Чес Коснёвски
НАЧАЛЬНЫЙ КУРС АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТОПОЛОГИИ;
Вводный курс алгебраической топологии, написанный англий-еким
математиком. Изложение сопровождается большим количеством примеров и
рисунков, дано около 350 упражнений для самостоятельной проработки.
Для математиков различных специальностей, аспирантов и студентов,
желающих познакомиться с основными понятиями алгебраической топологии.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода
Предисловие
Глава 0. Множества и группы
Глава 1. Истоки; метрические пространства
Глава 2. Топологические пространства
Глава 3. Непрерывные функции
Глава 4. Индуцированная топология
Глава 5. Фактортопология (и группы, действующие на пространствах)
Глава 6. Произведения пространств
Глава 7. Компактные пространства
Глава 8. Хаусдорфовы пространства
Глава 9. Связные пространства
Глава 10. Задачи о блинах
Глава 11. Многообразия и поверхности
Глава 12. Пути и линейно связные пространства
Приложение к главе 12. Теорема Жор дана
Глава 13. Гомотопия непрерывных отображений
Глава 14. Умножение путей
Глава 15. Фундаментальная группа
Глава 16. Фундаментальная группа окружности
Глава 17. Накрывающие пространства
Глава 18. Фундаментальная группа накрывающего пространства
Глава 19. Фундаментальная группа пространства орбит
Глава 20. Теорема Борсука—У лама и теорема о сэндвиче с ветчиной
Глава 21. Еще о накрывающих пространствах: теоремы о поднятии
Глава 22. Еще о накрывающих пространствах: —теоремы существования
Глава 23. Теорема Зейферта—ван Кампена. Шбразующие.
Глава 24. Теорема Зейферта—ван Кампена. П. Соотношения
Глава 25. Теорема Зейферта—ван Кампена. Ш. Вычисления
Глава 26. Фундаментальная группа поверхности
Глава 27. Узлы. I. Предварительные сведения и торические узлы
Глава 28. Узлы. П. Ручные узлы
Приложение к гл. 28. Таблица узлов
Глава 29. Сингулярные гомологии: введение

Глава 30. Рекомендации для дальнейшего чтения
Рекомендуемая литература
Указатель
УКАЗАТЕЛЬ
294
295
297
Абелева (коммутативная) группа 12
Аксиомы отделимости 64—65
Алгебраическая топология 150
Алфавит 203
Антидискретная топология 21
Антиподальные точки 80
Ассоциативность групповой
операции 10
Бабушкин узел 260, 261
База накрытия 166
Биективная функция 9
Бинарная операция на множестве 10
Блоха и гребенка 115
БорсукК. 181
Барсука — У лама теорема 181
Ъраузра теорема о неподвижной
точке 164, 289
Ван Кампен Э. 202
Вещественное проективное
пространство 38
Взаимно однозначная функция 9
Внутренность множества 22
Восьмерка 218, 222
Выпуклое множество 113
Гейне — Бореля теорема 62
Гомеоморфизм 29
Гомеоморфные топологические
пространства 29
Гомоморфизм групп 11 —
надстройки 292
Гомотопическая группа 155
— эквивалентность 136
Гомотопический тип 136
Гомотопия 132
— относительно подмножества 133
Гомотопные отображения 132
Граница 274
Граничный оператор 274
График функции 53
Группа 10
— гомологии 276
— скольжений накрытия 192
— слов 203
— узла 244
Двойная точка узла 243, 253
Действие группы на множестве 47, 48
Декартово (прямое) произведение
множеств 8
Деформационный ретракт 137
сильный 137
слабый 139
Дикий узел 253
Диск 84
Дискретная метрика 15
— топология 21
Евклидова (обычная) метрика 15
Единичный элемент группы 10
ЁнэямаК. 121
Жордан К. 122
Жордана теорема 122
Жорданова кривая 122
Жорданов многоугольник 122
Задачи о блинах 80, 82
Замкнутое множество в
топологическом пространстве
23
— отображение 28
Замкнутый путь 147
Замыкание множества 24
Зейферт X. 202
Зейферта — вон Кампена теорема
202, 208, 209, 214, 218, 221, 222,
287
Изоморфизм групп 11
Индуцированная топология 31
Индуцированный гомоморфизм 150

групп гомологии 278
Интервалы 13, 77
Инъективная функция 9
Классификационная теорема для
поверхностей 99
Класс эквивалентности 10
Классы эквивалентности слов 204
Клейна бутылка 42—44, 99, 107,
172—173
Коммутант 12
Коммутативная (абелева) группа 12
Коммутатор 12
Компактное множество 58
Компактно-открытая топология 63
Композиция функций 9
Компонента 120
Конечное покрытие 57
Конечно порожденная группа 12
Конус отображения 291
Копредставление группы 202, 204
Кратная точка узла 243, 253
Крендель 91, 99
Кривая 112
Кривые, заполняющие пространство
120
Лебега число покрытия 63
Лемма о склейке 113
Линейно связное пространство 113
Линзовое пространство 168
Локально компактное пространство
63
— линейно связное пространство
119,186
Манера — Въеториса
последовательность 287
Мёбиуса лист (лента) 39, 100
Метризуемое топологическое
пространство 21
Метрика 14
Метрическая (обычная) топология 20
Метрическое пространство 14
Многолистное накрытие 173
Многообразие 84
— с краем 111
Надстройка 291
Накрывающее отображение 166
— пространство 166
Накрытие 166
Незаузленный узел 239
Неориентируемая поверхность 101
Непрерывная функция 14
на метрическом пространстве
16
на топологическом
пространстве 26
Непрерывное действие группы на
топологическом пространстве
49—50
Неравенство треугольника 14
Несобственная двойная точка узла
243, 253
Нормальная подгруппа 11
Образ 8
Образующие группы 12, 205
Обратная функция 9
Обратный элемент в группе 10
Обычная (евклидова) метрика 15
— (метрическая) топология 20
Ограничение функции 9
Ограниченное множество в Rn 62
Односвязное топологическое
пространство 153
Одноточечная компактификация 63
Озера Вады 121
Окрестность 25
Оператор призмы 279
Орбита 48
Ориентируемая поверхность 100
с краем 111
Основная теорема алгебры 163
Открытое множество в метрическом
пространстве 16
в топологическом пространстве
20

— отображение 27
— покрытие 58
Относительная топология 31
Отношение на множестве 10
— эквивалентности 10
Отображение вычисления 63
— множеств 8
ПеаноДж. 120
Первая теорема об изоморфизме 11
Поверхности 97
Поверхность в краем 111
натянутая на узел 263—264
Подгруппа 10
— порожденная элементом 11
Поднятие 157
— отображения 169
Подпокрытие 57
Подпространство топологического
пространства 31
Покрытие 57
Полулокально односвязное
пространство 196
Польская окружность 190
Постоянная функция на
топологическом пространстве
26
Правильно накрытое множество 166
Приведенная теория гомологии 290,
292
обобщенная в
коэффициентами 293
Приведенный конус 291
Приклеивание листа Мёбиуса 100
— ручки 99
— цилиндра 99
Произведение путей 140
Прокоммутированная группа 235
Прообраз 9
Простая замкнутая кривая 107, 120,
173
— цепь 119
Простой узел 262
Пространство орбит 49
Прямая сумма групп 11
Прямое произведение групп 11
множеств 8
Пустое слово 203
Путь 112
Равномерно непрерывное
отображение метрических
пространств 124
Регулярное накрытие 177
Редуцированное слово 203
Ретракт 137
— слабый 138
Рефлексивность отношения 10
Род поверхности 101
— узла 265
Ручной узел 253
Свободная абелева группа ранга и 12
— группа, порожденная множеством
символов 203
сп образующими 203
Свободное действие группы 88, 168
Свойство универсальности
отображения произведений 54
факторпространств 39
Связная сумма поверхностей 97
узлов 262
Связное топологическое
пространство 73
Связывающие гомоморфизмы 287
Сильный деформационный ретракт
137
Симметричность отношения 10
Сингулярная n-мерная цепь 272—273
Сингулярный п-мерный симплекс
272
Сквер-узел 260, 261
Скольжение накрытия 174
Слабый деформационный ретракт
139
— ретракт 138
Следствие (соотношений группы)

205
Слова 203
Смежные классы в группе 10
Собственно разрывное действие
группы 167
Соотношения 205
Сохраняющий ориентацию
гомеоморфизм 242
Стабилизатор 48
Стандартная неориентируемая
поверхность рода т 101
— ориентируемая поверхность рода п
101
Стандартный п-мерный симплекс 272
Степень пути 161
Стереографическая проекция 85
Стинрод Н. 290
Стинрода — Эйленберга аксиомы
291—293
Строго эквивалентные узлы 242—
243
Структурная теорема для конечно
порожденных абелевых групп
12
Стягиваемое пространство 136
Сюръективная функция 9
ТвербергХ. 122
Теорема о волосатом шаре 290
— о гомотопической инвариантности
279
— о монодромии 162
— о накрывающей гомотопии для
путей 171
— о накрывающем пути 159
— о неподвижной точке 79
— о промежуточном значении 79
— о сэндвича а ветчиной 184
Титце преобразования 207
Тождественная функция на
топологическом пространстве
26
Тождественное отображение
множества 8
Топологическая группа 154
— инвариантность размерности 290
Топологическое отождествление 41
— произведение топологических
пространств 52
— пространство 20
Топология 20
— конечных дополнений 21
Тор 42
Торический узел 247
Точная последовательность 287
Транзитивное действие группы 176
Транзитивность отношения 10
Тривиальная группа 10
Трилистник 242, 260
Уайтхеда теорема 156
Узел 239
Улам(}. 180
Универсальное накрытие 195
Факторгруппа 11
Фактортопология 38
Фундаментальная группа 147
бутылки Клейна 180, 223
восьмерки 219
линзового пространства 180,
213
листа Мёбиуса 180
одноточечного пространства
222
окружности 157, 222
поверхности 231
проективной плоскости 223—
227,231
в выброшенной точкой
220
проективного пространства 213
пространства орбт 178— 180
тора 163, 220—223, 231
G выброшенной точкой 220
Функтор 150, 279
Функция 8

Хаусдорфово пространство 64
ХопфХ. 155
Хорда 129
Центр группы 149
Цепно-гомотопные гомоморфизмы
279
Цикл 274
Циклическая группа 12
Шенфлиса теорема 241
ШрейерО. 251
Эйленберг С. 290
Эквивалентные накрытия 191
— пути 140
— узлы 242
Эквивариантное отображение 49
Ядро гомоморфизма 11
G-пространство 50
Н-пространство 155
Тк-пространство 65

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая вниманию читателя книга освещает
в основном те разделы топологии, которые непосредст-
непосредственно примыкают к понятию фундаментальной группы.
Вместе с тем она дает и довольно полное представле-
представление о наиболее типичных идеях и методах алгебраи-
алгебраической топологии.
Материал книги в большинстве своем уже нашел
отражение в литературе по топологии на русском
языке. Однако здесь он изложен более элементарно,
менее формально, и в то же время достаточно лако-
лаконично и полно. Новым понятиям и определениям обычно
предшествуют наводящие соображения, которые рас-
раскрывают их сущность. В ряде мест, в том числе и при
изложении основ общей топологии, ощущается ориги-
оригинальный стиль автора.
Стремление к наглядности и простоте проявляется
в наличии большого числа рисунков—автор иногда
опускает .аналитические формулы, описывающие те или
иные построения, предпочитая апеллировать к геомет-
геометрическому воображению. Там, где это полезно (на-
(например, при описании некоторых основных гомеомор-
гомеоморфизмов в теории поверхностей или методов вычисления
фундаментальной группы), обычно приводится несколь-
несколько типичных способов рассуждений. Отличительной
чертой книги является и наличие большого количества
упражнений (всего их около 350), в основном не выше
средней трудности. Их назначение не только в том,
чтобы контролировать читателя: в форме упражнений
в книге сообщается также много дополнительной ин-
информации.
Книга адресована начинающему читателю и будет
служить хорошим источником для изучения основ
алгебраической (а также общей) топологии. Она будет
полезна математикам разных специальностей, интере-
интересующимся топологией.
Е. Г. Скляренко

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга содержит материал нескольких отдель-
отдельных вводных курсов алгебраической топологии для
студентов со средней подготовкой. Она написана в гео-
геометрическом духе и обильно иллюстрирована (в конце
концов, топология — это ветвь геометрии). Насколько
это возможно, мы избегали абстракции и вообще при
введении новых понятий предпочитали непритязатель-
непритязательный подход. Предварительные требования сведены
к минимуму, не предполагается никаких знаний из
общей топологии, что делает эту книгу особенно под-
подходящей для первоначального курса топологии с упо-
упором на алгебраическую топологию. На основе этой
книги преподаватель сможет достаточно свободно по-
построить свой курс для начинающих.
Книга изобилует многими упражнениями разной
сложности, которые помогут читателю усвоить материал
и проверить себя. Рекомендуется, конечно, выполнить
этих упражнений как можно больше, однако мы не
считаем это обязательным. Мы редко предполагаем,
что читатель проделал упражнения, а если решение
используется в тексте, оно обычно приводится.
Книга содержит элементы общей и алгебраической
топологии, отобранные по принципу их доступности.
Возможно, это и наиболее изящные разделы предмета.
В последней главе даны обширные рекомендации для
дальнейшего чтения.
Примерно четверть книги отведена общей топологии
и три четверти алгебраической. Общетопологическая
часть не содержит обычных патологий. Излагается
лишь материал, достаточный для того, чтобы читатель
мог быстро перейти к «интересной» части топологии.

ПРЕДИСЛОВИЕ
В части, посвященной алгебраической топологии, основ-
основное внимание уделено фундаментальной группе про-
пространства. Студенты обычно легко схватывают понятие
фундаментальной группы, и это позволяет им быстро
понять, чем занимается алгебраическая топология.
Подробно изложены теория накрывающих пространств
и теорема Зейферта — ван Кампена, а также их при-
применение для вычисления фундаментальных групп. Из
других тем упомянем многообразия и поверхности, тео-
теорему Жордана (в качестве приложения к гл. 12), тео-
теорию узлов и начальные сведения о сингулярных го-
гомолог и ях.
Так как эта книга посвящена топологии, а не исто-
истории топологии, имена и даты упоминаются не всегда.
Эту книгу не обязательно читать подряд. Следующая
схема показывает примерную зависимость глав. Напри-
Например, чтобы полностью понять гл. 18, нужно прочесть
главы 0—9, 12—16 и 17.
-+26
11 29
t/ /
0-9 ¦+ 12 -+ 13 -+ 14 -+ 15 -* 23 ->• 24 ->• 25 -+ 27 -+ 28 •+ 28А
\ \
12А 16 20
-с 19 •+ 21 -+22
Чес Коснёвски
Ньюкасл-апон-Тайн

МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ
В этой главе мы приводим некоторые основные
определения и результаты теории множеств и теории
групп, используемые в книге. При дальнейшем чтении
лучше всего возвращаться к этой главе по мере необ-
необходимости.
Для множеств X, Y запись YcX означает, что
Y — подмножество X. Если F<rX, мы обозначаем через
X\Y множество элементов из X, не принадлежащих Y.
Пустое множество обозначается символом 0.
Декартово, или прямое, произведение двух мно-
множеств X и Y — это множество упорядоченных пар вида
(*, у), где х?Х и y?Y, т. е.
XxY = {(x, у): х?Х, y?Y}.
Аналогично можно определить декартово произведение
конечной совокупности множеств {X,-: ?=1,2, ...,«}:
... ХХ„ = {(*!, х2 хп): XiZXt, 1 <?<«}.
Функция, или отображение, /: X —<• Y одного мно-
множества в другое — это соответствие, сопоставляющее
каждому элементу х из X единственный элемент f(x)
из Y. Тождественное отображение множества X — это
функция 1: X—>Х, такая, что 1 (х) = х для всех х? X.
Образ функции /: X—> Y определяется как
lm(f) = f(X) = {y?Y\ y = f(x) для некоторого лг^Х}.
Заметим, что если W, W—два подмножества X, то
Вообше, если есть семейство подмножеств X, скажем
{W/. j?J}, где J—некоторое индексирующее множе-

МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ
ство, то
Ц U ГЛ- U f{Wj), f( П ГЛс Л >
Мы часто сокращаем fi X—+Y просто до /, если не
может возникнуть недоразумений. Функция /' X —*Y
определяет функцию, отображающую X на f(X), ко-
которая также обозначается через /. Если А— подмно-
подмножество X, то ограничение функции / на А обозначается
}\А; функция f\A\ A—+Y определена равенством
(f\A)(a) = f(a) при а?А.
Если Z—подмножество У и /: X—> Y — некоторая
функция, то прообразом Z при / называется множество
Заметим, что для семейства {Ъл /?/} подмножеств
Z У
Z; ИЗ У
ГЧ U 2
\ft-J '
U
\ft-J
ГЧ П 2Л= n f-l(Zj),
Функция /l X —» 7 взаимно однозначна, или инъек-
тивна, если из xf, *2€^. ^i =#= *г следует / (^) =#= / (х2).
Функция /i X —> Y является отображением X на Y,
или сюръективна, если f(X) = Y. Функция /i X—*Y,
которая инъективна и сюръективна, называется биек-
биективной. В этом случае существует обратная функция
Г1; Y —*Х, определенная соотношением
Если fi X—+Y и g; Y —>Z—некоторые функции,
их композиция gfi X —<• Z определяется равенством
Если /; X ~* К—биективная функция, то ff~%\ Y—*Y
и /~x/i X-* X —тождественные отображения. Обратно,
если gfi X—*Х и /g: К—>К—тождественные отобра-
отображения, то / и g—биективные функции, каждая из
которых обратна к другой. Из того что gf\ X ¦—¦ X —
тождественная функция, следует, что / инъективна
и g сюръективна.

10 ГЛАВА 0
Отношение на множестве X — это подмножество ~
в ХХ.Х. Обычно пишут х~у, если (х, у)?~. Отно-
Отношение ~ на X называется отношением эквивалентности,
если оно удовлетворяет следующим трем условиям:
(i) Рефлексивность! х~х для всех х?Х.
(И) Симметричность; если х~у, то у~х.
(ш) Транзитивность; если х~у и y~z, то x~z.
Класс эквивалентности элемента х—это множество
[х] = {у?Х\ х~у\.
Если ~ — отношение эквивалентности на X, то каждый
элемент из X принадлежит в точности одному классу
эквивалентности.
Бинарная операция на множестве X—это функция
/i XxX—> X. Мы сокращаем f(x, у) до ху (мульти-
(мультипликативное обозначение) или иногда до х-\-у (адди-
(аддитивное обозначение).
Группа—это множество G вместе е бинарной опе-
операцией, удовлетворяющей трем условиям:
A) Существует элемент 1?G, называемый единич-
ным элементом, такой, что g\ = \g = g для всех
B) Для любого g?G найдется элемент g x ? G,
обратный к g, такой, что g'g~1 = gr~1g= 1.
C) Для всех git git g3(zG имеет место ассоциатив-
ассоциативность, т. е. (glg2)gs = gi(gzg3)-
В аддитивных групповых обозначениях единичный
элемент обозначается символом 0, а обратный к g —
символом —g. Группа, единственным элементом кото-
которой является единичный,—это тривиальная группа Ш
или {0}.
Подмножество И группы G называется подгруппой,
если Н — группа относительно бинарной операции на G.
Если Н — подгруппа G и g ? G, то левый смежный класс
группы G по Н, определяемый элементом g,— это под-
подмножество
Правые смежные классы определяются аналогично. Два
левых смежных класса gH, g'H по подгруппе Н либо
не пересекаются, либо совпадают.

МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ Ц
Прямое произведение ОхЯ групп G и Я—это мно-
множество GxH с бинарной операцией, определенной ра-
равенством (g, h)(gl, h') = (gg'-, hh'). В аддитивном слу-
случае мы говорим о прямой сумме и обозначаем ее бфЯ.
Гомоморфизм f\ G—*H группы G в группу Я—это
функция, для которой при всех g, g' ? G
f(gg') = f(g)f(g')-
Если гомоморфизм /i G—*H биективен, то мы назы-
называем / изоморфизмом, а группы G и Я изоморфными
и пишем G ^ Я или f\ G ^ Я. Я(Э^о гомоморфизма /i
G—> Я — это множество
где \ц—единичный элемент в Я. Ядро изоморфизма
состоит только из единичного элемента группы G.
Подгруппа К группы G называется нормальной,
если gkg-x€K для всех g^G, k?K. Ядро любого
гомоморфизма f> G—> Я — нормальная подгруппа в G.
Гомоморфизм /i G —> Я инъективен тогда и только
тогда, когда кег/ = {1}.
Если К — нормальная подгруппа G, то левый смеж-
смежный класс gK совпадает с правым смежным классом Kg,
и множество G/K всех левых смежных классов по К
является группой относительно операции
Мы называем G/K факторгруппой G по К-
Первая теорема об изоморфизме утверждает, что
если f: G—>Н—сюръективныи гомоморфизм из группы G
на группу Я g ядром К, то Я изоморфна фактор-
факторгруппе G/K-
Если g?G, то подгруппа, порожденная элемен-
элементом g,— это подмножество G, состоящее из всех це-
целых степеней gi
где g"=gg..-g npHrt^Ong"=gg...g при/г<0.

12 ГЛАВА О
В аддитивных обозначениях имеем
где ng = g-}-g-}-----}-g при я^и и ng=(—?
-п
+ (—g) + • • • + (—8) ПРИ п < °- Если G = <§¦> Для не-
некоторого g, то мы говорим, чтоб — циклическая группа
с образующим элементом g. Вообще, множество обра-
образующих группы G—это подмножество S в G, такое,
что каждый элемент из G является произведением эле-
элементов из S. Если S конечно, то мы говорим, что
G конечно порождена.
Группа G называется абелевой или коммутативной,
если gg' = g'g для всех g, g' ?G. Например, множество
целых чисел Z—абелева группа (обозначения адди-
аддитивные), более того, она является циклической группой
с образующей +1 или —1.
Свободная абелева группа ранга п — это группа,
изоморфная Z@Z©...(J)Z (n экземпляров).
Структурная теорема для конечно порожденных
абелевых групп утверждает: если G — конечно порож-
порожденная абелева группа, то G изоморфна группе
где Но—свободная абелева группа и Я,-, i=l, 2,
..., т,— циклические группы, порядки которых яв-
являются степенями простых чисел. Ранг группы Яо и по-
порядки циклических подгрупп Н1У Я2, ..., Нт определены
однозначно.
Коммутатора группе G — это элемент вида ghg'1^1.
Коммутант группы G—это подмножество G, состоящее
из всех конечных произведений коммутаторов в G (оно
является подгруппой). Коммутант К — нормальная под-
подгруппа Сив действительности наименьшая подгруппа G,
для которой G/K абелева.
Мы используем буквы R, С, Z, N, Q для обозна-
обозначения множеств вещественных, комплексных, целых,
натуральных (или целых положительных) и рациональ-
рациональных чисел соответственно. Часто мы называем К
вещественной прямой, а С комплексной плоскостью.

МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ 13
Множество R"—это декартово произведение п экземп-
экземпляров R. Мы используем следующие обозначения для
некоторых подмножеств R (называемых интервалами^
(a, b) = {x?Ri a<x<b},
[a, b] = {x?Ri а <*<&},
[a, b) = {x?R\ а <*<&},
(a, b] = {x?Ri a<x^b\.
Смысл подмножеств (— oo, b], (— с», b), [a, oo) и (a, oo)
очевиден. Заметим, что (—oo, <x>) = R.
Отметим, что (a, b) может означать пару элементов,
например точку в Ra, а также интервал в R. Что
имеется в виду в каждом частном случае, должно быть
ясно из контекста.

Глава 1
ИСТОКИ: МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
В топологии изучаются множества с определенной
«структурой», которая позволяет придать смысл Bonpocyi
непрерывна или нет функция /; X—*Y? В этой главе
мы выясним, что это за «структура», на примере евкли-
евклидовых и метрических пространств.
Напомним, что функция /: R —¦ R называется непре-
непрерывной в точке х, если для любого ех > 0 существует
такоебх>0, что \}{у)—f{x)\ <еХУ как только \у—х\<?>х.
Функция называется непрерывной, если она непрерывна
во всех точках #?R. Это определение непрерывности
можно расширить на функции /: R" —> Rm простой за-
заменой знака модуля на евклидово расстояние. Вообще,
если у нас есть множества о «функциями расстояния»,
то можно определить непрерывность при помощи этих
функций. «Функция расстояния», или метрика, должна
удовлетворять некоторым очевидным условиям; они
приводят к следующему определению.
1.1. Определение. Пусть А—некоторое множество.
Функция d\ Ax A—>R, удовлетворяющая условиям
(i) d(a, b) — 0 тогда и только тогда, когда а — Ь,
(и) d(a, b) + d(a, c)^d(b, с) для всех а, Ь, с?А,
называется метрикой на А. Множество Л с определен-
определенной на нем метрикой называется метрическим простран-
пространством и обозначается (A, d) или просто М.
Второе свойство известно как неравенство треуголь-
треугольника.
1.2. Упражнение. Покажите, что если d — метрика на А, то
d(a, 6)ЗгО и d(a, b) = d(b, а) для всех а, Ь?А.
Если взять A = R и d(x, y) = \x—y\, то нетрудно
видеть, что d—метрика. Вообще, возьмем A=Rn и опре-

ИСТОКИ! МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 15
делим d равенством
1/2
где х=*(хи хг хп) и у — {уь у2, .... уп). Снова
нетрудно показать, что d—метрика на R". Эта метрика
называется евклидовой или обычной метрикой.
Два других примера метрик на A — R." задаются
равенствами
п
d(x, */)= 2 I*/—yi\> d(x, y)= max \xt—y;\.
( = I 1 < ( < n
Проверку того, что это действительно метрики, мы
оставляем читателю в качестве упражнения.
Наконец, если А — любое множество, на нем можно
определить метрику по правилу: d(x, г/) = 0 при х-=у
и d(x, y)=\ при хфу. Полученная метрика назы-
называется дискретной метрикой на А.
1.3. Упражнения, (а) Покажите, что каждая из следующих функ-
функций является метрикой на R":
п
<*(*, У)= У, \Щ— У;\; d(x, у)= max \х{—у(\.
J = 1 1 <i <П
(b) Покажите, что d (x, у) = (х—уJ не определяет метрику
на R.
(c) Покажите, что d (х, у)— min | л;,-—у; \ не определяет
1 < ( < п
метрику на R".
(d) Пусть d — метрика и г—положительное число. Покажите,
что функция dr, определенная равенством dr (x, y) = rd(x, у),
также является метрикой.
(e) Пусть d—метрика. Покажите, что d' (x, y)=d (x, y)/(\-\-d (x, у))
также является метрикой.
(f) Определим d (х, у) в R2 как наименьшее целое число, боль-
большее или равное обычному расстоянию между х и у. Является лис!
метрикой на R.2?
Теперь легко определить непрерывность отображе-
отображений метрических пространств.

16 ГЛАВА I
1.4. Определение. Пусть (Л, dA), (В, dB) — метрические
пространства. Функция f\ A —* В называется непрерыв-
непрерывной в точке х ? Л, если для любого ех > 0 существует
такое 5Х > 0, что dB(f(x), f(y))<ex, как только
^а(х< У)<&х- Функция называется непрерывной, если
она непрерывна во всех точках х?А.
1.5. Упражнения, (а) Пусть А—метрическое пространство с метри-
метрикой d. Пусть у?А. Покажите, что функция/: А—>• R, опреде-
определенная равенством f(x) = d(x, у), непрерывна, если R снабжено
обычной метрикой.
(Ь) Пусть М — метрическое пространство (R, d), где d — обыч-
обычная евклидова метрика. Пусть Мо — метрическое пространство
(R, d0), где d0—дискретная метрика, т. е.
/О при к — у,
(х У) = <
/
(х, У) = <
1 при х Ф у.
Покажите, что все функции /: Мо —> М непрерывны. Покажите,
что не существует инъективной непрерывной функции из М в Мо.
Часто оказывается, что при изменении метрики
на А или В множество всех непрерывных функций,
отображающих А в В, не меняется. Примеры такого
рода приводятся в следующих упражнениях.
1.6. Упражнения, (а) Пусть Л, В — метрические пространства с мет-
метриками d и dg соответственно. Пусть dr — метрика на А, введен-
введенная в упр. 1.3 (d) (т. е. dr(x, y) = rd(x, у)). Пусть /—функция,
отображающая Л в В. Докажите, что / тогда и только тогда
непрерывна относительно ме1рики d на А, когда она непрерывна
относительно метрики dT на А.
(Ь) Докажите то же, что и в (а), с заменой dr на метрику d'
нз упр. 1.3 (е).
Итак, метрика не является определяющим критерием
того, будет ли функция непрерывной. Главным здесь
оказывается понятие открытого множества.
1.7. Определение. Подмножество U метрического про-
пространства (Л, d) называется открытым, если для лю-
любого x?U существует такое ех > 0, что из у?А
и d (у, х) < гх следует у ? U.
Другими словами, U открыто, если для любого х ? U
существует такое ех > 0, что Вех (х) = {у б Л: d (у, х) <
<Л(/

ИСТОКИ: МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 17
Примером открытого множества в R является интер-
интервал @, \)={х? Ri 0 < х < 1}. В Ra открытыми являются
следующие множества:
{(*, у)?№; х* + у*<\\, {(х, у)?КЬ х* + у*>1\,
{(х, у)?№; 0<х<1, 0<у<\\.
1.8. Упражнения, (а) Покажите, что Bs (х) — открытое множество
для всех х и всех е > 0.
(b) Какие из следующих подмножеств R.2 (с обычной метри-
метрикой) открыты:
{(*, у): * + ifi< 1}U«1> 0)}, {(*, у): х* + у*<1},
{(х, у): \х\<\}, {(х, у): х+у<0},
{(х, у): х+у^0}, {(х, у): х + г/ = О}?
(c) Покажите, что если JF —совокупность всех открытых под-
подмножеств метрического пространства, то (i) пустое множество 0
и все пространство принадлежит !jf\ (и) пересечение двух элемен-
элементов (f~ принадлежит $f\ (Hi) объединение любого числа элеменюв^"
принадлежит ff'.
(d) Приведите пример бесконечного семейства открытых мно-
множеств в R (с обычной метрикой), пересечение которых не открыто.
Используя понятие открытого множества, мы полу-
получаем следующий ключевой результат.
1.9. Теорема. Функция f> Mi—>-Mt из одного метри-
метрического пространства в другое тогда и только тогда
непрерывна, когда для любого открытого множества U
в М2 множество /~x(t/) открыто в Mt.
Этот результат утверждает, что / непрерывна в том
и только в том случае, когда прообразы открытых
множеств открыты. Он не утверждает, что образы
открытых множеств открыты.
Доказательство. Пусть d1 и d2—метрики на Mt
и Ма соответственно. Предположим, что / непрерывна,
и пусть U—открытое подмножество Ма. Пусть л: б/^).
так что / (х) ? U. Поскольку V открыто, найдется такое
е>0, что Bs(f(x))(=U. Непрерывность / гарантирует
существование такого б > 0, что
или, другими словами, что f(B6(x))c=Bs(f(x))c=U. Это
означает, что Вй (x)df'1 (U). Так как это верно для

18 ГЛАВА 1
всех х ? f'1 (U), то f'1 (U)—открытое подмножество Mt.
Обратно, пусть х ? Mt; тогда для любого е > 0 мно-
множество Be(f(x)) есть открытое подмножество М%у так
что /-1 (Ве (f(x)))-~-открытое подмножество Mt. По-
Поскольку х ? f'1 (Ве (J (х))), найдется б > 0, для которого
Bb(x)cf-l{BB{f(x))), т. е. f(Be(x))c5,(/D Другими
словами, найдется такое б > 0, что d2{f{x), /(#))< 8,
как только d1(x, у) < б, а это означает непрерыв-
непрерывность /. ?
Эта теорема говорит нам, в частности, что если
две метрики на множестве порождают одну и ту же
совокупность открытых множеств, то любая функция,
непрерывная относительно одной метрики, автомати-
автоматически непрерывна и относительно другой. Таким обра-
образом, упр. 1.6 можно перефразировать так: покажите,
что метрики d, dr и d' порождают одну и ту же
совокупность открытых множеств.
1.10. Упражнение. Какая из метрике! (х, у) = 2 \xl~ Hi 1> ^(х, у) =
= тах\Х{ — у;\ на R" порождает то же семейство открытых мно-
множеств, что и обычная метрика R"?
Из сказанного выше мы видим, что для изучения
непрерывности функций на метрических пространствах
важна именно совокупность открытых множеств в каж-
каждом из них, а не сама метрика. Это приводит к сле-
следующей идее; на заданном множестве X выберем не-
некоторую совокупность ? его подмножеств и назовем
их открытыми. Это даст нам некий объект (X, ?),
состоящий из множества X вместе с совокупностью ?
его подмножеств. Непрерывность отображений таких
объектов (X, ?), (Y, ?') можно определить, назвав
функцию /: X—*Y непрерывной, если /~J (U)??, как
только L/??'. Конечно, если бы мы допустили про-
произвольные совокупности, то не получили бы никакой
интересной математики. Поэтому мы потребуем, чтобы
совокупность ? открытых множеств подчинялась не-
нескольким простым правилам, тем самым, которым под-
подчиняется совокупность открытых множеств в метри-
метрическом пространстве (упр. 1.8 (с)). Эти правила таковы:
(i) (для удобства) пустое множество 0 и все мно-
множество принадлежат ?;

ИСТОКИ! МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 19
(И) пересечение двух элементов ? принадлежит ?\
(ш) объединение любого числа элементов <F при-
принадлежит ?.
Под «структурой», связанной g множеством X, о кото-
которой говорилось в начале этой главы, понимается просто
совокупность ? подмножеств X, удовлетворяющая
этим трем условиям. Это и есть исходный пункт топо-
топологии.

Глава 2
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Топологическое пространство — это множество
вместе с некоторой совокупностью его подмножеств
(которые называются открытыми), удовлетворяющей
трем условиям.
2.1. Определение. Пусть X—множество и 41—сово-
41—совокупность его подмножеств, удовлетворяющая условиям
(О 0?4L, Х?Ч1,
(и) пересечение двух множеств из 41 принадлежит 41,
(Ш) объединение любой совокупности множеств пз41
принадлежит 41.
Такая совокупность 41 подмножеств X называется
топологией на X. Множество X вместе о 41 называется
топологическим пространством и обозначается (X, 41),
что часто сокращается до Т или просто X. Множества
U ?41 называются открытыми множествами топологи-
топологического пространства Т. Элементы множества X назы-
называются точками пространства Т.
Заметим, что из условия (И) следует, что пересе-
пересечение любого конечного числа множеств из 41 принад-
принадлежит 41. Если обозначить множество всех подмно-
подмножеств X через <^(Х), то топология на X — это выбор
совокупности 41 с & (X), удовлетворяющей приведенным
выше условиям (i), (ii) и (Hi). Различные выборы %
дают различные топологии на X.
Важно иметь много примеров топологических про-
пространств. Из результатов предыдущей главы немед-
немедленно получаем, что любое метрическое пространство
определяет топологическое пространство, о котором
говорят, что оно имеет метрическую или обычную топо-
топологию. Обратное неверно, т. е. существуют топологи-

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 21
ческие пространства, которые не возникают ни из
какого метрического пространства (см. упр. 2.2 (с)).
Топологические пространства, возникающие из метри-
метрических, называются метризуемыми. Заметим, что два
метрических пространства могут определять одно и то
же топологическое пространство.
Следующие два примера топологических пространств
мы получим, рассмотрев крайние случаи возможных
совокупностей подмножеств X, удовлетворяющих аксио-
аксиомам топологии. Первый из них получается, когда
41 = {0, Х\. Это семейство определяет топологию на
любом множестве X, называемую антидискретной топо-
топологией. Другой крайний случай—когда % совпадает
с множеством & (X) всех подмножеств X; этот случай
дает топологию на X, называемую дискретной.
2.2. Упражнения, (а) Покажите, что если X имеет дискретную
топологию, то оно метризуемо. (Указание: рассмотрите дискретную
метрику.)
(b) Пусть X—метризуемое топологическое пространство. Дока-
Докажите, что для любой пары a, b различных точек из X найдутся
открытые множества U'а и Ub, содержащие аи d соответственно
и такие, что ?/«fWb = 0-
(c) Воспользуйтесь (Ь) для доказательства того, что если про-
пространство X содержит не менее двух точек и имеет антидискрет-
антидискретную топологию, то оно неметризуемо.
Интересный пример топологии на множестве X из-
известен под названием топологии конечных дополнений.
Здесь % состоит из 0, X и тех подмножеств X, допол-
дополнения которых конечны. Если X само конечно, то это
в точности дискретная топология на X. Если X бес-
бесконечно, то нужно проверить, что совокупность 41
удовлетворяет трем аксиомам топологии. Первая из
них выполняется тривиально. Для проверки второй пред-
предположим, что Uу, /726^, так что X\U1 и X\U2 ко-
конечны. Тогда (X\Ui) U (Х\1/г) тоже конечно, но оно
равно Х\@г Л иг), и, таким образом, ?/х Л U% € ^- Для
проверки третьей аксиомы воспользуемся тем, что
X\(U l/y)= Л (X\Uj).
jeJ i<=J
Если X состоит из двух точек {а, Ь\, то имеется

22 ГЛАВА 2
всего четыре различные топологии на X, а именно
% = {0, Х\; % = \0, \а\, Х\;
% = {0, {b\, X}; % = {0, \а\, {b\, X}.
То, что Ч11 и %—топологии, уже доказано; проверку
того, что %г и Ч13—тоже топологии, мы оставляем
читателю. Заметим, что (X, Ч12) и (X, Ч1В) неметризуемы.
Другие примеры топологических пространств даны
в следующих упражнениях.
2.3. Упражнения. В каждом из случаев (а), (Ь), (с) покажите, что
Щ—топология на X.
(a) X = R, Ч1 = {0}[}{Щ\Л(- «. *)= *€^}-
(b) X = (М = положительные целые = натуральные числа, % =
= {0}U{O»: п>1}, где 0„ = К n-j-l, п + 2, ,..}.
(c) X — R, U?4L в том и только в том случае, если (У —под-
—подмножество R и для любого sg U найдется такое / > s, чго [s, t) cz U,
где [s, t) = {x?R: s<x < (}.
(d) Найдите число различных топологий на множестве из трех
элементов.
(e) Покажите, чю ни одна из следующих совокупностей под-
подмножеств R не является топологией:
-«> х]:
a. Ь): a, &gR, а < Ь).
Для любого подмножества У топологического про-
пространства X можно рассмотреть наибольшее содержа-
содержащееся в Y открытое множество; оно обозначается Y
и называется внутренностью Y. Другими словами,
у= U U/, где {Vл ]?J\—семейство всех открытых
множеств, лежащих в Y. Очевидно, что x^Y в том
и только в том случае, если найдется открытое мно-
множество U'сУ, такое, что х?1/.
Пусть, например, /"—следующее подмножество Rni
/«={x-(Xi, х2, .... *„)€«*"! 0<*,<1,/=1,2 п\.
Если R" снабжено обычной топологией (т. е. метри-
метрической топологией, определяемой евклидовой метрикой
/ П \1/2
й(х, у) = [ ^Ei{Xi—HiY) ). то внутренность /" есть
/™ = {г. 0<х/<1, 1=1, 2, ..., л}.

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 23
Чтобы убедиться в этом, возьмем х ? /", и пусть е =
=min{l—xt, X[\ t=l, 2, . ., п). Открытый шар ВЕ (х),
(т. е. {y?R.n: d(y, х) < е}) радиуса е с центром в точ-
точке х содержится в /", и потому I" открыто. С другой
стороны, если х{—\ или 0 для некоторого i, то любой
шар В,, (х) радиуса г с центром в х содержит точки,
не лежащие в /", как бы ни было мало г. Следова-
Следовательно, такие точки не содержатся во внутренности /".
Дополнения открытых множеств имеют специальное
название.
2.4. Определение. Подмножество С топологического
пространства X называется замкнутым, если Х\С от«
крыто.
Следующее утверждение легко следует из теоретико-
множественных результатов о дополнениях пересечений,
и объединений.
2.5. Теорема, (i) 0, X замкнуты;
(и) объединение любых двух замкнутых множеств,
замкнуто;
(in) пересечение любой совокупности замкнутых мно~
жесте замкнуто.
Понятие замкнутого множества можно использовать
для определения топологических пространств.
2.6. Упражнения, (а) Пусть X — некоторое множество и ef/^> — со-
совокупность его подмножеств, удовлетворяющая условиям (i) 0,
X?fv, (ii) объединение любых двух множеств из 'У3 принадле-
принадлежит <^'э, О'') пересечение любой совокупности множеств из ^
принадлежит f3. Покажите, что 1t = {X\V: V?СУЭ} — топология
на X.
(b) Докажите, что в дискретном топологическом пространстве
всякое подмножество одновременно открыто и замкнуто.
(c) Покажите, что если топологическое пространство состоит
из конечного числа точек, каждая из которых замкнута, то оно
имеет дискретную топологию.
(d) Покажите, что в топологическом пространстве (R, 41), где
41 определено в упр. 2.3 (с), каждое из множеств [s, /) открыто
и замкнуто.
Для любого подмножества У топологического про-
пространства X можно рассмотреть наименьшее содержа-

24 ГЛАВА 2
щее У замкнутое множество; оно обозначается Y и
называется замыканием У. Другими словами, У = П F,,
где {Ff. j?J}—семейство всех замкнутых множеств,
содержащих У. Следующий результат дает другое
описание У.
2.7. Лемма, х 6 У тогда и только тогда, когда для
любого открытого множества U, содержащего х,
Y
Доказательство. Пусть х 6 У. и предположим, что
найдется содержащее х открытое множество U, для
которого Uf]Y = 0. Множество X\U замкнуто и
Y<=X\U, так что ?cX\U (упр. 2.9 (а)). Но тогда
предположение x.?Y противоречит тому, чюх€.и.
Обратно, допустим, что x^Y, т.е. х€Х\У. Но
X\Y открытой (Х\У)П"У=0, откуда (Х\У)пУ=0,
так что указанное в лемме условие U П Y-ф 0 не вы-
выполнено для U = X\Y. П
В пространстве & с обычной топологией замыка-
замыканием множеств (а, Ь), [а, b), (a, b] и [а, Ь] будет [а, Ь].
2.8. Упражнения, (а) Пусть X есть R с обычной топологией. Най-
Найдите замыкания следующих подмножеств X:
Л = {1, 2, 3, ...}, В = {х: х рационально},
С = {к: х иррационально}.
(Ь) Пусть X — множество R с топологией упр. 2,3 (с). Найдите
замыкания следующих подмножеств X:
(а, Ъ), [а, Ь), (а, Ь], [а, Ь].
Дальнейшие свойства замыкания множества даются
в качестве упражнений.
2.9. Упражнения. Докажите следующие утверждения.
(a) Если Y—подмножество топологического пространства X,
причем YdFdX и F замкнуто, то YcF.
(b) Y замкнуто тогда и только тогда, когда Y = Y.
(c) V=Y. _
_
(d) А[)В = А[)В, АГ\ВсА(\В.
(е)

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 25
(f) Y=Y[)dY, где dY=Y (](X\Y) (dY называется границей Y).
(g) Y тогда и только тогда замкнуто, когда dYcY.
(h) dY = 0 тогда и только тогда, когда Y открыто и замкнуто
одновременно.
(i) d({x?R: а<х< b}) = d({x?R: a<x^b}) = {a, b).
(j) Докажите, что Y тогда и только тогда является замыка-
ием некоторого открытого множества, когда Y совпадает с замы-
замыканием своей внутренности.
В дальнейшем нам пригодится следующее важное
понятие.
2.10. Определение. Пусть X—топологическое прост-
пространство. Подмножество N с X, содержащее точку х ? X,
называется ее окрестностью, если найдется открытое
множество U, такое, что x?UczN.
В частности, всякое открытое множество является
окрестностью любой своей точки. Вообще, всякое мно-
множество А, для которого А Ф 0, является окрестностью
каждой точки из А. Некоторые простые свойства ок-
окрестностей содержатся в следующем упражнении (его
результаты можно использовать для определения то-
топологий).
2.11. Упражнение. Пусть X — топологическое пространство. Дока-
Докажите следующие утверждения, (i) Для любой точки х?Х сущест-
существует хотя бы одна ее окрестность, (и) Если N — окрестность х и
N(Z.M, то М—тоже окрестность х. (iii) Если М и N — окрест-
окрестности х, то M(]N — тоже окрестность х. (iv) Для любой точки
х?Х и любой ее окрестности /V найдется такая окрестность U
точки х, что UczN и (У— окрестность каждой из своих точек.

Глава 3
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
3.1. Определение. Функция/: X—*Y, где X и Y —
топологические пространства, называется непрерывной,
если для любого открытого множества UcY его про-
прообраз f~1(U) открыт в X.
Самые простые примеры непрерывных функций —
это тождественная функция 1^-: X —* X и постоянная
функция X —* У, переводящая любую точку из X в не-
некоторую фиксированную точку из Y.
Если взять пространство X а дискретной тополо-
топологией, то любая функция /: X—*Y, отображающая X
в произвольное топологическое пространство Y, не-
непрерывна. Это очевидно, поскольку прообраз любого
подмножества У открыт в X. С другой стороны, если
взять У с антидискретной топологией, то всякая функ-
функция /: X—+Y, отображающая произвольное топологи-
топологическое пространство X в У, также непрерывна. На
самом деле справедливы и обратные утверждения, по-
помещенные далее в упражнениях.
Теперь приведем пример функции, не являющейся
непрерывной. Пусть X = (R, 41), где ^ = {0}U{R}U
U {(—с», х): х?Щ, и пусть /: X—* X определена ра-
равенством [(х) = хг. Функция / не непрерывна, потому
что /"*((—°<э, t/2)) = (—у, у) не принадлежит 41. Описа-
Описание всех непрерывных функций, отображающих X в X,
дается в упр. 3.2 (d).
3.2. Упражнения, (а) Пусть X — произвольное множество и %,
41' — топологии иа X. Докажите, что тождеатвенное отображение
(X, Щ —> (X, 41') непрерывно в том и только в том елучае, если
Ч1'%
(Ь) Пусть X — топологическое пространство, обладающее тем
свойством, что для любого топологического пространства Y вся-

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 27
кая функция /: X—*Y непрерывна. Докажите, что топология
пространства X дискретна. (Указание: возьмите в качестве Y мно-
множество X с дискретной топологией.)
(c) Пусть Y — топологическое пространство с тем свойством,
что для любого топологического пространства X всякая функция
/: X —> Y непрерывна. Докажите, что Y имеет антидискретную
топологию. (Указание: возьмите в качестве X множество Y с анти-
антидискретной топологией.)
(d) Пугть X—множество вещественных чисел с топологией
{0}U{R}U{(— о°. *): *€R}- Докажите, что функция /: X—>Х
в том и только в том случае непрерывна, если она не убывает
(т. е. из х > х' следует / (х)^ f (x')) и непрерывна справа в клас-
классическом смысле (т. е. для каждого xQX и любого е > О найдется
такое б > 0, что из х*?,х' < x-j-S следует | f (x) — f(x')\ < e).
Можно охарактеризовать непрерывные отображения
и в терминах замкнутых множеств.
3.3. Теорема. Функция /: X —*• Y тогда и только тог-
тогда непрерывна, когда /-1 (С) замкнуто для любого зам-
замкнутого подмножества СсУ.
Доказательство. Предположим, что f непрерывна.
Если С замкнуто, то Y\C открыто, и потому Z (Y\C)
открыто. Но f~l (Y\C) = X\J~1 (С), следовательно,
/-1 (С) замкнуто. Обратно, допустим, что U открыто в У,
так что Y\U замкнуто и, стало быть, Z (Y\U) =
= Х\/~] (U) замкнуто; но это означает, что f~* (U)
открыто, и потому f непрерывна. ?
Отображение, переводящее открытые множества
в открытые, называется открытым. Открытые отобра-
отображения не обязательно непрерывны. В качестве примера
возьмем Y, состоящее из двух точек {а, Ь\ с дискрет-
дискретной топологией, и пусть X — множество вещественных
чисел с обычной топологией. Отображение /: X —> У,
определенное равенством
[а при х>0,
ПХ)~\Ь при х<0,
открыто, но не является непрерывным, потому что
/-1 ({а}) не открыто в X. Всякое отображение произ-
произвольного топологического пространства в дискретное
пространство открыто,

28 ГЛАВА 3
Назовем отображение /: X —>¦ У замкнутым, если
образ любого замкнутого множества замкнут. Замкну-
Замкнутые отображения не обязательно непрерывны; описанное
выше открытое разрывное отображение является также
и замкнутым. Вообще, непрерывное отображение может
быть (i) неоткрытым и незамкнутым, (ii) открытым, но
незамкнутым, (iii) замкнутым, но неоткрытым, (iv) и
замкнутым, и открытым. Примеры таковы: (i) X— мно-
множество Л с дискретной топологией, Y— множество А
с антидискретной топологией и f—тождественное ото-
отображение; (ii) Х = {а, Ь\ с дискретной топологией и
Y = {a, b) с топологией {0, {а}, {а, Ь}\; тогда посто-
постоянное отображение, переводящее X в a?Y, открыто
и непрерывно, но не замкнуто; (iii) Х — {а, Ь) с ди-
дискретной топологией и У — R с обычной топологией;
тогда отображение /: X —> Y, заданное равенствами
f(a) — O, f(b)—l, непрерывно и замкнуто, но не от-
открыто; (iv) X = Y — любое топологическое пространство
и / — тождественное отображение. Конечно, если на /
наложить дальнейшие ограничения, то некоторые из
четырех случаев станут невозможными.
3.4. Упражнение. Пусть f: X—» Y—непрерывное отображение
топологических пространств. Если оно: (а) инъективно, (Ь) сюръ-
ективно, (с) биективно, какие из названных четырех случаев могут
на самом деле возникнуть?
Следующий результат показывает, что композиция
двух непрерывных функций непрерывна. Доказатель-
Доказательство замечательно своей простотой.
3.5. Теорема. Пусть X, Y и Z—топологические
пространства. Если f: X—+Y и g: Y —> Z — непрерыв-
непрерывные функции, то их композиция h = gf: X —> Z также
непрерывна.
Доказательство. Если U открыто в Z, то g'1 (U)
открыто в У и, таким образом, /~J (g" (?/)) открыто в X.
Но (gfrH^^f-'ig-'iU)). ?
Следующее определение указывает, при каких ус-
условиях два топологических пространства считаются
эквивалентными; для выражения эквивалентности в дан-
данном случае используется слово «гомеоморфизм».

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 29
3.6. Определение. Пусть X и Y — топологические про-
пространства. Говорят, что X и Y гомеоморфны, если
существуют взаимно обратные непрерывные отображе-
отображения /: X-+Y,g: Y-*X (т.е. fg~\Y, gf=\x). Мы
пишем ХйУ и называем / и g гомеоморфизмами про-
пространств X и К.
Эквивалентное определение получится, если потре-
потребовать, чтобы отображение /: X —+ К было (i) биектив-
биективным, (и) непрерывным и (ш) обратное к нему отобра-
отображение /~1 также было непрерывным. Итак, гомеомор-
гомеоморфизм между пространствами X и Y—это биекция между
точками и открытыми множествами этих пространств.
Некоторые примеры гомеоморфизмов легко получить
из гл. 1. Например, если X—топологическое простран-
пространство, возникающее из метрического пространства М
с метрикой d, и если Y возникает из М с метрикой d',
заданной равенством d' (х, y) = d(x, y)l{\ -\-d(x, у)), то
X и Y гомеоморфны. Другой пример получится, если
положить X равным R" с обычной метрической топо-
топологией, a Y—равным R" с метрической топологией,
полученной из метрики d(x, t/) = max|x,-—yt\. Снова
X и Y гомеоморфны. С другой стороны, если X = R"
с обычной топологией, a K = R" с дискретной тополо-
топологией, то X и К не гомеоморфны.
3.7. Упражнения, (а) Приведите примеры пространств X, Y и не-
непрерывной биекции /: X —> Y, такой, что /-1 разрывно1).
(b) Пусть X и Y—топологические пространства. Докажите,
что X и У в том и только в том случае гомеоморфны, если су-
существует такое отображение /: X —>• Y, что (i) / биективно и (и)
подмножество UaX тогда и только тогда открыто, когда / (U)
открыто.
(c) Пусть метрики d\ и йг на множестве У таковы, что для
некоторых положительных т и М
тйг (у, у') < йг (у, у') < Mdx (у, у')
при всех у, y'?Y. Покажите, что два топологических простран-
пространства, определяемые этими метриками, гомеоморфны. (Указание:
рассмотрите тождественное отображение множества К.)
(d) Пусть X — топологическое пространство и G (X) — множе-
См. примеры к теореме 8.8,— Прим. ред.

30 ГЛАВА 3
ство всех гомеоморфизмов /: Л—>-Х. Докажите, что G (Л) —
группа. Для xGX определим Gx(X)~{f?G (X): f(x)=x}. Дока-
Докажите, что GX(X)— подгруппа G (X).
Гомеоморфность является отношением эквивалент-
эквивалентности, и топология есть изучение классов этой экви-
эквивалентности. В следующих трех главах описываются
способы построения новых топологических пространств
из уже известных.

Глава 4
ИНДУЦИРОВАННАЯ ТОПОЛОГИЯ
Пусть S—подмножество топологического простран-
пространства X. Топология пространства X определяет неко-
некоторую топологию на S.
4.1. Определение. Топологией на S, индуцированной
топологией пространства X, называется совокупность
множеств вида U [)S, где U—открытое множество в X.
Другими словами, если 41—совокупность всех от-
открытых множеств в X, то 4ls = {U (]S: U ?41}—сово-
?41}—совокупность всех открытых множеств в S. Чтобы дока-
доказать, что 4ls является топологией на S, мы должны
проверить три аксиомы топологии. Так как 0 = 0 (]S
и S = X[]S, то первая аксиома выполнена. Для про-
проверки второй рассмотрим множества 1)х ГM и U2hS
из 4ls. Их пересечение (U1r\S)n{Ut{)S)s=(U1nUjnS
также принадлежит 4ls. Наконец, если {Uj[\S\ j?J\ —
произвольное семейство множеств из 4ls, то U (U, П S)=a
/6 J
= ( U U,\(]S принадлежит 1ls.
ч/б./ /
Индуцированную топологию иногда называют от-
относительной топологией. Подмножество 5сХ, снаб-
снабженное индуцированной топологией, называется под-
подпространством X.
Например, если взять подмножество [а, Ь] вещест-
вещественной прямой R (с обычной топологией) и задать на
нем индуцированную топологию, то множества
[а, с), а<с<Ь,
(d, b], a<d<b,
(d, c), a<

32
ГЛАВА 4
будут открытыми в [о, Ь]. Заметим, что открытое под-
подмножество подпространства [о, Ь] не обязательно от-
открыто в R.
В качестве другого примера можно взять единич-
единичную окружность S1 в R2 с топологией, индуцированной
обычной топологией в R2. Тогда открытые множества
в S1 — это объединения открытых дуг, т. е. дуг без
концевых точек. Вообще, определим на стандартной
и-мерной сфере
f.
• Zj xi.— I
топологию, индуцированную обычной топологией в R"+1.
Рассмотрим подмножество S пространства R"fl,
заданное уравнением хп+1 — 0. Если наделить S инду-
индуцированной топологией (используя обычную топологию
в R"+1), то S будет гомеоморфно R". Читатель может
доказать это самостоятельно или заглянуть в гл. 6.
ее.
Рис.4.1
Интересно рассмотреть некоторые подпространства
R3 и найти среди них гомеоморфные между собой. На-
Например, гомеоморфны отрезки [а, Ь] и [с, d] в RcR3.
Один из гомеоморфизмов задается равенством
f (x) = c + (d—с) (х—а)/(Ь—а).
Нетрудно построить обратное отображение /-1 и пока-
показать, что / и /~а непрерывны (см. также упр. 4.5 (g)).
Мы, так сказать, растягиваем или сжимаем один от-
отрезок в другой.
В качестве другого примера рассмотрим окружность
и замкнутую ломаную, ограничивающую квадрат

ИНДУЦИРОВАННАЯ ТОПОЛОГИЯ
33
Рис.4.2
Рис.4.3
(рис. 4.1). Отображение, которое переводит дуги х;х1+1
окружности в стороны t//t/,-+i ломаной, является гомео-
гомеоморфизмом окружности и ломаной. Если \(х, у): х2 +
+t/2= 1}—окружность и {(х, у): х — ±.\, — l<t/^l
или —1 <#< 1, у — +\) — ломаная, то гомеоморфизмы
имеют вид
окружность
(х, у) >
ломаная
(х//п, у/т)
|, \у\) и г =
ломаная
(х, у) i
- окружность
(x/r, у/г)
где m = max(|^|, \у\) и г = Vхг + у2. Мы как бы из-
изгибаем окружность в ломаную. Вообще, два подпро»

34 ГЛАВА 4
странства в R;) или R2 гомеоморфны, если, образно
говоря, их можно получить одно из другого при по-
помощи скручивания, изгибания, сжатия или растяжения,
но без склеивания точек и разрезания. Так, например,
бублик гомеоморфен чайной чашке с ручкой (рис. 4.2).
Другой пример гомеоморфных пространств дан на
рис. 4.3 (а) и (d) с промежуточными гомеоморфными
пространствами, изображенными на рис. 4.3 (Ь) и (с).
Если h: X ss У—гомеоморфизм, то для любой точки
х ? X гомеокорфны пространства Х\{л:} и У\{/г (х)\. Это
свойство иногда позволяет доказать, что некоторые
пространства негомеоморфны. Приведем пример такого
рассуждения (пока чисто интуитивного). Подпростран-
Подпространства [0, 1] и @, 1) пространства R не гомеоморфны,
потому что если выбросить точку 0 из [0, 1], то по-
получится промежуток @, 1], который (интуитивно) со-
состоит из одного куска, тогда как при отбрасывании
любой точки из @, 1) получится (интуитивно) два
куска, или, точнее, дизъюнктное объединение двух
непустых открытых множеств. Но один кусок (интуи-
(интуитивно) не может быть гомеоморфен двум, так как со-
соответствующее отображение содержало бы разрезание
и не было бы непрерывным. Таким образом, отрезок
[О, 1] не гомеоморфен интервалу @, 1). (Понятия «один
кусок» и «два куска» будут строго определены в гл. 9.)
Эту идею можно обобщить, удаляя две или более точек.
Читателю предлагается исследовать дальнейшие воз-
возможности, которые открывает этот метод, при выпол-
выполнении следующего упражнения.
4.2. Интуитивное упражнение на гомеоморфизмы. Рассортируйте
подпространства R3 (и R2), изображенные на рис. 4.4, по прин-
принципу их гомеоморфности.
Рассмотрим окружность и «заузленную окружность»
в R:1 (рис. 4.5); между ними легко построить гомео-
гомеоморфизм. Нужно разделить каждое из этих пространств,
скажем, на девять частей и отобразить дугу окруж-
окружности Х[Х1 + 1 на дугу yiyi + i «заузленной окружности».
Если сделать рассматриваемые подпространства из
тонкой веревки, то легко обнаружить, что при помощи
изгибания и скручивания без разрезаний и склеива-

ИНДУЦИРОВАННАЯ ТОПОЛОГИЯ
35
ний невозможно превратить одно из них в другое.
Однако если разрезать узел, развязать его и склеить
концы, то уже можно получить окружность. Это наво-
наводит на мысль видоизменить наше интуитивное пред-
представление о гомеоморфизмах подпространств R3, допу-
допустив временные разрезания. Идея состоит в том, что
ABCDEFGHIJKLMNOPORS
TUVWXYZ 1234567890
D L/
Рис.4.4
Рис.4,5
можно временно сделать разрез, выполнить некоторые
гомеоморфизмы (изгибание, скручивание и т. д.), а затем
этот разрез заклеить. Начальное и конечное простран-
пространства будут тогда гомеоморфными. Этой идее позднее
будет придана строгость при помощи понятия фактор-
пространства (см. гл. 5 и, в частности, теорему 5.5).
4.3. Упражнение. Покажите, что подпространства R3, изображен-
изображенные на рис. 4.6, гомеоморфны. Первое подпространство получено
приклеиванием трех скрученных полосок бумаги к двум бумажным
кружочкам. Второе получено склеиванием двух длинных полос
бумаги. (Указание: разрежьте пе вое из этих пространств в двух

36
ГЛАВА 4
местах, а именно перережьте две скрученные полоски, затем раз-
разверните и склейте полоски заново.)
Мы уже отметили, что если S — подпространство X,
то открытые множества в S не обязательно открыты
Рис.4.6
в X. Но если S открыто в X, то открытые подмноже-
подмножества 5 открыты также и в X.
4.4. Лемма, (i) Если S открыто в X, то подмножест-
подмножества S, открытые в индуцированной топологии, откры-
открыты в X.
(и) Если S замкнуто в X, то подмножества S,
замкнутые в индуцированной топологии, замкнуты в X.
Доказательство. Так как (i) и (ii) доказываются
более или менее одинаково, докажем только (i). Пред-
Предположим, что S открыто в X, и пусть U — открытое
подмножество S. По определению, U = Vf]S, где V
открыто в X. Но так как S открыто в X, то U = Vr\S
также открыто в X.
4.5. Упражнения, (а) Покажите, что если У — подпространство X,
a Z—подпространство У, то Z—подпространство Л.
(b) Докажите, что подпространство метризуемого пространства
метризуемо.
(c) Предположим, что S — подпространство X. Покажите, что
отображение включения S->X непрерывно. Более того, покажите,
что топология S является наименьшей (имеющей меньше всего
открытых множеств) среди топологий, относительно которых
включение S-* X непрерывно.
(d) Пусть X—топологическое пространство, 5' —его подмно-
подмножество и «': S -* X — включение. Предположим, что на S задана
такая топология, что для любою пространства Y и отображения/:

ИНДУЦИРОВАННАЯ ТОПОЛОГИЯ 37
-* S это отображение тогда и только тогда непрерывно, когда
непрерывна композиция if: У -* X. Докажите, что эта топология
на S совпадает с топологией, индуцированной топологией на X.
(e) Пусть У — подпространство в Л и А — подмножество в Y.
Обозначим через С1^ (А) замыкание А в X, а через С1у (А) за-
замыкание А в Y. Докажите, что С1у (А) с С1^ (А), но, вообще
говоря, С1к (А) ф С1л (А).
(f) Покажите, что подмножество (а, Ь) в R с индуцированной
топологией гомеоморфно R. (Указание: используйте функцию типа
хн-ig [n(cx-\-d)] при подходящих с и d.)
(g) Пусть X, У — топологические пространства и S — подпрост-
подпространство в X. Докажите, что если /: X -* Y непрерывно, то и / | S:
S->/(S) непрерывно.
(h) Покажите, что подпространства A, оо) и @, 1) в R с обычной
топологией гомеоморфны. (Указание: хн-1/х.)
(i) Докажите, что S" \ {@, 0, ..., О, 1)} гомеоморфно R"
в обычной топологией. (Указание: определите ф: S"\{@, 0, ,.,
,.., О, 1)} -* R" формулой
сп (г у у \ ( Xl X'1 Х" \
а г|): R"-+S"\{@, 0, .... 0, 1)} формулой
(j) Пусть R"+1\{0} и S" снабжены топологией, индуциро-
индуцированной обычной топологией пространства R" + 1. Докажите, что
отображение /: Rn + 1 \ {0} ->S", определенное равенством / {х) =
= х/1| х И, непрерывно.

