/
Автор: Овчинников И.К.
Теги: геофизика физика теория поля переменный ток задачи по физике электромагнитное поле
Год: 1971
Текст
И. К. ОВЧИННИКОВ
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР в качестве учебника
для студентов вузов, обучающихся по специальности
«Геофизические методы поисков и разведки месторо-
ждений полезных ископаемых»
Издательство «НЕДРА»
Москва 1971
УДК 550.371
«Теория поля». Овчинников И. К. М., изд-во «Недра»,
1971, стр. 312.
В учебнике последовательно излагаются теория гравитацион-
ного и электростатического полей в однородной среде, электро-
статического и магнитостатического полей в неоднородной среде,
электрического и магнитного полей постоянных токов, электро-
магнитного поля переменных токов, основы теории упругости.
Изложение материала проводится с использованием вектор-
ного и тензорного исчислений, сведения о которых приводятся
в учебнике по мере надобности.
Теоретическое изложение вопросов сопровождается рассмо-
трением примеров, иллюстрирующих применение общей теории
к решению конкретных задач. Часть примеров имеет непосред-
ственное отношение к разведочной геофизике. Среди них
особенно выделяются примеры, связанные с изучением перемен-
ного электромагнитного поля, имеющие большое познавательное
значение для лиц, специализирующихся в области электроразведки
переменным током.
Кроме примеров, в конце отдельных параграфов или глав
приведены задачи, снабженные ответами. Решение задач предоста-
вляется читателю.
Иллюстраций 85, библиография — 13 названий.
Рецензенты:
1) кафедра геофизических методов разведки Московского
государственного университета им. М. В. Ломоносова;
2) доктор технических наук Л. Л. Ваньян.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая в качестве учебника книга создана на основе
лекций по теории поля, читаемых автором в течение многих лет
студентам-геофизикам Свердловского горного института им.
В. В. Вахрушева.
В 1962—1963 гг. лекции были изданы Горным институтом неболь-
шим тиражом. В дальнейшем в институт поступило много запросов
на лекции. Возник вопрос о создании на основе этих лекций учебника
по теории поля. Материал для учебника подбирался и перерабаты-
вался автором в течение ряда лет. В конечном итоге осталось, по
мнению автора,самое необходимое для изучения предмета, понимания
теории разведочной геофизики, чтения теоретической журнальной
литературы по геофизической специальности.
Изложение материала ведется на основе векторного исчисления,
позволяющего проводить теоретические рассуждения безотноси-
тельно к какой-либо системе координат. При этом сведения из век-
торной алгебры считаются известными, а векторный анализ вводится
по мере изложения курса.
На примере электропроводности в анизотропной среде впервые
введено понятие о тензоре как о физической величине более высокого
порядка по сравнению с вектором. В дальнейшем глава по теории
упругости излагается с использованием тензоров, как это принято
в современной литературе.
Некоторые параграфы, как, например, формула Грина, интеграль-
ные уравнения теории потенциала, не обсуждались аудиторно со
студентами, но ввиду их большого познавательного значения в гео-
физике рассмотрены в отдельной главе для краткого ознакомления
с ними интересующихся этим вопросом.
В тексте общие рассуждения обычно заменены конкретными;
физическая сторона явлений используется для введения новых поня-
тий и обсуждения некоторых выводов. В дополнение к этому теоре-
тические положения часто иллюстрируются примерами, тесно свя-
занными с разведочной геофизикой. Это в какой-то мере ограничивает
общность рассуждений, но повышает интерес к теории, помогает
легче ее усвоить, что весьма важно при первом ознакомлении с ней.
3
Для внимательного изучения теории, особенно студентами-заоч-
никами, необходимо самостоятельное решение задач, поэтому в конце
разделов приведены задачи, в основном снабженные ответами.
Большинство задач представляют простые примеры, закрепля-
ющие основные положения теории. Некоторые из них относятся
к расчету полей для случаев, имеющих интерес в разведочной геофи-
зике. Небольшая часть задач для решения требует знакомства со
специальными функциями.
Теория гравитационного и электрического полей рассматривается
совместно, и в связи с этим применяется нерационализированная
система единиц (СГС).
Автор заранее благодарит читателей за все замечания, относя-
щиеся к содержанию книги. Эти замечания он просит направлять
по адресу: Свердловск областной, ул. Куйбышева, дом 30, Горный
институт им. В. В. Вахрушева или Москва, К-12, Третьяковский
проезд, дом 1/19, издательство «Недра».
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. СОДЕРЖАНИЕ И ЗНАЧЕНИЕ КУРСА
Мы говорим о поле физической величины в пределах области
в которой она имеет постоянное или меняющееся от точки к точке
значение. Если значения величины изменяются также со временем,
то поле становится переменным во времени.
Но своему характеру физические величины подразделяются на
скаляры, векторы, тензоры и их поля соответственно называются
скалярными, векторными, тензорными.
Например, поле температуры в пределах комнаты является ска-
лярным, а поле скоростей частиц воды, текущей в реке, будет вектор-
ным; упругие напряжения в твердом теле образуют тензорное поле.
Для геофизика-разведчика интересны поля, с которыми он встре-
чается в своей практической работе. В связи с этим в учебнике
излагается теория гравитационного, электрического, магнитного,
электромагнитного полей, а также упругих напряжений и деформа-
ций, как наиболее часто встречающихся в разведочной геофизике.
Теория поля заключается в установлении и исследовании связей
между величинами, характеризующими поле, и причинами, порожда-
ющими его. Эти связи принимают наиболее простой и общий вид,
когда они устанавливаются для очень малых областей, теоретически
для точечных. В этих случаях они называются дифференциальными
законами и записываются обычно в виде уравнений в частных произ-
водных.
Основные связи оказываются одинаковыми по форме для раз-
ных полей, и теория вследствие этого становится общей для этих
полей.
Значение теории поля для геофизика состоит в использовании
решений уравнений для конкретных случаев при расшифровке
аномальных полей, измеренных в процессе геофизической разведки
геологических объектов. Полное изложение способов расшифровки
полей проводится в специальных геофизических курсах, для которых
теория поля является вводной дисциплиной. Конечно, овладевший
предметом может решать новые задачи, имеющие интерес для разве-
дочной геофизики.
5
Геологические объекты представляют весьма сложные образова-
ния как по форме, так и по физическим свойствам. О полях таких
образований можно составить только ориентировочное представление,
поскольку точное решение задачи в таких случаях невозможно.
Значительная роль курса теории поля состоит в формировании
таких представлений и априорных оценок аномальных полей от
предполагаемых геологических объектов, в результате которых
возможна только правильная организация эффективной геофизиче-
ской разведки. При этом, однако, большое влияние оказывает на
результаты исследований геологическое окружение объекта, созда-
ющее дополнительные поля, маскирующие ожидаемый эффект.
§ 2. РАДИУС-ВЕКТОР
На протяжении всего курса мы будем встречаться с радиу-
сом-вектором, т. е. с прямым отрезком, соединяющим две
точки и направленным от одной из них к другой. Он появляется
при изложении теории поля в связи с тем, что приходится определять
точку наблюдения относительно другой точки, содержащей причину
порождения поля. Условимся обозначать радиус-вектор через R,
начало его совмещать с точкой М с координатами д:0, i/0, z0, а конец —
с точкой А с координатами х, у, z\ тогда можем написать
R = i(x—ar0) + p0) + k(z — z0), (1)
где i, j, k — единичные векторы; х — х0, у — у0, z — z0 — составля-
ющие радиуса-вектора по декартовым осям.
Величина и направляющие косинусы R определяются по форму-
лам
Я = / (х— я0)2 + (у — Уо)г + (z — ZO)2,
cos a — *~х° , cos Р = у~у° , cosy = ~~г° . (2)
Приходится часто встречаться с функциями величины радиуса
вектора и их производными по координатам. Обозначим функциональ-
ную зависимость через / (7?) и докажем, что производные от / (7?)
по координатам точек М (х0, г/0, z0), А (х, у, z) отличаются только
знаками, т. е.
df(R) _ df(R)
dx0 дх »
аналогично доказательство для двух других координатных осей.
Оно проводится непосредственным вычислением производных
df (Я) = df (R) dR ~ _ df(R) x — xq
Oxq dR dxQ dR R 9
df(R) df (R) dR df (R) x — Xq
dx dR dx ~ dR R ’
6
Сравнивая полученные выражения для производных, уоеждаемся
в правильности сделанного утверждения.
Применение радиуса-вектора, как и вообще векторов, сокращает
теоретические рассуждения и позволяет их проводить без обращения
к какой-либо системе координат. Последнюю обычно приходится
вводить, когда необходимо вычислить поле в конкретных случаях.
Задача 1. Определить величину и направляющие косинусы радиуса-вектора
по следующей его записи:
’ R = i-8 + j • 6+k • 0.
Ответ: R = 10, cos a = 0,8, cos 0 = 0,6, cos у = 0.
Задача 2. Определить угол между двумя радиусами-векторами:
Ri=-i + j+k 4, R2 = i +j• 2+k• 2.
Ответ: 45°.
Задача 3. Уравнение какой поверхности выражается формулой
(pR) = P2.
где р — постоянный вектор.
Ответ: уравнение плоскости.
Задача 4. Уравнение какой поверхности выражается формулой
(RR) = a2.
Ответ: уравнение сферы радиусом а.
В последних двух задачах особенно наглядна краткость векторных формул
и отсутствие связи их с координатной системой.
§ 3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ПЛОСКИХ И ТЕЛЕСНЫХ УГЛОВ
Плоский угол 0, заключенный между прямыми О А = ОВ, мы
определяем отношением дуги окружности АВ к радиусу ОА = г
(рис. 1):
p=-4^- с3)
Для определения элементарного угла d0
соответственно надо взять отношение эле-
ментарной дуги окружности dlQ к радиусу: ир
Рис. 1.
Теперь определим угол dp через элементарную дугу dl произволь-
ной кривой АВГ, проходящей на рис. 1 через точку А. Из рисунка
видно, что dl0 = dl cos <р, где <p — угол между нормалями к кривым
АВ и в точке А. Поэтому выражение dp перепишется в виде
dl cos <р
После интегрирования выражения по кривой ABt получим
Р__J dl cos q)
А
7
— интегральную запись плоского угла.
Формулы (3) и (4) надо толковать в том смысле, что из точки О
плоские кривые А В и АВХ видны под одним и тем же углом 0. Оче-
видно, не только эти кривые, но и все другие, ограниченные прямыми
О А и ОВц видны под этим же углом 0, и интегрирование (4) можно
проводить по любой из них.
Построим пирамиду со сферическим основанием ABCD, центр
которого находится в вершине пирамиды О (рис. 2). Телесный угол £2
при вершине пирамиды определяется отношением площади основа-
Cf
Рис. 2.
ния 50 к квадрату радиуса
ОА = В, т. е.
Q — —. (5)
Элементарный угол dQ со-
ответственно определится отно-
шением элемента площади сфе-
ры dSQ к квадрату радиуса
dQ
d£o
Определим угол dQ через элемент dS произвольной поверхности
5, пересекающейся с основанием 50 по линии AD (рис. 2). Из ри-
сунка видно, что dS0 = dS cos а, где а — угол между нормалями
к поверхностям 50 и S в точке А. Поэтому выражение dQ перепи-
шется в виде
dS cos а
После интегрирования этого выражения по поверхности 5 находим
S
— интегральную запись телесного угла.
Формулы (5) и (6) показывают, что поверхности 50 и S из точки
О видны под одним и тем же телесным углом. Под этим*же углом
видны многие другие поверхности, контуры которых ограничены
теми же лучами, проведенными из точки О, что и поверхность 50.
Интегрирование в формуле (6) можно проводить по любой из этих
поверхностей.
Задача 1. Определить по формуле (4) угол при вершине треугольника
высотой h и с основанием, равным а.
Ответ: 0 = 2 arctg .
Задача 2. Определить телесный угол при вершине конуса высотой h и с ра-
диусом основания, равным а.
Ответ: Q 2л (1--
\ /«2+/г2
8
Задача 3. Две сферы с одинаковыми радиусами а пересекаются так, что
расстояние между их центрами равно 2Ь и заключено в пределах 0 2Ъ 2а.
Определить телесный угол, под которым виден контур пересечения сфер из
центра одной из них.
Ответ: Q = 2n ----.
Задача 4. Определить телесный угол при вершине пирамиды высотой h
и с основанием в форме прямоугольника со сторонами 2а и 2Ь.
А . А ,( 11 » /г/а2+д24-А2 \
Ответ: Q = 4 I —--arctg--------------j .
Задача 5. В вершине пирамиды, рассмотренной в задаче 4, находится центр-
сферы с радиусом h. Определить площади частей сферы, находящихся вне
и внутри пирамиды.
с / tn ( I . Л ^2/^2 \
Ответ: = 4Л21 — + arctg--------—5------I,
52 = 4лЛ2 — 5х.
Задача 6. Одпн конец диаметра сферы находится в вершине, а другой —
в центре основания пирамиды, рассмотренной в задаче 4.
Определить площадь той части сферы, которая из ее центра видна под тем же-
углом, что и основание пирамиды.
А Л„ с ,, ( л h /4Я2-1-4&2+Л2 \
Ответ: 5 = № — arctg--------—)
Глава 1
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
ИЛИ В ВАКУУМЕ И ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ (ГРАВИТАЦИОННОЕ)
§ 1. НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ (МАСС)
Источниками электростатического и гравитационного полей
являются соответственно заряды и массы. Раньше поле рассматри-
валось как напряженное состояние деформированной присутствием
источников особой среды, заполняющей пространство и называемой
эфиром. Теперь в связи с несостоятельностью гипотезы об эфире
полю приписывается материальное существование в виде, отличном
ют локализованных источников. Через поле осуществляется взаимо-
действие источников друг с другом, и мы его воспринимаем через
это взаимодействие. В соответствии с этим за характеристику поля
принимают силу, с которой оно действует в данной точке на единич-
ный положительный заряд или на единичную массу.
Эту характеристику называют напряженностью поля
в данной точке и определяют по формуле
Е= —
Q
— напряженность электростатического поля,
F
8^
— напряженность гравитационного поля, где/1 — сила, действу-
ющая на положительный заряд q или массу т, внесенных соответ-
ственно в электростатическое или в гравитационное поле.
Учитывая закон Кулона о взаимодействии точечных зарядов
в изотропной однородной среде и закон Ньютона о всемирном тяго-
тении, мы находим по приведенным формулам напряженность поля,
создаваемого точечным зарядом Q или точечной массой М:
E = -S-
е/?2 ’ б Л2 *
JO
Здесь е — диэлектрическая проницаемость среды, окружающей
заряд; у — постоянная тяготения; R — расстояние от источника
до точки наблюдения поля.
Отвлекаясь от физического смысла 8 и у и от того, что заряды
могут быть положительными и отрицательными, а массы только
положительными, мы можем говорить об одинаковости выражений
для напряженностей обоих полей, создаваемых точечными источни-
ками. Подобная одинаковость распространяется на все другие соот-
ношения, и поэтому целесообразно теорию обоих полей рассматри-
вать объединенно.
Напряженность поля — векторная величина, направленная по
силе F. В связи с этим при Q > 0 напряженность направлена по
радиусу от заряда, а при Q'*<Z 0 — к заря-
ду. Направление по радиусу от источника
считается положительным, а к источни- R1
ку — отрицательным. Таким образом, --
положительность или отрицательность \
направления напряженности Е опреде- “^(ЬУО^О)
ляется знаком заряда. Поскольку масса М рпс 3
всегда положительна, то отрицательное
направление будем учитывать постоян-
ной тяготения у, считая ее отрицательной величиной. Учитывая это
замечание и введя в рассмотрение радиус-вектор R, направленный
от источника к точке наблюдения (рис. 3), перепишем выражения
напряженностей в векторной форме:
<?R __ yMR
~ ’ g R3
(1)
После приведения векторных записей Е и g к одинаковому виду
мы поведем рассуждения только об электростатическом поле
в вакууме, когда 8 = 1.
При переходе от вакуума к однородной среде надо заменить Q,
р, о, х на ф/е, р/е, о/е, x/е, а при переходе к гравитационному полю
Q, р, о, х на уЛГ, ур, уо, ух.
Чтобы подчеркнуть, что рассуждения относятся к обоим полям,
будем Е называть напряженностью поля, или просто напряжен-
ностью, а заряды — источниками. Только в случаях, явно относя-
щихся к электростатическому полю, источники будем называть
зарядами.
После этих замечаний запишем выражение напряженности поля
точечного источника в виде
(2)
Векторная форма записи удобна при теоретических рассуждениях
ввиду своей краткости и независимости от системы координат. При
11
вычислениях приходится обращаться к записи составляющих напря-
женности по декартовым осям
р _ Q (х хо)
V _ <? (у —*/о) /9Ч
17 _ Q^~ *о)
^2 ДЗ
Вычислив составляющие по этим формулам, найдем величину
и направляющие косинусы напряженности:
е-=Уе1-\-е*у+е*, (3>
Еу а ЕУ Ег
COSCZ ——7^, COS р — —тг, COSV = -77“ .
Е г Е 1 Е
В тех случаях, когда поле создается несколькими точечными
источниками Qr, Q2, . . ., Qn, расположенными в точках Мг
у01, z01), М2 (х02, J/02- 2ог)> •••,>« (®оо. Уоп< ^л), напряженность
равна геометрической сумме напряженностей отдельных источников
п.
(4)
а составляющие по декартовым осям — алгебраической сумме состав-
ляющих напряженности отдельных источников:
„ V Qi(x—xOi)
Ех~ 2t я?
п
Еу-^ (О
Ez~~ 2 R8
1
Формулы (4), (4') нельзя считать простым обобщением формул (2)г
(2'), поскольку ими утверждается еще простая суперпозиция
полей отдельных источников, т. е. наложение полей без взаим-
ного влияния друг на друга. Такая суперпозиция подтверждается
опытом и имеет огромное значение для теории. Благодаря ей диф-
ференциальные уравнения поля получаются линейными, т. е. в них
входят в первой степени соответствующие величины и производные
этих величин по координатам.
12
§ 2. НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ ОБЪЕМНЫХ, ПОВЕРХНОСТНЫХ,
ЛИНЕЙНЫХ ИСТОЧНИКОВ
Источники всегда занимают некоторый объем, но для упроще-
ния рассуждения рассматривают точечные источники, которые
реально соответствуют источникам с малыми размерами, по сравне-
нию с расстоянием от них до точки наблюдения. Следующим упро-
щением будет введение поверхностных и линейных источников,
когда принимается, что они распределены соответственно по поверх-
ности и по линии.Реально такая поверхность или линия представляют
объем, один или два размера которого малы по сравнению с другими.
Типичными примерами таких распределений будут тонкая пластина
и проволока. При теоретическом рассмотрении вопроса объемы,
Рис. 4.
поверхности, линии, точки с источниками истолковываются в обыч-
ном математическом смысле. При этом пользуются также понятиями
бесконечно малых или элементарных объемов, поверхностей, линий
с допущением равномерного распределения в них источников. Это
находится в противоречии с атомным строением зарядов и масс, но
оправдывается тем, что обычно встречаются с большой совокуп-
ностью атомов, создающей такое же поле, как и непрерывно распре-
деленные источники. Иначе говоря, оперируют не реальными, а экви-
валентными в смысле создания поля источниками, называя их
объемными, поверхностными, линейными, точечными, если они
соответственно занимают объем, поверхность, линию, точку.
Пусть мы имеем объем F, поверхность 5, линию Z, содержащие
источники (рис. 4, а—в).
Разобьем эти области на элементы: dV, dS, dl, в пределах кото-
рых находятся элементарные источники dQ, рассматриваемые как
точечные. Тогда напряженность поля от одного из элементарных
источников определится по формуле, аналогичной формуле (2),
Ж = -5^. (5)
Для получения напряженности от всей области надо выражение
(5) суммировать от всех элементов. При большом числе элементов
суммирование перейдет в интегрирование:
Е=Гт- <е>
13
Для указания, по какой области проводится интегрирование (6),
введем в рассмотрение объемную плотность р = dQldV, поверхност-
ную плотность а = dQldS, линейную плотность х = dQIdl источни-
ков (под плотностью понимается величина источников, приходящихся
на единицу области в той или другой точке). Считая плотность конеч-
ной функцией координат и подставив под знак интеграла (6) pdV,
odS, udl вместо dQ, получим
V
— напряженость поля объемных источников;
„ С oRdS
S
— напряженность поля поверхностных источников;
г С xR dl
Е = .^
l
— напряженность поля линейных источников.
Выражения составляющих напряженности объемных источников
по декартовым осям имеют вид:
f р(я — xQ)dV г __ f р(у — yQ)dV
Ех ~ J J /?з
V V
Ег = ^-^^~. (7')
V
Аналогичный вид имеют выражения составляющих при поверх-
ностных и линейных источниках.
Формулами (7) и (7') напряженность определяется в точке
А (х, у, z), а интегрирование производится по координатам точки
М (х0, у0, z0), с которой совмещается элемент интегрирования.
Координаты xG, у0, z0 входят в выражения 7? и р, а, х, если плот-
ности меняются от точки к точке.
§ 3. СВОЙСТВА НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ
Напряженность как функция точки имеет свойства сумм (4)
и интегралов (7), через которые она выражается. Знание свойств не
играет роли при вычислении сумм и интегралов, но имеет огромное
значение при решении дифференциальных уравнений поля в частных
производных, рассматриваемых ниже. Уравнениями определяются
связи между величинами в точечной области, а физический смысл
решения их состоит в расширении связей на конечную область.
Такое расширение может быть сделано разными способами, что ведет
14
к неопределенности и практической бесценности решения. Одно-
значность в этом вопросе достигается наложением на решение тре-
бования, чтобы оно обладало свойствами напряженности.
Имея в виду решение уравнений в дальнейшем с использованием
свойств, рассмотрим последние для отдельных распределений источ-
ников.
Точечные источники. Простой анализ выражений (2), (4) приво-
дит к заключению, что в точках, свободных от источников, напря-
женность конечна, непрерывна и в бесконечности равна нулю. В точ-
ках с источниками напряженность обращается в бесконечность,
как при 7? 0.
Рассматривая интегралы (7) и считая плотность р, о, х, а также
области V. S, I конечными, приходим к заключению, что напряжен-
ность для всех трех распределений в точках,
свободных от источников, конечна, непрерывна
и в бесконечности равна нулю.
В точках с источниками подынтегральные
выражения обращаются в бесконечность и ин-
тегралы (7) становятся несобственными. Необхо-
димо специальное исследование их, когда точка
наблюдения находится в объеме или сколь угодно
близко к поверхности, к линии с источниками.
Такое исследование связано с рассмотрением
вспомогательного примера на напряженность Рис. 5.
поля для каждого распределения источников.
Объемные источники. Вспомогательным примерохМ может слу-
жить напряженность поля, создаваемого однородным шаром. Мы
найдем ее. рассматривая напряженность поля однородного сфери-
ческого слоя, ограниченного концентрическими сферами с радиу-
сами а и Ь, причем а Ъ (рис. 5). Совместим начало сферических
координат с центром сфер, а полярную ось направим на точку наблю-
дения А. Ввиду симметрии относительно начала координат в точке А
напряженность направлена по полярной оси, которую принимаем
за ось Oz декартовых координат, и напряженность определим через
составляющую по этой оси
Р (z-zo)dF
Я'з
Выполняя замены переменных под знаком интеграла по форму-
лам z = R, z0=B0cos 0О, R' -= ]Л/?2 + 7?о — 2/?/?0cos 0О и пере-
ходя к интегрированию в сферических координатах 7?0, 0О, <р0,
получим
а - 2"
*=Ш
МО
р (7? — 7?о cos 0о) 7?g sin 0р d7?p d0o dg 0
(Я2 + /??-2ЯЯо cosOo)’7*
15
Поскольку слой однородный (р = const), интегрирование по ср0
выполняем сразу, а интегрирование по0о осуществляем по частям
и после подстановки пределов получаем:
Е - Одр Г Г ЖД-Яо)____________Л(/?+Ло) .
J Я2 [ уПг^иг_ 2ННо /Я2т-ЯЦ-2Я/?о
-|_ ]/~R2--R20 + 2RR0 - yRi~Rl-2RR()] dR0.
Радикалами R2 + R$ — 2RR0, ]/ R2 — R% + 2/?jR0 onpe-
деляются расстояния от точки А до точки М, когда последняя нахо-
дится на полярной оси выше (0О= 0) или ниже (0О = л) начала
координат. Поэтому радикалы должны быть всегда положительными.
В связи с этим первый радикал надо брать равным R — RQ при
R > а > Rq (точка А находится в наружном пространстве, как пока-
зано на рис. 5) и равным RQ — R при R<^ b<^ Ro (точка А нахо-
дится в полости). Второй радикал равен R 4- RQ и остается положи-
тельным при всех значениях R. Учитывая эти замечания, находим
77 о f 2Л? JD 4 а3 — Ь3 z
Е =2лр j -jg-dR0 = —Jtp //2 («< R),
ь
Е = 2яр fQ-dRo = 0 (&>7?).
ь
Однородный сферический слой создает поле в наружном про-
странстве, совпадающее с полем точечного источника величиной
Q = -у яр (а3 — Ь3), расположенного вначале координат; в полости
поле слоем не создается.
Приближая точку А снаружи к слою, получим у наружной
/ \ « «4 g3 — Ь3
поверхности (R = а) напряженность конечной и равной - яр ———;
приближая точку А из полости к слою, получим у внутренней поверх-
ности (R = Ь) напряженность конечной и равной нулю.
Для определения напряженности в точке Л, расположенной
в самом слое (b<^ R<C #)» проведем через А сферу радиусом 7?,
которая разделит слой на два подслоя — внутренний п внешний.
По отношению к внутреннему подслою точка А будет внешней,
4 /?з_^з
и напряженность поля в ней от этого подслоя равна — яр—;
по отношению к внешнему подслою точка будет в полости, и напря-
женность поля в ней от внешнего подслоя равна нулю. Результиру-
ющая напряженность в точке, расположенной в самом слое, опреде-
лится по формуле
4 — ДЗ~ЬЗ
& з лр Я2
16
Найденными выражениями напряженность определена в полости
р слое, в наружном пространстве; она получилась конечной и непре-
рывной, а в бесконечности равна нулю.
Полагая в полученных выражениях 6 = 0, находим напряжен-
ность поля однородного шара
Е = -|-лр-^- (R^a),
E = -^-npR (R а);
она также конечна, непрерывна и в бесконечности равна нулю.
Полагая теперь, что точка А находится внутри произвольного
объема, занятого источниками, исследуем поведение напряженности
в этой точке. Для этого опишем во-
круг точки сферу достаточно малого
радиуса, чтобы в пределах сферы
плотность р можно было считать
постоянной. Тогда напряженность
в точке А и вообще внутри сферы
будет состоять из напряженности
от сферы и от остальной части
объема, исключая сферу. По отно-
шению к остальной части объема
точка будет внешней. Поэтому обе
составляющие напряженности в точ-
ке А конечны и непрерывны, этими
же свойствами обладает и сама на-
Рис. 6.
пряженность.
В итоге можно сформулировать следующее положение: напря-
женность поля объемных источников всюду конечна, непрерывна
и в бесконечности равна нулю.
Поверхностные источники. Вспомогательным примером для этого
случая может служить напряженность поля однородного диска
радиусом а на оси диска (рис. 6).
Совместим начало цилиндрических координат с центром диска
и направим ось Oz по его оси. Тогда в точке А на оси Oz напряжен-
ность равна составляющей по этой оси:
S
-з0) ds
№
Для вычисления интеграла произведем замену переменных по
формулам
Zo = 0, R = yrJ + z2,
dS = г 0dr0dq>0,
гДе г0, ср0 — полярные координаты на плоскости диска с началом
в центре его.
2 Заказ 1701
17
Тогда выражение напряженности примет вид
а 2тс
р _ С (‘ (Tzro drp d<p0
J J (rg + z2)’7’ '
При однородном диске (ст = const) интегрирование по <р0 и г0
выполняется легко, и после подстановки пределов находим
Е - 2лстг ( 1 - . 1 .
^)/02 + --2 /а2-|-.:2/
Радикалами )/02 + z2, ]/а1 + z2 выражаются расстояния от
точки А до центра и края диска; они всегда положительны; первый
из них равен абсолютному значению координаты и. Знак напря-
женности определяется знаком координаты и, входящей множителем
в выражение Е. На поверхности диска со стороны положительных
z напряженность равна 2эта, а со стороны отрицательных z равна
—2ло. Таким образом, при переходе через поверхность диска
с любым радиусом она испытывает разрыв непрерывности, равный
4ла, что запишем в таком виде:
Е12=+о — Е1~ 4л<т.
В остальных точках оси диска напряженность поля конечна,
непрерывна и в бесконечности равна нулю.
Теперь нетрудно доказать, что на любой поверхности с источни-
ками напряженность поля конечна, но при переходе через поверх-
ность составляющая по нормали к ней испытывает разрыв непрерыв-
ности, равный 4ло.
Для доказательства опустим из точки А (рис. 4, б) нормаль
на поверхность S и вырежем из нее диск с центром в основании
нормали и столь малого радиуса, чтобы в пределах диска плотность
о можно было считать постоянной. Нормаль будет осью диска;
напряженность поля на ней разложим на две составляющие: одна
из них Еп направлена по нормали, а другая Et — перпендикулярно
ей. Составляющая ЕП1 в свою очередь, состоит из двух слагаемых:
одно — от диска, а другое — от остальной части поверхности, исклю-
чая диск. При движении точки А по нормали к поверхности слагаемое
от диска остается конечным, но испытывает разрыв непрерывности,
равный 4ло, при переходе через диск; второе слагаемое при этом
остается все время конечным и непрерывным. Поэтому в целом
составляющая Еп конечна и непрерывна и только при переходе через
поверхность испытывает разрыв непрерывности, равный 4ла, что
запишем в виде
^1-^п2 = 4лст,
где цифрами 1 и 2 отмечены разные стороны поверхности, и нормаль
считается направленной от второй стороны к первой. Составляющая
18
у/ создается остальной частью поверхности, кроме диска, и при пере-
ходе через диск остается конечной и непрерывной. Для значений Et,
пзятых с разных сторон поверхности, справедливо уравнение
Ец — Е42 = О,
где индекс t имеет теперь смысл касательного направления к поверх-
ности.
В итоге можно сформулировать следующее положение* напря-
женность поля поверхностных источников в точках, не совпадающих
с источниками, конечна и непрерывна, а в бесконечности равна нулю.
В точках на поверхности с источниками
напряженность поля конечна, но при
переходе через поверхность составля-
ющая Еп испытывает разрыв непрерыв-
ности, равный 4ло, а составляющая Et
остается при этом непрерывной.
Следует указать на то, что наши рассу-
ждения относятся к поверхности, в каж-
дой точке которой нормаль имеет одно
направление, т. е. отсутствуют ребра
и острия. Наконец, надо отметить и то,
что рассуждения относились к точкам
поверхности, не совпадающим с ее кон-
туром (если поверхность не замкнута),
обычно становится бесконечно большой.
где составляющая Et
Составляющая Еп играет большую роль в теории поля. По ее
значениям определяется плотность о, а затем по второй из формул (7)
и напряженность в любой точке поля.
Иногда говорят о составляющей Еп в самой поверхности, пони-
мая^ под ней составляющую от части поверхности, за исключением
бесконечно малого диска, вырезанного из поверхности в данной
точке. Легко сообразить, что эта составляющая равна среднему
значению, образованному из составляющих по нормали, взятых
с разных сторон поверхности.
Линейные источники. Вспомогательным примером в этом случае
может служить напряженность поля однородного отрезка прямой
длиной 2/. Совместим начало цилиндрических координат г, ф, z
с серединой отрезка, а ось Oz направим по его длине (рис. 7).
Поле не зависит от угла ф и напряженность определится составля-
ющими по осям г и z\
+i
Е = Г xr dzo
J [г2+(С_го)2]‘/«
Z — I
+ I
Ez=z С x(z —z0)dz0 _______________х_________________х______
J |r2+(z-z0)2j’/< gr2 + (2_Z)2 /r2 + (z + /)2 '
2*
19
Радикалами ]/r2 + (z — Z)2, ]/72 + (z + Z)2 определяются рас-
стояния от концов отрезка до точки наблюдения; они при всех зна-
чениях координат г и z положительны.
Пока точка наблюдения находится на конечном расстоянии от
отрезка, составляющие Ег и Ez конечны, непрерывны и в бесконеч-
ности равны нулю. С приближением точки наблюдения к отрезку,
где г —> 0 и —1<Z z<^ 1, составляющие стремятся к пределам:
Таким образом, при г->0 и -Z< z< Z составляющая Ег обра-
щается в бесконечность, как составляющая Ez остается конеч-
ной. У верхнего конца отрезка при (z — Z) -> —О составляющая
Ег = 0, а Ег = оо; у нижнего конца положение такое же, но Ег
имеет противоположный знак.
Теперь рассмотрим напряженность поля вблизи произвольной ли-
нии с источниками. Для этого приблизим к линии точку А (рис. 4,в) на
малое расстояние г и разложим напряженность на две составляющие:
одну Ег направим по г, а другую Et — перпендикулярно г по каса-
тельной к линии. Составляющая Ег состоит из двух слагаемых: одно
создается малым отрезком, вырезанным из линии в том месте, куда
приближается точка, а другое — остальной частью линии, исключая
отрезок. Слагаемое от отрезка обращается в бесконечность, как -у-
при г -> 0; второе слагаемое остается при этом конечным. В целом
•составляющая Ег обращается в бесконечность, как — при г -> 0;
составляющая^ остается при этом конечной. У концов линии напря-
женность будет вести себя так же, как у концов отрезка, т. е. Et
обращается в бесконечность.
В итоге можно сформулировать следующее положение: напря-
женность поля линейных источников в точках, не совпадающих
с источниками, конечна, непрерывна и в бесконечности равна нулю.
В непосредственной близости к линии, но не у ее концов, составля-
ющая Ег обращается в бесконечность, а составляющая Et остается
конечной. С приближением к концам линии Et обращается в беско-
нечность.
Задача 1. Источник, равный единице, находится в точке М (1, 0. 0). Опре-
делить величину и направляющие косинусы напряженности в точке Л (9, 6, 0).
Ответ: £*=0,01, cos а = 0,8, cos р = 0,6, cosy = 0.
20
Задача 2. Источники находятся в точках (0, 0, 0), М2 (10, 0, 10) и равны
соответственно 1 и 5. Определить координаты точки, в которой напряженность
равна нулю.
10
Ответ: x = z = •, У = 0.
Задача 3. Три одинаковых одноименных заряда расположены по оси Ох,
через равные интервалы а. Определить силу, испытываемую средним зарядом
при малом смещении по оси Ох из положения равновесия,^ и частоту его коле-
баний под действием силы в направлении этой оси. Крайние заряды считать
при этом неподвижными.
Ответ: F =
4(22*
а3 ’
1
V =—
л
где х — смещение; т — масса заряда.
Задача 4. Внутри однородного шара сделана сферическая полость. Опре-
делить напряженность поля в полости, считая ее смещенной от центра шара
на величину z.
Ответ: напряженность постоянна и равна — лрз.
Задача 5. Определить напряженность поля, создаваемого половиной одно-
родного шара радиусом а, в точке, расположенной на ребре.
Ответ:
2 . 4
о О
Задача 6, Определить напряженность поля, создаваемого однородным
цилиндром с радиусом а и длиной 2h, на оси цилиндра.
Ответ:
£=2np[2fc+/a2+(2—h)i — /a2-Hz+A)2 ] (z > Л),
£’ = 2np[2z + /a2 + (z—Л)2 — /e2+(z + A)2 ] (0<z < Л),
где z — координата, отсчитываемая от центра цилиндра.
Задача 7. Определить в точке А (х, 0, 0) напряженность поля, создаваемого
однородной пластиной, расположенной в плоскости yOz, если углы пластины
определяются координатами (0, 0, 0), (0, Ь, 0), (0, Ь, с), (0. 0, с).
Ответ:
г х Ъс
£x = aarctg-^-,
F aln ^2+b2(c+/x2 + c2)
Еу a,n----------------
£ = a In /^ + с2(б + У'х2+г>2) "
2 я (6-f-d) ’9
d=Vx* + b* + c*.
Проанализировать поведение составляющих
Задача 8, Определить напряженность поля
от верхней части ее, высеченной конусом
при х —> 0.
в центре однородной сферы
X3 . 1/2
-----L_£_ = -2
(12 р2 — - ’
Ответ: Е =_________лосф______
И1 + а2)(1 + р2) ’
21
Выяснить, какая часть сферы высекается конусом при Р = оо и чему равна
напряженность при этом.
Задача 9. Определить напряженность поля, создаваемого диском радиу-
сом а на оси диска, если плотность выражается формулой о = о0 + Ъг2, где о0
и Ъ — постоянные величины; г — расстояние от центра диска.
Ответ:
-7-°°-------&а2-----\-2Ь (/а2-|-г2_|-|)
/а2^_32 +
где з — координата, отсчитываемая от центра диска по его оси; |z| — абсолют-
ное значение координаты.
Задача 10. Определить напряженность поля, создаваемого однородной
дугой окружности радиусом а, в центре окружности.
2х sin а
Ответ: ---------
а
где 2а — угол, стягиваемый дугой.
Задача 11. Показать, что напряженность поля однородного отрезка прямой,
касательной к дуге окружности, в центре окружности будет такой же, как
и от дуги, если отрезок и дуга ограничены одними и теми же лучами, проведен-
ными из центра, и плотность х на обеих линиях одинакова.
§ 4. ЛИНИИ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ
Многие свойства поля становятся более понятными, когда оно
изображено линиями вектора напряженности, или линиями напря-
женности. Под ними принято понимать линии, проведенные в поле
так, чтобы напряженность поля была ка-
Е сательной в каждой точке линии (рис. 8).
***--- Поскольку напряженность имеет в каж-
дой точке поля одно направление, то через
данную точку можно провести только одну
Рис. 8. линию. Исключением будут точки, где на-
пряженность обращается в нуль, а напра-
вление ее становится неопределенным. Линиям придают напра-
вление по напряженности, и в связи с этим их проводят от поло-
жительных источников к отрицательным. В поле тяготения линии
идут из бесконечности к массам, создавая впечатление о наличии
положительных источников в бесконечности.
Провести линии легко только в некоторых простых полях, а в более
сложных это можно сделать, если известно уравнение линий. Обра-
щаясь к рис. 8, мы видим, что элемент длины линии dl пропорциона-
лен напряженности Е. Пропорциональность соблюдается и для
составляющих векторов по координатным осям, что приводит к диф-
ференциальным уравнениям
dx dy dz
интегрируя которые, получаем уравнения линий.
22
Выполним такое интегрирование для поля точечного источника,
расположенного в начале координат, когда
р Qx г1 Qv. е —
Ьу - /?3 7?3
и уравнения (8) могут быть записаны в виде
dx ^У — dz
Х ^ у — 2
Интегрируя их, получим
х=-=С^, y--^C2z
— уравнения прямых, проходящих через начало координат, что
и надо было ожидать.
Направляющие косинусы прямых определяются постоянными
коэффициентами Сх, С2:
cosa^______5___= Cl cosp=--^=^-^^,
cosa yX2+lJ2^Z2 yi+ci+ci’ H Vi+ci+ci
1
cos у - —, —.
/1+с?+<1
Придавая коэффициентам Сц С2 различные значения, получим
направляющие косинусы различных линий. Например, приСх =
= С2 = 0 получим косинусы линии, совпадающей с осью Oz.
Для изображения поля точечного источника линиями мы направ-
ляем их по радиусам равномерно во всех направлениях. Через сферу
с радиусом У? и с центром в источнике проходят все линии общим
числом N. Количество их, приходящееся на единицу поверхности
сферы, или плотность линий равна NlinR2, т. е. она, как и величина
напряженности, обратно пропорциональна квадрату расстояния
до источника.
Таким образом, плотность линий в поле точечного источника
пропорциональна напряженности. Эта пропорциональность сохра-
няется во всех полях, когда их изображают линиями, и смысл таких
изображений состоит прежде всего в том, что по плотности и направ-
лению линий судят о величине и направлении напряженности.
Фарадей, предложивший изображать электрическое и магнитное поля
линиями, связывал их с линиями механических напряжений в эфире;
при современных взглядах им отводится чисто геометрическая роль
в представлении поля. В связи с этим линиями принято изображать
любое поле, характеризующееся вектором, изменяющимся от точки
к точке.
Проинтегрируем еще уравнение (8) для поля двух источников Qr
и (J2 (рис. 9), расположенных соответственно в точках Мг (0,0, 0)
23
и М2 (О, О, z0). По характеру поля достаточно интегрирование про-
вести в плоскости yOz; тогда уравнение (8) может быть записано так:
dy________________dz_______
Qiy । Qiz । —--о) ;
Hl I" /?3 ' A3
после небольших преобразований оно приводится к виду
(?1 (zdy — ydz) Q2 (z — zQ)dy — ydz)
hi
2 Наконец, при помощи под-
становок zly = ctg 0n (z — z0)/z/ =
= ctg 02 мы получаем
d <<21cos 0i + & cos 02) = 0.
л После интегрирования имеем
q уравнение линий для рассматри-
--------------► ваемого поля
s' cos 0Х + Q2 cos 02 = С.
Углы 0Х и 02 приведены на
рис. 9. Меняя значение постоян-
Рис. 9. ной С, получим различные линии.
Для того чтобы плотность их была
пропорциональна напряженности, надо постоянную для отдельных
линий определить в непосредственной близости (точнее, бесконечно
близко) к источникам, где линии направлены по радиусам и равно-
мерно во всех направлениях. Например, в непосредственной бли-
зости к источнику Qx величина cos 02 = —1, и мы получаем такое
определяющее уравнение для С
(^cos 0Х — Q2 = C,
полагая в котором величины Qr и Q2 известными и изменяя 02 от 0
до 180°, через равные интервалы, вычислим для этих углов С. Ана-
логичные вычисления С надо проделать для линий, отходящих от
источника Q2. После этого необходимо из уравнения линий вычис-
лить С в возможно большем числе точек плоскости yOz. Затем про-
должить линии, отходящие от источников и соответствующие опре-
деленным С, через точки с этим же значением С. Вычисление С
и проведение линий, очевидно, следует делать только для части
плоскости yOz, расположенной правее источников на рис. 9, поскольку
поле симметрично относительно оси Oz, Для практического осущест-
вления этого следует взять лист миллиметровой бумаги и, задавшись
величиной источников и расстоянием между ними, поместить источ-
ники в определенные точки листа. Затем вычислить С в достаточно
большом числе точек, равномерно расположенных по листу вблизи
источников. После этого провести линии от источников через точки
24
с определенным значением С. Точность проведения зависит от густоты
точек с вычисленным значением С, поскольку проводить линии
приходится обычно между точками, применяя интерполяцию.
§ 5. ПОТОК ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ
Термин «поток» заимствован из гидродинамики, где действительно
речь идет о потоке жидкости через поперечное сечение канала или
трубы с движущейся жидкостью. В рассматриваемом нами случае
поле статическое, но если его изобразить
линиями напряженности, то создается впе-
чатление о потоке их через поверхность 5, g
построенную в поле (рис. 10). Такое фор-
мальное понимание потока оказывается /
весьма полезным для теории и практики. £$/
Через него мы приходим к дифференциаль- /V/
ным уравнениям поля, позволяющим решать / /
весьма сложные в теоретическом и важные / / /
в практическом отношении задачи. ' /
Разделим поверхность на элементы dS рис ю.
и определим поток вектора напряжен-
ности, или поток напряженности, через один из элементов по формуле
dN~En dS,
где Еп — составляющая напряженности по нормали к элементу dS.
Интегрируя выражения dN отдельных элементов, найдем поток
напряженности через всю поверхность:
N—^EndS. (9)
S
В зависимости от знака Еп поток как через элемент dS, так и через
всю поверхность S может быть положительным либо отрицательным.
По аналогии с (9) интегралы от составляющей по нормали любого
вектора, составленные по поверхности, принято называть потоком
этого вектора через поверхность.
§ 6. ТЕОРЕМА ГАУССА — ОСТРОГРАДСКОГО
Вычислим поток напряженности через поверхность, когда поле
образовано точечным источником Q.
Поток через элемент dS выразится при этом по формуле
dN = EndS = -g-co* ° dS =Q dQ,
телвсный угол, под которым виден от источника элемент dS.
т грируя выражение dN по поверхности, находим
N^QQ. (10)
25
Поток напряженности поля точечного источника через произволь-
ную поверхность S равен произведению источника на телесный угол,
под которым видна поверхность из источника.
Расширяя поверхность так, чтобы она охватывала источник,
сделаем N равным 4 ziQ. Если при расширении замкнуть поверх-
ность, не охватив источника, то угол Q сделается равным нулю.
Таким образом приходим ктеореме Гаусса — Остро-
градского: поток напряженности поля через замкнутую поверх-
ность, охватывающую источник, равен 4 ztQ, а не охватывающую
источник — нулю.
Мы пришли к теореме, рассуждая о поле одного точечного источ-
ника. Очевидно, поток через поверхность, охватывающую несколько
источников, будет равен алгебраической сумме потоков отдельных
источников. В этом сучае в выражении 4л(> надо понимать под Q
алгебраическую сумму источников, охватываемых поверхностью.
Объемные, поверхностные, линейные источники мы уже характе-
ризовали как совокупности точечных. Поэтому теорема Гаусса —
Остроградского относится к любым источникам. Она имеет большое
значение для определения напряженности поля в некоторых простых
случаях.
Для примера определим при помощи теоремы напряженность
поля однородного сферического слоя, найденную ранее вычислением
интеграла.
Построим сферу радиусом 7?, концентрическую со сферами,
ограничивающими слой. Поток через сферу согласно теореме равен
4л(Л Ввиду симметрии относительно центра сферы, напряженность
во всех точках ее должна быть одинаковой величины и направлена
по радиусам. Это позволяет поток выразить произведением величины
напряженности на площадь сферы ES. Приравнивая два выражения
потока, получаем
ES^ktQ.]
Отсюда находим р __ _ Q
5 7?2 *
Если радиус сферы R больше радиуса наружной поверхности
слоя, то Q = пр (а3 — Ь3) и напряженность
лр-^^- (а<7?).
Когда сфера находится внутри слоя и ее радиус ограничен пре-
делами 7?< а, тогда Q =- лр (7?3 — Ь3), а напряженность
О
Е = 4-яр
о
/?3-63
7?2
(b<R<a).
26
Наконец, если сфера находится в полости fe, то Q = О
и напряженность
£ = 0 (0<Я<6).
Столь быстрое получение результата связано с симметричным
расположением источников относительно центра сферы. Вообще
применение теоремы к определению напряженности эффективно
в тех случаях, когда имеется соответствующая симметрия поля,
позволяющая записать поток в виде произведения величины напря-
женности на площадь поверхности.
Задача 1. Найти уравнение линий напряженности поля, заданной соста-
вляющими Ех х-—у-, Еу — 2zy, Ег = 0.
()твгт: Зг/я2 — у3 ~ С.
Задача 2. Определить поток через боковую поверхность четырехгранной
призмы, высота которой Л, а стороны основания равны 2а и 2&. Поле создается
источником (>, расположенным в центре одного из оснований призмы.
h b24~ Ла
Ответ: 7V - 4<2 arcfg--------.
Задача 3. Определить поток через боковую поверхность цилиндра, если
поле создается точечным источником, расположенным на осп цилиндра.
Ответ: N 2^Q (cos Pi —cos P2),
где Pi Pa _ углы, образованные осью с прямыми, проведенными от источника
к краям оснований цилиндра.
Задача 4. Показать, что поток через бесконечную плоскость равен 2л()
независимо от формы и размеров источника (?, расположенного на конечном
расстоянии от плоскости.
Задача 5. В углах куба находятся источники одинаковой величины. На про-
тивоположных концах ребер знак у источников противоположный. Определить
поток через всю поверхность куба и через отдельную грань от всех источников
и от каждого в отдельности.
§ 7. РАСХОДИМОСТЬ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ И ТЕОРЕМА
ГАУССА — ОСТРОГРАДСКОГО
В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Расхождение линий напряженности от положительных источни-
ков и схождение их к отрицательным, а также другие соображения
дают основание ввести в рассмотрение новую величину, называемую
расходимостью вектора напряженности. Ее принято
записывать div Е, где div — начальные буквы французского слова
divergence расходимость. Поэтому расходимость иной
раз называют дивергенцией.
Построим в поле небольшую замкнутую поверхность Д5, охва-
тывающую объем ДУ, и будем стягивать ее к точке. Тогда расходи-
мость в этой точке определяется по формуле
f EndS
(11)
27
из которой следует, что под расходимостью понимается поток через
поверхность, охватывающую единичный объем, или, короче, поток
из единицы объема.
В соответствии с теоремой Гаусса — Остроградского мы должны
считать
р ( 4лAQ (в точках с источниками),
1 п &S == I л / Г' \
J I 0 (в точках без источников)
и в связи с этим
EndS , 4лЛ(>
1 im _________= I Пт —- -— = 4л р,
ду-> о AV | АУ-> о
I о о.
Поэтому расходимость вектора напряженности запишется в сле-
дующем виде:
4лр (в точках с источниками),
О (в точках без источников).
div Е -----
п Уравнения (12) являются записью теоремы
И' Гаусса — Остроградского в дифференциальной
; гп ih форме, поскольку они выражают связь между
2расходимостью и источниками в данной точ-
т?" ' ке. Первое из уравнений (12) теряет смысл
рпс и в точках, совпадающих с точечными или
линейными источниками, поскольку р стано-
вится при этом бесконечной величиной; второе уравнение сохра-
няется в поле любых источников.
Для выяснения смысла первого уравнения (12) в точках на поверх-
ности с источниками будем рассматривать ее как предельное значе-
ние объема, когда размер /г, перпендикулярный к поверхности,
мал и произведение р/г принимается за плотность о.
Построим цилиндр небольшой высоты и с малыми основаниями
Д5, расположенными с разных сторон поверхности с источниками
(рис. И). Поток через поверхность цилиндра запишем таким образом:
Еп dS ~ Еп' AS + Еп" AS -р А б>
где ЕП', Еп- — составляющие напряженности по нормалям к осно-
ваниям цилиндра; N6 — поток через его боковую поверхность.
Приближая основания цилиндра к поверхности с источниками
и уменьшая их, в пределе сведем к нулю Аб и выражение расходимости
в точках поверхности получит вид
div Е — lim
/iAS-^О
(Еп, + Еп„) AS + N6
h AS
E»} ^П2
h
28
где Еп^ Ent — составляющие напряженности по нормали с одной
и друг°и стороны поверхности, а нормаль направлена от второй
к первой стороне (рис. И).
Сравнивая найденное выражение расходимости с выражением (12),
получим
---т----= 4лр,
откуда находим
= (13)
Разность Eni — Ent называется поверхностной рас-
ходимостью, поскольку она является потоком с единицы
поверхности в данной точке ее.
Таким образом, мы снова пришли к разрыву непрерывности
составляющей по нормали при переходе через поверхность с источ-
никами.
§ 8. ФОРМУЛА ГАУССА — ОСТРОГРАДСКОГО
Согласно определению расходимости, ее можно записать в виде
понимая под dN поток, расходящийся из объема dV.
Определяя dN через расходимость и интегрируя по некоторому
объему поля, получим поток, расходящийся из этого объема
JdivEdK (9')
Этот же поток проходит через поверхность S, ограничивающую
объем V, и выражается по формуле (9). Сопоставляя два выражения
потока, приходим к формуле Гаусса — Остроградского
$EndS = fdivEdV, (14)
s v
теоретическое значение которой состоит в преобразовании поверх-
ностного интеграла в объемный и наоборот. Такое преобразование
часто применяется при теоретических рассуждениях, чтобы ускорить
получение необходимых результатов.
§ 9. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
Уравнения (12) являются основными дифференциальными урав-
нениями поля. Решая их, находим напряженность по заданным
источникам. Задача наиболее просто решается в координатах,
согласованных со структурой поля. Такие координаты обычно бывают
криволинейными.
Наибольшее значение имеют криволинейные ортогональные коор-
динаты, когда координатные поверхности и линии пересекаются
29
между собой под прямыми углами. Декартовые считаются частным
случаем таких координат.
Мы будем иметь дело только с криволинейными ортогональными
координатами, поэтому в дальнейшем слово ортогональные опускаем.
Остановимся на общих свойствах криволинейных координат. Обо-
значая координаты запишем их в виде функций декартовых
координат:
У, z), q2 = q2(x, у, z), q2-=q3(x, У, z). (15)
Приравнивая эти функции соответственно к постоянным числам С
С2, С3, получим уравнения координатных поверхностей, от пересе-
чения которых образуются координатные линии и отдельные точки
пространства. Последние можно рассматри-
вать и как пересечение трех координатных
линий. Пусть какая-то точка опреде-
ляется пересечением линий, отмеченных зна-
ком той координаты, которая изменяется
42 в направлении данной линии (рис. 12).
Отложим от этой точки по линиям отрезки
длиной dZj, dl2, dl3, на протяжении кото-
рых произойдет изменение координат на dqlf
dq2, dq3, Связь между dlt 'adqi будет такая:
dli^^-dqi^Hidql (М, 2, 3).
Величины Hi называются коэффициентами Ламэ и численно
равны смещению по координатной линии, когда координата изме-
няется на единицу. Размерность коэффициентов такая, что произве-
дение Hidqi имеет размерность длины.
Построим на отрезках dlx, dl2, dl3t как на основных трех ребрах,
параллелепипед, который из-за ортогональности координат и ма-
лости ребер можно считать прямоугольным и с плоскими гранями.
Объем и площади граней параллелепипеда определяются по
формулам
dV = Н1Н2Н3 dqr dq2 dq3,
dSi == H2H3 dq2 dq3,
dS2 = H3HX dq3 dqu
dS3 = HXH2 dqx dq2,
которые указывают на практическое значение коэффициентов Н{
при записи элементарного объема или площадки, перпендикулярной
одной из координатных линий.
Для определения Ht запишем квадрат большой диагонали парал-
лелепипеда, применяя теорему Пифагора,
dZ2 --- Я? dql + Hl dql + Я3 d<728,
Зо
который может быть записан также через квадраты дифференциалов
декартовых координат:
dl2 = dx2 + dy2 -}-dz2.
Заменяя в последнем выражении дифференциалы декартовых
координат их значениями по формулам
dy ^Tdqi+~^ dq* +lkdq3’
dz = -^d<ll + dq2+-^rdq2’
получаем
3
i=l
+ Zi \dqt dqk d4i dqk dqt dpk )i^h 4t 4k
1, fc=l
Сравнивая это выражение для dl2 с выражением, содержащим
Я?, приходим к заключению:
«М^У+Ш+Ш <‘=1'2’3>- <16>
• 2, 3)-
Для вычисления Я? по первой из формул (16) надо сначала
решить уравнения (15) относительно декартовых координат, а затем
составить производные декартовых координат по криволинейным
и применить формулу.
По второй из формул (16) определяется ортогональность криво-
линейных координат.
Задача 1, Вычислить коэффициенты Hi и проверить на ортогональность
сферические координаты Л,^0, (р, связанные с декартовыми, по формулам
я= Л sin6 cos ф, y = R sin0 sin<p, z = 7?cos6.
Ответ: £i = l, Я2 = Л, Я3 = Лшп0.
Задача 2. Сделать то же самое для цилиндрических координат г, <т, z, свя-
занных с декартовыми, по формулам
х = г cos ср, y = rsin<p, z = z.
Ответ: Я1 = 1. я2 = г, я8 = 1.
31
§ 10. ВЫРАЖЕНИЕ РАСХОДИМОСТИ
В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
Для решения уравнений (12) надо не только выбрать соответ-
ствующую систему координат, но и знать выражение расходимости
в этих координатах. Для нахождения этого выражения необходимо
в соответствии с определяющей формулой (И) вычислить поток через
поверхность элементарного параллелепипеда (рис. 12) и разделить
его на объем параллелепипеда.
Считая нормаль к граням направленной наружу, запишем поток
через пару граней, перпендикулярных координатной линии
в таком виде:
dN х — • (И2Н3Еndq2 dq3^ -I- (Н2Н3Еп dq2 dq3)^v
где индексами I и II отмечены части потока соответственно через
переднюю и заднюю грани параллелепипеда.
Заменим в выражении потока dN\ составляющие Еп составля-
ющими Eqi, под которыми понимаются составляющие напряженности
по касательной к координатной линии qx.
На передней грани нормаль совпадает с направлением координат-
ной линии и Еп = Eqt, на задней грани нормаль противоположна
направлению этой линии и Еп = —Eqi.
В связи с этим перепишем выражение dNx
dNi =-” [(Н JI3E q\ (H2H3Eqt)^] dq2dq3.
Разность в скобках выражает изменение величины H2II3Eqi при
переходе с задней грани на переднюю и из-за малости перехода
может быть записана в следующем виде:
д (ЯрЯз^^) ,
---------— ^1-
dqx
В самом деле, производной выражается изменение величины на
единицу координаты, а после умножения на dqr получится изменение
при переходе с одной грани на другую.
Окончательное выражение потока dN± имеет вид
dNх —----------dqx dq2 dq3.
Аналогично находятся потоки через пары граней, перпендикуляр-
ных координатным линиям q2 и q3-
d(H3HxEq2)
dNi = dq.------- d<ii d(ls'
d(HtH«Ea)
dNs = d<13 ' dqi dQi d(13'
32
Суммируя все три потока и производя деление суммы на объем
параллелепипеда, находим выражение расходимости:
! р(Я2Я3^) ^ЯзЯ^)
div Е ----J • (17)
Аналогично выражается расходимость любого вектора, характе-
ризующего некоторое поле.
В декартовых координатах = Я2 =Н3= 1) выражение расхо-
димости упрощается:
divE--^+^- + ^-. (17')
дх 1 ду 1 dz ' '
Приведем несколько примеров на решение уравнений (12).
Пример 1. Определить напряженность
поля однородной бесконечной пластинки тол-
щиной 2h.
Совместим начало декартовых координат
с серединой пластинки, а ось Ох направим
перпендикулярно ее граням (рис. 13).
Очевидно, напряженность поля направлена
по оси Ох и не зависит от координат у и и.
Уравнения (12) запишутся в виде Рис. 13.
— ^4лр ( — h^x^h),
~г~г’О (х^—h или x^h).
Интегрируя их, получаем
Ех ---= 4лргг + Сг
Ех ~ ^2
-- С2
( — h^x^h),
(x^h),
(х^: -h).
Постоянные интегрирования С1У С2 находим из следующих
условий:
а) в плоскости х = 0 напряженность должна равняться нулю,
что выполняется при Сг = 0;
б) при переходе через грани пластинки напряженность должна
оставаться непрерывной, что приводит к уравнению
С2 ~ 4лрЛ.
С этими значениями коэффициентов решения перепишем в следу-
ющем виде:
2?х = 4лря ( — h^x^h),
Ех ~ inph (x^h),
Ex=—inph (x^—h).
3 Заказ 1701
33
Поскольку вне пластинки напряженность не зависит от расстоя-
ния до нее, то условие равенства поля нулю в бесконечности не
выполняется. Причина этого заключается в бесконечном объеме
пластинки.
Уменьшая в полученных решениях 2Л до нуля и заменяя в пре-
деле 2Лр на а, мы сведем их к выражениям напряженности поля
пластинки с поверхностными источниками.
Пример 2. Определить напряженность поля однородного сфери-
ческого слоя, ограниченного концентрическими сферами с радиу-
сами Ь и а.
Этот случай уже обсуждался дважды; здесь он рассматривается
для проверки эффективности определения напряженности поля по
новому способу.
Полагая начало сферических координат в центре сфер, сводим
напряженность к одной составляющей по направлению координаты
/?, и зависящей только от этой координаты. Уравнения (12) запи-
шутся следующим образом:
-±- д(^£) =0 или R^a).
Интегрируя эти уравнения, находим
E--=^wR + -%r (b^R^a),
Е = -^ (R^a),
Постоянные интегрирования С\, С2, С3 определятся из следующих
условий задачи:
а) в начале координат напряженность должна быть конечной,
что выполняется при С± = 0;
б) при переходе через поверхности R = Ъ и R = а должна
сохраняться непрерывность напряженности, что возможно при
выполнении уравнений
|«рЬ + >»0,
4 । С2 С3
-у ЛРа+у2 Н2-’
решая которые, находим
С2=_АЛр69, С3 = ^-пр(а3-Ь3).
О о
34
С найденными значениями С„ С %, С3 решения перепишем в виде
£ = 0
(b^R^a),
Е = -у пр я3~ - (Я5га).
Как видим, эти решения совпадают с решениями, полученными
ранее другими способами. Хотя настоящая задача решается легко
всеми рассмотренными выше способами, однако уравнения (12)
позволяют решать весьма сложные задачи.
Полагая слой очень тонким и заменяя в решениях р (а — Ь)
на о, р (а3 — Ь3) = р (а — b) (а2 + ab + Ъ2) на Зоа2, мы сведем
их к случаю, когда источники распределены с плотностью ст по сфере
радиусом а.
Пример 3. Проверить формулу (14) на объеме параллелепипеда
с ребрами а, Ь, с, если напряженность задана составляющими Ех = х,
Еу = 1, Е2 = 0.
Совмещая начало декартовых координат с одним из углов парал-
лелепипеда и направляя оси Ох, Оу, Oz соответственно по ребрам а,
Ь, с, вычисляем поток через грани, перпендикулярные оси Ох:
N = Exbc |x.fl—Exbc | v=0 =- abc.
Аналогичные вычисления потока через пары граней, перпенди-
кулярных осям Оу и Oz, дают нуль. Поэтому полный поток через
поверхность параллелепипеда будет
f Еп dS - abc.
s
Вычисляя расходимость, находим divE = l, а интегрируя ее
по объему параллелепипеда, получим
[ div EdK -^= abc.
v
Сравнивая этот результат с величиной потока, убеждаемся
в правильности формулы Гаусса — Остроградского. Аналогичную
проверку формулы в этом же поле можно выполнить на шаре или
на другом удобном для вычисления объеме.
§ 11. ПОТЕНЦИАЛ И ГРАДИЕНТ ПОТЕНЦИАЛА
Изложенные способы определения напряженности поля допол-
няются весьма общим и эффективным способом определения через
потенциал. В силовых полях (как электростатические и другие)
потенциал в данной точке интерпретируется работой, произведенной
внешними силами при внесении единицы положительного источника
в данную точку поля из бесконечности, где напряженность считается
з* 35
равной нулю. В результате этой работы у источника появляется
потенциальная энергия, и потенциал также интерпретируется потен-
циальной энергией, отнесенной к единице положительного источника,
внесенного в данную точку поля.
В общей теории, когда рассматриваются силовые и несиловые
поля, потенциалом U (х, у, z) называется скалярная одно-
значная функция точки, частная производная которой
по любому направлению 1, взятая с обратным знаком, равняется
составляющей вектора поля по этому же направлению. Понимая
под вектором поля напряженность Е, запишем это в следующем виде:
Считая за 1 последовательно направления криволинейных коор-
динатных линий в данной точке, получим
/7 __ J7 __ J? _ NQ\
9 Н2дд2 ' H3dq3 •
Формулы (18) мы написали, определяя потенциал через напря-
женность. Однако они имеют гораздо большее значение для нахожде-
ния напряженности через потенциал, который при этом должен
быть определен независимо от этих формул.
Умножая обе части формул (18) на единичные векторы: t, (z = 1,
2, 3), касательные к координатным линиям qi, и суммируя правые
и левые части, получим
ЦЕ,, - ЬгЕя, -|- t3E4, ----- — (\ +t2 4-13 Яз^?з ) .
Вектор в левой части этого равенства есть напряженность, а в пра-
вой части в скобках заключен вектор, называемый градиентом
потенциала и записываемый сокращенно grad U, где grad —
начальные буквы английского слова gradient (уклон). В сокращенной
записи соотношение между векторами имеет вид
Е=— grad £7 (18')
и читается так: напряженность поля равна градиенту потенциала,
взятому с обратным знаком.
§ 12. ПОВЕРХНОСТИ РАВНОГО ПОТЕНЦИАЛА
Пусть мы знаем потенциал как функцию точки, тогда, приравни-
вая ее к постоянной величине С, получим уравнение поверхности
равного потенциала
U(x, у. z) = C, (19)
которую принято называть также эквипотенциальной
или изопотенциальной поверхностью.
36
Придавая постоянной С различные значения, получим семейство
поверхностейравного потенциала, заполняющих
поле; они не могут пересекаться между собой, иначе на линии пересе-
чения потенциал будет неоднозначной функцией, что противоречит
его определению.
Поместим начало декартовых координат на одну из эквипотен-
циальных поверхностей, а ось Oz направим по нормали к ней в сто-
рону увеличения потенциала (рис. 14). Тогда в начале координат
производная потенциала будет отлична от нуля только по коорди-
нате z, т. е. по нормали п, поскольку в направлении координат х
и у потенциал не меняется, и градиент запишется так:
gradt/^nj-^,
(20)
где п г — единичный вектор нормали.
Формулой (20) выражается тот факт, что градиент направлен
по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону увеличения
потенциала. Напряженность поля направлена противоположно гра-
диенту, а линии напряженности ортогональны поверхностям равного
потенциала.
Построим в поле несколько эквипотенциальных поверхностей так,
чтобы на смежных поверхностях потенциалы отличались на одну
и ту же величину ДС7. Тогда величина среднего градиента ДСЛ/Дуг
будет большой там, где расстояние Дуг между поверхностями мало,
и малой в тех местах, где это расстояние велико. Иначе говоря,
эквипотенциальные поверхности сближаются в областях поля с боль-
шой напряженностью и расходятся в областях с малой напряжен-
ностью, что позволяет изображать ими поле наряду с линиями
напряженности (рис. 15).
§ 13. УСЛОВИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОСТИ ПОЛЯ
Если вектор поля выражается через градиент однозначной скаляр-
ной функции по формуле (18'), то функцию называют потенциалом,
а поле потенциальным. Спрашивается, для всякого ли поля
можно подобрать потенциал или это возможно сделать только для
некоторых полей. Для выяснения этого соединим две точки 1 и 2
37
произвольной кривой и составим по ней криволинейный интеграл
•от вектора поля А в направлении от первой точки ко второй (рис. 16):
2
С -(\4zdZ, (21)
где At — составляющая вектора по направлению касательной к кри-
вой.
Докажем, что в потенциальном поле величина интеграла С не
зависит от вида кривой, соединяющей точки, а зависит только от
координат точек 1 и 2. Для доказательства допустим, что поле
dU
потенциально, и заменим под знаком интеграла Atdl на ——dl —
« = —dU. Тогда интегрирование легко выпол-
няется, и величина интеграла получается рав-
_—- । ной разности потенциалов начальной и конеч-
A\f ; ной точек
/ С'-С71(Х1, ylt у2, z2),
I / т. е. она действительно зависит только от коор-
I / динат точек 1 и 2.
Итак, можно сформулировать следующее: для
/ потенциальности поля необходимо и достаточно,
Рис. 16. чтобы величина криволинейного интеграла от
вектора поля, составленного по кривой, соеди-
няющей любые две точки, не зависела от вида кривой, а определя-
лась только координатами этих точек.
Если же величина интеграла зависит от вида кривой, соединя-
ющей две точки поля, то оно считается непотенциальным.
Будем точку 2 на рис. 16 приближать к точке 1 по кривой 2—1,
изображенной пунктиром. Когда точка 2 совпадет с точкой 1, то
кривая, соединяющая их, превратится в замкнутую кривую, кото-
рую назовем контуром. Криволинейный интеграл от вектора поля,
составленный по контуру, называют циркуляцией век-
тора и отмечают знаком контура на интеграле
С - [Atdl. (2Г)
Поскольку при циркуляции начальная и конечная точки совпа-
дают, то в потенциальном поле разность потенциалов между ними
становится равной нулю. Поэтому можно сформулировать следующее:
для потенциальности поля необходимо и достаточно, чтобы циркуля-
ция вектора поля по любому контуру равнялась нулю.
Если циркуляция по какому-то контуру не равняется нулю, то
поле считается непотенциальным.
В силовых полях величиной криволинейного интеграла опреде-
ляется работа по перемещению единичного источника от одной точки
к другой. В потенциальных полях эта работа выражается через
координаты начальной и конечной точек и не зависит от формы
38
пути. Например, в поле тяготения Земли работа перемещения тела
с одной высоты на другую равна произведению веса тела на разность
высот независимо от того, по какой кривой произведено переме-
щение.
Использование формул (21) и (2Г) для выяснения потенциальности
пли непотенциальности поля может оказаться невозможным из-за
трудностей с вычислением интегралов.
Поэтому возникает вопрос, нельзя ли формулы, характеризу-
ющие поле, написать в дифференциальной форме, когда вместо инте-
грирования проводится дифференцирование. Такая запись суще-
ствует, но для получения ее следует ознакомиться с величиной,,
называемой вихрем вектора.
§ 14. ВИХРЬ ВЕКТОРА
45
Рис. 17.
П
существует г
Как уже отмечалось, в зависимоси от характера поля, циркуля-
ция вектора будет равна или не равна нулю. Не делая заранее никаких
предположений о характере поля, составим циркуляцию вектора А
по малому контуру, ограничивающему площадку AS
(рис. 17). Ориентировку контура в поле определим
нормалью к площадке, причем направление нормали
свяжем с направлением интегрирования по контуру
так же, как связано поступательное движение правого
винта с его вращением.
Рассмотрим предел отношения циркуляции
к площадке Д5, когда контур, уменьшаясь, стя-
гивается к точке и AS -> 0. Предел, если он
зависит от ориентировки контура, и при некоторой ориенти-
ровке величина его наибольшая. Это показывает, что пределом
определяется новый вектор, величина которого равна наиболь-
шему значению предела. При произвольной ориентировке контура
пределом определяется составляющая нового вектора по нор-
мали к площадке AS. Новый вектор называется вихрем век-
тора А и обозначается curl А (читается кёрл А) или rot А (читается
ротор А). Первое обозначение происходит от английского слова
curl — завиток, а второе от французского слова rotation — вра-
щение.
Составляющую вихря по нормали к площадке записывают
сиг1л А или rotnA, и согласно сказанному она определяется па
формуле
. А 4 А1(П
curlnA rotnA--- lim -
as -> о
(22>
Ориентируя контур так, чтобы нормаль совпала последовательно-
с направлениями криволинейных координатных линий в данной
точке, определим по формуле (22) составляющие вихря по этим
39
направлениям, а затем, умножая их на единичные векторы п склады-
вая, получим вихрь вектора
rot А ---= Ц rot71 А +12 rot7t А 4-13 гоЦ3 А. (23)
Новый вектор будет встречаться в наших рассуждениях, поэтому
необходимо ознакомиться с его выражением в криволинейных
координатах.
§ 15. ВЫРАЖЕНИЕ ВИХРЯ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
Для получения выражения вихря найдем его составляющие
в криволинейных координатах по формуле (22). В качестве контура
возьмем четырехугольник, построенный на отрезках dl2, dl3 (рис. 18),
и пронумеруем стороны его цифрами 7, 2, 3, 4 так, чтобы при состав-
лении циркуляции в направлении возрастания номеров нормаль
к плоскости контура оказалась направленной по координатной
линии qx. Ввиду элементарности контура циркуляция сведется
к суммированию четырех членов
J At dl = (H2Ai dq2)i — (H3Ai dq3)2 • - (H2Az dq.^)3 -J- (H3Ai dq3)4,
где индексами у скобок отмечено, какой стороне соответствует
слагаемое.
Перейдем й выражениях слагаемых от составляющих At к состав-
ляющим по криволинейным осям. На сторонах 7, 2 интегрирование
0 происходит соответственно в направлении ко-
ординатных линий q2, q3, а на сторонах 3,4 —
противоположно этим линиям, поэтому имеем:
(а.)2-
(Л/)3- -(А?,)з. И/)4 = -М?з)4.
В соответствии с этим циркуляцию пере-
Рис. 18. пишем в таком виде:
Az dZ — [(H3Aq3)2 (773Ag3)4] dq3 [(Я2Aqi)3— (^2^<7t)i] ^92-
Разности в скобках выражают изменение величины HiAq при
переходе с одной стороны контура на противоположную и из-за
малости перехода могут быть записаны в виде
(Я3Л<7а)2 (H3Aq3\ =
(ТУ 2^4 <7±)3 (Я 2^4 )i ~ dq3^ dQv
Подставляя эти значения разностей в выражение циркуляции
и производя деление ее на площадь, ограниченную контуром, dS =
40
= H^H-idq^dqi, найдем составляющую
координаты gx:
. Л — 1 [ dkH3Aq^ _
ГОГд, А - я^Яз L d(j2
вихря по направлению
д<1з J ’
аналогично находим
А _ 1 Г d(fflA<h)
НЗИ1 [
д<11 J ’
(24)
В декартовых координатах составляющие вихря имеют вид:
. А дА2 дАу
rotv А= —
х ду
. А дА
rot^ А
dz ’
ЭАг
дх ’
dz
♦ А _ дЛУ
Г0*2 А дх
дАх
ду
Положим теперь, что вектором А определяется потенциальное
поле, т. e.Aqi = —dUIH^dq^ Подставляя эти значения составляющих
вектора в первую из формул (24), находим
„1,Л I Г' И). <
qi Н2Нз L д<12 \ дцэ / ддз \ dq2 J J
Аналогичный результат получается для остальных двух составля-
ющих вихря, что можно выразить в векторной форме одной формулой
rot А= —rot grad U ^0. (25)
Вихрь вектора потенциального поля тождественно равен нулю.
Уравнением (25) определяется необходимое и достаточное условие
потенциальности поля, записанное в дифференциальной форме. Это
условие в явной форме содержится в определении вихря по формуле
(22). В самом деле, если поле потенциальное, то циркуляция вектора
поля по любому контуру, в том числе элементарному, равна нулю,
а значит, и вихрь равен нулю.
Потенциальное поле иначе называется безвихревым, а не-
потенциальное — вихревым.
§ 16. ФОРМУЛА СТОКСА
Воспользуемся понятием вихрь вектора для установления интег-
рального соотношения, называемого формулой Стокса и часто при-
меняемого при изучении вихревых полей. С этой целью построим в
поле контур, ограничивающий некоторую поверхность S (рис. 19).
41
Разобьем поверхность пересекающимися линиями на элементы
*dS и составим циркуляцию вектора поля по контуру, ограничива-
ющему, например, тот из элементов dS, к которому на рис.19вос-
•становлена нормаль. Согласно формуле (22) циркуляция запишется
в виде
I At dl =^'<AnkdS.
