МЕТОДИКА
шлштшьи
ЗАНЯТИЙ
И-11ШШХ
ИЗБРАННЫЕ
ВОПРОСЫ
МАТЕМАТИКИ
•
ПОСОБИЕ
ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
Составители:
И. Л. Никольская,
В. В. Фирсов
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1983

ББК 74.262
M54
Я. Н. Антипов, В. Н. Березин, А. А. Егоров, K>. Д. Кабалевский,
И. Б. Мельникова, С. С. Минаева, В. М. Оксман
Рекомендовано к нэданию Главным управлением школ
Министерства просвещения СССР
СОДЕРЖАНИЕ
П р е д и с л о в и е	3
Метод математической индукции	4
Элементы комбинаторики .	28
Элементы теории вероятностей . .	45
Языки программирования		59
Бинарные отношения и соответствия	75
Дифференциальные уравнения.. .	104
Комплексные числа и многочлены	124
Элемента сферической геометрии	154
МЕТОДИКА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ В 9-10 КЛАССАХ
Избранные вопросы математнкя
Редактор Л.. М. Котова
Художник Б. JI. Николаев
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор М. М. Широкова
Корректоры Н. В. Бурдина, JI. С. Вайтман
ИБ № 7111
Сдано а набор 29.0t.82.. Подписано к печати 27,07.82. 60 X 90'/jg. Бумага типограф. № Э,
Гари, литер. Печать высокая. Усл. печ. л. 11. Усл. кр.-отт. 11,25. Уч^-нэд. л. 11,49. Тираж 96 тыс. экз.
Закаэ № 319. Цена 30 коп.
Ордеив Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета
РСФСР no делам издательств, лолиграфин и кйнжной торговли. Москва, 3-й проезд МарьиноА
рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполнграфпрома
Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии 'и нннжной торговХи,
Саратов, ул. Чернышевсного, 59.
Методика факультативных занятий в 9—10 классах: Избр,
M54 вопросы математики. Пособие для учителей/ И. H. Антипов,
В. Н. Березин, А. А. Егоров и др.; Сост.: И. Л. Никольская,
В. В. Фирсов.^- М.: Просвещение, 1983.—176 c., ил.
Данное пособие содер^кит методнческне рекомендации к проведению факультативных
занятий. В кииге приводятся также содержание зачетов по каждой теме, ответы и указавйя
и наиболее трудным задачам в упражнеиням.
.. 4306010400—144	^	„„	„„	,л мо
м ~103(0~3)-83 ИНф- письмо -83	ББК	lf262

ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга является методическим пособием для
учителей математики, ведущих факультативные занятия в IX—X
классах средней школы. Ее содержание согласовано с содержа¬
нием пособий для учащихся «Избранные вопросы математики».
IX	класс, факультативный курс (М., Просвещение, 1979) и «Из¬
бранные вопросы математики», X класс (М., Просвещение, 1980).
В книге ^ пять статей по факультативному курсу IX класса
(«Метод математической индукции», «Элементы комбинатори¬
ки», «Элементы теории вероятностей». «Языки программирова¬
ния», «Бинарные отношения и соответствия») и три статьи по
факультативному курсу X класса («Дифференциальные уравне¬
ния», «Комплексные числа и многочлены», «Элементы сфери¬
ческой геометрии»).
В каждой статье даны общие методические рекомендации
к изучению соответствующей темы факультативного курса, ука¬
зано примерное распределение времени, отведенного на изучение
темы, приведены ответы, решения и указания к задачам и уп¬
ражнениям, выделен материал первостепенной важности, кото¬
рый следует изучать на занятиях под руководством учителя,
и материал, который можно предложить учащимся для само¬
стоятельной проработки. По каждой теме указано примерное
содержание зачета, дан список дополнительной литературы.
Различия в структуре ^татей данной книги обусловлены раз¬
личиями в характере соответствующих статей учебного пособия.
Так, например, статья «Комплексные числа и многочлены» со¬
держит обширный и разнообразный материал, изучение кото¬
рого не может быть уложено в часы, отведенные на эту тему.
Поэтому в соответствующей статье данного пособия рассмат¬
риваются различные варианты изучения темы с пропуском тех
или иных частей ее содержания.
Однако в целом книга написана по единым методическим
установкам и продолжает в этом смысле аналогичное пособие
для учителей математики, ведущих факультативные занятия в
VII—VIII классах.
Отзывы и предложения просим направлять по адресу: Москва,
129846, 3-й проезд Марьиной рощи, 41, издательство <cПросве¬
щение», редакция математики.
з

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ИНДУКЦИИ
Метод математической индукции является
одним яз высокоэффективных методов поиска новых результа¬
тов и доказательства истинности выдвинутых предположений.
Хотя этот метод в математике и не нов, но не будет преуве¬
личением сказать, что интерес исследователей к нему возрос
в связи с. развитием так называемой дискретной математики.
Вряд ли удастся найти какую-нибудь серьезную книгу по ди¬
скретной математике, в которой- не использовался бы метод
математической индукции.
Встречаются разные формы и виды математической индук¬
ции, но мы будем иметь дело главным образом с одной.- Рас¬
сматривается какое-либо подлежащее доказательству свойство
бесконечной последовательности Математических объектов. Для
метода математической индукции безразлична природа этих объ¬
ектов — они могут быть геометрическими, теоретико-числовыми,
теоретико-множественными и т. д.
Доказательство методом математической индукции прово¬
дится по следующей схеме. Прежде всегб проверяется, обладают
лц интересующим нас свойством начальные члены последова¬
тельности. Пусть ki — номер первого члена последовательности,
обладающего этим свойством. Затем предполагается, что член
последовательности с произвольным номеррм n>ki обладает
этим свойством, и .проверяется, сохраняется ли в таком случае
указанное свойство при переходе от n-го члена последователь¬
ности к п+1-му. Если сохраняется, то оно справедливо для
члена последовательности с номером ki + 1. Если справедливо
для члена последовательности с номером ki 4-1, то справедливо
И Для члена c номером kt + 2 и т. д., вплоть до номеров
п и n+l. Но п — произвольное натуральное число, большее
ki. Стало быть, доказано, что в данном случае рассматривае¬
мым свойством обладает любой член рассматриваемой после¬
довательности, начиная с Ai-ro.
Преподавателю нужно учитывать, что не всегда TOi
факт, который учащимся предстоит доказывать, выглядит для
них естественным. А положение, представляющееся искусствен¬
ным, не наглядным, вызывает у многих учащихся чувство внут¬
4

реннего сопротивления, что отнюдь не способствует усвоению
данной темы. Например, в нахождении общего члена последо¬
вательности Фибоначчи каждый раз находится сумма целых
чисел, а ответ выглядит неестественным, искусственным, по¬
скольку выражается через радикалы [10]1. Поэтому здесь ме¬
тодически более предпочтительно конструктивное решение, а не
доказательство методом математической индукции.
Очень поучительны разборы ошибок, допускаемых в ходе
доказательства методом математической индукции. При разборе
ошибок не только проявляется осторожность в пропедевтиче¬
ском плане, но и существенно уменьшаются искусственность и
формализм, сопутствующие нередко рассуждениям учащихся
при использовании ими метода математической индукции.
Относительно связи метода математической индукции со
школьной математикой можно сказать, что она вполне может
стать столь же тесной, как и в так называемой высшей мате¬
матике. Надо только умело использовать этот метод, рассредо¬
точив его применение по всему курсу школьной математики.
Тем самым упрощаются доказательства многих рассуждений
или появляется возможность посмотреть на одни и те же факты
и явления с разных сторон.
Нельзя упускать из виду следующую особенность метода
математической индукции. Метод математической индукции ока¬
зывается применимым к широкому кругу задач, относящихся
к различным разделам математики, граничных со школьными
(задачи из теории чисел, применения формулы Эйлера, начала
теории графов и т. д.). Таким образом, владение этим методом
рассуждения значительно расширяет возМожности учащихся.
Впервые в чётком изложении метод математической индук¬
ции был применен в XVII в. выдающимся французским ученым
Блезом Паскалем при доказательстве свойств числового тре¬
угольника, носящего с того времени его имя. Однако идея ма¬
тематической индукции была известна еще древним грекам. Об
этом можно прочесть, например, в книге [7].
Материал данного раздела факультатива рассчитан на 8 ча¬
сов. Он может быть разделен из методических соображений
на три блока.
К первому блоку относятся пункты 1^5. На усвоение этого
материала следует предусмотреть два полных часа: Начало
третьего часа отводится для повторения основных моментов рас-
суждений, проведенных на первых двух часах. Ко второму блоку
могут быть отнесены пункты 6, 7 и 8. На их изучение йотре-
буются 3 часа. К третьему блоку может быть отнесен пункт 9.
Этот материал изучается в течение двух часов. Наконец, 1 час
следует отвести на прием у учащихся зачета по теме.
1	В ’квадратных скобках указан номер книги, приведенной в списке литера¬
туры в конце раздела.
5

РАЗРАБОТКА 1-ГО БЛОКА
l
Для успешного изучения пунктов, относящихся к первому
блоку, нужно обладать сколько-нибудь развитым стремлением
не упрощать числовые выражения, находя их числовые значения,
а,	напротив; представлять числовые результаты в виде выраже¬
ний ^например, уметь заметить, что -1^ =^		 . ^*- »
—	~х	r* и **/ - =4	М Это необходим© для того, чтобы
3*	4	4*5	4 о /	^
подметить закономерность, сформулировать г.ипотезу, которую
затем останется доказать методом математической индукции.
В факультативном курсе в большинстве случаев гипотеза да¬
ется уже в готовом виде. Чтобы учащиеся получили полное
представление о методе математической индукции, полезно пред¬
ложить им в качестве домашнего задания несколько неслож¬
ных упражнений на угадывание закономерности с последующим
ее доказательством методом математической индукции. Тем са¬
мым они получат возможность мысленно поэкспериментировать
Развитие такого умения полезно в воспитательном отношении,
а не только для занятий математикой. Ниже такие упражнения
приводятся.
Следует рсобо обратить внимание на то, что учащиеся в этом
возрасте при чтении обычно пропускают «предисловия» и «введе¬
ния» и сразу приступают к основному содержанию книги. Дей¬
ствие увлекает, рассказ о нем, будучи воспринимаем не адек¬
ватно, может уводить читателя в сторону. Поэтому изложение
лучше всего начать с формулировки принципа математической
индукции и разбора нескольких примеров (rex, что приведены
в пункте 3 или предложены в качестве упражнений к этому
пункту). Материал, изложенный в пунктах 1 и % лучше исполь¬
зовать в качестве комментариев, когда учащиеся, выполнив не¬
сколько упражнений, слегка утомятся. В результате знакомства
с содержанием этих пунктов учащиеся не сразу отключатся
от материала и лучше его усвоят.
СИСТЕМА УПРАЖНЕНИЙ
1.	Формулы суммы для. четного и нечетного значений п по¬
лучаются разные. Именно при n = 2k—1 S2*_i = -fc, а при
n-2k S2k = k. Эти формулы получаются в результате экспе¬
риментирования с числами. Позднее (т. е. в конце вторбго часа
занятий) было бы полезно прЬвести доказательство высказан¬
ного здесь утверждения методом математической индукции. Вы¬
ше говорилось,, что возможны различные виды й формы ма¬
тематической индукции при сохранении обшей ее cym В дан¬
ном случае математическая индукция выступает не в «клзёбй-
че^кой» форме. Здесь приходится рассмотреть не один, а два
вида перехода от п к п + 1 и два начальных члена, соответ¬
ствующих значениям п = 1 и п = 2.
в

2.	В данной формулировке задание выглядит неушязда£Р
Сразу видно, что данное число является составным при зна¬
чениях п, кратных 17. Правда, при других значениях п этс»
число простое. Факт, конечно, красивый, но достаточного повода
для проведения такой большой работы не дает. Задачу лучше
опустить. Вместо нее можно решить такую: выведите формулу
для суммы, приведенной в задаче 3(r). Доказательство этой
формулы следует рассмотреть позднее.
3.	Во всех 9 предложенных здесь примерах учащимся должно
быть своевременно разъяснено, что при h == 1 равенства соблю¬
даются. Налример, для 3{6): 1а — ^1 ^^ ^J2'1 ^*^ *K Дли З(з):
iL = о = I L
it 11'
Очень просто осуществляется н переход от k — п к k = п +1
для произвольного n >• 1.
а)	Предполржим, что* для какого-то n > 1 данная формула
справедлива: t + 2 + 3 +... + п — "(^+Jj, На* следует дока¬
зать формулу:	l+2^-3 + ... + n+(<i^-l)-^2JLlH2j^2L.
Прибавим к левой и правой частям первой из этих формул
по п + 1, получим:	1 + 2 + 3 + ... + п +,(n + l)=^2J^D. +
+ п ^- 1. Правая часть этого выражения легко преобразуется
к виду ~(п + l)(rt + 2). Стало быть, равенство сохраняется при
переходе от п к й + 1, н высказанное выше утверждение до¬
казано методом математической индукции.
Дадим также запись решения задачи 3(a) в соответствии
с учебным пособием для IX класса под редакцией А. Н. Колмо¬
горова. Обозначим через j4(n) равенство 1 + 2 + 3 + ... + п =
	Мп + I)
	2^*
1,	Л(1) имеет место, так как 1 =■
2.	Докажем, что A(k)=>A(k + 1).
1	+ 2 + 3 +... + k + {k + 1)=^* f ^- + k + I = & + jy ■+ ^ .
*L	«
Обе части доказательства методом математической индукции
проведены — значит, равенство A{n) доказан? при любом п £ N.
Теперь несложные переходы от п к п + 1 в задачах 3(6) —
4(6) могут осуществляться учащимися без принципиальных за¬
труднений. Поэтому и здесь они рассматриваются не так под¬
робно (см. ответы, указания, решения).
Последняя из рассмотренных выше задач дает повод для
краткого рассказа о фигурных числах, Пифагоре и его учени¬
ках [6]. В правой части равенСтва было записано треугольное
?

число общего вида ^р(я + 1). Напомним, что треугольные числа
можно рассматривать как числовую последовательность, я-й эле¬
мент которой равен площади равнобедренного прямоугольного
треугольника с катетом длиной п. Графически такие числа изо¬
бражаются как бы на неявно заданной координатной плоско¬
сти, на которукг наносятся точки соответствующего треуголь¬
ника, имеющие целочисленные координаты, причем стороны тре¬
угольника параллельны осям, а вершина прямого угла распо¬
ложена в точке с целочисленными координатами. Полезно
выписать подрйднесколько треугольных чисел: 1, 3, 6, 10, 15, 21.1
4.	в) Последовательно находим: Si = l, S2.= -3, S3 = 6t
S4 = —10, ^ = 15, 56 = —21, ... . Видим, что чередование знака
такое: +, —, +, — и т. д. Символически это обстоятельство
можно выразить с помощью множителя (-l)*"1 (в пособии
издания 1979 г. в соответствующем, показателе степени на с. 10
опечатка). А что можно сказать о последовательности |S||, IS^I,
IS3I, .,. , представляющей модули сумм? Тем учащимся, кото¬
рые имеют мало опыта общения с числами и последовательно¬
стями, догадаться, какой вид имеет здесь формула для n-ro
члена, совсем не просто. Если же они встречались с треуголь¬
ными числами, то им остается только их узнать.
Допустим теперь, что для четных значений п справедлива
формула 12 — 22 + 32^... — п2 = -^n(rt + 1), и покажем, что
^огда для нечетнйх значений п справедлива формула 12^-22 +
+ 32 — 42 + ... + п2 = ^- п (n*+ 1). Действительно, — л(” + ^ +
*	4
+ (п + 1)2 ——* 1 (—я + 2n + 2) = — (SJ: !КЯ + 3Lt Что и требо-
-5. б) Искомую закономерность обнаружить сложно, если
ограничиться последовательным умножением выражений, содер¬
жащихся в скобках. Поэтому вначале данное выражение надо
преобразовать так, чтобы можно было использовать рассужде¬
ние методом математической индукции^
Заметим, что содержимое каждой пары скобок можно пред¬
ставить как разность квадратов:
8

Воспользовавшись полученным ранее результато&рЩЙРШН
йда правая часть равна ^qrp( 1 + ^^) •( 1 + ^)( 1 + ij, ****
*(l +^4pr)* Р€3Ультат перемножения полученных п пар ско-
бок с помощью метода математической индукции- предугадать
геперь сорсем несложно: pi =^-, Р2~~' Рз==^~'' ■ * • P"=2^--
Покажем, что при переходе от п к п + 1 формула для пронзве-
Еж	„	i	о
дении сохраняется, т. е. что рп +1 =—^—. Действительно, рч+ i =
те ",+ 2_.(i 4-_J—) = ^L±JL_.
2	\ п + 2/	2
Остается лишь перемножить два полученных результата. Окон-
чательно получаем:(1 -^-)(i_i-)(l _^.....(i__J_^
= trr^rr* ЧТО и требовалось.
2(rt+ 1) ^
Прежде чем переходить к решению задачи 7(a), полезно
доказать два неравенства: ri*>2n+l и п3>Зп2 + Зп+1.
Первое из них верно при п = 3. При переходе от п к п + 1
при п > 3 получаем: (п + 1)2 = п2 + 2п + 1 > 4 + 2п + 1 > 2 +
+ 2n+l=2(rt+l)+-l, что и требовалось доказать. Анало¬
гично доказывается и второе неравенство. Непосредственно про¬
веряем, что оно справедливо при п = 4. Затем при t} > 4 нахо¬
дим: я3 > 4п2 = 3п2 + п2 > 3n2 + 4n > 3п2 + 3п + 1 и, следова¬
тельно, (iп + 1 )3 > 2(3п2 + 3п + 1). Если в выражение Зя2 + 3п + 1
вместо n подставить ^+l, то получаем, что должно быть
(n + 1)3 > 3п2 + 9п + 7. Замечаем, что поскольку п > 4, то
2 (3rt ^-^3w 4" 1) ^> Зп2 ^- 12л ^- 25 ^> Зн2 4^ -9ti 4* 7.
7.	а) Неравенство верно при ti= 1, однако оно перестает
быть верным прип = 2, 3, 4. Согласно индукционной гипотезе,
начиная с некоторого натурального числа п > 4, должно соблю¬
даться неравенство 2П>п2 Проверим, будет ли оно соблюда¬
лся при п + 1 : 2" +1 > 2rt2 по гипотезе. Но 2л2 == п2 + п2г>
>n^4-2rt + i=(n+I)2. Значит, 2п+|>(«+1)2, что и требо¬
валось. Ответ в пособии издания 1979 г. дан неполный. В нем
не учтено возможное значение п— 1. To же относится к ответу
к задаче 7(6).
Прежде чем перейти к следующим задачам, отметим, что
задачи на доказательство неравенств решать методом мате¬
матической индукции несколько сложнее, чем доказывать тем
же методом равенства. Но ведь сказанное относится не только
к методу математической индукции; Вообще доказательство не¬
равенств — тема более сложная, чем доказательство равенств^.
Нижеследующие примеры послужат еще одной иллюстрацией
к этому утверждению.
%

8.	а) Эту задачу лучше решать после задачи 8(9). Они
однотипны, но задача 8(в) немного проще. Можно показать
учащимся, как она решается, а затем требовать от них само¬
стоятельного решения задачи 8(a).
Первая сложность здесь (как и в задаче 8(в)) в опреде¬
лении числа и вида членов суммы, которые соответствуют случаю
n = L Для произвольного п имеем:
l	| i 1	1	1	1	1	1	1	1	1 I 1 I
^+l ^^n+2 J ’ •’ Тя+д/М1 ^^2n+2J ‘ •‘	2я4^,Зя*Н •
п членов	п членов
Таким образом, в данной сумме всего 2п + 1 членов. В част¬
ности, при n^= 1 имеем следующие три члена: j^pp Г+2# Г+з
I	^
И* сумма равна ^-> I.
Осуществим теперь индукционный переход от н к п Ц- 1, счи¬
тая, согласно выдвинутой нами гипотезе, что для п выполня¬
ется неравенство, сформулированное в задаче 8(a). Получим
:— 	Ч	-	1	 	h-..4—~Н— 	1—^*-4-
fi4* l)4* J (л4^ 1)^*2 (л ^ I) ^- 3	3п ^- 1	3п *4“2 3ft ^“ 3
+ , 1 „ / последнее слагаемое можно представить как,. ■ ,Ц. —.
3n+^	\	^n+lJ+l
а первое в виде -|^. Сравнивая первую и вторую суммы,
мы видим, что они отличаются тем, что в первой сумме исчезло
первое слагаемое —*— и появились три новых: 0 1 —, ■ ■— --,
r	п +1	г	Зя + 2	3 п + 3
—-—. Каждое из вновь появившихся слагаемых меньше ис-
3	п + 4
чезнувшего. А что можно сказать об их сумме? Компенсирует
ли она исчезновение одного слагаемого? Если сумма последних
трех слагаемых новой суммы больше первого слагаемого старой
суммы, то новая сумма также будет больше единицы. Имеем:
—!	1	!— X *	!— 		^	.. — >0 что
Зя + 2 ^Зк + З Зл ^-4 я + 1	3<3rt + 2)(n + l)(3n + 4)
и нужно было установить.
б)	Здесь два неравенства, две задачи. Рассмотрим сначала
ограничение данной суммы снизу:
1 +-й" +_fe=+■ ■ ■ +~к°1 »/»+1> ,^+тг+7=“
-^+^*+Чгё?+г±г>
Переход от п к п +■ 1 (индукционная гипотеза) будет сохранять
смысл данного неравенства в том случае, если л/~тггН—ТТ> *•
I? rt 4^ * л “р 1
10

Но это неравенство справедливо для произвольных неотрйд*
тельных значений п В самом деле из очевидного неравецстДО
(корень из правильной дроби всегда больше
v;
п Ч 1 п t 1
самой этсгй положительной дроби| следует наще неравенство
^qC>"iLJL_i	Ьг»т'д
r п ^- 1	tl ^- t	п -f 1
Точио так же для неравенства, ограничивающего данную
сумму сверху, имеем 1 Н—*— Н—'— + • Н—}— + - 1	<
<2Vn^ 4- — 1 — = 21
Vn + i
Для того чтобы рассматриваемая сумма была меньше, чем
2 Vп + 1. нужно, чтобы было справедливо неравенство y^^y +
4- 2(n+1) ^ * <тогда и подавно пРавая часть неравенства мень-
П
n + 1
ше, чем 2 Vn + I ). Это неравенство эквивалентно
< ey,ffi или ^(4и2 + 8п + 4)<(4«2 + 4п+1)(и2+2п+П.По-
следнее неравенство справедливо для всех натуральных ‘зна¬
чений n, в чем легко убедиться, раскрыв в нем скобки и приведя
подобные члены.
Осталось проверить лишь очевидную справедливость обоих
неравенств для значения п = %
в)	Из того, что последний член суммы, данной в условии
этой задачи, можно записать в виде ^—, усматривается, что
п + п
в данной сумме п членов Поэтому для п == 2 имеем -4^- +
2 + I
1	7
t — Итак, оценка данной суммы снизу не совпадает
' 2+2 12
с той, которая приведена в пособии Следует доказывать нера
венство ^^ Н—Ц- ^—Ц- +	+ -- ^ ^r- при п 5* 2.
л + 1»+2Тй+Зх	2n 12 v —
Покажем, что при переходе от п к ,n+ 1 левая часть нера
венства увеличивается и поэтому неравенство остается для всех
значений, п > 2 справедливым
Действительно, при переходе от п к п + 1 к левой части
неравенства добавляются два новых члена „ *. . и ■	*, „
2 п + i	2n	+	^
Пропадает наряду с этим член ~~у Индукционная гипоте*
эау такнм образом, состоит в утвёрждекии, чт© рззностъ
(_—i	ь —!—Ч	!— > 0 Иначе говоря, в том, что гюло
2	п + I ^ 2 п + 2 } п + I

жительна разность ^^—		rt ■■■■ » Но это очевидно, посколь-
2ft + 1	2п + 2
ку числители у этихдробей одинаковы, а знаменатель больше
у вычитаемого.
г)	Здесь основная трудность заключается в том, чтобы пред¬
ставить данную сумму в такой записи, с помощью которой
результат можно получить почти автоматически. Выражение,
стоящее в левой части данной формулы после' единицы, поста¬
раемся преобразовать в сумму п—l*nap скобок так, чтобы
содержимое каждой пары скобок оказалось не больше 1. Тогда
сумма выражений, стоящих в скобках, и единицы окажется
меньше или в крайнем случае равна п, Последнее имеет место,
если^п=1. Этот последний случай в пособии издания 1979 r.
не оговорен. Решая этот пример, будем считать, что n> 1. Тогда
имеет место строгое неравенство, сформулированное в условии
задачи. Убедимся в этом для п — 2: 1 +y-<2.
Будем открывать очередную пару скобок перед каждой из
целых степеней ^- и закрывав ее перед следующей целой сте-
Z
пенью (так же, как это было сделано в разобранном в пособии
примере 8). В результате получим:
^ + (i^+^ZT) + (^+4'+i"+^rr)+ +
+ (2n l ^^^ 2n-1+l ^^ 2"-'+2 ^^^ ’ *' ^^ 2* — 1 )^
Запишем по тому же образцу слагаемое, возникающее лри
переходе бт п к rc+l. Все изменение неравенства при индук¬
ционном переходе заключается в добавлении к левой части этого
слагаемого: (£- + ^- + ^y + ... + yjl>_,')- Последняя
дробь внутри скобок записана в другой форме. Такая форма
записи позволяет проще определить, сколько слагаемых-дробей
внутри скобок. В первой дроби к 2п в знаменателе добавляется 0,
во второй 1, в третьей 2 и т. д. Мы видим, что величина вто¬
рого слагаемого в знаменателе каждой дроби на единицу меньше
его номера. Поэтому ясно, что в слагаемом, соответствующем
переходу от п к п + 1, должно быть 2п слагаемых-дробей.
Покажем, что выражение, стоящее в этой дополнительной
паре скобок (слагаемое, соответствующее индукционному пере¬
ходу), меньше единицы. Действительно, заменим каждое из сла¬
гаемых-дробей, начиная со второго, на ^-. При этом каждая
иззадоененных дррбей увеличится (поскольку знаменательдро-
би уменьшится на величину, соответствующую ее номеру), сле¬
довательно, и сумма увеличится. Число слагаемых- 2п и каждое
из слагаемых-дробей, теперь равно ^ стало бытьг их сумма
12

равна 1, тогда первоначальная сумма меньше единицы, что и
требовалось доказать.
Предположим теперь, что неравенство, данное в условии за¬
дачи, верно. Перейдем от него к неравенству, соответствующему
л+4, Оно запишется в виде:
'+f + T + "-+*^t + (i + HT + HhT+ +
+ 2-+'_'i)<"+1'
Как мы только что установили, выражение, стоящее в скобках,
.меньше I. Поэтому добавление к левой частй верного неравен¬
ства выражения, меньшего единицы, а к правой части едини¬
цы не изменяет смысла неравенства.
Итак, данное в условии неравенство доказано методом мате¬
матической индукции.
Заметим, что рассуждение могйо быть слегка изменено. Мы
мбгли отказаться от рассмотрения слагаемого, соответствую¬
щего переходу от п к я+1, а. показать, что содержимое
каждой пары расставленных нами скобок меньше, чем 1. Тогда
доказательство было бы конструктивным и содержало бы рас¬
смотрение п объектов (содержимого стольких пар скобок) при
произвольном значении n, т. е. по сути бесконечном. Матема¬
тическая индукция, как мы видели, позволяет абстрагироваться
от этой бесконечной процедуры. Такая абстракция называется
абстракцией потенциальной осуществимости [14].
д)	Неравенство, очевидно, справедливо при n, равном 1 и 2.
Умножим левую и правую части данного неравенства соответст¬
венно на ^”^2^ * Тогда слева получим ^^ ’ а спРава
^^.iteJ".,iJ . Ёсли нам удастся показать, что правая часть меньше,
<л1) <л + 2)
чём ffi ^f2l > то доказательство даннопг неравенства будет за-
((* + w
вершено. Но действительно, неравенство ^*^y^> (^yffi*^2)^
эквивалентно неравенству (?n + 2К^ + *). > M*^*V1) или -^-1 >
r	J	(п	н-	l)l	п	Н-2	«4*1
>JfcLiIL или 2я2 + 5п + 2>2я2 + 4я + 2, или n>0. Послед-
п + 2
нее неравенство из этой цепочки неравенств истинное. Поэтому
истинно и исходное.
е)	Левую часть доказываемого неравенства можнЬ записать
в виде 2(0+|+ *+<"-1^ (см. доказательство задачи 3(a), разоб¬
ранное выше). Справедливость данного неравенства для n = 3
очевидна. Покажем, что неравенство останется справедливым
при замене п на n+ 1, т. е. в форме 22 (Л+°Л>(п+ 1)!. Для
13

этого установим, что 2">n+l. Это утверждение есть прямое
следствие неравенства 2">2n + l, доказанного в пособии (при¬
мер 6). Умножая левую часть данного неравенства на 2", а пра¬
вую на л + 1* мы только усилим ero,*a требуемое неравенство
получится в результате выполняемых при этом операций. ‘
ж)	Подставляя в данное неравенство w=l, получаем ра¬
венство ^- = ^-. Переходя от п к п + 1, должны получить в пра-
Л JL
вой части •■■ 1 — . Но, умножая обе части данного неравенства
V3n + 4
на ^"-j^ ^-, получаем в левой части выражение для п + 1, а в пра-
*Я -f^ л>
вой части некоторое новое выражение -^|-у •	■* - . Если
2п + 2 узп +1
удастся показать, что это выражение меньше 1 то дока-
jfon Ч" 4
зательство требуемого факта методом математической индукции
будет' завершено. Возведя обе части неравенства ^_t^-X
X	*1 —<T-; 1 — в квадрат, избавясь от знаменателей-и при-
^Зя ^* 1 /Зд 4" 4
ведя подобные члены, убеждаемся, что оно справедливо одно¬
временно с неравенством n>0, где п — натуральное. Этим до¬
казательство завершается.
з)	Обозначим левую часть неравенства х„ (по числу корней n).
Тогда, по определению, x„+t = У с 4- х„ < V с +—4с * 1 ^*^ *■■=
i/(^fkc 4^Т + 1)	/4c 4*Т^- 1 i*'	v
_ у v		£__	1_—ц_. Итак, мы убедились, что индук¬
ционный переход здесь работает. Проверим, удовлетворяется
гг	J— V*c ^ /4с + 1 4-1
ли неравенство для х\. Получим: *i = ус = ^-<-—х .T ,
что и требовалось.
УГЛУБЛЕНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА
Некоторые упражнения, которые разбирались выше, могут
быть использованы £ля значительного, можно сказать качест¬
венного, углубления знаний учащихся. Сюда следует, прежде
всёго, отнести упражнения 7(a, б), демонстрирующие для ди¬
скретных значений переменной, что значения,. показательной
функции больше соответствующих значений степенной. Можно
рекомендрвать учащимся аналогичным образом доказать, что
2">л4, 2п>ю5, и т. д., начиная с некоторых значений п в каж¬
дом конкретном случае. Вообще задачи на доказательство нера¬
венств полезны тем, что подводят учащихся к понятию оценки
значений функций, важному разделу прикладной математики [3],
М

Следует указать также на решение задачи 8(r), где учащим¬
ся предлагается познакомиться с понятием «абстракция потен¬
циальной осуществимости». Здесь они получают возможность
о.ценить используемый ими математический метод с мировоз¬
зренческих позиций.
Если учитель познакомится с соответствующим разделом
книги [14^ то он может провести довольно глубокий экскурс
в историю математики, не только увлекательный, но одновременно
И поучительный.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Некоторою равенства и неравенства, доказанные выше методом
математической индукции, учащимся полезно уметь выводить кон¬
структивно. Они должны ясно сознавать,, что на числовых приме-
рах трудно догадаться о такйх формулах, рак, например, в задй-
чахЗ(б), 6(a)., 8(6, з). Если уж они имеются (известны, например,
из справочника), то проверить их истинность методом математи¬
ческой индукции принципиальных сложностей не представляет.
Поэтому желательно поручить группе учащихся подготовить до¬
клад' на тему «Конструктивный вывод некоторых неравенств».
Соответствующий материал можно найти в книгах [t3], [10], [9].
Другая тема для интересного и поучительного доклада уча-
щихся — «Суммирование степеней чисел натурального ряда и
числа Бернулли». Материал можно найти в [t0].
РАЗРАБОТКА 2-ГО БЛОКА
При изучении пункта 6, входящего в этот блок, учащиеся
используют умения выполнять деление беэ остатка, находить
остатки от деления на целые числа и т. д., но этим школьники
в процессе обучения занимаются довольно часто, поэтому им даже
не надо повторять этот материал. Правда, эдесь они выполняют
привычные операции несколько по-иному, качественно на более
высоком уровне.
В пункте 7 учащиеся вновь встречаются с арифметической
й геометрической прогрессиями. Заметим, что в предыдущем бло¬
ке они уже сталкивались с суммой, которая лежит в основе лю¬
бой арифметической прогрессии (имеется в виду задача 3(a)).
Учащимся в школе приходилось и до этого немало заниматься
арифметической и геометрической прогрессиями^ Так что и дан¬
ная подтема не слишком обременительна в смысле требуемого
повторения материала.
Материал пункта 8 требует знакомства учащихся с поня¬
тиями, выделенными' в тексте курсивом. В дальнейшем неодно¬
кратно используются вводимые здесь понятия.
№

СИСТЕМА УПРАЖНЕНИЙ
9.	а) При п = 1 *в левой части получаем 35 ; 35. Предположим,
что (62я — l)j35. Покажем, что тогда (62(n + l)— 1) -35. В самом
деле, 62rt + 2- I=36-62rt — 1 =36-62Л — 36 + 36 — 1 =(36(62л —
—	1) + 35) i 35, что и требовалось.
б) При л= 1 в левой части получаем 18;9. Предположим, что
при некотором натуральном n> 1 утверждение, сформулированное
в задаче, верно. Покажем, что тогда (4n+1 + 15(n+ 1)— l);9.
Делимое можно представить в виде 3-4"+ 15 + (4"+ 15м— 1).
Выражение в скобках согласно гипотезе делится на 9 без остатка.
Поскольку нас интересует только делимость, то слагаемое, заклю¬
ченное в скобки, можно отбросить, при этом делимость рассматри¬
ваемого нами числа на 9 не изменится. Остается доказать, что
число вида 3(411 + 5) делится без остатка на 9 или что число 4" + 5
делится без остатка на 3.
Докажем последнее утверждение также с помощью математи¬
ческой индукции (любопытный случай — метод математической
индукции применяется дважды. Такое, впрочем, часто встреча¬
ется в задачах на делимость). Ясно, что при n= 1 (4" + 5);3.
Предположим теперь, что (4Л + 5) ; 3 при некотором натуральном
n> 1, и покажем, что тогда оно будет делиться на 3 при n+ 1,
а значит, и при любом натуральном значении п. Но действительно,
4я + | + 5 = (4я + 5) + 3*4л. Видим, что оба слагаемых делятся
на 3 без остатка — первое по гипотезе, второе имеет 3 в качестве
множителя. Таким образом, делимость первоначального цело¬
численного выражения на 9 можно считать установленной.
В задаче 10 мы встречаемся с некоторыми из многочисленных
свойств последовательности Фибоначчи (Фибоначчи — так зва¬
ли выдающегося итальянского математика эпохи Возрождения
Леонардо Пизанского, что обозначает просто «сын Боначчи»).
В отличие от большинства других последовательностей, после¬
довательность Фибоначчи удобно нумеровать, начиная с нулевого
члена, а не с первого. В таком виде закономерности, присущие
этой замечательной последовательности, лучше просматриваются.
Рассмотрим интересный факт. Пусть а — число, удовлетворяю¬
щее уравнению а2 = 1 — а. Тогда справедливы следующие равен¬
ства: с? = 2a — 1, a4 = 2 — 3a, a? = 5a — 3, Вы, наверное,
заметили, что числовые коэффициенты составляют последователь¬
ность Фибоначчи, начинающуюся с члена а\? Выдвинем теперь
гипотезу, что для любого п справедлива формула ал =
= ( — 1 )я • ((а„ _ i — аяа), где а„_ i и ап — члены последователь¬
ности Фибоначчи. Действительно, an+l=(— iy*(art_i<x-a*a*) =
= (— iy**(-fln + (On-i +a,)a) = (- iy + '(a*-an + ia).
10.a)	Пусть n = 1. Тогда а2д+1 = Дз = Я2 + в1 = 1+а2,
т. е. формула, которую в условиях предлагается доказатьметодом
математической индукции, верна. Перейдем теперь от п к я+ I.
16

Это значит, что надо установить, будет ли справедлива формула
fl2n+3=14^**2^bfl4 + >>* + a2n4^Q2n+2< если верна формула
C2n + I — 1 + 02 + 04 + • • . + fl2n. Но, согласно основной формуле,
имеем: Одл+з — fl2n+2 Н~ fl2n+1 — 1 ^b 02 + о« + ... + 02п 4^ O2n + 2.
что и требовалось.
б)	Составим таблицу из первых двенадцати чисел Фибо¬
наччи: ao = I, ajs=l, fl2 = 2, ^a3 = 3, a^ — 5, a5=8, <% = 13,
Oj = 21, <ъ = 34, o> = 55, а10 = 89,q, = 144,... (при составлении
мы воспользовались основной формулой и первыми двумя, началь¬
ными членами последовательности Фибоначчи ao=I и ai=l).
Доказываемая формула содержит несколько членов последова¬
тельности Фибоначчи. В данном случае идея метода математичес¬
кой индукции состоит в том, чтобы по «младшим» значениям п
(т. е. меньшим), которые удовлетворяют доказываемой формуле,
выступая в роли «старших», показать истинность формулы для
произвольных значений п (метод'математ^ческой индукции вы¬
ступает в несколько видоизмененном виде). Вычислив ап-1, ап,
зная Og иОэ.мы можем найти ц,+д.Для отыскания по этой формуле
о^+ю нам понадобится еще дополнительно a*+1. В общем случае
взять его как будто неоткуда. Выход из создавшейся ситуации
такой. Будем считать правильной формулу для получения
а,,+8, ол+7 и т. д. до <Vn (всего 8 членов). Непосредственным
вычислением, используяа0 и ai (n= 1), получаем Ою (мы его уже
получили, как и оц, другим способом). Точно так же, зная из
таблицы вычисленных начальных значений аi и o*, получаем
Оц, зная 02 и Оз, получаем a12 и т. д., зная % и Og, полу*
чаем ц5. Теперь, наконец, можно получать все последующие
значения ап подряд. Итак» здесь мало, как при обычных формах
метода математической индукции, находить ai и затем убеж¬
даться в том, что при переходе от п к п + 1 формула остается
справедливой. Здесь вначале придется 'убедиться, что она
верна для довольно многих начальных значений. В качестве
примера покажем, что она верна для n= 1. В самом дёле,
q ^ 9 — o^Q ■ ap • Oe Н“ ^ * Og -1 • 34 4" 1 • 55 — 89.
Покажем, что из истинности формулы, данной в условии,
для п — 1 н n следует ее истинность для л+ 1. Применяя еще
и основную формулу, получим:
<b + 10 = °п + 9 +Ai + B =(4t-jOe +4i09) + (^,_20e + Ц, _ , Од ) =
= fa-l + A,_2)ae + (4>-l +A)O9=0;Oe+a,+ ,a9,
что и требовалось показать.
13.	Вначале провер^^м.^оохветствующей подстановкой значе¬
ний п, чтодействительно Ьо“== о, ajp^== b. ПрОводя рассуждения в
обратном направленШ,: y#e>tihdfewcri, что действительно для на¬
чальных значений п а„ выражается fto формуле, приведенной в
условии. Предположим теперь, что при некотором натуральном п
эта общая формула верна, и покажем, что тогда она верна и для
п 4- 1.
17

1	п 4- 9 h
Согласно условию задачи, ап + \ =—(с„ + ап-1)=^3	Ь
_L (	1 v* ь — а /_	1 г 1	\—^+2<| I ( iy6-a
1 J 2-3 V 2"-' 2я~г /	3	'TV	}	3.2"	'
Приведем замечание, которое должно облегчить понимание
приведенных здёсь вычислений для учащихся: (—1У-2==(—1)**
поскольку числа п и п — 2 обладают одинаковой четностью.
14.	Получаем, что при n = l действительно ai =^(5*30 —
—	I)=2. Предположим, что формула, приведенная в условии
задачи, верна.
Тогда ая+| = Звя + l=3*^-(5*3"-1- 1)+ I =^-(5.3"-1),
чта и требовалось.	2
1Б. При п = 1	2 + УТ=й1 + b, yf3^,a, = 2, *1 = I; 4—3=1,
как и_утверждается в условии. При п + 1	(a„ + b„V^^)*(2 +
+ V3 ) = 2а„ + 3bn + /3 (а„ 4- 2bn), ап +1 = 2ая + 3b„ и
frn+1 = o>n 4- 2Ьп.
al+1 - 362+i =• (4 al + l2anbn + 9fc*) - 3 (а* + 4a„b„ + 4b*) =
-al — 3b*= 1,
что и требовалось.
16.	Для т = 2 утверждение п (Xi U Х2)— п (Xi) + t1(X2) очевид¬
но. Пусть утверждение, приведенное в,условии задачи, справедли¬
во для некоторого m^2. Покажем, что тогда оно справедливо
для т + 1. Обозначим множество Xi у Xi U • ■ ■ U Х'т через Х‘. Нам
остается доказать, что n(X' U^m+i) = «(^') + ^(^m+i)- Но это
просто иная форма эапися того же равенства, которое было
записано здесь в самом начале.
17* Ясно, что в любом выпуклом многоугольнике (при n>3)
можно уменьшить число углов на I, проведя в нем одну из диаго¬
налей, соединяющих две вершины многоугольника, расположен¬
ные через одну, и удалив образовавшийся треугольник. Продол¬
жая этот процесс многократно, мы придем к тому, что после
удаления очередного треугольника оставшейся фигурой также
будет треугольник. Должно быть ясно (хотя в соответствующем
рассуждении содержится довольно сильное отвлечение, абстраги¬
рование), что из треугольника с помощью обратной процедуры
всегда можно построить произвольный выпуклый многоугольник
с заданным числбм углов. Более того, такое построение можно
провести более чем одним способом.
Ясно, что формула, приведенная в условии этой задачи, для
треугольника верна: 2rf(3-2)=2rf (т. е. 180°).
Пусть эта формула верна для любого n-угольника. Покажем,
что она будет верна для (n + 1)-угольника, получающегося из
n-угольника пристройкой к нему во внешнюю сторону треуголь¬
ника, имеющего с ним общую сторону. Сумма углов для
(п + 1)-угольника составит 2d(tt — 2) + 2d — 2d(n — lj =
= 2d ((n + 1) — 2)), что и требовалось.
t8

УГЛУБЛЕНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА
Наиболее важным моментом углубления школьного курса ма¬
тематики является введение декартова произведения. От учащихся
здесь требуются самые наиэлементарнейшие знания и умения, но
вместе с тем вводится солидная основа для целого ряда последую¬
щих разделов факультатива.
Учащиеся пОлучают представление о том, что наряду с изве¬
стными им последовательностями — геометрической и арифмети¬
ческой прогрессиями — существует еще один замечательный вид
последовательности — последовательность Фибоначчи. Эта после¬
довательность интересна не только присущими ей сугубо, матема¬
тическими свойствами, но своим применением на практике [4].
В данном разделе факультатива эта послёдовательность позво¬
ляла обнаружить новые для нас формы метода математической
индукции (задача 10, (6)).
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
По последовательности Фибоначчи и родственным ей после¬
довательностям' может быть рекомендована книга [4], весьма
интересная и по содержанию и по характеру изложения. Полезно
поручить некоторым учащимся подготовить по этой книге рефе¬
раты или устные доклады. МатерЙала для них в ней предостаточно.
Много алгебраических задзч, по своему содержанию и направ¬
лению примыкающих к содержанию данного блока, можно найти
в книге [10].
Геометрический материал, показывающий одно из возможных
приложений последовательности Фибоначчи, учащиеся могут
найти в книге [8].
РАЗРАБОТКА 3-ГО БЛОКА
Тема этого блока «Индукция в геометрии». Правда, геометрия
здесьмыслится нетрадиционная, она больше похожа на элементы,
точнее сказать, некоторые элементы теории графов. Это, конечно,
не означает, что в обычной геометрии математическая индукция
не находит применения. Приступая к изучению пункта 9, учащимся
нет нужды повторять школьную математику. Теоретическая часть
этого пункта построена так, что после ее изучения учащиеся могут
достаточно свободно использовать основные положения.
В теоретической части пунктаречь идет в сущности о графах с
цветйыми ребрами и о плоских графах. Подробнее об этом можно
прочесть в [1] и в [11]. В большей части упражнений приводятся
задачи, которые в теории графов относятся к плоским графам с
цветными вершинами. Каждой стране в задачах на правильную
.раскраску можно поставить в соответствие помещенную в ней точ¬
ку (вершину), которую будем раскрашивать вмеггостраны. Qrpa-
19

ны, имеющие общую протяженную границу в прежнем графе,
в новом, вершины которого нами определены, соединяются
отрезками. Вершины в новом графе раскрашиваются так, чтоВы
две соседниевершины не имели одной и той же окраски. Такую
раскраску называют правильной. По сути, интерпретация таких
графов и рассматривается в упражнениях. От учащихся при этом
специальных знаний не требуется.
СИСТЕМА УПРАЖНЕНИЙ
19.	Рассмотрим прежде всего случай n= 1. Это означает,
что внутри отрезка [AB] мы помещаемвсего лишь одну точку. Ей
можно дать шш номер 1, или номер 2. В том и в другом случае
числа г и 5 не изменятся. Если, скажем, попавшую внутрь [j4B]
точку назовем цифрой 1 (можно было бы сказать «окрасим в
цвет 1»), то данный отрезок [AB] разделится на два отрезка.
У левого отрезка оба конца имеют одинаковый номер—'1. Поэ¬
тому ему не приписывается ни значение r, ни значение s. Анало¬
гичная картина возникнет, если Мы средней точке припишем
значение 2. В обоих случаях так же, как для первоначального от-
резка [i4B], будем иметь r= 1, s = 0.
Тепёрь предположим, чточвнутри отрезКа [i4B] проставлены и
пронумерованы цифрами 1 и 2 п точек. Оказалось, что r — .5 = 1,
и установлено, что длЯ п точек иного значения этой разности
быть не может. Проставим теперь внутри отрезка~еще одну точку
и пронумеруем ёе. Покажем, что значение разности r — s не
изменится.
Возможно несколько случаев. Оговоримся прежде всего, что
новая точка не попадает на то место, где уже стоит какая-нибудь
точка (в противном случае нам пришлось бы принудительно за¬
нумеровать ее той же цифрой, которой занумерована первая
попавшая на это место точка). Если левый конец отрезка,
на который попадает новая точка, занумерован цифрой 1*
а правый — цифрой 2, то точно таким же образом, каким этО
сделано было выше, показываем, что значение разности t — s
не изменяется. Принципиально ничего не меняется* если левый
конец отрезка, куда попадает новая точка, занумерован цифрой 2,
а правый — цифрой 1. Обе цифры равноправны.
Наконец, возможен случай, когда (n + 1)-я точка попадает
внутрь отрезка, концы которого пронумерованы одинаковыми
цифрами. Если (n + 1)-й точке мы припишем тот же номер, то ве¬
личина r ~ 5 не изменится. Если же другой, то и r и s увеличатся
на 1. Поэтому и в этом случае величина йазности r~s не изме¬
нится.
20.	Ясно, что в случае одной прямой обе полуплоскости,
на которые она делит плоскость, можно раскрасить в разные
два цвета, причем эта раскраска плоскости будет правильней.
20

Пусть теперь нам удалось в случае п прямых раскрасить плос¬
кость правильно в два цвета. Проведем произвольным образом
(л + 1)-ю прямую (при этом будут охвачены все возможные рас¬
положения п Н- 1 прямых на плоскости). Новая прямаяразбивает
шшскость на две части, каждая из которых правильно раскрашена
в два цвета. Оставим^ в одной из полуплоскостей цвета всех
участков неизменными, а в другой — изменим на противополож¬
ные. При этом каждая из полуплоскостей останется правильцо
раскрашенной; участки же, разгороженные (л+1)-й прямой,
разобьются каждый на два, причем также правильно раскра¬
шенные. Итак, утверждение, сформулированное в условии задачи,
доказано методом математической индукции.
21.	Эта задача решается аналогично предыдущей.
22.	Необходимость этого условия очевидна, ибо если допуститц
что в какой-нибудь вершине карты сходится нечетное число гра¬
ниц, то страны, окружающие эту вершину, нельзя правильно рас¬
красить двумя красками. Если правую мы раскрасим в цвет 1,
следующую за ней — в цвет 2, соседнюю со второй — в цвет 1
и т. д., то нечетные страны окрасятся в цвет 1. Значит, и окраска
последней страны, смежной с первой, будет 1. Итак, предполагая,
что в вершине сходится нечетное число границ и что такую карту
можно правильно раскрасить, мы пришли к противоречию.
Приведем теперь доказательство достаточности условия.
Простейшая карта, в каждой вершине которой сходится четное
число границ, может быть представлена как две окружности,
касающиеся друг друга внешним йли внутренним образом. Ясно,
что такую карту можно раскрасить в два цвета.
Предположим, что утверждение, высказанное в условии зада¬
чи, справедливо для любой карты, в каждой вершине которой
сходится четное число граници общее число границ которой не
превосходит п. Оговоримся заранее, что на карте нет стран-остро¬
вов, которые бы находились целиком внутри других стран. Иначе
нам бы пришлось ввести в рассмотрение вершины на границе
только двух стран, геометрический смысл которых неясен. Впро¬
чем, наличие таких стран не вносит каких-либо трудностей в рас¬
суждение.* Их можно рассматривать отдельно, окрашивая в цвет,
противоположный тому, в который окрашена окружающая их
страна. Словом, будем рассматривать карты, из любой вершины
которых можно пройти в любую другую вершину,, двигаясь по
границам. При этом получается замкнутый путь.
Выделим такЪй замкрутый путь в карте с (я+ 1)-й границей.
Удалив этот путь, получаем карту, которую, по индукционному
предположению, можно правильно раскрасить в два цвета (в
каждой вершине остается четное число вершин, поскольку из чет-
ного числа границ вычитаются две). Возможно также появление
«островов», но, как мы видели, последнее обстоятельство не
должно нас смущать. В силу индукционного предположения полу¬
чившуюся карту можно правильно раскрасить в два цвета-
21

Восстановив отброшенный замкнутый путь и изменив с одной
стороны от него все цвета на противоположные, получаём пра
вильную раскраску данной карты с (n+ 1)~й границей
Таким образом, нам удалось провести доказательствоустаизв
ливаемого в условии задачи факта методом математической ин
дукции по числу границ Заметим, что одной из принципиальных
трудностей методического порядка при решейий достаточно
сложныхзадач методом математической индукции являете» поиск
того, по какой переменной осуществлять рассуждениё методом
математической индукции
УГЛУБЛЕНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА
Вполне возможно применение метода математической индук
ции не толъко в теоретико-графовых задачах, но и- в собственно
элементарной геометрии. Есть хорошая книга [5], в которой
достаточно подробно и основательно разбирается этот вопрос.
Здесь же достаточно подробно рассмотрены задачи на правиль¬
ную раснраску кусков плоскости п некоторые другие теоретико¬
графовые задачи геометрической природы.'Однако при рекоменда¬
ции этой книги школьникам надо заметить, что написана она
была давно, когда ныне действующей школьной программы по
математике не было. Это наложило определенный отпечаток на
терминологию книги, которая некоторым школьникам может по¬
казаться непривычной Подготавливая по этой книге рефераты,
они должны будут «перевести» ее на привычный им язык
Примерное содержание зачета
1	Привести примеры дедуктивного в индуктивного рассужде¬
ний
2	Привести пример применения рассуждения по полной ин¬
дукции
3.	На какие два этапа подразделяется доказательство методом
математической индукции?
4 В чем принципиальные различия между рассуждением, опи¬
рающимся на неполную индукцию, и методом математической
индукции?	/
5.	Что имеется общего у всех задач, которые решаются методом
математической ивдукции?
6.	Какие можете указать разновидности метода математиче¬
ской индукции?
7.	Провести доказательство теоремы Эйлера для связной сети
на плоскости. Какая из областей и чем в такой сети отлична вт
всех других?
8.	Провести доказательство методом математической индук¬
ции, что число ребер в дереве на единицу меньше числа его
верши.н
22