Глава 5
ФАКТОРТОПОЛОГИЯ
(И ГРУППЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ПРОСТРАНСТВАХ)
В предыдущей главе мы рассматривали, по суще-
существу, множество S, топологическое пространство X
и инъективное отображение S в X. Это отображение
определяло на S индуцированную топологию. В этой
главе мы рассмотрим топологическое пространство X,
множество Y и сюръективное отображение X на Y.
Это отображение определит некоторую топологию на Y,
а именно так называемую фактортопологию.
5.1. Определение. Пусть /; X —> Y—сюръективное
отображение топологического пространства X на мно-
множество Y. Фактортопологией на Y относительно /
называется совокупность множеств
qif = {U) f~l{U) открыто в X}.
Легко проверить, что 41/ удовлетворяет аксиомам
топологии: очевидно, что 0 ?%j и Y ?%f, а осталь-
остальные условия легко следуют из того, что f~l (Ul Л U2) =
= Г1 (Ui) Л Г1 (Ut) и Г1 ( U Uу) = U Г1 (Uj). Заметим,
/6J jeJ
что если У снабжено фактортопологией, то отобра-
отображение /: X —> Y непрерывно.
Хорошим примером является множество RP" =
= \{х, —х\: x?S"\ неупорядоченных пар точек из 5".
Имеется очевидное сюръективное отображение л:
5" —»• RP", при котором х н> \х, —х\. Множество RP"
с фактортопологией относительно отображения л на-
называется вещественным проективным п-мерным прост-
пространством.
В качестве другого примера рассмотрим сначала
пространство
С={(Х, у, ZKR3'

ФАКТОРТОПОЛ. (И ГРУППЫ, ДЕЙСТВ. НА ПРОСТРАН.) 39
о индуцированной топологией (цилиндр). Пуеть М —
множество неупорядоченных пар точек из С вида
{Р. — р), т. е.
Так как имеется естественное цюръективное отобра-
отображение пространства С на '/, то можно снабдить М
фактортопологией. Полученное пространство называ-
называется листом (или лентой) Мёбиуса.
Рассмотрим отображение f\ М—»R3 вида
{р, —р\ н» ((х2—у%) B 4-хг), 2xyB-\'XZ), yz),
где р = (х, у, г)?СсКЛ Нетрудно проверить, что f
инъективно. Образ f(M) проотранства М при отобра-
отображении / изображен на рис. 5.1. В действительности
Рис.5.1
М гомеоморфно /(M)cR3 с индуцированной тополо-
топологией, непрерывность / следует из непрерывности отобра-
отображения F] К3 —¦ R3, определенного равенством
F(x, у, г) = ((х? — у*)& + хг), 2xyB + xz), уг),
и свойства универсальности отображения факторпро-
странств (см. ниже теорему 5.2). Доказательство не-
непрерывности f~l предоставляется читателю; оно легко
следует из результатов, доказываемых в гл. 8.
Сформулируем и докажем свойство универсальности
отображения факторпространств.
5.2. Теорема. Пусть /i К—> Y—некоторое отображе>
ние, и предположим, что Y снабжено фактортополо-
фактортопологией относительно /. Отображение g\ Y ~*Z прост-
пространства Y в произвольное топологическое пространст-
пространство Z тогда и только тогда непрерывно, когда непре-
непрерывна композиция g[\ X —* Z.

40 ГЛАВА5
Доказательство. Отображение /: X —+ Y непрерыв-
непрерывно, и если g непрерывно, то композиция gf также
непрерывна. Обратно, предположим, что gf непре-
непрерывно. Если V открыто в Z, то (gf)~l (V) открыто в X,
т. е. /~l (g~l (V)) открыто в X. По определению фак-
тортопологии на Y, множество g~l (V) открыто в Y, а
потому g непрерывно.
5.3. Упражнения, (а) Пусть на Y задана фактортопология отно-
относительно отображения /: X-+Y. Докажите, что это наибольшая
топология на Y, относительно которой / непрерывно 1).
(b) Пусть на Y задана фактортопология относительно отобра-
отображения /: X-*Y. Покажите, что подмножество А замкнуто в Y
тогда и только тогда, когда f~1(A) замкнуто в X.
(c) Пусть /: R -*¦ S1 (S1 С R2) определено равенством / (/) =
= (cos 2л/, sin 2л/) ? R2. Докажите, что фактортопология 41 jна S1
относительно отображения / совпадает с топологией 41, индуци-
индуцированной из R2 (т. е. покажите, что (S\ 41/) ^ (S1, 41)).
(d) Пусть X, Y, Z — топологические пространства ^и /: X ->¦
-*Y, g: Y -* Z — сюръективные отображения. Докажите, что если
топологии на Y и Z являются фактортопологиями относительно
отображений / и g соответственно, то топология на Z есть фактор-
фактортопология относительно композиции gf: X —* Z.
(e) Докажите, что RP1 и S1 гомеоморфны.
(f) Покажите, что отображение /: RP2->R4 вида {х, —х} н»
(-» (х\—х\, хххч, хххъ, дг2дг3) непрерывно и инъективно.
(g) Пусть X—топологическое пространство и /: X —* Y —
сюръективное отображение. Пусть 41 j—фактортопология на Y.
Предположим, что 41—топология на Y, относительно которой /:
X —* Y непрерывно. Докажите, что если / — замкнутое или откры-
открытое отображение, то (К, 41) гомеоморфно (Y, 41/). Приведите при-
пример неоткрытого и незамкнутого отображения /, для которого
(Y, 4l)t?(Y, 41/).
(h) Предположим, что /: X -> Y —сюръективное отображение
топологического пространства X на множество Y. Пусть Y наде-
наделено фактортопологией относительно /, и пусть А—подпростран-
А—подпространство X. Обозначим через 41Х топологию на В = / (A) cz Y, индуци-
индуцированную из Y, а через <М2 — фактортопологию относительно отоб-
отображения f \ А: А->В. Покажите, что 4licz4li. Приведите при-
пример, показывающий, что, вообще говоря, 41^ Ф 412. (Указание:
рассмотрите отображение/: R—»¦ S1, заданное равенством / (/) =
= ехр Bлг7).) Покажите также, что если либо А замкнуто в X и
/—замкнутое отображение, либо А открыто в X и /—открытое
отображение, то 411 = 41г.
Пример сюръективного отображения можно полу-
получить, рассмотрев классы эквивалентности для некото-
Ср. с упр. 4.5 (с).—Прим. ред.

ФАКТОРТОПОЛ. (И ГРУППЫ, ДЕЙСТВ. НА ПРОСТРАН.) 41
рого отношения эквивалентности. Если X—топологи-
X—топологическое пространство и ~ есть отношение эквивалент-
эквивалентности на X, обозначим через Х/~ множество классов
эквивалентности и определим /: X—> Х/~ равенством
f(x) = [x], где [х]—содержащий х класс эквивалент-
эквивалентности. О пространстве Xl ~ с фактортопологией гово-
говорят, что оно получено из X при помощи топологичес-
топологического отождествления. Например, если ~ есть отно-
отношение эквивалентности на S", для которого х~у в
том и только в том случае, если х=±(/, то S"/~ —
это, конечно, R.P". То же самое отношение эквива-
эквивалентности на цилиндре С дает в качестве факторпро-
стражлва С/~ лист Мёбиуса.
Если взять единичный квадрат Х = {(х, у)) 0 ^ х,
Ц в R? q индуцированной топологией и опреде-
определить отношение эквивалентности на нем условием
(х,у)~(х',у')&(х,у) = (х',у') или {х, х'} = {0, 1}
и у~у\
то Х/~ в фактортопологией гомеоморфно цилиндру.
Скучное доказательство этого факта можно было бы
дать сейчас, но гораздо проще оно получится в гл. 8,
сам же факт интуитивно ясен. Мы будем изображать
X вместе с заданным на нем отношением эквивалент-
эквивалентности так, как это сделано на рис. 5.2 (а). Стрелки
показывают, какие точки и в каком порядке отож-
отождествляются.
Таким же способом можно построить лист Мёбиуса.
Соответствующая картинка изображена на рис. 5.2 (b)i
отношение эквивалентности на квадрате X определя-
определяется как
(х, у)~(х', у')&(х, у)=*(х', уг) или {х, х'} = {0, 1}
и у~1—у'.
Два других примера, полученных из единичного
квадрата при помощи топологического отождествле-
отождествления, даны на рис. 5.3.
Нетривиальные эквивалентности на рис. 5.3 (а)
имеют вид @, (/)~A, у), (х, 0) —< (х, 1), а на рис
5.3 (Ь) @, у)~{1, у), (х, 0) —¦ A —л:, 1). В дальней-

42
ГЛАВА 5
шем будет очевидно (а читатель может попытаться
доказать это уже сейчас), что тор (пространство на
рис. 5.3 (а)) гомеоморфен следующему подпространству
в R3i
{(*, у, 2)€R3i (V
Гомеоморфизм задается, например, соответствием
(х, у) н» (B+cos2iu:)cos2m/, B + cos 2ях) sin 2лу,
sin 2ях).
Это приводит к традиционному изображению тора в
виде поверхности бублика (рис. 5.4).
Рис.5.2. (а) Цилиндр. (Ь) Лист (Мёбиуса
Рис.5.3. (я) Тор. (Ь) Бутылка Клейна
Если взять квадрат из гибкого материала и скле-
склеить его граничные точки в соответствии с рис. 5.3 (а),
то мы снова придем к этому изображению (рис. 5.5).
Аналогичный процесс для бутылки Клейна труд-
труднее, потому что мы вынуждены проводить отождествле-
отождествления в R*. Первое отождествление (рис. 5.6 (Ь)) выпол-
выполнить просто. Для следующего (рис. 5.6 (с)) нам нужно
четыре измерения. Графически мы изображаем его, как

ФАКТОРТОПОЛ. (И ГРУППЫ, ДЕЙСТВ. НА ПРОСТРАН.) 43
(а)

44
ГЛАВА 5
на рис. 5.6 (d). Окружность самопересечения на самом
деле отсутствует; она возникла на рисунке только
потому, что мы живем в трехмерном мире.
Рассекая плоскостью пространство на рис. 5.6 (d),
мы видим (рис. 5.7 (а), (Ь)), что бутылка Клейна пред-
представляет собой два листа Мёбиуса, склеенных по об-
Г*~\
—
-*-
(С)
Рис.5.7
щей границе. По-другому иллюстрируют этот факт
рис. 5.7 (с), (d).
Для облегчения дальнейших наглядных представле-
представлений напомним, что вещественная проективная плос-
плоскость RP2 определена как S2/~, где
х ~i'«x=± х'.
В этом случае северное полушарие отождествляется
с южным, и можно ограничиться северным полушарием,
которое гомеоморфно диску D2={(x, #)?IR2: х2 + г/2^
=^1} посредством проекции (х, у, г) (-» (х, у) для
52 O Т б RP2
} р
(х, у, z) € 52 с
D2
(, у ) ( у)
Таким образом, RP2 можно пред-
представить как D2/~, где
х~х'ох = х' или х, х' € S1 c= D2 и x = — x'.
Это изоб ажено на рис. 5.8 (Ь) или на эквивалентном

ФАКТОРТОПОЛ. (И ГРУППЫ, ДЕЙСТВ. НА ПРОСТРАН.)
45
рис. 5.8 (с). Конечно, это нельзя считать строгим до-
доказательством.
Если выбросить из R.P2 маленький диск, мы полу-
получим лист Мёбиуса (рис. 5.9). Таким образом, вещест-
вещественную проективную плоскость можно представлять
себе как лист Мёбиуса с приклеенным диском.
Рис.5.8
О
(с)
Рис.5.9
Рис.5.10
Сферу тоже можно представить в виде фактор-
пространства, как показано на рис. 5.10 (а) или (Ь).
Интуитивно можно представлять себе круг и квадрат
как кошельки с молниями. Застегнув молнию, мы
получим сферу.
В предыдущих примерах наши рассуждения носили
интуитивный характер. Можно было бы дать строгие
доказательства, но лучше оставить их до того време-
времени, когда у нас будет немного более развитая теория.

46 ГЛАВА 5
Читателю рекомендуется вернуться к этой главе после
гл. 8 и восполнить детали приведенных выше нагляд-
наглядных соображений.
Одномерные аналоги диска и сферы—это отрезок
и окружность. Если отождествить концы единичного
отрезка, мы получим окружность. Интуитивно это ясно.
Читателю следует попытаться дать строгое доказа-
доказательство этого факта.
5.4. Упражнения, (а) Покажите, что если / = [0, 1] cr R и -—¦
отношение эквивалентности, при котором х~х' тогда и только
тогда, когда {х, л:'} = {0, 1} или х = х', то //— гомеоморфно S1.
(Ь) Лист Мёбиуса обладает по сравнению с цилиндром неко-
некоторыми интересными свойствами. Сделайте модели цилиндра и
листа Мёбиуса из полосок бумаги размером около 40x4 см. Про-
Проведите карандашом линию посередине между краями цилиндра и
листа Мёбиуса. Теперь разрежьте вдоль этой линии. Что полу-
получится в каждом случае? Что получится, если разрезать вдоль
линии, проведенной на расстоянии от края, равном 1/3 расстоя-
расстояния между краями?
Следующий результат дает достаточные условия
того, чтобы факторпространства гомеоморфных прост-
пространств были гомеоморфными.
5.5. Теорема. Пусть f\ X—>Y— отображение тополо-
топологических пространств, и предположим, что на X и Y
заданы отношения эквивалентности ~х и ~у соот-
соответственно, такие, что х~хх' в том и только в том
случае, если f(x)~\f(x'). Если /—гомеоморфизм, то
Х/~х и YI~y гомеоморфны.
Доказательство. Определим отображение F\ X/~x-+
-»УУ~. равенством F [x] = [f (х)], где квадратные
скобки обозначают классы эквивалентности. Это опре-
определение корректно, так как если [х] = [*'], то х ~кх',
а тогда f(x)~tf(x') и [f (x)]=[f (х')\. Докажем, что
F—гомеоморфизм. Чтобы показать, что F инъективно,
предположим, что F[x]==/7[x'j, так что [/ (х)] = [f (*')],
т. е. f (х) ~,/(х1). Но тогда х~>:х' и IX] = [*']. Сюръ-
ективность F очевидна. Чтобы доказать его непре-
непрерывность, рассмотрим естественные проекции пх: X—>
—+ Х/~х и nY\ Y —» Y/~Y> непрерывные по определе-
определению фактортопологии. Ясно, что FnA = jti/, и так как
f непрерывно, то Fnx непрерывно и, следовательно,

ФАКТОРТОПОЛ. (И ГРУППЫ, ДЕЙСТВ. НА ПРОСТРАН.) 47
F непрерывно в силу свойства универсальности отоб-
отображения факторпространств. Тот факт, что/7 непре-
непрерывно, аналогичным образом следует из равенства
F-inY = nxf-\ О
В качестве примера рассмотрим R+ = @, <x>) с R с
таким отношением эквивалентности: х ~ х' тогда и
только тогда, когда найдется целое п, такое, чтох'=
= 3"х. Рассмотрим также R с отношением эквивалент-
эквивалентности: х ~ х' в том и только в том случае, если най-
ется целое п, такое, что х' = п-\-х. Функция/: R + —>-
—»¦ R, определенная равенством l(x) = \ogrsx, является
гомеоморфизмом, и х ~ х' ФФ f (x)~f (х')\ следовательно,
пространства R+/~ и R/~ гомеоморфны. На самом
деле оба они гомеоморфны окружности.
Теорема 5.5 уточняет интуитивное представление о
гомеоморфизмах, использованное в гл. 4. Начнем с
пространства W. Сделав разрезы, получим X и отно-
отношение ~л, которое показывает, как нужно склеить
точки X, чтобы получить W. Теперь применим к про-
пространству X гомеоморфизм f, чтобы получить прост-
пространство Y с отношением эквивалентности ~Y- Естест-
Естественно, мы требуем, чтоГ>ы
Склеивая Y согласно ~у, получим Z = Y/~Y. По
теореме 5.5 пространство Z гомеоморфно X.
В дальнейшем полезным будет понятие действия
группы G на множестве X. Оно приводит к новым
примерам пространств с фактортопологией.
5.6. Определение. Пусть X — множество и G—группа.
Будем говорить, что G действует на X и что л яв-
является G-множеством, если задано отображение мно-
множества GxX в X, которое обозначается (g, x)v^g-x
и обладает следующими свойствами:
(i) \х — х для всех х?Х, где 1—единичный эле-
элемент G,
(и) g-(h-x) = (gh)-x для всех х?Х и g, h ? G.
В качестве примера рассмотрим группу G всех
гомеоморфизмов топологического пространства X в
себя (см. упр. 3.7 (d)) и положим g-x — g(x) для g? G.

48 ГЛАВА 5
Этим задается действие G на X, так как, очевидно,
\.х=\(х) = х и g.(h-x) => g-h(x) = g(h(x)) = (gh)-x.
В качестве следующего примера возьмем G = Z2 =
= {± 1}—группу порядка 2 и X = S". Легко прове-
проверить, что равенство ± 1-х= + х определяет действие
Z2 на S". Если взять в качестве G группу целых
чисел Z, то равенство п-х = п-\-х, где n?Z, x?R,
определяет некоторое действие Z на X = R. Этот при-
пример можно обобщить, определив действие ZxZ на К?
формулой (т, п)-(х, у) = (т-\-х, п+у). В обоих слу-
случаях мы оставляем читателю проверку того, что по-
получается в самом деле действие группы в смысле опре-
определения 5.6. Наш последний пример—действие Z на
бесконечной полосе
{(х, #)€R2i -1/2<#<1/2},
заданное равенством т-(х, у) = (т-\-х, (—1)ту).
Наше определение G-действия—это, строго говоря,
определение левого G-действия. Существует также по-
понятие правого G-действия, т. е. отображения XxG—*
—+Х, обозначаемого (х, g)y-*x-g и такого, что х-1 =
— х и (x-g)-h = x{gh). Под G-действием мы будем
всюду понимать левое G-действие.
5.7. Упражнения, (а) Предположим, что X — правое G-множество.
Для х ? X и g g G положим g-x=x-(g~1). Покажите, что этим
задается левое действие G на X. Почему не годится определение
g-x = xg?
(b) Пусть Н —подгруппа группы G. Для h ? Н, g ? 0 опре-
определим h-g как hg. Покажите, что этим определяется действие Н
на G.
(c) Пусть G—группа и if (G)—множество всех ее подмно-
подмножеств. Покажите, что равенство g-U =gU = {gh: h ? U], g ? G,
U 6 of (G), определяет действие G нз if (G).
(d) Пусть G действует на Х. Определим стабилизатор точки
к ? X как множество Gx={g ? G: g-x=x}. Докажите, что Gx —
подгруппа в G.
(e) Пусть G действует на X. Определим орбиту точки х ? X
как подмножество G-x={g-x: g ? G} множества X. Докажите,
что две орбиты G-x, G-y либо не пересекаются, либо совпадают.
Выведите отсюда, что G-множество Х разлагается в объединение
непересекающихся орбит.
важным следствием определения G-множества Х

ФАКТОРТОПОЛ. (И ГРУППЫ, ДЕПСТВ. НА ПРОСТРАН.) 49
является тот факт, что G действует на X при помощи
биекций.
5.8. Теорема. Пусть X есть G-множество. Для любого
g?G отображение Qgi Х—*Х, переводящее х в g-x,
биективно.
Доказательство. Из определения G-множества видно,
что QgQh = Qgh и Q1=\x. Таким образом, 0g.0g-i=l.x =
=0g-»0? и Qg биективно. ?
Если G действует на X, можно определить на X
отношение эквивалентности ~ условием
х ~ у фф найдется элемент g?G, такой, что g-x = y,
или, другими словами, х~ у тогда и толькотогда, когда
y?G-x, т. е. х и у принадлежат одной орбите, см.
упр. 5.7 (е). Обозначим теперь множество классов
эквивалентности через X/G; это—множество орбит
действия G на X. Имеется очевидное сюръективное ото-
отображение X —¦ X/G. Если X — топологическое простран-
пространство с действием G, то можно определить на X/G фак-
тортопологию. Множество X/G с фактортопологией
называется пространством орбит действия G на X.
Если, например, Z2 действует на Sn как ± 1 •*= ± х,
то Sn/Z2—это в точности RPn. Если Z действует на
R сдвигами п-х = п-\-х, то R/Z совпадает с S1.
5.9. Упражнения, (а) Пусть X — бесконечная полоса {(к, у) ? R2:
—1/2<{/< 1/2} в R2, и пусть группа % действует на ней по
формуле т-(х, у) = (т-{-х, (— \)т у). Покажите, что пространство
орбит Xj% гомеоморфно листу Мёбиуса.
(b) Пусть X и Y—два G-множества. Будем называть отобра-
отображение /: X —> Y G-эквивариашпным, если f(g-x) — g/(x) для всех
х ? X и g ? G. Докажите, что если X и К —топологические про-
пространства, а / есть G-эквивариантный гомеоморфизм, то X/G и
Y/Q гомеоморфны.
(c) Постройте примеры, показывающие, что если X и Y —
топологические пространства, на которых действует группа G, при-
причем X/G = Y/G, то X и Y необязательно гомеоморфны.
(d) Пусть X есть G-множество. Для каждого х ? X стабили-
стабилизатор Gx действует на G и определено множество орбит GIQX.
Покажите, что G/Gx — в точности множество левых смежных клас-
классов G по подгруппе Gx. Покажите, чго существует G-эквивариант-
ная биекция между орбитой Gx точки х н множеством G/Gx.

50 ГЛАВА 5
В приведенных примерах действий групп на тополо-
топологических пространствах эти группы действовали непре-
непрерывно. Для пространств с такими действиями есть осо-
особое название.
5.10. Определение. Пусть G— группа. Топологическое
пространство X называется G-пространством, если G
ействует на X и отображение Qg, переводящее хв^х,
непрерывно для всех g?G.
5.11. Упражнение. Пусть X есть О-пространство. Докажите, что
отображение 0?, определенное соответствием х\—>g-x, является
гомеоморфизмом X в себя для всех g ? G. Выведите отсюда, что
непрерывное действие О на X задает гомоморфизм gi—>Qg группы
G в группу всех гомеоморфизмов X.
Ввиду последнего упражнения будем иногда гово-
говорить, что G—группа гомеоморфизмов G-пространства Х.
Используя этот факт, докажем следующий результат.
5.12. Теорема. Пусть X есть G-пространство. Тогда
каноническая проекция ш X —* X/G является открытым
отображением.
Доказательство. Для открытого UcX рассмотрим
множество
= {*€*! я (*)€
= \х ? X: G-x = G-y для некоторого y?U} =
— {х?Х; x=g-y для некоторых у ? U, g$G)=
= {х?Х\ x?g-U для некоторого g?G}~
= U g-U.
geG
Действие каждого g из G—гомеоморфизм, поэтому
если U открыто, то л (я (?/)) также открыто, и п (U)
открыто в X/G по определению фактортопологии.
Первое из следующих упражнений указывает свой-
свойство отображений пространств орбит, аналогичное
свойству универсальности отображения факторпро-
странств. Второе аналогично теореме 5.12 (в частном
случае).

ФАКТОРТОПОЛ. (И ГРУППЫ, ДЕЙСТВ. НА ПРОСТРАН.) 51
5.13. Упражнения, (а) Пусть X есть G-пространство и л: X —»¦ X/G—
каноническая проекция. Предположим, что g —отображение про-
пространства орбит X/G в некоторое топологическое пространство Z.
Докажите, что g тогда и только тогда открыто, когда gji—откры-
gji—открытое отображение.
(b) Пусть X есть G-пространство с конечной группой О. До-
Докажите, что естественная проекция л: X —<¦ X/G является замкну-
замкнутым отображением.
(c) Пусть X есть G'-проетранство и Н — нормальная подгруппа
в G. Покажите, что Х]Н является (О/Я)-пространством и что
(Х/НШв/Н) si X/G.

Глава 6
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ
Наш последний общий метод построения новых то-
топологических пространств из уже известных—это обра-
образование прямого произведения. Напомним, что прямое
произведение ХхУ двух множеств X, У— это множе-
множество упорядоченных пар (х, у), где х ? X и y?Y. Если
X и У— топологические пространства, то при помощи
топологий на X и У можно ввести топологию на XxY.
Первое, что приходит на ум,—взять в качестве откры-
открытых множеств в ХхУ произведения множеств, откры-
открытых в X и У соответственно. Но это не совсем пра-
правильно (подумайте, какая аксиома топологии не вы-
выполняется?).
6.1. Определение. Пусть X и Y — топологические про-
пространства. Их топологическим произведением XxY
называется множество ХхУ с топологией%хху, состоя-
состоящей из всех множеств, являющихся объединениями про-
произведений открытых подмножеств X и У.
Типичное множество из 4Lxxy имеет вид U U>xV„
где J—некоторое индексирующее множество и при
каждом j множества Uf и Vj открыты соответственно
в X и У. Нетрудно проверить, что 41xxy—топология.
Действительно, 0 = 0x0 и XxY = XxY, так что
первая аксиома выполнена. Если W, W ?Ч1хху, то
W= U U у xV.wW = U U'kxV'k для некоторых индек-
/ 6 J k 6 К
сирующих множеств J, К, причем Uf, U'k открыты в
X и Vj, VI открыты в У. Так как
WnW= U {Vju

ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ 53
то мы видим, что выполнена вторая аксиома тополо-
топологии. Третья аксиома выполняется тривиально.
Понятие топологического произведения двух про-
пространств X и Y можно очевидным образом обобщить
на случай произведения любого конечного числа топо-
топологических пространств.
6.2. Упражнения, (а) Покажите, что если Х1 = Х„ и Kj = K2, то
X1XY1^X2XY2.
(b) Пусть X, У — метризуемые пространства с метриками соот-
соответственно dx, dy. Покажите, что функция d, определенная фор-
формулой
d((xi, У1), («2, */2)) = max {dx (хъ х2), dY(yu y2)},
является метрикой на ХхУ, определяющей на нем топологию
произведения пространств. Выведите отсюда, что топология про-
произведения на R"xRra (где R", Rm имеют обычную топологию)
совпадает с обычной топологией на Rn+m = R"xRm.
(c) Графиком функции /: X —>¦ Y называется множество точек
произведения XxY вида (х, f (х)) при х ? X. Покажите, что если
f—непрерывное отображение топологических пространств, то гра-
график / гомеоморфен X.
(d) Докажите, что R2\{0} гомеоморфно RxS1. (Указание:
рассмотрите RN^O} как С\{0}.)
Возможно и другое описание топологии на ХхУ.
6.3. Теорема. Пусть XxY—произведение топологиче-
топологических пространств. Множество W с XxY тогда и только
тогда открыто, когда для любого w ?W найдутся та-
такие множества Uw, Vw, что V'w открыто в X, Vw от-
открыто в Y, UwxVwcW и w?UwxVw.
Доказательство. Пусть W открыто; тогда W =
= U U/XV,, где «/ — некоторое индексирующее мно-
жество и Uj, Vj открыты соответственно в X и У. Итак,
если до? W, tow? U,xVt для некоторого i?J. Обратно,
множество U UwxVw открыто в XxY и, очевидно,
W
совпадает с W. ?
Существуют естественные проекции nxi XxY—»¦ X
и пу- XxY—*Y вида (х, у)*->х и (х, у)*->у. Так как
nx1(U) = UxY и яр1 (V) = XхV, то очевидно, что ото-
отображения пх и пу непрерывны.

54 ГЛАВА 6
6.4. Теорема. Для любого y?Y подпространство
Xx{y}czXxY гомеоморфно X.
Доказательство. Рассмотрим отображение /: Хх
х{у\—*Х вида (х, y)i—>x. Очевидно, оно биективно.
Можно записать f в виде композиции включения
Xx{y}—*XxY и проекции пх: XxY—*X, которые
являются непрерывными отображениями. Поэтому f
непрерывно. Далее, пусть W — открытое подмножество
Хх{у}, так что W=*( U U,xV,\ Г) Хх{у\, где U,, V,
открыты соответственно в X и У. Можно переписать
W в виде U UjX{y\, где J' = {j(-Ji &€К/}> и потому
f(W)— U Uj открыто в X. Отсюда / — открытое ото-
/ б jr
Сражение и, следовательно, гомеоморфизм. ?
Если /: А —* X и g\ А —* Y—отображения тополо-
топологических пространств, то можно определить отображе-
отображение hi A—+XxY формулой h(a)~(f(a), g(a)). Ясно,
что h—единственное отображение, для которого nxh — f
и nYh = g. Соотношение между непрерывностью f, g
и непрерывностью h называется свойством универсаль-
универсальности отображения произведений.
6.5. Теорема. Пусть А, X и Y—топологические про-
пространства. Для любой пары отображений /¦ А —*- X,
g- А —* Y отображение h: А —> X х Y, определенное фор-
формулой h(a) — (f (a), g{a)), тогда и только тогда непре-
непрерывно, когда fug непрерывны.
Доказательство. Если h непрерывно, то таковы же
nxh = f и nYh — g. Обратно, пусть fug непрерывны.
Пусть U, V—открытые подмножества соответственно
X и У. Тогда h-l{UxV) = {ai f(a)?U, g(a)€V}=*
= f~l(U)ng~1(V), но так как f~l(V) и g'1 (V) открыты,
то и h~1{UxV) открыто. Рассмотрим теперь открытое
множество W в ХхК. Если x?W, то x^UxVczW,
где U, V открыты в X, У. Таким образом, h~l (x)a
cf-l(U)f]g~l(V)ch-l(W), и потому /г (W) открыто. Q
6.6. Упражнения, (а) Покажите, что топология произведения на

ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ
55
является наименьшей топологией, относительно которой лх
и Лу непрерывны *).
(b) Пусть X есть G-пространство, а У есть //-пространство.
Докажите, что пространство (AXF)/(GX#) гомеоморфно (Л/G) Х
X(Y/H).
(c) Для (я, m) g ZXZ и (х, {/) ? R2 определим (п, т)-(х, {/) =
= (п-\~х, т-\~у). Покажите, что это определение превращает R2
в Ъ XZ-пространство. Докажите, что R2/(ZX^) гомеоморфно
(d) Докажите, что тор (см. рис. 5.3 (а) и 5.4) гомсоморфен
(e) Для n?z, г?С\{0} определим и-г как п-г = 2"г. Пока-
Покажите, что это определение превращает С\{0} в 2-пространство.
Докажите, что (С\{0})/2 гомеоморфно S1xS1. (Указание: вос-
воспользуйтесь упр. 6.2 (d), 6.6 (b) и тем фактом, что 2 = ZX{1)-)
Рис.С.1
(f) To же, что и в (е), но при п ¦ z — Bсо)" г, где ш =
= ехр Bл(/3). Что будет пространством орбит (С\{0})/2?
(g) Докажите, что пространства R"\{0} и S"~1xR гомео-
морфны. (Указание: рассмотрите отображение /: S"~1xR—>¦
—>R'!\{0), заданное формулой / (х, () = 2*х.)
(h) Докажите, что подмножество SPt q с R" вида
р + ?«, гомеоморфпо Sp-1xR"~4. (Указание: рассмотрите
отображение/: Зр~}Х^"~ч —» 5Pi ,,, заданное формулой
I (xu ...,xp,Di J'n-P) = (-«i2, x2z хрг, уи уъ .-.,уп-р),
где z--=V \+у"-\-ц'-\-...-{-у:,.
(i) Пусть G —группа гомеоморфизмов вида {Г': i?l,}, где Г:
R"\{0}—> R"\{0} определено формулой Гх~2х. Покажите, что
(R«\{0})/G гомеоморфно S"-1XS1.
(j) Докажите, что следующие два подмножества R" с обычной
топологией гомеоморфны:
0<«/<1, / = 1, 2 п},
J) Ср. с упр. 4.5 (с).— Прим. ред.

56 ГЛАВА 6
(Указание: сначала покажите, что /" s ([—1, \])п = Х, затем опре-
определите ф: X —>¦ Dn и \f>: Dn —> X равенствами
maxflrj, \x2\,
Ф@)=0,
к,], \х,\ \хп\) (Хи *2' "" *в)|
Интуитивно: сожмите каждый прямолинейный отрезок от 0 до дХ
линейно, так чтобы его длина стала равной 1; pnG. 6.1.)
(к) Докажите, что О" ^ R". (Указание: 6" s /" =(/)".)
A) Найдите пространство X, содержащее более одной точки
и такое, что XsXxX. (Указание: попробуйте взять бесконечное
множество с дискретной топологией. Сделав это, попытайтесь найти
пример такого пространства с недискретной топологией.)

Глава 7
КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В этой и двух следующих главах мы рассмотрим
свойства пространств, сохраняющиеся при гомеомор-
гомеоморфизмах. Такие свойства позволяют судить о гомеоморф-
гомеоморфности рассматриваемых пространств; если одно из них
обладает таким свойством, а другое—нет, то эти про-
пространства не могут быть гомеоморфными. Первое из
этих свойств — компактность. В основе его определе-
определения лежит следующее свойство отрезка: любое семей-
семейство {U/. j?J\ открытых подмножеств единичного
отрезка [0, 1] (с индуцированной топологией), такое,
что U ?Л = [0. 1]- содержит конечное подсемейство,
объединение которого уже дает весь отрезок [0, 1]
(см. теорему 7.7).
7.1. Определение. Покрытием подмножества 5 мно-
множества X называется семейство подмножеств {Uj\ /?J\
множества X, такое, что Sc U U,. Если вдобавок
индексирующее множество «/ конечно, то {Uf. /?</}
называется конечным покрытием.
Например, семейство {[1/п, 1 — 1 /я]; п ?Щ является
покрытием подмножества @, 1) пространства К. Конечно,
если S = X, то семейство {?// j^J}, обладающее свой-
свойством U Uj—X, является покрытием X. Например,
;'s j
если Un = {n, n-t-3)cR, то \Uni n?Z} — покрытие R.
7.2. Определение. Пусть {V/. j?J) и {Vki k?K\ —
покрытия подмножества 5сЛ. Если для любого /?/
найдется такое k?K, что Uj = Vk, то говорят, что
{Uл JG-J}—подпокрытие покрытия {Vki &/(}

58 ГЛАВА 7
Например, \Vr: г?Щ, где Vr=(r, r + 3)cR, яв-
является покрытием R, и {(/„.' п?2\, где Uп=г\п, я-f З),—
его подпокрытие.
7.3. Определение. Пусть X—топологическое простран-
пространство и 5—его подмножество. Покрытие {Uf\ jd-J}
называется открытым покрытием S, если каждое
Vj> i ?J, открыто в X.
7.4. Определение. Подмножество 5 топологического
пространства X называется компактным, если всякое
открытое покрытие S обладает конечным подпокрытием.
В частности, топологическое пространство X ком-
компактно, если всякое его открытое покрытие имеет
конечное подпокрытие. Пространство R g обычной
топологией некомпактно, потому что открытое покры-
покрытие {(я, я+ 2): tt?Z} не имеет конечных подпокрытий.
Пространство X о дискретной топологией тогда и только
тогда компактно, когда оно конечно. Так как каждая
точка дискретного пространства X является открытым
множеством, то для бесконечного X открытое покры-
покрытие, состоящее из всех одноточечных множеств, не
имеет конечного подпокрытия. С другой стороны, если X
конечно, то оно имеет только конечное число откры-
открытых подмножеств. Скоро мы покажем, что единичный
отрезок [0, 1] является компактным подмножеством R.
7.5. Упражнения, (а) Пусть на К задана топология конечных
дополнений. Покажите, что X компактно. Покажите, что любое
его подмножество компактно.
(Ь) Докажите, что топологическое пространство компактно
в том и только в юм случае, если любое семейслво [Су. jf^J)
замкнутых множеств, для которого П С, = 0, содержит конеч-
J
ное подсемейство {Ck: k?K), такое, что |~) С^ = 0.
k e К
(с) Пусть JF—топология на R, определенная следующим обра-
образом: О?JF тогда и только тогда, когда для любого s?U найдется
такое t > s, что [s, t) с U. Докажите, что подмножество [0, 1]
пространства (R, $?) некомпакшо.
Подмножество 5 топологического пространства
можно снабдить индуцированной топологией, и мы
получим для S два понятия компактности! как под-

КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
множества X и как самостоятельного пространства.
Эти два понятия совпадают.
7.6. Теорема. Подмножество S пространства X ком-
компактно тогда и только тогда, когда оно компактно
как пространство с индуцированной топологией.
Доказательство. Это очевидно, так как подмноже-
подмножества S, открытые в индуцированной топологии, имеют
вид Uf\S, где U—открытое подмножество X. Детали
рассуждения мы оставляем читателю.
Таким образом, можно определить компактное под-
подмножество 5 как пространство, компактное в индуциро-
индуцированной топологии.
Следующий результат дает важный пример ком-
компактного пространства.
7.7. Теорема. Единичный отрезок [0, l]c=R компактен.
Доказательство. Пусть {U/. j ? /}—открытое покры-
покрытие отрезка [0, 1], и предположим, что оно не имеет
конечного подпокрытия. Это означает, что хотя бы один
из отрезков [0, 1/2] и [1/2, 1] нельзя покрыть конеч-
конечным подсемейством из {U/. j?J}- Обозначим его через
[а,, Ьг]. Далее, по крайней мере один из отрезков
[au (ai-\-bl)/2] и \_(ax-\-bl)l2, Ьг] нельзя покрыть конеч-
конечным подсемейством из {Uf-. /g J}; обозначим его через
[а2, Ь.2]. Продолжая таким же образом, получим последо-
последовательность отрезков [я,, 6,], [аг, Ьг] [а„, Ь„], ...,
такую, что никакое конечное подсемейство из {U j\ j^J\
не покрывает ни один из них. Далее, Ьп—ап = 2~"
и ап <а„+1 < bt)+i <6„ для всех п. Из последнего
условия следует, что ат^1Ьп для любой пары целых
чисел тип, так что Ъп ограничивает сверху множе-
множество {ах, а2, ...}. Пусть а—верхняя грань этого мно-
множества. Так как а^.Ьп для всех п, то а ограничивает
снизу множество \Ьи Ьг, ...}. Пусть Ь — нижняя грань
этого множества. По определению имеемan^.a^b^bn
Для всех п. Но так как Ьп—а„ = 2~", то Ь—а^2~"
Для всех п, откуда а = Ь.
Так как \U/. j ? J} покрывает [0, 1]иа = б?[0, 1],
То a?U/ для некоторого j^J. Так как U} открыто,

60 ГЛАВА 7
для некоторого е > 0 найдется интервал (о—г, a+e)czi/j.
Выберем натуральное N так, чтобы 2~N<е и, следо-
следовательно, bN—aN < е. Но а ? [aN, bN] и a—aN < 2~N< e,
b—bN<2~N <г, так что [aN, bN] а(а—г, a + e)czUj,
а это противоречит тому, что [aN, bN] нельзя покрыть
конечным подсемейством из {11 у. /€•/}. ?
Можно обобщить эти рассуждения и показать, что
единичный «-мерный куб /"=/х/Х ... x/cR", где
/ = [0, l]cR, является компактным пространством.
Однако позже мы приведем другое доказательство
этого факта.
7.8. Теорема. Пусть /: X —* Y—непрерывное отобра-
отображение. Если SczX—компактное подпространство, то
f (S) компактно.
Доказательство. Пусть {U/. / ? /}—открытое покры-
покрытие /E); тогда {f~l(Uj): j?J\—открытое покрытие S.
Так как S компактно, найдется конечное подпокрытие
U-1 (Uk)< k?K},K конечно. Но/ {Г1 (Uk))cUk, и потому
\Uk: k?K} — покрытие f(S), являющееся конечным под-
подпокрытием покрытия {Oft j?J}.
7.9. Следствие, (а) Всякий отрезок [a, b]cR компак-
компактен.
(b) Пусть X и Y—гомеоморфные топологические
пространства. Тогда X компактно в том и только
в том случае, если Y компактно.
(c) Если X компактно и Y имеет фактортополо-
гию, индуцированную некоторым отображением [\ X—+Y,
то Y компактно.
(d) S1 компактно.
Доказательство очевидно. Заметим, что, как сле-
следует из (Ь), некомпактное пространство не может быть
гомеоморфным компактному.
Не любое подмножество компактного пространства
компактно; например, интервал @, 1) является неком-
некомпактным подмножеством компактного пространства
]0, 1]. В этом легко убедиться, рассмотрев покрытие

КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 61
{A/п, 1 — 1/n): n?N}. Но замкнутое подмножество
компактного пространства всегда компактно.
7.10. Теорема. Замкнутое подмножество компактного
пространства компактно.
Доказательство. Пусть W/. j?J\—открытое по-
покрытие подмножества ScX. Так как U U,-=>S, то
{Uf J€.J}U{X\S} является открытым покрытием X,
а так как X компактно, то оно имеет конечное под-
подпокрытие. Это конечное подпокрытие X имеет вид
{Uk\ k?K\ или {Uk\ k?K\U{X\S\, где К конечно.
Следовательно, {Uk\ k?K\ — конечное подпокрытие
покрытая {Uf. /€-/} множества S. ?
Мы исследовали компактность относительно инду-
индуцированной топологии и фактортопологии. Рассмотрим
теперь топологию произведения.
7.И. Теорема. Пусть X и Y — топологические прост-
пространства. Они оба компактны тогда и только тогда,
когда XxY компактно.
Доказательство. Предположим, что X и Y ком.
пактны. Пусть {Wy. j?J}—открытое покрытие XxY.
По определению каждое IF, имеет вид U (U¦ kxV', fe),
где U'jt h открыто в X и V/ш k открыто в Y. Таким
образом, {Uj,ftXFy,fti j?J, k?K}—открытое покры-
покрытие XxV. Для любого х б X подпространство {а:} хК
( ф У) {U F
рр {}
компактно (оно гомеоморфно У), и, так как {Ujt ftXFyift
j?J, k?K\ покрывает также {x}xY, найдется конеч-
конечное подпокрытие {U1(x)xVl(x)) /= 1, 2, ..., п(х)\
пространства {л;}хУ. Обозначим через U' (х) множе-
п(х)
ство U (х)~ П U{{x)- Семейство \U'(x): х?Х) яв-
является открытым покрытием X и потому имеет конеч-
конечное подпокрытие {?/' (х()\ г = 1,2, . .., т\. Очевидно, что
{U'{xt)xVbt(x,): г=1, 2 т\ k,= \, 2, ...,п(х,)\
~~конечное открытое покрытие XxY. Для любого i
и k( найдутся такие j?J и k?K, что U' {V)

62 ГЛАВА 7
czV jtkxV jtkcW j. Следовательно, существует конечное
подпокрытие покрытия {Wf. I?J} пространства XxY.
Обратно, если XxY компактно, то X и Y ком-
компактны, так как проекции п^ и пу непрерывны. ?
Вообще, если X,, Х2, ..., Хп — компактные топо-
топологические пространства, то их произведение Х^хХ^х...
...хХп также компактно. В частности, компактен
единичный «-мерный куб /". Подмножество SсR" назы-
называется ограниченным, если найдется такое К > 0, что
для любой точки х = (хи хг, ..., xn)?S справедливы
неравенства |лг, |</( при i=\, 2, ..., п. Другими
словами, S содержится в л-мерном кубе с ребром 2К-
Так как он гомеоморфен единичному л-мерному кубу, то
мы получаем следующую теорему.
7.12. Теорема (Гейне — Бореля). Всякое замкнутое
и ограниченное подмножество R" компактно.
Справедлива также теорема, обратная к теореме 7.12
(см. упр. 8.14 (п)). Из предыдущих результатов можно
теперь вывести компактность каждого из следующих
пространств:
S" (замкнутое ограниченное подмножество К"+1);
SnxS"X ¦ .. Х5";
RP" (сюръективньш образ S");
лист Мёбиуса (замкнутое ограниченное подмно-
подмножество R3).
7.13. Упражнения, (а) Какие из следующих пространств компактны:
D« = {xgR«: Цх |[< 1}; b" = {x?R": i]*:| < 1};
{(s,
{(s,
(b) Докажите, чго всякое компактное подмножество R" огра-
ограничено.
(c) Докажите, что график функции f: I—> R компактен тогда
и только тогда, когда / непрерывна. Приведите пример разрывной
функции g: I—> R, график которой замкнут, но не компактен.
(d) Пусть X, К—топологические пространства. Пусть JT (X, Y) —
множество всех непрерывных отображений X в Y. Если Ас X
и В с К, то пусть F (А, В) обозначает подмножество отображе-
отображений из If (X, Y), которые переводят А в В:
f(A, S)={/€<F(*, Y): I (А) с В).

КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 63
Пусть if — следующее множество:
<ff = {F{A, В): А—компактное подмножество X, В открыто в К}.
Определим совокупность множеств 41 так: 4l — {Ucz§r(X, К):
если /?t/, то найдутся такие элементы Flt P2 Fn^^f, что
/б^П^П • •. f\FnCZ U}. Докажите, что 41 является топологией
на JT (X, Y) (она называется компактно-открытой топологией).
(e) Пусгь X — компактное метризуемое топологическое про-
пространство. Предположим, что Y — метрическое пространство с мет-
метрикой d, и определим d* па <jf (X, Y) формулой
d*(J, g)= sup d(f(x), g(x)).
Покажите, что й* — метрика на JF (X, Y) и определяемая ею топо-
топология на JF(X, V) совпадает с компактно-открытой топологией.
(f) Пространство X называется локально компактным, если
для любой точки х?Х всякая ее окрестность содержит компакт-
компактную окрестность х. Покажите, что если X локально компактно,
то отображение вычисления е: ^ (X, Y)XX—*Y, заданное фор-
формулой e{j, *) =/ (х), непрерывно.
(g) Пусть X—компактное топологическое пространство, воз-
возникающее из некоторого метрического пространства с метрикой d.
Докажите, что если {Uу. j?J] — открытое покрытие X, то най-
найдется такое S > 0 (называемое числом Лебега этого покрытия), что
любое подмножество X диаметра меньше б целиком содержится
в некотором множестве Uj, j?J l).
(h) Пусть X — тополо1ическое пространство; определим X—
как Хи{°°}> гДе °°—некоторый элемент, не принадлежащий X.
Если 41—топология на X, определим 41" как 41 вместе со всеми
множествами вида F[J{oo}, где V СГ X и X\V компакшо и замк-
замкнуто в X. Докажите, что Ч1°°—топология на X". Докажите также,
что X — подпространство Х°° и что X1" компактно (Х°° называется
одноточечной компактификацией X2)).
1) См. теорему 23.4.— Прим. ред.
2) Обычно расширение Х°° называют одноточечной компакта»
фикацией X при условии, что пространство X локально компактно
и хаусдорфово (см. гл. 8). Легко показать, что компакшое про-
пространство Х°° является хаусдорфовым только при этом условии.—
Прим. ред.

Глава 8
ХАУСДОРФОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Исходный пункт этой главы — упр. 2.2 (Ь), в кото-
котором требовалось доказать, что если топологическое
пространство X метризуемо, то для любой пары раз-
различных точек х, у?Х найдутся открытые множества
Uх и Uу, содержащие соответственно хну» такие,
что Uxr\ Оу— 0. Доказательство проводится непосред-
непосредственно: так как хфу, то d(x, г/) = 2е для некоторого
е > 0, где d — произвольная метрика на X, определяю-
определяющая данную топологию. Множества ВЕ (x) = {z? X\
d(x, z) <C e\ и Ве (у) удовлетворяют нужным условиям.
8.1. Определение. Пространство X называется хаусдор-
фовым, если для любой пары различных точекх,у?Х
существуют открытые множества Vх, Uy, содержащие
соответственно х и у и такие, что U x[\Uy= 0.
Таким образом, все метризуемые пространства хаус-
дорфовы, в частности R" с обычной топологией и любое
дискретное пространство. Пространство с антидискрет-
антидискретной топологией не хаусдорфово, если оно содержит
не менее двух точек.
8.2. Упражнения, (а) Пусть X— пространство с топологией конеч-
конечных дополнений. Докажите, что X хаусдорфово тогда и только
тогда, когда оно конечно.
(b) Пусть ^" — топология на R, для которой U?|р тогда
и только тогда, когда для любого s?U найдется такое t > s, что
[s, t) a U. Докажите, что (R, JT) хаусдорфово.
(c) Пусть X и К — гомеоморфные топологические пространства.
Докажите, что X хаусдорфово тогда и только тогда, когда Y
хаусдорфово.
Условие Хаусдорфа—один из примеров аксиом отде-
отделимости. Рассмотрим некоторые др гие аксиомы отде*

ХАУСДОРФОВЫ ПРОСТРАНСТВА
65
лимостн, хотя, за исключением нескольких следующих
страниц, мы будем широко использовать только аксиому
Хаусдорфа.
8.3. Определение. Пусть k—одно из чисел 0, 1, 2, 3
или 4. Пространство X называется Т ^пространством,
если оно удовлетворяет приведенному ниже условию Тк.
Т0! для любой пары различных то-
точек найдется открытое множе-
множество, содержащее одну из этих
точек и не содержащее другую.
7\: для любой пары х, у различ-
различных точек найдутся открытые
множества, одно из которых
содержит х, но не содержит у,
а другое содержит у, но не со-
содержит х.
Т2: для любой пары х, у различ-
различных точек найдутся два непе-
непересекающихся открытых мно-
множества, одно из которых со-
содержит х, а другое у.
Т3: X удовлетворяет 7\, и для лю-
любого замкнутого подмножества
F и любой точки х (? F найдут-
найдутся два непересекающихся от-
открытых множества, одно из
которых содержит F, а дру-
другое X.
Г4: X удовлетворяет 7\, и для
любой пары Fu F2 непересе-
непересекающихся замкнутых множеств
найдутся два непересекающихся открытых мно-
множества, одно из которых содержит Flt а дру-
другое F2.
7> пространство—это хаусдорфово пространство.
7Yпространство иногда называют регулярным.
Очевидно, что Т2—>Т1=^>Т0. Причина, по которой
условие 7\ включено в условия Т3 и Г4, прояснится
в теореме 8.5, из которой будет следовать, что Г4 =>
г:г7\:г

66 ГЛАВА 8
8.4. Упражнения, (а) Пусть А и У—гомеоморфиые пространства.
Докажите, что X есть Т^-пространство тогда и только тогда,
когда Y есть 7^-пространство (? = 0, 1, 2, 3, 4).
(b) Постройте топологические пространства Хо, Xit X2 и Х8,
такие, что Х^ является ^-пространством, но не является Гу-про-
странством при / > к.
(c) Докажите, что компактное хаусдорфово пространство яв-
является Т4-пространством. (Указание: загляните в доказательство
теоремы 8.7, а в крайнем случае — в доказательство теоремы 8.11.)
8.5. Теорема. Пространство X тогда и только тогда
удовлетворяет аксиоме Г1( когда каждая точка в нем
замкнута.
Доказательство. Пусть X есть ^-пространство.
Пусть х?X и у?Х\\х\. Тогда найдется открытое
множество U содержащее у и не содержащее х. Сле-
Следовательно, U U =Х\{х\, т. е. Х\{а:} — объеди-
нение открытых множеств и потому открыто. Таким
образом, {л;} замкнуто.
Обратно, если {*} и {у} замкнуты, то Х\{л:} и
Х\{#} открыты, одно из них содержит х, но не со-
содержит у, а другое содержит у, но не содержит х,
т. е. X есть ^-пространство. ?
Отсюда вытекает следующий результат.
8.6. Следствие. В хаусдорфовом пространстве каждая
точка является замкнутым множеством.
На самом деле имеет место намного более общее
утверждение.
8.7. Теорема. Компактное подмножество А хаусдор-
фова пространства X замкнуто.
Доказательство. Можно считать, что АФ0 и
А фX, так как в противном случае оно уже замкнуто
и доказывать нечего. Выберем точку х^Х\Л. Для
любой точки а € А найдутся непересекающиеся открытые
множества Uа и Vа, такие, что Uа содержит х, a Va
содержит а. Семейство {Vа\ а?А\ покрывает А, и, так
как А компактно, существует конечное подпокрытие,
скажем {VaW, Va{2 VaW\. Множество U=Uaa) Л
П Ua l2) П • • • П U a и* открыто, содержит хине пере-

ХАУСДОРФОВЫ ПРОСТРАНСТВА 67
секается ни с одним Vullr Следовательно, UсХ\А.
Итак, каждая точка л:?Х\Л содержится в неко-
некотором открытом множестве, лежащем в Х\А, и по-
потому Х\А открыто, а А замкнуто. ?
Теорема 8.7 приводит к важному результату.
8.8. Теорема. Пусть /; X —* Y — непрерывное отобра-
отображение компактного пространства X в хаусдорфово
пространство Y. Тогда f является гомеоморфизмом
в том и только в том случае, если оно биективно.
Доказательство. Очевидно, что если / гомеомор-
гомеоморфизм, то оно биективно. Интереснее обратное утверж-
утверждение. Предположим, что / биективно; тогда сущест-
существует обратное отображение /~х. Оно непрерывно тогда
и только тогда, когда (f'1)'1 (V) = f(V) замкнуто для
всякого V, замкнутого в X. Если V замкнуто в X,
то V компактно по 7.10, откуда f (V) компактно по 7.8
и f(V) замкнуто по 8.7. Таким образом, f~l непре-
непрерывно. ?
В доказанной теореме существенны оба условия:
и компактности, и хаусдорфовости. Если, например,
X—множество вещественных чисел с дискретной топо-
топологией (и, следовательно, некомпактно), a Y — это IR
с обычной топологией (следовательно, хаусдорфово),
то тождественное отображение непрерывно и биективно,
но не является гомеоморфизмом. С другой стороны,
если Х=\х, у} с дискретной топологией (следовательно,
компактно), a Y = \x, у} с топологией {0, Y, {х}} (сле-
(следовательно, не хаусдорфово), то тождественное ото-
отображение также непрерывно и биективно, но не явля-
является гомеоморфизмом х).
При помощи последней теоремы легко установить
многие гомеоморфизмы, о которых говорилось в гл. 5.
Например, образ /(X) компактного пространства X
х) Другие типичные примеры: наложение полуинтервала дли-
длины 2я на окружность радиуса 1, наложение интервала на ком-
компактное пространство, имеющее вид цифры 8, отображение откры-
открытого круга с единственной точкой на его границе на сферу и
т. п.— Прим. ред.

68 ГЛАВА 8
в хаусдорфовом пространстве при непрерывном инъек-
тивном отображении гомеоморфен X.
Изучим теперь, как аксиома Хаусдорфа перено-
переносится на подпространства, прямые произведения и фак-
торпространства.
8.9. Теорема. Подпространство S хаусдорфова прост-
пространства X хаусдорфово.
Доказательство. Пусть х, у—две различные точки
из S. Существуют непересекающиеся открытые в X
множества Uх и Uy, причем Uх \ одержит х, a Uy
содержит у. Множества OxClS и Uyf)S—непересекаю-
Uyf)S—непересекающиеся открытые подмножества 5, причем x?Ux()S и
y?Uyr\S, Следовательно, 5 хаусдорфово. ?
В частности, всякое подмножество R" с обычной
топологией хаусдорфово.
8.10. Теорема. Пусть X и Y —топологические прост-
пространства. Тогда X и Y хаусдорфовы в /ном и только
в том случае, если XxY хаусдорфово.
Доказательство. Предположим, что X и Y хаусдор-
хаусдорфовы, и пусть wi = (x1, tji) и йуг = (х2, //,) —две различ-
различные точки из XxY. Если ххфх2, то можно найти
два непересекающихся открытых множества Ux, U2
в X1?U1, x2 ? U2. Множества U-,xY nU2xY открыты
и не пересекаются в XxY, причем w^UxxY и w2 б
?U2xY. Если х1 = х2, то У!=г=у2, и аналогичное
рассуждение показывает, что в XxY найдутся откры-
открытые непересекающиеся множества ХхУх и XxV2,
для которых w-i^XxV1 и wo_?XxV2.
Обратно, если XxY хаусдорфово, то таковы же
подпространства ХхЛу] и IxjxY, а следовательно,
X и Y. П
Таким образом, пространства типа S1xSlx ¦ ¦ ¦ xS1
хаусдорфовы.
Хотя подпространства и произведения хаусдорфо-
вых пространств хаусдорфовы, факторпространство
хаусдорфова пространства, вообще говоря, не хаусдор-
хаусдорфово. Для примера рассмотрим хаусдорфово простран-

ХАУСДОРФОВЫ ПРОСТРАНСТВА 69
ство X и его незамкнутое подмножество А (скажем,
X = R, А = @, 1)). Пусть Г = Х/~, где ——отноше-
——отношение эквивалентности на X, при котором х ~ х' тогда
и только тогда, когда х = х' или {х, х'}сА (интуи-
(интуитивно, У—это X со стянутым в точку подмножест-
подмножеством Л; мы будем обозначать К = А7~ через Х/А). Если
снабдить У фактортопологией относительно естествен-
естественной проекции gi X —> Y, то прообраз точки [х0] ? У,
где хо?А, есть множество А, не замкнутое в X. Сле-
Следовательно, точка [х0] незамкнута в У, и Y не хаус-
дорфово.
Чтобы odecneqHTb хаусдорфовость факторпростран-
ства У хаусдорфова пространства X, нужно наложить
на X дальнейшие ограничения. В качестве примера
приведем следующий результат.
8.11. Теорема. Пусть Y —факторпространство топо-
топологического пространства X, определенное при помощи
сюръективного отображения f\ X —* У. Если X ком-
компактно и хаусдорфово, a f замкнуто, то У компактно
и хаусдорфово.
Доказательство. Точки пространства У являются
образами точек из X, которые замкнуты в X, и потому
точки из У замкнуты. Пусть ух и у%—две различные
точки из У. Их прообразы f~l (Уг) и /~х (у2)—непере-
(у2)—непересекающиеся замкнутые подмножества X. Для любой
точки x^f~l(yl) и любой точки a^f~1(y2) найдутся
непересекающиеся открытые множества UXta и VXta,
для которых х 6 UXl а и а ? Vx, а- Так как /~1' (г/2) замк-
замкнуто, то оно компактно, и найдется конечное подпо-
подпокрытие покрытия {VXiai a?f~l(y2)\ этого множества,
скажем {Vx<a: а?А\, где А — конечное подмножество
/~х (у2). В частности, найдутся непересекающиеся от-
открытые множества Ux и Vx с х ?UX и f~x(y2)cVх,
а именно Uх= П UXia, Vx= U Ух,а- Далее, {Ux:
аи A as A
X^f~1(yi)} — открытое покрытие компактного множе-
множества f~~l (r/[), и потому найдется конечное подпокрытие
Ux< х?В\, где В—конечное подмножество f~l(yY).
"так, множества U= U Ux, V = Г\ Vх открыты, не
хйВ хав
пересекаются и /~J( JcU, /"

70 ГЛАВА 8
Так как по предположению / замкнуто, то f(X\U)
и f(X\V) замкнуты в Y, поэтому W1 = У \f(X \ U)
и Wi = Y\f (X\V)—открытые подмножества У, при-
причем ух ? W1 и у2? W2. Наконец, осталось проверить,
что W1f\Wi= 0. Поэтому предположим, что y€Wx[)
П №2; тогда у Ф f (X \ U) и у Ф f (X \ V). Следовательно,
ГХ(У)П (X\U) = 0 и f-1(y)n(X\V) = 0, откуда
f-1(y)cUr\V = 0, и потому ^П^ = 0. ?
Из этой теоремы вытекает следующий результат.
8.12. Следствие. Если X — компактное хаусдорфово
G-пространство с конечной группой G, то X/G — ком-
компактное хаусдорфово пространство.
Доказательство. Пусть С—замкнутое подмноже-
подмножество X. Тогда п~1(п(С))= U g-C, где п: X^X/G —
geG
естественная проекция. Так как действие g 6 G на X —
гомеоморфизм, то множества g-C замкнуты для всех
g?G. Значит, л (л (С)) замкнуто, а следовательно,
л (С), замкнуто, т. е. л — замкнутое отображение. ?
Так, например, RP"—компактное хаусдорфово про-
пространство.
Чтобы вывести другое следствие теоремы 8.11, рас-
рассмотрим пространство X вместе с подмножеством АаХ.
Напомним, что XIА обозначает А7~, где ~—отноше-
~—отношение эквивалентности на X, при котором х ~ х' тогда
и только тогда, когда х = х' или х, х'?А.
8.13. Следствие. Если X — компактное хаусдорфово
пространство и А —его замкнутое подмножество, то
XIА—компактное хаусдорфово пространство.
Доказательство. Пусть С—замкнутое подмножество
X и р: Х—+Х/А—естественная проекция. Если Сп
ПЛ = 0, то р(С) = С замкнуто. Если Сг\Аф0, то
р(С) = р(С \ А) и /7 (С Л А) тоже замкнуто, потому что
р'1 (р (С \ А) и р (С П А)) = (С \ А) и А = С и А. Итак,
р — замкнутое отображение. П
Другие ограничения на хаусдорфово пространство,
обеспечивающие хаусдорфовость факторпространства,
устанавливаются в следующих упражнениях, среди кото-
которых содержится и теорема, обратная к 8.11.

ХАУСДОРФОВЫ ПРОСТРАНСТВА 71
8.14. Упражнения, (а) Пусть /: X —<¦ К—непрерывное сюрьектив-
ное отображение компактного пространства X па хаусдорфово про-
пространство У. Докажите, что подмножество U С У тогда и только
тогда открыто, когда /-1 (U) открыто в X. (Указание: докажите,
что подмножество С тогда и только тогда замкнуто в У, когда
/-1(С) замкнуто в X.) Выведите отсюда, что топология К совпа-
совпадает с фактортопологией, определяемой отображением /.
(b) Докажите, что пространство У тогда и только тогда хаус-
хаусдорфово, когда диагональ D = {(yu y2)?YX.Y: #i=#2} замкнута
в YxY.
(c) Пусть /: X—> Y — непрерывное отображение. Докажите,
что если Y хаусдорфово, то множество
{(хих2)?ХхХ: f {кг) =f (х2)} замкнуто ъХхХ.
(d) Пусть /: X—>¦ Y — непрерывное, сюръ-
ективиое и открытое отображение. Докажите,
что Y тогда и только тогда хаусдорфово, когда
множество {(х1; х2)?Хх.Х: f (xl)=f (х2)} замк-
замкнуто в ХхХ.
(e) Пусть X — компактное хаусдорфово
пространство и Y — факторпространство, опре-
определенное отображением/: X—» У. Докажите, Рис.8.1
что У тогда и только тогда хаусдорфово, когда
/ — замкнутое отображение. Далее докажите, что У тогда и толь-
только тогда хаусдорфово, когда множество {(xi, х2)?Хх.Х: f (xl) =
= !{х2)} замкнуто в Хх^.
(f) Пусть отношение эквивалентности на Slxl, при кото-
котором (х, t)~(y, s) тогда и только тогда, когда xt = ys (здесь
имеется в виду, что S'cC и / = [0, 1] cR). Докажите, что
EхХ/)/~ гомеоморфно единичному диску Da: {x?R2: ||х||<1} =
= {х?С: |x|s?l} с индуцированной топологией.
(g) Пусть отношение эквивалентности на замкнутом еди-
единичном квадрате Х={(х, у) ? R2; O^x, y*S, 1}, при котором
(х, у) ~ (х', у) тогда и только тогда, когда (к, у) = (х', г/'), или
{х, х'}={1, 0} и #=1 —у' или {у,у'}={1, 0} и х=1—х' (рис. 8.1).
Докажите, что факторпространство X/— гомеоморфно RP2.
(h) Пусть 5+—подмножество S" С R" + 1, заданное как S+ =
= {x = («i, x2, ..., xn + l)?R"+l: |U|| = 1, x,i + 1SsO}. Докажите,
что отображение /: R" + * —>¦ R", определенное формулой / (хь
х2, ..., хп+1) = (хъ х2, ..., х„), задает гомеоморфизм 5+ на замк-
замкнутый «-мерный диск D" = {x?R": ||x[|< 1}.
(i) Определим — на R условием: х — у тогда и только тогда,
когда х — у рационально. Покажите, что — является отношением
эквивалентности и что пространство R/— с фактортопологией не-
хаусдорфово.
(j) Пусть X— компактное хаусдорфово пространство, U—от-
U—открытое подмножество X, не совпадающее с X. Докажите, что 1)
1/°° & Х/(Х\ U). (Указание: рассмотрите Л: U<° --> Х/(Х\ U),
такое, что h(u) = p(u) при u?U и h (оо) =р {X \ U), где р:
См. упр. 7.13 {Ь),— Прим. ред.