Составляя подобные равенства для всех элементов поверхности,
а затем суммируя левые и правые части их, получим
Сумма циркуляций в левой части равенства сводится к цирку-
ляции по контуру поверхности S. В самом деле, в циркуляциях
по контурам, ограничивающим смежные элементы dS, интегрирова-
ние по границе между элементами проводится
дважды, но в противоположных направлениях,
и в итоге сокращается. Такие сокращения про-
изойдут на всех границах между элементами,
и будут суммироваться только интегрирова-
ния по тем сторонам элементарных контуров,
которые в совокупности образуют контур по-
верхности. Сумма в правой части равенства
из-за малости элементов dS переходит в ин-
теграл по поверхности. В результате получается формула
Стокса
t At dl = frot„AdS, (26)
8
которая читается так: циркуляция вектора по контуру равняется
потоку вихря вектора через поверхность, ограниченную контуром.
В математическом смысле формула Стокса позволяет свести кон-
турные интегралы к поверхностным или наоборот. Такое сведение
часто применяют для быстрейшего получения необходимых резуль-
татов. Поверхность S при этом должна ограничиваться заданным
контуром, но форма ее может быть взята такой, какая удобна для
рассуждений.
Задача 1. Выражение потенциала поля имеет вид: U = х1 -f- у- — 2з2
Какую форму имеют при этом поверхности равного потенциала?
Ответ: форму однополых или двуполых гиперболоидов вращения.
Задача 2. Поле задано составляющими напряженности: Ех = х, Еу = 1,
ТГ2 О. Найти выражение потенциала поля.
Ответ: U = —^-х2— у.
Задача 3, Поле задано составляющими напряженности: Ех — х/(х- + у2),
Еу ~ уКх2 + У2), Ег — 0. Найти вихрь вектора напряженности.
Ответ: rotE^O.
Задача 4. Вектор поля задан составляющими: Ах =- — 2у, Лу — 2т,
Л2 = 0. Найти вихрь вектора поля.
А2
Ответ: rotA = 4K.
Задача 5. Вектор поля задан составляющими: Ах = —2у/(х2 + у2),
А у = 2х/(х2 + г/2), А 2 = 0. Найти циркуляцию вектора А по контуру, охва-
тывающему ось Oz.
Ответ: С - - 4л •
Задача 6. Проверить формулу Стокса на примере поля задачи 4, взяв
за контур окружность с центром на осп Oz, а за поверхность S — плоскость
контура.
Задача 7. Проверить формулу Стокса на примере задачи 4, взяв за контур
прямоугольный четырехугольник с центром на оси Oz, а за поверхность S —
плоскость контура.
§ 17. ПОТЕНЦИАЛ ПОЛЯ ТОЧЕЧНЫХ, ОБЪЕМНЫХ,
ПОВЕРХНОСТНЫХ, ЛИНЕЙНЫХ ИСТОЧНИКОВ
Для нахождения потенциала надо выразить составляющие
напряженности через производные по координатам от одной и той же
скалярной однозначной функции, которая в соответствии с формулами
(18) и будет потенциалом рассматриваемого поля.
Выполним это сначале в поле одного точечного источника:
г» () (х д?о) __ д Q
х дх д ’
р____Q (У Уо) _ д Q
У “ 7?3 — ду R>
17 Q (z — д Q
2 ~' я* " dz ~7Г ‘
Аналогично выражаем в поле п источников:
Qi(x—xni)
Qi (y—Uoi'i
___д_ \J_Qi_
дх Hi ’
1
dy Zi Hi ’
1
Qi (’ г»,-)
____d_yQi_
dz Zl Ri •
1
Отсюда заключаем, что потенциалом поля точечного ис»
т о ч н и к а будет функция
С/= 4 (27>
и в поле п источников — функция
т. е. потенциал поля п источников равен алгебраической сумме
потенциалов поля отдельных источников.
Преобразуем теперь составляющую Ех напряженности поля
объемных, поверхностных, линейных источников по формулам
Ех = f 9{x~x°^-dV ^
х .1 /р
V
Ех-- =
Ех A X%3Jn) dl =
4A^dl
дх J R
Отсюда заключаем, что потенциалом поля являются функции:
для объемных источников
V
для поверхностных источников
S
(28)
для линейных источников
М-Н
/
Получить выражения (28) можно и таким путем: разбить на
элементы объем, поверхность, линию с источниками и рассматривать
элементы как точечные источники, потенциал которых определяется
суммой (27'), переходящей в пределе в интегралы (28).
Определение напряженности через потенциал обычно упрощает
изучение поля, поскольку интегралы (28) алгебраические и для
вычисления требуют меньше труда, чем геометрические интегралы
(7). В некоторых случаях потенциал находят, решая дифференциаль-
ное уравнение, которому он удовлетворяет. При этом появляются
постоянные интегрирования, однозначно определяемые с помощью
свойств потенциала, исследованию которых необходимо уделить
внимание.
§ 18. СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛА
Исследование свойств потенциала проведем для отдельных рас-
пределений источников.
Точечные источники. Простой анализ формул (27) и (27’) при-
водит к заключению, что потенциал в точках, свободных от источ-
ников, конечен, непрерывен и в бесконечности равен нулю. В точках,
занятых источниками, потенциал обращается в бесконечность,
как при Д —► 0.
Анализируя интегралы (28) и считая области V, S, I и плотности
р, о, х конечными, приходим к заключению, что, пока точка наблю-
дения расположена вне объема, поверхности, линии с источниками,
потенциал конечен, непрерывен, в бесконечности равен нулю. Когда
же точка наблюдения находится в объеме, на поверхности, на линии
-с источниками, интегралы (28) становятся несобственными, по-
скольку при интегрировании по малой области с точкой А подынте-
гральное выражение становится бесконечно большим, и необходимо
дополнительное исследование интегралов.
Объемные источники. Найдем сначала величину потенциала
•однородного сферического слоя (см. рис. 5)
а г 2г а
и = С И‘ p/,° sin = 2 лр V 4г (д + До — I Я - Яо1) dR0,
b о о ’ /?2 + Я? -2/?Яосо8 0() J '<
где \Н — До| — абсолютное значение разности, равное R — До,
если точка наблюдения находится снаружи слоя (Д >»«), и равное
Д 0 — Д, когда она находится в полости (Д < Ь), Поэтому получаются
такие выражения потенциала:
^=улр——
U = 2лр(а2—й2) (R^b).
У наружной (R = а) и у внутренней (R = Ь) поверхностей слоя
соответственно имеем:
__ 4 аЗ —63
U = 2лр(а2 — Ь2).
Эти два выражения используем для нахождения потенциала
в самом слое. Для этого через точку наблюдения в слое проводим
сферу с радиусом Д, которая делит слой на две части. По отношению
к одной из них точка А будет внешней, находящейся у наружной
поверхности, а по отношению к другой — расположенной в полости
у внутренней поверхности.
Суммируя выражения от обеих частей, получим потенциал от
всего слоя внутри его:
гг 4 л3 —бз
1 = Т яр ~~+2яр (fl2 - Я2) (Ь < Д < «) •
При Ь = 0 полученными выражениями определяется потенциал
однородного шара. Потенциал слоя, как и шара, во всех* точках
конечен, непрерывен, в бесконечности равен нулю.
Для определения потенциала в точке А, расположенной внутри
произвольного объема с источниками, опишем вокруг точки сферу
достаточно малого радиуса, чтобы в ее пределах плотность р можна
было считать постоянной. Потенциал в этой точке состоит из двух
слагаемых: одно от сферы и другое от остальной части объема,
исключая сферу. Оба слагаемых конечны и непрерывны; этими же
свойствами обладает и сумма слагаемых.
В итоге сформулируем следующее положение: потенциал поля
объемных источников всюду конечен, непрерывен и в бесконечности
равен нулю.
Поверхностные источники. Для определения потенциала в точках
поверхности с источниками найдем сначала потенциал однородного-
диска на его оси (рис. 6):
а 2~
и -= С С or/odr<,dq,) = 2ло (/a2-!-z2- | z |). (29}
JJ Уг’+22
Из полученного выражения видно, что потенциал в центре диска
равен 2лоа, и при переходе через диск остается непрерывным.
В других точках оси потенциал конечен и непрерывен, а в бесконеч-
ности равен нулю.
Для определения потенциала в точке 4, расположенной на про-
извольной поверхности с источниками, вырежем из поверхности
диск с центром в точке А настолько малого радиуса, чтобы в преде-
лах диска плотность о можно было считать постоянной. Потенциал
в точке А состоит из двух слагаемых: одно от диска, а другое от ос-
тальной части поверхности, исключая диск. Оба слагаемых конечны
и непрерывны; этими же свойствами обладает и сумма их.
В итоге можно сформулировать следующее положение: потен-
циал поля поверхностных источников всюду конечен, непрерывен
и в бесконечности равен нулю.
Линейные источники. Для определения потенциала в точке А,
расположенной на линии с источниками, вычислим сначала потен-
циал однородного отрезка прямой — тонкого стержня ( рис. 7):
и = (' xth° х In ^2 + ^+^.±1. (30)
J /r2+(z-Z0)2 /r2+(z-Z)24-2-Z
Точку наблюдения будем приближать к отрезку, сохраняя z = 0.
Тогда выражение потенциала устремится к пределу
/^47724./ + Р4-1 п . 21
TJ х ]п ~ - = 2х In --'--!— ->2xln—,
Уг2^12-1 Г г->0 Г
который обращается в бесконечность при любой конечной длине
отрезка. На пси Oz при z > I выражение потенциала имеет вид
U = х In —
2 — I
46
и с приближением по оси к концу отрезка (z Z) оно обращается
в бесконечность.
Для рассмотрения потенциала в точке на произвольной линии
с источниками вырежем из линии короткий отрезок, в пределах
которого плотность х можно считать постоянной. Потенциал в точке,
совпадающей с серединой отрезка, состоит из двух слагаемых: одно
от отрезка, а другое от остальной части линии, исключая отрезок.
Первое слагаемое ведет себя как бесконечно большая величина,
а второе будет конечным и непрерывным. Сумма слагаемых будет
бесконечна; у концов линии потенциал также будет обращаться
в бесконечность. В итоге сформулируем следующее положение:
потенциал линейных источников с приближением к линии обращается
в бесконечность, как 2х1п — при г 0, где г расстояние до линии
от точки наблюдения, или как х In —при z — I -> 0, где z — I
расстояние до конца линии, если приближаться к концу линии по
касательной к ней. В точках, расположенных на конечном расстоя-
нии от линии, потенциал конечен и непрерывен, а в бесконечности
равен нулю.
§ И. ПОТЕНЦИАЛ ЗАРЯЖЕННОГО ПРОВОДЯЩЕГО ЭЛЛИПСОИДА
ВРАЩЕНИЯ
Рассмотрим поверхности равного потенциала в поле однород-
ного отрезка прямой. Для получения их уравнения приравняем
в формуле (30) выражение под знаком логарифма к постоянной
величине К:
УГ2+ {z^l)2 + z+l л.
Vr2+ (z — Z)2+z— I
Преобразуем это уравнение, умножив числитель и знаменатель
дроби на величину
[/r24-(z + Z)2 - (z + 1)] [/Г2 + (z-Z)2 _ (z_ /)] ;
тогда
/г2+(-_г)2_(г_г)
/г2+(г + /)2_(г+/)
После этого, избавляясь от знаменателей дробей в исходном
и преобразованном уравнениях, а затем складывая их левые и пра-
вые части, получаем
Vr2~(z + l)2 /r2 + (z —Z)2 + 21 - К [/г2 + (z + Z)2 4-
-4 /r2 + (z-Z)2-2Z].
Радикалами в полученном уравнении определяются расстояния
от концов отрезка до произвольной точки поверхности равного
потенциала.
47
Решая уравнение относительно суммы радикалов, находим
/г2 + (г+/)2 .Н /г2+(г_/)2г= 21 £±1 .
В этом виде уравнение легко интерпретируется. Действительно,
если сумма расстояний от концов отрезка до произвольной точки
поверхности равна постоянной величине, то уравнением определя-
ется вытянутый эллипсоид вращения, фокусы которого совпадают
с концами отрезка.
Придавая К значения от 1 до оо, получим семейство софокусных
эллипсоидов вращения. Значению К = 1 соответствует эллипсоид
с нулевым потенциалом; эта поверхность имеет бесконечно большие
полуоси, поскольку сумма расстояний от фокусов до любой ее точки
равна бесконечно большой величине. Значению К = оо соответствует
поверхность эллипсоида с бесконечно большим потенциалом. Эта
поверхность плотно охватывает стержень; сумма расстояний от фо-
кусов до любой ее точки равна длине отрезка 2/. Другим значениям
соответствуют поверхности, располагающиеся в пространстве между
рассмотренными предельными поверхностями.
У вытянутого эллипсоида вращения сумма расстояний от фоку-
сов до любой точки на его поверхности равна удвоенной полуоси
вращения 2с1в На основании этого запишем:
отсюда находим
Величина I является линейным эксцентриситетом эллипсоидов
и через полуоси и Ьг выражается таким образом:
Заменим линейную плотность х отношением величины заряда Q
к длине отрезка 21.
После этого выражение (30) можно переписать в таком виде:
(30')
где с± и Ь± — полуоси того эллипсоида, на поверхности которого
рассматривается потенциал поля, создаваемого равномерно заря-
женным прямым отрезком. Равномерно зарядить отрезок весьма
просто. Надо изготовить его из проводника, тогда заряд Q, поме-
щенный на отрезок, распределится по нему равномерно и создаст
поле рассматриваемого вида. Представим себе, что с одной поверх-
ностью равного потенциала совмещена проводящая поверхность.
От этого никаких изменений в поле не произойдет. Теперь переведем
заряд Q с отрезка на проводящую поверхность. При этом напряжен-
48
ность поля между отрезком и проводящей поверхностью сделается
равной нулю, а вне проводящей поверхности она останется такой же>
как и в поле равномерно заряженного отрезка. Поэтому формулой
(30') выражается потенциал любого заряженного проводящего эл-
липсоида, расстояние между фокусами которого равно 21.
Обозначая полуоси заряженного эллипсоида через с, ft, заменим I
на ]/с2 __ ^2 п перепишем выражение (30') в виде
и- In^ + ^lEg; (30”)
2/с2_М q ——ft} ’ v
в таком виде оно определяет потенциал не только в поле заряженного
вытянутого, но и сплюснутого эллипсоида вращения, когда с< Ь.
Чтобы исключить мнимость из выражения потенциала сплюснутого
эллипсоида, его переписывают:
Q
/62 — <2
V
J.arcclg jU .
2/ /ft2_c2 6 Vbl—с»
(30"')
Переход от логарифма к арккотангенсу осуществляют с помощью
подстановки
Ci —г УЬ} — cf
Избавляясь от логарифма потенцированием и проводя преобразо-
вания, получаем
—7 С1-” — = ctg <Г,
откуда
Поверхности равного потенциала в поле заряженного проводя-
щего сплюснутого эллипсоида будут также сплюснутыми эллипсо-
идами, софокусными с заряженным.
Когда заряженный эллипсоид становится тонким диском, экви-
потенциальные поверхности заполняют все пространство, распо-
лагаясь между предельными поверхностями, одна из которых плотно
охватывает диск, а другая находится в бесконечности. Потенциал
самого диска (с =~- 0), как видно из формулы (30"'), не равен беско-
нечности, как потенциал отрезка. Заряды на диске распределены
неравномерно; плотность их увеличивается с приближением к краям.
Подробно это будет рассмотрено ниже.
Введем в рассмотрение величину
и
Vcf-bf
/qzTf
4 Заказ 1701
49
’ Эта величина меняется при переходе с одной эквипотенциальной
поверхности на другую и на заряженном эллипсоиде принимает
значение iz0, определяемое полуосями с, Ь. Для вытянутых эллип-
соидов и изменяется от 1 до оо; значению и = 1 соответствует
поверхность прямого отрезка длиной 27, а значению и = оо — по-
верхность эллипсоида с бесконечными полуосями. Для сплюснутых
эллипсоидов и изменяется от 0 до оо: значению и = 0 соответствует
поверхность тонкого диска, значению и = оо — поверхность эл-
липсоида с бесконечными полуосями. С введением величины и по-
тенциал поля заряженных проводящих эллипсоидов выразится так:
и = ,1п -^±1 (с >Ъ),
arcctgu <Ь>С)-
Задача 1. Определить потенциал однородной пластины со сторонами Ъ, с
в точке, находящейся на нормали к пластине, если нормаль проходит через
один из ее углов.
Ответ:
и „ „ { с 1„ + + Ь1П .£+^ + "- + * _
I |/X24-C2 |/x2_pfe2
Ъс \
X arctg —7z===r ,
хУх^ЬЦс^ )
где x — расстояние от точки до пластины.
Задача 2. Из трех концентрических проводящих сфер с радиусами а>Ь > с
внутренняя и внешняя заземлены, а средней сообщен заряд Q^.
Определить потенциал средней и индуцированные заряды на внутренней
и внешней сферах. 1
Ответ:
гг. п (а — Ъ)(Ъ — с) „ с (а — Ъ)
Задача 3. Два тонких коаксиальных кольца одинакового радиуса а нахо-
дятся па расстоянии Ъ друг от друга. В центре первого кольца потенциал
равен L\, а в центрё второго С7а.
Определить величину источников, равномерно распределенных по кольцам.
Ответ: ______
a/fl2+2!(r—
О*
Qt - (/^2 + 62 и2~ aUj.
Задача 4. На проводящем эллипсоиде с полуосями 5, 4, 4 см находится
заряд, равный 1 ед. СГСЭ. Вычислить потенциал и емкость эллипсоида.
Ответ: U = 69а, С — 4,34 см.
Решить задачу для эллипсоида с полуосями 4, 5, 5 см.
50
Ответ: U - - 64,?$, С 4.67 см*
Задача 5. Определить емкость диска радиусом а.
Ответ: С -- 2 л/л.
§ 20. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА - ЛАПЛАСА И ЕГО РЕШЕНИЕ
ДЛЯ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ
Вычисление суммы (27') или интегралов (28) является одним
пз способов определения потенциала, который во многих случаях
может быть легче получен интегрированием дифференциального
пион ия, вытек а ютцего из уравнения (12) после замены напря^кен—
ности градиентом потенциала:
г —4лр (в точках, занятых источниками),
divgiadL — | q (в точках, свободных от источников). ^0
Это соотношение называется уравнением Пуассона
пли Лапласа в зависимости от того, имеется у него правая
часть или отсутствует. Два символа div и grad, расположенных
в таком порядке, как в соотношении (31), заменяют одной греческой
буквой Д (дельта), называемой при этом оператором Лапласа или
лапласианом. С введением нового оператора уравнение (31)
можно переписать в виде
f — 4ло,
Д^ = |о (31')
При решении полученного уравнения лапласиан выражают в оп-
ределенных координатах. Для этого в формуле (17) составляющие
напряженности заменяют составляющими градиента потенциала:
_ 1 Г д ( Н2Н3 dU \ , д (Н3Нг дО \ ,
НхН2Н2 L&Z1 к нг ~д^)^ д(12 Н2 ~д^)^
+^А£-<)]- (32)
Отсюда выражения лапласиана:
в декартовых координатах
дг- I 02U I ^У
dx2 ' ду2 ’ dz2 9
в сферических координатах -
в цилиндрических координатах
Д[7
г дг \ дг’дц 2 ' '
'г*
51
Как видно, соотношение (ЗГ) является уравнением второго
порядка в частных производных и имеет бесчисленное множество
решений. Однако это не недостаток, а скорее достоинство уравне-
ния, поскольку из совокупности решений может быть составлено
такое решение, которое имеет свойства потенциала, а его градиент —
свойства напряженности, взятой с обратным знаком. Такое решение
будет единственным и правильным для данной задачи, так как
нельзя из всей совокупности решений выбрать два с одинаковыми
свойствами, удовлетворяющими задаче. Доказательство утвержде-
ния о единственности решения мы опускаем.
Пример 1, Найдем потенциал и напряженность поля однород-
ного сферического слоя (см. рис. 5), решая уравнение (ЗГ).
Мы выбираем этот пример, разобранный другими способами,
для проверки действенности нового способа нахождения поля.
Решение задачи проведем в сферических координатах с началом
в центре сфер, ограничивающих слой. При этом поле зависит только
от координаты R и уравнение (ЗГ) запишется в виде
Интегрируя эти уравнения, находим:
£=—&- и=т+с> <«>“)•
в-—|-ярЯ+-§-, t/=—5-«рЯ‘+-^-+С.
Е~—Sr—w- 1'-тг+с-
Для определения постоянных интегрирования С\, . . ., Св при-
мем во внимание конечность, непрерывность и обращение в нуль
в бесконечности напряженности и потенциала.
Обращение поля в нуль в бесконечности выполняется при С2 = 0;
конечность его в начале координат требует С5 = 0. Непрерывность
на границах R = b и R = а удовлетворяется уравнениями
о = Аяр&+_£., G=—|-М>2+4+с4-
6*1 4 । С 6*1 2 о» 6*3 . /7
-±. = уяра + —, 4-=-ТлРа+ —
решая которые, находим:
G = А Лр (аз _ сз = - A npb3,
52
с4 = 2яра2, Ce - 2лp (а2 — b2).
С этими значениями коэффициентов полученные выражения
для напряженности и потенциала совпадают с выражениями, най-
денными ранее другими способами.
Пример 2. Найдем потенциал однородного диска с помощью
уравнения (ЗГ).
Задачу будем решать в сферических координатах с началом в цен-
тре диска и полярной осью, направленной по его оси (см. рис. 6).
При таком расположении координат потенциал будет функцией
R и 0, а уравнение (ЗГ) примет вид
Для решения полученного уравнения представим потенциал
произведением двух функций U = f^R) /2(®)> первая из которых
зависит от /?, а вторая — от 0. Тогда после небольших преобразований
уравнение будет иметь вид
Первое слагаемое в этом уравнении зависит от координаты Я,
а второе — от 0. Сумма слагаемых при любых значениях R и 0
может равняться нулю только при условии, что в отдельности они
равны одной и той же постоянной величине, взятой с разными зна-
ками. Мы приравниваем первое слагаемое к величине п (n + 1),
а второе к величине—п(п +1), где п для однозначности потен-
циала должно быть целым положительным числом. После этого
приходим к двум уравнениям в обычных производных:
7Г“57Г (Л2“57г) = п(п~ !)>
(sin 0#) = -”(”+!)•
Решениями первого уравнения будут функции Rn или 1/7Г+1,
а второго — Рп (cos 0) — полиномы Лежандра. Причем Ро (cos 0) = 1’
Pj(cos 0) cos 0, а все другие полиномы находятся по рекуррент-
ной формуле
(п + 1) Рп+1 = (2п +1) cos 0 • Рп - пР^
и выражаются через степенные ряды cos 0. Наивысшая степень ряда
определяется номером п. Абсолютное значение полиномов заключено
в интервале от нуля до 1, когда 0 меняется от нуля до л.
т>пр так’ Ее??^,яями в рассматриваемом примере будут функции
ппямИ^\ п ™ : пеРвая из них пригодна для определения потен-
кпппгшпятИЗИ. начала координат, поскольку с удалением от начала
на беспредельно возрастает; вторая годится для
53
определения потенциала вдали от начала координат, а с прибли-
жением к началу она обращается в бесконечность.
Построим сферу с центром в начале координат и с радиусом, рав-
ным радиусу диска. Тогда, учитывая конечность потенциала, опре-
делим его внутри сферы суммой из первых функций, умноженных
на постоянные коэффициенты Лл, а вне сферы — суммой из вторых
функций с коэффициентами Вп, т. е.
U=^AnR-Pn (O^R^a),
/2=0
ВР
/1=0
На полярной оси (0 = 0) Рп (1) ~ 1 и написанные выражения при-
нимают вид
U^£a„R" (O^R^a),
/1=0
<33')
/1=0
Они должны совпадать с полученным ранее выражением потен-
циала на оси диска (29), если в нем заменить z на R, а затем разло-
жить в ряд по степеням R/a при R<Z а или по степеням a/R ппи
R >а.
Выполняя разложение по формуле бинома Ньютона, имеем'
(«<«). т
17„2я<>[-Я+.н(1 й О
LJ 212, 1Н>Л
~ 2-4 Я4 + 2-4-6 Я« ?J ’
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях R и 1/7?’
в уравнениях (33') и (33"), находим
А0~2лоа, Aj^—Zna
и далее
' а2п (- 1)-42ло 1,э2:;'.(.лг * А ™ -0 ••
Во — под2, В2 — 0
54
к далее
Bin = (- 1)п2ла аД./ (S + 2Tа2"+2’ = °-
С этими значениями коэффициентов Ап и Вп формулами (33)
определяется потенциал в любой точке пространства.
При этом приходится пользоваться бесконечными рядами, од-
нако они сходятся и могут применяться для расчетов.
Выражения (33) пригодны для определения потенциала не только
диска, но и других тел вращения, если коэффициенты Ап и Вп бу-
дут найдены
Найдем,
циенты Ап
из значения потенциала на
например, коэффи-
и Вп для тонкого
однородного кольца радиусом а
(рис. 20).
Совмещая начало сферических
координат с центром кольца,
полярную ось с его осью Oz, на-
ходим потенциал на оси Oz:
и
Уа2+Я2
Разлагая это выражение в ряд
по формуле бинома Ньютона, имеем
оси вращения.
\ ___1 & , 1-3 Я4
а \ * а2 ) а \ 2 я2 ' 2 • 4 я4
1-3-5
2-4-6
(Ж а),
(33"')
П _2_/l1 , 1-3 ai
Я k +Я-J “ Я к1 яг'+^Т’Я*
1-3-5 я» . \ /о\ \
2-4-6 Я« ‘ ) (Я > «)•
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Я и 1/Я
в уравнениях (33') и (33"'), находим
Ло = -^-, ?4j = 0
и далее
^2л+1 =0;
и далее
B0=Q, В, - 0
В^(~ l)nQ i-f---2n2n1 а2п, В2п+1 = 0.
55
С этими значениями коэффициентов потенциал определяется
по формулам (33) в любой точке пространства, кроме точек кольца,
где ряды (33) расходятся.
§ 21. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА КОЛЬЦА ЧЕРЕЗ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ
ИНТЕГРАЛ
Потенциал однородного тонкого кольца может быть выражен
в любой точке пространства через эллиптический интеграл первого
рода. Для этого совместим с центром кольца (рис. 20) начало декар-
товых координат, ось Oz которых направим по его оси, и запишем
потенциал в точке А(х, 0, z) в таком виде:
Q Р________________dl___________
Произведем замену переменных под знаком интеграла по фор-
мулам dl = adqQ, xQ = a cos (р0, yQ = a sin ф0, после чего вы-
ражение потенциала примет вид
у = Q_ С <*<Ро .
л J 22 — 2ха cos q о
Полученный интеграл эллиптический, и для приведения
его к нормальному виду введем в рассмотрение наименьшее q и
наибольшее р расстояния от точки А до кольца
q= V(x— р^- У(х4-а)2Н-г2,
а также применим подстановку 2ф = л — фп.
Тогда радикал под знаком интеграла преобразуется к виду
]Лг2 + а2 -- z2 — 2ха cos ф0 = р — к2 sin2 ф,
где к2 = 1 — .
Теперь выражение потенциала переписывается так:
f rf<p- - = —^(у- к\, (34)
ЛР J яр \ 2 / '
о
где F (л/2, к ) — полный эллиптический интеграл первого ряда,
представленный таблицами, что позволяет полученное выражение
применять для вычислений.
Задача. Вычислить потенциал кольца с радиусом а в точке Л (а, 0, а).
Отв.т: Г-- —-2,26.
л а у 5
56
§22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Для рассмотрения полей эллипсоидов применяют эллипти-
ческие координаты. Эллипсоидом можно заменить с достаточной
точностью многие тела, поля которых будут близки к полю эллип-
соида. Это имеет значение в практике геофизической разведки при
оценке полей от таких тел. Конечно, задачи с эллипсоидами имеют
большой и самостоятельный интерес.
При рассмотрении эллиптических координат исходят из уравне-
ния поверхности второго порядка с центром в начале декартовых
координат:
X2
at-^S
У2
b*+S
(35)
где а b с — полуоси эллипсоида, для которого рассматрива-
ется эллиптическая система координат; S — параметр, изменяя
который, получаем различные поверхности.
Эти поверхности софокусны, поскольку расстояния от начала
координат до фокусов главных сечений не зависят от S и равны
/а2 — b\ ]/б2 — с2, /а2 — с2.
Значения S в интервале от —с2 до оо обозначим через %. При
этих значениях все три полуоси /а2 -г Л >/52 + X > V с2 + X
вещественны, а поверхности будут эллипсоидами. При X — —с2
получается эллиптический диск с полуосями У а2 — с2, ]/ ft2 — с2,
расположенный в плоскости 2 = 0. При Л = оо имеем шар с бес-
конечно большим радиусом. При других значениях X получаются
эллипсоиды, расположенные в пространстве между рассмотренными
предельными.
Значению X = 0 соответствует поверхность рассматриваемого
эллипсоида. Всей совокупности значений X соответствует семейство
эллипсоидов, заполняющих все пространство и образующих первое
семейство координатных поверхностей. Величина X является пер-
вой эллиптической координатой.
Значения S в интервале от —Ь2 до —с2 обозначим р. При этих
значениях две полуоси Уa2 -f-р, ]/"Ъ2 р вещественны, а третья
]/ с2 + р — мнимая, и поверхности становятся однополыми гипер-
болоидами. Сечение гиперболоидов плоскостью 2 = 0 эллиптиче-
ское с полуосями У а2 + р, У Ъ2 р; при р = — Ъ2 одна полуось
сечения равна нулю, а гиперболоид с этим значением р прилегает
с двух сторон к плоскости у = 0, будучи ограниченным в этой пло-
скости ветвями гиперболы
X2 -2
О2—62 ^2_С2 =
Это один из предельных гиперболоидов, соответствующий наи-
меньшему значению р. Поверхность второго предельного гипербо-
лоида, соответствующая р = —с2, прилегает с двух сторон к плоскости
57
z = О, имея в этой плоскости отверстие с полуосями у а2 — с2,
]/б2 — с2. В этом отверстии находится один из предельных эллип-
соидов — диск.
Семейство однополых гиперболоидов образует второе семейство
координатных поверхностей. Величина pi является второй эллипти-
ческой координатой.
Значения S в интервале от —а2 до —Ъ* обозначим у; при этом
одна полуось р^а2 + v вещественна, а две другие Ь2 -{- у, ]/" с2 + у—
мнимые, и поверхности будут двуполыми гиперболоидами. Первый
предельный гиперболоид у =
скости х = 0, а второй (у = -
—а2 прилегает с двух сторон к пло-
Ь2) — с двух сторон к части плоскости
у = 0, расположенной внутри вет-
вей гиперболы
X* Z2 .
аЪ — № ~~ 62 —с2 —
Другим значениям у соответ-
ствуют гиперболоиды, располага-
ющиеся между рассмотренными пре-
дельными гиперболоидами.
Семейство двуполых гиперболои-
дов образует третье семейство ко-
ординатных поверхностей. Величи-
на у является третьей эллиптиче-
ской координатой.
На рис. 21 изображен эллипсоид и координатные линии ц и у,
образовавшиеся от пересечения его с однополыми и двуполыми ги-
перболоидами.
При пересечении однополых и двуполых гиперболоидов обра-
зуются координатные линии X. Пересечением трех координатных
поверхностей определяется точка с эллиптическими координатами
X, |i, у. Такие координаты имеет не одна, а восемь точек, располо-
женных по одной в каждом октанте. Для устранения многознач-
ности необходимо указать октант, в котором находится точка.
Для получения зависимости эллиптических координат от декар-
товых следует решить уравнение (35) относительно S. Поскольку
уравнение третьей степени, то при решении получаются три веще-
ственных корня. Наибольший корень соответствует X, средний ц,
наименьший у.
Полином второй степени, как известно, может быть записан в виде
произведения двух множителей, каждый из которых равен разности
между переменной и корнем полинома.
Полином третьей степени записывается произведением из трех
аналогичных множителей. В связи с этим, зная корни уравнения
(35), мы можем написать тождество
*2 t !/2 . , z2 (<9__X)GS’-p)GS’-v) •
Д24-5 • “Г с2_|_£ (а2-|.5)(62+5)(с2+5) »
(36)
58
в котором числитель правой части является разложением числи-
теля левой части на упомянутые три множителя.
Воспользуемся тождеством (36) для определение декартовых
координат через эллиптические. Для этого умножим обе части
тождества последовательно на а2 4- S, b2 -|" *5» с* а затем
в той же последовательности положим S = —a2, S = — Ь2, S =
= _с2. в итоге получим
2 (я24-Х) (а2Ч-р) (a2-Lv)
Х - (62 —а2) (с2—а2) 9
о _ (&2+Х) (62 + р) (*>2+у) zo7x
У - (а2 —62)(с2 —62) 9 '°''
(С2 + Х)(С2+и)(С2 + у)
z (а2 —с*) (№—<&)
Из этих выражений следует, что декартовы координаты опре-
деляются через эллиптические с точностью до знака, или коорди-
натами X, |i, v характеризуется не одна, а восемь точек, располо-
женных по одной в каждом октанте, что отмечалось ранее на осно-
вании геометрических свойств координатных поверхностей.
Дифференцируя обе части выражения для х2 по координате X,
получаем
9 Эх _ (д2 4-р) (Д2-1-у) х2
Z dl ~ (62 — а2) (с2 —«2) “ Л2-.-Л •
Отсюда находим
дх ___ 1 х дх ___ 1 х дх 1х
dl 2 а24-Л ’ др Г а2 + р ’ ~dv~ —a2 + v ’
аналогично получаем
-у- = 1 У 1 У оу _ = 1 У
dl 2 62 +Х ’ др 2 6«+р ’ dv 2 62 4-V » (Об)
dz 1 — dz 1 Z dz _ 1 У
dl 2 с2 + х ’ др 2 dv 2 624-V ’
Дифференцируя обе части тождества (36) по S, а затем последо-
вательно полагая S = X, р,, у, находим
___I у2 I _£!_ _ (X - р) (>.- v)
(“2 + Х)2 (Ь2 + Х)2 (С2+Х)2 “ ДХ) •
----2 - 4- —у2 । -2 _ (р —V) (р — X) ,Ofn
(«2+ fl)2 I (d2+p)2 "Г (С2 +|1)2 / (ц) » (39)
---—. _1_ У2 I г2______________(v — Z) (v — р)
(я2+ V)2 ' (62+v)2 Г (c2 + v)2__Д^)-------------»
у^2Д1Я<,?0Кращения записи положено: / (S) = (а2 + S)(b2
' ‘ что будет повторяться и ниже.
+ S)X
59
Теперь, используя соотношения (38) и (39), по формулам (16)
найдем коэффициенты
Н — — if *2 । у2 । ~ __1_ 1/~ (*—Н) (*—у)
1 " 2 V (a24-X)2s *" (62_рХ)2 ' (с»+Л)2 ~2 Г /(А.)
Н2 = -L1/ х2 +- уг .-I_____________ZZ = _11/ (н-у)(н-*) (40)
2 2 Г (а2+И)2 Т (62 + ц)2 -Г (С2+И)2 2 Г /(и) ’ ' '
Н ~ — 1/—*2 I У2 I г2 _ 1 1/ (V—1)(у—р)
3 2 V (a2-|-v)2 (624-V)2 Т- (C24-V)2 2 Г /(V)
Докажем ортогональность эллиптических „ координат. С этой
целью напишем уравнения поверхностей X и ц
& I У2 I Z2 Л
а2+Х Т- 62 + х -Г С24-Х
х* । У2 2» .
а2 + ц ’ Ь24-р "•
и вычтем одно из другого, после чего, выполнив небольшие пре-
образования , найдем
(Л— |Х) ( д2 + х а2 + и + Ь2+Х &2+р, +’ С2+Х С2+и ) = °-
Равенство полученного выражения нулю при X =^= р, обусловлено
значением суммы, взятой в скобки, которая на основании (38) может
быть переписана в виде
, / дх дх . ду ду . dz dz \
что согласно формулам (16) выражает ортогональность поверхно-
стей X и |1. Аналогично доказывается ортогональность поверхностей
ц и v, а также v п X.
§ 23. ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННОГО ПРОВОДЯЩЕГО ЭЛЛИПСОИДА
Как известно, заряженный проводник имеет по всему объему,
включая и поверхность, постоянный потенциал. Линии напряжен-
ности ортогональны к поверхности проводника. Применительно
к эллипсоиду это означает совпадение линий напряженности с ко-
ординатными линиями X и зависимость потенциала только от одной
координаты X. В связи с этим уравнение Лапласа после сокраще-
ния на множители, не зависящие от X, записывается так:
60
Первое интегрирование уравнения приводит к выражению на-
пряженности поля
Е= ~ Нг&к “ HiVfTk)’
Где с___постоянная интегрирования.
Интегрируя вторично и принимая потенциал в бесконечности
равным нулю, находим
£7 = \ -^=г,
где через t обозначена перемейная интегрирования.
Постоянную С определим, исходя из соображений, что вдали
от эллипсоида поле практически совпадает с полем точечного заряда,
а эквипотенциальные поверхности — со сферами радиуса R ль
]га2 х |/ -гл ]/с2 4-Х. Поэтому / (t)&R*, dt — 2R dR и
rr C 2С dR _ 2С
U J Я2 ~ Я ’
R
Поскольку потенциал поля точечного заряда должен равняться
то 2С = Q. С полученным отсюда значением С перепишем вы-
ражения напряженности и потенциала в следующем виде:
Е~------т=- (41)
2Я1 //(X) ’ V '
ОО
тт__С Q dt
Л2/Л7)-
Т~Г о * fl2 —
При помощи подстановки a2 4- t = интеграле выражении
(42) сводится к эллиптическому интегралу первого рода F(w, к)
по формуле
Vf (О Г«2-С2 Sin2 <Р /Й2_С2 F
где <р = a resin j/~— амплитуда и к = — модуль
интеграла. * а ~с
Поскольку напряженность внутри эллипсоида равна нулю.,
то плотность зарядов ст на эллипсоиде определится по формуле
о - I = _ Q_________ I _____________Q________
- A-о 8n^y/(X)Uo 4лаЬс ^2—
Г «4 1 М г с<
Cl
Из аналитической геометрии известно, что величина
' 1/—
У ^4 ' М ' с4
Является расстоянием от начала координат до плоскости, касатель-
ной к эллипсоиду в точке с координатами ж, у, z. Таким образом,
плотность о пропорциональна р и достигает наибольшей величины
в дальней, а наименьшей — в ближней вершине эллипсоида. Это
полностью согласуется с электростатикой, что электричество кон-
центрируется на более выпуклых частях поверхности проводника.
Емкость эллипсоида определяется по формуле
г Q I _ /а2-С2
U |х=о F (<р, к)
Отсюда можно показать теоретически или убедиться путем вы-
числений в том, что емкость эллипсоида меньше, чем у описанной,
и больше, чем у вписанной в эллипсоид сферы.
§ 24. ПОЛЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА
Потенциал поля однородного эллипсоида зависит от всех трех
эллиптических координат, и определить его, решая уравнение Лап-
ласа — Пуассона, трудно. Более легко задача решается другим
Рис. 22.
путем, когда используется выраже-
ние потенциала заряженного про-
водящего эллипсоида. Идя по этому
пути, выделим из однородного эл-
липсоида тонкий слой, ограничив
его подобными и подобно располо-
женными эллипсоидами с полуосями
(и + dn) а, (и 4- dri)b, (и -f- dn) с
и па, nb, пс, где п — множитель
подобия, меняющийся от 0 до 1.
При п = 0 подобный эллип-
соид превращается в точку, а при
п = 1 совпадает с рассматриваемым эллипсоидом (рис. 22). Тонкий
слой создает такое же поле, как поверхностные источники с плот-
ностью о = pdp, где dp — толщина слоя, равная расстоянию между
касательными плоскостями к подобным эллипсоидам. Согласно
замечанию, сделанному в предыдущем параграфе, величина р оп-
ределяется по формуле
1 п2
62
2dn
n P'
дифференцированием которой находим
,2n dn
И^+-Ь-+тг
после этого плотность о выразится следующим образом:
. 2dn
Это выражение показывает, что плотность о, как и у заряжён-
ного проводящего эллипсоида, пропорциональна р. Отсюда следует,
что поле, создаваемое тонким Слоем, ограниченным подобными
эллипсоидами, совпадает с полем заряженного проводящего эллип-
соида. В связи с этим потенциал слоя выразится по формуле (42):
dU _ С___________________
2 J |/(„2а2+^)(Л2Ь2 + Г') (П2С2+Г) ’
где нижний предел X' удовлетворяет уравнению
^2 I У2 I "2 __ А
пМ-^' г nM-t-V ’
a dQ = pdV — общая величина источников в слое.
Выражая объем слоя dV по формуле
dV d паЬсп^ = 4razfon2 dn
и заменяя переменную интегрирования t" новой переменной t'
н<и формуле t" = п2Г, переписываем выражение dU в таком виде:
dU — 2npabcndn f .dt-—— ,
- J /4fl2 + r)(62 + f)(c2+f) *
где нижний предел t удовлетворяет уравнению
а«-Н ~ b^ + t ~ с2+< л ’
связывающему между собой п и t\ значению п = 0 соответствует
* ~~ 00 ’ а значению п = 1 соответствует t = X, Дифференцируя
обе части уравнения и считая при этом координаты х, у, z неиз-
менными, находим
d (.^г + Г + Жрт+ ТГру) = 2ndn’
oun^-n пол,Гвния потенциала V всего эллипсоида интегрируем
р ние аи по п от 0 до 1 или, заменяя в выражении dU множитель
(S3
2ndn только что найденным для - него значением, интегрируем
выражение dU по t от оо до X, т. е.
U —яаЬср
Уг , "г \ f° df
&+t “Г <*+« )' J //То
Теперь в полученном выражении двойное интегрирование све-
дем к одинарному. Для этого внутренний интеграл обозначим через
<р(0, а внешний интегрируем по частям. В итоге получим
^ТГ + Тг+7
У2 , -2 \ dt
b2 + t "Г C2 + , )
При верхнем пределе интегрированная часть определится по
формуле
ОО
Ф(!)==[
44 • J Vi (t)
поскольку
*2 , у2 , -2 у
а2-+-Х “ &2 + Х "Г с2_1_% Х’
при нижнем пределе она обращается в нуль. Объединяя интегри-
рованную часть с неинтегрированноп, получим окончательное вы-
ражение для потенциала эллипсоида при X 0:
(43)
Для определения напряженности поля воспользуемся ее связью
с градиентом потенциала. Дифференцируя при этом потенциал
по декартовым координатам, надо учитывать не только его явную
зависимость от этих координат, но и зависимость через нижний
предел X.
Поэтому имеем
~ - 4? = 2npabcx | -jqp- +
Г.... +лаЬср^1 —й2+х—тзтр;) дх
64
Последнее слагаемое в этом выражении исчезает, поскольку
многочлен в скобках равен нулю. В связи с этим окончательно
находим £x-2npaftcxj ai^t v— ;
аналогично получаем j bi^t ГЛГ} • (44) А Ег -2npabcz ( —1— г r J Vf(t)
Выражения потенциала (43) и составляющих напряженности
поля (44) относятся к пространству вне эллипсоида, включая его
поверхность, когда нижний предел Z у интегралов становится рав-
ным нулю.
Определим теперь напряженность внутри эллипсоида. Для этого
через точку наблюдения проведем поверхность подобного и подобно
расположенного эллипсоида к рассматриваемому. Этой поверхно-
стью рассматриваемый эллипсоид делится на две части. Первая
из них представляет эллипсоидальный слой конечной толщины и
может быть разбита на тонкие слои, ограниченные подобными эл-
липсоидами. Каждый тонкий слой ведет себя (с точки зрения со-
здания поля) как заряженный проводящий эллипсоид и в ограничен-
ной им полости напряженности поля не создает. Поэтому в точке
наблюдения напряженность создается только второй частью, пред-
ставляющей подобный эллипсоид с полуосями па, пЬ, пс; в част-
ности, составляющая Ех определится по формуле (44) при 7.-0:
оо
Е^ = 2л.аЬсп3рх{ , \— dl ---.
J П^ + t y(n2n2-f-/') (п262 —/') („2С2 + ;')
Произведя замену переменной интегрирования t' на n”t, упро-
стим выражение Ех:
се
Е — 2лаЬсрх ( —Д------—— •
аналогично получим
ОО
Еи = 2nabcpy j , (44')
6
со
Ez = 2nabcpz С * —.
J yf(t)
° Заказ 1701
65
Как видно, составляющие напряженности внутри эллипсоида
пропорциональны координатам, но коэффициенты пропорциональ-
ности у них разные, поэтому линии напряженности будут кривыми.
Составляя расходимость напряженности внутри эллипсоида и при-
равнивая ее к 4лр, а затем произведя сокращение на 2лр, получим
оо со
1 dt Г 1 dt . Г 1 dt
д2-Н Vf(i) ’ J &+t ’ J с2+* YYW}
Таким образом, каждый из интегралов в скобках меньше
Для определения потенциала внутри эллипсоида составляем
полный дифференциал
dU = —Ех dx—Eydy — Ezdz
и интегрируем его, выбирая постоянную интегрирования так, чтобы
при переходе через поверхность эллипсоида выполнялось условие
непрерывности потенциала.
В итоге получим
оо
и = паЬс? С . (43')
J \ a*~\-t с*-f-1 / у f '
Эквипотенциальные поверхности внутри эллипсоида будут по-
добными эллипсоидами, но полуоси их находятся в сложной
зависимости от полуосей а, Ь, с. В центре эллипсоида потенциал до-
стигает наибольшей величины и при удалении от центра в бесконеч-
ность постепенно уменьшается до нуля.
В выражения потенциала и составляющих напряженности поля
эллипсоида входят одни и те же интегралы, обозначаемые в дальней-
шем для сокращения записи следующими буквами:
a*+t В{^~\ /По’
Они сводятся к эллиптическим интегралам первого’рода F(<p, Л),
второго рода Е (<р, к) и к тригонометрическим функциям. Подста-
новка для сведения применяется та же, что и в § 23, а именно
а2 -Н
а? —с*
sin2 q
66
Эллиптические интегралы представлены таблицами, что по-
зволяет вычислить поле эллипсоида в любой точке пространства.
Приводим формулы сведения интегралов:
л т _-------2 г/-о. ,
' ' {aZ__c-Z)4* L «а J
2 Г £(<р, Л) F (<р, к)_____________sinyco?^_____'
(М ^П2_с2)*/» А-2) Л’2 (1 —£2) 'Kl—/c2sin2 (р ’
Л/П 2 [ /1—A2sin2 q tg<p — Е(у, к) ]
6 (а2_с2)*/. L 1~Ла J’
*>•
Значения амплитуды <р и модуля к приведены в § 23.
§ 25. КООРДИНАТЫ ЭЛЛИПСОИДОВ ВРАЩЕНИЯ
Хотя рассмотренное выше для трехосного эллипсоида относится
и к эллипсоидам вращения, однако задачи с ними обычно решаются
в координатах, специально приспособленных для этих целей. Ре-
шения уравнения Лапласа в этих координатах близки по форме
к решениям в сферических координатах и хорошо изучены. Для
вытянутых и сплюснутых эллипсоидов координаты несколько раз-
личны, поэтому рассмотрим их в отдельности.
Эллиптические координаты вытянутых эллипсоидов. Полагая
начало цилиндрических координат г, ф, z в центре эллипсоида и нап-
равляя ось Oz по полуоси вращения с > b = а, определим их через
эллиптические координаты и, v, ф по формулам
Z — luv,
Г - Z / (и2 — 1) (1 — г2). (45)
_______ ф =
где I = ]/"с2 — Ь2 — линейный эксцентриситет.
Пределы изменения новых координат следующие: 1 и
—1 рс 1» О ф 2л. Найдем координатные поверхности
u=const. Для этого разделим в формулах (45) z на /и, г на I ]/и2 — 1,
а затем возведем в квадрат обе дроби и сложим их. В результате
получим
-2 Г2
/2 (U2 —1) = 1- “ (4())
^Это уравнение показывает, что координатные поверхности
и— const являются поверхностями софокусных вытянутых эллипсо-
от°1 врищения, заполняющих все пространство при изменении и
до оо Предельными поверхностями будут: при и = 1 эллип-
с ид, охватывающий отрезок 2Z, соединяющий фокусы поверхностей;
при и = оо — сфера с бесконечно большим радиусом. Координату и,
соответствующую поверхности рассматриваемого эллипсоида, будем
обозначать uQ.
Для нахождения координатных поверхностей v= const разделим
в (45) z на lv, г на I J/4 — у2, а затем возведем дроби в квадрат;
из первой вычтем вторую и получим
_________г! (47)
/2Г2 /2 (1-1,2)-1 V*’J
— уравнение софокусных двуполых гиперболоидов вращения. При
изменении v от 1 до —1 гиперболоиды дважды заполняют все про-
странство. Эту двойственность устраняют тем, что, согласно
уравнению (45), знак v согласуют со знаком z.
При z >0 гиперболоидным поверхностям приписывается v >0,
а при z<0 считается р< 0.
Поверхности <р = const представляют плоскости, выходящие
из оси вращения.
Эллиптические координаты вытянутых эллипсоидов вращения
ортогональны; координатные линии и перпендикулярны поверхно-
стям софокусных эллипсоидов; координатные линии v и ср пред-
ставляют соответственно меридианы и параллели на поверхностях
эллипсоидов. Вычисляя коэффициенты Н{ по формулам (16), нахо-
дим
Для получения выражений потенциала и составляющих напря-
женности поля однородного вытянутого эллипсоида вращения надо
в соответствующих выражениях для трехосного эллипсоида про-
извести подстановки а2 — t = b2 -j- * = ^2(ы2 — 1), с2 t = 12и2,
а нижний предел интегралов X заменить на и, если поле определяется
вне эллипсоида, и на и0, когда оно определяется внутри его, напри-
мер:
со оо
£, --2n«fcpxJ „„Д,,. -
<«>
Эллиптические координаты сплюснутых эллипсоидов. Полагая
опять начало цилиндрических координат в центре эллипсоида и нап-
равляя ось Oz по оси вращения с<^ а = Ь, определим их через
эллиптические координаты и, р, <р по формулам
Z = luv,
г — I V (ц2 -- 1) (1 — р2), (49)
Ф Ф,
где I = У Ь2 — с2.— радиус фокального круга эллипсоида,
68
Пределы изменения новых координат следующие: 0 ==S и «goo,
-1 sS sS 1, 0=С <р =S 2л.
Для определения координатных поверхностей и = const и
и --= const поступаем так же, как и в случае вытянутых эллипсои-
дов, и приходим к уравнениям
72^г+ Z2(u2 + 1)
f2_______— 4 /54\
/2(1-1;2) /2Г2 А’
которые показывают, что координатными поверхностями и = const
и v = const будут соответственно софокусные сплюснутые эллип-
соиды и однополые гиперболоиды вращения.
Значению и = 0 соответствует поверхность диска с радиусом Z,
а значению и = оо — сфера с бесконечным радиусом. Значение и,
отвечающее поверхности рассматриваемого эллипсоида, будем обо-
значать к0.
При изменении v от —1 до +1 гиперболоиды дважды заполняют
пространство и для устранения двойственности гиперболоидам
при z 0 приписывают v >0, а при z<Z 0 считают и v<^ 0. Ко-
ординаты и в этом случае ортогональны. Линии и перпендикулярны
поверхностям софокусных эллипсоидов, а линии v и ср соответствуют
меридианам и параллелям на этих поверхностях. Вычисляя ко-
эффициенты по формулам (16), получим
'^ + 1)<1 -•
Для получения выражений потенциала и составляющих напря-
женности поля однородного сплюснутого эллипсоида вращения
надо в соответствующих выражениях трехосного эллипсоида про-
извести подстановки а2 + t = b2 + t = I2 (и2 + 1), с2 + t = /2и2,
а нижний предел интегралов X заменить на и при определении поля
вне эллипсоида и на н0 при определении внутри его, например,
Ех - 2 лагеря Г —J----= 4л62сря: i -------—_____=
J Р J Z3(M2 + 1)2
'• и
(arcctgu—
,/сЦилпндРические координаты определяются формулами (45) и
(чУ) через эллиптические; для обратного определения надо решить
уравнения (46) и (50) относительно и. Тогда наибольший корень
соответствует и, а наименьший положительный корень при вытя-
нутых эллипсоидах соответствует v; при сплюснутых эллипсоидах
мнимые корни без учета мнимости выражают и. Знак v согласуют
со знаком z.
69
Задача 1. На проводящем эллипсоиде с полуосями 5, 4, 3 находится заряд
равный 1 ед. СГСЭ. Вычислить потенциал и емкость эллипсоида.
Ответ: U -- 75,09 <?, С — 3,995 см.
Задача 2. Вычислить напряженность поля однородного эллппсопдгх (р — 1)
г полуосями 5, 4, 3 на расстоянии 10 от центра в направлении полуосей.
Ответ: 2,7; 2,4; 2,1.
Задача 3. Определить плотность зарядов на поверхности тонкого прово-
дящего дпска, принимая его за сплюснутый эллипсоид вращения.
Ответ:
a = J?_______*
4л Z у 12 —г2
где г — расстояние от оси диска.
Задача 4. Из ответа предыдущей задачи видно, что плотность па краю
диска равна бесконечности. Интегрированием плотности по поверхности дпска
показать, что общий заряд конечен и равен Q.
Задача 5. Вычислить эллиптические координаты точки А (10, 8, 6) для
эллипсоида с полуосями 5, 4, 3.
Ответ: 180,95, v = —20,03, ц = —10,92.
Задача 6. Вычислить составляющие напряженности поля однородного
эллипсоида (р = 1) с полуосями 5, 4, 3 в точке А (10, 8, 6).
Ответ: —0,88; 0.69; 0,55.
Задача 7. Определить составляющую напряженности поля вытянутого
•однородного эллипсоида в направлении осп вращения Oz.
Ответ:
4n62cpz / 1 u-H 1 \
= —7з—1т 1П - гЛ
Сделать то же самое для сплюснутого эллипсоида.
Ответ:
4л62ср£ / 1 \
Ег=в I» (--arcctguj.
Задача 8. Определить потенциал поля однородного вытянутого эллипсоида
го плоскости xOz.
Ответ:
2nWcp 1 . u + 1 1
L =----1---—\nT-v- — (xEx + ^z).
§ 26. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА, ИЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР
Расходимость и вихрь вектора, а также градиент скаляра, имея
•определенное физическое содержание, в математическом отношении
являются операциями дифференцирования по координатам. По-
рядок дифференцирования не простой, и он еще усложняется, когда
эти операции применяются последовательно одна за другой к одной
и той же величине или к произведению величин. Естественно, воз-
никает вопрос, нельзя ли все эти операции представить единой
хорошо запоминающейся формой, которая опиралась бы на извест-
ные понятия. Оказывается, это удается сделать, введя в рассмотре-
ние оператор Гамильтона, обозначаемый знаком v (читается набла)
м записываемый в декартовых. координатах в следующем виде:
. д । . д .I д
V 1 т—И j т" + к •
v дх 1 4 ду 1 dz
(52)
70
Из записи видно, что оператор является символическим векто-
ром, составляющие которого являются символами частных произ-
водных по осям. Величина, к которой применяют оператор,
пишется справа от него, а применение состоит в частном дифференци-
ровании по декартовым координатам и затем в умножении на еди-
ничные векторы. Когда оператор применяют к вектору, то умно-
жение на единичные векторы может быть скалярным и векторным.
Рассмотрим результаты наиболее частых применений оператора.
1. Применим оператор к скаляру, в качестве которого возьмем
потенциал:
?и = 1^и-ч^и--к±и-.е™ли.
От применения оператора к скаляру получается градиент ска-
ляра.
2. Применим оператор скалярно к вектору А:
От скалярного применения оператора к вектору получается
расходимость вектора.
3. Применим оператор векторно к вектору:
[?А] = i Аг — — + j Ах — — Аг) +
“k(i 4,-^4) = rot А.
От векторного применения оператора к вектору получается вихрь
вектора.
Л. Применим оператор к произведению двух скаляров ср и U,
Нискольку оператор содержит дифференцирование, то применение
его в данном случае производится по правилам дифференцирования
произведения:
уи(77-=ф yU + U v<P,
или иначе
grad ф U ф grad U -r U grad <p.
3. Применим оператор скалярно к произведению скаляра на
вектор:
(VqA)- (p(vA)-(A v<p),
или иначе
div фА ф div A (A grad ф).
6. Применим оператор векторно к произведению скаляра на
вектор:
1?фА] = ф[?А] + [у/фА],
пли иначе
rot ф А ~ ф rot A [grad фА].
71
7. Применим оператор скалярно к векторному произведению
векторов А и В:
(V 1АВ]) - ([VA] В) —([VB] А),
или иначе
div [АВ] =(В rot A)—(A rot В).
Этот результат получается на основании формулы смешанного
произведения трех векторов (С[АВ]) - ([СА]В). В нашем случае
роль вектора С играет оператор, который в отличие от С надо при-
менять к обоим векторам в квадратных скобках по правилам диф-
ференцирования произведения. Когда оператор вносится в скобки
и применяется к первому вектору, то второй вектор выносится
из скобок. Для применения оператора ко второму вектору надо
сначала этот вектор поменять местами в скобках с первым и после
этого внести оператор в скобки, а первый вектор вынести из них.
Перестановка векторов в квадратных скобках, как известно, изме-
няет знак перед ними, и поэтому скалярное применение оператора
к векторному произведению двух векторов выражается не суммой,
.а разностью.
8. Применим оператор скалярно к градиенту потенциала или,
что то же самое, применим дважды оператор к потенциалу U, счи-
тая вторичное применение скалярным:
/ тг . д* тг . д2 тг
дх2 и + ду2 и + д_2 и,
или иначе
div grad U — Д77.
Таким образом, скалярное произведение оператора Гамильтона
самого на себя равно оператору Лапласа.
9. Применим оператор векторно к градиенту потенциала:
[ vX?U] = rot grad U = 0.
Тождественное обращение в нуль следует из того, что векторы
у и \]U имеют одно направление и векторное произведение их равно
нулю. Таким образом, мы пришли к результату, который получили,
рассматривая условие потенциальности поля.
10. Применим оператор дважды к вектору А, считая первое
применение векторным, а второе скалярным.
(V IVA]) = div rot А —0.
Тождественное обращение в нуль следует из свойства смешанного
произведения векторов (С [С А]). В нашем случае роль вектора С
играет оператор.
11. Применим оператор дважды к вектору А, считая первое
и второе применения векторными:
[V lVAll = V(VA> — V2A,
72
или иначе
rot rot А =- grad di v А — A A.
Этот результат получен на основании формулы векторной ал-
гебры
[С [СА]] = С(СА)-(СС)А.
В нашем случае роль вектора С играет оператор. Выражение
ДА надо понимать так:
ДА = i ДА х + j ДАи 4- к Д А2>
т. е. применение оператора Лапласа к вектору означает примене-
нии его к каждой составляющей вектора по декартовым осям.
Применяя оператор один раз к функции, мы получаем градиент,
расходимость или вихрь функции, т. е. основные операции вектор-
ного анализа. Применяя оператор дважды, производим последова-
тельное применение основных операций.
Поскольку основные операции векторного анализа не связаны
с какой-либо системой координат, то и повторное применение опе-
ратора к функциям является векторной операцией, не связанной
с определенной системой координат. При вычислениях поля при-
ходится переходить к координатной записи результатов применения
оператора. При этом, хотя сам оператор записывается в декартовых
координатах, основные операции векторного анализа записываются
в криволинейных координатах. Поэтому результаты повторных при-
менений оператора к функциям могут быть также записаны в криво-
линейных координатах.
Глава II
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ И МАГНИТОСТАТИЧЕСКОЕ
ПОЛЯ В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
§ 1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Изложенное выше относится к электростатическому полю в од-
нородной изотропной среде или в вакууме. Влияние однородной
среды сводится только к уменьшению напряженности поля в е
раз по сравнению с вакуумом.
Когда пространство заполнено телами с различной диэлектриче-
ской проницаемостью, то при том же расположении зарядов поле
получается совсем не таким, как в однородной среде. Хотя в пре-
делах отдельного тела напряженность и в данном случае будет мень-
шей, чем без него, но это уменьшение определяется сейчас не только
диэлектрической проницаемостью этого тела, но и свойствами всех
других тел.
Определение изменений в поле, происшедших от внесения в него
того или другого диэлектрика, является основной задачей электро-
статики. В сущности происходит следующее: диэлектрик при вне-
сении его в поле поляризуется и создает дополнительное, или вто-
ричное, поле. От наложения вторичного поля на первичное (т. е.
на то, которое существовало до внесения диэлектрика) получается
результирующее поле, поддерживающее в дальнейшем диэлектрик
в поляризованном состоянии. Аналогичное происходит при внесе-
нии в магнитное поле магнетика — тела, ^способного намагничи-
ваться. Поэтому, хотя дальнейшие теоретические рассуждения
проводятся для электростатического поля, они справедливы и для
магнитостатического поля. На некоторые различия у этих полей
будет указано в соответствующих местах текста.
Определим первичное поле потенциалом t70, вторичное — по-
тенциалом U' и результирующее — потенциалом U. Тогда в соот-
ветствии с принципом наложения полей можно написать
и = и0 + Uf.
(53)
74
Поляризованное тело — диэлектрик или магнетик — состоит из
диполей, и потенциал его U' является потенциалом поля совокуп-
ности диполей. Прежде чем рассуждать о поле всей совокупности
диполей, следует рассмотреть поле отдельного диполя.
§ 2. ПОЛЕ ДИПОЛЯ
Диполем принято называть два близко расположенных то-
чечных заряда одинаковой величины, но разного знака. Молекулы
диэлектриков могут быть диполями еще до внесения их в поле или
становятся диполями после 7у
внесения их в поле. В первом
случае говорят о твердых,
а во втором — об упругих
диполях. В соответствии с этим
поляризация диэлектрика со- □ (к/
стоит в ориентации Твердых ^"*1
диполей по полю или в о бра- ис’
зовании полярных молекул из
неполярных вследствие смещения положительных и отрица-
тельных зарядов молекул в разные стороны под влиянием поля.
Под точечными зарядами Q молекулы-диполя понимаются за-
ряды, равные по величине сумме положительных или отрицатель-
ных зарядов молекулы и находящиеся в разных точках.
Пусть положительный и отрицательный заряды диполя нахо-
дятся в точках M^Xq, ув, zj) и z/o, Zo). Придадим отрезку
I = Vе(хо — Xq)2 4- (t/f — г/о)2 + (2о — 2о)2 направление от от-
рицательного к положительному заряду и назовем его осью, а про-
изведение 1(? = р — моментом диполя. Положения зарядов и сред-
ней точки диполя М (z0, z/0, zo) определим относительно точки на-
блюдения А(х, у, z) радиусами-векторами R+, R_, R_ (рис. 23).
Величину радиуса-вектора R по сравнению с I считаем весьма боль-
шой. Теперь потенциал диполя в точке А запишем в виде
Разложим величины 1/Я+ и 1/R_ в ряд Тэйлора в точке M(xQr
Ун, 20) и из-за малости I ограничим ряд членами первого порядка
малости
dz0 (я)
dzo Z^‘
Подставляя эти значения 1/7?+и^1/7?_ в выражение потенциала
диполя, приведем его к виду
и - <' [£ («)« - +-к Ш ы - л+
+ £ (-Я-) (4-«)]-е lUrad» (X)]«[pgradM (X)]. (54)
Индекс М указывает на дифференцирование величины HR по
координатам точки M(xQ, г/0, z0) при составлении градиента, который
направлен в сторону наибольшего возрастания величины 1/7?,
т. е. от точки М (х0, г/0, z0), к точке А (х, у. z). Дифференцируя
величину 1/7? по координатам точки А (хч у, z), составим
gradA (^)» отличающийся от gradjn (1/7?) знаком и поэтому нап-
равленный от точки А (х, у, z) к точке М (я0, г/0, z0) (рис. 23).
Величина обоих градиентов одинакова и определяется по одной
из формул
WHO+O+O4.
сами градиенты могут быть записаны в следующем виде:
gradM=-Д = — grad^.
После этих замечаний выражение потенциала (54) можно пере-
писать таким образом:
Тт (PR) _ р cos 0
u 7?з 7?2 * '
0 — угол между векторами р и R (рис. 23).
Полагая в точке М (я0, z/0, z0) начало сферических координат
с полярной осью, направленной по оси диполя, и принимая 7? и 6
за сферические координаты точки А (х, у, z), находим составляющие
напряженности по направлениям сферически координат:
„ dU 2р cos 0 „ __ dU psinO „ n
Er~ dR ~ Я3 ’ ^0 Rd®~ Л3 > —U.
Величина напряженности определяется по теореме Пифагора
Е = VE2R + El + E2v = /3 cos2 6 +1.
При одинаковом 7? напряженность на полярной оси в 2 раза
больше, чем в экваториальной плоскости (0 = л/2).
76
§ 3. ПОТЕНЦИАЛ ПОЛЯРИЗОВАННОГО ТЕЛА
Ознакомившись с потенциалом отдельного диполя, мы можем
найти его от совокупности диполей, т. е. от всего поляризованного
тела. Для этого вырежем из тела элементарный объем dF, в пре-
делах которого еще достаточно много молекулярных диполей. Тогда
несмотря даже на хаотическое тепловое движение молекулярных
диполей, вырезанный объем будет диполем с постоянным моментом.
Для нахождения этого момента введем в рассмотрение электрический
момент единицы объема тела, или вектор поляризации Р,
равный сумме моментов молекулярных диполей, находящихся
в единице объема:
р = Р14 р2 ч-. . . Н Рл,
где п будет весьма большим числом даже в газе.
Момент элемента dF, очевидно, равен PdF. Тогда согласно
формуле (54) потенциал, создаваемый элементом, запишется в таком
виде:
dU' = (PgradM-X) dV.
Интегрируя выражение dU' по всему объему поляризованного
тела, определим созданный им потенциал
U' = Др grad м A.) dV. (55)
V
Остановимся сначала на случае однородной поляризации, когда
вектор Р имеет постоянные величину и направление по всему телу.
Тогда, направляя ось Oz по вектору Р, сведем скалярное произ-
ведение векторов под знаком интеграла в формуле (55) к одному
члену; выражение потенциала примет вид
и>=fр 4dV=- fр £ 4-dv-
J ozq R J dz R
V v
После перехода к дифференцированию по координатам точки
наблюдения можно вынести из-под знака интеграла величину Р
вместе с символом производной, поскольку интегрирование про-
водится по координатам точки М (х0, г/0, z0).
Выполняя это, получим
<55'»
V
Это соотношение выражает теорему Пуассона, для формулировки
которой назовем интеграл в формуле (55') гравитационным
потенциалом тела при р = 1. Тогда теорема сформулиру-
ется следующим образом: потенциал однородно поляризованного
тела равен произведению величины вектора поляризации на
77
производную гравитационного потенциала тела, составленную по
направлению поляризации и взятую с обратным знаком.
Теорему целесообразно применять во всех случаях, когда извест-
но выражение гравитационного потенциала тела и есть уверенность
в однородной его поляризации или намагниченности.
Для обсуждения случая неоднородной поляризации преобразуем
подынтегральную функцию в уравнении (55) по формуле
divMp
R
в справедливости которой можно убедиться, расписывая левую
и правую части ее в декартовых координатах. После такого преоб-
разования выражение потенциала (55) принимает вид
V V
или после преобразования второго интеграла в поверхностный
= ~ + (55")
V s
Первый интеграл в (55") представляет часть потенциала, об-
условленную объемными зарядами с плотностью рсв = — divMP,
а второй — часть потенциала от зарядов, расположенных по поверх-
ности тела с плотностью осв = Рп. Заряды обоих видов входят в мо-
лекулы тела и не могут быть отделены от него без разрушения мо-
лекул. Поэтому их называют связанными. Может возникнуть во-
прос, действительно ли имеются связанные заряды с указанными
плотностями или они вводятся формально взамен — divM Р и Рл?
Что касается поверхностных зарядов, то они рассматриваются в
общих курсах электричества, и нам необходимо только показать,
что плотность их действительно равна Рп. Объемные заряды обычно
не рассматриваются в общих курсах, поэтому следует доказать их
реальное существование с плотностью, равной — divMP.
Вырежем из поляризованного тела прямоугольный паралле-
лепипед достаточно малых размеров, чтобы^в его пределах можно
было поляризацию считать однородной и направленной вдоль од-
ного из ребер. На грани, перпендикулярные этому ребру, выходят
одноименные концы дипрлей и на гранях возникают поверхностные
заряды с плотностью а°в (рис. 24).
Величина момента параллелепипеда, с одной стороны, равна про-
изведению Р на объем его F, а с другой — произведению о®в на пло-
щадь грани S и на длину ребра Z, перпендикулярного этой грани.
Приравнивая эти произведения, получаем
o^Sl = PV.
78
После сокращения на SI = V находим
0° — р.
Сделаем косой срез у параллелепипеда. Пусть нормаль к плос-
кости среза образует с вектором Р угол а (рис. 24). При однородной
поляризации на плоскость среза So выходят одноименные концы
такого я;е числа диполей, что и на грань S. Поэтому общий заряд
на этих плоскостях одинаков, и мы можем написать
Ocn-S'o = О«в5,
откуда определяется плотность <усв на плоскости косого среза
°св ~^в^ = °?вСО4 а»
поскольку S/SQ = cos а.
Заменяя в полученном выражении величину а®в величиной Р,
а затем Pcos а величиной Рп, находим
<*св ~
Плоскость косого среза, очевидно, соответствует тем частям
поверхности тела, где вектор поляризации не перпендикулярен
к поверхности. Таким образом, равенство осв и Рп доказано, причем
нормаль к поверхности тела считается направленной наружу, т. е.
из тела.
Переходя к рассмотрению объемных зарядов, заметим сразу,
что они появляются при поляризации неоднородных тел. Если вы-
резать из такого тела достаточно малый прямоугольный параллеле-
пипед, в пределах которого поляризация параллельна одному из
ребер, то ее величина все же будет меняться в направлении этого
ребра, что изображено на рис. 25 увеличением числа диполей в еди-
нице объема слева направо. В связи с этим на правой грани парал-
лелепипеда плотность осв по абсолютной величине больше, чем на
левой, а внутри него имеются заряды с плотностью рсв.
Поскольку алгебраическая сумма зарядов каждого диполя равна
нулю, то и алгебраическая сумма зарядов всего поляризованного
79
тела или любой части его также равна нулю, что запишется так:
J Рсв^7-г/ oCBd5 = 0,
V 8
где первый интеграл составлен по объему, а второй — по поверх-
ности любой части тела. Заменяя во втором интеграле осв на Рп,
а затем преобразуя его по формуле Гаусса — Остроградского в объем-
ный и объединяя с первым, получим
/ (PcB~divvP)dV^O.
V
Так как этот результат получается для любой части тела, то
из него следует равенство нулю подынтегрального выражения или
Рсв = —divM Р.
Таким образом, доказана связь объемных зарядов с расходимостью
вектора поляризации. Теперь потенциал поляризованного тела
можно переписать в следующем виде:
= + (55"')
V S
отсюда следует, что свойства U' такие же, как и потенциала объемных
и поверхностных источников. Вычислить потенциал U' по формуле
(55"') нельзя, поскольку плотности зарядов неизвестны. Роль этой
формулы чисто познавательная; с помощью ее мы придем к дифферен-
циальному уравнению для потенциала результирующего поля
и найдем условия, которым должно удовлетворять решение этого
уравнения.
§ 4. ПОТЕНЦИАЛ РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕГО ПОЛЯ
Заряды, уходящие с тела при соединении его с землей, будем назы-
вать свободными и обозначать их р, or, и, Q. Потенциал первичного,
а тем более результирующего поля может выражаться через свобод-
ные и связанные заряды. Поэтому в общем случае потенциал резуль-
тирующего поля запишется в следующем виде:
и = Uo -'-U' - f dl • ~ f dS + f ± dl + 2 . (56)
v s 7 1 1
где интегрирование распространяется на все объемы, поверхности,
линии, содержащие свободные и связанные заряды. Смысл выражения
(56) состоит в сведении поля в неоднородной среде к полю в вакууме.
Все дифференциальные уравнения, полученные ранее для поля
в ваккуме, остаются в силе и для поля в неоднородной среде, если
их писать с учетом связанных зарядов. В этом и состоит познаватель-
ная роль формулы (55'").
80
§ 5. дифференциальные уравнения поля в неоднородной
СРЕДЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Электростатическое поле исходит от источников или электриче-
ских зарядов. Связанные заряды не отличаются от свободных и
являются равноправными с ними источниками поля. Поэтому рас-
ходимость напряженности поля обусловлена как свободными, так
и связанными зарядами. Наглядно это изображают линиями напря-
женности, принимая за истоки и стоки их любые заряды. Теорему
Гаусса — Остроградского записывают при этом в таком виде:
divE —4л(р4~рсв), (57
а поверхностную расходимость, т. е. разрыв нормальной составля-
ющей напряженности поля при переходе через поверхность с заря-
дами, определяют так:
Еп1 - Епг = 4л (а + асв). (58)
Для практического использования этих уравнений надо осво-
бодиться в них от неизвестных нам плотностей pCD и асв, заменив
их вектором поляризации.
Сделаем это сначала в формуле (57), внеся сюда —div Рвместо рсв.
Тогда, после перенесения 4ndiv Р в левую часть и замены суммы
расходимостей расходимостью от суммы векторов, получим
div (Е 4-4лР) — 4лр. (57')
Обращаясь к уравнению (58), положим, что поверхность, о ко-
торой идет речь, является в общем случае границей между диэлек-
триками 1 и 2. При этом плотность осв будет равна сумме плотностей
асв1 и авс2. наблюдающихся на поверхностях диэлектриков
<?св = ^СВ1 ”1“ ^СВ2’
Считая нормаль к границе направленной из второго диэлектрика
в первый, заменим осв1 на — Рл1, а осв2 на Рл2 и получим
°св — Р п2 Р nl*
Знак минус перед РЛ1 взят потому, что нормаль направлена Внутрь
первого диэлектрика. Теперь уравнение (58) перепишем в таком виде:
(£Л1 + 4л Рл1) - (Еп2 + 4лРл2) = 4ло. (58')
В преобразованных уравнениях (57') и (58') речь идет об объем-
ной п поверхностной расходимости одного и того же вектора D =
= Е 4- 4л P, который называют вектором электриче-
ской индукции. С введением нового вектора уравнения
(57') и (58') перепишутся в более сжатом виде:
div D 4лр; (59)
7)Л1 Вп2 ~ 4 ла. (60)
6 Заказ 1701
81
Таким образом, линии вектора электрической индукции начи-
наются и кончаются на свободных зарядах. Уравнения (59) и (60)
не содержат неизвестных плотностей связанных зарядов. Однако
для использования их при изучении поля необходимо знать связь
вектора электрической индукции с напряженностью.