9.	Какая последовательность называется последовательностью
Фибоначчи и как используется математическая индукция для
изучения ее свойств? Привести примеры.
10.	Можно ли последовательность Фибоначчи строить* начиная
с 0 и 1? Если да, провести доказательство, любого из тождеств,
которые удовлетворяются членамипоследовательности Фибоначчи
в таких обозначениях.
11.	Провести методом математической индукции доказатель¬
ство того* что выпуклая ломаная, концы которой служат одно¬
временно и концами данного отрезка, «меет большую длину, чем
этот отрезок. Выпуклой ломаной яри этом считать такую лома¬
ную, которая вместе с данным отрезком ограничивает нц плос¬
кости выпуклый многоугояышк, т, е. такой, которому принадлежит
каждая из точек его диагоналей.
12.	Привести пример, когда результат можно получить н при¬
меняя метод математической индукции, и беэ него.
^ 13, Провести доказательство того факта, что число подмно¬
жеств «-элементного множества равно 2п
14.	Провести доказательство неравенства Бернулли,
15.	Провести методом математической индукции доказатель¬
ство формулы для суммы арифметической прогрессии.
16.	Провести доказательство методом математической индук¬
ции &ля формулы суммы геометрической прогрессии*
17.	Провести доказательство методом математической индук¬
ции для любой из задач на неравенства, п'редЛоженных а по¬
собии.
Вместе с теоретическим вопросом дается задача. В качестве
такой задачи можно взять одну из задач № 3, 4, 5, 7, 9, 12, 14.
Если вопрос трудный, то задача предлагается полегче.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ1
3.6>l2 + 22 + 32 +	+	п2	+	(п	+	1)2 =Sfe +-Ч2” *-^ +
6
4-(n+ 1 f="JLL(2n2 + п + 6 п + 6) = fr* ^F '^" t2) *> t 3) что
О	6
и требовалось (в самом деле, 2 {n + 1) + 1 = 2п + 3).
в)	1Э + 23 + З3 + ... + пэ + (n + 1)3 = ?-&+-'£- 4-(n 4-1)3 =
= ^п ^^ ^ (n2 4^ 4ra + 4) — fe ^*^1 fl^ ^P^^L t что и требовалось.
Г) l-2 + 2.3+3-4 + ... + n(n + l) + (n+l)(n4-2) =
=п(п + Il$n + 2) + (п + )^w + 2) — <n + 'Xя + 2Х” + 3) t что и тре.
u	3
бовалось.
1	З&есь рассматриваются те упражнения, которые не были разобраны в
разработках блоков.
23

д)	1 • 4 4^ 4 • 7 4^ 7 • 10 4^ ... ^- (Зл — 2X3n 4^ 1) +
+ (3 (n + 1)- 2Y3(n + 1)+ 1) = « (n + 1 )2 + (Зл + 1X3 n + 4) Ф
Ф (n -4* lXn + 2). Следовательно, указанное равенство неверно,
v l2 .	22	■	з2 .	■	п2	,	.	(я+1)2	_
'	1-3 ^* 3-5	5-7	*" *	(2и	— 1X2« + I) (2n+ IX2n + 3)
	n(n + I) ., (n + 1)2	- п + 1	/	п | п + I \	(w+IXn+2)
2(2n + !)	(2n + 1X2« + 3) ~2п + 1 *\ 2 ^^2 n + $)~ 2(2rt + 3) ’
что и требовалось.
ж)	I -1! + 2*2! + 3 • 3! + ... + n • n! + (п + l)(n + 1)! =
= (n + l)! _ 1 + (n + l)(n + 1)! = (« + l)'(n + 1 + 1) - 1 =
= (п + 2)! — 1, что и требовалось.
v J>_ . j	§ 2	j_ i п — i , п 	| _ я + i i
J f!;	2	3!	^*^	'"^*^	иГ	(n+ I)!	(я	+	I)! ^*^
J	"	= 1	J
(я + T)J	(й+1)Г
й) Здесь поступим иначе. Мы уже знаем, что при п — 1
записанная формула верна. Предположим, как и.прежде, что она
верна для некоторого латурального значения n> 1. Затем, пере¬
ходя от п к n + 1, преобразуем сначала не левую часть формулы,
а правую. Если формула верна и для n 4- 1, то левая часть
должна записываться так: ((n + l)+_l)-((n + 1) + 2)>((n + 1) +
+ 3).	*((n + 1) + (n — 1))'((п + 1) + rt)*((^ + 0 + (п + 0)
или так: (n + 2Xft + 3Xrt + 4)* ... *(n + nX" + "+lX" + '*4-
Н- 2). Чем эта Запись отличается о'т заниси, которая дана в левдй
части формулы для n? Пропал левый крайний множитель
(n + 1) и возникли два. новых « + п + 1 == 2п + 1 и n + п + 2 =
= 2 (n + L). А* как должна выглядеть правая часть формулы
для n + I? Очевидно, 2п + ,*1 *3*5*	-(2n — lX^n + 0- Видим,
что увеличилась в 2*(2n + 1) раз по сравнению с правой частью
формулы для n. Умножим теперь и левую и правую части фор¬
мулы для n на 2(2n + 1). В правой части, как уже говорилось,
получится формула для n + l. Покажем, что и слева получится
формула для n + 1. Действительно, имеем:
2(n +TXrt + 2Х« + 3)- . .. •(« + n){2n + 1) = (n + 2)(n + 3)(n +
+ 4>. ...*(n + n)(n + n+ J).(n + n + 2) = ((n+ l)+ l)-((n +
+ 1) + 2)-((n + 1) + 3)-.. . .((n + 1) + (n + I)).
4‘ а) Последовательно находим: Si=4-, S2 =4~, 5з = 4-,...
3	5	7
Легко Догадаться, что Sn должна иметь вид -- ”. —. Для началь-
2	п + I ~
ных значений натурального n- формула верна. Проверим, что эта
формула не меняется при переходе от произвольного натурального
п > 1 к п + I:
^!	u_L_j_^J	L .	1	,	«	-
Т Я.К, '	R-7	T*--T
b3^	3v5	1	5.7	' * *	(2л	—	l)(2n	+	l)- (2rt + l)(2w 4^3)*
_	,	^	I	1	_	1	/	I	1	\=Л±тL
2« + 1	(2л	+	1)(2л	+	3)	2л	+	1	\	^^2n	+	Ъ) 2л + 3 ’
что и требовалось.
24

б) Аналогично предыдущему находим: Si=4-, S2 = 4-,
4	7
$3 = 7^r,. ■ • Догадываемся, что 5„==	”,-,.
IU	ОД + I
Проверяем свою догадку (гипотезу):
_J	L_l	|	Lx '+	I	|	1
I-4	4-7	7• 10	*" * (Зя — 2ХЗя + 1) {Зя + lX3n +	4)
~Зп + 1 ^^(3n + lX3n + 4)=Зя + l(” ^**3п + 4) =Зя + 4’ ЧТ°	И Тр6’
бовалось.
5.	а) Вычисляем последовательной Р\ =—, Р2 = —, Рз = —,...
2	3	4
Нетрудно догадаться, что Рп =и ^ ^. Проверим эту догадку:
(' -f)(' -*X' -*)•••(' -d^)(' -^h)=
_ i Yi	1 ^	1	n	+ i= 1
ti 4* I \	ft *f 2 / п 4* 1 л ^f 2 л ^- 2
что й требовалось.	2	э
6.	а) Полагая сначала п—\, находим ж —*~ ^_^—. Но
ведь^совсем нетрудно убедиться, что это ^- тождество. Значит,
при n = 1 данная формула верна.
Имеем далее:
5Л+, ^-<п+('Ку^ + г+ (п + iyf+. =
_*-(л+2у + г + («+1>«" + ’
(l-*J*
что и требовалось.
б)	Проверим формулу при n = 1.
_ 1 =** + f-+ 1 ^- 3 = х2 — 2 + Л- —
ДГ	дг
=('-f)'
Получаем, что при п = 1 формула верна.
Допуская, что формула истинна при n> 1, проверим, остается
ли она истинной при n+ 1:
(* - тУ+(-’ -$y+(** - ±у + • •+(*" - ?)’+
+(**' - ?Ц!=?Ь(^+!-^) -2» -1 + *!”+!+
+^г-2=тЬ- Р*‘~ *)~ * - 3 + fcr(^+’ +
i_J Л 	1	fr2n + 4 . y2n + 2 y2n + 2 L_ I 1 _J  Л _
Т ^n+2)-^_ ,^Л	^*	*	**i =T**i	х2«+7)
— 2я — 3 =^rZT(*2n+< — лг* + 0 — ^П ~~ ®’ ®ИДИМ* 4X0 ПРИ за'
данных в условии задачи ограничениях формула верна.
25
Ы*'-¥)-2

в)	Проверяем данную формулу для п=1: ^iL=te—W2 ; *) ^_
4-1 — х + * . Формула в этом случаеистинна.Проверяем теперь
для произвольного натурального n> 1, верна ли формула при
переходе от п к п + 1:
*+l	.	* + 3	, х + 7	1	■	JC+2"-t , x +	2"+1 - 1 _,_
2	’	4	~	8	’	’' * ~	2"	2я+|
_jx- lX2"-0 , „ , K + 2r + '-J	_
grt	” 91 Т	£4 + 1
2	(ж — 1X2" — П + w2"^*^* + X + 2" ^*^1 ~- 1 _
~~ 2n + 1
= (*^*Xp"* ~ ^—(rt+ 1), что и требовалось.
2	^
7.	б) Неравенство яри п = 1 истинно, однако становится невер¬
ным при n = 2, 3, 4, 5» 6, 7, 8, 9. В этой связи читателю пред¬
лагается проверить, что при n = 1 переход от п к п 4^ 1, кото¬
рый рассматривается ниже, не работает. Согласно индукционной
гипотезе, начиная с- некоторого n >9, должно соблюдаться нера¬
венство 2">п3(2'0> 10®). Проверим, будет лн оно соблюдаться
при »4-1:	2"+1 >2я3 ао гияотезе. Но 2n3=«34-п3>п34-
+3n2 + 3n 4^ I =(n 4- 1^. Значит, прия>*9 2п+| >(n 4 |Д что
и требовалось.
9.	в) При n = 1 в скобках получаем число 391 =17*23, т. е.
делящееся на 17. Предположим, как обычно, что содержимое ско¬
бок делится на 17; Покажем, что тогда выражение 25я+8 4
4-5^+1 -3'+3 также делится на 17. Действительно, последнее
выражение можно представить в виде 32 • 26* +3 + 15 • & - 3я+2 =
^17-2^+3 4- l5-(25n+s + 5f>3P+2). Первое слагаемое делится на
J7 потому, что содержит множитель 17, второе делится' на 17
поиндукционной гипотезе, значит, и все выражение делится на 17.
г)	При n = 1 в скобках получаем число 855. Это число де¬
лится нацело Hd 57. Предположим, что при некотором натуральном
значении n> 1 содержимое скобок делится на 57 Докажем, что
тогда (7^я + ,^+а + 82^л+|^+1)157. Делимое можно записать в виде
7*7"+2 4^ 64*82я + | = 7*(7Я+2 4 82л + |)4-57-82в+ *. Ясно, что оба
слагаемых в правой части делятся на 57 (первое — согласно
гипотезе). -
д)	При n = 1 в скобках получаем число 5809, которое делится
на 37. Предположим, что при некотором натуральном значении
n >,l содержимое скобок делится на 37. Покажем, что тогда на 37
йелится выражение 2*3**2"+*-3*" 4-5^.5^"+1 = 125-(2*+5*34я 4^
4 53"+1) 4 37 • 2? +5 ■ З1". Ясно, что на тех же основаниях, что и
в предыдущих случаях, выражение справа делится на 37.
е)	При п = 1 в скобках получаем число 256, которое делится
на 64. При п 4- 1. содержимое скобок принимает вид: (32 —
—	1).32г + 3— 24 4 (32л+3 — 24n 4 37). Второе слагаемое, по гипо¬
тезе, делится на 64. Первое слагаемое делится на 24 (значит,
и на 8), После «го деления да 24 получим: 32n+2 — 1. Покажем
26

(снова методом математической индукции), что это выражение
также делится на 8.
: Действительно, при n = 1 получаем 80i8. При переходе от п
к п + 1 полученное ранее выражение преобразуется к такому
виду, из которого видно, что оно делится на 8 : 32 . 32п + 2 — 1 =»
±=(8-32л + 2 + (32* + 2-1)) 8.
10.	в) В пособии 1979 г. издания в условии задачи опечатка
Надо^г ая-а„+1 = al + а? + а\ + ... + at
Для n=l получаем: ага2 = 2 = Оо + о?=12+12 Предпо¬
ложим теперь, что формула, данная в условии, верна. Докажем
аналогичную формулу для п + 1 Для этого к обеим частям
формулы, данной в условии, добавим слагаемое Ов + i, Правая
4Mkrrb' тогда будет соответствовать пер«ходу от п к п + I Слева
волучнм сумму впОп +1 +ctn+i = an + r*(an + оп+1)=«я + |*ая+2-
Следовательно, если верна формула, данная в условии, то верна
*r формула ая+квп + 2 = о§ + о? + <*2 + ... + с?, + а2„+ ь
12.Легка усматривается, чтов| = V*2^ > a<> = 0. Предположим
теПерь, что а* — а„ _ i > 0, и покажем, что тогда e»+1 — ан > 0.
В самом деве: art+1 — ап — /2 + ап — ^2 + a*_i =
= "_--'^'**T *^i^.		>*ft- Это нам и требовалось получить.
** + «* + ^2 + а„ ,	r	J
t& Эта формул» верна для треугольника (число диагоналей в
этом случае рзвно 0) Предположим, что она верна и для произ¬
вольного выпуклого я-утольннка. Достроим этот «-^угольник до
(я 4^ 1Ууге«ынпса гак, как это делалось в предыдущей задаче
Новую вершмну можно соединить диагоналями с (п — 2) вер¬
шинами исходного п-угольника, перестроенного намн в (п + 1^
угольник. Кроме того, одна иэ сторон «-угольника преобразуется
■в диагональ (п + 1^-уголькика (какая?). Пеэтому число диаго¬
налей в образовавшемся (п+1)-уголышке равно ~^п ~ ffi 4~
+ n - 1 =(« + t>- 2>=(« 4 щу i>- a>t ЧТ0 и греб6вало2Сь.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
f Ёерез и н а Л. Ю. Графы и их, применение М., 1979.
2.	Биленкин В. #. Индукция. Комбинаторика М., Ш76
3.	В и л е н к и н Н. Я. Метвд последовательных приближений М I9$8
4.	Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. А\., 1978.
5.	Г оловннз Л. И. и Яглом И. М. Индукция в геометрии М., 197©.
6.	Депман И. Я. История арифметики. M.,1965.
I	Ч^стория математики с древнейших времен? до начала XIX столетия. В тре*
Томах /Под ред. Д. П. Юшк«вкча Т 2. Математ-ика XVII столетия М,г 1976
8* Кокстер Г С М. Введение в геометрию. м., 1966.
9. К о р о в к и н П. П. Неравенства М., 1974.
Kfc Kpe4W3p B*A Задачиикпоалгебре М., 1972
II	Ope О Графы и их применение.М., 1965
‘*12 Пой а Д. Математика ш правдсгг&дебные рассуждения, М 1975.
13 Пона Д. Математическое открытие*М^ t976
t4 Руэавин Г И Оприродематематическогознаиня М i966
I& С о м * н с к и ft Й С. Метод натемаптеской индукцн» М ) 974.

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Кбмбинаторика представляет собой важный
раздел дискретной математики. Она рассматривает возможности
расположения, упорядочения или выбора элементов некоторого
множества. Комбинаторика (или комбинаторный анализ) тесно
связана с целым рядом других областей дискретной математики —
как сугубо теоретических, так и прикладных. К первым можно
отнести теорию конечных множеств, теорию вероятностей, теорию
графов, высшую алгебру, теорию групп, теорию чисел, комбина¬
торную геометрию, ко вторым — сетевое планирование и управ¬
ление, программирование, языки и алгоритмы ЭВМ, кодирование
и декодирование, математические основы биологии, исследование
операций. Комбинаторные методы и результаты используются
для развития этих наук, а методы и результаты последних при¬
меняются при решении комбинаторных задач и служат дальней¬
шему развитию комбинаторики. Представление об этом учащие¬
ся могут получить, например, из книги [I].
Настоящий факультатив дает сумму знаний, которых доста¬
точно для знакомства с целым рядом теоретических и прикладных
дисциплин. Интуиция, развивающаяся у учащихся при занятиях
элементами комбинаторики, оказывается весьма полезной при
работе в других областях дискрётной математики.
Элементарные сведения комбинаторного характера были из¬
вестны очень давно, но они носили разрозненный характер. Опре¬
деленный вклад в их систематизацию был сделан в XVII в. Б. Пас¬
калем и .П, Ферма. В том же, XVII в. попытку рассматривать
комбинаторику как единую теоретическую дисциплину предпри-
■нял Г. Лейбниц (он отводил комбинаторике роль, несколько завы¬
шенную в сравнении с ее возможностями, универсального мате-
матичёскогоаппарата логических рассуждений/. Понятно; что в
результате целенаправленной деятельности таких крупных мате-
матяков комбинаторика получила успешноеразвитие. В частности,
уже в XVH в. были получены почти все формулы современной
школьной комбинаторики.
Материалы «Элементы комбинаторики» из пособия по факуль¬
тативному курсу содержат начальные сведения о комбинаторном
анализе и дают представления о некоторых его методах. Учащих-
28

ся последовательно знакомят с аппаратом комбинаторного анали¬
за в объеме, достаточном для решения многих практических
задач. Основной методический прием заключается в использова¬
нии задач для выяснения математической сути в рассматриваемых
ситуациях. Использование задач с различной фабулой позволяет
обратить внимание учащихся на то, чтб в этих задачах общего с
математической точки зрения.
С какими понятиями школьной математики связана настоящая
тема? Прежде всего с понятиями из теорий множеств. Для успеш¬
ного понимания положений комбинаторики нужно свободно вла¬
деть простейшими операциями над множествами; к их числу от*
носятся: объединение множеств, пересечение множеств, декартово
произведение множеств. Так что рассмотрение этих понятий в
предыдущем разделе учебного пособия оказывается очень кстати*
Комбинаторика тесно связана с темами: «Многочлены», «Бином
Ньютона», «Последовательности». Довольно много вкомбинато-
рике содержитс*Гзадач на геометрическом материале, использую¬
щих не только специфические термины, ш? и их принципиально
геометрический смысл. Вообще у комбинаторики много общего с
традиционной школьной математикой. Своеобразной особен¬
ностью комбинаторики является несколько «игровой» стиль ее
преподавания. Он сказывается и^ формулировке задач, и в из¬
ложении их решения. На первый план в первом блокё, в этой связи
в особенности, выносится рассмотрение разнообразных ситуаций,
а не изучение свойств формул, выражений и т. п. Исключение сде¬
лано для числа сочетаний С™ (п. 12 пособия), это весьма содер-
жательное понятие используется не только в собственно комбина*
торике, но и в целом ряде других разделов математики.
Потенциально трудности могут начинаться там, где надо не
формально, а по существу разобраться в ситуации, определить,
с каким соединением (общий термин для размещений, перестано¬
вок и сочетаний) в данном случае имеешь дело. Иначе говоря, мо¬
жет быть труден или непривычен момент интерпретации задачи,
конструирования несложной модели ситуацйи на базе изученного
математического материала, перевода ее условий с ситуационного
языка на математический, на котором предстоит выполнить прин¬
ципиально несложные формальные преобразования.'Оговоримся
здесь, что формальные преобразования для рассматриваемых за¬
дач несложны, если выбран не только правильный, но одновремен¬
но еще и рациональный путь решения. Найти такой рациональный
путь помогает теория (к вопросу о выборе рационального пути
решения мы еще вернемся и тогда приведем соответствующие
примеры). Сейчас комбинаторика — это зрелая, находящаяся в
расцвете сил наука, которая имеет свой предмет изучения, свою
структуру, свои отработанные, надежные, мощные и разнообраз¬
ные методы целенаправленной переработки информации [1, 3].
Кратчайший и наиболее эффективный путь ее познания проходит
через рассмотрение разнообразных ситуаций. В частности, благо-
29

даря им новые понятия вводятся естественно. Учащиеся мо¬
гут сразу увидеть, зачем эти понятия нужны и как они ра¬
ботают.
Тему «Элементы комбинаторики» целесообразно разделить на
два блока. К первому блоку следует отнести п. 1—3 и 5—9 (п. 4,
набранный мелким шрифтом, рекомендуется для доклада или
реферата)’. На изучение материала этого блока отводится 3 часа.
Ко второму блоку относятся п. 10—15. Пункт 16, связанный с ком¬
бинаторикой в основном через бином Ньютона, также можно рас¬
смотреть 8 форме доклада. На изучение материала второго блог
ка отводится 2 часа. Оставшийся 1 час следует использовать для
проведения зачета.
Математический стержень, который объединяет материал пер¬
вого блока, это — использование обобщенного правила произве¬
дения и соответственно понятия «кортеж». Однако выделение пер¬
вого блока полезно не столько из математических соображений,
сВДлько из методических. Сведения, которые содержатся в этом
бловд, принципиально более просты и носят иропедеатический
характер. Однако, чтобы как следует разобраться в материале
второго блока, учащимся нужно освоить основные понятия, кото¬
рые вводятся в первом.
4	Второй блок яо содержанию построен на приложении материа¬
ла, введенного в первом блоке, нр эдесь есть и своя математика,
поскольку рассматриваются приложения вводимых понятий.
РАЗРАБОТКА 1-ГО БЛОКА
G самого начала подчеркнем,- что этот материал органично
связзн с материалом предыдущей темы «Математическая индук¬
ция». СвязЪ Эта выражается в том, что и здесь и там использует-
сяоднородныйтеоретико-множественный материал. В частности,
изучение предыдущей темы подготовило вводимое теперь понятие
«кортеж».
В пособии в неявном виде используется понятие «численность
множестваъ к(Х) (численность множества называют также мощ¬
ностью или валентностью множества). Численность — это число,
которое* выражает количество элементов в рассматриваемом ког
печном множестве.
Подчеркнем упомянутый в пособии факт, что декартово произ-
ведениемножеств также есть множество. Элементами этого мно¬
жества являются кортежи. Теперь обобщенное правило произве-.
дения (n^5) можно сформулировать так: численность декартова
произведения п данных конечных множеств равна произведению
(алгебраическому, естественно, потому что численности — это
числа) численностей этих множеств или же может быть интерпре¬
тирована как число всевозможных кортежей с п координатами у
каждого. Прежде чем доказывать обобщенное правило произведе¬
ния, дадим наглядное представление о кортеже. Это важно, пос¬
ла

кольку многие комбинаторные задачй сводятся к подсчету числа
всевозможных кортежей.
В качестве модели кортежа можно взять ряд ящиков (каждый
ящик — место ровно для одного элемента из множества, входяще¬
го в декартово произведение в качестве сомножителя под тем же
номером, что и ящик; научное название «ящика» — координата
кортежа; ящик или другая емкость очень часто фигурируют в
комбинаторных или дискретных вероятностных задачах в качестве
зашифрованной ими координаты кортежа). Число ящиков в корте¬
же п — это его п.орядок. Нб сам по себе ряд ящиков — это еще не
кортеж. Нужно, чтобы каждому ящику (каждому месту, каждой
координате «ортежа) соответствовал (был положев в этот ящик)
ровно один элемент из того множества, которое к этому ящику при*
писано.
Интуиция подсказывает, и подсказывает верно, что кортеж
можно рассматривать как многомерный вектор с п координа¬
тами. Известно, что понятие n-мерного вектора часто и плодот*
ворно используется в математике в качестве основного. Зачем же
тогда потребовалось вводить новый термин «кортеж» вместо <ш-
мерный вектор»? Причина заключается в том, что понятие корте¬
жа, в отличие от понятия вектора, можно видоизменять, обобщать
в соответствии с условием или требованием задачи. Теорню в це¬
лом не придется менять, она лишь будет развиваться. Если же
меняется основное понятие, то теория испытывает качественные
изменения.
Проведем теперь доказательство обобщенного правила произ¬
ведения методом математической индукции. Введем для числен¬
ности множества X обозначение h (Л). Тогда обобщенное пра¬
вило произведения запишется так: k (X1 X ^2 X • • • X ^n) =
=* k(Xt) - k(X2) • :.. . k(Xn).
Доказательство этой формулы для п = 2 приведено в посо¬
бии (с. 22 и с. 30). Чтобы установить ее истйнность для произволь¬
ного п, осталось допустить, что она верна для всех значений чис¬
ленности вплоть до некоторого значения п, и доказать, ч.то тогда
она верка для численности, значение которой п + 1.
Обозначим рассматриваемое множество кортежей длиной п за
Х‘. Тогда fc(Jf'),ecTb численность этого множества. По индукцион¬
ной гипотезе k (Л*) = k (^fi)* k (Х2У... • k (Х„). Но, по доказанному в
пособий на с. 22, k(X' + Хп + i) = k (X')* k (Хп + t). Кортежи по¬
рядка п 4- 1 рассматриваются в последнем равенстве как кортежи
второго порядка. Из последнего равенства получаем: k(X\ X X2 X
X...XXnXXn + i)=k(Xi)*k(X2}-...-k(X„)-k(Xn+iy, что и
требовалось.
Итак, правило обобщенного произведения и понятие «кортеж»
введены. Теперь следует остановиться на том, как их использо¬
вать.
Первое из соединений, которое рассматривается в пособий,
размещение с повторениями. Использование понятия «кортеж» в
Э1

этом случае самое простое. Задача заключается в том, чтобы най¬
ти число кортежей при Х\ = Л2 = . .л - = Хп = X. Как мы увидим
ниже, способы задания этих кортежей могут быть самыми раз¬
личными.
Далее речь идет о размещениях без повторений. Здесь также
первоначально X1 = X2 = ... = Хп. Но на этот раз в кортеже
не должно быть повторяющихся элементов. Перестановки без
повторений'можно рассматривать как частный случай размещений
без повторений. Перестановки с повторениями требуют, как это
показано в пособии, введения понятия «состав данного кортежа».
Сочетания без повторений представляют собой частный случай
перестановок с повторениями.Так что каждый рассмотренный в
первом блоке случай связан с применением обобщенного правила
произведения и кортежа.
Такой^сводкой, только изложенной не формально, а полученной
в результате совместных усилий педагога и учащихся, полезно
закончить третье занятие.
СИСТЕМА УПРАЖНЕНИЙ
I.	Этот пример представляет собой упражнение на примене¬
ние понятия «кортеж» в самом общем виде. Порядок кортежа
здесь задан. Из условия задачи сразу следует, что он равен трем.
‘Множество, которое соответствует первой его координате, имеет
численность Ю (число книг A.X. Пушкина), численность второго
множества —8, третьего —7. Поэтому получаем следующую
искомую численность множества кортежей, т. е. выборок трех книг
разных авторов: k = 10-8-7 = 560.
2.	Студентов четверо, поэтому порядок кортежа 4. Числен¬
ность множества отметок, которыми могут быть наделены студен¬
ты, 3. Поэтому число размещений с перестановками, которое мы
ищем,- составит 34 = 81.	j
3.	Первый ящик — первая координата кортежа. Первой
координате можно приписать одно из пяти значений: 1-й этаж,
2-й и т. д. Итак, получаем кортеж порядка 6, каждой его коорди¬
нате может быть приписано 5 значений. Поэтому ответ: 5P
4.	Сколько значений может иметь каждая координата? —
Два. (Одна возможность — письмо понесет первый почтальон,
другая—второй.) Чему равен порядок кортежа?— 10. Отсюда
сразу следует, что искомое число возможностей составляет:
Л*=2,о=1024.
5.	Здесь обобщено условие задачи 3. Первый предмет может
оказаться в любом из т ящиков, второй независимо от этого также
может оказаться в любом из т ящиков и т. д. Такая интерпретация
условия приводит к тому, что число предметов следует считать
порядком кортежа 6, а каждая координата в соответствии с чис¬
лом ящиков, равным m, может принимать т значений. Поэтому
ответ: Ат — тк-
32

6.	Здесь предполагается, что премию нельзя делить между
несколькими лицами. Нельзя также две или три премии вручать
одному и тому же лицу.
Ясно, что распределение первой премии может быть осуществ¬
лено 10 способами. Будем считать, что одно лицо получило пре¬
мию. Тогда осталось 9 человек и две премии. Поэтому в pacnpe^
делении второй премии возможны 9 вариантов. После того как и
вторая премия вручена, остается 8 человек и одна премия. Ее
можно вручить 8 способами.
Итак, всего.способов вручения премии Л?0 = 1О-9-8 = 72О.
7.	Здесь цвета моделируют координаты кортежа, пронуме¬
рованные полосы — множества значений, которые могут прини¬
мать его координаты. Ясно, что одну и ту же полосу нельзя красить
двумя и более красками. В результате искомое число способов:
Л| =5.4-3 = 60.
Пусть теперь одна полоса окрашена в красный цвет. Если бы
было известно, какая полоса окрашена в красный цвет, то зада¬
ча была бы сведена к раскраске двух полос четырьмя цветами.
Тогда число способов раскраски остальных полос составило бы:
Al = 4*3= 12. Но ведь первую полосу, окрашенную в красный
цвет, можно выбрать тремя способами. Значит, искомое число спо¬
собов раскраски равно: 3*12 = 36.
8.	Эта задача требует проявления некоторой осторожности
при переходе к использованию кортежа. Сначала замечаем, что
последняя цифра пятизначного числа, входящего в качестве эле¬
мента в множество, численность котораго нам предстоит опреде¬
лить, нечетная, т. е. это одна из цифр: 1, 3, 5, 7. Выберем из них,
например, 1.
Будем теперь рассматривать всевозможные кортежи порядка 3,
у которых множество значений первой координаты {2, 3, 4, 5, 6, 7}
(отсутствуют 0, так как искомое число не может начинаться с нуля,
и 1, так как она поставлена нами в конец четырехзначного числа).
Численность множества значений второй цифры также 6 (одна
цифра нами использована, но в качестве второй цифры можно
ставить 0). Численность множества третьей цифры 5.
Итак, получаем четырехзначных чисел, удовлетворяющих ус¬
ловию задачи и оканчивающихся на 1: 6-6*5 = 180. To же самое
количество четырехзначных чисел получим, если в конце поместим
не 1, а 3, 5 или 7. Следовательно, искомых чисел 4*180 = 720.
{B учебном пособии в ответе опечатка.)
41.	Каждое яблоко обозначим нулем, каждую грушу единицей.
Тогда последовательную выдачу яблок и груш можно записатьв
виде последовательности единиц и нулей. Например, если сначала
были выданы груши, а потом яблоки, то последовательность будет
иметь вид: 111110000000000. Таких последовательностей столько,
сколькими «пособами можно выбрать 5 элементов из 15, т. e>
C^5 = 3003. Эта задача может быть рассмотрена последней
в данном блоке в качестве пропедевтической к п. 10.
2	Заказ 319
33

5л
5k
45.	Не привязывая себя
на этот раз к понятию «кор¬
теж», рассмотрим решение
немного подробнее.
1Ж 1M 2ж2м3ж3м4-ж4-м5ж5м
1M
Рис. l
5Ж
Чем отличается разме¬
щение элементов по окруж¬
ности от их линейного раз¬
мещения? При линейном раз¬
мещении первый элемент на¬
ходится слева, а все осталь¬
ные справа. Чем больше но¬
мер элемента, тем он пра¬
вее. На окружности нет пер¬
вого элемента, а направление слева направо можно заменить
направлением против движения часовой стрелки.
Как только посадим за круглый стол одного человека, то тем
самым определим первое место в соответствующем линейном раз¬
мещении (если угодно, в кортеже). Если посадим первой женщи¬
ну, то «женских» мест останется на единицу меньше, т. е. 4. Поэто¬
му женщин можно усадить через одйу, 4 способами.
Мужские места (через одно женское) также определены после
того,.как определены места всех женщин, поскольку также можно
договориться их занумеровать против движения часовой стрелки.
На рисунке I две разные нумерации мест за круглым столом соот¬
ветствуют одной и той же нумерации при линейном размещении
(принятой для кортежа). Номера мест, на которые усаживаются
женщины: !ж, 2Ж, Зж, 4Ж1 5Ж. Номера мужских мест: 1М, 2М1 Зм,
4М, 5i,. Ответ: 4!-5! = 2880.
УГЛУБЛЕНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА
При изучении начальных понятий комбинаторики (иногда этот
раздел называют теорией соединений) учащиеся видят, что содер¬
жательной является математика не только с бесконечными объек¬
тами, но и дискретная математика. До сих пор для учащихся дис¬
кретная математика выступала лишь в роли «вычислительной
арифметики».
Находя различные соединения, учащийся приближается к тем
понятиям высшей алгебры и других разделов математики, к кото¬
рым близка и которые обслуживает комбинаторика.
Особо следует отметить, что, осваивая комбинаторику, учащий¬
ся получает знания, необходимые при изучении теории вероятно¬
стей, при этом у него развиваются способности к вероятностному
мышлению.
Полезно дать учащимся несколько упражнений, на примере
которых показать, что теория соединений значительно ближе к
традиционной математике, чем это может показаться на первый
34

взгляд, например сравнить рост натуральной степени с ростом фак-
п\
ториала, показать, что ——	— всегда число целое, если
r	m! (п — т) I
n^m и т. д. Тем самым осваиваются формулы соединений, уста¬
навливаются их связи, например, со школьной темой «Неравен¬
ства», наводится тоненький пока мостик в сторону оптимизацион¬
ных задач прикладной комбинаторики.
РАЗРАБОТКА 2-ГО БЛОКА
Подтема «Сочетания с повторениями» перенесена во второй
блок, хотя сочетания с повторениями так же, как сочетания без
повторений, строятся на правиле обобщенного умножения. Связа¬
но это с тем, что данная подтема методически более сложна, чем
предыдущие. С этой же целью одна из задач пособия (№ 41) раз¬
биралась выше среди задач первого блока в качестве пропедев¬
тической.
Для успешного усвоения данной подтемы необходимо, чтобы
учащиеся свободно владели такими понятиями, как «сочетания» и
«перестановки с повторениями». Эти понятия должны стать опор¬
ными, а не просто знакомыми. Поэтому целесообразно предвари¬
тельно разобрать как можно больше упражнений на сочетания без
повторений и перестановки с повторениями.
Заметим, поскольку сочетания с повторениями в дальнейших
пунктах не используются, то эту подтему можно разобрать послед¬
ней. Пусть учащиеся сначала поупражняются на применении чис¬
ла сочетаний без повторений. Занятия надо построить так, чтобы
учащиеся почувствовали, что материал второго блока отвечает
специфике не только последовательностей с числами сочетаний в
виде членов, но и специфике комбинаторики, с которой они по¬
знакомились в первом блоке, что комбинаторика не кончается ма¬
териалом первого блока,
А для этого как раз и надо изучение второго блока начать
с подтемы «Правило суммы», а закончить «Сочетаниями с повто¬
рением».
Правило суммы особых методических замечаний не требует, так
как оно для учащихся обычно проще, чем правило обобщенного
произведения. Навык совместного применения правил произве¬
дения и суммы приобретается в процессе решения упражнений.
На залятии вывод формулы бинома Ньютона можно осущест¬
вить так, как он приводится в п. 15. Доказательство же этой фор¬
мулы методом математической индукции полезно предложить
учащимся выполнить самостоятельно. Это самый подходящий мо¬
мент, чтобы напомнить им недавно пройденную на факультативе
тему «Математическая индукция». При рассмотрении свойств тре¬
угольника Паскаля можно упомянуть, что впервые в истории
математики метод математической индукции был применен имен¬
но для этого числового треугольника.
2*
35

СИСТЕМА УПРАЖНЕНИЙ
21.	В данной задаче в роли п выступает число 10, в роли т
число 12 (обратите внимание, для сочетаний без повторений т
не может быть больше п). Поэтому Cn==C?+m_i — C2?.
22.	Решаетсяаналогично задаче 21, получаем: Cf = С| = 28.
23.	Если брать по одной книге, то имеется 6-3-4 = 72 воз¬
можности. Если взят «Рудин» в одной книге, а «Дворянское гнез¬
до» и «Отцы и дети» вместе в другой, то имеется 6-7 = 42 воз¬
можности. Если, наконец, взять вместе, в одной книге «Рудин» и
«Дворянское гнездо», а в другой отдельно «Отцы и дети», то полу¬
чится 4-5 = 20 возможностей. Все эти возможности друг друга
исключают. Поэтому можно применить правило суммы: 72 + 42 +
+ 20= 134.
24.	Если исходить из того, что выполнять операцию сложения
легче, чем операцию умножения, то ответ в этом примере проще
всего получить, строя треугольник Паскаля. В последней строчке
числового треугольника на рисунке 2 получаем коэффициенты, ко¬
торые приведены в пособии в ответе к данной-задаче. Можно было,
конечно, воспользоваться формулой для числа сочетаний.
2S>. Из условия должно бытьясно, что нужно найти коэффици¬
ент при Jt3 в разложении по биному Ньютона степени первой
пары скобок, затем найтд! коэффициент при х1 в разложении сте¬
пени второй пары скобок, наконец, коэффициент при х в разложе¬
нии по биному третьей пары скобок. Сложив эти три числа, полу¬
чим нужный результат. Коэффициенты находим, используя форму¬
лу для числа сочетаний. Искомые слагаемые соответственно рав¬
ны 4, 22* С\ = 112, 3 • С|2 = 36. Их сумма равна 144.
26s Коэффициенты при х3 равны соответственно: С|=1,
С\ = 4, С| = 10, С| = 20, С? = 35, С| = 56, Cg = 84, С?0=120.
Их сумма равна 330.
27.	Имеем очевидное равенство: С* — ^ ~ f С* + 1.
к + 1
В разложении ( V^5^ + ^2^)20 no формуле бинома Ньютона,
согласно условию задачи, должно соблюдаться неравенство
1
1 2 1
1 3 3 1
1 Ь 6 Ь 1
1 5 1010 5 1
1 6 15 2015 6 1
1	7 11353521 7 1
trt — к — I
Откуда при n = 20 получаем:
Рис. 2
36

Решая последнее неравенство, находим, что k расположено меж¬
ду натуральными числами 7 и 8. Но ведь k может принимать толь¬
ко натуральные аначения. Следовательно, надо проверить, что
оказывается больше — седьмой или восьмой член разложения дан¬
ной степени по биному Ньютона. Непосредственная проверка по-
казывает,чтовосьмойчленбольше,онравенС?0(^5 )12 • (^2 )8=
= 3I4925-105.
28.	Известно, что сумма всех коэффициентов разложения рав¬
на 2п. Нетрудно подсчитать, что 4096 = 212. Стало быть, n = 12.
Это четная степень, поэтому наибольший коэффициент будет при
члене, стоящем на ^- + 1 = 7 месте (этот факт хорошо виден
из рассмотрения треугольника Паскаля и может быть доказан
с помощью метода математической индукции). Степень w этого
члена будет на единицу меньше, потому что счет начинается с
ft = O. Окончательно получаем ответ С?2.
29.	Требуется доказать, что (4rt + 15« — 1) j9, где п — нату¬
ральное число.
Представим число 4 в виде суммы двух слагаемых: 4 = 3 +
+ 1. Тогда требуется показать, что ((3+lj*+15n—l)i9.
Пользуясь формулой бинома Ньютона получаем: (3+1)”==
= (3" + Cl3"-* + 0"-"+	.	+ CJ-a32)+CS-13+l. Ясно, что-
каждое из слагаемых, заключенных в скобки, делится на 9. Что
же касается двух последних слагаемых, то онисоставят 3n+ 1.
В сумме с 15« — 1 они дадут 18л, т. е. число, также делящееся без
остатка на 9. Стало быть, данное выражение делится на 9.
30.	Должны иметь лi + лг + Лз + п\ = 4, где ti{(i = 1, 2, 3, 4)
натуральные показатели степени разложения четырехчлена
(а + b + с + df. Кортежи, удовлетворяющие условию задачи,
имеют вид: (4, 0,0,0), (0,4,0,0), (0,0,4,0), (0,0, 0, 4), (3, 1, 0,0),
(3,0,l,0), (3,0,0,1), (l,3,0,0h(0, 3, 1, 0)t(0, 3, 0,1), (1,0, 3,0),
(0, 1, 3,0), (0,0, 3, 1),	(1,0,0, 3),	(0, 1, 0, 3),	(0,0, 1.3),	(2,	2, 0, 0),
(2,0, 2,0), (2,0,0, 2) t	(0, 2,2,0),	(0, 2,0, 2),	(0, 0, 2, 2),	(2,	1, 1, 0),
(2, 1,0, l)t (2,0,1,1),	(1,2,1,0),	(1, 2,0, 1),	(0,2, 1,1),	(1,	1,2,0),
(0, 1,2, 1,), (1,0, 2,1),	(1,1,0,2),	(1,0, 1,2),	(0, 1, 1,2),	(1,	1, 1, 1).
Данный список, очевидно, полный. В нем представлены по одному
разу все имеющиеся возможности. Членов разложения столько
же, сколько этих кортежей, т. е. 35. В пособии издания 1979 г.
в ответе опечатка.
31.	Распишем данную степень как произведение -десяти одина¬
ковых пар скобок:	^^
(1 + 2x + 3**).(1 + 2x + Зх2).. .(1 + 2x + З*2).
Разложение данного выражения по степенйм х в принципе мож¬
но получить, последовательно перемножая содержимое пар скобок.
Откуда при этом может взяться х4? Возможны три случая.
В первом из четырех последовательно выбираемых скобок
берутся члены 2x и перемножаются, а из остающихся 6 скобок в
37

качестве сомножителей выбираются единицы. Таких слагаемых
(t6*4) в разложении столько, сколькими способами можно вы¬
брать четыре предмета из 10, т. е. Cfo= 210. Сумма коэффициентов
этих слагаемых равна 210*16 = 3360.
Во втором случае из двух скобок берутся по 2x, из третьей
3x2f а из остальныхпо единице. Таких слагаемых (l2x4) будет
Cfo • Се = С}0 • Ct = 360. Сумма их коэффициентов равна 360* 12 =
= 4320.
Наконец, в третьем случае из двух последовательно выбира¬
емых пар скобок заимствуются члены Злг, а из прочих пар ско¬
бок — единицы. Таких слагаемых (9лг) в разложении столько,
сколькими способами можно выбрать два предмета из 10, т. е.
Crt> = 45. Сумма их коэффициентов равна 45*9 = 405.
В итоге получаем коэффициент при х4 равным сумме вычис¬
ленных коэффициентов, т. е. 3360 + 4320 + 405 = 8085.
32.	Всего пар языков насчитывается: Q2= 10, но нужно так¬
же учесть, что для перевода с каждого языка на каждый наря¬
ду, скажем, с русско-английским словарем надо иметь англо-рус¬
ский. Поэтому словарей в соответствии с условием задачи нужно
иметь 20.
33- Ответ.,, приведенный в пособии, комментариев не требует.
39* Здесь в соответствии с условием задачи следует оговорить,
что в команде должны быть минимум два человека.
Замечаем, что когда мы выбираем одну команду, то автомати¬
чески составляется другая команда. В одной команде должна
быть одна девушка, в другой — две. Будем формировать ту ко¬
манду, в которой одна девушка. Эту девушку можно выбрать
Сз = 3 способами. В одной команде с выбранной девушкой в Ql = 5
случаях окажется одий юноша, в С|= 10-случаях окажутся два
юноши, в Cg==lO случаях окажутся три юноши и,, наконец,
в Cg = 5 случаях окажутся четыре юноши. Таким образом, в со¬
ответствии с правилом сложения возможны 3*(5 + 10+ 10 + 5) =
= 30 случаев.
40. Двух женщин из четырех можно выбрать С\ = 6 способа¬
ми. Вместе с двумя женщинами окажутся четверо мужчин. Их
можно выбрать Cj =35 способами. Продолжая аналогичное рас¬
суждение дальше, получаем, что всего будет C^-Cl + Cf-CJ +
+ С? • С\ = 35 • 6 + 35 • 4 + 21 = 371 способ.
42.	Это задача на перестановки с повторениями. Введем со¬
кращенные обозначения: я — яблоко, г — груша, а — апельсин.
Напишем теперь слева составы всевозможных перестановок, ко¬
торые допускаются условием задачи, а справа — числа соответ¬
ствующих перестановок с повторениями:
raaaa	Tife—5
ггааа	^sr=10
38

гггаа
5!
013J2!
= 10
яаааа
5!
U014f'
= 5
ягааа
5!
Ull3!
= 20
яггаа
5!
I !2!2!
= 30
яггга
5!
1!3!1!
= 20
яяггг
51
2!3!0!
= 10
яягга
5!
2!2!1!
= 30
яягаа
5!
2П!2!
= 30
яяааа
5!
21013!
= 10
Суммируя числа перестановок с повторениями, получаем 180
способов.
43.	Первую цифру можно выбрать двумя способами, каж¬
дую из пяти остальных — тремя* Поэтому шестизначные числа
можно выбратй 2-35 способами. Точно так же убеждаемся, что
пятизначные числа, удовлетворяющие условию задачи, можно
выбр&ть 2-34 способами. Всего требуемых чисел будет 2-(3^ +
+ 34 + 33 + 32 + 3‘ + i)^2-(3^- ») _ 728.
44.	Данная задача, как и № 42, на перестановки с повторе¬
ниями. Вновь слева запишем составы перестановок, а справа —
их числа.
1235
41 = 24
1123
£ = 12
1125
£ = 12
1135
— =12
21
1233
t-12
1335
f=12
2335
F = 12
1133
W=6
Всего получается 102 числа.
3»

46.	В этой задаче используются число сочетаний, правило
умножения, число перестановок не только с повторениями, но и
с ограничениями.
Трех мужчин из восьми можно выбрать С| = 56 способами.
Двух женщин из шести можно выбрать С| = 15 способами. Итак,
пять человек, удовлетворяющих условию задачи, можно выбрать
840 способами.
Если обозначим мужчину буквой М, а женщину — буквой Ж,
то первый ряд имеет вид: МЖМЖМ. Число таких перестановок
мужчин и женщин равноЗ!-2! = 12. Стало быть, первый ряд может
быть сформирован 840-12= 10080 способами.
47- Эта задача представляет несложное упражнение на тему
«Сочетания с повторениями».
Результат голосования каждого из его участников можно пред¬
ставить в виде пятиместного кортежа, где единица ставится в
координате, соответствующей тому предложению, за которое этот
участник проголосовал. Рассмотрим один из возможных резуль¬
татов голосования. Он будет представлен 30 кортежами. Найдем
сумму этих кортежей по такому же правилу, по которому находят
сумму векторов: найдем кортеж, координаты которого будут
содержать суммы единиц, которые содержались в соответствую¬
щих координатах слагаемых кортежей! Например, один из таких
кортежей-сумм будет иметь вид (30, 0, 0, 0, 0), другой— (28,
0,	1, 1, 0) и т. д. Ясно, что у каждого из этих кортежей сумма их
координат равна 30. Распишем первый из кортежеб-сумм (мож¬
но было бы расписать и второй и любой другой) в виде тридцати
единиц и четырех запятых. Тогда в записи этого кортежа сначала
окажутся записанными тридцать единиц, затем четыре запятые
(если запятые стоят рядом, то это означает, что между ними
пропущен нуль, если запятая на крайнем справа месте, то справа
от нее пропущен нуль, если на крайнем слева месте, то слева
от нее пропущен нуль). Тогда задача сводится к тому, чтобы
среди 30 единиц проставить четыре запятые на четыре места из
34 возможных. Это можно сделать C^ = Сзо =46376 способами.
УГЛУБЛЕНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА
При изучении материала данного блока может бытьдостигнуто
значительное углубление знаний школьников по темам «Последо¬
вательности», «Многочлены» и в некоторой степени по теме «При¬
ближенные вычисления».
Здесь происходит совершенствование умений учашихся выпол¬
нять алгебраические преобразования. Однако в данном случае
эти преобразования выгодно отличаются от тех, которыми учащие¬
ся занимаются в школе, так как здесь они чаще выполняются на
базе задач, отражающих различные жизненные ситуации.
Действия с многочленами и степенями приводят учащихся к
числовому треугольнику Паскаля.
40

Можно порекомендовать ряд тем для докладов и рефератов
учащихся. Наиболее простая тема — содержание приведенного
мелким шрифтом материала п. 4 «Число отображений /г-элемент-
ного множества в m-элементное множество». В книге [2] учащийся
найдет дополнительный материал по этому вопросу.
Более сложная тема — «Различные применения числа сочета¬
ний и формулы бинома Ньютона». Кроме малой теоремы Ферма,
докладчику можно воспользоваться материалом из книг [8] и [6].
Очень интересна тема «Метод траекторий». О нем можно про¬
честь в [1] и в [3].-
Увлекательный материал о различных применениях треуголь¬
ника Паскаля содержит книга [7]..
Книга [1] содержит достаточно материала по темам: «Ком¬
бинаторные задачи с ограничением», «Комбинаторика орбит».
Примерное содержание зачета
1.	Сформулировать и обосноватьт1равило произведения.
2.	Сформулировать и обосновать правило суммы.
3.	Привести два примера комбинированного применения пра-
вила.произведения и правила суммы. Дать истолкование этих при¬
меров.
4.	Дать определение кортежа. Объяснить, чем кортеж отли¬
чается от множества.
-	5. Дать определения и формулы для размещений с повторе¬
ниями и размещений без повторений. Что у них общего и что
различное?
6.	Что общего у размещений без повторений и перестановок
без повторений?
7.	Чему равно число 0!? Доказывается или берется по опре¬
делению это равенство?
8.	Что общего у сочетаний с повторениями и сочетаний без
повторений? Разобрать на примерах использование этих понятий.
9.	Имеется лисвязь перестановок с повторениями с сочета-
ниями без првторений? Какая?
10.	Перечислить и доказать известные вам свойства чисел.
11.	Провести доказательство формулы бинома Ньютона.
12.	Показать, как строится треугольник Паскаля. На исполь¬
зовании какого равенства он основан?.Доказать это равенство.
13.	В чемсходство и отличие бинома Ньютона от полиномиаль¬
ной формулы?
14.	Сколько членов в разложении бинома Ньютона и полино¬
миальной формулы?
15.	Как найти наибольший член в формуле разложения по би¬
ному Ньютона?
16.	Доказать, основываясь на комбинаторных соображениях,
что п (п ~-}х\ (" ~~ ft-+J^ при любых натуральных n>k — целое
ki
число.
41

17.	Сколькими разными способами можно расположить на
шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не били друг друга?
Надо уметь решать задачи, такие как: 3, 5, 6, 11, 12, 13, 18, 19.
20, 21, 23, 24, 26, 30, 35, 38, 39, 41, 47.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ1
9.	Уточним немного вопрос задачи, Какие ищутся пятизнач¬
ные числа? Именно такие.в записи которых имеются цифры-: 2, 4,
5	одновременно. Определим, сколько таких чисел. Их построе¬
ние можно начать с цифры 2. В кортеже, соответствующем пяти¬
значному числу, 5 координат. Столько мест может занять двойка.
Поскольку одно место занято, у четверки окажется 4 возможных
места, у пятерки аналогичным образом 3. Итак, 2, 4 и 5 мож¬
но разместить 5-4*3 способами. В результате в кортеже оста¬
нутся две свободные координаты. Численность множества значе¬
ний для первой из них 9 — 3 = 6, второй — на единицу меньше,
т. е. 5. Поэтому может быть 6-5 = 30 разных заполнений послед-
них двух координат. Всего получаем возможных пятизначных чи¬
сел: 60-30 = 1800.
10.	Число распределения мест равно числу перестановок из
6:	6! = 1 ■ 2 • 3 • 4 ■ 5 • 6 = 720.
11.	Здесь мы встречаемся с видоизмененным кортежом. Коор¬
динаты кортежа распределены не линейно, а по замкнутой кри¬
вой — окружности. Это означает, что все равно какую из 12 имею¬
щихся в нем координат взять за первую. Поэтому число пере¬
становок равно не 12!, как для «линейного кортежа», в 12 раз
меньше, т. е. составляет 11!.
12.	Во всех этих словах нет повторяющихся букв. Поэтому
из букв слова «кортеж» можно составить 6! перестановок, из
букв слова «гипербола» 9! перестановок, из букв слова «тре¬
угольник» 11! перестановок.
13.	Караул можно составить из любых четырех солдат, входя¬
щих в отряд из 50 человек. Поэтому число способов, которыми
можно составить караул: Cf0 = ^^ = 230300.
Если в число караульных попал рядовой Иванов,.то еще трех
человек предстоит набирать из оставшихся 49 солдат. Значит,
рядовой Иванов попадет в караул в Ch—~ ' —18424 слу-
3!46!
чаях.
14.	Эту задачу лучше решить после изучения п. 11 «Правило
суммы» или еще лучше п. 14 «Бином Ньютона».
В первом случае должно быть ясно, что искомое число равно
С?о Ч- C*io ^f* cfo Ч" Cfo + C[o "Ь ^?о “Ь ^мо ^“ C18 = 968.
1	Здесь приводятся указания, решения и ответы только к тем упражие*
ниям, к которым они не были даны в книге «Избранные вопросы.математики
Факультативный курс, 9» М., Просвещение, 1979
42