72 ГЛАВА 8
X —' Х/(Л \ U) — естественная проекция.) Выведите отсюда, что
если хСХ (и X — компактное хаусдорфово пространство), то
(Х\{))"Х
(к) Докажите, что Sn s (R")~ s Df/S"-1 s l"/dln. (Указа-
(Указание: S"\{@, 0, .... 0, 1)}^ Rn = Dn\S"-ls I"\dln.)
A) (Обобщение теоремы 8.11.) Пусть У — факторпространство
пространства X, определенное сюръективным отображением /:
X—>• Y. Предположим, что X — хаусдорфово пространство, / —
замкнутое отображение и f~l(y) компактно для всех y?Y. Дока-
Докажите, что Y — хаусдорфово пространство.
(гп) Пусть X — компактное хаусдорфово пространство я А—
его замкнутое подпространство. Предположим далее, что А есть
G-пространство с конечной группой G. Определим отношение — иа
X условием, что к — х' тогда и только тогда, когда х — х' или обе
точки х, х' принадлежат А и x — g-x' для некоторого g?G. Дока-
Докажите, что отношение эквивалентности на X и что простран-
пространство Х/~ хаусдорфово.
(п) Докажите, что подмножество Rn тогда и только тогда
компактно, когда оно замкнуто и ограничено. (Указание: восполь-
воспользуйтесь теоремой 7.12, упр. 7.13(Ь) и теоремой 8.7.)

Глава 9
СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Интуитивно, проатранвтво X связно, если оно со-
состоит из «одного куска», но как топологически истол-
истолковать «кусок»? Разумно потребовать, чтобы открытые
и замкнутые подмножества «куска» были соответст-
соответственно открытыми и замкнутыми во всем пространстве X.
Тогда по лемме 4.4 нужно ожидать, что «кусок» открыт
и замкнут в X. Это приводит к следующему опреде-
определению.
9.1. Определение. Топологическое пространство X на-
называется связным, если единственными подмножест-
подмножествами X, открытыми и замкнутыми одновременно, явля-
являются 0 и X. Подмножество пространства X связно,
если оно связно как пространство с индуцированной
топологией.
Равносильное определение связности X состоит в том,
что X не является объединением двух непересекаю-
непересекающихся непустых открытых множеств. Этот факт состав-
составляет содержание следующей теоремы.
9.2. Теорема. Пространство X тогда и только тогда
связно, когда оно не является объединением двух своих
непересекающихся непустых открытых подмножеств.
Доказательство. Пусть X связно, и предположим,
что Х=Х, и Х2, где Xt и Х2—непересекающиеся откры-
открытые подмножества X. Тогда X \ X, = Х2, так что Xt
открыто и замкнуто одновременно, откуда Xt = 0 или
X и соответственно Х2 = Х или 0. В обоих елучаях X
не является объединением двух непересекающихся не-
непустых открытых подмножеств.
Обратно, пусть X не есть обьедиаение двух непе-

74 ГЛАВА 9
ресекающихся непустых открытых подмножеств, и пусть
UdX. Если U открыто и замкнуто одновременно, то
X\U также открыто и замкнуто. Но в этом случае
X является объединением непересекающихся открытых
множеств U и X\U, поэтому одно из них должно
быть пустым, т. е. U — 0 или U = X. ?
Например, подмножество S° = {±1} пространства R.
несвязно, потому что{ + 1}— одновременно и открытое,
и замкнутое подмножество S0, или, эквивалентно, S"
есть объединение своих непересекающихся открытых
подмножеств {+1} и {—1|. Примером связного под-
подмножества R является [а, Ь], но это нужно еще дока-
доказать. Перед доказательством рассмотрим еще несколько
примеров. Они показывают, что не следует слишком
доверять интуитивным представлениям.
Пусть X — множество вещественных чисел с топо-
топологией {0\ U {ЩИ {(— оо, х): х?Щ; тогда любое под-
подмножество X связно. Для доказательства рассмотрим
произвольное подмножество Sc:X. Пусть F — непустое
подмножество 5, открытое и замкнутое в S. Тогда
можно записать F как U f\S — C f]S, где U открыто
в X, а С замкнуто в X, т. е. U — (—оо, Ь) для неко-
некоторого Ъ, а С = [а, оо) для некоторого а. Так как
F= U [}S = C f)S, то для любого х 6 S выполнены не-
неравенства х < Ъ и х~^а (если найдется значение х^Ь,
то Cr\S^=Uf\S; аналогично, если найдется значение
х < а, то U f]S ФС f|S). Итак, Sc[a, b) и F — S, откуда
следует, что S связно.
Пусть теперь X—множество вещественных чисел
с топологией JF, определенной следующим образом:
S ? W тогда и только тогда, когда для любого s € S
найдется такое i > s, что [s, t)cS. В этом случае
единственные непустые связные подмножества X —
это точки. Чтобы доказать это, предположим, что
Т — непустое связное подмножество X и х—точка из Т.
Подмножество [х, х + е) пространства X открыто и
замкнуто для всех е>0 (упр. 2.6(d)). Таким образом,
[х, х + е) Л Т—открытое и замкнутое подмножество Т.
Так как Т связно и [х, х + г) Л Т ф 0, то [х, х + е)(]
[}Т = Т для всех е > 0. Но это возможно только при

СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 75
Т~-{х\. Очевидно, что одноточечные множества связ-
связны, и потому они являются единственными связными
непустыми подмножествами X.
Перейдем теперь к доказательству того, что под-
подмножество [а, Ь] пространства R (с обычной тополо-
топологией) связно.
9.3. Теорема. Отрезок [a, b]cR. связен.
Доказательство. Предположим, что [а, Ь] является
объединением двух своих непересекающихся открытых
подмножеств U и V. Пусть а? U. Заметим, что U и V
замкнуты в [а, Ь] и, так как отрезок [а, Ь] замкнут
в R, замкнуты и в R. Пусть h—верхняя грань мно-
множества
{u?Ui «<y для всех v?V\
(это множество непусто, ибо оно содержит точку а).
Так как U замкнуто, то h?U. Но (h—e, /t-fe)n
flVф 0 для всех е>0 (иначе h не было бы верхней
гранью), и по лемме 2.7 h ? V. Но V замкнуто, так
что h ? V и потому h ? U Г) V; мы получили противоре-
противоречие, доказывающее, что отрезок [а, Ь] связен. Q
9.4. Теорема. Образ связного пространства при непре-
непрерывном отображении связен.
Доказательство. Предположим, что X связно и /i
X —* Y—непрерывное сюръективное отображение. Если
U открыто и замкнуто в У, то f'1 (U) открыто и замк-
замкнуто в X; но тогда f~1{U)= 0 или X и 11 = 0 или Y.
Значит, Y связно. П
9.5. Следствие. Если X и Y—гомеоморфные тополо-
топологические пространства, то X связно тогда и только
тогда, когда Y связно.
Из теоремы 9.4 получаем, что окружность S1 связна,
так как имеется непрерывное сюръективное отображе-
отображение fi [0, 1]—»¦ S1, заданное формулой f{t) = (cos2nt,
2tS1R\
Чтобы доказать, что интервалы в R вида [а, Ь), (а, Ь\
и (а, Ъ) связны, воспользуемся следующим результатом.

76 ГЛАВА 9
9.6. Теорема. Пусть \Yy. j?J\—семейство связных
подмножеств пространства X. Если [}У,ф0, то
У = U Y, связно.
Доказательство. Пусть U — непустое открытое и
замкнутое подмножество Y. Тогда U П У,- ф 0 для
некоторого г?/ и UuY; открыто и замкнуто в Yt.
Но Y; связно, так что ?/Г)У,- = У,- и, следовательно,
Y;C:U. Множество Y,- пересекается с любым другим
Yj, j?J, и потому U также пересекается с любым
Yj, /?/. Повторяя предыдущее рассуждение, получим,
что YjCzU для всех /?/ и потому U = Y. D
Связность интервалов [а, Ь), (а, Ь] и (а, Ь) в R сле-
следует из теоремы 9.3, следствия 9.5 и того факта, что
[а, Ь)= U [а, 6 —(й—а)/2»]
п> 1
и т. д. Аналогично получаем, что связны само R,
а также интервалы вида [а, оо), (—<х>, Ь], (—<х>, Ъ),
(а, оо).
Последний результат, который мы докажем здесь,
относится к произведениям связных пространств.
9.7. Теорема. Пусть X и Y—топологические простран-
пространства. X и Y тогда и только тогда связны, когда
XxY связно.
Доказательство. Предположим, что X и У связны.
Так как Х^Хх{у} и У s{x}xV для всех х?Х,
г/?У, то Хх{у] и {х}хУ связны. Далее, (XxW)fl
П(ШхУ) = {(л:, (/)}=^=0, и, таким образом, (Xx|t/})U
U(|x}xF) связно по теореме 9.6. Теперь можно запи-
записать ХхУ в виде
XxY= U ((Xx{y\)U({x}xY))
хйХ
для некоторого фиксированного у ? У. Так как
П ((Хх{у\)и({х}хУ))ф0, то XxY связно.
хйХ
Обратно, пусть ХхУ связно. Связность X и У
следует из теоремы 9.4 итого факта, что ях: ХхУ—>-Х и
як:ХхУ—*-Y — непрерывные сюръективные отображе-
отображения. П

СПЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 77
Из эти\ результатов следует, что R" связно. В уп-
упражнениях \1Ы увидим, что сфера S" при п^1 и про-
проективное пространство RP" также связны.
9.S. Упражнения, (а) Докажите, что множество рациональных
чисел QcR несвязно. Каковы его связные подмножества?
(b) Докажите, что подмножество R тогда и только тогда
связно, когда оно является интервалом или одной точкой. (Под-
(Подмножество А пространства R называется интервалом, если А со-
содержит по крайней мере две различные точки и для a, i? А, а < Ь,
из а < х < Ь следует к^А.)
(c) Пусть X—множество, состоящее не менее чем из двух
элементов. Докажите, что (i) в дискретной топологии единствен-
единственные связные подмножества X — это одноточечные множества; (ii)
в антидискретной топологии любое подмножество X связно.
(d) Какие из следующих подмножеств R2 связны:
{х: \\х\\< 1}, {х: ||*|| > 1}, {х: |*|?M}?
Какие из следующих подмножеств R3 связны:
{х: х'{-\-х)~х\= \), {х: х--\-x\~xl = — 1 [, {х: xt Ф 1}?
(e) Докажите, что топологическое пространство X тогда и
только тогда связно, когда любое непрерывное отображение X
в дискретное пространство (состоящее не менее чем из двух точек)
является постоянным.
(f) Пусть Л—связное подпространство X и А СГ Y сг А. До-
Докажите, что Y связно.
(g) Пусть Y и {Yf. j?J}—связные подмножества простран-
пространства X. Докажите, что если Yof)Y/ Ф 0 для всех /?/, то
K = K0U / (J К Л связно.
V's J J
(h) Докажите, что R™ + 1\{0} связно при n^l. Выведите
отсюда, что 5" и RP" связны при п^э 1. (Указание: рассмотрите
отображение /:R" + 1\{0} —>¦ S", заданное формулой / (х) = х/\\х ||.)
(i) Пусть А и В — подмножества R2 вида
А = {(х, у): х = 0, - 1<?/<1},
В = {{х, у): 0
Докажите, что Х = А\]В связно. (Указание. Докажите, что А и
В связны. Затем рассмотрите X — U(]V, где U и V открыты и
замкнуты в X, и предположите, что некоторая точка из А при-
принадлежит U.)
(]') Пусть А и В — подмножества R'2 вида
<4 = {(х, УУ- 1/2 <х< 1, У = Щ,
В = {(х, у): 0<а;<1, д = х/п, где п?Щ-
Докажите, что Х = А[]В связно.
(к) Первые шаги в алгебраической топологии. Пусть X—то-
X—топологическое пространство, Определим Н (X) как множество всех

78 ГЛАВА 9
непрерывных отображений X в 22 (топологическое пространство,
состоящее из двух точек {0, 1} с дискретной топологией). Если
/, g?H (X), определим сумму f-\-g формулой
+ g)()W+g)( ?)
Докажите, что f~\-g непрерывно и И (X) — абелева группа отно-
относительно этой операции. Докажите, что X тогда и только тогда связ-
связно, когда Н (X) изоморфна циклической группе порядка 2. Построй-
Постройте примеры топологических пространств Х^ с группами Н (Х^)
изоморфными {%%)к.

Глава 10
ЗАДАЧИ О БЛИНАХ
В этой главе мы приведем некоторые довольно
легкомысленные приложения результатов предыдущих
глав к так называемым «задачам о блинах». Грубо
говоря, первая задача такова: допустим, что на та-
тарелке лежат два блина (произвольной формы); нужно
показать, что можно разрезать оба блина точно по-
пополам одним взмахом ножа. Вторая задача — показать,
что можно разделить блин на четыре равные части
двумя перпендикулярными разрезами. Доказательства
основаны на некоторой форме теоремы о промежуточ-
промежуточном значении.
10.1. Лемма. Если /: /-+R—непрерывная функция,
для которой произведение /@)/A)^0, то найдется
такая точка t?l, что f(t) — O.
Доказательство. Пусть [A)ф0 для всех /?/ и,
в частности, /@)/A)<0. Определим функцию g: /—>-
— {±4 = 5° формулой g(l) = f(t)l\f{t)\. Очевидно,
что она непрерывна и сюръективна (потому что
/@)Д1) < 0)- Но отрезок / связен, а множество S0—
нет. Это противоречит тому, что непрерывный образ
связного пространства связен. ?
Как следствие получаем теорему о неподвижной
точке.
10.2. Следствие. Пусть f: I—* I—непрерывная функ-
функция; тогда существует такая точка t ? /, что f (t) = t.
Доказательство. Если /@) = 0 или /A)=1, дока-
доказывать нечего. Поэтому предположим, что /@)>0
и /A)< 1, и рассмотрим функцию g(t) = f(t) — t. Она
непрерывна и удовлетворяет условию @(lH

80 ГЛАВА 10
По лемме 10.1 имеем g(t) = Q для некоторого t? l и,
следовательно, f(t) = t для некоторого t ? /. Q
10.3. Следствие. Всякое непрерывное отображение
окружности в прямую переводит некоторую пару
диаметрально противоположных точек в одну точку.
Доказательство. Пусть / (t) ф f (— t) для всех I ? S1;
определим функцию /г: S1 —> (R формулой h (/) = /(/) —
— / (—0- Пусть е: / —»¦ S1 задано формулой е (^) = ехр лг7.
Очевидно, что функция he непрерывна. Далее, he(O) =
/l) /(l/(l) fe(l /l /i)/(i)
( ) /(
= — he @). Итак, по лемме 10.1 найдется такая точка t ? /,
что he(t) — O, и потому найдется такая точка x^S1,
что fc(*) = 0, т. е. f(x) = f(—x). П
Имеется физическая интерпретация следствия 10.3.
10.4. Следствие. В данный момент времени на данной
большой окружности земного шара найдется пара
антиподальных точек с одинаковой температурой.
Антиподальные точки — это диаметрально противо-
противоположные точки. Этот результат можно обобщить,
см. гл. 20.
Перейдем теперь к точной формулировке первой
задачи о блинах.
10.5. Теорема. Пусть А и В—ограниченные множе-
множества на евклидовой плоскости1). Тогда в этой плоско-
плоскости найдется прямая, которая делит каждое из мно-
множеств на две части равной площади.
Заметим, что эти .множества могут пересекаться,
т. е. блины могут налагаться один на другой. Более
того, множества могут не быть связными, т. е. блины
могут быть разорваны на несколько кусков.
Доказательство. Пусть S — окружность с центром
@, 0) ^ R2, которая содержит внутри себя А и В (она
существует, так как Л и б ограничены). Изменяя
') Предполагается, что множеств А и В имею! площадь.—

ЗАДАЧИ О РЛИНАХ 81
масштаб, можно считать, что диаметр 5 равен 1. Для
любого х ? S рассмотрим диаметр Dx окружности S,
проходящий через х, и пусть Lt — перпендикуляр к Dx,
проходящий через точку на Dx, расстояние которой
от х равно t(t?l), см. рис. 10.1.
Рис.10.1
Пусть g1(t) — площадь части А, лежащей с той же
стороны от Lt, что я х, a ?2@— площадь другой
части. Заметим, что gt @) = g2 A) = 0. Ясно, что gx и
g%—непрерывные функции, отображающие / в Е1).
Определим f: I—* U формулой f(t) = g,(t)—^(О- Эта
функция непрерывна и удовлетворяет условию f@) =
= -/A), т.е. /@)/A)<0. По лемме 10.1 найдется
такая точка / ?/, что f(t) = O. Эта точка может не
быть единственной. Так как g2 и—g, — невозрастаю-
щие функции (это очевидно), то f = g2—gi тоже не
возрастает. Таким образом, f(t) = Q либо на целом
отрезке [а, Ь], либо в единственной точке с. В первом
случае определим hA (x) — (a -j- b)/2, а во втором hA (x) = с.
Другими словами, перпендикуляр к Dx, проходящий
через точку на Dx, расстояние которой от х равно
hA (х), делит площадь А пополам. Заметим, что hA (—х)=>
= 1—hA(x). Заметим также, что hA: S1 —>¦ I — непре-
непрерывная функция (обычный прием: слегка подвинуть х
и посмотреть, что произойдет chA(x)).
х) Доказательство см. в указанной в гл. 30 книге Стинрода
и Чинна, с. 101,— Прим. перев.

82 ГЛАВА 10
Определим таким же образом функцию hB: S1 —* /,
используя В вместо А. Затем определим h: S1 —»- R
ормулой h (х) = hA (х)—hB(x). Так как пА и hB непре-
непрерывны, то и h непрерывна. Далее, h(x) = — h(—л;)
ля всех x^S*. Но, согласно следствию 10.3, сущест-
существует такая точка y^S1, что h{y)~h(— у). Значит,
h(y) = O, hA{y) = hB(y), и перпендикуляр к Dy, про-
проходящий через точку на Dy, расстояние которой до у
равно hA(y), делит пополам площади А и В. ?
Эта теорема обобщается на высшие размерности,
т. е. на п ограниченных множеств в IR". Случай п = 3
см. в гл. 20.
Приведем теперь точную формулировку второй за-
задачи о блинах.
10.6. Теорема. Если А—ограниченное множество на
плоскости, то существуют две перпендикулярные пря-
прямые, разделяющие А на четыре части одинаковой пло-
площади.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы
10.5, заключим А внутрь окружности S с центром
At(x)
Рис. 10.2
в @, 0) б К2 единичного диаметра. Для любого x?S
пусть Lx — перпендикуляр к Dx, пересекающий Dx на
расстоянии hA (х) от х (в частности, Lx делит площадь А
пополам). Пусть у—точка на S, полученная из х по-
поворотом на прямой угол против часовой стрелки
(т. е. y=ix = xV—l). Пусть теперь М^ —перпенди-

ЗАДАЧИ О БЛИНАХ 83
куляр к D пересекающий Dy на расстоянии hA(y) от
у {Мх тоже делит площадь А пополам). Обозначим
четыре части А в порядке обхода против часовой
стрелки через Аг(х), А2(х), А3(х), At(x) (рис. 10.2).
Заметим, что если обозначить площадь Л,-(я) через
gi(x), то
{x)=gs (x)+gt {x), gt (x) + gx {x)=g2 {x)+gs (x),
откуда g1{x) = g3(x) и g2(x) = gi(x). Конечно, каждая
из функций glt g2, g3 и g4, отображающих S в R, не-
непрерывна. Пусть / — непрерывная функция, определен-
определенная формулой
/ (*) = gi (*)—?* (х) = g3 {х)—g4 (х).
Заметим, что f(ix) = g1{ix)—gi{ix) = gi(x)—gs(x) =
= Яг W—gi(x) = — f(x)- Применим теперь лемму 10.1
к функции fV"е : / —»¦ R, где V~e : I —>S1 определена
формулой |/e(/)==exp (лг7/2), и получим нужный резуль-
результат. П
Решения задач о блинах — это теоремы существова-
существования; они утверждают, что существуют разрезы нужного
вида, но не указывают, как их сделать. Вообще говоря,
точное положение разреза найти трудно. В упражнении
мы приведем пример, когда это сделать легко.
10.7. Упражнения, (а) Допустим, что на тарелке лежат два блина.
Как сделать одним взмахом ножа разрез, делящий оба блина
точно пополам, если один блин имеет форму правильного 2п-
угольника, а другой — правильного 2от-угольника?
(Ь) (Другое доказательство теоремы 10.5.) Используя обозна-
обозначения теоремы 10.5, покажите сначала, что для x?Sl найдется
прямая Lx, перпендикулярная Dx, которая делит А пополам.
Эта прямая разделит В на две части. Пусть ki(x), k2 (x) — пло-
площади соответственно ближайшей к точке х и дальней от нее ча-
частей В. Положим k(x) = kx (x)—k2(x). Покажите, что k: Sl—>¦ R
непрерывно, и выведите отсюда теорему 10.5.

Глава 11
МНОГООБРАЗИЯ И ПОВЕРХНОСТИ
В этой главе мы рассмотрим класс топологических
пространств, локально устроенных как евклидовы про-
транства.
11.1. Определение. Пусть п — неотрицательное целое
число. Хаусдорфово пространство, каждая точка ко-
которого имеет открытую окрестность, гомеоморфную
открытому /г-мерному диску Dn = \х glR": |х|< 1}, на-
называется п-мерным многообразием. Заметим, что D"^RP,
так что с равным успехом можно потребовать, чтобы
каждая точка имела окрестность, гомеоморфную lRn.
Так как R0— одна точка, то любое пространство
с дискретной топологией является нульмерным много-
многообразием. (Пространство с дискретной топологией xayG-
орфово, и для х?Х в качестве открытого множества,
содержащего х и гомеоморфного R0, можно взять \х\.)
Кроме нульмерных простейшими призерами «-мерных
многообразий являются, пожалуй, Rn или само D".
Любое открытое подмножество R" тоже является п-
мерным многообразием: если V открыто в R" и u?U,
то найдется такое е > 0, что и б В, (й)сУсК" и, ко-
конечно, Вг(и) ^ D".
Окружность S1 — одномерное многообразие. Чтобы
проверить это, предположим, что S^czG задана как
{ехр2ш7: t?l). Если х = ехр2ш gS1, то
х € S1^— x\ =S1\{exp 2m (9—1/2)} =
= {ехр2п«: 6 — 1/2 < t < 6 + 1/2} ^
@ е-1/2, e b

МНОГООБРАЗИЯ И ПОВЕРХНОСТИ 85
так что каждая точка имеет окрестность, гомеоморф-
гомеоморфную D1. Очевидно, что S1 хаусдорфово и, следовательно,
является одномерным многообразием. Вообще, /г-мерная
сфера S" является /г-мерным многообразием. Чтобы
установить это, введем понятие стереографической про-
проекции, которая является гомеоморфизмом пространства
Sn\{@, 0. •••, 0, 1)} на R". Определим ее следующим
образом: для x?S"\j(O, ..., 0, 1)} проведем в R.n+1
прямую через точки @, ..., 0, 1) и х до пересечения
с |R« = {(x1( x2t ..., xn+1)?R'l+1: хп+1 = 0}. Обозначим
точку пересечения через ц>(х) (рис. 11.1).
@,0,1)
Рис.11.1
Нетрудно усмотреть (интуитивно это понятно), что
Ф непрерывно и биективно. Легко определить \() = ф~1
и убедиться, что оно непрерывно. Нетрудно получить
для ф точную формулу: написать уравнения прямой
в Rn+1, проходящей через @, ..., 0, 1) и х, и найти
на ней точку, в которой хп+1 = 0. Читатель может
быстро сосчитать, что
г у } — ( Xl
Обратное отображение \|з: Rn—>-Sn\{@ 0, 1)} за-
задается формулой
W*i. х2 xn) = TJ~r{2xl, 2х2 2хп, \xf— 1).
Мы оставляем читателю проверку того, что ф и г|з не-
непрерывны и ф\|з= 1, г|зф=1.
Отсюда следует, что любая точка xgS'J\{@, ...
•.., 0, 1)} имеет окрестность, а именно само множество
S"\{@, ..., 0, 1)}, гомеоморфную D". Наконец, точка
@, ..., 0, 1) имеет окрестность 5"\|@, . ..,0, —1)},
гомеоморфную R" при отображении ф-, заданном фор-

86 ГЛАВА l!
мулой
Ф (xlt x,,..., xn+1) = [l+Xn+i, i+Xn+1> •••
Следовательно, S" в самом деле есть /г-мерное много-
многообразие.
Другой способ удостовериться, что S" является
n-мерным многообразием, состоит в том, что сначала
рассматриваются точка @ О, 1)?S" и ее окрест-
окрестность U вида
U = {(xltxt xn+x)eS": xn+l>0\.
Эта окрестность гомеоморфна D" при ортогональной
проекции, т. е. отображении U —* D" с R" вида
(хи хг, ¦¦-, xn+1)*->(xlt x2> ..., хп). В общем случае
для х ? Sn возьмем в качестве Vх множество
x-y\\<V%
которое, очевидно, является открытой окрестностью
точки х б S". Ортогональная проекция на «-мерное под-
подпространство в (Rn+1, проходящее через О ортогонально
прямой, соединяющей О и х, дает гомеоморфизм между
Uх и D" и показывает, что S" есть гс-мерное много-
многообразие.
Заметим, что по определению /г-мерное многообра-
многообразие хаусдорфово. Можно спросить: а не будет ли
хаусдорфовым всякое пространство X, каждая точка
которого имеет окрестность, гомеоморфную R"? Как
показывает простой пример, ответ отрицателен. Пусть
с топологией 41, для которой U ?11, если U — 0,
U = X или U — произвольное объединение множеств
вида
(а, О)и(Р. 2], -1<а<0, 0<р<2.
Заметим, что топология X не совпадает g топологией,
индуцированной из R, потому что множества вида
ф, 2] не открыты в X. Правильное наглядное изобра-

МНОГООБРАЗИЯ И ПОВЕРХНОСТИ 87
жение X дано на рис. 11.2. Такое изображение объ-
объясняется тем, что точка {2} сколь угодно близка
к точке {0} (т. е. любое открытое множество, содер-
содержащее {2}, содержит (а, 0) для некоторого а). Ясно,
что X нехаусдорфово, так как любая открытая окрест-
окрестность точки {2} пересекается с каждой открытой
Рис.11.2 '
окрестностью точки {0}. С другой стороны, любая
точка из X имеет окрестность, гомеоморфную R1.
Если xQX и хф2, это очевидно. Если х = 2, то
N = (—1/2, 0)UC/2, 2] является окрестностью точки
{2}, гомеоморфной D1 при отображении f: N —>¦
— (—1, 1) = D1, где
( 2у при —1/2<«/<0,
\ 4 — 2у при 3/2 < i/<2.
Читатель должен проверить непрерывность и биектив-
ность f и непрерывность обратного отображения
g: (—1, l)—+N, заданного формулой
\ х/2 при —1 <х<0,
\ 2—Х/2 при 0<л;< 1.
Итак, условие хаусдорфовости в определении 11.1
отнюдь не является излишним. Оно устраняет про-
пространства вроде изображенного на рис. 11.2, кото-
которые наша интуиция отказывается считать локально
похожими на евклидовы. Другая возможная причина
включения этого условия состоит в том, что нам хо-
хочется представлять себе «-мерные многообразия как
подпространства некоторого евклидова пространства
RN (с большим N), локально устроенные наподобие R".
В этом случае хаусдорфовость наследуется из объем-
объемлющего пространства RN. И действительно, имеет
место теорема, которая утверждает, что если М — ка-
какое-нибудь «хорошее» n-мерное многообразие (напри-

ГЛАВА II
мер, компактное), то оно гомеоморфно подпространству
некоторого евклидова пространства RN. В случае
компактного многообразия см. упр. 11.2 (f) и (g).
Для получения дальнейших примеров многообразий
заметим, что если М есть /n-мерное многообразие, а
N есть гс-мерное многообразие, то произведение MxN
представляет собой (m-f-rc)-мерное многообразие, по-
ому что DmxDns* RmxR" = k.m+n^ Dm + " и произве-
произведение хаусдорфовых пространств хаусдорфово. Зна-
Значит, S1xS1—двумерное многообразие, и вообще
S1xS1x . ¦ -XS1 есть я-мерное многообразие.
п
Пространство RP" также является /г-мерным много-
многообразием. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим отобра-
отображение р: Sn —>¦ RP", переводящее х б S" в пару
{х, — x}?RPn. Пусть Uх—открытая окрестность точки
x^S", гомеоморфная D", диаметр которой меньше \^2.
В этом случае p(Ux)—открытая окрестность точки
{х,—х\ ^ RPn, гомеоморфная D". В самом деле, р —
непрерывное открытое отображение (теорема 5.12), и
если U—достаточно малая область в S", то р\ U\ О—*-
—*p(U) биективно. Вообще, пусть X—некоторое
G-пространство g конечной группой G. Говорят, что
G действует на X свободно, если g-хфх для всех
jtgX и всех g?G, g=?l. Если G свободно действует
на X и X — компактное «-мерное многообразие, то
таково же и X/G. Обратно, если X/G есть гс-мерное
многообразие, то X—также «-мерное многообразие.
Детали доказательства мы оставляем читателю.
В качестве следующего примера рассмотрим фак-
торпространство М, изображенное на рис. 11.3, кото-
которое образовано из восьмиугольной области X при
помощи указанных отождествлений сторон. Пуеть
pi X —»- М — естественная проекция.
Если х б М —такая точка, что р~л (х) лежит внут-
внутри X, то очевидно, что х имеет окрестность, гомео-
морфную D2i такой окрестностью будет р(Х). Если
х?М—такая точка, что р~1 (х) лежит на стороне X,
но не содержит вершин, то, как нетрудно видеть,

МНОГООБРАЗИЯ И ПОВЕРХНОСТИ
х снова имеет
рис. 11.4.
окрестность, гомеоморфыую D2; см.
Наконец, если р~1(х) содержит вершины X, то
окрестность Nx точки х, гомеоморфная D2, изображена
на рис. 11.5 (p~1(Nx) состоит из точек X, находящихся
«2
йл\
Рис.11.3
на расстоянии меньше е от р~1{х) при некотором под-
подходящем 8 > 0).
Интуитивно вполне ясно, что М хаусдорфово, и чи-
читатель без труда в этом убедится. Для «алгебраически»
мыслящего читателя мы дадим следующее доказатель-
доказательство. Пусть А обозначает «край» X. Запишем А в виде
8
U AtuY, где At — замкнутые стороны X, а У—мно-
У—множество вершин X. Пусть С—замкнутое подмножество X.
Тогда
U
U «СП A,)U В,),
где еУ = У, если С (]У непусто, и &Y=0, если СГ\У
пусто. Через В,- в последнем равенстве обозначены
множества, определяемые следующим образом. Если
сторона At отождествлена при образовании факторпро-

ГЛАВ* И
Рис. 11.4
странства М со стороной AJt то Bt — это множество
всех точек из Aj, с которыми отождествлены точки
множества С П А{. Очевидно, что В,- гомеоморфно С П At
и p(Bi) = p(Cf]Ai). Заметим, что р~хр {С f] А/) Л А ¦ =
Ви(КП^/). Итак (рис. 11.6),
U Я,

МНОГООБРАЗИЯ И ПОВЕРХНОСТИ 91
Отождествление множеств Л,- и Aj является гомео-
гомеоморфизмом, переводящим СГ\А: в В,-. Так как С Не-
Незамкнуто в Ah то В,- замкнуто в Af, и так как Aj
замкнуто в X, то В,- замкнуто в X. Поэтому р~гр(С)
замкнуто и р(С) замкнуто по определению факторто-
пологии. Итак, р: X —>¦ М — замкнутое отображение.
Так как X—компактное хаусдорфово пространство, то
по теореме 8.11 М также компактно и хаусдорфово,
т. е. является двумерным многообразием.
Отождествления, изображенные на рис. 11.3, можно
провести в нашем трехмерном пространстве, как пока-
показано на рис. 11.7. Конечный результат называется
кренделем.
Другой способ реализации многообразия М изобра-
изображен на рис. 11.8. Сначала нужно выбросить открытый
диск, являющийся окрестностью точки многообразия М,
полученной склеиванием вершин восьмиугольника X,
как показано на рис. 11.8 (а). Затем отождествим
стороны, обозначенные через аи и получим (с). Рас-
Рассмотрим темную область У на (d). Она гомеоморфна
подпространству R2, изображенному на (е). Отображе-
Отображение /, определенное равенствами
(х(а + 2у(Ь—а))/Ь, у) при 0 < х < b и t/<0,
— b)(l—a — 2y(b—a)) . . п /и \ \
,.уу '^ + а + 2у(Ь—а), у)
при Ь г^ X г^ 1 И
(ха/b, у) при
(где 0<а^Ь<1), является гомеоморфизмом прост-
пространств, изображенных на рис. 11.8 (е) и (f). Заметим,
что / тождественно на трех сторонах этой области, не
имеющих выступа. Итак, мы получили гомеоморфизм
пространства У на себя, тождественный на трех сто-
сторонах У, не содержащих а2. Используя этот гомеомор-
гомеоморфизм пространства У и тождественное отображение
незатемненной части (d), получим гомеоморфизм между
(d) и (g). Итак, (с) и (h) гомеоморфны. Подобным же
способом можно убедиться, что гомеоморфны (h) и (к),
пользуясь для построения гомеоморфизма темными
областями на (i) и (П. Отождествление сторон, обозна-

92
ГЛАВА 11
C,>r
Рис. 11.7
ценных на (к) через а2, дает A). Аналогично получаем
(т), гомеоморфное исходному пространству (а).
Далее перейдем к рис. 11.9 и после простых растя-
растягивающих гомеоморфизмов получим пространство на
рис. 11.9 (с). Наконец, вклеивая обратно выброшенный
ранее диск, получим крендель, изображенный на
рис. 11.9(d).
Оказывается, все компактные двумерные многооб-
многообразия можно получить как факторпространства неко-

МНОГООБРАЗИЯ И ПОВЕРХНОСТИ
93

Q4
ГЛАВА 11
торых многоугольных областей. Далее в этой главе
мы вернемся к соответствующему построению.
Рис.11.9
11.2. Упражнения, (а) Покажите, что открытое подмножество
и-мерного многообразия также является и-мерным многообразием.
(Ь) Пусть CPn~S9-n+l/~, где ~— отношение эквивалентности
на S2"+1cC"+1, при котором
у
= (exp 2nit) у для некоторого
Докажите, что СРп есть 2/г-мерное многообразие. (Заметим, что
~ стягивает окружности в S2n + 1 в точки; например, множество
{(ехр2тн7, 0, ..., 0): t?l} представляет одну точку в СРп.)
(c) Пусть р — натуральное число и Lj> = S2n + 1/~, где ~—от-
~—отношение эквивалентности на S2" + 1 с Си+1, при котором
х ~ уО x = (exp2nin/p) у, я = 0, 1 р— 1.
Докажите, что Lp является B/г+1)-мерным многообразием.
(Lp = S2n + i 1%р, где %р очевидным образом свободно действует
(d) Пусть X — некоторое G-пространство, причем группа G
конечна и действует на X свободно. Докажите, что если X —
компактное я-мерное многообразие, то таково же пространство
орбит X/G. Кроме того, докажите, что если X/G — многообразие,
о X — тоже многообразие.
(e) Докажите, что если М есть я-мерное многообразие, то
каждая точка М имеет окрестность, гомеоморфную замкнутому
-мерному диску О".

МНОГООБРАЗИЯ И ПОВЕРХНОСТИ 95
(f) Пусть М—компактное и-мерное многообразие. Докажите,
что М гомеоморфно подпространству некоторого евклидова про-
пространства R^ (Указание. Так как М компактно, то найдется
конечное покрытие {D1} D2, ..., Dm) многообразия М и гомеомор-
гомеоморфизмы Л,-: D;—> Dn. Воспользуйтесь упр. 8.14 (j) и (к) для полу-
получения гомеоморфизмов M/(M\D{) s (Ь,-)~ s Fn)" as Sn. Так как
М компактно и хаусдорфово, a M\Dj замкнуто, то проекция
р,-: М —> Mj(M\Di) непрерывна, и мы получаем непрерывные
отображения f{\ М —*- S". Определим /: М —> (Sn)m формулой
f(x) = (ti(x), /,М fm(x)). Наконец, (S»)« с (R« + l)m =
(g) Пусть М есть и-мерное многообразие и D — подпростран-
подпространство М, гомеоморфное Ь". Так как Й» s Rs = S"\{@ О, 1)},
то имеется гомеоморфизм g: D —> 5"\{@, ..., 0, 1)}. Определим
f: M —> Sn условием
(Х) \
S(x) при
@ О, 1) при
Докажите, что / непрерывно. Воспользуйтесь этим результатом
для нового доказательства утверждения п. (f).
В первую очередь нас интересуют компактные связ-
связные многообразия. Все компактные связные нульмерные
многообразия гомеоморфны между собой. Окружность
S1 является компактным связным одномерным многооб-
многообразием. В действительности S1—единственное с точ-
точностью до гомеоморфизма компактное связное одно-
одномерное многообразие. Доказательство этого факта не
очень трудно, и мы дадим его набросок. Первый шаг
(вероятно, самый трудный, но вполне наглядный) со-
состоит в использовании компактности для доказательства
того, что если М—компактное связное одномерное
многообразие, то оно допускает «хорошее» разбиение
на конечное число подмножеств, гомеоморфных еди-
единичному отрезку /. Если назвать гомеоморфные образы
отрезка / дугами, а образы точек {0, 1} вершинами
этих дуг, то под «хорошим» разбиением мы понимаем
такое, при котором ни одна дуга не пересекает саму
себя, а две дуги могут пересекаться только по одной
или двум вершинам. (Идея доказательства следующая:
(i) покрыть М открытыми окрестностями всех его точек,
гомеоморфными D1 ss /, (ii) выделить из этого покрытия
конечное, что возможно в силу компактности М,
(ш) вписать в полученное конечное покрытие замкну-

96 ГЛАВА И
тое покрытие множествами, гомеоморфпымп /, и, нако-
наконец, (iv) воспользоваться определением одномерного
многообразия и показать, что М имеет «хорошее» раз-
разбиение.) Очевидно, что в хорошем разбиении М на дуги
и вершины каждая вершина является вершиной точно
двух различных дуг, а каждая дуга имеет две различ-
различные вершины. (Если некоторая вершина является вер-
вершиной только одной или более чем двух дуг, то у нее
нет окрестности, гомеоморфной D1.) Предположим, что
М состоит более чем из двух дуг. Пусть Л,, Л2—-две
дуги в М, пересекающиеся по общей вершине а. Пусть
йх! Л^—* /, h2: Л2 —> /—гомеоморфизмы, определяющие
А1 и Л2 как дуги. Можно считать, что h1(a)=\ и
йа(а) = 0; иначе нужно взять композитно Я, и (или) h2
с гомеоморфизмом f: I —* I, определенным формулой
f(t)=\—t. Определим g\ Л,11/42—>/ условиями
) h{(x)l2 при х?Аъ
при х^А%.
Это отображение определено корректно и, как легко
видеть, является биективным. Чтобы установить его
непрерывность, заметим сначала, что Л, и Л2 замкнуты
в Лх U Л2 и в М. Пусть С — замкнутое подмножество /;
тогда множество
g-i{C) = hrl{[0, 1/2] ПС) U Я:1 ([1/2, 1]ЛС)
очевидным образом замкнуто в Л, и Л2 и, следовательно,
g непрерывно. Отсюда легко вытекает, что g—гомео-
g—гомеоморфизм. Значит, мы можем заменить дуги Ах, А2 одной
дугой Л. Теперь мы имеем разбиение М, в котором
одной дугой и одной вершиной меньше. Продолжая
этот процесс, мы придем к разбиению М, состоящему
из двух дуг и, следовательно, имеющему две вершины.
Таким образом, М гомеоморф но двум экземплярам /,
склеенным своими концами. Поэтому М гомеоморфно
окр жности S1.

МНОГООБРАЗИЯ И ПОВЕРХНОСТИ
97
Компактные связные двумерные многообразия назы-
называются поверхностями. Примерами поверхностей явля-
являются сфера S2, тор T = S1xS1, вещественная проек-
проективная плоскость RP* и описанный выше крендель.
Рис. П. 10
Первые три примера — основные в том смысле, что из
них можно получить любую поверхность при помощи
«связной суммы». Пусть Sj и S2—две непересекающиеся
поверхности; их связная сумма St # S2 получается
выбрасыванием малого открытого диска на каждой
поверхности и склеиванием по границам образовав-
образовавшихся дырок (рис. 11.10).
Чтобы получить более строгое определение, выберем
начала D, с S; и Ог с S2, гомеоморфные D2. Легко
видеть, что такие области существуют. В самом деле,
пусть х—точка на какой-нибудь поверхности; она
имеет окрестность N, для которой существует гомео-
гомеоморфизм h: N —* D2. Подпространство h~1(D\l2) cz N,
где D2V, с D2 — замкнутый диск радиуса 1/2, гомео-
морфно D2 при гомеоморфизме yt-*2h(y).
Итак, пусть D, cSj и D2 cr S2 —подпространства,
гомеоморфные D2, и пусть hx: Dx -^ D2, h2: D2 —»- D2 —

98
ГЛАВА II
соответствующие гомеоморфизмы. Определим Sx # S2,
полагая
S^S^ ((S^DJ и {St\6t))/~,
где ~— отношение эквивалентности, нетривиальное
только на d(S1\D1)Ud(Si\Di) — dD1\jdDt, где оно
Рис.П.11
задается соотношением х ~ h^hi (x) при х ? dDt. Можно
показать, что это определение связной суммы не зави-
зависит от выбора дисков Dlt D2 и гомеоморфизмов hx, h2.
Нетрудно видеть, что S, # S2—поверхность; единст-

МНОГООБРАЗИЯ И ПОВЕРХНОСТИ 99
венные точки, окрестности которых нужно рассмотреть,
это точки из <3?>j и dD2. Детали мы оставляем читателю.
Крендель является связной суммой двух торов
(рис. 11.10). Бутылка Клейна—связная сумма двух
проективных плоскостей. Это легко следует из гл. 5,
а геометрическое доказательство изображено на
рис. 11.11. Начнем с двух проективных плоскостей
на рис. 11.11 (а), затем выбросим два открытых диска,
заштрихованных на (Ь). Получим пространство, гомео-
морфное (с). Склеивание (т. е. образование связной
суммы) дает (d). Сделав разрез, как указано на (е),
получим факторпространство (f); переместив треуголь-
треугольники, получим (g); отождествление вертикальных сто-
сторон дает (h) и простой гомеоморфизм приводит к (i),
которое является бутылкой Клейна.
Тот факт, что все поверхности можно получить из
сферы S2, тора T = S1x51 и вещественной проектив-
проективной плоскости RP2 при помощи связных сумм, состав-
составляет содержание так называемой классификационной тео-
теоремы для поверхностей.
11.3. Теорема. Всякая поверхность S гомеоморфна точ-
точно одной из следующих поверхностей:
S2 # Т#Т #. . . # Г (ш > 0),
Доказательство распадается на две части. В пер-
первой части доказывается, что всякая поверхность гомео-
гомеоморфна хотя бы одной из поверхностей, перечисленных
в теореме 11.3. Мы не будем входить во все подроб-
подробности этой части, а дадим лишь краткий набросок да-
далее в этой же главе. Во второй части доказывается,
что никакие две поверхности, перечисленные в теоре-
теореме, не гомеоморфны; это мы строго докажем в гл. 26.
Взятие связной суммы с тором часто называют
приклеиванием ручки (где ручка — это тор с выброшен-
выброшенным открытым диском); причина такого названия оче-
очевидна (см., например, рис. 11.12 (е), (f)). Иногда мы
будем говорить о приклеивании цилиндра: в таком

100
ГЛАВА И
случае из поверхности выбрасывают два открытых
диска и приклеивают цилиндр, как показано на
рис. 11.12 (а). Важно сделать это правильно. Непра-
Неправильное приклеивание цилиндра (т. е. обращение стрел-
стрелки на одной из граничных окружностей) эквивалентно
взятию связной суммы с бутылкой Клейна.
(в) If)
Рис.11.12 (а) — (с) Приклеивание цилиндра, (d) — (f) Приклеива-
Приклеивание ручки
Взятие связной суммы с вещественной проективной
плоскостью часто называют приклеиванием листа Мё-
Мёбиуса (рис. 11.13). Это вызвано тем, что проективная
плоскость с выброшенным открытым диском есть в точ-
точности лист Мёбиуса (см. гл. 5).
Поверхности, полученные взятием связной суммы с
RP2, отличаются тем, что они являются односторон-
односторонними. Это объясняется тем, что они содержат лист
Мёбиуса, который, как мы видели в гл. 5, обладает
некоторыми странными свойствами. Назовем поверх-
поверхность ориентируемой, если она не содержит в себе

МНОГООБРАЗИЯ И ПОВЕРХНОСТИ 1Q1
листа Мёбиуса. Если же поверхность содержит лист
Мёбиуса, то она называется неориентируемой.
Таким образом, бутылка Клейна и вещественная
проективная плоскость — неориентируемые поверхности,
Рис. 11.13. Приклеивание листа Мёбиуса
тогда как сфера, тор и крендель ориентируемы. По-
Поверхность
которую мы будем записывать сокращенно в виде
52#тТ, называется стандартной ориентируемой по-
поверхностью рода т. Поверхность
S2 # RP2 # RP2 # . .. # RP2 (п>1),
п
сокращенно S2 # nRP2, называется стандартной неори-
неориентируемой поверхностью рода п.
Возникает естественный вопрос: какие поверхности
получатся, если взять связные суммы торов и проектив-
проективных плоскостей? Другими словами, какой стандартной
поверхности гомеоморфна поверхность
при т, /г> 1? Такая поверхность, очевидно, неориен-
тируема, и если предположить справедливость теоремы
11.3, то mT #nRP2 гомеоморфна поверхности kRP2
при некотором ft. Мы найдем значение k в случае
пг = п = 1 и оставим общий случай в качестве (легкого)
упражнения.

102
ГЛАВА II
. #
Рис.П.14
11.4. Лемма. 7 # RP2 =* RP2 # Rj02 # RP2.
Доказательство. Обозначим Т # RP2 через Slt a
RP2 # RP2 # R^2 через S2. Представим сначала S1 и
S2 в виде факторпространств. Sx—факторпространство
шестиугольной области X (рис. 11.14).
Заметим, что все вершины X отождествляются с
одной точкой из Slt и найдется окрестность Dj этой
точки в Slt гомеоморфная D2 (рис. 11.14(е)). Выбра-
Выбрасывание этой окрестности (рис. 11.15 (а)) и проведение
нужных отождествлений дает пространство рис. 11.15 (с),
которое после подходящего гомеоморфизма превраща-
превращается в (d) на том же рисунке. Опишем последователь-
последовательность гомеоморфизмов, преобразующих 11.15 (d) в

(я)
(о)

104 ГЛАВА II
]1.15(о). Чтобы перейти от (d) к (g), рассмотрим тем-
темную область на (е) и (f). Используя те же соображе-
соображения, что и раньше в связи с рис. 11.8, нетрудно опи-
описать гомеоморфизм между (d) и (g). To, что (g) и (h)
гомеоморфны, ясно. Чтобы убедиться в гомеоморфности
(h) и (к), используем темные области на (i) и (j). Ана-
Аналогично для выявления гомеоморфности (к) и (п) ис-
используем темные области на A) и (т). Наконец, легко
видеть, что (п) и (о) гомеоморфны. Таким образом,
S1\t>l гомеоморфно пространству, изображенному на
рис. 11.15(о).
С другой стороны, S2 имеет представление в виде
факторпространства, изображенное на рис. 11.16 (с).
Выбрасывание заштрихованной на (d) окрестности Ь2,
которая гомеоморфна открытому диску, и проведение
необходимых отождествлений даст нам пространство на
рис. 11.16 (g). Очевидно существование гомеоморфизма
Более того, ясно, что h индуцирует гомеоморфизм
Этот гомеоморфизм границ может быть продолжен
до гомеоморфизма между Dt и D2. Если h: дОг —> dD.z —
этот гомеоморфизм и /it: D, ^ ?>a, h2: D2 ^ D2, запишем
x(~D2 в полярных координатах в виде x = (r, t), где
0<г<1 и tedD^S1. Определим Я: D,—^D2 фор-
формулой H[y) = h?{r, А,АЛг'(О), где ^{у) = (г, t)?D\
Очевидно, что H\dDl = h и что Н—гомеоморфизм.
Таким образом,
51 = (S1\b1)UD1s(S2\D2)UD2 = S2. D
Есть и другой способ наглядного представления
гомеоморфизма между S, и S2. Начнем с представле-
представления связной суммы Т # RP2 как ручки (т. е. тора с
дыркой) вместе с листом Мёбиуса, который должен
быть к ней приклеен. Это представление изображено
на рис. 11.17 (а) и очевидным образом гомеоморфно
пространству на рис. 11.17 (Ь). Выполнив гомеомор-
гомеоморфизмы (с)— (f), мы придем к рис. 11.17(g).

МНОГООБРАЗИЯ И ПОВЕРХНОСТИ
¦(д)
Рис.11.16

(f)
Рис. 11.17
(a)
Рис.11.18

МНОГООБРАЗИЯ И ПОВЕРХНОСТИ 107
Рассмотрим бутылку Клейна с выброшенным диском.
Как выглядит это пространство, показано на рис. 11.18.
Сравнивая рис. 11.17 (g) и 11.18 (g), мы видим, что
St^K#^P-, где/С—бутылка Клейна. Но /C=^RP?#
#RP?, откуда S,;S^<S2, что и требовалось показать.
1Ь5. Упражнения, (а) Пусть Sj, S2 и S3 — поверхности. Покажи-
те, что Si#S2^S2#S±, (Si#S2LtS3-51#(S2#53))
S2 # St Si Sf. Образует ли группу множество гомеоморфных по-
поверхностей относительно операции связной суммы? Почему нет?
(b) Пусть М^ Мг—непересекающиеся связные n-мерные мно-
многообразия. Пусть Di и D2 — подмножества М-^ и М2 соответст-
соответственно, гомеоморфные Dn при отображениях hi, Л2- Определим
связную сумму Мх Л Мг многообразий Мх и Мг как фактор-
пространство ((M{\Di)\J(M2\l52))/~, где ~ отождествляет точку
х?д (Mi\f>i) с точкой h^lhi(x). Докажите, что М^^.М2 есть
и-мерное многообразие.
(c) Пусть S = mT#nRP2 при т, и^1. Какой стандартной
поверхности гомеоморфна 5?
(d) Пусть S —поверхность. Докажите, что 5 гомеоморфна ровно
одной из следующих поверхностей: S2^nT, RP'z^nT, K^nT,
где К—бутылка Клейна и л^О,
(e) Допустим, что поверхность S является G-пространством,
где G=22n+I—циклическая группа нечетного порядка. Докажи-
Докажите, что S/G —поверхность. Заметим, что действие G на S не пред-
предполагается свободным.
Дадим теперь набросок первого шага в доказатель-
доказательстве классификационной теоремы для поверхностей.
Подпространство некоторого пространства называется
простой замкнутой кривой, если оно гомеоморфно ок-
окружности S1. Если С—простая замкнутая кривая на
поверхности S, то будем говорить, что С разделяет
S, если 5\С несвязно, т. е. разрезание вдоль С де-
делает S несвязной (рис. 11.19).
Пусть S—поверхность, содержащая простую замк-
замкнутую кривую С, не разделяющую S. Можно доказать,
что С имеет окрестность, гомеоморфную либо цилинд-
цилиндру, либо листу Мёбиуса (рис. 11.20). Интуитивно это
должно быть ясно.
Выбросим теперь из S внутренность этого цилинд-
цилиндра или листа Мёбиуса. В первом случае получатся две
дырки, и мы заклеим их двумя дисками, а во втором
случае получится одна дырка, которую мы тоже за-
заклеим диском. Мы п идем к поверхности S, получен-

108
ГЛАВА II
ной из S либо приклеиванием цилиндра (правильным
или неправильным), либо приклеиванием листа Мёбиуса.
Иначе говоря,
или S =
Рассмотрим теперь St, найдем на ней простую замк-
замкнутую кривую, не разделяющую ее (если такая сущест-
существует), и повторим описанный выше процесс; получим
Рис.11.19. Сх разделяет S2, а С2 не разделяет Т
Рис. 11.20
поверхность S2, для которой S1 = S2QT, St = S2# К
или S1 = S2#KP2. Продолжая таким же образом да-
далее, после i шагов получим поверхность St, для ко-
которой
SSTKR
где t'i +12 + *з = '• Оказывается, после конечного числа
шагов (обозначим его через k^O) этот процесс обры-
обрывается, т. е. всякая простая замкнутая кривая в Sk
разделяет Sk. Наконец, воспользуемся теоремой, сог-
согласно которой поверхность Sk, которую разделяет лю-
любая простая замкнутая кривая на ней, гомеоморфна
сфере S2.
С точностью до недоказанных утвержденийх) мы
J) Оба последних утверждения нетрудно доказать при допол-
дополнительном предположении, что поверхность S триангулируема.

МНОГООБРАЗИЯ И ПОВЕРХНОСТИ
109
4 00
Рис. 11.21
видим, что поверхность 5 гомеоморфна S2 =(? /Г #
ij: тК # nRP2 для некоторых I, т, п > 0 (/ + т + п = k).
При помощи леммы 11.4 легко установить, что поверх-
поверхность S2 # /7 # тК # nRP2 гомеоморфна
S2#/7 при т + /г = 0,
S2#B/ + 2m+n)RP2 при m + n>0.
Чтобы завершить доказательство классификацион-
классификационной теоремы, осталось показать, что никакие две по-
поверхности, перечисленные в теореме 11.3, не гомео-
морфны. Это будет сделано в гл. 26.
11.6. Упражнения, (а) Покажите, что на торе Т найдутся две
различные (но пересекающиеся) простые замкнутые кривые С,,
С2, такие, что ^^(CUC^
связно.
Поскольку строгое доказательство этого факта довольно утоми-
утомительно, триангулируемость поверхностей обычно предполагается с
самого начала (см., например, Спеньер Э., Алгебраическая топо-
топология. Пер. с англ.—М.: Мир, 1971, с. 195, или Масси У., Стол-
лингс Дж., Алгебраическая топология. Введение. Пер. с англ. —
М.: Мир, 1977, с. 30).— Прим. ред.

110
ГЛАВА 11
Рис.11.23
я,
•аг#.
(b) Покажите, что на торе Т не существует трех различных
простых замкнутых кривых Си С2, С3, таких, что Т^С^С^С^
связно.
(c) Обобщите (а) и (Ь) на другие поверхности.
Мы закончим эту главу результатом, уже упоми-
упоминавшимся ранее: всякую поверхность можно предста-
представить в виде факторпространства некоторой много-
многоугольной области в R2.
11.7. Теорема. Если S—ориентируемая поверхность
рода т ^г 1, то S является факторпространством
\т-угольника с отождествлениями, указанными на рис,
11.21 (а).
Если S — неориентируемая поверхность рода п~^\,
то S является факторпространством 2п-угольника с
отождествлениями, указанными на рис. 11.21 (Ь).
Чтобы доказать этот результат, достаточно пока-
показать, что тТ и nRP§ имеют указанный вид. Мы просто
иллюстрируем случай т^.2, п^.3. Как показано на
рис. 11.22, Г#Г имеет нужный вид. Ясно, как п о-

МНОГООБРАЗИЯ И ПОВЕРХНОСТИ
должить это построение, чтобы получить результат в
ориентируемом случае. Неориентируемому случаю соот-
соответствуют рис. 11.23 для RP2#RP2 и рис. 11.24 для
RP2#RP2#RP2. Снова должно быть ясно, как про-
должить построение.
11.8. Упражнения, (а) п-мерным многообразием с краем называет-
называется хаусдорфово пространство М, каждая точка которого имеет
открытую окрестность, гомеоморфную либо R", либо его верхнему
полупространству, т. е. множеству {(xf, . . ., xn)?Rn: хп^0].
Множество всех точек М, имеющих окрестности, гомеоморфные
верхнему полупространству, но не имеющих окрестностей, гомео-
морфных R", называется краем многообразия М. Докажите, что
край re-мерного многообразия с краем является (п—1)-мерным
многообразием (без края).
(b) Компактное связное двумерное многообразие с краем
называется поверхностью с краем. Докажите, что край поверх-
поверхности с краем является объединением конечного числа непересе-
непересекающихся окружностей. Выведите отсюда, что приклеиванием ко-
конечного числа дисков можно из каждой поверхности с краем по-
получить поверхность без края.
(c) Поверхность с краем называется ориентируемой, если она
не содержит листа Мёбиуса. Докажите, что поверхность с краем
ориентируема тогда и только тогда, когда ориентируема соответ-
соответствующая ей поверхность без края (см. (Ь) выше).

Глава 12
ПУТИ И ЛИНЕЙНО СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В гл. 9 мы изучали связность. В этой главе мы
изучим похожее, но все же несколько отличающееся
от прежнего понятие связности: линейную связность.
Сначала введем необходимое для этого понятие пути.
Путем в пространстве X называется непрерывное отоб-
отображение /: [0, 1]—> X. Тогда /@) называется началом,
а /A)—концом пути. Говорят, что / соединяет /@) и
/A) и что /—путь из /@) в /(!)•
Заметим, что путь —это именно отображение /, а
не его образ /([0, 1]), который называется кривой в X.
Обычно мы представляем себе (?[0, 1] как время,
и тогда /(/) — положение в момент t.
Простейший пример пути — постоянный путь гх:
[0, 1]—*Х, определенный равенством ех(() = х для
всех * ? [0, 1], где х—некоторая точка из X. На этом
пути мы находимся все время в одной точке х?Х.
Имеется два простых, но важных способа получе-
получения новых путей из старых. Они приведены в следую-
следующей лемме. Первый сопоставляет пути / путь f, полу-
получаемый прохождением пути / в обратном направлении.
Второй соединяет два пути fug (если это возможно),
чтобы получить новый путь f*g.
12.1. Лемма, (а) Если f—путь в X, a f определено
равенством /(/) = /A — /), то f—также путь в X.
(Ь) Если f и g—два пути в X, причем конец f
совпадает с началом g, то функция f*g: [0, 1]—*Х,
определенная равенствами
Bt — \) при
вляется путем в X.

ПУТИ И ЛИНЕЙНО СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ИЗ
Доказательство. Часть (а) очевидна, а часть (Ь)
получается из следующего результата, называемого
леммой о склейке. ?
12.2. Лемма. Пусть W, X—топологические прост-
пространства, причем W — A[J В, где А и В замкнуты в W.
Если /: А —> X и g: В—> X—непрерывные отображе-
отображения, причем f(w) = g (w) для всех w ? А Г) В, то ото-
отображение h: W —> X, определенное равенствами
I /И при we А,
\ g (w) ПРИ w?B,
непрерывно.
Доказательство. Заметим, что h определено кор-
корректно. Пусть С—замкнутое подмножество X; тогда
() ()()
= (/г'1 (С) П A) U (/г (С) П В) = Г1 (С) и Я (С).
Так как / непрерывно, то f'1 {С) замкнуто в Л и,
следовательно, в W, поскольку А замкнуто в W. Ана-
Аналогично g'1 (С) замкнуто в W. Следовательно, h'1 (С)
замкнуто в W, и h непрерывно. ?
12.3. Определение. Пространство X называется линей-
линейно связным, если для любых двух точек х0, х^Х
найдется соединяющий их путь в X.
Заметим, что, в силу леммы 12.1, достаточно фикси-
фиксировать х0 ? X и потребовать, чтобы для любого х ? X
нашелся путь в X, соединяющий ха с х.
Например, R." с обычной топологией линейно связ-
связно, так как для любой пары точек a, b?Rn отобра-
отображение /: [0, 1]—>R", определяемое формулой / (() =
= tb-\-(l — t)a, является путем из а в Ь. Вообще, вся-
всякое выпуклое подмножество R" линейно связно. Под-
Подмножество EczR" называется выпуклым, если вместе
с любыми точками a, b ? Е оно содержит множество
{tb-\-{\—t)a: O^/^l}, т. е. Е выпукло, если пря-
прямолинейный отрезок, соединяющий любую пару точек
из Е, сам лежит в Е. Примеры выпуклого и невыпук-
невыпуклого подмножеств R2 см. на рис. 12.1.

114 ГЛАВА 12
В частности, всякий интервал в R.1 линейно связен.
Несколько следующих результатов 12.4 —12.7 ана-
аналогичны результатам 9.4—9.7.
Рнс.12.1. Слева — выпуклое множество, справа — невыпуклое мно-
множество
12.4. Теорема. Образ линейно связного пространства
при непрерывном отображении линейно связен.
Доказательство. Пусть X линейно связно и g:
X —>¦ Y — непрерывное сюръективное отображение. Если
a, b—две точки из У, то найдутся точки а1, Ь' ?Х, для
которых g{a') = a и g(b') = b. Так как X линейно связ-
связно, найдется путь / из а' в Ь'\ Но тогда gf—путь из
а в Ь. ?
12.5. Следствие. Если X и Y—гомеоморфные тополо-
топологические пространства, то X линейно связно тогда
и только тогда, когда Y линейно связно.
Из теоремы следует, что окружность S1 линейно
связна. Пользуясь этим, можно показать, что линейно
связны R"+1\{0}, S" и RP" при п> 1 (для R"+1\{0}
это следует из того, что любые две его точки лежат
на некоторой окружности, не проходящей через 0; для
S" и RP"—из того, что они являются непрерывными
образами R"+1\{0[).
11.6. Теорема. Пусть {Y;-: j?J}—семейство линейно
связных подмножеств пространства X. Если П Y ,Ф0,
/si
то Y = U Y, линейно связно.
Доказательство. Пусть a, b?Y; тогда a?Yk и
Ь€^г Для некоторых k, l?J. Пусть с—любая точка
из П Y.-. Так как Yk линейно связно и a, c^Yk, то
leJ J
найдется путь / из а в с. Аналогично, найдется путь

ПУТИ И ЛИНЕЙНО СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 15
g из с в Ь. Путем, соединяющим а с Ь, будет тогда
h = f*g, т. е.
/B/) при 0<^<1/2,
gB/ — 1) при 1/2<*<1. ?
Этот результат дает другой способ доказательства
линейной связности пространства Rre+l\{0} (а следо-
следовательно, S" и R.P") при п^1.
12.7. Теорема. Топологические пространства X и Y
тогда и только тогда линейно связны, когда XxY ли-
линейно связно.
Доказательство, совпадающее с доказательством
теоремы 9.7 (с заменой связности на линейную связ-
связность), мы оставляем читателю.
Предыдущие результаты не должны вводить чита-
читателя в заблуждение, будто между связностью и линей-
линейной связностью нет никакой разницы. Как показывает
следующая теорема, это не так.
12.8. Теорема. Всякое линейно связное пространство
связно. Однако не всякое связное пространство линейно
связно.
Доказательство. Пусть X — линейно связное про-
пространство. Докажем, что X связно. Пусть X = U[jV
с открытыми и непустыми U, V. Так как X линейно
связно и U, V непусты, то найдется путь fi [0, 1] —> X,
для которого /@)?1/ и f(\)?V. Отрезок [0, 1] связен,
поэтому /([0, 1]) связно, и, значит, U(]f([O, 1]) и
Fn/([0. 1]) Должны пересекаться. Но тогда U и V
пересекаются, так что X связно. ?
Чтобы показать, что не все связные пространства
линейно связны, приведем пример, известный как
«блоха и гребенка» (рис. 12.2). Рассмотрим подмноже-
подмножество ХсС, где Х = ЛиВ, причем
А = {ij (блоха),
fi = [0, l]U{l/n + yi: rt?N, 0<г/<1} (гребенка).
Мы утверждаем, что X связно, но не линейно связно.
Чтобы доказать, что X связно, заметим сначала, что
В линейно связно (применяем теорему 12.6 к семейству

] 16 ГЛАВА 12
множеств Вп = [0, l]u {\/n + yi: 0<г/<1} при п ? N)
и потому связно. Пусть U—открытое и замкнутое под-
подмножество X. Можно считать, что ЛегU (иначе до-
дополнение к U было бы открытым и замкнутым под-
подмножеством X, содержащим А). Так как 0 открыто
Рис.12.2. Блоха и гребенка
и г ? U, то найдется такое е>0, что {х: |г—х | < е} |~1
(]XczU. Существует натуральное п, для которого
l/n-\-i?U; B частности, Uf\B^0- Но В связно и
U n В—непустое открытое и замкнутое подмножество В.
Таким образом, U(]R—B, т.е. BczU. Но Х = Ли#
и ЛегU, поэтому 0 = Х и X связно. (В сущности, мы
доказали, что BczXczB, и связность X следует из
упр. 9.8 (f).)
Чтобы доказать, что X не является линейно связ-
связным, мы покажем, что единственный путь в X с на-
началом в точке i?X — это постоянный путь. Пусть / —
путь в X с началом в точке г. Так как эта точка замк-
замкнута в X, то f'1^) замкнуто в [0, 1] и, более того,
f-1 (j) ф 0, так как Og/^). Пусть [У — открытое под-
подмножество X, определенное как
Если /0 б/ @> то. в силу непрерывности /, найдется
такое е> 0, что / (/) ? U при \t — ij<e. Мы утверж-
утверждаем, что f((tQ—s, ^ + е)П[0, 1]) = г. Для доказа-
доказательства предположим, что |/, — ^0|<е и f(t,)?B.
Множество U Л В является объединением непересе-
непересекающихся интервалов, высекаемых из него прямыми

ПУТИ И ЛИНЕЙНО СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Ц7
х=\/п, п ? N. Всякий такой интервал открыт в U, так
как совпадает с множеством {x-\-yi: 1/(л+ 1) < х <
< 1/(п—1)} П U, и замкнут в U, поскольку равен
{l/n-\-yi: 0 ^у ^]\ (]U. В частности, интервал V,
содержащий /(/,), открыт и замкнут в U, и его пере-
пересечение с множеством W — f((t0 — e, /0 + e)n[0, !])<=:?/
открыто и замкнуто в W, а так как W связно и со-
содержит i = f (to)^V, т0 V П W7 = 0, что противоречит
предположению f(ti)?V. Этим доказано, что если
tvZf-^i), то (*0 —е, /0 + 8)П[0, ljc/-1^), и потому
/~х (г) открыто. Но / 1 (i) также и замкнуто, а отрезок
[О, 1] связен, поэтому f~l(i) = [Q, 1], т.е. /([О, 1]) = /.
Следовательно, не существует пути, соединяющего / € ^
с какой-либо другой точкой из ВсХ. Итак, X не яв-
является линейно связным. ?
Имеется много других (похожих) примеров связных,
но не линейно связных пространств1); см. упражнения
ниже.
Последний результат, который мы докажем в этой
главе, относится к открытым связным подмножествам R".
12.9. Теорема. Всякое непустое открытое связное под-
подмножество Е пространства R" линейно связно.
Доказательство. Пусть р ? Е, и пусть F—подмно-
F—подмножество Е, состоящее из всех точек, которые можно
соединить с р путем, лежащим в Е. Мы утверждаем,
что F открыто. Чтобы доказать это, возьмем q?FcE.
Так как Е открыто, найдется открытый n-мерный диск
DczE с центром в точке q, т. е.
q?D={x: \\q-x\\<&}c:E
при некотором е > 0. Открытый диск D линейно связен
(он гомеоморфен R"), поэтому любую его точку можно
соединить с q путем, лежащим в D, Следовательно,
любую точку из D можно соединить с р путем, лежа-
лежащим в Е, и потому q?Dc:F. Итак, F открыто.
г) Связным, но не линейно связным может быть пространство
компактной группы. Типичным примером такой группы служит
2-адический соленоид (см. указанную в гл. 30 книгу Стинрода и
Эйленберга, с. 286).— Прим. ред.