В вакууме поляризация отсутствует: Р = 0 и D = Е.
В изотропной среде поляризация увеличивается с ростом напря-
женности и между вектором поляризации и напряженностью суще-
ствует прямая линейная зависимость, оправдываемая опытом (сег-
нетоэлектрики исключаются из рассмотрения):
Р = %Е,
где % — коэффициент поляризации диэлектрика.
Связь вектора электрической индукции с напряженностью в изо-
тропных диэлектриках имеет следующий вид:
D = (l+4nx)E = eE<
Здесь 1 + 4лх = е — диэлектрическая проницаемость, характе-
ризующая поляризуемость тел наравне с коэффициентом поляриза-
ции. В неоднородных диэлектриках х и е являются функциями коор-
динат точки.
Установив связь между D и Е, можем переписать уравнения
(59) и (60), заменив в них индукцию напряженностью:
diveE = 4np; (59')
&iEnl — в2^л2 = 4ло. (60')
Смысл этих записей таков: по заданным плотностям свободных
зарядов и диэлектрическим проницаемостям отдельных тел может
быть найдена напряженность поля. Дальнейшим шагом к изучению
поля в неоднородной среде будет написание уравнения для потен-
циала. Заменяя в уравнениях (59') и (60') напряженность градиентом
потенциала, получим дифференциальное уравнение для потенциала
и граничное условие:
div (е grad U) ~ — 4лр; (61)
'т- <62>
К ним добавляется еще второе граничное условие, а именно:
непрерывность потенциала при переходе через границу между
диэлектриками
Ur^U2. (63)
Уравнение (61) в неоднородном диэлектрике, когда е зависит
от координат точки, отличается от уравнения Пуассона — Лап-
ласа, а в однородном — совпадает с ним. Решение уравнения, удов-
летворяющее граничным и другим условиям задачи, как, например,
82
конечности и обращению в нуль в бесконечности, будет единствен-
ным и правильным.
Доказательство этого положения, называемого теоремой един-
ственности для неоднородной среды, мы опускаем, но при решении
задач опираемся на эту теорему.
В заключение докажем высказанное ранее утверждение, что свя-
занные объемные заряды возникают при поляризации неоднород-
ных диэлектриков.
Для этого выражая вектор индукции через вектор поляризации
по формуле
D==4ne р
8—1
и составляя расходимость от обеих ее частей, а также полагая, что
внутри диэлектрика div D = 0 и сокращая на 4л, получим
Т=Т div Р + (Р grad = 0;
отсюда находим
Рсв = -div Р = (рgrad .
Выражение в скобках может быть отлично от нуля только в не-
однородном диэлектрике, когда gradg—ту 0, чем и доказывается
утверждение.
Для применения полученных соотношений к магнитостатиче-
скому полю необходимо в них заменить Е на Н — напряженность
магнитного поля; D на В — вектор магнитной индукции; Р на J —
вектор намагничения; р на М — магнитный момент; е на р, — маг-
нитную проницаемость, а также положить р = о = 0, поскольку
свободного магнетизма не существует. В связи с последним расходи-
мость вектора магнитной индукции всегда равна нулю
div В = 0, (64)
т. е. линии вектора магнитной индукции нигде не начинаются и не
кончаются, они замыкаются сами на себя или идут из бесконечности
и уходят в бесконечность. Поля, вектор которых удовлетворяет усло-
вию (64), называются соленоидальными.
§ 6. ПРЕЛОМЛЕНИЕ ЛИНИЙ НАПРЯЖЕННОСТИ ПРИ ПЕРЕХОДЕ
ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ МЕЖДУ ДИЭЛЕКТРИКАМИ
Из граничных условий (62) и (63) вытекает закон преломления
линий напряженности и индукции при переходе из одного диэлек-
трика в другой. При рассмотрении этого вопроса полагаем границу
плоской, а плотность а на ней равной нулю. Покажем сначала,
что касательная составляющая напряженности при переходе через
границу остается непрерывной. Для этого возьмем на границе две
близкие точки и составим разности потенциалов между ними как
с одной, так и с другой стороны границы. Ввиду непрерывности
потенциала при переходе границы эти разности, а также их отно-
шения к расстоянию между точками будут одинаковы. Но отношения
при весьма малом расстоянии между точками определяют составля-
ющие напряженности по касательному к границе направлению. Из
равенства отношений следует и равенство этих составляющих
с обеих сторон границы, т. е.
^/1 =^/2-
Этот результат был получен ранее при рассмотрении свойств на-
пряженности поля поверхностных источников. Составляющая на-
пряженности по нормали при переходе границы испытывает разрыв
непрерывности, обусловленный связанными
зарядами, что в граничном условии (62)
Рис. 26.
учтено через диэлектрические проница-
емости:
81^1 = С2^л2-
Например, полагая 8!^ е2, мы долж-
ны считать Еп1 > Еп2. Откладывая от точ-
ки 0 с одной и с другой стороны границы
одинаковые £n, Ei2 и разные Еп1, Еп2
(рис. 26), мы геометрическим сложением
этих составляющих получим величину и на-
правление напряженности Ех и Е2 в первом и втором диэлектри-
ках. Обозначая углы между нормалью к границе и напряженно-
стями Ej и Е2 соответственно через 04 иа2, из рис. 26 находим
закон преломления линий напряженности:
tg а2_____Еп2 __ Еп\ ___ Ео
tg а1 — Еа “ Еп2 “ Ei
Еп\
(65)
Таким образом, отношение тангенса угла падения к тангенсу
угла преломления равно отношению диэлектрической проницаемо-
сти среды, из которой линии направляются, к диэлектрической про-
ницаемости среды, в которую они>преломляются.
При записи закона преломления линий в магнитном поле диэлек-
трические проницаемости заменяются магнитными.
§ 7. НАМАГНИЧЕНИЕ ОДНОРОДНОГО ШАРА ОДНОРОДНЫМ ПОЛЕМ
В качестве первого примера на применение полученных уравне-
ний рассмотрим задачу о намагничении шара, которая аналогична
задаче о поляризации шара.
84
Пусть шар радиусом а и с магнитной проницаемостью |л2 нахо-
дится в однородной среде с магнитной проницаемостью Под влия-
нием однородного первичного поля Но шар намагничивается и со-
здает вторичное поле Я'. На рис. 27 первичное поле изображено
сплошными линиями, а вторичное — штриховыми.
Для решения задачи полагаем начало декартовых и сферических
координат в центре шара, а оси Oz и полярную направляем по пер-
вичному полю. Ввиду симметрии относительно полярной оси поле
зависит только от координат R и 0:
Я (Я, 0) = С7О(Я, + 0).
Потенциал U вне и внутри шара удовлетворяет уравнению Лап-
ласа, а на поверхности шара (R = а) — граничным условиям
равняться нулю.
Поэтому потенциал U' может быть выражен формулами (33)
U' = 2>AnRnPn(cos&) (Ocfis^a), 0 со 0
Потенциал образом: результирующего поля запишется при этом таким
00
и2 = —яо7? cos 0 +- 2 AnRnPn (соз 0) (0 R а),
О
и. = —H0R cos 0 + У
л.
О
(a szR).
85
Постоянные коэффициенты Ап и Вп определим, выполняя гранич-
ные условия на поверхности шара (R = а)
-Ноа cos 0 + 2 Апапрп (cos 0) - -Ноа cos 0 +
о о
|х2 — #0cos© + 2 (cos 0) —#ocos0 —
L о J L
S(n + i)BnPn (cos0)
ал+а
О
Эти равенства должны сохраняться при любых значениях cos 0,
что возможно только при условии, если коэффициенты в правой
и левой частях при одинаковых полиномах Лежандра будут одина-
ковыми, т. е.
Aia- а3
/ 25i \
Н2(Яо-А)(Яо+-^-)
А пп _ Вп
Лпй ~~ ал+1
ц2пап~1Ап - -щ (n +1)
Решая эти уравнения относительно А„ и Вп, находим
л = P2-H1 . н в = .Нг-Нх. аЗН
1 Н2 + 2Ц1 °’ 1 p24-2pi °’
Л„ = 5„ = 0 (п^=1).
С найденными значениями коэффициентов потенциал вне и внутри
шара запишется так:
г/ — — fl z _1_ Hi а3В0 cos 0 z
U г- Д02+И2 + 2И1 д2
U2 = —Hoz + Hoz
2 0 Р2+2Р1 0»
Из этих выражений можно видеть, что вторичное поле вне шара
совпадает с полем диполя, имеющего магнитный момент
м = а8Н0 = 4- ла3J,
Нг + 2Р1 ° 3
(66)
где J = 4-2р~ — эффективный вектор намагничения шара,
совпадающий с действительным вектором при Hi = !•
86
Напряженность результирующего поля внутри шара постоянна
п направлена по первичному полю
тт и Иг ~Ц1 и — тг
При р2 > Hi > 1 поле внутри шара меньше первичного на вели-
ЧИНу д/; шар намагничен по полю и сильнее окружающей среды.
При щ >1 поле внутри шара больше первичного, поскольку
J отрицательно; шар намагничен также по полю, но слабее окружа-
ющей среды. Величиной-----лJ определяется напряженность вто-
ричного поля внутри шара; множитель -у л называют коэффи-
циентом размагничения шара. Смысл термина состоит
в том, что когда вторичное поле внутри шара направлено против
первичного, то оно стремится размагнитить шар и действительно
размагничивает его. если выключить первичное поле.
§ 8. НАМАГНИЧЕНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА ОДНОРОДНЫМ
ПОЛЕМ
Намагничение эллипсоида зависит от ориентировки первичного
поля относительно его полуосей. Мы рассмотрим намагничение
полем, направленным по малой полуоси с.
Начало декартовых координат полагаем в центре эллипсоида,
а оси Ох, Оу, Oz — направленными соответственно по полуосям
а, Ъ, с.
Шар, как мы показали, однородным полем намагничивается
однородно. Предположим, что это сохраняется и для эллип-
соида. Если при этом предположении удастся найти решение для
потенциала, удовлетворяющее уравнению Лапласа и граничным
условиям, то согласно теореме единственности оно будет един-
ственным и правильным. Можно было бы не делать никаких пред-
положений, а решать задачу с применением функций эллипсоида,
аналогичных функциям RnPn и PnIRn+1 для шара, и в итоге
получилось бы однородное намагничение эллипсоида. Однако
этот способ решения требует знакомства с эллиптическими функциями.
Зная выражение гравитационного потенциала эллипсоида, вос-
пользуемся теоремой Пуассона (55') для нахождения потенциала
U при однородном намагничении в направлении оси Oz.
Выполнив необходимые операции, находим
U' - 2nabcJz С ,
где J величина эффективного вектора намагничения.
87
Потенциал U вне и внутри эллипсоида запишется в виде
С,—
U2 = ~Hoz + 2nabcJz -з4— .
° J с2+* Vf(t)
При такой записи непрерывность потенциала на поверхности
эллипсоида (X = 0) выполняется.
Для определения J воспользуемся непрерывностью составля-
ющей индукции по нормали на поверхности X = 0
диг дГ2
дЬ дК >
отсюда приходим к уравнению
оо
ТГ dz . п , г 03 (* 1 dt П 7 г - 1
— Но -г-. - + 2nabcJ -тг- I „ , , -у_ — 2nabcJ ___ =
0 дК A ) d + t Vf (t) <*+1,
— ц2 —Я0-^-4
О 7 Т &Z С 1 d/
2nabcJ^r-\ —а -•—-=
д\ J с2-Н F/(t)
(1 = 0).
т dz 1 г
решая которое относительно J и имея в виду, что тг- = -н—j—г
оо
J Hr j7^= - с<°>- "а10»и"
о
J _ 1_________(Ц2 —Hi) аЬсНо
2лаЬс (ц2 — Pi) abcC (0) -j-2,Ui
И
Теперь потенциал U запишется
* _ __(Рй P-i) abcC (X) тг _
0 (Иг-Н1)^(0)+2щ
U2 = -H0Z
(Цг — щ)аЬсС(О) тг
(Иг— Ц1)аЬсС (ОН 2щ 0
(67)
Эти выражения удовлетворяют всем условиям задачи п представ-
ляют единственное и правильное ее решение. Можно убедиться
путем вычислений, что из выражений (67) при а =Ь= с полу-
чается решение для шара, найденное в предыдущем параграфе.
88
Определим составляющие напряженности по декартовым осям:
д!. j____(ц2—щ) abcHp_______г 1 дк
“хе~ дх ' (|Х2 —Щ) аЬсС (0) + 2щ с2 + ^ ^/(А.) д* ’
db'i_____(Ц2~Н1) abcHg______г____1 de.
“ve—~~ ду ~~ (ц2 — pi) абсС (О)+2Ц1 <?2+Л, ^/(А) ду ’
„ Ы'1 и , (ц2-щ)а&сЯо__________Г 2__Л--------gL _<?(>.)!
Яге=-—= -«о+ (M.,-li1)afrcC(0)+2pi р2 + Х //(1) dz v
и = _ ди2 =нл— «ЬсЯрС W_=я _ 2паЬсС (0) J.
™zi dz 0 (р2 — Ц1) abcC (0)+2щ 0
Внутри эллипсоида вторичное поле однородно, равно по вели-
чине 2лаЬсС(0)7, а при р2 направлено против первичного
поля и стремится размагнитить эллипсоид. Величина 2тсаЬсС(0)
называется коэффициентом размагничения в направлении малой
полуоси. Аналогичные величины 2лаЬсА(0) и 2лаЬсВ(0) будут
коэффициентами размагничения соответственно в направлении по-
луосей а и Ь. Все три коэффициента входят в выражение гравита-
ционного потенциала внутри эллипсоида (43), где выполняется
уравнение Пуассона. Составляя это уравнение и сокращая на р,
получим соотношение
2лаЬсА (0) 4- 2лаЬсВ (0) -f- 2паЬсС (0) = 4л.
Сумма всех трех коэффициентов размагничения не зависит от
полуосей эллипсоида и равна 4л. Для шара коэффициенты стано-
вятся одинаковыми и каждый в отдельности равен - л, что и было
установлено в предыдущем параграфе. Для бесконечной пластинки,
рассматриваемой как эллипсоид с двумя бесконечными полуосями,
коэффициенты в направлении этих полуосей равны нулю, а в на-
правлении третьей оси, т. е. толщины пластинки, коэффициент
равен 4л. Последнее значение будет наибольшим для коэффициента
размагничения.
Для вычисления составляющих напряженности поля по форму-
лам (68) необходимо знать выражения производных дк/дх. дК1ду,
d\ldz. Для нахождения этих выражений исходим из уравнения со-
фокусных эллипсоидов
-A2- + ____!
а24-Л с2 + х -1’
которое дифференцируем по х, считая X функцией декартовых ко-
ординат. В результате получим
__2£__ _ Г у2 z2 •] 01
L (а2 н Л)2 I “г (f2 + X)2 J дх
89
отсюда имеем
2х
дК _ л2 -|-Х __ 1 х
дх х2 . у2 . z2 2Н2 л2-|-Х
(а2 + Х)2 + (Ь2 + Х)2 "Г’(С2+А,)2
Аналогично находим
дк __ 1 у дК______________1 z
~ду б2’ dz ~~ 2Н2 С2-4-Х ‘
Подставляя эти значения производных в выражения составля-
ющих напряженности (68), убеждаемся, что они содержат простые
функции, эллиптические интегралы и допускают численные расчеты.
Рассмотрев намагничение эллипсоида по одной полуоси, можно
сделать это в направлении двух других полуосей. Объединяя все
три случая, получим намагничение эллипсоида однородным полем
произвольного направления.
§ 9. МЕТОД ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ли
ряет
Ai
R
R
„« Аг
К
В
~c~Q
Рис. 28.
Q с
положенного вблизи
Некоторые задачи электростатики решаются искусственными
приемами. Найдя таким путем потенциал, проверяют, удовлетво-
гвующему дифференциальному уравнению и
граничным условиям. Если все это выпол-
няется, то на основании теоремы единствен-
ности можно утверждать, что найдено един-
ственное и правильное решение задачи.
К таким приемам относится метод электри-
ческих изображений, применяемый для
рассмотрения ограниченного числа случаев,
но имеющий, однако, большое теоретическое
и практическое значение.
Для уяснения метода найдем сначала
потенциал в поле точечного заряда Q, рас-
плоской границы между однородными диэ-
лектриками с проницаемостями и е2 (рис. 28).
Пусть заряд находится в первом диэлектрике на расстоянии с
от границы. Совместим с ним начало декартовых координат и на-
правим ось Oz по перпендикуляру границе. Под действием поля
диэлектрики поляризуются, и на границе возникают связанные
заряды с плотностью осв, влияние которых на поле в первом ди-
электрике учитывается через точечный заряд Q', расположенный
по другую сторону границы на расстоянии с от нее и называемый
электрическим изображением заряда Q в границе.
В связи с этим потенциал в точке расположенной в первом
диэлектрике, запишется в таком виде:
Z
1 CjT? ~ R1H'
90
Второй член в этом выражении можно толковать как отражение
в точке В от границы части поля, созданного зарядом Q. Став на
эту точку зрения, мы должны допустить, что остальная часть поля
проникла .... ~ А ютто ттлтсппттагг оипа-
зптся по
через границу и достигла точки А2, где потенциал выра-
формуле
этой формулы в том, что влияние связанных зарядов на
Смысл
поле во втором диэлектрике учитывается точечным зарядом, совме-
щенным с зарядом Q. Поэтому общий заряд в выражении U2 обо-
зпачен Q".
Величину зарядов Q' и Q" определим так, чтобы выполнялись
граничные условия в точке В при z = с:
U± = U %,
dU, _ ди±
61 dz •
Первое граничное условие приводит к уравнению
<2 । Q\
£1 Ei е2
Для получения уравнения из второго граничного условия надо
выразить сначала R, R', R" через декартовые координаты, а затем
вычислить производные dU^dz, dU2/dz и, умножив их соответ-
ственно на и е2, приравнять друг к другу при z = с.
Выполняя указанные операции, после некоторых сокращений
получаем
Q-Q'=Q''.
Решая полученные уравнения относительно Q' и Q”, находим
(Г = .ei~-£2 q
V е1 + е2 v
_ 2е2
о-
Q-
Величинуе* = к назовем коэффициентом отра-
жения поля от границы. Тогда величина 1 — к будет соответ-
ствовать коэффициенту прохождения поля через границу. С этими ко-
эффициентами выражения потенциала в первом и втором диэлектри-
ках принимают вид
U. = ——к
1 £1/? £х/?
тт _ (!-*)<?
t2R№ ‘
Они удовлетворяют всем требованиям задачи и являются един-
ственным и правильным решением ее. Их можно также получить,
(69)
91
решив уравнение Лапласа в цилиндрических координатах и выпол-
нив граничные условия. Этот путь решения, однако, связан с при-
менением бесселевых функций, на чем мы не останавливаемся.
Рассмотрим знак электрического изображения Q' п характер
линий напряженности, связанный со знаком.
При к >0 знак изображения Q' совпадает со знаком заряда Q,
а при к<^ 0 — противоположен знаку заряда.
На рис. 29 приведена схема линий напряженности при двух
значениях к. Верхняя часть рисунка соответствует значению к > 0,
а нижняя — значению к< 0. В обоих случаях во втором диэлек-
Рпс. 30.
трике линии идут по прямым, которые являются продолжением ра-
диусов, проведенных из заряда Q.
Представляет интерес случай, когда второй диэлектрик надо
считать проводником (е2 = оо). При этом потенциал U2 = 0, а
электрическое изображение Q' = —Q. Коэффициент отражения
к = —1, что можно истолковать как полное отражение поля с из-
менением «фазы» на противоположную.
В качестве второго примера на метод электрических изображе-
ний рассмотрим потенциал поля точечного заряда Q, расположен-
ного в вакууме вблизи проводящей сферы радиусом а (рис. 30).
Сначала положим, что заряд находится вне сферы на расстоянии b
от ее центра. Под влиянием заряда на сфере индуцируются заряды,
которые в смысле создания вторичного поля вне сферы эквивалентны
двум точечным зарядам одинаковой величины Q', но разного знака:
один из них одинакового знака с заряде>м Q находится в центре сферы,
а другой смещен от центра на расстояние с и расположен на линии,
соединяющей центр с зарядом Q. Смещенный заряд имеет знак,
противоположный знаку заряда Q> и называется его электрическим
изображением в сфере. Напряженность результирующего поля
отлична от нуля вне сферы, а внутри равна нулю. Одним из гранич-
ных условий задачи является постоянство потенциала на сфере.
Выполнение этого условия возможно, если расстояния b и с свя-
заны между собой соотношением
1с = а2.
92
В связи с изложенным выражение потенциала для точки А вне
сферы запишется в следующем виде:
и R R' Яо 9
где 7?, R', Rq — расстояния до точки А соответственно от заряда
О, от * его изображения Q', от центра сферы.
Для постоянства потенциала на сфере необходимо, чтобы разность
первых двух членов в приведенном выражении равнялась нулю
при совпадении точки А с точкой Xs, расположенной на сфере:
£_=о
Rs R's ’
где Rs и R's — расстояния от точки As до заряда и до его изобра-
жения; отсюда находим
Rs П
Очевидно, Q' имеет постоянное значение только в том случае,
если отношение R’s/Rs постоянно для любой точки на сфере.
Докажем, что это выполняется. Для этого рассмотрим треугольники
ОМ As и ОА$М'\ они подобны, поскольку имеют общий угол при
вершине О и пропорциональные стороны, заключающие этот угол,
т. е.
с а
а 6
Распространяя пропорциональность на третьи стороны тре-
угольников, имеем
Rs с а
Rs а b *
Таким образом, при выбранном соотношении между расстояни-
ями Ъ и с постоянство потенциала на сфере выполняется, а величина
электрического изображения определяется по формуле
и выражение потенциала результирующего поля в точке А прини-
мает вид
{7 = -^-- — -2-Ч-Л S- (70)
Я 6 Я' ф Ь Я0 • 1 '
Оно удовлетворяет всем условиям задачи и является ее единствен-
ным и правильным решением.
Внутри сферы потенциал постоянный, а напряженность равна
нулю, и сфера, как всякая другая замкнутая проводящая обо-
лочка, может служить защитой от внешнего электростатического
поля.
Определим теперь потенциал результирующего поля, когда
заряд находится внутри сферы на расстоянии с от ее центра. Его
93
величину в соответствии с обозначениями на рис. 30 полагаем
равной Q'. Граничным условием и в этом случае будет постоянство
потенциала на сфере. Под влиянием заряда Q' на сфере возникнут
индуцированные заряды обоих знаков и в равных количествах. Ин-
дуцированный заряд, одноименный с зарядом Q', распределится
равномерно на наружной стороне сферы, а разноименный — не-
равномерно на внутренней. Представим себе на время, что прово-
дящая сфера является оболочкой с некоторой толщиной; в пределах
толщины оболочки, как внутри любого проводника, напряженность
равняется нулю, а потенциал остается постоянным. Это значит, что
все линии напряженности, исходящие от Q', оканчиваются на внут-
ренней стороне оболочки и вновь начинаются на наружной стороне,
иначе говоря, индуцированные заряды как на внутренней, так и
на внешней стороне по величине равны заряду Q'. Приведенные рас-
суждения справедливы для любой толщины проводящей оболочки,
в том числе и для бесконечно малой, когда она переходит в матема-
тическую сферическую поверхность. Следовательно, напряженность
вне сферы совпадает с напряженностью поля точечного заряда, рас-
положенного в центре сферы; внутри сферы поле создается зарядом
Q' и индуцированным зарядом, находящимся на внутренней стороне
сферы. Влияние последнего заряда на поле внутри сферы сводится
к влиянию точечного заряда Q, расположенного на расстоянии Ь
от центра сферы и являющегося электрическим изображением за-
ряда Q' в ней. Для выполнения условия постоянства потенциала
на сфере величина электрического изображения должна равняться
Ыа Q'.
Таким образом, заряд и его изображение в сфере меняются
местами: помещая заряд вне сферы, получаем изображение внутри
ее и наоборот.
Потенциал внутри сферы запишется теперь в таком виде:
TJ Q ъ Q I Q
U R' a R а
(70')
где R' и R — расстояния от заряда Q' и от его изображения до
точки наблюдения.
На самой сфере первые два члена в выражении (70') взаимно
уничтожаются, и потенциал становится постоянным и равным Q' 1а.
Задача 1. Определить потенциал однородно поляризованного эллипсоида
вращения с полуосями с > b = а, если вектор поляризации Р направлен по оси
вращения.
Ответ:
Р ( u4-l 2 \
и = 2яс62г Vn “ т) > “о)’
U = 2я№ (с2_(1п
94
„ „„ и — эллиптическая координата;
ГД'" с
в®= /^=62 •
Задача 2. Бесконечная пластинка толщиной Л, находясь в вакууме, поля-
ризуется однородным полем Ео, перпендикулярным ее граням. Диэлектрическая
ппоницаемость пластинки выражается по формуле 8=1 +//Л, где z —коор-
дината отсчитываемая в направлении толщины h от одной из гранен. Опре-
делить* напряженность поля в пластинке и плотности связанных зарядов.
Ответ:
/i ^0 Л Л
E=EO-J^J» Рсв = —(Л4-2)2 ’ ст«=0 ПР" ; = 0-
Fo
асв— 8д ПРИ 2—
Задача 3. Громоотвод имеет форму полуэллипсоида вращения, располо-
женного перпендикулярно проводящей поверхности земли. Определить потен-
циал поля в окрестности громоотвода, считая потенциал земли и громоотвода
равным нулю, а напряженность первичного поля земли Ео — постоянной п на-
правленной по вертикали вниз.
Ответ:
где z _ координата, отсчитываемая по громоотводу вверх.
Задача 4. Линии индукции, подходя к границе между диэлектриками
с проницаемостями ех и е2, образуют в первом диэлектрике угол 04 с нормалью
к границе. Определить индукцию во втором диэлектрике и плотность связанных
зарядов на границе, считая индукцию в первом диэлектрике равной Dr.
Ответ: ________________
1/ ej . Л Dicosai / 1 1 \
^2=^1 И COS2Q! +-^81П2а2, Осв =------
Задача 5. Две среды с проницаемостями 8Х, е2 заполняют пространство,
Соприкасаясь по бесконечной плоскости. В первой из них находится точечный
заряд (?. Определить величину связанного заряда на границе между средами.
Ответ:
к 8i — е.»
Задача 6. Пространство взаимно перпендикулярными плоскостями разде-
лено на четыре равные части. Три из них заполнены средой с проницаемостью е,
а четвертая является вакуумом. Определить потенциал в вакууме, если в нем
находится точечный заряд Q.
Ответ:
k*Q
L ~ R + Я' + Я* R"‘ ’ где
Я, Я', Я", R” — расстояния от заряда и его изоб-
ражений в плоскостях до точки наблюдения (рис. 31).
Задача 7. Полость в проводнике представляет
четверть сферической полости, ограниченной частью
сферы и двумя взаимно перпендикулярными плос-
костями. Определить число электрических изобра-
жений заряда, находящегося в полости, и по-
строить их.
Указание к решению. Строить изо-
бражения надо из расчета, чтобы потенциал сте-
нок полости был равен нулю.
95
Ответ: изображений семь.
Задача 8. Сферическая полость радиусом а, расположенная в проводнике,
заполнена наполовину диэлектриком. Сила, обусловленная изображениями,
не действует на точечный заряд, находящийся в полости на оси симметрии и на
а _
расстоянии - от плоской поверхности диэлектрика. Вычислить проницаемость
о
диэлектрика.
Ответ: е = 1,54.
§ 10. ДВОЙНОЙ СЛОЙ
Представим себе диполи, расположенные таким образом на по-
верхности, что положительные концы их выходят на одну сторону,
а отрицательные — на другую. Такое расположение источников
принято называть двойным слоем. Рас-
смотренное выше расположение источ-
Я ников на поверхности с плотностью
С \ ~ ' <т называется простым слоем. Двойной
слой встречается часто. Прак-
тически его можно осуществить,
намагничивая тонкую пластинку пер-
рис 32. пендикулярно ее граням. При рас-
смотрении поля двойного слоя, мы
полагаем поверхность S не плоской, а произвольной формы (рис. 32).
Элемент dS< двойного слоя ведет себя, как диполь с осью, ориенти-
рованной по нормали к положительной стороне слоя. Момент такого
диполя запишется в следующем виде:
dp — т dS,
где т — момент единицы поверхности, величину которого называют
мощностью двойного слоя.
Потенциал, создаваемый элементом dS, определится по формуле
du = (т gradM -А-) dS - dS --- т dQ,
где dQ — телесный угол, под которым из точки наблюдения виден
элемент dS. >
Интегрируя выражение dU по всей поверхности 5, находим
U=\^-dS ••= fxdQ. (71)
s s
При постоянной мощности т из уравнения (71) получаем
Z7-tQ. (71')
Телесный угол в формуле (7Г) может быть положительным или
отрицательным в зависимости от того, положительная или отри-
96
цательная сторона двойного слоя видна из точки А. Когда видны
частично как та, так и другая сторона, тогда телесный угол равен
алгебраической сумме углов, под которыми видны положительная
и отрицательная стороны слоя. Если поверхность двойного слоя
с постоянной мощностью замкнута, то потенциал в наружном про-
странстве равен нулю, а в полости равен ±4лт. При переходе через
такую поверхность наблюдается разрыв непрерывности потенциала,
равный 4лт. Этот разрыв сохраняется и при переходе через незамк-
нутую поверхность с любой переменной мощностью т.
Для доказательства этого утверждения определим сначала по-
тенциал на оси диска, когда поверхность его представляет двойной
слой постоянной мощности т. Принимая обозначения рис. 6, имеем
Анализируя полученное выражение, приходим к заключению,
что потенциал на поверхности диска со стороны положительных г
равен 2лт, со стороны отрицательных z равен — 2лт и при переходе
через поверхность испытывает разрыв непрерывности при любом
радиусе диска, равный 4лт, что запишем в виде
U। г=4 0 — । z«-o == 4лт.
В остальных точках оси потенциал непрерывен, конечен и
в бесконечности равняется нулю.
Напряженность поля на оси определяется по формуле
_______________________ ди 2лтд2
“ dz (а2_|_22)*/« ’
анализируя которую, заключаем, что напряженность при переходе
через диск и на всей оси непрерывна, конечна, в бесконечности
равна нулю. Причина непрерывности напряженности при переходе
через диск состоит в том, что двойной слой образован двумя близко
расположенными простыми слоями разного знака. При переходе через
такие два слоя напряженность дважды испытывает разрыв непрерыв-
ности, но с разными знаками, и суммарный разрыв равен нулю.
Переходя к рассмотрению разрыва непрерывности потенциала
в общем случае, проведем на рис. 32 через точку А прямую, явля-
ющуюся нормалью к поверхности двойного слоя в точке As, и
сблизим точку А по этой прямой с точкой As. Когда точки совпадут,
интеграл в уравнении (71) становится несобственным и подлежит
исследованию. Разобьем его на два слагаемых: одно от интегриро-
вания по поверхности диска с центром в точке As и столь малого
радиуса, что в пределах диска мощностьт можно считать постоянной;
другое — от интегрирования по остальной части поверхности слоя
за исключением диска. Оба слагаемых конечны, но при переходе
через диск первое из них испытывает разрыв непрерывности, равной
4лт, а второе остается непрерывным. Поэтому потенциал двойного
слоя с переменной, но конечной мощностью т при переходе через
7 Заказ 1701 97
поверхность слоя испытывает разрыв непрерывности, равный 4лт;
в остальных точках пространства он является непрерывной конеч-
ной функцией точки. Справедливо и обратное заключение, а именно,
если при переходе через какую-то поверхность потенциал испыты-
вает разрыв непрерывности, то на ней имеется двойной слой. На-
пример, в контактах металлов с электролитами, с полупроводни-
ками, с другими металлами наблюдается скачок потенциала. Во
всех этих случаях поверхность контакта содержит двойной слой.
Потенциал двойного слоя, как потенциал совокупности диполей,
расположенных по поверхности, удовлетворяет уравнению Лапласа
и в отдельных случаях может быть найден решением этого уравне-
ния с выполнением соответствующих условий задачи. В связи с этим
потенциал диска с двойным слоем постоянной мощности может быть
определен в любой точке пространства через полиномы Лежандра,
как это было сделано для потенциала диска с простым слоем постоян-
ной плотности.
Задача 1, Определить потенциал прямоугольной пластинки с двойным
слоем постоянной мощности т в точке, расположенной на нормали к пластинке,
проходящей через один из ее углов.
Ответ:
/л X V 4-d2 4~c2Y*
С/ = т -arctg--------,
где х — расстояние точки наблюдения до пластинки; Ъ и с — размеры ее сторон.
Задача 2. Определить потенциал пластинки с двойным слоем постоянной
мощности т в точке, расположенной на нормалп к пластинке, проходящей через
ее произвольную точку.
Ответ:
/ х /г2 4-Ь2_|_с2 хУх^+Ь'г
и = т 12л — arctg-----Г--------arctg-------п----------
х + 62_|_ с'г х 1/'г2-|-6'*-|-с',\
-arctg-----------------arctg------------------j ►
где х — расстояние от точки наблюдения до пластинки 6, Ь', с, с' — расстояния
от основания нормали до сторон пластинки; b + Ь', с + с* — размеры ее сторон.
Решение настоящей задачи получается суммированием решений предыду-
щей задачи, если пластинку разбить на четыре части так, чтобы нормаль прохо-
дила через один из углов каждой из четырех частей.
Задача 3. На контакте металла с электроЛггом образуется разрыв непре-
рывности потенциала, равный 0,3 в. Считая двойной слой на контакте состоящим
из двух простых слоев, расположенных на расстоянии 10"? см друг от друга,
вычислить плотность зарядов о с той и другой стороны контакта.
Ответ: о = 800 ед. СГСЭ.
Задача 4. Принимая плоский конденсатор с квадратными обкладками
и с малым расстоянием Az между ними за двойной слой постоянной мощности,
определить, во сколько раз напряженность поля вне конденсатора в центре
обкладки меньше, чем внутри конденсатора.
_ 2/2Дх ,
Ответ: в——т------ раз, где Ь— размер обкладки.
98
Глава III
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
§ 1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В некоторых случаях рассматривается поле, не зависящее от од-
ной из декартовых координат. К таким случаям относится поле,
создаваемое весьма длинным цилиндром с плотностью, не меня-
ющейся в направлении образующей. В теории цилиндр принимается
бесконечно длинным, и тогда его поле меняется только в плоскости,
перпендикулярной образующей и совпадающей, например, с пло-
скостью хОу. Разбивая цилиндр на бесконечно тонкие стержни,
параллельные образующей, заключаем, что его потенциал опреде-
лится суммой потенциалов отдельных стержней. Потенциал стержня,
принимаемого за однородную прямую линию, выражается через
2х 1пу- (г — расстояние от линии до точки наблюдения) и называется
логарифмическим. Сумма логарифмических потенциалов
называется также логарифмическим потенциалом. Рассматриваемый
до настоящего параграфа потенциал считался суммой потенциалов
Q х
точечных источников, выражающихся через в отличие от логариф-
мического его называют ньютоновским. Свойства логариф-
мического потенциала аналогичны свойствам ньютоновского за исклю-
чением того, что в бесконечности логарифмический потенциал обра-
щается в бесконечность, взятую со знаком минус. Это связано с тем,
что источники, создающие поле, занимают бесконечную область.
Поскольку поле цилиндра образуется из полей отдельных тонких
стержней — прямых линий, то целесообразно рассмотрение его на-
чать с поля прямой линии.
§ 2. ПОЛЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ЦИЛИНДРА
Для определения потенциала прямой однородной линии исполь-
зуем выражение (30), увеличивая длину 21 до бесконечности:
тт_х ]n ^r24"(z"f"02 + (3 + 0 _
U 1И —- -------
/r2 + (z-Z)2 + (z_Z)
= х jn [Vr2+(; + Z)2+;+Z] [/Г2 + (г-Z)2 (7 /)] =
7*
99
= »1^[К5-+(1+1У+|-1]х
(72)
(73)
(73')
X [/4+ (т->)’-(т~ f)]L „ -*2x >"7 2“2'-
Слагаемое 2x In 21, несмотря на бесконечно большую величину,
не учитывается, поскольку теоретическое и практическое значение
имеет не абсолютное значение потенциалов, а разность их между
точками поля и градиент потенциала. В обоих случаях слагаемое
2х In 21 исчезает.
Поэтому потенциал бесконечной однородной прямой или тонкого
стержня определяется выражением
t7 = 2xln —.
Г
Напряженность поля при этом находится по формуле
v dU г 2хг
Ь дг Г “ г2 ’
а составляющие по декартовым осям — по формулам
р __ 2x(z —z0)
Ех ~ г*
г 2и(у — у(})
ЕУ - ^2 •
Для получения выражений потенциала и напряженности поля
от цилиндра разбиваем его на стержни с сечением dS и принимаем
стержни за прямые линии с плотностью х = pdS.
Определяя потенциал и напряженность поля стержней по форму-
лам (72) и (73), а затем интегрируя по сечению цилиндра, получаем
нужные нам выражения
и ~ j 2р In 1 dS^ (74)
s
Е (75)
В том случае, когда источники расположены по поверхности
цилиндра с плотностью о, не меняющейся в направлении образу-
ющей, мы разбиваем поверхность в этом направлении на полоски
шириной dl и рассматриваем их как линии с плотностью х = odZ.
Определяя опять потенциал и напряженность поля отдельных
100
полосок по формулам (72) и (73), а затем интегрируя их по пери-
метру сечения цилиндра, находим нужные нам выражения
U = palnydz,
/
I
(76>
(77}
В общем случае периметр сечения цилиндра может быть незам-
кнутым.
§ 3. ДИПОЛЬ И ДВОЙНОЙ СЛОЙ ДЛЯ ПОЛЯ С ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ
ПОТЕНЦИАЛОМ
Диполь и двойной слой для поля с логарифмическим потенциа-
лом называют плоскими в отличие от объемных, рассмотренных выше
для ньютоновского потенциала.
Под плоским диполем пони-
мают две близко расположенные
параллельные линии с источни-
ками разного знака, но с одной
и той же постоянной плотно-
стью х (рис. 33).
В соответствии с обозначени-
ями на рис. 33 потенциал плоского
диполя запишется в виде
t7 = 2x In -—2х In — .
г+ г-
Разлагая логарифмы в ряд Тейлора в средней точке диполя
М (я0, z/o) и ограничиваясь первыми двумя членамп ряда, как эта
было сделано в случае объемного диполя, находим
tz = 2 (pgradMlny),
(78}
где р == — момент диполя, направленный по оси 1 от отрицатель-
ной к положительной линии; 1 — расстояние между линиями.
Обозначая через ф угол между векторами р и grader In -у, пере-
пишем (78) в таком виде:
у 12 (рг) = 2р cos ср ,78 '>
г2 г ' ’
101
Принимая г и ср за полярные координаты с началом в точке М (х0,
р0), находим составляющие напряженности поля диполя по напра-
влениям этих координат:
„ dU 2р cos (р
Er — ~ dr Г2 »
„ ди __ 2psin(p /7пч
ЕЧ~ г2 *
Плоский двойной слой образуется из плоских диполей, располо-
женных по цилиндрической поверхности таким образом, что положи-
тельные источники находятся
с одной, а отрицательные —
\ с другой стороны поверхности
(Ри2: 34)- „ J;
Полоска шириной dZ, вы-
\ резанная из цилиндрической
\ поверхности в направлении
-U образующей, ведет себя, как
р 34 диполь с моментом dp = rdZ,
где т — момент полоски шири-
ной в единицу, имеющий на-
правление нормали к поверхности в точке М (х0, у0). Выражая
потенциал полоски по формуле (78') и интегрируя его по периметру
-сечения поверхности, получим выражение потенциала двойного
-слоя:
U = 2тсоз<р dl
I I
(80)
При т = const интегрирование в выражении (80) приводит к ре-
зультату
U - 2т₽,
где р — плоский угол, под которым из точки А (х, у) виден периметр
-сечения поверхности.
Свойства потенциала плоского двойного слоя такие же, как у по-
тенциала объемного двойного слоя.
Используя выражение потенциала пиоского диполя, можно полу-
чить все формулы для поля поляризованных бесконечных цилин-
дров, которые были получены для поляризованных тел конечных
размеров.
§ 4. ПОЛЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ОДНОРОДНОГО СЛОЯ
В поле логарифмического потенциала остаются справедливыми
все дифференциальные уравнения, полученные для поля ньютонов-
ского потенциала, только в них отсутствует зависимость от коор-
динаты z, отсчитываемой в направлении образующей цилиндров.
В связи с этим мы можем воспользоваться уравнением Лапласа —
102
Пуассона для определения поля однородного слоя, ограниченного
круговыми коаксиальными цилиндрами с радиусами а и &, причем
а Ь,
Полагая начало цилиндрических координат г, ф, z на оси цилин-
дров и принимая ее за ось Oz, мы получим поле, зависящее
только от координаты г, и уравнение Лапласа —Пуассона запишем
в виде
(O^r^b или г^а),
г дг дг
— г = —4лр (Ь^г^а).
г дг дг Г \ /
Интегрирование уравнения приводит к результатам
£=-^=£1-, (г>п),
Е= — ^г = 2прг + ^-, £7 — — лрг2+ С3 In у + С4 (Ь^г^а),
U = C6la^ + Ce (О^г^Ь).
Постоянные Сг, . . CQ находятся из условий конечности и не-
прерывности потенциала и напряженности поля.
Постоянная С2 без ограничения общности может быть принята
равной нулю, а постоянная Свдолжна равняться нулю, чтобы напря-
женность и потенциал на оси цилиндров были конечными. Остальные
постоянные находятся из условий непрерывности напряженности
и потенциала на внутренней (г = Ь) и внешней (г = а) поверх-
ностях слоя. Выполняя эти условия, приходим к уравнениям
0 = 2лр&4--у-, Св=-лрЬ2 + С81п| + С4,
~2лра + ^>, + +
решая которые относительно Cv С3, Cit С3, находим
С1 = 2лр(аа — b2), С3=—2прЬ2, С4 = 2лра2 In+ яра2,
С3 = 2лра2 In + лр (а2 — b2) - 2npb2 In .
С найденными значениями постоянных Clt . . С3 выражения
напряженности и потенциала получают вид
£= 2яр(«‘-Я) ' [7 = 2Яр(а,-4>)1п1 (rSsn),
(6егва).
10$
U = 2лря2 In 4-пр (а2 — г2) — 2лр^2 In у (Ь^г^ а)у
Е = О, U = 2лра2 In у + лр (а2- Ь2) — 2щ)Ь2 In у (О< г < Ь).
Уменьшая толщину слоя, но считая р (а — Ь) = а — поверх-
ностной плотности, в пределе (6 а) получим выражения напря-
женности и потенциала полого цилиндра радиусом а:
Е и~4лаа!пу (г^а),
Е О, U -- 4лоа In у (О^г^ а).
Как цилиндрический слой, так и полый цилиндр в наружном
пространстве создают поле, совпадающее с полем прямой линии
с линейной плотностью, равной величине источников, приходящихся
ла единицу длины слоя.
§ 5. МЕТОД ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ПРИ ЛОГАРИФМИЧЕСКОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
Метод электрических изображений для решения плоских задач
имеет не мецьшее значение, чем для решения объемных задач. Мы
рассмотрим применение этого метода к решению задач, аналогичных
по содержанию рассмотренным ранее.
Пусть требуется определить потенциал равномерно заряженной
нити, расположенной параллельно плоской границе двух диэлектри-
ков с проницаемостями в! и е2. Полагая нить находящейся в первом
диэлектрике, найдем путем рассуждений, аналогичных тем, которые
проводились, когда вместо нити рассматривался точечный заряд,
«следующие выражения потенциала в первом и втором диэлектриках:
111 -4, (81)
е14-е2 г v
тде х — линейная плотность зарядов нити; г, г — расстояние от
нити и ее изображения до точки наблюдения, находящейся в первом
диэлектрике; г" — расстояние от нити до точки наблюдения, находя-
щейся во втором диэлектрике.
Полагая теперь нить расположенной в вакууме параллельно
образующей проводящего цилиндра радиусом а, найдем путем рас-
суждений, аналогичных тем, которые проводились, когда рассматри-
вался точечный заряд вблизи проводящей сферы, следующие выраже-
ния потенциала:
Г=2х1пу—2х1п-£г72х1п-£-, (82)
404
когда нить находится вне цилиндра и
и--=- 2х1п4—2xln —+ 2х1п—, (83>
г сг а 4 г
если она располагается внутри него.
В выражении (82) г и г' — расстояния от нити и ее изображения
в цилиндре до точки наблюдения; г0 — расстояние от оси цилиндра
до точки наблюдения. В выражении (83) г' и г — расстояния от
нити и ее изображения в цилиндре до точки наблюдения. Расстоя-
ния Ъ и с, как и в случае сферы, сопряжены между собой соотноше-
нием Ъс = а2.
Задача 1. Эллиптический цилиндр получается из эллипсоида, если одну
из его полуосей, например с, положить равной бесконечности. Используя это
указание, получить выражения потенциала и составляющих напряженности,
по декартовым осям для эллиптического цилиндра из соответствующих выра-
жений для эллипсоида.
Ответ:
г- к xi dt
nabP) а2 + * ft2_|.Z / |/{д2_|_/) (b2+t) ’
ОО
f 1 dt
Ех-2лаЬрх^ a2+t у—————,
СО
Л _ [ * 1 dt
Еу-_лаЬру^ b2 + t г
х2 । у2
а2 + 5 b*+S
второй степени
где X — наибольший корень уравнения
относительно S.
Задача 2. Для решения задач с эллиптическими цилиндрами вводятся
эллиптические координаты u, v на плоскости хОу по формулам
х= luv.
У = //(«2 —1)(1-р2),
= }/ al — Ьг,
пределы изменения которых следующие: 1 и оо; —1 v 1,
Показать, что линии и = const будут софокусными эллипсами^ а линии
v = const — софокусными гиперболами.
Задача 3. Вводя эллиптические координаты способом, указанным в пре-
дыдущей задаче, проинтегрировать выражения потенциала U и составля-
ющих Еу, приведенные в задаче 1, с помощью подстановки а2 + t = Z2u\
Ответ:
1
U — 2лаЬр hi
— 1 \ у2 / и
1
г , к х L ? и2~ 1
Ех ---- inabp ТУ 11 —---
у и \
Ъ выражении потенциала опущено бесконечное слагаемое.
105
Задача 4. Определить потенциал вторичного поля, намагничивая эллипти-
ческий цилиндр однородным полем в направлении малой полуоси.
Ответ:
с, = (М>2 — Ц1)аЬуЯ0 1 / и \
где ц2 и щ — магнитные проницаемости цилиндра и окружающей среды.
Задача 5. Определить коэффициенты размагничения эллиптического ци-
линдра в направлении большой а и малой Ь полуосей.
Ответ:
6 а
4л I > 4л ~~ I l •
а-^о a-j-o
Задача 6. Определить плотность зарядов о, индуцированных на металли-
ческой пластинке заряженной нитью, натянутой параллельно пластинке.
Ответ:
х d
а=~ Л Г» •
где х — линейная плотность зарядов нити; d — расстояние нити от пластинки;
г — расстояние точки наблюдения от нити.
Задача 7. Определить потенциал равномерно заряженной нити, натянутой
параллельно образующей проводящего полуцилиндра, положенного своей
плоскостью на проводящую пластинку. Полуцилиндр и пластинка считаются
бесконечными.
Ответ:
11а а
U = 2х In — — 2х In — — 2х In ург + 2х In -j^ar »
где г, г' — расстояние от нити и ее изображения в пластинке до точки наблю-
дения; г", г" — расстояния от изображения нити в полуцилиндре и от изобра-
жения в цилиндре, образованного изображением нити в пластинке, до точки
наблюдения; а — радиус полуцилиндра; Ь — расстояние от нити до оси полу-
цилиндра.
Задача 8. В проводнике сделана весьма длинная полость, ограниченная
плоскостью и поверхностью полуцилиндра. В полости параллельно образующей
полуцилиндра натянута равномерно заряженная нить. Определить потенциал
поля в полости.
Ответ:
1 1 & Ь
и = 2х In у — 2xln — — 2х In уу+2х In
где все расстояния имеют такой же смысл, как в предыдущей задаче, кроме Ь,
которое теперь является расстоянием изображения от осп полуцилиндра»
Глава IV
О РЕШЕНИЯХ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ
§ 1. ФОРМУЛА ГРИНА
До данного параграфа поле определялось по источникам. Теперь.
рассмотрим вопрос определения поля по заданным значениям по-
тенциала и составляющей напряженности по нормали на некоторой.
замкнутой поверхности 8. Задача
в такой постановке решается для про-
странства, находящегося как вне,
так и внутри поверхности, которая
в общем случае будет состоять из не-
скольких не пересекающихся между
собой замкнутых поверхностей. По-
знакомимся сначала с решением задачи р
при помощи формулы Грина.
Пусть в пространстве, ограниченном двумя замкнутыми поверх-
костями (рис. 35), требуется определить потенциал в точке А (х, yt
-). Соединим точку А с точкой М (я0, yQ, z0) прямой R и построим
функцию
W = ± + f(A,M),
где / (Л, М) — функция, зависящая симметрично от координат то-
чек А и 7И, непрерывная, конечная вместе с производными по коор-
динатам, удовлетворяющая уравнению Лапласа.
При этом функция W будет удовлетворять уравнению Лапласа
в координатах точки М, за исключением точки Л, где она вместе
с производными обращается в бесконечность. Точку Л называют
полюсом функции W. Опишем вокруг полюса как центра сферу
с малым радиусом ц. Тогда в пространстве между сферой и поверх-
ностью S функция W во всех точках удовлетворяет уравнению Ла-
пласа в координатах точки М, и для нее вместе с потенциалом U
может быть написано соотношение
div (И7grad U—U grad W) =
107
где все операции дифференцирования проводятся по координатам
точки М. Интегрируя обе части соотношения по объему F, ограни-
ченному сферой и поверхностью 5, а затем преобразуя интеграл
ют расходимости в поверхностный, мы получим
( f U~}dS= - ^WMJdV,
J \ on dn J J \ on on J J
Л8=4^« s V
(84)
где нормаль считается направленной внутрь объема и на сфере она
совпадает с направлением радиуса.
Вычислим интеграл по сфере; для этого в подынтегральном выра-
жении этого интеграла сделаем подстановки
W — М), dS^rfdQ,
1] 7 v ' ’ dn dr] т)2 1 dr] ’ 1 •
после чего он примет вид
о
при уменьшении ц до нуля подынтегральное выражение сделается
равным £7, а интеграл — равным 4л£7, где U соответствует значению
потенциала в точке А.
Таким образом, из выражения (84) получается формула Грина
4я!М('7^--Jivat/dr, (85)
s V
позволяющая определять потенциал по его заданным заранее значе-
ниям и значениям производной потенциала по нормали на поверх-
ности 5, а также по значениям лапласиана в объеме V.
Если в объеме лапласиан от потенциала равен нулю, то формула
Грина принимает вид
И17 т<85'>
S
Расширяя наружную поверхность (рис. 35) и таким путехМ удаляя
се в бесконечность, где потенциал и функция W обращаются в нуль
так, что интегрирование по наружной поверхности ничего не дает,
определим по формуле (85') потенциал вне оставшейся поверхности S.
Сжимая внутреннюю поверхности (рис. 35) к точке и считая при
этом, что внутри ее отсутствуют источники, определим по формуле
(85') потенциал внутри оставшейся поверхности S.
Полагая W = перепишем формулу (85') в виде
(8б)
4л J \ дп Л R дп / v '
S
Первая часть интеграла в формуле (86) может быть интерпрети-
рована потенциалом двойного слоя с мощностью т = Ulfat, а вто-
рая—потенциалом простого слоя с плотностью а = — 1/4л (dUldn).
108
Это значит, что поле любого распределения источников может быть
заменено полем двойного и простого слоев, расположенных на любой
поверхности, охватывающей источники. Очевидно, справедливо
и обратное утверждение. Поэтому, зная поле в части пространства,
нельзя однозначно определить, какому распределению источников
оно соответствует.
Положим, что в формуле (86) поверхность S является сферой,
д 1 di 1
а потенциал определяется в ее центре, тогда — -д-= — -^- = -j&
и формула может быть переписана в виде
г тЛг f UdS—^fr \~dS.
4л R* J 4л R J dn
s s
В полученном выражении первое слагаемое равно среднему зна-
чению потенциала на сфере, а второе — нулю, поскольку им с точ-
ностью до постоянного множителя определяется поток напряжен-
ности через замкнутую поверхность, не охватывающую источники.
Поэтому смысл выражения таков: потенциал в центре сферы,
не охватывающей источников, равен среднему значению потенциала
на сфере. Отсюда следует вывод: потенциал в пространстве, свобод-
ном от источников, не имеет максимумов и минимумов. В самом деле,
если бы существовал в какой-то точке максимум (минимум), то,
описав вокруг нее сферу малого радиуса, мы получили бы на сфере
среднее значение потенциала, меньшее (большее) чем в ее центре.
Подставим в формулу (85') вместо W такую функцию, которая
на поверхности S обращается в пуль. Обозначив эту функцию через
G, формулу (85') перепишем в таком виде:
4л£7 = f U ^-dS.
.) dn
S
Функцию G называют функцией Грина; с помощью этой
функции потенциал определяется только по значениям его на поверх-
ности S. Определение потенциала по его значениям на поверхности
называется задачей Дирихле. Формула (87) является од-
ним из способов решения этой задачи. Функция G зависит от вида
поверхности S. Грин ее интерпретировал как потенциал поля еди-
ничного положительного заряда, находящегося в точке А, когда
поверхность 5 представляет проводящую оболочку, потенциал кото-
рой приведен к нулю через кратковременное заземление. Такая физи-
ческая интерпретация указывает на существование функции G и на
способ ее нахождения. Для плоскости и сферы, а также для неко-
торых комбинаций этих поверхностей, функция Грина находится
методом электрических изображений.
Полагая в первой из формул (69) Q = i, ех = 1, &=— 1, находим
функцию Грина для плоскости
G-7F--7F
(87)
109
и производную ее по нормали к плоскости
dG _ _ dG_ I _2с
dn ~ dz |z-c Л8’
после чего решение задачи Дирихле для плоскости принимает вид
(«8>
S
Теперь, полагая в формуле (70) Q = 1 и заземляя кратковременно
сферу для снятия с нее одноименного индуцированного заряда и при-
ведения потенциала к нулю, найдем функцию Грина для пространства
вне сферы:
г _ 1 а 1
G ~ R b R' ’
Производная функции по нормали к сфере определится
по формуле
dG d 1 dR ad 1 dRf __ cos (пЛ) . a cos (иЛ')
dn~ dR R dn b dR' R' ~dn~ ~~ R* b
Из рис. 30 следует, что при RQ = а
Ь2 — Я2 а2 — 2Ra cos (иЯ),
с2 = Я'1 + а2 — 2R'a cos (т?Я').
Определяя косинусы и подставляя их в выражение dGIdn, при-
ведем его к виду
dG b* — a*
dn e аЛ3 *
после чего решение задачи Дирихле для пространства вне сферы
запишется таким образом:
U = 4Г f U^H^~dS- (89)
4л J аЛ8 х '
S
Полагая в формуле (70') Q’ = 1 и снимая со сферы одноименный
индуцированный заряд кратковременным ее заземлением, найдем
функцию Грина для пространства внутри сферы:
Для производной функции по нормали к сфере находим при обо-
значениях на рис. 30 выражение
dG gt-c*
dn ~~ aR'* 9
110
после чего решение задачи Дирихле для пространства внутри сферы
запишется в виде
д2 — с2
aR'*
dS.
(90)
и=~г~ \и
4л J
8
Положим, что в формулу (85') вместо W подставлена функция,
у которой производная по нормали на поверхности S равна нулю.
Обозначив эту функцию через N, перепишем формулу (85'):
4 л U
^N^-dS.
J on
(91)
Функцию N называют функцией Неймана; с помощью
этой функции потенциал определяется по значениям составляющей
градиента по нормали к поверхности. Определение потенциала по за-
ранее заданным значениям его производной по нормали к поверх-
ности называют задачей Неймана. Формула (91) является
одним из способов решения этой задачи.
Функция N для плоскости получается из первой формулы (69),
если в ней положить Q = 1, к = 1, 8Х = 1:
она может быть пстолкована как потенциал двух положительных
зарядов, являющихся зеркальными изображениями друг друга
в плоскости.
Решение задачи Неймана для плоскости запишется таким образом:
ОД
S
Для получения формулы Грина в случае поля с логарифмическим
потенциалом надо в уравнении (85') положить W = 2 In + 2/ (4,7И),
а интегрирование по S заменить интегрированием по замкнутой
кривой в плоскости хОу. Функция Грина при логарифмическом по-
тенциале для плоскости и кругового цилиндра или, лучше сказать,
для прямой и окружности, а также для некоторых комбинаций этих
кривых находится методом электрических изображений.
Например, полагая в первой из формул (81) х = 1, = 1,
еа = оо, находим функцию Грина для прямой
G = 2 In — — 2In Д-.
Г г
Изменяя знак перед вторым слагаемым в написанном выраже-
нии для (?, получим функцию Неймана
7У = 21п- + 21пД-.
г 1 г'
111
Производная функции G по нормали определится по формул)
dG dG I _
дп ~~ dyQ 1^=0 ”” ~г* *
где у — расстояние от точки наблюдения до прямой.
Решение задач Дирихле и Неймана для полуплоскости запишете]
соответственно формулами
+ ОО
и = ^ J U-^dxj (93
- оо
и = -—\ ^-1п — dx0. (94
л J дп г 0 '
-оо
Функция Грина для части плоскости, находящейся вне окруж
ности, определится по формуле (82), если в ней положить х = 1
и для исключения последнего члена цилиндр кратковременно зазем
лить.
Вычисляя производную функцию по нормали тем же способом
каким это было сделано для случая сферы, получим
= о 62 ~а2
дп аг2
Решение задачи Дирихле для части плоскости, находящейся вн
окружности, запишется в виде
и = f и Ъ2~"2 dl. (9f
2л J аг* 4
I
Аналогично рассуждая, приходим к формуле, являющейся репк
нием задачи Дирихле для части плоскости, ограниченной окру»
ностью,
U--Uv^dl- <95
I
В качестве примера рассмотрим решение задачи Дирихле дл
основного квадранта плоскости хОу (рис. 36).
Построим функцию Грина с полюсом в точке А (х, у). Для этог
полагаем, что точка А является следом заряженной нити, перпенд!
кулярной к плоскости хОу. Тогда точки Ах (х, —у), А2 (—х, —у
А3 (—х, у) будут следами электрических изображений нитг
Определяя потенциал в точке М (xQ, yQ) от нити и изображений, пол}
чим функцию Грина
Q = 2 1п /(* —*оУ + (у + Уо)2 И* -|-Д:о)2 + (У —Уо)2
И* —Л))2 + (У —j/o)2 /(^ + ^o)2 + (Z/ —//о)2
Производная функции по нормали к контуру, ограничивающем
квадрант, имеет вид
dG dG I 4х 4* А
дхп |х,-о~ x2 + (y_j,0)2 х2 + (у + {,0)2 М<1/0<00);
112
dG dG I 4______________iE----
Tn" dy0 L-0 (x-x0)2 + !/2 (* + *o)2 + !/2
(0<хо< оо).
Решение задачи запишется таким образом:
ОО
1 f гт / х
и } U \ X2 +(у —1/о)2
о
х2 + (j/ + lZo)2 )
00
+тУ и ( (х + хоР+Т2-- (*+*о)2+У2
О
Полагая на рис. 36 все У
изображения положительны- п
ми, т. е. одного знака с
нитью, и определяя потен-
циал в точке М (х0, у0), —*Аз(-х,у) +*А(Х,у)
получим функцию Неймана
для основного квадранта I •М(Хо)Уо)
плоскости хОу. Q Х
Вообще функции Грина
и Неймана могут быть най- + ~*А}(Х>~У)
дены методом изображений
для любой части плоско- Рис. 36.
сти хОу, ограниченной пря-
мыми, пересекающимися под углом я/n, где п = 1, 2, 3 ... Случаи
п = 1, 2 мы рассмотрели.
Задача 7. Плоскость имеет выпуклость в форме полусферы. Найтп функ-
цию Грина для такой поверхности.
Ответ:
1 1 а 1 I а 1
G~ R R' b R" "Г b R"' ’
где R, R' — расстояния от полюса и его изображения в плоскости до перемен-
ной точки ЛГ; Я", R'" — расстояния от изображения полюса в сфере и от изо-
бражения в сфере первого изображения полюса в плоскости до точки .V. а —
радиус сферы; b — расстояние полюса от центра сферы.
Задача 2. В предыдущей задаче потенциал на плоскости равен нулю,
а на полусфере равен £70 cos 0, где £70 — постоянная величина;© — полярный
угол, отсчитываемый от вершины полусферы. Определить потенциал вне поверх-
ности.
Ответ:
a277oCOf5
U= № *
Задача 3. Прямая имеет выпуклость в форме полуокружности. Определить
функцию Грина для этой кривой.
Ответ:
1 1 а 1 а 1
£7 = 21п ~ 2 In 2 In -|- 2 In ~j~" •
Расстояния г, г', г", г"', а, Ь аналогичны расстояниям в задаче 1, но здесь
они откладываются в плоскости.
8 Заказ 1701 ЦЗ
Задача 4. В задаче 3 потенциал па прямой равен нулю, а на полуокруж-
ности равен Uо cos ф, где Uo — постоянная величина; ф — угол, отсчитываемый
от вершины полуокружности. Определить потенциал вне кривой.
Ответ: яТТ _ЛО
,у cos ф
U = 5 *
Задача 5. Определить потенциал в основном квадранте плоскости хОу,
если на участке 0 х а он равен постоянной величине С70, а на остальной
части кривой у Ох — нулю.
Ответ; и х х_а х_^а .
tf=— (^2 arctg у-arctg-у—arctg -у—)
Задача 6. Определить потенциал в верхней части плоскости хОу, если
на оси Ох он равен нулю, за исключением отрезка — 1 х 1, где он равен
постоянной величине £70.
Ответ: тт , ~ . ч
rr и9 ( . Х+1 . *— 1 \
и = V ( arctg ~У— arctg ~т~) ‘
Задача 7. Определить потенциал в верхней части плоскости хОу, если
на оси Ох производная потенциала по у равна нулю, за исключением отрезка
—а х а, где она равна — £0.
Ответ: „ _ .
Eq Г х — а х-\-а
и= — |_у arctgarctg ——+2а +
+ (« — a) In V(х + а)2 +у2 — (* + e) In —.
§ 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА С ПОМОЩЬЮ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Определение потенциала по заданным его значениям или значе-
ниям его производной по нормали на некоторой поверхности или
на кривой может быть выполнено разными методами. В предыдущем
параграфе обсуждались методы, связанные с формулой Грина. Те-
перь кратко ознакомимся с применением интегральных уравнений
для этой цели.
Пусть сначала задан потенциал на замкнутой поверхности S
и требуется определить его в объеме вне поверхности. Выполним это
с помощью двойного слоя мощностью т (рис. 37):
тт С т cos а то
u=}-RS-ds-’
S
подынтегральное выражение заменим по формуле
т cos а / т 1 \ <9 1
—gradju — J
и выражение потенциала перепишем так:
<9С>
Очевидно, при помощи формулы (96) потенциал правильно опре-
делится только при некотором значении т. Для нахождения этого
значения устремим точку А па рис. 37 по прямой /Мд к поверхности.
114
Когда она совпадет с точкой As, тогда интеграл в формуле (96)
станет несобственным. Для исследования разбиваем его на два
слагаемых: одно —от интегрирования по поверхности диска с цент-
ром в точке As и весьма малого радиуса; второе — от интегриро-
вания по остальной части поверхности за исключением диска.
Согласно проведенным ранее исследованиям интегрирование
по поверхности диска приводит к 2nxs при сколь угодно малом
радиусе диска. Интегрирование по остальной части поверхности
при этом не будет отличаться по
по всей поверхности, и уравне-
ние (96) перепишется для точки A s
в таком виде:
Us = 2nxs+\x-^-^dS, (97)
S
где индекс S указывает на то, что
величина взята в точке распо-
ложенной на наружной стороне
поверхности.
По смыслу рассуждений интегралом в уравнении (97) предста-
влен потенциал в отверстии на поверхности 5, которое получается,
когда из нее вырезается диск очень малого радиуса. Иначе говоря,
интегралом определяется потенциал не на поверхности, а в поверх-
ности двойного слоя.
В уравнении (97) потенциал Us задан, а т необходимо определить.
Поскольку т для всех точек поверхности, кроме точки As, входит
под знак интеграла, то уравнение называется интегральным. Его
можно решить приближенно, если разбить поверхность на и частей
величиной Д5Л и написать уравнения для каждой части, заменив
при этом интеграл суммой из о — 1 членов. В итоге получится си-
стема п уравнений с и неизвестными тх, т2, . . ., тл. Свободными
членами уравнений будут средние значения потенциала U на частях
Д5Л. Решениями системы будут средние значения хп на частях Д5Л.
Очевидно, чем на большее число частей разбита поверхность S, тем
ближе будут средние значения ти к истинным. Это означает, что ин-
тегральным уравнением называется некоторая, зависящая от вида
поверхности S и значений U на ней, система линейных уравнений
с п неизвестными, когда п стремится к бесконечности. Способы реше-
ния интегрального уравнения вытекают из способов решения такой
системы. Определив т из интегрального уравнения (97) и подставив
его в формулу (96), определим потенциал в объеме вне замкнутой
поверхности так, что он будет принимать на ней заданные значения.
Пусть на рис. 37 точка А находится в объеме, ограниченном зам-
кнутой поверхностью 5; приближая ее к точке As, находящейся
на внутренней стороне поверхности, приходим к интегральному
уравнению вида
Us - —2nrs -f- j т _±. ± d5, (98)
s
8*
115
которое от уравнения (97) отличается знаком перед первым членом
в правой части, поскольку этот член выражает потенциал диска
с другой его стороны.
Найдя из уравнения (98) значение т и подставив его в формулу
(96), определим потенциал в объеме, ограниченном поверхностью.
Как видим, решение задачи Дирихле по этому способу связано с на-
хождением функции т путем решения интегрального уравнения.
Считая уравнения (97) и (98) определениями потенциала замкну-
того двойного слоя на внешней и внутренней сторонах по заданной
мощности т и суммируя у них левые и правые части, получим (после
деления на 2) соотношение
' S,tgSl (99)
8
которое означает, что среднее значение потенциала на внешней
и внутренней сторонах слоя равно потенциалу в самом слое.
Переходим к рассмотрению случая, когда на поверхности задана
производная потенциала по нормали и требуется определить потен-
циал в объеме вне или внутри замкнутой поверхности. Выполним
это через простой слой с плотностью о:
и = J -1 dS. (100)
S
Очевидно, правильное определение получится при некотором
значении о, для нахождения которого дифференцируем обе части
в уравнении (100) по той нормали к поверхности, которая проходит
через точку А (рис. 38).
Дифференцирование при этом проводится по координатам точ-
ки А (у, х, z), поэтому символ производной можно внести под знак
1
интеграла и применить к :
4- = f ° 1Г~ 17 dS- (101)
дп J дп К v '
8
Для уяснения различия в дифференцировании в (101) и (96) рас-
пишем производную по нормали от в уравнении (101) в следующем
виде:
д 1 __ д 1 дх . д [ ду . д 1 д: / , 1 \ cos с[
~dn~~R~~dx ~R~dTi ’ ~1Г~д7г ' ~дТ ~r ~дп — \n lgra 4 7Г/ /?2 ’
где <р —угол между единичным вектором нормали пх и gradyl
(рис. 38).
Выяснив значение производной, устремим точку А по нормали
к поверхности, и, когда она совпадет с точкой As, расположенной на
поверхности, интеграл (100) сделается несобственным. Для исследо-
116
Я НИЯ разбиваем его на два слагаемых: одно —от интегрирования по
писку малого радиуса с центром в точке Л8; другое - от интегри-
рования по остальной части поверхности, исключая диск. Первое
слагаемое содержит несобственную часть интеграла и согласно про-
веденным ранее исследованиям равно —2ла. Второе слагаемое из-за
малости диска не отличается от интеграла по всей поверх-
ности, и уравнение (101) в точке As запишется таким образом:
(1о2)
5 S
В этом интегральном
уравнении
dU
—— считается
заданной вели-
чиной, а а — неизвестной. Решая уравнение относительно о и под-
ставляя найденное значение в фор-
мулу (100), определим потенциал
в объеме вне поверхности.
Когда точка А находится в объ-
еме, ограниченном поверхностью S',
тогда, приближая ее по нормали
к точке 4$, расположенной на вну-
тренней стороне поверхности, при-
дем к интегральному уравнению
(1оз)
которое от уравнения (102) отличается только знаком перед первым
членом в правой части, поскольку этот член происходит от интегриро-
вания по диску, но взят с другой стороны поверхности. Решая урав-
нение (103) относительно а и подставляя найденное значение в (100),
определим потенциал в объеме, ограниченном поверхностью.
Рассматривая уравнения (102) и (ЮЗ) как определения производ-
ных потенциала по нормали на внешней и внутренней сторонах про-
стого слоя по заданной плотности а и суммируя у них левые и правые
части, после деления па 2 получим соотношение
1 / дГ . 0U \ д 1
Т G" Se + dnSi / J ° dS' (1(^)
Оно означает, что среднее значение производных потенциала
по нормали на наружной и внутренней сторонах слоя равно его про-
изводной в самом слое, под которой понимается интеграл в левой
части уравнения (104).
При логарифмическом потенциале решение задач Дирихле и Ней-
мана с помощью интегральных уравнений проводится по формулам,
вытекающим из полученных, если в них заменить Д- на 2 In —, а ин-
Hr
югрирование по замкнутой поверхности S — на интегрирование
по замкнутой кривой I,
117
Глава V
ЭНЕРГИЯ ПОЛЯ
Энергия системы источников и ее два выражения. Источники
поля — заряды и массы, взаимодействуя друг с другом, могут со-
вершать работу за счет энергии их взаимного расположения. Ее свя-
зывают с полем и называют энергией поля. Для случая
притяжения она будет наибольшей, когда источники разнесены
на бесконечное расстояние, а для случая отталкивания — когда они
сближены до соприкосновения. В связи с этим выражения энергии
для этих двух случаев отличаются знаком.
Вычислим энергию поля через работу, затраченную на создание
системы из источников, считая, что они стянуты в нее из бесконеч-
ности. Очевидно, энергия поля равна затраченной работе.
Начнем вычисление с системы из двух точечных источников,
на сближение которых до расстояния R требуется работа, равная
произведению потенциала, созданного первым источником, на вели-
чину второго
Л
Двойной индекс означает, что потенциал создается первым источ-
ником в точке расположения второго.
Эту же работу можно определить через произведение потенциала,
созданного вторым источником, на величину первого
A =-^-Qi = UilQ1.
Суммируя написанные выражения и произведя деление на 2,
получим новое выражение работы
A (105)
118
Лля определения работы по созданию системы из трех источни-
ков, напишем выражения вида (105) для каждой пары из них:
А12 = (U2iQi-\-U
32^2 + U 23@з)»
Л31 = у (U 1з@з + Uз1@1);
сложив их, получим искомую работу
А = [(С721 -J- U3l)Qx +(^32 + U^Q2 + (U23 + СЛз) (М-
Хи
Сумма потенциалов, стоящая множителем при источнике, выра-
жает потенциал результирующего поля в точке расположения источ-
ника. Обозначив сумму через Uh перепишем выражение полной
работы в таком виде:
з
л=42ад- (106)
4-1
Очевидно, полученное выражение будет общим и применимо
к системе из п источников:
п
A^^UiQt. (107)
1-1
Для определения работы по созданию системы из объемных
источников разбиваем их на точечные dQ = pdV и применяем к ним
формулу (107), в которой сумма перейдет в интеграл:
A=^\pUdV. (108)
v
Аналогичный интеграл может быть написан для выражения энер-
гии поверхностных источников.
Для дальнейших рассуждений предположим, что в уравнении
(108) интегрирование происходит по объему, несколько превосходя-
щему объем с источниками. От этого величина интеграла не изменится,
поскольку интегрирование по той части объема, где р = 0, ничего
не дает. Заменим в подынтегральном выражении р на div D,
а затем преобразуем его с помощью формулы
U div D = div J7D — (D grad U)
и к интегралу с расходимостью применим формулу Гаусса — Остро-
градского. В итоге получим
__ Г (D grad U) ы U Dn
J 8Н
V s
Увеличивая объем интегрирования и тем самым удаляя поверх-
ность S в бесконечность, где U QIR, Dn Q/R2, а сама поверх-
ность ведет себя приблизительно как сфера с площадью 4л/?2, мы
сделаем поверхностный интеграл равным приблизительно Q2I2R\
при R -> оо он исчезает, а объемный при этом превращается в инте-
грал по бесконечному объему поля; заменяя в нем grad U на —Е,
находим
(109)
V
Два выражения (108) и (109) энергии поля являются равноцен-
ными, но в первом из них она определена через источники, а во вто-
ром — через напряженность поля. В течение прошлого века это
служило причиной дискуссии между физиками. Одни считали, что
энергия связана с источниками и локализована в объеме, заполнен-
ном ими; другие связывали энергию с полем и считали ее распреде-
ленной по полю с плотностью (ВЕ/8л). Явления в постоянных полях
протекают таким образом, что их можно объяснить, связывая энер-
гию или с источниками, или с полем. Только для объяснения явле-
ний в переменных полях приходится энергию связывать с полем.
Очевидно, передача энергии от первичной обмотки трансформатора
к вторичной или от радиостанции к радиоприемнику осуществляется
через поле. Двигаясь вместе с полем, энергия в течение некоторого
времени находится в пространстве между передатчиком и приемником.
В магнитном и гравитационном полях плотность энергии поля
ВН g2
соответственно равна ——— и , где у — гравитационная по-
стоянная.
Вычислим по формуле (108) энергию сферического однородного
слоя
А=j [4лр R3Rb3 н 2лр (а2 _ 7?2)]2лр7?2 dR=
ь
= -^^(2а6 + 366-5&3а2).
(110)
Аналогичный результат получается при вычислении по формуле
(109). При Ь = 0 сферический слой превращается в шар, для кото-
рого
5а \ 3 г / 5 а
(111)
120
Заменяя Q2 на yJf2, получим выражение энергии поля тяготения
шара
л _ 3
5 а
(ИГ)
Воспользуемся этой формулой для вычисления энергии, выделя-
ющейся при сокращении шара-звезды под влиянием силы тяжести.
При сокращении потенциальная энергия переводится в кинетиче-
скую, а затем в тепловую и излучается в окружающее пространство.