Во втором случае, с помощью бинома Ньютона, задача реша¬
ется значительно более простыми вычислениями 2!0—С?о —
-Cjo-Cio. Два в десятой степени проще всего получить тан:
возводим 2 вначале в пятую степень, получаем 32 и возводим зтот
результат в квадрат. Получаем 1024
Вот мы и столкнулись с вопросом о рациональном, а не только
правильном решении.
is. cM-ci8-ci8=^
ld. Самый рациональный путь рассуждений здесь такой: чис
ло точек пересечения равно числу пар прямых, которые можно
образовать из п прямых.
«Нерациональное» решение, которое также приведем, может
быть полезно для решения задачи 17
Каждая из п прямых согласно условию задачи пересекается с
п — J другими прямыми В результате получается n{n — 1) точен
пересечения, но при этом каждая точка считается дважды один
раз как принадлежащая одной прямой, другой раз как другой
прямой Поэтому всего получаем точек пересечения ^Ц—^L =
—	Г2
	 C-rt-
17.	Число вершин многоугольника равно п Каждая верши
на соединяется диагоналями с п — 3 другими Рассуждая анало
гично предыдущей задаче, получаем, что число диагоналей будет
п (п — 2)
2
Ясно, что в 15-угольнике 90 диагоналей
18.	Замечаем, что четыре точки на плоскости, если две из
них принадлежат одному множеству, а две другому, всегда мо
гут быть соединены отрезками прямых так, что концы отрезков
принадлежат разным множествам, а сами отрезки пересекаются
Действительно, на рисунке 3 из двух пар отрезков АСУ BD и
AD, ВС вторая пара отрезков пересекается. Это и понятно. Ведь
одна пара отрезков принадлежит к сторонам четырехугольника
ABDC> а другая к его диагоналям При такоЛт задании двух
пар точек определяется только одна пара пересекающихся
прямых
Таким образом, если мы выберем две
точки на одной из параллельных пря¬
мых и две точки на другой из парал¬
лельных прямых, то эти две пары точек
определят одну точку пересечения отрез¬
ков. А всего таких пар на одной прямой
будет Cfo, а на другой C$; следователь¬
но, точек пересечения отрезков будет;
Qo ■ ^7 •
19.	Термин «слово» заключен в усло¬
вии в кавычки потому, что считаются
правомочными и бессмысленные слова	Рис.з
iT

Всего в данном слове 10 букв, буквы «м» и «т» повторяются по
два раза, а буква «а» три раза. Применив перестановку с повто¬
рениями, получим ответ: -*^L .
20.	Здесь рассматривается наиболее типичная ситуация для
применения перестановок с повторениями. Важно отчетливо пред¬
ставлять, что в разные магазины в данном случае поставляются
различные наименования товаров. Воспользовавшись формулой
20'
перестановок с повторениями, получаем ответ:	-	—	.
34.	Выбрать трех пианистов из 10 можно С?о способами. Ана¬
логично находится число способов выбора чтецов, певцов й фото¬
графа. Значит* бригаду можно составить C?0-Cf5-C?2eC2o спо¬
собами.
35.	Подразумевается, что при выборе указывается, кого
именно избрать председателем, кого секретарем. Поэтому в дан¬
ном случае мы имеем дело с числом размещений. Из оставшихся
78 человек избираются три члёна редакционной комиссии без
распределения обязанностей. Поэтому здесь мы имеем дело с чис¬
лом сочетаний. Всего получаем 4Io^78 способов.
36; Здесь применяются перестановки с ограничениями. Так
как оратор А должен выступить непосредственно перед Б, то
рассматриваем перестановку из четырех человек. Таких пере¬
становок 4! = 24. Добавление оратора А в каждую'перестановку
непосредственно перед Б не меняет числа возможных случаев.
37, Все числа, удовлетворяющие условию задачи, оканчива¬
ются на 3 или 9. Рассмотрим вначале всевозможные числа, окан¬
чивающиеся на 3. Если кортеж одноместный, то это сама тройка.
Если двухместный, то перед тройкой надо поставить однуиз трех
незанятых цифр. Получаем три двузначных числа. Если число
трехзначное, то нам придетсяпредыдущий результат умножить
на число неиспользованных цифр, т. е. на 2. Перечислим множест¬
во полученных чисел: однозначное — 3, двузначные — 43, 93,
63, трехзначные — 943, 643, 493, 693, 963, 463, четырехзначные —
6943, 9643, 6493, 4693, 4963, 9463. Столько же чисел получим,
если последней поставим цифру 9, а не 3. Всего получаем 32
числа, отвечающих условию задачи.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.	В и л е н к и н Н. Я. Популярная комбинаторика. М., 1975.
2.	В и л е н к и н Н. Я. Индукция. Комбинаторика. М., 1976.
3.	Е ж о в И. И., С к о р о х о д А. B., Я д р е н к о М. И. Элементы комби¬
наторики. М., 1977
4.	К а л у ж н и н Л. A., Оу щ а н с к и й В. И. Преобразования и пере¬
становки. M.,*1979.
5.	К р е ч м а р В. А. Задачник по алгебре. М., 1972.
6.	Л ю т и к а с В. Школьнику о теории вероятностей. М., 1976.
7.	Пойа Д. Математическое открытие. М., 1970 (с. 97—126).
8.	Ш к л я р с к и й Д. О., Ч е н ц о в Н. H., Я г л о м И. М. Избранные за-
цачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. М., 1976.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Этот раздел факультативного курса пред¬
ставляет собой чрезвычайно яркую, интересную и своеобразную
область математики.
Изучение материала сопровождается рассмотрением разно¬
образных игровых и жизнённо интересных примеров с непред
сказуемым однозначным результатом. Рассмотрение случайных ве¬
личин, «неуловимость» их поведения, некоторые трудности пси¬
хологического характера, вызываемые необычностью объектов
изучения, делают факультатив непростым для усвоения. В то
же время интересные, увлекательные, запоминающиеся задачи
побуждают учащихся к активному самостоятельному мышлению,
значительно помогают в изучении этой расширяющей мировоз¬
зрение темы.
Основной целью данного факультатива является знакомство
учащихся со 'случайными величинами, с тем математическим
аппаратом, при помощи которого можно решать широкий круг
задач с вероятностными параметрами.
В жизни нередко будут встречаться ситуации, где не все
элементы решаемой задачи могут быть однозначно определены и
где есть элемент случайности, неопределенности. Такие ситуа*
ции часто характерны для прикладных областей математики, и
поэтому.изучение факультатива «Элементы теории вероятностей»
имеет большое прикладное значение.
«Случайность как проявление необходимости»— вот диалек
тическая формула, выражающая сущность методологической ос¬
новы теории вероятностей. Глубокое проникновение в смысл этой
формулы дает ключ клтониманию идей и методов теории вероят¬
ностей.
С самого начала, с самых первых, прозрачных по смыслу
задач надо обратить серьезное внимание на понимание учащи¬
мися вероятностных законов, а при решенйи более сложных
задач — на умение свести сложную исходную вероятностную си
туацию к нескольким простым. Например, при решении задачи
13(a) (с. 64): «В ящике лежат 31 деталь первого сорта и 6 дета¬
лей второго сорта. Наугад вынимают три детали. Чему равна
вероятность тощ что все три детали первого сорта?»— сложная
43

вероятностная ситуация (вынуты все три детали первого сорта)
может быть заменена тремя простыми вероятностными ситуа¬
циями: первой вынута деталь первого сорта и второй вынута
деталь первого сорта и третьей вынута деталь первого сорта.
Представление сложных вероятностных ситуаций в виде несколь¬
ких простых дает учащимся возможность не только лучше уяснить
смысл задачи, но и составить план решения.
Содержание факультатива естественно разбить на два смыс¬
ловых блока: случайные события (п. 1—7) и случайные величи¬
ны (п. 8—11).
За 14 часов, отведенных на изучение факультатива, невозмож¬
но детально и глубоко изучить все содержание данного раздела
факультативного курса. Речь может идти лишь об ознакомлении
сосновными понятиями, элементами теории вероятностей, о приви¬
тии навыков правильного построения фраз, определяющих веро¬
ятностную ситуацию, о выработке элементарных вычислительных
умений, связанных с нахождением вероятностей случайных собы¬
тий и характеристик случайных величин.
Поэтому многие пункты раздела должны проходиться только
в ознакомительном порядке и лишь некоторые, такие, как «клас¬
сическое определение вероятности события» и «алгебра событий»,
должны изучаться более тщательно, с решением довольно боль¬
шого числа упражнений.
Можно рекомендовать следующее примерное распределение
времени.
Случайные события — 10 ч.
Вводная беседа учителя о теории вероятностей (с привлечением
исторических сведений) и о случайных событиях (с рассмотрением
примеров и решением простейших задач) (введение, п. 1) — 1 ч.
Классическое определение вероятности события (п. 2, часть
задач из этого пункта решается на последующих занятиях)— 2 ч.
Алгебра событий (п. 3, часть, задач из этого пункта решается
на последующих занятиях)—2 ч.
Теоремы о вероятности объединения событий (п. 4)— 1 ч.
Независимость событий (п. 5)— 1 ч.
Геометрические вероятности (п. 6)— 1 ч.
Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли (п. 7, са¬
мостоятельная работа)—2 ч.
Случайные величины — 3 ч.
Случайные величины (установочная лекция учителя с рас¬
смотрением примеров и решением задач)— I ч.
Закон распределения случайной величины и независимые слу¬
чайные величины (п. 9, 10# в ознакомительном порядке)— 1 ч.
Предельные теоремы теории вероятностей (п. 11 в ознакоми¬
тельном порядке)— 1 ч.
Прием зачетов — 1 ч.
На вводном занятии надо рассказать учащимся о возникно¬
вении теории вероятностей,та>торое относят к середине XVII в.
46

и связывают с расчетом вариантов в азартных играх. У истоков
теории вероятностей стоят такие ученые, как голландец Христиан
Гюйгенс (1629—1695), француз Блез Паскаль (1623—1662),
француз Пьер Ферма (1601—1665), швейцарец Якоб Бернулли
(1654—1705). Развитие теории вероятностей, вызванное необхо¬
димостью решать задачи иэ теории ошибок или наблюдений,
теории стрельбы, статистики, связано с именами француза' Пьера
Лапласа (1749—1827), немца Карла Гаусса (1777—1855), фран-
цуза Симеона Пуассона (1781 —1840). Большой вклад в создание
теорни вероятностей внесли русские ученые — ПафнутийЛьво-
вич Чебышев (1821 —1894), Андрей Андреевич Марков (1856—
1922), Александр Михайлович Ляпунов (1857—1918), а также
советские математики — Андрей Николаевич Колмогоров
(р. 1903) и Александр Яковлевич Хинчин (1894—1959). Теория
вероятностей служит фундаментом для таких прикладных наук,
как теория надежности, математическая статистика, теория мас¬
сового обслуживания. Необходимо отметить, что закономерности,
имеющие место в теории вероятностей, относятся к массовым
явлениям.
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
L Случайное событие — зто понятие, которое не встречалось
раньше учащимся. Оно принципиально отличается от.тех поня¬
тий, с которыми привыкли иметь дело школьники. Прежде предме¬
том изучения были вполне определенные и точно заданные объек¬
ты. Теперь же учащиеся должньгпривыкнуть к тому, что изучае¬
мые объекты — случайные события — не обязательно могут иметь
место. Например, при бросании игральной кости может выпасть
или не выпасть шесть очков, при трех выстрелах по мишени
будет хотя бы одно попадание или нет. В подобных задачах
нельзя дать определенный ответ, а можно дать лишь его каче¬
ственную характеристику («по-видимому», «вряд ли» и т. п.)
Тем не менее, несмотря на непредсказуемость определенных
результатов в задачах со случайными событиями, была найдена
возможность их количественной характеристики. Такой характе¬
ристикой является вероятность случайного события; она (как лю¬
бая количественная характеристика) позволяет сравнивать слу¬
чайные события и делает их изучение более конкретным.
После знакомства с понятием «случайное событие» учащиеся
должны уметь приводить примеры таких событий из жизни и от¬
личать их от неслучайных. Например, «17 апреля 2000 года будет
дождь»— утверждение о случайном событии, а «17 апреля 2000 го¬
да будет суббота»— утверждение о неслучайном событии.
Новым для учащихся является понятие «опыт» (или «испы¬
тание»), которое неразрывно связано со случайными событиями:
они могут происходить или не происходить только в результате
опыта.
47

Для введения классического определения вероятности случай¬
ного события основополагающим является понятие «элементар¬
ное событие» или «исход», в свою очередь понятие «исход»
определяется через более простые понятия «совместные» и «не¬
совместные» события.
Упражнения к п. 1 дают возможность отработать понимание
указанных терминов перед усвоением понятия «вероятность».
2.	Классическое определение вероятности события использует
понятие «равновероятность», или «равновозможность», которое
не определяется, но описывается, разъясняется. Это поня¬
тие считается основным и не подлежит формальному опреде¬
лению.
Кроме того, классическое определение вероятности предпо-.
лагает конечное число исходов.
При изучении этого раздела надо, чтобы учащиеся отчетливо
представляли себе роль сочетаний, размещений и перестановок
в различных вероятностных задачах и научились по формули¬
ровкам задач определять, какой из видов соединений будет ис¬
пользован при решении той или иной задачи. Здесь можно ру¬
ководствоваться следующим: если множество исходов составляют
всевозможные комбинации из п элементов по -m, то в задаче
будут фигурировать сочетания; если же всевозможные комбина¬
ции из ^элементов по п, то в задачах идет речь о перестановках;
размещения будут тогда, когда речь идет о порядке элементов
в рассматриваемых комбинациях.
Принцип произведения, подробно рассмотренный на с. 61 по¬
собия, позволяет упростить вычисления во многих сложных ве¬
роятностных задачах.
Упражнений к п. 2, разнообразных по тематике и сложности,
вполне достаточно для выработки у учащихся умений находить
вероятность случайных событий по формуле классическога оп¬
ределения вероятности. Упражнения эти надо решать постепенно,
по 2^3 задачи на каждом из последующих занятий.
Начиная с упражнений к этому пункту целесообразно нахо¬
дить различные способы решения одной и той же задачи (как пра¬
вило, два). Получение ответов разными способами дает возмож¬
ность учащимся не только сразу проверить правильность решения,
но и, сравнив эти способы, оценить их эффективность в различ¬
ных вероятностных ситуациях. Рассмотрим, например, такую за¬
дачу: «Бросили две монеты. Какова вероятность того, что на
каждой монете выпал герб?» (пример 2, с. 58). Даже для такой
простой задачи возможны следующие два способа решения: пе¬
ребор исходов и использование принципа произведения (две моне¬
ты, каждая с двумя исходами при бросании, итого 4 возможности).
3.	Алгебра событий знакомит учащихся с такими понятиями,
как «объединение» и «пересечение» событий. Эти понятия пред¬
ставляют собой результат своеобразных действий над нескольки¬
ми событиями, причем эти действия обладают переместитель-
48

ным и сочетательным свойствами и связаны распределительным
законом. Введение этих понятий позволяет подготовить действия
над вероятностями (сложение, умножение), что дает возможность
решать более сложные задачи.
Здесь же происходит знакомство с двумя шшярнымй типами
событий: «невозможное событие» и «достоверное событие», кото¬
рые, строго говоря, не являются случайными, но включаются в
рассмотрение для полноты множества случайных событий и их ве¬
роятностей.
Очень важным является понятие «противоположные события»,
что приводит к чрезвычайно эффективному приему при решении
задач. Так, задача 13(6): «Чему равна вероятность того, что
хотя бы одна 'из вынутых деталей первого сорта?» сводится к
противоположной: «Чему равна вероятность того, что все вы¬
нутые детали второго сорта?» (т. е. нет хотя бы одной детали
первого сорта), которая решается проще.
Упражнения к п. 3 помогают учащимся разобратьсяв симво¬
лике и терминологии алгебры событий и закрепить полученные
знания.
Ввиду нехватки времени рекомендуется прорешать лищь те
упражнения, которые проверяют умения учащихся находить объе¬
динение и пересечение двух событий, а также определять собы¬
тие, противоположное заданному. Следует обязательна проре¬
шать № 1 (а—о), 7—12.
4.	Теоремы о вероятности объединения. Из четырех теорем о
вероятности объединения событий (теоремы сложения: для двух
несовместных событий, для ri несовместных событий (обобщение),
для противоположных и для любых двух, не обязательно не¬
совместных) практический интерес для слушателей факультатива
представляют лишь две теоремы: первая и третья. Обе они часто
используются при решении вероятностных задач, и поэтому их
следует подробно с доказательствами рассмотреть на занятйи.
Причем теорему о противоположных событиях (как частный
случай первой теоремы) можно поручить рассказать одному из
учащихся.
Четвертую теорему надо только проиллюстрировать:
P{A U B) = P(A) + P(B) -P(A Л В);	$4+в= sA + sB - So6ui.,
а вторую теорему дать без доказательства.
При формировании у учащихся умения представлять сложную
вероятностную ситуацию при помощи простых надо обратить
их внимание на то, что если каждая из простых ситуаций отде¬
ляется друг от друга союзом «и», то это свидетельствует о совме¬
стности этих ситуаций, в то время как союз «или» говорит о не¬
совместности. В вычислительном аспекте эти союзы реализуются
соответственно как знаки умножения и сложения. Например, в
задаче 7: «Бросили две монеты. Какова вероятность того, что на
одной монете выпал герб, а на другой — цифра?»— сложную
вероятностную ситуацию (на одной монете выпал герб, а на дру¬
49

гой — цифра) заменяем простыми: на первой монете вьгпал герб
и на другой — цифра или на первой монете выпала цифра и на
другой — герб. Отсюда решение: р — ^-,^- + ^'^_==4"-
5.	Независимость событий — очень важное понятие, дающее
возможность находить вероятность во многих сложных вероятно¬
стных ситуациях. В случае независимости происходящих событий
вероятность их пересечения равна произведению вероятностей
каждого из них.
"При изучения данного понятия можно ограничиться подробньш
рассмотрением только первых двух примеров.
После того как изучены п. 4 и 5 (теоремы об умножении и
сложении вероятностей, независимость событий), полезно вернуть-
сяк задачам п. 2 и многие из них, в частности № 12, 13, 14, 15, 19,
решить другими способами. Так, например, задача 14 решается
сведением сложной вероятностной ситуации (из пяти бунв вы¬
ложить наугад слово «АГАВА») к нескольким простым — первая
буква должна быть «А» и вторая — «Г» и третья — «А» и
‘3 i ^	]
четвертая — «В» и пятая — «А». Отсюда: р — ~^-*~г'^*^га 1^==
^	О	4 J *d
= 20"
6.	Геометрические вероятности — это своеобразный аналог
формулы классического определения вероятности события: отно¬
шение двух натуральных чисел (количество благоприятных исхо¬
дов к количеству всевозможных исходов) в формуле классическо¬
го определения вероятности событий заменяется отношением мер
(длин, площадей, объемов) геометрических множеств, где оба
множества (в общем случае) представляют собой бесконечные
множества исходов. Тем самым достигается возможность найти
вероятность и в случае бесконечного множества исходов. В этом —
конечное и бесконечное множества исходов — и заключается ос¬
новное различие между классическим определением вероятности
события и геометрическим.
Этот пункт развивает у учащихся пространственное воображе¬
ние и способствует формированию умений переводить исходную
вероятностную ситуацию на геометрический язык.
.Геометрические вероятности.можно дать в ознакомительном
порядке; однако после разбора примеров в тексте полезно ре¬
шить задачи 6> 7 и 11.
7.	Схема испытаний Бернулли и формула Бернулли намного
упрощают путь решения задач в том случае, когда опыты повто¬
ряются независимо друг от друга и вероятность интересующего
нас события не меняется.
Изучение случайных событий желательно завершить самостоя¬
тельной работой, в которой одну-две задачи надо решить как
можно большим числом способов. Неплохо включить в работу и
теоретический вопрос (чтобы проверить, с одной стороны, пони¬
мание учащимися теоретической части пройденного материала
50

и,	с другой стороны* умение учащихся формулировать н изла¬
гать свои мысли).
Вот примерный состав самостоятельной работы:
I	в а р и а н т
1.	Среди облигаций займа 25% выигрышных. Найдите вероят¬
ность того, что из трех взятых облигаций хотя бы одна выиг¬
рышная.
Р е ш е н и е. В этой задаче возможны три пути решения.
1)	Сложное событие А — хотя бы одна из трех облигаций
выигрышная — можно представить в виде следующей совокупно¬
сти элементарных событий: 1-я облигация выигрышная и 2-я не
выигрышная и 3-я не выигрышная или Ья не выигрышная и
2-я выигрышная и 3-я не выигрышная и далее перебрать все
вариант. Тогда получим: А = (Aj f] А2 П Л3) U (^i П А2 П Аз) U
U (Л, П М fl А3)U {Ai П М П Лз) U (Ai П Л2 П Аъ) U (Ах П А2 Л А3) U
и(л,пл2лл3).
Р(Л)=Х.А.А + .. .+X._L._L=37,
v *-	.4	4	4 ^	^ 4	4	4	64
2)	По формуле Бернулли (а ее в этой ситуации можно при¬
менить, так как число облигаций достаточно велико и поэтому
опыты можно считать независимыми с постоянной вероятностью
интересующего нас события; формулу нельзя было бы применить
в случае, например, 100 облигаций):
Р (Л) = *,3. + *2.3 + *3.3 = $Г + 64 + 64^ ** |Ь
3)	Перейдя к противоположному событию (ни одна облига¬
ция не выиграла), наводим:
P(A)= l-P(A)= I - P(A,)-P(A,)-P(A,)= i -j-.j-.j-=^.
2.	Могут ли несовместные события быть в то же время неза¬
висимыми и наоборот? Привести примеры.
II	в а р и а н т
I.	При включении зажигания двигатель начинает работать с
вероятностью р. Найти вероятность того, что для ввода двига¬
теля в работу придется включить зажигание не более двух
раз.
Ре ш е н и е. В этой задаче возможны три пути решения.
1)	По формуле Бернулли:
Р {A) = Р.Х 2 + Pis =2-p.(l -р) + р2 ^ р (2 - р).
2)	Переход к противоположному событию дает:
Р (А) = 1 - Р (Л) = 1 - (I - pf = р (2 - р).
51

3)	Разложение сложного события на элементарные — двига¬
тель включился при первом зажигании или двигатель не включил¬
ся при первом зажигании и включился при втором зажигании —
приводит к следующей записи:
P(A) = p + (l-p)-p = p(2-p).
2,	Почему формула Бернулли применяется при независимости
опытов?
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Здесь учащиеся знакомятся еще с одним видом функции —
случайной величиной. Эта специфическая члсловая функция до¬
полняет и расширяет представление школьников о функциональ¬
ных зависимостях. Значения случайной величины — это количест¬
венная характеристика случайных событий, т. е. те числовые
значения, которые могут реализовываться при проведении опыта.
Например, при бросании игральной кости (опыт) происходит
случайное событие (выпадение очков). Значения случайной вели¬
чины — это числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Но не каждое случайное собы¬
тие имеет свой количественный показатель. Так, присутствие
учащегося на уроке (опыт) и рассмотрение при этом случайного
события — вызов его к доске — приводят к^двум элементарным
исходам (вызвали, не вызвали), что не является случайной ве¬
личиной. А вот при опыте «вызвали к доске» случайное событие
«получена оценка» имеет количественный показатель: 5, 4, 3, 2-.
Количественный показатель, давая множество возможных чис¬
ловых значений, не дает ответы на такие вопросы, как «какое
из этих значений можно ожидать с большей вероятностью?»,
«как по отношению к этому наиболее вероятному числу располо¬
жены исходы?».
На эти вопросы отает дают две характеристики случайных
величйн: математическое ожидание и дисперсия. Три теоре¬
мы о свойствах математического ожидания позволяют нахо¬
дить математическое ожидание от различных комбинаций слу¬
чайных величин и постоянных. Нахождение математического
ожидания не представляет сколько-нибудь существенных труд¬
ностей, так как является вычислением по формуле. Три упо¬
мянутые выше теоремы позволяют свести вычисление матема¬
тического ожидания сложного аргумента к вычислению цесколь-
ких простых математических ожиданий (сравнение с приведением
сложной вероятностной ситуации к нескольким простым здесь
будет весьма полезным). Разбор учйтелем и самостоятельное ре¬
шение учащимися упражнений к п. 8 позволит последним очень
легко усвоить практические приемы нахождения математического
ожидания. Для этого достаточно решения 2—3 упражнения.
В п. 9 рассматривается закон распределения случайной ве¬
личины, при котором таблица соответствия исходов опыта и
Я2

значений случайной величины записывается более компактно:
не всевозможные исходы и соответствующие значения случай¬
ных величин (см. табл. 1 на с. 89), а все различные значения
случайной величины и их вероятности, вычисленные на основе
всевозможных исходов (см. табл. 4 на с. 93). Для проверки
праЪильности при составлении последней таблицы очень важно
помнить, что сумма вероятностей (вторая строчка таблицы) всег¬
да должна быть равна единице. Упражнения .к п. 9 дают воз¬
можность практически закрепить несложный теоретический ма¬
териал этого пункта.
Понятие «дисперсия» вводится в п. 10, но за неимением вре¬
мени на его серьезное изучение (хотя эта характеристика
случайной величины вместе с математическим ожиданием явля¬
ется одной из основных), здесь можно ограничиться его опре¬
делением, разбором примера 1, а также знакомством со свойст¬
вами дисперсии (теоремы 2 и 3 без доказательств). При силь¬
ном составе учащихся можно решить упражнения к п. 10.
Материал, приведенный в п. 8—10, составляет алгебру слу¬
чайных величин, позволяющую с различных сторон количествен¬
но характеризовать случайные события.
Пункт 11 «Предельные теоремы теории.вероятностей» наибо¬
лее теоретичен из всех разделов факультатива и не имеет уп¬
ражнений; лишь два примера иллюстрируют теоремы 2 и 3, ко¬
торые объединяются общим названием «закон больших чисел».
Все три теоремы (неравенство Чебышева, теорема Бернули и
теорема Чебышева) лучше дать без доказательства по следую¬
щим причинам: во-первых, на доказательство уйдет много вре¬
мени и, во-вторых, самими доказательствами можно «затмить»
идею закона больших чисел. Лучше сэкономленное время потра¬
тить на обсуждение этой йдеи, как следует разобрать приме¬
ры и вызвать у учащихся ощущение необходимости связывать
понятие «вероятность» с большим и даже бесконечным количе¬
ством опытов. Отсутствие упражнений затрудняет глубокое пони¬
мание учащимися этого раздела. Поэтому его надо давать лишь
в ознакомительном плане.
Примерное содержание зачета
В зачетных'билетах целесообразно поставить три вопроса:
один — из раздела «Случайные события», второй — из раздела
«Случайные величины» и третий — задача.
А.	Вопросы по разделу «Случайные события».
К Какие события называются совместными? (геометриче¬
ская и символическая запись).
2.	Какие события называются несовместными? (геометриче¬
ская и символическая запись).
3.	Дайте классическое определение (и разъясните формулу)
вероятности события.
53

4 Расскажите об объединении событий (определение, гео¬
метрическая интерпретация, символика)
5.	Расскажите о пересечении событий (определение, геометри¬
ческая интерпретация, символика)
6.	Какова сущность невозможного и достоверного событий?
7.	Приведите формулу вероятности объединения двух несов¬
местных случайных событий (с геометрической интерпретацией).
8.	В чем заключается независимость событий? Приведите
примеры зависимых и независимых событий.
9.	Расскажите о нахождении вероятностей геометрическим
путем, сравните с классическим определением .вероятности
10.	В чем смысл схемы испытаний Бернулли? Какова формула
Бернулли?
П В чем заключается специфика случайных событий? При¬
ведите примеры случайных и неслучайных событий
Б. Вопросы по разделу «Случайные величины».
1	Что называется случайной величиной*
2	Каковы формы задания случайной величины?
3.	В чем суть математического ожидания случайной величины?
4.	Докажите свойство математического ожидания М(а£ +
+ b) = aMl + b
5.	Докажите свойство математического ожидания Ма% — аМ\
6.	Докажите свойство математического ожидания М (£ 4- Г|) =
= ЛГ£ + Мц
7 В чем состоит закон распределения случайной величины?
8.	Как определяется независимость двух случайных величин?
9.	Расскажите о дисперсии случайной величины
10.	Что понимается как «закон больших чисел»?
В.	Задачи типа: к п. 1 № 4, 13, 14, 15, 19, 25; к п. 2 № 1 (а—о),
6,	9, 10, II, 12; к п. 4 № 1, 5; к п. 5 № 7; к п. 6 № 4, 5, 10, 11;
к л. 7 № 4, 5; к п. 8 № 2, 3; к п. 9 № 5, 6, 8; к п. 10 № 4.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
К п у н к т у 1
1.	3 а м е ч а н и е «Событие К благоприятствует событию Р»
равносильно выражению «Событие К влечет за собой событие Р»,
т е* К с: Р
б) Совместны А и В, А и С, В и D, С а А, D cz В (в пособии
в ответе допущена опечатка)
2.	События А и В не образуют множество исходов, так как
они совместны, т е могут произойти оба в результате опыта
3.	События С и D не образуют множествогисходов, так как
мбжет быть, что ни одно из них не произойдет в результате
опыта
5f

К п у н к т у 2
8# в) Благоприятных исходов 11: 1 — 1, 1—2, 2—1, 1—3, 3—1,
1—6, 6—1. Ответ: —.
36
9.	Количество всевозможных исходов — С?== 10. Благоприят¬
ные варианты: 3—7—9 и 4—-7—9. Ответ: —
5
10,	Количество равновероятных исходов—1000. Благоприят¬
ные исходы — выбор кубиков, две грани которого окрашены.
Такие кубики расположены вдоль ребер, большого куба (кроме
угловых). Вдоль каждого ребра—8 таких кубиков, ребер—12.
Ответ: ^5— — ^—.
1000	125
П. Первое воскресенье января может быть 1-го, 2-го, 3-го,
4-го, 5-го, 6-го, 7-го числа — 7 равновероятных исходов. Бла¬
гоприятные случаи: 1-го (тогда еще 4 воскресенья: 8-го, 15-го,
22-го, 29-го), 2-го (еще 9-го, 16-го, 23-го и 30-ro) и 3-го (еще
IO-ro, 17-го, 24-го и 31-го). Ответ:^.
12.	Количество равновероятных исходов — 6! = 6 ■ 5 • 4 • 3 • 2 • 1 =
= 720. Благоприятный исход — один — «МОСКВА». Ответ: ^=~
720
13.	а) Всего возможных вариантов вынуть 3 детали из
37 — Cg7. Благоприятные случаи — вынуты 3 детали из 31 (пер¬
вый сорт) —С§,. Отсюда получаем ответ: Д^ _ 899 ■.*
Сз7 1554
б)	Благоприятные случаи: 1) вынута 1 деталь первого сорта
(вместе с двумя деталями второго сорта); 2) вынуты две детали
первого сорта (вместе с одной деталью второго сорта) и 3) вы¬
нуты все три детали первого сорта. Подсчитаем количество всех
•благоприятных случаев: C^ -С| + С|, *C^ + C^ Отсюда полу-
QrQ + QrQ + Cii	775
чаем ответ: ——6	31 ■ 6	31	=	.
С|7	777
14.	Всевозможных случаев расположения пяти данных букв
5l = l20. Благоприятных случаев^б (см. пример 8 в пособии
на с. 62): «Г» ставим на второе место, «В» — ва четвертое, а
«А» могут при этом располагаться на первом, третьем и пятом
я i
местах шестью способами. Ответ: 	=—.
120 20
15.	Количество*равновероятных исходов С|=360.
Ответ: ^n
360
16.	Число будет четным, если оно оканчивается цифрами
2,	4, 6 или 8. Получаем четыре благоприятных случая. Ответ: ^*
55

17.	а) Благоприятные случаи:	6—0,	6—1,	6—6.
Ответ: ^- = f-
б) Благоприятные случаи:	0—4,	0—5,	1—4,	1—5,
Ответ: g-.
в)	Благоприятные случаи: 1—6, 2—5, 3—4. Ответ: —.
2o
18.	На первом месте может быть любая из семи данных
цифр. To же самое — на втором и т. д. Используя принцип
произведения, получаем ответ: Jp
19.	в) По принципу произведения благоприятных случаев
(вынуть один белый и один красный шар):	'I2-8 = 9^6.
Ответ- ^ = ^- = ii-
■ clo 190	95 ■
г)	См. пример 9 в пособии на с. 63.
д)	См. указания к 13(6).
20.	См. пример 9 в пособии на с. 63.
22.	См. пример 3 в пособии tfa с. 58.
К п у н к т у 4
1.	Событие «выбито не менее 8 очков» можно представить
так: «выбито 8 Очков или выбито 9 очков или выбито 10 очков».
Ответ: 0,6 + 0,2 + 0,05 = 0>85.
Событие «выбито более 8 очков» можно представить так:
«йыбито 9 очков или выбито 10 очков». Ответ: 0,2 + 0,05 = 0,25.
3.	.a) У к а з а н и е: перейти к противоположному событию.
Ответ: 1 _£k—4L.
Cio 57
б)	Событие «вынуто не более одного белого шара» можно
представить так: «не вынуто ни одного белого шара или вынут
один белый шар». Ответ: (С?2 +Cf2'®): C§0=4^- = Ot187.
646
в)	См. 3(a). Ответ: l-(Cb + Ci^5):Ck=J^ = 0,693.
г)	Событие «шары одного ц^ета» можно представить так: «пер¬
вый шар белый и второй шар белый или первый шаркрасный
и второй шар красный». Ответ: (С\2 + С§): C\Q =^=0,495.
9o	*
4.	См. 1. Ответ: 0,9 и 0,6.
5.	См. 3(a). Ответ: 1 ~(8.10-12):C§0=J^^=0,763.
6.	При ограничении в условии задачи требование «хоть один
станок потребует наладки» равносильно тому, что ровно один
станок потребует наладки. Отсюда решение: P = 0,15 + 0,1 +
+ 0,12 = 0,37. (В пособии в ответе опечатка.)
56

К п у н к т у 5
2.	Благоприятные исходы: для игральной кости — 2,.3, 5, для
домино — 6—6, 6—5,	6—0, 3—5, 3—4,	3—0 (хотя бы
одно из чисел на косточке делится на 3). Ответ: —.— = —.
'	6	28	56
7.	а) Удобнее перейти к нахождению вероятности противо¬
положного события.
К п у н к т у 6
2.	Решение задачи довольно сложно и не рекомендуется для
изучения со всеми учащимися.
3.	Ось симметрии танка должна быть в полосе длиной' 12 м,
тогда танк не подорвется (рис. 1), Ответ: P= 1 —— = —.
15	5
4.	БлаГоприятные случаи — точка попадает на дугу ВАС
(рис. 2). Ответ: —-
з
5.	Возьмем произвольную точку А на окружности рьадиуса 1
(рис. 3). Расстояние по окружности от точки А до точки В
вправо бт А обозначим через ху а до точки С влево от точки
А — через у. Тогда всевозможные случаи (точки В и С где угодно
на окружности) характеризуются неравенствами:	х<2л,
у <2л, x + y<i2n. Последнее неравенство не дает возможности
нарушить порядок: В — справа от Ау С — слева от А. Таким
образом определяется область всевозможных случаев (рис. 4).
Благоприятные случаи характеризуются неравенствами: Жтг,
y<Ln, x + y>n. Объясняется это тем, что, во-первых, точки
В и С должны лежать по разные стороны от диаметра, про¬
веденного из точки А (если одна из них попадает в конец диа¬
метра, получившийся треугольник будет прямоугольным), и,
во-вторых, сами точки В и С не должны быть концами одного
диаметра. Отсюда область благоприятных случаев также опре-
о	Ц	 	^	о
0,	?j	t3j	15
Рис I
57

Рис. 5	Рис. 6	Рис.	7	Рис.	8
делена (рис. 5). Ответ находится отношением двух площадей.
6. Отношение двух площадей (рис. 6) дает ответ: P =
_ Q2 _ 2R2 _ 2
nRz nR2 л
7.	Решение аналогично предыдущему (рис. 7).
8. Точки А и В могут быть где угодно на окружности.
Третья точка С должна быть либо концом диаметра АС, либо
концом диаметра ВС (рис. 8). Таким образом для точки С есть
два благоприятных случая и бесчисленное количество всевоз¬
можных (точка С может быть где угодно на окружности). Ответ: 0.
9.	См. предыдущую задачу. Ответ: 0.
!0. См. указания к задаче 2.
11.	Решение аналогично задаче 6.
К п у н к т у 7
1.	По формуле Бернулли:	Р3,ю	=	с»°(^")3	(*^)7	= 0>*55.
5.	2)PJ4 + рJ 4 ^==^T • ^5 8 + Рб,8 H^ Рr,s + Р3.6 = 25$ ‘ Второй
результат больше, значит, выиграть не менее пяти партий из
восьми вероятнее.
6.	Удобно перейти к противоположному событию — ни один
станок не потребует наладки. Р = 1 — 0,85 • 0,9 • 0,88 = 0,3268.
Можно решить задачу и другим способом, представив сложную
вероятностную ситуацию (хоть один станок потребует наладки)
в виде следующих простых ситуаций: только один станок потре¬
бует наладки (три случая) или два станка потребуют наладки
(три случая) или все три станка потребуют наладки (один
случай).
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.	В е н т ц е л ь Е. C., О в ч а р о в JI. А. Теория вероятностей. М.,
1969.
2.	Г м у р м а н В. Е. Теория вероятностей и математическая статистнка.
М., 1972.
3.	Г м у р м а н В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей
л математической статистике. М.. f975.
4.	Горст КХ Г. Задачник-практикум по теории вероятностей. М.. 1969.
5.	М о с т е л л е р Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с ре*
шениями. М., 1971.

ЯЗЫКИ ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Обунение учащихся программированию на
данном этапе ставит перед собой задачу познакомить школьни*
ка с одним из алгоритмических языков и научить его исполь¬
зовать этот алгоритмический язык как средство описания алго¬
ритмов.
В настоящее время появилось большое число разнообразных
ЭВМ и различных языков программирования. Совершенствование
программирования идет по пути максимального упрощения труда
программистов, уменьшения объема технической работы и автома¬
тизации такой работы. В этом плане большое значение имеег
разработка алгоритмических языков. Запись алгоритмов на неко¬
торых алгоритмических языках достаточно близка к записи на
разговорном и математическом языках. Алгоритмические языки
часто создаются без ориентации на конкретную машину и пред¬
назначены для описания алгоритмов решения определенных клас¬
сов задач.
В данном случае нами выбран алгоритмический язык АЛГОЛ-бО.
На практике широко используются различные варианты языка,
чаще всего рассматриваются те или иные его упрощения. Для
начального этапа обучения программированию на АЛГОЛе мы
также использовали упрощенный вариант АЛГОЛа, который
достаточен для описания решения основных задач вычислитель¬
ной математики- Как правйло, переход к расширенному варианту
АЛГОЛа не представляет особого труда (зачастую это сводится
к дополнению новых понятий АЛГОЛа).
Знание одного из языков программирования, например
АЛГОЛа-бО или некоторого его подмножества, значительно облег¬
чает изучение любого другого языка программирования.
Материал данной темы может служить основой для профес¬
сиональной ориентации учащихся.
Занятия по программированию не должны ставить своей целью
обучение технологии программирования. Внимание должно быть
сконцентрировано на общеобразовательных аспектах программи¬
рования.
Учебное время рекомендуется распределить следуюшпм об¬
разом.
59

♦ Понятие о языке программирования — 2 ч.
Упрощенный вариант алгоритмического языка АЛГОЛ-бО — 10 ч.
Арифметические выражения (2 ч). Основные операторы (1 ч). Простейшие
программы (1 ч). Условные операторы, составной оператор (3 ч). Операторы
цикла (1 ч). Массивы (2 ч).
Программирование на АЛГОЛе — 8 ч.
Алгоритм Евклида (2 ч). Вычисление значения многочлена (2 ч). Прибли¬
женное вычисление квадратного корня из числа (1 ч). Одномерные массивы (I ч).
Двумерные массивы (2 ч).
Из-за ограниченности во времени, а также в связи с особен¬
ностями обучения в каждом конкретном случае может возникнуть
необходимость в сокращении имеющегося в пособии материала.
Отметим здесь тот материал, который в случае необходимости
можно опустить.
1.	Материал может быть значительно сокращен и облегчен за
счет изъятия раздела «Массивы». Учитывая ценность этого мате¬
риала и интерес к нему учащихся» возможно, следует исключить
лишь двумерные массивы* оставив только одномерные, и, если
необходимо, рассмотреть меньшее число задач на массивы.
2.	Задачу (и программу) на приближенное вычисление квад¬
ратного корня из числа можно опустить.
3.	В отдельных разделах можно рассмотреть не все варианты
программ и ограничиться меньшим числом примеров и задач, чем
это предлагается в посрбии. Соответственно можно уменьшить и
количество упражнений.
Для изучения данной темы не предполагается какой-либо пред¬
варительной подготовки учащихся. Однако учащиеся могут полу¬
чить более полное и необходимое начальное представление о про¬
граммировании, если на факультативах в VII и VIII классах они
познакомятся с темами: «Системы счислений и арифметические
основы ЭВМ» (VII кл., 12 ч); «Алгоритмы и программирование»
(VIII кл., 12 ч) ♦
Все упражнения приведены в. конце темы, но, естественно,
их лучше рассматривать по ходу изучения материала. Так, после
раздела «Условные операторы» можно предложить № 1—11; за
разделом «Операторы цикла» в другом варианте можно рассмот¬
реть № 7*r-9. После разбора ряда задач на делимость чиоел (алго¬
ритм Евклида и др.) — № 12—15. Упражнения № 16—20 целесо¬
образно предложить после изучения массивов, причем № 17—20
можно разобрать в различных вариантах (для одномерных и
двумерных массивов).
При необходимости упражнения можно взять из пособий,
указанных в списке литературы.
Дальнейшим развитием обсуждаемой темы является:
а)	Реализация АЛГОЛ-программ на конкретной ЭВМ.
б)	Углубленное изучение АЛГОЛа-бО.
в)	Освоение других алгоритмических языков.
г)	Знакомство с современными вычислительными системами.

ПОНЯТИЕ О ЯЗЫКЕ ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В данном разделе очень кратко, в обзорном порядке, даются
сведения о языке программирования. Фактически показана эво¬
люция языков программирования от машинного кода до алго¬
ритмического языка. Совершенствование языков программирова¬
ния является одним из направлений автоматизации программиро¬
вания. В пособии для сравнения рассматриваются примеры не¬
скольких команд в машиннОм коде и их представление в автокоде
(или в содержательных обозначениях). Затем те же команды запи¬
сываются на языке учебной ЭВМ, который является простейшим
вариантом алгоритмического языка.
Весьма полезным представляется рассмотрение совокупности
команд учебной ЭВМ. Это важно в плане повторения системы ко¬
манд учебной ЭВМ для лучшего понимания приводимых далее при¬
меров программ. Кроме того, рассматриваемые команды являют¬
ся прообразами операторов алгоритмического языка. Учащиеся,
которые не изучали учебной ЭВМ на факультативе ранее, тем
самым смогут быстро разобраться'В программах на условной
(учебной) ЭВМ. После демонстрации преимуществ и недостатков
языка программирования для учебной ЭВМ естественно перейти к
рассмотрению одного из используемых алгоритмических языков,
в частности к АЛГОЛу-бО. Таким образом учащиеся сопоставля¬
ют следующую цепочку: машинный код — содержательные обоз¬
начения — алгоритмический язык.
В пособии рассматривается упрощенный вариант АЛГОЛа-бО,
но с тем же успехом мог бы быть рассмотрен и другой алгоритми¬
ческий язык, естественно также в упрощенном варианте. Данный
учебный материал дает представление об объеме, содержании и
методе изучения алгоритмического языка и приемов программиро¬
вания на нем. Замена содержания другим алгоритмическим язы¬
ком не является принципиальным вопросом.
УПРОЩЕННЫЙ ВАРИАНТ АЛГОРИТМИЧЕСКОГО
ЯЗЫКА АЛГОЛ-бО
О	структуре АЛГОЛа-бО. Алгоритмический язык АЛГОЛ-бО
разработан группой американских и западноевропейских ученых
в 1960 г. Многие современные ЭВМ могут выполнять программы
на этом языке. Изучение АЛГОЛа-бО в полном объеме на профес¬
сиональном уровне требует значительного времени и большой за¬
траты сил. Язык АЛГОЛ-бО составлен так, что допускает возмож¬
ность его расширения или сокращения. В последнее время появи¬
лись различные подмножества АЛГОЛа-бО, в основном эти под¬
множества являются сокращением АЛГОЛа-бО. Сокращенные
варианты часто используются и в практической работе. Тем более
в учебных целях, особенно для обучения школьников, целесооб¬
6!

разно использовать некий упрощенный вариант. Используемый
нами упрощенный вариант обладает важным свойством' всякая
программа, верно написанная на упрощенном АЛГОЛе, имеет тот
же смысл и является верной в полном АЛГОЛе, Говоря о струк¬
туре АЛГОЛа, мы подразумеваем упрощенный АЛГОЛ. Но ука¬
зываемые составные части являются основными и присущи всем
вариантам АЛГОЛа. Законченное описание алгоритма средства¬
ми АЛГОЛа называют АЛГОЛ-программой или просто програм¬
мой. Правилами синтаксиса определяются различные понятия
АЛГОЛа: программа, оператор, выражение, число # т. д. Каждая
синтаксическая конструкция АЛГОЛа, в частности программа,
может быть представлена в виде конечной последовательности
основных символов.
Арифметические выражения. При записи арифметических вы¬
ражений средствами АЛГОЛа следует особое внимание уделить
принципу линейности записи, сходству и различию в математиче¬
ских и алгольных записях.
Вместо квадратных н фигурных скобок для регулирования
порядка действий используются лишь круглые скобки. Тем самым
несколько теряется наглядность записей. В черновых записях и при
объяснениях можно рекомендовать использовать скобки возраста¬
ющих размеров. В таком случае при нескольких парах круглых
скобок нетрудно увидеть по размеру круглой скобки, какой паре
скобок принадлежит соответствующая открывающая или закры¬
вающая круглая скобка. Кроме того, при таком изображении ско¬
бок отчетливо видно вхождение одного выражения со скобками
в другое.
При переносе записи арифметического выражения с одной стро¬
ки на другую знак операции не дублируется. Оборвать запись
для переноса на другую строку можно на любом символе (ника¬
кой символ не дублируется при переносе).
В арифметических выражениях используются знакомые уча1
щимся арифметические операции сложения, вычитания, умноже¬
ния и деления. Совершенно новой является операция деления
нацело. Постепенно в курсе по мере появления задач, где исполь¬
зуется операция деления нацело, поясняется ее выполнение.
Крайне желательно здесь рассмотреть несколько примеров с опе¬
рацией деления нацело и дать ответы к их решению.
Значение А ~- В определено лишь для целочисленных А и В,
причем ВФО. Результат вычисляется следующим образом: бе¬
рется частное от деления А на В с остатком. Например, при деле¬
нии 16 на 5 получается 3 и остаток 1. Результатом действия
16--5 будет число 3. Можно точнее математически записать:
A + B =
( ш<
1 -Ш
если 4“ ^ 0
В
], если ^-< 0.
62

Примеры.
Действие
Результат
8+2
8.04*2
4
Не определен
0
-1
2
(- 1)^2
(-5)-3
(-5)*(-2)
Основные операторы. В АЛГОЛе специально выделяются
основные операторы. Это такие операторы, которые не со¬
держат внутри себя других операторов. В данном разделе
рассматриваются не все основные операторы, а только оператор
присваивания и операторы ввода и вывода. Основными операто¬
рами также являются оператор перехода и пустой оператор, рас¬
сматриваемые после раздела «Простейшие программы». Кроме
того, к основному оператору относится и оператор процедуры, ко¬
торый в нашем подмножестве АЛГОЛа не рассматривается.
Внешне операторы присваивания почти не отличаются от за¬
писи математических формул, которые служат для вычисления
значений одних величин в зависимости от значений других вели¬
чин. Арифметическое выражение, стоящее справа от знака прис¬
ваивания, называется правой частью,, а все остальное (знак : = и
переменная, стоящая слева от него) — левой частью оператора
присваивания. Так, в операторах присваивания
правыми частями являются 3.1415, В + С, X + 1, алевыми частя¬
ми соответственно р: =, А : =, X: =.
Операторы перехода, ввода и вывода имеют то же назначение,
что и аналогичные операторы — команды учебной ЭВМ, рассмот¬
ренной ранее. Чтобы программа, в которой имеются операторы
ввода, могла быть выполнена, к ней необходимо приложить число¬
вой материал. В нашем случае достаточно за программой запи¬
сать нужное количество вводимых чисел.
Простейшие программы. Раннее введение понятия «простейшая
программажявляется специальным методическим приемом. Умение
школьниками на первых этапах изучения АЛГОЛа составлять
законченные программы повышает их интерес. Постепенно в даль¬
нейшем будут вводиться новые конструкции языка и программы
будут более содержательными, а главное — будет уточнено, поня¬
тие программы. Часто прибегают к другому методу: рассматрива¬
ют большее число видов операторов, изучают детальнее свойства
АЛГОЛа и лишь затем только приступают к составлению прог¬
рамм. В связи с тем что понятие «программа» явлйется заверша¬
ющим в синтаксической схеме АЛГОЛа, то данное понятие вообще
может рассматриваться в самом конце изучения АЛГОЛа. Так
делается в некоторой научной литературе по АЛГОЛу. В целях
р : = 3.1415; A:=B + C; X : = X+l

упрощения понимания языка, особенно в условиях изучения его
в школе, более целесообразным является метод» в котором поня¬
тие программы появляется по возможности раньше.
Рассматривая программы решения задач^ связанных с вычис¬
лениями по формулам, которые не вызывают особых усилий школь¬
ника при составлении алгоритма решения, особое внимание сле¬
дует уделить вопросам правильного «синтаксического» написания
программы, возможного распределения текста программы по
строкам и др. В дальнейшем такие навыки свободного и грамот¬
ного. написания программ существенно помогут при составлении
программ решения сложных задач, где усилие может быть сосре5*
доточено на алгоритмической стороне решения задачи.
Может оказаться полезным сопоставление различных средств
описания алгоритмов решения задачи (на простейших примерах):
математическая запись, пошаговая запись алгоритма, блок-схем-
ное описание, запись программы на языке учебной ЭВМ, алгол-
программа.
Условные операторы. В отличие от основных операторов ус¬
ловный оператор является более сложной конструкцией, внутри
его могут находиться другие операторы. Изучение условного опе¬
ратора является существенным этапом в обучении программиро¬
ванию на алгоритмическом языке. С помощью условных опера¬
торов и основных операторов практически возможно составить
описание решения всех задач, которые ставятся в курсе обучения.
Рассмотрение новых операторов не расширит круг программируе¬
мых задач. Некоторые операторы будут рассмотрены лишь с
целью получения дополнительных возможностей более компактно¬
го и удобного описания решения (программирования)-оаределен-
ных задач.
Для лучшего понимания структуры и работы условного опера¬
тора рекомендуется рассмотреть схематическое изображение ус¬
ловного оператора. Схематично следует представить общий вид
иолной и сокращенной формы условного оператора, а также неко¬
торые конкретные примеры условных операторов, особенно ценно
такого рода представление условного оператора более сложной
структуры, а именно случай многократного вхождения условных
операторов друг в друга. Существуют различные способы схемати¬
чного представления условных операторов. Рассмотрим здесь
два способа, а именно:
отношение
отношение
да
нет
да
нет
оператор 1
оператор 2 оператор 1
^ \
I
64

if отношеиие then оператор 1 else оператор 2; оператор 3
I - нет	|	___f	{	J
t да	I	t	I
if отношение then оператор 1; операторЗ
j нет		|
Составной оператор. Составной оператор объединяет группу
операторов таким образом, что эта группа может быть исполь¬
зована как один оператор. Общий вид составного оператора:
begin оператор 1; оператор 2;	;	оператор	Т	end.	Здесь	составной
оператор объединяет Т операторов. Выполнение составного опера¬
тора сводится к выполнению в соответствующем порядке входя¬
щих в него Qnepat0p0B. При входе в составной оператор через его
начало операторы выполняются в порядке их следования с учетом
того, что некоторые операторы изменяют естественный порядок
выполнения Операторов. Войти в составной оператор не через на¬
чало, а внутрь его можно с помощью оператора перехода — пере¬
ход будет к оператору, помеченному соответствующей меткой.
Составной оператор может содержать внутри себя и один опе¬
ратор. При этом существенно обратить внимание на название опе¬
раторов. Пусть имеется оператор A:=B. Это оператор присваи-
Еания. Пусть теперь имеем запись оператора: begin А: = В end.
Это уже составной оператор. По существу выполняемой работы
эти операторы «ичем не отличаются, но по названию они различны.
Пусть далее мы имеем условный оператор любой формы,
например
ltA = 0 then Р: = 0 eIse*: = В/А
Заключив этот оператор в операторные скобки begin и end, мы по¬
лучим составной оператор-
begin if А = 0 then Р: = 0 else'A'; = В/А end
В условном операторе за символами then и else разрешается
помещать по одному оператору и, кроме того, за символом then
запрещается писать условный оператор. Использование состав¬
ного оператора в таких случаях делает эти требования формаль¬
ными, заставляя программиста заключать один или несколькоопе-
раторов в операторные скобки begin и end.
Операторы цикла. Запишем оператор цикла в общем виде:
for Р: = А step & until С do оператор 1.
Здесь р — параметр цикла, переменная;’ А, В, С — арифмети¬
ческие выражения; оператор 1 — любой оператор АЛГОЛа.
Поясним работу оператора- цикла. Оператор 1 выполняется
для каждого значения параметра цикла Р. Переменная Р прини¬
мает значения от А с шагом В до С. Опишем подробнее порядок
выполнения оператора цикла: для случая B> 0.
3	Заказ 319
65