118 ГЛАВА 12
Мы также утверждаем, что F замкнуто. Чтобы уста-
установить это, положим G=E\F, т. е. G состоит из тех
точек множества Е, которые нельзя соединить с р путем,
лежащим в Е. Рассуждения, аналогичные проведенным
выше, позволяют показать, что G открыто, и потому F
замкнуто. Итак, подмножество F непусто, открыто и
замкнуто в Е; но Е связно, поэтому E = F и, значит,
Е линейно связно.
12.10. Упражнения, (а) Докажите, что любое пространство с анти-
днскретной топологией линейно связно.
(b) Какие из следующих подмножеств О линейно связны:
{г: |г|^1}, {г: |г|^1}, {г: г2 вещественно}?
(c) Докажите лемму 12.2 в случае, когда А и В открыты в W.
(d) Пусть X — A U В — подпространство R2, где
А = {(х, у): х = 0, -
В = {(х, у): 0 < х< 1, j/ = cos nix).
Покажите, что X связно, но не линейно связно.
(e) Пусть X — А[) В — подпространство (R2, где
А = {(х, у): х = 0, -\<у<\},
В = {(х, у): 0 < х<1, y=sinl/x}.
Покажите, что X связно, но не линейно связно.
(f) Рассмотрим следующие подмножества R2:
А = {(х, у): 0<х<1, y = xln при
В={(х, у): \/2<х<.1, у = Щ.
Докажите, что А[]В связно, но не линейно связно.
(g) Допустим, что А — линейно связное подмножество прост-
пространства Хи {Af. j?J} — семейство линейно связных подмножеств X,
каждое из которых пересекается с А. Докажите, что А\]{ (J 1
\i*
линейно связно.
(h) Пусть S" = Sl\jSn-, где
Используя упр. 8.14 (h), докажите, что S" линейно связно при
п > 0.
(i) Пусть ~ — отношение на множестве точек пространства X,
при котором х~у тогда и только тогда, когда найдется путь в X,
соединяющий х и у. Докажите, что ~—отношение эквивалентности
и что X тогда и только тогда линейно связно, когда факюрпро-
странство Х1~ состоит из одной точки.

ПУТИ И ЛИНЕЙНО СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 119
(j) Открытая окрестность точки х?Х—это открытое множе-
множество О, содержащее эту точку. Пространство X называется ло-
локально линейно связным, если для любой точки х?Х любая ее
Рис.12.3
открытая окрестность содержит линейно связную открытую окрест-
окрестность х. Докажите, что если X локально линейно связно и UdX
открыто, то U локально линейно связно. Докажите, что R" ло-
локально линейно связно (и потому любое его открытое подмно-
подмножество локально линейно связно). Докажите, что если X связно
и локально линейно связно, то оно линейно связно (тем самым
заново будет доказана теорема 12.9).
(к) Пусть р, q?X- Говорят, что подмножества Аъ А2, ...,
А^ пространства X образуют простую цепь, соединяющую р и q,
если р?Аи q?Ak, А{()А/ = 0 при |/ —/|>1 и А([\А1 + 1 ф 0
при t=l, 2, ..., k— 1 (рис. 12.3). Докажите, что если X связно
и если {Of, /?J}— открытое покрытие X, то любую пару точек
из X можно соединить простой цепью, состоящей из элементов
этого покрытия. (Указание: для р?Х рассмотрите множество точек
из X, которые можно соединить о р некоторой простой цепью,
состоящей из элементов покрытия {U/. /?•/}•)
A) Используя (к), получите еще одно доказательство тео-
теоремы 12.9.
(т) Докажите, что связное я-мерное многообразие линейно
связно.
(п) Докажите, что я-мерное многообразие локально линейно
связно.
(о) Докажите, что пространство YaR2, заданное как К==
= А[)В[)С, где
А*={(х, у): *г + (/2=1, у2*0],
В = {(х, у): —1<*<0, г? = 0},
С = {(х, у): 0<*<1, (/=A/2) si
линейно связно, но не локально линейно связно.
(р) Пусть Z — Y\JD^R2, где К —пространство из (о) и D —
окружность {{х—1J+(/2= 1}. Докажите, что Z линейно связно,
но не локально линейно связно.
Закончим эту главу примером необычного пути.
Этот путь /i /—>•/- сюръективен. О таких примерах

120
ГЛАВА 12
говорят как о «кривых, заполняющих пространство».
Впервые они были получены Дж. Пеано около 1890 г.
Путь / определен как предел путей /„: / -+ /2. Первые
1
и
I
Г
I
[}
\
s
7
j
\
s
\
1
I
\
\
I
h
•7
he
JA
<!,
}
{
I
¦j-
{
\
;r
I1!
U
}
4.
7
r
?
три из них изображены на рис. 12.4. Читатель без
труда наглядно представит себе п-й шаг. После п шагов
любая точка квадрата /2 лежит на расстоянии не более
A/2)" от некоторой точки образа /„(/). В пределе полу-
получаем непрерывное сюръективное отображение /; / —+ Р.
Заметим, что на любом шаге инъективность непрерыв-
непрерывного отображения fn\ 1 —>¦ /2 нарушается только в точ-
точках {0} и {1} из /. В действительности / и /„(/) го-
меоморфны. В пределе это, конечно, неверно.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ 12. ТЕОРЕМА ЖОРДАНА
12А.1. Определение. Простая замкнутая кривая С —
это гомеоморфный образ окружности. Компонента —
это максимальное связное подпространство.
Из двух следующих утверждений одно верно, а дру-
другое— нет.
(A) Пусть С — простая замкнутая кривая на евкли-
евклидовой плоскости. Тогда R2\C несвязно и состоит из
двух компонент, общей границей которых является С.
В точности одна из этих компонент ограничена.
(B) Пусть О—подмножество евклидовой плоскости.
Если D является границей каждой компоненты своего
дополнения и если R2\D имеет ограниченную компо-
компоненту, то D — простая замкнутая кривая.
Построим теперь пример, показывающий, что оба

ПУТИ И ЛИНЕЙНО СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
121
эти утверждения не могут быть верными одновременно.
Пример известен под названием озер Вады. Впервые
его описал К- Ёнэяма в 1917 г. Рассмотрим область
в виде двойного кольца (рис. 12А. 1). Представим себе
Рис.12А,1. Озера Вады
ее как остров посреди моря, на котором имеются озера.
Для удобства воду в озерах изобразим по-разному.
Определим три открытых связных множества, прорыв
на острове каналы от моря и озер. В момент ^ = 0 вы-
выроем канал от моря, доставляющий морскую воду на
расстояние не более 1 от любой точки острова. В момент
t = 1/2 выроем канал от первого озера, доставляющий
его воду на расстояние не более 1/2 от любой точки
острова. В момент t = 3/4 выроем канал, доставляющий
воду второго озера на расстояние не более 1/4 от любой
точки суши. Продолжая этот процесс, построим в мо-
момент 1—A/2)" канал, доставляющий воду соответст-
соответствующего водоема на расстояние не более A/2)" от любой
точки суши. Эти каналы, конечно, не должны пересе-

122 ГЛАВА 12
каться. Два озера с их каналами и море со своим
каналом образуют три открытых связных множества,
а остаток суши D служит их общей границей.
Если верно (В), то множество D в озерах Вады
является простой замкнутой кривой, и потому (А) не-
неверно. Поэтому, если верно (А), то (В) должно быть
неверным. Тем самым доказано, что из двух утверж-
утверждений (А), (В) справедливо не более одного.
На самом деле (А) истинно, а (В) ложно. Утверж-
Утверждение (А) называется теоремой Жордана по имени
К- Жордана, который в начале 90-х годов прошлого
века указал, что, несмотря на интуитивную очевид-
очевидность (А), требуется строгое доказательство этого ут-
утверждения. Такое доказательство дал в начале века
О. Веблен. Приводимое здесь доказательство основано
на недавно открытом «элементарном» доказательстве,
которым мы обязаны Хельге Тверберг.
Простую замкнутую кривую называют также жор-
дановой кривой. Жорданова кривая С на плоскости —
это подпространство R?, гомеоморфное S*=s{zgCi
|г|=1}. Будем говорить, что жорданова кривая задана
отображением /s S1—>R?, если C = [(S1). Конечно, /
не единственно. Жорданова кривая называется жорда-
новым многоугольником, если она состоит из конечного
числа прямолинейных отрезков.
Мы всегда представляем окружность S1 как под-
подмножество комплексной плоскости, и R3 удобно пред-
представлять как комплексную плоскость. Таким образом,
расстояние между точками х, у из R- или S1 будет
обозначаться \х—у\. Если А и В—два непересекаю-
непересекающихся компактных подмножества, определим d(A, В)
как
d(A, fi) = inf{|a—b\\ a?A, b?B\.
В частности, если А состоит из одной точки, скажем
{*}, то
d(x, Ь\ = \пЦ\х — Ь\\ Ь?В).
Покажем прежде всего, что теорема Жордана спра-
справедлива для жордановых многоугольников.
12А.2. Теорема. Теорема Жордана выполняется для
жордановых многоугольников, т. е. если С —жо данов

ПУТИ И ЛИНЕЙНО СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 123
многоугольник, то R2\C состоит из двух компонент,
имеющих С в качестве общей границы, и в точности
одна из этих компонент ограничена.
Доказательство. Покажем сначала, что если С —
жорданов многоугольник, то R2\C имеет не менее двух
компонент. Пусть p?R*\C; рассмотрим любой луч,
исходящий из точки р. Пусть Р (г, р) обозначает число
Рис.12А-3
пересечений луча г с многоугольником С, подсчитанное
с учетом следующего соглашения. Если г проходит
через вершину V или содержит целую сторону L много-
многоугольника С, то считаем такое пересечение дважды,
когда стороны, смежные с V или L, лежат по одну
сторону от луча г; в противном случае пересечение
считается однократно. Например, на рис. 12А.2 имеем
Р(ги р) = \, P(rt, р)=\, />(/•„ />) =1, P(rt,p) = 5,
Р(гъ, р) = 3, Р(г„ />) = 3.
При вращении луча г вокруг точки р значение Р(г, р),
вообще говоря, меняется, но его четность остается
неизменной. Поэтому мы можем определить понятие
четной или нечетной точки р в зависимости от того,
четно или нечетно число Р (г, р) для любого л ча, ис-

124
ГЛАВА 12
ходящего из точки р. Свойство точки р быть четной
или нечетной назовем четностью.
Таким образом, IR2\C распадается на множества
четных и нечетных точек, обозначаемые соответственно
Хч и Хя. Очевидно, что R2\C = Хч U Х„ и Хч П Хи = 0.
Покажем, что Хч и Хя открыты в R2\C. Пусть р ? R2\C
и d(/?, C) = e. Это означает, что В^ (/?)crR2\C. Четность
всех точек из Вг(р) совпадает с четностью р: для
х?Ве(р) нужно рассмотреть луч с началом в р, про-
проходящий через х. Итак, Хч и Хв открыты, так что R2\C
несвязно и состоит не !иенее чем из двух компонент.
Множества Хч и Хя линейно связны. Чтобы дока-
доказать это, выберем любой отрезок на С и две точки а,
Ь из R2\C, близкие к С, но находящиеся по разные
стороны от выбранного отрезка, так что, скажем, а?Хч
и Ь?Ха. Далее, если р—любая точка из R2\C, то,
очевидно, в R2\C существует путь, соединяющий р
с некоторой точкой, близкой к С (но не обязательно
к выбранному отрезку на С). Продолжив этот путь
вдоль С так, чтобы он оставался в R2\C и вблизи С,
можно достичь точки а или Ъ. Это рассуждение пока-
показывает, что Хч и Хв линейно связны и потому связны,
что завершает доказательство теоремы. ?
Для дальнейшего нам понадобится понятие равно-
равномерной непрерывности и тот факт, что непрерывное
отображение /: S1 —* R2 равномерно непрерывно.
12А.З. Определение. Пусть Ми М2 — метрические про-
пространства с метриками соответственно du с1$. Отобра-
Отображение /: Mt —* М2 называется равномерно непрерывным,
если для любого е > 0 найдется такое б > 0, что d2 (/ (х),
/(«/)) < е для всех х, у из Ми для которых d1 (х, у) < 6.
Заметим, что это условие сильнее обычной непре-
непрерывности.
12А.4. Теорема. Пусть Ми Мг — метрические прост-
пространства с метриками соответственно dx, d2. Если
f: Ml —¦ М2 — непрерывное отображение и Мкомпактно,
то f равномерно непре ывно.

ПУТИ И ЛИНЕЙНО СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 125
Доказательство. Пусть е > 0. Для любого х?/М,
найдется такое б(х)>0, что если у?Мл и dx (х, у) <
<2б(х), то d2(/(x), f(y))< е/2. Множества {В6(х)(х):
x^AIJ образуют открытое покрытие Мх. Так как М1
компактно, то найдется конечное подпокрытие
{#eu,)(*i), В6М (х2), .... ВцХа)(ха)}.
Пусть 6 = min{6(x1), б (х2), ..., б(х„)}. Если х,
и dj (х, г/) < б, то х ? В&(Х.) (х,) при некотором i A
и потому d8 (/ (л;), / (л;,)) < е/2, так как б < б (xt). Далее,
d, (у, xt) < dx (у, х) + dx (x, xt) < б + б (Х{) < 26 (дс,),
так что dt{J(y), /(*,))< е/2. Итак, d2
12А.5. Следствие. Всякое непрерывное отображение /:
51 —* R2 равномерно непрерывно.
Доказательство очевидно.
12А.6. Следствие. Пусть Мъ Мг — метрические про-
пространства с метриками соответственно йъ йг. Если
\: Mi —* М2—непрерывное отображение, причем М, ком-
компактно и /: M1—*f{Ml) является гомеоморфизмом, то
для любого е > 0 найдется такое б > 0, что при d2 (/ (х),
f(y)) < ^ будет выполнено неравенство d, (x, у) < е.
Доказательство. f~x: f(M{) —<¦ /И, — непрерывное ото-
отображение компактного метрического пространства. ?
12А.7. Теорема. Пусть С — жорданова кривая, задан-
заданная отображением /: S1 —* R2. Для любого е>0 най-
найдется жорданов многоугольник С, задаваемый отобра-
отображением /': S1 —> R2, 5у?я которого \f(x) — f (x)\ < е
S1
Доказательство. Так как / равномерно непрерывно
на 51, то найдется такое 6j > 0, что
\x — y\<B1=^\f{x)—f(y)\ <e/2.
Так как /: S1 —> С—гомеоморфизм, то, согласно след-
следствию 12А.6, найдется такое е2 > 0, что
I/ М -/ Ш < Ч => 1 х—у | < min {гх,

126 ГЛАВА 12
(Причина появления \^3 в том, что для подмножества А
окружности S1 диаметра меньше \^3 найдется наимень-
наименьшая замкнутая дуга, в которой оно содержится.)
Пусть 6 = min(e/2, е2). Покроем С квадратами Sit
S2, ..., Sn диаметра б, которые могут пересекаться
только по сторонам. Так как б^е2, то существует
наименьшая замкнутая дуга Л, Ф S1, содержащая
f~1(S1). Спрямим теперь [(А^), образовав жорданову
кривую С(, т. е. определим /^ S1 —* R2 формулами
( f(e(t)) при
М()
при
где Л, = {e@i as^tt^b} и e(t) = ехр2я«7, а затем
положим C1 = /:1(S1). Это, очевидно, жорданова кривая.
Заметим, что f(At) не обязательно содержится в Sj и
что fr^S^df-HSi) при t = 2, 3 п.
Спрямим теперь fx (Л2), где Л2—наименьшая дуга,
содержащая /71 (S2). Получим жорданову кривую С2,
заданную отображением /2s S1 —¦* R2 (если /f1(S2)=0,
положим /2 = /i и 02 = ^). Снова заметим, что /jr1 EЛ
c/~1(Sz-) при г = 3, 4, ..., п. Продолжая таким же
образом, получим жорданов многоугольник С„, задан-
заданный отображением /„: S1 —* R2. Нужно проверить, что
Сп е-близок к С.
Пусть x^S1 и /п(х)^/(л;). Тогда /„ (л;) = /у (л;) ф
Ф!/-\(х) Для некоторого /^1, где /а = /- По пост-
построению, л; принадлежит дуге Л/т концы которой обо-
обозначим через у, z. Также по построению fj\y) — f
и fj{z) — f{z). Имеем
-/» М Ы f W ~/ Ы + /у (У)
Так как |/(г)— / (у) |<б <^ е2, то [г — (/|<е,. Но
л; — «/|<|г — г/j, так что \х—у\ < et и, следовательно,
/W/()|е/2. Итак,
К е/2 + е/2 = е. П
12А.8. Теорема. Пусть С—жорданов многоугольник,
заданный отображением /; S1 —>¦ R2. Тогда ограничен-

ПУТИ И ЛИНЕЙНО СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
127
ная компонента R3 \ С содержит открытый диск,
в пересечении границы которого с С найдутся две точ-
точки f(a), 1ф) с \а—Ь\^УЪ.
Доказательство. Пусть D—открытый диск, лежащий
в ограниченной компоненте Р\С и такой, что най-
найдутся две точки f(a), f\b)?dD с максимальным \а—Ъ\.
Такой диск существует. Предположим, что|а—Ь\ < V 3.
Тогда а и b должны быть концами некоторой дуги А
длины больше 4л/3. Граничная окружность диска D
не может пересекаться с множеством f (А) \ {/ (a), f ф)\,
потому что тах{|а—с\, \Ь—с|}>|а—Ь\ для всех
Ь\.
f(a)
Рис.12А.З
Пусть f{Vj), /(f2), ..., f(vn) — вершины С, принад-
принадлежащие f(A), в порядке обхода от f(a) к f(b). Име-
Имеются четыре возможности: (i) ухфа, юпФЬ, (ii) vt фа,
vn — b, (iii) v1 = a, ъпфЬ и (iv) v1=a, va = b. В первом
случае окружность dD касается прямых /(а)/^) и
/ ф) f (vn) и найдется диск D' cz R2 \ С, близкий к D
и такой, что окружность 3D' касается С в точках f(a')
и f(b'), близких к /(а) и f ф) и лежащих соответст-
соответственно на отрезках /(a)/(yi) и f(b)f(vn) (Рис- 12А.З(а)).
Так как \а'—й'|>|а—Ь\, получаем противоречие.
В случае (ii) окружность dD касается прямой /(a)/(i»i)
и найдется диск D'cR2\C, такой, что dD' ка-
касается С вблизи ((а) на стороне /(^/(уЛ и прохо-

123 ГЛАВА I 2
дит через некоторую точку стороны /(&)/(?'„_])
(рис. 12А.З (Ь)). Это приводит к противоречию. Случай
(Hi) аналогичен (И). В случае (iv) рассмотрим об-
область R, ограниченную дугой f (А) и радиусами D, про-
проведенными в точки / (а) и f ф). Проведем из центра D
луч, перпендикулярный отрезку f(a)f(b) и направ-
направленный внутрь области R. Для любой точки х этого
луча существует единственная окружность Sx с цент-
центром в х, проходящая через f (а) и / (Ь). Непрерывно
перемещая х от центра D вдоль этого луча, мы получим
при х, близких к центру D, окружности Sx, ограни-
ограничивающие диски Dx, лежащие в R2\C. В конце кон-
концов для некоторого х окружность Sx либо пересечет
f (А) в некоторой точке, отличной от f (а) и f (b), либо
станет касательной к одной из прямых f (a) f(v3) или
fip)f(pn_x). Невозможность первого случая была уже
доказана, а второй приводится к противоречию тем же
методом, что и случай (п). Все эти противоречия ос-
оставляют только одну возможность, а именно что
Докажем теперь часть теоремы Жордана.
12А.9. Теорема. Если С — жорданова кривая, то
R2 \ С имеет не менее двух компонент.
Доказательство. Очевидно, что существует неогра-
неограниченная компонента. Покажем, что существует также
и ограниченная компонента. Пусть Си С2, ...— после-
последовательность жордановых многоугольников, сходя-
сходящаяся к С в смысле теоремы 12А.7, где е пробегает
последовательность elt e2, ..., сходящуюся к нулю.
Пусть С, С\, С2, .. • заданы соответственно отобра-
отображениями /, /t, /а, ... так, что /„—»¦/ при п —> оо. По
теореме 12А.8 для каждого Сп найдется диск Dn, ле-
лежащий в ограниченной компоненте R2 \ С„, граница
которого пересекается с Сп по множеству, содержащему
точки /„ (ап) и /„ (Ьп) с | ап—Ьп \ ^ j/З. Обозначим центр
диска Dn через гп. Существует диск Do, содержащий все
жордановы кривые Сп и С и, следовательно, все Dn.
Итак, последовательность г,, г», .. ограничена в R2

ПУТИ И ЛИНЕЙНО СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 129
и, значит, содержит сходящуюся подпоследовательность.
Поэтому можно считать, что сама последовательность zn,
п~^ 1> сходится к г при п —¦* оо.
Для больших п точки г и г„ лежат в одной и той
же компоненте IR2\Cn. Мы покажем это следующим
образом. Найдется такое б > 0, что если \х—у\^УЗ,
то \f(x)—f{y)\^8. Тогда | f{an)—f(b,) |^ б при всех
/г>1, и потому |/„(а„)— fn(bn)\ > 6/2 при n>iV, где
iV настолько велико, что еЛ, < 0/2. Это означает, что
диаметр Sn при n^z N больше 6/2, и потому d(zn, С„)>
> 6/4. Но для достаточно больших п имеем \г—2„|<
< 6/4, так что 2 и г„ должны лежать в одной и той же
компоненте R2\Cn, а именно в ограниченной компо-
компоненте, так как по определению г„ лежит в ограничен-
ограниченной компоненте R2\Cn. Покажем, что г не может ле-
лежать в неограниченной компоненте IR2\C.
Предположим, что г лежит в неограниченной ком-
компоненте R?\C. Тогда в К2\С найдется путь g из г
в некоторую точку вне Do (по теореме 12.9 открытое
связное подмножество R2 линейно связно). Пусть
d(g(I), С) = 6. Для больших п имеем \fn{x)—f{x)\<
< 6/2 и, следовательно, d(g{I), Cn) > 6/2, а это озна-
означает, что для больших п точка z лежит в неограни-
неограниченной компоненте R2\Cn. Но это противоречит до-
доказанному ранее факту, что г лежит в ограниченной
компоненте R2 \ Сп. Отсюда заключаем, что z не ле-
лежит в неограниченной компоненте R?\C, и потому
R2\C имеет также ограниченную компоненту. ?
Чтобы доказать вторую часть теоремы Жордана,
нам понадобятся еще одно определение и лемма.
12А.10. Определение. Хордой Г жордановой кривой С
называется прямолинейный отрезок, пересекающийся
с С только в своих концах. Таким образом, за исклю-
исключением концов, Г лежит в R2\C.
Заметим, что если С—жорданов многоугольник и
Г—его хорда, то ГсХцС, где X — одна из компо-
компонент IR2\C, и, более того, Х\Г состоит из двух
компонент.

]3q ГЛАВА 12 ^_
12A.11. Лемма. Пусть С—жорданов многоугольник и
at b—две точки одной и той же компоненты X мно-
множества R2 \ С, причем d ({а, Ь\, С) ^ 6 при некотором
б > 0. Предположим, что для любой хорды Г, лежа-
лежащей в Х[)С и имеющей длину меньше 26, обе точки
а и b лежат в одной и той же компоненте множе-
множества Х\Т. Тогда в X найдется такой путь g, что
Доказательство. Идея состоит в том, чтобы взять
открытый диск радиуса б с центром в точке а и про-
протащить его в точку Ь, оставаясь все время внутри X.
Единственное, что может помешать такому перемеще-
перемещению диска (диаметр которого равен 26),—это наличие
хорды длины меньше 26 в Х[)С. Но предположения
леммы исключают такую возможность. ?
12А.12. Теорема. Пусть С — жорданова кривая;
тогда R2 \ С имеет не более двух компонент-
Доказательство. Предположим, что R2\C имеет
три или более компонент, и пусть р, q, r—точки из
трех различных компонент. Пусть d({p, q, r\, C)=e
и Ct, C2, ... —последовательность жордановых много-
многоугольников, сходящаяся к С. Предположим, что С,
Cit C2, ... заданы отображениями /, /1( /2, ... соот-
соответственно. Для больших п имеем d (Cn, С) < е/2, и
потому d({p, q, r\, Cn) > е/2. Теорема 12А.2 показы-
показывает, что для любого достаточно большого п две из
трех точек р, q, r лежат в одной и той же компо-
компоненте Хп множества R.2\Cn. Переходя, если нужно,
к подпоследовательности, можно считать, что р и q
содержатся в Хп для всех п.
Допустим, что найдется 6, 0 < 6 < е, и беско-
бесконечно много значений п, для которых точки р и q
соединены путем gn в Хп с d(gn(l), С„)^6. Для
больших п имеем d(Cn, С) < 6/2 и потому d{gn(I), C)>
> 6/2, откуда видно, что р и q лежат в одной и той
же компоненте R2 \ С. Это противоречие означает, что
такого 6 не существует. Применяя лемму 12А.11, полу-
получаем, что для бесконечно многих п найдутся хорды Г„
длины б„, такие, что р и q лежат в азных компонен-

ПУТИ И ЛИНЕЙНО СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 131
тах Хп \ Г„ и бп—>0 при П—+ОО. Обозначим эти п
в возрастающем порядке через «A), ftB), .... Пусть
концами Г„ш являются точки /пШ(а,-) и /„(,-, (&,-)¦ Так
как бп(/)—>0 при г—>оо, имеем /„ „., (а,-) —/„,,-, (&,-) —>-
—> 0 при I —* оо, и, следовательно, /(а,)—f(bi)—*0
при г —» оо, откуда а,- — 6,- —> 0 при i —+ оо.
Так как р и q лежат в разных компонентах Хп ((.,\
\ГЛA-,, то для бесконечно многих значений i одна из
этих точек, например р, принадлежит компоненте мно-
множества XnU) \ Гя(?-), ограниченной хордой Гп(/1 и ду-
дугой /„(,->(Л,-), где Л,- — меньшая из дуг в S1 с концами
в а,- и 6,-. Так как а,-—Ь: —» 0 при t —> оо, то диаметр
этой компоненты при достаточно большом г станет
меньше е. В частности, \р—/(а,-)|<е, что дает про-
противоречие, доказывающее теорему. П
Теорема Жордана следует теперь из 12А.9—12А.12.
12А.13. Упражнения, (а) Докажите, что если А — образ в R2
инъективного непрерывного отображения /: /->R2, то R2 \ А
связно.
(b) Пусть С — жорданова кривая, заданная отображением /:
S1 -* R2. Определим 6, полагая
6 = min{|/W-/((/)|: х,
окажите, что ограниченная компонента R2 \ С содержит откры-
открытый диск диаметра б.
(c) В R2 можно расположить несчетное множество непересе-
непересекающихся простых замкнутых кривых, например {Cr: r^R + }, где
Cr = {(x, (/)(;R2: x'1-lry2 = r}. Восьмеркой называется пространство,
гомеоморфное множеству {(х, (/)^R2: (x ± \J-\-у2= 1}. Докажите,
что если {Ej\ j(zJ}—семейство непересекающихся восьмерок в
R2, то J не более чем счетно.

Глава 13
ГОМОТОПИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
В этой главе мы введем отношение эквивалентности
для непрерывных отображений топологических прост-
пространств. Оно будет играть основную роль в следующих
главах, особенно в применении к путям.
Грубо говоря, два непрерывных отображения /0, /х-
X —> У называются гомотопными, если существует
семейство промежуточных непрерывных отображений
ft: X—+Y, где OsC^<Il, непрерывно зависящих от t
(рис. 13.1 (а)). На рис. 13.1 (Ь) изображены два него-
негомотопных отображения. Здесь X = Sl, а У— кольцо
в R2.
Более точное определение таково.
13.1. Определение. Два непрерывных отображения /0,
/jS X —j- У называются гомотопными, если существует
непрерывное отображение F: Xxl —-Y, такое, что
F(x, 0) = /„(*) и F(x, 1) = /,D
Пример см. на рис. 13.2.
Отображение F называется гомотопией между /„
и /,. Мы пишем fucafl пли F- /„^Д. Для каждого
t?[0, 1] мы обозначаем F (x, t) через ft(x), и отобра-
отображение /(: X —>¦ У непрерывно.
Заметим, что если /• / —>¦ У — путь, то / гомотопно
постоянному пути s/№ посредством гомотопии F: /х
X / —* У, где F(x, t) = f((\ — t)x). Если мы хотим из-
избежать таких ситуаций, мы пользуемся более общим
понятием гомотопии—гомотопией относительно подмно-
подмножества А. При этом требуется, чтобы гомотопия остав-
оставляла на месте все точки А.
13.2. Определение. Пусть А — подмножество X и /0,
/i — непрерывные отображения X в У. Назовем /0 и ft

ГОМОТОПИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ |33
Рис.13.1. (а) Гомотопные отображения. (Ь) Негомотопные отоб-
отображения
Рис. 13.2
гомотопными относительно А, если существует гомо-
топия F\ X х / —<¦ Y между /0 и /,, такая, что F(a, t)
не зависит от t при а ? А. Другими словами, F (a, t) —
= fa (а) для всех а ? А и всех t ? /.
Заметим, что в этом случае /0(a) = /i(«) Для всех
а ? А. Гомотопия F называется гомотопией относи-
относительно А и записывается в виде f3 ~ Д (rel Л) или
/о ^ rel Л fv
Пример см. на рис. 13.3, где Х—1 и А = \Щ с: X.
В качестве другого примера рассмотрим рис. 13.4,

134
ГЛАВА 13
Рис. 13.3
Рис.13.4
где Х = /, Л={0, 1} и У —кольцо в IR2. Отображения
/„, /, негомотопны относительно А, хотя они и гомо-
гомотопны в абсолютном смысле.
Конечно, при Л = 0 гомотопия относительно А
превращается в обыкновенную гомотопию. Следующий
результат показывает, что гомотопия относительно А
вляется отношением эквивалентности.
13.3. Лемма. Отношение ~ rei л на множестве непре-
непрерывных отображений X в Y является отношением эк-
эквивалентности.
Доказательство. Отношение рефлексивно, потому
что F(x, t) = f{x) — гомотопия относительно А между
/ и /. Оно симметрично, так как если F\ f ~ rei a g, то
G: g ~ rei a /, где G задано равенством G (x, t) = F (x,
1 — I). Наконец, это отношение транзитивно, потому
что если F\ f ~ „I a g и G: g ~ rei а К то Я: ~ rei л h,

ГОМОТОПИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 135
где Н задано равенствами
н lF(x.2t), 0<,<1/2,
\G(x, 2/-1), 1/2</<1.
Лемма о склейке показывает, что Н непрерывно. ?
13.4. Упражнения, (а) Пусть X— пространство, /: S1->¦ X — не-
непрерывное отображение. Покажше, что / гомотопно нулю (т. е.
постоянному отображению) тогда и только тогда, когда сущест-
существует непрерывное отображение g: D2 -»¦ X, для которого g | 5* =
= /. (Указание: если с — постоянное отображение и F: с ~ /, по-
положите g (rx) = F (х, г) при x?Sl, г?1 и воспользуйтесь упр. 8.14(f).)
(b) Пусть х, у?Х. Обозначим через Р (х, у) множество клас-
классов эквивалентности путей в X из х в у по отношению гомотоп-
гомотопности относительно {0, 1}. (Другими словами, два пути р, q: 1 -*
-»X из х в у эквивалентны тогда и только тогда, когда р си q
(re! {О, i}).) Покажите, что между Р (х, у) и Р (х, х) тогда и
только тогда существует взаимно однозначное соответствие, когда
Р (х, у) ф 0.
(c) Пусть 0 < s < 1. Для данных путей р и q о. р A)=(? @)
определим h формулами
Докажите, что h и p*q гомотопны относительно {0, i}.
(d) Для данного пути / обозначим через / путь, определенный
формулой / (t)=f{\ —t). Докажше, что / ~ g (rel {0, i}) тогда и
только тогда, когда / ~ g (rel {0, i}).
(e) Покажите, что если /0 си ге1 а\\'- X->¦ Y и g: К->Z —не-
—непрерывное отображение, то g/o — rel л^/i-' X~*Z.
(f) Пусть fo — fi: X-+Y и go — gi- Y-*Z. Докажите, что
go/o — gifi- X -* Z. (Указание: воспользуйтесь сначала (е), чтобы
показать, что go/o — ?o/i. a затем покажите, что go/i — gi/i-)
(g) Пусть X, Y—топологические пространства и ff~ (X, Y) —
множество непрерывных отображений X в Y с компактно-откры-
компактно-открытой топологией (см. упр. 7.13 (d)). Докажите, что если / ~ g:
X -*¦ Y, то найдется путь из / в g в пространстве f (X, Y). До-
Допустим, что X компактно и хаусдорфово. Докажите, что путь из
/ в g в пространстве !f (X, Y) существует в том и только в том
случае, если / ~ g: X -*¦ Y. (Для справедливости последнего ре-
результата достаточно, чтобы X было локально компактным и хаус-
дорфовым.)
Понятие гомотопных отображений можно использо-
использовать для определения отношения эквивалентности топо-
топологических пространств.

,ое ГЛАВА 13
loo .
13.5. Определение. Говорят, что пространства X и У
имеют один и тот же гомотопический тип, если су-
существуют непрерывные отображения /: X—>У, g: У—>-Х,
такие, что gf ~ 1: X —* X, fg c^. 1: Y -—> У. Отображения
f к g называются в этом случае гомотопическими экви-
валентностями. Говорят также, что X и У гомотопи-
чески эквивалентны.
Очевидно, гомеоморфные пространства имеют оди-
одинаковый гомотопический тип, но обратное не верно.
Например, при п > 0 /г-мерный диск DncR" не гомео-
морфен одной точке (скажем, {у}сD"), но имеет гомотопи-
гомотопический тип точки. Чтобы показать, что эти пространства
гомотопически эквивалентны, рассмотрим отображение
включения /: \у\ —> D" (заданное равенством f{y) = y)
и постоянное отображение g: D" —> {у}. Очевидно, что
gf=\, тогда как F: Dnx I —> D", определенное форму-
формулой F (x, t)=tx-\-(\—t)y, является гомотопией между
fg и Is D"-^Dn. Пространства, гомотопически экви-
эквивалентные точке, носят специальное название.
13.6. Определение. Пространство X, гомотопически
эквивалентное точке, называется стягиваемым.
Таким образом, диск D" стягиваем. Вообще, всякое
выпуклое подмножество R" стягиваемо. Говоря нестрого,
пространство стягиваемо, если его можно продеформи-
ровать по себе в точку (например, с окружностью этого
нельзя сделать).
Другой пример пары гомотопически эквивалентных
пространств представляют цилиндр С и окружность S1.
Чтобы в этом убедиться, представим С и S1 в виде
С = {{х, у.
S1 = j(x, у,
Определим i\ S1 —+C как включение и г. С —> S1 при
помощи равенства г(х, у, г) = (х, у, 0). Очевидно,
п=1: S1-^S1, тогда как отображение F: Су.1—*С,
определенное формулой F((x, у, z), t) = (x. у, /г), яв-
является гомотопией между ir и 1: С—> С.
Рассмотренные примеры приводят к новым опреде-
определениям.

ГОМОТОПИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 137
13.7. Определение. Подмножество А топологического
пространства X называется ретрактом пространства X,
если существует непрерывное отображение п X —> А,
такое, что ri=\\ А—*А (или, эквивалентно, г \ А = 1),
где i: А —> X — включение. Отображение г называется
ретракцией.
13.8. Определение. Подмножество А пространства X
называется деформационным ретрактом X, если су-
существует такая ретракция п X —> А, что ir ~ I: X —>Х,
где i\ Л —X — включение.
Другими словами, А является деформационным рет-
ретрактом X, если существует такая гомотопия F- X X I—+X,
что F(х, 0) = х для всех х?Х и F(x, 1) — ретракция
X на А.
Таким образом, окружность—деформационный рет-
ракт цилиндра. Заметим, что если Л—деформационный
ретракт X, то Л и X гомотопически эквивалентны.
В примере с окружностью и цилиндром отображение ir
на самом деле гомотопно тождественному относительно
окружности. Это приводит к еще одному определению.
13.9. Определение. Подмножество Л пространства X
называется сильным деформационным ретрактом, если
существует такая ретракция г: X—> Л, что гг~ге, Л1«
Х-+Х.
Другими словами, Л—сильный деформационный рет-
ретракт X, если существует такая гомотопия F\ Хх/—> X,
что F (х, 0) = х для всех х ? X, F (a, t) = a для всех
а €Л, t?l, и F(x, 1N Л для всех х^Х.
Сильный деформационный ретракт является, оче-
очевидно, деформационным ретрактом. Понятие сильного
деформационного ретракта будет полезно в дальнейшем.
Предостережение: в некоторых книгах сильный дефор-
деформационный ретракт называют просто деформационным
ретрактом. Мы воздержимся от применения этой терми-
терминологии. Говоря нестрого, Л является сильным дефор-
деформационным ретрактом пространства X, если X можно
продеформировать по себе в Л, оставляя точки из А
неподвижными.

ijS _ГЛАВЛ !3
Приведем следующий пример, иллюстрирующий по-
понятие сильного деформационного ретракта. Рассмотрим
подмножество V = Ct U С3 пространства (R2, где
Сг = {х = {хи xt): (х-1)Ч4=1},
Ct = {x = (xlt хг): (х, + \у + х-2=\}.
Таким образом, Y—это восьмерка, т. е. две окруж-
окружности с одной общей точкой. Пусть X = F\{B, 0),
(—2, 0)}; тогда точка хо = @, 0) является сильным
деформационным ретрактом X. Чтобы это установить,
рассмотрим очевидные отображения i: {х^\^Х и г:
X—*{ха\. Ясно, что гг=1. Чтобы убедиться, что
ir ~ 1 (геЗ {ха}), используем следующую гомотопию F:
XXI-+X:
при х ? С;, i = 1, 2.
1 — s) х, -f(— \у\ A — s)
оверить, что F непре
F(x0, s) — x0, F(x, 0) = хи F(x, 1) = х„, то ir~ I (rel{xj)
и, таким образом, {хо\—сильный деформационный рет-
ракт X.
при х ? С;, i = 1, 2.
Заметим, что (A — s) х, -f(— \у\ A — s) у.г) ф@, 0) при
х?Х. Легко проверить, что F непрерывно. Так как
F(x0, s) — x0, F(x, 0) = хи F(x, 1) = х„, то ir~ I (rel{xj)
и таким образом {х\сильный д
13.10. Упражнения, (а) Покажите, что на листе Мёбиуса найдется
окружность, являющаяся его сильным деформационным ретрактом.
Выведите отсюда, что лист Мёбиуса н цилиндр гомотопически эк-
эквивалентны.
(b) Докажите, что пространство X тогда и только тогда стя-
стягиваемо, когда тождественное отображение 1: X—>Х гомотопно
постоянному отображению.
(c) Докажите, что ретракция г: Dn—> Sn~l существует тогда
и только тогда, когда S"*1 стягиваема1). (Указание. Пусть F:
Sn~1Xl—> Sn~1 — гомотопия между постоянным и тождествен-
тождественным отображениями. Воспользуйтесь естественным отображением
S"-lXl —* D" вида (х, t)\-*txu тем фактом, что F {Sn~1X{0})—
одна точка.)
(d) Докажите, что если X связно и имеет тот же гомотопи-
гомотопический тип, что и К, то К также связно.
(e) Подмножество Acz X называется слабым ретрактом про-
пространства X, если существует непрерывное отображение г: X —> А,
такое, что ri са \: А—> А, где (': А—>Х — включение. Ретракт,
очевидно, является слабым ретрактом. Приведите пример слабого
ретракта, не являющегося ретрактом.
3) Нестягиваемость сферы S"-1 вытекает, например, из пред-
предложений 29.8 и 29Л9.— Лрим. ред.

ГОМОТОПИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 139
({) Приведите пример деформационного ретракга, не являюще-
являющегося сильным деформационным ретрактом.
(g) Подмножество А С X называется слабым деформационным
ретрактом пространства X, если отображение включения (': А —> X
является гомотопической эквивалентностью, Гахим образом, дефор-
деформационный регракт является и слабым деформационным ретрактом.
Приведите пример слабого деформационного ретракга, не являюще-
являющегося деформационным ретрактом,
(h) Пусть Л— подпространство X, и пусть У— непустое топо-
топологическое пространство. Докажите, что АхУ тогда и только
тогда является ретрактом пространства ХхУ, когда А— ретракт А\
(i) Докажите, что отношение :<быть ретрактом» транзитивно
(т. е. если А — ретракт В, а В— ретракт С, го А—ретракт С).
(j) Докажите, что подмножество S'xfxo} является ретрактом
пространства S1x5l, но не является его сильным деформационным
ретрактом ни для какой точки a-0?S1. Является ли оно деформа-
деформационным ретрактом? Слабым деформационным ретрактом?
(к) Пусть ;to?R2. Найдите окружность в R2, являющуюся
сильным деформационным ретрактом пространства Ra\{*o}.
(I) Пусть Г —тор, а X —дополнение к некоторой его точке.
Найдите подмножество X, гомеоморфное восьмерке и являющееся
сильным деформационным ретрактом пространства X.
(т) Докажите, чю Sn — сильный деформационный ретракт
пространства Rn+i\{0}.
(п) Покажите, что ретракт хаусдорфовэ пространства замкнут.
(о) Пусть К —подпространство Rn и /, g. X —» К —непрерыв-
—непрерывные отображения. Докажите, что если для всякого х?Х точки
f (х) и g (а;) можно соединить прямолинейным отрезком в У', го
} c^g. Выведите отсюда, что любые два отображения /, g: X—> R"
гомотопны.
(р) Пусть X — произвольное пространство и/, g: X—>• S" —
непрерывные отображения, для которых f(x)^—g{x) при всех
к?Х. Докажите, что / ~ g. (Указание: рассморите отображение
R"\{0}—*S"~l вида хь-*х/\\х\\ и примените (о).) Выведите отсюда,
что всякое непрерывное отображение /: X —*¦ S", не являющееся
сюръективным, гомотопно постоянному отображению.

Глава 14
УМНОЖЕНИЕ ПУТЕЙ
Если / и g—пути в X, причем f(l)~g(O), то под
произведением fag мы понимаем путь f*g, опреде-
определенный в гл. 12 формулами
/B/), 0<*<1/2,
Далее в этой главе мы подробнее изучим это «умно-
«умножение» путей. Точнее, мы рассмотрим умножение путей
с точностью до гомотопии относительно {0, 1} и увидим,
в какой степени это умножение удовлетворяет аксио-
аксиомам группы.
14.1. Определение. Два пути /, g в X мы называем
эквивалентными и пишем f~g, если они гомотопны
относительно {0, 1}.
Заметим, что пути /„, /j в X эквивалентны, если
существует непрерывное отображение F; /х/-+Х,
такое, что
F(t, 0) = /,(*) и F{t, 1) = Л@ при /?/,
F@, s) = /ffl@) и F(l, s) = /ffl(l) при s6/
(рис. 14.1). В этом случае мы будем писать F;fo^[i.
Как показывает лемма 13.3, ~—отношение эквивалент-
эквивалентности на множестве путей в X. Обозначим класс экви-
эквивалентности пути / через [/]. Наш первый результат
показывает, что произведение классов эквивалентности
путей корректно определено условием [/][§¦] = [/*§]•
14.2. Лемма. Пусть /0, flt g0, gi—пути в X, причем
/оA) = ?о@) « /i(l) = gi@). Если fb~h и gt~glt то

УМНОЖЕНИЕ ПУТЕЙ
141
Доказательство. Пусть F: /0~/i и G: go~gi—гомо-
опии относительно {0, 1}, реализующие эти эквива-
ентности. Определим Я: Ixl—+X формулами
FBt, s), 0</<1/2,
, s)= J
По лемме о склейке Н непрерывно, так как F A, s) =
=/O(l) = g-O(O) = G @, s). Легко видеть, что Я является
Рис. 14.1
Рис.14.2
гомотопией относительно {0, 1} между fB*g0 и fi*Si
(рис. 14.2). ?
Следующий результат устанавливает ассоциативность
умножения классов путей, иными словами, ([/][g])[ft] =
= [/] ([g] [h]), когда эти произведения имеют смысл
(т. е. при /(l) = g@) и g(\) — h(O)). Заметим, что,
вообще говоря, (f*g)*h=?f*(g*h) (см. упр. 14.6 (а)).
14.3. Лемма. Пусть /, g, h—три пути в X, для ко-
которых /(l) = g@) и g(\) = h(O). Тогда (f*g)*h~

142
ГЛАВА 14
Доказательство. Заметим сначала, что
'/D0, 0<
?D/ — 1), 1/4<
< 1/2,
—1),
1/2 <
/B0,
(f*(g*h))(t) =
/iD/ —3),
Изобразим эти пути диаграммами
f д h f
о
f*(9*b)
Эти диаграммы можно использовать для очень прос-
простого алгебраического описания наших путей. Рассмот-
Рассмотрим, например, (f*g)*h. При 1/4 </ <1/2 используем g
д л
О 5+15+2 1
4 4
Рис.14.3
в композиции с линейной функцией, переводящей от-
отрезок [1/4, 1/2] в [0, 1], а именно /1—> \t—1, На самом
деле можно использовать любую непрерывную функцию,
отображающую [1/4, 1/2] в [0, 1], которая переводит
1/4 в 0, а 1/2 в 1 (см. упр. 14.6 (с)), но обычно проще
всего выбрать линейную функцию.
Чтобы построить гомотопию между (f»g)»h и
/*(g*fr), рассмотрим рис. 14.3. При данном значении s

УМНОЖЕНИЕ ПУТЕЙ 143
используем / на отрезке [0, (s-J-l)/4J, g на отрезке
[(s-f l)/4, (s + 2)/4] и h на отрезке [(s + 2)/4, 1]. Мето-
ом, описанным выше, мы придем к определению F:
Ixl —*¦ X равенствами
(f(At/(\+s)),
F(t, s)= { gDt—s—l),
(fr(D/-s—2)/B—s)),
Отображение F непрерывно и
^(', 0) = ((/•§)• Л) (О,
F@, s) = /(O) = ((/*g)
Итак, F является нужной гомотопией. ?
Для д: g X был определен постоянный путь гх\ I—>Х,
8дг(/) = х. Класс эквивалентности постоянного пути ве-
ведет себя как (левая или правая) единица, т. е. [еЛ][/] =
==[/] = l/][8vJ. если ПУТЬ / начинается в л; и кончается в у.
Это доказывается в следующей лемме.
14.4. Лемма. Если f — путь в X с началом в х и кон-
концом в у, то ех*/~/ и f*8y~f.
Доказательство. Докажем только, что sx*f~f.
Доказательство того, что / * г ~ /, проводится анало-
аналогично. Рассмотрим рис. 14.4. Определим F: I х 1—*¦ X
формулами
Тогда F(t, O) = sx*f, F(t, \) = f(t) и F—гомотопия
относительно {0, 1}. ?
Рассмотрим, наконец, обратные пути (с точностью
до эквивалентности). Напомним, что для пути / через/
обозначается путь, определенный равенством f (t) =
— f(l — t). Заметим, что f~g тогда и только тогда,
когда f~g (доказать это легко). Следующий результат
показывает, что класс эквивалентности / играет роль

144
ГЛАВА 14
обратного для класса эквивалентности /, т. е. [/][/] =
= Г8лг]> [/][/] = [8j/] ДЛЯ ПУТИ / С началом в X И КОНЦОМ В у.
14.5. Лемма. Пусть /—путь в X с началом в х и кон-
концом в у. Тогда /*7~8* и 7*/~8г/-
Доказательство. Докажем только, что f*f~ex.
Путь /*/ задан формулами
/B0, 0<*<1/2,
/B—20, 1/2<*<1.
Он представляет собой путь, по которому мы движемся
первую половину времени вдоль /, а вторую половину—
вдоль / в обратном направлении. Чтобы пройти за еди-
единицу времени из х в у и обратно в х, мы движемся
Рис.14.4
со скоростью 2 (т. е. с удвоенной «нормальной» ско-
скоростью). Если теперь менять скорость пропорционально
A—s) при s?/, то для любого s мы получим путь,
который начинается в х, идет до /BA—s)) и затем
возвращается в х. При s = 0 получим /*/, a npns=l
получим ъх. Поэтому определим F\ 1 X / —>¦ X формулами
| /B/(l-s)), 0<^<1/2,
)-\ /(B-20A—s)), 1/2</<1.
чевидно, F непрерывно и
F(t, 0) = (/*/)@, F(t, l) = f{O) = ex(t),
F@, s) = /@) = (/*/)@), F(\, s) = / 0) = (/*/) 1),

УМНОЖЕНИЕ ПУТЕЙ 145
так что f»f~ex. ?
Другая гомотопия между /*/ и гх задается отобра-
отображением G: 1x1—-X, где
f /B0, 0</<(l-s)/2,
G(t, s)= J f(\—s), A—s
/B-2/), (
Идея состоит в том, что время, в течение которого мы
движемся вдоль /, пропорционально A —s). Таким обра-
образом, первую часть времени, равную A—s)/2, мы идем
вдоль /, затем ждем в точке /A—s) и, наконец, воз-
возвращаемся вдоль / за последнюю часть времени, равную
A—s)/2. Итак, при s = 0 этот путь совпадает с /*/,
а при s=l мы все время проводим в точке х, т. е.
проходим путь гх.
В следующей главе мы вернемся к классам экви-
эквивалентности путей и их произведениям.
14.6. Упражнения, (а) Приведите примеры путей /, g, h в неко-
некотором пространстве X, для которых /(l) = g@), g(l)=/i@) и
(i) (f*g)*h Ф f*(g*h), (n)(f*g)*h = f*(g*h).
(b) Дайте прямое доказательство того, что 8. @)*/ ~ /*в, A.
(c) Пусть / — путь в X, и пусть Л: I —>¦ / — непрерывное
отображение, для которого /г @) = 0, ЛA) = 1. Докажите, что
f~fh.
(d) Используйте (с) для прямого доказательства того, что
f~e,x*f, где / — путь с началом в х.
(e) Пусть /, g: I—> А' — пути в X из х в у. Докажите, что
f ~ g тогда и только тогда, когда /*g ~ &х.
(f) Пусть h\ I—>/ — непрерывная функция, для которой
/г@) = 1 и /гA) = 0. Докажите, что если /—путь, то/~//г.
(g) Пусть 0 = /0sg /j sg /2= 1 и/: /—> X— некоторый путь.
Определим пути /ь /2 равенствами
h V) =/ (A -0 to + tti), h (t) =f (A -t) h + tt2).
Докажите, что /i*/2 ~ /• (Указание: примените (с).)
(h) Пусть 0 = /0<^</2<... </а = 1 и /: /—>Х — неко-
некоторый путь. Определим пути flt /2, ...,fq равенствами/,-(^) =
= / @ —0 '/-! + «/)- Докажите, что [/] = [ft] [/„] ... [/,].
(i) Пусть X — пространство, представленное в виде X = U\JV,
где U и V—открытые подмножества. Покяжите, что если / —
путь в X, то [/] можно представить в виде [/] = [/i] [/2] ..• [!ч],
где каждое fj — либо путь в U, либо путь в V. (Указание. Рас-
Рассмотрите открытое покрытие {f~1(U), f~l (V)} отрезка /, запишите

... ГЛАВА 14
14b ^_^_
/-1 (U) и f~'(V) в виде объединения непересекающихся открытых
интервалов и воспользуйтесь компактностью /, или можно приме-
применить упр. 7.13 (g). Наконец, примените (h).)
(j) (i) Докажите, что если h: (О, 1)—> (О, 1)—гомеоморфизм,
то существует гомеоморфизм /: [0, 1] —> [О, 1], при котором
f | @, \)=h. Докажите единственность такого гомеоморфизма.
(Указание: рассмотрите интервал @, а], замкнутый в /, и пока-
покажите, что h (@, а]) имеет вид @, 6] или [с, 1) для некоторого b
или с.) (и) Докажите, что если h: I—> I — гомеоморфизм, то
h(dl)=dl. (Указание: воспользуйтесь связностью.) (ш) Пусть
f, g: I —>¦ X — пути в X, такие, что /: 1 —ь- f (!) Kg: I —> g (/) —
гомеоморфизмы. Докажите, что если /(/) = §(/), то либо / ~ g,
либо f ~ g. (Указание: используйте (ii).) (iv) Пусть /, g: 1—s. X —
замкнутые пути в X, такие, что /: /—>¦/(/) и g: I—у g (/) —
гомеоморфизмы. Докажите, что если /(/) = g(/) и / (dl)=g (bl),
то либо / ~ g, либо f ~ g.

Глава 15
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
В предыдущей главе мы видели, что классы экви-
эквивалентности путей (пути эквивалентны, если они го-
гомотопны относительно {0, 1}) в пространстве X почти
удовлетворяют аксиомам группы. Проблема только
в том, что умножение не всегда определено, а единица
«плавает». Обойти эти трудности позволяет использо-
использование замкнутых путей.
15.1. Определение. Путь называется замкнутым, если
/@) = /A). Если /@) = /A) = л:, то говорят, что f —
замкнутый путь в точке х.
В некоторых книгах замкнутый путь называют
петлей.
Заметим, что произведение f*g определено для лю-
любой пары замкнутых путей в некоторой точке х? X.
Обозначим множество классов эквивалентности замк-
замкнутых путей в точке х ? X через я (X, х). Это мно-
множество наделено умножением: [/][?] = [/*?] при [/],
[g] ? л (X, х), которое определено корректно по лемме
14.2. Следующий результат устанавливает, что я (X, х) —
группа; она называется фундаментальной группой про-
пространства X в точке х.
15.2. Теорема. п(Х, х) является группой.
Это следует из гл. 14. Произведение уже было
определено. Единичным элементом является [ех] (см.
лемму 14.4.), обратные элементы задаются равенством
[/]~1 = [/] (см. лемму 14.5), а ассоциативность следует
из леммы 14.3.

148 ГЛАВА 15
Ввиду ассоциативности умножения классов эквива-
эквивалентности путей мы часто будем вместо [(feg)*h] писать
[f»g»h]. Заметим, однако, что писать f»g*h вместо (f*g)*h
нельзя.
Прежде чем двигаться дальше, предлагаем читателю
следующие упражнения.
15.3. Упражнения, (а) Почему нельзя описать я (X, х) без при-
привлечения точки х?
(b) Покажите, что если А — конечное топологическое простран-
пространство с дискретной топологией, то п(Х, а;) = 0.
(c) Вычислите л@, 0), где Q —множество рациональных
чисел с топологией, индуцированной обычной топологией R.
(d) Пусть X — пространство, для которого л(Х, л:) =0. Пока-
Покажите, что если /, g— два пути в X, причем/ @)=g(Q) = x и
/(l) = g(l), то f ~ g. (Указание: воспользуйтесь упр. 14.6 (е).)
Если выбрать две различные точки х, у?Х, то
заранее не видно причин, по которым я (X, х) и я (X,у)
должны быть связаны друг с другом. Но если най-
найдется путь из х в у, то такая связь имеется.
15.4. Теорема. Пусть х, у?Х. Если в X найдется
путь из х в у, то группы п (X, х) и л (X, у) изоморфны.
Доказательство. Пусть f — путь из х в у. Если g—
замкнутый путь в точке х, то (f*g)*f—замкнутый путь
в точке у. Поэтому можно определить отображение uf:
л(Х, х)—+п(Х, у) равенством Uf[g]*=[f*g*f]- Это ото-
отображение—гомоморфизм групп, потому что
e [/*g*/*/*fe/] = [/*?*/] [f*h*f\ = U, [g] U, [h].
Используя путь / из у в х, можно определить и~: я (X, у)—>-
—*л(Х, х) равенством м-[И] = [/*/г*/]. Как показывает
простая проверка, тогда u-fuf[g] = [g] и ufu-f[h] = [ti],
так что uf биективно и потому является изоморфиз-
изоморфизмом. П
15.5. Следствие. Если X—линейно связное пространство,
то для любых х, у?Х группы п(Х, х) и п(Х, у)
изоморфны.

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА 149
Этот результат не будет верным, если опустить
условие линейной связности X, и если X только связно,
он, вообще говоря, тоже не имеет места. После того
как мы вычислим несколько фундаментальных групп
(в последующих главах), читатель сумеет построить
примеры связных пространств, для которых л(Х, х)
и п(Х, у) не изоморфны для некоторых пар точек
х, у?Х.
Ввиду следствия 15.5 возникает искушение опустить л;
в я(Х, х), если X линейно связно. Это опасно, так
как канонического изоморфизма между л (X, х) и л (X, у)
не существует, поскольку различные пути из х в у
могут определять различные изоморфизмы.
15.6. Упражнения, (а) Докажите, что два пути f, g из х в у
тогда и только тогда определяют один и тот же изоморфизм между
п(Х, х) и я (X, у) (т. е. U/=Ug), когда [g*/] принадлежит центру
п(Х, х). Центр Z (G) группы G определяется как
{a?G: ab = ba для всех b?G).
(b) Пусть Uf. л (X, х)—*п{Х, у)—изоморфизм, определен-
определенный некоторым путем / из х в у. Докажите, что «утогда и только
тогда не зависит от /, когда п (X, х)—абелева группа.
В оставшейся части главы мы будем изучать, как
ведет себя фундаментальная группа при непрерывном
отображении топологических пространств. Пусть
ср: X^>Y—непрерывное отображение; следующие три
факта очевидны.
(i) Если /, g — пути в X, то ф/, cpg—пути в Y.
(п) Если f~g, то cp/^epg.
(Hi) Если /—замкнутый путь в X в точке х?Х,
то ср/—замкнутый путь в У в точке ср(л-).
Итак, если [f]?n(X, х), то [ср/] — корректно опре-
определенный элемент группы л (У, ср (х)). Поэтому опре-
определим ср*: я (X, х) —> л (Y, ср (х)) равенством ср* [/] = [ср/].
15.7. Лемма, ср*—гомоморфизм групп.
В самом деле, ф,([/]Ы) = Ф.[/*?] = [ф(/*Я)] =
= [cp/*cpg] = [ср/] [cpg] = сг,[/] ф* [g].
15.8. Определение. Гомоморфизм ф*: п(Х, х)—»¦
—>-я(У, ц>(х)), определенный равенством Ф*[/] = [ф/],

1Б0 ГЛАВА 15
где ср: X—+Y—непрерывное отображение, называется
гомоморфизмом, индуцированным отображением ср.
Доказательство следующих двух результатов просто
и предоставляется читателю.
15.9. Теорема, (i) Пусть ср: X —> Y и ф: У —»Z—не-
—»Z—непрерывные отображения; тогда (^ф)* = Ф*Ф*-
(П) Если 1: X —> X—тождественное отображение,
то 1*—тождественный гомоморфизм группы п(Х, х).
15.10. Следствие. Если ср: X —> Y — гомеоморфизм, то
ер*: п(Х, х)—»я(У, ср (х))— изоморфизм.
Итак, фундаментальная группа дает средство пере-
перехода от топологии к алгебре. Для этого процесса харак-
характерны следующие черты.
(i) Каждому топологическому пространству (о от-
отмеченной точкой) сопоставляется некоторая группа
(в данном случае фундаментальная группа).
(и) Каждому непрерывному отображению тополо-
топологических пространств сопоставляется некоторый (в дан-
данном случае индуцированный) гомоморфизм групп.
(iii) Композиции непрерывных отображений сопо-
сопоставляется композиция индуцированных гомоморфизмов,
(iv) Тождественному отображению отвечает тождест-
тождественный гомоморфизм.
(v) Гомеоморфизму отвечает изоморфизм.
Описанный процесс перехода от топологии к алгебре
дает хороший пример, показывающий, что такое алгеб-
алгебраическая топология. Мы заменяем топологию алгеброй
и используем наше знание алгебры, чтобы узнать кое-
что о топологии. Конечно, если фундаментальные груп-
группы двух пространств изоморфны, это не означает, что
пространства гомеоморфны. Но если фундаментальные
группы не изоморфны, то пространства заведомо не го-
гомеоморфны.
Замечание. Отмеченные выше свойства (i)—(v) дают
пример функтора. Итак, фундаментальная группа—это
функтор из топологии (совокупности топологических
пространств с отмеченными точками и непрерывных
отображений, переводящих отмеченную точку в отме-

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА 151
ценную) в алгебру (совокупность групп и их гомомор-
гомоморфизмов).
15.11. Упражнения, (а) Приведите пример непрерывного инъектив-
ного отображения ф: X—> У, для которого ф* не инъективно
(предполагая известным1), что л (S1, х) ~ %, я (?>2, х) = 0).
(b) Приведите пример непрерывного сюръективного отображе-
отображения ср: X—*Y, для которого ф„ не сюръективно.
(c) Докажите, что если ф: X—*Y непрерывно и f — путь из
х в (/, то ф,«/=г;ф,ф4: я (X, х) —->я(У, у (у)), где uf и иф? —
изоморфизмы фундаментальных групп, определяемые путями /иф/.
(d) Докажите, что два непрерывных отображения ф, \f: X —> Y,
гомотопные относительно некоторой точки хо6Х и обладающие
свойством ф (х0) = г|; (л:0), индуцируют один и тот же гомоморфизм
группы я(Х, *„) в я (К, ф (х0)).
(e) Пусть Л — ретракт X иг: X—> Л — ретракция. Докажите,
что <ф: я (Л, о)—>я(Х, а)—мономорфизм (где/: Л—>-X — вклю-
включение) и что /•„: л(Х, а)—> я (Л, а) — эпиморфизм для любой
точки а?А.
(f) В обозначениях (е) предположим, что itn (А, а) — нормаль-
нормальная подгруппа я(Х, а). Докажите, что я (X, а) — прямое произ-
произведение подгрупп im it и ker rs.
(g) Докажите, что если Л — сильный деформационный ретракт X,
то отображение включения i: А —> X индуцирует изоморфизм
it: я (Л, а) —>я(Х, о) для любой точки а?А.
(h) Покажите, что если ф: X—>Х — непрерывное отображе-
отображение, гомотопное тождественному, тоф,.: л(Х, х0) —>• я (X, ф (х0)) —
изоморфизм для любой точки хо?Х (в случае затруднения загля-
загляните в доказательство теоремы 15.12).
Следующий результат обобщает упр. 15.11 (d).
15.12. Теорема. Пусть ср, if: X —^ Y—непрерывные
отображения топологических пространств и F: ср ~ гр—
гомотопия. Если f: I—>¦ У — путь из ц>(х„) в^(х0),
определенный равенством f (/) = F (х0, I), то гомомор-
гомоморфизмы ф»: п(Х, х0)—* я (Y, ср (х0)) и гр»: я (X, х„) —>
—*я(У, ty(x0)) связаны соотношением 4n* = «/(P*. г^е
Uj — изоморфизм групп я (У, ц> (х0)) и л (Y, ty(xg)), опре-
определенный путем f.
Доказательство. Нужно показать, что если [g] ?
?л(Х, х0), то [ipg] = [/*9g*f]. Другими словами, нужно
показать, что пути (f*qg)*f и \$g эквивалентны. Заме-
х) См. следующую главу.—Прим. ред.

