2jtzAxdx,
—-оо
то
4-00
и2 -= J Ех (х) dx,
— оо
откуда следует, что
представляет собой спектральную плотность дисперсии — дис-
персию, приходящуюся на единичный интервал частот. Если
процесс развивается во времени, а случайной функцией и (t)
являются электрические напряжение или ток, то средний квадрат
этой функции можно рассматривать как среднюю мощность, вы-
деляемую в сопротивлении 1 Ом. Спектральная плотность средней
мощности представляет собой среднюю мощность, приходящуюся
на частотный интервал 1 Гц, т. е. мощность, умноженную на
время или энергию. Поэтому спектральную плотность дисперсии
процесса часто называют энергетическим спектром или спектром
мощности. Однако, если речь идет, например, о спектре флук-
туаций потока излучения, который сам является мощностью,
предпочитают пользоваться названием — спектр Хинчина—Ви-
нера, так как именно Хинчин и Винер показали, что автокорре-
ляционная функция и энергетический спектр случайного процесса
являются парой преобразований Фурье:
—оо
Е,(х) = J К (Д%) е-'2"* Л* d (Дх);
— оо
+ °°
К (Ду)- j dx.
438
Учитывая различные определения спектральной плотности шума,
а также четность корреляционной функции для стационарного
случайного процесса, можно найти:
-J-OO
Е1 (х) = J К (Дх) cos 2лх Дх d (Дх) =
— со
оо
= 2 j К (Дх) cos 2лх Дх d (Дх);
о
К(Дх)= j Ех (х) е/2ях Лх dx = 2 J Ех (х) cos 2лх Дх dx,
-------------ОО О
или
оо
Е (х) == 2ЕХ (х) = 4 f К (Дх) cos 2лх Дх d (Дх);
о
оо
К (Дх) = j Е (х) cos 2лх Дх dx,
о
или
4-00
Е, (w) = f К (Дх) е-'" А* d (Дх) =
Xsal If X-J L J
4" f к (А%) cos w Дх d (Дх);
о
К (Дх) = 2л J Е, (w) =
— оо
-1-00
= J E,(w)e'“’Az
— оо
dw — 2 J Ej (w) cos w Дх dw,
6
пли
oo
E (w) = 2EX (^) = 4 J K cos (ДХ);
о
К (Дх) — 4 ( E (w) cos w Дх dw.
6
Пол\чепные результаты сведены В табл. 23.
439
Т а б л и u а 23
Наиболее употребительные определения спектральной плотности
и вида преобразований Хинчина—Винера
Спек тральная плотность и ее связь с дисперсией Преобразование Хинчина-Винера
Е± (х) -j-оо 4-00
Ei(х)= К (Ду) е~/2лк Л* d (АХ) =
— оо 4-00
=21 К (A/) cos 2лх Ах d (AyJ
0 оо К (AyJ = J Ех (х) е'2лк Лх dx = — ос оо
j Ех(х) dx
— оо
= 2 ( Ег (х) cos 2лх Ах dx
Е(х) С с - 2Е± (х) о Е (х) dx Е (х) = 2 + =4. 0 К (А; J оо с) К (А/J е~/2лк Дх d (Дх) = оо К (AyJ cos 2лх Ах d (AyJ оо — j Е (х) cos 2ли Дх dx 0
Е, (w) Е,(х) 2л ОО Ej' (иу) dw оо е.<-)=4 1_ я К (Ах) = = 2 4-00 - ( К (AyJ e~iw Лх d (Ах) = J —оо оо j К (AyJ cos цу Ду d ( \,) 0 -|-ОО = J Ел (w) еуШ Лх dw = — оо оо J Е, (цу) cos w Ах dw 0
Е (to) С ^=] 0 = 2Ег (w) О Е (io) dw е«=4 2 л К (Ах) -|-оо J К (AyJ e~,w Лх d (AyJ = —оо оо j К (Ах) COS w Ах d(Ах) 0 оо — 4 J Ех (ьу) cos w Л% dw 0 |
440
§ 7. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ
И СПЕКТР ХИНЧИНА —ВИНЕРА НА ВЫХОДЕ
ЛИНЕЙНОЙ ИНВАРИАНТНОЙ СИСТЕМЫ
Пусть на произвольную линейную инвариантную систему
с импульсной характеристикой /С (х) действует сигнал UBK (х),
являющийся реализацией стационарного нормально распределен-
ного случайного процесса.
Тогда сигнал па выходе можно найти в виде интеграла свертки
+°о
^вых (X) = ^вх (X) 0 К (X) = f t7BX (Xi) (X - Xi) ^Xi •
— оо
Так как сигнал, действующий на входе, случаен, то ансамблю
реализаций (7ВХ (х) соответствует ансамбль случайных чисел
1/вых (х)- Нас интересует закон распределения этих случайных
чисел.
Очевидно, что значения URX (Xi), взятые из нормально распре-
деленного процесса t/BX (х), обладают нормальным распределе-
нием. При умножении их на постоянное число К (х—Xi) распре-
деление остается нормальным.
Таким образом, правая часть выражения для (7ВЫХ (х) есть
сумма нормально распределенных слагаемых, откуда следует,
что (7ВЫХ (%) подчиняется нормальному закону распределения.
Это свойство нормального случайного процесса имеет фундамен-
тальное значение и формулируется обычно следующим образом:
при любых линейных преобразованиях нормального процесса
закон распределения остается нормальным.
Корреляционную функцию и спектр Хинчина—Винера слу-
чайного процесса на выходе линейной системы можно найти непо-
средственно из выражения для (7ВЫХ (х), однако мы воспользуемся
более простым доказательством.
Предположим, что функции t/BX (х) и £7ВЫХ (х) имеют весьма
большую, но конечную протяженность в интервале от — X до
|-Х. Тогда можно найти преобразования Фурье от этих «уре-
занных» функций L/BXX (х) и Пвыхх (х), которые связаны между
собой соотношением ,
^выхх (^) = ^вхх (^)»
гДс с точностью до постоянного множителя комплексный коэффи-
циент передачи
4~00
441
Далее можно найти:
1^х(’‘)Г=р.хх(>‘)Гй(’‘)|2;
Иш [| 1/выхх (“) |7(2Х)] = | К (х) р lira [I у„х (X) Р/(2Х)].
X >00 Х-><® 1
Так как спектр Хинчина—Винера определяется выражением
Ех (э<) = lim [| £7Х (х) 12/(2Х)],
то
Е1вых(х) = |Л(х)|2Е1вх(х).
Корреляционная функция процесса на выходе равна
4 со
квых (Дх) = J Е1мк (х) е'2лк * dx.
-------------©0
В этих выражениях обобщенная координата % в одних случаях
представляет собой временную координату /, а в других — про-
странственные координаты х и у.
Обобщенная частота х может быть частотой f процесса, разви-
вающегося во времени, или частотами v, р, для пространственных
процессов.
Таким образом, анализ передачи нормальных случайных про-
цессов через линейные системы с постоянными параметрами
(усиление, фильтрация, дифференцирование, интегрирование и
т. д.) по существу сводится к спектральному (корреляционному)
анализу.
Значительно более сложен анализ передачи случайных про-
цессов с распределением, отличающимся от нормального, так как
закон распределения изменяется, а отыскание распределения на
выходе системы в общем случае представляет собой весьма слож-
ную задачу, которая рассматривается в специальной лите-
ратуре.
Действительно, если сигнал на выходе нелинейной системы
связан с сигналом на входе соотношением # —<р (х), то, полагая,
что вероятность нахождения случайной величины х в интервале dx
равна вероятности нахождения у в интервале dy, найдем ф (х) dx =
= ф (у) dy, где ф (х) и ф (у) — плотности распределения вероят-
ностей на входе и выходе соответственно.
Следовательно,
Ф (у) = т^Ф(*)-
Так как д' (х) = то ф (у) = ф (х)/<р' (х).
442
Г лава 17
МЕТОДЫ ОЦЕНКИ И РАСЧЕТА УРОВНЯ ШУМОВ
ОТДЕЛЬНЫХ УЧАСТКОВ ТРАКТА
ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННОГО ПРИБОРА
§ 1. КОЭФФИЦИЕНТ ШУМА
Уровень шумов любого участка тракта оптико-электронного
прибора, включая промежуточную среду, используемую для пере-
дачи потока излучения от источника до оптической системы,
определяется не только шумами, действующими на входе данного
участка, но и дополнительными шумами, вносимыми этим уча-
стком. Только в идеальном случае при прохождении сигнала
по тракту не вносится дополнительных шумов. Для такой идеаль-
ной системы уровень шумов на выходе тот же, что и на входе.
Однако, к сожалению, все реальные участки тракта: промежуточ-
ная среда (например, атмосфера Земли), приемник излучения,
входная цепь, усилитель и т. д.—генерируют собственный шум.
В результате отношение сигнала к шуму на выходе всегда меньше,
чем на входе, если, конечно, оценивать эти отношения в равных
условиях наблюдения.
При разработке того или иного прибора конструктор обычно
руководствуется следующим правилом: уровень шумов должен
определяться шумом источника сигнала. Например, если источ-
ником сигнала в электронной части тракта прибора является
приемник излучения, то именно шум, генерируемый приемником,
должен быть преобладающим.
В ходе разработки сложного прибора необходимо стремиться
к тому, чтобы свести до минимума все шумы, увеличивающие шум
источника сигнала.
Количественной мерой оценки уровня шума является коэффи-
циент шума или шум-фактор, учитывающий прирост шумов на
выходе данного участка тракта прибора но отношению к шумам
на сто входе.
Рассмотрим выражение для коэффициента шума применительно
к электронной части тракта оптико-электронного прибора. Если
мощность шума на зажимах приемника излучения, состоящего из
шума фона и собственного внутреннего шума приемника, обозна-
чить через Рш пр, а мощность шума усилителя со входной цепью —
через то коэффициент шума этих элементов — усилителя
и входной цепи—равен
р__ пр Ш. ус ____ | | РШ| ус
Рш. пр Рщ. пр
При вычислении шум-фактора все шумы должны быть отне-
сены к одной точке тракта передачи сигнала, например к выходу
443
усилителя. Кроме того, необходимо определить, в какой полосе
пропускания задается коэффициент шума.
Если задавать его в единичной полосе частот, центрированной
относительно какой-то определенной частоты, то шум-фактор
является функцией частоты.
Иногда величина F рассчитывается для всей эквивалентной
шумовой полосы пропускания рассматриваемого участка тракта
прибора. В этом случае определяется коэффициент усредненного
шума, уже не являющийся функцией частоты.
Так как коэффициент шума представляет собой отношение
мощностей, его удобно выразить в децибелах (дБ) по формуле
= 10 1g F.
Для идеального нешумящего приемного устройства коэф-
фициент шума равен единице, а в случае если выражать его в де-
цибелах — нулю.
Если F = 2 (Fi = 3 дБ), то говорят, что имеет место согла-
сование шумов, так как в этом случае дополнительный собственный
шум рассматриваемого участка тракта прибора Рш доп равен
шуму, поступающему на его вход Рш ,, т. е. при
F — 1)~ Рш< до„/РUI. вх — 2,
Р =- Р
1 Ш. ДОП 1 Ш. ВХ’
Иногда коэффициент шума определяется в терминах отношения
сигнала к шуму (с/ш). Это возможно в случае, если отношение с!ш
понимать как отношение мощности сигнала к мощности шума.
Считая усиление по мощности для сигнала и шума одинаковым,
найдем, что при отсутствии собственного шума рассматриваемого
участка тракта усиления отношение (с/ш)вых = (с/ш)вх. При на-
личии дополнительных шумов имеем
/ С \ __ Рс. вых
\ 111 / ВЫХ РШ. ВЫХ Н" {Рш. вых) доп
так как коэффициент шума
F=\ "Ь (^ш. вых^оп/^ш. вых»
а
С. вых/^ш. вых ^С. вх (с/ш)вх,
ТО
F (С/Щ)вх/(с ' ^Овых*
§ 2. ШУМОВАЯ ПОЛОСА ПРОПУСКАНИЯ
Если спектральная плотность шума, действующего на входе
четырехполюсника равна Евх (f), а его коэффициент передачи
равен 7( (/), то спектральная плотность шума на выходе четырех*
444
1
полюсннка равна Евых ([) = | К (/) |2ЕВХ (/). Дисперсию шума
на выходе, соответственно, найдем в виде
со ею
«Ш. BNX = f Е,их (/) <// = [ Евх (/) I к (/) |2 df.
о о
Введем обозначения
Ео — Евх (/ад); Ко — | К (foz) I»
где /П1 — частота, на которой задано значение спектральной плот-
ности входного шума (например, шума приемника излучения);
/03 — частота, на которой задано абсолютное значение модуля
коэффициента передачи четырехполюсника (обычно частота, соот-
ветствующая максимальному значению модуля коэффициента
передачи), если далее
®ВХ(Л = ЕВХ(Л/ЕО, k(f) = K(h/K0,
то можно найти
Обозначим
оо
«?„. = ЕоЛо f (/) | k (f) |2 df.
О
oo
Д/,к = J (/)!*(/) О/.
О
тогда
Ди. вых ’— ЕоЛд) Afuj*
Смысл полученного выражения состоит в том, что действие
шума с заданной спектральной плотностью на входе четырех-
полюсника, имеющего заданную частотную характеристику, но
эффекту на выходе может быть заменено действием белого шума
с постоянной спектральной плотностью Ео на четырехполюсник
с прямоугольной частотной характеристикой, имеющей ширину
АД, и коэффициент передачи равный Ко в пределах полосы ча-
стот А/ш и равный нулю вне этой полосы частот.
Величина &ful называется шумовой полосой пропускания.
Если входной шум белый, т. е. Евх (f) = Ео = const; евх (f) = 1,
то
оо
Д/ш.= (|Л(/)МЛ
о
Для случая, когда частотная характеристика четырехполюсника
имеет прямоугольную форму, т. е.
при
при Д>/>Д,
445
имеем
t г
Д/ш = J Евх (/) df,
fi
или, если шум — белый, Д/,„ бел = f2 — fi
Для окрашенного шума, когда, например, Евх (/) = Е()/о1//,
т. е. евх (/) = шумовая полоса равна
оо ОО
Д/ш. о«р = foi j r df = f„ J I k (f) I2 d In i.
0 0
Если в этом случае частотная характеристика четырехполюс-
ника имеет прямоугольную форму, получим Д/ш ОкР= /01 In (fdfi).
В качестве примера рассмотрим расчет шумовой полосы про-
пускания апериодического звена для белого шума. Так как в этом
случае
60 ==J=,
К1+(2лД)а
где
т = RC,
то
оо оо
А/ш. бел = j & (f) df=j j (2лД)2 '
О о
Поскольку J а,^х2 = -Г arctg Л-, то j
ДА,,, сел = 4k arctg(2mfl |” = -L. 1
Так как частота среза (частота, на которой коэффициент
передачи по мощности падает в два раза *) для апериодического
звена равна /ср = 1/(2лт), то
Д/ш. бел = (л/2) /ср = 1»571/ср.
§ 3. ШУМОВЫЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ
Шум любого элемента (двухполюсника z) сложной электриче-
ской цепи, нагруженной на сопротивление zH (рис. 313, а), можно
представить либо эквивалентным генератором электродвижущей
силы (рис. 313, б), равной среднеквадратическому значению э. Д с.
* Поскольку уменьшение мощности вдвое соответствует 3 дБ, то интервал
частот, внутри которого усиление по мощности превосходит 50% максимальной
величины, иногда называют трехдецибельной полосой пропускания.
446
шума, приходящегося на элементарную полосу частот df, de„, —
Т de'w, либо эквивалентным генератором тока (рис. 313, в),
равным среднеквадратическому значению шумового тока, при-
ходящегося на элементарную полосу частот df, dim =V'dih.
Очевидно, что deh = Е (f) df, dim — J (f) df, где E (/) и J (/) —
спектральные плотности шума.
Эквивалентный генератор э. д. с. включается последовательно
с нешумящим двухполюсником, комплексное сопротивление ко-
торого zs — z, а генератор тока — параллельно ему (рис. 313, б
и в).
Если двухполюсником является активное сопротивление R,
а нагрузкой — также активное сопротивление /?н, то можно
Рис. 313. Эквивалентные шумовые схемы: \а —"шумящий гдвухполюсник z;
б — эквивалентная схема с генератором э. д. с.; в — эквивалентная схема
с генератором тока (zH — сопротивление нагрузки; zt — нешумящий
двухполюсник, комплексное сопротивление которого zt = г)
записать следующие простые соотношения между э. д. с. deUJ
и током dim.
Ток в нагрузке для схемы с генератором э. д. с. равен
di„ = deJiR + Rn),
соответственно для схемы с генератором тока
_____ dilu \RRH/(R -|- 7?i,)] (11щ г,
d,,~ Rn ~R+Rh
Следовательно, из условия равенства токов в нагрузке имеем
di,„ = deJR, или
J (/) = Е (/)/£*.
Рассмотрим случаи (рис. 314, а), когда на вход усилителя
включено комплексное сопротивление z (/").
Представляя двухполюсник z (f) в виде параллельного соеди-
нения активного R и реактивного X сопротивлений (рис. 314, б),
найдем
Z /г\_ ЪХ _ А- р I • R“ у
R 4- /X R- + X2 А 1 7 R- + X2 '
447
Вводя обозначения
получим
А = R2 4- X2
z (/)-г(/) I-W),
что позволяет представить двухполюсник в виде последователь-
ного соединения сопротивлений г (/) и х (f) (рис. 314, в).
Рис. 314. Включение двухполюсника и его эквивалентных схем на входе усили-
теля: а—двухполюсник z’(/); б — параллельная эквивалентная схема R, X,
в — последовательная эквивалентная схема г (f), х (f)
Если источником шума в схеме является активное сопротивле-
ние R, то шумовая эквивалентная схема с генератором э. д. с.
имеет вид, представленный на рис. 315. Эта схема состоит из
Рис. 315. Шумовая эквивалентная схема
последовательного соедине-
ния двух четырехполюсни-
ков: входной цепи (ВХ. Ц)
и усилителя (Ус). Средне-
квадратическое напряжение
шума на выходе схемы, оче-
видно, равно
вых вх-^ус (/)
= demKBX (f) Ryc (/),
где /<вх (f) и /Сус ([) — модули комплексных коэффициентов пере-
дачи входной цепи и усилителя: КВк (/) = | Л'вх (/) |; /(ус (/) =
= | Кус ([) |, причем комплексный коэффициент передачи входной
цени равен
R __________jx ____ X у I • X п __
а вх Ш - R _|_ jX Rz X2 7 /?2 + X2 Л
= г (Л I ; * (Л. = *(Л
/? 1 1 R R ’
Так как
dul. вых = И Х?с (ft = Е (f) XL (ft Кус (ft df,
448
то дисперсия шума на выходе равна
«Ш. ВЫХ = ( Е (/) №„ (f) Кус (ft df.
б
Если обозначить
е(Л = Е(/)/е0, ^х(/)^квх(Жовх,
*Ус 0) = КУЖу£,
где Ео —спектральная плотность входного шума на частоте fni;
Ковх и А’оус — максимальные значения модуля коэффициентов
передачи входной цепи и усилителя, имеющие место на частотах
/о2 11 /оз, соответственно, то
вых z= Е..КбвхЛоУсЛ/Ш,
где
оо
A/m = f®(fl*L(/)*ye(ftd/.
о
С другой стороны,
оо
«Ш. вых = J Etf) |Zg|8 /<%(/) d/.
о
причем
Й (f) I2 = г2 (ft + х2 (ft = Я = г (j) R,
то
4. вых = ЕоЛ?ус J е (ft /1уС (ft df =
О
оо
= Ео№ус jE(ft^-^c(ftd/.
О
Полученные выражения для «ш вых совершенно одинаковы,
так как
I Лвх (ft I2 = №вх (ft = | г (ft |2/«2 = Г (f)/R.
Рассчитаем дисперсию шума на входе усилителя, т. е. непосред-
ственно па зажимах двухполюсника (рис. 314). Очевидно она
равна
оо
Wui. вх = J в (/) f (f) df.
° М. М. Мирошников
449
Для белого шума, когда е (/) = 1, найдем
со
ОО
Интеграл j г (/) df называется интегралом сопротивления элек-
о
трической цепи.
Глава 18
ШУМ ПРИЕМНИКОВ ИЗЛУЧЕНИЯ
И СОГЛАСОВАНИЕ ЕГО С УСИЛИТЕЛЕМ.
ПОРОГ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
И ДРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПРИЕМНИКОВ ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 1. ВИДЫ ШУМОВ
Наиболее простой, но в то же время достаточной для многих
практических применений характеристикой шума приемников
излучения является энергетический спектр, т. е. зависимость
спектральной плотности шума от частоты. Однако, к сожалению,
даже эта характеристика обычно не сообщается потребителю,
и в паспорте приемника содержатся сведения лишь о среднеква-
дратической величине шума для определенной частоты модуля-
ции излучения. В связи с этим о спектре шума судят зачастую
на основании общих сведений о его природе, позволяющих ука-
зать распределение мощности шума по частотам для приемника
того или иного типа с учетом условий эксплуатации.
Основными видами шумов приемников излучения являются:
тепловой; дробовой; токовый; генерационно-рекомбинационный;
фотонный; температурный; микрофонный.
Физическая природа и методы математического описания пере-
численных шумов являются предметом дальнейшего рассмотрения.
Наряду с шумами приемников излучения, будут рассмотрены
некоторые шумы усилителя с входной! цепью, учитывая неизбеж-
ное столкновение с ними конструктора оптико-электронного
прибора при решении вопросов согласования приемника излуче-
ния с усилителем.
§ 2. ТЕПЛОВОЙ ШУМ
В результате теплового хаотического движения носителей
заряда на концах любого сопротивления возникает переменная
электродвижущая сила, называемая тепловым шумом, джонсо-
новским шумом или шумом Найквиста.
450
Этот шум был экспериментально открыт Джонсоном в 1928 г.
В том же году Найквист на основании термодинамической теории
флуктуаций опубликовал вывод формулы для спектральной плот-
ности [Ет (/), В2-с] э. д. с. шума сопротивления /?, имеющего
температуру Т. Формула Найквиста может быть представлена
в виде
Ег(/) = «Т/?-57^П
где f — частота, Гц; R -
Планка, h 6,6-10-34
1,38- 1СГ23 Дж-К’1;
Поскольку при использова-
нии термодинамических методов
не предполагается какой-либо
конкретный механизм рассмат-
риваемого процесса, результа-
ты, полученные Найквистом,
имеют общий характер. Вели-
чина флуктуаций совершенно не
сопротивление, Ом; h — постоянная
Дж-с; k — постоянная Больцмана, k
Т — абсолютная
температура,
К.
зависит ОТ природы сопротив- рис. 316. Зависимость спектральной
ления. плотности теплового шума ET(f) от ча-
Вид зависимости спектраль- стоты f
ной плотности теплового шума
от частоты представлен на рис. 316. Частота/0, на которой начи-
нает уменьшаться спектральная плотность шума, может быть
определена на основании разложения в ряд частотно-зависимого
члена формулы Найквиста
hfRkT) hf
ehf/(kT) __ j 2kT ’
при hf < 0,023/гТ h^kT}^ t с Достаточной для практических
расчетов точностью.
Следовательно, при Т = 295 К можно найти
fo<0,02^= “Mjl™ ==1,23-10“ Гц.
До частот, равных примерно 10й Гц (длина волны 3 мм), тепло-
вой шум можно считать белым со спектральной плотностью э. д. с.
Ет (/) = 4/г77?,
а электродвижущая сила эквивалентного генератора шума равна
= ]/Et(f)df = VWTRdf.
Мощность теплового шума можно определить, предполагая,
что сопротивление R± соединено с сопротивлением R2 гюследова-
15*
451
тельно. Тогда мощность шума dP2, рассеиваемая на сопротивле-
нии равна
а мощность шума dPlt рассеиваемая на сопротивлении Rlf
Как и следовало ожидать, при тепловом равновесии, согласно
второму закону термодинамики, рассеиваемые мощности равны
dPy = dP2 = dP. Условием передачи максимальной мощности,
как известно, является условие согласования сопротивлений
источника э. д. с. и нагрузки Ry = R2.
Следовательно, максимальная мощность шума при наличии
согласования равна dP = kT df или в конечной полосе Д/Р =
= kT дд
При комнатной температуре (295 К) произведение kT =
= 4,07-10“21 Вт-с; мощность шума при ширине полосы 1 Гц
равна 4,07*10-21 Вт. Соответственно э. д. с. шума еш т (В) для
сопротивления R в полосе частот Д/ определяется формулами:
= 1,28-КГ10 (Я Д/)'/2;
ёГ~т= 1,64-Ю-2' R bf.
В отличие от мощности э. д. с. теплового шума зависит от
величины сопротивления. Для полосы 1 Гц и сопротивления
10е Ом э. д. с. теплового шума примерно равна 1,3-10~7 В =
= 0,13 мкВ.
Если два сопротивления А’г и R2 находятся при разных тем-
пературах Ту и Т2, то условие теплового равновесия оказывается
нарушенным и использовать принципы термодинамики для расчета
шума нельзя. Однако па основании многочисленных эксперимен-
тальных данных дисперсия флуктуаций может быть вычислена
в предположении, что каждое из рассматриваемых сопротивле-
ний является генератором э. д. с. шума, дисперсия которого вы-
ражается формулой Найквиста с учетом соответствующей тем-
пературы.
Тогда при последовательном соединении сопротивлений
(рис. 317, а) имеем
т = т ! 4- т 2 = 4k (7TPi + T2R2) df.
Введя шумовую температуру Тш — некоторую эквивалентную
температуру, при которой сопротивления Ry и R2 создавали бы
такое же, как в действительности, шумовое напряжение, найдем
difa, т = 4АТШ (/?1 + Р2) df = 4АТШРЭКВ df,
452
где
'Г __ т Rj I 'Т' R2 __________Ч~ ^2^2 • П _______ Р Р
1,1—1 /?! -I- R2 г 2 /?1 + R2 R1 + R2 ’ <экв - К' г К2‘
Для двух параллельных сопротивлений (рис. 317, б) имеем
т (R, + КгГ- 1 (Ях + R,)-
ikTtR^df+AkT^Rldl
=---------(R1 + w------= 4^u.R-«»</A
где
гг гг ^2 । гг Ri _____т\R2 ~1~ R2R\. п _ RjR2
,u 1 Ri + R2 r 2 Ri + R2 ~ RT + R2 ’ экв Ri + R2 ’
Имеется еще одно отклонение от условия теплового равно
весия, соответствующее случаю, когда средняя величина тока
Рис. 317. Шумовые эквивалентные схемы соединения сопротив-
лений Ry и R2; а — последовательное соединение; б — парал-
лельное
проходящего через шумящее сопротивление, не равна нулю. Тепло-
вое равновесие нарушается, так как энергия из внешнего источ-
ника переходит в сопротивление. Однако и здесь эксперимент
показывает, что величина среднего тока не влияет на флуктуации,
вызванные случайным тепловым движением носителей заряда.
Увеличение шума на низких частотах, связанное с прохождением
тока, имеет иную природу и будет рассмотрено ниже. В заключе-
ние рассмотрим два примера.
1. Рассмотрим порядок расчета шумового напряжения на за-
жимах параллельного колебательного контура, находящегося
в резонансе (рис. 318).
Действующая в контуре э. д. с. шума, определяется формулой
deUI.T = V 4kTR df.
Ток в контуре на частоте резонанса, когда w0L = —l/(tooC),
т. е. суммарное реактивное сопротивление равно нулю,
^Ш. Т т/
463
шумовое напряжение на емкости (на зажимах контура):
, _ 1 _ V^kTR df 1 |/ 4ЛТ
ЛПщ.т — н^и.т — MoRC — ЫоС J R clh
,~2 4kT t[
dUlU' T = м2Г2р Ctf’
0)0 c R
Наряду с этим известно, что колебательный контур в момент ре-
зонанса представляет собой чисто активное сопротивление
р _ (О)о1)2 ___ 1
Лэкп ~ R ~ (ы0С)2 R •
Так как на зажимах любого активного сопротивления действует
напряжение теплового шума, то
du,n.T,= V4kTR,mdf = -±c
F l\
л,,2 4kT jc
T ~~ (№p df-
O)qC I\
Полученные двумя способами результаты совпадают.
2. Для случая, когда шум входной цепи определяется тепло-
вым шумом ее активных сопротивлений (рис. 319), расчет диспер-
Рис. 318. Схема для расчета
напряжения теплового шума
на зажимах параллельного
колебательного контура
сии напряжения шума на выходе уси-
лителя проводится следующим обра-
зом.
Предполагается, что каждое из трех
сопротивлений (рис. 319, а) входной це-
пи: сопротивление приемника г, нахо-
дящееся при температуре Т\, сопротив-
ление нагрузки г„ при температуре Т2
и входное сопротивление усилителя гвх
при температуре Т3—не шумят, а со-
ответствующий шум вырабатывается ге-
нераторами э. д. с. шума Гш1, Гш2, Гш3,
для которых
def.,, , , = 4kTirdf = Ei (f) df',
def^T? = ikT2rH df = E2 (f) df-,
d^~r3 = 4kT3rBX df = Ез (/) df,
Так как система линейна, можно отдельно вычислять диспер-
сию напряжения шума на выходе усилителя от каждого генера-
тора шума, а затем найти сумму
г=з
2 2 2 2 2
Ищ, вых '-== ^ш. вых 1 Т" вых 2 вых 3 ~ ^ш. вых i*
1=1
454
В свою очередь, можно записать
со
вых i == J Евых i (f) df,
О
где ЕВЬ1Х i (/) — спектральная плотность r-й составляющей вы-
ходного шума, связанная со спектральной плотностью шума на
входе соотношением
Евых/ Ш-Е.ф Лвх / (МуЖ
При расчете необходимо обратить внимание на то, что модуль
коэффициента передачи входной цепи /Свх(/) имеет свое значение
для каждого генератора шума. Расчет не сложен, но приводит
к громоздким выражениям, которые здесь не рассматриваются.
Рис. 319. Схемы для расчета дисперсии шума входной цепи: а— полная
электрическая схема; б —эквивалентная схема для случая, когда —-> О
соСсв
Наиболее простые соотношения получаются, если предполо-
жить, что в рабочем диапазоне частот усилителя конденсатор Ссв
пе оказывает заметного влияния на уровень выходного шума.
В этом случае шумовая эквивалентная схема входной цепи
имеет вид, представленный на рис. 319, б. Спектральная плот-
ность шума генератора в этой схеме равна
Е(/) = 4АТШ«ЭКВ,
где
ЭкВ ^ВХ> ^Вх '"'"вх 4~ GZbx)'
Если Т± = Т2 = Т3 = Т, то Тш = Т и Е (/) = 4ЛТЯВХ. Если
Т3 = 295 К; 7\ = Та = Т, то
7’1д = 295-^ + 7'!4^Км.
'ВХ ''II
пРи Гвх > Г и гвх > г„ Явх = ггн /(г -I- г„) = гс
Тш = Т 4- "н/(г+ ^.. 295 ^Т; Е (f) = 4kTrc.
455
Дисперсия шума на входе усилителя для случая, когда
1/(юСвх) > 0, равна (см. гл. 17, § 3)
оо
«ш. вх = -f2- ( г (f) df.
'ХВХ g
Здесь
rif\ *2 р =___________,
{ /?*хX2 вх ' 1 +(WT[iX)2 1(2лДвх)2 ’
где тпх = /?ВХСВХ; X = 1/((оСвх) = 1/2л/Свх.
Следовательно,
W“I- и* — Е° j 1 4- (2л/'твх)2^
О
(2^° (2лтпх) arctg 2лтвх/ [ = ~
I °° ’вх " • и
вх
Этот результат можно было получить, пользуясь понятием шумо-
вой полосы пропускания (см. гл. 17, § 2). Действительно,
^П1. ВХ Ед ЛДц,
но для апериодического звена с постоянной времени твх
А Ан = 1/(4твх).
Следовательно,
^ш. вх :== Е(>/(4твх).
Так как Ео = 4kTulRKxt то
Иш, вх — 4kTш/\вх/(4/\вхСвх) — кТ 1П/Снх•
Полученное выражение иногда используется для рекомендации
метода «подавления» теплового шума при Свх - > сю. Однако
при этом не следует забывать, что коэффициент передачи входной
цепи — апериодического звена — для сигнала равен
(/) = V(1 + /2л/твх),
т. е. для Свх —» сю, когда твх - > сю, коэффициент передачи стре-
мится к нулю. При «подавлении» шума исчезает сигнал.
Дисперсию шума на выходе усилителя, имеющего полосу про-
пускания от до f2 и коэффициент усиления, равный /<0 внутри
45G
этой полосы и равный нулю за ее пределами, можно найти сле-
дующим образом:
—------ Да . Е №
«ш. вых = ЕоКо J J j (2л/твх)2 = 2лтвх arctg 2лтьх/ =
_ ЕсАо 2лтвх (f2 fj)
2лтвх 1ё1+(2лтвх)2/2Л*
Если Д = 0, то
вых = [ЕоКо/(2лтвх)] arctg 2лДтвх,
если Д = оо, то
“2 _ Е(Ло Л _ Ео „2
ш’вых 2лтвх 2 4твхД°-
Когда вводится понятие шумовой полосы пропускания, то
вых = ЕоКо Л fin-
Здесь
АД-= Двх tf)*yo tf) Ф
E0 = 4*T„,RB«;
^Вх "hG»x/(^H ' 1~ ^"вх -|~ G/ вх)’
тш = #вх (Тг/г + Т2/гн + Т3/гвх);
£вх(/) = 1/[1 + (2лДвх)2];
"^вх ==: ^ВХ^ВХ'
Для случая, когда Тш = Т, а 7?вх = гсгвх/(гс 4- гвх), причем
/'с — ггн/(г 4-гн), найдем коэффициент шума. Так как в этом
случае дисперсия шума источника сигнала (сопротивления гс)
равна 4/г7’гсГвх/(гс -|- гвх)2, а дисперсия дополнительного шума
входной цепи равна 4кТгккгУ(гс 4- гвх)2, то
F = 1 — 4/гТгвхГс/(4^7>сг?,х) = 1 — гс/гвх.
Следовательно, для уменьшения коэффициента шума следует
увеличивать входное сопротивление усилителя.
§ 3. ДРОБОВЫЙ ШУМ
Наличие дробового шума определяется тем, что электрический
ток представляет собой поток дискретных частиц, заряд которых
равен или кратен величине е = 1,60-10-19 Кл (заряду электрона).
Дробовый шум называют также шумом Шоттки, который
предсказал этот шум в 1918 г., предположив, что в противополож-
457
ность протеканию тока в проводнике, где поток электронов упо-
рядочен, при протекании тока в электронной лампе электроны
эмиттируются катодом случайным образом и достигают анода
также случайно, ударяясь о него подобно тому, как капли дождя
падают на крышу или дробинки попадают в мишень. По аналогии
с шумом от попадающих в мишень дробинок Шоттки назвал рас-
сматриваемый шум дробовым.
Сравнивая количество электронов, пролетающих через попе-
речное сечение лампы за время т, Шоттки нашел, что вследствие
хаотичности эмиссии эти количества в разные промежутки вре-
мени различны. Для данного значения постоянной составляющей
тока i0 дисперсия флуктуаций тока ix, регистрируемого в процессе
измерений в течение времени т, пропорциональна заряду элек-
трона е и току i0
Л 4 = е/'о/т.
Этот результат, полученный Шоттки, почти не используется
в его настоящем виде, за исключением случаев применения счет-
чиков, регистрирующих прохождение отдельных частиц.
Большей частью для практических расчетов используется
выражение для спектральной плотности дробового шума J (f),
полученное в 1925 г. Фри:
J (f) = 2ei0;
di2 — J (f) df — 2ei0 df.
Это последнее выражение известно как формула Шоттки. Оно
применимо для случая, когда диод работает в режиме насыще-
ния, т. е. когда все испускаемые катодом электроны достигают
анода. Именно этот случай имеет место в фотоэмиссионных при-
емниках излучения, работающих при больших положительных
потенциалах на аноде.
При работе диода при низких напряжениях, когда насыщение
еще не достигнуто, фактическим катодом является пространствен-
ный заряд, который создает потенциальный барьер перед физи-
ческим катодом. Этот барьер должен преодолеть каждый излучен-
ный физическим катодом электрон, чтобы достигнуть анода.
Только электроны, скорость которых достаточно велика, преодо-
левают этот барьер. Таким образом, пространственный заряд
осуществляет селекцию электронов по скоростям, что уменьшает
уровень дробового шума в соответствии с коэффициентом Га,
называемым коэффициентом депрессии.
Следовательно, в этом случае
J (f) = 2ег0Г2.
Коэффициент депрессии зависит от конструкции лампы, и его ве-
личина может доходить до значений 0,02—0,1.
458
Дробовый шум триода, если считать, что ток сетки отсутствует,
может рассчитываться по тем же формулам, что и для диода,
работающего с пространственным зарядом.
Дробовый шум сеточного тока лампы рассчитывается по фор-
муле для диода, работающего в режиме насыщения.
В многоэлектродных лампах, таких как тетроды и пентоды,
имеет место еще один вид шума, называемый шумом токораспре-
деления, который создается за счет случайного характера распре-
деления тока между сетками. Эти дополнительные флуктуации
уменьшают сглаживающее действие пространственного заряда
и шум многоэлектродиых ламп в три—пять раз превышает дробо-
вый шум триода.
Таким образом, в соответствии с формулой Шоттки спектраль-
ная плотность дробового шума не зависит от частоты. Эта формула
хорошо описывает шум для частот выше нескольких килогерц
и в то же время более низких, чем величина, обратная времени
пролета электрона от катода к аноду. При частотах ниже несколь-
ких килогерц появляется другой вид шума (фликкер-шум), спек-
тральная плотность которого быстро изменяется с изменением
частоты. Конечное время пролета электрона от катода к аноду
вызывает уменьшение спектральной плотности дробового шума
па высоких частотах. Время пролета электрона о г катода к аноду
зависит от геометрии лампы и напряженности электрического
поля в между электродных промежутках. Оно составляет величину
(1 4-10) 10~10 с (заметим, что средняя длительность интервала
между вылетом электронов равна 1,6-10~1С с, т. е. за время про-
лета электрона от катода к аноду из катода вылетает несколько
миллионов электронов). Следовательно, уменьшения спектраль-
ной плотности дробового шума вследствие конечного времени
пролета электроном межэлектродного промежутка можно ожидать
на частотах 1010—1011 Гц.
Источники дробового шума — фотоэмиссионные приемники
излучения и электронные лампы — удобно представлять в виде
генератора шумового тока, дисперсия которого дается формулой
Шоттки и ее аналогами.
Фотоэмиссиопный приемник обычно является источником дро-
бового шума эмиссионного тока и теплового шума сопротивления
утечки изоляции.
Кроме того, нагрузкой фотоэмиссионного приемника в общем
случае является комплексное сопротивление z„ (/), состоящее
из активного сопротивления ги и реактивного (рис. 320, а).