Дифференцируя А по радиусу, найдем энергию, выделяющуюся
при сокращении радиуса на единицу:
dA ЗуМ2
da 5«2
Выполним вычисления по этой формуле для Солнца, считая
М - 2 • 1033 г, а - 7 • 1010 см, у = —6,67 • 10’8 ед. СГС,
dA
da
3'6?/419-10»<>'1>)в6 = 3’3•10’7 эРг/см-
Излучение Солнца определяется величиной 1,2 «10й эрг!год.
Если бы излучение происходило только за счет сокращения, то ра-
диус Солнца уменьшался бы на 1 км за 27,5 лет. Наблюдения не под-
тверждают такого сокращения. Излучение происходит за счет дру-
гих источников энергии, среди которых главную роль, по-видимому,
играют термоядерные реакции в центральных областях Солнца.
Глава VI
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
§ 1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В практике геофизической разведки широко применяется электри-
ческий ток для изучения неоднородностей в земной коре. При этом
проводят исследования на дневной поверхности электрического или
магнитного поля тока, протекающего по объемному проводнику,
каким является земная кора. В связи с этим основное внимание
будет уделено полю токов в объемных проводниках, поскольку
явления, связанные с токами в линейных проводниках, рассматри-
ваются в общем курсе физики. Хотя реально всегда рассматривают
ток в объеме, но если одно или два измерения малы по сравнению
с другими, то говорят о токе в поверхностном или линейном про-
воднике.
Упорядоченное движение зарядов, или ток в проводнике, возни-
кает под влиянием электрического поля. Электростатическое поле
вызывает кратковременный ток. Например, разряд конденсатора
через разрядник осуществляется весьма быстро.
Для поддержания длительного тока одного направления необхо-
димо создать замкнутую цепь из проводников и в ней поддерживать
стационарное электрическое поле. На поддержание такого поля при-
ходится расходовать энергию, которая через ток передается цепи
или находящимся в ней приборам. Создание и поддержание в цепи
стационарного поля производится разными способами. Если в цепи
находится гальванический элемент, то внутри него, где электролит
контактирует с металлом, химические силы разделяют заряды раз-
ных знаков и образуют на контактирующей поверхности двойной
слой. Внешнее поле слоя и будет тем стационарным электрическим
полем, под влиянием которого в цепи элемента течет ток.
В * цепи фотоэлемента с запорным слоем заряды разделяются
фотонами.
Силы, образующие двойные слои путем разделения разноимен-
ных зарядов, имеют неэлектрическую природу и называются с т о -
221
понними. В приведенных примерах они действовали в контактах,
но возможны случаи распределения их по объему проводника. Алге-
браическую сумму разрывов непрерывности потенциала при переходе
через двойные слои, образованные сторонними силами, принято
называть электродвижущей силой в цепи элемента.
Стационарное электрическое поле, созданное в проводниках тем
или другим способом, в общем случае будет неоднородным. Соотно-
шения между неоднородным полем и током выражаются сложными
формулами, которые весьма упрощаются, если их относить к малым,
теоретически к точечным областям проводника, где поле и проводник
можно считать однородными. Формулами в этом случае будут выра-
жаться дифференциальные законы электрического поля тока. Рас-
ширение законов на конечные области сводится к интегрированию
формул при определенных граничных условиях. При этом общность
дифференциальных законов теряется под влиянием граничных усло-
вий, специфичных для каждого конкретного случая.
Наша ближайшая задача — написать законы электрического
поля токов в дифференциальной форме, затем интегрировать их для
некоторых частных случаев, представляющих интерес с теоретиче-
ской, методической или прикладной точек зрения. В теории стацио-
нарного электрического поля токов много общего с теорией электро-
статики, что может быть использовано для изучения явлений тока
методами электростатики — и наоборот. Имеется также тесная связь
между теориями стационарного электрического тока и теплового
потока, что также способствует взаимному изучению этих физически
разных явлений.
§ 2. ЛИНИИ И ПЛОТНОСТЬ ТОКА
Под электрическим током, как уже отмечалось, понимается
упорядоченное движение зарядов, на которое накладывается их хао-
тическое движение, не учитываемое при рассмотрении законов тока.
Траектории упорядоченного движения заря-
дов принято называть линиями тока.
Направление линий определяют по движению
положительных зарядов или по направлению
тока в данной точке проводника.
Линиями тока изображается поле тока
в объемном проводнике (рис. 39). Выделим Рис. 39.
в проводнике прямой цилиндр длиной dl и сече-
нием dSQ так, чтобы в пределах его линии тока были параллельны
ооразующей; тогда по всей длине цилиндра ток будет протекать
в направлении образующей, не пересекая боковую поверхность.
Очевидно, этого можно достичь, если взять длину dl достаточно
малой.
Отношением тока dZ, протекающего по цилиндру, к поперечному
сечению d50 определяется плотность тока
-LL
dS{}
(И2)
Плотность тока есть вектор, направленный по каса-
тельной к линии тока. Поле этого вектора изображается линиями
тока, по направлению и плотности которых судят о направлении
и величине вектора. Дифференциальные уравнения линий тока запи-
сываются по аналогии с уравнениями линий напряженности:
dx__ dy__(113)
Cv )у h
G введением вектора i ток определится потоком этого вектора
через сечение проводника. В частности, ток, проходящий через по-
перечное сечение рассматриваемого цилиндра, определится так:
dI = idSQ. (114)
Для произвольного сечения цилиндра выражение тока dl примет
более общий вид
dI^indS, (114')
где in — составляющая плотности тока по нормали к сечению.
Ток, протекающий через конечное сечение проводника, образован-
ное произвольной поверхностью S, выразится таким образом:
I~JindS. (115)
8
§ 3. ЗАКОН ОМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Цилиндр с малыми размерами (рис. 39) даже в неоднородном
проводнике будет представлять однородный стержень, к которому
применим закон Ома в известной форме:
л т —dt
dI = -R~-
Здесь dU — изменение потенциала в направлении тока, взятое
в формуле со знаком минус, так как оно выражает падение потен-
циала, т. е. является величиной отрицательной; R — сопротивление
1 dl
стержня, равное — где у — удельная электропроводность
материала. С учетом этих замечаний выражение dl перепишется
в виде
После деления обеих частей полученного равенства на dS 0 и за-
мены — на напряженность поля £, находим следующее вектор-
ное соотношение:
i = уЕ, (116)
12 •
называемое законом Ома в дифференциальной
форме, поскольку оно справедливо для любой точечной области
проводника.
В декартовых координатах соотношение (Ио) запишется тремя
уравнениями
ix = yEx, iy = yEu, iz — yEz. (116')
Запись (116) или (116') закона Ома справедлива для изотропного
проводника, электропроводность которого в данной точке не зависит
от направления, а векторы i и Е одинаково ориентированы.
В анизотропных проводниках, к каким относятся, например,
кристаллы некубической системы, электропроводность в разных
направлениях неодинакова, а векторы i и Е ориентированы под неко-
торым углом друг к другу. В таких проводниках для каждой точки
можно указать три взаимно перпендикулярных направления, харак-
терных тем, что по первому из них электропроводность будет наиболь-
шая, по второму — наименьшая, а по третьему — некоторая проме-
жуточная. Они называются главными направлениями или осями элек-
тропроводности. Если ток течет по одному из главных направлений,
то плотность тока ориентирована по напряженности поля. При дру-
гих направлениях тока ориентировка этих векторов различная,
В связи с этим закон Ома в декартовых осях, совмещенных с глав,
ными направлениями электропроводности, записывается в таком виде.
’ YxX^V, ~ ЧууЕу, iz ~ Yzz^Z- (117)
где ухх, ууу, yzz — соответственно наибольшее, промежуточное и наи-
меньшее значения электропроводности; они называются также со-
ставляющими тензора электропроводности по главным направлениям
Под тензором понимается физическая величина, отличная
от скаляра и вектора. Для выяснения некоторых свойств тензора
возьмем новую систему координат х', у', zf, повернутую относи-
тельно системы х, у, z. В новой системе закон Ома записывается в сле-
дующем виде:
h- УХ’еЕХ’^Ух.и.Еи. \-ух.г,Ег„
- Чу-х’Ех Уу-уЕу I УууЕу, (118)
i, — V , ,Е ,4-у . ,Е . I v Е
2 >2 X X' > >z'y' у' 'z'z'z''
Из этой записи уясняется целесообразность двойных индексов
У коэффициентов ух,х,, Тх,у„ . . ., Уг,у^ yz>z^ называемых составля-
ющими тензора электропроводности в координатных осях со штри-
хами.
Найдем формулы преобразования составляющих у , yuu, угг
в составляющие ух,х,, ух,у,, . . уг.у,, у2,2,. Для этого выразим сна-
чала ix, через ix = уххЕх, 1у ~ уиуЕу, 1г — yzzEz по формуле
г\' = ix cos (х'х) 4- iy cos (х'у) -r iz cos (x'z) =
= УхХЕх cos (x'x) 4- yyyEy cos (x'y) 4- yzzEz cos (x'z).
125
Теперь в последнем выражении Ех, Еу, Ez заменим на Ех,, ЕуП Ег,
по той же формуле преобразования составляющих вектора. В итоге
получим
, = ухх cos (х'х) [Ех, cos (х'х) 4- Еу, cos (у'х) + Е z, cos (z'x)] +
+ ууу cos (х'у) [Ех, cos (х'у) + Еу, cos (у'у) +Ez, cos (z'y)] +
4-Yzz cos (x'z) [Ex,cos (x'z) + Ey, cos (y'z) + Ez, cos (z'z)|.
Подставляя полученноэ значение ix,,в левую часть первого из уран
нений (118) и сравнивая коэффициенты у одинаковых составляющих
напряженности в правой и левой частях уравнения, находим
УХ’Х' = Yxx cos2 (х'х) + у „у cos2 (х'у) + угг cos2 (x'z),
Ух>у> = Yrx cos (х'х) COS (у'х) + Ууу cos (х'у) COS (у'у) +
+ У 22 cos (x'z) cos (y'z), (119)
Yx'z» = Ухх COS (x'x) cos (z'x) + yyu cos (x'y) COS (z'y) + y2z cos (x'z) cos (z'z).
Выполняя подобные замены iyt, iz, в левой части уравнений (118),
найдем формулы преобразования для остальных составляющих
тензора.
Из найденных таким образом формул легко получаются соотно-
шения
Yx'x' + У y'y' + У ее = У*х + Уш/ + Y«>
Ух'у' У у'х'' Уу'г’ Уеу'' Уг'х' Ух'е'
первое из которых является одним из инвариантов тензора, а три
последних называются условиями его симметричности.
Если координатные оси без штрихов не совпадают с главными на-
правлениями электропроводности, то запись закона Ома в этих
координатах имеет вид (118), а не (117) и формулы (119) становятся
наиболее общими:
= ухх cos2 (х'х) + уху cos (х'х) cos (х'у) 4- Yxzcos (хх)cos (xz) +
4- Уух cos (х'у) cos (х'х) 4- ууу cos2 (х'у) 4- уу2 cos (х'у) cos (x'z) 4-
4- у2х cos (x'z) cos (x'x) 4- y2y cos (x'z) cos (x'y) 4- yzz cos2 (x'z), (119')
Уx’y' = Уххcos (x'x) cos (y'x) 4-yxy cos (x'x)COS (y'y) 4-
4- Yxz cos (x'x) cos (y'z) 4- Yj/a cc s (x'y) cos (y'x) 4- yyy cos (x'y) cos (y'y) --
+ Ууг cos (x'y) cos (y'z) 4- у7л cos (x'z) cos (y'x) 4- Y?J/ COS (x'z) cos (y'y)
+ yzz cos (x'z) cos (y'z).
И T. Д.
126
Теперь можно дать следующее подразделение физических вели-
чин- скаляры при переходе от одних координат к другим не ме-
няются; составляющие вектора при этом преобразуются как коорди-
наты точки; из формул (119') видно, что составляющие тензора пре-
образуются’ как квадраты и произведения координат точки. В самом
деле, выписывая формулы преобразования координат
х = х cos (х'х) + у cos (х'у) + z cos (x'z),
у' =xcos (у'х) +у cos (у’у) + z cos (p'z)
н возводя в квадрат обе части цервой из них, мы получим аналог
первой формулы (119'), а при перемножении левых и правых частей
первой и второй выписанных формул получим аналог второй фор-
мулы (119').
При выводе закона Ома мы считали, что в проводнике отсут-
ствуют распределенные по объему сторонние силы. Когда они
имеются, напряженность их накладывается на напряженность элек*
трического поля и плотность тока определяется результирующей
напряженностью. С учетом сторонних сил закон Ома для изотроп-
ного проводника записывается в таком виде:
i = y(E + ECT); (120)
в координатной, форме будем иметь
гх = у(Ех + Ехст),
iy ~ Y (Еу “Ь Еусг), (120 )
iz = у (Е2 + Егсг).
Примером поля сторонних сил может служить перенос зарядов,
обусловленный градиентом температуры проводника. Для записи
закона Ома в анизотропном проводнике с учетом сторонних сил
надо умножить составляющие тензора электропроводности на соот-
ветствующие составляющие результирующей напряженности.
В заключение остановимся на единицах электропроводности.
Решая закон Ома относительно у и подставляя плотность тока в ам-
перах на 1 еле2, а напряженность в вольтах на 1 см, получим электро-
проводность в обратных ом-сантиметрах
В теоретических расчетах электропроводность часто выражают
в единицах системы СГСЭ. Найдем связь обратных ом-сантиметров
с единицами системы СГСЭ:
1 (ом.см)~1 = ^ХГ'сгеэ' = 9•1011 еД- СГСЭ-
1 / и»ДУ сд. Lil VjOjj
127
§ 4. ЗАКОНЫ КИРХГОФА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Первый закон Кирхгофа для цепи из линейных проводников
выражает неуничтожаемость электрических зарядов в любой точке
цепи. Это свойство зарядов сохраняется в любой точке объемного
проводника с током. Построим замкнутую поверхность в проводнике
и вычислим ток, проходящий через нее. Если ток не равен нулю, то,
очевидно, он определяется убылью заряда в объеме, ограниченном
поверхностью, за единицу времени. Следовательно, первый закон
Кирхгофа применительно к объему, охватываемому поверхностью,
запишется в следующей интегральной форме:
J indS = --^-Jpd7,
S V
где р — плотность зарядов в объеме V.
Знак минус в правой части равенства означает, что положитель-
ному току соответствует убыль заряда в рассматриваемом объеме.
Преобразуя поверхностный интеграл в объемный и меняя порядок
дифференцирования по времени с интегрированием по объему, полу-
чим запись закона в следующей форме:
(“div idVdV. (121)
V V
Эта запись справедлива для любого объема, что возможно только
при равенстве подынтегральных выражений в левой и правой частях:
divi = -$. (122)
Полученное соотношение является первым законом
Кирхгофа в дифференциальной форме для то-
ков, меняющихся во времени. Для постоянного тока производная
заряда по времени равна нулю, и выражение закона принимает вид
divi-0, (123)
т. е. поле вектора i в постоянном токе будет соленоидальным, или,
иначе, линии тока замыкаются сами на себя. Последнее легко про-
слеживается на любой цепи. Например, в цепи гальванического
элемента положительные заряды движутся во внешней цепи от поло-
жительного полюса к отрицательному, а во внутренней цепи — от от-
рицательного к положительному, описывая замкнутую линию тока.
Второй закон Кирхгофа для цепи из линейных
проводников состоит в том, что при обходе по любому замкнутому
контуру алгебраическая сумма изменений потенциала получается
равной нулю, или, иначе, сумма падений потенциала в контуре равна
сумме подъемов его. Подъемы и падения потенциала могут проис-
ходить непрерывно илт/ скачками. Последнее наблюдается, если
128
в контуре встречаются двойные слои. Нет никаких оснований счи^
тать что второй закон Кирхгофа нарушается для произвольно по-
строенного контура в объемном проводнике с током. Это значит, что
циркуляция напряженности электрического поля по такому контуру
равняется нулю:
(f£/dZ-=O. (124)
Соотношение (124) является интегральной записью второго за-
кона Кирхгофа для электрического поля постоянных токов. Учиты-
вая произвольность контура в смысле размеров и ориентировки
и преобразуя контурный интеграл по формуле Стокса в поверхност-
ный, перейдем от интегральной к дифференциальной записи второго
закона Кирхгофа
rotE-O, (125)
которая утверждает безвихревый характер электрического поля
постоянных токов. Линии напряженности этого поля не могут замы-
каться сами на себя, а потенциал его представляет собой однознач-
ную функцию точки.
§ 5. ЗАКОН ДЖОУЛЯ - ЛЕНЦА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Опытами установлено, что мощность сторонних и электрических
сил через движение зарядов в цепях из линейных проводников пере-
ходит полностью в тепло. Нет оснований считать, что это не выпол-
няется в цепи с объемными проводниками. Необходимо получить
соответствующую формулу для выражения этого закона. Мощность
тока, идущая на нагревание элементарного стержня (рис. 39), выра-
зится так:
dN=R(dI2y
4 dl
после замены сопротивления стержня R па---и небольших пре-
образовании получим
dN = — (JLYdldS0.
Разделив обе части этого соотношения на объем стержня и введя
плотность тока, получим мощность, расходуемую на нагревание
единицы объема проводника:
/2
zV1=y-pi2, (126)
где р — удельное сопротивление проводника.
Заменяя в уравнении (126) pi результирующей напряженностью
согласно формуле (120), находим
А\ — i (Е +Ест). (127)
Сопоставляя правые части уравнений (127) и (126), получим
i(E Ест)-р2. (128)
9 Заказ 1701
129
Таким образом, мощность, развиваемая электрическими и сторон-
ними силами в единице объема среды, расходуется полностью на ее
нагревание. Формулы (126) и (128) являются записью закона
Джоуля — Ленца в дифференциальной форме,
они справедливы для любой точечной области проводника.
Интегрируя обе части формулы (128) по объему или по части
объема проводника, получим интегральную форму записи закона:
Ц f(i(E+ £„))<<►’ =/pi-dr. (129)
t/'—-srzA *
------------—4 Положим, что в уравнении (129) объем
L-Jb——--------------является трубкой тока, т. е. такой частью
У--------—***-ЗГу проводника, ограниченной трубчатой поверх-
j ностью, в пределах которой течет один и тот
* же ток (рис. 40), и преобразуем левую часть
Рис. 40. по формуле
J (i (Е + Ест)) dV = - J div (CZi) dV + f (iECT) dV =
V v v
= -JXdS+j’(iECT)dK;
S V
при этом преобразовании было использовано соотношение div Ui =
= i grad U + U div i = —iE (поскольку согласно первому закону
Кирхгофа div i = 0).
В преобразованном выражении поверхностный интеграл не равен
нулю только на основаниях трубки, которые примем за поверхности
равного потенциала. Считая, что через основание ток втекает,
а через S а вытекает из трубки, и обозначив потенциалы на них соот-
ветственно через и U2, сведем (129) к такому выражению:
/ (iECT)dF=f pi2 dK. (129')
V V
Любая цепь постоянного тока представляет собой замкнутую
на себя трубку тока. Поэтому, расширяя трубку (рис. 40) до совпаде-
ния ее боковой поверхности с поверхностью цепи и до смыкания
оснований, охватим ею всю цепь.
При этом в уравнении (129') первое слагаемое в левой части
обращается в нуль, поскольку £7Х сделается равным U2, и мы получим
J(iECT)dr - j pi2dK. (129")
V V
Таким образом, мощность сторонни* сил в замкнутой цепи из лю-
бых проводников (объемных, линейных) расходуется полностью
на их нагревание.
130
§ 6. ОБЪЕДИНЕННЫЙ ЗАКОН ПОСТОЯННОГО ТОКА
Законы Ома и Кирхгофа можно свести в объединенный закон
постоянного тока. Для этого в выражении первого закона Кирх-
гофа (123) заменим плотность тока произведением у (Е+Ест) согласно
(120), а затем вместо напряженности электрического поля введем
градиент потенциала с обратным знаком в соответствии с законом
Кирхгофа (125); тогда получим выражение объединенного закона
div у (grad U — Ест) =0, (130)
который при отсутствии сторонних сил приобретает вид
div у grad U = 0. (131
Наконец, для однородного проводника, когда у не зависит от ко-
ординат, из выражения (131) следует
div grad С7 = АС7 = 0. (132)
Таким образом, в однородном изотропном проводнике при отсут-
ствии сторонних сил потенциал электрического поля постоянных то-
ков удовлетворяет уравнению Лапласа.
Для анизотропного проводника объединенный закон в декарто-
вых осях, совмещенных с главными направлениями электропровод-
ности, запишется в таком виде:
d*v [jYxx ( дх ^хст) + j Ууу ( ду Еуст) 4"
+ку«(4г-£^)]=0^ (133)
если сторонние силы отсутствуют и ухх, ууи, уи не зависят от коорди-
нату то
d4J &U д2и а
УXX дх2 +Ууу 0у2 + Угг dz2 — 0. (134)
Введя новые координаты
f X г У ,2
Vy7x ’ У V-f^y ’ z Vy7z ’
приведем уравнение (134) к виду
Таким образом, в случае однородной анизотропии и при отсут-
ствии сторонних сил уравнение для потенциала сводится к уравне-
нпю Лапласа, отнесенному к пространству координат со штрихами,
ешив уравнение Лапласа для этого пространства, мы преобразуем
решение к пространству, занятому анизотропным проводником,
простои заменой координат со штрихами на координаты без штрихов.
§ 7. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В ПОСТОЯННОМ ТОКЕ
Дифференциальное уравнение для потенциала, выражающее
объединенный закон, решается при определенных граничных усло-
виях. Так же, как в электростатических задачах, решение, удовле-
творяющее граничным условиям, будет единственным и правильным.
Получить его обычно трудно, по проверить, будет ли оно правиль-
ным, весьма просто. Надо только установить, является ли оно дей-
ствительно решением исходного уравнения и удовлетворяет ли гра-
ничным условиям задачи.
К основным граничным условиям относится поведение потен-
циала и плотности тока на границе между различными проводни-
£//
Рис. 41.
водники с
ками. К дополнительным условиям относится поведе-
ние потенциала и плотности тока в бесконечности,
в особых точках и на особых линиях и поверхностях.
Смысл названия «особые» выяснится на конкретных
примерах.
Рассмотрим сначала условия на границе с двойным
слоем, образующимся, например, на контакте элек-
тролита с электронным проводником. Обозначим про-
разных сторон контакта цифрами 1 и 2 и примем по-
тенциал иг > U2 (рис. 41).
Первым граничным условием будет считать раз-
рыв непрерывности потенциала при переходе через контакт, что
запишем так:
U1-U2=-S2i. (135)
где <§21 — электродвижущая сила в контакте, направленная из вто-
рого проводника в первый.
Считая электродвижущую силу меняющейся в направлении каса-
тельной к контакту, составим для двух близких переходов через
контакт разность выражений (135)
(^-tz;)-^-^)^^-^,
которая, после деления на расстояние At между переходами, перей-
дет в пределе 0 в уравнение
dU j dU 2
~д1 дГ~ дГ ’
Заменяя в этом уравнении производные потенциала составля-
ющими напряженности по касательной к контакту, находим
En-Ett=-^-. (135')
Это условие вытекает из выражения (435) и не является новым.
Вторым граничным условием надо считать не-
132
прерывность составляющей плотности тока по нормали при переходе
через контакт, что запишется так:
= (136)
dU i
Заменяя ini па у(Еп1 и далее Eni на-находим
v.4r- cm
Это условие не что иное, как первый закон Кирхгофа: сколько
тока к контакту притекает, столько же его через контакт уходит.
В тех случаях, когда проводник контактирует с диэлектриком,
ток в диэлектрик переходить не может и тогда составляющая плот-
ности тока по нормали к контакту обращается в нуль. Иначе говоря,
у поверхности проводника, граничащей с диэлектриком, ток течет
параллельно поверхности. Из непрерывности составляющей плот-
ности тока по нормали к контакту вытекает прерывность составля-
ющей напряженности поля по этой нормали. Вследствие этого на кон-
такте образуется простой слой с плотностью
о (137)
4л 4лу!у2
Из полученного выражения следует, что значение о не равно
нулю, если inX не равно нулю; знак о зависит от направления тока.
Заряды на контакте с плотностью о образуются в процессе становле-
ния тока, т. е. после замыкания цепи, когда происходит накопление
зарядов на границе между различными средами.
Положим, что контакт между проводниками образует замкнутую
поверхность, т. е. второй проводник заключен внутри первого. Ток,
притекающий через контакт, определится формулой
I--$indS. (138)
S
Если внутри второго проводника нет истоков тока, роль которых,
как будет видно из дальнейшего, могут играть заземления, то инте-
грирование в уравнении (138) приведет к нулю.
Когда на контакте нет двойного слоя, тогда в выражении (135)
6 21 = 0 и первое граничное условие сводите# к непрерывности по-
тенциала при переходе через контакт. Второе граничное условие
(136) остается при этом неизменным, а линии тока при переходе через
контакт преломляются согласно формуле (65), если в ней заменить
диэлектрические проницаемости е1? е2 электропроводностями ух, у2.
§ 8. ЗАЗЕМЛЕНИЯ
Заземлениями будем называть металлические тела, погруженные
в землю или другую среду с целью ввода в нее или вывода из нее
электрического тока. Электропроводность заземлений будем считать
133
весьма большой, так что падением потенциала на них можно прене-
брегать и принимать их за эквипотенциальные тела. Простейшим
будет точечное заземление, реализуемое на практике металлическим
шариком с достаточно малым радиусом. Поле его имеет большое тео-
ретическое значение, поскольку наложением таких полей может быть
получено поле любых других заземлений.
Рассмотрим поля некоторых заземлений, считая их расположен-
ными в однородной безграничной среде, что можно осуществить
на практике, погружая тела в морскую воду на большую глубину.
Точечное заземление. Пусть к металлическому шарику подво-
дится ток по тонкому изолированному проводу, не влияющему на рав-
номерное растекание тока от заземления в окружающую среду с элек
тропроводностью у. Построим сферу радиу-
сом R с центром в заземлении О (рис. 42).
Ввиду симметрии плотность тока направлена
по радиусу и имеет на сфере постоянную
величину, равную отношению тока к площади
сферы
/
1 ~ 4п№ •
(139)
Напряженность поля также направлена по радиусу; ее величина
определится по закону Ома (116)
4луЯ2 *
(140)
Потенциал находим из связи напряженности с градиентом
Рассматривая последние формулы, видим, что они получаются
из аналогичных формул для поля точечного заряда, находящегося
в однородном диэлектрике, заменой в них -2- на .
Такая замена приводит к правильным результатам и в других
случаях.
Шаровое заземление. Полагая в предыдущем случае радиус
металлического шарика не малым, придем к шаровому заземлению,
поле которого в окружающей среде совпадает с полем точечного
заземления. Составим разность потенциалов между точками, находя-
щимися на расстоянии и Я2 от центра шара и поделим ее на ток,
растекающийся с шара. В результате получим выражение сопроти-
вления току слоя, ограниченного сферами: с радиусами Нг п /?2:
_L L1_____Ll
4лу I /Л /?2 ! ’
134
Полагая в полученной формуле = а, Н2 = 00> придем к выра-
жению сопротивления току всей безграничной среды, окружающей
заземление:
4луа
(142)
Эта величина называется переходным сопротивлением; она тем
меньше, чем больше радиус шара и электропроводность окружающей
среды. Переходное сопротивление заземлений любой формы умень-
шается с увеличением их размеров, что следует учитывать при
устройстве заземлений.
Эллипсоидальное заземление. Выражение потенциала в поле
эллипсоидального заземления получим, если в выражении (42)
заряд Q заменим на
= (143)
8"? / Vt (О
Переходное сопротивление получается от деления потенциала
поверхности заземления на ток и поэтому определяется по формуле
R
оо
1 С dt
J V77F) ’
(144>
Сравнивая это выражение с
находим соотношение
RC-
выражением емкости эллипсоида^
1
4лу ’
которое соблюдается для тел любой формы и позволяет находить
при заданной электропроводности сопротивление по емкости или
наоборот.
В практике разведки заземления наиболее часто устраивают
на поверхности земли. Считая, что они при этом имеют форму полу-
шара или полуэллипсоида, погруженного в однородное полупро-
странство (рис. 43), найдем, что плотность тока, напряженность
поля, потенциал, переходное сопротивление будут в 2 раза больше,
чем у шара или эллипсоида, погруженного в однородное пространство
если ток I в обоих случаях одинаковый.
В заключение рассмотрим сопротивление току двух полушаровых
заземлений с радиусами а и Ь: по одному из них ток вводится в землю,
а по другому выводится из нее (рис. 44). Потенциал в точке С (х, г/, z}
от обоих заземлений определится по формуле
у ___ ________I
с 2лу/?Л 2луЛв
133
На поверхности самих заземлений А и В потенциалы выразятся
приближенно по формулам
2яуа 2nyd ’
в 2nyd 2луЪ ’
где d — расстояние между заземлениями А и В, которое полагаем
весьма большим по сравнению с радиусами а и Ь.
Составляя разность потенциалов между А и В и деля ее на ток Z,
получим сопротивление току двух последовательно соединенных
заземлений
последний член в скобках мал по сравнению с первыми двумя, и по-
этому сопротивление практически равно сумме сопротивлений от-
дельных заземлений.
§ 9. ТОЧЕЧНОЕ ЗАЗЕМЛЕНИЕ НА ПОВЕРХНОСТИ НЕОДНОРОДНОГО
ПОЛУПРОСТРАНСТВА
Земная кора, играющая в наших рассуждениях роль проводящего
полупространства, в отношении электропроводности неоднородна.
Верхние слои ее обычно более электропроводны, чем нижние.
Для получения представления о поле точечного заземления в этих
условиях зададимся определенным законом изменения электропро-
водности с глубиной z. Для примера положим у—у0 , где
у0 — электропроводность при z = 0, к — постоянная положитель-
ная величина, равная значению z, при котором электропроводность
в 4 раза меньше у0. При таком изменении электропроводности выра-
жение для потенциала получается сравнительно простым, но оно
существенно отличается от выражения для однородного полупро-
странства. Для нахождения потенциала совместим начало декарто-
вых координат с заземлением, а ось Oz направи^ по глубине внутрь
полупространства. Уравнение (131) при этом приводится к виду
°- (145)
ПС
Начало координат с заземлением будет особой точкой, вблизи
которой решение уравнения (145) должно вести себя в основном как
выражение —-------и-- Поскольку проводящее полупространство
F 2луо и ди
граничит с диэлектриком, то iz = — у =-0 при z = 0. Продиф-
ференцируем уравнение (145) по z и после этого сделаем подстановку
Уу-^- = /, в результате для функции / получим уравнение
Лапласа.
А/ = 0.
Cz
За решение последнего уравнения возьмем выражение---------,
удовлетворяющее условию у = 0 при z = 0 и правильно отра-
жающее поведение поля вблизи особой точки. С этим решением потен-
циал определится по формуле
Г Сz dz С / к• + з 1 . 1 i 1 \
J Гу лз • гт- 1л R + / •
Для нахождения постоянного коэффициента С вычисляем ток,
протекающий через полусферу с центром в начале координат, и при-
равниваем его к току 7, растекающемуся от заземления. Вычисле-
ния проводим в сферических координатах с началом в заземлении
и полярной осью, совпадающей с Oz\
s s
2*ic/2
= И (*+Ясо°*е)2 (l-L-T)sineded<p = 2nC
о о
Отсюда находим С = 1/2л]/гу0. С этим значением С решение для
потенциала принимает вид
Оно удовлетворяет всем условиям задачи и будет единственным
и правильным ее решением.
Выражение (146) состоит из двух слагаемых: первое из них соот-
ветствует ньютоновскому потенциалу и определяет в основном поле
вблизи заземления; второе — представлено логарифмическим по-
тенциалом и определяет поле вдали от заземления, где сильно ска-
зывается неоднородность полупространства. Это свойство поля за-
землений известно разведчикам; они изучают его на практике не
только вблизи, но и вдали от заземления, чтобы сделать заключение
о структуре полупространства.
1.‘-7
Появление в (146) логарифмического потенциала связано с тем,
что на больших глубинах электропроводность весьма мала, вслед-
ствие чего ток вдали от заземления течет практически параллельно
поверхности z = 0, и поле становится плоским. На такое поведение
тока указывают и выражения составляющих плотности тока:
. OU __ I л ' к z
1*~ Y» dz ~~ 2nj к + z Я» ’
(147)
i = w - 7 Г k I * J ~l
x r dx 2л L^+i|A3 ' (Л4-з)2Л Я(Я4-2) J’
уменьшающиеся с увеличением z быстрее, а с увеличением х медлен-
нее, чем в однородном полупространстве. Таким образом, ток кон-
центрируется в поверхностном слое.
Неоднородность рассмотренного полупространства зависит от ве-
личины к\ при к = оо она исчезает, а выражение (146) переходит
в решение для потенциала в однородном полупространстве.
§ 10. ТОЧЕЧНОЕ ЗАЗЕМЛЕНИЕ НА ПОВЕРХНОСТИ АНИЗОТРОПНОГО
ПОЛУПРОСТРАНСТВА
Земная кора не только неоднородна, но обычно и анизотропна,
что обусловлено сланцеватостью или наличием в породах инородных
включений, удлиненных в одном направлении. В некоторых случаях
приходится говорить о макроанизотропии, т. е. об анизотропии мас-
сива породы, а не отдельных небольших частей.
Рассмотрим теперь влияние на поле только анизотропии, не учи-
тывая другие неоднородности земной коры.
Совместим начало декартовых координат с заземлением, ось Oz
направим по глубине внутрь полупространства и будем считать глав-
ные направления электропроводности совпадающими с декартовыми
осями. Начало координат будет особой точкой, в которой потенциал
обращается в бесконечность. Мы должны исходить из уравнения
(134), решение которого, удовлетворяющее условию в особой точке,
запишем в виде
С
Для определения постоянного коэффициента С вычисляем ток,
протекающий через плоскость z — h и приравниваем его к току /,
растекающемуся из заземления:
138
Для вычисления интеграла введем_координаты со штрихами х' =
= у' = ylVbin z' = тог«а получим
-’ОО+ОО
I = С / IJ J {хп+у'2+\^)Ч,‘
-оо -оо
Теперь легко видеть, что интеграл выражает телесный угол, под
которым из заземления видна плоскость z = Л , и он равен 2л, что
можно проверить его вычислением.
Итак, находим
(7 1
2 л УххУууУгг
решение записываем в окончательном виде
2Я V УххУууУгг 7 *2 У2 >
X Ухх Ууу Угг /
Эквипотенциальные поверхности поля будут подобными эллип-
соидами с полуосями, пропорциональными корням квадратным
из Ухх, Чуу, Угг- Линии напряженности, являясь ортогональными
к эллипсоидам, не могут быть прямыми. В то же время линии тока
оказываются прямыми, расходящимися по радиусам от заземления.
В этом мы убеждаемся, анализируя выражения составляющих плот-
ности тока
• =_____I_________*______________
х ' Ухх дх - 2я VyxxWzz
\ Ухх 1 Ууу 1 Угг )
t =_Y ди - 1________________У________
У Ууу ду +
\ Ухх Ууу Угг /
i — _ у 2L=__2___________________?_________
2 dZ 2л УЪхУууУгг (^L I + _^Y/2’
\ Ухх ' Ууу Угг /
которые пропорциональны координатам и коэффициент пропорцио-
нальности во всех случаях один и тот же, а, следовательно, уравне-
ния линий тока (ИЗ) получаются при этом уравнениями прямых,
проходящих через начало координат.
Хотя линии тока прямые, но плотность их неодинакова; она наи-
большая в направлении наибольшей электропроводности, по кото-
рому течет и наибольший ток.
Таким образом, на этом примере мы убеждаемся, что напряжен-
ность поля и плотность тока в анизотропной среде имеют разные
направления. Если выражение (148) преобразовать к координатам
139
со штрихами, то поверхности равного потенциала в этих координа-
тах будут сферами, а линии напряженности — прямыми, но зато
линии тока станут кривыми.
§11. ПРОВОДЯЩИЙ ШАР В ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО ЗАЗЕМЛЕНИЯ
Проводящий шар влияет на поле точечного заземления так же,
как шар из диэлектрика на поле точечного заряда.
Полагая шар и окружающую его среду однородными с электро-
проводностями и у2, мы можем учесть влияние шара на поле через
поверхностный заряд с плотностью а, опреде-
ляемой по формуле (137). Однако этот учет
имеет только теоретическое значение, поскольку
а выражается через неизвестную плотность тока.
Поэтому найдем решение задачи тем же спосо-
бу бом, которым пользовались, решая электроста-
тические задачи для неоднородной среды. Обозна-
чим потенциал первичного поля С70, вторич-
ного —U', а потенциал результирующего поля
Рис. 45. определим по формуле
U - Uo + U'.
(149)
Все три потенциала в уравнении (149) удовлетворяют уравнению
Лапласа, а потенциал U подчиняется граничным условиям на поверх-
ности шара (Д = а):
и^и2,
(15°)
где индексы 1 и 2 относятся к окружающей среде и шару.
Будем решать задачу в сферических координатах с нача-
лом в центре шара и полярной осью, направленной на заземле-
ние (рис. 45). При этом поле не будет зависеть от угла ф, и выраже-
ния для потенциала £7' внутри и вне шара с учетом их конечности
в начале координат и равенства нулю, в бесконечности запишутся
в виде
£7' £ АпНпРп (cos 0) (0 ==: R а),
/7 = 0
// = о
т. е. в качестве решений для £7' мы взяли выражения, который при-
меняли неоднократно для определения поля, не зависящего от коор-
динаты ф.
140
Потенциал результирующего поля запишем в виде
/
4л Yi7?o
U
2
оо
j- 2 AnRnpn (cos ®) (0 я =s а),
л»0
(151)
I , у ВпРп (со« 6)
4nV17?o“ + ^l Яп+1
и«0
(a=sfl).
Для выполнения граничных условий (150) представим потенциал
заземления рядом из полиномов Лежандра, используя для этого
соотношение
оо
.у= 1 „ —12(4)np^cos0) (132)
/?0 —2/?</cosH d d >
11— и
после чего граничные условия (150) легко сводятся к уравнениям
оо со
и“0 п-0
у In (ay (n+i)Bn-}p у Г In /д V ,
¥1^| tolftda \d) ап+2 J г * ~ £ [_ 4л?1 da \ d )
п-0 п-0
J- пЛ„а"-1 ] Рп,
которые должны выполняться при любом угле 0, что возможно,
если коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра в левой
и правой частях будут одинаковы:
Вп — л пп
пП+1 ^-Пи »
Г ( а \п (л + 1) Вп “1 Г In / а \« . л „ , "1
Y1L 4^ da \d) rt«+2 J Y2 L 4л?1 da J +nAna~ J;
отсюда находим
A =. 1 (Vi—Y2) n 1 о I (Y1-Y2)»
n '?Тг +(n4-1) Vi dn 9 n 4ftyid H’2+ ('•’ +D Ti dn
С этими значениями An и Bn решения (151) принимают такой
окончательный вид:
U1 ~4л?1
и^-г~~
4лп
1 V (Y1 —?2> п
Bq d ^4 //уо-Ь(п + 1) Yi
1 I 1 V (71 —Уг)п
Bq d 1)
// -1
(15Г)
Ill
Они относятся к случаю, когда заземление находится вне шара.
Если заземление расположено внутри шара (d а), тогда для выпол-
нения граничных условий надо потенциал заземления разложить
в ряд по полиномам Лежандра, используя соотношение
w+Л^-4 2(4)"^» «*<*)• («з)
п-0
При этом граничные условия приводят к таким значениям коэф-
фициентов Ап и Вп
А — 1 (-Y 1 (гс+Н (72—71)
л 4зт-у2 \ а / a"+1 п7з4-(«4-1) 71 ’
В = 7 (—Y дя(п + 1) (?2~71)
" 4ЯТ2 \ a J »7г4-(п4-1)71 ’
с которыми решения (151) получают вид
и,
4лу2
Яо
2(«4-1) (7г~71)
«7г4-("4-1)71
П-0
n+1Pn(cos0) ,
(151*)
г=”т4;
1 , 1 V («4-1) (?2—Vi) fd\nfR\nn/
+ »72+(«+1)7i' IV) W P<.(cos9) •
n-0
Увеличивая в (15Г) / и d таким образом, чтобы в центре шара
напряженность первичного поля 2?0 = —~4Яу оставалась конечной,
в пределе (d -> оо) получим шар в однородном поле тока. При этом
все слагаемые в выражениях (15Г), у которых в знаменателе d нахо-
дится в степени выше второй, обратятся в нуль и формулы значи-
тельно упростятся:
тт тт , 72 — 71 Encase
U2 = U0+ cos0;
Г 2 +
потенциал первичного поля можно представить формулой
тт — 1 ______________— л
° 4лу1//0 4яу1(й—=) 4лу</
(154)
—j— EqZ.
Первое слагаемое в этом выражении, хотя и является большой
величиной, но оно не зависит от координат и его можно не учитывать.
Сравнивая выражения (154) и (66), мы видим полную аналогию
между решениями задач о проводящем шаре в однородном поле тока 9
и о магнитном (диэлектрическом) шаре в однородном магнитном
(электростатическом) поле. Эта аналогия распространяется и на дру-
гие тела, в частности, на эллипсоиды.
142
Полагая в (151") d = 0, т. е. совмещая заземление с центром
шара, получим для потенциала простые выражения, которые нахо-
дятся и без обращения к полиномам Лежандра — путем решения
задачи о поле, зависящем только от координаты R.
S 12 ПОЛЕ ДВОЙНОГО СЛОЯ, РАСПОЛОЖЕННОГО НА КОНТАКТЕ]
ПРОВОДНИКОВ
В практике геофизической разведки рудных объектов приме-
няется метод изучения электрического поля, образованного двойным
слоем, возникающим на контакте объекта с окружающими породами.
Поскольку породы пропитаны водными растворами, то, по-видимому,
происходят процессы, аналогичные процессам в гальванических эле-
ментах, в результате этих процессов образуется электродвижущая
сила на контакте. Для выяснения характера явления с точки зрения
теории рассмотрим поле двойного слоя, расположенного на кон-
такте эллипсоида с окружающей средой. Зададимся скачком потен-
циала при переходе через двойной слой или электродвижущей силой
как линейной функцией координат
#21 = U1-U2^IA (0)х + тВ (0) у + пС (0) z, (155)
где индексы 1, 2 относятся к окружающей среде и эллипсоиду; Z,
т.п — постоянные коэффициенты, величину которых можно брать
по усмотрению, но с учетом, что £а1 по наблюдениям не превышает
1 в; х, у, z — декартовы координаты с началом в центре эллипсоида.
При выборе зависимости электродвижущей силы от координат
учитывалась только простота дальнейших выкладок.
Считая эллипсоид и окружающую среду однородными с электро-
проводностями у2 и у*, для нахождения потенциала мы будем исхо-
дить из уравнения Лапласа (132), решения которого для Ut и С7а
вне и внутри эллипсоида должны быть конечными, а в бесконечности
равняться нулю и, кроме условия (155), удовлетворять условию
(136), записываемому теперь таким образом:
Yl>-^ (* = 0). (156)
При нахождении решения уравнения Лапласа (132) будем руко-
водствоваться тем, что оно должно зависеть от координат, так же,
как и электродвижущая сила <о21. В связи с этим запишем решение
в виде
Ux = 1гА (^х + т^В (Л) у -HiCW 2, |
U2 = l2A (0)x + 7n2B(0)y + n2C(0)z, j (157)
в котором оно удовлетворяет уравнению (132), а также требованиям
конечности и равенства нулю в бесконечности.
143
Выполняя граничные условия (155) и (156), приходим к урав-
(ll — l2)A(0)x + (m1—m2)B(0)y^-(nl—n2) С (0)z--=
= 1А (0) х + тВ (0) у + пС (0) z,
! [л <°> - i] +[® <°) - + [с <») - nt] } -
-ъ{л<0)_£+в<0)2т?+С(0>
Ввиду независимости координат я, г/, z друг от друга, написан-
ные уравнения распадаются на шесть уравнений. Решая их относи-
тельно коэффициентов Zx, т^, Z2, m2, n2, получим
ly2abcA (0)
(V2 —Vi) abc A (0) + 2?i ’
my2 abcB (0)
(?2 — Yi) abcB (0)4-2?i ’
ny2abcC (0)
(Y2-V1) a^C(O) 4- 2?i ’
*Y1 (2-abcA(Q))
(V2 —Vi) abc A (0)4*2?! ’
m?! (2 —abc В (0))
(?2—Yi) abc В (0)'
nyi (2 — abcC (0))
(?2 — Yi) ^сС’((П 4-2Ti *
С этими значениями коэффициентов решения (157) определяются
полностью и в соответствии с требованиями задачи.
Проводник с двойным слоем на поверхности играет роль гальва-
нического элемента с внешней цепью, проходящей по окружающей
среде, и с внутренней цепью — по самому проводнику. Электродви-
жущая сила в контакте разделяет заряды разных знаков, которые,
двигаясь далее в поле двойного слоя, создают ток.
Рассмотрим решение, когда эллипсоид превращается в шар (а =
= b = с). Электродвижущую силу при этом будем считать зависящей
только от координаты z:
&21=. Ur - U2 = <S0~ = <S0cos0.
2 о z
Учитывая, что для шара abcC (0) = —; zC (Z)
получим такие выражения потенциала:
?2<£0 «2 cos 0
№
R cos 0
Тг + 2-vi
U 2=------
2 ?2 + 2Yi а
Поле вне шара является полем диполя;
родно. Составляющие плотности тока по
деляются формулами
- = _ v dU1 — JViYgfo fl2 cos 8
R Y1 dR Y2 4-2Y1 R3
dU* __ 2YiY2£o cos 6
dR ~ ?2 4- 2?i a
внутри шара
направлению
2 cos О
оно
R
/?2
одно-
опре-
3
Ir
144
из которых следует, что ток обращается в'нуль, если одна из электро-
проводностей равна нулю, т. е. внешняя или внутренняя цепь
элемента будут иметь бесконечно большое сопротивление.
Скачок потенциала на контакте проводников можно задать более
сложной функцией, чем это сделано в рассмотренном примере, но
тогда и решение для потенциала примет более сложный вид. Если,
например, на поверхности шара скачок потенциала представить
рядом из полиномов Лежандра, то решение для потенциала полу-
чится в виде ряда из сферических функций, содержащих полиномы,
входящие в выражение скачка.
§ 13. ЭФФЕКТИВНАЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ СРЕДЫ С ВКЛЮЧЕНИЯМИ
В практике разведки приходится встречаться со средой — гор-
ной породой, содержащей инородные включения. Электропровод-
ность, диэлектрическая и магнитная проницаемости такой среды
будут иные, чем у среды без включений. Назовем их эффективными;
они должны относиться к части среды, содержащей много вклю-
чений, и по размерам значительно превосходящей каждое из них.
Хотя включения в породах имеют разнообразную форму, но мы по-
лагаем, что в среде с электропроводностью достаточно равно-
мерно распределены включения с электропроводностью у2, име-
ющие форму подобных эллипсоидов с полуосями па >> nb > пс,
ориентированными соответственно по координатным осям Ох,
Оу, Oz.
Очевидно, такое расположение включений придаст среде макро-
анизотропию, т. е. анизотропию в достаточно больших объемах.
Множитель подобия эллипсоидов п может меняться в широких
пределах, но все же он такой, что наибольшее включение мало по
сравнению с рассматриваемым объемом среды. Выбор включений
в форме эллипсоидов представляет интерес в том отношении, что
он допускает путем изменения полуосей переход к сферическим,
пластинчатым, трубчатым включениям.
Вырежем из среды эллипсоид с полуосями а Ь с, считая,
что внутри него имеется много включений (и 1), и поместим
его в среду без включений, в которой существовало однородное
поле Ео в направлении оси Oz. Тогда, полагая малую полуось эл-
липсоида совмещенной с осью Oz, будем наблюдать вторичное поле
с потенциалом вида, аналогичного (67):
U' <7zz—71) abcC (К) F
(Vzz-Yi)^C(O)4-2yi °’
гДе Yzz эффективная электропроводность эллипсоида в направ-
лении оси Oz.
Если эллипсоид полностью заполнен включениями, то потен-
циал вторичного поля будет
1Г = (V2-Y1) д^сС(Х) F
(72-71) ate С (0) + 27i 0 ’
Ю Заказ 1701
145
Между потенциалами U' и U' примем связь
U' =vU\
где v — относительный объем включений, т. е. объем их в единице
объема пространства.
Такая связь оправдывается тем, что значение V пропорционально
электрическому моменту эллипсоида, а момент находится в прямой
зависимости от относительного объема включений.
Подставляя в уравнение связи значения потенциалов и решая
полученное выражение относительно у22, получим
V = V, Г1 Ч_______2КТ2-Т1) -1
Yz2 Yi |_ Т (1 _ v) (?2_Tl) abcC (0) + 2Vl J >
аналогично находим
Ухх = Yi [ 1 + (1 _р) (Т2-Х) (0) + 2ух ] ’ <158)
Ууу = Y1 [1 + (!_(,) (Уз-Й abcB (0)2У11 •
Выражения abcA(0), abcB(0), abcC(O) зависят только от отноше-
ния полуосей па, пЬ, пс, но не от их величины и для всех подобных
эллипсоидов одинаковы. Вследствие этого формулы (158) справед-
ливы для включений из подобных эллипсоидов с различными раз-
мерами.
2 1
При сферических включениях 4(0) = 5(0) = С(0) = — и
ухх = Ууу = Угг = Yl [ 1 + + ] •
Среда при этом, как и следовало ожидать, становится изотропной.
Для эллиптических тонких дисков (с && 0) или пластинчатых
включений a&cA(0) abcB(0) 0, abcC(0) 2,
т„=У»=(1 --) v.+у..- "iT,l+T,
В эти выражения электропроводностей полуоси дисков не вхо-
дят, что указывает на применимость их вообще при пластинчатых
включениях любой формы и размеров. Справедливость этого выска-
зывания можно частично доказать, рассматривая непосредственно
электропроводность среды с пластинчатыми включениями бесконеч-
ных размеров, плоскости которых перпендикулярны оси Oz, и по-
лучая при этом приведенные формулы.
Для трубчатых включений или пор с эллиптическим сечением,
когда а Ъ ^>с, имеем
abcA(0) 0, abcB(Q) & abcC(0)
Yxx = (l —0 Yi + *>Y2.
146
Ууу = Yi 1 +
Y«^Yi < +
________t>(V2 —Yi)______
(i-v) (Y2-Y1) ttt+vi
________v(T2 —Yi)_______
(1—r) (Y2-Y1) fe + c'+Yi
Полуось а в эти выражения электропроводностей не входит, что
указывает на применимость их при трубчатых включениях с любой
длиной, превышающей, однако, во много
раз поперечные размеры пор.
Выше мы рассуждали, полагая, что
включения имеют определенную ориенти-
ровку. Рассмотрим теперь случай, когда
имеются включения всевозможных ориен-
тировок. Среда при этом будет изотроп-
ной и ее можно считать состоящей из ани-
зотропных сред, наложенных друг на друга
и имеющих каждая включения с одной
ориентировкой полуосей. Анизотропная рпс. 46.
среда, имеющая включения с ориентировкой
полуосей по декартовым осям Ох, Оу, Oz, характеризуется по на-
правлению Oz' составляющими тензора электропроводности
Yz'z' = Yxx cos2 (z'x) + yyy cos2 (z'y) + yzz cos2 (z'z),
Vz'y' =- Yxx cos (z'x) cos (y'x) + yyy cos (z'y) cos (y'y) +
+ Yzzcos (z'z)cos (u'z)i (159)
Yz'x» = Ухх COS (z'x) cos (x'x) + yuy cos (z'y) COS (x'y) +
+ Yzz cos (z'z) COS (^'2).
Примем во внимание все анизотропные среды с ориентировкой
включений в пределах телесного угла dQ (рис. 46). Они вносят
в электропроводность изотропной среды по направлению Oz' —
часть, которая определяется составляющими тензора электропро-
водности
V Л, Л, №
Уг'2' 4л ’ 4л ’ Yz'x'"4H"‘
Интегрируя первую из этих составляющих в пределах от нуля
до 4л. получим эффективную электропроводность изотропной среды,
образованной наложением анизотропных сред. Для выполнения
интегрирования в сферических координатах с полярной осью, на-
правленной по оси Oz, учтем, что составляющая имеет в этих
координатах вид
Y*'2' — yzz sin2 0 cos2 ф + yyy sin2 0 sin2 ф + y2Z cos2 0,
147
10*
а угол dQ = sin 0d0d<p. После этого вычисляем эффективную элект-
ропроводность изотропной среды
4 тс 2тс it
Y = dQ = f f ^хх sinS 0 cos2 ф sin2 0 Si“2 ф +
о 0 0
+ Yzzcos2 ®) sin QdQdfp — ’ ‘гг . (160)
о
Итак, эффективная электропроводность среды с включениями
всевозможной ориентировки равняется среднему значению из состав-
ляющих тензора электропроводности при одной ориентировке вклю-
чений.
Интегрирование составляющих yz, йй/4л, уг,х, в пре-
делах от нуля до 4л дает нуль и поэтому не приводится.
Влияние включений на диэлектрическую и магнитную прони-
цаемости определяется по формулам, аналогичным тем, которые
получены для эффективной электропроводности.
§ 14. ФУНКЦИЯ ТОКА
Во многих примерах, рассмотренных нами, рассуждения упро-
щались из-за применяемой криволинейной системы координат.
Наибольший эффект при этом получался, когда одно семейство ко-
ординатных поверхностей совпадало с поверхностями равного по-
тенциала. В этом случае координатная система имела прямую связь
с полем. Примером может служить связь эллиптической системы
координат с полем проводящего заряженного эллипсоида. В таких
случаях возникает вопрос, какую физическую интерпретацию можно
дать двум другим семействам координатных поверхностей или хотя
бы одному из них. Пусть одно из семейств представлено труб-
чатыми поверхностями в пределах которых течет один и тот же ток.
Тогда они будут трубками тока и изоповерхностями функции,
численно равной току в трубке и называемой функцией тока.
Разность функций, взятых на двух трубках, расположенных одна
в другой, равна току, протекающему по пространству между труб-
ками. Например, при растекании тока со сферического заземления
в однородную среду изоповерхностями функции тока будут конусы,
а при растекании тока с эллипсоидального заземления — однопо-
лые или двуполые гиперболоиды.
В плоских задачах вместо координатных поверхностей рассмат-
риваются два ортогональных семейства координатных линий. Если
одно из семейств совпадает с изолиниями потенциала, то другое
будет совпадать с изолиниями функции тока или иначе с линиями
тока плоской задачи.
По своему физическому смыслу функция тока конечна и непре-
рывна; она является второй скалярной величиной после потенциа-
ла, характеризующей поле.
148
Рассмотрим функцию тока в поле заземлений, где с ее помощью
значительно облегчается изучение распределения тока в полу-
пространстве.
Точечное заземление на поверхности полупространства. Совме-
щая начало цилиндрических координат с заземлением и направляя
ось Oz по глубине, примем за изоповерхность функции конус с вер-
шиной в заземлении и осью, совпадающей с Oz (рис. 47). Если
с глубиной электропроводность меняется непрерывно или скачко-
образно, то образующая конуса будет кривой или ломаной линией.
Разность функции тока на изоповерхностях 2 и 1 равна току, про-
текающему между этими поверхно-
стями:
= -рлгу-^- dl, (161)
1
где интегрирование выполняется по
линии, соединяющей поверхности 7, 2\
п — нормаль к линии; г — цилиндри-
ческая координата точки интегриро-
вания.
Полагая точку 1 на оси Oz, где примем функцию равной нулю,
и направляя линию интегрирования по г, приведем (161) к виду
(16Г)
гр 2лгу dr.
о
Вычислим по этой формуле гр для случая, когда электропровод-
ность зависит от z таким образом у = у0 (угт)2- Для этого вносим
из (147) значение под знак интеграла (16Г) и, вычисляя его,
получаем
Анализируя выражение, находим, что при z = 0 функция равна
току /, т. е. весь ток течет в пределах конуса, совпадающего с пло-
скостью z = 0.
При г > z функция практически равна -yq— , а отсюда при
z = к получим гр = 0,5 /, т. е. в слое мощностью z = к течет
не менее 50% тока, а остальной ток уходит на более глубокие го-
ризонты.
При к = оо получается выражение функции тока для однород-
ного полупространства:
149
(163)
Найдем дифференциальное уравнение функции тока для поля
точечных заземлений. Для этого сначала в формуле (161) линию
интегрирования направим параллельно оси Oz, а точку 2 возьмем
на поверхности z = 0. Тогда формуле можно придать вид
ф = I + j 2лгу dz. (161")
о
Дифференцируя теперь формулу (16Г) по г, а (161") по z и затем
произведя деление на гу, находим соотношения
— ^-=-2я~, (162)
ry dr dz '
_L21 = 2n-^.
ry dz “ dr
Наконец, дифференцируя первое из соотношений (162) по г,
а второе — по z и суммируя у них левые и правые части, получаем
дифференциальное уравнение функции тока
J__d 1 dtp . 1 d 1 dtp __
у dr г dr г dz у dz
которое решается с учетом граничных условий
^1=^2,
1 dipt__1_ дхр2
Yi dz у2 ’
выполняющихся на границе слоев, параллельных плоскости z = 0
и имеющих электропроводности и уг.
Первое граничное условие (164) следует из физического смысла
функции, а второе, как видно из соотношений (162), выражает
непрерывность касательной составляющей напряженности поля
при переходе через границу.
Линейное заземление на поверхности полупространства. Под ли-
нейным заземлением понимаем прямой бесконечный провод на по-
верхности полупространства, с единицы длины которого стекает
ток 27. Считая, что электропроводность меняется только с глубиной,
мы встретимся с задачей в плоскости xOz, причем ось Oz направлена
по глубине, ось Ох — в плоскости полупространства перпендику-
лярно проводу.
Разность функций тока между точками 2, 1 определяется теперь
по формуле
2
(165)
1
150
Направляя интегрирование параллельно оси Ох, а точку 7, счи-
тая под проводом на оси Oz, где функцию полагаем равной нулю,
получим х
О
Воспользуемся этим соотношением для вычисления функции
тока в случае, когда электропроводность меняется с глубиной по
формуле у = у0( z Сначала вычислим составляющую плот-
ности тока iz = —у линейного заземления при помощи инте-
грирования по его длине выражения этой же составляющей поля
точечного заземления (147). Мы вправе это сделать, поскольку ко-
роткий участок dyQ линейного заземления аналогичен точечному
заземлению с током 2IdyQ\
. __ I С к zdyQ __ 21 к z
lz Т .) Т+Г-«3 п k+z •
Подставляя это значение iz= — у в формулу (165') и вы-
числяя интеграл, находим
^=4TTTarcctg^ <166>
Из выражения (166) следует, что при х z функция практи-
1к
чески равна -узтг и ПРИ 2 = fc, ф = 0,5 7, т. е., как и в случае то-
чечного заземления, не менее 50% тока течет в слое мощностью
z = к.
При к = оо из формулы (166) получается выражение функции
для однородного полупространства
12/ z
=— arcctg—. (166')
Возьмем второе линейное заземление параллельно первому
на расстоянии d от него. Функция тока от второго заземления может
быть записана в виде
’f’ = -7Г arcctS • <166")
Считая, что с первого заземления ток стекает в полупростран-
ство, а на второе — собирается из него, запишем функцию тока
от обоих заземлений:
* = ( arcctg V- arcctg (166"')
151
Вычисляя по этой формуле функцию тока в достаточно большом
числе точек и соединяя точки с одинаковыми значениями функции,
построим линии тока. По разности функций, соответствующих раз-
личным линиям, определится ток, текущий между линиями от од-
ного заземления к другому. На рис. 48, а изображены линии тока
при к - = 1 и к = оо. Изучая рисунок, убеждаемся, что неоднород-
ность влияет на распределение и проникновение тока на нижние
горизонты.
Для увеличения тока на нижних горизонтах можно воспользо-
ваться схемой из трех линейных заземлений, приведенной на
рис. 48, б. Линии тока правого заземления оттесняются линиями
№оо
5
Рис. 48.
среднего заземления на нижние горизонты, где плотность тока
возрастает. Это имеет значение при электроразведке объектов, рас-
положенных на нижних горизонтах, вторичное поле (аномалия)
от которых получается тем большим, чем больше через них проте-
кает ток первичного поля.
Найдем дифференциальное уравнение функции тока линейных
заземлений. Для этого сначала в уравнении (165) линию интегри-
рования направим параллельно оси Oz, а точку 2 возьмем при z = 0,
где функция равна Z, тогда получим
z
= + (165")
О
Дифференцируя теперь уравнение (165') по х, а (165") по z и
затем производя деление их на у, получим соотношения
1 _______
у дх dz 9
1 _ dU
у dz дх *
Наконец, дифференцируя первое из этих соотношений по х,
а второе по z и складывая у них левые и правые части, находим
дифференциальное уравнение функции тока
^+^(1^)-°. <№)
которое решается при граничных условиях (164).
152
Задача 1 Электропроводность среды равна 9-10« ед. СГСЭ, а напряжен-
ность поля 5 лв/.м. Вычислить плотность тока.
Ответ* 5 • 10”Ю а!см2.
2 Составляющие тензора электропроводности в главных осях
пыпа’Хются цифрами 2, 1, 1. Вычислить составляющие в координатах со штри-
хами, которые получаются от вращения осей (главных) без штрихов относи-
тельно осп Oz па 45J.
Ответ: Tx»x<=YJ,-i/- = 1.5, yz-2/ —1. Ух'у' ty'x' •
Р
4луа
Задача 3. Со сферического заземления радиусом а стекает ток I в безгра-
ничную среду с электропроводностью у. Определить количество тепла, выде-
ляющегося в единице объема и во всей среде.
I2
Ответ: 16д2уЯ~»
Задача 4. Вблизи контакта двух сред с электропроводностью у, и у2 нахо-
дится точечное заземление, от которого растекается ток I. Считая заземление
расположенным в среде с электропроводностью у1? определить ток, протека-
ющий через контакт.
Ответ: —.
Т1 + У2
Задача 5. С эллипсоидального заземления в среду с электропроводностью у
стекает ток I. Определить сопротивление току слоя, ограниченного поверхно-
стями заземления и софокусного с ним эллипсоида.
Ответ:
8лу J yf(t)
Применить формулу, приведенную в ответе, к вычислению сопротивления
сферического слоя.
Задача 6. Металлический стержень погружен в землю. Принимая стержень
за полуэллипсоидальное заземление с полуосями а = Ь < с, расположенное
на поверхности полупространства, определить переходное сопротивление
стержня.
Ответ:
Л=-------i_inS±l?EE.
2луУс2—62 Ъ
Задача 7. Определить переходное сопротивление кольца радиусом а,
расположенного в однородной среде, если радиус сечения кольца b мал по срав-
нению с а.
Ответ:
R = 1 /Чл/2, к) _ 2 V(b+a)a
2л2у 2а + Ъ г Ъ+2а
— модуль эллиптического интеграла.
Задача 8. Точечное заземление находится на поверхности анизотропного
полупространства, электропроводность которого параллельно поверхности
раза больше, чем по нормали к ней. Вычислить отношение плотностей тока
в точках, расположенных на поверхности и под заземлением и взятых на одина-
ковых расстояниях от заземления.
153
z Ответ: 2 }^2.
Задача 9. На полюсах проводящей полой сферы имеются точечные зазем-
ления. По одному из них ток I подводится, а по другому уводится от сферы.
Определить потенциал и плотность тока на сфере.
Ответ:
и= Z lnl + cos6 ,=__________I__
4лу 1 —cos О’ 7 2 ла sin 0 ’
где О — полярный угол; а — радиус сферы; у — поверхностная электропро-
водность.
Задача 10. На полюсах проводящего сплошного шара находятся точечные
заземления. По одному из них ток I подводится, а по другому отводится от шара.
Определить потенциал и плотность тока внутри шара.
Ответ:
- ОО -П
v_____L_______1_____1_ - J_ у 1 (2L\2n+1 р
2лт в+ R. а £ 2^ + 1 \а ) 2я+1 ’
L л=0
___ I Г 7? — a cos 0 7? + а cos 0 1/1 1 \ 1
~~~2я L Я2 ~2R \”яГ ЯГ/J ’
ОО
__ I asin0 . a sin 0 . 2 V1 п + 1 / 7? \2п
г6~ 2л г a2 sin в Zl 4« + 3 \ а ) ' 2я ^2п+2
п=0
где а — радиус сферы; 7?+, 7?_ — расстояния от полюсов до точки наблюдения;
7?, 0 — сферические координаты этой точки.
Задача 11. Определить ток, протекающий через экваториальную плоскость
шара в задаче 10, воспользовавшись при этом соотношением
оо
2 4«+3 — -1.
п=0 I 2
Ответ: Z.
Задача 12. Определить в задаче 10 сопротивление току той части шара,
которая расположена между эквипотенциальными поверхностями, находя-
щихся от полюсов на расстоянии с < а.
Ответ :
7? = — f 1 1 I 1 In 2а~С
эту \ с 2а —с ’ 2a с ) *
Задача 13. В однородную среду с электропроводностью у2 вставлена бес-
конечная пластина толщиной 2h с электропроводностью ух. Определить при
помощи метода электрических изображений потенциал точечного заземления,
находящегося в пластинке на одинаковом расстоянии от ее граней.
Ответ:
°°
г_____7 ! 1 I уг ка । кп 1
1 4л?1 /r2 + z2 ^j[/r2 + (z+2n/i)2 /r2 + (z —2л/г)2 JP
oo
4Я?! k rl- Vi + V'2
где r, z — цилиндрические координаты с началом в заземлении и осью Oz,
перпендикулярной граням пластинки.
154
Задача 14. Определить функцию тока при условиях предыдущей задачи.
Ответ:
{z [ z 2nh_____________।______z — 2nh____"j
1 - ~ 2iкП I Yr^ + (z + 2nh)2 Vri + (z-2nh)i J ’
n-l
[ Г z + 2nh j
^2= / |(1 —*) kn [i уrz + (z + 2nh)i J ’
Ряды в задачах 13, 14 сходятся хорошо при | к | < 1.
Задача 15. Потенциал точечного заземления, расположенного на поверх-
ности полупространства, выражается по формуле
2луо ch az J^r2 + z2
где chaz — гиперболический косинус; г, z — цилиндрические координаты с на-
чалом в заземлении п осью Oz, направленной по глубине. Определить зависи-
мость электропроводности полупространства от координаты z.
Ответ: y = y0ch2az.
Задача 16. Определить функцию тока при условиях предыдущей задачи.
Ответ:
ф = / £ sh a z (e“az—е-ай) + ch az (e“az—— e aB .
Задача 17. Определить электропроводность среды, содержащей сфериче-
ские и пластинчатые включения одной ориентировки.
Ответ:
Ухх = Ууу = (1 — У) 71 + И>2»
угг = 7i72 t
(1-у) (?2—Vi)+Т1’
где у2 и v — электропроводность и относительный объем пластинчатых вклю-
чений:
(7а —71) 1 .
(1-р) (Yi-71) + 3Y1 J ’
здесь~ Уд» v — электропроводность и относительный объем сферических вклю-
чений; ух — электропроводность среды без включений.
Задача 18. От каких включений — с очень большой пли с очень малой
электропроводностью — изменяется сильнее электропроводность среды.
Выяснить это на включениях с различным отношением полуосей эллипсоидов
вращения и изобразить графиком.
Задача 19. На контакте шара с окружающей средой разрыв непрерывности
потенциала может быть представлен рядом из полиномов Лежандра
1/1-У2 = 2 СпРп,
где Сп известные постоянные коэффициенты.
Определить потенциал вне и внутри шара.
71 = А1 [14
155
/
Ответ:
''-i
Л-1
оо
<—)•
Л=1
Задача 20. Определить потенциал, создаваемый сферическим заземлением
радиусом а, находящимся в безграничной анизотропной среде.
Ответ:
оо
С dt
J VW)
и=иа^----------
С dt
) VW
где Ua — потенциал поверхности заземления; X — эллиптическая координата,
удовлетворяющая уравнению
л-2 „2 ~2
___-_______I___у-_____I___t___= 1.
fl2 + Ухх^ а2 + Ууу^ а2 4- Уггк
Глава VII
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
§ 1. ЗАКОН БИО — САВАРА
После открытия Эрстедом магнитного поля тока стало ясно,
что во всех случаях оно возникает от движения электрических за-
рядов. Однако при изучении поля магнетиков удобно пользоваться
представлениями электростатики, вводя в рассмотрение связанные
магнитные заряды.
Магнитное поле отдельно движущегося заряда меняется в дан-
ной точке со временем, но совокупность движущихся зарядов, об-
разующая постоянный ток, создает постоянное поле во времени.
Для вычисления магнитного поля линейных токов исходят из закона
Био — Савара. Поскольку закон относится к полю элемента тока,
то легко понять, что он применим к вычислению поля объемных
п поверхностных токов.
Вырежем сначала из линейного проводника с током I элемент
длины dl, произведение которого на ток называется элементом
тока (рис. 49). Закон Био—Савара состоит, как известно, в том,
что на расстоянии R элемент тока создает магнитное поле с напря-
женностью dH, выражающейся формулой
dtf=2^-sin<x, (167)
C/lz
где с — электродинамическая постоянная или переходный коэффи-
циент от единиц СГСЭ, в которых выражается ток 7, к единицам
СГСМ, в которых выражается напряженность магнитного поля;
а — угол между направлением элемента тока и радиусом-вектором,
проведенным от элемента к точке наблюдения.
Все дальнейшие формулы для электромагнитного поля будут
записываться по смешанной системе Гаусса, т. е. электрические
величины в них будут выражаться в единицах системы СГСЭ, а маг-
нитные — в единицах системы СГСМ. В связи с этим в формулы
входит электродинамическая постоянная с, численно равная
157
скорости света в вакууме, выраженной в сантиметрах в секунду, или
приближенно с = 3 • 1010. Удобство такой системы состоит в том,
что е и р, в*вакууме равны единице, а в материальных телах, исклю-
чая сегнетоэлектрики и ферромагнетики, выражаются небольшими
числами.
Перепишем уравнение (167) в векторной форме. Для этого при-
дадим направление dl по току, a R направим от элемента к точке
наблюдения. Тогда согласно опыту, связывающему направление
поля с направлением тока известным правилом буравчика или пра-
вого винта, напишем
dH = 2M»L. (167')
СИ"
По этой записи вектор dH перпендикулярен плоскости парал-
лелограмма, построенного на векторах dl и R, и ориентирован так,
Рис. 50.
что три вектора dH, dl, R совмещаются соответственно с большим,
указательным и средним пальцами правой руки.
Интегрируя уравнение (167') по длине проводника, получим
напряженность поля линейного тока:
Н-
J [dl R]
с/?з
(168)
Для применения закона к вычислению поля объемных токов
вырежем из проводника цилиндр длиной dl и сечением dS0 так,
чтобы по цилиндру в направлении длины проходил один и тот
же ток dZ, т. е. чтобы плотность тока в пределах цилиндра была
направлена по его длине (рис. 50). ,
Тогда цилиндр как элемент тока idS0 dl создает на расстоянии R
магнитное поле, определяемое законом Био — Савара,
dH = sin а, (169)
для записи которого в векторной форме заменим произведение
dl d50Ha dV, а направление элемента тока учтем вектором i:
dH - dV. (169')
158
Интегрируя (169') по объему проводника, получим выражение
напряженности поля объемного тока:
H=J-gy-dF. (170)
V
Для применения закона к вычислению поля в случае, когда
ток течет по проводящей поверхности, например по тонкостенной
трубе, введем в рассмотрение поверхностную плотность тока j,
понимая под ней ток, приходящейся на единицу длины, отсчитывае-
мой по поверхности перпендикулярно току.
Вырезая из поверхности полоску шириной dh и длиной dl в на-
правлении плотности j, определим от полоски, как от элемента
тока ]dh dl, поле по закону Био — Са-
вара (рис. 51):
dH = -^~ sin а. (171)
Для перехода к векторной записи за-
меним dh dl на dS, а направление элемен-
та тока определим вектором j:
dH = -^-dS. (17Г)
Интегрируя (17Г) по поверхности S, получим выражение на-
пряженности поля поверхностного тока:
<172>
S
В уравнениях (168), (170) и (172) интегрирование проводят гео-
метрически, что удобно только для теоретических рассуждений.
Для расчетов поля переходят к алгебраическому интегрированию.
В связи с этим вычисляют составляющие напряженности по декар-
товым осям. Для перехода от векторов к составляющим необходимо
под знаком интегралов, вместо векторных произведений взять
составляющие этих произведений по соответствующим осям, на-
пример для оси Ох
Нх j (z —з0) —dz0 (у — yQ)] (168')
I
Нх=^ iy{z~zo}~i2 (у~Уо) dV, (170')
V
нх = j ly^-^-^у-у^ dS
s
Вычислив составляющие, находят по обычным формулам вели-
чину и направляющие косинусы напряженности.
159
Во избежание ошибок при написании составляющих вектор-
ного произведения^ под знаком интегралов полезно помнить, что
векторное произведение двух векторов выражается определителем
[АВ] =
i, j, k
Ay,
By, Bz
у которого в верхней строке располагаются единичные векторы,
а не плотности тока и заряда.
§ 2. ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
Определение магнитного поля с помощью закона Био—Савара
не единственный и не наиболее удобный способ. Оно может быть
определено также через потенциал. Однако потенциал, о котором
пойдет речь, оказывается векторной функцией и не интерпретиру-
ется через работу или другую известную нам физическую величину.
Он является вспомогательной функцией, упроща-
ющей изучение, а в некоторых случаях и вычисление напряженности
поля.
Напряженность Н через векторный потенциал А определяется
по формуле
H-rot А, (173)
которую можно рассматривать и как определение векторного по-
тенциала через напряженность поля. Очевидно, потенциал опре-
деленным образом выражается через токи. Для нахождения этих
выражений покажем, что формулы (168), (170), (172) могут быть
соответственно переписаны в следующем виде:
тт < С Н^Г0Ц CR ’ 1 (168")
V (170")
и— S (172")
где при составлении вихря дифференцирование проводим по коорди-
натам точки наблюдения А(х, у, z), что и отмечено индексом А у сим-
вола вихря, а интегрирование — по координатам точки М(х0, у0, z0),
связанной с элементом тока. Поэтому меняя в уравнениях (168"),
(170") и (172") порядок дифференцирования с интегрированием
и выполняя операции дифференцирования над функцией ^-, зави-
1С0
сящей от координат х, у, z, мы вернемся к формулам (168), (170),
(172). Проверим это на формуле (170я):
и - ? J [т
V V у
а 1 R
поскольку grauA —--------
Сравнивая теперь формулы (168"). (170") и (172") с определя-
ющей формулой (173), приходим к заключению, что векторный
* потенциал линейных, объемных и поверхностных токов выражается
соответственно через интегралы
cR 9
(174)
Г idV
J cR 9
v
(175)
(176)
J <R 9
s
имеющие более простые подынтегральные выражения, чем инте-
гралы в выражениях (168), (170), (172), что обычно упрощает их
вычисление, а значит и определение напряженности поля по формуле
(173).