152
ГЛАВА 15
ТИМ, ЧТО
GA-40, 0</<1/4,
((/*Ф?)*/) (t) = \ Фё D/- 1), 1/4 </< 1/2,
(/B/—1), 1/2</<1.
Это можно переписать в виде
F(x0, 1-40, 0<^<1/4,
FteDt — l), 0), 1/4 </< 1/2,
F(x0, 2t—\), 1/2<*<1.
Между тем tyg (/) = F (g (t), 1). Чтобы усмотреть гомо-
топию между (f*<pg)*f и tyg, заметим, что путь tyg эк-
эквивалентен пути {sx*tyg)*ex, где х = \р(х0). Путь
(x имеет вид
(F(x0, I), 0</<l/4,
f(grD^-l), 1), 1/4<*<1/2,
l^^o, 1), 1/2</<1.
Поэтому определим отображение Я: / х / —>Y форму-
формулами
(F(x0, l-4/(l-S)),
H(t, s)= \F(g{4t — l), s),
(f(a-0, |+2(f—1)A—s)),
Отображение Н, очевидно, непрерывно и
H(t, Q) = ((f*4,g)*f)(l), H(t, D = ((e,
//@, s) = F(xa, l)=*y(x0), H{\, s) = F{x0,
Следовательно, (f*q>g)*f ~ (&x*tyg)*ex ~ $§>
"/Ф* = ^*- ?
Эту теорему можно сформулировать по-другому,
сказав, что имеет место коммутативная диаграмма
откуда
тг(Х,а;о)
n(Y,ip(x0))

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА 153
Следующие два результата относятся к гомотопи-
чески эквивалентным пространствам.
15.13. Теорема. Если ср: X—*Y—гомотопическая экви-
эквивалентность, то ср,.: я (X, х)—*я(У, ср (х))—изомор-
(х))—изоморфизм для любой точки х ? X.
Доказательство. Так как ср — гомотопическая экви-
эквивалентность, то существует непрерывное отображение
\р: Y —* X, для которого cpij? ~ 1: Y —> Y и 1|зф ~ 1: X—>Х.
По теореме 15.12 имеем ы/(\(зф)»= 1», и так как uf и
1» — изоморфизмы, то A|зф)„ = 4:*Ф*—тоже изомор-
изоморфизм. Это означает, что гр*—эпиморфизм, а ф„—моно-
ф„—мономорфизм. Аналогично, ф*\р*— изоморфизм, откуда ф*—
эпиморфизм, a i|>g—мономорфизм, П
15.14. Следствие. Стягиваемое пространство имеет
тривиальную фундаментальную группу.
15.15. Определение. Топологическое пространство X
называется односвязным, если оно линейно связно и
л(Х, х) = {\\ для некоторой (и, следовательно, любой)
точки х? X.
Таким образом, стягиваемое пространство одно-
связно. Обратное, как читатель в дальнейшем убедится,
неверно.
15.16. Упражнения, (а) Пусть А—слабый ретракт X (см. упр.
13.10 (е)). Что можно сказать о гомоморфизмах г',.: л (Л, а)—<¦
—*п(Х, а), г%: п(Х, а)—>п(А, а) прия?Л?
(b) Говорят, что пространство X обладает свойством С, если
для любого замкнутого пути /: / —> X существует такая гомото-
пия F: /X/—>Х, что F [t, 0)=f (t), F (t, 1) —постоянное отобра-
отображение, F @, s) = F(l, s) для всех s?/. Заметим, что/-1 не обяза-
обязательно является гомотетией относительно {0, 1}. Докажите, что
если X обладает свойством С, то X односвязио.
(c) Пусть X — U\JV, где U, V открыты и односвязны, и U f\V
линейно связно. Докажите, что X односвязно. Следовательно,
сфера S" при п ^ 2 односвязна. (Указание: воспользуйтесь
упр. 14.6 (i) и (е).)
Последний результат этой главы относится к фун-
фундаментальной группе топологического произведения
пространств. Он мог быть получен з этой главе и
раньше.

154 ГЛАВА 15
15.17. Теорема. Пусть A, Y—два линейно связных
топологических пространства. Фундаментальная группа
произведения XxY изоморфна произведению фундамен-
фундаментальных групп пространгтв X и Y.
Доказательство. Пусть р: XxY —+ X, q\ XxY —*¦
—*Y—проекции. Определим ср: л (XxY, [х0, у0)) —-
—>-я(Х, xo)Xn(Y, yg) равенством ф[/] = (р«[/], <?„[/]) =
Проверим сначала, что ср корректно определено.
Если /~g, то имеется непрерывное отображение F;
IxI-^XxY, такое, что F(t, 0) = /(f), F (t, l) = g(t)
и F @, s) = F{\, s) = (x0, y0). Непрерывные отображе-
отображения pF: IX I—>¦ X и qF: IxI—*Y определяют экви-
эквивалентности p/~pg и qf ~ qg, так что cp[/] = cp[g]
и ф корректно определено.
Чтобы установить сюръективность ф, предполо-
предположим, что ([fг], [/2])€я(Х, xo)xn(Y, ;/„). Рассмотрим
отображение /-. /—>XxY, определенное равенством
t/iW. МО)- Очевидно, что ф[/] = ([/х], [/,]).
Чтобы показать инъективность ф, предположим, что
] = ф[§]. Это означает, что pf ~ pq n qf ~ qg. Если
j} IX I —>¦ X и F2: Ixl—+Y задают эти эквивалент-
эквивалентности, то F: 1x1—> XxY, определенное равенством
F (t, s) = (Fl (t, s), Fa (t, s)), дает эквивалентность / ~ g.
Наконец, гомоморфность ф следует из того очевид-
очевидного факта, что если f,g: I—-X xY—пути c/(l) = g@),
то p(f*g)=>pf*pg и q(f*g) = qf*qg. ?
Другие способы доказательства теоремы 15.17 со-
содержатся в упражнениях.
15.18. Упражнения, (а) Докажите, что произведение двух одно-
связных пространств односвязно.
(b) Пусть f: I—уХ, g: I—>• У —замкнутые пути в точках
х:0?Х и {/о€^ соответственно. Пусть г. X—> XxY и /: Y—>-
—*ХХY — включения, определенные равенствами i(x) = (x, г/0)
и / (у) = (хо, У)- Покажите, что пути (if)*{jg) и (Jg) * (if) в XxY
эквивалентны.
(c) В обозначениях (Ь) покажите, что отображение произве-
произведения л(Х, л:0)Хл(У, (/„) в л (XxY, (xOl у0)) вида ([/], [g]) t—>
i—> [(if) * (jg)] является изоморфизмом групп.
(d) Топологической группой G называется группа, которая
является также топологическим пространством, причем отображе-

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА 155
ния (х: GxG—> G и v: G—>- G, определенные равенствами
|х (?ъ Ы=^1^2 и v(g)=g-\ непрерывны. Пусть /, h—замкну-
h—замкнутые пути в G в точке e?G. Определим f-h равенством (f-h)(i) =
= ц(/(^), h (t)), t ? /. Докажите, что /*Л~/-Л~Л*/, и выве-
выведите отсюда, что фундаментальная группа я (G, ё) абелева. Пока-
Покажите далее, что гомоморфизм v,.: я (G, ё) —>¦ я (G, е) удовлетво-
удовлетворяет условию V,. [/] = [f]-1.
(e) Определим на окружности S*c С умножение |я: S1xS1—^-S1-
равенством ц (гь г2) = г1г2 и отображение v: S1—>• S1 равенством
v(z) = z~1. Докажите, что S1 — топологическая группа. Выведите
отсюда, что я (S1, 1)—абелева группа.
(f) Обобщим результат упр. (d). Пусть х0— точка простран-
пространства X. Предположим, что существует непрерывное отображение
(х: ХхХ—уХ, такое, что ц (х, х0)=(х(л0, х) = х для всех х?Х.
Докажите, что если /, g: 1 —*¦ X — замкнутые пути в точке хо? X
и i, j: X—>¦ ХхХ — включения i(x) = (x, хд), j (x) = (х0, х), то
I1 (('/)* (Ш)) =/* й- Выведите из (Ь), что л(Х, хд) — абелева группа.
(g) Обобщим результат упр. (/). Пространство X называется
Н-пространством (в честь Хайнца Хопфа), если существуют не-
непрерывное отображение (х: ХхХ —> X и точка х0 ^ X, такие, что
(xi щ 1 (rel хд) и ц/ с^ 1 (rel х0), где t и / — те же включения, что
и в (f). Заметим, что ц (х0, хо)=л:о. Докажите, что фундаменталь-
фундаментальная группа я (X, х0) Я-пространства абелева. (Указание: покажите,
что (х (((/) * Qg)) ~f *g.)
Фундаментальную группу п(Х, хд) часто обозна-
обозначают яг(Х, х0), где индекс 1 напоминает о том, что
при определении фундаментальной группы использова-
использовались пути (отображения отрезка /cR1). В общем слу-
случае можно определить лп(Х, х0), используя отображе-
отображения куба f"cR" в X. Эта группа называется п-й го-
гомотопической группой пространства X в точке х0. Мы
наметим кратко соответствующие определения; чита-
читатель, которого это не интересует, может перейти прямо
к следующей главе.
Пусть bl" означает, как обычно, край /", т. е.
dln — {(tu t2 /„)€ /": /,- = 0 или 1 для некоторого i\.
Множество пп(Х, х0) состоит из гомотопических клас-
классов относительно 01" непрерывных отображений /:
1"—>-Х, для которых f@1") = х0. Произведение опре-
определяется как [/][#] = [/*?]> где
/B/,, /„ ..., /„),
gBtl-it ti /J,

156
ГЛАВА 15
Можно проверить, что произведение определено кор-
корректно и задает на пп(Х, х0) структуру группы. Ко-
Конечно, прия= 1 мы получаем фундаментальную группу.
Фундаментальная группа, как мы увидим далее, не
обязательно абелева, но пп(Х, х0) при п^2 всегда
абелева.
15.19. Упражнения, (а) Докажите, что я„(Х, х0)— группа.
(b) Докажите, что если в X существует путь из х0 в хъ то
л„ (К, х0) и п„ (X, хг) изоморфны.
(c) Для непрерывного отображения ф: X —> Y определите фу
пп(Х, хд)—>-л„(У, ф (х0)) и докажите, что ф*—гомоморфизм.
окажите также теорему 15.9 для n-х гомотопических групп.
Выведите, что гомеоморфные пространства имеют изоморфные гомо-
гомотопические группы.
f
9
Щ
9
f
Sri
i
9
ш
9
ш
f
9
f
Рис.15.!
(d) Докажите, что гомотопически эквивалентные пространства
имеют изоморфные гомотопические группы.
(e) Докажите, что при «5з2 группа л„(Х, х0) абелева. (Ука-
(Указание: гомотопия между f*g и и*/ изображена на рис. 15.1.)
Примечание. Имеет место результат, в некотором смысле обрат-
обратный к (d). Это—теорема Уайтхеда, которая утверждает, что если
X и Y—топологические пространства определенного шпа (так на-
называемые линейно святные клеточные комплексы) и ф: X —> У — не-
непрерывное отображение, индуцирующее изоморфизмы фф: nn{Xlx0)—>-
—<• пп (У, ф (*„)) при всех «5=1, то ф — гомотопическая эквива-
эквивалентность.

Глава 16
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ОКРУЖНОСТИ
За исключением нескольких тривиальных случаев,
мы до сих пор не вычислили фундаментальной группы
ни одного пространства. В этой главе мы вычислим
фундаментальную группу окружности S1 и в резуль-
результате получим группу Z целых чисел. Интуитивно этот
результат можно объяснить следующим образом. Вся-
Всякий замкнутый путь / в S1 в точке 1 ? S1 наворачи-
наворачивается некоторое число раз на окружность; это число
называется числом оборотов или степенью отображе-
отображения /. (Начнем с /@)=1 и рассмотрим f (t) по мере
возрастания t; каждый обход окружности против часо-
часовой стрелки считаем за +1, а каждый обход по часо-
часовой стрелке за —1. Сумма полученных чисел есть число
оборотов или степень /.) Итак, каждому замкнутому
пути / в точке 1 мы сопоставили целое число. Оказы-
Оказывается, два замкнутых пути тогда и только тогда экви-
эквивалентны (т. е. гомотопны относительно {0, 1}), когда
их степени совпадают. Наконец, для любого целого п
существует замкнутый путь степени п.
Чтобы получить более строгое определение степени
замкнутого пути, рассмотрим следующее отображение
вещественной прямой R на S1: е: R —> S1, t>—>exp2nit.
Геометрически мы представляем прямую в виде спирали,
а отображение е—как проекцию (рис. 16.1). Заметим,
что e~1(l) = ZcR. Идея состоит в том, что если дано
отображение /: / —* S1, для которого /@) = /A)=1,
то существует единственное отображение /¦ / —> R, для
которого f@) = 0 и ef = f (отображение / называется
поднятием /). Так как /A)=1, то /A) ?е~х A) = Z;
это целое число и называется степенью . Далее мы

158
ГЛАВА 16
покажем, что если /0 и f1—эквивалентные пути в S1, то
^о (I) = f1(l). Это приводит к отображению n(S\ 1)—*Ъ,
которое, как мы покажем, является изоморфизмом групп.
Рис.16.1
Этот метод вычисления я E1, 1) обобщается на не-
некоторые другие пространства; см. гл. 17—19. Следую-
Следующая лемма является исходным пунктом для основного
определения, приведенного в гл. 17.
16.1. Лемма. Пусть U—какое-нибудь открытое под-
подмножество SX\{1} и V = lr\e-1(U)c:R. Тогда e'^U)
есть дизъюнктное объединение открытых множеств
V + п — {v + п, v ? V\, n?Z, каждое из которых е гомео-
морфно отображает на U.
Доказательство. Предположим, что U—-открытый
интервал, т. е.
U = {exp2nit: 0<а</<6<1}
для некоторых а, Ь. Тогда V = (a, b) и V -\-п = (а-\-п,
b + п). Очевидно, что е~1F/) — дизъюнктное объедине-
объединение открытых множеств V-\-n(n?Z). Пусть еп обозна-
обозначает ограничение е на (а-\-п, Ь-\-п). Очевидно, что еп
непрерывно и биективно. Для проверки того, что е~х
непрерывно, рассмотрим точку х?{а-\-п, Ь-\-п) и за-
заключим ее в отрезок W ~[х—е, л; -4- е], где е>0 на-
настолько мало, что Wc{a-\-n, b + ri). Так как отрезок W

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ОКРУЖНОСТИ 159
компактен, а окружность 51 хаусдорфова, го по тео-
теореме 8.8 еп определяет гомеоморфизм W —* еп (W). Точка
еп(х) не может быть концом дуги en(W), так как в этом
случае образом связного множества еп (W)\en (x) при
гомеоморфизме е„1 было бы несвязное множество W\{x\.
Поэтому en(W)—окрестность точки еп(х) в S1 и в U,
и так как отображение е^1, ограниченное на эту окрест-
окрестность, является гомеоморфизмом, то оно непрерывно
в точке еп{х), а так как точка х?{а-\-п, Ь-\-п) произ-
произвольна, то е непрерывно на всем множестве еп(а-\-п,
b-\-n) = U, и потому гп—гомеоморфизм. ?
16.2. Упражнение. Покажите, что лемма справедлива для Sl\,{*},
где х — произвольная точка S1.
16.3. Следствие. Если f: X —> S1 не сюръективно, то f
гомотопно нулю.
Доказательство. Если х не принадлежит образу /,
то S1\{x} гомеоморфно стягиваемому пространству
(О, 1) (x = exp2nis при некотором s и S1 = {exp2nit:
s</< 1+s}). П
Перейдем теперь к первому основному результату
этой главы: так называемой теореме о накрывающем
пути (для е: R —>¦ S1).
16.4. Теорема. Всякое непрерывное отображение /: /—<-Sx
имеет поднятие }: 1 —> R. Более того, если х0 ? R —
точка, в которой e(xo) = f(O), то существует единст-
единственное поднятие }, для которого } @) = х0.
Доказательство. Для любого л;^^1 пусть Uх—такая
открытая окрестность х, что е~г (Uх)—дизъюнктное
объединение открытых подмножеств R, каждое из ко-
которых гомеоморфно отображается на Uх при помощи е.
Множество {/~] (Uх)'. x^S1} можно записать в виде
открытого покрытия {{Xj, yj) П /: /€•/} отрезка /. Так
как отрезок / компактен, то найдется конечное под-
подпокрытие вида [0, *!-f e1),(t2 — в2, /2+е2). ¦¦¦ЛК—s«. !]•
где t;-\-S; > ti+1 — si + 1 при t=l, 2, ..., п — 1. Выбе-
Выберем теперь а,-€(*, + ! — егЧ1, /,+в,.) приг= 1, 2, . .., п — 1
так, чтобы 0 = а0 < а1 < а2 < • • • < а =1- Очевидно,

160
ГЛАВА 16
V. J
что f([at, ai+1]) содержится в некотором открытом под-
подмножестве Si окружности S1, таком, что e~l (St) является
дизъюнктным объединением открытых подмножеств R,
каждое из которых гомеоморфно отображается на St
при помощи е.
Определим поднятия }к над [0, ак] по индукции при
6 = 0, 1, . .., п так, чтобы }k@) = x0. При k — О это
тривиально: f0@) = *o> и другого выбора нет. Предпо-
Предположим, что }k\ [0, ak]—>¦ R определено и единственно.
Напомним, что [([ак, aft+,])c=Sft и е":Eй)—дизъюнкт-
е":Eй)—дизъюнктное объединение множеств {Wf: j(:J}, для которых
е\ Wf. Wj —> Sfe—гомеоморфизм при любом / ? У. Далее,
Ik (ак) € ^ Для некоторого однозначно определенного
множества W из {W/. j?J\ (рис. 16.2). Любое про-
продолжение fk+1 должно отображать [ак, ак+1] в W, так
как отрезок [ak, ak+l] линейно связен. Но ограничение
е | W: W —>¦ Sk является гомеоморфизмом, поэтому суще-
существует единственное отображение р: [ak, ak+1\—+W'

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ОКРУЖНОСТИ 161
такое, что ер = /1 [ал, ак+1] (на самом деле р == (е J W)~lf).
Определим теперь fk+i как
Это отображение непрерывно по лемме о склейке, так
как fk (ак) = р (ак), и единственно по построению. По
индукции получаем поднятие f. П
Эта теорема позволяет определить степень замкну-
замкнутого пути в S1. Пусть /—замкнутый путь в S1 в точке 1
и /: / —> R—единственное его поднятие, для которого
f@) = 0. Так как е-1(/A)) = е-1 A) = Z, то /A)—целое
число; назовем его степенью f. Чтобы показать, что
эквивалентные пути имеют одинаковые степени, пока-
покажем сначала, что эквивалентные пути имеют эквива-
эквивалентные поднятия. Для этого заменим в предыдущей
теореме / на /2 и получим следующую лемму.
16.5. Лемма. Всякое непрерывное отображение F: P—+S1
имеет поднятие Р\ /2 —*- R. Более того, если х0 ? R —
точка, в которой e(xo) = F @, 0), то существует един-
единственное поднятие F, для которого F @, 0) — х0.
Доказательство. Рассуждаем точно так же, как при
доказательстве теоремы 16.4. Так как квадрат /2 ком-
компактен, можно выбрать
O = ao<a, < ... <а„-1, 0 = Ь0<61< ... <6т=1
так, чтобы F (Rl/)cSi/, где Rt/ — прямоугольник
a Siy—открытое подмножество S1, для которого
e(S,y)—дизъюнктное объединение открытых подмно-
подмножеств R, каждое из которых гомеоморфно отображается
на Sty при помощи е. Поднятие F определяется индук-
индуктивно над прямоугольниками /?00, R0l ROm, R10,
Rn, ... при помощи процесса, аналогичного исполь-
использованному в доказательстве теоремы 16.4. Детали мы
оставляем читателю. ?

162 ГЛАВА 16
В качестве следствия получаем так называемую
теорему о монодромии для е\ R —> S1, которая утверж-
утверждает, что эквивалентные пути имеют одну и ту же сте-
степень.
16.6. Следствие. Пусть f0 и ft—эквивалентные пути
в S1 в точке 1. Если f0 и /х — их поднятия, для кото-
рых /о@) = М0), то 1A)^A).
Доказательство. Пусть F — гомотопия относительно
{О, 1} между /0 и /х. Она однозначно поднимается до
F: /2^Rg F@, 0) = fo@) = f1(O). Так как F_(t, 0) =
=/0@ и F(t, 1) = /,@. то ^С 0)=/0@ nf(t, 1) =
=7i @- Далее, F(l, t) — путь из /0A) в /,A), по-
поскольку F(l, 0 = /0(l) = /i(l). Но FA, 0ее-иA))^2;
это означает, что F(l, t)—постоянный путь, и потому
/0A) = /,A). Заметим, что на самом деле F—гомото-
F—гомотопия относительно {0, 1} между /0 и Jt. П
Теперь мы в состоянии вычислить фундаментальную
группу окружности.
16.7. Теорема, л (S\ l)sZ.
Доказательство. Определим ср: л (S1, 1) —»¦ Z равен-
равенством ф ([/]) = deg f, где deg/—степень/. Напомним,
что deg/ = /(l), где J—единственное поднятие /, для
которого /@) = 0. Отображение ф определено коррект-
корректно согласно следствию 16.6. Покажем, что ф—изомор-
ф—изоморфизм групп.
Покажем сначала, что ф—гомоморфизм. Пусть
la(f) — поднятие/с началом в точке а?е~г (/@)). Таким
образом, lo(f) — j и la(f)(t) = ] (t) + a для некоторого
пути в S1 о началом в 1. Очевидно, что /а(/*Я)==
= la(f)*lb(g)> гДе Ь = /A) + а. Итак, если [/],
U]6Jt(S\ 1), то
Ф
где Ь = /A). Следовательно, ю—гомоморфизм.

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ОКРУЖНОСТИ 163
Легко показать, что ф сюръективно. Для п ? Z пусть
g: / —»• R определено равенством g(t) = nt\ тогда eg:
I —> S1—замкнутый путь в точке 1. Так как g — под-
поднятие eg, для которого g@) = 0, то <р ([eg-]) = deg (eg) =
— 7A) = «, откуда следует, что ср сюръективно.
Чтобы показать, что ср инъективно, предположим,
что ф ([/]) = 0, т. е. deg/ = O. Это означает, что под-
поднятие / пути / удовлетворяет условию f@) = /(l)=0.
Так как R стягиваемо, то /~ео(ге1{О, I}). Другими
словами, найдется отображение F: /2 —> R, для кото-
которого F @, t) = f(t), F(l, t) = 0 и F(t, O) = F(t, l) = 0.
На самом деле F(s, 0 = 0 — s)f{t). Но eF: /2 -+ S1
удовлетворяет условиям eF@, t) = f(t), eF(l,t)=l,
eF(t, O) = eF(t, 1)=1, поэтому f~ ex(rel {0, 1}), т. е.
Й=1^яEх, 1), что и доказывает инъективность ф.
едовательно, ф—изоморфизм. ?
Этим завершается доказательство основного резуль-
результата настоящей главы. Отсюда немедленно получаем
16.8. Следствие. Фундаментальная группа тора есть
ZxZ.
Завершим эту главу двумя приложениями. Первое
из них известно под названием основной теоремы ал-
алгебры.
16.9. Следствие. Всякий непостоянный комплексный
многочлен имеет корень.
Доказательство. Без потери общности можно счи-
считать, что многочлен имеет вид
при k~^\. Допустим, что р не имеет нулей (или кор-
корней). Определим функцию G: /x[0, oo)-^S1cC фор-
формулой
ПИ Л— Р(гехр2л») \р(г)\
и[1' > | р (г ехр 2ш7) I р(г)
при O^^^l и г^О. Очевидно, G непрерывна. Оп е^

164
делим отображение F: P—+S1 равенствами
G(t, s/(l— s)), 0<*<l, 0
Оно непрерывно, так как
lim F(t,s) = HmG(/,s/(l—s)) = limG(/, r) — (exp 2ш7)*
S->1 S -> 1 r~*-cc
Кроме того, F—гомотопия относительно {0, 1} между
fo(t)-F(t,O) и h(t) = F(t, 1). Но /0@=1 и М0 =
= ехр2щ'?/, так что deg/o = O, тогда как deg/j = &,
что приводит к противоречию при k^\. ?
Второе приложение известно под названием тео-
теоремы Брауэра о неподвижной точке на плоскости.
Напомним, что в гл. 10 мы доказали теорему о не-
неподвижной точке для отрезка /. Следующий резуль-
результат—аналогичная теорема для D2. Результат справед-
справедлив и в высших размерностях, однако для доказательства
требуются уже другие средства.
16.10. Следствие. Всякое непрерывное отображение f:
D2—> D2 имеет неподвижную точку, т. е. такую точ-
точку х, в которой f(x) — x.
Доказательство. Предположим противное, ^/()
для всех х ? D2. Тогда можно определить отображе-
отображение ср: D2 —> S1, полагая ср (х) равным точке пересече-
пересечения луча, проведенного из f(x) в х, с окружностью S1
Рис. 16.3
(рис 16.3). Непрерывность ср очевидна. Пусть /:
S1—* D%—включение; тогда <рг'г=1 и мы имеем комму-
коммутативную диаграмму

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ОКРУЖНОСТИ
165
Из нее следует коммутативность диаграммы
I
7Г(Х>М)
Но n(D2, l) = 0, так как диск D2 стягиваем, и мы по-
получаем коммутативную диаграмму
-V*
которая невозможна. ?
16.11, Упражнения, (а) Для 1/]^яE1, 1) пусть у—контур {/ (t):
. Положим а (/)яя— I — . Докажите, что (i) w (/)—це-
v
лое число, (и) w(f) не зависит от выбора /?[/], (iii) w(J) = degf.
(b) Пусть /: Sl—» Sl—отображение, определенное формулой
/(г)=г* при некотором целом*. Опишите /,: n(S^, 1) —> я (S1, 1)
в терминах изоморфизма n(Sl, 1) sZ.
(c) Пусть а, Р —следующие замкнутые пути в S^XS1: <x(t) =
= (ехр 2ж7, 1), P(/) = (l, exp 2nit). Покажите при помощи диа-
диаграмм, чго oi*p ~ Р*а.
(d) Вычислите n(Slx5lX...X5\ A, 1 1)).
а
(e) Используя упр. 15.16 (с), выведите, что тор не гомеомор-
фен сфере S2.
(f) Докажите, что множество точек z??>3, для которых
D24^?} односвязно, есть в точности S1. Выведите отсюда, что
если/: D2—» D2 — гомеоморфизм, to/(S1) = S1.
(g) Найдите фундаментальные группы следующих пространств:
(i) C* = O\{0}; (ii) C*/0, где О — группа гомеоморфизмов вида
{ф«: ngz} при ф(г) = 2г; (iii) О*/Я, где tf = {ip": ngz} при
тр(г)=2г; (iv) С*/{е,а], где е — тождественный гомеоморфизм и

Глава 17
НАКРЫВАЮЩИЕ ПРОСТРАНСТВА
В этой и нескольких следующих главах мы изучим
обобщения результатов и понятий гл. 16.
Пусть р: X —> X — непрерывное отображение. Будем
говорить, что открытое подмножество U с X правильно
накрыто отображением р, если р~г (U)—дизъюнктное
объединение открытых подмножеств X, каждое из кото-
которых гомеоморфно отображается на 0 при помощи р.
Непрерывное отображение р: X —> X называется на-
накрывающим отображением, если любая точка х?Х
имеет открытую окрестность, правильно накрытую
отображением р. В этом случае мы говорим, что р:
X—>Х—накрытие, X—накрывающее пространство
для X и X—база накрытия р: Х—*Х.
Другими словами, р: X ¦—> X является накрытием,
если
(i) p сюръективно и
(п) для любого х ? X найдется открытая окрестность
U точки х, такая, что р~гA1)= U U, для некоторого
семейства {И/. / ? J) подмножеств X, удовлетворяющих
условиям U j¦[) 0k= 0 при \фк и p\U/. Uj—*¦ U —
гомеоморфизм для всех j?J.
Из гл. 16 мы знаем, что е\ R—> S1—накрытие. Оче-
Очевидно, что всякий гомеоморфизм h: X —> X является
накрывающим отображением. Другой тривиальный при-
пример накрытия р: X —» X получится, если положить X
равным ХхY, где У—дискретное пространство, и взять
в качестве р каноническую проекцию. Интересным
примером является накрытие рп: S1 -—S1, где pn(z)=zn
{ф§ окружность S1 считаем вложенной в С). Чтобы

НАКРЫВАЮЩИЕ ПРОСТРАНСТВА 167
убедиться, что это на самом деле накрывающее ото-
отображение, достаточно заметить, что для любого х ? Sx
множество S1\{x} правильно накрыто отображением рп.
К накрытиям приводят также некоторые G-прост-
ранства. Пусть X есть G-пространство. Будем гово-
говорить, что действие G на X собственно разрывно, если
для любой точки х ? X найдется ее открытая окрест-
окрестность V, такая, что g-V (~\g'-V = 0 при всех g, g' ?G,
g?=g'. Заметим, что если действие собственно разрыв-
разрывно, то g-хфх при всех g?G, g?=l, и всех х?Х,
так как из x?V следует g-x?g-V. Прежде чем рас-
рассмотреть примеры, мы докажем теорему, которая объяснит
причину введения собственно разрывных действий.
17.1. Теорема. Пусть X есть G-пространство. Если
действие G на X собственно разрывно, то р: X —*XjG—
накрытие.
Доказательство. Заметим сначала, что р: X---+X/G—
непрерывное сюръективное отображение. По теореме 5.12
отображение р открыто. Пусть U — открытая окрест-
окрестность точки х?Х, удовлетворяющая условию собствен-
собственной разрывности. Так как р—открытое отображение,
то p(U)—открытая окрестность точки Gx = p(x) и
р'1 {р@))=: U g-U (см. доказательство теоремы 5.12),
причем \g-U: g?G\ — непересекающиеся открытые под-
подмножества X. Далее, p\g-U: g-U --> р (U) — непрерывное
открытое биективное отображение и, следовательно,
гомеоморфизм. ?
Действие группы Z на R вида х^-^>х-\-п собственно
разрывно, так как если х ?К и в< 1/2, то (х — г,
х+е)—открытая окрестность х, удовлетворяющая
нужному условию. Так как это действие Z на R пре-
превращает R в Z-пространство, мы видим, что р: R—* (R/Z —
накрывающее отображение (читатель должен проверить,
что этот пример совпадает с е: R—+S1).
Следующий пример показывает, что естественное
отображение S" —> RPn является накрытием. Рассмот-
Рассмотрим Z2-npocTpaHCTBO S", где Z2 действует по формуле
± \-х=±х. При x?Sn множество y?Sn: \\у—х\\<1/2\

168 ГЛАВА 17
является открытой окрестностью х, удовлетворяющей
условию из определения собственной разрывности.
Иначе, так как хф—х и 5" — хаусдорфово простран-
пространство, найдутся непересекающиеся открытые окрестности
V и W соответственно точек х и —х. Окрестность
V(](—W) точки х удовлетворяет условию собственной
разрывности. Этот пример допускает обобщение. Напом-
Напомним, что группа G действует на X свободно, если
g-хфх для всех х?Х и g?G, цф 1.
17.2. Теорема. Если G — конечная группа, свободно дейст-
действующая на хаусдорфовом пространстве X, то действие
G на X собственно разрывно.
Доказательство. Пусть G = {l—g0, glt g2, ...,gn\.
Так как X хаусдорфово, найдутся открытые окрест-
окрестности Uo, Ult ..., Un точек go-x, gt-x, ..., gn-x
соответственно, для которых Ua[)Uj = 0 при /=1,2,
П
..., п. Пусть U—пересечение Ugj^-U,, которое, оче-
/=0
видно, является открытой окрестностью х. Имеем
grU=u gi ¦ (g,-1*/,) с i/, и g, • i/ П gj -V^gj {{gj'gt ¦ U) П
/=0
П U) = gj-{gkU Г\ U) — 0 при некотором k, так как
gk-UcUk и U(z(J0. Поэтому действие G на X собст-
собственно разрывно. ?
Хороший пример свободного действия дает действие
циклической группы Zp на 3-мерной сфере S3cC2, S3=
= {(z0, zJGC2: |го|2 + |гг |2= 1}. Для <7, взаимно прос-
простого с р, определим h\ Ss—> S3 формулой
h (z0, zx) = (exp Bni/p) z0, exp Bлt?//?) zx).
Тогда /i—гомеоморфизм 53, причем hP=\. Определим
действие Zp на S3, полагая
Это действие свободно и S3 хаусдорфово, поэтому
S3^S3/Zp—накрытие. Пространство орбит S3/Zp назы-
называется линзовьш пространством и обозначается L (p, q).
Заметим, что 1B, 1)—это RP'K Имеется очевидное

НАКРЫВАЮЩИЕ ПРОСТРАНСТВА 169
обобщение этого примера—действие 7,р на S2n+1c:Cn+1;
детали мы оставляем читателю.
Пора приступить к доказательству некоторых общих
результатов о накрытиях. Заметим, что в примерах,
связанных с действием групп, накрывающее отображе-
отображение открыто, а база имеет фактортопологию относи-
относительно накрывающего отображения. На самом деле это
верно для всех накрытий.
17.3. Теорема. Пусть pi X—>-Х—накрывающее ото-
отображение. Тогда
(i) p —открытое отображение;
(и) X имеет фактортопологию относительно р.
Доказательство. Пусть U—открытое подмножество X
и x?p(U). Так как р—накрывающее отображение, то
имеется правильно накрытая открытая окрестность V точ-
точки х. Пусть x?p~1(x)[\U. Так как л: ? р (V) = и V,,
то найдется открытое множество Vj в X, содержащее х.
Так как V,[\U открыто в Vj и p\V,—гомеоморфизм Уу
на V, то р (Vj Л U) открыто в V. Но V открыто в X,
поэтому р (Vj П U) открыто в X. Так как х ? р (Vj Л U) с
czp(U), то p(U) открыто и потому р — открытое ото-
отображение.
Вторая часть теоремы следует из того, что р — не-
непрерывное открытое отображение, и потому подмно-
подмножество V пространства X тогда и только тогда открыто,
когда р~г (V) открыто. ?
Многие результаты, полученные в предыдущей главе
для накрытия е: R—«-S1, обобщаются на другие на-
накрытия. Если pi X—fX — накрытие и /: Y —> X—не-
X—непрерывное отображение, то поднятием f называется
непрерывное отображение /: Y —* X, для которого pf=f.
Следующий результат показывает, что если поднятие
существует, то оно (в существенном) единственно.
17.4. Лемма. Пусть р: X —+ X—накрытие и }, /•
Y —>¦ X—два поднятия отображения fi Y —»Х. Если У

170 ГЛАВА 17
связно и ](Уо) = 1(уо) для некоторой точки yo?Y, то
Доказательство. Определим У- как множество {у € У>
f(y) — f (у)}. Оно не пусто, поскольку у0 ? У. Покажем,
что У' открыто и замкнуто. Пусть у?У; тогда най-
найдется открытая окрестность V точки f(y), правильно
накрытая отображением р, т. е. р'1 (V)—дизъюнктное
объединение множеств {V j\ j?J} и p\Vj\ Vj—>V—го-
Vj—>V—гомеоморфизм для любого/ ?J. Если y?Y', то f (y)=f(y)(z
?Vk при некотором k ? J и f (Vk) flf (Vk)—открытая
окрестность точки у, лежащая в Y'. Чтобы убедиться
в этом, возьмем х g/ (Vk) Г)/^); тогда f(x) ? Vk и
f(x)?Vk, а также pf(x) = pf(x). Так как p\Vk — гомео-
гомеоморфизм, то ](x)=f(x). Значит, каждая точка из Y'
имеет открытую окрестность, лежащую в У, и потому
У открыто. С другой стороны, если y^Y', то }(y)?Vk
и f (у) $ Vi при некоторых k, I, кф I. Следовательно,
f~1(^/ft) Г)/ (Уi)—открытая окрестность у, лежащая в
дополнении к Y' (доказывается, как и прежде). Итак,
Y' замкнуто. Поскольку У связно, то Y = Y' и /=/. ?
Отсюда вытекает забавное следствие.
17.5. Следствие. Предположим, что X линейно связно
и ц>: X—>Х — непрерывное отображение, для которого
рц> = р. Если ф (Xi) = хЛ для некоторой точки х^ ^ X, то
ц>(х) = х для всех х?Х (т.е. ф—тождественное ото-
отображение).
Доказательство. Пусть х — любая точка из X и а:
I—>Х — путь из хЛ в х. Так как Ф(х1) = х1, то пути
а и фа начинаются в точке хх. Далее, ра = р(ра, так
что а и фа—поднятия пути pa: I—*Х. По последней
лемме а==фа; в частности, концы путей а и фа со-
совпадают, т. е. (р(х) = х. ?

НАКРЫВАЮЩИЕ ПРОСТРАНСТВА 171
Следующий результат, известный как теорема о
накрывающей гомотопии для путей, доказывается так
же, как теорема 16.4 и лемма 16.5.
17.6. Теорема. Пусть pi X—>Х—накрытие.
(i) Для пути f\ 1—+X и точки а ? X, такой, что
р (а) = / @), найдется единственный путь f\ I —> X,
для которого ff — f и /@) = а.
(и) Для непрерывного отображения F\ /х/—> X и
точки а ?Х, такой, что p(a) — F @, 0), найдется-един-
ственное непрерывное отображение Fi /х/—*Х, для
которого pf—F и F @, 0) = а.
Как следствие получаем теорему о монодролши,
доказательство которой совпадает с доказательством
следствия 16.6.
17.7. Следствие. Пусть /0 и fi—эквивалентные пути
в X. Если Jo@) = h@), то /„A) = ]\ A).
Продолжая обобщение результатов гл. 16, получаем
следующий результат.
17.8. Теорема. Пусть р) X—>¦ X —накрытие с одно-
связным пространством X. Тогда существует взаимно
однозначное соответствие между множествами п(Х, р(а))
и р-х{р{а)), где а?Х1).
Доказательство в основном содержится в доказа-
доказательстве теоремы 16.7. Приведем его существенные
моменты. Сначала определяем ф> л (X, р (а)) —¦ р~\р(а))
равенством ф([/]) = /A), где } — поднятие f, для кото-
которого /@) = а. Отображение ц> определено корректно
согласно оледствию 17.7.
Далее определяем \|л р~1(р(а)) —^ л(Х, р(а)). Чтобы
сделать это, выбираем х ? р~1(р(а)) и некоторый путь/
из а в х. Так как X односвязно, любые два таких пути
*) См. также упр. Ю.4 |,с). — Прим. ред.

j72 ГЛАВА 17
эквивалентны, поэтому [pi] — корректно определенный
элемент п(Х, р(а)). Положим y(x) = [pf]. Легко про-
проверить, что ф\|)= 1 и \|)ф= 1, так что ф и ф—биекции. ?
Смысл этого результата в том, что для вычисления
п(Х,х0) нужно найти накрытие р\ X—>Х с односвяз-
ным накрывающим пространством X, а затем найти
групповую структуру на р~1(х0) так, чтобы биекция ф:
п(Х,х0)—>р~1(х0) стала изоморфизмом групп. Этим
мы, в сущности, и занимались в гл. 16. Вообще говоря,
сделать это не просто. Некоторые частные случаи
появятся в последующих главах (см. также гл. 21).
17.9. Упражнения, (а) Пусть р: X—>¦ X — накрывающее отобра-
отображение, Хо—подмножество X и Х0 — р~1(Х0). Докажите, что рд:
Хо—>• Хо, определенное равенством р0 (х) =р (х), является накры-
накрывающим отображением.
(b) Пусть Х = {(х, у) ? R2: х или у целое} и Х = {(?и г2) ?
? S1xS1: гх = 1 или г2=1}. Пусть р: X—>Х определено равен-
равенством р (х, у) = (ехр 2nix, exp'2niy). Покажите, что р: X—>¦ X —
накрывающее отображение.
(c) Какие из следующих отображений являются накрываю-
накрывающими: (i) р: С*—.С*, заданное как р(г) = гп при фиксированном
целом п\ (ii) sin: С —> С; (iii) p: U —> С*, заданное формулой
р(г) = A—г)т г", где т, п—фиксированные целые числа и
(У С*{1}?
(d) Пусть р: X—>¦ X и q: Y—>¦ У — накрывающие отображе-
отображения, (i) Докажите, что pXq: XxY—> XxY — накрывающее ото-
отображение, (ii) Докажите, что если Х~У и W = {(х, у) ?
? XxY: P{x) = q(y)}, то отображение /: W—>• X, определенное
равенством f (х, у) = р{х), является накрывающим, (iii) Что такое
W и / в случае, когда оба отображения р: X—>• X и q: Y—>К
совпадают с е: R—*-5], где е(/) = ехр 2nif?
(e) Пусть а: С—> С и Ь: С—* С — гомеоморфизмы комплекс-
комплексной плоскости С, определенные формулами az = z-\-i, Ьг =
=z-f-l/2+'- Покажите, что Ьа = а~1Ь, и выведите отсюда, что
G = {ambn: т ? %, п ? %}
является группой гомеоморфизмов С. Далее докажите, что дейст-
действие G собственно разрывно и что пространство орбит C/G хаус-
дорфово.
(f) (продолжение (е)). Найдите полуоткрытый прямоугольник,

НАКРЫВАЮЩИЕ ПРОСТРАНСТВА 173
содержащий ровно одну точку из каждой орбиты действия G, по-
показав тем самым, что 0/G—бутылка Клейна.
(g) (продолжение (f)). Вложение бутылки Клейна в R4. Пусть
<р: С—> R5 определено формулой ср (х-\-<у) = (cos 2лу, cos Ых,
sin 4пх, sin 2nycos 2nx, sin Unxs'xn 2лу). Покажите, что ф перево-
переводит каждую орбиту группы G в одну точку, и выведите отсюда,
что C/G гомеоморфно образу ср.
Покажите, что ограничение отображения т|х R? —» R4, где
if (р, q, r, s, t) = ((p-\-2) q, (p + 2)r, s, f), на образ ср является
гомеоморфизмом.
(h) Пусть р: X—»¦ X — накрытие с линейно связным X. До-
Докажите, что мощность множества р-1 (х) не зависит от х ? X х).
Если она конечна и равна п, то говорят, что р: X —»¦ X есть
п-листное накрытие.
(i) Найдите двулистное накрытие р: S^S1-—> К, где /(— бу-
бутылка Клейна.
(j) Подмножество 2 некоторого пространства называется про-
простой замкнутой кривой, если оно гомеоморфно 51. Пусть
р: S2—> RP2— каноническая проекция сферы на проективную
плоскость. Докажите, что если 2— простая замкнутая кривая в
RP2, то р-хB)—либо простая замкнутая кривая в S2, либо
объединение двух непересекающихся простых замкнутых кривых.
(Указание: рассмотрите 2 как образ некоторого замкнутого пути
в RP2.)
(к) Вычислите n(S1xS1, A, 1)) прямо из результатов этой
главы. (Указание: используя часть (i) упр. (d), найдите накры-
накрывающее отображение RxR—>51XS1, а затем воспользуйтесь
теоремой 17.8.)
(I) Предполагая известной односвязность 5" при п ;& 2 (упр.
15.16 (с)), покажите, что фундаментальная группа RP" при
п^ 2—циклическая порядка 2. Далее покажите, что если р —
простое число, то фундаментальная группа линзового пространства
L(p, q) циклическая порядка р.
(т) Существует ли топологическое пространство Y, для кото-
которого 5ХХК гомеоморфно RP2 или S2?
(п) Пусть р: X—> Y — накрытие и X, Y—хаусдорфовы про-
пространства. Докажите, что X тогда и только тогда является
я-мерным многообразием, когда Y есть n-мерное многообразие.
(о) Пусть р: X —* X — накрытие и Y — некоторое простран-
пространство. Предположим, что /: Y—<¦ X имеет поднятие /: Y—>¦ X. До-
Докажите, что любую гомотопию F: Кх/—*Х, для которой
F (у, Q)=f(y), у ? Y, можно поднять до гомотопии F: YXI—> X
с F(y, 0)=/(y), y?Y.
(р) Пусть р: X—>Х — накрытие и /, g: Y—>Х — два непре-
непрерывных отображения, для которых pf = pg. Докажите, что мно-
множество точек в У, в которых fug совпадают, открыто и замк-
замкнуто
1) Ср. с упр. 18.4 (с).—Прим. ред.

174 ГЛАВА 17
(q) Пусть р: X—> X — накрытие с локально линейно связным
X (см. упр. 12.10 (j)). Докажите, что X также локально линейно
связно.
(г) Скольжением накрытия р: X—>¦ X называется гомеомор-
гомеоморфизм h: X—* X, для которого ph — p. Докажите, что множество
всех скольжений образует группу.
(s) Пусть р: X —> X — накрытие, для которого X связно и
локально линейно связно. Докажите, что действие группы сколь-
скольжений накрытия р: X—> X на X собственно разрывно1).
1) См. теорему 21.8.— Прим. ред.

Глава 18
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
НАКРЫВАЮЩЕГО ПРОСТРАНСТВА
Эта глава посвящена группе я(Х, х0) и ее связи с
п(Х,х0), где р: X —> X— накрытие и р(хо) — хп. Боль-
Большинство результатов содержится в упражнениях.
Первый результат следует непосредственно из тео-
теоремы 17.6.
18.1. Теорема. Если р: X—* X—накрытие с такими
хо?Х, хо?Х, что р(хо) = хо, то индуцированный го-
гомоморфизм /v л(Х, хо)—>-п(Х, х0) является моно-
мономорфизмом.
Естественно поставить вопрос, что изменится, если
изменить точки х0 и х0. Ответ дает следующая
18.2, Теорема. Пусть р: X—>¦ X—накрытие с линейно
вязным X. Если х0, х, ?Х, то в X найдется путь f
из р (х0) в р(Хт), такой, что игр„п(Х, х0) — р*я(Х, xj.
Доказательство. Пусть g—путь в X из х0 в х,.
Путь g определяет изоморфизм ug групп п (X, х0) и
л(Х, хг), так что ugn(X, xo) = n(X, хг). Применение
гомоморфизма р* дает p^u^iQi, xo) = р*я(Х, хг). Но
p*ug=upgp* (см. упр. 15.11 (с)), так что путь f — pg
удовлетворяет нужным условиям. П
Если в этой теореме р(л;0) = р(х1) = х0) то путь f
определяет элемент [/] группы я(Х, х0) и, таким обра-
образом,
р.п(Х, х1) = [/]-1(Р*я(Х, xo))[f].
Другими словами, подгруппы рФл(Х, х0) и р#л(Х, хх)
сопряжены в л(Х, х0). На самом деле можно утверж-
утверждать больше:

176 ГЛАВА 18
18.3. Теорема. Пусть р: X.—* X— накрытие с линейно
связным X. При хо$Х множество {р»л(Х, хи):
%о ? Р'1 (хо)\ есть класс сопряженности в л(Х, х0).
Доказательство. Мы уже показали, что любые две
подгруппы из этого множества сопряжены. Предполо-
Предположим теперь, что Я — подгруппа л (X, х0), сопряженная
одной из подгрупп р,п(Х, х0). Таким образом, Н —
— а~1 (р,п(Х, хо))а при некотором ?л(Х, х0). Пусть
a — [f] и f—поднятие f с началом в х0. Тогда р*л (X,
f (\)) = и^р^л(Х, хо) = Н, так что Н принадлежит наше-
нашему множеству. ?
Другие соотношения между п(Х, х0) и л(Х, х0)
даются в качестве упражнений.
18.4. Упражнения. В этих упражнениях р: X—* X — накрытие
с линейно связным Я и х0 ? X.
(a) Для х ? р~х (х0) и [/] ^ я.(Х, х0) определим x-[f] равен-
равенством x-[f] =7A), где /—единственное поднятие / с началом в х.
Докажите, что этим определено правое действие группы
л (X, х0) на множестве р-д (д;0). (Указание: посмотрите доказа-
доказательство теоремы 16.7 и используйте обозначение la (f) для под-
поднятия / с началом в а.)
(b) Говорят, что группа G действует транзитивно на мно-
множестве S, если для любых a, b ? 5 найдется такой элемент
§ Р О, что g-a = b. Другими словами, S = G-a, орбите точки
а ^ 5. Докажите, что п(Х, х0) действует транзитивно на р~1(х0).
(c) Докажите, что существует эквивариантная относительно
группы л(Х, х0) биекция между р'1 (х0) и множеством правых
смежных классов группы л (Л, х0) по подгруппе р4л (X, ха).
(Указание: воспользуйтесь упр. 5.9 (d) с заменой левых смежных
классов на правые и покажите, что стабилизатор действия я. (X, х0)
на р-1 (х0) есть рфп (X, х0).)
(d) Выведите из (с), что если X односвязно, то существует
эквивариантная относительно действия п (X, ха) биекция между
р~1 (х0) и л(Х, х0).
(e) Покажите, что если р: X —»¦ X есть n-листное накрытие
(т. е. р'1 (х0) состоит из п точек), то р4л (X, х0) —<¦ я (X, х0)
является включением подгруппы индекса п.
(f) Допустим, что фундаментальная группа пространства X
есть % и множество р (х„) конечно. Найдите фундаментальную
группу пространства X.
(g) Докажите, что если X односвязно, то р—гомеоморфизм.

ФУНДАМЕНТ. ГРУППА НАКРЫВАЮЩ. ПРОСТРАНСТВА 177
(h) Пусть Х = Х. Докажите, что если фундаментальная
группа X конечна, то р— гомеоморфизм. Обязательно ли р будет
гомеоморфизмом, если фундаментальная группа X бесконечна?
(i) Накрытие называется регулярным, если для некоторой
точки х0 ? X подгруппа /?„я (X, ха) нормальна в п (X, х0). Дока-
Докажите, что если / — замкнутый путь в X и накрытие регулярно, то
либо всякое поднятие / замкнуто, либо никакое поднятие не
замкнуто.
(j) Предположим, что р: X—>¦ X — накрытие, полученное из
собственно разрывного действия G на X (т. е. X = X/G). Дока-
Докажите, что р: X —> X регулярно 1).
(к) Докажите, что р тогда и только тогда являе]ся гомео-
гомеоморфизмом, когда р*л(Х, хо) = л(Х, х0J).
х) См. теорему 19.1 и лемму 19.2. При естественных дополни-
дополнительных ограничениях справедливо также обратное утверждение,
м. предложения 21.8—21.10.— Прим. ред.
2) См. упр. (с) выше.— Прим. ред.

Глава 19
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
ПРОСТРАНСТВА ОРБИТ
В этой главе мы будем предполагать, что X—ли-
X—линейно связное пространство, на котором определено
собственно разрывное действие группы G. Таким обра-
зо?.!, р: X—+X/G—накрытие. Цель этой главы—найти
соотношение между G и фундаментальной группой про-
пространства орбит X/G.
Пусть х0 ? X и Уо~Р(хо) ? X/G. Заметим, что
P~1(yo) = {g-xo-- g?G]. Если [f]?n(X/G, у0), то су-
существует единственное поднятие } пути / с началом в
точке х0 ? X. Элемент f A) бр (у0), и потому сущест-
существует единственный элемент gf?G, такой, что /A)=
—g/-x0. Следовательно, соответствие f*-*gf определяет
отображение ф: n(X/G, yo)—*G.
19.1. Теорема. Отображение ц>: n(X/G, yo)—*G явля-
является гомоморфизмом групп.
Доказательство. Рассмотрим два замкнутых пути /,
f' в X/G в точке у0. Если /*/'—единственное поднятие
/*/' с началом в хи?Х, то /*/'—f*la{f), где f—един-
f—единственное поднятие f с началом в х0, a la(f)—единст-
la(f)—единственное поднятие/'с началом в точке a = f(l). Это сле-
следует из того, что /~*/а(/')—также поднятие /*/' с на-
началом в точке хн ? X. Пусть /'—единственное подня-
поднятие /' с началом в х0. Так как gf-f'—поднятие /' с
началом в ,сух0 и a = J(l) = grx0, то la {f') = gf~f. Сле-
Следовательно,

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ПРОСТРАНСТВА ОРБИТ 179
Отсюда следует, что ср ([/][/']) = ц> ([/]) ф ([/'J) и ф — го-
гомоморфизм. ?
Вычислим ядро гомоморфизма ф.
19.2. Лемма. Ядро гомоморфизма ф: n(X/G, у0)—> G
совпадает с подгруппой р*п(Х, х0).
Доказательство. Ядро ф—это множество таких
элементов [/] ? л (X/G, у0), что ф [/] = 1. Это в точности
те элементы из n(X/G, у0), для которых/A)==х0, т. е.
f—замкнутый путь в X в точке х, ? X. Таким обра-
образом, это множество элементов [f]?n(X/G, yQ) вида
[pf] при [f]?n(X, хй), т. е. р«л(Х, х0). П
В частности, р^.п(Х, хи)— нормальная подгруппа в
n(X/G, y0), и потому определена факторгруппа
n(X/G, г/0)//?*я(Х, х0).
19.3. Теорема. Группы n(X/G, уо)/р*л(Х, х0) и G изо-
изоморфны.
Доказательство. Нам нужно только показать, что
гомоморфизм ф: n(X/G, у0) —* G сюръективен. Для
ggG обозначим через fg путь в X из х0 в g-x0. Тем
самым определен элемент [pfg]?n(X/G, уй). По опре-
определению, <v([pfg])-xo~pfg(l), где pig—единственное
поднятие pfg с началом в ха. Но таким поднятием явля-
является fg и fg(l) = gx0. Таким образом, ф ([/?/J) = g, что
и доказывает сюръективность ф. ?
19.4. Следствие. Если X односвязно, то л (X/G, y0) ^ G.
Из этого следствия можно вновь получить резуль-
результат гл. 16 о том, что фундаментальная группа окруж-
окружности есть Z. Это следует из того, что окружность S1
гомеоморфна R/Z. Тем же способом можно вывести,
что фундаментальная группа пространства (S1)" ^ R"/Z"
изоморфна 2". Другие примеры, часто основанные на
приведенных ранее упражнениях, содержатся в сле-
следующей подборке упражнений.

180_ ГЛДВД 19
19.5. Упражнения, (а) Покажите, чю фундаментальная группа
линзового пространства L (p, q) изоморфна Ър. (В силу упр. 15.16
(с) сфера S3 односвязна.)
(b) Покажите, что для любой конечно порожденной абелевой
группы G существует пространство Xq, фундаментальная группа
которого равна G. (Учтите тот факт, что G есть произведение не-
некоторого числа экземпляров % и нескольких конечных цикли-
циклических групп.)
(c) Пусть У = С*/К, где С* = С\{0} и К— группа гомеоморфиз-
гомеоморфизмов вида {($": п?%} с ф (г) = 4г. Докажите, используя следствие
19.4, что фундаментальная группа К есть ZXZ- (Указание. Най-
Найдите односвязное пространство X, группу G и в ней нормальную
подгруппу Н так, чтобы X было G-пространством, Х/йеС* и
G/H = K. Далее воспользуйтесь упр. 5.13 (с).)
(d) Докажите, что формула 7*г = г+1+< определяет гомео-
гомеоморфизм Т: X -» X, где X = Rx[0, l]c:C. Покажите, что если
G — группа гомеоморфизмов, порожденная отображением 7*, то
X/G — лист Мёбиуса. Выведите отсюда, что фундаментальная груп-
группа листа Мёбиуса есть %.
(e) Докажите, что фундаментальная группа бутылки Клейна
имеет вид G = {ambn: m, n?%, ba = a~l b], т. е. G — группа с дву-
двумя образующими a, b и одним соотношением ba = a~lb.
(f) Пусть G собственно разрывно действует на X. Напомним,
что, согласно упр. 18.4 (а), группа п (X /G, у„) действует на p~l (yQ)
(справа). Докажите, что ig-x)-[f\—g-(x-{f]) при g?G, x^p'1 (t/0)
и [f]?n(X/G, y0).
(g) Пусть G и Н — группы, действующие на множестве S, при-
причем G действует слева, а Н — справа. Предположим, что (g-x) ¦
¦ h=g-(x-h) для всех g?G, x?S, h?H. Докажите, что если G
действует на 5 свободно и транзитивно, то можно определить го-
гомоморфизм ц>: Н ~+ G так, чтобы его ядро совпадало со стабили-
стабилизатором точки *(,€•$ ПРИ действии И, где 5 = {g%: i?€G}. (Ука-
(Указание: определите (f (ft) при h?H как единственный элементg^G,
для которого g-xo = xo-h.)
(h) При помощи (f) и (g) дайте новое доказательство теоремы
19.1 и леммы 19.2.
A) При помощи (h) и упр. 18.4 (с) дайте новое доказательство
теоремы 19.3.

Глава 20
ТЕОРЕМА БОРСУКА — УЛАМА
И ТЕОРЕМА О СЭНДВИЧЕ С ВЕТЧИНОЙ
Дадим несколько приложений результатов преды-
предыдущих глав. Они обобщают результаты гл. 10 и опи-
опираются на теорему Борсука — Улама (сформулирован-
(сформулированную С. Уламом и доказанную К. Борсуком в начале
30-х годов).
20.1. Теорема. Не существует непрерывного отображе-
отображения ср: S2 —* S1, при котором ср (—х) = — ср (х).
Эта теорема обобщает результат о том, что не су-
существует непрерывного отображения ср: S1 —> S0, при
котором ср (—х) = — у(х) (такое отображение должно
было бы быть сюръективным, но окружность S1 связ-
связна, a S0 — нет). На самом деле справедлив более об-
общий результат: при «> 1 не существует непрерывного
отображения ср: S" —>- S", при котором ср (—х) =—ср (х).
При п > 2 доказательство выходит за рамки этой кни-
книги, так как оно должно использовать другие средства,
например высшие гомотопические группы.
Для доказательства теоремы 20.1 предположим, что
существует непрерывное отображение ip: S2 —+ S1, при
котором ср(—х) ——ф(*). Группа Z2 = {±1} антипо-
дально действует на S2 и на S1 (т. е. ± 1 • х — ±х), и в обоих
случаях действие собственно разрывно. Если p2:S2—>-
—>- Si/Zi и рх: S1 -^ SVZ2—канонические проекции, то
ср индуцирует непрерывное отображение \р: S2/Z2 —>¦
—¦ SVZj, для которого р1ф = 1рр2> а именно гр({±^}) =
= {±Ф(а')} (см. доказательство теоремы 5.5). Пусть
с = A, 0, 0)gS2, где, как обычно,
S* = {(x, у, г)еКа: х2 + / + 22=1}.

182
ГЛАВА 20
Пусть b = p2 (a) ? S'llZ%. Бслп / — путь в S2 из аи —а,
заданный формулой /(/)==(cosл/, зтл/, 0), 0</<1,
то p2f—-замкнутый путь в S2/Z2 в точке Ь. Мы утвер-
утверждаем, что элемент [pj] ? л (S2/Z2, 6) удовлетворяет
условию [р2/]2 = [«&]• Имеем
[>2 (cos 2л/, sin 2л/,0), 0</<1/2,
= {P2 (cos Bt — 1)я, sin B^— 1)я, О),
(
= р2(соз2л/, sin 2л/, 0),
Определим F: I xJ —>¦ Si равенством
F(t, s) = (s + (l— s)cos2n^, A— s)sin
(/s A— s)(l — cos 2л/)).
Мы видим, что ptF\ /x/—*52/Z2 — непрерывное отоб-
отображение, удовлетворяющее условиям
PtF(t, O) = (pj*Ptf){t),
P*F(U 1) = P2A. 0, O) = eb{t),
PtF{0. s) = Pt(\, 0, 0) =
откуда следует, что [p2ff = [sb] € я (S2/Z2, Ь).
Отображение \|): Si/Zi —+ SL/Z2 индуцирует гомомор-
гомоморфизм
S*Z bS4Z
так что [i|W]a = [8ч> 0.J € л EVZ2, ф(&)). Очевидно, что
«SVZaSS'S1 и n(S1/Z2, фF)) = {аи: /г g Z} при некото-
некотором a?n(SVZ2, г|)F)) (на самом деле a = [pig], где
g: / —* S1 определено формулой g(/) = exp лг7 g S1cC).
Из равенства [грр2/]2 = [е1|-,;,)] следует, что [typj] =
— [ЧФ)]> поскольку [г|;/;2/] = а* при некотором й, и
а2*_ао влечет за собой a* = a°.
Замечание. Упр. 15.16 (с) утверждает, что сфера
S2 односвязна (см. также следствие 23.9), поэтому из
предыдущей главы мы выводим, что фундаментальная
группа vS2/Z2 есть Z2. Стало быть, \\\ — гомоморфизм
группы Z2 в Z; но всякий такой гомоморфизм тривиа-
тривиален, поэтому [4W] = |>Vi,] € л EVZ2, \pF)). Предыду-
Предыдущее рассуждение было проведено только затем, что-

ТЕОРЕМА БОРСУКЛ — УЛАМА 183
бы не использовать результаты упражнений и резуль-
результаты, которые будут доказаны позже.
Возвращаясь к доказательству теоремы 20.1, вспом-
вспомним результаты гл. 17 и рассмотрим однозначно оп-
определенные поднятия путей typj и е^(Ь) в S1 с началом
в точке ф(а). Ими являются соответственно <pf и еф {а)
(напомним, что грр2 = Р]Ф)- Hocpf(l) = cp(—а) ——ср(а),
тогда как еф Ш) A) = ф (а), что противоречит равенству
[\|)/>2f] = [еч> (и]- Поэтому отображения ф не существует
(заметим также, что [pJ]?=[eb]^n(SVZ2, b)). ?
20.2. Следствие. Пусть f: Ss —> R2—непрерывное отоб-
отображение, для которого f(—х) =—/ (х) при всех x?Ss.
Тогда существует точка xgS2, в которой f(x) — Q.
Доказательство. Предположим, что [(х)фО при
всех x^Si, и определим g: Ss —* S1 форм)/лой g(x) =
— f (x)'l f Ml- Отображение g непрерывно и g (—x) =
= —g{x), что противоречит теореме 20.1. ?
20.3. Следствие. Пусть f: S2 —* (R2—непрерывное ото-
отображение. Тогда существует точка х ? S2, б которой
f) f)
Доказательство. Если f(x)=?f(—л;) при всех х 6 52,
то можно определить g: S2 —¦* R2 формулой g(x) = f(x)—
— /(—х). Это отображение непрерывно и удовлетво-
удовлетворяет условиям g(—х)=—g(x) и g(^)^=0 для всех
xgS2, что противоречит следствию 20.2. ?
Следствие 20.3 есть обобщение следствия 10.3. Оба
предыдущих следствия остаются справедливыми и при
замене S2 и R2 на S" и R".
Следствие 20.3 утверждает, в частности, что не
существует непрерывного инъективного отображения
S2 в R2. Отсюда непосредственно получается
20.4. Следствие. Никакое подмножество R2 не гомео-
морфно S2.
Как и в гл. 10, мы получаем физическую интер-
интерпретацию этого утверждения.
20.5. Следствие. В любой момент времени на земной

184 ГЛАВА 20
поверхности найдется пара антиподальных точек, в ко-
которых одновременно совпадают температура и давление.
Аналогом первой теоремы о блинах является тео-
теорема о сэндвиче с ветчиной, которая утверждает, что
трехслойный сэндвич можно разрезать точно пополам
одним взмахом ножа. Точнее, имеет место
20.6. Теорема. Пусть А, В и С—ограниченные подмно-
подмножества х) R3. Тогда в R3 найдется плоскость, которая
делит каждое из них точно пополам по объему.
Доказательство. Рассуждения аналогичны доказа-
доказательству теоремы 10.5. Можно считать, что А, В и С
лежат внутри сферы S в R3 диаметра 1 с центром
в точке 0. При x?S обозначим через Dx диаметр S,
проходящий через точку х. При t ? / обозначим через
Pt плоскость, перпендикулярную Dx и проходящую че-
через точку диаметра Dx на расстоянии t от х. Плоскость
Pt делит А на две части Лх и Л2, из которых Ах бли-
ближе к х, чем А2. Определим функции fit /2 равен-
равенствами
/,(/) = объем Ах, /%,@ = объем Л2.
Очевидно, что /t и fs—непрерывные функции, ото-
отображающие отрезок / в R, причем /\ монотонно
не убывает, а /2 монотонно не возрастает. Следова-
Следовательно, функция /: / —> R, определенная как f(t)=ft (t)—
— /2(/), непрерывна и монотонно не убывает. Далее,
/@)=—/A), так что по теореме о промежуточном
значении найдется такое / ? /, что /(/) = 0. Так как /
монотонно не убывает, то она обращается в нуль либо
в одной точке а, либо на отрезке [а, Ь]. В первом
случае обозначим через а(х) точку а, а во втором —
точку (а-)-6)/2. Тогда Раш делит А на две равные
части. Заметим, что отображение a: S —* R непрерывно
и удовлетворяет условию <х(х)=\—а(—х).
Аналогично можно определить непрерывные функ-
функции C, у. S —+ R, для которых Р(х)= 1 —13(—х), у(х) =
*) Как и в теореме 10.5, предполагается, что множества А,
В я С имеют объем. — Прим- перев.