Активное сопротивление гп, так же как сопротивление утечки,
является источником теплового шума. Эквивалентная шумовая
схема фотоэмиссионного приемника и его нагрузки ^в соот-
ветствии с этим имеет вид, представленный на рис. 4320, б.
В этой схеме реактивное сопротивление jX включаетлв себя
собственную емкость фотоэмиссионного приемника Со, а активное
459
сопротивление и его шумовая температура 7Ш равны
R ____________________________ гутгн .
г ут Ч" 'н
гр гр ГИ_____р Гут _________ Т1ГН Ч Т.^Сут
Ш 1 гут Ч~ ГН 2 гут Ч” ги гут Ч гн
где 7\ и Т2 — температуры сопротивлений утечки и нагрузки.
Генератор Г1и1 представляет собой генератор шумового тока
diin = Г2«0 df,
а генератор Гш3 — генератор э. д. с. шума
de,„ = )/ 4kTaRdf.
Средний квадрат шумового напряжения на зажимах шумя-
щего двухполюсника, включающего в себя генераторы ГШ1 и Гш2,
Рис. 320. Фотоэмиссионный приемник излучения, его
схема включения (а) и шумовая эквивалентная схема (б)
равен сумме двух составляющих, определяемых шумовым током
dim (дробовый шум) и э. д с. шума delu (тепловой шум)
duul = dam. др Ч dU'ui' т-
В свою очередь,
гЧГдТ = 1Z (Л12 = (/).
Комплексное сопротивление эквивалентной шумовой схемы равно:
Z2 tf) = r (f) R = X2R*/(R2 + X2),
где
Г (/) = #2 + A 2
n2
x = /?2Ч-A2
460
Коэффициент передачи рассматриваемой шумовой схемы для
э. д. с. генератора Гш2 равен:
iz /с\___1Х _ X V _j_ ; X г> _
А “ R + jX ~~ R2 + X2 1 J R2 4- X2 Л ~
г if) . х (?) _ Z (?) .
R ' R R ’
№ (Л = IК (/)|2 = ^2 (/’)Ж
Следовател ьно,
d<"T = de^K1 (J) = dS•
Тогда
du'L = X.. др + = £' (I) I di + del/K- ] =
= R(2ei„ + 4kTalIR)r(f)df.
Вынесем за скобки 4kT0/R, где To = 295 К, и найдем
dti=4kTD(^i„R | ^r(l)df.
Так как
el1kTQ= 1,6-10-J9/(2« 1,38.10"23-295) = 19,65 20В1,
то
dul =. 4/еТо (2Oio/? Ч Т1П/Т0) г (/) df;
— AkTо (2Ol'o7? ' Тm/Tfl) o7r,
где p/r = J r (/) df — интеграл сопротивления.
о
Если X = 1/(соС), то интеграл сопротивления </г равен
СО ОО сю
3r = f Г ~= /? J R2 + Х2 df — R j j (2л/т)2
о о о
где т = RC, следовательно,
= 7?/(4т) = 1/(4С);
<4 = -ф- + 20ioR).
Поскольку для составляющей, определяемой только тепловым
шумом, и'^л = /гТш/С, то для составляющей, определяемой дро-
бовым шумом, Uiu. др = 2OioRkT()/C.
461
Так как шум источника сигнала должен преобладать, не-
обходимо обеспечить выполнение условий:
^ш. др ^-> ^ш. т>
kTо , kT щ #
~С~ > С ’
R
Тщ/Т о
20io
При Тш = То, найдем R > l/(20to).
Коэффициент шума для рассматриваемого случая равен
F=1
I 1 ш/Т о
2Oio7? ‘
Минимальная величина тока i0 равна темновому току tT фото-
эмиссионного приемника, который определяется, главным об-
разом, плотностью тока термоэлектронной эмиссии (А/см2) и для
различных типов фотокатодов равен следующим значениям:
Ссребряно-кислородно-цезиевый 10“11—10-13
Сурьмяпо-цезиевый.............. 10 14—10~15
Мультшцелочной................. 10-16—10~18
Для различной площади фотокатода темновой ток может на-
ходиться в пределах 10 7—10 1
Рис. 321. Шумовая эквивалентная
схема для газонаполненного фото-
элемента и фотоумножителя при
идеальном (бесшумовом) процессе
умножения электронов
5 А, следовательно, для получения
значения F = 2 необходимо обе-
спечить R = 5 (105 --1013) Ом.
Решить эту задачу можно, ис-
пользуя газовое или электронное
умножение сигнала (и шума) фото-
эмиссионного приемника. В этом
случае шумовая эквивалентная
схема имеет вид, представленный
на рис. 321, и условие согласова-
ния выглядит следующим образом:
1 1
20 AJ2/0 ’
где М — коэффициент умножения.
1 Для газонаполненного фотоэлемента коэффициент умножения
обычно не превышает 10, а для фотоумножителя — достигает
10е—10е.
В этом случае проблемы согласования дробовых и тепловых
шумов практически не возникает. Однако любому усилению
первичного тока как газовому, так и электронному, присущи
дополнительные шумы, связанные с вероятностным характером
возбуждения и рекомбинации молекул при газовом умножении
или шумом перераспределения электронов между динодами при
электронном умножении. Поэтому в каждом конкретном случае
462
необходимо производить оценку эффективности использования
того или иного фотоэмиссионного приемника излучения в схеме
прибора. Обычно считают, что при отсутствии засветки (ночью)
выгоднее использовать фотоумножитель, а при наличии засветки
(сумерки, день) — одиночный фотоэлемент.
Если фотоэмиссионный приемник включен во входную цепь
усилителя по схеме, представленной на рис. 322, а, то шумовая
эквивалентная схема с генератором э. д. с. шума, изображенная
на рис. 322, б, позволяет записать следующие соотношения для
дисперсии дробового шума на выходе усилителя:
^Ш. ДР------Ьо/Сб [^"вх/(^"н Ч- fвх)]*" А/ш*
Рис. 322. Схема включения фотоэмиссионного приемника во
входную цепь усилителя (а) и шумовые эквивалентные схемы
с генератором тока (б) и генератором э.д.с. (в)
Здесь
Ео = 2с1оГ„",
со
Л/ш = J £ (/) ^ВХ (/) ^ус (/) df',
о
гБХ/(гп + гвх) — максимальное значение коэффициента передачи
входной цепи; Ко — максимальное значение коэффициента усиле-
ния усилителя, где
&вх (/)
____________1____________.
1/ 1 + (wxBX — —1—)
Г \ (ОТсв /
_ ГНГВХ р _ Р Р .
LBX г I г ивх ^вх'-'вх»
'и ~Г 'вх
^СВ (^Н Ч"~ ^Вх) ЯсвСсп.
463
Так как е (f) — 1, то предполагая, что
при Л>/>/2,
найдем
wni. др — 2е/‘о/?вхЛо Д/ш’>
Ь
Af =-- f---------—---------.
/ш J 1 + |<0Твх-1/((0Тсв)]2
f,
Если на частоте (о0 имеет место равенство (о0твх = 1/(оэ отсв),
a fi fz ®0/(2л), то
А/ш = Ь - fi = Af; и2ш. др = 2eio/?2BX№o Af.
Если в диапазоне частот от /г до f2(0TBX > 1/(ытСв), то
;2
Af - Г -- 1 arctcf 2лТвх
1 ш J 1 + (2л/твх)‘- 2лтвх U g 1 + (2лтвх)2 fj2 •
Предположим, что, кроме дробового шума фотоэмиссионного
приемника излучения, на входе усилителя действуют тепловые
шумы входной цепи.
Составляющая выходного шума, определяемая тепловыми шу-
мами активных сопротивлений входной цепи, при (отвх >> 1/(<отсв)
и г — оо равна
^Ш. Т — Ш^ВХ^оА/щ,
где
тш = Rbx {T2lrn Н т3/гпх);
^вх ГцГвх/(^н —Ь Гвх)-
Средний квадрат полного шумового напряжения на выходе
усилителя определяется выражением
М“я др ^шт 2в1'о^вх^О Af ш —1~ ^kTщ/?вх^Со Afш ==
- 4&Т0 - ioRux Н--) RbxKh Afui =
\ ZK/ о о /
4^ТШ_ экв^вхКо Afiu,
где
7,ш.Экв = (201о/?вх + Тш/То)То.
Следовательно, совместное действие дробового и теплового
шума на входе усилителя можно заменить действием теплового
464
шума сопротивления /?вх, находящегося при температуре Тш Экв.
Вклад дробового шума в эту температуру определяется членом
2О/о/?вхТо, а вклад теплового шума — членом Тш.
Условие согласования шумов имеет вид*:
2 Of 0/?в х = TJT.- = (Тш/То)/(20и.
Шум усилителя, построенного на электронных лампах, про-
является в виде дробового эффекта на его выходе. Величина этого
шума может быть представлена в виде двух эквивалентных ему
дополнительных источников шума во входной цепи (рис. 323).
Во-первых, это источник шума, определяемого эквивалентным
сопротивлением 7?экв а и генератором э. д. с. его теплового шума
Гш а, включенных последовательно с сеткой электронной лампы.
Величина /?чкв а выбирается таким образом, чтобы генерируемый
тепловой шум Джонсона по-
сле усиления лампой был
равен шуму дробового эффек-
та анодного тока лампы. Для
частот выше 1 кГц, когда
фликкер-эффект уже не ока-
зывает влияния,
Рис. 323. Шумовая эквивалентная схема
входной цепи, учитывающая дробовый
шум сеточного и анодного тока первой
лампы усилителя
где S — крутизна анодно-сеточной характеристики лампы; <7а,
е7й2> е7к — постоянные составляющие анодного тока, тока экран-
ной сетки и тока катода соответственно.
Если в схеме используется триод, то o7g2 = 0; <7а = Р7К.
Минимальное значение /?экв. а для триодов равно 200 Ом,
а для пентодов около 700 Ом, однако его величина может дости-
гать 10—50 кОм.
Во-вторых, это источник шума, определяемого генератором
шумового тока Ги, с, включенным параллельно входной цепи.
Величина шумового тока этого генератора равна полному дробо-
вому эффекту сеточного тока d/щ. с = 2е^7С1 df.
Так как нагрузкой для этого генератора является комплексное
сопротивление входной цепи, измеренное со стороны сетки лампы,
г (/), то средний квадрат напряжения шума, действующего на
входе усилителя из-за наличия сеточного тока, равен
dul.c. Вх = </4.с |z(/)|2 = 2<>/gl\'z(f)\2df.
* Следует помнить, что коэффициент 20, входящий в последующие формулы,
не является безразмерной величиной; он измеряется в В-1.
465
На выходе усилителя шум первой лампы дает следующее зна-
чение среднего квадрата напряжения шума:
оо оо
«4 уё = 4kT0R3Ki>. а J №ус (f) df + 2е^8, J I i (f) |2/Cyc (/) df.
D 0
Если влиянием конденсатора Ссв в рабочем диапазоне частот
пренебречь и считать, что усилитель имеет такую частотную харак-
теристику, что его коэффициент усиления на частотах от f\ до
равен Ло, а вне этого диапазона — нулю, можно найти
_______________
^ш. ус — 4kTо/?экв. аЛо А/ “F 2Cq7g, /Со7?вх [ Г (/) df,
А
так как
___ Rbx ____ ^вх
Р2вх4-Х2 ” 1 4- (2nf/?BXCBX)2 - 1 4 (2л/твх)2
И
J г (f) df = Явх j J + (2л/Твх)2 “ ^вх Д^ш’
fi fi
где
ь .. arctg ,27;; (/аГ24т
Л е df______ = 6 1 4- (2лтвх)2 f2fr
/ш “ J 1 4- (2л/твх)2 2лтвх
fi
то
4/?Тш.
^ш. ус-
экв. ус
а
R3kb. а
L Rbx А/ш
"F 20 7g, RBX I •
Следовательно, совместное действие дробовых шумов сеточного
и анодного токов первой лампы усилителя по эффекту на выходе
можно заменить действием теплового шума сопротивления /?вх»
находящегося при температуре Тш.экв.ус-
Оценим вклад сеточного тока. Для того чтобы влияние дробо-
вого шума сеточного тока не сказывалось, необходимо обеспечить
выполнение условия
on 7 р ^экв. a ^f
^е/ёЛвх^ ^вх •
Полагая Af А/1Ц, найдем
/gt ^экв. а/(2О7?вХ)>
466
если 7?экп. а = 103 Ом, 7?вх = 104 Ом, то
o7gl< Ю3/(2-10е) = 0,5-10'6А = 0,5 мкА.
Условие А/ А/ш выполняется, если частота среза частотной
характеристики входной цепи /ср = 1/(2лтвх) выше частот и /2,
ограничивающих полосу пропускания усилителя, т. е. f2cp > fif2
и /ср f2 — f\ = &f. Действительно, в этом случае
Л f — 1 nrcto 2лТвх — f ягНп А^//сР
А'ш 2лтРХ arCtg 1 + (2лтвх)2 Л/2 ' ' СР arClg ! ~
/сР arctg /Ср = А/ •
§ 4. ТОКОВЫЙ ШУМ
На низких частотах преобладающим типом шума в полупро-
водниках является токовый шум, который называют также из-
быточным, поскольку он превышает уровень дробового (генера-
ционно-рекомбинационного) шума, также зависящего от проте-
кающего через полупроводник тока. Мощность избыточного токо-
вого шума приблизительно обратно пропорциональна частоте
и прямо пропорциональна квадрату тока. Природа этого шума
в настоящее время еще не вполне ясна, несмотря на большое число
опубликованных исследований. Одним из препятствий на пути
решения этого вопроса является универсальность и общность
самого явления избыточного шума, которое впадает в противо-
речие со слишком специализированными предположениями. Дей-
ствительно, шум со спектральной плотностью обратно пропорцио-
нальной частоте существует не только в полупроводниках, где
его называют также модуляционным, но и в графитовых сопротив-
лениях и их электрических контактах — контактный шум, в ва-
куумных лампах — шум мерцания или фликкер-эффект, и т. д.
Частотный диапазон этого шума весьма велик — эксперимен-
тально токовый шум наблюдался от частот 10-4 Гц до частот
107 Гц. Практически же верхняя граница частоты составляет
100—1000 Гц, а на более высоких частотах преобладают дробовые
и тепловые шумы.
Какими бы не были теоретические предположения о природе
токового шума, этот шум, зависящий от величины 1//, не может
быть представлен моделью, основанной на процессе с одной
временной постоянной. Видимо, существует система флуктуиру-
ющих процессов, каждый из которых характеризуется своей по-
стоянной времени т. Спектр этих постоянных времени широк и
Дается неким нормированным распределением g (т). Если элемен-
тарные случайные процессы считать независимыми, то для объяс-
нения справедливости закона 1//, необходимо предположить, что
и т подчиняется гиперболическому закону распределения, т. е.
g (т) ~ 1/т. Однако справедливость такого распределения вызы-
467
вает сомнения. Можно, с другой стороны, показать, что спектр \/f
является результатом действия множества зависимых элементар-
ных процессов, каждый из которых характеризуется также своим
временем жизни т и в отдельности дает обычный дробовый шум.
Наконец, весьма вероятным является предположение о нестацио-
нарном характере системы элементарных случайных процессов,
когда дисперсия каждого из них зависит от времени. Это предпо-
ложение также позволяет получить шум со спектральной плот-
ностью 1//.
Зависимость спектральной плотности избыточного шума от
величины тока, текущего через полупроводник, указывает на то,
что токовый шум является результатом флуктуаций проводимости
материала. Под термином «модуляционный шум» как раз и подра-
зумевается, что токовый шум создается благодаря явлениям,
приводящим к модуляции плотности носителей заряда и соответ-
ственно — к модуляции проводимости материала.
В противоположность тепловому шуму спектральная плот-
ность токового шума зависит от размеров полупроводникового
материала.
Это объясняется, по-видимому, отсутствием пространственной
корреляции токового шума, когда флуктуации шума в одной части
материала не связаны с флуктуациями в другой его части, или эта
связь выражена слабо и действует на очень малых расстояниях.
Таким образом, выражение для среднего квадрата относитель-
ного изменения сопротивления полупроводника можно записать
в виде
где с = const; v = xyz — объем полупроводника.
Так как изменение сопротивления г приемника на величину Дг
эквивалентно появлению в цепи приемника переменной э.д.с.,
включенной последовательно с сопротивлением г и равной
р ___ р ___х____
~ ° (1 4-х)2 г ’
где Eq — напряжение источника питания цепи, состоящей из
сопротивления г и его нагрузки г„, х = г/гн, то флуктуации отно-
сительного сопротивления Дг/r очевидно приведут к появлению
модуляционной шумовой э. д. с.
<2 2 X2 С , г
. м = Ео (1 +х)4 dl.
Поскольку
р _ р х Дг _ Ео rrH & _ 7 Лг
0 (14-Х)2 г г4-гн г4-г>1 г Q/oi г ’
468
то можно также записать
~9— C'i р7()
Обозначив С ^cr^/v и вычислив спектральную плотность э.д.с.
модуляционного шума, найдем
К1 m м 0
Ем(/) = -^—
Экспериментально установленная зависимость имеет вид
Ем (/) = const ,
г
причем в большинстве случаев величина а близка к 2, а |3 лежит
в диапазоне 0,8—1,5.
Избыточный шум 1/f является одним из основных шумов
предусилителей, построенных на транзисторах. Плоскостной тран-
зистор с высоким коэффициентом усиления имеет область шумов 1/f
до 500 Гц, для других типов транзисторов шум 1/f простирается
до нескольких килогерц. Выше этих частот спектральная плот-
ность шума транзистора приблизительно постоянна до достаточно
высоких частот, на которых шум начинает быстро расти. Вообще
говоря, в транзисторах имеется несколько источников шума с раз-
личной степенью корреляции между ними.
Поэтому шумовая эквивалентная схема для предусилителя на
транзисторах более сложна, чем для предусилителя па электрон-
ных лампах. Наиболее подходящей схемой для транзистора
является Т-образная эквивалентная схема, в которой различные
источники шума включены последовательно или параллельно
с. тремя электродами транзистора, например генераторы напря-
жения дробового и 1/f шума — последовательно с эмиттером, гене-
раторы напряжения теплового шума — последовательно с базой,
а генераторы тока дробового шума и шума 1/f — параллельно
с коллектором.
Однако, если представить предусилитель на транзисторах
в виде четырехполюсника, его шумы можно заменить тепловым
шумом сопротивления R ,К13, включенного последовательно с вход-
ным сигналом, подобно сопротивлению /?экв а в схеме рис. 323.
§ б. ГЕНЕРАЦИОННО-РЕКОМБИНАЦИОННЫЙ ШУМ
Основным видом шума в полупроводниках на промежуточных
частотах является генерационно-рекомбинационный шум, который
связан с флуктуациями процессов генерации и рекомбинации
носителей зарядов. Он аналогичен дробовым шумам в вакуумных
приборах, поэтому генерационно-рекомбинационный шум назы-
вают иногда дробовым. Спектр мощности этого шума плоский от
469
низких частот до частот, примерно равных обратной величине
времени жизни свободных носителей, выше этих частот спектр
мощности падает примерно на величину 20 дБ/дек. Это легко ви-
деть из следующих соотношений.
Для простого процесса генерации и рекомбинации, который
включает один вид носителей, функция автокорреляции, опреде-
ляющая степень связи случайного генерационно-рекомбинацион-
ного процесса с временем жизни носителей т, определяется экспо-
ненциальным законом, т. е.
К (AZ) = (N - М)2е-Д'/Т = ДЛ^е-д//\
где ДМ2 = (N — ./V)2 — дисперсия числа свободных электронов ДГ,
среднее значение которых равно N.
В соответствии с преобразованием Хинчина—Винера спек-
тральная плотность шума равна
E/v (f) — 4 j К (Д/) cos 2nf М d (ДО =
о
= 4АЛ^ j e-A(rtcos 2я1 Мd (А/),
о
Интегрирование дает
EjV (f) — 4ДЛ/ j (2з1/т)2 “ 1 -J- со2т2 ’
Следовательно, до частоты среза соср < 1/т спектральная плот-
ность практически не меняется, а за этой частотой падает на ве-
личину 20 дБ/дек.
Полученное выражение определяет спектральную плотность
флуктуации числа носителей заряда. Так как колебания прово-
димости полупроводника пропорциональны колебаниям числа
носителей, то (/) — спектр флуктуаций проводимости. Следо-
вательно, спектральная плотность э. д. с. генерационно-рекомби-
национного шума равна
Е,р(/) = Ео/[1 +(2я/т)2],
причем
Ео = Сю7о,
а = const, которая зависит от времени жизни, концентрации
и подвижности носителей заряда.
В полупроводниковых приемниках излучения генерационно-
рекомбинационный шум может быть доминирующим по сравнению
с джонсоновским, так как последний не зависит от величины тока.
470
§ 6. ФОТОННЫЙ ШУМ (ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ)
Фотонный шум, называемый также радиационным шумом,
связан с флуктуациями потока излучения, падающего на прием-
ник, т. е. с флуктуациями мгновенного числа фотонов, эмитти-
руемых источником излучения.
В 1900 г. Планк сформулировал гипотезу квантов энергии,
в соответствии с которой энергия микроскопических систем
(атомов, молекул) может принимать только определенные дискрет-
ные значения, являющиеся целыми кратными некоторого наимень-
шего количества энергии, причем при излучении и поглощении
энергия переходит из одного состояния в другое скачком, минуя
промежуточные значения. Следовательно, было установлено, что
процесс излучения энергии атомами происходит прерывным об-
разом, при переходах между различными стационарными состоя-
ниями.
Уже в 1905 г. Эйнштейн высказал соображения о прерывной
природе не только процесса излучения, но и самого излучения.
Эти соображения основывались на рассмотрении случайных
колебаний (флуктуаций) плотности излучения. О наличии подоб-
ных флуктуаций любого материального газа, помещенного в зам-
кнутый объем V, было хорошо известно в классической физике.
Действительно, если выделить малую часть замкнутого объема и,
то можно указать вероятность того, что в этой части окажется
всего одна молекула газа
= vIV
или п молекул
= (vIVy.
Эйнштейн рассмотрел аналогичную задачу для случая черного
излучения, заключенного в замкнутом объеме, считая его свое-
образным газом. Это рассмотрение показало, что излучение дей-
ствительно можно считать состоящим из отдельных атомов ве-
личины /iv, которые были названы фотонами.
Как известно, корпускулярные свойства излучения обнару-
жились прежде всего в явлениях фотоэффекта — освобождения
электрона под действием потока излучения. Законы фотоэффекта
представлялись непонятными с точки зрения волновой теории,
однако были объяснены Эйнштейном, представившим излучение
как поток фотонов величины hv.
Корпускулярные свойства излучения влекут за собой еще одно
важное следствие: необходимость существования флуктуации
в слабых потоках. Если поток излучения настолько слаб, что
число фотонов, попадающих на приемник в единицу времени, из-
меряется единицами или десятками, а приемник настолько чувстви-
телен, что он реагирует на попадание малого числа фотонов, то
неизбежно должны сказаться флуктуации этого числа. Такие
471
флуктуации в потоке излучения, видимого глазом, были блестяще
подтверждены академиком С. И. Вавиловым. Чувствительность
глаза, определяемая зрительным ощущением, составляет, по
оценке С. И. Вавилова, немного десятков, а может быть и не-
сколько фотонов. Кроме того, глаз имеет резкий порог зритель-
ного ощущения: если энергия излучения, попадающего в глаз,
меньше некоторой предельной величины, то глаз совсем не ощу-
щает света. Именно этими свойствами глаза воспользовался
С. И. Вавилов в своих опытах, которые, по его выражению, «дей-
ствительно воочию позволяют убедиться в квантовой, прерыв-
ной структуре света».
Рассмотрим некоторые количественные соотношения, позво-
ляющие рассчитать фотонный шум приемников излучения.
Исходным выражением для расчета дисперсии флуктуаций
потока излучения является известная из статистической термоди-
намики формула Эйнштейна—Фаулера для среднего квадрата
отклонения АЕ2 средней энергии Е (вывод этой общей формулы
можно найти в книге Э. В. Шпольского «Атомная физика»)
АЕ2 = (Е — Е)2 = Е2 - (Е)2 = kT2 ,
где k — постоянная Больцмана.
Средняя энергия черного излучения, находящегося внутри
замкнутого объема V, приходящаяся на единицу этого объема,
и интервал частот от v до v -р dv равна
Е = pvdv,
где pv Дж-см-3-Гц-1—спектральная объемная плотность излу-
чения, определяемая формулой Планка
вл/iv3 1
~ ehv/(kT) __ j •
Эта формула легко преобразуется в знакомый вид формулы
Планка для поверхностной плотности излучения. Действительно,
рассмотрим замкнутую полость V, в которой заключено излуче-
ние с плотностью pv. Если в полости V имеется малое отверстие
с площадью А, то по обе стороны от этого отверстия — источника
излучения распространяется в течение 1 секунды равное коли-
чество энергии, содержащееся в элементарном объеме — ци-
линдре с площадью основания А и высотой, равной скорости света с
(путь, проходимый излучением в течение 1 с). Следовательно,
в направлении а (рис. 324) в элементарный телесный угол dw
испускается поток излучения
(v) = - Ac cos apv dv,
472
а в полусферу
<1’гп (v) = A>v dv J cos a dii.
Так как
dQ = sin a da dtp,
a
2л л/2 Л/2
jcosadQ = J J cos a sin a da dtp 2л j
2л 0 0 0
cos a sin a da = л,
Спектральная поверхностная плотность потока, излучаемого
в полусферу — спектральная энергетическая светимость Rv,
Вт-см'2 - Гц"1 — равна
р ___ Ф?л (v) _
4 Adv ~ 4 fv’
т. е.
п ______________________________ 2л/п3 1
~ ~с2~ ehv/(kT) __ J *
Следовательно,
8n/iv3 dv 1
с3 ehv/(kT)___________________________________________________j
8n/i2v4 chv/(kT)
C3 (eftv/(feT) __ j)2 dV‘
\E^kT^ = kT2
473
Так как
-FT , 1 ,
Е — pv dv — eftV/(A,T) _ dv,
TO
ДЁ2 = Ehvehv^kT^/(ehv^kT^ - 1).
С другой стороны, поскольку
ehv/(kT)^hv/(kT) _ 1)2 = l/(ehv/(fe7) — 1)4- l/(e'lVA*7') — I)2,
то можно также записать
ЛЁ2 = Ehv [1 + - 1)].
Применим формулу Эйнштейна—Фаулера для вычисления
дисперсии флуктуаций спектральной плотности энергетической
светимости абсолютно черного тела, которая в соответствии с за-
коном Планка равна:
г, 2n7iv3 1 р 2лЛс2 1
~ с2 ehv/(kT)___ j » — /Л ehc/akT) _ j ’
где частота оптического излучения v выражена в герцах, длина
волны 1 — в сантиметрах, 7?v — в Вт-см2-Гц1, 7?v —
в Вт-см"2-см-1.
Пользуясь формулой Эйнштейна—Фаулера, найдем
Atfl = (Rv - = (2л/!%4/с2)^ (V),
ДЯ1 = (Rx - Ях)2 = (2лй2с7х6) SD (к),
где
0) (v) = chv/(kT)/(ehv/(kT) _ j),
д) (А) = ehc/(№i)/(eflcKKkr> — 1).
A/?v выражена в Вт2-с см-2-Гц-1, А/?1— в Вт2-с см-2-см-1.
Полученные величины дисперсии флуктуаций спектральной
плотности представляют собой средние квадраты отклонения от
среднего значения энергии, излучаемой в единичном спектральном
интервале (1 Гц или 1 см), единичной площадью источника (1 см2)
в единицу времени (1 с) в полусферу (2л).
Установим связь между этими величинами и спектральной
плотностью мощности фотонного шума, т. е. величиной диспер-
сии, приходящейся на единичный интервал частот электрических
сигналов.
Предположим, что за время Т, достаточно большое по сравне-
нию с длительностью излучения фотона, излучается в единичном
спектральном интервале 7Vv (или Л\) фотонов. В этом случае
474
суммарный поток излучения в момент времени t можно предста-
вить в виде
w
<l'v(0= 2 Ф1«-4),
где Ф1 (t — /А) — поток, определяемый излучением одного фо-
тона, в момент времени tk.
Случайные моменты времени излучения фотонов будем пока
считать равновероятными в интервале О, Т.
Определим среднее значение потока излучения
т т k==Nv
Ф„(/) = Птф- [ф„(0Л = Ит-Г- [ У
Учитывая, что независимо от момента вылета фотона
т
j Фг (/ — tk) dt = hv, найдем
о _____
Фт (0 = Фо = hvNv,
где Nv= Пш(Лф/Г) представляет собой среднее за единицу времени
Т ->оо
число фотонов, излучаемых в единичном спектральном интервале,
центрированном относительно частоты v.
Рассмотрим спектр излучения одного фотона
Ф1(/)= J
—оо
Предполагая, что испускание фотона есть мгновенный про-
цесс, т. е.
Фх (/ - tk) = Ьб (t - tk),
где б (/ — tk) — дельта-функция в момент времени t = tk, по-
лучим, вводя новое значение текущего времени t' = t — tk,
+f°°
(f) = ] hvt> (/') е”;2л/ <''+'*) dt' = hve~i2n,ti'.
— oo
В соответствии с равенством Парсеваля интеграл от квадрата
потока, излучаемого в момент времени /, когда в момент времени tk
происходит акт испускания одного фотона, вычисленный для всех
значений времени t от —сю до ф-оо, равен интегралу от квадрата
модуля временного спектра излучения одного фотона, вычислен-
ного для всех частот f от — оо до ф- оо.
Следовательно, введя обозначение
4-00
f ®i(t-tk)dt9
475
найдем
4-00
—-оо
Если за время Т испускается Nv фотонов, то суммарный квад-
рат потока излучения за это время можно найти, умножив значе-
ние для одного фотона на число фотонов Nvt а не на в силу
случайности фаз составляющих спектра от излучения каждого
фотона. Кроме того, необходимо учесть постоянную составляющую
потока, определяемую Nv фотонами, квадрат которой в единицу
времени составляет Фо, а за время Т — ФоТ.
Обозначив суммарный квадрат потока излучения за время Т
через найдем
<£ т — N 1 -|- ФоТ,
причем первое слагаемое правой части равенства учитывает флук-
туации потока излучения, а второе — его постоянную состав-
ляющую.
Следовательно, можно записать
4-оо
= J Л\|Ф1(О|2# + ФоТ.
Средний квадрат флуктуаций потока излучения, очевидно, равен
_____________ 4-°°
Ф2(/) = Нт-^- = Нт 4г ( ^|Ф1(Л|2^ + Фо-
Т-^ОО 1 Т-Ь-оо 7 Joo
а дисперсия
________________ _________ +°°
ДФ^(0 = Ф2(/)—Фо = f [lim-^] |®i(f)|2df.
1 J
Так как
то
T^OO 7
_______ +00 _
A®v(/) = J Nv |Ф1 (f) IM-
—oo
Сравнивая это выражение с общей формулой для дисперсии,
определяющей ее зависимость от спектральной плотности —
спектра Хинчина—Винера
______ +°°
ДФ*(О= J Ev(f)df,
476
найдем
Evtf) = AU3>i(f)l2.
но
| ф, (012 = | hveT^'t I2 = (hv)2,
следовательно,
Ev (/) =/Vv (/iv)2.
В полученную формулу должна быть внесена существенная по-
правка, связанная с тем, что при ее выводе предполагалось, что
случайные события (отдельные акты излучения фотонов) появля-
ются независимо друг от друга. В этом случае справедлив закон
Пуассона, описывающий распределение числа появлений рас-
сматриваемых случайных событий в единицу времени
где Р (Nv) — вероятность того, что в течение времени произойдет
ровно Nv актов излучения; Nv — среднее число актов излучения
в единицу времени.
Как известно, дисперсия случайной величины, распределен-
ной по закону Пуассона, равна среднему значению
ДЛ^ = ЛД
Это свойство распределения Пуассона, называемое законом
среднеквадратического отклонения, является критерием того —
правдоподобна ли гипотеза о распределении случайной величины
по закону Пуассона.
Закон среднеквадратического отклонения может быть, напри-
мер, использован для расчета отклонения от среднего числа ато-
мов, находящихся в некотором объеме газа, а также многих дру-
гих физических явлений, характеризующихся равномерным рас-
пределением энергии по степеням свободы (классическая стати-
стика Больцмана).
Рассмотрим, справедлив ли закон среднеквадратического откло-
нения для фотонного газа. Для этого найдем выражение для дис-
персии флуктуаций числа фотонов
ДЛ^ = (yv - /Vv)2 = jv2 — (jVT)2.
Так как
Ev = Nvhv,
ДЁ1 = ZX (/rv)2,
TO
ZX = ZX/(H2,
477
где AEv — средний квадрат отклонения энергии от среднего зна-
чения Ev.
Из формулы Эйнштейна—Фаулера для флуктуаций потока из-
лучения следует, что
ДЕ2 - [1 + l/(eftv/<*r> — 1)],
откуда искомая дисперсия флуктуации числа фотонов:
АД/'t = n~v [1 + ев (v)i = 7TV<Z> (V),
где
6в (v) = \/(eh^kT> - 1),
0 (V) == 1 + 6В (V) = ehv'<kT^hv'<kT> - 1) == 1/(1 — t-hv/(kT)y
Как видим, полученное выражение отличается от закона сред-
неквадратического отклонения, т. е. рассматриваемое распреде-
ление не является распределением Пуассона.
Флуктуации в фотонном газе несколько больше — на вели-
чину 6В (v), называемую параметром вырождения. Это является
следствием учета вынужденного излучения атома, помещенного
во внешнее поле. Поглощение атомом энергии внешнего поля,
связанное с переходом его из низшего квантового состояния в выс-
шее, не изменяет чисто случайный характер флуктуаций собствен-
ного излучения атома. Однако существует определенная вероят-
ность перехода атома из высшего состояния в низшее, сопрово-
ждающегося излучением энергии. Вынужденное (под действием
внешнего поля) излучение определяет возможность одновремен-
ного излучения нескольких фотонов, испускаемых с одинаковыми
энергиями в одном направлении (эффект слипания). Таким обра-
зом, существует некоторая корреляция излучения фотонов и от-
дельные акты излучения нельзя считать независимыми. Это об-
стоятельство учитывается статистикой Бозе—Эйнштейна, в ко-
торой в отличие от статистики Больцмана вводится коэффициент
корреляции Ф (v), определяемый через параметр вырождения 6B(v).
У тепловых источников излучения до температур примерно
104 К параметр вырождения очень мал. Действительно, например,
для комнатной температуры при длине волны 10 мкм он равен
0,008. Однако у нетепловых (лазерных) источников параметр вы-
рождения может быть очень большим.
Учитывая статистику Бозе—Эйнштейна, спектр Хинчина—
Винера для потока, излучаемого единицей поверхности абсолютно
черного тела в единичном спектральном интервал- в полусферу,
можно представить в виде
Ev (f) = (hv)2 Nv® (v) = (M2 [ 1 + M)],
или
Ex (Л = (W Д) = (ЛсД)2 iVx 11 + (X)],
478
причем
д5 Rv 2jtv2 1 2лу2 г, , ,
V~ fry ' '' C2 eftV/(fc7’)_I ' c2 °B
6B (v) = l/(eftv/<*7’) - 1); 0 (v) = 1 + 6B (v);
ту R^ _ 2лс 1 _ 2лс ...
K~ hc/K “ л* chc/(kkT)_i — ^4 °В(ЛЪ
6В (X) = l/(eft^7’> - 1), W) = 1 + 6в РО-
Легко убедиться, что полученные ранее по формуле Эйнштейна—
Фаулера значения дисперсии флуктуаций спектральной плотности
энергетической светимости абсолютно черного тела Д/?$ и Д£Д
представляют собой спектры Хинчина—Винера, т. е.
Д«1 = Ev (/),
Д^ = ЕХ(/)-
Если использовать только положительные частоты, то соответ-
ствующие спектры равны:
Ev(M = 2Ev(f); EH/+) = 2EHf).
Дисперсию флуктуаций в шумовой полосе пропускания элек-
тронного тракта Д/ш можно вычислить обычным путем
/+д/ш
[Д/Лд/Ш= J Е(/+)4/ = Д/шЕ(/+)=2Е(/)Д/ш,
f
следовательно,
IД/ш> [лИкш - 2Й Д/ш,
причем [ ДZ?v 1 а/ш измеряется в Вт2 «см-2 • Гц"1, а [Д/?Цд/ш —в Вт2 X
X см"2 «см"1.
Наличие в единицах измерения этих величин Гц-1 и см"1 го-
ворит о том, что они, по-прежнему, отнесены к единичному спек-
тральному интервалу оптических частот v в Гц или длин волн X
в см.
Расчет фотонного шума различен для тепловых приемников из-
лучения, реагирующих на среднее значение потока, и фотонных
приемников, сигнал которых определяется количеством носителей
заряда, освобождаемых квантами излучения и либо покидающих
вещество (фотоэмиссия), либо остающихся в нем, увеличивая про-
водимость (фотосопротивления) или создавая э.д.с. (фотовольтаи-
ческие приемники).
479
§ 7. ФОТОННЫЙ ШУМ ТЕПЛОВЫХ ПРИЕМНИКОВ
Предположим, что тепловой приемник взаимодействует с окру-
жающей средой лишь путем излучения, т. е. не происходит обмена
энергией вследствие конвекции и теплопроводности; приемник
имеет температуру 7\, окружен средой с температурой Т2 и имеет
излучательную способность е, которая не зависит от температуры
и длины волны. Поток излучения, падающий на приемник и по-
глощенный им, в этом случае равен (пользуемся только шкалой
частот)
со
Ф = [ emiBv dv,
б
где Bv — спектральная плотность энергетической яркости абсо-
лютно черного тела, имеющего температуру Т2, а — площадь при-
емника.
Так как излучает вся полусфера, то Bv = Rv/n, где Rv —
спектральная плотность энергетической светимости, следова-
тельно,
оо
ф = ш J Rv dv == ЕаоТ4 5,67 • 10"12ЕаТ4.
о
Если Rv флуктуирует относительно своего среднего значения,
то и поток излучения, падающий на приемник, испытывает соот-
ветствующие флуктуации.
Дисперсия этих флуктуаций в полосе частот электронного
тракта Д/ш, очевидно, равна
оо
Дф2 = 2 Д/щЕа J Ev dv,
о
где Ev — спектр Хинчина—Винера для спектральной плотности
энергетической яркости, т. е.
ДФ2 = 2 J hvRv<2) (v) dv =
о л f f 2nA2v4 eh^/(kT2) 4nh2ea „ л f
2Д/ше^] —~2 — ^hv/(kT2) __ — c2 о71ДД
где интеграл
g/1—J (ehv/(*7’2)_ 02^-
480
Если hv < kT2, то
J v4e~hv^kT^ dv.
о
Этот интеграл можно вычислить по формуле
оо
Jx"e-^dx = -^L.