Сравнивая полученные интегральные выражения векторного
потенциала с аналогичными выражениями (28) скалярного потен-
циала, видим их сходство (за исключением того, что источники имеют
теперь векторный характер).
Сходство позволяет заключить, что свойства векторного потен-
циала такие же, как у скалярного, и что он удовлетворяет уравнению
Лапласа — Пуассона;
(в точках с токами),
0 (в точках без токов).
Такое уравнение для векторов соответствует трем
в декартовых координатах:
ДА =
(177)
уравнениям
АЛЛ = 0 С
ЛАу = 0 АШу С
4n,iz
&Аг = °- с
(177')
И Заказ 1701
161
§ 3. РАСХОДИМОСТИ ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА
Однозначное решение уравнения (177) для конкретного случая
возможно только при учете свойств искомой функции. Одно из су-
щественных свойств векторного потенциала состоит в том, что его
расходимость равна нулю:
divA-0. (178)
Иначе говоря, поле векторного потенциала является соленоидаль-
ным. В отдельных случаях это свойство потенциала очевидно. На-
пример, если токи текут по кольцу или вообще по направлению
координаты (р сферической системы, то векторный потенциал при
этом имеет составляющую только по этому направлению, не завися-
щую от <р; это означает, что расходимость равна нулю. Для доказа-
тельства (178) в общем виде составим расходимость от обеих частей
(175):
divA -div^ J
V
где индексом А в правой части отмечается, что дифференцирование
при составлении расходимости проводится по координатам точки
наблюдения. Внося символ расходимости под знак интеграла и учи-
тывая независимость плотности тока от координат точки наблюдения,
преобразуем подынтегральное выражение по схеме
div^ 77Г = (т §гаа» 7г) = - (4 8rad* 4) = ~diVw •
Второй член в последнем выражении равен нулю в силу первого
закона Кирхгофа. В связи с этим расходимость векторного потен-
циала перепишется в виде
divA= — j divM ~^-dV.
V
Преобразуя в этом выражении объемный интеграл в интеграл
по поверхности проводника, получим
divA= - C-^d5 = O,
J cR ’
S
поскольку проводник может быть ограничен только изолятором
и на поверхности его in = 0 что обращает поверхностный интеграл
в нуль и позволяет утверждать справедливость (178) в общем виде.
При доказательстве равенства (178) мы исходили из выражения
векторного потенциала для объемных токов, а в процессе рассужде-
ний воспользовались первым законом Кирхгофа, а также тем, что
ток с поверхности проводника в окружающий изолятор не течет.
Поскольку оба эти положения сохраняются при линейных и поверх-
162
ностных токах, то справедливость (178) можно считать доказанной
для любых токов.
Без учета равенства (178) определение векторного потенциала
по формуле (173) будет неоднозначным. Действительно, если из-
вестен вектор А, вихрь которого равняется напряженности поля,
то другой вектор А' = A + grad / (где / — скалярная функция
точки) будет соответствовать той же напряженности, что и вектор А,
поскольку rot grad /== 0. Если же потребовать выполнение урав-
нения (178) для векторов А и А', то на функцию grad / наклады-
вается дополнительное условие div grad / = 0. Вектор, вихрь и расхо-
димость которого равны нулю во всем пространстве, может быть
только постоянной величиной, т. е. grad / = const.
Таким образом, векторные потенциалы, удовлетворяющие урав-
нениям (173) и (178), могут отличаться только постоянным слагае-
мым. Однако если по характеру поля векторный потенциал в бес-
конечности равняется нулю, то постоянное слагаемое в этом случае
также должно равняться нулю.
§ 4. ЗАКОН БИО — САВАРА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Под дифференциальной формой закона мы и здесь подразуме-
ваем соотношение между величинами в малой области, теоретически
в точке. Написанное ранее соотношение между напряженностью
и элементом тока не может называться дифференциальной формой
закона, поскольку им связаны величины, отнесенные к точкам,
находящимся на произвольном расстоянии R друг от друга.
Для получения необходимого нам выражения применим опера-
цию вихря к обеим частям формулы (173)
rot Н = rot rot А,
а затем, используя соотношение rot rot А = grad div А — ДА и
учитывая уравнения (177) и (178), найдем
rotH = ^-. (179)
Это соотношение и будет законом Био — Савара
в дифференциальной форме, поскольку им связы-
вается напряженность поля с током в данной точке. Из него следует,
что магнитное поле является вихревым в точках с токами и безвихре-
вым — где нет токов. Однако если поле хотя бы в одной точке
имеет вихрь, отличный от нуля то оно называется вихревым или
непотенциальным.
В декартовых координатах (179) распадается на три уравнения
. тт 4ШХ
rotx Н =-- ,
л с
rot^ Н =
У
с
4шг
с
(179')
11*
rot2 Н
163
Если сопоставить уравнение (179) с теоремой Гаусса — Остро-
градского в дифференциальной форме (12), то легко сделать вывод:
магнитное поле создается токами, являющимися его вихрями,
а электростатическое вызывается зарядами, играющими роль его
истоков. Поскольку мы вообще встречаемся с непотенциальными
или потенциальными полями, то они могут создаваться соответ-
ственно вихрями или истоками. Вектор поля, лишенного вихрей
и истоков, может быть только равным нулю.
§ 5. ЗАКОН БИО — САВАРА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ, ИЛИ ЗАКОН
ПОЛНОГО ТОКА
Применяя операцию расходимости к обеим частям уравнения
(173) и учитывая, что расходимость вихря тождественно равна нулю,
ПОЛУЧИМ
divH--0, (180)
т. е. магнитное поле токов соленоидальное, иначе говоря, линии
напряженности замыкаются сами на себя. Этот факт мы знаем
из опыта; его достаточно для заключения, что циркуляция напря-
женности по контуру, совпадающему с силовой линией, не равна
нулю. Однако имеется более широкая возможность определить цир-
куляцию по произвольному контуру, в том числе и по такому, ко-
торый совпадает с силовой линией. Для этого составим поток от
правой и левой частей уравнения (179) через поверхность 5, опи-
рающуюся на произвольный контур:
Jrot„HdS ^indS.
S S
Левая часть этого соотношения согласно формуле Стокса выра-
жает циркуляцию напряженности по контуру, а правая — ток,
протекающий через контур, умноженный на_4л/с, т. е.
§Hedl=*±. (181)
Соотношение (181) и называется законом Био — Савара
в ин т'е тральной форме, или законом полного
тока. Это соотношение отличается от уравнений (168), (170),
(172) тем, что здесь ток определяется через поле, а там поле опре-
делялось через ток. Однако в некоторых случаях соотношение
(181) оказывается весьма удобным для определения поля по току:
это случаи осевой симметрии распределения токов.
Рассмотрим примеры применения формулы (181) для опреде-
ления поля.
Пример 1. Определить магнитное поле тока, текущего с постоян-
ной плотностью i по трубе с внешним и внутренним радиусами,
164
соответственно равными anb (рис. 52). Ввиду осевой симметрии
линии напряженности будут окружностями с центром на оси
трубы. Применяя (181) к какой-нибудь окружности, совпадающей
с линией, получим
Отсюда находим
сг
где I _ ток, протекающий через окружность и равный полному току
я (Л2 __ ц если контур охватывает трубу, или части тока
Рис. 52.
л (г2 — b2) когда контур проходит в стенке трубы, или, наконец,
нулю, если контур находится в полости. Соответственно этим
случаям
и 2Л (д2 — ^2) t
Я =
Н = 2jl(r2..2!H (b^r^a)
cr ' '
Н = 0
Пример 2. Определить магнитное поле тока, растекающегося от
точечного заземления в полупространство.
Совместим начало цилиндрических координат с заземлением
и направим ось Oz по глубине в полупространство (рис. 53). Ток
к заземлению подведем из бесконечности по линейному прямому
проводу, совпадающему с отрицательной частью оси Oz. Растекаясь
от заземления, ток уйдет в бесконечность. Теоретически получается
замкнутая цепь с осевой симметрией в распределении токов, если
полупространство однородно или когда электропроводность его за-
висит только от координаты z. Считая полупространство имеющим
такую электропроводность, мы получим линии напряженности в
виде окружностей с центром на оси Oz. Совмещая на поверхности
165.
полупространства контур АВС с какой-нибудь линией и применяя
к нему (181), будем иметь
2лгН =
С »
отсюда находим
н= —
сг
где I ток, протекающий через контур, равный току, подводимому
к заземлению.
Таким образом, поле на поверхности полупространства такое же,
как от бесконечно длинного прямого тока. Очевидно, половина поля
Рис. 54.
создана током в проводе, а другая половина —
током, растекающимся от заземления. Подни-
мая контур АВС над поверхностью полупро-
странства, мы ток, протекающий через контур,
не меняем, и напряженность остается прежней,
но однако, чем выше поднят контур, тем боль-
шая часть поля создается током в проводе
и меньшая — током, растекающимся от зазем-
ления.
Опуская контур АВС под поверхность полу-
пространства, мы ток, проходящий через контур,
уменьшаем, и напряженность соответственно убы-
вает. Определим напряженность под поверхно-
стью полупространства, считая его однородным.
Часть тока Г, протекающая через контур, опу-
щенный под поверхность z = 0, относится к полному току I так же,
как телесный угол й, под который виден из заземления контур,
к углу 2л. В связи с этим напряженность поля будет
2Г 21 Q __ 27
сг сг 2л сг
Z
проводе. Для вычисления этой части
уравнение (167) по длине провода
поскольку Q — 2л I 1-- ).
\ ЬН-2,1
Выясним, какая часть напряженности под поверхностью полу-
пространства создана током в
напряженности интегрируем
(рис. 54):
о о
#п= У с7?2 siira =
Ir dzQ
C[r2 + (2_Zo)2f/t СГ
- со
значение напряженности с ее полным
Сравнивая полученное
значением, видим, что под поверхностью полупространства половина
поля создается током в проводе, а другая половина — током, расте-
кающимся от заземления.
166
Поэтому напряженность, создаваемая током, растекающимся от
заземления, может быть записана так:
= _______________£_____)
сг \ )
В практике разведки ток к заземлению подводится по проводут
расположенному на поверхности полупространства. Другой конец
провода соединен также с заземлением, к которому ток стекается из
полупространства. Напряженность магнитного поля такой цепи
состоит из напряженности от тока в проводе и напряженности от
токов заземлений. Та и другая напряженности определяются незави-
симо друг от друга. Существенно отметить, что при электропровод-
ности, зависящей от координаты z, магнитное поле над плоскостью
z = 0 такое же, как при однородном полупространстве. Иначе
говоря, горизонтальная слоистость полупространства не сказывается
на магнитном поле заземлений над плоскостью z = 0.
§ 6. ПОВЕДЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
ПРИ ПЕРЕХОДЕ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ С ТОКАМИ
Магнитное поле с одной и другой стороны от линейного тока имеет,
как известно, противоположные направления. Поверхностный ток
представляет собой совокупность линейных токов, и при переходе
через поверхность с током поле также
Рис. 55.
меняет направление, а составляющая на-
пряженности по касательной к поверх-
ности испытывает разрыв непрерывности,
величину которого постараемся опреде-
лить. На рис. 55 изображено сечение
поверхности с током. Построим контур
в форме четырехугольника, две стороны которого приблизитель-
но параллельны поверхности, а остальные две перпендикулярны
ей. Составим циркуляцию напряженности по контуру в направлении
часовой стрелки и будем его уменьшать так, чтобы стороны контура,
перпендикулярные поверхности, обращались в нуль, а параллельные
ей были достаточно малыми и прилегали к ней. Тогда согласно урав-
нению (181) в пределе будем иметь
нк Д/х +Н1лМ2 = -^]пМ.
Заменяя составляющие Нц и Hit составляющими по касательной
к поверхности Hti п — Я<2, а также учитывая, что Д/х = Д/2 = Д£
получим
(182)
где ]п — составляющая плотности поверхностного тока по нормали
к направлению t.
167
Соотношение (182) с физической стороны явления представляет
закон Био-Савара в дифференциальной фор-
ме для поверхностных токов; теоретически оно яв-
ляется граничным условием, которое надо учитывать при решении
дифференциальных уравнений поля.
§ 7. ПРИМЕРЫ НА МАГНИТНОЕ ПОДЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ТОКОВ
Поверхностный ток представляет интерес для геофизической раз-
ведки еще и потому, что применение индукционных методов в ней
основано на создании переменным магнитным полем индукционных
токов в объектах. Эти токи текут главным образом по поверхности
объектов и своим полем ослабляют первичное поле внутри них. При
бесконечной проводимости объектов индукционный ток становится
Z
Рис. 56.
полностью поверхностным, а его
магнитное поле внутри объекта
равно по величине, но противо-
положно по направлению первич-
ному полю. Рассматривая поле
поверхностных постоянных токов,
мы получим приближенное пред-
ставление о поле индукционных
У токов.
Рассмотрим примеры на по-
верхностные токи, когда они со-
здают внутри замкнутой поверх-
ности заданное заранее поле.
Пример 1. Определить ток,
текущий по сфере, и магнитное
поле вне ее, если внутри сферы
оно однородно.
Совместим начало координат с центром сферы, а ось Oz направим
по напряженности Н внутри сферы. Наряду с декартовыми будем
применять сферические /?, 0, ср и цилиндрические г, ср, z координаты
Чтобы внутри сферы поле было направлено по полярной оси,
ток должен течь по параллелям или по координатным линиям ср.
Векторный потенциал при этом имеет составляющую только по этим
же координатным линиям и не зависящую от координаты ср. В связи
с этим формула (173) принимает вид
Я = гоЬА = — 4~rAiz.
- 2 г дг ~
После ее интегрирования находим
л Н Н D ~
= — г = — R sin 0,
4 4
(183)
где индекс i указывает на область внутри сферы.
168
Продолжим выражение (183) через сферу в наружное простран-
ство так, чтобы для векторного потенциала соблюдались непрерыв-
ность, равенство в бесконечности нулю, а также выполнялись урав-
нения (177) и (178). Всем этим условиям удовлетворяет функция
. Н fl3 sin 0
----Г , (183)
где а — радиус сферы; е — индекс, указывающий на область вне
сферы. Определим сферы: по векторному потенциалу напряженность поля вне rr . А Н 2я3 со < Н И л rotR Ае , Я в rotgAc--- f н^=о.
Поле вне сферы является полем магнитного диполя с моментом,
равным 77а3/2.
Для определения плотности тока на сфере воспользуемся гранич-
ным условием (182):
7^^-(Яев-Я1в)^^Я8т 0.
Наибольшая плотность тока будет яа экваторе (в Умень-
шаясь к полюсам, она обращается на них в нуль.
Если поверхностный ток создается с помощью обмотки, витки
которой расположены по параллелям, то плотность j определится
произведением тока / в обмотке на число витков ??, приходящееся
на единицу длины меридиана. При этом число витков п определится
по формуле
Зе Я . Л
п~ —Sln@-
Если вместо п рассматривать число витков, приходящихся на
* Зс Н
единицу длины диаметра сферы, то оно равно — — .
Имея опыт по определению тока, текущего по сфере, мы легко
решим задачу о токе на эллипсоиде, сформулировав ее следующим
образом.
Пример 2. Определить плотность тока на поверхности эллипсоида
и магнитное поле вне его, если внутри эллипсоида напряженность Н
постоянна по величине и направлена по малой полуоси с. Совместим
начало декартовых координат с центром эллипсоида, а координатные
оси Ох. Оу. Oz направим соответственно по полуосям а. Ъ. с. Наряду
с декартовыми координатами будем применять эллиптические X, р, v.
16ft
(183")
Для определения векторного потенциала обратим внимание на
выражение (183), которое в декартовых координатах перепишется
следующим образом
•^ix 9 — 2
Линейная зависимость векторного потенциала от декартовых
координат сохраняется в любом однородном поле. Однако внутри
эллипсоида направления Ох и Оу из-за неодинаковости полуосей
становятся неравноправными. Или, иначе говоря, векторный потен-
циал не направлен по координатным линиям ср, поскольку токи те-
перь не текут по этим координатным линиям. Поэтому запишем выра-
жения составляющих векторного потенциала внутри эллипсоида
через декартовые координаты, но с неопределенными коэффициентами:
А1х = —РВ (0) у, А1и = аА (0) х.
Целесообразность введения в коэффициенты интегралов В (0)
п А (0) выяснится в процессе решения задачи.
При такой записи составляющих А1х и А1у уравнения (177)
я (178) удовлетворяются. Для выполнения формулы (173) надо
о Н
положить а = р — . • тогда выражения составляющих
Д (О) -j- Jj (U) ’
принимают окончательный вид
А;х
A-iy
(184)
НВ (0) у
А (0)+Л(0) ’
НА (0) х
Л (0)4-Я (0) ’>
для случая сферы они переходят в выражения (183").
Теперь продолжим выражения (184) через поверхность эллипсоида
в наружное пространство, соблюдая при этом для них непрерывность,
равенство в бесконечности нулю, выполнение уравнений (177), (178).
Для этого надо в числителях выражений (184) заменить А (0) на
А (X) и В (0) на В (X), после чего получим
А НВ (X) у
« Л (0)4-Я (0)
. _ НА (X) х
А‘У ~ А (0) + В (0)
При помощи формулы (173) находим составляющие напряженности
поля по декартовым осям вне эллипсоида:
и- _ дА»» _ н 2 1
П*~ dz Л (0)4-Я (0) 4Я{ а«+Х + л '
= , --г2 - COS (Хх) cos (Xz),
Л (0)4-Я (0) //(X) v v ”
гт dAer Н 2 1 У Z
у~ dz ~ Л(0)4-Я(О) /ДХ) 4Я! 62+Х с2+х ~
(185)
X Z
dz
170
=-------—-2 — cos Cky) cos (Xz),
Л(0)+ЖО) //(X) v y’ v ’
„ _дЛеу__ вАу_ =—Я ----------- Ь(П + Б(Х)_
я* дх ду Л(0) + Я(0) I
2 1 Г xi_______, У2 _
/ЙХ) '«Я? L («2 + М2 (Ь2+Х)а JJ
“ л «»)+*«» {'< <» +В (Ц “ 7Й |с”‘М + С08’1/9)11
Проектируя составляющие напряженности вне и внутри эллип-
соида на криволинейные оси |i, V, а затем применяя граничное усло-
вие (182), определим плотность поверхносного тока:
сII cos (vz) .________сII cos (ц, z)
= 2яаЪс [Л (О)-Р^ (0)] ’ 2nabc [Л (0) + В (0)] ’
где с в числителе представляет электродинамическую постоянную,
а в знаменателе — малую полуось эллипсоида.
Поверхностный ток течет не по линиям v, а отклоняется от них,
но незначительно, поскольку составляющая 7р. мала из-за малости
cos (vz). Для сплюснутого эллипсоида вращения линии v переходят
в параллели, cos (vz) становится равным нулю и ток течет точно по
линиям V.
§ 8. СКАЛЯРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ТОКОВ
Хотя магнитное поле токов считается в целом вихревым, но в точ-
ках без токов оно безвихревое, и возникает вопрос: нельзя ли напря-
женность в этих точках определить через градиент скалярного по-
тенциала. Для выяснения этого введем скалярный потенциал по обыч-
ной формуле
Н = -grad U (186)
и будем исследовать его свойства.
Применяя операцию вихря к соотношению (186), получим справа
во всех случаях тождественный нуль; слева согласно уравнению
(179) получится нуль только в точках, свободных от токов. Это го-
ворит о законности определяющей формулы (186) только в точках
без токов.
Применяя теперь операцию расходимости к уравнению (186)
и учитывая соленоидальный характер магнитного поля токов (180),
находим
AZ7=0, (187)
т. е. скалярный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа.
Заменяя в выражении (181) под знаком интеграла Hedl равной
величиной —dU и интегрируя по контуру, придем к соотношению
(188}
174
в котором U и U' — потенциалы одной и той же точки контура, но
первый относится к началу, а второй — к концу пути интегрирова-
ния.
Таким образом, мы можем заключить, что потенциал в данной
точке может иметь не одно, а несколько значений, т. е. он является
многозначной функцией. Многозначность связана, как видно из урав-
нения (188), с охватом контуром тока; она пропадает, если контур
не охватывает тока. Физический смысл этого состоит в том, что изме-
нением потенциала характеризуется работа поля по перемещению
единичного магнитного полюса. Когда полюс перемещается по кон-
туру, охватывающему ток, работа равна 4л7/с. Если же полюс дви-
zrx жется по контуру, не охватывающему тока,
тогда на одной части пути поле способ-
1 ______ ствует движению и работа здесь положи-
тельна, а на другой — поле тормозит дви-
7^ жение и работа отрицательна. Общая
работа по такому контуру оказывается
х равной нулю. При линейном токе кон-
тур либо охватывает весь ток, либо не
/ охватывает его. При объемном или по-
Рис. 57. верхностном токе разные контуры могут
охватывать разные токи, что увеличи-
вает многозначность потенциала по сравнению с многозначностью
при линейном токе.
В связи с этим вопрос о нахождении потенциала и применении его
к определению напряженности поля следует рассматривать отдельно
для разных токов.
В поле линейного тока можно провести контуры двух видов:
одни охватывают ток, а другие не охватывают его. На рис. 57 при
движении по контуру 1 потенциал по возвращении в точку А изме-
няется на 4 л//с, а при движении по контуру 2 остается без изменений.
Чтобы исключить контуры вида 1 из рассмотрения и сделать потен-
циал однозначной функцией точки, построим поверхность, опира-
ющуюся на линейный ток и разрывающую контур 1 в точке В. Мы
полагаем поверхность непроходимой для контуров, и тогда нельзя
вернуться в точку Л, охватив ток, и потенциал в ней будет однознач-
ной функцией.
Хотя контур 1 и разорван поверхностью, но падение потенциала
по нему будет, очевидно, прежним
UB-UB = ^~, (188')
где Uв и Uв — значения потенциала в точке В с одной и с другой
стороны поверхности.
Ввиду произвольности точки В потенциал испытывает разрыв
непрерывности, равный 4л77е в любой точке при переходе через по-
строенную поверхность; она играет роль двойного слоя с постоянной
мощностью -у. Такой двойной слой называют магнитным
172
листком, с одной стороны которого надо предполагать магнит-
ные заряды одного знака, а с другой — другого. Магнитное поле
листка совпадает с полем линейного тока во всех точках, кроме точек
в самом листке, где поля противоположно направлены.
Сведение магнитного поля линейного тока к полю магнитного
листка называют теоремой Ампера.
Поверхность магнитного листка может быть любой, при условии,
что она опирается на линейный ток. Если контур тока плоский, то
поверхность листка обычно целесообразно совмещать с его плоскостью.
В связи с изложенным потен-
циал в поле линейного тока нахо-
дится по формуле (71') после за-
I
мены в ней т на —:
с
и = -/й, (71")
где Q — телесный угол, под ко-
торым из точки наблюдения ви-
ден контур линейного тока.
Если по каким-то причинам
нельзя непосредственно опреде-
лить угол Q в формуле (71"), то потенциал можно пантп, как потен-
циал магнитного листка, решая уравнение Лапласа (187). Определив
тем или другим способом потенциал, находят напряженность поля
по формуле (186).
В поле поверхностных токов для получения однозначности по-
тенциала в точке А надо условиться считать поверхность с токами
непроходимой для контура 7, полагая его разорванным в точке В
(рис. 58). Тогда для точки В выполняется уравнение (188'), но ток I
для разных точек поверхности, вообще говоря, надо считать разным.
В связи с этим поверхность будет вести себя как магнитный листок
с переменной мощностью 1/с. Магнитное поле листка совпадает с по-
лем поверхностного тока во всех точках, за исключением точек в са-
мом листке, где поля противоположны. Определять потенциал маг-
нитного листка по формуле (71") здесь не очень удобно, поскольку
надо знать переменную мощность Ис, что будет связано с решением
дополнительной задачи о нахождении этой мощности. Потенциал
следует определять, решая уравнение Лапласа (187), так как тогда
переменную мощность листка знать не надо, поскольку граничное
условие (188') полностью заменяется условием (182). В качестве вто-
рого граничного условия при решении уравнения Лапласа исполь-
зуем непрерывность составляющей магнитной индукции при переходе
через поверхность с токами. Определяя скалярный потенциал тем
или другим способом, найдем цо формуле (186) напряженность поля
поверхностных токов.
В случае объемных токов для однозначности потенциала надо
считать непроходимым для контуров весь объем с токами. Поэтому
173
нельзя ввести магнитный листок, облегчающий решение задачи о по-
ле, вследствие чего введение скалярного потенциала в магнитном
поле объемных токов имеет ограниченный интерес.
Для лучшего уяснения изложенного рассмотрим примеры на ска-
лярный потенциал.
Пример 1. Определить скалярный потенциал и напряженность
поля на оси кольца с током.
Совмещая начало декартовых координат с центром кольца и на-
правляя ось Oz по его оси так, чтобы она совпала с направлением
поля, получим для точки А на оси (рис. 59).
I о 2п1 / 1 1 \
U = — Q —----z -г—:------- — е
С С \ I Z I V а 2 J- Z2 /
Плоскость кольца принята за магнитный листок, и при переходе
через нее потенциал испытывает разрыв непрерывности, равный
0 4л//с. Напряженность поля определится
по формуле
JJ ___ дС __ 2л/а2 .
--------4____z ’
она на всей оси непрерывна, в том числе
и при переходе через магнитный листок.
Пример 2. Определить скалярный по-
Рис. 59. тенциал и напряженность поля прямого
бесконечного тока, текущего в направле-
нии оси Oz (рис. 60). Поскольку ток замыкается в бесконечности
то магнитный листок совмещаем с правой частью плоскости xOz
Для определения потенциала в точке А (ж, у, 0), вычислим телесный
угол Q, под которым виден листок из этой точки:
+ ОО +ОО
__ I £2_ С С __________У &Xq dzQ___
~ С ~ С L J + *
— оо 0
Для вычисления интеграла по z0 введем новую переменную t
по формуле t = zQ + ]Л(х — я0)2 у2 г2 и тогда
+ оо оо
С <й0 _ С 8tdt _ 2
' [(х-хо^+^ + г?]*^ ~ J_______ [(*-*о)2 + У2+ «212 “ + '
-со /(х-х0)2+^в
После этого интегрируем по xQ и находим
и = — \ , у-.д2°,—= —(n + 2arctg—).
с J (я —я0)2+!/2 с \ 1 & у J
о
Составляющие напряженности поля определяются по формулам
rr dl 21 У тт __ _ _И х
дх"^ с~ х2 + г/2 ’ у— ~ ду “ ~с~ х^А-у* *
174
Рис. 60.
Отсюда находим величину напряженности поля
я=—.
сг
Пример 3. Определить скалярный потенциал токов, текущих
по поверхности эллипсоида, и вычислить напряженность поля вне
эллипсоида, если внутри его она постоянна и направлена по малой
полуоси.
Этот пример рассматривался ранее при помощи векторного по-
тенциала; теперь его рассмотрим, применяя скалярный потенциал.
Магнитным листком будет поверхность эллипсоида, при переходе
через которую выполняется граничное усло-
вие (182).
Скалярный потенциал однородного по-
ля Н внутри эллипсоида запишется обыч-
ным образом:
Uz —Hz,
вне эллипсоида
Ue~KzC (X),
где К — постоянный коэффициент.
Выражение Ue удовлетворяет уравнению
Лапласа и обращается в бесконечности
в нуль; оно совместно с выражением Z7z по-
зволит выполнить условие разрыва непрерывности потенциала на
поверхности эллипсоида.
Для определения коэффициента К воспользуемся непрерывностью
составляющей магнитной индукции по нормали при переходе через
поверхность эллипсоида. Поскольку магнитная проницаемость с
обеих сторон поверхности одинакова, то непрерывность составляющей
индукции по нормали совпадает с непрерывностью этой же состав-
ляющей напряженности поля, что запишется так:
— &U е /л _
дк дк
Вычисляя производные и выполняя это условие, получим
Я з к zC (0) К Z
2 С2 2
с2 abc с2 >
Н
отсюда находим
g________________________Н
2---““ Л(0) + В(0) •
аос '
Подставляем значение К в выражение Ue я вычисляем составля-
ющие напряженности поля вне эллипсоида:
Н ~ е —___________Н________2 1 х z __________
х~ дх ~ А (0) + В (0) /Дх) 4Я? а2 + х с2 + л =
= ~4(0) + Д(0). C0S С08
175
dU e _ H 2 1 У :
dy — Л(О) + В(О) //(Xj 4Я? *2 + Х с2 + Х
= Л (0) + В(0) У/Щ C0S C0S №),
dUe Я Г 2 1 2г г ..
dz ' А (0)4- В (О' [/7Щ 4Я? “Z2 + X С(
--.(о)+Д14тж^М"С(
Учитывая, что
cos2 (lz) = 1 — cos2 (lx) — с os2 (Ху),
_j_^C(l)-B(l)-A(l) = 0t
приведем выражение Нг к виду
Вг = = А (0) 4- В (0) Г4 + в ~
— у^~ [COS2 (lx) + cos2 (ly) ] j .
Теперь выражения для всех трех составляющих имеют вид, в ко-
тором они были получены ранее при решении задачи с помощью
векторного потенциала.
9. МАГНЕТИКИ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ТОКА
Под магнетиками понимаются тела с магнитной проницаемостью,
отличной от единицы, но не ферромагнетики, рассмотрение которых
исключается. До этого параграфа считалось, что магнитное поле
находится в вакууме или в пространстве, заполненном однородной
средой. В этом случае напряженность поля зависит только от вели-
чины и расположения токов. Намагниченность среды не оказывает
влияния на напряженность; она сказывается только на величине
магнитной индукции. Иначе будет, когда часть пространства с полем
заполнена магнетиком, а остальная часть содержит вакуум или маг-
нетик с другими свойствами. Тогда намагнитившийся магнетик соз-
дает вторичное поле Н', которое, наложившись на первичное поле
тока Но, образует с ним результирующее поле Н:
Н = Н0 + Н'. (189)
Если поля могут быть представлены скалярными потенциалами,
то справедлива формула (53)
и = и0-\-и'.
(53)
176
На границе между магнетиками (если для общности считать, что
по границе течет ток) выполняются условия
Я U fatin'
H^nl-H2£Tn2 = 0 (190)
Поясним сказанное примерами.
Пример 1, Определим скалярный потенциал магнитного поля
токов, текущих по поверхности шара, и напряженность поля вне
шара, если внутри его она постоянна.
Магнитные проницаемости шара и окружающей среды равны со-
ответственно |Л2 и Hi*
Различие между данной задачей и рассмотренной ранее состоит
в том, что шар и окружающая среда имеют разные магнитные прони-
цаемости.
Применяя те же координаты, что и ранее запишем скалярный по-
тенциал результирующего поля вне и внутри шара в следующем виде:
Т7 В cos 0
U2 = AR cos 0.
Определим коэффициенты В и А из граничных условий (190).
Вычисляя составляющие HR и Не и выполняя эти условия, получим
-4sin0=-^,
а» с 9
„ 2Bcos0 . о л
Hi—--------р2л cos 0-0.
Поскольку выше было показано, что j = #sin0, то, решая
полученные уравнения относительно коэффициентов, находим
Л _ 2^-1 ту rt 3 Ц2а3 тт
2 ^2 + 2Ц1 ’ 2
С найденными коэффициентами напряженность поля внутри и вне
шара будет
22 2 р2+2щ я’
____1 _____ 3 р^3^ 2 cos 0
Я1~ dR ~~2 М2'+2щ R»~ *
Н _ ___ OUj 3 1к2а^Н sin 0
61 R№> ~ ~2 ц2+2Н1 Я»: •
Полагая в этих выражениях Hi = Ш = И» приходим к получец-
ным ранее выражениям напряженности поля тока в однородной среде,.
12 Заказ 1701 177
Считан р2 видим, что внутри шара поле сильно уменьшается,
а снаружи возрастает почти в 3 раза по сравнению с полем в однород-
ной среде. Принимая шар за сердечник, находящийся в обмотке с то-
ком, нельзя считать, что с,помощью такого сердечника сильно увели-
чивается магнитное поле во внешнем пространстве. Примерно такой
же результат получается, если в качестве сердечника взять вытяну-
тый или сплюснутый эллипсоид вращения. Поэтому для создания
сильного магнитного поля применяются замкнутые сердечники
с небольшим зазором.
Пример 2. На оси кольца с током находится шар. Рассмотрим на-
магничение шара полем кольца,
Рис. 61.
«О
считая магнитные проницаемости
шара и окружающей среды рав-
ными соответственно ц2 и (tj. Со-
вместим начало сферических и де-
картовых координат с центром
шара, а оси Oz и полярную на-
правим по оси кольца в направле-
нии поля (рис. 61).
Представим первичное поле
через векторный потенциал. Эле-
мент тока Idl создает поле с век-
торным потенциалом
dA = ^l
cRq
что необходимо сделать по ходу
отношением
или в декартовых осях
dA /с».чпч„
х cRq
j Л __ /dZcO<q0
CRQ
Для выражения этих составля-
ющих через сферические функции,
решения задачи, воспользуемся со-
1 _______________________
Ro УR2-\-d2 — 2dR cosy
т2(4У^(со8^ (d>Ry
n-0
У
1
Здесь d — расстояние от центра шара до элемента тока; R —
сферическая координата точки наблюдения; у — угол между d и Я,
косинус которого выражается по известной формуле сферической
тригонометрии
cos у в cos 0 cos 0О + sin 0 sin 0О cos (ф — Фо),
где 0, 0О» ф, ф0 — в свою очеРеДь» полярные и азимутальные углы
точки наблюдения и элемента тока.
178
(771 = 1),
(777^=1),
(^==1),
(777^1),
Кроме этого, учтем известное из теории сферических функций
соотношение
Рп (cos т) = 5. ! &тРп (cos 6) Р{? (cos 0О) cos т (<р - <р0),
' 1' \fiit —г*I j
771=О
где 6,„ = 2 при 777=54= О и 60==1; Рп (cos0) = sinm0 (d^sej^”
— присоединенный полином Лежандра.
Подставляя в выражения составляющих dAx, dAy значение^-,
представленное через сферические функции, и выполняя интегриро-
вание по кольцу от ф0 = 0 до ф0 = 2л с учетом
Oir / •
» [ ла0 sin ф
J COS771 (ф—ф0)в1п фоаоб^фо = j 0
О I
( ла0созф
J созтп(ф—<p0)cos(p0a0d(p0 = j
о I и
(Lq с?фд — dl,
находим
4. - - 2 (4)" 444<с°= в)<cos в«>т.
П-1
2 (4)" (»+!)'р1° (cos (cos 0«)cos ф’
П=1
где а0 — радиус кольца.
Составляющая векторного потенциала поля кольца по направле-
нию угла ф будет
л г = 1/Л5+Т; -441 (4)" 4тот р" <с“ в)р- <сю в->-
П=1
Теперь при помощи формулы (173) получаем составлящие напря-
женности поля кольца
H°R т?2 sin 9 4(/? sin = 2 (4У"1р" (cos0>(соз0о);
П=1
при этом учитываем соотношение между полиномами
1йГ0~ 4 Sin &Р" <C0S 0) = -« (« + 1) Рп (COS 0),
Яое=-тагб-4-(Л81п0Л)=
оо
= - 2 (4)""14<cos 0)р" <cos 0о)-
/2=1
12»
179
Вторичное поле не зависит от координаты ф и может быть пред-
ставлено скалярным потенциалом в том виде, с которым мы неодно-
кратно встречались выше:
tv _V BJMcosO)
и 21 Лп+1
п-0
(R^a),
AnRnPn (cos 0)
n=0
(О^Я ^а).
Отсюда находим составляющие напряженности вторичного поля
н>____dU' (ra + D ВпРп (cos 0'
я dR Zi Нп+г
H’°m (R^a),
dU’ V Bnpi (cos в)
e Rdb — Z Rn+t
n~Q
H'n - - - 2 ^R^Pn (cos 0)
(0^
Re=- = 2 <cos e>
n=0
при этом учитываем соотношение между полиномами
-PnlftS6) =--Pn(cos0).
Для определения коэффициентов Ап и Вп воспользуемся гранич-
ными условиями (190) на поверхности шара (R = а), считая, что
поверхностный ток отсутствует. В результате получим
2--рМсг-в) “ 2 Апап~1р» (c°s ®)’
Н1
2 (-5-Гр. «=»»0)р- <»“ 0«)+2 |"+1)У.,( —
П-1 п-0
2 (т0>р" <сю 0»’ -
п-1
- 2 Аппап~1Рп (cos 0)
П—0
180
Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах в правой
и левой частях этих уравнений, получим новые уравнения, решая
которые относительно Ап и Вп, найдем
. _ 2л/<?о_____щ—pi_______Р\ (cos во)
Ап~ cd Пц2+(п + 1) н dn »
о _ 2л7д0 (рг-н)агп+1 PMcosOq)
п~ cd пц2+(п + 1)Р1 dn
Определением Ап и Вп задача о намагничении шара полем кольца
решена полностью. Коэффициенты Ло = Во = 0, поскольку нижний
значок полинома Pln (cos 0О) не может быть меньше верхнего. Физи-
чески это означает, что поле шара вдали от него является полем ди-
поля, а не полем точечного полюса.
На рассмотренных примерах показано применение дифферен-
циальных и интегральных соотношений магнитного поля токов к ре-
шению задач. Дальнейшие навыки могут быть получены при само-
стоятельном решении приведенных ниже задач.
Задача 1. Определить напряженность магнитного поля бесконечной пла-
стинки с током постоянной плотности /.
Ответ:
с
Задача 2. Прямой бесконечный провод заменен на некотором участке телом
вращения с осью, совпадающей с проводом. По проводу и телу течет ток I.
Определить напряженность магнитного поля от токов в теле.
Ответ:
Н = — (cos Ct! — cos ос2)»
где г — расстояние от осп вращения до точки наблюдения; а1? сс2 — углы,
образованные прямыми, проведенными от точки входа и выхода тока из тела
в точку наблюдения, с направлением тока в проводе.
Задача 3. Напряженность магнитного поля в проводнике задана соста-
вляющими: Нх = — ау, Ну = ах, Нг = 0. Определить плотность тока.
Ответ:
Задача 4, Напряженность магнитного поля в проводнике задана соста-
вляющими: HR = ЯА = 0; Нл = J?/(*~~cos в)
R в * cR sin О
Определить плотность тока.
Ответ:
i - 1
R 2л/?2 *
Задача 5. По, прямоугольной петле со сторонами ап!» течет ток I. Опре-
делить скалярный потенциал магнитного поля тока.
Ответ:
U = — a ret о-
с °
181
Задача 6. Точечное заземление находится в однородном полупространстве
на глубине z0. Определить в полупространстве напряженность магнитного поля
тока, растекающегося от заземления.
Ответ:
3 4~го___
Kr2 + (z + c0)2
где г, z - цилиндрические координаты с началом на поверхности полупро
странства и осью Oz, проходящей через заземление.
Из ответа следует, что при увеличении х0 до бесконечности магнитное поле
исчезает. Иначе говоря, ток, растекающийся от заземления в однородную без-
граничную среду, магнитного поля не создает.
Задача 7. Прямой изолированный провод С током находится в однородной
среде и заземлен на концах. Определить магнитное поле тока.
Ответ:
Я= (cos «1 — cos а2),
где 0ц, а2 — углы, образованные направлением тока в проводе с прямыми,
соединяющими заземления с точкой наблюдения; г — расстояние от оси провода
до этой точки.
Задача 8. Точечное заземление находится на поверхности полупростран-
/ к \2 л
ства с электропроводностью у = у0 ( ——•— ) . Определить в полупростран-
\ к /
стве магнитное поле токов, растекающихся от заземления.
Ответ:
Задача 9, Сделать то же самое, что п в задаче 8, для полупространства
С электропроводностью у = у0 ch2 az>
Ответ:
|А„ (е-„_,*») + ch „ —L. (1-£).
Задача 10. Известна функция тока точечного заземления, расположенного
на поверхности полупространства. Определить напряженность магнитного поля
тока, растекающегося от заземления.
Ответ:
Задача 11. По полоске шириной h течет ток в направлении оси Oz с постоян-
ной плотностью /. Определить напряженность магнитного поля.
Ответ:
тг 2ft . x — h . х \ „ 2/ , 1/ я2 + у2
(arctg— arctg v), Ну- с InJ/ (а._Л)2+у2 .
Задача 12. Определить плотность тока / на сфере, если внутри сферы
составляющие векторного потенциала имеют вид:
Ах = —Згу, Л, = 3zx, At = 0.
15с
Ответ: / = —-—a sin 6 cos О,
4л
где О — полярный угол; а"— радиус сферы.
182
Глава VIII
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ
§ 1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Электрическое и магнитное поля переменных токов нельзя теоре-
тически изучать независимо друг от друга, что возможно для постоян-
ных токов. При переменном токе эти поля так тесно объединены в еди-
ное электромагнитное поле, что теория их становится также единой.
Основной теории являются два положения Максвелла, имеющих
большой физический смысл и записываемых в виде двух уравнений,
связывающих между собой электрическое и магнитное поля перемен-
ных токов.
Эти положения играют не меньшую роль в электродинамике, чем
три основных закона Ньютона в механике. К двум уравнениям до-
бавляются некоторые соотношения рассмотренной уже теории по-
стоянных токов, и в итоге получается система уравнений, которая
при бесконечно медленно меняющемся процессе переходит в систему
уравнений стационарного поля.
Максвелл впервые создал такую систему. Поэтому теорию пере-
менного электромагнитного поля называют его именем. Эта теория
возникла из наблюдений за электромагнитными процессами в макро-
системах. Она позволяет получить правильные результаты в случаях,
когда на процессах не сказывается электронно-ядерное строение
тел. Развитие теории с учетом такого строения было начато в после-
максвелловский период Лоренцом и продолжается до наших дней.
Следует указать, что максвелловская теория относится к электромаг-
нитным процессам в неподвижных телах. Правильно объяснить про-
цессы в движущихся телах удалось только после создания теории
относительности, меняющей коренным образом понятия о простран-
стве и времени.
Особенностью переменного электромагнитного поля является его
свойство отделяться от контуров с переменным током и распростра-
няться со скоростью света в окружающем пространстве в виде волны.
183
Это свойство сильно зависит от частоты тока, и при низкочастотных
токах оно практически не проявляется.
Электромагнитная волна по своему поведению не отличается от
световой, что породило идею об одинаковой природе волн и привело
к созданию электромагнитной теории света. Таким образом, учение
о свете стало частью учения об электромагнитном поле, а давно из-
вестные, установленные опытным путем законы оптики получили
прочные теоретические обоснования.
В максвелловской теории за точечный источник электромагнит-
ного поля принимается элемент переменного тока. Поле такого
элемента теоретически и экспериментально впервые исследо-
вано Герцем. Исследования подтвердили теорию, которая в ге-
ниальном открытии радио А. С. Поповым получила дальнейшее
экспериментальное обоснование и широкое практическое приме-
нение.
В разведочной геофизике поле переменных токов также находит
применение; знакомство с теорией этого подя для геофизика-развед-
чика является практически важным делом. Нашей ближайшей зада-
чей будет получение системы уравнений переменного поля, а затем
применение ее к некоторым вопросам, представляющим интерес
с общеобразовательной и прикладной точек зрения.
§ 2. ТОК СМЕЩЕНИЯ
В основе новых теорий находятся обычно понятия, неизвестные
до этого в науке. К таким понятиям максвелловской теории относится
ток смещения. Для предварительного ознакомления с ним вспомним,
что при изучении курса электриче-
ства демонстрируется опыт о наличии
переменного тока в цепи с конденса-
тором (рис. 62).
Наличие тока объясняется зарядкой
и перезарядкой конденсатора перемен-
ным напряжением, приложенным к цепи.
Рассматривая ток как упорядочен-
ное движение зарядов, приходится
считать, что на обкладках конденсатора
он прерывается и первый закон Кирх-
гофа при этом нарушается. По Максвеллу ток не прерывается, а течет
дальше, но не в виде упорядоченного движения зарядов, а в виде
тока смещения, под которым понимается изменение со временем
электрического поля между обкладками.
Для получения выражения нового тока заметим, что ток в прово-
дах равняется изменению заряда на обкладках за единицу времени
dQ
dt
(191)
184
Заменяя в этом выражении согласно электростатике заряд Q
на JLg, где S — площадь обкладки, находим
4л
1=4FWS- <192>
Переход от заряда Q к индукции D имеет глубокий физический
смысл, поскольку им связывается ток в проводах с изменением во вре-
мени электрического поля между обкладками. Уравнение (192) рас-
сматривается как первый закон Кирхгофа в применении к конден-
сатору. В левой части уравнения стоит ток, притекающий по проводу
к обкладке и именуемый в максвелловской теории током прово-
димости, а в правой части — ток, уходящий от обкладки по
диэлектрику и называемый током смещения. Свое название
этот ток получил из-за механического понимания поля в прошлом
веке как упруго деформированного зарядами эфира, упругое смеще-
~ D
ние которого измерялось при этом величиной
Теперь поле хотя и рассматривается как особое состояние мате-
D
рии, но вектор — по-прежнему называют вектором электрического
смещения, а производную его по времени — плотностью тока сме-
щения.
Для диэлектриков, исключая вакуум, это название частично
оправдывается и при современных взглядах на поле. В самом деле,
если заменить вектор индукции D на сумму векторов Е + 4 л Р,
то производная по времени вектора поляризации определит часть
тока смещения, обусловленную скоростью смещения зарядов в моле-
кулах под влиянием переменного поля.
Обобщение понятия о токе позволило не только удовлетворить
первый закон Кирхгофа, но и написать для переменных токов пра-
вильный вид закона Био — Савара, о чем будет сказано ниже.
§ Зж ПЕРВЫЙ ЗАКОН КИРХГОФА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
ДЛЯ ПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ
На примере цепи с конденсатором мы пояснили, что под током сме-
щения понимается изменение электрического поля со временем. Этого
достаточно, чтобы говорить о токе смещения как в проводниках, так
и в диэлектриках, если в них имеется электрическое поле, меня-
ющееся со временем.
Любой диэлектрик имеет некоторую электропроводность, и в нем
наряду с током смещения существует и ток проводимости. В провод-
нике также имеются оба тока.
Хотя соотношение между токами зависит от частоты поля, тем
не менее в диэлектриках ток течет в основном в виде тока смещения,
а в проводниках — в виде тока проводимости.
185
Сумму плотностей тока проводимости i и тока смещения
называют плотностью полного тока, или полным током.
Для полного тока выполняется первый закон Кирхгофа в дифферен-
циальной форме. Для доказательства этого исходим из уравнения
(122), заменяя в нем р на div В итоге получим
div i div . (122')
dt 4л '
Меняя местами в правой части этого уравнения знак расходимо-
сти с дифференцированием по времени и перенося правую часть
в левую, а затем заменяя сумму расходимостей расходимостью от
суммы векторов, находим искомый закон:
«’(‘+4 <193>
Знак частной производной по времени от вектора электрического
смещения пишется в формуле (193) из тех соображений, что этот
вектор в общем случае зависит также и от координат. Таким образом,
в переменном токе замыкаются сами на себя линии полного тока, поле
которого яцляется соленоидальным.
Найдем соотношение между токами при гармоническом поле
Е = 2?osin со f, когда
• т о 4 д D с дБ есо . / л с\ /\
1 =уЕ = yEosin (dJ, - — = — —Ео cos cof. (194)
1 1 и dt 4л 4л dt 4л и '
Из этих выражений видим, что ток смещения опережает ток про-
* л 4лу
водимости по фазе на —, а отношение амплитуд токов равно =
= где со — круговая частота; v — частота колебаний поля в гер-
цах.
Для вычисления отношения амплитуд токов по приведенной фор-
муле надо выражать у и е в единицах системы СГСЭ.
У металлов электропроводность так велика, что в них, даже
при самых высоких радиочастотах, ток смещения ничтожен по сравне-
нию с током проводимости.
У полупроводников, к которым относятся и горные породы, элек-
тропроводность невелика, и оба тока малы при обычных значениях
напряженности; но они одного порядка при сравнительно низких
частотах. Например, при е = 2, v = 9-103 гц, у = 10“8 (ом-см)"1 =
= 9-108ед. СГСЭ амплитуды токов одинаковы.
Применим первый закон Кирхгофа для вычисления зависимости
от времени плотности объемных зарядов, находящихся в проводящей
однородной среде.
186
Для этого в формуле (122) заменим i на уЕ и Е на В результате
получим
— divD
е dt
где div D заменяем на 4лр и находим уравнение
4 л у _ др .
е 1 dt •
отсюда разделяя переменные и интегрируя, находим
Р - Рое * ,
где ро — плотность при t = 0.
Таким образом, р уменьшается со временем по экспоненте и тем
сильнее, чем больше у и меньше г.
В проводниках и полупроводниках отношение электропровод-
ности к диэлектрической проницаемости так велико, что р прак-
тически мгновенно обращается в нуль. В этих телах объемные заряды
не сохраняются, а выходят на их поверхность или положительные
нейтрализуются отрицательными. В связи с этим при рассмотрении
электромагнитного поля в проводящей среде плотность р считается
равной нулю.
В заключение рассмотрим разряд сферического конденсатора через
несовершенный изолятор между обкладками.
При разряде токи проводимости и смещения направлены по ра-
диусу обкладок, и, поскольку поле уменьшается, знаки у них разные.
Чтобы удовлетворить условию, что линии полного тока замкнуты
сами на себя, мы должны сделать единственно разумное предполо-
жение, что полный ток равен нулю, и в соответствии с этим написать
или
Производя некоторые преобразования п интегрируя уравнение
по времени, находим
ЛН_^1П£_1П £о = О,
где Ео — напряженность поля в начале разряда конденсатора
Избавляясь в интегрированном уравнении от логарифмов путем
потенцирования, получаем
Е = Еое • .
Хотя мы нашли формулу для вычисления изменения поля при
разряде сферического конденсатора, оно изменяется также и при
187
разряде любого проводника, окруженного несовершенным изолято-
ром, в частности, заряженного электрометра. Определим при помощи
найденной формулы электропроводность воздуха, если проводник
разряжается через него в е раз в течение часа.
Находим
Y = /и-ton -2,21-10-» ед. СГСЭ = 2,46-10-1’ {ом.см)~\
1 4л£ 4л • 3600
Полученный ответ показывает, как велика должна быть изоля-
ция проводников, чтобы они сохраняли заряд длительное время.
§ 4. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРЕМЕННОГО ПОЛЯ И ГРАНИЧНЫЕ
УСЛОВИЯ
Следует рассмотрение системы начать с ее основы, т. е. с двух
уравнений Максвелла.
Первое уравнение является обобщением закона Био — Савара
(179) на случаи переменного тока. Обобщение было сделано Макс-
веллом на основе предположения, что ток смещения создает магнит-
ное поле наряду с током проводимости. Это значит, что изображенные
на рис. 62 магнитные силовые линии охватывают не только провода
с током, но и переменное электрическое поле конденсатора. Предпо-
ложение о магнитном поле тока смещения подтвердилось всем даль-
нейшим развитием теории и практики электродинамики. По магнит-
ному полю ток смещения и обнаруживается на опыте, поскольку
теплового эффекта Джоуля — Ленца он не создает и по нему не вы-
является.
В связи со сказанным определим циркуляцию магнитного поля
переменных токов полным током, протекающим через контур,
«95>
d S
или, преобразуя левую часть уравнения по формуле Стокса, найдем
+ (19S-)
S S
Это уравнение считается справедливым для любого контура,
в том числе для элементарного, ограничивающего площадку
и из него следует равенство подынтегральных выражений левой
и правой частей
что при произвольной ориентировке нормали влечет за собой равен-
ство векторов
Г«‘Н = ^(1+44). (196)
188
Мы получили закон Био — Савара в дифференциальной форме
для переменных токов, или первое уравнение Макс-
велла. „
Составляя расходимость от обеих частей уравнения (196) и учи-
тывая, что расходимость вихря равна нулю, приходим снова к пер-
вому закону Кирхгофа. Таким образом, непрерывность полного тока
и наличие магнитного поля у тока смещения взаимосвязаны. Только
при выполнении обоих условий возможна непротиворечивая запись
первого закона Кирхгофа и закона Био — Савара для переменных
токов.
Уравнением (196) в строгой форме выражено положение, что маг-
нитное поле создается не только движущимися зарядами, но и меня-
ющимся со временем электрическим полем.
Второе уравнение Максвелла является законом индукции, запи-
санным в дифференциальной форме. Согласно закону, электродвижу-
щая сила, возникающая в контуре, равняется изменению потока маг*
нитной индукции через контур за единицу времени, взятому с обрат-
ным знаком
<197>
Фарадей, открывший закон по индукционному току в проволоч-
ном контуре, в величине электродвижущей силы не видел ничего,
кроме равенства ее произведению тока на сопротивление контура;
для него, можно сказать, главным в опыте было появление тока
в контуре. Для Максвелла главным был не ток, а электродвижущая
сила индукции, которая, по его убеждению, возникает в любом,
мысленно построенном, контуре, если через него меняется магнитный
поток. Электродвижущую силу Максвелл связывал с возникновение^
вихревого электрического поля в меняющемся со временем магнит-
ном поле. Электрические силовые линии вихревого поля, замыкаясь
сайт на себя, охватывают меняющийся поток вектора магнитной
индукции. В соответствии с таким пониманием закона (197) электро-
движущую силу индукции заменяют циркуляцией вихревого электри-
ческого поля по контуру, а магнитный поток — интегралом от соста-
вляющей магнитной индукции по нормали к поверхности, ограничен-
ной контуром. Выполнив эти замены, приходим к записи закона
в максвелловском понимании:
(197')
Преобразуя в этой записи левую часть по формуле Стокса, а в пра-
вом части меняя местами дифференцирование с интегрированием
и вводя при этом знак частной производной по времени (поскольку
магнитная индукция в общем случае зависит не только от времени,
но и от координат точки), получим
f rot„ Е dS = - -1- ( dS. (197')
и с J (ft
S S
189
Это равенство справедливо для поверхности с любыми размерами,
что указывает на равенство подынтегральных выражений левой
и правой частей
rol.E^-i W
а при произвольной ориентировке нормали — и на равенство векто-
ров
го1Е.„±4».. (1,,ч
Мы получили дифференциальную запись закона индукции, или
второе уравнение Максвелла. Им утверждается,
что электрическое поле создается не только зарядами, но и магнитной
индукцией, меняющейся со временем. Величину-----можно
назвать магнитным током смещения, который, появляясь, вызывает
вокруг себя электрическое поле. Знак минус перед магнитным током
связан с законом сохранения энергии, а с математической точки зре-
ния он указывает на то, что этот ток считается положительным при
уменьшении магнитной индукции со временем.
Из уравнения (198) следует взаимная перпендикулярность векто-
ров Е и В. В самом деле, вихрь вектора перпендикулярен вектору,
а тогда, если Е ориентирован по оси Oz, то В может ориентироваться
только перпендикулярно этой оси. Отсюда следует, что векторы Е
и Н также взаимно перпендикулярны, если отсутствует анизо-
тропия.
К трем уравнениям (194), (196), (198) добавляются два уравнения,
определяющие истоки индукций:
divD = 4np, (59)
divB —0; (64)
в результате получается система, описывающая электромагнитное
поле в любой среде, поскольку коэффициенты, характеризующие
среду, не входят в уравнения.
Если рассматривается поле в изотропной среде, то между векто-
рами принимается такая же связь, что и в постоянном поле:
i = у (Е + Ест), D = eE, В=рН, (199)
при помощи которой из уравнений исключаются векторы i, D, В
и вводятся в них у, е, р,, Ест, как величины известные. После этого
в уравнениях остаются два неизвестных вектора Е и Н и плотность
зарядов р, как величина заданная.
Поскольку каждое из уравнений Максвелла выражает самостоя-
тельный закон природы и по этой причине не вытекает из другого,
то с помощью первого из них можно исключить из второго еще один
вектор и таким образом получить уравнение с одним неизвестным
вектором. Решая^это уравнение при соответствующих граничных
190
и начальных условиях, определим неизвестный вектор, а затем, под-
ставив его в первое уравнение Максвелла, найдем второй вектор
и таким образом определим поле. Иначе говоря, в принципе электро-
магнитное поле определяется через одну из напряженностей, а вто-
рая — находится через первую с помощью одного из уравнений Макс-
велла.
Граничные условия в переменном поле такие же, что и в постоян-
ном,
Ел-Еп = --^-, Dnl-Dn2 = 4n<i,
Ha-Ht2=^, вп1-впг = о,
за исключением первого закона Кирхгофа, который на границе между
средами принимает теперь вид
,• । д Рщ • I Pm
nl dt 4л “ п2-г dt 4л 9
где буквой t в первом и третьем уравнениях обозначено касательное
направление, а в последнем — время. К граничным условиям до-
бавляются начальные условия и поведение поля в бесконечности,
а также вблизи точек или линий, занятых истоками и вихрями.
Часто приходится встречаться с установившимся режимом сину-
соидального тока. Колебания поля в этом случае будут чисто выну-
жденными, и для определения их не требуется знания начальных
условий.
§ 5. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
И ВЕКТОР УМОВА — ПОЙНТИНГА
Плотность энергии электромагнитного поля определяется по
формуле
Ш = JBH)
8л ‘ 8л *
а количество энергии в некотором объеме поля по формуле
। JBHL-ljp.
J L 8л 1 8л J
V
Нас интересует случай, когда обе напряженности Е и Н создаются
одним и тем же источником тока. Тогда даже в стационарном поле
происходит перенос энергии в определенном направлении. При
переносе наблюдаются превращения электромагнитной энергии,
которые протекают в согласии с законом сохранения энергии. Для
вывода закона, который позволит проследить перенос и превращения
энергии, рассмотрим изменение ее за единицу времени в объеме V
V
191
Внесем под знак интеграла вместо электрического и магнитного
токов смещения их значения из уравнений Максвелла и получим
= Ш(Е rot Н) ~(НrotE)]dr~ f(iE)
V V
Если заменим в этом уравнении подынтегральные выражения
на основе соотношений — (Е rot Н) + (Н rot Е)= div [ЕН]; (iE)=pi2—
— (iECT,) а также сделаем небольшую перегруппировку слагаемых
и преобразуем интеграл с расходимостью в поверхностный, то придем
к новому уравнению
f (iECT) dV = jpi*d7+ j-S-[EH]„dS, (200)
V V s
которое выражает закон сохранения энергии в электромагнитном
поле.
Для формулировки закона следует пояснить смысл отдельных
членов в левой и правой частях уравнения.
Интегралом в левой части определяется мощность, развиваемая
сторонними силами. Первое слагаемое правой части показывает
изменение энергии поля за единицу времени, второе слагаемое пред-
ставляет мощность, расходуемую на нагревание проводников током,
третье слагаемое надо понимать как мощность, вынесенную через
поверхность S из объема V,
Закон сохранения энергии может быть сформулирован так:
мощность, развиваемая сторонними силами в рассматриваемом объеме,
расходуется на увеличение энергии поля, на нагревание током
проводников, и часть ее выносится через поверхность 5, ограничи-
вающую объем.
Вектор Р = ~ [ЕН] называется вектором Умова-Пойн-
тинга; он определяет направление и величину переноса мощности
через единицу поверхности, перпендикулярной вектору.
Векторы Е и Н, как уже отмечалось, при отсутствии анизотропии
взаимно перпендикулярны и совместно с вектором Р образуют оси
правой системы координат.
Перенос мощности соответствует динамическому представлению
о поле как о материи, находящейся в непрерывном движении, при
котором энергия переносится от генераторов к потребителям.
Для стационарного поля = 0, и закон сохранения энергии
принимает вид
J (iECT) dV = J + J [EH]„ dS; (200')
V vs
из уравнения следует, что перенос энергии, а значит и динамичность
поля, сохраняется и в этом случае.
192
Если в рассматриваемом объеме стационарного поля отсутствуют
сторонние силы, то из уравнения (200') вытекает
- J [ЕН]Л dS = J pi2 dV, (200")
S V
т. e. нагрев проводников током осуществляется за счет мощности
внесенной полем в объем с проводниками.
Эта точка зрения находится в явном противоречии с распростра-
ненным мнением, что энергия подводится к потребителю, например
к электроплитке, по проводам. Чтобы разобраться в этом вопросе,
рассмотрим передачу энергии с помощью двухпроводной линии.
§ 6. ПЕРЕДАЧА ЭНЕРГИИ ПО ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ
С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Принято говорить о передаче электрической энергии по проводам
и без проводов. В первом случае имеется в виду передача в электро-
технике, а во втором — в радиотехнике. Говорят также о проволочной
и беспроволочной связи, когда имеется в виду
передача сигналов небольшой мощности. С точки
зрения максвелловской теории все эти передачи
происходят по полю, а провода придают полю
определенное строение, при котором энергия
направляется в указанное место.
Рассмотрим участок двухпроводной линии,
на котором принимаем ток в левом проводе,
текущим к потребителю, а в правом — от потреби-
теля к генератору (рис. 63). У поверхности про-
Рис. 63.
водов имеются касательная составляющая напряженности электриче-
ского поля Et, равная произведению плотности тока в проводах на их
удельное сопротивление, и нормальная составляющая Еп, направлен-
ная от провода (левого) с большим потенциалом к проводу (правому)
с меньшим потенциалом. Поэтому электрические силовые линии,
отходя от проводов и подходя к ним, с направлением тока образуют
угол меньше 90°. В результате этого в пространстве между проводами
у силовых линий наблюдается выпуклость, направленная в сторону
потребителя (рис. 63). Магнитные силовые линии уходят между про-
водами от нас за чертеж. Вектор Умова—Пойнтинга в средней части
поля направлен к потребителю, а вблизи проводов он несколько
наклонен к ним, что указывает на внесение части энергии полем
в провода и на нагревание проводов согласно уравнению (200").
Вычислим мощность, вносимую в провод на рассматриваемом
участке, определяя поток вектора Р через поверхность провода
-f^-[EH]„d5 = $±-EtHtdtdl,
s s
13 Заказ 1701
193
где индексом t обозначено направление по касательной к поверхно-
сти, совпадающее с образующей провода, а индексом I — второе
направление, совпадающее с касательной к контуру поперечного
сечения провода. Интегрирование Etdt по длине образующей опреде-
лит напряжение [7, приложенное к проводу на рассматриваемом
участке, а интегрирование Htdl по контуру сечения — циркуляцию
магнитного поля; оно равно кпНс, где I — ток в проводе. В резуль-
тате вычислений получим
- f (EH]„dS ^UI - PR,
s
что и надо было ожидать согласно уравнению (200").
Поле наиболее интенсивно у проводов, и основная часть энергии
переносится вблизи них. Провода, направляя энергию к потребителю,
поглощают часть ее и превращают в тепло. Затрата этой части энер-
гии необходима, поскольку за счет ее поддерживается ток в проводах.
Это обусловливает такое строение поля, при котором остальная часть
энергии уносится к потребителю.
Поглощение энергии проводами происходит тем сильнее, чем
больше составляющая Et или чем больше их сопротивление R-
Вектор Р на участке с большим сопротивлением имеет большой на-
клон в сторону провода, что и ведет к значительному поглощению
энергии. Потребитель, например лампа накаливания или электро-
плитка, имеет большее сопротивление по сравнению с подводящими
проводами и в него вносится много энергии.
Представление о переносе энергии полем позволяет легко понять
переходы ее от одной обмотки трансформатора к другой и дальнейшее
ее перемещение. В целом устройство линии с трансформаторами та-
кое, что оно придает определенное строение полю, при котором энер-
гия переносится от генератора к потребителю.
С этим представлением хорошо увязывается часто наблюдаемое
«одновременное» загорание лампочек на какой-нибудь длинной
улице независимо от местонахождения рубильника, с помощью кото-
рого подключается напряжение к лампочкам. Поле от рубильника
распространяется по линии со скоростью, близкой к скорости света.
С такой же скоростью переносится энергия к лампочкам, и кажется,
что они загораются на всей улице одновременно. Если бы энергия
переносилась с зарядами, движущимися в проводах со скоростью
миллиметров в секунду, то пришлось бы долго ждать загорания лам-
почек, удаленных от рубильника всего на несколько метров.
§ 7. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НАПРЯЖЕННОСТЕЙ
Из уравнений Максвелла следует, что электромагнитное поле
распространяется волной. В самом деле, из первого уравнения выте-
кает, что переменное электрическое поле вызывает магнитное поле,
а последнее, согласно второму уравнению, снова возбуждает элек-
194
трическое поле. Таким образом, процесс взаимного возбуждения
полей распространяется в пространстве в форме волны. Волна мо-
жет быть связанной с контуром тока (например, волна, бегущая по
проводам) или отделившейся от него и распространяющейся в окру-
жающем пространстве. В связи со сказанным на уравнения Макс-
велла надо смотреть, как на волновые, записанные в необычной форме.
Из них можно получить обычные волновые уравнения второго по-
рядка, которые для некоторых случаев легко решить, и решения
исследовать.
Получим обычные волновые уравнения для случая однородной
изотропной среды, считая плотность зарядов р равной нулю. При
этом будут выполняться уравнения divE = divH =0.
Применяя операцию вихря ко второму уравнению Максвелла
и учитывая первое уравнение, а также соотношение rot rot Е =
= grad div Е — ДЕ = —ДЕ (поскольку div Е = 0), после неболь-
ших преобразований получим волновое уравнение для Е:
Аналогичное уравнение получается для Н, если применить опе-
рацию вихря к первому уравнению Максвелла и сделать некоторые
замены и преобразования:
дн—(202)
Уравнения (201) и (202) называются также телеграфными, по-
скольку ими же описывается и электромагнитный сигнал, распро-
страняющийся по телеграфной линии, когда телеграфист замыкает
ее ключом.
Волна, распространяясь в полупроводнике или проводнике,
поглощается, так как ее энергия через индукционные токи превра-
щается в тепло. Вычислить эту энергию можно по разности потоков
вектора Р до и после прохождения волны через полупроводник.
При распространении волны в диэлектрике индукционные токи не
возникают и поглощения не наблюдается.
В уравнениях (201) и (202) поглощение представлено членом с пер-
вой производной напряженности по времени, в который множителем
входит электропроводность. В диэлектриках электропроводность
равна нулю, и этот член из уравнений исчезает.
При решении задач прикладного характера значительную роль
играют волны, когда поле со временем меняется по гармоническому
закону. Роль этих волн велика и в теории, поскольку волну с перио-
дическим, но не гармоническим полем можно представить суммой
волн с гармоническими полями, но с разными частотами.
Зависимость от времени по гармоническому закону напряжен-
ности или другой величины, характеризующей поле, будем учиты-
вать множителем
е’w — cos (of — i sin (of,
13*
195
где i = 1^—1 — мнимая единица; со = 2nv — угловая частота коле-
баний; v = частота колебаний, выражающаяся в герцах.
Напряженности при этом могут быть записаны в таком виде:
Е (дг, </, z, t) = Е (я, j/, z) Н (х, у, zj) (х, у, z)
Величины Е (я, у, z), Н (х, у, z) играют роль амплитуд напря-
женностей в данной точке.
Запись зависимости поля от времени с помощью множителя
е’4ш/ оказывается весьма удобной при теоретических рассуждениях.
Например, дифференцирование по времени сводится к умножению
на коэффициент —/со
дЕ (х у, z t) . „ , ,ч
----< = — 1ыЕ (х, у, z, i),
а интегрирование по времени — к делению на этот же коэффициент
С г? / .ч j. Е (х, у,~т, t)
j Е (х, у, z, Г) dt =-.
Рассуждения при этой записи сокращаются, и, хотя в итоге обычно
получается комплексная величина, за окончательный результат бе-
рут от нее вещественную или мнимую часть.
Для гармонического поля уравнения (204), (202) по сокращении
на множитель принимают вид
ДЕ (х, у. z) + Л2Е (я, у, z) = 0 (201')
ДН (х, у, z) + Л2Н (х, у, z) = 0. (202')
Коэффициент к = (ь/с + 2yp,/vi = <о/с (а + ip) называется
комплексным волновым числом среды. Смысл этого
названия выяснится в дальнейшем, а теперь напишем выражения
для п и р, которые являются вещественной и мнимой частями ком-
плексного коэффициента преломления, но мы их будем называть
соответственно коэффициентом преломления и коэффициентом по-
глощения среды:
-//т’+тчь
p-i/iW+WFf-
Эти выражения находятся обычным извлечением квадратного
корня из комплексного числа
(«И + ^-0-
195
j 8. СКИН-ЭФФЕКТ
Явление скин-эффект, или поверхностного эффекта, заключается
в неравномерном распределении переменного тока по поперечному
сечению проводника. Плотность тока уменьшается в сечении по на-
правлению от поверхности к внутренним частяхч проводника. Толко-
вание явления в духе максвелловской теории сводится к утвержде-
нию, что происходит поглощение электромагнитного поля, распро-
страняющегося из диэлектрика в проводник. Для электроразведки
переменным током поглощение имеет значение, поскольку в резуль-
тате его поле на нижних горизонтах земной коры уменьшается;
в итоге снижается возможность обнару-
жения глубоких неоднородностей.
Для количественного обсуждения во-
проса рассмотрим скин-эффект в беско-
нечной пластинке толщиной h (рис. 64).
Считая начало координат на одной из
граней, а осьОг перпендикулярной грани
и направленной в пластинку, примем
поле гармоническим и зависящим только Рис. 64.
от координаты z. Далее, направим ось Ох
по электрическому полю; тогда магнитное поле совпадет с осью Оу.
Уравнение (20Г), (202') принимают вид
^±+^Я(г) = 0,
а решения их запишутся через показательные функции
£(z) = 41e^-51e‘^,
Н (z) = A2eikzB2eTikz.
Ток в пластинке направлен по оси Ох, а его распределение должно
быть симметричным относительно ее середины. В силу этого электри-
ческое поле на гранях одинаково по величине и знаку, а магнитное
поле одинаково по величине, но отличается знаком:
Е (0) = Е (Л) или -р BY - Ajeiku + 51е“/АЛ,
Н (0) = —Н (Л) пли А2 4- В2 = — A2eikh — B2e~lkh.
Отсюда находим: Вг = А^кп, В2 = —A2efkh.
Теперь решения для напряженностей с учетом множителя е"/ш/
запишутся в виде
E(z, t)=- A1[e^i
H (z, t) — A2 [e-i [h-z]) ]
197
Между коэффициентами А х и А 2 имеется связь, которая выявится,
если напишем второе уравнение Максвелла для рассматриваемого
случая
Z) р dH (z, t)
dz с dt
и подставим в него полученные выражения для Е нН. Тогда, после
дифференцирования, сокращения на общие множители и некоторых
преобразований, получим
* 1 (О р р
Связь определяется комплексным множителем, указывающим на
сдвиг по фазе между электрическим и магнитным полями на угол
о
ср = arc tgпоскольку множитель можно представить в виде
it -I- i fl Ки2 + fl2 i
Й e
Подставляя значение A2 в выражение H (z, t) и удерживая
в выражениях Е и Н только вещественные части, получим их в сле-
дующем виде:
I - / 1 \ — •— 3 z) /
E(z, cos со (t — zj 4- е с cos со (t — \h — z]
(203)
Н(z, t) = А±---------[е с cos QcoZ — со— z — qj —
- — 3 (h-z) / и
— e c cos (coi— co — \h — z] — cp
Теперь легко видеть, что выражения полей представлены двумя
волнами: одна из них распространяется от одной грани пластинки
к другой, а вторая — наоборот. Скорость распространения волн
v = с!п и отсюда п = civ, что оправдывает для п название показа-
теля преломления, поскольку, как увидим ниже, с равно скорости
волн в пустоте.
Амплитуда волн с удалением от граней затухает по показатель-
ному закону, и в показатель степени входит множитель 0, что оправ-
дывает название р как коэффициента поглощения. Электрическое
поле представлено суммой, а магнитное — разностью волн. Как
сумма, так и разность волн, распространяющихся в противополож-
ных направлениях, образуют стоячую волну. Плотность тока в пла-
стинке находится по закону Ома; в средней части она меньше, чем
у граней. Это и составляет сущность скин-эффекта.
198
Выражения для напряженностей упрощаются, если увеличим
h до бесконечности и пластинку преобразуем в проводящее полу-
пространство. Тогда в выражениях исчезает волна, распространя-
ющаяся от нижней грани:
2?(z, t) = A1e'~^Z cos Qctyt — co^ z) ,
H(z, t) = e~~ 2cos (cof — (o2— q>) . (204>
Теперь амплитуды полей затухают _____________О
с глубиной z по показательному закону \ —
и при z = с/сор уменьшаются в е раз. /
Например, при е = р, = 1, у = Ю"4 у* . /
(ом-сл)"1 = 9-107ед. СГСЭ (электропро- i jy
водность рыхлых отложений), v = 1,5X \si
X105 гц подобное уменьшение произой- у /
дет на глубине, равной 13 ле. Г\ /
С увеличением z меняется фаза, и на
некоторой глубине поле имеет направле- и
ние, противоположное тому, что при z = 2
= 0. Для нахождения этой глубины надо рИСе ^5.
положить (&nzlc = л. Отсюда находим
С JT
2 = ; выполнив вычисления при приведенных выше данных,
получим z 41 ле.
На рис. 65 изображена зависимость от z амплитуды и мгновен-
ного значения поля в полупространстве.
§ 9. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В ДИЭЛЕКТРИКЕ
Волну принято характеризовать формой ее поверхности. Плоской
называется волна с плоской поверхностью. Для получения уравне-
ния этой поверхности надо приравнять фазу волны в определенный
момент времени к постоянной величине. Точечный источник колеба-
ний создает в однородной среде сферическую волну. Контур с пере-
менным током на достаточно больших расстояниях от него рассматри-
вается как точечный источник, а волна от него считается сферической.
Небольшую часть сферы можно принимать за плоскость, а волну,
соответствующую этой части, за плоскую.
Мы будем считать плоскую электромагнитную волну распростра-
няющейся в направлении оси Oz и зависящей, кроме времени t,
только от координаты z. Ось Ох направим по электрическому, а ось
Оу — по магнитному полю волны. Тогда три вектора Е, Н, Р будут
ориентированы, как показано на рис. 66.
Плоскость xOz, в которой колеблется электрическое поле, при-
нято называть плоскостью колебаний, а плоскость yOz — колебаний
магнитного поля — плоскостью поляризации.