ТЕОРЕМА БОРСУКА — УЛАМА 185
= 1—у(—х) и P(,w, Pyix) делят соответственно В и С
точно пополам. При помощи функций а, |3 и у опре-
определим теперь ср: S —->- R2 равенством
(p(x) = (a(x)—[i(.x), а(х)—у(х)).
Так как а, р, и у непрерывны, то ф непрерывно. Да-
Далее, ф(—х)= —ф(^), так что, согласно следствию 20.2,
найдется точка у ? S, в которой ф(г/) = О. Но это озна-
означает, что а(у) = $(у) = у(у), поэтому плоскость Ра m
делит А, В и С точно пополам.
20.7. Упражнения, (а) Докажите, что при n^s2 не существует
непрерывного отображения ср: S" —»¦ S1, при котором ф (—х)=—ф(д;).
(b) Предположим, что группа %р действует на S3 d С2 и S'cO
следующим образом:
^•(г!, г2) = (ехр Bnik/p) гь exp Bnikq/p) г2),
fe-z = exp Bnik/p) z,
где /s?zР = {0, 1, ..., р—1} и q — целое число, взаимно простое
с р. Докажите, что не существует й^-эквивариантного непрерыв-
непрерывного отображения S3 в S1.
(c) Существует ли в трехмерном пространстве аналог второй
теоремы о блинах?
(d) Пусть X и К —пространства, на которых собственно раз-
разрывно действует группа G. Предположим также, что ф: X —>¦ Y
есть G-эквивариантное непрерывное отображение. Пусть ty: X/G ->
-+ Y/G — отображение, индуцированное отображением ф. Докажите,
что гомоморфизм i|)*: n(X/G, р (хй)) -* я (K/G, qq> (x0)) индуцирует
гомоморфизм
n(X/G, р(хо))/р„п(Х, xa)-*n(YlG, 9ф(дго))/?*л(У,ф(*о)).
который является изоморфизмом, где р: X ¦-*¦ X/G и q: Y-+Y/G —
канонические проекции.
(e) При помощи (d) дайте новое доказательство теоремы Бор-
сука— Улама и результата упр. (Ь) (каждое в одну строчку).

Глава 21
ЕЩЕ О НАКРЫВАЮЩИХ ПРОСТРАНСТВАХ:
ТЕОРЕМЫ О ПОДНЯТИИ
Пусть р\ X —* X — накрытие и /j У —*- X—непрерыв-
X—непрерывное отображение, причем У связно. Напомним, что,
как было показано в гл. 17, если поднятие f отобра-
отображения /: У —> X существует, то оно (в существен-
существенном) единственно. Далее, если поднятие /""существует,
то следующая диаграмма коммутативна:
Гомоморфизм pt является мономорфизмом (теорема 18.1)
и />*/* = /*, так что/«я (У, yo) = pJ,n{Y, уо)ср*п(Х,хо).
Итак, необходимым алгебраическим условием сущест-
существования поднятия / является включение /*л(У, у0) П
ср,я(Х, х0). Оказывается, это условие будет и до-
достаточным, если наложить одно дополнительное усло-
условие на У. Таким образом, чисто топологический воп-
вопрос эквивалентен чисто алгебраическому вопросу. Ус-
Условие на У состоит в том, чтобы оно было связным
и локально линейно связным. Пространство У назы-
называется локально линейно связным, если для любого у 6 У
всякая открытая окрестность точки у содержит линейно
связную окрестность этой точки (см. упр. 12.10 (j)).
вязное и локально линейно связное пространство яв-
является линейно связным. Докажем это.

ЕЩЕ О НАКРЫВАЮЩИХ ПРОСТРАНСТВАХ 187
21.1. Лемма. Если Y связно и локально линейно связно,
то Y линейно связно.
Доказательство. Пусть у—некоторая точка из У и
U—множество точек У, которые можно соединиться/
путем в У. Если ы ? U, то и имеет открытую линейно
связную окрестность V (так как Y—открытая окрест-
окрестность и и У— локально линейно связное пространство).
Если v ?V, то в V найдется путь из а в о, а в У—
путь из у в и, так что в У найдется путь из у в v.
Следовательно, VaU. Этим показано, что U открыто.
Аналогичным образом можно показать, что Y\U от-
открыто, так что U открыто и замкнуто. Так как г/gf/,
это множество не пусто. Но У связно, и потому U
должно совпадать с У, что и доказывает линейную
связность У.
21.2. Теорема. Пусть р: X —* X—накрытие, У—связ-
У—связное и локально линейно связное пространство и уй ? У,
х0 ? X, р (х0) = х0. Для нгпрерывного отображения /:
У —>¦ X с f (у0) == х0 тогда и только тогда существует
поднятие f: У —> X с f(y0) = х0, когда
/\„я(У, у0) d р„п(Х, х0).
Доказательство. Мы уже видели, что это условие
необходимо, остается проверить его достаточность. По-
Поэтому предположим, что f^n(Y, уй)с:р^л(Х> х0), и по-
покажем, что существует поднятие /. Определим / сле-
следующим образом. Пусть y?Y, и пусть ф: / —>У — путь
в У из г/0 в у. Тогда /ф — путь в X из х0 в / (у). По
теореме о накрывающей гомотопии для путей (теоре-
ма 17.6 (i)) существует единственный путь/ф: / —> X,
ля которого /ф@) = л;0 и р/чр = /ф. Определим f (у)
как /фA) (рис. 21.1).
Неожиданным образом / оказывается корректно
определенным и непрерывным. Покажем сначала, что
f корректно определено. Единственный выбор, кото-

188
ГЛАВА 21
рый мы делали,—это выбор пути ср из у0 в у. Пусть
*|з—-другой путь в Y из у0 в у. Произведение ф#гр—
замкнутый путь в К в точке у0. Имеем
Но /*л(У, yo)dp^n (X, х0), и потому найдется замк-
замкнутый путь а в X в точке х0, для которого [/ф*Лр]=
= [ра]. Используя результаты гл. 14, получаем
/тр ~ /ф*еХо ~ /ф* (/ф*/гр) ~ (/Ф^гр) */гр
Путь а замкнут, значит, /хх*/гр = сс*/гр, и по теореме
о монодромии (теорема 17.7)
что и доказывает корректность определения / (у). За-
Заметим, что для определения J нам нужна была только
линейная связность Y.
Чтобы доказать, что f непрерывно, потребуется до-
дополнительное предположение о том, что Y локально
линейно связно. Пусть U—открытое подмножество X.
Пусть г/б/^); тогда U—открытая окрестность f(y).
Пусть W — правильно накрытая окрестность точки
pf{y) = f (у), для которой U'cp(U). По определению

ЕЩЕ О НАКРЫВАЮЩИХ ПРОСТРАНСТВАХ 189
p-l((J')= (J V/, где каждое V, гомеоморфно U', и
f(y) € Vи при некотором k. Так как Vk и U —откры-
—открытые окрестности ](у), то W = Vk f) U — также открытая
окрестность /(i/). Заметим, что /C(IF) — правильно нак-
накрытая окрестность f(y), так как V правильно накрыта
и p(f)c[/'. Отображение / непрерывно, и потому
f~l (р (W))—открытая окрестность точки y?Y. Так как
Y локально линейно связно, то найдется линейно связ-
связная открытая окрестность V точки у, лежащая в
f~1(p(W)). Мы утверждаем, что }(V)<zU. Очевидно,
f(y)?U- Если у'—другая точка из V, то в V найдется
путь ф из у в у', и по определению / мы видим, что
f(y') совпадает с /фA), где/ф—единственное поднятие
fcp с началом в f (у) (если \р — путь из у0 в у, то \|-*<р—
путь из уа в у', и /A|з*ф) A) = /ф A) по теореме о накры-
накрывающей гомотопии для путей). Образ пути /ф лежит в
f(V)czp(W), и потому образ пути /ф лежит в р'1 (p(W)).
Но р~* (p(W))— (J w/, где W! — попарно непересекаю-
щиеся множества, гомеоморфные p(W), и одно из них,
например Wk, совпадает с W. Так как /ф @) =/ (у) g W,
то /фA)=/ («/') € W- Этим доказано, что f (V)cWczU,
и, следовательно, Va~f~l (U). Итак, любая точка из
/-1 (U) имеет открытую окрестность в f'1 (U), так что
f (f/) открыто, и потому J непрерывно. ?
Заметим еще раз, что для определения f мы требо-
требовали от Y только линейной связности. Для непрерыв-
непрерывности / нужно, чтобы Y было локально линейно связ-
связным. Приведем теперь пример, показывающий, что
если У линейно связно, но не локально линейно связ-
связно, то/ не обязательно непрерывно. Пусть Y—сле-
Y—следующее подмножество R2; Y — A\J В[]С, где
А={{х, у): x* + i/=l, y^0\,
В = {(х, у):—1<л:<0, у-0\,
С = {(х, у): 0<л;<1, г/= A/2) sin (я/л;)}

190 ГЛАВА 21
(рис. 21.2). Это пространство называется польской ок-
окружностью.
Очевидно, что У линейно связно. Далее, так как
В \J С не является линейно связным, то Y односвязно
Рис.21.2
и не локально линейно связно. Рассмотрим накрытие
е: R—^S1, и пусть /¦ Y —* S1 — отображение, определен-
определенное формулами
\{x,—VT=x*) при (х, y)?B(jCcY.
Очевидно, что / непрерывно. Полагая уо = (\, 0),
хо — 0, мы видим, что условие f*n(Y, уо)ср*я(Х, х0)
выполнено (здесь р = е, X = R). Можно определить f,
как в доказательстве теоремы 21.2, и получить
|(arccos х)/2п при (х, у)?А\}В,
f(x> y)==\(arccosx)/2n— 1 при (х, у) 6 С.
Очевидно, что pf = f, f(\, 0) = 0, но /разрывно в точ-
точке @, 0N У.
Приведем несколько следствий теоремы 21.2. Первое
из них не нуждается в доказательстве.
21.3. Следствие. Если Y односвязно и локально линейно
связно, то всякое непрерывное отображение f\Y—*-X
поднимается до ]\ Y —>• X .
21.4. Следствие. Пусть р{\ Xf —> X, р2: Х2 —* X—два
накрытия, для которых Xi и Х2 связны и локально
линейно связны. Пусть xlt xz, хй—отмеченные точки

ЕЩЕ О НАКРЫВАЮЩИХ ПРОСТРАНСТВАХ 191
в Xj, Х2, X соответственно, причем р1(х1) = р^(х2) = х0.
Если plit.n(Xit х1) = р2^.л(Х2, х2), то существует сох-
сохраняющий отмеченные точки гомеоморфизм hi Хх —>¦ Х2)
при котором p?h = pv
Доказательство. Накрывающие отображения рг и
р2 поднимаются до отображений рх и р2, таких, что
PzPi — Pi и р^Ръ = ра. Пусть ф = ргрх1 Xt -* Х{, тогда
Pi<P = Pi (P2P1) = (Р1Р2) Pi = Р2Р. = Pi-
Далее, 9(^1) = ^!; поэтому, согласно следствию 17.5,
отображение ср тождественно, т. е. р2р, = 1. Меняя
местами Хх и Хг, убеждаемся, что р1р2=1- Итак,
Pi и Рг — гомеоморфизмы, и наше утверждение полу-
получается взятием h = pv П
В частном случае односвязных пространств Х1 и Х2
получаем
21.5. Следствие. Пусть pt; Xj —*Х, р2: Х2 —> X—два
накрытия с односвязными и локально линейно связными
пространствами X, и Х2. Тогда существует гомеомор-
гомеоморфизм h: Xt —¦¦ Х2, при котором pth = p1.
Из теоремы 15.9 легко следует утверждение, обрат-
обратное следствию 21.4.
21.6. Следствие. Пусть рг\ X,•—* X, рг\ Х2 —» X — на-
накрытия со связными и локально линейно связными про-
пространствами Хх и Х2. Пусть ху, хг, х0—отмеченные
точки, причем pY {хх) = рг (х2) — х0. Если существует
гомеоморфизм h: Xt —* Х2, при котором p2/i = рх и
к{х1) = хг, то р^л{Хи х1) = р2*п{Хг, хг).
Будем говорить, что два накрытия рл: XY —*- X,
р2: Х2 —* X эквивалентны, если существует гомеомор-
гомеоморфизм Л: Хх —*• Х2, при котором pih = p1. Заметим, что
этот гомеоморфизм не обязан переводить отмеченную
точку в отмеченную. Получаем обобщение следствий
21.4 и 21.6:
21.7. Теорема. Пусть рх\ Х1—»-Х, рг\ Х2 —>¦ X—накры-
X—накрытия со связными и локально линейно связными Хх и Х2.

192 ГЛАВА 2]
Пусть х,, л'2, х0—отмеченные тонки, причем p1(xi) =
= р2(х2) = х0. Эти накрытия тогда и только тогда
эквивалентны, когда подгруппы р1^.л(Х1, х^) и
Х^, я2) сопряжены в группе п(Х, х0).
Доказательство. Это непосредственно вытекает из
следствий 21.4, 21.6 и теоремы 18.3. Q
Группой скольжений накрытия р: X —»- X называется
группа всех гомеоморфизмов /i: X —* X, при которых
ph — p (см. упр. 17.9 (г)). Эта группа обозначается
G(X, p, X). Очевидно, что X есть G(X, p, Х)-про-
странство.
21.8. Теорема. Если X связно и локально линейно связно,
то действие группы G (X, р, X) на X собственно раз-
разрывно.
Доказательство. Пусть х—любая точка из X и U —
правильно накрытая окрестность точки р (х). Тогда
р~х (U)—дизъюнктное объединение множеств {Vj, j ?J\,
причем x^Vk для некоторого k. Пусть h?G(X, p, X).
Если h(x) — x, то, согласно следствию 17.5, отображе-
отображение h тождественно. Другими словами, если h^'-l, то
Н(х)Фх. Так как ph(x) = р(х), то h(x)?Vl при неко-
некотором /. Далее, если Vl=-Vk, то h(x) = x. Отсюда за-
заключаем, что если \хф\, то x?Vk и h(x)?V,, причем
VknVt=0.
Можно считать, что U линейно связно, поскольку
X (а следовательно, и X) локально линейно связно.
Итак, каждое из множеств Уу, j?J, линейно связно.
Имеем ph(Vk) = U, так что /i(Vs)c(jV/. Но множества
Vj, i?J, линейно связны и h(x)?Vl при некотором
x?Vk, откуда h(yk)<=.Vb и потому Vk V\h (Vk) = 0.
Этим доказано, что действие группы G(X, p, X) собст-
собственно разрывно. ?
Используя этот и некоторые предыдущие резуль-
результаты, приходим к следующим интересным заключениям.
21.9. Теорема. Пусть X связно и локально линейно

ЕЩЕ О НАКРЫВАЮЩИХ ПРОСТРАНСТВАХ 193
связно. Если р%л(Х, х0)—нормальная подгруппа я (X, х0),
то X гомеоморфно X/G (X, р, X).
Доказательство. Так как р%я(Х, х0)—нормальная
подгруппа, то из теоремы 18.3 следует, что р^п(Х, х1) =
— р%я(Х, х0) для всех хл dp'1 (x0); при этом р(хх) =
= хо = р(х0). Согласно следствию 21.4, в G(X, p, X)
найдется элемент К, для которого h(xo)=x1. Обратно,
если h(xB) = x1 при некотором h?G(X, p, X), то оче-
очевидно, что р(хо) = р(х1). Итак, группа G(X, p, X)
отождествляет точки пространства X точно так же,
как р. Этим доказано, что между X и X/G(X, p, X)
имеется взаимно однозначное соответствие. Оно явля-
является гомеоморфизмом, потому что каждое из этих мно-
множеств имеет естественную фактортопологию, определяе-
определяемую проекциями р> X —*• X и л:Х—>X/G(X, p, X). ?
21.10. Следствие. Пусть X связно и локально линейно
связно. Если р%п(Х, х0) — нормальная подгруппа л (X, х0),
то л(Х, xo)lp*n{X, xo)^G(X, p, X).
Доказательство. Это непосред:твенно вытекает из
теорем 21.9 и 19.3. ?
21.11. Следствие. Если X односвязно и локально ли»
нейно связно, то л (X, х0) ^ G (X, р, X).
21.12 Упражнения, (а) Покажите, что подпространство Р прямой
R, определенное как Р {0, 1 /п: п — натуральное число}, не явля-
является локально линейно связным.
(b) Пусть рг: Xi ¦—>¦ S1, р2: Х2 —»• S1 суть я-листные накрытия
(я —натуральное число). Покажите, что они эквивалентны.
(c) Определите все накрывающие пространства для следующих
пространств: (i) S1, (ii) S1x51, (iii) односвязного и локально
линейно связного пространства X.
(d) Пусть pY: Xj —> X, р2: Х2 —> X — накрытия связного и ло-
локально линейно связного пространства X. (i) Докажите, что если
существует непрерывное сюръективное отображение /: Х1 —> X2t
при котором pJ = Pi, то оно является накрывающим отображе-
отображением, (ii) Докажите, что если Хг линейно связно и существует
непрерывное отображение/: Х1 —* Х2, при котором pJ — Ръ10! —
накрывающее отображение.

194 ГЛАВА 21
(e) Пусть pt: Хг—> А и р2: Хг—*Х — накрытия, причем Х1
односвязыо и локально линейно связно, а Х'г связно и локально
линейно связно. Докажите, что существует непрерывное накры-
накрывающее отображение р: X, —» Хг.
(f) Пусть X — связное G-пространство, причем действие G на
X собственно разрывно. Докажите, что группа скольжений накры-
накрытия р: X —> X/G совпадает с G.
(g) Пусть р:Х —> X — накрытие со связным и локально ли-
линейно связным пространством X. Докажите, что G (X, р, X) дей-
действует на р~1 (хо)- Далее покажите, что действие G (X, р, X) на
р~1(х0) тогда и только тогда транзитивно, когда р„.я (X, хи) —
нормальная подгруппа л(Х, д:0) (определение транзитивного дей-
действия см. в упр. 18.4 (Ь)).

Глава 22
ЕЩЕ О НАКРЫВАЮЩИХ ПРОСТРАНСТВАХ:
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
В предыдущей главе мы показали, что накрытие
р: X —>¦ X определяется с точностью до эквивалентности
классом сопряженных подгрупп р^л(Х, х0) в п(Х, х0).
Естественно спросить, существует ли для данного
класса сопряженных подгрупп л (X, хи) накрытие
р: X —>¦ X, отвечающее этому классу. Как мы покажем
далее, ответ положителен, если X удовлетворяет еще
некоторым дополнительным условиям (кроме связности
и локальной линейной связности). Всегда существует
накрытие, соответствующее классу сопряженности всей
фундаментальной группы X, а именно 1: X —>¦ X. Но
оно не представляет интереса. Напротив, накрытие, со-
соответствующее классу сопряженности тривиальной под-
подгруппы, очень интересно. Это накрытие, если оно
существует для данного X, называется универсальным
накрытием пространства X. Итак, универсальное на-
накрытие X — это накрытие р: X —> X, для которого X
односвязно. Вскоре мы дадим необходимое и достаточ-
достаточное условие существования универсального накрытия X.
Пусть р\ X—* X — универсальное накрытие X. Если
х — любая точка из X и х6/?~й(л:), то найдется пра-
правильно накрытая окрестность U точки х, для которой
р~х {U) является дизъюнктным объединением множеств
{Vj, ! €J\, и x?Vk при некотором k. Обозначим Vu
че ез V. Диаграмма

196 ГЛАВА 22
приводит к коммутативной диаграмме фундаментальных
групп
n(V,x)
Отображение pjVi V —* U — гомеоморфизм, и потому
—изоморфизм. Так как р:Х—*Х—универсаль-
р:Х—*Х—универсальное накрытие, то группа л(Х, х) тривиальна, и отоб-
отображение /* должно быть тривиальным гомоморфизмом,
т. е. i%(a) = [ex] для всех a?n(U, x). Этим показано,
что если р:Х—>- X — универсальное накрытие X, то лю-
любая точка х ? X имеет окрестность U, для которой
гомоморфизм я(Ц, х)—>-л(Х, х) тривиален. Простран-
Пространство X с таким свойством называется полулокально
односвязным. Таким образом, пространство X полуло-
полулокально односвязно в том и только в том случае, если
для любой точки х? X найдется такая окрестность U,
что любой замкнутый путь в [/ в точке х эквивален-
эквивалентен в X постоянному пути ах. Заметим, что при стя-
стягивании замкнутого пути, лежащего в U, в точку х
допустим выход за пределы U. Заметим также, что
если U—такая окрестность х, что всякий замкнутый
путь в U в точке х эквивалентен в' X постоянному
пути, то любая окрестность W точки х, лежащая в
U, также обладает этим свойством.
Наиболее интересные пространства являются полу-
полулокально односвязными (см. упражнения), и придется
как следует подумать, чтобы привести пример связного
и локально линейно связного пространства, не являю-
являющегося полулокально односвязным. Таким примером

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ 197
может служить подпространство XczR.*, заданное как
Х= U Сп, где С„—окружность с центром A/и, 0)?R3
л > О
радиуса 1/п. Точка @, 0) ? X не удовлетворяет условию
полулокальной односвязности пространства X. Таким
образом, это пространство не имеет универсального
накрытия.
Это необходимое условие существования универ-
универсального накрытия пространства X является на самом
деле и достаточным.
22.1. Теорема. Связног и локально линейно связное
пространство X тогда и только тогда обладает уни-
универсальным накрытием р:Х —* X, когда X полулокально
односвязно.
Доказательство. Сначала построим пространство X
и отображение pi X —>¦ X, а затем покажем, что они
обладают нужными свойствами. Пусть хо?Х—отме-
хо?Х—отмеченная точка и X—множество классов эквивалентно-
эквивалентности путей с началом в х0 (см. определение 14.1). Та-
Таким образом,
Х = {[а]\а\ I-+X, а@) = *0, [а] = [р] «ф а -13}.
Определим теперь р\ X —*¦ X равенством р([а])=аA).
Теперь нужно ввести на X топологию. Пусть U от-
открыто в X и а: / —> X — путь а началом в х0 и концом
в некоторой точке x1^U. Определим [U, а] как
[U, а] = {[а»ЭДР!./-*Х, C@)=аA), f>(l)aU\.
Другими словами, [U, а] состоит из классов эквива-
эквивалентности путей аф, где [3 начинается в аA) и цели-
целиком лежит в U. Используем эти множества для опре-
определения топологии ЭД на X следующим образом: отне-
отнесем к топологии 1L множества 0, X и произвольные
объединения подмножеств X вида [U, а]. Чтобы про-
проверить, что 1L—топология на X, достаточно проверить,
что пересечение двух множеств из 41 принадлежит %
(все остальные аксиомы топологии выполняются три-
тривиально). Покажем сначала, что если [у]€[?Л а], то

198 ГЛАВА 22
t y] = [fy) ос]. Так как [у]б[?/, а], то найдется путь
., лежащий в U, для которого [у] = [а*Р]. Если б —
любой путь в (/ с началом в EA), то [у*6] = [(а«|5)*6] =
= [а*(Р*б)], откуда следует, что [U, а]з[?/, у]. То же
самое рассуждение показывает, что [U, a]a[U, у],
так что [U, y] = [U, °0- Рассмотрим теперь
[U, a]n[U', а'], где [U, а] и [U1, а'] принад-
принадлежат 41. Если P6[t/, a]f][W, a'], то [?/, P] = [t/,a]
и [(/', р] = [6'') а']. Непосредственно очевидно, что
[U nU', f,]cz[U,a]r\[U', а'] и, следовательно, [U,a]f]
П[0', а'] является объединением множеств вида
{[UnW, P]:p€[t/, a]n[?/', «]}, а потому [t/, a] n
flft/', a']g^. Проверку того, что пересечение любых
двух множеств из 41 принадлежит 41, мы оставляем
читателю (это просто). Таким образом, 41—топология
на X.
Проверим теперь, что отображение р: X —*¦ X неп-
непрерывно. Пусть 0 — открытое подмножество X. Если
р~г{и) пусто, проверять нечего. Предположим, что
[а] б р Ф); тогда по определению [U, а] —открытое
подмножество X и
p{[U, a]) = {(a*
так как по определению множества [U, а] пути |3 ле-
лежат в U. Поэтому р-1(^)= U [U, а] является
открытым множеством в X и р непрерывно.
Далее проверим, что р:Х—+Х сюръективно. Это
просто, потому что если х ? X, то найдется путь в X
с началом в х0 и концом в х (пространство X линейно
связно). Очевидно, что [а] ? X и р([а]) = л:.
Чтобы показать, что р: X—>¦ X — накрытие, нам оста-
осталось проверить, что любая точка из X имеет правильно
накрытую окрестность. Пусть х ? X и V — открытая
линейно связная окрестность, для которой всякий ле-
лежащий в ней замкнутый путь в точке х эквивалентен
в X постоянному пути вх. Имеем р'1 (У) = и [V, а].

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ 199
Если [V,ос] П [V,P]=7^ 0. то найдется элемент[у] б^,1*] П
U[V, P], и потому W, у] = [1/, а] и [V, y] = [V, Р],
так что [V, «] = []/, р]. Этим показано, что р 1 (V) —
дизъюнктное объединение открытых множеств. Нужно
показать, что р гомеоморфно отображает каждое из
этих множеств на V. Отображение Az = /?|[V, «]"•
[V, a]—*V непрерывно как ограничение непрерывного
отображения. При х ?V пусть C—некоторый путь в V
из аA) в х', тогда [а*Р] ? [V, а] и р ([а*Р]) = х. Этим
показано, что ра сюръективно.
Чтобы доказать инъективность ра, предположим,
что ра ([а*Р]) = Ра ([а*у]) для некоторых элементов [а*|3],
[а*у] ? [К, а]. Тогда Р и у имеют одни и те же концы.
Поэтому путь Р*у замкнут и лежит в V. По нашему
выбору V этот путь эквивалентен в X постоянному
пути гх. В частности, Р~у, и потому [а*р] = [а*у],
откуда следует инъективность ра.
Чтобы завершить доказательство гомеоморфности
отображения ра, осталось проверить, что ра1 непре-
непрерывно, или, что то же самое, что ра—открытое отобра-
отображение. Пусть [W, Р] открыто в [V, а]. Тогда N =
=р ([W, Р])—это множество точек из W, которые можно
соединить путем в W с Р A). Для любого у? N найдется
открытое линейно связное подмножество Wу с W, содер-
содержащее у. Так как y?N и W линейно связно, то
W,,tzN, и потому yV= и W... Итак, p([W, Щ)=>М
открыто и ра — гомеоморфизм; это завершает доказа-
доказательство того, что р: X—+X — накрытие.
Чтобы закончить доказательство теоремы 22.1, оста-
осталось проверить, что X односвязно. Покажем сначала,
что X линейно связно. Пусть л;0 = [е]—класс эквива-
эквивалентности постоянного пути е в точке х0 и [а] — произ-
произвольный элемент Я. Определим а\ I —> X как a (s) =
— [as], s?/, где as(t) = a(st), t?l. Тогда а—путь
в X из х0 в [а]. Этим доказано, что X линейно связно
(заметим, что а—поднятие а).
Пусть Р—замкнутый путь в X в точке х0. В силу

200 ГЛАВА 22
единственности поднятий, |3 = р|3, и потому
Итак, путь Р == рР эквивалентен постоянному пути
в X, и потому X односвязно, и доказательство тео-
теоремы 22.1 закончено. ?
22.2. Следствие. Пусть X—связное, локально линейно
связное и полулокально односвязное пространство. Если
Н — подгруппа п(Х, х0), то существует накрытие рн:
Хн—+ X, единственное с точностью до эквивалентности,
для которого Н = рн*п(Хн, хн). В частности, для лю-
любого класса сопряженных подгрупп группы п (X, х0)
найдется накрытие р'\ X' —*X, для которого р'гп(Х', х')
принадлежит этому классу.
Доказательство. Пусть р: X —* X — универсальное
накрытие X и G (X, р, X)—группа его скольжений.
Так как G(X, р, Х)^л(Х, х0), то в качестве Н'
можно взять подгруппу, соответствующую Н при этом
изоморфизме. Затем положим Хн = Х/Н', и пусть рн —
отображение, индуцированное отображением р. Детали
мы оставляем читателю. ?
Условия на X в следствии 22.2, обеспечивающие
существование Хн, можно ослабить (см. упр. 22.3 (е)).
22.3. Упражнения, (а) Докажите, что односвязное пространство
полулокально односвязно.
(b) Докажите, что связное n-мерное многообразие полулокально
односвязно. Докажите, что связное n-мерное многообразие М имеет
универсальное накрытие р. М —»• М, где М — также я-мерное
многообразие.
(c) Докажите, что группа п (S", х0) при л > 1 тривиальна,
следующим образом. Пусть р: S" —> S" — универсальное накрытие.
Определите отображение /: D" —>¦ S", переводящее 0D" в х0, так,
чтобы сфера S" стала факторпространством диска Dn относительно
отображения /. Покажите, что / поднимается до /': D" —*¦ S" и
что /' определяет (при помощи перехода к факторпространству)
непрерывное отображение /": S" —* 5", для которого pf" = 1. Нако-
Наконец, примените функтор фундаментальной группы к последователь-
/" - р
ностн S" —*• S" —*¦ S" и убедитесь, что группа л (Sn, x ) т ивиальна.

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ 201
(d) Пусть X—связное, локально линейно связное и полуло-
полулокально односвязное пространство, и пусть Н — подгруппа л(Х, х0).
Пусть $* — множество путей в X с началом в х0. Определим отно-
отношение ~д на у условиями
Докажите, что —н—отношение эквивалентности на $*. Обозначим
класс эквивалентности а через [а]я. Определим Хц как 5V—н>
и пусть рн: Xf]—*¦ X определено равенством рн(\а]и) = а(\).
Пусть U открыто в X и а: / —*¦ X — путь в X с началом в хо и
концом в U. Определим [U, а]я как
[U, а]я={[а*р]я: Р= / — X, Р@)=оA), НО <=Щ-
Покажите, что совокупность множеств 11н, состоящая из 0, Хн
и произвольных объединений множеств вида [U, а\н> является
топологией на Хн. Наконец, докажите, что рц\ Х^—*¦ X—накры-
X—накрытие и рн,п(Хн, %) = Ясд(Х, х0).
(е) Пусть X — связное и локально линейно связное простран-
пространство. Пусть Я — подгруппа л(Х, х0). Докажите, что накрытие
рн: Хн —>¦ X, для которого рн»л (Хн, хн) = Н, существует тогда
и только тогда, когда любая точка х ?Х имеет такую окрестность U,
что всякий замкнутый путь в U в точке х эквивалентен в X неко-
некоторому элементу подгруппы Ясл(Х, хи). (Указание: видоизме-
видоизмените доказательство упр. (d).)

Глава 23
ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА—ВАН КАМПЕНА.
I. ОБРАЗУЮЩИЕ
Теорема, которую мы собираемся обсудить, дает
общий метод вычисления фундаментальных групп. Она
была впервые доказана в начале 30-х гг. независимо
друг от друга X. Зейфертом и Э. ван Кампеном.
Предположим, что пространство X является объе-
объединением двух открытых линейно связных подпрост-
подпространств ?/, и U2. Предположим далее, что V\ Л U2 не-
непусто и линейно связно. Теорема Зейферта — ван Кам-
пена дает способ вычисления фундаментальной группы
X, если известны фундаментальные группы пространств
Uг, U2 и U1f\U2 (частный случай этой теоремы при-
приведен в упр. 15.16 (с)).
Пусть xo?U1[\U2 и \|);-: Uj—>-X—включения при
/= 1, 2. Грубо говоря, теорема Зейферта — ван Кам-
пена описывает:
(i) Образующие группы п (X, х0). Если а ? л (X, х„),
то а = П %, Co tak< гДе «* € п (?^ оч> *о)> М#) = 1 илп 2-
k= 1
(И) Соотношения группы л (X, х0). Пусть а =
п
— II ^(k)*ak—элемент группы п(Х, хЛ. Элемент а
тогда и только тогда является единичным, когда его
можно привести к единичному конечным числом опе-
операций, каждая из которых вставляет в а или исклю-
исключает из него выражение из некоторого списка. Этот
список зависит от я (U1 Л U2, х0), n (Uu х0) и л (?/2, х0).
Данные из (i) и (и) об образующих и соотношениях
называются копредставлением группы я(Х, х0). Для
точной формулировки теоремы Зейферта — ван Кампена
нужно строго определить, что такое копредставление

ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА - ВАН КАМПЕНА. I. ОБРАЗУЮЩИЕ 203
группы. На самом деле оно является изящным спосо-
способом записи группы при помощи образующих и соотно-
соотношений. Прежде чем говорить об этом дальше, введем
некоторые обозначения.
Рассмотрим множество S, представляя себе его эле-
элементы как некоммутирующие между собой символы.
При помощи этих символов образуем слова, т. е. выра-
выражения вида
где Х[ ? S (допускаются повторения) и е (i) = ±1. (Иначе
говоря, мы строим из множества 5 = {г/7-: /?/} алфавит
\у) > yj1' /€^Ь из которого затем образуем слова.)
Удобно рассматривать и пустое слово, не содержащее
символов. Слово называется редуцированным, если оно
не содержит х1 вслед за х~1 или х~1 вслед за х1 ни
при каком х ?S. Так, х\х\х\—редуцированное слово,
а х\х^1х[—нет. Любое слово можно привести к реду-
редуцированному слову отбрасыванием пар вида х1х~1 или
х~1х1 (где х ? 5), если они имеются. Например,
хг1 х\х?1х\х\ приводится к х~[1х\х\, а оно в свою оче-
очередь к х\.
Используя в качестве композиции редуцированных
слов приписывание их одного за другим и приведение
полученного слова к редуцированному, можно превра-
превратить множество G редуцированных слов в алфавите S
в группу. Роль единицы играет пустое слово, а слово,
обратное к W = x4(l)xtB).. .x%{k), имеет вид
W -1 = х?е ^x^f-v... х^ {2)х;г A>.
Проверку аксиом группы мы оставляем читателю. Эта
группа называется свободной группой, порожденной мно-
множеством^. Конечно, сами символы H3S несущественны,
и если S'—другое множество, находящееся во взаимно
однозначном соответствии с S, то свободные группы,
порожденные множествами S и 5', изоморфны. Если S
конечно и содержит п элементов, то свободная группа,
порожденная множеством S, называется свободной груп-
группой с п образующими.
Заметим, что свободная группа с одной образующей
{л;} состоит из элементов

204 ГЛАВА 23
1, X1, ЛГ1, Х1Х1, Х~ХХ~1, Х1Х1Х1, Х~1Х~1Х~1, ...
и, как нетрудно видеть, изоморфна группе целых чи-
чисел Z. Часто пишут сокращенно х вместо х1, х2 вместо
х1х1, х~г вместо х~1х~1 и т. д. Заметим также, что сво-
свободная группа с п образующими при п > 1—беско-
1—бесконечная неабелева группа.
Удобно взглянуть на свободную группу с несколько
иной точки зрения и рассмотреть классы эквивалент-
эквивалентности слов по некоторому отношению эквивалентности.
Определим следующие операции над словами:
(i) вставить в данное слово хх~х или х~хх, где
x?S;
(ii) выбросить из данного слова хх * или х гх,
где x?S.
(Вставить хх~х в слово W — значит записать W
в виде W,1F2 и затем перейти к слову Wxxx~lW2; конечно,
здесь Wt или W2 может быть пустым.) Два слова W,
W называются эквивалентными, если IP" можно полу-
получить из W конечным числом операций вида (i) и (ii).
Ясно, что это—отношение эквивалентности; очевидно
и то, что всякое слово эквивалентно своей редуциро-
редуцированной форме. Множество классов эквивалентности
слов в алфавите 5 с приписыванием в качестве закона
композиции образует свободную группу, порожденную
множеством S. Для краткости мы обычно обозначаем
класс эквивалентности, содержащий слово W, той же
буквой W. Это не должно приводить к недоразумениям.
Предположим теперь, что R—некоторое множество
слов в алфавите S. Можно рассмотреть следующие
дополнительные операции над словами в S;
(Hi) вставить в данное слово г или г, где г ? R;
(iv) выбросить из данного слова г или г, где г ? R.
Будем теперь говорить, что два слова W, W' эквива-
эквивалентны, если W можно получить из W при помощи
конечного числа операций вида (i) — (iv). Читатель
может легко проверить, что это—отношение эквива-
эквивалентности и что множество классов эквивалентности
образует группу с приписыванием слов в качестве
композиции. Говорят, что эта группа задана непред-
непредставлением (S:R), и обозначают ее символом <S:R>.
Как и выше, мы обозначаем класс эквивалентности

ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА — ВАН КАМПЕНА. I. ОБРАЗУЮЩИЕ 205
слова W той же буквой W, и снова это не должно
приводить к недоразумениям. Элементы S называются
образующими, а элементы R—соотношениями группы
<SR
Приведем три простых примера. Во-первых, группа
с копредставлением E:0)— это свободная группа, по-
порожденная множеством S. Второй пример — <{х}:{л;п}>,
где п — фиксированное натуральное число. Эта группа
состоит из слов 1, х, хг, .... л;" и, как легко видеть,
изоморфна циклической группе Zn. В качестве третьего
примера рассмотрим <{л;, у}:{хух~1у~1\>. Ясно, что
ху = ух, так как при помощи операций (iii) и (п) полу-
получаем ху — (xyx~iy~1)~1 ху = уху~1х~1ху = уху~*у = ух.
Нетрудно видеть, что xayb — ilbxa для всех целых а и Ь,
и потому любое слово g = xaWybWxa {2).. .хатуьш
k
можно переписать в виде g = xayb, где а— 2 °(г) и
k
6=2 b(i). Итак, группа <{х, у)\\хух~ху~х)у изоморфна
t = i
ZxZ.
Если а—слово в алфавите S и а— 1 в группе <5: R>,
то а не обязательно принадлежит R, но его можно
привести к пустому слову при помощи конечной после-
последовательности операций вида (i) — (iv). В этом случае
говорят, что а является следствием соотношений R. На-
Например, xaybx~ay~b—следствие соотношений хух~1у~1.
Различные непредставления могут определять изо-
изоморфные группы. Например, группа <{х, у\:{у)> изо-
изоморфна группе <{х}:0>. Аналогично, группа <{«, Ь\:
'.\baba~1}} изоморфна группе <{а, с\:\агс2}>. Чтобы
убедиться в этом, определим /: <{а, bl'-lbaba'1}} —»
—*¦ <{й, с\:\а2с2}у на образующих формулами f(a) = a,
f (b) = ca и вообще
/ (х? A>х| <2>... 4 "") = / (^i)e A) / (х2)Ё B).../ (х„)Е <»>.
Так как / (baba'1) = саасаа'1 = са\ = с (а2с2)с = сс~х =
= 1, то мы получаем корректно определенное отобра-
отображение, которое, как легко видеть, является гомомор-
гомоморфизмом. Бхли определить
g: <{о, с}:{а2с2\>-+<{а, b\:{baba-4>

206 ГЛАВА 23
на образующих равенствами g(a) = a, g(c) — ba 1, то
легко проверить, что g определено корректно, является
гомоморфизмом и fg=h g/=l, так что f и g—изо-
g—изоморфизмы групп.
Определить, изоморфны или нет две группы, задан-
заданные своими копредставлениями, в общем случае крайне
трудно. Даже если известно, что две такие группы
изоморфны, бывает трудно понять почему. Например,
группа <\х, y\:\xyix~1y~'i, ух*у~1х~3\> изоморфна три-
тривиальной группе 1, но доказать это очень трудно.
(Читателю тем не менее стоит попытаться это сделать.)
Несмотря на эти огорчительные факты, имеются разные
приемы, позволяющие узнать, различны или нет две
рассматриваемые группы. Эти приемы будут излагаться
по мере необходимости.
Будем говорить, что данная группа G имеет копред-
ставление {S:R), если G изоморфна <S:/?>. Всякая
группа G имеет копредставление (Sa'.Ra), где
\\ {-*x~H x, y?G\;
здесь (хуI—символ, представляющий xy?G. Доказа-
Доказательство того, что группа G изоморфна <S0: Ra>, предо-
предоставляется читателю в качестве упражнения.
Иногда удобнее записывать элементы из R как соот-
соотношения, т. е. вместо множества [r\ r?R\ писать
\г=1\ г ? R\. Более того, если г — произведение двух
слов uv, то можно заменить г = \ на м = и~1. Так, на-
например, можно записать <{А, В\:{АВА~1В~1\у как
<{А, BJ-.lABA-iB-1^ 1}> или как <\А, В\:\АВ = ВА}у.
Другой пример—рассмотренное выше множество Ra,
которое можно записать как \(xyI = x1y1i x, y?G\.
Эти неформальные обозначения не должны приводить
к недоразумениям.
23.1. Упражнения, (а) Покажите, что всякая группа G изоморфна
<Sa:R0>, где Sa = {g?G}, Яа = {(ху)гУ*: х, y?G}.
(b) Чему равен порядок группы <{Л, В] :R>, где R = {Л4, А2В~г,
A3BA-1B~i}?
(c) Покажите, что группа <{Л, B}:{Ai, В2, АВА~1В-1}> изо-
изоморфна Z4XZ2-
(d) Пусть G —группа, заданная копредставлением (S;R). Пусть
AG — группа, заданная копредставлением (S:AR), где
AR = R\J{xyx-1y-1: x,

ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА - ВАН КАМПЕНА. !. ОБРАЗУЮЩИЕ 207
Покажите, что AG—абелева группа и что существует эпиморфизм
Q —*¦ AG. Чему равно ядро этого эпиморфизма?
(e) Используя упр. 19.5 (е), покажите, что фундаментальная
группа бутылки Клейна имеет копредставление ({a, b}:{abab~x}).
(f) Пусть G = (S:R>. Пусть Tt{i= I, 2, 3, 4)—следующие преоб-
преобразования пары (S:R) (так называемые преобразования Титце):
7\: Если г — слово в S, а л = 1—соотношение, которое выпол-
выполняется в G, положим S' = S, R' = R{]{r).
Т2: Если r? R таково, что соотношение г = \ выполняется в группе
<.S:R\{r}>, положим S'~S, R' = R\{r}.
Т3: Если w—слово в S, а х—символ, не принадлежащий S, по-
положим s'=suM, ^?'=/?и{^}-
Tt: Если x?S, a w—слово в S, не содержащее к или х~г и такое,
что wx~1^R, го подставим w вместо х в каждый элемент из
R\{wx~1}, чтобы получить R', и положим S' = S\{x}.
Докажите, что если (S":R") получается из (S:R) при помощи
конечной последовательности преобразований Титце, то группа
<S":i?"> изоморфна <S:i?>.
(Преобразования Тг и Т2 отвечают соответственно добавлению
и исключению лишнего соотношения, Г8 и Г4 — соответственно
добавлению и исключению лишней образующей.)
Вернемся теперь к нашему топологическому про-
пространству X—объединению двух открытых линейно
связных подмножеств V\ и U2 с непустым и линейно
связным пересечением. Пусть ср^, срг, г|)ь i|>2 — различные
включения, как показано на диаграмме
17, пиг
Выберем в качестве отмеченной точку х0 ? Uх Л LJ2- По-
Получим следующую коммутативную диаграмму гомомор-
гомоморфизмов:
w(V, П иг ,х0) -^ J^ n(X,x0)
Предположим, что известны фундаментальные груп-
группы пространств 11Х П V\, V\ и U2 и заданы копредстав-

208 ГЛАВА 23
ления этих групп: n(t/1flt/2, xo) = <S: R>, л (Ult x0) =
«<S1 :#!>, п(?/„ xo) = <S2:#2>.
Если s?S, то ф1*8€п((/1, х0) и ф2*5?л(?/2, л:0),
так что можно выразить эти элементы в виде слов
в алфавитах соответственно Sly S2. Пусть «ф^я» и
«Ф2*в» — слова, представляющие соответственно ф^ и
ф2*в.
23.2. Определение. Обозначим через Rs множество сле-
следующих слов в алфавите Sx (j S2:
Можно представлять Rs как множество соотношений;
при этом оно записывается в виде {«ф1*5»=«ф2*5»: s?S}.
Сформулируем теперь теорему Зейферта и ван Кам-
пена.
23.3. Теорема Зейферта—ван Кампена. Группа п(Х,х0)
изоморфна группе, заданной образующими S^Sz и
соотношениями Rt (J R2 (J Rs.
Заметим, что соотношения R группы л F^ П (/а, х0)
не используются.
Грубо говоря, л(Л", х0) — наименьшая группа, по-
порожденная группами n(Ult x0) и n(U2, x0), для кото-
которой ф1»8 = ф2*8, S?nF'in^2. ^o)-
Доказательство теоремы будет разделено на две
части. Первая часть касается образующих и будет
доказана в этой главе. Вторая часть касается соотно-
соотношений и будет доказана в следующей главе. Сейчас
мы докажем результат, который будет полезным в даль-
дальнейшем (на самом деле это в точности упр. 7.13 (g)).
Здесь мы могли бы, как и в гл. 16, обойтись без него.
23.4. Теорема. Пусть X—компактное топологическое
пространство, возникающее из некоторого метрического
пространства с метрикой d. Для любого открытого
покрытия \U/. j?J\ существует такое б>0 (назы-
(называемое числом Лебега этого покрытия), что любое под'
множество диаметра меньше б содержится в одном
из множеств U/t j?J.
Доказательство. Так как X компактно, можно счи-
считать, что J конечно. При х ? X и / ? / определим fj (x)

ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА — ВАН КАМПЕНА. I. ОБРАЗУЮЩИЕ 209
равенством
f) d(X\U)= inf d(x,y).
X\U
j
Очевидно, что /у. непрерывна, как и функция /, опре-
определенная формулой / (х) = max /, (х). Так как X\Uj
замкнуто, то fy(x) = O тогда и только тогда, когда
x?X\Uj. Таким образом, /(х) = 0 тогда и только
тогда, когда x?X\U; для всех j?J. Но{?// j?J} —
покрытие X, и потому /(л;)>0 при всех х ? X. Ком-
Компактность X и непрерывность / означают, что /(X) —
компактное подмножество R, на самом деле—интервала
@, оо) с R. Следовательно, найдется такое б > 0, что
/ (х) > б для всех х ? X. Мы утверждаем, что любое
множество S диаметра меньше б должно принадлежать
некоторому Uk, k?J. Чтобы убедиться в этом, возьмем
x?S; тогда /(л;)>б и, значит, fk (x) > б при некото-
некотором k, откуда в свою очередь следует, что х ? Uк.
Но диаметр S меньше б и d{x, X\Uk) > б для неко-
некоторого x?S, так что S целиком лежит в Uk. ?
Первый шаг в доказательстве теоремы Зейферта —
ван Кампена относится к образующим. По существу,
мы приводим решение упр. 14.6 (g), (h) и (i).
23.5. Лемма. Группа п(Х, х0) порождена множеством
\|1„Л {IIи Хо) U ^2*Л {Иг, Хо).
Другими словами, если а?л(Х, х0), то а= JJ^>хф)*ак,
где ak?n,(Ui{k), хв) и X(k)=l или 2.
Доказательство. Пусть /—замкнутый путь в точке
х0 ? X. Пусть б — число Лебега открытого покрытия
{/~1(i71), / 1(f/2)} отрезка /. Это означает, что если
t0, tlt t2, ..., tn — последовательность вещественных
чисел, для которой
и t/ —1!_1 < б, то /([^_i, t;]) содержится в Uf или U2
при t=l,2, ..., п. Можно считать, что / {tt) ? иг Г) U2.
(Если f{ti)^U1f]U2, то [ti_u tt] и [tit ti+1] лежат оба
в U1 или оба в иг, так что можно объединить эти
отрезки в один [tt.v ti+1], для которого /([//_lt ^+1])

2H ГЛАВА 23
f(to)-x0--f(t4
Рис.23.1
содержится в Ut или в U2.) Теперь перенумеруем точки
и продолжим процесс (рис. 23.1).
Определим пути /,•: / —> X при /= 1, 2, ..., п ра-
равенствами
Заметим, что путь /, лежит в ?/, либо в U2, начи-
начинается в /(/,•_!) и кончается в /(/,-). Мы утверждаем,
что [/] = [/J[/2] ••• [/„]• На самом деле это было уста-
установлено в упр. 14.6 (i), по мы для полноты дадим
доказательство.
23.6. Лемма. Пусть f\ 1—*-Х — путь и 0 = /0^^^
^С t2 ^ ... ^ tn— 1. Если fji I —* X при /=1,2, ..., п
определены равенствами f/(t) = f((l — 0^/-i + ^/)> mo
[/] = [/0[/2] •••[/„]¦
Доказательство. Проведем индукцию по п. Пусть
сначала п = 2; тогда O = to^.t1^.ti=l и
( f1Bt), 0</<l/2,
Используя гомотопию F\ I х I —> X вида

ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА - ВАН КАМПЕНА. I. ОБРАЗУЮЩИЕ 211
можно убедиться, что /1*/2~/-
Предположим теперь, что и > 2 и лемма справед-
справедлива для всех меньших натуральных чисел. Имеем
0 = /0<^<... </„=1. Так как 0 = *„<*„_!<*„,
то по доказанному получаем f~g*fn, где g(t) =
Далее,
'л —1 'л-1 'л —I 'л-1
так что по предположению индукции [g] = [gj [g2]...
•••[gn-il где g, (') = g((l-0 WB-i +«i/'B-i) =
=/(A-0^-1+«/)=/Л0- Итак, [/]=[/:][/,]..¦[/„]. D
Можно было бы предложить следующее прямое до-
доказательство (без индукции). Имеем
((• ••((/! */2)*/з)*..-)*/„) @="
( М2"*).
1 \n-k + i
2"
_\_\n-k
2] >
i)~-
i-k
где ft: I—+ I—непрерывная функция, определенная pa-

212
ГЛАВА 23
венствами
h(t) =
Определим F: IxI—>X формулой F(t, s) — f(sh(t) +
+ A—s) t). Очевидно, что F непрерывно, и потому
/ ~ (... ((/, * /2) * /з) *...)* /„, что и доказывает нужный
результат.
Рис.23.2
Возвращаясь к доказательству леммы 23.5, выберем
пути q{. I—>¦ X при г=1, 2, ..., п — 1 так, чтобы
?,.(О) = *о> qiil) = f(ti) и q,(t)^U1(]Ua для всех t?l.
Определим также q0 и qn равенствами qa{t) = qn{t) = x0
(рис. 23.2). Так как [/] = ЩЦ ...[/„], то _
[/] = Ш Ш Ш Ш [h] Ы • ¦ ¦ [Яп-х] [Шп] -
= [<7о * f 1 * <7i] [?i * h * <7S]_- • • [qn-1 *
и каждый из путей q{* (/;+i*^,-+
и лежит целиком в Ut или в
[^•*// + i*^/+i] — элемент либо подгруппы ipi«n (?/х, я0),
либо подгруппы ij^^n (?/2, ^о)- Итак, каждый элемент
группы я (X, х0) можно записать в виде произведения
образов элементов из n(Ult х0) и n(U2, x0), что и до-
доказывает лемму 23.5. ?
* <7И].
в точке х0 замкнут
[/2. Следовательно,

ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА -— ВАН КАМПЕНА. I. ОБРАЗУЮЩИЕ 213
23.7. Следствие. Группа п(Х,х0) порождена множест-
множеством ty1*S1 U ^2*S2, г^е $i и ^2—образующие соответст-
соответственно групп n@lt х0) и n(U2, x0).
Писать все время г|з14 и tyit слишком громоздко,
поэтому мы условимся писать s вместо v|!y*s при s?Sj,
/=1, 2. Другими словами, если /: I—*Uj, то компо-
зицию / —> U'j~i X обозначим также через /. В этом
смысле группа я(Х, х0) порождена множеством S^Sj,
где Slt S2 порождают соответственно n(Uv x0),
n{U2, xa).
Непосредственно из следствия 23.7 получается
23.8. Следствие. Если S1 = S2 = 0, то группа п(Х, х0)
тривиальна.
Отсюда, в частности, вытекает
23.9. Следствие. При п^2 сфера S" односвязна.
В самом деле, S" можно представить в виде ?/г U U2,
где U^S'Wil.O, ...,0)}, t/, = S»\{(-l,0 0)}.
Оба множества Uf и U2 односвязны, так как они
гомеоморфны R" при гомеоморфизмах
ф2' Ua > К", ф2 (^i, . . ., Xn + 1) = I j_j_^_ , . . . , j_. J .
Используя результаты гл. 19, мы можем теперь
получить
23.10. Следствие. Фундаментальная группа проектив-
проективного пространства RP" совпадает с Z2, а линзового
пространства L(p, q)—с Zp.
п
23.11. Упражнение. Пусть Х= (J U;, где каждое U/, «=1,2,
i=i
..., п, открыто и линейно связно. Предположим также, что
п п
П Vi непусто и линейно связно. Пусть хо? П Ui. Докажите,
1= I 1= 1
п
что группа я(Х, х0) порождена множеством U tyi*n(Uii xo)i гДе
1b/: U:—*Х — включения.

Глава 24
ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА-ВАН КАМПЕНА
II. СООТНОШЕНИЯ
В этой главе мы завершим доказательство теоремы
Зейферта — ван Кампена (теоремы 23.3). Напомним, что,
по нашему'предположению, X = U1U U2, где Uit U2 и
Ui П Uг — непустые открытые линейно связные подмно-
подмножества X. Отмеченную точку х0 выбираем в Ulr\U2c:X,
и группа лF'1П^2. *о) порождена множеством обра-
образующих S, а группы л (Uj, x0) имеют копредставления
(S/iRj) при / = 1,2. Наконец, Rs—множество соотно-
соотношений «cp^s» = «cp2*s» при s?S. В предыдущей главе
мы показали, что группа л(Х, х0) порождена множест-
множеством Sj [}S2.
24.1. Лемма. Образующие 5хи52 группы п(Х, х0)
удовлетворяют соотношениям Rlt R^ и Rs.
Доказательство. Так как г|з/4: п (UJt х0) —*¦ л (X, х0)—
гомоморфизм при /=1, 2, то любое соотношение, ко-
которому удовлетворяют элементы S/ в n(U^ x0), выпол-
выполняется и для элементов ^y«Sy. с я(Х, х0). Таким обра-
образом, если мы воспользуемся соглашением об опускании
\|5у„, то элементы из Sl U S2 в л (X, х0) удовлетворяют
соотношениям Rt и R2.
Если s?S с n(U1f] Uг, х0), то гр1«ф1«я = г|змф|!,5, так
как ^1ф1 = 1р2ф2- Если слово в Sj представляет <p^s,
то это же слово в Sy представляет гру«фу«я в л(Х, х0),
так что
Доказательство теоремы Зейферта—ван Кампена
будет завершено, если мы покажем, что других соот-
соотношений, кроме указанных в лемме 24.1, нет.

ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА = ВАН КАМПЕНА. II. СООТНОШЕНИЯ 215
24.2. Теорема. Если элементы SX\}S2 в п(Х, х0)
удовлетворяют некоторому соотношению, то оно яв-
является следствием соотношений Rlt R2 и Rs.
Доказательство этой теоремы нетрудно, но довольно
длинно и требует введения большого количества обозна-
обозначений.
Пусть afU)a|B> . .. a|(ft)= 1—соотношение между
элементами множества Sj uS2cn(X, х0). Здесь е(/) = ±1
и a,i^Skli) при /=1,2, . . ., k, где k(i)= 1 или 2. Для
каждого t=l, 2, ..., k выберем замкнутый путь f;
в UЫ) в точке х0 так, чтобы [/,•] = а?и>. Другими сло-
словами, <Zi = [fi\ при е(/)=1 и «,==[/,.] при е((') = —1.
Определим путь /: / —* X равенствами
f(() = f.(kt-i + l) при (i—l)/ft</<j/ft,
»=1,2 k.
Заметим, что fj(t) = f((\—t)(j—l)/k + tj/k), и так как
0 = 0/&<! 1/&<;...<;?/&= 1, то из леммы 23.6 сле-
следует, что [Я = [ЛШ •••[/*]• Так как af'M'2'--.
...а| <*»=], to[/J=1, т. е. /~еХо. Пусть/7: /х/->Х—
гомотопия между / и еХо, т. е.
F{t,O) = f{t), F(t, 1) = F(O, s)-F(l)S) = x0.
Пусть теперь б — число Лебега открытого покрытия
{f(^'i)> ^"M^a)} квадрата /х/; выберем числа
О = ^0</,</,<... </л=1, O = so<s1<s2<...<sn=l
так, чтобы
(i) {I/ft, 2/* (ft-1)/*} с {/(,/, C-i},
(ii) (</ —^x^ + fsy—Sy.J^e» для всех i, j.
Очевидно, что такой выбор возможен. Если Ry—пря-
Ry—прямоугольник [//_i, ti]x[S/-i, Sj]b Ixl, to F(Rjj) содер-
содержится либо в Ult либо в U2 для каждой пары i, j.
Для каждой пары /, / пусть а^\ 1 —* X — путь из х0
в F(th Sj), лежащий в Ut (или в U2, или в U1r\U2),
если F(tit Sj) лежит в Ux (или в 02, или в Uг П U2
соответственно). Такой выбор возможен, так как каж-
ое из множеств И^ U2 и Ux П U2 линейно связно. Если
F{th Sj) = x0, то мы требуем, чтобы а^==еЛо (рис. 24.1).