О г
Тогда найдем
dZ1^24(^72//z)5,
следовательно,
Z^ 4x1^ Г-ф-У Д/
с2 \ h / 1 ш
Учитывая, что постоянная закона Стефана—Больцмана
о- = 2л^4/(15с2й3),
найдем дисперсию флуктуаций, выраженную в Вт2
ZZ? 7,39toea Д/Ш7г.
Точное значение интеграла^, позволяет получить несколько иную
величину
ДФ2 = 8toea Д/ш71 62,62- 10-35еа Д/ш7'|.
Так как приемник излучает как серое тело, имеющее темпера-
туру Тг и излучательную способность е, то флуктуации излучае-
мой им мощности будут проявляться как фотонный шум с диспер-
сией
ДФ2 = 8toea Д/Шт1.
Поскольку флуктуации падающего и излучаемого потоков излу-
чения независимы, суммарная дисперсия
ZZ? = 8kma Д/ш + 71).
Если приемник находится при той же температуре, что и окру-
жающая его среда, т. е. Тг = Т2 = Т, то
ДФ2 = 16Ло-ейД/ш76^ 125,24-10~3бе^Д/шТб.
Если тепловой приемник излучения представляет собой пла-
стинку, площадь каждой стороны которой равна а при излучатель-
ной способности сторон gx и g2, то общий уровень фотонного шума
такого приемника определяется выражением
Дф2 == 16/гсга (gT -|- g2) А[ШТ5.
16 м М. Мирошников 481
Во всех предыдущих расчетах имелось в виду, что ег = е,
а 82 = 0.
Если же тепловой приемник представляет собой плоское аб-
солютно черное тело, имеющее температуру Tlt площадь каждой
стороны а и окруженное другими абсолютно черными телами, име-
ющими различную температуру, распределенную по закону
Т2 (а, ср), то дисперсия полной флуктуации определяется выра-
жением
Дф2 — 16/гсга Д/ш
2л л/2
Ti —- j J Т2 (а, <р) cos а sin а da dtp,
71 о о
где интегрирование проводится по полусфере, так что угол а
изменяется от 0 до л/2, а угол <р — от 0 до 2л.
Если приемник окружен со всех сторон абсолютно черным те-
лом, имеющим одинаковую температуру Т2, то Т2 (а, <р) = Т2 =
— const,
2л л/2
J J cos a sin a da dtp =
о о
2л Л/2
Г , [ .1 n sin2 а I л/2
= I dtp J cos a sin a da = 2л —— = л;
о о
ДФ; = 1Gkoa Д/ш (Т[ 4- Та).
Если приемник окружен со всех сторон абсолютно черным те-
лом, имеющим температуру 7\ всюду, кроме малого телесного
угла Й внутри одной полусферы, где она равна Т2, т. е.
Т2 (а, <р) = в телесном угле Й,
7\ (а, (р) = Л в остальном угле л — Й,
то
2 л л/2
— J j Т2 (а, ср) cos a sin a da dtp = Ti + Ti----
71 о о 1
и
ДО? = 16&аа Д/ш [(2 - Й/л) 71? + (й/л) Т52].
При 7\ = Т2 = Т
Дф2 = 32Ьа Д/шТб,
что естественно следует из предыдущего выражения, когда 8г =
“ 82 — 1 •
482
Во всех последующих расчетах за основу будет принята фор-
мула для теплового приемника, имеющего ех = е, е2 = О т- е-
ДФ2 = 8&гае (ft + Т%) Д/ш;
причем для идеального теплового приемника, у которого еще п
8=1, найдем
ДФи.т =
Для полосы пропускания электрических сигналов Д/ш = 1 Гц
и площади приемника а = 1 см2 среднеквадратическое значение
полной флуктуации при = Т2 = Т равно
ф; = ]ЛдФ®/Д/ша = / 16йаеТ6 «=> 3,54- Ю^’/еТ6.
Эту величину называют удельным пороговым потоком или экви-
валентной мощностью фотонного шума теплового приемника,
так как она определяет величину потока излучения, воздействие
которого на приемник, имеющий пло-
щадь 1 см2, в полосе пропускания 1 Гц
вызывает сигнал, равный шуму.
Если 8 = 1, а Т = 295 К, то
Ф* ^3,54-КГ17-1,495-106 =
= 5,29-10 11 Вт-см’1-Гц-1/2.
Вычислениям уровня фотонного шу-
ма могут помочь следующие коэффи-
циенты (для 8=1):
= Фп7/?хт >=« 1 О’® Вт-см-Гц-1,
где R)m^^Ta= 128,62-IO18 76 —мак-
симальное значение спектральной энер-
гетической светимости абсолютно чер-
ного тела, Вт-см-3;
ф2 = Фп7/?««2,2-10“227,
где R = иТ4 = 566,97 • 10~14 Т4, R вы-
ражается в Вт/см2, а ф2 — в Вт/Гц.
Кроме того, можно воспользоваться
Рис. 325. Обнаружительная
способность идеального теп-
лового приемника, имеющего
температуру Тг К, в зависи-
мости от температуры фона
Т2’К, окружающего его со
стороны всей передней полу-
сферы
графиками, приведенными в книге Кру-
за и др. «Основы инфракрасной техники». Воениздат, 1964 г. Эти
графики воспроизведены на рис. 325. По оси ординат отложена
величина D* = 1/Фп, по оси абсцисс— температура фона Т2, а на
каждой кривой указано значение температуры приемника Тv
Из графиков, в частности, следует, что для Т2 = Тг = 295 К
D* 2-1010, т. е. Фп 5-10-11 Вт-см-1 • Гц~1/г. Если же прием-
16*
483
ник охлажден до температуры абсолютного нуля, эквивалентная
мощность фотонного шума уменьшается всего в ]Л2 раза по сравне-
нию со случаем, когда приемник имеет комнатную температуру.
§ 8. ФОТОННЫЙ ШУМ ФОТОННЫХ ПРИЕМНИКОВ
Фотонные или квантовые приемники отличаются от тепловых
тем, что в них имеет место прямое взаимодействие между падаю-
щими фотонами и электронами материала приемника. Поэтому,
если чувствительность тепловых приемников пропорциональна
поглощенной энергии, то чувствительность фотонных приемни-
ков — числу поглощенных фотонов. Вследствие прямого взаимо-
действия между фотонами и электронами инерционность фотонных
приемников очень мала, а чувствительность их в условиях глу-
бокого охлаждения обычно на один-два порядка выше, чем чув-
ствительность тепловых приемников. Спектральная чувствитель-
ность фотонных приемников зависит от длины волны, в то время
как спектральная чувствительность теплового приемника от длины
волны не зависит, если процесс чернения его поверхности доста-
точно совершенный. Так как энергия фотона изменяется с длиной
волны, фотонные приемники характеризуются длинноволновой
границей чувствительности, за пределами которой энергия фотона
либо меньше работы выхода для фотоэмиссионных приемников,
либо недостаточна для создания пары электрон —дырка для фото-
резисторов и фотовольтаических приемников, т. е. длиной волны
(мкм) Хо = 1,242/ф.
Для фотоэмиссионных приемников ср есть задерживающий по-
тенциал в электронвольтах ф = w/e, где w — работа выхода,
е — заряд электрона. Предельно низкую величину задерживаю-
щего потенциала имеют серебрянокислородноцезиевые эмитти-
рующие поверхности, у которых <р = 0,98 эВ, т. е. Хо = 1,25 мкм.
Для полупроводниковых приемников ср = ДЕ0, где ДЕ0 —
ширина запрещенной зоны, выраженная в электрон—вольтах.
Все известные полупроводники с собственной проводимостью
имеют ширину запрещенной зоны не менее 0,18 эВ, т. е. работают
в области до 7 мкм. При охлаждении ширина запрещенной зоны
сужается, сузить ее можно и за счет введения примесей легирова-
ния. В этом случае наибольшая граничная длина волны дости-
гает 140 мкм (германий, легированный бором) и даже 8000 мкм
(легированный антимонид индия).
Идеализированные спектральные характеристики тепловых и
фотонных приемников, построенные исходя из постоянной вели-
чины потока излучения на единичный интервал длин волн, имеют
вид, представленный на рис. 326. Там же приведены спектральные
характеристики, построенные по другому принципу, исходя из
постоянного числа фотонов на единичный интервал длин волн.
Действие излучения на фотонные приемники характеризуется
коэффициентом квантовой эффективности, равным отношению
484
числа фотонов, активно поглощенных фотослоем, т. е. фотонов,
освободивших фотоэлектроны, к общему числу фотонов. Часть па-
дающих на приемник фотонов является неэффективной как за счет
процессов отражения и пропускания, так и за счет тех процессов
поглощения, при которых не возникает фотоэлектронов. Считая,
что каждый эффективный фотон создает один фотоэлектрон, най-
дем значение квантовой эффективности г) (v) = п (y)/N (v), где
и (v) — среднее число фотоэлектронов, освобождаемых падающим
излучением в спектральном интервале от v до v -ф dv в единицу
времени (средняя скорость генерации фотоэлектронов), N (v) —-
Рис. 326. Идеализированные спектральные характеристики приемников
излучения: а — величина потока излучения, приходящегося на единич-
ный интервал длин волн, постоянна; б — число фотонов, приходящееся
на единичный интервал длин волн, постоянно;
А — тепловые приемники, Б — фотонные приемники
среднее число фотонов, падающих на приемник в спектральном
интервале от v до v ф dv в единицу времени (средняя скорость
поступления фотонов).
В фотоэмиссионных приемниках между средней скоростью гене-
рации фотоэлектронов и постоянной составляющей фототока суще-
ствует простая зависимость i (у) — еп (v), где е = 1,6-10"19 А-с—
заряд электрона.
Для полупроводниковых приемников эта зависимость более
сложна, но в простейшем случае она может быть получена следую-
щим образом.
При тепловом возбуждении носителей—электронов и дырок —
полупроводник имеет среднюю проводимость
а = е(«ц<, + рщ).
где е — заряд электрона, пир — средние значения концентрации
электронов и дырок, вызванные тепловым возбуждением, и
На — подвижности электронов и дырок.
В результате воздействия активных фотонов, приходящих со
скоростью п (v), проводимость полупроводника изменяется в сред-
нем на величину
Acr (v) = е (Art (vjjie + Ap7v)nft),
485
где Дп (v) и Др (v) — средние значения изменения концентрации
электронов и дырок в результате действия излучения.
В установившемся состоянии
Дп (v) — Др (v) = п (v) т,
где т — время жизни носителей в зоне проводимости.
Следовательно,
Ao (v) = ёп (у) т (щ 4- р.„).
Обозначая b = найдем
Да (v)/a = [(b + 1) и/(Ьп + р)] п (v),
т. е. среднее значение относительного изменения проводимости
(или сопротивления Дг (v)/r пропорционально средней скорости
генерации фотоэлектронов. Таким образом,
i (v) = еп (v) = ет] (v) W (v)’,
Дг (v)/r = [(& 4- 1) т/(Ьп + p)] T] (v) W (v).
Установим соотношение между квантовой эффективностью и
крутизной преобразования (чувствительностью) приемника излу-
чения.
Если ввести понятие обобщенного сигнала U (v), равного в од-
ном случае i (v), в другом — Дг (v)/r и т. д., иначе говоря, равного
эффекту воздействия потока излучения на приемник, то можно
записать
U (v) = ут] (v) W (v),
где U (у) — среднее значение обобщенного сигнала; -у — постоян-
ная, не зависящая от длины волны падающего излучения.
Поскольку
Щу)=$МФЙ,
где Ф (v) — среднее значение потока излучения, падающего на
приемник; S (v) — крутизна преобразования (чувствительность)
приемника излучения, найдем
ут] (v) N (v) = S (v) Ф (v),
т. e.
П W = (I/?) •$ (v) Ф (v)/2V (v),
HO
Ф (v) = hvN (v),
486
следовательно,
т) (v) = (h/y) v S (v).
Для частоты излучения, соответствующей максимуму чувстви-
тельности (у идеального приемника — это граничное значение ча-
стоты v0 = с/%0), найдем
И (v-») = Пт = (h/y) = (h/y) vmSm,
или
И М/Пт = (V/Vm) [S (V)/Sm] = (v/vm) k (v),
где
k (v) = S(v)/Sm.
Окончательно получим
nb’) = ('ИтЮ^М,
или в масштабе длин волн
Л (^) = ЛпЛт& (Х)/Х.
Вычислим пороговый поток (эквивалентную мощность шума)
для фотонного приемника, чувствительность которого ограничена
флуктуациями числа фотонов окружающей среды, имеющей тем-
пературу Т2.
Дисперсия флуктуации числа фотонов, падающих на приемник
с площадью а в течение 1 с в спектральном интервале 1 Гц, равна
ДЛ^ = aNy,g) (у),
где
д7 _ Rv _ 2^У2________1 .
v hv cz ehv/<*r) —1’
0 (v) = thv/(kT)^hv/(kT) _ J)
Величина Nv выражается в с'1-см“2-Гц"1, а величина AN'i—
в с"1-Гц"1.
Так как только л (v) Nv фотонов вызовут появление фотоэлек-
тронов, то средний квадрат флуктуаций эффективных фотонов
Ariv = ял М (v).
Аналогично предыдущему можно показать, что величина Ал$
представляет собой спектр Хинчина—Винера. Следовательно, для
вычисления дисперсии флуктуаций числа эффективных фотонов
в шумовой полосе пропускания электронного тракта АДИ нужно
умножить A/iv на 2 А/ш, т. е.
(А^)д/Ш = 2A/?V А/щ.
487
Полученная величина измеряется в с-2 • Гц'1; в единицы измере-
ния входит Гц'1 с целью подчеркнуть, что дисперсия флуктуаций
отнесена к единичному спектральному интервалу оптических ча-
стот v, Гц.
В шкале длин волн соответствующее равенство имеет вид
(Д4)д/Ш = 2Д4Д/Ш,
причем в этом случае дисперсия флуктуаций выражается в с~2 х
X см'1, т. е. относится к единичному спектральному интервалу
длин волн X (см).
Спектр Хинчина—Винера для всего оптического диапазона,
очевидно, равен
оо
(Дп“)д/ш = 2Д/Ш I knvdv.
о
Спектральная плотность (Д/г2)д;ш измеряется вс2. Соответствую-
щее среднеквадратическое значение
оо
2 Д/ш j Дщ> dv
о
определяет флуктуацию числа эффективных фотонов, падающих на
приемник в течение 1 с от рассматриваемого источника излучения.
Сравним полученное выражение с числом эффективных фото-
нов, падающих на приемник в течение 1 с от монохроматического
источника, излучающего в области максимума спектральной ха-
рактеристики приемника (у,п — с/Кт),
nvm = "1 W Ф (vj/f/ivj.
Следовательно, если nVm = К (А«2)л; ш’ Т0
ф (Чп) = Ihvm/X] (vm)] У
или
1/2
Jr|(v)Wv®(v)dv
Ч \Vm) J
v2ehV/(kT„)
u (ehV/(*72) __ 1)2 dV
Удельный пороговый поток фотоприемника (а = 1 см2, Д/ш
= 1 Гц) в максимуме спектральной чувствительности
Г ^hV/lkTt)
J (^/<^>-17^
- J11
С Ч \Ут) х
h vm
1/2
... ч ф (v«) _ 2 /лЛ
1/2
488
Полагая, что в идеальном случае квантовая эффективность
равна нулю в области длин волн X > Хо (v < v0) и не зависит от
длины волны для X < Хо (v > v0), где она равна своему макси-
мальному значению т] (ут) = т], найдем
с у -q
'7 ehv/(kT2} 11/2
I v2--------------dv
Jo (e/iv/(^2)_1)2°v
Если ehv/(kr2) i (например: ehvKkT3) > 10, т. e. hvl(kT^ >
> 2,3, следовательно, v > 2,3kT2lh, а при T2 — 295 K, v >
> 141,53-1011 Гц, или X < 21,2 мкм), то
Поскольку
f 2 /7Л- J лг Г х2 I 2
| dx = — е~ах-----------------------------—г 4—
J I. а 1 а2 ал
ТО
,г* / х 2]^nhkT2 2 Г, . о kT2
ф"^--77^'Ч1+2^Г +
2 (_^yy/2e-ftv0/(2fcr2)
Если Т2 = 295 К, то можно найти
,т* , ч 1,94-Ю"87 2 /. . 1,23-1013 7,56-IO2® \ 1/2 .
ФП (уо) --— V0 1 -----------ф-----5 I e-v0/( 1,23-101 )
V Л \ v° v2 j
или
ф"(М ~ 4^^(1+4 1 0-2X0+8 1 °^)1/2-
Для Хо = 10 мкм Фп (10 мкм) 2-10-11 Вт-см-1 • Гц-1/2.
На рис. 327 приведены графики зависимости D* (Хп) =
= 1/Фп (Хо) для температур Т = 77— 500 К и длин волн Хо = 1 —
4-1000 мкм. На рис. 328 даны кривые для температуры фона 290 К
для теплового и фотонного приемников.
Наличие минимума на кривых (рис. 327) объясняется тем, что
по мере увеличения Хо рост дисперсии фотонного шума с избытком
компенсируется увеличением числа фотонов, приходящихся на
каждый ватт мощности сигнала.
Найдем отношение эквивалентной мощности фотонного шума
Для фотонного приемника к эквивалентной мощности фотонного
шума для теплового приемника (отношение удельных пороговых
потоков).
489
Так как для фотонного приемника
/Т * / \ 2 КnhkT2 2 Г, । о kT2 .
,Mv’) = -rFFv°l1+2^ +
+ 2 j'/2 e-*v./(2»r,>i
Рис. 327. Зависимость удельной
обнаружительной способности
фотонного приемника от длин-
новолновой границы при различ-
ных температурах фона Т2 К-
Квантовая эффективность равна
единице. Поле зрения 2п ср
а для теплового
ф*т = IOZtjeTX
Рис. 328 Удельная обнаружи-
тельная способность идеального
приемника в зависимости от
длинноволновой границы Ао при
температуре фона 290 К и поле
зрения 2л ср:
I — тепловой приемник; 2 — фотон-
ный приемник
то, учитывая, что о = 2пб/г4/(15с2/13), найдем
ф^ф (*о) I2 15хое *° [у 2 2
Фпт J — 8л*ет1 \ *о х2
где х0 = hv0/(kT2).
В результате можно найти следующие значения отношения
Я (^о) = ®пи 4Ло/Фви т для ет] = 1 (идеальные тепловой и фо-
тонный приемники ИТ, ИФ), Т2 300 К и различных Ао == c/v0-
Ао............ 0,5
q(Ko) ... . 2,8-10’18
Ао............ 2,0
q (Ао) ... . 5,5-10'4
0,7
1,0-10-12
3,0
1,25.10-2
1,0
1,5 10-8
4,0
5,5-10-2
1,2 1,5
8,0-10-’ 2,0-10“ 5
5,0 7,0 10,0
0,115 0,23 0,35
490
Очевидно также, что q (Хо) = q (v0) = q (х0), где
q (v0) = Ф,*и ф (vo)/Ф^и т, q (х0) = Ф^ ф (*о)/Фпи т.
Если на приемник излучения, кроме окружающего его фона,
имеющего температуру Т2 = Тф, поступает излучение от источ-
ника сигнала
оо
Ф = J Ov dv,
о
эффективная величина которого равна
Фэф = £Ф,
где | = j k (v) Ф (v) dv [ O(v)dv; k (v) = S (y)/Sm — относи-
o / 6
тельная спектральная характеристика чувствительности прием-
ника, то число эффективных фотонов, падающих на приемник
в течение 1 с и освобождающих фотоэлектроны, очевидно, равно
и — <п ' ФэФ __? ПтФ
э* Чт hvm S hvm ,
поскольку излучение Фэф можно рассматривать как поток, сосре-
доточенный в максимуме спектральной характеристики прием-
ника.
Сравнивая полученную величину /гэф со среднеквадратическим
значением спектра Хинчина—Винера ]/"[Д/г^д^ , найдем
^эф
1д/П1»
т. е.
5 hvm
I Anjdv
о
или
1/2
ф hvm
2Afma j т] (v) N (v) 3) (v) dv
.о
Соответствующее выражение для монохроматического источ-
ника сигнала имеет вид
ф (vm) = V2- /2ДМ [ Г| (V) N (v) a) (v) dv
1/2
Следовательно, минимальная обнаруживаемая мощность не-
монохроматического источника Ф связана с минимальной обнару-
491
живаемой мощностью Ф (vm) монохроматического источника соот-
ношением
O = O(vm)/E.
Очевидно, что аналогичные выражения справедливы для удель-
ных пороговых потоков (эквивалентных мощностей шума)
Фп — Фп (‘vm)/^
и для обратных им величин
D* = |D* (vm).
Так как | всегда меньше единицы, то величина D* — удельная
обнаружительная способность для немонохроматического излуче-
ния—всегда меньше D* (ут) — удельной обнаружительной спо-
собности для монохроматического излучения.
Коэффициент | для случая, когда источником сигнала является
абсолютно черное тело, имеющее температуру Тс, можно найти
следующим образом: так как
Фс (v) = hvN,. (v),
то
оо
j Т) (v) Nc (V) dv
£_______________________0 __________
~ “ п™ 7 _______
I vNc (v) dv
6
Полагая, что при v > v0 r) (v) = tj (v,„) = i], а при v < v0
Л (v) = 0, 11 имея в виду, что
_—.— 2лу2 1
Nс (v) = ~ hvfkT~ “ ’
e c — I
найдем
co
fc f V2
Vo
Обозначим x = hv/(kTc)\ тогда
c v3 <
1 -----------dx
J e^/(^c)_]
0
492
Входящий в полученное выражение интеграл можно вычислить,
пользуясь известным выражением
со
J е — 1
о
где с, (1 + /г) — табулированная функция Римана. Значения инте-
грала о/ п для разных п следующие:
п............. 2 з 4 5
$п............ 2,4041 6,4939 24,880 122,08
1D
Найдем, что при п — 3
х0
где х0 = hv0/(kTc).
Если х0 < 1 (большие температуры источника сигнала Тс,
т. к. Тс > hv\'0/k), то, полагая х0 —> 0, найдем
со ОО
С Л = С —— dx«2,4,
J е* — I ,1 ех — I
Л'О о
т. е. £ -> 0,37л-о = 0,37/ivo/(/eTc).
Если х0 > 5—10, т. е. Av0 > (5-НО) kTc,
со оо
то i ~т~-----с^х( Л'2е-Л'dx = е fl + — + -Д ) *2
J ех — 1 J \ л 0 1 J о
-Vo Л'о
И
Круз и др. дают в своей книге графики зависимости коэффи-
циента | от температуры Тс и длинноволновой границы Хо = l/v0,
а также величины/)* для случаев, когда Тс = 290 К и 500 К, а Тф—
= 290 К. Эти графики представлены на рис. 329 п рис. 330.
Неожиданным является ход кривых на рис. 330 для граничных
длин волн, превышающих 18 мкм. В этом диапазоне источник с тем-
пературой Тс — 290 К обнаруживается лучше, чем источник с тем-
пературой Тс — 500 К- Поскольку шум в обоих случаях одинаков
(фотонный шум фона с температурой Тф = 290 К), ход кривых
объясняется тем, что тело с температурой 290 К испускает в диа-
пазоне длин волн от нуля до Хо, когда Хо > 18 мкм, больше фото-
нов на 1 Вт полной мощности излучения, чем тело с температурой
500 К- Для длин волн Хо < 18 мкм наблюдается обратная зависи-
493
мость. При решении задачи обнаружения слабонагретых объектов,
имеющих температуру, близкую к 290 К, на фоне фотонных шумов,
приходящих от фона с температурой 290 К, на основании графи-
ков рис. 330 следует использовать приемник с максимальным зна-
чением длинноволновой границы Однако наличие ослабления
атмосферы в диапазоне длин волн, входящих за пределы окна про-
зрачности 8—14 мкм, вносит существенные поправки. Сигнал в этом
случае соответствует излучению, ограниченному диапазоном 8—
Рис. 330. Зависимость удельной
обнаружительной способности
идеального фотонного приемни-
ка от длинноволновой границы
его спектральной чувствитель-
ности Ао для случая, когда источ-
ником сигнала является абсо-
лютно черное тело с температу-
рой 77, а температура абсолютно
черного фона равна 290 К. Кван-
товая эффективность равна еди-
нице. Поле зрения 2л ср
Рис. 329. Зависимость коэф-
фициента £ от температуры
абсолютно черного тела —
источника сигнала Тс и длин-
новолновой границы Ао. Поле
зрения 2л ср
14 мкм. Шумы приходят от из-
лучающего фона на всех длинах
волн, меньших длинноволновой
границы приемника. До 8 мкм
шумы есть, по сигнал практиче-
ски отсутствует, а за длиной волны 14 мкм, сигнал остается
постоянным, а шумы растут. Таким образом, оптимальным для
обнаружения является диапазон 8—14 мкм.
Итак, подводя итоги, можно записать основную формулу для
расчета удельного порогового потока (эквивалентной мощности
фотонного шума) идеального фотонного приемника в следующем
виде:
* Г 1бДе х° /
где х0 = hv0/(kT) = hc/(hokT), Фпи.т = V IBkoT5 — удельный
пороговый поток (эквивалентная мощность фотонного шума) для
идеального теплового приемника, т. е.
фпи. ф м=я (*о) т.
494
При этом предполагают, что идеальный тепловой приемник
представляет собой плоское абсолютно черное тело, площадь каж-
дой стороны которого равна а, излучательные способности каж-
дой стороны равны, соответственно, Ej = 1, е2 = 0. Температура
идеального теплового приемника равна температуре окружающего
его фона Т. Идеальный фотонный приемник имеет постоянную
квантовую эффективность т] = 1 для всех длин волн от 0 до X = Хо,
а при X > Ло его квантовая эффективность равна нулю.
Шум идеального фотонного приемника ограничен только флук-
туациями падающего на него излучения окружающей среды со
стороны всей передней полусферы (телесный угол 2л).
В зависимости от типа фотонного приемника и его конструкции
в основную формулу необходимо ввести поправки. Эти поправки
сводятся к умножению величины Фпн ф (х0) на некоторый коэф-
фициент 0 > 1, который имеет различные значения в каждом из
следующих случаев.
1. Если квантовая эффективность т] в диапазоне длин волн от
нуля до Zo отличается от единицы, необходимо разделить удель-
ный пороговый поток (эквивалентную мощность шума) на вели-
чину У1-1, т. е. найти Ф’и. ф (х0)/]/-»].
Следовательно, в этом случае 0j = 1/]/\].
Квантовая эффективность хорошего серебрянокислородпоце-
зиевого фотокатода в максимуме длинноволновой чувствитель-
ности, который находится в области 0,8 мкм (длинноволновая
граница составляет 1,2 мкм), равна примерно 0,01 (1%). Большей
частью она не превышает 0,003—0,005 (0,3—0,5%). Для много-
щелочных сурьмяноцезиевых фотокатодов в максимуме спектраль-
ной характеристики, лежащем в области 0,4 мкм (длинноволновая
граница простирается до 0,87—0,9 мкм), квантовая эффективность
достигает 0,3—0,4 (30—40%). Теоретический предел квантовой
эффективности у фотоэмиссионных приемников фактически равен
50%, так как половина фотоэлектронов, получивших избыточную
энергию от фотона, будет двигаться в направлении от поверх-
ности и по сможет участвовать в фотоэмиссии.
Квантовая эффективность современных приемников излучения
с внутренним фотоэффектом может приближаться к единице, по-
скольку в отличие от внешнего фотоэффекта все освобожденные
действием фотонов фотоэлектроны могут стать носителями тока.
Однако обычная величина лежит в пределах 0,1—0,4 (10—40%).
2. Спектральная характеристика реальных фотонных прием-
ников не имеет резкой длинноволновой границы. Обычно суще-
ствует уменьшение квантовой эффективности вблизи длины
волны Zo и более равномерный спад ее в сторону длинных воли.
Так, например, у приемников с внутренним фотоэффектом можно
считать, что спектральная чувствительность спадает по экспоненте
после того, как достигается длина волны Хо, при которой чувстви-
тельность уменьшается вдвое. Это обстоятельство может быть
495
учтено поправочным коэффициентом, величина которого лежит
между 1 и 2. Следует умножать Ф^и ф (х0) на этот поправочный
коэффициент. Например, для идеального фотонного приемника,
имеющего длинноволновую границу чувствительности Хо = 8 мкм
при Т = 300 К, Фпи,ф (*о) = °>ЗФпп т, а для фоторезистора из
селенистого свинца при температуре слоя 20 К, когда длина
волны, на которой чувствительность падает вдвое, Хо = 8 мкм,
имеем при той же температуре фона 300 К, Ф*фс (х0) = 0,58 Фпн т,
т. е. Фпфс(%о) = Ь9фпи.ф (хо)- В обоих случаях Ф*и т = 5,29 X
X 10-11 Вт-см-1 • Гц-1/2. Следовательно, равномерный спад спек-
тральной характеристики приемника вблизи длинноволновой гра-
ницы учитывается коэффициентом 02 = 1 -*-2, точные значения
которого можно вычислить, пользуясь методикой, изложенной
в книге Смита и др. «Обнаружение и измерение инфракрасного
излучения».
3. При выводе уравнения для Фпп ф (х0) рассматривались
только фотоны, прибывающие со стороны передней полусферы.
Это условие подтверждается при расчете фотонного шума для фото-
эмиссионных и фотовольтаических приемников. В фотоэмиссион-
ных приемниках с непрозрачным фотокатодом только фотоны,
прибывающие на фронтальную поверхность, участвуют в образо-
вании шумов. В фотовольтаических приемниках с диффузионным
переходом фотоны, приходящие со стороны передней полусферы,
достигнут перехода и примут участие в фотовозбуждении, тогда
как фотоны из задней полусферы будут поглощаться, прежде чем
они достигнут перехода. В противоположность этому в фоторези-
сторах фотоны, приходящие с любого направления, будут произ-
водить свободные носители зарядов. Таким образом, для неохла-
ждаемых фоторезисторов величину Фпи ф (х0) нужно умножить на
03= /2. При охлаждении этим множителем можно пренебречь.
4. В фотоэмиссионных и фотовольтаических приемниках источ-
никами фотонных шумов являются только флуктуации излучения
фона, падающего на приемник. Однако в фоторезисторах большую
роль играют изменения концентрации носителей при облучении.
При облучении носители непрерывно подвергаются как спонтан-
ному, так и вынужденному фотовозбуждению и рекомбинации.
При равновесии суммарная мощность фотонных и геперационно-
рекомбинационных шумов может достигать не менее удвоенной
величины мощности одних фотонных шумов. Следовательно, для
фоторезисторов величину Ф*п ф (х0) нужно умножить еще на
04 = 1/2 раз.
5. При наблюдении монохроматического источника можно
уменьшить величину Ф* ( ф (х0) за счет использования узкополос-
ного оптического фильтра, пропускающего поток только вблизи
длины волны излучения источника. Конечно, фильтр должен быть
охлажден, чтобы его излучение в области непрозрачности не создало
496
дополнительного шума. Выигрыш за счет применения охлаждае-
мого фильтра может достигать нескольких порядков.
Определенное улучшение может быть получено и при наблю-
дении серого или черного источника. В этом случае охлаждаемый
фильтр позволяет эффективно сузить пределы спектральной харак-
теристики приемника до диапазона длин волн, излучаемых источ-
ником, что ограничит воздействие на приемник флуктуаций излу-
чения окружающего фона.
6. Уровень фотонного шума можно снизить, ограничивая поле
зрения приемника, путем помещения его чувствительного слоя
в охлаждаемый баллон с отверстием, через которое наблюдается
излучение цели.
Так как полный полусферический угол зрения приемника ра-
вен л стерадиан, то величина Ф*и ф (х0) может быть уменьшена
путем деления ее на коэффициент Q/л, где Q — полный эффек-
тивный угол обзора приемника через отверстие в экране. В общем
случае для определения Q нужно двойное интегрирование. Если же
поверхность приемника ламбертовская, т. е полностью диффузна,
если он имеет круговую симметрию и его апертурный угол может
быть представлен как конус с половинным углом при вершине 6, то
Q = л sin2 0,
следовательно,
]/ Q/л = sin 0.
Для приемника без экрана 0 = 90° и уменьшения Ф*и ф (х0) не
происходит.
§ 9. ТЕМПЕРАТУРНЫЙ ШУМ
Температурный шум наблюдается только в тепловых прием-
никах. Его причина — флуктуации температуры приемника, воз-
никающие вследствие статистической природы теплового обмена
с окружающей средой. Тепловой обмен может осуществляться
главным образом путем излучения и теплопроводности. Если об-
мен за счет теплопроводности незначителен по сравнению с обме-
ном путем излучения, температурные шумы идентифицируются
с фотонными, т. е. избыточного температурного шума не суще-
ствует. Следовательно, если приемник имеет температуру Т при
площади поверхности а и излучательной способности е — 1, то
за счет теплообмена путем излучения со средой, имеющей тем-
пературу Т2 и окружающей приемник со стороны передней полу-
сферы, дисперсия флуктуаций в полосе частот электронного
тракта Д/ш равна
ДФ2 = 8koa -j- Tl) Д/ш.
497
Со стороны задней полусферы чувствительный слой приемника
излучения имеет непосредственный контакт с термостатом. Если
теплопроводность между приемником и термостатом обозначить
через 2?(Вт-К'1), а температуру термостата через Т3, то величина
потока тепла, идущего от термостата к приемнику при условии,
что разность температур АТ = Т3 — Тг, невелика и равна
АФ = £ДТ = АТЖ
где 31 = 1/3— тепловое сопротивление между телом и термо-
статом.
Очевидно, что если бы обмен теплом происходил только за счет
излучения, то при Т3 «=? Т
3 = 1/^ = 4(тяТ?.
Дисперсия флуктуаций потока тепла АФ2, следовательно, будет
АФЛ = АТ2/^3.
Теперь нам необходимо найти дисперсии флуктуаций потока
тепла и температуры, отнесенные к единичной полосе частот, т. е.
спектральные плотности флуктуаций, которые обозначим для удоб-
ства в виде АФ2 и ATI, причем очевидно, что
АФ? = АТ?/^2,
поскольку тепловое сопротивление от частоты не зависит
В соответствии с формулой Эйнштейна—Фаулера средний квад-
рат отклонения ДЕ2 средней энергии Е приемника равен
ДЁ2 = ^Т?(ДЁ/ДТ),
но
АЕ = ЕАТ,
где О — теплоемкость приемника, следовательно, АЁ2 — kTiC.
Поскольку непосредственно из формулы АЕ = С АТ следует, что
АЕ2 = С2 АТ2, то
Кт2 = kT2/e.
Для облегчения дальнейшего расчета спектральной плот-
ности АТ| используем аналогию между тепловыми и электриче-
скими явлениями.
Нам известно, что в том случае, когда спектральная плотность
флуктуаций электродвижущей силы равна 4kTR, дисперсия флук-
туаций напряжения на емкости С, соединенной с источником флук-
туаций через сопротивление R, равна
ЛЁ2 = 4kTR [1/(4т)1,
498
причем 1/(4т) представляет собой шумовую полосу пропускания
апериодического звена с постоянной времени т = RC, следова-
тельно,
Д/72 = kT/C.
Решим обратную задачу. Если дисперсия флуктуаций ДТ2 тем-
пературы приемника, имеющего теплоемкость С, определяется
некоторым источником флуктуаций со спектральной плотно-
стью ДТ‘|, соединенным с приемником через тепловое сопроти-
вление .4?, то
ДТ2-Др[1/(4т)],
где в данном случае т = <%С, следовательно,
Др = 4т ДТ2 = 4Ж? Др.
Так как
др = /гр/е,
то
Др=4/гр$?.
Заметим, что тепловая флуктуация имеет множителем Т2 в тех
случаях, когда электрическая флуктуация имеет множителем про-
сто Т. Это обстоятельство можно объяснить следующим образом.
На основании общих статистических соображений используемая
для получения работы энергия флуктуаций пропорциональна
kT — энергии, приходящейся на одну степень свободы. В случае
электрических флуктуаций вся энергия флуктуаций СДп2 при-
годна для работы, т. е.
СДЙ2~/гТ.
В то же время из термодинамики известно, что если разность
температуры между телами равна ДТ, то для получения работы
используется только величина &TIT, являющаяся коэффициен-
том полезного действия обратимого процесса. Следовательно, для
тепловых флуктуаций имеем
(Д7/Т) С\Т ~ kT,
т. е.
ДГ ~ kT2/G,
а это и следует из формулы Эйнштейна—Фаулера.
Следовательно,
ДФ2 = Др/,^2 = 4/гр/^ - 4kT&,
или в полосе частот электронного тракта Д/ш
дф2 = 4kT\$ Д/ш.
499
Учитывая это выражение, найдем общую дисперсию флуктуа-
ций для теплового приемника, испытывающего со стороны перед-
ней полусферы флуктуации потока излучения, испускаемого окру-
жающей средой с температурой Т2, а со стороны задней полу-
сферы — флуктуации теплообмена с термостатом, имеющим
температуру Т3 7\. Очевидно, что для полосы частот Д^ш
величина этой общей дисперсии равна
Дф2 = (Т\ + 7f) Д/1Ц j- 4kT2& Д/ш.
Если приемник не охлаждается, т. е. термостат отсутствует, то
7\ = Т2 = Т, $ = 0 и
ДФ-2 = 16АхтаТ5 Д/ш.
Если для уменьшения влияния окружающего фона приемник,
охлаждаемый термостатом до температуры Тlt защищен диафраг-
мой, имеющей температуру 7\ и ограничивающей поле зрения
приемника до малого телесного угла Q, то
4?- = 8kaa Г (2 — —\ г? _|_ 7-е I + ikT^S.
А/ш L \ л / л J
Обычно
(2-й/л) Tf«(Q/ji)
так как мощность, излучаемая охлаждаемым приемником, мала
по сравнению с мощностью аоТ^Й/л, получаемой им от фона.
В этих условиях температура приемника определяется балан-
сом теплообмена между системами фон — приемник, с одной сто-
роны, и приемник — термостат, с другой стороны, т. е.
<w7l(Q/«) = S’AT = ^(Ti - Тз).
Следовательно,
® __
** — АТ л ’
и
ДФ2 = 8/«T«7i Л- [1 + л 1 д/,,,.
л L 2 (ч — 1 з/ J
Удельный пороговый поток или эквивалентная мощность шума
фотоприемника
, /" Д®2 го. ^5 й /, . Tl \W
Фп —| л (1 2Т2Дт)] '
Избыточный температурный шум вносит составляющую
,т*" Го» 'Г5 Л 11/2 О'гЗхр 1/ ku Q
ф„ =|8to72— 2^] ^2Т2Т, у — ,
500
тогда как составляющая, определяемая флуктуациями потока
излучения
Коэффициент шума
F - 1 + <Рп7Фп' = 1 + УTi/(2T^T).
Если 7\ = 77 К, Т2 = 295 К, &Т = 2°, то F = 1 ф- 2,24 =
= 3,24.