199
Волновые уравнения (201) и (202) для рассматриваемого случая
принимают вид
d2£(z, t) ер, t) п
dz* с2 dt* "~U’
d*H (z, t) ep, d*H (z, t)
&Z* C2 ^2 ~ О
и по форме совпадают с уравнением колебаний струны, натянутой
на оси Oz,
(*, t) 1 0)2/ (-, t) 0
dz* v* dt*
где / — отклонение точек струны от положения равновесия; v —
скорость распространения волны.
Общее решение уравнения струны со-
f стоит из суммы двух частных решений
11 и записывается так:
п Р
“L r Z Первое решение (t — zlv) соот-
ветствует волне, распространяющейся по
s' направлению оси Oz, а второе /2 (t 4-
у -{-zlv) — волне, бегущей в противополож-
ном направлении. В самом деле, чтобы
Рис. 66. отклонение от положения равновесия
/j (t — zlv) было постоянным и соот-
ветствовало, например, гребню волны, надо с увеличением t уве-
личивать z так, чтобы аргумент t — zlv оставался постоянным,
а это значит, что гребень перемещается в сторону возрастания z.
Точно так же для постоянства /2 (* + z/p) надо с увеличением t
уменьшать z так, чтобы t 4- zlv оставалось постоянным, т. е. гребни
этой волны бегут в сторону уменьшения z. Таким образом, общее
решение уравнения струны отвечает стоячей волне. Чтобы оно
соответствовало одной бегущей волйе в направлении оси Oz, в нем
надо оставить первое слагаемое, а второе — отбросить.
Применительно к плоской электромагнитной волне, распростра-
няющейся по оси Oz, общее решение запишется в виде
£(z,0 = E(i-4),
H(z, о = я(г-^-),
где v = dVер.
В вакууме е = р = 1 и v = с. Итак, скорость электромагнит-
ных волн в вакууме равна электродинамической постоянной, кото-
рая, в свою очередь, равна скорости света в вакууме. Таким образом,
скорости электромагнитных и световых волн в вакууме совпадают.
200
Этот и другие факты привели к заключению, что световые и элек-
тромагнитные волны имеют одну природу. В итоге была создана
электромагнитная теория света.
Отношение скорости волны в вакууме к скорости в среде опреде-
ляет коэффициент преломления среды. Для диэлектриков мы полу-
чаем п = ]Ле|л — соотношение, которое называется законом
Д4 д к с в е л л а.
Мнимая часть коэффициента преломления, которую для провод-
ников назвали коэффициентом поглощения, в диэлектриках отсут-
ствует и волновое число становится вещественным и равным со тг/с =
= 2п/Ти = 2л/Х, где X — длина волны.
Таким образом, волновым числом называется число
волн, укладывающееся в отрезке длиной 2л см. Комплексное волно-
вое число для проводников получает такое толкование только в том
случае, если за длину волны принять комплексную величину X =
= Х0/(п 4- ф), где Хо — длина волны в вакууме.
Для волны с гармоническим полем решениям (205) придают вид
Е (z, t) = А2 cos cd ,
Н (z, t) = Ах cos со (t — . (205 )
Связь между амплитудами напряженностей находят так же, как
при скин-эффекте, и получают А2 = nAJp. Отсюда следует, что
сдвиг фазы между напряженностями отсутствует, а величина коэф-
фициента связи такова, что плотности энергий электрического и маг-
нитного полей одинаковы:
е£2 __ ц#2 __ eiHJcos2 со
8л ~~ 8л ~ 8л ’
Величина вектора Умова — Пойнтинга выразится формулой
Р = ^_A^cos2(o7«--Y
4л р 1 \ и / »
она всегда положительна, или энергия переносится волной только
в направлении ее распространения. Заменяя квадрат косинуса
его средним значением за период, т. е. половиной, получим
Р - — —Л2
ср ~ 8л р Л1*
Отсюда вычислим среднюю амплитуду для солнечных лучей,
зная, что они за пределами атмосферы Земли переносят через 1 см2
поверхности, перпендикулярной им, 2 кал!мин = 2*4,18-107 эрг!мин\
A 1/8л • 2 • 4,18 • 107 ,
Л1 - V —~ ~ V з.10ю.60 ед- сгсэ = 10,25 в/см.
201
На видимые лучи, как известно, в спектре Солнца приходится
максимум излучения, и для них амплитуда электрического поля
будет больше вычисленной величины.
Если считать, что волна распространяется в направлении оси
Ozr, которая с осями координат образует углы а, р, у, тогда в фазу
надо подставить вместо z расстояние z' = х cos а у cos р
+ 2 cos у, а выражения напряженностей (205') записать в следу-
ющем виде:
Г, z , л (. ЖСОЯ! -Lycos P-t-ZCOSV
Е (z , t) — 4i cos co (i------------------------
(205")
Н (z', t) = A1f cos О) (t ££y« + ycoSp + ZcosY ) .
§ 10. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ
МЕЖДУ ДИЭЛЕКТРИКАМИ
Волна, встречая границу между диэлектриками, частично отра-
жается и частично проходит через нее во второй диэлектрик, испы-
тывая при этом преломление. Максвелловская теория позволяет теоре-
Рис. 67.
вого диэлектрика в
тически вывести законы отражения и прелом-
ления, найденные опытным путем для световых
волн. Также теоретически выводятся формулы
для амплитуд отраженной и преломленной
волн, которые были получены еще Френелем,
принимавшим свет за упругие колебания эфира.
Для рассмотрения этих вопросов полагаем
границу плоской, а диэлектрики однородными
и изотропными. Координатную плоскость хОу
совмещаем с границей, а ось Oz направляем из
первого диэлектрика во второй. Далее счи-
таем, что волна падает на границу из пер-
направлении, которое образует с координат-
ными осями углы а, л/2, у (рис. 67).
Направления отраженной и преломленной волн пусть образуют
с координатными осями соответственно углы ах, Р1Т ух и а2, Тг-
Таким образом, мы заранее не предполагаем, что все три направ-
ления, согласно опыту, находятся в плоскости падения.
Рассмотрим вначале случай, когда у падающей волны электри-
ческое поле направлено по оси Оу, или плоскость поляризации совпа-
дает с плоскостью падения xOz.
Выражения всех трех волн запишутся в следующем виде:
п л /, х cos a + s cos
Е = A cos со ------------J ,
тт л пх /. z cos a -Lz cos y\
H = A — COS (0 ( t-------------------- 9
Hl \ yl 7
Г л xcosc^ + ycos’Pi-Lzcosyt
— 4X COS (0^1----------------
202
Я - A, cos ® (Z - ЗЛояа1 + Ус"8Р1 + гсояУЛ ,
1 1 Hl X yi /
Е2 = Аг COS (О (z - ^o^2^^osP2 + z cos Y^ t
н2 ---= Аг cos со (z- *™п*+у™ Рг+^cosy^ )
где индексами 1, 2 отмечены соответственно отраженная и прелом-
ленная волны, а также первый и второй диэлектрики.
На границе z = 0 должна выполняться непрерывность касатель-
ных составляющих обоих полей в любой момент времени. Это воз-
можно только при равенстве фаз у всех трех волн при z = 0, т. е.
х cos а х cos di + У cos Pi a: cos g2 + y cos P2 .
Vi Vi Vz 9
отсюда при независимости координат х, у находим
cos а _____________cos ах _cos а2 q __ cos Pi _ cos P2
l?l ГД V2 9 Vi v2 9
на основании чего заключаем
a — an pi = p2 = —.
Введя в рассмотрение <р = л/2 — a — угол падения, ф' =
= л/2 — dj —угол отражения, ф = л/2 — а2 — угол преломле-
ния, из полученных соотношений выведем законы отражения и пре-
ломления:
1) угол падения равен углу отражения;
2) отношение синуса угла падения к синусу угла преломления
есть величина постоянная, равная отношению скорости падающей
волны к скорости преломленной волны;
3) направления падающей, отраженной, преломленной волн
лежат в одной плоскости с перпендикуляром, восстановленным
к границе в точке падения.
Последний закон позволяет считать плоскость поляризации
отраженной и преломленной волн совпадающей с плоскостью паде-
ния, а это дает основания для написания граничных условий в таком
виде:
E + Ei = Е2,
НхЛ~Нх1 = Нх2.
Выразим Нх через Е при помощи второго уравнения Максвелла
Р дНх дЕ л cos у . / л х cos a 4- z cos у \
c dt d: Vi \ i?i /
Интегрируя по времени крайние члены этого соотношения и вы-
полняя некоторые преобразования, находим
тт л «1 /. zcosa + zcosy \
нх = А —- cos V COS (О ( t--—------ I .
Pl 1 \ 1>1 /
203
Аналогично находим выражения Нх1, Нх2. После этого, подстав-
ляя в граничные условия значения Е, Ег, . . ., Ях1, Нх2 и учитывая
равенство фаз у волн при z = 0, получаем:
А + А1 = А2,
(A cos у + Л cos Yj) = А2 cos y2 •
Решая эти уравнения относительно А1У А2 и заменяя при этом
cos у на cos ф, cos уг на — cos ф, cos у2 на cos гр, приходим к форму-
лам Френеля:
_ Нг?г1 cos cosгр
1 cos ф + Н1п2 cos гр ’
2ц2И1 cos <р д (206)
2 p2nx COS ф + ^По COS “Ф
Считая щ = |Л2 и заменяя в формулах (206) n2/ni на sin ф/sin гр,
а также выполняя некоторые преобразования, получаем:
Л = sin(i|)-c[) А
1 яш(гр+ф) ’
j _ 2 sin гр cos ф , (206 )
2 “ нп(гр + ф)
Формулы (206') позволяют сделать заключение.
1. При гр<; ф показатель преломления второго диэлектрика
больше, чем первого. Амплитуды А г, А отличаются знаками, а волна
отражается с изменением фазы на противоположную или с потерей
полволны.
2. При гр > ф показатель преломления второго диэлектрика
меньше, чем первого, отражение происходит без потери пол волны.
Рассмотрим теперь случай, когда плоскость поляризации пада-
ющей волны перпендикулярна плоскости падения, а магнитное поле
направлено по оси Оу.
Запись полей волн остается при этом прежней, и законы отраже-
ния и преломления сохраняются, но в выражениях граничных усло-
вий электрическое и магнитное поля меняются местами:
Я + Я^-Я^ Ех -J- Ех1 = Ех2.
Определяя теперь Ех через Н при помощи первого уравнения
Максвелла и подставляя в выражения граничных условий вместо
Я, Н1, . . ., Ех1, Ех2 их значения, получим уравнения
2±(Я+Л1)=-^А2,
Hi v 17 Н2
A cos Yt A cos yj = А2 cos Y2»
204
решая которые относительно Alt А2 и заменяя при этом cos у на
•cos ф, COS ух на — cos ф, cos у2 на cos ф, приходим к формулам Фре-
неля для этого случая:
__ |Л]П2 cos ф — cos Ф А
Ц1П2 COS <р +|Л4«1 совф
(207)
._________2цг”1С0!5<Р д
Я2 ~ ЩИ, COS ф-|-Ц2Я1 cos ф
Полагая снова щ = |*« и заменяя n2/nj на sin ф/sin ф, получим
после некоторых преобразований
А . tg (ф- Ф) л
1 *г(ф-1-ф) ’ (207')
. ________2 sin ф cos ф
2 sin (ф + хр) cos (ф — Ф)
Формулы (207') позволяют сделать заключение.
1. При (р ^>i|) амплитуды А и Ат одного знака, но они относятся
теперь к магнитному полю, которое отражается без потери полволны.
Амплитуды же касательных составляющих к границе электрического
поля падающей и отраженной волн определяются величинами
A cos у — A cos ф, Аг cos ух = — Ar cos ф;
они разного знака, что говорит об отражении электрического поля
с потерей полволны. Поскольку плоскость колебаний волны опре-
деляется по колебаниям электрического поля, то считается, что
отражение происходит и в этом случае с потерей полволны.
2. При ф< по тем же соображениям отражение происходит
без потери полволны.
3. При ф + = л/2 отражения не наблюдается, поскольку
амплитуда Аг равна нулю.
При этом tg ф = sin ф/cos ф = sin ф/sin ip = n2/nx, т е. тан-
генс угла падения равен относительному показателю преломления
второго диэлектрика относительно первого. Это положение назы-
вается законом Брюстера, поскольку оно было установлено этим
ученым на опыте со световыми волнами задолго до создания макс-
велловской теории.
Мы рассмотрели отражение и преломление волны, когда она
была поляризована, т. е. содержала колебания в одной плоскости.
Естественный свет не поляризован, колебания в нем происходят
в разных плоскостях. Такой свет можно представить двумя волнами,
поляризованными во взаимно перпендикулярных плоскостях. Одна
из них будет вести себя при отражении и преломлении, как волна
с плоскостью поляризации, совпадающей с плоскостью падения,
а другая— как волна с плоскостью поляризации, перпендикулярной
плоскости падения. При угле падения, определяемом из закона
Брюстера, отражается только первая волна. Поэтому, когда
205
естественный свет падает на границу под этим углом, то отраженный:
свет полностью поляризован в плоскости падения, а преломленный
свет частично поляризован. Преломленный свет обедняется коле-
баниями. ушедшими в отраженный свет. Пропуская естественный
свет через стопу из восьми — десяти стеклянных пластинок, назы-
ваемую стопой Столетова, добиваются того, что в результате восьми-
десяти отражений преломленный свет по выходе из стопы практи-
чески полностью поляризуется.
формулы (206) и (207) при нормальном падении волны (<р = =
= 0) приводятся к одному виду:
А ii М1”2—Н2”11 л
1 Н1Л2 + Н2”1
А __ 2ц2п2
2 Р1«2 + Н2^1 ’
в числителе первой формулы берется абсолютное значение разности
Мощность, переносимая волнами через единицу поверхности,
определится средней величиной вектора Р и для нормального па-
дения :
р — W1 Л2
ср ""8л ’
Р _ С f Н1^2 —И2^1 V Л2
1ср 8л Р1 \Ц1И2 + Н2и1 /
р с П2 / 2р>2п1 У А2
2ср 8л \ И1П2 4 Н2П1 /
Отсюда находим коэффициенты отражения г и пропускания d
энергии границей:
Г ; Р1СР — ( И1”2 —Р2”1 У
Рср \Р1«»+Р»П1/ ’
J Р2ср / 2Ц2П1 у п2Р1
рсР \ (И'гг + Рг'Ч / «1М2 '
В частности, прп падении из вакуума на диэлектрик с р2 — 1,
= п
( п — iy 4«
Г-\« + 1 / ’ (« + 1)2 •
Например, для стекла с п = 1,6 находим: г = 5,32%, d =
= 94,68%.
Из выражений коэффициентов г и d следует, что они одинаковы
при падении волны на границу как из первого диэлектрика на второй,
так и из второго на первый.
206
в и ОТРАЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ ОТ ГРАНИЦЫ ДИЭЛЕКТРИКА
С ПРОВОДНИКОМ
Положим, что волна падает из диэлектрика нормально на гра-
ницу его с проводником. В диэлектрике будет падающая и отражен-
ная волны, а в проводнике только преломленная.
Запишем выражения напряженностей всех трех волн в комплекс-
ной форме:
-in ) тт n, . -I"' G—)
Е Ае ' Vt , Н-= — Ае ' ,
Pi
Е^А^ Н. =^~
Ег = А2е-^^‘^‘-^\
Для проводника запись выполнена по аналогии с записью при
скин-эффекте.
Граничное условие, требующее непрерывности касательных со-
ставляющих напряженностей при z — 0, приводит к уравнениям
А 4 Аг А2,
— (A -А)= ”8tfp2 А,
Ml v 17 Mz 2
решая которые относительно At и А2, находим
д _ M2ni — Mi j
1 М2"1 + Ml (”2-НР2> Z ’
4 2м2”1 л
М2П1+ М1 (^г +
Связь между амплитудами через комплексный множитель озна-
чает, как и при скин-эффекте, сдвиг фазы отраженной и преломлен-
ной волн по отношению к фазе падающей волны. Определение сдвига
не представляет большого труда, но мы этого делать не будем, а най-
дем коэффициент отражения энергии от границы. Он равен отно-
шению квадрата модуля амплитуды отраженной волны к квадрату
амплитуды падающей волны. Составляя это отношение, получим
г = (М2^1—И1^2)2+М?Р2 .
(Мгл1 + Ц1^г)2 + М1?а
В случае падения волны из вакуума на проводник находим
более простое выражение для коэффициента отражения
(И-И)2+Р2
(М + и)2+Р2>
207
Для металлов и их сплавов при всех радиочастотах и даже
в области инфракрасного света можно считать п = 0 = и Для
коэффициента отражения при падении волны из вакуума будет
правильной формула
которая согласуется с опытом до значений v = 2,5 • 1013 гц и ниже
или до значений X = 12 -10~4 см и выше. Например, для меди (у =
= 5,14-1017 ед. СГСЭ, ц = 1) при v = 2,5-1013ei{ по формуле
г = 98.6°о, а по результатам опыта г = 98,4%.
Столь высокое значение г у металлов обусловлено их большой
электропроводностью; она позволяет металлические поверхности
применять в качестве хороших зеркал для электромагнитных волн.
Обычное туалетное зеркало является также металлической поверх-
ностью. наложенной на стекло с целью придания ей формы плоскости
и механической жесткости.
§ 12. ПОТЕНЦИАЛЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Напряженности переменного поля могут быть определены через
потенциалы, которых имеется два — векторный и скалярный. Они
являются вспомогательными функциями, позволяющими в некото-
рых случаях легче и быстрее изучить поле, чем это можно сделать
непосредственно решая уравнения Максвелла или волновые уравне-
ния для напряженностей.
Иногда потенциалы называют запаздывающими в связи
с тем, что поле от источника в точку наблюдения приходит через
некоторое время после того, как оно возникло у источника. Поэтому
поле и потенциалы, характеризующие его, фиксируются в точке
наблюдения с некоторым запозданием по сравнению с моментом
возникновения их у источника.
Обозначив скорость распространения поля через у, момент его
образования у источника в точке М (ж0, у0, z0) через /0, а момент
появления в точке наблюдения А (ж, у, z) через t. мы выразим запоз-
дание в однородной среде таким образом
отсюда имеем
где R — расстояние от точки М (я0, г/0, z0) до точки А (х, у, z).
При небольших значениях R и большой скорости v запоздание
мало и в этой части пространства поле такое же, как при постоянном
токе, равном мгновенному значению переменного тока.
208
Эту область называют квазистационарно й, а поле
в пределах ее —к вазистационарным. Размер квазиста-
ционарной области зависит от быстроты изменения тока со временем.
Для синусоидальных токов запоздание в пределах квазистационар-
ноп области должно быть мало по сравнению с периодом тока.
После этих замечаний переходим к рассмотрению потенциалов.
Векторный потенциал А определяется соотношением
B rotA, (208)
которое находится в согласии с уравнением (64).
В самом деле, применяя операцию расходимости к обеим частям
соотношения (208), приходим к уравнению (64), поскольку расходи-
мость вихря тождественно равна нулю.
Подставив во второе уравнение Максвелла вместо вектора магнит-
ной индукции вихрь векторного потенциала, получим
rot Е - —- rot А.
с dt
Отсюда, после перемены местами производной по времени с сим-
волом вихря и переноса правой части в левую, а также замены
суммы вихрей вихрем от суммы векторов, находим
rot (е+
\ с dt J
гч Т? f 1 дА
Это уравнение показывает, что вектором Е + — — определяется
потенциальное поле, с которым можно сопоставить скалярный
потенциал U по обычной формуле
E^T^-=-gradt7- (209)
Таким образом, электрическое поле переменных токов разделяется
на вихревую и потенциальную части. Скалярный потенциал (7,
характеризующий потенциальную часть, не совпадает по содержа-
нию с потенциалом электрического поля постоянных токов, поскольку
разность потенциалов между двумя точками определяется теперь
криволинейным интегралом вектора Е -]—а не вектора Е.
Особенно резко проявляется различие между скалярными потен-
циалами переменного и постоянного полей на следующем примере.
Если через один реостат пропускать переменный, а через другой—
постоянный ток и измерять одним и тем же вольтметром напряжение
между концами реостатов, то в обоих случаях показания прибора
соответствуют величине криволинейного интеграла вектора Е по
длине провода, образующего реостат. Но только в случае постоян-
ного тока показание совпадает с разностью потенциалов между
концами реостата.
14 Заказ 1701 209
Показание же вольтметра при измерении напряжения на реостате
с переменным током не соответствует разности значений на концах
реостата скалярного потенциала, введенного в рассмотрение.
В переменном токе замеряемое вольтметром напряжение между
двумя точками цепи принято сопоставлять с разностью значений
в этих точках некоторой функции, называемой потенциалом, но эта
функция будет неоднозначной. Ее изменение по любому контуру
равняется циркуляции электрического поля, равной э. д. с. индукции
в контуре. Только в постоянном токе, когда э. д. с. индукции в кон-
туре равна нулю, эта функция становится однозначным скалярным
потенциалом электрического поля.
Определенный формулой (209) скалярный потенциал U является
однозначной функцией в переменном поле, а какое ему следует
приписывать значение в постоянном поле, будет видно из последу-
ющих рассуждений.
Формулами (208) и (209) мы выразили потенциалы через векторы
В и Е; но эти же формулы могут быть использованы для определения
векторов В и Е через потенциалы. Потенциалы должны при этом
вычисляться другим путем, не имеющим отношения к этим формулам.
§ 13. УРАВНЕНИЕ СВЯЗИ МЕЖДУ ПОТЕНЦИАЛАМИ И ВОЛНОВЫЕ
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ
Вводя для определения поля два потенциала — векторный
и скалярный, мы вводим четыре функции, а именно, три составляющие
векторного потенциала и скалярный потенциал. Это противоречит
сделанному ранее замечанию, что поле в принципе определяется
одной напряженностью или тремя ее составляющими. Для устране-
ния этого противоречия вводится уравнение связи между потен-
циалами, которым устраняется произвольность в выборе лишней
функции.
С целью получения одинакового вида уравнений, которым удов-
летворяют потенциалы, связь между ними принимается такая:
div А + -^ =0. (210)
При написании формулы (208) было отмечено согласие ее с урав-
нением (64), а для вывода формулы (209) использовано второе урав-
нение Максвелла. Теперь воспользуемся остальными уравнениями
электромагнитного поля с целью получения уравнений для потен-
циалов, считая при этом среду однородной и изотропной.
Заменяя в первом уравнении Максвелла Н на -^-rot А и D на
г*
---— £ grad ?7, получим уравнение
rot rot А = «а Г( _ ' » (1 + grad о)],
с L 4л ot \ с at / J
210
которое с учетом связи (210) и соотношения rot rot А = grad div А —
— ДА легко преобразуется в волновое уравнение с правой частью
для векторного потенциала
(2Н>
Сй с
Заменяя в уравнении (59) D на — у — е grad U, приведем его
к следующему виду:
div (у ~ +в grad = — 4лр;
отсюда, исключая с помощью уравнения связи (210) векторный
потенциал, придем к волновому уравнению с правой частью для ска-
лярного потенциала:
= (212>
Применяя операцию расходимости к уравнению (211) и принимая
во внимание уравнения (210) и (212), получим первый закон Кирх-
гофа для полного тока.
Таким образом, можно сказать, что система уравнений (208)—
(212) заменяет приведенную ранее систему, в основе которой были
два уравнения Максвелла. В основе новой системы находятся два
волновых уравнения для потенциалов.
Эти волновые уравнения своим аналогом в постоянном поле
имеют уравнение Пуассона.
Вторые производные по времени из волновых уравнений исчезают,
если волна распространяется не с конечной скоростью (и = с/1/sp),
а с бесконечной, и они превращаются в уравнения Пуассона. Такое
же превращение уравнений наблюдается, если поле со временем
меняется медленно и вторыми производными во времени можно
пренебрегать.
Запаздывающие векторный и скалярный потенциалы при мед-
ленно меняющемся со временем поле приближаются соответственно
к векторному потенциалу постоянных токов и к скалярному потен-
циалу неподвижных зарядов и в пределе, когда изменения будут
бесконечно медленными, совпадают с ними.
§ 14. РЕШЕНИЯ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ
В ОДНОРОДНОЙ БЕЗГРАНИЧНОЙ СРЕДЕ
Волновые уравнения для потенциалов содержат правую часть
только в точках, в которых плотность переменных токов и зарядов
отлична от нуля. Вне этих точек правая часть уравнений отсутствует.
Найдем простейшее решение уравнения без правой части. Пусть
в начале координат находится точечный заряд зависящий от
211
времени t0. На расстоянии R в момент t он будет создавать запазды-
вающий скалярный потенциал
U (х. у, z, t)
. <? «о) . Qh~ у)
eR zR
который является простейшим решением волнового уравнения (212)
без правой части, что можно проверить непосредственной подстанов-
кой этого выражения в уравнение и вычислением соответствующих
производных.
Допустим далее, что заряды занимают вблизи начала координат
некоторый объем V с плотностью р(х0, z/0, z0, t0). Тогда, разбивая
объем на элементы dV и рассматривая их как точечные заряды
величиной р (х0, i/0, z0, t0) dV, запишем потенциал отдельного
элемента по приведенной выше формуле
/ R \
fl .. ~ / \ Р I ж(ь Уо» ’о. t— v /
dU (х, у, z, t) ---= р ( п' у”'/{'п' л)- dV = —-—-— dV,
интегрированием которой по объему V найдем потенциал всех зарядов
U (х, у, z, t) =
dV.
(213)
Аналогичное решение получается для векторного потенциала,
если объем считать заполненным током с плотностью i (х0, у0, z0,
t - R/v):
Г gi (*<ь Vo, ’о, t —v)
A (x, у. M) = J -----— dV. (214)
v
Мы получили выражения (213), (214), как решения волновых
уравнений без правой части. Покажем, что они являются решениями
этих же уравнений с правой частью. Для этого возьмем точку внутри
объема, занятого зарядами или токами, и окружим ее сферой малого
радиуса, чтобы внутри сферы плотность источников можно было
считать постоянной. Разложим потенциал в этой точке на два сла-
гаемых: одно происходит от источников, находящихся вне сферы,
другое — от источников, расположенных внутри ее. Первое слагае-
мое удовлетворяет волновому уравнению без правой части. В преде-
лах сферы запозданием можно пренебрегать; тогда интегрирование
по объему ее даст второе слагаемое, которое будет соответствовать
стационарному полю и удовлетворять уравнению Пуассона. Сумма
слагаемых или весь потенциал в рассматриваемой точке будет удов-
летворять волновому уравнению с правой частью.
212
§ 15. ПОЛЕ ВИБРАТОРА
В ОДНОРОДНОМ БЕЗГРАНИЧНОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ
Применим полученные решения для запаздывающих потенциа-
лов к исследованию поля вибратора. Под вибратором понимается
небольшой колебательный контур открытого типа, у которого
обкладки конденсатора удалены друг от друга на максимальное
расстояние и заменены шарами, а катушка самоиндукции
образована прямым коротким проводником, соединяющим шары.
При электрических колебаниях вибратора шары будут заря-
жаться положительно или отрицательно, а по соединительному
Z
проводнику потечет переменный
ток. Таким образом, вибратор
является элементом переменного
тока. Благодаря нагреванию сое-
динительного проводника током
и излучению энергии, колебания
вибратора затухают и для под-
держания их надо систематиче-
ски подводить к нему энергию.
Для этого в соединительном
Рпс. 68.
проводнике устраивается воздуш-
ный зазор, параллельно которому подключается вторичная обмотка
индукционной катушки. Высоким напряжением обмотки вибратор
вначале заряжается, а затем пробивается и ионизируется зазор.
В результате половинки вибратора замыкаются, и в нем начинаются
электрические колебания.
С исчезновением ионизации зазора колебания прекращаются,
но катушка вновь заряжает вибратор до пробивного напряжения
и процесс повторяется.
Более совершенным является непрерывное питание вибратора
энергией с помощью электронных ламп, когда воздушного зазора
не требуется и колебания получаются непрерывными и незатуха-
ющими.
Не делая пока никаких предположений о зависимости колебаний
от времени, совместим начало декартовых координат с центром
вибратора, а его длину определим вектором 1. ориентированным по
оси Oz, Кроме декартовых координат будем употреблять сферические
R, 0, ср (рис. 68).
Поскольку при колебаниях в вибраторе ток течет по соединитель-
ному проводнику, а заряды собираются на концах его, снабженных
малыми шарами, то интегрирование (213) по объему шаров приведет
к такому выражению скалярного потенциала:
и (х,у, z, l)= V
где И+9 R_ — расстояния от концов проводника до точки наблюдения;
213
q (j — R/v) — общий заряд на шаре, рассматриваемый как точеч-
ный.
Разлагая выражения
₽(-^) ₽(-£)
7?+ ’ 1Г_ '
в ряд Тейлора в начале координат, считая при этом длину I малой
и ограничиваясь членами первого порядка малости, придем к выра-
жению скалярного потенциала вибратора
Г eG--
U = Igrad,, Р
----ъй----
которое отличается от выражения потенциала постоянного диполя
тем, что из-под знака градиента не вынесен заряд Q, являющийся
благодаря запозданию функцией координат начала и конца радиуса
вектора R.
При вычислении интеграла (214) можно считать расстояние R
от всех точек вибратора до точки наблюдения постоянным и равным
расстоянию от средней точки его. Тогда для векторного потенциала
получим выражение
А
cR 9
где I (t — R/v)— ток в соединительном проводнике, равный измене-
нию заряда на концах вибратора за единицу времени, т. е. —
Учитывая еще соотношение
div
8/?
1 Srad-A----
= lgradA
——zdiv 1 =
eR
поскольку
выражения
eR J ’
1 постоянный вектор и div 1 = 0,
потенциалов в следующем виде:
можем переписать
£7 = -|divA-A_
д__р dpV v )
с dt R
где для сокращения записи введен дипольный
р(£ — Rlv) = 1() (t — R/v), направленный, как и вектор!, по оси Oz.
(215)
момент вибратора
214
Таким образом, оба потенциала выражены через один и тот же
вектор р ориентированный по оси Oz и называемый век-
тором Герца. С помощью формул (208), (209) напряженности
поля выразятся таким образом:
Нх-2-.A.rot Р^д (216)
E^_^ibvl+.gtaadivdizzL
С2 ^2 R е grdUU1V R
, р(-4)
= —- rot rot ————5 .
е R
При написании выражения для Е учтено, что вектор Герца
удовлетворяет волновому уравнению без правой части. Вычислим
по этим формулам составляющие напряженностей в сферических
координатах.
Вектор Герца имеет составляющие по направлениям R и & следу-
ющего вида:
—' „ cOS0,---- -р L—sin©.
R R
Через них вычисляется единственная составляющая магнитного
поля по направлению ср:
н = _1JL_L Л
* с dt R L dR
A) sin© + А
COS0 =
Я
р" \t-
cvR
Р'
СЯ2
sin0,
(217)
где штрихи при р (t — R/v) означают производные этой функции
по аргументу t — R/v.
Из вычисления магнитного поля следует, что вихрь вектора
p(f— R/v)
---я---- определяется одной составляющей по направлению <р:
Электрическое поле направлено перпендикулярно этой составля-
ющей вихря и имеет составляющие по R и 0 следующего вида:
215
(218)
Полученными выражениями для Н и Е поле определяется в любой
точке пространства; они достаточно сложны, но упрощаются и ста-
новятся удобными для интерпретации в двух случаях.
1. Для поля вблизи вибратора, где оно квазистацио-
нарно и связано с вибратором. В выражениях (217), (218) наиболь-
шую роль при малых R играют члены с наивысшими степенями R
в знаменателе. Удерживая эти члены, получим
(219)
Пренебрегая в этих формулах запозданием, т. е. считая t — Rlv &&
t, мы можем сказать, что магнитное поле вблизи вибратора
является полем элемента переменного тока II (0, а электрическое —
полем диполя с переменным моментом р (f) = IQ (t).
2. Для поля вдали от вибратора, где оно отдели-
лось от вибратора и свободно распространяется в пространстве.
Эту область называют зоной свободной волны или зоной излучения.
При больших R в выражениях (217), (218) главную роль играют
члены, содержащие в знаменателе R в первой степени. Удерживая
их, находим
р* ( t —— sin 8 р" (t — — sin 8
- ’ ^ = о, -----.(220)
Общим выражениям (217), (218) можно дать такое толкование.
Поле в основном состоит из двух частей. Одна часть поля связана
с вибратором; она быстро уменьшается с увеличением R и значи-
тельна только при малых R. Вторая часть поля отделилась от вибра-
тора и представляет свободную сферическую волну, распространя-
ющуюся в пространстве. Эта часть мала вблизи вибратора по сравне-
нию с первой частью, но она медленно убывает с удалением от него
и при больших R определяет полностью поле.
216
В зоне свободной волны магнитное поле колеблется в направлении
параллелей, а электрическое — в направлении меридианов. Вектор
Умова — Пойнтинга направлен при этом по радиусам. Поскольку
напряженности (220) зависят от sin0, то поле наибольшее в эква-
ториальной плоскости и равно нулю на оси вибратора. Соответственно,
излучение энергии будет неравномерное: оно изменяется от наиболь-
шего значения в экваториальной плоскости вибратора до нуля
в направлении его оси.
Определим излучаемую мощность. Для этого составим выраже-
ние величины вектора Умова — Пойнтинга
p--kE<H,=-k
и проинтегрируем его по поверхности сферы радиусом R:
2* " 0 Р'"2 ( *-— )
J j/V?2sin6<W<p = |—(221)
о о
Мгновенная мощность N колеблется со временем, но она все
время положительна, т. е. энергия переносится волной в направле-
нии от вибратора. Поскольку излучаемая мощность выражается
через вторую производную дипольного момента вибратора по вре-
мени, то она не равна нулю только при переменном токе, когда
заряды движутся с ускорением. Это положение макроскопической
теории электричества оказалось неприемлемым для теории атома,
согласно которой движущиеся ускоренно в атоме электроны не излу-
чают энергии, пока система находится в одном из стационарных
состояний.
Для вычисления средней мощности, излучаемой вибратором,
будем считать колебания его гармоническими, когда
= — Z<20W2COS(0 -у) — Z/Owcosw(z —-у)
где Qq — амплитуда заряда; Zo = — амплитуда тока в виб-
раторе.
Подставляя значение р" (t — R/v) в выражение (221) и учитывая,
что среднее значение квадрата косинуса за период и вообще за любое
число периодов равно половине, найдем среднюю мощность (в эрг/сек),
излучаемую вибратором при гармонических колебаниях:
V -1 12^2 12 - 2 /2(°2 72
ср 3 Е/;3 2 3 егЗ 1
(222)
217
тэ 2 /2<Х>2
Величину -у -^-называют сопротивлением излучения; эта вели-
чина и ток в формуле (222) выражены в единицах СГСЭ. Обозначим
ее через Ra и выразим в омах:
где X — длина волны в среде, окружающей вибратор.
Выражение (222) перепишем в следующем виде;
N ср = адф = 80л2 )/> 72Ф. (222')
Здесь Аср выражено в ваттах, а /эф- в амперах.
Излучаемая мощность пропорциональна квадрату произведения,
образованного из частоты на амплитуду тока и на длину вибратора.
Контуры с низкочастотными токами практически не излучают
энергии.
Антенны радиостанций являются колебательными контурами
открытого типа и излучаемая ими мощность определяется теми же
параметрами, что и у рассмотренного вибратора.
Для увеличения излучаемой мощности антеннам придают соот-
ветствующую длину и в них создают высокочастотный ток большой
силы. Последнее достигается при достаточно большой емкости
антенны, что осуществляется разветвлением верхней части ее,
играющей роль одной обкладки, и присоединением нижней части
к земле, выполняющей роль второй обкладки конденсатора. Более
полные сведения об излучении антенн излагаются в курсах радио-
техники.
Для излучения электромагнитных волн применяют и магнитный
вибратор, роль которого играет рамка с обмоткой из некоторого
числа витков п с переменным током I. Задачу о поле такого вибра-
тора решают так же, как о поле электрического вибратора. При этом
вместо электрического момента р (t — R/v) вводят магнитный
момент
/с» \ г« M(i—R/v)
(где S — площадь одного витка) и образуют вектор 1 ерца-,
ориентированный по оси Oz.
Тогда электрическое и магнитное поля вибратора определятся
по формулам
М (t
Н = — rot rot-----------
р. R
218
§ 16. ВЕКТОР ГЕРЦА В ПРОВОДЯЩЕЙ ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
Вектор Герца, введенный для изучения поля вибратора в одно-
родном диэлектрике, удовлетворяет волновому уравнению без пра-
вой части. Естественно предположить, что это выполняется и в одно-
родной проводящей среде, но только волновое уравнение должно
быть телеграфным, т. е. содержать первую производную по времени.
Обозначим вектор через Z (я, 7, z, t) и напишем для него телеграф-
ное уравнение
^-^-=0, (223)
с* at с* at1
а затем попытаемся выразить напряженности поля через вектор
так, чтобы удовлетворялась вся система уравнений электромагнит-
ного поля.
При решении этой задачи учтем, что в проводящей среде объем-
ный заряд не может сохраняться и плотность р равняется нулю.
Отсюда следует, что в проводниках div D = е div Е = 0.
Поэтому мы удовлетворим всю систему уравнений переменного
поля, если определим напряженности через вектор по формулам
H = rot(l-^-+^-zY
\ с dt 1 С£ / ’
Е = — rot rot Z,
е ’
(224)
(225)
которые при у = 0 совпадают с формулами (216).
Действительно, применяя операцию вихря к обеим частям фор-
мул (224), (225) и учитывая уравнение (223), приходим к первому
и второму уравнениям Максвелла, а применяя операцию расходи-
мости к обеим частям этих же формул, убеждаемся в равенстве
нулю расходимости напряженностей, а значит и индукций, поскольку
среда однородна.
Первый закон Кирхгофа для полного тока также выполняется,
поскольку он получается применением операции расходимости
к обеим частям первого уравнения Максвелла, удовлетворяемого
формулами (224), (225) и уравнением (223).
Таким образом, для нахождения поля в проводящей среде можно
исходить из уравнения (223), решая его с учетом начальных и гра-
ничных условий. Граничные условия для вектора Герца опреде-
ляются в соответствии с граничными условиями для напряженностей
поля.
В приложениях приходится часто встречаться с гармоническим
полем, для которого полагаем Z (х, у, z, t) = е/е' П (я, у,
219
тогда уравнение (223) и формулы (224) и (225) по сокращении на мно-
житель получают вид
АП-?£2П = 0; (223')
Н=--~rotll; (224')
Е = rot rot П, (225')
где П (х. у, z) — часть вектора, зависящая от координат; в' =
2т .
= £ -г 7 1 — величина, называемая комплексной диэлектрической
проницаемостью.
§ 17. ПОЛЕ ВИБРАТОРА В БЕЗГРАНИЧНОЙ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ
В практике геофизической разведки применяется в различных
вариантах переменный ток, изучение поля которого начинается
с поля вибратора. Осуществить вибратор в проводящей среде техни-
чески легче, чем в диэлектрике. Для этого надо взять короткий изо-
лированный провод, заземлить его концы и создать в нем переменный
ток с помощью соответствующего генератора.
Мы будем полагать ток в вибраторе гармоническим и учитывать
это множителем при котором умножение на коэффициент— гео
соответствует составлению производной по времени. Сравнивая
формулы (224'), (225') с формулами (216), мы видим их полную
идентичность в смысле определения напряженности через вектор
Герца, но для проводящей среды вместо обычной диэлектрической
проницаемости берется комплексная. Поэтому запишем выражение
вектора Герца так же, как в диэлектрике,
р (t — — )
Z(X,y,z,t)= (226)
где, однако, скорость и = с= =—определена через комплекс-
Ге 'р
ную диэлектрическую проницаемость.
Выражение (226) удовлетворяет волновому уравнению (223'),
и, чтобы оно отвечало сферической волне вибратора, расходящейся
из начала координат, его надо взять в следующем виде:
>(-")
П ” К В 5
учитывая, что при гармоническом токе
220
перепишем его таким образом.
R —id>R
-it» i t --
I/ре V
При этом часть вектора Герца, зависящая только от координат,
выразится так:
тт/ ч Ное ’' ~ По*‘*Д
П(х, у, z) - _.шЯ — _.щЯ .
Оставляя у вектора Z (х, у, t, z) первоначальное выражение (226),
мы можем формулы (217) и (218) применить для вычисления напря-
женностей поля вибратора в проводящей среде, если в них обычную
диэлектрическую проницаемость заменим комплексной
а скорость v будем считать равной c/j/s'p, === с/(п + ф).
Удерживая в этих формулах только члены с наивысшими сте-
пенями R в знаменателе, получим значения составляющих вблизи
вибратора:
р' [t—II (^t — -уsin 6
TR2 Trz ’
2p(t —’v)ros 0 -у ) cos е
е'7?3 (4лу— ?ше) /?3 ’
-^-)sin© ll^t— Ауч|П6
е'/?3 (4лу — icoE) 7?3
(219')
Магнитное поле, как и в случае диэлектрика, совпадает с полем
элемента переменного тока, а электрическое — с полем переменного
диполя. Однако между полями имеется сдвиг по фазе, для определе-
ния которого разделим на Е^:
-£~ = ^ (faiy — iae) R = 1/(4лу)2-j-(coe)2 Re**,
где <р — arctg — угол опережения по фазе магнитным полем
электрического.
221
При со=0 формулами (219') определяется поле постоянного
тока, протекающего по короткому изолированному проводу, зазем-
ленному на концах.
Вдали от вибратора поле выражается формулами
itoll (t — sin6
e'z?2/?
S1D0
(220')
из которых отношение HJEq = е'и/с = (п 4- ф)/р, = ]/"п2 + р2е^/ц
получается комплексным, что указывает на отставание магнитного
поля по фазе от электрического на угол = arctg — .
Полагая в формулах (220') I = Zoe \ v ' и заменяя и на
c/(n-f-f|3), а затем оставляя в выражениях Н? и Ее только веществен-
ную часть, получим
ш
+ Р2 сое с sin — со R — ф) sin 0
~ ; (220")
- —/эн / п Ч
Zolp,coe с sinicoJ — со — 7?)sin0
F________________________V_______с /
Теперь, составляя выражения вектора Р и вычисляя среднюю
мощность, излучаемую через сферу радиусом Я, находим
----созф (222')
где коэффициент при является сопротивлением излучения в про-
водящей среде.
§ 18. ПОЛЕ ВЕРТИКАЛЬНОГО ВИБРАТОРА,
РАСПОЛОЖЕННОГО НА ПОВЕРХНОСТИ ОДНОРОДНОГО
ПРОВОДЯЩЕГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
В практике встречается вертикальный вибратор, расположенный
на поверхности проводящего полупространства; роль последнего
играет земная кора.
При рассмотрении поля такого вибратора приходится пользо-
ваться решениями волнового уравнения (223') в цилиндрических
координатах с началом на поверхности полупространства и осью
Oz, направленной по нормали к поверхности внутрь полупростран-
ства. Ознакомимся с этими решениями.
222
Понимая под П (х, y,z) одну из составляющих вектора П (х, у, г)
по декартовым осям, напишем для нее волновое уравнение в цилинд-
рических координатах
i д дП . i д*П .
г дг дг ’ г2 dtp2
^ + ^ = 0'
(223*>
п будем решать его методом разделения переменных, считая П =
== /1 (г)-/г (ф)7з (z)» гДе кажДый из множителей является функцией
одной координаты.
Подставляя это значение П в уравнение, приведем его после
некоторых преобразований к виду
1 д _д^ , 1 d*f2 , Г2 dVs , 1.2Г2__П
В левой части этого уравнения слагаемое с производной по <р
зависит только от координаты ф и сумма его с другими слагаемыми
при произвольных значениях координат может равняться нулю при
условии, что оно равно постоянной, а сумма всех остальных слагае-
мых равна этой же постоянной, но взятой с другим знаком.
Обозначим постоянную через —п2. Для однозначности решения
надо считать п целым числом. Полагая п = 0, 1,2, . . ., напишем
два уравнения:
4-^
/1 дг
1 rf2/2^ Г2
/а “ П '
дг ~ дг + /з dzi +кг П-
Решениями первого из уравнений являются тригонометрические
функции cos nep, sin пф, второе — переписывается в таком виде:
(lid dfX П2 \ , / 1
\ fl г дг дг г* \ /3
5г + 4’) = (,;
члены, взятые в скобки, зависят от одной координаты; как и в пре-
дыдущем случае, их приравняем к одной и той же постоянной, взятой
с разными знаками. Обозначив эту постоянную через X2, напишем
два уравнения:
_1_1 d dfr n*
fl г dr dr г2 Л ’
1 d^f3
f3 dZ2
M2 = v.
Подходящим для нашего случая решением первого из уравнений
удет Ул(лг) бесселева функция первого рода n-го порядка, а вто*
223
рого — e±F^‘^-A,z _ показательная функция. Таким образом, реше-
ние для П запишем в таком виде:
( sinwp,
где С — постоянный коэффициент.
Для конечности решения при больших значениях z у показатель-
ной функции надо брать показатель степени с минусом при z
и с плюсом при 0. Если область поля такая, что значение /
в ней ограничено, то показатель в этой области может быть взят
с тем и другим знаком.
Постоянная к ничем не ограничена, и можно брать все ее значения
от 0 до оо, а общее решение представить интегралом
г- ____I coswp,
n=j С (к) Jn(hr)e±v'*~k* 2dk\ sinn^ (227)
где С (X) считается некоторой функцией X.
Написанный интеграл аналогичен интегралу Фурье, в смысле
представления им функций. Только в интеграле Фурье колеблю-
щейся (осциллирующей) функцией является косинус, синус или
более общая показательная функция. Здесь же осциллирующей
будет бесселева функция Jn (кг).
Решение (227) можно еще более обобщить, просуммировав подын-
тегральное выражение по п от нуля до бесконечности, предварительно
умножив cos пф и sin /гф на постоянные коэффициенты ап, Ьп, разные
для различных п. Однако нам этого не нужно, поскольку будем
интересоваться такими решениями для 77, которые не зависят
от ф (п = 0) или зависят только через cos ф (n = 1)
Интегралом (227) можно представить также П для вибратора,
находящегося в однородной безграничной среде, когда зависимость
от угла ф отсутствует (п = 0). В предыдущем параграфе показано,
что в этом случае П = — /70егЛл//соR. Поэтому при определенном
коэффициенте С (Л) должны выполняться равенства
оо
о
оо
-^^=$C(k)J0(kr)^^dk (z<0),
о
полагая в которых z = 0 и опуская множитель —/70//со, получаем
оо
(k)J0(kr)dk,
о
где С' (X) отличается от С (X) множителем — Z70//co.
224
Учитывая свойства бесселевых функций, из последнего равенства
находим
С (Л) = Je'*V0(Xr)Xdr;
О
заменяя функцию Jo (кг) ее значением по формуле
I ‘ г /л \ 1 С , COS а
- da'
о
получаем
оо 2 я
с (к) = У j etr (*+х С08 а) к da dr.
6 о
Интегрируя это выражение по г и учитывая, что из-за положитель-
ной мнимой части к интеграл обращается на верхнем пределе в нуль,
находим
2тс
С' f X) 1 (
' ' 2Л1 J к + Xcos а “' /х2—’
о
Интегрирование по а не приводится, но оно выполняется с по-
мощью теории вычетов.
Теперь можем написать соотношение
оо
pikR Г ц ___
« = j0 (V) е± ^’-*2 г dk, (228)
Я J °V ' /Х2-Л2
О
умножив обе части которого на —//0//со, получим значение П для
вибратора, находящегося в безграничной проводящей среде.
Переходя к рассмотрению поля вертикального вибратора, нахо-
дящегося на поверхности проводящего полупространства, заметим,
что оно не зависит от угла ф и может быть представлено одной состав-
ляющей вектора Герца, направленной по оси Oz (рис. 68). В связи
с этим величину П как в воздухе, так и в земной коре представим
интегралом (227) при п = 0.
Целесообразно в воздухе выделить волну, распространяющуюся
непосредственно от вибратора и отраженную от земной поверхности,
а интегралом представить поправку на неполное отражение. Это
скажется только на значении коэффициента С (X) под знаком интег-
рала.
Поступая таким образом, напишем
°°
п‘ = - т? т1 - тт Г с> (Ч Л (Ч) < 0).
о
оо
^2 =--^-J(72(l)J0(Ar)e-^^2dl (z>0),
О
15 Заказ 1701
225
где индексами 1 и 2 отмечены величины, относящиеся соответственно
к воздуху и к земной коре, а перед интегралами, для сокращения
записи в дальнейшем, введен общий множитель —2ZZ0/fo.
Коэффициенты Сг (к) и С2 (к) находятся из граничных условий
= = (при z = 0),
которые при независимости поля от <р переписываются в следующем
виде:
Ег1 = Ег2. (230)
Согласно формулам (224), (225) этим условиям соответствуют
равенства
дП\ дП2 1 _ 1 д*П2 _________
dr dr ' ej dr dz в'2 dr dz ’
интегрируя которые от г до оо и учитывая, что в бесконечности
решения (229) и их производные по координатам равны нулю,
получим
П^Пг, (z=Q).
1 Сх dz Ея dz v 7
Составляя производные по г от выражений (229) и выполняя
граничные условия в последней записи, приходим к равенствам
оо оо
+ f Cj. (Л) Jo (Xr) dl = J C2 (X) Jo (lr) dl,
0 0
co ____. oo ______
-1 Ci W J0(ir)di= f c2 (i) j0 (V) di.
J ei J ea
о о
oo
Заменяя в первом из этих равенств eik'r!r на J J0 (Хг) р===-5Х,
мы приходим к заключению, что выполнение их возможно только
при одинаковых подынтегральных выражениях в левой и правой
частях. По сокращении на функцию J0 (Хг) имеем
fci еа
Отсюда находим
Q П \ еА КА,2
Сг (I) ---/ .*** ==- •
226
Подставляя эти значения коэффициентов С\ (X), С2 (/-) в уравне-
ния (229), определим вектор П и далее вычислим по нему напряжен-
ности поля. Точное значение интегралов (229) не получено, а имеется
приближенное, позволяющее определить приближенно и напряжен-
ности поля. Мы это значение не приводим из-за сложности рассужде-
ний, а интересующиеся им могут обратиться к книге Ф. Франк
и Р* Мизес «Дифференциальные и интегральные уравнения матема-
тической физики», ОНТИ, 1937.
В двух случаях выражения (229) весьма упрощаются: 1) когда
к± = к2, тогда интегралы с помощью формулы (228) вычисляются
и получаются выражения Я в поле вибратора, находящегося в одно-
родной проводящей среде; 2) когда земную кору можно считать
идеальным проводником, к2 = оо и = оо; тогда (X) = О
и величина П1 в воздухе будет в 2 раза больше, чем в однородном
пространстве, поскольку из-за полного отражения от земной поверх-
ности поле удваивается. В земной коре при к2 = о° поле обращается
в нуль из-за множителя е_,/х,—h¥ = 0.
§ 19. ПОЛЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ВИБРАТОРА, РАСПОЛОЖЕННОГО
НА ПОВЕРХНОСТИ ПРОВОДЯЩЕГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
Горизонтальный вибратор представляет больший интерес для
геофизика, чем вертикальный, поскольку любой линейный провод
с переменным током, расположенный на земной поверхности и зазем-
ленный на концах, можно рассматривать как совокупность горизон-
тальных вибраторов, а поле провода — полем этой совокупности.
Можно подумать, что и в данном случае задача решается одной
составляющей вектора Герца в направлении оси вибратора, как и при
вертикальном вибраторе. Однако если попытаться решить задачу
таким образом, то граничные условия, записываемые теперь из-за
отсутствия осевой симметрии в более общем виде
^1 ~ ^х2» Е у1 ~ Еу2'
(231)
~ ^Лг2» Ну1 - Ну2,
не выполняются. Удовлетворить их можно введением двух составля-
ющих: вертикальной П2 и горизонтальной Пх. Составляющая Пг
обусловлена токами, развитыми в земной коре сильнее, чем в воз-
духе, и по этой причине она должна быть четной функцией угла,
отсчитываемого в плоскости хОу от оси Ох, совмещенной с осью
вибратора. Составляющая Пх должна вести себя так же, как анало-
гичная ей составляющая в поле вертикального вибратора.
Обе составляющие удовлетворяют волновому уравнению (223'),
и мы их представим интегралами вида (227), когда п = 0, и = 1,
выделив при этом в выражении Пх, волну, распространяющуюся
15* 997
непосредственно от вибратора, а также отраженную от земной
поверхности:
ИХ1 = - J С1W Л (М 2 dk
оо ° ___ (2<0),
Яг1 = 2ZZo С Сз 71 cos фе/л«-л?
1Ш oJ (232).
Пхг = - ТГ J Jo (И е-zdk
О
ОО ___ > 0)
Пг2 ~ j J1 (Zr)cos фе' г dk
о
Для определения коэффициентов Ct (X), . . ., С4 (X) восполь-
зуемся граничными условиями (231), переписав их в соответствии:
с формулами (224), (225) в следующем виде:
1)
2)
3)
4)
I ОЛ \ ОЛ O.J / I
1 Г д / дПл , дПг1 \-1
ej L ду \ дх “г dz ) J
= J_rj_ ( дП*2 I дПг2 \~|
е'а L ду \ дх "г dz / J ’
дПzi дПгЪ
ду ~ ду ’
дПх1 дП2i дП Х2 дПZ2
д~ дх dz дх
(23Г>
Интегрируя третье равенство по у, находим
ZZ2i == Пг2 4- / (х).
Учитывая, что Пг1 и Пг2 должны равняться нулю при у = оо,.
приходим к выводу, что / (х) = 0 и
TZ2i = Пг2 (z = 0).
Отсюда следует, что дПг1/дх = дПг2/дх, а с учетом четвертого*
равенства получим соотношение
х!дПХ2 » ___ Q\
228
Интегрируя второе равенство (23Г) по у и учитывая, что поле*
равно нулю при у = 00, приходим к соотношению
7Г(тг+Л&к)-^(т? +Т?г)
Дифференцируя обе части этого соотношения по х, затем сопостав-
ляя его с первым равенством (23Г), приходим к заключению, что*
хЧ (Z = 0).
Таким образом, условия (23Г) сводятся к более простой записи:
1)Пг1 = Пг2, 2)-^f- = ^-;
1 ( дПх1 , дПг1 \ 1 (дПх2 . дП,2\
е; к дх * dz ) е; \ дх *" dz /’
4) ~ ^2^x2-
Выполняя условия в этой записи способом, примененным при
решении задачи с вертикальным вибратором, получим следующие-
выражения для коэффициентов:
Сх(Х) = - с (Х) _ мД.
П ' М Vte—kl ' м
С3 (X) = С4 (X) = - И1-ИгХг
(231">
MN
где
M = + Vk2-k^
N pjfc*y^-kf + щЛ2 У^-kl.
Из третьего условия (231") следует, что Пг должно линейно*
выражаться через cos ср, как было принято без достаточных обосно-
ваний в выражениях (232). Действительно, поскольку Пх от cos ф*
не зависит, а дПх1дх=(дПх1дг) (дг1дх)=(дПх1дг^ cos ср является линей-
ной функцией cos <р, то и Пг должно быть линейной функцией cos ф,.
чтобы третье граничное условие (231") выполнялось при всех зна-
чениях ф.
Вычисление интегралом (232) с найденными значениями коэф-
фициентов Сг (X), . . ., С4 (X) весьма упрощается, если считать.
Hi = Иг, = 0, т. е. пренебречь в воздухе токами смещениями про-
водимости.
Тогда, полагая к2 = к, имеем
с z _ (^2-^2) + *2-Х/Х2-^2
2к ' /Х2-/с2 + Х
X
А-2
/т. \ __ л X2—Х"ИХ2— А’2
4 Л2
22»
а составляющие П2х и П2г запишем в следующем виде:
со ____
О
97 г л 1__1/ 12_kb z____ (232 )
Л- - i Р« •-‘ ъ
о
поскольку ^Jo (кг) = — XJ1(Xr) cos <р.
Теперь интегралы (232') сводятся к производным по z от двух
функций:
ОО
О
о
дифференцируя которые по z, получаем
(-1)п+1-^4= j J0(^)K(^-k^e-y^dK,
о
(-1)"+1 = ро (М (М - е-
О
где п — целое число; при п = — 1 получаются сами функции.
Решения (232') перепишутся в следующем виде:
тт 2Uq / d3F2 . >2 ^2 । d2Fi \
11 =да k ~ог9 (232")
Я _ 2Z/0 . ( d3F* I <^i \
22 i(0/c2 \dxdz3 ’ dx dz /•
Функция F2 и ее производные по х и z выражаются через функции
Бесселя и Ганкеля J0 (uj, Hq (u2), Jr (ux), H\ (u2), которые пред-
ставлены таблицами в книге Е. Янке и Ф. Эмде «Таблицы функций»,
Физматгиз, 1959.
Причем Н\ (и2) = —dH^ (u2)/du2 — функция Ганкеля первого
рода первого порядка. Ниже будут встречаться только функции
Ганкеля первого рода и для упрощения записи верхний индекс
у них опущен.
Напряженности поля при z 0 также выражаются через при-
веденные функции и с помощью указанных таблиц могут быть рас-
230
считаны. Приводим выражения производных, необходимых для
определения Пх^ П2г.
d2F! _( ikR-1 , 2 З-З/АЯ-W?2 \ eiftB
~dz^ \ R* ~^Z Я* / Я ’
TdWi 3 — 3ikR — №Rt eikR
'dxdz '~XZ R* R ’
in к Г" z (Я ~f“ z) т tt % (R 2) т it "1
= ~ T L_ff3 Jot11 R*~71 °J
4r4[(‘+£)'•*•+(‘4^.].
<«+%?-*> +t..g±q7eg,_
«л к Г (fl-s)(fl«-3z«) , м Я8—z3 q т n ,
--FTL---------Я®----+ft —R3~ _НЯо +
, in № ("3z(fl2 —z2) r „ г(Я2-Зз2) ГЦ1
+ТТ L------я3--/1Я1------я3-- ’
<№F2 гл к р 2>xz (Л-J-z) ул2 "] т тт
дх dz* ““ TTL № ДЗ JJ 0/71
in ГЛ2 r3xz2 2x(«2_,2) n
~2 "Г L“ffT /оЯ° +----Л*---ЛЯ1 J ’
аргументы иг = к (R — z)/2 и u2 = к (R 4- z)/2 у функций J0 (ux)r
Ji (wx), Hq (u2), Hr (u2) не выписаны.
Подставляя эти значения производных в формулы (232"), придем
к окончательным выражениям для Пх2 и Пг2, которые получаются
довольно сложными, но при z = 0 упрощаются и принимают вид
^х2 —
2^0 Р i Л к / т тт Т IT \
ikr — i егкг “j
г2 г J9
Пг2 —
2Uq in к2х т и
iuk*
(232"')
Аргументы и± и и2 при z = 0 одинаковы и
с учетом равенства
равны кт/2, а тогда
4
inkr
выражение Пх2 упрощается до элементарных функций.
231
Интересно проследить на земной поверхности за поведением Пх2
тл.Пг2 на больших расстояниях от вибратора, когда |Ат| 1и можно
считать, что
^=0;
тт __ 2Z7o 1
iC0fc2 Г3 ’
гт 2//р кх
z2~ й)А;2 т*з •
Из этих уравнений следует, что Пг2 имеет наибольшие по абсолют-
ной величине значения на оси вибратора и убывает с расстоянием г
медленнее (при х 0), чем Пх2. Таким образом, при больших г поле
приурочено к оси вибратора и определяется в основном величиной
П2г. Эта составляющая обусловлена вертикальной составляющей
токов в земной коре и, принимая кору за объект, возмущающий
поле вибратора, мы должны П2г считать вторичным полем. Поэтому
можно сказать, что первичное поле вибратора, возбуждая через токи
в земной коре вторичное поле, быстро затухает с увеличением г
и на больших расстояниях наблюдается главным образом вторичное
поле, приуроченное к оси вибратора. В связи с этим горизонтальный
вибратор излучает энергию преимущественно в направлении своей
оси.
Переходим к определению напряженности электрического поля
при 2 = 0, вычислив предварительно div П2. Согласно формулам
(232 ")
d iv П8 = >
А дх 1 dz ico dxdz
а вычисляя производную функции F2, получаем
Tik Г х (R —т и x(R-\-z) т & ।
divn2=------— — —/хя0-------------/0Я1 +
Отсюда, при z = 0 и с учетом соотношения JXH0 — J0Н1 =
= —4/кгсАт, находим
Горизонтальные составляющие электрического поля на земной
поверхности определятся по формулам:
77 rlixrTT । ГТ 2//о ( 2 3^2 .ikr 1 е \
Е*=~ё a7dlvII*+ ----^- + “72-----~?
Е« ~~ё~оГ dlvII1!------toe' ~W'
232
которые в случае 0, когда iae' = —4луи/с = 0, принимают вид:
F г/0 Г3*2 1 \
х 2лу \ г5 г3 / ’
Е3 __ %ХУ
У " 2лу г5
и выражают электрическое поле короткого провода длиной I с по-
стоянным током 10, заземленного на концах.
Магнитное поле при z = 0 находится по формулам:
„ iw '<4x2. _ 2//0 ( Зу 3—3ikr — k*r* eihr \
с dy ск2 \ г6 г4 г /
jj. ico дП Z2 2Uq nil-# д / г и \ 2ху т тт "1
Н*~------С---= 1 i}
с & L
„ Но ( дПх2 дП2, \ _ 21IO ( d*F* , м d*F2 , d*Fj. .
71 и ~ с \ dz дх )~ ск* \ д:Л “г dz* "г dz* “г
d*F2 <М2 \
* dz dx2 dz2 dx2 / ’
В выражении для Ну нечетные производные функции Fr по
z равны нулю (при z = 0) и вследствие
и __ 2lh д* ( d*F2 , 0^2 , 1я2 „ \
НУ- ск* дг-Л~9^~ + ~^~+к Fi)'
но поскольку функция F2 удовлетворяет волновому уравнению, то
в2?* , ^2 , kip _ d2F2
дх^ * Oz2 * 2 dy2
и выражение для Ну перепишется в таком виде:
тт __ 2Z/o d2F2 21IO d2 d2F2
У ск2 dz2 dy2 “ ск2 dy2 dz2 ’
Подставляя в это выражение значение производной при z = О,
получим
Я, = ^^^(71Я1 + /оЯо);
и, вычисляя производную от цилиндрических функций, оконча-
тельно будем иметь
По полученным формулам вычисляется также магнитное поле
короткого провода длиной I с постоянным током /0, заземленного
233
я а концах, если в них положить со = 0 и произвести замену всех
«функций их предельными значениями при к = О
тт _ *Л) У тт _____ ^0 %ХУ тт //() ( 2^2 л \
Пг СГ2 г ’ Х~~ СГ* Г* 9 \ Г* L)'
Рассматривая поле горизонтального вибратора, мы заимствовали
часть выкладок (при некоторой переработке их) из книги А. И. За-
боровского «Переменные электромагнитные поля в электроразведке»,
изд. Московского университета, 1960.
§ 20. ПОЛЕ БЕСКОНЕЧНОГО ПРЯМОГО КАБЕЛЯ В ОДНОРОДНОЙ
ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ
Пусть изолированный линейный проводник, называемый кабе-
лем, совпадает с осью Ох и ток в нем гармонический с постоянной
амплитудой и фазой по всей длине. Тогда поле будет функцией
координаты г = у2 + z2 и определится одной составляющей
вектора Герца, параллельной кабелю и удовлетворяющей уравнению
1__д дП .
г дг Г дг '
кШ^О.
Подходящим решением уравнения будет для нашего случая
HQ (М ~ ганкелева функция первого рода нулевого порядка.
Она при положительной мнимой части к обращается в нуль при
г —> оо, как выражение ]/r2/nikretkr, а при г -*• 0 ведет себя, как
величина 21 ni {In 21 кг + const}.
Решение для П запишем в следующем виде:
П = (\Н^кг).
Постоянный множитель Сг определим из условия, что в непосред-
ственной близости к кабелю амплитуда магнитного поля должна
равняться 2Z0/cr, где Zo — амплитуда тока.
Применяя для определения магнитного поля формулу (224')
и учитывая поведение Яо (кг) вблизи кабеля, находим
Н _ 1(0 дП __ /со q дН0 (кг} I___со _2£1_
с дг с 1 дг |г-^е с лг
Отсюда заключаем, что Сх = —Zon/co и для П получаем оконча-
тельное выражение
Л=-2^я0(*г). (233)
Поскольку вектор П параллелен кабелю и не зависит от этого
направления, то расходимость его равна нулю, а напряженности
.234
поля определятся выражениями;
Я = -^-Я = —^-Н0(кг),
H=^ — -^-=-^-ikHt(kr),
с dr с 1 '
где Нг (кг) — ганкелева функция первого порядка, имеющая свой-
ства Ях (Mr-*o 2/nikr и Hr (kr)T^.m i 2/n.ikr eikr-
На больших расстояниях от кабеля мы получим свободную1
электромагнитную волну; учитывая поведение ганкелевых функций
при г оо, запишем ее таким образом:
£=_2a/Z2Ze^,
с2 Г шкг
Н= —
с Г шкг
Умножив эти выражения на множитель е“/ш/ и оставив в ниг
только вещественные части, получим обычную запись для расходя-
щейся от кабеля цилиндрической волны.
При этом наблюдается отставание по фазе магнитного поля
от электрического на угол <р = arctg согласно формуле
Я __с_ /с = * + е{?
Е со ц ц ц
Кабель представляет совокупность вибраторов и значение П для
него может быть получено интегрированием по х от —оо до +°°
функции —IfilkrdxlitoR, представляющей величину вектора Герца
вибратора длины dx\
pibH
(233'>
Сопоставляя выражения (233') и (233), приходим к соотношению*
л +/?° pifcH
о»
-OO
Заменяя под знаком интеграла величину elkRIR ее значением из=
формулы (228), получаем
+ ОО оо
Яо (кг) = -±- j J Jo (Ar0) у== е- ^^dkdx
-оо О
при г0 = /а:2 + р2.
235.
-» 00
Меняя местами знаки интегралов и учитывая, что J JQ (Xr0) dx =
= 2cos Ху/Х, имеем новое соотношение
со
О
Таким образом, функция Яо (^г) может быть представлена по
усмотрению первым (I) или вторым (II) интегралом.
§ 21. ПОЛЕ БЕСКОНЕЧНОГО КАБЕЛЯ, РАСПОЛОЖЕННОГО
НА ПОВЕРХНОСТИ ПРОВОДЯЩЕГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
Поле и в этом случае будет определяться составляющей 77, парал-
лельной кабелю, которую получим для воздуха и земной коры
интегрированием по х выражений (232) для Пх. Учитывая при этом
интегральные выражения (I) и (II) функции Яо (кг) и значение
+ 00
интеграла § JQ (kr0)dx, приведенные в предыдущем параграфе,
находим
пгf г dx (z<о),
1 ко J М v '
о
(234)
П2 - 4^ f е- dK (z > 0),
1 ко j М \ „
о
где индексы 1, 2 имеют то же значение, что и в случае горизонталь-
ного вибратора.
Интегрирование по длине кабеля выражений (232) для Пг дает
нуль из-за нечетности их относительно координаты х. Это так и должно
быть, поскольку в поле кабеля не имеется составляющей Пг.
Вычисление интегралов (234) может быть сделано для случая
Hi = Р*2 = 1 и то приближенным интегрированием в комплексной
плоскости X. Проведем вычисление первого интеграла, сделав вна-
чале следующее его преобразование:
f со«Х^ = Г ЕЕЕЕ^ЕЕИ. cos Ху х
J /И J Л2 "1
О О
со _____
X 2 dX = .J-rr- f /Х2-А’? cos \у 2 dX -
Л” 2 J
О
оо ____
---Л.»1АЭ [ /X2 - kl cos Xi/el<'’''‘i 2dX.
236
Первый из полученных интегралов, согласно интегральному
представлению (П) функции Но (кг), равняется ПЦ2(д2Н0 (kjj/dz2).
Второй интеграл сводится к контурному в комплексной плоскости
Л Для этого заменяем у него в подынтегральном выражении cos Ху
на 1/2 (ег'у + е~')у) и разделяем его на два интеграла
J |/А2 — к* cos Ay е'x’"ft*2dA —
о
- 4" J e^^^dA +
о
оо ___
+ у j ]/ X2 — z dk.
О
Далее заменяем в последнем интеграле переменную к на —X,
а затем переставляем пределы интегрирования и, наконец, объеди-
няем его с первым интегралом.
В итоге имеем
J ]/А2 — к2 cos Ay ег dА =
о
+ ОО ___
= ± j yM-k^'ye^'^dL
-СО
Интегрирование в пределах от —оо до -|-оо выполняем по вещест-
венной оси комплексной плоскости А = и -|- iv и дополняем его
интегрированием по полуокружности бесконечного радиуса, образу-
ющей с вещественной осью замкнутый контур, охватывающий верх-
нюю полуплоскость. _____
На полуокружности вещественную часть радикала ]/А2—А*
берем положительной, и тогда интегрируемая функция на этой части
контура так обращается в нуль, что интегрирование ничего не дает.
Внутри намеченного контура интегрируемая функция имеет две точки
разветвления (Ах = Лх, А2 = к2), в которых радикалы ]/А2 — к2,
]/А2 — к% обращаются в нуль. При обходе вокруг этих точек ради-
калы меняют знак и функция становится многозначной. Это обстоя-
тельство и является причиной того, что интеграл по замкнутому
контуру не равняется нулю. Исключим точки Ах и А2 из контура,
проведя к ним разрезы плоскости из верхней точки полуокружности,
и включим края, или берега, разрезов в общую линию интегрирова-
ния, огибающую эти точки справа (рис. 69). Тогда линия интегри-
рования пойдет таким образом: по вещественной оси из —оо до -|-оо
и далее по полуокружности поднимается до верхней точки ее, где
по краю разреза спустится к точке А2 и, обогнув ее справа по окруж-
237
пости ничтожно малого радиуса, поднимется по другому краю раз-
реза к верхней точке полуокружности, где перейдет на край другого
разреза и по нему спустится к точке Хх; обогнув ее справа, подни-
мется по другому краю разреза снова к верхней точке полуокруж-
ности и отсюда пойдет по второй снисходящей части полуокруж-
ности к — оо.
Разрезы на рис. 69 показаны штриховыми линиями, а края
разрезов — сплошными; последние для ясности раздвинуты.
Построенный таким образом контур интегрирования не содержит
внутри себя точек разветвления или других особых точек интегри-
руемой функции. Тогда согласно теории функций комплексного
переменного интеграл по контуру должен рав-
• . няться нулю. Поскольку интегрирование по
и 'Ч|| А полуокружности ничего не дает, то это зна-
VA чит, что интегрирование по вещественной оси
\\ = равно по величине, но противоположно по
/VA -Ki * знаку интегрирования по разрезам. Изменим
7 направление интегрирования по разрезам на
обратное, т. е. будем огибать при этом точ-
К^ ки Хх, Х2 слева. Тогда интегрирование по раз-
резам и по знаку совпадет с интегрированием
Рис. 69. по вещественной оси, что запишем так:
+ ОО
f /V - /с22 z dk =
-СО
+ ______ г------ +гоо ______ ________
= J dk+ f /к* - ка2 е^’Ч2 dk.
Рассмотрим вначале интеграл по разрезу с точкой Хх. Радикал
1/Х2 — к* на противоположных краях этого разреза имеет разный
знак. В самом деле, когда точка интегрирования X спускается по
резрезу к точке Хх, то отрезок X — Хх = X — кг вращается вокруг
точки Хх = kt (рис. 69), и при обходе этой точки он поворачивается
на 2л. Поэтому на противоположных краях разреза отрезок X — к±
запишется в виде
X— кг = | X— kt | е*? и X— kr = | X— кг | е* (<р+2к),
а радикал ]/*Х2 —• к{ = }/(Х — Ах)(Х -|- кг) соответственно выра-
зится
т. е. будет отличаться знаком. В приведенных рассуждениях
|Х — A^l означает модуль отрезка X — к±. _____
Следовательно, для того, чтобы функция e^xt—fti2, у которой
показатель степени имеет разные знаки на противоположных краях
разреза, не имела больших значений (что затруднит определение
интеграла), разрез надо провести по линии, на которой вещественная
238
часть радикала j/x2 — к2 равна нулю или значение X2 — /с* равно
вещественному отрицательному числу. Найдем уравнение этой линии.
Полагая кг = аг + ib^ к = и + iv, получим
Л2— Лх = — (а} — и2) + (^1 — у2) + 2* (uv — flifci).
Теперь, чтобы (%2 — Лх) равнялось вещественному отрицатель-
ному числу, надо только положить
Д1Ь1 = 0 и (oj—u2)—(JJ —р2)>0.
Иначе говоря, линия разреза должна быть равнобочной гипербо-
лой uv = на ней выполняются неравенства и<^ av и > Ьг.
Она пройдет так, как схематично показано на рис. 69.
Обсудим поведение на разрезе отдельных множителей подынтег-
рального выражения: функция z осциллирует от 4-1 до —1;
радикал j/X2 — kl изменяется от к2 — к2 до I оо; наибольшую
роль играет функция ер\ которая при удалении от точки Xi убывает
по показательному закону и осциллирует. Убывание этой функции
происходит тем резче, чем больше у. При больших у основная часть
интеграла по разрезу находится вблизи точки Хх. Радикал ]/Х2 — kl
вблизи этой точки меняется незначительно и может быть принят
постоянным и равным ]/AJ — к%. Допуская это, мы переходим
к приближенному вычислению, которое близко к точному только
при больших значениях у. Для выяснения, что надо понимать под
большим значением у, сделаем небольшой расчет. Волновое число кх
очень мало, и функция elXy в точке Хх = кг практически равна еди-
нице, а чтобы она уменьшилась, например, в е2 раз, надо иметь
мнимую часть величины Хг/, равной 2. Разрез идет практически по
мнимой оси, и вещественная часть ку будет близка к нулю, когда
мнимая достигнет значения, равного 2. Радикал У^Х2 — не будет
значительно отличаться от радикала к% — kl, если при Im ty = 2
мнимая часть X приблизительно достигнет значения мнимой части к2.
Поэтому будем определять «большие» значения у из условия
Im к2у 2. Отсюда получим у 2/Im к2.
Приняв v = 500 гц, е2 = 1, у2 — Ю'6 (олс-слс)’1, найдем
2 2с с I [ v .
у 1m к2 ~ 0)02 “ nv V 2у2 ~1 КМ'
Таким образом, при заданном значении к2 приближенное вы-
числение интеграла приведет к хорошим результатам только на рас-
стоянии около 1 км от кабеля.