Шаг I. P:=A
Шаг 2. Если P>C, то перейти к шагу 6.
Шаг 3. Выполнение оператора 1.
Шаг 4. Р: = Р + В.
Щаг 5. Перейти на шаг 2.
Шаг 6. Окончание работы, выход из оператора цикла.
Это описание алгоритма выполнения оператора цикла дает
четкое представление о том, в каком порядке происходит изме¬
нение значения параметра Р и выполнение оператора 1.
Чтобы учащиеся лучше усвоили работу оператора иикла, необ-
ходимо рассмотреть достаточное число примеров. При этом жела¬
тельно разобрать различные комбинации значений Ау В, С и соот¬
ветствующие значения Р. Можно воспользоваться таблицей:
А
в
С
Змпчсиия ^ для которыч ВЫМОЛШ1СТСЯ
оператор I
1
1
5
J, 2, 3. 4, 5
— I
1
2
-i, 0, I, 2
-3
1
0
3, -2, I, 0
4
2
7
4, 6
4
2
8
4, 6. 8
2
I
2
2
2
' 3
2
2
2
1
1
Оператор 1 нс выполняется
Блоки. Общий вид блока можно представить следующим
образом
begin описание; , описание; оператор, , оператор end.
Как нетрудно заметить по внешнему виду, блок совпадает
с программой. Действительно, некоторые блоки могут быть про¬
граммой. Это такие блоки, в которых все используемые пере¬
менные описаны, в которых нет обращений в другие блоки
(находящиеся вне данного), которые не содержатся внутри дру¬
гих блоков.
Блок отличается от составного оператора тем, что в нем име¬
ются описания.
Главное свойство блока состоит в том, что простые перемен¬
ные и массивы, описанные в блоке, действительны только внутри
этого блока и после выполнения блока значения этих простых пере¬
менных и переменных с индексами теряются. Метки, помечающие
операторы внутри блока, считаются как бы описанными в данном
блоке, и они, как и переменные, действительны внутри блока,
Блоки и составные операторы, как и ‘все другие операторы
АЛГОЛа, могут быть помечены метками.
Существует правило, что в блок можно входить только через
его начало, поэтому первый оператор блока всегда будет выпол¬
нен. В составной оператор не обязательно входить через начало,
с помощью оператора перехода можно войти внутрь составного
оператора и начать его выполнение с определенного оператора.
66

Такое различие объясняется тем, что при входе в блок нельзя
пройти мимо описаний.
Действие описаний блока позволяет, когда это необходимо,
использовать одни и те же обозначения для различных объектов
в разных блоках. Последнее удобно использовать при объедине¬
нии нескольких блоков (которые могут составляться разными
людьми) в одну программу, как это часто делается при решении
сложных задач и соответственно написании больших программ.
Массивы чисел. В данной части темы рассматриваются лишь
одномерные массивы. С целью упрощения на первоначальном эта¬
пе приводятся примеры, когда индексы переменных массива явля¬
ются целыми положительными числами и, как правило, изменя¬
ются от значения 1 до значения Р. Это соответствует порядковым
номерам элементов массива. Далее учащиеся встретятся с другой
нумерацией членов массива, например когда нумерация начинает¬
ся не с 1, а с 0. В общем случае в описании массивов нижними и
верхними границами изменения индексов могут быть арифмети¬
ческие выражения. Аналогично и в качестве индекса у переменной
с индексом может быть арифметическое выражение. Естественно
при этом рассматривать лишь целые значения арифметических вы¬
ражений для индексов (округляя при необходимости значения
арифметических выражений). Учитывая круг задач, предлагаемых
учащимся на занятиях программированием, не имеет смысла де¬
тально разбирать сложные примеры выражений для индексов. В
пособии ограничилисьлишь рассмотрением выражений типа Л+ 1,
А + В, Т — Р + 1, 2 X ?\ 2 X Т — 1 Для индексов переменных и
записями типа 1 :P, 1 : А —В7 0 Я, 1 :2 X Т для граничных пар
в описаниях массивов.
Так же с целью упрощения в описаниях массивов перед сим¬
волом array требуется указать тип элементов массива real или
integer. В АЛГОЛе допускается не писать символ real перед сим¬
волом array, т. е. предлагается специально отмечать лишь тип
Integer, а в остальных случаях предполагать тип real. По нашему
мнению, обязательное указание типа элементов массива дисцип¬
линирует учащегося и заставляет его своевременно обратить вни¬
мание на тип массива.
Следует особо указать на различие в заголовке программы в
случаях описания массивов с постоянными и переменными грани¬
цами индексов, например 1 10 или 1 :P.
ПРОГРАММИРОВАНИЕ НА АЛГОЛе
i
Алгоритм Евклида. В этом разделе рассматриваются несколько
задач целочисленной арифметики. Первой из этих задач являет¬
ся задача на нахождение наибольшего общего делителя двух чисел
по алгоритму Евклида.
Перед непосредственным рассмотрением алгоритма Евклида и
сос'гавлением алгол-программы целесообразно вспомнить некото¬
рые способы отыскания наибольшего общего делителя двух чисел
67

и показать эффективность данного способа. Разбирая- алгоритм
Евклида, имеет смысл после математического описания алгоритма
рассмотреть конкретные числовые примеры и лишь потом перейти
к составлению программы на АЛГОЛе. Например, пусть А = 133
и В = 76.
А
в .
Остаток
133
76
. 133=76-1 + 57
57
76
57
76=57-1 + 19
19
57
19
57=19-3 + 0
0
Таким образом: НОД (133, 7б) =НОД (76, 57) =
= НОД (57, 19) = НОД (19, 0).= 19.
Такого .типа пример может быть использован для проверки пра¬
вильности работы алгольной программы.
В программе, реализующей алгоритм Евклида, для нагляднос¬
ти использованы обозначения переменных а, b, НОД, ЧАСТНОЕ,
ОСТАТОК. Заметим, что переменная ЧАСТНОЕ использована
лишь с целью упрощения и облегчения понимания программы.
Хорошим упражнением может быть задание исключить из прог¬
раммы переменную ЧАСТНОЕ. В таком случае вместо операто¬
ров ЧАСТНОЕ: = а +- Ь\ ОСТАТОК: = а - Ь X ЧАСТНОЕ потре¬
буется записать оператор ОСТАТОК: = а — а + b X b.
Вычисление значения многочлена. Метод Горнера позволяет
вычислить значение многочлена anjtn + an~t*n“l + ... + ai* +
+ ao при х — Ъ за n+ 1 шагов. Значения, вычисляемые на f, 2,
3,-..., ra+ 1 шагах, определяются следующими выражениями:
ап	шаг 1
anb + Qn^ i	шаг 2
anb2 + an-\b + an-2	шаг 3
anbn + an-ibn-l+an-2bn-2+ .. + aib + aQ шаг n+ 1.
Используемая схема вычислений позволяет по известному значе¬
нию pi, полученному на f-м шаге (1 ^ i ^ п), получить значение на
i	+ 1-м шаге, которое получается следующим образом:
Pi + i = Pib + ап—i +1.
Интересно сравнить метод Горнера с каким-либо другим спо¬
собом по числу выполняемых действий для вычисления нужного
значения. При этом можно предложить доказать следующее ут¬
верждение: для вычисления значения многочлена по методу Горне-
ря необходимо выполнить п умножений и п сложений. Действи¬
тельно, на первом шаге никаких действий не надо выполнять, а на
каждом из остальных п шагов выполняется одно умножение и одно
сложение.
68

Приближенное вычисление квадратного корня из числа. При
рассмотрении вычислений квадратного корня из числа по рекур¬
рентной формуле перед составлением программы целесообразно
вручную получить несколько последовательных приближений для
заданного числа и разных начальных значений, например для
х — 3 рассмотреть yQ=l, затем г/о = 2 и r/o=3. Это позволяет
сравнить, насколько быстро получается результат в зависимости
от выбора у0. Особенно эффективна такого рода работа при ис¬
пользовании микрокалькуляторов.
Одномерные и двумерные массивы. В данном разделе допол¬
нительно рассматриваются несколько задач на одномерные масси¬
вы. Предлагаемые задачи, связанные с той или иной обработкой
массивов чисел, не требуют для своего решения знания каких-то
методов решения. Эти задачи простые, они не содержат утомитель¬
ных вычислений и носят логический характер. Являясь новыми по
существу, они вносят большое разнообразие в работу и вызывают
интерес учащихся. При разборе задач этогораздела весьма полез¬
но рассмотреть конкретные числовые примеры, с помощью которых
можно проверить правильность программы. Так, для задачи распо¬
ложения чисел в обратном порядке стрит разобрать примеры
массивов, содержащих как четное, так и нечетное число
элементов.
Двумерные массивы можно считать дополнительным матери¬
алом и рекомендовать его изучать следует лишь учащимся, кото¬
рые проявили интерес к предмету и желают познакомиться с новы¬
ми возможностями АЛГОЛа.
Одномерный массив — вектор можно рассматривать как част¬
ный случай двумерного массива. Пусть описан массив А [1:Г].
Это вектор, состоящий из Т элементов. Массив можно описать и
в виде матрицы, например real array А [1 :T, 1 1] или real array
А [1:1, l.T]. В первом случае имеется матрица, состоящая из Т
строк и одного столбца (вектор-столбец), т. е. в каждой строке по
одному элементу. Во втором случае мы имеем матрицу, состоящую
из одной строки и Т столбцов (вектор-строка), в строке Т элемен¬
тов. Учащиеся не привыкли, работать с матрицами, поэтому перед
составлением программы требуется детально разобрать числовые
примеры с конкретными матрицами и лишь затем писать про¬
граммы для общих случаев.
Примерное содержание 'эачета
1.	Что такое идентификатор?
2.	Сколько существует идентификаторов, представляющих
собой последовательность из двух символов и не содержащих ни¬
каких букв, кроме Р, р, и никаких цифр> кроме 0, 1, 2?
3.	Какие из следующих записей X, XI, X2, X2, Xo, СУММА,
MAX, 2X, + X, АХ являются идентификаторами?
4.	Какие стандартные функции используются в АЛГОЛе?
69

5.	Какие арифметические операции употребляются в ариф¬
метических выражениях АЛГОЛа?
6.	Какие из следующих записей У, У + 2, X — У, 2X + У,
^3—У2, —3—У|2 являются арифметическими выражениями?
7.	Какие из следующих записей a6s(x), absx, cosa, cos(a),
\a + b\9sqrt(a), ^~а являютсястандартнымифункциями?
8.	Для каких целей используются в программе операторы
ввода, вывода и присваивания?
9.	Являются ли операторами присваивания следующие записи:
у: = 0, у = :0, 0: = уу y:: = 0, у = 0,
y: = AB, y+ 1 : = y + x, y: = y+ 1, у: = — 7?
10.	Из каких компонентов состоит программа (ответ дать в
соответствии с изображением программы в общем виде)?
11.	Каково назначение пустого оператора?
12.	Что такое описание переменных?
13.	Какие формы условного оператора допускаются в
АЛГОЛе?
14.	Что представляет собой составной оператор?
15.	Какие имеются типы числовых значений арифметических
выражений?
16.	Какой оператор не разрешается записывать вслед за сим¬
волом then? Как надо преобразовать условный оператор, чтобы
его можно было использовать за символом then?
17.	Какова конструкция оператора цикла?
18.	Каково отличие блока от составного оператора?
19.	Каким образом составляется описание массивов?
20.	Какие операторы используются в АЛГОЛе?
На зачете каждомушкольнику можно предложить ответить на
одйн-два вопроса и написать алгол-программу. Ниже дается при¬
мер индивидуального задания.
1.	Что такое «описание», какие описания имеются в АЛГОЛе?
2.	Найдите ошибку в записи арифметического выражения
(приводится какая-либо ошибочная запись арифметического вы¬
ражения, например с нарушенным балансом скобок, с непосред¬
ственным соседством двух знаков арифметических операций
и т. п.).
3.	Перечислите все операторы АЛГОЛа.
4.	3 а д а ч а. Определить, сколько четных чисел содержится
в заданном массиве целых чисел (написать алгол-программу)
П р и м е ч а н и е 1. В вопросах и заданиях подразумевается
упрощенный вариант АЛГОЛа, рассматриваемый в данном фа¬
культативе.
П р и м е ч а н и е 2. В разбираемых примерах и в ответах к
упражнениям и заданиям, как правило, приводится какой-либо
один из возможных вариантов программ. Естественно, могут
быть предложены другие варианты программ, в частности с ины¬
ми обозначениями величин.
70

ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
1.	Обозначения: а — данное число, Р — признак (Р = 1,
если а принадлежит заданному отрезку, и P = 0 в ином случае).
Р: — 0;
i! а > 1 then begin
if а < 10 then Р: = 1 end;
вывод (P)
2.	Условный оператор:
if х <—3 then y: = x—1 else
if *<2 then у: =x else у: = x+ 1
3.	Будет напечатано число 120.
4.	Обозначения: X и Y — данные числа; А — среднее ариф¬
метическое; Г — среднее геометрическое.
Программа:
begin real X, Y, А, Г;
ввод (X, Y);
A: = (X+Y)/2; r: = sqrt (XxY)',
вывод (А, Г) end
5.	У к а з а н и е. Программа зависит от того, какие исходные
данные взяты для вычисления искомой суммы, например возможны
варианты для вычисления суммы S для заданных: а) ах — пер¬
вый член, Qn — последний член, п ^ число членов; б) аи d —
разность прогрессии, c^ и др.
6.	Пусть А, В, С — заданные числа, М — наибольшее из
них. В этих обозначениях программу можно записать, например,
так:
begin real Л, В, С, М; ввод (А, В, С); М: = А;
if B>M then Af:=B; if C>Af then M: = C;
вывод (М, А, В, С) end
Для поиска наименьшего значения М из А, В, С в программе
пришлось бы заменить лишь знаки > на < в соответствующих
условных операторах.
7_. Обозначения: С — искомая сумма, р — параметр цикла.
begin integer С> р;
C: = 0;	*
for р: = llstep 1 until 20 do
С i =>C + pj3*,
вывод (С)
end
Для вычисления суммы кубов нечетных чисел от 11 до 20
надо в операторе цикла вместо шага «1» записать шаг «2». В
этом случае р примет значения нечетных чисел 11, 13, 15, 17, 19.
71

8.	Обозначения: X — аргумент, У — функция, Р — заданное
число значений аргумента, Т — параметр цикла.
begin Integer Т, Р; real X. Y;
ввод.(Р);
for Т: = 1 step 1 until Р do
begin ввод (X); Y — X|2;
ёывод (К) end
end
9.	Обозначения:Х — аргумент,параметрцикла;У — функция.
begin real X. Y;
for Jf: = 1 step 0.01 until 3 do
begin Y: — sqrt (X);
вывод (X, У) end
end
10.	Этой программой решается задача поиска наибольшего
значения из данНых А, В, С. На печать выводятся найденное
наибольшее значение М и данные числа.
11.	Указание. Точка (X, К) принадлежит квадрату при
выполнении условий:
\Х\<1 и|У|<1.
Обозначения: X, Y—координаты точки; В — признак, 5=1,
если точка принадлежит квадрату, В = 0 в другом случае.
Программа:
begin real X, Y; integer В; ввод (X, У); В: =0;
if abs (X) < 1 then begin
if a6s (У) < I then В: = 1 end;
вывод {B-, X, У) end
12.	Р и Т — заданные числа. Пусть К означает кратность
делитёля Т. К = 0, если Р не делится без остатка на Т. В — вспо¬
могательная переменная для хранения частного от деления Р на Т.
Программа:
begin integer Р, Т, К, В\ ввод {P, Т); К: = 0;
M:B: = Р/Т; if F Ф В х Т then goto выход;
К: = К 4-1; if В < Т then goto выход;
Р: = В; goto М; выход: вывод (tf) end
13.	У к а з а н и е. Можно воспользоваться приведенной в по¬
собии (с. 127) программой, в которой проверяется, является ли
данное число простым.
14.	Обозначения: N — данное число; Т — параметр цикла,
результат, если Т является делителем N. Делители печатаются
по одному.
Программа:
begin integer N, Т; ввод {N);
for Т: = 1 step 1 until N do
if N~ Т X Т = N then вывод (Г) end
72

15.	Обозначения: А — данный массив, Т — число элементов
массива, D — данное число, С — счетчик, k — параметр цикла.
Программа:
begin integer D, Т, С, к\ ввод {D, Т) \
begin integer array А [1 Г]; ввод (Л);
С: = 0;
for k: = 1 step 1 until Т do
if Л [k] +DxD=A [k] then
C: = C+i;
вывод (С) end end
16.	Обозначения: Л, В, С — коэффициенты; X — массив зна¬
чений аргумента; Y — массив результатов; Т — число членов в
массиве X (или У).
Программа:
begin integer Т, i; real А, В, С\ ввод (Л, В, С, Г);
begin real array X, Y [1:Г]; ввод (X) ;
for i: = 1 step 1 until Т do
у И:-(ЛХ*И+В)Х*И+С;
вывод {Y, X) end end
17.	Обозначения: Л —. массив, Т — число эл'ементов массива,
В — данное число, С — счетчик, К — параметр цикла.
Программа:
begin integer Т, С, К; real В; ввод (Т, В) ;
begin real array Л [l:7]; ввод (Л); C:=0;
for k: = 1 step 1 until Т do
if Л [k] >B then С: = С + 1;
вывод (С) end end
18.	Обозначения: Л — массив, Т — число элементов массива,
.C — счетчик, К — параметр цикла.
Программа:
begin integer Т, С, К; ввод (7);
begin integer array Л [ 1:74]; ввод (Л); С: =0;
for К: = 1 step 1 until Т do
if Л [K} + 2x2 = Л [К] then C:-C+1;
вывод (С)
end end
19.	Обозначения:
Л — массив данных элементов,
К —. число элементов,
МАКС — наибольший элемент,
Т — номер максимального элемента,
МИН — наименьший злемент,
77	—	номер минимального элемента,
р — параметр цикла, текущий номер элемента массива.
73

Программа:
begin real МАКС, МИН; integer К, Т, T1, р.-
ввод (К);
begin real array А [ 1: К],
ввод (Л);
МАКС: =A [1]; Т: = 1;
МИН: = А [I]; 77: = l;
for р: = 2 step 1 until К do
if А [p] > МАКС then
begin МАКС:=Л [p]; 7":=p end else
if А [p] < МИН then
begin МИН:=Л [pJ; Tl:=pend;
вывод <MAKC, Т, МИН, 77)
end
end
20.	Обозначения:
А — массив чисел,
К — количество элементов в массиве,
С/ — счетчик числа положительных элементов,
€2 — счетчик числа отрицательных элементов,
р — параметр цикла.
Программа:
begin integer К, Cl, C2, р; ввод (К)',
begin real array А £ 1: АГ]; ввод (А);
Сl:=0; G2:=0;
for р: = 1 step 1 until К do begin
if А [p] > 0 then Cl: = Cl + 1;
if А [p] < 0 then C2: = C2 + 1 end;
вывод (Cl, C2) end end
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.	Абрамов С. A., Антипов И. Н. Основы программирования на
АЛГОЛе. М., 1980.
2.	А н т и п о в И. Н. Программирование. М., 1976.
3.	Лавров С. С. Введение в программирование. М., 1977.
4.	П е р в и н Ю. А. Основы ФОРТРАНА. М., 1972.
5.	С а л т ы к о в А. И., С е м а ш к о Г. Л. Программирование для всех.
М., 1980.

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
И СООТВЕТСТВИЯ
Школьные курсы алгебры и геометрии со¬
держат большое число различных примеров соответствий. Уча¬
щиеся исследуют их свойства и изучают операции над ними.
При этом каждое конкретное соответствие рассматривается с тех
сторон, которые наиболее существенны для его изучения. Так,
например, при изучении числовых функций числового аргумента
рассматриваются вопросы, связанные с их областями определения
и множествами значений, графиками, со свойствамифункциональ-
ности, симметричности, обратимости и др.; при изучении парал¬
лельности прямых — со свойствами симметричности и транзитив¬
ности; при изучении уравнений и неравенств — с операциями
пересечения и объединения, графиками, эквивалентностью и т. п.
Рассмотрение на факультативных занятиях основ теории со-
ответствий обобщает опыт изучения в общеобразовательном курсе
различных примеров соответствий, иозволяет классифицировать
изученные конкретные соответствия по их положению в общем
ряду соответствий и установить то общее, что связывает понятия,
различные по характеру и области применения. Формирование
представлений об общих основах теории имеет методологическое
значение, так как не только углубляет знания учащихся, получен¬
ные на уроках, но и позволяет свести их в некую единую систему
и создает предпосылки для эффективного усвоения новых знаний.
Выполнение большого числа упражнений, связанных с приме¬
рами соответствий, встречающимися в окружающей действитель¬
ности и при изучении других школьных дисциплин, имеет большое
значение с точки зрения осуществления межпредметных связей и
связи школьного математического образования с жизнью.
Методические рекомендации по изучеиию главы «Бинарные
отношения и соответствия» разбиты на отдельные блоки, в кото¬
рые объединены рекомендации к пунктам главы, связанным одни¬
ми целями или общими методами изучения, соответствием тому
или иному математическому материалу. Так, в первую группу
объединены первые четыре пункта: «Примеры соответствий» и
«График и граф соответствия» (I ч), «Числовые соответствия»
(1 ч), «Образ и полный прообраз. Область задания и множество
значений соответствия» (1 ч). Материал этих пунктов имеет ввод¬
75

ный характер. Учащиеся знакомятся с первоначальными поняти¬
ями теории соответствий. Материал, изучающийся в пунктах 5, 9 и
10: «Виды соответствий» (1 ч), «Обратное соответствие» (I ч),
«Композиция соответствий» (1 ч), весьма тесно связан с некото¬
рыми элементами математической логики, что делает целесооб¬
разным совместное рассмотрение методических рекомендаций к
их изучению. При изучении пунктов «Следствия из соответствий»
(Л ч), «Операции над соответствиями» (1 ч), «Сужений соответ¬
ствий» (1 ч) и при выполнении упражнений к этим пунктам веду¬
щую роль играют теоретико-множественные понятия и методы.
Рекомендации к второй части «Отношения в множе^вах» раз¬
биты на два блока. К первому отнесены пункты «Отношения, их
графы и графики» (1 ч), «Свойства отношений» (1 ч),.мате-
риал которых повторяет некоторые вопросы, рассматривавшиеся
для соответствий между двумя множествами, интерпретируя их
для отношения в множестве, а также содержит некоторые сведения
о	специфических свойствах отношений. В отдельную группу объе¬
динены пункты «Отношения эквивалентности» и «Классы эквива¬
лентности» (1 ч), «Отношения порядка» и «Отношения сходства»
(1 ч), где рассматриваются отношения, облада*ющие тем или иным
набором свойств отношений.
Материал пунктов «Бинарные отношения и лингвистика» и
«Исторические сведения» (1 ч) имеет ознакомительный характер
и может быть изложен в лекции учителя или в докладах уча¬
щихся.
Ответы и указания к решению даны лишь для трудных задач,
^ля которых таких указаний не было в пособии.
ПРИМЕРЫ СООТВЕТСТВИЙ. ГРАФИК И ГРАФ
СООТВЕТСТВИЯ. ЧИСЛОВЫЕ СООТВЕТСТВИЯ. ОБРАЗ
И ПОЛНЫЙ ПРООБРАЗ. ОБЛАСТЬ ЗАДАНИЯ И
МНОЖЕСТВО ЗНАЧЕНИЙ СООТВЕТСТВИЯ
Перечислим основные понятия вводной части темы: соответст¬
вие, область отправления и область прибытия соответствия, об¬
раз элемента и образ множества в данном соответствии, об¬
ласть задания и множество зиачен~ий соответствия. Они вводятся
при помощи определений с применением некоторых вспомогатель¬
ных понятий, их смысл разъясняется на примерах и закрепляется
при выполнении упражнений, использующих знания учащихся по
основному курсу математики.
Вспомогательные пойятия, которые используются в этой
части темы для введения основных понятий, почти все известны
учащимся: это понятия множества, подмножества, пустрго мно-
жества, равенства множеств, упорядоченной пары элементов, ко¬
нечных и бесконечных множеств, объединения множеств. Имеются
и новые для учащихся понятия, играющие вспомогательную роль
76

при введении основных понятий: декартово (прямое) произведение
двух множеств, счетное множество. Кроме того, при выполнении
упражнений учащиеся встретятся с понятиями, известными им из
курса математики (параллельность, перпендикулярность, уравне¬
ние, корень уравнения, равносильность уравнений, треугольник,
окружность и другие геометрические фигуры, пересечение, каса¬
ние геометрических фигур и т. д.), из курса географии (парал¬
лели, изотермы), из курса русского языка (существительное, при¬
лагательное, местоимение, согласуется в роде, числе, падеже).
Понятие соответствия. Первые примеры соответствий между
множествами (до введенияопределения соответствия), как в
тексте, так и при выполнении упражнений, используют интуитив¬
ные представления учащихся о соответствии как о некоторой связи
между элементами множеств: «число х является корнем много¬
члена у», «существительное х согласуется с прилагательным
у в роде» и т. д. В дальнейшем учащиеся должны получить
более четкие представЛения о соответствии как о тройке мно¬
жеств (X, У, Г). При этом их интуитивные представления о соот¬
ветствиях не противоречат формальному определению, находя свое
отражение при решении вопроса о принадлежности пары (x, у)
графику соответствия: если х и у находятся в данном соответствии
R (некоторым образом связаны между собой), то (x, y)£TR.
График соответствия. Для введения понятия о графике соот¬
ветствия используется понятие о декартовом произведении двух
множеств как о множестве всех пар, первые элементы которых
принадлежат первому множеству, а вторые — второму. При этом
необходимо объяснить учащимся и показать на примерах, как
осуществить полный перебор всех таких пар. Самым простым и
наглядным способом нахождения полного списка пар, входящих
в декартово произведение двух множеств, является записв пар в
виде таблицы, где каждому элементу из одного множества соот¬
ветствует строка таблицы, а каждому элементу второго — стол¬
бец. Таким образом, каждая пара (а, b) будет определена пере¬
сечением строки, соответствующей элементу а, и столбца,
соответствующего элементу b. Например, в упражнении 4 де¬
картово произведение множеств X = {25, 16, 7, 6} и У = {5, 2, 3,
9,	1}, записанное в виде такой таблицы, будет иметь вид:
	v
5
2
э
9
l
25
(25,5)
(25,2)
(25,3)
(25,9)
(25.1)
16
(16.5)
(I6.2)
(16,3)
(16,9)
(16,1)
7
(7,5)
(7,2)
(7,3)
(7,9)
(7,1)
6
(6,5)
(6.2)
(6.3)
(6,9)
(6.1)
Из описанного способа перечисления всех элементов прямо¬
го произведения двух множеств хорошо виден и естественно
77

вытекает другой способ (не использующий запись в форме табли¬
цы): для каждого элемента из первого множества составляются
пары, где этот элемент стоит на первом месте, а на втором —
перебираются все элементы второго множества.
Для того чтобы перечислить все пары, входящие в график
соответствия между множествами X и У, можно воспользо¬
ваться составленным предварительно их декартовым произведе¬
нием, выбрав из него только «нужные» пары. Так, из выписанных
выше пар декартова произведения множеств X и У в упражнении
4 отбираются пары: (25, 5), (16, 2), (6, 2), (6, 3), (25, 1), (16, 1),
(7, 1) и (6, 1). Они и составляют график данного соответствия.
Чтобы найти график соответствия, не обязательно каждый
раз выписывать все декартово произведение областей отправле¬
ния и прибытия. После выполнения нескольких упражнений в та¬
ком подробном виде (а это сделать нужно как для усвоения поня¬
тия «декартово произведение», так и для формирования понятия
графика соответствия) можно находить график по принципу, ис¬
пользовавшемуся во. втором способе перечисления пар декартова
произведения, с той лишь разницей, что для каждого элемента
первого множества записываются все такие пары, где на втором
месте стоит «нужный» элемент второго множества (если такие
пары существуют). Так, в разобранном выше упражнении 4 для
числа 25 записываются пары: (25, 5) и (25, 1), для числа 16 —
пары: (16, 2) и (16, 1), для числа 6 — пары: (6, 2), (6, 3) и (6, 1),
для числа 7 — пара (7, 1).
Граф соответствия. Элементы конечных множеств X и У изоб¬
ражаются точками на плоскости. Если пара (x, у) принадлежит
графику данного соответствия, то от элемента х к элементу у
проводится стрелка. Это позволяет более наглядно представить
многие факты и сведения, связанные с теорией соответствий,
и во многих случаях быстрее и проще решать задачи. Использо¬
вание стрелок от х к у наглядным образом показывает упорядо¬
ченность пар (х, у), на что нужно обратить особое внимание
учащихся. При этом следует иметь в виду, что учащиеся довольно
хорошо усваивают тот факт, что йары (jt, у) и (у, х) при у Ф х
считаются различными, но иногда считают, что если пара (x, у)
входит в график соответствия, то пара (у, х) не может ему при¬
надлежать. Для множеств X и У с эле¬
ментами различной природы это так и есть,
однако если X и У — множества эле¬
ментов одной природы (например, чисел
или геометрических фигур), то возмо¬
жен случай, когда и пара (jc, у), и пара
(у, х) принадлежат графику соответствия.
В дальнейшем (при изуяении свойств соот¬
ветствий и особенно отношений в мно¬
жестве) учащиеся встретятся с такими
случаями, однако представления о такой
X	У
78

возможности должны формироваться с самого начала, и наибо¬
лее удобным средством для этого является использование графа.
Например, на рисунке I изображен граф соответствия, в график
которого входят пара (1, 3) и пара (3, 1).
Определение соответствия. При введении формального опре¬
деления соответствия как тройки множеств необходимо обратить
внимание учащихся на то, что совпадение двух соответствий оз¬
начает совпадение их областей отправления, областей прибытия
и графиков. Два соответствия различны, если у них различны
графики, или области отправления, или области прибытия
При несовпадении графиков двух соответствий учащиеся
обычно не затрудняются в выводе о различии соответствий,
случаи же, когда не совпадают области отправления или области
прибытия, часто упускаются ими из вида. Поэтому полезно рас¬
смотреть эти случаи на конкретных примерах Так, соответствие
Si между множествами действительных чисел х и у, где */= }fx^
и соответствие S$ между множествами неотрицательных действи¬
тельных чисел х и yt где y= }fx^, имеют одинаковые графики,
однако S\ Ф S2, так как не совпадают ни области отправления ни
области прибытия этих соответствий.
Можно привести и несложный формальный пример типа:
*,={2, 6, I}, K,={4, 7}, r,={(2, 4), (6, 7); (1, 4)};
Л2 = {2, 6, 1, 8}, У2 = {4, 7}, Г2 = {(2, 4), (6, 7), (1, 4)}.
Здесь графики соответствий (Ху, Yi, Г|) и (Хг, У2, Г2) совпадают,
совпадают и области прибытия, а области отправления различны.
Следовательно, это разные соответствия.
УГЛУБЛЕНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА
Упражнения к этой части факультативного курса связаны
с материалом, изучаемым в основном курсе математики. При вы¬
полнении этих упражнений знания учащихся, полученные на уро¬
ках, углубляются, так как известные им понятия освещаются с
новой стороны, показывается общность между, казалось бы,
различными понятиями алгебры, геометрии и других школьных
дисциплин.
В упражнениях используются уравнения и неравенства с двумя
числовыми переменными: они задают графйк соответствия. При
этом каждая пара чисел, принадлежащая графику, является
решением данного уравнения или неравенства.
Слово «график», знакомое учащимся из основного курса
математики (график числовой функции числового аргумента,
график уравнения с двумя переменными), в теории соответствий
употребляется в более широком смысле — как некоторое мно¬
жество пар. Интуитивно учащимся ясна связь понятия «график
соответствия» с привычным представлением о графиках. На дан¬
ном этапе учащимся необходимо усвоить, что график соответ¬
ствия — более широкое понятие.
79

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
1.	В теоретическом тексте и в упражнениях для обозначения
элементов, находящихся в некотором соответствии, используются
буквы «дг» и «у», в обязательном курсе применяющиеся б основном
как числовые переменные. При изучении данного материала
следует обратить внимание учащихся на то, что х и jy могут при¬
нимать и нечисловые значения. Заметим, что обозначение тре¬
угольника, прямой, человека, города буквой х или у, как правило,
не вызывает трудностей у учащихся, а использование этих же букв
для обозначения точки плоскости или пары чисел осложнено тем,
что учащиеся привыкли обозначать точку в координатной плос¬
кости М (х\у\ где х и у—координаты точки М. При выполнении
последнего задания в упражнении 1 следует обратить внимание
учащихся на то, что буквами х и у мы обозначаем элементы облас¬
тей отправления и прибытия и что для данного случая х —
элемент множества точек плоскости, а у — элемент множества,
составленного из всевозможных пар чисел (в более привычном
для учащихся виде пара (jc, у), где х — точка М с координатами
(а; b), будет выглядеть: (M, (а, 6)).
2.	По смыслу определения понятия соответствия употребле¬
ние фра? типа: «(*, у) бГ», «элементу'х соответствует элемент
у» и т. д. — подразумевает, что х £ X (X — область отправления),
а у £ Y (У — область прибытия). Если это упустить из виду, то в
некоторых случаях может произойти путаница в представлениях
учащихся, особенно при доказательствах утверждений в общем
виде. Поэтому полезно в некоторых случаях вместо «х» говорить
«элемент области отправления» или «элемент множества Хъу
а вместо «у» — «элемент области прибытия» или «элемент
множества У».	^.
ВИДЫ СООТВЕТСТВИЙ. ОБРАТНОЕ СООТВЕТСТВИЕ.
КОМПОЗИЦИЯ СООТВЕТСТВИЙ
Основные понятия этой части темы следующие: всюду опре¬
деленное, сюръективное, функциональное, инъектиВное, биектив¬
ное соответствия, отображение из множества А в множество В,
отображение множества А в множество В, обратное соответствие,
композиция соответствий. Основные понятия вводятся при помо¬
щи вспомогательных понятий, которые можно условно разбить
на два типа; понятия из теории соответствий, введенные ранее
(образ, полный прообраз, области отправления и прибытия, об¬
ласти определения и значений), и логические понятия (кванторы
«любой» и «найдется», верное и неверное утверждение, тогда и
только тогда). Кроме того, в примерах, поясняющих определения
основных понятий, и в упражнениях используются понятия ос¬
новного курса математики (треугольник, вписанная окружность,
координатная плоскость и др.).
Основные понятия, касающиеся различных видов соответствий,
80

вводятся при помощи определений и сразу жеприводятся примеры
соответствий, удовлетворяющих данному определению и не удов*
летворяющих ему. При разборе последних очень важно умение
строить отрицание утверждения; поэтому, начиная уже с перво-
_ro примера, приведенного в тексте, учащимся нужно в доступной
форме объяснить, как это делается.
Всюду определенным называется такое соответствие Rл что
для любого элемента х из его области отправления найдется
такой элемент у из области прибытия, что xRy (или, что то же
самое, (x, у) £ Г^). Построить отрицание утверждения «R явля¬
ется всюду определенным соответствием» поможет следующая
цепочка рассуждений: «если соответствие R не является всюду
определенным, то неверно, что для любого х из X найдется у из У,
такой, что (jt, у) £ Г^»; это значит, что «не для любого х из X най¬
дется у из У, такой, что (x> у)£ Гр>>, т. е. «существует хоть один
х из Ху такой, для которого не найдется ни одного у из Y, что
(*. У) 6 Г*» или «существует х из X, такой, что для любого у из Y
(x, у) £ Гд». Таким образом, окончательная формулировка имеет
вид: «соответствие R не является всюду определенным, если
найдется элемент х из области его отправления, такой, что для
любого элемента у из его области прибытия неверно,^ что xRy
(или (x, у) g Г^)». Сравнивая это предложение с исходным, за¬
мечаем, что в отрицании исходного предложения слово «любой»
меняется на слово «найдется» и фраза «(х, у) £ Г^» меняется на
«(*. У) £ Гр»* т- е- на Фразу «не верно, что (x, у) £ Г^». Эти
изменения справедливы и для общего случая построения от¬
рицания некоторого утверждения. (Более подробно эти вопросы
обсуждаются в теме факультативного курса VIII класса «Элемен¬
ты математической логики»).
Часто для доказательства неверности утверждения достаточ¬
но привести пример, для которого оно неверно. Так, используя
выведенную выше формулировку для доказательства того, что со¬
ответствие «вписан в окружность» не является всюду определен¬
ным на множестве четырехугольников, можно привести пример
четырехугольника, который нельзя вписать ни в одну окруж¬
ность (параллелограмм, не являющийся прямоугольником).
Аналогично соответствие «периметр треугольника х равен
числу у» не сюръективно, если У — множество всех действитель¬
ных чисел, так как в множестве У найдется такое число, которое
не является периметром ни для какого треугольника (например,
любое отрицательное число).
Функциональное н инъективное соответствия. В тексте опре¬
деление функционального соответствия дается в двух вариЪнтах:
как соотвежтвия, в котором образ каждого элемента х £ X
пуст или содержит один элемент, и как соответствия R, для кото-,
рого из xRy\ и xRy$ следует у\ = y2. Часто пользуются еще одним
определением: функциональным называют соответствие, график
которого не содержит пар с одинаковыми первыми элементами.
81

Это определение обладает большей наглядностью (поскольку, как
правило, представления о соответствиях связаны с представлени¬
ями об их графиках), позволяет проще установить связь с изоб¬
ражением графика соответствия между числовыми множествами
на координатной плоскости (из основного курса математики уча¬
щиеся знают, что график функции не имеет точек с одинаковыми
абсциссами), и в то же время оно равносильно двум указанным
выше определениям. Действительно, образ элемента х £ X в соот¬
ветствии R — это множество У?(х) всех таких у £ У, что xRy (или
(x, у) £ Гд)); то, что для произвольного х £ X множество R(x) пу¬
сто или содержит один элемент, и означает, что в Г^ не существует
пар с первым элементом х или есть только одна такая пара. В то
же время если в Г^ не существует двух пар с одинаковыми первы¬
ми элементами, то это значит, что (*, у\) и (ху y2) из TR
это одна и та же пара, т. е. у\ — у2. Таким образом, из xRy\ и
xRy2 следует уj = у2.
Аналогично дается и определение инъективного соответствия:
это соответствие, график которого не содержит пар с одинако¬
выми вторыми компонентами. При решении задач могут ока¬
заться полезными все три варианта данных определений.
Отображения. В пособии по факультативному курсу назва¬
ны два вида отображений: отображение из множЬства X в мно¬
жество Y (функциональное соответствие) и отображение мно¬
жества X в множество Y (всюду определенное функциональное
соответствие). Следует иметь в виду, что в теории соответствий
рассматриваются еще отображение из множества X на множест¬
во Y (сюръективное функциональное соответствие) и отображе¬
ние множества X на множество Y (всюду определенное сюръек*
тивное функциональное соответствие).
Чтобы лучше представить чем отличаются между собой эти
4 вида отображений, полезно обратиться к их графикам:
1.	Любое отображение — это функциональное соответствие,
т е. его график не содержит пар с одинаковыми первыми элемен-
тами.
2.	Отображение множества X отличается от отображения
из множества X тем, что первые элементы пар, входящих в его
график, образуют всю его область отправления (свойство всюду
определенности).
3.	Отображение на множество Y отличается от отображения
в множество Y тем, что вторые элементы пар, входящих в его
график, образуют всю его область прибытия (свойство сюръектив-
ности).
Биективное соответствие. Обратившись к графику биектив¬
ного соответствия (аналогично тому, как это было ,сделано для
отображений), увидим, что для него:
а)	множество всех первых элементов пар, входящих в Г^,
есть область отправления X (всюду определенность), а множество
вторых элементов — область прибытия У (сюръективность);
82

б) Гд не содержит nap с одинаковыми первыми элементами
(функциональность) и с одинаковыми вторыми элементами
(ицъективность^. Еще более наглядно выглядит следующая фор¬
мулировка признаков биективного соответствия: для любого эле¬
мента х £ X существует единственный элемент у £ У, такой, что
xRy (всюду определенность и функциональность), и для любого
элемента у £ У существует единственный элемент х £ X, такой,
что xRy (сюръективность и инъективность). Эта формулировка
делает понятным еще одно название биекции: взаимно однознач¬
ное соответствие.
Интересно заметить следующее свойство биективного соот¬
ветствия: его область отправления содержит столько же элемен¬
тов (имеет ту же мощность), что и его график. Это свойство
становится очевидным, если представить себе граф биекции:
от каждого элемента из X идет единственная стрелка к элемен¬
ту из У, при этом не остается ни одного «лишнего» элемента
множества У.
Обратное соответствие. Определение обратного соответствия
содержит два важных для усвоения этого понятия момента:
1)	если соответствие R имеет область отправления X и область
прибытия У, то соответствие R~l имеет область отправления У и
область прибытия X;
2)	пара (x, у) принадлежит Гя тогда и только тогда, когда
пара (у, х) принадлежит Г^_,.
Первый из указанных моментов кажется простым, естествен¬
ным и не требующим дополнительных пояснений. Однако именно
вследствие его простоты он может быть упущен из виду при
рассмотрении примеров и выполнении учащимися упражнений.
Такое упущение может привести к недостаточно ясным представ¬
лениям об обратном соответствии, а при выполнении некото¬
рых упражнений вызвать недоумение. Например, в упражнении
64 требуется построить обратное соответствие для соответствия
«Человек х прочеЗЬкнигу у». Сформулировать обратное соответ¬
ствие несложно; надо лишь переставить местами слова в данном
предложении «Книгу у прочел человек х»; однако, чтобы до
конца осознать, что за соответствие получается при такой перес¬
тановке слов, важно понимать, что если для данного соот¬
ветствия множество людей было областью отправления, а мно¬
жество книг — областью прибытия, то для обратного — мно¬
жество людей — область прибытия, а множество книг — область
отправления.
Если помнить этот факт, то становится ненужным соблюдение
условия, чтобы в словесной формулировке соответствия элемент
области отправления являлся подлежащим, а элемент области
прибытия — дополнением. Соблюдение этого условия часто приво¬
дит к неудобочитаемым фразам, а в некоторых случаях такой
подход вообще неуместен. Например, для соответствия «х + 2y =
= 5» трудно сказать, что является подлежащим, что дополнением.
83

X	Z	Композиция	соответствий. Понятие
композиции соответствий лучше ввести на
наглядной основе при помощи графов.
После этого можно перейти к формули¬
ровке определения композиции соответст¬
вий в общем виде.
При изучении этого понятия необхо¬
димо, чтобы учащиеся усвоили, что ком¬
позицию для соответствий R и S мож¬
но построить только в том случае, когда
областью прибытия R и областью отправ¬
ления S является одно и то же множе¬
ство. При этом в самом соответствии RS
Рис. 2	это	множество	не фигурирует. Для того
чтобы цервый из названных фактов был
усвоен, полезно предложить учащимся построить композицию
соответствий, не удовлетворяющих указанному условию. Ил¬
люстрация второго факта возможна при выполнении упраж¬
нений: например, в упражнении 72 граф соответствия RS должен
состоять из точек только множеств X и Z и стрелок между
ними (рис. 2) (множество Y может быть использовано только
в «рабочем» рисунке, но не в результирующем), а в упражне¬
нии 73 можно дать такую словесную формулировку, которая
не содержала бы слова «окружность».
УГЛУБЛЕНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА
В курсе алгебры VI класса дается определение функции как
соответствия между элементами двух множеств, обладающего
свойством функциональности: «каждому элементу первого мно¬
жества соответствует не более одного элемента второго множест¬
ва». Хотя формального определения понятию соответствия не
дается, но в описательной форме и на примерах разъясняется его
смысл. При этом считается, что оно полностью определяется мно¬
жеством пар соответствующих элементов, т. е. в трактовке данной
темы факультативного курса, графиком соответствия. Изучение
на факультативных занятиях теории соответствий позволяет бо¬
лее полно и строго выстроить систему знаний о соответствиях во¬
обще и о функциях в частности. Рассмотрение соответствий, об¬
ладающих и не обладающих свойством функциональности, углуб¬
ляет знания учащихся о том, что такое функция, позволяя четче
представить отличительное свойство функций.
Следует отметить еще один положительный аспект изуче¬
ния в данной теме факультатива функциональных соответствий.
Дело в том, что хотя в школьном журсе алгебры определение
функции имеет обобщенный характер, в дальнейшем изучаются
свойства лишь числовых функций одного числового аргумента.
Школьный курс математики изобилует примерами и других функ¬
циональных соответствий (например, различного вида.переме¬
84

щений в геометрии), однако свойство функциональности, не
являясь особенно существенным для их изучения, нё рассматри¬
вается. Это приводит к тому, что учащиеся не воспринимают такие
соответствия, как функции, а функциями, как правило, считают
числовые функции числового аргумента, заданные форму¬
лами. Рассмотрение на факультативных занятиях различных
функциональных соответствий будет способствовать формиро¬
ванию более правильных представлений о функции.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
1.	При выполнении упражнений учащиеся встретятся с за¬
писью свойства, определяющего принадлежность пары элементов
графику соответствия, в виде уравнений или неравенств, напри¬
мер у = х2 или у > х2. Для того чтобы однозначно понимать смысл,
вложенный в подобную запись, следует принять соглашение: бу¬
дем считать, что х — элемент области отправления, а у — элемент
области прибытия заданного соответствия R. Это соглашение осо¬
бенно важно для тех примеров, где области отправления и прибы¬
тия обозначены не X и У, а какими-либо другими буквами, напри¬
мер R, flo, N и т. д., так как без такого соглашения предложения
типа «соответствие y = x2 между множеством R действительных
чисел и множеством Ro неотрицательных чисел» можно тракто¬
вать и по-другому, например считать, что первый элемент пары,
входящий в график соответствия, обозначается первой буквой в
порядке написания уравнения или неравенства, а второй эле¬
мент — второй по порядку буквой. Можно принять и другие сог¬
лашения, однако наиболее целесообразным представляется пер¬
вое, так как оно отвечает уже сложившимся представлениям
учащихся об обозначении буквой х элемента области определения,
а буквой у элемента области значений функции. Следует, однако,
помнить, что для соответствия Я-1, обратного R, х стано¬
вится элементом области прибытия, а у — элементом области
отправления. При этом уравнение, неравенство или словесная
формулировка, задающие график соответствия R~\ могут иметь
тот же вид, что и для R. Например, в упражнении 71 соответствию
y = x2 между множеством действительных чисел и множеством
неотрицательных чисел будет обратным соответствие между мно¬
жеством неотрицательных и множеством действительных чисел,
заданное тем же уравнением y = x2 или уравнением \х\ -^y
2.	При выполнении упражнений следует подчеркнуть, что
уравнение, неравенство, слова «вписан в», «является перимет¬
ром» и другие не задают полностью все соответствие, а лишь дают
возможность определить, входит ли пара из X X У в график
данного соответствия.
3.	По поводу символики, связанной с понятием обратного
соответствия, следует сделать еще одно замечание. Употребление
одного обозначения — R~l — для обратного соответствия и для
прообраза в соответствии R не случайно.
85

Рассмотрим соответствие R между множествами X и У и обрат¬
ное ему соответствие R~l между Y и X. Прообразом элемента
а 6 Y в соответствии R будет множество всех таких х £Х, что xRa.
В то же время образом элемента а £ Y в соответствии R~l будет
множество всех таких x£Xt что aR~lx или xRa (так как R~~l
обратно R), т. е. эти множества совпадают. Поскольку образ а в
соответствии R~l обозначается R~l(a), то и прообраз а в соответст¬
вии R можно обозначать так же. Аналогично показывается
корректность употребления знака обратного соответствия и для
обозначения прообраза множества в соответствии R: Лг1(Л),
R-'(Y).
СЛЕДСТВИЯ ИЗ СООТВЕТСТВИЙ. ОПЕРАЦИИ НАД
СООТВЕТСТВИЯМИ. СУЖЕНИЕ СООТВЕТСТВИЙ.
Ниже в таблице приведены основные понятия теории соот¬
ветствий, рассматривающиеся в этих трех пунктах, и вспомога¬
тельные понятия теории множеств, с помощью которых они вво¬
дятся.
Основные понятия
Вспомогательные понятия
Следствие из соответствия
Пустое соответствие
Полное соответствие
Объединение соответствий
Пересечение соответствий
Несовместные соответствия
ПротивоЛоложные соответствия
Сужение соответствия
Подмножество
Пустое множество
Универсальное множество
Объединение множеств
Пересечение множеств
Непересекающиеся множества
Дополнение
Пересечение множеств и декартово
произведение множеств
Связь между указанными основными и вспомогательными по¬
нятиями осуществляется через графики соответствий: определе¬
ния основных понятий, которые рассматриваются в этих пунктах,
существенным образом используют теоретико-множественные
понятия, играющие в данном материале вспомогательную роль.
Так, например, объединение соответствий имеет графиком объ¬
единение графиков исходных соответствий, а несовместные соот¬
ветствия имеют непересекающиеся графики. При этом важно не
упустить из виду, что переход от операций над графиками к опе¬
рациям над соответствиями происходит при закрепленных облас¬
тях отправления и прибытия, так как, вообще говоря, можно пост¬
роить, например, соответствие, имеющее графиком объединение
двух данных соответствий, но не являющееся в смысле приведен¬
ного определения объединением данных соответствий. Это может
произойти, если данныедва соответствия имеют не одну и ту же
пару областей отправления и прибытия (X, У) или построенное
соответствие рассматривается на другой паре множеств.
86

Тесная связь с теорией множеств опреде¬
ляет характер выполнения упражнений: часто
для того, чтобы ответить на вопросы отно¬
сительно соответствий, необходимо решить
вспомогательную теоретико-множественную за¬
дачу* Например, приходится доказывать вклю¬
чение одного множества в другое, строить до¬
полнение к множеству, пересечение и объеди¬
нение множеств, доказывать, что данные мно-	Рис.	з
жестйа не пересекаются и т. д. Специально
останавливаться на вопросах из теории множеств, конечно, не
стоит, но при выполнении упражнений следует явно сформулиро¬
вать соответствующую теоретико-множественную задачу и на¬
помнить (или объяснить, если учащиеся не умеют ее решать)
методы ее решения. Так, в упражнении 49 данные соответствия
не противоположны: их графики не являются взаимодополняю¬
щими до декартова произведения множества треугольников на
множество окружностей. Например, пара, изображенная на ри¬
сунке 3, не принадлежит ни графику первого соответствия, ни
графику второго. Для ответа на вопрос, совместны ли данные
соответствия, нужно выяснить, пересекаются ли их графики. При
этом полезно вспомнить,, что пересечение их будет непусто, если
существует хоть одна пара элементов, принадлежащая одновре¬
менно обоим графикам, т. е. если существует треугольник лг, од¬
новременно вписанный в окружность у и описанный около нее.
Такой пары не существует, следовательно, пересечение графиков
пусто и соответствия несовместны. (В ответе к этому упражнению
ошибочно указано, что данные соответствия совместны.)
УГЛУБЛЕНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА
1.	В общеобразовательном курсе математики учащиеся зна¬
комятся с такими понятиями, как «системы и совокупности урав¬
нений или неравенств», «совместные и несовместные системы», яв¬
ляющиеся конкретизациями более общих понятий объединения и
пересечения соответствий, совместных и несовместных соответ¬
ствий.
2.	Большое значение для углубления знаний, полученных на
уроках математики, имеет и понятие противоположных соответст¬
вий, так как в доказательствах теоретических фактов и в решении
задач учащимся приходится формулировать для какого-нибудь
конкретного соответствия противоположное ему соответствие
(например, «быть равным» — «не быть равным», «быть мень¬
ше» — «быть не меньше», «пересекает» — «не пересекает» и т. д.).
Поэтому при формировании понятия противоположного соот¬
ветствия следует больше внимания уделить конкретным примерам
из курса математики. При этом нужно особо подчеркнуть, что гра¬
87