§ 10. МИКРОФОННЫЙ ШУМ
Микрофонный шум является следствием механических воздей-
ствий на приемник излучения и усилитель, приводящих к вибра-
циям электродов, монтажных проводов и корпуса (подложки)
приемника излучения. Эти вибрации в свою очередь вызывают
изменения межэлектродных и монтажных емкостей, а также сопро-
тивления полупроводника, если последний используется в ка-
честве приемника излучения. Микрофонный шум состоит из ряда
резонансных выбросов, спектр которых лежит в диапазоне частот
100—7000 Гц. Для уменьшения микрофонного эффекта следует
применять специальные вибростойкие лампы и транзисторы, вво-
дить в конструкцию амортизацию предусилителя, использовать
заливку монтажа расплавленной смолой, увеличивать жесткость
крепления чувствительного элемента приемника излучения в кор-
пусе и на подложке и т. д.
Проблема уничтожения или ослабления микрофонного шума
является весьма важной, требующей пристального внимания раз-
работчика аппаратуры.
§ 11. ВЫЧИСЛЕНИЕ И СОГЛАСОВАНИЕ ШУМОВ
Прежде чем приступать к вычислению дисперсии общего шума
на выходе усилителя и решению вопроса о необходимых меро-
приятиях, обеспечивающих оптимальное согласование шумов раз-
личных элементов тракта оптико-электронного прибора, необхо-
димо внимательно рассмотреть условия работы прибора и опре-
делить виды шумов, которые необходимо учитывать при анализе
и расчете.
Одним из важных обстоятельств при этом рассмотрении яв-
ляется распределение спектральной плотности шума по частотам,
так как в различных областях спектра электрических сигналов
определяющими являются шумы различной природы. Например,
для фоторезисторов на самых низких частотах (150 -200 Гц) пре-
обладает токовый шум со спектром 1//, на промежуточных частотах
основным является генерационно-рекомбинационный (Г—Р) шум,
501
а на сравнительно высоких частотах спектральная плотность шума
определяется шумом Джонсона. Соответствующая зависимость
представлена на рис. 331. Для разных типов приемников излуче-
ния и при разных температурах чувствительного слоя имеет зна-
чение та пли иная часть этой общей зависимости.
Благодаря наличию всякого рода избыточных шумов эквива-
лентная мощность шума фотопрпемников превышает эквивалент-
ную мощность фотонного шума.
Для глубокоохлаждаемых фоторезисторов из примесного гер-
мания это превышение на частотах выше 150 Гц незначительно.
Для фоторезисторов на основе халькогенидов свинца (PbS, PbSe,
РЬТе) при охлаждении превышение составляет 4—5 раз, а при
Г-р шум
Рис. 331. Распределение шумов
по спектру электрического си-
гнала
отсутствии охлаждения (PbS) увели-
чивается до 15—25 раз. Близкие зна-
чения коэффициента превышения
имеют фоторезисторы из антимонида
индия, а эквивалентная мощность
шума фотовольтаических приемников
на основе InSb приближается к тео-
ретическому пределу.
Некоторые типы тепловых прием-
ников излучения имеют характери-
стики, близкие к пределу чувстви-
тельности, определяемому фотонным
шумом, большей частью при очень
глубоком охлаждении (3—4 К).
К этим приемникам относятся, в частности, германиевые боло-
метры при температуре жидкого гелия.
Для термоэлемента преобладающим шумом является шум
Джонсона его омическго сопротивления и флуктуации напря-
жения, вызванные температурным шумом.
Болометр, кроме этих шумов, генерирует токовый шум, харак-
терный для полупроводников, но появляющийся также и в том
случае, когда ток проходит через очень тонкую металлическую
проволоку или пленку.
Для фотоэмиссионных приемников основным шумом является
дробовой шум фототока, который существенно больше фотонного
шума, если катод не охлаждается. Предел чувствительности опре-
деляется, таким образом, дробовым шумом темнового тока. Тем-
новой ток полностью обусловлен термоэлектронной эмиссией. При
охлаждении жидким воздухом темновой ток серебрянокислородно-
цезиевого фотокатода может уменьшиться до величины 5-10-1 А.
Дробовой шум этого тока лишь несколько больше фотонного шума
излучения окружающей среды, находящейся при комнатной тем-
пературе. Однако для устранения шума Джонсона в этом случае
требуется сопротивление нагрузки, превышающее 1015 Ом, что
практически невыполнимо. Джонсоновский шум сопротивления
2,5 X 1013 Ом примерно на порядок превышает дробовой шум
502
темнового тока. Эта проблема решается в фотоумножителе, коэффи-
циент умножения у которого достигает 104—10е.
Процесс умножения вносит дополнительные шумы, однако пре-
вышение шума фотоумножителя над дробовым составляет примерно
15%, т. е. этим превышением можно пренебречь. При охлаждении
до 195 К (—78° С) было достигнуто значение темнового тока с фото-
катода ФЭУ порядка 10“19 А.
Решение вопроса об оптимальном сочетании шумов приемника
излучения с усилителем п входной цепью требует вычисления
дисперсии шума в одной и той же точке схемы, например на вы-
ходе усилителя. Выше уже рассматривались методы вычисления
дисперсии различных шумов, генерируемых приемником излуче-
ния, входной цепью и самим усилителем па выходе.
В дополнение к этому следует обратить внимание на расчет
дисперсии фотонного шума.
Если известна мощность монохроматического источника излу-
чения, эквивалентная мощности фотонного шума, причем длина
волны, на которой задана эта мощность, соответствует максимуму
спектральной чувствительности приемника S (Хш) — Smax, то дис-
персия напряжения фотонного шума на выходе усилителя
^ш. ф — <$тахАоФ (^m) — <$тахА0 [Фп (-^о)] & А/ш,
где — максимальное значение коэффициента усиления усили-
теля и входной цепи; а — площадь приемника излучения, см2;
<Smax — максимальное значение спектральной чувствительности
приемника излучения, В-Вт-1; АДЦ— шумовая полоса пропу-
скания усилителя и входной цепи, Гц; ф* (%0) = 0Фпи ф(%0);х0 =
= 104/(Л77,о); х0 48/Х0 для Т — 295 К; Хо— длина волны,
соответствующая максимуму чувствительности, мкм; (3 > 1 — коэф-
фициент, учитывающий увеличение эквивалентной мощности шума
для реальных условий работы приемника относительно мощности
шума идеального фотонного приемника;
Ф*и. ф (л'о) = [(15%оеГх78л4) (I ф- 2/а'о + 2/х?)]1/2 Фпи. т,
ф;и Т = у 16toT5; ф;1и T«5-10-“ Вт-см-1-Гц-1/2
для Т = 295К.
Если в случае фотоэмиссионного приемника величина чувстви-
тельности S'm задана в A/Вт, то
Sm = Г nSmi
где г„ — сопротивление нагрузки, Ом.
Если задано интегральное значение чувствительности S в А/лм,
то
о ___ о 683£гЛ
t->m ' н»
ьпр
503
где |1Л и |пр — коэффициенты использования излучения эта-
лонного источника глазом и данным приемником излучения соот-
ветственно. Причем
оо I оо
| = j(f) (X) k(k) dh j cp(X) dX,
о I о
где (X) — относительное спектральное распределение излуче-
ния источника; k (X) — относительная спектральная чувствитель-
ность приемника [для глаза k (X) = v (X) — световая эффектив-
ность излучения для стандартного наблюдателя МКО].
В последующих параграфах приведены дополнительные разъ-
яснения некоторых вопросов, вызывающих часто неверные су-
ждения.
§ 12. ПОДАВЛЕНИЕ ТЕПЛОВОГО ШУМА ВХОДНОЙ ЦЕПИ.
ШУМ ПРИ КОРРЕКЦИИ ИНЕРЦИОННОСТИ
Уже отмечалось, что формула для дисперсии теплового или
джонсоновского шума, действующего на входе усилителя
«ш. т. М = *Гш/Свх-
не может служить основанием для рекомендаций методов его по-
давления, так как при СЕХ —» оо уменьшается не только шум, но
и сигнал.
Совершенно иной подход к подавлению теплового шума имеет
место при рассмотрении совместного действия дробового шума
фотоэмиссионного приемника — источника сигнала и теплового
шума входной цепи. Действительно, в этом случае суммарная дис-
персия шума на выходе усилителя равна
Мщ ~ др -f- 11ш. Т 4 / щ. ЭКвАвхАо А/ш»
т. е. совместное действие дробового и теплового шума заменено дей-
ствием теплового шума сопротивления Rnx, находящегося при
температуре Тш.экв.
Так как
7 ш. экв ~ (2Oiorн + 7 ш/70),
причем вклад дробового шума определяется членом 2OiorH, а вклад
теплового шума — членом TjTQ, то, увеличивая сопротивление
нагрузки гн, можно добиться существенного превышения доли
дробового шума — шума источника сигнала, т. е. добиться эф-
фекта подавления теплового шума. При этом нужно обратить вни-
мание на то, что общая частотная характеристика входной цепи и
усилителя должна остаться неизменной, так как
оо
А/ш = j Йх (/) k2yc (/) df = const.
о
504
Между тем, коэффициент передачи входной цепи (по мощности)
/?ЕХ (f) = Т+7^7^—’
в высокочастотной области спектра электрических сигналов, когда
2л/твх > 1/(2л/тсс), равен
/г\_ 1 _ 1
"> - 1 + ~ l + faif^c V’
\ гн -|- гвх /
а если гвх гн, то
*.х(/)= 1/[1 +(2п/гнСвх)21,
т. е. увеличение гн приводит к уменьшению сигнала на входе
усилителя в области высоких частот.
Для компенсации этого уменьшения, т. е. соблюдения условия
Д/ш = const, в усилитель должна быть введена соответствующая
цепь коррекции, например дифференцирующее звено с коэффи-
циентом передачи
дл2 _ 1 4" (2jlfTBX)2 1
Лдиф — ! + (2л^ЕХ/а)2 а2 *
Такое звено было рассмотрено в § 3 гл. 10. Его совместное дей-
ствие с входной цепью дает новое значение коэффициента пере-
дачи
ту 2 ,г\ 1_______1_______ 1 ________1______
Лвх. диф - а2 1 + (2я/Твх/а)а - С2 1 + [2я/ (Гн/«) Свх]2 •
Следовательно, если увеличить сопротивление нагрузки в а раз,
т. е. выбрать г'н = агн, то
№»х.л„ф(0 = *2вх(/)(1/а2).
Постоянный множитель с? всегда может быть скомпенсирован
соответствующим увеличением коэффициента усиления. Условие
подавления теплового шума оказывается выполненным, так как
при Д/ш — const,
Tlu. экв = То (2OiorHa Д- Тш/Т0) = 2OiorH«To,
поскольку всегда можно выбрать коэффициент а из соотношения
2О/огця> Тш/Т0.
Необходимо иметь в виду, что наличие корректирующего звена
в усилителе приводит к относительному увеличению влияния шу-
мов тех элементов схемы, которые включены за входной цепью,
например шумов предусилителя.
Действительно, в простейшем случае дисперсия шума на выходе
усилителя, определяемая шумом первого каскада, имеет вид
^ш.ус = о/?экБ. а^оА/ш»
505
где 7?Экп. а — эквивалентное шумовое сопротивление,
оо
Л/ш= jfcyeWrf/.
О
Если усилитель имеет прямоугольную частотную характери-
стику с коэффициентом усиления, равным /(0 в диапазоне частот
от /у до f2 и равным нулю вне этого диапазона, то при отсутствии
корректирующего звена
Л/и,.уе= =
В случае коррекции найдем:
Нщ. ус. к == 4А?То/^экв> a{Ko/d) Л/шуск»
д f ______ Г 1 4~ (2л/твх)2 ,г
/ш* Ус-к J 1 + (2л/твх/й)2
fl
Вычисление этого интеграла осуществляется по формуле
f 1 х2 , а2 — 1 । х
о , 7 dx = х-----------arctg —,
J а2 -|- х2 а ° а
что дает
Д Г __ ..2 Д f _ aZ— 1 q rpi <7 (2ятЕх/а) А/
ус-к “ 1 2лтвх/о drCLk ! + (2лтвх/а)2 fj2 ’
Если предположить, что а2 ^>1, f2 = 1/(2л твх/а), ft < f2, то
найдем
А/ш. ус. к = ДМ2 (1 — Ji/4) = 0,2u2 Af.
Следовательно,
А/Ц1. ус. K/Afm = 0,2«2,
если а = 10, то А/ш ус К/А/Ш = 20, т.е. дисперсия шума на выходе
усилителя, связанная с шумом первого каскада, возрастает при
коррекции в 20 раз.
В некоторых случаях это вполне допустимо, так как речь идет
о возрастании дисперсии шума за счет высокочастотной части
спектра. Например, для телевидения видность помех на экране
существенным образом зависит от их спектрального состава: вы-
сокочастотные компоненты в силу падения контрастной чувстви-
тельности глаза на мелких деталях и по другим причинам менее
заметны, чем низкочастотные. Видность шумовой помехи на экране
убывает с возрастанием частоты но экспоненте. Тем не менее, даже
в этом случае приходится переносить цепь коррекции непосред-
ственно на вход усилителя, т. е. использовать, так называемую,
сложную противошумовую коррекцию, предложенную Г. В. Бра-
УДе.
506
Итак, с вопросом подавления теплового шума дело обстоит
куда более сложно, чем это иногда пытаются представить. Напри-
мер, относительно подавления теплового шума можно встретить
следующие рассуждения. Как известно, дисперсия теплового шума
на выходе усилителя равна
^ш. т. вых
4^шМо . 2лтвх (f2 — К)
2лтвх 1 + (2лтвх)2 ’
следовательно, можно найти
-----------------_ . 2лСвх(/2-Л)_
2лСвх 1 /RBX + 7?вх (2лСвх)2 Л/2 ’
Если Rvx —* сю, то ишл. вых—* 0, т. е. осуществляется подав-
ление теплового шума.
Однако в данном случае суть подавления совершенно иная.
Оно осуществляется при неизменной частотной характеристике
усилителя за счет сужения полосы пропускания входной цепи,
равной 1/(4твх) = 1/(4Свх/?вх). В этом случае, когда /?вх —»оо,
сигнал любой частоты, отличной от нуля, равен нулю.
§ 13. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
ПРИЕМНИКА ИЗЛУЧЕНИЯ И ЕГО НАГРУЗКИ
Этот вопрос имеет непосредственное отношение к сочетанию
фоторезистора с усилителем. При расчете амплитуды гармони-
ческого сигнала на выходе усилителя в схеме с фоторезистором
было найдено, что максимальная амплитуда сигнала может быть
достигнута, если сопротивление нагрузки равно сопротивлению
приемника гн — г при условии, что входное сопротивление усили-
теля гвх г. Если это условие не выполняется, то в общем случае
xopt — Vl + 1 »
где
В = Гвх/Г,
а
Гн. opt “ xopt Г.
В эти выводы должны быть внесены определенные поправки,
учитывающие, что важно не большое абсолютное значение ампли-
туды сигнала, а высокое отношение сигнала к шуму.
Если усилитель идеальный, т. е. его шумом можно пренебречь
по сравнению с шумами приемника излучения и входной цепи, то
основной задачей сочетания приемника с усилителем является
оценка роли теплового шума входной цепи и определения усло-
вий, когда эти шумы заметно не увеличивают шума источника сиг-
нала — фоторезистора и его нагрузки.
507
Для выполнения необходимого расчета введем следующие до-
пущения. Во-первых, предположим, что выбор оптимальных усло-
вий сочетания приемника с усилителем проводится в области сред-
них частот электрического сигнала, когда влияние емкостей Ссв
и Свх можно не учитывать. Во-вторых, будем считать, что прием-
ник излучения и его нагрузка характеризуются шумами Джон-
сона, так как эти шумы определяют предельную чувствительность
системы и, следовательно, их учет предъявляет наиболее жесткие
Рис. 332. К расчету согласования приемника излу-
чения с усилителем: а — идеальный нешумящий
усилитель; б — шум усилителя представлен гене-
ратором шума ГШз и сопротивлением /?экв
условия сочетания. Шумовая схема для этого случая представлена
на рис. 332, а.
Дисперсия шума источника сигнала на выходе усилителя опре-
деляется шумом генератора ГШ1 и равна
Нщ. с — 4/?7 ifi [/"вх/(^i _|~ fвх) ] Afui. усКо«
Дисперсия дополнительного шума, определяемого генерато-
ром Гпй, __________
Мш. доп = 4/гТвхгвх [г J{ri -J- гвх) ] Д/ш. ус ^Со-
Коэффициент шума
F — 1 Д 11щ. доп/н'ш. С — 1 Т^вЛ/(ЛДВх),
если Т = Твх = То, то
F = 1 Д rt-/rBx.
Для уменьшения коэффициента шума необходимо, чтобы вход-
ное сопротивление усилителя было максимальным, т е.
где п = ггп/(г Д гп).
508
При согласовании шумов, когда rBX = rh коэффициент шума
F = 2. Путем рассогласования, когда гвх > г;, коэффициент шума
можно уменьшить, однако даже в совершенно нешумящих усили-
телях он больше единицы, если величиной г, нельзя пренебречь по
сравнению с гвх.
Если с шумами усилителя приходится считаться, расчет услож-
няется. Предположим, что шум усилителя можно представить
в виде эквивалентного сопротивления 7?экв, которое выбрано та-
ким образом, чтобы генерируемый им шум Джонсона был равен
шуму дробового эффекта, наблюдаемому на выходе первого ка-
скада. Это сопротивление учитывает в основном дробовой шум
анодного тока лампы, так как предполагается, что дробовой шум
сеточного тока, тепловой шум нагрузки, фликкер-эффект, микро-
фонный шум и т. д. доведены до возможного минимума, суще-
ственно не увеличивающего составляющую дробового шума анод-
ного тока. Для предусилителей на транзисторах джонсоновский
шум сопротивления R3Kli также может быть аналогом сложной
физической картины шумов транзистора, только величина /?экв
должна выбираться исходя из иных соображений, чем для лампы.
Эквивалентная шумовая схема для шумящего усилителя
может быть, следовательно, представлена в виде, показанном на
рис. 332, б. Усилитель на этой схеме вновь предполагается
идеальным (нешумящим), а его шум генерируется источником
шума Г1113.
Для этой схемы справедливы следующие соотношения.
Коэффициент шума входного сопротивления
р , I I РШ1 1 I ^^вхГвх [rt7(rf ~Е гвх)] ^ш.ус^О | . ТВХГi
рш. вх 4ATt-rt. [rBX/(r. + гвх)]2 д/ш усК'о Г‘‘Гпх ’
если 7ВХ = Tt = То, ТО
Pi = 1 -I- rz/rBx.
Коэффициент шума усилителя
р 1 | Р\П2 1 | ^^О^экв у<Ао
Го -- 1 н-в--- = 1 ~~ -----------------о-------тг —
Рш..х 4/'Лг, [гВх/(г£+Г,Л] Л/ш.усК?
= 1+^га A
1 1’1 \ 'вх /
если Т( = То, то
^^l+^SKB^^l+G/rBx)2.
Общий коэффициент шума можно найти, учитывая, что все
шумы были отнесены к одной точке — выходу усилителя, в виде
суммы
F = 1 + (Дш1 + Р^/Рш. ВХ = 1 + Pmi/P^. вх + Ршг/Рш. вх =
= Л + (^-1),
509
т. с.
F = 1 + rJrBK + (£3KB/rz) (1 + rJrBX)2.
Для уменьшения коэффициента шума требуется низкая вели-
чина £экв и высокая гвх. При согласованном входе, когда гВх =
— г!г коэффициент шума F > 2.
Найдем оптимальную величину rz путем дифференцирования
выражения для F и приравнивания результата нулю:
9F __ _1 __ £экв £экв ___ g
Гвх / 'вх
откуда
opt = '"вх ^экв/(^*вх "F ^экв) •
Подставляя это значение в выражение для F, найдем мини-
мальную величину коэффициента шума при несогласованном входе
fnl„ = l 1-^ + 2]/-^=-(1 +4^)-
'ВХ ' 'ВХ \ 'ВХ /
Для ламповых предусилителей можно считать rBX = 106 Ом,
^эквп1п = 200 Ом (триод), /?экв1п1п = 700 Ом (пентод), т. е.
Hopt = 106l/(200-4-700)/106 — (1,4 -н 2,6) 104 Ом.
Для предусилителей на полевых транзисторах благодаря их низ-
кому шуму и высокой величине гвх можно получить аналогичное
значение г£-opt, в других случаях для транзисторных предусилите-
лей rt-opt = 102 ч-I О4 Ом.
Поскольку
rrj{r + r„).
то, определив rL и зная из паспорта приемника г, можно найти
G = rrj(r - г£);
если г гi, то гн — rt.
В этом случае отношение сигнала к шуму сохраняется, но аб-
солютные величины сигнала и шума могут оказаться слишком
малыми, что вызывает целый ряд практических затруднений. Если
величина сопротивления нагрузки уменьшается до 1/10 от сопро-
тивления приемника, а величина напряжения питания £0 и пеР"
вичный сигнал Дг/г неизменны, то напряжение сигнала падает
до 1/3 той величины, которую вырабатывает приемник в условиях
точного согласования, так как
F —F "н Аг
~ “ 0 (г + гн)2 г •
Скомпенсировать это падение можно, увеличивая напряжение
источника питания £0. Однако при этом увеличивается моШ'
510
ность сг7;г, рассеиваемая приемником. Ориентировочно можно счи-
тать, что предельная рассеиваемая мощность для приемников не
превышает 0,1 Вт/см2; значит, если площадь приемника равна
а (см2), то можно найти
d/o-Й/(г +гн)2;
следовательно,
^ошах = (г |-г„) |/0,1«/г.
Эти и некоторые другие дополнительные соображения, отно-
сящиеся к выбору параметров приемника и входной цепи, можно
найти в книге Хадсона «Инфракрасные системы».
§ 14. ПОРОГ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСГИ
И ДРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИЕМНИКОВ ИЗЛУЧЕНИЯ,
ОПИСЫВАЮЩИЕ ЕГО СПОСОБНОСТЬ ОБНАРУЖИТЬ
СЛАБЫЙ СИГНАЛ
Для того чтобы оценить способность приемника излучения об-
наружить слабый сигнал, вводится специальная величина, назы-
ваемая порогом чувствительности. Порог чувствительности
Фпор (Вт) равен той наименьшей мощности излучения, которая
еще может быть обнаружена данным приемником излучения* Эта
мощность, воздействуя на приемник, вызывает появление сигнала
£/пор, превышающего среднеквадратическое значение шума ]/д^
в определенное число раз р, обеспечивающее уверенное обнаруже-
ние сигнала. Так как
^пор == 5 (X, /) Фпор, -
где S (X, /) — чувствительность (крутизна преобразования), за-
висящая при прочих равных условиях от длины волны падающего
излучения X и частоты модуляции потока f, а по определению
Упор = р ид<4 = р /WXfL,
где Е (f) — спектральная плотность шума; Д/П1 — шумовая по-
лоса пропускания, то
ФпоР = р1ГЁ(?)/5(Х, 01/дЕ-
Коэффициент запаса р может быть самым различным, в част-
ности иногда его полагают равным 1,7, а иногда 6. Все зависит от
того, как понимать содержащуюся в определении порога чувстви-
тельности неопределенность, выраженную словами мощность,
которая еще может быть обнаружена, или уверенное обнаружение
наличия сигнала. Действительно, если предполагается, что, ис-
пользуя прибор, измеряющий действующие значения, мы в состоя-
511
нии заметить, что совместное действие сигнала и шума увеличило
показания в два раза, т. е.
+ =2,
то легко найти, что
U2
пор
= 31/2Ш.
и
итр = Узи2ш^ 1,7'К^ш,
следовательно, р = 1,7.
Если же наблюдение шумовой дорожки ведется на экране
электроннолучевой трубки так, как это показано на рис. 333, то
Рис. 333. Появление сигнала С на фоне шумов при
наблюдении на экране электроннолучевого индика-
тора с амплитудной отметкой: а — шум; б — си-
гнал, значительно превышающий шум; в — порого-
вый сигнал, о — среднеквадратическое значение
шума
можно считать, что уверенное обнаружение появления сигнала
произойдет, если его величина равна толщине шумовой дорожки.
Предполагая, что эта толщина равна удвоенному значению отдель-
ных выбросов (пиков) шума, а при нормальном законе распредели
ния выброс шума практически не превышает Зо, где о = У ДПш
512
(вероятность превышения уровня Зет равна 1,35-10~3), найдем
1Лк,р = 2-За = б'|Ли£
т. с. р = 6.
Для того чтобы исключить неопределенность в выборе р, обычно
полагают р = 1, т. е. определяют порог чувствительности как
минимальный поток излучения, вызывающий на зажимах прием-
ника сигнал, равный среднеквадратическому значению шума.
В этом случае порог чувствительности называют пороговым пото-
ком фотоприемника в заданной полосе частот (Фп). Он опреде-
ляется как среднеквадратическое значение действующего на фото-
приемник синусоидально-моду лированного потока излучения, при
котором среднеквадратическос значение фотосигнала равно средне-
квадратическому значению шума в заданной полосе частот. По-
скольку пороговый поток представляет собой мощность, эквива-
лентную мощности шума, его иногда называют эквивалентной мощ-
ностью шума (ЭМШ) *:
ФП = [/Е(Л/5(Х, /)]/Д^ = ЭМШ.
Чтобы внести еще большую определенность, полагают, что
Д/ш = 1 Гц, т. е. задают значение
выраженное в Вт/Гц1/2.
Многочисленные исследования показали, что для большинства
приемников излучения, в широком интервале условий их исполь-
зования и геометрических размеров, пороговый поток (эквива-
лентная мощность шума) прямо пропорционален корню квадрат-
ному из площади чувствительного слоя приемника а (см2), т. е.
Фц1 == Фп l^a,
где
Фп = ФП1/Ка = Фп/Ка Д/ш,
выражается в Вт/см-Гц1/2.
Величину Фп называют удельным пороговым потоком фопго-
приемника, который представляет собой пороговый поток в единич-
ной полосе частот, отнесенный к единичному по площади фото-
чувствительному элементу (ГОСТ 19852—74).
Поскольку пороговый поток (эквивалентная мощность шума)
зависит от длины волны падающего излучения и частоты модуля-
ции потока, всегда указывается, для какой длины волны моно-
хроматического излучения и какой частоты модуляции он задан.
Длина волны обычно выбирается соответствующей максимуму
спектральной характеристики приемника Хтах, а частота моду-
* В иностранной литературе используется обозначение NEP от сочетания
слов Noise Equivalent Power.
17 М. М. Мирошников
513
ляции может быть различной, но обычно она составляет 10, 90,
400, 800, 900, 1000 Гц пли находится вблизи этих значений (ча-
стота модуляции 1000 ± 25 Гц установлена ГОСТ 18167—72
частота 800 ± 20 Гц — ГОСТ 17772—72.
Если пороговый поток определяется не для монохроматиче-
ского излучения с длиной волны X, а по отношению к излучению
абсолютно черного тела, имеющего температуру Т (К), то он назы-
вается интегральным. Соотношение между интегральным и спек-
тральным пороговыми потоками определяется коэффициентом ис-
пользования потока излучения фотоприемником данного типа
со । оо
£ = J <1 (X) k (X) dX/ J ср (X) dX
0 I 0
и его относительной спектральной характеристикой k (X), т. е.
£ФП = k (X) Фп (X);
для X X тах, когда k (Xmax) — 1,
Фп (X) = |ФП.
Температура абсолютно черного тела, по излучению которого
определяется пороговый поток, обычно стандартизуется, однако
в разных случаях она может составлять 100 С (373 К), 300' С
(573 К) и 500 К (227° С) (ГОСТ 17772—72 и ГОСТ 18167—72 ре-
комендуют использовать следующие типы источников оптиче-
ского излучения: источник типа А по ГОСТ 7721—61; черное
тело с температурой полости 500 ± 1,5 К; черное тело с темпе-
ратурой полости 1273 ± 5 К; глобар).
Пороговый поток или эквивалентная мощность шума являются
вполне полноценными параметрами, описывающими пороговую
чувствительность приемника излучения. Единственный недоста-
ток состоит в том, что чем лучше приемник, тем меньше пороговый
поток и ЭМШ, т. е. их значения находятся как бы в обратной
зависимости от качества приемника. Учитывая это, Кларк Джонс,
много сделавший в области феноменологического описания и
исследования характеристик приемников, ввел величину, обрат-
ную эквивалентной мощности шума, которую он назвал способ-
ностью к обнаружению или обнаружительной способностью (De-
tectivity). Эта величина D = 1/Фп, измеряемая в Вт-1, получила
широкое распространение, особенно в виде
D* = 1/Фп = Vа А/ш/Фп-
Так как D* равна отношению сигнала к ,шуму, когда по-
ток в 1 Вт падает на приемник площадью 1 см2, а шум измерен
в полосе 1 Гц, она называется удельной обнаружительной способ-
ностью. В настоящее время выдвигаются предложения назвать
единицу ее измерения (Вт"1 •см-Гц1/2) джонсом.
514
Поскольку для приемников, порог чувствительности которых
ограничен фотонным шумом (ОФ-приемники), величина D* за-
висит от поля зрения, иногда вводится D**, так, что
= (ад1/2/)*,
где Q — пространственный угол поля зрения приемника излу-
чения.
Если D* постоянна внутри конуса с половинным углом
при вершине 0, т. е. если
Q = л sin2 0,
то
D** = d* sin 0.
Величина D** измеряется в см-Гц1'2-Вт1-ср1/2. Она была
также введена Джонсом, однако еще не нашла широкого распро-
странения. Для приемников, чувствительность которых огра-
ничена фоном (ОФ-приемники), чаще пользуются соотношением
Ооф (Q) = £>оф (2n;)/sin 0.
До сих пор нет окончательно согласованной терминологии,
касающейся приемников. Например, Хадсон приводит следующее
описание приемника, сделанное Джонсом: «Приемник имеет
максимальное значение отношения максимальной величины сиг-
нала к среднеквадратическому значению шума, равное 23 дБ,
при 45 В на нагрузочном сопротивлении и при температуре из-
лучателя 500 К, имеющего диаметр 25 мм и расположенного на
расстоянии 40 см от приемника с чувствительной поверхностью
9 мм2; излучение прерывается вращающимся со скоростью 450 об/с
диском с квадратными отверстиями, а шум имеет полосу
частот 9 Гц».
Несмотря на громоздкость приведенного описания, в нем нет
ничего лишнего и многого не хватает для грамотного выбора и
сравнения приемников излучения. Изготовители приемников редко
сообщают о них информацию, достаточную для разработчика.
Практически разработчик производит предварительный выбор
приемника по имеющимся данным, а затем непосредственными
измерениями у себя в лаборатории должен получить необходимую
информацию о приемнике применительно к своей конкретной
схеме.
§ 1Б. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕКОТОРЫХ ПРИЕМНИКОВ
ИЗЛУЧЕНИЯ
В табл. 24 сообщаются характеристики некоторых приемников
излучения. Таблица не может служить основанием для заказа
приемника, но позволяет ориентироваться при предварительном
выборе подходящего для решения данной задачи типа приемника
излучения. Конструктивные особенности приемников излучения
17*
515
Основные параметры приемников излучения и сопоставление их обна
Параметр
Тип приемника Температура приемника Т, К Поле зрения приемника Й. ср Частота моду- ляции f, Гц Постоянная времени т, с Максимум спект- ральной харак- теристики кт, мкм
Термо- элемент металлический полупроводнико- вый 295 295 Л л 5—10 5— 10 30-ю-» 30-ю-а —
Боло- метр металлический полупроводнико- вый сверхпроводящий 295 295 3.7 л л л 30 10 10 10 20-10~я (14-15) 10-= 10-10~3 —
германиевый глу- боко© хлаждасмый 4,23 л “ПТ 10 2-10-’ —
Оптнко-акустический (пнев- матический) 295 л 10—20 (204-40) IO"3 —
Фотоум- ножи- тель с серебряно-кис- лородно-цезисвым фотокатодом с сурьмяно-це- зиевым фотокатодом 295 295 л л <10’ 10е ю-’ 10~8 0,8±0,1 0,38± ±0,05
Фото- вольтаи- ческий (фотоди- од в вен- тильном режиме) кремниевый (Si) германиевый (Ge) на основе арсе- нида галлия (GaAs) 295 295 295 333 103 103 10s 5- 10-’ 1- ю-’ 1- ю-’ 0,9 1.5 0,85
Фоторе- зистор на ос- нове сульфида свинца (PbS) сульфида свинца (PbS) селенида свинца (PbSe) теллурида свинца (РЬТе) антимонида индия (InSb) 295 195 77 77 77 л л л л л 0,4- 10 я 0,4- 103 0,4- 103 0,4- 103 0,4- 103 (50 4-150) 10-’ (250 4-800) 10-’ (10 4-25) 10-« (10 4-25) 10-’ (5 4-10) 10-® 2,5—2,6 2,6—2,7 4,8—5,2 4,6-5,0 5,3
Фотовольтаический прием- ник на основе антимонида ин- дия (InSb) g 77 л 0,4- 10s <ю-* 5,1
516
Табл и ц а 24
ружнтельной способности с пределам, ограниченным фотонным шумом
приемника
Длинноволновая граница (50 %) %0, мкм Темновое сопротивление г, Ом Темновой ток 1т’ А Удельная обнаружительная способность £*(М- см-Гц1/2-Вт-1 Предел D* ограниченный фотонным шумом (295К, Я)ОоФ>.т Примечание
40 40 10 50 — (2 4-3) 10’ (1 4-3) 10е 1,9- 10‘® 1,9- 1010 —
40 40 2000 200 3- 10е 15 — 10е (0,5 4-1,5) 10® 10“ 1,9- 10‘® 1,9- 10*® 10“ —
50 2000 2,5- 10 1,5- 10“ — 0,6- 10“ 2,9- 10“ 7,5- 10“ »Оф(М с учетом реального поля зрения
2000 — — (2 4 5) 10® 1,9- 10“’ —
1,0 0,55 — ю-’ 3-10-» 1 О12 4-10 + 13 (3 4-5) 10** 6- 10*’ 102’ ^Оф(М с учстом =0,01, 02 = 2 ^Оф(М с Учетом т]от = 0,3 и 02 = 2
1,0 1,7 0,95 1- 10е 2- 105 1- 10е 2- 1012 5- Ю10 8- 10“ 101’ 2- 10“ -10*® —
2,8—3,0 3,2 5,8—6,3 5,3 5,4 (0,2 4-2) 10’ (1,0 4-10,0) 10е (1,0 4-10,0) 10’ (1,0 4-5,0) 10’ 1- 10* — (1,0 4-4,0) 10*° (1,0 4-2,0) 10“ (0,8 4-1,5) 10*° (1,0 4-2,0) 10*° 8- 10*и 1- 10“ 7- 10“ 7- 10*° 1- 10“ 2- 10“ DO<b(X/n) с учетом Ре- комбинации (Р4 — р^2) То же DO* (\п) с У,1СТ0М_ рекомбинации (р> = у 2) и поля зрения 12
5,4 1.10’ — 1- 10“ 1,4- 10“ °ОФ (Хш) с учеТ0М отсутствия рекомбина- ции, для поля зрения £2
517
Параметр
ia Л К К С- id £ S а с * Е О. fc
Ти н приемника Температур приемника Поле приемника Частота мо; ции f, Гц 11остояпная времени т, с Максимум ( ральной xi теристики Я мкм
золотом (Ge : Ан) 60 л 3 0,4- 103 ю-’ 5.0
Фоторе- зистор на ос- нове ртутью (Ge : Hg) 30 л т 0,4- 103 2-10"7 10,0
кристал- ла гер- мания, легиро- ванного кадмием (Ge : Cd) цинком (Ge ; Zn) 12 5 л “з” л -з" 0,4- 103 0,4- 103 1-10-’ 2- 10-8 16,0 34,0
медью (Ge : Си) 4,2 л т 103 5-10~7 23,0
Фотовольтаический прием- ник (фотодиод в вентильном режиме) на основе тройного соединения (CdHgTe) 77 л т 103 <1-10~8 10,6
Фотомагиитный приемник на основе антимонида индия (InSb) 295 л 103 2-10~7 6,0
Фотовольтаический прием- ник (фотодиод в вентильном режиме) на основе арсенида индия (InAs) 195 л т 103 <1- 10“в 3,2
практически не нашли отражения в таблице. Ответы на такие
важные для конструктора вопросы, как возможная форма и раз-
меры чувствительного слоя, число и расположение слоев моза-
ичного приемника, конструкция корпуса и системы охлаждения
и т. д., должны быть получены в специальной литературе по
приемникам излучения. Таблица не содержит также сведений
о телевизионных приемниках излучения — вакуумных передающих
трубках — вследствие большой специфики этого вопроса, осо-
бенно, когда речь идет об использовании трубок не для получе-
ния изображения ярко освещенного предмета, а об их предель-
ной чувствительности.
При составлении таблицы были использованы сведения, со-
держащиеся в отечественной и иностранной литературе. Во всех
случаях в таблицу не включались такие параметры приемников,
которые представлялись сомнительными или рекордными. Тем
не менее необходимо отметить, что в литературе содержатся
некоторые сведения о достигнутых предельных значениях обна-
518
Продолжение табл. 24
приемника
Длинноволновая граница (50%) Хо, мкм Темновое сопротивление г. Ом Темновой ток 1т- Л Удельная обнаружительная способность СМ-Гц’/г. Вт*- 1 Предел D* (Лт), ограниченный фотонным шумом (295К,й)РофХт Примечание
7,5 1- 10® — 1- 1010 1- 10“ °Оф(Мсучетоы рс‘ комбинации 2) и поля зрения £2
1 1,0 6- 10s — 3- 10*° 6- Ю‘° То же
25,0 0,4- 10е — 2,5- 10*” 7,3- 10‘°
10,0 0,5- 10« — 2,5- 1010 2- 10“
27,0 105 — 3- 1010 7,5- 1010
13,0 2,5 — 5- 10» 8,5- 10*и Doo (М без Учета рекомбинации для по- ля зрения £2
7,0 1,0 — 2- 10s 8- 10"» То же
3,4 5- 10« 2- 10“ 1- 10“ »
ружителыюй способности приемников с внутренним фотоэф-
фектом. Эти сведения приведены в табл. 25 (значком «плюс» от-
мечены приемники, работающие в фотовольтаическом режиме).
При обсуждении пороговой чувствительности тепловых при-
емников иногда упоминается критерий или предел Хэвснса.
Оценка Хэвепса минимальной эквивалентной мощности шумов
болометра и термопары при комнатной температуре не является
принципиальным пределом—это чисто экспериментальная ве-
личина. Однако она оказалась удачной: ни один из болометров
или термоэлементов, работающих при комнатной температуре,
не превзошел этот предел.
В своем современном выражении (с учетом терминологии,
введенной Джонсом) предел Хэвепса (см• Гц1 /2-Вт’1) имеет вид
D* = 1,67-1010/?,
где т — постоянная времени приемника, с.