216
ГЛАВА 24
Oi-1
к С/-Г
Рис.24.1
h,j-\O)
так
из
Определим также пути b;j, cit равенствами Ь{,(t) =
?(A-0</-1 + «/. S,),C/y @ = ^@. (l-OSy-i + fSy),
что Ь,-у—путь из F(tt_v sj) в F (^, Sy), а с,7 —путь
/•'(Z,-, Sy.j) в F{thSj) (рис. 24.1). Заметим, что
Пути biyJ_1*cij и C!_it;*b;; эквивалентны (как
пути): интуитивно ясно, что их можно продеформиро-
вать один в другой внутри F(R[j). Эквивалентность
этих путей явно задается гомотопией Н: 1x1 —*¦ X, где
H(t,s) =

ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА - ВАН КАМПЕНА. II. СООТНОШЕНИЯ ?17
Заметим, что H(IxI) с Uu Иг или игои2 в зави-
зависимости от того, какое из включений F(R,y) с {/\, ?/2
или t/t П Uг имеет место.
Определим теперь замкнутые пути ftJ и giy- в точке х0:
/,7 = ifli-u / * М *«-/- ff<y=(fl/, /-1 *c-v) *«-У
Так как Ьи }_г * си ~с{_и/* Ъ{/, то пути /,-, у_ t * g,7
и gi-ltj*fij эквивалентны. Более того, эквивалент-
эквивалентность имеет место в Ult U\ или UX[\U2 в соответствии
с тем, будет ли F(#,у) а Vх, U2 или UlV\Uz. Следо-
Следовательно, /,,,-!--(?,•_!,,¦*/,•,¦)*§,•,¦, т. е. [/,-,,_!] =
— [8i-i,j][f{j][Si/]- Выразим теперь каждый из этих
элементов в виде слова из St или S2, чтобы получить
соотношение «[/Л y.J» = «[^-1, /]» «[///]* *[^О']* ли^°
в n(iyi; я0), либо в п (f/2, x0) соответственно. Поэтому
последнее соотношение должно быть следствием соот-
соотношений Rx или R2.
Пусть теперь l,'k=tUl); тогда [fl] = [f10][fi0] ¦. ¦
• • • Umi, о]- и так как /i — замкнутый путь в Vka)
в точке х0, то можно при помощи соотношений Rt,a>
выразить [/10], [/2о] .. . [/по, о] в виДе слов в алфа-
алфавите 5я,а>- Итак, получим соотношение
af'1' = [/i] = «[/ю]» «[/»о> • • • «[/,• A), о]»,
которое является следствием соотношений R\ A). Можно
получить аналогичные соотношения для а|<2>, а|<3>, ...
.. ., a%ik\ Итак,
а = а? A'а1 «> ... а| rt' = «[/10]» «[/20]» ... «[/и0>
— соотношение, являющееся следствием R1 и R2. Пере-
Перепишем это в виде соотношения
а = («[goi]» «[/u]» «[gii]») («Uii]>> «[/21]» «[&si»
которое также является следствием Rr и R2. После
новой расстановки скобок получим
а= («[&0l]») «[/ll> («fell» «[^ll]») «[fsi]» («fell» «[g2l>) • • •

218 ГЛАВА 24
Имеем gOi=gal=BXB, так что «[gol]»=l_n «[gml]»=l —
тривиальные соотношения. Соотношение «[g^]» «[Дп]»= 1
также тривиально, если «[?/i]* и «[gyl]» выражены в виде
слов либо из Sj, либо H3S2. Но если g^ — путь в Ut П U2,
то одно из слов «[gyl]» или «[g,^]» можно выразить
в алфавите Slt а другое—в 54. В этом случае соотно-
соотношение «[gyj» «[g/i]»= 1 является следствием соотноше-
соотношений Rs. Итак, получаем, что соотношение
а = «[/и]» «[/«]» ... «[/и1>
является следствием соотношений Ru R2 и Rs.
Повторяя этот процесс, получим соотношение
« = «[Л»> «[/tj» • • • «[/«J» = «К> «Ко> .. «[ej»
в качестве следствия из упомянутых соотношений. Таким
образом, первоначальное соотношение—следствие этих
соотношений. Итак, теорема 24.2, а вместе с ней и
теорема Зейферта — ван Кампена доказаны. ?
Вычисления с применением теоремы Зейферта—ван
Кампена мы отложим до следующей главы, за исклю-
исключением одного примера, основанного на приведенном
ниже следствии.
24.3. Следствие. Если Ut П U2 односвязно, то л (X, х0)—
группа с образующими St U S2 и соотношениями R1 U R2.
Это утверждение очевидно.
В качестве примера применения этого следствия
рассмотрим восьмерку, т. е. подпространство X с R?
вида Сг\]С2, где (рис. 24.2)
Чтобы воспользоваться следствием, нужно показать,
что X является объединением открытых линейно связ-
связных подмножеств Uu U2 с односвязньш пересечением
иг П U2- Для этого положим ^i=X\{a:i} и U2=X\\x2\,
где х1*=(—2,0), х2 — B, 0). Очевидно, что Ux и U2
открыты и линейно связны, a Ur П U2 = X\{xit x2}
линейно связно. Далее, иг П U2 односвязно, потому
что оно гомотопически эквивалентно \хо\. На

ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА - ВАН КАМПЕНА. II. СООТНОШЕНИЯ 219
деле {х0}—сильный деформационный ретракт Ui(]Uu
(см. конец гл. 13). Поэтому применимо следствие 24.3.
Далее, Vj и Cj гомотопически эквивалентны относи-
относительно х0 при /=1,2 (на самом деле снова Cj—силь-
Cj—сильный деформационный ретракт Vj). Итак, n(Uj, х0) —
свободная группа с одной образующей, и, согласно
следствию 24.3, фундаментальная группа восьмерки —
свободная группа с двумя образующими.
Рис.24.2
Нетрудно обобщить этот результат на совокупность
п окружностей, соединенных в одной точке, и полу-
получить, что фундаментальная группа этого пространства
есть свободная группа с п образующими. Мы оставляем
это в качестве (простого) упражнения.
24.4. Упражнения.
(a) Пусть Х„ —объединение п окружностей, пересекающихся
(попарно и все вместе) в единственной точке х0. Докажите, что
п(Хп, х0)—свободная группа с я образующими. (Быть может, по
индукции?)
(b) Пусть X—следующее подмножество R2:
Определите фундаментальную группу X.
(c) Пусть Y— дополнение следующего подмножества R2:
{(х, 0)?R2: х?Ж}. Докажите, что я (К, A, 1))—свободная группа
со счетным множеством образующих.
(d) Пусть X — хаусдорфово пространство, представимое в виде
X = A(JB, где каждое из А, В гомеоморфно тору и А(]В = {х0}.
Вычислите п (X, х0). (Указание. Найдите стягиваемую окрестность
СА точки х0 в А и положите Ui = B[)CA. Аналогично определите
U2 = A[jCB, где Св—стягиваемая окрестность х0 в В.)
(e) Пусть X — пространство, полученное из S"~1xR выбра-
выбрасыванием k непересекающихся подмножеств; гомеоморфных откры-

220 ГЛАВА 24
тому п-мерному диску D". Какова фундаментальная группа X}
(f) Пусть Х = {(х, y)?RPnxRPn: х = х0 или у = х0}, где
ха—фиксированная точка из RP" (X—это два экземпляра RP"
с одной общей точкой х0). Вычислите л (X, х0). Конечна ли эта
группа?
(g) Пусть X*=U1\JU2, где U1 и U2 открыты и линейно связ-
связны, a U1i)U2 непусто и линейно связно. Пусть фх: U1[)U2—»• C/j
игр!: C/j—>¦ X—включения. Докажите, что если U2 односвязно,
то \|)is: л (Ult х0) —> л (X, *0)—эпиморфизм.
Далее докажите, что ядро отображения \р^—это наименьшая
нормальная подгруппа n(Ult х0), содержащая образ ф14л((/1 f) U2, x0).
(h) Пусть X — U^Ui, где Ult U2 и ?/хП^2 — открытые не-
непустые линейно связные подпространства. Докажите, что если 11$
и Uif]U2 односвязны, то фундаментальные группы пространств
t/j и X изоморфны.
(i) Пусть К—компактное подмножество R" с линейно связ-
связным R" \ К. Пусть Л: R" —*¦ S" \ {A, 0, ,,., 0)} — гомеоморфизм,
заданный формулой
Л (*i, х2 х„) = (||х|Р- 1, 2хь 2х21 ,.., 2хп)
Докажите, что при xo?Rn\K группа 3x(R"\/C, д;0) изоморфна
яE"\Л(/(), h(x0)}. (Указание: KcBk(Q) при некотором к. Рас-
Рассмотрите C/1 = /i(R"\/C), C/2 = /i(Rn\5ft@))U{(l. 0, 0, ...,0)}
и воспользуйтесь упр. (h).)
(j) Пусть X—тор с одной выброшенной точкой. Покажите,
что фундаментальная группа X — свободная группа s двумя обра-
образующими.
(к) Покажите, что фундаментальная группа RP2\{{/}, где
?RPa, изоморфна %.
A) Пусть Yп—следующее подпространство О:
Yn = {z?C: | 2-/+ 1/2 1 = 1/2, /=1, 2, .... а},
где п — натуральное число. Вычислите л (Yn, 0).

Глава 25
ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА —ВАН КАМПЕНА
III. ВЫЧИСЛЕНИЯ
В этой главе мы воспользуемся теоремой Зейферта —
ван Кампена для вычисления фундаментальных групп
некоторых пространств. Для первых трех примеров
ответ был получен ранее (в качестве упражнения или
следствия) при помощи других методов.
(а)
Рис.25.1
Начнем с доказательства того, что фундаментальная
группа тора Т изоморфна ZxZ. Представим Т в виде
квадрата со сторонами, отождествленными, как пока-
показано на рис. 25.1 (Ь). Отождествляемые стороны обо-
обозначим через at и а2.
Пусть у—некоторая точка внутри квадрата, как
показано на рис. 25.1(с). Пусть U1 = T\{y\ и U2=&
= T\(a1\Ja2), т. е. U2—внутренность квадрата. Оче-
Очевидно, Of и U2 открыты и линейно связны, так же
как и (/,П U2. Таким образом, можно применить тео-
теорему Зейферта—ван Кампена. Пусть х0, хг—точки,
указанные на рис. 25.1 (с). (Заметим, что х1 появляется
на рисунке четыре раза, так как эти четыре точки
отождествляются в одну точку пространства Т.) Пусть,
наконец, с — окружность с центром в у, проходящая

222
ГЛАВА 25
через х0, a d— прямолинейный отрезок, соединяющий
0 и xlt как показано на рис. 25.1 (с).
Граница квадрата (рис. 25.2 (а)) после отождествле-
отождествления дает восьмерку в Т (рис. 25.2 (Ь); см. также
рис. 25.1 (а)). Она, очевидно, является сильным дефор-
деформационным ретрактом множества Uf.
Рис.25.2
Если «j и а2 — замкнутые пути в (/, в точке хи
обходящие по одному разу at и а2 соответственно в на-
направлениях, отмеченных на рис. 25.2 (Ь), то л (Uu xj —
свободная группа с образующими [а,], [а2]. Заметим,
что [aj и [а2] определены однозначно. Пусть б — путь
в (/, из ):„ в хх, соответствующий отрезку d (т. е. б:
I—>-d — гомеоморфизм); тогда n(Ult х0)—свободная
группа с образующими [6*0^*6], [6*aa*6], которые мы
обозначим через А1 и А2 соответственно.
Одноточечное пространство \хо\—сильный дефор-
деформационный ретракт множества Uit и потому я(С/а, д;0)=1.
Окружность с является сильным деформационным рет-
ретрактом пересечения С/, П V2. Если у—замкнутый путь
в Vi П U2 B точке х0, однократно обходящий с в на-
направлении, показанном на рис. 25.1 (с), то n(U1r\U2,
х0)—свободная группа, порожденная элементом [у].
Теорема Зейферта — ван Кампена утверждает, что
группа п(Т, х0) порождена множеством образующих
\Аи А2\ и имеет единственное соотношение «ф1Ф[у]»=»
=«ф2* [у]». В U1 имеем
^cpj-p] = [6*a1*a2*a1*a2*6] =
= [6*0^*6] [fi*aa*6] [esa^-б] [S*a2*fi],

ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА - ВАН КАМПЕНА. III. ВЫЧИСЛЕНИЯ 223
так что «ф1,[у]» = /11Л2Лг'Лг1. С другой стороны,
«ф2* [у]» = 1, так что группа я (Г, хи) имеет копред-
ставление {{Аи А^'^А^А^А^1}) и, следовательно,
изоморфна ZxZ.
В качестве следующего примера рассмотрим бу-
бутылку Клейна К. Вычисление ее фундаментальной
группы во многом аналогично вычислению фундамен-
фундаментальной группы тора. Представим бутылку Клей-
Клейна К, как на рис. 25.3(а), и используем обозначения
рис. 25.3(Ь).
Пусть 6\ = /(\{г/} и Ui = K\(al[}a2); тогда Ub
U'a, U\ П Uг удовлетворяют условиям теоремы Зейфер-
та — ван Кампена. Граница квадрата после отождест-
отождествления станет восьмеркой (рис. 25.4), и эта восьмерка
является сильным деформационным ретрактом множе-
множества Uv
Следовательно, я (Uv х0)—свободная группа, по-
порожденная образующими [aj, [a2], где a1( jx2 —пути,
соответствующие сторонам а^ и а2. Если б—путь,
отвечающий отрезку d, то я (Ult х„)—свободная группа,
порожденная элементами [6*0^*6], [б*сх2*б], которые
мы обозначим соответственно At и Л2.
Пространство U2 стягиваемо, и потому л (U2, xo)=\.
Наконец, окружность с—сильный деформационный рет-
ракт Ux П U2, так что Jt ((/х П f/2. *o) — свободная груп-
группа, порожденная элементом [у], где у — путь в U1(]U2,
соответствующий с, т. е. проходящий с один раз в ука-
указанном направлении. В Ui имеем
= [6*aj*6] [б*аа*б] [6*0^^6] [б*аа*6],
так что «Ф1#[у]» = A1A.iAi1A2. С другой стороны,
«Ф28,[у]»=1. Итак, из теоремы Зейферта—ван Кампена
немедленно получаем, что я (К, х0) изоморфна группе
<{ЛЬ Л^^Л^аЛгМа}) (см. также упр. 19.5(е)).
В качестве третьего примера мы покажем (снова),
то фундаментальная группа вещественной проектив-
проективной плоскости R.P2 изоморфна Z2. Представим RP*
в виде факторпространства, как показано на рис. 25.5(а).

224
ГЛАВА 25
Рис.25.3
а, а,
(Ь)
Рис.25.4
Пусть х0, xlt у, с и d—точки, окружность и отрезок,
изображенные на рис. 25.5(Ь).
Пусть иг = КР2\{у} и U2 = RP2\a; тогда Ult U2,
Ui П 02 удовлетворяют условиям теоремы Зейферта —
ван Кампена. Кривая а представляет окружность в RP2
и является сильным деформационным ретрактом мно-
множества Uv Таким образом, n(Uu xx)—свободная груп-
группа, порожденная элементом [а], где а — путь в t/j,
соответствующий кривой а. Если б — путь из х0 в хх,
соответствующий отрезку d, то п(С/1, х0) — свободная
группа, порожденная элементом [б*а*б~]=Л.
Подпространство U2 стягиваемо в точку х0, и по-
потому n(U2, xo)=\. Окружность с—сильный деформа-
деформационный ретракт U10Ui, так что n(U1f]U2, х0)—сво-
х0)—свободная группа с образующей [у], где у—путь в U1[]U2
в точке х0, соответствующий с, т. е. обходящий с один

Г ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА-ВАН КАМПЕНА. III. ВЫЧИСЛЕНИЯ 225
Рис.25.5
(а)
Рис.25.6
раз в указанном направлении. Из теоремы Зейферта—
ван Кайлена получаем, что я (RP2, х„) — группа с обра-
образующей А и соотношением «фх* [т]» ^ «ф2* [т]*- В Ui
имеем [ц>\У] —[б*а#а*б] = [б*а*б] [б*а#б], так что
<<cPi* [?]* — ^2- Между тем «ср2» [у]» = I, так что л (RP2, х0)
изоморфна группе <{Л}:{Л2}>, т. е. Z2.
Нашим следующим примером будет пространство X,
представленное я-угольником, все стороны которого
отождествлены с одной, как показано на рис. 25.6(а).
Заметим, что если п — 2, то X совпадает с RP2.
Используя обозначения рис. 25.6(Ь), положим Ul=
— Х\{у\ и U2 = X\a. Пространства Uv U2, U1(]Ui
непусты и линейно связны. Стороны многоугольника
образуют окружность а в X. Она является сильным

226
ГЛАВА 25
¦<h аг
a> a
a,
Рис.25.е
деформационным ретрактом i/i, и потому я (Uit xx) —
свободная группа, порожденная элементом [а], где
а — замкнутый путь в точке xlt соответствующий окруж-
окружности а. Если б — путь из х0 в хи соответствующий
отрезку d, то n(C/j, х0)—свободная группа, порожден-
порожденная элементом [б*а*б] = А. Подпространство Ut стяги-
стягиваемо, так что n(U2, xo)=\. Наконец, окружность
с—сильный диформационный ретракт Ui(]U2, так что
n(U1(]U2, х0) — свободная группа, порожденная эле-
элементом [у], где у—замкнутый путь в С/, Л ?/2 в точке х0,
соответствующий окружности с.
Применяя теорему Зейферта — ван Кампена, мы
видим, что п(Х, х0) имеет одну образующую А и одно
соотношение «q)lt. [у]» = «ф2* [у]». Легко видеть, что
[ф,у]= [б*а*.. .*а*б] = [б*а*б]", так что
Между тем «ф2*[у]»= 1, так что п(Х, ха) имеет копред-

ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА -ВАН КАМПЕНА. III. ВЫЧИСЛЕНИЯ 227
ставление ({Л}:{ЛП}), т. е. п(Х, х0) изоморфна цикли-
циклической группе Zn.
Во всех предыдущих примерах этой главы про-
пространство U2 стягиваемо. Следующие примеры не обла-
обладают этим свойством. Рассмотрим одновременно три
пространства. Пусть Хи Х2, Хя—факторпространства,
показанные на рис. 25.7. Заметим, что в Х3 сторона
а3 не отождествлена ни с какой другой стороной.
Используемые нами обозначения показаны на рис. 25.8.
Пусть i/,, = X,\b при ( = 1, 2, 3. Пусть Ui2=>
= Х/\(а1ия2) при /=1, 2, и пусть ?/32 = Х3\(а1и
Ua2 U fig). Тогда Un, U[2, Utl Г) Ui2 — открытые и линейно
связные подмножества пространств X,- при /=1, 2, 3.
На рис. 25.9 показаны «внешние стороны» пространств
X,- после отождествлений.
В каждом случае они являются сильными дефор-
деформационными ретрактами подпространств Uiv Поэтому
нетрудно видеть, что п@п, х0)—свободная группа
с образующими
|Л, = [б*а,жб], ^2 = [б*а2*б]| при /=1,
{Л2 = [б*а2*^]} при i = 1,
{Л, = [б*а,*б], ^12 = [б*аа*6], Л3 = [б*а3*б]} при t = 3,
где в каждом случае мы используем очевидные обозна-
обозначения «!, а2, а3 и б.
Пространство Ui2 содержит окружность Ь в качестве
сильного деформационного ретракта, i=\, 2, 3. Таким
образом, n(Un, х0) — свободная группа с одной обра-

228 ГЛАВА 25
зующей В = [е*|"*е], где |3 и е—пути, отвечающие соот-
соответственно b и е.
Окружность с—сильный деформационный ретракт
подпространства Un[)U^2, так что n(Utlr\ Ul2, х0)—
свободная группа с одной образующей [у]. В Uit имеем
[ц>1у] = [8ш2ш1*а1ш2ш1ш1*6] = А2А1Аг1 при «=1,
^ == 1 ПРИ ' = 2,
= ЛгЛМ^МгМг1. при 1 = 3.
Внутри U12 имеем [ср2у] = [е*р*|3*р*8] = Б3.
Применяя теорему Зейферта—ван Кампена, полу-
получаем следующие копредставления фундаментальных
групп пространств Х{\
я(Х2> хо) = <{А2, 5}:
п(Х3, хи) = <{Аи А2,
Последний результат имеет место, поскольку АгА\А7хх
хАз1А^ = В3 тогда и только тогда, когда Л, =
= А^В-3А2А\Аг1, так что группа <{Л1( Л2, Л3, В}:
^71ЛГ' = 63}> изоморфна группе <{Аи Л2,
Рис.25.10
Дальнейшие вычисления с использованием теоремы
Зейферта — ван Кампена будут проведены в следую-
следующих главах.

ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТЛ — ВАН КАМПЕНА. III. ВЫЧИСЛЕНИЯ 229
Рис.25.11
25.1. Упражнения, (а) Пусть G — конечная абелева группа Пока-
Покажите, что существует пространство Xq, фундаментальная группа
которого изоморфна G (см. также упр. 19.5(Ь)).
(b) Пространство X получено из пятиугольника при помощи
отождествления его сторон, как показано на рис. 25.10. Вычис-
Вычислите фундаментальную группу пространства X.
(c) Докажите, что если подмножество W (Z R3 гомеоморфно
открытому диску D2, то W не является открытой в R3 окрестно-
окрестностью никакой своей точки. (Указание: если W — открытая в R3 ок-
окрестность точки w?W, то найдется подмножество UiCzW, для
которого w^Ux и Ui^D3 по определению.)

230 ГЛАВА 25
(d) Пусть X — крендель, т. е. подпространство R3, изображен-
изображенное на рис. 11.7(е). Вычислите его фундаментальную группу.
(e) Пусть Dlt D2—два двумерных диска с границами St и S2
соответственно. Пусть X— объединение D1 и ?>а, причем точки Sj
отождествлены с точками S2 по правилу: exp2ni/?Si отождеств-
отождествляется с ехр 2лШ в 52, где п — некоторое фиксированное нату-
натуральное число. Докажите, что X односвязно.
(f) Вычислите фундаментальные группы факторпространств,
изображенных на рис. 25.П.

Глава 26
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ПОВЕРХНОСТИ
Теперь ничто не мешает нам приступить к вычис-
вычислению фундаментальной группы произвольной поверх-
поверхности. Напомним результаты гл. 11, согласно которым
любую поверхность можно получить из сферы, тора и
проективной плоскости при помощи взятия связной
суммы. Напомним также, что фундаментальная группа
тора имеет две образующие, скажем с+ и dlt и одно
соотношение c^c^'df1 = 1, тогда как фундаментальная
группа проективной плоскости имеет одну образующую
fi и одно соотношение /i=l. Общий результат, кото-
который мы докажем, состоит в следующем.
26.1. Теорема. Фундаментальная группа поверхности
S — S* # тТ 4? nRP? есть группа с образующими си di,
сй, d2, ..., ст, dm, fit /2, ...,/„ и одним соотноше-
соотношением
Доказательство. Можно записать S в виде
S = X U #! U Я2 и • • • U Нт и М1 и Мг и • • • U Мп,
где X—сфера с m-\-n — q выброшенными открытыми
дисками, #!, Я2 Ят—ручки (каждая из которых—'
тор с выброшенным открытым диском) и Мх, Мг, ...
..., Мп—листы Мёбиуса (каждый из которых—вещест-
которых—вещественная проективная плоскость с выброшенным диском),
Если blt bt, ..., bq суть q окружностей, образующих
край X, то
XftH — bi, /=1, 2, ..., т,
-ba+J, j = \, 2, .... п.

232
Заметим, что X гомеоморфно диску D2 с д— 1
выброшенными открытыми дисками. Пусть х0—¦ точка
внутри X, как показано на рис. 26.1. Пусть хх, хг,
..., xq—точки на Ьи Ъг, ..., bq. Пусть, наконец,
ait а2 aq—кривые, соединяющие х0 с хи хг xq
соответственно, как показано на рис. 26.1.
Рис.26.1
Подпространство в X, состоящее из aiy а2, ..., aq^t
и Ьг, Ьг, .... bq_1, есть сильный деформационный рет-
ракт X. Поэтому нетрудно видеть, что фундаменталь-
фундаментальная группа Л" —это свободная группа с q—1 образую-
образующими. (На самом деле после стягивания дуг alt аг,
..., aq_l в точку х0 пространство X гомотопически
эквивалентно относительно {х0} объединению ц—1
окружностей с одной общей точкой.) Если alt a2, ...
...,aq — пути в X из х0 в xh соответствующие дугам
а*, а2 aq, a pt, p2, ..., р„ — замкнутые пути
в точках хи х2, ..., xQ, соответствующие окружно-
окружностям blt bit ..., bq, то п(Х, хп)—свободная группа,
порожденная образующими
Если обозначить [а.^ц*ад] через Вф то Вд1 =
= fljfljj- • -Bq-u т. е. ВЛВ2.. .Bq_-iBq= 1.
Итак, п(Х, х0) можно эквивалентно описать как
группу с образующими Ви Вг, ..., Bq и одним соот-

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ПОВЕРХНОСТИ
233
ношением B1Bi.. .Bq= [. Эта формулировка буде1 по-
полезна в дальнейшем.
Если взять другие отмеченные точки, например хь
i—\, 2, ..., q, то л(Х, Х[)—группа о образующими
h{{B^), ht(B2), ..., hi(Bq) и одним соотношением
hl(BlB2... .Bq)= 1, где h{\ п(Х, х0) —*п(Х, х{) — изо-
изоморфизм, определенный формулой ht ([0]) = [а,.*Э*a,J.
Заметим, что h{ (Bt) = [|3,.].
*i (О
Рис.26.2
Рассмотрим теперь ручку Н(. Из прежних вычисле-
вычислений нам известно, что фундаментальная группа Ht —
свободная группа с двумя образующими. В обозначе-
обозначениях рис. 26.2 n(Hh х()—свободная группа, порожден-
порожденная элементами Q = [е,*у,*е/] и D/ = [e/*6J.*e/], где
в/—путь, соответствующий кривой et в Hh а у,-, б,—
замкнутые пути в Н{, изображенные на рис. 26.2.
Заметим, что замкнутый путь \it, соответствующий
окружности Ь(, можно выразить через Ct и D,- в виде
Рассмотрим лист Мёбиуса Mf. Фундаментальная
группа Mj—свободная группа с одной образующей
/?/==[е,+т*фу*еу+;л], где е/ + т — путь, соответствующий
е,+т на рис. 26.3, а фу—изображенный там замкнутый
путь. Заметим также, чго [|i/+m] = Ff.
Чтобы вычислить фундаментальную группу поверх-
поверхности S, скомбинируем полученные результаты и при-
применим индукцию. Определим подпространства Хо,
Х± Xq поверхности S следующим образом:
Х0=Х, Xi = Xt_^\]Hl при i=\,2,...,m,
•Xm+j-iUM, при /=1,2, ...,«.

234
ГЛАВА 26
Покажем, что фундаментальные группы пространств
X, и Xm+J устроены следующим образом: n(Xh x0),
(«в0, 1, ,.., т,— группа с образующими с1( dlt c2,
W
Рис.26.3
d2, ..., ch dh B!+i, BUi, ..., Вч и одним соотноше-
соотношением c^c^d^c^d^dj1... cidicT1dY1Bi+1... Be = 1, а
л(Хгп+/, х0), / = 0, 1, ...,я,— группа с образующими
си du с2, а2, ..., ст, dm, /j, /2, ..., fj, Bm+}-+1, Bm+/+2, ...
..., Вц и одним соотношением c^u^d^c^d^di1...
.. .стйтс-тч-тчт. ¦ 4)вт+/+1вт+/+2.. .b,= l.
Чтобы доказать этот результат, воспользуемся тео-
теоремой Зейферта — ван Кампена, а для этого нужно
представить Xk в виде объединения двух открытых
подмножеств. Хотя Хк = Xk_1\jYk, где Yk = Hi или Mj
при некоторых i и /, но ни одно из этих подпространств
не открыто. Напомним, однако, результат гл. 11 о том,
что (поскольку мы брали связные суммы) найдется
открытая окрестность Nk окружности Ьк в S, гомео-
морфная S1x(— 1, 1), причем еслиgk: Nk—*S1x(—l, 1)—
соответствующий гомеоморфизм, то gk (bk) = S1x{0} и
^(^xl-l.ODcXcX^, g?(Slx[0, l))<zYk.
Поэтому определим Vk = Xk_1\}Nkc:Xk_1\}Yk — Xk и
Y.k*sNkuYkc:Xk_1uYll = Xk. Подпространства Uk и Vk
пространства Хк открыты и линейно связны, и Uk[)

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ПОВЕРХНОСТИ 235
f\Vk = Nk линейно связно. Теперь можно применить
теорему Зейферта—ван Кампена к Хк = Uk[]Vk и от-
отмеченным точкам xk?bk. Очевидно, что Xk_it Yk, Ък—
сильные деформационные ретракты соответственно
пространств Uk, V к, Uk Л Vk, так что
хк) = л{Хк_ь хк), n(Vk, xk) = n{Yh, xk),
Фундаментальные группы л (Хк, х0) совсем легко вы-
вычисляются по индукции. Иллюстрируем это вычисле-
вычислением группы п(Хи х0). Имеем
n{Ut, xJ-niX, *,) = <{/!!(fix), К(В2), ...
По теореме Зейферта — ван Кампена n(Xt, хх) =
— ^.(UiUVi, Xj)—группа с образующими Cf, Du
hi (Si), hi (Вг), ...,hl (В ) и соотношениями ht (BXB2...
...B,)=il, KiB^^C.Dfil'Dl1, так как M^iHtPi]
в X и [Pj = CiDjCr'O^1 в #]> Исключение образую-
образующей ft^St) показывает, что n(Xit xj—группа с обра-
образующими Cit Dit К{Вг), h^Bs) h^B^) и одним
соотношением CiD1Cl)-Di1hi {ВгВ3... б(|) = 1.
Отсюда непосредственно следует, что п(Х1, хо)~
группа с образующими cf, dlt Blt B3, ..., Bq и одним
соотношением с^с^Ч^В^Вз.. .Bq=\, где cl = hi1(Cl) =
=[а1*81*у1*81*а1] и d, = ftrl(^i)=:[ai*8i*^i*8i*ai]-
Очевидное продолжение этой процедуры предостав-
предоставляется читателю. ?
Непосредственно не видно, насколько различаются
группы, перечисленные в теореме 26.1. Поэтому мы
прокоммутируем их, т. е. из группы G = <51:/?> обра-
образуем прокоммутированную группу
y-4 x, ytSJ),
добавив соотношения ху = ух для всех х, y?G.
Пусть л = 0, т. е. S = S*#mT; тогда An(S, x0) —
группа с множеством образующих Sm = {cu d1, сг, d2, ...

236 ГЛАВА 26
..., ст, йт) и соотношениями {г,„=\)\}{ху = ух: х,
y?Sm}, где
В частности, имеет место соотношение cld1 = d1c1, так
что соотношение гт=\ является следствием соотноше-
соотношений {ху — ух\ х, уё^т}. Итак, An(S, x0) — это группа
<.Sm:\xy = yx: х, y?Sm}>, и нетрудно видеть, что
An (S х );^ Z2'"
Пр'и°я>1, когда S = S2#mT#«RP2, группа
/4n(S, хй) имеет образующие Sm+n = {c!, dlf c2, d2, ...
•••. с». rfm. /i. /2. •••>/«} и соотношения {/"m+n=l}U
U{xy = yx: x, y?Sm+tt}, где
Соотношение rm+n=\—следствие соотношений \ху =
= г/х: х, г/€5от+„} и {(/,/2. . ./„J= 1}. Более того, соот-
соотношение {(/i/2 ••• /лJ== 1} —следствие соотношений
{тт+п= \}[){ху^ух: х, y?Sm+n}. Таким образом,
An(S, xo) = (Sm+n:{xy = yx: x, y?Sm+n}U
Поэтому любой элемент из ЛяE, х0) можно записать
в виде
raa>,Jba>raB)Jbi2) Pa(m)rit(in)fea>feB) few)
Ci Uj 62 tJ2 • • •'-m um h I г • • -In >
где a(i), b(i), e(i)?Z. Это выражение можно перепи-
переписать в виде
и тогда легко видеть, что Лзт(S, xo)^Zlm+"~1xZ2.
26.2. Следствие. Прокоммутированная фундаменталь-
фундаментальная группа (i) ориентируемой поверхности рода
m(m^O) есть Z2m, (и) неориентируемой поверхности
рода п{п^\) есть Z"~1xZ2-
Это следствие показывает, что никакие две поверх-
поверхности из перечисленных в теореме 11.3 не гомеоморфны.
Следующее утверждение можно рассматривать как

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ПОВЕРХНОСТИ
237
основной результат о связи поверхностей и их фунда-
фундаментальных групп.
26.3. Следствие. Две поверхности тогда и только
тогда гомеоморфны, когда их (прокоммутированные)
фундаментальные группы изоморфны.
Это следует из классификационной теоремы для
поверхностей (гл. 11) и следствия 26.2.
Полезно отметить еще один результат, вытекающий
из последнего следствия.
26.4. Следствие. Поверхность тогда и только тогда
односвязна, когда она гомеоморфна сфере S2.
Следствие 26.2 можно использовать для решения
вопроса о том, является ли какое-то заданное прост-
пространство поверхностью.
26.5. Следствие. Пусть X —некоторое пространство
и хо?Х. Если группа Ап(Х, х0) не имеет вида Z2m
или Zn~1x7li, то X—не поверхность.
В гл. 11 мы дали другое описание поверхностей
в терминах факторпространств многоугольников. Неза-
Независимое вычисление фундаментальной группы поверх-
поверхности исходя из этого описания мы оставляем читателю
в качестве упражнения.
26.6. Упражнения, (а) Пусть М —факторпространство Ат-утоль-
ника (т^\) с отождествлениями, указанными на рис. 26.4 (а),
и а2
О, J
4 (а)
F)
Рис.26.4

238 ГЛАВ \ 26
т. е. М — ориентируемая поверхность рода т. Докажите непосред-
непосредственно (с использованием теоремы Зейферта — ван Кампена), что
фундаментальная группа М—это группа с образующими Ах, Вх, Л2,
?2, • • •, Ат, Вт и одним соотношением А-^ВхА^ВТ1АгВгА^В^...
...апвяа?е? = \.
(b) Пусть М — факторпространство 2п-угольника (я 5=1)
с отождествлениями, указанными на рис. 26.4 (Ь), т. е. М — не-
ориентируемая поверхность рода п. Докажите (применяя теорему
Зейферта — ван Кампена), что фундаментальная группа М—это
группа с образующими Аъ Аг Ап и одним соотношением
А\А\...А\=\.
(c) Докажите, что если 1ЛХ и М2 — связные л-мерные много-
многообразия при п > 2, то фундаментальная группа пространства
Мх^.Мг изоморфна группе <S1(JS2:/?1|J /?2>, где <S;: /?,•>—фун-
/?,•>—фундаментальная группа М[ при г=1, 2.
(d) Докажите, что если Gn — свободная группа с п образую-
образующими, то существует четырехмерное многообразие Мп с фунда-
фундаментальной группой Gn. (Указание: найдите Мх.)

Глава 27
УЗЛЫ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
И ТОРИЧЕСКИЕ УЗЛЫ
Узел—это подпространство К3, гомеоморфное окруж-
окружности S1. Некоторые примеры узлов приведены на
рис. 27.1. Хотя все пространства на этом рисунке
гомеоморфны между собой (каждое из них по опреде-
определению гомеоморфно окружности), интуиция подсказы-
подсказывает нам, что вложены в К3 они не одинаково. Так,
если сделать веревочные модели узлов, то в нашем
трехмерном мире нельзя, например, превратить узел (а)
на рис. 27.1 в узел (с), не разрезая веревки. Это про-
происходит потому, что узел (с) «заузлен», тогда как
узел (а) «незаузлен». Разумно считать узел незаузлен-
незаузленным, если его можно совместить с узлом (а) рис. 27.1
при помощи непрерывного движения в трехмерном про-
пространстве. Это наводит на мысль, что, кроме непре-
непрерывного движения узла, происходит непрерывная де-
деформация и объемлющего трехмерного пространства.
Таким образом, мы приходим к следующему определе-
определению. Узел К называется незаузленным, если существует
гомеоморфизм h\ R3 —<-R3, при котором h{K)—стан-
h{K)—стандартная окружность {(х, у, 0) ?R3> х2 + у2=\\ в R2c=IR3.
Итак, узлы (а) и (Ь) на рис. 27.1 незаузлены, а осталь-
остальные заузлены (по крайней мере, в этом убеждает нас
практический опыт или интуиция). Далее в этой главе
мы докажем, что узлы (с), (d) и (g) на рис. 27.1 дей-
действительно заузлены. В следующей главе мы сможем
доказать, что заузлены и все остальные узлы на
рис. 27.1.
Читатель может удивиться, почему мы определили
узел как подпространство R3. (Не только ли потому,
что мы живем в трехмерном мире?) Почему бы не
определить узел К как подпространство R", гомеоморф-

240
ГЛАВА 27
(а)
(d)
(к)
(т)
Рис. 27.1. Некоторые узлы, (с) Правый трилистник, (d) Левый
трилистник, (е) Правая восьмерка, (f) Левая восьмерка, (h) Ки-
Китайская роза, (i) Беседочный узел, (j) Узел истинной дружбы.
(к) Бабушкин узел A) Узел ложной дружбы, (гп) Сквер-узел

УЗЛЫ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
241
(с)
Рис.27.2
X
Рис.27.3. Правый (слева) и левый реперы.
ное S1? Очевидно, что п должно быть не менее 2
(причина—следствие 10.3). Однако при пфЗ всегда
существует гомеоморфизм h: R" —> R", такой, что h (К)—
стандартная окружность в R". Мы не будем доказывать
этот результат. При « = 2 это знаменитая теорема
Шёнфлиса. При п ^ 4 это означает, что если бы мы
жили в четырехмерном пространстве (или в простран-
пространстве более высокой размерности), то мы могли бы раз-
развязать все узлы. Интуитивно это ясно: дополнительное
измерение дает место для протаскивания одного куска
веревки «сквозь» другой. Этим объясняется, почему мы
определили узлы как гомеоморфные образы окружности
в R3. Можно было бы рассматривать подпространства
Rn+1, гомеоморфные S". Вопрос об их заузленности
имеет смысл и приводит к некоторым интересным
результатам, но они выходят за рамки этой книги.

242 ГЛАВА 27
Вернемся к узлам в R3. Итак, мы определили, что
значит для узла быть незаузленным. Вообще, назовем
два узла /С, и К2 эквивалентными, если существует
гомеоморфизм h: R3 —>R3, при котором h(Ki) = K2-
Например, на рис. 27.1 эквивалентными являются узлы
(a) и (Ь); (с), (d) и (g); (e) и (f) и т. д. То, что (а) и
(b) эквивалентны, очевидно. Так же легко обнаружить
эквивалентность узлов (g) и (с). Чтобы убедиться, что
(c) и (d) эквивалентны, поместим один из них прямо
над другим. Искомым гомеоморфизмом будет зеркаль-
зеркальное отражение относительно плоскости, расположенной
между ними. Аналогичный гомеоморфизм имеет место
для пары (е), (f). Есть и другой способ установить
эквивалентность узлов (е) и (f). Он изображен на
рис. 27.2. Читателю рекомендуется сделать узел (е)
рис. 27.1 из веревки и продеформировать его, как
показано на рис. 27.2.
Заметим, однако, что физический эксперимент (по-
(попытайтесь его провести) приводит к заключению, что
левый и правый трилистники (рис. 27.1 (с), (d)) не
одинаковы в том смысле, что в трехмерном простран-
пространстве нельзя преобразовать левый трилистник в правый.
На самом деле для перехода от одного к другому
потребуется зеркало. Зеркальное отражение переводит
правый репер в R3 в левый репер (рис. 27.3), но пе-
перевести один из них в другой движением в R3 не-
невозможно.
Назовем гомеоморфизм h: R.3 —> R3 сохраняющим
ориентацию, если он переводит правый репер в пра-
правый репер '). Узлы /¦(, и /С2 называются строго экви-
') Это определение имеет смысл только для гомеоморфизмов,
дифференцируемых вместе со своими обратными. В общем случае
сохранение ориентации можно определить при помощи теории
гомологии (гл. 29) следующим образом. Одноточечная компакти-
фикация пространства R3 есть S3 (упр. 8.14 (к)), и гомеоморфизм
h единственным образом продолжается до гомеоморфизма ft°°:
S3 —> S3, переводящего точку оо в себя. Гомеоморфизм h°° инду-
индуцирует изоморфизм ht: Н3 (S3) —. Н3 (S3) (следствие 29.13). Но
#3 (S3) = Z (теорема 29.19), поэтому ЛГ является либо тождест-
тождественным изоморфизмом, либо умножением на —1. В первом случае
говорят, что h сохраняет, а во втором — что h обращает ориента-
ориентацию пространства R3.— Прим перев.

УЗЛЫ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 243
валентными, если существует сохраняющий ориентацию
гомеоморфизм Ь. V? —+ R3, для которого h(Ki) = K2.
Таким образом (по крайней мере интуитивно), левый
и правый трилистники не являются строго эквивалент-
эквивалентными. С другой стороны, как показывает рис. 27.2,
левая и правая восьмерки строго эквивалентны. Поня-
Понятие строгой эквивалентности узлов хорошо согласуется
с наглядным представлением о том, какие узлы сле-
следует считать одинаковыми. На самом деле можно до-
доказать, что узлы Ki и /С2 тогда и только тогда строго
эквивалентны, когда найдется число к > 0 и гомеомор-
гомеоморфизм h: R3—» R3, при котором h (/С1) = /С2 и h(x) = x
при \x\~^k. Этот (нетривиальный) результат имеет
серьезную физическую подоплеку, разобраться в кото-
которой мы предоставляем читателю. Мы не будем его ни
доказывать, ни использовать.
27.1. Упражнения, (а) Покажите, что отношения эквивалентности
и строгой эквивалентности узлов действительно являются отно-
отношениями эквивалентности.
(b) Пусть h: R3—»¦ R3 — линейное отображение (т. е. h(ka-\-
-т-Ц&)=АА(в) + цЛF) при I, ц?К, a, b?R3). Докажите, что h
сохраняет ориентацию в том и только в том случае, если detft>0.
(c) Докажите, что узел К тогда и только тогда строго экви-
эквивалентен стандартной окружности в R3, когда он эквивалентен ей.
(Указание: стандартная окружность «симметрична».)
(d) Приведите, если это возможно, примеры узлов К, для
которых (i) /Cc=S2cR3, (ii) KdmpczR3, (iii) Кс=крендельс:К3.
(e) Пусть К—узел в R3, состоящий из конечного числа k
прямолинейных отрезков. При каких значениях k @<&<10)
узел К может быть заузленным?
(f) Пусть р: R3—»• R2 — естественная проекция R3 на R2 (т. е.
р(хъ х2, х3) = (хъ x2)PR2c:R3). Кратной точкой для узла К
называется точка *?R , для которой p~l(x)f] состоит из двух
или более точек. Эта точка называется двойной, если р~1(х){\К
состоит из двух точек. В этом случае мы называем ее несобствен-
несобственной двойной точкой, если при малом шевелении узла она пере-
перестает быть кратной (рис. 27.4).
Рассмотрите узлы, для которых все кратные точки являются
собственными двойными точками. Найдите все такие узлы с одной,
двумя, тремя, четырьмя, пятью и шестью кратными точками.
Если /d и Кг—эквивалентные узлы, то существует
гомеоморфизм между R3\Ki и R3\/C2- Следовательно,
ундаментальные группы дополнений двух эквивалент-
эквивалентных узлов изоморфны. Выберем любую точку х0 б к3\К

244 ГЛАВА 27
и назовем группу л(К3\/С, л;0) группой узла К- Экви-
Эквивалентные, но не строго эквивалентные узлы имеют
изоморфные группы. Этим объясняется, почему мы рас-
рассматриваем эквивалентные, а не строго эквивалентные
узлы.
\
Рис.27.4. Собственная (слева) и несобственная двойные точки.
27.2. Теорема. Группа незаузленного узла изоморфна Z.
Доказательство. Пусть К = {{х, у, z) ? R3i x2 + y2= 1,
2 = 0}—стандартная окружность в R3. Возьмем любое
е > 0 и определим подпространства X, Y пространства
R3\/C равенствами
Х = {(х, у, г)бК3! x<e}n(R3\K),
Y = {(x, у, z)?R3i x>-e}n(R3\/C).
Легко видеть, что подпространство
{(х, у, 2)eR3! x = 0, у>0}\{@, 1,0)}
является сильным деформационным ретрактом прост-
пространств X и Y. Итак, если О—начало координат в R3,
то фундаментальные группы л (X, О), л (У, О) изоморф-
изоморфны Z и имеют образующие [ах], [ау], где ах1 /—> X
и ау: /—*Y — пути вида t*—*-@, 1 — cos2n^, sin2n^).
Подпространство {{х, у, г): х = 0}\{@, 1, 0), @, —1,0)}
является сильным деформационным ретрактом прост-
пространства ХпУ, так что л(Х f\Y, О)—свободная группа
с двумя образующими [р\] и [p.J, определенными как
|3j(^) = @, 1—cos2n^, sin2n^),
|3_j(^) = @, —1+соб2л^, sin2n^).
Если ф^-: XПУ—> X, фк: X[)Y—>-Y — естественные
включения, то очевидно, что

УЗЛЫ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 2-15
Все условия на X, Y, Xf\Y, необходимые для при-
применимости теоремы Зейферта—ван Кампена, еыпол-
нены, и из этой теоремы следует, что фундаментальная
группа л (R3\K, О) является свободной группой с од-
одной образующей [а], где путь а: / —> R3\K задан
равенством а(^) = @, 1—cos2n^, sin2n^).
Наша следующая цель—показать, что не все узлы
незаузлены. Мы сделаем это, вычислив группу три-
трилистника и некоторого класса аналогичных узлов.
Трилистник принадлежит к числу так называемых то-
рических узлов. Это—большой класс узлов, являющихся
простыми замкнутыми кривыми на торе в R3. Мы пред-
представляем тор в виде S1xS1, причем точка на S1xS1
задается парой чисел (ехр ир, ехрг'9) при 0<ф, 9<2я.
Рис.27.5
Удобно представлять R3 как CxR и использовать по-
полярные координаты (г, 9) е= гет в С. Таким образом,
точка в R3 представляется тройкой (г, 9, г). В этих
обозначениях определим непрерывное отображение /:
S1xS1-^R3 формулой
Дехр1"ф, ехр Ш) = A -f A/2) cos «p, 9, A/2) sin ф);
тогда 51х51гомеоморфно образу f(SixS1) (см. рис. 27.5
и 5.4).
Пусть т, п — взаимно простые натуральные числа.

246
ГЛАВА 27
(о)
о
(е)
Рис.27.6. (а) Тип A, 1). (Ь) Тип B, 3). (с) Тип C, 2). (d) Тип E, 2).
(е) Тип D, 3)
Определим Кт, „ как следующее подмножество тора в R3i
Km,n={f(exp2nimt, exp2nint)i t?l\.
Нетрудно проверить, что отображение g\ S1—>-Km,n,
определенное как g(exp2ni7) = /(exp2ntm/, ехр2лт/),

УЗЛЫ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 247
является гомеоморфизмом, так что Кт, п—узел. Назо-
Назовем Кт,п торическим узлом типа (т, п). Примеры тори-
ческих 'узлов см. на рис. 27.6. На торе имеются две
стандартные окружности, задаваемые как /(ехр2ш7, 1)
и /A, exp 2лг7). Торический узел типа (т, п) обходит
п раз вокруг тора в направлении окружности /(ехр2ш7, 1)
и т раз — в направлении другой стандартной окруж-
окружности. Если представить тор в виде факторпростран-
ства R2/Z2, то Кт,п—образ в Т прямой в К2, прохо-
проходящей через начало координат с угловым коэффициен-
коэффициентом п/т.
Для вычисления группы торического узла К—Кт, п
удобно слегка раздуть этот узел. Пусть а—положи-
а—положительное число, не превосходящее |(l/2)sinn/«|. При
О ^ Ь ^ а определим Кь как следующее подмножество
R3(=CxR):
, 2nnt, у + (\/2) sin 2nmt):
Очевидно, что /(„ = /(. Вообще, если Db = {(x, у) С К2:
х2 + У2 ^Ь2}, то существует гомеоморфизм h: S1xDb-^Kb,
определенный равенством
/г(ехр2ш7, (х, у)) = (х + \ + (I/2) cos 2nmt, 2nnt,
y + (\/2)sin2nmt).
(Отображение h, очевидно, непрерывно и сюръективно.
Нетрудно проверить, что h инъективно; при этом исполь-
используется условие Ь^.а < | A/2) sin я/n |. Гомеоморфность h
следует тогда из теоремы 8.8.)
Оказывается, R3\/C и R3\Kb гомеоморфны при
всех Ь, 0 < b < a.
27.3. Теорема. Пусть а — положительное число и при
О ^ Ь ^ а существует гомеоморфизм h: S1 x Db —* Кь с R.3.
Если 0 < Ь < а, то R.3\Kb гомеоморфно К3\/С0.
Доказательство. Определим ф: R3\Kb—> R3\/C0
следующим образом. Если х ^ Ка\Кь, положим
<р(х) = х, а если х (zKa\Kb, то можно написать
x = h(z, r exp Ш) при Ь< г^а; в этом случае опреде-
определим ф (л:) как h (г, (г—Ь)(а/(а — 6))ехрг'9). Аналогично

248
ГЛАВА 27
определим^ ip: R3\/Co —> R3\Kb следующим образом.
Если х^Ка\К0, то у(х) = х, а если х?Ка\К0, то
x — h(z, гехрг'8) при 0< г<а и i|5(x) определяется как
h(z, (r(a—b)/a + b)expiQ). Проверку того, что i|xp=l,
ф\|5= 1 и что ф и i|5 непрерывны, мы оставляем читателю. ?
27.4. Теорема. Группа торического узла типа (т, п)
является группой с двумя образующими a, b и одним
соотношением ап = Ьт.
Доказательство. Определим /i CxS1
как
(гехрг'ф,
R3(=CxR)
, 0, A/2) г sin ф).
Очевидно, что / непрерывно. Образ f^xS1) является
тором в R3, описанным ранее. Выберем е>0 так,
чтобы 2е < а, где а, как и ранее, не превосходит
| A/2) sin л/л |. Определим подпространства X и У как
Х={/ (г exp iq>, exp t9)i 0 < ф, 0 < 2л, 0 < г <1 + е}\/С2е,
0<2л, 0<л<1 —
Таким образом, X U У = К3\/С2е ^ R3\/C. Пустьл:0С
^У
Рис.27.7
Легко видеть, что Z = {f(O, exp Ю): О<0<2л} —
сильный деформационный ретракт X, а У—сильный
деформационный ретракт IR3\Z. На рио. 27.7 показа-

УЗЛЫ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 249
ны рассматриваемые области при п = 3 в сечении по-
полуплоскостью Н в R3, состоящей из точек вида (г, 0, 2)
при фиксированном 0 (например, при 6 = 0). Ясно, что
Z—стандартная окружность в R3, и потому л(Х, х0)
и я (У, х0)—свободные группы с образующими [а] и
[Р] соответственно. Здесь а—замкнутый путь в X,
который проходит из точки х0 к окружности Z по дуге,
обозначаемой через ах, обходит один раз окружность Z
и возвращается вдоль дуги ах обратно в х0. Образую-
Образующая [Р] представлена замкнутым путем |3 в У, выхо-
выходящим из х0 по дуге aY к окружности
{(l+C/4)cos2n;1, 0, C/4) sin 2л/): t?l},
однократно обходящим эту окружность и возвращаю-
возвращающимся вдоль дуги ау в точку х0. Пространство X Г) У—
это в точности
{/(/¦ехр/ср, ехрй): 0<ср, 0<2я, 1— е < г <1+е}\/С2Е;
оно содержит подпространство
W = {f(exp2ni(mt + 6), exp2nint)i 0</<l}
при некотором б (например, б = п/2) в качестве силь-
сильного деформационного ретракта (попробуйте привести
несколько примеров при малых т, п). Подпростран-
Подпространство W является окружностью, и потому л (X Г) Y, хи)—
свободная группа с одной образующей [у], где у—замк-
у—замкнутый путь в X Г) У, обходящий один раз вокруг W
(если выбрать х0 ? W).
Пусть ср^: X [}У —*Х, фк! X (]У —*У—естествен-
—*У—естественные включения. Нетрудно видеть, что
Ф-х*М = [а]" или [а]~">
фк*[у] = Ии или [Р]-»
поэтому, заменяя, если нужно, а на а и Р на Р, по-
получим Фх* [у] = [<*]", Фу* [?] = [№• Рис- 27.8 иллюст-
иллюстрирует случай т = 3, п = 2.
Пространства X, У, X f\Y удовлетворяют условиям
теоремы Зейферта — ван Кампена, из которой немед-
немедленно следует доказываемый результат. Заметим, что

250 ГЛАВА 2?
теорема Зейферта — ван Кампена была бы неприменима,
если бы в предыдущем рассуждении мы положили 8=0.
Хотя группа торического узла вычислена, но не-
неясно, тривиальна она или нет. Аналогичную задачу
для поверхностей мы решили, прокоммутировав их
Рис.27.8
фундаментальные группы. Оказывается, однако, что
прокоммутированная группа узла всегда изоморфна Z.
(См. упр. 27.7(d), где есть указание, как доказать это
для торических узлов. В общем случае см. следст-
следствие 28.4.) Поэтому нужно искать другой способ отве-
ответить на вопрос, заузлены или нет торические узлы.
27.5. Лемма. Торический узел типа C, 2) заузлен.
Доказательство. Группа этого узла есть G — <.{a, b\:
\{аг = Ьъ}у. Определим G'- добавлением в G нескольких
соотношений:
G' = <{a, Ь}:{аг = Ь\ а2-1, аЬ^Ь-Щу.
Имеется очевидный эпиморфизм G—> G', переводящий
а в а и Ь в Ь.
Легко видеть, что G' изоморфна группе перестано-
перестановок трех символов, т. е.
G' = {1, а, Ь, аЬ, b\ ab*\ ab = b-la).
Эта группа неабелева, откуда следует, что и G неабе-
лева, так как гомоморфный образ абелевой группы есть
абелева группа. Таким образом, G неизоморфна Z,
откуда вытекает наше утверждение.
Можно провести аналогичные рассуждения для дру-
других торических узлов, но этим будет доказана только

УЗЛЫ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 251
их заузленность. Мы же хотим узнать, эквивалентен
ли каждый из них какому-нибудь другому. Чтобы
показать, что все они различны, нужен другой прием.
27.6. Теорема. Если два торических узла типов
(т, л), (т', л') при т, л, т', «'>1 эквивалентны, то
{т, п} = {т', п'}, т. е. т — т' и п = п' или т = п' и
п = т'. В частности, при т, «>1 всякий торический
узел типа (т, л) заузлен. Кроме того, существует
бесконечно много различных узлов.
Доказательство. Предлагаемые теоретико-групповые
рассуждения были впервые приведены О. Шрейером в
1923 г. Рассмотрим элемент ап = Ьт в группе G — <.{a,
b}:{an~bm}>. Этот элемент коммутирует с а и Ы
аа" = ап+1 = апа, ban = bbm = bm+i — bmb = anb,
а потому коммутирует с любым элементом из G. По^
этому подгруппа N, порожденная элементом ап, нор-
нормальна в G, и определена факторгруппа G/N. Всякое
g ^ G можно записать в виде g = aaWb^1)... aaWb^k>
при некоторых а A), |3A) a(k), |3(&). Тогда gN ? G,'N
можно записать в виде
gN = (аа <») N) (ДО <») N).. . (аа <*> N) (ДО <*> N) =
= (aN)a
откуда следует, что группа G/N порождена элемен-
элементами aN и bN. Если gN = N, то g?N, и потому
g = (ап)'= (Ьт)' при некотором /. Итак, соотношения в
G/N имеют вид (aN)n = N и (bN)m = N, так что
, bN}:{(aN)n=l,
Заметим, что центр G/N тривиален, так как если х
принадлежит центру G/N, то сх = хс и dx = xd. Из пер-
первого условия следует, что х = са при некотором а,
а из второго—что x = d& при некотором |3, поэтому
х= 1. Это означает, что центр Z(G) группы G есть N
(если р: G—*G/N—естественная проекция, то, как
легко видеть, p(Z(G))c:Z(G/N)). Другими словами,

252 ГЛАВА 2 7
имеем
G/Z (G) ~ <{с, d): {С =. 1, dm = 1 }>.
Коммутирование этой группы дает
<{с, d}:{c"=>l, dm=l, cd = dc}> ~ Z
Если торические узлы типов (т, п) и (т1-, «') экви-
эквивалентны, то их группы G, G' изоморфны. Но тогда
группы G/Z(G) и G'/Z(G') тоже изоморфны. Проком-
мутировав их, получим, что ZnxZm и Zn'XZm' изо-
изоморфны, а это возможно только при {т, п\ = {т'-, п'},
так как (т, п) и (т', п') — пары взаимно простых чисел.
27.7. Упражнения, (а) Покажите, что торические узлы типов
(т, 1) или A, п) могут быть незаузленными.
(b) Покажите, что торический узел типа (т, п) эквивалентен
узлу типа (п, т). Являются ли они строго эквивалентными?
(c) Торические узлы были определены для пар положительных
взаимно [простых целых чисел (т, п), но это определение имеет
смысл для любой пары ненулевых взаимно простых целых чисел.
Покажите, что если изменить знак у т или п, то полученный
торический узел будет эквивалентен исходному. Будет ли он
строго эквивалентен исходному?
(d) Докажите, что прокоммутированная группа торического
узла изоморфна Z- (Указание: если G = <.{a, b): {an = bm}>, опре-
определите ф: AG—> Z формулой ф (akbl) = mk-\-nl.)
(e) Докажите, что группа <{а, Ь): {а3 = 62}> изоморфна группе
<{*> У}'- {хух = } (Вй би Т
231 (f))
, ру <{, ) { }> рф ру
{> У} {у уху}}. (Воспользуйтесь преобразованиями Титце из
упр. 23.1 (f).)

Глава 28
УЗЛЫ. II. РУЧНЫЕ УЗЛЫ
Пусть К — узел в R3. Обозначим через р проекцию
R3 на плоскость R2 = {(*!, х2, 0) ? R3}, определенную
формулой р(х1г х2, xs) = (xi, xt, 0). Напомним, что точка
х?р(К) называется кратной, если р~1(х)()К состоит
/\
/
\
Рис.28.1. Собственная двойная точка (слева), тройная точка (в
центре), несобственная двойная точка
более чем из одной точки, и двойной, если р~1(х)Г\К
состоит из двух точек (рис. 28.1). Двойная точка на-
называется несобственной, если она пропадает при малом
шевелении узла (на изображении несобственной двой-
двойной точки на рис. 28.1 малый сдвиг «верхнего куска»
влево приводит к исчезновению двойной точки).
28.1. Определение. Узел К называется ручным, если
он эквивалентен узлу, имеющему только конечное число
кратных точек, каждая из которых является собствен-
собственной двойной точкой.
Все примеры узлов в предыдущей главе были руч-
ручными. Пример узла, который не является ручным, при-
приведен на рис. 28.2. Такие узлы называются дикими.
Эта глава посвящена ручным узлам.
28.2. Упражнения, (а) Докажите, что торический узел типа (т,п) —
ручной.
(Ь) Докажите, что узел, имеющий конечное число кратных
точек, ручной.

254 ГЛАВА 28
(c) Докажите, что узел тогда и только тогда является руч-
ручным, когда он эквивалентен узлу, состоящему нз конечного числа
прямолинейных отрезков.
(d) Докажите, что узел К тогда и только тогда является
ручным, когда существует подпространство Кг С R3, содержащее К
Рис. 28.2. Дикий узел
и гомеоморфное пространству 5]xD2, причем узел К соответствует
при этом гомеоморфизме окружности 5JX{0}.
На протяжении этой главы К—ручной узел. На-
Нашей целью будет вычисление группы узла /С. Можно
считать, что К лежит в нижнем полупространстве
R3, т. е.
К а{(хи *2, хя): *3<0},
и, более того, что К лежит в плоскости {(л:,-, х2, xs)\
хя — 0\, за исключением уступов глубины е в каждой
двойной точке (рис. 28.3).
Пусть Р—множество точек узла К, имеющих вид
(Xi, хг, — е), для которых р (xi: хг, — е)—кратная точка.
Можно считать, что Рф0, так как в противном слу-
случае узел К незаузлен. Пусть р± — одна из точек Р.
Выбор направления обхода узла К определяет нумера-
нумерацию кратных точек р2, р3, ..., рп. Множество Р раз-
разбивает К на конечное число дуг с1( о.2, ..., ап. Направ-
Направление обхода узла К определяет ориентацию этих дуг,
и можно считать, что концом дуги а,- является точка
р,-, t=l,2 л (рис. 28.4).
Наша следующая цель—описать замкнутые пути
в R3\/C. При /=1,2, ..., п обозначим через С/ малую
окружность в R3\/(, охватывающую дугу а{, как
показано на рис. 28.5. Зададим направление обхода
i так, чтобы вместе с направлением обхода дуги о,-

УЗЛЫ. II. РУЧНЫЕ УЗЛЫ
255
Рис.28.3
Рис.28.4
оно образовывало правый винт. Конечно, окружности
clt ca, ...,cn нужно выбрать непересекающимися.
Пусть х0—отмеченная точка в R.3\K, находящаяся
несколько выше узла К- При г=1,2 п обозна-
обозначим через Ь( отрезок в R3\/C, соединяющий х0 с ок-
окружностью с,-. Эти отрезки можно выбрать непересекаю-
непересекающимися и лежащими в верхнем полупространстве

256
ГЛАВА 28
Z>oc0
Рис. 28.6
{{хи х2, х3):
й
(рис. 28.5). Определим у,- как замк-
замкй
нутый путь в точке хй, который начинается в хи, идет
вдоль bh один раз обходит с, в выбранном направле-
направлении и возвращается вдоль bt в х0.
Мы покажем, что группа n(R3\K,xQ) порождена
элементами [у,], [у2] [у„]. Соотношения между
ними изображены на рис. 28.6. Если пересечение таково,
как на рис. 28.6 (а), то имеется соотношение [у/] [У/] X
х [у,-+1][у/]= 1. Другая возможность—когда дуга at
ориентирована противоположно по сравнению с этим
рисунком, а именно как на рис. 28.6 (с). В этом слу-
случае имеем соотношение [у/][У/] [Yi' + iltY/]—'• Оказы-
Оказывается, других соотношений нет—это будет показано
ниже. Здесь и далее мы полагаем «„+1 = ^1, yn+i = Yi
и т. д.
28.3. Теорема. Группа ручного узла порождена эле-
элементами [Yi]. [y«]> • • • > [y«] u имеет соотношения
[yt]==rj, [y2]=r2 [ул] = /-п. Каждое соотношение
[уЛ=аГ/ имеет вид [у,-] = [уу][у, +1][V/] или [у,]=
=[у7J~х[у,-+1 ][У/] при некотором /. Более того, любое
одно из соотношений \yk\ — rk можно опустить, и
группа от этого не изменится.

УЗЛЫ. П. РУЧНЫЕ УЗЛЫ 257
Значение /, которое входит в соотношение, опреде-
определяется дугой ctj, пересекающей проекцию узла над
точкой р{. Какое именно из двух соотношений имеет
место, зависит от направлений обхода дуг о,- и af.
В частности, если поворот от направления at к направ-
направлению cij происходит по часовой стрелке, то выпол-
выполняется первое соотношение, в противном случае—вто-
случае—второе (см. рис. 28.6 (а) и (с) соответственно).
Глядя на соотношения в теореме 28.3, немедленно
получаем
28.4. Следствие. Прокоммутированная группа узла
есть Z.
Для доказательства теоремы 28.3 рассмотрим под-
подпространства С и А пространства R3, определенные
как
С = {(хи х2, х3): х3 > — 2е/3},
/4 = {(*!, х2, хяI л:3<—е/3}.
Множество С П К (и А П К) состоит из п непересекаю-
непересекающихся дуг без кратных точек. Поэтому ясно, что суще-
существует гомеоморфизм h: C—+C, для которого h(СПК)
п
есть объединение (J E/ПС), где S{, i= I, 2, ..., л,—
t— i
окружность {(хх, хг, х3): лг, = / xl + xl=l} (рис. 28.7).
Рис.28.7
Таким образом, С\К гомотопически эквивалентно
иску с л выброшенными точками, откуда следует, что
п(С\К,х0)—свободная группа с л образующими
Ы> Ы Ы-

258 ГЛАВА 28
Аналогичным образом получим, что фундаменталь-
фундаментальная группа Л\/С есть свободная группа с л образую-
образующими. Но А\К не содержит х0. Поэтому выберем
отрезок Ь, соединяющий ха с множеством А, не пере-
пересекающий К и остальные выбранные дуги. Обозначим
через В множество А в объединении с множеством
всех точек, находящихся на расстоянии не более б от
отрезка Ь. Пространство В\К открыто и линейно
связно, и очевидно, что it(B\/C, xQ)—свободная группа
с п образующими ЦЗ,], [рз], . . ., [|3П]. Замкнутый путь
|3,- идет из ха вдоль b к А, затем в точку, близкую
к р/, вдоль окружности в В\К с центром в /?,• и
обратно в х0 (рис. 28.8).
Рассмотрим далее пространство (В\К) Г) (С\К).
Оно, очевидно, имеет гомотопический тип диска с 2л вы-
выброшенными точками, и потому я ((В\/() П (С\К), х0)—
свободная группа о 2л образующими [af], [ajf], ...
..., [a^], [a,+ ], [at], ...,[a,|]. Чтобы описать эти об-
образующие, заметим, что Bf\C разбивает К на 2л дуг,
которые можно обозначить через aj". аг> ..., а„ и
at, а}, ...,а%, где а[ и af—части дуг а, и ai+i
соответственно, лежащие в А П С и ближайшие к точке
pt. Путь щ обходит вокруг af, а af обходит вокруг
а; и af (для удобства), как изображено на рис. 28.8.
Пусть теперь срв: (В П С)\К -* В\К и Фс: (В П С)\
\К—+С\К—естественные включения. Легко обнару-

узлы, п ручные узлы 259
жить следующие эквивалентности;
~ C,., фда/ ~ е,
тогда как _ фса/" ~ ((у, «у,-)* у/+1)* у, или фса,+ ~
~ ((?/* У/) * Y/-ri)* Y/ в зависимости от связи направ-
направления обхода ctj в направлениями обхода дуг at и ai+l
(на рис. 28.8 изображено первое из этих соотношений).
Так как пространства В\К, С\К, (В\К)[)(С\К)
открыты и линейно связны, то можно применить тео-
теорему Зейферта—ван Кампена, из которой утвержде-
утверждения об образующих и соотношениях получаются не-
непосредственно.
Чтобы показать, что одно из соотношений избы-
избыточно, заменим А на А', где А1'—объединение А
с множеством всех точек, находящихся на расстоянии
от начала координат в R\ большем, чем некоторое
большое число N. Этим определяется множеатво В' =
= В[]А'. Фундаментальная группа В1\К та же са-
самая, что и у В\К, но фундаментальная группа
(В' [)С)\К имеет на одну образующую меньше, чем
фундаментальная группа (В{]С)\К. Это происходит
потому, что (В1[]С)\К имеет гомотопический тип
сферы S2 с 2л выколотыми точками. Отбрасывая об-
образующую Га?] группы л ((В' Л Q\K, xa), мы видим,

260 ГЛАВА 28
что соотношение [ук] = гк B л(К3\/(,х0) больше не
вляется необходимым. Детали мы оставляем чита-
читателю. ?
Иллюстрируем эту теорему тремя примерами. Для
краткости будем обозначать [ук] просто через ук. Сна-
Сначала вычислим заново группу трилистника. Исполь-
Используя обозначения рис. 28.9 и те, что применялись ранее,
мы видим, что группа трилистника имеет три образую-
ие Yi> ?2> 7з с соотношениями Vj = Y^VsYs. ?2 = Y^IWi.
3 = Y^1y1y2, одно из которых излишне. Например,
третье излишне потому, что его можно получить, под-
подставив первое соотношение во второе:
откуда Y3 = Y^1YiY2' Итак, группа трилистника есть
<{Yi> Y2. YsMy^I^Vi's' Y2 = Yx}>
<{Y?. yJ{Y2 Y3Y2YsY3Y3Y2Y3}>
= <{Y2> Ys} : {Y2Y3Y2 = YsY2Y3}>
и, как легко видеть, изоморфна группе <{а, Ь\:
:{а3 = Ь2}>.
В качестве следующего примера рассмотрим ба-
бабушкин узел, изображенный на рис. 28.10 (а). Мы ви-
видим, что группа этого узла имеет образующие у,, уа, . ..
и соотношения
Yi = Y3~xY2Y.s
Ys = Y^Ya
Ys — Yi"xY6Y4
. Y2 =
. Y4 =
. Y« =
YrxY3Y.
Ye^YsYr.
Y5-1YiY5
одно из которых лишнее. Все соотношения можно
выразить через ylt y3 и у5, и нетрудно показать, что
эта группа изоморфна группе с тремя образующими
Yi> Ys> Ys и двумя соотношениями Y1Y3Y1= Y3Y1Y3 и
Y5YiY5 = YiY5Yr Итак, группа бабушкиного узла есть
группа с тремя образующими х, у, г и двумя соотно-
соотношениями хух = уху и xzx — zxz.
В качестве последнего примера рассмотрим сквер-
узел, изображенный на рис. 28.10 (Ь). Группа этого
узла имеет шесть образующих ух, у2, ..., у. и соотно-

УЗЛЫ. II. РУЧНЫЕ УЗЛЫ
261
«5
(а)
(Ь)
Рис.28.10. (а) Бабушкин узел. (Ь) Сквер-узел.
шения
одно из которых лишнее. Как и для бабушкиного
узла, легко исключить три образующие и получить
группу с тремя образующими уи у3, у5 и двумя соот-
соотношениями YiYsYi = YsYiYs и Y8YiV6 = YiY6Yi- Итак> группа
сквер-узла — это группа с тремя образующими х, у, z
и двумя соотношениями хух = уху и xzx — zxz. В част-
частности, мы видим, что группы бабушкиного узла и
сквер-узла изоморфны. Однако известно, что эти два
узла не эквивалентны, хотя мы не будем это дока-
доказывать.
28.5. Упражнение. Применяя теорему 28.3, вычислите группы
узлов на рис. 27.1. Для узла на рис. 27.1 (Ь) покажите, что
получается, как это и должно быть, группа %.
Закончим наше рассмотрение узлов кратким опи-
описанием двух конструкций, связанных с узлами. Боль-
Большинство деталей и интересных свойств этих конструк-
конструкций оставлены читателю в виде упражнений.