фики противоположных соответствий
взаимодополнительны в декартовом про¬
изведении области отправления на об¬
ласть прибытия, и проиллюстрировать
этот факт на наглядных примерах. Тйк,
например, график соответствия между
множествами чисел «x>y» изображает¬
ся в координатной плоскости множеством
точек, расположенных ниже биссектрисы
I	и III координатных углов. График проти¬
воположного соответствия «х ^ у» состоит
из всех остальных точек плоскости,
3.	Значительная часть школьного курса алгебры посвящена
изучению числовых функций числового аргуйента. При этом в
основном функции изучаются на всей их естественной области
определения и лишь в некоторых упражнениях фигурируют функ¬
ции, определенные на более узком множестве/ Рассмотрение в
данной теме факультатива понятия сужения соответствия по¬
зволяет углубить знания учащихся о функциях, заданных на су¬
женных областях определения. Заметим, что с точки зрения
практического использования математики в различных областях
науки и техники именно функции, имеющие суженные области
определения, представляют наибольший интерес. Это связано с
тем, что реальные условия .протекания того или иного процесса
накладывают на переменные некоторые ограничения, которые
сужают множество всех возможных значений этих переменных.
Изображение графика функции y = f(x) в координатной
плоскости позволяет дать наглядную иллюстрацию понятию су¬
жения соответствия. Так, на рисунке 4 изображен график соот¬
ветствия y = (x — 5)2+ I между множествами X и Y действитель¬
ных чисел. Графиком сужения данного соответствия на множест¬
ва А и В, где А = [2; 7], В = [3; 6], являются части параболы,
которые находятся внутри прямоугольника MNKP.
ОТНОШЕНИЯ, ИХ ГРАФЫ И ГРАФИКИ. СВОЙСТВА
ОТНОШЕНИЙ
Материал этих пунктов повторяет некоторые вопросы, рас¬
сматривавшиеся ранее в связи с соответствиями, интерпретируя
их для отношения в множестве, а также содержит сведения о
специфических свойствах отношений.
Таким образом, вспомогательными понятиями здесь являют¬
ся изученные прежде понятия из теории соответствий, а основ¬
ными понятиями — отношение в множестве, граф и график отно¬
шения, пересечение и объединение отношений, несовместные и
противоположные отношения, обратное отношение, композиция
отношений и др., а также понятия, отражающие свойства отно¬
шений: симметричность, рефлексивность, транзитивность, ассим-
68

метричность, антисимметричность, антитранзитивность, связан¬
ность.
Все эти понятия являются основополагающими для формиро¬
вания представлений об отношениях, их специфических особен¬
ностях и различных типах отношений.
Поскольку отношение в множестве является частным случаем
соответствия между двумя множествами, то многие вопросы,
связанные с изучением отношений, не требуют дополнительных
пояснений* Однако в некоторых вопросах возникают трудности,
и одним из таких «камней преткновения» является понятие об¬
ратного отношения. Определение отношения, обратного отноше¬
нию R в множестве X, формулируется так жё, как и определение
соответствия, обратного соответствию R между множествами X и У
(yR~~lx тогда и только тогда, когда xRy\ с той лишь разни¬
цей, что для отношений R и R~l х£Х и у£Х, а для соответст¬
вий R и R~l х£Х, а у£ У. Поскольку xRy означает,что пара
(x, у) £ ГЛ, то, пользуясь этим определением, учащиеся без труда
по графику отношения R составят график отношения R~l. Слож¬
ности здесь возникают при формулировке названия отношения
R~l в словесной форме.
Действительно, при изучении соответствий учащиеся привыкли,
например, для соответствия «х делитель у» формулировать об¬
ратное соответствие, «у делится на х». Можно было бы оставить
такую же формулировку и для отношений в множестве, зная,
что и х и у — элементы одного и того же множества, но график
отношения R состоит из пар (x, у), а график отношения R~l — из
пар (у, х). Однако в этом случае получилось бы противоречие с
утверждением: «Чтобы получить отношение, обратное отношению
F(x, y) = a или отношению F(x, y)>a, надо переставить места¬
ми х и у» (с. 164). Поясним это на примере. Пусть отношение R
в множестве чисел задается формулой x + 3y = 2. График этого
отношения состоит из числовых пар (x, у), где х — 2 — 3у. Тогда,
по определению обратного отношения, график R~l будет состоять
из пар (у, х), где x = 2 — Зу, т. е. х и у связаны той же формулой
x + 3y = 2, тогда как, по утверждению автора, обратное отноше¬
ние для x + 3y = 2 должно йметь вид y + 3x = 2.
Это противоречие снимается, если принять соглашение, что
для любого отношения, которое записывается с помощью букв
х и у, мы будем считать, что х — первый, а у — второй элементы
пар, составляющих график отношения. Действительно, в при¬
веденном примере график отношения x + 3y=2 состоит из пар
(x, у), где x = 2-3y, т. е. из пар вида (2 — 3у, у), тогда;*пере-
ставив местами члены пары й обйзначив первый член пары
буквой х, получим, что график обратного отношения состоит
из пар (x, 2 — Зх), т. е. из niap (x, у), где у = 2 — Зх. Тогда х и у
в обратном отношений связаны формулой у + Зх = 2.
В тексте не случайно не используются буквы х и у при форму¬
лировке обратного отношения для отношения «делиться на»
89

(с. 163), поскольку тот смысл, который вкладывался в обозна¬
чение буквами х и у при изучении соответствий между двумя
множествами (а именно х£Х, y£Y\ Для отношенияв мно¬
жестве теряется: например, фразы «х делится на у» и «у делится
на хъ в множестве {2, 4, 6} могут быть формулировками одного и
того же отношения с графиком {(2,2), (4,2), (4, 4) (6,2), (6,6)}.
To же касается и обратного ему отношения: его можно назвать
«* — делитель у»9 и «г/ — делитель я», «а — делитель Ь» и т. д. —
трафикего будет иметь вид {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 4), (6, 6)}.
В связи же с принятым нами соглашением для отношения
«я делится на у» обратное отношение следует формулировать
так: «х — делитель у». Аналогично для «х больше у» обрат¬
ным будет отношение «х меньше у». (Для аналогичных соответст¬
вий между двумя множествами мы сформулировали бы обратные
соответствия: «у — делитель x> и «у больше л:».)
Все эти факты и соображения во избежание недоразумений
полезно обсудить с учащимися. Отсутствие четко сформулирован¬
ных соглашений может привести к двусмысленности. Так, если
упражнение 99 выполнять, считая, что в записи отношения, об¬
ратного данному, х — первый, а у — второй элемент пары, вхо¬
дящей в его график, то для заданного отношения у ^ я2обратным
будет отношение x^ у2 (мы в данном отношении поменяли места¬
ми х и у, как было указано автором на с. 164). Однако в пособии
предлагается другой ответ, который верен при условии, что в гра¬
фик обратного отношения входят пары (у, х), а само обратное
отношение записывается так: х2 ^ у или х ^ ^y> При этом нужно
помнить, что х и у — неотрицательны.
Граф к график отношения. Принятое выше соглашение поз¬
воляет с определенностью строить график отношения, заданного
формулой. Интересно заметить, что оно позволяет изобразить на
координатной плоскости графики взаимно обратных отношений в
числовом множестве и увидеть их симметрию относительно бис¬
сектрисы первого и. третьего координатных углов-
Граф отношения в множестве X отличается от графа соответ¬
ствия между двумя множествами X и Y тем, что стрелки про¬
водятся между элементами одного и того же множества, а не от
элементов одного к элементам другого множества. Однако можно
изображать граф отношения и в виде графа соответствия, где
множество X фигурирует дважды: как область отправления и
область прибытия. Такое изображение графа отношения в множе-
стве Tia первых порах может оказаться целесообразным для усвое¬
ния того факта, что отношение — частный случай соответствия.
Свойства отношений. Некоторые свойства отношений мЬжно
проиллюстрировать на графике отношения в конечном множе¬
стве X, изобразив декартов квадрат множества X в виде таблицы
и отметив те пары, которые принадлежат графику. Возьмем,
например, множество Ху состоящее из 5 элементов: {a, by с, dt e}>
Запишем X2 в виде квадратной таблицы с 5 строками и 5 столбца-
90

а
b
с
d
е
а
b
с
гт
е
а
b
с
d
е
а
Ш
M
(c,a)
ш
{e,a)
а
+
: +
+
а
+
+
~Т
Ш
Жь)
fety
m
М
Т
+
~Т
+
с
(a,c).
(bfi)
(c,c)
(d,c)
(e,c)
с
+
с
+
Т
(a.d)
(b.d)
м
м
[e4)
V
+
+
~Т
+
+
е
(a,e)
(Ь.е)
(c,e)
(d,e)
(e,e)
е
+
+
е
+
+
Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7
а
b_
с
d_
е
а
b__
С
d_
В
а
J_
с
d_
е
О1
+
а
+
+
а
+
+
T^
+
+
+
Т
+ .
+
Т
+
+
+
с
+ '
+
с
+
с
+
+
~d
+
+
~d
+
т
+
+
в
+
+
е
+
+
е
+
+
+
Рис. 8	Рис.	9	Рис. 10
ми, соответствующими элементам множества X (рис. 5). Каждая
клетка такой таблицы определяет пару, принадлежащую декарто¬
ву квадрату ХУ^Х. Например, пара (й, с) находится в клетке на
пересечении строки с со столбцом d. На главной диагонали этой
таблицы стоят пары из одинаковых элементов. Будем отмечать те
вдетки таблицы, которые соответствуют парам, принадлежащим
графику отношения. При этом увидим, что для рефлексивного
отношения будут отмечены все клетки диагонали и, возможно,
какие-то еще (рис. 6), для антирефлексивного— ни одна клетка
диагонали не отмечена (рис. 7), для симметричного — отмечен¬
ные клетки располагаются симметрично диагонали (рис. 8), для
асимметричного — нет симметричных относительно диагонали
отмеченных клеток, в том числе и клеток самой диагонали (рис. 9),
для антисимметричного — нет симметричных относительно диаго¬
нали клеток, кроме клеток самой диагонали, причем клетки диаго¬
нали отмечены все (рис. 10).
Легко показать на такой таблице и свойство связанности отно¬
шения: отметив клетки, соответствующие парам, принадлежа¬
щим графику связанного отношения R, а затем клетки, симметрич¬
ные отмеченным, мы должны увидеть, что заняты все клетки
таблицы, кроме, быть может, каких-либо клеток диагонали. От-
91

а
_b_
с
v
€
0
2
4
6
_6_
*0
2
ч
6
8
d_
+
ъ
+
+
о
0
ъ
сУ
^o
_o
Т
ъ
_©
сГ
+
2'
'+
+
+
+
+
2
+
_©
+ .
+
+
с
+
sT
@_
+
¥
Ь
+
+
+
4-
+
o_
ж
+
т
^o
+
o^
Ж
_o
t
+
+
~
6
+
_o
e[
е
о
~о
_®
+
8
+
+
8
+
o_
_o
~®_
Рис. 11	Рис.	12	Рис.	13
мечать клетки для R и #-1 удобнее разными цветами или разны¬
ми значками (рис. 11).
Заметим, что свойство транзитивности на таких таблицах
стольже легко не усматривается.
Покажем на примере , использование описанного приема.
Изобразив декартов квадрат ХХ.Х в виде таблицы, отметим
клетки, соответствующие парам, принадлежащим графику от¬
ношения «делиться на» (рис. 12).
Так как не все клетки диагонали заполнены, значит” отно¬
шение не рефлексивно;
гак как на диагонали есть отмеченные клетки, то оно не
аитирефлексивно;
так как ёсть отмеченные клетки, для которых симметричная
относительно диагонали клетка не отмечена, следовательно, отно¬
шение не симметрично;
на диагонали есть отмеченные клетки, следовательно, отно¬
шение не асимметрично;
на диагонали есть неотмеченная клетка, значит, отношение
не антисимметрично;
отметив все клетки, симметричные уже отмеченным (рис. 13),
увидим, что остаются «пустые» клетки (4, 6), (6, 4), (6, 8) и
(8, 6), не лежащие на диагонали, следовательно, отношение
не связано.
Транзитивность отношения «делится на» очевидна, так
как если а делится на b и b делится на с, то а делится на с.
УГЛУБЛЕНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА
1.	Числовые функции числового аргумента, изучаемые в курсе
математики средней школы, являются отношениями в множе¬
стве чисел. Поэтому изучение отношений, их графиков и свойств
непосредственно связацо с материалом, изучаемым в основном
курсе. Рассматривая фукциональность как одно из свойств, ко¬
торым может обладать отношение, учащиеся имеют возможность
выделить’его в ряду других свойств, осознанно воспринять те
92

моменты, которые его характеризуют. Богатый материал для этого
предоставляют, например, упражнрния 84—87, где в качестве
отношений рассматриваются функции, выраженные формулой
y^=f{x), уравнения и неравенства с двумя переменными, встре¬
чающиеся в курсе алгебры. Интересно также упражнение 91,
где доказательство заданных формул использует понятия о па¬
раллельности и перпендикулярности прямых, известные учащимся
из курса геометрии.
2.	Выполнение упражнений, связанных с нахождением графи¬
ков объединения или пересечения двух отношений, углубляет зна--
ния учащихся о решении совокупностей и систем уравнений и
неравенств. Понятие композиции отношений позволяет глубже
раскрыть смысл понятия сложной функции и подстановки.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
1.	Выполнение многих упражнений связано с применением при¬
вычных учащимся методов. При этом нужно следить не только
за правильностью решения, но и требовать его теоретического
обоснования* Например, график отношения y^ 4x — 8 из упраж¬
нения 105 многие учащиеся построят почти автоматически. Нет
обходимо, чтобы учащиеся смогли объяснить свое решение при
помощи определения графика отношения как множества всех
пар (x, у) ^или в координатшэй плоскости — точек с координа¬
тами х и y)t удовлетворяющих данному неравенству.
2.	Для отношения в множестве области отправления и при¬
бытия совйадают, однако область определения и область зна¬
чений имеют тот же смысл, что и для соответствия между двумя
множествами, а именно: область определения — множество всех
первых, а область значений — всех вторых элементов пар, вхо¬
дящих в график отношения. Это позволяет, не останавливаясь
специально на понятиях всюду определенного и сюръективного
отношений, использовать эти понятия в упражнениях.
При выполнении упражнения 83(a) указанные связи между
отношениями удобно доказывать или опровергать, рассматривая
связи между_их графиками. Напримерг для доказательства вклю¬
чения OczM дбстаточно доказать, что Г0<=Г^, т. е. что если
(а, Ь)£ Г0, то (а, 6)£ Г^. Это верно, так как если а — отец b,
то а — не мать b. Для доказательства равенства OU^4 = P-1
доказываются два включения: Гоим с=Гр_| и ГР_1 с=Гоим, т. е.
следующие утверждения: если (а, Ь)£ Г0им> то {b, а)£ Тр и если
(b, а)е Гр, то (а, Ь)бГоиЛ(.
В некоторых случаях доказать неверность указанной связи
между отношениями можно без подобных рассуждений. Так, на-'
пример, Б-,=С — неверно, так как область определения отно¬
шения Б_г содержит и мужчин и женщин, а область определе¬
ния отношения С — только женщин, следовательно, эти отношения
не могут совпадать.

ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ.
КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ.
ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА. ОТНОШЕНИЯ СХОДСТВА
В этом разделе свойства отношений — рефлексивность, сим¬
метричность, асимметричность, антисимметричность, транзи¬
тивность, изученные ранее, являются вспомогательными понятия¬
ми, использующимися для введения и изучения основных понятий:
отношения эквивалентности, строгого и нестрогого пЬрядка, квази¬
порядка, сходства, классов эквивалентности, упорядоченного
множества. При этом каждый из названных видов отношений
определяется как отношение, обладающее тем или иным набором
свойств: отношение эквивалентности — свойствами рефлексивно¬
сти, симметричности и транзитивности, отношение строгого по¬
рядка — свойствами асимметричности и транзитивности.
Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности. При
введении понятия отношения эквивалентности следует опираться
на представления учащихся о равенстве, равнозначности, взаимо¬
заменяемости объектов.
Изучение материала о классах эквивалентности целесообразно
начать не с формального определения, а с примеров различных
классификаций. При этом следует обратить внимание учащихся
н.а то, что в основе классификации лежит такое разбиение мно¬
жества на классы, при котором внутри каждого класса объекты
обладают некоторыми общими признаками, позволяющими в оп¬
ределенном смысле считать объекты одинаковыми, взаимозаме¬
няемыми. Например, при округлении десятичных чисел до целых
единиц числа 4,2 и. 4,41, а также все числа промежутка [3,5; 4,5[,
с некоторой погрешностью считаются равными 4. Таким образом
вся числовая прямая оказывается разбитой на промежутки еди¬
ничной длины, а точки каждого из этих промежутков в опреде¬
ленном смысле являются одинаковыми.
После рассмотрения нескольких таких примеров можно перейти
к формальному определению классов эквивалентности.
Отношение сходства. Определение отношения сходства содер¬
жит два условия: рефлексивности и симметричности. О транзи¬
тивности в определении не говорится, т. е. отношение сходства мо¬
жет быть транзитивным, а может и не быть таковым. В первом
случае отношение сходства будет также и отношением эквива¬
лентности. Это следует иметь в виду, тем более что в объяснитель¬
ном тексте и в разбираемых примерах в основном рассматриваются
отношения сходства, не обладающие свойством транзитивности.
УГЛУБЛЕНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА
Отношение эквивалентности — один из наиболее важных ви¬
дов отношений. Оно имеет большое практическое значение, так
как при исследовании реальных объектов, как правило, рассматри¬
94

ваются не все их свойства, а вполне определенные, интересующие
исследователя. При этом все объекты, обладающие «нужным» на-
0ором свойств, для исследователя одинаковы.
В школьном курсе математики можно встретить много .приме¬
ров отношений эквивалентности. Для некоторых из них доказы¬
ваются свойства симметричности, рефлексивности и транзитивно^
сти, однако при этом отсутствует итоговое заключение o том, что
рассматриваемое отношение является эквивалентностью, а также
не подчеркивается то важное значение, которое имеет отношение
эквивалентности для классификации. Поэтому именно на это
следует обратить внимание учащихся при рассмотрении отноше-
ний эквивалентности на факультативных занятиях.
Представляет особый интерес рассмотрение с учащимися раз¬
биения множества геометрических фигур на классы эквивалентно¬
сти отношением «быть конгруэнтным». Для простоты можно взять
не множество всех фигур, а, например, множество треугольников.
Из такого рассмотрения становится ясным, почему используется
название «конгруэнтен», а не «равен». Действительно, с точки
зрения теории множеств равными элементами считаются совпа¬
дающие элементы. Таким образом, два разных треугольника с
одинаковыми элементами нельзя считать равными, их называют
конгруэнтными. Однако здесь может идти речь и о равенстве,
если под словом «треугольник» подразумевать класс эквивалент¬
ности, представляющий собой множество всех треугольников,
конгруэнтных данному. Тогда каждый конкретный треугольник
будет являться представителем своего класса эквивалентности,
и фраза «треугольник АВС равен треугольнику MNK» должна
означать, что класс эквивалентности треугольников, конгруэнтных
треугольнику ABC, совпадает с классом эквивалентности треуголь¬
ников, конгруэнтных треугольнику MNK, т. е. что треугольники
АВС и MNK — разные представители одного и того же класса.
Примерное содержание зачета
На зачете проверяется сформированность указанных ниже
умений (в скобках приводятся номера упражнений, которые долж¬
ны уметь выполнять учащиеся):
для данных множеств строить граф и график соответствия,
заданного формулой или словесной формулировкой (2, 4, 15, 16);
для данного соответствия находить образ и полный прообраз
элемента или множества (20, 21);
распознавать всюду определенное, сюръективное, функцио¬
нальное, инъективное соответствия (29, 34, 39);
определять, являются ли два данных соответствия совместны¬
ми, противоположными, одно следствием другого (41, 42, 45,
47,49);
для данных двух соответствий находить их пересечение и
объединение (52, 53);
95

находить сужение соответствия на дан¬
ные множества (54, 58);
формулировать соответствие, обратное
данному, по графику данного соответствия
строить график обратного (60, 66—69, 71);
rio графам и графикам данных соот¬
ветствий строить граф и график их ком¬
позиции (72, 75^;
строить граф и график отношения в
множестве (92);
выявлять функциональные отноше¬
ния (84);
находить отношение, обратное и про-
тивоположноеданному, пересечение и объ¬
единение двух данных отношений, их гра¬
фики (94, 95, 99, 103, 109);
определять, какими свойствами (сим¬
метричность, асимметричность, антисим¬
метричность, рефлексивность, антиреф¬
лексивность, транзитивность, антитран¬
зитивность, связанность) обладает дан¬
ное отношение (П2, 113, 115, 119, 120,
124);
определять, является ли данное отно¬
шение отношением экбивалентности, по¬
рядка, сходства (127, 131, 143, 144, 152,
153,	155);
знать, что такое классы эквивалент¬
ности, уметь разбивать множество на клас¬
сы (135, 136).
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
К УПРАЖНЕНИЯМ
11.	{(а, 16), (b, 16), (с, 20), (rf, 16),
{e, 32), (f, 20), (£, 24)}. Фигуры b и d
равновелики с фигурой а. Граф соответ¬
ствия изображен на рисунке 14.
13.	См. рис. 15. 16. См. рис. 16*
41. Если обозначить соответствия в
множестве многоугольников: Я* — быть
конгруэнтными, R2— быть равновелики¬
ми, Rz — быть подобными, R* — иметь оди¬
наковые периметры, Rs — иметь одина¬
ковое число сторон, RQ — быть оиммет-
ричными относительно прямой /, то:
Rt с: flt ci Д3 c= Rb t Ri d Я2, Ri с: Д4.

46. Пересечением графиков соответ¬
ствий R и S является Г* (так как R cz S),
т. е. непустое множество. Значит R и S
совместны.
47- Противоположное соответствие —
«не является корнем».
56. Пусть S — сужение соответствия R ° ^
на подмножества А и В. Тогда, по оп¬
ределению, графиком соответствия S яв
J_
ляется множество пар (а, b) таких, что	~1 0	3	5
(в.	6)£Г*; а£А и Ь£В. Это же
множество является и графиком соответ-	Рис. 16
ствий R, так как А и В — область оп¬
ределения и множество значений этого соответствия.
65.	Обратное соответствие: «на станке у обрабатывается де¬
таль х». Противоположное — «деталь х не обрабатывается на
станке у».
66.	To, что R всюду определено, означает, что полный про¬
образ его области прибытия совпадаетс его областью отправ¬
ления: #^'(V) = X. Для обратного соответствия R~l это озна¬
чает, что образ области отправления совпадает с областью при¬
бытия, т. е. что R~l — сюръективное соответствие.
67.	Если R сюръективно, то R(X)=Y. Для обратногочюот-
ветствия R~l полный прообраз области прибытия — (R^*)^'(X) =
= R(X), а областьотправления — Y. Таким образом, у R~' полный
прообраз области прибытия совпадает с областью отправления,
значит, R~l всюду определено.
68.	Если R инъективно,, то полный прообраз любого эле¬
мента у из области прибытия содержит не более одного элемен¬
та. Но тогда в соответствии R^' образ любого элемента у из об¬
ласти отправления содержит не более одного элемента из об¬
ласти прибытия. Это значит, что R~l функционально.
69.	Доказательство,аналогично предыдущему,
71. Данные соответствия не обратны, так как, например, па*
ра (—2; 4) принадлежит'графику соответствия y = x2 и не при¬
надлежит графику соответствия x= ^~у Если же X и V — мно¬
жества неотрицательных чисел, то данные соответствия обратны,
так как если x^0 и y^ 0, то y = x2 тогда и только тогда, когда
х~ fy
88. См. рис. 17. Обозначения:	подлежащее, ==
сказуемое,	дополнение, ^ws_ определение,	;	об¬
стоятельство.
90,	У к а з а н и е. Чтобы построить графы и графики компо¬
зиций отношений R, S, R~l и S~\ удобно воспользоваться гра¬
фами этих же соответствий между, двумя одинаковыми множе¬
ствами. Например, для композиции R~*S~l такие графы изо¬
бражены на рисунке l8,o.
4	Заказ 319
97

а)
S)
Рис. 17
Графики отношений:
Г*-'*-' = {(а, а), (а, с), (а, е),
(6, а), (b, Ь), {b, с),
{b, е), (с, с), (с, d),
(с, е), (d, а), (e, а),
(e, b), (e, c), (e, е)};
f*s = {(а. о), (а, b), (а, с),
(а,	d),	(а,	е),	(b,	b),
(b,	d),	(Ь,	е),	(с,	Ь),
(с,	е),	(d,	с),	(d,	е),
(e,	а),	(e,	с),	(e,	d),
(б?, ^)J;
Гд-'s = {(a, о),	(а,	b),	(а,	с),
(а, d),	(а,	е),	{b,	а),
(b, Ь),	(b,	с),	(b,	е),
(с, 6),	(с,	d),	(с,	е),
(d, d),	(d,	е),	(e,	а),
(e, b), (e, с), (e, e)j;
ГRs-> = {(о. о), (а, b), (о, с),
(а, е),	(b,	b),	(b,	с),
(b, е),	{b,	d),	(с,	с),
(^i ^)j	(^*	О»	(rfj	^)#
(е*.а), (<?, b), {e, с)};

ИМ ЕА
м в
о о
а)
ИМ
ЕА
ИМ
ЕА
ИМ ЕА
ИМ
ЕА
Рис. 19
Гт£5={(Ь» о)» (tj с)9 (Ct fl)i
(с, с), (с, d), (d, a},
(d, b), (d, d), {e, b)};
rs* = {(°. °). (°. &). («• с). (4. е). (&> а)> (ft. b)> (6» е). (fe. «0. (b, е),
(с, а), (с, с), (с, rf), (d, а), {d, b), (d, с), {d, d), (d, е), (e, а),
(e, Ь), (e, с), (e, d), (e, е)}.
Графы этих ртношений изображены на рисунке 18.
91.	У к а з а н и е. Для того чтобы доказать, что отношения R
и S в некотором множестве совпадают, доказывается совпадение
их графиков, т. е. что если (х\ y)£TR, то (x, у)£Г3 и если
(x, у)£ Г5, то (x, у)£ Г*. Таким образом, для выполнения зада¬
ния необходимо доказать соответствующие геометрические факты,
опираясь на теоремы и определения, изученные в курсе плани¬
метрии. Например, чтобы доказать формулу г), нужно дока¬
зать следующие два утверждения: «если прямая х перпендику-
лярнагпрямой у, прямая у перпендикулярна прямой z, то хЦ г»
и «если прямая х параллельна прямой z,	y^
то. существует такая прямая у, что
х _L у и у J_ z>.
93. а) {(T, ИМ), (T, ЕА), (О, ИМ),
(О, ЕА)}; в) нет; г) нет; д) «быть ре¬
бенком». Графы заданных отношений изо¬
бражены на рисунке 19.
96. См. рис. 20.
104. Графику первого отношения при¬
надлежат точки параболы у = (x + 2)2Ч,
графику второго не принадлежат.	Рис. 20
5-
Ь-
3
2
;H
4*
99

109.	См. рис. 21. П р и м е ч а н и е. Точки границ областей,
обведенные толстыми линиями, принадлежат графику.
110.	См. рис. 22.
111.	Указанне. Для того чтобы записать обратное отно¬
шение, в данном отношении «дс» меняется на «у»; для того чтобы
записать противоположное отношение, в данном отношении
знак «>» меняется на «О, «2>» — на «О. Например,если R —
отношение х2 + 8jc + 4у2 + 1 ^ 6, то
fl-*:^ + 8y + 4*2+l>6;
"	9 4^ 8x + 4y2 + I < 6;
: ^ + 8y+4^+l<6.
114.	а, б) Транзитивно; в) симметрично; д) рефлексивно, сим¬
метрично, транзитивно.
115.	Рефлексивно, симметрично.
116.	Симметрично, транзитивно. Чтобы получнлось рефлек¬
сивное отношение, нужно добавить пару (<?, е).
117.	Для того чтобы получилось симметричное отношение»
нужно добавить пары: (fc, а), (с, а), (rf,"i>), (e, с). Для того чтобы
получилось транзитивное отношение, нужно добавить пары (а, е)
и (а, d).

119.	График отношения R И R~l состоит из всех пар, входящих в
графики отношений R или R . При этом если xRy, то yR~lx и, зна¬
чит, y(flUfl^')*> а если хR~ly> то yRx и, значит, y(^U^"1)*.
Таким образом, для любой пары (*, у) из (*, y)f Гли^-1 следу-
ет {У> *)€ TR[)R-1, т. е. отношение R^R^^1 симметрично.
120.	График отношения ЯрЯ-1 состоит из тех пар (*, у\
которые входят одновременно и в Гл, и в Г*~1, т. е. для любой
пары (*, у) выполняется xRy и xR^'y. Тогда для пары (у, *) одно¬
временно выполняется: yR~'x и yRx. Таким образом, для любой
пары (x^y) из (*, у) бГ*пя-| следует (у, *)бГ*п*-1. Значит,
R П Я^'симметрично.
121.	Для того чтобы доказать, что отношение асимметрично,
нужно доказать, что не существует такой пары (*, yJ> которая
одновременно принадлежала бы графйку 'этого отношения и гра¬
фику отношения, обратного ему. Пусть (** у)£ Гл п^“>* тогда
xRy и xR~ly. Из последнего следует» что (*, y)t^R-!* т- €-
101

(y> x)fcTR. Тогда и (у,	х)£ГдП£-1. Таким образом, из
(*, 4f)erfin*-i следует, что (у, *)£глп*-'- значит, flHR-1-
асимметрично.
122.	Пусть R — асимметричное отношение. Нужно доказать,
что пересечение его с отношением тождества пусто, т. е. что
график R не содержит ни одной пары типа (x, х). Это так, по¬
тому что если бы (x, я)£Гд, то (x, A:)gr^-i, а для асиммет¬
ричного отношения R графики tR и Гд-i нё пересекаются.
123.	Пусть xRy. Для любой пары (л:, у) справедливо либо
(уу х)£ Гя, либо (у, х)£ TR. Все пары (x, у), для которых одно¬
временно xRy и yRx, образуют Г5, где S — симметричное отно¬
шение, а все пары (лг, у\ для которых (x, у)£ Гд, а (у, х)£ TR,
образуют Гг, где Т — асимметричное отношение, при этом
Гs U ГУ = ГЛ. Таким образом, R — S U Т.
124* Это неверно. Например, если r*={(a, Ь), (a, с), (fc, a),
(с, a)}, а Г5 = {(a, b), (a, с)}, то R — симметрично, S — асимметрич-
но и Гя n s = {(a, b), (a, c)}=^ 0.
132. а) Остроугольные, прямоугольные, тупоугольные; б) раз¬
носторонние, равносторонние, равнобедренные с основанием, не
равным боковой стороне.
143. а) Раз R рефлексивно, то для любого элемента из X
выполняется xRx. Тогда xR^'x, т\ е. верно и x(R П R~l)x, значит,
R ПЯ~'рефлексивно,
Для любого отношения R отношение RftR^1 симметрично
(доказано в задаче 120).
Пусть x(RflR^')y и y(Rf[R^')z, Это значит, что xRy, xR^y,
yRz, yR~lz, Из того, что xRy и yRz, следует, что' xRz (так как
R — транзитивно), из xR~ly и yRT^z следует, что yRx и zRy,
откуда zRx (так как R транзитивно), а тогда xR~]z. Раз xRz и
xR~lzy то x(R П R~~l)z. Таким образом, для любых хл у и z из X из
*(ЯПЯ-1)У и y(Rr\R~l)z следует *(flR#'1)-?, следовательно,
^f]R^1 транзитивно. Так как оно еще и рефлексивно и сим¬
метрично, то это отношение эквивалентности.
б)	flU*^1 — не обязательно является отношением эквива¬
лентности, так как оно может быть не транзитивно. Например,
если Г* ={(a, a), (b, b), (с, с), (a, b), (a, с)}, то R рефлексивно и
транзитивно, Г* и *-i = {(a, a), {ЬЛ\ {c, с\ (a, b)t (a, с), (fe, a), (с, a)},
при этом b{RUR *)«* a(flU# l)c, но (b, c)fcrRUR-r, значит,
#U#-1 не транзитивно.
147. Отношение взаимозаменяемости слов рефлексивно, так
как каждое слово самозаменяемо; симметрично, так как если одно
слово можно заменить другим, то эти слова имеют одинаковую
грамматическую форму и, значит, второе слово можно заменить
первым. Это отношение транзитивно, так как, если одно слово
имеет одинаковую грамматическую форму с другим, а второе —
с третьим, то первое слово заменяемо третьим; {дядя, маэстро,
день}; {няня, мышь}; {животное, пальто, поле}.
102

не посадил старина на осла
не пссадил
на осла
rT^
не посааил на ост
Рис. 23
150. См. рис. 23. Штри¬
ховые стрелки показыва¬
ют, как нужно дополнить
это отношение до отноше¬
ния строгого порядка.
154.	192. У к а з а н и е.
Для тбго чтобы учесть все
варианты, удобно исполь¬
зовать рисунок, на кото¬
ром от каждого слова дан¬
ного предложения идет
стрелка к тем словам, ко¬
торые могут в осмыслен¬
ном предложении следо¬
вать за этим словом (на¬
пример, за словом «он»
могут следовать все 5 ос¬
тальных слов предложе¬
ния), затем от каждого из
слов, стоящих на втором
месте,— стрелки к словам,
которые могут следовать
за ними, и т. д. Тогда каж¬
дый путь от первого слова
до последнего покажет возможный вариант фразы. Например,
на рисунке 24 выделена фраза «Он старика не на осла посадил».
155.	«Жить на одной улице» (в множестве людей); «быть по¬
хожим» (в множестве людей); «иметь непустое пересечение» (в
множестве непустых геометрических фигур).
посадил
на
т:
осла
zn
посадил
Рис. 24
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.	Гладкий А. B,, Мельчук И. А, Элементы математической лингви¬
стики. М., 1969.	*
2.	Д о р о ф е е в Г. В. Понятие функции в математике и школе.— Мате¬
матика в школе, 1978, № 2.
3.	К о л м о г о р о в А. Н. Что такое функция. Математика в школе» 1978, № 2.
4.	Лингвистика математическая. Энциклопедия кибернетики, т. I, 1975.
5.	Ш р ей-дер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. М., I97l.
6.	Шрейдер Ю. А. О понятии «математическая модель языка». М., 1971
(Новое в жизни, науке, технике, сер. «Математика, кибернетика»).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Изучение этой темы имеет большое образо¬
вательное, воспитательное и. прикладное значение. Она принци¬
пиально важна не столько для тех, кто в будущем продолжит изу¬
чение математики, сколько для тех, кто в дальнейшем не будет
специально ею заниматься, но хочет иметь представление о
ее методах. Цель факультатива — заинтересовать учащихся эле¬
ментами математического анализа, показать роль и место мето¬
да дифференциальныхуравнений в решении разнообразных задач.
Поэтому и тема не является систематическим изложением ма¬
териала, а рассчитана на общее знакомство учащихся с приема¬
ми решениядифференциальных уравнений. Учителю следует пони¬
мать, что на факультативные занятия нельзя переносить ву¬
зовские методы изучения материала.
Данная тема как бы лодводит итог изучению элементов диф¬
ференциального и интегрального исчисления и поэтому непо-
Тредственно связана с основными понятиями математического
анализа школьного курса математики. Дифференциальные урав¬
нения как математический метод решения практических задач,
или, как часто такие методы называют, математическим моде¬
лированием (e данном случае с помощью дифференциальных
уравнений), помогают моделировать самые различные процессы
физики, химии, биологии, экономики, решать многие задачи ин¬
женерных расчетов, технологии производства и др. Предпола¬
гается, что после изучения на факультативе данной темы уча¬
щиеся получат представление о значении математического моде¬
лирования с помощью дифференциальных уравнений в познании
реальной действительности.
С некоторыми примерами использования дифференциальных
уравнений в решении прикладных задач школьники уже встреча¬
лись в старших классах в курсе алгебры и начал анализа и физики,
например при изучении гармонических колебаний.
В рассматриваемом курсе дифференциальных уравнений изу^
чаются различные процессы и задачи из многих^областей естест*,
вознания, которые описываются и решаются методом дифферен¬
циальных уравнений.
104

Весь материал темы можно условно разбить на четыре смыс¬
ловых блока.
1.	Показательный рост и процессы выравнивания (п. 1, 2, 3) —
3	ч.
2.	Основные понятия, связанные с дифференциальными урав¬
нениями (п. 4? 5, 6)—3 ч.
3.	Составление дифференциальных уравнений (п. 8 {вводная
^часть и пример I), 13, 14) —-3 ч.
4.	Решение дифференциальных уравнений (п. 15, 16, 17, 20,
25)—5 ч.
В остальных пунктах содержится материал, необязательный
для изучения всеми учащимися. Этот материал преподаватель
может использовать по своему усмотрению. В частности, его мож¬
но рекомендрвать учащимся, особо интересующимся математикой,
для самостоятельного изучения.
Всего на изучение темы отводится 17 ч. Оставшиеся 3 ч
можно использовать так: 2 ч отвести на проведение контрольной
работы и зачета по всей теме, а 1 ч — на выступления учащихся
сдокладами. Такие выступления могут быть сконцентрированы
как в конце изучения темы, так и проводиться по ходу ее изу¬
чения. Приведенное почасовое планирование является, конечно,
ориентировочным, и учитель может вносить в него отдельные
изменения. Все ссылки в дальнейшем даются на страницы, пункты
и параграфы, если неоговорено противное» пособия по факуль¬
тативному курсу «Избранные вопросы математики», 10 класс/Под
ред. В. В. Фирсова. М., Просвещение, 1980.
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЙ РОСТ И ПРОЦЕССЫ
ВЫРАВНИВАНИЯ
При изучении этого смыслового блока рассматриваются раз¬
личные процессы, которые моделируются с помощью дифферен¬
циальных уравнений.
Рассматривая примеры математического моделирования с по¬
мощью дифференциальных уравнений, необходимо отметить, что
с помощью одного дифференциального уравнения описывается не
один какой-то конкретный процесс, закон или задача, а целый
класс. Например, уравйение показательного роста у' — ky
задает и закон радиоактивного распада (пример. 1, §. 1), и закон
изменениячисленностиколонииживыхорганизмов (пример2,§ 1),
и описывает цепную реакцию при радиоактивном распаде (пример
3,	§ 1) и т. д. Таким образом, с помощью одного дифференциально-
го уравнения можно математически моделировать разные реаль¬
ные процессы. Как говорил В. И. Ленин, «единство природы
обнаруживается в «поразительной аналогичности» дифференци¬
альных уравнений, относящихся к различным областям явлений» *#
Л^
1 Л е н и н В. И« Полн« собр. соч„ r^ 18, с. 306#
.10$

Рассмотренные примеры дают возможность показать учащимся
общность подходов и приемов математики, что способствует
правильному формированию мировоззрения учащихся. Весь ма¬
териал § 1 очень важен, так как формирует у учащихся пред-
ставление о дифференциальных уравнениях как мощном инстру¬
менте в познании реальной действительности. Поэтому его следует
изучить полностью в том объеме, в каком он представлен в
пособии.
В этом параграфе новым для учащихся является термин
«дифференциальное уравнение», хотя некоторые из них могли
встречаться с этим термином и в курсе алгебры и начал анализа,
если изучали п, 66 учебного пособия «Алгебра и начала ана¬
лиза, 9—10», который не является обязательным. Поэтому целе¬
сообразно, чтобы при изучении данных вопросов факультатива
учащиеся обратились также к п. 66 учебного пособия поалгёбре
и началам анализа.
В § 1 еще не вводятся основные понятия, связанные с диф¬
ференциальными уравнениями, поэтому здесь не следует спе¬
циально останавливаться на вопросе, что такое дифференциаль¬
ное уравнение.
Учащиеся знакомятся с новым понятием — уравнением пока¬
зательного роста, с помощью которого моделируются процессы
показательного роста. Для успешного изучения § 1 необходимо,
чтобы учащиеся вспомнили такие известные им из курса мате¬
матики понятия, как «функция», «прямая пропорциональная за¬
висимость», «показательная функция», «производная», «ин¬
теграл».
Важно, чтобы учащиеся по мере необходимости вспоминали
также используемые понятия н законы из физики, химии и дру¬
гих предметов, физический смысл изучаемых и полученных ре¬
зультатов. В связи с этим необходимо восстановить в памяти уча¬
щихся такие понятия, как «путь», «время», «скорость», «уско¬
рение», «радиоактивный распад», «период полураспада», «темпе¬
ратура», «реакция диссоциации», «молярная концентрация раст¬
вора». Задачи к § 1 (№ 1—6) целиком посвящены применению
метода дифференциальных уравнений в естественных науках по
аналогии с рассмотренными в данном параграфе примерами. Все
эти задачи необходимо решить учащимся.
В целом весь материал данного смыслового блока не явля¬
ется очень трудным, но он чрезвычайно важен, как уже отмеча¬
лось, в мировоззренческом плане.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, СВЯЗАННЫЕ
С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ
При изучении этого смыслового блока следует подчеркнуть,
что до сих пор учащиеся встречались только с уравнениями,
в которых неизвестные величины могут принимать лишь числовые
106

значения. В отличие от этого решением дифференциального
уравнения является функция.
Здесь вводятся новые, важные для всего дальнейшего изуче¬
ния темы понятия обыкновенного дифференциального уравнения
и его порядка, решения дифференциального уравнения, общего и
частного решения; учащиеся впервые узнают о поле направле¬
ний, интегральных кривых, изоклинах, начальных и краевых
условиях. Изучается геометрический смысл дифференциального
уравнения.
Для успешного усвоения материала данного блока необходимо,
чтобы учащиеся вспомнили такие математические понятия, как
«уравнение», «аргумент», «порядок производной», «кривая», «ка¬
сательная к кривой», «координаты», «угловой коэффициент каса¬
тельной».
При изучении материала § 2 важное значение приобретает
выполнение графических работ для построения поля направлений
и интегральных кривых. Эти работы целесообразно проводить на
миллиметровой бумаге.
Задачи 7, 8 к § 2 служат для закрепления понятий, сйязан-
ных с дифференциальными уравнениями, и требуют от учащих-
ея навыков дифференцирования. Задача 9 — на повторение ма¬
териала, изученного в § 1 (в ней необходимо составить диф¬
ференциальное уравнение и решить его по аналогии с примерами
из § 1). Задача 10 требует аккуратного выполнения графиче-:
ской работы по построению поля направлений методом изоклин.
Решение всех этих задач является обязательным для всех уча¬
щихся, посещающих факультатив. Однако упражнение 10 не мо¬
жет быть к данному моменту изучения темы выполнено пол¬
ностью, поскольку учащиеся еще не изучили способ'решения
уравнений с разделенными переменными, каким является уравне¬
ние yy'=x. Поэтому при изучении второго смыслового блока
упражнение 10 следует выполнить лишь частично, построив мето¬
дом изоклин соответствующую интегральную кривую, проходя¬
щую через точку Р (0,2), а позже, после изучения в четвертом
смысловом блоке способа решения уравнений с разделенными
переменными полезно вернуться к этой задаче и сопоставить
полученный графическим путем результат с точным решением
3foro уравнения.
Задача 11 предусматривает использование метода Эйлера.
Эта задача, так же как и сам метод, обязательной не является.
СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В данном смысловом блоке в обязательном порядке рассмат¬
риваются общие соображения, относящиеся к составлению диф¬
ференциальных уравнений в задачах динамики, и один пример
решения такой задачи (уравнение движения парашютиста). Рас¬
смотрение этого примера очень важно для приобретения учаг-
107

лцимися навыков составления дифференциальных уравнений в
практических задачах. Пример 9 (п. 13) носит яркую поли¬
техническую направленность. Рассматриваются дифференциаль¬
ные уравнения, возникающие при решении геометрических задач.
При этом важное место следует отвести, графической работе.
Следует подробно разобрать с учащимися материал пункта 14,
связанный с общими замечаниями по составлению дифферен¬
циальных уравнений, этот материал способствует развитию у уча¬
щихся навыков по составлению таких уравнений.
При изучении данного смыслового блока новых понятий уча "
щиеся не встречают. Однако из уже известных им математи¬
ческих понятий полезно вспомнить такие* как «касательная и
нормаль к кривой», «угловой коэффициент касательной», «пе¬
ременная», «функция и ее приращение», «производная». Из не¬
математических понятий используются понятия силы, скорости,
ускорения, массы, угла падения и отражения светового луча,
концентрации вещества; кроме этого используется также вто¬
рой закон Ньютона.
При изучении данного материала очень важно, чтобы уча¬
щиеся усвоили, что далеко не всегда в формулировки рас¬
сматриваемых законов входят явным образом понятия, выража¬
емые первыми или вторыми производными искомых функций.
Поэтому в таких-.случаях приходится обращаться к исследова¬
нию процесса за очень малый промежуток времени, когда ско¬
рость протекания процесса можно считать постоянной (если
независимой переменной является время), а говоря более обще,
при очень малых изменениях независимой переменной. Отрабо¬
тке навыков составления дифференциальных уравнений в подоб¬
ных случаях посвящено упражнение 13 к § 3. При составлении
дифференциального уравнения для каждой конкретной реальной
задачи важно, чтобы учащиеся четко понимали,,какая величина
выступает в качестве независимой переменной, а какая зависи¬
мой, могли объяснить, о какой функции и какого порядка её
производныхйдет речь.
При составлении дифференциальных уравнений, возникающих
при решении задач геометрического содержания, необходимо
вспомнить геометрический смысл производной.
Упражнения 12 и 14 к § 3 также связаны с составлени¬
ем дифференциальных уравнений в физических задачах, од¬
нако в них явным образом входят понятия скорости и ускорения,
выражаемые первыми и вторыми производными, поэтому процесс
составления дифференциальных уравнений здесь несколько облег¬
чается. Упражнения 15, 16 и 17 имеют целью составление диф¬
ференциальных уравнений в задачах геометрического содержа¬
ния. Эти упражнения очень важны для дальнейшего изучения
материала, так как полученные в них уравнения используются
позже при выполнении упражнений 27, 28, 29. Выполнение всех
упражнений к § 3 является обязательным.
108

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Материал этого смыслового блока наиболее труден и носит
в основном теоретический характер. При его изучении прихо¬
дится выполнять довольно много трудоемких математических
выкладок.
В факультативном курсе рассматриваются решения лишь не¬
скольких типов дифференциальных уравнений: уравнений с раз¬
деленными переменными (из которых отдельно разбираются
уравнеция y' = f(x) и y' = f(y)) и однородные дифференциаль-
Ьые уравнения 1-го порядка (в дополнительный материал фа¬
культатива входят также линейные дифференциальные уравне¬
ния* 1-го порядка). Разумеется, число различных видов диф¬
ференциальных уравнений гораздо шире, но более полное их
Знзучение выходит за рамки небольшого школьного факульта-
Тйва.
В качестве. ключевого момента в решении указанных типов
дифференциальных уравнений выступает понятие первообразной
функции, известной учащимся из курса алгебры и начал анализа
X класса. Участники факультатива должны хорошо усвоить тео¬
рему, позволяющую им находить*первообразные довольно ши¬
рокого класса функций: если F — первообразная функция для
функции f, а ф — дифференцируемая функция, то f(<p(x)) явля¬
ется первообразной для функции /(<p(*))*<p4*)-
Рассмотрим теперь подробнее содержание данного смысло-
’Вого блока и методику его изучения.
б	п. 15 учащимся напоминается понятие первообразной функ¬
ции, с помощью которой решаются уравнения типа y' = f{x).
В этом же пункте приводятся первообразные ряда элементар¬
ных функций, а также даны формулы, позволяющие расширить
число известных учащимся первообразных функций. Большую
роль в этом расширении играет утверждение о том, что сумма
первообразных от функций f и g является первообразной от их
суммы / +,g, а произведение первообразной от функции f на
число % — первообразной от функции kf, и, кроме того, в этой
связи очень важна следующая теорема: если F — первообразная
от функции /, а ф — дифференцируемая функция, то F^(x)) —
первообразная от функции Кф(*))-ф'(*)-
Полезно, чтобы учащиеся составили и всегда имели под py-
Кой таблицу первообразных основных элементарных функций,
*m> облегчит в дальнейшем решение, задач. В эту таблицу,
.помимо первообразных для функций, приведенных в учебном
ВОсобии по алгебре и началам анализа, следует включить также
Мфвообразные для функций ^====, д2 ‘ з ♦ 3 1 » >	*—•
**	^ц2 — х а ~*~х х “ V*+a
Эти первообразные могут быть указаны преподавателем, а уча-
109

щиеся дифференцированием проверят справедливость соответ^
ствующих равенств:
(arcsinf+c)'=^J=; (i-arc|gi + C).__J_;
(i'"|^|+c)'=7^-; (H*+ v^TS|+c)'=^j=.
На использовании теоремы, приводимой на с. 35 пособия
по факультативному’курсу, основан метод подстановки или заме¬
ны переменной при интегрировании, который часто выражают
следующим образом:
S f (ф (0) ф' (0 dt = S f (ф (0) d (ф (/)) = F (ф (0) + С.
Таким образом, заменив х в таблице первообразных любой
дифференцируемой функцией ф и приписав к функции f(q>{x))
множитель ф' (*), учащиеся смогут получать большое число но¬
вых первообразных для новых функций. Главное здесь-пра-
вильно применить теорему и найти производную функции ф'(*).
Лучше всего для более прочного усвоения этой теоремы сра¬
зу решить несколько простейших задач на ее применение. Помимо
примеров, рассмотренных в пособии по факультативному кур¬
су на с. 36—37, целесообразно рассмотреть еще и примеры
замены переменной * на ах, ах + 6. Каждая из указанных замен
часто используется при интегрировании и является наиболее
простым случаем применения теоремы, так как производные
(ax)' = a, (ax + b)'=a находятся легко учащимися.
Употребление записи $ f (ф (f)) d(ф (/)) == F (ф (/)) + С в посо¬
бии по факультативному курсу не встречается и потому не
является обязательным, однако преподаватель может по своему
усмотрению использовать такую запись. Она довольно удобна
для применения указанной теоремы.
В пункте 15 приводится много примеров, из которых препо¬
даватель может разобрать с учащимися лишь один-два, а ос¬
тальные предложить для самостоятельной работы.
Пункт 16 целиком состоит из задач физического содержания,
решение которых сводится к уравнению y' = f(x). Во всех этих
задачах используется понятие определенного интеграла, с по¬
мощью которого вычисляются такие физические величины, как
работа, кинетическая энергия, сила давления.
. В п. 17 решается в общем виде уравнение вида y' = f(y).
При этом решение получается в неявной форме, т. е. в виде
х — F (у) + С. Разбираются решения дифференциальных урав¬
нений, относящихся к типу y' = f(y) и составленных ранее для
ряда физических задач.
В п. 20 вводится понятие дифференциального уравнения с
разделенными переменными, частными случаями которого
являются рассмотренные в пунктах 15 и 17 уравнения вйда
y'z=f(x) и y' = f(y), приводится в общем виде решение урав¬
нения такого типа. Решается 3 конкретных примера дифферен-
110

циальных уравнений с разделенными переменными, из которых
особенно интересен последний, связанный с известным учащимся
из курса физики понятием адиабатического сжатия идеального
газа.
Пункт 25 посвящен однородным дифференциальным уравне¬
ниям 1-го порядка. Здесь, однако, решение таких уравнений
рассматривается на конкретном примере уравнения, составлен¬
ного для одной практической задачи (отыскание кривой с по¬
стоянным углом резания, п. 13, пример 9), а не в общем виде.
Указанный пример интересен тем, что учащиеся знакомятся с
новым видом кривой — логарифмической спиралью — и узнают
о	ее использовании в практике.
В конце п. 25 приводится еще одно однородное дифферен¬
циальное уравнение, составленное в примере 8 п. 13 для оты¬
скания такой кривой, что после отражения от нее пучок па¬
раллельных прямых соберется в одной точке. Указывается, прав¬
да без выкладок, что общим решением такого уравнения явля¬
ется семейство парабол. По усмотрению учителя подробное до¬
казательство этого факта, а также обратного утверждения («ес¬
ли в указанной точке поместить источник света, то лучи после
отражения от параболы пойдут параллельным пучком») может
быть изложено в одном из докладов учащихся. В нем следует
отразить и практическое использование указанного факта.
В ходе изучения данного смыслового блока учащиеся знако¬
мятся с новыми для них понятиями дифференциального урав¬
нения с разделенными переменными, однородного дифферен¬
циального уравнения первого порядка, узнают о логарифмиче¬
ской спирали. Для успешного изучения данного материала не¬
обходимо знание таких математических понятий, как «перво¬
образная функция», «интеграл», «парабола», «радиус-вектор»,
необходимо уметь находить первообразные различных функций,
знать свойства логарифмических, показательных, тригономет¬
рических и обратных тригонометрических функций. Из немате¬
матических понятий, которые встречаются здесь учащимся, отме¬
тим следующие: «сила», «путь», «работа», «масса», «угловая
скорость», «кинетическая энергия», «давление», «закон Паскаля»,
«адиабатическое сжатие идеального газа».
Упражнения, предлагаемые к § 4, имеют целью закрепить
следующие навыки учащихся: № 18 — решать дифференциаль¬
ные уравнения типа y' = f(x); № 19 — решать дифференциаль¬
ные уравнения типа y' = f(y); № 20, 21—решать дифферен¬
циальные уравнения с разделенными переменными; № 22—
решать дифференциальные уравнения с разделенными перемен¬
ными и заданными начальными условиями; № 25 — решать
однородные дифференциальные уравнения первОго порядка;
Ня 26 — составлять и решать дифференциальные уравнения
вида y' = f(x) для физических задач; №	27 — составлять
и решать дифференциальные уравнения вида y' = f(y) в зада¬
111