519
Т а б л н ц а 25
Предельные характеристики некоторых приемников
(поле зрения охлаждаемых приемников ограничено углом л/3)
Тип приемника (М Тип приемника ^m)
PbS (295 К) 1,5-10 й InSb (295 К) 2-108
PbS (195 К) 7-10" InSb (77 К) l-10'i
InAs+ (295 К) 1-101"
InSb+ (77 К) 1,4-10'1
ZnAs+ (195 К) 3,5-1011
Ge : Au (60 К) 2 • 1010
InAs+ (77 К) 7-Ю11
PbSe (295 К) 2-1010 Ge : Hg (30 К) 5-1010
PbSe (195 К) 5-1010 Ge : Cd (12 К) 4-1010
PbSe (77 К) 5-1010 Ge: Zn (5 К) 5-101°
Глава 19
ШУМ ОБЪЕКТА НАБЛЮДЕНИЯ И ФОНА
§ 1. ОБЪЕКТЫ НАБЛЮДЕНИЯ И ФОНЫ
В зависимости от задачи, решаемой оптико-электронным при-
бором, излучающие тела являются либо объектами наблюдения
(целями), либо фонами, причем одно и то же тело может быть
иногда объектом, а иногда фоном. Так, звезды являются объ-
ектами наблюдения при астронавигации и элементами фона
при наблюдении за ИСЗ.
Объект наблюдения и окружающий его фон образуют поле
излучения, характеристики которого изменяются в пространстве
и во времени. Наличие изменяющегося фона является одной
из причин, препятствующих наблюдению.
Рассмотрим некоторые наиболее типичные примеры сочетания
объекта наблюдения с окружающим его фоном.
В качестве небесных ориентиров — объектов наблюдения для
астронавигационных систем — чаще всего используются наиболее
яркие звезды, иногда называемые навигационными. Эти звезды
необходимо выделить на фоне других, более слабых звезд, ту-
манностей и рассеянного в атмосфере солнечного света. Если бы
визирование звезды производилось при отсутствии световых помех,
520
то задача навигации но звезде была несложной. Однако в боль-
шинстве случаев звезда должна визироваться либо па фоне других
звезд, либо на фоне дневного неба, либо на фоне темного неба
за пределами атмосферы, по при наличии боковой засветки опти-
ческой системы Солнцем, отраженным светом от Земли или иной
близко расположенной планеты.
Звездный фон состоит из мириадов звезд, туманностей и га-
лактик. Средняя яркость звездного фона равна примерно
4-10-14 Вт/(см2 «град2) в диапазоне длин волн от 0,25 до 3,25 мкм.
Число навигационных звезд на пебе ограничено; так, на пло-
щади 227 град2 в среднем нет звезд ярче третьей величины. Звезд-
ный фон в поле зрения 1 град2 создается в среднем звездами от
восьмой величины и слабее*. Однако па некоторых участках
неба звездный фон может создавать существенные световые по-
мехи в работе системы слежения за звездой. Чем меньше поле
зрения и поле обзора прибора и чем ярче навигационная звезда,
тем меньше вероятность нарушения нормальной работы за счет
попадания в поле зрения соседней звезды.
Значительно более сильные помехи работе оптико-электронных
приборов создает атмосфера Земли. Такие явления, как рефрак-
ция, поглощение и рассеяние света атмосферой, свечение ночного
неба и т. д., оказывают существенное влияние на работу систем
астронавигации и астроориентации. При наблюдении из Космоса
атмосфера Земли является одним из источников ошибок. На-
правления на центр теплового излучения Земли и на ее геометри-
ческий центр не совпадают. Колебание высоты тропопаузы,
асимметрия облачного покрова и другие явления в атмосфере
вызывают ошибки измерения.
При прохождении света звезды через атмосферу в вертикаль-
ном направлении ее визуальная звездная величина уменьшается
примерно на 0,21. Так как плотность атмосферы с высотой умень-
шается, то вследствие рефракции кажется, что звезды находятся
ближе к зениту, чем в действительности. Аномалии плотности
воздуха и воздушные потоки приводят к дрожанию изображения
звезд при наблюдении через атмосферу. Дифракционные явле-
ния, возникающие в слоях атмосферы, расположенных выше
тропосферы, вызывают частые изменения яркости звезд — мер-
цания.
Однако наиболее трудной задачей является обеспечение ра-
боты оптико-электронного прибора па фоне дневного неба. Зна-
чение спектральной яркости дневного неба в стороне, противо-
положной Солнцу, находится в пределах 0,1-10~3н-4 X
X 10"3 Вт/(см2-ср• мкм). Эта величина в очень большой степени
зависит от положения Солнца на небе и высоты места наблюдения
it ад уровнем моря. Участки пеба, противоположные Солнцу,
ярче участков, удаленных от него па 90°. Очень трудно обнару-
* Зся сфера содержит 11 253 град2, а один стерадиан — 3283 град2.
521
живать звезды и следить за ними в той части неба, где находится
Солнце. С увеличением высоты места наблюдения яркости фона
неба падает из-за уменьшения воздушной массы, рассеивающей
солнечный свет. Наибольшее значение имеют градиенты яркости
неба, наличие которых в поле зрения может привести к потере
навигационной звезды.
Фон ночного неба состоит из света звезд, галактического све-
чения (света Млечного пути) и зодиакального света (свет Солнца,
рассеянный скоплением окружающих его пылевых частиц). Спек-
тральная яркость ночного неба (без учета отдельных линий)
составляет примерно 10~10Вт/(см2-ср-мкм) в видимой части спектра.
Свечение атмосферы существует также и днем, причем его яркость
выше яркости ночного свечения. Полярные сияния, наблюдаемые
в высоких широтах, ярче свечения ночного неба.
Распределение яркости природных образований имеет случай-
ный характер и создает неоднородный фон, препятствующий
обнаружению объекта наблюдения. В процессе сканирования
(пространственной развертки) неравномерности излучения фона
преобразуются приемником в электрический сигнал и выделяются
на его зажимах в виде временных флуктуаций, которые принято
называть шумом фона.
При некоторых условиях, например для наблюдений в кос-
мосе, когда температура фона приближается к абсолютному нулю,
а приемник идеальный, т. е. ограничен флуктуациями излуче-
ния, способность системы обнаруживать сигнал будет зависеть
от статистического характера поступления фотонов самого сиг-
нала — шума объекта наблюдения (цели).
§ 2. ШУМ ОБЪЕКТА НАБЛЮДЕНИЯ
Для обнаружения цели нужно, чтобы по крайней мере один
фогон достиг приемника и был им поглощен. Предполагая, что
справедлив закон Пуассона, т. е. что вероятность обнаружения
фотона пропорциональна времени наблюдения, можно получить
следующие выражения.
Когда среднее число фотонов сигнала за время t равно N,
вероятность обнаружения N фотонов равна
Р (N) = ^Nn/N\.
Если с вероятностью 99% в течение времени t необходимо об-
наружить хотя бы один фотон (в этом случае с вероятностью 1 %
ни один фотон не обнаруживается), можно записать
Р(0) =0,01 = е ",
т. е.
V = In 100 = 4,61.
522
Следовательно, если среднее число фотонов сигнала за время t
равно 4,61, то с вероятностью 99% в течение этого времени будет
обнаружен 1 фотон.
Минимальная мощность сигнала (Вт) равна
Ф , = 4?Ч — Ю4
где I выражено в с; X — в мкм; /i^6,6-10"3f Вт-с2; с Зх
X 1010 см-с-1;
Если полоса пропускания для электрических сигналов, оп-
ределяющая время измерения, равна Af Гц, то
l/t =
и
he
Фт1„=9,22-10‘-£-ДД
т. е.
-1,8-10-18 Вт-Гц^-мкм,
или
(9min = 2-10 12 Вт для X = 0,9 мкм и Af = 10е Гц.
Полученную величину следует сравнивать с минимальной
обнаруживаемой мощностью монохроматического сигнала, опре-
деляемую фотонным шумом. Эта мощность имеет минимум в ближ-
ней инфракрасной и видимой областях спектра. Именно здесь
могут сказаться флуктуации сигнала. Малое время наблюдения
(широкая полоса Af) также может служить причиной преобла-
дающего влияния флуктуаций сигнала но сравнению с шумами
от фона.
§ 3. ШУМ ФОНА
Пусть В(х, у) представляют собой случайную функцию, опи-
сывающую распределение яркости фона по пространственным
координатам. Ее функция автокорреляции К (х, у, £), показы-
вающая, насколько быстро уменьшается зависимость значений
случайной функции от ее предыдущего хода, может быть вычи-
слена как статистическое среднее, т. е. среднее по ансамблю
реализаций, произведения отклонений случайной функции В (х, у)
от среднего значения в точках (х, у) и (х + у +£)
К (х, у, I, С) = ЛВ (х, у) АВ (х + |, у + С),
АВ (х, у) — В (х, у) — В (х, //),
АВ (х + s, У + С) = В (х + I, у -F С) - В (х + I, // + О-
523
Следовательно, можно найти
-1-00
К (Л-, у, L Q - J J Д В (х, у) ДВ (Л- -н, !/ + й
— оо
X ф[В(х, //), В(х | Н, // I 'Q)\dB(x, y)dB(x | £, у | £),
т. е. для вычисления функции автокорреляции в общем случае
нужно знать закон совместного распределения плотности ве-
роятностей функции В (х, у) в точках (х, у) и (х -|- |, у -|- £),
равный ф [В (х, у), В (х + у -|- £)]
Если функция В (х, у) стационарна, то средние значения ее
одинаковы во всех точках пространства. Кроме того, в этом
случае функция автокорреляции не зависит от координат х и у,
так как статистические свойства случайной функции В (х, у)
везде одинаковы, т. е.
К(х, //, □ - А7Г(х, у) дв (х+1 У + Й,
ДВ (х, //) = В (х, у} — Ву
АВ (х -|- ?„ у + 0 = В (х -1- |, у -|- О - В,
В=В(Е^) - 1Г(х Ь Н, у к □-
Будем считать также, что действует условие эргодичности,
т. е. статистические средние по ансамблю равны средним по коор-
динатам. Тогда двумерная функция автокорреляции определя-
ется выражением
+х +У
К(£. 0= j J ДВ(.г. </)ДВ(л- + Й'/ {-tXIxdy-
Y > оо — X — i
Функцию автокорреляции можно выразить через спектры Фурье
функций В (х, у) и В (х -|- у -|- £). Так как
ДВ (х, //)=)] В (v , р ) е/2я (v л 111 !/} dv dp. ;
ДВ(х-|- д у 1Ч) = П ^(v’ м ("i:)ldvdp,
— оо
то
оо
— Y >оо
е/ (vs I I'D Jp
524
причем
-i-x
lim [ e'(v л ' A dx = 6(v -|- v ),
x->°°
I v
lim [ e<(J11 »n у dy = 6 (p Д- p')-
r^oo _Jr
Поскольку дельта-функция 6 (v -j- v') =B 0 только при v — —v',
дельта-функция d (p + p') =B 0 только при p = —p', a В (v',
p') = В (—v, - p) — B* (v, p), то пользуясь фильтрующим свой-
ством дельта-функций, можно найти
К(£,^П
11 m
Х->оо
V
I Д (у. Р) Г
2X2Y
ci(v^ । dvdp.
Величину
I? / \ 1 • I # (у, и) Р
Ев (v, и) = *lm 2X2Y
называют энергетическим спектром или спектром Хинчина—
Винера пространственного распределения яркости поля излучения.
Следовательно,
К(|, O = J]eb(v,
—оо
р) е/2л dv с/р,
т. е. функция автокорреляции представляет собой обратное пре-
образование Фурье от функции Ев (v, р).
Справедливо и прямое преобразование
-I со
Ев (v, р) -= j J К (£, с) е /2л (' ь I и?) dt d^.
— со
При | = £ = 0 функция автокорреляции равна дисперсии слу-
чайной функции, т. е. К (0, 0) = [ДБ (х, с/)]2.
Дисперсия определяется равенством
-j- оо
[ДЯ (х, с/)]2 = [ j Ев (v, р) dvdp,
или
___________ +* +/
[Д/?(х, //)12= lim J J [ДВ(х, у)]1 dxdy,
_х _у
Y ~>со
где ДВ (х, у) — В (х, у) — В.
525
Если функция автокорреляции может быть представлена как
произведение функций, зависящих от разных аргументов, то и
спектр Хинчина—Винера будет равен произведению спектров,
зависящих от соответствующих аргументов. Например, если
K(L
то
Ев (v> Р) = Е1В (v) Е2В (р).
В случае изотропного поля, когда функция автокорреляции
имеет вид
К (В, £) = К (£2£2) = К (р),
спектр также будет изотропным, зависящим от одной частоты
X = У V2 + p2.
Величины, характеризующие случайное распределение яркости
по полю излучения, измеряются в следующих единицах: В (х)
в Вт/(см2-ср); К (£) в [Вт/(см2-ср)]2; Ев (v) в [Вт/(см2«ср) ]2-рад,
если | измеряется в рад, или в [Вт/(см2 •ср)]2*см, если £ изме-
ряется в см; В (х, у) — в 1Вт/(см2-ср)]; К (£, £) — в [Вт/(см2х
х ср)]2; Ев (v, р) — в [Вт/(см2«ср)]2-рад2 или в [Вт/(см2х
X ср) ]2 - см2.
Зная пространственные спектры Хинчина—Винера, можно
определить соответствующие временные спектры, получающиеся
при движении оптической оси прибора вдоль некоторой линии на-
блюдения; яркость вдоль каждой меняется случайным образом.
Если ДВ (х) есть одномерная случайная функция распреде-
ления флуктуаций яркости, то при равномерном движении вдоль
оси х со скоростью v будем получать функцию &Вг (t) = ДВ (vt).
Функция автокорреляции в этом случае равна
к( (т) = двлодва/ -н) = двм ДВ[и(* + т)] =
= ДВ(х) ДВ(х Е с'т) = К (ит),
а энергетический спектр
-J-OO
Е1В(/)= J KJrJe
— оо
Воспользовавшись подстановкой vt — £, найдем
Е1В(/) = j К(ит)е-/2л'Мт = -^- J К(|)е-/2л<^’)^£,
— оо —со
следовательно,
52G
Таким образом, чтобы найти спектр шума фона на входе системы
с малым полем зрения, нужно знать пространственный спектр
Ев (v) Заменив аргумент v на f/v и разделив Ев (v) на скорость
движения, мы получим искомый временной спектр Хинчина—
Винера для шума фона.
При решении практических задач, связанных с вычислением
спектра шума, вырабатываемого приемником излучения при ска-
нировании им неоднородного фона, приходится учитывать рас-
пределение чувствительности по полю зрения оптической системы.
Освещенность в произвольной точке х, у плоскости изобра-
жения связана с яркостью произвольной точки х2, у х известным
соотношением
-I оо
Е (х, у) = лТ0 sin2 и' j j В (хъ t/J h (х — хъ у — yj dxA dyv
---------------------00
где h (x — xlf у — //J — функция рассеяния изопланарной си-
стемы. Если освещенность Е (х, у) оказывается зависящей от
времени вследствие сканирования вдоль оси х со скоростью ц,
т. е.
Е (х, у, I) — Е (х — vt, у),
то пространственный спектр сигнала, вырабатываемого безынер-
ционным приемником, равен
1-00
(v) == лТ0 sin2j j S (v, ?/) У (v, у — у J В* (v, //J dy dy{,
— co
где
-1-00
5 (v, г/) — J S (x, y) e_/2jivx dx;
h (v, у — yj = j J h (x — xn у — yt) e_/2jTV V1) d (x — xt);
•—co
B*(v, У1)= j E(Xp yJe+Bwxi dxlf
— oo
S (x, y) — пространственное распределение чувствительности при-
емника излучения, установленного в плоскости изображения,
а пространственная частота v связана со скоростью движения
и частотой f соотношением v = f/v.
Для безабер рацион ной системы
+ °°
Цю (v) = лТ0 sin2 н' J S (v, у) В* (V, //) dy.
— V1
^7
Если чувствительность приемника постоянна в пределах рабочей
площадки, размер которой вдоль оси у равен z/0, и равна пулю
вне этой площадки, то
(v) = лТ0 sin2 u'S (v) J B*(v, y)dy.
—УоП
Предполагая, что высота приемной площадки у() мала по срав-
нению с размером пространственной длины волны, т. е. В* (v, у) —
— В* (у) в интервале г/0/2, найдем
Ц>о (v) = лТо sin2 u'y0S (v) В* (у).
В этом случае спектр Хинчина—Винера обобщенного сигнала
(для безаберрационной системы и безынерционного приемника
излучения) равен
Е(/и (V) = lim = (лТс slnV)’ у> | § (v) |* Efi (v),
Х->ОО
где
17 / \ г |B*(v)|a |/5(v)|2
BB(v) = lim 9y = lim 1 A/'
X-i-oo ZA ZA
Так как справедливо соотношение
Eu (v) dv == Eu (/) df,
TO
Ец00 (/)
_ E"o° (v) № sin2^)2 2
v V
Спектр Хинчина—Винера обобщенного сигнала, вырабаты-
ваемого инерционным приемником, соответственно равен
Ец0 (/) = |*пР(/)|2ЕГЛ>0 (/),
где квадрат модуля коэффициента передачи приемника | £пр (/) |2
учитывает его инерционные свойства.
Цепь включения приемника осуществляет преобразование
обобщенного сигнала 0 в электрическое напряжение Е~, дей-
ствующее во входной цепи, которая передает его к усилителю,
вызывая появление напряжения и на входных зажимах послед-
него (см. рис. 237).
Следовательно, имеют место преобразования:
= ^вкл. х. х^’
н-/<их (Л£.=5ВКЛ.Х.Х/<ВХ(М
5‘>8
где SBK„ х х — крутизна цепи включения приемника на «холостом
ходу», /(„х (/) — комплексный коэффициент передачи входной
цепи.
С учетом этих преобразований спектр Хинчина—Винера элек-
трического напряжения и, действующего на входе усилителя,
равен
F„. (0 = |«ОКЛ х. хХвх (П12 £„.(/),
причем наличие цифры в качестве индекса при и и U по-преж-
нему, указывает на то, что речь идет о безаберрациопной системе.
В итоге можно записать
Еа. (f) = „2 |S (_L) (fl хвкл x (fl |2 EB (±) .
Спектр распределения крутизны приемника по пространст-
венной координате v = f/v равен
S (v) — £ОТД (v),
где So — крутизна преобразования (чувствительность) безынер-
ционного приемника; Тд (v) — одномерный спектр Фурье вдоль
направления сканирования для коэффициента пропускания по-
левой диафрагмы, совпадающей по своим размерам, форме и
положению с чувствительной площадкой приемника излучения
или проецируемой на эту площадку соответствующей оптиче-
ской системой.
Так как
So = (S)w->o = (^/Ф)(о >о ,
4 со
тдМ= J
— оо
то So выражается в единицах измерения обобщенного сигнала,
приходящегося на 1 Вт падающего эффективного потока излу-
чения; Тд (%)—безразмерная, аТд(г) выражается в см.
Поскольку можно воспользоваться обозначением
S(j>ny (f) — S0SBK<n' х> хЛпр (f) ^ВХ (/)’
окончательно найдем
Е„. (f) - = №Тг"'>2 .'41 St„,y (fi ГI Тд (v) Г Е« (Т) •
Проверим соответствие единиц измерения величин, входящих
в левую и правую части полученного равенства
В2 • с — (ср2) (см-1 • с) (см2) (В2 • Вт“2) (см2) (Вт2 • см-3 • ср-2) = В2 • с!
529
В общем случае, когда изопланарная оптическая система
обладает заметными аберрациями, а приемник излучения (диаф-
рагма поля) имеет произвольные размеры и форму, можно найти
спектр Хинчина—Винера электрического напряжения м, дей-
ствующего на входе усилителя при сканировании неравномер-
ного фона вдоль оси х с постоянной скоростью v, в следующем
виде:
E„tf) = (nT"s‘n2u'>'2 |Snp(02x
X J Ев(±, р)|'> (I’
— со
\ [2
р) । d[i,
где
h(-L, и) = ||л(х-х1) у-г/1)е-'2я[<'/”''-'> + »х
— оо
( V ’
X d (х — A'J d (у — iji),
+°°
= J J Тд (х, у) е-'2" х+п} dx dy,
—со
h (х—Xi, y -tji)—функция рассеяния изопланарной оптической
системы; Тд (х, у) — коэффициент пропускания диафрагмы поля;
Тд (f/v, и) измеряется в см2, a h (f/v, р) — величина безраз-
мерная.
Проверим соответствие единиц измерения величин, входящих
в левую и правую части выражения для Еи(/): [В2-с] = (ср)2(см1Х
X с) (В2 «Вт-2) (Вт2 • см~2• ср-2) (см4) (см1) = В2-с!
Таким образом, спектр Хинчина—Винера напряжения шума,
вырабатываемого приемником, при сканировании вдоль одной оси
в пространстве изображений с постоянной скоростью пропорци-
онален интегралу, взятому в бесконечных пределах по простран-
ственной частоте, соответствующей направлению, перпендикуляр-
ному направлению сканирования, от произведения спектра Хин-
чина—Винера яркости фона на квадрат модулей амплитудных
спектров функции рассеяния объектива и коэффициента про-
пускания диафрагмы, соответствующей форме, размерам и поло-
жению чувствительной площадки приемника излучения.
В отличие от спектра внутренних шумов приемника и усилителя
этот спектр называется шумом фона и в последующем изложении
соответствующая величина обозначается через Еф (f).
Часть V
ОТНОШЕНИЕ СИГНАЛА К ШУМУ И ОСНОВЫ
ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА ПАССИВНЫХ
ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ.
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ВЫДЕЛЕНИЯ
ОПТИЧЕСКОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ
СЛУЧАЙНЫХ ПОМЕХ
Глава 20
ОСНОВЫ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА
§ 1. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
Главной задачей энергетического расчета оптико-электронного
прибора является определение основных параметров его опти-
ческой и электронной схемы по заданным значениям дальности
действия (чувствительности), скорости поиска цели в определен-
ном поле обзора и углового разрешения.
К основным параметрам относятся: диаметр, относительное
отверстие, спектральный диапазон и качество изображения объ-
ектива; тип приемника излучения и его геометрические размеры;
структурная схема, коэффициент усиления и частотно-фазовая
характеристика усилителя электрических сигналов. Дальность
действия и чувствительность оптико-электронного прибора всегда
ограничены из-за наличия фона случайных помех или шумов.
Поэтому обнаружить наличие цели на заданной дальности или
воспроизвести ее изображение с заданной чувствительностью и
детальностью (разрешением) можно лишь с определенной веро-
ятностью, так как любой признак или свойство в той или иной
степени присущи как цели, так и фону. ВДвязи с этим должны
быть заданы значения вероятностей правильного обнаружения
цели и ложной тревоги, т. е. возможности принять элемент фона
за цель. Обнаружение цели па фоне случайных помех немыслимо
без знания их отличительных признаков, зависящих не только
от того, что собой представляет цель, но и от условий обнару-
жения: времени года и суток, участия человека в процедуре
обнаружения, способа индикации сигнала и т. д. Следовательно,
условия обнаружения должны быть также детально определены
перед началом энергетического расчета.
531
Обычно различают два основных случая расчета:
1. Обнаружение цели на неизлучающем фоне, когда чувстви-
тельность прибора ограничивается его внутренними шумами
или шумом цели.
2. Обнаружение цели на излучающем фоне, когда чувствитель-
ность прибора ограничивается шумом фона — фотонным или
пространственным.
Для обнаружения и наблюдения цели может использоваться
как ее собственное излучение, так и отраженное от цели излучение
естественных или искусственных источников. При этом цель
может быть точечной, когда ее размеры не разрешаются оптиче-
ской системой прибора; малоразмерной, когда основное значение
Об
Рис. 334. Типовая структурная схема
оптико-электронного прибора, предна-
значенного для обнаружения удален-
ного источника излучпия
имеют общие размеры цели, а детали ее формы играют второсте-
пенную роль; и протяженной, когда речь идет о наблюдении
детального изображения. Излучение окружающего цель фона
может распределяться в пространстве равномерно, неравномерно
и быть нестационарным.
Основное внимание в последующем изложении будет уделено
проблеме обнаружения точечной цели на неизлучающем фоне,
поскольку в этом случае определяются максимальные габариты
оптической системы прибора.
На рис. 334 приведена типовая структурная схема оптико-
электронного прибора, которую будем иметь в виду, при выпол-
нении энергетического расчета. Схема включает в себя скани-
рующее зеркало 3, объектив Об, приемник излучения Пр, уси-
литель Ус и пороговое устройство Пор. У.
В этой схеме анализ смеси сигнала с шумом, производимый
с целью принятия решения о наличии или отсутствии сигнала,
осуществляется пороговым устройством, которое вырабатывает
электрическое напряжение на выходе только в том случае, когда
напряжение на его входе превысит некоторое значение Uo, на-
зываемое порогом срабатывания. Это решение может быть пра-
вильным или ошибочным, а при определении параметров сигнала
(амплитуды, частоты, фазы, момента его поступления и т. Д-)
решение может быть в той или иной степени неточным. Поэтому
532
проведение энергетического расчета всегда предусматривает опре-
деленные значения вероятности правильного обнаружения, ве-
роятности ложной тревоги или средеквадратической ошибки.
Предполагается, что источник излучения находится на беско-
нечности и поэтому его изображение создается в задней фокаль-
ной плоскости оптической системы, где установлен приемник.
Ось визирования составляет угол а с нормалью к излучающей
поверхности источника, подчиняющейся закону Ламберта.
Поток излучения в Вт, падающий на объектив прибора, опре-
деляется выражением
Ф = В с
z?
где В — яркость источника излучения, Вт-см“2-ср-1; ДИС5,
/1об — площади источника и входного зрачка объектива, см2;
L — расстояние до источника, см.
В выражении для потока излучения Ф не учитывается ослаб-
ление излучения в промежуточной среде и предполагается, что
яркость источника выражена в эффективных величинах, т. е.
В = £>ВЭ,
где энергетическая яркость
со
вэ= J
о
а коэффициент использования излучения
со
£ = | Ч (X) (X) Ttt (X) то (X) JX
о I
со
[ Ч' (X) б/Х,
б
причем (р (X), /? (X), та (X), то (X) — относительные спектральные
характеристики излучения источника, чувствительности прием-
ника, прозрачности атмосферы (промежуточная среда) и опти-
ческой системы соответственно.
Величина потока излучения, падающего па приемник, оказы-
вается различной в зависимости от соотношения между размерами
изображения источника и приемника. Площадь изображения
источника излучения (объекта наблюдения, цели и т. д.) равна
I'2
^ист ^ист COS ОС у
где [' — заднее фокусное расстояние объектива.
Если площадь изображения источника а11СТ больше площади
приемника а, т. е. яист >а, то ноток излучения, падающий на
приемник, ограничивается размерами приемника и его величина
533
пропорциональна квадрату относительного отверстия объектива
и не зависит от его диаметра. Действительно, в этом случае
Ф„ = ВТ0о-^=лВТ„^-01,
где То — произведение максимальных значений спектральных
коэффициентов пропускания оптической системы и промежуточ-
ной среды,
Т0 = [То(Х)]111ах[Та (Х)]П1ах;
То (X), Та (X) — спектральные (монохроматические) коэффициенты
пропускания оптической системы и промежуточной среды (атмос-
феры); т0 (X) = То (X)/ |ТО (X) ]тах, та (X) = Та (X)/ [Та (X) ]шах — отно-
сительные спектральные коэффициенты, пропускания оптической
системы и промежуточной среды (атмосферы); О = d/f' — от-
носительное отверстие объектива.
Так как для параксиальной оптики
О2/4 = (d/2fr)2 «=# sin3 и',
где и' — задний апертурный угол объектива, то
Фо = ji£taTosin2 и'.
Если изображение меньше приемника, т. е. п11СТ < апр, то поток
излучения, падающий на приемник, ограничивается размерами
входного зрачка, его величина пропорциональна квадрату диа-
метра объектива и не зависит от относительного отверстия (фокус-
ного расстояния). Действительно, в этом случае
•п- d2
Фо =
где / ВЛ11СТ cosa—сила света источника.
Полученные соотношения достаточно хорошо известны. Основы-
ваясь на них, часто считают, что при обнаружении точечных
или малоразмерных целей имеет значение лишь диаметр опти-
ческой системы, а при обнаружении излучения объектов большого
размера существенно лишь относительное отверстие. Эти рас-
суждения справедливы, однако, лишь в случае достаточно силь-
ных сигналов, когда можно не считаться с шумами приемника
излучения.
Условием обнаружения падающего на приемник потока из-
лучения является превышение им в р раз некоторого порогового
значения
Фо = рФп.
причем Ф„ представляет собой среднеквадратическое значение
действующего на приемник синусоидально-модулированного по-
тока излучения, вызывающего на зажимах приемника сигнал,
среднеквадратическое значение которого равно среднеквадратиче-
531
с кому значению шума в заданной полосе частот. По существу,
это есть пороговый поток приемника с площадью а в полосе про-
пускания Д/ш, на фиксированной частоте модуляции /0, т. е.
Фп — Фп (/о) ФCt ui >
где Фц (/о) — удельный пороговый поток фотоприемника, т. е.
пороговый поток в единичной полосе частот 1 Гц, отнесенный
к единичному по площади (1 см2) фоточувствител иному элементу,
выраженный так же, как и падающий поток излучения, в эффек-
тивных величинах, т. е. отнесенный к максимуму спектральной
чувствител ьности приемника.
Если пользоваться понятием удельной обнаружительной спо-
собности, то
^(/o) = lAOo).
Таким образом, для точечного источника минимальная обна-
руживаемая величина силы света
] = — а Фн 12 l/Af-
7 л Р То d0 L ' Л'|П’
где 6 = \ra/f' — мгновенное поле зрения прибора (угловая раз-
решающая способность), а для протяженного источника мини-
мальная яркость соответственно определяется выражением
R 4 Ф,’(М 1 г
J 0 dOo
Следовательно, если пороговый поток приемника пропорци-
онален корню квадратному из его площади, то при заданном
угловом разрешении необходимо обеспечивать максимальные зна-
чения диаметра и относительного отверстия объектива. Полу-
ченные выражения требуют двух существенных разъяснений:
как определить р для обеспечения заданных вероятностей пра-
вильного обнаружения и ложных тревог и как выбрать Л/ш
для обеспечения оптимальных соотношений между чувствитель-
ностью (дальностью действия) и временем обнаружения (наблюде-
ния, измерения).
Дать эти разъяснения — главная цель последующего из-
ложения. Формулы для 1 и В можно также представить в виде
выражений, определяющих величины р и L2:
= (л/4) /То do 1 .
Р ' ф*(/0> 6 г.!/дм’
,о (л/4)/То dO 1
(Я/^У° dOS
Фп (/о)
I _
Д/ш
Б35
§ 2. ОТНОШЕНИЕ СИГНАЛА К ШУМУ НА ВЫХОДЕ
УСИЛИТЕЛЯ ОПТИКО ЭЛЕКТРОННОГО ПРИБОРА.
УРАВНЕНИЯ ДАЛЬНОСТИ И ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
Найдем отношение максимального (пикового) значения на-
пряжения электрического сигнала к среднеквадратическому на-
пряжению шума на выходе усилителя
р и /1/ и~ = и /и .
* стах IV ш стах/ ш
Максимальное значение сигнала равно
+°°
«сга.х = J «с(/)е'2я'М.
—-оо
где i0 — момент времени, когда сигнал на выходе усилителя
достигает своего максимального значения; ис (f) —спектральная
плотность напряжения сигнала на выходе усилителя — спектр
сигнала.
Спектр сигнала на выходе усилителя можно определить из
выражения
где Un ([) — комплексный спектр обобщенного сигнала, выраба-
тываемого безынерционным приемником излучения; /гпр(^) —
комплексный относительный коэффициент передачи приемника
излучения; SBX (f) — комплексная крутизна преобразования вход-
ной цепи; КуС (J) — комплексный коэффициент усиления уси-
лителя.
Кратко рассмотрим все эти сомножители. В общем случае
при линейном сканировании со скоростью v
-}-оо
(',.(/) пТ°7гц' y)h*
-—co
Значение величин, входящих в выражение для С/о (/)» были под-
робно рассмотрены в гл. 15. Это рассмотрение позволяет, в част-
ности, записать следующие соотношения.
Для идеальной оптической системы
C,(f)=nT|>sv-K' +J В*(Д>
— оо
Соответственно для точечной цели п системы с аберрациями
- (-оо
t>t(/) = nT"|dp/(2t')|J/ J s(v’
—о?
53G
Для идеальной оптической системы, визирующей точечную цель,
Если задан закон набегания изображения цели па чувствитель-
ную площадку приемника излучения
(I) (0 = фо7 (/),
где Фо — полный ноток излучения, падающий па приемник,
когда оптическая ось прибора точно направлена на цель в мо-
мент / = О, тогда
+°°
У» (О = (0; (/) = J и„ (/) е-'2л" dt,
— оо
или
Ц>(/) =
— оо
причем tlix — длительность входного импульса произвольной
формы, отсчитанная на заранее обусловленном уровне.
Для импульса прямоугольной формы
Тпр (/) — OV^ux)»
для косинус-квадратного импульса
— sa
Отсчет длительности прямоугольного и косинус-квадратного
импульсов производится на уровне, равном пулю.
Далее, можно найти
Uo = Д0ДФ,
где So — чувствительность приемника излучения для такой ча-
стоты модуляции, когда инерционность его не сказывается,
поскольку Uo — сигнал, вырабатываемый безынерционным при-
емником, т. е.
So= limS (f),
f >0
а ДФ — абсолютное значение изменения потока излучения,
падающего на приемник при визировании им вначале фона Фф,
а затем цели Фц, т. е.
Д Ф = Фц — Фф .
537
Для случая, когда фон не излучает, т. е. Фф = 0, а Ф = Фо,
Дф = ф0 = cos а
(70 — 5()Ф0.
Следовательно, для заданного закона набегания изображения
«с (/) = (1МвхТ (f) ЗД,р (/’) Sbx (/) 7<ус (/)•
Рассмотрим произведение
•Ь’фПУ (f) — ^о^пр (/) SbX (/),
обратив внимание на рис. 335, а.
На схеме рис. 335, а, являющейся модификацией схем, пред-
ставленных на рис. 234 и 237, показано*, что поток излучения,
Рис. 335. Общая схема прохождения сигнала и шума: а — обычный
порядок включения элементов; б — группировка элементов по прин-
ципу частотной зависимости коэффициентов передачи и крутизны
комплексная амплитуда которого равна Ф (f), преобразуется
приемником излучения в обобщенный сигнал U (/) (напряжение,
ток, сопротивление и т. д.), так что
Й(/) = S(f)®(f).
Этот сигнал цепью включения приемника в свою очередь
преобразуется в э. д. с. (/), являющуюся источником сигнала
во входной цепи, причем
* На схемах рис. 234, 237 и 335 в целях упрощения не указана функцио-
нальная зависимость комплексных амплитуд и коэффициентов передачи от ча-
стоты модуляции. В некоторых случаях аналогичные упрощения записи исполь-
зуются на других рисунках и в тексте.
538
где 5цкл.х.х (/) — крутизна преобразования цепи включения при-
емника без нагрузки (на холостом ходу).
Для фоторезистора и болометра, когда U = Mr,
<$вкл, х, х Ё^/0 = £j(Ar/r) == Еох/( 1 -ф х)2,
где х = г/гн.
Для фотоэмиссионного приемника U = 3, т. е.
*^ВКЛ. х. х = 3 = Gr
Для фотовольтаического приемника и термоэлемента выра-
батывающих э. д. с. с комплексной амплитудой <?, U = & =
следовательно,
5НКЛ х х — — 1.
Обратим внимание, что во всех случаях SDK<n. х. х представ-
ляет собой действительную величину, т. е. SBKJIeXtX = | хх|.
Анализируя схему рис. 335, а, заметим, что входная цепь
преобразует э. д. с. (/) в напряжение и (f), действующее на
входе усилителя, т. е.
= (/)£-(/)-
Все фотоириемное устройство характеризуется крутизной
Зфпу (f) = й (/)/Ф (/) = S (/) SBX (/) = S(f) 5ВКЛ. х. ХКВХ (/) -
*^О^пр (/) *^ВКЛ. X. х^вх (/)
Крутизна 5фпу (/) фотоприемного устройства непосредственно
связана с его чувствительностью, вносимой в паспорт приемника
излучения; например, для фоторезистора ранее было найдено
<ЬфПу (/) - S„ac„ (1 + и)(|.Ьх + 5) Kl + (2n^T X
х г ......_L _=.
К1 4- [2лДвх — 1/(2лДсв)]2
Действительно, если при проведении измерений с целью
заполнения паспорта выбрать частоту модуляции потока излу-
чения так, что 2л/0 твх = 1/(2л/отсв); 2л/отпр «1, то
5фПУ (/) = 5фПУ = Snacn4x/(1 Д- х) (1 4" X + ^)’
если при этом согласовать входные сопротивления, т. е. обеспечить
< 1; = 1.
539
то
*^ФПУ ~ Snacn.
Однако часто удобно ввести в рассмотрение крутизну
Snp (/) = £. (/)/Ф0.
т. е.
Sпр (/) = ‘^О'^ВКЛ, X. х^пр (/) = *^пр(Лпр (/)’
где
*^про ~ ^О^ВКЛ. X. X = lim ^пр (/)’
причем для фоторезистора
Snpo = Snacil4x/(1 + х)2,
и в большинстве случаев
4Ф(Л = 1/(1 - I-W'Tnp).
Вводя в рассмотрение крутизну SIip (f), мы считаем прием-
ником излучения совокупность из собственно приемника и цепи
его включения, работающей без нагрузки (па холостом ходу).
Кроме, того, обычно неудобно пользоваться крутизной преобра-
зования приемника для постоянной составляющей потока
излучения Snp0. Предпочтительнее задавать значение мо-
дуля | SItp (/) | на некоторой фиксированной и заранее обуслов-
ленной частоте /0, т. е. Snp (/о) = | Snp (f) |f=f0- Тогда можно
найти
Snp (/) = Зпр (/о) Кпр (/)»
Лир (/) — Snp (f)/Snp (/о) — [Snpo/Snp (fo)l knp (f) = knp (f)/knp (fo)>
где
^np (fo) ~ Snp (/o)/Snpo-
Если приемник эквивалентен апериодическому звену, то
Snp (f) — Snpo/(1 4” /2л/тПр); Snp (/о) = Snpo/p^l + (2л/отпр)2,
^пр (f) = 1/(1 + Жтпр); __________________
Kup(f) = 1^1 4” (2л/оТпр)2/(1 4- /2л/тПр) = &пр (/) 1 4- (2«г/оТпр)" •
Для частот модуляции, удовлетворяющих условию 2л/тпр -С 1>
fcp (f) = knp (П-
В основу дальнейших расчетов положим две основные формулы
для спектра сигнала на выходе усилителя:
«с (/) = 0Q (f) Sc (fy, uc (f) E\e (J)KC (/).