262
ГЛАВА 28
Рис.28.11
Для двух узлов /Cj и /С2 зададим направления
обхода и определим их связную сумму /¦(, # Кг как
узел, который получается выбрасыванием интервала
из каждого узла и склеиванием оставшихся частей
так, чтобы направления их обхода были согласованы
(рис. 28.11). Простым узлом называется узел, который
нельзя представить в виде Кх # К2> где оба узла Ki
и Кг заузлены. Все узлы в наших таблицах (см. при-
приложение к гл. 28) простые.
28.6. Упражнения, (а) Покажите, что узел Ki # (К а # Кз) строго
эквивалентен узлу (К\ 4Ф Л) # Ks-
(b) Покажите, что узел К\ #К2 строго эквивалентен K.2#Ki.
(Указание: см. рис. 28.12.)
(c) Покажите, что если Ki строго эквивалентен К\, а Кг
строго эквивалентен Кг, тоК^&К^ строго эквивалентен К[ #Kv
Останется ли это верным, если убрать слово «строго»?
Следующая конструкция сопоставляет каждому
(ручному) узлу поверхность с краем (см. упр. П.8(Ь)).
Чтобы сделать это, выберем на узле направление об-

УЗЛЫ. И. РУЧНЫЕ УЗЛЫ
263
Рис .28.12
/ ^
Y
(Ь)
(С)
(d)
Рис.28.13
хода. Область вблизи каждой кратной точки (рис.
28.13 (а)) перестраивается, как показано на рис. 28.13 (Ь).
В результате перестроек получается несколько не-
непересекающихся окружностей. Каждую из них можно
заклеить диском так, чтобы эти диски не пересека-
пересекались. Для этого в случае, когда окружности содер-
содержатся одна в другой, слегка изогнем диски, чтобы
они вышли из плоскости, начиная с самой внутренней
окружности и переходя по очереди к внешним. Наконец,
на место прежней кратной точки вклеим полоску,
закрученную на пол-оборота (рис. 28.13 (d)). В резуль-
результате получим ориентируемую поверхность с краем. Ее
край, очевидно, совпадает с узлом К. Будем говорить,
что эта поверхность с краем натянута на узел. Неко-
Некоторые примеры даны на рис. 28.14 и 28.15.
Узлу на рис. 28.15 отвечает пара окружностей,
вложенных одна в другую. Мы заклеиваем внутрен-
внутреннюю окружность диском, лежащим в плоскости. Внеш-

264
ГЛАВА 28
Рис.28.14
(с)
Рис.28.15
няя окружность заклеивается диском, расположенным
ниже плоскости. Таким образом, рис. 28.15 (Ь) можно
рассматривать как сферу с дыркой, в которой нахо-
находится диск. На рис. 28.15 (с) эти две области соединены
пятью скрученными полосками.
Под родом поверхности с краем мы понимаем род
отвечающей ей поверхности без края (в смысле упр.

УЗЛЫ. II. РУЧНЫЕ УЗЛЫ
265
11.8(Ь)). Род построенной выше поверхности с краем
равен (с—d+ 1)/2, где с — число кратных точек, ad —
исло непересекающихся окружностей в нашем по-
построении.
Вообще говоря, на узел можно натянуть много
разных поверхностей с краем. Род узла К определяется
как наименьшее целое g{K), такое, что на К можно
натянуть ориентируемую поверхность с краем рода g (К).
28.7. Упражнения, (а) Покажите, что g (К # Ц = g (К) + g (L)
(это нетривиально).
(b) Выведите из (а), что любой узел можно представить в виде
конечной связной суммы простых узлов.
(c) Покажите, что род незаузленпого узла равен нулю.
(d) Докажите, что если Л' заузлеп, то K^L заузлен для
любого узла L.
(e) Докажите, что род торического узла типа (т, п) не пре-
превосходит (т—1) (п — 1)/2.
(а)
(d)
Рис.28.16
(f) Проделаем следующие операции над узлом К, нарисован-
нарисованным на плоскости. Прежде всего заштрихуем окружающую узел
внешнюю область (рис. 28.16). Затем заштрихуем некоторые из
областей таким образом, чтобы из двух соседних областей одна
была заштрихована, а другая—нет. Далее обозначим все заштри-
заштрихованные области, кроме внешней, буквами Rlt R2, ..., Rn. Каж-
Каждой кратной точке сопоставим число +1, —1 или 0 согласно
тому, имеет ли пересечение в этой точке вид, изображенный соот-

266 ГЛАВА 28
ветственно на рис. 28.16 (Ь), (с) или (d); нуль появляется тогда,
когда два заштрихованных участка вблизи двойной точки принад-
принадлежат одной и той же области.
Образуем симметричную матрицу А (К) = iflij) размера п X п
следующим образом:
ац = сумма чисел в кратных точках области R;,
¦—Щ] = —aji — сумма чисел в общих кратных точках областей
Rl и Rj.
Например, узел на рис. 28.16 определяет матрицу (~~f _l2) .
Пусть d (К) = (let А (К), так что d (К) не зависит от нумера-
нумерации заштрихованных областей. При п = 0 определим d(/Q=l.
(i) Найдите два строго эквивалентных узла К и L, для
которых i (К) ?d (L). Будет ли \d (K)\ = \d(L)\?
(ii) Если узлы К и L эквивалентны, будет ли | с! (а ) I =
= \d(L)\?
(in) Найдите узлы К и L, не являющиеся строго эквива-
эквивалентными, для которых | d (К) | = | d (L) |.
(iv) Покажите, что d (К # L) = d (К) d (L).

УЗЛЫ. II. РУЧНЫЕ УЗЛЫ
267
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛ. 28. ТАБЛИЦА УЗЛОВ
Следующие диаграммы изображают, с точностью до
эквивалентности, все простые узлы, имеющие не более
девяти двойных точек.

268
ГЛАВА 28
*ч
«з

УЗЛЫ. II. РУЧНЫЕ УЗЛЫ
269
§
*s#®

270
ГЛАВА 28
шз®Ш

УЗЛЫ. II. РУЧНЫЕ УЗЛЫ
271

Глава 29
СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ: ВВЕДЕНИЕ
Очень важную часть топологии составляет теория
гомологии. В настоящей главе эту теорию невозможно
изложить во всей полноте. Мы только иллюстрируем
ее основные идеи и связь (на примере одного частного
случая) с фундаментальной группой.
29.1. Определение. Стандартным п-мерным симплек-
симплексом Ап называется следующее подпространство R" + 1:
2 х; = 1, х,->0, t = 0, 1 п).
1=0 )
Точки уо = A,О, ...,0), у, = @, 1,0 0), .... у„ =
= @, 0, ..., 0, 1) называются вершинами симплекса Ап.
Так, Ао—это точка, А,—отрезок, Д,—треугольник
и Д3—тетраэдр (рис. 29.1).
29.2. Определение. Пусть X—топологическое прост-
пространство. Сингулярным п-мерным симплексом в X назы-
называется непрерывное отображение q>: An—>-X.
Таким образом, сингулярный 0-мерный симплекс —
это точка в X, тогда как сингулярный одномерный
симплекс—это, по существу, путь в X. В самом деле,
если ф—сингулярный одномерный симплекс, то равен-
равенство /@ = фA—t,t) задает путь f: I—*¦ X из точки
Ф (v0) в точку ф (с^). Обратно, путь f: / —»• X опреде-
определяет сингулярный одномерный симплекс ф: Аг —> X,
если положить ф(х0, xl) = f(xl).
29.3. Определение. Сингулярной п-мерной цепью в X

сингулярные гомологии: введение
Рис.29.1
ис.29.2
называется выражение вида 2 nj4>j> где {ср^: j?J} —
семейство всех сингулярных «-мерных симплексов в X
(J—некоторое индексирующее множество) и nf^Z,

274 ГЛАВА 29
причем только конечное множество чисел из {tiji JdJ}
отличны от нуля.
Множество Sn(X) сингулярных n-мерных цепей в X
образует абелеву группу со сложением, определенным
формулой
Нулевой элемент—это 2^Фу а обратным к 2/Ф/
является 2(—nj) Фу Ассоциативность и коммутатив-
коммутативность полученной группы очевидны.
Группа Sn(X) обладает некоторыми хорошими свой-
свойствами, но, к сожалению, вообще говоря, слишком
велика. Она станет более обозримой, если ввести на
ней отношение эквивалентности (подобно тому как это
делалось при определении фундаментальной группы).
Введем сначала понятие граничного оператора.
Для данного сингулярного n-мерного симплекса ср
определим сингулярный (п — 1)-мерный симплекс 5,-ср
формулой
при t = 0, 1, ...,« (рис. 29.2). Очевидно, этим опре-
определяется гомоморфизм групп 5,-: Sn(X) —> Sn_l (X), при
котором 2 П/Ф/ '"*¦ 2 "/^/Фу
29.4. Определение. Граничный оператор д: Sn(X)—*
—"SB-i(^0 определяется формулой
а,\ f+()B StD,
i=0
При помощи граничного оператора можно опреде-
определить две важные подгруппы в Sn(X).
29.5. Определение, (а) Сингулярная «-мерная цепь
c?Sn(X) называется п-мерным циклом, если дс=0. Мно-
Множество n-мерных циклов в X обозначается Zn (X).
(b) Сингулярная «-мерная цепь d?Sn(X) называется
п-мерной границей, если d=de для некоторогое ?Sn+1(X).
Множество п-мерных границ в X обозначается Вп(Х).

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ: ВВЕДЕНИЕ 275
Другими словами,
и, таким образом, Zn(X) и Вп{Х)— подгруппы Sn(X).
Заметим, что все сингулярные 0-мерные цепи яв-
являются 0-мерными циклами, т. е. Zo (X) — S0 (X).
Оказывается, все «-мерные границы являются «-мер-
«-мерными циклами. Это непосредственно вытекает из сле-
следующего результата.
29.6. Теорема. дд = О.
Доказательство. Вычислим дд на сингулярном «-мер-
«-мерном симплексе ср:
н 2()Чч 2 2
(= О / = 0 ( = 0
Мы утверждаем, что dfdi = didj+^ при i^j. Убедимся
в этом следующим образом:
(djd,<p) (х0, ...,хя.1) = (dj (<?,ф)) (дс0 х„_2) -
= (<5,ф) (х0 *,_!, О, Xj, ..., хп_2) =
= ф(х0, ..., Х;_ъ 0, х{, . .., х,_и 0, xj, .... х„_2) =
5 Х[_и 0, xh ..., х„_2) =
Итак,
n-l i
щ = 2 2 (-\y+J(-
i = 0 i = 0
/1-1 /
= 2 2(-i)'+/<
/г-I л-I
У У г n+/r
Zj Z \—v c
i = 0 / = (
n— 1 fi- 1
^1 ^i . 1 \i-f- / "
¦— ^^ ^^ ^ I j С
/=0 i = /
'i-I /г
— Z Zi i.— *)
/=0(=/+!
•j-l /г
)dfi + Zj Zi (—1)
/=Oi=/+l
/г-1 n
э,-д/+1ф +2 2 (—
?А+1ф + 2 2 (-
/ = 0 ! = /+l
n-l n
i i +1 i ~l ^^ ^^ \
/=0 i = / + I
/-1 а.E(.ф +
22 (-1у^адф=о.
/=0 1 = /+1 У

276 ГЛАВА 29
Таким образом, Вп(Х)—подгруппа Zn(X). Так как
обе эти группы абелевы, то Вп(Х)— нормальная под-
подгруппа Zn(X), и потому определена факторгруппа
г(хув(Х)
29.7. Определение. Факторгруппа Zn(X)/Bn(X) назы-
называется п-мерной группой гомологии пространства X.
Она обозначается Нп (X).
Другими словами, элементы Нп (X) — это классы
эквивалентности циклов по отношению эквивалентности
с~с'<=>с—с'?Вп(Х)
при с, c'?Zn(X) (как легко видеть, ~ действительно
является отношением эквивалентности). В этом случае
говорят, что циклы с и с гомологичны.
В следующих двух леммах вычисляются группы го-
гомологии точки и нульмерная группа гомологии линейно
связного пространства.
29.8. Лемма. Если X—одноточечное пространство, то
#„ (X)sZ и Нп (X) = 0 при п > 0.
Доказательство. При любом га ^ 0 существует един-
единственный сингулярный n-мерный симплекс ф(п): Д„ —> X,
и, таким образом,
Далее, 5/ф(я) = ф(в_1) при п>0 и
f=0 ' " t=0
О при нечетном п,
Ф(п-1) ПРИ четном л > 0.
При л = 0 имеем dcp(o) = 0. Из предыдущего выте-
вытекает, что
iSn(X), если л нечетно или п = 0,
" \ 0, если л четно и л > 0,
(Sn(X), если л нечетно,
"^ ' \ 0, если п четно,

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ! ВВЕДЕНИЕ 277
следовательно,
если «> 0. ?
29.9. Лемма. Если X— непустое линейно связное про-
пространство, то Но (X) s Z.
Доказательство. Произвольный нульмерный цикл
(или, что то же самое, нульмерная сингулярная цепь)
имеет вид 2 пхх> гДе пх 6 2 и только конечное мно-
жество из чисел \пх: х ? Х\ ненулевые. Определим
\|з: Я0(Х) —2 формулой ФBял;-х)==2я*-
Проверим сначала, что это определение корректно.
Пусть ~^тхх—другой нульмерный цикл, гомологичный
2 Пх*, т. e.^]«xx = ^тхх + дс, где с—некоторая одно-
одномерная сингулярная цепь. Эта цепь имеет вид с= 2
1
где Rj^L и ф^,—одномерный сингулярный симплекс.
Далее,
дс = 2 /г/<5ф / = 2j й/ (Ф/ (^0 — Ф/
откуда
т. е. \|з определено корректно.
Очевидно, что \|з—гомоморфизм. Он еюръективен,
поскольку \р(пх) = п, где х—любая точка из X. Пока-
Покажем, наконец, что \р инъективен. Пусть 2Я*Л;—нуль-
2Я*Л;—нульмерный цикл; тогда
B"*)хо+ 2 (пхх—пххи) =
is х
где фЛ—путь (или одномерный сингулярный симплекс)
из х в х0. Таким образом, 2n*JC и 12пх)хо гомоло-
гомологичны. Поэтому если tyQ^n^^O, то 2^Л = 0, а тогда

278 ГЛАВА 29
цикл 2 "ж* гомологичен нулю, и этим доказана инъ-
ективность \|з.
Этот последний шаг является решающим, поскольку
он показывает, что новый нульмерный цикл с='?1пхх
гомологичен нульмерному циклу (^пх)х0, который
полностью определяется числом 2jtix. ?
Для непрерывного отображения /: X—*Y можно
определить отображение /#: Sn(X)—>Sn(Y) формулой
f ( Л 2>
/s7 ) U
(Видимо, нужно было бы обозначить /#: Sn(X)~>
—* Sn(Y) через /„#: Sn(X)—+ Sn(Y), но это обозначе-
обозначение неоправданно сложно.) Очевидно, что /#—гомо-
/#—гомоморфизм групп. На самом деле /# переводит циклы
в циклы и границы в границы. Это вытекает из сле-
следующего результата.
29.10. Лемма. df#=f#d.
Доказательство. Рассмотрим («—1)-мерный сингу-
сингулярный симплекс ф. Имеем
#) (Ф)) (*о. Xit ..., Х„_1) =
0) Хх Х,._,, 0, X;
0, Хг, ..., Xt_u 0, *., ...,
= (/а,ф) (х0, *1( ..., хл_1) = ((/#3,) (ф)) (х0, хи . .., Хд.О,
что и доказывает лемму. ?
29.11. Следствие. f#(Zn(X))czZn(Y), f#{Bn(X))c:Bn(Y).
Доказательство. Если с—цикл в X, то df#(c) =
— f#d{c) — O, откуда следует, что /#(с) — цикл вК
Если d—граница в X, го d — d(e) и f#(d) — f#d(e) =
— df#{e) — граница в Y. ?
Это следствие показывает, что существует гомо-
гомоморфизм групп /,: Нп(Х) —+Нп (Y), определенный ра-
равенством Д, ( 2 «/Ф/^ = zj «//ф/. гДе 2 «/Ф/ есть п-мер-
V/6/ / /6V ieJ J
ный цикл в X. Гомоморфизм Д: Hn(X)-*Hn{Y) на-
называется индуцированным гомоморфизмом.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ: ВВЕДЕНИЕ 279
Следующие два результата доказываются легко, и
их доказательство предоставляется читателю. Сравните
их с теоремой 15.9 и следствием 15.10.
29.12. Теорема, (i) Пусть /: X^Y и g: Y —>Z—непре-
—>Z—непрерывные отображения; тогда (gf)t = gj*: Hn (X) —* Нп (Z)
при всех я^ 0.
(и) Если 1: X—>Х— тождественное отображение,
то 1*—тождественный гомоморфизм группы Нп(Х)
при всех п ^ 0.
29.13. Следствие. Если /: X—*Y—гомеоморфизм, то
/«: Hn(X)—-Hn{Y)— изоморфизм при всех я>0.
Замечание. Гомологии определяют функтор из топо-
топологии в алгебру (а именно в абелевы группы; см. при-
примечание перед упр. 15.11).
На самом деле группы гомологии гомотопически
эквивалентных пространств изоморфны. Это вытекает
из следующей теоремы о гомотопической инвариант-
инвариантности.
29.14. Теорема. Пусть /, g: X—+Y—непрерывные ото-
отображения. Если fug гомотопны, то /* = g*: Нп{Х)—>-
—* Нп (Y) при всех п ^ 0.
Доказательство. Определим при / ? / отображение
%t: X —* Хх I равенством Kt (x) = (x, t). Пусть/7: Хх /—»¦
—»- Y—гомотопия между fug, т.е. F (х, О) = /(лг),
F (x, \) = g(x), или, в терминах Kt, FX0 = f, FX, = g.
Допустим, что ХО, = Х1Щ; тогда
Итак, осталось показать, что 'kOii=klt: Нп(Х)—>-Нп (X х /).
Мы покажем, что для гомоморфизмов Яо#, Я1#; 5„(Х)—*
—+5п(Хх/) найдется гомоморфизм Р: Sn{X)—*
—+ Sn+i(Xx I) (называемый оператором призмы), для
которого дР + Рд = Х1# — Яо#. Если такой оператор су-
существует, то гомоморфизмы Яо# и Я1# называются цеп-
но-гомотопными.
Если Яо# и Я1# цепно-гомотопны и с—некоторый
«-мерный цикл в X, то (Я1#—Ао#) (с) = (дР + Рд) (с) =
= д(Рс), откуда следует, что Х1#с и Хи#с гомологичны,

280 ГЛАВА 29
и потому Х1« = Х0* Итак, для доказательства теоремы
достаточно показать, что %1# и %0# цепно-гомотопны.
Чтобы сделать это, нужно определить оператор Р.
Пусть ср: Д„ —> X—сингулярный я-мерный симплекс
в X, т. е. элемент Sn(X). Определим Р,-(ф) при ( = 0,
1, ..., п как элемент группы Sn+1(Xx I), заданный
равенством
0, хи ...,хп+1)
i \
Xi Т" */ + 1> •"•1+2' • • • > Xn+V' ' 2j Xk )>
fr = 0 /
и определим P(q>)?Sn+i(XxI) формулой Р (ф) =
rt
= ^ (— 0' Pi (Ф)- Нетрудно видеть, что Р: Sn(X)—»-
(=0
—* Sn+i (X х /)—гомоморфизм.
Гранину <ЭР(ф) можно теперь записать в виде
дР(Ф)= S (-1У0,Р(ф)= S S (-1)'+^уР,(ф)-
/=0 /= 0i=0
Перепишем dj-P^tp) по-другому. При г</ — 1 имеем
d/Pi(<(){Xo xn) = Pi(q>)(x0 xf_t, 0, Xj х„)=
— I Ф {х0, ..., х(-_ j, х, + л:г-+1, х,-+2, ...
• • •. ^/_i. 0 х„), 1 — 2j Xk ) —
fc = 0 /
i. л:/+2,..., д;„), 1
При />/ получим
djPi (ф) (*о, • • • > л:п)=/э/ (Ф) (^о лг/-1> 0. ^/. • ¦ •, х„)
=( Ф(х0, ..., х/_1, 0, ...
• • • 1 xi-2> xi_x -\-Х^, -tj + i, • • •, Хп), 1 2j xk ] —
k=Q J

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ: ВВЕДЕНИЕ 281
'"А \
Xi-2,Xi-i+Xt, xi+i хп), 1— 2 Ч ) =
= Pi-i(d/<p)(x0, ..., л„) = Р,._1а/(ф)(л;0 хп).
Наконец, если / = /, то
djPy{4>)(x0 х„)=Р/(ф)(л:0 xy_i, 0, xJt ...,х„)=
хп), l-2xj =
0, ..., х,_ь 0, ху хп) =
Окончательно имеем dyPJ = djPj_i, dJPi = Pi_ldf при
i>j, dyPi = PidJ_i при /</—l.
Используя эти соотношения и записывая дР в виде
дР=% ?(-\)'+'dfPt~d0P0 +
/ = 0 г = О
1 = /=| 7 7 ? = /— 1 = 0 ' '
нетрудно убедиться, что дР = д0Р0—дп+,Рп—Рд. Но
5в+,Я„(ф)(жв хв)**Рп{ц>){ха, ..., хп, 0) =
= (ф(х0, ..., дг„), 0) = ?10ф(х0) ..., х„) =
=*К#(Ч>)(х0, .... х„).
Итак, 5Я + РE = Л1# — Яо#, т.е. 11# и Яо# цепно-гомо-
топны. П
29.15. Упражнения, (а) Докажите, что если /: X—>К—гомото-
X—>К—гомотопическая эквивалентность, то f%: Нп(Х)—> Hn(Y)—изоморфизм
при любом п ^ 0.
(Ь) Докажите, что если i: А—> X —включение ретракта А
в А, то г'^: Нп(Л)—*Нп(Х) — мономорфизм. Докажите, что если
g: X—и4—ретракция, то Нп(Х)= im te(g ker ge. Далее дока-
докажите, что если А—деформационный ретрак! Л, то г'Ф — изомор-
изоморфизм.

282 ГЛАВА ?9
(c) Пусть X—линейно связное пространство и хо?Х. Пусть
р: X—>¦ {л;0} — очевидное отображение; определим Н„(Х) как ядро
гомоморфизма рФ: Нп (X) —+ Нп ({л;0}). Докажите, что Нп (X) as
(d) Пусть /: X —>¦ Y — непрерывное отображение, переводящее
отмеченную точку в отмеченную точку. Покажите, что сущест-
существует индуцированный гомоморфизм /„: Нп(Х)—>¦ Нп (Y). Предпо-
Предположим далее, что g: X—<¦ Y—другое отображение, переводящее
отмеченную точку в отмеченную точку, причем / и g гомотопны
относительно отмеченной точки в X. Докажите, что /* = ?*: Hn (X) ->¦
Следующий результат в нашем кратком обзоре го-
гомологии—это описание связи между фундаментальной
группой и одномерной группой гомологии пространства.
29.16. Теорема. Существует гомоморфизм г|>: я (У, у0)—>•
—*HX(Y). Если Y линейно связно, то гомоморфизм г|)
сюръективен, и его ядро совпадает с коммутантом
группы я (У, у0). Другими словами, Н1 (У) есть про-
коммутированная группа я (У, у0).
Доказательство. Пусть /: /—*-У — путь в У с на-
началом в у0. Определим ty(f): At-—*-У равенством
Отображение хр (/) является одномерным сингулярным
симплексом. Если / — замкнутый путь, то d(\p(f)) =
— Уо—^о = 0. и потому \(з (/) — одномерный цикл в У.
Проверим теперь, что если / и /' — эквивалентные
замкнутые пути, то \|)(/) и г|)(/')—гомологичные циклы.
Пусть /~/', и пусть F: /х/—>У—гомотопия отно-
относительно {0, 1}, реализующая эту эквивалентность.
Используем F для определения двумерного сингуляр-
сингулярного симплекса ср: Д2 —>¦ У следующим образом. Коор-
Координаты точки Q в Д2 можно выразить в виде A—s,
s(\—t), st) при некоторых s, /, OscCs, / sSC 1 (рис. 29.3).
Определим cp(Q) как F (s, t). В терминах координат
(x0, xlt xt) точки Q G A2 имеем
/ F(l—x0, xj(\—xo)) при хйф\,
Ф(г x x)
Заметим, что х2/A— хо)=:х2/(х1 + х2 и, конечно,

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ; ВВЕДЕНИЕ
283
(pA-t,t)
Рис.29.3
*o> xlt *2>0, так что 0 =^л:2/A — xQ) ^ 1. Так как
F@, t) = F(O, 0) при всех 1? I, то со непрерывно.
Легко вычислить границу ср:
где е: /—> К—постоянный путь е{t) = yo\
д1ц>(х0, Х!) = ф(л:0, 0, хг) =
_f F(l—x0, xj^—Xv)) при х0Ф\,
= \/?@,0) при *„=1;
f ^A—л0, 1) при л:0=^1,
= \ F@, 0) при хо=1;
) = ф
хь 0) =
Другими словами, <9ф = ф(е) —
Если, однако, определить с2
d d d
0) =
У как с2(х0, xit
й
@
xt) = y0, то doci = d1ci = dspt=:ci, где одномерный син-
сингулярный симплекс сг: Aj —<¦ Y определен как cf (л:0,
Х1) = уо. Итак, ^(е) = Eс!!, и потому циклы г|)(/) и v|j(/')
гомологичны. Этим доказано, что г|з — корректно опре-
определенное отображение группы я (У, у0) в HX(Y).
Чтобы проверить гомоморфность отображения г|з,
рассмотрим в Y замкнутые пути / и /' в точке у0.
Нужно показать, что цикл ^ (/*/') гомологичен ty(/)-f
+ \|;(/'), т. е. что цикл ^ (/) + ^ (/')—^(/*Г) является
границей некоторого сингулярного двумерного симп-

284
ГЛАВА 29
лекса ср: Да—> У. Определение ф подсказано рис. 29.4
и в явной форме имеет вид
{ /A+А'г — Хо) При Хй~^Хг,
Ф(*о, хь х,) = < ,
\ Г \хг—х0) при xo^.x2.
Заметим, что ф непрерывно по лемме о склейке. Легко
вычислить границу ф:
<Э„Ф (х0, х,) = ф @, х0, хх) = /' (х,) = ip (/') (х0, а^);
/A+Х,—JC0) При ДГ0^ДГ1,
/ (xi—xo) ПРИ Х0^~Х1г
_J /B*х) при х,<1/2,
"~\ Г Bxj—1) при хх> 1/2 (так как лг,+*,, = 1);
= * (/*/') (^о, *,);
а,ф(л:0, х1) = ф(х0, хь 0) = /A— х0) = \|; (/) (х0, д;,).
Таким образом, 5ф = \|;(/') — 4" (/*/')+ 11:(/)> откуда цикл
\|з (/*/') гомологичен гС(/) + 4" (/'). и, следовательно,
ф—гомоморфизм.
o. *i) = <F(*o, 0, х, =
Рис. 29.4
Предположим теперь, что У линейно связно. Пока-
Покажем, что v|j сюрьективно. Пусть с = 2пуф/—одномер-
2пуф/—одномерный цикл в У; тогда 5с = 0, т. е. ?] nf (ф, (v0) —
— Ф/ (vi)) — 0- Записав 5с в виде 2 тнУ» получим rnv=0
yeY
при всех г/^У. Для любого /?/ выберем путь g^ из
i/о в Ф/Ы = ^оФ/A) и путь §я из г/0 в ср, (о1) = а1ф/ A).
Эти пути должны зависеть только от концов, т. е.
при фу (v0) = (fk (о0) должно выполняться равенство

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ! ВВЕДЕНИЕ
285
ё/о= eko- Очевидно, что в этом случае
(Пусть gy—некоторый путь ту0 в у;.тогда
— tyig/o)) можно записать в виде 2 mvty (gy)-)
yeY
Полагая (jy равным одномерной сингулярной цепи,
определенной равенством o/ = \p(gJO)-{-(p/-—\p (gyj), по-
получим c = 2n/V Если fj\ I—у Y — путь, заданный
формулой //(^) = ф/A—t, t), то (gjo*tj)*gji — замкнутый
путь в Y в точке у0, причем ^((gr/0*//-)*g/-i) = G/ и
y(YI[{g/o*f,)*g/iT'}=c> откуда следует сюръектив-
ность гомоморфизма г|з.
Докажем, что ядро \(з совпадает с коммутантом.
Предположим, что цикл \f (/) гомологичен нулю, т. е.
= 5 f
/ s
= S «/ (ф/о —Ф/i + Ф/а).
i s J
где фу (/' ^ /)—двумерный сингулярный симплекс и
Фу,-= E,-фу (( = 0, 1, 2). Так как \(з(/) — одномерный син-
сингулярный симплекс, то *е(/) = Ф/гг ПРИ некоторых k, I,
Рис.29.5
и после приведения подобных членов в правой части
последнего выражения для \р (/) в ней будет содер-
содержаться ц>к1 с коэффициентом 1, а все другие слагае-
слагаемые—с коэффициентом 0.
Пусть gjt (/ ? J, i = 0, 1, 2) —путь в Y из у0 в фу- (у,).
Как и раньше, путь gJt должен зависеть только от
конца Фу (у,-), а не от индексов. Если фу(У,) = г/0> то
выбе ем постоянный путь (рисг 29.5).

286 ГЛАВА 29
Пусть /у,- {j?J, ( = 0, 1, 2) — пути в У, определен-
определенные равенствами /у7 @ = Ф/,- A — U 0 —д,ф/A—^ 0;
определим пути hjt {j?J, t = 0, 1, 2) формулами
Наконец, определим пути hs (/ ? J) как hj = (h/0*h/1)*hja.
Нетрудно видеть, что путь hj эквивалентен пути
(gr/i*((//o*/yi)*//3))*g'/i. который, очевидно, эквивалентен
постоянному пути е. Итак, 11[Л/]"/= 1.
Пусть Ал(У, г/0)—факторгруппа я (У, у0) по ком-
коммутанту, т. е. прокоммутированная группа я (У, у0).
Если [а] — элемент л (У, у0), обозначим через [[а]]
соответствующий элемент группы An(Y,y0). Так как
П[ЛуГ'=1. то Г№,]Г'=1-
Мы знаем, что ty(f) = <{>kl при некоторых к, I. По-
Поэтому f = fki и (по нашему выбору gfi) также f=-'iki-
Так как группа An(Y,y0) абелева, то можно привести
подобные члены в выражении ПОЛЛ]"' и получить,
что тыг'=[[/]].
Таким образом, [[/]]= 1, т. е. [/] принадлежит ком-
коммутанту. Поэтому ядро гомоморфизма \|з содержится
в коммутанте. С другой стороны, тот факт, что группа
Нх (У) абелева, означает, что ядро г|з содержит ком-
коммутант. Это завершает доказательство теоремы. ?
29.17. Упражнения, (а) Покажите, что Ну (S^ssZ и Нх ((S1)n)^zn-
(b) Приведите пример, показывающий, что если К не является
линейно связным, то группа Ля (К, уи) может быть не изоморф-
изоморфной группе Нг (Y).
(c) Вычислите одномерную группу гомологии ориентируемой
поверхности рода g и неориентируемой поверхности рода g. Выве-
Выведите отсюда, что две поверхности 5j и 5S тогда и только тогда
гомеоморфны. когда Я, (Sj si Hx E2).
(d) Предположим, что Y линейно связно Докажите, что
51 {У, Уа) и Н\ (У) тогда и только тогда изоморфны когда л (У ,уь)
абелева
(e) Покажите, что одномерная группа гомологии восьмерки
изоморфна Z X Z ¦
(f) Пусть S — некоторая поверхность, a S' получена из S вы-
выбрасыванием открытого диска Докажите, что Нх (S) es #i E').
При вычислении фундаментальных г упп очень

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ! ВВЕДЕНИЕ 287
полезной была теорема Зейферта—ван Кампена. Ана-
Аналогичная теорема имеется и в теории гомологии.
Пусть Х = иги U2, где U1 и ?/2—открытые подмно-
подмножества X, и пусть ер,: UjHU^^Ui, \|з,-: ?/;—>-Х —
включения при 1=1, 2. Определим гомоморфизмы
1: Hk{U\0U',) — Hk(U\)
h Hk(uj®H
равенствами /(с) = (ф„ (с), Ф2*(с)), j (cu cs) = i
()
29.18. Теорема. Пусть X^U^UU^, где Ut и Ut от-
открыты в X. Существуют такие гомоморфизмы Д]
Hk (X) —> Hk-1 (t/, П U2), что в последовательности групп
и гомоморфизмов
... — нк+х (X) Л Hk (Ut n ut) -^ Hk (t/t) 0 //t (t/t) Л
р каждого гомоморфизма равно образу предшествую-
предшествующего гомоморфизма.
Более того, если Y—другое пространство, причем
Y = VX[]V9_ (Vu Уг открыты в Y), и f: X —F — непре-
непрерывное отображение, для которого f (U:) с Vit то
(/| Ux П ^2)* А = Л/», т- е- гомоморфизмы А коммути-
коммутируют с индуцированными гомоморфизмами.
Гомоморфизмы Д называются связывающими гомо-
гомоморфизмами, а последовательность в теореме 29.18
называется последовательностью Майера — Вьеториса.
Вообще, последовательность групп и гомоморфизмов,
в которой ядро каждого гомоморфизма равно образу
предшествующего, называется точной последователь-
последовательностью. Таким образом, последовательность Майера—
Вьеториса точна.
Мы не будем доказывать теорему 29.18, однако,
чтобы продемонстрировать ее полезность (а тем самым
полезность теории гомологии), докажем при помощи
нее один результат и выведем из него важные след-
ств я.

288 ГЛАВА 29
29.19, Теорема. Пусть п — натуральное число;
I Z при & = 0, п,
Hk(S«) = { п
я [ U в противном случае.
Более того, если Тп: Sn—>5"—отражение, заданное
формулой Тп(х0, Xi д-„) = (—х0, хх хп), то
Tnt: Hn(S")—*Hn(Sn) есть умножение на —1.
Доказательство. Докажем эту теорему по индукции
с использованием последовательности Майера—Вьето-
риса. Пусть U1 = {xeS": лг„ > —1/2} и U2 = {x?Sn:
хп< 1/2}. Заметим, что Ux и Ut стягиваемы и (ДЛ^Л
гомотопически эквивалентно S", так что
I Z при k = 0,
Hk(U,) = { п
' [и в противном случае,
Далее, если представить 5" как {x?Sn: xn = 0\,
то Tn\S"-^Tn_v
Пусть п =1; тогда при k = 1 последовательность
Майера—Вьеториса имеет вид
что можно переписать как
где i(x, у) = (х + у, х + у). Гомоморфизм Д инъективен,
поскольку ker Д = im / = 0. Далее, группа im Д = ker i—
= {(х, —x)?ZQ)Z} изоморфна Z, так что Hl (S1) = Z.
Очевидно, что Тм(х, у) —{у, х), и так как Т04Д = ДГ14,
то Tj,—умножение на —1. При &> 1 последователь-
последовательность имеет вид
и легко проверить, что Д — изоморфизм (этот гомомор-
гомоморфизм инъективен, так как kerA = irru, и сюръективен,
так как imA = ker/'). Поэтому при и=1 теорема до-
доказана.
Пусть т> 1 и результат справедлив при л=/л — 1.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ' ВВЕДЕНИЕ 289
Докажем его при п—гп. При А' = 1 имеем
... — о -U н, (S») Л я0 (s«-i) -U zфz —...,
что можно переписать в виде
... —o-^//,(s*)A z -
где ((а) = (о, а), так что ker/ = O, а следовательно,
imA = 0 и H1(Sm) = 0. При ?> 1 имеем
... -> О Л Я, (S») Л Я,_i E»-») -Л О,
откуда делаем вывод, что Hk{Sm) = //ft_, (Sm~J). Далее,
при k — m, используя равенство Гт_18Д==АГтФ, полу-
получаем, что Тт<е—умножение на —1. Отсюда по индук-
индукции следует утверждение теоремы. ?
29.20. Следствие, (а) Если пфт, то сферы S" и Sm
имеют разный гомотопический тип.
(b) Всякое непрерывное отображение f: Dn —> Dn
имеет неподвижную точку.
(c) Отражение Тп: Sn —>¦ Sn не гомотопно тожде-
тождественному отображению.
(d) Антиподальное отображение A: S2ra —+S*n, опре-
определенное равенством А(х) = — х, не гомотопно тожде-
тождественному отображению.
(e) Если f: S2n —* S2tl гомотопно тождественному
отображению, то f имеет неподвижную точку.
(f) He существует непрерывного отображения f:
S2n~^Sin, для которого векторы х и f(x) ортогональ-
ортогональны в R24+1 при всех х.
Часть (а) следует из теоремы о гомотопической
инвариантности (теорема 29.14); см. упр. 29.15 (а).
Часть (Ь)—это теорема Б pay эра о неподвижной точке;
она доказывается точно так же, как следствие 16.10.
Часть (с) следует из теоремы о гомотопической инва-
инвариантности. Часть (d) следует из того, что А = RuRt...
...Rin, где Rt — отражение вдоль t-й координаты,
так что Л*: Н2п (S2") —> Н1п E2л) — умножение на
(—1Jга+1 = — 1. Для доказательства (е) допустим, что
/ не имеет неподвижных точек; тогда A—t)f{x)—(хфО
п и всех х, и можно определить гомотопию F; S2nx

290 ГЛАВА 29
X / —¦ 52га между f и А формулой
F(x, t) = {{\-t)f{x)-tx)l\\{\-t)f{x)-tx\\.
Наконец, часть (f) следует из (е), потому что если х
и f(x) ортогональны, то !{х)Фх.
Части (е) и (f) имеют при п = \ физическое истол-
истолкование, обычно называемое теоремой о волосатом
шаре. Она утверждает, что волосатый шар (т. е. D3,
на котором из каждой точки его поверхности 52 растет
волос) нельзя гладко причесать. В самом деле, любая
такая попытка приводит к образованию «пробора» или
«макушки». Для доказательства достаточно заметить,
что на гладко причесанной сфере единичный вектор f(x),
указывающий направление волоса в точке х, был бы
ортогонален вектору х. Отметим, однако, что волоса-
волосатый тор можно причесать гладко. Этот факт имеет
важное значение для термоядерных энергетических
установок будущего.
29.21. Упражнения, (а) При помощи последовательности Майера —
Вьеториса вычислите гомологии RP2.
(b) При помощи последовательности Майера — Вьеториса вы-
вычислите группы гомологии дополнения к узлу. Выведите отсюда
следствие 28.4.
(c) Докажите, что не существует ретракции диска D" на
сферу Sn~x.
(d) Пусть М есть m-мерное многообразие, а /V— некоторое
га-мерное многообразие. Докажите, что если т ф га, то М и N не
гомеоморфны. Это свойство называется топологической инвариант-
инвариантностью размерности. (Указание: воспользуйтесь гомеоморфизмом
M/(M\D) = Sm, описанным в упр. 11.12 (f).)
Есть много других способов определения гомологи-
гомологических групп. Для широкого класса пространств (на-
(например, для клеточных комплексов) все эти теории
совпадают. На этом основан аксиоматический подход к
теории гомологии, предложенный С. Эйленбергом и
Н. Стинродом в начале 50-х гг. Опишем множество
ксиом так называемых «приведенных теорий гомоло-
гомологии». Это теории, определенные для топологических
пространств с отмеченной точкой (как фундаментальная
группа). Приведенные сингулярные группы гомологии
пространства X с отмеченной точкой х0 ? X определя-

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ; ВВЕДЕНИЕ 291
ются равенством
где р\ X —* {xj — очевидное отображение (см. упр.
29.15 (с)). Для отображения /: X—*Y, переводящего
отмеченную точку в отмеченную точку, существует
индуцированный гомоморфизм /»: Нп(Х) —*• Нп (У),
определенный очевидным образом.
Прежде чем сформулировать аксиомы приведенной
теории гомологии, введем кратко некоторые обозначения.
29.22. Определение. Пусть X—топологическое про-
пространство с отмеченной точкой х0. Определим 2Х как
факторпространство (X X f)/(XxdI U {хи\ X/) с очевид-
очевидной отмеченной точкой. Назовем 2Х (приведенной)
надстройкой над X.
Заметим, что если /: X —* Y — непрерывное отобра-
отображение, переводящее отмеченную точку в отмеченную
точку, то оно индуцирует сохраняющее отмеченные
точки непрерывное отображение Е/: 2Х —*2У, опре-
определенное очевидным образом.
29.23. Определение. Приведгнный конус СХ над X
определяется как факторпространство (Хх1)/(Хх
X{1}U{XO}X/).
Если /: X —* У — непрерывное отображение, перево-
переводящее отмеченную точку в отмеченную точку, то конус
С/ отображения / есть факторпространство (СХ и У)/~,
где ~—отношение эквивалентности, определенное
условием (х, Q)~f(x) при (х, 0)?СХ и f(x)?Y.
Отмеченной точкой конуса С/ является точка, соответ-
твующая отмеченной точке уи?У-
Заметим, что имеется естественное включение
i: К —С,.
29.24. Упражнения, (а) Докажите, что если р: X—>• {*„} — по-
постоянное отображение, то Ср совпадает с SX.
(b) Докажите, что если X хаусдорфово, то таково же 2Х.
(c) Докажите, что SS1 m S2.
Сформулируем теперь аксиомы Эйленберга—Стин-
рода приведенной теории гомологии. Начиная с этого

292 ГЛАВА 29
места, все пространства имеют отмеченные точки и все
отображения таких пространств непрерывны и перево-
переводят отмеченные точки в отмеченные точки.
Приведенная теория гомологии, определенная на не-
некоторой совокупности (возможно, всех) топологических
пространств с отмеченной точкой, включает в себя
следующие объекты.
(A) Семейство {Йп: n?Z\, такое, что Нп ставит в
соответствие каждому пространству X из рассматривае-
рассматриваемой совокупности абелеву группу НП(Х). Эта группа
называется n-мерной приведенной группой гомологии X.
(B) Для любого непрерывного отображения /: X —> Y,
переводящего отмеченную точку в отмеченную точку,
существует индуцированный гомоморфизм /v Hп (X) —>
—*Hn(Y) при всех п.
(C) Для любого пространства X и любого целого п
существует гомоморфизм оп(Х); Нп(Х) —» Hn+l (SX),
называемый гомоморфизмом надстройки.
Эти объекты должны подчиняться следующим семи
аксиомам.
A) (Аксиома тождества.) Еели li X —+• X — тождест-
тождественное отображение, то индуцированный гомоморфизм
1,: Нп(Х)~+Нп(Х) является тождественным изомор-
изоморфизмом при любом целом п.
B) (Аксиома композиции.) Если /т X—+Y и gi
Y -* Z— отображения (непрерывные и переводящие
отмеченные точки в отмеченные точки), то (gf)* — gj*-
C) (Аксиома естественности надстройки.) Если
/: X —¦ У — непрерывное отображение, то следующая
диаграмма коммутативна1
Нп(Х)
Яп(У)

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ: ВВЕДЕНИЕ 293
D) (Аксиома гомотопии.) Если отображения /, g:
X —*- Y гомотопны относительно отмеченной точки в X,
то индуцированные гомоморфизмы /„ и g* совпадают.
E) (Аксиома надстройки.) Надстроечный гомомор-
гомоморфизм ап (X): Яп(Х) ~^Нп+1 (ZX) является изоморфиз-
изоморфизмом для всех X и всех п.
F) (Аксиома точности.) Для всякого отображения
/: X — Y последовательность Нп (X) -I Йп (Y) -^ Hn (Cf)
обладает свойством im/3. = kerjH, при всех п, где
/: Y —*¦ Cf—естественное включение.
G) (Аксиома размерности.)
О rS»1 = <! Z ПрИ "=0>
"пУ-1 ) | 0 в противном случае.
29.25. Упражнение. Покажите, что приведенная сингулярная тео-
теория гомологии является приведенной теорией гомологии в описан-
описанном выше смысле. (Указание: для проверки аксиом E) и F) вос-
воспользуйтесь последовательностью Майера — Вьеториса.)
Если вместо приведенной выше аксиомы размерно-
размерности потребовать выполнения условия Нn(S°) = 0n для
некоторой совокупности абелевых групп Gn, n?Z, то
мы получим обобщенную приведенную теорию гомологии
с коэффициентами {Gn- n?Z\. Такие теории приоб-
приобрели в современной алгебраической топологии чрезвы-
чрезвычайно важное значение.

Глава 30
РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ЧТЕНИЯ
Эта глава содержит подборку книг для дальней-
дальнейшего чтения. Сюда же включены книги, требующие
для своего чтения гораздо более обширных сведений
из топологии, чем изложенные в этой книге. Выбор
предлагаемых книг основан на (предвзятых) вкусах
автора. Так, во многих случаях упоминается книга
Спеньера; это превосходный всесторонний учебник по
алгебраической топологии, хотя кое-кто находит его
трудным для чтения.
Многообразия. Некоторую общую теорию многообра-
многообразий содержит книга Дольда. О двумерных и трехмер-
трехмерных многообразиях см. у Мойза. Важным классом мно-
многообразий являются так называемые дифференцируемые
многообразия; им посвящена книга Хирша.
Теория гомотопий. Рекомендуем три книги: Грея,
Спеньера и Уайтхеда.
Накрывающие пространства. Теория накрывающих
пространств вливается в теорию расслоенных про-
пространств, хорошими пособиями по которой являются
книги Хьюзмоллера и Спеньера.
Действия групп. На топологических пространствах
см. у Бредона. На многообразиях ем. у Коннера и
Флойда и у Коннера.
Теория узлов. Книги Рольфсена и Кроуэлла — Фокса.
Теория гомологии. Дальнейшие сведения о сингу-
сингулярной теории гомологии имеются в книгах Дольда,
Гринберга, Спеньера и Викка. Две другие разновид-
разновидности теории гомологии—^эхо^симплициальные гомоло-
гомологии и гомологии Чеха1)/В книге Спеньера излагаются
1) Правильнее называть их гомологиями Александрова —Чеха.—
Прим ед.

РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ЧТЕНИЯ 295
обе эти теории. Книга Маундера хороша для знаком-
знакомства с симплициальными гомологиями, а книги Дольда
и Масси можно рекомендовать для изучения теории
гомологии Чеха. Обобщенные теории гомологии см. у
Грея и Свитцера. В книге Грея обобщенные теории
гомологии исследуются с чисто гомотопической точки
зрения. Наконец, классическая книга по аксиоматиче-
аксиоматической теории гомологии — это книга Стинрода и Эйлен-
берга.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Бредон (Bredon G. E.) Introduction to compact transformation
groups.— New York —London: Academic Press, 1972. [Русский
перевод: Бредон Г. Введение в теорию компактных групп
преобразований.— М.: Наука, 1980.]
Викк (Vick J. W.) Homology theory.— New York — London: Aca-
Academic Press, 1973.
Грей (Gray B.) Homotopy theory.— New York—San Francisco-
London: Academic Press, 1975.
Гринберг (Greenberg M. J.) Lectures on algebraic topology.— New
York: Academic Press, Benjamin, 1967.
Дольд (Dold A.) Lectures on algebraic topology.— Berlin — Heidel-
Heidelberg— New York: Springer, 1972. [Русский перевод: Дольд А.
Лекции по алгебраической топологии.— М.: Мир, 1976.]
Коннер (Conner P. E.) Differentiable periodic maps (second edi-
edition).—Berlin—Heidelberg—New York: Springer, 1979.
Коннер, Флойд (Conner P. E., Floyd E. E.) Differentiable periodic
maps.—Berlin —Heidelberg—New York: Springer, 1964. [Рус-
[Русский перевод: Коннер П., Флойд Э. Гладкие периодические
отображения.— М.: Мир, 1969.]
Кроуэлл, Фокс (Crowell R. H., Fox R. H.) Introduction to knot
theory.—Boston —New York: Ginn, 1963. [Русский перевод:
Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов.— М.: Мир,
1967.]
Масси (Massey W. S.) Homology and cohomology theory.— New
York — Basel: Marcel Dekker, 1978. [Русский перевод: Масси У.
Теория гомологии и когомологий: Подход, основанный на
применении коцепей Александера—Спеньера.— М.: Мир, 1981.]
Маундер (Maunder С. R. F.) Introduction to algebraic topology.—
Cambridge University Press, 1980.
Мойз (Moise E. E.) Geometric topology in dimensions 2 and 3.—
New York —Heidelberg —Berlin: Springer, 1977.
Рольфсен (Rolfsen D.) Knots and links.— Berkeley, Ca.: Publish
or perish, 1976.
Свитцер (Switzer R. M.) Algebraic topology — homotopy and ho-
raology.—Berlin —Heidelberg —New York: Sprin er, 1975.

296 ГЛАВА 30
Спеньер (Spanier E. H.) Algebraic topology.— New York: McGraw
Hill, 1966. [Русский перевод: Спеньер Э. Алгебраическая
топология.— М.: Мир, 1971.]
Стинрод, Эйленберг (Steenrod N., Eilenberg S.) Foundations of al-
algebraic topology.— Princeton University Press, 1952. [Русский
перевод: Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической
топологии.— М.: Физматгиз, 1958.]
Уайтхед (Whitehead G. W.) Homotopy theory.— Cambridge, Mass.:
M.I.Т. Press, 1966.
Хирш (Hirsch M. W.) Differential topology.— New York—Heidel-
York—Heidelberg—Berlin: Springer, 1976. [Русский перевод: Хирш М.
Дифференциальная топология.— М.: Мир, 1979.]
Хьюзмоллер (Husemoller D.) Fibre bundles (second edition).—
New York—Heidelberg—Berlin: Springer, 1975, [Русский
перевод первого издания: Хьюзмоллер Д. Расслоенные про-
пространства,— М.: Мир, 1970.]
ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПРИ ПЕРЕВОДЕ
Масси У., Столлингс Дж. Алгебраическая топология, Введение,
Пер. с англ.— М.: Мир, 1977.
Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный
курс). Пер. с англ.— М.: Мир, 1972.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометри-
Геометрические главы.— М.: Наука, 1977.
Стинрод Н., Чинн У. Первые понятия топологии, Пер, с англ.—
М.: Мир, 1967,

УКАЗАТЕЛЬ
Абелева (коммутативная) груп-
группа 12
Аксиомы отделимости 64—65
Алгебраическая топология 150
Алфавит 203
Антидискретная топология 21
Антиподальные точки 80
Ассоциативность групповой опе-
операции 10
Бабушкин узел 260, 261
База накрытия 166
Биективная функция 9
Бинарная операция на множе-
множестве 10
Блоха и гребенка 115
Борсук К. 181
Барсука — У лама теорема 181
Брауэра теорема о неподвижной
точке 164, 289
Ван Кампен Э. 202
Вещественное проективное про-
пространство 38
Взаимно однозначная функция 9
Внутренность множества 22
Восьмерка 218, 222
Выпуклое множество 113
Гейне — Бореля теорема 62
Гомеоморфизм 29
Гомеоморфные топологические
пространства 29
Гомоморфизм групп 11
— надстройки 292
Гомотопическая группа 155
— эквивалентность 136
Гомотопический тип 136
Гомотопия 132
— относительно подмножества
133
Гомотопные отображения 132
Граница 274
Граничный оператор 274
График функции 53
Группа 10
— гомологии 276
— скольжений накрытия 192
— слов 203
— узла 244
Двойная точка узла 243, 253
Действие группы на множестве
47, 48
Декартово (прямое) произведе-
произведение множеств 8
Деформационный ретракт 137
— — сильный 137
слабый 139
Дикий узел 253
Диск 84
Дискретная метрика 15
— топология 21
Евклидова (обычная) метрика 15
Единичный элемент группы 10
Ёнэяма К. 121
Жордан К. 122
Жордана теорема 122
Жорданова кривая 122
Жорданов много гольник 122

298
УКАЗАТЕЛЬ
Задачи о блинах 80, 82
Замкнутое множество в тополо-
топологическом пространстве 23
— отображение 28
Замкнутый путь 147
Замыкание множества 24
Зейферт X. 202
Зейферта ~ ван Кампена тео-
теорема 202, 208, 209, 214, 218,
221, 222, 287
Изоморфизм групп 11
Индуцированная топология 31
Индуцированный гомоморфизм
150
— — групп гомологии 278
Интервалы 13, 77
Инъективная функция 9
Классификационная теорема для
поверхностей 99
Класс эквивалентности 10
Классы эквивалентности слов
204
Клейна бутылка 42—44, 99,
107, 172—173
Коммутант 12
Коммутативная (абелева) груп-
группа 12
Коммутатор 12
Компактное множество 58
Компактно-открытая тополо-
топология 63
Композиция функций 9
Компонента 120
Конечное покрытие 57
Конечно порожденная группа 12
Конус отображения 291
Копредставление группы 202,
204
Кратная точка узла 243, 253
Крендель 91, 99
Кривая 112
Кривые, заполняющие прост-
пространство 120
Лебега число покрытия 63
Лемма о склейке 113
Линейно связное пространство
113
Линзовое пространство 168
Локально компактное простран-
пространство 63
— линейно связное простран-
пространство 119, 186
Майера — Вьеториса последо-
последовательность 287
Мёбиуса лист (лента) 39, 100
Метризуемое топологическое
пространство 21
Метрика 14
Метрическая (обычная) тополо-
топология 20
Метрическое пространство 14
Многолистное накрытие 173
Многообразие 84
— с краем 111
Надстройка 291
Накрывающее отображение 166
— пространство 166
Накрытие 166
Незаузленный узел 239
Неориентируемая поверхность
101
Непрерывная функция 14
— — на метрическом простран-
пространстве 16
— — на топологическом про-
пространстве 26
Непрерывное действие группы
на топологическом простран-
пространстве 49—50
Неравенство треугольника 14
Несобственная двойная точка
узла 243, 253
Нормальная подгруппа 11
Образ 8
Образующие группы 12, 205
Обратная функция 9
Обратный элемент в группе 10
Обычная (евклидова) метрика 15
— (метрическая) топология 20
Ограничение ф нкции 9

УКАЗАТЕЛЬ
299
Ограниченное множество в R" 62
Односвязное топологическое
пространство 153
Одноточечная компактификация
63
Озера Вады 121
Окрестность 25
Оператор призмы 279
Орбита 48
Ориентируемая поверхность 100
— — с краем 111
Основная теорема алгебры 163
Открытое множество в метри-
метрическом пространстве 16
— — в топологическом прост-
пространстве 20
— отображение 27
— покрытие 58
Относительная топология 31
Отношение на множестве 10
— эквивалентности 10
Отображение вычисления 63
— множеств 8
Пеано Дж. 120
Первая теорема об изоморфиз-
изоморфизме 11
Поверхности 97
Поверхность о краем 111
— натянутая на узел
263—264
Подгруппа 10
— порожденная элементом 11
Поднятие 157
— отображения 169
Подпокрытие 57
Подпространство топологическо-
топологического пространства 31
Покрытие 57
Полулокально односвязное про-
пространство 196
Польская окружность 190
Постоянная функция на тополо-
топологическом пространстве 26
Правильно накрытое множество
166
Приведенная теория гомологии
290, 292
— — — обобщенная о коэффи-
коэффициентами 293
Приведенный конус 291
Приклеивание листа Мёбиуса
100
— ручки 99
— цилиндра 99
Произведение путей 140
Прокоммутированная группа
235
Прообраз 9
Простая замкнутая кривая 107,
120, 173
— цепь 119
Простой узел 262
Пространство орбит 49
Прямая сумма групп 11
Прямое произведение групп 11
— — множеств 8
Пустое слово 203
Путь 112
Равномерно непрерывное ото-
отображение метрических про-
пространств 124
Регулярное накрытие 177
Редуцированное слово 203
Ретракт 137
— слабый 138
Рефлексивность отношения 10
Род поверхности 101
— узла 265
Ручной узел 253
Свободная абелева группа ран-
ранга п 12
— группа, порожденная мно-
множеством символов 203
о п образующими 203
Свободное действие группы 88,
168
Свойство универсальности ото»
бражения произведений 54
— — — факторпространств 39
Связная сумма поверхностей 97
узлов 262
Связное топологическое прост-
пространство 73
Связывающие гомоморфизмы 287
Сильный деформационный ре-
т акт 137

300
УКАЗАТЕЛЬ
Симметричность отношения 10
Сингулярная n-мерная цепь
272—273
Сингулярный и-мерный симп-
симплекс 272
Сквер-узел 260, 261
Скольжение накрытия 174
Слабый деформационный ретракт
139
— ретракт 138
Следствие (соотношений группы)
205
Слова 203
Смежные классы в группе 10
Собственно разрывное действие
группы 167
Соотношения 205
Сохраняющий ориентацию го-
гомеоморфизм 242
Стабилизатор 48
Стандартная неориентируемая
поверхность рода т 101
— ориентируемая поверхность
рода п 101
Стандартный fi-мерный симп-
симплекс 272
Степень пути 161
Стереографическая проекция 85
Стинрод Н. 290
Стинрода — Эйленберга акси-
аксиомы 291—293
Строго эквивалентные узлы
242—243
Структурная теорема для ко-
конечно порожденных абелевых
групп 12
Стягиваемое пространство 136
Сюръективная функция 9
Тверберг X. 122
Теорема о волосатом шаре 290
— о гомотопической инвариант-
инвариантности 279
— о монодромии 162
— о накрывающей гомотопии
для путей 171
— о накрывающем пути 159
— о неподвижной точке 79
— о промежуточном значении 79
— о сэндвиче в ветчиной 184
Титце преобразования 207
Тождественная функция на то-
топологическом пространстве 26
Тождественное отображение
множества 8
Топологическая группа 154
— инвариантность размерности
290
Топологическое отождествление
41
— произведение топологических
пространств 52
— пространство 20
Топология 20
— конечных дополнений 21
Тор 42
Торический узел 247
Точная последовательность 287
Транзитивное действие группы
176
Транзитивность отношения 10
Тривиальная группа 10
Трилистник 242, 260
Уайтхеда теорема 156
Узел 239
Улам Q. 180
Универсальное накрытие 195
Факторгруппа 11
Фактортопология 38
Фундаментальная группа 147
бутылки Клейна 180, 223
восьмерки 219
линзового пространства
180, 213 /—^
листа Мёбиуса 180
одноточечного простран-
пространства 222
— — окружности 157, 222
поверхности 231
проективной плоскости
223—227, 231
е выброшенной точ-
точкой 220
— — проективного пространст-
пространства 213
пространства орбит 178—
180

УКАЗАТЕЛЬ
301
тора 163, 220—223, 231
— G выброшенной точкой
220
Функтор 150, 279
Функция 8
Хаусдорфово пространство 64
Хопф X. 155
Хорда 129
Центр группы 149
Цепно-гомотопные гомоморфиз-
гомоморфизмы 279
Цикл 274
иклическая группа 12
Шенфлиса теорема 241
Шрейер 0, 251
Эйленберг G. 290
Эквивалентные накрытия 191
— пути 140
— узлы 242
Эквивариантное отображение 49
Ядро гомоморфизма 11
G-пространство 50
//-пространство 155
^-пространство 65

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 6
Глава 0. Множества и группы 8
Глава 1. Истоки: метрические пространства 14
Глава 2. Топологические пространства 20
Глава 3. Непрерывные функции 26
Глава 4. Индуцированная топология 31
Глава 5. Фактортопология (и группы, действующие на
пространствах) 38
Глава 6. Произведения пространств 52
Глава 7. Компактные пространства . 57
Глава 8. Хаусдорфовы пространства 64
Глава 9. Связные пространства 73
Глава 10. Задачи о блинах 79
Глава 11. Многообразия и поверхности 84
Глава 12. Пути и линейно связные пространства 112
Приложение к главе 12. Теорема Жордана ... 120
Глава 13. Гомотопия непрерывных отображений ..... 132
Глава 14. Умножение путей 140
Глава 15. Фундаментальная группа 147
Глава 16. Фундаментальная группа окружности 157
Глава 17. Накрывающие пространства 166
Глава 18. Фундаментальная группа накрывающего простран-
пространства 175
Глава 19. Фундаментальная группа проаранства орбит . . 178
Глава 20. Теорема Борсука — У лама и георема о сэндвиче
с ветчиной 181
Глава 21. Еще о накрывающих пространствах: теоремы о
поднятии 186
Глава 22. Еще о накрывающих пространстваж—тееремы су-
существования 195
Глава 23. Теорема Зейферта—ван Кампена. (.Образующие. 202
Глава 24. Теорема Зейферта —ван Кампена. II. Соотноше-
Соотношения 214
Глава 25. Теорема Зейферта — ван Кампена. III. Вычисле-
Вычисления 221
Глава 26. Фундаментальная группа поверхности 231
Глава 27. Узлы. I. Предварительные сведения и торические
узлы 239
Глава 28. Узлы. II. Ручные узлы 253
Приложение к гл. 28. Таблица узлов 266
Глава 29. Сингулярные гомологии: введение 272
Глава 30. Рекомендации для дальнейшего чтения 294
Рекомендуемая литература 295
Указатель 297