чах геометрического содержания; № 28» 29 — составлять и ре¬
шать дифференциальные уравнения с разделенными переменны¬
ми в задачах геометрического содержания.
Задачи 23 и 24 не являются обязательными для решения
их всеми учащимися, посещающими факультатив.
Остановимся теперь на вопросах, связанных с изучением не¬
обязательного для всех учащихся материала.
Пункт 7~§ 2 посвящен приближенным решениям дифферен¬
циальных уравнений методом Эйлера. Этот метод не исполь¬
зуется при изучении остальных вопросов^темы. Однако при же¬
лании он может быть применен при решении различных диф¬
ференциальных уравнений, входящих в число примеров или
упражнений. При изучении этого метода важное место занимают
графические и вычислительные работы. Метод Эйлера может
стать одной из тем докладов и рефератов учащихся.
Каждый из примеров 2, 3 и 4 § 8 также может быть исполь¬
зован в качестве материала для докладов и рефератов уча¬
щихся. К этой же тематике следует отнести задачу о движении
пули (п. 18), исследование с помощью дифференциальных урав¬
нений гармонических колебаний (п. 21), определение второй
космической скорости (п. 22). Все указанные задачи модели¬
руются и решаются с помощью дифференциальных уравнений
с разделенными переменными. Важно, чтобы при подготовке
докладов и рефератов учащиеся уделили особое внимание ин¬
терпретации полученных результатов с точки зрения их физи¬
ческого смысла.
Пункты 10 и 24 посвящены линейным дифференциальным
уравнениям первого порядка. В пункте 10 рассмотрен пример из
электротехники, приводящий к такому уравнению — определе¬
ние силы тока в простейшей- электрической цепи. Если эти
пункты разделить между различными учащимися для докладов,
то необходимо, чтобы между этими докладами соблюдалась
преемственность, например первый учащийся рассказывает о
практйческйх задачах, приводящих к линейным дифференциаль¬
ным уравнениям первого порядка, второй учащийся рассказы¬
вает о способе решения таких уравнений, третий — о решении
дифференциальных уравнений и задач в целом, о которых шла
речь в докладе первого учащегося.
Отдельными темами для докладов и рефератов могут стать
вопросы, связанные с дифференциальными уравнениями в хи¬
мии (п. 11 и 19) и биологии (п. 12 и 23).
При самостоятельной работе учащихся над докладами и ре¬
фератами необходимо использовать дополнительную литературу,
что позволит расширить круг рассматриваемых вопросов, углу¬
бить их понимание. Однако при этом не следует увлекаться
новыми типами дифференциальных уравнений и способами их
решений. Важнее рассмотреть более широкий класс прикладных
задач, решаемых с помощью дифференциальных уравнений, что
112

отвечает задачам изучения данной темы факультатива. При этом
'целесообразно по мере возможности подбирать такие примеры»
которые' отвечают целям профессиональной ориентации учащих-
:ся и их интересам.
На доклады надо отводить по 10—15 мин, однако отдельные
доклады могут быть рассчитаны и на большее время. Полезно,
чтобы, помимо самого доклада, учащиеся подготавливали и его
тезисы, с которыми могли бы потом при желании ознакомиться
другие.
Доклады и рефераты не обязательно, конечно, должны ос¬
вещать материал перечисленных выше пунктов. Они могут быть
связаны целиком с материалом обязательной части факульта¬
тива, например по своему усмотрению преподаватель может
предложить для доклада решение какого-нибудь сложного при¬
мера или упражнения из пособия по факультативному курсу.
Укажем в заключение несколько общих методических поло¬
жений, которых целесообразно придерживаться при изучении
темы.
Во многих вопросах темы, как было отмечёно, важное зна¬
чение имеет выполнение графических и вычислительных работ.
Графические работы необходимо выпйлнять аккуратно и лучше
всего на миллиметровой бумаге. Тогда легче будет сравнивать
приближенные результаты, полученные в ходе такой работы,
с точными, полученными при решении соответствующих диффе¬
ренциальных уравнений. Вычисления лучше всего производить
V> помощью логарифмической линейки или математических таб^
лиц, а если есть возможность, с помощью микрокалькуляторов.
Фешение всех задач с числовыми данными необходимо доводить
до числового ответа в десятичной форме записи, что стано-.
фится сейчас повсеместным требованием практики. Запись
ответа в виде числа способствует усилению прикладной на¬
правленности обучения, дает возможность лучше интерпрети-
рбвать полученное значение в ответе.
В целом для вт:его изучения темы «Дифференциальные урав¬
нения» чрезвычайно важно положение о трех этапах решения
^прикладных задач методами математики: этапе формализации,
этапе решения внутри математической модели и этапе интер¬
претации ответа. При решении прикладных задач 'с помощью
дифференциальных уравнений на этапе формализации на осно¬
вании уяснения существа прикладной задачи,составления чер¬
тежа или схемы, облегчающих такое уяснение, составляется
дифференциальное уравнение, служащее математической мо¬
делью для данной задачи. На втором этапе решается диффе¬
ренциальное уравнение, определяются его частные решения
исходя из начальных данных. Сюда же входит в случае не¬
обходимости определение дополнительных^аанных, доведение pe-
Шения до числового значения путем вычислений. На третьем
j^rane ответ проверяется с точки зрения его соответствия ис-
Р&Закаэ 319	113

ходным данным задачи и физическому смыслу. Преподаватель
должен стремиться на протяжении изучения всей темы к тому,
чтобы учащиеся осознавали наличие этих трех этапов и каким
именно этапом решения они заняты.
Примерное содержание зачета
1.	Вывод закона радиоактивного распада. Нахождение пе¬
риода полураспада.
2.	Нахождение закона изменения численности колонии жи¬
вых организмов.
3.	Составление уравнения цепной реакции при распаде
ядер радиоактивных веществ.
4.	Понятие о процессах показательного роста и процессах
выравнивания.
5.	Нахождение зависимости температуры остывающего тела
от времени.
6.	Нахождение зависимости количества молей сахарозы от
времени.
7	Понятие обыкновенного дифференциального уравнения.
Примеры.
8.	Понятие о поле направлений. Решение задачи на по¬
строение поля направлений.
9.	Геометрический смысл дифференциального уравнения.
Решение задачи на построение поля направлений и интеграль¬
ных кривых.
10.	Решение задачи на составление дифференциального урав¬
нения движения парашютиста.
11.	Решение задачи на составление дифференциального урав¬
нения кривой, обладающей заданными свойствами.
12.	Решение дифференциальных уравнений вида y'-f(x).
13.	Примеры решения физических задач, сводящихся к урав¬
нению g' = f (x).
14.	Решение дифференциальных уравнений вида #'=f(#).
15.	Решение физических задач, сводящихся к уравнениям
вида, y' = l(y)■
16.	Понятие о дифференциальных уравнениях с разделен¬
ными переменными. Примеры решения уравнений с разделен¬
ными переменными.
17.	Составление и решение уравнения для адиабатического
сжатия идеального газа.
18.	Понятие об однородных дифференциальных уравнениях
k +^-
первого порядка. Решение уравнения y'-	.
l - k-
19.	Понятие о логарифмической спирали. - х
При проведении зачета учитель может использовать зада¬
чи, приведенные в факультативном курсе, а также может со¬
ставлять аналогичные им самостоятельно.
114

Часть времени, отводимого на зачет, целесообразно употре¬
бить на проведение письменной контрольной работы. Приведем
два варианта примерного содержания такой работы1
I	в а р и а н т
1.	Период полураспада некоторого радиоактивного вещества
равен 1000 лет. Сколько останется этого вещества через ЮО лет?
500 лет? 2000 лет?
2.	Составьте дифференциальное уравнение кривой, для кото.-
рой отрезок касательной между точкой касания и осью аб¬
сцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.
3.	Найдите решение дифференциального уравнения при за¬
данном начальном условии (1 + xs)y' = 3x2y, y(0) = 2.
II	в а р и а н т
1.	В комнате, где температура воздуха равна 20°, некоторое
тело охлаждается от 100 до 60° за 20 мин. Считая скорость
остывания тела пропорциональной разности температур тела и
окружающей среды, определите, за какое время тело остынет
до 30°.
2.	Составьте дифференциальное уравнение кривой, если из¬
вестно, что угловой коэффициент касательной к ней в любой
точке равен квадрату ординаты точки касания.
3.	Найдите общее решение дифференциального уравнения
2	xyy' = y2 — 1.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
ln9
1.	По формуле периода полураспада Т (с. 8) Г=^—,нопо
условию задачи Г = 30. Отсюда находим k: fe = i^-. Для оп-
oU
ределения времени t, через которое останется 1% первоначаль¬
ного количества вещества (т. е. 0,Olmo), воспользуемся фор-
ln2
мулой m = mQe~kt (с. 8). 0,01m0 = rhoe 30	f=^J^p-30^199.
Ответ: 199 дней.
2.	По услЪвию задачи период полураспада T=1000. Ис¬
пользуя формулу T=-^jL (с. 8), найдем k: k — ^^ . По фор¬
муле m = moe~~kt найдем, сколько вещества останется через
1 Приведенные задачи взяты из пособия по факультативному курсу.

100 лет: тюо = т^е 1000 '°0 = т0е ю —_^Q . *»_£&_, гдс та—
y2 ^ *^
первоначальное количество вещества.
Аналогично находим количество вещества, оставшееся через
500 и 2000 лет: т500 = J2L_«J^, m20oo = ^_. Ответ:^;^;
mo_	УГ	*>4	4	^<>7	М
4
3.	Это упражнение аналогично задаче, рассмотренной на с. 7.
Закон образования фермента найдем, используя выведенную там
формулу: y — yoe~kio*ekt. Так как в данном случае to = 0, то
окончательно получим: y = yoekt. Ответ: y = yoektt k>0.
4.	Из формулы закона образования фермента, выведенной
в предыдущей задаче, найдем значение k: 0,5 = #o£3fe, 2 = да7*,
откуда, разделив почленно 2-е равенство на 1-е, получим: е4А = 4
и k—~~. Теперь найдем уо: уо — —-—; откуда у0= —^- «
4	^	7|п4	4	/2
« 0,18. Ответ: у0 & 0,18 кг.	е
£. Закон остывания тела при данных условиях рассмотрен
в примере 4 (с. 11 — 12). Применив формулу Т = Т\ + (Т0 — Т\)е~ш,
получим: 60 = 20 + (100 — 20)e-20*. Отсюда определим k: k =1^.
In2 {	20
Теперь легко найти искомое время: 30 = 20 + 80e 20	—	=
ln2	8
= e 20 ,^f = ln8, t = 60. Ответ: 60 мин.
6- Пусть s(t) — функция, выражающая зависимость пути,
пройденного телом, от времени. Так KaK.a = s'(f) и по условию
v = ks, то s'(t)==ks. Поэтому s = soekt. В условии задачи ска-
зано, что за первые 20 с тело прошло 400 м, а за следующие
15 с 2800 м. Из этого следует, что за первые 35 с тело прошло
3200 м. Таким образом, получаем два уравнения 4OO = so020* и
3200 = $oe35*, из которых определим so и k: s0 = 25, *==yj^-
Следовательно, за время t тело пройдет путь, равный s(0 =
ln8	J_	J_
= 25e15	= 25• 25 м. Ответ: 25-25 м.
7.	a)^ Найдем производную данной функции и подставим
полученное для нее выражение в левую часть заданного урав¬
нения, получим: х (йх + 1) — х2 = х2 + х = у.
б)	Найдем первую и вторую, производную функции у: y' =
= e* + xe*, y" = 2ех + хех. Подставим их выражения в левую
часть заданного уравнения: 2ех + хех + Зех + Зхех — 4хех = Ъех,
что и требовалось.
в)	Делается аналогично заданиям а) и б); #' = 3CiCOs3x-
— ЗС2 sin Зх, у" = —9Ci sin Зх *— 9C2 cos Зх, у" + 9у = 0.
116

8.	Найдем первую и вторую производную функции у: y'
= 2Ае2ху y" = 4Ae2\ Подставим их выражения в данное урав¬
нение: 4Ае2х + 4Ае2х + ЗАе2х = 22е2х. Отсюда находим А: A = 2.
Ответ: А = 2.
9.	Так как замедляющее действие трения пропорционально
угловой скорости вращения, то можно составить уравнение:
ш' = —^ct>.. Отсюда о) = шое~Л/. Подставив начальные условия,
получим: 60= 100*-*1, откуда е~к = ~- и k==—\n—. Следо-
я	5	5
i)'
об/мин.
10.	Перепишем данное уравнение в виде y'=^-. Тогда ясно»
что в точках на любой прямой, проходящей через начало ко¬
ординат, угловой коэффициент наклона касательной к интеграль¬
ным кривым будет одинаков. Таким образом, семейство изоклин
здесь образует множество прямых, проходящих через начало
координат. При этом следует отметить, что прямая # = 0 также
является изоклиной, причем касательные к интегральным кри¬
вым здесь будут параллельны оси Oy. Теперь нетрудно построить
поле направлений, указав, на каждой изоклине стрелочками на¬
правление касательных к интегральным кривым (необходимо от¬
метить, что точка (0; 0) должна быть исключена из каждой
прямой, входящей в семейство изоклин, так как в ней значение
выражения для углового коэффициента наклона касательной к
интегральной кривой, т. е. ^p, не определено). Таким образом,
У
поле направлений принимает вид, указанный на рисунке 1.
Проведем теперь приближенно интегральную кривую через
заданную точку Р (0; 2) (рис. 1).
Решим уравнение y'=-- в общем виде, p(y) = y, q(x) = x,
р (y)=if>Q w=т •откуда f =т + с*у2 ^ *2+D (D=2С)•
Найдем точное уравнение интег¬
ральной кривой, проходящей че¬
рез точку P(0; 2). Так как для нее
jy(0)=2, то D = 4. Следователь¬
но, уравнение искомой интеграль-
Ной кривой имеет вид:
y= Vх2Ц- 4 . Это уравнение ги¬
перболы.
11.	Разделим отрезок [0, 1] на
4	равные части. Положим: xo = 0,
Х\ = —, X2 = —, *з = —, Х\ = 1.
Здесь h =^-- Применим метод Эй-
117
j^/tfeS^K
Рис. 1
вательно, со — 100e"5 ‘ = 100 • (^)*- Ответ:	w	=	100	■	(

лера. По условию yo = y(0) = ^s У* =
f(4--U)	— У (*i) = Уо + (4*o — 2у0) • h = 4“; t/2=
t<A4i>	-++c+->+H-* .-
=A + (4.J	2*-V- = -; y< =
8	“V.	2	8 ) 4	16	*	у*
_Я+Г4.А_2.И^.-	=^- =
16TV 4	16/	4	32
Рис. 2	=1^- яз 1,09.
32
Таким образом, ломаная, приближенно изображающая част¬
ное решение при данном начальном условии, проходит через
-к» (0; *) (f; X); (Х; i> (i;Jt); (l; ,A) (рис. *,.
Ответ: у(1)«1^г«*1,09.
ui
12.	Составим на основании 2-го закона Ньютона уравнение
движения лодки: — та = Fcanp, а так как Fmnp=kvt то—ma =
у
= kv, или mv'4-kv = 0, откуда v' =	v. Следовательно,
.	т
	t
v = voe т Используя начальные условия, получим:	2	=
_-.4o	-—	4д /~к
= 5*e т откуда е т= у—- Поэтому через 2 мин после
/4o/-
выключения мотора скорость лодки равна u = 5*f У— V20
= 0,32. Ответ: 0,32 м/с.
13.	Рассмотрим тонкий слой воды толщиной Дл\ Обозначим
через р количество света, падающего на этот слой воды, а че¬
рез Ар — количество света, поглощаемого при прохождении
через этот слой» Тогда Др = k• р • Дх, откуда ^- = k • р или p' = kp.
Следовательно, p — poekx. Из условий задачи имеем: ^po = Poe3*,
e3fc=Jp. Пусть у — та часть первоначального количества света
po, которая дойдет до глубины 30 м. Тогда у*р0 = р0*еш =
10 Откуда у =г~г- Ответ: ■*■
J *	1024	1024
-*0f)
14.	Составим закон движения материальной точки: та —
= — mg — Fconp, или та = — mg — kv9 mv' = — mg — kv. Отсюда
v' = —g — ^- v = —~[v “(~^г))' Решением этого дифферен-
;циального уравнения, как доказано на с. 10—11, является функ-
ция У = “^ + ^0+^^е т 1 Ответ: v = ^vo+^^e т ^-^-.
U8

15.	Решение этой задачи связано с
использованием геометрического смысла
производной как углового коэффициента
касательной, который по условию равен
в любой точке квадрату ординаты точки
касаниЪ, поэтому y' = y2. Ответ: y' = y2.
16.	Рассмотрим произвольную точку
А (x; у), принадлежащую данной кривой
(рис. 3). Обозначим через ВА касатель¬
ную к кривой, В — точка пересечения ка¬
сательной с осью Ох, С — с осью Oy>
К — проекция точки А на ось Ох. Обо¬
значим угол, образованный касательной
с положительным направлением оси
Ох, через а. Тогда tg а = ^ ' = У'- Так-
вк
как no условию AC = СВ, то ВО = OK=x,
поэтому -р~ =r^- — y'. Ответ: y'=2-.
ВК 2x	2x
17.	Пусть А (x; у) — произвольная точ¬
ка искомой кривой (рис. 4), АВ — каса¬
тельная к кривой, В — точка пересечения
касательной с осью Ох, а — угол, образованный касательной
с положительным направлением оси Ох. Тогда из условия задачи
следует, что треугольник ОАВ — равнобедренный (ОА—АБ).
Поэтому ^.AOB= 180° — «, а следовательно, tga = y' =
= -tgXOB = -^-. Ответ: y' = -2-.
18.	а) Первообразной функции sinx является — cosx, а перво¬
образной cosx является sinx. Сумма первообразных от каких-
либо функций является первообразной от их суммы (с. 33).
На основании сказанного получаем: y=-cosx + sinx + C.
1	2
б)	Решается аналогично а): y'^=x	г. Откуда y=^- +
X	£
+ ±.х~2 + С.
в)	Решим это квадратное уравнение относительно y’: y' =
--^ *^-^-- =Ц^1. Огкуда получим: 1) y' = 3; 2) y' = 2.
Z	£,	f
Следовательно, имеем два решения данного дифференциаль¬
ного уравнения: y = 3x+C и y = 2x+C.
119

19.	а) Это уравнение тина y' = f(y), где f(y)-2y. Реше¬
нием такого уравнения будет функция x = F(y) + С, где F(y) —
первообразная для функции « ^ ■ t т. е. ^ (с. 40—41). Следо¬
вательно, F(y) =-jpln \у\ и x = Y*ln \у\ + С, откуда, выра¬
жая у как функцию от х, получим: у=±е2х+2С. Учитывая,
что функция у — 0 удовлетворяет исходному уравнению и что
е2С может принимать любые положительные значения, окончаг
и	гч	9	y^
тельныи ответ можно записать в виде y = D-e.
		 f,	1		 Q
б) Решается аналогично: f (у)~ -^ ; ■ ■	———; F(y)-
	i
= ^31nl^j,x=-3inlyl + C,#==Ce 3*
В) f(y) = y2; F(y)=-^J-; x=-^- + C, y=j^.
у	у	с	X
Учитывая, что функция y = 0 удовлетворяет исходному урав¬
нению, окончательный ответ можно записать в виде y=—- ■—■.
l	— Dx
r) Здесь f(y) = tgy. Чтобы найти для - ^ первообразную,
заметим, что (sinwV = cosw. Поэтому —-—=^51-^ -. Следова-
tg у sm у
тельно, первообразной для этой функции будет F(y)=ln]s>iny{
(с. 36). Отсюда х = In |sin у\ + С или sin y = Ce*.
20.	а) Это уравнение с разделенными переменными. Здесь
p(y) = y, Ci q(x) = x+ 1. Пусть Р — одна из первообразных для
функции р, Q — одна из первообразных для функции q. Тогда
решение исходного дифференциального уравнения находится из
2
уравнения ^(y)=Q(x)+C (с. 47). Следовательно, ^0/)=^-,
QW = f+Jt.f=y +x + G. Отсюда у = ± /*2 + 2 x + D
(D « 2C).
б)	Решается аналогично а): здесь p(y)-^y^ <7(jcJ=sin*,
_з	_з
P(y) = ^-y2* Q 00= — cosх, откуда ^-y2 = —cosx + C. Сле-
о	3
_2
довательно, */ = ^^(C-cosx)^3
в)	Это уравнение можно переписать в виде: y'--=x, Здесь
P(y) = ^r* q(x) = x, Р(у)=\п\у\, Q(x) = ^. Отсюда lnlyl =
у	&
=Y + C* y = De^
120

21.	а) у =^j^> откуда y'• у = Зх. Таким образом, здесь p(y)=y,.
q(x) = 3x, P(y)=^-, Q (jc)=^, откуда ^1=^! + с. Следова¬
тельно, у = ± / Зх2 + D.
6)y' = e2*-4^, откуда y'-eiy=±e2x. Поэтому р(у) = е4у, q{x) =
= e2x,P(y) = — eiy, Q (x) = ^-e2*. Следовательно,^-с4г, = 4-е2д: +
4	2	4	2
+ C, y = ^ln(2e** + D).
4
b)2xyy' = y2- 1, откуда ^j=^- P(y)=^rf> ^*^2*-
Р(у)=1-1я lif-ll, Q(jc)=^-lnW, отсюда ^-1п|у2—1| =
= ^ln |х| + С, у2 - 1 = Ce'"W, у = ± VСх + 1.
22.	а) y'=-2^^y, т. е. ^‘ = 1. Первообразной для функции
2 vV
—5— является хЪ Поэтому х = ^fy 4- С, откуда у = (х — Cf.
2	Vy^
Так как при jc = 0 y= 1, то С=± 1. Отсюда находим частное
решение при данном начальном условии: y = (xdt 1)2-
у*	i
б)	У’Л-Уsin2*=0, т. e.-=-sin2*, откуда lnlyI=^cos2jt+C.
Так как y^2^=l, т0» подставив значение x = ^- в правую
часть данного уравнения, получим: 0 = 0+C, откуда С — 0.
Таким образом, частным решением здесь будет y=dz~-e2C°s2x
в)	Представим это уравнение в виде ^ = -3* --■■. Здесь
у i + *°
P(y)=^r* gW = 7YT >	Р(у)=1п\у\.	Заметив,	что	Зх2	=
У	* ^T^ ^
= (l+.x3)', найдем первообразную функции q(x):Q(x) =
= Inll + x3!. Отсюда ln|y| = ln|l+*3| + C и y = D(l+x3);
y(0) = 2, поэтому D = 2. Следовательно, получаем: y = 2(l+x3).
г)	у* =^-> Т. е. ^- =“> откуда In \у\ = 2 ln \х\ + С и у = D*x2.
Так как y( 1)=1, то D = 1. Окончательно получаем: y = x2.
23.	а) Это линейное дифференциальное уравнение первого
порядка. Здесь p(*) = ^*, a(x)=l. Его решение записывается
в виде у = е~р№ (S (*) ^_ С), где Р(x) — первообразная для функ¬
121

ции p(x), S(x)—первообразная для q(x)epW (с. 62). В данной
X2
задаче P(*)=lnjc, e'"*=x, S(x) = -. Поэтому у — e~lnx X
x(r+c)-T+f
б)	В этой задаче p(x) =—3, д(х) = 2ех, P{x) =—Зх,
2ех-е~3х^2е~2х, S(х) = —е~2х. Поэтому у=*е3х(—е~2х + C) =
= Се3х — ех.
U	€К
24.	а) Перепишем данное уравнение в виде у'—2=*2~‘
Тогда p(x)=--,q(x)=^, P(x)=-+-x, ^.<f2^* =^-ет,
х	х х	х
S(x) = e2 Откуда y = e2 (iе2 +C)-e*+Ce2 Так как y(0) = 5,
то С = 4. Следовательно, при данных начальных условиях
X
частным решением исходного уравнения будет y = e* + 4e2.
б)	Перепишем данное уравнение в виде #'+-y =—^.
Здесь p(x) = ^-, q(x) = -Ar, P(*) = 51n*, — 4~е5"^ = —4х3,
х	х	х
S (*)= —хл. Отсюда у = ~ (— х4 + С) = ^—^U При х = ~-
у = 62. Поэтому 32С = 64 и С = 2. Окончательно получаем:
y=^.
у *5
25.	Это однородное дифференциальное уравнение первого
l+^
порядка. Перепишем его в виде y' =	—. Здесь k — 1 (см. с. 56,
l	-^-
пример 23). Решение его находится из уравнения arctg^- =
,/y2 I 2~	^2 i JT
= k In——--- = In——^y	. Целесообразно оставить ответ в по-
с	с
f/	y^f^ J- ^у“
лученном виде: arctg^f- = ln-—^	.
26.	Применив второй закон Ньютона для данной материаль¬
ной точки и используя, что а = v' (а — ускорение, v — скорость),
составим уравнение mv' = Acosu>t, u'=-coswf. Отсюда
v =—— sin о)^ + С. В момент времени t = 0 у = 0, поэтому
о>m
С = 0. Так как a = x', то x' — ——coso/, откуда л: =	^,-X
шш	J	ffltt
Xcoso)/ + C. Поскольку при / = 0 x = 0, то С = —^2 • Окон¬
чательно закон движения точки примет вид: x = ~~2-(l — cos w/).
122

27.	Множество крпвых, о которых го¬
ворится в задаче, должны удовлетворять
уравнению y' = y2 (см. упражнение 15).
Решим его в общем виде. Первообраз-
у11
Уг=4-х
ной для функции Л- является ——.
у	у
0
X
Следовательно, x = —— + С, откуда у =
У
-	1 -. Так как искомая кривая долж¬
на, кроме того, проходить через точку
Рис. 5
P(-1; 1), то у(— 1)= 1. Отсюда C = 0.
Следовательно, уравнением кривой будет
y=—^-. Кривая является гиперболой.
28.	В упражнении 16 доказано, что данная кривая должна
удовлетворять дифференциальному уравнению x/'=^, т. е.
у2 — Ох. Так как кривая проходит через точку P(1; 2), то
^(l) = 2. Поэтому D = 4 и у2 = Ах. Это уравнение п&раболы
(рис. 5).
это уравнение, получим y = -.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.	Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней
школы/ Под ред. А. Н. Колмогорова. М., 1982.
2.	В и л е н к и н Н. Я., Ш в а р ц б у р д С. И. Математический анализ.
Учебное пособие для IX — X классов средних школ с математической специа¬
лизацией. М., 1973.
3.	П о н о м а р е в К. К. Составление и решение дифференциальных урав¬
нений инженерно технических задач. Пособиедля физико-математических факуль¬
тетов педагогических институтов. М., 1962.
4.	Задачник по курсу математического анализа. Часть 11. Учебное пособие
для студентов заочн. отд-ний фиЗ-мат. фак. пединститутов/ Под ред. Н. Я. Ви
ленкина. М., 1971.
tif 1 1
^-=—. Решив это уоавнение. получим: ln u = —lnx + C или
29.	В упражнении 17 доказано, что данная кривая должна
удовлетворять дифференциальному уравнению y' = —^-. Решив
		 			 С

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
И МНОГОЧЛЕНЫ
Тема «Комплексные чйсла и многочлены»
развивает и углубляет заложенные в основном курсе математики
представления о многочленах и числах, в известном смысле
завершая путь развития понятия числа в средней школе.
Изучение этой темы преследует следующие основные цели:
1)	повышение математической культуры учащихся;
2)	углубление представлений о понятии числа;
3)	выработка навыков при работе с такими важными объек¬
тами алгебры, как многочлены;
4)	дальнейшее развитие представлений о единстве матема¬
тики как науки.
Следует отметить важное прикладное значение данной темы
ввиду обилия приложений изучаемых понятий как внутри самой
математики, так и в различных областях физики, техники и других
наук, использующих математический аппарат.
Разумеется, ввиду ограниченности объема авторам пришлось
отказаться от изложения многих приложений алгебры многочле¬
нов и комплексных чисел. Например, совсем не затронуты вопросы
о разрешимости циркулем и линейкой классических задач на
построение, о разрешимости алгебраических уравнений в радика¬
лах, о приложениях комплексных чисел в электротехнике и гидро¬
динамике и многие другие. Список литературы, завершающий
данную разработку, в какой-то мере восполняет эти пробелы.
Характеризуя приложения комплексных чисел и алгебры
многочленов, следует подразделить их на два типа. Первый
тип — это задачи, решение которых в принципе невозможно без
использования комплексных чисел (например, задача о разложе¬
нии многочленов с действительными коэффициентами на линей¬
ные и квадратичные множители).
Ко второму типу относятся задачи, решение которых можно
полунитЬ, не выходя за рамки поля действительных чисел, с по¬
мощью весьма искусственных индивидуальных приемов и хит¬
роумных рассуждений. Решение же таких задач с использова¬
нием комплексных чисел оказывается очень простым и есте¬
ственным (например, задачи 2, 3, 4, 5, сформулированные в § '1
и решенные в дальнейшем).
124

Содержание темы изложено в четырех- параграфах: § 1 «Зачем
нужны комплексные числа»; § 2«Многочлены»; § 3 «Комплексные
числа» и § 4 «Применения комплексныхчисел».
Первый параграф имеет вводный характер, В нем сформули¬
рованы задачи и проблемы, решение которых трудно или невоз¬
можно получить, оставаясь в рамках теории действительных чисел.
Тем самым создается проблемная ситуация, выходом из которой
является построение новой теории.
Второй параграф содержит подробное изложение алгебры мно¬
гочленов с действительными коэффициентами. Здесь рассматри¬
ваются такие понятия, как «степень многочлена», его корни и
значения, вводится понятие равенства многочленов и устанавли¬
вается критерий равенства двух многочленов. Затем доказываются
теорема о делении с остатком и теорема Безу. В заключение
доказываются теорема о числе корнеи многочлена и теорема
единственности, а также приводится способ отыскания рацио¬
нальных корней многочленов с целыми коэффициентами. Изло¬
жение сопровождается рассмотрением конкретныхпримеров.
Третий параграф содержит изложение теории комплексных
чисел. Комплексные числа вводятся как формальные выражения
вида а + bi, где а и b — действительные числа.
После определения равенства комплексных чисел и действий
над ними устанавливается, что в множестве С всех комплексны
чисел определены четыре арифметические операции, обладающие
теми же свойствами, что и соответствующие операции над дей¬
ствительными числами. Сами же действительные числа естествея-
ным образом «вкладываются» в множество С.
Далее рассматривается геометрическая интерпретация ком¬
плексных чисел и действий над ними, вводятся понятия модуля
и аргумента, изучаются тригонометрическая форма комплексного
числа, формула Муавра и ее приложения (в частности, корни
натуральной степени из комплексного числа).
Завершает параграф небольшой экскурс в теорию показатель¬
ной, логарифмической и тригонометрических функций комплекс¬
ного переменного.
Изложение в этом параграфе построено так, чтобы вводимые
понятия сразу же «работали». Это обеспечивается рассмотре¬
нием в тексте конкретных примеров и задач.
Четвертый параграф посвящен приложениям комплексных*чи-
сел к задачам алгебры, геометрии и математического анализа
Алгебраические приложения сконцентрированы вокруг основ¬
ной теоремы алгебры и ее следствий и имеют сравнительно
традиционный характер.
В качестве примера использования комплексных чисел в гео¬
метрии доказана теорема о классификации перемещений плос¬
кости и получены некоторые ее следсхвия.
Примером использования комплексных чисел в анализе служит
решение задачи о нахождении общих решений линейных рекур¬
125

рентных и дифференциальных уравнений с постоянными коэф¬
фициентами в случае, когда не все корни характеристического
уравнения действительны.
Поскольку все содержание не может быть изложено за отве¬
денные на данный факультатив 17 ч, учителю рекомендуется
в зависимости от содержания других факультативов, интересов
и уровня подготовки .учащихся планировать преподавание
так, чтобы после прохождения первых трех параграфов, со¬
держание которых является в основном обязательным, изу¬
чить одну из трех тем четвертого параграфа. Примерное рас¬
пределение часов по .смысловъш блокам и акценты, которые
нужно будет расставить при разных способах изучения темы,
приводятся ниже.
Первый параграф носит ознакомительный характер.
Второй параграф включает следующие смысловые блоки:
1)	многочлены, их степени, коэффициенты, значения и корни;
равенство многочленов (1 ч);
2)	делимость многочленов, деление с остатком (1 ч);
3)	теорема =Безу и ее приложения (2 ч);
4)	многочлены с целыми коэффициентами (1 ч).
Третий параграф распадается на такие блоки:
5)	комплексные числа и действия над ними (2 ч);
6)	геометрическое изображение и тригонометрическая форма
комплексного числа (2 ч для изучающих блоки 9, 11, 12 и З ч
для изучающих блок 10);
7)	степени и корни во множестве комплексных чисел (1 ч);
8)	показательная, логарифмическая и тригонометрические
функции комплексного переменного (1 ч для изучающих блоки
9 и 10 и 2 ч дляизучающих блок»11 и 12).
Четвертый параграф содержит четыре блока:
9)	основная теорема алгебры и ее приложения (4 ч);
10)	перемещения плоскости и их классификация (3 ч);
11) рекурреитные последовательности; >	,„	,
12) дифференциальные уравнения.	)	^ 4'
Итого: 15 ч. при любом способе изучения темы. Из остав¬
шихся двух часов один целесообразно4 использовать для зачет¬
ной контрольной работы, а второй — для разбора контрольной и
устного опроса тех, кто с ней не справился.
ЗАЧЕМ НУЖНЫ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Занятие по первому параграфу проводится в форме беседы,
в ходе которой учитель .приводит примеры задач, выбранных им
из тексту пособия в зависимости от плана изучения темы, и
объясняет учащимся, почему эти задачи трудно решить без
привлечения новых идей и методов. После такой беседы учи¬
тель переходит к изучению второго параграфа.
126

МНОГОЧЛЕНЫ
Степени, коэффициенты, значения и корни многочленов, равен¬
ство многочленов. Основные понятия этого блока уже знакомы
учащимся. Говоря о степени многочлена, необходимо подчеркнуть,
что нулевой многочлен в отличие от других многочленов-кон
стант не имеет степени; причем это его свойство носит принци
пиальный характер: нулевому многочлену нельая приписать сте¬
пень так, чтобы степень произведения была во всех случаях
равна сумме степеней сомножителей.
Следует отметить полезные для решения задач соотношения
/(0) = Qrt,/(l) = ao + fli+	+On.
Равенство многочленов понимается как совпадение соответст
вующих функций, поэтому особое внимание следует обратить
на теорему о том, что два многочлена равны тогда и только
тогда, когда их коэффициенты при одинаковых степенях х совпа¬
дают.
Эта теорема лежит в основе всех дальнейших рассуждений,
связанных с доказательством однозначной выполнимости деления
с остатком, теоремы Безу и т. д.
Деление с остатком. Основные понятия этого блока: делимость
многочленов, частное и остаток.
В начале изучения основ теории делимости многочленов
целесообразно напомнить учащимся основные факты теории дели¬
мости натуральных чисел и подчеркнуть сходство этих двух
теорий: в обоих случаях есть частное и остаток, остаток в опре¬
делённом смысле меньше частного, частное и остаток определя¬
ются однозначно.
Изложение темы начинается с определения делимости много¬
членов: многочлен f(x) делится на многочлен g(x), если су
ществует такой многочлен q(x), что f(x) = q(x)g(x).
Затем определяется остаток как многочлен r(х\ имеющий
степень, меньшую стёпени g{x\ или равный нулю, для которого
f(x)-r(x) делится на g(x). Если остаток существует, то f(x) =
= q(x)g(x) + r(x), причем такое представление единственно.
В частности, f(x) делится на g(x) тогда и только тогда, когда
r(jc) = 0.
Затем доказывается важная для дальнейшего теорема о воз¬
можности разделить любой многочлен f(x) с остатком на любой
ненулевой многочлен g (x).
При изложении доказательства этой теоремы полезно отме¬
тить, что н случае многочленов с целыми коэффициентами коэф¬
фициенты частного и остатка не обязаны быть целыми. Однако
если старший коэффициент делителя равен 1, то и частное и
остаток имеют целые коэффициенты. Это утверждение часто
используется при решении задач.
127

Теорема Безу и ее приложения. Теорема Безу при всей про¬
стоте ее формулировки и доказательства играет очень важную
роль в алгебре многочленов и при решении многих задач. Чтобы
показать, как «работает» теорема Безу» рекомендуется после ее
доказательства разобрать две-три из задач, приведенных в тек¬
сте с решениями (например, задачи 1, 3, 6), предоставив уча¬
щимся самостоятельно разобрать остальные.
Необходимо также отметить, что главным следствием теоремы
Безу, обеспечивающим ее многочисленные приложения, является
возможность разложения многочлена на множители:
f (*) = (* — *,)*■ (х — X2p . . . (х — Xifi . g (x),
где Х\, Jt9, ., Xi — корни многочлена f(x), ku Ьг,..., ki — их крат¬
ности, а g(x) — многочлен, не имеющий корней. Понятие крат¬
ности корня следует разъяснить на конкретных примерах и ука¬
зать способ нахождения кратности с помощью производных.
Для этого полезно разобрать на занятии решение упражнения 24.
Целесообразно отметить, что все кратные корни многочлена будут
также корнями остатка, получающегося от деления многочлена
на его праизводную. Это соображение поможет’ решить упраж¬
нение 25.
Изучение данного блока завершается доказательством таких
важных следствий, как теорема о числе корней многочлена и теоре¬
ма единственности.
. B качестве иллюстрации теоремы единственности уместно
сформулировать теорему о том, что через три точки координат¬
ной плоскости, не лежащие на одной прямой и имеющие попарно
различные абсциссы, проходит ровно один график квадратичной
функции (сравнить с линейной функцией y = kx + b).
Многочлены с целыми, коэффициентами. Этот блок содержит
одну теорему, часто помогающую при решении алгебраических
уравнений и неравенств, степень которых выше второй, а также при
выяснении вопроса о наличии у многочлена с* целыми коэф¬
фициентами рациональных корней.
При решении конкретных задач рекомендуется после нахожде¬
ния рационального корня ^- разделить многочлен на qx — р и за¬
тем исследовать частное. *Если частное оказывается многочленом
2-й степени, то перебор уже не нужен.
Упражнение 33 мы рекомендуем разобрать на занятии, так
как результат этого упражнения позволяет рёзко сократить
перебор при отыскании рациональных корней.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Множество комплексных чисел. Основные понятия этого бло¬
ка: комплексные числа и действия над ними, число /, мнимые
числа, действительные числа как часть множества комплексных
чисел.
128

Главная методическая особенность этогоблока состоит в том,
что комплексные числа определяются как формальные выражения
вида a + bi, где а и b — действительные числа. Говоря о фор¬
мальных выражениях» мы сначала не приписываем никакого
смысла знакам + и *\ ПРИ помощи которых они составля¬
ются.
Зти выражения являются для нас совершенно новыми объек¬
тами, и мы, с самого начала должны договориться о том, какие
из них считать равными и определить действия над ними.
Завершая рассказ о действиях над комплексными числами,
следует подчеркнуть, что четыре осноЕных действия (сложение,
вычитание, умножение и деление) обладают теми же свойствами,
что и действия над действительными числами.
Рассматривая выражение вида а + 0/, мы убеждаемся в том,
что их арифметика совпадает с арифметикой действительных
чисел.
В самом деле, вычисляя сумму и произведение чисел Z\ — а +
+ 0/ и z2 = с + 0i, получим:	(а + 0i) + (с + Of) = (а + с) +
+ 0/ и (а + 0/)(? + 0/) = ас + 0/, откуда видно, что сумме чисел
Zt + Z2- соответствует сумма действительных- чисел а + су про¬
изведению Z1Z2 — произведение ас. Поскольку соответствие между
комплексными числами вида а + Of и действительными числами
взаимно однозначно, то можно число а + Of считать равным
соответствующему ему действительному числу а.
В результате такого отождествления множество jR действи¬
тельных чисел становится частью множества С комплексных
чисел.
Обозначив комплексное число 0 + li' через i и убедившиеъ
в том, что число 0 + bi можно истолковать как произведение
действительного числа b и числа i, мы получаем возможность
рассматривать любое комплексное число как сумму комплекс¬
ного числа а = а + Of и произведения комплексных чисел b = b +
+ 0f и f = 0+lf. А так как f2 = (0+lf)(0+lf) =— l+0f =
= —1, то при выполнении действий над комплексными числами
нет необходимости помнить формальные определения, задавае¬
мые формулами (1) и (2) (см. пособие), — с ними можно обра¬
щаться как с обычными выражениями с переменными, заменяя
в тех случаях, где это возможно, f2 на —1.
Геометрическое изображение и тригонометрическая форма
комплексного числа. Основные понятия этого блока: точка, изо¬
бражающая комплексное число, модуль и аргумент.
Комплексному числу z = a + bi ставится в соответствие
точка (a;^b) координатной плоскости. Такое соответствие, оче¬
видно, является взаимно однозначным.
Для упрощения терминологии мы часто называем комплек¬
сными числами сами точки плоскости. Так, мы пользуемся выра¬
жениями типа: «число l+f лежит на прямой у = х», «точка
2	— I» и т. п.
129

Здесь полезно напомнить учащимся, что и при рассмотрении
действительных чисел часто не различают числа и точки прямой,
их изображающие. Отсюда и привычный для учащихся термин —
«числовая прямая», т е. прямая, каждой тонке которой постав¬
лено в соответствие действительное число.
Аналогично вводится термин «комплексная плоскость», т. е
координатная плоскость, каждой точке которой поставлен9 в со¬
ответствие комплексное число.
Геометрическое изображение комплексных чисел позволяет
сразу же дать геометрическую интерпретацию сложения и вычи¬
тания комплексных чисел.
Модуль комплексного числа есть расстояние от точки z до
точки 0. Таким образом, для z = a + bi,\z\ = уа2 + b2
Здесь полезно отметить, что для действительных чисел а =
==a + 0i модуль равен }fа2 + 02= |а|, т е. совпадает с привыч¬
ным понятием модуля действительного числа.
Чрезвычайно важным для решения задач является замечание,
что расстояние между точками z и w равно |z — w\.
Главным аргументом arg z комплексного числа z называ¬
ется угол между положительным направлением оси абсцисс и
направлением на точку, изображающую данное число, отсчиты¬
ваемый против часовой стрелки. Таким образом, в силу этого
определения 0 ^ arg z < 2jx.
Учителю следует иметь в виду, что в литературе встречается
и другое определение главного аргумента, при котором оказыва¬
ется — n<arg z^n. Находится главный аргумент, как прави¬
ло, не по формулам, а с помощью геометрического изображения
с учетом четверти, в которой лежит данное число z = а + bi
Можно привести и формулы для вычисления arg z. Однако
эти формулы неудобны для запоминания. Так, при b^0 можно
записать arg 2 = arcc0s - а	а	при	6<0	argz = 2tt-
уа2 + b2
—	arccos Д. ■ . Возможны выражения главного аргумента
и через другие обратные тригонометрические функции. Полезно
отметить, что (при а Ф 0) tgarg z = —
а
Отметим попутно, что решение задач на нахождение главного
аргумента может послужить полезной практикой в решении
задач на обратные тригонометрические функции.
Произвольный аргумент комплексного числа z — это любое
из чисел вида argz + 2ftn, где k£Z. Введение общего
понятия аргумента связано с тем, что в целом ряде случаев поня¬
тие главного аргумента оказывается неудобным (например, при
перемножении комплексных чисел, сумма главных аргументов
которых больше 2л).
130

Тригонометрическая форма комплексного числа z понимается
как запись вида z = r(cosa + fsina), где г = |г|, а a—один из
аргументов этого числа.
Любое комплексное число гфО может быть записано в три¬
гонометрической форме. Число 0 не имеет аргумента и, сле¬
довательно, тригонометрической формы.
После объяснения учителя полезно предложить учащимся
записать в тригонометрической форме комплексные числа, распо¬
ложенные в разных четвертях, например числа вида ± 1 ±i.
Вычисляя произведение комплексных чисел z и wf заданных
в тригонометрической форме, мы получаем возможность истол¬
ковать геометрически произведение комплексных чисел (именно
здесь очень удобно использовать общее понятие аргумента
комплексного числа).
Поскольку модуль произведения равен произведению модулей,
а аргумент (вообще говоря не главный!) равен сумме аргументов
сомножителей, точка zw получается из точки w композицией
поворота R^z и гомотетии Я^1.
Таким образом, отображение комплексной плоскости z^>az,
где аФ 0, а £ S, есть поворотная гомотетий с ynnoM.a = arga и
коэффициентом |а|.
Очень важные свойства модуля собраны воедино теоремой на
с. 99 пособия. Рекомендуется разъяснить каждое из этих свойств,
сопровождая объяснения там, где это необходимо, геометри¬
ческими иллюстрациями.
Доказательство теоремы Птолемея учитель, избравший для
дальнейшего изучения приложения комплексных чисел в ал¬
гебре или анализе, может опустить.
Для тех же, кто в дальнейшем займется геометрическими
приложениями, теорема Птолемея послужит хорошей иллюстра¬
цией того, как «работают» комплексные числа.
Очень важным для дальнейшего является понятие сопряжен¬
ного числа. Учителю следует обратить внимание учащихся на
соотношения
|г|2 = 2-Т; — = ~^-; z + w =~z +w; zw =~z*~w,
W	1 & |	J
часто помогающие при решении задач.
Теорема о комплексных корнях многочлена с действительными
коэффициентами необязательна для учащихся, если учитель
избрал геометрические приложения комплексных чисел.
.Степени и корни в множестве комплексных чисел. Этот блок
включает в себя формулу Муавра и ее применения, в частности к
задаче решения двучленного уравнения wn — z, где z£C.
Формула Муавра может быть доказана по индукции. В посо¬
бии индукция заменена ссылкой на утверждение, что правило сло¬
жения аргументов действует не только для двух, но и для любого
числа сомножителей.
131

После вывода формулы Муавра рекомендуется разобрать при¬
меры I, 3 и 4 основного текста. Отметим, что пример 4 показывает,
насколько плодотворным может быть применение формулы Му¬
авра к вычислению тригонометрических сумм.
Выражения для корней п-й степени из числа z получены
в пособии nprt помощи формулы Муавра. Здесь необходимо обра¬
тить внимание учащихся на связь корней п-й степени из числа z с
правильными многоугольниками, а также на то, что в отличие от
действительных чисел символ ^fz' обозначает множество корней,
а не какое-то конкретное число.
Из примеров, приводимых в тексте, учителю, избравшему гео¬
метрический вариант изучения темы, рекомендуется разобрать
задачу о множестве точек, сумма квадратов расстояний от которых
до вершин правильного многоугольника равна данной величине
При алгебраическом варианте рекомендуется разобрать задачу о
разложении многочлена хп—1 на линейные и квадратичные
множители.
Показательная» логарифмическая и тригонометрические функ¬
ции комплексного переменного. Этот блок носит ознакомительный
характер, так что учитель может ограничиться кратким рассказом
о том, как, используя аналогию между основным свойством по¬
казательной функции /(* + #) = /(*)•/(#) и свойством аргумента
произведения комплексных чисел, можно продолжить функцию
y = e*, x£R.на всю комплексную плоскость.
Для приложений, рассмотренных в пособии, важна лишь
формула Эйлера e(x = cosx + is\nxy которую можно рассматри¬
вать как сокращенную запись выражения cosx + /sin*, и фор¬
мула дифференцирования (eix)' = ietx.
«Оправдывая» принятое обозначение (естественен вопрос: а
почему eix, а не 2ix), учитель может сослаться на заключи¬
тельный пункт этого раздела, где сопоставлены разложения в ря¬
ды функций ехл cos х и sin х. Можно также порекомендовать отдель¬
ным учащимся вычислить предел lim (1+ — )п,х£#,пользуясь
п^-оо	п	*
известными теоремами о пределах, и убедиться в том, что
этот предел, с одной стороны, равен в точности cosx + isin*, а
с другой стороны, его естественно считать определением пока¬
зательной функции, так как для действительных чисел
справедливо соотношение
которое также может быть принято в качестве определения по¬
казательной функции.
При вычислении предела удобно по отдельности искать пре¬
делы модуля и^аргумента.
Изучая этот блок, нужно подчеркнуть, что, хотя все наши
соображения и носят формальный характер, получается стройная
132

.теория показательной и тригонометрических функций, позволяю-
дцая рассматривать их как функции, определенные во всей ком¬
плексной плоскости и обладающие довольно неожиданными свой¬
ствами (периодичность функции ег> неограниченность sinz и
xos z, разрешимость уравнений типа sinz = 2 и т. д.).
ПРИМЕНЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Основная теорема алгебры многочленов и ее приложения.
Начиная изучать этот блок, учителю следует разъяснить уча¬
щимся, что основные понятия алгебры многочленов с действи¬
тельными коэффициентами без каких-либо измененийпереносятся
иа многочлены с комплексными коэффициентами.
В частности, остаются справедливыми теоремы о делении с ос¬
татком, Безу, о числе корней и единственности.
Для получения всех этих утверждений можно дословно повто¬
рить все уже приведенныедсказательства, считая коэффициенты
мно’гочленов комплексными.
Названные теоремы вообще справедливы для многочленов с
коэффициентами из произвольного поля, так как в их доказа¬
тельствах используются только свойства алгебраических опера¬
ций, имеющие место в произвольном поле.
В несколько особом положении находится теорема о равен¬
стве многочленов. Дело в том, что эта теорема неверна для
конечных полей, поэтому в алгебре принято определение раёен-
ства, отличающееся от нашего: два многочлена считаются рав¬
ными, если их коэффициенты при одинаковых степенях х совпа¬
дают.
Для многочленов с комплексными коэффициентами теорема о
равенстве верна, однако, поскольку учащиеся не знают понятия
непрерывности функций комплексного переменного, доказатель¬
ство, приводимое в тексте, сохранить не удается.
Можно поступить иначе: воспользовавшись алгебраическим
определением равенства, доказать теорему б делении с остатком,
вывести из нее теорему Безу, из -теоремы Безу — теорему о
числе корней, а затем уже получить теорему единственности. (В са¬
мом деле, если f(z)=g(z) при всех z£C, то многочлен h(z) =
= f(z)-g(z) тождественно равен нулю, и поэтому все
коэффициенты многочленов f(z) и g(z) при одинаковых
степенях z совпадают.)
Учитель может рассказать учащимся о таком пути, предложив
им самостоятельно провеети рассуждения.
Можно также просто сформулировать теорему единственности
с указанием на- возможность переноса доказательства и на комп¬
лексный случай.
Основная теорема алгебры в пособии не доказывается. Учитель
может порекомендовать учащимся обратиться к книгам [6] и
[14], а также статьям [8] и [9], в которых проведены доказа¬
тельства этой теоремы. Доказательство этой теоремы может
133

послужить также прекрасной темой для доклада одного или груп¬
пы учеников.
Поскольку данный блок является завершающим для всего фа¬
культатива, необходимо разобрать все приведенные следствия
основной теоремы, включая теорему Виета и теорему разложения
многочлена с действительными коэффициентами, а также примеры
из п. 1 § 4, решенные в тексте.
Эти примеры ярко показывают силу и эффективность раз-
работанных методов и вызовут большой интерес у учащихся.
Перемещения плоскости и их классификация. Содержание
этого блока составляют геометрические приложения комплексных
чисел, связанные с описанием всех перемещений плоскости.
Главная методическая особенность изложения материала в по¬
собии заключена в рассмотрении всякого перемещения плоскости
(а затем и всякого преобразования подобия) как некоторой
функции комплексного переменного, обладающей единственным
свойством: l/(z)- /(/) | = |z — i\ для любых t £ С, z £ С.
Такие функции очень легко описываются: любая из них явля¬
ется либо линейной функцией z^elaz + bt задающей перемеще¬
ние первого рода, либо антилинейной функцией z^elaz + b, за¬
дающей перемещение второго рода.
Это утверждение позволяет свести все вопросы, связанные с
классификацией перемещений, к уже известным учащимся гео¬
метрическим свойствам действий над комплексными числами.
При этом в некоторых случаях в пособии (см. с. 129) исполь¬
зуются и чисто геометрические соображения (впрочем, только для
большей наглядности изложения).
Учителю следует подчеркнуть, что такой подход к изучению
преобразований плоскости, позволяющий дать единую алгебраи¬
ческую трактовку по существу всех основных фактов геометрии,
служит свидетельством глубокой взаимосвязи различных мате¬
матических дисциплин и единства математики как науки.
Единое алгебраическое описание перемещений плоскости по¬
зволяет по виду функции узнать, какое перемещение оно задает.
Если f(z) = e'*z + b, то при е1аФ\ перемещение является
поворотом R ь , а при eia= 1 параллельным переносом.
l_*m
Если f(z)=^eiaY+ by то перемещение / есть либо осевая, либо
скользящая симметрия. Для того чтобы узнать, к какому виду
симметрий относится заданное перемещение, удобно рассмотреть
его «квадрат»: foft т. е. композицию с самим собой.
Если fof есть тождественное преобразование, то f — осевая
симметрия, если некоторый параллельный перенос, то скользя¬
щая симметрия. Заметим попутно, что направление параллельного
переноса во втором случае совпадает с направлением оси сколь¬
зящей симметрии. Подробнее об этом сказано в комментариях
к упражнениям. Для нахождения оси симметрии достаточно
провести серединный перпендикуляр точек z и f(z). Для нахожде-
134