540
Формулы соответствуют блок-схеме, представленной на
рис. 335, б, которая получена из схемы рис. 335, а для случая,
когда справедливо линейное приближение.
При этом легко установить следующие соотношения:
£'о(/) = адхт(/) = 5оф<1/вхт(/);
£..(/) = &(/) ^ВКЛ. X. X = SoS
ВКЛ. X. хФо^вхУ (/)>
£-.(/) = ЗнроФАЛ (f) = S„p (W V 1 + (2я/„тлр)2 Ф„/Вд' (/) =
= ТОФ^(Л-
Кроме того, будем иметь в виду, что
Setf) = sMJ1.x.xxctf);
Sctf) = S,„.x.AP(f)K„(/)/(yc(ft;
Хе(/)=^р(/)К.х(/)Куе(П-
Если обозначить
|«ctf)l,uax = K„„x,
причем
^inax = *-^вкл. х. х^шах»
то относительное значение крутизны и коэффициента передачи
электронного тракта прибора
^c(f) = SJf)/Sinax^/<c(/)/Kniax.
В этом случае исходные выражения имеют следующий вид:
U. ([) = (f) 5таДс (f);
ис (f) = E~Af)KmJc (f),
где £Д0 (/) представляет собой э. д. с. действующего во входной
цепи сигнала, вырабатываемого безынерционным приемником.
Очевидно, что
Заметим, что в хорошо согласованной схеме величины КП]ах
11 Smax определяются в основном максимальным значением коэф-
фициента усиления усилителя и во всяком случае задаются
на той частоте, где усилитель обеспечивает наибольшее усиление.
Действительно, пусть на частоте fm усилитель имеет максималь-
ное усиление Кустах. Входная цепь должна быть рассчитана
таким образом, чтобы на этой частоте ее коэффициент передачи
был также максимальным, равным обычно отношению гвх/(г^ф гвх),
где гвх — входное сопротивление усилителя, г(- — внутреннее
541
сопротивление источника сигнала (приемника излучения и его
цепи включения). Инерционность приемника в рабочей области
спектра электрических сигналов и, в частности, на частоте fm
также не должна оказывать влияния, т. е. | &IIP (fm) 1 = 1, еле-
довательно, как правило,
Z^niax = !/bx/(G' Ч- ^вх)1 кустах»
соответственно
^шах ^вкл. х. х^тах"
Крутизна 5вкл. х.х — определяется схемой включения приемника
Максимальное значение сигнала на выходе усилителя равно
-|-оо —со
«етах= J йс (f) df = K,lia> J (f) kc (f) e™'' df -
— co —co
+°°
= Фо/вх ^max f У (f) К (f) df.
Rnp\lo)
Вводя обозначение
+°°
---ЭЭ
найдем
max — Ф(/вх
*np(fo) KniaXAfc(^)-
B свою очередь, дисперсия шума на выходе усилителя может
быть вычислена, если известна величина Е (f0) — спектральная
плотность шума на входе электронной схемы прибора, опреде-
ленная на заранее выбранной частоте /0 (рис. 335). Действи-
тельно, дисперсия шума на выходе в элементарной полосе ча-
стот df равна
dti = Е ф | К„х (/) Кус (/) |2df = Е (f0) в 01 Кс (f)l'knt,(f)|2df -
= Е (f0) К™# (f) | 4 (f)/*np (I) ?df.
Полученное выражение можно записать также в другом виде,
введя в него коэффициент передачи приемника излучения для
частоты на которой определены значения Е (fc) и Snp (f0)-
Так как
&пр (Z) — knp (fo) Knp(f)>
то
(lu2 -g _ /(2
‘Wiu = /,2 , /Xmax
Лпр Vo)
e (Z)
542
Следовательно, можно найти
2 Uo> ,,'2 , г
:— i'2 Ainax£'/in>
*пр Со)
где
-!) \kAbPdf.
км
Если использовать отрицательные частоты, когда спектраль-
ная плотность шума и модули коэффициентов передачи электрон-
ных схем являются четными функциями частоты, то можно опре-
делить шумовую полосу пропускания в виде
ш1 - -
£(/)
К/) IM,
где
В этом случае
К ____ (/а) ту'2
wui — <2 r к Amax ^j/inl»
причем
E, tfo) = E (/'„)/2,
ALi = 2AL-
Отношение максимума (пика) сигнала к среднеквадратиче-
скому значению шума
р __ “с max 'Чзр (/о)
4Г(/о) ^Ei (/о)
__ фо I /^7 ^вх &fc Со)
/Ё“(ММПр(/о) ,,х ‘
Обозначим
V ИЦ
Очевидно, что ФП1 (f0) представляет собой пороговый поток
фотоприемника (эквивалентную мощность шума) на частоте /'0
в единичной полосе частот 1 Гц. Значение коэффициента р0 будет
выявлено позже.
5-13
Тогда найдем
р = р0 Фщ(/о) ^2/вх’
причем ФП1 (/о) — Ф* (f0) Vа.
Отсюда следует, что в лучшем случае отношение сигнала к шуму
па выходе усилителя достигает величины, равной отношению
полного потока излучения от цели Фо к пороговому потоку фото-
приемника в полосе 1 Гц. Оно пропорционально корню квад-
ратному из времени измерения.
Установим связь ранее введенного в рассмотрение коэффи-
циента запаса р = Ф0/Фп с величиной р = и cmaJuw. Так как
р = Фо/[Фп(/о)КоД/1и1» а р = роФо 1/Г2/Вх/[Фп (^о)
то можно найти ______
Р 1 ________________Vtex А/нц____
Р Ро \^tex A/iii /вх А/с (/о) У/~Л/1и
так как Д/ш1 = 2Д/Ш, то
Р = P/^BX^fc (А))"
Смысл полученного соотношения совершенно ясен. Поскольку
коэффициент запаса р представляет собой отношение мощности
сигнала к мощности шума, он не учитывает длительности и спек-
трального состава сигнала, т. е. его определение относится только
к длительным стационарным сигналам, например постоянному
по величине потоку излучения, подвергнутому модуляции. Второе
же определение отношения сигнала к шуму, обозначенного через р,
применимо к импульсным сигналам, имеющим конечную дли-
тельность и форму импульса, характеризующихся временем Д1Х
и полосой пропускания Д/с (£0).
Уравнение дальности при обнаружении точечного источника
можно, следовательно, представить в виде
L = 1/2 ’
где 1 = ВЛИСТ cos а — сила света источника, угловые размеры
которого малы по сравнению с мгновенным нолем зрения опти-
ческой системы прибора.
Чувствительность прибора для малоразмерного и протяжен-
ного источников соответственно равна:
j 4 р б L2 .
~ о,:, (/о) То лг р» г2tm ’
в = 4 р 1 1__
я Ц«(МТ0 <106 Р„Г2/ВХ’
544
Входящие в последние три уравнения величины измеряются
в следующих единицах: I в Вт/ср, В в Вт/(см2-ср), (fn) в
см-Гц1/2/Вт, d в см, L в см, 6 в рад.
§ 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДАЛЬНОСТИ
И ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННОГО ПРИБОРА
Полученные в предыдущем разделе уравнения дальности и!
чувствительности оптико-электронного прибора требуют для их
решения вычисления двух величин
Р Uc тах/^ш В Ро ~ ^вх Д/с ^вх Д full’
3.1. Расчет коэффициента р0
Запишем выражение для ро в развернутом виде
'-Гео * 2
f df
Ро =
йГ I h (f) I2 df
— 00 l*'npV/| ,.y
Воспользуемся неравенством Шварца — Буняковского, устанавли-
вающим связь между квадратом модуля интеграла произведе-
ния двух произвольных комплексных чисел A (f) и В (/) и про-
изведением интегралов квадратов модулей этих чисел
-l-оо 2 -l-оо -4- со
Так как A (f) и В ([) — произвольные комплексные числа, по-
ложим
Л(/) = Ас(/)е'2л"«Т^й-;
В(П = ^Г)4т~-
V е (/)
Вычислим отдельно левую и правую части неравенства
Шварца— Буняковского
-Гос 2
2
е/2л//0 Ке (/) ~ , •• пр
2
df ;
е/2л/Л
/2 18 М. М. Мирошников
545
~оо -}-оо
I MtfW = J -J(/) |fec(f)|Mf;
— оо —оо I ^пр V/ |
-j-oo -}-оо
J |В(/)М = J
I ? (f) I2
Подставляя в неравенство Шварца—Буняковского при принятых
значениях А (/) и В (f) выражение для ро, можно найти
_ Jy<012 df
нп/|к;Р(п|2 Л
Если инерционность приемника излучения мала, то | КпР (f) |2 — 1
и
+°о
---00
I т (/) |2
8(/)
Отсюда видно, что для получения максимальной величины
коэффициента р0 = (р0)тах = Ро» т- е. максимума отношения
сигнала к шуму ртах = р, неравенство должно превратиться
в равенство.
Легко убедиться, что знак равенства можно обеспечить, если
Xc(f) = KoPt(f) = Ko
T* (/) е-/2«/<о
‘ </)/! Knptf) I2
причем относительное значение
^opt tf)=K,pt(/)/| ^opt (/)!max •
Поясним смысл введенных обозначений. Относительный коэф-
фициент передачи (усиления) системы, состоящей из инерционного
звена, эквивалентного приемнику излучения, входной цепи и
усилителя, равен
К (ft = Лс (Жтах = *вр (ft /<вх (ft Кус (ft/| *пр (ft Квх (ft Кус (ft Imax,
Причем частота fmt для которой имеет место равенство
|КсО = |Кс (f)U = /<max,
нам неизвестна. Поэтому максимальное значением модуля коэф-
фициента передачи оптимальной системы может иметь любые
значения, в общем случае на равные /Со. Обозначая ту конкрет-
ную величину относительного коэффициента передачи (ft, при
которой неравенство Шварца—Буняковского превращается в ра-
венство через /(opt (/), найдем ее относительное значение в виде
546
Ко__________У* (О
l*opttf)lmax 8(f)/l^p(/)a
этом случае
у if) kc (f) e’W'df
-j-oc 2
f T Iff K*' v* tfl I y' Iff |2 .-pnff. e,W<. df
J V U IX , (/) 2 » (fl 1 np " 1
___oo । 'optw/lmax J
I Xop! (fl Imax
4-00 ~ 12
f I У (f) I2 I fc' ,n 12 'f
E (В I ^nP । "I”00 ~
------------
f --ют
— oo
• • 2
Следовательно, при kc (f) = Kopt (f), коэффициент po достигает
максимального значения, обозначенного через ро, равного
Р2 = t 7 а df«t„ 7 liM- df.
° ” J e W K„p(fi J E(fl
Обратим внимание на то, что выражение для ро содержит спектр
сигнала у (/) и спектр шума е (/), действующих на входе системы,
следовательно, оно характеризует приходящую смесь сигнала
с шумом, т. е. потенциальные возможности выделения сигнала.
Оптимальная система реализует эти возможности полностью,
а при неоптимальной фильтрации, когда kc (f) Kopt (f)> эти
возможности не реализуются.
Вычислим ро для двух случаев, соответствующих действию
на входе белого и гиперболического шума.
+°°
1. Для белого шума е (f) = 1 и р§ = /вх j ] у (f) |2 df.
Так как
Oo(f) = UoiBxy(fy,
i/2 18*
547
то
lM)M-
^0 ВХ -оо
Поскольку в соответствии с равенством Парсеваля
f l&otf)M = J Uo(t)dt,
-со ‘—со
найдем
-(-со -)-со
Й=7Д- J ulmdt—h J
и0^х JTO
Если импульс имеет косииус-квадратную форму, т. е.
( cos2(л/2)Жх/2) ПРИ |/|<М2>
7 ~ ( 0 при ] 11 > /вх/2,
то
4-00 < ^вх/2
j /(ПЛ- J со^-^Л.
— со —'вх/2
Так как
j cos4 ах dx = х + sin 2х ф- sin 4ах,
можно найти
+ 'Вх/2
J Cos41“ tBX/2 dt = "8" *вх
-'вх/2
И
-j-oo
При любой форме импульса для белого шума
2 А
ро ли,
где kK — коэффициент формы импульса. Для прямоугольного
импульса &ипр = 1, для косинус-квадратного = -у и т. д.
Уравнение дальности при белом шуме
L2 = -£ /т„
648
где р — отношение сигнала к шуму на выходе оптимальной
системы, когда р0 — Ро» а Р — Н-
Чувствительность для малоразмерного I (Вт-ср-1) и про-
тяженного В (Вт-см~2-ср-1) источников излучения равна
4 Ц 6 _ L2_ _.
Л I^^h^bx
в_ 4 Ц 1_______1 _
Я Чп(/О)То ^2МвХ ’
Следовательно, при белом шуме дальность действия и чувстви-
тельность прибора зависят от длительности импульса (скорости
сканирования).
2. Для гиперболического шума е (/) = f0/| f | и
+°°
I ifiirt/iM-
— се
Поскольку спектр косинус-квадратного импульса равен
Т (f) = sa (лДвх)/[1 - (Двх)2],
можно найти
+°°
,.2 ^вх Г । г I sa (л/7вх) I2 _ 1 у
Ро /о j '' I 1-(^вх)2 I d‘ Л2/0/вх
— оо
где
-{-оо
у р sin2x . '
е/х~ J |хЦ1-(х/л)2]2
— оо
х = лДвх.
Интеграл х можно вычислить, разлагая дробь 1/]х [1 —.
— (х/л)2]2} на простейшие, что и выполнено Н. С. Шестовым
в книге «Выделение оптических сигналов на фоне случайных
помех». Таким образом, можно найти
3 х — 2,2 л,
следовательно,
Й = 2,2л/(^вх) = 0,7Мх,
или
Ро - 0,84//®^.
Уравнение дальности при гиперболическом шуме
у 2__ -Тс угр dO 1,18
18 М. М. Мирошников
549
Чувствительность для малоразмерною I (Вт-ср х) и протяжен-
ного В (Вт-см~2-ср-1) источников излучения равна
j 4________|1____6_ L2 .
” я О;.(ОТ<> 1.I8/J" ’
В ' _______н_____ 1 1
" °т(/о)тО йёб 1,18/'"
Следовательно, при гиперболическом шуме дальность дей-
ствия и чувствительность прибора не зависят от длительности
импульса (скорости сканирования).
3.2. Необходимое отношение сигнала к шуму
В уравнения дальности и чувствительности входит коэффи-
циент р, представляющий собой необходимое отношение мак-
симума сигнала к среднеквадратическому значению шума на
выходе усилителя. Для оптимальной системы р принимает макси-
мальное значение, равное р.
Для нормального закона распределения вероятностей эту
величину можно выразить через вероятности правильного об-
наружения и ложной тревоги следующим образом.
Вероятность обнаружения сигнала Добн равна вероятности
того, что пик сигнала цстах, сложившись с выбросом шума и, пре-
высит порог срабатывания порогового устройства н0, т. е.
Робн = Р (^с max Ч- ^-> ^о)-
Очевидно, что
Р О^с max + « > wo) = Д (w /> Uq max)-
Введем обозначения
*=«/]/ У = %/^ш,
Р = тах/^ш> ^0 У ' Р ’
тогда
Робн = Д (Z > Zo).
Для нормального закона
Д (z > z0) = 0,5 [1 — Ф (?0)1,
*0
где Ф (г0) = j e~z2/2 dz — табулированный интеграл вероят
ности Лапласа (рис. 277), Следовательно,
Добн = 0,5[1 -Ф(«/-Р)],
-550
ИЛЛ
ф (у ~ (>) = 1-2Роб„.
Это же выражение можно получить более строго. Рассмотрим
плотность распределения вероятностей ф (и) случайной вели-
чины и — сечения случайной функции и (i) — в момент t = /0,
когда имеет место максимум (пик) сигнала. Если это распреде-
ление подчиняется нормальному закону, то
и— и
Ч («) = е .
У
Так как напряжение шума на выходе усилителя не имеет посто-
янной составляющей, очевидно, что она определяется сигналом,
который в момент /0 достигает максимального значения wcmax.
Найдем вероятность того, что и > и0:
СО ОО и—и
Р (и > и0) = I ф (и) du = — 1 I е ш du.
и V 2л“п. п
“о К ш Uo
Обозначая, z0 = (н0 —н)/(У и г = (и — и)/о\ о = найдем
РОбн = P(z> z0) 0,5 [ 1 - Ф (г0)],
но
^0 («О Н)/(7 - Uq!(5 Uj(3 • Uq!Uiu Uf. max/^m :— У P>
где
У Р Wc гаах/^ш»
следовательно,
Ф (У — Р) = 1 — 2Роби.
Пусть, например, Роб11 = 0,9, тогда Ф (у — р) = —0,8, но
Ф (—z0) = —Ф (z0), т. е. Ф (р — у) = 0,8. По таблицам или
графику находим р — у = 1,3, или р = 1,3 -ф- у.
Вероятность ложной тревоги Рл<т можно найти аналогичным
образом, хотя далее будет дано несколько иное определение.
Действительно, в отсутствии сигнала, когда и — 0, вероятность
превышения уровня uQ только шумом и равна
Рл.т = 0,5 [1 -Ф (£/)],
или
Ф(у) = 1 -2РЛ.Т.
Если воспользоваться обратными функциями Лапласа Ф, можно
найти
Ф (1 — 2РЛ,Т) = у, Ф (1 — 2Роб11) = у - р,
18*
551
т. е.
Ф (1 — 2Робн) = Ф(1 — 2РЛвТ) — р.
В оптимальной системе р — р.
Таким образом, мы можем определить величины у и р, т. е.
порог ограничения и отношение сигнала к шуму, задаваясь
значениями вероятностей обнаружения и ложной тревоги. Однако
остается невыясненным один крайне важный вопрос: как часто
в системе с порогом у будут иметь место ложные тревоги? Сле-
довательно, нужно установить связь между порогом ограниче-
ния у и временем между ложными тревогами 7ЛфТ при заданной
вероятности ложных тревог Рл.т.
При нормальном законе распределения среднее число выбросов
шума в секунду за уровень и0 равно:
N (и,) - /ше““«/(2"“); N (у) =
где /щ = У [*; fm — среднеквадратическое значение частоты шума;
fii — дисперсия частоты шума.
Дисперсию частоты шума можно найти через спектральную
плотность шума Е (f). Действительно, спектральная плотность
электрического напряжения шума представляет собой мощность
шума, приходящуюся на единичный интервал частот
Очевидно, что эта величина [в нормализованном виде, т. е. Е
определяет плотность вероятности случайной величины f — ча-
стоты шума, т. е. вероятность того, что f лежит в диапазоне ча-
стот от f до f + df. Чем больше Е (f), т. е. чем большая диспер-
сия du'm приходится на элементарный интервал частот от f до f 4-
4- df, тем больше вероятность наличия данной частоты f в общем
шумовом спектре.
Следовательно, плотность вероятности случайной частоты шума
равна
ф (П = Е tf)/ и2ш,
а дисперсия
/1= = ^P^df = ±-~— -------•
о о J Е (/) d/
о
Так как относительная спектральная плотность шума
£ (/) = Е (0/Е (й,
552
то
ОО J со
О I о
Например, если белый шум, для которого е (f) = 1, действует
в ограниченной полосе частот от 0 до fB, то
Гв Нв
о I о
/ш = П = /./1.7.
что примерно равно средней частоте полосы пропускания /0=/в/2-
Так как среднее время между двумя выбросами шума
Т = (у) = l/(Le-*’/2) =
то
У = ’]/Г2 In (АД1).
Н. С. Шестов определяет выброс шума как участок кри-
вой и (/), на котором она идет выше уровня и0. При таком
определении для выброса ха-
рактерно наличие одного пере-
сечения уровня и0 с положи-
тельным наклоном кривой (на-
чало выброса) и одного — с от-
рицательным наклоном кривой
(конец выброса). Это определе-
ние устраняет неточность, воз-
можную при определении вы-
броса как максимума кривой
при условии, что этот макси-
мум превысил порог uOt так как
выброс может иметь несколько
Рис. 336. Определение выброса шума
по Н. С. Шестову
максимумов (рис. 336). В этом
случае им получено, однако, выражение для у, точно совпадаю-
щее с приведенным выше, в котором /щ имеет смысл среднего
квадрата частоты выходного процесса.
Далее необходимо установить связь между Т и произвольным,
заранее заданным временем, в течение которого не допускается
выбросов шума за уровень w0, временем ложной тревоги ТЛ.Г.
Среднее число выбросов шума в течение произвольного времени
ТЛгТ равно
« = Тл.Л(») = Тл.т/7’,
т. е.
Т = ТЛ, т/п.
553
Так как за уровнем п0 (или у= ип/иш) появляются лишь редкие
выбросы шума, то их распределение описывается законом редких
явлений — законом Пуассона. Поэтому вероятность появления k
выбросов шума за заданный уровень равна
р (k) [(n)k/k!\
Когда k = 0, т. е. нет ни одного выброса,
Р (0) = е-”,
п = — 1пР(0).
Вероятность появления хотя бы одного выброса шума —
вероятность ложной тревоги, в свою очередь,
Рл.т = 1 -Р(0),
следовательно,
п = — In (1 — Рл.т),
Т - Тл. т/л = Л. т/— In (1 - Рл,т).
Окончательно получим
У = |2 In V2 = 2In рл т) х
ОС | оо 1 /2
о Io /
1/2
Например, при Рл т = 0,5 Т - Тл т/ — In (1 — 0,5) = Тл т/1п 2 =
= 1,44 Тл.т. Если Тл,‘ = 15 ч = 5,4.104 с, a fui = 2000 Гц, то
у = /2 In (2000 • 1,44 • 5,4.104) = 6,142
Следовательно, необходимое отношение сигнала к шуму для
условий предыдущего примера, равно р = 1,3 + у = 1,3 р
+ 6,142 = 7,44.
Напряжение срабатывания порогового устройства (порог огра-
ничения)
Но == уиш 6,142wul,
а
шах — 7,44пш.
554
Глава 21
ОПТИМАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР, ЕГО СТРУКТУРА
И СПОСОБЫ РЕАЛИЗАЦИИ
§ 1. СТРУКТУРА ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА
И ЕГО ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
1.1. Структура оптимального фильтра
Оптимальным фильтром называют такую линейную систему
обнаружения сигнала с полностью известными параметрами,
которая осуществляет обнаружение наилучшим образом, т. е.
обеспечивает максимум отношения сигнала к шуму на выходе при
заданных вероятностях обнаружения и ложной тревоги.
В предыдущей главе было установлено, что для получения
максимума отношения ника сигнала к среднеквадратнческому
значению шума необходимо, чтобы коэффициент
р^=['.хЧ(д/к^Ж]2
2 2
имел максимальное значение ро = Цо, равное
„2 , 7 it cm8 df
° 2*(W|*np(f>r '
В свою очередь ро — ро, если произведение коэффициентов
передачи приемника, входной цепи и усилителя Ас (/) равно неко-
торой оптимальной величине
Aopt (/) - Ао
Т*(/>____е-р*Н.
« <Л/| Кпр(/)|2
которая и определяет структуру оптимального фильтра. Так как
амплитудно-частотная характеристика (модуль коэффициента пе-
редачи) приемника излучения | Апр (/) | лишь корректирует спек-
тральное распределение шума приемника е (f), приводя его к той
же точке тракта прибора, в которой определен спектр сигнала
у (f), а сам спектр е (/) мы полагаем произвольным, не будет
большой ошибки, если в последующих расчетах примем | Апр f) | =
= 1, т. е. предположим, что в рабочем диапазоне частот инер-
ционность приемника не имеет значения (2л/тпр « 1) Тогда
выражения для р0 и Aopt (/) упрощаются:
+°° ~
J о \/J *
— со
555
Исследуем структуру оптимального фильтра, имея в виду, что
Kopt(f) = |/Copt(D|e^(f),
где | Kept (f) I = Kopt (f) = Ko | Y* (D |/e (f) — амплитудно-частотная
(амплитудная) характеристика фильтра; (/) — фазо-частотная
(фазовая) характеристика фильтра.
1.2. Амплитудно-частотная характеристика
Для белого шума е (f) = 1 и амплитудно-частотная характе-
ристика оптимального фильтра равна
KoPl tf) = Ко I ?(/)! = Koi яд |.
В частности, для косинус-квадратного импульса имеем
Д' /£\ _ S3 (лДвх) д'
Opt W ~ 1 — (//вх)2 Л°’
*opt (/) = Kepi (fi/Ko.
Форма относительной амплитудно-частотной характеристики
представлена на рис. 337 (кривая /), кроме того, необходимые
Рис. 337. Амплитудно-частотные характе-
ристики оптимального фильтра для ко-
синус-квадратного импульса на фоне бе-
лого (?) и гиперболического (2) шума
сведения об этой характери-
стике могут быть получены
из графиков на рис. 280—282.
Легко убедиться, что относи-
тельная амплитудно-частот-
ная характеристика опти-
мального фильтра соответст-
вует спектру сигнала, т. е.
она лишь назначительно ис-
кажает его форму, так как
уменьшение коэффициента
передачи фильтра имеет место
для тех спектральных состав-
ляющих сигнала, относитель-
ный вклад которых меньше,
вплоть до того, что коэффи-
циент передачи равен нулю
только на тех частотах, на
которых сигнал отсутствует.
В то же время она существенно ослабляет шум, спектр кото-
рого на выходе фильтра соответствует спектру входного си-
гнала, т. е. дисперсия шума резко уменьшается, так как на
входе дисперсия белого шума бесконечно велика.
Для окрашенного (гиперболического) шума е (/) = М / I и
амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра
равна
кор1 tf) = tf) |/А>.
556
В частности, для косинус-квадратного импульса имеем
То
sin (л//вх)
№,х)0 -/2'ох)
Ко I sin nftm I
п/оСх 1 — (Квх)2
Обозначим nftBX = х, тогда
К — к° lsin *1
opt {х) nfotBX 1 - (х/л)2 •
Найдем х — х0, при котором величина Kopt U) максимальна.
Из выражения
dAppt (*) Ко Г cos х (1 — х2/л2) -У 2х sin х 1 ~
дх лМвх L (1 — х8/л2)2
можно найти
cos2 х0 = 4х2/|(л2 - х2)4 + 4х2],
отсюда
х0 = (5/6) л 2,62, или /</вх 0,83.
Следовательно,
[^opt U)lmax ~ /<oPt Uo) = 1 »636/С0/(л/:0/вх);
b (Y\ — ft°Pt (*) _ °»61 I Sin X |
optW Kopt(Xo) [1 —(Х/л)2]’
Форма относительной амплитудно-частотной характеристики
представлена на рис. 337 (кривая 2). В этом случае амплитудно-
частотная характеристика «вынуждена» уменьшать спектральную
плотность сигнала там, где она существенна — на низких частотах,
а при f = 0 коэффициент передачи фильтра равен нулю. Это
связано с необходимостью наилучшим образом подавить шум,
так как при /—>0 его спектральная плотность е (f)—>оо. Следова-
тельно, и в этом случае главная «обязанность» амплитудно-ча-
стотной характеристики оптимального фильтра — уменьшение
уровня шума.
1.3. фазо-частотная или фазовая характеристика
Представим безразмерный спектр сигнала в виде
Y(f) = I Т (/) |e/<pv<n,
где | у (/) | — амплитудно-частотная характеристика спектра сиг-
нала; <pv (f) — фазовая характеристика спектра сигнала.
Комплексный коэффициент передачи оптимального фильтра,
в свою очередь, равен
Хор, (ft = IXopt (ft I е'ф‘(/|,
557
Рис. 338. Фазовые характери-
стики оптимального фильтра
(fk (/) и спектров сигнала на его
входе cpY (f) и выходе iv (f)
где | Kopt (/)| — амплитудно-частотная характеристика оптималь-
ного фильтра; tp* (/j — фазовая характеристика оптимального
фильтра.
Так как
Лор1(0 = ^[?(/)/е(0]е-'2я"",
то, учитывая, что
Т* (f) = IУ (f) I е 7<₽?(П,
можно найти
/<»„( (D = М V (f) 1/8 (/)] е-' l2”"»+,fr ।.
Следовательно, фазовая характеристика оптимального фильтра
может быть представлена в виде
Фа (f) = — Фт (Л - 2nft0.
Анализ полученного выражения показывает, что первое слага-
емое его правой части —cpv ([) осуществляет компенсацию началь-
ных фаз в спектре сигнала, т. е.
каждая компонента спектра сигнала,
имеющая фазу -|-(рт (f), компенси-
руется фильтром. Если бы не второе
слагаемое, то сложение всех состав-
ляющих спектра с нулевыми началь-
ными фазами должно было привести
к образованию пика сигнала в мо-
мент t = 0, поскольку именно при
t = 0 и нулевых начальных фазах
совпадают амплитуды всех гармо-
нических составляющих спектра. Од-
нако второе слагаемое —2nft0 сдви-
гает фазы гармоник пропорционально
их частоте так, что амплитуды всех
гармоник совпадут в момент времени
t = t0, где и образуется пик сигнала.
Фазовые характеристики спектра входного сигнала, фильтра и
спектра выходного сигнала показаны на рис. 338.
Фазовая характеристика спектра выходного сигнала равна
Фт вых (Л = ФТ (f) + Фа (Л = ФТ (Л - Фт (Л ~ = — 2nft0-
Таким образом, если амплитудно-частотная характеристика
оптимального фильтра в основном подавляет шум и лишь незначи-
тельно изменяет форму сигнала, то его фазовая характеристика
совершенно не оказывает влияния на дисперсию выходного шума,
в силу случайного характера фаз отдельных составляющих шума,
но обеспечивает максимизацию сигнала путем такого сдвига фаз
гармоник, что это обеспечивает появление пика сигнала в момент
времени t = t0.
558
§ 2. СИГНАЛ И ШУМ НА ВЫХОДЕ
ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА
Найдем выражения для сигнала и шума на выходе прибора
с оптимальным фильтром, пользуясь представлениями о комплекс-
ном коэффициенте передачи, амплитудно-частотной и фазовой
характеристиках фильтра.
Сигнал на выходе равен
4-00
«с (0 = f uc(f)e^fl df.
-—оо
Спектр сигнала
"с (Л = £-0 (Л Лс (Л = ^0 (Л Kmaxk (Л,
где
•f—O (Л —“ ^прО^о/вхТ ( )•
При использовании оптимального фильтра
(Л = /<opt (Л =
е-/2л//0
? (/)
»ш/Кр(/)Г
т. е.
£«. opt (/) = -е,/')/|4'/)(/)уе~'2я"0’
И
+ °° ~ о
и (4\ — ф 4 с к f IТ (/") I3 р+/2лН<—<о) лс
“c.optu/ — /А/1^' /«12 е а1-
Joo e^)/|/<np(/)|
Поскольку
ц2 = / f ______i-M________ df
,0 "J м/)/|к„р(/)|2 ”
то максимальное значение сигнала на выходе оптимального филь-
тра, имеющее место при t = /0, равно
Uc. °P,max ~ Uc- °Р{ = Фо^прО^оРо-
Входящие в полученное выражение величины имеют следую-
щий смысл. Фо — поток излучения, падающий на приемник,
когда оптическая ось сканирующего прибора точно направлена
на цель (начало отсчета времени сканирования), Snp() — вольто-
вая чувствительность приемника для постоянной составляющей
потока излучения
*\ip о — 1йг Snp(f),
f->0
559
Kmax — максимальное значение модуля коэффициента усиления
электронного тракта прибора Кс (/), являющееся коэффициентом
пропорциональности в соотношении
Кс(Л = Ктах^сШ.
Ко — коэффициент пропорциональности в выражении для коэф-
фициента усиления оптимального фильтра
(предполагается, что КпР (f) = 1].
Обозначив произведение Фо*^проКо = «c.opt0, найдем
__ 2
wc. optm8X — ^c.^opfoPO*
Отсюда видно, что пиковое значение сигнала на выходе опти-
2
мального фильтра пропорционально цо и зависит только от энер-
гии входного сигнала (форма входного сигнала не имеет значения).
Кроме того, с точностью до постоянного множителя коэффициент
цо может трактоваться как максимальное значение сигнала на
выходе оптимального фильтра при белом шуме.
Найдем дисперсию шума на выходе оптимального фильтра.
Так как независимо от спектрального распределения шума
иш — wc. optmax/po,
И-с. optmax = Фо-$проКоЦ^
и = —
V Е (/о)
5„р(Й = ^(/0)5^0,
то
/72
“ш opt
Е (/о) 2
-----75----- АоЦО«
2'ьх*щ.(М)
с . Е (/о)
Если обозначить ---------—
2*вх*пр (/о)
Ко — иш Opt0, ТО
2 2 2
opt = opt0'ЦО*
Отсюда следует, что коэффициент цВ равен не только пику
сигнала, но и с точностью до постоянного множителя дисперсии
шума на выходе оптимального фильтра.
560
§ 3. ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА
Найдем импульсную функцию оптимального фильтра, пред-
ставляющую собой преобразование Фурье от его коэффициента
передачи;
—|—ОО -|-сс
Kwl(0= f/<op.(/)e'2l,"df = X0 f
V «7 ъ V j
--OO --oo
При белом шуме
-j-oo
К0р,ОТ = Ко J 4,
—co
HO
следовательно,
К.,, m = Ко] J df.
-—oo
Обозначим f = —f-t тогда
4-00
Лер, (/) = /<„ J
— co
Знак перед интегралом не изменился, так как одновременно с из-
менением знака при df изменились знаки у пределов интегриро-
вания. Так как
4-оо
Т(О = <ех J Т (/) е'2я" df;
—оо
Т(/о-0 = /и / Т(/)е/2"' "'"'’df,
— 00
то
Kopt (0 = ЛоУ (7 — О/^вх*
Относительная импульсная функция
^opt (0 — (4х/^7) -Кopt (О
является безразмерной величиной, a /Copt (О выражается в с-1.
Построение импульсной функции оптимального фильтра по-
казано на рис. 339. Штриховая кривая у (—/) является зеркаль-
ным отображением заданного сигнала у (/) с осью ординат в ка-
честве оси симметрии. Функция у (/0 — /), сдвинутая относи-
561
тельно у (—/) на величину 4 вправо, также зеркальна по отно-
шению к исходному сигналу у (t), но с осью симметрии, прохо-
дящей через точку £0/2 на оси абсцисс.
Таким образом, импульсная функция оптимального фильтра
при белом шуме имеет вид сигнала в обратном ходе времени со
сдвигом на tG. Она сопряжена с сигналом, в связи с чем оптималь-
ный фильтр называют иногда сопряженным или согласованным.
Это с еще большей очевидностью следует из выражения для коэф-
фициента передачи оптимального фильтра, который пропорцио-
нален у* (f) — сопряженному спектру сигнала.
Импульсная функция оптимального филыра, установленного
в электронном тракте прибора, как
и
импульсная функция лю-
бого четырехполюсника,
должна отвечать следую-
щим двум условиям, назы-
ваемым условиями физиче-
ской осуществимости: при
функция kopt (0 дол-
жна равняться нулю, а при
t — > сю функция 6opt (0
должна стремиться к нулю.
Первое условие являет-
ся следствием того, что
&oPt (0 представляет собой
фильтра на единичный импульс (дельта-функцию) в мо-
= 0. Поскольку отклик не должен опережать воздей-
необходимо, чтобы kOpt (/) = 0 при t с 0. Это условие
Рис. 339. Построение импульсной функции
оптимального фильтра
отклик
мент I
ствие,
совершенно не обязательно для оптических систем: единичный
импульс в точке xlt yv может дать отклик в любой точке х, у
плоскости изображения.
Так как 6opt (0 = у Uo — О, первое условие означает, что
to > tliX, если импульс начался при t > 0. Действительно, в этом
случае пока не закончился импульс, действующий на входе, не-
возможно собрать всю его энергию для обеспечения максималь-
ного отношения сигнала к шуму на выходе. Исходя из этого необ-
ходимо, чтобы длительность входного импульса была конечна,
поскольку при /вх = сю невозможно обеспечить t0 < tbx. По
существу, это есть уже второе условие физической осуществимости,
в соответствии с которым при t -> сю функция &opt (0 должна
стремиться к нулю.
। Таким образом, из общих свойств импульсной функции сле-
дует, что применение оптимальной фильтрации возможно только
для сигналов ограниченной длительности, т. е. для импульсных
сигналов или ограниченной по длительности группы (пачки)
импульсов.
Найдем сигнал на выходе оптимального фильтра, пользуясь
импульсной функцией. По определению сигнал на выходе любого
562
четырехполюсника представляет собой свертку сигнала на входе
и импульсной функции. Пусть обобщенный сигнал, вырабатывае-
мый безынерционным приемником, равен
ио (0 = (О-
Тогда соответствующий ему электрический сигнал, действующий
на входе схемы рис. 335, б,
^~о(0 = *^вкл. х. х^А)(0 >5вкл. х. х^Л/У (/),
где 5ВК1ЛфХ Х — крутизна цепи включения приемника в режиме
холостого хода,
4-оо
— оо
-|-ео
£~.(0 = J £-ДЛе/2я"4;
— оо
£_.(/) = #о(/)5в1и.. х. х;
t/o = 50Ф0.
Так как
‘-’пр 0 ‘-’(У-’вкл. х. х’
ТО
£~о(0 = Фо5проТ (О’
т. е.
£~o(0 = £~oy(0>
где
Е~о :== Фо*5про-
Комплексный коэффициент передачи рассматриваемой схемы
равен
Лс(О = ^тА (/).
причем при использовании оптимального фильтра
4(0-^oPt(f).
Следовательно, если импульсная функция оптимального
фильтра равна Kopt (/), то четырехполюсник с коэффициентом
передачи KOpt (/) характеризуется импульсной функцией
*вх
Соответственно,
Kept« - /') = -г~у V« -1 + Z') = ~у [£ - (t - /„)).
‘ВХ *вх
563
тогда
4-00
«С opt (0 = j Е~й (О ^opt (* — *') dt' =
—оо
Е К„ +Г
= Т(/'ЖГ — — df.
*ВХ J
—оо
Можно легко проверить правильность полученного результата,
так как при t = t0 сигнал достигает максимума, величина кото-
рого нам известна. Между тем, из последнего выражения следует
Е Ki +Г” ,
«с. opt (О=—y4t')df,
*вх J
—оо
но при белом шуме
Ро = ( Т2 (t) dt,
‘вх •
— оо
т. е.
^с. opt (to) == Е~о /СоЦо == Фо^пр оКоро,
что совпадает с ранее полученными выражениями для wcoPtmax-
Далее известно, что для детерминированного сигнала единич-
ной амплитуды и конечной длительности у (/) автокорреляционная
функция определяется выражением:
4-00
ФСО = f r(t')y(t' -x)dt'.
— ©о
Эта функция характеризует степень связи сигнала с его ко-
пией, сдвинутой по оси времени на величину т. При т = 0 функ-
ция автокорреляции достигает максимума, равного полной энер-
гии сигнала
4-00
ф(0)= J у2 (t')dt'.
— оо
Возвращаясь к выражению для сигнала ис (/), можно найти
Е
гВХ
где ф (/ — t0) — автокорреляционная функция входного сигнала
единичной амплитуды для времени задержки т = t — t0.