Записывая интеграл по разрезу с точкой Хх в виде
________________________ +ioo ___
239
мы исключаехМ из подынтегрального выражения вторую точку раз-
ветвления л2 = к2 и освобождаем область между линией интегри-
рования и вещественной осью от особых точек интегрируемой функ-
ции. При этих условиях линию интегрирования можно как угодно
изменять в этой области и даже совместить ее с вещественной осью,
вернувшись, таким образом, к интегрированию по этой оси от — оо
до + оо, что запишем так:
Т e^e>/^?zdX=+f e^e*^dX =
= -ОО
= 2pcos kye^^izdk.
О
Последний интеграл, как следует из интегральной формулы (II)
для фукции Яо (кг), равен ш^-Я0 (к±г).
Интеграл по разрезу с точкой Х2 имеет меньшую величину,
чем интеграл по разрезу с точкой Хх, поскольку к2 к± и фукция
е'1у при том же у мала в точке %2. Основная часть интеграла опять
находится вблизи точки Х2, гДе Для упрощения вычисления по-
ложим функцию е/х«—постоянной и равной
а интеграл запишем в виде
z--- too ______
e^h^kiz j /X2-^e^dy.
Перенося интегрирование с разреза на вещественную ось, напишем
’f /X2 - dk = Г /Х2- kle>y dX = 2f /Х2 - cos Ху dX.
ls=fe* -оо О
Последний из интегралов, согласно той же интегральной фор-
муле для функции Но (к2г), равен гл^- Но (Х'2г)|г_0.
В результате рассуждений и вычислений получаем следующее
выражение для Ях:
- <. (24-ч> g°н° м -
-еГТЧ>^-я0(М|„0].
Аналогично (235)
П. - « (ГРЧГ н' М я" (‘-Г) ~
240
Определяя в воздухе напряженности поля через П и учитывая,
что div П = 0, приходим к формулам
Нл = [-S- Ч. (А.т) - ~ Я. (А-,г) -
- R1J'Fey Я, (4!Г) |,.„], (236)
Яй=-7(^Гт^Я»<‘-г>- -
Итак, вычисление поля сводится к нахождению производных
функции HQ (кг).
Приведем выражения необходимых при этом производных:
Я, (Лт) - ~4 Я, (Аг),
-£г Я.(Ат) - ( - J Я, (Ar) - И. [кг).
Н. М =. - У) Я, (Аг) - ( - «SL ) Я. (Аг),
,,(^т Я.(Ат) »-^-Я, (Аг) - -^Я, (Аг),
-(^-^)я.(Ат).
Подставляя значения производных в выражения (236), полагая
кг = 0, к2 = к, а также учитывая свойства функций иН0 (и) = О,
iz//i (и) = 2/т при и = 0, находим
г-> - ~да [-а? - +»* т т- " <М'
О 4/о Г 6г —2/Ь2 8гЗ ik . к^ nt „ 1Ъ. Я
НУ^ = -7а5-|_-----^+ —+e V ~ Я1 {ку} J ’
(236')
Нл = ~{-2y~4fAy: -еЛг -у н, (ку)- кН.(ку)J}.
16 Заказ 1701 241
На земной поверхности (z = 0) составляющая НУ1 не равна нулю,
в связи с чем магнитное поле наклонено, а волна преломляется
в земную кору.
Вычислим по формулам (236') магнитное поле при г = 0, когда
ку -- 4 (1 + i). Сначала определим у, если
у2 у = 4. Ю“6 (ом • еле)"1, е2 е = 1, v = 400 гц,
4(1 + 0 = 4(1+0 4(1 + 0 [4с
к 2nvi/^
с Г 1 1 (О с г v Г v
4 • 3 • 10м
9- 10е
4 • 102
= 1,6 КМ.
При z = 0 из формул (236') следует
". W - ".М)
Вычисляем значение HQ (ку), (ку) с помощью таблиц функций
Е. Янке и Ф. Эмде (1959 г). В результате находим
Но (4 + 4/) = Яо (4 /21) = - 0,005716 + /0,001980,
Ях (4 + 4/) = Ях (4 /21) = 0,001766 + /0,006190.
Опуская дальнейшие простые вычисления, приводим окончатель-
ный результат:
Ну1 = (0,2306 + /0,2555),
Нл = ^2- (0,0027 + /0,1492).
су
Величиной 2IJcy определяется вертикальная составляющая поля
при постоянном токе, когда все поле выражается этой составляющей.
При выполненном расчете для переменного тока вертикальная
составляющая значительно меньше, чем при постоянном токе, но
зато, благодаря индукционным токам в земной коре, появляется
горизонтальная составляющая, которая представляет вторичное
поле и превосходит вертикальную составляющую. Процесс и в дан-
ном случае протекает так же, как при горизонтальном вибраторе:
первичное поле, вызывая вторичное поле, быстро затухает и вдали
от кабеля наблюдается в основном вторичное поле. У рассчитанных
составляющих имеется сдвиг фазы относительно фазы тока в про-
воде. У Ну1 вещественная и мнимая части положительны, угол
сдвига фу находится в первой четверти и равен arctg = 48°.
UyZoUu
242 •
V FT обе части положительны, угол сдвига <pz находится в первой
°'1492 - RQ°
четверти и равен arctg 0 ^7 *
Таким образом, между составляющими имеется сдвиг фазы на угол
ggo__48° = 41°. Это, как будет показано ниже, приводит к эллипти-
ческой поляризации поля.
С учетом углов ф^ и ф2 рассчитанные составляющие могут быть
записаны в следующем виде:
Ну = Н.у cos (art — фД
Нг = Я02 cos (coi — ф2),
где ЯОр, Я02 — амплитуды, равные модулям комплексных выраже-
ний составляющих.
Формулы (236'), как отмечалось выше, пригодны для вычисления
поля при больших значениях у. Если необходимо произвести рас-
четы для малых значений у, то следует обратиться к работе В. Р. Бур-
сиана «Электромагнитное поле прямого бесконечно длинного ка-
беля», Горнонефтьиздат, 1934.
§ 22. ШАР В ПОЛЕ КОЛЬЦЕВОГО ТОКА
Мы уже рассматривали шар в магнитном поле кольцевого по-
стоянного тока. Теперь эту же задачу решим для переменного тока,
оставляя обозначения, принятые для рис. 61. Под влиянием пере-
менного поля шар будет не только намагничиваться, но в нем воз-
никнут индукционные токи, которые создадут дополнительное поле.
Для проведения рассуждений нам потребуется решение волнового
уравнения для вектора Герца в сферических координатах, когда
предполагается зависимость составляющих вектора от всех трех
координат. Понимая под П одну из составляющих по декартовым
осям, напишем для нее волновое уравнение
1 д дП . 1 а . ~ дп , 1 д*П . 19Гт л
7?2 OR Н- дН + Я231П8 дв Sin0 де + /№20 0ф2 + Н—0-
заменив в уравнении П произведением трех функций Д (Я) /2 (9) X
Х/з (ф), зависящих каждая от одной координаты, и произведя преоб-
разования, приведем его к виду
1 d D2 dA 1 MD2 I 1 • О ^/2 I 1 А
/1 dR R dR + k R + /2Sine -50-sln0 № + /2sin«0 '^2' = °-
В этом уравнении сумма первых двух членов зависит только
от Я, а сумма последних двух членов - от 0 и ф. Ввиду независи-
мости координат эти суммы должны равняться одной и той же по-
стоянной, но взятой с разными знаками. За эту постоянную примем
п (п + 1), где п для однозначности решения считается целым числом,
начиная с нуля.
243
Приравняв суммы к постоянной и выполнив некоторые преоб-
разования, получим
-J- sin 0 ~ sin 0 + п (п -J-1) sin2 0 + ~ = 0.
/2 00 00 1 ' /з 0ср2
Во втором уравнении сумму первых двух членов на прежнем
основании приравниваем к постоянной т2, а последнее слагаемое
считаем равным этой же постоянной, но взятой с обратным знаком.
Для однозначности решения т должно быть целым положительным
числом, начиная с нуля.
После небольших преобразований, имеем
sin 0-^- sin 0 44" + \п (п “г 1) sin2 ® — w2] /2 = 0,
Ь?п2/3 = 0.
Подходящими решениями для функций /1, /2, /3 будут выражения
fi(R)=*nU£L
In (kR)
kR
/2 (©) Рп (cos 0) = si nm 0
dmPn (cos 6)
d cos
/з (ф) =sin zncp или cos/пф,
где (kR) = y^-Jn+t/t (kR); (kR) =/^-Я„+,/,(АЯ);
J n+i/t (A;/?), Hn+4t (kR) — бесселевы и ганкелевы функции
первого рода полуцелого порядка я-р/г’, Рп (cos — присоеди-
ненные полиномы Лежандра.
Выражение (kR)/kR конечно в начале координат, но из-за
положительной мнимой части к беспредельно увеличивается при
R -> оо и по этой причине годится в качестве решения вблизи
начала координат.
Выражение (kR)/kR становится бесконечным в начале ко-
ординат, но стремится к нулю при R ос и годится в качестве
решения вдали от начала координат.
Числа п и т ничем не ограничены, кроме того, что п т. По-
этому общее решение для П запишется в следующем виде:
оо п
п=>0 т=0
I sin rnq
j COS/Пф
(Я>Л),
00 n
tf=22c2^^p"(cos0)
n»0 m=0
(237)
J Sill Z72<p
I COS/Пф
(Я< a).
244
Когда П нечетно или четно относительно угла ср, тогда в выраже-
ниях (237) надо оставить соответственно sin ту или cos /пер. При от-
сутствии нечетности или четности удерживаются обе тригонометри-
ческие функции, но с разными постоянными коэффициентами. Пе-
реходя к рассмотрению поля кольцевого тока при наличии шара
с центром на оси кольца, мы должны учесть, что оно характеризуется
одной составляющей вектора П по направлению координаты ср,
поскольку в этом направлении течет ток.
Вне шара эту составляющую представим двумя слагаемыми:
одно из них П0 характеризует первичное поле, а второе П' — вто-
ричное поле; внутри шара такого разделения производить не будем.
В связи с этим напишем
П^Пв-г IT (R
П2=П2
Индексами 2 и 1 отмечены соответственно шар и окружающая
его среда. Поскольку поле не зависит от координат ср, то граничные
условия на поверхности шара (т. е. равенство касательных составля-
ющих напряженностей) запишутся в следующем виде:
тт тт дН.П\ д RII о / ч /поо\
””37? — (R = a). (238)
Найдем сначала выражение для Яо, исходя из того, что каждый
элемент тока в кольце IQdl создает на расстоянии Ло поле с вектором
Составляющая этого вектора по направлению (р
ГЛ/ pifctHo
йЛ0=-------------т>—cos(<p—<р0)-
ъuj ziо
Интегрируя это выражение по длине кольца, получим нужное
нам выражение
п С ег/1,Яо .
Яо =------J - я0 cos (ф—<p0)d<p0,
о
где произведена замена dl на aodcpo и соответственно этому выбраны
пределы интегрирования.
Для вычисления интеграла воспользуемся соотношением
eifciRo
оо п
i22<2"+i>6--!:;5i
n=o /л»0
х
X Рп (cos 0О) Р™ (cos в) cos т (<р— <р0) (R < d),
245
известным под названием теоремы сложения волновых сферических
функций. Подставляя правую часть соотношения под знак интеграла
вместо e'klRo/R0 и интегрируя по <р0 с учетом замечаний, сделанных
при решении подобной задачи для поля постоянного тока, находим
я- - - та2 таг <*"> -та1-Р! в"> р° <“s
(я«0.
Выражения П' и П2 должны быть аналогичными выражению
По, Учитывая конечность поля в начале координат и равенство
нулю в бесконечности, напишем
п'~- 2 таг М та1 «в°> П 0).
Л=1
я>=- -та 2 таг С-Е" -та- р° <cos 9->Pt- <c°s 9>-
Коэффициенты Сл, Сп находим из граничных условий (238),
выполнив которые, придем к следующим выражениям:
£»' _ |l2Mi (ha} Чи U’2a) —(к2а)
П~ (М) Чи (*2«) — (*!«) Чп (М) ’
г = ъ 1п(Ьа} Чи (кАа) — 1п (М) Чп (*!«)
п , (М) Чп (М) Чп (^2«) ’
где штрихи у фл и Ел означают производные этих функций по их
аргументу ка.
Мы нашли составляющие вектора Герца по ф вне и внутри шара.
Умножив их на — sin ф и cos ф, получим составляющие по осям
Ох и Оу. Последние будут удовлетворять волновому уравнению,
т. е. они являются его решениями вида (237). Составляющие же по
криволинейным осям волновому уравнению могут не удовлетворять.
Зная выражения Пх и П2, можем найти напряженности поля. По-
скольку вектор П направлен по углу ф и не зависит от этого угла,
то div П = 0 и выражения электрического поля отличаются
только множителем Zc2/e' от выражения П. Несколько сложнее
получаются составляющие магнитного поля, так как надо проводить
дифференцирование, образуя составляющие вихря П согласно
формуле (224'). Мы этого делать не будем.
Для идеально проводящего шара к2 — оо, С'п = —Ч„ (кга)/
Сп = 0, т. е. поле внутри шара исчезает.
Ряды, которыми выражаются П и составляющие напряженностей
поля, хорошо сходятся в точках, удаленных от кольца и когда
| кга | < 2л. Неравенство означает, что длина волны в окружающей
среде должна превосходить радиус шара.
246
§ 23. ЦИЛИНДР В ПОЛЕ КАБЕЛЯ
Считая цилиндр и кабель параллельными, а ось Ох совмещенной
с осью цилиндра, будем иметь поле, зависящее от двух координат —
У и z. Кроме декартовых, целесообразно применять полярные ко-
ординаты (г ф), отсчитывая угол ф от оси Оу.
Пусть кабель находится вне цилиндра и ось Оу проходит через
него. Расстояние до кабеля от начала координат равно d (рис. 70).
Поле вне цилиндра рассматриваем, как сумму первичного и вто-
ричного полей; внутри его такого разделения производить не будем.
В связи с этим единственную составляющую вектора Герца, парал-
лельную оси цилиндра, запишем в следующем виде:
П1=П^-\-Пг (г а),
П2 = П2 (r^ia).
На поверхности цилиндра (г = а) должна
выполняться непрерывность касательных соста-
вляющих электрического и магнитного полей,
что может быть записано таким образом:
Z
Рис. 70.
И1Я1 = И2Л2, = (239)
Первичным является поле кабеля 770 = —/ол7/о (/qr0)/(jL). Для
определения П' и П2 будем находить решения волнового урав-
нения в полярных координатах
1лг»+4«+и=с,
г dr dr 1 г2 дф2 ’
для чего полагаем П = /х (г) -/2 (ф), где /х и /2 — функции, завися-
щие от одной координаты. Подставляя это выражение П в уравне-
ние, приведем его к виду
fl dr dr 1 f2 dy*
Теперь, используя опыт решения рассмотренных выше задач,
полагаем сумму первых двух слагаемых равной постоянной величине
п2, а последнее слагаемое равным — п2, получаем два обыкновенных
уравнения:
r4r^-+(^2-n2)/i=o.
dtp2
(-«2Л=о.
Решениями первого уравнения, пригодными для нашей задачи,
будут бесселевы Jn (кг) и ганкелевы Нп (кг) функции первого рода
n-го порядка, а второго — тригонометрические функции sin пф
и cos иф. Чтобы при изменении угла ф на 2л тригонометрические
функции были однозначными, надо п считать целым числом.
247
Поскольку в уравнения п входит в квадрате, то оно может быть поло-
жительным и отрицательным. Мы считаем его положительным.
Функция Jn (кг) ограничена при г 0, но из-за положительной
мнимой части к увеличивается беспредельно при г -> оо; она годится
для представления П вблизи начала координат. Функция Нп (кг)
ведет себя так, что она годится для представления П вдали от начала
координат. При выбранном нами расположении координат П должно
быть четной функцией угла ф, т. е. выражаться через cos иф. Учи-
тывая все эти замечания, запишем выражения для П вне и внутри
цилиндра в следующем виде:
со
Я, = - ^ Яо (Vo) - 2 С’ПНП (к1Г) cos П<(,
о- "“° (240)
я2 = — 2 c^Jn <№cos n(P-
н=0
Коэффициенты C„, Cn находим из граничных условий (239).
Для выполнения этих условий надо воспользоваться соотношением
HQ (кгГо) Hq (Zci]/г2 4- d2 — 2rd cos ф) =
2 6nJ„ (кгг) Hn (ktd) cos n<p (r < d),
л=0
2 d„Jn (kjd) Hn (kjr) cos n<p (r > d),
ri^Q
8n = 2 при n 0, 60 = 1,
известным под названием теоремы сложения цилиндрических функ-
ций. С учетом этого соотношения из граничных условий выводятся
уравнения
Рт л Hn (^i^) + СПНП (А^а)] — р,2Сл/п (к2а),
1^л^л Hn (kid) CnHп (kid)] — k2CnJn (к2а),
решая которые, получим выражения для коэффициентов
z-v___с тт (Ъ, J\ л (^lg) Jл (^2g) л M‘ig^ Jл (^2g)
” - Ол^лИ1 ) kUL2H'n (М) /л (*2g)“*2Hltfn (A'lg) Jn (A’2g)’ ’
г» __ _д тт /ъ, ^1Ц1 (Jn (^lg) JJn (frjg) Jn (^ig) Hn (к^а))
4 (M) (^а) _^И1Яп (А.10) Гп (к^а} •
Определив П, найдем напряженности электрического и магнит-
ного полей.
Для идеально проводящего цилиндра (к2 = оо)
с»'О-
248
Ряды, которыми определяются П и напряженности поля, хорошо
сходятся при < 2л, когда длина волны в среде, окружающей
цилиндр, превосходит его радиус.
§ 24. ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ
Вектор гармонического поля всегда может быть представлен
тремя составляющими по декартовым осям:
ах аох cos (art — cpx),
аи аОу cos (со/ — q^), (241)
az= a0z cos (co/ — cp2),
где под а понимается одна из напряженностей или другая векторная
величина, относящаяся к полю.
Суммируя геометрически составляющие в одной из координат-
ных плоскостей, мы получим результирующую, которая со време-
нем колеблется в общем случае не по прямой — конец стрелки,
изображающей ее, описывает за период эллипс. Найдем уравнение
этого эллипса в координатной плоскости хОу.
Для этого запишем составляющие ах и ау в таком виде:
ах = аОх (cos (О/ COS фх + sin со/ sin срх),
ау = аОу (cos со/ cos + sin со/ sin ср^).
Умножим первое из этих уравнений на аОу sin ср^, а второе
на аОх sin cpv, после чего вычтем из первого уравнения второе; далее
умножим первое уравнение на а0У cos ср^, а второе на аох cos cpv
и снова вычтем из первого уравнения второе. В результате по-
лучаются два новых уравнения; возводя в квадрат правые и левые
части уравнений, а затем суммируя правые и левые части и деля
их на (аОх аОу)\ находим
Г/2 2(1у(1и
^+^-^^c°s(<px-<piZ) = sin2(<px-(pJZ) (242)
— уравнение эллипса, в чем можно убедиться, исследуя его мето-
дами аналитической геометрии.
Текущими координатами элипса будут мгновенные значения
составляющих. При разности фаз cpv — ср^ = 0, ±л, . . . , ±?гл
эллипс переходит в прямую
Таким образом, конец стрелки, изображающей результирующий
вектор в плоскости хОу, описывает за период эллипс, и только
при разности начальных фаз составляющих, равной ±пл, он ко-
леолется по прямой.
249
Аналогичное происходит и в других координатных плоскостях,
а также и с полным вектором поля. Эллипсы в координатных пло-
скостях являются проекциями на них эллипса, описываемого за пе-
риод полным вектором поля а.
Поле, вектор которого описывает за период эллипс, называется
эллиптически поляризованным, когда же вектор
колеблется по прямой — линейно поляризованным.
Соответственно, волна в таком поле называется эллиптически
поляризованной или линейно поляризованной.
Исследуем эллипс (242), который в общем случае не совпадает
полуосями с координатными осями. Поворачивая оси на некоторый
угол ф, совместим их с полуосями эллипса; тогда его уравнение
примет наиболее простой вид:
их' I У
а2 “Г 7)2
аОх у' сОх’у’
(243)
где аУ', аоХ'У', ЬОх>у>~мгновенные значения и амплитуды составля-
ющих в повернутых или в главных осях эллипса.
Из теории преобразования уравнения кривой второго порядка
к главным осям известны следующие соотношения:
аох “F аоу — abx'y' + Ьох'у'ч
a20xalysin2 (срх— Ф^) = (244)
. 9 . JaOxaOy™s (<Tx-<Pg)
g2^ ‘ “Ъх-°Ъу
Первое из них имеет простой физический смысл, а именно: энер-
гия колебаний, пропорциональная квадрату амплитуды, выражается
с точностью до постоянного множителя суммой квадратов амплитуд
составляющих в любых координатных осях.
Второе соотношение имеет чисто геометрический смысл; правая
часть его с точностью до постоянного множителя равна квадрату
площади эллипса. Этому же равна и левая часть соотношения.
Третьим соотношением определяется угол ф, образованный боль-
шой полуосью эллипса с осью Ох.
Формулы и соотношения, аналогичные приведенным, получаются
и для других координатных плоскостей.
При помощи этих формул легко написать соотношения
аОх + а<Оу + ^Oz — -у (аЪх’у’ + box'y' + ^Oy'z* + b()y'z' 4" йОг'х' + b()z'x') —
= a* + b2, (245)
агОха?)у sin2 (<px— cp,) + a^yaf» sin2 (<pw — <p2) + aj2a?)x sin2 (<p2 — cpx) =
= аЬх'у'Ьох'у* 4' 4“ &Ъг'x’^Oz'x* = O2t2,
250
имеющие тот же смысл, что и два первых, написанных для коорди-
натной плоскости хОу. Из последних соотношений определяются
полуоси эллипса а, Ь, описываемого полным вектором поля, если
известны амплитуды и разности фаз составляющих по декартовым
осям или известны полуоси эллипсов в координатных плоскостях.
Определим положение эллипса поляризации в пространстве
углами Эйлера ф0, 0О, ф0. Для этого введем новые координатные
оси Ох0, OyQ, Ozq так, чтобы первая из них совпадала с большой
полуосью а, вторая — с малой полуосью fe, третья — с нормалью
к плоскости эллипса. Тогда углами Эйлера определяются следующие
три поворота, необходимые для совмещения осей Ох, Оу, Oz с осями
<Zr0» ОУо, Oz0. Сначала поворачиваем плоскость хОу относительно
оси Oz на такой угол ф0, чтобы
ось Ох совпала с линией пере-
сечения плоскости эллипса
с плоскостью хОу. Линию пере-
сечения обозначим через ON
(рис. 71). Направление оси Оу
при этом пусть будет ОТ,
Далее поворачиваем пло-
скость zOT относительно ли-
нии ON на такой угол 0О, чтобы
плоскость NOT совместилась
с плоскостью эллипса, а ось Oz
совпала с осью OzQ. Напра-
вление линии ОТ при этом
обозначим через ОТ'. Нако-
нец, поворачиваем плоскость
NOT' относительно оси OzQ на такой угол ср0, чтобы линия ON
совпала с осью Ох$, а линия ОТ' — с осью Оу$.
Обозначая составляющие вектора поля по направлениям N,
Т, Т', Уо» zo соответственно через а^, ат, аТ', аХо, ау0» на-
пишем следующие формулы преобразования, отвечающие рассмот-
ренным поворотам:
&n ~ ах cos Фо + ау sin фо
ат = — ах sin ф0 + ау cos ф0
= а2
при повороте на угол ф0,
аТ' = ат cos 0О аг sin 0О
лгв = —arsin0o4-a2cos 0о = О
при повороте на угол 0О;
— aN cos ф0 + аТ' sin ф0 1
а — п ™ । Г ПРИ повороте на угол фп.
----sin Фо + Дт' cos Фо J го
251
(246)
Исключая из этих формул aN, ат, аТ', получим соотношения
между составляющими аХо, ау(н а2л и ах, ау, а2:
аХо = (fix cos фо ~г ау sin ф0) cos q?0 — (ах sin ф0 — ау cos ф0) sin ф0 cos 0О +
4-а2 sin фо sin 0О,
ПУО "= — (ах cos фо — ау sin фо) sin ф0 — (ах sin ф0 —
— ау COS фо) COS Фо cos 0О "Г az COS ф0 sin 0О,
a2ft =-- (ах sin ф0 — ау cos ф0) sin 0О — а2 cos 0О = 0.
Эти соотношения выполняются для любого момента времени.
Полагая со J — ф2 = л/2, обратим а2 в нуль и найдем из последнего
соотношения
(247)
e0xsin(qx-<[2)
Считая со t — сру = л/2, сделаем ау равным нулю и получим из по-
следнего соотношения
tg ©0 =
«02sin(q2-^)
^O.vsin (Ч x— <(!/) «in Ч’о ’
Для определения угла ф0 учтем, что в плоскости эллипса поле
может быть определено составляющими ау, ат , амплитуды и на-
чальные фазы которых связаны с углом ф0 соотношением, аналогич-
ным последнему из соотношений (244)
f 2</6У^Т'СО5?(Чл’~гГ7')
tg 2ф0 —
(248)
(249)
rt?).V aOTf
Для вычисления числителя и знаменателя правой части этого
соотношения полагаем в формулах преобразования для а\ и аг
вначале ю/ — ф2 = л/2, а затем cot — ф2 — л и приводим их к сле-
дующему виду:
a0N sin (фу — ф2) = аОх cos ф0 sin (фА. — ф2) + аОу sin ф0 sin (ф^ — ф2),
a0Tf sin (фТ'“ фг) = {аоу cos ф0 «1п(ф^— с(2) —
— аОх sin фо sin (фх — ф2)] cos 0О,
a0N cos (фу — Фг) - аОх cos ф0 cos (фх — ф2) аОу sin ф0 cos (<[у — ф.),
аОт' cos (фт, — ф2) = [aQy cosф0 cos (ф^ — ф2) —
— аОх sin ф0 cos (фх — ф2)] cos 0О aOz sin 0О.
Правая часть второй из этих формул равна нулю в силу соотно-
шения (247), а значит и левая часть должна равняться нулю, что
252
возможно при <рт, — фг- Вследствие этого остальные формулы
принимают вид
a0N sin (срх — фт'Р аох cosi|>0 sin (фх — фг) + аОу sin ip0 sin (фу — фг),
«o.v cos (ф.у — Фг) = «ол- cos ф0 cos (фд. — фг) + аоу sin ф0 cos (ф# — ф2),
лот' [aoj,cosi|>0cos (ф„ — ф2) — аОх sin ф0 cos (фд. — ф2)] cos 0О —
«O2sin60
и позволяют вычислить по амплитудам аоУ, aoz и разностям
начальных фаз фг, Фг числитель и знаменатель правой части
соотношения (249) и тем самым определить угол ф0.
Таким образом, полуоси и положение эллипса поляризации
определяются через амплитуды и разности фаз составляющих по де-
картовым осям. Возможность определения по разностям фаз удобна
для геофизических исследований, поскольку в природных условиях
замерить разности фаз значительно легче, чем сами фазы.
Эллиптическая поляризация магнитного поля может быть ис-
пользована для заключений об электропроводности земной коры.
С увеличением электропроводности при прочих равных условиях
отношение малой полуоси эллипса к большой возрастает.
Задача 1. Найти отношение амплитуд токов проводимости и смещения
в среде с постоянными —
1
Pl = 1, у, = — 10"7 (о.н-с.н)"1 и в образце, у кото-
рого е.» — р2 = 1, у2 1 (<>.и • с.м)-1, если частота тока в обоих случаях равна
104 гц~. Ответ. 2; 18-107.
Задача 2. В центре проводящего шара небольшая область в начальный
момент была занята зарядами, которые можно принять за точечный заряд Q.
Определить изменения электрического поля со временем внутри и вне шара.
-Ш-t
Ответ: E = EQe * (/? < а), (Я > а).
Из ответа следует, что внутри шара поле весьма быстро исчезает. Очевидно,
заряд Q меняется таким же образом, как и поле. Иначе говоря, заряды внутри
проводника длительное время существовать не могут, они выйдут на его поверх-
ность.
Задача 3. Вычислить волновое число среды с постоянными е = р, — 1,
у = 104 ед. СГСЭ при частоте поля 104 гц.
Ответ: к = 2л (4,24+ г‘2,62) • 10’7 слГ1.
Данные условия задачи соответствуют приблизительно плотным горным
породам, волновое число которых, даже при радиочастотах, получается незна-
чительным.
Задача 4. Провести те же вычисления, что и в предыдущей задаче, для
среды с постоянными е = ц = 1, у = Ю8 ед. СГСЭ при частоте поля 104 гц.
Ответ: Л = 2л (3,33 + *3,33) • 10’6 слЛ.
Из ответа следует, что с увеличением электропроводности среды веществен-
ная и мнимая части к становятся одинаковыми.
Задача 5. Вычислить глубину, на которой в медной толстой пластинке
амплитуда поля уменьшается в е раз, при частоте 1,5-105 гц. Считая для меди
е - ц = 1, у = 5,3-1017 ед. СГСЭ.
Ответ: 0,017 см.
253
Задача 6. Провести те же .вычисления, что и в предыдущей задаче, для
железной пластины, считая 8=1, р = 103, у = IO*7 ед. СГСЭ.
Ответ: 0,0012 см.
Что можно сказать на основании ответа о влиянии магнитной проница-
емости на скин-эффект?
Задача 7. Определить электрическое поле в полупространстве, состоящем
из верхнего слоя мощностью h и нижнего слоя бесконечной мощности. Считать
поле зависящим только от глубины z.
Ответ:
E=AtrM (е^г+-^И2~Л2И1-е<*‘ (2'1’2)') (г < Л),
\ ^1^2 +/
Е=Аег1а* {г>Л)
^1^2+ ^2^1
где кг, к2, рп р2 — волновые числа и магнитные проницаемости верхнего
и нижнего слоев; А — постоянный коэффициент.
Задача 8. При помощи второго уравнения Максвелла найти составляющие
магнитного поля плоской волны, если электрическое поле волны выражается
по формуле
£ = £ хcos a + z cosy
и направлено по оси Оу.
Ответ:
тт в „Л х cos a + z cos у \
Я,= - У — C°S уЕ -------------X------1_ j ,
^=-|/ZCosa£ .
Задача 9. Вычислить коэффициент отражения от стекла (п = 1,6), считая
угол падения волны равным 45°, а волну — поляризованной в плоскости паде-
ния.
Ответ: г = 11,6%.
Задача 10. Вычислить коэффициент отражения от морской воды при нор-
мальном падении волны, считая при этом у = 101® ед. СГСЭ, 8 = 80, р = 1,
v = 108 гц.
Ответ: г = 80%.'
Задача 11. Вычислить коэффициент отражения от скалы при нормальном
падении волны, считая при этом у = 10® ед. СГСЭ, 8 = 4, р = 1, v = 108 гц.
Ответ: г = 11%<
Обратить внимание, что скала при отражении волны ведет себя как ди-
электрик.
Задача 12. Проверить, что выражения e"f sin кR cos он/Я,
cos kR cos (oi/Я являются решениями волнового уравнения и, таким образом,
представляют сферические волны. Как надо истолковывать эти волны при поло-
жительной мнимой части волнового числа к?
Ответ: Первое выражение представляет собой волну, расходящуюся из на-
чала координат, где находится точечный источник; второе — соответствует
стоячей волне, конечной в начале координат; третье — также отвечает стоячей
волне, но с источником в начале координат.
254
Задача 13. Показать, что производные по декартовым координатам выра-
жений, приведенных в предыдущей задаче, являются решениями волнового
уравнения. ,
Задача 14. Считая антенну вибратором с длиной I = 15 м и эффективным
током = 1 а, находящимся в вакууме и излучающим волну X = 30 лц
вычислить амплитуды напряженностей поля в экваториальной плоскости на
расстоянии 10 км от антенны и излучаемую ею мощность.
Ответ: Е/2л • Ю’7 ед. СГСЭ, Я=/2л-10"’ ед. СГСМ, Яср = 200 вт.
Задача 15. Какое число витков должна иметь рамка с площадью 10 №,
чтобы она могла заменить электрическую антенну в предыдущей задаче.
Ответ: п = 7 витков.
Задача 16. Найти выражение для сопротивления излучения рамкп.
Ответ: /7 9 • 10U ом.
Задача 17. Вычислить мощность, излучаемую рамкой, находящейся в ва-
кууме, если частота тока в ней равна 108 гц, число витков п = 10, площадь
витка s = 10 м2 и эффективный ток /эф = 1 а.
Ответ: 385 вт.
Задача 18. Вычислить напряженность магнитного поля на расстоянии
200 м от кабеля, расположенного в однородной среде с постоянными у = 108 ед.
СГСЭ, е = 80, р = 1, считая амплитуду тока 70 = 1 а, частоту v = 104 гц.
Ответ: Н = 4,8-10"7 е** ед. СГСМ, ф = 220° — угол отставания фазы
поля от фазы тока в кабеле.
Задача 19. Вычислить напряженность магнитного поля в точке земной
поверхности на расстоянии 200 м от горизонтального вибратора, считая для
земной коры у = 107 ед. СГСЭ; е = р = 1. Вычисления провести для точки,
находящейся на линии, перпендикулярной оси вибратора, длину оси которого
принять равной 10 м. Амплитуду тока и частоту считать равнымп 1а и 10* гц.
Ответ: Ях = 0, Ну = 2.50 • 10“7е'?у а, Нг^ 2,46 • 10*7e*Pz а,
где фу = 181° 9' и ф2 = 4°, 2' — углы отставания фазы составляющих от фазы
тока в вибраторе.
Задача 20. Вычислить магнитное поле в точке земной поверхности на рас-
стоянии 2 км от кабеля, считая у = 107 ед. СГСЭ, 8 = р = 1. Амплитуду и ча-
стоту тока в кабеле принять равнымп 1 а и 108 гц.
Ответ: Ну — 3,28 • 10“7е^у а, Н2= 1.79 • 10“7е'?з а,"}
где фу — 47° 12' п ф2 = 86° 15' — углы отставания [фазы составляющих
от фазы тока в кабеле.
Задача 21. ^Написать уравнение эллипса поляризации магнитного поля
для предыдущей задачи, найти полуоси эллипса и угол, образованный большой
полуосью с осью Oz.
Ответ:
HI . Я> 2НуН2
^+1076----------7ЛЗ“--=3’97-10’15’ “ = 3.59-10'7 8.
6 = l,03-10’7 s, ip = 64° 48'.
255
Глава IX
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Из повседневных наблюдений мы знаем, что все тела под влия-
нием внешних сил или нагрузок деформируются. При этом отдель-
ные точки тел смещаются относительно друг друга и величиной
таких смещении характеризуется деформация в области данных
точек. У твердых тел деформация сопровождается изменением формы
и объема; у жидкостей и газов наблюдается только изменение объема,
поскольку форма их определяется ограничивающими стенками.
С устранением внешних сил происходит полное или частичное
восстановление первоначальных размеров тел. Способность к такому
восстановлению называется упругостью. При полном восстановлении
говорят об упругих, а при частичном — о частично упругих телах.
В природе нет абсолютно упругих материалов, так как с увели-
чением деформирующей силы всегда наблюдается предел в величине
деформации, после которого она не исчезает полностью при устране-
нии силы. Этот предел зависит от сорта материала, и пока он не до-
стигнут, деформация происходит в пределах упругости и тело счи-
тается упругим.
Благодаря сцеплению отдельных частей тела действие внешних
сил на одну из них передается ко всем его точкам. Поэтому рассекая
мысленно тело на две части, мы считаем, что каждая из них действует
на другую. Действие, отнесенное к единице наружной поверхности
или любого сечения тела, называется напряжением; оно
определенным образом связано с деформацией.
Изменение со временем внешних сил ведет к изменению дефор-
мации и напряжений, что происходит не одновременно, а распро-
страняется в теле от мест приложения внешних сил с некоторой
скоростью в форме упругой волны.
Задача теории упругости состоит в определении деформации,
напряжений, упругих волн в зависимости от внешних сил. При этом
должны быть заданы упругие и геометрические свойства тела и ус-
ловия его закрепления.
256
Классическая теория упругости охватывает явления, связанные
с малыми деформациями, происходящими в пределах упругости;
она является макроскопической теорией; с помощью ее решаются
задачи на основе законов, установленных при опытах с макротелами.
Знакомство с основами теории упругости геофизику-разведчику
крайне необходимо, поскольку сейсмические методы изучения зем-
ной коры основаны на явлениях, связанных с распространением
в ней упругих волн.
В данной главе излагаются элементы классической теории упру-
гости. Порядок изложения принят таким, что сначала на простых
примерах рассматриваются коэффициенты упругости, деформации,
напряжения. После этого излагаются общая теория напряжений,
деформации в малых областях и дифференциальные законы, спра-
ведливые для этих областей.
§ 2. РАСТЯЖЕНИЕ СТЕРЖНЯ. МОДУЛЬ РАСТЯЖЕНИЯ,
КОЭФФИЦИЕНТ ПУАССОНА
Наиболее хорошо изученной на опыте деформацией считается
растяжение однородного круглого стержня или проволоки. Поло-
жим, что верхнее основание стержня закреплено, а к нижнему
равномерно по всей его плоскости приложена растягивающая сила
F (рис. 72, а).
Рис. 72.
Рис. 73.
Согласно опыту с увеличением растягивающей силы пропорцио-
нально ей растет удлинение Д/, пока не достигнут предел упругости,
после чего пропорциональность нарушается. На рис. 73 приведена
типичная кривая зависимости силы F от удлинения Д/. На участке
кривой Оа сохраняется пропорциональность между F и А/; конечная
точка участка а соответствует пределу упругости. На участке аЬ
удлинение растет быстрее силы и кривая имеет выпуклость, обращен-
ную кверху. Далее происходит переход кривой в почти прямолиней-
ный участок Ье, параллельный оси абсцисс, на котором происходит
удлинение стержня без увеличения силы. Такое явление называется
пластическим течением материала. Начиная с точки е, происходит
упрочнение и для дальнейшего удлинения снова требуется увели-
17 Заказ 1701 257
чение силы. В точке d начинается разрушение материала, харак-
теризующееся образованием шейки (утончения) в одном из сечений
стержня, и дальнейшее удлинение, заканчивающееся разрывом,
происходит при уменьшающейся силе.
Кривая на рис. 73 характеризует растяжение пластических ма-
териалов; у непластических (хрупких) материалов участка Ъс не на-
блюдается.
Рассматривая растяжение в пределах упругости и вводя растя-
гивающее напряжение р, равное отношению силы F к площади
поперечного сечения стержня 50, напишем соотношение, оправды-
вающееся на опыте и называемое законом Гука:
AZ-apZo, (250)
где /0 — первоначальная длина стержня; а — коэффициент ли-
нейного растяжения материала.
Величина, обратная коэффициенту Е — 1/а, называется модулем
растяжения или модулем Юнга. Обозначив длину стержня
после растяжения буквой Z, перепишем закон Гука в следующем
виде:
l--=lQ(i + ap). (250')
Величина ар = р/Е мала по сравнению с единицей и не имеет
размерности, или модуль Е совпадает по размерности с напряже-
нием, и его принято измерять единицами напряжения. Численно
модуль равен напряжению, при котором удлинение равно перво-
начальной длине стержня. Такое удлинение в пределах упругости
нельзя получить за исключением некоторых особо эластичных ма-
териалов, например резины.
Растяжение сопровождается сокращением поперечных размеров
стержня и согласно опыту сокращение пропорционально растяги-
вающему напряжению, что запишется так:
d dQ = fipdQ
или
d = d0(l-₽P), (251)
где d и dQ — диаметр стержня после и до растяжения; 0 — коэф-
фициент поперечного сжатия материала.
Величина 0рмала по сравнению с единицей и не имеет размерности.
В теории играет роль отношение коэффициента поперечного сжа-
тия к коэффициенту линейного растяжения или отношение относи-
тельного поперечного сжатия к относительному растяжению, т. е.
величина
Ad
0 = 1(252)
*0
называемая коэффициентом Пуассона.
258
Рассмотрим изменение объема стержня при его растяжении:
| (Л -dJZ0) = dllQ [(1 + ар) (1 - рР)2 - 1 ].
Произведя умножение в квадратных скобках и пренебрегая
квадратами и произведениями величин ар, 0р из-за их мйлости
по сравнению с единицей, получаем
ДР = A d*zop (а - 20) = Jd*lQap (1 - 2о). (253)
Опыт показывает, что объем при растяжении увеличивается,
а значит 1—2о 0 или о 1/2. Пуассон для изотропных тел считал
<г — 1/4, но опытом это не подтверждается и для разных материалов
<г получается неодинаковым. Поэтому при ответственных расчетах
пользуются значениями о, полученными экспериментальным путем.
Растягивающие напряжения р вызывают в любом поперечном
сечении стержня 50 равные себе напряжения, перпендикулярные
сечению и по этой причине называемые нормальными.
Если произвести косое сечение стержня S и мысленно удалить
нижнюю часть, то ее действие на верхнюю часть надо будет заменить
напряжениями, направленными по растягивающей силе F и поэтому
не перпендикулярными сечению (рис. 72, б).
Величина их определяется по формуле
р F
р'=-у =-^-cosa,
где a — угол между нормалями к поперечному и косому сечениям
стержня.
Проектируя р' на касательную и на нормаль к сечению 5, полу-
чим касательное и нормальное напряжения:
, f . F
Pt^p sin a —cos a sin a;
*>o
Из этих формул видно, что p't достигает наибольшего значения
при a = л/4, а р'п — при a = 0.
Таким образом, напряжение в общем случае не перпендикулярно
сечению, а величина его зависит от ориентировки сечения. Касатель-
ные напряжения называются еще скалывающими; они
отсутствуют в жидкостях и газах, где давление, играющее роль напря-
жения, одинаково во всех направлениях и перпендикулярно к любому
сечению.
17*
259
Р
Р
Рис. 74.
§ 3. ОДНОСТОРОННЕЕ СЖАТИЕ БЕЗГРАНИЧНОГО СЛОЯ.
МОДУЛЬ ОДНОСТОРОННЕГО СЖАТИЯ
Сжатие и растяжение определяются одинаковыми коэффициентами
упругости и считаются деформациями, отличающимися только зна-
ком. Если стержень на рис. 72, а сжимать или растягивать, ограни-
чив его с боков средой, не позволяющей ему изменять поперечные
размеры, то упругие свойства у него становятся другими по сравне-
нию со свободным стержнем. Так обстоит дело со стержнем, мысленно
выделенным из безграничного слоя какой-нибудь среды, когда в ней
распространяется продольная упругая волна,
сжимающая или растягивающая слой в на-
правлении нормали к ограничивающим его
поверхностям.
Пусть такой стержень будет квадрат-
ной призмой высотой 1д и со стороной
оснований mQ (рис. 74). Если на основания
действуют сжимающие напряжения р, то
после сжатия высота свободной призмы опре-
делится по формуле
ь zo(l — ар);
у ограниченной с боков призмы высота будет больше, и мы ее запи-
шем так:
Г - Zo (1 — а'р),
где а' — коэффициент одностороннего сжатия.
Для установления связи между коэффициентами а' и а, вычис-
лим Г, учитывая боковые давления q на призму со стороны остальной
части слоя.
Сжимающим напряжениемр высота 10 сокращается в (1 — ар) раз,
а боковое давление q на правую и левую грани увеличивает ее
в (1 -г Рр) раз и во столько же раз она изменяется давлением на
заднюю и переднюю грани. В итоге высота после сжатия определится
по формуле
/' = го(1-ар)(1 + й)2-/о[1-ар(1-2| а)],
где в последнем выражении мы пренебрегли произведением и квад-
ратами малых величин ар и Р/?.
Сравнивая это выражение Г с написанным ранее, получаем
а = а (1 — 2 у о) .
Определим отношение q/p из условия, что сторона не ме-
няется при деформации. Эта сторона на передней грани изменяется
от сжатия р в (1 + Р/)) раз, от давления q на левую и правую грани
260
B (j _ aq) раз и от давления q на заднюю и переднюю грани —
в (j д_ pg) раз. В итоге можно надисдть
1 = (1 + ₽Р) (1 — ag) (1 -Ь Й)-
Отсюда, пренебрегая произведениями малых величин ftp, aq,
находим
2 . = Р ---= а .
р а — Р 1—ст
Подставляя это значение q/p в выражение а', имеем
<| + а>(<-20)
1—0 v '
Величина Е' = 1/а' называется модулем одностороннего сжатия
(растяжения) безграничного слоя и согласно формуле (254) она
выражается таким образом:
1 —о
•рг_________1 u______ р
(1+о) (1-2Q) ’
(255>
Модуль Е' играет значительную роль в теории упругих волн,
при о = 1/4 Е' = 1,2Е, а при о = х/з Е = 1,5Е.
§ 4. СДВИГ И МОДУЛЬ СДВИГА
Сдвиг является второй основной деформацией после растяжения
или сжатия. Для ознакомления с ним прикрепим нижнее основание-
прямоугольного параллелепипеда
а к верхнему приложим общую
горизонтальную силу F, рас-
пределив ее равномерно по
всей площади основания S
(рис. 75). Отношением F/S
определится величина скалы-
вающих напряжений pt как
на верхней грани, так и в лю-
бом сечении параллелепипеда,
параллельном этой грани. Счи-
тая F параллельной ребрам
параллелепипеда, мы будем
наблюдать скашивание его
в направлении этих ребер.
Скашивание рассматривается к
к горизонтальной плоскости.
Рис. 75.
к сдвиг относительно друг друга
тонких горизонтальных слоев, на которые можно мысленно разде-
лить деформируемое тело. Отношение величины сдвига верхнего
основания AZ к высоте параллелепипеда h называется относи-
тельным с д в п г о м, и оно согласно эксперименту пропорцио-
261
яально скалывающему или касательному (напряжению pt, т. е.
можно написать
= (256)
что является законом Гука при сдвиге.
Множитель у называется коэффициентом сдвига,
а величина G = 1/у — модулем сдвига. Ввиду малости
отношения kl/h его заменяют углом ф, на который поворачиваются
вертикальные ребра при сдвиге, и соотношение (256) переписывают
jb виде
Ф = (256')
Таким образом, относительный сдвиг пропорционален касатель-
ному напряжению и обратно пропорционален модулю сдвига. Харак-
терным для сдвига является то, что объем деформируемого тела не
меняется при этом. В самом деле, пло-
щадь передней грани на рис. 75 не
меняется при деформации, а поскольку
ребра, перпендикулярные этой грани,
также не испытывают изменений, то
объем параллелепипеда до и после
сдвига одинаков.
Между модулями Е и G имеется
связь, для выявления которой поло-
жим, что на рис. 75 передняя грань
вначале была квадратной, а после
деформации стала ромбической. Далее
допустим, что эта грань является
частью abed квадратной грани ABCD
параллелепипеда, превосходящего по
размерам рассмотренный выше (рис. 76).
Приложим к граням АВ и CD растягивающие, а к граням ВС
1S.AD сжимающие напряжения одинаковой величины р. Под влиянием
этих напряжений грань ABCD превратится в грань АгВ-fi XD
а часть ее abed сделается ромбом a-^b-^e-^d^ Это значит, что в области
•abed произошел сдвиг. Причиной сдвига будут касательные напряже-
ния рр действующие в направлениях ba, be, da, de и образующиеся
н материале под влиянием напряжений р, приложенных к граням
АВ, CD и ВС, AD, Найдем связь между pt и р. Из рис. 76 следует, что
на грань ab с половины грани ВС передается напряжение, равное
ВСр/2аЬ и направленное справа налево. Проектируя его на напра-
вление Ъа (умножая на cos 45°), получим половину pt, т. е.
1 1 ВС
Учитывая, что ^BC/ab = cos 45°, находим
1 1 ~
2 Pt 2
Рис. 76.
262
Вторая половина pt возникает аналогичным образом за счет
напряжения, передаваемого на грань ab с половины грани АВ.
Окончательно имеем
Pt=P-
Направления Ъс и пересекаются на рис. 76 под углом ф/2г
равным половине относительного сдвига. В самом деле, чтобы полу-
чить картину, изображенную на рис. 75, надо совместить линию
с линией Ьс, приподняв сначала ромб a1b1c1d1 до совмещения
точки с точкой с, а затем повернув его по часовой стрелке на угол
тр/2. Тогда между линиями cd и с±dj образуется угол гр.
Таким образом доказано, что угол между направлениями Ъс
и Ь1с1 равен ф/2, а тогда, руководствуясь рис. 76, можем написать
4 2 J ciai
Заменяя в этом соотношении левую часть по формуле
а правую часть согласно деформации
с?1&1 db (1 — ар) (1 — рр)
ciai са (1 + ар)(1+Рр) ““
1 — 2ар— 20р,
где в окончательных выражениях не учтены из-за малости произведе-
ния величин ф/2, ар, Рр, получим
ip =2ap(l + -|-)=2ap(l + a).
Заменяя ф на pt!G, а на ijE и учитывая, что р = pti находим
или окончательно
Е
2(1 + 0)’
(257)
Это весьма важное уравнение позволяет вычислить коэффициент
Пуассона о по модулям, которые нетрудно определить эксперимен-
тальным путем. Оно также показывает, что из трех величин, характе-
ризующих упругие свойства материала, независимыми оказываются
две.
Принимая за независимые Е и G, следует считать за основные
деформации растяжение и сдвиг, а все другие сводить к ним. Обе
эти деформации наблюдаются только в твердых телах; в жидкостях
и газах из-за отсутствия касательных напряжений сдвиги не воз-
никают.
263
В соответствии с этим в твердых телах могут возникать две упру-
гие волны: одна из них продольная, образованная распространением
растяжений и сжатий, а вторая — поперечная, обусловленная рас-
пространением двигов.
В жидкостях и газах наблюдаются только продольные волны.
§ 5. КРУЧЕНИЕ
Весьма часто встречающейся деформацией оказывается кручение
упругих стержней, которое, как видно из дальнейших рассуждений,
сводится к сдвигу. Пусть верхний конец круглого стержня прикре-
плен к горизонтальной плоскости, а к ниж-
нему приложена пара сил с моментом Л/,
направленным по оси стержня и закручи-
вающим его в пределах упругости на не-
который угол ср (рис. 77). Наблюдения
показывают, что момент М пропорциона-
лен углу ф, т. е. справедливо соотноше-
ние
М - Лдр, (258)
выражающее закон Гука при кручении.
Коэффициент пропорциональности К назы-
вается модулем кручения; он зави-
сит от материала и размеров стержня. Для выявления этой зависимо-
сти предположим, что на боковой поверхности стержня была до дефор-
мации нанесена сетка из квадратов, образованных пересечением
-образующих с окружностями. При закручивании стержня сетка
искажается: квадраты переходят в ромбы, образующие становятся
винтовыми линиями, окружности остаются окружностями (рис. 77).
Это приводит к заключению, что при деформации происходят сдвиги
тонких слоев относительно друг друга, на которые можно разделить
стержень сечениями, перпендикулярными его оси. Сдвиги вызваны
неодинаковым вращением слоев относительно оси; угол вращения фл.
растет пропорционально расстоянию х от верхнего закрепленного
сечения, что запишется так:
<рх - Сх.
Коэффициент пропорциональности С определим из условия, что
на нижнем конце стержня х = I — длине стержня, фх = ф, а значит
С = ф/Z; тогда фА. выразится по формуле
Ф
(259)
Из рис. 77 легко определяется относительный сдвиг для квадрата
сетки iklm
где а — радиус стержня.
264
Тонкие слои толщиной dx поворачиваются у стержней с круглым
сечением как единое целое без искривления радиусов, и относитель-
ный сдвиг на расстоянии г от оси запишется так:
I V
ф, " г •
ах
Внеся в выражение фг значение dqjdx, вычисленное из формулы
(259), получим
Отсюда с учетом формулы (256') находим касательное напряжение
в поперечном сечении стержня
Pt — G-^-r. (260>
Умножая обе части этого равенства на г dS и интегрируя его
по всему поперечному сечению, получаем слева момент напряже-
ний относительно оси, равный при статическом равновесии моменту,
приложенному к нижнему концу, а справа — выражение этого
момента через модуль сдвига, угол закручивания и размеры стержня
M — G-^-§r2dS. (261)
S
Сравнивая это выражение с написанным ранее (258), находим
искомую зависимость
K'^^r2dS. (262)
S
Из хода рассуждений следует, что результат (262) справедлив,
не только для сплошного стержня, но и для трубки с внешним радиу-
сом а и внутренним 6, когда интеграл по сечению равен л/2 (а4 — Ь4).
Формула (261) применяется для экспериментального определения
модуля G по моменту М, углу ср и размерам стержня.
§ 6. ИЗГИБ БАЛКИ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ Е ПО СТРЕЛЕ ПРОГИБА
Интересна во многих отношениях деформация, называемая изги-
бом балки. Для рассмотрения ее считаем, что горизонтальная балка
длиной /, шириной Ъ и высотой h прикреплена одним концом к вер-
тикальной стене. Совместим начало координат с центром закреплен-
ного конца, ось Ох направим горизонтально по оси балки, ось Оу —
по вертикали, вниз (рис. 78, а). Прикладывая к свободному концу
балки пару сил с моментом, направленным по оси Oz, будем наблю-
дать деформацию, называемую чистым изгибом. Если приложить
к свободному концу вертикальную силу F, равномерно распределен-
ную по всей плоскости конца балки, и учесть также вес балки, рав-
ный q на единицу ее длины, то получим более общую деформацию,
265
чем в первом случае, называемую изгибом. Рассмотрим оба случая
изгиба.
Чистый изгиб. Создадим пару сил на свободном конце балки
таким образом: приклеим к нему тонкую жесткую пластинку и к верх-
ней стороне ее, параллельной оси Oz, приложим силу F, направлен-
ную по оси Ох и равномерно распределенную по всей длине стороны;
к нижней стороне пластинки приложим такую же силу, но напра-
вленную противоположно оси Ох.
Тогда верхние слои балки будут
растягиваться, а нижние сжимать-
ся, произойдет изгиб. Имеется
слой, который не растягивается
и не сжимается, а только изгибает-
ся; он называется нейтральным
и при прямоугольном сечении
балки находится на ее середине,
т. е. совпадает с плоскостью xOz.
Для экспериментального изу-
чения изгиба на боковую грань
балки наносят квадратную сетку,
образованную горизонтальными
и вертикальными линиями, про-
веденными через равные интер-
валы.
При чистом изгибе вертикаль-
ные линии наклоняются, а гори-
зонтальные изгибаются п те, кото-
рые расположены выше нейтраль-
ного слоя, удлиняются, а ниже —
сокращаются. Поперечные сечения
балки остаются плоскими, но наклоняются вместе с вертикальными
линиями. Пусть на рис. 79, а, б линией АВ отмечен нейтральный
слой. Короткий участок ab слоя, оставаясь неизменным по длине,
изгибается по дуге с углом Да и радиусом кривизны R.
Тогда слой, расположенный на расстоянии ДЯ от нейтрального,
получит на участке ab удлинение, равное Да-ДЯ, а относительное
удлинение его будет выражаться так:
Рис. 78.
АаАЯ АаАЯ _ у
аЬ АаЯ R ’
поскольку ДЛ = —у. Умножив относительное удлинение на модуль
растяжения, получим нормальное напряжение в поперечном сечении
балки
Наибольшие по абсолютному значению напряжения образуются
на верхней и нижней гранях, где у = н=Л/2.
266
При переходе через нейтральный слой напряжения меняют знак
п вследствие этого создают момент относительно этого слоя, вычи-
сляемый по формуле
h h
2 Т
Mz= - j ybpndy = Е±ДуЧу = Ц-. (263>
__Л_ _ Л_
2 2
Величина I = bh3/12 называется моментом инерции
поперечного сечения относительно оси, расположенной в нейтраль-
ном слое.
Вычисленный для произвольного сечения
момент Мг должен по условиям статики
равняться постоянному изгибающему момен-
ту, приложенному к свободному концу. От-
сюда следует, что при чистом изгибе кри-
визна оси балки постоянна по всей ее длине
(ось изогнута по дуге окружности) и про-
порциональна изгибающему моменту. Каса-
тельные напряжения в поперечных сечениях
балки при чистом изгибе не возникают.
Изгиб вертикальными силами (в том числе
и весом балки). С этим случаем изгиба мы
наиболее часто встречаемся в жизни. Пусть
вертикальная сила F, как мы уже отмечали,
распределена равномерно по свободному
основанию (рис. 78, б). Возьмем произ-
вольное поперечное сечение балки cdef на расстоянии х от закреплен-
ного конца и мысленно распределим в нем равномерно две вер-
тикальные силы; каждая из них равна силе F, но одна направлена
вниз, а другая — вверх. Они уравновешивают друг друга и допол-
нительной деформации не создают, но совместно с силой F, прило-
женной к свободному концу балки, вызывают в рассматриваемом
сечении момент, равный F (I — х), и равнодействующую, равную
F и направленную вниз.
Прикладывая к этому же сечению две вертикальные, противо-
положно направленные силы, равные каждая q (I — х) — весу части
балки, расположенной правее сечения, мы найдем, что эта часть
балки своим весом вызывает в сечении момент, равный q (I —х)2/2,
и равнодействующую, равную q (I — х) и направленную вниз.
В целом к сечению cdef приложен момент
M2 = F(l-x) + q^)Lt
называемый изгибающим моментом, и вертикальная
сила
Fv = F + q(l-x),
называемая срезывающей силой.
267
Изгибающий момент производит ту же деформацию, что и при
чистом изгибе, т. е. растяжение верхних и сжатие нижних слоев
балки, и он по условиям статики равен моменту нормальных напряже-
ний в поперечном сечении относительно нейтрального слоя. Прирав-
нивая момент нормальных напряжений, вычисленный выше, к изги-
бающему моменту, получим уравнение
^ = 7'(/-х) + ?-Ц^, (264)
из которого видно, что кривизна изогнутой оси балки зависит в дан-
ном случае от координаты х.
Согласно дифференциальной геометрии кривизна выражается
по формуле
d2y
1 dx2
При изгибах в пределах упругости отклонение изогнутой оси
•от прямой линии незначительно, a dy/dx<^ 1, и кривизну можно
определять по формуле
1 _ d2y
R dx2 9
•а равенство моментов (264) записывать в виде
+ (264')
Интегрируя это уравнение дважды по аг, получаем уравнение
изогнутой оси балки.
После первого интегрирования имеем
ъг dy F (l — х)2 „ — г
Е1~^ =--------2------q~------‘ Ср
Постоянная Сг определяется из условия, что закрепленный конец
поворачиваться не должен и dy)dx = 0 при х = 0; используя это
условие, находим
И rdy F (l—х)2 (l-x)* Fl2 /з
E1^ =------2-----6“ +
Производя второе интегрирование, получаем
„г F (I — х)9 . (1—х)* . FPx , Рх . -
Eiy= е -+9-^-^+—+д-б~+^;
новую постоянную С2 находим из условия, что у = 0 при х в 0;
тогда
С — — ——
6 q 24 *
2G8
Окончательно имеем
F (1 — х)3
6
Е1у =
гч 24
Fl2x
2
ql3X
"б”
Fl3 ql*
~6 ~2А'
(265)
Отсюда находим прогиб при х = Ц или стрелу прогиба,
F/з (jl*
У' ~ 3EI 8EI ’
(266)
U
Рис. 80.
Эта формула позволяет определять экспериментально модуль
растяжения, наблюдая стрелу прогиба. При этом балку обычно
кладут концами на опоры, а со-
средоточенную вертикальную силу F
прикладывают к ее середине (рис. 80).
Половина такой балки соответствует
балке, закрепленной одним концом
в стене и нагруженной на другом конце
силой F/2, равной реакции опоры.
Стрела прогиба середины балки опре-
делится по формуле (266), если в ней
заменить I на Z/2, F на F/2. Выполняя
эти замены и учитывая на рис. 80 расположение начала координат,
получаем
F13 । ___ /олл'ч
У| х=‘12 ~ 48£/' 128£Z ' '° '
В заключение коснемся вопроса, связанного со срезывающей
силой Fy. Она является равнодействующей касательных напряжений
pt, возникающих в поперечном сечении балки при этом случае изгиба.
Картельные напряжения тянут вниз отдельные слои, параллельные
нейтральному слою. От этого слои испытывают сдвиги относительно
друг друга и между ними также появляются касательные напряже-
ния. Все это приводит к искривлению поперечных сечений, но не
влияет на прогиб балки и на уравнение моментов (264). Подробно
с этим можно ознакомиться в специальной литературе по теории
упругости.
Задача 7. Квадратная призма сечением 10 см2 и высотой 5 см сжимается
силой 10е дин. Определить относительное и абсолютное сжатие, относительное
изменение объема, если модуль Юнга равен 1012 дин/см2, коэффициент Пуас-
сона равен 0,26.
Ответ: 10"4, 5*10“4 см, 0,5 *10-4.
Задача 2. Определить нормальное и касательное напряжения в сечении
призмы, используя условия предыдущей задачи, если нормаль к сечению обра-
зует с высотой угол 30°.
Ответ: рл = 7,5-107 дин/см2,
Р/ = 4,3*107 дин/см2.
269
Задача 3. Определить величину относительного сдвига, возникающего
при скалывающих напряжениях, равных 10* дин/см2, если модуль сдвига
равен 4 • 1011 дин/см2.
Ответ: 2,5-10”8 рад.
Задача 4. Каковы будут результаты в ответе первой задачи, если призма
подвергается одностороннему сжатию Силой 10е дин в направлении своей
высоты.
Ответ: 0,8-10"*, 4-Ю"8 см, 0,8-10"4.
Задача 5. К нижнему концу круглого стержня, прикрепленного верхним
концом к горизонтальной плоскости, приложен момент, равный 108 дин • см.
Определить угол закручивания и напряжения на поверхности стержня, если
длина его 100 см, диаметр 1 см, модуль сдвига материала 4-1011 дин/см2.
Ответ: 0,25 рад, 5-108 дин/см2.
Задача 6. К нижнему концу стержня, рассмотренному в предыдущей
задаче, прикреплен тонкий диск массой 10 кг, радиусом 20 см. Ось диска совме-
щена с осью стержня. Определить период крутильных колебаний системы отно-
сительно ее оси, пренебрегая массой стержня.
Ответ: 0,45 сек.
Задача 7. Вычислить модуль сдвига материала стержня, если изменение
момента кручения на 5-108 дин/см изменяет угол закручивания на 0,1 рад.
Длина стержня 20 см, радиус 0,6 см.
Ответ: 4,8-1011 дин/см2.
Задача 8. Квадратная призма сечением 9 см2 и длиной 30 см играет роль
горизонтальной балки, положенной концами на опоры. Определить модуль
Юнга материала, если прогиб балки равен 0,01 см при силе нагрузки
1,2’108дин, приложенной к среднему сечению. Плотность материала бал-
ки 3 г/см3.
Ответ: Ю12 дин/см2.
Обратите внимание на то, что вес балки в данной задаче роли не играет.
Задача 9. Вычислить нормальные напряжения в среднем сечении балки
при условиях предыдущей задачи.
Ответ: 2-108 дин/см2.
Напряжения получились значительными и балка, изготовленная из слабого
материала, нВпример известняка, может не выдержать нагрузки.
Задача 10. Балка с квадратным сечением 9 слс2 и длиной 30 см закреплена
жестко одним концом; к другому приложен изгибающий момент, равный
108 дин • см. Определить прогиб свободного конца и напряжения в сечении балки,
считая модуль Юнга материала равным 1012 дин/см2.
Ответ: 0,067 см; 2,2-108 дин/см2.
Обратите внимание на то, что прогиб получился больше, чем в задаче 8,
при тех же практически нормальных напряжениях в сечении.
§ 7. ТЕНЗОР УПРУГИХ НАПРЯЖЕНИЙ
Рассмотренные выше простые случаи деформации позволили
ознакомиться с нормальными и касательными напряжениями, обра-
зующими общее напряжение, ориентированное под произвольным
углом к сечению тела.
270
Для составления широкого представления о напряжении построим
в данной точке среды площадку dS. ориентировку которой опреде-
лим нормалью к ней п (рис. 81). Пусть на элемент dS со стороны
той части среды, куда направлена нормаль, действует сила dF.
Тогда вектор напряжения на площадке определится по формуле
р.=->. <267>
и в случае твердого тела он может не совпадать с нормалью. В связи
с этим индексом п у вектора отмечается ориентировка не его, а пло-
щадки.
Выбрав три взаимно перпендикулярные площадки, нормали
которых совпадают соответственно с координатными
Оу. Oz. мы определим по формуле (267) три векто-
ра рх, р^, pz, каждый с тремя составляющими по
координатным осям. Очевидно, составляющим при-
дется приписывать по два индекса, один из которых
указывает на ориентировку площадки, а второй —
на направление составляющих. Выпишем все девять
составляющих в форме квадратной таблицы или
матрицы
осями
п
Рп
dS
Рис. 81.
Рхх Рху Pxz
Рух Руу Pyz
Pzx Pzy Pzz
где в каждой горизонтальной строке собраны составляющие одного
вектора.
Величину рхх надо понимать как составляющую напряжения
по оси Ох на площадке с нормалью, направленной по оси Ох\ вели-
чина рух является составляющей напряжения по оси Ох на площадке
с нормалью, направленной по оси Оу и т. д.
Три составляющие рхх, руу. ргг. расположенные по главной диаго-
нали матрицы, соответствуют нормальным, а остальные — касатель-
ным напряжениям на площадках.
Тремя векторами рх. р^, р2 полностью характеризуется напряже-
ние в данной точке среды. Для доказательства этого достаточно
показать, что напряжение рл на площадке с произвольной ориенти-
ровкой выражается с помощью этих векторов.
Построим в начале координат элементарный тетраэдр так, чтобы
три его грани совпали с координатными плоскостями, а положение
четвертой определялось нормалью п (рис. 82). Площади граней
в координатных плоскостях связаны с площадью четвертой грани dS
формулами
dSx = dS cos (хп). dSy — dS cos (yri), dSz ~ dS cos (zn).
следовательно, силы, действующие на эти грани, запишутся так:
рх dS cos (хп). рр dS cos (уп). р2 dS cos (zn).
271
Для равновесия тетраэдра необходимо, чтобы приложенные
к нему силы уравновешивались или выполнялось равенство
pndS idV — pxdS cos (xn) + dS cos (yn) p2dS cos (zn),
где f — сила, действующая на единицу объема тетраэдра; ее роль
может играть удельный вес.
Разделив обе части написанного равенства на dS и учитывая,
что множитель dV/dS, являясь бесконечно малой величиной, обра-
щает член с объемной силой в нуль, получим соотношение
Рп Рх cos (хп) + ру cos (уп) -г р2 cos (z/г), (268)
показывающее, что действительно напряжение рл определяется век-
торами pr, р^, pz.
Выбирая четвертую грань тетраэдра так, чтобы нормаль к ней
совпала последовательно с осями Ox ,Оу', Oz' системы координат
2 со штрихами, найдем
П Рх' = Рх cos (хх') 4- р^ cos (ух') + р2 cos (zx),
p»' = p*cos (*£/')+p*cos (yy')+p* cos <268 >
рг, = px cos (xz') + pp cos (yz') + pz cos (zz');
Xj это формулы преобразований напряжений при пере-
Рпс 8° ходе от системы координат без штрихов к системе
координат со штрихами.
При вычислениях напряжений в координатах со штрихами
пользуются формулами преобразования составляющих векторов.
Для получения их заменим векторы в первой из формул (268') следу-
ющими суммами из составляющих:
Рх' — i Pxfxr 4" J Рх'у' 4~ к Рх'?',
Рх ~ *РхХ 4“ )Рху ~Т крх2»
Рр ~ *Рух 4~ УРуу 4~ крр?»
Pz=iPzx4-iPzP4-kp«;
затем умножим скалярно правую и левую части первой формулы
(268') последовательно на единичные векторы i', j', к'. Тогда, учиты-
вая, что (i'ij = (j'f) = (к'к') = 1, (i'j') = (j'k') = (k'i') = 0, (ii') =
= cos (xx), (ji') = cos (ух), . . (jk') = cos (yz'), (kk') = cos (zz'),
находим
Рх'л' Pxx COS2 (^') 4- Pxy C0S (XX) COS + Pxz COS (xx) COS (zx) J
pyx cos (yx) cos (xx) 4- pyy cos2 (yx) 4- Pyz cos (yx) cos (zx)
4- pzx cos (zx') cos (xx) 4- pzy cos (zx') cos (yx') 4- pzz cos2 (zx),
Px'y' = Pxx cos (xx) cos (xy') 4- pxy cos (xx') cos (yy') 4-
272
+ Pxz cos (xx') cos (zy') + pyx cos (yx') cos (xy') +
+ Pyy cos (yx') cos (yy') + PyZ cos (yx') cos (zy') + pzx cos (zx') cos (xy') +
+ Pzy cos (zx') cos (yy') + pzz cos (zx) cos (zy'), (268")
Px'z' = Pxx cos (xx') cos (xz') + pxy cos (xx') cos (yz') 4-
+ Pxz COS (xx') COS (zz') + pyx cos (yx') COS (xz) +
+ pyy COS (yx) COS (yz') + pyz cos (yx') cos (zz') + pzx cos (zx) cos (xz') +
+ Pzy COS (zx) cos (yz') + pzz cos (zx') cos (zz')
— формулы преобразования для величин рХ'х', Pxfyf, Px’z’-
Аналогично находятся формулы преобразования для остальных
величин Ру’х'', • • ч Pz’z’- Из них легко заключить, что составляющие
напряжений преобразуются при переходе от одной системы координат
к другой, как квадраты и произведения координат. На примере
с электропроводностью в анизотропной среде отмечалось, что так
преобразуются составляющие физической величины, называемой
тензором. На основании этого заключаем, что девять составляющих
напряжений образуют тензор, который принято называть тензо-
ром напряжений.
§ 8. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ЭЛЕМЕНТА ПОВЕРХНОСТИ
И ЭЛЕМЕНТА ОБЪЕМА ДЕФОРМИРОВАННОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ.
СИММЕТРИЧНОСТЬ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ
Считая на рис. 82 четвертую грань тетраэдра совмещенной с на-
ружной поверхностью среды, мы должны принимать напряжение рл
за внешнюю силу, отнесенную к единице наружной поверхности.
Обозначив составляющие этого напряжения как ппх, ппу, nnz и приме-
нив к ним формулу (268), получим условия равновесия элемента
поверхности:
Япх = Pxx COS (хп) 4- рух COS (уп) + р2х COS (zn),
^пу = Pxy cos (хп) 4- руу cos (уп) + pZy cos (zn), (269)
ЛЛ2 = Pxz cos (хп) 4- pyz cos (yn) 4- p22 Cos (zn).
Для получения условий равновесия элемента объема вспомним,
что согласно статике равновесие любой части среды соблюдается
при равенстве нулю равнодействующей и результирующего момента
сил, приложенных к этой части. В координатной форме для оси Ох
это запишется так:
ffxdV + $pnxdS=O,
v s (270)
S {Уfz~zfy)dV + f (ypnz—zpny) dS = 0.
V s
18 Заказ 1701
273
Здесь интегрирование распространяется на объем и поверхность
произвольной части среды.
Рассмотрим пер!вое из условий (270), заменяя в нем рпх на рхп —
составляющую по нормали некоторого вектора pv, имеющего по
координатным осям составляющие рхх, рух, р1х.
Тогда поверхностный интеграл (270) преобразуется в объемный,
а условие перепишется в виде
S (Л+div Рх) dv = o.
V
Отсюда из-за произвольности объема имеем
/х Г div рх - 0;
аналогично находим
fy + div pj, = 0, (270')
/z+divpz — 0.
Теперь заменим во втором условии (270) рпг на р.п, рпу на puni
а затем преобразуем поверхностный интеграл в объемный, учитывая
соотношения
div (ур2) = у div рг + (р' grad у) =:у div рг+ руг,
div (zp,) — z div р^ + (py grad z) = z div p^ + p4.
В итоге получив
,f (У (/z + divp2) — z(/i, + divpJ,)]dy + j’(p1/x—p^dV^G,
V V
где первый интеграл равен нулю вследствие условий (270'); значит,
и второй интеграл равен нулю, что при произвольности объема
интегрирования выполняется при соотношении
t . Pyi = Pzyi х.
аналогично найдем
Pzx = Pxzi Рху = Рух-
Таким образом, скалывающие напряжения не меняются от пере-
становки индексов. Иначе говоря, тензор напряжений симметричен.,
Благодаря этому векторы рх, р^, р2 совпадают соответственно с век-
торами рх, р^, р2, а условия равновесия элемента объема (270)
переписываются так:
/x + divpx = 0,
fy + div ру = 0, (271)
/z + divpz = 0.
274 . . ,
§ 9. ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
И ГЛАВНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ
Для тензора напряжений, как и для электропроводности в анизо-
тропном проводнике, можно указать в каждой точке три взаимно
перпендикулярных направления, по которым он имеет наибольшее,
наименьшее и некоторое промежуточное значения. Эти направления,
или оси, называют главными, а значения тензора по ним —
главными значениями или напряжениями, вы-
зывающими растяжения или сжатия, но не сдвиги. Иначе говоря,
главные напряжения нормальны к площадкам, построенным пер-
пендикулярно главным направлениям.
Определение напряжений по любому направлению в данной точке
упрощается, когда в ней заданы главные направления и напряжения.
В самом деле, если координатные оси без штрихов совмещены с глав-
ными направлениями, то составляющие рху = pyz = pzx = 0, а рхх,
руу, pzz равны главным напряжениям и формулы (268") для определе-
ния составляющих в системе координат со штрихами весьма упро-
щаются. Произведя вычисления по этим формулам, получим равен-
ства рХ'у> = Ру'х', Ру'г' = Рг'у'ч Pz'x' = Px'z', выражающие симметрич-
ность тензора. Это означает, что наличие главных направлений
и значений влечет за собой симметричность тензора и наоборот,
т. е. эти свойства у него взаимосвязаны.
Решим обратную задачу, найдем по составляющим в направлении
осей со штрихами главные напряжения и главные направления,
совмещенные с осями без штрихов.
Для этого считаем в формуле (268) координаты со штрихами,
а нормаль — совмещенной с одним из главных направлений. Тогда
вектор рл имеет направление нормали. Выписывая его составляющие
по осям со штрихами при помощи формулы (268) и считая коорди-
наты в ней со штрихами, получим систему однородных уравнений
относительно направляющих косинусов нормали:
Рп cos (х'п) ~ рХ'Х' cos (х'п) + рУ'Х' cos (у'п) + pZ'X' cos (z'n),
p„cos (у'п) = px>y’ cos (x'ri) + Py'y' cos (у'п) ¥ pey' cos (z'n), (272)
pn cos (z'ri) = pX'Z> cos (x'n) + py'z' cos (y'ri) + pZ'Z' cos (z'ri).
Решить такую систему можно только при равенстве нулю ее опре-
делителя, т. е.