ния оси скользящей симметрии — среднюю линию треугольника
г, /(*), шт
Рекомендуется разобрать с учащимися теорему о классифи¬
кации преобразований подобия (см. упр. 106—109). При этом
нужно подчеркнуть, что всякое преобразование подобия при
k Ф 1 имеет неподвижную точку. Доказать эту теорему чисто
геометрически довольно трудно. У нас же она получается как
следствие теоремы об общем виде преобразований подобия почти
мгновенно.
Рекуррентные последовательности» Этот блок содержит изло¬
жение теории линейных однородных рекуррентных уравнений,
т. е. уравнений вида:
Ил + 2 = рИ*+1 + ?Ип (П> 1).	(1)
В начале изучения следует вспомнить простейшие рекуррент¬
ные уравнения, известные учащимся из основного курса,— ип =
= qun-1 и a*+i-a* = d, задающие геометрическую и арифме¬
тическую прогрессии (это уравнения первого порядка).
Уравнение, задающее арифметическую прогрессию, не явля¬
ется однородном. Легко получить однородное уравнение второго
порядка, которому удовлетворяет,любая арифметическая про¬
грессия: an+2~an+i=flrt + i“art или art+2 = 2aft+i—art.
Таким образом, арифметическая и геометрическая прогрессии
являются частными случаями последовательностей, изучаемых в
этом разделе.
Полезно также разобрать какую-нибудь задачу (например,
комбинаторную), которая сводится к решению уравнения (1).
Примером такой задачи может служить следующая.
Сколько существует последовательностей из п нулей и еди¬
ниц, в которых никакие две единицы не стоят рядом?
Р е ш е н и е. Пусть fn — число таких последовательностей.
Ясно, что fi = 2, /2 = 3. Докажем, что fn+2 = fn+\+fn. Для
этого найдем, сколько последовательностей длины п + 2 оканчи¬
ваются единицей, а сколько нулем. Так как перед единицей обя¬
зан стоять нуль, а первые п членов образуют последователь¬
ность, удовлетворяющую условию, то всего таких последователь¬
ностей /п.
Если же на конце стоит нуль, то первые п + 1 членов образу¬
ют удовлетворяющую условию последовательность длины n+ 1,
так что всего таких последовательностей /я + ь* Окончательно
получаем fn+2 = fn+x + fn>
Таким образом, мы приходим к задаче о нахождении последо¬
вательности, удовлетворяющей начальным условиям /1 = 2, /2 =
= 3, и уравнению fn + 2 = fn+i + fn* Решением здесь служит после¬
довательность fn = Ыл+2, гдеыл+ 2, — число Фибоначчи с номером
п + 2. (Числа Фибоначчи упоминались в § 1 пособия.)
Возможно, учитель найдет и другие интересные примеры. В*
частности, полезно рассказать о широко известной задаче Фибо-
135

наччи, давшей первый в истории математики приМер ре¬
куррентной поледовательности.
Следует отмеТить, что последовательность, удовлетворяющая
уравнению (1)^ однозначно определяется начальными услови¬
ями Ui = a, u2 = b. Это утверждение легко доказывается.
Естественно искать решение уравнения (I) в виде комбинаций
известных простых последовательностей.
Если попытаться найти решение вида ип — кп, Td оказывается,
что Я является корнем характеристическЬго уравнения
Если это уравнение имеет два комплексных корня а и р,
толюбая последовательность вида un = Cian + C2$n, где Ci6C,
C2 6C, удовлетворяет уравнению (!) и, наоборот, всякое реше¬
ние представляется в таком виде.
В доказательстве существенно используется замечание о том,
что всякое рещениеуравнения (1) однозначно определяется пер¬
выми двумя членами.
В случае, когда характеристическое уравнение имеет единст¬
венный корень, тоже есть два решения ап и пап, общее решение
в этом случае имеет вид ап(с\ + Ctfi).
Для нас наиболее* интересным является случай, когда характе¬
ристическое уравнение не имеет действительных корней при
действительных р и q.
Учителю следует отметить, что в этом случае действительные
решения уравнения (1) находятся с помощью комплексных чи¬
сел и записываются в «комплексной форме».
Здесь-уместно сопоставить такую запись с выражением цело¬
численных решений уравнений с целыми р, q, a и b через
иррациональные числа (см. упр. 114).
Цель изучения этого блока состоит в том, чтобы научить
учащихся нахоДить решение рекуррентных уравнений второго по¬
рядка и решать с их помощью конкретные задачи.
Дифференциальные уравнения. Этот блок посвящен вопросу о
применении комплексных чисел (точнее, показательной функции
комплексного переменного) к решению линейных дифференциаль¬
ных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Основные идеи здесь те же, что и в предыдущем блоке: сна¬
чала ищутся решения вида.е*2 (показательная функция является
аналогом геометрической прогрессии). Число К как и для слу¬
чая рекуррентных последовательностей, является корнем характе¬
ристического уравнения
х2 — рх — <7 = 0.
(2)
y" + py' + qy = о.
(i)
(2)
136

Если корни а и р уравнения (2) различны, то мы имеем два
решения y = e*2 и у = е*г, но тогда всякая функция cie** + cze**
также удовлетворяет уравнению (1).
Так же как и в случае рекуррентных уравнений, находятся
числа су и с2, для которых f/(0) = a, y'(0)= Ьл где а и Ь — данные
числа, а затем доказывается, что при действительных р, q, а, Ь ре¬
шения оказываются действительными для действительных г.
Теорема единственности в пособии не дрказывается. Ее нужно
сформулировать (см. с. 147) и пояснить учащимся, что нашей
целью является получить еще одно применение теории комплек¬
сных чисел, а не построение теории дифференциальных уравнений.
Цель изучения этого блока состоит в том, чтобы научить уча¬
щихся решать уравнения вида (1) и находить решения таких
уравнений, удовлетворяющие начальным условиям вида i/(0) = a,
y'(0) = b.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате изучения данного факультатива учащиеся долж¬
ны научиться выполнять действия над многочленами (включая
деление с остатком) и комплексными числами, применять теорему
Безу и теорему о числе корней многочлена, пользоваться геомет¬
рическими изображениями комплексного числа и геометрической
интерпретацией действий над комплексными числами, применять
формулу Муавра и формулу вычисления корней из комплексных
чисел.
Учащиеся, изучающие блок 9, должны уметь применять след¬
ствия 1—5 основной теоремы алгебры к решению задач.
Изучающие блок 10 должны научиться классифицировать пе¬
ремещения плоскости, узнавать их вид по виду функции z^az +
+ b или z^az + ft, записывать перемещения в комплексной фор¬
ме, находить композиции перемещений, заданных аналитически.
Изучающие рекуррентные и дифференциальные уравнения
должны усвоить основные понятия теории и находить общие ре¬
шения и решения, удовлетворяющие начальным условиям.
Нижё дан примерный вариант контрольной работы.
1.	Многочлен p(x) при делении на х — 1 дает в остатке 3, а при
делении на х + 4 дает в остатке — 2-. Найти остаток от деления
р (x) на х2 + Зх — 4.
2.	При каких а и b многбчлен xA + ax3 + bx+ 1 имеет x==l
корнем не ниже второй кратности.
3.	Выполнить действия
4. Найти множество точек комплексной плоскости, для кото¬
рых
l*-l+ll>l(l +l*T)z-fl.
137

5а1« При каких значениях nt£N многочлен *5m + jcm+ I де¬
лится на х2 + х + 1?
56.	Даны функции fi(z) = iz+ 1 и f2(z) = -iz+ 1. Выяснить,
какие перемещения плоскости задаются этими функциями. Найти
композиции fi of2 и /20/1 и выяснить, какими перемещениями они
являются.
5в. 1) Решить уравнение un + 2=*3un + i “3иПу Ы| = 1, «2=1,
2)	решить дифференциальное уравнение y" + y' + 5y = 0 при
условиях y(O)=l, y'(0) = 2.
Последний — 17-й час целесообразно посвятить разбору конт¬
рольной работы и беседе с учащимися, не справившимися с ней.
Вместо контрольной работы можно в конце изучения темы про¬
вести зачет, программу которого учитель может составить само¬
стоятельно с учетом интересов и возможностей учащихся.
Примерное содержание зачета
1/Многочлены, их степени и корни. Действия над многочле¬
нами.
2.	Равенство многочленов.
3.	Деление многочленов, частное и остаток. Теорема о деле¬
нии с остатком: ^
4.	Теорема Безу*
5.	Кратные корни. Теорема о числе корней многочлена.
6.	Теорема единственности.
7.	Способ отыскания рациональных корней многочленов с це¬
лыми коэффициентами.
8.	Комплексные числа и действия над ними. Число /, дей¬
ствительные и мнимые числа.
9.	Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль и
аргумент.
10'. Геометрическая интерпретация сложения и вычитания
комплексных чисел.
11.	Тригонометрическая форма комплексного чиСла. Геометри¬
ческая интерпретация умножения комплексных чисел.
12.	Сопряженные числа и их свойства. Теорема о комплексных
корнях многочлена с действительными коэффициентами.
13.	Формула Муавра. Корни степени п из комплексных чисел
и их геометрическое изображение.
14.	Формула Эйлера. Показательная функция и логарифм в
комплексной области.
15.	Основная теорема алгебры и ее следствия.
16.	Теорема Виета.
17.	Разложение на множители мйогочленов с действительными
коэффициентами.
1	Пятую задачу учитель выбирает в зависимости от способа изучения темы.
138

18.	Теорема о классифи-кации перемещений плоскости.
19.	Линейные рекуррентные уравнения. Теорема об общем виде
решения.
20.	Линейные дифференциальные уравнения II порядка с по¬
стоянными коэффициентами. Теорема об общем виде решения.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
Здесь и в дальнейшем мы не будем приводить ответы и указа¬
ния к самым простым упражнениям, так как все упражнения
снабжены ответами в пособии.
3.	Для доказательства приведенных тождеств достаточно
раскрыть скобки и привести подобные члены. Можно также вос¬
пользоваться формулой для суммы геометрической прогрессии.
4.	Подставляя х = 3, получим ^33 + За = 0, откуда а = 11.
Для завершения решения следует разложить многочлен на
множители.
5.	Подставляя в уравнение х = 1 + уЗ получим 4а + b +
+ 42 + (b + 2а + 18) t^3^ = 0, а так как 1 4~ }f3 — число ир¬
рациональное, то b + 2a = —18 и 4а + b = —42, откуда а = —12,
6 = 6.
7.	Легко видеть, что данный многочлен является четной функ¬
цией.
8.	Если f(x)—нечетная функция, то f(*) + /(-*) = 0, при¬
чем коэффициенты многочлена /(*) + jf(-*) равны удвоенным
коэффициентам многочлена f(x) при четных степенях х.
9.	Пусть si и 52 — суммы коэффициентов многочлена f(x)
при четных и нечетных степенях х соответственно. Докажите, что
2s,=/(l) + /(-I), а 2s* = /(l)-f(-I>
10.a)	Частное 0, остаток х6 + х2 — Зх + 1;
б)	частное 2x2 + Зл: + 13, остаток 34* + 6;
в)	частное	—, остаток	~rx2^x—^.
11.	Если f(x) = q(x)g(x) + r(x), то af(x) = ^-q(x)(bg(x)) +
+шаг(х). Следовательно, искомый остаток равен ar(x).
12.	Разделив многочлен х3 + рх + 1 на х2 + х + т с остатком,
получим:
x* + px+ 1 = (х— 1 )(х2 + х + т) + (р — т + l)x + m + 1.
Приравнивая нулю остаток, получим систему уравнений для опре¬
деления р и т: т + 1 = 0, р — m + 1 = 0, откуда m г= —1,
р = —2.
13.	Остаток от деления ax* + bx*+ 1 на (лг — 1 )2 равен
(3b + 4a)x+ 1 — 2b — За. Приравнивая нулю его коэффициенты,
получим: a — 3, Ъ = — 4.
14.	15. Решаются так же, как и задачи 1, 2 основного текста.
16. Поделив с остатком, получим:
*99 _ 3*88 + Х2 + ] = q (x)(x^ - 4x + 3) + ах + b.
139

Подставляя в это равенство x = 3 и x = 1, получим:
За + b = 10, а + b = 0, откуда а = 5^ b = —5.
18.	Воспользоваться тем, что x=l и x = -l должны быть
корнями данного многочлена.
19.	Решается аналогично задаче 5 текста пособия.
20.	См. задачу 3, разобранную в тексте.
21.	Если f(xn) делится на х— I, то f(l) = 0. Следовательно,
многочлен f(y) делится на у— 1, т. е. f(y) = (y— l)q(y)- Под¬
ставляя y = хп, получим требуемое.
22.	Найдите частное от деления данного многочлена на х— 1
и выясните, является 1 корнем частного или нет.
23.	Если х—\ —корень данного многочлена, то a = — L
Разделив хъ — 2x + 1 на х — 1, легко убедиться в том, что х = 1 —
однократный корень.
24.	Если f (x) ==: (х — c)kq (x), где q (с) Ф 0, то
f'(*) = (* — cf - '(kq (*) + (* — с) q' (*)) = (* — cf ~ '^i (*),
причем q^(c) = kq(c)ФQ при кФ 0.
25.	Частное от деления многочлена f(x) степени nZ^ 1 на
f'(x) является многочленом 1-й степени, поэтому можно записать
f(*)-a(x-Xo)f'(x).
Легко видеть, что аФ 1, Продифференцируем полученное ра¬
венство:
f'(x) = af'(x) +_ а (* — *o) f"(x),
откуда: /'(*)-r^^— (* — xo)f"(x), т. е. f(x) делится на f"(x) и no-
1 у О
этому f (*) = - c~e /"(*)(* — *o)2. Продолжая эти рассуждения,
получЯм, что; f(x)=k(x — *o)", где k — некоторое число. Итак,
всякий многочлен, делящийся на свою производную, имеет вид
k (* — *o)".
26.	Если *o — кратный корень данного многочлена, то
5a*3 + 4fr*o = 0, а так как *o ф 0, то *o = — ^r-. Подставляя *o в
Ьа
данный многочлен и преобразуя полученное выражение, найдем
соотношение между а и b: (^p) ^"Cf^)
27.	Для того чтобы число 1 было трехкратным корнем мно¬
гочлена f(x), необходимо выполнение условий (см. унр. 24):
f({)=zf'(l) = f"(l) = 0, т. е. в нашем случае 1 + а + b + c = 0,
5 + 3а + b = 0, 20 + 6а = 0, откуда а = -^; b = 5; с = — ^-.
о	о
28/Пусть Xu *2*	**	Xk	—	корни	многочлена	g(x).	По	условию
Х4фХк при 1фк. Так как корни многочлена g(x) являются.кор-
НЯМИ f(x), TO f(x) = (x — xi)(x — x2). -(x-xk)h(x), и поэтому
многочлен f(x) делится на g(x).
i.40

29.	Подставляя в уравнение x = a, x = bt x = c и x = d, по¬
лучим, что четыре числа а, b, с, d являются корнями некоторого
Многочлена степени не выше 3-й. Поэтому многочлеи'этот равен
нулю и левая часть равна правой при всех xt т. е. х £ R
30.	а) {2}; б) рациональных корней нет (воспользуйтесь упраж¬
нением 33).
31.	Если f(0) и /(1)—нечетные числа, то f(m)—нечетное
число при любом т £ Z. Действительно, из условия задачи сле¬
дует, что сумма коэффициентов многочлена /(x) при ненулевых
степенях х четна, а свободный член нечетен, поэтому
f (m) = a0mk + a{mk ' 1 +	.	+	ak
нечетное число, так как сумма aom* + aimfc_1 + ... + aA_im
четна.
32. Если у Ф 0, то t =—	корень уравнения t4 — 3t3 — 1 = 0.
Однако, это уравнение не имеет рациональных корней.
33.	Если —	корень многочлена f (x) = аоХп + а\Хп~ 1 +
+ . . + ап> -то q
gnf(l) = qn(f(\)-f{^ry) = a0(qn—pn) + ai(qn-i—pn-i) q +
+	+ an_ i qn~1 (q — p) = (q ~ p) Mt где M — некоторое число.
Поскольку числа р и q взаимно просты, то f(l) делится на р — q
Второе утверждение этой задачи доказывается аналогично.
34.	Нет. Легко видеть, что разность / (3) — / (f) делится на
3 — 1 = 2, т. е. четна.
35.	Докажите, что f (2 + 3)=/(2) + f(3) + 6Л1, где М — целое
число.
36.	в) Если n = 4ft + r, то in= 1 при r = 0; f" = f при r=l,
in = —1 при г — 2 и in — —i при г = 3.
г)	Так как (1 + if = 2i, то (1 + *7**<>==(2i)990 = —2990
*> <4тйГ-(£#Г-(->г-<.
Следующие упражнения основаны на определении равенства
комплексных чисел. Решая их, следует приравнять действительные
и мнимые части чисел, стоящих в левой и правой частях ра¬
венств, а 3ajeM решить полученную систему уравнений.
37.	а) Преобразуя левую часть, получим: (2x + 4y) + (x-y)i=
= 2 + 3/. Поэтому 4y + 2x = 2, х — у = 3. Решая полученную
7	2
систему, находим ответ: x=-; y=——.
6)*-i;*-f.-
38- *^=Thr=T-b-
б)	Пусть z = x + iy. Тогда (х 4- iyf -i, т. е. х2 — у2 = 0;
2xy = 1, откуда х = у = ± ■ *■■. Ответ: г — ± —~ (1 + 0-
Y2	Y2
141

в)	Решается аналогично б). Система для нахождения х и у
имеет вид: jc2 — у2 = 3, 2ху = 4. Ответ: z = ± (2 + f).
г)	Эту задачу можно было бы решйть так же, как две
предыдущие.
Приведем другое решение. Поскольку при выводе формулы
для корней квадратного уравнения (выделение полного квад¬
рата) использовались только свойства действий над действи¬
тельными числами и так какдействия над комплексными числами
обладают теми же свойствами, формула для корней квадрат¬
ного уравнения а22+&2 + с = 0, где а, Ъ% с — комплексные
числа, имеет вид:
— b ± Vb2 — 4ас
z^	5	’
если корень квадратный извлекается (ниже мы увидим,
что квадратный корень извлекается из любого комплексного
числа).
Применяя эту формулу к нашему уравнению, получим.2 =
= i(I + V2 ).
40,	Прямая jc-+ y = 1.
41.	Пусть z = x + iy. Если число(1^+/)(дг + /у).действитель-
нр, то x + y = 0. Ответ: прямая y=-x.
43. ^- (21 + 22 + 23).
44.	Существуют три параллелограмма, четвертые вершины
которых 21 + 22 — 23* 2i + 23 — 22, 22 + 23 — Z\.
45.	а) Кольцо с центром в точке z=l,. внутренним радиу-
с м 1 и внешним радиусом 2.
б)	Полуплоскость. Неравенство задачи означает, что рас¬
стояние от точки — 1 + i до точки 2 больше расстояния от
точки 2 до точки —/.
в)	Круг |г — ^| =2. r), д) Прямые, параллельные осям
координат.
е)	Прямая у = 1 — 2x,	ж)	Прямая y = 0.
3)	Полоса l<x<2.	и)	Полоса 0<y<l.
к)	Прямая y= 1 —jc-	л)	Луч y=-x, x>0.
м)	Открытый угол.	н)	Открытый угол с	вершиной
в точке — i.
о) Пусть z = x + iy. Мы должны найти точки, для которых
arg(/2 — l)=^p, т. е. arg(-y- 1 + /*)=^L Так как tgarg2 =
О	О
= -‘т г-, то речь идет о .точках, для которых	^т= V^3^.
Ке z	у	+	1
—	У—l>0, т. е. у =		 — 1, y<z — 1. Ответ:	луч
П
у~—7=r-i; y<- 1.
^T
142

n) Срединный перпендикуляр точек ^-,	i-, т е прямая
y=-x.
р) Окружность |а: — (1 +01=—~-
}fT
46.	Преобразование плоскости z^z — z\ является параллель¬
ным переносом, при котором z\ ~> 0, z2 ^ гг ~ 2ь z$ ^zз — z\.
Для того чтобы точки Zi, 22, Z3 лежали на одной прямой,
необходимо и достаточно, чтобы 0, z^ — zi, гз— Z\ тоже лежали
на одной прямой, а для этого необходимо и достаточно, чтобы
отношение -*2 ~ г- было действительно.
Za-Zi
47.	п) Так как |1 + tga|=~^—-, то 1 + Hga =—-—(cosa +
lcos al	cos	a	4
+ /sina) при cosa>0 и 1 + i tg a =	1	f	(cos	(я	+	a)	+
\	jCUS OJ
+ i sin (я + a)) при cos a < 0.
48.	а) (l-fV3^^=26(cos^+isin^=2^cosI0n +
+ fsin 10я) = 26. Задача дана до формулы Муавра сознательно.
Учащиеся, решая ее, должны пользоваться свойствами аргумента*
в)	(sin a	+	/ cos a)3 = ^cos ^	a) + i sin ^	a^3 =
= — sin 3a	—	i cos 3a.
49.	а) Ответ зависит от остатка от деления п на 8: если
п = Sk + r, где r — остаток, то
(i + iy=(i + if* -0 + if = 24* (i + if.
О.твет: 24к при r = 0; 2**(l+i) при г— 1; 24*+lj при r = 2;
2<* + >(_ 1 +j) при r = 3; —2ik + 2 при r = 4; -2ik + 2(\ + i) при
r = 5; —24* + 3i при r = 6; 24*+3(i-i) при r = 7
50.	Пусть z = х + iy, тогда х — iy + 2 = 21 (х + iy) = 2ix — 2y,
откуда x + 2 = -2y, -y = 2x. Окончательно х — ~\ у———,
2	4 .	3	3
т. е. z =	-t.
3	3
51.	Из условия следует, что (iiiV = /"=^ поэтому
п = 4Л, где k £ Z.	^ ”1'
52.	Эту задачу можно решить так же, как задачу 5 основ¬
ного текста. Мы приведем другое решение. Пусть w = (1 + i)z — /,
тогда 2 _ w {1 ~~^ + 1 +| . По условию \z + 3«| = 1. Поэтому

Преобразуя выражение под знаком модуля, получим: |ш(1 —/) +
^ 7i + 1| = 2, или | w + 4i — 3[ =—^r = V^2^ Ответ: окружность
^r
радиуса \ 2 с центром в точке 3 — 4i.
53.	Разложим данное число на множители 32 045 = 5-13X
X17*29. Так как 17 = (4 + t)(4-<);	5	=	(l+2/)(l-2t);
13 = (3 + 2t)(3-2i); 29 = (5 + 2i')(5 - 2t), то 32 045 = (1 +20X
х (3 + 2/)(4 + i')(5 + 20(1 - Щ3 - 2i)(4 - 0(5 - Ю =
= (— 122 + 13h*)(- 122 — 13h')= 122 + 131. Можно получить
и другие представления, положив, например, 5 = (2 + 0(2—*)
и оставив без изменения остальные представления.
54.	а) Числа Z\ и 22 расположены на луче, выходящем из
точки О.
б)	Числа 2| и Z2 лежат на прямой, проходящей через О, по
разные стороны от О, причем I21I^I22I.
в)	Лучи Oz\ и Oz2 перпендикулярны"(для доказательства
достаточно заметить, что данное равенство выражает равенство
длин диагоналей параллелограмма с вершинами О, z\, Z2, Z\ + 22).
55.	|zi + 22|2 + (zi — 2212 = (zi + z2)(z1 + 22) + (21 — 22) X
X (г\ — z2) = (21 + 22) (zi + 22) + (21 — 22) (z 1 — 22) = 2z\z{ +
+ 22222 = 2(I21P + I22I2)- Геометрический смысл этого тождества
ясен: сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна
сумме квадратов длин всех его сторон.
56.	Введем на плоскости систему координат так, чтобы одной
из вершин четырехугольника оказалась точка О, а остальные
были расположены в точках 1, 2, w. Из условия следует, что
И2 + |о; - 112 = 1 + 12 - 112 + 12 - ш|2 + \w\2,
или
z*z-^(w- l)^e7- 1)= 1 +(2— 1)(2 — 1 )+(z^w)(z-w) + viw.
Раскрывая скобки, приводя подобные члены и собирая все сла¬
гаемые в левой части', получим: zw — ww — w — 22 + zw + 2 +
^- 2 — w — 1 =0, или w(z-w- 1)—z (2 — W — 1)+2*—Ш — 1=0,
т. е. (z — w “ 1)(г? — z + l) = 0, или — (z — w — l)(2 — w — l)-
—	0, т. е. 12 — w — 11 = 0, поэтому z — w = 1. Это означает, что
сторона zw четырехугольника параллельна и равна по длине
противоположной стороне с концами в точках 0 и 1.
57.	а) Окружность l2[=l. б) 0. в) 0: г) Окружность
с центром в точке 2=^- и радиусом ^-. д) z — a + 0/, а Ф — 1.
144

Щ. Полуплоскость x<^-. ж) Луч: arg z=^.
68. а) О +^jjJV980 = 2990
60. Если z + ^- == 1, то z2 — z + 1 = 0, откуда z3 = 1. Теперь
Далее решается так же, как задача 5 основного текста.
62.	Если предположить, что sin 1 ° — рациональное число, то
в силу упражнения 61 sin450 тоже будет рационален. Противо¬
речие.
63.	а); б) Рассмотрите сумму
П	п
2' (о*-1 cos kx + ш*^^1 sin kx) — 2 ак 1 (cos х — i sin х)к,
*=i	'	4=1
а затем найдите действительную и мнимую части этой суммы.
Ответ- а) °"+1 sit1 пх + а"sin (п +1)* ~ sin*-.
'	а2	—	2а cos х + I
1	9тгп
легко получить, что z"+- = 2cos-— ари любом п £ N.
61.	Применяя формулу Муавра, получим:
sin па =
(cos а 4' i sin q)* — (cos а — i sin ct)"
2i
б)
о" +1 cos пх + ап cos (п +1) х — д — cos х
а2 — 2a cos х + 1
в)	Вместе с данной суммой S(x) рассмотрите сумму
П
С (*) = 2 Ск cos kx.
6 Заказ 319

По формуле бинома
C(x) + iS (x) = 2 Сп (cos х + i sin х)п = (1 + cos х + i sin х)п =
*=o
= 2ncosn^fcos — + i sin-V
2	V 2 1	2	/
Ответ: S(x) = 2*cos"^sin^.
64.	Воспользуемся формулами Муавра и бинома для п — 5:
cos 5a + i sin 5a = (cos a + i sin a)5 = cos5 a + 5г cos4 a sin a —
—	10cos3asin2 a — 10/ cos2 a-sin3 a + 5 cos a sin4 a + i sin5 a,
откуда sin 5a = 5 cos4 a sin a — 10 cos2 a sin3 a — sin5 a,
cos 5a = cos5 a — 10 cos3 a sin2 a + 5 cos a sin4 a.
Поэтому tg5a = 5^^10!1^0^-1^^ ■
’	6	1 — 10 tg a + 5^g a
65.	а) Если 2 = Q(cosq) + /sin<p), где <p— одно из значений
аргумента z, то данное неравенство можно переписать следую¬
щим образом: cos6q)>sip6qx Осталось решить полученное три-
гонометрическое неравенство.	.
Ответ: шесть открытых углов с вершиной в начале коорди¬
нат, определяемых условиями	^+^<ф<тг“+^; A = 0,
8	3	24	3
1,	2, 3, 4, 5.
6)	Пусть z-x + iy. Условие задачи означает, что [2xyl<2,
т. е. I*#l< 1. Осталось изобразить множество точек, координаты
которых удовлетворяют полученному неравенству.
66.	и) Уз + 4i =fViT(cosJp(arctg^ + 2for)4-
+ tsin ^^-(arctg~ + 2kn^; A:=0, 1, 2, 3, 4}.
В задачах 67—73 е — пройзвольный корень степени п из 1.
67.	Если ti-kq, то гп = вкя — (£к)д = 1.
68.	Пусть п не делится на k. Тогда п = kq + г, где 0 <r<fc,
поэтому e" = e'=l, Таким образом, e — корень степени г из
единицы, а это противоречит тому, что во множестве Yz^ ровно
r чисел.
69.	Как известно, наибольший общий делйтель d двух целых
чисел т и гс допускает представление d-um + vn, где и и v ~
целые числа. Поэтому
zd = гит • Evn = 1.
73.	Если а первообразный корень степени п из единицы
и k С п взаимно просто с n, то а* также первообразный ко¬
рень.
146

Докажем, что все числа 1, ак, а2к,	a*<"-*>	различны.
^£сли akl = aks (s > /), то afc(s_<)=l и k(s-t) делится на n,
£ так как k взаимно просто С n, то. s — t делится на tt. Но
p<s — t<Zn. Если числа k и п имеют общий делитель d^b 1,
то (aку = 1 по ~- < n.
Jc ^^* /
74.	а) Из условия следует, что - _- = e^, где
гк = cos 2fe -+— я + i sin 2—^— я, fe = 0, 1, 2, 3.
4	4
Поэтому Xk = -<l'^*^8*. Преобразуя полученное выражение,
I	£ft
получим:
х € {ctg йк-^- п; k = 0, 1, 2, 3}.
Корни уравнения оказались действительными.
б)	Из условия следует, что |zl4 = |zl, т. е. либо Jzl=O,
либо \г\ — 1.
Если |z| = 1, то.'умножив левую и правую части уравнения
на z, получим z5 = 1. Ответ; z = 0 и z £ У~Г
в)	Решается аналогично с б).
Ответ: z = 0 и z 6 V— 1.
г)	Решается.аналогично с а). Ответ: х 6'ftg“ ^^кя ; k=0, 1,
2, ... , п — I}.
75.	а) Легко видеть, что \г\ = \w\ — 1. Домножая левую и
правую части первого уравнения на w7, получим равносильную
систему | ^5^uT_^1 Возведем первое уравнение в 5-ю степень,
а второе в 3-ю и разделим первое из уравнений на второе. В итоге
получим ш2=—1. После чего решения легко находятся. Ответ:
(i; I); (-/; -i).
76.	Пусть e — произвольный первообразный корень из 1.
Нужно найти сумму s* = 1 + е* + е2к +... + еА(п-|). Если ек Ф 1,
_nft 	 I	,
то sA= ——— = 0. Если же e=l, т. е. если k делится на я,
е — 1
TO Sn — П.
78. Достаточно доказать утверждение задачи для треуголь¬
ника с вершинами в корнях третьей степени из единицы: 1, a, a2.
Пусть точка z лежит на дуге единичной окружности между
точками 1 и a.
Мы должны доказать, что |2—l| + |z~a| = |2 — a|2. Заме¬
тим сначала, что числа z — 1 и az — a2 имеют одинаковые ар¬
гументы (воспользуйтесь для доказательства этого геометриче¬
ским изображением). После этого решение задачй получается
в итоге несложных преобразований (с использованием соот^
6*	H7

ношений а2 + а + 1 = 0, а3 = 1): |z — а[ + \z — 11 = |аг — а2| +
+ \z — 1 [ = \az — а2 + z — 11 ч = |z(a+l) — a2—l| = |—а2г +
+ al = lz-a2!.
80.	a^ Так как le^l = l, то прямая Rez=l переходит на
окружность \z\ = 1.
б)	Окружность \z\ = ea.
л + i —
в)	е *=e*^cos^-+/sin^p^. Ответ;. открытый луч
arg z=f,
г)	Открытый луч» образующий угол а с положительным на¬
правлением оси абсцисс.
81.	Докажем, например, что
COS (zi + 22)=COS z 1 • COS22 — sin zI sin Z2.
Имеем:
coz(zj I -J^e*'***' + e-*'+*** =g/?i^"2 + e-'>i.g-"2
	(cos zi 4~ i sin 2i)(cos zg 4^ i sin 22) + (cos z\ — i sinzi) (cos z2 — isip22)
” 2 ~
= COS Z\ - COS Z2 — sin Z\ *sin Z2.
82.	a) ~i ln (3 ± 2 /2^) + (^- 4- 2fen), k £ Z.
83.^)	Так как Imsin(r + tyi=^cosx(ey — e~J), то усло-
вию удовлетворяют точки z, для которых либо lmz=*=0, либо
arg z—~ + kn.
85. а) хА + 4=*х4 + 4х2 + 4~-4х2 = (х2 + 2х + 2)(х2 — 2х +
+ 2) = (х + 1 + i)(x + 1 — t) (д: — 1 +i) (х — 1 — i), где е, — кор-
ни 6-й степени из 1.
в)	Легко видеть, что*12 +x6 + 1 = (x6 +JC3 + 1)(д^—дг3 + 1).
Корни аь аг, , а6 первого сомножителя являются перво¬
образными корнями9-й степени из 1, а корни Pi, P2,	, Р6 второго
сомножителя первообразными корнями 18-й степени из 1. (До-
6
кажите!) Ответ:	Yl	(х — a*)(x — Р*)*
k — 1
87.	Пусть Z\, Z2, Z3 — корни -многочлена z3 + /. Корнями трех¬
члена z2 + pz + ^ должны быть какие-то два из чисел г\л Z2, Zz-
Числа^р и q находятся по теореме Виета.
148

OTB*eT:pi=i-(v'T+0'. <71=^(,+‘*^;
P2=^-(^T-0;	V2=j-(l-/^T);
Рз = —/;	?з = 1 ч
88.	Числа i и —i должны быть корнями данного много?
члена. Поэтому (— l)m + aim + 1 = 0 и (— l)m + (— 1 )maim + I =0,
откуда (1 — (— 1),л^2 = 0, т. е. либо a = 0, либо 1=(-1)'", т* е.
т = 2k, k £ Z.
Если a = 0, то число i будет корнем данного многочлена
при нечетных m.
Рассмотрим случай .четных значений т. Имеем i4* + ai2k +
+ 1 =0, откуда (— 1 )*a = —2. Если k четно, то а = —2, при k не¬
четном a = 2. Ответ: при a=.0 и т — 2fc + l, k£N\ при а — 2
и т — 45 Н- 2; при а = — 2 и m = 4s, s £ ЛГ.
89.	Пусть е2 + е + 1 = 0, тогда в3 =±= 1. Если т — 3ft, то
е2™ + em + 1 = 3 Ф 0; если т = Зй±1, то e2/n + em + 1 = е2 +
+ е + 1 = 0. Ответ: т — 3k ± 1, k £ N.
90.	Всякий K9peHb многочлена хп + 1 должен быть корнем
многочлена хт + 1. Отсюда сразу слёдует (см, упражнение 21),
что m = kn,'причем k нечетно. Доказательство обратной jeo-
ремы труда не представляет.
Ответ: т = kn, где k — нечетное число.
92.	Пусть Х\% jt2, Хз— корни уравнения х3 — 7х + 2 = 0 и
X[ = 2х2. По теореме Виета Х\ + X2 + х3 = 0,.XiX2 + Х|Х3 + х2хз —
=— 7, XiX2X3 = ~h. Решая 3ty систему, находим Xi = 1, хг = 2,
Хз — 3 при Х = 6 и X[ = — I, X2 = — 2, Хз — 3 при К = — 6.
93.	Пусть Xi, х2, Хз — корни^данного уравнения и х\ + х2= I.
Так как х1 + х2 + х$ = 29 тохз=1, и поэтому K = 6. Решая
обычным образом полученное уравнение, находим ответ: X = 6,
Jtj = 3, х2 — — 2, х3 = 1.
94.	Разлагая многочлены на множители, легко убедиться,
чтокаждый кореньвторогомногочлена(х— l)3(x + l)(*2 + x + 1}
является корнем первого многочлена (дг12— 1)(дг13—l)(jc*t — .1),
причем х = 1 является трехкратным корнем обоих многочленов.
.95. Из второго и третьего уравнений системы находим,*что
xyz= L5. Таким образом, задача сводится к нахождению корней
уравнения /3 — Ы2 + 23* — 15 = 0, которое легко решается: t\ = 1;
*2 = 3; *3 = 5:
96.	Предположим, что лг105 — 9 = /(л:)• g-(jc), где f(x) и g(x)-
многочлены с целыми коэффициентами. Так как все корни много¬
членов f(x) и g(x) являются корнями 105-й степени из 9, то их
модули равны 10’^Г Свободные члены многочленов f(x) и g(x)
по теореме Виета равны произведению этих корней, поэтому
их модули равны ,05V^9* и l0V<^, где.А и 1.—степени много¬
членов f(x) и g(x). Легковидеть,чтопри0<£<105 число 10^9*
иррациональное и, следовательно, не целое.
149

97.	Рассмотрим многочлен p(je) третьей степени с множест¬
вом корней {д; b; c}. По теореме Виета (так как а + b + c = 0),
p(x) = x3 4- (ab +ac + bc)x — abc.
Имеем: p(o) = o3 ^ (ab + ас + bc)a — аЬс — 0,
p(fr)=63 + (a6 + ac + bc)b ~аЬс — 0,
p(c) = c3 + (ab + ас + bc)c- o6c = 0.
Умножая первое из равенств на о, второе — на b, третье — на с
и складывая все три равенства, получаем:
а4 + Ь4 + с4 + (а2 + b2 + с2) (ab + ас + bc) = 0.
Осталось заметить, что а2 = (b + cf\ b2 = (а + с)2; с2 = (а + b)2.
98.	Прямая, проходящая через точки 3i и i.
99.	а) Круг |w — 2|^1. б) Круг |ш—2«|^3. в) Круг
|ш — (— 2 + t)l < 2.
100.	flf ° R*+i : z ^--^+i. z + <1 +Л* +■* ^~) .
Rj+.oRj:z^-^±J-z + i+l.
101.	Ось симметрии — прямая, проходящая через точку z = 0
и образующая угол ф= — с осью Ох. Доказательство дословно
8 1
воспроизводит рассуждение со с. 135 пособия.
102.	а) z^iz + 3 ^*^--- ^-, это поворот на 90° вокруг точки
3- /Г + i(3 + ИГ)
20	4	—•
б)	2^/z + 4, это поворот на 90° вокруг точки zo = 2 + 2/.
в)	z^e‘(a + p}z — е*(а + р)2о + еф z0 — eia z\ + z\. Это поворот
на угол а + р вокруг некоторой точки, если а + р Ф2kn, и парал¬
лельный перенос при а + р = 2Ая.
г)	z ■ > 4 ^ ^ 2 4- 3—i, это поворот вокруг ТОЧКИ Zo = 3 + 4/
5
Q
на угол ф = аг^—.
104,	а) z^i2 + i—1. Чтобы найти числа а и b, восполь¬
зуйтесь тем, что точки i и — 1 должны остаться на месте.
Поэтому —a + fc = — 1 и —ai + b = i. Решая систему, находим
а и b.
б)	Запишите сначала симметрию относительно данной пря¬
мой и рассмотрите композицию этой симметрии с параллель¬
ным переносом, при котором 0 ^ 1 — i. Ответ: z ^ — iz + 2.
150

в)	Так как поворот вокруг точки i на угол ^- записывается
в виде z^iz+l+i, то требуемое перемещение имеет вид:
z ^ i (— iz + 2) + 1 +1 = z + 1 + 3t'. Это скользящая симмет-
3
рия относительно прямой t/ = -.
105.	Если композиция скользящей симметрии и искомого
перемещения v является осевой симметрией, то перемещение
v имеет вид: z^az + b, где |а| = 1, z£C. Таким образом, мы
должны выяснить, при каких условиях перемещение z ^a(— iz +
+ 2) + b = —aiz + 2а + b является осевой симметрией.
Для того чтобы некоторое перемещение z^*az + с, где \а\ = I,
было симметрией, достаточно, чтобы оно имело неподвижную
точку.. Найдем, при каком условии есть неподвижные точки на
оси Ох. Пусть x£R такая точка. Тогда ax+c = x, откуда
х = —— при а Ф 1.
L — а
Таким образом, если число ^— действительно, то неподвиж¬
ная точка есть.	~~а
При а = 1 получаем перемещение z ^ z + сл которое прм
Re;c Ф 0 не имеет неподвижных точек. Если же Rec = 0, то
такое перемещение будет симметрией (ось симметрии при этом
параллельна действительной оси).
Возвращаясь к нашей задаче, получим, что ее условию удов¬
летворяют перемещения z^az + b, для которых действительно
число ^_^"J- при аф1у и перемещения z^>iz + b, для которых
Re (ib 4^ 2/) = 0, т. е. Re6 = 0 — это перемещения вида z^iz + ti>
где t £ R.
В частности, легко найти все параллельные переносы, удо¬
влетворяющие условию. Для них a=l. Поэтому должно быть
действительно число 2^~-f-, т. е. b = t — 2 + it при t £ R.
i	+1
106.	Пусть Zo — неподвижная точка преобразования z^*-az + b.
Так как azo + b = zo, то z0 — { _	. Ясно, что az + b-
= a(z-2o) + 2o. Теперь видно, что наше преобразование есть
композиция H]za^R§\fa.
107.	Две прямые: у — х tg^-, где a = a<rg а и аф — 1, и пер¬
пендикулярная ей прямая y=-x ctg^p При а = ± 1 оси коор¬
динат.
108.	Найдем неподвижную точку ^нашего преобразования:
2o = azo + 6 или zo = azo + b. Подставляя это выражение в пер¬
вое уравнение, получим: zo = aazo + ab + b, откуда Zo = ^_^|QjT-
151

Итай, при |а| Ф 1 неподвижная точка есть. Наше преобразование
теперь записывается следующим образом: z ^-az ~ zо + Zo. Лег-
ко.видеть, что это Композиция fl*^S/, где 1 — прямая, прохо¬
дящая через zо, угловой коэффициент которой равен tg^* если
а не является отрицательным действительным числом, и пряйая,
параллельная оси Oy, в противном случае.
109.	Пусть z^/(z) произвольное преобразование подобия
с коэффициентом k. Тогда |f(z) — f (/)| = k\t — z\ для любых
fgC, z£C. Преобразование q>(z)-^-f(z) является перемеще-
i	*
нием, так как l<p(z) — <p(^=—|/(z) — /(OI = lz — f|. Поэтому
К	_
либо ^p (z) = elaz + с, либо* ф(z) = elaz + с. Следовательно, для
/ (z) есть две возможности: либо / (z) = az + b, либо f (z) =
= az + b. В силу результатов упражненргй 107 и L08 всякое
преобразование подобия с коэффициентом k является либо вин-
товым-подобием (произведением поворота и гомотетии с общим
центром), либо произведением симметрии и гомотетии с цент-’
ром, лежащим на оси симметрии.
110.	а) Будем сначала искать перемещения первого рода
z ^- az + b, \а\ = 1 ,s коммутирующие с заданным. Из условия
следует, что при любом z должно быть a(iz + 2) + 6=/(az + 6) + 2.
Поэтому 6(l-/) = 2(l-a). При a=l получим 6 = 0. Следо¬
вательно, кроме тождественного, параллельных переносов, удов¬
летворяющих условию, не существует. При а Ф 1 получим: ^ Ь- д =
= l+i, т. е. неподвижная точка перемещения z^az + 6 сов¬
падает с неподвижной точкой данного перемещения. Итак, с по¬
воротом z ^iz + 2 коммутируют только повороты с тем же
центром. Легко проверить, что перемещений второго рода, удовлет¬
воряющих условию, не существует.
Так же можно доказать, что и с произвольным поворотом
перестановочны псгвороты с тем же центром и только они.
б)	Решается так же, как и а). Ответ: параллельные пере¬
носы z^z + ft(l+i), k£R и скользящие симметрии z^tz +
+ k — 1 + ihj h^ R,
в)	Таких преобразований нет.
Jll.-Шесть перемещений: 3 поворота и 3 симметрии. Запи¬
шите их в комплексном виде самостоятельно.
112.	Складывая очевидные равенства ax" + 2 + fcx" + ,+cx" =
= 0 и ах2 + 2 + bx2 + 1 + сх\ = 0, получим:
a « + 2 + **+2) + b (*"+1 + jc« + 1) + с (лг" +*£) =
= asn + 2 + bSn+[ + csn = 0.
113.	Так как (см. упр. 112) s„ = 6sn-i“sn-2, то sn— це*
лое число, если целые sn-i и sn_2. s 1 = 6 и 52 = 34 — целые
числа. Отсюда следует целочисленность sn при- любом п.
152

Для доказательства того, что sn не делится на пять ни при
каких п £ Nt рассмотрим последовательность^ остатков от деле¬
ния sn на 5.
Так как si = 1, s2 = 4, то s3 = 3, s4 = 4,s5 = l,s6 =2,s7 = 1,
sa=4. Так как s7=si, a s6=s2, то последовательность srt
периодична с периодом 6, т. е. sn + 6—sn. Среди остатков от si
до s6 нет ни одного нуля, откуда следует утверждение задачи.
115? При n=bk. Легко проверить, что цп + 5=5м« + 1+Зил.
Поэтому ип + 5 делится на 5 тогда и только тогда, когда ип
делится на 5.
116.	а) и„ = ci + C2-3"; б) ип = с,( 1 +■/■ &~)" + с2(^И^)"
117.	Без труда проверяется, что ая = Кп и Ьп = пкпw| — ре¬
шения, после чего легко находятся с\ и с2 по данным и'\ и ц2.
119. Так как ап.+ \ —ал = ап + 2 — ап + ь то an + 2 = 2an+i —ал.
Если ап + 2 ^ 2а„ + i + ап = 0, то для всех п ^. 1 ап = с + drt, что
и- требовалось.
121.Т1усть	ип = wn — Ьп Тогда, поскольку
Wn + 2 + рШл + 1 + qWn = ctn и 6rt + 2 + p6« + i + Qbn = aл,
имеем:
Шя + 2 — 6«+2 + р(0Уп + 1 — 6rT+l)+ ^(^n — Ь„) = 0,
т. е. ^ = ш„ — 6« является решением уравнения (1).
122.	б) y = e 2 ^ci cos х~ + с2 sin* l^')*
-^x
124. Общее^ешение y = e 2 (с\Х + с2У
.125, Решается так же, как упражнение 121.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
I	А ш м а н о в С. Числа и многочлены.— Квант, 1980, № 2.
2.	Балк Г Д., Балк М. Б. Мнимые числа и геометрические задачи*'
Ква'нт, 1973, № 11
3.	Г и н д и к и н С. Г Дебют Гаусса. Квант, 1972, № I.
4.	К е р и м о в 3. Как найти целый корень.— Квант, 1980, № 2.
5.	К р е ч м а р В. А. Задачник по алгебре. М., 1968.
6.	К у р а н т P., Р о б б и н с Г Что такое математика. М., 1967
7 М а р к у ш е в и ч А. И. Комплексные числа и коиформиые отображения.
M,. 1979.
6. П о н т р я г и н J1. С. Комплексные числа.^ Квант, 1982, № 3.
9. Понтрягин Л. С. Основная теорема алгебры.— Квант, 1982, ^te 4
10. П о н т р я г и н Л. С. Анализ бесконечно малых. М., 1980.
11	П р о с к у р я к о в И. В. Числа и многочлены. М., 1965.
12	С м о л я н с к и й М. Л. Умножение точекна плоскости.— Квант, 1980, № 4.
13.	Щ кол ь н и к А. Г Задача деления круга. М., 1961.
14.	Энциклопедия элементарной математики, т 2, «Алгебра», М., 1951

ЭЛЕМЕНТЫ СФЕРИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
Настоящий раздел факультатива начинается
с небольшого введения, где содержатся исторические сведения
о	сферической геометрии и рекомендации, на что читателю сле¬
дует обратить особое внимание. Такого внимания заслуживает,
во-первых, приложение сферической геометрии в навигации и кар¬
тографии и, во-вторых, то, что сферическая геометрия выступает
здесь не столько как часть геометрии, сколько как видоизменен¬
ная планиметрия. Понятие «сфера» служит расширением понятия
«плоскость». Такой подход в геометрии принципиально нов для
учащихся.
Тема «Элементы сферической геометрии» позволяет учащим¬
ся подойти к объекту изучения с разных сторон. При э'том можно
выделить условно качественную сторону, к ней относятся гео¬
метрические образования; количественную сторону, здесь аппа¬
рат — формулы сферической тригонометрии. Аккуратно соблю¬
дается последовательность введения новых понятий, тем самым
обеспечивается сторона аксиоматическая. Указанные особенности
рассмотрения темы — математические, А есть и другие, связан¬
ные, например, с историей науки и ее применением.
Начало учению о геометрии сферы положил греческий астро¬
ном Гиппарх во II в. до н. э. В течение почти двух тысячелетий
ученые понемногу обогащали сферическую геометрию — откры¬
вали соотношениё между ее объектами, составляли таблицы и т. п.
А вот вывод и применение новых формул оставались делом чрез¬
мерно сложным/ Это происходило отчасти потому, что морепла¬
ватели и представители других профессий, использующие в своей
деятельности достижения сферической геометрии, не умели сво¬
бодно применять отрицательные числа. Из-за этого области опре¬
деления функций, входящих в формулы, существенно ограни¬
чивались. Вместо формул мореплаватели, звездочеты и даже
иногда математики предпочитали применять словесные алгорит¬
мы, предопределяющие последовательность вычислительных
операций. Из-за ограничений на области определений эти алго¬
ритмы являлись слишком сложными.
Так, выведенные Л. Эйлером формулы синусов и косинусов
сферической геометрии допускали рассмотрение лиш.ь таких тре¬
154

угольников на сфере, стороны и углы которых не превышают
180°. Эйлер, который виртуозно использовал любой математи¬
ческий аппарат, затруднений из-за этого не испытывал.
Окончательный порядок в геометрии сферы был наведен лий!Ь
на рубеже XVIII и XIX столетия великим немецким математиком
К.~ Ф. TayccQM и французским астрономом Ж. Деламбром.
Тем, кто занимается сферической тригонометрией, бросается
в глаза симметрия ее формул. Опыт обращения с^тими формула¬
ми показывает, что симметричные формулы лучше просматрива¬
ются, осмысливаются,.запоминаются. Они придают математиче¬
скому содержанию вид завершенности, даже смотрятся как эсте¬
тически* более привлекательные.
За последние годы в связи с развитием астрономии, море¬
плавания, авиации, космонавтики и вычислительной техники воз-
родился интерес к применению в сферической геометрии расчет¬
ных алгоритмов. Но это уже иные алгоритмы, рассчитанные на
возможности современных ЭВМ.
Посещение школьниками музеев может послужить отправным
пунктом для беседы об инструменхах, с помощью которых наши
предки непосредственно измеряли расстояние на небесной сфере —
армиллярных сфер и астролябий — плоских моделей сферы.
Практические применения сферической геометрии, во всяком
случае их результаты, нередко увлекательны, особенно для маль¬
чиков. Романтика мореплавания или занятия астрономией (не¬
которые любители уже в школьном возрасте могут по ночам по
несколько часов, не отрываясь от самодельного телескопа, ждать
«свою звезду») захватывает их. Для многих путь приобщения к
такой романтике проходит через чтение хорошей приключен¬
ческой литературы. Ребята уже загорелись, но представляют ли
они чем? Настолько ли в действительности интересна будничная
работа мореплавателя, о которой они читали увлекательную кни¬
гу, например того же «Пятнадцатилетнего капитана» Ж. Верна?
Еще одна сторона данной темы дает возможность учащимся,
имеющим склонность к философской стороне математики, порас¬
суждать о геометрическом устройстве мира, в котором мы живем.
Есть книга [5] с йнтересными математическими задачами о строе¬
нии и поведений фантастических обитателей плоского и сфери¬
ческого миров.
Рассмотрим научное и прикладное значение темы «Сфериче¬
ская геометрия». В высшей геометрии есть раздел «Геометрия
поверхностей». Сфера — простейшая из поверхностей, которые
изучаются в рамках этой теории. Факультатив служит своеоб¬
разным введением в высшую геометрию. Впрочем, далеко не все
разделы геометрии поверхностей нужны для астрометрии (раз¬
дела астрономии), мореходной астрономии, навигации и т. д. Сфе¬
рическая геометрия как вводная часть сферической тригономет¬
рии является разделом этих практических наук.
Научное значение темы определяется не только ее формаль-
155