Таким образом, сигнал на выходе оптимальной системы с точ-
ностью до постоянного множителя совпадает с автокорреляцион-
ны
ной функцией входного сигнала. Его можно всегда построить по
заданной автокорреляционной функции ф (т) для т — t — ta.
Естественно, что при т = 0, т. е. t = ?0, когда
-|-со
ф (0) = J ^(i')dt' = АхЛ
— со
получаем максимальную величину сигнала
Wc. optmax “ ^с. opt (^о) = (£~0 Ао/Ах) АхЦО =
= Е~о Коро = Фо-$пр оАоро-
Относительно импульсной функции оптимального фильтра
необходимо сделать еще ряд замечаний, относящихся к общим
свойствам электрических цепей.
Выражение для вычисления сигнала на выходе четырехпо-
люсника через его импульсную функцию
uc(t) = J £~0(А) Ас (t — t')dt'
может быть изменено с учетом условия физической осуществи-
мости, в соответствии с которым — f) = 0 при t' > А
так как отклик не может опережать воздействия. Следовательно,
верхний предел интегрирования можно заменить на t. Нижний
предел интегрирования также может быть выбран конечным,
если сигнал при достаточно большом отрицательном аргументе
обращается в нуль. Обычно предполагается, что при аргу-
менте t—Т, где Т — длительность исследуемой реализации,
сигнал пренебрежимо мал.
Следовательно,
uc(t) = J Е_.(f)Ke(<-/')<«'= J Е~О(Г)КС(/-Г)Л'.
— со t— Т
Кроме того, часто производится замена переменных G = t — f,
тогда
т
uc(Z) = fE~.(/-e)Kc(e)de.
о
Полученное выражение называется интегралом Дюамеля.
Входящая в него импульсная функция Ас (6) связана с комп-
лексным коэффициентом передачи цепи Ас (f) преобразованиями
Фурье:
+ ос —{-со
Кс(/) = J Кс(е)е-/М0</6; Ke(0)= j
— со —со
565
Например, для апериодического 7?С-звена можно найти
Лс(0=1/(1+Ж£С);
К (0) = [1/(/?С)1 е~е/*с.
Если сигнал задавать в виде £~п (7— 0) = £~оу (/— 0),
то импульсная функция оптимального фильтра
£opt (6) = (£о/^вх) Т (^0 0)’
§ 4. СПОСОБЫ РЕАЛИЗАЦИИ ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА
Математическое выражение для коэффициента передачи опти-
мального фильтра может быть настолько сложным, что высказать
даже ориентировочные предположения о схеме фильтра крайне
затруднительно. В общем виде определить схему фильтра по за-
данному уравнению невозможно.
Тем не менее, может встретиться ограниченное число слу-
чаев, когда выражение для коэффициента передачи оптимального
фильтра распадается на ряд множителей простого типа, и фильтр
синтезируется как последовательное соединение четырехполюс-
ников, реализующих каждый множитель.
Существует два главных способа осуществления оптимальных
фильтров: 1) создание линейного фильтра с сосредоточенными
постоянными; 2) реализация оптимального фильтра в виде корре-
лометра.
Рассмотрим эти способы.
4.1. Оптимальный линейный фильтр
с сосредоточенными постоянными
Пусть сигнал £~0 (t) = Е~оу (0 представляет собой прямо-
угольный импульс, т. е.
| 1 при 111 /вх/2,
’ I 0 при 111 > /вх/2.
Четырехполюсник, включающий в себя оптимальный фильтр,
в этом случае должен иметь импульсную функцию
Kopt (0 = ^opt (0 .
Если
^opt (0 = y(t0 -t),
то
Kopt (0 = (^вх)т(^о-0.
Условие физической осуществимости при заданной форме
входного сигнала имеет место при t0 > 0'2, так как в этом слу-
чае у (t0 — 0 = 0 для / < 0.
566
Примем t0 = tBX/2, т. e. будем считать, что сигнал на выходе
оптимального фильтра достигает максимума сразу же, как за-
кончился импульс на входе. В этом случае можно записать
(1
^opt (О ~ т (^о /) =
при 0 < / < tBX,
при остальных t.
Вид импульсной функции ftopt (/) представлен на рис. 340.
Дальнейшая задача сводится к отысканию структуры физической
цепи, обладающей импульсной функцией ^opt (t).
а}
7ft)
Сигнал
KOpt№
Импульсная
функция
.hi- ® + hi. tfa
2 2
t
6)
У выл 1
о / 4 'i
Импульсная функция
B)
Рис. 340. Оптимальный фильтр для выделения импульса пря-
моугольной формы на фоне белого шума: а — импульсная
функция; б — функциональная схема; в — прохождение еди-
ничного импульса через оптимальный фильтр
Одна из возможных функциональных схем подобного устрой-
ства представлена также на рис. 340. При подаче на вход этой
схемы единичного импульса электродвижущей силы 6 (/) на вы-
ходе первого элемента — интегратора развивается постоянное
напряжение, начинающееся от момента поступления импульса
t = 0. Это напряжение постоянно и равно единице
+»
«вых1 = f
— оо
Напряжение i/DbIX х подается на вычитающее устройство (—) по
двум каналам: непосредственно и через линию задержки /вх.
На выходе вычитающего устройства получается напряжение
в виде разности двух единичных скачков напряжения, сдвинутых
один относительно другого на время tBX (рис. 340). В результате
отклик рассматриваемой системы на дельта - функцию пвых 2
имеет вид импульса прямоугольной формы в соответствии с тре-
буемой импульсной характеристикой.
Б67
Найдем напряжение на выходе оптимального фильтра для
прямоугольного импульса, действующего на входе.
Автокорреляционная функция входного сигнала единичной
амплитуды
+°°
'Ф(Т) = J ?(*')?(*' —
Для прямоугольного импульса ее можно легко найти графи-
чески, перемещая копию импульса относительно самого импульса
вдоль оси времени и определяя для каждого положения копии, ха-
Рис. 341. Сигнал на выходе опти-
мального фильтра для входного
сигнала прямоугольной формы
рактеризующегося временем т, пло-
щадь взаимного наложения фигур.
Эта процедура показана на рис. 341.
Если амплитуда импульса равна
£~0, а длительность /нх, то функция
автокорреляции ф (т) имеет вид ра-
внобедренного треугольника с осно-
ванием 2/11х и высотой, равной полной
энергии импульса £70/вх. Если £__0=
= 1, то £10/вх = /вх.
Следовательно, в этом случае
можно записать
2т-|-/вх при
— 2т при
Напряжение на
равно, соответственно,
«с (/) = (£~0 /<о//вх) W — /о),
где ф (t—10) есть автокорреляцион-
ная функция входного сигнала ф (т)
при т = t — tG.
ф(т) =
— /вх/2 < т< О,
0<т</вх/2.
выходе фильтра
Сигнал на выходе достигает максимума в момент времени
t — f0 = т. е. сразу же, как закончился импульс на
входе.
Величина этого максимума
> « —I—OO
«стах = £~0£oRo = 7° ° I y\t)dt =
*вх
— оо
== £~0/(о = Фо$пр о£о-
Этот результат легко понять, так как для прямоугольного
импульса длительностью гвх ро — 1.
Реализация изображенного на рис. 340 устройства, которое
обеспечивало бы точное интегрирование и задержку входного'
сигнала без искажения его формы, практически неосуществима.
568
Можно, однако, получить достаточно хорошее приближение к тре-
буемым свойствам при использовании реального интегрирующего
устройства в виде #С-цепи с постоянной времени RC — т Э> /вх.
При действии единичного импульса на такую цепь напряжение
на выходе является разностью двух экспонент (рис. 342) и мо-
жет быть сделано достаточно близким к заданной импульсной
характеристике.
Критерием для оценки степени приближенности фильтра к оп-
тимальному может служить отношение пика сигнала к средпе-
Рис. 342. Прохождение единичного импульса через
оптимальный фильтр и его приближенную реали-
зацию в виде /?С-цепи (схема рис. 340): а — опти-
мальный фильтр; б — 7?С-цепь
квадратическому значению шума р на выходе данного фильтра
и сопоставление этого значения с р. Однако такие расчеты обычно
достаточно сложны и для облегчения оценки степени оптималь-
ности вычисляют отношение сигнала к шуму на выходе данного
фильтра в тот момент времени, когда на выходе оптимального
фильтра сигнал достигает максимального значения.
Если сигнал на входе появляется в момент времени t — tc,
то максимум сигнала на выходе оптимального фильтра достига-
ется в момент времени t = tc + t0. Для того чтобы обеспечить
наилучшее приближение данного фильтра к оптимальному, его
параметры следует выбрать так, чтобы
р == Цс (Д -f- ^о)/^ш == шах.
Исходя из этого критерия можно установить требования к им-
пульсным и амплитудно-частотным характеристикам фильтров.
Пусть рассматриваемая нами система — тракт оптико-элек-
тронного прибора—характеризуется импульсной функцией Кс(0).
19 М. М. Мирошников
569
На вход системы в момент времени tc поступает сигнал
— /с). Сигнал на выходе системы определяется сверткой
+°°
М0 = j £_,((/-у-ви€(0)de.
— оо
В момент времени i = tc -Ь t0, когда оптимальный фильтр
обеспечивает получение максимума сигнала, рассматриваемая
система выдаст сигнал
+°°
«c(/c + /0)= | £_.(/<> -e)Kc(O)do.
О
Нижний предел интегрирования в полученном выражении равен
пулю в связи с тем, что при 0 < 0 импульсная функция Кс (G) = 0.
Поскольку
£.,(/»- 6) = £_.,?(/„ - 6) = Е^ (fl),
то
Pt с
«с (/с + Q = —J Kopt (0) Кс (0) dti.
Дисперсия шума на выходе усилителя рассматриваемой си-
стемы
И2Ш =^ЦИ-£?„„А)Ш1;
(/о)
а/,„.= С
J I ^пр I
Полагая, что инерционностью приемника в рабочем диапазоне
частот можно пренебречь, т. е. | ЛпР (f) 1 = 1 и /г11р (f0) = 1,
а шум — белый, т. е. в (f) = 1, можно найти
д/ш. = J— j I (П Г ‘If = -1- j Ki (0) do.
Amax —-ж Arnax —oo
что следует из равенства Парсеваля, т. е.
со
«^= Ei(f0) J £e(0)dfl.
о
570
Нижний предел интегрирования равен нулю но тем же при-
чинам, что и в выражении для ис (1С | /0). Следовательно,
Нам необходимо найти максимум полученного выражения
для тех параметров рассматриваемой системы, которые подлежат
оптимизации. Допустим, имеется п таких параметров а0, аь
а2, ..., т. е.
Л'с (6) = Яс (0, «о, сс„ а2, ...»ал).
1-г « Фо
По каждому из этих параметров нужно наити производную
где i ~ 0, 1, 2, ..., /г, приравнять ее нулю и из полученной си-
стемы п -j- 1 уравнений отыскать оптимальные значения пара-
метров а0, oclt а2> •••» ап-
Прежде чем приступить к этому, обратим внимание на следую-
щие обстоятельства. Во-первых, в процессе дифференцирования
и составления уравнений окажутся не существенными абсолютные
значения входящих в уравнения величин, так как они определяют
не форму подбираемой импульсной функции, а ее масштаб. Сле-
довательно, можно перейти к относительным значениям импульс-
ных функций, т. е. заменить /Copt (0) на 6opt (0), а Кс (0) на
Лс (0). Во-вторых, можно считать, что оптимальный фильтр
выдает информацию сразу же по завершении исследуемой реали-
зации, т. е. kOpt (0) = 0 при 0 > Т, где Т — длительность реали-
зации.
И, наконец, поскольку импульсная функция оптимального
фильтра не зависит от параметров а(, подлежащих оптимизации,
C^feopt (6) п
то производная —= 0.
Учитывая все это, можно найти
(” kc (0) м; J (0) м =
о ‘ / о '
оо . т
= рс(0)<» 1 jXpt(e)Me)dfi.
0 I о
Н. С. Шестовым, предложившим рассмотренный метод оценки
степени оптимальности системы, показано, что выбор ее парамет-
19* 571
ров в соответствии с критерием получения максимума р§ в момент
/0, равносилен обеспечению условия
оо
I l^optOO — /?c(0)]2d0 = min,
б
т. е. условию минимального различия импульсных функций
оптимальной и рассматриваемой систем.
Из этого условия следует, что если один из параметров рас-
сматриваемой системы является просто множителем, например
а0 в выражении
К (0) = Mei (0) = «Л| (0, «о «2, • • •, ал),
то с этим множителем можно не считаться, так как он определяет
лишь масштаб, а не форму импульсной функции. Следовательно,
все расчеты, связанные с оценкой степени оптимальности фильтра,
можно проводить, пользуясь относительной импульсной функ-
цией kcl (0).
Рассмотрим в качестве примера /?С-фильтр, используемый
вместо оптимального для выделения прямоугольного импульса
па фоне белого шума.
Импульсная функция оптимального фильтра в этом случае
равна
&oPt (6) = т(^о— 0)-
Если /0 = /Вх/2, то &Opt (0) = 1 при 0 < 0 < /вх и fcOpt (0) = О
при 0 > /вх.
Импульсная функция /?С-фильтра
/?с(0) = П/(ЯС)1ё°/<«с>,
а ее относительное значение
kcV (0) = е-е/(«с>.
Постоянная времени /?С-фильтра т = RC является единственным
параметром, подлежащим оптимизации. Полагая 04 = 1/(RC) и
составляя условие
оо | ^ВХ 00 ' I *ВХ
f ' I 1 • ae7ai° d0 -= f e-2««edo ! 1 l-e-a>ed0,
,1 да, ' J да, J J
0 I о о I о
можно найти трансцендентное уравнение
l+2aAx = ee*'»«
и методом последовательных приближений определить параметр
ах, т. е. найти
т = RC = 1/ах = /вх/1,256.
572
Квадрат отношения сигнала к шуму в момент времени I — /с -1- /„
для рассматриваемой системы, выраженный в относительных
(условных)'единицах, равен
l'o™= poPi(0)/ic,(0)d0
_0
J *?i(0)dO.
о
Если /еС1 (U) — /?Opt (6)> т- е. для оптимального фильтра
т
Нота = | &орт (0) dQ.
о
Следовательно, сопоставление рассматриваемого фильтра с оп-
тимальным МОЖНО ПрОИЗВеСТИ, ВЫЧИСЛИВ КОЭффиЦИеНТ Х2 = Ротн/Цотн-
Это дает
2 Г Г "I2 / °° Т
* = Р™ j {0) (0) (ffl / j (()) да j (()) dQ
Both _б . О О
Так как
т т
[ *ор, (6) АС1 (0) d0 = J I -е-».» d0 = 2- (1 - е ;
О о 1
оо оо Т
[ & (0) d0 = | d0 = ; ( feopi (0) de = Т,
о о 1 о
то при «1 = 1,256//вх, /вх = Т найдем х2 = 0,815.
Таким образом, подобранный простой фильтр уступает опти-
мальному весьма незначительно.
Если на вход системы приходит не один импульс, а группа
из N одинаковых импульсов, то спектр такого сигнала
у (/) = у, (/) [ 1 4- е-/2^7> Ц_ е~'2я'7'2 _|-1 e~i2nfT^l
где Т1 (f) — спектр первого импульса, начинающегося в момент
t — 0, у! (f)e—i2nfTi — спектр второго импульса, сдвинутого на
время 7\ от первого, и т. д.
При белом шуме оптимальный фильтр должен иметь коэффи-
циент передачи
Ко» (/) = (Л е-''2”'
где —• полная длительность всей пачки импульсов,
или
Kept Ш = КотГ(Л е-^^вхе-/2"/^,! [! _р е-/2^^ + .
• • • 4- e~i2nfT^-i] = КоТ1е~/2л//вх[1 + е-/2я/
е“/2п/ (^-1-^-3) _|_____|_ е-/2"/ _|_ е“/2л/гл'-1].
573
Поскольку предполагается, что к моменту окончания первого
импульса система выдает максимум соответствующего сигнала
то коэффициент передачи оптимального фильтра для одиночного
импульса, начинающегося в момент t 0, равен
KiopH/)
Схема всего фильтра может выглядеть, как опа показана
на рис. 343.
Рис. 343. Схема оптимально-
го фильтра для группы из N
одинаковых импульсов
Этот фильтр содержит звено с передаточной функцией ТС opt (f),
обеспечивающее оптимальную внутриимпульсную обработку си-
гнала и набор линий задержек. Вели-
чины этих задержек должны нарастать
в порядке, обратном расстановке им-
пульсов в пачке наЧходе фильтра.
Максимальный импульс на выходе
сумматора получается, когда первый
импульс входной последовательности,
прошедший через задержку 7,v_3, сум-
мируется со вторым импульсом, про-
шедшим через задержку TN_X — Т ъ
с третьим, задержанным на TN_X —Т2,
и т. д вплоть до последнего импульса,
проходящего через систему без допол-
нительной задержки.
Если входной сигнал представляет
собой последовательность одинаковых
равностоящих импульсов, т. е.
7\ = Т, Т2 = 2Т, Т3 = ЗТ, ...,
Гу-х = (М - 1)7,
то
Kopt (f) = opt (/) [ 1 -I- е-/2з1/г 4- е-/2л/2Г I • • Ч е-/2л/ (v~ ° г].
При достаточно большом N выражение в квадратных скобках
представляет собой геометрическую прогрессию, сумма которой
равна
Л2(П= 1/(1 -е“/2п'7).
Следовательно, в этом случае
КоИ(/) = Л1ор1(/)/<2 0,
т. е. система может быть осуществлена в виде двух четырехпо-
люсников, соединенных последовательно, один из которых реали-
зует схему оптимального фильтра, а второй — схему с обратной
связью, позволяющую осуществить коэффициент передачи К2 (f).
Действительно, если в схеме с обратной связью коэффициент
574
передачи прямой цепи Ле i'2nfr, то общий коэффициент передачи
(рис. 344)
Л'ос (/) = «2/Й1 = Хе~/2я,77(1 — /<е~
Для обеспечения устойчивости системы необходимо выполнить
условие К < 1. Передаточная функция еi2^T соответствует
«идеальной» линии задержки. Амплитудно-частотная характе-
ристика четырехполюсника
с задержкой и обратной
связью имеет вид гребенки.
Фильтры с такими характе-
ристиками получили назва-
ние гребенчатых фильтров.
Общая функциональная
схема системы, реализующей
эффект повторения импуль-
сов в пачке, представлена на
рис. 345.
При одинаковых по форме
ного сигнала возрастет в N
Задержка
Рис. 344. Схема с обратной связью — «гре-
бенчатый» фильтр
и амплитуде импульсах пик выход-
раз, но одновременно вырастают
и шумы на выходе, где складываются дисперсии шума N каналов,
Задепжка
Рис. 345. Оптимальный фильтр для пачки из N одинаковых
равноотстоящих импульсов — сочетание оптимального филь-
тра для одиночного импульса длительностью /вх и «гребенча-
того» фильтра, настроенного на период повторения импульсов
в пачке Т
следовательно, среднеквадратическое напряжение шума растет
в раз. Таким образом, общий выигрыш в отношении сигнала
к шуму при оптимальной фильтрации пачки из N импульсов,
по сравнению с фильтрацией одного импульса, оказывается раг-
пым 1/N. Этот выигрыш имеет место только при белом (некорре-
лированном) шуме и пеперекрывающихся сигналах (Т > £вх).
В остальных случаях могут иметь место иные соотношения.
4.2. Оптимальный фильтр в виде коррелометра
Пусть на вход системы с коэффициентом передачи Кс (f) по-
ступает внешнее возмущение £ (/), представляющее собой либо
один шум, либо шум с сигналом импульсного характера. Учиты-
вая, что момент прихода сигнала неизвестен, процесс обнаружения
575
сигнала ведется непрерывно путем анализа реализации в интер-
вале времени от t — Т до t, vj&T — длительность исследуемой
реализации. В момент времени /[при условии мгновенной обра-
ботки реализации должен быть дан ответ о наличии известного
по форме сигнала.
В общем случае на выходе системы действует возмущение
t
u(t) = J Е (t')Kc (l-t') dl'.
t-T
Если система построена так, что на выходе ее обеспечивается
максимальная величина отношения пика сигнала к среднеквад-
ратическому значению шума, то ее импульсная функция при бе-
лом шуме
Kopt а - п = (ад.х) у \е -а- иь
Следовательно, в оптимальной системе
t
= ( Е (t')y [l’-(t -«I dt'.
*BX
Для дальнейшего удобно записать это выражение, пользуясь
временем 0, которое определяется следующим образом:
6 = t' — (/ — /0)= /' — I + /0>
т. е. f = 0 4- t — t0, когда
t, 0 = /о,
f [1-Т, Q = t0-T.
В этом случае
Е (/') = Е (0 + t - /0),
когда
J t0, Е(0 + /-/о) = Е(/),
U-7\ Е (0-|-/ —/0) — Е (/— Т).
Выходное возмущение имеет вид
^0
«Ю '-Д- f £(0 |-/-/о)т(0)</0.
*вх . J т
I О---1
Создадим прибор, в памяти которого хранится форма сигнала,
подлежащего обнаружению, описываемая функцией у (0). Обес-
печим выполнение следующих операций в этом приборе. Значе-
ния реализации входного возмущения для данных t и /0 и раз-
личных 0 от 0 = t0 — Т до 0 = t0, т. е. за период otJ — Т
до текущего момента /, умножаются на соответствующие ординаты
576
образа сигнала, хранящегося в памяти. Все полученные для каж-
дого 0 произведения суммируются и поступают на вход порого-
вого устройства, имеющего порог срабатывания ип. Если происхо-
дит срабатывание порогового устройства, следовательно, порог
был превзойден и можно с определенной вероятностью Роб1,
утверждать, что в исследованной реализации имеется сигнал,
поступивший в момент времени t = t0.
Если сигнал не обнаружен, изменяется относительное поло-
жение образа сигнала и реализации за счет изменения времени
и процедура повторяется до тех
зирована вся реализация Т.
Приборы подобного типа назы-
ваются коррелометрами. Пример
схемы коррелометра с записью на
магнитную ленту приведен на
рис. 346. На записывающую ма-
гнитную головку 1 коррелометра
поступает входное возмущение.
Длительность Т подлежащей ис-
следованию реализации опреде-
ляется положением стирающей го-
ловки 2.
Две снимающие головки 3 и 4
периодически быстро проходят по
соответствующим лентам, на одной
из которых А записан образ ис-
комого сигнала С, а на другой
ленте Б — исследуемая реализа-
пор, пока не будет проанали-
вырабатываемых сни-
ция. После перемножения напряжений,
мающими головками, п интегрирования результата за один про-
бег выдается величина и (Н). К следующему пробегу снима-
ющих головок относительное положение образа сигнала должно
измениться путем перемещения магнитной ленты А относительно
ленты Б. Исследование данной реализации заканчивается после
того, как образ сигнала переместится на всю ее длину Т. Прак-
тически реализация и сигнал могут быть записаны на магнитных
барабанах, вращающихся с разными скоростями относительно
подвижных снимающих головок. Разность угловых скоростей
вращения барабанов должна быть значительно меньше скорости
их вращения
Коррелометр может быть построен также на основе оптической
схемы, в которой выполняется преобразование Фурье исходного
пространственного распределения сигнала и помехи, записанного
на входном транспаранте, освещаемом когерентным светом. По-
мещая в Фурье-плоскости второй транспарант, прозрачность
которого описывается функцией, сопряженной со спектром си-
гнала, можно получить произведение этой функции на исходный
спектр и судить о наличии сигнала в заданном пространственном
577
распределении но наличию светлого пятна в плоскости наблюде-
ния. Синтез комплексного сопряженного фильтра па втором транс-
паранте осуществляется методами голографии.
Оптический коррелометр (согласованный фильтр) дает воз-
можность не только обнаружить сигнал, но и точно указать его
положение на плоскости. В нем можно реализовать почти любую
передаточную функцию, так как условие физической осуществи-
мости на оптические системы не распространяется. Более под-
робные сведения об оптических системах фильтации можно найти
в специальной литературе.
4.3. Оптимальная фильтрация при окрашенном шуме
! В случае шума с произвольным спектром е (/), когда все по-
лученные зависимости, определяющие способы реализации опти-
мального фильтра, недействительны, тем не менее возможны пути
создания фильтра, приближающегося к оптимальному. Наиболее
простой путь заключается в приведении заданного шума к белому
шуму. Вначале подбирают фильтр, передаточная характеристика
которого удовлетворяет условию
I к (f) Г“«(0 = const.
На выходе этого фильтра шум будет белым, и тогда можно
применить рассмотренные выше способы оптимальной фильтра-
ции. При этом следует иметь в виду, что спектр сигнала, па ко-
торый необходимо рассчитывать оптимальный фильтр, изменится.
Он уже будет определяться не спектральной плотностью у (/),
а спектральной плотностью у' ([) = у (f)k1 (/).
Г лава 22
ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ВЫДЕЛЕНИЯ
ОПТИЧЕСКОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ
СЛУЧАЙНЫХ ПОМЕХ
§ 1. ВВОДНЫЕ 34МЕЧХНИЯ
В настоящее время основными способами выделения опти-
ческого сигнала на фоне случайных помех являются простран-
ственная и спектральная фильтрации. Пространственная филь-
трация основана на различии размеров и формы объекта наблю-
дения (цели) и фона, а спектральная фильтрация — на различии
их оптических спектров излучения. Несмотря на большое число
исследований, посвященных методам фильтрации, нельзя счи-
тать, что сегодня существует полная ясность в этих вопросах.
578
Это связано, главным образом, с двумя обстоятельствами. Во-
первых, многие фоновые ситуации не могут быть описаны нормаль-
ным законом распределения яркости фона, который обычно пред-
полагается заданным при вычислении дисперсии напряжения
шума па выходе усилителя по двумерному спектру Хинчина—
Випера. Однако только при нормальном законе распределения
линейный оптимальный фильтр является наилучшим из всех
возможных, в то время как при иных законах распределения это
положение может не соблюдаться и не-
линейная фильтрация может дать боль-
ший эффект. Это обстоятельство хоро-
шо иллюстрируется рис. 347, где пока-
ти сигнал от цели в виде прямо-
угольного импульса среди случайных
выбросов шума. Пропуская сигнал и
шум через дифференцирующее устрой-
ство и нелинейный элемент — ограни-
читель амплитуды, можно получить лю-
бое произвольное улучшение отноше-
ния сигнала к шуму, по сравнению
с линейным оптимальным фильтром.
К сожалению, такие часто встречаю-
щиеся фоновые ситуации, как небо, по-
крытое редкими облаками, края кото-
рых освещены Солнцем, солнечная до-
рожка на поверхности моря и т. д., не
могут быть описаны нормальным зако-
ном распределения. Во многих случаях
их нельзя считать стационарными и
эргодическими процессами, а в боль-
шинстве случаев распределение яркости
природных образований анизотропно.
Второе обстоятельство, определяющее принципиальные за-
труднения при разработке оптимальных методов фильтрации,
заключается в существовании связи между пространственным и
спектральным распределением яркости поля излучения. Напри-
мер, ширина солнечной дорожки на поверхности моря оказывается
различной в зависимости от того, в какой области спектра она
измеряется. Собственное излучение любого объекта, имеющего
низкую температуру, является длинноволновым, а отраженное,
обусловленное солнечной подсветкой,— коротковолновым, и если
отдельные части поверхности объекта по-разному участвуют в
формировании этих двух составляющих его излучения, то образ
объекта будет различным в разных спектральных диапазонах.
Еще большие трудности возникают при очень быстром сканиро-
вании поля излучения многоканальной приемной системой, каж-
дый канал которой работает в своем спектральном диапазоне.
Ограниченное число фотонов, приходящих от данной точки
Рис. 347. Идеализированный
пример выделения сигнала из
шума в нелинейном устрой-
стве:
— импульсы сигнала и шума;
и2 — сигнал и шум на выходе
идеального дифференцирующе-
го устройства; и3 — сигнал на
выходе порогового устройства,
следующего за дифференцирую-
щим устройством; 1 — сигнал;
2 — шум; 3 — порог ограниче-
579
анализируемого пространства, может оказаться определяющим
при вычислении взаимной корреляции излучения в соседних спек-
тральных диапазонах. Все эти ограничения большей частью
не учитываются, прежде всего вследствие громоздкости матема-
тического аппарата, необходимого для их описания. Между тем,
в ряде случаев результаты упрощенного анализа оказываются
не только неточными, но и принципиально неверными. Известно,
в частности, что если вычислять максимум отношения сигнала
к шуму, считая, что спектры излучения цели и фона полностью
определены (детерминированы), то результат приводит к парадок-
сальному выводу о целесообразности использования фильтра
с бесконечно узкой полосой пропускания.
Тем не менее некоторые полезные рекомендации, направлен-
ные на оптимизацию способов выделения оптического сигнала
из случайных помех, могут быть сделаны на основании прибли-
женных методов при условии критического анализа полученных
результатов на основе экспериментальных данных.
§ 2. МЕТОДЫ УЧЕТА ВЛИЯНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
ЕСТЕСТВЕННОГО ФОНА НА РАБОТУ
ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ.
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИИ.
РОЛЬ МОДУЛЯЦИИ
Влияние излучения фона на работу оптико-электронного
прибора оказывается различным в зависимости от характера
распределения яркости фона в пространстве. Яркость фона может
распределяться равномерно и неравномерно. Она может опреде-
ляться внешними источниками излучения и источниками, распо-
ложенными внутри прибора.
2.1. Равномерный фон
Равномерно излучающий фон вызывает засветку приемника
и снижает контраст объекта по отношению к окружающему про-
странству. Пороговый поток (эквивалентная мощность шума)
любого приемника ухудшается (возрастает) при наличии засветки,
причем это ухудшение можно оценить некоторыми коэффициен-
том qr > 1, являющимся функцией постоянного потока излуче-
ния фона Ф
Ях = 91 (%);
фф = лВф51П2н'Т0Япр,
где Вф — яркость фона; а„р — эффективная площадь чувстви-
тельной площадки приемника излучения; и', То — задний апер-
турный угол и коэффициент пропускания оптической системы.
Следовательно, если Ф* (Фф) представляет собой удельный
пороговый поток фотоприемпика при облучении его потоком
580
Фф, а Фп — удельный пороговый поток при отсутствии засветки,
то
Ф* (<1>ф) =
Наряду с ухудшением параметров приемника излучения по-
ток излучения от фона уменьшает величину полезного сигнала.
Действительно, при наличии в поле зрения прибора объекта
наблюдения и фона на приемник будет поступать поток излуче-
ния, представляющий собой сумму двух составляющих: потока
от объекта и потока от части фона, которая не экранируется
объектом. Поэтому прибор будет реагировать не на весь поток
излучения объекта, а лишь на его приращение над уровнем фо-
нового потока. Действительно, можно найти эффективный поток
излучения от объекта наблюдения (цели)
и эффективный поток излучения от фона
<1>Ф = Яф-Т^’
где Ац — площадь цели, Аф — площадь, занимаемая фоном
в поле зрения прибора.
Площадь фона при отсутствии цели
Лф = а,,р (L/f)2,
где f — заднее фокусное расстояние объектива.
При наличии цели площадь, занимаемая фоном, определяется
выражением
Иф = £7Пр (l'if
Суммарный поток излучения от цели и фона (при наличии цели)
равен
, , АИоб
фц = Фц -|- Фф ' — Вц jj. -J- Вф —
--4^ [АЛВц - в*) + в* ]
Изменение потока излучения в процессе сканирования (по-
лезный сигнал)
Аф (Г>; - фф .= (Вц - Вф) A^/L" -= Л&Моб/Ь2.
Последнее выражение определяет величину превышения по-
тока излучения от цели над уровнем фона, на которое необходимо
ориентироваться при расчете параметров прибора.
Если в приборе используется модуляция излучения, конструк-
ция модулятора (рисунок растра) должна обеспечивать подав-
ление сигнала от равномерного фона. Эта задача является самой
581
простой и может быть решена при правильном выборе конструк-
ции фазирующей (непрозрачной) части растра. Если модули-
рующая часть растра состоит из чередующихся прозрачных и
непрозрачных секторов, а фазирующая часть является непрозрач-
ным полукругом, то в результате модуляции образуются несим-
метричные пачки чередующихся импульсов лучистого потока
(рис. 154, а) и в спектре сигнала будет существовать составля-
ющая частоты вращения растра, определяемая излучением рав-
Рис. 348. Оптическая схема радиометра без эталонного
источника. К вычислению побочного измерения:
1 — сканирующее зеркало; 2, 3 — зеркала объектива; 4 — мо-
дулятор (прерыватель) излучения; 5 — диафрагма; 5 — охлаж-
даемый экран; 7 — приемник излучения; 8 — внутренняя по-
лость оптической головки; 9 — исследуемый объект
номерного фона. Если обеспечить постоянство среднего значения
потока излучения, проходящего через растр за его полный обо-
рот, пачки импульсов будут симметричны относительно оси вре-
мени, как показано на рис. 154, б, и гармоника сигнала, связан-
ная с равномерным фоном, будет отсутствовать. Это достигается
изготовлением фазирующей части растра с прозрачностью, равной
средней прозрачности модулирующего полукруга (50%). Такой
растр не будет модулировать равномерный фон. Его конструкции
показаны на рис. 155, а и б.
При измерении с помощью И К-радиометров излучения тел,
температура которых близка к температуре окружающей среды,
необходимо считаться с влиянием дополнительных — побочных
потоков излучения, падающих на приемник. Эти потоки обуслов-
лены, во-первых, собственным излучением элементов оптической
системы, во-вторых, излучением, отраженным или рассеянным
оптическими элементами внутренней полости оптической головки
радиометра, объектов и фона, находящихся вне поля зрения
прибора.
582
Величина побочных потоков излучения изменяется с измене-
нием температуры окружающей среды, следовательно, результаты
измерений будут также зависеть от нее.
Одна из возможных оптических схем сканирующего ИК-радио-
метра приведена на рис. 348. Рассматриваемая схема отличается
тем, что в ней отсутствует эталонный источник излучения. При
наличии эталонного излучателя, как, например, в ранее упомяну-
той камере Барнса, на приемник поочередно направляется поток
излучения от объекта и эталонного излучателя, что дает возмож-
ность производить измерения потоков методом компенсации,
не заботясь о стабильности чувствительности приемника излу-
чения и коэффициента усиления электронного тракта. В случае
отсутствия излучателя сравнения повышаются требования к ста-
бильности этих элементов, но зато облегчается возможность
достижения более высокого быстродействия радиометра. Эта
возможность определяется тем, что для увеличения быстродейст-
вия необходимо расширение полосы пропускания электронного
тракта несущей частоты сигнала, которая равна частоте преры-
вания модулятором потока излучения объекта.
Повышение несущей частоты в основном должно достигаться
путем увеличения скорости вращения диска модулятора, а не
числа его ламелей, так как всегда имеет место паразитная моду-
ляция, основная гармоника которой равна частоте вращения
диска.
Последующее подавление этой модуляции возможно при усло-
вии, если ее частота больше высших частот спектра сигнала,
определяемых динамикой регистрируемых процессов.
Для достижения высоких скоростей вращения диска модуля-
тора, при практически приемлемых затратах мощности, послед-
ний должен иметь небольшие размеры. Существенно уменьшить
их удается лишь при установке модулятора как можно ближе
к приемнику излучения, где диаметр прерываемого потока излу-
чения минимален. По этим соображениям, в ряде случаев прихо-
дится отказываться от использования в оптической схеме эталон-
ного пзучателя сравнения и строить радиометр по схеме, приве-
денной на рис. 348.
Следует отметить, что излучатель сравнения не избавляет
ИК-радиометр от влияния побочных потоков излучения и необ-
ходим либо учет этого влияния, либо принятие специальных мер,
его устраняющих.
2.2. Влияние побочного излучения
на работу радиометра
Оценим степень влияния побочного излучения на работу
радиометра, построенного по схеме, приведенной на рис. 348.
Напряжение сигнала на зажимах приемника излучения при вра-
щении модулятора пропорционально разности потоков, падающих
583
па приемник в моменты, когда модулятор пропускает поток из-
лучения объекта и когда этот поток перекрыт ламелью моду-
лятора.
Рассмотрим, из каких компонентов складывается эта разность,
принимая во внимание только потоки, падающие на приемник
в пределах апертурного угла так как излучение, приходящее
под углами, большими и'г, не участвует в создании сигнала,
вырабатываемого приемником, а действует как постоянная за-
светка, снижая его чувствительность.
Когда модулятор пропускает излучение объекта, поток излу-
чения, падающий на приемник, равен
Ф, = ФО64-ФО.С + ФОО,
где Фоб — подлежащий измерению поток излучения, испускае-
мый той частью объекта наблюдения, которая находится в поле
зрения радиометра; Фо.с— поток излучения, определяемый соб-
ственным излучением сканирующего зеркала, а также большого
и малого зеркал объектива; ФОф0 — падающий на приемник
поток излучения, обусловленный зеркальным и диффузным отра-
жением элементов оптической системы излучения, объектов и
фона, находящихся вне поля зрения радиометра, а также зеркаль-
ным и диффузным отражением излучения внутренней полости
прибора.
Если излучение объекта наблюдения перекрыто ламелью моду-
лятора, то поток, падающий на приемник, равен
Ф2 = Фм.с-|-Фм.о.
где Фм.с—поток, определяемый собственным излучением моду-
лятора, Фм.о — поток излучения, отраженный модулятором.
Разность потоков Фх и Ф2 (сигнал на зажимах приемника
излучения пропорционален этой разности) равна
= Ф2 = Фоб +- Ф„. с + Ф„. „ - Ф„. с ~ Ф„. ...
Напишем последнее выражение в виде
Ф = Фоб Фдоп,
где
Фдоп = Фо. с 4 Фо. о - Фм. е - Фм- о-
Слагаемые правой части могут быть представлены в следующем
виде:
Фоб -= «нр^обоб^об (sin2u'i — sin2«2),
где апр — площадь чувствительного элемента приемника из-
лучения; То — коэффициент пропускания оптической системы;
еоб — излучательная способность объекта; /?об — эффективная
энергетическая светимость черного тела, температура которого
584
равна температуре объекта, применительно к выбранному при-
емнику;
Фо с = anpR3 [е3 sin2 м2 -Т Зев (sin2 и\ — sin2w2)L
где R3 — эффективная энергетическая светимость черного тела,
температура которого равна температуре зеркала; е3 — излуча-
тельная способность зеркала;
Фо. о == ^прРз^п^п Sin W2,
где р3 = (1 — е3) — коэффициент отражения зеркала; еп — из-
лучательная способность полости прибора; Rn — эффективная
энергетическая светимость черного тела, температура которого
равна температуре внутренней полости прибора;
Фм. с == ^пр^з^м Sin- W],
где /?м — эффективная энергетическая светимость черного тела,
температура которого равна температуре модулятора;
Фм. о = «прЕдРэРзЯд (sin! Щ — Sin Из),
где ед — излучательная способность диафрагмы; рэ — коэффи-
циент отражения экрана; 7?д — эффективная энергетическая све-
тимость абсолютного черного тела, температура которого равна
температуре диафрагмы.