Рх’х'—Рт Ру'хЧ л
Р*’#” Ру'у' Рги
Px'z'j Py'z’1
Pz'x'
Рг’У
Pz'z' Pn
Раскрывая определитель, получим уравнение третьей степени
относительно рп'.
Рп — (Рх'х' 4- Ру'у' +Pz'z’) Рп + (Рх'х'Ру'у' + Py'y'Pzz’ 4- Pz'z'Px'x'~
Рх'у’ ~~ Py'z' у*'х’) Рп (Рх’х'Ру'у'Pz'z' 4“ ^Px'y'Py'z'Pz’x’
' Рх'х(Р*у’г' Ру'у'Pz'x' Pz'z'Px'^) “0.
18*
275
Корни этого уравнения и будут главными напряжениями рхх,
риу, pzz\ они не зависят от системы координат со штрихами, а опреде-
ляются свойствами и условиями закрепления деформированного
тела. По этой причине и коэффициенты, стоящие в уравнении при
разных степенях рп, также не зависят от этой системы координат,
поскольку согласно алгебре выражаются через корни следующим
образом:
Рх'х’ + Ру'у’ “Г Pz'z' ~ Рхх 4" Ру у 4“ Pzz>
Рх'х'Ру'у' “1“ Py'y'Pz'z' Pz'z'Px'х' рх'у' Py’z' Pz'x' ==
~~ РххРуу 4“ PyyPzz + PzzPxX) (273)
Px'x'Py'y'Pz'z’ + ^Px’y’Py’z'Pz' xf Px'x'Py'z'
Py’y'pz’x’ Pz'z'Px’y’ PxxPyyPzzi
т. e. коэффициенты не меняются при переходе от одной системы коор-
динат к другой или являются инвариантами тензора напря-
жений.
Теперь, заменив в уравнениях (272) рп на наибольший корень рхх,
выразим два косинуса через третий, а затем, подставив эти выраже-
ния в известное уравнение для направляющих косинусов
COS2 (х'п) + cos2 (y'ri) + cos2 (z'n) = 1,
определим из него третий косинус, а через него и первые два.
Таким образом, мы найдем первое главное направление. Исполь-
зуя корни Руу, pzz, найдем аналогичным образом остальные два
главных направления.
Покажем, что при неодинаковых корнях рхх1 руу1 pzz найденные
направления взаимно перпендикулярны.
Для этого перепишем уравнения (272) для двух направлений —
пх — Ох, п2 — Оу:
рхх cos (х'х) = рХ'Х' cos (х'х) + ру'х' cos (у'х) + pZ'X> cos (z'x), cos (x'y),
pxx cos (y'x) рХ'У» cos (xx) + Py'y' COS (y'x) + pz‘y' cos (z'x), cos (y'y),
pxx cos (z'x) ~ px'Z' cos (xx) + Py’Z' cos (y'x) + pz’Z' cos (z'x), cos (z'y),
Pyy cos (x'y) = Px’x' cos (x'y) + уy'x' cos (y'y) + pZ’x‘ cos (z'y), cos (x'x),
Pyy cos (y'y) = Px'y' cos (x'y) + Py'y' cos (y'y) + pZ'y> cos (z'y), cos (y'x),
Pyy cos (z'y) = Px'Z' COS (x'y) + Py’z' cos (y'y) + pZ'Z* cos (z'y), cos (z'x)\
умножим их на косинусы, подписанные справа, а затем сложим пер-
вые три и последние три уравнения. Далее вычтем из левой и правой
частей первой суммы аналогичные части второй суммы. В итоге
найдем уравнение
(рхх — Pyy) [cos (х'х) COS (x'y) + cos (/я)cos (y'y) -J-cos (z'x) cos (z'y)] 0,
276
выражающее при неодинаковых корнях ортогональность направле-
ний и п2- Также доказывается ортогональность м2 — Оу и п3 — Ozf
п3 и п1.
§ 10. ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрев напряжение в малой области, мы должны изучить
в этой же области деформацию, чтобы написать между ними соотно-
шение, являющееся обобщением закона Гука.
Приведенные выше случаи растяжения и сдвига характеризова-
лись постоянством относительной деформации (исключая кручение
и изгиб) по всему деформируемому телу. Это обеспечивалось правиль-
ной формой тел, равномерным приложением внешних сил, условиями
закрепления. В общем случае деформация меняется от точки к точке.
Однако в малых областях, теоретически в точечных, она остается
постоянной и сводится к относительным растяжениям и сдвигам.
При действии на тело внешних сил его точки смещаются, но на
разные расстояния, в результате чего и возникает деформация. Будем
рассматривать деформацию в малой области вокруг точки А (х, у, z).
Пусть сама точка А сместилась в направлении координатных осей
на расстояния u0, v0, wQ, а близкая к ней точка Л' (х + dx, у + dy,
z + dz) сместилась в этих же направлениях на расстояния и, у, w.
Разлагая величины u, р, w в ряд Тейлора в точке А (х, у, z) и огра-
ничиваясь членами до первого порядка малости, получим
, ди , . ди , . ди ,
и = и. -г -т— dx + -х— dy + -z- dz,
0 1 дх ' ду & dz ’
। ди , , ди , . ди ,
v = v0 + -^dx + ^dy + ^dz,
.dwj.dwj.dwj
w ~ wn + -х— dx 4- -т~ dy 4- -г" dz,
0 1 дх ' ду dz ’
а для разности смещений точек А' и А
ди j .ди , . ди ,
p-po = -^da:+-S-^ + -^^, (274)
С/U/ Uy Uv
dw j dw , . dw ,
w-wo = -dTdx + ^dy + -drdz-
При изучении деформации вокруг точки А интересуются измене-
нием расстояний других точек относительно точки А, смещения кото-
рой u0, v0, могут быть приняты равными нулю, что мы и будем
предполагать.
(274^ЫЯСНИМ СМЫСЛ 0ТДельных слагаемых в правой части выражений
211
Для этого построим параллелепипед с ребрами dx. dy. dz (рис. 83).
До деформации точки 4 и Л' находились на концах большой диаго-
нали параллелепипеда; после деформации диагональ изменится,
например растянется, и точки разойдутся.
Производной ди/дх определяется относительное растяжение ребра
dx. а произведением (ди/дх) дх выражается абсолютное растяжение
я этого же ребра. Производные dujdy.
I
dz
n U1U1V ZI\v> при мопидцгни 171Лг/<х(у,
У jrydz ди/dz характеризуют относительные сдви-
ги, перпендикулярные ребрам dy. dz.
dUrju в направлении ребра dx. а произведе-
/ду У ниями (du/dy) ду. (du/dz) dz выражается
абсолютная величина этих сдвигов.
В целом смещение и состоит из одного
растяжения и двух сдвигов. Также следует
понимать смещения v. w.
В результате растяжений и сдвигов
Рис. 83. прямоугольный параллелепипед превра-
щается в косоугольный. Девять производ-
ных ди/дх. ди/ду. . . ., dw/dy. dw/dz называются составляющими
тензора деформации и могут быть записаны в виде
матрицы
ди ди ди
дх ду dz
ди ди ди
дх ду dz
дю ди) dw
дх ду dz
На главной диагонали матрицы находятся относительные растя-
жения по координатным осям, а выше и ниже ее располагаются отно-
сительные сдвиги. Члены, расположенные симметрично относительно
главной диагонали (например, ди/ду и dv/dx). неодинаковы, пли, как
говорят, тензор деформации несимметричен.
По ряду соображений, часть которых выявится в ходе дальней-
ших рассуждений, тензор разлагают на симметричную и антисим-
метричную части. Для этого, смещения по координатным осям запи-
сывают в виде суммы двух смещений
и = £+£>» v — i\-\-Cy. w = t)-\-Cz.
считая при этом
: <2’5>
2 ; • ' • ’ о 1 / ди , dw \ j , 1 / dv t дш\ I дш ,
С=2 Ь?+*r)dx+2 +
?78
О0-Ч(£-g.) ^+-1 (£-£)*,
-» ^+0-^-1 « -£)
^Ч(£-£>+Н4Н-&>+»^
Величинами £, т), £ определяется собственно деформация или
чистая деформация и тензор ее симметричен,-а величинами Сх, Су, Сг
выражается кручение параллелепипеда, как целого вокруг оси, про-
ходящей через точку А (ж, у, z) и тензор этой части деформации
антисимметричен, т. е. его составляющие, расположенные
симметрично относительно главной диагонали матрицы, равны по
величине, но противоположны по знаку.
Для сокращения записи введем обозначения:
е е -в - 1 ₽ -я - 1
8лх ~ дх 9 Ъху ~ 2 \ dy ' ’ 8x2 ~ 8гх ~ 2 \ dz дх ) ’
dv 1 / dv . div \ div
ЪУУ—ду> ъуг~ъгу— 2 \ dz '^17/ ’ &гг "~ дг '
1 f div dv \ 1 / du div'\ 1 f dv .. du\
x 2\dy dz ) 9 ~ ”2" \~dz~ dx ) ’ toz — ~2 \ dy J
При помощи этих обозначений вектор деформации кручения запи-
шется так:
С = [амЖ]. , - ‘ -
Точки, для которых С равно нулюу располагаются на оси враще-
ния, определяемой уравнениями
' ’ cojflz—(0^ = 0,
со/йг—G)xdz = 0,
coxd у — (&ydx 0.
Вектор кручения будет вихревой частью вектора
смещения S=iu + ji>4- согласно^ обозначениям (277)
он выразится таким образом: '
Формулы преобразования величинйри пере-
ходе от одной системы координат к другой ^гацие ж$л кац для соста-
вляющих тензора напряжений. Однако, мы их выведем ц темлсамым
27Sk
докажем, что эти величины являются составляющими тензора.
Напишем сначала формулы преобразования координат
cos (хх9) + у' cos (ху9) -4- z9 cos (xz),
у =- х9 cos (ух9) + / cos (уу9) + z9 cos (yz9),
Z ~ x' COS (zx') + y' COS (z/) г z9 cos (zz'),
а затем аналогичные формулы для составляющих вектора смещения:
и9 = и cos (хх9) + v cos (ух9) -1- ID cos (zx),
v' = U COS (xy') + V COS (yy') + ID cos (zy),
w' = ll COS (xz9) + V cos (yz9) 4- w cos (zz').
Теперь дифференцированием выписанных формул получим соот-
ношения
дх ди' t ,ч дх dv' . /ч дх dw9
-т-г ==-т—= cos (хх ), -7-7= —= cos ^ ,
дх ди х ' ау ди ' и ’ dz ди
= cos(xz') ,
^-=^r=cos(^')> -§-=
dz ди' . /ч dz dv' , ,ч dz dw'
= cos(zx ). -7— = ——= COS (ZZ/), =
dx dw v '9 dy dw \ v n qz> qw
= cos (zz9),
достаточные для получения следующих формул преобразования:
_ ди' _ ди' ( ди дх х ди ду du dz \ ।
~ дх' ди \ дх дх' ”* ду дх' dz дх' ) "г”
। ди* / dv дх । ди ду , dv dz \ ।
г" dv \ дх дх' "г” ду дх' ’ dz дх' ) *"
. ди' / dw дх . dw ду . dw dz \_
' dw \ дх дх' ’ ду дх' ’ dz дх' )
= гхх cosa (хх) + ^ху cos (хх9) cos (ух') + ехг cos (хх9) cos (zx) +
+ гух COS (ух9) COS (хх9) 4- Ъуу COS2 (ух9) 4- ^yz COS (ух9) cos (zx9) 4-
4- 8гх cos (zx9) cos (xx9) + Bzy cos (zx) COS (yx) 4- cos2 (zx9), (278)
_____ 1 / du' 1 dv' \ 1 du' / du_ dx . du dy . du dz \ .
~~~2~ \ dy' ' dx' / e T du \ dz dy' dy dy' dz dy' ) ‘
280
, 1 ди / dv дх . dv ду , , dv
+ 2 ди \ дх ду' ' ду ду' Н ' дг ду /
। 1 ди / f div дх 1 dw ду I dw
Г 2 div \ дх ду' ’ ду ду' 1 dz ду' )
1 1 dv' Гди^ дх । ди ду I ди
+ 2 ди дх' Г ду дх' 1 dz дх' )
| 1 ди' / dv дх . dv ду , ¥д° dz \
‘ 2 dv V дх дх' 1 ду дх' г dz dx' )
। 1 ди' / div дх . dw ду , dw dz
2 div \ дх ,дх' 1 dy дх' ' дг dx'
== 8XX cos (xx') COS (xy') +
+ zxy cos (xx) cos (yy') + ex2 cos (xx) cos (zy') +
+ 8yx cos (yx') cos (xy') + Qyy cos (yx') cos (yy') +
+ вуг cos (yxf) cos (zyf) + e2x cos (zx) cos (xy') +
+ e21z cos (zx) cos (yy') + s22 cos (zx) cos (zy') и т. д.
В этих формулах слагаемые в окончательных выражениях обра-
зуются путем комбинирования членов, входящих в разные слага-
емые промежуточных выражений. Это легко обнаружить, если вни-
мательно просмотреть те и другие выражения. Таким образом, вели-
чины ехх, . . ., преобразуются как составляющие тензора, а значит
они действительно будут этими составляющими.
Антисимметричный тензор деформации сводится к вектору со
с составляющими шх, со2 и преобразуется как вектор при переходе
от одной системы координат к другой.
§11. ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
И ЗНАЧЕНИЯ СИММЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА ДЕФОРМАЦИИ
Чистая деформация может быть сведена к растяжениям (сжатиям)
по трем взаимно перпендикулярным направлениям, которые будут
главными направлениями или осями тензора деформации. Они заме-
чательны тем, что куб с ребрами, параллельными им, переходит
при деформации в прямоугольный параллелепипед. Точки куба,
находящиеся на главных направлениях, смещаются, не сходя с этих
прямых.
Относительные растяжения (сжатия) по главным направлениям
называются главными значениями тензора деформации.
Для нахождения главных направлений и значений тензора поло-
вим, что на рис. 84 параллелепипед, построенный в теле после дефор-
мации, имеет ребра, параллельные координатным осям со штри-
хами, а его большая диагональ А А' совпадает с одним из главных
управлений.
281
Тогда смещение точки А' относительно точки А можно будет запи-
сать в координатах со штрихами так:
|'=8dx', n' = 8d/, £' = edz', (279)
где е — относительное смещение точки А' в направлении диагонали
ЛЛ', или одно из главных значений тензора деформации.
Заменяя т/, £' их значениями по формулам (275) и учитывая
обозначения (277), получаем систему однородных уравнений с неиз-
вестными dz’, dy’, dz'
zx'x'dx’ + bx'y'dy' + ex*2*dz' = zdx,
&y'x'dx' 4- By>y dyf + ty»z'dz =zdy\ (279')
82'x'dx' 4- tz»y>dyf 4- e2*2*dz' = edz',
которая может быть решена только при
равенстве нулю ее определителя, т. е.
®х'х' 8, 8Х'^', вх*2*
®1/'х'> ^у'у' 8, 8yfz*
&z'x'l &zfy’* ®2*2* 8
= 0.
находим для е уравнение третьей
Раскрывая определитель,
степени следующего вида:
е8 — (»zz + Ъу'у' + e*'z') е2 4- ^х'х'Ъу’у' + ^y^z^ + *z'z'Zx'x' —
®\*Z* ®22*я') ® (px'x'&y'y’&z’z' + 2вх»^'8^'2'е2*х'
&х'х'&*у'г' ty'y'&z’x' z'E2х' у') = 0« (280)
Корни этого уравнения и будут главными значениями тензора.
Считая координатные оси без штрихов совмещенными с главными
направлениями, обозначим корни в порядке уменьшения их вели-
чины так: ехх, е^, 822. Свойства корней позволяют написать соот-
ношения
8X*X* 4" by'y* 4" ®2*2* = ®XX 4" &УУ 4” ®22» ®x'x'®^'|/' 4“ 8^'^'82'2* 4” ®2*2*®X*X*
8x'y* By'z' ej'x* = &xx&yy 4" 8^822 4" в2х®хх» (281)
®x*x*®^*^*®2'2* 4" 2ex'p*8^*2*82*x* 8x*x»8y'Z' 8y'y'8z'x'
&z9z‘&x'y’ = 8xx8^822,
левые части которых будут инвариантами тензора.
Первый инвариант играет значительную роль в теории и поэтому
следует выяснить его смысл. Пусть ребра куба параллельны главным
направлениям, а длина их до деформации равна единице. После
деформации длина ребер будет равна 1 4- ехх» 1 4“ 1 4- е22. Отно-
сительное изменение объема куба определится по формуле
= (1 + «хх) (1 + 8„) (1 + 8„) - 1 -
— (ехх + гуу + 8zz) + (Rxxeyy + *yiflzz + е.?гвхх) + ^xx^yy^zz^
282
оно равно сумме всех трех инвариантов. Однако из-за малости отно-
сительных растяжений ехх, гуу, ггг произведениями их пренебрегают
и относительное изменение объема принимают равным одному пер-
вому инварианту, т. е.
"у” = + гуу + (282)
Определив корни уравнения (280), и, подставив первый из них
в систему (279'), найдем отношения
%Г=С*’ <283>
которые справедливы для конечных приращений координат и выра-
жают уравнение прямой, проходящей через точку А. Эта прямая
будет первым главным направлением. Ее направляющие косинусы
определятся по формулам
_________dx'_______________(\dy'____________Cj____
C0S - /Cfrf/a+dj/'a + CJd'a- Kl + q + С» ’
cos В, = r = —г====- ,
Kdx'2+d/2+dz'2 /1 + Cf+q
dz' Сч
11 Vd x'*+dy'*+dz'* /l + q + q
Подставляя второй и третий корни в систему (279'), найдем таким
же способом направляющие косинусы остальных двух главных
направлений. Если корни ехх, epv, е22 неодинаковы, то найденные
направления будут взаимно перпендикулярны.
Опишем до деформации вокруг точки А (я, у, z) на рис. 84 сферу
и запишем ее уравнение в координатах без штрихов:
(хх — х)а + (У1— у)2 + (zx — z)a = а2,
где Хц у13 Zi —координаты переменной точки сферы.
После деформации отрезки X! — х, Jfi — у, — z превратятся
соответственно в отрезки х2 — х = (1 + ехх) (хг — х), у2 — у =
= (1 + ^уу) (У1 — у). Z2 — z = (1 + е22) (z2 — z), а сфера — в эл-
липсоид
Если два корня одинаковы, например ъхх — еуу, то трехосный
эллипсоид переходит в двухосный, а в плоскости хОу можно взять
за два главных направления бесчисленное множество взаимно пер-
пендикулярных направлений.
Задача 1. Ребра прямоугольного параллелепипеда равны 2, 2, 1 и парал-
лельны координатным осям Ох, Оу, Oz. На гранях в направлении ребер дей-
ствуют напряжения рхх = руу, pzz. Определить нормальное и касательное
напряжения на площадке, нормаль к которой совпадает с большой диагональю,
направленной в сторону возрастания всех трех координат.
283
Ответ:
Рп~=Р 8 + p 1
Задача 2. Тензор напряжений задан в координатах со штрихами соста-
гляющими рх,х, = 2, PX'y> = i, Ру.и.=0,5, рг,г, = 1, Рх.г'=Ру.г. = 0.
Найти главные напряжения и главные направления. Последние принять,
за оси координат без штрихов.
Ответ:
2
Рхх = 2,5, Pyy = 0, Pzz=l, cos(x*x) = cos(y*y) = -y=>
cos(y'z)= — cos (z'y) = » COS(Z'Z)=1.
Задача 3. Составляющие чистой деформации и вектора кручения имеют
значения: гхх =3, гуу = 1, s22 = 0,5, гху = гуг = г2Х =0, сол = —0,2,
<&у = 0,2, выраженные в условных единицах. Найти составляющие по осям
со
на
Ъуу — ®22 — 0,5, &Xy — ^yz — ®2X — 0» (Од — —“0,2,
“ . ” M - - 1
штрихами, получающимся вращением осей без штрихов относительно оси Ох
60°.
Ответ:
г*'*'= 1,5, е^' = 2,5, exV=--^> <ох-=0,1(/з-1)
= (/з .1-1).
по
Задача 4. Тензор
осям со штрихами:
-^-=1
dx ъ
деформации определяется следующими составляющими
du'
^•=0,5,
dv' dw'
dz' ₽ dx'
du'
dv' dv'
aJr=1'5’
dw'
0. -^=1.
dw*
дуг
выраженными в условных единицах. Найти составляющие чистой деформации
и вектора кручения. Далее найти главные направления, которые принять за
оси без штрихов, и получить составляющие чистой деформации и вектора кру-
чения по этим осям.
Ответ:
— &у*у9 — — гу’г9 — 0,
(ох» = ш1/» = 0, <о2»=О,5, cos (х'х) = cos (у'х) = cos (/!/) =
1
^2
(ox = d)y = о, (o2 = O,5-
= — cos (х'у) = ~Т7=~ > cos(z'z)=l, ехх = 2, ew=0, 8^ = 1,
§ 12. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА
В малых областях среда однородна, а напряжения и деформации
постоянны. В этих условиях допускается справедливость закона Гука
в наиболее общей форме, а именно, принимается линейная зависи-
284
мость каждой из шести составляющих напряжений от всех шести
составляющих деформации. Такое допущение оправдывается опытами
с растяжениями стержня, со сдвигом параллелепипеда и др. В более
сложных случаях теоретические выводы из закона также согла-
суются с опытом, что свидетельствует о правильности обобщенного
закона при всех деформациях, если они малы и происходят в пределах
упругости.
Таким образом, запишем обобщенный закон Гука
в следующем виде:
Рхх ~ ^11®хх Т 2^уу 4“ ^13®zz 4“ -р 2я158гл. -р 2б7168Л^,
Руу ~ #21®хх 4” &22&уу 4" ^23®zz “ 2б?24®р2 4" ^a25^zx Т 2л2ввх^,
Pzz ~ ^31®хх 4“ йз2&уу 4- ^33®zz 4- 2^346^2 — 2^35 e2.v 4“ 2^358^,
Pyz = Я41®хх "Т a^fiyy 4~ ^43®zz + 2^448^2 4~ 2614582* 4~ 2л4б8Хр, (284)
Pzx ~ ^Б1®хх + ^Ъ2^уу 4“ ^53®zz 4“ -}- 2u^^8zx 4” 2й5д8*р,
Pxi/ ~ «б^хх “1“ Gftf&yy 4“ ^63®zz 4" 2^348^2 4" ^eb&zx 4" 2fl(je8*jf»
Коэффициенты aik называются модулями упругости среды, кото-
рая в общем случае считается анизотропной. Ниже при помощи
закона сохранения энергии будет показано, что aik = aki и, таким
образом, число модулей уменьшится с 36 до 21.
Наличие симметрии в анизотропии среды ведет к дальнейшему
уменьшению числа различных модулей, и для изотропного тела
оно становится равным двум.
В правой части выражений (284) отсутствуют свободные члены,
поскольку с исчезновением деформации должны исчезать и напря-
жения.
§ 13. УПРУГИЙ ПОТЕНЦИАЛ
-Действуя на упругую среду, внешние силы совершают работу А,
одна часть которой затрачивается на деформацию, а другая на уско-
рение отдельных частей среды. В результате совершенной работы
появляется потенциальная энергия П упруго деформированных
и кинетическая энергия Е движущихся частей среды. На основании
закона сохранения энергии можем написать
А=П+Е> (285)
а для элементарных изменений состояния среды имеем
dA=dn + dE. (286)
Найдем выражения отдельных дифференциалов в этом соотноше-
нии. Элементарная’работа выразится так:
dA = f (f^u + fydv + f^dw) dV + J (n^u + + nn3dw) dS,
F
где первым интегралом учитывается работа объемных, а вторым —
поверхностных сил.
285
Введем в рассмотрение упругий потенциал U, равный потенциаль-
ной энергии единицы объема упруго деформированной среды. Внеш-
ними силами по отношению к единице объема будут напряжения,
а их работа по деформации, определяющая упругий потенциал,
должна выражаться произведением их на деформацию. Исключая
из выражения упругого потенциала напряжения с помощью закона
Гука, мы должны получить выражение в виде однородной квадратич-
ной функции составляющих деформации. В связи с этим элементар-
ное изменение упругого потенциала запишется так:
dU = ^dzxx+ ...
д^хх хх • дггг zz'
интегрированием этого выражения по объему среды определится
элементарное изменение потенциальной энергии
dn - f (^-dzxx 4- ... 4- dV.
J \ dexx xx dzZ2 zz)
v
При написании выражения dE заметим, что величиной
d2u , . d2v j d2w j
p^-du^p^-dv + p-^-dw,
где d2u/d£2, d2v/dt2, d2wjdt2 — составляющие ускорения по коорди-
натным осям, определяется работа по изменению кинетической
энергии единицы объема. Вследствие этого
dE=J (р £du+р dv+р S-dw)dv-
V
Выше были найдены условия статического равновесия элемента
объема (271), дополняя которые силами инерции
д2и д2и д2ш
“Р-^"’
получим даламберовские условия динамического равновесия:
/* + divpx-р -5г = 0,
/ir + divpir-p-^ = 0, (287)
д2ш А
р^-=0-
Подставляя значения р d2u/dt2, р d2vldt2, р d2w/dt2 в выражение
dE, имеем
dE = [ [(/v 4- div рх) du 4- (fu 4- div рр) dv 4- (/г -Н div p2)dwj dV.
286
Преобразуя подынтегральные члены с расходимостями по фор-
div рхdu = div (рхdu) — pxxd - pxyd - px2d ,
и применяя для производных смещений обозначения (277), а также
заменяя объемные интегралы с расходимостями поверхностными,
приведем выражение dE к виду
d£’ = J(jxdu -h fudv4- f2dw—pxxd&xx — pyyd&u4 — pzzdzzz—2pxyd&xy -
V
— 2pyz dey2 — 2pzx dt2x) dV + f (pxn du + pyn dv + pzn dw) dS.
s
Отсюда легко заключить, что последним интегралом согласно
условию (269) выражается работа поверхностных сил.
Подставляя в уравнение (286) найденные значения дифференциа-
лов и сокращая на одинаковые члены, получаем
S L (£ ~Рхх)d&xx+(_Руу) d6yy + (£ - Рк)de"+
+ “ 2ру*) ЛгУх + (^7 _ 2ру*) ЛъУг +
+ - 2р«) d&Zx] dV = 0. (286')
В этом виде уравнение справедливо как для всей среды, так и для
произвольной части ее, что приводит к равенствам
_ dU _ dU _ dU
Рхх~дчхх • РУУ- дгуу ’ Р“- дчгг •
_i dU п _ 1 dU _ 1 dU /OQQ>
РхУ 2 деху • рУ*~ 2 дгУ2 ’ Pzx ~ 2 дггх '
Таким образом, составляющие напряжений равны частным про-
изводным упругого потенциала по аналогичным составляющим
деформации, умноженным на коэффициент, равный единице или
половине.
Напишем соотношение, не требующее пояснений,
dW dW
^хх dtyy д&уу д^хх 9
которое согласно формулам (284) и (288), отвечает равенству
яГ2 = а21.
287
Аналогично доказывается равенство модулей с другим сочетанием
индексов, т. е. вообще aik = aki. С учетом этого упругий потенциал
может быть представлен следующей однородной квадратичной функ-
цией составляющих деформации:
U ~ ~2 Я11&ХХ 4“ 4" 2fli48xx8pz 4“ 2d^8xx8zx 4“
4" 2#iq8xх8Ху , 2 а22^УУ i a23^yy^ZZ . 2^248^8^2 4“ 2fl258^8zx 4~
^2S^yy^xy ~ 2~ #33€zz “Г 2^348228^2 4" 2a3b8zz8zx + 2^308228^ 4" 2^448^ 4"
4“ ^a^yzGzx 4~ ^a4eep2e.vjy 4" 2a65elx 4- 4а5в82ХеХ1/ 4- 2авв8ху. (289)
§ 14. УПРУГИЙ ПОТЕНЦИАЛ ПРИ НАЛИЧИИ СИММЕТРИИ
Выражения закона Гука (284) и упругого потенциала (289) отно-
сятся к случаю отсутствия симметрии в упругой анизотропии. Если
она имеется, то наблюдаются уменьшение числа модулей упругости
и упрощение выражений. Рассмотрим это упрощение с увеличением
симметрии.
1. Пусть имеется симметрия относительно плоскости хОу, как
у кристаллов моноклинной системы. Тогда при изменении направле-
ния оси Oz на противоположное произойдет переход z в — z, 8уг
в — 8^» 82Х в — e2V. Упругий потенциал не должен меняться
при этом. Чтобы это соблюдалось, надо из выражения потенциала
исключить члены, линейно зависящие от 8yz, ezx, положив коэф-
фициенты при них равными нулю, т. е.
#14 ~ #24 = #34 = д1б ~ #25 = аЗЪ = #46 ~ #56 = 0.
В итоге число модулей уменьшится с 21 до 13.
2. Положим, что имеется вторая плоскость симметрии, как у кри-
сталлов ромбической системы. Пусть это будет плоскость yOz. Тогда
при изменении направления оси Ох на прртивоположное произойдет
переходов—х,8ух в —8ух, €2Х в —€2Х. Для неизменяемости упру-
гого потенциала при этом надо считать
#16 ~ #26 = #36 “ #45 ~ О,
что с учетом предыдущего случая уменьшает число модулей до де-
вяти.
Если потребовать симметрии относительно третьей координатной
плоскости zOx, то от этого число модулей не снизится. Это надо
понимать так: если имеются две взаимно перпендикулярных плоско-
сти симметрии, то и третья — перпендикулярная им — будет также
плоскостью симметрии.
3. Допустим, что при трех взаимно перпендикулярных пло-
скостях симметрии имеется возможность заменить ось Ох на ось
Оу и наоборот, как у кристаллов квадратной системы.
288
Тогда при замене осей произойдет переход ъхх в еууч гуу в etv,
е г в е г, е 2 в ех2. Чтобы при этом выражение потенциала не ме-
нялось, надо потребовать выполнения равенств
«ц=«22, «13 ~ «23» «44 = «ББ»
что снижает число модулей до шести.
4. Наконец, положим, что имеются три взаимно перпендику-
лярных плоскости симметрии и все три координатные оси взаимо-
заменяемы, как у кристаллов правильной системы. Тогда упругий
потенциал не меняется при сохранении равенств
«ц = «22 = «33» «12 = «13 ~ «23» «44 = «ББ = «вб*
Число модулей снижается до трех, а выражение потенциала при-
нимает вид
и в «11 (®ХХ “Г ejp 4 ®lz) 4" «12 (®XX®J/J/ 4" ^yy^ZZ 4" ®zz®xx) +
4- 2«44 (ejy 4" ®Jz 4~ ®!x)« (289 )
§ 15. УПРУГИЙ ПОТЕНЦИАЛ В ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЁ
В изотропной среде упругий потенциал не должен изменяться
не только от перестановки осей, но и от вращения координатной
системы в целом.
Поэтому в выражение потенциала должны входить только члены,
инвариантные относительно вращения системы координат.
Перепишем выражение (289') в следующем виде:
С/ = (“гр" «44^ (®хх 4" &уу 4" ®гг)2 4* «44 (%еху 4" 2ву2 + 2б2Х 4" *>хх 4" &}у 4”
4-®«) 4- («12 —«114- 2«44) (гххьуу 4- &^е224-®22®хх)-
Здесь два первых слагаемых инвариантны, а третье, как видно
из (281), вариантно относительно вращений, и оно должно исчез-
нуть, что возможно при условии
«12 — «114" 2«44 = 0.
Таким образом, изотропная среда характеризуется двумя мо-
дулями, за которые’принимаются
X = «п 2«44, ц = «44,
а выражение потенциала записывается так:
и = 4 (8ХХ + ew + е„)г -J- н (2е^ - 2е^ + 2ег\ - е*х 4- - е*г). (290)
19 Заказ 1701 2<S9
Инвариантность второго слагаемого в этом выражении доказы-
вается сведением его к рассмотренным ранее инвариантам тензора
деформации (281) по схеме:
-f 2е*г 2е2Х Вхх — Ьуу 8|2 = 2 (sj^ 4~ е*2 -|* 82Х — &хх&уу &yy&zz~~
®zz®. v.v) 4“ (®ХАГ 4“ ^уу 4- 8zz)2,
По определению упругий потенциал должен быть положитель-
ной величиной при любой деформации, а это значит, что X и р, по-
ложительные величины; они называются постоянными Ламэ.
§ 16. ЗАКОН ГУКА ДЛЯ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ и связь постоянных
ЛАМЭ С МОДУЛЯМИ РАСТЯЖЕНИЯ И СДВИГА
Составляя производные упругого потенциала (290) по составля-
ющим деформации и приравнивая их к аналогичным составляющим
напряжений, получим запись закона Гука для изотропной среды:
Рхх ~ ^4^ т 2р»ехх, рху = 2р»8х^,
Pyy = 4- pyz = 2^yZ. (291)
Pzz — 4- 2р>е22, pzx = 2р>82Х,
где О = &хх 4- &уу 4- е22 — относительное расширение (сжатие)
объема среды.
Для установления связи постоянных X, р, с модулями Е и G
применим формулы (291) к рассмотрению растяжения стержня,
считая на рис. 72, а ось Oz направленной сверху вниз. На боковой
поверхности стержня силы отсутствуют, а к нижнему основанию
его равномерно приложена растягивающая сила F. Условия равно-
весия на поверхности (269) и внутри стержня (271) будут выполнены,
если положить
F А
Pzz — » Рхх Pyy ~ Pxy Pyz Pzx
и пренебречь влиянием веса на растяжение.
Тогда формулы (291) переходят в уравнения
О =Дй + 2рехд., 0 2pew
0-=М>4~2р.8^, 0 = 2jie^2,
-б— = М} + 2|ле22> 0 = 2р>82х«
Отсюда находим следующие равенства
8ХХ — &yyi 0 = X (2ехх 4“ е22) 4“ 2рвхх, $$ 2р (е22 ехх),
8Х^ = 8yZ — 8гх в 0.
290
Согласно формуле (250) szzF!SQ^=E — модулю растяжения,а по фор-
муле (252) — &xxl&zz = о •— коэффициенту Пуассона.
Подставляя эти значения в написанные выше равенства, имеем
0 = %(1-2о)-2ро, 2? ~ 2р (1 + о).
Из этих уравнений находим
’-тэт»’ Л'"'1444 (292>
с учетом (257) получим
G = р«.
§ 17. ВСЕСТОРОННЕЕ СЖАТИЕ
Пусть тело подвергается всестороннему давлению р, перпенди-
кулярному его поверхности.
Деформация, возникающая при этом, называется всесторон-
ним сжатием. Напряжения на поверхности определяются
по формулам
= —р cos (да), ппу= — pcos (уп), лnz = —р cos (zn),
а условия (269) выполнятся, если положить
РхХ = Pyy = Pzz ~ Pt Pxy = Pyz ~ Pzx ~
Внутри тела условия равновесия (271) также выполняются, если
считать, что объемная сила отсутствует, а касательные напряжения
равны нулю и нормальные равны — р. Тогда для изотропной среды
на основании закона Гука имеем
- Р = ^ + 2цехх, 0 = 2цв^,
— р = Aft + 2|Х8^, 0 = 2не„г,
- р = М> + 2ц8„, 0 = 2ц8„.
Отсюда находим
—’ ^ = ^ = 8^ = 0.
Величина — д/р = 3/(3% + 2р,) = 6 называется коэффици-
ентом всестороннего сжатия; она определяет отно-
сительное сжатие на единицу давления. Обратная величина 1/6 =
= (3% + 2|i)/3 называется модулем всестороннего
сжатия. Для жидкостей и газов коэффициент и модуль всесто-
роннего сжатия совпадают с коэффициентом и модулем односторон-
него сжатия, рассмотренными выше.
19* 291
§ 18. УПРУГИЕ ВОЛНЫ В ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
Даламберовские условия равновесия (287) после замены в них
напряжений деформацией переходят в уравнения упругих волн,
в форме которых деформация распространяется в среде.
Осуществим такую замену для изотропной среды при помощи
формул (291). Сначала преобразуем
=(*+Ю-^+М«;
аналогично находим
div Pj/ = (X + Ц) + И Аг>, div р2 = (А + Ди>.
Подставив эти значения расходимостей в условия (287) и про-
изведя некоторую перестановку слагаемых, найдем
р = А+(X+н) +и Д w,
или в векторной форме
P-®-=f~(X + ^8rad^AS- (293')
Решив это уравнение при заданных начальных и граничных
условиях и при известных р, f, %, р,, определим вектор S, а по нему
найдем составляющие деформации, а затем и напряжений. В резуль-
тате будет полностью решена динамическая задача теории упру-
гости.
Применим операцию расходимости к обеим частям уравнения
(293'). Тогда, учитывая, что div S = Ф, получим
P^=divf + (1+2P)A<>. ... (293’)
Это неоднородное волновое уравнение для относительного рас-
ширения (сжатия), распространяющегося в среде со скоростью,
определяемой по формуле
(294)
292
Волны расширений будут продольными, что обозначено у ско-
рости индексом I — первой буквой слова longitudinal — продоль-
ный.
Если расходимость объемной силы равна нулю в пределах упру-
гой среды, то уравнение (293") переходит в однородное.
Применяя операцию вихря к обеим частям уравнения (293')
и учитывая, что 1/2 rot S = <о, находим
Р _^_ = ±rotf + н До (295)
01*
— неоднородное волновое уравнение для кручений или чистых
сдвигов. Скорость распространения этого вида деформации опре-
деляется по формуле
<296>
Кручения распространяются в виде поперечной волны, что
обозначено у скорости индексом t — первой буквой слова trans-
versal — поперечный.
$ 19. СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
В этих средах наблюдается упругость объема, а не формы,
и вследствие этого возникает только продольные волны.
Скорость волн определяется по общей
формуле (294), но вместо модуля односторон-
него сжатия слоя Е' в нее подставляется
эквивалентная величина. Для получения этой
величины рассмотрим вещество в цилиндре
под поршнем (рис. 85). Увеличивая внешнее
давление на dp, сместим поршень внутрь ци-
линдра на —dl. Относительное сжатие при
-dl
I
Рис. 85.
этом выразится так:
—dl
dp
I
Е*
где Е' — модуль одностороннего сжатия слоя, поскольку стенки
цилиндра не разрешают веществу расширяться в стороны. После
умножения числителя и знаменателя левой части на площадь
поршня S получим
dV dp
откуда находим
Е' = — -!*£. 7.
dv •
Подставляя это значение Е' в формулу (294), получим выражение
скорости упругих волн в жидкостях и газах.
Величину 6 = —dVfiy dp), характеризующую относительное из-
менение объема на единицу давления, мы назвали коэффициентом
всестороннего (одностороннего) сжатия.
293
Различают адиабатное и изотермическое сжа-
тие. В первом случае оно происходит так быстро, что температура
повышается у сжимаемой части вещества. Во втором случае сжатие
медленное, и сжимаемая часть успевает передать тепло остальной
среде, а температура ее сохраняется. При распространении волн
с высокой частотой надо полагать, что сжатие слоев происходит
адиабатно, а при низкой частоте — изотермически. Вопрос о том,
какую частоту следует считать высокой или низкой для данной
среды, можно решить опытным путем.
При адиабатном процессе коэффициент б меньше, чем при изо-
термическом. У жидкостей эта разница незначительна и скорость
волн рассчитывают по формуле (294), подставляя в нее вместо Е'
1
величину —, найденную при опытах с изотермическим сжатием.
В газах разница существенная, и оба случая надо рассматри-
вать раздельно.
При адиабатном процессе выполняется закон Пуассона pVk =
= const (к — коэффициент адиабатного процесса). Из закона на-
ходим Е' = — (dp/dV) V = кр.
Подставив это значение Е' в формулу (294), получим
= (294')
Это выражение найдено Лапласом, и оно согласуется с опытным
определением скорости звука в воздухе.
При изотермическом процессе газ подчиняется закону Бойля —
Мариотта: pV = const. Отсюда находим
в-=-^у=р;
для скорости имеем выражение
(294*)
полученное впервые Ньютоном.
В заключение еще отметим, что в твердых стержнях скорость
продольных волн определяется по формуле (294), если в ней заме-
нить Е' на Е — модуль растяжения, а скорость поперечных волн
(кручений) — по формуле (296).
§ 20. КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ БЕЗГРАНИЧНОЙ СРЕДЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛЫ
Одной из динамических задач теории упругости является за-
дача о колебании упругой безграничной среды под действием пере-
менной силы F (£), приложенной в начале координат и направлен-
ной по оси Oz или по полярной оси сферической системы координат.
Подобная задача не имеет прямого отношения к разведке, но она
близка к задачам о распространении упругих волн в земной коре,
и решение ее дает приближенное представление об этих волнах.
294
Решение задачи состоит в нахождении смещений и, у, w, по ко-
торым можно определить составляющие деформации и напряжений.
Граничные условия заключаются в отсутствии деформированного
состояния в бесконечности. Начало координат будет особой точкой,
вблизи которой возникают такие напряжения, что равнодейству-
ющая их на сфере, с центром в начале координат, должна совпадать
с силой F (£), когда радиус сферы стремится к нулю. Отсюда следует,
что напряжения должны быть обратно пропорциональны квадрату
расстояния, а смещения — обратно пропорциональны расстоянию
от начала координат.
При выбранном направлении силы вектор смещения должен
располагаться в меридиональных плоскостях, а вектор кручения —
ориентироваться по координатным линиям ф.
Объемную силу будем считать отсутствующей; тогда решения
однородных уравнений (293"), (295) запишем в следующем виде:
в таком виде они правильно отражают деформированное состояние
среды вблизи особой точки.
Векторная функция направлена по оси Oz и анало-
гична в известной мере вектору Герца в задаче о поле электрического
вибратора. Вид ее определяется видом функции F (t), что выяснится
в дальнейшем.
ТРазложим смещения u, v, w на смещения £, т], £, соответству-
ющие чистой деформации, и на смещения С\, Су, С2, отвечающие
кручению.
Определим первые из них при помощи вспомогательной функции Ф
02ф 02ф 02ф
dxdz 9 dydz 9 9
а вторые — новой вспомогательной функции ф
С — г 02ф 02ф 02ф
х~ dxdz 9 ЬУ~~ dydz 9 dx* "Г dy* •
Тогда смещения u, v9 w выразятся так:
х dx dz dx dz 9 ' 1/ dy dz dy dz 9 Ь г z
в.а2(ф-1)-+А1Ь (298)
295
или в векторной форме
S - grad А (ф—if) -J- к Дф.
Расширение О и вектор кручения ш получат значения
Ф = div S = ДФ,
! ' 1 (299:
® = V rot S = -i- rot (к Дф),
где k — единичный вектор, направленный по оси Oz.
Сравнивая выражения (297) и (299), приходим к заключению
что функции Фиф могут быть определены из уравнений
правые части которых зависят от Я и f, а значит, и функции Ф,
ф можно считать зависящими от этих же переменных. В связи с этим
уравнения перепишутся в виде
1 д да дф . f (<-v)
dR dR v*R
1 d R* дУ vt
Я» dR . dR ' v»R
Интегрируя эти выражения по R, получаем
я я/»/
; , <»«)
ОО ' «о
где постоянная интегрирования, зависящая от f, принята равной
нулю, поскольку, отсчитывая время от начала действия силы, мы
должны считать левую часть равной нулю в любой момент времени
при 2? = оо. • ’
Сами функции Ф, ф для решения не требуются, и дальнейшее
интегрирование уравнений (300) не имеет смысла.
Все интересующие нас величины зависят от функции / (0.
296
Для определения этой функции, используя (291) и (298), напишем
выражения следующих напряжений:
Р„ - 2 J. - р (-£.+ •£-)- 2j4 (^=« +А . (301)
Теперь построим с центром в начале координат сферу радиусом
R и будем напряжения на ней считать внешними силами по отноше-
нию к части среды, расположенной вне сферы. Тогда с помощью
последней формулы (269) находим напряжение на сфере в направле-
нии оси Oz*.
nnz = “Pzz COS (Rz) — pxz cos (Rx) — pyz cos (Ry) = —pzz COS 0 —
— pX2sin ©cos <p — sin ©sin ф, (302)
где знак минус взят по той причине, что нормаль п направлена
против радиуса R.
. Интегрируя выражение лЛ2 по сфере и приравнивая его к силе
F (f), когда*радиус /Остановится равным нулю, получаем уравнение
/ялг<югя4=т (303)
S
позволяющее выразить функцию f (t) через силу F (t).
^ Выполним в сокращенном виде вычисления интеграла в левой
части уравнения (303).
Сначала с помощью формул (301) и (302) находим
лпг = — X cos2 0 —5- - V Vl---Ц (1 4- cos20) -57г Дф -
C/Jl U 211 С' it
с , f . 5 . . „ . д . a, d \ 02 (Ф — t)
— 2ц (jjin 0 cos Ф + sin 0 sin ф — + cos 0 — J —;
затем вычисляем
02 (ф_<ф) 0 0 dR d z (* ..
---------~~dT~dR (ф-^-5Г = ГаГ Я5- J V(i-T)dT-
Rlvt
R/vl R{vt
= 4- j V(t-T)dx + 4-^-A- J x/(t-T)dx;
B/o( Rjvt
297
далее находим
( . д I . Л . д . ~ д \ д‘ (Ф — -ф)
SU1 0 COS ф ——к sin 0 Sin ф -=-к COS 0 -Т— )-\ 9 =^=
\ т дх 1 т ду 1 dz J \ dz*
R/vt RiVj
f T/(t-T)dT4-c°s20B2^-4-^--l- J T/(f_T)dT4-
R/vt Rfvt
Rlvt
-t-2 cos2 0J т/ (t — x)dx =
R/vt
R/vt
= (H-cos20)-^--£j- J r/(Z-T)dr +
я/0/
в/V/
+ c°s20fl-^--^- j T/(t-r)dT.
H/ut
Окончательно имеем:
Я- = - * COS2 0 H (1 + COS2 0) -A-
R/vi
(l^cos2©)-^-^- j rf(t-r)dr+
R/vt
R!vt
+ cos20/?7&"^r J r/(t-T)dT
B/o<
Интегрируя это выражение л„г по поверхности сферы, получаем
У У л„2Н2 sin 0 d0 dtp — — 2
о о
.(____Л_\ Rloi
7\ / , 8g а 1 Г туо_т)йт +
3 9R „tn ' 3 dR R3 J
B/uz
Rl^t
298
Вычисляя производные по Я и полагая R = 0, находим
2тс тс
j j sin 6d& dq. |S.D = 4л/ (I) -L- + A .
0 0
Выражение в скобках, согласно формулам (294) и (296) равно
плотности среды р. Подставляя окончательный результат интегри-
рования в левую часть формулы (303), имеем
4лр/ (0 = F(t). (303')
Таким образом, функция / (t) только постоянным множителем
отличается от силы F (t).
Теперь по формулам (298) можно вычислить смещения и, v,
w. Приводим окончательный результат вычислений:
R/vt
J TF(t-T)dT4-
У TF(Z-T)dr +
Н-йгРг*’ (t-~)——)]’ (304)
1 Я3 [ v* \ VI / v* \ vt /] 4 '
R/vt
" 4npw = (-^- J rF(t — t)Jt +
Отсюда можно рассчитать составляющие тензора деформации,
а затем и составляющие напряжений.
Излагая этот параграф, автор заимствовал, с соответствующей
переработкой, материал из книги Е. Треффц «Математическая теория
упругости», ГТТ, 1932.
Задача 1. Определить упругий потенциал и потенциальную энергию
стержня, растянутого в направлении своей оси, совмещенной с осью Oz.
Ответ:
где V — объем стержня после деформации.
Задача 2. Определить упругий потенциал и потенциальную энергию
прямоугольного параллелепипеда, имеющего относительный сдвиг -ф в напра-
влении ребра.
299
Ответ:
£ф2
2 ’ 2 ।
Задача 3. Определить упругий потенциал и потенциальную энергию круг-
лого стержня, закрученного на угол ф.
Ответ:
£г2ф2 £ла4ф2
2Z2 ’ 4/ ’
Задача 4. Определить упругий потенциал и потенциальную энергию
балки, изогнутой моментом М, приложенным к свободному концу.
Ответ:
Д/2у2 МП ,
2ЕР 9 2EI *
Задача 5. Напряжение в среде задано составляющими: рхх = 2 • 109 дин/см*
Pxy = Pyy = Pzz =“ Ю* дин/см*, ру = ргх = 0. Вычислить составляющие де _
формации и упругий потенциал, считая X = ц = 1,6*1011 дин/см*.
Ответ: ехх = 5- 10"8, ъуу=г22 — —1,25* 10’8, гху = 3,125• 10‘3, е„х = е2Х = 0,
U =8,125 • 10° эрг/см*.
Задача 6. Для некоторого сорта гранита можно принять, что модуль Юнга
Е = 4*10115ии/см2, коэффициент Пуассона о = 0,25, плотность р = 2,7 г/см3.
Вычислить постоянные Ламэ и скорость продольных и поперечных волн дляе
этой породы.
Ответ: Х = р=1,6*10и дин/см2, р/ = 4,02«105 см/сек, v/ = 2,44«105 см/сек.
Задача 7. Вычислить скорость звука в воздухе при 20° С.
Ответ. 3,43 *10* см/сек.
Задача 8. Вычислить скорость звука в воде, считая коэффициент одно-
стороннего сжатия равным 49-10"12 см*/дин, а плотность равной 1 г/см3.
Ответ: 1,43 • 105 см/сек.
Задача 9. Уравнение упругой волны, распространяющейся в направлении!
длины стержня, имеет вид
д2и р д2и
~dx2~a~E'~di29
а его решение при одном закрепленном и другом свободном концах стержня
выражается стоячей волной вида
. . х . Е t
“от=Лп81птл -jy-sin у — тп
где х — координата, отсчитываемая от закрепленного к свободному концу
I — длина стержня; т = 1, 3, 5... — номер гармоники. Вычислить частоту
основного колебания (пг = 1), считая Е = 2,2*1012 дин/см*' р = 7,8 г/см3.
Ответ: v = 3,32*103 гц.
Задача 10. Стержень длиной 60 см закреплен в средней части. Один конец
его находится в закрытой трубке с воздухом (трубка Кундта), а другой — вне ее..
Внешний конец стержня натирается с помощью тряпки для возбуждения про;
дольных волн. При этом в воздухе трубки образовались стоячие волны с макси^
300
мальным расстоянием между узлами, равным 6 см. Вычислить модуль Юнга
у материала стержня, считая его плотность равной 8,5 г/см\ а температуру
в трубке 20Q С.
Ответ: 1012 дин/см2.
Задача 11. Определить смещения, возникающие в однородной безгранич-
ной среде под влиянием сосредоточенной постоянной силы F, направленной
по оси Oz. Для получения ответа воспользоваться формулами (304), считая
в них силу постоянной.
Ответ:
F Г 5-ба , 2z2-r2 •] F 3xz
4пш- 6G L (1-0) Я “Г 2(1—а) Л3 J ’ 6G 2(1-а)Л3’
, _ F 3yz
wv~ 6G 2(1 — а) Л3 ‘
Задача 12. Определить напряжения, возникающие в среде, при условиях
предыдущей задачи.
Ответ:
_ F 1 — 2а Ргг 8л 1—а Z_z . 3 :3 \ __ F 1 jzxy \ Л3 1 1—2а Л®/’ Р*у~ 8л 1 —а Л® ’
F 1 —2а ( Рхх 8л 1—а \ z , 3 zxa \ F 1 —2о / У Л3 1 1 —2а Л®/’ Руг~ 8л 1-а \Л» , 3 yz3 \ 1 tl—2а Л® / ’
F Ч-2а ( Рун-' 8л 1_а Д __z । 3 zya \ F 1 —2а / х . . Л3 1 1 —2а Л® / ’ PzK 8л 1 —а \ Л3' . 3 IZa \ ' 1 —2а Я5 /
' УКАЗАНИЯ ПО ПРЕОБРАЗОВАНИЮ ФОРМУЛ ОТ
СИСТЕМЫ СГС К СИСТЕМЕ ИНТЕРНАЦИОНАЛЬНОЙ (СИ)
В предисловии отмечалось, что в книге применяется система
СГС, которая для электромагнитного поля является смешанной
из систем СГСЭ и СГСМ и называется системой Гаусса.
В этой системе электрические величины измеряются в единицах
СГСЭ, а магнитные — в единицах СГСМ. Когда электрические ве-
личины стоят в правой части формул, а магнитные в левой или наобо-
рот, то для уравнивания частей приходится вводить переводный
коэффициент называемый электродинамической постоянной и чис-
ленно равный скорости света в вакууме.
Теперь предпочтительной является система интернациональная.
В главах о гравитационном поле и теории упругости запись формул
в системе СГС и СИ одинаковая и никаких изменений в формулы
вносить не требуется.
В учении об электромагнитном поле для перехода к системе
интернациональной от системы СГС с целью исключения из ряда
301
формул электродинамической постоянной и уравнивания левой
части формулы с правой вводятся два множителя: е0 = 1/4л-9-109
(ф/м) — электрическая постоянная и ц0 = 4л/107 (гн/м) — магнит-
ная постоянная; проводится также рационализация при помощи
коэффициента — . Следует отметить, что выполняется соотношение
е0НоС 2 = 1.
Для электромагнитного поля ниже даются краткие указания
по переписыванию формул системы СГС в формулы СИ. В отдельных
случаях выписываются формулы системы СИ и нумеруются тем же
номером, под которым они значатся в книге в системе СГС.
Гл. I. Электростатическое поле в однородной среде или в вакууме.
Во все формулы, определяющие Е, U, производные этих величин
по координатам и содержащие Q, р, о, х, надо подписать к величинам
Q, р, о, х множитель 1/4леое, где е — диэлектрическая проницае-
мость среды, окружающей заряды, численно одинаковая в системе
СГС и СИ.
Гл. II. Электростатическое и магнитостатическое поля в неодно-
родной среде. Во все формулы, определяющие Е, U, производные
этих величин по координатам и содержащие Q, р, рсв, о, осв, х,
р, Р, т, надо подписать к величинам Q, р, рсв, о, осв, х, р, Р, т
множитель 1/4ле0.
Вектор электрической индукции определяется по формуле
D = е0Е + Р = е0 (1 + Хси) Е = еоеЕ,
а его расходимости (объемная и поверхностная) записываются так:
div D = р| (59)
Dnl-Dn2=--(J, (60)
где Хси — коэффициент поляризации в СИ, равный 4лхсгс-
При переходе к магнитостатическому полю в соответствующих
формулах электростатического поля, преобразованных к СИ, про-
изводится замена Е на Н — напряженность магнитного поля; D
на В — вектор магнитной индукции; Р на J — вектор намагниче-
ния; р на М — магнитный момент; ео на р0 —- магнитную постоян-
ную; е на |А — магнитную проницаемость, численно одинаковую
в обеих системах.
При этом надо считать р = о = 0, поскольку свободных магнит-
ных зарядов нет.
Гл. III. Логарифмический потенциал. Рекомендуется сделать
то же самое, что и в гл. I и II.
Гл.\1У. О решениях для потенциала в интегральной форме.
В этой главе рассматриваются общие способы решений для потен-
циала и никаких изменений в формулы вносить не следует.
-302
Гл. V. Энергия поля. При преобразовании интеграла (108}
р заменяется на div D и интеграл (109) получается в виде
Л = (109)
V
т. е. плотность энергии в СИ равна (DE)/2 в электрическом поле
и (ВН)/2 в магнитном поле.
Гл. VI. Электрическое поле постоянного тока* Формулы этой
главы записываются одинаково в обеих системах, кроме (137), где
к о надо подписать множитель 1/4ле0.
Гл. VII. Магнитное поле постоянного тока* Во все формулы^
выражающие Н, А, производные этих величин по координатам
и содержание Z, i, j, надо подписать к I, i, j множитель с/4л.
Гл. VIII. Электромагнитное поле переменных токов. Учитывая
рекомендованные выше преобразования формул при переходе от си-
стемы СГС к СИ для постоянного поля, мы легко перепишем в СИ
уравнения Максвелла, из которых следуют все остальные формулы.
Прежде всего, учитывая соотношение div D = р, находим диф-
ференциальную запись первого закона Кирхгофа
div(i + -^_) = 0. (194>
Теперь уравнения Максвелла в СИ получают вид
rot н=К196>
rotE=--^-; (198)
divD=p; (59)’
div В— 0. (64}
Уравнения связи между векторами в изотропной среде будут
i = y(E + ECT),
D-eoeE, (199>
В = рорН.
Принимая во внимание запись плотности энергии электромагнит-
ного поля
Е(РЕ) (ВН)
2'2’
приходим к следующей записи закона сохранения энергии в поле-
JiECTdP = -^ + JpiMr+ j [EH]„dS, (200)
V vs
где [EH] = P — вектор Умова — Пойнтинга.
303.
Волновые уравнения для напряженности в СИ имеют вид
ДЕ- е0«2 <ЭЕ dt ер, с2 02Е ЗГ» = 0; (201)
дн- W еос2. дН dt ер- с2 эш dt* = 0; (202)
так:
для гармонического процесса во времени они запишутся
ДЕ (ж, у, z) + k2'E(x, у, z)—0; ДН (я, у, z) 4-A2H (х, у, z) — 0, где к — волновое число ^определяемое по формуле (20Г) (202')
Численные значениями и р те же, что и в системе СГС. Волновые уравнения для запаздывающих потенциалов имеют вид ДА—[(211) Л77 еР 6/2 = Р . 72121
с2 ДО еое » при уравнении связи div А+ -^-4^ = 0; (210) при определяющих поле формулах В = rot А; (208) Ет^-= —gradCZ. (209) Решения волновых уравнений для потенциалов запишутся таким образом: Г (*о. У о, 4") A-J 4„я iv- (211’ V Г р (*(> Уо> -о. t „1 С7= — s —^—dV. (213) J 4леое7? х 1 V Поле вибратора в однородном диэлектрике определяется форму- лами , р(<~—) H = 4-rot \ , dt 4лН R (216) Е = — rot rot ₽ * v . еое 4 л/?
304
Телеграфное уравнение для вектора Герца Z в однородной про-
водящей среде получает вид
AZ — r)2z n-
e0c2 dt c2 dt* u’
при определяющих поле формулах
H = rot
\ dt 8q8 / ’
(223}
(224}
E = •—£- rot rot Z. (225)*
Для синусоидальных процессов во времени полагаем
Z (х, у, z, t) = П (х, у, z, t) е~м
и находим
ДП -4- А2П = 0; (223')
Н(х, у, z) =— icorotn; (224')
Е(х, у, z) - —“у rot rot П ; CQC (225'}
зДесь = е + у/ео(О i — комплексная диэлектрическая прони-
цаемость в СИ.
Вектор Герца для поля вибратора в однородной проводящей
среде выражается так:
рО--)
z = ~4r-’ <226>
W » =
Часть вектора Герца, зависящая от координат,
\IQeikR
4Щ(оЯ
Далее во все формулы, начиная с (217), выражающие Е, Н,
и содержащие /0, надо подписать к /0 соответственно множители
1/4ле0, с/4л.
20 Заказ 1701 305
Единицы измерения основных электрических и магнитных величин
в системе СГС и СИ
Наименование Обозна- чение Единицы измерения
СГС си
Электрический заряд <2, 7 1 СГСЭ, Кулон (к)
Напряженность электрического поля Е 1 СГСЭд в/м
Индукция электрического поля . . D 1 СГСЭр к/м*
Вектор поляризации Р 1 СГСЭд/слс2 к/м2
Электрический момент диполя . . . Р 1 СГСЭд• см к • м
Мощность двойного слоя т 1 СГСЭд/сле к/м
Потенциал электрического поля . . и 1 сгсэя Вольт (в)
Сила тока I 1 СГСЭ, Ампер (а)
Электрическое сопротивление . . . R 1 СГСЭд ом
Удельное сопротивление Р 1 СГСЭд•см ом • м
Удельная электропроводность . . . У (1 СГСЭд. см)-1 (ом • м)~1
Диэлектрическая проницаемость . . Е Безразмерная Безразмер- ная
Напряженность магнитного поля н Эрстед (а) а/м
Индукция магнйтного поля . . . . в Гаусс (гс) Тесла (тл)
Потенциал магнитного поля .... и 9 • см а
Магнитная проницаемость и Безразмерная Безразмер- ная
Соотношения между единицами основных величин:
1к = ЗЛО9СГСЭ,; 1 ом = 9 ^д-СГСЭд; 1 ом-м = -у^-СГСЭр;
1 а = 3-10» СГСЭ/; 1 (ом-м)-1 = 9-10» СГСЭТ; 1 а/м = в;
1 в = —СГСЭу; 1 тл = 104 гс.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Вектор Герца 217, 221, 227, 229, 236
— магнитной индукции 83
— намагничения 83, 86
— поляризации 77, 83
— Умова — Пойнтинга 193
— электрической индукции 81
Векторный потенциал 162, 170, 180
Вибратор 215, 222
— вертикальный 224
— горизонтальный 229
Вихрь вектора 39
Волновое число 198, 203
Волновые уравнения для напряженностей
196
Волновые уравнения для потенциалов
212, 213
Выражение вихря в криволинейных ко-
ординатах 40
Выражение расходимости в криволиней-
ных координатах 32
Главные значения тензора 277, 283
Главные направления тензора 127, 277,
283
Градиент потенциала 36
Двойной слой 96, 102
Диполь 75, 102
Закон Био-Савара 159, 165, 166, 178—180
Закон Гука 260, 264, 266, 286, 292
— Джоуля—Ленца 131
— Кирхгофа 130, 187
— Максвелла 203
— Ома 126
.— преломления линий 84
Закон сохранения энергии 193
Заряды свободные 80
— связанные 78, 80
Заземление линейное 152
— точечное 136, 138, 140, 151
— шаровое 136
— эллипсоидальное 137
Запаздывающие потенциалы 210
Запоздание 210
Инварианты тенвора 128, 278, 284
Изгиб балки 267
Интегральные уравнения 115
Интегралы эллиптические 56, 61, 66, 72
Координаты эллиптические 57, 67, 68
Коэффициенты Ламэ 30
— отражения энергии 209
— размагничения 89
Коэффициент Пуассона 260
Криволинейные координаты 29
Линии напряженности 22
Линии тока 125, 141
Логарифмический потенциал 100
Модули упругости 287
Модуль всестороннего сжатия 293
• — кручения 266
— одностороннего сжатия 263
— сдвига 264
— растяжения (Юнга) 260, 265
Напряжение 260, 261
Напряженность поля 10,13, 14
Оператор Гамильтона 70
— Лапласа 51
Потенциал 35, 43
— диска 46, 53
— кольца 56
— тонкого стержня 46
— сферического слоя 45, 52
— эллипсоида 47, 61, 64, 66
Плотность тока 126
— энергии поля 122
Поверхности равного потенциала 36
Поле вихревое 41
— кабеля 236, 238, 249
— квазистационарное 211
— кольцевого тока 180, 245
— потенциальное 37, 41
— соленоидальное 83
— эллипсоида 60, 62
Постоянные Ламэ 292
Радиус-вектор 6
Разрыв непрерывности напряженности 18
Разрыв непрерывности потенциала 97, 98,
134, 174
Расходимость 27
— поверхностная 29
Скалярный потенциал 173, 178, 179
Скин-эффект 199
Скорость упругих волн 294, 295
Стрела прогиба 271
Телеграфные уравнения 197, 221
Тензор деформации 279
— напряжений 272
— электропроводности 127, 128, 150
Ток смещения 186
Теорема Ампера 175
— Гаусса-Остроградского 25, 28
— Пуассона 77, 78, 87
Теория Максвелла 185
Углы Эйлера 253
Упругий потенциал 287, 290, 291
Уравнение Лапласа 51, 60, 67, 82
Уравнение линий 22, 125
Уравнения Максвелла 190
Условия потенциальности 37
Функции Бесселя 225, 232
— Ганкеля 232, 236
— Грина 108
— Неймана 112—114
Формула Гаусса — Остроградского 29, 122
— Грина 108
— Стокса 41
Формулы Френеля 206, 207
Электрическое изображение 90
Эллипсоид заряженный проводящий 47,
60
— намагниченный 87
— однородный 62
— с двойным слоем 145
Эллиптическая поляризация 251
Энергия поля 120
20*
ЛИТЕРАТУРА
1. Абрагам-Беккер. Теория электричества. ОНТИ, 1936.
2. А л ь п и н Л. М. Теория поля. М., изд-во «Недра», 1966.
3. Бурсиан В. Р. Теория электромагнитных полей, применяемых
в электроразведке. Ч. I, «Постоянные поля», ГТТИ, 1932; ч. II, «Переменные
поля», изд. ЛГУ, 1936.
4. Вебстер А. Г. Механика материальных точек, твердых, упругих
и жидких тел. ГТТИ, 1933.
5. Заборовский А. И. Переменные электромагнитные поля в элек-
троразведке. Изд. МГУ, 1960.
6. Идея ьс он Н. И. Теория потенциала. ГТТИ, 1932.
7. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начало тензорного исчисле-
ния. Изд. АН СССР, 1961.
8. Лагалли М. Векторное исчисление. ОНТИ, 1936.
9. Л о в и т т У. В. Линейные интегральные уравнения. М., Г осте х*
издат, 1957.
10. Ляв А. Математическая теория упругости. ОНТИ, 1935.
И. Тамм И. Е. Основы теории электричества. М., изд-во «Наука»,
1966.
12. Шефер К. Теоретическая физика, т. 1. ОНТИ, 1936.
13. Я н к е Е. и Эмде Ф. Таблицы функций. М., Физматгиз, 1959#
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ..............................t • 3
Введение .................................................................. 5
§ 1. Содержание и значение курса....................................... 5
§ 2. Радиус-вектор .................................................... 6
§ 3. Интегральная запись плоских и телесных углов...................... 7
Глава I. Электростатическое поле в однородной среде или в вакууме
и поле тяготения (гравитационное)................................ 10
§ 1. Напряженность поля точечных зарядов (масс)...................... 10
§ 2. Напряженность поля объемных, поверхностных, линейных
источников .................................................. 13
§ 3. Свойства напряженности поля........... 14
§ 4. Линии вектора напряженности........... 22
§ 5. Поток вектора напряженности. 25
§ 6. Теорема Гаусса — Остроградского . 25
§ 7. Расходимость вектора напряженности и теорема Гаусса —
Остроградского в дифференциальной форме.......................... 27
§ 8. Формула Гаусса — Остроградского ................................ 29
§ 9. Криволинейные ортогональные координаты.......................... 29
§ 10. Выражение расходимости в криволинейных координатах . . 32
§ 11. Потенциал и градиент потенциала................................. 35
§ 12. Поверхности равного потенциала.................................. 36
§ 13. Условия потенциальности поля.................................... 37
§ 14. Вихрь вектора .................................................. 39
§ 15. Выражение вихря в криволинейных координатах..................... 40
§ 16. Формула Стокса.................................................. 41
§ 17. Потенциал поля точечных, объемных, поверхностных, линей-
ных источников .............................................. 43
§ 18. Свойства потенциала.................... 44
§ 19. Потенциал заряженного проводящего эллипсоида вращения 47
§ 20. Уравнение Пуассона — Лапласа и его решение для частных
случаев ..................................................... 51
§ 21. Определение потенциала кольца через эллиптический интеграл
§ 22. Эллиптические координаты........................................ 57
§ 23. Поле заряженного проводящего эллипсоида......................... 60
§ 24. Поле однородного эллипсоида .................................... 62
§ 25. Координаты эллипсоидов вращения................................. 67
§ 26. Оператор Гамильтона, или дифференциальный оператор ... 70
309
Стр.
Глава II. Электростатическое и магнитостатическое поля в неодно-
родной среде.......................................... 74
§ 1. Общие замечания......................................... 74
§ 2. Поле диполя ............................................ 75
§ 3. Потенциал поляризованного тела.......................... 77
§ 4. Потенциал результирующего поля.......................... 80
§ 5. Дифференциальные уравнения поля в неоднородной среде
и граничные условия........................................... 81
§ 6. Преломление линий напряженности при переходе через границу
между диэлектриками .......................................... 83
§ 7. Намагничение однородного шара однородным полем.......... 84
§ 8. Намагничение однородного эллипсоида однородным полем . . 87
§ 9. Метод электрических изображений......................... 90
§ 10. Двойной слой .......................................... 96
Глава III. Логарифмический потенциал .............................. 99
§ 1. Общие замечания.......................................... 99
§ 2. Поле прямой линии и цилиндра............................. 99
§ 3. Диполь и двойной слой для поля с логарифмическим потенциа-
лом ............................................. 101
§ 4. Поле цилиндрического однородного слоя................... 102
§ 5. Метод электрических изображений при логарифмическом потен-
циале 104
Глава IV. О решениях для потенциала в интегральной форме .... 107
§ 1. Формула Грина ......................................... 107
§ 2. Решение задач Дирихле и Неймана с помощью интегральных
уравнений .................................................. 114
Глава V. Энергия поля ................................................ 118
Глава VI. Электрическое поле постоянного тока......................... 122
§ 1. Общие замечания .......................................................................... 122
§ 2. Линии и плотность тока.................................................................... 123
§ 3. Закон Ома в дифференциальной форме........................................................ 124
§ 4. Законы Кирхгофа в дифференциальной форме.................................................. 128
§ 5. Закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме. 129
§ 6. Объединенный закон постоянного тока....................................................... 131
§ 7. Граничные условия в постоянном токе....................................................... 132
§ 8. Заземления . 133
§ 9. Точечное заземление на поверхности неоднородного полупро-
странства .................................................... 136
§ 10. Точечное заземление на поверхности анизотропного полупро-
странства .................................................... 138
$ 11. Проводящий шар в поле точечного заземления.................................. 140
§ 12. Поле двойного слоя, расположенного на контакте проводни-
ков 143
§ 13. Эффективная электропроводность среды с включениями . . . 145
§ 14. Функция тока............................................ 148
Глава VII. Магнитное поле постоянного тока
§ 1. Закон Био — Савара
§ 2. Векторный потенциал
157
157
160
310
Стр.
§ 3. Расходимость векторного потенциала . ..................... 162
§ 4. Закон Био — Савара в дифференциальной форме............... 163
§ 5. Закон Био — Савара в интегральной форме, или закон полного
тока ......................................................... 164
§ 6. Поведение магнитного поля при переходе через поверхность
с токами ..................................................... 167
§ 7. Примеры на магнитное поле поверхностных токов............ 168
§ 8. Скалярный потенциал магнитного поля токов................. 171
§ 9. Магнетики в магнитном поле тока........................... 176
Глава VIII. Электромагнитное поле переменных токов................. 183
§ 1. Общие замечания ......................................... 183
§ 2. Ток смещения............................................. 184
§ 3. Первый закон Кирхгофа в дифференциальной форме для пере-
менных токов .................................................. 185
§ 4. Система уравнений переменного поля и граничные условия 188
§ 5. Закон сохранения энергии в электромагнитном поле и вектор
Умова — Пойнтинга ............................................. 191
$ 6. Передача энергии по двухпроводной линии с точки зрения
теории поля.................................................... 193
§ 7. Волновые уравнения для напряженностей........... 194
§ 8. Скин-эффект ........................................ 197
§ 9. Плоские волны в диэлектрике........................ 199
§ 10. Отражение и преломление плоской волны на границе между
диэлектриками ................................................. 202
§ 11. Отражение плоской волны от границы диэлектрика с провод*
ником ......................................................... 207
§ 12. Потенциалы электромагнитного поля................ 209
§ 13. Уравнение связи между потенциалами и волновые уравнения
для потенциалов................................... 210
§ 14. Решения волновых уравнений для потенциалов в однородной
безграничной среде ............................................ 211
§ 15. Поле вибратора в однородном безграничном диэлектрике 213
§ 16. Вектор Герца в проводящей однородной среде....... 219
§ 17. Поле вибратора в безграничной проводящей среде... 220
§ 18. Поле вертикального вибратора, расположенного на поверх-
ности однородного проводящего полупространства................. 222
§ 19. Поле горизонтального вибратора, расположенного на поверх-
ности проводящего полупространства............................. 227
§ 20. Поле бесконечного прямого каоеля в однородной проводящей
среде ......................................................... 234
§ 21. Поле бесконечного кабеля, расположенного на поверхности
проводящего полупространства .................................. 236
§ 22. Шар в поле кольцевого тока.............................. 243
§ 23. Цилиндр в поле кабеля................................... 247
§ 24. Эллиптическая поляризация .............................. 249
Глава IX. Элементы теории упругости................................ 256
§ 1. Общие замечания ......................................... 256
§ 2. Растяжение стержня. Модуль растяжения. Коэффициент Пуас-
сона .......................................................... 257
§ 3. Одностороннее сжатие безграничного слоя. Модуль односто-
роннего сжатия 260
§ 4. Сдвиг и модуль сдвига........................... 261
§ 5 Кручение .............................................. 264
311
Стр.
§ 6. Изгиб балки и определение модуля Е по стреле прогиба . . . 265
§ 7. Тензор упругих напряжений ............................... 270
§ 8. Условия равновесия элемента поверхности и элемента объема
деформированной упругой среды. Симметричность тензора
напряжений .................................................. 273
§ 9. Главные направления и главные значения тензора напряжений 275
§ 10. Тензор деформации ..................... 277
§ 11. Главные направления и значения симметричного тензора
деформации .................................................. 281
§ 12. Обобщенный закон Гука................ 284
§ 13. Упругий потенциал ..................... 285
§ 14. Упругий потенциал при наличии симметрии. 288
§ 15. Упругий потенциал в изотропной среде.... 289
§ 16. Закон Гука для изотропной среды и связь постоянных Ламэ
с модулями растяжения и сдвига............................... 290
§ 17. Всестороннее сжатие . ............................... 291
§ 18. Упругие волны в изотропной среде......................... 292
§ 19. Скорость распространения волн в жидкостях и газах .... 293
§ 20. Колебания упругой безграничной среды под действием сосредо-
точенной силы................................................ 294
Указания по преобразованию формул от системы СГС к системе интерна-
циональной (СИ) ................................................ 301
Предметный указатель................................................ 307
Литература........................................................ 308
Иван Кириллович Овчинников
Теория поля
Редактор издательства Н. Г. Богачева
Технический редактор Л. Д. Агапонова
Корректор В. П. Крымова
Художник А. А. Акимов
Сдано в набор 23/VII 1970 г. Подписано к печати 13/XI 1970 г.
Т-16095. Формат 60 X 9071в. Печ. л. 19,5. Уч.-изд. л. 19,29.
Бумага № 1. Индекс!—1—1. Заказ 1701/3663—3. Тираж 7500 экз. Цена 86 коп.
Издательство «Недра». Москва, К-12. Третьяковский проезд, 1/19.
Ленинградская типография Кв 14 «Красный Печатник» Главполиграфпрома Комитета
по печати при Совете Министров СССР. Московский проспект, 91.
ИКОвчинников
ТЕОРИЯ
ПОЛЯ