;^ьШ соотнесением с разделами науки, к которым она принадле-
Ж.ит; Не менее важно, чем сумма знаний, владение методами, с
помощью которых изучаются сферические объекты. Здесь методы
значптельно обогащены и усовершенствованы по сравнению со
школьными. Так используется модифицированное для сферы
понятие выпуклости фигур, опорные понятия расширены по срав¬
нению со школьными. В соответствии с этим видоизменены и
методы.
Что касается прикладного значения сферической геометрии,
то оно не исчерпывается морской навигацией и картографией.
Есть еще, важный раздел теории механизмов и машин — сфе¬
рические механизмы. Настоящий факультатив отчасти служит
введением в этот раздел инженерной' науки.
СВЯЗЬ СО ШКОЛЬНЫМ КУРСОМ МАТЕМАТИКИ
Как мы увидИм дальше, сферическая геометрия тесно-связа-
на со школьной стереометрией. В ней используются аппарат сте-
ребметрии, заимствованные из нее понятия, спосоёы изображения
фигур и др. Это естественно и хорошо согласует геометрию, кото¬
рая изучается на обязательных занятиях, с факультативной
геометрией.
В ходе изучения темы «Сферическая геометрия» учащиеся
будут^неоднократно использовать знания, умекия и навыки, при¬
обретенные ими на уроках геометрии. ЗаметиАм, что некоторые тер¬
мины планиметрии здесь модифицируются. Это относится, нап¬
ример, к терминам «расстояние», «угол» и др. Очень важно, чтобы
учащиеся понимали, что и прежнее содержание понятия и новое
правильны, истинны.
Ясно, что такое повторение планиметрии и инТересней и поучи¬
тельней, чем обычное повторение. При этом обогащается сло¬
варный математический запас учащихся, причем обогащение идет
в основном не за счет появления новых терминов, а в результате
расширения толкования прежних. Расширение понятий сопро¬
вождается установлением новых отношений между изучаемыми
объектами. Поэтому знания учащихся поднимаются на более
высокую ступень. Происходит не только расширение знаний, но
и углубление их.
Задачи, которые предлагаются в пособии в конце каждого
параграфа, в значительно меньшей- степени, чем в школьном
учебнике геометрии, являются упражнениями вычислительного
характера. Они рассчитаны не на подстановку исходных данных в
формулы, а на усвоение на практике теоретического материала.
Иногда изучаемый материал учащимся полезно вынашивать в
сознании. Очень ценно, когда школьники проявляют самостоя¬
тельность мышления и даже проводят небольшие исследования.
Учащиеся,конечно, знают, что в жизненных ситуациях редко тео-
ретическйе положения применяются в .«чистом виде». Длй.реше-
ния-практических задач теоретическую модель приходится заме¬

нять или совершенствовать- В данном случае на конкретном при¬
мере они могут убедиться в справедливости этого общего поло-
ьженйя.
Как известно, нередко использование чертежей в целях нагляд¬
ности идет вразрез с требованиями строгости.
Одной из методических особенностей данной темы является
то, что, хотя она служит развитию пространственных представ¬
лений учащихся в большей степени, чем школьный аппарат сте¬
реометрии, от этого нисколько не страдает научный уровень из¬
ложения материала.
В настоящем разделе факультатива должны быть использо¬
ваны красочные дидактические средства, в частности географи-
чеекие извездныекарты, глобусы.
Материал факультативного курса целесообразно разбить на
следующие блоки:
1-й	блок	(вводная часть, § 1, 2 и 4) — 4 ч;
2-й	блок	(§	3)	— 3 ч;
3-й	блок	(§	5)	— 2 ч;
4-й	блок	(§	6,	7) — 3	ч.
Значительные резервы времени для разбора задач, для об¬
суждения прочитанной литературы и т. д. можнО получпть за
счет применения разнообразных средств наглядности, которые
де'лают изложение более компактным и ускоряют процесс усвое¬
ния материала учащимися. К тому же, используя средства и
приемы наглядности, совершая исторические экскур,сы и т. п.
можно заинтересовать учащихся предметом. А то, что делается
увлекательно, на эмоцйональном подъеме, делается и качествен
ней и быстрей.
РАЗРАБОТКА 1-ГО БЛОКА
Используемые в первом блоке настоящего раздела факульта¬
тива планиметрические понятия почти все так или иначе встре¬
чались в курсе стереометрии; тем не менее требуется, чтобы
учащийся имел ясное представление о таких понятиях и положе¬
ниях геометрии, как «расстояние», «неравенство треугольника»,
«окружность», «дуга окружности», «длина дуги», «угол и его ради-
анная мера», «перемещение», «поворот и его центр», «аксио¬
ма и система аксиом» (при этом аксиома параллельных и аксиомы
порядка выделяются особо), «композиция перемещений», «отре¬
зок прямой», «многоугольник», «перпендикуляр», «теорема Пи*
фагора».
ЧаСть понятий в учебнике вх отличие от факультативных яе
является центральной. Так, в настоящем факультативе понятиям
«сфера», «центр сферы», «радиус сферы» отводится большая
роль, чем в учебнике. Здесь становится центральным и способ по¬
лучения сферы вращением полуокружности, а в учебнике на нем
внимание учащихся не заостряется й представление о нем упраж¬
нениями не развивается. На это обстоятельство следует обра¬
157

тить внимание учащихся особо. Считается, что такие понятия,
как «конгруэнтность», вполне освоены учащимися.
Какие понятия в данном блоке являются Основными? Конеч¬
но, понятие сферы, больших окружностей на сфере, дуг боль¬
ших окружностей, поворота относительно прямой (оси), рассто¬
яния между двумя точками на сфере, сферического многоуголь¬
ника, перемещения сфер^ композиции перемещений сферы.
Какие понятия являются вспомогательными? Часть вспомога¬
тельных понятий известна из учебника. Вспомогательную роль
явно играет система прямоугольных координат в пространстве,
центр сферы, «неугловые» расстояния. Часть вспомогательных
понятий вводится и в настоящем раздеЛе факультатива. К ним
относятся понятия о двуугольнике, о треугольнике, полярном
данному, о зеркально-конгруэнтных фигурах.
Есть здесь и такие понятия, которые нельзя отнести ни »
основным, ни к вспомогательным. Наблюдая принципиальные от¬
личия между сферой и плоскостью, учащийся узнает о существо¬
вании на сфере зеркально-конгруэнтных фигур и о виде пере¬
мещения, которое называется «вращательной симметрией». Фак¬
ты эти красивы, имеют самостоятельную ценность и могут быть
отнесены к побочным результатам. Хдтя в явном виде они далее
не используются, но заслуживают того, чтобы обратить на них
особое внимание учащихся. Это полезно по следующим соображе¬
ниям. При занятиях математикой нельзя обойтись без умения
видеть специфику математических объектов. Не пригодились за¬
меченные факты сейчас, ну что же, пригодятся в следующий
раз, когда придется столкнуться с сферической геометрией.
Если данный раздел факультатива заинтересует ученика, то можно
надеяться, что такие встречи произойдут еще не раз, и в какую-то
из встреч эти факты удастся использовать. Такой подход наряду,
конечно, с целенаправленностью действий во многом определяет
творческий подход к работе, которым в проведении факультатив¬
ных занятий пренебрегать нельзя.
Остановимся теперь на основных фактах, рассмотренных в
данном блоке.
В первом параграфе вводится ряд новых понятий, трактовок
и общих идей. Так, в качестве прямых на сфере выступают боль¬
шие окружности; ^ по-новому определяется расстояние между
двумя точками на сфере (кстати, полезно обратить внимание
учащихся на то, что в 'принципе можно б.ыло бы использовать
понятие расстояния, введенное раньшё, но тогда в случае зем¬
ной сферы измерения расстояний оказались бы крайне неудоб¬
ны); показывается, что новое определение не только отвечает
запросам практики, оно еще и оказывается законным с точки
зрения математики, удовлетворяет группе аксиом расстояния;
иосле того как введены понятия «отрезок» и «многоугольник»
на сфере, даются понятия угла между отрезками и угла много¬
угольника.
158

Во втором параграфе показывается бессодержательность в
сферической геометрии аксиомы параллельности и противоречи¬
вость дксиом порядка. В ходе решения задач демонстрируется,
как можно выполнять построения на сфере с помощыо циркуля и
вспомогательных построений циркулем и линейкой на плоскости.
Главное в четвертом параграфе *— доказательство теоремы
Эйлера о том, что любое перемещение сферы является либо тож¬
дественным преобразованием, либо поворотом относительно оси,
либ© симметрией относительно плоскости, либо упомянутой выше
вращательной симметрией.
Используются следующие методы исследования: логические
рассуждения на геометрическом материале с использованием ак¬
сиом и геометрических конструкций, а также интуитивно ясных
моделей, построения циркулем и линейкой на плоскости, цир¬
кулем на сфере, вообще сведение стереометрических и сфери¬
ческих понятий и задач -к планиметрическим (при этом часть
сугубо стереометрических конструкций преобразуется в сфери¬
ческие — так многогранный угол переходит в многоугольник на
сфере, центр которой совпадает с вершиной многогранного уг -
ла), многократная демонстрация различий и аналогий между сфе¬
рической геометрией и планиметрией, частая опора на иллюст¬
рации, наглядно поясняющие основные свойства абстрактных
конструкций на естественных и понятных моделях.
СИСТЕМА УПРАЖНЕНИЙ
f. В факультативе приводится ссылка на учебник, а в учеб¬
нике более общая задача решается координатным методом. Та¬
кой ход рассуждений, естественно, необязателен. Можно восполь¬
зоваться тем, что фигура, полученная при вращении полуокруж¬
ности относительно ее центра, есть сфера («Геометрия, 9—10»,
§ 62). Если же вокруг оси вращается точка, то получится окруж¬
ность, когда точка не лежит на оси, и точка, когда рассматрива¬
емая точка принадлежит самой оси вращения. Пусть теперь в
пространстве трех измерений произвольным образом заданы две
сферы. Проведем через их центры прямую. Каждая из заданных
сфер может быть получена вращением полуокружности около
этой прямой. Рассмотрим далее плоскость, которая проходит через
ось вращения. В пересечении этой плоскости с данными сферами
получаются две окружности. Если эти окружности имеют только
одну общую точку (касаются), то линия пересечения сфер — точ¬
ка; если окружности имеют две точки пересечения, то линия пе¬
ресечения сфер — окружность; если окружности не пересекаются,
то пересечение двух сфер пусто.
2.	Пусть из попарных пересечений трех сфер coi, c02, о>з-
{coi X <^2}> {соi X о)3}, {ш2Х юз} хотя бы одно пусто. Тогда и пере¬
сечение вс^х трех сфер пусто: {wi X <°2 X <*>3}= 0- Если рассуж¬
дать формально, то можно воспользоваться вспомогательным
159

утверждением, истинность которого не вызывает сомнений: пере¬
сечение трех множеств равно пересечению двух из трех" их попар¬
ных пересечений: {ом X t*>2 Х1(*>з) = {coi X <*>2} X {^i X fc>3}.
Остается рассмотреть случай, когда среди попарных пере¬
сечений трех сфер нет пустых. Тогда возможны свои подслучаи:
а)	все три попарных пересечения совпадают — получаем либо
окружность, либо единственную точку в пересечении трех сфер;
б)	попарные пересечения не совпадают, но пересечение этих
попарных пересечений не пусто; в результате может получиться
либо точка (общая точка пересечения трех сфер), либо две
точки, по которым пересекаются в пространстве трех измерений
три окружности — попарные пересечения трех данных сфер.
3 а м е ч а н >1 е. Было бы' интересно с точки зрения развития
пространственных представлений и воображения учащихся по¬
ручить им выполнить чертеж, на котором был бы изображен по¬
следний случай пересечения трех сфер. Схема, на которой изобра¬
жены все возможные случаи, может хорошо дополнить схему из
пункта 13 главы 1-й учебника «Геометрия, 6—8».
3.	а) Из утверждения, которое приведено'в пункте 20 учеб¬
ника «Геометрия,'6—8»: «При повороте расстояния сохраняют¬
ся» — следует, что паре конгруэнтных хорд в произвольной окруж¬
ности соответствует пара конгруэнтных стягивающих их дуг. При
этом рассматриваются дуги, не большие половины окружности.
Ясно, что вывод этот сохранится, если хорды и дуги будут брать¬
ся не для одной окружности, а для разных, но конгруэнтных
между собой. Но все большие окружности любой сферы конг¬
руэнтны между собой, а отрезки прямых на сфере счятаются
именно по большим окружностям, причем по кратчайшей из двух
дуг. Таким образом задача из области сферической геометрии
сведена к планиметрической, решение которой нам известно.
б) Эту задачу также можно свести к планиметрической. Две
дуги могут быть размещены на одной окружности (конгруэнтной
большой окружности данной сферы) так, чтобы они имели общую
точку на окружности и были расположены по разные стороны от
этой точки. Тогда на рассматриваемой окружности окажутся вы¬
делены три точки (концы отрезков), которые можно рассмат¬
ривать как вершины вписанного треугольника. Далее применяем
теорему из пункта 50 учебника «Геометрия, 6^8» (против боль-
щей стороны в треугольнике лежит больший угол, и против боль¬
шего угла втреугольникележит большая сторона), далее за¬
меняем вписанные углы центральными, а центральные углы дуга¬
ми, на которые они опираются.
4.	а) .По определению, отрезок прямой на сфере меньше по¬
луокружности большой окружности сферы. На.основании теоремы
1	данного раздела факультатива убеждаемся, что утверждение,
сформулированное в условии задачи, справедливо для ломаной
из двух звеньев, соединяющих концы рассматриваемого отрезка.
Пусть это утверждение справедливо для ломаной из п звеньев.
160

Покажем, что оно остаеТся справедливым
и для ломаной, соединяющей концы данного
отрезка АВ и насчитывающей п + 1 звено.
Если это так, то утверждение, сформули¬
рованное в условии, можно считать дока¬
занным методом математической индукции.
Рассмотрим ломаную, соединяющую кон¬
цы А и В отрезка прямой на сфере (рис. 1).
Если теперь два произвольных смежных	Рис.	1
звена ломаной, например ВС и CD, заме¬
нить одним отрезком BD, соединяющим их концы, то длина
новой ломаной из п звеньев, согласно теореме 1 из §. 1 настоя¬
щего раздела факультатива, окажется меньше, чем длина ло¬
маной из n + 1 звена. Несмотря на это, согласно индукцион¬
ной гипотезе, она будет оставаться большё', чем длина отрезка АВ.
Значит, и подавно утверждение, сформулированное в условии
задачи, остается справедливым для ломаной из п + 1 звена,
соединяющей концы отрезка А и В. Длина ломаной всегда
оказывается большей, чем длина отрезка, концы которого она
соединяет.
б) Замечаем, что мы умеем изображать сферу с нанесен¬
ными на нее линиями на плоскости двумя способами. Один
заключается в том, что-на плоскости рисуется поверхность трех
измерений — сфера, а затем на сфере изображаются натурные
линии так, как они выглядели бы на фотографии.
Другой способ заключается в том, что прямые сферы изоб¬
ражаются прямыми плоскости, сферический многоугольник пере¬
ходит в плоский и т. д. При таком изображении дуга большой
окружности сферы, превышающая по длине большую полуокруж¬
ность, переходит на плоскости в прямую с удаленным из^ нее от¬
резком (рис. 2).Получаются два луча, расположенные на одной
прямой, направленные в разные стороны и не имеющие в полезре-
ния общих точек. Образно говоря, эти лучи сливаются в беско¬
нечности.
Примечательно, что на малых участках, во всяком случае
на кусках сферы, не выходящих за пределы полусферы, целиком
вмещающиеся на них объекты выглядят примерно одинаково на
изображениях обоих видов. Например, многоугольник, имеющий
конечный периметр на одном из этих изображений, имеет конеч¬
ный периметр и на другом; многоугольник,
вьтуклый на одном из этих изображений,
остается выпуклым и на другом*.
На совсем маленьких участках оба спо¬
соба изображения линий на сфере практи¬
чески совпадают.* Большие окружности с до¬
вольно большой точностью изображаются
прямыми линиями.
Рис. 2
161

5.	Несколько замечаний о выпуклом многоугольнике на сфе¬
ре. На первый взгляд, определение выпуклости на сфере напра¬
шивается иное, чем то, которое принято в факультативе. Кажется
естественным (к этому приводит последовательное проведение
рассуждений) выпуклой фигурой на сфере назвать такую, кото¬
рая содержит любой отрезок, концы которого принадлежат этой
фигуре.
Но в факультативе'выпуклым сферическим многоугольником
названо пересечение сферы с выпуклым многогранным углом,вер-
шина которого находится в центре сферы. Что характерно для та¬
кого сферического многоугольника? Он действительно содержит
любой отрезок, концы которого ему принадлежат. Но вместе с тем
он должен еще целиком' помещаться в половину сферы, потому
что выпуклый многогранный угол вырезает именно такой участок
на сфере. По этой причине все рассуждения и рисунки для задачи
5 (а, б, в) проводятся и строятся так же, как в планиметрии.
6t Здесь полезно обратить внимание на то, что сумма углов
сферического треугольника, в отличие от планиметрического,
не является постоянной величиной для всех треугольников.
7.	Точек, где нарушается единственность возможного перпен¬
дикуляра к данной прямой, две. Им нет аналога в плоской гео¬
метрии.
В планиметрии (естественно, как и в стереометрии) через
каждые две точки проходит только одна прямая. В геометрии на
сфере через диаметрально противоположные точки проходит сколь
угодно много прямых. Заметим, что для пары прямых на сфере
всегда^ имеются и притом только две такие точки. Именно на¬
личие таких точек позволяет появитьсяна сфере двуугольнику
и заставляет вводить в рассмотрение треугольники на сфере, сумма
углов которых превышает два прямых угла.
Заметим еще, что расстояния от этйх двух точек (их назы¬
вают полюсами по отношению к данной прямой) до всёх точек
данной прямой равны. Чтобы получить полюсы данной прямой,
достаточно построить к ней два перпендикуляра. Любая пара не¬
совпадающих перпендикуляров к данной прямой (ее называют по
отношению к полюсам полярой) пересекается в этих двух по¬
люсах.
8.	Ясно, что на сфере два прямоугольных треугольника можно
считать конгруэнтными, если у них конгруэнтны стороны, вме¬
щающие прямые углы, т. е. «катеты». Ведь конгруэнтны треуголь¬
ники, составленные из соответствующих хорд сферы (это обстоя¬
тельство подчеркивается в указании к данной задаче).
Выполним теперь на сфере следующее построение (как его
осуществить с помощью циркуля, речь пойдет ниже). Проведем
отрезок AB. На этом отрезке найдем середину — точку С. Найдем
полюса Р\ и P2 прямой AB. Через три точки Р\\ С и Р2 проведем
прямую PiC; она окажется единственно возможной (почему?)
Эта прямая Pi,C является срединным перпендикуляром к отрезт
162

ку АВ. Покажем, что все точки его равно¬
удалены от А и В. Действительно, возьмем
произвольную точку Qt(PiC). Треугольники
AQC и BQC являются прямоугольными и кон¬
груэнтны по двум катетам |ЛС|=|ВС| и
|QC|=|QC|. Следовательно, произвольная точ¬
ка Q £ (PiC) равноудалена от точек А и В.
9.	Интересно, что у окружности, которая
расположена на сфере, помимо обычного «пло¬
ского» радиуса, имеются два, а не один сфе¬
рический радиу'с. Будем считать, что r — мень¬
ший из этих радиусов. Сферический радиус —
это отрезок прямой на сфере of сферического центра окруж¬
ности до одной из точек этой окружности.
Чтобы найти обычный радиус r окружности на сфере, зная
радиус сферы R и сферический радиус окружности g, нужно осу¬
ществить ряд построений с помощью циркуля и линейки на* вспо¬
могательной плоскости. Начертим на плоскости окружность ра¬
диуса сферы R (в дальнейших построениях и рассуждениях она
будет соответствовать одной из прямых на сфере, перпендикуляр¬
ных данной окружности). Проведем произвольный диаметр PP'
этоя окружности. Поставив ножку циркуля в точку Р раствором
циркуля, равным сферическому радиусу данной окружности Q,
сделаем засечки на окружности. Получим точки А и В (рис. 3).
Проведем, наконец, отрезок прямой АВ. Это обычный диаметр дан¬
ной окружности, перпендикулярный к диаметру PP' построенной
на плоскости большой окружности сферы. Теперь остается только
выразить обычный радиус окружности. Из рисунка 3 видно,, что
центральный угол АОР составляет ^- радиан.
д
10.	Эта Задача родственна предыдущей. Поэтому рисунком
можно воспользоваться тем же. Строим на плоскости отрезок АВ,
]A#l=2r (r находится способом, рассказанным в пособии), через
его середину проводим перпендикулярную ему прямую d. Ставим
одну ножку циркуля в точку А и раствором g делаем засечку на
прямой d. Получаем точку Р. Окружность, проходящая через точ¬
ки Л, В и Р, имеет радиус, конгруэнтный искомому радиусу сферы.
11.	В указании к этой задаче, которое приводится в факуль¬
тативе (с. 189), рассказано, как построить две точки на сфере,
удаленные от данных точек на расстояние (по сфере), равное
сферическому радиусу большой окружности. Так что через две
данные .точки всегда можно провести одну и только одну большую
окружность со сферическим центром в одной из двух найденных
точек.
12.	а) Проведем четыре плоскости. Одну — через вершины
данного сферического треугольника, три другие «радиальные» —
через центр сферы и стороны этого треугольника. На первой из
этих плоскостей получим в сечении со сферой окружность. В эту
163

йфужность окажется вписанным плоский треугольник; стороны
которого — линии пересечения первой плоскости с радиальными.
Плоский треугольник можно рассматривать и как центральную
проекцию сферического треугольника на первую плоскость» при¬
чем центром проекции служит центр сферы. В результате проекти¬
рования описанная окружность переходит в себя, внутренние точ¬
ки сферического треугольника — во внутренние точки плоского,
внешние — во внешние, граничные — в граничные. Ясно, что сфе¬
рический треугольник оказывается вписанным в окружность од¬
новременно со своей проекцией.
6) Аналогично тому, как это делается на плоскости, можно
ввести такую прямую на сфере, которая является биссектрисой
угла. Пересечение трех таких биссектрис треугольника на сфере
(то, что три биссектрисы пересекутся в одной точке, доказывается
точно так же, как в. планиметрии) есть точка, равноудален¬
ная от сторон сферического треугольника. Проведем окружность
на сфере со сферическим центром в точке пересечения биссектрис,
проходящую через основания перпендикуляров из этой точки на
стороны дреугольника. Других общих точек сферический тре¬
угольник и окружность иметь не будут (расстояние от точки до
прямой, в сферической геометрии так же, как в планиметрии,
отсчитывается по перпендикуляру к прямой; в основании перпен¬
дикуляра находится точка на прямой, ближайшая к#данной).
Следовательно,-полученная окружность действительно будет впи¬
санной по отношению* рассматриваемому сферическому треуголь¬
нику.
19.	В условии этой задачи рассматривается отображение бо¬
лее общего вида, чем леремещение. Такое отображение, отоб¬
ражение в себя, не обязательно имеет обратное ему отображение.
В пособий решение задачи приведено в виде цепочки равенств,
которая по сути представляет собой четыре последователь¬
ных равенства. При этом каждое из равенств можно интерпре¬
тировать так, что между разными формами записи одного
и того же факта ставихся знак равенства.
20.	На рисунке 4 представлен многогранник, который назы¬
вается ромбоусеченным кубооктаэдром [2]. Этот многогранник
можно вписать в сферу. При этом ребра ромбоусеченного кубо-
октаэдра будут хордами сферы. Рассмотрим далее две оси вра¬
щения OiCO'i и O2^O2, содержащие разные диаметры сферы и
точки С и D. Пусть g есть поворот на — от-
3
носительно оси OiCOf, а f тоже поворот сферы,
только на угол ^- относительно оси O2DO'2.
Если вначале осуществить поворот /, а за
ним g> то точка А попадет -в положение F.
Если, наоборот, вначале осуществить пово¬
рот g, а затем поворот ft то точка А попадет
Рис. 4	в	положение	Е. Как видим, две композиции
164

поворотов сферы, отличающисся порядком выполнения, дейст¬
вительно приводят к разным результатам.
21.	Если фигура дважды зеркально отражается от данной
плоскости, то она возвращается на прежнее место и сохраняет
прежнее положение. Преобразование оказало.сь тождественным.
Если же при'втором преобразовании фигура зеркально отражает¬
ся не от прежней плоскости симметрии, а.от новой/полученной из
прежней параллельным переносом, то и сама фигура в резуль¬
тате композиции таких двух преобразований подвергнется na.-
ралдельному переносу.
22 и 23. Решения этих задач даны в факультативе очень
подробно и в комментариях не нуждаются.
24.	а) В решении этой задачи, которое приведено в пособии,
читаем: «Фиксированную грань тетраэдра можно отобразить на
любую из четырех граней, причем шестью способами...». При¬
дадим этому рассуждению наглядную интерпретацию.
Рассмотрим изображение нашего тетраэдра на плоскости.
Каждое ребро изображения рдной из граней занумеруем против
движения часовой стрелки цифрами 1, 2 и 3.(можно было зануме¬
ровать не ребра, а вершины — рассуждения .остались бы теми
же). Тогда если данный тетраэдр окажется повернутым относи¬
тельно оси, которая проходит через его центр и центр отмеченной
грани, против часовой стрелки наЛ20°, то изображение тетраэдра
(или, если угодно, его отображение в плоско'сть) останется преж¬
ним, только занумеровайные ребра займут новое положение: 2,
3	и 1. Еще раз повернем на 120° тетраэдр относительно той же
оси в ту же сторону. Изображение тетраэдра опять не изменится,
только занумерованные ребра примут новое положение, а именно:
3,	1 и 2. Поворотами тетраэдра относительно выбранной оси на
углы, кратные 120°, мы ничего нового больше не получим, если
оставаться верными выбранной нумерации ребер.
Однако ребра этой грани можно занумеровать еще в обратном
порядке: 3, 2 и I. Эта нумерация соответствует перемещению,
которое еще в данном рассуждении не рассматривалось,— сим¬
метрии относительно плоскости: Перемещение может представ
лять собой также композицию симметрии с поворотом, В резуль¬
тате получаем еще два возможных отображения нашей грани:
1,	3, 2 и 2, 1, 3. ВсегО получено шесть отображений грани, что и
требовалось показать. Ясно, что других отображений выделенной
грани тетраэдра нет.
б) Точно так же грани куба — квадрату— соответствуют
8 совмещающих*отображений, а всего у куба шесть граней. Отсю¬
да и следует истинность ответа, данного в пособии.
25.	Рассмотрим вначале на сфере две фигуры, которые яв¬
ляются конгруэнтными, но не симметричными. Оказывается, их
всегда можно совместить друг с другом посредством одного по¬
ворота. Аналогичный факт на плоскости широко известен и носит
название теоремы Шаля. На плоскости, правда, возможен случай,
165

Рис. 5
когда конгруэнтные фигуры совмещают¬
ся не поворотом, а параллельным пере¬
носом (поворот с бесконечно удаленным
центром). В сферической геометрии этот
случай отсутствует, поскольку нет парал¬
лельных прямых.
Докажем теорему Шаля для пло¬
скости. Ее аналог в сферической Геомет¬
рии доказывается дословно так же, только
вместо отрезков прямых на плоскости
мыслятся отрезки больших окружностей
и углы между прямыми — это углы меж¬
ду касательными к пересекающимся боль¬
шим окружностям в точке их пересечения.
Пусть на рисунке 5 треугольники АВС и A'B'C' конгруэнтны
и не симметричны. Если нам удастся найти такую точку О, пово¬
рот относительно которой на некоторый угол <p совместит эти тре¬
угольники, то теорему Шаля можно считать доказанной. Дейст-
витёльно, во-первых, положение отрезков АВ и A'B' задается
произвольно. Во-вторых,' концы отрезков А и В можно считать
фиксированными в фигуре, а точку С переменной, любой точкой
произвольной фигуры, не обязательно треугольника. Поэтому
доказательство справедливо для любой фигуры.
Покажем, как найти точку 0,' при повороте относительно
крторой на некоторый угол <p отрезок АВ, представляющий сторо-
ну произвольного треугольника, совместится с конгруэнтным ему
отрезком A'B'. Совмещение треугольников АВС и A'B'C' про¬
изойдет при этом автоматически. Построим отрезки AA' и BB' и
через их середины проведем перпендикуляры. Если отрезки АВ и
A'B' не параллельны, то эти перпендикуляры пересекутся в точ¬
ке О. Замечаем равенство длин двух пар отрезков. ОЛ, 0A' и
OB, OB' Отсюда следует, что треугольники ОАВ и OA'B' кон¬
груэнтны по трем' сторонам и могут быть совмещены поворо¬
том относительно точки О на некоторый угол ф, что и требо¬
валось. Из способа построения ясно, что. такая точка О —
единственная.
Поэтому, возвращаясь к условию и требованию задачи 25,
видим, что ось k поворота — единственная. Единственной должна
быть и плоскость а, поскольку она перпендикулярна оси k.
26.	Решение этой задачи может быть разобрано вместе с ре¬
шением задачи 16.
27.	Решение этой задачи в пособии приведено достаточно
подробно.
УГЛУБЛЕНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА
Рассмотрев решения и указания к данному блоку, остановим¬
ся немного на тех факторах, которые определяют в рамках этого
блока углубление школьного курса математики.-
166

Углубляются здесь преимущественно, что и естественно, гео¬
метрические представления учащихся. Учащиеся получают воз¬
можность увидеть, что на практике довольно часто приходится
сталкиваться не с первозданной системой теоретических знаний,
а с ее видоизменениями. У учащихся должно остаться впечатле¬
ние, что сферическая геометрия близка к обычной планиметрии и
стереометрии, однако представляет собой качественно самостоя¬
тельную структуру — это новая геометрия, и ее понятия могут
в принципе строиться независимо от других понятий геометрии.
Если учащиеся придут к такому выводу, то это не менее полез¬
но, чем*заучивание частных результатов. Здесь имеется хорошая
база для того, чтобы показать, что математика нужна не только
для того, чтобы сначала ее выучить, а затем применять в упражне¬
ниях, математический материал нужно переосмысливать с разных
позиций.
РАЗРАБОТКА 2-ГО БЛОКА
Ко второму блоку отнесен § 3 «Сферическая тригонометрия».
При изучении этого параграфа в первую очередь нужно напом¬
нить планиметрические формулы синусов и косинусов, понятия
йлоского двугранного и многогранного углов, в частности трех¬
гранного.
Повторение по данной теме минимальное. Большинство to
встречающихся здесь чисто геометрических понятий освоено уча¬
щимися сравнительно недавно. Использование тригонометриче¬
ских понятий, в том числе тригонометрического аналога теоре¬
мы Пифагора, фактически пронизывает весь.школьный курс мате¬
матики, начиная с VIII класса.
Вероятно, учащиеся уже почувствовали, что методы плоской
тригонометрии являются при решении геометрических задач наи¬
более эффективными там, где нужно получить количественные ре¬
зультаты и через них качественные. Нередко и в сферической
тригонометрии формулы «думают за нас». Подставил в формулу
данные, вычислил — получил ответ. При этом особенности явле¬
ния, рассматриваемого в задаче, могут остаться в стороне.
СИСТЕМА УПРАЖНЕНИЙ
13,	Эта задача иллюстрирует высказанное выше положение
о том, что формулы «думают за йас». Действительно, подстав¬
ляя в формулу косинусов сферической тригонометрии значения
а,	р и С, автоматически получаем искомое значение^
Тот же ответ можно получить из чисто геометрических со¬
ображений. Для этого достаточно заметить, что в трех гранях
куба, имеющих общую вершину, диагонали образуют равносторон¬
ний треугольник, угол которого равен искомому углу ~. Заме-
и
167

тим, что первый способ универсален, а второй для других значе¬
ний углов уже не годится.
В этой связи здесь самое место подчеркнуть учащимся, что
не всегда даже в математике полезно что-то изобретать, выиски¬
вать поле творческой деятельности. Иногда, если результат
примерно предсказуем качественно или качественно можно его
контролировать, скажем, следить, за тем, чтобы величины сину¬
сов и косинусов нигде не становились больше единицы, полез¬
нее всего пользоваться шаблонным, но достаточно мощным вычис¬
лительным аппаратом математики. Такой вычислительный аппарат
и представляет в наше распоряжение сферическаятригонометрия.
Но вообще в любом деле есть место и творческому труду и
технике исполнения. Человек становится специалистом в своей
области не сразу после того, как он обретет необходимые зна¬
ния и умения. Важно, чтобы он стал понимать, где место в его
деятельности творческому труду, а где технике достижения ре¬
зультатов.	1
14.	Полагая £* = 90°, из формулы косинусов cosv=cosacosp +
+ sirTa sin р ■ cos С получаем - сферическую «теорему Пифагора»
cos у = cos a*cos р. На первый взгляд, у полученной формулы
нет ничего общего с формулой теоремы Пифагора.
Катетами в сферической тригонометрии, так же как в
плоской, называют стороны треугольника, образующие прямой
угол, а сторона, противоположная этому углу, называется,
естественно, гипотенузой. Интересно, что в сферическом тре¬
угольнике сторона может одновременно являться и катетом и
гипотенуаой (почему?).
Покажем, что для маленьких сферических треугольников
.прибдиженно выполняется планиметрическая теорема Пифагора.
Действительно, из того, что sin a л? a, sin p^ р, sin у ж y> полу¬
чаем cos a « /1— a2, cos р « V1 — р2, cos у ss /1 ^ у2. Подстав¬
ляя эти значения в формулу сферической теоремы Пифагора,
пренебрегая величиной а2р2 после очевидных упрощений, по¬
лучаем приближенное равенство, которое записывается так же,
как формула теоремы Пифагора, и выражает примерно то же:
Y2 « a2 + р2.
15.	Решение, которое приведено в пособии, можно интерпре¬
тировать так: построен треугольник, вершины которого являются
полюсами для больших окружностей, на
которых лежат стороны другого' данного
треугольника. Показано, что стороны по¬
строенного треугольника лежат на поля¬
рах к полюсам данного.
Приведенная интерпретация полезна
методически, посколькуона дает учащим¬
ся опорный образ и облегчает восприя¬
тие последующего материала.
16.	Воспользуемсягрисунком 6. На нем

прямые ОЛ, ОВ и ОС — ребра исходного трехгранного угла
OABC. Криволинейные штриховые линии — отрезки прямых, на
которых лежат стороны данного треугольника АВС до их пере¬
сечения со сторонами полярного ему треугольника A*B*C*.
Двугранный угол AfiBCi измеряется равным ему уг¬
лом Ё треугольника АВС (заметьте, что касательные к сторонам
треугольника ВА и ВС в точке В параллельны плоскости A*OC*,
которая, в свою очередь, перпендикулярна ребру рассматривае¬
мого двугранного угла ОВ) или с помощью дуги большой ок¬
ружности А\С\. Из того, что Л* является полюсом v^BC, а С*
является полюсом ч^ЛВ, дуги A*C 1 и АХС* имеют величину
—	R каждая.
2
Отсюда находим одно из равенств Ё=п — p*, которыеследо-
вало доказать. В самомделе, В + P^= ЛТОС* + A*OCi = л и Ё=
= л — fl*. Равенства А = л — a*, € = л — у* доказываются ана¬
логично.
С другой стороны, в соответствии с рисунком 6 заключаем,
^	V	V
что дуга В\С\ есть мера сферического угла А* и что fliC +
v^	4^	4_y'	w
+ BCt=nR. Справедливо равенство aR^BiCi—B]B^CCi^
Из этих двух последних равенств находим Л* + a =
=?дл^~,,Рс^~ fl(L+ с£* = Пк Поэтому получаем Я* — я — a. Ана-
fs
логично доказываются формулы Я* = л — р, C*=n-y.
Заметим, кстати, что рисунок 6 графически несколько ус¬
ловен. Точка В*» например, является полюсом для большой
окружности, вмещающей дугу АС. На рисунке точка В* вполне
могла бы оказаться по другую, невидимую сторону сферы..
По своей условности рисунок не является точным чертежом,
он отражает рассматриваемую ситуацию лишь качественно.
Более того, можно доказать, хотя мы.здесь примем это без
доказательства, что данный треугольник находится внутри ему
полярного только в том случае, если все углы данного меньше
прямых (если все углы больше прямых, то, наоборот, полярный
данному треугольник находится внутри него; если же часть уг¬
лов данного больше прямого угла, часть меньше, то взаимно
.полярные треугольники пересекаются). Поэтому, строго говоря,
рисунок 6 не является рисунком общего.вида. В полном доказа¬
тельстве пришлось бы рассмотреть все возможные случаи.
17*Подставляя в формулу cosj* = cosa*cosp* + sina*^
X sin p*cos €* значения a* = я — Я, р* = л — Ё, у* = л — С,
С* = я — Yt получаем:	cos (я — G) = cos (я — Я) cos (я — Ё) +
+ sin (я — Я) sin (я — В) cos (я — у), или cos € = — cos 3cos Ё +
+ sin Явт £cos у, что и требовалось.
18.	Воспользовавшись результатом задачи 16, сложим равен-
т

ства Я = я — a*, Ё — п — p*, € = л — у*. В соответствуй с
условием задачи должно быть 0 < a* + p* + у* < 2я. Поэтому
л < >? + Б + € < Зл, что и требовалось.
26,	Из конгруэнтности двух трехгранных углов следует кон¬
груэнтность полярных к ним трехгранных углов и обратно: из
конгруэнтности полярных к данным углов следует конгруэнтность
данных трехгранных углов.
Истинность высказанного утверждения следует из § 33 учеб¬
ника «Геометрия, 9—10». В самом деле, через данную точку (а
этой точкой может быть центр сферы) всегда можно провести
плоскость, перпендикулярную данному лучу (прямой), притом
плоскость единственную.
Теперь на основании результата, полученного в решении
задачи 16, должно быть ясно, что если углы одного сфери¬
ческого треугольника соответственно конгруэнтны углам другого,
то стороны треугольников, полярных к данным, должны быть тоже
соответственно конгруэнтными. Поэтому треугольники, полярные
к данным, конгруэнтны. Следовательно, конгруэнтны и данные
треугольники.
УГЛУБЛЕНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА
Как видим, материал этого параграфа особенно тесно связан
со школьной геометрией, причем не только с качественной её
стороной, но и с вычислительной работой, которой в школе от¬
водится достаточно много времени. Не будет преувеличением
сказать, что в математике ручной вычислительный труд близок
к «физическому». Он может примерно в такой же степени утом¬
лять, не давая тем, кто им занимается, полного удовлетворения
от осмысленности своей работы, от видения ее эстетической
стороны, от ее производительности и т. д. Вычислительная
работа может заслонять собой суть вопроса, цель выполняемых
преобразований и т. п. Поэтому очень важно, чтобы уча¬
щиеся понимали существенную роль вычислений и алгебраических
преобразований, но понимали бы одновременно, что их роль
здесь вспомогательная.
Нам представляется полезным, чтобы учащиеся рассмотрели
в качестве дополйения вопрос о существовании сферического
треугольника, полярного самому себе. /
РАЗРАБОТКА 3-ГО БЛОКА
В 3-й блок бходит материал § 5 «Площади сферических мно¬
гоугольников и формула Эйлера».
Перед тем как приступать к изучению настоящего парагра¬
фа, учащимся полезно вспомнить учебный материал, относя¬
щийся к VII классу. Имеется в виду § 3 главы IV «Площади много¬
угольников» учебника «Геометрия, 6—8». Заметим, однако, что
для некоторых учащихся, у которых есть склонность к дедук-
170

тивным рассуждениям, здесь есть возможность углубить свои
знания, усовершенствовать подход к измерению величин
на уровне более высоком, чем в VII классе. Но об этом
ниже.
Основное отличие сферической геометрии от плоской состо¬
ит в том, что здесь нет параллельности. Так что под квадра¬
том или прямоугольником понимаются вовсе не частные случаи
параллелограммов, которых в сферической геометрии нет, а че¬
тырехугольники, каждый угол из которых прямой. Такие четырех¬
угольники вполне возможны, и их естественно назвать по анало¬
гии с планиметрией прямоугольниками, возможны, кстати, и
такие прямоугольники, у которых все стороны конгруэнтны (та¬
кие естественно назвать по аналогии с планиметрией квадрата¬
ми). Другое отличие сферической геометрии от плоской заклю¬
чается в том, что здесь появляются двуугольники. Именно
использование такой фигуры, как двуугольник, позволило по¬
лучить интереснейшую формулу площади сферического тре¬
угольника (3).
Вывод формулы Эйлера здесь носит вспомогательное назначе¬
ние. Он лишь иллюстрирует действенность, эффективность ис¬
пользуемого метода, построенного на изобретательном примене¬
нии двуугольников. Однако данная теорема Эйлера не столька
геометрической природы, сколько топологической. Вывод ее с по¬
мощью аксиом площади идет в разрез с принципом «экономии
мысЛительного материала», довольно типичным для математи¬
ческих рассуждений вообще. Доказательство с логической точки
зрения тем лучше, чем меньше лишнего в нем использовано. Ис¬
пользование аксиом площади в выводе этой теоремы обязательным
не является.
Не обязательно и требование о выпуклости многогранника.
Важно только, чтобы поверхность была односвязной, т. е. чтобы
не было в ней отверстий.
Таким образом, данный факультатив может настроить учащих¬
ся на реферативную работу по элементам топологии.
Основным достижением настоящего блока, по нашему мнению,
является все, что связано с формулой (3).
СИСТЕМА УПРАЖНЕНИЙ
28.	Решение проведено достаточно подробно. Заметьте, од¬
нако, что в данном многограннике есть «отверстие». Это и
явилось причиной того, что в правой части формулы Эйлера
стоит не 2.
29.	Решение проведено достаточно подробно. Важно только
иметь в виду, что речь, естественно, идет о планиметрическом
многоугольнике.
30.	Решение проведено достаточно подробно.
171

УГЛУБЛЕНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА
По данной теме углубление школьного курса математики про-
.исходат главным образом за счет того, что учащиеся. получа¬
ют более основательные знания о таком важном понятии, как «ве¬
личина». Они сопоставляют действительные числа на основании
трех аксиом площади с более сложными объектами, чем в плани¬
метрии.
Кроме того, можно так построить изложение доказательства
теоремы Эйлера, что учащиеся получат представление о гео¬
метрии, в которой не определяется расстояние и которая тем
не менее остается весьма содержательной [6].
РАЗРАБОТКА 4-ГО БЛОКА
Сюда, относятся § 5 «Применение сферической геометрии в
навигации» и § 6 «Картографические проекции». На этом уровне
учащиеся уже достаточно подготовлены для того, чтобы исполь¬
зовать в качестве основных понятия, с которыми познакомились
в данном разделе факультатива.
Регламент каждого доклада примерно по тридцать минут
(может быть, немного больше). Хорошо, если наряду с докладчи¬
ком выступит оппонент, дающий оценку (предварительную) ра¬
боте, проведенной докладчиком, и краткую аннотацию к докла¬
ду, где выделено, что является главным, указывается (если
это имеет место), какой результат докладчик получил само¬
стоятельно; Свое пятиминутное выступление, понятно, оппо¬
нент готовит с помощью преподавателя.
Для докладов можно рекомендовать следующие подтемы на¬
стоящего блока: «Ортодромия», «Локсодромия и проекция Мер¬
катора», «Стереографическая проекция» (эта подтема может
быть разбита на два содоклада). Кроме того, возможны темы
для письменных рефератов, примыкающие к настоящему факуль¬
тативу. Будет немалым достижением, если факул'ьтатив натолкнет
учащихся на самостоятельную (при общем руководстве препода¬
вателя) работу с рекомендуемой литературой. Возможны, напри¬
мер, следующие темы для ученических рефератов: «Площади мно¬
гоугольников,», «Топологическое доказательство теоремы Эйлера
о многогранниках», «Виды картографических проекций».
По подтеме «Ортодромия» основные термины: географические
координаты — широта и долгота пункта на земной поверхности,
уравнение ортодромии по ее угловому коэффициенту, уравнение
ортодромии по двум точкам, меридиан и экватор, курс корабля.
Основной мётод рассуждения здесь — использование ранее
выведенных формул косинусов и синусов сферической тригономет¬
рии при ясном понимании того факта, что ортодромии, хотя они
и расположены на сфере, поверхности принципиально «е пло¬
ской — кривые плоские. На сфере только большие окружности и
172

их дуги являютея плоскими кривыми. Поэтому к ортодромиям
принадлежат меридианы и одна из гшраллелей — экватор.
Рекомендации докладчику и необходимая для доклада инфор¬
мация по подтеме «Локсодромия и Меркаторская проекция»
приводятся в дополнении.
Основные термины по подтеме «Стереографическая проекция»:
центр стереографической проекции, отображение сферы без одной
точки на плоскость, образ точки, образ окружности, не про¬
ходящей через центр стереографической проекции, образ окруж¬
ности, проходящей через центр стереографической проекции, кру¬
говое свойство стереографической проекции, свойство конформ¬
ности стереографической проекции, свойство сферы быть неиз-
гибаемой поверхностью.
Главные описываемые и используемые здесь факты сформули¬
рованы в. 6, 7 и 8-й теоремах. Было бы полезно указать, что
если центр стереографической проекции находится в одном из
полюсов поверхности, имитирующей земную (северном или юж¬
ном), то параллели в результате проектирования переходят в
окружности на плоскости, а меридианы — в прямые линии, про¬
ходящие через точку касания сферы прообразов с картинной
плоскостью (что обозначают эти два понятия, должно быть ясно
из их названий).
В картографии стереографические проекции чаще всего на¬
ходят употребление в картах полярных областей. Симметрично
растягивая приполюсную шапку поверхности Земли на картинную
плоскость и сохраняя углы {свойство конформкости), полярные
стереографические поверхности хорошо приближают земную по¬
верхность на плоскости.
Дополнительный материал для доклада п© этой подтеме можно
найти, например, в [4].
СИСТЕМА УПРАЖНЕНИЙ
31.	а) Локсодромия, вообще говоря, кривая не плоская. Но
из этого правила есть два исключения. Первое, это когда движе¬
ние происходит по меридиану. В этом случае локсодромия совпада¬
ет с ортодррмией. Второе, когда движение происходит по парал^
лели (здесь тоже возможно совпадение ортодромии и локсодромии,
если параллель — экватор).
В данном случае движение по локсодромии совпадает с
движением по параллели, поскольку широта во время движения
остается постОяннои (70°). Зная это, можно вычислить длину
параллели, ло которой движется ледокол. Она составляет
2jt#cos700, где R — земной радиус. Остается только вычи¬
слить, какую часть .этой параллели составляет путь ледокола:
30° — ( —170°)	5
—!—^-	-= — , и наити длину этого пути.
obU	У
б)	Эта задача решается так же, как задача I из § 5.
173

32.	Пусть АВ есть дуга большой окруж-
HocTtt, длина которой была найдена в решении
задачи 31 (б), точка С—местоположение на
земной сфере Северного полюса. Тогда тре¬
угольник АВС — равнобедренный, причем кон¬
груэнтны его стороны СА и СВ. Положим,
что точка D (рис. 7) есть середина отрезка
AB. Проведем отрезок CD. Треугольник ACD —
прямоугольный. Нам известен один из его ка¬
тетов AD и гипотенуза СА. Tetiepb по теореме косинусов можем
найти другой катет: cos CD — - ^-.
rj	со	sAD
33.	Курс корабля определяется углом между касательной к
локсодромии и касательной к меридиану в точке пересечения
локсодромии и меридиана. При этом, конечно, меридиан может
быть не нанесен на карту. Тогда придется начертить его при¬
близительно.
36.	б) Нет.
37.	На Меркаторской проекции (см. об этом также «Дополне¬
ние») участки земной поверхности, близкие к Северному и Южно¬
му полюсам, растянуты вверх и вниз (при обычном расположении
карты) так, что сами полюса уходят в бесконечность. В резуль¬
тате чем ближе к полюсу, тем больше становится на карте площадь
участка земной поверхности.
38.	Отметки широт: нет. Отметки долгот: да.
ДОПОЛНЕНИЕ
Покажем, как можно элементарно представить локсодромию
вначале на сфере.
Известно, что длина дуги окружности равна произведению
соответствующего центрального угла на радиус окружности.
Представим далее для простоты, что радиус глобуса равен 1.
Если мы совгршаем движение вдоль его меридиана, который
является большой окружностью, ца угол Дф, то дуга, вдоль
которой мы переместимся, также будет иметь длину Дф. Иное
дело, если мы находимся на широте ф и. совершаем движение в
направлении параллели на угол ДХ. Окружность, по которой
мы будем перемещаться, на этот раз имеет радиус, равный
cos ф, длина дуги, на которую мы переместимся, составит
A7t соэф- Представим, наконец, что мы совершаем сложное дви¬
жение и по параллели на ДЯ cos ф и по меридиану на Дф так,
что при этом скорость движения (которая, как известно,
величина векторная) составляет постоянный угол а с мериди¬
аном. Тогда долЖно быть ясно, что - -^— = ctga (рис. 8).
Ал cos ф
Рис. 7
174

Переходя к пределу при ДЛ^О, получим:
f-_tgoJ_.
Сф	COS	ф
Выполним интегрирование
рФ	«Ф
Я, Xo=tgaJ -^- = tgay
fosin (<F+^r)
ЛФ
= tga}
9 Л
*-Гт.«г
Мт+тМ1+т)
Й+т)
dx
i g х cos т
^o+JL
2 ^ 4
= tgaln-
*e^)
В результате получаем уравнение локсодромии:
X — Ко — tg a In
'g(f + T)
*(*+т)
Из этого уравнения сразу видно, например, что самолет в зада¬
че 36 (б) никогда не достигнет Северного полюса.
Вот мы и подошли к изобретению Меркатора. Его цилинд¬
рическая картографическая проекция, развертываемая на плос¬
кость, имеет постоянный масштаб вдоль оси абсцисс (^) и
переменный вдоль оси ординат (ф), в результате чего локсодро¬
мия представляется в виде прямой линии. Точнее сказать, если
проекция Меркатора представлена в виде вертикальной полосы,
бесконечной в направлении полюсов, то локсодромия выглядит
как совокупность отрезков прямых. Если она начинается на эк¬
ваторе и идет до правого края полосы и достигнет ее при зна¬
чении широты <pu то следующий отрезок прямой идет от лево¬
го края полосы при том же значении ф1 и том же угле с
вертикальными линиями, изображающими в Меркаторской про¬
екции меридианы и т. д.
Примерное содержание зачета
1.	Какие вам известйы способы задания сферы?
2.	Как задается расстояние между точкамк на сфере?
3.	Привести доказательство того, что сумма длин п — 1 сто¬
роны выпуклого n-угольника на сфере больше длины n-й стороны
этого л-угольника.
4.	Через какую точку на сфере можно провести более одного
175

перпендикуляра к прямой на ней? Для чего можно использовать
такую точку?
5.	Возможен ли треугольник на сфере, сумма углов которого
269°?
6.	Как на сфере поделить угол между прямыми на^две кон¬
груэнтные части?
7.	Провести доказательство теоремы косинусов сферической
тригонометрии.
8.	Провести доказательство теоремы синусов сферической
тригонометрии.
9.	Провести доказательство «теоремы Пифагора» сферической
тригонометрии.
10.	Получить из формул сферической тригонометрии плани¬
метрические теоремы синусов и косинусов, приближенно верные
для малых сферических треугольников,
11.	Сформулировать признаки конгруэнтности сферических
треугольников.
12.	Провести доказательство того, что композиция двух пово¬
ротов сферы также является ее поворотом.
13.	Провести доказательство тебремы Эйлера.
14.	Вывести формулу площади сферического треугольника.
15.	Сформулировать определения ортодромии и локсодромии.
Может ли ортодромия одновременно быть локсодромией?
16.	Вывести уравнение ортодромии, соединяющей произволь¬
ные два пункта А и В на сфере.	~
Среди задач, которые целесообразно	вынести	на	зачет,	на¬
зовем следующие: 5 (э, б, в); 7; 8; 9;	10;	11;	13;	14;	15;	22;
23; 24; 26; 31 (а, б); 32; 37; 38; 39; 40.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.	Большая Советская Энциклопедия (любое издание). Ст. «Картография».
2.	В с и н и н д ж е р М. Модели многогранников. М., 1974*
3.	В о л ы н с к и й Б. А. Сферическая тригонометрия. М„ 1977.
[Книга эта полезна тем, кто хочет всерьеу изучить сферическую геометрию.
Изложение вполне д<Лггуцно учащимся старших классов.]
4.	Р о з е н ф е л ь д Б. A., С е р г е е в а Н. Д. Стереографическая проек¬
ция. М., 1973.
[В этой брошюре наряду со стереографической проекцией рассматривается
устройство и принцип работы астролябии. Астролябия оказывается' более
сложным инструментом в смысле применения стереографической проекции, чем
географическая карта.]
5.	Э б бо т Э. Флатландия. Б ю р г е р Д. Сферлаидия. М., 1976.-
[Эти два художественных произведения написаны математиками. Назваиия
точно передают их содержание. Каждая из книг окажется не только интересной
для учащихся, но и полезной, если они станут выискивать в ней математику, .в
том числе задачи, и решать их. По этим книгам можно написать доклад^]
6.	Энциклопедия элементарной математнки, т. 4. М., 1963.
Ст. «Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии», т. 5. М.,
1966. Ст. «Площадь и объем» и «Основные топологические понятия».