Выражения для Фоб, Фо. с, Фо.о, Фм. с, Фм. о получены при
следующих допущениях:
а) коэффициенты излучения объекта, зеркал и внутренней
полости оптической головки в диапазоне чувствительности при-
емника постоянны;
б) расстояние между радиометром и объектом не превышает
нескольких метров и поглощением атмосферы можно прене-
бречь;
в) потоками, попадающими на приемник излучения вследствие
диффузного рассеяния зеркальными поверхностями излучения
внешних и внутренних источников, можно пренебречь;
г) величина потока, отраженного модулятором на приемник
излучения, определяется энергетической светимостью поверх-
ности диафрагмы, тогда получим
Фдоп ==: ^пр { [е3’ sin2 и', 4- Зе3 (sin2 и\ — sin2 ы2)] R3 -}-
р3Рп₽п sin2 и2 — е3/?м sin2 Щ — Едрэр3/?д (sin «1 — sin мч)}.
Допустим, что температура всех элементов оптической го-
ловки одинакова и равна температуре окружающей среды. Такое
допущение возможно в том' случае, если теплоемкости этих эле-
ментов близки, а температура окружающей среды изменяется
медленно.
585
В этом случае
Фдоп ^пр^?з 1(е3 - рз^п) 81Г1 W2 Д' Зе3 (sin^Mi 1П W2)
— Е3 Sin и{ — ЕдРэрз (sin «I — sin2Из)].
Чтобы оценить влияние изменения температуры окружающей
среды, найдем отношение приращений потоков Фоб и ФДОп,
если температура окружающей среды и объекта одинакова и
изменяется на одну и ту же величину, т. е.
/?об I — Я3ь Коб 2 — ^зг-
Так как
ДФоб === Фоб 2 Фоб 1 == ^пр^О^об (sin U\ Sin Н2) (R06 2 Коб 1),
ДФдоп '= Фдоп 2 Фдоп 1 = ^пр [(^з _|~ Рз^п) Sin W2 Д~
|- Зе3 (sin2 U[ — sin2 «2) — £3 sin2 «i —
— £дРэрз (sin «1 — sin М3) (R32 — /?31);
(ез + Рзеп) sin2 «2 + Зез (sin2 Ul — sifi2 “2) —
ЛФдоп = - £3 sin2 u\ - 8дрэр3 (sin2 u\ - sin2 <)
ЛФ06 T0£o6 (sin2 u\ — Sin2 «')
Для рассматриваемого случая примем
боб = 1, е3 =0,1, р3= l-e3 = o,9, То=рЗ=0,73,
рэ — 0,9, гп = 0,8, Hi = 22 , «2=П, «з = 3 .
Тогда, если ед = 0,8, то ДФдоп/ДФоб = —0,56; при ед = 0,1Х
ХДФДО11/ДФО6 = 0,48.
Из полученного следует, что чувствительность радиометра
к изменению температуры окружающей среды в том и другом
случаях всего*лишь в два” раза меньше, чем чувствительность
к изменению температуры объекта, т. е изменение температуры
окружающей среды па 10° внесет ошибку в показания прибора,
равную - 5°. При Ед = 0,8 увеличение темперетуры окружающей
среды вызовет изменение показаний прибора, эквивалентное
уменьшению температуры объекта, а при ед = 0,1 — возрастанию
температуры объекта.
Таким образом, наличие в ИК-радиометре побочных потоков,
излучаемых или отражаемых на приемник излучения элементами
оптической системы, может обусловливать зависимость резуль-
татов измерений потоков ПК-излучения низкотемпературных
объектов от температуры окружающей среды. Эту зависимость
необходимо учитывать или принимать меры, устраняющие ее.
586
2.3. Неравномерный фон
Значительно более сложно осуществить выделение цели на
неравномерном фоне, так как действие такого фона равносильно
облучению приемника флуктуирующим потоком излучения.
Если спектр Хинчина—Винера распределения яркости нерав-
номерного фона неизвестен, общее представление о характере
процесса можно получить на основе следующих соотношений.
Пусть ДБ2 — дисперсия пространственного распределения
яркости фона (или просто квадрат перепада яркости ДВ двух
соседних фоновых образований, например освещенное облако —
безоблачное небо). Тогда дисперсия флуктуаций потока излучения,
падающего на приемник,
ДФ2 = | jT7’t) siir пТ/ир]2 ДВ2.
Дисперсия флуктуаций электрического сигнала, вырабатывае-
мого приемником и его цепью включения, определяется внутрен-
ними шумами приемника и шумом фона
Цщ == Н.Щ вп -j - ДФЛВрр.
Удельная эквивалентная мощность шума приемника (площадь
приемника 1 см2, полоса пропускания 1 Гц) с учетом воздействия
неравномерного потока излучения Фф ± ДФ равна
Фп (Фф . Дф) = "|/ ^'ш/Впр — 4ll. пН/Вцр ДФ .
Так как и2ш. вн и Впр должны определяться с учетом воздействия
на приемник засветки Фф, то
Фц (Фф) -- ВН / Вир,
следовательно,
Ф.,(Фф [- ДФ)=Ф* (Фф)К 1 + ДФ2/Ф?(Фф),
или
ф*,(Фф । дФ) = </Л>п(Фф),
где
q2 = q<> (Фф + ДФ) - К1 + ДФ^/Ф? (<1»ф) =- 4 ДФ2/^Фп2-
Множитель q2 учитывает увеличение порогового потока при-
емника, связаное с неравномерным излучением фона. В итоге,
учитывая влияние засветки и неравномерного фона, найдем
Фп (Фф 4 АФ) == ^1^2Фц>
где Фп — удельный пороговый нигок фото приемника, реализуе-
мый при поиске и обнаружении цели па неизлучающем фоне.
587
Так как в уравнения дальности и чувствительности прибора
входит величина обнаружительной способности D*, обратная
удельному пороговому потоку, то с учетом действия засветки
и неравномерного фона можно записать
D^D*/^.
«Можно несколько по-другому подойти к решению задачи
учета неравномерного фона. Пусть поле зрения прибора Q, яркость
равномерного фона Вф, сила света малоразмерной пели /, яркость
цели Вц, пространственный угол цели Пц.
Освещенность входного зрачка прибора при отсутствии цели
равна ВфП. При появлении цели опа изменяется на величину
ВЦПЦ — ВфПц «=? ВЦИЦ — I/L2. Следовательно, условием обна-
ружения цели на равномерном фоне является превышение вели-
чины I/L2 над величиной ВфП. Для улучшения условия обнаруже-
ния, очевидно, необходимо уменьшать поле зрения прибора Q
до угловых размеров цели Пц.
При неравномерном распределении фона в пространстве
задача обнаружения изменяется. Максимальное значение изме-
нения освещенности от фона в процессе сканирования равно
QBmax — ЙВт1п < ПВтах, причем знак равенства относится
к случаю, когда Bmln —> 0. С другой стороны, минимальная раз-
ница в освещенностях при наличии цели равна I/L2 — ЙВП1ах.
Следовательно, можно найти, что в худшем случае условием
обнаружения является
IIL2 НВтах £2ВП1ах,
т. е.
7/L2 > 2QBmax = (с/ш) 2QBinax,
где с/ш — необходимое отношение сигнала к шуму.
Следовательно,
Q = [//(2£2Вп1ах)] (с/ш).
Вычисление поля зрения из полученной формулы предъявляет
излишне высокие требования к системе, так как формула не учи-
тывает пространственного спектра неравномерностей фона и того,
что прибор пропускает не все составляющие этого спектра.
С Если двумерный спектр Хинчина—Винера для пространствен-
ного распределения яркости фона известен, то расчет спектраль-
ной плотности шума на входе электронной части прибора может
проводиться по формуле
Е(Л = Евп(/)-г-ЕФ11(/),
где Евн (/) — спектральная плотность шума приемника излуче-
ния, задаваемая паспортом приемника; Еф (/) — спектральная
плотность шума фона, расчет которой производится по данным
гл. 19 § 3.
При наличии только внутреннего шума модуляция потока
излучения может обеспечить выигрыш лишь при окрашенном
588
шуме. Для белого шума модуляция всегда ведет к потере в отно-
шении сигнала к шуму. Для окрашенного шума на частоте мо-
дуляции спектральная плотность шума может оказаться много
меньше, чем в области спектра немодулированного сигнала.
Величина выигрыша будет существенно зависеть от спектров шума
и сигнала, а также от глубины модуляции.
При наличии шума фона модуляция является одним из эффек-
тивных средств предварительного выделения сигнала. Растры Би-
бермана (см. рис. 155) позволяют осуществить пространственную
фильтрацию при небольших градиентах фона. Конструкция этих
Рис. 349. Спектр сигнала от фона (а) и от фона при наличии
цели (6) для секторного растра с модулирующим и фазирую-
щим полудисками:
1 — при непрозрачном фазирующем полудиске; 2 — при полупро-
зрачном фазирующем полудиске, Fo — частота вращения растра;
fo — частота модуляции; и — выходное напряжение
растров учитывает, что резкие перепады яркости фона встречаются
редко, поэтому в сигнале от фона почти отсутствуют гармоники
выше восьмой. В то же время экспериментальные исследования
характера сигналов от целей типа самолетов показали, что в со-
став этих сигналов входят гармоники с частотой в 20 раз больше
основной частоты. Поэтому растры Бибермана сконструированы
с таким расчетом, чтобы сигнал от цели состоял из гармоник выше
восьмой (от частоты вращения растра), чем и обеспечивается
подавление сигнала от фона. Как уже было рассмотрено, растр
состоит из двух полукругов, причем одна половина для модуля-
ции сигнала от цели состоит из чередующихся прозрачных и не-
прозрачных секторов одинакового размера.
Вторая половина является полупрозрачной и служит для от-
счета фазы огибающей.
На графиках рис. 349 показано, как выглядит спектр шума
фона и спектр сигнала от цели для растров этой конструкции.
Протяженный градиент фона (горизонт, ровный край облака)
радиальным растром ие подавляется. Поэтому пришлось секторную
589
модулирующую часть растра изготовить в виде чередующейся
структуры типа шахматной доски (см. рис. 158). Характе-
ристики такого растра для точечного изображения цели не отли-
чаются от характеристик секторного растра. Однако растр в виде
шахматной доски не будет модулировать протяженную деталь
фона, поскольку смежные клетки будут давать сигналы в проти-
вофазе. Если же изображение цели попадает на линию раздела
чередующихся клеток, глубина модуляции потока уменьшается.
В связи с этим Дэвис предложил растр с зигзагообразными сек-
торами (рис. 157), обладающий многими свойствами растра типа
шахматной доски. В целом метод выбора растра является полу-
эмпирическим, так как исчерпывающие статистические данные
о ([юно в большинстве случаев отсутствуют.
Сущность спектральной фильтрации чаще всего состоит в вы-
боре такого участка оптического спектра, для которого отноше-
ние сигнала от цели к сигналу от фона является наибольшим.
Другим средством спектральной фильтрации является образова-
ние отношения двух сигналов, полученных в различных участках
спектра от одной и той же точки поля излучения. Если величина
этого отношения для объекта наблюдения известна, можно выде-
лить его на фоне других излучателей.
Наиболее часто возникает задача выделения излучения сла-
бонагретых объектов на фоне отраженного солнечного света.
В этом случае прежде всего используют отрезающие фильтры,
обеспечивающие подавление мощного коротковолнового излуче-
ния. В длинноволновой области спектра сигнал от цели оказы-
вается уже соизмеримым с сигналом от фона. Для дальнейшей
селекции используются двухканальные системы, построенные так,
что в одном канале существуют сигналы и от цели, и от фона
(например, в спектральном диапазоне 7,5—12 мкм), а в дру-
гом канале — только от фона (например, в области 2—3 мкм).
При наличии хорошей корреляции сигналов от фона в двух кана-
лах возможно осуществить их вычитание, что позволяет суще-
ственно увеличить отношение сигнала от цели к сигналу от фона.
В простейших случаях оценку качества спектральной фильтра-
ции можно проводить сравнивая величину эффективной спектраль-
ной ширины полосы пропускания прибора ЛХзф для цели и для
фона. При введении в схему прибора оптического фильтра с за-
данными спектральными характеристиками изменяются значе-
ния ДХЭф не только для фона, но и для цели. Задача заключается
в том, чтобы путем выбора фильтра добиться максимального
уменьшения сигнала от фона при небольшом уменьшении сигнала
от цели. Однако необходимо всегда иметь в виду, что использо-
вание любой фильтрации приводит к уменьшению абсолютной
величины сигнала и система, рассчитанная на работу в слож-
ных фоновых условиях, должна иметь запас чувствительности,
который будет израсходован средствами подавления помех
фона.
590
Самым распространенным средством спектральной фильтра-
ции являются оптические фильтры, поскольку спектральная
избирательность других оптических элементов прибора, как пра-
вило, не удовлетворяет условию оптимизации рабочего спек-
трального диапазона прибора. Фильтры бывают двух типов:
абсорбционные, использующие эффект поглощения в красителях,
пластмассах и оптических материалах, и отражательные, или
интерференционные фильтры, не поглощающие, а отражающие
излучение нежелательных длин волн. Современные интерферен-
ционные фильтры могут иметь почти любую требуемую характе-
ристику пропускания. Фильтры могут быть полосовые и отре-
зающие. Полосовые фильтры хорошо пропускают излучение в пре-
делах определенной полосы длин волн, окруженной областями,
где излучение практически не пропускается. Центр полосы про-
пускания характеризуется длиной волны Хо, расположенной
в середине полосы. Полуширина полосы — это область длин
волн, в которой пропускание превышает 50% максимального
пропускания фильтра. Отрезающие фильтры пропускают излу-
чение всех длин волн, которые короче или длиннее данной, на-
зываемой граничной Хгр. Обычно Хгр определяют по 5% -ному пропу-
сканию от максимального, которое, в свою очередь, определяется
в процентах, причем за 100% принимают пропускание подложки,
на которую нанесен фильтр. Крутизну кривой пропускания на
границе характеризуют разностью между Хгр и ХрР, соответству-
ющей 80%-ному пропусканию от максимального, и выражают
в десятичных долях Хгр. Отрезающие абсорбционные фильтры
имеют пологую границу пропускания с типичной крутизной
наклона 0,7 1гр. Интерференционные фильтры могут иметь кру-
тизну наклона порядка 0,05Хгр.
Для спектральной области 1—13 мкм можно получить полосо-
вые фильтры с полушириной (0,02ч-0,5) Хо и максимальным про-
пусканием свыше 80%. В области 1—5 мкм можно получить
полуширину до 0,01 Хо, но при меньшем максимальном пропу-
скании, ограниченном 35—40%. Отрезающие фильтры могут
быть изготовлены с любым значением Хгр в диапазоне 1—30 мкм
с крутизной до 0,05Хгр. Максимальное пропускание в области
I 10 мкм около 65%.
Необходимо иметь в виду, что интерференционные фильтры
имеют вторичные полосы пропускания, которые можно уменьшить
при изготовлении до 1%.
Абсорбционные фильтры поглощают излучение в тех областях
спектра, в которых они его не пропускают, и вследствие этого
могут сильно нагреваться во время работы. Поток излучения,
не пропускаемый интерференционными фильтрами, отражается,
и нагрева фильтра не происходит.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Учебники, и учебные пособия
1. Вафиади В. Г. Фотоэлектрическая автоматика. Минск, «Высшая школа»,
1966. 207 с.
2. Волосов Д. С., Цивкин М. В. Теория и расчет светооптических систем.
М., «Искусство», 1960. 526 с.
3. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. М , «Советское
радио», 1971. 672 с.
4. Кризе С. Н. Усилительные устройства. М., «Связь», 1968. 335 с.
5. Лазарев Л. П. Инфракрасные и световые приборы самонаведения и наве-
дения летательных аппаратов. М., «Машиностроение», 1976. 568 с.
6. Якушенков Ю. Г. Основы теории и расчета оптико-электронных прибо-
ров. М., «Советское радио», 1971. 336 с.
Монографии и сборники трудов
7. Брамсов М. А. Инфракрасное излучение нагретых тел. М., «Наука»,
1964. 223 с.
8. Гуревич М. М. Введение в фотометрию. Л., «Энергия», 1968. 244 с.
9. Зверев В. А., Орлов Е. Ф. Оптические анализаторы. М., «Советское
радио», 1971. 240 с.
10. Ивандиков Я. М. Оптико-электронные приборы для ориентации и нави-
гации космических аппаратов. М., «Машиностроение», 1971. 200 с.
11. Изнар А. Н., Павлов А. В., Федоров Б. Ф. Оптико-электронные приборы
космических аппаратов. М., «Машиностроение», 1972. 368 с.
12. Катыс Г. П. Автоматическое сканирование. М., «Машиностроение»,
1969. 518 с.
13. Криксунов Л. 3., Усольцев И. Ф. Инфракрасные системы. М., «Совет-
ское радио», 1968. 320 с.
14. Левшин В. Л. Пространственная фильтрация в оптических системах
пеленгации. М., «Советское радио», 1971. 200 с.
15. Марков М. Н. Приемники инфракрасного излучения. М., «Наука»,
1968. 168 с.
16. Международный электротехнический словарь. Группа 45: Освещение.
Женева, 1970. 311 с.
17. Николаев С. М. Оптико-электронные радиометры космических аппара-
тов. М., «Машиностроение», 1971. 184 с.
18. Павлов А. В., Черников А. И. Приемники излучения автоматических
оптико электронных приборов. М , «Энергия», 1972. 240 с.
19. Радиационные измерения температур слабонагретых тел. Под реД.
В Г Вафиади и М. М. Мирошникова. Минск, Изд. БГУ им. В И. Лепина, 1969.
195 с.
592
20. Сборник статен, посвященный 80-летию со дня рождения академика
Л Л. Лебедева. Под ред. М. М. Мирошникова. Л , «Машиностроение», 1973.
570 с.
21. Свечников С- В. Элементы оптоэлектроники. М., «Советское радио»,
1971. 272 с.
22. Соболева Н. А., Берковский А. Г., Чечик Н. О. Фотоэлектронные при-
боры. М., «Наука», 1965. 592 с.
23. Тепловидение в медицине. Труды первой научной конференции по про-
блеме «Тепловидение в медицине». Под ред. Г. Д. Шушкова и М. М. Мирошни-
кова. Л., ГОИ, 1972. 159 с.
24. Харкевич А. А. Спектры и анализ. М., Госиздат физико-математической
литературы, 1962. 236 с.
25. Шестов Н. С. Выделение оптических сигналов па фоне случайных помех.
М., «Советское радио», 1967. 347 с.
Переводная иностранная литература
26. Биберман Л. М. Растры в электрооптических устройствах. Пер. с англ.
М., «Энергия», 1969. 160 с: 1 г ’
27. Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. Пер. с англ. М.» «Мир», 1970.
364 с.
28. Джемисон Дж. Э., Мак-Фи Р. X., Пласс Дж. Н., Физика и техника инфра-
красного излучения. Пер. с англ. М., «Советское радио», 1965 642 с.
29. Квазиус Г., Маккэнлесс Ф. Проектирование систем астронавигации.
Пер. с англ. М., «Мир», 1970. 304 с.
30. Круз П., Макглоулин Л., Макквистан Р. Основы инфракрасной техники.
Пер. с англ. М., «Воениздат», 1964. 463 с.
31. О'Нейл Э. Введение в статистическую оптику. Пер. с англ. М., «Мир»,
1966. 254 с.
32. Смит Р., Джонс Ф., Чесмер Р. Обнаружение и измерение инфракрасного
излучения. Пер. с англ. М., «Иностранная литература», 1959.
33. Хадсон Р. Инфракрасные системы. Пер. с англ. М., «Мир», 1972. 534 с.
34. Хэкфорд Г. Л. Инфракрасное излучение. Пер. с англ. М —Л., «Энергия»,
1964. 336 с.
35. Шоль Ж-, Марфан И., Мюнш М., Комбет П. Приемники инфракрасного
излучения. Пер. с франц. М., «Мир», 1969. 283 с.
Государственные стандарты
36. ГОСТ 7601—55. Физическая оптика. Обозначения основных величин
М., Издательство стандартов, 1972. 10 с.
37. ГОСТ 19852—74. Фоторезисторы. Фотодиоды. Фототранзисторы. Фото-
электрические параметры и характеристики. Термины, определения и буквенные
обозначения. М., Издательство стандартов, 1974. 31 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..................................................... 3
ВВЕДЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИНЦИПЫ РАБОТЫ, ЭЛЕМЕНТЫ
И ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ
§ 1. Определение и классификация оптико-электронных приборов 6
§ 2. Обобщенная схема оптико-электронного прибора............ 8
§ 3. Краткие сведения об элементах обобщенной схемы оптико-
электронного прибора ....................................... 9
3.1. Источники излучения и промежуточная среда . ...
3.2. Оптическая система................................ 10
3.3. Приемники излучения (определение и классификация) 13
3.4. Усилитель и другие элементы электронного тракта .... 17
§ 4. Основные характеристики оптико-электронных приборов . 19
§ 5. Системы обзора и анализа поля излучения (определение и клас-
сификация) ................................................ 21
§ 6. Несканирующие системы обзора и анализа поля излучения
простейшего типа (энергетические)........................
§ 7. Несканирующие системы, создающие изображение .... 23
§ 8. Обзор и анализ поля излучения за счет сканирования .... 26
§ 9. Растровые анализаторы поля излучения.................... —
ЧАСТЬ I
СКАНИРОВАНИЕ
Глава 1. Случайный поиск........................................ 28
Глава 2. Траектории сканирования при регулярном поиске (типы раз-
верток) ......................................................... 34
§ 1. Траектории сканирования при колебательно-вращательном
движении сканирующего поля ..............................
§ 2. Траектории сканирования при вращательно-вращательном
движении сканирующего поля ..............................
§ 3. Траектории сканирования при колебательных перемещениях
сканирующего поля в двух взаимно перпендикулярных на-
правлениях, траектория сканирования «гусеница» и следя-
щая развертка............................................
594
I л а в и 3. Способы сканирования при регулярном поиске (типы скани-
рующих устройств) .................... ... 43
§ I. Сканирование электронным лучом ........................ 44
1.1. Основные принципы. Системы мгновенного действия и си-
стемы с накоплением ................................... ......
1.2. Диссектор ........................................... 45
1.3. Видикон ........................................... 47
§ 2. Сканирование световым лучом............................ 48
§ 3. Оптико-механическое сканирование. Определение, классифи-
кация, приборы со сканированием за счет движения всей
оптической системы.......................................... 49
Глава 4. Сканирование зеркалами 52
§ 1. Основные положения ..................................... —
1.1. Сканирование в пространстве предметов и изображений —
1.2. Связь углов установки сканирующего зеркала с углом
поля обзора .............................................. 53
1.3. Размеры сканирующих зеркал........................... 56
1.4. Расфокусировка при сканировании зеркалом в пространстве
изображений .............................................. 59
1.5. Типы сканирующих зеркал............................. 60
1.6. Траектория сканирования плоским зеркалом ............ 61
1.7. Примеры сканирующих устройств — тепловизоры «Рубин»,
«Филин» и камера Барнса............................. 63
§ 2. Сканирование многогранными вращающимися зеркалами
в оптико-электронной аппаратуре для картографирования и
обзора местности ........................................... 66
2.1. Принцип действия аппаратуры.......................... —
2.2. Поле обзора и угловой размер строки................. 72
2.3. Скорость сканирования и минимальная длительность
импульса.................................................. 73
2.4. Быстродействие коммутатора .......................... 75
§ 3. Коэффициент использования и габаритные размеры много-
гранного сканирующего зеркала .............................. 77
3.1. Сканирующая призма.................................... —
3.2. Сканирующая пирамида................................. 86
§ 4. Двухканальные схемы сканирования....................... 90
§ 5. Траектория сканирования многогранными вращающимися
зеркалами................................................... 92
§ 6. Чересстрочное сканирование в системе с многоэлементным
приемником.................................................. 95
§ 7. Сканирование зеркалом, вращающимся вокруг оси, неперпеп-
дикулярпой к нему .... 99
Глава 5. Сканирование преломляющими элементами—плоскопарал-
лельной пластинкой и призмой ....................... 104
§ 1. Соотношения, определяющие закон сканирования . —
§ 2. Примеры сканирующих устройств — тепловизоры фирмы АГА 113
Глава 6. Сканирование вращающимися объективами и оптическими
клиньями. Экранирующие системы и системы с изменяю-
щимися оптическими свойствами .... 119
§ 1. Сканирование вращающимися объективами................... —
§ 2. Сканирование оптическими клиньями..................... 123
§ 3. Сканирование отверстием в непрозрачном экране, движущемся
в плоскости изображения ................................... 126
§ 4. Сканирование путем управления оптическими свойствами
деталей, входящих в оптическую систему..................... 131
595
ЧАСТЬ II
РАСТРОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ
Г лава 7. Измерительные свойства растров (кодирование и декодиро-
вание информации в системах с растровыми анализаторами) I33
§ 1. Классификация и принцип действия растровых анализаторов —
§ 2. Амплитудная модуляция................................... 136
§ 3. Частотная модуляция................................... 140
§ 4. Фазовая модуляция .................................... 143
§ 5. Амплитудно-частотная модуляция ......... 153
§ 6. Импульсно-частотная модуляция ......... 157
§ 7. Амплитудно-фазовая модуляция ........................... 162
§ 8. Частотно-фазовая модуляция.............................. 172
§ 9. Импульсная модуляция.................................. 174
Глава 8. Преобразование растром пространственного распределения
излучения в функцию времени......................................... 179
§ 1. Структура и спектр модулированного потока излучения ... —
§ 2. Гармоническая модуляция излучения. Ошибки модуляции.
Модуляция кратковременных импульсов (вспышек) излучения 187
2.1. Идеальный гармонический модулятор...................... —
2.2. Ошибки изготовления растра — модулятора излучения 188
2.3. Спектр модулированного излучения с учетом ошибок изго-
товления растра ........................................... 195
2.4. Спектры Фурье вспышек излучения, прошедших через
гармонический модулятор................................... 202
§ 3. Модуляция излучения вращающимся секторным растром
(общие соотношения)........................................... 204
§ 4. Модуляция секторным растром излучения, равномерно рас-
пределенного в пределах части сектора растра ............ 210
§ 5. Модуляция секторным растром излучения, равномерно рас-
пределенного в пределах круглой диафрагмы поля................ 212
§ 6. Модуляция излучения секторным растром при коническом ска-
нировании .....................,............................ 231
§ 7. Модуляция излучения растром, имеющим форму барабана или
перфорированной ленты....................................... 236
Ч А С Т Ь 111
СИГНАЛ
Глава 9. Основные определения. Энергетические характеристики излу-
чения ............................................................. 241
§ 1. Сигнал как физический процесс, передающий информацию —
§ 2. Энергетические характеристики излучения ... . 242
2.1. Поток излучения...................................... 243
2.2. Энергетическая сила света.............................. —
2 3. Поверхностная плотность потока излучения .... 244
2.4. Поверхностно-угловая плотность потока излучения — энер-
гетическая яркость ........................................ 245
§ 3. Соотношения между энергетическими характеристиками излу-
чения ............................................... .... 247
3 .1. Поток излучения в полусферу.......................... —
3 2. Энергетическая освещенность от точечных и протяженных
источников................................................. 248
§ 4. Мощность и спектральный состав излучения................ 253
§ 5. Влияние промежуточной среды на мощность и спектральный
состав излучения .... ... 264
§ 6. Ослабление излучения атмосферой......................... 270
596
1 лав а 10. Характеристики приемников излучения для сигнала .... 274
§ 1. Вводные замечания .......................................... —
§ 2. Амплитудные (энергетические или световые) и спектральные
характеристики приемников излучения........................... 276
§ 3. Частотные характеристики приемников излучения............. 290
3.1. Апериодическое звено — простейший эквивалент прием-
ника излучения с точки зрения его частотной характерис-
тики ...................................................... 291
3.2. Коррекция частотной характеристики приемника излу-
чения ..................................................... 295
Глава 11. Амплитуда сигнала. Сочетание приемника излучения с уси-
лителем ............................................................ 298
§ 1. Терминология и обозначения. Расчет амплитуды сигнала на
выходе усилителя (общий случай).............................. —
§ 2. Расчет амплитуды сигнала для случая, когда приемник излу-
чения представляет собой генератор изменения сопротивления 305
§ 3. Расчет амплитуды сигнала для случая, когда приемник излу-
чения представляет собой генератор э. д. с.................... 310
§ 4. Расчет амплитуды сигнала для случая, когда приемник излу-
чения представляет собой генератор тока....................... 315
Глава 12. Спектр сигнала. Основные определения и теоремы. Расчет
спектров ........................................................... 317
§ 1. Вводные замечания ........................................ —
§ 2. Спектры периодических сигналов ......................... 318
2.1. Гармонические колебания —
2.2. Сложный периодический процесс.......................... 320
2.3. Периодическая последовательность прямоугольных им- *.
пульсов.................................................... 323
§ 3. Спектры непериодических сигналов (общие положения) . . . 328
§ 4. Свойства спектров ...................................... 333
4.1. Теорема о спектре суммы.................................. —
4.2. Теорема запаздывания..................................... —
4.3. Теорема смещения, или теорема о транспозиции (переносе)
спектра.................................................... 334
4.4. Связь между произведениями функций и их спектров. Ра-
венство Парсеваля ......................................... 335
4.5. Спектр произведения. Теорема о свертке спектров .... 336
4.6. Теорема о спектре свертки ............................. 338
4.7. Теорема о спектре производной .......................... —
4.8. Теорема о спектре интеграла ........................... 339
§ 5. Расчет спектров Фурье некоторых импульсов и процессов 340
5.1. Единичный скачок ........................................ —
5.2. Прямоугольный импульс ................................. 341
5.3. Единичный импульс...................................... 345
5.4. Колоколообразный (гауссов) импульс..................... 348
5.5. Косинусный и косинус-квадратный импульсы............... 350
5.6. Гармонические колебания ............................... 354
5.7. Сложный периодический процесс.......................... 355
§ 6. Связь между спектром периодической последовательности
импульсов и спектральной плотностью одиночного импульса
той же формы.................................................. 356
§ 7. Спектры модулированных колебаний........................ 357
7.1. Вводные замечания .................................. $—
7.2. Спектр амплитудно-модулированного колебания......... 358
7.3. Спектр частотпо-модулированного колебания.............. 359
7.4. Спектр колебания при фазовой модуляции................. 362
597
§ 8. Функции с ограниченным спектром. Теорема Котельникова
о дискретном представлении непрерывных сигналов . . . 363
§ 9. Спектры двумерных и многомерных функции.................. 366
9.1. Основные соотношения ... . —
9.2. Двумерная дельта-функция Дирака........................ 368
9.3. Редукция преобразования Фурье к меньшему числу пере-
менных ... . .... —
9.4. Спектр сечения двумерной функции...................... 369
9.5. Двумерные спектры функций с разделяющимися перемен-
ными. Преобразование Фурье—Бесселя, или преобразова-
ние Ганколя нулевого порядка ................................ —
§ 10. Пространственно-частотные характеристики (ПЧХ) объек-
тов наблюдения . . . . ......................... 373
10.1. Основные соотношения.................................... —
10.2. ПЧХ точечного источника ... . .... 374
10.3. ПЧХ объекта прямоугольной формы ................. 375
10.4. ПЧХ круглого объекта равномерной яркости............... —
10.5. ПЧХ круглого обьекта неравномерной яркости .... —
10.6. ПЧХ объекта вытянутой формы ......................... 376
Глава 13. Реакция электрической и оптической систем на входное воз-
действие. Импульсная характеристика электрического
фильтра и функция рассеяния оптической системы . . . 377
§ 1. Основные определения...................... . —
§ 2. Электрические системы................................... 378
§ 3. Оптические системы...................................... 381
Глава 14. Оптическая система как фильтр пространственных частот 385
§ 1. Основные соотношения....................................... —
§ 2. Оптическая передаточная функция объектива и его простран-
ственно-частотные (частотно-контрастные) характеристики . . 386
2.1. Пятно рассеяния представляет собой равномерно освещен-
ный круг радиусом р0....................................... 387
2.2. Пятно рассеяния представляет собой круг, изменение осве-
щенности внутри которого аппроксимируется гауссоидой
вращения .................................................. 388
2.3. Изображение создастся объективом, качество которого
2.4. Пятно рассеяния имеет квадратную форму, а распределе-
ние освещенности в нем аппроксимируется произведением
косинусов в /г-й степени................................... 389
2.5. ЧКХ оптической системы............................... 393
§ 3. Оптическая передаточная функция диафрагм, растров и при-
емника излучения .......................................... 398
Глава 15. Спектр сигнала на выходе усилителя оптико-электронного
прибора . . 400
§ 1. Общий случай....................................... .... —
§ 2. Изопланарпая оптическая система и заданный закон скани-
рования . . . . • 41’2
§ 3. Примеры расчета спектра сигнала.......................... 409
3.1. Расчет спектра сигнала, вырабатываемого безынерцион-
ным приемником излучения, установленным в плоскости
изображения идеального объектива, когда переменные
в функции распределения чувствительности приемника
разделяются................................................
3.2. Расчет спектра сигнала, вырабатываемого безынерцион-
ным приемником излучения, установленным в плоскости
изображения идеального объектива, когда переменные
598
в функции распределения чувствительности приемника не
разделяются . .......................................... 412
3.3. Расчет спектра сигнала, вырабатываемого безынерционным
приемником излучения, установленным в плоскости изоб-
ражения объектива, обладающего аберрациями................. 414
3 4. Расчет спектра сигнала для случая, когда задан закон
набегания изображения точечной цели на чувствительную
площадку приемника излучения .............................. 418
Ч Л С Т Ь IV
ШУМ
Глава 16. Математические методы описания шума ......................422
§ 1. Вводные замечания .....................................
§ 2. Законы распределения вероятностей случайных функций . . . 423
§ 3. Математическое ожидание случайной функции............... 429
§ 4. Дисперсия случайной функции............................. 430
§ 5. Корреляционная функция случайного процесса.............. 432
§ 6. Энергетический спектр случайного процесса или спектр Хин-
чина—Винера.................................................. 434
§ 7. Корреляционная функция и спектр Хинчина—Винера на вы-
ходе линейной инвариантной системы................... 441
Глава 17. Методы оценки и расчета уровня шумов отдельных участков
тракта оптико-электронного прибора ................................. 443
§ 1. Коэффициеш шума .......................................... —
§ 2. Шумовая полоса пропускания.............................. 444
§ 3. Шумовые эквивалентные схемы............................. 446
Глава 18. Шум приемников излучения и согласование его с усилителем.
Порог чувствительности и другие характеристики приемни-
ков излучения .................. 450
§ 1. Виды шумов........................................... —
§ 2. Тепловой шум . . .... —
§ 3 Дробовый шум....................................... 457
§ 4. Токовый шум .... .... 467
§ 5. Генерационно-рекомбинационный шум . 469
§ 6. Фотонный шум (общие соотношения)........................... 471
§ 7. Фотонный шум тепловых приемников . 480
§ 8. Фотонный шум фотонных пргемников ........................... 484
§ 9. Температурный шум . . ......................... 497
§ 10. Микрофонный шум .................................................... 501
§ 11. Вычисление и согласование шумов....................................... —
§ 12. Подавление теплового шума входной цени. Шум при коррек-
ции инерционности............................................ 504
§ 13. Выбор оптимального сопротивления приемника излучения
и его нагрузки............................................... 507
§ 14. Порог чувствительности и другие характеристики приемни-
ков излучения, описывающие его способность обнаружить
слабый сигнал ............................................... 511
§ 15. Характеристики некоторых приемников излучения 515
Глава 19. Шум объекта наблюдения и фона ........ 520
§ 1. Объекты наблюдения и фопы.............................
§ 2. Шум объекта наблюдения .... . . 522
§ 3. Шум фона.............................. . ... 523
599
ЧАСТЬ V
ОТНОШЕНИЕ СИГНАЛА К ШУМУ И ОСНОВЫ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО
РАСЧЕТА ПАССИВНЫХ ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ.
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ВЫДЕЛЕНИЯ ОПТИЧЕСКОГО СИГНАЛА
НА ФОНЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОМЕХ
Гл ава 20. Основы энергетического расчета.......................... 531
§ 1. Общие соотношения ....................................
§ 2. Отношение сигнала к шуму на выходе усилителя оптико-
электронного прибора. Уравнения дальности и чувствитель-
ное! и ...................................................... 536
§ 3. Решение уравнений дальности и чувствительности оптико-
электронного прибора ....................................... 545
3.1. Расчет коэффициента р0................................ —
3.2. Необходимое отношение сигнала к шуму................ 550
Глава 21. Оптимальный фильтр, его структура и способы реализации 555
§ 1. Структура оптимального фильтра и его основные характе-
ристики
1.1. Структура оптимального фильтра .....................
1.2. Амплитудно-частотная характеристика ................. 556
1.3. Фазо-частотная или фазовая характеристика............ 557
§ 2. Сигнал и шум на выходе оптимального фильтра............ 559
§ 3. Импульсная характеристика оптимального фильтра .... 561
§ 4. Способы реализации оптимального фильтра................ 566
4.1. Оптимальный линейный фильтр с сосредоточенными по-
стоянными ...............................................
4.2. Оптимальный фильтр в виде коррелометра............... 575
4.3. Оптимальная фильтрация при окрашенном шуме . . . 578
Г л а в а 22. Основные принципы выделения оптического сигнала на
фоне случайных помех................................................. —
§ 1. Вводные замечания .....................................
§ 2. Методы учета влияния излучения естественного фона на ра-
боту оптико-электронных приборов. Пространственная и
спектральная фильтрации. Роль модуляции...................... 580
2.1. Равномерный фон........................................ —
2.2. Влияние побочного излучения на работу радиометра . . . 583
2.3. Неравномерный фон.................................... 587
Список литературы.................................................. 592
ИБ № 510
Михаил Михайлович МИРОШНИКОВ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ
Редакторы издательства:
Т. С. Васильева, II. С. Егорова, Н. А. Жукова, М. Г Оболдуева.
Переплет художника Б. II. Осенчакова. Технический редактор Т. П. Мала/икина.
Корректоры А. И. Лавриненко и Л. II. Нефедова.
Сдано в производство 23/11 1977 г. Подписано к печати 17/V1II 1977 г. М-12478.
Формат бумаги 60X901/ie- Бумага типографская № 1. Печ. л. 37,5. Уч.-изд. л. 35,95.
Тираж 8 000 экз. Зак. № 25. Цена 1 р. 50 к.
Ленинградское отделение издательства «МАШИНОСТРОЕНИЕ»
191065, Ленинград, Д-65, ул. Дзержинского, 10
Ленинградская типография № 6 Союзполнграфпрома при Государственном комитете
Совета Министров СССР но делам издательств, полиграфии и книжной торговли
193144, Ленинград, С-144, ул. Моисеенко, 10